Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы: Учебник для вузов - Александров А.В., Лащеников Б.Я., Шапошников Н.Н.

Author: Александров А.В. Лащеников Б.Я. Шапошников Н.Н.
Tags: конструктивные элементы несущие конструкции теоретические основы строительства строительство математика геометрия строительная механика учебник для вузов
Year: 1983
Similar
Строительная механика летательных аппаратов
Металлические конструкции подъемно-транспортных машин
Расчетные модели сооружений и возможность их анализа
Вариационные методы в теории упругости и пластичности
Text
                    *
А. В. Александров, Б.Я.Лащеников,
Н.Н. Шапошников
СТРОИТЕЛЬНАЯ
МЕХАНИКА
ТОНКОСТЕННЫЕ
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
-
А. В. АЛЕКСАНДРОВ, Б. Я. ЛАЩЕНИКОВ
Н. Н. ШАПОШНИКОВ
СТРОИТЕЛЬНАЯ
МЕХАНИКА
ТОНКОСТЕННЫЕ
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ
СИСТЕМЫ
Под редакцией чл.-кор. АН СССР
А. Ф. Смирнова
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебника для студентов
строительных специальностей вузов
МОСКВА
СТРОЙИЗДАТ
1963
ББК 38.112
А 46
УДК 624.074—415(075.8)
Рецензенты: кафедра строительной механики Киевского ин-
женерно-строительного института (зав. кафедрой д-р техн, наук проф.
Г. В. Исаханов) и д-р техн, наук проф. Н. Н. Леонтьев (МИСИ
им. В. В. Куйбышева).
Александров А. В. и др.
А46 Строительная механика. Тонкостенные прост-
ранственные системы: Учебник для вузов/
А. В. Александров, Б. Я. Лащеников, Н. Н. Шапош-
ников; Под ред. А. Ф. Смирнова. — М.: Стройиздат,
1983. — 488 с., ил.
Книга является вторым разделом курса строительной механики и
посвящена, в основном, рассмотрению методов расчета тонкостенных
пространственных систем. Большое внимание уделено изложению ме-
тода конечных элементов. Освещены также методы приведения дву-
мерных задач к одномерным с использованием тригонометрических ря-
дов в форме метода перемещений. Даны сведения о расчете по пре-
дельному состоянию и решении геометрически нелинейных задач строи-
тельной механики.
Для студентов строительных специальностей вузов,
3202000000—380	ББК 38.112
А ---------------36—83
047(01)—83	6С1
АНАТОЛИЙ ВАСИЛЬЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ,
БОРИС ЯКОВЛЕВИЧ ЛАЩЕНИКОВ,
НИКОЛАЙ НИКОЛАЕВИЧ ШАПОШНИКОВ
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
Тонкостенные пространственные системы
Редакция литературы по строительным материалам и конструкциям
Зав. редакцией П. И. Филимонов
Редактор И. С. Бородина
Внешнее оформление художника Н. И. Максимова
Технические редакторы Н. Г. Алеева, Н. В. Высотина
Корректор В. А. Быкова
ИБ № 1941
Сдано в набор 30.11.82. Подписано в печать 18.01.83. Формат 84Х108’/з2. Бумага
типографская № 2. Гарнитура «Литературная». Печать высокая. Усл.-печ. л.
25,62. Усл. кр.-отт. 25,62. Уч.-изд. л. 25,78. Тираж 38 000 экз. Изд. № А.1.7338.
Заказ № 310. Цена 1 р. 10 к.
ГСП-4, Стройиздат, 101442, Москва, Каляевская, 23а
Владимирская типография «Союзполиграфпрома» при Государственном
комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной “орговли
600000, г. Владимир, Октябрьский проспект, д. 7
© Стройиздат, 1983
предисловие
XXVI съезд КПСС обратил особое внимание на меры по повы-
шению эффективности научно-исследовательских работ в области
строительства и ускорению внедрения результатов научно-исследова-
тельских работ в практику строительства. Главное направление для
практического внедрения результатов строительной механики — со-
вершенствование методов расчета и проектирования конструкций и
сооружений, снижение их материалоемкости и стоимости при одно-
временном обеспечении надежности и долговечности.
