К.Куратовский
ТОПОЛОГИЯ
том 1
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» Москва 1966
Монография известного ученого, вице-президента Академии наук Польской
Народной Республики, академика Казимира Куратовского — выдающееся
явление в математической литературе. Она представляет собой наиболее полное и
легко читаемое сочинение, охватывающее большинство разделов современной
топологии.
Монография выдержала три издания на французском языке (третье издание —
Варшава, 1961). Текст первого тома значительно переработан автором и
подготовлен для одновременного издания на русском и английском языках. В
настоящее время автор работает над рукописью второго тома.
Книга заинтересует всех математиков, начиная от студентов и кончая
специалистами, так как в последние годы топологические методы проникли почти
во все отрасли математики.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию 5
Предисловие к первому тому 7
ВВЕДЕНИЕ 9
§ 1. Операции логики и теории множеств 9
I. Алгебра логики. II. Алгебра множеств. III. Функции высказываний.
IV. Операция Е. V. Бесконечные операции на множествах. VI.
Семейство всех подмножеств данного множества. VII. Идеалы.
Фильтры.
§ 2. Прямое произведение множеств 14
I. Определение. П. Свойства прямого произведения. III. Оси,
координаты, проекции. IV. Функции высказываний многих
переменных. V. Связь между операторами Е и V VI. Умножение на
ось. VII. Отношения. Факторсемейство. VIII. Конгруэнтность по
модулю идеала.
§ 3. Отображения. Упорядочения. Кардинальные и порядковые числа 20
I. Терминология и обозначения. II. Образы и прообразы. III. Операции
над образами и прообразами. IV. Коммутативные диаграммы. V.
Многозначные отображения. VI. Множества одинаковой мощности.
Кардинальные числа. VII. Характеристические функции. VIII.
Обобщенное прямое произведение. IX. Примеры счетных
произведений. X. Упорядочение. XI. Вполне упорядоченные
множества. Порядковые числа. XII. Множество ХХа. XIII. Обратные
спектры и их пределы. XIV. (С3)-операция. XV. Решето Лузина. XVI.
Применение к канторову дисконтинууму &
ГЛАВА 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 44
§ 4. Определения. Операция замыкания 44
I. Определения. II. Геометрическая интерпретация. III. Правила

топологического исчисления. IV. Относительное замыкание. V.
Логический анализ системы аксиом.
§ 5. Замкнутые и открытые множества 49
I. Определения. II. Операции. III. Свойства. IV. Относительно
замкнутые и относительно открытые множества. V. Множества типа
Fa и G§ VI. Борелевские множества. VII. Покрытие пространства.
Измельчение. VIII. Хаусдорфовы пространства. IX. 3-пространства.
X. Регулярные пространства. XI. База и подбаза.
§ 6. Граница и внутренность множества 60
I. Определения. II. Некоторые формулы. III. Связь с замкнутыми it
открытыми множествами. IV. Теорема аддитивности. V. Отделимые
множества. VI. Двойственность между операциями замыкания и
взятия внутренности множества.
§ 7. Окрестность точки. Локализация свойств 66
I. Определение. П. Необходимые и достаточные условия. III.
Сходящиеся фильтры. IV. Локализация. V. Локально замкнутые
множества.
§ 8. Всюду плотные, граничные и нигде не плотные множества 71
I. Определения. II. Необходимые и достаточные условия. III.
Операции. IV. Разложение границы. V. Множества, открытые по
модулю нигде не плотных множеств. VI. Относительные свойства.
VII. Локализация. VIII. Замкнутые области. IX. Открытые области.
§ 9. Точки накопления 81
I. Определения. П. Необходимые и достаточные условия. III.
Некоторые формулы. IV. Дискретные множества. V. Множества,
плотные в себе. VI. Разреженные множества.
§ 10. Множества первой категории 86
I. Определение. П. Свойства. III. Теорема единственности. IV.
Относительные свойства. V. Локализация. VI. Формулы разложения.
§11. Множества, открытые относительно множеств первой категории. 92
Свойства Бэра
I. Определение, П. Общие замечания. III. Операции. IV. Необходимые
и достаточные условия. IV а. Теорема существования. V.
Относительные свойства. VI. Свойство Бэра в узком смысле. VII. (C) -
операция.
§ 12. Знакочередующиеся ряды замкнутых множеств 101
I. Формулы общей теории множеств. П. Определение. III. Теоремы
отделимости. Разложение в знакочередующийся ряд. IV. Свойства
остатка. V. Необходимые и достаточные условия. VI. Свойства
разложимых множеств. VII. Вычеты. VIII. Вычеты трансфинитного
порядка.
§ 13. Непрерывность. Гомеоморфизм 108
I. Определение. П. Необходимые и достаточные условия. III.

Множество D(J) точек разрыва. IV. Непрерывные отображения. V.
Относительные свойства. Сужение. Ретракция. VI.
Вещественнозиачные функции. Характеристические функции. VII.
Взаимно однозначные непрерывные отображения Сравнение
топологий. VIII. Гомеоморфизм. IX. Топологические свойства. X.
Топологический ранг. XI. Однородные множества. XII. Приложения к
топологическим группам. XIII. Открытые отображения. Замкнутые
отображения. XIV. Отображения, открытые и замкнутые в данной
точке. XV. взлнум непрерывные отображения
§ 14. Вполне регулярные пространства. Нормальные пространства 126
I. Вполне регулярные пространства. II, Нормальные пространства. III.
Системы множеств, подобные в комбинаторном смысле, в
нормальных пространствах. IV. Действительные функции,
определенные на нормальных пространствах. V. Наследственно
нормальные пространства. VI. Совершенно нормальные пространства.
§ 15. Прямое произведение ?ХхЯУ топологических пространств 143
I. Определение. П. Проекции и непрерывные отображения. III.
Действия над прямыми произведениями. IV. Диагональ. V. Свойства
отображения/ рассматриваемого как подмножество пространства
?ХхЯУ. VI. Горизонтальные и вертикальные сечения. Цилиндр на
множестве Acz?G VII. Инварианты прямого произведения.
§ 16. Обобщенные прямые произведения 154
I. Определение. П. Проекции и непрерывные отображения. III.
Действия над прямыми произведениями. IV. Диагональ. V.
Инварианты прямого произведения. VI. Пределы обратных спектров.
§ 17. Пространство 2х. Экспоненциальная топология 168
I. Определение. П. Основные свойства. III. Непрерывные
многозначные отображения. IV. Случаи, когда пространство 'дС
регулярно. V. Случай, когда пространство ?>С нормально. VI. Связь
пространства 2х со структурами и брауэровскими алгебрами.
§ 18. Полунепрерывные функции 181
I. Определения. II. Примеры. Связь с действительными
полунепрерывными функциями. Замечания. III. Основные свойства.
IV. Объединение полунепрерывных отображений. V. Пересечение
полунепрерывных отображений. VI. Разность полунепрерывных
отображений.
§ 19. Пространство разбиения. Фактортопология 192
I. Определение. П. Проекции. Связь с взаимно непрерывными
отображениями. III. Примеры и замечания. IV. Связь фактортопологии
с экспоненциальной топологией.
ГЛАВ А 2 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 197
А. Связь с топологическими пространствами, ^-пространства 147
§ 20. ^-пространства (в которых определено понятие предела) 197

I. Определение. П. Связь с топологическими пространствами. III.
Понятие непрерывности. IV. Прямое произведение <?*-пространств.
V. Счетно-компактные ^-пространства. VI. Непрерывная
сходимость. Множество СИХ как ^-пространство. VII. Операции над
пространствами СЯХ с <?*-топологией. VIII. Непрерывная сходимость в
узком смысле. IX. Сходимость Мура — Смита (основные
определения).
§ 21. Метрические пространства. Общие свойства 213
I. Определения. II. Топология в метрических пространствах. III.
Диаметр. Непрерывность. Колебание. IV. Число р {А, В). Обобщенный
шар. Нормальность метрических пространств. V. Ограничивающее
отображение. VI. Метризация прямого произведения. VII. Расстояние
между двумя множествами. Пространство BЭСOИ. VIII. Вполне
ограниченные пространства. IX. Эквивалентность между счетно-
компактными и компактными метрическими пространствами. X.
Равномерная сходимость. Метризация пространства ЯУХ. XI.
Продолжение относительно замкнутых и относительно открытых
множеств. XII. Измельчение бесконечных покрытий. XIII. G§ -
множества в метрических пространствах. XIV. Пространства
близости. Равномерные пространства (основные определения). XV.
Псевдометрические пространства. XVI. Паракомпактность
метрических пространств. XVII. Проблемы метризации.
§ 22. Пространства со счетной базой 247
I. Общие свойства. П. Метризация и введение координат. III.
Сепарабельность пространства ЯУХ. IV. Отождествление замкнутых
множеств. V. Произведение пространств со счетной базой. Множества
первой категории, VI. Произведения пространств со счетной базой.
Свойство Бэра.
Б. Проблемы мощности 259
§ 23. Мощность пространства. Точки конденсации 259
I. Мощность пространства. II. Плотное подмножество. III. Точки
конденсации. IV. Основные свойства операции О. V. Разреженные
множества. VI. Объединения разреженных множеств. VII. Точки
порядка lit. VIII. Понятие эффективности.
§ 24. Мощность различных семейств множеств 263
I. Семейства открытых множеств. Семейства множеств, обладающих
свойством Бэра. П. Вполне упорядоченные монотонные семейства. III.
Разложимые множества. IV. Производные множества порядка а. V.
Логический анализ. VI. Семейства непрерывных функций. VII.
Структура монотонных семейств замкнутых множеств. VIII. Строго
монотонные семейства. IX. Связь строго монотонных семейств с
непрерывными функциями. X. Строго монотонные семейства
замкнутого порядкового типа.

В. Проблемы размерности 282
§ 25. Определения. Общие свойства 282
I. Определение размерности. П. Размерность подмножеств. III.
Множество Егпу
§ 26. Нульмерные пространства 286
I. База пространства. П. Теоремы редукции и отделимости. III.
Теоремы об объединении нульмерных множеств. IV. Продолжение
нульмерных множеств. V. Счетные пространства.
§ 27. Пространства размерности п 297
I. Теоремы об объединении. П. Отделимость замкнутых множеств. III.
Разложение и-мерного пространства. Условие Dn. IV. Продолжение п-
мерных множеств. V. Размерностное ядро. VI. Слабо и-мерное
пространство. VII. Семейства, определяющие размерность. VIII.
Размерность прямого произведения. IX. Непрерывные и взаимно
однозначные отображения и-мерных пространств. X. Замечания по
поводу теории размерности в применении к произвольным
метрическим пространствам.
§ 28. Симплексы, комплексы, полиэдры 314
I. Определения. II. Топологическая размерность симплекса, III.
Приложения к задаче о неподвижных точках. IV. Приложения к кубам
3"" и 3"х°. Нерв системы множеств. VI. Отображения метрических
пространств в полиэдры. VII. Аппроксимация непрерывных
отображений отображениями к. VIII. Бесконечные комплексы и
полиэдры. IX. Продолжение непрерывных функций.
Г. Счетные операции. Борелевские множества. 5-измеримые функции 343
§ 29. Нижний и верхний пределы 343
I. Нижний предел. П. Правила действий. III. Верхний предел. IV.
Правила действий. V. Связь между пределами Li и Ls. VI. Предел. VII.
Относительные свойства. VIII. Обобщенная теорема Больцано —
Вейерштрасса. IX. Пространство BЭС)Х.
§ 30. Борелевские множества 352
I. Эквивалентность. II. Классификация борелевских множеств. III.
Свойства классов Fa и Ga. TV. Двусторонние борелевские множества.
V. Разложение борелевских множеств на непересекающиеся
множества. VI. Знакочередующиеся ряды борелевских множеств. VII.
Теоремы редукции и отделимости. VIII. Относительно двусторонние
множества. IX. Предельное множество двусторонних множеств. X.
Локально борелевские множества. ЭТСгОперация Монтгомери. XI.
Вычисление классов с помощью логических символов. XII.
Приложения. XIII. Универсальные функции. XIV. Существование
множеств класса Ga не являющихся множествами класса Fa. XV.
Проблема эффективности.

§31.5-измеримые отображения 3 82
I. Классификация. П. Необходимые и достаточные условия. III.
Суперпозиция функций. IV. Сужения функций. V. Функции многих
переменных. VI. Сложные функции. VII. График отображения
/: <DC -^ ЯУ. VIII. Предел функций. IX. Аналитическое
представление. X. Теоремы Бэра о функциях первого класса.
§ 32. Функции, обладающие свойством Бэра 408
I. Определение. II, Необходимые и достаточные условия. III.
Операции над функциями, обладающими свойством Бэра. IV.
Функции, обладающие свойством Бэра в узком смысле. V. Связь с
мерой Лебега.
ГЛАВА 3. ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 415
§ 33. Определения. Общие свойства 415
I. Определения. II. Сходимость и фундаментальные
последовательности. III. Прямое произведение IV. Пространство
BЭСOИ. V. Функциональное пространство. VI. Полная метризация G§-
множеств. VII. Пополнение метрического пространства.
§ 34. Последовательности множеств. Теорема Бэра 422
I. Коэффициент а(А). II. Теорема Кантора. III. Приложение к
непрерывным функциям. IV. Теорема Бэра [1]. V. Приложения к
множествам типа G§. VI. Приложения к множествам типа Fa и G§. VII.
Приложения к функциям первого класса. VIII. Приложения к
теоремам существования.
§ 35. Продолжение функций 432
I. Продолжение непрерывных функций. II. Продолжение
гомеоморфизмов. III. Топологическая характеризация полных
пространств. IV. Внутренняя инвариантность различных семейств
множеств. V. Приложения к топологическим рангам. VI.
Продолжение 5-измеримых функций. VII. Продолжение
гомеоморфизма класса (а, Р).
§ 36. Связь полных сепарабельных пространств с пространством Л" 448
иррациональных чисел
I. (C)-операция. П. Отображения множества (DLb полные
пространства. III. Взаимно однозначные отображения IV. Теоремы
разложения. V. Связь с канторовским множеством G
§ 37. Борелевские множества в полных сепарабельных пространствах 458
I. Связь борелевских множеств с пространством (Db П.
Характеризация борелевских классов множеств с помощью
обобщенных гомеоморфизмов. III. Разложение двусторонних
множеств в знакочередующиеся ряды. IV. Малые классы Бореля.
§ 38. Проективные множества 464
I. Определения. II. Соотношения между проективными классами. III.
Свойства проективных множеств. IV. Проекции. V. Универсальные

функции. VI. Теорема существования. VII. Инвариантность. VIII.
Проективные функции высказываний. IX. Инвариантность
проективных классов относительно просеивания через решето и
относительно (C) -операции. X. Трансфинитная индукция. XI.
Операции Хаусдорфа.
§ 39. Аналитические множества 489
I. Общие теоремы. П. Аналитическое множество как результат (C) -
операции. III. Первая теорема отделимости. IV. Приложения к
борелевскпм множествам. V. Приложения к 5-измеримым функциям.
VI. Вторая теорема отделимости. VII. Порядок значения В -измеримой
функции. VIII. Составляющие, или конституанты. С4-множества. IX.
Проективные классы функций высказываний, включающих
переменные порядковые типы. X. Теоремы редукции. XI. Функции
классов А и С А.
§ 40. Вполне несовершенные и другие сингулярные пространства 523
I. Вполне несовершенные пространства. II. Пространства заведомо первой
категории. III. ^-пространства. IV. Отображения. V. Свойство X'. VI.
а-пространстпа. VII. v-пространства, сосредоточенные пространства,
свойство С. VIII. Связь со свойством Бэра в узком смысле. IX. Связь
v-пространств с общей теорией множеств.
ДОБАВЛЕНИЕ 543
I. Некоторые приложения топологии к математической логике. А. 543
Мостовский
П. О приложениях топологии к функциональному анализу. Р. Сикорский 548
Литература 552
Предметный указатель 580
Именной указатель 584
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аксиома выбора 34 Взаимно непрерывное отображение
— топологического пространства 44 125
Аналитические множества (А- — однозначное отображение 20
множества) 464, 489 Внутреннее отображение 122
База пространства 58 Внутренний инвариант 118
Барицентрические координаты 314 Внутренность множества 60
Бесконечный комплекс 336 Вполне несовершенное пространство
— полиэдр 337 523
Большая индуктивная размерность — нормальное (наследственно
(Ind x) 313 нормальное) пространство 136
Борелевские множества 53, 352—381 — ограниченное пространство 224
Борелевский изоморфизм 462 — регулярное пространство 126
Брауэровская алгебра 180 — упорядоченное множество 34
Верхний предел последовательности Всюду плотное множество 71
множеств (Ls An) 344 Выпуклое множество 314

Высказывание (предложение) 9
Вычет множества 70
— трансфинитного порядка 107
Геометрическая размерность
симплекса 314
Гильбертов куб 32
Гипотеза континуума 35
Гомеоморфизм 116
— обобщенный класса (а, Р) 382
Граница множества 60
Граничное множество 71
в точке 77
Грань симплекса 314
График отображения 148
Двойственность 10, 66
Двустороннее множество класса а
355
Диагональ 146
Диаграмма бикоммутативная
(точная) 26
— коммутативная 25
Диаметр множества E(Л)) 216
Дизъюнкция 9
Дискретное множество 83
— семейство подмножеств
топологического пространства
243
Дополнение множества 10
Закон двойного отрицания 9
— исключенного третьего 9
— ложного положения 9
— противоречия 9
Законы Моргана 9
Замкнутая область 79
Замкнутое множество 49
— отображение 122
Замыкание 44
— в метрическом пространстве 215
— комплекса 316
Идеал 14
— максимальный 14
— собственный 14
а-идеал 19
Измельчение покрытия 54
В-измеримое отображение класса а
382
Изолированная точка 81
Индуктивная размерность
пространства (ind x) 313
Канторов дисконтинуум (канторово
совершенное множество) G32
Кардинальное число 28
Квазикомпактное отображение 125
Класс эквивалентности 19
Классы Fa и Ga борелевских
множеств 353
Колебание функции 217
Комбинаторная размерность
пространства (dim x) 313
Компактное (бикомпактное)
пространство 55
Комплекс 316
Композиция отображений 20
Конгруэнтность по модулю идеала 19
Конфинальпое множество 33
Конъюнкция 9
Лемма Урысона 132
— Цорна 34
Линейно упорядоченное множество
33
Линейное множество 473
Локализация свойства 68
Локальная база 59
Локально борелевское множество
366
— замкнутое множество 70
— конечное семейство 55
а-локально конечное семейство 55
Малые классы Бореля 463
и-мерный комплекс 317
Метризационная теорема Бинта —
Нагата — Смирнова 245
Метризуемое топологическое
пространство 215
Метрическое пространство 213
Многозначная функция 27

Множество Лебега 483
— открытое (замкнутое) по модулю
множеств первой категории 92
нигде не плотных
множеств 74
— первой категории 86
— типа Fa (типа Ga) 52
Fa - и Ga -множество 428
Монотонное семейство множеств 33,
261, 272
Направленное множество 33
Наследственно нормальное (вполне
нормальное) пространство 136
Насыщенная последовательность
множеств 87
Нерв системы множеств 326
Непрерывное разбиение 194
— отображение 108, 109
Непрерывное отображение <?* -
пространств 200
Непрерывно сходящаяся
последовательность 206
в узком смысле 210
Несравнимые подмножества 444
Нигде не плотное множество 71, 77
Нижний предел последовательности
множеств (Li An) 343
Нормальное топологическое
пространство 128
Область определения отображения 20
Обобщенная теорема продолжения
Титце158
Обобщенное прямое произведение 30
Обобщенный гомеоморфизм класса
(а, р) 382
— шар 219
Образ множества 21
Обратный спектр 36
Объединение множеств 10
Ограниченное множество 216
Однородное множество 119
Окрестность точки 66
Операция Хаусдорфа 486
— Е 12
X
— S(R)\3
— P(J?) 13
(С3)-операция 37
ЭТСгОперация Монтгомери 367
Отделимые множества 64
5-отделимые множества 495
Открытая область 80
— окрестность точки 66
Открытое множество 49
— отображение 121
Относительная окрестность точки 66
Относительно борелевские
множества 53
— замкнутое множество 51
— открытое множество 51
Относительное замыкание 47
Отношение множеств 10
— рефлексивное 18
— симметричное 18
— транзитивное 18
— эквивалентности 18
< 478
Отображение (функция) 20
— 5-измеримое класса а, 382
— подобия 33
Отображение-произведение 24, 31
Отрицание 9
Паракомпактное пространство 56
Пересечение множеств 10
Плотное в себе множество 83
Подбаза топологического
пространства 58
Подобные (в комбинаторном смысле)
системы множеств 131
— упорядочения 33
Подпокрытие 54
Покрытие пространства 54
Полиэдр 317
Полное метрическое пространство
415

Полунепрерывная многозначная
функция 181
Полунепрерывное разбиение 194
Пополнение метрического
пространства 420
Порядковое число 34
Порядковый тип 34
четный (нечетный) 375
Порядок значения 5-измеримой
функции 504
Предел обратного спектра 36,166
— последовательности множеств
(Lim An) 347
— фильтра 68
Предельный порядковый тип 34
Продолжение отображения 20
Проективные множества 464
— функции высказываний 473
Проекция 193
Производное множество 81, 270
Прообраз множества 21
Просеивание через решето 41
Простой (невырожденный) комплекс
17
симплекс 314
Пространство 9
— близости 239
— веса Ко 59
— заведомо первой категории 525
— Липделёфа 56
— Тихонова 126
— удовлетворяющее первой аксиоме
счетностн 59
— Фреше 32
— Ф(Ъ *2/) 228, 418
— 2*168
— {2х) 349
^-пространство 197
3-пространство 57
3"j-пространство 44
3-пространство 58
^-пространство 526
v-пространство 534
а-пространство 532
Прямое произведение множеств 14
Прямолинейно достижимая точка 475
Псевдометрика 241
Псевдометрическое пространство 241
Равномерная структура 240
Равномерно непрерывное
отображение пространств
близости 240
Разбиение 21
— пространства 192
Разложение границы 73, 74
Разложимое множество 102, 267
Размерностное ядро пространства
307
Размерность пространства 282, 313
Разность множеств 10
симметричная 10
Разреженное множество 84
Расстояние 213
— между множествами (dist {А, В))
223
Регулярная система множеств 37
Регулярное пространство 57
Результат (С3)-операции 37
— ЭТСгОперации 367
Ретракт 112
Ретракция 112
Решето Лузина 41, 476
Свойство Бэра в узком смысле 98
для отображений 412
широком смысле 93
отображения 408
— С 537
— С" 536
— L534
— V 530
Семейство аналитически
пред ставимых функций 401
— определяющее размерность
пространства 308

— подмножеств данного множества
13
.— аддитивное 14
наследственное 14
Сепарабельное пространство 72
Сеть 212
Сечение прямого произведения 150
Сильно непрерывное отображение
125
Симплекс 314
Слабо и-мерное пространство 308
Совершенное множество 83
Сосредоточенное пространство 535
Составляющая высказывания 329
Составляющие (конституанты) (СА)-
множества 509
Составное отображение 24, 31
Строго монотонное семейство
множеств 274, 275
Структурно нормальная структура
180
— регулярная структура 180
Сужение отображения 20
Существование неборелевских
множеств 355
Сходящийся фильтр 68
Счетно-компактное пространство 55
— ^-пространство 202
Теорема Александрова 419
— Александрова — Хаусдорфа 459
— Банаха — Куратовского 542
— Банаха — Мазура 250
— Бернштейна 524
— Больцано — Вейерштрасса
обобщенная 348
— Бара 425
— Be Денисова 141
— Егорова 542
— Кантора 424
— Кантора — Бендиксона 261, 271
— Лаврентьева 439
Лебега — Хаусдорфа 402
— Линделёфа 60
— Лузина 92
о покрытии 511
— Лузина — Серпинского 510
— Мазуркевича 453
— Никодпма — Урысона 476
— обобщенная Пеано 158
— о полной метризации 419
— отделимости 289, 358, 495, 502
обобщенной (первая и вторая)
520
— Понтрягина — Нёбелинга 431
— продолжение Титце 134, 339
обобщенная 158
— редукции 288, 358
— Серпинского — Зигмунда 433
— А. Стоуна 245
— Улама91
— Урысона 249
— Хаусдорфа 420, 496
— Цермело 34
Тип непрерывности 439
Тихоновская топология 154
Топологическая группа 121
— эквивалентность 118
Топологически полное пространство
415
Топологический автоморфизм 117
— ранг 119
Топологическое пространство 44
Топологическое свойство 117
к-топология 183
А--топология 183
Точка конденсации множества 260
— накопления 81
— порядка m 262
Трансфгнитная индукция 34
Ультрафильтр 14
Универсальная функция 376, 471
Уолменовская структура ПО
Упорядочение 33
Упорядоченное множество 33
Условие Хедрика 63
— Dn3Q4
Факторсемейство 19

Фактор-топология 193
Фильтр 14
— максимальный (ультрафильтр) 14
— собственный 14
Формулы Моргана 10
обобщенные 11,13
Фундаментальная
последовательность 415
Функции высказываний 11
многих переменных 15
класса Fa (Ga) 371
— классов А и СА 522
Характеристическая функция
множества 29, 115
Хаусдорфово пространство 55
ИМЕННОЙ
Адисон (Addison J. W.) 479, 490, 495,
544, 552
Александров П. С. 36, 50, 57, 72, 118,
125, 128, 136, 183, 194, 197, 245,
282, 313, 315, 316, 326, 327, 337,
419, 453, 459, 473, 552, 553
Алексевич (Alexiewicz A.) 549, 551,
553
Алексия (Alexits G.) 446, 553
Альбукерк (Albuquerque J.) 66. 553
Антоновский М. Я. 199, 553, 579
Арене (Arens R.) 56, 553
Ароншайн (Aronszajn N.) 439, 553
Архангельский А В. 122, 245, 553
Ауль (Aull С. Е.) 57, 553
Ауэрбах (Auerbach) 431
Банах (Banach S.) 87, 119, 120, 250,
397, 403, 431, 443, 473, 501, 542,
548—554
Безикович С. 508, 535, 554
Бендиксон (Bendixson L.) 261, 554
Bep>K(BergeC.I83, 554
Бернштейн (Bernstein F.) 262, 524,
525, 554
Бет (Beth W. E.) 545, 554
Бинг (Bing R. H.) 139, 245, 554
Центрированное семейство множеств
14
Частично упорядоченное множество
33
Число а(А) 422
— p(A,BJ\S
Шар в метрическом пространстве 213
Эквивалентные множества 28
Экспоненциальная топология 168
Элемент полунепрерывности
разбиения 194
Элементарные функции
высказываний 517
Эффективность 261, 380, 405, 427,
525
Ядро пространства 84
УКАЗАТЕЛЬ
Биркгоф (Birkhoff G.) 80, 212, 554
Блейк (Blake A.) 545. 554
Бокштейн М. Ф. 264, 554
Болтянский В. Г. 311, 553
Борель (Borel E.) 53, 203, 262, 537,
554
Борсук (BorsukK.) 112, 252, 431, 551,
555
Брасслер (Brassier D. W.) 489, 555
Браун М. (Brown M.) 186
Браун С. (Braun S.) 428, 439, 508, 555
Брауэр (Brouwer L. E. J.) 282, 320,
321,453,546,555
Брюнс (Brans G.) 212, 555
Булиган (Bouligand G.) 183, 555
Бурбаки (Bourbaki N.) 14, 30, 56, 57,
68, 193, 240, 549, 5i5
Бэр (Baire R.) 86, 93, 97, 183, 220,
266, 379, 401, 403, 409, 425, 430,
555
Важевский (Wazewski T.) 348, 555
Вайдинатхасвами (Vaidyanathaswamy
R.) 555
Вайнштейн И. А. 434, 443, 555
Валле-Пуссен (Vallee-Poussin Ch. de
la) 397, 405, 555

Варашкевич (Waraszkiewicz Z.) 434,
439,556
ВеденисовН. 140, 313, 556
Вейерппрасс (Weierstrass К. F.) 228
Вейль (Well A.) 240, 556
Витали (Vital! G.) 96, 556
Вопенка (VopenkaP.) 313, 556
Вулих Б. 3. 549, 559
Вьеторис (Vietoris L.) 57, 168, 556,
574
Гагаев (Gagaeff В.) 384, 396, 556
Галчинская-Карлович (Galczynska-
Karlowicz) 71
Рейтинг (Heyting A.) 546, 556
Гельфанд И. М. 550, 556
Генба(ОеЬаК.M51,556
Гёдель (Gb'del К.) 490, 556
Гжегорчик (Grzegorczyk A.) 544, 548,
556
Гилман (Gillman L.) 164, 556
Гильберт (Hilbert D.) 67, 214, 557
Гранас (Granas A.) 551, 556, 557
Гримайзен (Grimeiseri G.) 212, 557
де Гроот (de Groot J.) 248, 557
Гросс (Gross W.) 271, 557
Гуревич (Hurewicz W.) 131, 184, 282,
297, 299, 300, 302, 308, 309, 311,
313,323—325,327,431,457,
490, 557, 558
Данжуа (Denjoy A.) 85, 86, 557
Данциг (van Dantzig) 119, 558
Даукер (Dowker С. Н.) 134, 313, 558
Лей (Day M.M.) 68, 558
Джерисон (Jerison M.) 164, 556
Диксмье (Dixmier J.) 76, 558
Дугундьи (Dugundji J.) 56, 134, 553,
558
Дьедонне (Diedonne J.) 152, 558
Дэвис (Davis Л1.) 544, 558
Дюбуа-Реймон (du Bois-Reymond P.)
71,558
Ефимов Б. А. 262, 579
Ефремович В. А. 219, 239, 558
Жордан (Jordan С.) 60, 558
Завадовский (Zawadowski W.) 572
Зальцвассер (Zalcwasser Z.) 268, 527,
558
Заранкевич (Zarankiewicz К.) 348,
366, 558
Зарелуа А. 325, 558
Зарицкий (Zarycki M.) 61, 66, 81, 84,
558
Зейферт (Seifert H.) 559
Зигмунд (Sygmund A.) 433, 550, 559,
5713
оргенфрей (Sorgenfrey R. Н.) 152, 559
Зоретти (Zoretti L.) 343, 559, 569
Исбелл (Isbell J. R.) 239, 559
Исеки (Iseki К.) 44, 559
Ист (Van Eest) 128, 559
Кантор (Cantor G.) 32, 49, 60, 81, 83,
84, 158, 203, 261, 262, 270, 380,
424, 559
Канторович Л. В 464, 479, 486, 522,
549, 559
Картан (Cartan H.) 14
Катетов (KatetovM.) 131, 139, 152,
164,313,559
Качмаж (Kaczmarz) 431
Келдыш Л. В. 379, 443, 560
Келли (Kelley J. L.) 34, 58, 82, 86, 136,
152, 193, 195, 212, 560
Кемписти (Kempisty S.) 397, 560
Керне (Cairns S. S.) 560
Кли (Klee V.) 473, 560
Клинч (Kleene S. C.) 479, 543, 544,
548, 552, 560
Кнастер (Knaster B.) 64, 262, 309, 318,
321, 560
Ковальский (Kowalsky H. J.) 135, 212,
560
Колмогоров А. Н., 57, 486, 549, 560
Кондо (Kondo M.) 502, 560
Коэн (Cohen P. J.) 35, 579
Красносельский М. A., 551, 560
Кунугуи (Kunugui K.) 233, 309, 560
Куратовский (Kuratowski K.) 9, 17,
34, 44, 48, 63, 79, 94, 120, 131,

153,180,181,183,194,229,233,
239, 253—257, 259, 262, 270—
273, 288, 318, 321, 327, 329, 339,
361, 363, 367, 371, 380, 382, 383,
387, 388, 393, 405, 408, 409, 419,
422, 431, 436, 443^47, 458,
461, 462, 471, 473, 476-^80,
483, 486, 490, 506, 510, 513, 518,
521, 524, 526, 535, 542, 548, 554,
560—562, 566, 567, 571, 574,
578
Лаврентьев М. А 439, 441, 442, 464,
562
Лангфорд (Langford С. Н.) 546, 563
Лебег (Lebesque H.) 79, 93, 96, 97,
158, 262, 323, 354, 373, 377, 382,
384, 387, 402, 483, 493, 500, 562
Левин (Levine N.) 76, 562
Левшенко Б. 325, 562
Лере(Ьегау 1M51,562
Лефшец (Lefschetz S.) 339, 562
Лпвенсон Е. М. 464', 479, 486, 559
Линделёф (Lindelof E.) 60, 260, 261,
562
Лииденбаум (Lindenbaum A.) 213,
434, 436, 563
Локуциевский О. 313, 563
Лузин Н. Н. 37, 41, 92, 99, 265, 356,
373, 379, 458, 464, 471, 476, 477,
479, 483, 493, 495, 500, 502, 504,
508—513, 528, 532 534, 539,
563, 573
ЛунцА. 313, 563
Льюис (Lewis С. I.) 546, 563
Любек (Lubben R. G.) 348, 563
Люстерник Л. А. 551, 563
Ляпунов А. А. 486, 521, 563
Мазур (Mazur S.) 250, 549, 550, 564
Мазуркевич (Mazurkiewicz S.) 64,
318, 321, 431, 434, 441, 453, 455,
476 490, 491, 530, 532, 560, 564
Майкл (Michael E.) 152, 168, 169, 176,
180,183,245,367,564
Макки (Mackey G. W.) 462, 564
МакКинси (McKinsey J. С. С.) 44, 48
180,546 547 564
МакШейн (McShane E. J.) 212, 564
Мало (МаЫо Р.) 119, 524, 565
Мамузич (Mamuzic Z. Р.) 565
Мартин (Martin A. V.) 245, 565
Марчевский (Marczewski E.) 164, 264,
565
Матоба (Matoba К.) 76, 577
Менгер (Menger К.) 138, 282, 285,
297,299,303,307—311,565
Минусинский (Mikusiriski J.) 549, 565
Монтгомери (Montgomery D.) 121,
127, 367, 388, 393, 565
Монтейро (Monteiro A.) 44, 50, 565
Морнта (MontaK.) 131, 152, 245, 313,
565
Мостовский (Moslowski A.) 544, 545,
566
Мрувка (Mrowka S.) 164, 212, 239,
241, 242, 566, 578
Мур P. (Moore R. L.) 194, 415. 566
Мур Э. (Moore E. Н.) 44, 183, 212, 566
Нагами (Nagami К.) 367, 566
Нагата (Nagata J.) 245. 566
Нейбауэр (Neubaucr M.) 523, 565
фон Нейман (von Neumann J.) 486,
549, 566
НсыыцкийВ. В. 128
Нёбеликг (Nobeling G.) 44, 58, 180,
566
Никодим (Nikodym О.) 99, 408, 476,
479, 566, 567
Нитка (NitkaW.1253, 567
Новак (Novak J.) 127,567
Новиков П. С. 490, 493, 495, 520, 521,
563, 567
Ньюман (Newman M. Н. А.) 221, 567
Окстоби (Oxtoby J. С.) 86, 151, 567
Орей (Orey S.) 545, 567
Орлич (Orlicz) 431, 549, 564, 567
Otto (Otto E.) 301, 303, 567
Пасынков Б. А. 313, 567
Паттерсон (Patterson E. М.) 567

Пеано (Реапо G.) 158, 567
Пенлеве (Painleve P.) 343, 567
Пинскер А. Г. 549, 559
Позамент (Posament Т.) 361, 363, 567
Помпейю (Pompeju D.) 223, 568
Пондичери (Pondiczery E.) 164, 568
Пономарев В. И. 183, 568
Понтряпш Л. С. 121, 127, 311, 568
Попруженко (Poprougenko G.) 303,
535, 537, 568
Проскуряков Ю. М. 313, 568
Пуанкаре (Poincare H.) 116, 282, 326,
568
Расёва (Rasiowa H.) 44, 545, 547, 568
Ренни (Rennie В. С.) 180, 568
Рибейро (Ribeiro H.) 68, 568
Ригер (Rieger L.) 545, 568
Рисе (Riesz F.) 44, 569
Роберте (Roberts J. Н.) 415, 569
Роджерс (Rogers С. А.) 489, 569
Розенталь (Rosenthal A.) 569, 576
Рои (Roy Р.) 313, 569
Ротбергер (Rothberger F.) 531, 532,
536, 569
Рунге (Runge) 337, 569
Рыль-Нардзевский; (Ryil-Nardzewski
С.) 480, 545, 569
Сакс (Saks S.) 204, 259, 431, 506, 507,
534, 55i, 569
Сампеи (Sampei I.) 493, 502, 513, 569
Саръшсаков Т. А. 553
Себаштиан-и-Сильва (Sebastiao-e-
Silva) 56, 569
Селивановский (Selivanowski E.) 264,
569
Ссмаденн (Semadeni Z.) 84, 569
Серпинский (Sierpiriski W.) 37, 39,
50, 63, 72, 86, 92, 94, 99, 239,
248, 250, 262, 264, 265, 270, 271,
274, 290 292, 296, 352, 354, 356,
358, 364, 373, 376, 380, 382, 390,
393, 397, 413, 415, 428, 433, 434,
436, 438, 439, 441, 443, 444, 446,
458, 464, 466, 477, 490, 491, 493,
495, 501, 506, 510, 513, 519, 524,
527, 528, 530, 531, 532, 535, 537,
539, 542, 563, 564, 569—572
Сикорский (Sikorski R.) 44, 124, 256,
545, 547, 568, 572
Симмонс (Simmons G. F.) 572
Сион (Sion M.) 489, 555, 572
Сирота (Shirota Т.) 164, 572
Скляренко Е. 325, 572
Скотт (Scott D.) 480, 572
Словиковский (Slowikowski W.) 572
Смирнов Ю. М. 239, 241, 2-15. 313,
325, 572
Смит (Smith H. L.) 183, 212, 566
Соболев С. Л. 549, 572
Спенсер (Spencer G. L.) 576
Стинрод (SteenrodN.) 36, 573
Стоилов (Stoilow S.) 122, 573
Стоун A. (Stone A. H.) 61, 245, 458,
501, 573
Стоун М. (Stone M. Н.) 80, 545, 546,
573
Стразер (Strother W. L.) 183, 573
Судзуки (Suzuki J.) 502, 573
Суслин М. 37, 464, 490, 497, 500, 573
Тайманов А. Д. 443, 573
Такки (Tukey V. W.) 212, 573
Тан Цяо-чен (Tang Tsao-Chen) 547,
573
Тарский (Tarski A.) 17. 44. 48, 80, 84.
160, 371, 473, 546. 547, 564, 573,
574
Тптце (Tietze H.) 57, 128, 134, 136,
574
Тихонов А. Н. 126. 129, 154, 183, 551,
574
Трелъфадль (Threlfall W.) 559
TpoH(ThronW. J.) 57. 553
Тугуе (Tugue T.) 486, 574
Тулмин (Tonlniin С. Н.) 325, 574
Тумаркин Л. А 285, 297, 299, 300,
307,308,441,574
Уайберн (Whyburn G. Т.) 122, 125,
194, 195, 309, 574

Уилсон (Wilson W. A.) 213, 574
Улам (Ulam S) 86, 91, 92, 153, 255—
257, 542, 567, 574
Уоллес (Wallace A. D.) 72, 122, 124,
574
Уолмен (Wallman H.) 180. 282, 311,
557,575
УрысонП. С. 72, 126, 132, 134, 136,
139, 140, 197, 199, 245, 249, 250,
282, 285, 295, 207, 300, 303, 308,
3-18,453,476,553,575
Успенский В. А. 544, 548, 576
Фересс (Veress P.) 334, 575
Флаксмайер (Flachsmeyer J.) 212, 575
Фокс (Fox R. Н.) 209, 575
Франц (Franz W.) 575
Фрейденталь (Freudenthal H.) 128,
559
Фреше (Frechet M.) 44, 63, 67, 72, 85,
119, 197, 198. 213. 222, 228, 245,
415,575
Фринк (Frink О.) 168, 176, 180, 575
Фролик (FrolikZ.) 212, 489, 575
Халмош (Halmos P. R.) 80, 575
Хан (Hahn H.) 93. 1S3, 206. 220, 229,
396, 417, 509, 575, 576
Ханаи (Hanai S.) 245. 565. 576
Ханнер (Manner О.) 134, 576
Хартман (Hartman S.) 480, 576
Хаусдорф (Hanscdorff F.) 37, 53, 59,
67,101,106,108,213,218,220,
223, 224, 253, 263, 268, 342, 343,
345, 348, 353, 393, 394, 402, 405,
415, 419, 420, 424, 428, 443, 445,
454, 457, 459, 464, 486, 495, 522,
527, 576
Хедрик (Hedrick E. R.) 63, 576
Хелмберг (Helmberg G.) 212, 576
Хеммер (Hammer P. С) 44, 48, 49, 61,
576
Хилгерс (Hilgers A.) 311, 576
Хилтон (Hilton P. J.) 28, 576
Хокинг (Hocking- J. D.) 576
Холл (Hall D. W.) 576
Хопф (Hopf H.) 57, 125, 128 315, 316,
337,553
Хыопт (Hewitt E.) 127, 164. 576
Циппин (Zinpin L.) 121, 127 565 577
Чассар (Csaszar A.) 240, 577
Чепмен (Chapman T. A.) 48, 76 577
Чех (Chech E.) 47. 130, 139. 140, 313,
577
Читтснден (Chittenden) 245, 577
4ofla(ChodaH.O6, 577
Шаудер (Schauder J.) 501, 551, 562,
577
Шварц (Schwartz L.) 549, 577
Шенфлис (Schonflies A.) 524, 577
Шеффер (Scheeffer L.) 524, 577
Шмидт (Schmidt J.) 212, 555, 577
Шнейдер В. Е. 489, 577
Шнирельман Л. Г. 551, 563
Шоке (Choquet G.) 168, 212, 489, 578
Шпернер (Sperner E.) 318, 578
Шпильрайн-Марчевский (Szpilrajn-
Marczewski E.) 33, 86, 94, 95, 99,
101, 264, 370, 390, 471, 530, 532,
535, 537, 538, 541, 542, 564, 568,
578
Шрёаср (Schroder E.) 17, 578
Штейнгауз (Steinhaus H.) 431, 550,
554, 578
Эйленберг (Eilsnberg S.) 36, 301, 567,
573
Энгелькинг (Engelkinpr R.) 164. 190,
345, 379, 578
Эрдёш (Erdos P.) 311, 578
Юнг (Young W. Н.) 52, 60, 82, 260,
267, 353, 455, 576, 578
Янишевскйй (Janiszcwski S.) 73, 578
Янковский (Jankowski A.) 551, 556

ПРЕДИСЛОВИЕ
К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Двухтомная книга выдающегося польского математика К. Кура-
Куратовского „Топология" занимает в математической литературе особое
положение. Это — исключительный по богатству материала трактат
по теоретико-множественной топологии, включающий в себя и деск-
дескриптивную теорию множеств, написанный одним из крупнейших
мировых специалистов в этой области, написанный с исключительной
тщательностью, точностью и безукоризненной обработкой всех дета-
деталей, словом, со всеми теми особенностями изложения, которые так
характерны для работ, вышедших из польской теоретико-множе-
теоретико-множественной школы, особенностей, которые делают книгу, вышедшую
из этой школы, я бы сказал, верным другом ее читателя.
Замечательная книга Куратовского и является таким именно дру-
другом, на которого можно положиться, который никогда не подведет
и всегда поможет и начинающему математику, пожелающему, не
испугавшись ее объема, перейти от начального знакомства с пред-
предметом к систематическому доскональному изучению всех его раз-
разветвлений, и математику, уже давно работающему в данной области,
которому необходима какая-нибудь справка или который нуждается
в самом отшлифованном доказательстве какой-нибудь даже довольно
специальной теоремы, — каждый найдет в этой книге то, что он
в ней ищет.
Топология Куратовского — это книга, имеющая большую исто-
историю. Первое издание ее первого тома вышло более тридцати лет
тому назад. Первый том состоит из трех больших частей (автор
скромно называет их главами). Первая глава содержит изложение
теории топологических пространств на основе давно уже ставшей
классической аксиоматики операции замыкания, предложенной Кура-
товским еще в 1922 году. Во второй главе автор строит топологию
метрических пространств преимущественно со второй аксиомой
счетности. Третья глава первого тома посвящена полным метрическим
пространствам; она, в частности, содержит чрезвычайно полное изло-
изложение дескриптивной теории множеств (начатое уже в конце второй
главы). Рукопись второго тома была закончена (в первом издании)
непосредственно перед началом войны — в 1939 году и, к счастью,
уцелела от ужасов войны. Невозможно без волнения читать отно-
относящиеся сюда строки предисловия автора ко второму тому.
Первая глава второго тома посвящена компактным метрическим
пространствам. Вторая и третья главы второго тома (связные и ло-
локально связные пространства) посвящены вопросам, так или иначе
группирующимся вокруг понятия связности. Эти вопросы составляют
центральную часть той топологической дисциплины, которая обычно
не совсем правильно называется „топологией континуумов". Польская
математика может гордиться тонкими и глубокими результатами,

Предисловие к русскому изданию
полученными в этой области польскими учеными, среди которых
результаты автора данной книги занимают одно из самых первых
мест. Изложение всего этого круга вопросов с той полнотой, с ко-
которой оно сделано в „Топологии" Куратовского, совершенно уникально.
Следующие две главы второго тома посвящены гомотопическим
вопросам общей топологии (ретракты, отображения в сферу, стяги-
стягиваемые и уникогерентные пространства, когомотопические группы и др.).
Наконец, последняя глава занимается топологией плоскости.
Заметим, что вопросы теории размерности трактуются как в первом,
так и во втором томе—-во второй главе первого и в первой главе
второго тома.
Двухтомная книга Куратовского пережила несколько изданий.
Настоящее издание является пятым для первого и четвертым для
второго тома. Оно одновременно выходит на русском языке
и на английском. Во всех изданиях общий план и дух книги
остались неизменными, но произошло большое пополнение ее содер-
содержания, приведенного в соответствие с современным развитием той
области математики, которой книга посвящена. В частности, значи-
значительно расширена трактовка вопросов теории топологических про-
пространств. Однако при этом расширении содержания книга Куратовского
сохранила свое лицо: это лицо польской топологической школы.
Традиции этой школы, заложенные еще ее основателями — Яни-
шевским, Мазуркевичем и Серпинским, затем так глубоко и блестяще
продолженные крупнейшими польскими учеными следующих поколе-
поколений— Куратовским, Кнастером, Борсуком и, наконец, современными
молодыми польскими математиками, живы в трактате Куратовского.
Этот трактат, при всей своей полноте, не является энцикло-
энциклопедией, регистрирующей без пропуска все, что сделано в теоре-
теоретико-множественной топологии, — напротив, он отражает вкус автора
и вкус школы, из которой он вышел и которую он так блестяще
представляет. Разные направления теоретико-множественной тополо-
топологии отражены с неодинаковой полнотой, но это разнообразие всегда
является внутренне мотивированным и творчески оправданным. В част-
частности, ни в одной книге по топологии, кроме этой, мы не найдем
дескриптивной теории множеств, рассматриваемой как часть топо-
топологии, и это составляет одну из очень ценных особенностей заме-
замечательного труда, предлагаемого ныне вниманию советского читателя.
Можно не сомневаться в том, что эта книга будет иметь такой же
огромный успех, как тот, который она имеет у себя на родине
и среди математиков других стран. Несомненно, для очень многих
советских ученых, работающих в самых различных областях матема-
математики, „Топология" Куратовского в ее русском переводе станет на-
настольной книгой.
Болшево-Комаровка, п- Александров
4 октября 1965 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ
К ПЕРВОМУ ТОМУ
Этот том состоит из трех глав.
Первая глава посвящена в основном общим топологическим про-
пространствам. Однако в ней рассматриваются также более специальные
топологические пространства, такие, как J^-пространства, регулярные
пространства, вполне регулярные и нормальные пространства. Кроме
того, в этой главе рассмотрен ряд фундаментальных понятий, таких,
как база, подбаза, покрытие, непрерывное отображение, и ряд
операций, таких, как прямое произведение ^ХЗЛ операции 2х и j?*/p
(фактортопология).
В этой и следующих главах мы существенно используем алгебру
с замыканием. А именно мы старались выразить — там, где это
было возможно и удобно, — наши определения, теоремы и дока-
доказательства в терминах алгебры Буля с операцией замыкания. Таким
образом, в частности, выражены аксиомы топологического про-
пространства.
Вторая глава посвящена изучению метрических пространств. Она
начинается с изучения более общих пространств, в основе определения
которых лежит понятие предела. В разделах Б и В пространство
предполагается сепарабельным метрическим. Здесь же изучаются
проблемы мощности и размерности. Часть раздела, посвященного
теории размерности, имеет комбинаторный характер (с такими поня-
понятиями, как симплекс, комплекс, полиэдр и т. д.). Однако мы не
используем алгебраических методов (группы гомологии и когомо-
логий и т. д.), которые потребовали бы специальных рассмотрений,
выходящих за рамки этой книги.
Последний параграф второй главы посвящен теории борелевских
множеств, функциям Бэра и связанным с ними вопросам. Их изу-
изучение мотивируется необходимостью построения общей теории ото-
отображений, которые не предполагаются непрерывными. Поэтому этот
раздел весьма отличается от предыдущих, которые носят более
геометрический характер. Читатель, не интересующийся общей тео-
теорией функций, может опустить этот раздел.
В главе 3 изучаются полные пространства. Значительная часть
этой главы посвящена проблемам общей теории функций, которые
можно сформулировать в топологических терминах. Здесь мы

Предисловие к первому тому
рассматриваем аналитические и проективные множества, а также свя-
связанные с ними вопросы. Стоит заметить, что недавно эти понятия
получили интересные приложения в математической логике.
В конце тома имеется добавление, состоящее из двух частей.
Первая часть, посвященная приложениям топологии в математической
логике, любезно написана профессором Мостовским. Вторая часть,
написанная профессором Сикорским, посвящена приложениям топо-
топологии к функциональному анализу.
Второй том этой книги будет посвящен (как и во французском
издании) понятиям компактности, связности, локальной связности,
а также некоторым проблемам ретракции, теории гомотопий и кого-
мотопий, проблемам «-мерных евклидовых пространств, особенно
в применении к комплексной числовой плоскости.
Читатель, знакомый с французским изданием этой книги, безусловно
заметит, что значительная часть материала, касающегося метрических
пространств, обобщена на случай топологических пространств и по-
помещена в первой главе (поэтому первая глава выросла до 153 стр.).
Автор понимает, что этот процесс обобщения теорем о метри-
метрических пространствах на случай топологических пространств не за-
закончен. Однако, чтобы полностью завершить такое обобщение, при-
пришлось бы отложить опубликование этой монографии на неопределенное
время, а это неудобно как для автора, так и для издателей.
Заметим, что значительная часть материала главы 1 не содер-
содержится во французском издании этой книги. Многие теоремы § 17
и 18 были получены совсем недавно (некоторые из них — самим
автором).
В конце книги приводится обширный список литературы, содер-
содержащий наиболее известные монографии и учебники по топологии.
На некоторые из них автор часто ссылается в тексте.
Считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодарность
издательству „Мир" и профессору М. Я. Антоновскому за помощь
в подготовке нового издания этого тома на русском языке, а также
доктору Энгелькингу и пани Карлович за многочисленные ценные
замечания.
Выражаю свою признательность многим коллегам, которые помо-
помогли мне в подготовке прежних французских изданий этой книги,
впервые изданной в 1933 году. Особенно я обязан Чеху, Гуревичу,
Кнастеру, Отто, Позаменту, Марчевскому, Зигмунду, Сикорскому,
Расёвой, Чассару, Катетову, Мазуру и Мрувке.
К. Курапювский
Варшава,
декабрь, 1963 г.

ВВЕДЕНИЕ
Здесь мы напомним некоторые обозначения и элементарные тео-
теоремы общей теории множеств и алгебры логики (см. Куратовский [45]).
Понятия теории множеств постоянно используются в этой книге
(за исключением (с^)-операции, которая является более специальной),
а обозначения алгебры логики применяются там, где это ведет к упро-
упрощению рассуждений (например, в § 31 и в § 37—40).
§ 1. Операции логики и теории множеств
I. Алгебра логики. Пусть а и р — два высказывания (предло-
(предложения). Обозначим через ~~|а, или а', отрицание а (т. е. „не а"),
через а V Р— дизъюнкцию („а или Р"), через аДР — конъюнкцию
(„а и р"). Отношение агфр означает, что а влечет за собой C,
а отношение а^|5 означает, что а эквивалентно р.
Справедливы следующие теоремы:
| |а^а (закон двойного отрицания);
(а =ф р) = [( | р) =ф ( | а)] (закон ложного положения);
(а =ф р) = [П а) V Р1. [« Л (Р V Y)I — К<* А Р) V (а Л Y)l-
Каждое высказывание имеет или значение 1 („истинное"), или
значение 0 („ложное"). Мы имеем
а Л ( I a) s= 0 (закон противоречия);
a V ( I a) = 1 (закон исключенного третьего).
II. Алгебра множеств. Обозначим через 1 некоторое заданное
множество (рассматриваемое далее как пространство). Элементы этого
множества обозначаются строчными буквами а, Ь, х, у, ..., под-
подмножества— Заглавными буквами А, В, X семейства

10 Введение
множеств—жирным шрифтом: А, В, X, .... Запись х ? Л означает,
что х есть элемент множества А (принадлежит множеству Л); A U В
обозначает объединение множеств А и В, т. е. множество элементов,
принадлежащих либо множеству А, либо множеству В; А (] В— пере-
пересечение множеств А к В, т. е. множество элементов, принадлежащих
одновременно и множеству Л, и множеству В; А — В есть разность
множеств А и В, т. е. множество элементов, принадлежащих мно-
множеству Л, но не принадлежащих множеству В. Пустое множество
обозначается через 0. Запись AczB означает, что множество Л есть
подмножество множества В (содержится в множестве В). Дополне-
Дополнением к множеству А называется множество — А = 1 — Л (обозна-
(обозначаемое также через Ас). Отношение А : В, по определению, равно
Л U (—В). Наконец, симметричная разность определяется равен-
равенством Л -^ В = (Л — В) U (В — Л)!).
Имеют место следующие тождества (устанавливающие двойствен-
двойственность между алгеброй логики и алгеброй множеств):
х ? (— Л) = -\ (х ? Л); х ? (Л U В) = (х ? А) V (* 6 б);
Отметим следующие формулы:
-(А[}В) = (—А)П(—В;
_{АПВ) = (-АШ-В) )-Ф°Р«Улы М°Ргана'
— (А:В) = В— А, Л:1=Л, Л: 0=1,
(Л -- В) U В = Л U В, (А: В)[\В=А[\В,
(Ас:В) = [(Л U 5) = В] = [(Л П В) — Л] = (Л — В = 0),
(ЛсС)Л(Я<=Д)=ф[(Л U?)cz(CU?>)] Л [(Л n5)cz(Cf|?»)
(ЛсС)Л(Я<=С)^=(Л U-
Множества А и В называются непересекающимися, если Л (}В~0.
Множество, состоящее из одного элемента а, обозначается (а).
') В советской математической литературе употребляются следующие
обозначения: вместо А — В пишут А\В, вместо —А пишут СА и вместо
А —В пишут ЛДб. — Прим. перев.

§ 1. Операции логики и теории множеств
11
III. Функции высказываний. Пусть у(х) —функция высказы-
высказываний, переменная которой х изменяется на пространстве 1 (непустом).
Выражение ф (х) обозначает некоторое условие: если х удовлетво-
удовлетворяет этому условию, то ф (х) становится истинным высказыванием;
в противном случае оно становится ложным высказыванием. Так,
например, х > 0 есть функция высказывания (в пространстве дей-
действительных чисел).
Запись V<PW означает: существует элемент х, такой, что ц>{х)
X
(т. е. элемент х, удовлетворяющий рассматриваемому условию).
Запись Дф(Х) означает: для каждого элемента х мы имеем ф(х)
X
(т. е. каждый элемент х удовлетворяет рассматриваемому условию)').
Например: Д (*+1 > л:), \J{x2=\).
X X
Легко доказать следующие формулы:
—1
[V Ф (-«)] = Л Г~1 Ф
[Л Ф (*)]
= V П ф(*I
(°бобщенные формулы Моргана),
[Л Ф (*)] Л [Л t (*)] = Л [ф
V [ф(х) Л ФОО] =Ф [VФ
ГЛ ф (х) V Л 41 (Jf)l =Ф Л
Л
Л
[Vt W].
V
Кванторы V и Л являются обобщениями связок V и Д. А именно,
если пространство 1 конечно, скажем \=(а0, ах ап), то
Уф(«1) V ••• V9W.
Лф(й1)Л ¦• • Л ф(а„).
л-
Очевидно, любое высказывание а можно рассматривать как функцию
высказывания (которая тождественно истинна или тождественно ложна).
Таким образом, мы имеем
Va = a = Aa, V [а Л Ф (х)] ==а Л
XXX
') Вместо символов V и Д употребляются также символы 3* и V^-

12 Введение
IV. Операция Е- Символ Е <р (х) означает множество всех х,
X X
таких, что ф(хI). Например, множество Е (х > 0) есть множество
X
положительных чисел. Множество Е (х2 =х) состоит из двух чи-
X
сел 0 и 1.
Легко доказать следующие формулы:
A)
B)
C)
D)
X XX
V. Бесконечные операции на множествах. Пусть задано мно-
множество Т. Поставим в соответствие каждому t?T множество At
(подмножество пространства 1). Множества jj At и f"| At опреде-
t t
ляются следующим образом:
Очевидно, что если множество Т — конечное, скажем Г —A, 2, ...
. . ., /г), то мы имеем
иЛ = АиЛ2и ... [)Ап, Г\А, = АгПА2П ... Г\Аа.
t t
В случае, когда Г — множество положительных целых чисел, вместо t
можно использовать переменную п и писать
оо со
jj Ап вместо U At и (~| Ап вместо f| At.
п=\ t п=\ t
Существуют две важные счетные операции:
со со со оо
Limin^n=U П An+k и 1лт5ирЛ„:=П U An+k.
П->ао и=0 k = 0 rt->co и=0 А=0
Если Lim inf Л„ = Lim sup Л„, то последовательность Ло, Av .. . назы-
П ->со л->со
вают сходящейся и пишут
Limes Ли = Lim inf Ли = Lim sup An.
') Вместо символа Е ф (х) часто употребляется символ {х:ц>(х)}.
х

§ 1. Операции логики и теории множеств 13
В силу соотношений A), мы получаем двойственные формулы к фор-
формулам п. III, заменяя ц>(х) на Av символ V — на символ JJ и т. д.
X t
Например, обобщенные формулы Моргана приобретают следующий
вид:
B) -уЛ = П(-Л).
C) -ПА = и(-Л/)-
t t
Добавим еще следующие формулы:
D) ^
E)
Наряду с операциями JJ Af и f| At рассмотрим операции
t t
Р (R) на семействах подмножеств данного множества 1. А именно
SC#) есть объединение и Р (/?) — пересечение всех множеств, при-
принадлежащих семейству R, т. е.
[х е Р (/?)] = [Л (А" 6 Л) =» (а: 6 А")].
Итак, если семейство Л конечное: # = (.4j, .... Ли), то
S(/?) = ^jи ...ил„ и р(/?) = л1п ...п^„.
Если семейство Л пустое, то
S(*) = 0 и Р(Л)=1.
Если элементами семейства Л являются множества At, где t?Т, то
S U рЛ гм
VI. Семейство всех подмножеств данного множества. Это семей-
семейство будет обозначаться через Bx)set или просто через 2х там, где
не может возникнуть путаницы (индекс используется для того, чтобы
отличить это семейство от пространства всех замкнутых подмножеств
множества X, которое будет изучено позже). Таким образом,
A) Л^г^Лс:^.
Из V D) следует, что
B) (U Л,) €2* = Л (Л, g 2*).
Согласно VE), имеем
C) 2АпВ =2ЛП2Ви вообще 2пл< = П 2\
где t?T. Очевидно, что SBJf) = A'.

14 Введение
VII. Идеалы. Фильтры. Непустое семейство R подмножеств дан-
данного множества X называется идеалом, если оно наследственное
и аддитивное, т. е. если
A) из A?R а ВаА следует, что
B) из A?R и B?R следует, что (Л (J
Идеал называется собственным, если X (j^R. Собственный идеал
называется максимальным, если он не содержится ни в каком
другом собственном идеале; это эквивалентно тому, что
C) либо Л ?/?, либо (— Л) ?R для каждого множества АаХ.
Можно показать (с помощью аксиомы выбора), что каждый
собственный идеал содержится в некотором максимальном
идеале.
Понятие фильтра двойственно понятию идеала. А именно (непустое)
семейство S подмножеств из X называется фильтром1) (см. Бур-
баки [1], гл. I, § 6, п° 1), если
D) из A ?S и А а В следует, что B?S;
E) из A?S и В?S следует, что (A[\B)?S.
Фильтр называется собственным, если 0(?S. Собственный фильтр
называется максимальным (или ультрафильтром), если он не со-
содержится ни в каком другом собственном фильтре; это эквива-
эквивалентно тому, что
F) либо A?S, либо (—A)?S для каждого множества АсХ.
Очевидно, что семейство S является фильтром тогда и только
тогда, когда семейство R множеств (—А), где А ?5, является
идеалом.
Семейство множеств В называетса центрированным, если
для любого конечного подсемейства Вг.
Двойственное понятие можно ввести для идеалов.
§ 2. Прямое произведение множеств
I. Определение. Прямое произведение множеств X и Y есть
множество всех упорядоченных пар (аг, у), где х?Х и у ? Y. Это
множество обозначается через X X Y- Таким образом, мы имеем
A) \(x,
') Это понятие ввел А. Картан.

§ 2. Прямое произведение множеств 15
Более общо, пусть задана конечная система множеств Xv Х2, ..., Xп.
Их прямое произведение Хх X Х2 X • • • X Xп есть множество всех
последовательностей (хи х2 хп), где xk ? Xk при k — 1, 2, . . ., п.
Если все множества Х1 Хп совпадают, т. е. Хк = Х, то
их прямое произведение обозначим через Хп.
Примеры '). Множество S2 есть квадрат, множество &3 — куб. Мно-
Множество %2 — плоскость, множество t" есть «-мерное евклидово пространство.
Цилиндр можно рассматривать как прямое произведение окружности
(основания) на замкнутый интервал (высоту). Поверхность тора есть прямое
произведение двух окружностей.
II. Свойства прямого произведения. Следующие формулы легко
доказываются с помощью 1A):
(\)(X1UX2)X(V1UY2) =
= (*i X YJ U (Xl X Y2) U (X2 X Yx) U (X2 X K2).
B) (X, fl X2) X (К! П Y2) = (X, X Kx) П (X2 X K2),
C) (Xt-X2)XY = (X, XV) -(X2 X Y),
D) (XlC:X2 и Y1c:Y2) = (Xl X^c^X K2) (если A'^O^Ki),
E) A XB = (AX Y)n(XxB) (где AczX и ficK),
F) —(ЛХ^) = ((—Л)ХПи(^Х(—5)).
G) [(Л1, X Kx) = (X2 X Y2)] =ф [А"! = *2 и ^ = K2],
если все множители непустые.
Отметим следующие свойства бесконечных объединений и пере-
пересечений:
(8) LU,XUfl,= U AsXBt,
5 t S,t
(9) П A, X П fl/ = П A* X fl,-
III. Оси, координаты, проекции. Пусть заданы два пространства X
и К; мы называем их, как в аналитической геометрии, осями про-
произведения X X Y. Каждый элемент z множества X X Y имеет вид
z = {x, у); элементы хну называются координатами элемента z
(абсцисса и ордината); элементы хну также называются проек-
проекциями элемента z на оси. Более общо, проекцией множества
AczXXY на ось X является множество абсцисс элементов мно-
множества Л, т. е. множество
ЕУКх,у)еА].
х у
IV. Функции высказываний многих переменных. Функцию
высказываний ф(х, у) двух переменных х?Х и у?К можно рас-
') Через 9 обозначается отрезок [0,1] действительной прямой %. — Прим.
перев.

16
Введение
сматривать как функцию высказываний одной переменной z=(x, у) ?
?(ХХУ)- Формулы § 1, III остаются верными для функций двух
(или более) переменных, если х заменить на (х, у) (или на (х, у, z)
и т. д.). Кроме того,
х, у х у
Л ф(*. у)==АЛ
х, у х у
ух
ух
= V
х, х*
= Л
V
Л
х*
Vt(**)] =
х у ух
Если х и у пробегают одно и то же пространство X = Y, то
мы имеем
V Л 9(Х'У)
х у
Л
х,у
V Л Ф,У)
У х
V ?(*>*)
AV
Пример. Непрерывность функции в каждой точке х выра-
выражается следующим условием:
AAA
е х 6 Л
где область изменения е и 6 — множество положительных чисел,
а область изменения х и h — множество ef (прямая).
Поменяв местами кванторы А и V> мы получим условие равно-
X 6
мерной непрерывности функции /.
Замечание. Легко видеть, что знак импликации в формуле
ух х у
нельзя заменить знаком эквивалентности.

§ 2. Прямое произведение множеств 17
Однако имеет место следующая формула:
AV<p(*. у)=УЛф1*. fix)],
х у f х
где / есть отображение множества X в множество Y (см. § 3, I).
V. Связь между операторами Е и V-
A) EV<H*> у) = 11Еф(*. у)-
х у ух
Доказательство. Согласно § 1, IV A), мы имеем
teEVvi*. y)=v<pe, у)-
X У У
Положим Лу = Еф0*> У)- Тогда <$((, у)з^Еф(.«, y)^t?Ay.
X X
Согласно § 1, V A), отсюда следует, что
у = ^биЕф(^. у)-
У
Аналогично
B)
Теорема
множества fj
X,
Пусть А —
у
имеем
ЕЛф(*. у) =
х у
1). Множество Е
X
"_ (р(х, у) на ось X
у
Е ty(x, у). Тогда
X, У
у
у х
У
У х
ч>(х, у).
х, у) является проекцией
ср(х, у)=((х, У)ел) и EV<p(*. y) = EV((*. у)€
л- у л- у
Это завершает доказательство (см. III).
VI. Умножение на ось. Отметим следующие формулы:
A)
X, У У
B) Е [ф(*) V Ф(у)] = ГЕ ф(х) х У] U [А- х Е Ф (уI
^у Lx JLyJ
(ср. § 1, IV C)),
3) Д
(ср. 11E)).
Д = [ЕфОО X У] П [А х ЕФ(у)]
') См. Шредер [1], стр. 52, а также Тарский и Куратовский [1], стр. 243.
2 Топология, т. I

18 Введение
Пример 1. Пусть & — множество целых чисел и я — множество рацио-
рациональных чисел. Тогда мы имеем
Й = Е V V [(У ^&) Л (г ? &) Л (хг = у) Л (г ф 0)].
х у г
Положим
А= Е [(
-г, У, г
На основании § 1, IV D) множество А представляет собой пересечение сле-
следующих четырех множеств:
Г множества Е (У ? &) = X X Е (У ? <^) X Z, являющегося объедине-
х, у, z у
нием плоскостей, параллельных множеству X X Z и пересекающих ось К
в целочисленных точках;
2° множества Е (г^&), являющегося объединением плоскостей, парал-
х, у, z
лельных множеству X X У и пересекающих ось Z в целочисленных точках;
3° гиперболического параболоида у = xz\
4° пространства X X У X Z без плоскости z = 0.
Согласно теореме п. V, мы получим множество Ш, проектируя сначала
множество А на плоскость X X У> а затем проектируя полученное в ре-
результате множество на ось X.
Пример 2. Пусть fu /2, ...—последовательность непрерывных
функций действительного переменного х. Множество С точек сходи-
сходимости этой последовательности есть, по определению,
c=EAVA
х k n m
Положим
_ Г . 1 
Ап,т,к=С.\ \fn+m\X) — /и (X) | ^ ~г >
х L K J
тогда
со со со
с— Л IJ П л ь
"- — II U II ли, т, &•
Из этой последней формулы следует, что С — множество типа Fa(,
(ср. § 30, XII).
VII. Отношения. Факторсемейство. Функция высказываний двух
переменных (f(x, у) называется также отношением; она часто запи-
записывается в виде хру.
Если множество X есть область изменения переменной х и мно-
множество Y есть область изменения переменной у, то отношение р можно
отождествить с подмножеством Е Х9У множества X X У-
х, у
Отношение р называется рефлексивным, если хрх для каждого
х?Х; отношение р симметрично, если хру влечет за собой урх;
отношение р транзитивно, если хру и ypz влекут за собой xpz.
Отношение, которое является рефлексивным, симметричным и тран-
8ИТИВНЫМ, называется отношением эквивалентности.

§ 2. Прямое произведение множеств 19
Пусть р — отношение эквивалентности между переменными х и у,
имеющими одну и ту же область изменения X = Y. Легко видеть,
что отношение р приводит к разбиению множества X („индуциро-
(„индуцированному отношением р") на непересекающиеся множества (называемые
классами эквивалентности), такие, что два элемента хх и х2 при-
принадлежат одному и тому же классу тогда и только тогда, когда ххрх2.
Семейство всех классов эквивалентности называется факторсемей-
ством Х/р.
Обратно, каждое разбиение D множества X (т. е. каждое семей-
семейство D непересекающихся множеств, такое, что §(D)=X) приво-
приводит к некоторому отношению эквивалентности р („индуцированному
разбиением D"). А именно
VIII. Конгруэнтность по модулю идеала. Пусть / — некоторый
идеал. Мы скажем, что множество А конгруэнтно В по модулю /
(Л —- В mod /), если (Л -=- В) ? I, т. е. если (А — В) ? I и (В — Л) ? /.
Легко доказать следующие два утверждения (см. Сикорский [7],
стр. 27);
A) отношение A^Bmodf является отношением эквива-
эквивалентности;
B) если Л1~51 и А2~В2, то (Ах U A2)~(B1 U В2),
(Л, П А2) ~ (Si П В2) и (А: — Л2) — (Вг — В2).
Докажем еще два предложения.
C) А —-'В mod/ тогда и только тогда, когда А имеет вид
(а) Л = E — P)[)Q, где Р?1 и Q?I.
Предположим сначала, что условие (а) выполнено. Тогда А — BczQ
и В — А с Р. Отсюда следует, что А — Bmouf.
С другой стороны, пусть (Л — В)?1 и (В — Л)?/. Положим
Р = 5—А и Q= А — В. Тогда выполняется условие (а).
D) Пусть I является о-идеалом (т. е. объединение любого
счетного семейства множеств, принадлежащих /, принадле-
принадлежит I). Тогда
(Р) если An~Bnmodr, то (\J AA~(\J Bn\modf.
Это следует из очевидных формул
U Az - U Я„
п п

20 Введение
§ 3. Отображения. Упорядочения. Кардинальные
и порядковые числа
I. Терминология и обозначения. Пусть /—отображение (функ-
(функция), определенное отношением у = / (х), где переменная х изменяется
на множестве X (область определения отображения /) и у ? Y. Таким
образом,
A) /= Е 1У = /(х)]<=ХХУ.
х. у
и мы говорим, что / есть отображение X в К, и записываем
это так:
B) f:X->Y или X-t->Y.
Множество всех отображений X в У обозначается через (Y)*et,
или просто Yx в тех случаях, когда исключается путаница (индекс
используется для того, чтобы отличать это множество от множества
непрерывных отображений, которое будет рассмотрено позже).
Очевидно, что
Если каждый элемент множества К есть значение отображения /,
то говорят, что / есть отображение множества X на множество Y.
Если для данного отображения / : X —> Y мы ограничим область
изменения переменной х множеством Е с X, то мы получим сужен-
суженную функцию g — f\E. Таким образом,
C) g(x) = f(x) для х? Е и ?¦<=/.
Ввиду последнего включения мы называем отображение / продол-
продолжением отображения g.
Пусть X, Y и Z — три множества и /, g — два отображения,
такие, что f:X->Y и g:Y-+Z. Тогда композиция этих отобра-
отображений h : X —> Z записывается в виде h = g ° f (или сокращенно
h = gf) и определяется формулой
D) h(x)=--g[f(x)] для х?Х.
Композиция отображений ассоциативна, т. е.
E) (/2°/i)°/o = /2°(/i°/o)-
Таким образом, композиция /2/i/0 определяется корректно при усло-
условии, что /„ : Хп—>Хп+1 для я —0, 1, 2.
Отображение / : X -> Y называется взаимно однозначным, если
т. е. если
(*! == Х2) = I/ (ХХ) — / (Х2)].

§ 3. Отображения. Упорядочения 21
Очевидно, что если отображения / : X -*¦? и g :Y -> Z взаимно
однозначны, то и отображение h = g°f взаимно однозначно.
II. Образы и прообразы. Пусть f-.X-^-Y. Назовем образом
множества Ас: X множество
A) f4A)^EVl(x?A)A(y = f(x))]
У х
(если невозможна путаница, мы пишем /(Л) вместо fl(A)).
Обратно, если множество В cz Y, то прообразом множества В
назовем множество
B) Г1 (Я) = Е
Итак (см. § 2, III), /'(А) есть проекция на ось Y множества
Е К* 6 Л) Л (У =/(*))]
х, у
и f~l (В) есть проекция на ось X множества
Е [(/«€?) Л (у = /(*))]= Е Ку € Я) Л (у = /(*))!.
Легко видеть, что
C) Г(А) = Е[АГ\Г1(у)ф0].
у
По определению, имеем
D) f1:2x->27 и f~l:2Y->2x.
В частности, /-1 определено для любого одноэлементного множе-
множества (у), где у (zY.
В дальнейшем мы условимся писать /(у) = /""! ((у)). Тогда
E) /': К -> 2* и [х 6 7\уI = [у = / W].
— 1
Очевидно, что если у?К — /'(X), то /(у) = 0.
Рассмотрим теперь разбиение Df (или сокращенно Z)), индуциро-
индуцированное отображением /; Dj, есть семейство всех множеств f(y), где у
пробегает множество f(X). Тогда
F) * = и/(У) и 7(У)П7(У') = О для уфу'.
у
1
Определим / для D?D формулой
G) (f(D)) = fl(D); следовательно, f:D->Y.

22 Введение
l
Очевидно, что /— взаимно однозначное отображение, и если Y = f(X),
то отображение / является обратным к /:
l-i -11 -1
(8) // = тождественное = // и f:Y->D.
III. Операции над образами и прообразами. Пусть f:X-+Y,
AtcX и В(сК, где ?? Г. Легко установить следующие 12 формул:
A)
(la)
B)
Bа)
C)
D)
E)
F)
Fа)
G) /-1 (^ П 52) = /~! (Вг) П
Gа) l\
(8)
(9)
A0) (/-1(fi) = 0) =
(И) А с Г1/(А).
A2) \
A3)
откуда
A30
и (что эквивалентно)
A3")
следовательно,
A3'")

§ 3. Отображения. Упорядочения 23
Для того чтобы доказать формулу A3), предположим, что
У 6 / 0^) П В. Тогда существует элемент х ? Л, такой, что у=/ (X) ? Z3,
следовательно, x?f~l(B) и у б/М П /"* E)]- Обратно, согласно
формулам B) и A2),
Формулы A4) и A5) относятся к сужениям:
A4) пусть g = f\A. тогда g'1 (В) = ЛП/ (В),
A5) пусть X = \jAt и gt = f[Ap тогда f~l(B) = [jg;1 (В).
Эти формулы могут быть установлены следующим образом:
Далее, имеем
A6)
В самом деле,
~= V к=/(у)]= V [X -/-''((у))];
отсюда следует, что
U/"'((у))-/ ГU (у)]Г\
-/ ГU (у)]=Г\В).
Ьев J
Имеет место формула
A7) /(
Действительно,
[(Л ? Df) А (Л с: /-1 (В) )]= V [(у 6 В) Л (л
у
Заметим, что если / — взаимно однозначное отображение, то вклю-
включения B), Bа) и C) превращаются в равенства. А именно в этом
случае мы имеем
B0
C0

24 Введение
Кроме того, если /—взаимно однозначное отображение, то
A8) (x?A)=
Легко могут быть установлены следующие правила алгебры
функций:
A8') (f = g)=$(f1 = g1).
т. е. если f(x) = g(x) для каждого х?Х, то f(A) = g(A) для
каждого А с X.
Обозначим через id тождественное отображение (для соответ-
соответствующей области изменения переменной); тогда (см. A1) и п. V)
id с Г1/1.
О9) /11 N
(/ / = idj = (/—взаимно однозначное отображение).
Согласно формуле A2), мы имеем
B0) /'/-' с id,
B1) (/V~! = id) = (/ есть отображение на).
Рассмотрим теперь составное отображение / = (/„, /:), где
/0 : X —>¦ Ко и /1:Ar->Ki; отображение / определяется условием:
f(x) = (fo(x), ДОК)), следовательно, /:АР-*К0ХК1.
Имеют место следующие формулы:
B2) /(Л)с/0(Л)Х/1(Л), где А с А",
где 50 cz Ко и В,сКг
Действительно,
=
6 Z (Во X Вх)] = [/ (х) ? (Во X В,)] =
=[/0W6s0] а [А
Рассмотрим, наконец, отображение-произведение g =foX. fi>
где f0; X0->Y0 и /1:ЛГ1->К1; отображение §• определяется сле-
следующим образом:
g(x0, j?i) = (/o(jco). /i(-^i)).
таким образом,
1'

§ 3. Отображения. Упорядочения 25
Легко видеть, что
B4) g{A0XA1) = f0(AdXfi(A1), где А, с X ,\
B5) g-\BoXBl) = f^(Bo)Xf;1(Bl), где B^Y..
IV. Коммутативные диаграммы. Пусть f:X->Y, g: Y -> Z
и h:X—>Z. Если h — g°f, то говорят, что (треугольная)
X — -*. V
\ L
Очевидно, что
A) h-' = frlog-\ т.е. А(С) = /Г^
Здесь g~1:2z->2y и /~':2Г—>2Х. Более общо, (прямоугольная)
диаграмма
X М. Y
называется коммутативной, если
B) gof = koh, т. е.
Треугольная диаграмма, очевидно, есть частный случай прямоуголь-
прямоугольной, а именно когда T = Z и отображение А тождественно.
Из соотношения A) следует, что
C) rlg-l = h^k-\
Теорема 1. Формула B) эквивалентна формуле
D) /Л cz g~lk
и формуле
E) Л/ с k~lg.
Доказательство. B)=фD), Действительно (см. 1E),
111A9), B0)),
fh~l a g'lgfh~l = g-'khh'1 с я*.
. В самом деле,
gf с g-/A~'A с gg~xkh с АЛ,

26 Введение
следовательно. gf(x)czkh(x), и поэтому gf(x) = kh(x). Так как
формулы D) и E) симметричны (относительно диагонали XZ), то
доказательство эквивалентности B)^E) аналогично.
Определение. Диаграмма называется бикоммутативной1),
если
F) fh-'=g~xk
или (симметрично) если
G) hf-l = k-lg.
Другими словами (в соответствии с теоремой 1), диаграмма
бикоммутативна, если она коммутативна и удовлетворяет
включению, об ратному включению D) (или E)), т. е.
(8) g~lk czfh~ или, симметрично, k~lg с A/.
Теорема 2. Коммутативная диаграмма является биком-
бикоммутативной тогда и только тогда, когда выполняется сле-
следующая импликация:
(9) если g(y) = k(t), то существует элемент х,
такой, что у = /(х) и t = h(x).
Доказательство. Достаточно показать, что (8) = (9).
-1
(8)г=>(9). Предположим, что ?(у) = &@- Тогда y?gk(t), и
поэтому, согласно формуле (8), y^fh(t). Следовательно, существует
элемент х, такой, что у = /(х) и h{x) = t.
-\
(9):=>(8). Пусть y?gk(t). Тогда g(y) = k(t). Из утверждения (9)
-1 -i
следует, что (x)?h(t) и (у) = f (х) ? /h (/); это завершает дока-
доказательство.
Замечание 1. Коммутативная диаграмма не всегда является
бикоммутативпой. Пример: X — У = Т = (a, b), Z=-(a), f = h —
тождественные отображения и g = k = const.
Замечание 2. Если / — id, то бикоммутативность (треугольной)
диаграммы означает, что
A0) h-1 = g-lk;
следовательно, в случае, когда h есть отображение на, k есть
взаимно однозначное отображение. В самом деле, согласно равен-
равенству (ID), hh~l = hg~lk, но M~' = id и g~x = h~xk~x. Следова-
Следовательно, A — 1jfe = id, а это означает, что k есть взаимно однозначное
отображение (см. III A9)).
') Или точной, см. Хилтон [1], § 6, стр. 32.

§ 3. Отображения. Упорядочения 27
V. Многозначные отображения. Мы называем функцию много-
многозначной, если ее значениями являются множества (подмножества
данного множества). Так, например, отображения fl:2x-+2Y и
f~l: 2 —> 2А, рассмотренные в п. II, являются многозначными.
Пусть Ft\ Y->2X—многозначные отображения, причем t?T;
таким образом, Ft(y)aX.
Мы условимся писать
FQc:*Fl, если Fo(у) с: Рг (у) для любого у ? Y,
(или просто Fo с Flt если исключается путаница в связи с обозна-
обозначением g с: /, использованным в I C));
F=zF0[iFv если F(у) = F0(y)U Fx(y) для любого у ? К;
/7 = /70П/71, если /=" (у) = Fo (у) П Z7! (у) для любого у^К
и т. д.
Таким образом, множество BХ)Г можно рассматривать как
алгебру Буля.
Теорема 1. Пусть АаХ; имеют место следующие фор-
формулы:
B) если F = FO\JFV то F~1BA) = FolBA)r\FT1{2A),
и вообще
Bа)
C) если F = For\Flt то [Fo\2A)u F{1BA)] a F~lBA),
и вообще
(За) и^-'Ис/ПЛГ'И-
Доказательство. Чтобы доказать справедливость соотноше-
соотношения A), предположим, что у ? F[1BA). Тогда Fx(y)?2A, т. е.
F1(y)czA. Так как РоаРг, то отсюда следует, что F0(y)czF1(y)cA,
и поэтому y^Fo1BA).
Равенство Bа) следует из соотношений (см. § 1, VI B))

28 . Введение
Соотношение (За) следует из соотношения A) в силу включения
и § 1, VD).
Теорема 2. Пусть f:X->Y. Положим F = f. Тогда мы
имеем
F-\2X~A)=Y — /(Л)
для любого А а X.
В самом деле, согласно II C), мы имеем
VI. Множества одинаковой мощности. Кардинальные числа.
Два множества X к Y называются множествами одинаковой мощ-
мощности (или эквивалентными в смысле теории множеств), если
существует взаимно однозначное отображение множества X на мно-
множество Y. В этом случае пишут X — Y.
Легко видеть, что отношение X ~ Y является отношением экви-
эквивалентности. Это приводит к введению понятия кардинального числа.
А именно каждому множеству X мы ставим в соответствие объект,
называемый кардинальным числом и обозначаемый X, причем двум
множествам X к Y сопоставляется одно и то же кардинальное число
тогда и только тогда, когда X—Y. Заметим, что класс эквива-
эквивалентности, соответствующий этому отношению, не есть множество
в смысле теории множеств; однако если переменные множества X
и Y являются подмножествами данного множества А — как в боль-
большинстве проблем топологии, то классы эквивалентности — множества
и могут рассматриваться, по определению, как кардинальные числа
(относительно А).
Как обычно, через Яо обозначается кардинальное число множе-
множества целых чисел, а через с — кардинальное число множества дей-
действительных чисел.
Имеют место следующие соотношения, аналогичные хорошо
известным арифметическим правилам:
A) кхиг~Кл:Х УТ при условии, что Х[\Т = 0,
B) (KX2)X~(^)X(ZX),
C) КХХГ~(КХ)Г.
Докажем соотношение A). Положим а(/) = (/| X, /] Т) для
/?К u . Легко видеть, что а есть взаимно однозначное отобра-
отображение левой части соотношения A) на правую.

§ 3. Отображения. Упорядочения 29
Аналогично мы поступаем в случае соотношений B) и C).
Докажем соотношение B). Пусть f(x)==(fl(x),f2(x)) для
/ б (К X Z)x. Положим р (/) = (Л, /2).
Докажем соотношение C). Пусть f?YXx . Положим
D) ^(*) =7 (по-
(последовательно, ^6^' и поэтому g(:(Yx)T. Наконец, положим
у (/) = g. Отображение у и есть требуемое отображение.
VH. Характеристические функции. Характеристической
функцией множества А (содержащегося в данном пространстве Л")
мы называем функцию fА, определенную следующим образом:
, , { 1 Для х?А,
1л(Х)~\ 0 для х?Х-А.
Таким образом, определено отображение /:2*->{0, I}*. Легко
видеть, что отображение / взаимно однозначно и является отобра-
отображением на. Итак,
2х— {0, 1}*
(это показывает, что обозначения Vх и 2х согласованы).
Имеют место следующие формулы:
A) fx=U
B) /0 = 0,
C) f.A(x)=l—fA(x).
Ф) JA-B^Ja JAnB'
F) если A = \jAt, то fA(x) — maxfA(x),
t t
G) если Л = |~)Л,, то fA(x) = minfA (x),
t ' t l
(8) (A = UmesAn)~(fA(x)= lim fA (x)).
Понятие характеристической функции множества можно распро-
распространить на последовательность множеств^ или, более общим обра-
образом, на многозначную функцию. А именно пусть F:T~>2X, т. е.
F(t) a X при t?T. Тогда характеристическая функция fp отобра-
отображения F ставит в соответствие каждому х б X функцию fF(x) ? @, 1 }Т,
определенную следующим образом:
(9) М*)={
1, если х? Ft,
О, если х?Х ~Ft.

30 Введение
Таким образом, характеристическая функция последовательности
Fx, F2 Fn, ... принимает в качестве значений последователь-
последовательности чисел х*1', х<2> такие, что х^=1, если x?Fn, и
() — Qt если Х?(_рп^
VIII. Обобщенное прямое произведение. Понятие многозначной
функции приводит к обобщению прямого произведения. А именно
пусть F:T->2X, т. е. F(t)czX. Тогда прямое произведение
П./7 (О
есть, по определению, множество всех функций z ? Хт, таких, что
z(t)?F(t) при tt^T. Таким образом, мы имеем
@)
Заметим, что если F(t) = X для любого t?T, то П^@ = Хг.
t
Приведенное выше определение обобщенного прямого произведе-
произведения совпадает в случае конечного Т с определением, данным в § 2, I.
Мы будем часто писать Xt вместо F (t) и z' вместо z (t). Как и
в конечном случае, мы будем называть множества Xt осями произ-
произведения П Xt; z (t) будем называть t-й координатой точки z (или
t
ее проекцией на множество Xt\ мы также будем писать рг^ z вме-
вместо z').
Пусть множество At cz Xt. Следующие формулы являются обоб-
обобщениями формул § 2, II E), § 2, II F), § 2, II B), VI A) и VI B)
(см. Бурбаки [3]):
A) П At = П П At, f, где Attt — At и At,t' = Xf для t' =f= t;
t t t'
B) — П At = \J r\Bt, <'. где Bt,t = — At и Bt,f = Xt> для t'ф1\
t t v
B') П^П
s t t s
C) К^Х'~П^ ПРИ условии, что Xt[\Xt> = b Для f ф t\
D) '
Следующая формула выражает ассоциативность прямого произве-
произведения:
E) если Т = Т'[}Т", Т'(\Т" = 0.
то П Yt~\ П YfX П Yr].

§ 3. Отображения. Упорядочения 31
Отметим теперь следующее обобщение формулы, данной в заме-
замечании в § 2, IV.
Пусть (ft (лг) — функция высказываний, где /f Г и x?Xt. Тогда
F) Л V<f,(*) = VA<p<(*0.
t x^Xt z t
где переменная z изменяется на множестве |~1 Xt.
t
Рассмотрим теперь составное отображение f : X ->f\Yt, где
t
f — \ft) и ft:X-> Yt. Тогда имеем
G) [У = /(*)] = Л [/ = /*(*)]•
t
Формулы III B2) и III B3) легко могут быть обобщены следую-
следующим образом:
(8) /(Л)сA/((Л), гдеЛсХ;
(9) /"УП^^П/ГЧ^). где Bt с Yt.
в частности, если Bt=Yt для всех t, кроме tQ, то
Наконец, рассмотрим отображение-произведение g = р| f(l где
t
ft:Xt—> Yt. Это означает, что
(И) [у =
Имеют место следующие обобщения формул III B4) и III B5):
A2)
A3) ^
и, в частности,
A4) ff
Доказательство. Применяя соотношения A1), @) и F), мы
получаем
У 6 g (П ^)= у [у = ^ B)] (г ?- П Л/j =
= Л «' 6 /Г1 (S/) = « 6 П /Г

32 Введение
IX. Примеры счетных произведений. Обозначим через 3 мно-
множество всех положительных целых чисел; тогда произведение X
есть множество всех бесконечных последовательностей
A) z = [z\ z2 z",...], где zn?X для «=1,2
В этом случае удобнее писать ЛГ"' вместо X (подобно тому как
мы писали Хп вместо Х{0' 1 ""!); это обозначение будет расши-
рено в п. XII до X а для произвольного а).
Следующие примеры стали классическими.
1. Элементами множества |?8' (так называемого пространства
Фреше) являются бесконечные последовательности действительных
чисел. Если эти действительные числа лежат в интервале 0 \ О^лг-^1,
то мы получаем гильбертов куб ff'°.
2. Множество ?В*а может быть отождествлено с множеством J\T
всех иррациональных чисел между 0 и 1. А именно каждый эле-
элемент z^3P* определяет единственным образом иррациональное число
(разложенное в непрерывную дробь)
СОЛ JJ IL
3. Если множество А состоит из двух элементов, то множество
А*0 может быть отождествлено с канторовым дисконтинуумом Ч&,
определенным следующим образом (здесь мы положим А — {0, 2},
см. Кантор [5], стр. 590): оно состоит из чисел вида
г1 г2 гп
C) Z = ~7j | тр" г ¦•¦"!" зя" г ¦ • ¦ •
где z" равно 0 либо 2, т. е. Ч& есть множество всех чисел интер-
интервала g , которые могут быть записаны в троичной системе счисления
без использования цифры 1.
Другое (геометрическое) определение 8s заключается в следующем.
Разделим интервал [0, 1] на три равных интервала и выбросим
средний открытый интервал. Далее, разделим каждый из оставшихся
г 11 г 2 л
двух интервалов 0, -=¦ и \-^, 1 на три равных интервала и вы-
выбросим (открытые) средние интервалы. Продолжая этот процесс, мы
получим бесконечную последовательность вычеркнутых открытых ин-
интервалов. Выбрасывая из интервала @, 1) их объединение, мы полу-
получим множество с? (которое было получено выше арифметически).
Канторов дисконтинуум применяется во многих рассуждениях.
Здесь мы отметим следующий факт. Пусть Ах, А2, .... Ап, ...—
бесконечная последовательность подмножеств множества X и / —

§ 3. Отображения. Упорядочения 33
характеристическая функция этой последовательности (см. п. VII);
тогда 2/ есть отображение множества X в множество 8* и1)
2, если х?Ап,
О, если х?Х — Ап.
X. Упорядочение. Пусть задано множество X и некоторое отно-
отношение между его элементами, записанное в виде х^.у. Рассмотрим
следующие четыре условия (рефлексивности, антисимметрии, транзи-
транзитивности и связности):
1. Для всех х имеем х^х.
2. Если х-^ у и у<^.х, mo x = у.
3. Если х -< у и у <С z, то х ^ z.
4. Для каждой пары х, у либо х <J у, либо у^.х.
Если выполняются условия 1—3, то мы говорим, что отношение
х^у есть упорядочение множества X (или что множество X упо-
упорядочено); отношение х <^ у называется частичным упорядочением,
если оно удовлетворяет только условиям 1 и 3. Если выполняются
все условия 1—4, то говорят, что множество X линейно упорядо-
упорядочено.
у
Например, множество 2 упорядочено отношением включения
XczY Ф X. Если семейство Rc2x линейно упорядочено отношением
включения, то мы говорим, что оно монотонно.
Частично упорядоченное множество называется направленным,
если для любой пары его элементов х, у существует такой эле-
элемент z, что х ^ z и y^.z. Таково, например, множество 2х (так
как ЛсЛиВ и В cz A[jB).
Упорядоченное множество X называется конфинальным с мно-
множеством Y cz X, если каждому элементу х ? X соответствует эле-
элемент у ? К, такой, что х ^ у.
Например, множество всех действительных чисел конфинально
с множеством положительных целых чисел.
Очевидно, что если множество X содержит последний элемент а,
то оно конфинально с (а).
Мы говорим, что отношение -^, которое упорядочивает множе-
множество X, и отношение ~^*, которое упорядочивает множество Y,
устанавливают подобные упорядочения, если существует взаимно
однозначное отображение / (называемое отображением подобия)
множества X на множество Y, такое, что
Отношение подобия двух упорядоченных множеств является отно-
отношением эквивалентности. Следовательно, упорядоченным множествам
можно поставить в соответствие порядковые типы так, чтобы два
') См. Шпильрайн-Марчевский [6], стр. 302, и [8], стр. 207.

34 Введение
упорядоченных множества имели один и тот же порядковый тип
тогда и только тогда, когда они подобны (этот процесс вполне ана-
аналогичен процессу сопоставления множествам их кардинальных чисел).
XI. Вполне упорядоченные множества. Порядковые числа.
Линейно упорядоченное множество X называется вполне упоря-
упорядоченным, если любое непустое подмножество в X имеет первый эле-
элемент. Порядковые типы вполне упорядоченных множеств называются
порядковыми числами (таковы, в частности, 0, 1 «,...;
со есть порядковое число множества всех неотрицательных целых
чисел в их естественном порядке).
Согласно теореме Цермело, любое множество может быть вполне
упорядочено. Эта теорема является следствием аксиомы выбора, ко-
которая может быть сформулирована следующим образом:
Для каждого множества X существует отображение
/ : 2х—>Х, такое, что f(A)?A, каково бы ни было А Ф 0.
Для дальнейших приложений отметим следующее утверждение
(называемое леммой Цорна):
Пусть X — упорядоченное множество, такое, что для каж-
каждого линейно упорядоченного множества A cz X в множестве X
существует элемент, следующий за всеми элементами множе-
множества А (или равный последнему элементу из А, если он имеется);
тогда в множестве X существует максимальный элемент ').
Порядковые числа находят различные приложения в построениях,
где используется трансфинитная индукция. Эти построения свя-
связаны со следующей теоремой.
Обозначим через Г (а) множество всех | < а. Пусть
X — данное множество, а—некоторое порядковое число и
h : 2х —> X — некоторое отображение. Тогда существует отобра-
отображение f : Г (а-f- 1)-> X, такое, что
/(|) = А[/(Г(|))] для любого ?<а.
Напомним, наконец, следующее понятие. Порядковый тип а вполне
упорядоченного множества Z называется предельным, если он является
наименьшим порядковым числом среди всех порядковых чисел, соот-
соответствующих всем возможным упорядочениям множества Z, превра-
превращающим его во вполне упорядоченное множество. Так, со (обозна-
(обозначаемое также со0) есть предельное порядковое число. Следующее
предельное число есть 2(=c0j)—наименьшее порядковое число, со-
соответствующее несчетным множествам. Вообще можно рассматри-
рассматривать соа для произвольного а.
По определению Ка = Г(соа). Так, tfj есть наименьшее карди-
кардинальное число несчетных множеств; это следующее кардинальное
') По поводу других подобных утверждений см. Келли [1], стр. 33,
а также Куратовский [6], стр. 89.

§ 3. Отображения. Упорядочения 35
число, большее чем $0. Гипотеза, что Mi = c, называется гипотезой
континуума. Она не противоречит обычной системе аксиом теории
множеств *).
XII. Множество Х*а. Мы условимся писать (как мы это делали
в п. IX для а = 0)
A) Х»«=ХГ^\
Хорошо известная формула
B) 2m = Trt = m2 (для бесконечного in),
которую можно выразить в виде
C) Г (соа) X [0, 1 ] ~ Г (соа) ~ Г (©„) X Г (©0).
приводит к соотношению
D) ^X^-^-U*0H.
Более того, если ф : Г(соа) X [0, 1]-*-Г(юа) есть взаимно одно-
однозначное отображение на, то отображение /, определенное условием
X (/) = / ° Ф Для каждого / ? X а,
есть требуемое взаимно однозначное отображение множества X а на
множество <Y*a X A"*a.
Аналогично, обозначая через т|з взаимно однозначное отображение
множества Г (ю„) X Г (а>а) на множество Г (соа), получаем, что / ° ф опре-
деляет взаимно однозначное отображение множества X а на множе-
ство (**«)*".
Доказательство легко получается из формул (см. VI A) и C))
E) /»x/"~/WX10'" и (/»f"~/W"W.
XIII. Обратные спектры и их пределы. Пусть Т — некоторое
направленное множество, и пусть X — многозначная функция,
Х:Т-^*2А; таким образом, Xt cz А для каждого t?T. Пусть / —
некоторая функция, определенная на множестве Т X Т для пар
(t0, tx), где to-^t1, такая, что
A) ft4x:Xu^Xh.
') В связи с аксиомой выбора и гипотезой континуума отметим недав-
недавние замечательные работы П. Дж. Коэна [1*], [2*]. (Номера со звездочкой
относятся к списку литературы, добавленному при корректуре.) — Прим.
перев.
3*

36 Введение
Допустим, далее, что
B) A<i ° ft id ~ fhU ПРИ А) ^ t\ ^ t2 (транзитивность)
и
C) ftt — тождественное отображение.
Тогда тройка (Т, X, /) называется обратным спектром (см.
Стинрод и Эйленберг [1], гл. VIII, и Александров [12]).
Предел обратного спектра (Т, X, /), который обозначается
Хш, или Lim (Т, X, /), или Lim {Xt, АлЬ
*¦— t, t0 < t,
есть подмножество прямого произведения (~| .Л^, составленное из эле-
элементов z = {z1}, таких, что
D) А*.(*'1) = г/'-
Другими словами, для z ^ А'^ мы имеем
(б) A<i ° Рг<, = РЧ-
Условимся далее писать
F) /, = рг, | ЛГ^, т. е. /<(«) = *'.
Следовательно,
G) А'. ° А = А > откуда /<;! = a J о а<1 •
Рассмотрим два обратных спектра (Г, у\Г, /) и (Г, К, §•). Пред-
Предположим, что h ставит в соответствие каждому t отображение
ht:Xt-*Yt,
такое, что диаграмма
X .«-/'•'¦ v
(8) *
коммутативна (при /0 -^ t{), т. е.
(9) Kofutx=guu°hw
Тогда можно определить отображение
так, чтобы была коммутативна (при каждом t?T) следующая диа-
диаграмма:
(Ю)
к
ч
h

§ 3. Отображения. Упорядочения 37
Мы считаем, что y = lioo{z) для z ? Х^, где
A1) А/(«') = /. т. е. h'oo(z)=ht(zt).
Легко видеть, что
A2) если каждое ht — взаимно однозначное отображение на,
то таким же является и отображение h^.
*XIV. D)-операция '). Пусть Mft 4 J — система множеств,
определенная для каждой конечной последовательности kx kn
положительных целых чисел. Множество
со
R= U ГМ*....»Я
называется результатом (^-операции, примененной к системе
И», ...»„}•
В частности, если Л* k == Bk или Лй * =Вп, то мы имеем
I ' ' ' Н 1 1 ' ' П
оо со
/? = (J Bk или /? = П 5„ соответственно.
*=1 л=1
Обозначим через z — [zl, z2, ..., z11, ...] произвольное ирра-
иррациональное число между 0 и 1 (zn — положительное целое число,
см. IX B)); тогда мы имеем
@) я = и fUz> гп,
где dV — множество всех иррациональных чисел между 0 и 1.
Система множеств |Лг1 Л называется регулярной, если
Любая система может быть регу ляризована без изменения резуль-
результата (^-операции. А именно, положим
Отметим следующие формулы, относящиеся к регулярным системам
(см. Лузин и Серпинский [1], стр. 35):
B) UUrMw. г* = иГИг. г*
т z k z k
и, более общо,
C)
т z k ' zft
') См. Суслин и Лузин [1], стр. 88, и Хаусдорф [5], § 19. Существуют
важные свойства, такие, как измеримость или свойство Бэра, инвариантные
по отношению к (^)-операции (см. § 11). (Л)-операция, так же как и Д-мно-
жества, названы Суслиным в честь открывшего их П. С. Александрова.

38 Введение
D) из включения Az\ zk с: Bz\ zu вытекает, что
г к '" z k
E) множество членов в объединении (J (J Аг\ zk счетно.
г k
Теорема 1. Если система регулярна, то
F) л-
иГМ2. ,
z k z k
где при k — 0 мы положили Az\ zu — A.
Доказательство. Пусть р?А. Предположим, что р не при-
принадлежит правой части соотношения F); тогда
это означает, что для каждой системы индексов т{ mk (k^-0),
такой, что р?Ат т, существует индекс т, такой, что
Рб-^т, ... mkm- Так как р?А, то существует индекс ти такой, что
р?А,„^ откз^да подобным же образом вытекает, что р ? Ат т , и
т. д. Следовательно, существует бесконечная последовательность
индексов тг, т2, ..., такая, что
Это доказывает, что р не принадлежит левой части соотношения F).
Теорема 2. Если система регулярна и
G) [(«1 ... г")Ф(у! ... у")]=^(Л,1 ...2«ГМу1 уп = 0),
дао
Доказательство. Включение, получаемое из соотношения G')
заменой = на с, верно всегда (даже для нерегулярных систем;
см. § 2, IV).
Предположим теперь, что элемент р принадлежит правой части
равенства G'). Следовательно, существует один и только один
индекс Wj, такой, что р ? Атг Подобным же образом существует
пара <7j, т2, такая, что p?Aqini2. Так как Л?1т,сгЛ?1, то p?Aqi и,
следовательно, <71=т1. Аналогичным образом мы докажем, что
существует индекс т3, такой, что р^Ат1т2тг, и т. д. Положим
z = (m1, т2, ту ...V Следовательно, Рб^г> zn для каждого п.
Это значит, что элемент р принадлежит левой части равенства G')-

§ 3. Отображения. Упорядочения 39
Теорема З1). Пусть R удовлетворяет условию @). Для
любого а < Q положим
(8)
A"?1
A0) А}\ гп= П Л*1 гя для предельного к.
I < х
Далее, положим
A1) ?а = 1М*.
A2) 7-a = UUK.. г«-^'+1 ,«)•
2 /г
A3) Ка = Еа~Та.
Тогда
(И) U К« = Д= П ^а-
а < й а < й
Доказательство. Пусть х ? Ка; тогда х ? Еа и х(^Та. Из
первого включения следует, в силу A1), что существует целое
число kx, такое, что х ?/!&,. Из второго соотношения, в силу A2),
при z = [ku 1, 1, . . . 1 и л = 1 мы получаем х(?(Л#( — А^х). Отсюда
х € ^*.+ ¦ И3 равенства (9) следует, что существует натуральное
число k,2, такое, что х^Аь^у Поэтому, подставляя в A2) z =
= [k1, k2, 1, 1, ...] и я = 2, мы получим х^(Akfa — Л^]) и,
следовательно, х ? /4^,.
Таким образом мы придем к бесконечной последовательности нату-
натуральных чисел &j, k2, .. ., такой, что х ? Л^ ... & для каждого w, т. е.
A5) *6ГИ"'...г«- где «=[*!• *2. ...]•
С другой стороны, применяя трансфинитную индукцию, легко
показать, что
A6) Аагх zn-=> A\x zn при а<C.
Итак, лг^р)Л°1 2n = f\Azi гп, откуда х ? R. Поэтому
A7) U
') См. Серпинский [26], стр. 362; в этой работе можно найти также
дальнейшие ссылки.

40 Введение
Чтобы получить соотношение A4), мы покажем, что
A8) R с П Еа
а < Q
И
A9) П Та = 0.
Для каждого
B0)
а
и
т
мы
п
а <
имеем
и
п СИ А 1 т .
^ 2 ... 2
Это включение можно легко доказать при помощи трансфинитной
индукции, используя соотношения (8), A0) и формулу
которая показывает, что если включение B0) верно для а (и для
каждого т), то оно верно для а-(- 1.
Подставляя т = 1 в B0), мы получаем
B1) ПЛг' znCzA^czUA^^Ea>
п " k
откуда следует включение A8).
Для доказательства соотношения A9) предположим, что х?Та
для каждого а < Q. Следовательно, каждому а соответствует си-
система индексов kx, ..., kn, такая, что
B2) x?{Al...kn-A%+l.kn).
Отсюда непосредственно следует, что существуют два различных а
и C, которым соответствует одна и та же система индексов. Итак,
кроме соотношения B2), мы имеем
B3) *еК-*„-<••¦ О-
Пусть а < р. Из соотношений B3) и A6) следует, что х ? А^+1.. и ,
а это противоречит соотношению B2).
'Итак, соотношения A8) и A9) установлены. Остается показать,
что выполнено соотношение A4). Для этого, в силу A8) и A7), мы
должны показать, что
Но это следует из соотношения A9), так как если х?Еа для
каждого а, то существует а, такое, что
U Ка.

§ 3. Отображения. Упорядочения 41
*XV. Решето Лузина1). Пусть Мо — множество двоичных дробей
A) r = -|L-+ ... +~. где К «! < ... < /ия.
Отображение W, которое каждому г ^М§ ставит в соответствие
множество Wr с X (где X — некоторое фиксированное множество),
называется решетом. Множество А, состоящее из всех таких эле-
элементов х, для которых существует бесконечная последовательность
rx, r2, ..., удовлетворяющая условиям
B) тх < г2 < ... и x?WriftWr2n ....
называется просеянным через решето W.
Другими словами, если
C) Mx = E(*ewr)
г
или эквивалентно
D) Wr = E(r€Mx),
X
ТО
E) А = Е (Мх не вполне упорядочено отношением r^>>s).
X
Замечание. Если Х = У, то Wr можно рассматривать как
подмножество горизонтальной линии у = г. Тогда МХо является пере-
пересечением множества jj Wr с вертикальной линией х = х0.
г
Назовем составляющими множества — А (относительно решета W)
совокупность множеств Аа, определенных для а < Q следующим
образом:
F) Ла = Е (Мх имеет порядковый тип а),
X
следовательно,
Чтобы установить некоторые полезные соотношения между (^-опе-
(^-операцией и операцией просеивания, положим
G) /(/•) = [/»!, т2—т1 тп—т
п_х]
где двоичная дробь г задается формулой A).
Отображение / есть взаимно однозначное соответствие между
множеством <$0 и множеством всех конечных систем положительных
') См. Лузин [7], стр. 9.

42 Введение
целых чисел: каждая система kx kn соответствует числу
Теорема1). Пусть {Ak ... k)—регулярная система мно-
множеств, и пусть Wr = AIiry Пусть R определяется формулой
XIV @) и А — формулой XV E). Тогда R = А, а это означает,
что результат {Л)-one рации просеивается через решето W.
Доказательство. Пусть x?R. Тогда существует последо-
последовательность kv k2, ..., такая, что x^Ak[{\Ak2{\ .... Определим гп
по формуле (8). Тогда выполняются условия B), т. е. х?А.
Обратно, предположим, что х?А, т. е. что условия B) выпол-
выполнены. Положим
где 1 < тг < т2
^ 2
Положим /%! = /«! и kn = тп — тп_1 для п > 1.
Для фиксированного п обозначим через jn такой индекс, что
<Г:
Положим r. =——(- ... -\——, где 1^9j< ... <. qs. Следо-
" 2 ' 2 s
вательно, ql — mi qn = mn. Отсюда вытекает, что первые п
членов системы I(Tj ) совпадают соответственно с числами kx, ..., kn.
Так как система множеств \А^ ... k\ регулярна, мы приходим
к заключению, что Л/(Т -.cz Ак ... k , откуда х?Ак ... к для
\ -'/2/ 1/2 1 ' ' П
п=1, 2 Поэтому x?R.
*XVI. Применение к канторову дисконтинууму %'. Пусть <$0 =
= [rl, г2, ...]. Так как каждый элемент z ?<? представим в виде
г1 г2
(см. IX C)) г =-о-+ _--j- ..., где zn = 0 или 2, то можно опре-
определить множество Rz соотношением
A) (/-„e^)=Bn=2).
Обозначим через z порядковый тип множества Rz (по отношению
') См. Лузин и Серпинский [3], стр. 65—68; Серпинский [31], стр. 16;
Лузин [7], стр. 20; Селивановский [1], стр. 1311.

§ 3. Отображения. Упорядочения 43
Все порядковые типы счетных множеств исчерпываются по-
порядковыми типами z, когда z пробегает множество %.
Это следует из того, что Мо имеет плотный порядковый тип,
т. е. содержит подмножества, подобные любому наперед заданному
счетному упорядоченному множеству.
Итак, если мы положим
B) Z.t = E(« = t), то LX*Q.
Z
В частности, если а—порядковое число и
C) L=E(z<&), то L= U ?„.
z а< 9.
т. е. мы получаем разложение множества L на непустые множества.
Множества La являются составляющими множества L от-
относительно решета С, определенного тождеством
ибо множество ?f — L просеяно решетом С согласно формуле
D) (

ГЛАВА 1
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ
ПРОСТРАНСТВА
§ 4. Определения. Операция замыкания
I. Определения. Топологическое пространство — это множе-
множество 1 (элементы которого называются точками) и функция (назы-
(называемая замыканием), ставящая в соответствие каждому множеству
X с: 1 множество X cz 1 и удовлетворяющая следующим четырем
аксиомам:
A
A
A
A
КС
к с
КС
КС
и
и
и
и
0
0
0
0
м
м
м
м
а
а
а
а
1.
2.
3.
4.
X
X
0 =
X
и к =
с*;
= 0;
Если, кроме того, выполняется еще следующая аксиома:
Аксиома 5. (р) — (р) для любой точки р?\,
то пространство называется ^-пространством !) (или топологическим
в сильном смысле в противоположность общим топологическим
пространствам, удовлетворяющим аксиомам 1—4).
В дальнейшем, если не указано противное, под „пространством"
мы всегда будем понимать ^-пространство.
II, Геометрическая интерпретация2). В случае когда 1 является евкли-
евклидовым пространством (п измерений), X есть множество X вместе с его
предельными точками. Покажем, что все аксиомы выполняются.
¦) Аналогичные аксиомы были введены Ф. Риссом [1]. См. также Кура-
товский [7]; ^[-пространства рассматривались также М, Фреше [5], стр. 185,
который использовал термин „accessibles". См. также Мур Э. [1].
Значительная часть топологии может быть развита в терминах алгебры
Буля с операцией замыкания без привлечения понятия точки, т. е. в тер-
терминах алгебр с замыканиями, см. Сикорский [4], Расёва и Сикорский [о],
Нёбелинг [1], МакКинси и Тарский [1].
Дальнейший анализ этой системы аксиом можно найти в работах Мон-
тейро [1] и Исеки [1]. См. также (некоторые обобщения) Хеммер [2], [3].
2) Об одной интерпретации в математической логике см. работу А. Тар-
ского [3], стр. 103.

§ 4. Определения. Операция замыкания 45
Пусть p(zX\JY, т. е. p=\impn, где pn?X[)Y. Тогда в множестве {рп}
п
существует бесконечное подмножество, все элементы которого принадлежат
множеству X или множеству К; в первом_случае р?Х, а во втором р ? К
Таким образом, в обоих случаях pC^U^. следовательно, X\jYczX\JY.
С другой стороны, если точка р принадлежит замыканию множества X,
то она, очевидно, принадлежит и всякому множеству, содержащему X, напри-
например множеству X[]Y. Следовательно, X[]Y d X[]Y, откуда вытекает спра-
справедливость аксиомы 1.
Справедливость аксиом 2 и 3 очевидна, остается проверить аксиому 4.
По определению, имеем XczX, _Для доказательства обратного включе-
включения X с X предположим, что р?Х, и пусть S есть /z-мерный шар, содержа-
содержащий внутри точку р. Так как точка_р принадлежит замыканию множества X, то
внутри S существует точка г?Х, что в свою очередь влечет за собой су-
существование точки s?S|~|X
Таким образом, всякий шар, который содержит точку р внутри, содержит
также некоторую точку множества X. Но это означает, что pQ_X.
III. Правила топологического исчисления.
B) X
C) X - YczX —
(За) X : YcX : Y;
D) fjXcf№
i i
E) U^iCUaiI
F) (X — конечное множество) =ф (X = X);
G) Г=1.
Первые пять правил следуют из аксиомы 1. Действительно, для
доказательства формулы A) заметим, что (см. § 1, II) включение
XaY эквивалентно равенству Y = X (J К, из которого следует, что
Y — X (} Y, но, в силу аксиомы 1, имеет место равенство Y = X \} Y,
что в свою очередь эквивалентно включению XczY,
Соотношение B) вытекает из соотношения A), так как включе-
включения A'n^czA' и Xf[YczY влекут за собой включения X
и лПТУсгК, откуда Xj\Yс X П У ¦
Тождество X[)Y — (X — Y)\}Y, в силу аксиомы 1, влечет за
собой соотношение X [)У — X — Y\jY; взяв пересечение обеих ча-

46 Гл. I, Топологические пространства
стей этого равенства с множеством 1 — Y, получим соотношение
X — Y = X—Y—YczX — Y, откуда и следует правило C). (Пра-
(Правило (За) легко вывести из правила C).)
Соотношение D) является обобщением соотношения B) (на произ-
произвольное (счетное или несчетное) множество сомножителей); оно до-
доказывается аналогичным образом. Действительно, для любого ин-
индекса к имеем f\Xlc:XK, откуда f^X^X^, и, следовательно,
У.
Аналогично включение XKcz\J Xt влечет за собой включение
X^cz{JXu откуда [JX^czlJX^ Таким образом, соотношение E)
I У. I
также доказано.
Соотношение F) непосредственно следует из аксиом 1 и 5. Пра-
Правило G) вытекает из аксиомы 2. Формулу E) можно заменить бо-
более точной формулой
(8) U*i = U*iU П U**. где нфи при У<&
(оператор ["") распространяется на все конечные системы значений
индексов i).
Согласно правилам E) и A), правая часть формулы (8) является
подмножеством ее левой части. Для доказательства противополож-
противоположного включения рассмотрим систему индексов ц \.k. В силу ак-
аксиомы 1, мы имеем
следовательно,
Так как эта формула справедлива для каждой системы индексов
ц, .... ik, отсюда следует включение левой части формулы (8) в ее
правую часть.
Частным случаем формулы (8) является формула
(9) и^ = и*„иП(*ли*я+1и...)-
л=1 л=1 л=1
Замечание. Легко видеть, что все предыдущие формулы, за
исключением F), имеют место в произвольном топологическом про-
пространстве (не обязательно ^-пространстве).
Отметим также, что в определении ^-пространства аксиома 2
может быть опущена (она следует из аксиом 1 и 5, так как прост-

§ 4. Определения. Операция замыкания 47
ранство X является объединением одноэлементных множеств); ак-
аксиому 3 также можно опустить, если предполагать, что простран-
пространство состоит более чем из одной точки.
IV. Относительное замыкание. Пусть Е — некоторое заданное
множество точек и X—произвольное подмножество множества Е
(liDfzs.Y). Назовем множество Е П X замыканием X относи-
относительно Е (относительным замыканием). Такое замыкание удов-
удовлетворяет аксиомам 1 — 5 относительно множества Е, т. е. если
X и Y — произвольные подмножества множества Е, то
4Е) Е(\Е(\Х = Е(\Х;
5Е) если X пусто или состоит из одной точки, то Е[\Х = X,
Доказательство. Предложения \Е и 5?—прямые следствия
аксиом 1, 3 и 5. Что касается предложения 4Я, то из правила B)
и аксиомы 4 вытекает, что
следовательно,
Ef\E
Обратное включение следует из аксиомы 2, поэтому имеет место
тождество 4Е.
Таким образом, установлено, что аксиомы 1 — 5 справедливы,
если рассматривать их относительно произвольного множества Ed;
то же можно сказать о всех теоремах, которые следуют из аксиом
1—5: они сохраняются, если произвольное подмножество Е прост-
пространства 1 рассматривается как пространство (с относительным замы-
замыканием).
Мы видели в п. II, что аксиомы 1 —5 выполняются в евклидовом про-
пространстве. Из изложенного следует, что эти аксиомы справедливы, если рас-
рассматривать их относительно любого подмножества евклидова пространства.
V. Логический анализ системы аксиом. Аксиомы 1, 4, 5 незави-
независимы. Действительно, если в качестве пространства взять множество, со-
состоящее из двух элементов а и ft, и положить 0 = 0, (а) = (а), (Ь) = (Ь) и
(а, Ь) = 0, то аксиомы 4 и 5 выполняются, тогда как аксиома 1 не имеет
места. Если в непустом пространстве 1 положить X = 0 для всякого Хс\,
то аксиомы 1 и 4 будут выполнены, но аксиома 5 не выполняется. Наконец,
чтобы доказать независимость аксиомы 4, рассмотрим следующий очень по-
поучительный пример ') (см. Фреше [1], стр. 15): пусть пространство 1 состоит
') Исследование пространств, не удовлетворяющих аксиоме 4, можно
найти в работе Чеха [4].

48
Гл. 1. Топологические пространства
из всех вещественных функций вещественного переменного, X—некоторое
множество из этого пространства. Элементом множества X является, по оп-
определению, всякая предельная функция последовательности функций, при-
принадлежащих множеству X. Построенное таким образом пространство функ-
функций удовлетворяет аксиомам 1 и. 5, но не удовлетворяет аксиоме 4. Дейст-
Действительно, обозначим через А множество непрерывных функций; тогда АфА,
так как функция Дирихле, равная 1 в рациональных точках и нулю в ирра-
иррациональных, принадлежит множеству А, но не принадлежит множеству А.
Каждая из аксиом 1 —4 может быть выражена в виде F (Хь ..., Xk) = О,
где функция F представляет собой суперпозицию операций в алгебре Буля
и операции замыкания. Весьма примечательно, что не существует никакой
другой аксиомы такого вида, которая была бы независима от рассмотренной
системы и имела бы место в «-мерном евклидовом пространстве (теорема
МакКинси и Тарского [1]).
Решение частного случая этой проблемы поясняется на следующей схеме
(где знак с: заменен стрелкой):
Действительно, допустим, что к множеству X применяются две опера-
операции (отображения): X и A—X). Сколько различных множеств можно по-
получить таким образом? Доказано, что всего 14 различных множеств (см. Ку-
ратовский [7], стр. 196) '). Все эти 14 множеств и всевозможные их
включения содержатся в приведенной выше схеме.
') По поводу некоторых связанных с этой проблем см. Хеммер [1],
Чепмен [1].

§ 5. Замкнутые и открытые множества 49
Замечание. Упомянутая выше теорема является частным случаем
следующей теоремы об упорядоченных множествах:
Пусть А — некоторое упорядоченное множество (см. § 3, X), и пусть
f : А-> А и g : А-> А — такие отображения, что
(* < у) =ф (/ (х) < / (у) и g(y)<g(x)),
¦*</(¦*). //(*)=/(¦*), gg{x) = x.
Тогда полугруппа, порожденная отображениялш fug, состоит
(самое большее) из 14 элементов, а именно {мы полагаем gfg = /): тож-
тождественное отображение, g, f, fg, gf, I, fgf, fi, if, gfi, fif, fgfi, gfif, ifi.
Все отношения порядка мем<ду элементами рассматриваемой полугруппы
можно представить при помощи схемы, аналогичной приведенной выше.
Доказательство совершенно элементарно (см. Хеммер [1]). Сначала до-
доказывают, что отображение i обладает теми же свойствами, что Int. Затем
показывают, что отображения fi и if совпадают со своим квадратом, и это
завершает доказательство.
§ 5. Замкнутые и открытые множества
I. Определения. Множество Xczl называется замкнутым1), если
X = X. Множество X открыто, если его дополнение замкнуто,
т. е. 1 —^=1— X, или Х=\—(\—Х).
Примеры. В пространстве вещественных чисел целые числа
образуют замкнутое множество; отрезок а <С х-^.Ь замкнут; интер-
интервал а < х < Ь открыт (не замкнут); на плоскости последнее мно-
множество не является открытым.
В множестве целых чисел каждое подмножество одновременно
открыто и замкнуто.
Пусть / — некоторая ограниченная функция, определенная на
интервале а^х^Ь; ее график, т. е. множество Е [у = f (х)\,
х, у
замкнут (на плоскости) тогда и только тогда, когда функция / не-
непрерывна (ср. § 20, V, теорема 8).
II. Операции.
Теорема 1. Объединение двух замкнутых множеств есть
замкнутое множество.
Это следует из аксиомы 1, если положить X = Х и У = Y.
Теорема 2. Пересечение (конечного или бесконечного числа)
замкнутых множеств замкнуто.
Действительно, полагая Х1 = Х1, по правилу D) получаем вклю-
включение П^\<=П^1' а так как ПЛч^П^. согласно аксиоме 2,
то мы имеем f[Xl = f] Xr
') Это понятие принадлежит Кантору [5], стр. 51,
4 Топология, т. I

50 Гл. 1. Топологические пространства
При помощи формулы Моргана (см. § 1, II и V), согласно ко-
которой имеет место соотношение 1—(Xf\Y) = (l— ^) U О — У) и
вообще 1 — Р! Xi = (J A — Хь), из двух предыдущих предложений
можно вывести, что пересечение двух открытых множеств
открыто и что объединение произвольного семейства откры-
открытых множеств есть открытое множество.
Согласно аксиоме 3 и правилу G), множества 0 и 1 одновре-
одновременно замкнуты и открыты.
Из аксиомы 4 следует, что множество X замкнуто. Более того,
X есть наименьшее замкнутое множество, содержащее мно-
множество X, т. е. X является пересечением всех замкнутых мно-
множеств, содержащих X, ибо включение XczF, где F = F, влечет
за собой включение XczF (см. § 4, III A)).
Замечание 1. Определение топологического пространства
(см. § 4, I) можно сформулировать эквивалентным образом, рас-
рассматривая в качестве первоначальных понятий замкнутые множе-
множества (вместо замыкания), удовлетворяющие следующим аксиомам:
Аксиома 1'. Объединение конечного семейства замкнутых
множеств есть замкнутое множество.
Аксио.ма 2'. Пересечение произвольного семейства замкну-
замкнутых множеств есть замкнутое множество.
Случай пустого семейства множеств не исключается, поэтому
(см. § 1, V) пустое множество, а также все пространство замкнуты.
Определяя в этом пространстве замыкание X множества X как
пересечение всех замкнутых множеств, содержащих множество X,
можно легко проверить, что выполняются аксиомы 1 — 4, § 4, I.
Обратно, как мы показали, аксиомы Г и 2' выполняются в лю-
любом топологическом пространстве.
Замечание 2. Другая эквивалентная форма определения
топологических пространств (двойственная предыдущей) состоит в сле-
следующем. В основу определения топологического пространства поло-
положим понятие открытого множества (см. Александров [4], Серпин-
ский [24], стр. 335, и [29], а также § 7, II ниже; ср. Монтейро [2]),
удовлетворяющего следующим аксиомам:
Аксиома \". Пересечение конечного семейства открытых
множеств есть открытое множество.
Аксиома 2". Объединение произвольного семейства откры-
открытых множеств есть открытое множество.
Замкнутое множество определяется как дополнение к открытому.
Рассуждая подобно тому, как в предыдущем замечании, легко уста-
установить эквивалентность этого определения топологического прост-
пространства с определением, данным в п. I, основанным на аксиомах 1 — 4.

§ 5. Замкнутые и открытые множества 51
III. Свойства. Замкнутые множества можно определить как мно-
множества вида X. Аналогично открытые множества совпадают с мно-
множествами вида 1 — X.
Теорема. Если множество О открыто, то для любого
множества X имеет место включение О П ХаО Л X.
Действительно, по определению открытого множества, 0=1 —
— A — G), откуда
0\\Х=^Х — (I — G)c X — A — О) = О П •
в силу правила C).
Включение О П Xс: О П X влечет за собой включение Gf\Xcz
czOf[X, и, так как ХаХ, мы имеем включение G f\Xc:G f| X,
откуда следует важное равенство
A) Gfl* = Gn*.
IV. Относительно замкнутые и относительно открытые мно-
множества. В соответствии с терминологией, принятой в § 4, IV, на-
назовем множество X замкнутым относительно множества Е
{относительно замкнутым в Е), если X = Е Л X. Множество X
относительно открыто в Е, если XczE и множество Е—X от-
относительно замкнуто в Е, т. е. X =Е—(Е—X).
Теорема. Для того чтобы некоторое множество было
замкнутым {открытым) относительно Е, необходимо и доста-
достаточно, чтобы оно было пересечением Е с некоторым замкну-
замкнутым {открытым) множеством.
Действительно, это условие необходимо, так как, если множе-
множество X относительно замкнуто, мы имеем X = Е {\Х, а если оно
относительно открыто, мы имеем Х — Е — {Е—X)—Ef\{l —
Докажем достаточность. Пусть X = Е fl F, где F=F. Покажем,
что множество X замкнуто относительно Е, т. е. что X = Е [~| X
или Е П F = Е П? П F- Согласно правилу A), мы имеем Ef\FczF,
и так как F = F, то fn^fl FaE ("| F. Обратное включение является
прямым следствием аксиомы 2.
Наконец, пусть X — Е П G, где множество О открыто. Тогда
множество Е—X, равное Е — Е ПО = ?Л A—О), является пере-
пересечением множества Е с замкнутым множеством. Таким образом, оно
замкнуто относительно Е, и, следовательно, множество X относи-
относительно открыто, что и требовалось доказать.
4*

52 Гл. 1. Топологические пространства
В частности, если множество Е замкнуто {открыто), то
всякое множество, замкнутое (открытое) относительно Е,
является замкнутым {открытым) в абсолютном смысле. Это
предложение следует из предыдущей теоремы, так как пересечение
двух открытых (замкнутых) множеств открыто (замкнуто) (см. п. II).
Из той же теоремы вытекает, что свойство множества быть от-
относительно замкнутым транзитивно, т. е. если множество X замк-
замкнуто в К, а множество К замкнуто в Е, то X замкнуто в Е.
Действительно, по предположению, X = Y[)X и Y = E[\Y;
тогда X = Е [\Х ПК. т. е. X есть пересечение Е с замкнутым мно-
множеством и, следовательно, относительно замкнуто в Е.
Свойство множества быть относительно открытым также тран-
транзитивно.
V., Множества типа Fa и Ов. Объединение счетного') числа
замкнутых множеств называется множеством типа Fa (F0-mho-
жеством); пересечение счетного числа открытых множеств назы-
называется множеством типа Gb (Gb-множествомJ). Очевидно, что
дополнение к множеству типа Fa является множеством типа G6 и
что дополнение к множеству типа <56 является множеством типа Fa.
Очевидно также, что объединение счетного числа множеств типа Fa
есть множество типа Fa. Пересечение двух множеств типа Fa есть
СО СО
множество типа Fo. Действительно, пусть А = (J Ап и B = \JBm,
тогда А{)В = U (Ап(}Вт). Так как множества Ап и Вт замкнуты,
я, ш = 1
то их пересечение Ап П Вт также замкнуто, и потому множество
А П В — типа Fa. Подобно этому пересечение счетного числа мно-
множеств типа Од есть множество типа G6, и объединение двух мно-
множеств типа G& есть множество типа О6.
Всякое множество типа Fa является объединением возрастающей
последовательности замкнутых множеств. Действительно,
Аналогичным образом, всякое множество типа Gb есть пересе-
пересечение убывающей последовательности открытых множеств.
') Под счетным множеством здесь понимается также и конечное мно-
множество.
2) Эти два понятия представляют собой обобщение понятий замкнутого
и открытого множеств. Они были изучены в основном для целей теории
функций. Однако они оказались весьма полезными и в геометрических за-
задачах топологии полных метрических пространств (см. гл. III). Эти поня-
понятия введены Юнгом [1], стр. 287.

§ 5. Замкнутые и открытые множества 53
Для того чтобы некоторое множество X было множеством ти-
типа Fo (типа <?6) относительно множества Е, необходимо и доста-
достаточно, чтобы X было пересечением Е с множеством типа Fa (ти-
(типа (?6). Это вытекает из следующих тождеств:
• (F: П Е) U (F2 П Е) U . . . = (Л U F2 U . . .) П Е;
(О, П Е) П (О2 п ?) П • • • = (О, П О2 П • • ¦) П Е.
В частности, если Е есть множество типа Fa (G&), то таким же
является множество X.
Согласно аксиоме 5, всякое счетное множество есть множество
типа Fa.
Так, например, множество рациональных чисел в множестве действи-
действительных чисел является множеством типа /•".,. Множество иррациональных
чисел является множеством типа О?>. Ниже мы покажем, что оно не является
множеством типа Fa.
VI. Борелевские множества. Обобщая понятия замкнутого и
открытого множеств при помощи операций теории множеств (по-
(подобно тому, как мы сделали это в предыдущем пункте), введем в
рассмотрение множества, которые получаются из замкнутых (или
открытых) при помощи счетного числа операций объединения, пере-
пересечения и вычитания. Это отражает следующее определение (см. Бо-
рель [2], стр. 46, и Хаусдорф [1], стр. 304, [5], § 18).
Определение. Семейство F борелевских множеств есть
наименьшее семейство множеств, удовлетворяющее следующим ус-
условиям:
1) всякое замкнутое множество принадлежит F;
2) если множество X принадлежит семейству F, то множество
1 — X также принадлежит семейству F;
3) если множества Хп (я—1, 2, . ..) принадлежат семейству F,
со
то пересечение Г) X также принадлежит семейству F.
л = 1
Очевидно, что условие 1 можно заменить условием
1') каждое открытое множество принадлежит семейству F,
и что условие 3 можно заменить условием 3', которое получится
из 3, если вместо пересечения взять объединение.
Более детально борелевские множества изучаются в гл. II и III. Боре-
Борелевские множества наиболее часто встречаются в различных приложениях
топологии. Однако известны примеры не борелевских множеств.
Что касается относительно борелевских множеств, то для них
справедлива следующая теорема: пусть Е — некоторое множество.
Борелевские множества относительно множества Е совпадают

54 Гл. 1. Топологические пространства
с множествами вида Bf\E, где В— переменное борелевское
множество во всем пространстве.
Действительно, семейство тех множеств X, для которых мно-
множество X П Е является борелевским относительно Е, удовлетворяет
условиям 1—3, поскольку. Г если X замкнуто, то X П Е замкнуто
в Е и, следовательно, борелевское относительно Е; 2° если X f\E
является борелевским в Е, то множество A—Х)(]Е также боре-
борелевское в Е, ибо A — X) П Е = Е — (X П Е); 3° если каждое из мно-
, СО ч
жеств Е П Хп борелевское в Е, то Е П ( (") X'„) также борелевское
\п=\ I
(СО v СО
П А'я = П (Е[\Хп).
л=1 / п-\
Но семейство борелевских множеств является наименьшим семей-
семейством множеств, удовлетворяющим условиям 1—3, поэтому оно
содержится в рассмотренном семействе множеств X. Другими сло-
словами, если множество X борелевское, то множество Xf\E бо-
борелевское относительно Е. Следовательно, семейство множеств
вида В{\Е, где В — борелевское множество во всем пространстве,
содержится в семействе множеств, борелевских относительно Е.
Обратно, семейство множеств вида X = В {\Е, где множество В
борелевское, удовлетворяет условиям 1—3, рассматриваемым отно-
относительно Е, так как: 1° всякое множество, замкнутое в Е, принад-
принадлежит этому семейству; 2° если X =В(\Е, то множество Е— X =
= ?Т)A—В), как пересечение Е с борелевским множеством, при-
принадлежит рассматриваемому семейству; 3° если Xп = Е (~| Вп, то
со со со
j") Xn = Ef) f| Bn, и, следовательно, ("~| Хп также принадлежит
рассматриваемому семейству множеств. Итак, семейство множеств
вида В[)Е, где В—борелевское множество во всем пространстве,
содержит семейство множеств, борелевских относительно Е. Таким
образом, если множество X борелевское относительно Е, то X есть
пересечение Е и некоторого борелевского множества.
VII. Покрытие пространства. Измельчение. Пусть А — некото-
некоторое семейство открытых множеств пространства Х- Назовем его
открытым покрытием пространства SC, если каждая точка мно-
множества S* принадлежит некоторому элементу семейства А, т. е.
Семейство В назовем подпокрытием покрытия А, если В. есть
покрытие пространства Ж и В с А.
Семейство В назовем измельчением покрытия А, если В — по-
покрытие пространства 3> и каждый элемент семейства В содержится
в некотором элементе покрытия А; в этом случае мы пишем А^В
(А предшествует или равно В).

§ 5. Замкнутые и открытые множества 55
Очевидно, что отношение А<^.В устанавливает частичный поря-
порядок в множестве всех покрытий пространства SC. Более того, это
множество является направленным (см. § 3, X). В самом деле,
пусть А и В— два покрытия, обозначим через С семейство всех
множеств вида U[\V, где U?A и V ?В. Очевидно, что С есть по-
покрытие и что л<;с, в^сс.
Семейство А назовем локально конечным, если каждая точка р ? X
содержится в некотором открытом множестве О, пересекающемся не
более чем с конечным числом элементов покрытия А.
Локально конечные семейства обладают следующим интересным
свойством.
Теорема. Если \Xt), t?T (T — произвольное множество),—
локально конечное семейство множеств, то
A) U*/ = U*,-
t t
Доказательство. Принимая во внимание формулу § 4, III E),
достаточно показать, что
t t
Пусть р ? U Xt П О, где О — открытое множество, такое, что
t
О П Xt. фО при 1 < / < п,
G П Xt = 0 при Xt Ф Xt(.
Покажем, что существует индекс I, для которого p^Xt.. Пред-
Предположим противное, т. е. что
Р (г (Xt U • • • и Xt ).
Положим Н = О — (Xt U ¦•• U Xt )¦ Тогда р ? Н и, в силу C),
Н П U Xt = 0. Но это противоречит нашему допущению, что
_t
Семейство множеств назовем о-локально конечным, если оно
представимо в виде счетного объединения локально конечных се-
семейств.
Введенные выше понятия позволяют выделить большое число
важных классов пространств, которые будут изучаться далее (а также
во втором томе).
Пространство X называется компактным (или бикомпактным),
если каждое покрытие пространства X содержит конечное подпо-
подпокрытие. Пространство JT называется счетно-компактным, если

56 Гл. 1. Топологические пространства
каждое его счетное покрытие содержит конечное подпокрытие. Про-
Пространство Ж называется пространством Линделёфа, если каждое
его покрытие содержит счетное подпокрытие.
Пространство SC паракомпактно, если каждое его покрытие
имеет локально конечное измельчение г).
VIII. Хаусдорфовы пространства. Топологическое пространство
называется хаусдорфовым2) (или ^2-пространством), если для
каждой пары его точек р Ф q существуют два открытых множества
О и Я, таких, что
A) p?G, q?H, Q(\H = 0.
Очевидно, что евклидовы пространства хаусдорфовы.
Теорема 1. Каждое хаусдорфово пространство является
^^пространством.
Пусть р — некоторая точка. По предположению, для каждой
точки хфр существует открытое множество Ох, такое, что р^Ох.
Следовательно, 1 — (р) = (J Ох, т. е. 1 — (р) есть открытое множе-
ство, а множество (р) замкнуто.
Теорема 2. Каждое подмножество хаусдорфова простран-
пространства является хаусдорфовым пространством.
Пусть p,q?E— две различные точки. Так как пространство
хаусдорфово, то существуют открытые множества О и Я, удовле-
удовлетворяющие условию A). Тогда О П Е и Н[\Е—открытые множества
относительно Е, содержащие соответственно точки р и q.
Замечание 1. Определение хаусдорфова пространства можно
выразить в терминах алгебры с замыканием следующим образом:
если АфОфВ и Af\B=0, то существуют два открытых мно-
множества О и Я, таких, что А[\Оф0фВ{)Н и G[\H = 0 (см. Нёбе-
линг [1], стр. 79).
Замечание 2. Существуют ^^-пространства, которые не
являются хаусдорфовыми, например пространство, точки которого—
числа \/п, «=1, 2 и 0, а топология вводится следующим
образом: множество, не содержащее 1, открыто тогда и только
тогда, когда оно открыто в обычной топологии, индуцированной
топологией вещественной прямой, множества же, содержащие эле-
элемент 1, открыты тогда и только тогда, когда они являются допол-
дополнениями конечных множеств. Очевидно, что каждое открытое мно-
') Другие понятия, связанные с покрытиями, см. в работе Аренса и
Дугундьи [1].
2) Другие эквивалентные определения хаусдорфова пространства имеются,
например, в книге Бурбаки [1]. Хаусдорфовы пространства называются также
отделимыми. См., кроме того, Себащтиан-и-Сильва [1].

§ 5. Замкнутые и открытые множества 57
жество, содержащее 0, —бесконечно, и, следовательно, точки 0 и 1
не могут быть отделены непересекающимися открытыми множе-
множествами. (Заметим, что 0 и 1 — единственные две точки накопле-
накопления в этом пространстве (см. § 9).) Если же одна из двух точек р
или q является изолированной, то условие A), очевидно, выпол-
выполняется.
IX. ,/о-пространства. Топологическое пространство называется
^^пространством, если для каждой пары различных точек этого
пространства существует открытое множество, содержащее одну из
точек и не содержащее другую 1).
Эквивалентное требование: никакие две различные точки не имеют
одинакового замыкания.
Очевидно, что каждое {f ^пространство является $й-про-
странством.
Замечание 1. Обратное утверждение не верно. Приведем
один интересный пример ^-пространства, которое не является
^-пространством (Александров и Хопф [1], стр. 26, 40J). Рассмотрим
симплекс (р0, ..., рп) (см. гл. II, § 31). Точками нашего простран-
пространства служат все грани S этого симплекса (включая сам симплекс).
Замыкание точки в рассматриваемом пространстве, т. е. симплекса S,
определим как множество, состоящее из всех граней симплекса S;
замыкание произвольного множества Е определим как объединение
замыканий элементов множества Е. Построенное таким образом (ко-
(конечное) ^-пространство не является ^-пространством.
Замечание 2. С другой стороны, пространство, состоящее
из двух элементов, замыкание каждого из которых совпадает со всем
пространством, является топологическим пространством, но не яв-
является ^-пространством.
X. Регулярные пространства. Менее широким классом, чем
хаусдорфовы пространства, является класс регулярных про-
пространств (см. Вьеторис [1], стр. 173; Титце [2), стр. 301; Бур-
баки [1], стр. 72).
Определение. Топологическое пространство называется ре-
регулярным, если любая точка р и любое замкнутое множество F,
не содержащее р, могут быть отделены открытыми множествами,
т. е. если существуют открытые множества О0 и Ог, такие, что
A) р?О0, FczG1 и О0ПО1 = 0,
') Понятие ^-пространства было введено А. Н. Колмогоровым (см.
Александров и Хопф [1], стр. 58).
2) Более специальное исследование проведено в работе Ауля и
Трона [1].

58 Га. 1. Топологические пространства
или, эквивалентно, если существует открытое множество О, такое, что
B) p?G и Q()F = Q.
Регулярное ^-пространство называется ^^-пространством.
Теорема. Каждое подмножество регулярного простран-
пространства является регулярным пространством.
Пусть Е— подмножество регулярного пространства, и пусть
р?Е— F, где множество F замкнуто относительно Е, т. е. F =
=F П Е (см. п. IV). Так как точка р не принадлежит множеству F,
существуют два открытых множества Go и O[t таких, что р ? О0,
РсО; и GonG] = O. Положим HQ = G0[)E, H1 — Gip\E. Тогда
множества Но и Н1 открыты в множестве Е, р ? Но, F cz Н1 и
Но П Н\ = 0. Следовательно, Е — регулярное пространство.
Замечание 1. Определение регулярного пространства можно
выразить в терминах алгебры с замыканием следующим образом:
если А — ВфО, то существует открытое множество G, такое, что
BczG и А — ОфО (см. Нёбелинг [1]).
Замечание 2. Существуют хаусдорфовы пространства, не
являющиеся регулярными. Пусть Л = {1, 1/2 1/и, ...{.Введем
топологию в единичном интервале g следующим образом: замкну-
замкнутыми будут все множества, замкнутые в естественной топологии,
а также множество А. В такой топологии g—хаусдорфово про-
пространство, не являющееся регулярным.
XI. База и подбаза. Семейство В открытых множеств назы-
называется (открытой) базой топологического пространства, если каждое
открытое множество может быть представлено как объединение эле-
элементов некоторого подсемейства семейства В.
Семейство 5 открытых множеств называется (открытой) подба-
подбазой, если " семейство всех конечных (непустых) пересечений эле-
элементов множества S является базой пространства (Келли [1],
стр. 48).
Пример 1. Семейство всех открытых интервалов г < х < s с рацио-
рациональными концами г, s образует базу в пространстве % всех вещественных
чисел. Семейство всех открытых кругов в г1 с рациональными радиусами и
рациональными центрами образует базу в %2.
Пример 2. Семейство лучей вида х > г и х < г, где г рационально,
образует подбазу пространства %.
Пример 3. Пусть # — канторово совершенное множество (см. § 3, IX),
т. е. множество всех чисел t вида ^ = @, t^>, t&\ ., .)$< где ^(л) = 0
или 2, или, что то же самое, множество @, 2)®. Множества Сп, а = Е (t(n) = a),
где а либо 0, либо 2, образуют подбазу в % (в его обычной топологии).

§ 5. Замкнутые и открытые множества 59
Пример 4. Пусть &V — множество иррациональных чисел, т. е. про-
пространство д>® всех последовательностей положительных целых чисел г ~
= (гA), г{2\ ...) (см. § 3, IX). Множества вида
Е (г(п) = /и), где л =1,2 /к = 1, 2, ...,
, m
г
образуют подбазу.
Замечание 1. Пусть X — произвольное множество и 5—не-
5—некоторое семейство подмножеств множества Х- Множество X станет
топологическим пространством, если в качестве подбазы взять се-
семейство S.
Замечание 2. Пространства ef, ef2, & и ©^', рассмотренные
в примерах 1—4, имеют счетные базы. То же самое справедливо
для пространств ef", %"*° и их подпространств.
Мы увидим далее (гл. II), что во всяком регулярном ^-про-
^-пространстве со счетной базой можно ввести расстояние между точ-
точками (другими словами, такое пространство метризуемо).
Замечание 3. Пространство со счетной (но не конечной)
базой называется пространством веса Цо.
Вообще: вес пространства — это наименьшее кардинальное число Ш,
такое, что пространство имеет базу мощности т.
Замечание 4. Кроме понятий открытой базы и открытой
подбазы, можно рассматривать двойственные понятия замкнутой
базы и замкнутой подбазы. А именно семейство А замкнутых
множеств называется замкнутой базой пространства, если каждое
замкнутое множество может быть представлено как пересечение
элементов множества А. Семейство R замкнутых множеств назы-
называется замкнутой подбазой, если семейство всех конечных
объединений элементов множества R образует базу этого про-
пространства.
Очевидно, что (/="?Л)==A — F?В) и (F?/?) = (l — F?S).
Наконец, рассмотрим понятие локальной (открытой) базы в не-
некоторой точке р. Так называется всякое семейство открытых
множеств, содержащих р, такое, что каждое открытое множество,
содержащее р, содержит некоторый элемент этого семейства.
Весьма важную роль играют пространства со счетной локальной
базой в каждой точке (они называются пространствами, удовле-
удовлетворяющими первой аксиоме счетноети1)). Таковы, например,
метрические пространства.
Естественным образом вводятся понятия локальной подбазы и
локального веса.
Пространства со счетной открытой базой (или со счетной локаль-
локальной базой) будут изучаться более подробно в гл. II. Здесь мы
') Эта аксиома была введена Ф. Хаусдорфом [1], стр. 263,

60 Гл. 1. Топологические пространства
установим следующую важную связь этих пространств с простран-
пространствами Линделёфа (см. п. VII; Линделёф [1], стр. 697; Юнг [2],
стр. 384).
Теорема Линделёфа. Каждое топологическое простран-
пространство со счетной открытой базой есть пространство Лин-
Линделёфа.
Другими словами, в таком пространстве каждое {не-
{несчетное) семейство открытых множеств [Ot\ содержит {счет-
{счетную) последовательность Gtl, Gt2 такую, что
Пусть множества Rx, R2, .. . образуют базу рассматриваемого
пространства, и пусть /??,, Rk2, ... — последовательность элементов
базы, содержащихся в множествах семейства {G^}. Каждому индексу kn
можно поставить в соответствие (согласно аксиоме выбора) индекс tn,
такой, что Rb a Gt . Тогда
С другой стороны, если р ? Gt, то существует индекс J, такой,
что р ?RjCZ Ot. Индекс j принадлежит последовательности &1( k2
оо со
т. е. р ? (J Rk , поэтому |J Gt cz (J Rk , что и требовалось до-
л=1 " t л=1 "
казать.
Замечание. Теорему Линделёфа можно сформулировать также
следующим эквивалентным образом: каждое {несчетное) семейство
замкнутых множеств [Р^\ в рассматриваемом пространстве
содержат некоторую {счетную) последовательность Flt, Fh
такую, что
Для того чтобы доказать это утверждение, достаточно обозначить
через Gl дополнение множества Fl и применить закон двойственности
Моргана (§ 1, V) к теореме Линделёфа.
§ 6. Граница и внутренность множества
I. Определения (см. Кантор [3], стр. 128, и Жордан II], стр. 72).
Границей множества X называется множество
Внутренностью множества X называется множество
=l — 1— X.

§ 6. Граница и внутренность множества 61
Примеры. Пусть множество X есть круг jr2-f-}'2 < 1 на евклидовой
плоскости; тогда множество Fr (X) — окружность круга, а множество
Int (X) — открытый круг. Ничто не изменится, если заменить знак <С зна-
знаком < .
В пространстве натуральных чисел граница каждого множества пуста.
В пространстве действительных чисел границей множества рациональ-
рациональных чисел является все пространство.
Пусть X — произвольное множество в пространстве действительных
чисел и / — функция, определенная условиями: / (х) = 1 для х^Х и / (х) = О
для х ? 1 — Х\ тогда граница множества X состоит из множества точек
разрыва функции / (см. § 13).
II. Некоторые формулы. Мы будем пользоваться в дальнейшем
следующими формулами г):
A) Int (X Г) Y) = Int (X) П Int (К);
A0 (А" с К) =ф (Int (А^ с Int (К));
B) Ulnt(A'l)czIj
C) lnt(X) = X—l—X = X — Ft (X) cz X;
D) _
E) Fr (X)czFt (X);
F)
G) A" U Fr (X) = X;
(8) Fr (X) U Fr (K) = Fr (X U Y) U Fr (X П Y) U (Fr (X) Л Fr (Y)J);
(9) Int[Int(A')] = Int(A');
A0) Int(^)flFr(A') = O;
A1) Fr(lnt(X))c:FT(Xy
A2) Int (Fr (Х)) = ХП Int (Fr (X)) == Int (Fr {X))~X;
A3) Fr{Fr[FrW]} = Fr[Fr(^)l;
A4) Int (Л'— Y) clnt (A') — Int (K);
A5) Int (A'U K) = Int (A") U Int (K).
Формулы A) — C) можно установить следующим образом. Имеем
1 — 1 — (X П Y) = 1 - A - Л") U A — Y) = 1 — (Т^^ у fZ^) =
:A_1_Л-)ПA —1 —К);
U int (л-,) = 1 - п 1 - л\с 1 - n (I ~ xj = int m хх
•) Некоторые из них имеются в работе Зарицкого [1]. Автор изучает,
кроме_того, такие функции множеств, как „край" Х[)([—X) и .внешность"
1 — X. См. в этом направлении также работы Хеммера [21, [41, [51.
2) См. Стоун А. [2], стр. 428. 4

62 Гл. 1. Топологические пространства
Далее, 1 — 1 — Acl — A — А) = А, откуда
Int (Л") = X П A - - 1 — X) = X — 1 - X— А—(А п 1 — А) =
= А — (AnAfll — А) = Х—(Х П 1 — X) = Л"—Fr(A)cr A.
Формулы D) и E) очевидны. Имеем
X П 1 — X = [(Afl 1 ~ Л") П Л U [А" П 1 - X П A - А")].
откуда с помощью включений Ас А и 1—Xczl — X мы полу-
получаем F). Далее,
AUFr(A)==AU(An 1 — A) U (А" — А) = А и (Х- Х) = X,
откуда следует формула G). Докажем формулу (8):
Fr (A U П = A U К П 1 — (A U К) = A U К П A — А) П A — К)с
АП1 —К)
с (А П 1 — X) U (Y П 1 — Y) = Fr (A) U Fr (К);
Fr(AflK) = Fr(l— (AnK)) = Fr((l— A)UA— Y))c
cFr(l—A)UFr(l —K) = Fr(A)UFr(K).
С другой стороны, X = (X f\Y)\J(X — Y) и 1— A = (К — A) (J
U(l— (AUK)), откуда
Fr (A)c (А П К П 1 — A) U (X — К П К - A) U
U (А — КП 1 ~(AUK))c
с Fr(A П Y) U (Fr (А) П Fr (К)) U Fr (A U К).
Это завершает доказательство формулы (8).
Формулы (9) и A0) очевидны, а A1) следует из D) и E).
В силу формул A') и C), из включения Fr(A)czA следует, что
Int (Fr (A) )c А. Обозначим через G (открытое) множество Int(Fr(A));
тогда О = ОпА, откуда, согласно § 5, III, следует равенство
G — G[\X = G()X, что доказывает первую часть соотношения A2).
Вторая часть этого соотношения следует из формулы D), если
вместо А подставить 1 — А.
Доказательство соотношений A3) и A4) мы предоставляем чита-
читателю. Формула A5) будет установлена в § 8.

§ 6. Граница и внутренность множества 63
III. Связь с замкнутыми и открытыми множествами. Непосред-
Непосредственно видно, что всякая граница замкнута и что всякая вну-
внутренность открыта 1). Более того, внутренность множества X
есть наибольшее открытое подмножество множества X. Дей-
Действительно, если О—открытое подмножество множества X, то мы
имеем
1 - Xczl — 0 = 1—0, откуда 1 — Xcz\ —О
и, следовательно,
Если X—замкнутое множество, то Fr(X) = X f] I — X; если
X — открытое множество, то Fr (Х) = X — X.
Каждое из этих равенств характеризует соответственно замк-
замкнутые и открытые множества. В самом деле, из соотношения F)
в первом случае вытекает, что X— X = 0, т. е. Х = Х, а во вто-
втором случае—что X П 1—A" = 0, т. е. 1—Х = \—X. В част-
частности, равенство Fr(Ar)=O эквивалентно утверждению, что множе-
множество X одновременно замкнуто и открыто.
Для того чтобы множество X было разностью двух замк-
замкнутых множеств, необходимо и достаточно, чтобы множе-
множество X — X было замкнутым (см. Серпинский и Куратовский [2],
стр. 22).
В самом деле, пусть Х—Е —F, где Е и F — замкнутые мно-
множества. Имеем
X = X П (Е - F) = (X П Е) — (X п F).
Так как XczE, то XczE, откуда X П ? = X. Следовательно,
X = X — (X П F), откуда ~Х— X — X f| F; следовательно, Х — Х
есть замкнутое множество.
_ Обратно, если X —X замкнуто, то множество X, равное
X — (X — X), есть разность двух замкнутых множеств.
IV. Теорема аддитивности. Сопоставим с формулой B) следую-
следующую теорему (которой мы воспользуемся в § 8):
Пусть [X^—некоторое семейство {произвольной мощности)
множеств, открытых относительно \JXV Тогда
(i) Int(LJA'l)=Ulnt(A'l);
00 Int(
:) Это утверждение эквивалентно аксиоме 4. Под названием „условия
Хедрика" оно рассматривалось некоторыми авторами как аксиома. См. Хед-
рик [1], стр. 285, и Фреше [5], стр. 201.

64 Гл. 1. Топологические пространства
В самом деле, положим S = \J Xv тогда, по предположению, имеем
Xl = S—S — Xlczl—S-~Xl, следовательно, Scz\J(.l—S — X,).
i
Далее имеем
Int E) = 5 n Int E)<= U О - 5 — X,) П A — 1 ~ S) =
откуда, в силу B), следует (i).
Согласно § 5, III, имеем Int (S) = Int (S) f] 5cInt E) Л S. Как мы
доказали выше, 5cr(J(l —5 — XJ; следовательно,
IntE)cIntE)nU(l -5-^l) = U(IntE)-5 X,).
Ho Int(S) -S — X^S-iS — XjaS -(S — XJ^X^ и так как
первый член этого включения есть открытое множество, он содер-
содержится во внутренности множества Xt; таким образом, Int E) —
— 5 — A^dnt (XJ. Согласно предыдущей формуле, мы получаем
Int E)с U Int(Xt), откуда
IntE)cUInt(Arl).
Остается доказать обратное включение. Согласно соотноше-
соотношению (Г), мы имеем Int^JdntCS). Следовательно,
crlnt(S) и, наконец,
U Int (XJ с Int E).
i
V. Отделимые множества.
Определение. Множества X и Y называются отделимыми
(см. Мазуркевич [3], стр. 66, и Кнастер и Куратовский [1], стр. 206),
если
A) ^ПК = 0 = ^ПК.
Множество 1 — (X \j Y) называется отделяющим множество X
от Y; оно отделяет также любое множество UcX от любого мно-
множества

§ 6. Граница и внутренность множества 65
Два отделимых множества не пересекаются, однако обратное
утверждение, неверно, как видно из простых примеров.
Теорема 1. Пусть X и Y — отделимые множества и UaX
и I^czK; тогда множества U и V отделимы.
Это утверждение непосредственно следует из соотношения A).
Теорема 2. Если множества А и В замкнуты {или от-
открыты), то множества А — В и В — А отделимы.
Если А = А, то А—BczA = A, следовательно,
Л — В П (?—Л) = 0.
Случай открытых множеств сводится к случаю замкнутых при
помощи тождества
А—В=A-В) — A—А).
Теорема 3. Если множества А и В оба замкнуты (или
оба открыты) и А ()В — 0, то А и В отделимы.
Эта теорема следует из теоремы 2, так как А — В= А и
?— А=В.
Теорема 4. Если множество X отделимо от Y и от Z,
то X отделимо от Y \] Z.
В самом деле, X [\(У \iZ) — (X [\Y)\i(X~r[Z) = 0 и, с другой
стороны, X П 7Ц1=(Х П Y) U (X П Z) = 0.
Теорема 5. Множества X и Y отделимы тогда и только
тогда, когда они не пересекаются и замкнуты относительно
своего объединения.
Доказательство. Если множества X и К отделимы, то, со-
согласно соотношению A), мы имеем
Это равенство означает, что множество X (так же как и множе-
множество К) замкнуто в множестве X \]Y. _
С другой стороны, если X [~| Y — 0 и X = Xf](X\jV), то
Теорема 6. Множество Ft(X) отделяет внутренность
множества X от внутренности его дополнения.
Действительно,
— Fr(A') = l- (Х[\\ ~Х) =

66 Гл. 1. Топологические пространства
VI. Двойственность между операциями замыкания и взятия
внутренности множества. Формула — А" = Int (— X) позволяет рас-
распространить двойственность алгебры Буля (основанную на правилах
Моргана) на утверждения, выраженные с помощью операций А
и Int Л. А именно, так как эти операции двойственны, то из любого
истинного высказывания такого рода можно получить двойственное
истинное высказывание, заменяя все операции двойственными (напо-
(напомним, что двойственными являются операции А\]В и Af\B; A—В
и А: В; А<=В и А=>В; 0 и 1, см. § 1, II).
Например, таким способом можно получить соотношение II A)
из § 4, аксиомы 1; II B) из § 4, III D); II A4) из § 4, III (За) и
т. д.
Следует заметить, что вместо операции замыкания X в качестве
основной операции при определении !) топологического пространства
можно рассматривать операцию взятия внутренности множества Int (А').
Этому соответствуют следующие аксиомы:
а) Ini (X П К) = Int (X) П Int (К);
|3) Ы(Х)сХ;
У) Int(l) = l;
б) Int [Int (A')] = Int (X).
§ 7. Окрестность точки. Локализация свойств
1. Определения. Множество X называется окрестностью
точки р, если р ^lnt(X), т. е. если точка р есть внутренняя точка
множества X; иначе говоря, если точка р не принадлежит множе-
множеству 1 — X.
Открытое множество является окрестностью каждой из своих
точек. Всякая окрестность точки р содержит открытую окрест-
окрестность этой точки, а именно внутренность этой окрестности.
Каждое надмножество какой-либо окрестности точки р также
является окрестностью точки р. Пересечение двух окрестностей
точки р есть окрестность этой точки, ибо (см. § 6, II A))
Int (А* П Y) = Int (X) П Int (К).
Таким образом, семейство окрестностей точки р является
фильтром.
Подмножество X множества Е называется окрестностью точки, р
относительно множества Е, если точка р принадлежит внутрен-
внутренности множества X относительно множества Е, т. е. р ? Е—Е — X.
') Понятие границы также можно положить в основу определения
топологического пространства. См. Зарицкий [1] и Альбукерк [1].

§ 7. Окрестность точки. Локализация свойств 67
Если множество Xt есть окрестность точки р относи-
относительно Et (i = О, 1), то множество A'qU^i есть окрестность
точки р относительно ЕО\]ЕХ.
В самом деле, имеем p^Eof]El — (Ео—ХО\]ЕХ -Хх). Так как
(Ео - Хо) U (Е1 - Х^[Е0 - (Хо U Хх)\ U [Е, — (Хо и Х{)\ =
= (Ео U ЕО - (Хо U ХО. го ре (Ео U ЕО - (?0U Ях) — (*0 U ^i).
Н. Необходимые и достаточные условия.
Теорема 1. Для того чтобы точка р принадлежала X,
необходимо и достаточно, чтобы любая окрестность Е точки р
удовлетворяла неравенству Х[\Еф{).
Действительно, пусть р^Х, и пусть Е — произвольная окрест-
окрестность точки р. Это означает, что точка р не принадлежит множе-
множеству 1 — Е, но тогда р? X — 1 — EczX — A —?) = X [\Е, и поэтому
ХГ\ЕФО.
С другой стороны, предположим, что каждая окрестность Е точки р
удовлетворяет неравенству X f] E Ф 0. Отсюда вытекает, что множе-
множество 1 —X не является окрестностью этой точки и, следовательно,
р?\—(\-Х) = Х.
Отсюда непосредственно получаем такое следствие:
Следствие 1а. Для того чтобы точка р принадлежала
Fr(A'), необходимо и достаточно, чтобы любая окрестность Е
точки р удовлетворяла двойному неравенству Е Г) ХфОфЕ — X.
Следует заметить, что в двух предыдущих предложениях термин
„окрестность точки р" можно заменить термином „открытое множе-
множество, содержащее точку р".
Замечание. Определение топологического пространства (§ 4,1)
можно сформулировать эквивалентным образом, если в качестве исход-
исходного понятия взять открытую окрестность (о. о.) точки и потребо-
потребовать выполнения следующих аксиом'):
A) Всякой точке р соответствует по крайней мере одна
о. о. Каждая о. о. точки р содержит точку р.
B) Пусть U и V—две о. о. точки р; тогда существует о. о.
точки р, содержащаяся в U f] V.
C) Пусть О—некоторая о. о. точки р и q?_U; тогда су-
существует о. о. V точки q, содержащаяся в U.
Легко видеть, что в топологическом пространстве условия А—С
имеют место.
') См. Хаусдорф [1], стр. 213. О первых работах в этом направлении
см. Гильберт [1]. Ср. также с (К)-пространствами („окрестностными" про-
пространствами) Фреше [5], стр. 172.
5*

68 Гл. I. Топологические пространства
Обратно, если в пространстве, удовлетворяющем условиям А — С,
определить замыкание при помощи утверждения 1, то пространство
станет топологическим (в смысле § 4, I) ')•
III. Сходящиеся фильтры. Мы скажем, что (собственный) фильтр F
(см. § 1, VII) сходится к точке р, если каждая окрестность этой
точки принадлежит F (т. е. если фильтр F сильнее, чем фильтр всех
окрестностей точки рJ).
В хаусдорфовом пространстве любой (собственный) фильтр F
может сходиться лишь к одной точке, называемой пределом
фильтра F.
В самом деле, пусть а Ф Ь — предельные точки фильтра F, и
пусть А и В — непересекающиеся окрестности точек а и Ь. Тогда
A?F, B?F и, следовательно, A(]B?F. Но А()В = 0, поэтому
пустое множество 0 должно принадлежать F, что невозможно.
IV. Локализация. Пусть Р — некоторое свойство множеств. Обо-
Обозначим через Р семейство множеств, обладающих этим свойством.
Во многих случаях применяется следующая локализация.
Определение. Множество X обладает свойством Р
в точке р, если существует окрестность Е этой точки, такая, что
Xf\E?P. Через X* обозначается множество точек р (принадлежа-
(принадлежащих или не принадлежащих множеству X), в которых X не обла-
обладает свойством Р.
Например, если семейство Р состоит только из пустого множества, то,
согласно утверждению 1 п. II, X* = X. Локализация свойства множества
быть конечным или счетным приводит, как мы увидим (§ 9 и 23), к понятиям
производного множества и множества точек конденсации множества X.
Изучим операцию X* в том случае, когда семейство Р является
идеалом (см. § 1, VII), т. е.
(I) (Х?Р и YtzX)=$(Y?P);
(И) (Х?Р и Y?P)=$(XUY€P).
Следствия из условия A). Если выполняется условие (i),
то в предыдущем определении окрестность Е можно считать откры-
открытой. В самом деле, согласно п. I, каждая окрестность Е точки р
содержит некоторую открытую окрестность О точки р; следова-
') Эквивалентность топологий, вводимых при помощи замыкания и при
помощи окрестностей, изучалась Деем [1] при более слабых предположе-
предположениях (когда выполняются не все аксиомы замыкания 1—4). См., кроме того,
Рибейро [1].
2) Дальнейшие определения и теоремы см. в книге Бурбаки [1], гл. 1,
§ 6, 7,

§ 7. Окрестность точки. Локализация свойств 69
тельно, если Х(\Е?Р, то из включения X C\OczX f\E вытекает,
что X П G ?Р- Отсюда в свою очередь следует, что множество 1—X*,
как объединение открытых множеств, открыто. Следовательно, мно-
множество X* замкнуто. Так как РфО, то 0?Я.
Покажем теперь, что
A) (
B) Х
C) если О — открытое множество, то О f] X* = Gf|(O П X)*.
В самом деле, пусть XaY, р^Х* и О — открытое множество,
содержащее точку р. Тогда X[]G^P, и так как X [)OczY [) G, то
из условия (i) вытекает, что Y[\G(fcP. Следовательно, р ? К*.
Так как (\-_Х)Г\ X = 0?Р, то 1 — Xcl — X*, т. е. Л^сгЛГ.
Отсюда {X*fcX* = X*.
Пусть теперь р ?G [} X*. Тогда, если Н — окрестность точки р,
то Н [}О П X (рЯ (так как H[]G~ окрестность точки р). Отсюда
вытекает, что p?(G(}X)*. Таким образом, G П X*cz(Gf\X)*. С дру-
другой стороны, согласно A), из включения 0[}ХсХ следует, что
(OnXfcX*. поэтому G П(О П X)*с=.G(}X*. Из последнего вклю-
включения вытекает справедливость равенства C).
В соответствии с равенством C) тот факт, что множество X
обладает или не обладает некоторым свойством в точке р, связан
лишь с окрестностью этой точки, т. е. является фактом „локальным".
Заметим, наконец, что из предложения A) вытекают (см. § 4, III)
следующие формулы:
D) (ХПУ)*<=Х*ПУ*;
E) (fWcn*:;
F) UATcdW.
Следствия из условий (i) и (и).
G) (X U К)* = X* U Г;
(8) X*—Y*<=(X—Y)*.
В самом деле, если р(^Х*, то существует окрестность G точки р,
такая, что X (]G ?/\ Точно так же, если p&Y*, то существует
окрестность Н точки р, такая, что Y [\Н?Р. Согласно условию (i),
X П О П Я ? Я и Y flGf\H ?Р, откуда, в силу условия (ii),
(Х\}У)(]О(]Н^Р. Итак, p$(X\)Yy, следовательно, (XUVfcz
U У*. Обратное включение является частным случаем формулы F).