Совершенствование методов расчета и проектирования конструк-
ций, развитие автоматизации проектирования непосредственно свя-
заны с использованием ЭВМ. Поэтому методы расчета на ЭВМ со-
временных тонкостенных пространственных систем составляют в на-
стоящее время один из основных разделов строительной механики.
Предлагаемая книга является вторым разделом курса строитель-
ной механики и посвящена, в основном, изложению методов расчета
тонкостенных пространственных систем в соответствии с учебной
программой, утвержденной Министерством высшего и среднего спе-
циального образования СССР. При отборе материала авторы осно-
вывались на опыте преподавания этой дисциплины в Московском
институте инженеров железнодорожного транспорта.
Большое внимание уделено изложению современного универсаль-
ного метода расчета деформируемых систем — метода конечных эле-
ментов (МКЭ). Некоторые особенности этого метода и алгоритм его
реализации были рассмотрены в первом разделе курса «Строитель-
ная механика. Стержневые системы» на примере расчета стержневых
систем. Стержневым системам посвящены также главы 1—3 данной
книги, связывающие ее содержание, с содержанием первого раздела
курса. В частности, приведены общие уравнения механики стержне-
вых систем, аналогичные соответствующим уравнениям теории упру-
гости. Рассмотрены вопросы использования статикогеометрической
аналогии и методы решения уравнений.
В отдельной главе изложены особенности расчета висячих и
комбинированных конструкций как геометрически нелинейных си-
стем. Приведены основные уравнения пространственной и плоской
пологой нитей как несущего элемента конструкции. Наряду с кон-
тинуальной (дифференциальной) формой этих уравнений даются
также их дискретные аналоги в виде алгебраических векторно-мат-
ричных соотношений. Изложены метод Ньютона и метод последо-
3
вательных нагружений, широко используемые при решении различ*
ных нелинейных задач строительной механики.
При изложении методов расчета тонкостенных систем авторы
не ставили перед собой задачу охватить все многообразие этих ши-
роко используемых в строительстве экономичных конструкций. Целью
содержания книги является рассмотрение основных методов, усво-
ив которые, читатель сможет знакомиться со специальной литерату-
рой по расчетам пространственных тонкостенных конструкций. На-
пример, широко используемый в расчетах различных тонкостенных
систем метод сведения двумерной задачи к одномерной путем при-
менения одинарных тригонометрических рядов излагается в книге
на примерах расчета цилиндрических складчатых систем и пологих
оболочек двоякой кривизны, часто используемых в конструкциях
покрытий строительных сооружений. Этой методике придана совре-
менная каноническая форма метода перемещений, свойственная ме-
тодам, ориентируемым на проведение расчетов на ЭВМ, которая род-
нит этот подход с МКЭ. Подобный подход без труда может быть
использован и при расчетах других типов тонкостенных конструкций,
в частности в расчетах осесимметричных пластин и оболочек.
Отдельная глава посвящена изложению основ вариационного
метода В. 3. Власова и проблемам его реализации на ЭВМ. Приве-
дены также основные понятия и теоремы предельного равновесия
упруго-пластических систем, даны сведения об использовании мето-
дов линейного программирования при определении предельных на-
грузок.
В книге получили отражение в основном широко распространен-
ные методы расчета по схеме недеформированного сооружения как
наиболее простые и доступные студенту. Но, как уже упоминалось,
во второй главе, а также при изложении метода конечных элемен-
тов существенное внимание уделено решению геометрически нели-
нейных задач строительной механики.
Вопросам устойчивости и динамики сооружений будет посвяще-
на третья книга.
Главы 2, 7, 8 и приложение 5 написаны А. В. Александровым,
главы 1, 3, 4, 5, 6 и приложения 1—4 — Н. Н. Шапошниковым, гла-
вы 9 и 10— Б. Я. Лащениковым.
Глава 1. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ФЕРМ,
АРОК И СВОДОВ
§ 1.1. Вводные замечания
В инженерной практике в качестве несущих конст-
рукций часто используются статически неопределимые
фермы, арки и своды. Особенностью работы статически
неопределимых ферм, арок и сводов по сравне-
нию со статически определимыми является то, что
усилия в них зависят от жесткости элементов. В этих
системах возникают усилия от температуры, осадки опор
и неточности изготовления отдельных элементов.
При расчете металлических ферм их узлы обычно
принимаются шарнирными, в результате чего все стерж-
ни такой идеализированной фермы работают на растя-
жение или сжатие. Широко применяемые железобетон-
ные фермы (рис. 1.1) имеют короткие стержни с большой
изгибной жесткостью. При расчете этих ферм необ-
ходимо учитывать как продольные силы, так и изгиба-
ющие моменты. Поэтому в расчетных схемах железобе-
тонных ферм узлы принимаются жесткими. Эти системы
обладают высокой степенью статической неопределимо-
сти.
Статически неопределимые арочные системы, облада-
ющие рядом конструктивных преимуществ по сравнению
со статически определимыми трехшарнирными арками,
также находят широкое применение в практике строи-
тельства. По характеру внешнего опирания различают
арки бесшарнирные и двухшарнирные (рис. 1.2). Бесшар-
нирные арки широко применяются в мостовых конструк-
циях (рис. 1.3). Арочные пролетные строения с ездой
понизу выполняют в виде внешне статически определи-
мых систем. Распор в таких системах воспринимается
затяжкой (рис. 1.4). Достоинством этой системы являет-
ся то, что в ней не будут возникать усилия от осадки
опор. Арки с затяжками могут быть трех видов: I) жест-
кая арка с гибкой затяжкой (если EJa где £7а —
жесткость арки на изгиб; EJ3 — жесткость затяжки на
изгиб); 2) гибкая арка с жесткой балкой (если EJa
£/3); 3) жесткая арка с жесткой затяжкой (если
EJa~EJ3).
5
Рис. 1.4
Рис. 1.6
В качестве несущих конструкций часто используются
сводчатые конструкции (рис. 1.5), которые являются
распорными системами и работают аналогично арочным.
В отличие от арки протяженность свода в направлении,
перпендикулярном, его плоскости, достигает больших
размеров. Для приближенного расчета свода на нагруз-
ку, постоянную вдоль направления, перпендикулярного
его поперечному сечению, из него выделяется полоса ши-
риной, равной единице (см. рис. 1.5). Своды и арки при-
ближенно рассчитываются как плоские системы, с той
разницей, что для арки рассматривается плоское напря-
женное состояние (о2=0), а для свода — плоское дефор-
мированное состояние (е2=0). Для учета этого обстоя-
тельства при расчете арок в качестве модуля упругости
следует принимать £, а для сводов £/(1—р2). Арки
и своды, используемые в качестве строительных конст-
рукций, рассчитываются обычно по формулам внецент-
6
Рис. 1.7
ренного сжатия прямого, а не кривого бруса, так как в
них h//?<l/5. В арках и сводах возникают значительные
продольные силы, и перемещения от действия этих сил
соизмеримы с переме-
щениями от изгиба. По-
этому при использова-
нии формулы Мора
следует учитывать два
слагаемых (деформа-
ции за счет М и N).
Сводчатые системы
широко используются
при конструировании
подземных сооружений,
основной нагрузкощ на
которые является дав-
ление вышележащих
Рис. 1.8
слоев грунта (рис. 1.6).