70 Гл. 1. Топологические пространства
Формула (8) вытекает из равенства G); см. § 4, III, правило C).
V. Локально замкнутые множества.
Определение. Множество X (с 1) называется локально замк-
замкнутым в точке р?Х, если существует открытое множество О,
содержащее р, такое, что множество О П X замкнуто в G (см. Бур-
баки [1]).
Теорема 1. Множество всех точек р?Х, в которых мно-
множество X не является локально замкнутым, совпадает с мно-
множеством X П X — X (называемым вычетом1) множества X).
Доказательство. Предположим сначала, что р?Х[\Х— X.
Положим 0=1 — X—X; тогда G— открытое множество, содер-
содержащее точку р. Кроме того,
О ПА"— А" = 0, откуда О ПА" — А" = 0;
следовательно, G[}X<^X. Отсюда вытекает, что G f] XczG fl Xc
czGf]X, и окончательно мы получаем равенство G f] X = G f] X.
Таким образом, множество G П X замкнуто в G.
Далее, предположим, что множество X замкнуто в точке р.
Пусть G — открытое множество, содержащее точку р и такое, что
G П X замкнуто в G, т. е. G П X = G Л X f] G. Мы покажем, что
Gel — X — X, т. е. ~Х — Ха\— G, или ~Х — X<= 1—G (G — откры-
открытое множество). Имеем
X - X аХ — (G П X) = X — (ОТГХ П О) = {X— GuX) U @ — О);
но, согласно §4, III C), А" — G f] А"с= X — Gf| А" = А" — Oj=A — 0 =
= 1 — 0. Таким образом, Л* — А"с:1—О, откуда р^Х-- X.
Следствие 1а. Множество X локально замкнуто в каждой
своей точке тогда и только тогда, когда X есть разность
двух замкнутых множеств или (эквивалентно, ср. § 6, III)
когда множество X ~ X замкнуто.
По теореме 1 локальная замкнутость множества X в каждой точке
означает, что X f] X — X = 0. Это равенство эквивалентно включе-
включению X —ХаХ — X, откуда следует, что множество Л" — X замкнуто.
Замечание 1. Для регулярных пространств данное выше опре-
определение локальной замкнутости может быть выражено в терминах
'} Более подробно о вычетах см. § 12, VII и VIII.

§ 8. Всюду плотные, граничные и нигде не плотные множества 71
общего определения локальных свойств, сформулированного в п. IV,
а именно справедлива
Теорема 2. Для того чтобы подмножество К регуляр-
регулярного пространства было локально замкнутым в точке р?Х,
необходимо и достаточно, чтобы существовала окрестность Е
точки р (относительно пространства), такая, что множе-
множество Е П X замкнуто.
Предположим, что множество X локально замкнуто в точке р ? X.
Пусть G—открытая окрестность точки р, такая, что множество
О л X замкнуто в G, т. е. G Л X = G Л X Л G. Так как пространство
регулярно, существует открытое множество Н, такое, что р?Н
и Had. Следовательно,
Итак, множество Е = Н является окрестностью точки р и имеет
замкнутое пересечение с множеством X. Поэтому сформулированное
условие необходимо.
Для доказательства достаточности положим G = Int(Z:). Так как
множество Е Л X замкнуто, то множество О Л X = G Л (Е Л X) замк-
замкнуто в G.
Замечание 2!). Теорема 2 не имеет места в нерегулярных
пространствах.
Действительно, если пространство нерегулярно, то оно содержит
точку р и открытое множество 0 3 р, такие, что никакое замкнутое
множество FezG не является окрестностью точки р. Поэтому мно-
множество X = G локально замкнуто в точке р (см. следствие), хотя
условие теоремы 2 не выполняется.
§ 8. Всюду плотные, граничные и нигде не плотные
множества
1. Определения. 1. Множество X называется всюду плотным,
если ^=1 (Кантор [2], стр. 2).
2. Множество X называется граничным, если его дополнение
всюду плотно, т. е. \ — X —\.
3. Множество X называется нигде не плотным2), если его за-
замыкание является граничным множеством, т. е. 1—Х = 1.
') Это замечание принадлежит Галчинской-Карлович.
2) Это понятие восходит к Дюбуа-Реймону [1].

72 Гл. 1. Топологические пространства
4. Пространство, содержащее счетное всюду плотное подмноже-
подмножество, называется сепарабельним1).
Примеры. В пространстве действительных чисел рациональные числа
образуют всюду плотное граничное множество. Однако это множество не
является нигде не плотным.
В плоскости окружность круга является нигде не плотным множеством.
В интервале @, 1) канторово множество # является нигде не плотным.
Очевидно, что всякое надмножество всюду плотного множества является
всюду плотным, всякое подмножество граничного множества является гра-
граничным, всякое подмножество нигде не плотного множества является нигде
не плотным.
Всякое нигде не плотное множество является граничным. Обратно, всякое
замкнутое граничное множество является нигде не плотным.
Граничное множество может быть открытым только в том случае, если
оно пустое.
II. Необходимые и достаточные условия2). Равенство 1 — X = 1
эквивалентно формуле Int (A') = 0.
Таким образом, граничные множества можно определить как
множества, не содержащие ни одной внутренней точки, или
не содержащие непустого открытого множества. Так как равенство
Int(A') = 0 эквивалентно включению XcFr(X) (см. § 6, II C)), то
можно еще определить граничное множество как множество, содер-
содержащееся в своей границе, или как множество, удовлетворяющее
включению Xczl — Л"г. Отсюда следует, что X является граничным
множеством тогда и только тогда, когда X а\ — X или, что то же
самое, когда
—X.
Это последнее включение характеризует, таким образом,
нигде не плотные множества.
Другое необходимое и достаточное условие того, что некоторое
множество X нигде не плотно, формулируется так: каждое непу-
непустое открытое множество содержит непустое открытое
подмножество, не пересекающееся с X.
В самом деле, если X — нигде не плотное множество, то X, как
граничное множество, не содержит открытого непустого множества.
Следовательно, если О — произвольное открытое множество (фО),
то множество О—X не пусто, открыто и не пересекается с X.
С другой стороны, если множество X не является нигде не плот-
плотным, то множество X не является граничным, следовательно,
') См. Фреше, [1], стр. 23. По поводу локально сепарабельных про-
пространств (понятие введенное П. С. Урысоном [8], стр. 119) см. Александров [За]
и Серпинский [49]
2) О многочисленных свойствах всюду плотных, граничных и нигде не
плотных множеств см. Уоллес [1], стр. 420.

§ 8. Всюду плотные, граничные и нигде не плотные множества 73
O. Если Q — открытое непустое подмножество множества
Int(A"), то G с Int (X) с X, откуда О f] X Ф 0 и, следовательно,
О п X ф 0 (см. § 5, III). Это означает, что открытое непустое мно-
множество Int (Л*) не содержит никакого открытого непустого подмноже-
подмножества, которое не пересекалось бы с X.
III. Операции.
Теорема 1. Объединение граничного и нигде не плотного
множества является граничным множеством1).
Доказательство. Пусть 1 — X = 1 = 1 — К. Из § 4, III C)
следует, что 1 — 7 = 1 — X — КсA — X)^Y = 1 — (X [} Y). От-
Отсюда 1 = 1 — Kcl — (Л'U К), и окончательно 1— (X\]Y)—\.
Теорема 2. Объединение двух нигде не плотных множеств
является нигде не плотным множеством. (См. Янишевский [1],
стр. 26.)
Доказательство. Пусть X и Y — нигде не плотные мно-
множества, тогда X и К —также нигде не плотные множества и, согласно
теореме 1, X U Y — граничное множество. Так как множество X U V
замкнуто, оно нигде не плотно, что и требовалось доказать.
Теорема 3. Пусть {Х^ — семейство множеств, откры-
открытых относительно множества \J Xv Если каждое Хь является
L
граничным (соответственно нигде не плотным) множеством,
то множество (J Х1 также граничное (соответственно нигде
i
не плотное).
Это следует из теоремы § 6, IV, если заметить, что Int(A',^) = О,
соответственно
IV. Разложение границы.
Теорема 1. Граница произвольного множества X разла-
разлагается на два граничных множества, а именно множество
X п 1 — X = X ~ Ы(Х) и множество Х — Х.
Формула Fr(X) — (X П 1 — X) U (X — X) была установлена в § 6
A1F)). Достаточно показать, что множество X П 1 — X является гра-
') Тогда как объединение двух граничных множеств может не быть гра-
граничным множеством; например, объединение множеств рациональных и ирра-
иррациональных чисел в пространстве действительных чисел.

74 Гл. 1. Топологические пространства
ничным, ибо множество X ~- X получается из него подстановкой
1 — X вместо X. Имеем
1 = 1 —Л1 U A — 1- Х)с\ — XU 1 - 1 -
= A - X) и A — 1 — X) = 1 — (X п 1 — А"),
что и требовалось доказать.
Замечание. Одновременно мы доказали, что граничные мно-
множества можно определить как множества вида X |~| 1—X (а следо-
следовательно, как множества вида X — X).
Теорема 2. Если множества X и Y отделимы, то мно-
множество X П У нигде не плотно.
В самом деле, так как X [\Y = 0, мы имеем
X f\Y = (X ft? f\Y)\}(X [\Y — К) = (ХПК) — КсГ — Y,
но, согласно теореме 1, множество К — Y нигде не плотно.
Теорема 3. Если X открыто или замкнуто, то Fr(A') ни-
нигде не плотно.
В самом деле, если X = X, то Fr (X) = X f\ I —X; последнее же
множество, будучи граничным (по теореме 1) и замкнутым, нигде
н'е плотно.
Случай, когда множество X открыто, рассматривается аналогично.
V. Множества, открытые по модулю нигде не плотных мно-
множеств. Пусть /—идеал нигде не плотных множеств.
Множество А называется открытым по модулю /, если сущест-
существует открытое множество О, такое, что А конгруэнтно О по модулю
/(Л — Gmod/, ср. § 2, VIII), иначе говоря, если А — О и О — А
нигде не плотны.
Аналогично определяются множества, замкнутые по модулю I.
Каждое замкнутое множество F открыто по модулю I.
В самом деле, F — Ini(F)U Fr(F) и Fr(F) нигде не плотно (IV, тео-
теорема 3).
Аналогично каждое открытое множество замкнуто по мо-
модулю I. Таким образом, семейства множеств, открытых по модулю /
и замкнутых по модулю /, совпадают.
Теорема I. Семейство всех множеств, открытых по мо-
модулю нигде не плотных множеств, является полем, т. е. если
Ai и А2 открыты mod/, то Ах\] Аг, А1[\А2 и \—Ах открыты
mod /,

§ 8. Всюду плотные, граничные и нигде не плотные множества 75
Доказательство. Пусть A1^-'Gl и А2~О->, где Gr и О,
открыты. Тогда (см. § 2, VIII) Al[jA2^GlU О2 и А~П А, — Q1 f] G2.
Остается показать, что если A~G, то существует открытое мно-
множество Н, такое, что Г-—А — Н. Поскольку А -~ G, мы имеем
1—А -~ 1—О. Замкнутое множество 1—О открыто mod /, по-
поэтому существует открытое множество Н, такое, что 1—G — Н.
Следовательно, 1 — А~ Н.
Теорема 2. Множество А открыто mod/ тогда и только
тогда, когда существует открытое множество Н, такое, что
На А и А — Н нигде не плотно.
Доказательство. Достаточность этого условия очевидна.
Предположим теперь, что А — О и О — А нигде неплотны. Положим
H = G[\\nt(A). Тогда
А - Н = (А — О) U (Л П 1 — А) = (А - О) U (О f] A f] 1 — А).
Поскольку О П 1 —ЛсгО — Л (так как G открыто), отсюда следует,
что
А — Нс(А — G) U О —А.
Это завершает доказательство (в соответствии с теоремой 2 из
п. III).
Теорема 3. Множество А открыто mod/ тогда и только
тогда, когда Рг(Л) нигде не плотно.
Доказательство. 1. Пусть Л открыто mod/, и пусть, в со-
ответствии с теоремой 2, А = Н U /V, где Н открыто, а N нигде не
плотно. Тогда Рг(Л)сгРг(Я) U Fr (N) (в силу § 6, 11(8)). Поскольку
каждое из множеств Fr(W) и Fr(/V) нигде не плотно, их объединение
также нигде не плотно (по теореме 2, п. III).
2. Предположим, что множество Рг(Л) нигде не плотно. Поскольку
Л = Int(/4)|J И Л Fr(/4)], отсюда следует, что Л открыто mod/.
Из предыдущих теорем вытекают такие следствия.
Следствие 1. Множество X открыто mod / тогда и только
тогда, когда оно является разностью замкнутого и нигде не
плотного множеств.
Действительно, \—(G\}N) = (\—G) —N.
Следствие 2. В семействе множеств, открытых mod/,
понятия граничного множества и нигде не плотного множества
совпадают.
В самом деле, пусть X — граничное множество вида X = G\]N;
тогда открытое множество G пусто, и поэтому X совпадает с ни-
нигде не плотным множеством N.
Замечание 1. Как мы увидим в § 9, VI, каждое разрежен-
разреженное множество открыто по модулю семейства нигде не плот-

76 Гл. 1. Топологические пространства
ных множеств. Другое интересное семейство множеств, открытых
по модулю /, будет получено в § 12. В § 13, VI мы рассмотрим
некоторые соотношения между точечно-разрывными функциями и
множествами, открытыми mod/.
Замечание 2. Следует заметить, что множества, открыто-
замкнутые mod/, т. е. множества вида А~{Н—N)\]{N— Н),
где Н открыто-замкнуто, а N нигде не плотно, можно охарактери-
охарактеризовать условием1)
Более общая задача в этом направлении была рассмотрена Чеп-
меном [2]. А именно он изучал полугруппу всех операторов, по-
порожденных операторами замыкания и взятия внутренности множества
(их всего 7, ср, § 4, V), и нашел условия на А, при которых
01{А)=02{А), где Ох и О2 — элементы этой полугруппы.
VI. Относительные свойства. Пусть X <z.E\ множество X назы-
называется всюду плотным (соответственно граничным, нигде не плот-
плотным) относительно Е, если
X ПЕ = Е (соответственно Е — Х[\Е~Е, Е-—Х{]Е =
т. е. если ЕаХ (соответственно ЕсЁ—X, ЕаЕ— X).
Согласно п. II, условие того, что множество X является гранич-
граничным (соответственно нигде не плотным) относительно Е, выражается
также включением ХаЕ— X (соответственно ХсЕ — X).
Следующие утверждения очевидны.
Теорема 1. Множество X плотно в X; множество X—X
является граничным в X; согласно § 6, II A2), множество
X П Int(Fr(A')) является одновременно плотным и граничным
в множестве Int[Fr(A')].
Теорема 2. Если множество X плотно в Е, то оно плотно
в каждом подмножестве Е {содержащем X); если множество X
граничное {или нигде не плотное) в Е, то X граничное {или
нигде не плотное) относительно каждого подмножества Е.
Теорема 3. Если X плотно в Y и Y плотно в Z, то X
плотно в Z. В частности, если X плотно в Y, то X плотно
в К.
') Теорема Н. Левина [1]. Эта теорема представляет интерес в связи
с метастоуновскими пространствами в смысле Диксмье [1]. Ср. Чода и
Матоба [1]. - ¦ "

§ 8. Всюду плотные, граничные и нигде не плотные множества 77
Теорема 4. Если X нигде не плотно в Е, то множество
X П Е нигде не плотно в Е.
В самом деле, по предположению мы имеем XczE— X. Следо-
Следовательно, в силу формулы Е—Х—Е — XczE — X, имеет место
включение XczE—X, откуда X f\EczE — XczE — Х[]Е, что и
требовалось доказать.
Теорема 5. Пусть G— некоторое открытое множество,
и пусть X — граничное (нигде не плотное) множество; тогда
множестве X Л G является граничным (нигде не плотным)
относительно G, а множество X f] G—относительно G.
В самом деле, если X — граничное множество, то Xczl — X;
следовательно, X [}Gczl—X П О, и так как, согласно § 5, III,
имеет место включение 1—X [\GczG— X, то X{\GczG— Х =
()
Аналогичным образом, если X — нигде не плотное множество,
то Xczl—X, откуда
X П Gcz I — X П GczG — XczQ — X П О.
Кроме того, Xr\G = (X()G){)(X П(О— G)), и так как мно-
множество G — О, а следовательно, и множество X(](G — G), согласно
теореме 1, нигде не плотны в G, то оставшаяся часть утверждения
теоремы 5 следует из п. III.
VII. Локализация. ]Множество X называется граничным (нигде
не плотным) в точке р, если существует окрестность G точки р,
такая, что множество X f\G является граничным (нигде не плотным).
Так, например, на плоскости множество, состоящее из круга (включая
его внутреннюю часть) и сегмента, имеющего только одну общую точку р
с данным кругом, является локально нигде не плотным в каждой точке
сегмента, кроме точки р, но это множество не является нигде не плотным
ни в какой точке круга.
Так как каждое подмножество граничного (нигде не плотного) мно-
множества тоже является граничным (нигде не плотным), в предшествую-
предшествующем определении можно заменить термин окрестность термином
открытая окрестность (см. § 7, IV).
Теорема 1. Множество X нигде не плотно в точке р
тогда и только тогда, когда X является граничным множе-
множеством в этой точке.
В самом деле, пусть множество X не является нигде не плотным
в точке р, и пусть О — открытое множество и p?G; .тогда мно-

78 r.i. 1. Топологические пространства
жество G [\ X не является нигде не плотным; следовательно, суще-
существует открытое множество Н, такое, что ОфН(^0[\Х. Тогда
(см. § 5, III) H = H(}G[}XczH[}Gr\X, откуда rtflG^O, и так
как ЯП GcrG Л О П XaG f| X, то О Л X не является граничным
множеством, следовательно, X не является граничным множеством
в точке р.
Обратно, если множество X не является граничным в точке р ? G,
то существует открытое множество Н, такое, что О Ф HczG По-
Последовательно, Н<=G A Xa G П X, а это означает, что множество X
не является нигде не плотным в точке р.
Теорема 2. Множество точек, в которых X не является
локально граничным, совпадает с lnt(X); множество точек,
в которых X не является локально нигде не плотным, совпа-
совпадает с \п\.(Х).
В самом деле, пусть р ?\ni(X) и G — открытая окрестность
точки р. Из неравенства G Л Int (О) Ф 0 следует, что О Ф Q Л Int (JNf)cz
czG[)X. Это соотношение означает, что множество X не является
граничным в точке р.
Обратно, пусть /? ? 1 — Int (Л"); тогда множество G = 1 — Int (Л")
есть открытая окрестность точки р, такая, что G [\ X — граничное
множество, ибо
Int (G Л X) = Int (G) П Int {X) — [\— Int (X)} П Int (А') == 0.
Вторая часть нашего предложения вытекает из первой в силу
теоремы 1.
Теорема 3. Множество точек из X, в которых X или
X— локально граничное {нигде не плотное) множество, является
граничным {нигде не плотным).
В частности, если X является локально граничным {нигде не
плотным) множеством в каждой своей точке, то X—гра-
X—граничное (нигде не плотное) множество.
В самом деле, имеет место соотношение X — lnt(X)c:X — lni(X),
и так как последнее множество, согласно п. IV, является граничным,
то и множество X — Int (X) является граничным.
Аналогичным образом X — Int(A')c:A' — lnt(X), и так как по-
последнее множество является замкнутым и граничным, а следовательно,
нигде не плотным, то и множество X — Int (X) нигде не плотно.
Замечание. Согласно теореме 2 п. III, семейство нигде не
плотных множеств является идеалом, Поэтому в формулы A) — G),

§ 8. Всюду плотные, граничные а нигде не плотные множества 79
§ 7, IV можно подставить Int(A') вместо X*. Отсюда, в частности,
следует, что
Int (X) U Int (К) = Int (X~\jY),
(О
Из теоремы 5 п. VI следует утверждение
(п) Пусть О—открытое множество и X — граничное (нигде
не плотное) множество в некоторой точке р; тогда
множество X П G является граничным (нигде не плотным)
в точке р относительно О (если p?G), а множество
X П О—относительно О (если p?G).
В самом деле, по предположению существует окрестность Н
точки р, такая, что Н$\Х — граничное (нигде не плотное) множество.
Следовательно, согласно п. VI, 5 (если подставить Н |~| X вместо X),
Н П О П X есть граничное (нигде не плотное) множество относительно G,
а множество HflGflX относительно G; кроме того, множества Н (] G
и Н П G являются окрестностями точки р относительно множеств
соответственно G и О.
VIII. Замкнутые области'). Множество X называется замкну-
замкнутой областью, если оно замкнуто и не является локально нигде не
плотным множеством ни в одной из своих точек; иначе говоря (см.
п. VII), если Х = Ы(Х) или если X = 1 — A — X).
Замкнутые области можно также определить как замыкания
открытых множеств2).
В самом деле, предшествующая формула показывает, что каждая
замкнутая область является замыканием открытого множества. Обратно,
если G — открытое множество и X = О, то О есть открытое под-
подмножество множества X. Следовательно, имеет место включение
Gclnt(X)c=.X, откуда Gc:\nt(X)czX = 0. Итак, X = Ы(Х).
Включение Fr(A')cz Int (X) характеризует замкнутые области
среди замкнутых множеств.
') По поводу этого термина см. Лебег [3], стр. 273. О теоремах см,
Куратовский [7], стр. 192 — 195 и [9], стр. 117.
2) Так как множество Int (X) является замкнутой областью, то
Int Int (X) = Int (X), откуда 1 — 1 — 1 — X = 1 — X,
Ср. со схемой, данной в § 4, V.

80 Гл. 1. Топологические пространства
В самом деле, оно выполняется, если множество X— замкнутая
область, поскольку Рт(Х)аХ. Обратно, если Ft(X)alnt(X), то
Х = Fr (X) U Int(X) = Fr (X) U Int (X) —ТгГГЩ
Если X —замкнутая область, то
Fr (X) = Fr (I — X) = Fr [Int (X)].
Действительно, Fr (X) = X f] 1 — X =1—1 — X f) 1 — X = Fr A — X).
Объединение двух замкнутых областей есть замкнутая
область.
Более общо пусть (DJ—семейство замкнутых областей:
тогда множество |J?\ ^стъ замкнутая область.
Это утверждение следует из VII (i).
Пусть X— подмножество замкнутой области D и p?D;
тогда для того, чтобы множество X было граничным {нигде
не плотным) в точке р, необходимо и достаточно, чтобы X
было граничным {нигде не плотным) в этой точке относи-
относительно множества D.
В самом деле, это условие является необходимым, поскольку
в VII (Н) множество G можно заменить множеством D. Обратно,
если О — открытое и G П X — граничное (нигде не плотное)
множество относительно D, то О (] X—граничное (нигде не плотное)
множество относительно всего пространства. Это означает, что сфор-
сформулированное условие является достаточным.
Таким образом, ясно, что при тех же предположениях о X и D
свойство множества X быть замкнутым, нигде не плотным, зам-
замкнутой областью эквивалентно соответствующему свойству
множества X относительно множества D. Действительно, первое
(второе) свойство означает, что множество X является локально гра-
граничным (нигде не плотным) в каждой своей точке, а третье свойство
означает, что X не является нигде не плотным ни в одной из своих
точек.
Отсюда следует, что свойство быть относительно замкнутой
областью транзитивно, т. е. если X — замкнутая область отно-
относительно Y, а К — замкнутая область относительно Z, то X — зам-
замкнутая область относительно Z.
IX. Открытые области. Открытая область есть дополнение
к замкнутой1).
!) Об одном интересном применении этого понятия к проблеме тополо-
топологической интерпретации исчисления высказываний см. Тарский [3], стр. 127.
О приложениях к булевой алгебре см. Биркгоф [1]; Стоун М. [5], стр. 375,
р [3], стр. 263; Халмош [1], § 4.

§ 9, Точки накопления 81
Открытые области можно также охарактеризовать равенством
X — Int (X). В самом деле, если X = Int (X) — 1 — 1 — А", то мно-
множество X, как дополнение к замкнутой области 1—X, является
открытой областью. Обратно, пусть множество X — открытая область,
положим D=l—X; так как D — замкнутая область, имеет место
равенство 1 — 1 — Х=1 — 1 — 1— D = 1 — D = X.
Открытые области можно также определить как открытые мно-
множества, удовлетворяющие включению Fr (A')crInt A—X). Действи-
Действительно, Fr(A') = Fr(l—X), и для того чтобы множество 1—X
было замкнутой областью, необходимо и достаточно, чтобы выпол-
выполнялось включение Fr A—Л") с Int A—X).
Если X — открытая область, то
В самом деле, Fr (А') = X — X = X — Int (А') = X П 1 — X = Fr (A*).
Так как объединение двух замкнутых областей является замкну-
замкнутой областью, то пересечение двух открытых областей есть откры-
открытая область.
§ 9. Точки накопления
I. Определения. Точка р называется точкой накопления мно-
множества X, если р?Х — р. Множество Xй точек накопления мно-
множества X называется производным множеством (или производной)
множества X.
Точка р называется изолированной точкой множества X, если
р ? X ~ Xd ')•
Мы будем предполагать, что рассматриваются ^-пространства.
Примеры. Любое действительное число есть точка накопления мно-
множества всех действительных чисел. Любое натуральное число изоли-
изолировано в множестве всех натуральных чисел; производное множество
этого множества пусто. Множество А чисел вида 1/п-\-1/т (я = 1, 2, ...;
/л = 1, 2, ...) имеет своим производным множество, состоящее из чисел
вида 1/гс и числа 0; его второе производное множество (т. е. производное
производного) состоит только из числа 0; его третье производное множе-
множество пусто. В гл. 2, § 24, п. IV мы будем изучать производные трансфинит-
трансфинитного порядка.
II. Необходимые и достаточные условия. Для того чтобы
p?Xd, необходимо и достаточно, чтобы любая окрестность Е
точки р удовлетворяла неравенству (Х[}Е) — рфО.
') Эти понятия введены Г. Кантором [1], стр. 129. Кантор использовал
также термины „coherence" и „adherence" для множеств X[]Xd и X—Xd,

82 Гл. 1. Топологические пространства
Для того чтобы точка р была изолированной точкой мно-
множества X, необходимо и достаточно, чтобы существовала
окрестность Е точки р, такая, что Х(]Е = р.
В самом деле, согласно § 7, II, условие р ? X — р выражается
неравенством (X — р) f| E Ф 0.
Согласно тому же предложению, термин окрестность можно
заменить термином открытая окрестность. Неравенство X f| E —
— рфО можно заменить условием „множество Х(]Е бесконечно".
В самом деле, пусть Е — окрестность точки р, такая, что мно-
множество X П Е конечно, тогда множество (Х(]Е) —р замкнуто и мно-
множество А = Е — (X П Е—р) есть окрестность точки р, такая, что
Установив это, мы получим, что условие р?Ха сводится к сле-
следующему: множество X не является локально конечным
в точке р.
III. Некоторые формулы'). Так как семейство всех конечных
множеств является идеалом, то к операции X можно применить фор-
формулы § 7, относящиеся к локализации. Тогда мы, в частности, получим:
A) (X U Yf = Xd U Yd;
B) Xd— Yda(X — Yf;
F) X ел ;
D) ffW<
w) ил1с
F) Xd = Xd2);
G) (XcY)=$(XdcYd).
Кроме того, справедлива формула
(8) X = X\jXd.
В самом деле, если р^Х и р^Х, то X — р = Х и р^Х—р\
следовательно, p?Xd. Обратно, пусть p?Xd, тогда р?Х — рсХ.
В силу очевидного равенства pd = 0, из A) вытекает, что произ-
производное множество каждого конечного множества пусто и что
') Аналогичные формулы, касающиеся операции X[\Xd, были устано-
установлены Зарицким [3], стр.' 498.
2) Анализ этого равенства проведен Юнгом; см. Келли [1], стр. 56,

§ 9. Точки накопления 83
т. е. что производное любого множества не изменится, если к этому
множеству добавить или от него отнять конечное число точек.
IV. Дискретные множества. Множество, состоящее только из
изолированных точек, называется дискретным.
Любое конечное множество является дискретным. Любое под-
подмножество дискретного множества также является дискретным.
Множество X — Xd — дискретное, ибо каждая его точка, как
изолированная точка множества X, является изолированной.
Условие изолированности точки р в пространстве выражается
соотношением р ф 1 — р, которое означает, что точка р является
открытым множеством. Пространство дискретно тогда и только
тогда, когда 1^=0, т. е. каждое подмножество этого простран-
пространства замкнуто.
V. Множества, плотные в себе. Множество X называется плот-
плотным в себе, если оно не содержит изолированных точек, т. е. XcXd
(см. Кантор J6], стр. 471).
Если множество X замкнуто и плотно в себе, то оно называется
совершенным; это условие можно выразить равенством X = Xй (так
как для замкнутости множества X, в силу III (8), достаточно выпол-
выполнения включения XdczX).
Теорема 1. Если X плотно в себе, то X совершенно.
Действительно, по предположению XaXd, откуда Xd=
=^X{jXd=X, в силу III (8). Применяя Ш_A) и_ C), получаем
(X)d=Xd\)Xdd=Xd = X, следовательно, (Х)а = Х.
Теорема 2. Объединение произвольного числа плотных
в себе множеств плотно в себе. (Это вытекает из формулы III E).)
Теорема 3. Если пространство плотно в себе, то каждое
открытое а каждое всюду плотное множества плотны в себе.
В самом деле, пусть \a\d, и пусть G — открытое множество,
тогда G=\—F и Fdc=.F. Отсюда
0=1 — Fcl — Fdcld — Fdc(l — F)d = О".
С другой стороны, пусть Х=1. Тогда X [} Xd =\, откуда
Xd\jXdd=ld. Так как XddczXd и la\d, отсюда следует, что 1сХ"
и, значит, XczXd.
Теорема 4. Пусть X—всюду плотное граничное множе-
множество, тогда пространство плотно в себе.
По предположению X =1 — X = 1. Пусть р ? X, тогда 1 — Ха
cl—р, откуда 1 = 1—Ха\—р и, следовательно, р ? 1 — р и
Р? \d. Таким образом, Xa\d. Аналогично 1—Xcz\d. Следовательно,
6*

84 Гл. 1. Топологические пространства
Теорема 5. Каково бы ни было множество X, множества
Int[Fr(X)] и X П Int [Fr (X)) плотны в себе.
Согласно § 8, VI, 1, множество X f~| Int [Fr(A')] является всюду
плотным и граничным в Int[Fr(A')]. Поэтому, в силу теоремы 4,
последнее множество плотно в себе.
Множество X f) Int [Fr(^Y)] плотно в себе, в силу теоремы 3, как
всюду плотное подмножество плотного в себе множества.
Пример. Канторово множество "г? (§ 3, IX) совершенно (и в то же
время нигде не плотно) в интервале @, 1).
VI. Разреженные множества. Множество X называется разре-
разреженным, если оно не пусто и не содержит никакого плотного в себе
подмножества (Кантор [6]; подробное изучение см. в работе Сема-
дени [1]).
Любое дискретное множество является разреженным. Любое под-
подмножество разреженного множества разреженно.
Замечание. Замыкание разреженного (а также дискретного)
множества может не быть разреженным. В самом деле, запишем
каждое рациональное число интервала @, 1) в виде несократимой
дроби pfq; множество точек (p/q, l/q) плоскости является дискрет-
дискретным, хотя его замыкание содержит весь интервал @, 1).
Теорема \. В пространстве, плотном в себе, каждое раз-
разреженное множество нигде не плотно. Следовательно, его до-
дополнение плотно в себе.
В самом деле, если множество X не является нигде не плотным,
то G = Int(X) — открытое непустое множество. Тогда G = G (~| Xс:
aG[)X, а это означает, что О f\ X плотно в множестве G, которое,
будучи открытым, плотно в себе, согласно теореме 3 п. V. В силу
второй части той же теоремы, множество Gf\X плотно в себе. Сле-
Следовательно, множество X не является разреженным. В силу тео-
теоремы 3 п. V, дополнение к граничному множеству плотно в себе.
Теорема 2. Объединение двух разреженных множеств есть
разреженное множество.
В самом деле, пусть X и У—разреженные множества и Z —
плотное в себе множество, такое, что О Ф ZaX \}Y. Тогда Z —
— (Z(]X)c:Y, и так как Z плотно в себе и Z[\X— разреженное
множество, то Z — (Z П X) Ф 0. Более того, в силу теоремы 1 (если
положить в ней 1 = Z), множество Z — (Zf\X) плотно в себе. Сле-
Следовательно, множество У не может быть разреженным.
Теорема 3. Всякое пространство является объединением
двух непересекающихся множеств, одно1) из которых — совер-
') Оно называется ядром пространства. Правила исчисления для ядер,
аналогичные соответствующим правилам для замыкания, производных и т. д.,
были установлены Зарицким [2], стр. 154. По поводу расширения теоремы 3
«а булевы алгебры см. Тарский [4], стр. 306.

§ 9. Точки накопления 85
шенное, а другое — разреженное (разумеется, одно из них может
быть пустым).
В самом деле, пусть Р есть объединение всех плотных в себе
подмножеств пространства 1. Согласно теоремам 2 и 1 п. V, мно-
множества Р и Р плотны в себе, но каждое плотное в себе множество
является подмножеством множества Р, поэтому РаР, т. е. множе-
множество Р замкнуто. Так как Р замкнуто и плотно в себе, оно совер-
совершенно. Наконец, множество 1 —Я не содержит плотных в себе под-
подмножеств (фО).
Теорема 4. Граница разреженного множества является
нигде не плотным множеством.
Множество X A Int [Fr (X)] (которое плотно в себе в силу V, 5)
как подмножество разреженного множества X пусто. Поэтому
Int [Fr (X)] = 0, так как множество X f] Int [Fr (X)] плотно в Int [Fr (X)]
(в силу § 8, VI, 1). Следовательно, множество Fr(A") — граничное,
а так как оно, кроме того, и замкнуто, то оно нигде не плотно.
Замечание. Из § 8, V следует, что разреженное множе-
множество является объединением открытого и нигде не плотного
множеств (а также разностью замкнутого и нигде не плотного
множеств); если разреженное множество является граничным,
то оно нигде не плотно.
Теорема 5. Для того чтобы множество X было разре-
разреженным, необходимо и достаточно, чтобы для любого совер-
совершенного множества Р множество Х(]Р было нигде не плот-
плотным в Р1).
Пусть X — разреженное множество. Согласно теореме 1, если
множество Р совершенно (или, более общо, плотно в себе) и если
оно рассматривается как исходное пространство, то множество X f| P
нигде не плотно в нем. Следовательно, условие является необхо-
необходимым.
Для доказательства достаточности допустим противное, т. е. что
X—не разреженное множество. Пусть D — непустое плотное в себе
подмножество множества X. Положим P — D. Если условие теоремы
выполнено, то множество X fl D нигде не плотно в D. Следовательно
(§ 8, VI, 4), множество X{]D нигде не плотно в D, что невоз-
невозможно, поскольку X f\D —D ФО.
Замечание. В теореме 5 термин совершенное можно заме-
заменить термином плотное в себе.
') См. Фреше [4], стр. 330. См. также Данжуа [2], где. это условие при-
принято в качестве определения разреженных множеств.

Гл. 1. Топологические пространства
§ 10. Множества первой категории
I. Определение. Множество называется множеством первой
категории, если оно является объединением счетного семейства
нигде не плотных множеств 1).
Примеры. В множестве действительных чисел рациональные числа,
очевидно, образуют множество первой категории. Множество иррациональ-
иррациональных чисел не является множеством первой категории: это вытекает из того,
что пространство % действительных чисел не является множеством
первой категории (по отношению к самому себе).
Это последнее утверждение 2) может быть установлено следующим обра-
со
зом: пусть Q = U Nn — множество первой категории (где множества Nn
л = 1
нигде не плотны). Так как Л', нигде не плотно, существует замкнутый интер-
интервал /[, такой, что I\[\N\ =0. Продолжим этот процесс по индукции; пусть
/i Г) 12 => ... 3 /n-i — конечная последовательность вложенных интервалов,
и пусть 1п — замкнутый интервал, такой, что In(Z.In_x и In[\Nn=Q
(такой интервал существует согласно § 8, II, потому что множество Nn
нигде не плотно). В силу классической теоремы Асколи, существует точка,
общая всем интервалам /„, я=1, 2, ...; эта точка не принадлежит Q, и,
следовательно, % Ф Q.
Понятие множества первой категории часто проникает в теорию функ-
функций; в качестве примера отметим следующую теорему (см. § 31, X): пусть
{/я} — сходящаяся последовательность непрерывных функций; точки раз-
разрыва функции / (х) = lim /„ (х) образуют множество первой категории.
Я->со
Во многих проблемах топологии множества первой категории играют
роль, аналогичную роли множеств меры нуль в теории меры (множества,
которыми можно „пренебречь").
Интересно отметить, что семейство подмножеств первой категории ин-
интервала, если принять гипотезу континуума, эквивалентно в смысле теории
множеств семейству подмножеств меры нуль, т. е. существует взаимно одно-
однозначное отображение интервала на себя, устанавливающее взаимно одно-
однозначное соответствие между элементами этих двух семейств (см. Серпин-
ский [54], стр. 276, и [52], стр. 77; см. также Шпильрайн-Марчевский [9],
стр. 325, и Окстоби и У лам [1], стр. 201).
II. Свойства. Семейство множеств первой категории является
о-идеалом, т. е. наследственно и счетно-аддитивно (каждое под-
подмножество множества первой категории есть множество первой кате-
категории, и объединение счетного семейства множеств первой категории
есть множество первой категории).
Теорема 1. Всякое граничное множество типа Fa есть
множество первой категории.
') Это понятие введено Р. Бэром [1], стр. 65. Данжуа использует тер-
термин „gerbe" для множеств первой категории и термин „residuel" для их
дополнений, см. Данжуа [1], стр. 123—125. Множества первой категории
называют также „meager", см. Келли [1], стр. 201.
2) Это частный случай теоремы Бэра (см. далее гл. III, § 34, IV).

§ 10. Множества первой категории 87
со
В самом деле, пусть X = \J Fn — граничное множество, тогда
каждое из множеств Fn также граничное. Следовательно, каждое
множество Fп, как граничное и замкнутое, нигде не плотно.
Теорема 2. Всякое множество первой категории содер-
содержатся в некотором множестве типа Fa первой категории.
со со
Действительно, так как X— (J Nnc: (J Nn и множества Nn
/2 = 1 /2 = 1
нигде не плотны, то и множества Nп нигде не плотны (см. § 8, I).
III. Теорема единственности.
Теорема 1. Пусть {Х^ — некоторое семейство (произволь-
(произвольной мощности) множеств, открытых относительно объедине-
объединения S = \JXl. Если каждое Xv есть множество первой кате-
категории, то S — также множество первой категории. (См. Ба-
Банах [4], стр. 395.)
В самом деле, пусть Glt G2 Ga, ... — некоторая вполне
упорядоченная (трансфинитная) последовательность непустых откры-
открытых непересекающихся множеств, удовлетворяющая двум условиям:
1° S П Оа есть множество первой категории; 2° эта последователь-
последовательность— насыщенная, т. е. не существует непустого открытого мно-
множества G, не пересекающегося ни с одним из множеств рассматри-
рассматриваемой последовательности, такого, что S f] G — множество первой
категории.
Имеет место очевидное равенство 5 = (\J (S f| Ga)\ \] fS — U GA
\o. J \ a J
Теорема будет доказана, когда мы покажем, что:
1) {J (S Л Ga)—множество первой категории;
а
2) S — U Ga — нигде не плотное множество.
а
1) Так как Sf\Ga, по предположению, является множеством первой
категории, то S Л Ga = №{ \J N% U ... U Nan U . . ., где множества TV"
(rt=l, 2, . ..) нигде не плотны. Положим Nn = Nln\}Nn\] .. .
... U Nl U .... Тогда
а
Покажем теперь, что Nn («=1,2, . . .)— нигде не плотные множества.
Так как множества Оа не пересекаются, из включения NanaGa сле-
следует, что yv?f]G[3 = O для всех $Фа. Значит, Л^=Л^("|бр =
== LJ Щ П <5р = Np П Gr)f поэтому множество N^, открыто в Nn.

88 Гл. 1. Топологические пространства
Применяя теорему 3, § 8, III, мы заключаем, что множество Nn
нигде не плотно.
2) Покажем, что множество S—\JOa нигде не плотно. Для этого
а
достаточно доказать, что множество 1 — (J Оа нигде не плотно;
а
так как это последнее множество замкнуто, то достаточно доказать,
что оно граничное.
Допустим противное, т. е. что существует открытое множество И,
такое, что 0=?//с1—(J Ga. Согласно определению последователь-
а
ности {Ga}, S П Н не является множеством первой категории. Пусть
Х1— множество, такое, что Н |"| А\ ф 0. Рассмотрим открытое мно-
множество G = H— 5 — Хг
Множество Sf)G первой категории, так как, поскольку Аг1
открыто S, мы имеем XV = S—5—Хь, следовательно, 5 П G =
== E П Я) — 5 — Л\ = Н П Х^с: Хг С другой стороны, 0=^0, так как
легко видеть, что 0 ф Н |"| XLcG. Наконец, GnGa = 0, каково бы
ни было а, потому что СсЯс1—\J Oa.
а
Таким образом, мы пришли к противоречию с определением
последовательности {Ga}-
IV. Относительные свойства.
1. Если X — множество первой категории относительно Е,
то X является множеством первой категории также отно-
относительно каждого надмножества множества Е.
2. Если X — множество первой категории относительно Е,
то ^П^ — множество первой категории относительно Е.
3. Пусть G — некоторое открытое множество. Если
X—множество первой категории, то X П G — множество пер-
первой категории относительно О, а X ( G — множество первой
категории относительно G.
Эти три утверждения непосредственно следуют из теорем 2, 4
и 5, § 8, VI.
V. Локализация. Множество X называется множеством пер-
первой категории в точке р, если существует окрестность G точки р,
такая, что множество X f] G первой категории.
Множество точек, где X не есть множество первой категории,
мы обозначим через D(X).
Так как семейство множеств первой категории является идеа-
идеалом (ср. п. II), в § 7, IV можно заменить множество X* множе-
множеством D(X). Таким образом, в предыдущем определении термин
окрестность можно заменить термином открытая окрестность.

§ 10. Множества первой категории 89
Имеют место следующие соотношения:
B) D(X)-D(Y)<=D(X -К);
C)
D)
E) (X<=Y)=$(D(X)<=D(Y));
F) если G—открытое множество, то
Согласно теореме п. III, если X является множеством пер-
первой категории в каждой из своих точек, то X — множество
первой категории.
В самом деле, по предположению, каждая точка р множества X
принадлежит открытому множеству Gp, такому, что X (~| Gp — мно-
множество первой категории. Следовательно, X есть объединение откры-
открытых в X множеств первой категории. Поэтому, согласно указанной
выше теореме, множество X само является множеством первой кате-
категории 2).
Таким образом, мы приходим к следующей формуле:
G) (X — множество первой категории) =
Равенство D(X) = Q влечет за собой равенство X f\D(X) = 0,
а из последнего вытекает, как мы только что видели, что X — мно-
множество первой категории. Обратно, если X — множество первой кате-
категории, то D(X) = Q.
Отсюда следует, что
(8) D[X — D(X)\ = 0,
т. е. что точки множества X, где X первой категории, образуют
множество первой категории. В самом деле, согласно соотношению E),
') Равенство может не иметь места: пусть, например, Хп = —, 1
в сегменте [0, 1]. Однако ср. A3).
2) Это утверждение можно доказать более прямым способом (не обра-
обращаясь к теореме п. III), если допустить, что пространство обладает счетной
базой, состоящей из открытых множеств Ru R2, ... . В самом деле, при
этом предположении открытое множество Gp можно заменить некоторым
множеством Rn(p) первой категории и, так как X?\Rn(p) — множество первой
категории, то счетное объединение U X П Rn (p) = X также есть множество
р?Х
первой категории.

90 Гл. 1. Топологические пространства
имеем D [X—D(X)]cD (X), следовательно,
[X — D (X)] П D [X — D (Х)\ с [X - D (X)] f| D (X) = О,
откуда, в силу G), следует формула (8).
Из формулы (8), сравнивая ее с B), получаем, что D(X) —
—D\D(X)} = 0, следовательно, D(X)aD\D{X)}. В силу § 7, IV B),
верно также обратное включение. Отсюда получаем
(9) D[D(X)] =
Так как множество тех точек, где X не является нигде не плотным,
совпадает (согласно § 8, VII) с множеством Int(A'), то мы имеем
A0) D (X) clnt (Х)аХ.
Так как множество D (X) замкнуто (§ 7, IV), из соотношения A0)
следует двойное включение D [D(X)]clnt \D(X)]dD (X), откуда,
в силу равенства (9), имеем
A1) D (X) = Int [D (X)].
Следовательно, D(X)—замкнутая область (§ 8, VIII). Таким
образом, если О(Х)Ф0, то X не является множеством первой
категории ни в одной точке непустого открытого множества
Int[D(A-)].
A2) Если D(Y) = 0, то D (X U Y) = D(X) = D(X — К),
т. е. множество X остается множеством первой категории в точке р,
если к нему добавить или от него отнять множество первой кате-
категории. Это утверждение непосредственно следует из формулы A).
A3) Множество D( (J Xп\— (J D(Xn) нигде не плотно.
Покажем, что если О — некоторое непустое открытое множество,
то существует открытое непустое множество Н, такое, что
H(]D U ХЛ— U 0(*„):= 0 и ЯсО.
\я=1 ' я=1
В том случае, когда для каждого индекса и имеет место соотношение
G r\D(Xn) — Q, мы получаем О П XnczXn — D(Xn). Следовательно,
СО со ОО
Of! \jXncz U [Xn — D(Xn)],TaK что в силу формулы (8) Of] U Хп
п=1 п=\ п-\
есть множество первой категории. Поэтому DIО fl U X А = 0, откуда

§ 10. Множества первой категории 91
U -^„1 = 0. Полагая Н = О, полу-
получаем требуемое равенство.
Далее пусть существует такой индекс и, что G [\О(Хп)ф0.
Положим Н = О П Int [D (Хп)]; тогда в силу равенства A1) мно-
множество Н не пусто, и так как HdD(Xn), то И удовлетворяет
требуемому равенству.
VI. Формулы разложения. Справедливы формулы
A4) X = [X — D (X)] U[X[)D (X)};
A0) Л =|Л (|Л-
= (Х- Int [D (X)} ){)(ХП Int [D (X)]).
Эти формулы дают разложение множества X на два непересе-
непересекающихся множества: первое из них представляет собой множество
первой категории, а второе не является множеством первой категории
ни в одной из своих точек. Кроме того, в формуле A4) первое
слагаемое открыто относительно А', а в формуле A5) оно замкнуто.
В самом деле, согласно формуле (8), множество X — D{X)
первой категории. Поэтому в силу A2) D [X f\D(X)] =D(X),
откуда X f\D(X)czD(X) = D [X f\D(X)\. Следовательно, множество
X П D (X) не является множеством первой категории ни в одной из
своих точек.
С другой стороны, X П X — D(X) есть множество первой
категории, как объединение двух множеств X П D (X) П X — D (X) и
[X — D (X)] П X — D (X), первое из которых нигде не плотно, как
подмножество нигде не плотного множества D (X) |~| 1 — D (X) =
= Fr[D(Ar)], а второе— множество первой категории, как подмно-
подмножество множества X — D(X) (см. § 8, V и (8)).
Так как X П X — D(X)—множество первой категории, из A2)
следует, что D [X — X — D (X)] — D (X), поэтому
X — X — D (Х)аХ — [X —D(X)\ = X П D (X)cD(X) =
D [X— X — D{X)\.
Это доказывает, что X — X —D(X) не является множеством первой
категории ни в одной из своих точек.
* Теорема Улама. В пространстве, плотном в себе,
каждое множество Z мощности tfj, которое не является мно-

92 Гл. 1. Топологические пространства
жеством первой категории, есть объединение несчетного семей-
семейства непересекающихся множеств, ни одно из которых не
является множеством первой категории1).
В самом деле, согласно одной теореме общей теории множеств 2),
если Z— множество мощности цг и N—семейство подмно-
подмножеств множества Z, такое, что для каждой последователь-
последовательности множеств Аг, А2 Ап, ..., принадлежащих семей-
СО
ству N, разность Z— \J An несчетна, то существует несчет-
л = 1
нов семейство непересекающихся подмножеств множества Z,
не принадлежащих семейству N.
Обозначим через ./V семейство всех подмножеств первой категории
множества Z. Так как каждая отдельная точка есть множество пер-
первой категории (ибо пространство плотно в себе), из предшествующей
теоремы получаем, что существует бесконечное несчетное семейство
непересекающихся подмножеств множества Z, ни одно из которых
не является множеством первой категории. Добавив к одному из этих
подмножеств все те точки множества Z, которые не принадлежат
другим множествам, мы получим требуемое разложение.
Сформулируем без доказательства следующую теорему:
* Теорема Лузина. Всякое множество Z, содержащееся в интер-
интервале ff и не являющееся множеством первой категории ни в одной точке
интервала S, является объединением двух непересекающихся мно-
множеств, которые обладают тем же свойством. (См. Серпинский [52],
стр 172.)
Более того: можно доказать, что оно является объединением несчет-
несчетного числа таких множеств, если принять гипотезу континуума. (См. Сер-
Серпинский [52], стр. 115.)
*§ 11. Множества, открытые относительно множеств
первой категории. Свойство Бэра
I. Определение. Обозначим через J 0-идеал всех множеств пер-
первой категории.
Множество А называется открытым по модулю J, если суще-
гтвует открытое множество G, такое, что А ~ G mod J (ср. § 2, VIII),
другими словами, если А — G и G — А — множества первой категории.
Аналогично определяются множества, замкнутые по модулю J.
') Улам [2], стр. 222.
2) Теорема Улама (см. Улам [1], стр. 145). Эта теорема позднее была
обобщена Серпинским на все алефы, меньшие первого „недостижимого"
алефа, что позволяет обобщить аналогичным образом теорему, сформулиро-
в'анйую в тексте; см. Серпинский [47], стр. 214.

§ П. Свойство Бэра 93
Свойство множества быть открытым rhodJ называется также свой-
свойством Бэрй (в широком смысле)'). Мы обозначим семейство таких
множеств через В.
Утверждение C) из § 2, VIII приводит к следующей теореме.
Теорема. Множество А открыто mod У тогда и только
тогда, когда
A) A=(p — P)\}R.
где О открыто, а Р и R — множества первой категории.
II. Общие замечания. Наиболее часто встречающиеся множества
всегда обладают свойством Бэра; впрочем, существуют и множества,
которые им не обладают, см. п. IVa. Роль свойства Бэра в топологии
аналогична роли измеримости (множеств или функций) в анализе. Мы
вернемся к этим вопросам в гл. 3, § 40.
Очевидно, что каждое множество, открытое (или замкнутое)
по модулю семейства нигде не плотных множеств (см. § 8, V),
принадлежит В. (В частности, ему принадлежат замкнутые множе-
множества и разреженные множества.)
Очевидно, кроме того, что такие множества являются замкну-
замкнутыми по модулю множеств первой категории. Поэтому в определении
семейства В термин „открытое" можно заменить термином „замкнутое".
III. Операции. Как и для множеств, открытых по модулю нигде
не плотных множеств, справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Семейство В является полем. Кроме того, если
Вп?В для я=1, 2, .... то (\JBn)eB и
Доказательство. Поскольку J является а-идеалом, формула
f\JBn\?B следует непосредственно из § 2, VIII D). Применяя пра-
правила Моргана, получаем формулу (Г\ВЛ?В.
Следствие. Каждое борелевское множество обладает
свойством Бэра 2).
В самом деле, семейство В удовлетворяет трем следующим усло-
условиям: 1° оно содержит все замкнутые множества; 2° оно содержит
') Это понятие введено в диссертации Бэра [1]. Лебег называл множе-
множества такого вида „множествами Z", см. Лебег [1], стр. 186. Хан называл
такие множества „offene Mengen bis auf eine Menge erster Kategorie" (см.
Хан [2], стр. 137).
2) Теорема Лебега [1], стр. 187. Обратная теорема неверна, см.
ниже § 39,

94 Гл. 1. Топологические пространства
дополнения ко всем множествам, которые ему принадлежат; 3° оно
содержит счетные пересечения принадлежащих ему множеств.
Так как семейство борелевских множеств — наименьшее семейство,
подчиняющееся этим трем условиям (§ 5, VI), оно образует подсе-
подсемейство семейства В, что и требовалось доказать.
IV. Необходимые и достаточные условия1).
Теорема. Каждое из следующих условий является необхо-
необходимыми достаточным для того, чтобы множество X обладало
свойством Бэра.
1. Существует множество первой категории Р, такое,
что множество X—Р замкнуто и открыто относительно \—Р.
2. Множество X является объединением множества типа G&
и множества первой категории.
3. Множество X есть разность множества типа Fo и
множества первой категории.
4. Множество D{X)[\D(l—X) нигде не плотно; иначе
говоря, в каждом (непустом) открытом множестве суще-
существует точка, в которой либо множество X, либо множество
1—X первой категории2).
5. Множество D(X)—X есть множество первой категории.
Доказательство. Пусть X ?В. Тогда, согласно п. I,
где G— открытое множество, F — замкнутое множество, а Рп — мно-
множества первой категории. Положим Р = Р^ U Pi U P$ U Я4; тогда
X — Р — О — P=F — Р, следовательно, множество X — Р одно-
одновременно открыто и замкнуто в множестве 1 — Р.
Положим теперь X—Р=ОПA—Р)- Пусть (в соответствии
с § 10, II) R — некоторое множество типа Fa первой категории,
содержащее множество Р. Имеем
X = (X — R) U (X П R) = (X — Р - R) U (X П R) =
Так как G — R есть множество типа G6, а X Г) R — множество
первой категории, то X является объединением множества типа G6
и множества первой категории.
>) См. Серпинский [16], стр. 319 и [34], стр. 305; Шпильрайн-Марчев-
ский [1], стр. 209; Куратовский [14], стр. 390.
2) Это условие первоначально было принято за определение свойства
Бэра.

§ И. Свойство Бэра 95
Пусть X ? В, тогда 1 — X также принадлежит семейству В (со-
(согласно п. III, 1). Отсюда следует, что 1 — -X = М U N, где М —
О6-множество и N — множество первой категории. Тогда X =
= A—М) — N, поэтому X есть разность некоторого множества
типа Fo и множества первой категории.
Обратно, так как каждое /^-множество, каждое О6-множество
и каждое множество первой категории принадлежат семейству В,
то (в силу п. III) условия 2 и 3 являются достаточными.
Итак, каждое из условий 1, 2, 3 — необходимое и достаточное.
Чтобы доказать это относительно двух других условий, предположим,
что Х?В, X = (G — P)UR. Тогда 1 — X = [A— О)—R] (J (Р— R).
Так как множество D (Е) не изменится, если к Е добавить или
от него отнять множество первой категории (см. § 10, V A2)), то
D(X) = D(G) и D(l — X) = D(\ — О). Далее, так как D(G)cd
и D_(l— G)<=1— О (§ 10, V A0)), то ?>(АГ)П?>A— ^)<=ОП 1-0 =
= G — G, и, наконец, поскольку множество G—О нигде не плотно,
множество D(X)[\D(l—X) также нигде не плотно.
Следовательно, D (X) — X является множеством первой катего-
категории, ибо
— D(l—X)]<=[D(X)nD(l—X)]Ul(l—X) — D(l-
где D(X)f\D(l—Л"") нигде не плотно, по предположению,
а A—X) — D{\—Л"") есть множество первой категории (согласно
§ Ю, V (8)).
Наконец, пусть D (X)—X есть множество первой категории;
тогда, в силу равенства
X = (D (X) - [D (X) - X]) UIX-D (X)],
где D (X) замкнуто, a \D(X) — Л""] и [X—D(X)] — множества
первой категории, мы имеем Х?В.
Таким образом, теорема полностью доказана.
Следствие 1. Каждое множество X Содержится в неко-
некотором множестве Z типа Fa, таком, что из включения
X с В ?В следует, что Z—В есть множество первой категории ')
В самом деле, так как X—D(X) есть множество первой категории
(согласно § 10, V (8)), существует ^-множество первой категории W,
такое, что X—D(X)czW. Следовательно, множество Z=W[) D(X)
есть Fg-множество, содержащее X. Кроме того, если ХсВ, то
D(X)cD(B) (в силу § 10, V E)), откуда
Z — B = (W~B)\J[D(X)—B]czW{l [D(B) — B].
') Теорема Шпильрайна-Марчевского [1], стр. 299.

96 Гл. 1. Топологические пространства
Так как, в силу предшествующей теоремы, множество D(B)— В
первой категории, отсюда следует, что множество Z — В также пер-
первой категории.
Следствие 2. Если некоторое множество X обладает
свойством Бэра и не является множеством первой категории
ни в одной точке пространства, то 1 -- X есть множество
первой категории. Если X не является множеством первой
категории ни в одной из своих точек, то оно содержит
точку, в которой 1 — X есть множество первой категории
(X Ф 0).
Так как, согласно первому предположению следствия, D(A')—1,
из условия 4 следует, что множество D(l — X) нигде не плотно.
С другой стороны, согласно § 10, V A1), оно является замкнутой
областью. Эти два свойства показывают, что D{\ — Х) — 0. Следо-
Следовательно (§ 10, V G)), 1 — X есть множество первой категории.
С другой стороны, если XcD(X), то включение XaD(l—X)
не имеет места, ибо в противном случае множество X было бы
нигде не плотным (в силу условия 4), вопреки предположению.
Следствие 3. Пусть X—некоторое множество, облада-
обладающее свойством Бэра; тогда равенство X (]Y = 0 влечет
за собой равенство
Int[D(A-)]nint[D(K)] = 0.
В самом деле, из равенства Xf\Y = 0 следует (§ 10, V E)),
что D(Y)czDA—X). Отсюда в свою очередь получается соотноше-
соотношение D(X)f\D(Y)cD(X)f\D(l—X), означающее, согласно усло-
условию 4, что множество D(X)[\D(Y) нигде не плотно. Поэтому
Int [D(X) (]D(Y)] = 0, откуда следует требуемое равенство (§ 6,
II A)).
IVa. Теоремы существования. Принимая во внимание IV, 4,
мы установим существование множеств, не обладающих свой-
свойством Бэра, в пространстве ef действительных чисел.
С этой целью разложим <f на пересекающиеся подмножества,
относя одному и тому же подмножеству два числа, разность кото-
которых рациональна. В силу аксиомы выбора, существует множество Vo,
содержащее по одному и только одному элементу каждого из этих
подмножеств. Докажем, что множество Vo не обладает свой-
свойством Бэра ]).
') Именно эту конструкцию использовал Витали [1] для доказательства
существования множеств, не измеримых в смысле Лебега.
Одно доказательство существования множеств, не обладающих свойством
Бэра, дано также Лебегом [2].

§ 11. Свойство Бэра 97
Пусть Г], г2 гп, ...—последовательность рациональных
чисел (=^0). Обозначим через Vn множество, которое получается из
со
Vo сдвигом yz=x-\-rn (Vn = V0-\- rn). Очевидно, что У = (J Vn.
Кроме того, Vo(]Vn = 0 (для пфО). В самом деле, в противном
случае множество Vo содержало бы число у вида х-4-гп, где
х 6 ^о- Тогда у — х = гп, в то время как, по определению, мно-
множество Vo не содержит ни одной пары элементов, разность которых
рациональна.
Так как If не является множеством первой категории по отноше-
отношению к самому себе (§ 10, I), отсюда следует, что хотя бы одно
из Vп также не является множеством первой категории. Поэтому Vo
также не есть множество первой категории, так как Vп получается
из Vo сдвигом на рациональное число и, следовательно, это мно-
множества одной и той же категории. Значит, существует интервал
(а, Ь), такой, что Vo не является множеством первой категории ни
в одной точке этого интервала (§ 10, V A1)).
Допустим теперь, что множество Vo обладает свойством Бэра.
Тогда, согласно условию 4, интервал (а, Ь) содержит подинтервал
(с, d) (а < с < d < b), такой, что множество (с, d) — Vo первой
категории.
Пусть гп — рациональное число, такое, что 0 < гп < с — а.
Из соотношения Vof\Vn — Q вытекает включение Vnf](c, d)cz
а(с, d) — Vo. Следовательно, Vn f| (c, d) есть множество первой
категории, поэтому множеством той же категории является и часть
множества Vo, содержащаяся в интервале (с—г„, d—rn) (поскольку
она получается из множества Vп П (с, d) сдвигом). Но это противо-
противоречит предположению о том, что Vo не является множеством первой
категории ни в одной из точек интервала (а, Ь).
Замечания. 1. Каждое множество мощности J^, не обла-
обладающее свойством Бэра, содержит несчетное семейство непере-
непересекающихся подмножеств, не обладающих этим свойством.
Чтобы убедиться в этом, заменим в теореме Улама (§ 10, VI)
семейство ./V семейством подмножеств множества Z, обладающих
свойством Бэра.
2. Приведенное доказательство существования множеств, не обла-
обладающих свойством Бэра в пространстве У, не эффективно, так
как оно не дает способа построить конкретное множество такого
рода').
То же самое можно сказать о проблеме существования множеств,
не измеримых в смысле Лебега.
') Эта проблема поставлена Бэром. См. по этому поводу указание
Лебега [1], стр. 186.
7 Топология, т. I

98 Гл. I. Топологические пространства
V. Относительные свойства.
Теорема 1. Свойство Бэра транзитивно (если множество X
обладает свойством Бэра относительно Е, то из Е?В вытекает,
что X ? В).
В самом деле, имеем X = U [} Р, где U—множество типа G6
относительно Е, а Р — множество первой категории относительно Е.
Следовательно, U — V [\Е, где V -множество типа О6 (см. § 5, V).
Множество U как пересечение двух множеств, принадлежащих В,
также принадлежит семейству В. Наконец, если множество Р — пер-
первой категории, то отсюда следует, что X = U[}P принадлежит В.
Теорема 2. Если множество X обладает свойством Бэра
относительно Е, то множество Х^\Е обладает этим свойст-
свойством относительно Е.
Действительно, мы имеем X = (G— P)UR> где множество О
открыто в Е, а Р и R — множества первой категории в Е. Взяв
пересечение обеих частей этого равенства с множеством ?, мы полу-
получим XnE = [(G()E) — (P(]E)]\J(R[\E). Так как множество G{\E
открыто в Е, а множества Р[\Е и Rf\E (согласно § 10, IV, 2) —
первой категории в Е, наше предложение доказано.
VI. Свойство Бэра в узком смысле. Множество X обладает
свойством Бэра в узком смысле (обозначается Х?ВГ), если для
любого множества Е множество X [\Е обладает свойством Бэра
относительно Е.
Покажем, что в этом определении можно ограничиться совершен-
совершенными множествами Е.
В самом деле, пусть Е—произвольное множество, и пусть
Е = А\]С— разложение Е на совершенное и разреженное множества
(см. § 9, VI, 3). Тогда X П ? = (X П А) [} (X (] С). По предположению,
множество Х[\А обладает свойством Бэра относительно А, следова-
следовательно, согласно V, 1, оно обладает им и относительно Е. Так
как множество X f\C разреженное, оно также обладает свойством
Бэра относительно Е (см. п. II). Поэтому и их объединение
(X П A) U (X П С) = Х П Е обладает свойством Бэра относительно Е.
В силу V, 2, отсюда вытекает, что множество Х[)Е обладает свой-
свойством Бэра относительно Е, что и требовалось доказать.
Отсюда видно, что в определении семейства ВТ множества Е
достаточно брать замкнутыми.
Из теорем предшествующих пунктов следуют соответствующие
предложения, касающиеся семейства ВТ. В частности, пусть X—боре-
левское множество, тогда X [\Е — борелевское множество относи-
относительно Е (см. § 5, VI); оно обладает, следовательно, свойством Бэра

§ 11. Свойство Бэра 99
относительно Е, т. е. Х?ВГ. Аналогичным образом каждое разре-
разреженное множество принадлежит семейству Вт.
Из теоремы п. IV следует, что Х?ВГ тогда и только тогда,
когда каждое множество Z, замкнутое в X; является объеди-
объединением борелевского множества и множества первой катего-
категории в Z1).
[В совершенно нормальных пространствах (см. § 14, VI) термин боре-
левское множество можно заменить термином (?5-множество.]
В самом деле, если множество X f\Z обладает свойством Бэра
относительно Z, то Z = X f\Z= M (J Р, где М—некоторое мно-
множество типа G6 относительно Z и Р — множество первой категории
в Z. Как пересечение О6-множества и замкнутого множества Z мно-
множество М — борелевское. Множество Р как множество первой кате-
категории в Z является множеством первой категории и в Z (§ 10,
IV, 2).
Предположим теперь, что условие теоремы выполнено. Покажем,
что X ?ВГ, иначе говоря, если F—произвольное замкнутое мно-
множество, то X П F обладает свойством Бэра относительно F.
По предположению, X П F = М[) Р> где Ж—борелевское множество
(относительно пространства), а Р — множество первой категории
в X П F. Следовательно, множество М—борелевское относительно F
и множество Р—первой категории относительно F (§ 10, IV, 1).
Поэтому множество X П F обладает свойством Бэра относительно F.
Замечание. В пространствах, где понятие борелевского множества
является топологическим инвариантом, например в полных метрических
пространствах, последнее условие непосредственно влечет за собой тополо-
топологическую инвариантность свойства Бэра в узком смысле (см. § 35).
VII. (с^)-операция.
Теорема. Свойство Бэра является инвариантом (JL~)-one-
рации 2).
В самом деле, пусть
со
О) * = U П *zi г«.
z п-\
где множества Xг\ zn обладают свойством Бэра (обозначения и
свойства (с^)-операции см. в § 3, XIV).
Можно считать, что система множеств Xг\ Zn регулярна. Дей-
Действительно, так как пересечение конечного числа множеств, обладаю-
') Теорема Серпинского [16], стр. 319.
2) См. Никодим [2], стр. 149, и [3], с
стр. 35; Шпильрайн-Марчевский [1]; Лузин [2].
См. Никодим [2], стр. 149, и [3], стр. 294; Лузин и Серпинский [1],

100 Гл. 1. Топологические пространства
щих свойством Бэра, есть множество того же типа, можно заменить
множество Xг\ гп множеством
Согласно п. IV, существует некоторое /^-множество Z, такое, что
B) XczZ;
C) если В?В и ХаВ, то множество Z—B первой категории.
Вообще существует множество Zk\ ki, обладающее свойством
Бэра и такое, что
со
BЮ U П Xu\..uizK..znCZuK..ki'
Z П-1
(За) если В?Ви \J f] Х,г л i г»сВ,
г л = 1
то множество Z^i.^kt— В первой категории.
Кроме того, можно предположить, что
потому что множество Zk\ ki(]XkJ ki, очевидно, удовлетворяет
условиям, наложенным на множество Zki k>.
Принимая во внимание равенство X = Z—(Z—X) и то, что
Z — множество типа Fa, покажем, что Z — X — множество первой
категории. Применяя последовательно формулы A), D) и § 3, XIV
F), получим следующие соотношения:
¦у \r *7 it ^-» \r
k / = l ""' И С~\ ""¦•""
СО / DO
cU U (^, kt- и
со
Так как суммирование \J (J счетное (§ 3, XIV E)), остается дока-
k i = 0
(СО V
Zk\ ki— U Zki ki\ — первой категории. Но
* со
это следует из утверждения (За), если положить В= (J Zu\ kim,
в силу формулы
со со со со
U/™4 V II II (~\ V — II 'У
П Xkx *У гп== U U П Xkx klmzl znC1 U Zkx Ь1т'
z л = 1 т = 1 z п-1 "' '" т = 1
которая вытекает из формулы Bа) и § 3, XIV C).

§ 12. Знакочередующиеся ряды замкнутых множеств 101
Следствие. Свойство Бара в ужом смысле является
инвариантом {Л)-опе рации.
В самом деле, если Е—фиксированное множество, то, согласно
соотношению A),
г л=1ч "'
Следовательно, если предположить, что множество E[\Xzi ^обла-
^обладает свойством Бэра относительно Е, то, согласно предыдущей
теореме, это же можно сказать о множестве Ef\X.
Замечания. Инвариантность свойства Бэра есть частный случай
следующей теоремы общей теории множеств.
Пусть S — семейство подмножеств данного пространства, удовлетворяю-
удовлетворяющее следующим условиям: 1° объединение счетного семейства множеств,
принадлежащих S, принадлежит S; 2° дополнение множества, принадлежа-
принадлежащего семейству S, тоже принадлежит 8; 3° каждому подмножеству X (дан-
(данного пространства) соответствует множество Z ^ X семейства S, такое, что
включения X cz S ?S и Y a Z — 5 влекут за собой включение Y ? 9.
При этих предположениях свойство принадлежать семейству S
есть инвариант (<Л)-операции. (См. Шпильрайн-Марчевский [1], стр. 300.)
Семейство множеств, обладающих свойством Бэра, является семейст-
семейством 5 (согласно III и IV, следствие 1). Дэугим важным примером семей-
семейства S служит семейство функций, измеримых в смысле Лебега. В самом
деле, условия 1° и 2°, очевидно, выполняются; условие 3° тоже выполняется,
так как за множество 2 можно принять некоторое О^-множество, мера ко-
которого равна внешней мере множества X, и тогда 2 — S имеет меру нуль.
Следовательно, измеримость в смысле Лебега является инвариантом
(<А)-опе рации.
*§ 12. Знакочередующиеся ряды замкнутых множеств
I. Формулы общей теории множеств. (См. Хаусдорф [5].) Пусть
A) ^о- ^i Х$ Ха
— некоторая убывающая трансфинитная последовательность множеств,
т. е. из неравенства % > ? вытекает включение Х^ cz X^. Кроме того,
предположим, что
B) А-о=1.
C) Л\— f~| Xi, если Я, — предельное число или если А,=а.
1<х
Легко доказать, что
D) 1=Х0 — Х1
= и (хъ-х1+1)[)Ха-

102 Гл. 1. Топологические пространства
Так как множества (Хо — Хх U Х2 — X3\i .. .) и (Хг — Х2[}Х3~
— Х4 U ••• U Ха) не пересекаются, мы имеем
Dа) l—(X0—X1UX2 — X3U ...) =
= х,-х2их3-х4и ... иха.
II. Определение. Множество Е, представленное в виде
где {F|} — последовательность замкнутых убывающих множеств,
называется разложимым в знакочередующийся ряд замкнутых
убывающих множеств или короче разложимым множеством.
Замечание. В полных пространствах разложимые множества со-
совпадают с множествами, являющимися одновременно типа FQ и 0^ (гл. III,
§ 34, VI). Многие важные свойства множеств типа FQ и О& являются след-
следствиями их разложимости; это одна из причин, в силу которых разложимые
множества заслуживают изучения. (См. также § 13, VI.)
III. Теоремы отделимости. Разложение в знакочередующийся
ряд. Пусть Е и Н — два произвольных множества. Допустим, что по-
последовательность A) удовлетворяет условиям B) и C), а также сле-
следующему условию:
Очевидно, что последовательность A) состоит из замкнутых множеств.
Кроме того, она убывающая, так как Х$+1 <= Х\ = Х\. Поэтому все
члены этой последовательности, начиная с некоторого индекса, сов-
совпадают. Обозначим этот индекс через а—1. Следовательно,
Положим
Тогда Х% — Xi+1=PiURv откуда, в силу равенства D),
1= U PEu U ^lUXa, и поэтому 1— U Ps<= U Rt[lXa.
С другой стороны,
pi = Хг — Хг ПЕеХг — (Хъ ПЕ) = Х1
откуда U P^crl—? и, следовательно, ?crl — U Р|<= U /?s (J Ха.
Ъ<а 1<а 1<а
Аналогичным образом (J Ri cr 1—Н. Итак, мы получаем
1<а
U % ^П U /?Ь==0.
1 \

§ 12. Знакочередующиеся ряды замкнутых множеств 103
Более того, множество
URi- U
разлагается в знакочередующийся ряд замкнутых убывающих
множеств, ибо Xi+l — Х%Г\Е {) Х^ПН с: Xif\H.
Отсюда, в частности, следует, что:
1° Если уравнение X~X(]Ef\X[] H обладает только корнем
X = 0, то существует разложимое множество D (а именно
множество D = U RA, такое, что
1 )
EdD и H[
2° Положим //=1—Е; тогда
E) X$+i — Xift Ef\Xi — Е—граница множества Х% П Е
относительно Х^,
F) Xa = XjYE[\X^B и Е-Ха= U Ri-
1<а
Действительно, \J R^czl- Н = Е и R% с Х-^— Х^+1, поэтому
U /?g как подмножество множества U (Л"| — -^i+i) не пересекается
1<а 1<а
с А'ц. Следовательно, U R^cE—Ха.
Таким образом, вычитая из множества Е „остаток" Ха{]Е, мы
получаем разложимое множество. Следовательно,
3° если остаток ^П^ обращается в 0, то (полагая
//= 1 —Е) имеем
A) Е= U Яе = A —
"П 1 —
(;;\ р — ] // — 1 || р — 1 ||
=sya
(согласно I Da)).
') Мы воспользуемся этим предложением, чтобы доказать важную тео-
теорему Бэра о функциях первого класса (см. гл. II, § 31, X).

104 Гл. 1. Топологические пространства
IV. Свойства остатка. Множество Ха из формулы F) есть
наибольшее множество, удовлетворяющее уравнению
G) Х = Х(\Е(]Х — Е.
В самом деле, если множество X удовлетворяет уравнению G),
то имеем X а Хо= I. Далее, если X сг Х^, то X П Е с Х^ [\ Е и
X — ЕаХ^—Е, откуда вытекает соотношение Xf\Ef\X— Е а
с Xi П Е П Xi — Е и, следовательно, согласно формулам E) и G),
X с Xi+{ Наконец, если для каждого | < А. (Я. — предельное число)
имеет место включение X сг Х^, то А'сг |™| Х^ = Ху
Таким образом, в силу принципа трансфинитной индукции, X
есть подмножество каждого множества Xi и, следовательно, мно-
множества Ха.
Следует заметить, что равенство G) эквивалентно равенству
(8) X (]Е = Х = Х — Е.
В самом деле, G) означает, что X с X [\Е и X а X — Е; с другой
стороны, мы имеем X [\ЕаХ и X—EczX, откуда следует тре-
требуемая эквивалентность, поскольку, в силу G), Х = Х.
V. Необходимые и достаточные условия.
Теорема. Каждое из следующих условий является необ-
необходимым и достаточным условием разложимости множества Е:
1° Из равенства (8) следует, что Х — 0; иначе говоря,
каково бы ни было замкнутое множество F ф 0, граница мно-
множества Ff\E относительно F, т. е. множество Ff\E\\F — Е,
не совпадает с F.
2° Каково бы ни было замкнутое множество F, граница
множества Ff]E относительно F нигде не плотна в F,
3° Остаток обращается в нуль, т. е. XаГ\Е = 0.
Доказательство. 1. Условие 1° является необходимым.
В самом деле, пусть множество Е разложимо в знакочередующийся
ряд замкнутых убывающих множеств:
(9) E = F1-F2{iF3—Fi\j ... u/Y-ZVtU ••¦ (l+K«).
Очевидно, можно считать, что предельные индексы в этом разло-
разложении опущены. Если же допустить, что Fo— I, Fl= |~l F$, когда Я,
предельное, и Fa= f] F^, то из равенства D) можно заключить,
ЧТО
A0) 1- E = FO~F1UF2-F3U ... UFa.

§ 12. Знакочередующиеся ряды замкнутых множеств 105
Покажем теперь, что из равенства (8) следует включение X cr F%
для любого индекса |. Прежде всего имеем X с: fo=l. Допустим,
что X с Fi- В случае когда индекс | — четный, из формулы (9)
следует, что X f\E с: Fiil (ибо все разности, предшествующие
множеству F|+i, не пересекаются с Z7^ а значит, и с X, тогда как
все члены, следующие за множеством F\+\, содержатся в F%+1).
Следовательно, X = X f\EcFi+1. Аналогичным образом, если индекс
|—нечетный, то из равенства A0) вытекает, что X — Е с F|+1,
откуда X = X — Е a Fi+V Наконец, если X a F$ для каждого
t < К, то имеем
*<= П Fi = Fx-
I < i
Таким образом, установлено, что X с F%, каков бы ни был
индекс |. Следовательно, X с Fa. Это означает, в силу равенства A0),
что X с 1 — Е, откуда X [\Е = 0 и, следовательно, X = X Л Е = 0.
2. Условие 1° влечет за собой условие 2°. В самом деле,
согласно § 6, II A2), имеем
Int [Fr (?)] = Int [Fr (?)] П E = Int [Fr (?)] — ?.
Отсюда вытекает, что в (8) можно положить A'= Int [Рг(?)], так
как из равенства Х — XftE следует равенство Х=Х[\Е (по-
(поскольку X [\Е аХ [\Е с X). Итак, предположение, что из равен-
равенства (8) следует равенство X = 0, влечет за собой соотношение
Int [Fr (?)]== 0. Следовательно, граница множества Е не имеет внут-
внутренних точек, т. е. нигде не плотна.
Более того, если рассматривать вместо Е множество F [\Е и его
границу относительно F вместо границы множества Е, то можно
прийти к заключению, что эта относительная граница нигде не плотна
в множестве F, ибо условие 1° влечет за собой то же самое усло-
условие, рассматриваемое относительно множества F (это последнее
означает, что условие 1° выполняется для любых X a F).
3. Условие 2° влечет за собой условие 3°. В самом деле,
в условии 2° положим F = Xa; тогда очевидно, что граница мно-
множества Ха П Е относительно Ха нигде не плотна в Ха. Следова-
Следовательно, она может совпадать с множеством Ха только в единствен-
единственном случае, когда Ха=0. Таким образом, в силу F), имеем Ха—0,
откуда ХаГ\Е = 0.
4. Условие 3° является достаточным, согласно III, 3°.
Таким образом, теорема полностью доказана.
Как мы показали в § 8, V, граница некоторого множества нигде
не плотна тогда и только тогда, когда это множество является
объединением открытого и нигде не плотного множеств (или раз-
разностью замкнутого и нигде не плотного множеств). В силу преды-
предыдущей теоремы, отсюда следует такое утверждение,

106 Гл. 1. Топологические пространства
Для того чтобы множество Е било разложимым, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы относительно каждого замкнутого
множества F множество Ef\F было объединением открытого
и нигде не плотного множеств (или, что эквивалентно, раз-
разностью замкнутого и нигде не плотного множеств).
Условие 1° предыдущей теоремы приводит к следующему утвер-
утверждению.
Каково бы ни было непустое замкнутое множество F,
в нем существует точка, в которой либо множество Ff\E,
либо множество F — Е „локально пусто" относительно F'),
т. е. существует окрестность О этой точки, такая, что либо
О П F ПЕ = 0, либо (О П F)—E = 0.
В самом деле, если F {]Е = F = F — Е, то из неравенства
G(]F^0 следует, что G П F (]Е ф 0 ф (О П F)- Е (см. § 5, III).
Следовательно, рассматриваемое условие влечет за собой условие 1°.
Обратно, пусть р ? F — F[\E. Положим G=1—F(]E; тогда
О П F ПЕ = 0. Если же p?F~ F- Е, то положим 0=1 — F — E.
VI. Свойства разложимых множеств.
Теорема 1. Разложимые множества образуют поле (т. е.
объединение, пересечение и дополнение двух разложимых мно-
множеств — разложимые множества).
Это утверждение непосредственно следует из условия 2° теоремы
п. V и из того, что множества, имеющие нигде не плотную границу,
образуют поле (§ 8, V).
Теорема 2. Всякое разложимое множество обладает свой-
свойством Бэра в узком смысле.
Действительно, пусть Е— разложимое множество, a F—замкнутое
множество; тогда множество Е f\ F является объединением открытого
множества и множества, нигде не плотного в F (см. п. V).
Теорема 3. Если граничное множество разложимо, то
оно нигде не плотно.
В самом деле, для множеств, имеющих нигде не плотную границу,
понятия граничного множества и нигде не плотного множества сов-
совпадают (§ 8, V).
Теорема 4. Любое разреженное множество разложимо, ибо
граница разреженного множества нигде-не плотна (§ 9, VI, теорема 4).
VII. Вычеты. (См. Хаусдорф [1], стр. 280.) Множество Х[\Х — Х
называется вычетом множества X (в смысле Хаусдорфа).
См. § 7, IV и § И, IV, 4.

§ 12. Знакочередующиеся ряды замкнутых множеств 10?
Множество Ха П Е (остаток множества Е) совпадает со своим
вычетом.
Действительно, пусть Е п X — два множества, удовлетворяющие
формуле (8); тогда множество Х[\Е совпадает со своим вычетом:
X = X — Е = Х—(ХГ\Е).= Х1\Ъ—{Х Г\Ё), потому что X = X (]Е;
отсюда следует, что
Теорема 1. Для того чтобы множество Е было разло-
разложимым, необходимо и достаточно, чтобы никакое множество
У(Ф0), замкнутое в Е, не совпадало со своим вычетом, другими
словами (§ 7, V), чтобы множество Y содержало точку, в кото-
которой оно замкнуто.
В самом деле, предположим, что Y = Y(\E и Y—Y(}Y—Y.
Тогда К —КП? и, с другой стороны,
Поэтому К П ?" = К = К — Е, Подставляя К вместо X в V, 1°, по-
получаем К = 0. Следовательно, сформулированное условие является
необходимым. Оно также и достаточное, ибо, в силу сказанного выше,
из него вытекает, что Araf|? = O. Следовательно, согласно V, 3°,
множество Е разложимо.
Теорема 2. Некоторое множество является разностью
двух замкнутых множеств тогда и только тогда, когда его
вычет пуст.
Это вытекает из следствия § 7, V.
VIII. Вычеты трансфинитного порядка. Пусть Е—некоторое
множество. Образуем последовательность его вычетов всех порядков
следующим образом: /?г—вычет множества Е, Ri+i — вычет мно-
множества /?| и Rk= |™| Ri для предельного Я.
Определенная таким образом последовательность вычетов является
убывающей. Закончим ее числом р, таким, что /?„ = /? +1= ....
Согласно I D), имеем
Члены этого знакочередующегося ряда не замкнуты, но, в силу
равенства Х—Х—Х — X — Х—Х (поскольку Х—Х—Х—Х = 0),

108 Гл. 1. Топологические пространства
имеем Ri — /?|+1 — R% — /?| — /?j, следовательно,
... U Ri-- Ri — Ri U ...
В частности, если множество Е разложимо, то его „послед-
„последний вычет" Ro пуст (см. п. VII) и формула A) представляет
собой разложение множества Е в ряд замкнутых убывающих мно-
множеств.
Так как последний вычет /?„ совпадает со своим собственным
вычетом, множество R~ не является локально замкнутым ни в одной
из своих точек. Покажем теперь, что среди множеств, замкнутых
в Е, Ro есть наибольшее множество, которое не является
локально замкнутым ни в одной из своих точек.
В самом деле, пусть множество К замкнуто в Е, и пусть
Y— /?»?= 0. Покажем, что Y содержит точку, в которой оно локально
замкнуто. Принимая во внимание разложение A), можно утверждать,
что существует индекс ?, для которого
Допустим, что \—наименьший такой индекс. Тогда Y a R^, по-
поэтому множество К замкнуто в R^\ так как множество R%+i является
вычетом множества R%, то /?g локально замкнуто в каждой точке
множества /?| — Ri+i и, следовательно, в каждой точке непустого
множества (Yf]Ri) — Rl+i- Это означает, что множество К также
является локально замкнутым в каждой точке этого последнего
множества.
§ 13. Непрерывность. Гомеоморфизм
I. Определение. Пусть J и 2/-топологические пространства,
и пусть /: X -> У ¦ Отображение / называется непрерывным в точке х,
если')
@) (х ? А) гф [/ (х) ? / (А)] для каждого А с. Ж,
или эквивалентно (см. § 3, II B)), если
(О') (х^А)=^[х^Г1(/(А))\ для каждого Л с: jr.
') См. Хаусдорф [1], гл. 9, § 1.
В случае, когда пространства & и <у имеют общие точки, желательно
различать замыкания в пространстве ^ив пространстве <у. Мы не делаем
этого различия для упрощения обозначений.

§ 13. Непрерывность. Гомеоморфизм 109
Если отображение / непрерывно в каждой точке пространства,
то оно называется просто непрерывным. Семейство всех непрерыв-
непрерывных отображений /:^Г->5У, т. е. таких, что /С2Г)с:2Л будет
обозначаться ух.
В случае, когда ^Г и Ч/—множества действительных чисел, рассматри-
рассматриваемое здесь понятие непрерывности совпадает с понятием непрерывности,
принятым в классическом анализе („определение Гейне"). Так, например,
%& обозначает множество действительных функций, определенных в интер-
интервале 0<л:< 1.
II. Необходимые и достаточные условия.
Теорема. Для того чтобы отображение f было непре-
непрерывным в точке х, необходимо и достаточно, чтобы для
любой окрестности В точки f(x) множество f~ (В) было
окрестностью точки х, или, иначе, чтобы:
A) I/ (х) ?Ы(В)]-=}[х GIntC/-1 (В))] для каждого Bay,
или эквивалентно
(!') Iх 6 Г1 (Int (В))] =ф [х ^ Int (/"' (В))] для каждого В с 2Л
или {заменяя В на У — В)
B) [х?/ : (В)\=$[х ? f~l (В)] для каждого В су.
Доказательство. Соотношение B) можно вывести из соот-
соотношения @), полагая A — f~l(B) (см. § 3, III A2)). Обратно, по-
полагая В = /(Л) в соотношении B) (и используя § 3, III A1)), мы
получаем соотношение @).
Принимая во внимание то, что любая окрестность некоторой
точки содержит открытую окрестность этой точки, мы получаем
следующее условие непрерывности („определение Коши").
Следствие. Отображение f непрерывно в точке х тогда и
только тогда, когда для любого открытого множества Н,
содержащего точку f (x), существует открытое множество G,
содержащее точку х, такое, что f(G)czH.
III. Множество D(f) точек разрыва. Пусть f-.Ж-^у. Для
сокращения записи положим D = D (/). Согласно соотношениям
@'), A') и B), мы имеем
A) D=U
А
'(^))] = у СГ'(Я) -Г\в)).

НО Гл. 1. Топологические пространства
где А пробегает все подмножества пространства ??, а В — все под-
подмножества пространства у.
Отсюда следует, что
B) /(D ^7
А
Действительно, согласно § 3, III A3), мы имеем
/ (D) = U / [А- Г1 (ПА))] = U / [Аи Г1 B/ - 7Ш)] =
Можно предположить, что переменная В пробегает семейство
открытых множеств в третьем члене равенства A) и семейство
замкнутых множеств в четвертом члене этого равенства.
В самом деле, полагая Int (В) = G, мы получаем
Г1 (Int (В)) - Int (/-1 (В)) с Г1 (О) - Int (/-1 (О)),
и, полагая B = F, мы получаем
Г1 (В)- г1 (В) с гЧл - г1 (F).
Следовательно,
C) D = U [Г1 (О) - Int (/"' (О))] = U (/''(П ~ Г1 (F))-
а р
Более того, если S — подбаза пространства у, то область
изменения множества G может быть сужена до S, т. е.
D) D= U {/"ЧО)--Int (Г'(О)))-
GfcS
Другими словами, если для данной точки х?& импликация
E) (хб/^^гф^бИ/"'^)])
является истинной для каждого множества G^S, то она истинна
и для любого открытого множества О с у (т. е. отображение /
непрерывно в точке х).
Для доказательства мы должны показать, что:
1° если импликация E) истинна для множеств Gx и О2, то она
истинна для множества Gl П О2;
2° если импликация E) истинна для каждого множества Ot (i?/),
то она истинна для (J Gr
i
Эти два утверждения легко получаются из формул (см. § 6,
II A) и B))
Int <А П В) = Int (А) П Int (В) и U Int (A J с Int f \J АЛ.

§ 13. Непрерывность. Гомеоморфизм Ш
Аналогично если Т — замкнутая подбаза пространства у,
то область изменения множества F в формуле C) может
быть сужена до Т.
Из первой части формулы C) следует, что D с: Xй (производное
множество множества X), так как любая изолированная точка про-
пространства, как внутренняя точка любого содержащего ее множества,
не принадлежит множеству /~ (О) — Int(/~'(G)).
Следующие равенства определяют два важных класса функций:
1) D = 0 — непрерывные функции; 2) JT — D = X— точечно-раз-
точечно-разрывные функции.
IV. Непрерывные отображения. Из формул I (О'), II B) и
II A'). а также III A) — C) непосредственно следует
Теорема 1. Для того чтобы отображение f было непре-
непрерывным, необходимы и достаточны следующие условия:
A) /(Л) с f(A) для любого Лс J, т. е. Acz f~lf(A);
B) f~\B) с /~г(В) для любого В с: у, т. е. ff~l (В) а В:,
C) множество f~ (О) открыто для каждого открытого
D) множество f~ (F) замкнуто для каждого замкнутого
Так как операция f~l аддитивна и мультипликативна (§ 3, III Fа)
и Gа)), то из условий C) и D) следует
E) если В есть F „-множество или Ge- множество, то f~l (В)
есть множество того же типа.
Теорема 2. Композиция двух непрерывных отображений
есть непрерывное отображение.
Более точно: если отображение f непрерывно в точке х и
отображение g непрерывно в точке f{x), то композиция этих
отображений h = g°f непрерывна в точке х.
Доказательство. Согласно соотношению 1@), х?А влечет
за собой f(x)?f(A); отсюда, в силу непрерывности g, следует,
что g(f(x))eg(f(A)).
Теорема 3. Пусть/: Х-+У — непрерывное отображение
на. Если множество А всюду плотно в пространстве %, то
множество /(А) всюду плотно в пространстве у.
Следовательно, сепарабельность сохраняется при непрерыв-
непрерывных отображена ях.
Доказательство непосредственно следует из A).

112 Гл. 1. Топологические пространства
V. Относительные свойства. Сужение. Ретракция. Напомним,
что через /1А обозначается функция, которая получается из функ-
функции /: S"—>'3/, если ограничить множество значений ее аргумента
множеством А (§ 3, I).
Сужение f\A называется непрерывным в точке х относи-
относительно множества А, если х ? Л и
(х?ХПА)=$(/(х)?/(ХПА)) для каждого XczJV.
Теорема 1. Непрерывность функции в точке р есть ло-
локальное свойство, т. е. если множество А—окрестность точки р,
то из непрерывности сужения /1А в точке р вытекает непрерыв-
непрерывность функции / в этой точке.
В самом деле, пусть р ? X. Очевидно, что X — (X Л A) (J (Х — А),
откуда X = X [)A\J X — А а. X (]A\J ^ — А, и так как по пред-
предположению точка р не принадлежит множеству JT— А, то р ? X П А.
Следовательно, в силу непрерывности сужения,
п л) с
Теорема 2. Если %' = А\}В, р?А(]В и функции f\A и
/ | В непрерывны в точке р, то и функция f непрерывна
в точке р.
В самом деле, если р^Х = Х(]А[)Х(]В, то либо р ?Х f| A
либо р?Х(]В. Следовательно, /(р) ?/(X Л А) с: /(X) или
Теорема 3. Если ??' — А[) В есть разложение простран-
пространства ?? на два замкнутых или два открытых множества и
если функции f\A и f\B непрерывны, то функция f непре-
непрерывна на пространстве $;.
Действительно, в случае, когда р ? А Л В, функция / непрерывна
в точке р, согласно теореме 2, а в случае, когда р(^А, р есть
внутренняя точка множества В, так что мы приходим к тому же
самому выводу в силу теоремы 1.
Подмножество А пространства JT называется ретрактом1)
пространства JT, если существует непрерывное отображение /, назы-
называемое ретракцией, пространства SC на множество А, такое, что
f(x) = x для х^А. Другими словами, если тождественное отобра-
отображение, определенное на множестве А, допускает непрерывное про-
продолжение / на все пространство ?С, такое, что /(JT) = /1.
Ретракцию можно рассматривать как обобщение проекции: если
См. Борсук [1], стр. 153,

§ 13. Непрерывность. Гомеоморфизм 113
дано прямое произведение JT X 2Л то формула /(х, у) — * опре-
определяет ретракцию произведения JT X У на ось %.
Теорема 4. Если А — ретракт пространства ^Г, то
любая непрерывная функция /, определенная на А (со значе-
значениями в пространстве у), допускает непрерывное продолже-
продолжение /* на Ж, т. е. f — f\A.
Действительно, если g — ретракция пространства .2Г в множе-
множество А, то мы можем положить /*(х) = /(g(x)) для
Теорема 5. Пусть JT — хаусдорфово пространство и
f'¦ ?? ^>-S?—непрерывное отображение. Тогда множество не-
неподвижных точек отображения /, т. е. множество
Е (/(¦*) = *)
X
замкнуто.
Достаточно показать, что множество Е(/(-^)?=х) открыто.
х
Пусть %;—хаусдорфово пространство; тогда мы имеем
= V
о,н
(О и Н — открытые множества).
Это соотношение эквивалентно следующему (где оператор U
распространяется на все открытые множества О, Н, такие, что
E(/()^)[j Е
х О, И х
- U E(*6/(O))(*6^)= U (гЧо)пя).
О,Нх О,Н
Так как отображение / непрерывно, множество /~ (О) открыто.
Это завершает доказательство.
Теорема 6. Каждый ретракт хаусдорфова пространства
замкнут.
Это утверждение вытекает из предшествующей теоремы, так как
если /—ретракция пространства SC на множество R, то R =
= Е (/(*) = *)•
X
VI. Вещественнозначные функции. Характеристические функ-
функции. Рассмотрим частный случай: 2/ —е^3 0? — пространство веще-
вещественных чисел), JT—произвольное топологическое пространство.

114 Гл. 1. Топологические пространства
Теорема 1. Пусть /: JT—>ср'. Отображение f непрерывно
в точке х0 тогда и только тогда, когда для каждого е > О
существует открытое множество G, содержащее х0, такое, что
A) \f(x)— f (хо)\ < е для каждого x?G.
Для доказательства достаточно подставить вместо множества Н
в II (следствие) открытый интервал Е(|у — /(хо)|<е)-
у
Теорема 2. Если отображение /:&—>¦<? непрерывно, то
множества
Е [/(*)< в]. Elf(x)>a], E[a</(x)<?]
XXX
замкнуты, а множества
Е[/(*)<«]. Е [/(*)> в]. Е [в </(*)<*]
XXX
открыты.
Это верно в силу IV C) и D), поскольку перечисленные множе-
множества являются прообразами соответственно замкнутых и открытых
множеств
У У У
Е (У < а), Е (У > а), Е(а<у< Ь).
У У У
Как в классическом анализе, можно ввести понятие равномерной
сходимости.
Пусть /„:%"->%' Для л=1, 2, ..., и пусть /:^Г->^>. Мы
говорим, что последовательность функций fx, /2, ... равномерно
сходится к функции /, если
B) Л V Л Л1/„(*)-/(*)|<е-
е> 0 ft я>& ж
Следующую классическую теорему можно распространить на слу-
случай, когда 2? — произвольное топологическое пространство1).
Теорема 3. Предел равномерно сходящейся последователь-
последовательности непрерывных функций является непрерывной функцией.
Доказательство. Положим f(x)= lim fn(x). Пусть е>0
и х0—данная точка пространства X. В силу формулы B), суще-
существует такое k, что
C) | fk (х) — / (х) | < -д- для каждого х ? X.
') Дальнейшее обобщение, получаемое заменой множества g произволь-
произвольным метрическим пространством, будет рассмотрено в гл. II. Доказательство
по существу останется без изменения.

§ 13. Непрерывность. Гомеоморфизм 115
Поэтому, подставляя в эту формулу х = хй, мы получим
D) [/|
В силу непрерывности функции fk в точке х0, существует от-
открытое множество О, содержащее х0, такое, что (см. A))
E) IД (х) — fk (х0) | < -д- для каждого х ? G.
Из неравенств C) — E) следует условие A), означающее, что
х0—точка непрерывности функции /.
Напомним, что характеристической функцией /д множе-
множества А называется функция, которая принимает значение 1 в точках
множества А и значение 0 в точках дополнения к А.
Теорема 4. Справедливо тождество
F) Fr(i4) = D(/A);
иными словами, граница множества А совпадает с множеством
точек разрыва его характеристической функции.
Доказательство. Пусть /(х)= 1 (случай /(х) = 0 рассма-
рассматривается аналогично).
Если х??т(А), то множество Л = /~1A) не является окрест-
окрестностью точки х, хотя множество, состоящее только из точки 1,
является окрестностью точки /(х) в пространстве @,1). Следова-
Следовательно, согласно теореме из п. II, x?D.
Обратно, если х?А— Ft (А), то x?lnt(A) и, по той же самой
теореме, х есть точка непрерывности функции /.
Теорема 5. Характеристическая функция множества А
является непрерывной, соответственно точечно-разрывной,
тогда и только тогда, когда это множество одновременно
замкнуто и открыто, соответственно имеет нигде не плот-
плотную границу.
Действительно, согласно равенству F), условие D = 0 эквива-
эквивалентно условию Fr (A) — 0, которое означает, что множество А замк-
замкнуто и открыто.
Из § 12, V, 2° вытекает
Следствие. Характеристическая функция множества А
точечно-разрывна на каждом замкнутом множестве тогда
и только тогда, когда множество А разложимо в знакочере-
знакочередующийся ряд убывающих замкнутых множеств.
VII. Взаимно однозначные непрерывные отображения. Срав-
Сравнение топологий. Предположим теперь, что
8*

116 Гл. 1. Топологические пространства
взаимно однозначно. Следующие свойства инвариантны относительно
взаимно однозначных непрерывных отображений:
1. Свойство быть точкой накопления пространства, ибо х ? ?С—х
влечет за собой /(x)^/(JT—х) = у — f(x), так как /(JT—х) =
= f(Sn — f(x) (см. § 3, 111C')).
2. Свойство множества быть плотным в себе (это непосредственно
следует из предыдущего предложения).
3. Свойство быть граничным множеством в пространстве, ибо из
равенства % = %— X следует, что / (JT) = / (JT— Х)<=/ {%— X) =
Совокупность всех топологических пространств одной и той же
мощности можно упорядочить, полагая У-^3?, если суще-
существует взаимно однозначное непрерывное отображение / простран-
пространства JT на пространство у.
Так как множества ?? и у имеют одну и ту же мощность, это
определение можно выразить следующим образом („отождествляя"
точку х с точкой f{x)).
Топологическое пространство есть пара A, F), где 1 —множество
точек, a F— функция (замыкание), удовлетворяющая аксиомам § 4,
I, 1—4. Положим, по определению,
A) A, /72)<(Ь F\), если Fx{X)a F2(X) для каждого X с: I,
и скажем в этом случае, что топология пространства 1, задан-
заданная функцией Fx, сильнее топологии, заданной функцией F2.
Другими словами, каждое множество, открытое в более слабой
топологии, открыто и в более сильной. Таким образом, более
сильная топология богаче открытыми множествами (а следовательно,
и замкнутыми).
Дискретная топология является сильнейшей топологией
(так как в ней каждое множество открыто). Если мы не требуем,
чтобы пространство было ^-пространством, то существует слабей-
слабейшая топология, а именно топология, в которой замыкание каждого
непустого множества есть все пространство, т. е. пустое множество
и все пространство являются единственными замкнутыми множествами.
Слабейшая J^-топология есть топология, где замкнутыми множе-
множествами являются только пустое множество, все пространство и ко-
конечные множества.
VIII. Гомеоморфизм. Если отображение / пространства Ж на
(все) пространство У непрерывно, взаимно однозначно и его обратное
отображение /-1 тоже непрерывно, то мы называем отображение /
гомеоморфизмом1), а пространства JT и у—гомеоморфными
(или пространствами одного и того же топологического типа).
1) Этот термин был введен А. Пуанкаре [1], стр. 9.

§ 13. Непрерывность. Гомеоморфизм 117
В этом случае мы пишем
3? =f~ty (топологическая эквивалентность).
Если jr = 2/, то гомеоморфизм называется топологическим
автоморфизмом.
Очевидно, что отношение гомеоморфизма между пространствами
рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Теорема 1. Для того чтобы взаимно однозначное ото-
отображение было гомеоморфизмом, необходимо и достаточно
выполнение любого из следующих условий:
A) f(A) — f(A) для каждого А с JT;
B) f-l(B) = f~1(B) для каждого Bcz.y.
Доказательство. Согласно IV A), включение f(A)czf(A)
эквивалентно непрерывности отображения /, тогда как включение
f (А) с f (А), согласно IV B), эквивалентно непрерывности отобра-
отображения /~ . Вторая часть теоремы доказывается аналогично.
Теорема 2. Для того чтобы отображение f было гомео-
гомеоморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
следующее условие:
C) A=f~1(f(A)) для любого A cz %;
или эквивалентное ему условие
(За) ( "
Доказательство. Если отображение / взаимно однозначно,
то наше утверждение верно, ибо тогда равенство C) эквивалентно
равенству A). Остается показать, что функция, удовлетворяющая
условию C), дает взаимно однозначное отображение. Пусть /(/?) —
= /(q). Тогда р = /~! (/(р)) — f~l (/(q)) — q, следовательно, p=q.
IX. Топологические свойства. Всякое свойство пространства,
инвариантное относительно гомеоморфизмов, называется топологи-
топологическим свойством.
Из п. VIII (За) и § 3, III A8) следует, что каждое свойство,
выраженное с помощью операции А (и операций теории множеств
и логики), является топологическим.
Более общо, если точка а (или множество А, или семейство А
и т. д.) обладает данным свойством относительно пространства SP
и если функция / гомеоморфно отображает пространство Ж на про-

118 Гл. 1. Топологические пространства
странство у, то точка f(a) обладает тем же свойством относительно
пространства у (если только это свойство выражено так же, как
выше).
Таким образом, два гомеоморфных пространства нельзя
отличить одно от другого никакими топологическими сред-
средствами. Аналогичным образом, если множества А и В расположены
соответственно в пространствах ?? и у и если существует взаимно
однозначное отображение пространства 2? на пространство у, кото-
которое преобразует множество А в множество В, то множества А и В
в соответствующих пространствах неотличимы с топологической
точки зрения. Мы будем называть их топологически эквивалент-
эквивалентными (по отношению к пространствам W и у).
Важно заметить, что два множества могут быть гомеоморфными и, тем
не менее, их положение в пространстве может быть различным, так что
между ними может и не быть топологической эквивалентности. Например,
в пространстве действительных чисел множество, составленное из точки,
отрезка и второй точки (в указанном порядке), неэквивалентно (хотя и
гомеоморфно) множеству, составленному из двух точек и отрезка, следую-
следующего за ними. Те же множества (рассматриваемые как подмножества пло-
плоскости) эквивалентны по отношению к плоскости.
Некоторое свойство множества А, расположенного в простран-
пространстве 2?< инвариантное относительно гомеоморфных отображений мно-
множества А на подмножества пространства JT, или, более общо, на
подмножества пространств, принадлежащих некоторому семейству Щ
пространств, называется внутренним инвариантом по отношению
к пространству %, соответственно по отношению к семейству ^..
Так, например (как мы увидим позже), свойство быть открытым под-
подмножеством А евклидова пространства in есть внутренний инвариант по
отношению к %п. Внутренним инвариантом является также число областей,
на которые разбивается пространство %" замкнутым и ограниченным под-
подмножеством А. Хотя эти свойства являются „внешними" по отношению
к множеству А, они эквивалентны (в области подмножеств пространства g")
„внутренним" свойствам (т. е. свойствам, выраженным топологическими
терминами, причем множество А рассматривается как пространство). Отсюда
следует их топологическая инвариантность.
Здесь существенна роль пространства %п. Если в качестве пространства
взять вместо %п интервал 3, то указанные свойства не будут внутренними
инвариантами.
Как мы увидим в § 35, IV, свойство быть (/.-множеством есть внутрен-
внутренний инвариант по отношению к семейству полных пространств.
Все свойства пространства, его подмножеств, точек и т. д., рассматри-
рассматривавшиеся до сих пор, являются топологическими свойствами и, следова-
следовательно, инвариантами гомеоморфных преобразований, пространства.
X. Топологический ранг. Пространство 3? называется тополо-
топологически содержащимся1) в пространстве у, если оно гомеоморфно
') Согласно П. С. Александрову.

§ 13. Непрерывность. Гомеоморфизм 119
некоторому подмножеству пространства у. Обозначение:
2С с У (топологическое включение).
top
Если пространство SC топологически содержится в пространстве у,
а пространство у — в пространстве „<?", то мы говорим, что ?С и у
имеют один и тот же топологический ранг ')•
Если это отношение имеет место только в одну сторону, то мы
говорим, что топологический ранг одного из пространств выше
топологического ранга другого.
Разумеется, два пространства могут иметь одни и тот же топологический
ранг, не будучи гомеоморфным. Таковы, например, неограниченная прямая
и замкнутый интервал. Тем не менее, в силу одной теоремы теории мно-
множеств (см. Банах [2] ), имеет место следующее предложение: если про-
пространства & и у имеют один и тот же топологический ранг, то
существуют множество А с JT и множество BczQ/, такие, что А
гомеоморфно В, a JT—А гомеоморфно Я/ — В.
Топологические ранги двух пространств могут быть несравнимыми.
Так будет, например, в случае окружности и множества, составленного из
трех отрезков, имеющих один общий конец.
XI. Однородные множества. Множество А называется однород-
однородным в пространстве, если для каждой пары a, b его точек суще-
существует гомеоморфизм / пространства на себя (автоморфизм), такой,
что f(a) — b и f(A) = A.
В частности, все пространство однородно, если все его точки
топологически эквивалентны (в смысле п. IX).
Таковы, например, окружность, я-мерное евклидово пространство. Эти
пространства, кроме того, биоднородны, т. е. существует отображение,
ставящее в соответствие точку b точке а и точку а точке b одновременно.
Впрочем, следует заметить, что пространство может быть однородным, но
не биоднородным (см. Куратовский [4]).
Из того же круга идей, доказано (см. там же, стр. 16), что если мно-
множество А одновременно замкнуто и открыто и a, b—две эквивалентные
точки, такие, что а^А и й ? 1 — А, то точки а и b биэквивалентны, т. е.
существует гомеоморфизм / пространства на себя, такой, что / (а) = b и
/F) 2)
) )
Множество А может не быть однородным в содержащем его пространстве
и быть однородным, если его рассматривать как пространство.
Из определения сразу вытекает, что если множество А одно-
однородное, то каждое топологическое свойство, которое имеет
место в одной точке множества А, имеет место и во всех
остальных его точках. В частности, рассмотрев свойства быть
внутренней точкой, точкой накопления, точкой, где данное множе-
') „Тип размерностей" по Фреше [2], или „Homole" по Мало.
2) В работе Данцига [1], стр. 102, рассматриваются другие виды однород-
однородности, в частности однородность относительно инволюции. Эти понятия могут
быть также локализованы.

120 Гл. I. Топологические пространства
ство является множеством первой категории, мы получим соответ-
соответственно, что всякое однородное множество А есть:
V либо открытое, либо граничное множество;
2° плотное в себе, либо дискретное множество;
3° либо множество первой категории, либо множество, не
являющееся множеством первой категории ни в одной из своих
точек.
Справедлива также следующая теорема'):
*Теорема. Пусть ф — семейство автоморфизмов данного
топологического пространства, такое, что каждой паре то-
точек х, у соответствует автоморфизм h, принадлежащий
этому семейству и удовлетворяющий равенству y = h(x).
Пусть Z— такое множество, что для каждого элемента к,
принадлежащего семейству •§>,
D) либо Z = h(Z), либо Z|~|ft(Z) = 0.
При этих предположениях, если множество Z обладает свой-
свойством Бэра, то оно является или множеством первой кате-
категории, или множеством, одновременно замкнутым и откры-
открытым.
Для доказательства заметим сначала (см. п. IX), что если точка z
принадлежит множеству Z и множество Z обладает некоторым (топо-
(топологическим) свойством в точке г, то множество h (Z) обладает
тем же свойством в точке h (z). Кроме того, множество Z однородно,
ибо каждой точке zx ? Z можно поставить в соответствие автомор-
автоморфизм h, такой, что z^ = h (z), и так как z1^Z(]h(Z), то, в силу
условия D), Z — h(Z). Согласно утверждению Зэ, отсюда вытекает,
что если Z—не множество первой категории, то оно не является
множеством первой категории ни в одной из своих точек. В силу
свойства Бэра (§ 11, IV, следствие 2), отсюда следует, что суще-
существует точка z^Z, в которой 1 — Z является множеством первой
категории. Пусть тогда О — открытое множество, такое, что z ? О
и множество О — Z первой категории. Покажем, что О — Z = 0.
Предположим, что р ? G — Z. Пусть h — автоморфизм, принад-
принадлежащий семейству ?>, такой, что р = h (z). Так как р ? h (Z) — Z,
то, согласно условию D), Zn/z(Z) = O, откуда h (Z) с: 1—Z, и,
следовательно, имеет место включение О |~| A (Z) с О — Z, из кото-
которого вытекает, что О П h (Z) есть множество первой категории. Сле-
Следовательно, h (Z) есть множество первой категории в точке р = h (z).
Но это противоречит замечанию, сделанному в начале доказатель-
') Эта теорема представляет собой распространение на топологические
пространства теоремы Банаха, относящейся к топологическим группам (см.
следующий пункт). Теорема Банаха имеет важные приложения в функцио-
функциональном анализе, см. Банах [8], а также Куратовский [24].

§ 13. Непрерывность. Гомеоморфизм 121
ства, потому что Z не является множеством первой категории
в точке z.
Таким образом, включение G с Z установлено; из него вытекает,
что точка г есть внутренняя точка множества Z, следовательно (со-
(согласно 1°), в силу однородности множества Z, оно открыто. Остается
показать, что множество Z замкнуто.
Пусть р ? Z и z?Z. Положим, как выше, p = h(z). Так как
множество Z открыто и h — автоморфизм пространства, множество
h{Z) также открыто. Следовательно, из включений p^Z и p?h(Z)
вытекает, что Z(]h(Z)^0, откуда Z = h(Z). Поэтому p?Z, что
и требовалось доказать.
*ХН. Приложения к топологическим группам. Топологическое
пространство (обозначим его через <??) называется топологической
группой, если каждой паре точек х, у из <?? поставлена в соответ-
соответствие их сумма z = x-\-y таким образом, что:
2° существует нулевой элемент 9, такой, что x-|-9 = x = 9-f-x;
3° существует элемент (—х), такой, что х + (—х) —9;
4° операции х-\-у и —х непрерывны1).
Положим ha{x) = а-\- х. Очевидно, что из условия y = ha(x)
следует, что х — п_а(у). Поэтому ha(x) (при фиксированном а)
есть автоморфизм пространства, а семейство •§> всех функций ha
удовлетворяет условиям теоремы п. XI.
Подгруппой называется каждое подмножество, которое вместе
с точкой х содержит (— х) и вместе с точками х и у содержит
x-j-y. Легко проверить, что если множество Z — подгруппа, то
выполняется условие XI D). Следовательно, согласно предыдущему,
каждая подгруппа однородна (в частности, каждая топологическая
группа однородна). В силу теоремы п. XI, всякая подгруппа,
обладающая свойством Бэра, является либо множеством
первой категории, либо множеством, одновременно замкнутым
и открытым.
XIII. Открытые отображения. Замкнутые отображения. Со-
Согласно предложениям IV C) и D), если отображение / непрерывно,
то прообраз открытого множества открыт, а прообраз замкнутого
множества замкнут. Однако, как показывают простые примеры, для
образов это неверно.
Итак, мы приходим к следующему определению.
Определение. Непрерывное отображение /: $?—>У назы-
называется открытым, если образ /(О) каждого открытого множества
О с: & открыт в пространстве у',
') См., например, Пбнтрягин [2] и Монтгомери и Циппин [1].

122 Гл. I. Топологические пространства
Аналогично можно определить замкнутые отображения, заменив
термин „открытый" термином „замкнутый".
Например, проекция плоскости %2 на одну из осей есть открытое ото-
отображение, но оно не является замкнутым, так как проекция гиперболы
у = 1/х на ось х не замкнута.
Любое непрерывное отображение интервала 3 замкнуто (это верно, как
мы увидим позже, для каждого компактного пространства).
Очевидно, что всякое взаимно однозначное непрерывное
открытое {или замкнутое) отображение является гомеомор-
гомеоморфизмом ')•
Теорема 1. Пусть f : &^>У — открытое {замкнутое)
отоб ражение, и пусть В су. Положим g = f\f~1{B). Тогда
отображение g : f~ (В) —>В открыто {замкнуто).
Доказательство. Пусть множество Н открыто в /~! {В),
т. е. Н = О П /~ (В), где множество О открыто в пространстве S?-
Тогда, согласно формуле § 3, III A3), имеем
g (Я) = g (О П Г1 {В)) = / (О П Г1 (В)) = f (О) П В.
Следовательно, множество g {H) открыто относительно В.
В случае, когда отображение / замкнуто, доказательство прово-
проводится аналогично.
Теорема 2. Пусть f : ?*—.>у — непрерывное отображение
на и g:y~^>%—непрерывное отображение. Если h — gf —
открытое {замкнутое) отоб ражение, то и g — открытое
{замкнутое) отображение.
% — -> У
\ \е
Доказательство. Пусть отображение h открыто, и пусть
Oczy — открытое множество. Так как / — отображение на, то
G = f f~l (О). Следовательно,
Поскольку отображение / непрерывно, а отображение h открыто,
множество hf~ (О) открыто.
Случай замкнутого отображения h рассматривается аналогично.
') Открытые отображения называются также внутренними, см. Стои-
лов [1].
См. также Уайберн [1], [4]; Архангельский [3], Уоллес [2].

§ 13. Непрерывность. Гомеоморфизм 123
XIV. Отображения, открытые и замкнутые в данной точке.
Определение. Непрерывное отображение f:HV-*y назы-
называется открытым в точке уо?2Л если для каждого множества О,
открытого в пространстве JT,
A) Уо6/@)=ФУо61Ш(/@)),
или, эквивалентно, если для каждого множества A с: JT
B) [у0 6 / (Int (Л) I =ф [у0 6 Int (/ (Л))].
Отображение / называется замкнутым в точке у0, если для ка-
каждого множества F, замкнутого в пространстве JT,
C)
или, эквивалентно, если для каждого множества А с: Ж
D)
Очевидно, что если отображение f открыто (замкнуто)
в каждой точке у пространства У', то оно открыто (зам-
(замкнуто).
Теорема 1. Отображение f открыто в точке у0 тогда
и только тогда, когда для любого множества B<z.y имеем
E) (у0 6 В) =ф(Г1 0'0) с Г1 (В)).
Доказательство. 1. Предположим, что отображение / от-
открыто в точке yQ и что включение в формуле E) не выполняется.
Положим О = Ж — /-1 (В). Тогда f~l (yo)(]Q фО, поэтому
Уо 6 /(О) = / (.Г - Г' (В)) с /Г1 (У - В) с У - В.
С другой стороны, так как \>0?f(G), то мы имеем, согласно A),
y06Int(/(O))cInt(^ —5) = ^ — В,
т. е. Уо(?В. Таким образом, условие E) является необходимым.
2. Предположим теперь, что О — открытое множество и точка у0
не принадлежит Int (/(О)), т. е. уй?У — /(О). Предположим далее,
что условие E) выполнено для множества В = у — f(G). По пред-
предположению у0 ? В. Следовательно,
так как f~lf(O)^O. Итак, /~: (у0) П О = 0, и окончательно полу-
получаем, что точка у0 не принадлежит множеству /(О).
Отсюда следует, что условие E) является достаточным.

124 Гл. 1. Топологические пространства
Следствие '). Отображение f открыто тогда и только
тогда, когда для каждого множества Bczy имеет место
включение
F) г1 (В) <= Г1 (В),
или, эквивалентно (см. IV B)), когда
Очевидно, что отображение f замкнуто тогда и только
тогда, когда для каждого множества А а ?? имеет место
включение
(8) f(A)cf(A).
или, эквивалентно (см. IV A)), когда
(9) /Щ = /(А).
Теорема 3. Отображение f замкнуто в точке у0 тогда
и только тогда, когда для каждого открытого множества
Gc?}y> такого, что f~1(y0)czG, существует открытое мно-
жест во tizzy, такое, что
(Ю)
(П) Г1(Н) с О.
Доказательство. 1. Предположим, что отображение / зам-
замкнуто в точке у0, множество О открыто и /~ (у0) с: О. Поло-
Положим Н = у — /(JT—О). Предположим далее, что уо(?//, т. е.
Уо?/<Ж—О)- Тогда, согласно C), У06/(^*—О), но это проти-
противоречит включению /~ (у0) с: О. Следовательно, включение A0) верно.
Включение A1) также верно, поскольку
Итак, наше условие является необходимым.
2. Предположим теперь, что наше условие выполняется, множе-
множество F замкнуто и yQ(fcf(F). Покажем, что yQ(?f(F). Положим
G — ^—F. Так как yo(fcf(F), мы имеем /-1(Уо) П F — 0, т. е.
f~l (у0) с: О. Следовательно, по предположению, существует откры-
открытое множество Яс«/, удовлетворяющее включениям A0) и A1).
Согласно включению A1), f~l{H) |~| F = 0, следовательно,
Н П / (F) = Q. Отсюда следует, что Hf\f(F) = 0 (так как множе-
1) См. Сикорский [5], стр. 13, Уоллес [2].

§ 13. Непрерывность. Гомеоморфизм 125
ство Н открыто), поэтому, в силу включения A0), yo^f{F)- Это
означает, что наше условие является достаточным.
Замечание 1. Если у^У — /ОЖ*), то отображение / открыто
в точке у0; если у§^У— /СЖ*)> то отображение / замкнуто в точке у0.
Это непосредственно следует из соотношений A) и C).
Замечание 2. Область изменения множества G в A) может
быть ограничена до открытой базы пространства Sf-
Это следует из § 3, III Aа), и § 6, II (Г)-
Замечание 3. Определение, данное в этом разделе, можно
обобщить следующим образом:
отображение f открыто в множестве Вс2/, если для ка-
каждого G, открытого в Ж,
A2) [ВП1п1(/(О)) = 0]=ф[5П/(О) = 0];
отображение f замкнуто в множестве BczfJ, если для каждого F,
замкнутого в Ж,
A3) [5
Без ограничения общности можно считать, что в A2)
а в A3) В <=/(&).
XV. Взаимно непрерывные отображения, Пусть /:^Г->2/ —
непрерывное отображение на. Если множество Gey открыто, то
множество /~ (О) также открыто. Обратное утверждение в общем
случае неверно. Это приводит к следующему определению.
Определение. Отображение / называется взаимно непре-
непрерывным 1), если оно есть отображение на и если
A) (Л—открытое множество) ^=(/-1 (Л) — открытое множество),
или эквивалентно, если
B) (А — замкнутое множество)^{f~l (A) — замкнутое множество).
Теорема 1. Пусть /iJT-^jy — открытое или замкнутое
отображение на. Тогда отображение f взаимно непрерывно-
Доказательство. Пусть отображение / и множество /~ (А)
открыты. Так как /—отображение на, мы имеем Л = //~1(Л); по-
поскольку отображение / открыто, множество //-1 (Л) открыто.
Случай замкнутого отображения рассматривается аналогично.
') Его называют также квазикомпактным (и непрерывным), см. Уай-
берн [4], стр. 69, или сильно непрерывным, см. Александров, Хопф [1], § 5, 4.

126 Гл. 1. Топологические пространства
Теорема 2. Если отображение f взаимно непрерывно и
взаимно однозначно, то оно является гомеоморфизмом.
Доказательство. Пусть множество О с: X открыто. Так как
отображение / взаимно однозначно, то G =¦ f~lf (G). Следовательно,
множество /(О) открыто. Итак, отображение / открыто; отсюда сле-
следует, что / — гомеоморфизм.
Теорема 3. Пусть отображение f : Ж-+4/ взаимно непре-
непрерывно, и пусть задано некоторое отображение g :'&-*¦%.
Если отображение h = gf непрерывно, то и g непрерывно.
Если h взаимно непрерывно, то и g взаимно непрерывно.
\
\i'
Доказательство. Пусть множество О а % открыто. Тогда
множество п~ (О) открыто. Но h~ (O) = /~ \g~ (O)j. Так как ото-
отображение / взаимно непрерывно, то множество g~l (О) открыто.
Предположим далее, что отображение h взаимно непрерывно и
множество g~l (А) открыто. Тогда множество /-1 [^~Ч^)] открыто.
Но /~ [g~ (А)] — п~ (Л). Следовательно, поскольку отображение h
взаимно непрерывно, множество А открыто.
Замечания. Существуют взаимно непрерывные отображения,
которые не являются ни открытыми, ни замкнутыми. Это следует
из существования замкнутых неоткрытых отображений и открытых
незамкнутых отображений.
С другой стороны, любое отображение дискретного пространства
в недискретное пространство является непрерывным, но не является
взаимно непрерывным.
Понятие взаимной непрерывности играет большую роль при изу-
изучении фактортопологии (см. § 19).
§ 14. Вполне регулярные пространства. Нормальные пространства
I. Вполне регулярные пространства. Топологическое простран-
пространство JT называется вполне регулярным, если для всякой точки р
и всякого не содержащего ее замкнутого множества F простран-
пространства 2? существует непрерывное отображение /': ??'—>- д, такое, что
A) f(p) = 0 и /(дг)=1 для x^F1).
Вполне регулярное ^-пространство называется также простран-
пространством Тихонова.
>) См. Тихонов [2], стр. 545. Ср. Урысон [1], стр. 292.

§ 14. Вполне регулярные пространства 127
Теорема 1. Каждое вполне регулярное пространство
регулярно.
Доказательство. Пусть точка р, множество F и отображе-
отображение / такие же, как выше. Положим О = Е / (х) < -~ . Тогда мно-
множество О открыто, p^G и Gf\F — 0.
Теорема 2. Любое подмножество вполне регулярного про-
пространства вполне регулярно.
Доказательство очевидно.
Теорема 3. Область изменения множества F в определе-
определении вполне регулярного пространства может быть ограни-
ограничена любой замкнутой подбазой пространства JT.
Доказательство. Рассмотрим сначала конечную систему
Flt ..., Fn замкнутых множеств, точку p^Sf—Fo, где Fo =
= F1[) • • ¦ U Fn, и систему непрерывных функций fv . . ., /„, удо-
удовлетворяющих условиям A). Положим
B) /(*)=
К < < я
Очевидно, что функция / удовлетворяет условиям A) для множе-
множества Fo. Более того, отображение / непрерывно. Это следует (ср. § 13,
VI, 2) из тождества
Е [и < f{x) <v]=\J?[u< /,(*)] ПНЕ [/,(*) < v],
х i = l x j = \ x
согласно которому множество Е Iй <C / (x) < ^l открыто для любой
x
пары действительных чисел и < v.
Рассмотрим теперь произвольное замкнутое множество F, не со-
содержащее точку р. Покажем, что существует непрерывное отобра-
отображение /, удовлетворяющее условию A).
Пусть В — замкнутая база пространства JT. Тогда существует
система Fv ..., Fn элементов базы В, такая, что p?j?* — Fo и
F с: Fo, где F0^=-F1\J ... [}Fn. Очевидно, что функция /, опре-
определяемая формулой B), удовлетворяет условию A).
Замечание 1. Каждая топологическая группа вполне регу-
регулярна1).
Замечание 2. Регулярное пространство может не быть вполне
регулярным. Более того, существуют регулярные ^-пространства,
на которых каждая действительная непрерывная функция есть кон-
константа 2).
') Это теорема Понтрягииа. Ср. Монтгомери и Циппин [1], стр. 29.
2) См. Хьюит [1], стр. 503, и Новак [1], стр. 58.

128 Гл. 1. Топологические пространства
II. Нормальные пространства.
Определение 1). Топологическое пространство называется
нормальным, если для любых двух непересекающихся замкнутых
множеств FQ и Fl существуют два открытых множества О0 и Qlt
таких, что
C) F0cO0, F, с G; и О0ПО1 = 0,
или, эквивалентно, если для любых двух открытых множеств GQ
и Gj, таких, что W = G0[}G1, существуют два замкнутых множе-
множества Fo и Flt таких, что
D) F0<=Q0, Flcz01 и FoUF1=^r.
Можно считать, что в условии D) множества Fo и Fl имеют вид
E) F0 = H0 и FX = HV
где множества Но и Нх открыты. В самом деле, пусть JT—нор-
JT—нормальное пространство. Предположим, что условие D) выполнено.
Тогда существуют два открытых множества Но и Ко, таких, что
FoczHo, &—О0сК0 и Н0[]К0 = 0.
Следовательно, Н0а3;—К0, откуда Ио a JT — Ко с: Go. Аналогич-
Аналогичным образом, существует открытое множество Нх, такое, что FX(^H^
и /?! с: G,.
Подобное же рассуждение показывает, что в условии C) тожде-
тождество О0 П G] = 0 можно заменить тождеством
F) ОоПО^О.
Наконец, заметим, что C) можно заменить следующим условием
(аналогичным условию B) из § 5, X): существует открытое множе-
множество G, такое, что
G) Fo с О и О П Л = 0.
Замечание. Любое нормальное пространство вполне регулярно.
Это следует непосредственно из леммы Урысона, которая будет до-
доказана в п. IV.
С другой стороны, существуют вполне регулярные пространства,
которые не являются нормальными. (См. ван Ист и Фрейденталь [1],
стр. 365. См. также пример Немыцкого, указанный в работе Алек-
Александрова и Хопфа [1], стр. 31.)
') Ср. Титце [2], стр. 301.

§ 14. Вполне регулярные пространства 129
Однако справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Регулярное пространство Линделёфа (см.
§ 5, VII) нормально1).
Доказательство. Пусть А —А, В = В и Af\B — 0. Опре-
Определим два открытых множества О и Н, таких, что А с О, В с Н
и О(]Н = 0.
В силу регулярности пространства, для каждой точки а?А суще-
существует открытое множество Оа, такое, что а?Оа и Оа[) В —0.
Семейство, составленное из множеств Оа (а?А) и множества —А,
является покрытием. Это покрытие содержит счетное подпокры-
подпокрытие — A, Gar Ga2, .... Следовательно, А а. Ов] (J Olh U ... .
Аналогичным образом В а Нь U Нь U • • •. где множества Н/,
открыты и Нь {] А = 0.
Положим U\ = Qui, V\ = Hi,, — U\, для п > 1
Так как A f\Vnc:Af\Hb =0, мы имеем Л с: О. Аналогично ВсЯ.
Наконец, G(]H = Q, т. е. Un[\Vm — 0. Действительно, если
т-^п—1, то мы имеем (по определению Un) Un[\Vm — Q, а если
»<т. то UnnVm = 0.
Следствие 1а. Регулярное ^^пространство со счетной
базой нормально.
В самом деле, по теореме § 5, п. XI, любое топологическое про-
пространство со счетной базой есть пространство Линделёфа.
Теорема 2. Свойство пространства быть нормальным
есть инвариант относительно замкнутых отображений на.
Пусть f : Э,—¦>У—замкнутое отображение на. Пусть ^/zdGj,
у = 0, 1, где О, — открытые множества, и 2/ —GoUG;. Тогда мно-
жество /~ (Gj) открыто и
Так как ??—нормальное пространство, то существуют два замкну-
замкнутых множества Fo и Fv таких, что (ср. D))
Fudf-l(Q0), F^r'iG,) и FoUF^ctr.
') Теорема Тихонова. См. Тихонов [1].
9 Топология, т. I

130 Гл. 1. Топологические пространства
Отсюда следует, что
f(FQ)dG0, /(/=",) с Gx и /(/70)и/(Л)=У-
Так как, по предположению, отображение / замкнуто, то множе-
множества f(Fj) замкнуты и, следовательно, пространство <у нормально.
Замечание. Это свойство не инвариантно относительно от-
открытых отображений (см. § 17).
Покажем, что в определении нормальных пространств непересе-
непересекающиеся замкнутые множества можно заменить отделимыми
Ра-множествами.
Теорема З1). Пусть пространство JP нормально, и пусть А
и В— отделимые Fa-множества. Тогда существуют два откры-
открытых множества G и Н, таких, что
(8) AczG, ВаН a Gn# = O.
Доказательство. Положим А — Ах\) А2[] . . . и 5 = B{\j
U B2U • • •, где Af и Bj замкнуты. Определим две последовательности
открытых множеств дг, G2, . . . и Нг, Н2 удовлетворяющих
условиям
(9) A,czGi, BjdHj, G^Hj^Q для t,j= 1,2
и положим G = G, U G2 U • • • и Н = Нх 1J Я2 U .... Таким образом,
условия (8) выполнены.
Продолжим по индукции. Так как Аг ГM = 0 = В1 ("| А, суще-
существуют открытые множества (ср. F)) Pv Qb Ux и Vv такие, что
BczQv BlaU1, A<zVlt
Положим G1 = P1flVr1 и H1 = Ulf\Ql. Очевидно, что условия (9)
выполняются для i=zl =j. Кроме того,
Предположим теперь, что условия (9) и A0) выполняются для
индексов, не превосходящих п. Как и в случае п=1, существуют
открытые множества Pn + i, Qn + v Un + i и Уп+1> такие, что
An + i^Pn+i- #iU ... [}Hn[}BcQn+v Pn_
Bn+i<=un+v OiU ••• ио„илсУ„+1, {/л4
Положим
См. Чех [4], стр. 107.

§ 14. Вполне регулярные пространства 131
Легко проверить, что условия (9) и A0) выполняются для (, j^.n-\- 1.
Это завершает доказательство.
III. Системы множеств, подобные в комбинаторном смысле,
в нормальных пространствах. Две конечные системы множеств
Л[, ..., Ап и 5j, ..., Вп называются подобными в комбинатор-
комбинаторном смысле (см. Александров, Ann. Math., 30 A929), стр. 16),
если имеет место тождество
A) (Л/ П • • • П At = 0] = \Bi П ¦ • • П^» = o}«
какова бы ни была система индексов (<^ п).
Это же определение применимо к бесконечным последовательно-
последовательностям множеств, удовлетворяющим условию A) для каждого k.
Теорема1). Пусть в нормальном пространстве задана
конечная система замкнутых множеств Fx, .... Fn. Тогда
каждое множество Ft(l <;/ -^ re) содержится в некотором
открытом множестве Gt, причем система множеств Ох, ..,, Gn
подобна данной системе в комбинаторном смысле.
В самом деле, рассмотрим все пересечения вида Ft |~| ¦ • • П Fik,
где F\ П Ft П •¦• П Ft =0. Пусть 5—их объединение. Так как
множество 5 замкнуто и не пересекается с Fit то существует откры-
открытое множество Gx, такое, что FxczGx и Gl[)S^=0. Покажем, что
система Gx, F2, ..-, Fn подобна системе Fx, F2 Fn. Для этого
рассмотрим пустое пересечение, члены которого принадлежат второй
системе; покажем, что пересечение соответствующих им множеств пер-
первой системы тоже пусто. Очевидно, можно ограничиться случаем,
когда среди этих множеств находится Fx. Тогда рассматриваемое
пересечение имеет вид F\[\Fi |~| • • • П Ft = 0. Отсюда следует,
что Ft П ••• Пп ci, и так как О1П6 = У, то и и,Пг/ П ••¦
Далее применим индукцию. Предположим, что система Fx Рп
подобна системе 6"х, ..., Ой_х, Fk, .... Fn, где ^jcrGj, ...
• ••, Fk_lczQk_l. Тогда существует, как мы только что показали,
открытое множество Gk, такое, что FkczGk и что система
On р р р
подобна системе
') См. Гуревич [3]. Эта теорема представляет собой обобщение опре-
определения II C). Что касается обобщения на случай бесконечной последова-
последовательности множеств, см. Куратовский [27], стр. 259; см. также Морита [2],
"Р. 22, и Катетов [2], стр. 336.
9*

132 Гл. 1. Топологические пространства
Эта последняя система подобна системе Fj F'„, поскольку отно-
отношение подобия транзитивно.
Таким образом, теорема полностью доказана.
Следствие. Если задана система открытых множеств
Gj, . . ., Gn, такая, что Ж = Gx U ... U Gn, то существует си-
система открытых множеств Нх, ...,Нп, такая, чтоS'=Hl\} ...
... [)Нпи HtcGt.
Применяя предыдущую теорему к множествам F-==SC—Gt, дока-
докажем существование открытых множеств Vt, таких, что F\cV\ и
Vl[\ ... ПVn=0. Положим Я(. = JT — Vt. Тогда
Ht = X — Vi с: ЯГ — V i = X — Vi с: X — Ft с Qt
и
я:и ... ия„ = ж — (V,п ... r\vn) = #.
Замечание. В метрических пространствах предыдущее утвер-
утверждение можно распространить на семейства открытых множеств про-
произвольной мощности (см. § 21, XII).
IV. Действительные функции, определенные на нормальных
пространствах. Следующее свойство нормальных пространств(лемма
Урысона) является усилением свойства I A) вполне регулярных про-
пространств. Как легко видеть, это—характеристическое свойство нор-
нормальных пространств.
Лемма Урысона1). Пусть А и В — непересекающиеся
замкнутые множества в нормальном пространстве ??. Тогда
существует непрерывная функция f': 5С'—>¦ 0 • такая, что
A) f(x) = 0 для х?А и f(x)=l для х?В.
Доказательство. Сначала поставим в соответствие каждой
дроби вида г = k/2" (k = 0, 1 2") открытое множество G (г),
такое, что
Г ЛсО(О), JT — В = 0A);
2° если г<г', то GjF)dG(r').
Построение будем вести при помощи индукции по показателю п.
При ге = 0 такое построение можно осуществить в силу усло-
условия II G). Допустим, что система открытых множеств, удовлетво-
удовлетворяющая условиям 1°, 2°, построена для п—1. Мы должны опреде-
определить множество G(k/2n) для нечетного k. По предположению индукции,
Урысон [1], стр. 290.

§ 14. Вполне регулярные пространства 133
Следовательно, в силу условия II G), существует открытое множе-
множество, которое мы обозначим через О {kj2 ), такое, что
O[(k— 1)/2"]сО(/г/2") и
Таким образом, открытое множество О (г) определено для каждого г.
Положим
О, х ? G @),
/(*) =
sup r, хфО@).
Е[х(Х-О(г)]
г
Согласно 1°, имеем f(x) = 0 для х ? А и /(х)=1 для х?В.
Остается показать, что функция / непрерывна, т. е. (§ 13, VI, 1)
что всякой точке х0 и каждому натуральному числу п соответствует
открытое множество Н, содержащее точку х0, такое, что из усло-
условия х?Н следует неравенство \f(x0) — f(x)\ < 1/2".
Пусть г — (конечная двоичная) дробь, такая, что
B)
Положим H = G(r) — G(r—1/2"), считая, что G(s)—0 при 5<0
и G(s)=^T при s> 1. Тогда прежде всего имеем хо?Н, так как
из неравенства f(xo)<^r следует, что xo?G(r), а из неравенства
r—l/2n+l<f(x0) следует, что
Xn
— G(r— 1/2").
Кроме того, из предположения х ? Н следует, что х ? G (г), откуда
/(х)О; отсюда, кроме того, следует, что
х 6 JT - О {г — 1/2") с: JT — О (г -- 1/2"),
поэтому г—1/2" ^f(x). Итак,
Лемма Урысона является частным случаем фундаментальной тео-
теоремы Титце, которая будет сформулирована ниже. В основе доказа-
доказательства теоремы Титце лежит следующая
Вспомогательная теорема. Пусть / — непрерывная
Функция, определенная в замкнутом подмножестве F нор-
нормального пространства Ж и удовлетворяющая условию
l/C*O|-^c, где с > 0. Тогда существует непрерывная функ-
функция g, определенная на всем пространстве !% и удовлетво-

134 Гл. 1. Топологические пространства
ряющая следующим условиям:
C) i?Wl<{c для
D) \f(x)-g(x)\<jc для x?F.
Доказательство. Пусть
E) Л =
Множества А и В замкнуты и не пересекаются (ср. § 13, VI), по-
поэтому, согласно лемме Урысона, существует непрерывное отображе-
отображение g : JT -> 7, такое, что g (х) = ^ с для х ?А и g(x)= -^-с
для х?В. Очевидно, что отображение g удовлетворяет условиям
леммы.
Теорема продолжения Титце1). Пусть f—непрерыв-
f—непрерывная действительная функция, определенная на замкнутом
подмножестве F нормального пространства %. Тогда суще-
существует непрерывная действительная функция /*, определен-
определенная на всем пространстве 3", такая, что
F) /•(*) = /(*) для x?F.
Более того, если функция f ограничена
G) |/(*)|<с где с > О,
то
(8) |/*(*)|<с для
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда функ-
функция / ограничена, т. е. когда выполняется неравенство G). Положим
со
(9) /*(*)= 2 *„(*).
л=0
1) См. Титце [1]. По поводу доказательства см. Урысон [1]> стр. 293.
О различных обобщениях теоремы Титце см. Дугундьи [1], Ханнер [1],
Даукер [2].
См. также Борсук [3J, где продолжение функции / определяется так,
что .операция продолжения" линейна по отношению к данным функциям.

§ 14. Вполне регулярные пространства 135
где функции gn определяются по индукции следующим образом.
Положим .§-о(лг)==О. Пусть я>0. Допустим, что
A0) |/(*)-2 *<(*)! <(?)"« для
(это верно при « = 0, согласно G)).
Подставим в формулировку вспомогательной теоремы
п
— 2 Siix) вместо f(x) и B/3)" с вместо с. Тогда получим, что
существует непрерывная функция gn+\, определенная на простран-
пространстве SC, такая, что
(П) kJ+iW|<^r^ Для х^Ж,
A2) |/(Jf)-S gi(x)\< 4 с для x?F.
Таким образом определяется последовательность функций glt g2
причем формулы A0) — A2) выполняются для каждого ге = 0, 1
Так как функции gn непрерывны и ряд (9) равномерно сходится
в пространстве & (согласно A1)), то функция /* непрерывна на &
(по теореме 3, § 13, VI).
Формула F) следует непосредственно из неравенства A0).
Наконец, (8) следует из A1): если x^SC — P> то
1| 2 „! 2 +S w
л=0 л=0 п=0 о
Итак, для ограниченной функции / теорема доказана. Случай
неограниченной функции / может быть сведен к предыдущему сле-
следующим образом (см. Ковальский [2], стр. 135).
Так как прямая <if гомеоморфна открытому интервалу /0=
=(—1, 1), мы можем предположить, что /: F—>Iq. Тогда, как пока-
показано, существует непрерывное продолжение /*:j2f—>/о отображения
/¦ Обозначим через В двухэлементное множество {—1, 1}, и
пусть H = f*~~1(B). Множество Я замкнуто, и H{)F = 0. По лем-
ме Урысона, существует непрерывное отображение h : Ц? —> 0,
такое, что h(x) = Q для х?Н и h (х) = 1 для x?F. Положим
g(x) = f*(x) h{x). Тогда g :.?*->/0, и g есть требуемое непре-
непрерывное продол жение отображения /.

136 Гл. 1. Топологические пространства
V. Наследственно нормальные пространства.
Определение. Пространство называется наследственно (или
вполне) нормальным, если каждое из его подмножеств нормально,
или, эквивалентно, если каждое его открытое подмножество нор-
нормально (как легко показать, используя условие 11D)).
Замечание 1. Нормальное пространство может не быть наследственно
нормальным. Таково пространство'), определенное следующим образом.
Пусть SC = Е (о- < &) и <у = Е (Р < ») — пространства с естественной
а р
топологией (порядка). Искомое пространство есть прямое произведение
(см. § 15, I) % X У- Пусть А = 1Г XV) — (Q. «)• Тогда % X <У — нор-
нормальное пространство, в то время как множество А не является нормальным,
поскольку множества ИХ?/ и JXoc удаленной точкой (й, со) не имеют
непересекающихся окрестностей.
Заметим, что каждое метрическое пространство наследственно
нормально (см. § 21).
Замечание 2. Всякое Fg-множество нормального пространства
нормально. Это следует из теоремы 3, п. II (поскольку всякие два непере-
непересекающиеся множества, замкнутые относительно множества типа Fg,
являются отделимыми /-^-множествами).
В нижеследующих теоремах 1—4 пространство 1 предполагается
наследственно нормальным2).
Формула II G), имеющая место для произвольных нормальных
пространств, может быть уточнена для наследственно нормальных
пространств следующим образом.
Теорема I3). Если множества А и В отделимы, то суще-
существует открытое множество G, такое, что
A) AczG и G()B — 0.
Следовательно (ср. § 6, V, теорема 6), Fr(G) отделяет мно-
множество А от В.
Доказательство. Пусть E=l—(Af]B). Тогда множества
А — В и В—А не пересекаются и замкнуты в Е. Так как про-
пространство наследственно нормально, то существует множество G,
открытое в Е (а следовательно, и в 1), такое, что
A — BczG и Gf]E(](B — A)=:Q.
По условию, А{)В — 0, следовательно, Ас А — BczG. Так как
В(]А=0, то G()B<zGn В~ A<zG()En(B—AJ = O. Это завер-
завершает доказательство.
') Оно называется иногда тихоновской балкой. См. Келли [1], стр. 132,
где дается детальное доказательство.
2) В случае метрических пространств доказательства, приведенные в этом
пункте, могут быть существенно упрощены. См. § 21.
3) См. Титце [2], стр. 301; Александров и Урысон [2]; Урысон [1].

§ 14. Вполне регулярные пространства 137
Теорема 2. Для каждой пары замкнутых множеств А, В
существует пара замкнутых множеств А*, В*, такая, что
B) Л*1)?*=1> A*()(A\JB) = A, B*[\(A\}B) = B.
Доказательство. По теореме 2, § 6, V, множества А — В
и В—А отделимы. Следовательно, в силу теоремы 1, существует
открытое множество G, такое, что
C) A—BczG и Of](B — A) = 0.
Положим
D) A* = O\J(A()B) и Вф = (-О)иИПВ).
Отсюда следует, что А* [} B*dG U (— О) = 1. Далее, А[)В —
= (А — В) U (А П В) U (В — А). Следовательно, согласно формулам
C) и D),
А* П (A U В) = [G П (А — В)} U (А (] В) U [О П (В — А)) =
= (Л —5)иО4ПЯ)иО = Л;
Б* П (Л U Я) = [(— О) П (А—В)] U (А (] В) U [(— О) U (Я — Л)] =
= 0U(A(]B)U(B — A) = B.
Замечание 3. Покажем, что условие, сформулированное в тео-
теореме 2, является характеристическим для наследственно нормальных
пространств.
Предположим, что в топологическом пространстве i выполнена
теорема 2. Пусть Eczl. Мы должны показать, что множество Е
нормально.
Другими словами, пусть даны два непересекающихся множества Мо
и Mv замкнутых в Е, т. е.
E) MonMi = O, M]=M][\E (/ = 0, 1).
Мы должны построить (ср. II D)) два множества /^ и Fx, замкну-
замкнутых в Е, таких, что
F) FQ[JF1=E, FjnMj = 0 (y = 0,l).
По предположению, существуют два замкнутых множества Со и С{,
таких, что
G) COUC1 = 1,
Положим Fj = C1_JnE. Согласно G), F0UF1=(C0UC1)n?=?.
Далее
Fj П Mj = С1Ч П Mj = Cx_j П (МоU МО П Mj = M:_j П Mj.
Но множества Ml^j и Mj отделимы, так как (см. § 6, V, теорема 5)
они не пересекаются и замкнуты в Е, следовательно, и в M0(J M.x.
Поэтому Mi_j П М; -— 0, что завершает доказательство.

138 Гл. 1. Топологические пространства
Из теоремы 1 вытекает следующее несколько более общее
утверждение.
Теорема 3. Пусть А[}В = 0. Тогда существует открытое
множество G, такое, что
AczG, GC\B = 0 и OftBczA.
Доказательство. Множества А к В — А отделимы, так как
А П В —- A cz А П В = 0 — A f] (В — А).
Следовательно, согласно теореме 1, существует открытое множество О0,
такое, что
AczGq и Gofl(fi — А) = 0, т.е. Gaf\Bc:A;
мы полагаем G = О0 — В.
Теорема 4. Пусть каждая пара множеств A[t Aj (i Фу),
принадлежащих данной системе множеств Ах Ап, от-
отделима. Тогда существует система открытых множеств
Gv .... Gn, такая, что
(8) Atc G; и А( П Aj = О,- П Оу для I ф J.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай я = 2!). Поло-
Положим А=А1 — А2 и 5 = Л2— А1. Так как множества А и В отде-
отделимы (согласно теореме 2, § 6, V), то по теореме 1 существует
открытое множество G, такое, что
(9) Л1 — AjcG
и
A0) (ОПА,)(=Л,.
В силу той же самой теоремы, примененной к паре множеств
А2—G и О — А2, существует открытое множество Н, такое, что
A1) A2—GczH
и
A2) (ЯП О)с42.
Теперь, так как множества А1 и А2 отделимы, мы имеем Ах = Ах —- А2
и Л2 = Л2—Л,. Поэтому, согласно (9), Аха0 и, согласно A0) и A1),
А2=А2— Л",сгЛ2- (ОПЛг)= Л?
') См. Менгер [6], стр. 16.

§ 14. Вполне регулярные пространства 139
откуда (Ах П Л2)с(О Л Я). Обратное включение следует из A2) и A0):
(ЯПО)с(ОП A2)<z(Axr[A2).
Это завершает доказательство для случая п = 2.
Далее применим индукцию. Допустим, что теорема верна для
п— 1. Тогда существует система открытых множеств Gx, .... О„_2.
Я, такая, что
2, (Лл_, U Ап)аН
для j < / < п — 2.
Как показано выше, существуют открытые множества Я! и Я2,
такие, что
Лп-г^Н,, АпсН2, /7, П Я2 = Ап_г П А„.
Далее, положим Gn_l—H(]H1 и Gn = H (]И2. Тогда система
Ох, . . ., Gn удовлетворяет условиям (8).
Действительно, если i^.n — 2, то
с= И/ П Ап.О U (^ П Я2 П Нд = (At П Лп-0 U (Л, П ^„-i П Л„) =
= AгПЛ„_1)с(О1.ПО„.1).
следовательно, ^/Г|Л"„_1= О,-П О„_!. С другой стороны,
Фп-i П О^сСЯ, ПЯ2) -(Л^ П ^JcKO^! П О„).
следовательно, Ап_г (] Ап = Gn_x f) С?„.
Замечание 4. Множества Gj Gn не пересекаются, ибо,
по теореме 2, § 8, IV, множество At[\Aj нигде не плотно.
Замечание 5. В метрических пространствах справедливы
некоторые обобщения теоремы 4 на бесконечные системы (см.
§ 21, XI). К другому обобщению приводит понятие коллективно
нормальных пространств').
VI. Совершенно нормальные пространства.
Определение. Топологическое пространство JP называется
совершенно нормальным2), если для каждой пары непересекаю-
') См. Бинг [1], стр. 176. Ср. Катетов [5], стр. 145—151.
2) Ср. с ,/'-свойством" Урысона [1], стр. 286. См. Чех [1] и [4], стр. ПО.

140 Гл. 1. Топологические Пространства
щихся замкнутых множеств А и В существует непрерывная функция
f'• SC-^ 0 * такая, что
A) [/(*) = 0] = (*еЛ) и [/(*)= 1]=(х?Я).
Легко видеть, что это условие сильнее, чем условие IV A) в лемме
Урысона. Поэтому всякое совершенно нормальное пространство
нормально.
Более того, всякое совершенно нормальное пространство
наследственно нормально').
В самом деле, всякое открытое подмножество есть множество
типа Fa (см. теорему 2 ниже), а всякое /''„-множество нормально
(см. V, замечание 2).
С другой стороны, наследственно нормальное пространство может
не быть совершенно нормальным.
Таково пространство $?, определенное следующим образом 2): $? — не-
несчетное пространство, содержащее одну „сингулярную" точку р, такую, что
каждое множество, содержащее р, замкнуто. Кроме таких множеств, за-
замкнутыми являются еще конечные множества и только они.
Легко видеть, что одноэлементное множество (р) не является множе-
множеством типа О6, следовательно, пространство ?? не является совершенно
нормальным (в силу теоремы 2, которая будет доказана ниже).
Как мы увидим позже, любое метрическое пространство
совершенно нормально.
Теорема 1. Пусть А—замкнутое подмножество совер-
совершенно нормального пространства Ж. Тогда существует не-
непрерывная функция f:JF—>g, такая, что
B) [f(x) = 0] = [x?A].
Это непосредственно следует из определения, если положить В = 0.
Для того чтобы установить важное свойство, характеризующее
совершенно нормальные пространства, мы сначала докажем следую-
следующую лемму3).
Лемма. Пусть А—замкнутое О&-множество в нормаль-
нормальном пространстве, и пусть множество В замкнуто и А (}В = 0.
Тогда существует непрерывная функция f': %'-> g, удо-
удовлетворяющая формуле B) и условию
C) (* ? Я) =Ф (/(*)=!)•
Доказательство. Положим
D) А = G1 П О2 П •.., где Оп — открытые множества.
') Эта теорема принадлежит Урысону [1], стр. 286.
2) Этот пример принадлежит Е. Чеху.
3) По поводу этой леммы и теоремы 2 см. Веденисов [1], стр. 235; см.
также Веденисов [3], где доказана теорема, обратная к теореме 1.

§ 14. Вполне регулярные пространства 141
Мы можем предположить, что Оп[\В = 0, так как в противном
случае мы могли бы заменить Gn множеством Оп — В,
Согласно лемме Урысона (см. п. IV), для каждого п существует
непрерывное отображение /п: &->??, такое, что
0 для х ? А,
Положим
для х?& — О„.
Так как этот ряд равномерно сходится, то функция / непрерывна
(ср. § 13, VI, 3) и f\ir~>g.
Условие C) выполняется, так как для каждого п имеем ВсЗ*—Оп
и, следовательно, fn (х) = 1 для х?В.
Так как A d Gn, то для х?А мы имеем /„ (х) = 0, следова-
следовательно, /(х) —0.
Остается показать, что если х(^А, то /(х)фО. Пусть х(^А.
Тогда, согласно D), существует индекс п, такой, что x(^Gn, откуда
/„(*)= 1. Отсюда следует, что /(х)>0.
Теорема 2 (теорема Веденисова). Пространство SV совер-
совершенно нормально тогда а только тогда, когда оно нормально
и каждое замкнутое множество в нем является множеством
типа G6.
Доказательство. 1. Пусть А — замкнутое подмножество
совершенно нормального пространства, и пусть / — функция, рас-
рассматриваемая в теореме 1. Положим
Тогда
л=1
2. Пусть &—нормальное пространство, такое, что каждое за-
замкнутое его подмножество есть множество типа в6. Пусть А и В —
два замкнутых непересекающихся множества. Определим непрерывное
отображение /:??—>&, удовлетворяющее соотношениям A).
В силу леммы, существует непрерывная функция g:3'—> 0,
такая, что
(x?A) = lg(x) = 0] и (x?B)=
Положим

142 Гл. I. Топологические пространства
Тогда множества О U F и Н\] F замкнуты и (G U F) П В = 0. Следо-
Следовательно, можно применить лемму к множествам OUf и В (взяв
интервал ('/г. 1) вместо интервала @, 1)); таким образом, существует
непрерывная функция h, определенная на пространстве 2?, такая, что
i-<A(x)<l. [*?(G U Z7)]
(*??)==[*(*)= И-
Положим
g (х) для х ? (О U Z7).
U(x) для хбСЯи/7).
Функция / определена и непрерывна, так как (G U Z7) П (Я U F)=F
и для х ? Z7 мы имеем g(x)=l/2=h(x). Кроме того, (О IJ/\) U
и(Яи/7) = ^. следовательно, f : SC~> в (ср. § 13, V, 3).
Наконец, легко видеть, что условие A) выполнено.
Теорема 3. Каждое регулярное ^^-пространство с а-ло-
кально конечной базой В (ср. § 5, VII) совершенно нормально
(и даже метризуемо, см. § 21, XVII).
Доказательство. Пусть
E) B = B1\JB2[)... и Я„= {<?„,,}, где t?Tn,
и семейства Вп локально конечны.
Сначала докажем, что пространство Ж нормально.
Пусть А и В — замкнутые непересекающиеся множества. Так как
пространство Ж регулярно, каждой точке х?А можно сопоставить
пару индексов п(х) и t(x), таких, что
F) х ? О„ {x)i t{x) и В Л Оп (х). t (x) — 0.
Положим
G) Mk = E(n(x) = k) и Ok= U Gn{x)t Цх).
Отсюда следует, что
А = Ml U M2 U • ¦ •.
поэтому
(8) А с Gj U G2 U
Так как семейство Bk локально конечно, то из равенства G) выте-
вытекает, в силу теоремы § 5, VII, что
— U Оп (Х) цх) = U О
Следовательно, согласно F),
(9)

§ 15. Прямое произведение *?Yjy 143
Аналогично существует последовательность открытых множеств
Нь Н2, .... таких, что
A0) В cz Нг\1 Н2Ц ... и
Положим
U= U [Gk — (Hl\}...\iHk)) иУ=0 [Hk-(O1\j...\jGk)].
Тогда f/nV" —0 и, согласно формулам (8) — A0), A a U и В с V.
Так как множества U и V открыты, это означает, что простран-
пространство нормально.
Теперь покажем, что пространство 5? совершенно нормально.
В силу теоремы 2, остается показать, что каждое открытое множе-
множество А есть /^-множество.
Обозначим через х некоторую точку множества А и через В —
множество 3" —А. Тогда формулы F) — (9) выполняются. Со-
Согласно (9), мы имеем Ok cz А, откуда, согласно (8), А = G: \J G2 U • • •.
Это завершает доказательство.
Замечание. Следствие 1а, п. II, утверждающее, что каждое
регулярное ^-пространство со счетной базой нормально, является,
очевидно, также и следствием теоремы 3.
§ 15. Прямое произведение ЖУ^у топологических пространств
I. Определение, Пусть SV и у — два топологических простран-
пространства; топология в множестве SC X У (см. § 2, I) вводится следующим
образом.
Определение. Множество А с: % X У называется открытым
в пространстве JT х У тогда и только тогда, когда оно является
объединением прямых произведений G X И, где G и Н — открытые
множества соответственно в пространствах JT и у.
Другими словами, семейство всех таких множеств G X Н есть
база пространства Ж X У-
Согласно § 2, II B), (О, X Нх) П (О2 X Я2)=(О, П О2) У (Я, П Я2).
Поэтому если Glt G2, И] и Н2 — открытые множества (соответ-
(соответственно в пространствах SC и У), то и пересечение (О{ X Н{) |~|
П (О2 X Н^) открыто (в пространстве & X У)- Следовательно, пере-
пересечение любых двух открытых множеств в пространстве X X У
открыто.
Так как объединение произвольного семейства открытых множеств
в пространстве SC X У открыто, мы приходим к следующей теореме
(см. § 5, II, замечание 2).
Теорема 1. Прямое произведение двух топологических
пространств есть топологическое пространство.

144 Гл. 1. Топологические пространства
Так как (# X 30 — (*0. yo) = ((i'-^)X2/)U(JX(fy
(согласно § 2, II F)), то справедлива
Теорема 2. Прямое произведение двух ^^пространств
есть ^^пространство.
Эта теорема следует также из теоремы 5, приведенной ниже.
Пример. В плоскости %2 естественная топология согласуется с вве-
введенной выше. Действительно, каждое открытое множество в плоскости t2
может быть представлено как объединение квадратов со сторонами, парал-
параллельными осям SC и У-
Легко показать, что справедлива (ср. § 2, II (8))
Теорема 3. Если [Ву\—база пространства SC, & [Сх] —
база пространства у, то {BL X Су] —• база пространства
То же самое утверждение остается верным для подбаз.
Теорема 4. Пусть ,Т и у—топологические простран-
пространства. Семейство множеств 0X2/ и семейство множеств
ffXJ, где множество О открыто в пространстве ??, а Н —
в пространстве у, есть подбаза пространства ХУ^У-
Действительно, OXW = (OX^)fl(JX Щ-
Имеет место также (см. § 5, XI, замечание 4)
Теорема 5. Множества F X У< так же как и множества
JTXA", где F замкнуто в пространстве ??, а К—в про-
пространстве У, замкнуты, и семейство этих множеств является
замкнутой подбазой пространства ЖУ(.У-
Замечание. Напомним (см. § 2, VII), что отношение опре-
определяет подмножество пространства SC X У< а именно множество
Е хру. Отношение называется замкнутым, если это множество
х, у
замкнуто (в JT X У)-
И. Проекции и непрерывные отображения. Пусть дана точка
z = (x, y)(z%"X.y- Рассмотрим х как функцию z. Положим х =
= /B) и аналогично y = g(z). Таким образом,
Отображения fug называются проекциями пространства ?? X У
на оси X и У; f (z) есть абсцисса точки z, a g(z) — ее ордината.
Теорема 1. Проекции являются открытыми отображе-
ниями.
Доказательство. Пусть множество О открыто в простран-
пространстве JT. Тогда мы имеем /"'(O) = GXS. а это множество является
открытым по определению,

§ 15. Прямое произведение ffiy^y 145
Таким образом, отображение / непрерывно. Оно также является
открытым. Предположим, что множества О и Я открыты (соот-
(соответственно в пространствах JT и у). Тогда множество /(ОХЯ) =
= 0 открыто.
Теорема 2. Пусть h : J1 -> JT X У- Положим h(t) = (hl(t),
h2(t)), где h1(t)?3: и h2(t)^y. Отображение h непрерывно
тогда и только тогда, когда отображения пг и h2 непре-
непрерывны.
Более точно: отображение h непрерывно в точке t0 тогда
и только тогда, когда отображения h1 и h2 непрерывны
в точке t0.
Доказательство. Предположим, что отображение h непре-
непрерывно в точке t0. Так как h1(t) — fh(t), где /—проекция про-
пространства ЖХУ на ось 2?, то, в силу теоремы 1, отображение пг
непрерывно в точке t0.
Предположим, что отображения пх и h2 непрерывны в точке t0.
Пусть множество G <z. % ХУ открыто, и пусть to?h~l (Q). Мы
должны показать, что t0 ? Int(A-1(O))- Согласно § 13, III E), можно
предположить, что множество G принадлежит подбазе пространства
3"Х&- Положим (см. I, теорема 4) G = О, X З^- Тогда (см. § 3, II
B3)) A~I(G) = Ar1(Oi), и поэтому ^6 hil (°0- Так как отображе-
отображение hx непрерывно в точке /о. то to ? Int h\ (Gi) = IntA~ (G).
Теорема 3. Пусть ср(х, у) — функция высказываний, та-
такая, что множество Е (р(х, у) открыто в пространстве
X, У
ЖХУ- Тогда множество ЕУфО*. У) открыто в простран-
х у
стве SV-
Если предположить, что множество Е ф(-^> У) замкнуто, то мно-
х, у
жество ЕЛфС-^' У) также будет замкнутым.
х у
Это следует непосредственно из теоремы 1.
III. Действия над прямыми произведениями. Пусть JT и у —
два топологических пространства. Пусть A cz SV и В с У.
Имеют место следующие формулы:
A) АХВ = АХВ;
B) Ш(А X В) = Int (Л) X Int (В);
C) Ft(AXB) = (Ft(A)XB)U(A
D) (А X Bf = (Л" X В) [j (AX Bd),

146 Гл. 1. Топологические пространства
Доказательство. A) Пусть z = (х, у) ? А X В; положим
(как в II) f(z) — x. Так как отображение / непрерывно (согласно
II, 1), то z?AXB влечет за собой / (z) ?/ (Л_Х В), т. е. х?А.
Аналогично у?В. Следовательно, (х, у)?АХВ-
Предположим, далее, что х?Л и у?В. Пусть (х, y)?G, где
G — открытое множество. Тогда существуют открытые, множества О'
и Н', такие, что (х, y)?G' X И' с: G. Отсюда следует, что
x^G' и у?#'; значит, по предположению, G' П А Ф О Ф Н' f\B.
Следовательно, (Gr X Н')П(А Х_В)_Ф 0, поэтому О П (-4 X В) ф О,
откуда вытекает, что (х,
B) Напомним (§ 2, II F)), что
A>X2/)~(^X5) = ((J-
Поэтому
= К^г х у) — or—л) х у\ n icr ха/)-^г х (з/—в)\=
А)ХУ\ П KjT X 2/) — („Г X 2/ — fi)] =
= [(^ — ^ — А) X У\ П [.Г X B/ — B/ — 5))] ==
= (Int (Л) X 2/) П {X X Int E)) = Int (A) X Int (В).
C) Имеем
F г (Л X В) = А X В П {% X У) ~ (А X В) =
= (А X В) П V& — А X У) U (JT X У — В)] =
D) Имеем
[(a. b)?(A XBf]~[(a, (?) ?(А X В) ~(а,
==[(а?Л —а и Ь?В) или (а ?Л и Ь?В — Ь)]==
~ [(а, *) ^ Ай X В или (а, *) ^ Л~Х ^1 =
IV. Диагональ. Диагональю пространства JT2 = JT X ^"назовем
множество
A) Д=Е(* = у).