К подобным конструкциям относятся железнодо-
рожные тоннели, выработки специальных назначе-
ний, машинные залы подземных гидроэлектростанций,
подземные хранилища, оборонительные сооружения и
т. д. Иногда подземные конструкции выполняются в фор-
ме колец (тоннели метрополитена, гидротехнические тон-
нели и т. д.) или систем колец кругового очертания.
К таким конструкциям относятся, например, станции
метрополитена глубокого заложения (рис. 1.7). Эти кон-
струкции работают аналогично сводчатым. Станция мет-
рополитена является сложной пространственной конст-
рукцией, но для ее приближенного расчета выделяется
7
типовая секция (рис. 1.8), которая рассчитывается как
плоская система. Колонны при этом как бы «размазыва-
ются» на длину секции. При расчете подземных конст-
рукций следует учитывать работу окружающего грунта,
причем только в том случае, когда конструкция переме-
щается в сторону породы, и можно не учитывать, если
перемещения происходят в обратном направлении. Та-
ким образом, грунт является односторонней связью.
В качестве модели грунта наиболее часто используется
модель Винклера.
Для расчета ферм, арок и сводов могут быть исполь-
зованы метод сил и метод перемещений. Последний по-
лучил широкое распространение благодаря ЭВМ. В свя-
зи с тем, что фермы, арки и своды широко применяются
в инженерных сооружениях, на вопросах их расчета ос-
тановимся более подробно.
§ 1.2. Расчет статически неопределимых ферм
Рассмотрим расчет статически неопределимых ферм
по методу сил. Расчет начинается с определения степе-
ни статической неопределимости. Всюду в дальнейшем
предполагается, что исходные системы являются неиз-
меняемыми. Определим степень статической неопреде-
лимости для ферм, изображенных на рис. 1.9, по форму-
ле n=s—2 k, где k — число узлов фермы; $ — число стер-
жней, включая опорные: а) /г=14—12=2; б) п=39—
—38=1; в) zz=32—30=2; г) /2=40—36=4.
После определения степени статической неопредели-
мости выбирается основная система. Далее составляет-
ся система канонических уравнений (число которых рав-
но степени статической неопределимости), из которых
определяются лишние неизвестные (усилия в отброшен-
ных связях). Так как в шарнирных фермах возникают
только продольные силы, в формуле Мора при опреде-
лении единичных и грузовых перемещений сохраняется
только один член, зависящий от продольных сил N. Пос-
ле того как найдены лишние неизвестные, усилия в ос-
тальных стержнях находятся по формуле
N = N»+N1X1 + N'2X2+-.. + NnXn.	(1.1)
Рассмотрим последовательность расчета на примере дважды
статически неопределимой фермы, изображенной на рис. 1.9, а. На
рис. 1.10, а показана основная система. Распределенная нагрузка
8
заменена сосредоточенными силами P=qd~4q. Сосредоточенные си-
лы, приложенные к точкам 1 и 4 не показаны, так как эти силы не
вызывают усилий в ферме. Система канонических уравнений для
основной системы имеет вид
6nxi+fi12x2+Aip=°;
б2! Х1 + 622 Х2 +	= °’
Для вычисления единичных и грузовых перемещений определим
усилия в стержнях фермы от Х2 и нагрузки Р. Вычислим sina=
=3/5=0,6; cos a = 4/5=0,8.
Рис. 1.9
Вырезая узел 4 (рис. 1.10,6), определим Х3-4 и
2Х== —0,8Х2—Л^4=0; ^з_4 = -0,8Х2;
2У = Х1 + 0,6Х2 + Л/4_8 = 0;
Проводя сечение 1—1, получим
2 М3 = Xf4 + 0,6Х2-4 + Х7_8-3 = 0; Х7_8=—1,333 X, — 0,8 Xg;
2 Y =	+ 0,6X2 -	-0,6 = 0; Л3_8 = 1,667 X, + X2.
9
Проводя сечение 1—2t вычислим
2У=Х1 + О,6Х2~4^ + ^7 = о; ^7 = -^i~'0>6X2 + 4^
Проводя сечение 2—2, получим
2М7 = Xf4 - W2-3* 3 = 0;	Х2_3 = 1 ,333 Xt;
2 M2 = Xf8 - 4^.4 4- Хб_7.3 = 0;	= -2,667	+ 5,333 91
2 Y = Xt — 49— /V2_7-0,6 = 0;	X2_7 = 1 -,667Xt — 6,667q.
Проводя сечение 2—<3, определим ЛГ2-.в:
2Г = Х1-89 + Л/2_б = 0; N^^-X^Sq.