§ 15. Прямое произведение &ХУ 147
Теорема 1. Л=^.
Искомым гомеоморфизмом является проекция (х, у)->х.
Теорема 2. Если пространство X хаусдорфово, то его
диагональ замкнута (в Stf2)-
Доказательство. Положим V=^2—А. Мы должны по-
показать, что множество V открыто, т. е. что если дана точка (х, у),
принадлежащая множеству V, то существуют два открытых мно-
множества О и Я, таких, что x?G, у?Я и Gx WcV. Так как
х Фу, то, поскольку пространство SC хаусдорфово, существуют два
открытых множества О и Я, таких, что x?G, у?Я и ОГ)Я = 0.
Следовательно, (ОХ-^)ПА^О, т. е. (О X Я) с V.
Теорему 2 можно обобщить следующим образом.
Теорема 3. Пусть отображения f j : 3?j->y непрерывны
(У = 0, 1). Если у— хаусдорфово пространство, то множество
Хо, Xi
замкнуто (в пространстве JT0 X 3"\)-
Другими словами (см. п. I, замечание), отношение
= (/о Оо) = /i (-^i) )
замкнуто.
Доказательство. Положим g(x0, xx) = (f0(x^), f{(x{)).
Тогда ^ifoXJi^fy2. и, согласно предложению 11,2, отображе-
отображение g непрерывно. Следовательно (если Л—диагональ пространства 2/2),
множество g~l (А) замкнуто. Но ?""~1(Л) = Г, потому что
6 g'1 (ДI = \g (х0. хг) 6 А] = [(/0 (х0), /, (Xl)) 6 А] н=
это завершает доказательство теоремы.
В частном случае, когда Х$ = ХХ, мы имеем
Следствие За. Если отображение f : SV —>У непрерывно и
У — хаусдорфово пространство, то индуцированное отноше-
отношение эквивалентности
(х0 ~ хх) = (/ (х0) = / (х{))
замкнуто.
Для открытых отображений верна теорема, обратная теореме 3.
Теорема 4. Пусть fу: %^->у — открытое отображение
на. Если множество Г замкнуто, то пространство у хаус-
хаусдорфово.
10*

148 Гл. 1. Топологические пространства
В частности, если множество А замкнуто, то простран-
пространство & хаусдорфово.
Доказательство. Пусть у0 Ф ух; положим У/ = fj(Xi).
Тогда (л-0, Xj) ? Cf о X #"i) — Г. Так как множество (ЗГ0 X ^*i) — Г
открыто, существуют множества О;- (у = 0, 1), открытые в ,#*, и
такие, что Xj^Gj и (G0XG1)nr = 0.
Следовательно, fo(Go) П /i (Gi) = 0, так как иначе существовали бы
точки x'j^Oj, такие, что fQ(xfy = fx(x'^, и тогда (x'Q, х'^?Г.
Поскольку отображение /;- открыто, fo(Go) и fx (G^) — открытые
непересекающиеся множества, содержащие соответственно точки у0
и yv
Замечание 1. Понятие диагонали можно рассматривать для
более общего случая, когда X и Y — подмножества данного про-
пространства. Это не влияет на определение A). Тогда вместо теоремы 1
мы получим более общую теорему
Если пространство X U Y хаусдорфово, то множество А замкнуто
в XXY.
Замечание 2. Рассмотрим функцию высказываний cp(x, у),
где х, у6^> и некоторое топологическое свойство множества
Еф(х> у)Л(-^=>0 относительно диагонали А = Е (х — у); тогда
множество ЕфС-^. ->;:) обладает тем же свойством относительно
оси JT.
Это следует непосредственно из теоремы 1.
V. Свойства отображения /, рассматриваемого как подмно-
подмножество пространства ЖУ^У- Пусть /:jr->3/. Как известно,
отображение / можно отождествить с множеством (называемым
графиком. /)
3 = Е (у = /(*))•
х, у
Теорема 1. Если отображение f непрерывно, то З^^*-
Действительно, положим j(x) = (x, f(x)). Тогда j есть гомео-
гомеоморфизм & на 3 (согласно теоремам 1 и 2, п. II).
Теорема 2. Если У — хаусдорфово пространство и ото-
отображение f непрерывно, то множество 3 замкнуто (в про-
пространстве .2ГХ20-
Положим \)(х, у) — (f(x), у). Тогда 9 (А) = 3> гДе Д—диагональ
пространства УХ.У. Так как множество А замкнуто (согласно IV, 2)
и отображение р непрерывно, то множество 3 замкнуто.

§ 15. Прямое произведение ??Yjy 149
Теорема 3. Положим х(х, у) = (х, f(x)). Тогда, если
отображение f непрерывно, то отображение г : jr X 2/-> 3
является ретракцией.
Теорему 2 можно обобщить следующим образом.
Теорема 4. Если у— хаусдорфово пространство и ото-
отображение f непрерывно в точке х0, то
(О К*о. у)€31=Ф1(*о. у)€31;
это означает, что y = f(x0).
Доказательство. Положим yQ = f (х0). Пусть у{ =f= у0. Тогда
в пространстве у существуют два открытых множества Но и Нх,
таких, что
B)
Так как отображение / непрерывно в точке х0, существует мно-
множество О, открытое в пространстве $?, такое, что
C) хое0 и (лг?О):ф(/(х)еЯ0),
т. е. Cn(GX2/))cOX//0.
Согласно B), Hof\ Н1 = 0, следовательно,
D) (ЗП(ОХ^1))с:(ОХЯ0)П(ОХЯ1) = 0.
Так как множество О X Н1 является окрестностью точки (х0, у{),
то из формулы D) следует, что точка (х0, уг) не принадлежит 3-
Теорема 5. Предположим, что пространство У является
хаусдорфовым и плотным в себе и что множество Df точек
разрыва отображения f является граничным. Тогда мно-
множество 3 нигде не плотно.
Доказательство. Допустим, что множество 3 не является
нигде не плотным, т. е. 3 содержит открытое множество (=^=0).
Тогда существуют множество О, открытое в пространстве ^Г, и
множество Н, открытое в пространстве у (оба не пустые), такие,
что G\Hcz^. Пусть x?G. Тогда множество хУ^Н открыто
в х у^У; следовательно, оно плотно в себе и поэтому содержит
более чем одну точку. С другой стороны,
лгХЯсОХЯ сЗ, откУда xXHcz^n(xXy),
и поэтому 3 П (х X 20 не сводится к одной точке.
Согласно теореме 4, х есть точка разрыва отображения /. Таким
образом, О с Dy, и, следовательно, Dj не является граничным мно-
множеством.

150 Гл. 1. Топологические пространства
VI. Горизонтальные и вертикальные сечения. Цилиндр на
множестве A cz 3?. Назовем горизонтальным сечением простран-
ства & ХУ множество
A) ^ХЫ = Е(У = й).
X, У
Множество (х0) X У называется вертикальным сечением про-
пространства хху-
Более общо, пусть Лс^. Назовем цилиндром на А мно-
множество
B) АХУ=Е(х?А).
х, у
Теорема 1. Каждое горизонтальное сечение гомеоморфно
пространству $?, т. е.
C) jrX(yo)^S^> следовательно, Жа&ХУ-
top
Проекция (х, уо)->х является искомым гомеоморфизмом.
Доказательство очевидно (теорема, конечно, является частным
случаем теоремы V, 1, а именно случаем, когда /—константа).
Легко доказывается следующая
Теорема 2. Пусть задана функция высказываний <$(х, у).
Тогда проекция на ось X отображает множество ЕфС*» У) П
х, у
ПС^ХСУо)) на множество Еф(*. Уд-
X
VII. Инварианты прямого произведения
Теорема 1. Пусть Лс1, ВсУ, АфОфВ. Тогда мно-
множество А X В замкнуто, открыто, всюду плотно тогда и
только тогда, когда оба множества А и В обладают соот-
соответствующими свойствами.
Доказательство. Это следует из III A) и B) (ср. также
§ 2, II G)):
(Л X В = А X В) = (А X В = А X В)==(А = А и В = В);
В) = АХВ) = {Int (А) X Int(В) = А X В) =
=={Ы(Л) = Л и Int (В) = В)\
Следствие 1а.Точка (а, Ь) является изолированной точкой
пространства &ХУ тогда и только тогда, когда а — изо-
изолированная точка в пространстве ?С, а Ь — в простран-
пространстве у.

§ 15. Прямое произведение SKYSf 151
Доказательство. Точка (а, Ь) является изолированной
в пространстве $? X У тогда и только тогда, когда множество,
состоящее из этой точки, открыто в SC X У- Но, согласно теореме 1,
это эквивалентно допущению, что множество (а) открыто в про-
пространстве <%, а множество ф) — в пространстве у.
Теорема 2. Множество А X В является граничным,
нигде не плотним, плотным в себе тогда и только тогда,
когда одно из множеств А или В обладает соответствующим
свойством.
Доказательство. Это следует из тождеств:
{Int (Л X В) = 0} == {Int (А) X Int (В) = 0} ==
= 0 или IntE) = O};
{Int(ЛХЙ) = 0) = {Int(A X В) = 0} = {Int (Л) = 0 или Int(B) = 0}.
Заключительная часть теоремы вытекает непосредственно из
следствия 1а.
Следствие 2а1)- Пусть Aczjj?. Если множество А обла-
обладает одним из следующих свойств: является замкнутым, от-
открытым, типа Fa, типа Gb, граничным, нигде не плотным,
множеством первой категории, множеством, обладающим
свойством Бэра, множеством плотным в себе, то множество
А X У обладает соответствующим свойством.
Другими словами, если для данной функции высказываний (f(x)
множество Еф(х) обладает одним из указанных свойств, то и мно-
X
жество ЕфС*) обладает этим свойством.
х, у
Теорема 3. Следующие свойства инвариантны, относи-
относительно операции прямого умножения:
(а) быть хаусдорфовым пространством;
(б) быть регулярным пространством;
(в) быть вполне регулярным пространством.
Доказательство, (а) Предположим, что пространства ??
и У — хаусдорфовы. Пусть ^ = (хь у,), ?2 = (л;2, у2), и пусть
h^h- Тогда либо х1фх2, либо ух ф у2. Предположим, что
ххФ х2. Так как ?С — хаусдорфово пространство, существуют два
открытых множества Gx с ?? и О2 с JT, таких, что x1^_G1, x2^G2
и О1ПО2 = 0. Следовательно, SiG^iXS/1. fa 6 ^2 X У и множества
G\ X У и G2y.y открыты и не пересекаются.
(б) Пусть % = (х, у)?&, где множество © открыто в про-
пространстве % X У¦ Покажем, что существует открытое множество ¦?>,
такое, что z ? ф и fie®.
') См. также § 22, IV. Ср. Окстоби [1].

152 Гл. 1. Топологические пространства
Очевидно, мы можем ограничиться случаем, когда множество ©
принадлежит базе пространства <? X 2/- Тогда можно положить
® = А X В, где множества А и В открыты соответственно в про-
пространствах S* и У. Так как пространства JT и g/ регулярны, суще-
существуют открытые множества С и О, такие, что
а?С, CczA и b?D, Ъ cz В.
Положим ?) —CX-D- Следовательно, j^§ и
(в) Пусть 5Э —(лг0, у0) 6(^X2^) — 3> рДе множество g зам-
замкнуто. При доказательстве того, что пространство ^ X У вполне
регулярно, мы можем ограничиться случаем, когда множество §
принадлежит замкнутой базе пространства JT X У> т. е. случаем,
когда д- = ЛХ2Л где Л=/1с#Г (см. теорему 3, § 14, I).
Тогда хо?& — А. Далее, так как предполагается, что пространство 3?
вполне регулярно, существует непрерывное отображение g: &—>??,
такое, что g (х0) = 0и^ (л;) = 1 при х ? А. Положим / (х, у) = g (x).
Тогда /(Зо) = О и / E) = 1 при j?3-
Замечание 1. Теорема, обратная теореме 3, также верна;
это означает, что если пространство JT X 2/ обладает одним
из свойств (а) — (в), то оба пространства i"n 2/ обладают соответ-
соответствующим свойством.
Это следует из того, что эти свойства наследственны и что
SC^SVXy (см. VI C)).
top
Замечание 2. Нормальность не является инвариантом прямого
произведения х).
Более того, произведение нормального пространства и метри-
метрического пространства может не быть нормальным2).
Замечание 3. Следствие 2а не имеет места для свойства Бэра
в узком смысле (см. § 40, VIII).
Лемма. Пусть множество 3 ci ОС X У плотно в себе, и
пусть а — изолированная точка проекции А множества 3 на
ось Х- Тогда множество ((а)Х2/)ПЗ плотно в себе, и, сле-
следовательно, проекция множества 3 на ось у содержит плот-
плотнее в себе множество (Ф 0).
Доказательство. Так как множество (а) открыто в А,
существует множество О, открытое в пространстве ??, такое, что
1) См. Зоргенфрей [1], стр. 631, Келли [1], стр. 134. Что касается про-
произведений наследственно нормальных пространств, см. Катетов [1].
2) См. - Майкл [41, стр. 375, и Морита [4], стр. 148. См. также Дье-
донне [2], стр. 29-32.

§ 15. Прямое произведение ЖХУ 153
(a) = G(\A. Поскольку А является проекцией множества 3 в про-
пространство ^, имеем 3с А X У- Поэтому (см. также § 2, II B))
((а) X 20 П 3 = ((О П А) X У) П 3 =
= (О X 2/) П (А X 2/) П 3 = (О X 2/) П 3-
Таким образом, множество ((а)Х2/)ПЗ открыто в 3 (так как
множество G X У открыто в пространстве & X 2/ в силу теоремы 1)
и, следовательно, плотно в себе (см. § 9, V, 3). Наконец, поскольку
(#) X У ^г2Л пространство У содержит множество, гомеоморфное
множеству ((а)Х2ОПЗ> и> следовательно, плотное в себе (=#=0)
множество.
Теорема 41)- Пространство ХХУ является разрежен-
разреженным тогда и только тогда, когда пространства X и У раз-
разреженны
Доказательство. Предположим, что одно из множеств Лс!1
или В су плотно в себе (#0). Тогда, согласно теореме 2, мно-
множество А X В плотно в себе, и пространство 2С X У не является
разреженным.
Обратно, если множество 3С^Х2/ плотно в себе (=?0), то,
согласно лемме, либо проекция множества 3 в пространство %?,
либо проекция множества 3 в пространство 2/ содержит плотное
в себе множество (=^=0).
Теорема 5. Пусть даны отображения }j-. SC'j-ъ-Уу>
J—0, 1. Отображение / = /0X/i пространства Хй X 5Р\
в пространство УйХУ\ (см. § 3, III) открыто тогда и только
тогда, когда отображения /0 и /j открыты.
Более точно: отображение f открыто в точке (у0> у-^ ?
6 / (То X l*i) тогда и только тогда, когда отоб ражения fj
открыты в точках yj, /=0, 1.
Доказательство. A) Предположим, что отображение /
открыто в точке (у0, у{). Пусть уо?В czy0. Мы должны показать
(ср. § 13, XIV E)), что ft1 (yj с fо1 (В).
Пусть !й — В X У\¦ Согласно III A), *8 = В^У\> следовательно,
(Уо> У г) 6 ^- Так как отображение / открыто в точке (у0, у,), то,
согласно § 13, XIV E) (см. также § 3, 111B5)), отсюда следует, что
1 (уй, у,) (= Г1 E8) = Г1 (В X Уг) - /о (В) X /Г1 (У:) ¦¦
f~l (В) X /, ' (У.) = fa 1 (B) X
') См. Улам и Куратовский [1], стр. 248.

154 Гл. 1. Топологические пространства
Но, согласно § 3, III B5),
следовательно,
Так как f~l{yQ, у^фО и, следовательно, /^(уЛ^О, то отсюда
окончательно получаем (см. § 2, 11D)), что
B) Предположим, что отображения fj открыты в точках yj,
j=0, 1. Пусть множество © открыто в пространстве ^0 X Ж\ и
(Уо> У0€/(®)- Предположим, что (ср. § 13, XIV, замечание 2)
множество © принадлежит базе пространства j?*0 X #V Тогда
(g> = G0X Ог, где множества G;- открыты в пространствах &].
Так как (см. § 3, III B4)) /(О„ X О1) = /0(О0) X /i (Gj), то мы
имеем уу ? /;- (G;); поскольку отображения /у. открыты в точках у;-,
отсюда следует, что у;- g Int fj (Gj). Поэтому (ср. Ill B))
(Ус У0 6 [In* /о (ОоI X [Int /, (G,)] =
= Int [/0 (Go) X Л (О,)] = Int / (O0 X Oi).
Итак, отображение / открыто в точке (у0, у^.
§ 16. Обобщенные прямые произведения
I. Определение. Напомним, что, по определению произведения
V\Sf где *€т< мы имеем (ср. § 3, VIII @))
@) 56
где j' есть ^-я координата точки j.
Предположим теперь, что ^ — топологическое пространство
для каждого t?T. В пространстве |~|^/ введем топологию (назы-
t
ваемую тихоновской топологией) при помощи следующего опре-
определения.
Определение1). Семейство множеств вида |~1 X*t, где X* =0
для данного t0 и для данного открытого множества G в простран-
пространстве Xt и X* — Xt при t Ф tQ, есть подбаза пространства П %г
') См. Тихонов [2], стр. 544 и [3], стр. 763.

§ 16. Обобщенные прямые произведения 155
Иначе говоря, подбаза состоит из множеств © вида
з
где множество G открыто в пространстве g?t.
Отсюда следует, что база пространства П 3?t имеет своими эле-
t
ментами множества вида [~l Ot, где множества О, открыты в про-
пространствах $?t и только для конечного множества индексов из Т
отличны от пространств Xt. Кроме того, можно считать, что мно-
множество Gt принадлежит базе пространства Xt.
В том случае, когда множество Т состоит из двух элементов,
приведенное выше определение совпадает с определением, данным
в § 15, I.
В частном случае канторова дисконтинуума If —@, 2)*° и про-
пространства иррациональных чисел J\T — 3*° определенная нами топо-
топология совпадает с обычной топологией множеств %* и J\T, рассма-
рассматриваемых как подмножества пространства ef (см. примеры 2 и 3,
§ 3, IX).
Многие теоремы, установленные в § 15 для произведения двух
пространств, можно легко распространить на более общий случай
произведения произвольного семейства пространств.
В частности, справедлива
Теорема 1. Множества вида Y\Ft, где Ft замкнуто в про-
t
странстве SCt и Ft=$?t при всех t, за исключением одного,
замкнуты. Семейство всех таких множеств является зам-
замкнутой подбазой пространства Y\Wt.
t
Теорема 2. Если для каждой точки t?T простран-
пространство JPt есть ^^пространство, то \~\&t есть ^х-про-
t
странство.
Доказательство. Пусть {at)f,T—точка пространства П &t.
Положим F, =П^!- гДе х* =(аЛ и Х* = Ж при t ф L. Тогда,
согласно теореме 1, множество Ftci замкнуто, поэтому и множество
|~| (а,) = fl F, тоже замкнуто.
t t
II. Проекции и непрерывные отображения. Рассмотрим j' как
функцию точки 5 (назовем ее проекцией на ось "ч"
A)

156 Гл. 1. Топологические пространства
Очевидно, что если А с: j?*/o, то
B) рг<;1(^) = Е(8''6>») = П^;.
где Х*о = Л и ЛГ* = JT, при ? =f tQ.
Теорема 1. Проекции являются открытыми отображе-
отображениями прямого произведения пространств на оси.
Действительно, если множество А открыто в пространстве 2Р^>
то множество фг~1(А) открыто в прямом произведении пространств,
в силу соотношений B) и I A).
С другой стороны, если множество © открыто в пространстве
Y\3?i< то и множество рг((©) открыто. Можно, очевидно, предпо-
t
ложить, что множество & является элементом базы; положим
® = о, х ... ха хПз?( при t^th (* = i. 2 я).
1 п t
Тогда pr, (®) = G< и рг<(©) = ^>< при (Ф tk. В случае, когда
<%;t=cy для каждого t?T, из теоремы 1 выводится следующая
Теорема 2. Пусть g^('2/r)seV m. e. g-.T-^y. Тогда для
переменного g функция ft : (S^r)set —>¦ 2/. определенная равен-
равенством
непрерывна.
Теорема 3. Пусть ср : % -> П^- т. е. ц>': %-> ?t;t. Тогда
мы имеем *
(ф непрерывно в точке 20) = Л(ф' непрерывно в точке z0).
t
Доказательство полностью аналогично доказательству теоремы 2,
§ 15, II. Во второй части доказательства мы предполагаем, что
© = П ^С> где множество X* = О открыто в пространстве Ж, и
X*t=SCt при t?=tQ, и затем пользуемся формулой (см. § 3, VIII (9))
Теорема 4. (Ассоциативность прямого умножения.) Пусть
и <У= П &г Тогда
А именно положим для j ^ fl ZVt
t
{sV/. и *»C8) = (S(a). 9(8))-
to — искомый гомеоморфизм.

§ 16. Обобщенные прямые произведения
157
Доказательство. Очевидно, что Ш — взаимно однозначное
отображение на. В силу теорем 1 и 3, отображения у. и I) непрерывны,
следовательно (согласно теореме 3), отображение ft тоже не-
непрерывно.
Остается показать, что отображение 1ю переводит открытые мно-
множества в открытые. Достаточно рассмотреть лишь открытые мно-
множества, принадлежащие подбазе пространства Y\St- Итак, допустим,
t
что множество О открыто в пространстве SCt, и положим © =
= Е ($' 6 О)- Покажем, что множество 1ю(@) открыто.
Если t. = t0, то 1» (©) = 0X2/. Если же t — txi= t0, то it) (©) =
П X* Х*0 А'^
0
— SC, X П X* гДе Х*=
0 и А'^
для
Следовательно, множество fl ^* открыто в пространстве 2/,
поэтому Л)ножество iv (©) открыто в пространстве ,g^o X 2У-
Теорему 1, § 15, VI можно распространить на случай произволь-
произвольного множества Т следующим образом.
Теорема 5. Пусть to?T и fc 6 П ^- Тогда
Таким образом,
top
Доказательство. Пусть У = fl Z?t и %=
множество Е Л (bt==:io) гомеоморфно пространству
согласно § 15, VI C), завершает доказательство.
Пусть Т и U—произвольные множества и / : U-
однозначное отображение на.
Тогда, очевидно, мы имеем
li} ¦ Тогда
X %, а это,
>Т — взаимно
и искомый гомеоморфизм I) можно определить условием
^к(j) = ^{и) для каждой точки J6 П ^ и u?U.
В частном случае, когда 3?t = SC при каждом t?T, мы имеем
D) %-Гщ&и.
Это приводит к следующей теореме.
Теорема 6. Я**ХЯ*а^Х*ащ(#*а?а.

158 Гл. 1. Топологические пространства
Доказательство следует непосредственно из формул A), C) и E),
§ 3, XII (см. также § 3, XII D)).
Следствие 6а. Пусть'З—канторов дисконтинуум. Тогда
мы имеем
E) ® tS5®'
F) g№° (так же как и g") есть непрерывный образ 4$.
Формула E) следует из теоремы 6, так как множество ?? можно
представить в виде @, 1) а.
Чтобы доказать F), заметим сначала, что интервал g есть
непрерывный образ множества 'ё'. А именно пусть дана точка х ?
тогда
G) лг = ¦§- + ¦§-+ ••• +1F+ ••• (сга = 0или2),
и мы полагаем !)
^ -f 2з Т^ • • • ^Г 2т + 1 -Г • • • •
Очевидно, что /—непрерывное отображение множества & на ин-
интервал ?J.
Отображение / индуцирует непрерывное отображение g множе-
множества ??" на {fn(n^i. Ко)- А именно положим
(9) *'(*) = /(*') Д™ Jg^.
Этим завершается доказательство, так как Ч?п является непрерывным
образом ?> (согласно формуле E)).
Следствие 66. (Обобщенная теорема Пеано.J) Куб g п (я<^ К 0)
является непрерывным образом интервала g.
Пусть, в соответствии с следствием 6а, h : ?f —»- g"—отображе-
g"—отображение на. На каждом интервале, смежном с ?f, продолжим отображе-
отображение h линейно. Полученное продолжение отображает отрезок g на
куб gn.
Следствие 6в. (Обобщенная теорема продолжения Титце.)
Пусть пространство X нормально, F = /7 с Э? и отображе-
отображение f : F-> gn (соответственно З) непрерывно («<; ц0). Тогда
/ с: g : 2?—> gn {соответственно &), где g — непрерывное ото-
отображение.
') Это „ступенчатая" функция (которую легко можно продолжить на весь
интервал ff). См. Кантор ['] и Лебег [11, стр. 210.
*) См. Пеано [1], стр. 157, и Лебег [1].

§ 16. Обобщенные прямые произведения 159
Доказательство. Отображение f : F ~> g непрерывно,
в силу непрерывности отображения / : F ~> gn. Отсюда, по теореме
Титце (§ 14, IV), существует непрерывное продолжение gl:??->0n
отображения f. Но тогда, в силу теоремы 3, отображение g : X —> 0
непрерывно.
Следствие 6г. Пусть [At],t?T,—семейство подмножеств
пространства SV- Характеристическая функция этого се-
семейства f: JT->@, IO" непрерывна тогда и только тогда,
когда каждое множество At одновременно замкнуто и от-
открыто.
По определению (см. § 3, VII (9)), /' есть характеристическая
функция множества At. Следовательно, функция /' непрерывна тогда
и только тогда, когда множество At одновременно замкнуто и от-
открыто (в силу теоремы 5, § 13, VI).
III. Действия над прямыми произведениями. Формулу III A)
из § 15 можно распространить на общий случай, когда Atc?Pt и
t?T, а именно
A)
Доказательство. Пусть $?П^/- Так как проекция рг, не-
t
прерывна, имеем
Следовательно, j ^ |~| A-t-
t
С другой стороны, пусть а?[~1А- Покажем, что если © — от-
t
крытое множество, содержащее точку а, то © содержит точку мно-
множества П Af Достаточно рассмотреть случай, когда множество ®
t
принадлежит базе, т. е. когда
где множества Ot открыты в пространствах SCt (k=\, 2 п).
Так как atkf0,u, то G,^(]At Ф0, следовательно, О,.Г\А,.Ф0.
Пусть Ь={Ь'\, где b'^G^QA^ и b'?At при t ф tk. Тогда

160 Гл. 1. Топологические пространства
Следующа i формула является обобщением формулы § 15, III B):
B)
\t J t
и если Af — j%"t, за исключением конечного числа индексов t, то
C) imA n
Более того, если \ni A~\ААф0, то существует конечная система
\t )
индексов tv . . ., tn, такая, что At = $?t для t=f=tk(k—l,2,...,n).
Для доказательства второй части приведенного выше утверждения
положим i?lnt(V\ Ал и обозначим через © элемент базы (рассмот-
(рассмотV t
ренной в п. I), содержащий точку j и содержащийся в \nif\
Очевидно, можно предположить, что множество © имеет вид
© = Qti X Ot2 X • • • X Gtn Xt П SCV
Так как i^®czlni(f\ At), то Gt czAt и ^ = At для гф1к. Сле-
довательно, j'*^IntM< ) и окончательно z ?[^lnt(At).
IV. Диагональ. Пусть 3?t — f? для каждого t?T. Диагональю
пространства \\SVt = (J;*r)sct называется множество
А = Е Лй' = Л-
Теорема 1. A=JT.
Искомым гомеоморфизмом является рг^, где t0 произвольно
(см. II, 1 и 3).
Теорема 2. Если пространство Ж хаусдорфово, то диа-
диагональ А пространства (ST)sH замкнута.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 2,
§ 15, IV. Рассмотрим дополнение к диагонали Д, т. е. множество
v = E VC'#n = U Е(]'?=П
i t, V t, t' 3
Пусть дана точка ^V и такие индексы t и t', что ^Ф $. Так
как пространство JT хаусдорфово, то существуют открытые мно-
множества О и Н, такие, что $'0(zG, $?НиО()Н — 0. Положим
3
Очевидно, что множество 21 открыто и fo?5l. Более того 21с V,
ибо в противном случае существовала бы точка $?2t, такая, что

§ 16. Обобщенные прямые произведения 161
5' = 5Г, но это невозможно, так как Of\H = 0. Следовательно,
множество V открыто, а множество Д замкнуто.
Рассмотрим теперь непрерывное отображение ft: $?t-> У и положим
з t', t"
Для $6П.^ рассмотрим точку f(j) ?B/T)set, определенную сле-
следующим образом:
B) f*(j)={
Теорема 3. Для каждого to?T имеет место соотношение
C) 4°рг,0СЗ) = П
Доказательство. Пусть у = Д о pr^ Q) = Д (g'«) = Д (j<)
для каждого t ^Т и j?3- Тогда УбЛ(^) Ддя каждого ??7\
С другой стороны, если у6П/Д^)> т0 существует точка
. такая, что y = ft(tf) для каждого ?. Поэтому j^3 и
Теорема 4. ?слм отображения ft взаимно однозначны
(соответственно гомеоморфны), то и отображения ft ° pxt | 3
тоже взаимно однозначны (соответственно гомеоморфны).
Доказательство. Предположим, что отображения ft взаимно
однозначны. Тогда, согласно равенству B),
[/ (а) = / (>))] = Л [ft Ф = ft (901 =Ф Л (S' = 90 = (8 = W-
С другой стороны, отображение /~: определено на множестве /C).
и точка /""'(l)) имеет координаты f^ty), t?T. Если мы предпо-
предположим, что отображения /~ непрерывны, то отображение / не-
непрерывно (согласно II, 3).
Теорема 5. Если пространство У хаусдорфово, то мно-
множество 3 замкнуто.
Это следует из того, что отображение /: \\S?t -> B/r)Set непрерывно
t
и что 3 = /-1(A). где А—диагональ пространства B/r)set. Так как
Диагональ Д замкнута (согласно теореме 2), то и множество 3 замкнуто.
Замечание. Как и в случае двух множителей, можно рассма-
рассматривать диагональ пространства f[d"t, где ^cJT для каждого t.
t
11 Топология, т. I

162 Гл. 1. Топологические пространства
Определение A) остается в силе, а теорема 1 переходит в следую-
следующее утверждение:
Если пространство SC хаусдорфово, то множество А замкнуто
в Y\Wt-
t
V. Инварианты прямого произведения.
Теорема 1. Пусть 0 =t= Atczg?t. Множество Г\ Af замкнуто
или плотно в пространстве \\&г тогда и только тогда, когда
t
каждое множество А( соответственно замкнуто или плотно
в пространстве ?Ct.
Это утверждение следует из III A) (см. § 2, II G)):
Теорема 2. Если для бесконечного множества значений t
пространство &t содержит более чем одну точку, то мно-
множество П SCi плотно в себе.
t
Доказательство. Пусть © — элемент базы, содержащий дан-
данную точку jGfl.^y Можно предположить, что множество © имеет
вид
О, X • • • XG, X Y[%t, где t^tk (k = 1, 2 п).
1 Л {
Пусть 9 — такая точка, что t/* = 5'* при А = 1, 2, ..., п и $
для бесконечного множества значений t. Тогда t) ^ © и ^ф%.
Таким образом любая окрестность точки j содержит точку, от-
отличную от \. Следовательно, j есть точка накопления множества \\&t.
Теорема 3. Множество Г\ At является граничным тогда
t
и только тогда, когда либо один из сомножителей является
граничным множеством, либо А1Ф^1 для бесконечного мно-
множества значений t.
Множество \\At нигде не плотно тогда и только тогда,
t
когда либо один из сомножителей является нигде не плотным
множеством, либо А{ф 3?t для бесконечного множества зна-
значений t.

§ 16. Обобщенные прямые произведения 163
Доказательство следует непосредственно из III B).
Теорема 3'. Если одно из множеств At есть множество
первой категории, то и Y\At—множество первой категории.
t
t
Доказательство. Предположим, что множество At(j первой
категории. Тогда, согласно следствию 2а, § 15, VII, Attt X П 3?t
ф
есть множество первой категории в пространстве П 3?f Это завер-
t
шает доказательство, так как П Atcz(At X П 3?А-
t \ 1фи 1
Теорема 4. Следующие свойства пространства инва-
инвариантны относительно произвольного прямого произведения:
хаусдорфовость, регулярность, вполне регулярность.
Доказательство по существу такое же, как и в случае двух мно-
множителей (теорема 3, § 15, VII).
Следствие 4а. Пусть а—произвольное порядковое число.
Тогда множество g*a, так же как и любое его подмножество,
вполне регулярно.
Это следует из того, что интервал 0 вполне регулярен, а свой-
свойство быть вполне регулярным пространством наследственно.
Справедливо также обратное утверждение.
Теорема 5. Пусть X—вполне регулярное ^^-простран-
^^-пространство. Тогда &<zLg*a для достаточно большого а.
top
Более точно: Ца является мощностью множества Ф= gx и
A) JTcC^Xet.
top
Доказательство. Каждой точке х?3? сопоставим функцию
j(x) (переменной / ?Ф), определенную условием
B) bf(x) = f{x).
Тогда J(^N(r9r°)set- Покажем, что
C) 1~ искомый гомеоморфизм,
необходимый для доказательства формулы A).
Очевидно, что для данной функции /?Ф функция ^ непрерывна
(в силу равенства B)). Поэтому функция j непрерывна (согласно
теореме 3, п. II) и взаимно однозначна. В самом деле, пусть xo=fcxv
Так как Ж—вполне регулярное ^-пространство, существует функция
/?Ф, такая, что /(л;0) = 0 и /(д;1)==1. Поэтому, в силу равен-
равенства B), if (х0) Ф if (xx) и, следовательно, %(хо)ф j(jCj).
Теперь предположим, что множество О открыто в пространстве %;
покажем, что множество j(G) открыто в множестве %(<%). Доста-
Достаточно показать, что для xo?G существует открытое множество ©,
П*

164 Гл. 1. Топологические пространства
ДЛЯ КОТОРОГО $(¦*()) 6® и
D) ®njWcj(O).
Пусть функция /?Ф такова, что
E) /(*о) = О и f(x)=l для х^ЗС — О.
Положим © = Е(^т^1)« гДе У 6(^°)set- Так как проекция точки
\) — непрерывная функция точки I) (согласно II, 1), то множество ©
открыто в пространстве @ф)ъе\_. Более того, 5(хо)€®> так как
j/ (jc0) = / (jc0) ф 1, в силу равенств B) и E).
Наконец, для доказательства соотношения D) положим t) ? © П 5 (Ж)-
Тогда ^ =? 1, и существует точка х, такая, что l) = i>(x). Следова-
Следовательно, l/ Ф I* (л;), откуда, в силу B), t/ = / (х) и поэтом}' / (х) ф 1.
Следовательно, в силу E), х ? О. Так как х^О и 1) = j(л;), мы
имеем I) ? j (О).
Замечания. Итак, вполне регулярное ^-пространство есть
с топологической точки зрения не что иное, как подмножество обоб-
обобщенного куба g*a. Как мы увидим позже, подмножества куба g*<>
топологически эквивалентны метрическим сепарабельным простран-
пространствам.
Во втором томе (гл. 4) мы также увидим, что замкнутые под-
подмножества пространства g*a топологически эквивалентны компакт-
компактным хаусдорфовым пространствам.
Замкнутые подмножества пространства ef"a топологически экви-
эквивалентны Q-пространствам Хьюита').
Теорема б2). Если пространства $?п сепарабельны,
ге=1, 2, ..., то счетное произведение Х\ X 3?2 X ••• также
сепарабельно.
В частности, gv<> и с?*°—сепарабельные пространства.
Доказательство. Пусть Rn—счетное всюду плотное мно-
множество в пространстве Жп, а гп — фиксированная точка множества Rn.
Обозначим через 91 множество всех точек r = (r1, t2, . . .). таких, что:
1° rre6^"n Для каждого п,
2° для достаточно больших т (зависящих от г) имеют место ра-
равенства
уТП /• уГП-i-l
!) См. Хьюит [3]; Катетов [3]; Сирота [1], Гилман и Джерисон [1]. См.
также Мрувка [5] и Энгелькинг и Мрувка [1], где подчеркивается аналогия
с компактными пространствами.
2) Эта теорема остается справедливой для прямого произведения конти-
континуума сепарабельных пространств, см. Пондичери [1], стр. 835, Хьюит [2], Мар-
чевский [1].

§ 16. Обобщенные прямые произведения 165
Очевидно, что множество Ш счетно и имеет общие точки с каждым
множеством вида ОгХ ¦ ¦ ¦ X Oj X Jhi X Jj+2 X . . ., где Qt — не-
непустое открытое множество в пространстве ??t, i^.k. Следовательно,
91 П © Ф 0 для каждого открытого множества ©(=?0). Это завершает
доказательство.
Замечание. Если $?п = % (или &) при л = 1, 2, ..., то можно
предположить, что множество Ш образовано последовательностями, все члены
которых рациональны, причем только конечное число членов этих последова-
последовательностей отлично от нуля.
Теорема 7. Если множества Ап обладают свойством Бэра
при п = \, 2 то множество Г\Ап тоже обладает свой-
п
ством Бэра.
Доказательство. В силу § 3, VIII A), имеем
ГМя = ПиХ ... X .2Гл-1 X Ап X Хп+Х X ...)¦
п п
а в силу следствия 2а, § 15, VII, множество в скобках обладает свой-
свойством Бэра. Это завершает доказательство, так как свойство Бэра
счетно-мультипликативно (см. § 11, III, теорема 1).
Замечание. Множество П Ап может обладать свойством Бэра (более
я
того, быть нигде не плотным), даже если ни одно из множеств Ап не обла-
обладает этим свойством. Примером является случай, когда $?i = & и Л,- — мно-
множество, не обладающее свойством Бэра, принадлежащее интервалу @, 1/2).
Теорема 8. Пусть ft : ?Ct -^Уг при t ?T, и пусть f— ото-
отображение-произведение: Y\.Tt-^Y\^t, т. е. (см. § 3, VII A1))
19 = f EI = Л 19' = Л С5'I ¦
Если отображение f открыто в точке ^о^ГП.Ж'Д то ото-
отображение ft открыто в точке ^ для каждого t?T.
Обратно, если для каждого t отображение ft открыто
в точке р< и для каждого t, за исключением конечного числа,
ft есть отоб ражение на, то отоб ражение f открыто
в точке р0.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 5, § 15, VII,
за исключением того, что в первой части вместо формулы § 3, III B5),
следует использовать формулу § 3, VIII A3). Во второй части пред-
предполагается, что множество © (принадлежащее базе пространства |~| №t)
t
имеет вид
© = G(] X ..- ХО«ВХП^.. где Гфгъ при fe = l п,
и вместо III B) и § 3, III B4) следует использовать III C) и § 3, VIII A2).

166 Га. 1. Топологические пространства
VI. Пределы обратных спектров. Рассмотрим обратный спектр
(Т, SC, /), где (см. § 3, XIII) Т — направленное множество, $?t— то-
топологическое пространство, определенное для каждого t ? 7", и
ftt —непрерывное отображение, определенное для пар t0, t\, таких,
что ^0<^; fuu'-SCu-^%u Так же как в § 3 (XIII B) и C)), ото-
отображение / обладает свойством транзитивности (для любых элемен-
элементов tx < t2 < tz множества Т имеет место равенство fttftl ==fi/)
и тождественности (для любого t ?Т отображение /и тождественное).
Напомним, что предел обратного спектра (Г, J2?, /), обозначаемый 3^w,
определяется условиями
(I) #00= п#, и (j?#„)== л [/Wl(i'o = i'«].
t t0 < lt
Теорема 1. Если каждое пространство $?t, t?T, хаусдор-
фово (соответственно вполне регулярно), то и пространство 3?^
хаусдорфово (соответственно вполне регулярно).
Более того, множество ЗС^ замкнуто в пространстве П$?(.
t
Доказательство. В силу теоремы 4, п. V, пространство П ?Ct
хаусдорфово (соответственно вполне регулярно). Следовательно, и
пространство 3?^ также хаусдорфово (вполне регулярно).
Для доказательства того, что множество ^т замкнуто, положим
^со- ^ы Должны определить открытое множество®,
t
такое, что
B)
Так как l^3Sm> то, в силу формулы A), существует пара t0 < tx,
такая, что ftt (]'')?= i'0- Так как пространство ?Ct хаусдорфово,
существуют множества U и V, открытые в Xta. такие, что
C) %{° ? ?/, f(t $')?У и U П V = 0.
Положим
D) © = Е (У° 6 и) [ft t W') € V\ •
Множество © открыто, так как отображение ft f и проекция непре-
непрерывны. Очевидно, что $?®- поэтому окончательно мы имеем
©nS'oo = 0, так как если 1)^^*^ и ftt ($fl)?V, то из формулы A)
следует, что ty'o?V. Значит, tf«(PlJ, поскольку U(]V = 0, и тогда
Теорема 2. Семейство множеств //"@/) = ^Г0ОП E(^6 °t)'
где t?T и Gt пробегает все открытые подмножества про-
странства &t, является базой пространства jr^.

§ 16. Обобщенные прямые произведения
167
Доказательство. Так как семейство множеств pr~' (G\
является подбазой пространства Y\3?t (см. 1A) и 11B)), то мно-
t
жества 2Рт П pt~' (ОЛ образуют подбазу пространства Э?^. В дей-
действительности эта подбаза является базой пространства $?„>. Это
означает, что пересечение любого конечного числа множеств такого
вида есть множество того же вида. В самом деле, пусть Gt , ¦ • •, Gt—
конечная система множеств, открытых соответственно в простран-
пространствах
?Ctk
и пусть
для каждого
Положим
Отсюда следует (см. § 3, XIII G)) равенство
/г1 (°*)=/г1/*-*1 (o<t)n... п/г1л;!(о<4)=
Теорема 3. Для каждого множества
Иначе говоря,
ми имеем
3^ —
3 = П Е (%' 6 3') = П РТ'СЗ'). г
< з t
жество таких точек j', что 563-
Доказательство. Импликация (J G 3) ^Ф1 С?'6 3') следует из
непрерывности проекции. Обратно, пусть 5б^со~~3- Тогда, в силу
теоремы 2, существуют t?T и открытое множество Gt в простран-
пространстве SPf такие. что Ъ1 6 ®t и 3 П Е 0-У 6 0^ = 0. Это означает, что
3*ПО^ = 0. Следовательно,
Отсюда вытекает, что '' ^ nt
^ = 0 (множество
открыто).
Теорема 4. Пусть (Г, S". /) и G\ ^, g")—два обратных
спектра, и пусть отображение ht: $?t->2/t непрерывно, а ото-
отображение hm : Жся~~>У<х> удовлетворяет условию коммутатив-
коммутативности (§ 3, XIII). Тогда отображение h^ непрерывно.
Это сразу следует из формулы (см. § 3, XIII A1))
так как проекция и отображение ht непрерывны.
Следствие 4а. В предположениях теоремы 4 допустим,
что ht — гомеоморфизм на. Тогда h^ — гомеоморфизм про-
пространства ^^ на пространство 3/^.

168 Гл. 1. Топологические пространства
Это предложение следует из теоремы 4 и из замечания A2), сде-
сделанного в § 3, XIII, утверждающего, что если каждое /г,— взаимно
однозначное отображение на, то и h^ — взаимно однозначное ото-
отображение на.
§ 17. Пространство 2х. Экспоненциальная топология
I. Определение. Пусть 3?—топологическое пространство; обо-
обозначим через 2х множество всех замкнутых подмножеств простран-
пространства JT:
A) (F?2X) = (F = F).
Пусть теперь /Icj. По определению, 2А есть множество
всех замкнутых подмножеств множества А. Таким образом,
для множества F ? 2х мы имеем
B) (F?2A) = (F <=А), т.е. 2А = Е (F с Л).
р
Следовательно, для множеств F ? 2х
C) Е (F П А ф 0) = 2х — 2Х~А.
р
Топология в множестве 2х (называемая экспоненциальной топо-
топологией) есть слабейшая топология, в которой множества 2А открыты
(в 2х) для открытых А и замкнуты (в 2х) для замкнутых А.
Иными словами, мы предполагаем, что семейство всех множеств 2°
и всех множеств 2х—2х"°, где О открыто в пространстве J?T,
является открытой подбазой множества 2х.
Введем следующие обозначения: пусть Ао, Ах Ап — неко-
некоторая конечная совокупность произвольных множеств (п ^> 0); положим
D) В(Ао. А, Лл) = 2лопB*-2*-л')П ... пB* _2*-л«),
т. е.
D') F?B{AQ, Ах An) = (Fc: A0)(F П А1 Ф 0) .. . (F П Ап Ф 0).
Таким образом, множества B(G0, Ov .... Оп), где О0 Оп
открыты, образуют открытую базу пространства 2х.
Мы можем, конечно, считать, что AtczA0 для 1=1, .... п, по-
поскольку В(А0, Ах Ап) = В(А0, АХПАО Anf\A0).
Множество 2х с топологией, определенной таким образом, является
топологическим пространством 1).
Пустое множество является изолированным элементом этого про-
пространства.
') См. Майкл [1]. Вьеторис [1], Шоке [1], Фринк [1].

§ 17. Пространство 2х 169
II. Основные свойства. Следующие формулы справедливы в про-
произвольном ^-пространстве X:
П А
' 2At
П А
(!) 2Л»ПЛ=2Л»П 2Л', и вообще 2' ' = f| 2
B) (ЛсгЯ) = Bлс:2в), откуда (Л = 5) = BЛ = 2В),
C) 2я = 2х,
D) IntB*) = 2Int(A).
Формулы A) и B) очевидны. Кроме того, из B) следует, что
2лс2Х и 2Ш(Л)с2л,
откуда 2лсг2л и 2lnt<-A)clntBA), поскольку множество 2Азамкнуто,
а множество 2 открыто (в 2а).
Остается показать, что
C') 2хс 2х,
D0 IntBA)c2Int(A).
Доказательство формулы C0. Пусть F0?2A, т. е. FocA.
Пусть В(О0 О„) — произвольный элемент базы, содержащий Fo.
Тогда F0cOQ и Fo П О; =^= 0 для / = 1, ...,«. Поскольку FgCT Л, су-
существует такое /?(-, что /?; ? А П О0 П Ог. Положим F = (pv ..., рп).
Тогда FcA(]G0 и Ff\Gt=f=Q для i=l, ..., га. Следовательно,
F 6 2Л П i? (О0 О„). Отсюда Fq 6
Доказательство формулы D0- Пусть F0(^2
Int(A)
т. е.
РйфХ —X — А. Тогда /=¦„ П ^ — Л Ф 0. Пусть fi(O0 О„)
произвольный элемент базы, содержащий Fg. Тогда /^осОди/^о П
Поскольку Fg П •%" — А Ф 0, существует p^G0 — Л. Положим F =
= FOU(P)- Тогда Рс^Л. Кроме того, FcG0 и /=" П О,; ?= 0 для
2= 1 га, т. е. F?B(G0, . . ., Gn). Таким образом, каждая окрест-
окрестность множества Fo (в 2х) содержит такое F, что F <ф. А, т. е.
F?2X — 2А. Отсюда следует, что Fo? 2х — 2Л, т. е. /^Int^).
Формулы C) и D) являются частными случаями следующей фор-
формулы1) (которая будет использована в дальнейшем): если Л(-сгЛ0 для
i=l п, то
E) В(А0, Alt.... А„) = В(Ло, Ах Л„).
Доказательство. Согласно 1D) и II C)—D), имеем
в(А0, ах, ...,
aX) (Ж жХ) Лх Аа).
') См. Майкл [11, стр. 156.

170 Гл. 1. Топологические пространства
Докажем обратное включение; пусть
F) F?B{\, Ах Ап) и F^G,
где О открыто. Покажем, что
G) G[\B(A0, А, Ап)ф0.
Без ограничения общности можно считать, что G принадлежит
базе пространства 2х, т. е. что G — B(O0, Ох GOT), где Oj
открыты (при j^-0) и, кроме того, QjCzO0.
Тогда, согласно F) и I D'), мы имеем
FcA0, F[\At=?Q для Г>1,
(8)
FcO0, РПО}ф0 для у>1.
Следовательно,
О0 П At ф 0 Ф Oj П Ао, откуда О0 П А, Ф О Ф О, П Ао.
Пусть pl?G0{\Al и 9у-6°/П^о- Положим К = (рь .... рп,
qx, ..., gm). Легко проверить, что множество К принадлежит левой
части соотношения G). Это завершает доказательство.
Теорема 1. Множества 'E.(FczA) и Е (F П А Ф 0) замкнуты
F F
(открыты) в пространстве 2х тогда а только тогда, когда А
замкнуто (открыто) в Ж'.
Достаточность этого условия следует непосредственно из опре-
определения экспоненциальной топологии. Его необходимость вытекает
из формул C) и D).
Теорема 2. Пусть 3" есть ^-^-пространство и А — произ-
произвольное его подмножество. Тогда множество ^(AczF) замкнуто.
F
Доказательство. Очевидно, что (AcfcF)^ V (F <н Ж—(х)),
поэтому
E(A<?F)= U E^cj-
F я?Л F
Так как & является ^-пространством, множество JT — (х) открыто,
следовательно, и множество E.(Fcz^ — (х)) открыто, поэтому
F
множество Е {А Ф F) тоже открыто.
F
Теорема 3. Если & есть J"^пространство, то 2х также
^^пространство.

§ 17. Пространство их 171
Доказательство. Пусть /С?2а. Мы должны показать, что
множество E(F = K) замкнуто. Известно, что
F
(F = K) = [(FcK) и (KcF)].
Поэтому
E E
Так как два последних множества замкнуты (в силу теорем 1 и 2),
их пересечение также замкнуто.
Теорема 4. Семейство всех конечных подмножеств $ ^про-
^пространства & плотно в пространстве 2х.
Доказательство. Пусть В—элемент базы пространства 2х
(см. I D)). Тогда существует система открытых множеств Go Оп
пространства j?\ такая, что множество В представляет собой семейство
всех множеств F, удовлетворяющих условию I D). Покажем, что
среди них есть конечное множество.
Если О0 = 0 (и, следовательно, п = 0), то пустое множество,
очевидно, удовлетворяет условию 1D). Предположим, что О0ф0.
Пусть F—произвольное множество, удовлетворяющее условию 1D),
и пусть
Po?F и Pi?F[\Ot для /=1,2 п.
Тогда множество F* = (p0, px рп) является искомым множе-
множеством.
Теорема 5. Пусть f \ SV->У — непрерывное отображение
— 1
на. Пусть D — семейство всех множеств f (у) (т. е. D опре-
определяет разбиение пространства ^Г, индуцированное отображением /)
1 -1 1
и f — отображение, обратное отображению f (т. е. f(D) = f(D)
для D?D, см. § 3, 11G)). Тогда в случае, когда D имеет экспо-
экспоненциальную топологию, а у является J'^-пространством,
1
отображение f : D ->у непрерывно.
Доказательство. Пусть множество Ост2/ открыто. Пока-
-1
жем, что множество f (О) открыто в D, т. е. что оно представляет
собой пересечение множества D с открытым подмножеством мно-
множества 2х. Мы имеем (§ 3, III A7))
E[f{)] где
F
Так как отображение / непрерывно, множество /~ (G) открыто,
поэтому открыто и множество Е {F с /~ @I.
р

172 Гл. 1. Топологические пространства
Ш. Непрерывные многозначные отображения. Пусть ЗС и у —
два топологических пространства, и пусть Ft:y —> 2х. Имеют место
следующие формулы, доказательство которых полностью аналогично
доказательству соответствующих формул теории множеств (см. § 3, V):
(О (/'ос=Л)=ф[/7Г1BА)с=/7о-1BЛ)];
(II) (/=<> U ЛГ' BЛ) = Fo1 BЛ) П /Т1 BЛ).
Если множество А замкнуто, то имеет место более общая формула
(Ш)
а именно
следовательно,
Теорема 1. Отображение F непрерывно тогда и только
тогда, когда множество
A) F-1BA)=
у у
открыто в пространстве у, если А открыто в Ж, и зам-
замкнуто в пространстве у, если А замкнуто в S?\
эквивалентно: когда для каждого замкнутого {соответст-
{соответственно открытого) множества А с % множество
B) у — F-lBx'A) = ?[F(y)(]A^0]
у
замкнуто (соответственно открыто) в пространстве у.
Более точно: отоб ражение F непрерывно в точке у0 тогда
и только тогда, когда выполняются одновременно две импли-
импликации:
для любого множества О, открытого в пространстве
D) кб^'Ч'
для любого множества К, замкнутого в пространстве <?.
Доказательство. В силу § 13, III C), если отображение F
непрерывно в точке у0, то выполняются следующие импликации:
E) [yoeP

§ 17. Пространство 2х 173
если множество G открыто в пространстве 2х, и
F) [у0 6 F~l И => k ?F
если множество F замкнуто в пространстве 2х. Заменяя множество G
множеством 2° в том случае, когда О открыто, и заменяя мно-
множество F множеством 2К в том случае, когда множество К замкнуто,
получим формулы C) и D).
Обратно, если импликация E) истинна, то отображение F непре-
непрерывно в точке у0 (в силу § 13, 111C)). Более того, область изме-
изменения множества G можно ограничить подбазой пространства 2х
(см. § 13, III), так что можно предположить, что либо G=2A,
либо G — 2X—2Х~А, где множество А открыто. В первом случае
формула E) следует непосредственно из формулы C). Во втором
случае ее легко вывести из формулы D).
Следствие 1а. Пусть D(F) — множество точек разрыва
отображения F (см. § 13, III C)). Тогда
G) D (F) - у {F'1 B°) - Int [F-1 B°)]} (J
U{()
где О пробегает все открытые подмножества простран-
пространства Ж, а, К — все его замкнутые подмножества.
Теорема 2. Пусть f : Ж —>У — непрерывное отображение.
.Обратноеотображение f~l : 2У-> 2хнепрерывно тогда и только
тогда, когда отображение f одновременно замкнуто и от-
открыто.
В частности {ср. следствие За),
1/ \У —>2Ж непрерывно] ^ {/ открыто и замкнуто].
Если отображение f-.З'-^-'З/ замкнуто, то отображение
fl:2x—>2y непрерывно.
Доказательство. Первая часть теоремы следует непосред-
непосредственно из теоремы 1A), теоремы 1, II и из § 3, 111A3 ) (ср. также
§ 3, 11C)).
Предположим теперь, что отображение/замкнуто. Пусть В=В с у.
Покажем, что множество El/1 i^)czB] замкнуто, а множество
А
Е I/1 (А) [\В = 0] открыто для всякого А ? 2х. Согласно § 3, III A3')
А

174 Гл. 1. Топологические пространства
и A3"). мы имеем
А
1 у,
и поскольку / (В) ? 2 , то в соответствии с определением тополо-
топологии в пространстве 2х множество Е [Лс/" (В)] замкнуто, а мно-
А
жество Е [А П/ E) = О] открыто (А пробегает пространство 2х).
А
Замечание 1. Теорему 2 можно сформулировать в следующем более
общем виде:
Пусть отображение f непрерывно; отображение /~' непрерывно
в точке В тогда и только тогда, когда отображение / одновременно
замкнуто и открыто в В.
Доказательство см. в § 18, III, теорема 5а.
Теорема 3. Пусть отображение f:y->2? непрерывно.
Положим F (y) = (f (у)). Тогда отображение F:y~>2x непре-
непрерывно (в предположении, что Ж есть J1 ^-пространство).
Теорема 3 следует из равенства
Е [F (у) с А] - Е [/ (У) € Л] = Г1 (А).
у у
Следствие За. Пусть F (х) — (х). Тогда отображение
F :!%"-> 2х есть гомеоморфизм, отображающий простран-
пространство Ж на множество S всех одноэлементных множеств
(в предположении, что Ж есть J\-пространство).
Отображение F непрерывно, в силу теоремы 3. Обратное ото-
отображение (х)->х тоже непрерывно, ибо семейство всех множеств (х),'
таких, что х ? G (т. е. таких, что (х) с G), открыто в множестве S,
если множество О открыто в пространстве j?\
Теорема 4. Объединение двух непрерывных функций
F = Fo U Fl непрерывно.
Это предложение непосредственно вытекает из теоремы 1 и фор-
формулы (и).
Замечание 2. Более точно: объединение двух функций, непрерывных
в точке у0, непрерывно в точке у0. Это следует из аналогичного предло-
предложения для полунепрерывных функций (установленного в § 18).
Следствие 4а. Объединение К \) L, рассматриваемое как
отображение пространства 2х X 2Ж на пространство 2х, не-
непрерывно.
Теорема 5. Пусть множество В открыто-замкнуто
в пространстве %. Положим F(K) = KV\E. Тогда F — непре-
непрерывное отоб ражение пространства 2х в пространство 2Е.

§ 17. Пространство 2х 175
Доказательство. Согласно формуле A), мы должны пока-
показать, что множество ^_{K{\EczA) открыто всякий раз, когда мно-
к
жество А открыто, и замкнуто всякий раз, когда множество А зам-
замкнуто. Но (К ()Ec:A)~(KczA (J (—?)), и требуемое заключение
следует из теоремы 1, п. II, поскольку множество Л U (—Е) открыто,
если А открыто, и замкнуто, если А замкнуто.
Следствие 5а. Пусть Ж = AQ{] Av где /40n^i = 0 и мно-
множества Ао и Ах замкнуты. Тогда
qAi U А, „До ч. 0А,
z t^ z л г ¦
Доказательство. Положим F(K, L) = KUL, где К ? 2Л° и
?B ', Отображение F есть искомый гомеоморфизм, так как оно
непрерывно, согласно теореме 4, взаимно однозначно (поскольку
Aof] Аг = 0), является, очевидно, отображением на и, наконец, обратное
к нему отображение непрерывно; в самом деле, отображения
X П Aj непрерывны (при X ? 2 ° '), в силу теоремы 5.
Замечание 3. Предположение о том, что множество Е в теореме 5
открыто, существенно. Это видно из такого примера: пусть 3? = &, а Е —
одноэлементное множество. См. также § 18, V.
IV. Случай, когда пространство X регулярно.
Теорема 1. Пусть 'X—регулярное J\-пространство; тогда
множества ?_ (KaL) а Е.(Х?Ю замкнуты в 2Ж X 2Ж, соот-
K,L х, К
ветственно в X X %х.
Доказательство. Пусть Кф-L. Так как пространство 3?
регулярно, то существует открытое множество О, такое, что
КПйфО и LdS — 0.
Таким образом,
(К ф L) = \j(К ПОфО)(?.сЗГ — О) (G — открыто)
и
и, следовательно (ср. § 2, VI C)),
Е (К ф L) = U ГЕ (К П О Ф 0) X Е (LaJir — 0I.
к, l а [к i \
Множества ЕО^ПО^О) и ^(LcSP—О) открыты (согласно тео-
к l
реме 1, п. II), поэтому и множество в квадратных скобках открыто
(относительно пространства 2 X 2 )• Следовательно, множество
Е (К ф1) открыто.
К, i,

176 Гл. 1. Топологические пространства
Это завершает доказательство первой части теоремы. Для доказа-
доказательства второй части заменим в предыдущих рассуждениях мно-
множество К множеством (х).
Обратная теорема справедлива для любых ^-пространств.
Теорема 2. Пусть Ж есть ^^-пространство. Если мно-
множество Е (*6Ю замкнуто при любом К, то пространство X
х, К
регулярно.
Доказательство. Пусть хо<?Ко. Покажем, что существуют
открытые множества U и V, такие, что
A) хо?и, KocV и UuV = 0.
Положим G = Е (х (Р К). Тогда (х0, Ко) ? G. Так как множество G,
х, к <~
по предположению, открыто, существуют открытые множества U,
V, Oj, ..., Gn, такие, что
(х0. K0)e[UXB(V, Ot Gn)]cG.
Иначе говоря,
B) xo?U, K0(EB(V, О, Оя),
т. е. /CocV, АГ0ПОг^О для г=1, ..., п,
C) (x?U, KczV, KOG^O для /= 1 «)гф(х, K)?G.
т. е. х(?к.
Остается доказать, что U ()V=0. Допустим противное, т. е. что
x?U(\V. Пусть K — K0U(x). Тогда из B) и C) следует, что х(^К,
вопреки предположению.
Теорема 3. Если X регулярно, то 2х хаусдорфово.
Доказательство. Пусть К, ??2Ж и КфL. Докажем, что
существуют два открытых подмножества G и Н пространства 2х,
таких, что /С6О, ??Я и Gfltf = O.
Очевидно, можно считать, что К—ЬфО. Пусть р?К—L. Так как
пространство Ж регулярно, то существует открытое множество UczJ}?,
такое, что р ? U (откуда Кп^фО) и L(]U = Q.
Легко видеть, что множества
Е(Пф) и Я =
F
являются искомыми.
Теорема 4. Если Ж есть J'^пространство, а простран-
пространство 2х хаусдорфово, то Ж регулярно1).
') По поводу теорем 3 и 4 см. Майкл [1] и Фринк [1], стр. 577.

§ 17. Пространство 2 х 177
Доказательство. Пусть Ко замкнуто и х0(^К0. Покажем,
что существуют два открытых множества U и V, удовлетворяющих
условиям A).
Очевидно, что КофКои(хо). Так как пространство 2х хаусдор-
фово, имеем
D) Ко 6 В (О0, Ov ..., Om). (Ко U (*о)) 6 В (Яо, Hlt ..., Я„),
E) В(О0, Оь ..., Qm)t)B(H0, Нг Я„) = 0.
Докажем существование индекса Jo, такого, что
xo?Hh и О0ПЯ0ПЯЛ = 0.
Тем самым доказательство теоремы будет завершено, ибо л:0?Я0ПЯ;-о
и К0с=.О0.
Допустим, что (л;0^Я;-)гф(О0 ПЯоПЯ;-=^=0) для каждого у = 0,
1 п. Положим Pj ?(G0 П Яо П Яу), каково бы ни было xo?Hj,
и обозначим через L множество, состоящее из таких pj. Положим
А = К U I*. Легко проверить, что
A<=.G0, AnGt=?Q (/=1, .... от),
(У=1 я).
Но это означает, что А^В (О0, ..., Gm)(~\B(H0, ..., Я„), вопреки
формуле E).
Следствие. Пусть Ж есть ^^пространство. Следующие
условия эквивалентны:
(i) пространство X регулярно;
(и) множество Е (K^Q замкнуто в 2х X 2Ж;
Л", Л
(ш) множество Е (x€^) замкнуто в XY^2X;
х, К
(iv) пространство 2х хаусдорфово.
V. Случай, когда пространство ^ нормально.
Теорема 1. Ясли пространство Ж нормально, то множе-
множество Е (/еп^ —0) открыто в пространстве 2х X 2Ж; более
общо, множество Е (Л^ П • ¦ • П А"/, = 0) открыто в простран-
к: *»
cmee B*)".
Доказательство. Так как пространство 3? нормально, то
имеем
A) (KfU = 0)= V (K
Q,H

178 Гл. 1. Топологические пространства
где О и Н открыты. Иначе говоря (ср. § 2, VI C)),
E(KfU = 0)= U E (KczO)(LdH)= U B°
К, I 0{\.Ч=ОК,1. ОПЯ=0
Это завершает доказательство, так как 2° и 2я открыты.
Чтобы доказать вторую часть утверждения, применим вместо
формулы A) более общую формулу (§ 14, III)
B) (/^...№ = 0)==
s= V KOifl ••• C\On = 0)(Kt<=Qt для /=1 я)].
Установим теперь обратную теорему.
Теорема 2. Если X есть J' ^пространство и множество
? (/^f|L = O) открыто, то X нормально.
К, L
Доказательство. Пусть Д'д р LQ = 0. Так как множество
Е (ЛТ|? = 0) открыто, в пространстве 2х существуют два открытых
K,L
множества U u V, таких, что
C) K0?U, L^V и (K€U)(L?V)=>(KnL = 0).
Очевидно можно считать, что (/ и V принадлежат базе прост-
пространства 2х, определенной в п. I. Это означает (см. 1D)), что суще-
существуют две системы открытых множеств О0 От и Но Нп,
такие, что
E) [(.КсОоНК П G^0)(Lc^)(in Н{ф0)]=$(К П L = 0).
Мы покажем, что О0(] /У0 = 0, закончив тем самым доказательство.
Пусть это не так; предположим, что р ? О0 П Яо. Пусть аг ? /Со Q 0^
для i^.m и bj?LoflHj для j<Cn- Положим
К = (Р. «! ат) и L = {p, bx *„).
Согласно E), K(]L=0, но это противоречит тому, что
Теорема 3. Если X нормально, то 2х регулярно.
Доказательство. Пусть F0 — F0?G, где G открыто (в 2х).
Покажем, что существуют открытые множества U и V, такие, что
F) ^о€^. C/nV = O и 2*
Очевидно, можно считать, что G принадлежит базе простран-
пространства 2х, т. е. существует такая система открытых множеств О0,

§ 17. Пространство 2х 179
Gj Оп, что G = B(G0, Gv ..., Gn). Это означает, что
G) F0cO0,
(8) Fo П Оi ф 0 для / = 1 га.
Так как пространство 3" нормально, существуют (согласно G))
открытые множества Со и Do, такие, что
(9) FoczCo, СОПА> = О, J}T—GoczDo.
Пусть, в соответствии с (8), qt ? Fo f) Gt. Пусть далее Ct и Dt—такие
открытые множества, что
Определим множества U и V следующим образом:
(Fc:U)={FczC0 и Р(\С(ф0 для г=1, .... п),
(Fa F)es {либо FflA^O, либо FcDl при некотором /<я}.
Согласно первым включениям из формул (9) и A0), F0?U. Сред-
Средние равенства в этих формулах показывают, что U()V =0.
Пусть теперь F?2X — G, т. е. либо FgtO0, либо /=" П О, = 0
при некотором t^Cn. Тогда, согласно третьим включениям в (9) и
A0), мы имеем либо Р(\О0ф0, либо FcDt при некотором i^n.
Это означает, что F ? V. Таким образом, условия F) выполняются.
Теорема 4. Пусть S? есть J'^пространство, а простран-
пространство 2х регулярно, тогда Ж нормально.
Доказательство. Допустим, что KqULq=0. Покажем, что
существует открытое множество G, такое, что
A1) /С0с=О и G(Uo = °. т- е- ОсЯ, где H = S — L0.
Поскольку KqCzH, имеем Kq?2h. Множество 2я открыто в (регу-
(регулярном) пространстве 2х, поэтому существуют открытые множества
О0, . . ., Gn, такие, что
A2) К0еВ(О0 ОД B(G0 Ол)с2" и О,с=О0.
Отсюда, в силу I D') и II E), получаем
K0czO0, KouO^O и B(G0
Так как 0=^О;с:О0, имеем G0{\Gt = Ol Ф0 и, следовательно,
O0€B(G0 б„). Согласно A2), G0?2", т. е. G0<zH. Таким
образом, в A1) вместо G можно подставить О0.
Следствие. Пусть X есть ^^-пространство. Следующие
условия эквивалентны:
12*

180 Гл. 1. Топологические пространства
(i) пространство 3" нормально;
(п) множество Е (К П L — 0) открыто;
кл
(ш) пространство 2х регулярно.
Замечание. Для пространства 2х регулярность эквива-
эквивалентна вполне регулярности х).
VI. Связь пространства 2х со структурами и брауэровскими
алгебрами. Нетрудно заметить, что многие теоремы этого параграфа
(и § 18) можно распространить на дистрибутивные структуры и
брауэровские алгебры.
Напомним, что дистрибутивная структура Г = (?, (J. П. 0, 1)
называется брауэровской алгеброй (см. МакКинси и Тарский [2]),
если в Г задана некоторая операция а — Ь, такая, что
(а — bcc) = (ac(b\Jc)).
Пусть X — топологическое пространство, тогда 2х—брауэровская
алгебра, причем операции U и П имеют обычный смысл, а опера-
операция „ " означает А—В.
Структура Г называется2) уолменовской, структурой, соответ-
соответственно структурно регулярной, соответственно структурно нормаль-
нормальной, если выполнены следующие условия:
соответственно
соответственно
V (с\)й =
с, d
{а П b = 0) => V (с U d = 1) (а П с = 0 = b П d).
c,d
Очевидно, если JT есть ^-пространство, то 2х — уолменовская
структура. Пространство Ж регулярно тогда и только тогда, когда 2х
структурно регулярно (Ж есть ^-пространство). Пространство SC
нормально тогда и только тогда, когда 2х — структурно нормально.
В множество L можно ввести топологию3). Рассмотрим идеалы
I (а) = Е (х с а) и •/(«) = Е (х П Д = 0). Замкнутой подбазой прост-
X X
ранства L будем считать семейство всех множеств вида /(а) и
L—J{a). Эта топология согласуется с экспоненциальной топологией,
когда L = 2х.
') По поводу теорем 3, 4 и замечания см. упомянутую работу Майкла.
2) См. Куратовский [46], Уолмен [1], Нёбелинг [1].
3) См. цит. раб. Куратовского и Фринк [1], Ренни [1].

§ 18. Полунепрерывные функции 181
Приведем следующие теоремы (являющиеся обобщениями соответ-
соответствующих теорем для пространства 2хI).
Пусть Г — уолменовская структура. Тогда
1. Фильтр ?(асх) замкнут. Поэтому L есть ^-пространство.
X
2. {Г структурно регулярна} е^ I E (xc-i>) замкнуто в LXL).
I х, у J
3. {Г структурно нормальна}^! Е (х П У=0) открыто в L Х^-1-
I «•. у J
4. Если Г — брауэровская алгебра, то
[Г структурно регулярна}^! Е (х — У = 0) замкнуто!.
§ 18. Полунепрерывные функции
I. Определения. Как и в § 17, III, пусть 1" и2/ —два тополо-
топологических пространства и F —(многозначная) функция, ставящая в соот-
соответствие каждой точке у ?У множество F(y)?2x.
Функция F называется полунепрерывной сверху (соответственно
снизу), если для каждого открытого (соответственно замкнутого)
множества Лсг^Г множество
A) F~lBA) = \
открыто (соответственно замкнуто) в пространстве у.
Эквивалентно: функция F полунепрерывна сверху (соответ-
(соответственно снизу), если для каждого замкнутого (соответственно откры-
открытого) множества А с & множество
B) &-F~1(**~A) =
замкнуто (соответственно открыто) в пространстве 2/.
Более точно: функция F полунепрерывна сверху в точке у0,
если
C) b*ZF-'{)}[0{
всякий раз, когда множество G открыто.
') См. Куратовский [46], [47], стр. 751.

182 Гл. 1. Топологические Пространства
Функция F полунепрерывна снизу в точке у0, если -
всякий раз, когда множество К замкнуто.
Отсюда легко получается
Теорема 1. Функция F полунепрерывна сверху {соответ-
{соответственно снизу) тогда и только тогда, когда функция F полу-
полунепрерывна сверху {соответственно снизу) в каждой точке
В силу теоремы 1, § 17, III, имеет место
Теорема 2. Функция F непрерывна в точке у0 тогда и
только тогда, когда ояа одновременно полунепрерывна сверху
и снизу в точке у0.
Следовательно, функция F непрерывна тогда и только тогда,
когда она одновременно полунепрерывна сверху и снизу.
Теорема 3. Пусть D{F) означает множество точек раз-
разрыва функции F. Тогда, если функция F полунепрерывна
сверху, то
E) {)J
К
где К - -замкнутое множество.
Если функция F полунепрерывна снизу, то
F)
где О — открытое множество.
Это утверждение вытекает из следствия 1а, § 17, III.
Теорема 4. Пусть / :.?"-> 2/— непрерывное отображение
на. Отоб ражение f:y~>2x полунепрерывно сверху {соответ-
{соответственно снизу) тогда и только тогда, когда отоб ражение f
является замкнутым {соответственно открытымI).
Подобно теореме 2, § 17, III, эта теорема непосредственно выте-
вытекает из формулы B) и формулы C), § 3, II.
Теорема 5. Если множество F{у) сводится к единствен-
единственной точке {обозначаемой /(у)) и отоб ражение F полунепре-
полунепрерывно сверху или снизу, то отоб ражение f непрерывно.
Теорема непосредственно вытекает из соотношения
у
') Что касается более сильного утверждения, см. п. 111, теорему 5.

§ 18. Полунепрерывные функции 183
II. Примеры. Связь с действительными полунепрерывными
функциями. Замечания.
Пример 1. Пусть /:%->9г. Согласно классическому определению'),
отображение / называется полунепрерывным сверху, соответственно снизу,
в точке у0, если из того, что lim уп = у0, следует, что lim / (уп) < / (у),
соответственно / (у) < lim / (у„). Другими словами: если из условий
Я->сю
lim уп = у0 и Игл / (у„) = х0 следует, что х0 <; / (y0), соответственно
/ (Уо) < х0.
Положим F (у) = Е [0<! Jf <!/(у)]. Легко видеть, что функция F полу-
х
непрерывна сверху (снизу) в точке у0 тогда и только тогда, когда функ-
функция / полунепрерывна сверху (снизу) в определенном выше смысле.
Пример 2. Функция F, определенная условием F (у) = % X (У)> гДе
у?$, не является полунепрерывной сверху. В самом деле, если обозначить
через А гиперболу у = l/х, то множество, рассмотренное в I B), не будет
замкнутым.
Замечание. В пространстве 2х можно ввести топологию, назы-
называемую и-топологией2), такую, что полунепрерывное сверху отобра-
отображение становится непрерывным. Эта и-топология пространства 2х
определяется тем условием, что множества 2° (где О открыто) обра-
образуют открытую базу. Очевидно, что отображение F:y~>2x полу-
полунепрерывно сверху в точке у0 относительно экспоненциальной топо-
топологии тогда и только тогда, когда оно непрерывно в точке у0
относительно и-топологии пространства 2х.
Аналогично назовем Д-топологией" пространства 2х такую топо-
топологию, которая получится, если считать, что множества 2К (К—зам-
(К—замкнутое множество) образуют замкнутую подбазу. Тогда полунепре-
полунепрерывные снизу отображения будут непрерывными относительно
Я-топологии.
Следует заметить, что и-топология (и ^-топология) не является
^-топологией (за исключением тривиального случая $• = ()).
') См. Бэр [1], стр. 6. Более общий подход, когда пространства JT и Я/
предполагаются метрическими, см. Хан [2], стр. 148; случай, когда F (у)
предполагается замкнутым подмножеством компактного метрического про-
пространства, см. Куратовский [17] и т. II, гл. 4. Метод состоит в использовании
верхних и нижних топологических пределов множеств (см. § 29). См. также
Булиган [1], стр. 14. Этот метод можно обобщить, используя сходимость
Мура — Смита; см. статьи, цитированные в §20, IX, а также Стразер [1].
Некоторые авторы предполагают, что множества F (у) компактны, см. Берж [21,
стр. 110, и [1].
2) См. Пономарев [1] и намного более раннюю статью Тихонова [5], где
появляется определение этого пространства. См. также Александров [19].
и-топология (и рассматриваемая далее Я-топология) изучались Майклом
под названием полуконечной сверху (соответственно снизу) топологии; см.
Майкл [1], стр. 179.

184 Гл. 1. Топологические пространства
III. Основные свойства.
Теорема 1. Пусть 3?— регулярное пространство, и
пусть функция F полунепрерывна сверху; тогда множество
Е [x?F{у)\ замкнуто в пространстве Ж X У-
х, у
Доказательство. Так как пространство X регулярно, мы
имеем
A) [*<?/> (У)] s V (xeU)(F(y)cV),
где U а V открыты. Следовательно,
B)
Поскольку F полунепрерывно сверху, множество F~ \2 ) от-
открыто в у, поэтому U X F~l BV), а, следовательно, и множество
E[x$F(y)] открыто в JX2/.
X, У
Замечание. Без предположения регулярности пространства ЯГ
эта теорема неверна. В самом деле, если У = 2х и F — тождествен-
тождественное отображение, то рассматриваемое множество совпадает с мно-
множеством Е(Х€^О> которое замкнуто лишь в том случае, когда ЗС
х,К
регулярно (см. § 17, IV, теорема 2).
Теорема 2. (Обобщенное условие Гейне.) Функция F полу-
полунепрерывна снизу в точке у0 тогда и только тогда, когда
C) (у0 ? В) =ф (F (у0) с SF(B)) для каждого В с у.
Доказательство. Предположим, что функция F полунепре-
полунепрерывна снизу в точке у0. Пусть уо?В; положим К = SF(В)- Тогда
В с F'1BK), так как
(у е В) =ф (F (у) с SF (В) с К) :=>(F (у) 6 2К) = (у ? F'1 BК)).
Поэтому yQ?F г BК) и, в силу 1D), yQ?F 1(^K)> но это означает,
что F(yo)?2K, т. е. F(у? с= К = M
Обратно, пусть К = К и y^^F~l{2K). Положим B = F~l{2K).
Тогда F (В) с 2К, откуда S^" (В) с S Ьк) = К- Следовательно,
SF (В) сг К = К. Далее, предполагая, что условие C) выполнено, имеем
F(yQ)cSF{B)cK, откуда F(yo)?2K и Уо б^Ч2*)- Таким обра-
образом, функция F полунепрерывна снизу в точке yQ.

§ 18. Полунепрерывные функции 185
Следствие 2а. Функция F полунепрерывна снизу тогда и
только тогда, когда
D) SF {В) с SF (Щ для каждого множества В а у.
Теорема 3. (Обобщенное условие Коши.) Функция F полу-
полунепрерывна сверху в точке у0 тогда и только тогда, когда
для каждого открытого множества О, содержащего F(у0),
существует открытое множество Н, содержащее точку у0,
такое, что SF(H)<=0, т. е. (у ?H)=$(F(у) с 0)!)-
Доказательство получается непосредственно из формул
Следствие За. Пусть Ж есть ^-^-пространство. Тогда,
если функция F полунепрерывна сверху в точке у0, то
E) (у0 еВ) =ф [р (F(B))cF (уо)], т. е. ( \J F(у)) cz F(у0).
Доказательство. Пусть Л = f~| F(у); предположим, что
х?А— F(y0). В теореме 3 положим 0 = %' — (х). Тогда, поскольку
уо?В и множество Я открыто, существует точка у?В(]Н. Следо-
Следовательно, AcF(y)aO, и поэтому А с ,Т—(л:), что невозможно.
Следующая теорема является обобщением теоремы 2, § 17, II.
Теорема 4. Пусть X есть ^-^-пространство, A cz X —
произвольное подмножество и F — полунепрерывная сверху
функция. Тогда множество E(AcF(y)) замкнуто.
у
Доказательство. Очевидно, что
(A(?F(y))== V
Поэтому
Так как множество JT — (х) открыто, а функция F полунепрерывна
сверху, то множество E.(F(y)cz%: — О)) открыто, и, следовательно,
у
открыто множество Е (А ф F{y)).
у
Теорема 5. Пусть f :$;->'&— непрерывное отображение
и у есть $х-пространство. Отображение f :y-^-2x полунепре-
полунепрерывно снизу {соответственно сверху) в точке у0 тогда и только
') См. Гуревич [1].

186 Гл. 1. Топологические пространства
тогда, когда отображение f открыто (соответственно за-
замкнуто) в точке у0.
-1
Доказательство. Положим F(у) — /(у). В силу § 3, III A6),
§F(B) = f~l(B) для любого множества Всу.
Сначала рассмотрим случай полунепрерывное™ снизу. Заменяя
в формуле C) теоремы 2 F (у) на f~l (у) и SF (В) на f~l (В), мы
получаем формулу E) из § 13, XIV, которая представляет собой
необходимое и достаточное условие того, что отображение / открыто
в точке у0.
В случае полунепрерывности сверху мы подобным же способом
получаем из теоремы 3 необходимое и достаточное условие замкну-
замкнутости отображения / в точке у0, сформулированное в теореме 3 из
§ 13, XIV.
Теорема 5а. (Обобщение теоремы 5.) Пусть f : Ж->у— не-
непрерывное отображение, и пусть f~l сужено на замкнутые
подмножества пространства у, т. е. f~l :2W->2Ж. Тогда f~l
полунепрерывно снизу (соответственно сверху) в замкнутом
множестве Во тогда и только тогда, когда f открыто (соот-
(соответственно замкнуто) в Во').
Доказательство. Положим F — f~l, К = Кс& и О =
= Ж — К- Заметим, что формула § 3, III A3'") остается верной,
если обозначить через 2А множество ^_(KczA), т. е.
к
F) F-l{2A) = 2w~nx-A).
Согласно I D), F), § 17, II C) и § 13, XIV A2), мы имеем
(/"' полунепрерывно снизу ь В)^
= {[в
= (/ открыто в 5).
') Эта теорема отвечает на вопрос, поставленный М. Брауном.

§ 18. Полунепрерывные функции 187
Аналогично, согласно I C), F), § 17, II D) и § 13, XIV A3),
имеем
(/~ полунепрерывно сверху в В)^
= (/ замкнуто в В).
Теорема 6. Пусть Ж есть ^^пространство, и пусть
множество F (у) для каждой точки у^_У представляет собой
одноэлементное множество: F(y) = \f(y)}< где f':'&—>%:. Тогда
из полунепрерывности функции F в точке у0 (либо сверху,
либо снизу) вытекает непрерывность этой функции в точке у0.
Действительно, в этом случае §F(B) = \f(B)), и условия, сфор-
сформулированные в теоремах 2 и 3, превращаются в обычные условия
непрерывности Коши и Гейне.
Легко доказать следующую теорему.
Теорема 7. Пусть / : % ->2/ и F : 2/-> 2х. Пусть / (zo) = y0.
Если отображение / непрерывно в точке z0, а отображение F
полунепрерывно сверху (соответственно снизу) в точке у0,
то композиция H = F°f полунепрерывна сверху (соответ-
(соответственно снизу) в точке z0.
Эту теорему также можно вывести непосредственно из замечания,
сделанного в п. II, а именно из того, что полунепрерывное сверху
(снизу) отображение непрерывно относительно и-топологии (^-то-
(^-топологии).
IV. Объединение полунепрерывных отображений.
Теорема 1. Объединение двух функций, полунепрерывных
сверху в точке у0, полунепрерывно сверху в точке у0.
Доказательство. Пусть F j\y —>2 —отображение, полу-
полунепрерывное сверху в точке у0 при / = 0, 1. Положим F = F0\J Ft.
Пусть множество О открыто в пространстве % и yo^F~1Ba). Мы
должны показать (см. I C)), что yo^Int[/='~1B0)]. В силу фор-
формулы § 17, III (ii), мы имевм
A) F-lBa) = F«lB°)nFr1Ba),
следовательно, у0 ? FJ {2 ). Так как функции Fj полунепрерывны
сверху в точке _у0, то yg^IntfFT B )]. Поэтому (согласно § 6,

188 Гл. 1. Топологические пространства
II A) и A))
Уо € Int [/'о'1 B°)] П Int [/TJ B°)] =
= Int [/--о-1 B°) П /Т1 B°I = Int [F-1 B°)].
Теорема 2. Объединение двух функций, полунепрерывных
снизу в точке у0, полунепрерывно снизу в точке у0.
Более общо, если каждая функция Ft, t?Т (множество Т
произвольно), полунепрерывна снизу в точке у0, то и функция
F=\JFt полунепрерывна снизу в точке у0.
Доказательство. Пусть К = Кс?? и yo?F 1BК). Покажем
(см. I D)), что уо?/7~1B ). В силу формулы § 17, III (ш), мы имеем
B)
поэтому
t
Следовательно, для каждого t^T имеем yQ?Ft 1('2К). Так как
функция Ft полунепрерывна снизу в точке у0, то, в силу I D),
отсюда следует, что yo^Ff1BK). Таким образом, уо? f[ FllBK) =
Замечание 1. Вторая часть теоремы 2 не верна для функций,
полунепрерывных сверху, например, если Fn(y) — (yn), 0<^у<^1.
Замечание 2. Теоремы 1 и 2 приводят к следующему обоб-
обобщению теоремы 4 из § 17, III: объединение двух функций, непре-
непрерывных в точке у0, есть функция, непрерывная в точке у0.
V. Пересечение полунепрерывных отображений.
Замечание. В связи с формулой § 3, V C) заметим, что для
функции F = /?on/7i имеет место формула
A) [/'o-IB0)u/7r1B°)]c=F-1B0).
где знак с: нельзя заменить знаком =.
Однако верна следующая
Лемма. Пусть пространство Ж нормально, F} : у->2х,
у = 0, 1, F = FoflF1 и множество О открыто в простран-
пространстве SC- Тогда
B) F-lBa)= U V^n/T1^').
где множества Uo и Ux открыты и UQ(\U1 = G.

§ 18. Полунепрерывные функции 189
Доказательство. 1) Пусть у ?F~lB°), т. е. [F0(y) |"| F^y^czG.
Тогда множества [F0(y)— G] и [Fj (у)—G] замкнуты и не пере-
пересекаются. Так как пространство SC нормально, существуют откры-
открытые множества Vo и Vx, такие, что
F0(y)-GczV0, Fl{y)-GaVx и Vo П V, = 0.
Положим ?/7- = Vy-lJG. Тогда множества Uj открыты, Uof\ U1 = G
и Fj(y)<=Uj, т. е. у ? FJ1 BUj).
Таким образом, точка у принадлежит правой части равенства B).
2) Обратно, предположим, что точка у принадлежит правой части
равенства B). Тогда Fj(y)cz(Jj, и поэтому F(y)czif0f) Uv Так как
Uo Г) U1 = G, отсюда следует, что у ? F B°).
Теорема 1. Если пространство 3" нормально, то пере-
пересечение F = Fof\ Fj двух функций, полунепрерывных сверху
в точке у0, есть функция, полунепрерывная сверху в точке у0.
Доказательство. Пусть G — открытое множество в про-
пространстве X и yQ^F~1Ba). Покажем, что уо^ЫГ^~1B0)].
В силу равенства B), существуют два открытых множества Uo
и ?/j, таких, что yo?Fo B "jflFj B ') и UQf\ Ut = G. Так как
функции Fj полунепрерывны сверху в точке у0, отсюда следует, что
Последнее множество является открытым подмножеством множества
F-1B ) (согласно равенству B)), поэтому у0 является внутренней
точкой множества F~1B°).
Следствие 1а. Если пространство ?? нормально, то пере-
пересечение К A L является полунепрерывным сверху отображением
пространства 2х X 2Ж в пространство 2х.
Следствие 16. Пусть X есть ^^пространство. Тогда сле-
следующие условия эквивалентны (см. § 17, V, следствие):
(i) X нормально,
(И) К П L есть полунепрерывное сверху отображение прост-
пространства 2х X 2Х в пространство 2х.
Замечание 1. Следствие 1а вытекает также непосредственно из
теоремы 1, § 17, V, согласно которой множество Е(^П Z.f1-<4 = 0)
K,L
открыто, каково бы ни было замкнутое множество А.

190 Гл. 1. Топологические пространства ¦
Замечание 2. Как указано в замечании 2, § 17, III, пересече-
пересечение К П L может и не быть непрерывным. Однако имеют место сле-
следующие два утверждения.
Теорема 2. Пусть отоб раженае F : у —> 2х полунепрерывно
сверху в точке у0, и пусть Коа?С— фиксированное замкнутое
множество. Тогда отображение L = Kof\F полунепрерывно
сверху в точке у0 (каково бы ни было топологическое про-
пространство 37).
Доказательство. Пусть множество G открыто в простран-
пространстве 37 и L(yo)c:G. Тогда F(yo)cz[G U (ЗС — Ко)]. Так как отобра-
отображение F полунепрерывно сверху в точке у0, существует открытое
множество Hay, содержащее у0. такое, что F(y)cz[G\j C7—Ко)]
для каждой точки у?Н. Отсюда следует, что [ЛГ0П F(y)]<=.G, т. е.
L(y)czG для у?Н. В силу теоремы 3, п. III, отображение L полу-
полунепрерывно сверху в точке у0.
Теорема 3. Пусть отображение F : у —> 2х полунепрерывно
снизу в точке у0, и пусть К^ЗС—фиксированное открыто-
замкнутое множество. Тогда отображение L = Kq{\F полу-
полунепрерывно снизу в точке у0.
Доказательство. Пусть Bay и Уо?В- Мы должны показать
(ср. с теоремой 2, п. III), что L(yo)czS^(B)< т- е- чт0 1К0 П F (уп)]с:
о П SF0)- "^ак Как отображение F полунепрерывно снизу
в точке у0, мы имеем F(yo)c:S^'(^)- Следовательно,
[Ко П F (у0)] с [Ко П SF (В)] сК0 П S? (В),
поскольку множество Ко открыто.
Замечание1). Для компактного (бикомпактного) пространства ЗС
теорему 1 можно распространить на пересечение f") Ft, где Т—про-
извольное множество индексов.
Предположение о компактности пространства JT существенно;
справедливо следующее утверждение, аналогичное следствию 16.
Для того чтобы топологическое ^^пространство ЗС было
компактным, необходимо и достаточно, чтобы для каждого
множества Т пересечение f") Kt было полунепрерывным сверху
ЦТ
отображением произведения П 2Ж', где 37t ==?C, в простран-
х 'еТ
ство 2 .
') См. Энгелькинг [3].

§ 18. Полунепрерывные функции 191
VI. Разность полунепрерывных отображений.
Лемма. Пусть %;— регулярное пространство, F',:у—>2а',
F:=iFQ—F1 и множество К замкнуто в пространстве %.
Тогда
A) F-li?) = q{v-\F;l{2°)- Fo'B%
где множество О открыто и KczG.
Это эквивалентно утверждению:
B) у - F-1 BК) = у [Л B°) - V B%
Доказательство. 1) Пусть у ? У — F~l BК), т. е.
F0(y) — F-l(y)(fiK- Так как множество К замкнуто, отсюда следует,
что F0(y) — 171(у)фК. Следовательно, существует точка x?F0(y),
такая, что х^ [K\j Fl (у)]. Так как пространство Ж регулярно,
существует открытое множество G, такое, что [ATU /?1(у)]с:С} их^б,
поэтому F0(y) — G Ф 0.
Таким образом,
C) KczG и у 6 [Л B°)-П-1 B°)].
2) Обратно, если соотношение C) верно, то F1(y)c:G и
Следовательно, Fo (у) — Fx (у) фп, и поэтому F (у) ф G. Таким
образом, F(y)qtK, т. е. у ?у — F~lBK).
Теорема. Пусть пространство 2С регулярно. Если ото-
отображение Fo полунепрерывно снизу в точке у0, а отображе-
отображение Z7] полунепрерывно сверху в точке у0, то отображение
F = Fo — Z7, полунепрерывно снизу в точке у0.
Доказательство. Пусть множество К замкнуто в простран-
пространстве % и yo?F~lBK). Покажем, что у0? F~l{2K). Согласно A),
мы имеем
? П [У-FT1 B°)] U Fo'B°^ Г) {&-FT1 B°)U F0~lB°)}.
О ^Э К. G ^Э К
Следовательно, для каждого GzsK мы имеем
и
откуда, в силу полунепрерывности,
Уо$/ТЧ2°) и

192 Гл. 1. Топологические пространства
т. е.
В соответствии с формулой A) это завершает доказательство.
Следствие. Если 37 есть ^^-пространство, то отобра-
отображение К — L пространства 21' X 2* в пространство 2х полу-
полунепрерывно снизу тогда и только тогда, когда 37 регулярно.
Достаточность условия регулярности следует из предыдущей
теоремы. Его необходимость вытекает из следствия, § 17, IV. А
именно, если пространство 37 нерегулярно, то множество
Е (К — L = 0) = Е (К - L = 0)
К, L K.L
незамкнуто. Следовательно, отображение К—L не является полу-
полунепрерывным снизу.
Замечание 1. Отображение К — L может и не быть непре-
непрерывным (даже в случае К=Ж")-
Например, если S€ представляет собой замкнутый интервал [0, 1]
и Ln—интервал [1/га, 1], то ?l~—Ln есть интервал [0, 1/ге] и Lim Ln=^iV
(ср. § 29, VI), следовательно, множество %— LimLn пусто, в то
время как множество Limj^ — Ln непусто (оно состоит из точки 0).
§ 19. Пространство разбиения. Фактортопология
I. Определение. Пусть D — семейство замкнутых непустых и не-
непересекающихся подмножеств пространства ^Г, объединение которых
представляет собой все пространство JT:
A) Da2x и jr = S(?)-
Семейство D называется разбиением пространства ЗС- Топология
в D определяется следующим образом:
B) множество AczD открыто (в D) тогда и только тогда,
когда множество S (А) открыто (в &)¦
Эквивалентно:
C) множество A cz D замкнуто тогда и только тогда, когда
множество SD> замкнуто.
Таким образом, если 37—топологическое пространство, то и
D—топологическое пространство (^-пространство).
Рассмотрим отношение эквивалентности р, индуцированное раз-
разбиением D, т. е.
^(х и у принадлежат одному и тому же элементу семейства D).

§ 19. Пространство разбиения. Фактортопология 193
Тогда D = &lp. Ввиду этого соотношения определенная выше топо-
топология в D называется фактортопологией').
II. Проекции. Связь с взаимно непрерывными отображениями.
Пусть дано разбиение D пространства JT. Обозначим через Р(х)
элемент разбиения D, содержащий точку х:
A) lD = P(x)]==(x€D?D).
Отображение Р:,^*—>Z) называется проекцией. Очевидно, что
для D ? D и AczS имеют место следующие соотношения:
B) (DnA^O) = [D?P(A)] = [Dc=SP(A)];
C) P(D) = D;
D) P~\A) = S(A) для AczD.
В силу I B) и I C), отсюда следует
Теорема 1. Множество Р~1 (А) открыто (соответственно
замкнуто) тогда и только тогда, когда множество А от-
открыто (соответственно замкнуто).
Иными словами (см. § 13, XV), отображение Р взаимно не-
непрерывно.
Справедливо обратное утверждение:
Теорема 2. Пусть задано взаимно непрерывное отобра-
отображение f : &->У. Обозначим через D (индуцированное) разбиение
-1
пространства Ж на множества f(y), где у ?2/'• Тогда
где /—требуемый гомеоморфизм.
N D
Доказательство. Очевидно, что приведенная диаграмма
-1
коммутативна, т. е. Р (х) = // (х).
Так как отображения Р и / взаимно непрерывны, то и ото-
бражение / взаимно непрерывно (в силу теоремы 3, § 13, XV).
Из теоремы 2, § 13, XV, тогда следует, что /—гомеоморфизм
(так как очевидно, что отображение / взаимно однозначно).
') См. Келли [1], стр. 94; Бурбаки [3], § 5 и [1], § 3, п. 4.
13 Топология, т. Г

194 Гл. 1. Топологические пространства
Замечание. Предыдущую теорему можно сформулировать
следующим образом:
Фактор топология, индуцированная взаимно непрерывным
отображением f\3?-+&, определена единственным образом
с точностью до гомеоморфизма, а именно
где
XfiXr, == (/ (Хх) — / (Х2) ).
Таким образом, изучение фактортопологии можно свести к изу-
изучению взаимно непрерывных отображений.
В частности, можно следующим образом ввести понятие полу-
полунепрерывного разбиения (которое довольно часто используется1)).
Пусть f:3^->4/—взаимно непрерывное отображение на. Обо-
Обозначим через D индуцированное разбиение пространства SC на
_ i
множества / (у), где у ^У¦ В силу теоремы 2, разбиение D можно
отождествить с пространством у, а отображение /—с отображе-
отображением Р (проекцией пространства JT в D).
Определение. Разбиение D пространства & называется
полунепрерывным снизу {сверху) тогда и только тогда, когда
проекция Р : JT —> D является открытым (замкнутым) отображением.
Более общим образом: элемент D разбиения D называется эле-
элементом полунепрерывности снизу {сверху) разбиения D тогда
и только тогда, когда проекция Р является открытым (замкнутым)
отображением на множестве D.
Разбиение D называется непрерывным, если оно полунепрерывно
и сверху, и снизу.
Так как для множества А а 3'
то из определения открытых (замкнутых) отображений (см. § 13, XIII)
вытекает следующая
Теорема 3. {Разбиение D полунепрерывно снизу {сверху)} =
= {для каждого открытого {замкнутого) множества Ас$;
объединение всех множеств D?D, пересекающихся с А, пред-
представляет собой открытое {замкнутое) множество}^ {для
каждого замкнутого {открытого) множества В а % объедине-
объединение всех множеств D?D, содержащихся в В, представляет
собой замкнутое {открытое) множество).
Теорема 4. Разбиение D полунепрерывно сверху в D тогда
и только тогда, когда для каждого открытого множества
') См. Мур Р. [1], стр. 350, Александров [8], стр. 997, и [8а], стр. 555,
Куратовский [11], стр. 169, и Уайберн [3], гл. VII.

§ 19. Пространство разбиения. Фактортопология 195
G r> D существует открытое множество U, такое, что
D с U <= G и множество U есть объединение некоторых эле-
элементов разбиения D1).
Теорема 5. Если D — полунепрерывное сверху разбиение
нормального пространства ??, то фактортопология разбие-
разбиения D нормальна.
Следовательно, отношение р, индуцированное разбиением D,
замкнуто.
Это вытекает из теоремы 2, § 14, II, и теоремы 3, § 15, IV.
Теорема 6. Если D — полунепрерывное снизу разбиение,
и индуцированное им отношение р замкнуто, то фактор-
фактортопология разбиения D хаусдорфова.
Это следует из теоремы 4, § 15, IV.
Теорема 7. Разбиение D произведения SC X У на мно-
множества \х) X У, где x?jf. полунепрерывно снизу и D==3"-
Это следует из того, что отображение f : 3? У\У —>Л?> заданное
формулой f(x, у) = х, открыто (см. § 15, II, теорема 1).
III. Примеры и замечания.
Пример 1. Разбиение D плоскости %г на вертикальные линии не
является полунепрерывным сверху, так как объединение вертикалей, пере-
пересекающих гиперболу у = 1/х, не замкнуто. Заметим, что здесь отношение р
замкнуто и у = g\
J top
Пример 2. Пусть пространство .Ж* состоит из точек 1/п, л = 1, 2, ...,
и точки 0, и пусть D имеет в качестве элементов пару @, 1) и одноэлемент-
одноэлементные множества A/я), где п > 1.
Разбиение D полунепрерывно сверху, но не является полунепрерывным
снизу. Здесь D = j?*.
J top
Пример 3. Пространство $? состоит из точек 1/п и 1 — 1/я для
л>1. Элементами D являются двухэлементные множества A/л, 1 — 1/п)
при л > 2 и одноэлементные множества @), (>/г) и A).
Такое разбиение D полунепрерывно снизу, но не полунепрерывно
сверху. Оно гомеоморфно пространству, состоящему из бесконечной после-
последовательности точек р0, Pi, ..., где каждое бесконечное замкнутое мно-
множество содержит и точку />0, и точку Р\.
Это пространство не является хаусдорфовым (следовательно, отноше-
отношение р не замкнуто).
Замечание. Отображение F : tf -> 2х может быть непрерывным и
таким, что 3? = \J F (t) и F (t)(]F (f) — 0, но тем не менее разбиение D
пространства SC на множества F (t) не будет полунепрерывным.
Так будет, например, когда j1 — счетное дискретное пространство, а
D — счетное не полунепрерывное разбиение пространства X (см. примеры
2 и 3).
') Это условие принимают иногда за определение. См., например,
Келли [1], стр. 99, и Уайберн [3].
13*

196 Гл. 1. Топологические пространства
Однако если пространство J' — компакт и отображение F полунепре-
полунепрерывно сверху, то разбиение D полунепрерывно сверху (см. т. II, гл. 4).
IV. Связь фактортопологии с экспоненциальной топологией.
Вообще говоря, фактортопология разбиения D отличается от экспо-
экспоненциальной топологии (если разбиение D рассматривать как под-
подмножество пространства 2 ). Это видно из примера 2, п. III.
Очевидно, что разбиение D с фактортопологией гомеоморфно
пространству ЭС, в то время как в экспоненциальной топологии оно
дискретно. Если Р имеет тот же смысл, что и в предыдущем пункте,
1
то Р представляет собой тождественное отображение:
P:Df\2x->D,
где D имеет фактортопологию, a D П 2 — экспоненциальную топо-
топологию, j
В предыдущем примере отображение Р не является гомеомор-
гомеоморфизмом. Тем не менее имеет место следующая
Теорема 1. Фактортопология разбиения D слабее, чем
1
экспоненциальная топология, т. е. отображение Р непрерывно.
Иначе говоря, если Е с D и множество S(?) открыто в про-
пространстве Ж, то множество Е открыто относительно D
в экспоненциальной топологии.
Это следует из формулы E = D{\2S(E).
Теорема 2. [Разбиение D полунепрерывно снизу (сверху)]^
^{тождественное отображение Р полунепрерывно снизу
(сверху)].
Более точно: {элемент D разбиения D является элементом
полунепрерывности снизу (сверху) разбиения D]^ {отображе-
{отображение Р полунепрерывно снизу (сверху) в D].
Это следует из теоремы 5, § 18, III, если заменить отображение /
отображением Р, а пространство у — разбиением D с фактортопо-
фактортопологией.
Отсюда вытекает
-1
Следствие. {Разбиение D непрерывно]— {отображение Р
непрерывно, следовательно, представляет собой гомеомор-
гомеоморфизм] ^ {фактортопология разбиения D тождественна его
экспоненциальной топологии].
Элемент D разбиения D является элементом непрерыв-
-1
ности тогда и только тогда, когда отображение Р непре-
непрерывно в D.

ГЛАВА 2
МЕТРИЧЕСКИЕ
ПРОСТРАНСТВА
А. СВЯЗЬ С ТОПОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОСТРАНСТВАМИ.
^^ПРОСТРАНСТВА
§ 20. „^-пространства (в которых определено понятие предела)
I. Определение. Произвольное множество называется J2?*-npo-
странством, если в нем выделен некоторый класс последователь-
последовательностей (называемых сходящимися), причем каждой последователь-
последовательности pv р2, ..., pjV ... этого класса поставлен в соответствие
некоторый элемент p=\impn таким образом, что выполняются
следующие условия'):
1° если lim рп = р и kx < k2 < . . ., то lim pk = р;
П->оз п->со П
2° если рп = р для каждого п, то lim рп—р;
3° если последовательность ръ р2, ... не сходится к р, то
она содержит подпоследовательность2) pk , pk , ..., никакая
подпоследовательность которой не сходится к р.
Легко доказать следующие два утверждения:
Теорема 1. Ни сходимость, ни предел последователь-
последовательности не зависят от п первых членов этой последователь-
последовательности, т. е. если добавить, опустить или заменить конечное число
членов, то сходимость последовательности и значение ее предела не
изменятся.
Теорема 2. Пусть заданы две последовательности,
такие, что lim pn = p— lim qn; тогда последовательность
п->со п ->оо
Ри Чи Рь 92> ¦ ¦ • сходится к р.
Теорема 3. Пусть lim рп = р, и пусть последователь-
П->ОО
ность {дп} состоит из элементов последовательности {рп},
') Абстрактные пространства, в которых понятие предела играет роль
исходного понятия, были введены Фреше в его диссертации (Paris, 1906);
см. также Фреше [1]. По поводу условия 3° см. Александров и Урысон [1],
стр. 1274, и Урысон [7], где „^-пространства обозначаются через ^t.
2) Рь . Рь . • • • есть подпоследовательность последовательности
Pi, P% если kx < k2 < ....

198 Гл. 2. Метрические пространства
каждый из которых повторен не более конечного числа раз',
тогда последовательность \qn) также сходится к р.
Доказательство. По предположению, каждому целому поло-
положительному числу т можно поставить в соответствие такое число гт,
что рТ =qm, причем для фиксированного числа п равенство n = rm
имеет место только для конечного числа значений т. Если пред-
предположить, что последовательность \qm) не сходится к р, то тогда,
согласно 3°, существует последовательность индексов ^ < &2 <
такая, что последовательность qk , qk , ... не содержит никакой под-
подпоследовательности, сходящейся к р. Так как никакой член после-
последовательности /¦#,, Г/12, ... не повторяется бесконечное число раз,
существует такая последовательность индексов 1г < /2 < . .., что
t~kl <^t"ul <C Положим sn = rk ; последовательность ps, ps,...
является подпоследовательностью последовательности {/?„}, поэтому
jO = lim /7 = lim qk , ибо PSn==akr • Но последовательность
П>00 П ЛЭ.СО 1П 1П
1П
qk , qk , ... является подпоследовательностью последовательности
qk , qk , ..., и мы приходим к противоречию.
Мы отмечаем звездочкой рассматриваемые здесь пространства в отличие
от ^-пространств М. Фреше, которые подчиняются только условиям 1° и 2°.
Эти два условия не дают удовлетворительной характеристики понятия пре-
предела: например, множество, состоящее из двух элементов а и Ь с един-
единственными сходящимися последовательностями а, а, а, ... и b, b, b, ...
(последовательность a, b, b, b, ... расходится!) есть '^"-пространство.
См. также п. II, III и Фреше [5], стр. 169.
Примеры. Пространство Ч действительных чисел (так же как и g")
является =27*-пространством при обычном определении предела. То же самое
верно для пространства действительных функций, определенных на произ-
произвольном множестве, если положить
A) Г lim /„ = /] = ЛГ "га /я (*)=/(*)].
П. Связь с топологическими пространствами. Замыкание X
подмножества X некоторого „З^-пространства определяется усло-
условием: р?Х тогда и только тогда, когда р является пределом
последовательности элементов подмножества X. Таким образом, если
Х = Х, то мы называем множество X замкнутым, а множество
(—X) открытым.
Теорема 1. Каждое J2?*-пространство удовлетворяет
аксиомам 1—3 и 5, § 4, I.
Более точно из условия 1° следует аксиома 1, а из усло-
условия 2°—аксиомы 2 « 5 (см. рассуждения, приведенные в § 4, II).

§ 20. ^"-пространства 199
Замечание. „^"-пространство может не быть топологическим.
Таким является пространство действительных функций, рассмо-
рассмотренное в § 4, V1).
Теорема 2. Пусть X — множество элементов произволь-
произвольной подпоследовательности pk, pk , ... последовательности
Р\, .. • i рп, .... . Для того чтобы р — lim pn, необходимо и доста-
П~>со
точно, чтобы для любой подпоследовательности р?Х.
Доказательство. Если р = 1\трп, то, в силу Г, р?Х.
Обратно, если данная последовательность не сходится к р, то,
согласно 3°, она содержит подпоследовательность Pk, pk , ¦ ¦-, никакая
подпоследовательность которой не сходится к р. Более того, можно
предположить, что последовательность lpk | не содержит элемента р,
ибо, в силу 2Э, он не может повторяться в ней более конечного
числа раз, а в этом случае ее можно заменить подпоследователь-
подпоследовательностью, которая не содержит р. Итак, никакая последовательность
(различных или совпадающих) элементов хх, х2, ¦ ¦ ¦ множества X
не сходится к р, поскольку в случае, когда эта последовательность
содержит бесконечное множество различных элементов, она содержит
подпоследовательность последовательности рь> р. т. е. после-
К, R2
довательность, не сходящуюся к р. В случае же, когда последова-
последовательность х,, х2, ... имеет конечное число различных членов, суще-
существует один член, повторяющийся бесконечное число раз; так как
этот член отличен от р, то последовательность не может сходиться
к р. Таким образом, в любом случае
Теорема 3. Пусть задано хаусдорфово пространство
с локально счетной базой в каждой точке р. Тогда можно,
не изменяя его топологии, ввести в нем понятие предела
последовательности точек и тем самым наделить его
^"-структурой.
А именно будем считать, что /? —Пт/?„ тогда и только тогда,
П ->со
когда для каждой окрестности U точки р существует такое k,
чт0 Рп^У для всех п^> k.
Доказательство. Никакая последовательность не может иметь
Двух различных пределов р и q, так как точки pug имеют непере-
непересекающиеся окрестности U и V. Условия 1° и 2° очевидны. Про-
Проверим условие 3°. Предположим, что последовательность рг, р2, ...
') Условия, необходимые и достаточные для того, чтобы ^-простран-
^-пространство было ^"-пространством, даны Урысоном [7]. В связи с аналогичными
вопросами см. также Антоновский [1*].

200 Гл. 2. Метрические пространства
не сходится в точке р. Это означает, что существуют окрестность U
точки р и подпоследовательность pk , pk , .. ., лежащая вне окрест-
окрестности U. Поэтому никакая подпоследовательность этой последователь-
последовательности не сходится к точке р.
Пусть теперь р ? А (в заданной топологии рассматриваемого про-
пространства). Мы должны показать, что p = \impn, где рп?А. Пусть
U1, U2, ...—локальная база в точке р. Так как множество
Ux Л U2 П • • • П Un является окрестностью точки р, оно содержит
некоторую точку рп множества А, т. е, рп ^(А |~| Ux |~| • •. П ^«)-
Пусть теперь U — произвольная окрестность точки р. Тогда суще-
существует такое «о. что ?/„0 с: U. Следовательно, при п > п0 имеем
Рп 6 t/i П U2 П • ¦ • П ?/« с: /7„0 с /7 и /? = lim pn.
п->оэ
Обратно, если p = limpn, где р„?А, и если U—некоторая
Л-»со
окрестность точки р, то для достаточно больших п имеем рп ? ?/,
и поэтому t/fl^^O- Следовательно, р?А.
Отсюда следует, что все теоремы о .^-пространствах справед-
справедливы для хаусдорфовых пространств с локально счетной базой.
III. Понятие непрерывности.
Определение. Пусть /:^Г->2/. где ?? и У являются
.^-пространствами. Отображение / непрерывно в точке х, если
A)
Теорема. Если замыкание определено, как в п. II,
то данное выше определение (Гейне) эквивалентно следующему
(см. § 13, I):
B) [x?A]=>[f(x)?j(A)].
Доказательство. 1) Пусть имеет место импликация A),
и пусть х?А. Тогда существует последовательность хг, х2, ....
такая, что х = lim хп и хп ? А. Поэтому, согласно A), / (х) = lim / (хп),
я->со я->сю
и так как /(х„)^/(Л), то /(х)?/(Л). Итак, импликация B)
выполняется.
2) Предположим теперь, что имеет место импликация B). Пусть
х= lim xn, и пусть А— множество элементов произвольной под-
П->СО
последовательности х*,, х*2, .... Согласно теореме 2, п. II, х ? А.
Следовательно, в силу B), /(х) ?/(А). Так как f(xk), f (х*2), ... —
произвольная подпоследовательность последовательности f(x{),
/(х2) то /(х) = Нт/(л:л). Итак, импликация A) имеет место.

§ 20. ^"-пространства 201
Отсюда легко получить такое
Следствие. Отображение f является гомеоморфизмом
тогда и только тогда, когда
C) r* = Iim
L П->ээ
Замечание. Предположение о том, что пространство значений
является „^^-пространством, существенно. В самом деле, если оно является
„^-пространством, но не является J^-пространством, то оно содержит
последовательность у0, уи ..,, не сходящуюся к точке у0, хотя каждая
ее подпоследовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся
к точке у0. Положим f{O) = ya и /A/п) = у„. Функция / непрерывна
в смысле § 13, I, но не удовлетворяет условию Гейне.
Вообще, если области определения и значений являются ^-простран-
^-пространствами, но не обязательно ^'-пространствами, то непрерывность функции /
(в смысле § 13,1) эквивалентна следующему условию: если х = lim хп, то суще-
ствует подпоследовательность xk , xk такая, что f (x)=lira / (xk ).
1 2 л->оо
IV. Прямое произведение «^-пространств. Пусть SV и у — два
„^-пространства. Наделим множество & X У структурой „^-про-
„^-пространства, считая, что последовательность точек 1п=(хп, уп) схо-
сходится к точке з = (х, у), если limxn = x и Птуя = у.
П -> со П -> JO
Вообще, пусть S€\, 3?2< ¦¦•—бесконечная последовательность
^"-пространств; будем считать, что последовательность ^ = ^, j2_ . . Л
сходится (в пространстве 2С\ X ^*2 X • • •) к последовательности
5 = (ji, j2, . . .), если для каждого i имеем lim ^ = j', т. е. если г-й
л->со
член последовательности %п стремится к г-му члену последователь-
последовательности j. Запишем это так:
m i =
Пусть /— функция, ставящая в соответствие каждой точке t неко-
некоторого множества Т точку $ прямого произведения ^1 X ЗСч X • • •
(или, в частности, произведения Ж X 20- Положим
§"(@ = [/@]' (г"я координата точки % = f (t)).
Теорема 1. Для того чтобы функция f была непрерывна
в точке t пространства Г, необходимо и достаточно, чтобы,
каждая из функций gt, /=1, 2, ..., была непрерывна в этой
точке.
Доказательство. Если последовательность tx, tv ... схо-
сходится к точке t, то
B) Г/ @ = 1 i m / Щ = Л Г(/ @)' = 1 i m (/ (/„))'] .
Теорема 2. 1-я координата %' точки j прямого произве-
произведения является непрерывной функцией точки г.

202 Гл. 2. Метрические пространства
Другими словами, проекция на 1-ю ось есть непрерывное
отображение.
Доказательство. В силу A), из соотношения lim $„ = $ сле-
я->со
дует, что lim 8„ = 8'-
n->oa
Теорема 3. Если отображение f: 2С—¦>У непрерывно,
то его график 3 = Е (У = /(-*0) представляет собой замкну-
X, У
тое множество, гомеоморфное пространству &.
Доказательство. Если lim (xn, f(xn)) = (x, у), то lim хп = х
п -> со п -> со
и \imf(xn)=y. Из первого равенства следует, что Vim f (х п) = f (х)
п->оо л->оо
(ввиду непрерывности отображения /). Поэтому у = f(x) и (х, у) ?%,
откуда 3 = 3-
Функция, ставящая в соответствие точке х точку (х, f(x)),
определяет гомеоморфизм пространства JT на множество 3> ибо из
условия lim хп = х следует, что lim(xn, f(xn)) = (x, /(х)); обратно,
из последнего условия следует, что Итх„ = х.
п->со
Теорема 4. Конечное или счетное произведение сепарабель-
ных пространств сепарабельно.
В самом деле, множество Ш, рассмотренное в доказательстве
теоремы 6, § 16, V, всюду плотно в произведении.
V. Счетно-компактные ^"-пространства.
Определение. J2?*- пространство называется счетно-ком-
счетно-компактным 1), если любая бесконечная последовательность точек
рх, р2, ... этого пространства содержит сходящуюся подпоследо-
подпоследовательность:
A) Vim pk=p, где &!<&,<
л->со
Это определение согласуется с определением, данным для топо-
топологических пространств в § 5, VII (см. следующее далее замечание
к теореме 3).
Примеры. 1° Согласно классической теореме Больцано—Вейерштрасса,
п-мерный куб 9п является счетно-компактным. Вообще, любое замкнутое
ограниченное подмножество n-мерного евклидова пространства tn счетно-
компактно (даже компактно).
2° Множество порядковых чисел а < й (с обычным понятием предела,
принятым в теории порядковых чисел) есть счетно-компактное пространство.
') Компактные пространства, определенные в § 5, VII, будут изучаться
в гл. 4.

§ 20. ^-пространства 203
Легко доказать (используя I, 3°) следующие теоремы:
Теорема 0. Пусть пространство счетно-компактно. Если
каждая сходящаяся подпоследовательность последовательности
рх, р2, ••• сходится к точке р, то р = \\т рп.
Теорема 1. Любое замкнутое подмножество F счетно-
компактного пространства счетно-компактно.
Обратно, счетно-компактное подмножество А произволь-
произвольного пространства X есть замкнутое множество.
Доказательство. Для доказательства первой части теоремы
рассмотрим последовательность точек ри р2, . . . множества F. Так
как данное пространство счетно-компактно, эта последовательность
содержит подпоследовательность, удовлетворяющую условию A). Так
как множество F замкнуто, p?F. Следовательно, множество F
счетно-компактно.
Предположим теперь, что множество А счетно-компактно, но не
замкнуто. Следовательно, в множестве А существует последова-
последовательность точек, сходящаяся к точке р, не принадлежащей А. Тогда
любая подпоследовательность этой последовательности также схо-
сходится к точке р. Таким образом, множество А не является счетно-
компактным.
Теорема 2 (Кантор [4]). Если Fx =s F2 => ... — убываю-
убывающая последовательность непустых замкнутых подмножеств
счетно-компактного пространства, то F1 Л F2 Л •¦• Ф 0.
Доказательство. Построим бесконечную последовательность
рх, р2 выбирая по точке рп из каждого множества Fп. Так
как пространство счетно-компактно, эта последовательность содержит
сходящуюся подпоследовательность, т. е. выполняется формула A),
Так как множества Fп замкнуты и все члены последовательности
Ръх, рьг за исключением конечного числа, являются точками
множества Fn, то p?Fn. Следовательно, р ? Fx f| F2 П •¦••
Теорема 3 (Борель [1]). Любое счетное открытое покры-
покрытие счетно-компактного пространства %; содержит конеч-
конечное подпокрытие.
Доказательство. Пусть
со
B) S?=\JGn, где множества Gn открыты (я=1, 2, ...).
л = 1
Покажем, что существует k, такое, что
C) jr^LJCv
1

204 Гл. 2. Метрические пространства
В самом деле, положим, Fk=??—(Gl U ••• U Gk). Тогда
Fx =5 F2 => .... Допустим, что формула C) не имеет места ни для
какого k; тогда имеем Fk^0 (А = 1, 2, . ..). Отсюда, в силу тео-
оо со
ремы 2, следует, что f[Fk^0, т.е. \J(O1 U • • • U Ok) ф %>
со
поэтому (J Оп Ф 3", вопреки равенству B).
я = 1
Замечание. Теорема Бореля была получена из теоремы Кан-
Кантора. Теорему Кантора в свою очередь можно получить из теоремы
Бореля. Таким образом, эти теоремы эквивалентны (в пространствах,
удовлетворяющих аксиоме 1, § 4). (См. Сакс [1].)
Более того, в .^"-пространствах из теоремы Кантора следует
счетная компактность. Действительно, предположим, что последова-
последовательность рх, р2, ... не содержит никакой сходящейся подпосле-
подпоследовательности. Тогда множество Fi = (P\, р2, • • •) замкнуто, так же
как и все множества Fп = (рп, рп+\, ...)(«> 1). Но F1 f| F<i П ¦•• z= 0,
и мы получаем противоречие с теоремой Кантора.
Итак, определение счетной компактности в „^"-пространстве
эквивалентно определению этого понятия, данному для топологических
пространств в § 5, VII.
Теорема 4. Прямое произведение (конечное или счетное)
семейства счетно-компактных пространств есть счетно-
компактное пространство.
В частности, пространство 0*а счетно-компактно.
В самом деле, пусть ^, j2> • • • — последовательность точек
произведения ЭС\ X Жч X •••. где з„=(^. fn, • • ¦)¦ Так как про-
пространство S€\ счетно-компактно, существует последовательность
целых чисел 1 < kx < k2 такая, что последовательность j*,, ^ , ...
сходится; пусть lim j^ = х1.
Аналогично, так как пространство 2С2 счетно-компактно, суще-
существует последовательность целых чисел 1 < /} < 12 < . .., такая, что
последовательность ? , ? , ... сходится; пусть lim Л =х2.
Продолжая этот процесс, определим последовательность точек
xx<z2C\, х2?Ж2, ... (конечную или бесконечную в зависимости
от числа пространств ??lt ^2, .. .). Положим х = (х1, х2, . . .).
Последовательность %v fat, fa,> ¦ • • сходится к точке х. В самом
деле, легко видеть, что 1 < kx < k; < kt < ..., поэтому i\ t
г\ , ... как подпоследовательность последовательности fal } сходится
Rli I Rn>
к точке л:1, а значит, и последовательность j}, 5I , $\ , • • • также
сходится к точке х1. Аналогично, g| , ? , ... есть
/| 1т,

20. ^*-пространства 205
подпоследовательность последовательности Ш 1, и поэтому последо-
l hi)
вательность 5^, $|, j| , ... сходится к точке х2. Вообще, последо-
последовательность ^, $, 5^ , ... сходится к точке х", откуда мы
заключаем, что последовательность jlt 5^, ik , ... сходится к х.
h
Теорема 5. Счетная компактность пространства инва-
инвариантна относительно непрерывных отображений.
Доказательство. Пусть /—непрерывное отображение про-
пространства % на пространство У (предполагается, что оба они являются
„2^-пространствами). Пусть ух, у2, ...—последовательность точек,
принадлежащих У, и пусть уп = f(xn). Так как пространство Ж
счетно-компактно, последовательность {хп} содержит сходящуюся
подпоследовательность fxk ], такую, что lim xk — р, где kx<k2
п> п->со п
Поскольку функция / непрерывна, из этого равенства следует, что
lim flxk )=/(/?), т. е. lim yk =f(p).
n->co ^ n' n->co n.
Тем самым доказано, что последовательность [уп] содержит сходя-
сходящуюся подпоследовательность.
Теорема 6. Если пространство Ж счетно-компактно и
отображение f : %'->2/ непрерывно, то f является замкнутым
отоб ражением.
Иначе говоря, (F = F) =ф [/ (F) = _
Доказательство. В силу теоремы 1, множество F счетно-
компактно, поэтому, согласно теореме 5, множество /(F) также
счетно-компактно и, следовательно, замкнуто в пространстве У
(по теореме 1).
Из теоремы 6 непосредственно вытекает (см. § 13, XIII)
Следствие 6а. Всякое взаимно однозначное непрерывное
отображение счетно-компактного пространства является
гомеоморфизмом.
Теорему 6 можно усилить следующим образом.
Теорема 7. Пусть пространство У счетно-компактно.
Тогда проекция f : З^ХУ-^У замкнута.
Иначе говоря, если множество Е ф(х, у) замкнуто, то и
х, у
множество ЕУф(х> у) замкнуто.
х у
Доказательство. Пусть xv х2, ... — сходящаяся последо-
последовательность точек множества Е V Ф (*> У)- и пусть lim хп — х0.
х у п-*со
Юг да в пространстве у существует такая последовательность yv

206 Гл. 2. Метрические пространства
у2, . . ., что ф(л"я, у„). Поскольку пространство у счетно-компактно,
эта последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность
\у1; ], такую, что lim уй = Уо- Так как множество Е Ф (•*• У)
замкнуто и lim xk = х0, то имеем ср (х0, у0), поэтому х0 ? Е V Ф (х> >')•
И->оо " X у
Следствие 7а. Пусть пространство У компактно
и пусть множество Е ср(х, у) открыто, тогда множество
х, у
Е Дф(х, у) открыто,
х у
Следствие 76. Пусть у—счетное объединение компакт-
компактных множеств. Если множество Е ф(дг, у) типа Fa, то и
х. у
множество ЕУф(л'- У) типа Fo. Если множество Е ф(*> у)
х у х, у
типа G6, то и множество ЕЛф(х> у) типа G&.
х у
Теорема 8. Пусть пространство у счетно-компактно,
и пусть /:$?—>У. Множество Е [у = /(хI замкнуто тогда
х, у
и только тогда, когда отображение f непрерывно.
Доказательство. Очевидно, что сформулированное условие
является достаточным (даже без предположения счетной компактности,
ср. с теоремой 3, п. IV).
Чтобы показать, что оно необходимо, положим lim хп = х0 и
выберем из последовательности f(x{), f(x2), ... сходящуюся под-
подпоследовательность lf(xk \\, такую, что lim f(xk ) —Уо- Тогда
Оо. Уо)= lim (¦**„• f(xkn))- Так как множество Е[У =/(*)]
п -> jo ч " ш ' х, у
замкнуто, оно содержит точку (х0, у0). Это означает, что уо = /(х0).
В силу теоремы 0, lim/(х„) =/(х0).
Я->со
Замечание. Различные другие свойства компактных пространств
будут рассмотрены в гл. 4; для счетно-компактных пространств они
могут быть легко доказаны.
VI. Непрерывная сходимость. Множество Ух как ^"^про-
^"^пространство.
Определение 1. Пусть /п:?Р~+У, п=\, 2 После-
Последовательность /lt /2> ... называется непрерывно сходящейся
к функции / (см. Хан [1], стр. 238), если
@)

§ 20. ^*-пространства 207
Из непрерывной сходимости следует обычная сходимость. Чтобы
убедиться в этом, достаточно в определении непрерывной сходимости
положить х„ = х.
Замечание. Обратное утверждение не имеет места. Так, например
полагая /„ (х)—хп при 0 < х < 1, / (х) = 0 при х < 1 и / A) = I, получаем
равенство lim fn{x)=f(x), однако сходимость в этом случае ке является
я -> со
непрерывной.
Следующий пример показывает, что сходимость непрерывных функций к
непрерывному пределу может не быть непрерывной сходимостью. Определим
функцию /„, положив /„ (х) = 0 при О <J! х -^—-—— и ^-^х<^1,
tx —— 1 ть —¦ i
fn I — 1 = 1, а в интервалах I—-г—г-, —I и I—¦, • =-I считая функцию /„
линейной. Тогда тождественно имеет место соотношение lim /„ (х) = 0, но
сходимость не является непрерывной.
Определение 2. Пусть Ц? и У — два <3*''-пространства.
Множество Ух (см. § 13,1) можно снабдить структурой ^'-про-
^'-пространства, понимая под равенством /— lim fn непрерывную
сходимость последовательности функций {/„} к функции /.
Покажем, что пространство Ух с таким определением предела
удовлетворяет условиям 1°—Зэ, п. I.
Допустим сначала, что lim /„=/ и что kx < k2 < .... Покажем,
ft —^ СО
что lim fk ==/, т. е. что из условия
A) lim хп = х
следует равенство
B) \imjkn(xn) = f(x).
С этой целью рассмотрим последовательность {zm}, определенную
следующим образом: гт = хп при kn_x < т -^ kn (где&0 = 0). Тогда
(см. I, 3) lim zm= Iimxra = x. Так как последовательность {/
mi
непрерывно сходится, имеем lim fm(zm)—f(x), откуда lim /^ C^fe )==
m->co п-»со n "
= /(х); поскольку zk = хп, отсюда следует B).
Для проверки условия 2° положим fn = f при к=1, 2
Нужно показать, что из условия A) вытекает соотношение Нт/(х„) =
~ f (х); но это следует из непрерывности функции /.
Наконец, для проверки условия 3° допустим, что последова-
последовательность /j, /2, ... не сходится к функции /. Тогда существует
последовательность {хп), удовлетворяющая условию A), такая, что
последовательность {/„(*„)} не сходится к /(х). Так как у есть
^"-пространство, существует последовательность индексов A&

208 Гл. 2. Метрические пространства
такая, что последовательность [fk (x*,)} не содержит никакой под-
подпоследовательности, сходящейся к точке f(x). Отсюда непосред-
непосредственно следует, что последовательность \fk \ не содержит никакой
подпоследовательности, сходящейся к функции /, ибо в противном
случае существовала бы последовательность индексов т1 < /и2 < . ..,
такая, что lim fk =/. Тогда lim fk (хк ) = f(x), так как,
л->оо тп п-+со тп\ тп1
в силу A), Итл^ = х. Но \fk (xu \\ является подпоследователь-
подпоследовательностью последовательности ffk (хк \\, и мы приходим к противо-
противоречию с определением последовательности {kn\.
Замечание. Предположение непрерывности функций /, fv
/2, ... выступает только в доказательстве условия 2°.
Легко доказать следующую теорему.
Теорема. Пусть f?yx\ положим g(f, x) = /(x). Тогда
отображение g:yx X3?—>& непрерывно.
VII. Операции над пространствами ух с ^*-топологией.
Теорема 1. Имеет место следующее соотношение:
ух X %Х=&Х %f,
top
а также более общее соотношение
ПЭ^ГП^Л*. откуда (^*)"» = (^«.)*.
г t0P I г ) '°р
Для доказательства построим гомеоморфное отображение прямого
произведения П У^ на функциональное пространство ^
t
Положим h (/) = g, где
Непосредственно видно, что определенная таким образом функция g
непрерывна (см. IV, 1), следовательно, она принадлежит пространству
(П2М • Обратно, каждому элементу g этого пространства соответ-
соответствует функция /, такая, что g — h{f), а именно /=[g"!> g2, ...].
Таким образом,
h (yf X У% X • • •) = {Ух X У2 X • • •)*•
Отображение h непрерывно. В самом деле, пусть lim /„==/. По-
Положим gn = h(fn), т. е. gn(x) = [f1n(x), fn(x), ...]; докажем, что
lim gn —g, т. е. что из условия A), п. VI следует равенство
limgn(xll):=g(x), или limfl(x ) — /1(х). Но условие Ит/„=/

§ 20. ^'-пространства 209
означает, что для каждого / имеем Пт/П = /', и, в силу A),
л->оо
л->°э
Покажем, наконец, что отображен1 е h взаимно непрерывно. Для
этого необходимо доказать, что из условия lim §"„ = ;§" следует ра-
равенство Нт/„ = /. Принимая во внимание формулу A), получаем
lim gn (xn) = g (х), откуда Vm gl (x\ = gl (x), т. е. lim f(x ) =
= f (x), следовательно, lim Д=/\ т. e. lim /;J=/.
Теорема 2. Пусть & = A\JВ, где А и В—два замкну-
замкнутых непересекающихся множества; тогда
су А \/ су В су A U В
top
В самом деле, каждой паре функций /?2/л и g ?УВ поставим
в соответствие функцию к?2/лив, совпадающую с / на множестве А
и с g на множестве В. Положим и = h (/, g"); очевидно, что
/t (^V^ V* Ув\ ^^ У^О В
Пусть lim/n—/, limgn=g и х?Л. Тогда из равенства A) сле-
следует, что lim fn(xn) = f(x), следовательно, limun(xn) = и (х).
К тому же заключению придем, если предположим, что х?В. Сле-
Следовательно, lim ип = и. Отсюда вытекает, что функция h непрерывна.
Обратно, пусть lim ип = и и х ? А; тогда \\т fn(xn)~ f(x), сле-
следовательно, Пт/Л = /. Аналогичным образом доказываем, что
lim ?•„ = §•. Итак, отображение h является гомеоморфизмом.
Теорема 3. (Ух)? = У**^.
top
Доказательство. Положим g(x, t) = ft(x). Предварительно
докажем следующее утверждение !):
Теорема 3'. Для того чтобы функция g была непрерыв-
непрерывной, необходимо и достаточно, чтобы функция f (ставящая
в соответствие каждой точке t функцию ft аргумента х)
была непрерывной, т. е. чтобы имело место следующее соот-
соотношение:
Доказательство. Пусть g^y X". При фиксированном t
функция ^—непрерывная функция переменной х, т. е. /(^УХ. Мы
Докажем, что /?B^) • В силу непрерывности функции g, из ра-
') Связь между непрерывностью функций fug изучалась (впрочем,
Для топологии, отличной от топологии п. VI) Р. Фоксом [1], стр, 429. См.
также том 2, гл. 4.
14 Топология, т. J

210 Гл. 2. Метрические пространства
венств A) и lim tn = t следует, что \img(xn, tn) = g(x, t), т. е.
lim ft (xn) = ft(x). Следовательно, сходимость функций ft к ft
непрерывна. Итак, lim/,=/,. Таким образом, из условия lim tn=t
Л->со "
следует равенство lim ft =ft- Но это означает, что функция /
непрерывна, следовательно, /?B/*) ¦
Обратно, пусть функция / непрерывна; тогда из условия \\mtn=.t
следует, что lim ft =ft- Отсюда, в силу непрерывной сходимости
последовательности функций ift \ к функции ft, учитывая соотно-
соотношение A), получаем, что
lim ftAxn) = ft(x)> т- е- lim§'(*„. tn) = g(x, t).
Но это означает, что функция g непрерывна, т. е. g ^yx Х<Г.
Таким образом, утверждение 3' установлено. Полагая g=h(f),
его можно сформулировать следующим образом:
Осталось доказать, что h—гомеоморфизм. Докажем сначала, что
отображение h непрерывно. Пусть lim/" — /. Положим gn = h(f).
Покажем, что \lmgn — g. Условия lim/" = / и hmtn=t,
в силу непрерывной сходимости, дают lim/? (хЛ = /Дх), откуда
\\mgn{xn, tn) — g(x, t). Следовательно, \\mgn — g.
Докажем, что функция h~ непрерывна. Пусть \\mgn = g,
lim tn = t и lim х„ — x; тогда lim gn(xn, tn) = g(x, t), т. е.
lim/* (л: Л = ft(x), следовательно, lim/" =ft, откуда lim/"=/.
VIH. Непрерывная сходимость в узком смысле. В некоторых
задачах (см. § 21, X) полезно рассматривать непрерывную схо-
сходимость в узком смысле, которая определяется следующим образом.
Последовательность функций {/„} называется непрерывно схо-
сходящейся в узком смысле, если из сходимости последовательности
{/(хп)} следует сходимость последовательности {/я(#„)}. причем
выполняется равенство lim /„ (хп) = lim/(jcn).
Так же как в п. VI, можно доказать, что если за сходимость
в пространстве ух принять непрерывную сходимость в узком
смысле, то Ух станет ^"'-пространством.
Теорема 1. Непрерывная сходимость в узком смысле вле-
влечет за собой непрерывную сходимость (в множестве Ух).
В самом деле, пусть limxn = x. Ta< как функция / непрерывна,
то Нт/(х„) = f(x). Поскольку сходимость последовательности {/„}
непрерывна в узком смысле, из последнего равенства следует, что

§ 20. ^^-пространства 211
lim/n(xn) = /(x). Но это означает, что сходимость последователь-
последовательности {/„} непрерывна.
Теорема 2. Если пространство JT счетно-компактно, то
непрерывная сходимость эквивалентна непрерывной сходимости
в узком смысле.
Доказательство. Допустим, что последовательность {/„} не
сходится в узком смысле, т. е. \lmf{xn) = y, но тем не менее
последовательность {/„(¦*„)} не сходится к точке у. Так как у является
^'-пространством, то существует последовательность kl<^k2<i . . .,
такая, что ни для какой последовательности т1 <н, < ... после-
последовательность (/,, (X/. \\ не сходится к точке у.
1 тп \ тп'>
Но мы предположили, что пространство SV счетно-компактно,
поэтому существует последовательность тх < т2 < .•¦> такая, что
последовательность \хъ } сходится. Пусть lim хь =х. Так как
последовательность {/„} сходится непрерывно, то непрерывно сходится
и последовательность \fk ). Следовательно, lim/j, (хит ) — /(х)-
С другой стороны, так как функция / непрерывна,
и, поскольку \imf(xk ) = lim f{xn) = у, имеем f(x) — y, откуда
следует, что lim/j, (х% ) = у. вопреки определению последова-
последовательности [kn).
Замечания. 1. Предположение счетной компактности про-
пространства J?T в теореме 2 существенно. В самом деле, рассмотрим
следующий пример. Пусть JT—открытый интервал 0<х<1,
/(х) = 0 и fn(x) = x". Последовательность {/„}, очевидно, непре-
непрерывно сходится, тем не менее она не является непрерывно сходя-
сходящейся в узком смысле: полагая х„=1 , получаем Ит/(х„) = О,
в то время как lim /„(*„)= 1/е.
2. Если за сходимость в пространстве ух принять непрерывную
сходимость в узком смысле, то теорема 3' из п. VII станет неверной.
В самом деле, пусть JT — открытый интервал @, 1), a J1—замкнутый
интервал [0, 1]; положим g(x, t) = xvt для t ф 0 и g(x, 0)==0.
Очевидно, что функция g непрерывна; тем не менее если положить
ft (х) = g {x, t), то функция / не будет непрерывной, так как схо-
сходимость последовательности [fljn\ к функции /0 не является непре-
непрерывной в узком смысле.
14*

212 Гл. 2. Метрические пространства
Теорема 3. Пусть f — непрерывное отображение счетно-
компактного пространства J1 в некоторое пространство У;
тогда
yf (сГ)с: уЗ'.
top
Более общо, если за сходимость в этих пространствах
принять непрерывную сходимость в узком смысле, то пред-
предположение о счетной компактности пространства J" можно
опустить.
Доказательство. Положим jr = /(J'). Каждой функции
g ?УХ поставим в соответствие суперпозицию функций u=gof,
т. е. u(t) = g[f(t)\. Тогда и?у?.
Положим и =h(g). Докажем, что отображение h — гомеоморфизм,
причем соотношение \\mgn = g (соответственно \\тип = и) означает,
что последовательность рассматриваемых функций сходится непре-
непрерывно в узком смысле.
Допустим сначала, что lim gn — g, и покажем, что Нтип = и,
т. е. что из условия limu(tn) = y следует, что Птмп(/Л) = у. Пер-
Первое из этих допущений означает, что lim g[f(tn)] = у, откуда, в силу
равенства lim gn = g, следует, что limgn(f (tn)) = y, т. е. lim un(tn) = y.
С другой стороны, допустим, что lim ип = и, т. е. lim gn° f = g ° f.
Пусть \img(xn) = y, где xn—f(tn), т. е. \\mu(tn) = y; покажем,
что \imgn(xn) = у, т. е. lim un(tn) = у. Но это равенство является
прямым следствием равенств lim un = и и \\mu(tn)=y.
Таким образом, теорема установлена в случае непрерывной схо-
сходимости в узком смысле. Справедливость ее в случае непрерывной
сходимости и компактности пространства J1 вытекает из теоремы 2.
IX. Сходимость Мура — Смитаг) (основные определения).
Пусть Т — направленное множество (см. § 3, X); отображение
/ : Т —>?? называется сетью. Частным случаем сети является последо-
последовательность: в этом случае Т есть множество натуральных чисел.
По этой причине мы будем иногда писать /( вместо fit).
Мы говорим, что сеть / почти вся лежит в множестве
< если существует to?T, такое, что
(О
') Мы ссылаемся здесь на следующую литературу: Келли [1], Мур Э. и
Смит [1], Биркгоф [3], МакШейн [1], Такки [1].
Другие теоремы, касающиеся сходимости Мура — Смита (в терминах
фильтров), можно (кроме указанных выше работ) найти в следующих ста-
статьях: Шоке [1], Ковальский [1], Ю. Шмидт [1], Фролйк [1], Флаксмайер [1],
Брюнс и Шмидт [1], Мрувка [6], Хелмберг [1], Гримайзен [1], [2].

§ 21, Метрические пространства 213
Сеть / называется частой в множестве В, если существует мно-
множество То, конфинальное с Т, такое, что
B) (* ? Го) =>[/,? В].
Очевидно, что сеть f является частой в множестве В тогда
и только тогда, когда она не лежит почта вся в множе-
множестве (—В).
Заметим, что до сих пор мы не делали никаких предположений
относительно пространства JT. Предположим теперь, что Ж—хаус-
дорфово пространство.
Определение. Пусть x:T->SC- Мы говорим, что сеть л:
сходится к точке р?Ж, и пишем
C) limxt =P,
если она почти вся лежит во всяком открытом множестве G, содер-
содержащем точку р.
Так как пространство j?* хаусдорфово, то никакая сеть не может
иметь двух пределов.
Теория сходимости сетей может быть развита в значительной мере
в направлении, обычно принятом при изучении сходимости последо-
последовательностей в общей топологии.
§ 21. Метрические пространства. Общие свойства
I. Определения. Множество называется метрическим про-
пространством, если каждой паре его элементов х, у поставлено
в соответствие действительное число | х—у\, называемое расстоя-
расстоянием между этими элементами и удовлетворяющее следующим усло-
условиям:
(i) равенство \х — у| = 0 эквивалентно равенству х = у;
(ii) | х — у | +1 х — 2 | «Н У — z\ (неравенство треугольника)').
Подставляя в неравенство (ii) соответственно у и х вместо z,
получаем, что \х—у|^0 и \х — у|=|у — х\. Таким образом,
расстояние является неотрицательной симметричной функцией двух
переменных2).
Открытым шаром (замкнутым шаром) с центром в точке р
и радиусом г называется множество, состоящее из всех точек х,
таких, что \р — x\<r (\р — x|<r).
') Это понятие введено Фреше [1]. Термин „метрическое пространство"
принадлежит Хаусдорфу [1], стр. 211. По поводу приведенного здесь опре-
определения см. Фреше [3], стр. 54, и Линденбаум [1], стр. 211.
2) По поводу пространств с несимметричным „расстоянием" см. Уил-
сон [1], стр. 675.

214 Гл. 2. Метрические пространства
Теорема. Всякое подмножество А метрического прост-
пространства X является метрическим пространством относи-
относительно расстояния (в множестве А), индуцированного из про-
пространства SP-
Доказательство очевидно.
Замечание. Если заменить условие (i) условием |х — х|=0
(в этом случае расстояние между двумя различными точками не обя-
обязательно Ф 0), то пространство можно разложить на непересекающиеся
подмножества, относя к одному и тому же подмножеству все точки,
находящиеся на расстоянии 0 друг от друга (в этом случае говорят,
что точки, находящиеся друг от друга на расстоянии 0, отожде-
отождествляются). Расстояние между двумя такими подмножествами X
и Y определим, положив | X — К | = [ х — у |, где х ? X и у ? К.
Это определение не зависит от выбора точек х и у, ибо из условия
| х' — х | = 0 следует, что \х' — У | ^ | ¦*:' — х|-|-|х— у\ = \х — у |.
Легко проверить, что совокупность этих подмножеств, рассма-
рассматриваемых как точки, с расстоянием |X—Y\ образует метрическое
пространство.
Примеры. 1. Наиболее простым примером метрического про-
пространства, из которого мы заимствовали обозначения, является мно-
множество всех действительных чисел с обычным расстоянием между
двумя числами, равным модулю разности между ними. Обобщением
этого метрического пространства (прямой) является «-мерное евкли-
евклидово пространство, в котором расстояние между двумя точками
Oi хп) и (у! уп) равно
Определение шара совпадает здесь с определением «-мерного шара,
принятым в геометрии.
2. Множество всех ограниченных функций /: g ->|f становится
метрическим пространством, если расстояние между двумя точками
определить в нем следующим образом:
\fi — h\= SUP l/i(*)
f[O 1]
где sup означает „верхнюю грань" (см. п. X A)).
3. Множество всех последовательностей % = (xv х2, . • •)• где
2l2+ • • • < со> с расстоянием
я = 1
является метрическим пространством; если мы предположим, что
0 ^х„-^1/«, то получим множество, гомеоморфное гильбертову
кубу &** (см. Гильберт [2], стр. 200 и 439).

§ 21. Метрические пространства 215
4. Множество функций с суммируемым квадратом, снабжен-
снабженное расстоянием
X'2
J
является метрическим пространством, если функции, отличающиеся
только на множестве меры нуль, отождествлены.
5. Множество произвольной мощности можно рассматривать
как метрическое пространство, если расстояние между любыми двумя
различными точками положить тождественно равным 1.
II. Топология в метрических пространствах. Замыкание А
в метрическом пространстве определяется следующим образом:
A) (р?А)
Другими словами, р?А, если любой шар с центром в точке р
содержит точки множества А.
Топологическое пространство называется метризуемым, если оно
гомеоморфно некоторому метрическому пространству, с таким замы-
замыканием.
Теорема 1. Каждое метрическое пространство Ж
является топологическим J'^-пространством с локально счет-
счетной базой в каждой точке. Кроме того, оно является ^'-про-
^'-пространством.
Доказательство того, что ?? есть ^-пространство, см. в § 4, П.
Далее, семейство всех шаров с центром в точке р и рациональными
радиусами является локально счетной базой в точке р. Наконец, SC
становится „^"-пространством, если положить
B)
Заметим, что точка р является внутренней точкой множества А
тогда и только тогда, когда она есть центр шара, содержащегося в А.
Позже мы покажем (см. п. IV), что каждое метрическое про-
пространство нормально (и даже совершенно нормально). Докажем
теперь следующую важную теорему.
Теорема 2. Всякое сепарабельное метрическое простран-
пространство обладает счетной открытой базой.
Обратно: метрическое пространство со счетной откры-
открытой базой сепарабельнс
Доказательство. Сепарабельное пространство, по определе-
определению, содержит счетное всюду плотное подмножество 5. Пусть /?;,

216 Гл. 2. Метрические пространства
R2, • • • — последовательность открытых шаров с центрами в точках
множества 5 и рациональными радиусами.
Пусть G — открытое множество и р ? G. Тогда существует такое
г\ > 0, что
A) (|* — р|
Поскольку мьожество 5 всюду плотно, существуют точка s ?S и
рациональное число р, такие, что
(«) |s-p|<p<ii/2.
Если Rn - открытый шар с центром в точке s и радиусом р,
то, согласно (и), p?Rn. Более того, если x?Rn, то \х — s | < р,
следовательно, согласно (ii), \ х —/?| <! | х — s |-f-1 ¦? — р\ <.Ц< а от-
отсюда, в силу (i), получаем, что х ? О. Поэтому RncQ. Итак, для
каждой точки р множества О существует такое п, что p?RnaG.
Это означает, что совокупность шаров Rx, R2, . ¦. является базой.
Обратно, если Rv R2, ...—база, то, выбирая по точке рп из
каждого шара Rn, получим счетное множество, всюду плотное в дан-
данном пространстве.
Замечание 1. Для любого заданного е>0 можно предполо-
предположить, что диаметр шара Rn меньше е, ибо радиусы шаров Rv R2, .. .
могут быть взяты меньшими чем е/2.
Замечание 2. В евклидовом пространстве шары с рациональ-
рациональными радиусами и рациональными центрами образуют базу.
Ш. Диаметр. Непрерывность. Колебание. Диаметром мно-
множества X (обозначается символом &(Х)) называется верхняя грань
расстояний между его точками. Если диаметр Ь(Х) конечен, то
множество X называется ограниченным.
Легко проверяются следующие свойства диаметра:
A) {6(А') = 0J = [множество X пусто или состоит из одной
точки];
B) если XdY, то 6(А")<6(К);
C) 6(Х)=6(Х);
D) если Х()УфО, то b(X U K)<6(X) + S(K);
E) если множество X счетно-компактно, то 6(А*)<оо
{т. е. множество X ограничено).
Чтобы проверить утверждение E), заметим, что в неограниченном
пространстве существует бесконечная последовательность точек pv
р2 такая, что \рп — /?т|>1 для каждого п и т ф п. Оче-
Очевидно, что последовательность \рп) не содержит никакой сходящейся
подпоследовательности.
Пусть /—отображение топологического пространства 3? в метриче-
метрическое Пространство У; условие непрерывности отображения / в точке р
(см. § 13, II, следствие) может быть сформулировано следующим обра-

§ 21. Метрические пространства 217
зом: для всякого е > 0 существует окрестность ? точки р, такая, что из
условия х?Е следует неравенство |/(лг)—/(/?)|<е. Если поло-
положить е равным 1/я, п=\, 2 то из сказанного выше следует,
что существует последовательность окрестностей Еп точки р, такая,
что lim б [/(?„)] = 0. Таким образом, если Ол с: jf —объединение
всех открытых множеств Gcj^T, таких, что б [/(О)] < 1/ге, то мно-
множество С =Olf\G,2(] . ¦ . является множеством точек непрерыв-
непрерывности отображения /; это есть множество типа Оь.
Мы обобщим это утверждение, вводя понятие колебания (позво-
(позволяющее „измерять" разрывность). А именно, пусть функция / опре-
определена на некотором подмножестве А пространства 3'', колебанием
функции f в точке р (принадлежащей или не принадлежащей мно-
множеству А) называется нижняя грань чисел б [/(?)], где Е пробегает
открытые окрестности точки р. Колебание функции / в точке р
мы будем обозначать символом
F) СО (j7) = inf б [/(?)],
где inf означает „нижнюю грань".
Так, например, для / (х) = sin — имеем а @) = 2.
Очевидно, что если точка р не принадлежит А, то со (р) = 0, ибо для
?=1 — А множество / (Е) пусто, следовательно, 6[/(?)] = 0.
Определяя множества Gn, как выше, мы видим, что Gn есть мно-
множество тех точек, в которых колебание функции меньше 1/п. Слгдо-
вательно, множество тех точек, в которых колебание равно
нулю, есть множество типа G& (оно совпадает с множеством С).
Наконец, A f\C (т. е. множество точек непрерывности функции /)
является множеством типа О& относительно А.
Заметим, что в случае, когда оба пространства JT и у — метри-
метрические, определение непрерывности, данное выше, может быть выра-
выражено в классической форме (Коши): каково бы ни было е > 0,
существует такое б > 0, что из условия | х — р \ < б следует нера-
неравенство \f(x)—/(/0|<е. В этом определении окрестность Е заме-
заменяется шаром с центром в точке р и радиусом 6.
Мы видели выше (§ 15, V, теорема 2), что если отображение
/:^*—>У непрерывно и пространство У хаусдорфово, то множество
3= Е [У—/М] замкнуто в пространстве JT X У- В случае когда
х, У
У — метрическое пространство, имеет место более точное утверждение
(метризация пространства X X У описана в п. VI A)).
Теорема. Пусть Лс1" a f;A-+y. Если отображение f
непрерывно в точке х0 а (х0, уо)?3> то имеет место равен-
равенство yo = f(x0); справедливо также более общее соотношение

218 Гл. 2. Метрические пространства
(следовательно, если со(х) —0, то существует не более одной точки у,
такой, что (х, у) 63)-
Доказательство. Предположим, что точки (х, у) и (х, у")
принадлежат множеству ^ П ((х) X У)- Тогда в каждой окрестности Е
точки х для каждого е>0 содержатся точка х1 и точка х\, такие,
что \f{x[)--y | < е и |/О*) — /|<е. Поэтому
/(*,)?/(?) и /(
Итак,
и ©(*) = inf в
откуда следует формула G).
IV. Число р (Л, 2?). Обобщенный шар. Нормальность метриче-
метрических пространств.
Определение 1. Пусть А и В -—непустые подмножества.
Положим
р(Л, fi)= inf \a — b\.
Имеют место следующие соотношения:
A) р(х, у) = \х ~у\;
B) р(Л, В)=р(А, ?);_
C)
D) р(А, С)<р(Л, В) + р(Б, С)
D0
E) функция р(х, Л), где Л — фиксированное множество
есть непрерывная функция точки х.
Соотношения A) — C) очевидны. Соотношение D) вытекает из D').
так как
F) р(Л1|?, С)<р(Л, С).
Для доказательства справедливости формулы D') допустим противное.
Тогда существуют две пары точек х, у и и, z, такие, что х?А,
у?В, и?А\$В, z?C и
(i) \x — y\ + \u- z\ + b(B)<9(A, С).
')Хаусдорф называет р (А, В) нижним расстоянием от Л до б (см. Хаус-
дорф [5]).

§ 21. Метрические пространства 219
Следовательно, \и — z\<.p(A, С). Но это означает, что ифА, по-
поэтому и?В, а следовательно, \у— и\^.6(В). Но тогда
что противоречит условию (i).
Для доказательства соотношения E), очевидно, достаточно пока-
показать, что (см. Дьедонне [3])
(б') \р(х, А)~р(у, А)\^\х~у\.
Неравенство F') можно установить следующим образом. Пусть
а ? А — такая точка, что \у — а | < р (у, А)-\~г (для данного е > 0).
Так как р(х, А)^.\х — а\ и \х — а |-^ | х— у| + |у — а\> то
р(х, Л)<р(у, Л)—(— | л:—у\-\-г. Поэтому (так как е>0 произ-
произвольно) р(х, А) — р(у, Л)<;|х— у\.
Аналогично р(у, А) — р(х, А)-^.\х — у\. Этим завершается до-
доказательство соотношения F'), а значит, и соотношения E).
Следует заметить, что с помощью функции р можно определить
равномерную непрерывность. Это вытекает из следующего утверждения.
Для того чтобы функция /: Х->У, где X и у — метриче-
метрические пространства, была равномерно непрерывной, необходимо
и достаточно, чтобы (см. Ефремович [2], стр. 190)
Имеет место следующее легко устанавливаемое соотношение:
G) р(Л, В U С) = либо р(Л, В), либо р(Л, С).
Определение 2. Обобщенным открытым шаром радиу-
радиуса г с центром А (множество А предполагается непустым) назовем
множество всех точек х, таких, что р(х, А)<^г. Заменяя знак <
знаком <С, получим определение обобщенного замкнутого шара.
Так как функция р (х, А) непрерывна и множество действитель-
действительных чисел, меньших г, открыто, то обобщенный открытый шар
является открытым множеством (см. § 13, IV); аналогично обобщен-
обобщенный замкнутый шар является замкнутым множеством. Более того,
обобщенный открытый шар является объединением открытых шаров
радиуса г с центрами в точках множества А.
Согласно равенству B), шар не изменится, если заменить множе-
множество А множеством А.
Теорема 1. Всякое метрическое пространство совершенно
Нормально (см. § 14, VI).

220 Гл. 2. Метрические пространства
Более точно: пусть А и В — непересекающиеся замкнутые
множества; тогда функция
удовлетворяет условиям
(Здесь мы предполагаем, что р(х, 0)=1.)
Доказательство непосредственно вытекает из соотношений C) и E).
В силу теоремы Веденисова (§ 14, VI), каждое замкнутое под-
подмножество метрического пространства является множеством
типа О&. (Из соображений двойственности, каждое открытое
множество является множеством типа Fa.)
Эти утверждения можно также доказать непосредственно, замечая,
что при А=А имеет место соотношение
(9) А=В1(\В2П ....
где Вп—открытый шар радиуса \\п с центром А.
Теорема 2. Всякое метрическое пространство наслед-
наследственно нормально.
Эта теорема следует из теоремы 1 и теоремы Чеха, упомянутой
в § 14, VI; ее можно также получить непосредственно из теоремы 1,
согласно которой каждое метрическое пространство нормально, и из
теоремы п. I, в силу которой каждое подмножество метрического
пространства является метрическим пространством.
Замечания. Как мы уже видели, доказательство леммы Уры-
сона в случае метрических пространств непосредственно вытекает
из формулы (8) (см. § 14, IV).
Теорему продолжения Титце для метрических пространств можно
также доказать более прямым методом. А именно, если 0-^/(х)<^ 1,
то непрерывное продолжение функции / можно получить, полагая
Л71 -
Р (Р, г)
Отсюда следует, что 0 -^ /* (р) <С 1 (причем может иметь место
равенство).
V. Ограничивающее отображение2).
Теорема. Всякое метрическое пространство гомеоморфно
некоторому ограниченному пространству.
') См. Хаусдорф [3], стр. 296. Его доказательство воспроизведено в пер-
первом французском издании этой книги.
2) См. Хан [1], стр. 115, а также Бэр [4], стр. 6.

§ 21. Метрические пространства 221
Определим „новое расстояние", положив
II ~ -У II 1 _|_ |д;_у | -
Расстояние || х — у || удовлетворяет аксиомам (i) и (ii) метрического
пространства. В самом деле, равенство || х—у || = 0 эквивалентно
равенству \х — у( = 0. Кроме того,
I о- __^
I Л
_у| + и_г| - 1 1 |
'r\x-y\ + \x-z\ "Ч
- 1 _ц i
|у-*1
Два метрических пространства, состоящие из одних и тех же элемен-
элементов, одно из которых метризовано расстоянием | х — у\, а другое —
расстоянием \\х — у\\, гомеоморфны, т. е.
lim \х„- у\ = 01=5 I lim || х„ — уII = 1
Это непосредственно вытекает из того, что функция a = t/(l-{-t)
взаимно непрерывна на множестве неотрицательных действительных
чисел. При этом диаметр пространства не превосходит 1 (относи-
(относительно расстояния ||х— у\\).
Замечание. Предыдущую теорему можно доказать более пря-
прямым способом, если положить „новое расстояние" равным \х — у\,
когда \х — у|<^1. и 1 в противном случае1).
VI. Метризация прямого произведения. Пусть X и у — два
метрических пространства. Произведение ~Э? X У можно метризовать,
положив
A) |j-Jtl = Vrl*-*il2+ly-yil2. где& = (*. у).
Отсюда видно (ср. § 20, IV), что \ — lim \n тогда и только тогда,
п->со
когда lim |$ — jn| = 0. Следовательно, это определение согласуется
л->оо
с топологией пространства JT X *2/> введенной в § 15, II.
Рассмотрим случай счетного числа сомножителей; пусть Z?it
1=1, 2 — метрическое пространство диаметра <С 1 (см. п. V).
Пространство П 3?t превратится в метрическое, если положить
B) |j-9i=jl2-'la'->>'l.
') См. Ньюман [1], стр. 47.

222 Гл. 2. Метрические пространства
Определенное таким образом расстояние удовлетворяет условиям (i)
и (п), так как тождество {|$— t) | = Oj = {j = 1)} очевидно, а не-
неравенство треугольника следует из формулы
Остается доказать, что $= lim j,, тогда и только тогда, когда
Я ->со
lim \l — 5л |=0. т' е- справедливо соотношение
Я -> оо
lim
5„ | = 0 l = Mim |з' — g« | = 0 для любого П.
/ I Я-»ОО J
Из условия lim | J — jn | = 0 следует, что для каждого / имеем
Я->оэ
lim | $' —^( = 0, ибо |з' — 5п|< 2'U~?«I- Обратно, предполо-
жим, что lim 5 —g^ j = 0, каково бы ни было /. Для данного е>0
найдем такое целое положительное число /и, что 2~т < е. Пусть
у— целое положительное число, такое, что |^! — ^ < е, ...,
I?™ —5™|<е для любого я > у. Учитывая, что |$' — Jn |<б(^)<1,
получаем неравенство
15-5„|<|2-'|?;-?«1+ 2 2-'<2е,
i = l ( = m + l
откуда следует, что lim | j — ln \ = 0.
Замечание 1. Существуют и другие определения расстояния,
которые можно использовать вместо формулы A). Так, например, экви-
эквивалентными с топологической точки зрения будут следующие метрики:
когда за расстояние между точками l и fa принимается наибольшее
из двух чисел \х —хг | и \у — ух\ или сумма этих чисел.
Замечание 2. Если не предполагать, что 6(JT(-)-^l, можно
положить (см. формулу Фреше [5], стр. 82)
C)
Теорема. Расстояние | х - у |, рассматриваемое как функ-
функция переменной $ = (х,у), непрерывно.

§ 21. Метрические пространства 223
В самом деле, пусть а = (а, Ь) — данная точка, и пусть | $ — а | < е.
Тогда \х— «|<С|& — ft|<e и \у—?|<е, следовательно,
|x->'|<|x — a\-ir\a- b\-\-\b — y\<\a — 6|+2e
и
а—-/?|<|а — x[ + |x — y\-\-\y— b\< \х - у|+2е.
Поэтому \\х — у | — \а — Ь\\ < 2е, откуда следует требуемое утвер-
утверждение (см. п. III).
Отметим следующие легко доказываемые формулы:
D) 6 (Л X В) = /[6 (Л)р
(ъ 61 п л 1-У AIM
VII. Расстояние между двумя множествами. Простран-
Пространство B*)т.
Определение. Мы обозначаем через Bж)т пространство всех
замкнутых ограниченных подмножеств метрического пространства Ж;
за расстояние1) dist (Л, В) между двумя множествами Л =? 0 и ВфО
мы примем наибольшее из чисел
supp(x, В) и sup о (у, Л).
Если Л = 0 =?.??, то dist(/4, -S)=6(JT). Таким образом, если мно-
множество ^Г не ограничено, мы должны удалить пустое множество из
пространства С2х)т; если множество Ж сводится к единственной точке р,
то мы полагаем dist@, (р))=\.
Теорема. Пространство Bх)т есть метрическое про-
пространство относительно определенного выше расстояния.
Доказательство. Очевидно, что dist (А, В) = 0 тогда и только
тогда, когда А =В.
Что касается неравенства треугольника, то для х?А и у ?В
(п. IV D)) мы имеем
р(х, C)<|jc — у|+р(у, С)< | * — у | + dist (Я, С),
откуда
р (х, С)< inf | х — у | + dist (В, С) =
уев
= р(х, В)-\- dist (Б, C)<dist(/1, 5) + dist (В, С).
Из соображений симметрии,
рB, /l)<dist(fi, Л) + dist (В, С)
') См. Хаусдорф [1], гл. VIII, § 6, а также Помпейю [1].