Проводя сечение 3—3, получим
2	= Xf 12-49-4-49- 8-HV5_6-3 = 0; Л/5_6 = - 4 Х± + 16 9J
2 Мб = Xf8 — 49-4 — Л\_2-3 = 0;	= 2,667 Х^-5,3339;
2У = Хх —49 —49—/V1_6-0,6 = 0;	1,667X^-13,333 9-
Полагая в приведенных формулах Xi = l, Х2=0, 9 = 0, получим
усилия во всех стержнях от Xj = l. Аналогично могут быть найдены
усилия от Х2= 1 и нагрузки. Процесс получения коэффициентов ка-
нонических уравнений удобно проводить в табличной форме (табл.
1.1).
После того как найдены коэффициенты канонических уравнений,
составляем систему
(376,535X1 4-56,741 Х2— 1383,284 q = 0;
(	56,741 Xi 4-61,6 Х2 —36 9 = 0.
Решая систему (1.2) относительно Xi и Х2, получим
PG!	Г 0,003084 —0,0028411 Г1383,284] Г 4J641
|xj	L—0,002841	0.018850J 4 [ 36 J “ [—3,251] Ч'
Имея значения лишних неизвестных, вычислим усилия во всех
стержнях фермы по формуле (1.1) (см. столбцы 7, 13, 14, 15
табл. 1.1).
Рассмотрим далее построение линий влияния в фермах. Анало-
гично расчету фермы на заданную нагрузку первоначально необхо-
димо построить линии влияния лишних неизвестных. Усиленная
цепью ферма, показанная на рис. 1.9,6, является однажды стати-
чески неопределимой системой. Основная система показана на рис.
1.11, а. Узлы цепи находятся на кривой, описанной уравнением
квадратной параболы. Вычислим ординаты у2 и уз. Уравнение квад-
ратной параболы в осях х, у имеет вид
9 = а*2.	(1.3)
При х=12, 9=6. Подставляя эти значения в (1.3), получим 6=
=а-122, откуда а=1/24, и уравнение квадратной параболы будет
иметь вид у =	х2.
10
№ стерж- ня	I	EF	i EF		N,		№ i i	n2 l
							EF	EF
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1—2	4	1	4	2,667	0	—5,333g	28,452	0
2—3	4	1	4	1,333	0	0	7,107	0
3-4	4	1	4	0	—0,8	0	0	0
5-6	4	1	4	—4	0	16g	64	0
6—7	4	1	4	—2,667	0	5,333g	28,452	0
7-8	4	1	4	-1,333	-0,8	0	7,108	4,266
4—8	3	1	3	—1	-0,6	0	3	1,8
2—6.	3	0,2	15	—1	0	8g	15	0
3—7	3	0,2	15	—1	—0,6	4g	15	9
1—6	5	0,2	25	1,667	0	—13,333g	69,472	0
2-7	5	0,2	25	1,667	0	—6,667g	69,472	0
3—8	5	0,2	25	1,667	1	0	69,472	41,675
4-7	5	0,2	25	0	I	0	0	0
S'							376,535	56,741
Таблица 1.1
	2 N I 2	Mq '	Ms MQ I	Ml Xi	Ma xs	N
EF	EF	EF			
10	11	12	13	14	15
0	—56,892g	0	11,105?	0	5,772?
0	0	0	5,551?	0	5,551?
2,56	0	0	0	2,601?	2,601?