224 Гл. 2. Метрические пространства
при z?C. Следовательно,
distO4, C)<dist(?, A)+dist(B, С).
Замечание 1. В этом пространстве нельзя принять р(А, В)
за расстояние. Пусть, например, А — множество, состоящее из числа О,
В—интервал A, 2) и множество С состоит из числа 3; тогда нера-
неравенство треугольника для множеств А, В и С не выполняется
(р(Л, В) = 0, если множества А и В имеют общую точку).
Замечание 2. Как мы увидим далее (т. 2), если ?? — компактное
метрическое пространство, то множество Bх)т гомеоморфно простран-
пространству 2х, наделенному экспоненциальной топологией (см. § 17, I).
Заметим, что
A) \а — Ь\ = distl(a). (*)];
B) {distOl, B)<e) = (/ic/?E(B) и BcRe(A)},
где RE(X) — открытый шар радиуса е, центром которого является
множество X;
C) Ь(Bх)т) —6(.20 (если JT содержит более одной точки).
VIII. Вполне ограниченные пространства. Метрическое про-
пространство называется вполне ограниченным, если для любого е > О
его можно разложить на конечное число множеств диаметра меньше е
(см. Хаусдорф [5]).
Теорема 1. Для того чтобы пространство Ж было вполне
ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы каждому е > О
соответствовало конечное множество FE, такое, чтор(х, FE)<e,
какова бы ни была точка х этого пространства.
Доказательство. Пусть пространств $? вполне ограничено;
тогда
.Г = Л?и •-. 1М*Л. б(Л?)<1/« для /<*„.
Из каждого множества А" выберем по точке рЧ. Тогда множество Р1/п,
составленное из точек р" pnk , есть искомое множество (при
е > 1/п).
Обратно, если FrK—множество, удовлетворяющее условию тео-
теоремы, то система шаров радиуса е/2 с центрами, принадлежащими
множеству Рф, представляет собой искомое покрытие пространства.
Замечание 0. Предложение, которое мы только что доказали,
можно сформулировать, используя понятие расстояния между множе-
множествами (п. VII), следующим образом. Вполне ограниченное про-
пространство есть предел последовательности конечных мно-
множеств (а именно последовательности F\, F^, ..., Fyn, ...).

§ 21. Метрические пространства 225
Это вытекает также из следующей теоремы.
Теорема 2. Если пространство ?? вполне ограничено,
то пространство Bж)т также вполне ограничено.
Для доказательства этой теоремы рассмотрим множество Fe, по-
построенное выше; пусть Ни Е Hk e—система всех подмножеств
множества Fe. Каждому замкнутому множеству X поставим в соот-
соответствие множество Ht e точек р множества Fe, такое, что р(р, Х)<е;
тогда dist(X, ЯЛе)<е.
Теорема 3. Каждое вполне ограниченное пространство
сепарабельно.
Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть множество то-
точек pnt, n — l, 2 /<^&„, определенное при доказательстве тео-
теоремы 1.
Теорема 4. Если G— открытое подмножество вполне огра-
ограниченного пространства <?, то существует последовательность
открытых множеств Go, G1 такая, что G = Go U Gx U ... и
(i) множество Gl пересекается только с конечным числом
множеств Gf,
(И) О; с: О;
(iii) lim б(О,) = 0.
i ->оо
Доказательство. Можно допустить, что G Ф ??, ибо в про-
противном случае можно положить О0=,2Г и Gt = 0 для I > 0. Пусть
Вт—открытый шар радиуса 1/т, центром которого служит множе-
множество JT—G (см. п. IV). Так как пространство X вполне ограничено,
существует система открытых множеств Н\: т Hk , m, такая, что
& = HhmU...UHllmim и 6(HJtJ<l/m.
оо
Поскольку G = U (Вт — Вт+2), имеем
т = 0
о= U U(Bm-Bm+2)nHjtm.
т = 0 у = 1
Если расположить члены этого двойного ряда в бесконечную после-
последовательность О0, Gx условия (i) — (iii) будут выполняться.
В самом деле, условие (i) есть прямое следствие формулы
Фт - -8т+2) П (Вп - Вп+2) <= (Вт+2 —~Вт+2) = 0 при п > т
Условие (и) вытекает из формулы'
(вт ~ вт+2) f\Hhmca;- вт+2 <= о.
Наконец, (iii) следует из неравенства 6(/fym)< 1/от.

226 Гл. 2. Метрические пространства
Замечания. 1. В произвольном метрическом пространстве
каждому е > 0 соответствует замкнутое множество Fe, состоящее
из изолированных точек (конечное или бесконечное), такое, что
р(х, FE) < е, какова бы ни была точка х. В самом деле, расположим
все точки пространства в трансфинитную последовательность р0,
pv ..., ра Положим ра = р0, и вообще при Y>0 пусть
ра — точка с минимальным индексом, такая, что ра — ра 1 ;> е,
каково бы ни было | < у (разумеется, если такая точка ра суще-
существует]. Тогда искомое множество Fz есть множество точек ра .
2. В качестве пространства X рассмотрим кривую y = sin —,
О < х <; 1, причем расстояние между двумя точками р и q положим
равным диаметру дуги pq. Очевидно, что это пространство сепара-
бельное и ограниченное (даже полное), но не вполне ограниченное.
Семейство его подмножеств, расположенных на оси абсцисс (все они
замкнуты), несчетно, и расстояние между двумя любыми элементами
этого семейства превышает единицу; следовательно, это семейство и
тем более пространство B*),„ не являются сепарабельными
(ср. с теоремой 2, п. II).
Однако кривая S" может быть гомеоморфно отображена (с помощью
проекции на ось х) таким образом, чтобы пространство [2х)т стало
сепарабельным.
Следовательно, топологическими свойствами пространства Bж)т не
обязательно являются топологические свойства пространства ??.
Этим мы обязаны тому, что определение пространства {2х)т не было
топологически инвариантным.
Теорема 5. Если \?^i)— последовательность (конечная или
счетная) вполне ограниченных пространств, таких, что
6(.Ж*г)<С1, то их прямое произведение, метризованное по фор-
формуле VI B), является вполне ограниченным.
Доказательство. Пусть е>0 и I—целое число, такое,
что 2~' < е/2. Тогда для каждого /<;/ существует (по предполо-
предположению) конечная система точек r{1 rlk, такая, что любая точка
пространства ^Гг расположена на расстоянии < е/2 от некоторой
точки, принадлежащей этой системе. Пусть гп (п > I)—точка, выбран-
выбранная произвольно из пространства JTn.
Рассмотрим при фиксированном / конечную систему последова-
последовательностей вида

§ 21. Метрические пространства 227
Пусть i=(x1, x2, ...) —некоторая точка пространства П^*;;
тогда для каждого 1-^.1 существует точка г;. , такая, что
< е/2, откуда
i
гщ-
Поэтому пространство П^< вполне ограничено.
Следствие 5а. Гильбертов куб g*<> и, следовательно, про-
пространство [2^ °')т вполне ограничены.
Последнее утверждение следствия вытекает из теоремы 2.
IX. Эквивалентность между счетно-компактными и компакт-
компактными метрическими пространствами.
Теорема 1. Любое счетно-компактное метрическое про-
пространство Ж вполне ограничено, следовательно, оно содержит
счетную открытую базу и, более того, является простран-
пространством Линделёфа.
Допустим противное, т. е. что пространство j?* не является вполне
ограниченным; тогда, в силу VIII, 1, существует такое е > 0, что
всякому конечному множеству F соответствует элемент х, для кото-
которого р(х, F)^e. Отсюда вытекает существование бесконечной
последовательности точек pv p2, .... такой, что \ рт—/?„|^е для
любого п и т ф п. Очевидно, что эта последовательность не содержит
сходящейся подпоследовательности, следовательно, пространство JT
не является счетно-компактным.
Чтобы доказать, что X—пространство Линделёфа, применим
сначала теорему 3 из п. VIII, согласно которой любое вполне огра-
ограниченное пространство сепарабельно, затем теорему 2 из п. II,
согласно которой любое метрическое сепарабельное пространство
содержит счетную открытую базу, и, наконец, теорему Линделёфа
(§ 5, XI).
Теорема 2. Любое счвщно-компактное метрическое про-
пространство компактно.
Доказательство. Согласно предыдущей теореме, оно является
пространством Линделёфа. Следовательно, любое открытое покрытие
может быть сведено к счетному, а последнее — согласно теореме
Бореля (§ 20, V) — может быть сведено к конечному покрытию.
X. Равномерная сходимость. Метризация пространства 2/*.
Пусть & — произвольное и у — метрическое пространства, обозначим
16*

228 Гл. 2. Метрические пространства
через Ф(^Г, У) семейство всех ограниченных отображений /
т. е. таких отображений, что множество /(j2?) ограничено).
Теорема 1. Ф(Ж, У) есть метрическое пространство
с расстоянием, определяемым формулой ')
A) \fi-f2\ \
В самом деле, расстояние, определенное таким образом, всегда
конечно, ибо если х' — фиксированная точка, то
|/i (*) - /2 (х) |< | л (*) - л (х1)
+1h (*0 - Л (*') 1 + (Л (*') - Л (*) |.
Кроме того, соотношение |/j — у21 == 0, очевидно, эквивалентно
равенству /, = /2; остается проверить неравенство треугольника.
Мы имеем
>sup|/2(*) —/3(jf)| = |/2 —/8|.
Согласно определению сходимости в метрических пространствах,
последовательность функций {/„} сходится к функции / в рассматри-
рассматриваемом функциональном пространстве, если lim | /„ — /1 = 0, т. е. если
для любого е > 0 существует такое п (е), что для п > п (е) имеем
sup \fn(x)— /ООКе, следовательно, \/п(х) — /О)|<е Для
любого х^^Г. Отсюда вытекает
Следствие 1а. Сходимость в пространстве Ф(^Г, У)
совпадает с равномерной сходимостью в обычном смысле.
Замечание. Согласно теореме 5 из § 20, V, и в силу III E),
любое непрерывное отображение компактного метрического про-
пространства в метрическое пространство ограничено, т. е. <2/хаФC?, У).
В этом случае формула A) определяет метрическую структуру в ух.
Итак, пусть ЗС—компактное метрическое пространство 2), У— метри-
метрическое пространство; тогда мы будем рассматривать ух как метри-
метрическое пространство с расстоянием, определяемым формулой A).
Если пространство Ж некомпактно (не локально компактно),
то трудно ожидать, что пространство ух будет метрическим. Однако
можно ввести соответствующую топологию, так называемую открыто-
') См. Фреше [1], стр. 36. Это определение расстояния между функциями
восходит (согласно Фреше) к Вейерштрассу.
2) Как будет выяснено в гл. 4, предположение о том, что & — метри-
метрическое пространство, можно опустить.

§ 21. Метрические пространства 229
компактную, или естественную, определяя замыкание множества
Г с Ух соотношением
) = [(/ | F)?T \F для любого компактного f cj]
или, что то же самое, рассматривая множество ух как предел обрат-
обратного спектра множеств {yF\ с операцией сужения.
Подробнее эти построения будут рассмотрены во втором томе.
Другое обобщение пространства ух состоит в рассмотрении топо-
топологии на множестве всех отображений /1F, где множество F ком-
компактно (см. Куратовский [421).
Теорема 2. Для всякого топологического пространства 3?
множество всех непрерывных ограниченных отображений, т. е.
множество ^ПФ№ У)> замкнуто в пространстве Ф{??, У).
Эта теорема непосредственно вытекает из следующей теоремы.
Теорема 2'. Предел равномерно сходящейся последова-
последовательности непрерывных функций есть непрерывная функция.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству тео-
теоремы 3 из § 13, VI (случай У— W).
Имеет место также следующая теорема1) (см. Хан [2], стр. 225):
Теорема 2". Предел непрерывно сходящейся последователь-
последовательности функций {которые могут и не быть непрерывными)
есть непрерывная функция.
Доказательство. Пусть \imfn(x) = f(х). Допустим, что
lim ап — а, однако последовательность {/ (ап)} не сходится в точке / (а).
Тогда существуют окрестность G точки / (а) и последовательность
натуральных чисел kx < k2 < ..., такие, что /(#йN?У —б,
каково бы ни было п. Так как множество У — О является окрест-
окрестностью точки f(ak\ существует индекс тп, такой, что fmn[ak \
принадлежит этой окрестности. При этом можно допустить, что
тх •< т2 <С .... Поскольку последовательность {/„) сходится не-
непрерывно, из равенства lim ak =a (которое вытекает из равенства
lim ап — а) следует, что lim/mn(aft \ = f{a), откуда f (а) ? У — Ос
eg/ — О —У — О, что противоречит определению множества О
(согласно которому / (а) ? О).
Теорема 3. Равномерная сходимость влечет за собой не-
непрерывную сходимость в узком смысле, а следовательно,
8 области непрерывных функций— непрерывную сходимость
(см. § 20, VIII, 1).
') Эта теорема справедлива -также для топологических регулярных"
^'-пространств.

230 Гл. 2. Метрические пространства
Иначе говоря: если последовательность {/„) равномерно сходится
к функции /, то из условия lim / (хп) = у следует, что lim /„ (хп) = у.
Предположим противное, т. е. что последовательность {/„(хп))
не сходится к точке у. Тогда она содержит подпоследовательность
[fk (xk )}• никакая подпоследовательность которой не сходится
к точке у. Так как последовательность {/„) равномерно сходится,
то последовательность ifk ] также равномерно сходится. Поэтому
существует последовательность натуральных чисел OTj < от2 < ....
такая, что для каждой точки х
и, в частности,
|/*..(**-..)-/(**-.I<1/я-
Сопоставляя последнее неравенство с равенством limf(xn) = y, из
которого вытекает, что lim/Zx^ )=У. получаем равенство
lim/ft (xk \ = у, противоречащее определению последователь-
последовательности [kn].
Теорема 4. Если пространство у компактно, то из не-
непрерывной сходимости в узком смысле следует равномерная
сходимость {т. е. эти два вида сходимости эквивалентны).
В самом деле, если последовательность (/„} не является равно-
равномерно сходящейся к /, то существуют е > 0, последовательность нату-
натуральных чисел k1 < k2 < •¦• и последовательность точек хх, х2
такие, что
B) [ fkn (хп) — f (хп) | > е для любого п.
Так как пространство у компактно, существует последовательность
Щ\ < т2 < ••-, такая, что последовательность \f(xm )) сходится:
\[mf(xm ) = У- Но, по предположению, последовательность {/„] схо-
сходится непрерывно в узком смысле, поэтому последовательность
\fk } также сходится непрерывно в узком смысле. Значит, из усло-
условия \{mf(xm\ = y следует, что Пш/Й (хт \ = у. Но тогда при
достаточно больших п имеем I/* (хт \ — f(xm )|<e, что проти-
противоречит неравенству B). Это противоречие показывает, что последо-
последовательность {/„} не является непрерывно сходящейся в узком смысле.
Теорема 5. Если пространство & компактно, то из непре-
непрерывной сходимости следует равномерная сходимость (т. е.
эта два вида сходимости эквивалентны в области непрерыв-
непрерывных функций).
Предположим, как и в предыдущем доказательстве, что последо-
последовательность {/„} не является равномерно сходящейся к /, т. е. имеет
место неравенство B).

§ 21. Метрические пространства 231
Так как пространство X компактно, можно допустить, что после-
последовательность [хп] сходится, т. е. limxn = x. По предположению,
последовательность {/„) сходится непрерывно, поэтому последова-
последовательность {/йл} также сходится непрерывно (см. § 20, VI, замечание),
но тогда
C) "т/*„(¦*») = /(*).
С другой стороны, так как lim fm(xn) — f (xn), существует после-
т->со
довательность натуральных чисел ш: < т2 < • • •, такая, что
согласно B). Но это противоречит C), ибо из формулы lim хп = х
следует, что Ит/тп(х„) = f(x).
Замечания. Если пространство У компактно, то функции,
являющиеся элементами пространства Ух, ограничены (см. III E)).
Следовательно, формула A) определяет метрическую структуру про-
пространства ух. Вытекающее отсюда понятие предела в соответствии
с II О) совпадает с понятием предела, которое рассматривалось
в п. VIII, § 20 (непрерывная сходимость в узком смысле).
Эти утверждения следуют непосредственно из теоремы 4.
Теорема 6. Пусть р — фиксированная точка метри-
метрического пространства %. Каждому ограниченному подмно-
подмножеству А(Ф0) пространства JT поставим в соответствие
функцию fА, определенную следующим образом:
D) fA(x)=p(x, A)-\x- р\.
Тогда
E) diet (Л. B) = \fA-fB\.
Доказательство. Заметим сначала, что функция /А огра-
ограничена:
\fA(x)\<p(p, А) + Ь(А).
Из неравенства IV D) вытекают неравенства
р(лг, Л)<р(/7, А) + \х— р\,
В силу симметрии, можно предположить, что
dist (Л, fi) = supp(x, В).
А
Пусть е > 0, и пусть а—точка множества А, такая, что
dist (^4, fi)^p(e. ВL-е. Так как р(в, Л) = 0, то, согласно D),
мы имеем
F) dist(i4. Я)<р(с. Я) —р(с.

232 Гл. 2. Метрические пространства
С другой стороны, каждой точке х?%" поставим в соответствие
точку ах множества Л, такую, что р(х, А)"^\х— ах\— е.
Согласно IV D), р(х, В) <J | х—ах\-\-р(ах, В), откуда
р(х, В)-р(х, ^)<р(вг 5) + e<distD, В)-\-е;
кроме того,
Следовательно,
G) |/B-/J
Из формул F) и G) следует тождество E).
Замечание. В случае, когда пространство SC ограничено,
функцию /А можно определить более простым образом, полагая
/л(х)=Р(х> А)-
Из теоремы 6 непосредственно вытекает
Теорема 7. Пространство Bх)т изометрично некоторому
подмножеству пространства ^ПФСЖ". (?)¦
В частности, если пространство SV компактно, то имеют
место „топологические" {или точнее метрические) включения
% <= {2х)т с У*.
top top
причем последнее пространство метризуется при помощи
формулы A).
Предыдущая теорема позволяет рассматривать пространство {2х)т
как подпространство пространства (fx. Обратно, если /—непре-
/—непрерывная функция, т. е. элемент пространства ух, то множество
точек (х, /(.*)) прямого произведения % X У (график функции /)
есть замкнутое подмножество пространства 3? X У (см. § 15, V, 2),
следовательно, если это множество ограничено, то оно является эле-
элементом пространства B* х )т. Более точно, справедлива
Теорема 8. Если пространство JT компактно, то имеет
место топологическое включение
*с=()ж.
Доказательство. Заметим предварительно, что если
и g: JT->2/, то имеет место неравенство
(8) dist(/, ^)<|/-^|.

§ 21. Метрические пространства 233
Чтобы убедиться в этом, положим рх = (х, f (х)) и qx=(x, g(x)).
Тогда px?f и qx?g, следовательно,
откуда
g)<\f—g\
Из соображений симметрии получаем
suppfa*. /)<[/ —
откуда вытекает неравенство (8).
Остается доказать, что последовательность функций /„?3^* равно-
равномерно сходится к функции f ?УХ тогда и только тогда, когда
lira dist (/„, /) = 0.
л->оо
Так как, по предположению, последовательность {/„} равномерно
сходится, то имеет место соотношение
lim |/л —/| = 0. откуда Hm dist(/„, /) = 0.
Л->оо я->со
в силу неравенства (8).
Обратно, допустим, что lim dist(fn, f) = Q. Докажем, что схо-
я-»со
димость последовательности {/„} к функции / непрерывна. Отсюда,
в силу теоремы 5, можно будет заключить, что она равномерна
(так как пространство 3? компактно по предположению").
Пусть \\п\ хп= х. Докажем, что lim fn (хп) =/(х). Положим
Чп = (х„. /п(х„)). Так какр(9„, /)<dist(/n, Д то limp(^„, /) = 0.
Поэтому существует последовательность точек рп ^ /, такая, что
Пт|<7л—/? 1=0., Положим рп=(х*п, f(x*\\. Тогда имеет место
соотношение lim I jc —jc* I = 0, откуда \\m x* = x и, следовательно,
Iim/M —/D С другой стороны, lim | fn(x\ — f(x*n)\ =0. откуда
окончательно получаем, что Нт/Я (хп) = f(x).
Следующее утверждение вытекает непосредственно из теоремы 6
(а также из теоремы 7).
Теорема 91). Всякое метрическое пространство №
изометрично некоторому подмножеству пространства %"х П
Ф
Чтобы убедиться в этом, подставим вместо множества А в фор-
формулу D) множество, состоящее из одной точки а. Тогда имеем
fa(x)=\x —a\ — \х — р\,
1) См. Куратовский [28] и Кунугуи [2], стр. 351.

234 Гл. 2. Метрические пространства
поэтому |/в(л)|<|в — Р\ и \fa(x)—fb(x)\ = \\x~a\—\x—?||<
^ | а — b |, откуда | fa - fb | -^ | а — b \. С другой стороны,
/а(а)~/ь(а) = — Iй— Р\—\а — *l + |e —Pi. откуда |/а—/J>
^> | а — ^ |. Следовательно, | /а — Д | = | а — b \.
XI. Продолжение относительно замкнутых и относительно
открытых множеств. Пусть Е — (непустое) фиксированное подмно-
подмножество метрического пространства %. Каждому множеству X с Е
поставим в соответствие множество
X
Полагая р(лг, 0) = оо, получаем
B) F@) = 0;
C) F (Е) == JT,
Имеют место следующие соотношения:
D) X^F(X);
E)
F)
G) если XXU ¦¦¦ UXn = E, mo FiXjU ... \}F(Xn) = S;
(8) E{]F(X) = EnX;
(9) если X замкнуто в Е, mo Ef)F(X) = X.
Включение D) следует из того, что при х?Х имеем р(х, Х) — 0.
Равенство E) является следствием непрерывности функции р(х, А)
(см. IV E)). Перейдем к доказательству равенства F).
Пусть x?F(X); тогда, согласно A) и IV F), имеем
г, Е— Л")<р[л:. Е —(Х\}У)],
откуда x?F{X{}Y). Следовательно, F (X) с F {X U Y).
С другой стороны, допустим, что x?F(X\JY), т. е.
A0) p(x.X\}Y)^p[x,E-(X\JY)].
Согласно IV G), функция р(х, X\}Y) равна либо р(х, X), либо
р(х, Y). Допустим, что
A1) р(х, XUY) = P(x, X).
Докажем, что x?F(X), т. е.
р(х, ЛО<р(лг, Е — Х);
тем самым будет завершено доказательство формулы F).

§ 21. Метрические пространства 235
Согласно формулам A0), A1) и IV F),
р(лг, Л-)<р[*, E — (X[}Y)] и 9(х, Х)=:р(х, XUV
откуда, в силу IV G), получаем неравенство
р(лг, JO<p[*. E-(X{jY)UY]^p(x, E — X),
так как
Таким образом, формула F) установлена. Утверждение G) выте-
вытекает из формул F) и C). Перейдем к доказательству формулы (8).
Согласно D) и E), X с F (X). Остается показать, что
E[\F(X)cX.
Предположим противное, т. е. что х ?[(Е f)F(X))—X\. Со-
Согласно A) и IV C), имеем 0<р(х, Х)^р(х, Е — X), откуда сле-
следует, что х(?Е— X; поскольку х?Е, имеем х?Х, что противо-
противоречит предположению.
Формула (9) вытекает из (8), ибо если множество X замкнуто
в Е, то Х = Е{\Х.
Наряду с замкнутым множеством F (X) рассмотрим следующее
открытое множество 0{Х):
A2) O(X) = Elp(x, X)<p(x, E-
X
Заметим, что
A3) G(X) = — F(E—X).
Сопоставляя соотношения B) — (9) с равенством A3), получаем
следующие соотношения:
A4) G(E) = X\
A5) О@) = 0;
A6) О(Х(]У) = О(Х)ПО(УУ,
A7) если ATjfl ••• t)Xn = 0, то О(Х{)П ... ПО(АГл) = 0;
A8) Е[\О{Х) = Е — Е — X;
A9) если X открыто в Е, то Е[)О(Х) = Х.
Установленные свойства функций F и О позволяют непосред-
непосредственно получить следующие теоремы о продолжении относительно
замкнутых или относительно открытых множеств.
Теорема 1. Пусть {Х^ — семейство множеств, замкнутых
8 Е; тогда существует семейство множеств (FJ, замкнутых

236 Гл. 2. Метрические пространства
в пространстве 5С, таких, что Е П Fl== -^t и
B0) из условия Х^Ц ... U Л\я = ?
следует равенство Fv \} ... {) Ft = .#*,
какова бы ни была конечная система индексов ij vn.
Теорема 2. Пусть [XJ — семейство множеств, откры-
открытых в Е; тогда существует семейство множеств {GJ, ода-
крытых в пространстве Ж, таких, что Е f) Gt = Л^ и
B1) аз условия X^f] ... пЛ\л = 0
следует равенство Qv f] • • • П Gt =0,
какова бы ни была конечная система индексов il 1Л.
В самом деле, достаточно положить
F^F{XX) и Gi = G(Xj.
Для метрических пространств теорему 4 из § 14, V, можно обоб-
обобщить следующим образом.
Теорема 3. Условие B1) можно заменить следующим усло-
условием:
B2) из соотношения Xv П ••¦ П Л\ =0
следует соотношение
Доказательство. В силу теоремы 2., существует семейство
открытых множеств Ht, такое, что Е f]Hi= X^, и из равенства
Xi П • • • П ^i :г= 0 следует равенство Н^ П • • • Г) Hi =0.
Положим Л=А'1 и В — Ж—Н^ в теореме 3, § 14, V; тогда
существует открытое множество Gv такое, что
т.е. Gt с //t U Xt.
Допустим, что Xi П ¦ • • ПXt —0. Тогда
Остается доказать, что правая часть этого двойного включения
содержится в левой части. Но, с одной стороны, Н1 П • • • D#i =0,
1 п
а с другой стороны, любое пересечение п множеств, взятых из двух
совокупностей Ht Hl и Xt , ..., Xt (причем хотя бы одно
из них берется из второй совокупности), содержится в Х^ П • • • П Ху ;
в самом деле, из равенства Е {]Н1=Х1 следует (см. § 5, III) вклю-
включение ?ПЯ,с Fn77l = X,, откуда И,сХк<= Л; Г) Хк.

§ 21. Метрические пространства 237
XII. Измельчение бесконечных покрытий. Следующее утвер-
утверждение в случае метрических пространств является обобщением след-
следствия из § 14, III, касающегося нормальных пространств.
Теорема. Каждое покрытие метрического простран-
пространства %'¦
A) <% = \^GV множества О1 открыты,
i
содержит измельчение
B) j?*=U^i> множества Я1 открыты и H^cG^.
Доказательство. Покажем сначала, что
B') 3?=*\}Fo где F^F^cG,.
i
Так как любое метрическое пространство гомеоморфно ограни-
ограниченному пространству (согласно п. V), то можно считать, что про-
пространство W ограничено.
Можно также считать, что Ot ф Э? для каждого i, ибо если бы
было Gio = j?\ то достаточно было бы положить F4 = & и Fl = Q
при i ф i0.
Положим Cl — JP—Gl. Тогда Ct Ф 0, каково бы ни было t.
Для каждой точки х пространства % положим
C)
D) /\
Тогда FL = Fr В самом деле, из очевидного соотношения
[р(лг, Cl)>^-o(x)j = [^p(x> CJ^jpix, Cn) для любого и]
следует, что
Л = ПЕ[р(х, Ct)>-ip(x, Cj\.
¦л х L * J
Множество /?1 замкнуто, как пересечение замкнутых множеств
(в силу непрерывности функции р, см. IV E)).
По определению верхней грани, каждой точке х соответствует
индекс i0, такой, что
р(х, Сц)> jSuppCx, Ct).
Тогда, в силу равенств C) и D), x?Fh, откуда следует равен-
равенство B').

238 Гл. 2. Метрические пространства
Равенство A) означает, что каждой точке х соответствует
индекс i0, такой, что х ? О1о, следовательно (так как множество О1о
открыто), р(х, Ch) > 0.
Поэтому о(х)>0. Предположим, что x?,Ft; тогда, в силу фор-
формулы D), имеем
р(х, Cv)>0.
Следовательно, х ? Gt и /71 с Ov
Далее, так как пространство Э? нормально, существует открытое
множество Ht, такое, что Fl<z.Hl и Hlf\Cl=^0.
Формула B) доказана.
XIII. О6-множества в метрических пространствах.
Теорема. Пусть Q с JT есть множество типа Gb. Тогда
существует непрерывное отображение /:Q->cf"°, такое, что
множество 3 = Е [У = /(•*)] замкнуто в пространстве ^ГХ^3-
х, у
Доказательство. По предположению, Q=G1f\G2f\ ....
где Gn — открытые множества («=1,2,...). Положим Fk = Ж — Gk,
A) ]
B) / (х) = (/! (х), /а (jf),...) для х ^ Q.
так что f:Q-> ^"°.
Согласно IV C), р(х, /?J,)>0 при x?Gft, а, в силу IV E),
функция р непрерывна, поэтому, согласно формуле A), и функ-
функции fk непрерывны. Из теоремы 3, § 16, II, следует, что отобра-
отображение / непрерывно.
Предположим теперь, что множество 3 не замкнуто, т. е. имеют
место соотношения
C) lim xn=*x, xn?Q, lira /(*„) = у, (х, уH.
Так как отображение / непрерывно на Q, отсюда следует, что
*?JT — Q. Поэтому существует целое число k, такое, что x?Fk,
и, значит, р(х, Fft)=0. Так как функция р непрерывна, имеем
р (лг, Fk)= lim р(хй, Fk), откуда, в силу формулы A),
л->оэ
lim fk(xn) — oo.
л->оо
Это приводит к противоречию, так как, согласно соотношению C),
lim /(х„) = у = (у1, у2, ...), следовательно, lim fk(xn) — yk.
п-±оэ Я-*со
Следствие. Каждое Gb- под множество метрического про-
пространства 2V гомеоморфно некоторому замкнутому подмно-
подмножеству пространства X X ^"-

§ 21. Метрические пространства 239
Это вытекает из того, что множество Q гомеоморфно множеству 3
(согласно теореме 1 из § 15, V).
Замечание 1. Если множество Q представляет собой разность
двух замкнутых множеств, т. е. Q = А — В, то в предыдущем след-
следствии пространство ef"° можно заменить пространством ef (см. Сер-
пинский и Куратовский [2], стр. 23). Действительно, в этом случае
можно положить
( г\
Р (¦*. В)
Замечание 2. Как мы увидим далее (§ 33, IV), из предыду-
предыдущего следствия вытекает, что О6-подмножество полного пространства
гомеоморфно полному пространству.
XIV. Пространства близости. Равномерные пространства
(основные определения). В этом разделе мы не предполагаем, что
пространство SV метрическое.
Определение I1). Множество 3? называется пространством
близости, если для любых двух подмножеств Л, Be J устано-
установлено, являются ли они близкими (близость множеств А и В обо-
обозначается записью А 6 В; запись АЬВ означает, что А и В не являются
близкими), причем выполняются следующие аксиомы близости:
1. Отношение 6 симметрично.
2. [АЬ (В U С)] = (А 6 В или АЬС).
3. (pbq) = (p = q).
4. 06„<Г.
5. Если АЬВ, то существуют множества С и D, такие,
что
А с С, BcD, Сп?>=0, Л б (—С), B6(—D).
Естественная топология пространства 3? определяется тождеством
A) (х?Л) = (
Можно показать, что при таком определении JT есть вполне
регулярное J'^-пространство.
Обратно, каждое вполне регулярное ^^пространство можно
рассматривать как пространство близости, т. е. можно опре-
определить отношение близости, удовлетворяющее аксиомам 1—5 и фор-
формуле A). А именно, можно считать, что АЬВ тогда и только тогда,
когда существует непрерывное отображение f :&-+?[, такое, что
/ 0 и f(B)=l (АФОФВ).
') См. Ефремович [1], [2], см. также Смирнов [4], [8], Мрувка [2], [3],
Исбелл [1].

240 Гл. 2. Метрические пространства
В метрическом пространстве отношение близости 6 можно ввести
наиболее естественным образом при помощи тождества
B) (Л6Я)=г[р(Л, ?)г=0] (АфОфВ).
Пространства близости представляют интерес в основном потому,
что в них можно ввести понятие равномерно непрерывных отобра-
отображений. А именно если 2? и У — пространства близости, то отобра-
отображение /:.#Г—>5У называется равномерно непрерывным, если
C) (Л65)=ф(/(ЛN/E)).
Если пространства SV и <у—-метрические, это определение экви-
эквивалентно обычному определению равномерной непрерывности, при-
принятому в метрических пространствах (см. IV).
Существует и другое важное понятие, связанное с равномерной
непрерывностью.
Определение 21). Говорят, что множество Э? снабжено
равномерной структурой относительно непустого семейства U
подмножеств множества JT X 3?> если для любого V ?17 выполняются
следующие аксиомы:
а) диагональ множества JT X SV является подмножеством
множества V;
б) множество Е К.У> x)?V] является элементом семей-
х, у
ства V;
в) если VX?U и V2?U, то (V1[\V2)?U;
г) если V?Z, то Z?U;
д) существует V1?U, такое, что
х, у z
Более того, предположим, что
е) пересечение всех элементов семейства U есть диагональ
множества & X ЗС-
Пусть р—произвольная точка множества JP; окрестностью
точки р будем считать каждое множество вида Е [(/?, х) ? V], где
х
V?U. Таким образом в множестве X определяется некоторая топо-
топология, которую мы будем называть топологией, индуцированной
равномерной структурой относительно U. Легко показать, что
3?—вполне регулярное ^-^-пространство.
Обратно, каждое вполне регулярное ^^-пространство можно
наделить равномерной структурой (см. Бурбаки [1]).
') См. Вейль [1], см. также Бурбаки [1], гл. II. См. также Чассар [1], [2].

§ 21. Метрические пространства 241
Интересно сравнить эту теорему с аналогичной теоремой о про-
пространствах близости ').
В метрических пространствах U можно определить как семейство,
состоящее из множеств, содержащих множество
D) VE= E [\х— у\ <е], где е > 0.
х, у
XV. Псевдометрические пространства.
Определение 1. Функция ф : JT X S" -*• <? называется псевдо-
псевдометрикой, если выполняются следующие аксиомы (ср. I):
a) \\i(x, х)=0;
Р) У(х, у) + г|)(А:. 2)>\|)(у, г).
Отсюда следует, что
¦ф(лг, у)>0 и 1|;(лг, y)=i!p(y, x).
Если, кроме того, предположить, что
р(х. у)фО].
то псевдометрика, очевидно, становится метрикой.
Следует заметить, что
Г если /:$;->'?', то ty(x, y) = \f(x) — f (у)\ есть псевдо-
псевдометрика;
2° сумма и максимум двух псевдометрик есть псевдомет-
псевдометрика;
3° сумма сходящегося ряда псевдометрик есть псевдомет-
псевдометрика;
4° если г|) — псевдометрика, то и функция ф, определенная
следующим об разом:
— ( ip(x, у), если г|)(х, у) ^ 1,
Ч1(Х' У) = \ 1, если л|>(л:. у)>1,
является псевдометрикой.
Определение 22). Пространство $? называется псевдомет-
псевдометрическим относительно семейства W= {tyt} псевдометрик (t?T),
если
Y) для каждой пары, хфу существует t?T, такое, что
') О различных связях между пространствами близости и равномерными
Пространствами см. Смирнов [7], [6].
2) Что касается этого определения и последующих теорем, см. Мрувка [4].
16 Топология, т. I

242 Гл. 2. Метрические пространства
Обозначим через W* пополнение семейства W всеми максимумами
конечных систем псевдометрик, принадлежащих ЧЛ
Теорема 1. Пусть „псевдошари"
A) flUe = E№(p,*)<e]. где ^Ч". р?Ж и г > О,
образуют базу пространства Ж. Тогда пространство X
становится вполне регулярным ^^-пространством (это инду-
индуцированная топология псевдометрического пространства SC).
Доказательство. Пусть F = F'с & и р?,Т—F. Тогда
существуют t и е, такие, что F (}Bti Pi е = 0. Положим (ft=tyt/e и
f(x) = q>t(p, е). Тогда
/6с/ж> /(/') = О и /(•х:)==1 ПРИ x?F.
Справедлива также обратная
Теорема 2. В любом вполне регулярном ^^пространстве
можно определить псевдометрику, не меняя его топологии.
А именно пусть \ft) — семейство функций ft^.03"' таких, что
для каждого множества F = F и любой точки p^JT—F суще-
существует (, удовлетворяющее условию
тогда
Доказательство. Очевидно, что пространство 3? является
псевдометрическим по отношению к семейству (^}. Покажем, что
топология, индуцированная этим семейством, согласуется с исходной
топологией пространства JT.
Пусть Q—открытое множество и р^О. Положим F = SC — G.
Пусть t удовлетворяет условию B), положим e = p[ft(p), ft(F)].
Отсюда легко получить, что Виргс0, и поэтому множество Q
открыто в топологии, индуцированной семейством {-tyt}.
Обратно, множество Btt p< e открыто в исходной топологии про-
пространства ЭР, так как функция г]), непрерывна.
Замечание 1. Можно построить теорию псевдометрических
пространств по аналогии с теорией метрических пространств (см.
Мрувка [4]).
Можно показать, например, что любое замкнутое подмножество
вполне регулярного пространства является пересечением семейства
открытых множеств, причем мощность этого семейства равна мощ-
мощности семейства {^}, рассмотренного выше,

§ 21. Метрические пространства 243
Замечание 2. Если множество Т счетно и выполнено усло-
условие у), то формула
»(* У) '
л = 1
так же как и формула
X — У\ — ^ -ryf Vpn \X, У),
определяет расстояние в пространстве JT (ср. 3° и 4°).
XVI. Паракомпактность метрических пространств.
Определения. Семейство А подмножеств топологического
пространства называется дискретным, если каждая точка простран-
пространства имеет окрестность, которая пересекается самое большее с одним
элементом семейства А.
Семейство называется а-дискретным, если оно является объеди-
объединением счетного числа дискретных семейств.
Теорема 1. Каждое открытое покрытие {Оа} метриче-
метрического пространства имеет открытое а-дискретное измель-
измельчение.
Доказательство. Положим
@) О* п = Е
Очевидно (ср. IV C)), что
A) Ga — Ga_ j U Ga2U ....
причем множества Ga n открыты (так как функция р непрерывна,
см. IV E)).
Пусть x?Gan и у^Оал+1. Тогда, согласно IV F'),
откуда следует, что
B) р(Оа1„, _Оа,„+1)>-^т.
Так как множество индексов а произвольно, можно предположить,
что а — некоторое порядковое число. Положим
C) Ян», „ — Оа„, „ — (J Ga, я+1.
а < а0
16*

244 Гл. 2. Метрические пространства
Тогда, если аг ф а2, то либо Нпь „с —Оа„ я+ь либо Нпи „с —Оп2, п+и
поскольку либо ctj < с^, либо а2 < <2].
Таким образом, согласно формулам B) и C), мы имеем
Р (Иа{, „, Нпъ „) > —р;-, если щ ф а.2.
Следовательно, для каждого п семейство Вп = {Нп:П) дискретно,
а тогда семейство {На,п} а-дискретно при переменных а и п.
Остается показать, что это семейство является покрытием про-
пространства, т. е. что
а, я
Пусть х0— данная точка. Обозначим через а0 наименьший индекс,
такой, что х0 ^ Gao. Согласно равенству A), существует такой индекс п0,
что хо^Оа„, пу Очевидно, что если a < a0. то х0^Оа>„0+2. Обозна-
Обозначим через К открытый шар с центром х0 радиусом 1/2+ . Из не-
неравенства B) следует, что
К{\ U ОЙ1„0+1 = 0, значит, лг0 ? Яо,, „„, согласно C).
a < a0
Следствие 1а. Каждое метрическое пространство имеет
о-дискретную базу.
Доказательство. Для каждого п рассмотрим семейство Fn
всех шаров радиуса меньше 1/л и обозначим через Ап а-дискретное
измельчение семейства Fn. Тогда ^ijU^U •••—искомая база.
Теорема 2. Для каждого а-локально конечного открытого
покрытия А (см. § 5, VII) метрического пространства суще-
существует локально конечное открытое измельчение.
Доказательство. Пусть
А = А1ЦА2[) ••• и An^{GnA\,
где t ? Тп, множества Qn t открыты, а семейства Ап локально ко-
конечны.
Согласно теореме из п. XII, существуют открытые множества HntV
такие, что
D) HnitcQatt и U«u = UOBlf
t t
Положим Вп={Нп t\, где t?Tn. Так как U°n,<=^. объеди-
t
нение B1UB2U ¦ ¦ • является открытым покрытием пространства.
Семейства Ап локально конечны, поэтому и семейства Вп локально
конечны. Следовательно, в силу теоремы из § 5, VII, множества
E) Kn.t = On.t~ U U Hmit

§ 21. Метрические пространства 245
открытые. Таким образом, для завершения доказательства доста-
достаточно показать, что семейство \Knit) с переменными индексами nut
является локально конечным покрытием рассматриваемого пространства.
Пусть xQ — фиксированная точка, и пусть п0—наименьший ин-
индекс, такой, что x?\JHnti t, (^ТП]. Тогда существует индекс t0 ? ТПо.
такой, что хо ?///!„,/„• Так как семейства Ат локально конечны, суще-
существует система Vi, V2, ¦¦¦• Vna открытых множеств, содержащих хо,
такая, что множество V'т пересекается только с конечным числом эле-
элементов семейства Ат. Ясно, что множество Я„0^0П1ЛП ... П Ущ
пересекается только с конечным числом множеств вида E).
Наконец, чтобы показать, что xo^\J Ktut, обозначим через п0
п, t
наименьший индекс, такой, что Xq^\J Gntit t, где t?Tnr Тогда суще-
существует индекс to?Tna, такой, что хо?0„01<0. Согласно D) и E), от-
отсюда следует, что
хо ? КПо, и-
Следствие 2а. (Теорема Стоуна А. [1].) Всякое метрическое
пространство паракомпактно.
Это предложение вытекает из теорем 1 и 2, так как дискретное
семейство, очевидно, локально конечно.
XVII. Проблема метризации. Эта проблема состоит в нахожде-
нахождении необходимых и достаточных условий того, чтобы топологическое
пространство (регулярное ^-пространство) было метризуемым (т. е.
было гомеоморфно некоторому метрическому пространству).
Метризационная теорема Бинга — Нага та — Смир-
Смирнова1). Следующие три условия, наложенные на регулярное
^^пространство др, эквивалентны:
1° пространство & метризуемо;
2° пространство X имеет а-дискретную базу;
3° пространство ?? имеет а-локально конечную базу.
Доказательство. Импликация 1°^>2° представляет собой
следствие 1а, п. XVI. Импликация 2°=^>3° очевидна. Итак, в про-
пространстве JT с а-локально конечной базой В мы должны определить
расстояние, сохраняющее топологию пространства JT.
') См. Бинг [1], Нагата [1], Смирнов [3] и [1]. См. также Алексан-
Александров [20], Архангельский [1], [2], [5], [4], Нагата [2], Майкл [3].
Исторически первое условие метризуемости было дано в статье Алек-
Александрова и Урысона [1]. См. также Фреше [5], стр. 220, и условие Арон-
шайна, данное во французском издании этой книги на стр. 138.
См., кроме того, Читтенден [1].
Добавим еще, что имеется обширная литература, касающаяся проблемы
метризации образов метрических пространств при различных отображе-
отображениях, таких, как замкнутые, открытые, взаимно непрерывные (метризация
факторпространств). См., например, Мартин [1], Ханаи [1], Морита и Ха-
наи [1], Морита [1], Стоун А. [3].

246 Гл. 2. Метрические пространства
Положим
@) Д = ДхиЯаи .... Д„ = {(}„,,), t?Tn,
где семейства fin локально конечны.
В силу теоремы 3 из § 14, VI, отсюда следует, что простран-
пространство ?? совершенно нормально, значит (по теореме 1 из § 14, VI),
для каждой пары я, t существует непрерывное отображение
fn,t '¦&->&• такое, что
Так как семейства Вп локально конечны, каждая точка х содер-
содержится в открытом множестве Uп (х), которое пересекается только
с конечным числом множеств Gn>t. Следовательно, на множестве Un(x)
все функции fn<t, за исключением конечного числа, тождественно
равны 0.
Таким образом, следующая функция
B) /„ (х, у) = % | /„,, (х) - /„, t (у) |,
где х^^Г, у^Ж, определена корректно.
Кроме того, функция /п непрерывна (ср. § 13, V, 1).
Применим к функции /„ ограничивающее отображение (см. п. V)
,,ч ]п(х' У)
C) /л
______
Легко видеть, что функции /„ и fn удовлетворяют неравенству
треугольника (I (И)).
Теперь положим
D) \х — у\ =
Покажем, что \х — у|— метрика (т. е. что выполняются усло-
условия (i) и (И) из п. I) и что эта метрика согласуется с исходной
топологией пространства ??.
Заметим сначала, что поскольку функции /я удовлетворяют усло-
условию (ii), то и функция \х—у| удовлетворяет этому условию. Далее,
чтобы показать, что функция \х — у\ удовлетворяет условию (i) и
что расстояние \х — у| согласуется с топологией пространства X,
достаточно показать (см. IV C)), что
E) {х ? А) = (р (х, А) = 0),
каковы бы ни были точка х ? X и множество А с: JT,
Так как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функ-
функций непрерывна (см. § 13, VI, 3), а проекция является непрерывным

§ 22. Пространства со счетной базой 247
отображением, то из левой части равенства E) следует его правая
часть.
С другой стороны, если х(^А, то существует пара индексов га, t,
такая, что
и из формул A) —D) следует, что для каждой точки
\xa\>w- l+/nt(x) >0.
Следовательно, р(х, А) > 0. Тем самым доказательство теоремы
завершено.
Замечание. Из этой теоремы непосредственно следует, что
регулярное ^-пространство со счетной базой метризуемо. В § 22
мы дадим более прямое доказательство этого важного утверждения.
§ 22. Пространства со счетной базой
I. Общие свойства. Пусть Rv /?,, • ¦ ¦ — база, состоящая из не-
непустых открытых множеств, данного $х-пространства j?".
Справедливы следующие теоремы.
Теорема 1. Свойство пространства обладать открытой
счетной базой наследственно.
В самом деле, если ?cJT, то Е {] Rv E(]R2, ... есть открытая
база множества Е.
Теорема 2. Если %—регулярное пространство, a G —
открытое множество, то для каждой точки p?G существует
индекс п, такой, что p?Rn и RnczQ.
Действительно, поскольку пространство % регулярно, существует
открытое множество Н, такое, что р?Н, Н с G. Более того, суще-
существует такой индекс п, что p?Rnc H, следовательно, Rnc0.
Теорема 3. Пусть f : JT —> у — непрерывное отображение
на. Отображение f является гомеоморфизмом тогда и только
тогда, когда
(Rk cz Rj) =ф [/ (ЯА) П / СГ — Rj) = 0].
Доказательство. Если / — гомеоморфизм, то из включения
Rk с Rj, эквивалентного соотношению Rk[\(& — Rj) = 0, следует.
что
/(Я*) Л/0Г — Яу) = 0.
откуда

248 Гл. 2. Метрические пространства
Поэтому
/(Л*) П/ОТ-/?,) = О,
так как множество f(Rk) открыто.
Обратно, если отображение / непрерывно, но не является гомео-
гомеоморфизмом, возможны два случая: либо / не является взаимно одно-
однозначным, либо существует открытое множество О, такое, что мно-
множество /(G) не является открытым. В первом случае существуют
две точки х Ф х', такие, что f(x) = f(x'), т. е. существует такой
индекс /, что
—Rj, откуда f{x) — f{xr)^f^—Rj).
Во втором случае существует точка х, такая, что х ? О,
f(x) ?/(¦%")—/(О). Следовательно, существует индексу, такой, что
x^RjCzO, откуда / (x)?f {%) — f(Rj)-
В обоих случаях /(x)?/(JT — Rj).
С другой стороны, x?Rj-; следовательно, согласно теореме 2,
существует такой индекс k, что х ? Rk и /?ft cr Rj. Поэтому
/ (¦*) 6 /(R/г) П /(Ж — Rj), что завершает доказательство.
Теорема 4. 5 любом пространстве со счетной базой суще-
существует последовательность открыто-замкнутых множеств,
такая, что любое открыто-замкнутое множество является
пределом (в смысле § 1, V) некоторой ее подпоследовательности
(см. Серпинский [58], а также де Гроот [1]).
Эта теорема непосредственно вытекает из следующей теоремы
теории множеств:
Пусть Gj, G2, . . . —последовательность подмножеств фикси-
фиксированного пространства ??. Пусть А—семейство всех мно-
множеств X данного пространства, таких, что множество X,
а также множество —X представляют собой объединение
некоторых членов этой последовательности. Тогда существует
последовательность множеств Аь А2, .... принадлежащих
семейству А, такая, что каждое множество А?А имеет вид
А = Limes A-, .
Доказательство. Рассмотрим все множества, состоящие из
четного числа положительных целых чисел (т0 mk, п0 nk),
для которых существует множество X ?А, такое, что
A) GmoU ... UGmkcX и О„ои ... U0Bftc—A".
Упорядочим такие системы в бесконечную последовательность
$j, s2_ Пусть fml0 mlk , п'о, ,.., n'k) есть j-й член последова-

§ 22. Пространства со счетной базой 249
тельности {в/}; обозначим через Л; произвольное множество ХаА,
удовлетворяющее условию A) (для индекса I).
Пусть А ? А. По предположению, существуют две последователь-
последовательности целых чисел m0, ml, ... и п0, п1 такие, что
4 = offlouoffllu ... и — л = °/<»иоЯ1и ....
Положим Si —(mo mk, no nk). Так как множество А
удовлетворяет условию A) при каждом k, то
О„о U ¦•• U СЦ с Aik и О„о U ¦ • • U Gnk <= - Aitf
откуда
СО СО
Следовательно,
со со оо со
A a U П^Ч+/ и -Леи П(-Л-+.),
и окончательно
Леи О At cf] \JAi ciA, т.е. Л = Limes Л,.
II. Метризация и введение координат.
Теорема 1 (Урысон [2]). Любое регулярное J'^npocmpau-
ство SV со счетной базой гомеоморфно некоторому сепара-
бельному метрическому пространству.
Более точно:
@) jr <=#•»».
top
Другими словами, существует последовательность функций
/"'• %"-> 3'• такая, что f=[fl, /2, ...] есть гомеоморфизм; рас-
расстояние между двумя точками пространства g**, т. е. между двумя
последовательностями действительных чисел у==[уО), уB>, ...],
2 = [2@, 2<2', ...], определяется формулой (ср. § 21, VI B))
со
/i\ |.. 71 "V* q —л I ..(") Лп) I
Доказательство. Пусть Rx, R2, ...—база пространства $?.
Рассмотрим все пары (/?* , Rm \ такие, что R& cr Rm . Согласно
следствию 1а из § 14, II, пространство X нормально, следовательно,
в силу леммы Урысона (§ 14, IV), существует непрерывная функ-
функция /", такая, что
(и) 0 -^ /" (л:) ^ 1, /" (х) = 0 при х ? Rk и /" (л:) = 1 при х Ф Rm .

250 Гл. 2. Метрические пространства
Так как функции /" непрерывны, то функция / = [/', р, ...]
также непрерывна (§ 16, II, теорема 3).
Для доказательства того, что / —гомеоморфизм, достаточно пока-
показать, что (§ 13, VIII(За)) из условия p(j;X следует соотношение
где Ха<Г
Так как p^_SC—X, то существует индекс т„, такой, что
p?Rmn <= Ж— X. В силу теоремы 2 из п. I, существует индекс kn,
такой, что р ? Run cr Rm^.
Пусть х?Х. Отсюда следует, что x(^Rm и, согласно (ii),
/"(#)= 1. Из формулы (ii) вытекает также, что /"(р) = 0 и, со-
согласно 0), \/(х) — /(/7)| >¦!-.
Следовательно, шар с центром в точке /(/?) радиуса 1/2" не пере-
пересекается с множеством /(X). Поэтому /(/?)#/ (X).
Замечание 1. Как мы видели выше (§ 21, II, теорема 2),
обратная теорема также верна: любое метрическое сепарабельное
пространство представляет собой ^^пространство со счет-
счетной базой.
Среди этих пространств гильбертов куб 0** имеет наивысший
топологический ранг, т. е. сам является метрическим сепарабельным
пространством и топологически содержит все другие метрические
сепарабельные пространства. Более того, любое подмножество про-
пространства ff*° является сепарабельным метрическим пространством.
Следовательно, изучение регулярных J^-пространств со счетной
базой равносильно (с топологической точки зрения) изучению под-
подмножеств пространства <?*•> или подмножеств пространства Фреше %"*<>
(так как пространства <7S° и Ifo, очевидно, имеют один и тот же
топологический ранг).
Замечание 2. Интересно сравнить теорему Урысона (и выше-
вышеизложенное замечание) со следующей теоремой Банаха и Мазура (см.
Банах [8], Урысон [9], Серпинский [62]): любое сепарабельное
метрическое пространство изометрично некоторому подмно-
подмножеству пространства W^ всех действительнозначных непре-
непрерывных функций, определенных в интервале 0^x^.1.
Таким образом, топологический ранг пространства If^ также
является наивысшим среди сепарабельных метрических пространств.
С топологической точки зрения пространство ^ имеет тот недоста-
недостаток по сравнению с пространством g*<>, что оно не является ком-
компактом, однако с геометрической точки зрения оно имеет то преи-
преимущество, что является пространством не только наивысшего

§ 22. Пространства со счетной базой 251
топологического, но и наивысшего геометрического ранга среди сепара-
сепарабельных метрических пространств.
Замечание 3. В случае метрических сепарабельных пространств
включение @) можно доказать непосредственно следующим образом.
В силу § 21, V, можно предположить, что пространство X имеет
диаметр <^1. Пусть pv p2, ...—бесконечная последовательность
точек, плотная в данном пространстве. Каждой точке х^^Г поставим
в соответствие точку h(x) куба g*° с координатами \х — рх
\х— р2\, ...:
A) h(x) = [\x—p1\, \х—р2\. ...]• т. е. h^{x) = \x-Pn
Функции /г'ч) непрерывны (в силу § 21, IV), и поэтому функ-
функция h непрерывна (согласно теореме 3 из § 16, II). Мы докажем,
что h — гомеоморфизм.
Пусть
B) lim h(xk) = h{x).
*-»оо
Покажем, что lim xk = x. Допустим, что это равенство не имеет
*-»оо
места. Тогда существуют ц > 0 и последовательность т1 < т2 < . • ¦>
такие, что
C) | хт — х I > ц при любом k.
Пусть у — индекс, такой, что
D) \х-р,\<ф.
Из условия B) следует, что lim Л(;> (xk) = hS!) (x), т. е.
Следовательно, для достаточно больших k
\Xmk~~ Pj\< I х ~~ р! I
откуда \хщ — х\-^\хт/г— pj\ + \x — p}\ <ц в силу неравен-
неравенства D).
Таким образом, мы пришли к противоречию с соотношением C).
Замечание 4. Предположение о регулярности пространства X,
сделанное в теореме 1, нельзя заменить более слабым предположе-
предположением, что пространство X хаусдорфово. Это видно на примере
хаусдорфова нерегулярного (следовательно, неметризуемого) простран-
пространства, рассмотренного в замечании 2, § 5, X. Это пространство имеет
счетную баэу.

252 Гл. 2. Метрические пространства
Следствие 1а. Любое сепарабельное метрическое про-
пространство гомеоморфно вполне ограниченному пространству.
Это следует из того, что пространство ?J*' вполне ограничено
(ср. § 21, VIII, следствие 5а).
Теорему 1 можно уточнить следующим образом:
Теорема 2. Гомеоморфизмы об разуют плотное множе-
множество в пространстве {0*°)х.
Иными словами: для каждого непрерывного отображения
f:X-+0*o и каждого е>0 существует гомеоморфизм
h : X —> g*<>, такой, что\п{х)—/(#)|<е для любой точки х.
Следовательно, непрерывное отображение f является пре-
пределом равномерно сходящейся последовательности гомеомор-
гомеоморфизмов.
Для доказательства достаточно формулу A) заменить следующей
формулой:
h{x) = [fm(x), f\x) /">(*). \х-р1\.\х~р2\....].
где целое число п выбрано так, что 1/2" < е.
Следствие 16. Любое метрическое сепарабельное про-
пространство является непрерывным взаимно однозначным обра-
образом некоторого подмножества канторова дисконтинуума *€
(а также множества иррациональных чисел).
Это утверждение следует из теоремы Урысона и следствия 6а,
§ 16, II, в силу которых пространство 0*<> является непрерывным
образом множества Ч?.
Так как множество IS топологически содержится в множестве J\T
иррациональных чисел, то доказательство завершено.
III. Сепарабельность пространства Ух.
Теорема1). Пусть X—компактное метрическое простран-
пространство, а у — сепарабельное метрическое пространство; тогда
пространство ух сепарабельно.
В самом деле, из включения ус0*а следует (ср. § 21, X, тео-
top
рема 8), что
top m
Последнее пространство сепарабельно, так как пространство
0*" X Ж компактно (см. § 21, IX, теорема 2, п. VIII, теоремы 2 и 3).
Замечание 1. Если метрическое пространство X не компактно,
то пространство gx (метризованное при помощи формулы A), § 21, X)
') См. Борсук [1].

§ 22. Пространства со счетной базой 253
не сепарабельно. В самом деле, по предположению, пространство X
содержит счетное (бесконечное) замкнутое дискретное подмноже-
подмножество F = (pv p2, ...).
Поставим в соответствие каждой точке z = \zl, z2, ...] канто-
рова множества *? функцию fz, определенную на множестве F равен-
равенством fz(р/) = -~ zl. Так как множество F — дискретное, функ-
функция /, непрерывна: /2 ? gF. Пусть, в соответствии с теоремой Титце
(§ 14, IV), fz есть продолжение функции fz на все пространство X.
Тогда
I/* — fw\>\fz~ /те. I = 1 ПРИ Z=hW.
Так как семейство функций /г, где z ? Ч?, несчетно, то простран-
пространство gx не сепарабельно.
Замечание 2. Сепарабельность пространства 0^ является пря-
прямым следствием теоремы Вейерштрасса, согласно которой каждая
непрерывная функция является пределом равномерно сходящейся после-
последовательности полиномов с рациональными коэффициентами. Эта тео-
теорема, выраженная в других терминах, означает, что множество поли-
полиномов с рациональными коэффициентами плотно в пространстве 0^¦
IV. Отождествление замкнутых множеств. Пусть F — замкну-
замкнутое подмножество метрического сепарабельного пространства X.
Отождествляя все точки множества F, получим новое метрическое
сепарабельное пространство, удовлетворяющее тем же аксиомам.
Точнее, справедлива
Теорема 1 !). Существует непрерывная функция /, пре-
преобразующая F в одну точку, не принадлежащую множеству
f (X—F), причем f является гомеоморфизмом на множестве
X—F.
Доказательство. В силу теоремы Урысона, можно допустить,
что Хае?*0, т. е. что точками пространства X являются последова-
последовательности действительных чисел х — [х1, х2, х3, ...]. Положим для
краткости 6(лг) = р(х, F); через f (х) обозначим точку простран-
пространства ^>So, определенную следующим образом:
Пусть х ? F, тогда 6(х) = 0, поэтому /(^) = [0, 0, 0, ...].
Обратно, из последнего равенства следует, что 6 (х) = 0, откуда х ? F.
Так как каждая из координат точки f(x) является непрерывной
функцией точки х, функция / непрерывна.
') См. Куратовский [39], Хаусдорф [8], Нитка [1]. Заметим,
не обязано быть факторпространством.

254 Гл. 2. Метрические пространства
Покажем, наконец, что / есть гомеоморфизм на множестве X—F.
В самом деле, из условия lim f(xn) = f(x) следует, что lim 6(лг„) =
= 6(дг) и lim xkn ¦ 6(х1г) = xk • 6(.v) для каждого k. Пусть х ?X—F,
л»
тогда 6(дг)^=0 и, следовательно, 6(хп)ф0 для достаточно больших п.
Отсюда
> - lim
х
л» ^ б (л:)
П->00
поэтому lim л:„::=л:.
Я->00
Теорему 1 можно обобщить следующим образом.
Теорема 2. Пусть Ж—метрическое сепарабельное про-
пространство, и пусть F\, ..., Fn—замкнутые непересекающиеся
подмножества. Тогда существует непрерывное отображение f
пространства X на некоторое метрическое сепарабельное про-
пространство, отображающее множества Fx Fn в различ-
различные точки р1 рп, ни одна из которых не принадлежит
множеству f\S~ {Fx\} ... U^n)]. причем f есть гомеомор-
гомеоморфизм на множестве X — (Fx U ••• U Fn)-
В самом деле, при помощи повторного применения теоремы 1 мы
отобразим множества Flt F2, ¦ ¦ ¦ последовательно в точки ръ р2, ...
требуемым образом.
Можно получить также следующее обобщение теорем Урысона
и Титце.
Теорема 3. Пусть F = F с: X a g*° и f?(g*°)F. Суще-
Существует непрерывное отображение g : X'-> д'"« X 3 X 0*°, со-
совпадающее с f на множестве F и являющееся гомеоморфизмом
на множестве X — F.
В самом деле, пусть /* ?((*7"°)а' —продолжение функции / (тео-
(теорема Титце, § 14, IV). Положим1)
g(x) = [f(x). p(x, F), х-р(х. F)], где х?Х.
V. Произведение пространств со счетной базой. Множества
первой категории. В этом пункте мы будем предполагать, что про-
пространство У имеет счетную базу.
Обозначим вертикальное сечение пространства X X У через у*\
') См. Куратовский [39], теорема 1.

§ 22. Пространства со счетной базой 255
Теорема I1)- Пусть ZcX X У- Если множество Z нигде
не плотно, то существует множество Р с Ж" первой кате-
категории, такое, что для каждой точки х?& — Р множество
Zfl'2/X нигде не плотно в пространстве Ух.
Доказательство. Пусть Rlt R2, ...—открытая база про-
пространства у. Положим
A) Е„ = Е [ (х) X Я„ с Z~W~X\ и Р = ЕХ\]Е2 U ....
Очевидно, что ?л X #я <= ^. и поэтому ?„Х1?л = ?лХ/?яс Z.
Отсюда следует, что множества Еп нигде не плотны, ибо в про-
противном случае существовало бы открытое непустое множество GcEn
и, следовательно, 0 ф G X Rn с: Еп X Rn с: Z, что невозможно, так
как множество Z нигде не плотно.
Поэтому Р — множество первой категории.
Пусть теперь х?3*—Р; предположим, что множество Z?\yx
не является нигде не плотным в пространстве Ух. Тогда существует п,
такое, что (х) X Rn с Z Л У* (последовательность (дг) X Rn,
й=1, 2, ..., есть база пространства ЧУХ). Отсюда следует (согласно
формуле A)) включение х ?Еп с Р, что приводит к противоречию.
Следствие 1а. Пусть ZaXXy. Если Z — множество
первой категории, то существует множество Р а X первой
категории, такое, что для любой точки х?Х — Р множество
Zftyx есть множество первой категории в пространстве ух.
Доказательство. Положим Z —Zj U Z2U . . ., где множе-
множества Zn нигде не плотны. Применим предыдущую теорему к каждому
из множеств Zn и обозначим через Рп соответствующее множество
первой категории. Тогда Р — Pt U P2 |j ... есть искомое множество.
Следствие 16. Произведение Z = А X В есть множество
первой категории в пространстве X X У тогда и только то-
тогда, когда либо множество А, либо множество В первой кате-
категории.
Доказательство. Пусть Z — множество первой категории.
Предположим, что ни множество А, ни множество В не являются
множествами первой категории. Пусть Р — множество, рассмотренное
в следствии 1а, тогда АфР.
Пусть х ? А — Р. Тогда Z П У* — множество первой категории
в пространстве у*. Так как Z = А>(В, имеем Z ()УХ — (х)Х В и,
1) См. Улам и Куратовский [1].
Предположение о том, что пространство У имеет счетную базу, суще-
существенно. См. цит. раб., примечание 1 на стр. 248.

256 Гл. 2. Метрические пространства
следовательно, В — также множество первой категории (в простран-
пространстве У, ср. § 15, VI).
Таким образом, сформулированное условие является необходимым.
Достаточность его вытекает из следствия 2а, § 15, VII.
Следствие 16 можно усилить следующим образом:
Следствие 1b1). D {A X В) = D (Л) X D (В).
Доказательство. По определению, (a, b)(?D (A X В) озна-
означает, что множество ЛХВ первой категории в точке (а, Ь)\ иными
словами, существует открытое множество О, содержащее точку (а, /;),
такое, что множество О П (А X В) первой категории. При этом мы
можем допустить, что множество О принадлежит базе пространства
•#" X У- Таким образом,
G = М X N, a?M, b?N, Мм TV—открытые множества.
Так как (М X N) П (А X В) = (М П А) X (N П В), то
== V (a?M)(b?N) (M, N открыты) [(М П A)X(N П В) первой кат.].
М, N
Но, согласно следствию 16,
\(М П А) X (N ПВ)—множество первой категории]^
г55[либо М [\ А, либо N{\B—множество первой категории].
Поэтому
[(a, b)?D(AX В)] = [лпбо a^D(A), либо b$D(B)] =
= [(a,b)?D(A)xD(B)].
Теорема 22). Пусть f : X->у и % = Е [у — f (x)]. Пусть
пространство У плотно в себе. Если множество (S~ X У)—3
первой категории в точке (х, у), то либо множество X пер-
первой категории в точке х, либо множество У первой кате-
категории в точке у.
Иначе говоря (см. следствие 1в),
B) D (ЛГ X У — 3) = D {X X У)-
Доказательство. По условию теоремы, существуют множе-
множество О, открытое в пространстве X, и множество Н, открытое
в пространстве У, такие, что х ? О, у ? Н и (О X И) — 3 есть множе-
') См. Сикорский [2].
2) См. Куратовский [8а] и Улам и Куратовский [1], стр. 250.

§ 22. Пространства со счетной базой 257
ство первой категории. Допустим, что пространство Ж не является
множеством первой категории в точке х.
Тогда G не является множеством первой категории, и из след-
следствия 1а вытекает существование точки а ? О, такой, что множество
является множеством первой категории в пространстве уа. Далее,
это множество отличается от множества ((а) X Н) только одной точ-
точкой, а именно точкой {{a), f(a)). Так как это точка накопления
множества уа (пространство у плотно в себе) и, следовательно,
нигде не плотное множество в пространстве Уа, то множество
((а)\Н) является множеством первой категории в пространстве Уа.
Поэтому Н — множество первой категории в пространстве у. Но это
означает, что пространство У является множеством первой катего-
категории в точке у.
*VI. Произведения пространств со счетной базой. Свойство
Бэра. Как и в п. V, предположим, что пространство У имеет счет-
счетную базу.
Теорема I1). Пусть Z с X X У • Если множество Z обла-
дает свойством Бэра, то существует множество Р сг 3?
первой категории, такое, что множество Zf\yx обладает
свойством Бэра относительно ух для любой точки х?3?—Р.
Доказательство. Так как множество Z обладает свойством
Бэра, оно представимо в виде Z=U[}V, где U—множество первой
категории, а V—множество типа Оь (см. § 11, IV, 2). В силу
следствия 1а, п. V, существует множество Р cz 3* первой категории,
такое, что U (] Ух является множеством первой категории в Ух для
каждой точки х?3? — Р. Так как, очевидно, V[)УХ есть О6-мно-
жество в пространстве Ух, то из равенства
z п ух — (и п ух) и (V п ух)
следует, что множество Z П Ух обладает свойством Бэра относи-
относительно ух.
Теорема 2. Произведение Z = AXB обладает свойством
Бэра, не являясь при этом множеством первой категории,
тогда и только тогда, когда каждое из множеств А и В обла-
обладает свойством Бэра, но не является множеством первой
категории.
Доказательство. Напомним (ср. § 11, IV, 4), что мно-
множество А обладает свойством Бэра тогда и только тогда, когда
множество ?) (Л) П ?>(.#* — А) нигде не плотно; с другой стороны,
') См. Улам и Куратовский [1].

258 Гл. 2. Метрические пространства
А есть множество первой категории тогда и только тогда, когда
?)(Л) = 0 (ср. § 10, V G)), а это в свою очередь эквивалентно
тому, что множество D (А) нигде не плотно (ср. § 10, V A1)). Далее,
согласно следствию 1в, п. V, имеем
D (А X В) П D [(ЯГ X У) - (Л X В)] =
= [D (А) X D (В)} n {D [(ЯГ - А) X m U D [ЯГ X & — В)]} =
= {[D(A)XD(В)] (\[D(jr-A)xDC01) U
U {[D (А) X D (В)) n [D W X ?> (^ — В)]} =
= {[О(Л) n D{X - А)] X ?> (В)} U {?(Л) X [?> (В) n D (у
Пусть множество ЛХ^ обладает свойством Бэра; тогда первый
член этой формулы, а следовательно, и последний член являются
нигде не плотными множествами. Поэтому множество [D (А) П
П D (Я? — А)] X D (В) нигде не плотно.
Из теоремы 2, § 15, VII, следует, что либо множество
D (А) П D (ЯГ—А), либо множество D (В) нигде не плотны.
Аналогично: либо множество D (А), либо множество D(B)f\D B/—В)
нигде не плотно. Предположим теперь, что А X В не является мно-
множеством первой категории; тогда D (А X В) ф 0, и поэтому
D (А) Ф 0 =? D (В), согласно следствию 1в, п. V.
Отсюда следует, в силу § 10, V A1), что ни множество D (А),
ни множество D (В) не являются нигде не плотными. Таким образом,
множества
A) D (А) П D (ЯГ — А) и D(B)(\D& — B)
нигде не плотны и, следовательно, множества А в В обладают
свойством Бэра, но ни одно из них не является множеством первой
категории.
Таким образом, наше условие является необходимым. Его доста-
достаточность следует из того, что множества (i) нигде не плотны,
поэтому и множества
[D(A)(\DCT- A)]XD(B) и D(A) X [D (В) П D (& — В)]
(так же как и их объединение) нигде не плотны, а это означает,
что множество А X В обладает свойством Бэра. Далее, так как
ни одно из множеств А и В не является множеством первой кате-
категории, то и А \ В не является множеством первой категории
(согласно следствию 16, п. V).
Замечания. Аналогия между свойством Бэра и измеримостью,
на которую мы указывали в § 11, касается также только что установ-
установленных предложений. А именно, если мы в теоремах этого пункта
и в следствиях 1а и 16 п. V заменим множества первой категории

$ 23. Мощность пространства. Точки конденсации 259
множествами меры нуль, а свойство Бэра — измеримостью, мы по-
получим хорошо известные теоремы теории меры').
Теорема 3. Пусть f : X-+У а 5 = Е Ь1 =/(*)]; пусть
х, у
пространство У плотно в себе. Если множество 3 обладает
свойством Бэра, то оно является множеством первой кате-
категории.
Доказательство. Согласно V B), имеем
DQ) = D C) П D (JT X У) = D C) П D ((Я X 2/) - 3)-
Последнее множество нигде не плотно, потому что 3 обладает
свойством Бэра (ср. § 11, IV, 4).
Далее, множество D E) не может быть нигде не плотным, если
оно не пусто (согласно § 10, V A1)). Этим завершается доказательство
теоремы, так как условие DC) = 0 означает, что множество 3 —
первой категории (согласно § 10, V G)).
Замечание. Если не предполагать, что множество 3 обладает
свойством Бэра, то оно может и не быть множеством первой
категории2).
Б. ПРОБЛЕМЫ МОЩНОСТИ
Мы будем рассматривать регулярные ^-пространства со счетной
базой. Поэтому можно считать, что определено расстояние \х—у\
между точками пространства. Иначе говоря, можно предполагать, что
рассматриваются сепарабельные метрические пространства.
§ 23. Мощность пространства. Точки конденсации
I. Мощность пространства.
Теорема. Мощность пространства <^с.
В самом деле, существует последовательность точек гг, г2
такая, что каждая точка пространства является пределом некоторой
подпоследовательности этой последовательности.
Поэтому мощность пространства не превосходит мощности мно-
множества всех последовательностей, составленных из элементов счетного
множества, т. е. мощности континуума.
II. Плотное подмножество.
Теорема. Любое подмножество пространства содержат
счетное плотное подмножество.
') См. Сакс [8] (теорема Фубини).
2) См. Куратовский [8а], стр. 85.
17»

260 Гл. 2. Метрические пространства
В самом деле, любое подмножество метрического сепарабельного
пространства сепарабельно (§ 21, I, теорема 2 и § 22, I, теорема 1).
Ш. Точки конденсации. Точка р называется точкой конденса-
конденсации множества X, если каждая ее окрестность содержит несчетное
множество точек множества X'), иначе говоря, если множество X
не является локально счетным в точке р (§ 7, IV).
Множество точек конденсации множества X мы будем обозна-
обозначать через Х°.
Теорема. Множество X — Х° счетно.
Доказательство. Пусть Rb R2, ...—база пространства.
Поставим в соответствие каждой точке р множества X — X®
индекс п(р) так, чтобы множество XftR,,^ было счетным. Тогда
X — Х° с \J (X f\Rn (p)), а это объединение, как счетное объеди-
р
нение счетных множеств, счетно (в силу одной теоремы теории мно-
множеств, опирающейся на аксиому выбора).
IV. Основные свойства операции Q.
A)
B)
C)
D)
E)
F)
G)
(8)
(9)
(*U
X°-
(fV
[JX
(Xc
, (x-
X°i
x° =
Yf=X°\)Y°;
1 I ^ A 1- *
? = (ил)''
-Jf0H=O;
= x°° = xed = .
Хэ cz(X nX°Y.
Формулы A)—E) вытекают непосредственно из того, что (§ 7, IV)
объединение двух счетных множеств счетно и что подмножество
счетного множества счетно.
Формула F) вытекает из п. III (потому что счетное множество
не обладает, очевидно, ни одной точкой конденсации). Так как
каждая точка конденсации является точкой накопления (§ 9, II),
то имеет место формула G).
') Линделёф [2], Юнг [3].

§ 23. Мощность пространства. Точки конденсации 261
В силу формулы C), имеем
(X П X°f
f
с
а так как, кроме того, множество Х° замкнуто (§ 7, IV), то,
согласно формуле G), имеем
Таким образом установлена формула (8), ибо из равенства
X =(Х (]Х0)[}(Х — Х°), в силу формул A) и F), следует, что
Х° =(Х П ^0) • Наконец, из формул (8) и G) вытекает формула (9):
X П Xе с X® =(Х П *°)° с (X П X°)d.
V. Разреженные множества.
Теорема. Любое разреженное пространство счетно.
Так как, согласно IV (9), множество Ж° плотно в себе, то из пред-
предположения разреженности пространства следует, что $~° = 0, откуда
X — 3? — 3?®\ поскольку эта разность, согласно п. III, счетна, тео-
теорема доказана.
Сравнивая эти результаты с § 9, VI, 3, мы приходим к теореме
Кантора — Бендиксона ]): любое пространство есть объединение
двух множеств, одно из которых является совершенным,
а другое счетным (и разреженным).
VI. Объединения разреженных множеств.
Теорема (Серпинский [14]). Любое пространство, являю-
являющееся объединением монотонного семейства2) разреженных
множеств, счетно.
Предположим, что ¦%' = \JCV где множества Ct—разреженные
t
(индекс i пробегает множество произвольной мощности), и что про-
пространство X несчетно.
В силу предыдущей теоремы, это пространство содержит мно-
множество, плотное в себе, которое в свою очередь (согласно II) содержит
плотное счетное подмножество D = [plt р2, .. .]. Множество D плотно
в себе. Каждой точке рп поставим в соответствие индекс in, такой,
что pn?Ct , и положим
') См. Кантор [5], Вендиксон [1], Линделёф [2].
г) Семейство множеств называется монотонным, если, каковы бы
ни были множества X и Y, принадлежащие этому семейству, имеет место
одно из включений: либо X&Y, либо КаХ.

262 Гл. 2. Метрические пространства
Тогда D с S. Множество S, как счетное объединение счетных
множеств, счетно, поэтому достаточно доказать, что
Допустим противное, т.е. что д?&—5. Тогда существует мно-
множество Со, такое, что q?C0. Отсюда следует, что множество Со
не содержится ни в каком из множеств С1 . Так как семейство мно-
множеств С1 монотонно, то Ct с: Со, каково бы ни было п.
Следовательно, S с Со, откуда D cz S с Со, что невозможно,
потому что множество Со разреженное, а множество D плотно в себе
(и не пусто).
VII. Точки порядка nt. Утверждение п. III, в силу которого
любое несчетное пространство содержит точки конденсации (т. е. точки
„несчетного порядка"), может быть уточнено следующим образом:
если т> Ко—мощность пространства и она не конфинальна
с со (т. е. если она не является суммой счетного множества карди-
кардинальных чисел, меньших т), то в пространстве существует
точка порядка т (т. е. точка, каждая окрестность которой имеет
мощность т). Имеет место следующее утверждение: пространство
состоит из разреженного множества и последовательности множеств,
таких, что все точки каждого из них имеют один и тот же порядок1).
VIII. Понятие эффективности. Это понятие метаматема-
метаматематической природы: оно касается метода доказательства теорем суще-
существования. Говорят, что теорема существования, т. е. теорема вида
V<p(-*0. где ф (х)—функция высказываний (см. § 1, III), доказы-
X
вается эффективным образом, если определен объект а и дока-
доказано, что а удовлетворяет рассматриваемой теореме, т. е. что ф(оJ).
В топологии регулярных ^-пространств со счетной базой мы
будем считать, что база пространства определена (это оправ-
оправдывается тем, что в евклидовом пространстве известна определенная
база: последовательность шаров, радиусы и координаты центров
которых рациональны). С помощью базы пространства можно опре-
определить различные объекты (множества, функции и т. д.).
В проблемах мощности задача, вообще говоря, состоит в дока-
доказательстве того, что некоторое множество имеет ту или иную
') См. Серпинский [7], Кантор [7]. Отметим также недавнюю работу
Ефимова [1*].
2) Ср. с понятием эффективности у Бореля и Лебега, а также у Ф. Берн-
штейна [1] (который различает „Existenz" и „Herstellung").
Этой теме посвящены многочисленные исследования Серпинского
(см. Серпинский [11]). См. также замечания о эффективности в статье
Кнастера и Куратовского [1].

§ 24. Мощность различных семейств множеств 263
мощность. При этом доказательство эффективно, если определено
требуемое соответствие.
Так, например, данное в п. III доказательство того, что множе-
множество X — Х° счетно, не является эффективным: мы не определили
конкретную последовательность, содержащую все точки этого мно-
множества; мы лишь доказали, что последовательности такого рода
существуют.
Напротив, легко эффективным образом установить, что мно-
множество X—Xй счетно.
В самом деле, если р ? X — Ха, то существует такой индекс п,
что р = X П Rn (где Rn — множество, принадлежащее базе про-
пространства). Обозначим через п(р) первый индекс, обладающий
этим свойством. Очевидно, что двум различным точкам соответствуют
различные индексы. Таким образом, точки множества X—Ха рас-
располагаются в последовательность (конечную или бесконечную).
Эффективное доказательство счетности множества X — Х°
дано в § 24.
§ 24. Мощность различных семейств множеств
I. Семейства открытых множеств. Семейства множеств,
обладающих свойством Бэра.
Теорема 1. Семейство всех открытых множеств про-
пространства имеет мощность <^с.
Доказательство. Так как каждое открытое множество является
объединением некоторого семейства множеств, принадлежащих базе,
то мощность множества всех открытых множеств не превосходит
мощности множества всех последовательностей элементов базы данного
пространства.
Так как каждое замкнутое множество является дополнением
к открытому, то семейство всех замкнутых множеств также
имеет мощность <J с.
Замечание. Соответствие между открытыми множествами и
элементами некоторого подмножества линейного континуума можно
установить непосредственно следующим образом.
Пусть Rv R2, •¦•—база пространства. Допустим, что каждый
элемент в этой последовательности повторяется бесконечное число раз.
Пусть G — открытое множество, a kb k2, ...—последовательность
индексов, таких, что Rb с О. Положим
-О)
') Эту конструкцию предложил.Феликс Хаусдорф.

Гл. 2. Метрические пространства
Иначе говоря, двоичное разложение ^@) имеет вид 0, аь а2
где ап = 1 или 0, в зависимости от того, содержится множество Rn
в множестве О или нет. Такое разложение всегда содержит беско-
бесконечное число единиц (за исключением того случая, когда G=0).
Отсюда вытекает, что функция t взаимно однозначна:
B) из неравенства йфН следует неравенство (@)Ф((Н).
Легко установить также, что
C) из включения G а Н следует неравенство t@)^,t (Н).
Теорема 2. Всякое семейство попарно непересекающихся
открытых множеств (эффективно) счетно.
Доказательство. Если О —(непустое) множество рассматри-
рассматриваемого семейства, то существует элемент базы, такой, что Rn с G.
Пусть п (G)—первый индекс такого рода. Так как рассматри-
рассматриваемые открытые множества, по предположению, не пересекаются,
то двум различным множествам всегда соответствуют два различных
индекса, так что семейство этих множеств оказывается занумерован-
занумерованным в последовательность (конечную или бесконечную).
В частности, на прямой всякое множество попарно непересекаю-
непересекающихся интервалов счетно.
Из теоремы 2 следует
Теорема 3. Всякое семейство попарно непересекающихся
множеств {Х^, обладающих свойством Бэра, ни одно из кото-
которых не является множеством первой категории, (эффектив-
(эффективным образом) счетно.
В самом деле, в силу следствия 3, § 11, IV, множества lnt[D(Xl)]
не пересекаются, а, в силу § 10, V G), они не пусты.
Замечание. Следует заметить, что теорему 2 можно распро-
странить (за исключением утверждения об эффективности) на про-
произведения любого числа пространств, каждое из которых
сепарабельно 1).
Пользуясь обозначениями § 3, XIV, 3, получаем следующую теорему.
Теорема 4 2). Пусть R— результат применения (^-опе-
(^-операции к множествам Ak ...»• обладающим свойством Бэра.
Тогда существует индекс \х < Q, такой, что R—Кц есть
множество первой категории.
') См. Марчевский [1], [2]. Ср. Бокштейн [1].
2) См. Селивановский [2], Серпинский [48], стр. 29, Шпильрайн-Марчев-
ский [4].
Утверждение 4 остается верным (в пространстве действительных чисел),
если заменить свойство Бэра измеримостью (в смысле Лебега), а множества
первой категории—множествами меры нуль.

§ 24. Мощность различных семейств множеств 265
Доказательство. Так как А% ...s с А\ ...ft при а < р,
то множества
Bkt ... йя = Лй( ... » — Л^... kn< где а < Q,
попарно не пересекаются (при фиксированных Alf ..., kn).
Согласно теореме 3, каждой системе r=(kl kn) соответ-
соответствует индекс уг <С 2, такой, что при а > -у, множество ??? . ..s
первой категории. Так как множество таких систем г счетно, суще-
существует индекс ц ¦< Q, такой, что \i > уг, каково бы ни было г.
Следовательно, множество В\ .. # первой категории, какова бы
ни была система kx ... kn. Поэтому объединение (J B\ ...ft (которое
берется по всем системам kx ... kn) тоже является множеством пер-
первой категории.
В силу включений
R Лд СИ Еп Дд CZ In ^^ М DJ ? ,
множество R — К^ есть множество первой категории.
Теорема 5. Если множества А^ k обладают свойством
Бэра в узком смысле и если Z — множество, содержащее
по одной точке из каждой непустой разности Ка— U К^,
то Z— множество первой категории на любом совершенном
множестве.
Доказательство. Так как KaczR, то
2с и (Ка- U
а < ц V I < о
Отсюда следует, в силу теоремы 4, что Z является объединением
счетного множества и множества первой категории. Применяя тео-
теорему 4 к произвольному совершенному множеству Р, получаем, что
множество Z П Р есть объединение счетного множества и множества
первой категории на Р. Так как множество Р совершенно, то любая
его отдельная точка нигде не плотна в Р; следовательно, Z (]Р
является множеством первой категории на Р.
Как будет показано далее, если R — некоторое неборелевское Л-множе-
ство (в пространстве % действительных чисел), то множество Z, являющееся
множеством первой категории на любом совершенном подмножестве, можно
считать несчетным; это весьма интересная особенность пространства Ч.
Добавим, что множество первой категории на любом совершенном мно-
множестве можно также получить, извлекая по одной точке из каждой непустой
разности Da+1—Da, где Da=—Ea (по поводу Еа см. § 3, XIV) и где пред-
предполагается, что Ы. k )—регулярная система замкнутых множеств1)-
') См. Лузин и Серпинский [5].

266 Гл. 2. Метрические пространства
II. Вполне упорядоченные монотонные семейства1).
Теорема 1. Любое вполне упорядоченное семейство убы-
убывающих открытых множеств (эффективно) счетно.
Доказательство. Пусть О: гэ G2 zj ... гз 0^ id 0^+1 Z) . . . —
трансфинитная последовательность различных открытых множеств.
Если а не является последним индексом, то существует точка
Лх€(^а—*^a+i)> следовательно, существует индекс п, такой, что
Ра?Кп^аа> причем
(О Rn^Oa и Rn-О^фО.
Пусть «(а) — наименьший индекс, удовлетворяющий условию (i).
Двум различным трансфинитным числам соответствуют два раз-
различных индекса, так как из условия а<р следует, что fZn(^cz6pczGa+i,
тогда как, согласно (i), включение Rn(a) с Ga+\ не имеет места.
Таким образом, все индексы а (за исключением, может быть, послед-
последнего) занумерованы в счетную последовательность.
Теорема 2. Любое вполне упорядоченное семейство убы-
убывающих замкнутых множеств (эффективным образом) счетно.
Пусть F-y гз F2 1Э • •. => Fi => Fi + i => . .. — такая последователь-
последовательность. Если а не является последним индексом, то существует точка
/7a6(^a ~ ^a+i)> ПУСТЬ п(а) — наименьший индекс, такой, что
Л„(а)П/="«=?«= О = /?п(а)П/'«и-
Тогда при a < р имеем F~ cz Fa+V поэтому из соотношения
#п(р) П /^р Ф 0 следует соотношение /?я(р) П Fa+i Ф 0, откуда п (а) ф
Ф я(Р). Следовательно, множество индексов а (эффективным обра-
образом) счетно.
Так как открытые множества являются дополнениями замкнутых,
можно сформулировать следующее утверждение, являющееся обобще-
обобщением двух предыдущих.
Теорема 3. Любое вполне упорядоченное семейство возра-
возрастающих или убывающих множеств, которые все замкнуты
или все открыты, (эффективным образом) счетно.
Замечания. 1. Любое множество действительных чисел,
вполне упорядоченное отношением „меньше", счетно. В самом деле,
трансфинитная последовательность действительных чисел х0 < лгх < ...
... < лг| < Jtj+i < . . . определяет вполне упорядоченное возрастаю-
возрастающее семейство замкнутых множеств {Fi\, где F\—полупрямая л:^л:|.
2. Утверждения 1 и 2 остаются истинными, если вместо полной
упорядоченности рассматривать такой порядок, при котором для
каждого элемента (за исключением последнего, если он существует)
') См. Бэр [1].

§ 24. Мощность различных семейств множеств 267
имеется элемент, непосредственно следующий за ним. Таким
образом, и утверждение 3 можно обобщить на случай такой упоря-
упорядоченности.
Другие обобщения будут указаны в следующих пунктах (III, 2
и VII, 1).
III. Разложимые множества. Множество Е называется разло*
жимым (§ 12, II), если оно представимо в виде
Е= Fi - ^2 U F3— F4U ¦ ¦ ¦ U Ft - FUl [}...,
где элементы F% трансфинитного ряда—убывающие замкнутые мно-
множества.
В силу теоремы 2, п. II, это — счетное множество (иначе говоря,
все индексы | меньше некоторого а ¦< Q).
Теорема 1. Разложимые множества являются одновре-
одновременно множествами типа Fa и Оь.
В самом деле, разность двух замкнутых множеств есть множе-
множество типа Fa, как пересечение замкнутого множества с открытым
(которое есть множество типа Fa в силу § 21, IV). Разложимое мно-
множество, как объединение счетного семейства разностей замкнутых
множеств, также является множеством типа Fa. Кроме того, оно
является множеством типа О6, так как дополнение к разложимому
множеству разложимо (§ 12, VI, 1) и, следовательно, является
/¦^-множеством.
Следствие 1а1). Разреженные множества являются мно-
множествами типа Fa и Оь.
Действительно, каждое разреженное множество разложимо (§ 12,
VI, 4).
Замечания. 1. Разложимые множества являются множествами
типа Fa и О& эффективным образом: каждому разложимому
множеству мы можем поставить в соответствие определенную после-
последовательность замкнутых множеств, объединением которых является
данное множество (а также последовательность открытых множеств,
пересечением которых является данное множество).
В самом деле, если множество Е разложимо, то, в силу § 12,
V 3°
где множества Л| и В| — элементы разложения (§ 12, III, 3° (i)).
Так как последовательность /Ц, в силу II, 2, эффективным обра-
образом счетна, то индексы |< а можно занумеровать в последователь-
последовательность |j, |2, ... (которая не обязательно возрастает). С другой сто-
') Теорема Юнга [5], стр. 65.

268 Гл. 2. Метрические пространства
роны, поставим в соответствие (§ 21, IV) каждому замкнутому мно-
множеству последовательность открытых множеств, пересечением которых
оно является. Тогда
Так как двойной ряд легко преобразовать в простой, то опре-
определена простая бесконечная последовательность замкнутых множеств,
объединением которых является множество Е. Это означает, что Е
есть множество типа Fa эффективно.
Так как дополнение к разложимому множеству разложимо (§ 12,
VI, 1), то любое разложимое множество есть эффективным образом
множество типа (?6.
2. Теорема, обратная теореме 1, имеет место, как мы увидим
в § 37, в полных пространствах, в произвольных же пространствах
она, вообще говоря, не верна.
В самом деле, в пространстве рациональных чисел любое множе-
множество, одновременно всюду плотное и граничное, является множеством
типа Fa и О5 (так как пространство счетно), но оно не разложимо,
так как его граница не является нигде не плотным множеством
(она совпадает со всем пространством (см. § 12, V, 2°)).
3. Теорема 1 имеет место во всяком метрическом простран-
пространстве, не обязательно сепарабельном (см. § 30, X, теорема 5).
Перейдем теперь к доказательству следующего утверждения, ко-
которое представляет собой обобщение теоремы 3 из п. II.
Теорема 2. Любое вполне упорядоченное семейство раз-
разложимых возрастающих (или убывающих) множеств счетно.
Принимая во внимание, что характеристическая функция разло-
разложимого множества точечно-разрывна на любом замкнутом множестве
(§ 13, VI), утверждение 2 можно вывести1) из следующей более
общей теоремы, которую мы сейчас докажем2).
Теорема 2'. Любое вполне упорядоченное семейство веще-
ственнозначных функций
точечно-разрывных на любом замкнутом множестве, счетно.
Для доказательства теоремы необходимо установить существова-
существование такого индекса а, что fa+i(x) = fa(x) для любых х и |. При
фиксированном п пусть RniV /?„, 2 &п,р •••—последователь-
') Более прямое доказательство можно найти в работе Хаусдорфа [5].
См. также Зальцвассер [1].
2) Это доказательство дано Зальцвассером.

§ 24. Мощность различных семейств множеств 269
ность множеств, принадлежащих базе пространства и таких, что су-
существует порядковое число ап (, удовлетворяющее условию
fanii+i(x)—fan.(x)<— при x?Rnii, каково бы ни было |.
Положим R" = /?Я| 1 U /?„, 2 U • • • • Пусть ап > аП:,-, 1=1, 2
Тогда
fan+l(x)- fan(x)<± при X ? /?".
Следовательно, если а > ап, п = 1, 2 то для х ? Z?1 П /?2 П
имеем
fa+l(x)— /aW<-i каКОВО бы НИ было П,
откуда
Наша теорема будет доказана, как только будет установлено
равенство R" = X для каждого п.
Допустим противное: существует такое п, что замкнутое множе-
множество F = X—R" не пусто.
Пусть [а-у, а2, ...] —счетное множество, плотное в F. Тогда
существует индекс у, такой, что
0) (i>Y):4>(/i(am) = /v(am)) ПРИ любом да.
Действительно, каждому пг соответствует индекс ут, такой, что
/l (ат) — /Y (ат) при |!>Ym (см- замечание 1, п. II); следовательно,
достаточно, чтобы у было больше всех ут, где т=\, 2 При
этом можно еще допустить, что у > ап.
Так как точка ат расположена вне множества R", то в каждой
ее окрестности существуют точка х и индекс рт > у, такие, что
/„„(*)-/,(*)> 1/я-
Следовательно, существует точка Ьт, такая, что
С другой стороны, из неравенства у > ап следует, что /a (bm) ^
< /у (Рт)- поэтому /рт фт) — /„п (*т) > 1/л, откуда 6т ^ F.
Пусть р — число, большее всех чисел рт, т = 1, 2 Тогда
(И) ftVJ-fy(bJ>±. и = 1.2
Так как функция /„ точечно-разрывна на каждом замкнутом
множестве, существует точка непрерывности ее сужения /„ | F. Пусть

270 Гл. 2. Метрические пространства
— множество, открытое в F и такое, что |/6(х) — /60О|<
< 1/2л, где х, х' 6 G.
Аналогично в множестве О существует точка непрерывности
функции fy\G. Пусть Н (Ф0)— множество, открытое в F, такое,
что
для х, х' ? Н.
При подходящем выборе m в эти неравенства можно подста-
подставить ат вместо х н Ьт вместо х'. В силу (i), имеем /„ (ат) = Д, (ат);
таким образом,
I /„ («J - /р (*») К ^ и | /р (a j - /Y (ftm) |< ^,
откуда |/p(*m)~/Y(*m)| < 1/«, вопреки (ii).
Следствие 2а. Всякое вполне упорядоченное семейство
возрастающих (убывающих) разреженных множеств счетно 1).
Это следует из того, что каждое разреженное множество разло-
разложимо (§ 12, VI. 4).
IV. Производные множества порядка я2). Производное мно-
множество порядка а множества X определяется условиями:
, (х{а)у и г\
если X— предельное число.
Так как производное множество Ха замкнуто и пересечение замк-
замкнутых множеств также замкнуто, легко доказать (с помощью транс-
трансфинитной индукции), что множество X замкнуто, каково бы ни
было а.
Кроме того, так как каждое замкнутое множество содержит свое
производное множество, семейство производных множеств является
убывающим:
Следовательно (согласно II, 2), семейство производных множеств
множества X счетно; иначе говоря, существует порядковое число
р<2, такое, что Xф) = Х{&+1) = ....
Так как множество X1® совпадает со своим производным множе-
множеством, оно совершенно.
') В работе Куратовского [5] имеется прямое доказательство этого
утверждения. Впрочем, эффективное доказательство вытекает из теоремы
Сергшнского (§ 23, VI) (см. цитированную работу Серпинского).
2) См. Кантор [4].

§ 24. Мощность различных семейств множеств 271
В частности, положим Х = Х и Х{й) = %. Тогда (§ 12, I)
(О .r = u (jr(a)-jr(a+1))ujr(P).
a<[3
Поскольку каждое из множеств X —^а+ , как состоящее из
изолированных точек (§ 23, VIII), счетно, то счетное объединение
(J (j?T — ,#" ) тоже является счетным множеством.
а<р
Замечание. В формуле (i) содержится теорема Кантора —
Вендиксона (§ 23, V): отнимая от пространства некоторое
счетное множество, мы получаем совершенное множество.
Именно таким способом впервые была доказана эта теорема.
Преимущество этого рассуждения перед рассуждением, изложенным
в предыдущем параграфе, заключается в том, что оно не пользуется аксио-
аксиомой выбора и дает возможность эффективно занумеровать элементы
каждого разреженного множества, так как последовательность производных
множеств и множество X— X эффективным образом счетны (§ 23, VIII).
(См. Серпинский [4].)
V. Логический анализ'). В „^-пространствах изучались соот-
соотношения между следующими предложениями:
A) любое вполне упорядоченное бесконечное семейство воз-
возрастающих замкнутых множеств счетно;
B) любое вполне упорядоченное бесконечное семейство убы-
убывающих замкнутых множеств счетно;
C) любое множество содержит плотное счетное подмно-
подмножество;
D) любое разреженное множество счетно;
E) любое несчетное множество содержит точку конден-
конденсации.
Можно доказать, что предложения D) и E) эквивалентны, из
предложения D) следует предложение B), а из C) предложение A).
Обратные импликации имеют место в тех ^-пространствах, в кото-
которых замыкание всегда является замкнутым множеством, но они могут
быть неверны в более общих ^-пространствах.
VI. Семейства непрерывных функций. Пусть f-.X^-y- не-
непрерывное отображение. Если пространство X сепарабельно, то су-
существует такая последовательность точек хх, х2, ¦ •-, что каждая
точка р пространства X является пределом некоторой подпоследо-
подпоследовательности этой последовательности: /? = ПтлгА . Поэтому, так как
функция / непрерывна, ее значения определяются значениями в точ-
точках хп, ибо f(p) = \\mf(xkf).
') См. Серпинский [10], Куратовекий [5]. См. также (случай метриче-
метрических пространств) Гросс [1].

272 Гл. 2. Метрические пространства
Иначе говоря, если f(xn) = g(xn) для каждого п, то функции
fug совпадают. Отсюда вытекает, что мощность множества Ух
всех непрерывных функций, отображающих пространство X в под-
подмножества пространства у, не может превосходить мощности мно-
множества (счетных) подмножеств пространства у, т. е. мощности с,
которая равна с. Следовательно, рассматриваемое множество
имеет мощность <;с.
Таким образом, множество подмножеств пространства у, являю-
являющихся непрерывными образами фиксированного подмножества про-
пространства X', имеет мощность <С с.
Отсюда следует, что в пространстве, имеющем мощность конти-
континуума, существует столько же топологических типов (§ 13, VIII),
сколько типов подмножеств, а именно 2е.
VII. Структура монотонных семейств замкнутых множеств ')•
В метрическом сепарабельном пространстве X рассмотрим монотон-
монотонное семейство F замкнутых множеств, т. е. такое семейство, что
для каждой пары его элементов А, В либо АсВ, либо ВсА.
Мы будем рассматривать семейство F как упорядоченное: мно-
множество А предшествует множеству В, если Ас В и А Ф В.
Очевидно, что семейство G дополнений к множествам — элемен-
элементам семейства F есть монотонное семейство открытых множеств.
Функция t, рассмотренная в I A), устанавливает, в силу B) и C),
подобие между семейством G и некоторым подмножеством интер-
интервала д. Другими словами, справедлива
Теорема I. .Семейство F подобно некоторому подмноже-
подмножеству интервала д.
Иначе говоря, каждый элемент А семейства F можно снаб-
снабдить таким индексом у, что 0 <! у <^ 1 и неравенство ух < у2
эквивалентно соотношению
Докажем более точное утверждение.
Теорема 2. Пусть J — множество индексов у, которыми
нумеруются множества Ау. Это множество можно выбрать
так, чтобы выполнялось следующее условие: концы интерва-
интервалов, смежных с множеством J, принадлежат J; если семей-
семейство F содержит первый или последний элемент, то эти
элементы снабжены индексами 0 и 1.
Отсюда следует, что если семейство F не имеет пустых
интервалов и содержит первый и последний элементы, то
') По поводу п. VII—X см. Куратовский [38]. Приложения можно найти
во втором томе.

§ 24. Мощность различных семейств множеств 273
множество J замкнуто. Если, кроме того, семейство F не
имеет скачков, то множество J совпадает со всем интерва-
интервалом g.
Теорема 2 является прямым следствием следующей теоремы об-
общей теории упорядоченных множеств.
Пусть F — линейно упорядоченное множество, имеющее
плотное счетное подмножество D; тогда существует ото-
отображение <р: F —>$, сохраняющее порядок элементов; мно-
множество У = ф(/7) может быть подчинено дополнительному
условию, сформулированному в теореме 2.
Отображение <р можно построить следующим образом').
Пусть d0, dv ...—последовательность, составленная из всех
элементов множества D и всех тех элементов множества F, которые
имеют соседний элемент. Очевидно, можно допустить, что множе-
множество F содержит первый элемент d0 и последний элемент dv
Положим
и ф(</я) = -§-
где (при я > 1) dk, dt — пара соседних элементов в системе d0, ...
..., dn_x, таких, что dj, <dra <dr.
Наконец, при a?F—D положим ф(а) равным нижней грани
чисел q>(dn), где a<rfra.
Определенное таким образом отображение ф устанавливает тре-
требуемое соответствие.
В самом деле, можно доказать по индукции для каждого п, что
если dj и dq — два соседних элемента в системе d0, ..., dn_lt то
существует такое s, что
Отсюда заключаем, что если q>(dn) — i/2m, где I нечетно, то
/ — 1
= -2»r- и
где k и I имеют тот же смысл, что и выше.
Пусть {и, V) — интервал, смежный с множеством J.
Обозначим через т наибольшее целое число, такое, что в после-
последовательности ф(^о)> ф№)| ••• существуют два числа вида iJ2m и
(/-f-l)/2m. удовлетворяющие условию
Одно из двух чисел i или / +1 нечетно; пусть это будет I;
обозначим через п такой индекс, что ф(й„) = г/2т. Тогда существует
') См. Куратовский [3], стр. 215.
1§ Топология, т. I

274 Гл. 2. Метрические пространства
такой индекс / < п, что ф (а?г) = G-f- l)/2m, а в системе d0 dn
элементы dn и dt являются соседними. Отсюда следует, что
S_=u и г + 1 _=г,
В самом деле, если это не так, то существует элемент ds, такой,
что dn-^.ds^di, пусть s—наименьший из таких индексов, тогда
Согласно определению числа т, имеем и < B/-)- l)/2m+1 < v,
но это противоречит предположению, что (и, v) — смежный интервал.
Теорема 3. Для любого индекса у, за исключением, быть
может, счетного множества индексов, имеем (см. Серпин-
ский [12])
A) ^^TTV
и < у
B) Ay=f\Az.
z>y
В самом деле, пусть Rlt R2, . . ¦ —база пространства Ж. Каждому
y?J, не удовлетворяющему равенству A), поставим в соответствие
целое число п(у), такое, что
Ау П Rn(y) ФО и Rn(y) П ( U \) = 0.
Если у фу', то п(у) ф п(у'). Следовательно, множество индек-
индексов у, не удовлетворяющих равенству A), счетно.
Случай равенства B) аналогичен.
Теорема 4. Для любого у, за исключением, быть может,
счетного множества, имеем
C) Int(i4 )= L
и<у
В самом деле, так как семейство множеств Ву — $? — Ау моно-
монотонно, то множество тех Ву, для которых
By Ф П Ва, т. е. 1п1(Л ) Ф U
и < у и<у
счетно, в силу теоремы 3. Теперь достаточно доказать, что если
/<уи В?=Ву. то Ву = П Ва.
и <у
Но это равенство следует из двойного включения
у п г
и<у
VIII. Строго монотонные семейства. Мы говорим, что семей-
семейство замкнутых множеств строго монотонно, если для каждой

§ 24. Мощность различных семейств множеств 275
пары А, В (А ф В) его элементов либо ^4c:Int(S), либо Ва\хА(А).
Если элементы данного семейства занумерованы некоторым мно-
множеством индексов (в соответствии с теоремами 1 и 2, п. VII),
то строгая монотонность означает, что из неравенства у1 < у2
следует включение Ayic\nt(Ay2).
Теорема. Если F— строго монотонное семейство замкну-
замкнутых множеств, то для любого у, за исключением, бить мо-
может, счетного множества, имеют место соотношения
D) Лу= П Az= П Int (А,);
z>у z> у
E) Ау = U Аа=Ы(Ау);
и<у
F) Ы(Ау)= U Ы(Аи)= у Аа;
и < у и < у
G) Ж— Ау= П SC— Аи= П С2Г— Аа).
и<у и. <у
Формула D) вытекает из формулы B), в силу включения
Ау с: Int (Аг) a Az. Формула E) является следствием формулы A);
она означает, что Ау является замкнутой областью. Формулы F)
и G), эквивалентные между собой, вытекают из формулы C), в силу
включения Int (Au) a Au a Int (Ay).
Комбинируя формулы D) и G), мы получим формулы для гра-
границы множества Ау. Мы имеем
(8) Ъ(Ау)= П Ы(Аг)— U Аа,
z > у и<у
и, кроме того (см. B) и G)), существуют две последовательности
индексов [ип] и [zn], такие, что
и2
x
(9) Fr(Ay) =
IX. Связь строго монотонных семейств с непрерывными
функциями.
Теорема 1. Пусть f??fx; тогда семейство F множеств
Г1 ([0, у)) = Е Ю < / (х) < у], где
строго монотонно, и для каждого элемента у, не имеющего
непосредственно следующего за ним элемента, множество
18*

276 Гл. 2. Метрические пространства
/~ A°- >']) является пересечением всех тех элементов, кото-
которые за ним следуют, т. е.
/"'([О. У])= П/'ЧЮ. г]),
г>у
где область изменения переменной z есть множество у.
В самом деле, пусть уг < у2—два элемента пространства у.
Из очевидного включения [0, уг] с [0, у2]—y2 = Int([O, y2]) сле-
следует, что
Г1 ([0, yd) с г1 (int [0. y^cMlr'do. у2})],
так как включение /-1 [Int (В)] с: Int [/-1 (В)] выполняется для каждой
непрерывной функции /.
Следовательно, семейство F строго монотонно.
Допустим, что у не является последним элементом в ^ и что
среди элементов г > у не существует наименьшего в У.
Тогда ЗТЦО, >']= П CTI[0, z]), откуда /~\[0,у]) =
= ГЧП СУП [0, *])]= П/'ЧЮ. «]).
L«> у 1 z> у
Принимая во внимание A) и G), можно доказать следующее
утверждение.
Теорема 2. За исключением, быть может, счетного мно-
множества элементов у множества f (X), имеем
/"'([0. у!)=/([0, у] —у); Г1 ([у. 1]) = /([у. И —у).
f'iy)^/'1^, у] — у)ПГ1Aу. U —у).
Последнее равенство является следствием двух предыдущих:
/(у) = /(Ю. у]П[у. 1]) = /"'([0. у])ПГ\[у, И).
Теореме 1 соответствует следующая обратная
Теорема 3. Пусть F—строго монотонное семейство
замкнутых множеств, занумерованных в соответствии с тео-
теоремами 1 и 2 из п. VII некоторым множеством индексов
(где Ах-=Ху, тогда существует функция /€&х, такая, что
для каждого индекса у < 1 имеем
A0) Лу = /-1([0. у]) или П Лг = г\[0, у]),
г>у
в соответствии с тем, допускает множество Ау элемент,
который непосредственно следует за ним в семействе F,
ила нет.

§ 24. Мощность различных семейств множеств 277
Функцию / можно определить следующим образом. Пусть (Ап, ASl),
(АГз, AS2). • • • — последовательность скачков. Положим
и определим функцию / следующим образом:
1° для х?Ж*
/(*)= inf у;
2° для хеЫ(А,я)-АГя
Р (х, АТп)
— Г" ~~^~ (S" r") ' р (х J-
Докажем сначала, что функция / непрерывна на множестве JP*.
С этой целью отметим очевидную двойную импликацию
V1 '¦) U \л) <-- У\ —У Iх t Лу1 —9 УЗ \х> "^ У'<
истинную для каждого у, принадлежащего множеству индексов J.
Итак, пусть \\тахп = х, хп?Ж*, f(x) = q и limf(xn) = q'.
Покажем, что q = q'.
Для доказательства неравенства q'^-q рассмотрим два случая
в зависимости от того, является или нет q правым концом интер-
интервала, смежного с множеством J. В первом случае, в силу VII, 2,
имеем q^J- Пусть г — левый конец рассматриваемого смежного
интервала (r?J). Так как точка х не принадлежит множеству Ат,
то точка хп также не принадлежит этому множеству при достаточно
большом п; отсюда f(xn)^q и, следовательно, q't>q.
Рассмотрим случай, когда точка q не является правым концом
смежного интервала; пусть у1 < у2 < ,. ., lim уп = q и уп ? J. Ни при
каком фиксированном п точка х не принадлежит Ау , поэтому хк (? Ау
для достаточно больших k, откуда / {хк) ^- уп. Следовательно, q' ^- q.
Доказательство неравенства q' ^q аналогично. Пусть точка
q— левый конец интервала смежности (q, s), тогда для достаточно
больших п мы имеем хп?Ад, ибо из соотношений хп?&"* и хпфА
следует, что хп (jt Int (As), тогда как х ?Agc:lnt(As). Отсюда
/(*„)< ^ и q'^q.
В противном случае пусть ух > у2 > , .., lim yn = q и yn?J.
Для любого фиксированного п мы имеем х?Лу alnt(Ay\. Сле-
Следовательно, хк ? Ау для достаточно больших ft, откуда
и q' < а.
') Эта формула осуществляет интерполяцию функции /, определенной
условием 1°:/(лг)<г„ при х ? АГп, rn < f (x)< sn при х ? Int (ASn) — АГп
и / (х) > sn при х ? % — Int <ASn).
Если ? = 0, то положим р (х, Е) = 1.

278 Гл. 2. Метрические пространства
Итак, непрерывность функции / на множестве Ж* доказана.
Покажем, что если {хп\—последовательность элементов множества
As —Аг , сходящаяся в точке х, то f(x)=\im f(xn).
mn mn /i->co
Мы вправе допустить, что rm^ < rm < . . .; полагая q' = limrm ,
получаем q' = lim / (xn), поскольку гШп < / (xn) < smn < rMn+i.
Очевидно, что точка х не принадлежит никакому из множеств А.
тп
поэтому f(x)^>q'- С другой стороны, если q'^Cy?J,
то х ? U As с Ау, ибо sm <; q'\ следовательно, / (х) <! у, и поэтому
V
Наконец, чтобы установить формулу A0), заметим, что, в силу A1),
A2) Ау а Г1 ([0, у]) и Г1 ([0, у]) с Az для у < z ? У.
Итак, в случае, когда точка у является левым концом смежного
интервала, включение /~ ([0, у])сЛу следует непосредственно
из 1° и 2°. В противном случае положим у —limzra, zx~> z2 > ....
Тогда, согласно A2),
со со со
О Л — Г*1 Л с О / (ГО z ]) а С\ А =^== О Л
z>y л = 1 п л = 1 л=2 "~ г>у
со оо
и так как [0, у] = fl [0, гя], то / '([О, у])= (~| / ([0. *„]) =
= п ^г-
г >у
Следствия из теоремы 3.
A3) /"ЧЮ, у] — у)аЫ(Ау)аАу<=Г\№, у]);
A4) Рг(Лу) с:/~'(у) с П Лг— U Лц с: f\ Az— U Ы(Аа);
z>y и<у г>у и<у
A5) если элемент у не имеет непосредственно предше-
предшествующего ему элемента, то
/"'([о. у] —у)= U int(i4B), w. в. /"Vty. П)= п # — ^а;
и < у и < у
A6) ес^гм у не имеет соседнего элемента и 0<у<1, то
Г\У)=( П Я-АЛПГ П АЛ;
\и<у I \г>у )
A7) за исключением, быть может, счетного множества
индексов у, имеем
Л„ = /~1([0, у]), lnt(Ay) = f~1([0, у] — у),

§ 24. Мощность различных семейств множеств 279
A8) если U Ау = А0[}\ U Fr('
у < 1 Lo< у < 1
mo Fr{Ay) = rx{y) при Офуф1.
Для доказательства соотношения A3) положим u = f(x)<^y,
откуда х^/":([0, и}). Если у имеет предшествующий соседний
элемент, то /~ ([0, и]) dint (А у). Если a<f<y и v?J, то
/"х( [0, и]) a Avcz lni(Ay). Следовательно, f~l( [0, у] — у) dint (Ay).
Оставшаяся часть соотношения A3) очевидна.
Формула A4) следует из A3) и A0):
= Ay—lnt(Ay)<zf-\[O, y]) — f~l([O, y]-y)==
и Аас f~l ([0, и]), откуда Аа П/~' (у) = 0. Для доказательства
формулы A5) положим /(л:)<а<у; тогда x?f~ ([0, и] — а) и,
в силу формулы A3), x?Int(,4u), следовательно,
/¦10. у]-у) с U 1пНЛи).
ц < у
Обратное включение вытекает из формулы A3).
Формула A6) следует из A5) и A0).
В силу формул D), F), A0) и A5), для всех индексов у, за
исключением, быть может, счетного множества, имеем
Ау= П Az=f-\[Q, у]) и у
г> у и < у
откуда следует формула A7).
Наконец, формула A8) следует из формулы A4).
Из теоремы 3 вытекает
Следствие За. Пусть F—строго монотонное семейство
замкнутых подмножеств пространства X. Пусть каждый
элемент этого семейства, не имеющий непосредственно сле-
следующего за ним элемента, является пересечением всех эле-
элементов, которые за ним следуют.
Тогда существуют действительная непрерывная функция /,
определенная на X, и множество Jag, такие, что семей-
семейство Fсовпадает с семейством множеств /~ ([0, у]), где y?J.
X. Строго монотонные семейства замкнутого порядкового
типа. Пусть F— стрвго монотонное семейство замкнутых подмно-
подмножеств пространства 3?(ЖФ0), не содержащее лакун и содер-
содержащее в качестве элементов пустое множество и все про-
пространство X. Эти предположения означают, что
J=*T, 0?У, 1?У,

280 . Гл. 2. Метрические пространства
В случае, когда множество J несчетно, обозначим через Р его
совершенное ядро (множество J— Р счетно; см. § 23, V) и через
Р* — множество, которое получается из Р, если выбросить концы
его смежных интервалов.
Пусть ф — неубывающая непрерывная функция на множестве 0,
такая, что ц>(Р)=0 и ф возрастает на множестве Р* *).
Пусть y(t) и Т (t) —соответственно первый и последний эле-
элемент у, такой, что (r,(y) = t. Пусть g(x) — <pf(x), где / — функ-
функция, рассмотренная в теореме 3 из п. IX.
В случае, когда У <J Цо, мы положим ф(х) —0 для х?0,
<у@) = 0, уA)=1. Следовательно, g(x) = 0. Это приводит к сле-
следующей теореме.
Теорема 1. Множество J(\ ф (t) = Е (У 6^) [У('Х У <Г(/I
у
счетно.
Если у(()фГ(() и Р ф 0, то y(t) и Г(t) являются концами
одного и того же интервала смежности для множества Р.
Если y(t) = T(t), то y(t) есть точка множества Р". Следова-
Следовательно, y(t) не имеет в множестве J непосредственно пред-
предшествующего ей элемента, а Г(t) не имеет непосредственно
следующего за ней элемента.
Теорема 2. g~1(f) = ( П Аг)и( П ЛГ-Аа
В самом деле, в силу формул A0) и A5),
П Аг = Г Ю- Г(/)] = Е [0</(х)<Г(/)].
г (о < z х
П ^-^e = / lv@. i] = E lv@</(*)< И.
a<Y(O x
С другой стороны,
= Е [/ (*) 6 ф @] = f'V1 (t) = g'1 it).
X
поскольку ф~1@=гЕ [Y(O-^y-^Г(^)], в силу определения у и Г.
У
Теорема 3. За исключением, быть может, счетного мно-
множества значений t, имеем
1° g-НЮ. t])<=F.
2° g~l{t)=*f-\y), где * = <
') Определение такой функции ф не представляет трудностей. См., на-
например, § 16, II, следствие 6а (определение функции /).

§ 24. Мощность различных семейств множеств 281
В самом деле, за исключением счетного множества значений t,
каждое t имеет вид t — q>(y), где у?Р*. Поэтому
g-l([Q, ^]) = Е[0<Ф/(х)<^]-Е[0</(х)<у] = Г1([0, у]),
X X
так как условия /-^у и ф(у') -^ФОО = t эквивалентны. Используя
формулу A7), получаем равенство 1°.
Равенство 2° следует из тождества
(?(*) = /} = {ф/(*) = /} = {/(*) = у}.
Теорема 4. Пусть F—несчетное семейство; для любого
непрерывного отображения h, такого, что h {S) = 0 и что для
всех t?<J, за исключением счетного множества, h~ ([0, t])? F,
справедливо соотношение g~ (t)ah~ (t).
Если F— счетное {или конечное) семейство, то не суще-
существует никакой функции h, удовлетворяющей указанным выше
условиям.
Покажем, что из условия g (лг) = g (л/) следует, что h (х) = h (xr).
Допустим противное; пусть, например, h (x) < h (xf). Для каждого t,
такого, что h (x) <^ t < /г {х'), имеем
A9) x?h~l([0, t\) и x'^h~l (\Ъ, t\).
Так как множество таких t несчетно, то существует несчетное
множество таких t, что /г ([0, t})?F.
Следовательно, каждой точке t такого рода соответствует индекс
w?J, для которого h~l([0, t]) = Aw. Более того, двум различным t
всегда соответствуют два различных индекса w, ибо если допустить,
что /г ([0, t]) = /г~'([0, t'\) при t <^t', то найдется точка t"',
такая, что t < t" < t' и
h~x 0")с= Л ([0, /']) — А"*1 ([0, /]) = 0.
вопреки предположению, что h — отображение на.
Следовательно, множество W всех индексов w, таких, что
B0) Aw = h'1([0,t])l где h{x)<t<h(x'),
несчетно. Обозначим через W* множество, которое получается из W
удалением его первой точки (если она существует). Тогда для w?W*
имеем
B1) *6Int(i4J и х'$Аи.
В самом деле, пусть w' < w; тогда, в силу B0),
Aw.=A-1([0. t'\), где AW<<'<*D

282 Гл. 2. Метрические пространства
Поэтому х?/г-1([0, t']) = AW< <= lnt(Aw), откуда вытекает первая
часть формулы B1). Вторая часть является прямым следствием фор-
формул A9) и B0).
Положим g(x) = to = g(x'), т. е. x^g-l(t0) и х' ?g~l (t0).
Тогда, в силу теоремы 2, х' ? Az для каждого индекса 2>Г(?0);
кроме того, х?Х—Аи, т. е. х(?lnt(Au) для любого индекса
u<^y(tQ). В силу формулы B1), отсюда получаем, что w-^.T (t0) и
У
Но тогда множество W* счетно, в силу теоремы 1.
В. ПРОБЛЕМЫ РАЗМЕРНОСТИ
Мы сохраняем предположения относительно пространства, сделан-
сделанные в разделе Б.
§ 25. Определения. Общие свойства
I. Определение размерности *). Поставим в соответствие про-
пространству X целое число п ^> — 1 или со, которое назовем раз-
размерностью пространства X и обозначим &\тХ.
Символом AivapX обозначим размерность пространства X
в точке р. Три следующие аксиомы дают индуктивное определение
понятия размерности:
1) равенство dimJP — — 1 означает, что пространство X
пусто;
2) если X Ф 0, то dim SC = sup dinip X;
3) неравенство AimpX ^C n-\-\ означает, что существуют
сколь угодно малые открытые окрестности точки р, граница
которых имеет размерность ^п.
Утверждение 3 можно сформулировать эквивалентным образом
в топологических терминах:
') Идея определения размерности восходит к Анри Пуанкаре ([3] и [4]
стр. 65). Затем это определение было точно сформулировано Браузром ([1],
стр. 146 и [3], стр. 795). Теория размерности, основанная на определении,
очень близком к определению Пуанкаре — Брауэра, была создана и незави-
независимо развита К. Менгером и П. Урысоном в многочисленных работах начи-
начиная с 1922 г. См. Менгер [4] и Урысон [6].
Более современное изложение теории размерности можно найти в работе
Гуревича и Уолмена [1].
Теория размерности, основанная на понятии гомологии, была построена
П. С. Александровым [14].

§ 25. Определения. Общие свойства 283
3') dirtip X <С п -f- 1 тогда и только тогда, когда каждая
окрестность точки р содержит окрестность точки р, гра-
граница которой имеет размерность -^.п.
Таким образом, размерность пространства определена чисто топо-
топологически, и поэтому она инвариантна относительно гомеоморф-
ных отображений пространства.
Примеры. По определению, непустое пространство имеет раз-
размерность 0, если каждая точка обладает произвольно малыми от-
открытыми окрестностями с пустой границей. Таково, например,
пространство рациональных чисел, так как каждый интервал с ирра-
иррациональными концами имеет в этом пространстве пустую границу;
0-мерным является также пространство иррациональных чисел и,
вообще, каждое граничное множество, расположенное на веще-
вещественной прямой.
Пространство действительных чисел имеет размерность -^ 1, ибо
граница интервала состоит из двух точек и имеет, следовательно,
размерность 0. Аналогичным образом, плоскость имеет размер-
размерность ^ 2 (ибо окружность имеет размерность ^ 1), и, вообще,
я-мерное евклидово пространство ef" имеет размерность ^ п. Дока-
Доказательство того, что размерность этого пространства в точности
равна п, менее элементарно. Мы вернемся к этому в § 28.
II. Размерность подмножеств. Пусть Е а X и р — произволь-
произвольная точка множества Е. Неравенство й\трЕ^.п-\-\, в силу 3),
означает, что существует произвольно малая открытая окрестность
точки р относительно Е, гр.нща которой относительно Е имеет
размерность <^ п; иначе говоря, существует произвольно малое
открытое множество G, содержащее точку р, такое, что
dim ((Е П E(]G) — О)<п.
Действительно, границей множества Е П О относительно Е, по
определению, является множество
(Е П Е П О) - (Е П О) = (? П Е П О)— О.
Теорема 1. Размерность подмножества не превосходит
размерности всего пространства:
если р?Е, то dimpE^ dimp.#\
Доказательство. Рассуждая по индукции, можно допустить,
что это утверждение имеет место для л-мерного пространства и что
dimpX<; п-\-1. Пусть тогда О—открытая окрестность точки р,
такая, что dim [Fr (G)]<; п. Необходимо доказать, что граница мно-
множества Е П G относительно Е имеет размерность -^ п. Но относи-
относительная граница равна
(Е П ?П<3) — О с G — О = Fr (О),

284 Гл. 2. Метрические пространства
и, по предположению индукции, имеет место неравенство
dim((E(]E()G) — G)<dim[Fr(G)]<«.
Теорема 2. Для того чтобы dim^f1^re-f-1, необходимо
и достаточно, чтобы существовала произвольно малая от-
открытая окрестность G точки р, такая, что
Доказательство. Предположим, что dimp?-^л-j- 1. Пусть
тогда Н— множество, открытое в Е, такое, что dim [(Е |~| Н) — Н]^п.
Так как множества Н и Е— Н отделимы (§ 6, V, 3), то существует
(согласно § 14, V, 1 и § 21, IV, 2) открытое множество G,
такое, что
HczG и (О П f) — Я = 0, откуда (Е (] О) — G с (Е П#) — Н,
и, согласно 1,
dim [(? П О) — G] < dim [(E f| Н) - Щ < п.
Так как, кроме того, в силу § 14, V, 1, диаметр множества G сколь
угодно мало отличается от диаметра множества Н, необходимость
условия установлена.
Для доказательства достаточности рассмотрим указанное множе-
множество G и положим Н = Е П G. Тогда
откуда
dim [(?¦ П Н) - Н] < dim [Е (] Fr (G)] < п,
следовательно, dimp E <J n -\- 1.
Отметим частный случай теоремы 2.
Теорема 20. Для того чтобы dimp? = 0, необходимо и
достаточно, чтобы существовала произвольно малая окрест-
окрестность G точки р, такая, что ?1f|Fr(G) = O.
III. Множество Е(П).
Определение. Точка р принадлежат множеству ?(ra))
если Итр(Е\] р)^п, т. е. если существует произвольно малая
окрестность G точки р, такая, что dim [E |"| Fr (G)] <; п—1.
В частности, если множество Е представляет собой все про-
пространство X, то Е(П) является множеством тех точек, в которых это
пространство имеет размерность -^ п.

§ 25. Определения. Общие свойства 285
Включение ЕсЕ(П) эквивалентно неравенству dim Е<^п. Со-
Согласно II, 1, из включения А с: В следует, что В(л) с Л(л).
Теорема 1. dim (Е (] Е(П)) <; п.
В самом деле, если р?Е {\Е(П), то, по определению, &impE-^n,
следовательно, в силу II, 1,
dimp (?Tl ?¦<„))<«.
Впрочем, следует заметить, что размерность множества Е{П) может
быть больше п. Если, например, множество Е состоит из одной
точки, то Еф) = $".
Теорема 2. Множество Е(п) есть множество типа О61)-
В самом деле, р ? Е(П) тогда и только тогда, когда для каждого k
существует открытое множество G, содержащее точку р, такое, что
dim [Е П Fr (О)] < п — 1 и 6 (G)< \ .
Обозначим через Hk объединение всех множеств О такого рода.
Тогда ?,„) = Нх П Я2 П ....
Теорема 3. Пусть заданы множество Е и целое число п.
Тогда существует последовательность открытых множеств
Dj, D2, •¦¦, такая, что
1° dim [Е П Fr (?К)] < п — 1;
2° множества E(n){\Dt, 1=1, 2 образуют базу мно-
множества ?'(„); иначе говоря, для любой точки р?Е(П) существует
множество Dit содержащее точку р, диаметр которого сколь
угодно мал;
со
3° положим S = N Fr(?),); имеют место следующие соот-
ношения:
?(я)с(? —5)@) и dim [E(n) — S]<0.
Доказательство. При фиксированном k произвольной точке
р ? Е(П) поставим в соответствие открытое множество О (р), содер-
содержащее р, такое, что
dim {?f|Fr [G (/>)]}< п- 1 и b[O(p)]<j.
В силу теоремы Линделёфа (§ 17, I), можно найти счетную после-
последовательность Dki p Dk< 2, ... множеств G(p), объединение которых
равно объединению всех множеств О (р). Преобразовав двойную
последовательность {Dkt m] в простую последовательность, получим
искомую последовательность {Dt}.
') См. Менгер [1], стр. 141; Урысон [б], стр. 277; Тумаркин [1], стр. 360.

286 Гл. 2, Метрические пространства
В самом деле, так как любая точка р множества Е[п) содержится
в произвольно малом множестве G (р), то существует такое мно-
множество D[, что p?DjC G (р), откуда вытекает условие 2°.
Условие 3° является следствием условия 2°, в силу очевидной
формулы:
(Е - S) П Fr (D;) = 0 = (?(„> — S) П Fr (D,).
Частным случаем теоремы 3 является
Теорема 4. Любое п-мерное пространство содержит
счетную базу, состоящую из открытых множеств, границы
которых имеют размерность ^п—1. Отнимая от про-
пространства эти границы, получаем Q-мерное {или пустое)
множество.
Теорема 5. Из условия dim X < п следует, что
E(O)d(EUX)ln+1).
В самом деле, если р?Е@)> то существует окрестность G
точки р, такая, что Е ("| Fr(G) = 0. Следовательно, (Е [] X) f) Fr (G) =
= Х f\Fr(G)czX, откуда dim \(E U X) П Fr(G)] < л; тем самым до-
доказано, что р?{Е\}Х)(п+1).
§ 26. Нульмерные пространства1)
I. База пространства. По определению, пространство имеет
размерность 0, если любая его точка имеет сколь угодно малую
окрестность, являющуюся одновременно замкнутой и открытой
(это эквивалентно предположению, что граница этой окрестности
пуста).
Из § 25, III, 4 вытекает следующая
Теорема 1. Во всяком 0-мерном пространстве суще-
существует счетная база, состоящая из открыто-замкнутых
множеств.
Кроме того, можно предположить, что диаметр этих мно-
множеств не превосходит заранее заданного положительного
числа.
Следствия. Во всяком 0-мерном пространстве
1а. Любое открытое множество (в частности, все про-
пространство) является объединением последовательности непере-
непересекающихся открыто-замкнутых множеств произвольно ма-
малого диаметра.
16. Любое замкнутое множество является пересечением
последовательности, открыто-замкнутых множеств.
') Большая часть теорем этого параграфа будет обобщена по индукции
в следующем параграфе, где приводятся также библиографические ссылки.

§ 26. Нульмерные пространства 287
Для доказательства следствия 1а положим, в соответствии с тео-
теоремой 1,
Q=F1[)Fa[) ... =F1\j(F2— Pi)\i(F3~F1 — F^)[i ...,
где G — данное открытое множество и Flt F2, ... —открыто-замкнутые
множества. Правая часть последнего равенства представляет собой
искомое разложение.
Следствие 16 непосредственно вытекает из 1а.
*Теорема I'1). Во всяком нульмерном пространстве любое
множество типа Ой, одновременно плотное и граничное,
является результатом (Л)-one рации, примененной к регуляр-
регулярной системе (§ 3, XIV) непустых открыто-замкнутых мно-
множеств \Ak ...4 ], таких, что
1)fl(V-O<i'
2) два множества Ак k и. At ...г с различными систе-
системами п индексов не пересекаются.
Пусть Q — рассматриваемое множество типа О&: Q = G1f\G2f\ . ¦ .,
где Gn— открытые множества и GnZD Ол+1. Так как множество Q
не замкнуто, существует индекс j\, такой, что множество Gjt не зам-
замкнуто. Поэтому, в силу следствия 1а, можно положить
Gj^A^AzU .... 6(Лг)< 1,
где множества А1 замкнуты, открыты, не пересекаются и непусты.
Продолжим этот процесс по индукции.
Предположим, что множества Ak ...^ определены и выполнены
включения
0) >!*,...*„= Оя
для целых ге^-1; тогда множества Ak _ ,k k определим следую-
следующим образом.
Если множество А^ __ ^ открыто, то существует индекс jn+i^>>
*^п-\-\, такой, что множество А/, |й П Oj не является замкну-
замкнутым, так как в противном случае множество Q П А^ _^ будет зам-
замкнутым, вопреки предположению, что оно плотное и граничное в мно-
множестве Ad ь . Следовательно, можно положить, как и выше,
1 " ' ' П
)<
где множества A/, ___j ( непусты, замкнуты, открыты и не пересе-
пересекаются. Кроме того, в силу неравенства у'я + 1^я-|-1, откуда сле-
следует, что Gj cGn+\, в (i) можно заменить п на я-f-l.
') Эта теорема будет использована в главе о полных пространствах (§ 36L

288 Гл. 2. Метрические пространства
Таким образом, множества А^ , ^ определены для любого п;
мы докажем, что множество Q совпадает с результатом (^-опера-
(^-операции, примененной к этим множествам.
С одной стороны, пусть p^Q. Тогда p?Gjt. Следовательно,
существует индекс ku такой, что р^А^^. Предположим, что
Р^А/г ...а . Так как, кроме того, p?Gj , то существует ин-
индекс kn+l, такой, что р^.А/1 . * k . Таким образом, мы приходим
к формуле
A) /? 6 Л&1 П ЛМ2 П 4^Л П
С другой стороны, если эта формула выполняется, то из вклю-
включения (i) следует, что р ? G1 f| G2 П • • • = Q-
И. Теоремы редукции и отделимости. В нульмерных сепара-
бельных пространствах теорема из § 21, XII допускает следующее
уточнение: можно предположить, что множества Ft в формуле B')
открыто-замкнутые,
В самом деле, имеет место следующее утверждение (ср. с теоре-
теоремой Линделёфа).
Теорема 1 (теорема редукции)'). Пусть X— нульмерное про-
пространство. Тогда любой последовательности (конечной или
бесконечной) открытых множеств Go, G1, ... соответствует
последовательность непересекающихся открытых множеств
Но, Я[, ..., таких, что
@) H.dGi и Яо U Я, U • • • = О0 U О, U . •. .
Следовательно, если $~ = GQ{jGl\J ..., то множества Hi
открыто-замкнуты.
В самом деле, положим GL = Fit0U F-и \ U - • •> где множества Fti j
открыто-замкнуты (см. I, следствие 1а). Перенумеруем двойную
последовательность {/, j] в простую последовательность. Пусть
п=:ф(/, j) — целое число, которое соответствует паре (/, j). Пусть
Fit j — Fiy j — (J Fk, i, где объединение берется по всем парам (k, I),
таким, что (f>(k, /)<Ф(г, j). Очевидно, что
со ,. со со
U Ftj = U Pi.s = U О/.
i j0 i / 0 i 0
СО ф ОО СО
Положим Hi — U Fi j . Тогда |J Ht = \J Gt и
/=0 ' 1=0 1=0
') См. Куратовский [29], стр. 184.

§ 26. Нульмерные пространства 289
Так как множества Fit j попарно не пересекаются, то и множе-
множества Н1 попарно не пересекаются.
Из теоремы редукции вытекает следующая
Теорема 2 (теорема отделимости). Пусть в нульмерном про-
пространстве № задана {конечная или бесконечная) последователь-
последовательность замкнутых множеств Fo, Fit ..., таких, что
Fq{\F\{\ ¦¦¦ =0; тогда существует последовательность от-
открыто-замкнутых множеств Ео, Ех, ..., таких, что
FtczEi и Ео П Е: П . . . = 0.
В частности, если А и В — два замкнутых непересекающихся
множества, то существует открыто-замкнутое множество Е,
такое, что А а Е и Е(]В = 01).
В самом деле, применим теорему редукции, положив
Ql = X — Fl и Ei = S~Hl.
По предположению и в силу формулы @), имеем
г=0 1=0 1=0
Следовательно, множества Нь так же как и множества E[t открыто-
замкнуты. Более того, из последнего равенства следует, что
^оЛ^чП ••• =0. а из включения HidGi вытекает, что F^aE^
Вторую часть теоремы 2 можно обобщить следующим образом.
Теорема 2а. Пусть задана конечная система Ао Ak
замкнутых непересекающихся подмножеств нульмерного про-
пространства. Тогда существует система Fo, ..., Fk открыто-
замкнутых непересекающихся множеств, таких, что
-Г =F0U ... [}Fk и AidFt.
Применим индукцию. При k = 1 теорема верна; допустим, что
она имеет место при k— 1, k '> 2. Тогда существует система открыто-
замкнутых непересекающихся множеств Fo, .... Fk_2, F*, таких, что
# = F0U ... l)Fk_2()F*, AoczFQ Ак_2сРь_2.
A-i U Ak с Г.
Применяя теорему 1 к паре множеств Ak_v Ak и к множеству F*,
рассматриваемому как пространство, получаем
F*=Fk_lUFk, A^cF,.!. AkaFk, F^OF^O, .
') Отсюда видно, что в нульмерных пространствах аксиому нормаль-
нормальности можно сформулировать в более удобной форме.
19 Топология, т. I

290 Гл. 2. Метрические пространства
где множества Fk_x и Fk открыто-замкнуты в множестве F*, а сле-
следовательно, и в пространстве %'.
Следствие 1. Любое вполне ограниченное открытое под-
подмножество О нульмерного пространства имеет вид
A) O = /70U/7iU .... Fif]FJ = 0 при 1ф]% lim 6(Fn) = 0.
где Ft—открыто-замкнутые множества.
Следствие 2. Пусть F — непустое замкнутое подмноже-
подмножество нульмерного пространства. Тогда существует непрерыв-
непрерывное отображение данного пространства в множество F, то-
тождественное на множестве F. Иначе говоря, множество F
является ретрактом данного пространства. (См. Серпин-
ский [30], стр. 118.)
Отсюда вытекает (§ 13, V, 4)
Следствие 3. Любую непрерывную функцию f, определен-
определенную на замкнутом подмножестве F нульмерного простран-
пространства, можно продолжить на все пространство так, чтобы
ее значения не выходили за пределы множества f(F).
Докажем следствие 1. Для этого, в соответствии со следствием 1а
из п. I, рассмотрим последовательность ограниченных открыто-зам-
кнутых множеств r0, F\ удовлетворяющих двум первым равен-
равенствам A). Будучи вполне ограниченными, множества Fn имеют вид
F*n = Hn0U ... \]Hnkn, где
Пусть Qni — открытое множество, такое, что Hni a Gni с/7, и
б(Оя/)<1/й. Тогда F*n — GnoV ... U ОПкп- К множеству /="*, рас-
рассматриваемому как пространство, применим теорему 1; мы получим
F*n = F«a\i ••• UFnka> FninFnj = 0 при i +j, FnicGni,
где Fno, .... Fntt —открыто-замкнутые множества в Fn, а следо-
следовательно, и во всем пространстве.
Так как FnlaGni, то 6(/7„г)<1/«. Отсюда следует, что
Fqq, ..., Fofto. Fv» ¦••. Fiks ¦¦•—искомая последовательность.
Таким образом, следствие 1 установлено. Из него получается
следствие 2. Можно допустить, что пространство вполне ограниченно,
так как каждое метрическое сепарабельное пространство гомеоморфно
вполне ограниченному пространству (§ 22, II, следствие 1а).
Положим G = X'— F. В соответствии со следствием 1 рассмотрим
последовательность непустых открыто-замкнутых множеств Fv F2> .•••

§ 26. Нульмерные пространства 291
удовлетворяющих условию A). Пусть рп— точка множества F,
такая, что
0) 9(Рп' Рп)<9(Р. Рп) + ±.
Положим
х, когда х ? F,
ра, когда x?Fn.
Так как множества Fп — открытые и непересекающиеся, отобра-
отображение / непрерывно на множестве G. Для доказательства того, что
оно непрерывно на множестве F, положим
00 -^об^"' хо — "т хп< хп^О' следовательно, xn?_Fk .
Л->00 П
Так как множество Fп замкнуто и не пересекается с множеством F,
оно может содержать только конечное число элементов последова-
последовательности хР х2 Следовательно (см. A)), lim b(Fk \ = 0.
С другой стороны, из условий (ii) следует, что lim p(F, Fk )=0
п Н> со Ч ni
и (согласно (i)) lim b(Fk \)Pk) — 0, откуда
lim | Xn — pu | = 0, т. e. lim | xn — /(дгл)| = О,
П-?оо П п->схз
lim f(xn)= lim xn = xQ = / (x0),
а это означает, что отображение / непрерывно в точке х0.
Следствие 4. Пусть FQ, Fv ... — (конечная или бесконеч-
бесконечная) последовательность замкнутых множеств. Тогда суще-
существует последовательность открытых множеств Во, В1
такая, что
СО со
B) Ft- П Fm<=Bt и П^ = 0.
т = 0 1=0
В самом деле, положим в теореме 1
C) Gi^=X—Fl и В,= U Н,.
Кроме того, положим
со со
D) S = \JHit откуда 5 = U Ot.
i=0 • 1=0
Тогда, в силу C), D) и @),
СО СО
Ъ- П Fm= U Om-Ol = S-OlS=(Bt\}Hl)-Gi =
т=0 т-0
= (В, - О,) U (Я, - Gi) = В, ~ О, с В,.
19*

292 Гл. 2. Метрические пространства
С другой стороны, так как Bt = S — //,-, то, согласно D),
В силу следствия 16, § 22, II, каждое сепарабельное метрическое
пространство является непрерывным образом некоторого подмноже-
подмножества пространства e/V иррациональных чисел. Это утверждение можно
обобщить следующим образом.
Следствие 51)- Пусть F—семейство (множеств) мощ-
мощности континуум. Тогда существует множество Zcaf,
такое, что каждое множество из семейства F является не-
непрерывным образом множества Z.
Доказательство. Положим F=[EZ), где г^ЛГ. Обозна-
Обозначим через Nz множество элементов у множества qJ\T , таких, что
у1 = z1, у3 = z1, у5 = z3
Так как Nz = JfT, то, в силу следствия 16, § 22, II, существует
множество Az a Nz, такое, что множество Ez является его непре-
непрерывным образом. Положим
z= и К
г ?сЛ"
Так как множества Nг не пересекаются и замкнуты в Л^, то
множество Az замкнуто в Z и, следовательно, в силу следствия 2,
является непрерывным образом множества Z. Поэтому и множество Ez
является непрерывным образом множества Z.
III. Теоремы об объединении нульмерных множеств.
Теорема 1. Если пространство можно разложить в (ко-
(конечный или бесконечный) ряд замкнутых множеств: X =
= <41иЛ2и ..., где все, за исключением, может быть, первого
множества, имеют размерность 0, а первое множество имеет
размерность 0 в данной точке р, то все пространство имеет
размерность 0 в точке р.
Пусть В—открытый шар с центром в точке р. Построим открыто-
замкнутое множество G, такое, что p?G а В.
Множество О определим как объединение множества открытых
возрастающих множеств Оп. Множества Gn определим по индукции
одновременно с открытыми возрастающими множествами Нп таким
образом, чтобы выполнялись следующие два условия:
CD дп п нп = о,
A0 Апа0пи Нп.
') См. Серпинский [39], стр. 234.

§ 26. Нульмерные пространства 293
Так как множество А1 имеет размерность 0 в точке р, то суще-
существует содержащее эту точку множество Fu открыто-замкнутое отно-
относительно А1. Так как множество Ах замкнуто, то Fx и Аг — Fx тоже
замкнуты. Более того, можно предположить, что множество Fx содер-
содержится в шаре В, так что множества F1 и (Ах— F^UiX—В) зам-
замкнуты и не пересекаются. В силу нормальности пространства, суще-
существуют открытые множества Gx и Нх, такие, что
F-[aQl, (A1 — F1)U(X~B)c:H1 и О1пЯ1 = 0.
Следовательно, условия (i) и (ii) выполняются при п—1. Пред-
Предположим, что они выполнены для п; докажем их для п-\-1.
Так как множества An+l (~| Gn и Ап + 1(]Нп замкнуты и не пере-
пересекаются, а множество Ап + 1 имеет размерность 0, то, в силу тео-
теоремы II, 2, существует множество Fn+1, открыто-замкнутое в Ап + 1,
такое, что An+1(]Gnc:Fn+v Fn+1(]Hn = 0. Далее, множества FnJfl
и An+i — Fп + 1 замкнуты (поскольку множество An+l — Fn + l отно-
относительно замкнуто в множестве Лл+1, которое само замкнуто), поэтому
множества (OnUFn+l) и Hn\j (An+1 — Fn+1) замкнуты и не пере-
пересекаются. В силу нормальности пространства, существуют открытые
множества Gn + 1 и Нп+1, такие, что
Gn\}Fn+1a0n+v Hn[)(An + 1~Fn+1)c:Hn+lu 6в+1ПЯв + 1=0.
Таким образом, условия (i) и (ii) выполнены для re-f-1.
Кроме того, поскольку множества О„ и Нп возрастающие, из усло-
условия Gn[}Hn = 0, которое вытекает из (i), следует, что О„ПЯт = 0,
каковы бы ни были пит (так как Gn[\Hn+kc:Gn+k[)Hn+k = <d).
Следовательно, если положить
СО СО
G=U On и H=\JHn,
л=1 п=1
то ОЛЯ —0. С другой стороны, в силу (ii),
U A,U(nUB) u;
n=l л=1
отсюда вытекает, что Н = ^" — G. Так как множества G и Н открыты,
то множество G одновременно замкнуто и открыто.
Остается доказать, что p?GczB. Из определения множества Gx
следует, что р ?F1aG1czG. С другой стороны, из определения мно-
множества Н\ следует, что X—ВсН1, откуда X — НхаВ; но множе-
множества G и Нг не пересекаются, поэтому GcX — НхсВ.
Следствие 1. Объединение счетной последовательности
нульмерных замкнутых множеств {или, более общо, нульмер-
нульмерных Рд-множеств) есть нульмерное множество.

294 Гл. 2. Метрические пространства
Следствие 2. Объединение двух нульмерных множеств,
одно из которых является одновременно Га-множеством и
G&- множеством, — нульмерно.
Следствие 3. Если к нульмерному множеству добавить
одну точку, то размерность его не изменится: если dim Л = О,
то Л@) = Sf.
Следствие 4. Если G — открытое множество, то из усло-
условия dim (-Ер 6)^0 следует, что ?"@) ==(?— G)@).
Для доказательства следствия 1 достаточно рассматривать объеди-
объединение указанных множеств как пространство. Следствие 2 вытекает
из следствия 1, ибо оба рассматриваемых множества являются мно-
множествами типа Fa относительно их объединения. Следствие 3 является
частным случаем следствия 2. Наконец, чтобы доказать следствие 4,
допустим, что р ?(Е—О)@), т.е. dimp(p\J Е—G) = 0.
Если множество р U Е рассматривается как пространство, то мно-
множество Е П О представляет собой в этом пространстве счетное объеди-
объединение замкнутых нульмерных множеств, и из теоремы 1 следует,
что множество (р (J Е—О) \] (Е П G)—p (J Е имеет размерность 0 в точ-
точке р, т.е. что р^Е^, откуда вытекает следствие 4.
Замечания. Теорема 1 не верна, если сделать только одно
предположение, что dimpAn = 0. В самом деле, разложим интервал
0 = [0, 1] в последовательность сегментов, сходящихся к точке 0.
Пусть Л)—множество, составленное из точки 0 и четных сегментов,
и пусть Л2 — множество, состоящее из точки 0 и нечетных сегмен-
сегментов. Очевидно, что dimp Л1 = 0=dimp Л2, тогда как dimp^j (J Л2)= 1.
Тем более нельзя заменить предположение о том, что множе-
множество AY замкнуто, предположением о том, что Л, есть /^-множество;
это показывает следующий пример: пусть Л2 — последовательность
точек, сходящаяся к точке 0 (= р), и Ах = g—Л2.
IV. Продолжение нульмерных множеств.
Теорема 1. Любое нульмерное множество содержится
в некотором нульмерном Оь-множестве.
В самом деле, в силу § 25, III, 3, каждому множеству Е соответ-
соответствует множество 5 типа Fa, такое, что Е П 5 = 0 и dim [Е@) — S] <; 0.
Однако если допустить, что dim?" = 0, то, согласно следствию 3 из
п. Ill, ?@)=JT. Следовательно, множество X — S есть нульмерное
О6-множество, содержащее множество Е1).
') Доказательство, основанное на другой идее, см. в § 35, II, замечание 2.

§ 26. Нульмерные пространства 295
Теорема 21). Всякое нульмерное пространство X топо-
топологически содержится в нигде не плотном совершенном канто-
ровом множестве %'.
По определению (§ 3, IX), канторово множество Й' есть множе-
множество последовательностей z = [z1, z2, ...], где zl принимает одно из
двух значений: 0 или 2.
Для доказательства теоремы нужно построить гомеоморфизм
г: &->&.
Пусть Rv R2, .... /?,-, • •. —база пространства, состоящая из от-
открыто-замкнутых множеств (теорема 1, п. I), и пусть z — ее характери-
характеристическая функция, т. е. zL {х) = 2, если х ? Rt, и zl {x) = 0 в против-
противном случае. Как характеристическая функция последовательности
открыто-замкнутых множеств, функция z непрерывна (§ 16, II, след-
следствие 6г). Для доказательства того, что она взаимно непрерывна,
остается показать (§ 13, VIII(За)), что из условия р^Х— X сле-
следует включение z(/?)??f—z(X).
Согласно определению базы, существует индекс /, такой, что
p?RtaX—ХаХ—X. Следовательно, zl{p)=2, тогда как при
х?Х имеем z\x) = 0\ поэтому \z(p)—z{x)\~^-—r (здесь мы
3' \
r
3' \
отождествляем последовательность 2 = [z1, z2, . .., zl, ...] с числом
3 ' 32 3'
Итак, число z (p) не может принадлежать замыканию множества
чисел z{x), т.е. z{p) ?% — z{X).
Следствие 2а. Канторово множество <<f имеет наивысший
топологический ранг среди всех нульмерных пространств.
Действительно, множество ?? нульмерно, как граничное множество
на вещественной прямой (см. § 25, I, примеры).
Замечание. Этим же свойством обладает множество &V ир-
иррациональных чисел интервала 0. В самом деле, множество о#°,
как пространство всех бесконечных последовательностей натуральных
чисел, содержит множество последовательностей, образованных из
двух чисел 1 и 2, гомеоморфное множеству *?. Обратно, множество о/У
нульмерно, как множество, граничное в интервале; следовательно, оно
топологически содержится в множестве 'ё'.
Это означает, что как множество ^\ так и множество qJ\T имеют
наивысший топологический ранг среди граничных множеств простран-
пространства действительных чисел.
') См. Урысон [4], стр. 77.

296 Гл. 2. Метрические пространства
Следствие 26. Пусть dim$~п=0 при п—1, 2, .... Тогда
dim (JTi X-^2 X ...) = 0.
Это утверждение вытекает из того, что Х\ X ^2 X • • • с??Хо ==&,
в силу следствия 6а, § 16, П.
V. Счетные пространства.
Теорема 1. Любое пространство мощности, меньшей мощ-
мощности континуума, нульмерно.
Более общим образом, если пространство имеет порядок,
меньший с, в точке р (см. § 23, VII), то пространство нуль-
нульмерно в этой точке.
В самом деле, среди шаров радиуса <е с центром в точке р
существует шар, граница („поверхность") которого пуста (так как
границы двух различных шаров не пересекаются). Следовательно, та-
такой шар одновременно замкнут и открыт.
Теорема 2. Любое счетное пространство топологически
содержится в множестве Л рациональных чисел.
Доказательство. Пусть А — счетное пространство. Так как
пространство А топологически содержится в множестве ^', его можно
считать подмножеством пространства действительных чисел. В силу
классической теоремы теории упорядоченных множеств, множества
A U М и М имеют один и тот же порядковый тип, т. е. существует
возрастающая функция /, отображающая множество A\]ffi на М.
Эта функция непрерывна, ибо если дана последовательность х} <
< х2 < ¦ • .. сходящаяся к точке х (предполагается, что точки хп
и х принадлежат множеству А [) &), то х является в множестве A\J<ffl
первой точкой, следующей за всеми точками хп, и, в силу подобия
множеств А\}Ж и <$, точка f (х) в множестве М обладает тем же
свойством по отношению к последовательности / (xj), f (x2)
Допустим теперь, что /{х)Ф lim f{xn)\ тогда существовало бы
Л->оо
рациональное число, одновременно большее всех чисел f(xn) и мень-
меньшее числа f (х), что, очевидно, невозможно.
Таким образом, доказано, что функция / непрерывна. По тем же
соображениям обратная функция /~' также непрерывна; следова-
следовательно, / есть гомеоморфизм, отображающий множество А на неко-
некоторое подмножество множества Ж.
Заметим, что аналогичный метод позволяет легко доказать, что
все счетные пространства, плотные в себе, имеют один и
тот же топологический тип (т.е. гомеоморфныI).
'J См. Серпинский [5], [1].

§ 27. Пространства размерности п 297
§ 27. Пространства размерности п
I. Теоремы об объединении.
Теорема 1. Объединение га-мерного и нульмерного мно-
множеств имеет размерность <^га-|-1.
Иначе говоря, из формул dim (X — Q) = n и dimQ —0 следует
формула dim^"-^ «-f-1.
Множество Q U р нульмерно, какова бы ни была точка р
(§ 26, III, следствие 3), поэтому существует сколь угодно малая
окрестность G точки р, такая, что Qf]Fr(G) — O (§ 25,11, тео-
теорема 20), т. е. Fr(O)c:X — Q, откуда dim Fr (G) -^ п. Следовательно,
dim JTO+ 1.
Теорема 21). Если пространство можно представить
в виде (конечного или бесконечного) объединения замкнутых
п- мерных множеств: X = Al\J A2\J ..., то это пространство
имеет размерность п.
Доказательство. Теорема справедлива при га = 0 (§ 26,111,
теорема 1). Предположим, что она справедлива при га—1. Положим
В1=А1 и Bk = Ak~(A1U...UAk-i).
Следовательно, множества Bk представляют собой непересекающиеся
/^-множества и
X = Вх U B2 U .. ., dim Bk < га.
В § 25, III, 3 положим Bk~EaEin) и Sk = E (]S; тогда множе-
множество Sk является счетным объединением множеств размерности
•<; га — 1, замкнутых в множестве Bk и таких, что dim (Bk—Sk)^.Q.
Множества, замкнутые в Bk, являются Fg-множествами, так как Bk
есть /^-множество, и счетное объединение /^-множеств размерности
га—1, по предположению индукции, (га—1)-мерно, поэтому dim5ft-^
<^п—1, откуда по той же причине
dimCSjUSall . ..)<»— 1.
Поскольку множества Bh не пересекаются, имеем
[СО -1 СО
U (вк-sk)\ = и (Btnвк-sk)=B.t-st.
Таким образом, множество Bt — St как пересечение Ро-множества Bt
00
и множества U (Bk—Sk) является /^.-множеством в множестве
') См. Гуревич [2], Тумаркин [2]. О компактном пространстве см. Мен-
гер [1] и Урысон [5].

298 Гл. 2. Метрические пространства
Следовательно, множество (J (Bk—Sk), рассматриваемое как про-
странство, является объединением счетного числа /^-множеств раз-
со
мерности -^0. Поэтому dim (J (Bk— Sk)^Q. Итак, равенство
СО / СО \ / СО »
•#* = U ^? — I U ^* I U ( U (В/г — Sk)) является представлением про-
fti \k i I \ki ' I
странства в виде объединения множества размерности -^ п — 1 и мно-
множества размерности -^0. Следовательно, в силу теоремы 1, простран-
пространство имеет размерность <; га.
Следствие 2а. Объединение счетного множества п-мер-
ных Га-множеств есть п-мерное множество.
Следствие 26. Объединение двух п-мерных множеств, одно
из которых является одновременно Fa- и Gb-множеством, есть
п-мерное множество.
Следствие 2в. Если к (непустому) множеству добавить
одну точку, то его размерность не изменится.
Следствие 2г. Пусть дано множество Е и целое число га;
существует множество S типа Fg, такое, что
dlm(?fi5)<»—1, Е(п)а(Е— 5)@) и dim [Е{п) — S] < 0.
В частности, любое п-мерное пространство является объеди-
объединением (га— \)-мерного F^-множества и ^-мерного G^-множв-
ства.
Следствие 2д. Пусть О— открытое множество; из усло-
условия dim^nO)-^^ следует, что Е^П}—(Е — О)(П)-
Следствие 2е. Из условий X = Ах (J А2 [} . .., Ak = Ak,
й\трА1^.п и dim.4A<;ra при k > 1
следует, что dimp^^ra.
Следствия 2а—2в легко получить из теоремы 2 (см. доказатель-
доказательство следствий в § 26, III).
Из следствия 2а можно вывести, что dim (Е fl-S) <^я—1, если
взять множество S из § 25, III, 3 и множество Е [\S рассматривать
как пространство.
В частности, пусть множество Е совпадает со всем пространством
(га-мерным), тогда E(n)=J^ и Х—(Х—5)@), откуда dim(^—5) = 0.
Таким образом, следствие 2г установлено. Заменяя в этом след-
следствии множество Е соответственно множествами Е—С? и E[\G, мы

§ 27. Пространства размерности п 299
докажем существование двух /^-множеств 5 и If, таких, что
dim(Sn?— G)<«— I, (E — G)(n)c=(E— O — S){0),
dim(Wf\Ef\O)^n~ 1 и dim (E fl G — W) < 0,
так как, по предположению, Е П Ga(E П О)(П). Итак, множество
? — О — 5 получается из множества (? — G — S\J(E f\G) — W) с по-
помощью вычитания открытого множества G, пересечение которого
с последним множеством нульмерно; из § 26, III, следствия 4 заклю-
заключаем, что
Поскольку множества S[\E—G и W[\E[\G имеют размерность
-^ га—1 и, кроме того, являются /^-множествами относительно Е,
из следствия 2а вытекает, что размерность их объединения также
•< п—1. Следовательно (§ 25, III, 5),
(Е— G — SU(?nG)-W)@)c
clE—G — S[j(EnQ)—W\)(SnE)- G[} (Wr\E(\Q)]la)=E(a)
и
(?-G)(B)c:(E—O-S)@)c=E(B),
откуда вытекает следствие 2д. Для доказательства следствия 2е поло-
положим Е—Х и O=J"—Av В силу следствия 2а, dim (А2 [} А3 (J . • .)^Сп,
откуда dim G <^ га. Согласно следствию 2д, из предположения, что
р?{Ж—G){n), вытекает, что dimpj^^ra.
Теорема З1). Для того чтобы (непустое) пространство
имело размерность <^га, необходимо и достаточно, чтобы оно
являлось объединением (п-\-\) множеств размерности 0.
При га = 0 теорема очевидна; предположим, что она верна при
п— 1. В силу следствия 2г, га-мерное пространство является объеди-
объединением 0-мерного и (га—1)-мерного множеств. Разлагая последнее
множество на га нульмерных множеств, получаем разложение данного
пространства в сумму (ra-f-l) нульмерных множеств.
Из теоремы 1 непосредственно следует, что объединение (га-)- 1)
нульмерных множеств имеет размерность <^ п.
Следствие За2). Если dim А = га и dim В = т, то
dim (Л U j5)< га +w+1.
') См. Гуревич [2] и Тумаркин [2].
2) Это следствие с помощью полной индукции можно вывести и из оп-
определения размерности (более точно, из §25, II B)). См. Менгер[4], стр. 114.

300 Гл. 2. Метрические пространства
II. Отделимость замкнутых множеств.
Теорема I1) (см. § 26, 11,2). Пусть А и В—• два замкну-
замкнутых непересекающихся множества в п-мерном пространстве;
тогда существует открытое множество G, такое, что
АаО, ОП# = 0 и dim[Fr(O)]<«—1.
Более общим образом: пусть А и В— два замкнутых непере-
непересекающихся множества, Е— множество размерности п^-0
{расположенные в пространстве X произвольной размерности);
тогда существуют два замкнутых множества М и N, таких,
что
X=M\}N, A[\N = 0 — B[\M и dim(?Tl Л4ПЛ0О— 1.
В самом деле (§ 22, IV, 2), существует непрерывное отображение /
пространства X в метрическое сепарабельное пространство X*, содер-
содержащее две точки а и Ь, такое, что f~ (а) = Л, /~ (Ь) = В, причем
отображение / есть гомеоморфизм на множестве X—(A \j В). Следо-
Следовательно,
dim / [Е — (A (J В)] = dim [Е — (А [} В)] < п,
и так как
/ (Е) U a U * = / [Е — (A U В)] [} a U Ь,
то, согласно следствию 2в из п. I,
dim [/ (?) U a U Ь] < п.
В силу § 25, II, 2, существует открытое множество G, такое, что
a?G, b^X*--Q и dim[f(E)n(G— O)]<«— 1.
Положим M = rl(G) и N = f-x(x*—G) = X—rl{Q). Тогда мно-
множества М и N замкнуты, так как функция / непрерывна. Далее,
X* ~ Ъ U (X* — О), поэтому X = М U N.
Из условия a?G следует, что (а) П (¦#"* — О) = 0, откуда
A(\N = f-\a){\f-l(x*— G) = /-1[(a)n(jr*-O)]=/-1 @) = 0.
а из условия Ь(^Ж*—О следует, что В П /W = Q.
Наконец, так как множества E(]Mf]N и /(?)П(О—G) гомео-
морфны (поскольку М[\ЫаЖ — (A(jB)), dim(? (~| M f) N)^.n — 1.
Для вывода первой части теоремы 1 положим
Е—Х и G = X — N.
1) См. Гуревич [2], Тумаркин [2], Урысон [5].

§ 27. Пространства размерности п 301
Замечание. Теорема 1 — в случае /г-мерного пространства—¦
дает более сильное свойство, чем свойство нормальности. Очевидно,
что в нашем случае аксиому отделимости можно было бы сформули-
сформулировать следующим образом: любую пару замкнутых непересекаю-
непересекающихся множеств можно отделить замкнутым множеством. Этому
утверждению соответствует
Следствие 1а. Любую пару замкнутых непересекающихся
множеств, расположенных в п-мерном пространстве, можно
отделить замкнутым множеством размерности <^я—1.
В самом деле, граница множества G, рассмотренного в теореме 1
есть множество размерности <С п—1, отделяющее множества А и В'
Следствие 16. Условие теоремы 1 необходимо и доста-
достаточно для того, чтобы пространство имело размерность <' п.
Это условие является необходимым, в силу теоремы 1. Обратно,
если отождествить множество А с данной точкой р, а множество В —
с дополнением к некоторой открытой окрестности этой точки, то из
рассматриваемого условия будет следовать, что 6нпрЛ? <^. п.
Теорему 1 можно обобщить следующим образом:
Следствие 1b1). Пусть в п-ме рном пространстве заданы
две системы замкнутых множеств: Ао, ..., А„ и BQ, ..., Вп,
такие, что Ai[\Bi=^Q, O^i^in; тогда существуют две системы
замкнутых множеств Мо, ..., Мп и No, ..., Nп, такие, что
для каждого индекса i <J n
A) jr = Ml[}Nt, Ai[]Nl = 0=BtnMi
и dim(Afon ... П M,flNon ... ПЛГ,)<л—*—1.
Множества Мо Mt и No Nit удовлетворяющие усло-
условию A), определим по индукции (для фиксированного п). При г=0
их существование вытекает из теоремы 1. Допустим, что они опре-
определены для целого числа /, такого, что 0 <j; j < п. В теореме 1 по-
положим
A = At + v B = Bi+1 и ?=/И0П ... ПМ,:ПЛ/0П ... П^.
Отсюда следует существование двух замкнутых множеств Mi+1
и Nl+1, таких, что
JT - Ml+1 U Ni+V А1Л! П Л//+1 = 0 = Вш П М1+1,
dim (Е П Мн! П Л/;+1) < п — I — 2,
а из этих соотношений вытекает требуемое утверждение.
') См. Отто и Эйленберг [1].