0	—256g	0	— 16,656?	0	—0,656?
0	—56,892?	0	—11,105?	0	—5,772?
2,56	0	0	-5,551?	2,601?	—2,95?
1,08	0	0	—4,164?	1,951?	—2,213?
0	—120g	0	-4,164?	0	3,836?
5,4	—60?	—36?	—4,164?	1,951?	1,787?
0	—555,653?	0	6,941?	0	—6,392?
0	—277,847?	0	6,941?	0	0,274?
25	0	0	6,941?	—3,251?	3,69?
I25	0	0	0	—3,251?	-3,251?
! 61,6 1	—1383,284?	-36?			
Рис. 1.11
Подставляя х2=4 и х3 = 8, получим ординаты узлов шарнирной
цепи:	-^-4» = 0,6667; й=-^-8* = 2,6667.
Вычислим длины стержней:
Zj_2 = V42+0,66672 = 4,0552;
/2_3 = V4® 4-(2,6667 — 0,6667)2 = 4,4721;
/д_4 = У 4а + (6 — 2,6667)2 = 5,2068.
12
Вычислим значения тригонометрических функций углов ai,
a3:
sincq - 0,6667/4,0552 = 0,1644; cos a* = 4/4,0552 = 0,9864;
sin a2 = 2/4,4721 =0,4472; cos a2 = 4/4,4721 = 0^8944;
sin as = 3,3333 /5,2068 = 0,6402; cos a3 = 4/5,2068 = 0,7682.
Каноническое уравнение для основной системы, изображенной
на рис. 1.11, с, имеет вид 6иХ]+61р = 0.
Для построения линии влияния используем кинематический
метод
=	(1-4)
где 6pi — линия прогиба верхнего пояса фермы от Х\=1. Для
определения коэффициента 6ц вычислим усилия в цепи от Xi = l.
Вырезая узел 1 (рис. 1.11,6), получим 2У=2 Ni~2 sin си—1=0;
AG-2 =3,0414.
Вырезая узел 2 (рис. 1.11, в), будем иметь
S X = —	2	C0S	ai "Ь ^2—3 C0S a2 ~	^2—3 ~ 3 * 3542.
2У = — Af2_6 + ^_3sina2 — Л/,_2 sin	= 0;	W2_6=l,0.
Вырезая узел 3 (рис. 1.11, г), получим
2 X = — N3 4 cos ag + Л2_3 cos a2 = 0;	N3_4 = 3,9052;
2 Y — — Af3_7 + /V3 4sin a3 — N2_3sin a2 = 0;	/V3_7=l,0.
Отрезая цепь от фермы, получим, что при действии силы Xi = l
ферма будет загружена единичными силами (рис. 1.11,6). Исполь-
зуя метод упругих грузов, построим эюру прогибов dpi (см.
рис. 1.11,е). Подобная эпюра прогибов при qd=\ построена в
[49, §45].
Коэффициент 6ц равен 611=64 +64, где 6П—перемещение
по направлению Xi за счет деформации элементов фермы; 6П —
то же перемещение за счет деформации элементов цепи и подвесок.
Для вычисления 64 необходимо перемножить эпюру продольных
сил от нагрузки, показанной на рис. 1.11,6, саму на себя. Резуль-
тат перемножения равен работе внутренних сил на действительных
перемещениях. Но работа внутренних сил равна работе внешних.
Подсчитывая работу внешних сил, будем иметь
,	( 165,167	289,722\	341,611	1251,389
611 “ V’ EF "I"1* ЕР EF ”* EF
Для определения 64 необходимо выполнить перемножение
эпюр по элементам цепи и подвескам:
6" = -0 [12-3 + 2(3,0414М,0552 + 1М,6667+3,3542М,4721 +
EF
4-12-5,6667+ 3,90522.5,2068)] =-^356,131.