302 Гл. 2. Метрические пространства
Предыдущее следствие позволяет распространить на «-мерные простран-
пространства следующее свойство я-мерного куба Зп (состоящего из точек (х{,..., хп),
где 0<хг< 1, 1 <г^я). Обозначим через A-t и В; две грани куба, перпен-
перпендикулярные оси xt, а через М,- и TV,- — две половины куба, разделенные
.плоскостью" .*:;= — . Тогда условие следствия выполняется.
Следующее утверждение касается „продолжения замкнутых мно-
множеств".
Следствие lr1). Пусть А и В — замкнутые множества,
такие, что dim [ЗГ— (Л \J В)] <^ п; тогда существуют замкну-
замкнутые множества Р и Q, удовлетворяющие условиям
B) # = PUQ, Pn(AUB) = A, Qn(A[)B) = B,
dim[(PnQ) —(Л П ?
В самом деле, применим к пространству 3?*=%—(А Л В) теорему 1,
подставляя множество А — В вместо А, множество В — А вместо В
и множество X—(А [) В) вместо Е. Тогда
C) X— (A{\B) = M\}N, (ЛПЛ/)— В = 0 = (В(]М)-~ А,
D) Шт[(МПЛ0 —(ЛиЯ)]<я —1,
откуда dim (M (]N) -^п — 1, ибо М П N П (A U В) = 0, в силу равенств
М(\ЫП(А — В) = 0=М[\Ы(\(В — А) и (М П N) (] (Л П В) = 0,
которые вытекают из формулы C).
Положим
Р=Ми(А()В) и Q = N U (Л П В).
Согласно C), X = P(]Q- Тогда
Р П (А и В) = [М U (A n В)) n (A U В) = (М П Л) U (М П В) U (А П В).
Итак, в силу C),
М П В = (М П В — Л) U (М П Л П fi)cz Л,
следовательно,
ЯП И U Я)<=:Л.
Далее, так как
Л — В = А — (Л П^)сЛГиЛ^ и (Л— Я)ПЛ^ = 0(
то
Л = (Л — В) U (Л П В) с М U И П В) = Р.
Таким образом, РП(Ли#) = А
Из соображений симметрии Q П(А[) В) =В. Так как
(Я П Q) — (Л П ^) = [(Ж П Л^) U (А П ^)] - (Л П В)с М П N,
то dim[(PnQ) — (Л П S)] < dim (Ж П Л^)</г - 1.
') См. Гуревич [13].

§ 27. Пространства размерности п 303
Наконец, множества М и N замкнуты в множестве X — (А Л В),
поэтому множества Р и Q замкнуты (в JP).
Замечание. Отметим следующую теорему, обобщающую следствие 3
§ 26, II, на л-мерные пространства: любую непрерывную функцию /, опре-
определенную на замкнутом подмножестве F сепарабельного метрического
п-мерного пространства, можно продолжить на все пространство так,
чтобы множество ее точек разрыва имело размерность < п и чтобы
ее значения не выходили за пределы множества f (F) ')•
III. Разложение я-мерного пространства. Условие D,,.
Теорема I2) (обобщение теоремы § 26, II, 1). Пусть задано
разложение п-мерного пространства Ж в {конечное или беско-
бесконечное) объединение открытых множеств:
'тогда существует последовательность открытых мно-
множеств Но, Нл, ..., такая, что
A) ^ = яоия,и.... Hid0l и я,оп...пя/л+| = о
для любой системы га + 2 различных индексов i0 in+1.
В самом деле, в силу теоремы 3 из п. I, пространство разла-
разлагается в объединение (й-j-l) нульмерных множеств:
JT^QoU ...UQn.
На основании теоремы 1, § 26, II (множество Qj рассматривается как
пространство), Qj можно разложить на непересекающиеся множества,
открытые относительно Qj и содержащиеся соответственно в мно-
множествах Ot:
Qj = HJQ U Я;1 U .... где Н^аО^
Множества Ну-0, Я;1, ... попарно отделимы, как непересекающиеся
и открытые относительно Qj. Следовательно, на основании § 21, XI, 2,
существует система открытых непересекающихся множеств Vj0, Vjl,....
таких, что, Hji<r.Vji. Положим
Тогда
UQ; = UU^=UU (ялпо()с=и 0(^/0 0,)=и я,.
') См. Попруженко [2]. Согласно одному замечанию Отто, можно осво-
освободиться от предположения, что значения функции / действительны.
2) Теорему 1 для конечного случая получил Менгер [4], стр. 158. См. также
Урысон [5].

304 Гл. 2. Метрические пространства
Наконец, пусть р ? Я/ П ¦ • ¦ П Я, ; тогда существуют индекс
и два различных индекса / и I', такие, что р б^/гП^/,'- Но это
противоречит предположению о том, что множества Vj0, Vjb ...
не пересекаются.
Следствие 1а. Предположим, что dimG = «; тогда после-
последовательность Go, Gx, ... 8 теореме 4, § 21, VIII, можно подчинить
следующему дополнительному условию:
(п) О,- П ••• ПО/ =0, каковы бы ни были /0<ij<... <in+1.
В самом деле, если последовательность {Gt\ удовлетворяет усло-
условиям теоремы 4, § 21, VIII, то последовательность (Я,-) из теоремы 1
(если положить L%~=G) также удовлетворяет этим условиям. При этом
выполняется условие (п) (если заменить множество G множеством Я).
Определение. Пространство удовлетворяет условию Dn,
если условие теоремы 1 выполняется для любого его конечного раз-
разложения в объединение открытых множеств.
В силу теоремы 1, любое пространство размерности ^га
удовлетворяет условию Dn. Как мы увидим ниже (во втором томе), об-
обратная теорема такжз имеет место. Установим теперь некоторые важ-
важные для приложений свойства пространств, удовлетворивших усло-
условию Dn; этими свойствами (в силу теоремы 1) "обладает каждоз
пространство размерности <^п.
Теорема 2. Пусть
—некоторое разложение в конечное объединение открытых мно-
множеств пространства, удовлетворяющего условно Dn. Тогда
существует система открытых множеств Но, .... Н,п,
такая, что
B) ЛГ = Н0{) ... иЯ„. Л, с О, и Яг-оП ... ПЯ,в+1 = 0,
каковы бы ни были индексы iQ < ix < ... <^in+i^Cm.
В самом деле, в силу следствия, § 14, III, множествам Но Нт
формулы A) соответствуют открытые множества Hi Н*т, такие, что
X = Hi U . . . U Н*т и H*czHi.
Следовательно, эти множества удовлетворяют соотношению B)
(если подставить их в B) вместо Н$ Нт)-
Так как множество Ht представляет собой замкнутую область,
мы выводим из теоремы 2 следующее утверждение:
Теорема 3. Пусть

§ 27. Пространства размерности п 305
— некоторое разложение пространства, удовлетворяющего
условию Dn, в конечное объединение замкнутых множеств.
Тогда для произвольного е> 0 существует система замкнутых
областей Но Нт, удовлетворяющих соотношению A), где
множество Gt есть обобщенный открытый шар радиуса е,
центром которого служит множество Ft.
Теорема 4. Если пространство, удовлетворяющее усло-
условию Dn, плотно в себе и открытые множества Gt разложения
X=GQ\J ... \}Gm непусты, то множества Н{ в формуле B)
можно выбрать так, чтобы они удовлетворяли условию Н^ФО
при 1 = 0, .. ., т.
Так как пространство плотно в себе, то множества Gt бесконечны.
Следовательно, в каждом из них можно выбрать точку рь так, чтобы
точки р0, ..., рт были попарно различны. Положим
тогда
jr = GoU ... [}О*т.
В силу условия Dn, существует система открытых множеств
Но, .... Нт, такая, что
Так как Р^О*, при j=f=t, то p^Hj, откуда, в силу первого
из равенств C); р^Н^
Рассматривая относительное условие Dn, можно получить сле-
следующее утверждение.
Теорема 5. Пусть в пространстве (произвольной размер-
размерности) заданы множество Е, удовлетворяющее условию Dn,
и система открытых множеств О0, ..., Gm, такая, что
EcG0U ¦¦¦ \]Gm; тогда существует система открытых мно-
множеств Но Нт, удовлетворяющая условиям
D) EczHoU ... UHm, Hi^d и Hig f| . . . П Hta+i = 0,
каковы бы ни были индексы /0 < ix < ... < in+\^ m.
Если, кроме того, множество Е замкнуто и Go (J . • . U Gm = 3?,
то существует система открытых множеств Qo, ..., Qm,
такая, что
E) ^ = Q0U ••¦ UQm. Qi<^Gl и ?flQ/on ••• nQ/n+1 = O.
Наконец, если множество Е совершенно и О^О, ; = 0, .,., т,
то можно считать, что Qt=^0, / — 0, ..., т.
20 Топология, т. I

306 Гл. 2. Метрические пространства
Доказательство. Множества E$\Gt открыты в Е и удовле-
удовлетворяют равенству ? = (?nG0)U ... U(?f|Om), поэтому из свой-
свойства Dn, которому удовлетворяет множество Е, вытекает существо-
существование системы множеств Ао Ат, открытых в Е, таких, что
F) ? = Лои ... U А». А1сЕ[]01<=01 я
В силу теоремы 2 из § 21, XI, существует система открытых
множеств Vo, ..., Vm, такая, что
Множества Hl—Vi$\Gi, i = 0, ..., m, являются искомыми.
В случае, когда множество ? замкнуто, положим Ri = Hi (J (О;—?).
Из соотношения D) получаем
\i) U Кi -
(8) ?П^0П ¦•• П/?,л+1=?П//,оП ... ПЯ/л+1 = 0 и «/СО,.
В силу соотношения G) и следствия 1, § 14, III, существует система
открытых множеств Qo Qm, такая, что
Из соотношения (8) непосредственно вытекают соотношения E).
Наконец, в случае, когда множество Е совершенно, добавим
к соотношениям F) (в соответствии с теоремой 4) неравенство А(ф0.
Так как Л^сЯ^с:/?;, то R^O. Следовательно, можно допустить,
что Qt Ф 0, ибо можно, не нарушая условий E), добавить к мно-
множеству Qi произвольное (не пустое) открытое множество, граница
которого содержится в Rt.
Для приложений нам понадобится следующая
Теорема 6. Пусть Ко, ¦-., Ks — система открытых мно-
множеств, такая, что X = K0[j ... \}KS, и Ао Аг — система
замкнутых множеств, пересечение которых Ао (~| ... (]Аг удовле-
удовлетворяет условию Dn. Тогда существует система открытых
множеств Go Gm, такая, что JP—G0\J ... [} Gm, причем
каждому индексу i-^,m соответствует индекс i'<^,s, для
которого G/CiKi', и каждой системе индексов to<.tiK •• •
. .. <*в+11^»/ге соответствует индекс j^l, такой, что

§ 27. Пространства размерности п 307
Положим Е=А0(] ... П А-1- В силу теоремы 5, существуют две
системы открытых множеств Qo, .. .-, Qs и HQ, ..., Hs, такие, что
^ = Q0U •¦¦ \)Qa, QidKt, E(]Qioft ... nQln+1 = O,
Тогда
^ = QoU ..- [}Qs = J
i, i
и так как
то
U(
i, i
Обозначим через Go, ..., Om слагаемые этого разложения (их
всего (s-f-l)(/-f-2)). Пусть/0 < ... <г„+1<!/и. Предположим про-
противное, т. е. что для любого индекса j ^.1 мы имеем Ajf\Gio(] .. .
. . . П OL фО. Следовательно, ни одно из множеств О{ , . . ., Gt
не принадлежит системе множеств (Qt — Aj), где г-^s, j 4^1. По-
Поэтому все они принадлежат системе Но Hs. Но это противо-
противоречит равенству Н1оП ••• П#,п+1 = 0.
IV. Продолжение я-мерных множеств.
Теорема I1) (обобщение теоремы 1 из § 26, IV). Любое
п-мерное множество содержится в некотором п-мерном
G6- множестве.
В самом деле, если Е—некоторое «-мерное множество, то
E=Q0[) ... U Qn, где множества Qt 0-мерны (теорема 3, п. I). В силу
теоремы 1 из § 26, IV, каждое множество Qt содержится в некотором
0-мерном О6-множестве: Q^Q*. Следовательно, ?c=C?gU • • • U Q*.
но это объединение является «-мерным (?6-множеством (в силу той
же теоремы I, 3).
V. Размерностное ядро.
Теорема 1 (теорема Менгера [3]). Множество всех тех
точек п-мерного пространства, в которых пространство
имеет размерность п, т. е. множество X—^(п-\) {называемое
„размерностным ядром"), имеет размерность ^>п — 1.
В силу следствия 2г, п. I, существует множество S типа Fg,
такое, что
dim 5 < п — 2 и dim (JT(n_i, — 5)< 0.
') Теорема Тумаркина ([2], стр. 653).
20*

308 Гл. 2. Метрические пространства
Так как, согласно § 25, 111,2, множество J" — &(п-\) типа Fa> T0
из следствия 2а, п. I и предположения о том, что dim ($" — Ж(п_г))^.
¦^ п — 2, вытекает, что
dim {(& ~ Х{п_Х)) U S] < п — 2.
Но тогда из тождества
Х{п_г)) U S] и [#(„_!) - S]
следует, что <ИтХ^.п—1, ибо при добавлении 0-мерного мно-
множества размерность возрастет самое большее на единицу (тео-
(теорема 1, п. I).
Замечание. Доказано, что каждое (непустое) открытое в ядре мно-
множество имеет размерность ;> и—1. (См. Менгер [3].) Замыкание ядра имеет
в каждой точке ядра размерность п (см. Гуревич [2], Тумаркин [2], Мен-
Менгер [1] и Урысон [5]).
VI. Слабо я-мерное пространство. Пространство размерности «
называется слабо п-мерным, если его размерностное ядро не является
«-мерным (тогда, в силу теоремы 1, п. V, это ядро имеет размер-
размерность п — 1).
В качестве примера слабо одномерного множества рассмотрим
множество точек плоскости (х, f (x)), где х принадлежит канторову
множеству ft:
__2_ _2_ ,
и где
Ядро этого множества состоит из точек, абсцисса которых предста-.
вляет собой правый конец интервала, смежного с ?f1). Так как это
множество счетно, то оно нульмерно.
Доказано2), что для любого п существуют слабо «-мерные
множества.
VII. Семейства, определяющие размерность. Свойство про-
пространства иметь в точке р размерность <^ « является частным случаем
следующего свойства: пусть F— некоторое семейство множеств; мы
будем говорить, что оно определяет размерность пространства
') См. Куратовский [19]. Первый пример множества, имеющего размер-
размерность 0 в каждой точке, за исключением счетного числа точек, был дан
Серпинским [8].
2) Теорема Мазуркевича [6].

§ 27. Пространства размерности п 309
в точке р, если существуют произвольно малые окрестности точки р,
границы которых принадлежат семейству F1).
В частности, если F—семейство множеств размерности ^п—1,
то точки, в которых семейство F определяет размерность пространства,
совпадают с теми точками, в которых пространство имеет размер-
размерность <; п.
Пусть семейство F обладает двумя следующими свойствами (кото-
(которые выполнены для семейства множеств размерности <^й—1):
1° оно наследственно, т. е. из включений Xс Y ? F следует,
что X?F;
2° оно Fa-addumu8Ho, т. е. из двух условий Xп (j/7 и Xп = Хп f| S,
где S = Xl\]X2\} ..., следует, что S?F2).
Как показал Гуревич (в цитированной работе), большую часть
теории размерности можно свести к изучению 0-мерных множеств
и /^-аддитивных наследственных семейств.
Его метод рассуждения (более абстрактный, чем приведенный
в тексте) имеет то преимущество, что его можно применять к реше-
решению проблем, не относящихся к теории размерности.
Сформулируем без доказательств (которые, впрочем, аналогичны
доказательствам соответствующих теорем из § 26) некоторые основные
теоремы о наследственных /^-аддитивных семействах F.
1. Для того чтобы семейство F определяло размерность про-
пространства в каждой точке, необходимо и достаточно, чтобы про-
пространство являлось объединением множества, принадлежащего семей-
семейству F, и множества размерности <;0.
2. Для того чтобы в пространстве была определена размерность
с помощью семейства F, необходимо и достаточно, чтобы каждую
пару замкнутых непересекающихся множеств можно было отделить
замкнутым множеством, принадлежащим семейству F.
3. Пусть F и Fj—два наследственных /^-аддитивных семейства;
') К. Менгер стоит на еще более общей точке зрения, а именно: точка
называется „?-точкой", если она принадлежит произвольно малым окрест-
окрестностям, обладающим свойством Е. См. Менгер [2].
Термин „определять размерность пространства", которым я обязан
Кнастеру, заменяет здесь термин „Unstetigkeitspunkt" Гуревича, применяемый
последним в работе [2].
Одно свойство, аналогичное (но не эквивалентное) свойству быть
точкой, в которой определена размерность пространства, изучалось Уайбер-
ном: речь идет о точках р вида р=О)ПО2П ••¦> гДе множество Gn есть
Окрестность точки р и Fr (Gn)?F. См. Уайберн [2].
2) М. Гуревич называет наследственное и /^-аддитивное семейство
„Normalbereich".
Семейства, которые удовлетворяют условиям 1° или 2° и, кроме того,
содержат все множества, гомеоморфные своим элементам, изучались Кунугуи
при исследовании связей между понятиями размерности и топологического
ранга („размерности в смысле Фреше"). См. Кунугуи [1], стр. 41.

310 Гл. 2. Метрические пространства
тогда семейство, состоящее из объединений X U К, где X?F
и У?Рг—наследственное /^-аддитивное.
4. Семейство множеств, размерность которых определена семей-
семейством F, наследственно и /^-аддитивно,
5. Если пространство разлагается в счетное объединение замк-
замкнутых множеств, размерность каждого из которых, за исключением,
быть может, одного выделенного, определена семейством F, тогда как
размерность выделенного множества определена семейством F в точ-
точке р, то размерность всего пространства также определена семей-
семейством F в точке р.
6. Множество точек, в которых размерность пространства не
определена семейством F („ядро" пространства), есть /^-множество.
Если это множество непусто, то оно не принадлежит семейству F.
VIII. Размерность прямого произведения.
Теорема I1), dim {X X 20 < dim ^ + dim g/. Кроме того,
(dima X = 0 = dimuу) =$ dimu, ь) {Ж X У) = 0.
Доказательство. Положим dima J = m и dimftу = п. Тогда
существуют два открытых множества R и S, таких, что
-j. dim
b?S, бE)<-|", dim [Fr E)] < и — 1.
В силу § 15, III C) и § 21, VI D), имеем
A) Fr(/?XS) ?
Пусть m — 0 = /t; тогда dim [Fr (/?)] = — 1 = dim [Fr (S)], т. е.
Fr (R) = 0 = Fr (S), поэтому Fr(#XS) = 0. Следовательно,
dim(e. ь)(JX3/)= 0,
(e.
чем завершается доказательство второй части теоремы.
Таким образом, первая часть теоремы доказана в случае
= 0 —dim2/. Далее проведем доказательство по индукции.
Предположим, что теорема верна для всех пар X, У, таких, что
dimjr-|-dim2/<&.
Так как
dim [Fr (/?)] + dim S~< (от — 1) + я < ft — 1,
') См. Менгер [4], стр. 246.

§ 27. Пространства размерности п 311
то, по предположению, мы имеем
dim[Fr(#)X 5]< ft -1
и аналогично
dim[#X Fr(S)]<ft — 1.
В силу теоремы 2, п. I, имеет место соотношение
согласно A), dim(aj щ (X X У) С ft. следовательно, dim (X ХЗО <J ft.
Замечание 1. В предыдущей теореме знак <^ нельзя заменить
знаком =. Например, если X—множество точек гильбертова про-
пространства (см. § 21, I, пример 3), все координаты которых рацио-
рациональны, то dim X = 1 = dim (X X X) (см. Эрдёш [1], Гуревич и
Уолмен [1], стр. 13, 34).
Л. С. Понтрягин привел еще более яркий пример, в котором
каждое из двух компактных метрических пространств имеет размер-
размерность 2, а их произведение имеет размерность 3 (см. Понтрягин [1]I).
Замечание 2. Если пространство X компактно и dimg/=l, то
dim (X X У) = dim X + 1
(см. Гуревич [6]).
Замечание 3. Вторую часть теоремы нельзя распространить
на случай п > 0 (см. Менгер [5]). Это можно видеть на примере
произведения cf X X, где пространство X есть объединение точки О
и интервалов (—-г—г , —) с нечетным п.
IX. Непрерывные и взаимно однозначные отображения «-мер-
«-мерных пространств. В силу следствия 16, § 22, II, любое метрическое
сепарабельное пространство является непрерывным взаимно однознач-
однозначным образом некоторого 0-мерного пространства. Эту теорему можно
усилить следующим образом:
Теорема 2). Любое метрическое сепарабельное простран-
пространство JZ" мощности с является непрерывным взаимно однознач-
однозначным образом некоторого п-мерного сепарабельного простран-
пространства для каждого конечного или бесконечного и^-0.
Доказательство. 1. Рассмотрим сначала случай
Пусть у есть «-мерное пространство (например, у = g", п
Обозначим через Q семейство всех Eб-множеств пространства
1) В. Г. Болтянский построил еще более удивительный пример компакт-
компактного метрического пространства размерности 2, квадрат которого имеет
размерность 3. — Прим. перев.
2) См. Хилгерс [1].

312 Гл. 2. Метрические пространства
Очевидно, что G = c. Следовательно, мы можем положить G={GX],
где точка х меняется в пространстве JT (таким образом, Ох пред-
представляет собой некоторую «универсальную» функцию для (?б-подмно-
жеств пространства X X У> см. § 30, XIII).
Пусть отображение f : Ж —>у таково, что
A) ([х, f (х)] ? Gx) =ф (((х) X 2/) с О,).
Это отображение мы определим следующим образом. Если ((х)Х20<=
czGx, то обозначим через f (х) произвольную точку пространства У\
в противном случае f (х) есть точка пространства g/, такая, что
[х, f(x)] ? Ох.
Так как пространство X является взаимно однозначным непре-
непрерывным образом множества
/=Е [у = /(*)].
х, у
то остается показать, что dim/ = re. В силу теоремы 5, § 26, IV,
существует Gg-множество Z, такое, что
B) I czZ аХХУ и dim Z = dim/.
Следовательно, существует точка лг0, такая, что Z = GXo. Отсюда
вытекает, что
[х0, /(х0)] ? G^o, поскольку [х0, f(xo)]? I cz Z.
Поэтому, в силу A),
(Оо) X У) с GXo,
откуда
dim у < dim G^ < dim (Ж X S/);
но (см. п. VIII) dim(JT X20<dimjr-f-dim^ = 0-r-/} и, следова-
следовательно, dimGj-0 = ra, т. е. dim Z=«. Наконец (согласно B)), dim/=rt.
2. Пусть iT имеет произвольную размерность. В силу следствия 16,
§ 22, II, существуют множество Т размерности 0 и непрерывное
взаимно однозначное отображение /:Т->Ж. Как только что было
показано, существуют также множество / размерности п и непрерыв-
непрерывное взаимно однозначное отображение g:I-±T, Тогда отображение
f g : I—±X непрерывно и взаимно однозначно.
X. Замечания по поводу теории размерности в применении
к произвольным метрическим пространствам. В § 25—27 предпо-
предположение о сепарабельности рассматриваемого пространства было суще-
существенно. Следует заметить, что некоторые результаты, установленные
для сепарабельных пространств, можно распространить на произволь-
произвольные метрические пространства (и даже на нормальные пространства),
если ввести подходящее определение размерности,

§ 27. Пространства размерности п 313
Существует несколько определений размерности, эквивалентных
для метрических сепарабельных пространств. Совсем иначе дело обстоит
в случае, когда пространство не предполагается сепарабельным.
В этом случае мы имеем несколько, вообще говоря, различных опре-
определений.
Во-первых, индуктивная размерность, обозначаемая тАЖ,
которую мы определили с § 25,1 (условия 1—3). Затем комбинатор-
комбинаторная размерность, обозначаемая dim JP, где равенство dim .#"<;«
эквивалентно условию Ол (см. § 27, III). Наконец „большая" индук-
индуктивная размерность (см. Чех [1]), обозначаемая \пйЖ; она опреде-
определяется так: Ind 0 =—1 и Ind S? <^ n тогда и только тогда, когда
для любого замкнутого множества F и каждого открытого мно-
множеств G, содержащего F, существует открытое множество Н,
такое, что
FciH, HczG, IndFr(#)<« — 1.
Согласно одной важной теореме Катетова [3J, [4] !), равенство
Ind ^ = dim JT имеет место для произвольных метрических про-
пространств.
Однако для более общих пространств определения, данные выше,
могут не совпадать. Например, существует компактное пространство 3",
такое, что dimJT^l, тогда как ind^ = 2 (см. Лунц [1], Локу-
циевский [1], Вопенка [1]).
С вышеупомянутым равенством связаны следующие неравенства 2):
dim X <С ind Ж', имеющее место для компактных пространств (Алек-
(Александров) и пространств Линделёфа (Морита, Смирнов); dim J^Ind X,
имеющее место для произвольных нормальных пространств. Суще-
Существует 3) нормальное пространство X, для которого ind ^< Ind^1
(Смирнов), а также нормальное пространство SC, для которого
О = тйЗ" < IndJT (Даукер), и полное метрическое пространство Л\
для которого indJ" = 0 и Ind.F = dim JT = 1.
Добавим, что имеется несколько фундаментальных теорем теории
размерности, не допускающих обобщений подобного рода. Такова,
например, теорема, утверждающая, что размерность подмножества
не превосходит размерности всего пространства; это утверждение
не верно для комбинаторной размерности компактных пространств 4)
(однако оно имеет место — в силу одной теоремы Чеха [2] — в совер-
совершенно нормальных пространствах).
') См. также Морита [3], Даукер и Гуревич [1].
2) См. Александров [15], Морита [2], Смирнов [2], Веденисов [4].
3) Смирнов [2], Даукер [4], Рой [1].
4) См. Александров [16], стр. 26, замечание. См. также Даукер [4].
По поводу различных других обобщений теории размерности см. Алек-
Александров [18], [19], Даукер [3], Морита [2], Пасынков [1], Проскуряков [1],
Смирнов [8], Веденисов [2].

314 Гл. 2. Метрические Пространства
§ 28. Симплексы, комплексы, полиэдры
I. Определения. Пусть р0 рп — множество точек евклидова
пространства (произвольного числа измерений); (геометрически откры-
открытым) симплексом (р0 ... рп) называется множество точек р вида
A) Р-=
(/ = 0, 1, .... га);
точки р и Pi рассматриваются как векторы г).
Точки р0, рп называются вершинами симплекса.
Коэффициенты ^0 Хп называются барицентрическими коор-
координатами точки р относительно точек р0 Рп2)-
Любой симплекс вида (pi . . . р-,Л, 0<^&^я, называется гранью
симплекса S = (p0 ... рп). Очевидно, что S представляет собой
объединение всех граней (р1 . . . рЛ симплекса S и состоит, сле-
следовательно, из всех точек р, удовлетворяющих условию, которое
получается из условия A), если заменить строгое неравенство >^>0
неравенством 1г^>0.
Множество S можно также определить как наименьшее выпуклое
множество, содержащее точки р0 рп (выпуклым называется
множество, которое вместе с любой парой точек содержит прямоли-
прямолинейный сегмент, соединяющий эти точки).
Если все грани симплекса S не пересекаются, то этот симплекс
называется простым (или невырожденным). Это условие эквива-
эквивалентно линейной независимости вершин симплекса S; напомним,
что точка р линейно зависит от точек р0, ..., рп, если суще-
существует система чисел Хо,..., Хп, удовлетворяющая двум равен-
равенствам A). В других терминах множество всех точек, линейно зависящих
от точек р0, ..., рп, называется линейным многообразием, опре-
определенным этими точками; следовательно, симплекс является простым,
если никакая из его вершин не принадлежит линейному многообразию,
определенному всеми другими вершинами.
Говорят, что простой симплекс с п-\-\ вершинами имеет гео-
геометрическую размерность п, так же как и линейное многообразие,
определенное п-\-\ линейно независимыми точками. Как мы увидим
') Пусть в евклидовом пространстве % заданы два вектора
р = (хь ..., xk) и г = (Ух Уь)\
по определению,
Пусть К — действительное число; по определению, А,р = (?.д;1, ... k)
2) Точка р представляет собой центр тяжести системы точек р0 рп,
если точка pt является носителем массы Я^

§ 28. Симплексы, комплексы, полиэдры 315
(в п. II), геометрическая размерность симплекса совпадает с его
топологической размерностью (в смысле определения § 25).
В частности, симплекс размерности л = 0 сводится к одной точке;
(простой) симплекс (papi) есть прямолинейный сегмент без конечных
точек; простой симплекс (р0р1р2) есть внутренность треугольника.
Теорема 1. Любая точка р вырожденного симплекса
S = (pQ ... рП) принадлежит некоторой грани (р. ... pt \
при k < п. (См. Александров и Хопф [1], стр. 607.)
Если симплекс 5 является вырожденным, то существует система
действительных чисел ц0 [хл, не обращающихся одновременно
в нуль и удовлетворяющих условиям:
Можно считать, что цп > 0 и что, кроме того, среди чисел Яг-/[хг,
у которых \ii > 0, число X,,/\in является наименьшим (числа XQ, ..., Хп
удовлетворяют условию A)).
Положим
Xl — Xi — -^ nt при Z == 0, 1 га.
Тогда
Так как Хп = 0, то /? ^ (р0 ... pn_i), что и требовалось доказать,
Допустив в этой теореме, что целое число k является наименьшим
из возможных, получаем, что любая точка симплекса S принад-
принадлежит некоторой простой грани симплекса S. Отсюда вытекает
также, что
B) S = /^0U ... UFm,
где Fo, ..., Fm — система простых граней симплекса 5.
Говорят, что множество (конечное или бесконечное) точек р0, рь . . .
пространства cf находится б общем положении (в этом пространстве),
если любая система ». р. , L < i. < . . . < L, где &<Гг,
'о lk и '
линейно независима.
Теорема 2. Пусть в пространстве ef {или в кубе gr)
заданы последовательность точек aQ, av ¦ ¦. и последователь-
последовательность положительных чисел е0, ег Тогда существует
последовательность точек р0, рх находящихся в общем
положении, такая, что
D) \pi — ai\<.zi, где ( = 0, 1

316 Гл. 2. Метрические пространства
Доказательство проведем по индукции. Пусть р0 = а0. Для того
чтобы определить точку рг рассмотрим все линейные многообразия,
определяемые системами точек р . . ., р. , j < ... < j < i и
•'о J k "
k < г. Так как каждое из них нигде не плотно, то и их объедине-
объединение является нигде не плотным множеством. Обозначим теперь через pt
любую точку, не принадлежащую этому объединению и удовлетво-
удовлетворяющую неравенству \ pL — at | < ег.
Замечания. Г Если г=Х0, то все симплексы (р-: ... рЛ
можно считать простыми (следовательно, непересекающимися),
каково бы ни было k.
2° Если г~^-2п-\-\ и L есть п-мерное линейное многообра-
многообразие, то точки р0, рх, ... можно подчинить следующему допол-
дополнительному условию: все симплексы (pt ... рЛ (где 1-^.п) не
пересекаются с многообразием L. В самом деле, обозначим через
р_п_1 р_г линейно независимое множество точек, определяющее
многообразие L, и построим точки pt при I ^> 0 с помощью про-
процесса, аналогичного предыдущему.
3° Точки р0, рь ... можно выбрать так, чтобы выполня-
выполнялось следующее условие: пусть Vo, •••, Vt — линейные много-
многообразия, определенные непересекающимися множествами, со-
состоящими соответственно из ko-\-l, ¦¦¦, k(-\-l элементов
множества р0, рг где k0<^ r kt-^r\ тогда геометри-
геометрическая размерность линейного многообразия Vo[\ ... {]Vl (пред-
(предполагаемого непустым) удовлетворяет соотношению
C) dim(l/on ... [\Vl) = kQ+ ... +&г — lr.
Следовательно, в частности, если г~^>2п-\-1, то симплексы
(Pi •¦¦ PtX ksCn< попарно не пересекаются.
Для определения точки pt рассмотрим — наряду с построенными
выше многообразиями — всевозможные их пересечения, а также все
многообразия Ф cfr, определяемые произвольными парами этих пересе-
пересечений. Тогда Pi — любая точка, не принадлежащая объединению этих
многообразий и находящаяся на расстоянии < г1 от точки at l).
Конечное семейство симплексов называется комплексом. Назовем
замыканием С комплекса С комплекс, состоящий из всех граней
симплексов, принадлежащих комплексу С. Комплекс С называется
замкнутым, если С = С, т. е. если вместе с каждым симплексом
(Л) • • • Рп) он содержит в качестве элементов все симплексы
(Pi0 ¦ ¦ ¦ Pik)- гДе 'о < • • • < h < п.
') См. Александров и Хопф [1], стр. 596. При доказательстве исполь-
используется то, что размерность многообразия, натянутого на два многообразия U
и V, такие, что U[)V^O, равна dim L/-\-dim V — dim (UflV).

§ 28. Симплексы, комплексы, полиэдры 317
Комплекс С называется простым (или невырожденным), если
все симплексы комплекса С попарно не пересекаются. В частности,
комплекс, состоящий из всех граней простого симплекса, является
простым.
Комплекс С называется п-мерным, если п —наибольшая размер-
размерность симплексов, принадлежащих комплексу С.
Множество С называется (замкнутым) полиэдром, если суще-
существует простой замкнутый комплекс C = (R1, ..., Rm), такой, что
С = /?,и ••• \}Rm-
Очевидно, что полиэдр является компактом.
Всякий полиэдр гомеоморфен полиэдру, являющемуся объеди-
объединением некоторых граней некоторого простого симплекса.
В самом деле, пусть С—простой замкнутый комплекс с верши-
вершинами q0 qm и 5 есть m-мерный симплекс (р0 . . . рт). Тогда
полиэдр, являющийся объединением всех симплексов [plg . . . pt \
таких, что (qi ... qt\ ? С, гомеоморфен полиэдру С = S (С).
II. Топологическая размерность симплекса. Пусть S = (р0... рп)
— простой симплекс и C=(RV ..., Rm) — простой замкнутый ком-
комплекс, такой, что
A) S = /?iU ¦•• URm-
Так, например, если п = 2, т. е. если S — треугольник, и если
соединить каждую вершину треугольника с центром противоположной
стороны, мы получим разложение треугольника S на 6 треугольников
(называемое барицентрическим разложением). Более точно, комплекс С
состоит в этом случае из 6 двумерных симплексов, 12 одномерных
симплексов и 7 отдельных точек (следовательно, т — 25).
Справедливы следующие утверждения.
Теорема 1. Пусть F—грань симплекса S, тогда для
каждого индекса j-k^m либо RjCiF, либо Rjf\F = 0.
Теорема 2. Замыкание F является объединением симплек-
симплексов, принадлежащих комплексу, состоящему из всех мно-
множеств Rj, таких, что
Теорема 3. Каждому е > 0 соответствует простой замк-
замкнутый комплекс C = (R1 Rm), удовлетворяющий условию A)
и такой, что ?>(Rj) < е при /= 1. 2, . . ., т.

318 Гл. 2. Метрические пространства
Теорема 4 (теорема ШпернераI). Пусть v(s) — функция,
ставящая в соответствие каждой вершине s комплекса С
положительное целое число, такое, что
(i) если s?(pio . . . pikj, то v(s) — один из индексов /0, .... lk.
Обозначим через v (R), где R — (q0 ... qj), множество
[v(<70), ..., v(qi)]- Тогда число р множеств Rj, таких, что
v(/?y) = (O, 1, ..., «), всегда нечетно.
Для доказательства этой теоремы применим индукцию. Наше
утверждение очевидно при п = 0, ибо в этом случае S = ро= R и
v(/?)== О, следовательно, р=1. Допустим теперь, что это утвержде-
утверждение верно для п — 1 и покажем, что тогда оно верно для п.
Пусть F—семейство (п — 1)-мерных симплексов F?C, таких,
что
v
и пусть о— число симплексов F, таких, что F?Fh Fcz(p0 . ., Jcn_l).
По предположению и на основании теоремы 2, число о нечетно.
Занумеруем симплексы Rj таким образом, чтобы симплексы Rlt
R2 Rt были «-мерными (в геометрическом смысле), а симплексы
Rt+1 Rm имели размерность < п.
Обозначим через ау-, j^.t, число граней F симплекса Rj, таких,
что F?F. Заметим, что
1° если v (/?;) = (О п), то <х;-=1;
2° если @ n—\)czx(Rj)=t@ и), то а,-= 2;
3° если @, п— l)<fiv(Rj), то ау = 0.
Отсюда вытекает, что
B) P = (aj4- ••¦ + a,)(mod2).
Каждому симплексу RJt j-^t, поставим в соответствие его грани,
принадлежащие семейству F (если они существуют). Тогда каждому
симплексу F ? F будет соответствовать один или два симплекса Rj,
в зависимости от того, содержится ли симплекс F в симплексе
(Ро ¦ • ¦ Pn-i) или нет- Поэтому, в силу B), имеет место соотношение
ai+ • • ¦ + a, == a (mod 2), откуда p=sa(mod2).
Следовательно, число р нечетно.
Замечание. В приложениях теоремы 4 используется только
неравенство рфО. Нечетность числа р выступает только в доказа-
доказательстве этой теоремы.
') См. Шпернер [1], Кнастер, Мазуркевич, Куратовский [1].

§ 28. Симплексы, комплексы, полиэдры 319
'Теорема 5. Пусть заданы п -\-1 замкнутых множеств
Ао, .... Аа, таких, что каждая грань (р,о ... p/ft) @ <&<!«)
симплекса S удовлетворяет включению
C) К ••• л) ^
Л0П ... П Ап Ф 0.
Пусть г — некоторое целое положительное число. В силу тео-
теоремы 3, можно допустить, что комплекс C = (Ri Rm) удовле-
удовлетворяет условию A), а также неравенству
D) HRjXj при 7=1, .... т.
Каждой вершине s комплекса С поставим в соответствие целое
число v(s) следующим образом. Согласно условию A), существует
один (и только один) симплекс (pt ... pt\ содержащий вершину s.
Следовательно, в силу условия C), среди множеств Aia, ..., А,
существует по крайней мере одно множество, содержащее вершину s;
обозначим его индекс через v(s).
Итак, s(j/lvE). Так как условие (i) выполняется, то, согласно
теореме 4, среди всех симплексов Rt существует симплекс (который
мы обозначим через (sr0 ... sr\\ такой, что v(sQ = /. Следовательно,
В силу компактности множества 5, можно считать, что последо-
последовательность Sq, Sq sr0, ... сходится к некоторой точке а. Тогда
из условия D) следует, что a— lim srt для i= 1, . . ., п, а из вклю-
Г->-оо
чения srt ^ А1 вытекает, что а ^ А. = Ai и, наконец, а ? AQ П ¦ • • П Ап-
Обозначим через Qt грань симплекса S, противоположную вер-
вершине pt, т. е.
E) Qi = (Po ¦ ¦ ¦ Pi-iPi+i ¦ ¦ ¦ РпУ
Теорема б. Пусть Ао Ап — замкнутые множества,
такие, что
F) S = A0U ... [}Ап,
тогда Л0П • • . Г) Лп Ф 0.
Кроме того, предположение о замкнутости множеств At
можно заменить условием их открытости в S.
В соответствии с теоремой 5 нужно установить включение C).
Предположим, что оно не имеет места; тогда в симплексе (pt . . . pit\
существует точка а, лежащая в дополнении к множествам At , ..., Ai/{.

320 Гл. 2. Метрические пространства
Следовательно, на основании равенства F) существует индекс i,
такой, что
(8) t Ф10 1ф ik,
(9) a?At.
Из неравенства (8) вытекает, что [pt . . . pi\czQi, откуда a?Q;,
но это несовместимо с соотношениями G) и (9).
Для доказательства второй части теоремы 6 предположим, что
множества Ао Ап открыты в S, и обозначим, в соответствии
с § 14, III, через Ао, ..., А„ систему замкнутых множеств, такую,
что
откуда A*nQi = 0 @</<и).
Так как ЛоП •¦¦ П-4л?=0, то Ло П ••• П Ап ф 0.
Теорема 7 (основная теорема1)), dimS — п.
Иначе говоря, dimef'! = re.
Доказательство. Неравенство dim^^w (или
очевидно (см. § 25, I, примеры). Докажем, что dimS^-re—1.
Предположим, что dimS-^/z-—1. Положим
A0) P^S-Q,,
где Qi определяется равенством E). Очевидно, что
(П) S = P0U ... U Рп.
Отсюда, в силу неравенства dimS-^/z-— 1 и теоремы 1, § 27, III
(теорема разложения), получаем, что существует система открытых
множеств Ао Ап, такая, что
5 = Лои ... \}Ап, Л0П ... П Л„ = 0 и^с/3,, откуда Л; flQ/ = O.
но это противоречит теореме 6.
Следствие 7а. Пусть С -—простой замкнутый п-мерный
комплекс и С—соответствующий ему полиэдр, тогда dim С = га.
Следствие 76. Пусть (р0 . . . р„)— простой или вырожден-
вырожденный симплекс, тогда dim (р0 ... рп)^п.
Второе следствие вытекает из сопоставления теоремы 7 с форму-
формулой I B). Следующая теорема, относящаяся к тому же кругу идей,
что и теоремы 5 и 6, будет применяться несколько позже.
') См. Брауэр [1].

§ 28. Симплексы, комплексы, полиэдры 321
Теорема 8. Пусть Gu .... Gn—множества, открытие в S и
такие, что Qt[]Qi = 0 (l^t^/i), и объединение Q1\j ... \jOn
отделяет вершину р0 от противоположной грани Qo в S; тогда
Gj П • • • П 0„ ф 0. (См. Куратовский [37] .)
Доказательство. По предположению (см. § 6, V), суще-
существуют два замкнутых множества U и V, таких, что
A2) 5 —(С?! U ¦•¦ UGn) = U[)V, Uf]V = 0, po?U, QoczV.
Пусть далее (в соответствии с нормальностью пространства S)
Ао—множество, открытое в пространстве 5 и такое, что
A3) U<=A0 и V<=S — Ao.
Положим (при / > 0)
(И) л, = о, и E-Л,-ё,).
Тогда (при i > 0) At П Qt = Gi П Qt = 0, так как множество Gt открыто
и G; П Qi = 0 п0 предположению. Кроме того, в силу последних
включений A2) и A3), имеем AQf\QQ = 0. Следовательно,-равенство G)
имеет место при любых i = 0, 1 п.
С другой стороны,
и так как соотношение Qx П ••• П<Э„==/'о очевидно, а в силу A2)
и A3)
ро?Ао и S — (Otu ... иО„)сЛ0иE —Ло),
то равенство F) также имеет место. Поэтому на основании тео-
теоремы 6 имеем
А0П ... ПАпф0, откуда Q1 f] ... П О„ Ф 0,
так как Ло П [S — Ао — фг] = 0.
III. Приложения к задаче о неподвижных точках. С помощью
теоремы 5, п. II можно легко получить следующую важную теорему.
Теорема 1 (БрауэрI). Пусть S = (p0 ... рп) — простой,
симплекс и /:5->S — непрерывное отображение множества S
в себя. Тогда существует неподвиэюная точка этого отображе-
отображения, т. е. точка х0, такая, что /(хо) = хо.
Мы должны показать, что если точке
п, где Яг>0 и Яо+ •¦ ¦ +А,я=з1,
') Доказательство см. в работе Кнастера, Мазуркевича и Куратовского [1].

322 Гл. 2. Метрические пространства
поставлена в соответствие точка
№=Кро+ ••¦+*>„• где к><> и >¦;+••
то существует такая точка х, что Xi = Xi A = 0, ..., п).
Итак, множества А[ = Е (Xi <! Xt) удовлетворяют предположе-
х
ниям теоремы 5, п. II:
1° они замкнуты, ибо барицентрические координаты Xt точки х
являются непрерывными функциями точки х;
2° из условия х?(р(о . . . pt^j следует, что Х[о-\- • • ¦ +?-/ft= 1,
и так как Я/о + ... -f- kc ^ 1, то существует индекс I. (О ^ j <^ А),
такой, что ^,-.<;^г., откуда дг^Л/.. Следовательно, (pt ... p{\cz
<=Alo\) ...\)Atk. ' '
Пусть, в соответствии с теоремой II, 5, х0 ? Ло f] . .. П Л„.
Тогда Xt^Xt для г = 0 п, откуда
и поэтому Xi = Xp i = 0 п.
Следствие 1а. Пусть ?Рп —поверхность шара
Тогда не существует никакого непрерывного отображения
/:&п+1->вУп, тождественного на множестве ?Рп.
Иначе говоря, множество ?Рп не является ретрактом
шара <лп+1.
Предположим, напротив, что
A) /6^f"+1 и /(*) = * при *6^я-
Так как шар бл+1 гомеоморфен замыканию некоторого (п-\- 1)-мер-
ного симплекса, функция —/.в силу теоремы 1, имеет неподвиж-
неподвижную точку х0, т. е.
¦Ко——f(xo)< откуда |хо| = | — /(хо)| = 1, следовательно, хо?вУп,
что противоречит нашему предположению.
IV. Приложения к кубам 0п и g*\ Обозначим через V\ и Wh
1=1 п, противоположные грани куба ff"(ff^"), определенные
соответственно уравнениями xt = 0 и х(=1.
Следующая теорема соответствует теореме 6, п. II (и из нее
выводится).

§ 28. Симплексы, комплексы, полиэдры 323
Теорема 1 '). Пусть заданы л —j— 1 замкнутых множеств
Ао Ап, таких, что
gn = A0U ... \}А„. Al_i(]Wi = 0, Ak(]V, = 0 (*<ft);
тогда Ао(] . . . П А„ Ф 0.
В самом деле, пусть S = (p0... pn) — некоторый «-мерный
симплекс. Положим
^^ 1 X j j Л-j ^= (^ 1 •^'2-' "^ 1» 2 ~— V
Легко видеть, что /(gn) = S. При этом граница В симплекса 5 и
граница V1 U W1 U ... U ^л U W^n куба 0п находятся во взаимно одно-
однозначном соответствии. В самом деле, если хг = 0, то Xt = 0; если
Xj = l, то ^_i = 0, и обратно, если Я;=0, то имеет место одно
из t-\- 1 равенств
т. е. (множества Q{ определены формулой II E))
Наконец, отображение / взаимно однозначно внутри куба 0п,
так как из равенства
вытекает, что
__ 1-(Яо+ ... +Xt)
x
Положим Лг = /(Лг). Тогда 5 = Лои ••• U Ап и
Множества Лг замкнуты (см. § 20, V, б), поэтому, в силу II, 6,
ЛоП ... ()А*пф0.
Так как Л* П Qt = 0, то Л*П • • • П^П?? = О, и так как функ-
функция /~ IS взаимно однозначна, отсюда следует, что Ао П ¦ • • П Ап Ф 0.
Теорема 2. Пусть Ft Fn и Нх, .... Нп — две системы
замкнутых множеств в кубе gn, такие, что
gn = FiUHl и F.nV(- = 0 = tf,nWV
') См. Лебег [3], Гуревич [5], [4].
21*

324 Гл. 2. Метрические пространства
Тогда
(^пя^п... гк/^п//„)?= о.
Доказательство. Положим
Пусть G[ — g" — Ht. Поскольку Gt cz Ft, имеем
Ao U ... U Л„ = #i U (Gi П #2) U ...
... U(G,n ¦¦¦ flO
Легко проверить, что предположения теоремы 1 выполнены. Следо-
Следовательно,
Теорема 2 допускает следующее обобщение.
Теорема 3. Пусть Fv F2, ¦ ¦. и Wi, W2. •¦¦ —две беско-
бесконечные последовательности замкнутых множеств в кубе ff*\
такие, что
ff*.= Fn[iHn a Faf]Va = 0 = Haf]Wn.
тогда
Обозначим через Jn множество точек х = [х1, х2, ¦ ¦ ¦] куба ff*°,
таких, что хп+1 = хп+2= ... =0. Множества Jn и gn, очевидно,
гомеоморфны, и при этом гомеоморфизме множество Vtf]Jn и грань
xt = 0 находятся во взаимно однозначном соответствии. Аналогично во
взаимно однозначном соответствии находятся множество W{ [\Jn и
грань Х[=1. Следовательно, к множеству Jn можно применить тео-
теорему 2. Тогда
JncFi\]Hi, /<я, откуда (^ПЯ^П ... П (/% П #„) =? 0,
00
и, в силу теоремы Кантора (§ 20, V, 2), получаем f] (Fn (] Нп) Ф 0.
Теорема 4 (Гуревич [4]). Пространство 0*" нельзя раз-
разложить в (счетное) объединение 0-мерных множеств (более
общо, нельзя разложить в счетное объединение конечномерных
пространств).
В самом деле, пусть Qu Q2, ... —бесконечная последователь-
последовательность 0-мерных множеств, принадлежащих кубу ff*°. Докажем, что

§ 28. Симплексы, комплексы, полиэдры 325
Так как V'„ и W п — замкнутые непересекающиеся множества,
a Qn—нульмерное множество, то, в силу теоремы § 26, II, 1, суще-
существуют два замкнутых множества Fn и Нп, таких, что
g*t==Fa[JHa, Fnn
откуда
F
Тогда, в силу теоремы 3,
00 СО ОО
0^П(^ПЯя)сП {&"> - Qn) = g*° - U Qa-
п-l л = 1 л=1
Замечания. I. Пусть Ап — множество точек
х = [xv хъ • ¦ •, хп, 0,0,0,...]
куба 0*°, таких, что xt^.— при i^.n. Множество ЛоиАи •••
компактно, его размерность бесконечна, однако каждое из мно-
множеств Ап конечномерно ').
2. Из гипотезы континуума вытекает следующая теорема 2).
Пусть (несчетное) пространство Ж не является объединением
счетного множества 0-мерных множеств; тогда существует
несчетное множество, любое несчетное подмножество кото-
которого бесконечномерно.
Семейство всех множеств типа G6 имеет мощность с (см. § 24, I, 1, и
§ 26, V, I), а следовательно, в силу гипотезы континуума, мощность
Ki! расположим все конечномерные множества типа G6 в трансфинит-
трансфинитную последовательность Qo, Qlt . . ., Qa, . . . типа S. Так как каждое
одноточечное множество является элементом этой последовательности,
то J^ = Q0(J ... UQaU •••• С другой стороны, так как каждое
конечномерное множество является объединением конечного числа
0-мерных множеств (§ 27, I, 3), то из условия теоремы следует,
что никакое счетное объединение элементов последовательности \Qa)
не исчерпывает пространства ЛГ.
Следовательно, существует несчетное множество чисел а, таких,
что D =Qa—\JQi*?O- Если в каждом из Da выбрать по
1<а
точке ра, то множество Р={ра} будет искомым множеством.
В самом деле, множество Р Л Q| счетно, каково бы ни было | < 2,
ибо pa^Qi при | < а. К тому же выводу можно прийти, заменяя
множество Р множеством X с Р. Следовательно, если предположить,
что множество X конечномерно, то, в силу теоремы 1, § 27, IV,
') Дальнейшие теоремы о бесконечномерных пространствах см. в работах:
Смирнов [9], [10], Левшенко [1], Скляренко [1], [2], Тулмин [1], Зарелуа [1].
2) Теорема Гуревича [10]. Как заметил Гуревич, гипотеза континуума
эквивалентна предположению, что куб <у"° удовлетворяет условию этой
теоремы.

326 Гл. 2. Метрические пространства
существует такой индекс \, что X с Q^, т. е. X = X f] Q|. Сле-
Следовательно, множество X счетно.
V. Нерв системы множеств. Пусть Ж—произвольное простран-
пространство, Go, . . ., Gn— подмножества в Ж, р0 Рп~~ множество точек
некоторого евклидова пространства (произвольной размерности). Про-
Простой комплекс N, образованный симплексами (р. ...р. ), такими,
о '*
что G,- П • • • П О( Ф О, называется нервом ') системы {Go, . .., Gn).
Очевидно, что нерв N является замкнутым комплексом.
Размерность его равна наибольшему целому числу k, при котором
существует система индексов i0 < ... < ik, удовлетворяющая соот-
соотношению Gt П • • • П Gi Ф 0.
Для того чтобы две системы множеств имели один и тот же
нерв, необходимо и достаточно, чтобы они были подобны в ком-
комбинаторном смысле (см. § 14, III).
Пусть S = {р0 ... рп)— простой симплекс. Обозначим (см. 11A0))
через Р[ объединение всех граней симплекса S, имеющих точку р1
своей вершиной.
Теорема 1. Комплекс S, образованный всеми гранями
симплекса 5, представляет собой нерв системы {Ро Рп).
В самом деле, пересечение Pia П • • • П Pik< как объединение всех
симплексов, имеющих своей гранью симплекс {р. ... р. ), не пусто
'о lk
ни для какой системы индексов г0 < ... < ik.
Справедлива более общая
Теорема 2. Пусть С — замкнутый подкомплекс ком-
комплекса S, и пусть C = S(C); тогда С является нервом системы
{
Это вытекает из того, что соотношения
С П Pio П • ¦ • П Pik ф 0 и (р{ ... р ) с С
эквивалентны.
Что касается геометрической реализации нерва данной системы
множеств, то имеет место следующая
Теорема 3. Пусть {Go Gm)—заданная система мно-
множеств и п — целое число ^т, такое, что никакая точка не
принадлежит п-\-1 множествам этой системы, т. е.
(n) Gt П • ¦ • П Gt — 0, каковы бы ни были t0 < it < ... < /я+15
тогда в пространстве Уп+ существует простой комплекс
{размерности <;«), являющийся нервом данной системы.
') См. Александров [9]. Ср. с понятием „polyedre reciproque", введен-
введенным Пуанкаре [2].

§ 28. Симплексы, комплексы, полиэдры 327
Более точно: вершины р0 рт этого комплекса можно вы-
выбрать так, чтобы выполнялось условие
\pt — at\ <e, / = 0, 1. .... /я.
где точки а0, .... ат и число е>0 заданы заранее.
В самом деле, в I, 2 положим г = In -j- 1 и обозначим через /V
комплекс, образованный симплексами (п. . . . п ), такими, что
'о 'ft
G;o П ••• П Oi ф 0. В силу (п), эти симплексы имеют размер-
размерность -^и и комплекс N простой. Следовательно, он является
нервом системы {Go ^?т)-
VI. Отображения метрических пространств в полиэдры').
Пусть (Go Gm\—система открытых подмножеств метрического
пространства Ж, а {р0, ..., рт)—система точек некоторого евкли-
евклидова пространства. Положим
A) G = G0U ... \}От и Fl = Q-Ql.
Отображение и множества G называется соответствующим си-
системам {Go Gm\ и [р0, рт\, если
B) и (х) = Я,о (х) • ро-\- ... -)- Ят (х) ¦ /?т,
где
C) %^Х>
C) %^Х>- p(x,F0)+ ... +p(x,Fm)
(условимся считать, что р(х, 0)=1).
Теорема 1. Точка %(х) принадлежит замыканию симплекса
{простого или сингулярного) S = (p0 ... рт) и имеет бари-
барицентрические координаты Х0(х) Хт(х), т. е.
Чтобы убедиться в этом, достаточно установить, что знаменатель
в формуле C) не обращается в 0 ни в какой точке х. Напомним,
что так как множества F{ замкнуты в G, имеет место тождество
D) [р(х, Ft) = 0] = (x?Ft) при x?G.
Допустим, что р (х, Fo) + ... -f р (х, Fm) = 0; тогда р (х, F,) = 0,
следовательно, x?Ft для каждого индекса I. Но тогда точка х
не принадлежала бы ни одному из множеств G(> вопреки A).
Теорема 2. Отображение и непрерывно на множестве О.
') См. Александров [6], Гуревич [9], Куратовский [22].

328 Гл. 2. Метрические пространства
Это вытекает из того, что функция Xt (х) непрерывна на мно-
множестве О.
Теорема 3. Обозначим черезQt грань (р0 ... pl^1Pi+i ... pm),
а через Pt — объединение граней вида (ргрь •¦• pt) O^k^
тогда имеют место следующие соотношения:
E) х[О,вП ... ПО^
F) -л (Fi) с Qt;
G)
В самом деле, допустим, что х^О< для O^.j^k и x(?Gt
при i=?tj. Тогда х(?р: и x?Fi, откуда 1{.(х)фО и ^;(х) = 0,
в силу D) и C). Следовательно, v-{x)^{pi ... р{), откуда вы-
вытекает включение E).
Согласно D), если х ? Ft, то Х{(х) = 0, следовательно, k
Наконец, если x?Gr то Яг(х)=?0, следовательно, %
Замечание. Если система {Go Gm} удовлетворяет усло-
условию (п), то dimK(G)<^.n.
Это вытекает непосредственно из включения E) и следствия
76, п. II.
Теорема 4. Пусть симплекс S = (po...pm) — простой;
тогда включения E) — G) можно заменить равенствами
(8) *-4/V../4)=
(9) и
A0) И
В этом случае функция к отображает множество G в под-
подмножество полиэдра A/ = S(/V), где комплекс /V (нерв системы
{Go Gm}) состоит из симплексов (р1 ... р( ), таких, что
Gion ...ПО(кФ0.
Наконец, если выполняется условие (п) теоремы 3 п. V, то
A1) dim/V=dim7V<«.
Так как грани простого симплекса попарно не пересекаются,
то равенство (8) вытекает из соотношения E). Если Q{ — объедине-
объединение всех граней, не имеющих точку pi своей вершиной, то 1-я
барицентрическая координата любой точки множества Qt обращается

§ 28. Симплексы, комплексы, полиэдры 329
в 0; отсюда вытекает формула (9). Формула A0) доказывается ана-
аналогичным образом.
Для доказательства второй части теоремы достаточно заметить,
что из условия Gto(] ... (]Gt =0 следует, в силу (8), равенство
и (р, ... р, ) = 0, которое означает, что ни одно значение функ-
о k
ции v. не принадлежит симплексу (pt ... pt )', поэтому все ее
о k
значения принадлежат полиэдру ЛЛ
Замечания. 1. Легко доказать (см. Куратовский [22]), что
каждое подмножество простого симплекса можно непрерывно ото-
отобразить на полиэдр, являющийся объединением некоторых граней
этого симплекса, так, чтобы ни одна точка не покидала замыкания
грани, которой она принадлежит.
В частности, если таким подмножеством является x(G), а / —
рассматриваемое отображение, то суперпозиция отображений g-=fa
преобразует множество О в полиэдр и удовлетворяет включению
2. Правая часть равенства (8) называется (в алгебре логики
по Булю) „составляющей высказывания G относительно системы
Go, .. ., Gm". Высказывание разлагается на попарно не пересекаю-
пересекающиеся составляющие.
Теорема 4 устанавливает соответствие между этими составляющими
и гранями симплекса S.
Теорема 5. Пусть S?—вполне ограниченное п-мерное
пространство. Тогда для произвольного г > 0 существует
непрерывное отображение f пространства Ж в п-мерный
полиэдр, такое, что
A2) b[f~l(y)] <e, каково бы ни было
Более точно: пусть X — пространство, обладающее свой-
свойством Dn, и Go, .... Gm — система открытых множеств, та-
таких, что & = G0U ¦ ¦ • U Gm, a S—простой симплекс (р0 ... рт).
Обозначим через Ап комплекс, образованный гранями симплекса S
размерности <^я, и положим An = Q(An). Тогда существует
функция f?A%, такая, что
A3) f1(P;)c0( при i = 0, 1, ..., tn,

330 Гл. 2. Метрические пространства
В самом деле, пусть пространство X обладает свойством Dn; тогда
существует система открытых множеств Go, .... Gm> такая, что
^ = osu...uo;, о;с:о, и o;on...no;n+i=o
при /0< ... <гп+1</я.
Отображение и, соответствующее системам {Go, ..., G*m\ и
[р0 рт), представляет собой искомую функцию. В самом деле,
если N— нерв системы {Go, .... G*m}, то имеет место формула A1),
откуда N с: Ап и, следовательно, к(Х) <=. Ап. С другой стороны,
из равенства A0), в силу включения A4), вытекает соотношение A3).
Таким образом, вторая часть теоремы 5 доказана. Чтобы вы-
вывести из нее первую часть, достаточно рассмотреть покрытие
X = Gou . .. и От открытыми множествами диаметра < е.
Справедлива обратная теорема.
Теорема 6. Если всякому покрытию X = GoU .. . U Gm
открытыми множествами соответствует функция f?A%,
удовлетворяющая условию A3), то пространство X обладает
свойством Т)п.
В самом деле, положим G* — f~l(Pt). Покажем, что соотноше-
соотношения A4) выполнены. Первое из этих соотношений вытекает из 11A1),
второе следует из включения A3), а последнее — из того, что нерв
системы [Апр\Р0, ..., Ап(]Рт], а следовательно, и системы
(Go, ..., Gm} имеет размерность ^.п (согласно теореме V, 2).
К тому же кругу идей относится следующее утверждение.
Теорема 7. Если любому /> п и любой системе открытых
множеств {Go, .... Gm\, такой, что Х = О0[) ••• U Gm, нерв
которой имеет размерность I, соответствует функция /? Af_],
удовлетворяющая условию A3), то пространство X обладает
свойством Dn.
Системе {Go Gm] поставим в соответствие систему открытых
множеств, удовлетворяющих соотношениям A4). Допустим, что при
некотором k ;> п и для любого I ^ k существует требуемая система
{Go, .... Gm]\ докажем, что тогда это верно для А —|— 1.
Так как k-\-\ > n, то, в силу предположения теоремы 7, суще-
ствует функция /? А^, удовлетворяющая соотношению A3). Положим
Hi = f~1(Pi). Так как нерв системы {Ak(]P0 Ak(\Pm},
а следовательно, и системы {Нй, ..., Нт) имеет размерность <!&,
то, по предположению, существует система открытых множеств
\Oq G*m], удовлетворяющая двум соотношениям A4), а также
включению GtCzHt. При сопоставлении с условием A3) из этого
включения следует включение A4),

§ 28. Симплексы, комплексы, полиэдры 331
Теорема 8. Предположим, что точки рй, ..., рт про-
пространства (fn находятся в общем положении и выполнено
условие (п); тогда для любой точки у имеют место соотношения
K-i(y) = /r0U...U/rffl, К* = О/. KiuKl=0 для 1Ф1',
где множества Kt {пустые или непустые) замкнуты в объ-
объединении О = О0 и . .. U От,
Пусть S* — (p*Q ... р*Л есть от-мерный симплекс (в простран-
пространстве km). Положим (см. C))
Обозначим через Ап объединение симплексов (р* ... р*), где
и положим для любой точки t ? Ап
где ро(О» •••» Рот@ — барицентрические координаты точки t (отно-
(относительно вершин р* р*т); тогда и* {X) сг Ап и % (х) = / [и* (х)].
Следовательно, к~ (у) = %*~ [/" (у)].
Так как симплексы (р ...р. )—простые при k^Cn, то
0 *
функция / взаимно однозначна на каждом симплексе (р{ ... р* ).
Следовательно, множество /~ (у) конечно. Обозначим через Pi объе-
объединение граней симплекса 5*, вершиной которых является точка р*г
~1
Положим Яг =/~1 (у) (]Рг, тогда
x-"(y) = «'(W0)U...U«*(WJ.
так как Ро U ... U Рт = 5 . Множества
Ко = к* (Яо), /С: = я*'1 (Я, - Яо)
^/й = х*-1[Я/й-(Яои...иЯт_1)]
являются искомыми. Действительно,
КоU ¦ ¦ ¦ U Кт =
= X* {Яо U (Ях - Яо) U • • • U [Яи - (Яо U • • • U Ят_1)Ц = и (У),
/С/си*~1(Яг)си*~1(Р*) = О/ (согласно A0)),
Kt П ^,- at' [Я, П (Я,' - Я,)] = 0 при l < i'.
Наконец, так как множества Яг конечны, то множества
замкнуты в О.

т)
332 Гл. 2. Метрические пространства
VII. Аппроксимация непрерывных отображений отображе-
отображениями х1).
Теорема 1. Пусть заданы покрытие (произвольного) метри-
метрического пространства & = OQ[} ... [}От открытыми множест-
множествами, функция f(z(?Jr)X, число е>0 и система точек р0, ...
..., рт куба 0Т, такие, что
A5) 6 l(Pl) U / (О,)] < е для 1 = 0,1 т.
Тогда отображение я, соответствующее системам [О0, .... От
и {ра, .... рт), удовлетворяет неравенству
A6) \к(х)—/(л:)|<е для любой точки
Предварительно заметим, что имеет место
Теорема 2. Если среди ребер (p0Pi) (простого или вырож-
вырожденного) симплекса (р0 . . . рп) ребро (popj) — наибольшее, то
\ р0 — #|-^|/?о — Р]\ для любой точки х?(р0 ... рп).
В самом деле, центр тяжести масс Яо Я„, расположенных
в точках р0, .. ., рп, не может лежать вне шара с центром
в точке р0 радиуса | р0 — pj | (этот шар содержит все точки р0, ...
..., рп).
Пусть теперь х — некоторая фиксированная точка пространства Ж',
и пусть iQ ik— система всех индексов, таких, что х ? О/ , ...
.. ., х ? Or. Следовательно,
A7) *6Г0'ОП... ПО,А— ^Ц ОЛ. откуда %(x)?(pig ... р(^
согласно E).
Выделим среди р., ..., р. точку, наболее удаленную от точки
о k
f (х). Можно допустить, что это точка р. . Из соотношения A7) и
теоремы 2, если заменить в ней симплекс (р0 ... рп) симплексом
(f(x)pl ... pt\, вытекает неравенство
A8) |/(*) —и(*)||
Так как х?Оц, то f(x)?f(Gi0), откуда
A9) К-/(*)|<*[(/
Из неравенств A8), A9) и A5) вытекает неравенство A6).
Теорема 3. Любое отображение /6(^')* может быть
равномерно аппроксимировано функциями к.
') Теоремы п. VII позволяют установить (во втором томе) теоремы
„вложения" в теории размерности; в частности, они позволяют доказать,
что любое метрическое сепарабельное /г-мерное пространство гомеоморфно
некоторому подмножеству B/г 4- 1)-мерного евклидова пространства.

§ 28. Симплексы, комплексы, полиэдры 333
Более точно: пусть дана система открытых множеств
(Go Gm}, такая, что
B0) jr = G0U ... UOm и d[/(G,)]<e при / = 0 т,
тогда в кубе gT существует система точек [р0 рт],
находящихся в общем положении, такая, что функция х,
соответствующая системам [О0 Gm) и [р0, ..., рт),
удовлетворяет неравенству A6).
Наконец, если пространство X обладает свойством Dn, то
можно допустить, что
B0')
В самом деле, пусть Л/?/(О;) (если G/ = 0, то at— произволь-
произвольная точка куба gr). В силу I, 2, в кубе gT существует система
точек р0, . .., рт, находящихся в общем положении, удовлетворяющая
неравенству A5). Отсюда, в силу теоремы 1, следует вторая часть
теоремы 3.
Чтобы вывести первую часть теоремы, разложим куб 0Т в конеч-
конечное объединение открытых множеств (например, шаров диаметром <е):
B1) gr = H0[} ... \)Hm, где 6 (//,)< е.
и положим G; = /-1 (//г). Тогда условия B0) выполнены. Отсюда
вытекает неравенство A6).
Наконец, если пространство SP обладает свойством Dn, то можно
заменить систему [О0 От) системой (Go От), такой, что
JT^G^U ... UOm. O*cOt, 0-оП ... ПО;я+1 = 0.
Тогда неравенство B0') вытекает из замечания к теореме 3, п. VI.
Замечание. В том случае, когда г ^> 2« -j- 1, точки р0, .. ., рт
можно подчинить следующему дополнительному условию: все сим-
симплексы lpt ... pi V k^.n, не пересекаются с заранее заданным
линейным многообразием L размерности <С п. (См. п. I, замечание 2°.)
Теорему 3 можно уточнить следующим образом.
Теорема 4. Пусть А и В — два замкнутых непересекаю-
непересекающихся множества, таких, что множество Е = А[} В обладает
свойством Dn. Тогда любую функцию f ?{gr)x, где r~^>2n-\- \,
можно равномерно аппроксимировать функциями к, удовлет-
удовлетворяющими условию
МА) П *Щ= 0.
Пусть так же, как в B1), Но, .... Hs — открытые множества,
такие, что
B10 &r = H0U ... UHS и б(Я/)<е при у<*.
Положим /w = 2s+l, Kj = f~l(Hj) и
= К0~-А OS^KS — A, OS+1=KQ~B Om = Ks- В.

334 Гл. 2. Метрические пространства
Тогда множества О0 Оп1 открыты и удовлетворяют условиям B0),
так как б [f (Кj)\ ^.Ь(Нj) < e. Кроме того, для любого i^m
B2) либо О;ГМ = 0, либо Gt()B — 0.
Так как множество Е обладает свойством Dn, то, согласно § 27,
III, 5, существует система открытых множеств Qo Qm, такая,
что
B3) JT = <20 U ... U О».
B4) Qi^Gh
B5) ?П<2;0Л ... r\Qin+1 = 0 для /0 < ... </„ + ,</».
Следовательно, в силу B0), 6[/(Q/)]<e. Рассматривая, как при
доказательстве теоремы 3, систему точек р0, ..., рпг, находящихся
в общем положении, такую, что 6[pl (J f(Qj)]<.?, заметим, что
функция х, соответствующая системам {Qo Qm\ и [р0, . . ., рт},
удовлетворяет условию A6).
Обозначим через NA (соответственно Nв) полиэдр, являющийся
объединением попарно непересекающихся (в силу B5)) симплексов
(Pt0 • • • Pik). таких. что
соответственно B(]Qto(\ ... nQ
Следовательно, в силу B3) и E),
%(A)<=:NA и
откуда
MA)N и
Более того, на основании B3) и B2), любое множество Q(- не
пересекается либо с А, либо с В. Следовательно,
= 0, откуда и(/1)Пи(?) = 0.
В дальнейшем будут применяться следующие обобщения тео-
теоремы 4.
Теорема 5. Пусть Ао At — замкнутые множества
размерности <С п; тогда любую функцию f?{0T)x, где г >•
^>2л-|-1, можно равномерно аппроксимировать функциями х,
удовлетворяющими условию
B6) Шт[х(Л0)П ... nt(i4j)]<dlmD,n ••• П Аг).
Пусть множества Но Hs и /Со, ..., /С4 имеют тот же смысл,
что и в доказательстве теоремы 4; тогда
B7) JT=,K0U ... UKS и

§ 28. Симплексы, комплексы, полиэдры 335
Положим Е = Ао U ... U Лг и v = dim(AQ(] ... (\At). В силу § 27,
III, 6, существует система открытых множеств О0 От, удовле-
удовлетворяющая соотношениям B0), и такая, что любому набору индексов
/0 < ... < iv+1 ^ т. соответствует индекс v<!Z, такой, что
B8) Av(]Gla(] ... ПО/р+1=0.
Более того, так как множество Е обладает свойством Dn, систему
[Oq Qm\ можно подчинить, в силу § 27, III, 5, условию
(заменяя в случае необходимости множества Qt множествами Qt,
удовлетворяющими соотношениям E), § 27, III).
Пусть (в соответствии с I, 2) р0, . . ., рт — система точек, нахо-
находящихся в общем положении и удовлетворяющих условию A5), тогда
выполняется неравенство A6).
Обозначим через Nv, v = 0 /, объединение симплексов
(pt ... pi ), таких, что A.,f]Gi П ••• Л О/ =5^0; тогда, в силу B9),
k -^ п. Так как точки р0 рт находятся в общем положении
в кубе дТ, то все эти симплексы не пересекаются и 7VV—полиэдр
размерности -^я. Следовательно, пересечение No(] ... П^г пред-
представляет собой объединение симплексов (pi . . . р-, \ таких, что для
любого v ^ / имеет место соотношение Av П О/ П • • • П Gi :
Отсюда, на основании B8), следует, что k <^ v, и поэтому
Из этого неравенства вытекает неравенство B6), так как (в силу E))
k(Av)(z.Nv и Nv = Nv, следовательно, k(Av)czNv.
Теорема 6. Пусть Ао, .... At — замкнутые множества,
размерности которых равны соответственно k0, ..., kt, при-
причем /4vfl^tl = 0, если\Ф\х,\ тогда любую функцию f?({Jr)x', где
r^-kv при v = 0, ..., /, можно равномерно аппроксимировать
функциями и, удовлетворяющими условию
C0) dim [х (Ло) П ¦ ¦ • П * (At)] < /го+ . .. + kt — lr (или — —1).
Пусть Нj и Kj имеют тот же смысл, что и в доказательстве
теоремы 4 (если заменить 2/i-f-1 на г); тогда выполняются соотно-
соотношения B7). Пусть {О0 Gm) — система всех множеств Kj— LMn>
где j<; s и \i=?v^.l (значит, т = (s -j- l)(/-f-1)—1). Следова-
Следовательно, ни одно множество G(-, i = 0, .... т, не пересекается ни

336 Гл. 2. Метрические пространства
с какими двумя различными элементами системы {Ло, .... At\.
Отсюда, если
Avf)O, П ... ПО фОфА . ПО . П ... ПО/ и хфх',
'О lk v 'О 'ft
то все индексы i0, .... гй отличаются от всех индексов i'o \!ь>.
Пусть точки р0, .... рт удовлетворяют замечанию 3, п. I, мно-
множества No, ..., N[ имеют тот же смысл, что и в доказательстве
теоремы 5, a Zv—множество вершин симплексов, образующих мно-
множество Nv; тогда Zv Л ZV' = 0. Более того, если система {О0) . . ., Gm)
удовлетворяет условию B9), где п заменено на г (см. замечание
к формуле B9)), то рассматриваемые симплексы имеют размер-
размерность <С г. Следовательно, в силу замечания 3, п. I,
dim (Мо П ... П W,)< Ао+ • • • + h — lr (или = — 1),
откуда, в силу включения n(Av)c:Nv, следует C0).
Теорема 7. Пусть $" — вполне ограниченное простран-
пространство размерности <; г и т] > 0; тогда любую функцию f ? @Гу"
можно равномерно аппроксимировать функциями я, такими,
что, каково бы ни было у, множество х~!(у) разлагается
в конечное объединение непересекающихся замкнутых множеств
диаметра < х\.
Пусть множества Нj и Kj имеют тот же смысл, что и выше,
a VQ, ..., Vg — система открытых множеств, таких, что
JT = V0U ... \)Vq и 6(Vv)<ti при v = 0 q.
Обозначим через {Go, ..., Gm) множество всех пересечений
Kj Л Vv. Тогда выполняются соотношения B0) и 6 (О,) < ц. Так как
dimJT<;r, то можно, кроме того, допустить, что
0;оП ••• nOtr+l — 0 при /0< ... </,.+1</».
Пусть точки р0, . . ., рт имеют тот же смысл, что и в доказатель-
доказательстве теоремы 5; тогда справедливо неравенство A6). Кроме того,
в силу VI, 8,
H-i(y) = F0[) ... [}Fn. Fi = FlczGi и Fl{\Fl.=0 при '
Наконец, 6(F/)<ti, так как
VIII. Бесконечные комплексы и полиэдры. Счетное множество
симплексов Rlt R2, ... называется бесконечным комплексом, если
никакая точка симплекса Rt (i=l, 2, ...) не является пределом
последовательности точек, принадлежащих различным элементам
последовательности {Rt] ').
') Обозначение (см. § 29, Ш):

§ 28. Симплексы, комплексы, полиэдры 337
Понятия замыкания, замкнутого комплекса и простого ком-
комплекса в случае бесконечных комплексов имеют тот же смысл, что
и в случае конечных комплексов.
Аналогичным образом, множество С называется бесконечным
полиэдром, если существует простой замкнутый бесконечный ком-
комплекс С, такой, что С = S (С).
Можно доказать, что любое открытое подмножество про-
пространства cfn является беконечным полиэдром. (Теорема
Рунге [1]. Доказательство см. в книге Александрова и Хопфа [1],
стр. 143.)
Понятие нерва бесконечной последовательности множеств
Go, O1 удовлетворяющих условию
A) -любое множество Ot пересекается только с конечным
числом множеств Gj,
вводится точно так же, как в случае конечной последовательности
(п. V).
Теорема V,l допускает следующее обобщение.
Теорема 1. Пусть С — простой замкнутый бесконечный
комплекс с вершинами в точках р0, рх, ..., и Рь— объедине-
объединение всех симплексов комплекса С, имеющих точку pt своей вер-
вершиной; тогда комплекс С представляет собой нерв последова-
последовательности PQ, Pj
Иначе говоря, условия (pio . . . р{^ ? С и Ло П • • ¦ Л Ptk Ф О
эквивалентны.
В самом деле, так как пересечение Р{ [") • • • f\Pi является объ-
объединением всех симплексов комплекса С, имеющих своей гранью сим-
симплекс (piQ .. . pikj, то мы имеем (pio .. . pi^cP^ П • • ¦ ЛЛу и
поскольку (pi . . . PiAGzC, to Pt fl ... [\Pt фО. С другой сто-
стороны, если x?Pi П ••• flPi .то точка х принадлежит симплексу
Rj?C, гранью которого является симплекс (pi ...pi\. Поскольку
комплекс С замкнут, имеем (pi ... pi \ ? С.
Утверждение V, 3 допускает следующее обобщение. Обозначим
через cf'_j, соответственно через ef^j, множество точек простран-
пространства %1 (соответственно пространства ^>!?0), первая координата („абс-
(„абсцисса") которых равна нулю. В случае конечного / очевидно, что
пространство cf _i изометрично пространству cf ~ .
Теорема 2. Пусть Go, Gb ... — последовательность мно-
множеств, удовлетворяющих условию A), а0, аь ...—последова-
...—последовательность точек пространства g3!0! и е0, е^ ... — последова-
последовательность положительных чисел. Тогда существует простой
бесконечный комплекс, расположенный в пространстве cf*°—efl°i,

338 Гл. 2. Метрические пространства
с вершинами в точках р0, рх, . . ., являющийся нервом системы
Go, Gv .. ., причем выполнено неравенство
B) |Л—в,|<е„ 1 = 0, 1,
Более того, если условие (л) теоремы V, 3 выполняется, то Хо
можно заменить на 2п-\-\.
В самом деле, пусть а*—точка с положительной абсциссой < 1/i,
такая, что а*—аЛ<Сгг Согласно 1,2 (см. замечание 1), суще-
существует точка р, с положительной абсциссой < 1//, находящаяся на
столь малом расстоянии от точки а*, что выполняется неравенство B),
и, кроме того, все симплексы с вершинами, принадлежащими последо-
последовательности pQ, plt ..., не пересекаются (в случае, когда выпол-
выполняется условие (п), требуется только, чтобы симплексы размерно-
размерности <я не пересекались).
Пусть So, Slt ... — комплекс N, образованный всеми симплексами
(pi ¦ ¦ ¦ pi ). такими, что Oi П ¦ • • (]Oi ?=0. Докажем, что ком-
комплекс /V есть нерв системы Go, О^ т. е. что N—простой ком-
комплекс. Для этого нужно показать, что любому симплексу So соот-
соответствует индекс /0> такой, что выполняется равенство
C) 50П U Sj = O.
Пусть г) — наименьшая абсцисса вершин симплекса So (следова-
(следовательно, наименьшая абсцисса точек симплекса So), и пусть l/k-^ц.
В силу условия A), никакая точка pt не может быть вершиной
бесконечного множества симплексов Sj. Следовательно, существует
индекс i0, такой, что при J > 10 никакая из точек р0, . . ., pk не
является вершиной симплекса Sj. Так как абсцисса точки р}-
меньше 1/у, то отсюда следует, что все вершины симплекса Sj,
а стало быть, и все точки симплекса Sj имеют абсциссу -^ l/(k-\-l).
Этому же неравенству удовлетворяют абсциссы точек множества
М 5-. Так как 1/(А+ 1) < т), отсюда следует неравенство C).
Отображение к можно построить также для бесконечных последо-
последовательностей открытых множеств Go, О:, . .., удовлетворяющих усло-
условию A). Положим
D) O = O0UOiU ••• и F^O — G,.
Пусть р0, рх, ... — последовательность точек евклидова про-
пространства "io или пространства cf"°; положим
со
E) %(x)=^ill(x).Pi,
/=0

§ 28. Симплексы, комплексы, полиэдры 339
где
F) hix)=-p*IiL.
2 Р
7=0
Для любой точки x?G, в силу A), р(х, Fj) — O при достаточно
большом J. Так как, с другой стороны, в силу D),
2
J=o
то суммирование E) фактически конечное.
Таким образом, справедлива
Теорема 3. Функция х непрерывна на множестве G.
Следующая теорема доказывается аналогично теоремам 3 и 4,
п. VI.
Теорема 4. Пусть N—комплекс, составленный из сим-
симплексов (р. ... р. \, таких, что G, П •¦• ПО. =?0; тогда
V 1о 1ь> la 'it
и при этом выполняются включения VI E) и VI G).
Более того, если комплекс N простой, то он является
нервом системы Go, Qlt ... и при этом выполняются равенства
VI (8) и VI A0).
Наконец, если выполнено условие (п) теоремы V, 3, то имеет
место формула VI A1).
IX. Продолжение непрерывных функций1). Используя отобра-
отображение %, построенное для бесконечных систем, можно получить
более удобную форму теоремы Титце (§ 14, IV) (пространство X
предполагается метрическим сепарабельным).
Теорема 1. Пусть F = T(^S и /€(<?Г)Р> г<4<о- Тогда
существуют множество N — объединение последовательности
симплексов, содержащихся в пространстве «f, и продолжение
f?lf(P)UNf функции /.
Более точно: пусть множество G = W — Р представлено
в виде объединения открытых множеств Go, Gv .... удовле-
удовлетворяющих теореме 4, § 21, VIII, т. е. выполнены условие
VIII A) и соотношения
(И) О, с G,
(Ш)
i->co
') См. Лефшец [1], Куратовский [27].

340 Гл. 2. Метрические пространства
тогда существует последовательноеть точек р0, pv . . . в про-
пространстве cf, такая, что отображение к, соответствующее
системам (О0, О{, . . .) и (р0, рх, ...)¦ представляет собой не-
непрерывное продолжение отображения f на множество О.
Очевидно, можно допустить, что О Ф 0 Ф F и что элементы
(конечной или бесконечной) последовательности О0, G,, ... являются
непустыми множествами.
Пусть qh at—пара точек, такая, что
A) q^G-s a&F,
B) |в/-?/1<р(О/. /0 + т-
Положим
C) /о(?,) = /(«/) и fo(x) = f(x) при x?F.
Функция /0 непрерывна на множестве Q = F (J qQ U qx (J ....
В самом деле, поскольку последовательность q0, qv ... является
дискретным множеством, в силу VIII A), то для доказательства
непрерывности функции /0 достаточно показать, что из условия
D) lim q. =a?F, где jo<j\< ....
следует равенство
E) lim fQ(q ) = /(a).
Но из неравенств
справедливых при a ^ F (согласно B) и A)), вытекает неравенство
а1+
Отсюда, в силу D), lim a. = а, следовательно,
F) lim /(a;. ) = /(a),
так как функция / непрерывна (на множестве F).
В силу C), формулу E) можно непосредственно вывести из (б).
Положим

§ 28. Симплексы, комплексы, полиэдры 341
и обозначим через N объединение симплексов (р. ¦ ¦ • р1 \, таких,
что Oia П • • • П ^1кФ 0. Пусть /* — функция, определенная усло-
условиями
(х) при х f F,
(*) при ,€О.
где функция ¦к соответствует системам (Go, Glt . . .) и (р0, рх, . . .).
Так как множество О открыто, то достаточно доказать непрерывность
функции /* на множестве F.
Пусть a?F и е > 0. Так как функция /0 непрерывна на мно-
множестве Q, то существует окрестность Н точки а, такая, что для
qi?H имеем
(8) |/o(fc)-/(e)|<e. т. е. |Л —/(а)|<е.
Обозначим через /С множество Н [\F, пополненное точками х,
обладающими следующим свойством:
(9) (
Множество К является окрестностью точки а. В самом деле,
в противном случае существовали бы последовательность точек {л:,-}
и последовательность индексов {т^, такие, что
A0) \\m^xi = a, xL?Gm. и ОИ(-Я^0.
В силу (и), a^Gr Следовательно, существует бесконечное мно-
множество различных индексов tnt. Но тогда соотношения A0) не-
несовместимы с (ш).
Поскольку К — окрестность точки а, остается показать, что
если x?G(]K, то
Пусть /0, .... ik—система всех индексов, таких, что x?G(o,...
.... х ? Gi . Тогда имеем
02) *eroien... no/A-fy oi\.
откуда, в силу G) и VI E) (ср. VIII, 4), получаем
A3) /•(*)€(/>,,.• •/»,,)•
Так как х ^ К П Qi (при т < k), то, в силу (9), G; с: Н,
откуда, в силу A), q, ^H, и, следовательно (см. (8)),
т
A4) \р — / (а) I < е, т-0, 1 к.

342 Гл. 2. Метрические пространства
Неравенство A1) следует из сопоставления неравенства A4) с соот-
соотношением A3) (в силу теоремы VII, 2, если вместо симплекса
(Ро .. • рп) подставить симплекс (f{a)pi ... pt ) ].
Замечание. Теорема 1 остается верной, если пространство cf
заменить произвольным выпуклым подмножеством.
Теорема 2. Если в предположениях теоремы 1 имеет
место включение /(Z7) с: cf^ и r=Ko. mo N можно считать
бесконечным полиэдром, принадлежащим <?*°— ^\.
Аналогичным образом, если г*^-2п-\-\, f(F)a^r_i и нерв N
последовательности (G;) имеет размерность <^л (т. е. если
выполнено условие (п) теоремы V, 3), то N можно считать
бесконечным полиэдром размерности <^.п, содержащимся в
пространстве <fr — <fli. А именно /V = S(N), где N—нерв
последовательности {Gt}.
Для того чтобы убедиться в этом, достаточно только видо-
видоизменить определение функции /0 (т. е. первое равенство C)) в дока-
доказательстве теоремы 1 следующим образом.
Пусть, в соответствии с VIII, 2, N— простой бесконечный ком-
комплекс, расположенный в пространстве efr—cflx (где г= Ко, соот-
соответственно r^>2/i-f-l), с вершинами р0, р1 являющийся нервом
последовательности О0, Gu . .. и удовлетворяющий равенству
A5) Ига |Л
1
Положим fo(ql) = pt. Функция /0 непрерывна, так как из усло-
условия D) следует F), а из последнего, в силу A5), вытекает, что
Hm p. =/(а), что эквивалентно E).
Доказательство непрерывности функции /* сохраняется без изме-
изменений.
Следствие 2а1). Пусть X и у—метрические сепарабель-
ные пространства, a F — замкнутое подмножество простран-
пространства X, такое, что dim (X — F) = п, и пусть f ?СУГ.
Тогда пространство у можно рассматривать как под-
подмножество некоторого пространства %, такого, что У зам-
замкнуто в %, множество % — У есть бесконечный п-мерный
полиэдр и функция f допускает продолжение /* ? %х.
В самом деле, можно считать, что пространство У расположено
в пространстве ^10ь поэтому применима предыдущая теорема.
') Ср. с аналогичной теоремой Хаусдорфа [8] для несепарабельных
пространств.

§ 29. Нижний и верхний пределы 343
Г. СЧЕТНЫЕ ОПЕРАЦИИ. БОРЕЛЕВСКИЕ МНОЖЕСТВА.
fi-ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
Пространство, рассматриваемое в § 29—32, предполагается
метрическим.
§ 29. Нижний и верхний пределы
I. Нижний предел1).
Определение. Точка р принадлежит нижнему пределу
последовательности множеств Ах, А2, ...: р? Li AIU если любая
Я->оо
окрестность точки р пересекается со всеми множествами Ап, начи-
начиная с некоторого п.
Разумеется, термин „окрестность" можно заменить термином
„открытая окрестность", а также термином „открытый шар с цен-
центром в точке р".
Теорема. Формула р? Li An эквивалентна существова-
П->со
нию последовательности точек [рп], такой, что
р=\\тря и рп?Ап,
п-*оо
или равенству
Iimp(p, Л„) = 0.
Я-*со
Заметим, что последовательность {рп) определена, начиная с ин-
индекса, не обязательно равного 1 (в случае, когда существуют пустые
множества Ап),
Доказательство. Пусть р ? Li An, и пусть Sm — шар с цент-
центром в точке р радиуса 1/т; тогда существует индекс km, такой, что
Sm{\An=? 0 при л>/гт.
Более того, можно допустить, что km > km_1. Последователь-
Последовательность [рп], где pn?Sm{\An при km<^.n<km+1, сходится к точке р,
так как \рп — />|<1//к. Обратная импликация очевидна.
Примеры. Пусть множество Ап состоит из единственной
Li Л„— Птрп,
') Понятия нижнего и верхнего пределов принадлежат Пенлеве [1];
некоторые соображения по этому поводу имеются еще у Зоретти [1].
Хаусдорф называет их «unterer (oberer) abgeschlossener Limes». Эти понятия
не следует смешивать с понятиями нижнего и верхнего пределов в смысле
общей теории множеств (определенными в § 1, V):
Lim inf An = U (Ап П 4+i П Ап+2 П • • •)
Л->со Я
и Lim sup А„=С\(А„[} An+l [} An+2[) ...).
П

344 Гл. 2. Метрические пространства
если этот предел существует, и Li Ап = 0 в противном случае,
так как р(р, Ап)=\р — рп\.
Последовательность прямоугольников, имеющих общее основание
и неограниченно уменьшающиеся высоты, имеет своим нижним пре-
пределом это основание.
II. Правила действий. Имеют место следующие правила:
2. (An<zBJ=$(LlAncUBJ.
3. LI An\JUBn с U(Aa\}Bn).
За. ЦП An(t) c= Li f[J An(t)\
4. и
4a.
5. Если &t < &2 < .... mo Li An cLi Ate ¦
6. Если An = A, mo ЦЛ„ = Л.
7. Li An не меняется при изменении конечного числа
множеств Ап.
8. f\AnczL\m inf An<=LiAn.
п
9.
В самом деле, если q ? Li Ап и G — открытая окрестность точки q,
то существует точка p^O(\L\An. Следовательно, начиная с неко-
некоторого п, О П Ап Ф 0, откуда q ? Li Ля. Кроме того, если множество Н
открыто, то неравенство Н П Ап Ф 0 эквивалентно неравенству
Н(] Апф0. Следовательно, LM,j=:LMn, откуда вытекает формула 1.
Формулы 2, 5—7, 9 вытекают непосредственно из определения,
в то время как формулы 3—4а являются следствиями формулы 2
(см. § 4, III).
оо
Наконец, f| Л„с Li An, следовательно, в силу формулы 7,
л = 1 л->со
оо
Г) Ап cz Li An, откуда вытекает формула 8.
III. Верхний предел.
Определение. Точка р принадлежит верхнему пределу
последовательности множеств Аь А2, ... : р? Ls An, если любая
п->со
окрестность точки р пересекается с бесконечным числом множеств Ап,

§ 29. Нижний и верхний преОелы 345
Рассуждая, как в п. I, можно показать, что это условие экви-
эквивалентно существованию последовательности точек 1р. \,
такой, что
li и рк?А
П->0О Я ЯЛ
или, что то же самое, равенству
HminfpO, Л„) = 0.
Примеры. Пусть {гп} — последовательность всех рациональных
точек, Ап — множество, состоящее из одной точки г„; тогда Ls An
есть множество всех действительных чисел. В примере с прямо-
прямоугольниками, рассмотренном в п. I, Ls An = Li An.
IV. Правила действий. Имеют место следующие правила:
1. Ls An = Ls An = Ls An.
2. (nn)$(nn)
3. Ls(An[)Bn) = LsAnUUBn.
За. \JLsAn(t)cLs(\JAn(t)\
4. Ls(AnnBn)a(LsAn)n(LsBn).
4a. Lsffl^^cfKLs^CO).
\t J t
5. Если kx < k2 < ..., mo Ls Ak cLs An.
6. Если An = A, mo Ls An —A.
7. Ls An не меняется при изменении конечного числа мно-
множеств Ап.
) nr\[J
п /=0
9. Ls (Ап X BJcLs А„ X Ls Bn.
Соотношение 1 доказывается так же, как II, 1. Для доказатель-
доказательства равенства 3 положим p=z\impk , где pk ?.(Ak \}Bk \. Тогда
существует бесконечная последовательность индексов kn, такая, что
либо pk ^ Ak , либо pk ?Bk . В первом случае p?LsAn, во вто-
втором p?LsBn.
Соотношения 2, За—4а непосредственно вытекают из равенства 3.
Формулы 5—7 и 9 легко следуют из определения.
Перейдем к формуле 8. Пусть p?LsAn. Тогда p = \hnpkn> где
Pkn€.Akn- Так как kn^-n, то pkn ?(At U Al+1[} ...) при п > /, сле-
следовательно, р ?At U Al+l U ..., каково бы ни было I.
') См. Хаусдорф [1], стр. 237 D). Для L1 А„ аналогичной формулы не
существует, см. Энгелькинг [2].

346 Гл. 2. Метрические пространства
Обратно, если точка р не принадлежит множеству Ls An, то су-
существуют окрестность О точки р и индекс т, такие, что О П Лл = О
при п^-т. Следовательно, точка р не принадлежит множеству
An U Ащ+х U • • ¦ ¦
Последняя часть формулы 8 вытекает непосредственно из § 4,
III, 9.
V. Связь между пределами Li и Ls. Имеет место формула
@) UAncLsAn,
точнее
A) LM^nLs^cULM^Ls^,
где |~) и U распространяются на всевозможные возрастающие после-
последовательности индексов {kn\.
В самом деле, с одной стороны, в силу И, 5 и IV, 5,
UAucr\U Akn<=C\Ls Акп и [JU Aknc\JL$ Aka<zLs А„,
а с другой стороны,
1° если /?(?ЬМ„, то существуют окрестность О точки р и по-
последовательность индексов kx < k2 < .... такие, что О Л Ак = 0
при любом п; следовательно, p(^LsAk ;
2° если p?Ls А„, то существует последовательность \pk J, такая,
что рь ?АЬ и р — \\трь ; следовательно, pfLiAu .
Далее, имеем
B) UAn ~LsBncU(An— Bn).
В самом деле, пусть р ? (Li An—Ls Вп). Следовательно, р = lim pn,
рп?Ап, а так как p(?hsBn, то рп(?Вп, начиная с некоторого до-
достаточно большого п. Следовательно, Рп€(^п—^п). и поэтому
Ре(яя)
С формулами II, 3 и IV, 3 сопоставим следующую формулу:
C) Li (Ап U 5„)сЫ Ая U Li Вя U (Ls Ая П Ls5n),
откуда, в частности (на основании II, 3), имеем
D) если Ls Л„ Л Ls В„ = 0, то LiDn U Bn) = U An U Li Bn.
В самом деле, пусть р ? [Li(An\j Вп) — (Ls An f\Ls Bn)]. Покажем,
что р ^ (Li Л„ULi5„). Пусть, например, p^LsBn. Полагая p — \impn
и pn?{An\jBn), получим, что р„(^Вп при достаточно больших п;
следовательно, рп^Ап, и поэтому p?LiAn.

§ 29. Нижний и верхний пределы 347
VI. Предел. Последовательность множеств {Ап} называется
сходящейся к множеству А: А = Lim An '), если Li An = A — Ls An.
п->со л-»оо п-^оо
В частности, если множество Ап состоит из одной точки рп, то
последовательность {Ап} будет сходящейся в двух случаях: 1) если
lim pn существует (тогда множество Lim An состоит из единственной
точки Нт/?я), 2) если последовательность \рп) не содержит никакой
сходящейся подпоследовательности (и тогда Lim An -— 0).
Имеют место следующие соотношения (в формулах 1—5 и 9 по-
последовательности {Ап\ и {Вп} предполагаются сходящимися):
1. Lim An = Lim An = Lim An.
2. (АясВя) =ф (Lim Л„сЫш Вя).
2а. (рп?Ап и p = \\mpn)=}(p?Urn An).
3. Lim(Л„US/г) = Lim Л„ULimSл.
4. Если kx < k2 < . . ., то Lim Ak = Lim An.
5. Если Ап = А, то Lim An = A.
6. Предел последовательности не изменяется и сходимость
не нарушается, если заменить в ней конечное число членов.
7. Если Ага:А2с . ., то Lim An = \J Ап.
п
8. Если Ах^> А2-г>. .., то Lim Ап = |~) Ап.
п
9. Lim (Ая X В„) = Lim Ая X Lim В„.
Правила 1, 2, 5, 6, 9 непосредственно вытекают из соответ-
соответствующих правил п. II, IV. Правило 2а выводится из 2. Правила 3
и 4 следуют из формул
Ls (Л„ U Я„) = Ls Л„ U Ls Я„ = LMn U Li Я„ с
Lim An = L'\ An(z:Li Ab czLs Ab czLs А„ = Lim A...
it I* ft It
Из предположения утверждения 7 следует, что
Л„ = Л„ПЛ„+1П ..-, откуда U К — U (АпП Ап+1 П ...),
п п
и, в силу II, 8 и IV, 8,
U ^„cLM^Ls Л„с:и-V
') Это понятие не следует смешивать с Limes An в смысле общей тео-
л->со
рии множеств, см. § 1, V, и п, I, примечание.

348 Гл. 2. Метрические пространства
Аналогичным образом предположение предложения 8 дает равенство
Ап=Ап U Лл+1 U • ¦ •. откуда
я я
VII. Относительные свойства. Пусть Е — данное множество.
Нижним пределом последовательности подмножеств Ап множества Е
относительно множества Е является множество всех точек р ?Е,
таких, что если О—произвольное открытое множество, содержащее
точку р, то для всех достаточно больших п имеем Е П О Л Ап Ф 0. От-
Отсюда непосредственно вытекает, что нижний предел относительно
множества Е совпадает с множеством E(]LiAn.
Аналогичным образом верхний предел относительно множества Е
совпадает с множеством ^ЛЬэЛ,,, а предел относительно Е есть
множество E[\L\mAn.
VIII. Обобщенная теорема Больцано — Вейерштрасса.
Любая последовательность подмножеств сепарабельного
пространства содержит сходящуюся подпоследовательность
(предел которой может быть пустым множествомI).
Пусть /?j, R2, ...—база пространства и Av A2, ...—данная
последовательность множеств. Определим множества Л" следующим
образом:
1) Ai = Ai, каково бы ни было /;
2) если для некоторого п > 1 существует последовательность
&i < k2 < .. ., такая, что Rn Л Ls Аь~1=0, то положим A"i—A\~l (вы-
(выбор последовательности \hj\ является произвольным);
3) если не существует никакой последовательности указанного
выше вида, то полагаем Ai = А".
Покажем, что последовательность Dn = Л" сходящаяся.
Предположим, напротив, что LsDn ФЪ\Оп. Тогда, согласно V, 1,
существует подпоследовательность [Dy- }, такая, что Ls D;- Ф Ls Dn.
Так как оба последние множества замкнуты, то существует такое
множество Rm, что
00 Rm П Ls Dn=?0.
Последовательность IDj ] является подпоследовательностью по-
последовательности {?>„}, а последняя в свою очередь начиная
') См. Хаусдорф [51, Заранкевич [1], Урысон [10]. См. также Важев-
ский [1], [2] и Любен [1].

§ 29. Нижний и верхний пределы 349
с (т—1)-го члена является подпоследовательностью последователь-
последовательности M?1}, f=l, 2 В силу (i), отсюда вытекает, что если
заменить п на т, то мы придем к определению 2). Следовательно,
Rm П Ls A? = 0. Так как последовательность \Dn\ (за исключением
первых т членов) является подпоследовательностью последователь-
последовательности {А}, 1=1, 2 .... то отсюда следует, что Rmr\LsDn = 0.
что противоречит (п).
Следствие. В любом сепарабельном пространстве
где (")' и (J распространяются на любые сходящиеся подпо-
подпоследовательности [Аъ }.
Для доказательства первого равенства достаточно, в силу V, 1,
показать, что если р^ЛлАп, то существует сходящаяся последова-
последовательность \Ak |, такая, что р§ЛЛтАк . По предположению, суще-
существуют открытая окрестность О точки р и последовательность \Aj ],
такие, что А} f\G = Q. Пусть тогда \Ak \ — сходящаяся подпоследо-
подпоследовательность последовательности (Aj \.
Перейдем к доказательству второго равенства. В силу V, 1,
имеет место включение (J'Lim/l^ c:Ls^n. С другой стороны, если
p?LsAn, то существует подпоследовательность {Л* }. такая, что
р?ЫАк , следовательно, как мы только что видели, существует
сходящаяся последовательность \Ak. ), такая, что р?ЫтАк. а
' Ak .
IX. Пространство BX)L. Этим символом мы обозначим для лю-
любого метрического пространства X пространство, элементами
которого являются все замкнутые подмножества простран-
пространства X', а переход к пределу понимается в смысле опреде-
определения п. VI.
Теорема 1. BX)L есть ^-пространство.
В самом деле, в силу VI, 4 и 5, выполняются условия 1° и 2°,
§ 20, I. Чтобы проверить условие З3, допустим, что любой после-
последовательности kx < k2 < ... соответствует последовательность
тг < т2 < ... > такая, что
A) UmAk =A.
ктп
Докажем, что А = ЫтАп, т. е. Ls Л„

350 Гл. 2. Метрические пространства
Пусть p?LsAlt. Тогда, в силу V, 1, существует последователь-
последовательность &i < k2 < .. ., такая, что р ?Li Ak . Пусть tn1 < m2 < . ..—
последовательность, удовлетворяющая A); тогда, принимая во вни-
внимание II, 5, получаем
pfU Ak c:Li Аи =А, откуда LsA<=A.
С другой стороны, пусть р?А nkl<^k2<^ ...—произвольная
последовательность, а тх < щ < . . • —соответствующая ей после-
последовательность, удовлетворяющая условию A). Тогда (см. IV, 5)
= L\m Ak =Ls Ak
тп
^ „-»со тп
и, следовательно (в силу V, 1), p?LMn- Поэтому ЛсЬМл,
Замечания. 1. Пространство B )L может не быть топологи-
топологическим. В самом деле, рассмотрим следующий пример: простран-
пространство X состоит из: 1) числа 0, 2) чисел \~Т' где я==2, 3, ...,
k= 1,2 и - + 4- < —-Ц- > 3) числа J' 4) чисел [ + -•
Пусть Л — семейство всех пар ( г~Т' ' Н )• КажД°е число
1
вида 1 -j является элементом семейства А. Следовательно, мно-
множество, состоящее из числа 1, принадлежит множеству А, тогда как
оно не принадлежит множеству А. Таким образом, А ф А.
2. Необходимо отметить, что пространство B^)^ существенно
отличается от пространств 2х (см. § 17, I) и Bх)т (см. § 21, VII).
Последнее пространство всегда является метрическим, тогда как
первое может быть неметризуемым (как показывает предыдущий при-
пример). Первое пространство, как мы увидим, является сепарабельным,
если пространство X сепарабельно, тогда как Bг)„, может быть не-
сепарабельным (см. § 21, VIII, замечание 2).
Теорема 2. Если Ап?Bх)т и А?Bх)т, то из условия
lim dist (Лл, Л) = 0 следует, что \Лт Ап = А. Следовательно,
пространство BX)L является взаимно однозначным и непре-
непрерывным образом пространства {2х)т {пространство X пред-
предполагается ограниченным). (См. Хаусдорф [5].)
В самом деле, пусть lim dist(An, A) = 0. Тогда любому е>0
rt->co
соответствует индекс я(е), такой, что dlst(.An, A) < e для любого
я>я(е). Иначе говоря,

§ 29. Нижний и верхний пределы 351
A) для любой точки х?А имеем р(Ап, х) < е, каково бы ни
было п > «(е);
B) существует последовательность е„, стремящаяся к нулю, такая,
что р(у, А) < е„, какова бы ни была точка у?Ап.
Докажем, что Lira An = А, т. е. что
1°. Пусть х ? Л и О — окрестность точки х. Для достаточно
малого е > 0, в силу A), имеет место соотношение О П Ап ф О, ка-
каково бы ни было п > п (е). Следовательно, х ? Li Лл.
2°. Пусть, с другой стороны, х ? Ls Л„. Следовательно,
х = lim yfc , где yk ?Ак . В силу B), существует точка аА ?Л,
ГС->со
такая, что I >^ — а/г < е/г. Так как lim е;! = 0, то а: = lim a^ ,
откуда х ^ А.
Теорема 3. Пусть X — сепарабелъное метрическое про-
пространство; тогда пространство BЖ)Л, а также любое под-
подмножество этого пространства сепарабелъны.
Доказательство. Пусть Хх — вполне ограниченное простран-
пространство, гомеоморфное пространству X (см. § 22, II, следствие 1а).
Определенное топологически пространство Bx)i гомеоморфно про-
пространству Bs;')i. Итак, поскольку пространство S'l вполне ограни-
ограничено, пространство Bж')т сепарабельно (§ 21, VIII, 2 и 3).
Так как пространство {2!>'l)i, а следовательно, и пространство
Bж)ь является непрерывным образом пространства {2Xl)m, то любое
подмножество пространства \2x)l> как непрерывный образ сепара-
бельного множества, сепарабельно (см. § 13, IV, 3).
Замечание 3. Точки накопления, а также точки конденсации
являются инвариантами взаимно однозначных непрерывных отображе-
отображений („2**-пространств), поэтому из теоремы 2 вытекает, что если
А—несчетное подмножество пространства \23'\, то любой
элемент множества А, за исключением, быть может, счет-
счетного числа, является точкой конденсации (см. Заранкевич [2]),
и, кроме того, множество А содержит подмножество, плот-
плотное в себе. Следовательно, любое разреженное множество А
счетно (см. § 23, III и V).
Теорема 4. Пусть 3" — сепарабельное метрическое про-
пространство; тогда пространство BX)L счетно-компактно.
Это утверждение вытекает непосредственно из теоремы VIII (с уче-
учетом VI, 1).

352 Гл. 2. Метрические пространства
Теорема 5. Пусть А и В—два замкнутых непересекаю-
непересекающихся подмножества метрического пространства &; тогда
top
В самом деле, любой паре замкнутых множеств X, Y, где
и KczS, поставим в соответствие их объединение F (X, Y) = X U У-
Очевидно, что функция F определяет взаимно однозначное отображе-
отображение пространства B )L X BВ)л на пространство BAUB)L.
Непрерывность функции F является прямым следствием фор-
формулы VI, 3. Остается доказать, что функция F взаимно непрерывна,
т. е. что из равенства Lim {Xn U К„) — X U Y вытекают равенства
Lim Хп = X и Lim У„ = Y.
В силу IV, 3, имеем
Ls Xn U Ls Yn = Ls (Xn U У„) = Lim (Xn U Yn) = X U У,
откуда Ls Xn = X и Ls Yn = Y, поскольку
XaA, Xn(z.A, значит, LsA^cz^;
Y<=B, Yn<=B, значит, Ls YnczB
и A(]B = 0.
Так как Ls Xn П Ls Yn = 0, то на основании V, 4
Li Xn U Li Yn = Li (Л-я U Кя) = Lim (Xn U Кя) = ЛГ U Y.
откуда, как и выше, L\Xn = X и LiKn = K. Следовательно,
Lim Агл = А- и Lim Yn = Y.
*§ 30. Борелевские множества
1. Эквивалентность. Мы определили в § 5, VI, семейство боре-
левских множеств данного пространства как наименьшее семей-
семейство F, удовлетворяющее следующим условиям:
1) любое замкнутое множество принадлежит семейству F,
2) если X?F, то (—X)?F,
3) если Xn?F, то (A'lfl^fl •• .)?F,
причем условие 3 можно заменить условием
3') если Xn?F, то (Х^Х^Ц ...)?F.
С другой стороны, мы доказали, что в каждом метрическом про-
пространстве любое замкнутое множество есть множество типа G6 и что,
следовательно, любое открытое множество есть /^-множество (§21, IV).
Опираясь на эти факты, докажем теперь следующую теорему 1):
') См. Серпинский [2]. Об одном обобщении из общей теории множеств
см. Серпинский [27].

§ SO. Борелевские множества 353
Теорема. Семейство борелевских множеств есть наимень-
наименьшее семейство, удовлетворяющее условиям 1, 3 и 3'.
Обозначим это последнее семейство через F*. Докажем, что F= F*.
Как мы только что заметили, семейство F удовлетворяет условиям
1, 3 и 3', так что F*cF.
Для установления обратного включения обозначим через F0 семей-
семейство множеств, являющихся дополнениями к элементам семейства F*.
Семейство F0 удовлетворяет условию 1. В самом деле, дополнение
замкнутого множества открыто, поэтому оно является счетным объеди-
объединением замкнутых множеств и, следовательно, принадлежит семей-
семейству F*. Кроме того, применяя формулы Моргана, находим, что
семейство F0 удовлетворяет условиям 3 и 3'. Следовательно, F*cF°,
а это означает, что любое множество, принадлежащее семейству /•"*,
является дополнением к некоторому множеству, также принадлежа-
принадлежащему семейству F*. Отсюда следует, что семейство F* удовлетворяет
условию 2, поэтому FcF*.
II. Классификация борелевских множеств. С помощью про-
простого теоретико-множественного рассуждения доказывается (см. Хаус-
дорф [5], Юнг [6]), что семейство борелевских множеств (т. е. наи-
наименьшее семейство F, удовлетворяющее условиям 1, 3 и 3') пред-
представляет собой объединение трансфинитной последовательности (типа 2)
семейств:
F=F0\}F1[} ... U^aU ....
таких, что:
1° Fo есть семейство замкнутых множеств,
2° элементы семейства Fa являются или пересечениями, или объ-
объединениями счетных последовательностей множеств, принадлежащих /•?,
где Е, < а, в зависимости от того, четно число а или нечетно (пре-
(предельные числа рассматриваются как четные).
Заменяя в условии I, 1 термин „замкнутый" термином „открытый"
(см. § 5, VI), получаем следующую классификацию:
F=G0UG1U ... UOaU ....
где
1° О0 есть семейство открытых множеств,
2° элементы семейства Оа представляют собой или объединения,
или пересечения счетных последовательностей множеств, принадлежа-
принадлежащих Gg, | < а, в зависимости от того, четно число а или нечетно.
III. Свойства классов Fa и Оа. Семейства Fa с четным индексом
и семейства Оа с нечетным индексом являются счетно-мультипли-
счетно-мультипликативными, т. е. если счетная последовательность множеств принад-
принадлежит такому семейству, то их пересечение также принадлежит это-
этому семейству. Все множества, принадлежащие некоторому семейству

354 1л. 2. Метрические пространства
такого типа, называются множествами мультипликативного класса
а. Аналогично, семейства Fa с нечетным индексом и семейства Оа с
четным индексом являются счетно-аддитивными и образуют адди-
аддитивный класс а. Следовательно, мультипликативный (аддитивный)
класс а состоит из пересечений (объединений) множеств, принадле-
принадлежащих классам < а ').
Классы с конечными индексами обозначаются следующим образом:
' a> ' об1 * обо1 • • • > U6' uSo> U6o6> • • • •
Следующие свойства множеств типа Fa и (?6 (см. § 5, V) распро-
распространяются при помощи индукции на классы с произвольными индек-
индексами.
Дополнение множества класса Fa есть множество класса Оа,
Объединение и пересечение конечного числа множеств, при-
принадлежащих одному и тому же классу, принадлежат тому же
классу.
Любое множество аддитивного класса а представляет собой объ-
объединение возрастающей последовательности множеств с индексами
| < а; любое множество мультипликативного класса а есть пересе-
пересечение убывающей последовательности множеств с индексами | < а.
Для того чтобы некоторое множество было множеством класса Fa
(класса Оа) относительно Е, необходимо и достаточно, чтобы оно
представляло собой пересечение множества Е с множеством класса Fa
(класса Оа).
Пусть / — непрерывная функция, определенная на пространстве X;
если Y — множество класса Fa (класса Оа), то и множество f^1 (Y)
принадлежит тому же классу (см. § 13, IV C)—E)).
Добавим, что любое борелевское множество класса а является
одновременно множеством любого класса (F и (?) с более высоким
индексом. Это вытекает по индукции из того, что каждое открытое
множество есть /^-множество, а каждое замкнутое множество есть
(?6-множество.
Прямое произведение двух множеств класса Fa (класса Оа)
принадлежит тому же классу. В самом деле, это так в случае откры-
открытых и замкнутых множеств и, кроме того (§ 2, II (8) и (9)), имеем
U ал х (U вт\ = и (Ап х вт)
п, т
') При конечном а множества мультипликативного (аддитивного) класса а
совпадают с множествами F (множествами О) класса а в смысле Лебега.
См. Серпинский [46].

§ 30. Борелевские множества 355
В частности, класс множества не меняется при умножении его
(в смысле прямого произведения) на ось. Отсюда, в силу формулы
(§ 3, VIII A))
ГМ^ПС^Х ... X^i-iX^iX^+iX •••).
/ I
следует, что прямое произведение счетного множества элемен-
элементов мультипликативного класса а принадлежит тому же классу а
(между тем аналогичное утверждение, касающееся аддитивных клас-
классов, неверно даже для класса открытых множеств; см. § 16, V).
Вообще, прямое произведение счетного множества борелевских
множеств есть борелевское множество.
Теорема. Если множество Z, принадлежащее произведе-
произведению .#* X 2Л есть множество класса Fa (класса Ga), то
A) Ay = El(x, y)?Z] и EKx.x)?Z]
являются множествами того же класса (второе заключение
относится к случаю, когда Ж = У).
В самом деле, если множества Zfl E (У — Уо) и ^ Л Е (х — у)
х, у х, у
являются множествами класса Fa (<5а) относительно Е (.У — Уо)
N X, У
{Е (х — У) | > то и множества A) принадлежат тому же классу,
\х, у J
согласно § 15, VI и IV, где следует положить ср(х, >>) = ((¦*. УN^)-
Как известно, в сепарабелышм пространстве семейство открытых
множеств (а также семейство замкнутых множеств) имеет мощность <^ с
(§ 24, I). Это же утверждение справедливо для любого борелевского
класса. Так как семейство борелевских множеств является объедине-
объединением X х классов, то отсюда следует, что это семейство имеет мощ-
мощность <С с • Ki = c. Следовательно, 8 любом сепарабельном про-
пространстве мощности континуума существуют неборелевские
множества.
Проблема эффективного определения неборелевских множеств
в пространстве действительных чисел будет рассмотрена в § 38, VI.
Проблема же доказательства (без использования гипотезы континуума)
существования неборелевского множества в произвольном сепара-
сепарабельном несчетном пространстве остается открытой.
IV. Двусторонние борелевские множества. Множество назы-
называется двусторонним множеством класса а, если оно принад-
принадлежит одновременно классам Fa и Ga. Так, например, множество
является двусторонним множеством класса 0, если оно одновременно
замкнутое и открытое; оно является двусторонним множеством
класса 1, если оно представляет собой одновременно множество
типа Fg и типа <56.
23*

356 Гл. 2. Метрические пространства
Любое борелевское множество класса а есть двустороннее мно-
множество класса а-f-l. Очевидно, что дополнение двустороннего мно-
множества является двусторонним множеством того же класса. Отсюда
следует, что двусторонние множества класса а образуют поле, т. е.
объединение, пересечение и разность двух двусторонних множеств
класса а есть двустороннее множество класса а.
V. Разложение борелевских множеств на непересекающиеся
множества,
Теорема 1. Любое множество аддитивного класса се>0
является счетным объединением непересекающихся двусторон-
двусторонних множеств класса а.
Доказательство. Пусть А — A1[j A.2\J ••• U An U ••¦. тогда
@) A = Ax U [A2~AX] U ... U [An~(Al U . . . U Aa_J] [}....
Если Ап—множество мультипликативного класса < a (n = 1, 2, ...),
то оно является двусторонним класса a. Следовательно, элементы
объединения @)—непересекающиеся двусторонние множества класса а.
Теорема 2. Любое множество аддитивного класса а>1
является счетным объединением непересекающихся множеств
мультипликативных классов < а ').
Рассмотрим разложение @). Предположим, что любое множе-
множество Ап принадлежит мультипликативному классу < а, тогда объеди-
объединение Л, U ... U Ап_х является множеством того же класса. Это
означает, что множество 1—{AX\S ... U An-i) принадлежит аддитив-
аддитивному классу < а. Следовательно, в силу теоремы 1, это множество
со
имеет вид \J В", где В"— непересекающиеся двусторонние множе-
/ = 1
ства классов < а (ибо a > 1). Формула
со со
а= U l)U)
дает искомое разложение, ибо Ап(]В'1 — множество мультипликатив-
мультипликативного класса < а.
Теорема 3. Семейство борелевских множеств есть наи-
наименьшее семейство, содержащее
A) все открытые множества,
(ii) пересечения своих элементов,
(ш) объединения непересекающихся элементов.
Пусть Н — семейство, удовлетворяющее условиям (i) — (iii). Пока-
Покажем по индукции, что каждое борелевское множество принадлежит
') Теорема Н. Лузина; см. Серпинский [28].

§ 30. Борелевские множества 357
семейству Н. В силу (i) и (и), семейству Н принадлежит любое
множество типа О6, а согласно теореме 2, и любое множество
типа О6о. Следовательно, и любое множество типа Fo принадлежит Н.
Пусть теперь а> 1; допустим, что любое множество класса <а
принадлежит семейству Н. Тогда, согласно (и), множества мульти-
мультипликативного класса а принадлежат семейству Н и, в силу теоремы 2
и (ш), любое множество аддитивного класса а также принадлежит
семейству Н. Следовательно, все борелевские множества класса а
принадлежат семейству Н, что и требовалось доказать.
Замечания. В нульмерных сепарабельных пространствах тео-
теорема 1 верна также при а —0, т. е. открытое множество является
объединением последовательности непересекающихся открыто-замкну-
открыто-замкнутых множеств (§ 26, I, следствие 1а).
Отсюда следует, что теорема 2 справедлива при а=1, т. е.
в нульмерном пространстве любое /^-множество представляет собой
счетное объединение замкнутых непересекающихся множеств.
Последнее утверждение не имеет места в пространствах размер-
размерности ]> 0: например, открытый интервал нельзя разложить в объеди-
объединение счетного множества замкнутых непересекающихся множеств.
VI. Знакочередующиеся ряды борелевских множеств.
Теорема 1. Пусть
Ах zd A2 zd ... Z3 А^ гэ Л|+1 Z3 . .. гэ Ау
— трансфинитная счетная последовательность двусторонних
множеств класса а, такая, что Ак — |~| Л5, если X — предель-
ное число или если \=.у.
При этих условиях множеств
есть двустороннее множество класса а.
В самом деле (§ 12, I Dа)),
Так как любая разность Л| — А^ + 1 является двусторонним мно-
множеством класса а и, следовательно, множеством аддитивного класса а,
то множества S и —5, как счетные объединения множеств такого
рода, также принадлежат аддитивному классу а. Следовательно,
5 — двустороннее множество класса а.
Теорема 2. Пусть /1,з/1гэ...—последовательность
со
двусторонних множеств класса а, такая, что |~| Л„ = 0. Тогда
со П-\
U (Ал-1 — ^2п) есть двустороннее множество класса а.
1

358 Гл. 2. Метрические пространства
Эта теорема является частным случаем теоремы 1.
Теорема 3. Сумма знакочередующегося (счетного) ряда убы-
убывающих борелевских множеств мультипликативного класса а
есть двустороннее множество класса а+1 ').
В самом деле, полагая Вх — (~| В%, если X — предельное число,
и учитывая, что счетное пересечение множеств О| есть множество
мультипликативного класса а и, следовательно, двустороннее множе-
множество класса а—|— 1, выводим из теоремы 1, что В есть двустороннее
множество класса ct —|— 1.
VII. Теоремы редукции и отделимости.
Теорема 1 (теорема редукции). Пусть Gl, G2, ... —последо-
—последовательность (конечная или бесконечная) множеств аддитив-
аддитивного класса а > 0; тогда существует последовательность
Hv Н2, . . . непересекающихся множеств того же класса,
такая, что
HicGl и Hl U #2 U • ¦ • = Gi U O2 U ¦ • • •
Следовательно, если Ж=ОХ U G2 U • • • > ото множества Ht являются
двусторонними класса а.
Чтобы убедиться в этом, достаточно положить, согласно V, 1,
где F[j — двусторонние множества класса а, и повторить доказа-
доказательство теоремы редукции, установленной в § 26, II.
Аналогичным образом из теоремы 1 выводятся следующие утвер-
утверждения:
Теорема 2 (теорема отделимостиJ). Пусть Flt F2, ¦¦¦ —
последовательность множеств мультипликативного класса
а > 0, такая, что F1(] F2f\ . . . = 0; тогда существует последо-
последовательность двусторонних множеств Ех, Е2, ¦ . . класса а,
такая, что
Fi(=.El и ?\П?2П ¦•• =0.
В частности, пусть А и В — непересекающиеся множества
мультипликативного класса а>0; тогда существует двусто-
двустороннее множество Е класса а, такое, что
A) АсЕ и ЕГ\В = 0.
!) Обратная теорема верна в полных пространствах (см. § 37).
2) Серпинский [55]. Частный случай см. в работе Серпинского [19].
Там же можно найти много приложений к общей теории функций.

§ 30. Борелевские множества 359
Другими словами, пусть даны два множества АсС класса
а > О, причем первое из них — множество мультипликатив-
мультипликативного класса, а второе — аддитивного класса. Тогда существует
двустороннее множество Е класса а, такое, что
B) Ас Ее С.
Теорема 3. Пусть Fv F2, ••• —последовательность мно-
множеств мультипликативного класса а > 0; тогда существует
последовательность множеств Вх, В2, . .. аддитивного класса а,
такая, что
ОЗ СО
Ft- П Рт^В, и П В, = 0.
т-\ i=l
Теорема 4. Пусть Ах, ..., Ak — конечная система непере-
непересекающихся множеств мультипликативного класса а>0.
Тогда существует система Fx, . . ., Fk непересекающихся
двусторонних множеств класса а, такая, что
AleFi и X = FX\S ... \]Fk.
VIII. Относительно двусторонние множества.
Теорема 1. Пусть А — множество мультипликативного
класса а>0 и В — двустороннее множество класса а относи-
относительно А; тогда множество В имеет вид /3 = А(]С, где
С — двустороннее множество класса а (относительно всего
пространства).
В самом деле, так как В — двустороннее множество класса а
относительно А, то В и А—В — множества мультипликативного
класса а относительно А. Но множество А само является множеством
мультипликативного класса а, следовательно, оба множества В и А—В
принадлежат мультипликативному классу а (во всем пространстве).
В силу теоремы отделимости (VII, 2A)), существует двусторон-
двустороннее множество С класса а, такое, что
ВаС и С(\(А—В) = 0,
откуда
В = A[)B<=Af\C и CftAcB, следовательно, В = А[\С.
Имея в виду дальнейшие применения, докажем следующее утверж-
утверждение:
Теорема 2. Пусть заданы множество А и система
\Bi ___i | двусторонних множеств класса а относительно А,
такая, что
Bil---lnr[Bh---h==Ot если Vi ¦¦¦ lb)=tUi ¦•¦ Jk) и

360 Гл. 2. Метрические пространства
Тогда существует система (С/ ... i \ двусторонних множеств
класса а относительно объединения
@) An=UCii...tn
(где суммирование распространяется на все системы п ин-
индексов), такая, что
A) Ап — двустороннее множество класса a-f-1;
B) Л ПС,, ...,„ = *,, .¦¦'„:
C) С|1...,||ПСЛ...,4 = О;
D) С1{...1п=0, если Bti...,a = Q.
Более того, если А—множество мультипликативного класса
а>0 и если Л = и^', ...I для любого п, то множество Ап
совпадает со всем пространством.
По предположению, существует система множеств \Dt ... ( \
аддитивного класса а (даже двусторонних множеств класса а, если
А — множество мультипликативного класса a > 0), такая, что
Обозначим через Vп объединение всех пересечений вида D/ ... t fl
П Dj j и положим
Множество An—\J D^ ... t —Vn как разность двух множеств адди-
аддитивного класса а есть двустороннее множество класса сх —|— 1. Из ра-
равенства
следует, что С/ ... / —множество аддитивного класса а относи-
относительно Ап, откуда, в силу равенства
вытекает, что С,- .,./ —двустороннее множество класса а относи-
относительно Ап. Наконец,
ибо из равенства
следует, что

§ 30. Борелевские множества 361
Если предположить, что А есть множество мультипликативного
класса а>0 и Л = (J Б; ... ; . то
и существует (см. VII, 2 B)) двустороннее множество Et „|( класса а,
такое, что
Определим множества С/ .../ (где я!>0) по индукции, усло-
условившись, что
1) С — все пространство и В—А;
2) если 1Х ... /„—данная система и / — наименьший индекс,
такой, что В{ ..,; ьфО, то
3) для k>l
Замечание. В 0-мерном сепарабельном пространстве утвер-
утверждения 1 и 2 справедливы и при а = 0.
Теорему 1 можно уточнить следующим образомJ):
Теорема 3. Пусть В1, В2, ...—последовательность дву-
двусторонних множеств класса а относительно множества А;
тогда существуют множество Y мультипликативного класса
а—|— 1 и последовательность С1, С2, ... двусторонних множеств
класса а относительно Y, такие, что В" = А {\Сп и последова-
последовательности
E) В\ А — В\ В2, А—В2, ...
и
F) С\ У—С\ С2, К—С2, ...
подобны (в смысле § 14, III).
Более того, если А — множество мультипликативного класса
а > 0, то Y совпадает со всем пространством.
Любой системе индексов /,, .. ., 1п, составленной из чисел 0 и 1,
поставим в соответствие множество Bi ... / , условившись, что
G) В1х„.1я = в\ъ ... ПВ?„ и Впо=В\ Вп1=А-Вп.
См. Позамент и Куратовский Щ.

362 Гл. 2. Метрические пространства
Тогда выполнены условия теоремы 2'). Рассмотрим множества
Ci , i и Ап из условия этой теоремы и положим
(8) К = Л1П^2П ••¦;
(9) O = YnC0, С2 = Y П (Соо U С10)
Тогда А =^В0[}В1, и вообще, так как множества ??(- it являются
составляющими множества А относительно множеств В1, . . ., Вп
(см. § 28, VI, замечание 2), то их объединение равно множеству А
(при фиксированном я). Таким образом [см. @) и B)],
A0) A = UBil...in^UCil..,in=An,
Откуда, согласно (8),
A1) ЛсЛ:ЛЛ2П ... =К.
Следовательно, в силу (9), B) и G),
Так как Ап — множества мультипликативного класса а+1, их
пересечение У также является множеством этого класса.
Поскольку Ci ... / —двустороннее множество класса а относи-
относительно Ап, множество Yf\Ct .., i является двусторонним множеством
класса а относительно Y (так как КсгЛп). Следовательно, С11 является
двусторонним множеством класса а.
Чтобы доказать подобие последовательностей E) и F), заметим,
что если множества Bi ... / (при фиксированном п) являются соста-
составляющими множества А, то любое пересечение конечного числа эле-
элементов последовательности E) представляет собой объединение не-
некоторого числа этих элементов, а именно для 1г < ... < 1п имеем
A2) В\П ... П^я=и^2...у1я. где h=ih Jln = iln.
Аналогичным свойством обладает последовательность F). Из фор-
формул (9), A0), (8) и C) вытекает, что
•) Очевидно, в теореме 2 можно допустить, что индексы ib ..., in при-
принимают только два значения 0 и 1.

§ 30. Борелевские множества 363
где последнее объединение берется по всем системам j\ . . . Jn,
таким, что jk = 0. В самом деле,
Таким же образом, согласно (9), A1) и @), получаем
откуда, как и выше, К—Ck—Y{\(\JCj ... j \ где jk=l.
Положим Co=Ck и C\—Y—Ck. Отсюда вытекает, что
(иЛ...^. где
и что (см. D)) для /!<...</„
где Jh = ih A, = /v
Равенства В/ ; = 0 и Y [\Ci i = 0 эквивалентны, ибо
I " ' П I " ' " П
из первого, согласно D), следует второе, и, в силу B) и A1),
Отсюда, в силу A2) и A3), немедленно вытекает подобие после-
последовательностей E) и F).
Допустим теперь, что А—множество мультипликативного класса
а > 0. В силу первого равенства A0) и второй части теоремы 2,
множество Ап, а следовательно (см. A1)), множество К совпадает
со всем пространством. Теорема доказана.
Замечание. Соответствие между элементами последовательно-
последовательностей E) и F), которое получается, если я-му элементу последо-
последовательности E) сопоставить я-й элемент последовательности F),
можно продолжить на наименьшие поля, содержащие соответственно
множества последовательностей E) и F); а именно можно поставить
в соответствие объединению (пересечению, разности) двух множеств
объединение (пересечение, разность) соответствующих множеств.
Таким образом определяется некоторый') изоморфизм между этими
двумя полями, так что любое соотношение, выраженное в терминах
алгебры Буля и имеющее место между множествами первого поля,
выполняется также и во втором поле.
') По поводу этого понятия см. Позамент и Куратовский [1].

364 Гл. 2. Метрические пространства
IX. Предельное множество двусторонних множеств.
Теорема 1. Пусть А — двустороннее множество класса
а>1. Тогда существует последовательность двусторонних
множеств Ап классов < а, таких, что
и(Л,д,+1 П(Д,д,+1 )
п=0 п=0
т.е. .<4 = Limes Л„ в теоретико-множественном смысле (см. § 1, V).
Я-»со
В 0-мерных сепарабельных пространствах теорема верна
также при а—1.
Доказательство. По предположению, мы имеем
л=0 л=0
/ СО
Кп<=Кп+1 [откуда Кп = П Кп
/ оо
Ln<=.Ln+1 (откуда —Lt=:[J(—.
где Кп ш Ln — множества мультипликативных классов < а.
В силу теоремы отделимости (VII, 2B)), существует последова-
последовательность двусторонних множеств Ап классов < а, таких, что
Двойное равенство, которое необходимо доказать, вытекает из
формулы (см. § 2, IV)
со со оо со
1=0 я=0 "+ (=0 1 = 0
Теорема 1 вытекает также из следующей леммы, относящейся
к теории множеств и позволяющей уточнить теорему в случае,
когда а является предельным числом.
Лемма (Серпинский [46]). Из условий
со оо
оо со
B) A = f\^\JCn>m,
оо со
C)
rt=l rt=l

§ 30. Борелевские множества 365
вытекает, что
^ = Limes^rt, где Ап = (J (fift> г П . . • П S*. „) П (Сь ft U • . . U Ся, k),
П ->со ft = 1
Докажем, что
Г Лс=и(Л,ПЛя+1П...) и 23 i4'
Условие 1° означает, что если /??^4, то существует индекс п0,
такой, что для п ^> п0 имеем р?Ап. Но, в силу A), существует
индекс k, такой, что
Согласно B), существует последовательность индексов iu i2
такая, что
pecivif\ci9,2n....
Обозначим через п0 наибольшее из чисел k и ik. Для п J> n0 имеем
Cik,k^-C\,k U ••• U С*, *.
Следовательно,
Рб№, if1 ••• n?ft,»)nC/ft,ftC
c(fi*,in ••• П Bki n) П (С,, А U ... иСм)сЛ„.
Пусть, с другой стороны, р ? Лс. Докажем, что существует
индекс т0, такой, что для т~^> т0 имеем р ? Аст, где
Аст = П К 1 U ... U #, m U (CJ,, П ... П Сст> i)].
По предположению,
D) AC=,C\\JBn,m, А Се
т п п п
В силу второй из этих формул, существует индекс k, такой, что
РбПс«, ft. следовательно, p(z\JCn,k + i, Р 6 П с«, *+2
Я ЯП
Из первой формулы D) следует существование последовательности
индексов 1Х, г2, ..., такой, что
Пусть от0 — наибольшее из чисел lx ik. Пусть т^-т0. Тогда
p^Bli^BliU ... UBl m для /</г,
/П ••• ПС™.f) Для 1>к.
Следовательно, для любого / (^ т) имеем
Р € И. 1U ... U Я/, m U (Си П ... П С?я,,)]. т. е.

366 Гл. 2. Метрические пространства
Из леммы непосредственно вытекает следующее утверждение,
дополняющее теорему 1:
Теорема 2. Пусть А—двустороннее множество класса
\~\-\, где к—предельное число. Тогда существует последова-
последовательность двусторонних множеств Ап классов < X, такая, что
А — Limes An.
П->со
X. Локально борелевские множества. о#-операция Монт-
Монтгомери. В соответствии с общим определением локализации свойств
(§ 7, IV) множество А называется множеством класса а в точке р,
если существует окрестность Е точки р, такая, что А [) Е есть
борелевское множество класса а.
Термин „окрестность" можно заменить термином „открытая окрест-
окрестность", за исключением случая, когда речь идет о мультиплика-
мультипликативном классе 0 (случай локально замкнутого множества, см. § 7, V),
ибо если А[]Е—множество класса a, a G — внутренность мно-
множества Е, то множество А ( О также является множеством класса а
(за исключением отмеченного случая).
Наконец, в случае сепарабельного пространства можно заменить
открытые окрестности открытыми множествами, принадлежащими
базе /?j, R2, ¦ ¦ ¦ пространства.
Теорема 1. Множество В точек множества А, в кото-
которых А локально есть множество аддитивного класса а (или
мультипликативного класса а > 0), также является множе-
множеством этого класса.
В частности, если в сепарабелъном пространстве 3? мно-
множество А является в каждой из своих точек множеством
аддитивного класса а (или мультипликативного класса а > 0),
то А есть множество того же класса.
Рассмотрим сначала случай сепарабельного пространства (см.
Заранкевич [3]), когда доказательство значительно проще.
Пусть Rni, Rn2, ...—последовательность всех множеств (при-
(принадлежащих базе), таких, что А ( Rn есть множество аддитивного
класса а. Тогда множество
представляет собой множество аддитивного класса а.
Предположим теперь, что A f| Rn —множество мультипликативного
класса а > 0. В силу тождества X f\Y — X — (X — К), имеем
В - у (Л n Rnk) = А п у Rnk = у Rnk ~ [U Rnk - л] =

§ 30. Борелевские множества 367
Множество Rn —(A(]Rn\ принадлежит аддитивному классу а,
поэтому множество U Г/?„ —(Л ("I Rnk)] принадлежит тому же классу,
откуда следует требуемое заключение.
Таким образом, теорема 1 доказана для сепарабельного про-
пространства.
Ее доказательство для произвольного метрического пространства
будет основано на одном общем методе, который мы будем при-
применять и в других случаях!).
Пусть Go, Gj Gg, ...—вполне упорядоченное семейство
открытых множеств, Положим
A) ^5 = О6-U От,-
Каждой трансфинитной последовательности XQ, Хх Х%, . . .
поставим в соответствие объединение
B) 5 = у(Л-5П/С|).
которое называется результатом оМ-операции, примененной к по-
последовательности {}
Теорема 2. оМ-one рация аддитивна, мультипликативна
и в случае, когда
(I) Х = КХ\}К2\) ... UK'sU ••• .
дистрибутивна относительно вычитания.
Аддитивность <з#-операции очевидна: из равенства Л% = (J Х\
i
(где i пробегает произвольное множество индексов) следует, что
C) у (*6 П ЛЧ) = у [(у х1ъ) П /CS] = у [(у <П) П КЪ]-
Чтобы доказать, что о^-операция мультипликативна, положим
==f|^i и заметим, что, в силу A),
D) КЪГ\К^ = О для 1Фц.
Отсюда вытекает, что
E)
') Этот метод и его применения можно найти в работе Монтгомери [1].
См. также Куратовский [28].
Доказательство, основанное на паракомпактности метрических про-
пространств, см. в работах: Майкл [2а] и Нагами [1].

368 Гл. 2. Метрические пространства
при этом учитывается следующее общее правило: если для любых а,
и 11Ф \ имеем А%м П А™ == 0> то
I а
Наконец, положим ^| = <#1 — Х?; тогда
F) у (Л-Ь п/гь) = у (/rt — л-|) = у /сЕ — у (/rt п л-|).
ибо, с одной стороны,
/С| = (Къ П **) U (/С5 П Х{),
откуда
У ^ = [U (^i n X0J и [у (^ п
а, с другой стороны, согласно D),
GСЕ П А-Б) п (/Гт, П А = 0.
откуда
Из формул (i), E) и F) следует дистрибутивность ©^-операции
относительно вычитания:
у ЦХг - Y0 П КЪ] - [U (Л-5 П /СЕ)] П [U (П П **)] =
Замечание. Если отбросить предположение (i), то вместо
дистрибутивности относительно вычитания будет выполняться сле-
следующая формула:
G) U(^n^) = UG|-u(^n^)-
В самом деле, G) вытекает из F), в силу очевидного равенства
у /с6 = у «е-
Теорема 3. Для а > 0 классы Fa и Оа инвариантны по
отношению к оМ-операции.
Условимся, что рСХ, 0)=1, и положим
(8) *б=*бПКБП

§ 30. Борелевские множества
369
Согласно A),
кает, что
\JXi, откуда, согласно B), выте-
= \J О XI',
I 1
следовательно, если положить
(9) S
то
Кроме того,
A1)
В самом деле, пусть
имеем
для
\ и х\ < |. Согласно (8) и A),
^_От1)>1 и
следовательно, [ х^ — xl\^~~> откуда вытекает формула A1).
Множества X", в силу неравенства A1), открыто-замкнуты
в множестве Sn. Так как Fr (Оъ) П Е [р(*. & ~ G%) ^"А — °- то>
в силу (8) и A), имеем
xl = *6 п [о6 - и °л] п Е
Это означает, что если множество Xi замкнуто, то мно-
множество Х\ также замкнуто. Отсюда следует, что множество Sn
замкнуто, ибо если предположить, что p?Sn — Sn, то существуют
две точки хц ? Х\ и х\ ? Х\, такие, что
I -»ч — Р К "ST • \Ч — Р\<^ и П^Е-
Но тогда | х^ — л:^|< 1/л, вопреки A1).
Таким образом, мы доказали, принимая во внимание A0), что
если множество Xi замкнуто, то S есть F^-множество.
Отсюда следует, в силу C), что если множество Х^ типа Fo, то
множество 5 также типа Fa. В силу G), отсюда вытекает, что
Х есть G&-множество, то S — также G6-множество.
если
24 Топология, т. I

370 Гл. 2. Метрические пространства
Принимая во внимание формулы C) и E), мы приходим к тре-
требуемому заключению: если X* есть множество класса Fa (или Са),
то и S — множество того же класса.
Отсюда мы выводим следующую теорему, частным случаем кото-
которой является теорема 1 (согласно теореме 3).
Теорема 4. Пусть Р — некоторое свойство, инвариант-
инвариантное относительно еМ-операции, и пусть А — некоторое мно-
множество. Обозначим через S множество точек х ? А, для кото-
которых существует открытое множество G, такое, что x?G
и О П А обладает свойством Р. Тогда множество S также
обладает этим свойством.
Действительно, занумеруем открытые множества О, такие, что
множества О |~1 А обладают свойством Р, в трансфинитную последо-
последовательность О0, Gj G|, ... и положим Х% = А (") О\.
Тогда имеет место равенство B), ибо
5 = U (А П 00 == U (А П Кг) = U № П Кг).
i i i
Множество Xi обладает свойством Р. Из инвариантности этого
свойства относительно о^-операции следует, что #множество 5 тоже
обладает этим свойством.
Замечание1). Пользуясь методом доказательства теоремы 1
в случае сепарабельного пространства, легко показать, что любое
множество в сепарабельном пространстве, являющееся локально боре-
левским в каждой из своих точек, является борелевским множеством.
Однако существует несепарабельное метрическое простран-
пространство, содержащее неборелевское множество, являющееся в каж-
каждой из своих точек локально борелевским (неограниченного
класса). В самом деле, рассмотрим пространство, образованное
всеми точками (х, а), где 0<!л:<;1 и 0<;a<Q; расстояние
между точками (х, а) и (х', а') положим равным \х — х' | для a = a'
и 1 для афа! (таким образом, эго пространство представлязт собой
прямое произведение интервала и дискретного множества чисел
a < S). Пусть /а—„интервал" (х, а), где 0<;х^1, и Ва — бо-
релевское множество с:/а, не являющееся множеством класса a
(см. п. XIV). Множество 5= \J Ba — локально борелевское, так как
a < q
интервалы /а открыты в пространстве, но оно не является боре-
борелевским, так как если бы оно было множеством класса а, то и
множество S C\fa = Ва было бы множеством того же класса.
Теорема 1 позволяет установить для общих метрических про-
пространств следующую теорему, которую мы доказали для сепара-
бельных пространств в § 24, III.
•) Это замечание принадлежит Шпильрайну-Марчевскому [4], стр. 112-

§ 30. Борелевские множества 371
Теорема 5. Любое разложимое множество есть мно-
множество типа Fa и G6.
Действительно, пусть
Е= и^ъ — Щ), где Fl=iHlziFi для ? < ?,
и Fi = Fi, Hi —Hi. Допустим, что теорема верна для каждого
а' < а; докажем ее для а, или, принимая во внимание теорему 1,
докажем, что множество Е локально типа Fa и E6 в каждой точке.
Итак, пусть р^Е. Тогда существует а' < а, такое, что
p?Fa'—На>. Положим G = Jf—На'. Имеем p?G, где О — от-
открытое множество, и для L, > а'
F^aHa', откуда F^[]G — О,
следовательно,
on U (^
t>a'
Тогда
ОП?=ОПШ (Fi-H
k<a'
Так как множество U (F% — #g) является (по предположению)
К а'
множеством типа Fg и G6, это верно и для множества GftE. Сле-
Следовательно, множество Е локально типа Fg и <36 в точке р.
XI. Вычисление классов с помощью логических символов1).
Функция высказываний ф(лг) называется функцией класса Fa
(класса Ga), если множество ? ф (х) есть множество класса Fa
X
(класса Ga).
Опираясь на формулы, установленные во введении (§ 1, IV и § 2,
V—VI), докажем следующие предложения.
Теорема 1. Пусть ц>(х) и ty(x) — две функции высказыва-
высказываний класса Fa (класса Ga); тогда функции у (х) \/ty (х) и
ф(х) Л ^ (х) являются функциями того же класса.
Это утверждение следует из того, что
Е [<р(*) V Ч> (х)] = Е ф (*) U Е
поскольку борелевский класс инвариантен относительно пересечения
и объединения множеств.
') См. Тарский и Куратовский [1] и Куратовский [15].
24*

372 Гл. 2. Метрические пространства
Справедлива более общая
Теорема 1'. Пусть (р(хх л:я) = г|>(л;Л1 х k Л V
V i(xi Xi \ где индексы kx, .... kj и lx 1т все^п (например,
ц>(х, у, z) = ij)(.*:, y)Vx(y> z))- Если ^ и %—функции класса Fa
(класса <За), то функция ф является функцией того же
класса (причем это верно и для ty Л X)-
В самом деле,
Е <P(*i хп)= Е ^(хц. xfc\\J Е l(x, xi\
и так как Е ty(xk . •••• -^*.) есть множество класса Fa, то
Хъ Хь ' ]
и Е "§(xk I •••• Хц.) — также множество класса Fa, ибо оно
Y X ^
получается из предыдущего множества умножением на оси (см. п. III).
Очевидно, что, выполняя конечное число логических сложений
и умножений над функциями высказываний класса Fa(KAacca Ga),
мы всегда получим функцию высказываний класса Fa (класса Ga).
Теорема 2. Если функция высказываний ц>(х) есть функ-
функция класса Fa, то ее отрицание есть функция класса Ga.
Это вытекает из того, что множество Е Пф(-*0 является дополне-
X
нием к множеству Еф(-*0-
X
Теорема 3. Если функции высказываний фл (х), где
ге=1, 2, ..., являются функциями классов < а, то функция
У<рп(х) есть функция аддитивного класса а, а /\(рп(х)—функ-
п п
ция мультипликативного класса а.
Это следует из равенств (см. § 2, V A) и B))
В частности, если все ц>п (х) — функции одного и того же клас-
класса Fa с четным а, то V Фл (х) есть функция класса Faa, а Д фл (х)
п п
есть функция класса Fa. Аналогичным образом, если фя_ т(х) — функ-
функции класса Fa, то AW4>п,т(х) есть функция класса F^, и т. д.
т п
Итак, мы видим, что теоремы 1 — 3 позволяют вычислить
борелевский класс множества, если это множество определено
с помощью функции высказываний, которую можно получить,
исходя из системы таких функций высказываний, классы ко-
которых известны, осуществляя при этом только конечное
число логических операций V. Лэ П. V. Л-

§ 30. Борелевские множества 373
В приложениях часто применяются следующие правила.
Теорема 4. Если ср(х) — функция высказываний класса Fa
{класса Ga) и если /: Т->& — непрерывное отображение, то
функция высказываний <p[f(t)] также является функцией
класса Fa (класса Ga).
В самом деле, положим Л == Е?ср(л;). Тогда (см. § 3, I)
(
/ t \ X \ t
и так как А — множество класса Fa (класса Оа), то (см. п. III)
множество /~ (А) принадлежит тому же классу.
Теорема 5. Пусть "ф(х, у) — функция класса Fa (класса Ga),
тогда функция ф (х) — ij> (х, у0) при фиксированном у0, а также
функция % (х) = if (х, х) принадлежат тому же классу.
Чтобы убедиться в этом, подставим в ШA)
Z=E^(x, У) или Z=E^O- х).
X X
Теорема 6. Пусть ^(х)— функция класса Fa (класса Ga),
тогда q>(x, y)^ty\x) является функцией того же класса.
Это следует из того, что
Е Ф(*. у) = ЕУ(х)Х&.
х, у х
XII. Приложения. 1. Вычисление борелевского класса мно-
множеств Sa~ ECz~<a)> где а<2 (см. § 3, XVI).
Z
Каждому z ? IS и каждому целому положительному числу п по-
поставим в соответствие точку и ? <?, определенную следующим обра-
образом: если z" = Q, положим м = 0; если z" = 2, то ик — 2, когда
zk = 2 и rn < rk и м*=0 в противном случае.
Обозначая и символом z^n\ получаем
A) (й = *1»1)=зЛ {(«* = 2) = (г* = 2 = гп) Л (гя < гй)}.
В обозначениях § 3, XVI имеем
#г[я] == ^ П Е (/¦„</•), если г:" = 2.
Отсюда следует, что если г — порядковое число, то последова-
последовательность г'1!, zl2l, . .. пробегает все порядковые числа < z.
Так как множества Е(^;=2), где /=1. 2, .... открыто-зам-
Z
кнуты в ?f', то множество пар и, z, удовлетворяющих условию
в фигурных скобках, также является открыто-замкнутым. Следова-
Следовательно, множество Е (и = z|nl)> т. е. график функции z^n\ замкнуто.
и, z
Так как множество 1? компактно, отсюда вытекает, что функция г'"'
непрерывна (см. § 20, V, 8).

374 Гл. 2. Метрические пространства
Теорема 1. Для а < Q множества Sa = Е (z < а) и, следо-
_ г
вательно, составляющие ?a = E(z = a) представляют собой
Z
борелевские множества, (Лебег [1], Лузин и Серпинский [2].)
А именно, Sa есть множество класса Ga.
Отметим сначала два тождества (X — предельное число):
B) (J<a+l) = A(^<a);
C) (z<k)== V (*<l).
Применим индукцию. В случае, когда а = 0 или а=1, теорема
очевидна. Допустим теперь, что функция высказываний z < \ есть
функция класса 0% для любого | < р. Следовательно, если р = a -f-1,
то функция высказываний z < а есть функция класса Ga. Так как
функция z'n| непрерывна, отсюда вытекает (в силу XI, 4), что функ-
функция высказываний z\"\ < а также принадлежит классу Оа. Отсюда,
в силу B) и XI, 3, следует, что функция высказываний z<a-|-l,
т. е. z < р, есть функция класса <5„.
С другой стороны, если р — предельное число, то к этому за-
заключению можно прийти, принимая во внимание C) и XI, 3.
Замечание. 1. Вычисление класса множества Saможет быть про-
проведено точнее. Действительно, множества Sn для конечных п замк-
замкнуты, Sa есть /^-множество, Sa.2 есть /^-множество, и т. д.
Однако следует заметить (см. § 39, VIII), что Sa являются мно-
множествами неограниченных классов, т. е. что любому р < Q соот-
соответствует множество Sa, не являющееся множеством класса р.
2. Каждому иррациональному числу z интервала @, 1) поставим
в соответствие множество Zz, состоящее из чисел rz\, rZ2, . . . (где
z отождествлено с последовательностью z1, z2, ..., см. § 3, IX, 2).
Обозначим через z порядковый тип множества Zz. Положим
Ta=E(z<a).
Z
Рассуждения, полностью аналогичные предыдущим, позволяют
доказать, что Та—множество класса Ga.
3. Напомним, что порядковый тип т называется предельным,
если упорядоченное множество Т порядкового типа т не имеет послед-
последнего элемента. Обозначим через А множество точек z ? ^, таких, что
z — предельный тип. В логических терминах (см. обозначения § 3, XVI)
(z 6 А) == л V №¦„ 6 Д*)=Ф (г* 6 Ю Л (/-* < гп)] =
= ЛУ[B"
п h

§ 30. Борелевские множества 375
Так как множество Е(^Л:=2) является открыто-замкнутым (в мно-
z
жестве *?), то функция высказываний, записанная в квадратных скоб-
скобках, есть функция класса Go. Следовательно, множество А есть
множество класса G6.
4. Условимся называть порядковый тип четным, если он имеет
вид A.-f-2/i, где Я — предельный тип и га— целое число ^-0. Ана-
Аналогичным образом, порядковый тип называется нечетным, если он
имеет вид А + 2re-f-1 *).
Обозначим через Р множество точек z, таких, что z — четный
тип. Тогда Р — Р0[]Р2{}..., где Р.2п — множество элементов г,
таких, что z имеет вид X -\- 2га.
Запишем в логических символах определение множества P9:
(z ? Р2) == у. {(г{. г} 6 Rz) Л (г; < rj) /\ЬAфпФ /)А(гп 6 /?г) =ф
=Ф [(О <ОЛу (О < '* < гв) Л (г„ ?
Следовательно,
Сг6Р2)= V |(г' = 2 = ^)Л(Л<г/)ЛЛ((^я^ЛЛ
Л Bй = 2)) =ф |-(г;. < г„) Л V С; < ^ < О Л (*" = 2)]} .
Отсюда вытекает, что множество Р2 есть <36а-множество. Из анало-
аналогичного определения множеств Р4, Я6, . . . видно, что все они являются
<Зба-множествами. Следовательно, и Р есть <36а-множество.
Подобно этому можно доказать, что множество точек z, таких,
что z — нечетный порядковый тип, есть О6а-множество.
5. Пусть Ф — семейство всех последовательностей {^'} точек
метрического пространства $\ удовлетворяющих условию сходимости
Коши (последовательность \1, |2, ... удовлетворяет условию Коши,
если любому е> 0 соответствует индекс т, такой, что | h,m+l —?,"' |<^е,
каково бы ни было г).
Докажем, что Ф является множеством типа Fa() в пространстве
По определению,
k m I
Функция высказываний
4>k,m,i(l)=\\l —I \<T
есть функция класса Fo (при фиксированных k, m, i). В самом деле,
так как расстояние \х — у\—непрерывная функция двух переменных
') Обычно эти понятия рассматриваются только для типов вполне
упорядоченных множеств.

376 Гл. 2. Метрические пространства
и |"— непрерывная функция точки | (см. § 16, II), то множество
замкнуто.
Применяя теорему XI, 3, получаем, что функция Дф*, m, i(l) есть
i
также функция класса Fo, функция V Л Фа, m, i (?) есть функция
т I
класса Fa и, наконец, функция ЛУЛф*, т, *(?) является функцией
k m i
класса Fg&. Это означает, что множество Ф есть множество клас-
класса Fa(l, что и требовалось доказать.
Отсюда, в силу теоремы XI, 4, вытекает следующее утверждение:
Пусть fn: T-+JP, п=\, 2, ..., — последовательность не-
непрерывных функций; множество С точек t, для которых
последовательность {/n(t)} удовлетворяет условию Коши, есть
множество класса Fa6').
Обозначим через %(t) последовательность [f1(t), /2@. ¦• ¦]• Тогда
) =Л\/Лф{,т,Л^(О]> откуда следует сформулированное
k m I
утверждение
6. Семейство 9 плотных в себе последовательностей обра-
образует в пространстве Л?^в множество типа Gb.
Последовательность | = [|1, Н,2, •••] называется плотной в себе,
если для любого п существует точка с,т ф I", сколь угодно близкая
к точке ?", т. е.
п, k т
Функция высказываний в фигурных скобках, очевидно, представляет
собой функцию класса <30 (при фиксированных п, т и k), поэтому
ее класс не меняется при применении оператора V-
Следовательно, функция [|6®1 является функцией класса G&.
XIII. Универсальные функции2). Пусть F— некоторое семейство
множеств и Т—некоторое множество. Любое отображение F : Т—>F,
называется функцией, универсальной относительно семейства F.
В дальнейшем мы будем предполагать, что пространство Ж (под-
(подмножествами которого являются элементы семейства F)—метрическое
') Ср. § 2, VI, пример 2. Если Ж — полное пространство, то С есть
множество точек сходимости последовательности {/п}.
2) См. Серпинский [39], стр. 82.

§ 30. Борелевские множества 377
сепарабельное. Возьмем в качестве Т множество <=АГ иррациональных
чисел интервала 0 1).
Если семейство F имеет мощность ^ с, то, очевидно, существует
функция, универсальная относительно семейства F (так как мно-
множество оАГ имеет мощность с). Тогда можно заменить семейство F
борелевским классом Fa или Ga.
Теорема. Любому a<Q соответствует некоторая функ-
функция Оа, универсальная относительно класса Ga, такая, что
множество Е [x?Ga(z)], принадлежащее прямому произведе-
X, Z
нию JXi#. есть множество класса Ga2).
Воспользуемся следующими обозначениями. Как обычно, мы будем
рассматривать иррациональное число z как последовательность на-
натуральных чисел zA>, z^, , . , (определяемую, например, разложе-
разложением z в непрерывную дробь).
Поскольку пространство J\T гомеоморфно пространству е#°"»
(ср. § 3, IX, 2 и § 16, II, 6), имеется взаимно однозначное соответ-
соответствие между иррациональными числами z и последовательностями
иррациональных чисел z{l), zB) такое, что при фиксирован-
фиксированном п число 2(п) является непрерывной функцией числа z\ можно
положить, например, -
Каждому предельному трансфинитному числу X < Q поставим
в соответствие последовательность Х: < Х2 < • . ¦ ¦ сходящуюся к X
(существование такой последовательности вытекает из аксиомы выбора).
Наконец, через Ru R2, ... обозначим базу пространства (содер-
(содержащую пустое множество).
Определим функцию Ga следующим образом:
1) O0B)=U^«).
п
2) Оа+1(г) = ПО8(г(/!)) или \JGa(z{n)) в зависимости от
п. п
того, четно или нечетно число а,
3) Gk (z) — (J 0^ B(„)), если X — предельное число.
Докажем, что
(i) Oa(z) есть множество класса Ga;
') В качестве Т берется множество eV иррадиональных чисел интер-
интервала €, а не весь интервал <7, с тем чтобы избежать некоторых не-
неудобств, связанных с разрывностью функции „п-я цифра двоичного разло-
разложения числа х"; если рассматривать иррациональное число z как последо-
последовательность натуральных чисел, то л-й член этой последовательности
является непрерывной функцией числа z (см. § 16, II).
Можно было бы обойтись нигде не плотным канторовским множе-
множеством #.
2) Последующее рассуждение, по существу, заимствовано у Лебега [3].

378 Гл. 2. Метрические пространства
(и) если X — множество класса Ga, то существует z ? о/У, такое,
что X = Ga(z);
(Hi) E [¦*€ Oa(z)\ есть множество класса Ga.
X, Z
Доказательство. Свойство (i) непосредственно вытекает из
свойства (Hi) (см. Ill, теорема).
Докажем (ii). Пусть сначала X — множество класса Go, т. е.
открытое множество. По определению базы, множество X имеет вид
X = (J Ru ¦ Пусть z — иррациональное число, такое, что
п
~1 — и ^2 — Ъ
/С — **i» л> — /V2
Тогда
Следовательно, при а = 0 условие (ii) выполняется. Предположим,
что оно выполняется для а, и докажем его для а-{-1. Пусть X —
G
множество класса Ga+1:
или X = \JXn
(в зависимости от того, четно или нечетно число а), где Xп —
множества класса Ga. По предположению, существует последова-
последовательность иррациональных чисел [za\, такая, что Хп = Oa(zn). По
определению функции Z(ny существует значение z, такое, что zn = z^
для любого п. Следовательно, в зависимости от четности или нечет-
нечетности числа а имеем
Предположим, наконец, что Я = ПтЯ„ и что для каждого Хп
утверждение (ii) верно. Пусть X — множество класса GK, тогда
X = \JXп, где Х„ — множество класса Ga , ап < X. Так как после-
последовательность {кп} сходится к X, то для любого п существует
индекс kn, такой, что ап <! Х& .
Следовательно, Xп есть множество класса G-, . Тогда существует
иррациональное число z^ , такое, что X = О-, (z^ ). Если; — индекс,
отличный от всех индексов kn, то существует иррациональное число z-t,
такое, что G>..B;) = 0.
Таким образом, X = |J O^ (zn). Пусть, как и раньше, z — ирра-
иррациональное число, такое, что zn = z(n). Тогда
Докажем утверждение (Hi). Прежде всего заметим, что множе-
множество Е (.x?_Rn) открыто в прямом произведении пространства Ж и
X, Я

§ 30. Борелсвские множества 379
множества натуральных чисел. Иначе говоря, функция высказываний
(двух переменных) х ? Rn есть функция класса О0. Так как функ-
функция zn непрерывна при фиксированном п, то, на основании XI, 4,
функция высказываний х ? Rz(n) является функцией класса Go. To же
относится и к функции высказываний V (х 6 Rzw), которая эквива-
п
лентна функции х ? U R^n) (см. § 2, V).
п
Следовательно, функция высказываний x?G0(z) есть функция
класса Go и множество Е [л: ? Go (z)\ открыто. Аналогичным обра-
X, Z
зом, если функция высказываний x?Ga(z) есть функция класса а,
то функция x?G(z.\ при фиксированном п также является функ-
функцией класса а, поскольку г..—непрерывная функция от z. Следо-
Следовательно, функция высказываний Д Гх ? Ga (z,.\\ (для четных а) есть
функция класса Ga+1 (случай нечетного а рассматривается анало-
аналогично). Так как
а+1 (г)},
отсюда вытекает, что условие (iii) выполняется для <х —|— 1. Наконец,
если для любого п функция высказываний х ? G} (z) есть функция
класса Gk , то V [х 6 ®i (z<n))] — Функция класса Gk. Отсюда, как
и раньше, следует, что Е Iх 6 @к (z)\ есть множество класса Gk.
X, Z
Замечание. Для классов Fa имеет место аналогичная теорема:
для любого а существует универсальная функция Fa, такая, что
множество Е \.x^Fa(z)\ есть множество класса Fa. А именно,
XIV. Существование множеств класса Ga, не являющихся
множествами класса Fa. Установим существование таких множеств
в пространстве e/jT иррациональных чисел интервала @,1I).
Пусть X = оАГ; рассмотрим множество
представляющее собой проекцию на ось оАГ подмножества множе-
множества Е \z ^Oa(z')}, лежащего на диагонали пространства АГАГ
z, z'
т. е. на множестве Е (z=z') (см. § 15, IV).
г, г'
') Для а<3 это можно установить более прямым способом, см. Бэр [3]
и [5], а также Лузин [8], пример, данный Л. В. Келдыш. Для произвольных а
см. работу Энгелькинга и др., Coll. Math, (в печати).

380 Гл. 2. Метрические пространства
Так как Е [z 6 ^о (z'I — множество класса Ga, то Za также
г, z'
является множеством класса Ga (см. Ill, теорема).
Остается доказать, что Za не является множеством класса Fa.
Предположим противное, тогда J\T — Za есть множество класса Ga.
Пусть Оа — универсальная функция, тогда существует z0, такое,
что о/У — Za= Oa(z0). Но это приводит к противоречию, ибо, со-
согласно определению множества Za, имеет место тождество
тогда как, по определению числа z0,
Замечание. Вторая часть этого утверждения представляет
собой по существу доказательство следующей теоремы общей теории
множеств:
Теорема о диагонали1). Пусть F:T~>2T, тогда мно-
множество Е ^?Т — F(t)] не может бить значением функ-
t
ции F.
XV. Проблема эффективности2). Доказательство существова-
существования множества класса Ga, не являющегося множеством класса Fa,
приведенное в п. XIV, не эффективно в том смысле, что мы
не можем определить функцию, которая ставила бы в соответствие
каждому а множество, обладающее рассматриваемым свойством.
Анализируя рассуждения п. XIII, мы видим, что отсутствие эф-
эффективности проистекает из того, что мы не определили функцию,
которая ставила бы в соответствие каждому предельному числу X
сходящуюся последовательность чисел < Я; в самом деле, мы только
утверждали существование, но не определили никакой конкретной
последовательности такого рода. Такое определение до сих пор не-
неизвестно.
Итак, для того чтобы эффективно доказать существование мно-
множеств, являющихся множествами класса Ga, но не являющихся мно-
множествами класса Fa, необходимо видоизменить условие 3) опреде-
определения Оа.
Воспользуемся для этого функцией г, определенной в п. XII, 2.
Положим x(z) = z, если z < 2, и t(z)=— 1 в противном случае;
функция x(z) обладает двумя важными свойствами:
') Эта теорема была доказана Кантором; см. его доказательство нера-
неравенства 2m > in.
s) См. Куратовский [8], Серпинский [21].

§ 30. Борелевские множества 381
1° она ставит в соответствие каждому числу z трансфинитное
число (или —1) таким образом, что исчерпываются все числа а < 2;
2° функция высказываний фа(z)== {0 < т(z) < а) есть функция
класса да.
Допустим, что функция Ga определена условиями 1), 2), п. XIII
и следующим условием, заменяющим условие 3):
3') [х 6 G.t (z)} s V V [0 < т (V)) = 1] Л [х 6 Ог (* )].
Докажем утверждения (И) и (ш) п. XIII для а —Я, исходя из
предположения, что эти условия выполняются для ?, < % (условие (i)
есть следствие условия (Ш)).
Доказательство, (ii) Любое множество X класса Gk имеет
вид X — U X'п, где Xп — множества класса G| и 0 < ?,„ < X.
п
Любому \п соответствует иррациональное число vn, такое, что
тЮ = |„.
Кроме того, если О| — универсальная функция, то существует
число wn, такое, что Xn-=G^ (wn). Но, согласно определению
функции z. у существует значение г, такое, что zBn) = vnu z.2n+l = wn,
каково бы ни было п.
Таким образом, Xn = G^[zBn+^ и 0 < т(гBя)) = |л> откуда
= Gx(z).
(iil) Докажем, что функция высказываний двух переменных
G^(z) есть функция класса G^. Из тождества
[О < т (z) = I) ~ -| ф6 (г) Д Ф|+1 {г)
видно, что функция высказываний [0<т(.г) = !] есть функция
класса G%+{, функция [0 < т (z.2ri\ = Ц также является функцией
класса G, + v так как z.2. — непрерывная функция от z (см. XI, 4).
По той же причине функция высказываний х ? ^^г„п+Л есть функ-
функция класса G%, если Ъ, < X; следовательно, логическое произведение
двух этих функций, т. е. функция
есть функция класса Og+I. Поэтому функция x^GK(z) также
является функцией класса GK (согласно C')).
Таким образом, проблема существования для каждого а уни-
универсальной функции класса Ga резрешена эффективным образом.

382 Гл. 2. Метрические пространства'
Определение множества Za, указанного в п. XIV, дает, следова-
следовательно, эффективное решение проблемы существования в про-
пространстве иррациональных чисел множества класса Ga, не являющегося
множеством класса Fa.
*§ 31. /^-измеримые отображения
I. Классификация. Отображение (функция) /:^->2Л где X
и У — метрические пространства, называется В-измеримым класса а
(или просто отображением (функцией) класса а), если каково бы
ни было замкнутое множество F czy', множество /~ (F) есть боре-
левское множество мультипликативного класса а (см. Лебег [1]).
Так как замкнутые множества представляют собой множества
мультипликативного класса 0, то, согласно этому определению, не-
непрерывные отображения совпадают с отображениями класса 0.
Взаимно однозначное отображение / называется (обобщенным)
гомеоморфизмом класса (а, C), если отображение / — класса а,
а обратное отображение /~: — класса C (см. Куратовский [21], Сер-
пинский [48], стр. 66).
Очевидно, что гомеоморфизмы класса @, 0) совпадают с гомео-
гомеоморфизмами в обычном смысле.
Теорема 1. Для того чтобы характеристическая функ-
функция некоторого множества А была функцией класса а, необ-
необходимо и достаточно, чтобы А было двусторонним множеством
класса а.
Доказательство. Характеристическая функция принимает
только два значения 0 и 1; в качестве пространства 2/ возьмем
множество, состоящее из этих двух элементов. Каждый из них пред-
представляет собой замкнутое множество. Предположим, что характери-
характеристическая функция / является функцией класса а, тогда Л=/~ A)
и Ж — Л = /-1@) — множества мультипликативного класса а; сле-
следовательно, А — двустороннее множество класса а.
Обратно, пусть А — двустороннее множество класса а; легко
проверить, что /~ (F) — множество мультипликативного класса а,
каково бы ни было замкнутое множество F (пространство у со-
содержит только четыре замкнутых множества).
Изложенное в § 30, XIV и III приводит к следующим заклю-
заключениям.
Теорема 2. В любом классе а существуют действитель-
действительные функции действительного переменного, не принадлежащие
низшим классам.

§ 31. В-измеримые отображения 383
Теорема 3. Существуют функции, не являющиеся В-из-
меримыми.
Последнее утверждение для сепарабельных пространств вытекает
также из следующей теоремы:
Теорема 4. Пусть X и у— сепарабельные простран-
пространства, тогда семейство В-измеримых функций имеет мощ-
мощность <; с.
Доказательство. Пусть последовательность Rx, R.2, ... пред-
представляет собой базу пространства У; любую функцию /, отобра-
отображающую пространство S? на некоторое подмножество пространства У,
можно полностью охарактеризовать последовательностью множеств
Так как любая точка у пространства у имеет вид у = Rkl f) /?*, П ¦ ¦ ¦.
справедливо тождество
{у = / (х)} = [х 6 /-1 (у)} = |х 6 П Г' (**„)} •
Итак, пусть / есть 5-измеримое отображение, тогда множества
f~l (Rn) — борелевские, и так как семейство этих множеств имеет
мощность -^ с, то семейство /^-измеримых отображений имеет мощ-
мощность <; ск'° = с.
Сформулируем без доказательства следующую теорему.
Теорема 5. Любой паре чисел (а, Р) (меньших Q) соответствует
отображение / множества N на себя: eV = / (cV), являющееся гомео-
гомеоморфизмом в точности класса (а, р) (т. е. ни f не является функцией
класса < а, ни f~l не является функцией класса < р). Доказательство
см. в работе Куратовского [25].
II. Необходимые и достаточные условия. Принимая во внима-
внимание тождество f~1 (У — К) = ^— f~1(Y), отображение класса а
можно определить как отображение, для которого /~ (G) представляет
собой множество аддитивного класса а, каково бы ни было откры-
открытое множество О.
Теорема 1. Пусть Rv /?2, ...—база пространства У;
для того чтобы f было отображением класса а, необходимо
и достаточно, чтобы каждое из множеств f~ (Rn) было мно-
множеством аддитивного класса а.
Это следует из того, что G — RiijU Rk2U •••• откуда
Отсюда также следует, что если множества f (Rn), n—\, 2 ....
борелевские, то отображение / является В-измеримым,

384 Гл. 2. Метрические пространства
а именно оно принадлежит классу а, где а > а„ и где /~ (Rn) —
множество класса ап.
В частном случае, когда у— множество действительных чисел,
функции класса а можно определить при помощи следующего усло-
условия: множества Е {а < f (х) < *} являются множествами аддитивного
класса а, каковы бы ни были числа а и Ь (впрочем, можно предпо
дожить, что они рациональные).
Теорема 2. Пусть У— дискретное пространство и /—
функция класса а; тогда f~l(Y) — двустороннее множество
класса а, каково бы ни было Y ау'.
Это утверждение следует из того, что любое множество Y
является открыто-замкнутым в пространстве у.
Теорема З1). Пусть У— сепарабельное пространство;
для того чтобы функция f была функцией класса а, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 существовала
последовательность множеств Zx, Z2, . . . аддитивного класса а,
такая, что
<e для я=1, 2
Доказательство. Поскольку пространство у сепарабельно,
существует (см. § 21,11, теорема 2 и замечание 1) последователь-
последовательность Sx, S2, ••• открытых шаров, такая, что
Следовательно, достаточно положить Zn= f~: (Sn).
С другой стороны, предположим, что условие теоремы выпол-
выполнено. Тогда
где Zn — множества аддитивного класса а. Докажем, что если О —
открытое множество (в пространстве у), то /~ (О) — множество
аддитивного класса а.
В самом деле, докажем, что множество f~l (О) представляет собой
объединение множеств Zn, таких, что f(Zn)d0.
С одной стороны, из условий x^Zkn и f(Zkn) с О выте-
вытекает, что f(x)?G, т. е. х ?/-1 (О). С другой стороны, из усло-
условия f(x)?G, которое эквивалентно условию х?/~ (О), следует,
') См. Лебег [1], стр. 172 (действительная область). Что касается общего
случая, см. Гагаев [1], стр. 183. См. также Фересс [1], где имеется много
применений рассматриваемой теоремы.

§ 31. В-измеримые отображения 385
что для достаточно больших k неравенство \у—f (x)\ < \/k влечет
за собой включение у ? G (так как О — открытое множество). Пусть
п — индекс, такой, что x?_Zn. Тогда из неравенства °[/(-Z*)]< l/k
следует, что
/(Z*)cO.
III. Суперпозиция функций.
Теорема 1. Пусть /—функция класса а и Y — мно-
множество класса Р; тогда f~l(Y)—множество класса а + р
(мультипликативного или аддитивного, в зависимости от класса
множества Y).
Это утверждение можно получить при помощи трансфинитной
индукции (по р) из тождеств
1 1 1 Уп) = П Г1 (Уп)
J
и импликации фп < p)=^(a-f-pn < a-f-p).
В частности, если / — непрерывная функция, то /~ (К) — мно-
множество класса р.
Теорема 2. Если f: Ж->у есть функция класса а а
g'.y~>%—функция класса р, то h = g°f есть функция
класса a —|— C.
Доказательство. Согласно §3, IV A), имеем
Если множество F замкнуто, то g~l(F) — множество мультипли-
мультипликативного класса р; таким образом, согласно теореме 1, /~ [g~ (F)\
есть множество класса a —(— р.
В частности, если функция g непрерывна, то g°f и fog —
функции того же класса, что и /.
IV. Сужения функций.
Теорема 1. Пусть [Еп)—последовательность множеств
аддитивного класса а, такая, что $" —EX\JE2U •••• и пусть
fn = f\En — функция класса а на Еп; тогда / — функция
класса а (на всем пространстве).
В самом деле, пусть О — открытое подмножество в у, Тогда
(см. § 3, III A5))/~I(O)=/r1(°)U/2(G)U .... и так как каждое
из множеств f^ (О), по предположению, является множеством адди-
аддитивного класса а относительно Еп, которое само является множеством
аддитивного класса а, то и /~'(О) как объединение множеств, при-
25 Топология, т. I

386 Гл. 2. Метрические пространства
надлежащих этому классу, представляет собой множество аддитивного
класса а.
Теорема 2. Пусть М и N — два множества мультипли-
мультипликативного класса а, таких, что X — M.\)N и суженая f\M
и f\N — функции класса а; тогда f также является функ-
функцией класса а.
Доказательство этой теоремы совершенно аналогично доказа-
доказательству предыдущей: достаточно заменить открытое множество О
замкнутым множеством F и бесконечное объединение — объединением
двух членов.
Теорема 3. Пусть f — функция класса а, тогда f\E
также является функцией класса а, каково бы ни было под-
подмножество Е.
Это утверждение непосредственно вытекает из § 3, III A4).
Теорема 4. Пусть Fx, F2 Fk — произвольная конеч-
конечная система непересекающихся множеств мультипликатив-
мультипликативного класса а > 0 и у — конечное пространство, состоящее из
элементов yv ..., yk\ тогда существует функция /: X —>У
класса а, такая, что f(x) = yi для x^Ft.
В самом деле, согласно теореме 4 из § 30, VII, существует
система непересекающихся двусторонних множеств Al Ak
класса а, таких, что
X = Л, U ¦ • . U Au, FL<=. At.
Положим f(x) = yt для x?At, l=\, ..., k. Согласно теореме 1,
/ есть функция класса а.
V. Функции многих переменных. В случае, когда независимая
переменная пробегает прямое произведение двух пространств X X 2Л
функция / называется функцией двух переменных.
Очевидно, что любую функцию /: JT-> % одной переменной
всегда можно рассматривать как функцию g: Ху^у->% двух
переменных, полагая g(x, y)=- f (x).
Теорема 1. Если f — функция класса а и g(x, y) = f(x),
то g является функцией класса а относительно переменной
(х, у).
В самом деле, если х рассматривать как функцию (абсциссу)
точки (х, у), то она будет непрерывной функцией точки (х, у) (см.
§ 15, II). В силу теоремы о суперпозиции функций (III, 2), / есть
функция класса а.

§ 31. В-измеримые отображения 387
Теорема 2. Если функция f переменных х и у непре-
непрерывна относительно переменной х и является функцией класса а
относительно переменной у, то она является функцией класса
а+1 относительно переменной (х, уI).
В частности, если функция / непрерывна относительно каж-
каждой из переменных в отдельности, то она является функцией
первого класса.
Следовательно, любая функция п переменных, непрерывная
относительно каждой из них в отдельности, является функ-
функцией класса га —1.
Так как доказательство теоремы 2 в случае, когда SV — сепара-
бельное пространство, является более простым, рассмотрим сначала
этот частный случай. Докажем предварительно следующее утверждение:
Пусть Г], г2, ...—последовательность точек, плотная
в пространстве JT, и g— непрерывная функция; для того
чтобы точка g(x) принадлежала замкнутому множеству F,
необходимо и достаточно, чтобы для каждого п существовал
такой индекс k, что \х ¦— rk\ < 1/га и g(rh) ? Вп, где Вп — откры-
открытый обобщенный шар радиуса 1/га с центром F:
(О {^}
и ft
В самом деле, если /"#,, г^, . . . —последовательность, сходящаяся
к точке х, то lim g(rk\ = g (x); следовательно, для достаточно
больших т имеем I г и —х < 1/и и l^'f'"* ) — g{x) < 1/я-
Итак, пусть g(x)?F, тогда g(rk \?Bn и правая часть тожде-
тождества (i) имеет место. Обратно, если предположить, что для любого п
существует индекс kn, такой, что | х — />я|<1/га и g'fVftJ ? #„.
откуда p\g(rk ), F]<l/n, то lim rk —х, откуда limg(rk ) = g(x).
Поскольку lim p [g(rk\ F] = 0, имеем p [g(x), F\ = 0, т. e. g(x) ^ F.
Подставим в формулу (i) вместо функции g (x) функцию f(x, у);
тогда мы получим
откуда
(п) Г
') См. Лебег [1] и Куратовский [16]. Элементарные примеры показывают,
что функция двух переменных может быть разрывной, даже если она не-
непрерывна относительно каждой из двух переменных в отдельности.
25*

388 Гл. 2. Метрические пространства
Итак, если f (rk, у) определяет функцию класса а относительно
переменной у, то E.[f(rk, У) 6 &п\ есть множество аддитивного
у
класса а (при фиксированных k и п).
Очевидно, что множество ЕП*— rk\ < 1/га1 является открытым
X
шаром. Отсюда методом вычисления класса функции высказываний
(§ 30, XI) можно вывести, что функция высказываний двух перемен-
переменных {f(x, y)?F} и множество f~1(F) принадлежат мультиплика-
мультипликативному классу ct —|— 1.
Теорема 2 установлена для случая сепарабельного пространства;
перейдем к общему случаю (см. Монтгомери [1], Куратовский [28]).
Если а = 0, то вместо (i) можно пользоваться следующим тожде-
тождеством:
П X' L " J
которое легко вывести аналогичным образом. Заменим в формуле (И)
U на U и rk на х'. Так как множество в фигурных скобках от-
k х'
крыто (ибо по предположению а = 0), суммирование (несчетное) (J
х'
приводит к открытому множеству и, наконец, f~l(F) есть множе-
множество типа E6 Таким образом, теорема 2 доказана для а=0. Допу-
Допустим теперь, что а > 0.
Предварительно рассмотрим замкнутое множество F и последо-
последовательность точек, таких, что limyn = y. Пусть Вп— открытый шар
с центром F радиусом 1/га (см. § 21, IV). Докажем, что y?F тогда
и только тогда, когда для любого п существует индекс k,
такой, что уп+к?Вп; в логических символах
k
В самом деле, с одной стороны, если y?F, то все точки ут
с достаточно большими индексами удовлетворяют неравенству
I Ут — у|<1/я, т.е. Ут^Вп; следовательно, за индекс k можно
принять произвольный достаточно большой индекс. С другой сто-
стороны, если у (? F, то, в силу формулы F — |~) Вп, существует индекс т,
п
такой, что у(^Вт.
Из равенства y==limyn следует, что, начиная с некоторого ин-
индекса /г>/га, все точки ynAk не принадлежат шару Вт, следова-
следовательно, не принадлежат шару Вт; это показывает, что правая часть
выражения (iv) не выполняется.
Таким образом, формула (iv) установлена. Докажем вспомога-
вспомогательную теорему, касающуюся ©^-операции (см. § 30, X, откуда
заимствованы обозначения).

§ 31. В-измеримые отображения 389
Вспомогательная теорема. Пусть Р — свойство мно-
множеств, инвариантное как относительно о/Я-опе рации, так
и относительно прямого произведения на пространство X.
Пусть <? = {р0, р1 pi, . ..} (пространство X вполне упо-
упорядочено') и О0, G1 Oj, ...—трансфинитная последова-
последовательность открытых множеств, такая, что X — [JGi. Обо-
Обозначим через \(х) минимальный индекс, такой, что x?G^(X),
и положим w{x) = р.. .. Пусть w(x, у) — функция высказываний
двух переменных, пробегающая пространство X и такая,
что множество ЕфО*' У) обладает свойством Р, каково бы
у
ни было х.
При этих предположениях множество Е(р[та(х), у] также
х, у
обладает свойством Р.
Согласно определению функции w (x), имеет место тождество
A) {pl=w(x)}
Следовательно
(f>[w(x), y] =
Тогда имеем
Е ф [w (х), у]
X, У
=
Положим
Тогда
B)
V Ф (Pi
1
=хЕу)
У { Е
1 1 х, у
х, у
Еф[«
X V
, У)
'фС
фО
VI
Л[РЕ = '
Р5- У) Л Г-
V у)пЕ
¦«¦, у
/ S
»(*)] =
^6@,-
[*6@g-
у) п Е (*
Л', У
х. у
(хъпо\
\i\ Д Г ^ /^ /|
у 1 / \ П, г м
- U ол] =
Т| <С | / J J
t Og) — II
^ *
- U G*\ ,
ч<1
откуда следует, что множество Еф^М. У] порождается множе-
JT, У
ствами {Л^}, если применить к ним о^-операцию.
Так как A^ = J^X Еф(Р|> У)> то множество Х^ обладает свой-
у
ством Р.
Поскольку Gj —GiX^. множество 0| открыто. Свойство Р
инвариантно относительно о^-операции, поэтому из равенства B)
вытекает, что множество Е ф [^ (х)> у] обладает свойством Р.
¦*. у

390 Гл. 2. Метрические пространства
Вспомогательная теорема доказана; пусть / — функция, не-
непрерывная по л: и класса а > 0 по у. Докажем, что Е [f(x, y)?F]—
х, у
множество мультипликативного класса а+1. каково бы ни было
множество F = F.
Пусть при фиксированном п, п=\, 2, ..., множество G%— (от-
(открытый) шар с центром в точке р\ радиуса 1/«. Обозначим через
wn (х) функцию w (х), определенную равенством A). Так как х ? G% w
и wn{x) = pl(x)?Gl(x), имеем
C) \wn(x)— лг|< —, откуда lim wn (x)= x.
П и->оо
В силу непрерывности функции / относительно х, из равенства C)
вытекает, что
lim / \wn (х), у] = / { Г lim wn (at)], у ) = / (х, у),
откуда, в силу (iv),
D) {/ (х, у) 6 F) = Л V {/ Кч и (х). У) 6 Вп).
я = 1 /г = 1
Пусть в вспомогательной теореме свойство Р — это свойство быть
множеством аддитивного класса а; положим
<р„(*. у)={/(х, у)?Вп).
Так как аддитивный класс а > 0 инвариантен относительно ©^-опе-
©^-операции (см. § 30, X, 3) и относительно прямого умножения на про-
пространство Sf (см. § 30, III), то множество
Е Фл [wm (х), у] = Е {/ \wm (х), у] 6 Вп)
х, у х, у
есть множество аддитивного класса а, каковы бы ни были тейп.
Следовательно, в силу D), /~ (F) — множество мультипликативного
класса a-f-1.
Замечание. Функция /:&У,®/->%, являющаяся функ-
функцией первого класса относительно каждой из переменных,
может быть не В-измеримой (и даже не измеримой в смысле
Лебега). (См. Серпинский [6], [23], стр. 68.)
В самом деле, пусть на евклидовой плоскости Ж X cf множе-
множество А — не борелевское множество, расположенное на окружности
(или множество, поверхностно не измеримое в смысле Лебега, пере-
пересекающееся с любой прямой, параллельной одной из осей, самое
большее в двух точках).

§ 31. В-измеримые отображения 391
Характеристическая функция множества А не ZJ-измернма (см. п. I),
тогда как по отношению к каждой из переменных она является функ-
функцией первого класса; действительно, она обращается в 0 всюду, за
исключением (самое большее) двух точек.
VI. Сложные функции. Любая пара функций /:$"->&, g : J" ->&
определяет „составную" функцию h : $ -> Ж У^У (см. § 3, III).
Теорема 1. Пусть Ж а у— сепарабельные1) простран-
пространства. Для того чтобы функция h принадлежала классу а,
необходимо и достаточно, чтобы классу а принадлежали функ-
функции fug.
Необходимость. Пусть О — открытое подмножество про-
пространства X, тогда множество G X 2/ открыто, и если h — функция
класса а, то [? [ft (t) ? О X У] есть множество аддитивного класса а;
t
так как, в силу тождества {/(/) ? 0} es \h (fN О X У), оно совпа-
совпадает с множеством /~ (О), то функция / принадлежит классу а.
Достаточность. Пусть Rlt R2, ...—база пространства 3?
и Sj, 52, ... —база пространства у. Тогда двойная последователь-
последовательность Rm\Sn образует базу пространства $"ХУ (см. § 15, I, 3).
Следовательно, достаточно (см. II, 1) показать, что множество
ti~ {Rm X «!>„) принадлежит аддитивному классу а. Согласно
§ 3, III B3), имеем
h~l (Rm X 5„) = Г1 (Rm) П g'1 (Sn),
и так как функции / и g, по предположению, являются функциями
класса а, то множества f~1(Rm) и /~ (Sn) принадлежат аддитивному
классу а; следовательно, их пересечение h~ (Rm X Sn) является мно-
множеством того же класса.
Предшествующие рассуждения можно применить к счетному
произведению.
Теорема 1'. Пусть Хх, А, ...—последовательность се-
парабельных пространств, и пусть г : J" —>ХХ X ^2 X •¦•.
т. е. отображение z представляет собой последовательность
отображений zv z2 Для того чтобы z было отображе-
отображением класса а, необходимо и достаточно, чтобы каждое из ото-
отображений zt принадлежало классу а.
') Было бы интересно выяснить, существенно ли здесь предположение
сепарабельности пространства.

392 Гл. 2. Метрические пространства
Необходимость этого условия доказывается так же, как в пре-
предыдущем случае, ибо имеет место соотношение
Докажем его достаточность. Обозначим через Rm, m = \, 2
базу пространства Ж 1ш Тогда множества вида
Я*, X Я*2 X • • • X Я*я X #n+i X Хп+2 X • • •
образуют базу пространства Хх X %2 X ••• (§ 16, I). Имеем
z~\r\xX ••• X Я*я X #п+1 X JTn+2 X ...) =
^гЧЧ)п • ¦ ¦ п*-1^)п<гп<Гп
по формуле § 3, VIII (9).
Так как первые п множеств последнего пересечения принадлежат
аддитивному классу а, то и все пересечение также принадлежит этому
классу, что и требовалось доказать.
Пусть /;: Xi->2/i, и пусть 5 = (^, f, ...) — переменная точка
пространства J, X J2 X • • ¦ тогда, полагая i)E) = (/lA,1), /2(s2)> • • ¦)•
мы получаем отображение-произведение
ху. Хх X JT2 X • • • -> Ух X У2 X • • •
(ср. § 3, VIII).
Теорема 2. Пусть каждая из функций fl\3?l~>yl
является функцией класса а; тогда \)—также функция класса а.
Пусть функция g : ух X У2 X ¦•¦->% есть функция класса |3,
тогда функция go \) : &х х Ж2 X ¦ ¦ • -> 2 является функцией
класса а-f-p (пространства 2/,- предполагаются сепарабельными).
Действительно, так как функции $' непрерывны и координаты /г ($')
точки 9E) являются функциями точки j, принадлежащими классу а,
функция ^ также принадлежит классу а. Кроме того, отображение g о у
принадлежит классу а + Р-
Теорема 3. Пусть ft : &t->-'2/l (i = 1, 2, .. .) — отображе-
отображение класса а (пространства уi сепарабельны). Тогда множество
8 I
принадлежит мультипликативному классу а в
Более того, отображение /*:%->У, где /*(j) = /j(j') для
принадлежит классу а и
Наконец, если отображения ft — гомеоморфизмы класса
(а, р), то отображение /* также является гомеоморфизмом

§ 31. В-измеримые отображения 393
класса (а, р) {пространства SC',- предполагаются сепарабель-
ными).
Доказательство полностью аналогично доказательству теорем 4
и 5 из § 16, IV.
Теорема 4. Для того чтобы характеристическая функ-
функция последовательности множеств Av А2, ... (ср. § 3, VII)
была функцией класса а, необходимо и достаточно, чтобы
каждое из этих множеств было двусторонним множеством
класса а.
Это утверждение следует непосредственно из теорем V и I, 1.
Примеры. 1. Пусть 2/ — сепарабельное пространство, fx : Л~г^У
и /2: J^2->2/—функции класса а и h(xv x2) = \f1(xl) — /20*2I ¦
Тогда h — функция класса а. В теореме 2 нужно положить g (ух, у^) —
= |У]—у2\\ расстояние представляет собой непрерывную функцию.
2. Пусть /] и /2— действительные функции класса а, тогда
/j +/2, /j • /2, /1 : /2 — функции того же класса.
VII. График отображения f : X->У. Пусть / = Е [у = f (х)].
х, у
Теорема 1. Если / — функция класса а, то I — множество
мультипликативного класса а.
В случае, когда у—сепарабельное пространство, теорема пред-
представляет собой частный случай теоремы VI, 3, где Х^=У, Х2=-Ж,
/] — тождественное отображение, /2 = / (г=1, 2).
Приведем более прямое доказательство, основанное на другой идее.
Рассмотрим функцию h(x,y)=\y — f (x)\. Очевидно, что
f=E[h(x, у) = О] = Л-'(О)
х, у
(где 0 означает число нуль). Так как h — функция класса а (см. VI, при-
пример 1), то h~l @) — множество мультипликативного класса а1).
В случае, когда у — произвольное метрическое пространство, при
доказательстве мы будем опираться на вспомогательную теорему
из п. V (см. Монтгомери [1]).
В этой теореме заменим пространство X пространством у,
а в качестве множества Gg возьмем открытый шар с центром в точке р^
') См. Хаусдорф [5]. Случай действительной функции см. в работе Сер-
пинского [9].
Для общего случая в заметке Куратовского [16] дано другое доказатель-
доказательство, основанное на следующей формуле „разделения переменных":
(у ф у') ^ V (У 6 У - Rn) А (У' 6 Rn),
п
где Ru R2, ... — база пространства.

394 Гл. 2. Метрические пространства
радиуса 1/л (при фиксированном п). Обозначим, как в доказатель-
доказательстве теоремы V, 2, через it>n(y) функцию w(y), определенную ра-
равенством V (I). Из неравенства V C) следует соотношение эквива-
эквивалентности
откуда
и, следовательно,
n E \\wn(y)-f(x)\ <-Ч.
х, у л=
Положим в вспомогательной теореме
B) Ф(*. У
Так как множество Е Ф (х. У) Для любого у принадлежит мульти-
х
пликативному классу а (поскольку / — функция класса а) и так как
мультипликативный класс а > 0 является инвариантом о^-операции
(согласно § 30, X, 3) и прямого умножения на пространство У, то
отсюда следует, что Е ср [х, wn(y)] — множество мультипликативного
х, у
класса а.
Согласно A) и B), множество / также принадлежит мультипли-
мультипликативному классу а.
Разумеется, если а—0, т. е. если функция / непрерывна, то
множество / замкнуто (согласно § 15, V, 2). Если а= 1, / есть
С?6-множество. Однако обратные утверждения не имеют места.
Теорема 2. Если f — функция класса а и А — множество
класса р в пространстве X X У< то проекция Р множества
IП Л на ось % есть множество класса a-f-p, мультиплика-
мультипликативного или аддитивного, в зависимости от того, какому
классу принадлежит А (пространства X и У предполагаются
сепа рабельны ми).
Пусть h(x) = (x, f(x)). Тогда/г—функция.класса а (согласно VI, 1),
и поэтому множество P = h~1(A) принадлежит классу a + р (со-
(согласно III, 1).
VIII. Предел функций1).
Теорема 1. Предел сходящейся последовательности функ-
функций класса а есть функция класса a-j-1.
') См. Хаусдорф [5].

§ 31. В-измеримые отображения 395
Положим / (х) = lim fn (x). Согласно V (iv),
откуда
/-1 (F) = Е [/ (х) 6 F] = п у Е [/я+. (*) € вя] = п и /;!, (яя).
Но /„ — функции класса а, поэтому множество f^+k(Bn) есть
множество аддитивного класса а и, следовательно, /"'(Z7) есть мно-
множество мультипликативного класса а+1, что и требовалось доказать.
В частности, предел последовательности непрерывных функций
есть функция первого класса. Предел последовательности функций
конечных классов есть функция класса co-j-1.
Теорема 2. Предел равномерно сходящейся последователь-
последовательности функций класса а есть функция класса а.
Действительно, так как сходимость равномерна, существует после-
довательность целых (возрастающих) чисел тп, таких, что lf(x)—¦
— fm k(x^I ^ ^1п для люб°й точки х и любого k^-О. Покажем,
что отсюда вытекает соотношение эквивалентности
Положим, для сокращения записи, y = f(x) и уп = fn(x). Предпо-
Предположим, что y(~F; тогда ут +к?Вп для любых п и k, так как
\у — ут ,|<1//г. Обратно, если предположить, что правая часть
I п ' _
равенства имеет место, то ут ? Вп для любого п, откуда р (ут ,F\-^\/n,
и так как р(у, F) — непрерывная функция аргумента у (§21, IV E)),
то из равенства у= lim ут вытекает, что р(у, F) = Q и, следова-
тельно, у ? F.
Итак,
и поскольку /~! k(ВЛ — множество мультипликативного класса й,
то и /~ (F) — множество мультипликативного класса а. Следова-
Следовательно, / — функция класса а.
В частности, предел равномерно сходящейся последовательности
непрерывных функций есть непрерывная функция (см. § 21, X, тео-

396 Гл. 2. Метрические пространства
рема 2'). Предел равномерно сходящейся последовательности функ-
функций конечных (возрастающих) классов есть функция класса со.
Замечание. Равномерная сходимость никоим образом не является
необходимым условием того, чтобы функция f(x) = lim fn(x)
была функцией класса а. Имеется следующее необходимое и
достаточное условие (пространство У предполагается сепара-
бельным): для любого е > 0 существует сколь угодно большой
индекс п, такой, что множество EU/OO— fn(x)\<e} при-
X
надлежит, аддитивному классу а1).
Это необходимое условие, ибо функция
ф„О0Н/О0-/„О01
есть функция класса а, согласно VI, пример 1. Оно является также
достаточным. В самом деле, из этого условия вытекает (при фикси-
фиксированном е) существование последовательности возрастающих целых
чисел &1<&2<. . ., таких, что множества ?„ — Е {I /00 —А 001 <е}
принадлежат аддитивному классу а.
Но последовательность {/„00} сходится, поэтому Ж=\}Е{,
и так как каждая из функций fk есть функция класса а, то, со-
согласно II, 3, существует двойная последовательность множеств Z'\
аддитивного класса а, таких, что
Так как множества Еп f~| Z? принадлежат аддитивному классу а, то
достаточно (в силу той же теоремы 3, п. II) показать, что
Пусть х\ и X2^En(\Z". Тогда
откуда \f(x{) — /(АГ2)|<Зе, что и требовалось доказать.
Теорема 3. Пусть У—сепарабельное пространство. Любая
функция f класса а > 0 есть предел равномерно сходящейся
') Это условие принадлежит Шпильрайну-Марчевскому (см. Гагаев [1]).
Что касается других необходимых и достаточных условий, см. цит. раб. и
Хан [2], стр. 309.

§ 31. В-измеримые отображения 397
последовательности функций /п класса а, таких, что все мно-
множества fn(&) дискретны1).
Более того, можно предположить, что множества fn(J%)
конечны, если пространство у вполне ограничено.
Пусть пространство у сепарабельно (соответственно вполне огра-
ограничено), тогда для любого е > 0 существует дискретное множе-
множество (соответственно конечное множество) /, такое, что любая точка
этого пространства расположена на расстоянии < е от некоторой
точки множества / (см. § 21, VIII, 1 и замечание 1).
Расположим множество / в последовательность (конечную или
бесконечную) различных элементов: ух, у,2 Положим
Так как Ak и Bk — непересекающиеся множества мультипликативного
класса а, то существуют, согласно теореме отделимости (§ 30, VII, 2),
двусторонние множества Fk класса а, такие, что AkczFk и Fk(] В = 0.
Согласно определению множества /, имеем
S — \^A., откуда Jtr=\JFi.
i i
Функция g, определенная следующим образом:
ух для х ? Flt
yk для x?Fk— (Z7! U ... U Fk-i)'
есть функция класса а.
Это следует из того, что множество g~l (уй), совпадающее с мно-
множеством Fk—(Fx U ... U Fk-i)' принадлежит аддитивному классу а
(даже является двусторонним множеством класса а); так как значения
функции g образуют счетное множество, то g~l (О) есть множество
аддитивного класса а, каково бы ни было О.
Более того, для любой точки х имеет место неравенство \ f(х)—
— ё ix) I < 2е, ибо из равенства g{x) = yk следует включение
Положим функции /„ равными функции g при е, равном 1/п.
Следующие две теоремы служат для доказательства теоремы 6
(частным случаем которой является первая теоремаJ).
Теорема 4. Любая функция / класса а > 1, принимающая
только конечное число значений, есть предел последователь-
') Что касается случая действительных функций, см. Валле-Пуссен [1],
Кемписти [1], Серпинский [19]. Общий случай см. в работе Банаха [7],
стр. 287.
2) По поводу утверждений, которые сформулированы ниже, в п. VIII,
см. Банах [7], стр. 283.

398 Гл. 2. Метрические пространства
ности функций /п классов < а, принимающих только значе-
значения из области значений функции /.
Более того, если a = A,-f-l, где X— предельное число, то
/„ — функции классов < X.
В самом деле, пусть [у: yk]—множество значений функ-
функции /. Следовательно, At — /"' (у;)—двустороннее множество класса а.
Согласно § 30, IX, 1 и 2,
A) At = Limes Ain,
п->со
где Ain — двустороннее множество класса < а, соответственно
класса < X. Положим
Fln~A\n< Fin ~ -™2л -"In1 •••• 'kn = ^/гл ~ (Ain U ••• U ^ft-i, я)-
Так как при фиксированном п эти множества не пересекаются и
являются множествами мультипликативных классов < а (соответ-
(соответственно < X), то, согласно IV, 4, существует определенная на про-
пространстве Ж функция /п класса < а (соответственно < X), прини-
принимающая только значения уг, . . ., yk, такая, что /„ (х) = yt для х ^ Fin.
Тогда имеет место соотношение f(x)= lim fn(x). Действительно,
л->со
k
пусть х0 — фиксированная точка. Так как Ж = (J At, положим хо? Ai
для некоторого /, т. е. /(хо) = У[. Поскольку хо(^А1 при 1ф i, из A)
следует, что при достаточно большом п
поэтому
Xo?Fi,v откуда fn{x^ = yi = f{x^.
Теорема 5. Пусть {/„} и {gn}, n=l, 2, ...,—две после-
последовательности функций классов < а, каждая из которых при-
принимает только конечное число значений, и пусть
B) lim /„(*) = /(¦*) « lim gn(x) = g(x).
Тогда существует последовательность функций \hn) клас-
классов < а, каждая из которых принимает только конечное число
значений, такая, что
C) lim hn(x) = g(x) и \hn{x)~/я(*)Кс
П->со
где с удовлетворяет неравенству sup|/(A:) — g(x)\<.c (<2/—ce-
парабельное пространство).

§ 31. В-измеримые отображения 399
Так как функция | gn (х) — /„ (л;) | есть функция класса < а (п. VI,
пример 1) и принимает при каждом фиксированном п только конеч-
конечное число значений, то множество Ап точек х, таких, что | gn (x) —
— /„(лг)|^с, есть двустороннее множество класса <; а (см. II, 2).
Положим
_ / 8« (Х) ДЛЯ Х € Л"'
nW~~\fn(x) для x?jr~An.
Тогда hn есть функция класса < а (согласно IV, 2). В силу опре-
определения функции hn, выполняются соотношения C). Действительно,
пусть х0 — фиксированная точка, тогда, в силу B), для достаточно
больших п имеем
\gn(xo)— fn(xo)\<c>
откуда
Следовательно, lim hn(x0)— lim gn(x0) = g(x0).
П -»• со n ->¦ со
Теорема 6. Пусть пространство у сепарабельно; любая
функция f класса а> 1 является пределом последовательности
функций классов < а.
Более того, если а = Я+1, где К — предельное число, то эти
функции принадлежат классам < Я,.
Если у — метрическое сепарабельное пространство, то можно счи-
считать, что оно вполне ограничено (см. § 22, II, следствие 1а). Поэтому,
в силу теоремы 3, имеем
/(*)= lim fm(x),
т ->со
где /j, /2, ...—функции класса а, принимающие только конечное
число значений, и сходимость равномерная. Можно допустить, что
D) 1/ffl+lW fm(x) "^ "Г '
заменяя в случае необходимости последовательность {fm} некоторой
подпоследовательностью.
Согласно теореме 4,
fm(x)= lim /m«(*).
л->со
где fmn — функции класса < а (соответственно < X), принимающие
только конечное число значений. Определим по индукции (относи-
(относительно т) двойную последовательность функций hmn классов < а
(соответственно < "к), каждая из которых принимает только конечное

400 Гл. 2 Метрические пространства
число значений, такую, что
1
E) I'm hmn(x) = fm(x) и |Лт+1>л —Amn00|< три-.
Положим hln(x) = /1п(х). Предположим, что последовательность
hml, hm2, . . . определена; существование последовательности /zra+li 1}
Ат+1J удовлетворяющей требуемым условиям, вытекает из тео-
теоремы 5, если заменить в ней функции / на fm, /„ на hmn, g на fm+\, gn
на /m+i, л и константу с на 1/2т. Покажем, что
F) lim АЯЯ00 = /00;
это завершит доказательство теоремы 6.
Пусть заданы точка х0 и е > 0. Пусть m — целое число, такое,
что 1/2т<? и
G\ \ f ( У \ f (Г \\ ^ F
Пусть, наконец, п0 > m—целое число, такое, что
(8) | hmn (х0) — fm (х0) | < е при п>п0.
Тогда при п > п0, в силу E), (8) и G), имеем
— hmn Ы | } + | Атя (Л?о) — /т
откуда следует равенство F).
Замечание. Теорема 6 при а=1, вообще говоря, неверна.
Так, например, если пространство У состоит из двух элементов О
и 1, то характеристическая функция одной точки пространства 5?
действительных чисел есть функция класса 1, хотя никакая последо-
последовательность непрерывных функций (значения которых принадлежат
пространству у) не сходится к этой функции.
Между тем эта теорема остается в силе при а=1 в следующих
двух важных частных случаях:
1° когда пространство (сепарабельное) X нульмерно;
2° когда У= g, % или у= gm (m< No).
Действительно, в случае, когда dim^ = 0, утверждение 3 верно
для а = 0, а утверждение 4 верно для а== 1. Что касается случая 2°,
то имеет место следующая
Теорема 7. Если у — g {или даже gm, m <[ К 0). т0 любая
функция первого класса является пределом некоторой после-
последовательности непрерывных функций.

§ 31. В-измеримые отображения 401
Достаточно (в силу § 20, IV, 1) ограничиться случаем, когда про-
пространство У представляет собой интервал. В этом предположении
рассмотрим сначала случай, когда функция / принимает только конеч-
конечное число значений: уь ..., yk. Множество /~ (у/) есть множество
типа Fo. Положим
(9) Al = f-1(yl) = Fn[)Fi2[} .... FlncFlin + 1. Fin = Fin.
В силу теоремы Титце (§ 14, IV), для каждого п существует непре-
непрерывная функция /„, определенная на пространстве X, такая, что
fn(x) = yl при x?Fin, l^i^k, и, кроме того, значения функ-
функций fn не выходят за пределы нижней и верхней граней функции /.
Тогда имеем f(x)= lim fn(x). В самом деле, пусть х0—фикси-
П-?оо
к
рованная точка. Так как 3? = (J А,, то для некоторого i имеем
xo^At. Согласно (9), при достаточно больших п справедливо вклю-
включение xo?Fln, откуда fn(x0) = yit т. е. fn{x0) = f{x0).
Перейдем теперь к общему случаю. Пусть {/,„}— некоторая
последовательность функций класса 1, равномерно сходящаяся к функ-
функции /, каждая из которых принимает только конечное число значе-
значений (теорема 3). Без ограничения общности можно считать, что
неравенство D) имеет место и что /о(лг) = О.
Так как разность fm{x) — fm-\\x) является функцией первого
класса (см. VI, пример 2), то, как мы только что доказали, суще-
существует двойная последовательность непрерывных функций gmn, таких,
что
1
m
Положим hmn(x) = 2 gin{x). Так как соотношения E) выполняются,
то равенство F) доказывается так же, как в -случае теоремы 6.
IX. Аналитическое представление. Семейство функций, пред-
сшавимых аналитически, есть, по определению (см. Бэр[1]), наи-
наименьшее семейство функций, содержащее
1) все непрерывные функции,
2) пределы сходящихся последовательностей принадлежащих ему
функций.
Такое семейство функций распадается на классы Фа, где а < Q,
следующим образом:
1° класс Фо состоит из непрерывных функций;
2° класс Фа (а > 0) состоит из функций, представляющих собой
пределы сходящихся последовательностей функций классов Ф$, | < а,
26 Топология, т. {

402 Гл. 2. Метрические пространства
Теорема Лебега — Хаусдорфа1). Пусть у — интер-
интервал g (или, более общим образом, gm, где m-<N0); тогда
класс Фа совпадает с семейством В-измеримых функций класса а,
соответственно класса а-|-1, в зависимости от того, конечно
или бесконечно а2).
Для доказательства теоремы применим индукцию. Утверждение
очевидно при а = 0; допустим, что оно верно для любого | < а.
Согласно VIII, 7 и 1, класс Ф1 совпадает с множеством функций
первого класса.
Согласно VIII, 6 и 1, множество функций (конечного) класса /i-f-1
совпадает с множеством пределов сходящихся последовательностей
функций класса п, следовательно (если положить а = п-\~ 1), класса Фп;
это множество совпадает с классом Ф„+1 (согласно 2°).
Теорема доказана для а < со; допустим, что а=^, где X—пре-
X—предельное число.
Любая функция / ? Ф^ имеет вид
f(x)=lim fm(x), где /w 6 Ф? и ?m < А,.
m
По предположению, fm есть 5-измеримая функция класса |т+ 1, сле-
следовательно, класса X, откуда, в силу теоремы VIII, 1, / есть функ-
функция класса X -)- 1.
Обратно, если /—функция класса A,-f-l, то, согласно VIII, 6,
/(аг) = Нгп /,„(аг), где /т — функция класса \т < X.
Следовательно, /т^Ф^ . откуда вытекает, что
Таким образом, установлено совпадение класса Ф^ с множеством
S-измеримых функций класса Х-\-1. С помощью конечной индукции
отсюда можно вывести, как и выше, совпадение класса ФА+П с се-
семейством .В-измеримых функций класса Я- —(— л- —j— 1.
Замечание. В произвольных (метрических сепарабель-
ных) пространствах у при определении аналитически представимых
функций удобнее за исходную точку принимать функции первого
класса вместо непрерывных функций. Таким образом, получается
трансфинитная последовательность Фр Фг, ..., Фа, ... (а < Q), где
Ф*—семейство 5-измеримых функций класса I, а классы Фа для
а > 1 определены, как выше, условием 2°.
Доказательство, полностью аналогичное предыдущему, позволяет
установить следующее предложение:
¦) См. Лебег [1], Хаусдорф [5], гл. 9.
2) Обратно, класс а В-измеримых функций совпадает с классом Фа_1,
если а бесконечно и не является предельным числом. См. Хаусдорф [5].

§ 31. В-изМеримые отображения 403
Теорема Банаха [7]. Для каждого сепарабельного про-
пространства У класс Фа, 1^а<2, совпадает с семейством
В-измеримых функций класса а, соответственно класса а-)-1,
б зависимости от того, конечно или бесконечно а.
X. Теоремы Бэра о функциях первого класса ')• Напомним
сначала, что если /: 5С—.>У, то множество D точек разрыва функ-
функции / представимо в виде
(О о = \j {/-1@) — int[/-1 (О)]} = и {ГЧп-Г1 (П} .
О F
где G пробегает семейство открытых множеств, a F— семейство
замкнутых множеств пространства у (см. § 13, III C)).
Если пространство У сепарабелъно, то формулу A) можно заме-
заменить формулой с счетным суммированием (см. § 13, III D)):
B) D = (jl/-1 (/?„)-- Int [/"I (/?„)]} ={j{rWn)- Г1 (Sn)}.
п п
где Sn — y—Rn и Rv R2, ...—открытая база пространства у.
Теорема 1. Множество D точек разрыва В-измеримой
функции первого класса есть множество первой категории
(пространство У предполагается сепарабельным).
В самом деле, так как множество Sn в формуле B) замкнуто,
то по условию теоремы множество f~1(Sn) есть множество типа G6-
Следовательно, множество f~1(Sn)—f~l (Sn) есть множество типа Fo;
как множество вида X—X, оно является граничным множеством (§ 8, IV),
следовательно, множеством первой категории (§ 10, II). Поэтому мно-
множество D, как объединение множеств первой категории, также является
множеством первой категории.
Следствие 1а. Пусть f—функция первого класса и А —
произвольное подмножество пространства $?. Тогда множе-
множество точек разрыва суженая f\A есть множество первой кате-
категории относительно А (пространство у предполагается сепа-
сепарабельным).
Теорема 2. Функция, точечно-разрывная на любом замк-
замкнутом множестве, является В-измеримой функцией первого
класса.
') См. Бэр [1]. Функции первого класса играют большую роль в прило-
приложениях; таковы, например, полунепрерывные функции, монотонные функции
(более общо — функции с ограниченной вариацией), производные функции.
Эти функции будут применяться также при изучении компактных про-
пространств в гл. 4, т. 2.
26*

404 Гл. 2. Метрические пространства
Действительно, пусть F— произвольное замкнутое подмножество
пространства у. Докажем, что множество f~l(F) есть б?6-множество.
Положим
2/—F = Л U/^ U .... где Fn = Fn.
К паре множеств /"Ч^7) и /-1 (^л) (Для фиксированного п) при-
применим теорему 1° из § 12, III, согласно которой, если Е и Н — два
множества, такие, что соотношение X — {X AЕ) П {X П Я) имеет
место только при А" = 0, то существует разложимое множе-
множество D, которое (в силу теоремы 5, § 30, X) является ^-множе-
^-множеством, удовлетворяющим следующим условиям: E<z.D и Нf\D = 0.
Пусть теперь X = А' П f~x(F) С\Х (] f^1(Fn). Допустим, от про-
противного, что X Ф 0. Так как множество X замкнуто, то, по усло-
условию теоремы, существует точка р, в которой сужение g = \
непрерывно. Тогда (см. § 3, III A4))
откуда g(p)^gg 1(F)> в силу непрерывности функции g.
Следовательно, f(p)?F, поскольку
g(p)=f(p)
Аналогичным образом, из включения XczX f\f~: (Fn) следует, что
f(p)(zFn. Но это невозможно, ибо F |~| Fn = 0. Итак, ^ = 0. Сле-
Следовательно, для любого п существует ??6-множество Dn, такое, что
f
Тогда
откуда / l (F) = П Dn, и поскольку каждое из множеств Dn есть
п
б?б-множество, то и множество f~l(F) является С?б-множеством.
Замечания. 1. Точечная разрывность функции / на любом
замкнутом множестве эквивалентна существованию точки непре-
непрерывности сужения /\А на любом замкнутом непустом мно-
множестве А.
В самом деле, это есть не что иное, как последнее условие,
использованное при доказательстве теоремы 2.
2. В теореме 2 вместо замкнутых множеств можно было рас-
рассматривать совершенные. Это возможно, так как каждая изолиро-
изолированная точка является точкой непрерывности.

§ 31. В-иэмеримые отображения 405
Отсюда вытекает (см. § 9, V, 5), что если множество точек раз-
разрыва некоторой функции является разреженным (в частности, если
оно конечное), то это функция первого класса.
3. Для полных пространств (см. § 34, VII) утверждение тео-
теоремы 1 эквивалентно условию теоремы 2, так что каждое из них
характеризует функции первого класса. Между тем в неполных
пространствах первое условие не является достаточным (если
допустить гипотезу континуума N1 = с), а второе не является н е-
обходимым для того, чтобы функция была функцией первого
класса.
В самом деле, с одной стороны, существует (см. § 40, IV) сепа-
рабельное пространство Е мощности Nj, такое, что каждая функ-
функция, определенная на пространстве Е, удовлетворяет условию след-
следствия. Так как семейство действительных функций, определенных на
пространстве Е, имеет мощность cSi, а семейство В-измеримых функ-
функций имеет мощность с (см. п. I), то из неравенства с < с ' (которое
следует из гипотезы континуума) вытекает существование не 5-изме-
римых функций, удовлетворяющих условию следствия.
С другой стороны, характеристическая функция множества типа Fa
и О&, не разложимого в знакочередующийся ряд замкнутых убываю-
убывающих множеств (таково, например, плотное и граничное множество
в пространстве рациональных чисел, см. § 24, III, замечание 2), есть
функция первого класса (п. I), но она не удовлетворяет условию
теоремы 2 (см. § 13, VI, следствие).
4. Любая функция / первого класса является эффективно функ-
функцией первого класса (в смысле § 23, VIII).
В самом деле, доказательство теоремы 2 позволяет определить
для любого замкнутого множества F'сЗ/ последовательность откры-
открытых множеств GncS? таким образом, что f~l (F) = G1 П О2Л • • •
(ибо любое разложимое множество D эффективно является G^-mho-
жеством, см. § 24, III, замечание 1).
Оно позволяет также в случае, когда значения функции / дейст-
действительные, определить последовательность непрерывных функций,
сходящуюся к функции / (так что функция / является эффективно
аналитически представимой функцией первого классаI).
5. В теореме 1 термин «В-измеримая функция» можно
заменить термином «аналитически представимая функция»,
и тогда можно опустить предположение сепарабельности про-
пространства У (см. Куратовский [8а]).
Видоизмененная таким образом теорема 1 является более общей,
чем данная в тексте, потому что в сепарабельных пространствах у
1) Если воспользоваться, например, процессом, описанным Хаусдорфом [5],
гл. 9. См. также Валле-Пуссен [1] и Куратовский [6], где дано решение этой
задачи без использования трансфинитных чисел.

406 Гл. 2. Метрические пространства
любая Б-измеримая функция первого класса становится аналитически
представимой функцией первого класса, если погрузить пространство "У
в гильбертово пространство.
Чтобы доказать видоизмененную теорему 1, положим
C) /(*)= Нт /„(*).
л->оэ
где функции /я непрерывны. Обозначим через D множество точек
разрыва функции / и через co(x)—колебание функции / в точке х.
Пусть Е{г)— множество точек х, таких, что <л(х)^>ё. Поскольку
достаточно показать, что Е (г) есть множество первой категории для
любого е > 0. Для фиксированного е положим Е = Е(е). Пусть Ак—
множество таких точек х, что
D) \fm(x) ~fk(x)\ < J для любого те >&.
Так как функции fx, /2, ... непрерывны, то Ак= Ак. Следовательно,
множество Fr (Ak) нигде не плотно. С другой стороны, так как
последовательность fx, /2, ... сходится, то
^=^\JAL, откуда Е == U (Е П AL).
i i
Остается показать, что
Е (} Ak<=Fr (Ак), т. е. что Е(]Ы(Ак) = 0.
Пусть x?lnt(Ak). Так как функции fk непрерывны, то существует
открытое множество О, такое, что
E) х? Ос Ak и 6[|
Пусть х', x"^G. Согласно C) — E), имеем
откуда 1/0О—•/(*")КЗе/4, следовательно, 6[/@)]<е. Поэтому
со (л;) <С е и х фЕ.
6. Пусть % и у — dsa tf^пространства, f — функция,
точечно-разрывная на любом замкнутом множестве1), и F—
¦) В полном пространстве ?? эти преобразования совпадают с преобра-
преобразованиями первого класса (см. § 34, VII).

§ 31. В-измеримые отображения 407
открыто-замкнутое множество в пространстве у. Тогда
множество f~l(F) разложимо.
В соответствии с § 12, V, I, достаточно доказать, что для любого
замкнутого множества X из равенства Х = X П/" (F) П X — f~1(F)
следует, что -^ = 0. Доказательство равенства ^ = 0 полностью
аналогично соответствующей части доказательства теоремы 2 (если
заменить F п множеством у — F).
7. Сепарабельность пространства инвариантна относи-
относительно отображений /, точечно-разрывных на всяком Оь-мно-
Оь-множестве.
Действительно, пусть пространство <у = f {<?) несепарабельно.
Тогда оно содержит (в силу § 21, VIII, замечания 1) замкнутое ди-
дискретное множество мощности Ц^.
У* = (Уь Уг Уб- ••¦). где | < Q.
Положим S)? = f~l{y*) и Fi = (yv y2 >>|). Так как /, в силу
теоремы 2, является функцией первого класса, то JT*—множество
типа Gb. По условию теоремы, сужение g=f\%* точечно-разрывно
на любом замкнутом множестве (а также на любом б?б-множестве)
пространства Ж*.
Так как множество F^ открыто-замкнуто в пространстве у*, то
из замечания 6 вытекает, что множество Ai=-g~l{Fi) разложимо
в ряд замкнутых множеств в пространстве &*. Варьируя индекс |,
мы получаем, таким образом, вполне упорядоченное несчетное семей-
семейство множеств Л|, разложимых и возрастающих.
Тогда, согласно теореме 2 из § 24, III, пространство JT* несе-
несепарабельно и, следовательно, пространство X несепарабельно.
8. Принимая гипотезу континуума, мы приходим к следующей
более общей теореме:
Сепарабельность пространства инвариантна относительно
В-измеримых отображений.
Предположим, что пространство У = f (S") несепарабельно, рас-
рассмотрим изолированное множество У* из предыдущего доказательства
и поставим в соответствие любому \ точку хр такую, что f(x^) =
= У|. Так как множество A=\xv x2, .... х\, .. .) несчетно, то
его мощность равна с, в силу гипотезы континуума. Так как про-
пространство X сепарабельно, то множество А содержит подмноже-
подмножество Е, неборелевское в А (см. § 30, III). Положим
Е={%-% V-) и F=i\-y^' ¦¦•• v •••)¦
Так как функция g = f\A является В-измеримой, а множество F замк-
замкнуто в пространстве У* (поскольку оно дискретно), то множество

408 Гл. 2. Метрические пространства
Е = g~l (F) — борелевское. Итак, мы пришли к требуемому проти-
противоречию.
9. Любая функция, определенная на счетном пространстве,
есть функция первого класса.
Это следует из того, что любое подмножество счетного прост-
пространства есть Fg-множество.
*§ 32. Функции, обладающие свойством Бэра
I. Определение. Пусть / : & -> у. Говорят, что отображение /
обладает свойством Бэра, если, каково бы ни было замкнутое
множество Fay, множество f~1(F) обладает свойством Бэра.
Принимая во внимание то, что дополнение к множеству, обла-
обладающему свойством Бэра, также обладает этим свойством, можно
в определении вместо замкнутых множеств рассматривать откры-
открытые. С другой стороны, так как объединение и пересечение счет-
счетной последовательности множеств, обладающих свойством Бэра,
представляют собой множества, также обладающие этим свойством
(§ 11,111), мы заключаем, что если / — функция, обладающая
свойством Бэра, и X—борелевское множество, то f~x(X)—
множество, обладающее свойством Бэра.
Так как любое борелевског множество обладает свойством Бэра,
то непосредственно из определения вытекает, что любая В-измери-
мая функция обладает свойством Бэра. Это одно из наиболее важ-
важных свойств, общих для всех ./3-измеримых функций, следовательно,
и для всех аналитически представимых функций (см. также п. II).
Замечание. Пусть X(czJT) — множество, обладающее свойст-
свойством Бэра. Множество f~x{X) может не обладать свойством Бэра
даже в том случае, когда отображение / непрерывно и множество X
нигде не плотно. Таков следующий пример: X = <?, У = 0. / (х) — х
и X(czJ%")—множество, не обладающее свойством Бэра относи-
относительно X.
II. Необходимые и достаточные условия ').
Теорема. Для того чтобы функция / обладала свой-
свойством Бэра, необходимо и достаточно, чтобы существовало
множество Р первой категории (в пространстве X), такое,
что сужение f\{%" — Р) непрерывно (тогда говорят, что функ-
функция / непрерывна с точностью до множества первой катего-
категории). Пространство У предполагается сепарабельным.
Необходимость. Построим множество Р первой категории,
такое, что функция g = f\{-%'—Р) непрерывна, т. е. множество
') См. Куратовский [14], Никодим [5].

§ 32. Функции, обладающие свойством Бэра 409
g~l (Н) открыто в множестве Л?— Р, где Н — произвольное откры-
открытое множество (в пространстве У).
Пусть Sv S2, ...—база пространства у. Тогда Н = SklUSii2U
(J... . По условию, f'1(Sn)— множество, обладающее свойством
Бэра. В силу определения этого свойства (§ 11, I), имеем
где Оп — открытое множество, а Рп и Rn— множества первой кате-
категории. Положим
Р = (Pl U ЯО U (Р2 U Я2) U • • • •
Из формулы g~x(H) = f~\H) — P (§ 3, III A4)) следует, что
g-1 (И) = у [r\Skn)] -P=U \(Gkn -Ркя U Rkn)-P\,
и так как Pk U Rk cz P, то
k
Следовательно, g~l{H) = (\_) G^ \ — Р, и, поскольку множество
V "J
U Ой открыто, множество g (И) открыто в ЛГ—Р.
Достаточность. Пусть Р — множество первой категории,
такое, что функция g = f | {Л?—Р) непрерывна. Пусть Н — произ-
произвольное открытое множество. Непрерывность функции g означает
(§ 13, IV C)), что множество g~l (Н) = fl (Н) — Р открыто
в Л? — Р, т. е. что оно имеет вид G—Р, где G — открытое мно-
множество (в пространстве ЛГ). Тогда
A) Г1(Н) = Г1A) A)
Так как множество Р и, следовательно, множество /~ (Н)(]Р
являются множествами первой категории, то разложение A) показы-
показывает, что множество /~ (Н) обладает свойством Бэра, что и требо-
требовалось доказать.
Замечание. Сопоставляя эту теорему с выводами п. I, мы
видим, что любая В-измеримая функция, и тем более любая,
аналитически представимая функция, непрерывна с точно-
точностью до множества первой категории (пространство У пред-
предполагается сепарабельнымI).
Отсюда вытекает также эквивалентность свойства Бэра не-
некоторого множества и его характеристической функции.
') Это утверждение было доказано Бэром [2]. См. также Куратов-
ский [8а].

410 Гл. 2. Метрические пространства
III. Операции над функциями, обладающими свойством Бэра.
Теорема 1 (суперпозиция отображений). Пусть отображе-
отображение /: X—>У обладает свойством Бэра и отображение
g '¦ У ~^~ % является В-измеримим; тогда отображение h=g о f
обладает свойством Бэра.
Действительно, так как множества h (F) = f~1[g~1 (F)] и g~l (F)
В-измеримы, то множество /"'[g"^)! обладает свойством Бэра.
Замечание. В случае, когда отображение / В-измеримо,
а отображение g обладает свойством Бэра, отображение g° f может
не обладать свойством Бэра. В самом деле, рассмотрим пример п. I
н обозначим через g характеристическую функцию множества X
(считая его подмножеством пространства у).
Теорема 2. Предел сходящейся последовательности функ-
функций, обладающих свойством Бэра, также обладает этим
свойством.
Это утверждение вытекает непосредственно из формулы (см. § 31,
VIII. 1):
п k
где Вп—шар радиуса 1/я, имеющий в качестве центра замкнутое
множество F. В самом деле, так как множество fn+k{Bn) обладает
свойством Бэра, то любое множество, получающееся из него с по-
помощью счетного объединения и пересечения, обладает этим свой-
свойством.
Замечание. Пусть у— сепарабельное пространство; можно
доказать, что предел последовательности функций, „непрерывных
с точностью до множеств первой категории", есть функция того же
вида. Пусть Рп— множество первой категории, такое, что сужение
fn\(SC — Рп) непрерывно. Положим Р — РХ\]Р2\] ¦ ¦ ¦ ¦ Тогда функ-
функция fn\(,S—Р) непрерывна, каково бы ни было п; пусть функция/
является пределом функций /„; тогда отсюда следует, что f\(JP — Р)
есть функция первого класса (на SC — Р).
Так как точки разрыва функции первого класса образуют мно-
множество первой категории (§ 31, X, следствие la), то множество R
точек разрыва функции f\(SC—Р) есть множество первой категории
в X —Р и, следовательно, во всем пространстве X. Таким обра-
образом, функция /\(.Т—Р — R) непрерывна и множество P[}R
является множеством первой категории.
Теорема 3 (функции многих переменных). Пусть функция
f : 3" —>У обладает свойством Бэра, положим g(x, y) = f(x).

§ 32. Функции, обладающие свойством Бэра 411
Тогда функция g обладает свойством Бэра относительно про-
произведения Ж X У-
Это вытекает из того, что g~x (G) = f~ (G) X У и свойство Бэра
инвариантно относительно умножения на ось (§ 15, VII, 2а).
Замечание. Принимая во внимание эту инвариантность, мы
выводим из формулы § 31, V (ii) в случае сепарабельного про-
пространства X следующее утверждение:
Пусть отображение /:ЖХ.У->% непрерывно относи-
относительно переменной х и обладает свойством Бэра относительно
переменной у; тогда оно обладает свойством Бэра (на ХУ(,У).
Если пространство несепарабельно, к тому же выводу можно
прийти, опираясь, как в § 31, V, на инвариантность свойства Бэра
относительно ©^-операции (определенной в § 30, X).
Чтобы установить эту инвариантность, докажем сначала инвари-
инвариантность свойства быть множеством первой категории.
В обозначениях § 30, X, допустим, что множества Х%— первой
категории, и рассмотрим множества Х\, определенные формулой
§ 30, X (8). Так как множества Х\ открыты в их объединении
5„ = (J Х\ (§ 30, X A1)), то Sn есть множество первой категории
(согласно § 10, III). Следовательно, и множество <S = S1U<S2U • • •
является множеством первой категории, что означает инвариантность
свойства быть множеством первой категории относительно о^-опе-
рации.
Из этой инвариантности, а также из инвариантности свойства быть
множеством типа G6 (§ 30, X, 3) и из аддитивности о^-операции
(§ 30, X, 2) непосредственно следует инвариантность свойства Бэра
(так как это свойство означает, что рассматриваемое множество есть
объединение множества типа О6 и множества первой категории).
Рассуждая, как в § 31, VI, можно доказать следующее утвер-
утверждение.
Теорема 4. Пусть f : J1 ~> |~| •%"{• г&е 3? t — сепарабельное
пространство. Для того чтобы отображение f обладало
свойством Бэра, необходимо и достаточно, чтобы каждая из
координат отображения f обладала этим свойством.
Комбинируя теоремы 1, 3 и 4, получаем следующую теорему,
аналогичную теореме 2 из § 31, VI.
Теорема 5. Пусть каждая из функций fi'^i-^^/i обла-
обладает свойством Бэра и функция ^:П2^—> % В-измерима.
Тогда функция g°\) также обладает этим свойством. Про-
Пространства У'[ предполагаются сепарабельными.

412 Гл. 2. Метрические пространства
Следуя способу рассуждений § 31, VII, можно доказать следую-
следующую теорему:
Теорема 6. Если f обладает свойством Бэра, то множество
i= E [у = /(*)]
обладает свойством Бэра.
Замечания. 1. Обратная теорема, вообще говоря, неверна
график отображения / может обладать свойством Бэра, в то время
как отображение / не обладает этим свойством. Мы вернемся
к этому вопросу в § 40, IV.
2. Согласно § 22, VI, 3, если 2/— сепарабельное полтное
в себе пространство, то множество I является множеством
первой категории.
IV. Функции, обладающие свойством Бэра в узком смысле.
Функция / обладает свойством Бэра в узком смысле, если, ка-
каково бы ни было замкнутое множество F, множество f~l (F) об-
обладает свойством Бэра в узком смысле.
Это означает, что, каково бы ни было множество Е, суже-
сужение f\E обладает свойством Бэра относительно множества Е,
или (в силу теоремы п. II), что это сужение непрерывно с точ-
точностью до множеств первой категории относительно Е.
Пространство у предполагается сепарабельным.
Действительно, рассматриваемое условие необходимо, ибо если
положить g = f\E, то (§ 3, III A4)) g~1{F) = E П f~l{F), и так
как, по предположению, множество /""Ч/7) обладает свойством Бэра
в узком смысле, то множество g~l (F) обладает свойством Бэра
относительно Е. Это означает, что функция g обладает свойством
Бэра (относительно множества ?).
Обратно, пусть ? — произвольное множество, и пусть множество
g~l (F) обладает свойством Бэра относительно Е; тогда множество
/~ (F) обладает свойством Бэра в узком смысле. Следовательно,
так как замкнутое множество /~ (F) произвольно, функция / также
обладает этим свойством.
Разумеется, в качестве множеств Е можно брать совершенные
множества или замкнутые множества (см. § 11, VI).
Так как любое борелевское множество обладает свойством Бэра
в узком смысле (§ 11, VI), то любая В-измеримая функция
также обладает этим свойством. Однако существуют функции,
обладающие свойством Бэра в узком смысле и не являющиеся
5-измеримыми (см. § 39, II).
Теоремы 1, 2, 4 п. III можно доказать аналогичным образом
для свойства Бэра в узком смысле,

§ 32. Функции, обладающие свойством Бэра 413
Добавим еще, что свойство Бэра в узком смысле произвольного
множества и его характеристической функции эквивалентны.
Замечание. Из гипотезы континуума следует, что утверждения
3, 5 и 6, в которых свойство Бэра заменено свойством Бэра в узком
смысле, не верны (см. § 40, VIII).
V. Связь с мерой Лебега !).
Теорема. Пусть /— действительная функция, определен-
определенная на сепарабельном пространстве Ж и обладающая свой-
свойством Бэра; тогда существует множество Z, такое, что
Ж — Z есть множество первой категории и множество f (Z)
имеет меру нуль: m{/(Z)j=0.
Рассмотрим сначала случай, когда / — непрерывная функция.
Пусть R = {rx, r2, • • ¦)— счетное множество, плотное в простран-
пространстве X. Если / — непрерывная функция, то для любых k и п суще-
существует шар Skt n, такой, что
rk?Sk,n и 6 [/(Sft> „)]<-[-. откуда те{/ {Skt „)} < ~,
где те — внешняя мера.
Положим
со со
2=П US*,,-
я = 1 k = l
Тогда для любого п имеем
со со
Z с U 5,, „, откуда /(Z) <= U /($*, „).
k=i n=i
и, следовательно,
со -.
те {/ (Z)} < 2 тЛ/ (Sk, „)} < j, откуда т {/ (Z)} = 0.
С другой стороны,
CO
Следовательно, при фиксированном /г множество \J Sk „ открыто и
со
всюду плотно. Тогда множество JT— (J ^ь нигде не плотно и
множество Л? — Z является множеством первой категории.
¦) См. Серпинский [33]. Одно приложение этой теоремы можно найти
гл . 3, § 40.

414 Гл. 2. Метрические пространства
Случай, когда /—функция, обладающая свойством Бэра, сво-
сводится к предыдущему, ибо, согласно теореме п. II, Ж=^Р[)(Ж—Р),
функция / непрерывна на множестве Ж — Р, а Р — множество пер-
первой категории. Но, как мы только что доказали, существует множе-
множество Z, такое, что m{f(Z)} =0и1" — Р — Z есть множество первой
категории. Следовательно, множество
JT — Z cz (Ж — Р — Z)\}P
является множеством первой категории.

ГЛАВА 3
ПОЛНЫЕ
ПРОСТРАНСТВА
§ 33. Определения. Общие свойства
F. Определения. Пусть 37 — метрическое пространство. После-
Последовательность точек ;?[, р.2 рп, . . . в пространстве X мы будем
называть фундаментальной (или последовательностью Коша),
если для любого е > 0 существует индекс п, такой, что \рп — pk\ <C e
при ку>п, иначе говоря, если lim 6 (?¦„) = 0, где Еп обозна-
п -> со
чает множество (рп, pn+i, ¦ ¦ .).
Метрическое пространство X назовем полным 1), если любая его
фундаментальная последовательность является сходящейся, т. е. если
существует точка р?_Х, такая, что р = lim pn.
П -> со
Замечание. Понятие полного пространства не является топо-
топологическим понятием: открытый интервал 0 < х < 1 на является
полным пространством, тогда как множество всех действительных
чисел, гомеоморфное этому интервалу, полно (в силу классической
теоремы об эквивалентности условия Коши сходимости последова-
последовательности действительных чисел).
Мы будем различать понятия полного пространства в метриче-
метрическом смысле (которое было только что определено) и полного про-
пространства в топологическом смысле, а именно, пространства,
гомеоморфного некоторому полному пространству в метрическом
смысле.
И. Сходимость и фундаментальные последовательности
Теорема 1. Любая сходящаяся последовательность фун-
фундаментальна.
Пусть р= lim pn; тогда для любого е>0 существует такой
П -> со
индекс п, что \pk — />| <; е/2 при k^-n. Следовательно, |pn — pk\ < е.
') Понятие полноты пространства было введено М. Фреше в его дис-
диссертации. См. также Хаусдорф [1], стр. 315. Следует заметить, что метри-
метрические пространства, удовлетворяющие аксиоме 1 Мура Р. [2], стр. 464,
являются полными; см. Роберте [1], а также Серпинский [18], стр. 106.

416 Гл. 3. Полные пространства
Обратная теорема неверна в неполных пространствах. Однако
имеет место следующее утверждение:
Теорема 2. Фундаментальная последовательность, содер-
содержащая сходящуюся подпоследовательность, сходится (к пре-
пределу данной подпоследовательности).
В самом деле, пусть р = lim pt . Пусть е и п имеют тот же
) ->оо ]
смысл, что и в определении фундаментальности; выберем т > п
таким, что pi —/?|<е. Так как 1т ^> т > п, то \pt —рк < 2е
ml \ m
при k > п. Тогда \pk — /?|<3е, откуда lim рк = р.
k -> со
Теорема 3. Любое компактное метрическое простран-
пространство является полным пространством.
Это следует из теоремы 2, § 21, IX.
III. Прямое произведение.
Теорема 1. Прямое произведение Ж X 2/ двух полных про-
пространств, метризованное при помощи формулы
где 5 = (х, у) и ^1=(х1, ух) (см. § 21, VI A)), является полным
пространством.
В самом деле, пусть {]п} — фундаментальная последовательность
точек прямого произведения; тогда последовательности абсцисс х{, х2, •••
и ординат уР у2, • ¦ • также фундаментальны, ибо
Так как пространства J и J/ полные, существуют такие точки х
и у, что
х = lim х„ и у — lim уп> откуда (х, у) = lim 5rt-
rt->oo n -> со /7->со
Предыдущую теорему, справедливую для любого конечного числа
сомножителей, можно распространить на счетное произведение про-
пространств.
Теорема 2. Произведение \~\Ж[ последовательности пол-
i
них пространств, метризованное при помощи формулы
г^е i5==ft1 ?"¦ • ¦ •) и 1) = A)! 1)"' ¦¦•). является полним
пространством (см. § 21, VI, замечание 2).

§ 33. Определения. Общие свойства 417
В самом деле, предположим, что последовательность jj, j2, . . .
фундаментальна. Пусть I — произвольный фиксированный индекс.
Для любого е>0 (такого, что 1—2'е > 0) существует такой ин-
индекс п, что 15га—Ik | < е, каково бы ни было & >/г. Тогда
К~6* - г.' ,.; .,-1 2'е 1
2е, откуда
2'е
Так как последняя величина стремится к нулю вместе с е, то от-
отсюда вытекает, что последовательность ${, $?, ..., $'п, ... фундамен-
фундаментальна. Так как пространство 3?t полное, то существует предел
I1 — 1пп ;', откуда ;; — lim $я.
n -> jo га -=»• се
ef"
В частности, евклидово пространство ef", пространство §=s<0
последовательностей действительных чисел, п-мерный
/<:>'# ^7", гильбертов куб 0^°, пространство а/У иррацио-
иррациональных чисел интервала 0 (Ко — мощность множества нату-
натуральных чисел) представляют собой топологически полные про-
пространства (т. е. гомеоморфны полным пространствамK).
IV. Пространство Bх)т.
Теорема. Если X — полное пространство, то про-
пространство B*)т также является полным).
В самом деле, пусть А{, А2, ... —последовательность Коши
элементов пространства Bа")т, т. е. для любого е > 0 существует
такой индекс п(е), что
Положим Z,= Ls An. Покажем, что
B) lim dist(L, Ля) = 0.
Достаточно доказать, что dist (Z,, Ля(е))<^2е, ибо отсюда, в силу A),
вытекает, что dist(Z., Лга)^3е при я>я(е). Итак, остается дока-
доказать, что
1° р(р, Лга(е))<;2е для любой точки p?L;
2° p(q, ?)<; 2е для любой точки q^An{z).
Пусть R — обобщенный замкнутый шар с центром Ап{е<) радиуса е;
тогда, согласно A), имеем An<=R при л>л(е) (см. § 21, VII B)).
Как верхний предел последовательности \Ап), множество L удовлет-
') Пространство <Л", метризованное так, что оно становится полным про-
пространством, называется также „нульмерным пространством Бэра".
2) Теорема Хана [2], стр. 124.
27 Топология, т. I

418 Гл 3. Полные пространства
воряет включению La An U Ап + 1 [) . . . (см. § 29, IV, 8); поэтому
откуда следует утверждение 1°.
Чтобы доказать 2 , положим n(e/2*) = nk (можно допустить, что
пк > nk_1) и рассмотрим последовательность q , q q ,...,
о i nk
определенную по индукции следующим образом: в множестве А„
выбираем точку а таким образом, что a =q n q —а <
< е/2 ~ , что всегда возможно, в силу A). Последовательность
qn, qn, ... фундаментальная, ибо qn —qn \<,t\2k~l при m > k.
Так как пространство %" полное, эта последовательность сходится
к некоторой точке / этого пространства. По определению верхнего
предела, точка I принадлежит множеству L, Так как, кроме того,
qn —qn I < 2е, каково бы ни было к, то \q — /|<;2е, откуда
следует утверждение 2°.
V. Функциональное пространство. В § 21, X, 1 мы отмечали,
что семейство O(S", У) ограниченных отображений / : Ж' —>У можно
рассматривать как метрическое пространство, если расстояние по-
положить равным
@) l/l —/21
Теорема 1. Если пространство у полное, то а прост-
пространство ФC\ У) полное.
В самом деле, предположим, что |/„— А|<е при k > п.
Следовательно, при фиксированном х имеем | /„ (х) — fk (x) | < е, и
последовательность fx (x), /2(jc), ••¦ фундаментальная. Положим
fix)— lim fn{x). Так как последовательность {/„} равномерно
я-»со
сходится, то функции fn сходятся к функции / в смысле расстоя-
расстояния @), и легко видеть, что /?Ф(.#*, У).
Теорема 2. Если пространство у полное, то и прост-
пространство ограниченных непрерывных функций полное.
Действительно, предел равномерно сходящейся последовательности
непрерывных функций представляет собой непрерывную функцию
(§ 21. X, 2).
Эта теорема верна также для пространства функций класса а
(см. § 31, VIII, 2), пространства Б-измеримых функций, пространства
функций, обладающих свойством Бэра (см. § 32, III, 2).
VI. Полная метризация Ой-множеств. Непосредственно из опре-
определения полного пространства вытекает следующее утверждение:

§ 33. Определения. Общие свойства 419
Любое замкнутое подмножество полного пространства
само является полным пространством (относительно индуци-
индуцированной метрики).
В силу следствия из § 21, XIII, любое О6-подмножество метри-
метрического пространства Ж гомеоморфно некоторому замкнутому под-
подмножеству прямого произведения 3? X efS'°> где gf— пространство
бесконечных последовательностей действительных чисел. Пусть S? —
полное пространство, тогда пространство 3> X с?*'0, как произведение
двух полных пространств, является полным пространством, так же
как и каждое его замкнутое подмножество. Итак, мы приходим
к следующему результату:
Теорема Александрова1). Любое G^-nod множество пол-
полного пространства гомеоморфно полному пространству, т. е.
является полным пространством в топологическом смысле.
Замечания. 1. Процесс, служивший нам для доказательства
следствия в § 21, XIII, позволяет непосредственно определить „новое
расстояние" в E6-множестве таким образом, чтобы это множество стало
полным пространством. В самом деле, пусть дано множество
Q = Gj n О2 П •••> где Gi — открытые множества; положим
/г(х)== р(х, &-G,) •
Тогда новое расстояние между двумя точками хну множества Q
определим следующим образом:
A)
2. Предыдущая теорема является частным случаем следующей
теоремы о полной метризации (см. Куратовский [43], [44]):
Пусть 3? — метрическое пространство и fm:3?->c? — не-
непрерывные отображения, т=\, 2 Допустим, что
если хх, х2, ...—такая фундаментальная последова-
последовательность, что последовательность fl (x{), /,-(х2), ...
B) ограничена (для каждого индекса /—1, 2, . . .), то
последовательность хх, х2, ¦¦¦ сходится.
При этом предположении пространство Ж становится
полным пространством относительно нового расстояния
|| х — у||, определенного формулой A), причем его топология
не меняется, т. е.
') См. Александров [3]. Простое доказательство этой теоремы было
дано Хаусдорфом [4]. Что касается обратной теоремы, см. § 35, III.
27*

420
Гл. 3. Полные пространства
Из предыдущей теоремы можно получить еще более общие
теоремы, имеющие важные приложения, если предположить, что
в пространстве X определено понятие сходимости x-t—>х, такое, что
(хi—>¦ х)z^( lim \xt — х| = 0\,
\i-+co 1
причем непрерывность отображений /т, так же как и сходимость,
рассматриваемую в условии B), следует понимать в смысле сходимости
Х;-+х. При этих предположениях наша теорема остается верной,
если в соотношение C) подставить xi-+x вместо lim
¦л; 1 = 0.
VII. Пополнение метрического пространства. Мы доказали
(§ 21, X, 9), что любое метрическое пространство X изометрично
некоторому подмножеству пространства действительных непрерыв-
непрерывных и ограниченных функций, определенных на пространстве 5С,
Так как пространство действительных чисел полно, то это функцио-
функциональное пространство полно, согласно V, 2. Итак, имеет место
Теорема Хаусдорфа. Всякое метрическое пространство
изометрично подмножеству полного пространства.
Эту теорему можно также доказать следующим образом').
Рассмотрим пространство %", элементами которого являются
фундаментальные последовательности а—[а1, а2, ...,а1, ...] точек
пространства S?. Определчм расстояние между двумя точками а и b
в пространстве Я? следующим образом:
@)
\a—b\= lim \a'~bl\
1->оо
Две последовательности, расстояние между которыми равно нулю,
отождествляются (см. § 21, I, замечание). Пространство X, как мы
докажем, полное и содержит множество, изометричное про-
пространству X.
Прежде всего X—метрическое пространство, ибо, с одной
стороны, из неравенства
.\а>~ь'\ + \Ь! ~Ь1\
¦Ь1\<\а1-а>
вытекает, что
а — Ь
!) См. Хаусдорф [1], стр. 315. Доказательство Хаусдорфа, которое мы
приведем здесь, представляет собой обобщение хорошо известного процесса
Кантора — Мере определения иррациональных чисел.

§ 33. Определения. Общие свойства
421
и, следовательно, если последовательности а и b фундаментальные,
то и последовательность чисел \ а1—Ь1 \, \а2 — Ь21, ... фундамен-
фундаментальная. Отсюда вытекает существование предела
lim \а1 — Ь'\.
»->со
Итак, для любой пары элементов пространства St определено рас-
расстояние. С другой стороны, выполняется аксиома треугольника, ибо
если в неравенстве \а1 — bl\-\-\al — cl\^\bl— cl\ перейти к пре-
пределу, то мы получим \а—?|-j-|a — c\'^>-\b — с\.
В случае, когда для любого / имеют место равенства а1 = х и
и Ь1 = у, очевидно, что \х — у| = |а—Ь\. Пространство Л? изо-
метрично, следовательно, подмножеству пространства ЗС, состоящему
из последовательностей вида [х, х, х, ...}.
Остается доказать, что пространство А? полное. Пусть ах, а2, ...
—последовательность точек пространства
Тогда
существует последовательность целых положительных чисел т{
т„
A)
такая,
п
ЧТО
1
и
< — при i > тп.
Пусть последовательность ах, а2, ... фундаментальная. Докажем,
что последовательность a = faj"', a?*, ...1 также фундаментальная,
т. е. что a^JP и, кроме того, а= lim an.
Я-»со
Пусть е > 0. Так как последовательность ах, а2, ... фундамен-
фундаментальная, существует индекс q = q (е) > 1/е, такой, что | aq — qq+k |<e,
каково бы ни было k. Тогда, в силу @), существует последова-
последовательность целых чисел jk, такая, что
B)
Из неравенства
при I > у" .
согласно A) и B), следует, что для индексов i, больших mq, jk и
mq+k одновременно, имеет место соотношение
C)
откуда вытекает, что последовательность а фундаментальная.
Из неравенства

422 Гл. 3. Полные пространства
в силу A) и C), следует, что при I > mn, я > q и / > q имеем
D)
Таким образом, для любого е > 0 существует такой индекс q, что
при /г > q имеет место неравенство D), как только индекс i доста-
достаточно большой. Пусть /—>оо; тогда, в силу соотношения @), имеем
ап — а | <; 7е, откуда следует, что Пт ап = а.
Замечание. Если отождествить точки х пространства X с по-
последовательностями [х, х, х, ...], то ЛГ, рассматриваемое как под-
подмножество пространства SC, плотно в %. В самом деле, пусть
я = [я1, а2, ...]?$", тогда а = Пт ап, где ап=[а", ап, а", . . .],
поскольку, согласно @), \ап — а]= Пт | а" — an+i\; так как после-
i -> оо
довательность а фундаментальная, имеем Пт \ап — а| = 0.
В частности, если пространство ЗГ сепарабельно, то и про-
пространство & сепарабельно.
§ 34. Последовательности множеств. Теорема Бэра
Пространство, рассматриваемое в этом параграфе, предполагается полным
(сепарабельным или несепарабельным).
I. Коэффициент я (А). Обозначим через а (А) нижнюю грань
чисел е, таких, что множество А допускает разложение в конечное
число множеств диаметра < е. Таким образом, равенство а(А) — 0
означает, что множество А вполне ограничено (§ 21, VIII).
Теорема1). Любая последовательность Alz}.A2Z2 ... не-
непустых замкнутых подмножеств пространства Ж, таких,
что Пт а(Л,,) = 0, сходится в пространстве Bж),л к непустому
множеству Al f| А2 П ¦ • • .
Предположим сначала, что последовательность {Ап} не является
фундаментальной. Тогда существуют е > 0 и возрастающая последо-
последовательность целых чисел \kn), такие, что &\si(An, A^ \ > е. Отсюда
вытекает, что существует последовательность точек \рп), такая,
чт0 Рп?.Ап и p(jt?rt, Ak \ > е, ибо из включения An^Ak следует,
что р(Ап, jt) = O для любого х ? Аи .
') См. Куратовский [13]. Согласно одной теореме из гл. 4 (том 2),
множество Ах f) A2 П • ¦ • компактно,

§ 34. Последовательности множеств. Теорема Бэра
423
Пусть ш — целое число, такое, что а(.4т)<е. Положим
Am = ZlU ... UZ, и 6(Z,)<e.
Так как точки рт, рт+\, Рт+2< ¦ ¦ ¦ принадлежат множеству Ат, то
одно из множеств Zx Zl (можно допустить, чго это множество Zx)
содержит бесконечную подпоследовательность pt, pt, . . .. Пусть
j — такой индекс, что lj > &/,. Следовательно, Аи. z>At. и Pi.^Ak .
Из соотношений pi (^Zv pt ? Zx и 6Л?Л<е следует, что pi —
— pt I < е, откуда р{ pit ЛАЛ<е, вопреки определению последо-
последовательности {рп\.
Это противоречие показывает, что последовательность {Ап} фунда-
фундаментальная, а так как пространство B™)/п полное, то она сходится.
На основании § 33, IV B) последовательность [Ап] сходится к мно-
множеству Ls An, которое совпадает с пересечением f] At, так как рас-
i
сматриваемая последовательность — убывающая (§ 29, VI, 8).
Следствие. Пусть {Ft}—семейство (счетное или несчет-
несчетное) замкнутых множеств, такое, что:
1° пересечение любой конечной системы множеств Ft непусто,
2° существуют множества Fv со сколь угодно малым коэф-
коэффициентом а(/\).
Тогда пересечение всех множеств Fl непусто.
Пусть х„—такой индекс, что u(FK}<ll/n. Положим Р =
= Fv_t П Fx, П ••¦¦ Отсюда и(Р) = 0, т. е. множество Р вполне
ограничено, и, следовательно, сепарабельно (§ 21, VIII, 3). В силу
теоремы Линделёфа (§ 5, XI), примененной к множеству Р, рас-
рассматриваемому как пространство (см. § 21, II, теорема 2), существуе?
последовательность индексов ц, i2 такая, что
=. 1
следовательно,.
/V
Положим Аа = FKl П ¦ • • П F*n П Р\.х П • • • П /\. Из предыдущей
со оо
теоремы вытекает, что [~| (Р П F\. ) = П Апф0, следовательно,
п = \Х п> я = 1
П F, Ф О-

424 Гл. 3. Полные пространства
II. Теорема Кантора1). Для любой последовательности
A1Z)A2zd . . . непустых замкнутых множеств, таких, что
lim 6(Лга) = 0, множество f) At состоит аз одной точки.
Я->со I
Эта теорема является прямым слгдствием теоремы п. I и нера-
неравенства а (Л„) -^ 6(Л„).
Замечание 1. Теорема Кантора может быть доказана более
прямым способом. А именно, выбирая по точке рп из каждого
множества Ап, мы получим фундаментальную последовательность.
Предел этой последовательности принадлежит каждому из мно-
множеств Ап (поскольку множества Ап замкнуты) и, следовательно,
принадлежит множеству Q At.
i
Замечание 2. Эта теорзма характеризует полные про-
пространства (среди метрических пространств). В самом деле, пусть
Pv Ръ ¦¦¦—фундаментальная последовательность, положим ?„ =
— (Рп' Pn + i' • • •)> тогда lim 6(?'ra) = 0. В силу теоремы Кантора,
существует точка
Р ? П Е„, откуда \р — рп | -^ 6 (Еп) = 6 (Еп),
п
следовательно, р= lim pn.
я->со
III. Приложение к непрерывным функциям.
Теорема. Пусть f — непрерывная функция, определен-
определенная на пространстве 37, и пусть F1z>F2^ ...—последова-
...—последовательность непустых замкнутых множеств, таких, что
lim a(Fn) = Q (в частности, таких, что lim 6(/?„) = 0\. Тогда
Я->оо \ п-^со I
(СО \ СО
П /7Я)= П/С7»)-
я=1 / я=1
В самом деле, имеет место включение (см. § 3, III Bа))
/(п фп/с,)-
\п=1 / л=1
Обратно, пусть
¦'-' и А„ = Fn П /~' (у).
') См. Кантор [4] и Хаусдорф [1], стр. 318, где эта теорема приводится
в той же форме, что и здесь.

§ 34. Последовательности множеств. Теорема Бэра 425
Согласно теореме п. I,
П Ап Ф 0, откуда /-1 (у) П Fx П F2 П ¦ ¦¦ ФО,
п
следовательно,
IV. Теорема Бэра [1]. Любое множество первой категории
является граничным множеством.
со
В самом деле, пусть ?— |J А^, где Nt — нигде не плотные мно-
i-i
жества, /=1, 2 Пусть So — произвольный замкнутый шар.
Докажем, что So — ЕФО. Рассмотрим последовательность SqzdS1^ . . .
. . . ZDSnZ2 . . . замкнутых шаров, определенных (по индукции) сле-
следующим образом: если множество Nn нигде не плотно, то суще-
существует замкнутый шар Sn, такой, что
со
Согласно теореме Кантора, существует точка р ? П Sn. Так как
п = 0
со со со
П S«cn (-лг„) = - и^,
я=0 я=1 я=1
то p?S0—E.
Следствие 1. Дополнение к множеству первой категории
не является множеством первой категории (если только про-
пространство не пусто).
Следствие 2. Все пространство не является множе-
множеством первой категории ни в одной точке.
Это вытекает из того, что в противном случае существовало бы
непустое открытое множество первой категории.
Следствие 3. Любая точка полного пространства, плот-
плотного в себе, есть точка конденсации.
В противном случае существовало бы открытое счетное множество,
и так как любая отдельная точка является нигде не плотным мно-
множеством, то это открытое множество было бы множеством первой
категории.
Следствие 4. Любое полное счетное пространство
является разреженным1).
Действительно, любое неразреженное пространство содержит
совершенное непустое подмножество (§ 9, VI, 3). Это совершенное
') См. об этом в § 36, V.

426 Гл. 3. Полные пространства
множество, рассматриваемое как пространство, является полным и
плотным в себе и, следовательно, несчетным, согласно следствию 3.
Следствие 5. Пусть дано разложение полного простран-
пространства в ряд замкнутых множеств: Sf=\JZn, и пусть мно-
п
жество E\\Zn является разреженным при каждом п, тогда
множество Е также разрежено.
Пусть D — плотное в себе подмножество множества Е. Как
разреженное множество, D |"| Zn является граничным множеством в D
(§ 9, VI, 1). Тогда
D — Zn = D, откуда Df\ZnczD = D — Zn<=D~Zn,
следовательно, множество Df\Zn является граничным в D (см. § 8, VI)
и, как замкнутое множество, оно нигде не плотно в D.
Из тождества D = (D f| Z{)\j (D f\ Z2) U ¦•¦ вытекает, что D
является множеством первой категории относительно самого себя,
поэтому оно пусто (согласно следствию 2; множество D рассматри-
рассматривается как пространство). Следовательно, D = 0.
Следствие 6. Пусть Е — плотное в себе (непустое) под-
подмножество полного пространства X, и f — непрерывная
функция, определенная на атом пространстве, такая, что
сужение f\E взаимно однозначно; тогда множество /(Ж)
несчетно.
Предположим, напротив, что /(.#*)= (Ур Уъ< ¦ • •)¦ Положим
Zrt = f1 (уп). Тогда X=ZX U Z2 U ... HZra = Zn. Кроме того, мно-
множество Е П Zn содержит самое большее одну точку, так как
из условий x?_E(]Zn и x'?_E0Zn следует, что f(x) = yn —f(x'),
откуда х — х' (функция /1Е взаимно однозначна). Согласно след-
следствию 5, тогда множество Е разреженное, вопреки предположению.
Следствие 7. Пусть в полном сепарабельном несчетном
пространстве задана система множеств Еа> р, где а<2 и
|3 < Q, обладающих свойством Бэра, такая, что Еа< р П ?а, р' = О
при fj ^ |3'; тогда существует трансфинитная последователь-
последовательность {уа\, а<2, такая, что
A) X— U Ea,y > Ко.
а < Q а
Без ограничения общности можно допустить, что пространство
совершенно (отбрасывая, если необходимо, его разреженную часть).
Определим с помощью трансфинитной индукции последователь-
последовательность {уа}, а также последовательность точек {ра}. Согласно § 24,

§ 34. Последовательности множеств. Теорема Бэра 427
I, 3, Еа„ является множеством первой категории при фиксирован-
фиксированном а и достаточно большом |3.
Так как множества Еа^ „ не пересекаются (при фиксированном а),
то среди чисел |5 существует одно, обозначим его через уа, такое,
что р^Ж — Еа , каково бы ни было \ < а. Так как множества
Е\>у, ?2,у2 Eui у являются множествами первой категории,
a pt—точки накопления пространства, то, в силу теоремы Бэра,
су г/ I I Р \ 11 / I I - \i / п
•" — ( U съ, vt Ш| и Рр \\ =f и.
L\.l<a ij \Z,<a S/J
Пусть ра — точка, принадлежащая этой разности, и Р — мно-
множество точек ра, где a < Q. Так как ра Ф р, при | < а, то Р = К v
Поскольку Р П Еа>у =0, отсюда вытекает формула A).
Замечания. 1. Доказательство теоремы Бэра можно сде-
сделать эффективным в следующем смысле (см. § 23, VIII): пусть
заданы 1° база пространства Rv R2 2Э последовательность
нигде не плотных множеств А^, Л^- • ¦ . и 3° шар So; тогда можно
определить точку р, принадлежащую множеству 50—(Ni\jN2\J ¦•¦)¦
Действительно, положим Sn — Rk при п > 0, где kn—наимень-
kn—наименьший индекс, такой, что
s . 1
со
Тогда пересечение C[St состоит из одной точки, которую мы обо-
обозначим через р.
2. Теорема Бэра эквивалентна предположению, что любая
последовательность произвольных множеств Хп удовлетво-
удовлетворяет равенству
я — U [Х„п(яг — хп)] = лг.
я = 1
Это следует из того, что нигде не плотные множества можно опре-
определить как множества вида X Л (•%"—X) (см. § 8, II).
3. Если допустить, что множества Еа^ не обладают свойством
Бэра, то следствие 7 становится неверным. В самом деле, с помощью
гипотезы континуума можно доказать, что в интервале 0 суще-
существует система множеств ЕПу „, где /г=1, 2, ... и E < й, такая,

428 Гл. 3. Полные пространства
что Еп< р П Еп> р' = О при C Ф р', и что для любой бесконечной по-
последовательности Yi> У2> • • ¦ имеет место неравенство
3 ~ 1)?л, Yrt<Ko
Я — 1
(см. Браун и Серпинский [1]).
V. Приложения к множествам типа Оь.
Теорема 1. Пусть Qv Q2, ...—всюду плотные G6-mho-
жества, тогда [~| Qt также является всюду плотным Оу.чно-
i
жеством.
Каждое из множеств JP—Qn, как граничное множество типа Fg,
является множеством первой категории. Следовательно, их объеди-
объединение U (JP—Qj) есть множество первой категории. Поэтому дополне-
ние к этому объединению, т. е. множество f| Qt, всюду плотно.
Теорема 2. Любое пб-множество первой категории нигде
не плотно.
В самом деле, если множество Q не является нигде не плотным,
то существует открытое множество пфО, такое, что множество
Q(]G плотно в О. Следовательно, если Q есть (/^-множество, то
G — Q есть граничное /"„-множество и, следовательно, множество
первой категории. Если предположить, что Q — множество первой
категории, то открытое множество G, как объединение двух множеств
первой категории, также было бы множеством первой категории,
вопреки следствию IV, 2.
Так как любое С?б-множество полного пространства гомеоморфно
полному пространству (§ 33, VI), то все теоремы п. IV можно
сформулировать относительно (/^-множеств.
В частности, справедлива
Теорема 3. Пусть Q есть G^-множество, тогда любое
подмножество, являющееся множеством первой категории в Q,
есть граничное множество в Q.
Любое счетное G^-множество является разреженным.
VI. Приложения к множествам типа Fg и G6.
Теорема1). Любое Fa- и G^-множество2) разложимо в знако-
знакочередующийся (трансфинитный) ряд замкнутых убывающих
множеств.
') См. Хаусдорф [1], стр. 462.
2) Для краткости Fa- и Oj-множеством называется множество, являю-
являющееся одновременно множеством типа Fa и типа Oj. — Прим. перев.

§ 34. Последовательности множеств. Теорема Бэра 429
Действительно, пусть Е есть Fa- и Об-множество, а X—произ-
X—произвольное непустое замкнутое множество. Докажем (см. § 12, V, Г),
что либо множество X \\Е, либо множество X—Е не является
граничным в X. В самом деле, в противном случае множества X (] Е
и X—Е, как граничные /^-множества, были бы множествами первой
категории в X (см. § 10, II), а их объединение X = (X П Е) [} (X — Е)
было бы множеством первой категории относительно самого себя,
вопреки следствию 1 из п. IV (множество X рассматривается как
пространство).
Принимая во внимание обратную теорему (§ 30, X, 5), получим,
что в полных пространствах Fa- и G^-множества совпадают
с разложимыми множествами.
Замечания. 1. Отсюда вытекает (см. § 12, V и VII), что под-
подмножество ? полного пространства является Fa- и О6-множеством тогда
и только тогда, когда для любого непустого замкнутого множества F:
1° граница множества Ff\E относительно F нигде не плотна
в F (т. е. отличается от F);
2° множество F [\Е есть объединение открытого множества и
нигде не плотного множества в F (или разностью замкнутого мно-
множества и нигде не плотного множества в F);
3° множество F П Е локально замкнуто в одной из своих точек
(или пусто).
2. Из 3° следует, что любое Fa- и G^-множество, однородное
в пространстве, есть разность двух замкнутых множеств
(как множество, локально замкнутое в каждой из своих точек,
см. § 7, V, следствие).
3. В полных сепарабельных пространствах любое вполне упо-
упорядоченное семейство возрастающих {или убывающих) Fo- и
G^-множеств счетно (см. § 24, III, 2).
Это утверждение не распространяется на множества типа G&.
Нельзя также отбросить предположение о полноте пространства
(см. § 40, III).
Проблемы эффективности.
1. Любое Fa- и О6-множество эффективно является /^-множе-
/^-множеством и О6-множеством (см. § 24, III, замечание 1°).
2. В совокупности множеств, которые одновременно являются
Fa- и О6-множествами, можно эффективно реализовать аксиому
выбора, т. е. можно указать функцию /, определенную на любом
множестве X, представляющем собой непустое Fa- и О6-множество,
такую, что f(X)?X.
В силу предыдущего утверждения, достаточно доказать это для
эффективных Gg-Множеств. Иначе говоря, любой последователь-
последовательности открытых множеств Gv G2, . . ., таких, что дг f) G2 П • • • Ф 0,

430 Гл. 3. Полные пространства
поставим в соответствие точку р, принадлежащую каждому мно-
множеству Оп, ге=1, 2
Пусть Rx, R2, ... — база пространства, a k1 — наименьший индекс,
такой, что
V 1 /
= 1
вообще пусть km—наименьший индекс, такой, что
0 и
В силу теоремы Кантора, пересечение Rki f] /?*2 П ••• сводится
к одной точке; это и есть та точка р, которую следует выбрать.
3. Любое счетное семейство непересекающихся множеств типа Fo,
покрывающее все пространство, эффективным образом счетно.
В самом деле, так как дополнение к каждому из этих множеств
есть /^-множество, то каждое из них является одновременно Fa- и
О6-множеством. В силу предыдущего утверждения, этим множествам
можно поставить в соответствие выбранные точки; так как мно-
множество Е этих точек — разреженное (п. IV, следствие 5), то оно
эффективным образом счетно (§ 24, IV). Отсюда следует требуемое
заключение.
VII. Приложения к функциям первого класса. Пусть / есть
23-пзмеримое отображение первого класса метрического простран-
пространства Л? в сепарабельное пространство У; тогда, в силу теоремы 1, §31, X.
множество точек разрыва отображения / есть множество первой
категории. Если 3? полно, то это множество является граничным;
иначе говоря, отображение f точечно-разрывно. Применяя это
утверждение к теореме 2, § 31, X, мы приходим к следующей теореме.
Теорема (Бэр [1]). Пусть пространство № полно, а
°У — сепарабельно; для того чтобы отображение /:«#"—>*У
было В-измеримым отображением первого класса, необходимо
и достаточно, чтобы оно было точечно-разрывным на любом
замкнутом множестве.
Замечания. Непосредственно видно, что условие точечной
разрывности может быть заменено условием существования точки
непрерывности на любом замкнутом непустом подмножестве и что
вместо замкнутых можно рассматривать совершенные множества
(см. § 31, X, замечания 1 и 2).
Можно рассматривать также О6-множества, так как если А есть
О6-подмножество в $", то А топологически полно (§ 33, VI);
поскольку /—отображение первого класса, сужение /|Л также
первого класса и, следовательно, точечно-разрывно.

§ 34. Последовательности множеств. Теорема Бэра 431
Следствие 1. При тех же условиях, наложенных на Ж
и у, если множество точек разрыва функции f счетно, то
f — функция первого класса.
Действительно, всякое непустое совершенное множество, будучи
несчетным (см. п. IV, следствие 3), содержит точку непрерывности
функции /.
Следствие 2. Любое вполне упорядоченное семейство
функций первого класса (с действительными значениями), опре-
определенных на полном пространстве и таких, что
А (х) < /2 (х)< . . . < Д (х) < /| + ] (х) < . . .,
является счетным.
Это — прямое следствие теоремы 2' из § 24, III.
VIII. Приложения к теоремам существования. Важность теоремы
Бэра состоит также в том, что она часто позволяет доказать суще-
существование элементов, обладающих данным свойством Р: в самом
деле, если в полном пространстве множество элементов, не обла-
обладающих свойством Р, разлагается в ряд нигде не плотных множеств,
то это множество, будучи множеством первой категории, не совпа-
дает со всем пространством, т. е. существует элемент, обладающий
свойством Р (и даже всюду плотное множество таких элементов).
Таким образом, например, теорема Понтрягина—Нёбелинга, а силу кото-
которой любое метрическое сепарабельное я-мерное пространство J2T гомео-
морфно некоторому подмножеству куба ff2n + i, легко доказывается, если
показать, что в пространстве (д2" + 1)х функции, которые не являются
гомеоморфизмами, образуют множество первой категории ').
Показано, что этот процесс приводит к успеху в проблемах
существования функций (действительного переменного), обладающих
некоторыми особенностями2).
В качестве примера рассмотрим доказательство существования
непрерывной функции, не имеющей производной (Банах [5]).
В действительности мы установим существование функции, еще
более сингулярной, а именно непрерывной функции, которая fie имеет
ни в одной точке двух правых конечных производных чисел. Это
последнее свойство непрерывных функций мы и обозначим через Р.
Рассмотрим для этого пространство Ф непрерывных периодических
действительных функций /:&—>'? с периодом 1 (см. § 33, V).
Условие, что функция / не обладает свойством Р, т. е. что она
') См. Гуревич [11] и Куратовский [35а], стр. 334.
О других приложениях к теории размерностей см. Борсук [4], а также
том 2 настоящей книги.
2) См. многочисленные работы Ауэрбаха, Банаха, Качмажа, Мазурке-
рича в Studia Math., 3A931), а также Штейнгауз [1], Сакс [2], [4], Орлич[1].

432 Гл. 3. Полные пространства
обладает по крайней мере в одной точке двумя конечными правыми
производными числами, эквивалентно существованию целого положи-
положительного га и точки х ? д, таких, что
A)
h
га, каково бы ни было h > 0.
Множество функций /, не обладающих свойством Р, равно,
следовательно, объединению (J Nп, где Nn—множество функций /,
п
для которых существует точка х, удовлетворяющая соотношению A).
Так как пространство Ф полное (см. § 33, V, 2), остается
только доказать, что множество Nn нигде не плотно (в Ф). Мно-
Множество Nn замкнуто, ибо если {Д}, /е=1, 2 — последова-
последовательность функций, a [xk], k=\, 2 —последовательность точек,
удовлетворяющих условию A), то легко доказать, что, когда после-
последовательность \fk) равномерно сходится, ее предел принадлежит N'„.
Замкнутость множества Nn устанавливается непосредственно, если вос-
воспользоваться логическими обозначениями. В самом делз, имеем
B)
Соотношение B) означает, что множество Nn есть проекция (параллельно
оси 3) замкнутого множества
h)-f(x)
Е Л JI/(* + »)-/(*) <Л=П Е{
f,x li>0 U п ) h > 0 f, х (
h
Так как ось ?? компактна, то проекция замкнутого множества замкнута
(см. § 20, V, теорема 7).
Докажем теперь, что множество Nn нигде не плотно; поскольку
оно замкнуто, достаточно доказать, что оно является граничным
множеством; так как множество кусочно линейных функций плотно
в Ф, то достаточно доказать, что если / — кусочно линейная функ-
функция, то в Ф — Nn существует функция, отличающаяся от / сколь
угодно мало. Но это очевидно.
Таким образом установлено существование непрерывных функций,
не имеющих конечной производной; более того, функции, которые
не обладают этой особенностью, образуют множество первой кате-
категории (и представляют, следовательно, „исключение" в совокупности
непрерывных функций).
§ 35. Продолжение функций
I. Продолжение непрерывных функций.
Теорема 1. Пусть $? — метрическое пространство, AczJP,
У — полное метрическое пространство, и пусть f : А->у —
непрерывное отображение. Тогда отображение / Можно

§ 35. Продолжение функций 433
непрерывным образом продолжить на G6-множество, содержа-
содержащее А, а именно на множество А* таких точек р?А, что
со(р) = О, т. е. колебание отображения f в точке р обра-
обращается в О (см. § 21, III).
Каждой точке р ?А* поставим в соответствие последовательность
[рп], такую, что рп ? А и lim рп — р. Обозначим через Еп мно-
Я->ОО
жество (рп, рпл1, ...); тогда из равенства а>(р) = 0 вытекает, что
lim б [/(?¦„)] = 0, следовательно, последовательность /(/>)), / (р2), ¦ ¦ ¦
фундаментальная. Так как пространство у полное, положим
f(p)=Umf(Pn). т.е. /*(/>)= П/(О).
П->оо G
где О пробегает множество всех окрестностей точки р (см. § 34,
I, следствие).
Таким образом, отображение /* определено на множестве А*
(типа С6, согласно § 21, III). Для х?А имеем /(x) = /*(x).
Остается доказать, что отображение /* непрерывно для р ? А*, т. е.
что (й*(р) = 0, где ю* — колебание /*.
Так как О — открытое подмножество в JP, имеем
/*(О)с=/(О). откуда 6[/*@)]<в[/@)]=б[/@)].
Следовательно (см. § 21, III),
и* (/>) = inf 6 [/* (О)] < inf б [/ (О)] = со (р) = О,
где G пробегает открытые множества, содержащие р.
Замечания. 1. Полнота пространства У существенна. Действи-
Действительно, пусть SF = 0, А —у — множество рациональных чисел из Ж
и f(x) = x для х?А. Тогда утверждение теоремы не имеет места.
2. Из предыдущей теоремы вытекает следующее предложение:
Пусть JT — сепарабельное метрическое пространство мощ-
мощности с; тогда существует отображение g:S->'H', разрыв-
разрывное на каждом множестве мощности с. (Теорема Серпинского
и Зигмунда [1].)
Доказательство этого предложения опирается на следующую лемму
общей теории множеств:
Пусть Ф — семейство отображений подмножеств данного
множества Ж в множество у. Если 37, у и Ф имеют мощ-
мощность т, то существует отображение g-.Ж-^У, которое
не совпадает ни на каком подмножестве мощности т ни с каким
отображением, принадлежащим Ф.
Для доказательства расположим элементы множеств S" и Ф в транс-
трансфинитные последовательности {ха} и {/„}, обладающие наименьшим
возможным порядковым типом, и определим отображение g при
28 Топология, т. I

434 Гл. 3. Полные пространства
помощи трансфинитной индукции, условившись, что g (ха) Ф /| (ха),
каково бы ни было \ < а.
Пусть теперь Ф — семейство всех действительных непрерывных
функций, определенных на О6-подмножествах пространства Ж. Со-
Согласно § 30, III и § 24, VI, семейство Ф имеет мощность с. Функ-
Функция g и есть искомая функция. В самом деле, если бы функция g
была непрерывна на некотором множестве Е мощности с, то суще-
. ствовала бы непрерывная функция /, определенная на О6-множестве,
содержащем Е, такая, что / (х) = g (x) для х ?Е. Но это невозможно,
потому что / ? Ф.
3. Сформулируем без доказательства следующую теорему (см.
Мазуркевич [7]; для замкнутых отображений см. Вайнштейн [1]).
Пусть X и У — полные сепарабельные пространства, AczJP
и отображение f:A—>f(A) открыто. Тогда отображение f
имеет непрерывное открытое продолжение /* : А* —>/*(А*),
где А* — некоторое G6-множество.
Приложения к проблемам мощности. Утверждения 2—4
носят вспомогательный характер; они послужат нам для доказатель-
доказательства теоремы 5 1).
Теорема 2. Пусть задана функция, которая любому
| < со6 ставит в соответствие множество F% мощности Ц6;
тогда существует функция Ог, где | < со6, такая, что
A) O5nOi' = 0 для 1Ф1', ОъсРъ, О5=:К6.
В самом деле, расположим все | < со6 в трансфинитную после-
последовательность {а^} типа (о6, каждый член которой повторяется &6 раз.
Любому т) < соб поставим в соответствие элемент р^ ? Fa таким
образом, что
B) рц ф /у при Г)' < т).
Обозначим через 0% множество эчемзнтов рц, таких, что аГ]-='?>.
Пусть теперь p^^G^nO^; тогда ац~\ ж ап = \', откуда ? = ?',
и, следовательно, первое из соотношений A) выполнено.
Чтобы установить второе соотношение, допустим, что pn?Gi.
Следовательно, а^= \. С другой стороны, согласно определению
последовательности {р^}, имеем pn^.Fa. Следовательно,
и поэтому GF
') Эта теорема была сформулирована Линденбаумом [2], [3] и доказана
пинским [63].
См. также Варащкевич [2].

§ 35. Продолжение функций 435
Множество всех таких 1], что ац = |, имеет при фиксированном %
мощность Кб- Согласно B), такую же мощность имеет множество
всех р , удовлетворяющих этому равенству, т. е, множество Ог.
Теорема 3. Пусть ,?Г — некоторое {бесконечное) множество
мощности nt; тогда существует семейство F подмножеств
множества X мощности 2Ш, такое, что из соотношений X ? F,
Y?Fu ХфУ вытекает, что X — К==т.
Более того, пусть задано отображение, которое каждому
х?Ж ставит в соответствие подмножество А^.сЯ? мощ-
мощности т; тогда семейство F можно подчинить следующему
более точному условию: из соотношений X?F, Y?F и ХфУ
следует, что (АХ[\Х)— К=т, каково бы ни было x?JT.
В силу равенства ш -- т2, множество Ж можно представить
в следующем виде:
^ = \JMX, Мх = т и Мх() Мх> — 0 при хфх'.
Так как m = 2m, имеем
MX = PX[)QX, Px = m=Qx и pxf)Qx=:o.
Для XczJ? положим
U QA. где ХС=Х — Х,
с )
и обозначим через F семейство множеств F (X), где X пробегает
семейство всех подмножеств пространства Ж.
Отметим, что если х0 ? X—У, то
PXo<=F(X) — F(Y), откуда
Q4czF(Y)~F(X), откуда F(Y)~F(X) = m.
Таким образом, первая часть утверждения 3 доказана. Для доказа-
доказательства второй части в соответствии с теоремой 2 положим
jeUx фх', AxczAx и А*х — т.
Определим семейство F* подмножеств пространства Ж мощно-
мощности 2™, такое, что из соотношений X ? F*, Y?F*, ХфУ и х?$"
вытекает равенство \АХ П X) — Y = т.
Так как множества Ж и Ах имеют мощность тп, то для каждого
х?Л? существует взаимно однозначное отображение / : Ж—>Л*.
Каждому X ^ F поставим в соответствие множество S(X)—[Jf(X)
и обозначим через F* семейство всех множеств S(X), где X про-
28*

436 Гл. 3. Полные пространства
бегает семейство F. Так как fx(X)c.A*x и Л* П Л*, = 0 при х Ф х',
мы имеем
аХо ns{x) = л; п (у /, (X)} = л; п 4 w - /,
откуда
C) К,П$(*))-Я(П = /,о (*)-/,, (К).
Так как отображение / взаимно однозначно, имеем
откуда
D) /,о (X) - fXi (К) = /^ (X - К) = X - К.
Пусть теперь S {X) Ф S (К), тогда X Ф Y, откуда X — У = m
и, в силу C) и D),
(AXonS(X)) — S(Y) = m. откуда (AXaf]S (X)) ~S (Y) = m.
То же равенство показывает, что из неравенства X Ф Y следует
неравенство 5(X) ф S(Y), откуда Рг==Р=2т.
Теорема 4 *). Пусть X — бесконечное множество мощ-
мощности m и Ф—семейство мощности ^т отображений под-
подмножеств множества Ж в подмножества множества X,
имеющие мощность т; тогда существует семейство F мощ-
мощности 2т подмножеств из X, такое, что из соотношений
X ?F, Y ?F и X Ф Y следует, что /(X) — К = т, какова бы ни
была функция /?Ф.
Положим т= Ыь и расположим элементы семейства Ф в транс-
трансфинитную последовательность /0, /: /а, ... (а ¦< юб) таким
образом, что любой элемент множества Ф повторяется m раз.
Для каждого фиксированного / любому значению у функции /
поставим в соответствие элемент х, такой, что /(х) = у, и для
/ = /а обозначим через Аа множество элементов х, выбранных таким
образом. Тогда Аа = т и сужение ^а = /а!Ла взаимно однозначно.
Существует трансфинитная последовательность р0, pt ра, .. .
(а < ш6), такая, что ра?Аа и
*° PaJ=Pl ПРИ 1<а'
2° Pa^g^iPi) при |<а и т)<а;
3° g^{Pv)^Pi при ^<а и rj<a.
') См. Куратовский [40], а также цит. раб. Линденбаума и Серпинского.

§ 35. Продолжение функций 437
В самом деле, множество тех Р|, для которых | < а, тех g^iPi),
для которых ?<а и т)<а, и g^) имеют при фиксированном а
мощность < К6, тогда как Аа = к6.
Так как элементы последовательности {ра}, а < со6, отличны др}т
от друга (согласно 1°), то множество Р= \ра\ имеет мощность ш.
Более того, положим Аа = Р[\Аа; тогда Ла = т, так как каждое Аа
повторяется m раз в последовательности {А%\, | < со6. Следовательно,
в предложении 3 можно заменить пространство & множеством Р
и множество Ах множеством Аа- Отсюда вытекает существование
семейства F подмножеств множества Р мощности 2т, такого, что из
соотношений X ?F, Y ?_F и XФ К вытекает равенство Аа {] X — Y=m,
каково бы ни было а < <в6. Покажем теперь, что из этого равенства
следует равенство /а(Х) — К= m (чем и завершается доказательство).
Так как множество (Л„ П X) — У имеет мощность К6, выберем
последовательность [/?„ } элементов этого множества, где а < т) < со6
и Л^Рц- Поскольку р„ ^ Аа, функция ^а определена на элемен-
Так как эта функция взаимно однозначна, множество всех эле-
элементов ga (р„ \ с переменным Г) имеет мощность тп. Остается доказать,
что ga{p^iY-
Допустим противное. Так как YczP, то, в силу допущения,
существует С < «6, такое, что ёа(Ра )~ Рг- Следовательно, Pr?Y
и, так как, по предположению, р„ (? К, то t, ф C .
Рассмотрим два возможных случая.
1) Пусть рц < ?, тогда а < Z,. Итак, условия
несовместимы, согласно 2°.
2) Пусть ? < р^, тогда, согласно 3°, несовместимы следующие
условия:
Таким образом, в обоих случаях мы приходим к противоречию.
Теорема 5. Пусть Ж — полное сепарабелькое простран-
пространство мощности с; тогда существует семейство F мощности 2е
множеств, ни одно из которых не является непрерывным
образом другого.
Более '.того, из соотношений X ?F, Y?F и ХфУ следует,
что / (X) — К —С, какова бы ни была непрерывная функция /,

43S Гл. 3. Полные пространства
определенная на множестве JP и допускающая множество
значений мощности с.
Пусть Ф — семейство непрерывных отображений (?б-множеств
в подмножества множества JP, имеющие мощность с. Тогда, согласно
§ 30, III и § 24, VI, имеем Ф=с. Семейство F из теоремы 4
и есть искомое семейство.
В самом деле, соотношение / (X)—К = с означает, что Х — с;
следовательно, никакое множество, являющееся элементом семейства/7,
нельзя отобразить ни в какое другое множество при помощи ото-
отображения, принимающего менее чем с значений. С другой стороны,
если / — непрерывное отображение, определенное на множестве X
и принимающее с значений, то существуют, в силу 1, О6-множество,
содержащее множество X, и непрерывное продолжение. /* отображе-
отображения / на это множество. Поэтому /*?Ф и, следовательно,
f(^Hf=c для X?F, Y?Fu ХфУ. Так как f*(X) = f(X),
мы приходим к требуемому заключению.
Теорема 6. В интервале 0 существует несчетное мно-
множество, для которого g не является непрерывным образом.
Мы выведем эту теорему из следующего утверждения, которое
будет установлено с помощью гипотезы континуума.
Теорема 7 (Серпинский [45]). Пусть Ж" — полное сепара-
бельное {несчетное) пространство, и пусть F — некоторое
семейство мощности <^ fc$i несчетных подмножеств простран-
пространства X; тогда в пространстве Ж существует несчетное
множество Р, такое, что никакой элемент семейства F не
является непрерывным образом множества Р.
Более точно: если Y?F, то Y — /(Р)фО, какова бы ни была
непрерывная функция /, определенная на множестве Р.
Все пары (/, К), где Y?F и / — непрерывная функция, опре-
определенная на некотором Ой-множестве, множество значений которой
содержит множество Y, расположим в трансфинитную последователь-
последовательность типа 2 : {/„, Ya), a<2 (существование такой последователь-
последовательности вытекает из того, что семейство О6-множеств, так же как и
семейство непрерывных функций, определенных на (?6-множествах,
имеют мощность с, следовательно, в силу гипотезы континуума,
мощность Цх).
При фиксированном а расположим множество Ya в некоторую
трансфинитную последовательность \yat Л, где |5 < 2, и положим
Еа в==/^'1(Уа в)- 'l"aK как Функция /а непрерывна, то множество Еа< „,
будучи замкнутым в множестве определения функции /а, обладает
свойством Бэра. Так как, кроме того, из неравенства р Ф |5' следует,
что ?а,р П^а, р' =0, то применимо следствие 7 из § 34, IV. Отсюда

§ 35, Продолжение функций 439
вытекает существование последовательности [уа], где а<2, и несчет-
несчетного множества Р, такого, что Р П Еа, у — 0, каково бы ни было а.
Пусть теперь Y ?F и / — непрерывная функция. Допустим, что
Yczf(P). Пусть в соответствии с теоремой 1 /* — непрерывное
продолжение сужения /\Р на некоторое С6-множество. Тогда имеем
Kcz/(P)c:/*(P). Следовательно, пара (/*, Y) принадлежит после-
последовательности {/„, Ya), и поэтому при некотором а имеем /* = /а
и Y=Ya.
Так как Р П ?а> ^ = О, т. е. Р П f~l (>'«, уа) = °- то уа_ ^ $ /„ (Р).
следовательно, уа> Y 6 к„ — /а СОс К — / (Р).
Замечания. 1. Теорема 6 следует из теоремы 7, если положить
X = 0 и F — (?J). Доказательство теоремы 6 не опирается на гипо-
гипотезу континуума, ибо если предположить, что С> Цх, то теорема 6
очевидна. Тем не менее без гипотезы континуума нельзя доказать
существование множества мощности с, для которого интервал не
является непрерывным образом.
2. Неравенство Y — / (Р) Ф 0 в теореме 7 может быть заменено
равенством Y — /(Р)=К,. В самом деле, любое множество Y?F
разложим на &$i непересекающихся подмножеств мощности fc$i и
обозначим через F* семейство, которое получается из семейства F
заменой каждого множества Y его подмножествами. Применяя тео-
теорему 7 к семейству F*, получим требуемый результат.
3. Если семейство непрерывных функций заменить семейством
произвольных функций, имеющим мощность -^ Ц1 (или даже <J Цо),
то теорема 6 становится неверной. В самом деле, имеет место сле-
следующая теорема (эквивалентная гипотезе континуума): существует
счетное семейство Ф отображений f : 0 —>¦ fj, такое, что лю-
любому несчетному подмножеству Pcztf соответствует отобра-
отображение /?Ф, при котором f {Р)— 3 (см. Браун и Серпинский [1]).
4. Понятие типа непрерывности аналогично понятию топологи-
топологического типа. Два множества имеют один и тот же тип непрерывности,
если каждое из них является непрерывным образом другого (см.
Серпинский [39]). Согласно теореме 5, 8 любом полном, сепара-
бельном пространстве мощности с существует 2е различных
типов непрерывности1).
II. Продолжение гомеоморфизмов.
Теорема Лаврентьева [1], [2]. Пусть X и у — полные
метрические пространства, пусть АсХ, t<z.y, и пусть
f : А —> В — гомеоморфизм; тогда существует продолжение
') О других проблемах, касающихся типов непрерывности, см. Вара-
шкевич [1], цит. раб. Серпинского, а также Ароншайн [1].

440 Гл. 3. Полные пространства
отображения f до гомеоморфизма двух G^-множеств, распо-
расположенных в этих пространствах.
В самом деле, пусть /—гомеоморфизм, определенный на мно-
множестве Л, такой, что /(Л) = В. Положим g = f~. Пусть теперь
/* — непрерывное продолжение отображения / на некоторое (?6-мно-
жество Л* (см. п. I, 1). Аналогичный смысл придадим символам g*
и В* по отношению к функции g. Положим
/ = Е [у = /*(*)] и J=Elx = g*(y)l
х, у х, у
Обозначим через Ах и Вх проекции множества / Г) J соответственно
на ось Sf и на ось у. Очевидно, что отображение /*: Л1—>Б1 есть
гомеоморфизм.
Остается доказать, что Ах и Вг — множества типа Gb. Положим
h(x) = [x, f(x)]; тогда Al=^h~ (J). Так как отображение h не-
непрерывно и множество J замкнуто в 3? X В* (§ 15, V, 2) и, следо-
следовательно, является (?б-множеством в пространстве JT X 2/. то мно-
множество А-1(/) есть (?6-множество в А* (§ 13, FV E)) и, следовательно,
в $". Точно так же докажем, что Вх есть (?6-множество в простран-
пространстве у.
Докажем теперь такое следствие теоремы 1 из п. I.
Следствие. Пусть SC и у — метрические пространства
{причем пространство у полное), и пусть А а Ж', а отобра-
отображение f :А~>У является гомеоморфизмом; тогда его можно
продолжить до гомеоморфизма, определенного на G^-множестве.
В самом деле, обозначим через 3~* полное пространство, которое
топологически содержит пространство Sf (см. § 33, VII). Гомеомор-
Гомеоморфизм / допускает продолжение на множество Ах, которое является
^-множеством относительно пространства Ж*. Имеет место включе-
включение A cz Л] cz Ж*. Множество Л2 = Л1П.^ — искомое множество:
оно является О6-множеством (в JT). содержит множество Л и про-
продолженное отображение является гомеоморфизмом на Л2.
Замечания. 1. Множество /(Л2) может не быть типа G6.
В самом деле, пусть JT—Л—множество рациональных чисел интер-
интервала g, y=g и f(x) = x.
2. Теорема Лаврентьева позволяет установить следующую тео-
теорему, которая другим путем доказана в § 27, IV (теорема 1): любое
п-мерное множество (расположенное в метрическом сепара-
белъном пространстве) содержится в некотором п-мерном
Оь-множестве\ следовательно, оно топологически содержится
в полном п-мерном пространстве 1).
') Как будет показано в томе 2, термин полное можно заменить терми-
термином компактное.

§ 35. Продолжение функций 441
Доказательство (см. Тумаркин [3]) сводится к случаю, когда
п = О (см. § 27, IV, теорема 1). Итак, пусть А—нульмерное мно-
множество; тогда существует гомеоморфизм между множеством А и не-
некоторым подмножеством канторовского множества ?f (§ 26, IV, тео-
теорема 2). Этот гомеоморфизм допускает продолжение, в силу
предыдущего следствия, на некоторое (/^-множество; это последнее
множество является нульмерным, так как оно гомеоморфно подмно-
подмножеству нульмерного множества ?\
III. Топологическая характеризация полных пространств.
Теорема. Пусть X — произвольное метрическое простран-
пространство. Любое его подмножество, гомеоморфное полному про-
пространству у, является G^-множеством ').
Действительно, пусть в предыдущем следствии /—отображение
на пространство У; тогда продолжение /* отображения / совпадает
с / (потому что отображение /* взаимно однозначно); итак, область
задания отображения / (т. е. множество А) совпадает с областью
задания отображения /*, являющейся (?6-множеством 2).
Замечание. Из этой теоремы и теоремы из § 33, VI, мы за-
заключаем, что подмножество полного пространства гомео-
гомеоморфно полному пространству (т. е. топологически полно)
тогда и только тогда, когда оно является Gb-множеством.
Отсюда вытекает, что любое множество, гомеоморфное G6-mho-
atcecmey, содержащемуся в полном пространстве, есть
G&-множество 3).
С топологической точки зрения полные сепарабельные про-
пространства— это не что иное, как Gb-множества, располо-
расположенные в гильбертовом кубе д*°-
Действительно, в силу теоремы Урысона, любое сепарабельное
метрическое пространство гомеоморфно подмножеству куба g**
(§ 22, II); если это пространство, кроме того, полно, то это под-
подмножество, как мы показали, есть некоторое (?6-множество.
IV. Внутренняя инвариантность различных семейств множеств.
Согласно § 13, IX, свойство Р множеств называется внутренне ин-
инвариантным относительно полных пространств, если всякое подмно-
подмножество полного пространства, гомеоморфное множеству, обладаю-
') Это утверждение представляет собой частный случай инвариантности
борелевского класса (см. п. IV).
2) Более прямое доказательство см. в работе Серпинского [32].
3) Теорема Мазуркевича [1]. См. также Серпинский [25]. Эта теорема
может быть получена также непосредственно из теоремы Лаврентьева без
использования теоремы § 33, VI, см. цит. раб. Лаврентьева.

442 Гл. 3. Полные пространства
щему свойством Р н расположенному в том же или в другом полном
пространстве, также обладает свойством Р.
Теорема (Лаврентьев [1]). Пусть Р — внутренне инвари-
инвариантное свойство, такое, что если X обладает свойством Р,
то любое множество типа Оь в X также обладает этим
свойством. При этих предположениях следующие свойства
являются внутренне инвариантными:
Г свойство Ро быть объединением счетного семейства мно-
множеств, обладающих свойством Р;
2° свойство Р6 быть пересечением счетного семейства мно-
множеств, обладающих свойством Р;
3° свойство Рр быть разностью двух множеств, обладаю-
обладающих свойством Р;
4° свойство Рс быть дополнением к множеству, обладаю-
обладающему свойством Р, при дополнительном предположении, что
множество, обладающее свойством Р, сохраняет это свойство,
если к нему добавить Fg-множество.
Инвариантность свойства Ро очевидна (она не зависит от
предположения, что относительные О6-множества обладают свой-
свойством Р).
Чтобы доказать 2°, положим Л = f"| Ап, где множества Ап об-
л = 1
ладают свойством Р; пусть отображение /:Л->Б— гомеоморфизм.
В силу теоремы Лаврентьева, гомеоморфное отображение f ; А -> В
может быть продолжено на (?6-множество, которое мы обозначим
СО
через Л*. Следовательно, Л = Л |~| Л*, откуда A— f) (Anf\A*) и
л = 1
со
В = / (Л) = |~| f(AnQ А*), поскольку отображение / взаимно одно-
л = 1
значно. Так как Л* есть О6-множество. то множества Ап П Л* и
/ (Ап П Л*) обладают свойством Р, поэтому множество В обладает
свойством Р6.
Доказательство утверждений 3° и 4° аналогично. Пусть Л =
=^АХ~~А2, и пусть символы В, / и Л* имеют тот же смысл, чго
и выше. Тогда
л = л п л* = (л, п л*) - (л2 п л*),
откуда В = / (Л) = / (Л, П А*) — / (Л2 П Л*),
что доказывает 3°.
Пусть, наконец, А== — А1 (дополнение к А{). Тогда
А = А* (\(- AJ = А* — (А^А*)

§ 35. Продолжение функций 443
Так как /(Л*) есть б6-множество, то — f (А*) есть /^-множе-
/^-множество. Следовательно, множество в фигурных скобках обладает свой-
свойством Р, а множество В обладает свойством Рс.
Из 1°, 2°, 4° и внутренней инвариантности О6-множеств (устано-
(установленной в п. III) вытекает
Следствие I1). Свойства быть борелевским множеством
класса Ga, a>0 (G6, G6o и т. д.), и борелевским множеством
класса Fa, а> 1 (Fob, Fo()O и т. д.), являются внутренне инва-
инвариантными.
Замечание 1. Достаточно предположить, что А—подмножество
полного пространства, тогда как множество В (гомеоморфное А) можно
считать подмножеством произвольного метрического пространства ЛГ.
В самом деле, если Ж*—пополнение пространства 3? (см. § 33, VII),
то множество В является, в силу следствия 1, множеством класса G6
(класса Fa) относительно пространства SC*, а следовательно, и отно-
относительно пространства А?, которое содержит множество В.
Следствие 2. Свойство Бэра в узком смысле является
внутренне инвариантным.
Действительно, для того чтобы множество А обладало этим свой-
свойством, необходимо и достаточно, чтобы любое замкнутое подмноже-
подмножество Z в А было объединением борелевского множества и множества
первой категории в Z (§ 11, VI).
Замечание 2. Инвариантность свойства Рр может служить для
доказательства внутренней инвариантности разложимости в знако-
знакочередующиеся ряды (конечные или трансфинитные) множеств
класса Ga (или класса FaJ). Например, свойство быть разностью
двух Об-множеств является внутренне инвариантным (см. Серпин-
ский [15]).
V. Приложения к топологическим рангам.
Теорема 1. Во всяком полном сепарабельном простран-
пространстве мощности с существует семейство, состоящее из 2f мно-
множеств, топологические ранги которых попарно несравнимы3).
Эта теорема легко следует из теоремы I, 5. Более непосредствен-
непосредственным образом ее можно вывести из следующей теоремы общей теории
множеств.
') Это следствие было установлено без применения теоремы Лаврентьева
для некоторых частных случаев (впрочем, при дополнительных предположе-
предположениях на пространства); кроме вышеупомянутых работ Мазуркевича и Сер-
пинского, см. Серпинский [20] (случай множеств О&о, O6(jft, ...) и Ма-
зуркевич [4]. Дальнейшие обобщения см. в работах: Хаусдорф [5а], Тайма-
нов [1], [2], Келдыш [1], Вайнштейн [3].
2) Ср. с „малыми классами" Бореля, § 37.
3) См. Куратовский [10], Серпинский [44], Банах [9].

444 Гл. 3. Полные пространства
Пусть Ф — некоторое семейство отображений подмножеств дан-
данного множества & в подмножества множества Л\ Пусть X и Y —
подмножества множества JP; назовем их несравнимыми (по отно-
отношению к семейству Ф), если в Ф не существует никакого отобра-
отображения одного из этих множеств в подмножество другого. Имеет
место
Теорема 2. Пусть Ф — некоторое семейство взаимно одно-
однозначных отображений и ,#* = Ф=т; тогда существует се-
семейство F, состоящее из 2т попарно несравнимых подмно-
подмножеств множества 37.
Множество .#*, а также семейство Ф, пополненное всеми функ-
функциями, обратными к содержащимся в Ф, расположим в две транс-
трансфинитные последовательности {ха} и {/а) наименьшего возможного
порядкового типа.
Пусть Р={ра\—трансфинитная последовательность, определен-
определенная по индукции таким образом, что ра отлично от всех р^ и от
всех fi(pM), если |<а и ц < а. Пусть F—семейство подмножеств
множества Р, такое, что F= 2m и X — Y = m для любой пары
различных множеств, принадлежащих семейству F (см. I, 3).
Допустим, что существует функция fy ? Ф, такая, что /у : X — -> Yv
где X?F и Y^ cz Y ? F. Пусть fy =/|. Покажем, что из соотно-
соотношений ра?Х — Y и |<а следует неравенство а < у, откуда полу-
получим, что X — Y < т, вопреки предположению. Положим / (ра) = рц,
следовательно, ра = fi(Pn)- Тогда ц^-и, согласно определению ра.
С другой стороны, т) Ф а, ибо рц ? Y и ра(? Y. Соотношения а < г)
и рп = fy(Pa) влекут за собой неравенство л^СУ* откуда а < у.
Теорема 2 установлена. Чтобы получить отсюда теорему 1, возь-
возьмем в качестве Ф семейство всех гомеоморфизмов, определен-
определенных на Об-подмножествах пространства ЛГ. Допустим, что X?F,
X^Y?F и что X топологически содержится в К; тогда, со-
согласно теореме Лаврентьева, существует гомеоморфизм /, опреде-
определенный на О6-множестве, содержащем X, такой, что f (X) a Y.
Но это невозможно, так как /?Ф и X и Y несравнимы по отно-
отношению к Ф.
Замечания. Аналогичным образом устанавливается существо-
существование трансфинитной последовательности мощности > с мно-
множеств, топологический ранг которых возрастает, а также
трансфинитной последовательности мощности с множеств,
топологический ранг которых убывает (см. Серпинский [44],
Серпинский и Куратовский [3]).

§ 35. Продолжение функций 445
VI. Продолжение В-измеримых функций.
Теорема (Куратовский [20]). Пусть Ж — произвольное ме-
метрическое пространство, у — полное сепарабельное простран-
пространство и A cz 5C. Пусть далее / : А~>%/ — отображение класса а;
тогда его можно продолжить (без изменения класса) на неко-
некоторое множество А* мультипликативного класса a-f-1.
В частности, если множество А принадлежит мультиплика-
мультипликативному классу а > 0, то функция f может быть продолжена
на все пространство SC х).
Так как для сс = О теорема установлена в п. I, положим a > 0.
Согласно § 31, VIII, 3, существует последовательность функций /„
класса а, определенных на множестве А, равномерно сходящаяся
к функции /, причем множества /п(А) дискретны. Тогда можно
положить
A) | /„ (х)—fk (х) | < —у , каково бы ни было n^>k,
и /п{А) = \у1п, у\ у'п, . ..]. где ty'\—конечная или бесконеч-
бесконечная последовательность различных элементов.
Пусть Bi ... i = f/ (yj1)] П • • • П f/ (у„п)] ¦ Так как каждое
— 1 / / \
из множеств /д, ууь) является двусторонним множеством класса a
относительно А (поскольку точка ylk, как изолированная точка мно-
множества fk (А), является открыто-замкнутым множеством в этом мно-
множестве), то условия теоремы 2, § 30, VIII, выполнены.
Следовательно, для любого п существует множество Ап мульти-
мультипликативного класса а-)-1 и система (С,- .../ ] двусторонних мно-
множеств класса а относительно множества Ап, такая, что:
1° С/(... in П СЛ ... jk=Q при (/, . . . ik) ф (у, ... jk) и k < и;
по л I I /"¦,
4° если Вс i =0, то Ct t =0.
Более того (согласно второй части предыдущей теоремы), если
множество А принадлежит мультипликативному классу а, то Ап =
= Л?, так как равенство
имеет место для любого k, и поэтому A~\JBj ... / , каково бы
ни было п. Следовательно, множество А* — (~\ Ап принадлежит
') По поводу второй части теоремы, если она относится к функциям
с действительными значениями, см. Хаусдорф [5].

446 Гл. 3. Полные пространства
мультипликативному классу a—j- 1; с другой стороны, в случае,
когда множество А принадлежит мультипликативному классу а (сле-
(следовательно, когда Ап =-.?/), имеем А* = &.
Продолжим каждую функцию /,, на множество Ап, полагая
/ (х) = у1", если х ? С,- ... ,- . Множество значений функции fn,
определенной таким образом, счетно, поэтому чтобы доказать, что
эта функция принадлежит классу а (на Ап), достаточно доказать,
что множество /~ (у^) принадлежит аддитивному классу а относи-
относительно Ап при фиксированных п и /. Но это следует непосред-
непосредственно из равенства /~ г (у',) = \J С/ .../<-, гДе объединение бе-
берется по всем системам из п—1 индексов.
Установив это, мы покажем, что (продолженные) функции fn
равномерно сходятся на множестве А*, а именно что неравенство A)
имеет место для любого х0 ? А*.
В самом деле, пусть Xq?C[ ... ; и хо?С/ ... j при k<^.n.
Согласно 1°, li = j\, .... ik = Jk- Пусть х ?Bit ... ,• , тогда
Из равенства ^ = /д. вытекает, что
x?f;'(yik), откуда fk(x) = yi* = fk(x0).
Так как х?А, то для х справедливо неравенство A). Это же
верно для точки х0, поскольку fn(x) = fn(x0) и fk(x) = fk(xQ).
Так как пространство 2/ полно, положим /(х)= lim fn(x). Таким
образом, функция / определена для любого х?А* и, как предел
равномерно сходящейся последовательности функций класса а, она
также принадлежит классу а (§ 31, VIII, 2).
Следствие1). При тех же предположениях о простран-
ствах X и у любая функция f класса а, определенная на А,
может быть продолжена на все пространство таким обра-
образом, что она становится функцией класса а-f-l.
В самом деле, согласно первой части предшествующей теоремы,
существует множество Е мультипликативного класса а-)-1, на ко-
которое функция / может быть продолжена без изменения своего
класса (для а=0 см. п. I), a согласно второй части той же теоремы,
') В случае, когда Я/ — пространство действительных чисел, см. Сер-
пинский [42], Алексич [1].

§ 35. Продолжение функций 447
функция /, продолженная таким образом, может быть продолжена на
все пространство, как функция класса ce-j-1.
VII. Продолжение гомеоморфизма класса (а, Р). Следующие
утверждения позволяют обобщить утверждения п. II — IV для сепа-
рабельных пространств.
Теорема (Куратовский [21]). Пусть .#* и У — полные
сепарабельные пространства, и пусть A cz ЛГ, В су и f : А->В
— гомеоморфизм класса (а, р). Тогда существует гомеомор-
гомеоморфизм f*:A*—>B*, являющийся продолжением гомеоморфизма /,
причем множества А* и В" принадлежат соответственно клас-
классам а-f-p-j-l и р + а-)-1.
Возвратимся к доказательству теоремы Лаврентьева. Пусть
/: А->В — гомеоморфизм класса (а, |3), Л*— множество мультипли-
мультипликативного класса a—f- 1, А с: А*. /* — отображение класса а, опре-
определенное на множестве Л*, которое совпадает с / на А (см. п. VI),
/= Е [У— /*(*)]• Аналогичный смысл придадим символам В*, g*
х, у
и / по отношению к отображению g = f . Пусть, наконец, Ах и
Вх—проекции множества / |~| J на оси X и У соответственно. Так
как множество / принадлежит мультипликативному классу р —j— 1
(см. § 31, VII, 1), то множество Ах принадлежит мультипликати-
мультипликативному классу a-f-P+1 относительно А* (см. § 31, VII, 2) и, сле-
следовательно, относительно пространства Ж.
Таким образом, теорема доказана. Рассмотрим частный случай,
когда Л—множество мультипликативного класса а. Положим А* — А
и /*==/. Тогда А{ — А и В{ = В. Так как множество / принад-
принадлежит мультипликативному классу а, то Вх принадлежит мультипли-
мультипликативному классу |5 + а относительно множества В* и поэтому отно-
относительно пространства у. Таким образом, мы приходим к следующим
предложениям:
Следствие 1, Свойство быть множеством мультиплика-
мультипликативного класса a > 0 инвариантно по отношению к гомеомор-
гомеоморфизмам класса (а, 0).
Следствие 2. Пусть множество А принадлежит мульти-
мультипликативному классу а>0 и / — гомеоморфизм класса (а, E);
тогда множество f (Л) принадлежит мультипликативному
классу р —|— а.
Следствие 3. Любой гомеоморфизм класса A, р), опреде-
определенный на полном сепарабелъном пространстве, преобразует
это пространство в множество мультипликативного класса
Р-Н.

448 Гл. 3. Полные пространства
*§ 36. Связь полных сепарабельных пространств
с пространством J\T иррациональных чисел
I. (</?)-операция. Допустим, что любой системе п1, . . ., пк целых
положительных чисел соответствует замкнутое подмножество (пустое
или нет) Fn „ некоторого полного пространства ЯГ. Обозначим
через а последовательность [а1, а2, . . .] целых положительных чисел.
Отождествляя эту последовательность с иррациональным числом
—| -4- г-1 -4- . . ., можно допустить, что а пробегает пространство о/1Г
(см. § 3, IX, XIV).
Мы будем предполагать в дальнейшем, что
t1) Fal ...aka.b + lC-Fa} ...ак'>
B) Ит 4Fa< e*)=°-
* -> со
Пусть Z — множество таких а, что Fai аь ф О, каково бы ни было к.
Множество Fа\ Л Fа\а2 П Fа\а2аъ П • • • сводится тогда (§ 34, II) к од-
одной точке, которую мы обозначим через /(й). Следовательно,
со
C) /B)= U ПО йь
таким образом, / (Z) есть результат (^-операции, примененной
к системе (F^ ...„ft|.
Обозначим через оАГп .,.„ множество таких а, что а1 = п1, ...,
ak = nk. Множества oJVn ... п открыто-замкнуты в оЛГ и образуют
базис пространства qJ\T (см. § 5, XI, пример 4). Имеет место следу-
следующее включение:
D) /(Znefv..nj)cFv..v
В самом деле, если a?Z, то /(й)б^а1 ак> каково бы ни
было k. Предположим, что а ? оА/*п ... п .' тогда а1 = пх, . . ., ak = nk.
Следовательно, f(a)?Fn.n, откуда вытекает включение D).
Теорема (а). Множество Z замкнуто в пространстве J\T.
В самом деле, пусть а?_&/У*—Z. Тогда существует k, такое, что
Fal . .ak = ®- В СИЛУ D)' имеем /BПо^°а1 ..а*)^0' Откуда
Z П q^q! a* = 0- Так как множество cyf ai a* открыто и содержит
точку а, то любая точка множества qJ\T — Z принадлежит открытому
множеству, не пересекающемуся с множеством Z. Следовательно,
множество Z замкнуто (в пространстве У

§ 36. Связь полных сепарабельных пространств 449
Теорема (б). Функция f непрерывна (на множестве Z).
В самом деле, пусть а ? Z, s > О, и пусть в соответствии с соот-
соотношением B) k—такой индекс, что &(Fai „*) < s. Согласно D>,
имеем 6[/(Zrie/f*ei a*)| < s. Так как g/F^i a* — окрестность
элемента а, то функция / непрерывна в точке а.
Следующее утверждение очевидно:
Теорема (в). Пусть Fat jt =f= 0 при любых auk; тогда
Теорема (г). Пусть система [Fai а*} является диади-
ческой, т. е. множество Fai ak пусто всегда, за исключением
тех случаев, когда система а1, .... а1г состоит из цифр 1
и 2; тогда множество Z гомеоморфно канторову множеству %>'.
Действительно, при этих предположениях Z является множеством
последовательностей, состоящих из цифр 1 и 2.
Теорема (д). Если Fa: ak П F bi bk — о, всегда когда
(а1 . . . а") Ф (Ь1 ... bk), то функция f взаимно однозначна.
Кроме того,
оо
E) /B)= nU О а"
(так что в этом случае /(Z) является /^-множеством) и
F)
В самом деле, если а Ф Ь, то существует индекс k, такой, что
акфЬк. Так как f{b)?Fbi bk, то f(b)t$Fai ak, откуда
Равенство E) следует непосредственно из теоремы 2, § 3, XIV,
если принять во внимание равенство C).
Доказательство равенства F) сводится, в силу включения D),
к доказательству того, что его правая часть содержится в левой
части. Пусть p?f(Z)(]Fn ... и,- Тогда имеем
p=--f(a) ? Fa> ak, a?Z и P^Fn^...nk-
Включение р ? F , kf) F означает, что а1 = ra:, . . ., ak=nk.
Следовательно, а^оА^п ...п., откуда вытекает включение
Теорема (е). Добавим к условию предложения (д) следую-
следующее условие: множества Fa\ ak все открыты {или замкнуты).
Тогда отображение f:Z^f(Z) является гомеоморфизмом.
29 Топология, т. I

450 Гл. 3. Полные пространства
В самом деле, пусть lim /(am) = / (а). Докажем, что lim am = a.
т. e. lim ak = ak, каково бы ни было k, или что при фиксиро-
т->оо
ванном k имеем akm = ak для достаточно больших т.
Так как множество Fа\ ап открыто, из соотношения lim /(ат) =
т -> со
^ a1 ak слеДУет> что f (am) 6 ^o' Q* Для ДОСТЭТОЧНО бОЛЬ-
ших т. С другой стороны, f(am)?F i ^ . Тогда из условия
утверждения (д) вытекает, что а1т = а1, ..., акт = ак.
со со
Теорема (ж). Пусть Ж = \J F, и F \ k=\J F х к.
. -. ' Й , . . Й .-1/7 /?/
л-'сбых auk; тогда f{Z) = &.
В самом деле, пусть р^Ж; тогда существует индекс п1, такой,
что p?Fn . Доказательство проведем по индукции. Допустим, что
р?Рп ...п.- По условию теоремы, существует индекс пк+1, такой,
что р?Рп ... п.п ¦ Обозначим через а последовательность
(«j, п2, п3, ...); тогда p = f(a).
Имея в виду последующие приложения, мы установим следующие
три предложения.
оо со
Теорема (з). Пусть JT= U Fi u F i *==U^i ь- для
1 = 1 а ... а ._j а ... а 1
любых auk; тогда
G) в...во...в
Пусть p?Fn „ и е > 0. Докажем, что существует точка
a?Z, такая, что /(«)€ ^п, ... nk и |/(а) —/?|<е.
По условию теоремы, существуют индекс nk+x и точка рь такие,
что
и более того, существуют последовательность целых чисел nk + 1,
пкг2' •¦• и последовательность точек рг, р2 такие, что
Обозначим через а бесконечную последовательность пх, п2, ¦ ¦ ¦',
тогда ат~пт для любого т. Поэтому
|
/' •> со

§ 36. Связь полных сепарабельных пространств 451
согласно B). Отсюда /{а)= lim pjt и так как |р;-—р\ < е, то
Второе равенство в G), таким образом, установлено. Но первое
есть частный случай второго, если считать, что при & = 0 имеем
F=S.
Теорема (и). Пусть выполнены условия утверждений (в)
(д) и (з), пусть, кроме того, множество Fn .„. нигде не
плотно в множестве Fn ...„ (какова бы, ни была система
индексов «1 ... nk_x); тогда образ любого открытого множе-
множества пространства оА^ при отображении f является множе-
множеством первой категории относительно самого себя.
Так как множества J\Tn ...„ образуют базис пространства J\T,
то достаточно доказать, что множество f(e/V°tt ...и) является мно-
множеством первой категории относительно самого себя.
В силу предложения (в), имеем Z == <JV*, поэтому, согласно вклю-
включению D), f{J\fnx ...nk)^Fni ... nk< откуда
СО СО
/КЧ ... 0= и/(Л\ ... v)c=ll Fn, ... v
Так как любое из множеств Fn ... „ / нигде не плотно в мно-
множестве Fn ...„ (по предположению), то их объединение является
множеством первой категории в Fn ...nk- Следовательно, множество
/(dVnx ... и) является множеством первой категории в Fn ... „.
С другой стороны, в силу G), F) и (в), имеем
Множество f (JVп ...и), как множество первой категории отно-
относительно своего замыкания, является множеством первой категории
относительно самого себя (см. § 10, IV, 2).
Мы дополним утверждение (и) следующим предложением:
Теорема (к). В канторовом множестве <? существует
система lFn п\ совершенных множеств, удовлетворяющая
условиям теоремы (и).
Заметим сначала, что каждой точке р прямого произведения
^Х^ можно поставить в соответствие совершенное множество
PpC'tf X <?, содержащее точку р и нигде не плотное в простран-
пространстве <? X <? (гомеоморфное множеству <?).
Так как пространство <? X <? гомеоморфно <? (§ 16, II, теоре-
теорема 6), то аналогичным образом любой точке множества <? можно
поставить в соответствие совершенное множество, содержащее эту
29*

452 Гл. 3. Полные пространства
точку и нигде не плотное в *?. Следовательно, если рх, р2, ... —
последовательность точек, плотная в <?, существует последователь-
последовательность Fx, F2, ¦ ¦ ¦ непустых совершенных множеств, нигде не плот-
плотных в 'ё', такая, что
РпПРт = 0 для пфт и рп ? (J F-r
Тогда мы имеем §? = U Ft. Заменяя в этом рассуждении мно-
жество §? множеством Fn, мы определим множества F Пф2, затем
множества Fnin2ns и т- Д- Кроме того, можно допустить, что
b(Fn ... л/) < 1/&- Тогда система \Fn ... „А удовлетворяет условиям
теоремы (и).
II. Отображения множества оЛ^ в полные пространства.
Теорема I1). Всякое полное сепарабельное пространство
является {эффективно2)) непрерывным образом простран-
пространства руУ.
В самом деле, пусть /?l5 R2, . . . —базис пространства $~, такой,
что R;=?Q и б(/?;)< 1 (см. § 21, II). Положим Fl^Rl. Тогда
A) #=\JFl и 6(/=\)<1.
Применим индукцию. Предположим, что множество Fn ... „ опре-
определено, непусто и замкнуто. Рассмотрим это множество в качестве
пространства; тогда существует бесконечная последовательность не-
непустых замкнутых множеств Fn^ ... ,^,-, где /=1( 2, ..., такая, что
B) Fnx...nk=UFnx...nj и 6(^1...^)<Т-^Т.
Тогда, в силу предложений (б), (в) и (ж), множество & является
непрерывным образом множества <d\F.
Теорема 2. Любое полное сепарабельное пространство
размерности 0 гомеоморфно некоторому замкнутому подмно-
подмножеству пространства JV.
В самом деле, так как пространство X нульмерно, любое его
открытое подмножество есть объединение бесконечной последова-
последовательности попарно непересекающихся открыто-замкнутых множеств
(пустых или нет), диаметр которых может быть сделан сколь угодно
малым (§ 26, I, следствие 1а). Следовательно, как и в предыдущем
доказательстве, формулы A) и B) имеют место, поскольку множества
') Эта теорема будет распространена в § 37 на борелевские множества.
2) То есть доказательство позволяет определить непрерывное отобра-
отображение f :<№->%; (см. § 23, VIII).

§ 36. Связь полных сепарабельных пространств 453
Fn ... п замкнуты, открыты и попарно не пересекаются при фик-
фиксированном k.
Согласно предложениям (а), (е) и (ж), пространство SP гомео-
морфно множеству Z, замкнутому в ЛГ
Следствие 2а. В пространстве o/f любое G^-множество
гомеоморфно некоторому замкнутому множеству.
Действительно, в силу § 33, VII, любое (?5-множество, содержа-
содержащееся в пространстве d?°, гомеоморфно полному пространству раз-
размерности нуль.
Теорема 3 (теорема Мазуркевича:)). Всякое G^-множество,
плотное и граничное в полном сепарабельном нульмерном про-
пространстве, гомеоморфно пространству ^ДТ.
В самом деле, согласно теореме 1', § 26, I, рассматриваемое
Об-множество является результатом (ст?)-операции, примененной к си-
системе [Fn ...n ! непустых открыто-замкнутых попарно не пересе-
пересекающихся при фиксированном k множеств, удовлетворяющих усло-
условиям A) и B) п. I. Согласно равенству C) и предложениям (в)
и (е), это множество гомеоморфно множеству <?//*'.
Следствие За. Любое G^-множество, плотное и граничное
в пространстве ef действительных чисел, гомеоморфно про-
пространству JV.
Пусть Q есть О6-множество и D — счетное подмножество из
'io —Q, плотное и такое, что множество cf — Q — D плотно (мно-
(множество D такого вида существует, ибо множество ef—Q плотно и
плотно и себе). Следовательно, множество Q является плотным и гра-
граничным в ef — D. Более того, ef — D как О6-множество является
топологически полным пространством размерности 0 (§ 33, VI).
Поэтому множество Q гомеоморфно пространству q/J/°, в силу
теоремы 3.
III. Взаимно однозначные отображения.
Теорема. Интервал (J, а также п-мерный куб 0п
(п конечно или равно Ко) являются гомеоморфными образами
{при гомеоморфизме класса @, 1)) пространства q/V''¦
Пусть N — канторово множество "г?', лишенное левых концов
смежных интервалов. Каждому числу
X—~зГ~^Т~' ' ' ' t'W i~ ' ' ' *-Ст —U или 2)
') См. Мазуркевич [2], Брауэр [2], Александров и Урысон [3].

454 Гл. 3. Полные пространства
поставим в соответствие число
m+1
тогда отображение t: N —>¦ ?f непрерывно и взаимно однозначно (см.
§ 16, II, следствие 6а).
Обратное отображение Г1 имеет только счетное множество точек
разрыва (это точки, которые представляются конечными двоичными
дробями); следовательно, оно принадлежит первому классу (§ 34, VII,
следствие 1).
Так как N — плотное и граничное множество в §f, то множества
Л' и оАГ гомеоморфны (теорема 3, п. II); пусть s—гомеоморфизм,
такой, что s(-,/\T) — N. Функция f = t°s удовлетворяет теореме для
п=\.
Поставив в соответствие последовательности (конечной или бес-
бесконечной), составленной из иррациональных чисел xlt х2, ..., по-
последовательность f(x{), f(x2), •••> мы определим непрерывное
отображение g : <?#*"—>- g".
Обратное преобразование g~} ставит в соответствие любой точке
ух, у2, ••• пространства <J" точку f~1(y1), /~1(у2), ••- пространства вА'"".
Следовательно, отображение g'1 принадлежит первому классу, так
как отображение /*" принадлежит первому классу (§ 31, VI, 3).
Поскольку пространство J\f'n гомеоморфно пространству о/У" (§ 16,
11,6), обозначим через h гомеоморфизм, такой, что h (<=//*) = QATn,
Суперпозиция g оh и есть искомое отображение.
Замечание. Предыдущую теорему можно обобщить, если заменить
л-мерный куб 0п произвольным /^-множеством, состоящим только из
точек конденсации (и лежащим в полном сепарабельпом пространстве).
(См. Хаусдорф [7].)
Следствие1). Всякое метрическое сепарабельное про-
пространство X является гомеоморфным образом (при гомео-
гомеоморфизме класса @, 1)) некоторого подмножества EclqA^.
Кроме того, если пространство Ж — полное, то множе-
множество Е замкнуто (следовательно, топологически полно, сепа-
рабелъно и 0-мерно).
В самом деле, пространство X можно рассматривать как под-
подмножество Qc^»»(§ 22, II).
Если же пространство Л? полно, то Q есть Ой-множество (см.
§ 35, III). Итак, пусть /—отображение, рассмотренное в преды-
предыдущей теореме (для п= &$0); тогда /~ (Q) есть О5-множество
в пространстве а/У; следовательно, оно гомеоморфно некоторому
замкнутому подмножеству пространства Q/jT (следствие 2а, п. II).
') В § 37 это следствие будет распространено на борелевские мно-
множества.

§ 36. Связь полных сепарабельных пространств 4J5
IV. Теоремы разложения.
Теорема 1. Любое полное сепарабельное 0-мерное не-
несчетное пространство является объединением некоторого
счетного множества и множества, гомеоморфного простран-
пространству J\T.
В самом деле, согласно теореме Кантора — Бендиксона (§ 23, V),
это пространство является объединением счетного множества и непу-
непустого совершенного множества Р. Пусть D — счетное множество,
плотное в Р. Множество Р, рассматриваемое как пространство,
является полным, сепарабельным и 0-мерным. Кроме того, каждая
его точка есть точка конденсации (§ 34, IV, следствие 3); следова-
следовательно, множество Р—D плотно в Р. Будучи плотным и гра-
граничным Об-множеством в Р, оно гомеоморфно пространству qJ\T
(согласно теореме 3, п. И).
Замечание. Отсюда следует, что несчетное О6-множество,
расположенное в У', становится гомеоморфным множеству J\f',
когда в нем вычеркивается некоторое подходящим образом
выбранное счетное множество (теорема Мазуркевича, см. цит.
раб.).
Действительно, удаляя рациональные точки, мы получим (?6-мно-
жество размерности 0, которое становится, как мы показали, гомео-
гомеоморфным множеству q/IT после удаления счетного множества точек.
Теорема 2. Всякое полное сепарабелъное несчетное про-
пространство является объединением счетного множества и
множества, которое получается из оАГ при гомеоморфизме
класса (О, 1).
В самом деле, пусть У— рассматриваемое пространство и & —
полное сепарабельное 0-мерное пространство, такое, что У — f {Ж),
где / — гомеоморфизм класса @, 1) (следствие, п. III).
Согласно предыдущей теореме, мы имеем Л? = D\] N, где D —
счетное множество, а N гомеоморфно пространству q/IT. Равенство
У = / (D)U / (АО является искомым разложением.
V. Связь с канторовским множеством 8s.
Теорема. Любое непрерывное отображение f полного сепа-
рабелъного пространства X, принимающее несчетное мно-
множество различных значений, является гомеоморфизмом на
некотором множестве А, гомеоморфном канторовскому мно-
множеству %*.
Кроме того, любое полное, плотное в себе непустое про-
пространство (которое может и не быть сепарабельным) mono*
логически содержит канторовское множество *ё (см. Юнг [4]).

456 Гл. 3. Полные пространства
Поставим в соответствие каждому значению у рассматриваемой
функции / точку ху, такую, что у = /(ху). Пространство Ж сепа-
рабельно и множество различных точек ху несчетно; пусть D —
некоторое плотное в себе (непустое) подмножество этого множества
(см. § 23, V).
Пусть р0 Ф р2—-две точки множества D, и пусть Fo и F2 — Два
(замкнутых) шара с центрами р0 и />о, такие, что
1Э
2°
Существование шаров FQ и F2 вытекает из непрерывности функ-
функции /: если бы такие шары не существовали, то можно было бы
определить (рассматривая стягивающиеся шары) две последователь-
последовательности (г„) и {sn}, такие, что
lim rn = p0, lim sn = p2 и / (гп) = f (s„);
п ->от п ->со
но тогда
lim /(rn)= lim f(sn), откуда f(Po) = f(P2) и Ро —Ръ>
II -> СО П -> -43 *
ибо функция / взаимно однозначна на множестве D.
Так как множество D плотно в себе, внутри шара Fo сущест-
существуют две точки р00 ? D и р0, f D и два шара Foo и F02, такие, что
Придавая аналогичный смысл символам Fm и F2% и продолжая
этот процесс, мы придем к диадической системе неп}гстых замкнутых
множеств \FC ...сЛ> удовлетворяющих условиям A) и B), п. I.
Кроме того, имеем
@ /(/v.cjn/(/V..rf,) = o,
если
(С, ... Ck) ф (d, . . . dk\
а это означает, что /7Cj... с П Fd ... dk = 0.
Отсюда, в силу п. I, (г) и (д), вытекает, что множество
^ = Г) U Fc с , где объединение берется по всем системам из k

§ 36. Связь полных сепарабельных пространств 457
цифр с1 . . . ck, является взаимно однозначным и непрерывным образом
множества <? : А = g(%?)').
В силу § 20, V, 6а, множество А гомеоморфно множеству %*.
Для доказательства гомеоморфности сужения /1А достаточно
доказать, что оно взаимно однозначно. Итак, пусть xv х9?Л,
„Vj Ф х2; тогда существуют две различные системы индексов (с, ... ск)
и (dl . . . rfk), такие, что X\?FCl... ck и Х2 ? Л? ¦¦¦йк- В силу (i),
/(Xj) Ф /(х2), что и требовалось доказать. Чтобы установить вторую
часть теоремы, достаточно положить в предшествующем рассуждении
D = JT и /(х) = х.
Следствие 1. Любой непрерывный несчетный образ пол-
полного сепарабельного пространства топологически содержит
множество 'ё'. Следовательно, он имеет мощность континуума.
Следствие 2. Всякое полное сепарабельное несчетное про-
пространство содержит множество типа Ов> гомеоморфное мно-
множеству J\T.
Это следствие вытекает из следствия 1, теоремы И, 1 и того
факта, что множество §? после удаления концов смежных интервалов
гомеоморфно множеству в/У.
Следствие 3. Пусть f — некоторая непрерывная функция,
заданная на полном сепарабельном пространстве 3?. Тогда
необходимым и достаточным условием несчетности множества
значений этой функции является существование плотного
в себе множества ЕаХ, такого, что сужение f\E взаимно
однозначно.
В силу теоремы этого пункта, условие необходимо. Оно является
достаточным, согласно следствию 6 из § 34, IV.
Замечание (см. Гуревич [12] ). Последнюю теорему можно доказать
для произвольных метрических пространств следующим образом. Говорят,
что функция / является локально постоянной в точке х0} если существует
окрестность Е точки х0, такая, что сужение /1 E постоянно. Имеет место
следующая теорема:
Пусть f — непрерывное отображение метрического пространства ^
в себя, и пусть в пространстве ,<2Г существует несчетное множество А,
такое, что сужение /\А не является постоянным ни в какой точке.
Тогда пространство f? содержит совершенное множество Р, такое,
что функция f | Р есть гомеоморфизм.
Отсюда вытекает, что
Любое непрерывное отображение метрического сепарабельного про-
пространства, допускающее несчетное множество значений, является го-
гомеоморфизмом на некотором совершенном подмножестве.
1) Функция g может быть определена непосредственно, а именно положим
g(c) = FCt(\FCiC%uFCiCiCi[\... для с =
См. Хаусдорф [5].