13
Итак,
6П=1607.52-
tr
Деля все ординаты эпюры прогибов 6pi на 6ц в соответствии
с (1.4), получим л. в. Xi (рис. 1.11, ж). Имея линию влияния лиш-
него неизвестного, можно по формуле (1.1) построить линию влия-
ния усилия в любом стержне фермы.
Построим линии влияния усилий Л^э-ю (рис. 1.11, и) и Л/в—9
(рис. 1.11, л). Линии влияния усилий Л/g? . 10 и Л/6—9 в основной си-
стеме показаны соответственно на рис. 1.11, з и 1.11, к. Эти линии
влияния строятся по правилам построения линий влияния в стати-
чески определимых фермах (цепь при действии подвижной силы
Р=1 в основной системе не работает). Для получения ординат ли-
ний влияния составим табл. 1.2.
Таблица 1.2
№ Точки	MU-1O	Wg—io	N9-10	MU-9	Mi-9	Л'б—9
т	0,4444	—0,5477	-0,1033	0,2778	—0,0856	0,1922
6'	0,8889	—0,9611	—0,0722	0,5556	—0,1502	0,4054
5	1,3333	—1,1333	0,2	0,8333	—0,1771	0,6562
6	1,7778	—0,9611	0,8167	—0,5556	-0,1502	—0,7058
7	0,8889	—0,5477	0,3412	—0,2778	—0,0856	—0,3634
Статически неопределимая ферма, изображенная на рис. 1.9, в,
является дважды статически неопределимой. Основная система для
нее показана на рис. 1.12, а. Запишем систему канонических урав-
нений:
611^1 + б12\+61Р = 0;
в21*1 + б22Ха+а2Р = °-
Решая систему, получим
X = — Д-1 бр;	(1.5)
где 6pi — линия прогибов нижнего пояса фермы от Aj = l; 6р2—
линия прогибов того же пояса от Х2=1.
Используя метод упругих грузов, построим эпюры прогибов
6pi и 6р2 (см. рис. 1.12, б, в). В [49, § 51] построена матрица по-
датливости А для фермы, изображенной на рис. 1.12, а. Эпюры про-
гибов 6pi и 6р2 соответствуют 3-му и 5-му столбцам матрицы Л.
На эпюрах выделены значения единичных коэффициентов 6ц,
14
6i2, Sis- Подставляя значения 6ц, 612, 622, 6pi, 6р2 в уравнение (1.5),
получим ординаты л. в. Xt и Х2 (рис. 1.12, г, д):
[213,8328
153,1959
Г 0,01669
[—0,01677
153,19591—1
152,4831
—0,016771
0,02340] Х
6Р1
6р2
Г91,8463 168,2661
[б!,3497 114,9861
213,8328 200,8692 153,1959 82,38291
153,1959 168^2661 152,4831 85,8831]
Г 0,504	0,880 1 0,531 0 —0,0651
[—0,105 —0,131 0 0,569 1	0,62в]’
Рис. 1.12
Имея линии влияния лишних неизвестных, можно по
(1.1) построить линию влияния усилия в любом стержне
фермы.
Для расчета ферм с жесткими узлами удобно исполь-
зовать метод перемещений. На рис. 1.13, а показана, фер-
ма с жесткими узлами, загруженная сосредоточенными
15
силами, приложенными в узлах. Учитывая симметрию,
при расчете можно рассматривать половину фермы, на-
ложив по оси симметрии связи, препятствующие поворо-
ту и горизонтальному смещению (рис. 1.13,6). Горизон-
тальные перемещения системы, изображенной на рис.
1.13, а будут отличаться от аналогичных перемещений
системы, изображенной на рис. 1.13,6, на величину пере-
мещения фермы как жесткого целого, так как в первом
случае точка А не имеет смещений по горизонтали, а во
втором—-не смещаются точки, лежащие на оси симмет-
рии. Учитывая это жесткое перемещение, можно легко
найти горизонтальные смещения для системы на рис.
1.13, а, если известны смещения узлов системы, на рис.