458 Гл. 3. Полные пространства
*§ 37. Борелевские множества в полных сепарабельных
пространствах1)
I. Связь борелевских множеств с пространством QAr.
Теорема 1. Любое борглевског множество является не-
непрерывным образом пространства о/У-
Всякое замкнутое подмножество полного пространства полно, и
поэтому, в силу § 36, 11,1, является непрерывным образом про-
пространства ЛГ. Поэтому нужно доказать (см. § 30, I), что если
{/,}, /=1, 2 — последовательность непрерывных отображений
f i : о/У —¦>•¦#", то множества
T) и Я = П
i
являются непрерывными образами пространства о/У.
Обозначим через Nn множество иррациональных чисел интервала
(п — 1, га) и положим f (х) = /„ (х — п-\- 1) для х ^Nn, п — 1, 2
Функция /, следовательно, непрерывна на множестве e/y*=\JNj
i
и /(&^°*) = 5. Кроме того, множество а4^*, очевидно, гомеоморфно
множеству а/У'.
Для доказательства того, что множество Р является непрерывным
образом множества q/У, рассмотрим в пространстве q/У** последова-
последовательностей а = [а1, а'2, . . .], где ап?о/У, множество А таких а, что
/. (а1) — /2 (а2) = . . ., и для а ? А положим /* (а) = fx (а1). Согласно
§ 16, IV, 5, А—замкнутое подмножество пространства а/У*° и, следо-
следовательно, непрерывный образ пространства о/У. Согласно § 16, IV,
теореме 3, отображение f*:A—>P непрерывно.
Теорема 2. Всякое борелевское множество есть взаимно
однозначный и непрерывный образ полного сепар аб ельного
0-мерного пространства2).
Действительно, так как любое открытое множество топологически
полно (§ 33, VI) и, следовательно, для него утверждение теоремы
справедливо (в силу следствия из § 36, III), то остается доказать
(см. § 30, V, 3), что если JtTit 3?2, ... — последовательность полных
сепарабельных 0-мерных пространств и /; ; Ж{—>Я?, г'= 1, 2, . . .,—
последовательность взаимно однозначных и непрерывных отображе-
отображений, то
') См. Лузин [8], гл. II, а также Куратовскии [25]. См., кроме того, § 39,
IV и V. По поводу полных не обязательно сепарабельных пространств см.
А. Стоун [4].
2) Добавим, что если борелевское множество состоит только из точек
конденсации, то оно является взаимно однозначным и непрерывным образом
множества <А". См. Серпинский [22].

§ 37. Борелевские множества в полных пространствах 459
1° для множества Р = [") /,- C? t) теорема справедлива;
2° для множества S=(J//A#'/) также теорема справедлива при
i
дополнительном предположении, что множества fx C?{), /2(^2)' •••
попарно не пересекаются.
lX3
Чтобы установить 1°, рассмотрим в прямом произведении [~| Xt
i = \
множество А таких элементов а = [а1, а2, ...], что fi{cir) —
= fo (o2)= ••• и для а ? А положим f*(a) = f1 (ar). Так как простран-
со
ство П •#"/ полно (§ 33, III), сепарабелыю (§ 16, V, 6) и 0-мерно
(§ 26, IV, следствие 26), то и множество Л полно, сепарабелыю и
0-мерно (ибо А—замкнутое подмножество этого пространства, см.
§ 16, IV, 5). Более того, отображение /*: А —>Р взаимно однозначно и
непрерывно (§ 16, IV, 3, 4).
Наконец, чтобы установить 2°, рассмотрим, в соответствии
с § 36, II, 2, пространство 3?п как замкнутое подмножество множе-
множества Nn (иррациональных чисел интервала (га—1, п.)). Функции /„,
га = 1, 2, . . ., определяют тогда взаимно однозначное непрерывное ото-
отображение объединения (J 3?t на множество S. Так как множество (J Ж\
i i
замкнуто в пространстве положительных иррациональных'чисел, оно яв-
является топологически полным сепарабельным 0-мерным пространством.
Из теорем 1 и 2 вытекает (из каждой в отдельности) следую-
следующее важное утверждение.
Теорема 3. (Теорема Александрова [1] — Хаусдорфа [2].) Любое
несчетное борелевское множество топологически содержит кан-
торовское множество & и, следовательно, имеет мощность с.
Эта теорема вытекает из теоремы 1, если принять во внимание
следствие 1 из § 36, V, а также из теоремы 2, если сопоставить ее
с теоремой 1 из § 36, IV.
II. Характеризация борелевских классов множеств с помощью
обобщенных гомеоморфизмов. Теорему 2 из п. I можно уточнить
следующим образом.
Теорема 1. Пусть S? — полное сепарабельное простран-
пространство и А — его произвольное подмножество мультипликативного
(соответственно двустороннего) класса ct —j— I > 0. Тогда су-
существует полное сепарабельное пространство J1 и гомеомор-
гомеоморфизм f : J1 —>¦ Ж класса @, а), такой, что f~l (А) является
Оь-мноэюеством (соответственно множеством типа Fa и G6).
Более того, если a-f- 1 > 1, то пространство J" можно
считать 0-мерным.

460 Гл. 3. Полные пространства
Мы докажем эту теорему сначала для двусторонних классов.
Допустим, что теорема верна для любого двустороннего множества
класса < C (C > 1). Покажем, что тогда она верна также для дву-
двустороннего множества А класса р. В силу § 30, IX, 1, множество А
имеет вид
а = U (л„плв+1п . ••)= П (Л„илл+1и ...),
/1 = 1 П=\
где Лп—двустороннее множество класса ап и 0 < ап < р.
Если C > 2, то, по предположению индукции, существует мно-
множество С„, замкнутое в <J\T t и гомеоморфизм /я класса @, ап), опре-
определенный нэ С„, такой, что /п(Сп) = Ап. Если C = 2, то к тому же
заключению можно прийти в силу следствия из § 36, III (где про-
пространство ЯГ может быть заменено множеством Ап, ибо последнее
есть С6-множество).
Так как множество X — Ап также является двусторонним класса ап,
то существует множество Dn, замкнутое в множестве иррациональных
чисел интервала A, 2), которое связано с множеством Я?— Ап
таким же образом, каким связаны множества Сп с Ап. Положим
3'п = Сп U Dn\ тогда отображение /,г, определенное на всем множе-
множестве SCп, непрерывно, взаимно однозначно и удовлетворяет соотно-
соотношениям fn(Cn) = An и fn(Dn) = >r — An. Отображение /~! при-
приJ1
~l
надлежит классу ап, ибо сужения /J1 Ап и f~l \[X — А\ по пред-
предположению, принадлежат классу ап и Ап—двустороннее множество
класса ап (см. § 31, IV, 2).
Заметим, что Л?п — топологически полное сепарабельное 0-мерное
пространство и что Сп и Dn—открыто-замкнутые подмножества
этого пространства. Пусть Е = П ^",- — прямое произведение про-
пространств Жп, т. е. пространство последовательностей а = [а1, а2, . . .],
где а"^ЛГп. Пусть далее J1 — множество таких а?Е, что f\(al) =
= /2(а2)= .... Положим /(аО^/^а1) для a?j (см. § 16, IV).
Так как множество J1 замкнуто в Е и Е — топологически полно,
сепарабельно и 0-мерно (§ 33, III, § 16, V, 6, § 25, IV, следствие 26),
то и множество J1 обладает этими свойствами. В силу § 16, IV,
/(J') = jr и, согласно § 31, VI, 3, / — гомеоморфизм класса @, |3),
если р — предельное число, и класса @, а), если р = а-(-1.
Множество /~ЧЛ) является Fg- и Ов-множеством. Действительно,
мы имеем
Г1 (А) = U I/ (Ап) П /"' (Ап+1) П . . . ] =

§ 37. Борелевские множества в полных пространствах 461
Так как функция / непрерывна, то достаточно доказать, что множе-
множество f~l(An) открыто-замкнуто в J1. Итак, для a^J1 имеем
и поскольку множество Сп открыто-замкнуто в JPn, то множество
открыто-замкнуто в J1, так как
Е К е с„) ="пзг1 хсдп хаЧ.
а 1 = 1 ]=1
Случай двусторонних множеств рассмотрен; выведем отсюда тео-
теорему для случая мультипликативных классов.
Пусть А — множество мультипликативного класса а-|-1(>0);
тогда А = Г] Ап, где Ап—двустороннее множество класса сх —|— 1.
п
Следовательно, согласно только что доказанному, существуют полное
сепарабельнос пространство Xп, &б-множество (и даже Fn- и (?6-мно-
жество) Сп и гомеоморфизм /„ класса @, а), такие, что
/„(&„) = & и /;1(л„) = с„.
Пусть пространство J1 и отображение / определены, как выше; тогда
Эти соотношения показывают, что /~ (Л„) является (?6-множеством
в J'. Следовательно, и множество /~'(Л) обладает этим свойством.
Замечания. 1. Класс отображения /~ не может быть понижен.
Действительно, пусть отображение /~ принадлежит классу |, тогда
множество А =//"' (Л)—двустороннее класса |+ 1, так как/ (А) —
двустороннее множество класса 1 (§31,111,1).
Следовательно, если множество А принадлежит классу а-|-1, но
не принадлежит классу а, то ?,^>а.
2. Теорему можно обобщить, если заменить ct —|— 1 на a-(-(i и
класс G6 (соответственно Fa и (?5) на мультипликативный (соответ-
(соответственно двусторонний) класс C (см. Куратовский [25]).
Следствие 1а. Любое множество А мультипликативного
класса а-+- 1 > 0 является гомеоморфным образом {при гомео-
гомеоморфизме класса @, а)) некоторого полного сепарабелъного
пространства.
Если а-\- 1 > 1, то можно считать, что это пространство
0-мерно.

462 Га. 3. Полные пространства
Действительно, множество f~l (А), рассмотренное в теореме 1,
есть Gj-множество и, следовательно, топологически полное про-
пространство.
Следствие 1а и следствие 3 из § 35, VII дают
Следствие 16. Для того чтобы некоторое множество при-
принадлежало мультипликативному классу а-\-\ > О, необходимо
и достаточно, чтобы оно было гомеоморфным образом (при
гомеоморфизме класса @, а)) некоторого полного сепарабель-
ного пространства.
Следствие 1в. В любом несчетном борелевском множестве А
мультипликативного класса a-f-1 > 1 существует счетное под-
подмножество D, такое, что множество А—D является гомео-
гомеоморфным образом (при гомеоморфизме класса @, а)) простран-
пространства oJV"'.
Пусть, в соответствии со следствием la, J' — полное сепарабель-
ное 0-мерное пространство и / — гомеоморфизм класса @, а), такой,
что fOf) — А. Если Е— счетное подмножество пространства J1',
такое, что множество J'—Е гомеоморфно множеству а/У (см.
§ 36, IV, 1), то положим D — f(E).
Теорема 2. Пусть А и В — несчетные множества соот-
соответственно мультипликативных классов a —j— I > 2 и p-f- I >2;
тогда существует гомеоморфизм f:A—>B класса (а, C) ')¦
Пусть, в соответствии со следствием 1в, D и Е — два счетных
множества и /, и /2— гомеоморфизмы соответственно классов @, а)
и @, р), такие, что fl(<jr) = A — D и fi(e/fT) = B — E. Положим
/(x) = /2/j~1(x) для х ? А—D и определим / для x?D так.
чтобы D отображалось на Е взаимно однозначно. Определенное таким
образом отображение / является отображением класса а на мно-
множестве А—D (§ 31, III, 2) и класса 1 (§ 31, X, замечание 9), а,
следовательно, класса а, на множестве D.
Так как D и А—D — множества типа G6a относительно А и,
следовательно, принадлежат аддитивному классу а, то функция /
есть функция класса а на всем множестве А (согласно § 31, IV, 1).
Из соображений симметрии f~l есть отображение класса р на мно-
множестве В.
Замечания. 1. Таким образом, если ограничиться борелевскими
подмножествами полных сепарабельных пространств, то равномощ-
ные множества гомеоморфны в обобщенном смысле.
2. Аналогичным образом доказывается (см. Куратовский [25]),
что между любыми двумя полными сепарабельными простран-
') Это отношение между множествами А и В Макки [1] называет боре-
левским изоморфизмом. Оно имеет интересные приложения в теории групп.

§ 37. Борелевские множества в полных пространствах 463
с/пвами1) одинаковой мощности существует гомеоморфизм
класса A, 1).
III. Разложение двусторонних множеств в знакочередующиеся
ряды.
Теорема. Для того чтобы А было двусторонним множе-
множеством класса а-j-l, необходимо и достаточно, чтобы оно раз-
разлагалось в знакочередующийся счетный (трансфинитный) ряд
убывающих множеств, принадлежащих мультипликативному
классу а:
A) A=B1—B2UB3 — B4U ... U5ffl—5ш+1и •••¦
В силу § 30, VI, 3, условие теоремы является достаточным. Для
доказательства необходимости рассмотрим, в соответствии с теоре-
теоремой 1 из п. II, полное сепарабельное пространство J1 и гомеомор-
гомеоморфизм f-.J'^-S класса @, a) (SziA), такой, что /~:(А) есть Fa-
и Oj-множество. В силу теоремы § 34, VI, множество f~l (А) имеет
вид
где {Ft}—убывающая последовательность замкнутых множеств.
Так как отображение / взаимно однозначно, то
U ••¦ U/(/="«,)-/(/Vh) U ••¦.
и {Bi = f(Fi)}—убывающая последовательность множеств мульти-
мультипликативного класса а, поскольку /~ —отображение класса а.
IV. Малые классы Бореля. Предыдущая теорема естественным
образом приводит к классификации двусторонних множеств данного
класса а (где а не является предельным числом). А именно если
ряд A) типа р, то говорят, что множество А принадлежит малому
классу Fa. Аналогичным образом, если дополнение множества А раз-
разложимо в ряд типа р, то говорят, что множество А принадлежит
малому классу О„.
Таким образом, классификация двусторонних множеств класса a
(при фиксированном а) на „малые классы" подобна классификации
борелевских множеств на классы Fa (или Ga).
Например, множества малых классов F\, f\, F\, ... и О\, Gv Gi, ...
имеют вид соответственно
F, Z7! — F2, Fl — F2[jF3, ...;
Ж — F, X — FX\1F2, X — F1 U F2 — F3, . ..
') Следовательно, и между любой парой множеств типа Oj. Что ка-
касается множеств типа F^, см. замечание в § 36, III.

464 Гл. 3. Полные пространства
Методом, аналогичным тому, который служил нам для доказа-
доказательства существования для каждого а (в пространстве иррациональ-
иррациональных чисел) борелевского множества, принадлежащего классу а, но
не принадлежащего классу < а (§ 30, XIV), можно установить су-
существование множеств, которые принадлежат данному малому классу,
но не принадлежат малым классам с низшими индексами (см. Ла-
Лаврентьев [3], Лузин [8], Серпинский [38]).
Замечание. Определение классов Оа выражается более есте-
естественным образом, если воспользоваться делением множеств, полагая,
по определению, X : Y = X [} (—У). Тогда О„ — класс множеств,
разлагающихся в „знакочередующееся пересечение" типа C возрастаю-
возрастающей последовательности множеств аддитивного класса а:
A = (G,: G2) П (О3 : О4) П ¦ ¦ • П (Ош : Ga+1) П ¦ • •.
где
О,с:О2с: . . . cGfflc ....
В самом деле, из соотношения
вытекает, что
А = [—(В1 — В2)]П ... п[—(Дш—5Ш+1)]П ..- =
= [(—Si):(—Я2IП ••• ПК—Яш):(—5Ш+1)]П ¦¦••
*§ 38. Проективные множества
Пространство предполагается полным сепарабельным.
!. Определения. Борелевские множества называются проектив-
проективными множествами класса 0. Проективные множества класса
2п-\-1—это непрерывные образы проективных множеств класса 2га
(расположенных в том же пространстве); проективные множества
класса 2п — это дополнения к проективным множествам класса 2 я — 1 1).
В частности, проективные множества класса 1, т. е. непрерывные
образы борелевских множеств, называются аналитическими или
А-множествами2), а их дополнения, т. е. проективные множества
класса 2, называются аналитическими дополнениями или СА-мно-
жествами3).
') При помощи счетных операций (J и Г) легко продолжить эту клас-
л=1 я=1
сификацию на трансфинитные числа (< Q), подобно тому как при класси-
классификации борелевских множеств.
2) Или „суслинскими множествами". (См. Хаусдорф [5].)
3) Понятие аналитического множества было введено Суслиным и Лу-
Лузиным [1]. Теория аналитических множеств развита главным образом Лузи-
Лузиным и Серпинским. Понятие проективного множества принадлежит Лузину [5].
См. Канторович и Ливенсон [2].

§ 38. Проективные множества 465
II. Соотношения между проективными классами. Обозначим
через СХ семейство дополнений к множествам, принадлежащим дан-
данному семейству X, и через РХ — семейство непрерывных образов
множеств, принадлежащих X. Справедливы очевидные формулы:
A) ССХ = Х,
B) Х<=РХ = РРХ,
C) (XczY)=$(CXc:CY и PXczPY).
Кроме того, если Ln есть w-й проективный класс, то имеем
D) ^-2л+1 — PL2n> PL2n+x = L2n+l\
E) ^2я— ^2/i-l: С?2п —^2л-1>
F) CL0 = L0 и PL0 = L1==A.
Мы докажем, что
G) L2ncL2n+k и L2n+lczL2n+2+k для «>0 и ft=l, 2
Очевидно, достаточно доказать, что
(О L2n cr i2n+i>
(ii) LnczLn+2,
(«О
Включение (i) является прямым следствием соотношений B) и D).
Включение (ii) имеет место для п = 0, в силу соотношений B), C) и
F). Для й>0 имеем либо Ln = PCLn_2, либо ?„ — CPLn_2 (полагая
L_l = L0). Допустим (рассуждая по индукции), что имеет место
включение Ln_2a Ln; тогда, согласно соотношению C), имеем
PCLn_2cz PCLn и CPLn_2czCPLn, откуда следует включение (ii).
Наконец, включение (i) дает CL2n+l — L2n+2 с L2n+3, откуда,
согласно соотношениям C) и A), L2n+1 = CCL2n+l a CL2n+Si~L?n+i.
III. Свойства проективных множеств.
Теорема 1. Пусть S~k — полное сепарабельное простран-
пространство, k=l, 2 и PkcSk—проективное множество
класса п; тогда прямое произведение (конечное или бесконеч-
бесконечное) Г\Р( является проективным множеством класса п в про-
i
странстве П-#*г-
с
Теорема 2. Пусть Р и Q — проективные множества
класса п, расположенные соответственно в полных сепара-
бельных пространствах 3? и у, f : Р~^>У — непрерывное ото-
отображение; тогда множество f~l(Q) принадлежит классу п.
30 Топология, т. I

466 Гл. 3. Полные пространства
Кроме того, если га нечетно, то f (Р) — множество класса га;
если п четно, то f (P)— множество класса л—|— 1.
Теорема 3 (Серпинский [36]). Пусть Ри Р2, ...—проек-
...—проективные множества класса га, тогда \JPt и f]Pt—тоже про-
l i
ективные множества класса п.
Мы докажем эти свойства методом конечной индукции.
Для га = 0 (случай борелевских множеств) утверждения 1, 3 и
первая часть теоремы 2 имеют место (§ 30, III). Вторая часть
утверждения 2 также имеет место. Действительно, если простран-
пространство Ц/ несчетно (в противном случае множество / (Р) было бы
счетным и, следовательно, класса 1), то существует борелевское
подмножество Nay, такое, что P = g(N), где g— непрерывное
отображение (см. § 36, V, следствие 2 и § 37, I, теорема 1). Сле-
Следовательно, f(P) — fg(.N) — множество класса 1.
Допустим теперь, что га > 0 и что все три утверждения имеют
место для п—1 (мы обозначим их ln_i, 2п_1, 3„_2).
Рассмотрим два случая.
а) Случай нечетного га. Положим Pk = pk(Rk)> r^e Rk — под-
подмножество пространства Xk класса га — 1 и pk — некоторая непре-
непрерывная функция, определенная на множестве Rk.
Доказательство теоремы 1. Каждой точке (xv х2, • • •) 6
? П Rt поставим в соответствие точку [р1{х1), Р2(х2), ¦¦•]6П^>/»
< i
тогда мы получим непрерывное отображение р : [~| Rt —> [~| Pt (см.
i i
§ 16, V, 8). Так как П/?,-, в силу ln_j, есть множество (четного)
класса га — 1, то Y]Pt — множество класса га.
i
Доказательство теоремы 2. Пусть, как и выше, Р — р (R),
где R a SP. Пусть, кроме того, Q = <](T), где Гс2/ есть подмно-
подмножество класса п—1 и q:T-->u2/ — непрерывное отображение. Имеют
место следующие очевидные тождества (где х ? JT, х* ? R и у 6 ^):
= V {Iх = Р(х*)\ A
*
= V [1х = р(х*)]
х*,у
откуда
Г1 (Q) = Е V {[-V = р (х*)\ A Up(х*) = ч (у)]}.
х х*, у
Следовательно, множество /~ (Q) является проекцией (§ 2, V,
теорема) и, следовательно, непрерывным образом множества М
точек (х, х*, у), удовлетворяющих условию в фигурных скобках.
Так как функции р, f ° p и q непрерывны, причем р определена на
R, a q на Т, то множество М замкнуто в произведении X X R X Т.

§ 38. Проективные множества 467
Так как последнее, согласно ln_i, есть множество класса п—1,
то множество М является пересечением замкнутого множества (класса
п—1) и множества класса п—1. В силу 3n_j, M — множество
класса я—1 в пространстве .#*Х-#*Х2Л и /~ (Q), как непрерывный
образ множества М, есть множество класса п, согласно второй
части теоремы 2п_1. Кроме того, равенство f(P) = fp(R) означает,
в силу 2Я_1, что f (Р) — множество класса п в пространстве у,
как непрерывный образ множества R.
Доказательство теоремы 3. Пусть теперь Pk — pk{Rk)
и Rk a 3". Имеют место следующие тождества:
ft=1 J I ft=1 J ft
ft x* ¦ xs ft
Следовательно,
oo
fe = l X X* ft
CO
Это означает, что (J ЯА есть проекция множества
м— р Vfx— о (х*)\— М F \х—Ои(х*\\
JVI Q_ V \Л JJk {Л )} \_J ?_ |Л //^ ^Л )].
х,х* к к = 1 х, х*
Так как отображение рк, определенное на Rk, непрерывно, то мно-
множество Мк= Е [х = рк(х*)\ замкнуто в произведении Ж X Rk,
X, X*
которое, согласно ln_i, принадлежит классу п—1; следовательно,
множество Мк, как пересечение замкнутого множества с множеством
класса п—1, принадлежит, в силу Ъп_х, классу п — 1. В силу
оо
того же предложения, М = (J Мк — множество класса п—1 и,
согласно 2„_1, (J Рк—множество класса п, как непрерывный образ
(проекция) множества М.
оэ
С другой стороны, включение х ^ f] Pk означает, что суще-
существует последовательность точек хи х2, ..., такая, что х = рк(хк).
Обозначая через а = [а1, а1, . . .] переменную, которая пробегает про-
пространство Л?*°, получаем
VA
а к

468 Гл. 3. Полные пространства
Следовательно, множество f) Pk есть проекция множества
Д? = 1
со
Е л{* = />*(**)) =П Е {х^Рк(а«)\.
х, a k k = 1 х, а
Итак, достаточно (в силу 3n_j) доказать, что множество Е [x = pk {ак)\
х, а
есть множество класса п — 1 (в пространстве JT X Ж*'). Это сле-
следует, как и выше, из того, что функция pk, рассматриваемая как
функция от а, непрерывна (потому что ак — непрерывная функ-
функция от е при фиксированном k; см. § 16, II) и определена на мно-
множестве
которое, согласно ln_i, принадлежит классу п—1.
б) Случай четного п > 0. Так как Р — множество класса п,
то —Р есть множество класса п — 1 (нечетного).
Предложение 3 непосредственно вытекает из 3n_j и формул
Моргана:
В силу равенства (см. § 2, II C)) Р X 2^ = ^ X У — (Р° X У) и
в силу 1„_1, множество РХУ принадлежит классу п и тому же
классу принадлежит множество Жх X ¦ • ¦ X &ъ-\ X^jX ^k+i X • • • •
Предложение \п получается отсюда, если принять во внимание пред-
предложение 3„ и тождество (см. § 3, VIII A)):
ЛХЛХ ¦ ¦ • =
-(ЛХ^Х^зХ .-ОП^Х^Х^зХ ¦ • •) П
Наконец, перейдем к теореме 2. Согласно теореме о продолже-
продолжении непрерывных функций (§ 35, I, 1), существует (?5-множество
Р* id Р и непрерывное продолжение fx функции / на множество Р',
т. е. f = f1\P. Тогда (см. § 3, 111A4))
Согласно 2л_:, /^(QO — множество класса п—1; согласно Зл,
f~l{Q)=zP" f| [jr — /~х (Qc)] — множество класса п. Взяв пересече-
пересечение этого множества с множеством Р и применив предложение 3„,
мы получим, что f~l (Q) — проективное множество класса п.
Кроме того, пусть N cz У (как и в случае я = 0) — борелевское
множество, такое, что JF = g(N), где g — непрерывное отображе-
отображение; множество g~* (Р) является множеством класса п в простран-

§ 38. Проективные множества 469
стве у и, следовательно, множество f (P) = fg [g~l (P)] с # есть
множество класса я-j-l.
Предложения 1—3 доказаны полностью.
Теорема 4. Пусть f есть В-измеримая функция, опре-
определенная на множестве Р класса га; тогда множество
1— Е {у — /(х)} есть множество класса га.
Х,У
В самом деле, /—борелевское множество относительно произ-
произведения Р X. У (§ 31, VII, 1). Будучи пересечением борелевского
множества и множества Р' X З''. принадлежащего классу п (со-
(согласно 1), / является множеством класса п (согласно предложению 3).
Теорем а 5. Предложение 2 остается справедливым, если
допустить, что f — произвольная В-измеримая функция.
В самом деле, согласно § 35, VI, существует В-измеримая функ-
функция /г, определенная на всем пространстве Л? и такая, что f — f\\P-
Поэтому (§ 3, III A4)) f~l (Q) — Р [\ f^1 (Q). Следовательно, доста-
достаточно доказать, что /~ (Q) есть множество класса га.
При нечетном га это так: положим У= Е {У = /\{х))< тогда
х, у
множество /~ (Q) есть проекция множества JflC^XQ) на ось S".
Если я. четно, то утверждение справедливо, в силу равенства
/;1(s/~Q)^-r~/;1(Q).
Кроме того, f (Р) есть проекция множества Е {у —/(х)}
-г, V
на ось у.
Замечание. Таким образом, мы получаем эквивалентное опре-
определение проективного класса: множество Р, расположенное в про-
пространстве ЛГ, есть множество класса 2га -\- 1, когда (в ЛГ или в другом
полном сепарабельном пространстве) существуют множество R класса
2га и В-измеримая функция /, определенная на R, такие, что Р = /(/?).
Для относительно проективных множеств справедливо следующее
предложение.
Теорема 6. Пусть ЕсЖ есть G^-множество. Для того
чтобы множество A cz E било проективным класса п относи-
относительно Е, необходимо и достаточно, чтобы оно было класса п
{относительно X).
Применим индукцию. Для ге = 0 теорема очевидна. Для того
чтобы множество А было борелевским относительно Е (которое
является борелевским), необходимо и достаточно, чтобы множество А
было борелевским.

470 Гл. 3. Полные пространства
Допустим, что «>0 и что теорема верна для п—1. Пусть п
нечетно. Предположим, что А — множество класса га относительно Е;
тогда А — непрерывный образ некоторого подмножества из Е
класса п—1. Согласно 2, А—-множество класса п относительно
пространства ЛГ. Аналогичным образом, из предположения, что
А — множество класса п, следует, что А — множество класса га
относительно Е.
Пусть га — четно. Если А — множество класса га относительно Е,
то А = Е — В, где В—множество класса п—1 относительно Е, и,
следовательно, относительно пространства Ж. Так как Sf — В есть
множество класса га, то из предложения 3 следует, что множество
А = Е(](ЛГ— В) тоже класса га.
Обратно, предположим, что А — множество класса га; тогда
А = Л?— В, где В — множество класса га—1. Следовательно, мно-
множество Е[\В также класса п—I, и поэтому Е |~| В — множество
класса га—1 относительно Е. Так как Л cz ?, то А = Е — Б =
~Е — (Е[\В), откуда следует, что А — множество класса га отно-
относительно Е.
IV. Проекции.
Теорема. Проективные множества нечетного класса п,
расположенные в пространстве ЛГ, совпадают с проекциями
множеств класса п—1, расположенных в произведении
В самом деле, с одной стороны, проекции множеств класса п — 1
являются множествами класса п (согласно III, 2). С другой стороны,
любое множество Р класса п есть непрерывный образ множества R
класса п—l:f(R) — P, где Rcjf. Следовательно, множество Р
есть проекция множества Е {-":* = /(x)}> которое, согласно III, 4,
X, X*
является множеством класса п — 1 (в Л? X ЛГ).
Замечание 1. Доказанная теорема остается справедливой, если
пространство X X & заменить пространством Л? X о$°¦
В самом деле, в силу теоремы 1, § 36, II, пространство Л?
является непрерывным образом множества q/У, т. е. Л? = /(о/У).
Если Р — множество класса п (четного или нечетного), то множество
Pl = f~1(P)—также класса га (согласно III, 2).
Следовательно, множество Р является непрерывным образом мно-
множества класса га, расположенного в q/У, а последнее представляет
собой — для нечетного я — непрерывный образ некоторого подмно-
подмножества из о/У класса п—1. Следовательно, Р есть проекция на
') Это предложение объясняет термин „проективное множество"

§ 38. Проективные множества 471
ось S" множества класса п—1, расположенного в произведе-
произведении X X JV.
Замечание 2. В частности, аналитические множества со-
совпадают с проекциями (на ось Ж) замкнутых множеств,
лежащих в пространстве S" X q/У (cm. Шпильрайн-Марчевский
к Куратовский [1]).
В самом деле, в силу теоремы 1 из § 37, I, любое борелевское
множество является непрерывным образом множества q/У; это верно
и для любого аналитического множества. Следовательно, если А —
аналитическое множество, то существует непрерывная функция /,
определенная на <?//* и такая, что множество А является проекцией
на ось Ж замкнутого множества Е {х = f (а)) пространства SC X с/У
х, а
(переменная а пробегает множество о/У). Обратно, проекция зам-
замкнутого множества есть аналитическое множество (в силу п. III, 2).
V. Универсальные функции. В соответствии с определением
§ 30, XIII, отображение ?„, ставящее в соответствие каждому ирра-
иррациональному числу а проективное множество Ln(a) класса п (лежа-
(лежащее в пространстве X), называется универсальным относительно
класса Ln, когда Ln совпадает с семейством значений функции Ln.
Теорема. Для любого п > 0 существует универсальное
отображение Ln, такое, что множество Е [х ?Ln(a)) есть
х, а
множество класса п (см. Лузин [8], стр. 290).
Пусть, в соответствии с замечанием из § 30, п. XIII, F—уни-
F—универсальное отображение относительно семейства замкнутых подмно-
подмножеств пространства X X JV, такое, что множество Е {(х, п*) 6 F (°I
х, а, а*
замкнуто в пространстве Ж X оА^ X е4^° (а и а* пробегают мно-
множество в/У). Любое аналитическое подмножество пространства S?
есть проекция замкнутого подмножества пространства X X а4г,
поэтому, чтобы получить универсальное отображение Lx относи-
относительно /.)(—Л), поставим в соответствие каждому а проекцию F (а)
и?. Ж, т. е.
Множество
X, а
как проекция замкнутого множества Е [(х, а*)€Р(а)}, является
х, а, а*
аналитическим.

472 Гл. 3. Полные пространства
Доказательство проведем по индукции. Для четного га положим
Ln(a) = X — Ln_x{a). Отображение Ln универсально относительно Ln
и множество
Е [х е М«)) = E {x?Ln_1(aj\=jrXer- E {x?Ln_,(a)}
х, а х, а х,а
принадлежит классу га.
Пусть п > 1 нечетно; обозначим через Ln-\ отображение, уни-
универсальное относительно семейства подмножеств класса га — 1 про-
пространства JXef. такое, что Е Кх> «*)€^rt-i(fl)} является
х, а, а*
множеством класса га — 1 (в X X <^У X е//О- Рассуждая, как в случае
л= 1, легко показать, что отображение Ln, определенное тождеством
{x?Ln(a)}=\/{(x, а)еС^(а)},
а*
и есть требуемое отображение.
VI. Теорема существования.
Теорема, Пространство qJV иррациональных чисел ин-
интервала д содержит для любого п > 0 проективное множе-
множество класса п, которое не является множеством класса < га;
ъЛГ содержит также непроективные множества.
Рассмотрим универсальное отображение Ln, определенное в п. V
(полагая S" = е/У). Пусть индекс п ^> 1 нечетный, положим
Будучи проекцией множества Е [х €^я(аI П Е (х = а) класса п,
х, а х, а
Еп также является множеством класса п. Следовательно, множество
Епл 1 — класса п -f- 1.
С другой стороны, согласно теореме о диагонали (§ 30, XIV),
Еп + 1 не принадлежит классу п и тем более классу < а (так как га
нечетно). Отсюда следует, что множество Еп не принадлежит
классу < га, ибо в противном случае множество Еп+[ принадлежало бы
классу < га-)- 1.
Допустим теперь, что каждое из множеств Еп расположено
в интервале (п—1, п). Тогда множество Е^ = Ех U Е.2 [} ... не
является проективным.
Замечания. 1. Процесс, примененный в п. V и VI, позволяет
эффективно определить (см. § 23, VIII) множества Еп и Е^. Суще-
Существование множеств, не являющихся проективными, может быть уста-
установлено (не эффективно) более простым способом. В самом деле,
так как семейство борелевских множеств имеет мощность континуума
и семейство всех непрерывных образов каждого такого множества

§ 38. Проективные множества 473
также имеет ту же мощность (§ 24, VI), то для любого га класс Ln
имеет мощность с. Значит, ту же мощность имеет объединение \JLt.
i
А так как семейство всех подмножеств полного сепарабельного
несчетного пространства имеет мощность 2е > с, то отсюда непо-
непосредственно вытекает существование множеств, не являющихся про-
проективными.
2. Можно доказать (Банах и Куратовский [2]1)), что в простран-
пространстве 0& (непрерывных функций) существует линейное множество
класса 2га, которое не является множеством более низкого класса
(множество называется линейным, если оно вместе с элементами fag
содержит любую функцию вида kf-\-iig).
3. В случае пространства действительных чисел возникает про-
проблема измеримости по Лебегу множества Е3. Заметим, что это
множество определено в явном виде 2).
VII. Инвариантность.
Теорема. Пусть Р — проективное мнооюеетво класса п;
тогда любое множество, гомеоморфное множеству Р (располо-
(расположенное в том же или в другом полном сепарабельном пространстве),
также является проективным множеством класса га.
Теорема очевидна для произвольного нечетного п, ибо любой
непрерывный образ множества Р есть множество класса п. В слу-
случае п = О (случай борелевских множеств) теорема верна, согласно
следствию 1, § 35, IV. Если ге>0 четно, то свойство Ln_1 удо-
удовлетворяет условиям теоремы § 35, IV, т. е. оно инвариантно отно-
относительно гомеоморфизмов и, кроме того,
1) любое Ой-множество относительно множества класса га—1
есть множество класса п — 1;
2) объединение некоторого множества класса га — 1 и /^-мно-
/^-множества есть множество класса га—1.
Отсюда следует, что свойство множества быть дополнением
к множеству класса га — 1, т. е. быть множеством класса га, внутренне
инвариантно3).
VIII. Проективные функции высказываний4). Функция выска-
высказываний ф (х) называется функцией класса Ln, если E<p(jc) — мно-
X
жество класса Ln. Установим следующие правила „проективного
исчисления".
') По поводу дальнейших результатов см. Кли [1].
2) См. об этом Куратовский [18]. См. также § 39, I, 2°.
3) Об инвариантности класса СА см. Александров [2]. По поводу обоб-
обобщения этой теоремы на отображения, более общие, чем гомеоморфизмы.,
см. работы, указанные в примечании к следствию 1, § 35, IV.
4) См. § 1, 2 и 30, XI. См. также Тарский и Куратовский [1].

474 Гл. 3. Полные пространства
1. Пусть ф(х) — функция класса Ln, тогда ее отрицание
|ф(х) принадлежит классу CLn.
Действительно, Е |ф(х) = ГЕ ?
2. Пусть ф(х) — функция класса Ln в пространстве Ж,
тогда ф(х)—функция класса Ln в пространстве Ж"Х°3/-
В самом деле (III, 1): Е ф(*)= [Е ФОI У\У ¦
х, у L х \
3. Пусть ф^х), ф2(х), .. . —конечная или бесконечная после-
последовательность функций класса Ln (п—фиксированное 1)), тогда
функции \/ф/г(х) и Л Ф& (х) также принадлежат классу Ln.
k k
Это прямое следствие утверждения III, 3.
4. Пусть ф(х, у) — функция класса Ln(e JP X 30> тогда
функция высказываний \/ty(x, у) является функцией класса PLn,
у
а Дф(х, у) — функция класса CPCLn (в пространстве Ж),
у
Действительно, множество Е \/Ф(л:> У) есть проекция (см. § 2, V)
х у
множества ЕФ(Х- >') и> следовательно, принадлежит классу PLn
(п. IV). Кром/того, ДЧ>(*. У)=П[\/Пф(х. у)].
у Ly J
5. Пусть \|)(х, у) — функция класса Ln, тогда ф(х) = ф(х, у0)
«/>и фиксированном у0 есть функция того же класса, так же
как и функция х(х) = ф(лг, х).
В самом деле, поскольку функции ф(х, у) Д (у = у0) и ф(х, у) Д
д(х = у) принадлежат классу Ln, Е (Ф(*. >')Л(у^Уо)) есть мно-
¦«•, у
жество класса /,„ относительно множества Е (У = Уо)> а Е (Ф(х, у) Д
¦«•, у ^. у
д (х = у)) — множество класса Ln относительно диагонали Е (х = У)
(см. III, 6).
Следовательно (§ 15, IV и VI), множества ЕФ(Х> Уо) и ЕФС-^. х)
х х
принадлежат классу Ln (в пространстве Х~), откуда следует наше
утверждение.
Замечание 1. Установленные правила показывают, что логи-
логические операции |, V. Д. V> Л на^ проективными функциями
высказываний всегда приводят к проективным функциям выска-
высказываний. Вместе с правилами § 30, XI они позволяют в то же
время вычислить борелевский или проективный класс функции выска-
высказываний и, следовательно, множества, которое она определяет.
') Это условие можно отбросить, если распространить определение клас-
классов Ln на бесконечные индексы (ср. п. I, примечание).

§ 38. Проективные множества 475
Эти правила показывают, что, пользуясь логическими обозначе-
обозначениями, можно естественным образом прийти к понятию проективного
множества.
Замечание 2. Пусть задана функция высказываний двух пере-
переменных \|)(х, у); для вычисления класса множества \/ty(x, у) можно
у
воспользоваться правилом 4, в силу которого множество ЕУФ(Х> У)
х У
есть проекция множества Е Ф(х> У)> а также правилом 1, § 2, V,
х, у
в силу которого Е\/Ф(х> У) есть объединение иЕФ(х> У)- Второе
х у ух
правило — где у рассматривается как индекс — наиболее удобно в слу-
случае, когда у пробегает счетное множество значений, а также в част-
частном случае, когда множество Е.ХР(Х< У) открыто при любом фикси-
фиксинг
рованном у (ср. § 15, II, теорема 3 и § 20, V, следствие 76).
Аналогичные замечания касаются оператора Д. Так, например,
в § 34, VIII B) h рассматривается как индекс, а не как точка про-
пространства.
Приложение. Прямолинейная достижимость. Точка х назы-
называется прямолинейно достижимой относительно множества Мал"
(обозначается х ? Ма), если в пространстве W существует прямоли-
прямолинейный сегмент [х, у], пересекающийся с множеством М не более чем
в одной точке х (и не сводящийся к этой точке). Принадлежность точки z
сегменту [х, у] выражается равенством | х — г | -|- | г — У | — I ¦*¦ — У\>
отсюда следует, что (х, у,
[х 6 Ма] = (х 6 /И) Л V | (У Ф х) Л Л К I х — z | + \г - у | =
У I г
Ф\х — у\) \/(z = x)
Таким образом, функция высказываний ср(х)= {х ? Ма) полу-
получается с помощью логических операций над функциями
р(х)={х6М}, у(х, у)={х = у],
б(х, у. s)={|x-*| + l* —У1 = |*-У|}-
Вторая и третья функции, очевидно, принадлежат классу Fo. Чта
касается первой функции, то она зависит от условий, наложенных
на множество Л1. Пусть М есть /«^-множество; тогда, применяя
правила § 30, XI, получаем, что функция в квадратных скобках есть
функция класса G&. Если пространство компактно, то операция Д,
Z
осуществленная над этой функцией, также дает функцию класса G&

476 Гл. 3. Полные пространства
(§ 20, V, следствие 76); логически умножая последнюю на функцию
(у Ф х) класса Go, мы не меняем ее класса. Далее, применяя операцию V-
у
мы приходим к функции класса А (правило 4); умножив ее на функ-
функцию (х ? М) класса Fa, мы получим, наконец, функцию ф(х), кото-
которая, следовательно, является функцией класса А.
Иначе говоря, пусть М есть Fa-множество в некотором
компактном пространстве; тогда множество его прямоли-
прямолинейно достижимых точек является аналитическим (теорема
Никодима — Урысона; доказательство см. в работе Куратовского [18]).
Вообще, пусть М — подмножество класса ?2п + 1 некоторого пол-
полного пространства; тогда Ма—множество класса L2n+3.
Замечание 3. Класс множества Ма не может быть понижен.
В самом деле, существует (в cf2) замкнутое множество М, для кото-
которого Ма не является борелевским (см, Никодим [2], [4], [6], Уры-
сон [3], Лузин [9]I).
IX. Инвариантность проективных классов относительно про-
просеивания через решето и относительно (^-операции. Напомним
(см. § 3, XV), что решетом называется любая функция W', которая
каждой конечной двоичной дроби г ?&?0 ставит в соответствие мно-
множество Wrc&. Множество А точек х, таких, что существует беско-
бесконечная последовательность г1 < г2 < • . ., удовлетворяющая условию
х ? Wr, П Wr2 П • • • > называется просеянным через данное решето.
В логических символах: пусть a^g^o, тогда имеем
A) (x6^) = V A(a*<a>m)/\(xeWak) =
a k '
= V Л [(о* < «*+1) Л V (/¦ = а") Л (х ? WT)\.
a k r
В дальнейшем мы будем предполагать, что множества Wr являются
подмножествами некоторого полного сепарабельного пространства Ж.
Основной результат, касающийся решета, состоит в том, что
проективный класс Ln инвариантен относительно операции
просеивания для 0 Ф п Ф 2 (теоремы 1 и 5).
Теорема 1. Если все множества, образующие р?шето
W = \WT}, принадлежат нечетному классу п, то множество А,
просеянное через это решето, также принадлежит классу п.
Эта теорема легко следует из формулы A). В самом деле, так
как суммирование V счетное, то функция высказываний в квадрат-
т
ных скобках от переменных х и а является функцией класса Ln.
Следовательно, множество А принадлежит классу PLn = Ln.
Мы применим эту теорему к одному важному частному случаю,
я именно, к решету С, определенному в § 3, XVI. Множество,
_ 1) В случае достижимости по дугам это не так, см. Мазуркевич [7а].

§ 38. Проективные множества 477
просеянное через это решето, является дополнением к множеству
/_=Е(?<2) (обозначения см. § 3, XVI). Так как множества
t
Сг — аналитические (даже открыто-замкнутые), то можно сформули-
сформулировать следующее утверждение.
Следствие 1а (Лузин и Серпинский [3]). Множество
L~?_(t<C.Q) является множеством класса. СА.
t
Более точно:
B) [х 6 («¦ - Ц] = V Л \{ah < ak+l) Л V (г, = а") Л (*' = 2I .
а к [ I J
Пусть теперь W= \WT) и Z = \ZT\—два решета, где Wr^S"
и Zrc2/; положим
C) Mx = E(x?Wr) и ^у = Е(Уб^г)-
г г
Имеет место следующая
Теорема 2'). Пусть WT — множества класса 2п и Zr — мно-
множества класса 2га— 1; тогда множество Р, составленное из пар
(х, у), таких, что Мх подобно подмножеству множества Ny
является множеством класса 2га— 1 (8 пространстве Жу^у)
Заметим предварительно, что если М, Nc<$§, то условие их
подобия эквивалентно существованию двух последовательностей дей-
действительных чисел (интервала 0) а = [а1, а2, . . .] и t>= [bl, b2, . . .],
таких, что
1° последовательность а1, а2, ... содержит все элементы мно-
множества М,
2° последовательность bl, b2, ... содержится в множестве N,
3° из неравенства а1 > а-' следует неравенство Ъ1 > ЬК
В логических обозначениях имеем
V { Л [С 6 Л*)=Ф V (г - а")]
a, b \ r L я J
Подставим множество /И^. вместо Ж и множество Л/у вместо N
и заметим, что (в силу определения множеств Мх и Ny) имеют
место следующие тождества:
(,-елу^(хегг) и
Заменяя (а=фр) на (~]aVP). получаем, наконец,
[(х, yNP]=V
а,
Л Л V [(г = ft*) Л (У € Zr)l Л Л [(«' < а') V (*' > ft')] I ¦
Ь г i, j J
') См. „второй принцип" Лузина 18]; см. также Куратовский [34].

478 Гл. 3. Полные пространства
Так как WCT и Zr—множества класса 2п— 1 и операции /\, V.
г п
Л> V и Л счетны, отсюда следует, что функция высказываний
* А /, j
(переменных х, у, а и Ь) в фигурных скобках есть функция класса
2/г—1. Следовательно, Р — множество класса PL2n_1= L2n_1.
Таким образом, лемма установлена; применим ее сначала к част-
частному случаю, когда решета W и Z совпадают с решетом С из
§ 3, XVI. Пусть т и а—два порядковых типа; условимся писать:
D) т -< о.
когда множество Т типа т подобно подмножеству множества 5 типа о
(в частном случае, когда т и о — типы вполне упорядоченных мно-
множеств, отношение т ~< о совпадает, очевидно, с т<^о). Из леммы
вытекает такое следствие.
Следствие 2а. Множество ^.(t-< и) — аналитическое,
t,u _
Действительно, в случае когда Wr = Cn t есть, по определению
(§ 3, XVI), порядковый тип множества Mt, определенного равен-
равенством C).
Теорема З1). Пусть все множества, образующие решето W,
принадлежат четному классу «^4; тогда просеянное мно-
множество А также принадлежит классу п.
Применим теорему 2 к случаю, когда ZT = Cr (см. § 3, XVI), и
обозначим через |i(x) порядковый тип множества Мх. Множество
Р= Е [^(х) -<~t\ есть множество класса п — 1.
х, t _
С другой стороны, так как t пробегает все счетные порядковые
типы а (§ 3, XVI), то, согласно определению решета, мы имеем
[х 6(ЯГ — А)] = [ц(х) < Q] = V [Ц(*)<а < 2] ==
= V lli(x)<t< Q\~\/[(x, t)?P)Mt<Q).
t t
Так как множество E (^ < ^). в силу следствия la, есть множество
класса 2 и, следовательно, класса п—1 (см. 11,7), то множество
Е [(•*¦ 06 ?*](*< 2) также является множеством класса п—1.
X, t
Множество Ж—А является множеством класса PLn_1= Ln_x и,
следовательно, класса п—1. Поэтому А — множество класса п
(в силу II, 5).
Теорема 4. Проективные классы Ln для 0=/=пф2 инва-
инвариантны относительно (dl)-one рации.
') По поводу теорем 3 и 4 см. Куратовский [32].

§ 38. Проективные множества 479
Пусть1) A — \Jf]Aal am. Систему Ы , ат\ можно считать
am
регулярной (см. § 3, XIV), ибо в противном случае ее можно „регу-
ляризировать", заменив системой
что не влияет на проективный класс множеств, которые ее образуют.
Согласно теореме § 3, XV, множество Л просеяно решетом, обра-
образованным множествами, принадлежащими системе 1Аа\ am\, следо-
следовательно, множествами класса п. Тогда, в силу 1 и 3, Л есть мно-
множество класса Ln.
Замечание. В случае нечетного га теорему 4 можно доказать
более прямым способом. В самом деле, мы имеем
(*€Л)Е==уЛ(*6Лв, а,п).
am ' '
Следовательно, для доказательства того, что эта функция высказыва-
высказываний принадлежит классу га, достаточно показать, что функция
х ? Аа\ аш при фиксированном m принадлежит классу п (в про-
пространстве SC X <>/\Г)- А это непосредственно вытекает из тождества
(х € Аа} ...„») = V • ¦ ¦ V(а1 = ftj) Л • • • Л (am = kj Л (х 6 >»*,...*„,)•
fcl km
Следствие 4а. (Jl)-one рация и вычитание, примененные
к множествам, принадлежащим одновременно классам РСА
и СРСА, не выводят за пределы этого семейства множеств.
Следовательно, наименьшее семейство множеств, содержащее
все замкнутые множества и замкнутое относительно (^-опе-
(^-операции и вычитания, содержится в классах РСА и СРСА2).
Теорема 2 касается соотношения т -< о; следующая теорема ка-
касается равенства т = о.
Теорема 5. Пусть множества Wr и Zr принадлежат одно-
одновременно классу 2га и классу In—1; тогда множество Т,
состоящее из пар (х, у), таких, что множество Мх подобно
множеству Nу, является множеством класса 2га—1.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 2.
') Другое доказательство см. у Адисона и Клини [1].
2) Изучение этого семейства множеств, представляющих собой естествен-
естественное обобщение А- и СД-множеств, было предложено Н. Н. Лузиным [4].
См. Никодим [7].
Следствие 4а было замечено Канторовичем и Ливенсоном [1], [2J. См.
также указания Н. Н. Лузина [11].

480 Гл. 3. Полные пространства
В самом деле, подобие множеств М и N выражается следующим
образом:
V ( Л Кг 6 M)r^V (г = а")] Л Л ГС" 6 Л0=Ф V (г = *"I А
а,Ь \ г \_ п J r L n J
Л Л («" € М) Л (&" 6 АО Л Л [(«'' > «')=Ф(*' > *')]1 •
я <>; I
Отсюда вытекает, что
а,Ь { г L д J r L
V V ('¦ = *")! Л Л V [(/¦ = *") Л (* 6 ^г) Л (« = *") А (у 6 2,)] Л
я п r,s
А Л 1(а' < «О V (Pl > b>)] I .
'.У J
Простое вычисление показывает, что множество Т является мно-
множеством класса 2га — 1.
Следствие 5а. Множество Е(^ = м) является аналити-
t, a
ческам.
Чтобы убедиться в этом, достаточно подставить вместо решета W
и Z решето С из § 3, XVI.
Следствие 56. Множество L% = Е{t = x) является анали-
t
тическим, каков бы ни был порядковый тип {счетный) т.
При фиксированном т пусть м0 — такой элемент канторовского
множества ?f, что «0 = т. Так как функция высказываний двух пере-
переменных t=u принадлежит классу А, то функция высказываний t= u0
одного переменного t тоже принадлежит этому классу (см. VIII, 5).
Отсюда следует требуемое заключение.
Замечание. Недавно проф. Д. Скотт получил более сильный
результат, а именно: при любом порядковом типе т множество Lx
представляет собой борелевское множество').
X. Трансфинитная индукция. Докажем, что наряду с уже рас-
рассмотренными операциями трансфинитная индукция не выводит—при
достаточно общих предположениях — за пределы проективных мно-
множеств (Куратовский [30]).
Прежде всего заметим, что любое отображение F, ставящее
в соответствие каждому семейству X множеств (принадлежащих про-
пространству Ж) подмножество F (X) пространства J^, определяет транс-
') См. Скотт [1], см. также Рыль-Нардзевский [i]. Частичные резуль-
результаты см. в статье Хартмана [1], относящейся к этим вопросам.

§ 38. Проективные множества 481
финитную последовательность множеств Ао, Av ..., Аа, ... сле-
следующим образом:
AQ = F@) и Aa=F(Xa) при а>0,
где Ха— семейство множеств {At}, | < а.
Ставится задача определить, при каких условиях множество
Е (х 6 Aj\ (t < 2) является проективным множеством в ?f X .#\
Обозначая прописными готическими буквами подмножества пря-
прямого произведения %* X •%"> положим
A) 3' = ЕК'. *N31. где ^68",
Л'
и, как обычно,
B) L = EA<Q).
t
Теорема 1. Пусть Rt — отображение, ставящее в соот-
соответствие любой точке t?Lu любому множеству
множество /?Д2?)си?\
Тогда существует одно и только одно множество $c:L X ¦%'<
такое, что
C) 3' = ЯЛЗП Е (« < 01 • каково бы ни было ?< Q.
[ и, х 1
Действительно, пусть 210, 21, %а, ... (а < Q) — трансфи-
трансфинитная последовательность подмножеств пространства L X &, опре-
определенная по индукции следующим образом:
D) 21
E) 3la = U % U Яа, где Ша = Е (F= а) Л \х 6 /?, f U
р<а ' <, х L \Р<
Легко доказать по индукции, что
F) 31„сЕ(й<й)Х^.
и
Кроме того, SIqCiSIjC . .. c9tac .... Положим
В силу включения F), имеем
G) К = %7
(8) Щ„ = 0 при других t.
Тогда имеет место равенство
(9) 3'= U <
Vp<<
откуда следует формула C), так как U 9L = 3 П Е (« < О-
" и, х

482 Гл. 3. Полные пространства
Единственность множества 3 легко доказывается по индукции.
В тех же обозначениях имеет место следующее утверждение
(которое представляет собой явное определение множества 3. задан-
заданного в неявном виде соотношением C)).
Теорема 2. Пусть © : ?f-> {2fa}, а < 2. Тогда имеют место
следующие тождества (t, v, & ^Х)
К<Ф[®'(*) = Я, (®(*)ПЕ(«<0)]} Л
г t и,х
у
г»)] =ф Г©* (z) = Rt (® (z) П Д (и < 0 j] =Ф
)] =ф Г©*
Прежде всего заметим, что множество %а может быть определено
следующим образом:
%a = Rt \%аГ\ Е (й<7I при 7<а и 21а = 0 для других t.
[ и, х J
Действительно, в силу соотношения E),
яапЕ («<"*)= U \.
и,х р<7
откуда, в силу G) и (9), получается искомый вывод.
Следовательно, множество 3> как объединение множеств 9ta,
представляет собой множество точек (v, x), такое, что v < 2, для
которых существует точка z ^ 8s, такая, что
Г при Г<гГ имеем ®t (z) — Rt [© (z) f) E ("<0],
2° x?®v(z)
(разумеется, © (z) = 2l0).
Это условие, выраженное в логических символах, дает первое
тождество. Так как множество \ определено соотношениями G)
и (8) однозначно, то условие выполнения включения (v, x) ? 3 (гДе
v < 2) можно сформулировать также следующим образом: какова бы
ни была точка z, удовлетворяющая условию Г, для нее выполняется
условие 2°. Отсюда следует второе соотношение эквивалентности.
Теорема 3. Пусть ©—определенное на 5? универсальное
отображение относительно проективных множеств класса
^п (W>1)> принадлежащих пространству ^"Х^. такое, что
множества
Е IV, х) е © (z)] и Е {*€ЯЛ®(*)П Е(и<7)]}
2, U X z,t,X U,X

§ 38. Проективные множества 483
принадлежат классу Ln. Тогда множество 3. рассмотренное
в теореме 1, является проективным множеством (классов
Ln+4 U С1я+4).
Прежде всего, отображение © удовлетворяет условию теоремы 2,
т. е. множества 91а, определенные формулами D) и E), принадлежат
классу Ln. В самом деле, рассуждая по индукции, нужно только
доказать, что Ша — множество класса Ln при условии, что мно-
множества 2L для р < а являются множествами класса Ln. Поскольку
U 2L есть множество класса Ln, существует такое z0, что © (zQ) =
|3«х '
= и^я> и так как U ^L cz Е(и<°0> отсюда следует, что
и,х
= G- а) A
j х 6 R, [@ (z0) Г) ЕЛи < 0])
Так как, по предположению (см. VIII, 5), функция высказываний
в фигурных скобках является функцией класса Ln и множество
? (Г== а) борелевское (§ 30, XII), множество >Ла принадлежит
t
классу Ln. Установив это, выводим из тождества
A0) [А = В} == Л [((х € А) Л (х е В)) V ((х ? А) Л (х $В))].
X
что множество _ _
Е Г©' (z) = Rt Г© (z) П Е (м < 0 I
проективное (класса /г —|— 2 или /г —j— 3 в зависимости от того,
является п четным или нечетным). Заменим t-^v на t -< v (см. IX D));
так как множество Е (^ -< ^) проективное (и даже аналитическое,
см. IX, следствие 2а) и так как Е (v < 2) есть СЛ-множество
(IX, следствие 1а), то из теоремы 2 следует, что 3 — проектив-
проективное множество классов Ln+A и CLn+i.
Приложения. 1) Множество Лебега, универсальное отно-
относительно аналитически представимых функций, является
проективным 1).
Это множество определяем следующим образом. Положим для
') Определение этого множества см. в статье Лебега [1], гл. VIII.
Проблема проективности этого множества была поставлена Н. Н. Лузиным.
Она решена Куратовским [31].

484 Гл. 3. Полные пространства
Пусть А — плоское борелевское множество с^Х?. содержащее
среди вертикальных сечений все замкнутые и все открытые подмно-
подмножества из gf. Рассмотрим в пространстве ^ X % X с? множество 3.
определенное следующими условиями:
3° = А, 3''y=Lim sup 3')Г(Л)
3^=0 для всех остальных t.
В этом случае множество Rt(&) может быть определено следую-
следующим образом: так как 23 с Е (и < Ъ X ^ X с?, то /?,($>) с: ?f X ^
и
определено условиями:
Ro @)=A, Rt B?) = Е \х 6 Lim sup ЗУ'"'' v<">] для г" =^ 0.
у, г L л -> со -I
Пусть ® — универсальное отображение относительно любого ана-
аналитического подмножества из ?f X 8* X &> такое, что множество
Е [{t, у, x)?®(z)] — аналитическое (см. п. V). Остается доказать,
г, t, у, х
что множество Е Г(У. х) 6 Rt Г® (z) П Е (и < 0\] является ана-
литическим множеством. Итак, имеем (для (фО)
[(У. ^) 6 Л,(© B) П и Е г(« < 0)] =
Л"] 1 /" Дя+ft]
y()(JAVU۩
Л
AV
п k
Так как функции г" и у(л^ при фиксированном п непрерывны (см.
§ 30, XII), то отсюда вытекает требуемое утверждение.
2) Изменим теперь определение отображения Rt (Щ следующим
образом: положим _#' = %', #0@) = Л, где А — открытое множество,
такое, что Ау есть функция, универсальная относительно открытых
множеств (см. примечание 1 на стр. 366),
Rt (») = Е <х е U » 'У{п) \ или Е i * € П » ¦Чп) I
у,х[ п = 1 J у, л- I rt = l J
в зависимости от того, четно или нечетно t (в смысле § 30, XII, 4).
') Об определении t[n] см. § 30, XII.
В соответствии с A), через Q,*' у обозначено множество Е Ш, У,
X
По определению (§ 1, V),
со сю
Lim вирЛл= П U An+k.
Л->оз п=0 4 = 0

§ 38. Проективные множества 485
Множество 3» определение которого вытекает из определения
множества #,B3), является подмножеством пространства <%ъ, таким,
что для каждого ?<й множество 3' — борелевское множество
класса Gj и функция 3'У (аргумента у) является универсальной
относительно семейства подмножеств из ^ класса Gj. Проективность
множества 3 вытекает, как и в предыдущем примере, из определе-
определения Rt0S>). Единственное дополнительное допущение: множество
тех t, для которых t есть четный порядковый тип, является боре-
левским; мы это доказали в § 30, XII, 4.
3) Пусть для точки f ? %* множество ? {t* = 2) получается из
множества Е (^" — 2)') вычеркиванием последнего элемента (если он
существует; в противном случае мы положим t = t). Легко видеть,
что f есть 5-измеримая функция от t (см. § 39, V, 2). Множество 3
определяется следующим образом:
в зависимости от того, четно или нечетно t.
Соответствующее множество Rt B3) определяется, как в при-
*'"', у t; у
мере 2, с заменой множества f] 23 ^ множеством с? — 23 .
Как и выше, 3 — проективное множество.
В примерах 1 — 3 множество 3* зависит только от t (а не от t).
Таким образом, полагая Ла = 3'> гДе ^ — некоторое число, такое,
что t = a, мы определяем трансфинитную последовательность боре-
левских множеств (а именно класса а в примерах 2 и 3). В следую-
следующем примере множество 3' зависит от t.
4) Пусть 3°=^> 3''У= ПЗ ' У(л) Для нечетного t,
х 6 3'' У= V (У Bя+1) < Ь А (х ? 3УBй+1)' УBЛ)) для четногоI 0<7<2.
л=1
Здесь множество #Д23) может быть определено следующим
образом:
[(у, x)?Rt(%)}=={[(t = 0)/\((y, х)? А)) V [G— нечетное) А
*' У(">)] у [(?> 0 — четное) А V Gi2n+i) +1 < О А
') 3 § 3, XVF, этр множество обозначено символом

486 Гл. 3. Полные пространства
Отсюда, как и выше, следует, что множество 3 — проективное1).
XI. Операции Хаусдорфа. Пусть Аг, A2, ...—произвольная
последовательность множеств и В— некоторое множество бесконеч-
бесконечных последовательностей целых положительных чисел (рассматри-
(рассматриваемое как подмножество пространства е/^°); говорят, что множе-
множество Н получается из последовательности [Ап] с помощью
операции Хаусдорфа с базой В1), если
A) (*бЯ) =
Таким образом, например, операция
со со
Limsup Л„ = П U An+k
п-+оо я = 0 й = 0
является операцией Хаусдорфа. Ее база состоит из последователь-
последовательностей целых положительных чисел а —[а1, а2, . . .], содержащих
бесконечное число попарно различных членов. Операции (J и |") —
п п
также операции Хаусдорфа. Вообще (с/?)-операцию можно привести
к операции Хаусдорфа (см. Хаусдорф [5]).
Теорема 1. Пусть множества Ап и база В — проектив-
проективные множества нечетного класса k\ тогда Н — проективное
множество того же класса.
В самом деле, имеем
{х е Аап)= Д К« = а«)гф(х С AJ].
т
Следовательно, в силу A),
(*?//) = Vf(a€?) Л Л {(m = a")z$(xeAm)\\.
а { т, п J
Отсюда следует, что множество Н принадлежит классу PLk—Lh.
Вернемся теперь к вычислению проективного класса множества 3.
определенного трансфинитной индукцией (см. п. X). Когда это опре-
определение получается при помощи операции Хаусдорфа, часто удобнее
пользоваться другим методом (отличным от изложенного в п. X).
Следующий метод, принадлежащий Джону фон Нейману3), позво-
позволяет доказать, в частности, что множество 3. рассмотренное в при-
примерах 1, 2 и 4 п. X, является разностью двух аналитических мно-
жеств. Для упрощения обозначений мы ограничимся формулировкой
теоремы, которая охватывает случай множества Лебега (пример 1).
') Это множество встречается в работе Куратовского [8].
2) Хаусдорф [5], Колмогоров [1], Канторович и Ливенсон [2], Ляпунов
[2], [3] (где можно найти многочисленные библиографические ссылки).
3) См. фон Нейман и Куратовский [1]. Некоторые приложения можно
найти в работе Тугуе [1].

§ 38. Проективные множества 487
Некоторое обобщение этой теоремы позволяет провести требуемое
вычисление в примерах 2 и 4.
Мы воспользуемся следующими обозначениями. Через г обозначим
конечную систему целых положительных чисел kv ..., kn (га ^> 0);
пусть у — отображение, которое каждому г ставит в соответствие
целое число у(г)^-0; г можно рассматривать как конечную двоич-
двоичную дробь 0<^г< 1, а именно (см. § 3, XV)
/•==_! | * I _i .
2*1 2*1+*2 ' ' ' 2*1+ ••• +k" '
Пусть Г — множество всех отображений у. Введем в это мно-
множество топологию следующим образом: последовательность Yi. Y2> • • •
сходится к у, когда lim yn(r) = y(r), каково бы ни было г. Тогда
Г—полное сепарабельное пространство. В самом деле, оно
гомеоморфно пространству иррациональных чисел. Чтобы убедиться
в этом, расположим числа г в бесконечную последовательность гх,
г2, . . . и каждому элементу у из Г поставим в соответствие эле-
элемент а={у(гг), у(г2), •••} пространства а/\Г.
Обозначим через Ъ (y) = b (v) бесконечную последователь-
ность y(k1, .... kn, 1), y(kv ...,?„, 2), .... В частности,
bo(y) == {yA )> YB). •••}• Наконец, положим \, r^=
..., y(*i> •••• kn)\- Следовательно, у, 0 = 0 (пустое множество).
Заметим, что при фиксированном г функции у и Ьп рассматри-
рассматриваемые как функции переменного у, непрерывны. Символы ?'"' и ^(„)
имеют (для t ^ Й') тот же смысл, что и в п. X (пример 1); определим
символы г' и /"(,.) при помощи конечной индукции, считая, что
*[О1 = ' = '<о> и
*[*! *»¦*« + !] =(/[*! *«]/*»+'],
Легко доказывается, что функции tiy'r] и ^-^7) для фиксированного г
являются непрерывными функциями от t и у и что
1*2 *-] = ^-*« Ч ('(
*„)-*(»,.*, *„>•
Теорема 2. Пусть А с ?f X ^ « В с q/У — два аналити-
аналитических множества. Множество 3 с %* X %* X ^. определенное
условиями
3' = 0 для всех остальных t,
является разностью двух аналитических множеств.

488 Гл. 3. Полные пространства
Более точно, имеет место тождество
(t, у. х) ? 31=
= G<Q) аУНу(О)фо)Л Л[(у(г)фо)а(РшГ] = о))=
у I г
=$((УШ х) ^ ЛI Л [(YW ?= 0) Л {^Ф 0)=ф (*, (Y) 6
Как только будет установлено это тождество, из него непосред-
непосредственно будет следовать, что множество 3 является пересечением
СА-множества и аналитического множества, ибо, с одной стороны,
множество Е (t < Q) есть С4-множество (согласно следствию 1а,
t
п. IX), а с другой стороны, функция высказываний в фигурных
скобках — аналитическая, так как пересечение Д счетно и функции
г
у (г), t , у-.—-. и br(y) непрерывны по у (при фиксированном г).
Перейдем к доказательству этого тождества.
1) Пусть (t, у, х) ^ 3- -^ы Докажем методом трансфинитной
индукции, что существует функция у?Г, удовлетворяющая условию
в фигурных скобках и, более того,' принимающая при г = 0 задан-
заданное заранее значение р Ф 0.
Пусть сначала ? —0, т. е. ? = 0; тогда (у, х)?А. Пусть у —
функция, определенная следующим образом: у@) = р и у(г) = О
для г Ф 0. Условия в скобках очевидным образом выполняются.
Допустим теперь, что а > 0 и что наше предположение имеет
место для каждого t, такого, что t < a.
Пусть t = a. Включение (t, у, х)?3 означает, что существует
бесконечная последовательность а=(а1, а2, ...)?В, такая, что для
каждого п имеем
jceaw, т.е.
Так как t*-a <^t, то для каждого п существует, по предположению
индукции, функция уп ^ Г, такая, что
2° если уп(г)ф0 и f[«"HVr] = 0, то
3° если уп(г)ФО и /[«"JfV^^O, то Ьг{уп)?В.
Определим у следующим образом: уф) —р и для r = (k1 km),
где m Ф 0, положим у (kl &m) = Y*, (fe2l • • • • km)- Т

§ 38. Проективные множества 489
km. l), v(*i km, 2);...\=,
= {V»,(*2 *«• О" Y4l(*, *m. 2). .-.} = \ ftjYfti).
Отсюда легко вытекает, что условие в фигурных скобках выпол-
выполняется.
2) Обратно, допустим, что у удовлетворяет условию в скобках.
Покажем, что (t, у, х)?3- Пусть сначала t = 0. Так как у(О)фО
и tly' 0| = ^[01 = t, то (Ухт-щ. х\?А. Так как, кроме того, у-—щ =
= У(о) —У> то (У< х)ёА = 3(>> следовательно, (t, у, х)^3-
Допустим теперь, что а > 0 и что наше предположение выпол-
выполняется для каждого t, такого, что t < a.
Пусть ^ = а. Положим a = bQ(y)= {y(l), уB), ...}. Так как
у(О)фО и ^|Y> °'.-= ^ ^ 0, то Ь0(у)?В, т. е. а?В. Остается дока-
доказать, что для любого п имеет место соотношение
т.е.
Положим yk (k2 kA = y(kv k2 km\ тфО. Легко про-
проверить, что условия 1° — 3° выполняются для любого п. Так как
va ' < а, то, по предположению, отсюда следует, что
(<'""'
§ 39. Аналитические множества
Пространство предполагается полным сепарабельным.
I. Общие теоремы. Напомним сначала некоторые свойства ана-
аналитических множеств, установленные в § 38. По определению, ана-
аналитические множества совпадают с непрерывными образами борелев-
ских множеств {§ 38, I). Так как любое борелевское множество
есть непрерывный образ множества eJ\T иррациональных чисел, то
аналитические множества можно определить как непрерывные об-
образы множества J\T (§ 38, IVI).
Свойство быть аналитическим множеством инвариантно относи-
относительно счетных операций: объединения, пересечения и прямого про-
произведения, а также относительно (о^)-операции и относительно 5-из-
меримых отображений (данного множества на подмножество того же
или другого полного сепарабельного пространства).
') По поводу более общего подхода к понятию аналитических множеств
(не обязательно метрических) см. Шоке [3], [4], Фролик [2], [3], Шнейдер
[1], Сион [1], Брасслер и Сион [1], Роджерс [1].

490 Гл. 3. Полные пространства
Согласно следствию 1, § 36, V, имеем
Теорема 0. Любое аналитическое несчетное множество то-
топологически содержит совершенное множество ??'. (См. Суслин [1].)
Таким образом, аналитические множества „реализуют" гипотезу
континуума: их мощность либо конечна, либо Цо, либо с
Как мы увидим далее (см. п. II), любое аналитическое множество
(следовательно, и любое множество СА) обладает свойством Бэра
в узком смысле и измеримо в смысле Лебега (если оно содержится
в пространстве действительных чисел).
Замечания. 1. Вышеупомянутые свойства показывают, что
аналитические множества обладают некоторой „регулярностью", ко-
которая определяет их приложения. Среди применений теории анали-
аналитических множеств укажем важную теорему об обращении непре-
непрерывных функций (п. V, теорема 3).
Как мы увидим, многие задачи элементарного характера при-
приводят к аналитическим множествам или к множествам класса СА,
Существуют также очень простые и важные примеры множеств, кото-
которые являются проективными, не будучи борелевскими; так, в про-
пространстве 2^ (замкнутых подмножеств интервала) множество замкну-
замкнутых несчетных множеств является аналитическим, но не является
борелевским (см. Гуревич [8]); дифференцируемые функции обра-
образуют в пространстве ef^ неборелевское множество класса СА (см.
Мазуркевич [8]); в пространстве &&*•& функции / двух переменных
х и у, для которых существует точка у, такая, что частная про-
производная f'x(x, у) существует для любого ic^0, образуют множе-
множество класса РСА, которое не является множеством низшего класса
(см. Мазуркевич [9]).
2. Существенно заметить, что „регулярность", которой обладают
аналитические множества, вообще говоря, не является свойством
проективных множеств более высоких классов. Гёдель [1], [2] ')
отметил, что гипотеза существования (в пространстве действительных
чисел) неизмеримых множеств класса РСА и СРСА не противо-
противоречит системе аксиом теории множеств.
То же самое относится к существованию несчетных множеств
класса СА, не имеющих совершенных подмножеств.
3. Как доказал В. Гуревич [7], результат (^?)-операции, при-
примененной к замкнутым подмножествам метрического сепарабельного
(не обязательно полного) пространства, содержит совершенное мно-
множество (если только он представляет собой несчетное множество).
Так как любое аналитическое множество представляет собой резуль-
результат (^?)-операции, примененной к замкнутым множествам (п. II), то
') См. также Адисон [3], Новиков [4], Куратовский [41], Серпинский
и Куратовский [5].

§ 39. Аналитические множества 491
предшествующая теорема является обобщением теоремы, в силу кото-
которой любое аналитическое несчетное множество содержит совершенное
множество.
О другом обобщении см. п. II, следствие 3.
Теорема 1. Пусть Лс!1 — несчетное аналитическое мно-
множество; тогда любое аналитическое множество А* получается
из него при помощи отображения первого класса. (См. Серпин-
ский [42].)
Очевидно, достаточно доказать, что это предложение имеет место
для Л* = оАР. Действительно, так как множество А аналитическое
и несчетное, оно содержит множество, гомеоморфное множеству ?f,
и, следовательно, множество N, гомеоморфное множеству J\f. Поло-
Положим /(лг) = х для х?Л/. Так как N является О6-множеством в про-
пространстве J, Jd/1 (см. § 35, III), то оно топологически полно,
следовательно, существует отображение- f*:3~^>-N первого класса,
которое совпадает на множестве N с отображением / (§ 35, VI, след-
следствие). Следовательно, f"(A) = N, что и требовалось доказать.
Теорема 2. Если даны два аналитических несчетных мно-
множества размерности О, то каждое из них является непре-
непрерывным образом другого. (Доказательство см. в работе Серпин-
ского [41].)
Теорема 3. Любое аналитическое множество является
взаимно однозначным и непрерывным образом некоторого
СА-множества. (Мазуркевич [5].)
Более точно, пусть f — непрерывное отображение, опре-
определенное на замкнутом подмножестве F с qJV; тогда множе-
множество F содержит СА-множество С, такое, что /(С) = /(/*")
и сужение /\С взаимно однозначно1).
Для доказательства последнего предложения расположим сначала
иррациональные числа а = [а1, а2, . . .] в лексикографическом порядке:
A) [а^Я=(аЧ«')ЛЛ[(«Ч^)У V («'<*')]•
k i < k
Очевидно, что функция высказываний [о -< Ь\ является функцией
класса Fo. Кроме того, в любом замкнутом множестве X (Ф 0) суще-
существует первый элемент. В самом деле, таким элементом является
точка р (Х) = (~) Xп, где Хх — множество точек а?Х, таких, что
п
а1 принимает минимальное значение, и где Xп, «> 1,—множество
таких а^Хп_1, что а" принимает минимальное значение. В силу
теоремы Кантора (§ 34, II), пересечение множеств Xп состоит из един-
единственной точки.
') Обобщение этого утверждения см. в п. V, 5.

492 Гл. 3. Полные пространства
Пусть теперь С — множество точек вида р[/~1(х)], где х про-
пробегает множество f(F):
B) [aeC}~[a€F)AA{lf(a) = f{b))^>la^b]}.
ь
Множество С есть множество класса СА, ибо функция высказываний
в фигурных скобках является борелевской. Кроме того, сужение f\C
взаимно однозначно, ибо из того, что а?С, Ь?С и f(a) = /(b),
вытекает, что а-^Ь-<а, откуда а = Ь.
Наконец, имеем f(C) = f(F); действительно, достаточно вместо а
в левую часть равенства B) подставить р \f~l (x)\.
II. Аналитическое множество как результат (^-операции.
Множество о/Уп ...„ иррациональных чисел а —г—j-Jrr~lJr •••>
таких, что ах = п1, . .., ak — nk (см. § 36, I), обладает, как легко
видеть, следующими свойствами:
A) U
л=1
1111...т1г=0 ДЛЯ («!... Пк)
СО
C) (о)=
Формула D) показывает, что множество в/^" является результатом
(^)-операции, примененной к системе множеств о/\Гп ...пк-
E) Urn
F) если f — непрерывная функция, определенная на о/У, то
/ (о)=д / KV... в*)=д
Действительно, в силу C),
и множество П /(s^°ai aft) состоит из единственной точки, по-
поскольку из непрерывности функции / вытекает, в силу E), что
и поэтому 6 (Д / {ЛГах... в*)) = 0.

§ 39. Аналитические множества 493
Теорема. Для того чтобы множество было аналитическим,
необходимо и достаточно, чтобы оно представляло собой
результат (а?)-операции, примененной к некоторой регуляр-
регулярной системе замкнутых множеств.
В самом деле, пусть А — аналитическое множество; тогда суще-
существует непрерывная функция /, такая, что А = f (о/У).
Множество А представляет собой результат (с^)-операции над мно-
множествами /[о/\Гп ...л )• Действительно, в силу предложения F), имеем
со
Л = /(^)=и/(а)=и П /KV...«*)•
a a k=\
Обратно, (с^)-операция, примененная к замкнутым множествам
(и даже к аналитическим множествам), всегда приводит к аналити-
аналитическим множествам (§ 38, IX, 4).
Следствие 1. Аналитические множества обладают свой-
свойством Бэра в узком смысле.
Действительно, любое замкнутое множество обладает этим свой-
свойством, и это свойство инвариантно относительно (с^)-операции, в силу
следствия из § 11, VII.
По той же причине аналитические множества измеримы
в смысле Лебега (в случае пространства действительных чисел, ком-
комплексных чисел и т. д.).
Так как дополнение всякого множества, обладающего свойством
Бэра или измеримого по Лебегу, есть множество того же вида, то
отсюда следует, что множества класса СА также обладают этими
свойствами. То же самое относится к множествам, получающимся
из замкнутых множеств при помощи вычитания и (с^)-операции.
Замечание 1. В силу следствия 1, множество Е1 из § 38, VI,
являющееся аналитическим и неборелевским, дает ответ на вопрос
Лебега (J. Math., 1905, р. 188) о существовании неборелевских
множеств, обладающих свойством Бэра в узком смысле (см. Лузин
и Серпинский [3]).
Следствие 2. Любое аналитическое множество А является
просеянным через решето, состоящее из замкнутых множеств.
Другими словами, существует семейство замкнутых мно-
множеств Wr, г ? &?о> такое, что условие х ? А эквивалентно суще-
существованию бесконечной последовательности чисел гх < г2 < • • •.
удовлетворяющих соотношению х ? Wri |~| Wr2 П • • • •
Это утверждение, в силу теоремы § 3, XV, является непосред-
непосредственным следствием теоремы, доказанной выше.
Замечание 2. Если множество Acg определяется при по-
помощи решета W, то элемент f(W)?g—А можно определить эф-
эффективно (в предположении, что А ф {JI).
') См. Лузин и Новиков [1], Самиеи [2].

494 Гл. 3. Полные пространства
Следствие 3. Любое проективное множество Е класса РСА
является объединением Ki борелевских множеств.
Следовательно, если Е имеет мощность > Ц1, то Е содержит
некоторое {не пустое) совершенное множество.
Пусть сначала Е — аналитическое множество. Тогда оно пред-
представляет собой результат {<А)-операции над некоторой системой зам-
замкнутых множеств. В обозначениях § 3, XIV, имеем
G) е= п Еа= и ка;
а < а а<а
отсюда при помощи трансфинитной индукции легко получить, что
множества Еа и Ка борелевские. Таким образом, первая часть след-
следствия установлена в случае, когда Е есть А- или СЛ-миожество1).
В общем случае, когда Е есть РСЛ-множество, положим Е = /(С),
где С — некоторое СЛ-множество, / — непрерывная функция. Тогда
С— U Ва, следовательно, ? = /(С) = \J f (Ba).
а< й а< Q
Так как Ва—борелевское множество, множество /(Ва)— аналити-
аналитическое; следовательно, оно является объединением Ki борелевских
множеств. Поэтому и множество Е обладает этим свойством.
__ Вторая часть следствия вытекает из первой. В самом деле, пусть
?> Kii тогда по крайней мере одно из слагаемых, на которые раз-
разлагается Е, несчетно; как несчетное борелевское множество, оно
содержит непустое совершенное подмножество (§ 37, I, 3).
Замечание 3. Из полученных результатов следует, что несчет-
несчетные РСЛ-множества могут иметь только две мощности: а именно Цг
и с. Впрочем, неизвестно, существуют ли ЯСЛ-множества или вообще
проективные множества мощности $v
Относительно СРСЛ-множеств никакие аналогичные утверждения
не известны.
Следствие 4. Пусть X — полное сепарабельное несчетное
пространство. Тогда X разлагается в объединение Цг попарно
не пересекающихся непустых борелевских множеств.
В самом деле, пусть Е—аналитическое неборелевское подмно-
подмножество пространства S? (существование таких множеств вытекает
из § 38, VI). Положим Аа = Ка— U К\, тогда, применяя формулу G),
1<а
получим
?= U К
а< Q
Аналогичным образом, полагая,
La = S--Ea и Ba = La- U Ц,
') Ср. с теоремой VIII, 3.

§ 39. Аналитические множества 495
получаем
лг-е= и ?„= U ва.
а<Q a<Q
Следовательно,
(8) ЛГ= U A»U U Ва.
Множества Аа и Ва— борелевские. Все слагаемые разложения (8)
попарно не пересекаются. Имеется несчетное множество индексов а,
таких, что Аа Ф 0, ибо в противном случае множество Е было бы
борелевским (как счетное объединение борелевских множеств).
Замечание 4. К разложению полного сенарабельного несчетного
пространства X в объединение N, непустых попарно не пересекаю-
пересекающихся борелевских множеств можно прийти также, опираясь на следу-
следующую теорему Хаусдорфа [б]: в пространстве X существует
трансфинитная последовательность Go cz Ог с ... cGacz ...
.. . (а < Q) попарно различных G^-множеств, такая, что X' =
= 11 °а- Положим Fa=Ga— U О^; тогда &= (J Fa, где
a<Q 5<a a<Q
Fa — непустые попарно не пересекающиеся /^-множества.
Это разложение имеет то преимущество перед разложением (8),
что его слагаемые принадлежат /^-классу, тогда как слагаемые раз-
разложения (8) не принадлежат ограниченному классу. С другой сто-
стороны, разложение (8) является эффективным (множество Е, так же
как и его слагаемые, могут быть определены), тогда как существо-
существование последовательности {Ga} устанавливается не эффективным
образом.
Добавим, что проблема разложения пространства на Ц1 непустых
попарно не пересекающихся О6-множеств остается открытой (см. Сер-
пинский [61]).
III. Первая теорема отделимости.
Теорема1). Пусть А и В — два непересекающихся анали-
аналитических множества; тогда существует борелевское множе-
ство Е, такое, что
AczE и Е()В — 0.
Лемма (Серпинский [35], II, стр. 180). Назовем „В-отдели-
мыми" любую пару множеств А, В, для которых справедлива
теорема. Если множества P=\JPi и Q = \JQt не являются
i i
') Теорема Лузина [7]. Важно заметить, что аналогичная теорема для
СЛ-множеств неверна. Простой пример см. в работе Серпинского [43]. См.
также Лузин [8] и Новиков [1]. По поводу теорем отделимости для высших
проективных классов и их связи с аксиомой конструктивности Гёделя
см. Адисон [2] и Новиков [1].

496 Гл. 3. Полные пространства
В-отделимыми, то существует пара множеств Рп, Qm,
не являющихся В-отделимыма.
В самом деле, пусть Znm — борелевское множество, такое, что
PacZamczX-Qm.
Тогда
п n nm П (Qm) U Qm Q
m = 1 m = 1 m = 1
Следовательно,
оо оо со
/>= 1_|Л,= U П ^mcJ-Q,
л = 1 л = 1 т=\
го оо
а это означает, что борелевское множество |J f") Znm разделяет
п ~ 1 m = I
множества Р и Q.
Таким образом, лемма установлена. Возвратимся к доказательству
теоремы; допустим противное, т. е. что существуют не пересекаю-
пересекающиеся аналитические множества Aw В, не являющиеся В-отделимыми.
Пусть /': ej\T'-> А и g-.oAT-^B — непрерывные отображения
на. Тогда (см. II A)) имеем,
Следовательно, согласно предшествующей лемме, существуют два
множества /(<yf%,) и g{JV°т^>, не являющиеся В-отделимыми. Так
как, кроме того, согласно 11A), имеем
...mk)~ \J^g{oAr,nl ... ткт),
отсюда вытекает (по индукции) существование двух бесконечных по-
последовательностей пх, п2, ¦ .. и mit m2 таких, что множества
f{jy°n ...л») и g(eJy°m ...m ) Не ЯВЛЯЮТСЯ В-ОТДвЛИМЫМИ НИ ДЛЯ
какого k. Положим
I л, ^ I ns ^ ¦ • • и ° — | т, ^ | т2 ^ ¦ • • '
Так как /(а)?Л, g(b)?B и А ПВ = 0, то \f(a) — g(b)}>0.
Поскольку отображения fug непрерывны, то (см. II, 5) для
достаточно больших k имеем

39. Аналитические множества 497
и так как (см. II C))
ТО
Последняя формула показывает, в силу включения f(e/V*n ...я )с
<=/(а/^'л •••«&)' чт0 множества f [оАРп ...п.) и g{J\Tm ...,„ ) 5-от-
делимы, что противоречит предположению.
Следствие 1 (Суслин [1]). Пусть А и $" — А — аналити-
аналитические множества; тогда А — борелевское множество.
В предыдущей теореме положим В = 3' — А; мы получим Е=А.
Из следствия 1 вытекает, что семейство множеств, являю-
являющихся одновременно А- и СА-множествами, совпадает с семей-
семейством борелевских множеств.
Следствие 2 {одновременная отделимость). Пусть Alt
А2, -. . . —последовательность попарно не пересекающихся ана-
аналитических множеств; тогда существует последовательность
попарно не пересекающихся борелевских множеств Bv B2, ...,
такая, что АпсВп, п=\, 2, ....
В самом деле, в силу теоремы отделимости, существует система
борелевских множеств Епт, такая, что
Ап <= Епт и Епт п Ат = О (для п ф т).
Положим
со
Я, — Г\ F и В — П F ей и и Я Л
т = 2 т ф п
Из включения Bm<z.Emn следует, что Ап П Вт а Ап П Етп = 0 для
т < п, и поэтому Л„ а Вп.
О другом обобщении теоремы отделимости см. п. X.
IV. Приложения к борелевским множествам.
Теорема1). Любой взаимно однозначный и непрерывный
образ борелевского множества является борелевским множе-
множеством.
Так как любое борелевское множество представляет собой объеди-
объединение некоторого счетного множества и множества, являющегося
взаимно однозначным и непрерывным образом множества qJ\T (§ 37,
II, следствие 1в), то достаточно доказать, что множество f (<з/У°) —
борелевское, если / — взаимно однозначная и непрерывная функция,
определенная на
') См. Суслин [1]. Что касается обобщений этой теоремы, см. п. V, \ДП.

498 Гл. 3. Полные пространства
Так как / — взаимно однозначная функция, то из 11B) следует,
что при фиксированном k множества системы \f{d\Pn ...n )} попарно
не пересекаются. Согласно следствию 2, п. III, для любого k суще-
существует система попарно не пересекающихся борелевских множеств
5n,...nft. таких, что /(/В|..,В)!)с5Л1„.Л{, Положим В^ =
= ВП1 П / (о/Г„) и, вообще,
ГУ D f\
Имеет место включение
A)
В самом деле, эта формула очевидна для k=\; допустим, что она
верна для k—1. Согласно 11A),
откуда следует формула A).
Формула A) влечет за собой, в силу II F), равенства
откуда
/(*n=un
a k-l
ибо, в силу 11F),
= у Д
Кроме того, так как система [Вп ._.„ \ регулярна, т. е. Вп ---п
сВ„ ,,,„ , и состоит при фиксированноъ
секающихся множеств, то (см. § 3, XIV, 2)
,,,„ , и состоит при фиксированном k из попарно не пере-
переЕсли суммирование U-^e1 ak распространено (при фиксирован-
а
ном k) на счетную систему борелевских множеств, то множество
U B*al ak борелевское. Следовательно, и множество j' (оАГ) боре-
а
левское, что и требовалось доказать.
Замечание 1. Сопоставляя предыдущую теорему с следствием
1а из § 37, II, мы видим, что борелевские подмножества полных се-
парабельных пространств совпадают с взаимно однозначными

§ 39. Аналитические множества 499
и непрерывными образами полных сепарабельных 0-мерных
пространств.
Замечание 2. Если В — борелевское множество и g— взаимно
однозначное и непрерывное отображение, то пространство у, кото-
которое содержит g (В), может быть произвольным метрическим (полным
сепарабельным или нет). В самом деле, множество g (В) как непре-
непрерывный образ сепарабельного множества сепарабельно.
Пополним множество g (В), которое также сепарабельно, до про-
пространства g (В) (см. § 33, VII). Согласно теореме, которую мы дока-
доказали, g (В) — борелевское множество в пространстве g(B) и, следо-
следовательно, в множестве g (В), т. е. g (В) — пересечение множества g{B)
и некоторого борелевского множества в пространстве у.
Следовательно, множество g(B) является борелевским в про-
пространстве у.
С другой стороны, предположения о том, что пространство Ж
(содержащее множество В) полно и сепарабельно, существенны.
В самом деле, допустим, что В—неборелевское множество интер-
интервала д = у и что
1° S = B (случай, когда X — не полное пространство),
2° S? состоит из точек интервала 0, а расстояние между любой
парой точек полагается равным единице (случай, когда X не сепа-
сепарабельно).
В этих двух случаях множество В (борелевское в пространстве А")
тождественно отображается в неборелевское множество (в простран-
пространстве у).
V. Приложения к ^-измеримым функциям.
Теорема 1. Пусть /— взаимно однозначная В-измеримая
функция, определенная на борелевском множестве Е; тогда
множество f (Е)— борелевское.
В самом деле, так как функция / взаимно однозначна, отобразим
множество /= Е {У = /(х)} на множество f (E) взаимно однознач-
х, у
ным и непрерывным образом, проектируя его на ось у. Так как
множество / борелевское, согласно § 38, III, 4, то /(?) также
борелевское (по теореме п. IV).
Теорема 2. Любая функция /, определенная на аналити-
аналитическом множестве А, такая, что множество /= Е {У — f(x)}
х, У
также аналитическое, В-измерима.
Следовательно (см. § 38, III, 4), если А —борелевское множе-
множество, то из предположения, что множество I—аналитиче-
I—аналитическое, вытекает, что множество I борелевское.
32*

500 Гл. 3. Полные пространства
Пусть F с у — произвольное замкнутое множество; покажем, что
множество /~ (F) — борелевское относительно А. Множество
f~l(F) — аналитическое, так как оно является проекцией аналити-
аналитического множества / П (•#* X f). По той же причине множество
Z" & — F) = A — f~x (F) является аналитическим. Согласно теореме
отделимости (п. III), существует борелевское множество Е, такое,
что f~1(F)czE и (Ei\A) — f-1{F) = Q. откуда /"' {F) — E ПА.
Отсюда вытекает, что множество f~\F) — борелевское относи-
относительно А.
Теорема З1). Пусть f — взаимно однозначная В-измеримая
функция, определенная на аналитическом множестве А; тогда
обратная функция f~ В-измерима на множестве /(А), т. е.
функция f есть обобщенный гомеоморфизм (в смысле § 31, I).
Эта теорема является следствием предыдущей (если заменить х
на у, у на х, а множество А — множеством /(Л)), в силу равенства
Е U = /"'(y)) = E {у = /(*))=/
х, у х, у
и в силу аналитичности множеств / и f(A) (см. § 38, III, 4 и 5).
Теорема 4. Пусть / — взаимно однозначная В-измеримая
функция, определенная на борелевском множестве Е. Если
Р — проективное подмножество множества Е класса Ln(n^Q),
то множество f(P) также является множеством класса ?.„.
В самом деле, согласно теоремам 3 и 1, функция /~ В-измерима
на множестве f(E), поэтому, на основании § 38, III, 5, множество
f(P) = (f~i) (P) является множеством класса ?.„.
Теорема 5. Пусть f — непрерывная функция на борелев-
борелевском множестве Е; тогда существует подмножество С мно-
множества Е класса СА, такое, что /(С) = /(?1) и сужение /\С
взаимно однозначно.
Так как множество Е— борелевское, оно является взаимно одно-
однозначным и непрерывным образом замкнутого множества F с оАГ (см.
§ 37, II, следствие la): E — g(F). Положим h{a) = fg{a), где a?F.
В силу I, 3, множество F содержит множество Н класса СА, такое,
что h(H) = h(F) и функция h\ H взаимно однозначна. Так как функ-
функция g взаимно однозначна и непрерывна, то множество C = g(H)
есть СЛ-множество по теореме 4. Кроме того.
/ (С) = fg (Я) = h (Н) = h (F) = fg (F) = f (?).
') Эта теорема была доказана (в случае, когда множество А — интервал S)
Лебегом [1]. Анализ доказательства Лебега (которое не было точным), при-
привел Суслина к открытию аналитических множеств. Корректное доказатель-
доказательство было дано Лузиным и Суслиным.

§ 39. Аналитические множества 501
Наконец, если хфх', х?С, х'?С, то
x — g(a), x' = g{a'), а Фа', а
Из неравенства а Ф а' следует, что
таким образом, функция /| С взаимно однозначна.
Замечания. 1. Для любого а существует непрерывная взаимно
однозначная функция /, такая, что обратная функция f~l не является
функцией класса а (см. § 31, I, 5). (Ср. Серпинский [13].)
2. Предположение о том, что пространство ЯГ (в теореме 3) пол-
полное, существенно. Действительно, пусть Z — неборелевское под-
подмножество интервала <J=@, 1) и Z* — дополнение такого же мно-
множества, расположенного в интервале A, 2). Положим ЯГ = Z[J Z*,
У = fj, / (х) = х при х ? Z и / (а:) — х — 1 при х ? Z*. Функция /
не является б-измеримой (она даже не обладает свойством Бэра,
если множество Z не обладает этим свойством).
Сепарабельность также существенна, см. пример 2, п. IV (заме-
(замечание).
3. Предположение сепарабельности пространства У в теореме 1
не является необходимым. Достаточно показать, что множество /(?)
сепарабельно. Допустим, что это не так. Тогда оно содержит диск-
дискретное несчетное множество В, замкнутое в /(?). Пусть множество
АсЕ удовлетворяет условиям: f(A)~B и отображение /| А взаимно
однозначно. Каждое подмножество множества В замкнуто в /(?),
поэтому каждое подмножество из А является борелевским в ?, а
следовательно, и в X. Так как А — несчетное борелевское множество,
имеем А —с. Но тогда А должно содержать неборелевские подмно-
подмножества1).
4. Приложение к метрическим группам. Пусть ЯГ и у — два
полных пространства, являющихся топологическими группами (см.
§ 13, XII). Пусть f:X->y — аддитивное отображение на (т. е.
/(x-f-x') = /(jc)-j-/(x')). Можно доказать, что если функция /
обладает свойством Бэра (в частности, если она В-измерима), то она
непрерывна (Банах [8]). Отсюда следует, что если группы ЯГ и У —
полные сепарабельные, то любое аддитивное непрерывное
взаимно однозначное отображение, такое, что /(ЯГ) = у,
является гомеоморфизмом2).
В самом деле, так как / — аддитивное отображение, то и обрат-
обратное отображение /~ аддитивно; так как, кроме того, отображе-
отображение f~l В-измеримо, согласно 3, то оно непрерывно.
') См. Стоун А. [4], теорема 16.
2) См. Банах [8]. Многочисленные приложения этой теоремы к анализу
(в частности, к дифференциальным уравнениям) можно найти в цитирован-
цитированной выше книге Банаха, гл. III. См., кроме того, Банах [3] и Шаудер [1].

502 Гл. 3. Полные пространства
5. Теорема 5 обобщена на произвольные СЛ-множества. (См.
Кондо [1]; более простые доказательства имеются в работах Сам-
пеи [1], Судзуки [1].)
VI. Вторая теорема отделимости. (См. Лузин [8], стр. 210,
„второй принцип".)
Теорема. Пусть А и В— два аналитических множества;
существуют два СА-множества D и Н, таких, что
A) A—BczD, В — АаН и D[)H = 0.
Пусть множества WT такие же, как в следствии 2, п. II; упо-
упорядочим множество Мх=?(х ?Wr) по отношению r>s. Тогда
г
имеет место следующее соотношение эквивалентности:
[х ? А) = ( множество Мх = Е (х 6 ^т) не вполне упорядочено 1 .
\ I
Аналогичным образом, существует семейство замкнутых мно-
множеств Zr, r?<0Q, такое, что
[х ? В) =| множество Nx = Е (х ^ Zr) не вполне упорядочено} .
Положим MX<^NX, если множество Мх подобно части множества Nx.
Пусть
5)n[E(^<^)] и Я = (
Тогда соотношение A) выполнено. В самом деле, если х?А—В,
то множество Мх не является вполне упорядоченным, тогда как
множество Nx вполне упорядочено, следовательно, соотношение
MX<^NV не может иметь места. Поэтому
и так как х ?—В, то x?D.
Следовательно, А—BczD и, из соображений симметрии, В—АаН.
С другой стороны, если х?(—5)П(—А), то оба множества
Мх и Nx вполне упорядочены. Следовательно, они сравнимы, т. е.
либо MX<^NX, либо Nx <[ Мх. Поэтому соотношение х ? Г— Е (Мх <^
"ч^I П [—Е (Nx <^ Мх)\ не может иметь места. Отсюда вытекает,
что D(}H — 0.
Покажем, что D и Н являются (М-множествами; для этого доста-
достаточно доказать, что множество Е (•Mj.-^yV^)—аналитическое. Но это
X
является частным случаем утверждения 2 из § 38, IX (при /г=1).
Следствие 1 (одновременная отделимость). Пусть Ах, А2, . . .—
последовательность аналитических множеств; тогда сущест-

§ 39. Аналитические множества 503
вует последовательность непересекающихся СА-множеств Cv
С2 таких, что
Ап — (Л, U • • • U An-i U Aa+l U ...)<=Са.
Действительно, пусть, в соответствии с предыдущей теоремой,
Аа— U A><=Da;, U АЛ-Ап<=На, Dn[\Hn = 0.
кфп кфп
Положим Сп = Dn П П Hk> тогда множества Сп—непересекающиеся
кфп
СЛ-множества. Кроме того,
К~ U AkcAn — Akc. U An — AkcHk,
Ьфп кфп
каковы бы ни были кфп. Следовательно, Ап— |J Akcz П Hk,
Ъфп кфп
откуда вытекает искомое включение.
Следствие 2. Пусть Ап .,,„ —система аналитических
множеств, такая, что
тогда существует регулярная система \Сп .,.„ 1 СА-множеств,
не пересекающихся ни при каком фиксированном k, такая, что
@ Anv..nk U ^иг..т4сСЛ]...л^
где суммирование \J' распространяется на системы индексов
(mx...mk) + (nx...nk).
Пусть, в соответствии со следствием 1, Фпг..пА—система не
пересекающихся при фиксированном k С4-множеств, такая, что
Положим
Cni=DUi и C»i...Bt = D,i,..IIjnC,1...»t.1 при k>\
Покажем, что имеет место включение
Оно следует из включения (i), взятого для k—1, и следующих
соотношений, вытекающих из предположения:
Ат1...тк_1 = ^•mr..mft_1l U ^m1...mft_12 U ¦ • • <^ U Amv..mk-
Что касается других обобщений второй теоремы отделимости, см,
п. X. Следующий пункт содержит приложения этой теоремы.

504 Гл. 3. Полные пространства
VII. Порядок значения fi-измеримой функции. Точка у называ-
называется значением порядка 1 отображения / (обозначается y?Zf), если
существует одна и только одна точка х, такая, что y = f(x). Сле-
Следующая теорема представляет собой обобщение теоремы п, IV.
Теорема 1 (Лузин [8]). Значения порядка 1 В-измеримого
отображения f произвольного борелевского множества обра-
образуют СА-множество.
Установим эту теорему сначала для случая непрерывной функции.
Так как разность любого несчетного борелевского множества и под-
подходящего счетного множества является взаимно однозначным непре-
непрерывным образом множества оА^ (§ 37, II, следствие 1в), то доста-
достаточно доказать, что если / — непрерывная функция, определенная на
множестве J\T, то множество Z ее значений порядка 1 есть СЛ-мно-
жество.
По определению, имеем
а
Согласно II и § 34, III, имеем
оо
Отсюда следует, что
со Г со '1
-/(«^-а) = Д/(«^в'...в*)-/1 Ц(«^-^"в«...в*)| =
Положим
Тогда
=и
Согласно II A)иB), имеет место равенство В„ .,.„ _ \J'Am ...m ,
где суммирование (J' распространяется на системы индексов
(т1...тк)ф(п1...пк). С другой стороны, АПу.,Пк — ^„r..«fti U
U Ап . «г и .. ., согласно II A). Поэтому можно применить
следствие 2, п. VI. Положим
cnl...nk = {Cnl...nk П Anr..nk) — В„г._П/г,
где Сп ...„ имеет тот же смысл, что и в указанном следствии.

§ 39. Аналитические множества 505
Тогда
A) Any..nk — ВПу..пк<=-СПу..п^АПу..Пк — ВПу..Пк,
где множества Сп ..,„ являются при фиксированном k непересекаю-
непересекающимися (М-множествами. Кроме того, система {Сп „} регулярна,
так как система \Сп ...„ } регулярна и из включения qJ\Tn ...„ с
Vn ...п (см. II A)) вытекают следующие соотношения:
..n^f (JT пх...пь_,) = Anx...nk_x<=-Anv..nii_x,
откуда можно вывести формулу
Cni...nk^{Cnl...nkuAnl...nk)—By..nkci
Из двойного включения A) вытекает следующее включение:
СО ^ ОО
B) M)
Согласно II F), имеем
со
I ¦ \ я1. а п^ -. .п• )
откуда
Следовательно, три члена двойного включения B) тождественны.
Так как [Сп ...nk) — регулярная система попарно не пересекающихся
при фиксированном k множеств, то из формулы § 3, XIV G') сле-
следует, что множество
^ипс...^ = Дис....,*=П U с
a k=\ k-l a k = \ nl...nk 1 к
является СЛ-множеством.
Перейдем теперь к случаю, когда g есть В-измеримая функция,
определенная на борелевском множестве Е. Так как Е и g(E)—под-
g(E)—подмножества полных сепарабельных пространств соответственно J и 2/,
то множество /= Е [у — ё(х)} является боре^евским в простран-
пространстве ЖХУ-

506 Га. 3. Полные пространства
Очевидно, что множество значений порядка 1 функции g совпа-
совпадает с множеством значений порядка 1 проекции / на ось у (которая
рассматривается как непрерывная функция, определенная на множе-
множестве /), а это множество, как мы только что доказали, принадлежит
классу СА.
Замечания. 1. В рассмотренном здесь случае формула
\у=/ (*)]) л '
приводит к менее точному результату. Однако из нее можно вывести,
что если функция / определена на /^-подмножестве некоторого
компактного пространства, то множество Zj представляет собой
разность двух /^-множеств (этот результат является точным).
2. Обратная теорема. Пусть С — некоторое СА-мно-
жество, принадлежащее пространству X; тогда существует
непрерывная функция /, определенная на замкнутом подмно-
подмножестве пространства JV*\ такая, что C — Zj.
Действительно, пусть F — замкнутое подмножество множества <J\T,
принадлежащее интервалу @, 1/2), и f:F->3? — взаимно однознач-
однозначное непрерывное отображение на (см. § 36, III, следствие). Доста-
Достаточно определить функцию f (а) при 1/2 < а < 1 таким образом,
чтобы пересечение множества JV и интервала A/2, 1) отображалось
на множество^ — С.
Значение у функции / называется значением несчетного порядка,
если множество f~l (у) несчетно:
Теорема 21). Значения несчетного порядка В-измеримой
функции /, определенной на аналитическом множестве, об-
образуют аналитическое множество.
Действительно, положим /= Е 1у==/(х)]- Так как множество /
¦*. у
является аналитическим (§ 38, III, 4), то остается доказать следую-
следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть дано аналитическое множество I, при-
принадлежащее произведению X X У двух полных сепарабельных
пространств Ж и у, тогда множество А таких значений у,
при которых множество Е [(х, уNЛ несчетно, является
X
аналитическим.
Множество /, как аналитическое множество, допускает парамет-
параметрическое представление на множестве J\T иррациональных чисел,
') См. Мазуркевич и Серпинский [1], Куратовский [16], Сакс [4].

§ 39. Аналитические множества 507
т. е. существуют две непрерывные функции g и п, определенные
на множестве (=/У, такие, что любой точке (х, у) множества /
соответствует точка а, удовлетворяющая равенствам х = g (а) и
у = h (а). Следовательно, условие несчетности множества Е \(х, у) ? /]
X
эквивалентно (§ 36, V, следствие 3) существованию в множестве
плотной в себе последовательности, на которой
1° h{a) тождественно равно у;
2° функция g взаимно однозначна.
Имеем
{У 6 Л} га V Л ПУ = АО Л Д igil") Ф g (
I { ф
п
где точка | пробегает множество плотных в себе последовательностей,
принадлежащих множеству в/У". Это множество последовательностей
топологически полно, как множество типа G6 в полном простран-
пространстве e/F7 (§ 30, XII, 6). Отсюда вытекает, что множество
елпу=*ол л \gа11)фg&т)\\
У, I п { тфп )
есть множество типа G6. Множество А является аналитическим, так
как оно есть проекция этого последнего множества.
Замечания. 1. Обратно, любому аналитическому множе-
множеству А соответствует непрерывная функция /, определен-
определенная на множестве qJ\T', такая, что A = Af.
Действительно, положим
ё \\ а1 т | а2 Г | дз "Г • •
Следовательно, g{JV)=^oAT и множество g~l{a) является несчетным
при каждом а. Пусть h — непрерывное отображение множества о/У
на множество А. Тогда достаточно положить f (a) = hg(а).
2. Множество А* может не быть борелевским даже в случае,
когда функция / непрерывна и Л~ и= у = 0.
3. Сакс [4] получил следующее интересное приложение тео-
теоремы 3. Пусть X = g, у = ^, I — множество „точек" (х, у)
произведения Л~ X 2Л таких, что правая производная функции у
равна -f-oo в точке х. Множество / — аналитическое (множество
типа Fab), ибо
l
К*. yN'} = AV A
п т 0<Л<1/т
Следовательно, из теоремы 3 вытекает, что множество непре-
непрерывных функций, имеющих на несчетном множестве точек
бесконечную правую производную, является аналитическим
(в пространстве <у).

508 Гл. 3. Полные пространства
Кроме того, это множество ни в одной из своих точек не является
множеством первой категории (Сакс, цит. раб., стр. 215), следова-
следовательно, в силу свойства Бэра (§ 11, IV, следствие 2), его дополнение
является множеством первой категории (непустым, согласно теореме
Безиковича [1], стр. 212). Сопоставим это утверждение с § 34, VIII.
Обозначим соответственно через Л, D, и Cf множества таких
точек у ?2Л что
1° множество /~ (у) содержит изолированную точку;
2° множество /~'(У) счетно (конечно или бесконечно) и непусто;
3° множество f~l (у) содержит точку, не являющуюся точкой
конденсации.
Приведенные ниже следствия представляют собой обобщения тео-
теоремы из п. IV.
Следствия 1—3 (Браун [1]). Если функция /, определенная
на борелевском множестве, В-измерима, то множества I f,
Df и, С, представляют собой СА-множества.
Доказательство. 1. Пусть Rv R2, ... —база пространства Ж.
Обозначим через /„ сужение /1 Rn. Тогда
2. Как и доказательство теоремы 1, это доказательство сводится
к случаю, когда / — непрерывная функция, определенная на про-
пространстве оАГ. Счетные непустые множества (принадлежащие полному
пространству е/У) характеризуются среди замкнутых множеств F
следующими двумя условиями: 1° множество F содержит изолиро-
изолированную точку, 2 множество F не является несчетным множеством.
Тогда
Df = If-Af.
3. Пусть функция /„ определена так же, как в 1, тогда
Cf = Dfl U Я/, U
Следствие 4 (Браун [1], Лузин [8]). Пусть / есть В-изме-
римая функция, Е — борелевское множество, а множество f (E)
не является борелевским; тогда множество f (E) — С,
не является борелевским.
Действительно, в противном случае множество / (Е) = С*[}
[}{f(E) — С^ было бы, согласно следствию 3, СЛ-множеством. Как
аналитическое множество / (Е) (§ 38, III, 5) было бы тогда борелевским
(п. III, следствие 1).
Непосредственно из следствия 2 вытекает
Следствие 5. Пусть f — непрерывная функция на полном
сепарабельном пространстве &, такая, что. /(^) = ?)* (т. е.

? 39. Аналитические множества 509
все значения функции f имеют счетный порядок); тогда /(Ж) —
борелевское множество.
Более того, пространство X представляет собой сумму
ряда борелевских множеств: X = Bl(]B2U ••¦, таких, что
сужения f\Bn являются гомеоморфизмами. (Доказательство см. в ра-
работах Лузина [8], стр. 237, и Хана [2], стр. 381.)
VIII. Составляющие, или конституанты, СЛ-множества1).
Пусть А—аналитическое множество и, согласно следствию 2, п. II,
пусть W={Wr)—решето, составленное из замкнутых (или, более
общо, борелевских) множеств, через которое просеяно множество А.
Положим, как в § 3, XV,
A) Mx = E(x€Wr);
г
B) ц (х) — порядковый тип множества Мх;
C) \ = ElV(x) = x].
х
Так как множество А просеяно решетом W, то
D) Х — А= U К
Множества Аа (а < 2) называются составляющими, или консти-
конституантами, множества & — А, определенными решетом W.
Расположим двоичные дроби г?<#ов бесконечную последователь-
последовательность гх, г2, . . ., гп которую далее будем считать фиксированной.
Напомним определение решета [Сг\ и составляющих La, рас-
рассмотренных в § 3, XVI. Множество Сг определяется тождеством
E) (/6СГя) = (*(я) = 2),
где t = [r', t1' t , . . .]—точка, принадлежащая канторову
множеству 'ё'.
Кроме того, положим
F) Rt = EV€Cry,
Г
G) t — порядковый тип множества Rt,
(8) ?т = Е(Г=т) и l = E(F<Q)= U К-
t t a<Q
Тождество E) означает, что характеристическая функция
последовательности CTl, СГ2, ..., есть тождественная функция.
Теорема 1. Пусть /—характеристическая функция по-
последовательности WTl, Wr2 т. е. /(дг) — такая точка кан-
торова множества &, что
(9) \/n)(x) = 2] = (xeWrn).
') См. Лузин [8], стр. 188.

510 Гл. 3. Полные пространства
Тогда имеют место следующие формулы:
A0) Mx =
откуда
A2) АХ = Г\1Х),
A3) S~A^f~\L).
Действительно, согласно соотношениям A), (9), E) и F), имеем
(г„ 6 Мх) = (х е Wrn) == [f(n) (x) = 2] = [/ (х) 6 СГп] = [rn 6 Rf(x)],
откуда вытекает формула A0) и, в силу B) и G), формула A1).
Равенство A2) выводится из (8), A1) и C):
\х е г: (iT)J=t/ w
Наконец, A3) вытекает из D), A2) и (8):
•я--л= и Аа= и
Q <
(^/YU
\а<а
Из утверждения 1 выведем следующие две теоремы.
Теорема 2. (Теорема Лузина — Серпинского1).) Множество
L = Е (^ < 2) ие является аналитическим (в силу следствия 1а,
§ 38, IX, оно является СЛ-множеством).
Действительно, в пространстве иррациональных чисел qJW суще-
существует аналитическое множество А, дополнение которого не является
аналитическим множеством (§ 38, VI). Пусть W — решето, составлен-
составленное из замкнутых множеств, через которое просеяно множество А.
Так как множество Wr замкнуто, его характеристическая функция
(а следовательно, и функция /", определенная формулой (9)) есть
функция первого класса (§ 31,1, )); тогда и характеристическая функ-
функция / последовательности WTl, WH, ... (§ 31, VI, Г) есть функция
первого класса. Предполагая, что множество L — аналитическое, мы
заключаем (§ 38, III, 5), что множество /~ (L) также аналитическое.
Но (согласно равенству A3)) мы имеем /~ {L) = J\T—А, тогда как
множество е/У° — А, по предположению, не является аналитическим.
Теорема 3. Составляющие Аа являются борелевскими мно-
множествами2).
') См. Лузин и Сершшский [3]; приведенное в тексте доказательство
взято из работы Куратовского [36].
2) В силу замечания по поводу следствия 56 в § 38, IX, это верно для
множеств Ах любого порядкового типа т.

§ 39. Аналитические множества 511
Действительно, так как при а<2 любое множество La — боре-
левское (§ 30, XII, теорема 1) и / — функция первого класса, то,
в силу A2), множество Аа — также борелевское (см. § 31, III, 1).
Теорема 4. Множества Е [^"О О)Ь Е №W<^] «
t,x t,x
[? [t = |i (x)] являются аналитическими,
t, х
Эта лемма вытекает непосредственно из теорем 2 и 5, § 38, IX
Теорема 5 (о покрытии1)). Пусть Е и А — непересекаю-
непересекающиеся аналитические множества, т. е.
Е<=.Х — А = U Аа.
a<Q
Тогда существует такой индекс а0 < 2, что
A4) Ее U \-
а<а0
Предположим, напротив, что для любого а < 2 существует такое
|^>а, что Е П А\Ф 0- Это означает, что существует такая точка
х?Е, что \х(х) = 1 и, следовательно, |я(д:)^>а. Отсюда вытекает,
что неравенство t < Q эквивалентно существованию такой точки х ??,
что \i(x)^s>t, т. е. t <^ [I (х) (ибо №(х) при х?Е есть порядковое
число). Имеем, таким образом,
(Г< 9) = у (х 6 ?) Л V < и
X
Так как функции высказываний х ? ? и ? <^ ц (х) представляют собой
функции класса Л (первая—по предположению, а вторая—согласно тео-
теореме 4), то и функция высказываний t < 2 является функцией класса А;
но это противоречит теореме 2, согласно которой множество
? = Е(^ < 2) не является аналитическим.
t
Замечание. Теорема 5 приводит к доказательству следствия 1
из п. III, которое не использует первую теорему отделимости.
Действительно, так как множества /1 и J — А предполагаются
аналитическими, то, в силу теоремы 5, имеем
J^ — А с U Аа, следовательно, ЛГ — Л= (J Аа.
а<аа а < do
Так как каждое из множеств Аа — борелевское (теорема 3), то и
множество (J Аа = 3? — А — также борелевское.
а<а„
') Теорема Лузина [8], стр. 183.

512 Гл. 3. Полные пространства
Из сопоставления теоремы 3 с теоремой 5 немедленно вытекает
Следствие 5а. Для того чтобы множество Ж — Л = \J Аа
было аналитическим (или, что в этом случае то же самое,
борелевским), необходимо и достаточно, чтобы, функция [i(x)
допускала в качестве значений не более чем счетное множе-
множество порядковых чисел, т. е. чтобы Аа = 0 для достаточно
больших а.
Теорема 6. Существует такое ао<2, что множество
U At первой категории.
1>а0
Действительно, множество № — А, как СЛ-множество, обладает
свойством Бэра (II, 1). Следовательно, оно содержит такое борелев-
ское множество Е (типа О&), что Ж" — А—Е есть множество пер-
первой категории (§ 11, IV. 2). Согласно включению A4), имеет место
соотношение
U Аг = ЯГ — Л— U AaczS — A~E,
1>
откуда следует требуемое утверждение.
Теорема 7. Любое множество Z, которое можно располо-
расположить в последовательность типа Q: хх, х2, : ¦., ха, . . ., такую,
что
ц (Xi) < ц (х2) < . . . < ц (ха)< ... < Q,
есть множество первой категории на любом совершенном
множестве 1).
Действительно, предыдущее рассуждение можно провести отно-
относительно любого заданного совершенного множества Р. Таким обра-
образом, при фиксированном Р существует индекс <х0, такой, что мно-
множество точек дг|, для которых |!>а0 и которые принадлежат мно-
множеству Р, есть множество первой категории на Р. Так как множество
точек ха, для которых а < а0, счетно и, следовательно, является
множеством первой категории на Р (ввиду того, что множество
Р—совершенное), то отсюда следует, что Z(]P есть множество
первой категории на Р.
Теорема 8. Множества La(a < 2) являются множествами
неограниченных борелевских классов, т. е, любому р < 2 соот-
соответствует множество La, которое не является множеством
класса р.
') О другом построении множеств первой категории на любом совершен-
совершенном множестве см. в § 24, I, 5.

§ 39. Аналитические множества 513
Для того чтобы убедиться в этом, достаточно, в силу A2), уста-
установить существование СЛ-множества, составляющие которого не при-
принадлежат ограниченным классам. Докажем следующую теорему.
Теорема 9 (Лузин и Серпинский [5]). Пусть F — универсаль-
универсальное отображение пространства о/\Г относительно семейства
аналитических подмножеств пространства о/У, такое, что
множество А= Е [b^F{a)}— аналитическое {см. § 38, V), и
а, ь
W=\y(/r\—решето {составленное из замкнутых множеств),
через которое просеяно множество А; тогда составляющие Аа,
которые соответствуют этому решету, представляют собой
множества неограниченных борелевских классов.
Предположим, напротив, что все составляющие принадлежат боре-
левскому классу р. Пусть В— борелевское множество (c=G/F),
которое не является множеством класса р-(-1. Существует такое
число а0> что F (а0) —g/F"— В. Положим V"= a0 X g/^ («вертикаль»
с абсциссой а0) и D — a0X В. Тогда
D = а0Х [оУГ ~ F {ao)] = V — {V () A) = V - А.
Так как множество D — борелевское, то, согласно теореме 5,
существует индекс а0, такой, что Da \J Аа, откуда V — A a (J {V П Аа),
а<а0 а<а„
и, следовательно, V — A— |J (V f) Aa), поскольку (см. D)) Vfl^a<=
a<a0
c=V— А. Так как множества Аа, по предположению, являются мно-
множествами класса |3, то отсюда вытекает, что множество V — А (т. е.
множество D, а следовательно, и множество оАГ — F {а0)) есть мно-
множество класса р+1. Но тогда, вопреки предположению, множе-
множество В было бы множеством класса Р+1.
IX. Проективные классы функций высказываний, включаю-
включающих переменные порядковые типы1). Пусть т — переменная, про-
пробегающая множество rf счетных порядковых типов; пусть, далее,
t — некоторый элемент канторова множества с?; через t обозначим
его порядковый тип (§ 3, XVI).
Определение 1. Функция высказываний от п переменных
ф(т! т„) называется функцией проективного класса Ln,
если функция высказываний ф(^ tn) есть функция класса Ln,
т. е. если множество Е Ф (h> ••¦• К) принадлежит классу Ln.
Примеры. Функции высказываний: «т есть некоторый предель-
предельный тип», «т есть некоторый четный тип», «т есть некоторый нечет-
') Куратовский [34], [35]. Некоторые приложения см. в работе Сампеи [2].

514 Гл. 3. Полные пространства
ный тип», «t = a», где а— фиксированное число < 2, являются
борелевскими, ибо соответствующие множества — борелевские (со-
(согласно § 30, XII, 3, 4 и 1). Аналогичным образом, соотношения
(функции высказываний двух переменных) «х <^о» и «т = 0» — ана-
аналитические (согласно § 38, IX, 2а и 5а).
Функция высказываний «т < Q» есть функция класса СА (не ана-
аналитическая, см. VIII, 2), Докажем два следующих утверждения.
Теорема 1. Сложение t = a-f-p, рассматриваемое как
функция высказываний трех переменных, есть аналитическая
операция.
В самом деле, пусть Т, S и R—три подмножества множества
двоичных дробей <§Р0 = (г1, г2, • •¦)> имеющие соответственно поряд-
порядковые типы т, о и р. Обозначим через /?* множество, которое полу-
получается из множества R добавлением числа 2 к каждому элементу
множества R.
Так как множества 5 и R* не пересекаются, то о + р — порядко-
порядковый тип множества S U R*. Условие подобия множества Т множеству
5 U R* можно выразить следующим образом: существуют две после-
последовательности действительных чисел а = [а1, а2, . . .] и Ь = \ЬХ, Ь2, . ..],
такие, что
1° любой элемент последовательности а принадлежит множеству
Т, а любой элемент последовательности b принадлежит множеству
5 U/Г;
2° любой элемент множества Т есть член последовательности а,
а любой элемент множества S \J R* есть член последовательности Ь;
3° условия а1 < aJ и Ь1 <^Ь! эквивалентны.
Итак,
= V Л {(ап €Т) Л [(*" 65) V ((*" -2N /?)]} Л
а, Ь п
Л Л {[(г* 6 Г)=>V (/"* = а")) Л Кг, 6«)=ФV С* = *")] Л
k n a
Л [(/¦* 6 Я)=Ф V С* = ?* - 2)]] Л .Л
I j
I, j
Пусть t — порядковый тип множества Rt (см. § 3, XVI); тогда
равенство t = s-\-r эквивалентно выражению, получающемуся из пре-
предыдущего тождества после замены множества Т множеством Rt,
множества S — множеством Rs, а множества R — множеством Rr.
Принимая во внимание соотношение эквивалентности
(ап 6 Rt) зз V (гk = ап) Д (г, 6 Л,) = V ('* = а") Л (^(А) = 2)
* ft
и аналогичные тождества, касающиеся функций (Ьп 6 /?$) и [F"—2) ? /?г],
нетрудно установить, что функция высказываний (от переменных а,

ф 39. Аналитические множества 515
b, t, s и г), которая следует за оператором у,—борелевская.
а, Ь
Следовательно, функция высказываний t — s -f- r — аналитическая.
Теорема 2. Умножение т = ор представляет собой анали-
аналитическую операцию.
Применяя обозначения предыдущего доказательства, получаем
а,Ь, с п
А А [С* ?Г)=>V('* = a")] A A \(rk ?S)A(rm ? /?)=>VС* = *яI Л
ft L л j ft, m I и J
Л (/m = cn) A A «У < al) s^ (ci <c') V (cl = c;) л (*' < *0].
Рассуждения, аналогичные предыдущим, показывают, что функ-
функция высказываний t — s-r — аналитическая.
Определение 1 можно расширить таким образом, чтобы охватить
функции высказываний, которые, помимо переменных порядковых
типов, содержат переменные, пробегающие одно или несколько полных
сепарабельных пространств.
Определение 2. Мы называем функцию высказываний
Ф(т1( ..., т„, хх хп) функцией класса Ln, если функ-
функция высказываний (р((: tn, xx хп) есть функция
класса Ln.
Так, например, в обозначениях п. VIII функции высказываний
t<^[i(x) и x = \i(x) — аналитические (VIII, 4); функция высказыва-
высказываний х ? Ах также аналитическая, следовательно, аналитическим является
и множество Е (х ? ^т)-
t,xK '
Чтобы вычислить проективный класс функции высказываний, вклю-
включающей переменные порядковые типы, воспользуемся следующими
правилами, которые легко вывести из правил 1—5, § 38, VIII.
1. Если ф (т, х) — функция класса Ln, mo ее отрицание
]ф(т, х) есть функция класса CLn.
2. Если ф(т, х)—функция класса Ln в пространстве J'X.S',
то ф(т, х) есть функция класса Ln в пространстве J X 3?,
а также в пространстве J1 X 3? X У-
3. Пусть ф!(т, х), фгС^, х), ...—конечная или бесконечная
последовательность функций класса Ln (n — фиксированное);
тогда функции \/фй(т> х) и ЛФа(т> х) тоже принадлежат
k h
классу Ln.

516 Гл. 3. Полные пространства
4. Пусть ф(т, 0, х, у)— функция класса Ln\ тогда функции
V<p(f, о, х, у) и УфС^ °« х> У) принадлежат классу PLn,
а у
а функции Лф(т' °« х> У) и Лф(т> °> х> У)— классу CPCLn.
а у
5. Пусть ф(т, 0, х, у)—функция класса Ln\ тогда ф(т, 0О, х, у),
ф(т, о, х, у0), ф(т, т, л:, у) и ф(т. о, лг, д;) — также функции
класса Ln.
Пополним этот список следующими двумя правилами:
6. Пусть ф(о, х) — функция класса Ln; тогда функции
х)==. V ф(°. х) и %(х, х)== Л ф(о. ^)
о < t а < т
также являются функциями класса Ln.
Очевидно, достаточно доказать эту теорему для функции ф@).
не зависящей от х. В § 30, XII, 1 мы определили последовательность
непрерывных функций {( }, такую, что последовательность t^\ ^21, ...
пробегает все порядковые числа < t (при условии, что t Ф 0).
Следовательно, существование некоторого в<Ц (где (фО), такого,
что ф(о), эквивалентно существованию некоторого k, такого, что
ф(^'*'). Иначе говоря, если положить x = t, то
= 1) @s(^ 0) Л ftV Ф(^*')-
Так как функция г непрерывна, то из правила 3 вытекает, что
¦ф — функция класса Ln. Применяя правило Моргана, выводим, что
функция % — тоже класса Ln.
Пусть задана функция \х, определенная в пространстве Ж или
в множестве J1, значения которой принадлежат множеству J1; мы
скажем, что это функция класса Ln, если функция высказываний
о = ц(^) принадлежит классу Ln. При таком определении имеет
место следующее правило:
7. Пусть Ф — множество класса Z.n(«>0) порядковых
типов и fi — аналитическая функция; тогда множество
I
принадлежит классу Ln.
Следовательно, если ц>(х, х) — функция класса ?„(и>0), то
и функция высказываний ф[ц(^). х] — также класса Ln.
В самом деле, мы имеем
В случае, когда Ф — множество нечетного класса Ln, отсюда сле-
следует, что множество ^""'(Ф) принадлежит классу PLn = Ln. Если

§ 39. Аналитические множества 517
Ф—множество четного (> 0) класса /,„, то его дополнение —Ф пред-
представляет собой множество нечетного класса Ln_v следовательно,
[I (—Ф) — множество класса Ln_x; тогда множество [х~1(Ф)=:
= — М.-1(—Ф) принадлежит классу CLn_1=Ln.
Чтобы доказать вторую часть правила 7, можно ограничиться
случаем, когда ф —функция только одной переменной т. Заметим,
что, в силу тождества ф (о) ^ Го ? Е ф (тI, имеет место соотношение
Положим Ф=ЕСР('Г)- Так как, по предположению, Еф(т)— мно-
¦I X
жество класса Ln, то, как мы только что доказали, функция выска-
высказываний И-(!)€Ф также принадлежит классу Ln. Функция ф[ц(|)]
принадлежит тому же классу.
8. Суперпозиция двух аналитических функций есть анали-
аналитическая функция.
Действительно, если цг — аналитическая функция, то функция
высказываний о —[^(т)— аналитическая. Следовательно, если пред-
предположить, что функция |я2 — аналитическая, то функция высказыва-
высказываний о = jXj [ц,2 (|)] также аналитическая, согласно 7 (вторая часть).
Это означает, что суперпозиция Ц1°(х2 — аналитическая функция.
Пример. Функция (т • 2 —|- 1J" — аналитическая (при фиксиро-
фиксированном п), как суперпозиция аналитических функций т • 2, t-j-1 и
т • 2". Мы воспользуемся этой функцией в п. X.
Замечание. Легко видеть, что в правилах 1—8 переменные t
и х можно заменить „сложными" переменными (пробегающими прямое
произведение). Можно допустить также, что значения функции
ц — сложные (в этом же смысле).
При изучении функций высказываний, имеющих в качестве аргу-
аргументов порядковые числа, полезно следующим образом ввести
понятие относительно аналитической функции высказываний:
функция высказываний ф(а), определенная при а < Q, называется
относительно аналитической, если существует аналитическая функция
высказываний ф*(т), определенная при любом x^J1 и такая, что
Вообще, функция (f(alt .... ап) — относительно аналитическая,
если она имеет вид
ФСС!, .... tjs?#(ii, ..., хп) Д (Ti < 2) Л ••• Л (*я < 2).
где функция ф* — аналитическая.
Функции высказываний ф^, ..., ап), где ах < Q ап < Q,
которые являются одновременно функциями класса СА и относи-
относительно аналитическими, называются длементарными. Это наимено-

518 Гл. 3. Полные пространства
вание связано с тем, что функции высказываний, обычно рассматри-
рассматриваемые в теории порядковых чисел, являются элементарными.
Таковы, например, соотношения
<х = р, а<р, а<р, а = р + у. a^v1).
Для доказательства элементарности равенства а = E заметим, что при
а, E < Q имеет место соотношение эквивалентности
(а = Р)?=(а не < Р) Л (Р не <а).
Так как соотношение т ¦< а — аналитическое, а соотношение т < Q —
класса СА, то отсюда следует, что соотношение
(т не < а) Л (а не < т) Л (т, сг < Q),
а следовательно, и соотношение а = р, принадлежат классу С А. Кроме того,
соотношение а = fi — относительно аналитическое, потому что соотношение
т = а (в области всех порядковых типов) — аналитическое.
Применение трансфинитной индукции не выводит, в общем
случае, из области элементарных функций. С этим фактом связана
следующая теорема2).
Теорема. Пусть а — данное число < Q и к — функция,
ставящая в соответствие любому | < 2 некоторое порядковое
число < Q. Допустим, что функция к — элементарная (т. е.
что соотношение Я = и(|) — элементарное). При этом предпо-
предположении функция \1, определенная при | < Q следующими
условиями:
2) ц а+1) = и [|*(S)].
3) ц@= Пт цСч)' еслн С — предельное число (фО),
является элементарной.
Отсюда можно вывести, что, например, соотношение а^р** —
элементарное.
X. Теоремы редукции3).
Теорема 1. Пусть дана бесконечная последовательность
множеств U1, U2, . . . класса СА; тогда существует такая
последовательность непересекающихся множеств V1, V2, ...
класса СА, что
оо оо
A) VczU" и U Vn= U Un.
я=1 л=1
') Доказательства и более детальный разбор этих вопросов можно найти
в работе Куратовского [35].
2) См. цит. раб. Куратовского, стр. 181,
3) См. Куратовский [29].

§ 39. Аналитические множества 519
Следовательно, если S" — U1 \J U2 \J ..., то множества V —
борелевские.
Пусть U" = U Апа — некоторое разложение на составляющие
(соответствующие решету, составленному из замкнутых множеств).
Согласно VIII C) и 4, существует функция \хп, которая ставит в соот-
соответствие любой точке x^S" счетный порядковый тип так, чтобы
выполнялись следующие условия:
1° л? = Е 1^я(-*0 = а1 ПРИ а < 2;
X
2° функция \хп—аналитическая в смысле п. IX, т. е. множество
Е [Цл (•*) = t) — аналитическое.
X, t
Положим
и
C) V = U" П П EIYa(x) не "nThWI'
к ф п х
где соотношение (т не <^т) означает, что множество, имеющее поряд-
порядковый тип т, не подобно никакому подмножеству множества, имею-
имеющего порядковый тип 0 (см. § 38, IX D)).
Как суперпозиция аналитических функций, функция уп — анали-
аналитическая (см. IX, 8, пример). Так как соотношение t<^o — анали-
аналитическое (IX, примеры, определение 1), то соотношение yk (x) <^ уп {х)
при фиксированных п и k—также аналитическое (в силу IX, 7).
Следовательно, V — множество класса С А.
При пФк имеем Vn f)Vk =0, ибо если предположить, что
х 6 У П V", то мы имели бы соотношения
yn(x)<C.Q, yk(x)<lQ, yk(x) не<^уп(х) не <^ук(х).
Так как соотношение а<^р для порядковых чисел означает, что
а<Ср, то yk (х) = уп (х). С другой стороны, в области порядковых
чисел из равенства (а • 2 -}- 1J" —(Р ¦ 2 -\- 1J* следует, что п — к
Следовательно, формула х ? V" П Vk имеет смысл только при
п = к. Иначе говоря, множества V1, V2, ... не пересекаются.
Остается доказать включение
оо
(За) U" <= U Ут-
') См., например, Серпинский [65], стр. 330.

520 Гл. 3. Полные пространства
Пусть х^А'а, т. е. ц„(лг) = а < Q, откуда ул(л;)<2. Пусть
щ — индекс m наименьшего порядкового числа ym(x) < Q. Тогда
при любом k Ф т0 имеем
ук(х) He<Y (х), откуда xf f) E [Vk О) не < ут (хI.
кфта х
Наконец, х ? Um\ т. е. цт (х) <С 2, ибо если предположить, что
т не является порядковым числом, то (х-2-\-\Jп также не было бы
порядковым числом. Поэтому неравенство \i (х) < й является след-
следствием неравенства ym (x) < Q.
Таким ооразом, установлено, что x^Vm", откуда вытекает вклю-
включение (За)
Для доказательства второй части теоремы заметим, что так как
множества V1, V2, ... не пересекаются, то из равенства JT —1/jU
U V2 U • • • следует, что 3? — V" — (J V". Как объединение по-
кфп
следовательности СЛ-множеств, S" — V является СЛ-множеством.
Следовательно, множество V", как А- и (М-множество, является
борелевским.
Замечания. 1. Функция р(а, л) = (а • 2 -j- 1) 2" упорядочивает
взаимно однозначным образом все пары (а, п) в трансфинитную по-
последовательность типа 2. Поэтому множество V'1 можно определить
следующим образом: точка х принадлежит множеству V", если она
принадлежит такой составляющей Апа, что „ранг" р(а, п) пары (а, п)
ниже ранга любой другой пары (р, k), для которой х?А$.
2. Анализируя доказательство теоремы 1, важно отметить суще-
существенную роль аналитичности соотношения лг?Л", т. е. множе-
множества Е(*?Л").
х, t t
Из теоремы редукции вытекают следующие две теоремы, обоб-
обобщающие теоремы отделимости из п. III и VI, доказательство кото-
которых аналогично доказательству теоремы 2 и следствия 4, § 26, II.
Теорема 2. (Первая теорема обобщенной отделимости 1).) Пусть
Av A2, ...—последовательность аналитических множеств,
со
такая, что [") ^« — 0; тогда существует последовательность
я = 1
борелевских множеств Ви В2 ..., такая, что
со
D) АпсВп а ПЯя = 0.
п = \
Теорема 3. (Вторая теорема обобщенной отделимости.) Пусть
Ах, А2, ... — последовательность аналитических множеств;
') Теорема Новикова [2].

§ 39. Аналитические множества 521
существует последовательность множеств Вь В.2, ... класса СА,
такая, что
со со
E) Аа- П АтаВп и П 5я = 0.
Теорема редукции имеет место также в области множеств класса РСА.
Теорема 4. Пусть IIх, U2, ...—бесконечная последовательность
множеств класса РСА; тогда существует последовательность непере-
непересекающихся множеств V1, V2, ... класса РСА, удовлетворяющая усло-
условиям A) ').
Как и в случае СД-множеств, из теоремы редукции для множеств РСА
вытекают две теоремы обобщенной отделимости2).
Теорема 5. Пусть Аи А2,...—последовательность класса СРСА,
го
такая, что f| Ап = 0; тогда существует последовательность мно-
л = 1
жесте Ви В2, ..., принадлежащих одновременно классам РСА и СРСА
и удовлетворяющих условиям D).
Теорема 6. Пусть Аи А2, ...—последовательность множеств
класса СРСА; тогда существует последовательность множеств В{, В2, ¦..
класса РСА, удовлетворяющих условиям E).
Теорема 73). Пусть А\, Аг, ...—последовательность аналитиче-
аналитических (соответственно класса СРСА) множеств, такая, что Lim sup An =
= 0; тогда существует последовательность борелевских (соответ-
(соответственно класса РСА и СРСА) множеств Du D2, ..., таких, что
(8) Ап d Dn и Lim sup Dn — 0.
В самом деле, положим Ап = Ап\]Ап+1 (J По предположению,
оо оо со
П К= П U ^„+* = LimsuP^ = °-
п=\ п-Х ft=0
Применим теорему 2 (соответственно теорему 5). Тогда
л
Положим
D, = S[ и, вообще, Dn— Dn_x[\Bn,
Отсюда следует, что
Апс:А*п<=:Вп и A'ncA*n_v
Включение (8) устанавливается с помощью индукции: прежде всего, имеем
А1 с Ale В1 = Dj\
') Доказательство см. в работах Куратовского [29], [35а], стр. 136.
3) Теоремы Новикова [3], стр. 465, 466.
3) Для случая аналитических множеств доказана Ляпуновым [1].

522 Гл. 3. Полные пространства
затем, полагая А"п_1с: Dn_v получаем A*ncz Dn_1. Взяв пересечение этого
включения с включением Ап а Вп, получим
Ап a Dn_^ f| Вп = Dn, откуда Ап с Ап с Dn.
Кроме того, так как Dn cz Dn_u то
.х> оо со со
LimsupD«= П U D«+ft= П й«с П в« = 0'
п=\ * = 0 я = 1 n=\
Наконец, так как множества Вп — борелевские (соответственно множества
класса РСА и СРСА), то, в силу (9), множества Dn также борелевские
(класса РСА и СРСА).
*Х1. Функции классов Л и СА. Действительную функцию / назовем
А-функцией (СА-функцией), если множество Е [/ (х) > с] есть Л-множе-
X
ство (СЛ-множество), каково бы ни было с ').
Очевидно, что Л-функции и СЛ-функции измеримы в смысле Лебега
(если переменная х — действительная) и обладают свойством Бэра в уз-
узком смысле. Функции, которые одновременно являются Л- и СЛ-функциями,
совпадают с б-измеримыми функциями. Характеристическая функция
Л-(или СА-) множества есть А- (или СА-) функция.
Теорема 1. Предел сходящейся последовательности А- (или СА)-
функций есть Л- (или СА-) функция.
Это следует из того, что условие / (х) = lim /„ (х) влечет за собой
П ¦> со
соотношение эквивалентности
{/(х) > с] s V Л {/„+*(х)>с+ 1/п],
п k
откуда
Е {/ (х) > с] = U П Е [/„+* (х)>с+ 1/п].
х п U х
Теорема 2. Пусть f есть А- или СА-функция; тогда множество
Е \у = f (х)} представляет собой разность двух аналитических мно-
х, у
жесте.
Обозначим через {гп} последовательность рациональных чисел. Имеет
место соотношение эквивалентности
' [уф/ (х)] = V {[У < rn < f (х)] V [/ (х) < гп < у ]}.
п
Теорема 3. Пусть f—(ограниченная) В-измеримая функция пере-
переменных х и t. Положим g (x) = sup / {x, t) и h (x) — inf / (x, t); тогда g
есть А-функция, h есть СА-функция2).
Действительно, из соотношения эквивалентности
[sup/(*)< с] = Л [/(*)<«]
вытекает, что
; с] == Л [/ {*, t) < с], т. е. [g (х) > с] зэ V [/ (х, t) > с].
') См. Канторович [1]. Разумеется, можно аналогично определить функ-
функции произвольного проективного класса.
Хаусдорф [5].

§ 40. Вполне несовершенные пространства 523
Отсюда следует, что множество Е [g (х) > с], как проекция борелевского
X
множества Е [/ (х, t) > с], является аналитическим.
X, t
Аналогичным образом, из соотношения эквивалентности
[*(*)< с] а у [/(*,*)< с]
следует соотношение
[h (х) <c] = A[AW<c+ 1/n] = Л V [/ (х, t) < с + I/я],
п п t
откуда вытекает, что множество Е [Л (х) < с] — аналитическое.
X
При . тех же предположениях limsup/(^, /) есть А-функция, а
t ->a*
limlnf/(jt, t) есть С А-функция. Это следует из того, что lim sup g (t) =
t -*¦ a t ->a
= lim mn, где тп—sup g(t) при 0<|д — t\<l/n. Следовательно,
П ->¦ со
lim sup/(jr, <)> согласно теоремам 1 и 3, представляет собой Л-функцию.
а-> t
В случае lim inf рассуждения аналогичны.
Пример. Верхние (или нижние) частные производные Дини В-из-
меримой функции g двух переменных являются А- (или СА-) функ-
функциями (которые, впрочем, могут принимать бесконечные значения)').
В самом деле, полагая
/(*, у, t) =
получаем
11Ш SuP g(* + t.y)-g(*,y) = ,im sup f (Xt у, t),
t++o t <->o
где f (x, y, t) есть В-измеримая функция (при условии t > 0).
§ 40. Вполне несовершенные и другие сингулярные пространства
Пространства, рассматриваемые в этом параграфе, предполагаются сепа-
рабельными метрическими.
1. Вполне несовершенные пространства. Пространство, которое
не содержит никакого множества, гомеоморфного совершенному кан-
горову множеству ?*, называется вполне несовершенным. В полном
сепарабельном пространстве множество Е вполне несовершенно, если
оно не содержит никакого непустого совершенного множества, или,
что то же самое, никакого аналитического несчетного множества,
ибо любое аналитическое несчетное множество топологически со-
содержит множество ё" (§ 39, I).
') Нейбаузр 11].

524 Гл. 3. Полные пространства
Теорема 1 (теорема Бернштейна')). В любом полном сепа-
рабелъном несчетном пространстве существует множество,
которое—как и его дополнение — является вполне несовершен-
несовершенным множеством мощности континуума.
Эта теорема непосредственно вытекает из следующей леммы об-
общей теории множеств.
Теорема 2. Пусть R — произвольное множество мощ-
мощности с, М — некоторое семейство мощности <J с подмножеств
множества R, каждое из которых имеет мощность с. Тогда
множество R содержит множество Z, такое, что Z и R — Z имеют
мощность с и содержат по крайней мере по одному элементу
из любого множества, принадлежащего семейству М.
При доказательстве этой леммы мы будем опираться на теорему
о „вполне упорядочиваемое™": пусть йс — наименьшее порядковое
число мощности с; предположим, что множества — элементы семей-
семейства М — расположены в трансфинитную последовательность типа 2С:
A) Мх, /И2, ..., Ма, М№+1, ...,
члены которой могут быть различными или совпадающими.
Пусть, аналогичным образом,
B) хи х2, .... ха, ха+х, ...
— последовательность типа Qc, все члены которой различны, соста-
составленная из всех элементов множеств R. С помощью трансфинитной
индукции определим две последовательности {ра} и {<7а} (а < Qc)
следующим образом:
1° рх— первый член последовательности B), принадлежащий
множеству Мг, а ^ — первый член последовательности B), такой,
что рхф Ч\ и qx ? Мх,
2° обозначим через Sa при а > 1 множество всех точек р| и q^
для | < а; тогда ра—первый член последовательности B), принад-
принадлежащий множеству Ма — Sa (такой член существует, потому
что множество Sa имеет мощность < с); аналогичным образом, qa —
первый член последовательности B), принадлежащий множеству
M-Sa-Pa.
Тогда Z — множество всех точек ра при а < йс.
Замечания. 1. В случае, когда пространство R представляет
собой интервал, множество Z не измеримо в смысле Лебега, ибо
множество Z, так же как и его дополнение, имеют внутреннюю меру
нуль, как вполне несовершенные множества.
') Бернштейн [1]. См. Мало [1], Шёнфлис [1], стр. 361. Доказательство
см. в работе Серпинского и Куратовского [3]. Проблема существования
сепарабельных вполне несовершенных пространств выдвинута Шеффером [1].

§ 40. Вполне несовершенные пространства 525
2. Изложенное выше доказательство существования несчетных
вполне несовершенных множеств не является эффективным, т. е.
существование таких множеств было доказано без указания на ка-
какое-либо конкретное множество Z (отметим, что последователь-
последовательности A) и B) не были определены).
Неизвестно никакого эффективного доказательства этой теоремы
(даже в случае пространства действительных чисел). Это — одна из
фундаментальных проблем, связанных с понятием эффективности !)-
3. В полном несчетннм пространстве Ж существует не-
несчетное (вполне несовершенное) множество, любой непрерывный
образ которого (принадлежащий пространству S?) представ-
представляет собой вполне несовершенное множество.
Действительно, если предположить, что с> {«$[, то любое мно-
множество мощности &J обладало бы вышеуказанным свойством. Если же
принять гипотезу континуума, то для того чтобы прийти к искомому
заключению, достаточно в теореме 7, § 35, I вместо семейства F
подставить семейство совершенных (ф 0) подмножеств множе-
множества д*\
Теорема 3. Пусть Z— вполне несовершенное множество
полного сепарабельного плотного в себе пространства Ж\ тогда
множество 3" — Z ни в какой точке пространства Ж не
является множеством первой категории.
Действительно, предположим, что G— открытое непустое мно-
множество, такое, что G— Z — множество первой категории. Пусть В
есть /^-множество первой категории, такое, что G— Z а В. Тогда
множество G — В плотно в G (§ 34, IV), и поэтому плотно в себе
(§ 9, V, 3). Как плотное в себе Од-множество, множество G — В
несчетно (§ 34, V, 3) и, следовательно, содержит совершенное не-
непустое множество (§ 36, V). Но тогда множество Z, которое со-
содержит множество О — В, не является вполне несовершенным.
Теорема 4. В полном сепарабельном плотном в себе про-
пространстве Ж любое вполне несовершенное множество, обла-
обладающее свойством Бэра, является множеством первой кате-
категории.
Следовательно, если множества Z и Ж — Z вполне несовер-
несовершенны, то они не обладают свойством Бэра.
Эта теорема является прямым следствием теоремы 3 и следствия 2,
§ И, IV.
II. Пространства заведомо первой категории. Так мы назовем
каждое пространство, любое плотное в себе подмножество которого
является множеством первой категории в себе.
') См. об этом замечания Бернштейна [1].

526 Гл. 3. Полные пространства
Теорема 1. В полном сепарабелъном пространстве сле-
следующие четыре свойства эквивалентны:
(i) быть вполне несовершенным Вг-множеством (т. е. мно-
множеством, обладающим свойством Бэра в узком смысле);
(И) быть множеством первой категории в любом совершен-
совершенном множестве;
(ш) быть множеством заведомо первой категории;
(iv) быть множеством, любое подмножество которого
является Вг-множеством.
Доказательство. (i)->(ii). Это следует из I.
4. (н)->(Ш). Если множество Е обладает свойством (И) и если
X — плотное в себе подмножество множества Е, то множество
Е Г\ X есть множество первой категории в X. Следовательно, мно-
множество X = Е П X первой категории в себе (§ 10, IV, 2).
(ш) —> (iv). Из свойства (ш), очевидно, вытекает свойство Вг,
и если какое-либо множество обладает свойством (Ш), то этим свой-
свойством обладает и каждое его. подмножество.
(iv)->(i). Согласно I, 1 и 4, любое совершенное непустое мно-
множество содержит множество, не обладающее свойством Бэра.
Существование несчетных множеств заведомо первой категории
было отмечено в § 24, I, 5 и в § 39, VIII, 7. Более подробно эти
множества мы изучим в п. III.
Теорема 2. Свойство быть множеством заведомо первой
категории счетно-аддитивно.
Пусть X — метрическое сепарабельное пространство, такое, что
X — Ех \)Е2[) . . ., где Еп— множество заведомо первой категории.
Пусть X* - полное сепарабельное пространство, содержащее про-
пространство Ж. Если Р — совершенное подмножество пространства ?"*,
то, согласно (и), множества Pf)En— первой категории в Р; следо-
следовательно, их объединение S" Л Р также является множеством первой
категории в Р.
III. ^-пространства!). Так мы назовем пространство, любое
счетное подмножество которого есть Оь-множество.
Теорема 1. Любое Х-пространство представляет собой
пространство заведомо первой категории.
Действительно, пусть W — плотное в себе множество^ и D — счет-
счетное множество, плотное в множестве W, т. е. .Осги^сг/Э.^Множество
W — D, как граничное /^-множество в множестве W, является
множеством первой категории в W. Поэтому объединение W =
') См. Куратовский [23].

§ 40. Вполне несовершенные пространства 527
—(W — О) U D также представляет собой множество первой катего-
категории в W.
Следовательно, множество W первой категории в себе (§ 10,
IV, 2).
Замечание. Обратная теорема не верна. См. п. V, стр. 521, Vfll, 6.
Теорема 2. Любое полное сепарабельное несчетное про-
пространство содержит некоторое несчетное Х-множество, а сле-
следовательно, 2Sl множеств такого рода (ибо любое подмноже-
подмножество ^-множества является ^-множеством).
Достаточно доказать это утверждение для пространства е/У,
так как любое полное сепарабельное несчетное пространство топо-
топологически содержит пространство 0Ж''¦
Покажем сначала, что пространство q/V содержит несчет-
несчетную трансфинитную последовательность возрастающих (раз-
(различных) G&-множеств1):
A) QodQld...dQaciQa+lci... .
Действительно, пусть Qo=0. При а>0 предположим, что все
множества Qg, H, < а, являются О6-множествами (лебеговской) меры
нуль. Следовательно, множество (j Q? также имеет меру нуль, и
1
так как (согласно теореме теории меры) любое множество меры
нуль содержится в О6-множестве меры нуль, то существует мно-
множество Qa типа G&, такое, что
Очевидно, можно предположить, что множества Qa принадлежат про-
пространству о/У''.
Таким образом, существование последовательности A) доказано.
Множество Е точек рх, р2, ..., ри+1, ра+о таких, что ра+х^
6 Qa+i — Qa< есть ^--пространство. Действительно, пусть D — счет-
счетное подмножество множества Е. Положим О=(р^, р%, ..., р\п, ...);
пусть а — порядковое число, превосходящее все индексы \п. Тогда
DdQa[)E, откуда D = QaU Е П D = E П [Qa — (Qa()E — D)],
и так как множество Qaf]E счетно (ибо при р>а точка рр не
принадлежит множеству Qa), то Qa — (Qa (]E — D) есть О6-множество.
') Это предложение принадлежит Зальцвассеру. Доказательство, не
использующее теорию меры, см. в работе Серпинского [51]. См. также
Хаусдорф 16].

528 Гл. 3. Полные пространства
Отсюда вытекает, что D есть Gj-множество относительно мно-
множества Е1).
Замечание. К ^-пространствам приводит изучение порядка
возрастания последовательностей положительных целых чисел. Дей-
Действительно, пусть $=[$1, f, ...] и t) = [l)', IJ, ...]—два иррацио-
иррациональных числа или, что то же самое, две последовательности
положительных целых чисел; положим $-\1), если $l < \f, начиная
с некоторого индекса I:
п k
Любое множество ® последовательностей (рассматривае-
(рассматриваемое как подмножество множества о/[Г), вполне упорядоченное
отношением l<^\) no типу Q2), есть ^-пространство.
Действительно, пусть 3) — счетное подмножество множества ©:
Пусть a — число, превосходящее все индексы |л> и § — множество
E0, li ja).. Так как множество § содержит множество 25
и разность § — 2) счетна, то достаточно доказать, что § есть
Gg-множество в ©, или что © — § есть /^-множество в ©.
Имеют место следующие очевидные соотношения эквивалентности:
n ft
откуда
Так как множество Е { m < $'} = Е {от + 1 <Ct) замкнуто (при
3
8 3
фиксированных т и /), то множество Е u"+ < l"+ } тоже замк-
нуто. Отсюда вытекает, что множество © — ф есть /^-мно-
/^-множество в ©3).
IV. Отображения.
Теорема 1. Свойства быть вполне несовершенным мно-
множеством и быть Х-пространством инвариантны относительно
') Это рассуждение принадлежит Серпинскому [50].
2) Существование множества такого рода легко следует из теоремы
Цермело.
3) В этом по существу заключаются рассуждения, которые послужили
Лузину [3] для доказательства существования несчетных множеств, обла-
обладающих свойством (И).

§ 40. Вполне несовершенные пространства 529
любого взаимно однозначного отображения f, для которого
обратное отображение f непрерывно.
Действительно, если пространство У = /($*) содержит мно-
множество С, гомеоморфное множеству if, то пространство X содержит
множество /~ (С), топологически содержащее множество ?f(§36,V).
С другой стороны, если X есть Я-пространство и Р — счет-
счетное подмножество пространства у, тс множество f~l(P), как счет-
счетное множество, представляет собой О6-множество в пространстве ЛС,
и множество Р = ff~l (Р) есть О6-множество, ибо функция /~:
непрерывна. Следовательно, у есть ^-пространство.
Теорема 2. Пусть f — произвольная функция, определен-
определенная на пространстве X, которое либо вполне несовершенно, либо
является Х-пространством; тогда множество / = Е{у = /(х)}
х,у
также либо вполне несовершенно, либо является Х-простран-
ством.
Это утверждение следует из того, что проектирование параллельно
оси у отображает множество / в пространство 3? взаимно однознач-
однозначным и непрерывным образом.
Теорема 3. Любое множество Z мощности кь лежащее
в полном сепарабельном пространстве у, есть взаимно одно-
однозначный и непрерывный образ некоторого Х-пространства,
лежащего в пространстве ^Ж* X У< следовательно, множества,
обладающего свойством Бэра в узком смысле.
Действительно, согласно III, 2, пространство о/У содержит ?.-мно-
жество Е мощности Я1. Пусть / — взаимно однозначное отображение
множества Е на множество Z. Множество /= Е {у — /(*)} является
х,у
л-множеством (согласно теореме 2), и множество Z представляет
собой взаимно однозначный непрерывный образ этого множества.
Теорема 4. Произвольное отображение f пространства
заведомо первой категории обладает свойством Бэра в узком
смысле.
Более того, пусть Лс!1; тогда множество D точек разрыва
сужения f\A есть множество первой категории в А1).
Действительно, в множестве А существует счетное множество Е,
такое, что множество А — Е плотно в себе (§ 23, V). Кроме того,
множество D не содержит никакой изолированной точки мно-
множества А (§ 13, III), поэтому Dc(A—E)U(EnAd).
Так как множество Е [\Ad образовано последовательностью то-
точек накопления, оно представляет собой множество первой катего?
') См. замечание 3, § 31, X.

530 Гл. 3. Полные пространства
рии в множестве А; так как, по предположению, множество А—Е
первой категории в множестве А, то таким же является множество D.
Если принять гипотезу континуума, то можно доказать следую-
следующие утверждения.
Теорема 5. Существуют К-пространствалюбой конечной
или бесконечной размерности1).
Действительно, согласно § 27, IX, для каждого Я-простран-
ства & мощности с существует пространство X* заданной заранее
размерности, взаимно однозначным и непрерывным образом которого
является пространство Л\ Согласно теореме 1, пространство X*
является Я-пространством.
Замечания. 1. Множество I = Е {у = /(х)} может обла-
х,у
дать свойством Бэра в узком смысле, в то время как функ-
функция f может не обладать этим свойством даже в широком
смысле-).
Это утверждение следует из теоремы 2 на основании гипотезы
континуума. Действительно, пусть А — множество, не обладающее
свойством Бэра, в интервале g, Е— несчетное ^-пространство,
F — замкнутое подмножество множества Е, такое, что множества F
и ? — F несчетны, и, наконец, / — взаимно однозначное отображе-
отображение, такое, что f(g)=E и f(A) = E.
2. Ни свойство Бэра в узком смысле, ни свойство быть
^-множеством не инвариантны относительно взаимно однознач-
однозначных непрерывных отображений.
Это утверждение следует из теоремы 3 в силу гипотезы кон-
континуума, ибо если бы множество А не обладало свойством Бэра
(в широком смысле, см. § 11, IVa), то существовало бы Я-множе-
ство, взаимно однозначным и непрерывным образом которого было
бы множество А.
*V. Свойство У.
Определение3). Подмножество Е пространства Sf обладает свой-
свойством к', если, каково бы ни было счетное множество X с: <?, множество
Е(]Х является ^-пространством. Иначе говоря, если любое счетное множе-
множество Х*сЕ[]Х есть Oft-множество относительно множества Е[]Х.
Теорема 1. Теорема III, 2 остается верной, если свойство быть
Х-пространством заменить свойством V.
Действительно, множества Qa в формуле III A) можно подчинить до-
дополнительному условию (§ 39, II, следствие 4, замечание):
•V = U Qa-
a<Q
') См. Мазуркевич и Шпильрайн-Марчевскии [1].
2) См. § 32, III, замечание 1. См. также Серпинский [34].
3) См. Серпинский [56],

40. Вполне несовершенные пространства 531
Тогда соответствующее множество Е будет обладать свойством Я' ').
В самом деле, так как множество Х*сЕ\]Х счетно, то существует та-
такое а<Й, что X*cQa. Тогда X* с Qa П (Е [} х), откуда
Так как множество Qa(]E счетно, так же как и множество Qau(E[)X),
то множество в фигурных скобках есть Oj-множество. Следовательно, мно-
множество X* является Oft-множеством относительно множества Е[)Х.
Теорема 2. Для того чтобы подмножество Е пространства &
обладало свойством '/.', необходимо и достаточно, чтобы для каж-
каждого счетного множества D а % существовало Q^-множество Q, та-
такое, что Qf\EczDczQ.
Действительно, если множество Е обладает свойством V', то множество
E\]D является ^-пространством. Тогда D — Q[](E[) D), где Q—некоторое
подходящее Gu-множество. Следовательно, Q(]Ecz D aQ.
Обратно, пусть D и А' — два счетных множества, а Q — множество
типа Gf,, такие, что
A) Dc?UA' и Q[)EczD<=Q.
Положим
Тогда Q* есть О^-множество и
Q*(UEl)X) = (Q-
поскольку
(Q-X)n(E[)X)ciQ[\E'=D и D[\(E[)X) = D,
согласно включениям A). Равенство D — Q*f\(E\JX) показывает, что мно-
множество Е\]Х является Л-пространством, следовательно, множество Е обла-
обладает свойством Я'.
Теорема 3. Свойство X' счетно-аддитивно.
Пусть Ev Ег, ... — (конечная или бесконечная) последовательность
подмножеств пространства j^T, обладающих свойством Я'. Пусть D — счет-
счетное подмножество пространства SV- Необходимо определить О^-множество Q,
такое, что Qf|(?, U^U ...)<=?> с= Q.
По предположению, существует последовательность Q,, Q2. ... O^-mho-
жеств, таких, что Q,,QEncz D czQn. Положим Q = Qi(]Qzi] ¦ • ¦'• тогда
<?П№ U?2 U. ••) <= (Qin?i)U(Qsn^)U-. • = /)(=(?.
Замечания. Свойство быть Я-множеством не аддитивно2). Более
того: если к ^-множеству добавить счетное множество, то полученное
множество может не быть Х-множеством.
Чтобы убедится в этом, определим множество Ш (п. III, замечание) сле-
следующим образом. Пусть ty>. 9р • • •> 9а> ••• (а < Y) — трансфинитная после-
последовательность, образованная всеми иррациональными числами (рассматри-
(рассматриваемыми как последовательности положительных чисел), где у означает
наименьший вполне упорядоченный тип, соответствующий мощности с. По-
Положим jo = tyo- Пусть a > 0; предположим, что при | < а числа §g опре-
определены, и пусть За — первый член последовательности {^}, C < у, удов-
удовлетворяющий неравенству g| < 5a ПРИ любом | < о, разумеется, при усло-
условии, что такой член существует. В том случае, если ни одного такого члена
не существует, множество (? имеет тип а.
') Серпинский [61].
2) См. Ротбергер [2].

532 Гл. 3. Полные пространства
Можно доказать'), что таким образом определенное множество G
является Х-пространстаом, тогда как если добавить к нему множество
рациональных чисел, получается не ^-пространство.
Следовательно, множество Gs представляет собой в то же время пример
к-множества, не обладающего свойством X'. Существование примеров
такого рода вытекает также из топологической инвариантности свойства
быть ^-множеством, ибо существуют множества, гомеоморфные мно-.
жествам, обладающим свойством 'А', но сами им не обладающие2),
Добавим, наконец, что в силу II, 2, множество Q[)% заведомо первой
категории, но не является ^.-пространством3).
Теорема 4. Если любое несчетное подмножество множества
? С ,?," имеет бесконечную размерность 4), то множество Е обладает
свойством V 5).
Действительно, если D — произвольное счетное множество, то оно со-
содержится в 0-мерном Oft-множестве; пусть это будет множество Q. По-
Положим
Q*=Q-(Q[\E-D).
Так как dimQn? = 0, то, по предположению, Q{\E <^ к0. Следовательно,
Q* есть Gft-множество. Так как D czQ, то
Q* = (Q-?) U(Q()D) = (Q-E)l)D=>D и Q*()E= Q*()DczD.
Отсюда, согласно теореме 2, следует, что множество Е обладает свой-
свойством к'.
VI. s-пространства. Так мы назовем любое пространство, каждое
Fo-nodмножество которого есть в то же время G&-множество6).
Существование несчетных о-пространств (содержащихся в про-
пространстве e/f) вытекает из гипотезы континуума. Доказательство
этого факта аналогично доказательству существования ^-пространств.
Предположим сначала, в силу гипотезы континуума, что семейство
всех Ой-множеств меры нуль расположено в трансфинитную после-
последовательность типа Q:
О) Kq> ^l> •••' ^со' ^со + 1
Среди разностей Ка— (J К\ существует несчетное множество
непустых разностей. В самом деле, в противном случае существо-
существовал бы индекс а, начиная с которого имело бы место равенство
U л:6= U к%= U *s= ••••
? gl 1<а+2
') Серпинский [59].
2) Серпинский [60].
s) Существование множеств, обладающих этим свойством, было уста-
установлено Н. Лузиным [10] с помощью гипотезы континуума, а затем Рот-
бергером [2] без использования этой гипотезы.
4) Что касается существования множеств Е такого рода, см. § 28, IV,
замечание 2.
5) См. Мазуркевич и Шпильрайн-Марчевский [1].
6) См. Серпинский [17], Шпильрайн-Марчевский [3].

§ 40. Вполне несовершенные пространства 533
Так как каждое О6-множество, состоящее из одной точки, принад-
принадлежит последовательности A), то (J Къ — о/У*, что невозможно,
1
1<а
поскольку объединение (J Л"| имеет меру нуль.
Любое множество Е, которое содержит по одной точке
из каждого непустого множества Ка— U К\, есть несчетное
о-множество.
Сначала докажем, что любое множество Н, принадлежащее
множеству Е и измеримое в смысле Лебега, счетно.
Действительно, так как множество Е П Ка счетно, каково бы
ни было а, то не существует никакого несчетного О6-множества меры
нуль, которое принадлежало бы множеству Е. Следовательно, мно-
множество Е имеет внутреннюю меру нуль, и, следовательно, множе-
множество Н имеет меру нуль. Поэтому существует множество Ка, такое,
что HczKa, откуда HczEf\Ka. Так как множество Е{\Ка счетно,
то множество Н также счетно.
Пусть теперь В — произвольное /•'о-множество, лежащее в интер-
интервале <7=@, 1). Докажем, что В(]Е есть О6-множество относи-
относительно множества Е. Положим 0—B=U[}V, где U есть /^-мно-
/^-множество и V — множество меры нуль. Тогда Е — В = (UП Е) U (V Г) Е).
Так как V [\Е — множество меры нуль, то оно счетно, следовательно,
Е — В есть /^-множество в множестве Е, а В[\Е есть О6-множество
в множестве Е, что и требовалось доказать.
Теорема 1. Во всяком а-пространстве любое борелевское
множество есть Fg- и вумножество одновременно.
Докажем, что в а-пространстве объединение и пересечение беско-
бесконечной последовательности двусторонних множеств класса 1 являются
двусторонними множествами класса 1. Итак, пусть Х{, Х2, . .. —мно-
—множества типа Fa и О6, тогда объединение (J Xt есть /^-множество, и
поскольку речь идет о а-пространстве, то оно является О6-множеством.
Пересечение |~| Xt есть О6-множество, т. е. дополнение к Fo-mho-
i
жеству, следовательно, и к О6-множеству; значит, оно является
/^-множеством.
Теорема 2. Любое а-пространство конечной размерности
нульмерно.
Пусть JP есть о-пространство размерности п > 0, и пусть 5 есть
/^-множество, такое, что (см. § 27, I, 2г)
dim5 </г—1 и dim(jr — S) = 0.
Как Об-множество, множество Ж — S, согласно теореме 1, есть
/^-множество, и, следовательно, пространство^ разлагается в объеди-
объединение двух /^-множеств 5 и Ж — 5 размерности <^я — 1. Отсюда

534 Гл. 3. Полные пространства
следует, в силу § 27, I, 2, что dimj^O— 1, а это приводит
к противоречию.
Сопоставляя теорему 2 с теоремой IV, 5, получаем следующее
утверждение.
Теорема 3. Существуют Х-пространства, которые не
являются ^-пространствами.
Очевидно, что любое а-пространство является Х-простран-
ством.
Из теоремы 1 непосредственно следует
Теорема 4. Любая В-измеримая функция, определенная
на о-пространстве, есть функция первого класса.
Замечание. Очевидно, что множество Е, служившее нам для
доказательства существования несчетных о-пространств, неизмеримо
в смысле Лебега. Следовательно, существуют неизмеримые мно-
оюества, обладающие свойством Бэра в узком смысле (так как
этим свойством обладает каждое А-пространство и, следовательно,
каждое а-пространство).
Более общим образом, любое множество, каждое измеримое в смысле
Лебега подмножество которого счетно, обладает свойством Бэра
в узком смысле').
Добавим, что обратная задача, а именно проблема существования
измеримого множества (меры 0), не обладающего свойством Бэра
(даже в широком смысле), легко разрешима без использования гипо-
гипотезы континуума.
VII. v-пространства, сосредоточенные пространства, свой-
свойство С. v-пространством мы называем любое пространство, каждое
нигде не плотное подмножество которого счетно (Лузин [1]).
Существование несчетных v-пространств (принадлежащих про-
пространству о/У) вытекает из гипотезы континуума. Установим сначала
существование несчетного множества Е а оА^'~', обладающего следую-
следующим свойством (называемым свойством L):
Каково бы ни было нигде не плотное подмножество N интер-
интервала g, ;vnl?< a0.
Предположим, что замкнутые нигде не плотные подмножества
интервала 0 расположены в трансфинитную последовательность
типа Q:
Как полное пространство, интервал 0 не является множеством пер-
первой категории. Отсюда (как и в доказательстве п. VI) вытекает суще-
существование несчетного множества непустых разностей Fa — U F\.
1
') См. Сакс [3], Лузин [6].

§ 40. Вполне несовершенные пространства 535
Пусть Ео — множество, содержащее по одной точке из каждой
из этих разностей. Положим Е = Ео П <?АР¦ Тогда Я > ц0. Кроме
того, так как N — нигде не плотное подмножество интервала 0, то
существует такой индекс а, что Fa = N. Так как E0(\Fa^ Но и
Щ
N П Е с Ео П Fa, то Щ\Е<? »0.
Отсюда следует, что Е — несчетное v-пространство, так как оче-
очевидно, что свойство v вытекает из свойства L.
Замечание. Обратная импликация не имеет места (как это видно
при рассмотрении подмножеств множества 4ff, обладающих свойством v).
Однако можно доказать >), что любое (метрическое сепарабельное) v-про-
v-пространство гомеоморфно множеству, обладающему свойством L.
Теорема 1. Любое \-пространство вполне несовершенно.
Это следует из того, что канторово множество Ч? содержит
совершенное подмножество, нигде не плотное в *?'.
Теорема 2. Любое подмножество ^-пространства, обла-
обладающее свойством Бэра, представляет собой объединение Ой-мно-
Ой-множества и счетного множества.
Это предложение следует из того, что это подмножество есть
объединение C6-множества и множества первой категории (§11, IV, 2),
а последнее счетно по предположению.
Отсюда следует
Теорема 3. Любая функция, обладающая свойством Бэра,
определенная на ^-пространстве, есть функция второго класса 2).
Определение. Пространство X называется сосредоточенным
вокруг подмножества AczS", если, какова бы ни была окрест-
окрестность G множества А, множество X — О счетно*).
Теорема 4. Для того чтобы пространство X было
^-пространством, необходимо и достаточно, чтобы оно было
сосредоточено вокруг каждого плотного в нем множества, или:
чтобы оно было сосредоточено вокруг каждого плотного счет-
счетного множества 4).
Действительно, пусть X есть v-пространство. Пусть A = S? и
Е—окрестность множества А. Следовательно, если О — внутрен-
внутренность множества Е, то AczG, откуда G — S"; это доказывает, что
') См. Серпинский и Куратовский [4].
2) Попруженко [1].
3) Согласно С. Безиковичу [1], подмножество ? пространства j?" сосре-
сосредоточено относительно множества А с *?, если, какова бы ни была окрест-
окрестность О множества А, множество Е — О счетно. Легко показать, что если
множество Е сосредоточено относительно множества Л, то и множество Е\^А
сосредоточено относительно множества А.
4) Шпильрайн-Марчевский [8].

536 Гл. 3. Полные пространства
множество Ж — G нигде не плотно, а следовательно, счетно. Так как
Ж— ЕаЖ— G, то множество Ж—Е счетно.
Следовательно, условие необходимо. Для доказательства доста-
достаточности допустим, что множество N нигде не плотно и что
А— счетное подмножество множества Ж— N, плотное в множестве
Ж — N. Тогда А~Ж — Ш = Ж. Так как множество Ж—N
является окрестностью множества А, то, по условию теоремы, его
дополнение, т. е. множество N, счетно. Следовательно, множество ./V
счетно.
Теорема 5. Любое пространство Ж, сосредоточенное
вокруг счетного множества А, а следовательно, и любое х-про-
странство, обладает следующим свойством., называемым свой-
свойством С":
если каждой точке х^Ж соответствует последователь-
последовательность открытых множеств GXt п, где «=1,2, ... и где х ? GXi n,
то существует счетная последовательность хх, х2, ....
такая, что
A) ж = оХи1иоХ2,2и ..-1).
Действительно, положим А~[х1, х3, х5, ...]. Так как мно-
множество GXhi\jGX3tsU ¦¦¦ является окрестностью множества А и
пространство Ж сосредоточено вокруг множества А, то множество
Ж — (GXuI U GX3iз U •¦¦) счетно. Расположим его в последователь-
последовательность х2, хА, х6, ... (можно допустить, что это множество, так же
как и множество А, не пусто). Последовательность хх, х2, х3, xit ...
и есть искомая последовательность.
Теорема 6. Свойство С" инвариантно относительно непре-
непрерывных отображений.
Действительно, пусть Ж—пространство, обладающее стойством С",
/ — непрерывное отображение пространства Ж в пространстве у и
Яу> п — система открытых множеств в пространстве У, такая, что
у(^Нуп. Определим последовательность точек yv y2, ..., такую,
что
Так как функция / непрерывна, то множества f~x (НУ: п) открыты.
Положим GXtn = f~l(Hf{x)in). Так как f(x)?Hf(x)>n, то x^Gx>n.
Следовательно, существует последовательность хх, х2, ..., удовле-
удовлетворяющая равенству A), откуда
') Ротбергер 11].

§ 40. Вполне несовершенные пространства 537
Теорема 7. Из свойства С" вытекает следующее свой-
свойство С):
Для любой последовательности {Хп} положительных чисел
существует последовательность множеств {Ап}, такая, что
B) ЗГ = А1[}А2и ... и Ь(Ап)<Хп.
Следовательно, любое подмножество вещественной прямой,
обладающее свойством С", имеет лебеговскую меру нуль; поэтому
любой непрерывный образ (ocf) ^-множества имеет лебегов-
лебеговскую меру нуль (согласно теоремам 5 и бJ).
Действительно, пусть 0х п — открытый шар с центром в точке х
диаметра < Хп. По предположению, существует последователь-
последовательность хх, х2, ..., удовлетворяющая равенству A). Если положить
Л„ — Ох t,;, то 6(ЛЛ)<ЯЛ, откуда следует требуемый вывод.
Замечание. Последняя часть теоремы 7 остается верной, если
непрерывные отображения заменить отображениями, обладающими
свойством Бэра. Пусть /—функция, обладающая свойством Бэра,
тогда существует множество А, такое, что множество Ж — А первой
категории и, следовательно, счетно, и что сужение f\A непре-
непрерывно (§ 32, II). Поэтому, если множество А обладает свойством v,
то множество /(Л) имеет меру нуль. Следовательно, множество f ($")
также имеет меру нуль.
Это утверждение легко получить также с помощью теоремы
из § 32, V.
Теорема 8. Любое пространство S", обладающее свой-
свойством С, и, следовательно, любой непрерывный образ ^-про-
^-пространства имеет размерность 0. (Шпильрайн-Марчевский [7].)
Пусть х0 — некоторая фиксированная точка пространства JP.
Положим f(x) — \x — хо\. Докажем сначала, что множество /(Ж)
обладает свойством С. Действительно, пусть {Хп}—данная последо-
последовательность, и пусть {Ап} — последовательность, удовлетворяющая
условиям B). Тогда
/ (.Л =/Hi) U/(A,) U ... и 6[/(Л„)]<6(Л„),
ибо
1 = П* —*ol —I*' — *0| К !* — *'!•
') Проблема существования несчетных множеств, обладающих свой-
свойством С, восходит к Борелю. Эти множества совпадают с множествами,
которые Борель [3] называет „множествами, имеющими асимптотическую
меру, низшую по отношению к любой заданной последовательности". Неиз-
Неизвестно, можно ли установить существование (несчетных) множеств, обладаю-
обладающих свойством С, не используя гипотезу континуума. Многочисленные
библиографические ссылки, касающиеся свойства С, можно найти в статье
Серпинского [57].
2) См. Серпинский [33]. Обобщения этой теоремы на абстрактные меры
принадлежат Попруженко и Шпильрайну-Марчевскому [1]. См. также п. IX.

538 Гл. 3, Полные пространства
Как множество, обладающее свойством С, / (Л?) представляет
собой граничное множество в пространстве ?f (даже меры 0). Следо-
Следовательно, существует сколь угодно малое число ц > 0, не являющееся
значением функции /, т. е. не существует никакой точки х, для
которой выполнялось бы равенство | х— хо| = г|. Поэтому множество
? [ | х — хо[<г|] открыто-замкнуто, содержит точку х0 и имеет
X
диаметр <С2г|. Этим доказано, что &\тХаХ~§.
Теорема 9. Любое пространство X, обладающее свой-
свойством С, и, следовательно, любой непрерывный образ ^-про-
^-пространства, вполне несовершенно. (Шпильрайн-Марчевский [2].)
Действительно, предположим, что пространство X содержит мно-
н ество Р, гомеоморфное канторову множеству %'. Пусть /—непре-
/—непрерывное отображение множества Р на некоторое множество положи-
положительной меры, например, на интервал 0 (§16, II, следствие 6а).
Можно считать, что
C)
Так как функция / равномерно непрерывна, то для любого п
существует Хп > 0, такое, что из неравенства \х—х' | < кп выте-
вытекает неравенство | / (х) — / (х') | < • t . Далее, так как множество Р
обладает свойством С (как подмножество пространства Ж), то
откуда
и тогда
mes[/(P)]<l-f-i-b ... =1,
вопреки равенству C).
V1H. Связь со свойством Бэра в узком смысле.
Теорема 1. Множество Е, обладающее свойством v и рас-
расположенное в полном сепарабельном пространстве, обладает
свойством Бэра в узком смысле только в том случае, если оно
счетно.
Действительно, пусть Е обладает свойством Бэра относительно
множества Е, тогда множество Е представляет собой объедине-
объединение (Зб-множества и множества Р первой категории в множестве Е
(§ 11, IV, 2), следовательно, в множестве Е (§ 10, IV, 2), поэтому Р
счетно. Поскольку Е вполне несовершенно (VII, 1), всякое Gft-мно-
жество в нем счетно. Как объединение двух счетных множеств,
множество Е счетно.

§ 40. Вполне несовершенные пространства 539
Теорема 2. Существует взаимно однозначное и непрерывное
отображение / : е/^°—>е/^°. отображающее любое множество,
обладающее свойством L, на множество заведомо первой кате-
категории. (Лузин [10].)
Пусть, в соответствии с § 37, I (и) и (к), /': J\T'->С/У — взаимно
одно: н шное непрерывное отображение, преобразующее любое откры-
открытое множество (в пространстве в/У) на множество первой категории
в себе. Пусть Е—подмножество пространства ЛГ, обладающее
свойством L, Р — совершенное подмножество пространства QJ\T~'. На
основании II (и) достаточно доказать, что множество P[\f(E) первой
категории в множестве Р.
Положим f-\P) = Q, Тогда (см. § 3, III A3))
ЯП f(E) = f[E П Г
Пусть Int(Q) = O. Так как функция / непрерывна, то множество Q
замкнуто и, следовательно, множество Q — G нигде не плотно; поэтому
О<К0. откУДа /[(^ flQ) —О] < Ко;
следовательно, множество f[(E[]Q)— G] первой категории в мно-
множестве Р. Тогда и множество /'(О) также первой категории в мно-
множестве Р. Действительно, поскольку множество G открыто, мно-
множество /(О) первой категории в себе, следовательно, и в множестве Р,
которое содержит его, в силу соотношения f(G)czf(Q) = P. Отсюда
вытекает, что множество f(E[\G) первой категории в множестве Р,
а значит, таким же свойством обладает и множество
Из теоремы 2 вытекают следующие интересные следствия!)
(в силу гипотезы континуума, из которой следует существование
несчетных множеств, обладающих свойством L).
Теорема 3. Свойство Бэра в узком смысле не инвариантно
относительно прямого умножения на ось.
А именно: пусть Е — несчетное множество, обладающее свой-
свойством L, a f — функция, рассмотренная в теореме 2; тогда
множество а/\Г X f{E) не обладает свойством Бэра в узком
смысле.
Действительно, согласно теореме 1, множество Е не обладает
свойством Бэра в узком смысле. Следовательно (см. § 35, IV, 2), и
гомеоморф'ное ему множество (см. § 15, V, 1)
z=E I0> = /(*))Л(*€?)]
X, У
') Серпинский [53]. См. замечание, § 28, IV.

540 Гл. 3. Полные пространства
не обладает этим свойством. Из соотношения эквивалентности
№ = /(*)] Л [?€/(?)]} ^ № = /(*)] Л (*€?))
следует, что
2=Е [у = /(*)] Л [*ГХ/(?)]•
л, у
Так как множество Е.[у — /(х)] замкнуто и множесто Z не
х,у
обладает свойством Бэра в узком смысле, то и множество о/У X f(E)
также не обладает этим свойством.
Теорема 4. Существует функция, определенная на про-
пространстве о/У'', обладающая свойством Бэра в узком смысле,
график которой не обладает этим свойством.
Используя введенные выше обозначения, положим K~f(E) и
Г1 (У) при
__! при
Так как множество К первой категории в любом совершенном мно-
множестве, то функция g непрерывна на любом совершенном множе-
множестве с точностью до множества первой категории на этом множе-
множестве, т. е. функция g обладает свойством Бэра в узком смысле.
С другой стороны,
W, где W=E[
х, у х,у
Множество W обладает свойством Бэра в узком смысле, так как
оно гомеоморфно множеству JJT—К (множество К, так же как и
множество о/!Г — К, обладают им). Поскольку множество Z не обла-
обладает этим свойством, множество Е [x=g(y)] тем более не обладает им.
х,у
Теорема 5. Существует функция h одного переменного,
обладающая свойством Бэра в узком смысле, такая, что если
положить g(x, y) = ft(y), то функция g как функция двух
переменных не обладает этим свойством.
Достаточно в качестве h взять характеристическую функцию мно-
множества К, а в качестве g — характеристическую функцию множе-
множества
Теорема 6. Существует множество заведомо первой
категории, не являющееся Х-пространством. •
Таковым является множество К. Допустим противное, тогда мно-
множество Е тоже было бы Я-пространством (в силу IV, 1). Но в таком
случае множество Е обладало бы одновременно свойством v и свой-
свойством Бэра в узком смысле (согласно III, 1), что несовместимо с тео-
теоремой 1.

§ 40. Вполне несовершенные пространства 541
IX. Связь v-пространств с общей теорией множеств.
Теорема 1. Пусть X— произвольное ^-пространство
и т — некоторая функция- („мера"), которая каждому боре-
левскому множеству ХаХ ставит в соответствие число
т(Х)^0 следующим образом:
(i) m(X) = Q, если X состоит из одного элемента;
(И) т (U ХЛ = 2 т (Xt), если Xt[\Xj = 0 при l=?j (счет-
пая аддитивность).
В этих условиях мы имеем т(Х) = О1).
Покажем (не используя свойства v), что каждая точка имеет
открытую окрестность произвольно малой меры. Действительно,
пусть хо?Х и е > 0; обозначим через Sn открытый шар с цент-
центром х0 радиусом, равным —. Положим So — X nDn — Sn — Sn+1.
Тогда
ОО
Sn = xQl) \JDn+k, DnnDm=0 для пфт.
Следовательно, m(Sn)='^im(Dn+k). В частности,
т
= 2
откуда следует существование п, такого, что т (Dn)-f- m (Dn+1)-\-
-f- ... < е, т. е. что т (Sn) < e.
Далее, пусть plt р2, ¦••—последовательность, всюду плотная
в пространстве JP. Пусть Ak — открытая окрестность точки pk,
такая, что т (Ak) < — . Пусть
A = A,UA2U ... = А1\)(А2— A1)U[A3~(A1U A2)]U ¦-.,
тогда
Так как множество JV — А нигде не плотно, а потому счетно,
то т (X — А) = 0, откуда т (Ж)— т (А), следовательно, т (X) <! е.
Так как число е произвольно, то т(Х) = 0.
Из сопоставления предыдущей теоремы с теоремой существо-
существования v-пространств мощности континуума вытекает отрицатель-
отрицательное решение обобщенной проблемы меры, а именно:
') См. Шпильрайн-Марчевский [5], стр. 307. Предположение
несущественно.

542 Гл. 3. Полные пространства
Теорема 2. Не существует никакой неотрицательной
функции, за исключением тождественно равной нулю, удовлет-
удовлетворяющей условиям (И и (И) и определенной на каждом под-
подмножестве интервала g l).
С одной стороны, последнее утверждение, как теорема общей
теории множеств, имеет место для каждого пространства мощности
континуума, если только оно имеет место хотя бы для одного из
таких пространств; с другой стороны, существуют пространства
мощности с, для которых выполняется это предложение (а именно,
v-пространства).
Замечание. Предыдущее рассуждение позволяет вывести из
топологической предпосылки (существования v-пространства мощ-
мощности с) некоторую теорему общей теории множеств. Обратно, можно
доказать (не используя гипотезу континуума), что существование
v-пространства мощности с эквивалентно одной теореме общей тео-
теории множеств. (См. Куратовский [26].)
Подобно этому, из существования несчетных множеств, обладаю-
обладающих свойством v, можно вывести следующие две замечательные
теоремы 2).
Существует непрерывная функция /, определенная на мно-
множестве мощности с, которая не является равномерно непре-
непрерывной ни на каком несчетном множестве.
Существует сходящаяся последовательность функций /,,
/, определенных на пространстве ef, которая не является
равномерно сходящейся ни на каком несчетном множестве.
') Теорема Банаха — Куратовского [1]. См. также Улам [1], стр. 140.
Шпильрайн-Марчевский [5] отметил, что из существования несчетных v-npo-
странств вытекает решение обобщенной проблемы меры.
2) См. Серпинский [52]. Эти две теоремы доказаны с использованием
гипотезы континуума; на самом деле они эквивалентны. Добавим, что вторая
теорема была подсказана теоремой Егорова, согласно которой любая сходя-
сходящаяся последовательность измеримых функций равномерно сходится, если
пренебречь множеством сколь угодно малой (внешней) меры.

ДОБАВЛЕНИЕ
I. Некоторые приложения топологии к математической логике
А. Мостове кий
1. Классификация определимых множеств. В логических иссле-
исследованиях часто бывает важно определить структуру некоторых мно-
множеств, составлгнных из положительных целых чисел или из объектов,
которые могут быть перечислены с помощью положительных чисел.
Примером может служить проблема разрешимости в системе аксиом
(S), эквивалентная проблеме: является ли множество теорем системы
(S) рекурсивным, т. е. существует ли алгоритм, позволяющий авто-
автоматически проверить, является ли некоторое выражение теоремой
системы (S). Аналогичным образом, проблема, является ли множе-
множество выражений Е аксиоматизируемым, эквивалентна проблеме:
является ли это множество рекурсивно перечислимым, т. е. суще-
существуют ли в множестве Е конечное число выражения Еи Е2, . . .
..., Ет (аксиом) и конечное число финитных операций Ох Оп
(правил), таких, что множество Е совпадает с множеством выра-
выражений, которое получается посредством применения произвольного
числа операций Ог Оп в произвольном порядке к выражениям
Ех Ет.
Для исследований такого рода построена классификация множеств
положительных целых чисел, которая напоминает классификацию
проективных множеств (см. Клини [1], Мостовский [1]).
Согласно этой классификации, низший класс Ро образуется рекур-
рекурсивными множествами, а высшие классы получаются с помощью
проекций и дополнений точно так же, как в теории проективных
множеств (см. § 34, I). Все полученные таким образом множества
называются определимыми.
В классификации, которую мы только что описали, рекурсивно
перечислимые множества соответствуют аналитическим множествам.
Точно так же как в теории аналитических множеств, можно доказать,
что класс Р] рекурсивно перечислимых множеств отличен от класса
Ро. Тем не менее аналогия между классом Р] и классом аналити-
аналитических множеств не является полной. Например, первая теорема
отделимости (§39, III) не верна для множеств Р: (см. Клини [2]).

544 Добавление
Укажем на некоторые приложения классификации определимых
множеств. Можно доказать '), что теорема Гёделя о неполном харак-
характере арифметики в принципе эквивалентна неравенству Ро Ф Рг.
Рекурсивно перечислимые рекурсивно несепарабельные мно-
множества используются для построения многочисленных контрприме-
контрпримеров, а также для того, чтобы получить усиление упомянутой теоремы
Гёделя2).
Формальные системы арифметики или теории множеств сравни-
сравниваются с помощью определения места, занимаемого в классификации
определимых множеств множеством истинных предложений этих
систем3).
Классификацию определимых множеств можно трансфинитно про-
продолжить. (См. Дэвис [1], Клини [3], Мостовский [3].)
Рассматриваются также множества положительных целых чисел,
определенные с помощью выражений, содержащих переменные более
высокого типа. (См. Клини [3].) Очевидно, что эти множества выхо-
выходят за пределы описанной выше классификации.
Таким образом, мы видим, что хотя теория проективных
множеств не находит прямого приложения в теории определи-
определимых множеств, она может служить для этой теории моделью,
согласно которой строится большая часть рассуждений. Недавно
были отмечены также аналогии между теорией борелевских и
проективных множеств, с одной стороны, и теорией определимых
элементарным или неэлементарным путем множеств, с другой сто-
стороны. См. Адисон [1].
2. Пространство идеалов и доказательство полноты логики
предикатов. Одной из наиболее важных теорем математической ло-
логики является теорема Гёделя о полноте, согласно которой любая
непротиворечивая система (if) аксиом первого порядка (т. е. аксиом,
все переменные которых имеют тип индивидуумов) допускает по край-
крайней мере одну модель.
Тот факт, что существует даже счетная модель (например,
модель, элементами которой являются положительные целые числа),
известен под названием теоремы Лёвенгейма — Сколема. Любая
модель системы (?/), образованная положительными целыми числами,
определяет разбиение выражений (без свободных переменных) на два
класса: истинные выражения и ложные выражения в данной модели.
Если расположить переменные, фигурирующие в рассматриваемых
выражениях, в последовательность хх, х2, ¦ ¦ ¦ и допустить, что сво-
свободная переменная Xj интерпретируется в модели как целое число /,
то указанное разбиение выражений на истинные и ложные можно
') См. Клини [1], Мостовский [1].
2) См. Гжегорчик [2], Клини [1], Мостовский [1], [4], Успенский [1],
3) Клини [1], Мостовский [3].

/. Приложения топологии к математической логике 545
распространить на класс всех выражений, даже на выражения,
которые содержат свободные переменные. Тогда множество J истин-
истинных выражений в модели образует главный идеал алгебры Буля
выражений. Это означает, что множество J обладает следующими
свойствами:
Г если выражения А и В принадлежат множеству У, а С — произ-
произвольное выражение, то выражения А\/ С (т. е. А или С) и А /\ В
(т. е. А и В) принадлежат множеству J;
2° если (X\JY)^J, то по крайней мере одно из выражений X,
Y принадлежит множеству J.
Таким образом, любая модель определяет главный идеал, по,
вообще говоря, идеал может не соответствовать модели.
Согласно известной теореме Стоуна >), множество главных идеалов
произвольной алгебры Буля можно рассматривать как бикомпактное
хаусдорфово нульмерное пространство.
Используя эту теорему, Расёва и Сикорский [1] показали, что
множество идеалов, которые не соответствуют моделям, есть мно-
множество первой категории. Применяя теорему Бэра, получаем топо-
топологическое доказательство теорем Гёделя и Лёвенгейма—
Сколема2).
Хотя существуют доказательства (таким является доказательство
Гёделя), которые обходятся без топологии, топологические доказатель-
доказательства (и особенно метод Расёвой и Сикорского) представляют интерес
не только в связи с их методологическим аспектом, впрочем, весьма
примечательным, но благодаря возможности получать теоремы суще-
существования более сильные, чем те, которые выводятся с использова-
использованием других методов. Кроме того (см. § 34, VIII), чрезвычайно эф-
эффективен „метод категорий".
Так, например, Рыль-Нардзевский, применяя метод категорий,
доказал очень изящным способом теорему, независимо от него найден-
найденную и опубликованную Ореем [1], согласно которой любая аксиома-
аксиоматическая система, содержащая арифметические обозначения и непро-
непротиворечивая по отношению к правилу бесконечной индукции3),
обладает по крайней мере одной моделью, целые числа которой изо-
изоморфны обыкновенным целым числам.
Идея этого доказательства была использована в дальнейшем в то-
топологических доказательствах существования различных патологи-
патологических моделей для аксиоматической системы теории множеств. (См.
Мостовский [5].)
') См. Стоун М. [1].
2) Известны также топологические доказательства, не использующие
теорему Бэра; см. Бет [1], Блейк [1], Ригер [1].
3) Это правило имеет нефинитный характер; оно позволяет принять
в качестве теоремы любое общее высказывание: „для любого целого
числа п имеет место F (л)", если доказаны высказывания F (I), F B)

546 Добавление
3. Неклассические логики. Кроме классической логики, в ма-
математической логике рассматриваются также неклассические (много-
(многозначные) системы логики. Рассмотрим сначала исчисление высказываний.
В обычной логике такие логические функции, как отрицание, конъ-
конъюнкция и т. д., определяются на множестве {0, 1}, состоящем из
двух элементов, и не принимают других значений, кроме 0 и 1
(см. § 1,1). Здесь 0 имеет логическое значение „ложно", а 1 — „ис-
„истинно". Теоремы исчисления высказываний представляют собой вы-
выражения, образованные из переменных высказываний и символов для
логических функций, которые принимают значение 1 для всех значе-
значений переменных.
Чтобы определить многозначную логику, множество {0, 1) заме-
заменяют другим множеством, которое может быть конечным или бес-
бесконечным. Это множество вместе с операциями, которые определяют
логические операторы, называется характеристической мат-
матрицей рассматриваемой многозначной логики.
Любую многозначную логику можно охарактеризовать также с по-
помощью аксиоматического метода: достаточно перечислить аксиомы и
правила рассуждения.
Применение топологии к многозначным логикам становится воз-
возможным благодаря тому, что наиболее известные многозначные ло-
логики, которые сначала определялись аксиоматическим путем, обладают
характеристическими матрицами, определяемыми в топологических
терминах. Приведем два примера.
Одной из наиболее интересных многозначных логик является
интуиционистская логика, созданная Брауэром, а затем аксиома-
аксиоматизированная Рейтингом [1]. Простая характеристическая матрица для
этой логики была найдена Тарским [3]. Ее элементами служат от-
открытые подмножества плотного в себе нормального сепарабельного
пространства Е (например, открытые подмножества евклидова прост-
пространства произвольной размерности). В этой матрице конъюнкция и
дизъюнкция интерпретируются, как обычно, с помощью операций
теории множеств. Интерпретация других логических функций отли-
отличается от классической булевской интерпретации; отрицание выра-
выражается с помощью функции lnt(E—-А'), а импликация X =ф К —
с помощью функции Int [ (Е — X)\JY]}).
Рассмотрим теперь модальную логику 54 Льюиса и Лангфорда [1J.
Кроме обычных логических функций, эта логика допускает функ-
функции Рр (= возможно, что р), Nр (— необходимо, что р) и неко-
некоторые другие функции, определяемые с помощью функций Р и N.
Характеристическая матрица логики 54 образуется произвольными
подмножествами плотного в себе нормального сепарабельного топо-
топологического пространства, причем элементарные логические функции
') См. МакКинси и Тарский [1], М. Стоун [4], Тарский [3].

/. Приложения топологии к математической логике 547
интерпретируются как обычно, а функции Р и TV — как операции X
и IntW).
Чисто математические определения интуиционистской логики и
модальной логики S4, которые мы только что дали, были источником
многочисленных метаматематических теорем об этих логиках2). Боль-
Большинство из них не было известно до открытия топологической ин-
интерпретации.
Перейдем теперь к функциональному исчислению 1-го порядка,
основанному на многозначной логике; например, для интуиционист-
интуиционистской3), модальной4) и некоторых других логик5) можно найти топо-
топологическую интерпретацию функциональных исчислений, основанных
на эп1х логиках. В этой интерпретации предикаты f {хг хп)
рассматриваются как функции, заданные на некотором абстрактном
множестве, со значениями в некоторой матрице рассматриваемой много-
многозначной логики. В случае интуиционистской логики f(x1 хп)—
открытое подмножество некоторого топологического пространства Е,
в случае модальной логики — произвольное подмножество простран-
пространства Е. Квантор общности интерпретируется в интуиционистской
логике как внутренность пересечения (в топологическом смысле),
а квантор существования — как объединение. В модальной логике эти
кванторы интерпретируются как пересечение и объединение в смысле
теории множеств.
Можно показать, что в подходящим образом выбранном прост-
пространстве Е логические теоремы совпадают с выражениями, которые
в описанной выше интерпретации тождественно равны простран-
пространству Ее).
Этот результат соответствует цитированной выше теореме Тарс-
кого [1], связанной с исчислением высказываний. Однако важно за-
заметить, что в случае модальной логики класс пространств Е, для
которых эта теорема имеет место, более узок, чем в элементарном
случае исчисления высказываний. (Расёва и Сикорский [2], Сикор-
ский [6].) Аналогичный вопрос для интуиционистской логики остается
открытым.
Топологическая интерпретация неклассических функциональных
исчислений изучалась главным образом Расёвой и Сикорским; с ее
помощью они получили значительное число метаматематических теорем
для этих исчислений и для исчисления высказываний с кванторами7).
') См. МакКинси и Тарский [3], Тан Цяо-чен [1].
2) См. МакКинси и Тарский [1], [2], [3], Тарский [3].
3) См. Мостовский [2].
4) См. Расёва [1].
5) См. Расёва и Сикорский [1].
6) См. Расёва [1].
7) См. Расёва [2J, Расёва и Сикорский [2], [3], [4].

548 Добавление
Заметим, наконец, что топологическая интерпретация некоторых
разделов интуиционистской математики была дана также Менгером [5];
исследования в этом направлении не были продолжены.
4. Другие приложения. В логической литературе можно найти
и различные другие приложения топологии к математической логике.
В качестве примера отметим данное Куратовским [33] доказательство
теоремы Тарского, согласно которой вполне упорядоченность нельзя
определить без использования переменных более высокого логического
типа, чем логика первого порядка. Как показал Куратовский, эта
теорема следует непосредственно из существования аналитических
неборелевских множеств (см. § 38, VI).
Другое приложение топологического метода представляет собой
данное Гжегорчиком [1] доказательство следующей теоремы об „од-
„однородности" рекурсивных функций: пусть дан функционал F, ставя-
ставящий рекурсивным образом в соответствие любому целому положи-
положительному числу х и любой бесконечной последовательности / целых
положительных чисел целое положительное число F(f, x); тогда су-
существует функционал Н (h, x), такой, что из условий:
A) ft^nt> St^Cht для любого t,
B) ft = gt для *<#(й, х)
вытекает равенство F(f, x) = F(g, x), каковы бы ни были после-
последовательности / и g.
Другое доказательство этой теоремы, не прибегающее к тополо-
топологическим методам, а использующее теорему Брауэра — Кёнига (тео-
(теорема о „веере") было дано Клиниг).
II. О приложениях топологии к функциональному анализу
Р. Сикорский
Предметом функционального анализа является изучение линейных
топологических пространств. Под линейным пространством пони-
понимается любое множество, в котором имеются операции сложения
х-\- у и умножения Хх (где Я, — число), причем эти операции под-
подчинены некоторым простым аксиомам2).
Линейное пространство называется линейным топологическим,
если оно наделено некоторой топологией, относительно которой
функции х-\-у и кх, рассматриваемые как функции двух перемен-
переменных, непрерывны.
') См. Клини [4]. Что касается других приложений топологических по-
понятий к теории рекурсивных функций, см. Успенский [2].
2) См. Банах [9]. Эта книга представляет собой первое систематическое
изложение функционального анализа, одним из основателей которого яв-
является автор.

//. О приложениях топологии к функциональному анализу 549
В первый период развития функционального анализа ограничи-
ограничивались случаем, когда введенная топология была метризуемой (линей-
(линейные метризуемые пространства), причем главным образом рассмат-
рассматривали линейные нормированные пространства 1), понимая под нормой
функцию || х || с неотрицательными конечными значениями, такую, что
(|| х || — 0)г=(л; есть нулевой элемент пространства),
Если положить \х — у | = || х — у ||, то нормированное простран-
пространство становится метрическим.
В последующие годы большую роль стали играть не метри-
метризуемые линейные топологические пространства. (См., например,
Бурбаки [2].) Таковы, в частности, пространства обобщенных функ-
функций Соболева — Шварца2) и пространство операторов Минусин-
Минусинского [1], [2]. Другими важными примерами неметризуемых пространств
являются нормированные пространства со слабой топологией, т. е.
слабейшей из возможных топологий, сохраняющих непрерывность
всех линейных функционалов (иными словами, с топологией, допу-
допускающей минимальное количество открытых множеств). Упорядочен-
Упорядоченные пространства, топология которых определяется порядком 3), и
пространства сходимости с двумя нормами 4) в общем случае также
неметризуемы.
Непрерывность операций в линейных топологических простран-
пространствах недостаточно связывает линейность пространства и его топо-
топологическую структуру. Ее дополняет аксиома существования сколь
угодно малых выпуклых окрестностей. Таким образом, мы приходим
к локально выпуклым пространствам 5); если они, кроме того,
метризуемы, то они называются /^-пространствами6).
Фундаментальным понятием в теории^ линейных метризуемых про-
пространств является понятие полного пространства (см. § 33, I). Это
понятие может быть применено и к неметризуемым пространствам,
однако там оно менее полезно, так как в этом случае теорема Бэра
(см. § 34, IV) неверна. При изучении метризуемых линейных про-
пространств обычно предполагают, что они полны. Полное нормирован-
нормированное пространство известно также под названием пространства
Банаха. Полнота пространства и, в частности, теорема Бэра
(вытекающая из нее), существенным образом используются в доказа-
') См., например, Банах [1].
2) См. Соболев [1], Шварц [1], [2].
3) См. Канторович [2], Канторович, Вулих и Пинскер [1].
4) См. Алексевич [2].
5) Принципы теории линейных топологических пространств и локально
выпуклых пространств были независимо друг от друга обоснованы Мазу-
ром [1], фон Нейманом [1] и Колмогоровым [1].
6) Теория .В0-пространств разработана Мазуром и Орличем [1], [3], [4].

550 Добавление
тельствах таких важных теорем функционального анализа, как теоремы
об открытом отображении !) и замкнутом графике 2), о непре-
непрерывности предела сходящейся последовательности линейных непре-
непрерывных отображений3) и известной теоремы Банаха — Штейнгауза 4).
Теорема Бэра часто используется в доказательствах теорем суще-
существования, использующих теорему Банаха'—Штейнгауза (например,
в доказательстве существования непрерывной функции с расходящимся
рядом Фурье 5)).
Хотя линейные пространства (не сводящиеся к одному элементу)
никогда не являются компактными, а локально компактные линейные
пространства можно отождествить с евклидовыми пространствами с?",
понятие компактности приносит большую пользу. Так, например,
в теории линейных операторов важную роль играют вполне непре-
непрерывные операторы, т. е. линейные операторы, переводящие ограни-
ограниченные множества 6) в компактные множества 7).
Понятие компактности играет важную роль в теории норми-
нормированных колец 8) (банаховых алгебр), т. е. в теории банаховых
пространств, наделенных, наряду с принятыми в этих пространствах
операциями, операцией умножения, которая предполагается непре-
непрерывной и подчиненной обычным аксиомам.
Основным понятием теории нормированных колец является поня-
понятие аддитивного и мультипликативного функционала (или эквивалент-
эквивалентное ему понятие максимального идеала). Множество этих функцио-
функционалов (или, что то же самое, множество максимальных идеалов) обра-
образует компактное топологическое пространство.
Замкнутые шары в бесконечномерном пространстве Банаха не ком-
компактны. Тем не менее при дополнительных предположениях относи-
относительно пространства они становятся компактами в слабой топологии
(рефлексивные пространства). Отсюда частое использование понятия
компактности при переходе к слабой топологии.
Свойство Бэра (см. § 11,1) также используется в функциональном
анализе (Банах [9]). Так, например, согласно одной замечательной тео-
теореме о пространствах (F), любое линейное множество, обладающее
свойством Бэра, либо является множеством первой категории, либо
совпадает со всем пространством (Банах [9]; см. также § 13, XII).
1) Банах [9].
2) Там же.
3) Там же.
4) Банах и Штейнгауз [1], Банах [9].
5) Зигмунд [1].
в) Подмножество линейного топологического пространства называется
ограниченным, если любая последовательность .*,, х2, ... элементов этого
множества ограничена, т. е. если %пхп сходится к 0 при Лл->0.
7) Банах [9].
8) См. Мазур [2]. Это первая фундаментальная работа о нормированных
кольцах. Теория нормированных колец была развита Гельфандом [1].

//. О приложениях топологии к функциональному анализу 551
Теоремы о неподвижной точке играют важную роль в нелиней-
нелинейном функциональном анализе и его приложениях к дифференциальным
и интегральным уравнениям. Отметим в первую очередь теорему
Банаха [0] о сжатых отображениях: пусть / — непрерывное отобра-
отображение полного пространства в себя, такое, что | / (х)—/(Ж)|<С
<; К | х — х' ], где Я, < 1; тогда существует одна и только одна
точка лг0, для которой /(xo) = .vo.
Другой фундаментальной теоремой, часто используемой в прило-
приложениях, является теорема Шаудера ]): любое непрерывное отобра-
отображение замкнутого выпуклого подмножества Л банахова про-
пространства в компактное подмножество множества А имеет
неподвижную точку. Доказательство этой теоремы опирается на
классическую теорему Брауэра для я-мерных симплексов (§ 28, III).
Топологические теоремы, использующие гомологические и гомо-
гомотопические понятия, позволяют получить глубокие результаты,
из которых отметим метод Лере — Шаудера, касающийся степени
отображения (некоторого подмножества банахова пространства
в себя) вида I-\-А, где / — тождественный, а А — вполне непре-
непрерывный оператор (см. Лере и Шаудер [1]).
Далее отметим теорему Борсука [2] об антиподах, а также теорему
Люстерника — Шнирельмана [1], согласно которой сферу SPn нельзя
представить в виде объединения я-f-l множеств диаметра <6(<^„).
Эти результаты касаются случая конечной размерности, однако их
можно также применять к бесконечномерным подмножествам бана-
банаховых пространств, поскольку любое вполне непрерывное отображе-
отображение можно приблизить отображениями на конечномерные множества 2).
В этом обзоре приложений топологии к функциональному анализу
мы ограничились в основном некоторыми общими методами. Однако
существуют многочисленные приложения более специального характера.
В качестве примера отметим теорему Александрова, согласно которой
любое метрическое компактное пространство является непрерывным
образом канторова множества ?f, и ее приложение к теореме Банаха—Ма-
зура3) об эквивалентности любого сепарабельного пространства
Банаха линейному замкнутому подмножеству пространства ef1^
(см. § 22, II, замечание 2).
Наконец, отметим приложение понятия аналитического множества
(§ 38,1) к одному обобщению теоремы Сакса на линейные операторы4).
!) См. Шаудер [2]. Обобщение на случай неметризуемых про-
пространств было дано Тихоновым [4]. Обобщение теорем Банаха и Шаудера
см. также в работе Красносельского [1].
2) См. Красносельский [2], Гранас [11—[71, Генба, Гранас и Янковский [11.
3) См. Банах [9].
4) См. Алексевич [1], Сакс [6], [7].

ЛИТЕРАТУРА
Ад и сон (AddisonJ. W.J1
1. Analogies in the Borel, Lusin and Kleene hierarchies, Bull. Amer.
Math. Soc, 61 A955).
2. Separation principles in the hierarchies of classical and effective set
theory. Fund. Math., 46 A958), 123—135.
3. Some consequences of the axiom of constructibility, Fund. Math., 46
A959), 338—357.
А д и с о н и К л и н и (AddisonJ. W., Kleene S. С.)
I. A note on function quantification, Proc. Amer. Math. Soc, 8 A957),
Александров П. С.
1. С. R. Paris, 162 A916).
2. Sur les ensembles complementaires aux ensembles (A), Fund. Math.,
5 A924), 160—165.
3. Sur les ensembles de la premiere classe et les espaces abstraits, С R.
Paris, 178 A924), 185—187.
3a. Ober die Metrisation der in kleinen kompakten topologischen Raume,
Math. Ann., 92 A924), 294—301.
4. Zur Begriindung der /z-dimensionalen mengentheoretischen Topologie,
Math. Ann., 94 A925), 296—308.
5. Ober stetige Abbildungen kompakter Raume, Proc. Akad. Amsterdam,
28 A926), 997.
6. Sur la dimension des ensembles fermes, С R. Paris, 183 A926),
640—643.
7. Sur les multiplicites cantoriennes et le theoreme de Phragmen-Brou-
wer generalise, С R. Paris, 183 A926), 722—724.
8. Ober stetige Abbildungen kompakter Raume, Proc. Akad. Amsterdam,
28 A925), 997.
8a. Ober stetige Abbildungen kompakter Raume, Math. Ann., 96 A927),
555—571.
9. Une definition des nombres de Betti pour un ensembles ferine quel-
conque, С R. Paris, 184 A927), 317—320.
10. Darstellung der Grundzuge der Urysohn'shen Dimensionstheorie,
Math. Ann., 88 A928), 31—63.
II. Ober den aligemeinen Dimensionsbegriff und seine Beziehungen zur
elementaren geometrischen Anschauung, Math. Ann., 98 A928),
617—638.
12. Utnersuchungen uber Gestalt und Lage abgeschlossener Mengen belie-
biger Dimension. Ann. Math., 30 A929), 101—187.
13. Einfachste Grundbegriffe der Topologie, Berlin, 1932.
14. Dimensionstheorie, Math. Ann., 106 A932).
15. Теорема сложения в теории размерности бикомпактных пространств,
Сообщ. груз. фил. АН, 2 A941), 1—6.

Литература ' 553
16. On the dimension of normal spaces, Proc. R. Soc, A. 189 A947),
11—39.
17. Комбинаторная топология, М., 1947.
18 Современное состояние теории размерности, УМН, 6, № 5 A951),
43—68.
19. О некоторых результатах в теории топологических пространств, по-
полученных за последние двадцать пять лет, УМН, 15, № 2 A960),
25—96.
20. On the mctrization of topological spaces, Bull. Acad. Polon. Sc, 8
A960), 135—140.
Александров П. С. и У р ы с о н П. С.
1. Une condition nccessaire et suffisante pour qu'une classe (L) soit une
classe (?>), С R. Paris, 177 A923), 1274—1276.
2. Zur Theorie der topologischen Raume, Math. Ann., 92 A924), 258—266.
3. Ober nulldimensionale Punktmengen, Math. Ann., 98 A928), 89—106.
4. Memoire sur les espaces topologiques compacts, Verh. K. Akad. Amster-
Amsterdam, 14 A929), 1—96.
Александров и X о п ф (А 1 с х a n d г о f f P. und H о р f H.);
1. Topologie, I, Berlin, Springer, 1933.
А л е к с е в и ч (А 1 е х i e w i с г А.)
1. A theorem on the structure of linear operations, Studia Math., 1-1
A953), 1 — 12.
2. On the two-norm convergence, Studia Math., 14 A953), 49—56.
Алекс и ч (Alexits G.)
1. Ober die Erweiterung einer Baireschen Funktion, Fund. Math., 15A930).
Альбукерк (Albuquerque J.)
1. La notion de «frontiere» en topologie, Portug. Math., 2 A941), 280—289.
Антоновский М. Я-, Болтянский В. Г., Сарымсаков Т. А.
1. Метрические пространства над полуполями, Тр. ТашГУ, вып. 191,
мат., 1961.
2. Топологические алгебры Буля, Ташкент, 1963.
Арене и Д у г у н д ь и (А г е n s R., D u g u n d j i J.)
1. Remark on the concept of compactness, Portug. Math., 9 A950), 141—143.
Ароншайн (Aronszajn N.)
1. Sur les invariants des transformations continues d'ensembles, Fund.
Math., 19 A932).
Архангельский А. В.
1. On the metrization of topological spaces, Bull. Acad. Polon. Sc, 8
A960), 589—595.
2. Новые критерии паракомпактности и метризуемости произвольного
^-пространства, ДАН СССР, 141, № 1 A961), 13—15.
3. Об открытых и почти открытых отображениях топологических про-
пространств, ДАН СССР, 147 A962), № 5, 999—1002.
4. Некоторые метризационные теоремы, УМН, 18 A963), 139—145.
5. Бикомпактные множества и топология пространств, ДАН СССР, 150,
№ ! A963), 9—12.
А у л ь и Трон (А и 11 С. Е., Т h г о n W. J.)
1. Separation axioms between To and Ti, Scandin. Math., 24 A962).
Банах (В a n а с h S.)
1. Sur les operation dans les ensembles abstraits et leurs applications
aux equations integrales, Fund. Math., 3 A922), 7—33.

554 Литература
2. Fund. Math., 6 A924), 236—239.
3. Sur les fonctionnelles lineares II, Studio, Math., 1 A929).
4. Theoreme sur les ensembles de premiere calegorie, Fund. Math., 16
A930).
5. Ober die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen, Studia
Math., 3 A931).
6. Ober metrische Gruppen, Studia Math., 3 A931).
7. Ober analytisch darstellbare Operationen in abstrakten Raumen, Fund.
Math., 17 A931).
8. Theorie des operations lineaires, Monogr. Math., Warszawa—Lwow,
1932. (Украинский перевод: Курс функционального анализу, Кит,
1948.)
9. Fund. Math., 19 A932), 10.
Б а и а х и К У р а т о в с к и й (В а п а с h S., К u r a t о w s k i К.)
1. Sur une generalisation du probleme de la mesure, Fund. Math., 14
A930).
2. Sur la structure des ensembles lineaires, Studia Math., 4 A933),
Банах и Штейнгауз (BanachS., SteinhausH.)
1. Sur le principe de la condensation de singularites, Fund. Math., 9
A927), 50—61.
Безикович С.
1. Ada Math., 62 A934).
Бендиксон (BendixsonL.)
1. Ada Math., 2 A883), 415.
Б е р ж (В er ge С.)
1. Memorial Sc. Math., 138.
2. Espaces topologiques, Dunod, 1969.
Бернштейн (Bernstein F.)
1. Leipzig. Ber., 60 A908).
Бет (Beth W. E.)
1. A topological proof of the theorem of Lowenheim— Skolem — Godel.,
Proc. Nederl. Acad. Wetensch., A, 54 A951), 436—444.
Б и н г (В i n g R. H.)
1. Metrization of topological spaces, Canad. J. Math., 3 A951), 175—186.
Б и р к г о ф (В i r k h о f f G.)
1. Lattice Theory, Coll. Publ. 25, New York, 1940.
2. Lattice theory, 2-me ed., New York, 1948. (Русский перевод: Теория
структур, М., 1952.)
3. Moore—Smith convergence in general topology, Ann. of Math., 38
A937), 39—56.
Б лейк (Blake A.)
1. Canonical expressions in Boolean algebra, Chicago, 1938.
БокштейнМ. Ф.
1. Un theoreme de separabilile pour les produits topologiques, Fund. Math..
35 A948), 242—246.
Боре ль (В or el E.)
1. Ann. Ecole Norm. C), 12 A895) (Thesis).
2. Lecons sur la theorie des fonctions, Paris, 1898.
3. Sur la classification des ensembles de mesure nulle, Bull. Soc, Math.
France, 47 A919).

Литература 555
Борсук (Borsuk К.)
1. Sur les retractes, Fund. Math., 17 A931).
2. Drei Satze fiber die я-dimensionale euklidische Sphare, Fund. Math.,
20 A933), 177—190.
3. Bull. Acad. Pol., 1933.
4. Fund. Math., 28 A937).
Брасс л ер и Сион (Brassier D. W., S i о n M.)
1. The current theory of analytic sets, Canad. J. Math., 16 A964), 207—230.
Браун (В г аи п S.)
1. Quelques theoremes sur les cribles boreliens Fund. Math., 20 A933),
168—172.
Браун и Сер пинский (Braun S. et Sierpitiski W.)
1. Fund. Math., 19 A932).
Б р а у э p (Brouwer L. E. J.)
1. Ober die natiiiiichen Dimensionsbegriff, J. Math., 142 A913).
2. On-linear inner limiting sets, Proc. Akad. Amsterdam, 20 A917).
3. Proc. Akad. Amsterdam, 26 A923).
Б р ю н с ii Шмидт (В г и п s G. and Schmidt J.)
1. Zur Aquivalentz von Moore—Smith-Folgen und Filtern, Math. Nachr.,
13 A955), 169—186.
Б у л и г a ii (В о и 1 i g a n d G.)
1. Ens. Math., 1932.
Бурбаки (Bourbaki N.)
Elements de mathematique, Actualilxes Sci. et Ind., Paris.
1. Topologie generale, ASI 1045, 1084, 1142, 1143, 1235 и след. (Русский
перевод: Общая топология. Основные структуры, 1—3, М., 1958.
Общая топология. Числа и связанные с ними группы и простран-
пространства, гл. IV—VII, М., 1959.)
2. Espaces vectoriels topologiques, ASI 1189 A953). ASI 1129 A955).
(Русский перевод: Топологические векторные пространства, М.. 1959.)
3. Theorie des ensembles, Paris, 1958. (Русский перевод: Теория мно-
множеств, М., 1965.)
Бэр (В a ire R.)
1. These, Ann. di Math., C), 3 <1899).
2. С R. Paris, 129 A899).
3. Sur la representation des fonctions discontinues, Ada Math., 30 A905).
4. Ada Math., 30 A906).
5. Ada Math., 32 A909).
Важевский (W azewski T.)
1. Ann. Soc. Pol. Math., 2 A923).
2. Fund. Math. 4 A923).
Вайдинатхасвами (Vaidyanathaswamy R.)
1. Treatise on set topology I., Madras, 1947.
В а й н ш т е й н И. A.
1. О замкнутых отображениях, Учен. зап. МГУ, 155, матем. A952),
3—53.
Валле-Пуссен (Vallee-Poussin Ch. de la)j
1. Integrates de Lebesgue.

556 Литература
Варашкевич (WaraszkiewiczZ.)!
1. Sur une famille des types de continuity qui remplit un intervalle, Fund.
Math., 18 A932).
2. Une famille indenombrable de continue plans dont aucun n'est l'image
continue d'un autre, Fund. Math., 18 A932).
В е д е и и с о в Н. Б.
1. Sur les fonctions continues dans les espaces topologiques, Fund. Math.,
27 A936).
2. Замечания о размерности топологических пространств, Учен, зап.
МГУ, 30 A939), 131—146.
3. Compos. Math., 7 A940), 194—200.
4. О размерности в смысле Е. Чеха, ИАН СССР, 5 A941), 211—216.
В е й ль (Weil A.)
1. Sur les espaces a structure uniforme et sur la topologie generale,
Paris, 1937.
Витали (V i t a 1 i Q.)
1. Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta, Bologna,
1905.
Вопенка (Vopenka P.)
1. On the dimension of compact spaces, /. Math. Tchecoslov., 8 A958),
319—326.
Вьсторис (Vietoris L.)
1. Monat Math. Ph., 31 A921), 173—204.
2. Fund. Math., 19 A932),
Г а г а е в (G a g a e f f B.|
1. Sur les suites convergentes de fonctions mesurables B, Fund. Math.,
18 A932).
Рейтинг (Н е у t i n g A.)
1. Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik, Sgb. Preuss. Akad.
Wiss., 1930, 42—56.
Гельфанд И. М.
1. Normierte Ringe, Матем. сб., 9 E1) A941), 3—24.
Генба, Грана с, Янковский (Geba К-, Granas A., Jankow-
ski A.).
1, Some theorems on the sweeping in Banach spaces, Bull. Acad. Pol.
Sc, 7 A959), 539—544.
Г ё д е л ь (G о d e 1 К.)
1. The consistency of the axiom of choice and of the generalized conti-
continuum-hypothesis., Proc. Nat. Acad. Sc, 24 A938).
2. The consistency of the axiom of choice and of the generalized conti-
continuum-hypothesis with the axioms of set theory, Ann. Math. Studies 3,
Princeton, 1961.
Гжегорчик (Grzegorczyk A.I
1. Computable functionals, Fund. Math., 42 A955), 168—202.
2, Some proofs of undecidability of arithmetic, Fund. Math., 43 A956),
166—177.
Г и л м а и и Джерисон (G i 11 m a n L. and Jerison M.j,
1. Rings of continuous functions, New York, I960.

Литература 557
Гильберт (Hillbert D.)
1. Gottingen Nachr., 1902.
2. Gottingen Nachr., 1906.
3. Qrundlagen der Geometric, Leipzig, 1913. (Русский перевод: Основа-
кия геометрии, М., 1947.)
Гранас (Gran as A.)
1. Ober einem Satz von К. Borsuk, Bull. Acad. Pot. Sc, 5 A957), 959—962.
2. On continuous mappings of open sets in Banach spaces Bull Acad.
Pot. Sc, 6 A958), 25—29.
3. Homotopy extension theorem in Banach spaces and some of its appli-
applications to the theory of nonlinear equations, Bull. Acad. Pol. Sc, 7
A959), 387—394.
4. On the disconnection of Banach spaces, Bull. Acad. Pol. Sc, 7 A959),
395—399.
5. A note on compact deformations in functional spaces, Bull. Acad. Pol.
Sc, 10 A962), 87—90.
6. An extension to Functional Spaces of Borsuk — Ulam Theorem on
Antipodes, Bull. Acad. Pol. Sc, 10 A962), 81—86.
7. On the Schauder theorem on the invariance of domains, Bull. Acad.
Pot. Sc, 10 A962), 233—238.
Гримайзен (Grimeisen G.)
1. Math. Ann., 141 A960), 318—342.
2. Math. Ann., 144 A961), 386—417.
Гроот (de GrootJ.)
1. A note on 0-dimensional spaces, Indag. Math., 9 A947), 94.
Гросс (Gross W.)
I. Zur Theorie der Mengen in denen ein Distanzbegriff definiert ist,
Weiner Ber., 123 A914), 801.
Гуревич (Hurewicz W.);
1. Ober stetige Bilder von Punktmengen, Proc Acad. Amsterdam, 29
A926), 1014—1017.
2. Normalbereiche und Dimensionstheorie, Math. Ann., 96 A927).
3. Math. Ann., 100 A928).
4. Ober unendlich-dimensionale Punktmengen, Proc Akad. Amsterdam,
31 A928).
5. Math. Ann., 101 A929).
6. Ober den sogenannten Produktsatz der Dimensionstheorie, Math. Ann.,
102 A929).
7. Relativ perfekte Teile von Punktmengen und Mengen (A), Fund.
Math., 12 A928), 78—109.
8. Zur Theorie der analytischen Mengen, Fund. Math., 15 A930), 4—17.
9. Mon. Math. Phys., 37 A930),
10. Une remarque sur l'hypothese du continu, Fund. Math., 19 A932).
II. Sgb. Preuss. Akad., 24 A933).
12. Ein Satz fiber stetige Abbildungen, Fund. Math., 23 A934),
13. Fund. Math., 24 A935).
Гуревич и Уолмен (Hurewicz W., W a 11 m a n H.)
1. Dimension theory, Princeton University Press, 1941. (Русский пере-
перевод: Гуревич В., Волмэн Г., Теория размерности, М., 1948.)
Данжуа (Den joy A.);
1. Jour п. de Math., G), 1 A915], 123—125.
2. Journ. de Math., 1916.

558 Литература
Данциг (van Dantzig)
1. Ober topologisch homogene Kontinua, Fund. Math., 15 A930).
Даукер (DowkerC. H.)
1. An embedding theorem for paracompact metric spaces, Duke Math. J.
14 A937), 639—645.
2. On a theorem of Hanner, Arkiv Math., 2 A9S2)\ 307—313.
3. Inductive dimension of completely normal spaces, Quart. J., 4 A953),
267—281.
4. Local dimension of normal spaces, Quart. J., 6 A955), 101—120.
Даукер и Гуревнч (DowkerC. H., Hurewicz W.)
1. Dimension of metric spaces, Fund. Math., 43 A956), 83—88.
Дей (Day M. M.)
1. Convergence, closure and neighbourhoods, Duke Math. /., 11 A944),
181 — 199.
Диксмье (Dixmier J.) -
1. Sur certains espaces considered par M. H. Stone, Summa Brasil. Math.,
2 A951), 151 — 181.
Дугундьи (D u g u n d j i J.)
1. An extension of Tietze's theorem, Pacific J. Math., 1 A951), 353—367.
Дьедонне (DiendonneJ.)
1. Une generalisation des espaces compacts, J. Math., 23 A944), 65—76.
2. Un critere de normalite pour les produits, Coll. Math., 6 A958), 29—32.
3. Foundations of modern analysis, New York, 1960. (Русский перевод:
Основы современного анализа, М., 1964.)
Д э в и с (Davis M.)
1. Relatively recursive functions and the extended KJeene hierarchy,
Proc. Int. Congr. of Math. Cambridge, 1950, vol. 1 A952).
Дюбуа-Ре и мои (du Bois-Reymond P.)
1. Die allgemeine Funktionentheorie, 1, Tubingen, 1882.
Ефремович В. А.
1. Инфинитезимальные пространства, ДАН СССР, 76 A951), 341-—343.
2. Геометрия близости I, Матем. сб. 31 G3), N° 1 A952), 189—200.
Жордан (Jordan С.)
1. lourn. de Math. D), 8 A892).
Зальцвассер (Zalcwasser Z.).
1. Un theoreme sur les ensembles qui sont a la fois Fg et G*, Fund. Math.,
3 A922), 44—45.
Заранкевич (Zarankiewicz K-l1
1. Fund. Math., 9 A927).
2. Fund. Math., 11 A928).
3. О zbiorach lokalnie mierzalnych E), Wiadomosci Matematyczne, 30
A928), 115.
3 a p e л у а А.
1. ЦАН СССР, 141 A961).
Зарицкий (Zarycki M.)
1. Quelques notions fondamentales de Г Analysis Situs au point de vue de
l'Algebre de la Logique, Fund. Math., 9 A927), 3—15,

Литература 559
2. Ober den Kern einer Menge, Jahresber. d. D. Math. Ver., 39 A930).
3. Allgemeine Eigenschaften der Cantorschen Koharenzen, Trans. Atner.
Math. Soc, 30.
Зейферт и Трельфалль (Seifert H. und Threlfall VV.)
1. Lehrbuch der Topologie, Teubner, 1934. (Русский перевод: Топология,
M., 1947.)
Зигмунд (S у g m u n d A.))
1. Trigonometrical series, Monogr. Mat., Warszawa — Lwow, 1935. (Рус-
(Русский перевод: Тригонометрические ряды, т. I, II, М., 1965.)
Зорге нфрей (SorgenfreyR. H.)
1. On the topological product of paracompact spaces, Bull. Amer. Math.
Soc, 53 A947)', 631—632.
Зоретти (Zoretti L.)
1. /. Math. E), 1 A905).
Исбелл (I sbell J. R.)
1. Uniform spaces, Providence, 1964.
И с е к и (I s ek i K)
1. On definition of topological space, Journ. Osaka Inst., 1 A949), 97—98.
Ист и Фрейде н та ль (van E e s t W. Т. and Freudenthal H.)
1. Trenmmg durch stetigen Funktionen in topologischen Raumen, fndag.
Math., !3 A951).
Кантор (Cantor G,J
1. Math. Ann., 5 A872).
2. Math. Ann., 15~A879).
3. Gottinger Nachr. A879).
4. Math. Ann., 17 A880).
5. Math. Ann., 21 A883).
6. Math. Ann., 23 A884).
7. Ada Math., 7 A885).
Канторович Л. В.
1. Sur Ies fonctions du type (U), С R. Paris, 192.
2. Линейные полуупорядоченные пространства, Матем. сб., 2 A937), 121 —
168.
Канторович Л. В., В у л и х Б. 3., П и н с к е р А. Г.
1. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах, Гостех-
издат, 1950.
Канторович Л. В. и Л и в е и с о н Е. М.
1. С. R. Paris, 190 A930).
2. Memoir on the analytical operations and projective sets, Fund. Math.,
18 A932), 214—279. "
Катетов (Katetov M.)
1. Complete normality of cartesian products, Fund. Math., 36 A948), 271—
274.
2. On real-valued functions in topological spaces, Fund. Math., 38 A951),
85—91.
3. О размерности метрических пространств, ДАН СССР, 79, № 2 A951),
189—191,

560 Литература
4. О размерности несепарабельных пространств, Tchecoslov. Math., J., 2
A952), 333—368.
5. Coll. Math., 6 A958), 145—151.
Келдыш Л. В.
1. Об открытых отображениях Л-множеств, ДАН СССР, 49 A945),
646—648.
К ел л и (Kelley J. L.)
1. General topology, 1955.
К е м п и с т и (К е m p i s t у S.)
1. Fund. Math., 2 A921).
Керне (Cairns S. S.)
1. Introductory topology, New York, 1961.
Кли (К lee V.)
1. On the boreiian and protective types of linear subspaces, Math. Scand, 6
A958), 189.
Клини (К 1 eerie S. C.)
1. Recursive predicates and quantifiers, Trans. Amer. Math. Soc, 53 A943),
41—73.
2. A symmetric form of Qodel's theorem, Proc. Nederl. Akad. Vfetensch, 53
П950), 800—802.
3. Arithmetical predicates and function quantifiers, Trans. Amer. Math. Soc.,
79 A956), 312—340.
4. A note on computable functionals, Indag. Math., 18 A956), 275—280.
Кнастер и Куратовский (Knaster В., Kuratowski К)
1. Fund. Math., 2 A921).
Кнастер, Мазуркевич и Куратовский (Knaster В., Mazur-
kiewicz S., Kuratowski К.)
1. Ein Beweis des Fixpunktsatzes fur n-dimensionale Simplexe, Fund. Math.,
14 A929).
Ковальский (KowalskyH. J.)
1. Math. Nachr., 12 A954), 301—340.
2. Topologische Raume, Basel, 1961.
Колмогоров А. Н.
1. Об операциях над множествами, Матем. сб., 35 A928), 414—422.
Кондо (Kond6 M.)
1. Sur l'umformisation des complementaires analytiques et les ensembles
projectifs de la seconde classe, Japan J. Math., 15 A938), 197—230.
Красносельский М. A.
1. Два замечания о методе последовательных приближений, УМН, 10,
№ 1 F3), A955), 123—128.
2, Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравне-
уравнений, Гостехиздат, 1956.
Кунугуи (Kunugui К.)
1. Sur la theorie du nombre de dimensions, These, Paris, 1930.
2. Proc. Imp. Acad. Japan., 11 A936),
Куратовский (Kuratowski K-)
1. Topologie 1, II.
2. Fund. Math., 1 A920).

Литература 561
3. Fund. Math., 2 A921).
4. Un probleme sur les ensembles homogenes, Fund., Math., 3 A922),
14—19.
5. Une remarque les classes J? de M. Frechet, Fund. Math., 3 A922),
41—43.
6. Une methode d'elimination des nombres transfinis des raisonnements
mathematiques. Fund. Math., 3 A922), 76—108.
7. Sur l'operation A de l'Analysis Situs, Fund. Math., 3 A922), 182—
199.
8. Sur l'existence effective des functions representables analytiquement
de route classe de Baire, С R. Paris, 176 A923).
8a. Sur les fonctions representables analytiquement et les ensembles de
premiere categorie, Fund. Math., 5 A924).
Э. Contribution a l'etude de confirms de Jordan, Fund. Math., 5 A924),
112—122.
10. Sur la puissance de l'ensemble des «nombres de dimension» au sens
de M. Frechet, Fund. Math., 8 A926).
11. Sur les decompositions semi-continues d'espaces metriques compacts,
Fund. Math., 11 A928), 169.
12. Ober topologische homogene Kontinua, Fund. Math., 15 A930).
13. Sur les espaces complete, Fund. Math., 15 A930), 300—309.
14. Sur la propriete de Baire dans les espaces metriques, Fund. Math., 16
A930), 390—394.
15. Evaluation de la classe borelienne ou projective a l'aide des symboles
logiques, Fund. Math., 17 A931), 240—272.
16. Sur la theorie des fonctions dans les espaces metriques, Fund. Math.,
17 A93!).
17. Les fonctions semi-continues dans i'espace des ensembles fermes, Fund.
Math., 18 A931), 148—159.
18. Sur le probleme de la mesurabilite des ensembles definissables, Congr.
Int. Math. Zurich. 1932, vol. II.
19. Une application des images de fonctions a la construction de certains
ensembles singuliers, Mathemaiica, 6 A932).
20. Sur les theoremes topologiques de la theorie des fonctions de variab-
variables reelles, С R. Paris, 197 A933).
21. Sur le prolongement de rhomeomorphie, C. R. Paris, 197 A933).
22. Sur un theoreme fondamental concernant ie nerf d'un systems d'eri-
sembles, Fund. Math., 20 A933), 191 — 196.
23. Sur une famille d'ensembles singuiiers, Fund. Math., 21 A933).
24. Sur la propriete de Baire dans les groupes metriques, Stadia Math., 4
A933).
25. Sur une generalisation de la notion d'homeomorphie, Fund. Math. 22
A934).
26. Sur le rapport des ensembles de M. Lusin a la Theorie generate des
Ensembles, Fund. Math., 22 A934).
27. Sur le prolongement des fonctions continues et les transformations en
polytopes, Fund. Math., 24 A935).
28. Quelques problemes concernant les espaces metriques non-separables,
Fund. Math., 25 A935).
29. Sur les theoremes de separation dans la Theorie des ensembles, Fund.
Math., 26 A936), 183—191.
30. Les ensembles projeclifs et l'induction transfinie, Fund. Math., 27 A936).
31. Sur un probleme concernant l'induction transfinie, C. R. Paris, 202
A936).
32. Les ensembles projectifs et l'operation (<A), C. R. Paris, 203 A936).
33. Les types d'ordre definissables et les ensembles boreliens, Fund. Math..
28 A937), 97—100.

562 Литература
34. Sur la geometrisation des types d'ordre denombrable, Fund. Math., 28
A937), 167.
35. Les suites transfinis d'ensembles et les ensembles projectifs, Fund.
Math., 28 A937), 179—185.
Zbz.Fund. Math., 28 A937).
36. Sur les suites analytiques d'ensembles, Fund. Math., 29 A937).
37. Ann. Soc. Pol. Math., 16 A937).
38. Sur les families monotones d'ensembles fermes et leurs applications a
la theorie des espaces connexes, Fund. Math., 30 A938), 17—24.
39. Remarques sur les transformations continues des espaces metriques,
Fund. Math., 30 A938).
40. Sur I'extension de deux theoremes topologiques a la Theorie des en-
ensembles, Fund. Math., 34 A947), 34—38.
41. Ensembles projectifs et ensembles singuliers, Fund. Math., 35 A948),
131—140.
42. Sur l'espace des fonctions partielles, Annali di Mat., 40 A955), 61—67.
43. Un theoreme sur les espaces complets et ses applications a l'etude de
la connexite locale, Bull. Acad. Pol. 5c, Cl. Ill, 3 A955), 75—80.
44. Sur une methode de metrisation complete de certains espaces d'en-
d'ensembles fermes, Fund. Math. 43 A956), 114—138.
45. Introduction to set theory and topology, Warszawa and Oxford,
1961.
46. Mappings of topological spaces into lattices and into Brouwerian al-
algebras, Bull. Polish Acad. Sc, 12 A964), 9—16.
47. ДАН СССР, 155 A964).
Лаврентьев М. А.
1. Contribution a la theorie des ensembles homeomorphes, Fund. Math., 6
A924).
2. С R. Paris, 178 A924).
3. Sur les sous-classes de la classification de M. Baire, C. R. Paris,
i925.
Лебег (Leb e s g u e H.)
1. J. de Math. F), 1 A905).
2. Contributions a l'etude des correspondences de M. Zermelo, Bull. Soc.
Math. France, 35 A907), 202—212.
3. Fund. Math., 2 A921).
Левин (Levine N.)
1. On the commutivity of the closure and interior operators in topological
spaces, Amer. Math. Monthly, 68 A961), 474—477.
Л е в ш е л к о Б. Т.
1. О пространствах бесконечной размерности, ДАН СССР, 139 A961), 286.
Лере и Шаудер (Leray J., Schauder J.)
1. Topologie et equations fonctionnelles, Ann. Ec. Norm. Sup., 13 A934),
45—78.
Лефшец (L e f s с h e t z S.)
1. Ann. Math., 35 A934).
2. Algebraic topology, Amer. Math. Soc. Coll. Publ., 1942. (Русский пере-
перевод: Алгебраическая топология, М., 1947.)
3. Introduction to topology, Princeton, 1949.
Линделёф (L i n d e 1 б f E.)
1. С R. Paris, 137 A903).
2. Acta Math., 29 A905).

Литература 563
Линденбаум (Lindenbaum A.)
1. Contributions a l'etude de i'espace metrique I, Fund. Math. 8 A926)-
2. Ann. Soc. Pol. Math., 10 A932).
3. Ann. Soc. Pol. Math., 15 A937).
Локуциевский О. В.
I. О размерности бикомпактов, ДАН СССР, 67 A949), 217—219.
ЛузинН.Н.
1. С. R. Paris, 158 A914).
2. С. R. Paris, 164 A917).
3. Sur l'existense d'un ensembles non denombrable qui est de premiere
categorie sur tout ensemble parfait, Fund. Math., 2 A921), 155—157.
4. Fund. Math., 5 A924).
5. Sur les ensembles projectifs de M. Henri Lebesgue, C. R. Paris, 180
A925).
6. Sur une question concernant la propriete de Bafre, Fund. Math., 9
A927), 117.
7. Sur les ensembles analytiques, Fund. Math., 10 A927), 1—95.
8. Ensembles analytiques, Paris, 1930.
9. Fund. Math., 12 A928), 158.
10. Sur les ensembles toujours de premiere categorie, Fund. Math., 21
A933), 114—119.
II. О некоторых новых результатах дескриптивной теории функций,
М—Л., 1935.
Лузин Н. Н., Новиков П. С.
1. Choix effectif d'un point dans un complementaire analytique arbitraire,
donne par un crible, Fund. Math., 25 A935).
Лузин и Серпи некий (LusinN., Sierpinski W.)
1. Sur quelques proprietes des ensembles (A), Bull. Acad. Sc. Cracovie,
1918.
2. С R. Paris, 175 A922).
3. /. de Math., II A923).
4. R. Ace. Lincei, 6, VII A928).
5. С R. Paris, 189 A929).
Лу н ц А. Л.
1. Бикомпакт, индуктивная размерность которого больше размерности,
определенной посредством покрытий, ДАН СССР, 66 A949), 801 —
803.
Льюис и Лангфорд(Ье\\мзС. I., LangfordC. H.)
1. Symbolic logic, New York —London, 1932.
Л ю б е н (L u b b e n R. G.)
1. Trans. Amer. Math. Soc, 29 A928).
ЛюстерникЛ. А. иШнирельманЛ. Г.
1. Топологические методы в вариационных задачах, М., 1930.
Ляпунов А. А.
1. Об отделимости аналитических множеств, ДАН СССР, 2 A934), 276—
280.
2. .R-множества, Тр. Матем. ин-та АН, 40 A953), 1—68.
3. Об операциях над множествами, допускающих трансфинитные индексы,
Тр. Моск. матем. об-ва, 6 A957), 195—230.

564 Литература
М а з у р (М а г ur S.)
1. Sur les ensembles et fonctionnelles convexes dans Ies espaces lineares
(по-польски), Lw6w, 1936.
2. Sur les anneaux lineaires, С R. Acad. Sci. Paris, 207 A938), 1025—
1027.
Мазур и О р л и ч (M a z и г S., Orlicz W.)
1. Ann. Soc. Pol. Math., 12 A933), 119—120.
2. Ann. Soc. Pol. Math., 16 A938), 195.
3. Sur les espaces metriques lineaires, Studia Math., 10 A948), 184—208.
4. Studia Math., 13 A953), 137—179.
Мазуркевич (M a z u г k i e w i с z S.)
1. Ober Borelsche Mengen, Bull. Acad. Cracovie, 1916, 490—494.
2. Teorja zbiorow Of,, Wektor, 1918.
3. Fund. Math., 1 A920).
4. Sur l'invariance de la notion d'ensemble Fa^ , Fund. Math., 2 A921).
5. Sur une propriete des ensembles С (A), Fund. Math., 10 A927).
6. Sur les ensembles de dimension faible, Fund. Math., 13 A929).
7. Sur les transformations interieures, Fund. Math., 19 A932).
7a. Fund. Math., 26 A936), 153.
8. Ober die Menge der differenzierbaren Funktionen, Fund. Math., 27
A936), 244.
9. Eine projektive Menge der Klasse PCA im Funktionalraum, Fund.
Math., 28 A937).
Мазуркевич и Серпинский (М a z u r k i e w i с z S., Sier pin-
ski W.)
1. Sur un probleme concernant les fonction continues, Fund. Math., 6
A924).
Мазуркевич и Шпильрайи-Марчевский (Mazurkiewicz S.,
Szpilrajn-Marczewski E.)
1. Sur la dimension de certains ensembles singuliers, Fund. Math., 28
A937), 306.
Майкл (M i с h a e 1 E.)
1. Topologies on spaces of subsets, Trans. Atner. Math. Soc, 71 A951),
152—183.
2. Л note on paracompact spaces, Proc. Amer. Math. Soc, 4 A953), 831—
838.
2a. Duke Math. J., 21 A954), 163.
3. Another note on pnmcompact spaces, Proc. Amer. Math. Soc, 8 A957),
822—828.
4. Butt. Math. Soc, 69 A963).
Макки (MackeyG. W.)
1 Les ensembles boreliens et les extensions des groupes, /. de Math., 36
A957).
МакКинси и Тарский (M с К. i n s e у J. С. С, T a r sk i A.)
1. The Algebra of Topology, Ann. Math., 45 A944), 141—191,
2. On closed elements in closure algebras, Ann. Math., 47 A946), 122—
162.
3. Some theorems about the sentential calculi of Lewis and Heyting,
/. Sy/ub. Logic, 13 A948), 1—13.
МакШейн (М с S h a n e E. J.)
1. Partial orderings and Moore-Smith limits, Amer. Math. Monthly, 59
A962), 1—11.

Литература 565
Мало (М a h 1 о Р.)
1. Leipzig. Ber., 63 A911).
М а м у з и ч (М а ш u z i с Z. Р.)
1. Introduction to general topology, Nordhoff, 1963.
Мартин (Martin A. V.)
1. Decompositions and quasi-compact mappings Duke Math. J., 21 A954),
463—469.
Марчевский (Marczewski E.)
1. Separability et multiplication cartesienne des espaces topologiques,
Fund. Math., 34 A947) 127—143.
2. ДАН СССР, 31 A941), 525.
Меигер (Menger К.)
1. Obcr die Dimension von Punktmengen, II Teil, Mon. Math. Phys., 34
A924).
2. Math. Ann., 95 A925).
3. Das Hauptproblem fiber die dimensioned Struktur der Raume, Proc.
Akad. Amsterdam, 30 A926).
4. Dimensionstheorie, Leipzig—Berlin, 1928.
5. Bemerkungen uber dimensionelle Feinstruktur und Produktsatz, Prace
Mat.-Fiz., 37 A930).
6. Ergebnisse Math. Koll., 1, Wien, 1931.
7. Bemerkungen zu Grundlageniragen, Jahresb. Deutscher Math. Ver.. 37
A938), 81 — 112.
M и к у с и п с к и й (М i k u s i ri s k i J.)
1. Sur les fondements du calcul operatoire, Studia Math., 11 A950), 41—
70.
2. Calcul des operateurs (по-польски)\ Monogr. Math., Warszawa —
Wroclaw, 1953.
Монтгомери (М ontgomery D.)
1. Non-separable metric spaces, Fund. Math., 25 A935).
Монтгомери и Циппин (M ontgoraery D. et Z i p p i n L.)
1. Topological transformations groups, Interscience Tracts, New York, 1955.
Монтейро (Monteiro A.I
1. Caracterisation de l'operation de fermeture par un seul axiome, Portu-
galiae Math., 4 A945), 158—160.
2. Les ensembles fermes et les fondements de la Topologie, Portug. Math.,
2 A941), 56—66.
M о р и т а (М о r i t a K.)
1. Star-finite coverings and the star-finite property, Math. Japan., 1 A948),
60—68.
2. On the dimension of normal spaces I, /. Math. Soc. Japan, 20 A950),
5—36.
3. Normal families and dimension theory for metric spaces, Math. Ann.,
128 A954), 350—362.
3a. On closed mappings, Proc. Japan. Acad., 32 A956), 539—543.
4. Proc. Japan Academy, 39 A963).
M о р и т a, X а н а и (М о r i t a K-, H a n a i S.)
1. Closed mappings and metric spaces. Proc. Japan. Acad., 32 A956), 10.

566 Литература
Мостовский (Mostowski A.)
1. On definable sets of positive integers, Fund. Math., 34 A946), 81—112.
2. Proofs of non-deducibility in intuitionistic functional calculus / Symb.
Logic, 13 A948), 204—207.
3. A classification of logical systems, Studia Philosophica, 4 A951) 237—
274.
4. Development and applications of the protective classification of sets of
integers, Proc. Int. Congr. of Math. Amsterdam, vol. I, 1954.
5. On models of axiomatic set-theory, Bull. Ac. Pol. Sci., Cl. Ill, 4 A956),
663—668.
M p у в к а (М г 6 w k a S.)
1. On almost-metric spaces, Bull. Acad. Pol. Sc, Cl. Ill, 4 A956).
2. On the notion of completeness in proximity spaces, Bull. Acad. Pol Sc.
Cl. Ill, 4 A956), 477—478.
3. О полных пространствах близости, ДАН СССР, 108 A956), 587.
4. On almost metric spaces, Bull. Acad. Pol. Sc, 5 A957), 123—127.
5. Some properties of Q-spaces, Bull. Acad. Pol. Sci., 5 A957), 947—950.
6. On the convergence of nets of seis, Fund. Math., 45 A958), 237—246.
7. On the convergence classes of sets, Proc. Arner. Math. Soc, 13 A962),
918—921.
M у p P. (M о о r e R. L.)
1. Concerning tipper semi-continuous collections of conlinua..., Proc. Nat.
Acad. Sc, 10 A924), 350.
2. Foundations of point set theory, Coll. Publ., 1932.
My p Э. (Moore E. H.)
1. On a form of General analysis, Yale Coll.. 1910.
M у р и С м и т (Moore E. H. and S m i t li H. L.)
I. A general theory of limits, Amer. I. Math., 44 A922), 102—121.
H а г а м и (N a g a m i К )
1. Proc. Jaoun. Acad., 32 (Юоб), 320.
H а г а т a (N a g a t a J.)
1. Or, a necessary and sufficient condition of metrizability, /. Inst. Polyt.
Osaka City Univ., 1 A950), 93—100.
2. Л theorem for metrizability of a topological space, Proc. Japan. Acad.,
33 A957), 128—130.
H e ii б а у e p (N e u b a u e r M )
1. Uber die partiellen Derivierten unstetiger Funktionen, Mon. Math. Phys.,
38 ('931).
фон H e ft м а н (v о n N e u m a n n J.)
1 On complete topological spaces, Trans. Amer. Math. Soc, 37 A935),
1-20.
фон Нейман и Куратовский (von Neumann J., Kuratow-
ski K.)
1. On some analytic sets defined by transfinite induction, Ann. Math., 38
A937), 521—525.
H ё б е л и н r (N 6 b e 1 i n g G.)
1. Grundlagen der anaiytischen Topologie, Berlin (Springer), 1954.
H и к о д и м (N i k о d у m О.)
1 Fund Math.. 4 A920).
2. Sur une propriety de l'operation (<Л), Fund. Math., 7 A925).

Литература 567
3. С. R. Soc. Sc. do Varsovie, 19 A926).
4. Fund. Math., 11 A928).
5. S'.ir la condition de Baire, Bull. Acad. Pol., 1929.
6. Arm. Soc. Pol. Math., 7 A929).
7. Fwitf. Math., 14 A929).
Нитка (N i tk a W.)
1. Indag. Math.. 21 A959), 36.
Нова к (К о v a k J.)
1. Repular space on which every continuous function is consl.".iu Cusonls
Pe'.stov. Mat. Ft/s., 73 A948).
2 On the cartesian product of two compact spaces, Fund Math., 40
AЗДЗ).
Новиков П. С.
1. Fund. Math., 17 A931).
2. Об одном свойстве аналитических множеств, ДАН СССР 2 A934),
273—276.
3. Sur ia separability des ensembles prcjectifs de seconde classe, Fund.
Math . 25 A.935).
4. О непротиворечивости некоторых положений дескриптивной теории
множеств, Тр. Матем. пн-та АН СССР, 38 A951), 279—316.
Ньюм а н (N e w m a n M. Н. А.)
1. Elements of the topology of plane sets of points. Cambridge, 1939.
О к сто б и (Ох tob у J. С.)
1. Caitesian products of Baire spaces, Fund. Math., 49 A961), 157—166.
О к с т о б н, У л а м (О х t о b у J. С, U 1 a m S М )
1. On the equivalence of any set of first category to a set of measure
zero, Fund. Math., 31 A938).
Ope ft (О г е у S.)
1 On co-consistency and related properties, /. Sumb. Looic, 21 ПУЗП)
246—252.
О р л и ч (О г 1 i с z)
!. Bull. Acad. Polon., 1932, 221—228.
Otto ii Э и л е и б с р г (Е i 1 е п b е г g S , О 11 о Е.)
1. Que'ques proprietes caracteristiques de la dimension, Fund. Math., HI
A<>3S).
Пасынков Б. А.
1. О полиэдральных спектрах и размерности бикомпактов, в частности,
бикомпактных групп, ДАН СССР, 121, № 1 A958), 45—48.
Паттерсон (Patterson Е. М.)
1. Topology, Intcrsc Publ., 1956.
Пеано (Peano Q.)
1. Math. Ann., 36 A890).
П е н л е в e (P a i n 1 e v ё P.)
1. C.R. Paris, 148 A909).
Позамент и Куратовский (Posament Т. et Kuratowski К..)
1. Sur l'isomorphie algebrologique et les ensembles relativeraent boreliens,
Fund. Math., 22 A934).

568 Литература
П о м п е й ю (Р о m p ё j u D.)
1. Ann. de Toulouse B), 7 A905).
Пондичери (Р о n d i с z e г у Е.)
1. Power problems in abstract spaces, Duke Math. J., 11 A944).
Пономарев В. И.
1. Новое пространство замкнутых множеств и многозначные отображе-
отображения бикомпактов, Мате.ч. сб., 48 (90), № 2 A959), 191—212.
П о н т р я г 11 н Л. С.
1. Sur une hypothese fondamentale de la theorie de la dimension,
С R. Pahs, 190 A930).
2. Непрерывные группы, Гостехиздат, 1954.
Попруженко (Poprougenko Q.)
1. Sur un probleme de M. Mazurkiewicz, Fund. Math., 15 A930), 285.
2. Sur la dimension de l'espace et 1'extension des fonctions continues,
Mon. Math. Phys., 33 A931).
Попруженко и Шпильрайн-Марчевский (Poprougenko et
Szpilrajn-Marczewski)
1. Remarques sur les fonctions completement additives Fund. Math., 22
A934).
Проскуряков Ю. M.
1. К теории размерности топологических пространств. Ученые зап. МГУ,
143 A951), 219—223.
Пуанкаре (Poincare H.)
1. Journ. Ее. Polyt. B), 1 A895).
2. Complement a l'analysis situs, § VII, Rendic, Palermo, 13 A899).
3. Revue de metaph. et de mor., 20 A912).
4. Dernieres pensees, Paris, 1926 (edition posthume).
P а сё в a (RasiowaH.)
1. Algebraic treatment of the functional calculi of Lewis and Heyting,
Fund. Math., 38 A951), 99—126.
2. Algebraic models of axiomatic theories, Fund. Math. 41 A955), 291 —
310.
P а с ё в а и С и к о р с к и й (R a s i о w a H., S i k о г s k i R.)
1. A proof of the completeness theorem of Godel, Fund. Math., 37 A950),
193—200.
2. Algebraic treatment..., Fund. Math., 40 A953).
3. On existential theorems in non-classical functional calculi, Fund. Math.,
41 A954), 21—28.
4. An application of lattices to logic, Fund. Math., 42 A955), 83—100.
5. The mathematics of metamathematics, Mon. Mat., Warszawa, 1963.
Ренни (Rennie В. С.)
1. The theory of lattices, Cambridge, 1951.
Рибейро (Ribeiro H.)
1. Une extension de la notion de convergence, Portug. Math., 2 A941),
153—161.
2. Caracterisations des espaces reguliers normaux et complement normaux
au moyen de l'operation de derivation, Portug. Math., 2 A944), 13—19.
Ригер (Rieger L.)
1. О счетных обобщенных 6-алгебрах и новом доказательстве теоремы
Гёделя о полноте, Czechoslovak Math. J., 1 A951), 33—49.

Литература 569
Рисе (Riesz F.)
1. Stetigkeifsbegriff und abstrakte Mengenlehre, Atti del IV Congr. Int.
d. Mat., vol. II, Roma, 1909.
Роберте (Roberts J.H.)
1. Bull. Amer. Math. Sue, 38 A932).
Роджерс (Rogers С. А.)
1. Analytic sets in Hausdorff spaces, Mathematica, 11 A964), 1—8.
Розенталь и 3 о р е т т и (R о s e n t h a 1 A., Z о г е 11 i L.)
1. Encyklopadie d. Math. Wiss. II. GGA, Leipzig, 1924.
P о н (R о у Р.)
I. Failure of equivalence of dimension concepts for metric spaces, Bull.
Amer. Math. Soc, 68 A962), 609—613.
Ротбергер (RothbergerF.)
1. Fine Verscharfung der Eigenschaft C, Fund. Math., 30 A938), 50.
2. Sur un ensemble toujours de premiere categorie qui est depourvu de la
propriete X, Fund. Math., 32 A939), 294.
P у иге (R u n g e)
1. Ada Math., 6 A884).
Рыль-Нардзевский (Ryll-Nardzewski C.)
1. On Borel measurability of orbits, Fund. Math., 56 A964), 120—136.
Сакс (S a ks S.)
1. Sur l'equivalence de deux theoremes de la Theorie des ensembles, Fund.
Math., 2 A921).
2. Fund. Math., 10 A927), 186—196.
3. Sur un ensemble non mesurable jouissant de la propriete de Baire,
Fund. Math., 11 A928).
4. Fund. Math., 19 A932), 211—219.
5. Theorie de l'integrale, Monogr. Mat., 2, 1932.
6. Trans. Amer. Math. Soc, 35 A932), 549—556.
7. Trans. Amer. Math. Soc, 41 A937), 160—170.
8. Theory of the integral, Monogr. Mat., 7, 1937. (Русский перевод: Тео-
Теория интеграла, М., 1949.)
С а м п е и (S a m p e i Y.)
1. On the uniformization of the complement of an analytic set, Comment.
Math. Univ. S. Paul., 10 A960), 57—62.
2. Comm. Math. Univ. S. Pauli, 9 A961), 91.
Ce6aniTnan-H-Cn^bBa(Sebastia6-e-Silva)
1. Sur raxiomatique des espaces de Hausdorff, Portug. Math., 2 A941),
93—109.
Селивановский (Selivanowski E.)
1. С R. Paris, 184 A927), 1311.
2. Sur les proprietes des constituantes des ensembles analytiques, Fund.
Math., 21 A933).
Семадени (SemadeniZ.)
1. Sur les ensembles clairsemes, Rozpr. Mat., 19 A954).
Серпинский (S i erp i n ski W.)
1. Wektor, 1915.
2. Sur les definitions axiomatiques des ensembles mesurables (?), Bull,
Acad. Cracovie, 1918.

570 Литература
3. С. R. Paris, 171 A920).
4. Une demonstration du theoreme sur la structure des ensembles des
points, Fund. Math., 1 A920), 1—6.
5. Sur une propriete topologique des ensembles denombrables denses en
soi, Fund. Math.. 1 A920), 11 — 16.
6. Sur un probleme conccrnant les ensembles mcsurables superficiellraent,
Fund. Math., 1 A920), 112—115.
7. Sur la decomposition des ensembles de points en parties homogenes,
Fund. Math., 1 A920), 28—34.
8. Fund. Math.. 2 A921), 81—95.
9. Sur les images des fonctions representables analytiqueir.snt, Fund.
Math., 2 A921), 74—80.
10 Sur ['equivalence de trois proprietes des ensembles abstraits, Fund.
Math., 2 A921), 179—188.
11. Les exemples efiectifs et l'axionie du choix, Fund. Math., 2 A921).
112—IIS.
12. Bull, de I'Acad. Polon. Sc. A921), 62.
13 Sur l'inversion des ionctions represesihbles analyticmement Fund.
Math.., 3 A922), 26—34.
14. Sur une properiete des ensembles clairsemes, Fund. Math., 3 A922),
46—4:>.
15. Sur cjuelques imariants d'Analysis Situs, Fund. Math., 3 A922),
IK.1—122.
16. Sur 1'invariance topologique de la propriete de Baire, Fund. Math., 4
A923), 319—323.
17 Sur l'hypothese du continu. Fund. Math., 5 A924), 177—137.
18. Fund Math., 6 A924).
19. Sur une propriete des ensembles ambigus, Fund. Math., 6 A924), I—5.
20. Sur une propriete des ensembles Fll6 et Sur une definition topologi-
topologique des ensembles Fau, Fund. Math., 6 A924), 21—29.
21. Un exerr.ple effectif d'un ensemble mesurable (B) de classe a, Fund.
Math., 6 A924), 39—44.
22. Sur les images biunivoques et continues de l'ensembles de tous les.
nombres irraiionnels, Mathematica, 2 A924).
23. Funkeje przedstawialne analitycznie, Lwow, 1925.
24. Math. Ann., 97 A926).
25. Sur rinvaiiance topologique des ensembles <7Й, Fund. Math., 8 A926),
135—136.
26. Sur une propriete des ensembles (A), Fund. Math., 8 A926), 362—369.
27. Les ensembles boreliens abstraits, Ann. Soc. Polon. Math., 6 A927).
28. Sur une classification des ensembles mesurables (B), Fund. Math., 10
A927), 320—327.
29. Topologia, 1928.
30. Fund. Math., U A928), И8.
31. Le crible de M. Lusin et l'opcration (Jl) dans les espaces abstraits.
Fund. Math., 11 A928), 16—18.
32. Sur les ensembles complets d'un espace (D), Fund. Math., \\ A928),
203—205.
33. Sur un ensembles non denombrable dont toute image continue est de
mesure nulle, Fund. Math., 11 A928), 302—304.
34. La propriete de Baire des fonctions et de leurs images, Fund. Math.,
11 A928), 305—307. .
35. Zazys teorii mnogosci, t. I, II, Warszawa, 1928.
36. Sur les families inductives et projectives d'ensembles, Fund. Math.,
13 A929), 228—239.
37. Fund. Math., 14 A929),

Литература 571
38. Sur i'existence c!e diverses classes d'ensembles, Fund. Math., 14
П929), 82—91.
39. Sur ies images continues des ensembles de points, Fund. Math., 14
A929), 234—236.
40. Sur Ies images continues des ensembles analytiques lineares poncti-
fermes, Fund. Math., 14 A929), 345—349.
41. Sur its images de Baire des ensembles iineaires, Fund. Math., 15
A930), 195—198.
42. jiir l'extension des fonctions de В a ire definies sur Ies ensembles
iineaires quelconques, Fund. Math., <6 A930), 81—89.
43. Sur deux complementaires anniytiqr.es поп scparables 3. Fund. Math..,
17 A931), 290—297.
4-1 Sur une probleme coneernant Ies types de dimensions, Fund. Math,.
\'J A932). 65—71.
45. L'n theoreme conccrnant Ies transformations continues des ensembles
Iineaires, Fund. Math., 19 A932), 205.
43. Sur Ies ra- oorts entre Ies classification des ensembles de MM. F.
Hausdorfi' et Vailce Poussin, Fund. Math., 19 A932), 257—264.
47. Fund. Math., 20 A933).
48. Fund. Math., 21 A933).
49. Fund. Main., 21 A933), 107-113.
50. Sur un ensemble lineaire поп denombrable qui est dc premiere cate-
categoric sur tout ensemble parfait, С R. Sec. Sc. Varsovie, 1933.
51. C. R. Soc. Sc. Varsovie, 1934.
52. Ilypothese du contir.u, Monogr. Mat., 4, 1934.
53. Sur un prohlemc de C. Kuratowski concernant la propriete de Baire
ries ei'sembles, Fund. Math., 22 A934), 54—56.
54. Sur la dualite entre la premiere categorie ct la mesure nulle Fund.
Math., 22 A934), 276—280.
55. Sur la separabilite multiple des ensembles mesurabics B, Fund. Math.,
23 A934), 292—303.
56. Sur une propriete additive d'ensembles, C. R. Soc. Sc. Varsovie, У0
A937).
57. Sur le rapport de la propriete (C) a la theorie generaie des ensem-
ensembles, Fund. Math., 29 A937), 91—96.
58. Sur une propriety des espaces metriques separables, Fund. Math., 33
A938).
59. Sur un ensembie a propriete Я, Fund. Math., 32 A939), 306—309.
60. Sur la non-invariace topologique de la propriete ?»', Fund. Math., 33
A945), 264—268.
61. Sur deux consequences d'un theoreme de Hausdorff, Fund. Math., 33
A945), 269—272.
62. Sur un espace metriquc separable universe!, Fund. Math.. 33 A945).
63. Deux theoremes sur les families des transformations, Fund. Math., 34
A947), 30—33.
64. General topology, Toronto, 1952.
65. Cardinal and ordinal numbers, Warszawa, 1958.
Серп и некий иЗигмунд (Sierpinski W., Z у g m u n d A.)
1. Fund. Math., 4 A923).
Серп и некий и Куратовский (Sierpinski W., Kuratowski K-)
1. Le theoreme de Borel — Lebesgue dans la theorie des ensembles abstra-
its, Fund. Math., 2 A921).
2. Sur les differences de deux ensembles fermes, Tohoku Math. I., 20
A921).
3. Sur un probleme de M. Frechet concernant les dimensions des ensembles
Iineaires, Fund. Math., 8 A926).

572 Литература
4. Sur Ics ensembles qui ne contiennent aucun sousensembles indenombrable
поп-dense, Fund. Math., 26 A936).
5. Sur l'existence des ensembles projectifs non mesurables Acadernie
Bulgare, 6! A941), 207—212,
С ii к о р с к н ft (S i k о г s k i R.)
1. Fund. Math., 19 A932).
2. On the cartesian products of metric spaces, Fund. Math., 34 A947),
289.
3. On the representation of Boolean algebras as fields of sets, Fund.
Math., 35 A948).
4. Closure algebras, Fund. Math., 36 A949), 165—206.
5. Closure homeomorphisms and interior mappings, Fund. Math., 41'
A955).
6. Bull. Acad. Pol. ScL, III, 4 (I95G), 649—650.
7. Boolean algebras, Berlin — Gottingen— Heidelberg, 1960.
С ii м м о н с (SimmonsG. F.)
1. Introduction to topology and modern analysis, Me. Graw-Hill. 1963.
Сион (Si on Л1.)
1. On analytic sets in topological spaces, Trans. Amer. Math. Soc, 98
A960), 341—354.
Сирота (Shirota T.)
1. A class of topological spaces, Osaka Math. ]., 4 A952), 23—40.
С к л я р е н к о Е. Г.
1. ДАН СССР, 126 A959), 1200.
2. ДАН СССР, 143 A962), 1053.
Скотт (Scott D.)
1. Invariant Borel sets, Fund. Math., 56 A964), 117—128.
С л о в и к о в с к и й и 3 а в а д о в с к и й (Slowikowski W. et Z a vv a-
d о w s k i W.)
1. Л generalization of maximal ideals method of Stone and Gelfand,
Fund. Math., 42 A955), 215—231.
Смирнов Ю. M.
1. О метризации топологических пространств, УМН, 6 D6)\ A951),
100—111.
2. Некоторые соотношения в теории размерности, Матем. сб., 29 G1);,
№ 1 A951), 157—172.
3. Необходимое и достаточное условие метризуемости топологического
пространства, ДАН СССР, 77, № 2 A951), 197—200.
4. О пространствах близости, Матем. сб., 31 G3), № 1 A952), 543—574.
5. О полноте пространств близости, ДАН СССР, 88 A953), 761—764.
6. О полноте равномерных пространств и пространств близости, ДАН
СССР, 91, № 6 A953), 1281—1284.
7. О полноте пространств близости, 1, 2, Тр. Моск. матем. о-ва, 3
A954), 271—308 и 4 A955), 421—438.
8. О размерности пространств близости, Матем. сб., 38 (80), № 3
A956), 283—302.
9. On dimensional properties of infinite-dimensional spaces, Proc. Sympo-
Symposium on general topology, Prague, 1961.
10. О трансфинитной размерности, Матем. сб., 58 A962).
Соболев С. Л.
Г Methode nouvelle a resoudre le probleme de Cauchy pour lei equations
hyperboliques normales, Матем. сб., 1 D3) A936), 39—72.

Литература 573
2. Generalisation de la notion de fonction, de derivation, de transformation
de Fourier, et applications mathematiques et physiques., Ann Univ.
Grenoble, 21 A945), 57—74.
С т и н р о д, Эйленберг (Steenrod N. and Eilenberg S.)
1. Foundations of algebraic topology, Princeton, 1952. (Русский перевод:
Основания алгебраической топологии, М., 1958).
С т о и л о в (S t о 1 1 о w S )
1. Ann. Ее. Konn. Sup. HI, 45 A928).
Сто у н A. (Stone A. H.)
1. Paracompactness and product spaces, Bull. Amer. Math. Soc, 54
A948), 977—982.
2. Trans. Amer. Math. Soc, 65 A949).
3. Metrizability of decomposition space, Proc. Amer. Math. Soc, 7 A956),
690—700.
4. Non-separable Borel sets, Rozprawy Mat., 28 A962).
Стоун M. (Stone M. H.)
1. Boolean algebras and their application to topology, Proc. Nat. Acad.
Sci, 20 A934), 107—202.
2. The theory of representations for Boolean algebras, Trans. Amer. Math.
Soc, 40 A936), 37—111.
3. Fund. Math., 29 A937).
4. Topological' representations of distributive lattices and Brouwerian
logics, Casopis pro pestrovani mat. a fys., 67 A937), 1—25.
5. Applications of the theory of Boolean rings to general topology. Trans.
Amer. Math. Soc, 41 A937), 375—481.
С т p a 3 e p (S t г о t h e r W. L.)
1. Continuous multi-valued functions. Bol. Soc. Mat. Sao Paulo, 10
A958), 87—120.
С у д з у к и (S u z u k i J.)
1. On the uniformization principle, Proc. Symp. on the Foundations of
Mathematics, Katada (Japan), 1962, p. 137—144.
С у с л и и М.
1. С. R. Paris, 164 A917).
С у с л и и М. и Л у з и н Н.
1. Sur une definition des ensembles mesurables В sans nombres trans-
finis, С R. Paris, 164 A917).
T а й м а н о в А. Д.
1 Об открытых образах борелевских множеств, Матем. сб., 37 G9),
A955), 293—300.
2. О замкнутых отображениях, I, 36 G8), A955), 349—352, II, 52 (I960),
579—588.
Т а к к и (Т u k e у J. W.)
1. Convergence and uniformity in topology, Ann. of Math. Studies, 2
A940).
ТанЦяо-чсн (TangTsao-Chen)
1. Algebraic postulates and a geometric interpretation for the Lewis
Calculus of strict implication, Butt. Amer. Math. Soc, 44 A938),
737—744.
Тарский (Tarski A.)
1. Fund. Math., 6 A924),

574 Литература
2. Fund. Math., 24 A935).
3. Der Aussagenkalkiil und die Topologie, Fund. Math., 31 A938),
103—134.
4. A lattice-theoretical fixpoint theorem and its application, Pacific J. Math.,
5 A955).
T a p с к и й н Куратовски й (T a r s k i A,, Kuratows k i K.)
1. Les operations logiques et les ensembles prniectifs, Fund. Math., 17
A931).
T и т ц е (Т i e t г е Н.)
1. Cber Funktionen die auf einer abgeschiossencn Mentje steiig sind,
/. Math., 145 A915), p. 9—14.
2. Beitrage zui allgcrnehien Topologie. Math. Ann., S3 A923).
T и т ц е и В ь е т о р и с (TietzeH. und V i e t о г i s L.)
!. Encyklopadie d. Math. Wiss, III ЛВ 13, Leipzig, 1901.
1 и x о н о в А. Н.
1. Ober einen Metrisationssatz von P. Urvsohn, Math. Ann., 95 A925),
139—142.
2. Ober die topologische Erweiterung von Raumeri, Math. Ann., 102 A930),
544—561.
3. Ober einen Funktionenraum, Math. Ann., Ill A935).
4. Ein Fixpunktsatz, Math. Ann., Ill A935).
5. Об универсальном топологическом пространстве, ДАН СССР, 3 A936),
49—52.
Ту г у е (Tugue Т.)
1. Sur !es fonctions qui sont definies par l'induction traiisfinie. /. Math.
Soc Japan, 7 A955), 94—122.
T у л ы и н (Т о u 1 m i n С. H.)
1. Shufling ordinals and transfinitc dimension, Proc. London Math. Soc, 3
A954), 177—19C.
T у м а р к и н Л. А.
1. Fund. Math., 8 A926).
2. Ober die Dimension niciit abgcschlossener Mengen, Math. Ann. A928).
3. Math. Ann., 98 A928).
У a i"i б е р н (W h у burn Q. T.)
1. Open mappings on locally compact spaces, Memoircs Amcr. Math. Soc.
2. Fund. Math., 16 A930).
3. Analytic topology, Amer. Math. Soc. Coll. Publ, 1942.
4. Open and closed mappings. Duke Math. J., 17 A950), 69—74.
У и л с о н (W i I s о n W. A.)
1. On quasi-metric spaces, Amer. J. Math., 53 A931).
У л а м (U 1 a m S.)
1. Fund. Math., 16 A930).
2. Ober gewisse Zerlegungen von Mengen, Fund. Math., 20 A933).
Улам ii Куратовскпй (U1 a m S., Kuratowski K.)
1. Quelques prorietcs topologiques du produit combinatoire, Fund. Math.,
19 A932).
Уоллес (W a 11 а с е A. D.)
1. On non-boundary sets, Bull. Amer. Math. Soc, 45 A939).
2. Some characterizations of interior transformations, Amer. Journ. Math.,
61 A939), 757-763.

Литература 575
У о л ы е ii (W а 11 m a n H.)
1. Lattices and topological spaces, Ann. Math., 39 A938).
У р ы с о н П. С
1. Ober die Machtigkeit der zusammenhangenden Mcngen, Math. Ann 94
A925), 262—295.
2. Zum iMetrisationsprobiem, Math. Ann., 94 A925), 309—315.
3. Proc. Acad. Amsterdam, 28 E 925).
4. Fund. Math., 7 A9251.
5. Fund. Math., S A926).
6. Memoire sur !es multiplicitcs Cantoric-nnes, Fund Math., 7—8 A925—
1926).
7. Sur ie? classes („9=") rfe M. Freehet, P.ns Math., 25 A926), 77—83.
8. Furd. Math., 0 A927), 119—121
9. Sur tin tspace mctrique universe!, Eull. Sc. Math., 151 A927),
1—38,
10. Verhandl. Akad. Amsterdam, 13 A927).
Успенский В. А.
1. Теорема Гёделя и теовия алгоритмов, ДАН СССР, 9! A953), № 4,
737—740.
2. О вычислимых операциях, ДАН СССР, 103, № 5 A955), 773—776.
Ф е р е с с (V е г е s s Р.)
!. Ober kompakte Funktionenmengen und Bairesche Kiassen, Fund, Math.,
7 A925). '
Ф . i а к с м а й e p (Flachsmeyer J.)
1. Math. Nachr., 24 A962), 1 — 12.
Ф ¦. kc (Fox R. H.)
1. On topologies of function spaces, Bull. Amer. Math. Soc, 51 A945).
Франц (Franz W.)
1. AHgemeine Topologie I, Goschcn, 1906.
Ф р е ш e (Frechet M.)
1. Sur quelques points du Calcul fonctionnel, These, Rend, del Circolo
Matem. dl Palermo, 22 A906).
2. Math. Ann., 68 A910), 145—168.
3. Relations entre les notions de lirnite et de distance, Trans. Amer. Math.
Soc, 19 A918).
4. Quelques proprietes des ensembles abstraits, Fund. Math., 10 A927).
5. Les espaces abstraits, Monogr. Borel, Paris, 1928.
Ф p ii н к (Fr i n k O.)
1. Topology in lattices, Trans. Amer. Math. Soc, 51 A942), 569—582.
Ф ролик (F г о 1 i k Z.)
1. Concerning Topological convergence of sets, Tchehosl. Mat. ]., 10
(i960), 168—180.
2. On the descriptive theory of sets, Tchehosl. Math. J., 13 A963), 335—352.
3. On bianalytic spaces, Tchehosl. Math. J., 13 A963), 561—572.
X а л м о ш (H a 1 m о s P. R.) *
1. Lectures on Boolean algebras, Princeton, 1963.
Хан (Н a h n H.),
1. Theorie der reellen Funktionen I, Berlin, 1921.
2. Reelle Funktionen I, Leipzig, 1932.

576 Литература
Хан и Розенталь (Hahn H., and R о s е п t h a I A.);
1. Set funktions, Albuquerque, 1948.
X а н а и (Н a n a i S.)
1. On closed mappings, Proc. Japan. Acad., 30 A954), 285—288.
Ханнер (Hanner O.),
1. Retraction and extension of mappings of metric and non-metric spaces,
Arkiv. Math., 2 A952), 315—360.
X a p т м а н (H a r t m a n S.)
1. Zur Geometrisierung der abzahlbaren Ordnungstypen, Fund. Math., 29
A937).
Хаусдорф (Hausdorff F.),
1. Grundzijge der Mengenlehre, Leipzig (Vien), 1914.
2. Math. Ann., 77A916).
3. Math. Zft., 5 A919).
4. Die Mengen Gd in vollstandigen Raumen, Fund. Math., 6 A924).
5. Теория множеств, М.—Л., 1934.
5а. Uber innere Abbildungen, Fund. Math., 23 A934), 279—291.
6. Summen von №t Mengen, Fund. Math., 26 A936).
6. Summen von Mengen, Fund. Math., 26 A936).
7. Die schlichten stetigen Bilder des Nullraums, Fund. Math., 29 A937).
8. Erweiterung einer stetigen Abbildung, Fund. Math., 30 A938).
X e д р и к (H e d r i с k E. R.))
1. Trans. Amer. Math. Soc, 12 A911).
X e л м б е р г (Helmberg G.)
1. On convergence classes of sets, Proc. Amer. Math. Soc, 13 A962),
918—921.
X e м м e p (HammetP, C.)
1. Kuratowski's closure theorem, Nieuw Archief, 8 A960), 74—80.
2. Extended topology, Nieuw Archief, 9 A961), 10 A962).
3. Proc. Acad. Amsterdam, 1963.
4. Indag. Math. A963).
5. Extended topology (Structure of isotonic functions), /. reine angew.
Math., 213 A964), 174—186.
Хил rep с (Hilgers A.),
1. Bemerkungen zur Dimensionstheorie, Fund. Math., 28 A937).
Хилтон (HiltonP.J.J
1. Homotopy and duality (mimeographed), Cornell University, 1959.
X о к и н г и Юнг (Hocking J. G. and Young G. S.)
1. Topology, Addison — Wesley, 1961.
Холл и Спенсер (Hall D. W. and Spencer G. L.)
1. Elemental у topology, New York, 1955.
X ь ю и т (Hewitt E,);
1. On two problems of Urysohn, Ann. of Math., 47 A946).
2. A remark on density characters, Bull. Amer. Math. Soc, 52 A946),
641—643.
3. Rings of real-valued continuous functions, Trans. Amer. Math. Soc,
64 A948), 54—99,

Литература 577
Ц и п п и н (Z i p p i n L.)
1. Topological transformations groups, Interscience Tracts, New York
1955.
Чассар (CsaszarA.)
1. Sur une classe de structures topologiques generals, Revue Math, pure et
appl., 2 A957), 399—407.
2. Fondements de la topologie generale, Budapest, 1960.
Чепмеи (С h a p m a n Т. А.)
1. An extension of the Kuratowski closure and complementation problem,
Math. Magaz., 35 A962), 31—35.
2. A further note on closure and interior operators, Amer. Math, Monthly,
69 A962), 524—529.
Чех (Chech E.J.
1. Sur la dimension des espaces parfaitement normaux, Bull. Acad. Sc.
Boheme, 33 A932), 38—55.
2. Contribution a la theorie de la dimension, Cas. Pest. Math, a Fys.,
62 A933), 277—291.
3. On bicompact spaces, Ann. Math. B)\ 38 A937), 823—844.
4. Topologicke prostory, Praha, 1959.
Чпттенден (Chittenden|
1. On the equivalence of ecart and voisinage, Trans. Amer. Math. Soc,
18 A917).
Ч о д а и М а т о б a (ChodaH., MatobaK.)
1. On a theorem of Levine, Proc. Japan. Acad., 37 A961), 462—463.
Шаудер (SchauderJ.)
1. Ober die Umkehrung linearer, stetiger Funktionaloperationen, Studia
Mat., 2 A930).
2. Der Fixpunktsatz in Funktionalraumen, Studia Math., 2 A930), 171—180.
Шварц (Schwartz L.)
1. Generalisation de la notion de fonction de derivation, de transformation
de Fourier, et applications mathematiques et physiques, Ann. Univ.
Grenoble, 21 A945), 57—74.
2. Theorie des distributions, vol. I, Paris, I960, vol. II, Paris. 1951.
Шеффер (ScheefferL.)
1. Ada Math., 5 A884).
Шёнфлис (S с h 6 n f 1 i e s A.)
1. Entwicklung der Mengenlehre I, Leipzig, 1913.
Шмидт (Schmidt J.)
1 Eine Studie zum Begriff der Teilfolge, Jahresber. Deutsche Math. Ver.,
63 A960), 28—50.
Шнейдер В. Е.
1. Дескриптивная теория множеств в топологических пространствах, ДАН
СССР. 50 A945), 81—84.

578 Литература
Шоке (Choquet G.)
1. Convergences, Ann. Univ. Grenoble, 23 A948), 55—112.
2. Cours d'analyse, t, II, Topologie, Paris, 1964.
3. Theory of capacities, Ann. Inst. Fourier, 5 A953—1954), 131—294.
4. Ensembles K-analytiques et K-Susliniens, Cas general et cas metrique,
Ann. Inst. Fourier, 9 A959), 75—81.
Шпернер (Sperner E.)
1. Abh. Math. Seminar Hamburg, 6 A928).
Ш п и л ь p a fi н - M a p ч е в с к и ii (Szpilrajn-Marczewski E.)
1. О mierzalnosci i warunku Baire'a, С R. du I Congres des Math, des
Pays Slaves, Varsovie, 1929.
2. Sur une hypothese de M. Borel, Fund. Math., 15 A930),
3. Sur un probleme de S. Banach, Fund. Math., 15 A930).
4. Fund. Math., 21 A0:33).
5. Remarques sur !es functions completement additives. Fund. Math., 22 A934).
6. Fund. Math., 20 A936).
7. La dimension et la mesure. Fund. Math., 28 A937).
8. Fund. Math., 31 A938).
9. On the equivalence of some classes of sets, Fund. Math., 30 A938).
Шпильрайн-Марчевский и К У р а т о в с к и й (Szpilrajn-
Marczewski Е , Kuratowski К)
I. Sur les cribles fermes et leurs applications, Fund. Math., 18 A931),
Шредер (Schroder E.)
1. Vorlesungen iiber die Algebra dcr Logik, B. Ill A890—1905).
Штейнгауз (Steinhaus H.)
1. Studia Math., 1 A929), 51—83.
Энгелькинг (E n g ё 1 k i n g R.)
1. General topology.
2. Bull. Acad. Pol.'Sc, 4 A956).
3. Quelques remarques concernant les operations sur les fonctions semi-
continues dans les espaces topologiques, Bull. Acad. Polon., 11 A963),
719—726.
Энгелькинг и Мрувка (Engelking R. and Mrowka S.)
1. On ^-compact spaces, Bull. Acad. Pol. Set., 6 A958), 429—436.
Эрдёш (Erdos P.),
1. The dimension of rational points in Hilbert space, Ann. Math., 41 A940),
Юнг (Y о u n g W. H.)
1. Ber. Ges. Wiss. Leipzig, 55 A903).
2. Proc. London Math. Soc. (Ц, 35 A903).
3. Quart. I. Math., 25 A903).
4. Leipziger Ber., 55 A903).
5. The theory of sets of points, Cambridge, 1906.
6. Proc. London Math. Soc. B)\ 12 A913), 260.
Янишевский (JaniszewskiS.)
1. Thesis A911]!,

Литература 579
ЛИТЕРАТУРА, ДОБАВЛЕННАЯ ПРИ КОРРЕКТУРЕ
А н т о н о в с к и й М. Я.
1*. К аксиоматике топологических полуполей, ДАН УзССР, N° 10 A961),
Е ф и м о в Б. А.
1*. О мощности хаусдорфовых пространств, ДАН СССР, 164, № 5 A965).
Ко э н (Cohen P. J.)
1* The independence of the axiom of choice, Mimeographed notes, Mathe-
Mathematics Department, Stanford University (May, 1963).
2* The independence of the continuum hypothesis, Proc. Nat. Acad. Sci.
USA, 50 A963), 1143—1148 (Part 1) and 51 A964), 105—110 (Part II).

предметный указатель
Аксиома выбора 34
¦— топологического пространства 44
Аналитические множества (Амноже-
ства) 464, 489
База пространства 58
Барицентрические координаты 314
Бесконечный комплекс 336
— полиэдр 337
Большая индуктивная размерность
(ld^TK13
(
Борелевские множества 53, 352—381
Борелевский изоморфизм 462
Брауэровская алгебра 180
Верхний предел последовательности
множеств (LsAn) 344
Взаимно непрерывное отображение
125
¦— однозначное отображение 20
Внутреннее отображение 122
Внутренний инвариант 118
Внутренность множества 60
Вполне несовершенное пространство
523
— нормальное (наследственно нор-
нормальное) пространство 136
— ограниченное пространство 224
— регулярное пространство 126
— упорядоченное множество 34
Всюду плотное множество 71
Выпуклое множество 314
Высказывание (предложение) 9
Вычет множества 70
— трансфинитного порядка 107
Геометрическая размерность сим-
симплекса 314
Гильбертов куб 32
Гипотеза континуума 35
Гомеоморфизм 116
— обобщенный класса (а, р) 382
Граница множества 60
Граничное множество 71
— — в точке 77
Грань симплекса 314
График отображения 148
Двойственность 10, 66
Двустороннее множество класса а
355
Диагональ 146
Диаграмма бикоммутативная (точ-
(точная) 26
— коммутативная 25
Диаметр множества (б(Л)) 216
Дизъюнкция 9
Дискретное множество 83
— семейство подмножеств топологи-
топологического пространства 243
Дополнение множества 10
Закон двойного отрицания 9
— исключенного третьего 9
— ложного положения 9
•— противоречия 9
Законы Моргана 9
Замкнутая область 79
Замкнутое множество 49
— отображение 122
Замыкание 44
— в метрическом пространстве 215
— комплекса 316
Идеал 14
— максимальный 14
— собственный 14
а-идеал 19
Измельчение покрытия 54
Д-измеримое отображение класса а
382
Изолированная точка 81
Индуктивная размерность простран-
пространства (ind JTK13
Канторов дисконтинуум (канторово
совершенное множество) 'в 32

Предметный
t/казатс.
581
Кардинальное число 28
Квазикомпактное отображение 125
Класс эквивалентности 19
Классы Fa и Оа борелевских мно-
множеств 353
Колебание функции 217
Комбинаторная размерность про-
пространства (dim ЗГ) 313
Компактное (бикомпактное) про-
пространство 55
Комплекс 316
Композиция отображений 20
Конгруэнтность по модулю идеала
19
Конфинальное множество 33
Конъюнкция 9
Лемма Урысона 132
— Цорна 34
Линейно упорядоченное множество
33
Линейное множество 473
Локализация свойства 68
Локальная база 59
Локально борелевское множество 366
•— замкнутое множество 70
¦— конечное семейство 55
0-локально конечное семейство 55
Малые классы Бореля 463
я-мерный комплекс 317
Метризационная теорема Бинта —
Нагата — Смирнова 245
Метризуемое топологическое про-
пространство 215
Метрическое пространство 213
Многозначная функция 27
Множество Лебега 483
¦— открытое (замкнутое) по модулю
множеств первой категории 92
_ нигде не плотных
множеств 74
¦— первой категории 86
¦— типа Fa (типа Ga\ 52
— ?(..) 284
Fa- и Оа -множество 428
Монотонное семейство множеств 33
261, 272
Направленное множество 33
Наследственно нормальное (вполне
нормальное) пространство 136
Насыщенная последовательность мно-
множеств 87
Нерв системы множеств 326
Непрерывное разбиение 194
¦— отображение 108, 109
Непрерывное отображение J^* -про-
-пространств 200
Непрерывно сходящаяся последова-
последовательность 206
— — — в узком смысле 210
Несравнимые подмножества 444
Нигде не плотное множество 71, 77
Нижний предел последовательности
множеств (Li .4,,) 343
Нормальное топологическое простран-
пространство 128
Область определения отображения 20
Обобщенная теорема продолжения
Титце 158
Обобщенное прямое произведение 30
Обобщенный гомеоморфизм класса
(а,р) 382
— шар 219
Образ множества 21
Обратный спектр 36
Объединение множеств 10
Ограниченное множество 216
Однородное множество 119
Окрестность точки 66
Операция Хаусдорфа 486
— Е 12
— S(R) 13
-Р(Я) 13
(с4)-операция 37
с^-операция Монтгомери 367
Отделимые множества 64
В-отделимые множества 495
Открытая область 80
— окрестность точки 66
Открытое множество 49
— отображение 121
Относительная окрестность точки 66
Относительно борелевские множества
53
— замкнутое множество 51
— открытое множество 51
Относительное замыкание 47
Отношение множеств 10
— рефлексивное 18
— симметричное 18
— транзитивное 18
— эквивалентности 18
< 478
Отображение (функция) 20
—• 5-измеримое класса а 382
— подобия 33
Отображение-произведение 24, 31
Отрицание 9
Паракомпактное пространство 56
Пересечение множеств 10

582
Предметный указапль
Плотное в себе множество 83
Подбаза топологического простран-
пространства 58
Подобные (з комбинаторном смысле)
системы множеств 131
— упорядочения 33
Подпокрытие 54
Покрытие пространства 54
Полиэдр 317
Полное метрическое пространство 415
Полунепрерывная многозначная
функция 181
Полунепрерывное разбиение 194
Пополнение метрического простран-
пространства 420
Порядковое число 34
Порядковый тип 34
— — четный (нечетный) 373
Порядок значения 5-измернмой
функции 504
Предел обратного спектра 36, 166
— последовательности множеств
AлтЛ„) 347
— фильтра 68
Предельный порядковый тип 34
Продолжение отображения 20
Проективные множества 464
— функции высказываний 473
Проекция 193
Производное множество 81, 270
Прообраз множества 21
Просеивание через решето 41
Простой (невырожденный) комплекс
317
— — си.мптекс 314
Пространство 9
— близости 239
— веса So 59
— заведомо первой категории 525
— Липделёфа 56
— Тихонова 126
— удовлетворяющее первой аксиоме
счетности 59
— Фреше 32
— Ф(ЗГ, У) 228, 418
— 2х 168
— Bх )L 349
.^"-пространство 197
^¦пространство 57
^-пространство 44
^-пространство 58
Я-пространство 526
v-пространство 534
0-пространство 532
Прямое произведение множеств 14
Прямолинейно достижимая точка 475
Псевдометрика 241
Псевдометрическое пространство 241
Равномерная структура 240
Равномерно непрерывное отображе-
отображение пространств близости 240
Разбиение 21
— пространства 192
Разложение границы 73, 74
Разложимое множество 102, 267
Размерностное ядро пространства 307
Размерность пространства 282, 313
Разность множеств 10
симметричная 10
Разреженное множество 84
Расстояние 213
— между множествами (dist (А, В))
223
Регулярная система множеств 37
Регулярное пространство 57
Результат (^-операции 37
— о-Ж-операции 367
Ретракт 112
Ретракция 112
Решето Лузина 41, 476
Свойство Бэра в узком смысле 98
— — — для отображений 412
— — — широком смысле 93
— — отображения 408
— С 537
— С" 536
— L 534
— },' 530
Семейство аналитически представи-
мых функций 401
—¦ определяющее размерность про-
пространства 308
— подмножеств данного множества
13
— —¦ — .— аддитивное 14
— — — — наследственное 14
Сепарабельное пространство 72
Сеть 212
Сечение прямого произведения 150
Сильно непрерывное отображение
125
Симплекс 314
Слабо я-мерное пространство 308
Совершенное множество 83
Сосредоточенное пространство 535
Составляющая высказывания 329
Составляющие (конституанты) (СА)-
множества 509
Составное отображение 24, 31
Строго монотонное семейство мно-
множеств 274, 275

Предметный указатель
583
Структурно нормальная структура 180
— регулярная структура 180
Сужение отображения 20
Существование неборелевских мно-
множеств 355
Сходящийся фильтр 68
Счетно-компактное пространство 55
~ ^'"-пространство 202
Теорема Александрова 419
—¦ Александрова — Хаусдорфа 459
•— Банаха — Куратовского 542
— Банаха — Мазура 250
— Берншгенна 524
— Больцано — Вепсрипрасса обоб-
обобщенная 318
— Б-эр а 425
— Ведепксова 141
— Егорова 542
— Кантора 424
— Кантора — Бендиксона 261, 271
— Лаврентьева 439
— Лебега — Хаусдорфа 402
— Линлелёфа 60
— Лузина 92
— — о покрытии 511
— Лузина — Серпннского 510
— Мазуркевича 453
— Никодпма — Урысона 476
— обобщенная Пеано 158
— о полной метризации 419
— отделимости 289, 358, 495, 502
¦ обобщенной (первая и вторая)
520
¦— Понтрягина — Нёбелинга 431
— продолжение Титце 134, 339
— обобщенная 158
— редукции 288, 358
¦— Серпинского — Зигмунда 433
— А. Стоуна 245
— Улама 91
— Урысона 249
— Хаусдорфа 420, 496
•— Цермело 34
Тип непрерывности 439
Тихоновская топология 154
Топологическая группа 121
— эквивалентность 118
Топологически полное пространство
415
Топологический автоморфизм 117
— ранг 119
Топологическое пространство 44
Топологическое свойство 117
"^-топология !83
А-топология 183
Точка конденсации множества 260
— накопления 81
— порядка ш 262
Трансфгнцгная индукция 34
Ультрафильтр !4
Универсальная функция 376, 471
Уолменовская стр\кт>ра H;i
Упорядочение 33
Упорядочение множество 33
Условие Х?дрпка 63
— D,, >04
Факторсемейсмво 19
Фактсртопология 193
Фильтр 14
— максимальным (улырафильтр) 14
— собственный 14
Фор.мулы Моргана 10
¦— — обобщенные 11, 13
Фундаментальная последовательность
415
Функции высказываний 11
— — многих переменных 15
— — ктасез Fa(Ga) 371
— классов А и СА 522
Характеристическая функция множе-
множества 29, 115
Хаусдорфово пространство 56
Центрированное семейство множеств
14
Частично упорядоченное множество
33
Число а (.4) 422
— р(А,В) 218
Шар в метрическом пространстве 213
Эквивалентные множества 28
Экспоненциальная топология 168
Элемент полунепрерывное™ разбие-
разбиения 194
Элементарные функции высказыва-
высказываний 517
Эффективность 261, 380, 405, 427, 525
Ядро пространства 84

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адисон (Addison J. W.) 479, 490, 495,
544, 552
Александров П. С. 36, 50, 57 72, 118,
125, 128, 136 183, 194 197, 245,
282, 313, 315, 316, 326, 327, 337,
419, 453, 459, 473, 552, 553
Алексевич (Alexiewicz A.) 549 551
553
Алексич (Alexits G.) 446, 553
Альбукерк (Albuquerque J.) 66. 553
Антоновский М. Я. 199, 553, 579
Арене (Arens R.) 56, 553
Ароншайн (Aronszajn N.) 439, 553
Архангельский А В. 122, 245, 553
Ауль (Aull С. Е.) 57, 553
Ауэрбах (Auerbach) 431
Банах (Banach S.) 87, 119, 120, 250,
397, 403, 431, 443, 473, 501, 542,
548—554
Безикович С. 508, 535, 554
Бенднксон (Bendixson L.) 261, 554
Берж (Berge С.) 183, 554
Бернштейн (Bernstein F.) 262, 524,
525 554
Бет (Beth W. Е.) 545, 554
Бинг (Bing R. Н.) 139, 245, 554
Бпркгоф (Birkhoff G.) 80, 212, 554
Блейк (Blake A.) 545. 554
Бокштейн М. Ф. 264, 554
Болтянский В. Г. 311, 553
Борель (Borel E.) 53, 203, 262, 537,
554
Борсук (Borsuk К.) 112, 252, 431,
551 555
Брасс'лер (Brassier D. W.) 489, 555
Браун М. (Brown M.) 186
Браун С. (Braun S.) 428, 439, 508, 555
Брауэр (Brouwer L. E. J.) 282, 320,
321, 453, 546, 555
Брюнс (Bruns G.) 212, 555
Булиган (Bouligand G.) 183, 555
Бурбаки (Bourbaki N.) 14, 30, 56, 57,
68, 193, 240, 549, 555
Бэр (Baire R.) 86, 93, 97, 183, 220,
266, 379, 401, 403, 409, 425, 430, 555
Важевский (Wazewski Т.) 348, 555
Вайдинатхасвами (Vaidyanathaswa-
my R.) 555
Вайнштейн И. А. 434, 443, 555
Валле-Пуссен (Vallee-Poussin Ch. de
la) 397, 405, 555
Варашкевич (Waraszkiewicz Z.) 434,
439, 556
Веденисов Н. 140, 313, 556
Вейерштрасс (Weierstrass К. F.) 228
Вейль (Weil A.) 240, 556
Витали (Vitali G.) 96, 556
Вопенка (Vopenka P.) 313, 556
Вулих Б. 3. 549, 559
Вьеторис (Vietoris L.) 57, 168, 556,
574
Гагаев (Gagaeff В.) 384, 396, 556
Галчинская-Карлович (Galczynska-
Karlowicz) 71
Гейтинг (Heyting A.) 546, 556
Гельфанд И. М. 550, 556
Генба (Ggba К.) 551, 556
Гёдель (Godel К.) 490, 556
Гжегорчик (Grzegorezyk A.) 544, 548,
556
Гилман (Gillman L.) 164, 556
Гильберт (Hilbert D.) 67, 214, 557
Гранас (Granas A.) 551, 556, 557
Гримайзен (Grimeisen G.) 212, 557
де Гроот (de Groot J.) 248, 557
Гросс (Gross W.) 271, 557
Гуревич (Hurewiez W.) 131, 184, 282,
297, 299, 300, 302, 308, 309, 311, 313,
323—325, 327, 431, 457, 490, 557,
558
Данжуа (Denjoy A.) 85, 86, 557
Данциг (van Dantzig) 119, 558
Даукер (Dowker С. Н.) 134, 313, 558
Дей (Day M. M.) 68, 558

Именной указатель
585
Джерисон (Jerison M.) 164, 556
Диксмье (Dixmier J.) 76, 558
Дугундьи (Dugundji J.) 56, 134, 553,
558
Дьедонне (Diedonne J.) 152, 558
Дэвнс (Davis М.) 544, 558
Дюбуа-Реймон (du Bois-Reymond P.)
71," 558
Ефимов Б. А. 262, 579
Ефремович В. А. 219, 239, 558
Жордан (Jordan С.) 60, 558
Завадовский (Zawadowski W.) 572
Зальцвассер (Zalcwasser Z.) 268, 527,
558
Заранкевич (Zarankiewicz К.) 348,
366, 558
Зарелуа А. 325, 558
Зарицкий (Zarycki M.) 61, 66, 81, 84,
558
Зейферт (Seifert H.) 559
Зигмунд (Sygmund A.) 433, 550, 559,
571
Зоргенфрей (Sorgenfrey R. Н.) 152,
559
Зоретти (Zoretti L.) 343, 559, 569
Исбелл (Isbell J. R.) 239, 559
Исеки (Iseki К.) 44, 559
Ист (Van Eest) 128, 559
Кантор (Cantor G.) 32, 49, 60, 81,
83, 84, 158, 203, 261, 262, 270, 380,
424, 559
Канторович Л. В. 464, 479, 486 522,
549, 559
Картан (Cartan H.) 14
Катетов (Katetov M.) 131, 139, 152,
164, 313, 559
Качмаж (Kaczmarz) 431
Келдыш Л. В. 379, 443, 560
Келли (Kelley J. L.) 34, 58, 82, 86,
136, 152, 193, 195, 212, 560
Кеыписти (Kempisty S.) 397, 560
Керне (Cairns S. S.) 560
Кли (Klee V.) 473, 560
Клинп (Kleene S. C.) 479, 543, 544,
548, 552, 560
Кнастер (Knaster B.) 64, 262, 309,
318, 321, 560
Ковальский (Kowalsky H. J.) 135,
212, 500
Колмогоров А. Н. 57, 486, 549 560
Кондо (Kondo M.) 502, 560
Коэн (Cohen P. J.) 35, 579
Красносельский М. A., 551, 560
Кунугуи (Kunugui K.) 233, 309, 560
Куратовскнй (Kuratowski K.) 9, 17,
34, 44, 48, 63, 79, 94, 120, 131, 153,
180 181, 183, 194, 229, 233, 239,
253—257, 259, 262, 270—273, 288.
318, 321 327 329, 339, 361, 363, 367,
371, 380, 382, 383, 387, 388, 393,
405, 408, 409, 419, 422, 431, 436,
443—447, 458, 461, 462, 471, 473,
476—480, 483, 486, 490, 506, 510,
513, 518, 521, 524, 526 535, 542,
548, 554, 560—562, 566, 567, 571,
574, 578
Лаврентьев М. A. 439, 441, 442, 464,
562
Лангфорд (Langford С. Н.) 546, 563
Лебег (Lebesque H.) 79, 93, 96, 97,
158, 262, 323, 354, 373, 377, 382,
384, 387, 402, 483, 493, 500, 562
Левин (Levine N.) 76, 562
Левшенко Б. 325, 562
Лере (Leray J.) 551, 562
Лефшец (Lefscheiz S.) 339, 562
Лнвенсон E. M. 464", 479, 486, 559
Линделёф (Lindelof E.) 60, 260, 261,
562
Лниденбаум (Lindenbaum A.) 213,
434, 436, 563
Локуциевский О. 313, 563
Лузин Н. Н. 37, 41, 92, 99, 265, 356,
373, 379, 458, 464, 471, 476, 477,
479, 483 493, 495, 500 502 504,
508—513, 528, 532, 534, 539, 563,
573
Лунц А. 313, 563
Льюис (Lewis С. I.) 546, 563
Любен (Lubben R. G.) 348, 563
Люстерник Л. А. 551, 563
Ляпунов А. А. 486, 521, 563
Мазур (Mazur S.) 250, 549, 550, 564
Мазуркевич (Mazurkiewicz S.) 64,
318, 321, 431, 434, 441, 453, 455,
476 490, 491, 530, 532, 560, 564
Майкл (Michael E.) 152, 168, 169,
176, 180, 183, 245, 367, 564
Макки (Mackey G. W.) 462, 564
МакКинси (McKinsey J. С. С.) 44,
48 180, 546 547, 564
МакШейн (McShane E. J.) 212, 564
Мало (Mahlo P.) 119, 524, 565
Мамузич (Mamuzic Z. Р.) 565
Мартин (Martin A. V.) 245, 565
Марчевский (Marczewski E.) 164,.
264, 565
Матоба (Matoba К.) 76, 577

586
Именной указатель
Менгер (Menger К.) 138, 282, 285,
297, 299, 303, 307—311, 565
Минусинский (Mikusiriski J.) 549, 565
Монтгомери (Montgomery D.) 121,
127, 367, 388, 393, 565
Монтейро (Monteiro A.) 44, 50, 565
Морнта (Mont а К.) 131, 152, 245,
313, 565'
Мосговскпй (Moslowski A.) 544,
545, 566
Мрувка (Mrdwka S.) 164, 212, 239,
241, 242 566, 578
Мур Р (Moore R. L.) 194, 415. 566
Мур Э. (.Moore E. Н.) 44, 183, 212,
566
Нагами (Nagami К.) 367, 566
Нагата (Nagata J.) 245. 566
Нейбауэр (Neubaucr M.) 523, 535
фон Нейман (von Neumann J.) 4«о,
549, 566
Нсмыцкий В. В. 128
Нёбелинг (Nobeling G.) 44, 58, 180,
566
Никодим (Nikodym О.) 99, 408, 476,
479, 566, 567
Нитка (Nitka W.I 253. 567
Новак (Novak J.) 127, 567
Новиков П. С. 490, 493, 495, 520, 521,
563, 567
Ньюман (Newman М. Н. А.) 221, 567
Окстоби (Oxtoby J. С.) 86, 151, 567
Орей (Orey S.) 545, 567
Орлпч (Orliczj 431, 549, 564, 567
Otto (Otto E.) 301, 303, 567
Пасынков Б. А. 313, 567
Паттерсон (Patterson E. М.) 567
Пеано (Peano G.) 158, 567
Пенлеве (Painleve P.) 343, 567
Пинскер А. Г. 549, 559
Позамент (Posament Т.) 361, 363, 567
Помпейю (Pompeju D.) 223, 568
Пондичери (Pondiczery E.) 164, 568
Пономарев В. И. 183, 568
Понтрягин Л. С. 121, 127, 311, 568
Попруженко (Poprougenko G.) 303,
535, 537, 568
Проскуряков Ю. М. 313, 568
Пуанкаре (Poincare H.) 116, 282, 326,
568
Расёва (Rasiowa H.) 44, 545, 547,
568
Ренни (Rennie В. С.) 180, 568
Рибейро (Ribeiro H.) 68, 568
Ригер (Rieger L.) 545, 568
Рисе (Riesz F.) 44, 569
Роберте (Roberts J. H.) 415, 569
Роджерс (Rogers С. А.) 489, 569
Розенталь (Rosenthal A.) 569, 576
Рой (Roy P.) 313, 5(,9
Ротбергср (Rothberge-- F.) 5I, 532,
536, 569
Ру.чге (Runge) 337, 569
Рыль-Нардзенеким (Ryil-Nardzew-
ьк: С.) 480, 545, 569
Сакс (Saks S.) 201, 259, 431 506,
507, 534, 55i, 569
Сампсн (Sampei I.i 493, 502, 513, 569
Сарьшсаков Т. А. 553
Себаштиан-и-Сильва (Sebastiao-e-Sil-
va) 56, 569
Сетпвановскпп (Sulivanowski E.) 264,
569
Омадени (Semadeni Z.) 84, 569
Серпинский (Sierpinski W.) 37, 39,
50, 63, 72, 86, 92. 94, 99, 239, 248,
250, 262, 264. 265, 270, 271, 274,
290 292 296, 352, 354, 356, 358,
364, 373 376, 380, 382, 390, 393,
397 413, 415, 428 433, 434, 436,
438, 439, 441, 443, 444, 440, 458,
464, 466 477, 490, 491, 493, 495,
50 i, 506, 510, 513, 519, 524, 527,
528, 530 531, 532 535, 537, 539,
542, 563, 564, 569—572
Снкорский (Sikorski R.) 44, 124, 256,
545, 547, 568, 572
Симмонс (Simmons G. F.) 572
Сион (Sion M.) 489, 555,,572
Сирота (Shirota T.) 164, 572
Скляренко Е. 325, 572
Скот г (Scott D.) 480, 572
Словиковский (Slowikowski W.) 572
Смирнов Ю. M. 239, 241, 2-15. 313,
325 572
Смит'(Smith H. L.) 183, 212, 566
Соболев С. Л. 549, 572
Спенсер (Spencer G. L.) 576
Стинрод (Steenrod N.) 36, 573
Стоилов (Stoilow S.) 122, 573
Стоун A. (Stone A. H.) 61, 245, 458,
501, 573
Стоун M. (Stone M. H.) 80, 545, 546, 573
Стразер (Strother W. L.) 183, 573
Судзуки (Suzuki J.) 502, 573
Суслин М. 37, 464, 490, 497, 500, 573
Тайманов А. Д. 443, 573
Такки (Tukey V. W.) 212, 573
Тан Цяо-чен (Tang Tsao-Chen) 547,
573

Именной указатель
587
Тарский (Tarski A.) 17, 44, 48, 80,
84, 180, 371, 473, 546, 547, 564, 573,
574
Тптце (Tietze Ш 57 128, 134, 136,
574
Тихонов А. Н. 126, 129, 151, 133 551,
574
Трельфалль (Threlfall W.) 559
Трон (Fhron W. J.) 57, 553
Тугуе (Tugue Т.) 486, 574
Тул.мии fToulmin С. Н.) 325, 574
Тумаркик Л. А 285, 297 299 300,
'307, 308, 441, 574
УаГн'ерн
(Whyourn
194,' 195, 309, 574
Уилсон
Улал. (
255—2
Уоллес
574
Уо.таеп
557, 5;
Урысон
139, 1
285 2
453, 4;
Успгмск:
(Wilson W.
Ulam S.}
G.
A.)
85,
T.)
213
91,
57, 542, 567 574
(Wallace A.
(Wallman
7.3
П. С 72,
Ю, 197, 199,
Я5 29^ of
r6, 553 575
-л В. A. 5*
d.:
H.)
¦26,
245
H, ;
14, :
! 72,
180,
132,
, 249,
303,
548, ;
122,
, 574
92,
122,
282,
134,
250,
308,
376
125
153,
124
311,
136,
282,
3-18,
Фергсс (Yeress P.) 334. 575
Флаксмайср (Flnchsmeyer J.) 212, 575
Фокс (Pox R. H.) 209, 575
Франц (Franz W.) 575
Фрейденталь (Freudenthal H.) 128, 559
Фррше (Frechet M.I 44, 63, 67, 72,
85, П9. 197, 198, 213, 222, 228, 245,
415, 575
Фринк (Frink O.) 168, 176. 180, 575
Фролих (Frolik Z.) 212, 489, 575
Халмош (Halmos P. R.) 80, 575
Хан (Hahn H.) 93, 1S3, 206, 220, 229,
396, 417, 509, 575, 576
Ханаи (Flanai S.) 245. 565, 576
Ханнер (Hanner O.) 134, 576
Хартман (Hartmai: S.) 480, 576
Хауслорф ' (Haiisclorff F.) 37. 53,
67, 10!'. 106, :08, 213, 218, 220,
224, 253, 26':, 268, 342, 343.
348, 353, 393, 394. 402. 405, 4!5.
А.Л'л
454.
420 424 _„ „
459' 464,' 48бГ 493, ".522^5277 576
59,
223
345,
419,
457,
Хедрик (Hedrick E. R.) 63, 576
Хелмберг (Helmberg G.) 212, 576
Хеммер (Hammer P. C.) 44' 48 49
61, 576 ' "
Хнлгерс (Hilgers A.) 311, 576
Хилтон (Hilton P. J.) 25, 576
Хокинг (Hocking- J. D.) 576
Холл (Hall D. \V.) 576
Хопф (Hopf H.) 57, !25, 128 315,
316, 337, 553
Хыопт (Hewitt E.) 127, 164, 576
Цнппин (Zippin L.) 121,
577
127, 565,
Чассар (Csaszar A.) 240, 577
Чспмеп (Chapman T. A.) 48, 76 577
Чех (Chech E.) 47 130 139 ' 140
313, 577
Читк-нден (Cliittenden) 245 577
Чода (Choda H.) 76. 577
Шаудер (Schauder J.) 501. 551, 562,
t 5''77
Шварц (Schwartz L.) 549, 577
Шснфлис (Schonflies A.) 524, 577
Шеффер (Scheeffer L.) 524, 577
Шипит (Schmidt J.) 212, 555, 577
Шнейдер В. Е. 489, 577
Шнирельман Л. Г. 551 563
Шоке (Choquet G.) 168. 212, 489, 578
Шпернер (Sperner E.) 318, 578
Шпильранн-Марчевский (Szpilrajn-
Marczewski Ё.) 33 86 94 95 99,
101, 264, 370. 396, 471 530, 532,
535, 537 538, 541 542. 564, 568,
578
Шредер (Schroder E.) 17, 578
Штейнгауз (Steinhaus H.) 431, 550,
554, 578
Эйленберг (Eilenberg S.) 36, 301, 567,
573
Энгелькинг (F.ngelking R.) 164, 190,
345, 379, 578
Эрдёш (Erdos P.) 311, 578
Юнг (Young W. Н.) 52, 60, 82, 260,
267, 353, 455, 576, 578
Янпшевскнй (Janiszewski S.) 73, 578
Янковский (Jankowski A.) 551, 556

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию . , . 5
Предисловие к первому тому 7
ВВЕДЕНИЕ 9
§ 1. Операции логики и теории множеств 9
I. Алгебра логики. II. Алгебра множеств. III. Функции выска-
высказываний. IV. Операция Е. V. Бесконечные операции на мно-
множествах. VI. Семейство всех подмножеств данного множества.
VII. Идеалы. Фильтры.
§ 2. Прямое произведение множеств 14
I. Определение. II. Свойства прямого произведения. III. Оси,
координаты, проекции. IV. Функции высказываний многих пе-
переменных. V. Связь между операторами Е и V. VI. Умножение
на ось. VII. Отношения. Факторсемейство. VIII. Конгруэнт-
Конгруэнтность по модулю идеала.
§ 3. Отображения. Упорядочения. Кардинальные и порядковые
числа . 20
I. Терминология и обозначения. II. Образы и прообразы.
III. Операции над образами и прообразами. IV. Коммутативные
диаграммы. V. Многозначные отображения. VI. Множества
одинаковой мощности. Кардинальные числа. VII. Характери-
Характеристические функции. VIII. Обобщенное прямое произведение.
IX. Примеры счетных произведений. X. Упорядочение. XI. Впол-
Вполне упорядоченные множества. Порядковые числа. XII. Миоже-
ство X а, XIII. Обратные спектры и их пределы. XIV. (с/?)-опе-
(с/?)-операция. XV. Решето Лузина. XVI. Применение к канторову
дисконтинууму 1?.
ГЛАВА 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 44
§ 4. Определения. Операция замыкания 44
I. Определения. II. Геометрическая интерпретация. III. Правила
топологического исчисления. IV. Относительное замыкание,
V. Логический анализ системы аксиом.

Оглавление 589
§ 5. Замкнутые и открытые множества . 49
I. Определения. II. Операции. III. Свойства. IV. Относительно
замкнутые и относительно открытые множества. V. Множества
типа Fa и Ой . VI. Борелевскне множества. VII. Покрытие
пространства. Измельчение. VIII. Хаусдорфовы пространства.
IX. ^-пространства. X. Регулярные пространства. XI. База и
подбаза.
§ 6. Граница и внутренность множества СО
I. Определения. II. Некоторые формулы. III. Связь с замкну-
замкнутыми it открытыми множествами. IV. Теорема аддитивности.
V. Отделимые множества. VI. Двойственность между опера-
операциями замыкания и взятия внутренности множества.
§ 7. Окрестность точки. Локализация свойств 66
I. Определение. II. Необходимые и достаточные условия.
III. Сходящиеся фильтры. IV. Локализация. V. Локально
замкнутые множества.
§ 8. Всюду плотные, граничные и нигде не плотные множества . . 71
I. Определения. II. Необходимые и достаточные условия.
III. Операции. IV. Разложение границы. V. Множества, откры-
открытые по модулю нигде не плотных множеств. VI. Относитель-
Относительные свойства. VII. Локализация. VIII. Замкнутые области.
IX. Открытые области.
§ 9. Точки накопления 81
I. Определения. II. Необходимые и достаточные условия.
III. Некоторые формулы. IV. Дискретные множества. V. Мно-
Множества, плотные в себе. VI. Разреженные множества.
§ 10. Множества первой категории 86
I. Определение. II. Свойства. III. Теорема единственности.
IV. Относительные свойства. V. Локализация. VI. Формулы раз-
разложения.
§ 11. Множества, открытые относительно множеств первой катего-
категории. Свойства Бэра 92
I. Определение, II. Общие замечания. III. Операции. IV. Не-
Необходимые и достаточные условия. IV а. Теорема существова-
существования. V. Относительные свойства. VI. Свойство Бэра в узком
смысле. VII. (сЛ)-операция.
§ 12. Знакочередующиеся ряды замкнутых множеств 10!
I. Формулы общей теории множеств. II. Определение. III. Тео-
Теоремы отделимости. Разложение в знакочередующийся ряд.
IV. Свойства остатка. V. Необходимые и достаточные условия.
VI. Свойства разложимых множеств. VII. Вычеты. VIII. Вы-
Вычеты трансфинитного порядка.

590 Оглавление
§ 13. Непрерывность. Гомеоморфизм 108
I. Определение. П. Необходимые и достаточные условия.
III. .Множество D(f) точек разрыва. IV. Непрерывные отоб-
отображения. V. Относительные свойства. Сужение. Ретракция.
VI. Веществениозиачные функции. Характеристические функ-
функции. VII. Взаимно однозначные непрерывные отображения.
Сравнение топологий. VIII. Гомеоморфизм. IX. Топологиче-
Топологические свойства. X. Топологический ранг. XI. Однородные мно-
множества. XII. Приложения к топологическим группам. XIII. От-
Открытые- отображения. Замкнутые отображения. XIV. Отобра-
Отображения, открытые и замкнутые в данной точке. XV. Взаи"но
непрерывные отображения
§ 14. Вполне регулярные пространства. Нормальные прос:рапстг.а ¦ 126
I. Вполне регулярные пространства. II. Нормальные простран-
пространства. III. Системы множеств, подобные в комбинаторном смыс-
смысле, в нормальных пространствах. IV. ДеЛсте-пелкные функции,
определенные на нормальных пространствах. V. Наследственно
нормальные пространства. VI. Совершенно нормальные про-
пространства.
§ 15. Прямое произведение Х'У- 1/ топологических пространств . 143
I. Определение. П. Проекции и непрерывные отображения.
III. Действия над прямыми произведениями. IV. Диаго,,лль.
V. Свойства отображения /, рассматриваемого как подмноже-
подмножество пространстваi&АЪ' . VI. Горизонтальные и вертикаль-
вертикальные сечения. Цилиндр на множестве Aczsl". VII. Инварианты
прямого пооизведения.
§ 16. Обобщенные прямые произведения 154
I. Определение. II. Проекции и непрерывные отображения.
III. Действия над прямыми произведениями. IV. Диагональ.
V. Инварианты прямого прои введения. VI. Пределы обратых
спектров.
§ 17. Пространство т'. Экспонстщиатьная топология 168
I. Определение. II. Основные свойства. III. Непрерывные много-
многозначные отображения. IV. Случай, когда пространство Л" ре-
регулярно. V. Случай, когда пространство „'?<." нормально.
VI. Связь пространства 2 со структурами и брауэровскнми
алгебрами.
§ 18. Полунепрерывные функции IS1
I. Определения. II. Примеры. Связь с действительными полу-
полунепрерывными функциями. Замечания. III. Основные свойства.
IV. Объединение полунепрерывных отображений. V. Пересече-
Пересечение полунепрерывных отображений. VI. Разность полунепре-
полунепрерывных отображений.
§ 19. Пространство разбиения. Фактортопология 192
I. Определение. II. Проекции. Связь с взаимно непрерывными
отображениями. III. Примеры и замечания. IV. Связь фактор-
топологии с экспоненциальной топологией.

Оглавление 591
ГЛАВА 2. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 197
А. Связь с топологическими пространствами. J?3 *-пространства .... 197
§ 20. „^^-пространства (в которых определено понятие предела) . . 197
5. Определение. II. Связь с топологическими пространствами.
III. Понятие непрерывности. IV. Прямое произведение ^-""-про-
^-""-пространств. У. Счетно-компактные „^'""-пространства. VI. Непре-
Непрерывная сходимость. Множество *У ' как J? ''-пространство.
\'П. Операции над пространствами 0/Л с Jy *-топологиен,
VIII Непрерывная сходимость я узком смысле. IX. Сходимость
Мура — Смита (основные определения).
§ 21, .Метрические пространства. Общие свойства 213
I. Определения. II. Топология в метрических пространствах.
III. Диаметр. Непрерывность. Колебание. IV. Число р {А, В).
Обобщенный шар. Нормальность метрических пространств.
V. Ограничивающее отображение. VI. Метризация прямого произ-
произведения. VII. Расстояние между двумя множествами. Простран-
Пространство B1*),,,. VIII. Вполне ограниченные пространства. IX. Эквива-
Эквивалентность между счетно-компактными и компактными метриче-
метрическими пространствами. X. Равномерная сходимость. Метризация
пространства СУ '¦ XI. Продолжение относительно замкнутых и от-
относительно открытых множеств. XII. Измельчение бесконечных
покрытии. XIII. Сб-множества в метрических пространствах.
XIV. Пространства близости. Равномерные пространства (основ-
(основные определения). XV. Псевдометрические пространства. XVI. Па-
Паракомпактность метрических пространств. XVII. Проблемы ме-
метризации.
§ 22. Пространства со счетной базой 247
I. Общие свойства. П. Метризация и введение координат. III. Се-
Сепарабельность пространства У . IV. Отождествление замкнутых
множеств. V. Произведение пространств со счетной базой. Мно-
Множества первой категории. VI. Произведения пространств со счет-
счетной базой. Свойство Бэра.
Б. Проблемы мощности 259
§ 23. Мощность пространства. Точки конденсации 259
I. Мощность пространства. II. Плотное подмножество. III. Точки
конденсации. IV. Основные свойства операции О. V. Разрежен-
Разреженные множества. VI. Объединения разреженных множеств.
VII. Точки порядка ш. VIII. Понятие эффективности.
§ 24. Мощность различных семейств множеств 263
I. Семейства открытых множеств. Семейства множеств, обладаю-
обладающих свойством Бэра. II, Вполне упорядоченные монотонные се-
семейства. III. Разложимые множества. IV. Производные множе-
множества порядка а, V. Логический анализ. VI. Семейства непре-

592 Оглавление
рывных функций. VII. Структура монотонных семейств замкну-
замкнутых множеств. VIII. Строго монотонные семейства. IX. Связь
строго монотонных семейств с непрерывными функциями.
X. Строго монотонные семейства замкнутого порядкового типа.
В. Проблемы размерности . . .' 282
§ 25. Определения. Общие свойства 282
I. Определение размерности. II. Размерность подмножеств.
III. Множество Е(п).
§ 26. Нульмерные пространства 286
I. База пространства. II. Теоремы редукции и отделимости. III.
Теоремы об объединении нульмерных множеств. IV. Продолже-
жение нульмерных множеств. V. Счетные пространства.
§ 27. Пространства размерности п 297
I. Теоремы об объединении. II. Отделимость замкнутых мно-
множеств. III. Разложение я-мерного пространства. Условие Dn.
IV. Продолжение n-мерных множеств. V. Размерностное ядро.
VI. Слабо «-мерное пространство. VII. Семейства, определяю-
определяющие размерность. VIII. Размерность прямого произведения.
IX. Непрерывные и взаимно однозначные отображения п-мер-
ных пространств. X. Замечания по поводу теории размерности
в применении к произвольным метрическим пространствам.
§ 28. Симплексы, комплексы, полиэдры 314
I. Определения. II. Топологическая размерность симплекса,
III. Приложения к задаче о неподвижных точках. IV. Приложе-
Приложения к кубам Эп и Э^ . V. Нерв системы множеств. VI. Отобра-
Отображения метрических пространств в полиэдры. VII. Аппроксима-
Аппроксимация непрерывных отображений отображениями к. VIII. Беско-
Бесконечные комплексы и полиэдры. IX. Продолжение непрерывных
функций.
Г. Счетные операции. Борелевские множества. В-измеримые функции . 343
§ 29. Нижний и верхний пределы . 343
I. Нижний предел. II. Правила действий. III. Верхний предел.
IV. Правила действий. V. Связь между пределами Li и Ls.
VI. Предел. VII. Относительные свойства. VIII. Обобщенная
теорема Больцано — Вейерштрасса. IX. Пространство [2х) l.
§ 30. Борелевские множества 352
I. Эквивалентность. II. Классификация борелевских множеств.
III. Свойства классов Fa и Оа. IV. Двусторонние борелевские
множества. V. Разложение борелевских множеств на непересе-
непересекающиеся множества. VI. Знакочередующиеся ряды борелевских
множеств. VII. Теоремы редукции и отделимости. VIII. Относи-
Относительно двусторонние множества. IX. Предельное множество дву-
двусторонних множеств. X. Локально борелевские множества.

Оглавление 593
сЖ-операция Монтгомери, XI. Вычисление классов с помощью
логических символов. XII. Приложения. XIII. Универсальные
функции. XIV. Существование множеств класса Ga не являю-
являющихся множествами класса Fa. XV. Проблема эффективности.
§ 31. 5-пзыеримые отображения 382
I. Классификация. II. Необходимые и достаточные условия.
III. Суперпозиция функций. IV. Сужения функций. V. Функции
многих переменных. VI. Сложные функции. VII. График отобра-
отображения f'-S"->^/. VIII. Предел функций. IX. Аналитическое пред-
представление. X. Теоремы Бэра о функциях первого класса.
§ 32. Функции, обладающие свойством Бэра 408
I. Определение. II. Необходимые и достаточные условия. III. Опе-
Операции над функциями, обладающими свойством Бэра. IV. Функ-
Функции, обладающие свойством Бэра в узком смысле. V. Связь с ме-
мерой Лебега.
ГЛАВА 3. ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 415
§ 33. Определения. Общие свойства 415
I. Определения. II. Сходимость и фундаментальные последова-
последовательности. III. Прямое произведение IV. Пространство Bх)т.
V. Функциональное пространство. VI. Полная метризация
Ой-множеств. VII. Пополнение метрического пространства.
§ 34. Последовательности множеств. Теорема Бэра 422
I. Коэффициент о-(А). II. Теорема Кантора. III. Приложение
к непрерывным функциям. IV. Теорема Бэра [1]. V. Приложения
к множествам типа О6 . VI. Приложения к множествам типа
Fa и Об. VII. Приложения к функциям первого класса.
VIII. Приложения к теоремам существования.
§ 35. Продолжение функций 432
I. Продолжение непрерывных функций. II. Продолжение гомео-
гомеоморфизмов. III. Топологическая характеризация полных про-
пространств. IV. Внутренняя инвариантность различных семейств
множеств. V. Приложения к топологическим рангам. VI. Продол-
Продолжение 5-измеримых функций. VII. Продолжение гомеоморфизма
класса (а, |3).
§ 36. Связь полных сепарабельных пространств с пространством
cV иррациональных чисел 448
I. (<А)-операция. II. Отображения множества <№ в полные про-
пространства. III. Взаимно однозначные отображения IV. Теоремы
разложения. V, Связь с канторовским множеством Ъ.

594 ' Оглавление
§ 37. Борелевские множества в полных сепарабельных пространствах 458
I. Связь борелевских множеств с пространством *\ II. Характе-
ризация борелевских классов множеств с помощью обобщенных
гомеоморфизмов. III. Разложение двусторонних множеств в зна-
знакочередующиеся ряды. IV. Малые классы Бореля.
§ 38. Проективные множеств;.' . . . . 464
1. Определения. П. Соотношения между проективными классами.
III. Свойства проективных множеств. IV. Проекции. V Универ-
Универсальные флнкцнн. VI. Теорема существования. VII. Инвариант-
Инвариантное гь. VII;. Проективные функции высказываний. IX. Инвариант-
Инвариантность проективных классов относительно просеивания через ре-
решето и относительно М) -операции. X. Трансфинитная индук-
индукция. X! Операции Хаусдорфа.
§ 39. Аналитические множества 489
I. Общие теоремы. II. Аналитическое множество как результат
(а'1)-операции. III. Перяая теорема отделимости. IV. Приложе-
Приложения к борелевекпм множествам. V. Приложения к 5-нзмеримым
функциям. VI. Вторая теорема отделимости. VII. Порядок значе-
значения 5-пзмеримой функции. VIII. Составляющие, или конститу-
конституанты. СЛ-множества. IX. Проективные классы функций вы-
высказываний, включающих переменные порядковые типы. X. Тео-
Теоремы редукции. XI. Функции классов А и СА.
§ 40. Вполне несовершенные и другие сингулярные пространства . , 523
I. Вполне несовершенные пространства. II. Пространства заве-
заведомо первой категории. III. ^-пространства. IV. Отображения.
V. Свойство К'. VI. 0-пространстпа. VII. v-пространства, сосре-
сосредоточенные пространства, свойство С. VIII. Связь со свойством
Бэра в узком смысле. IX. Связь \--прост;апстз с общей теорией
множес:в.
ДОБАВЛЕНИЕ 543
I. Некоторые приложения топологии к математической логике.
А. Мпстовский . ...¦,• • ¦ .... 543
II. О приложениях топологии к функциональному анализу. Р. Си-
корский . 548
Литература 552
Предметный указатель 580
Именной указатель 584