1.13,6. Усилия в обоих случаях будут одинаковы, так
как их величина не зависит от жесткого смещения. Алго-
ритм расчета по методу перемещений подробно описан
в [49, § 77—81]. Основная система метода перемещений
(рис. 1.13, в) получена из заданной путем наложения
угловых и линейных связей. В качестве неизвестных при-
няты горизонтальные, вертикальные и угловые переме-
щения узлов фермы. Сечения стержней фермы примем в
виде прямоугольников, тогда EJ=bh3/12; EF=bh\ EF —
= (12/A2)£J при /i=0,25 м, EF=192£7.
Расчет фермы проведем на ЭВМ «Наири» с исполь-
зованием программы метода перемещений [51]. Вводя
в машину исходные данные по ферме и вектор узловой
нагрузки, получим эпюры моментов и продольных сил.
На рис. 1.13,г показана эпюра моментов. На этом же
рисунке приведены значения продольных сил в каждом
из элементов фермы (обведены кружками). В числите-
ле каждой дроби указаны значения, полученные из опи-
санного выше расчета с учетом жесткости узлов, в зна-
менателе—аналогичные значения, которые могут быть
получены из расчета фермы с шарнирными узлами.
Учет жесткости узлов не приводит к существенным
изменениям величин продольных усилий. Тем не менее
в ряде случаев он необходим, так как возникающие из-
гибающие моменты могут привести к значительному
увеличению нормальных напряжений в крайних волок-
нах.
§ 1.3. Расчет статически неопределимых арок
Первоначально остановимся на выборе основных
систем для расчета арок. Для двухшарнирной арки на
16
Рис. 1.14
Рис. 1.13
рис. 1.14, а первый вариант основной системы представ-
ляет собой криволинейную балку (рис. 1.14,6), второй—
трехшарнирную арку (рис. 1.14,в). При втором вариан-
те работа основной системы ближе к работе заданной, в
результате чего алгоритм расчета будет более устойчив
по отношению к ошибкам округления. Однако при вто-
ром варианте построение эпюр внутренних сил более
трудоемко, чем при использовании первого варианта ос-
новной системы. Чем меньше пологость арки f/l, тем
больший распор возникает в арке, т. е. тем большее
влияние оказывают на арку продольные силы. Влияние
ошибок округления увеличивается с уменьшением поло-
гости арки, поэтому для очень пологих арок может быть
рекомендован второй вариант основной системы. В ос-
тальных случаях может быть использована основная
система, показанная на рис. 1.14,6.
На рис. 1.15 изображена симметричная бесшарнирная
арка и три варианта основных систем для ее расчета.
17
Рис. 1.15
Первый вариант (рис. 1.15, б) получен из заданной пу-
тем разреза посередине. При этом система каноничес-
ких уравнений будет иметь вид
А1Х1 + Й22Х2 + Д2Р = °;
«зз*з + дзр = 0.
Во втором варианте (рис. 1.15, в) неизвестные пере-
несены в упругий центр, в результате чего система кано-
нических уравнений распадается на три независимых
уравнения:
611Х1 + Д1Р=0;
 *22*24-д2р = 0:	О-6)
К*з + ^со-
положение упругого центра в симметричных арках
не зависит от величины продольных сил, так как при
действии Х1 = 1 продольные силы равны нулю. В поло-
гих арках продольные силы оказывают наибольшее влия-
ние на коэффициент 622, причем это влияние будет тем
большим, чем меньше пологость. Поэтому влияние про-
дольных сил можно учитывать только в этом коэффици-
енте. На коэффициент бц продольная сила влияния не
оказывает, а на коэффициент б33 это влияние тем мень-
ше, чем меньше пологость арки,
18
Основная система, показанная на рис. 1.15гв, нашла
широкое распространение при расчете арок. Основная
система в виде трехшарнирной арки (рис. 1.15, г) не
получила широкого распространения при расчете сим-
метричных бесшарнирных арок, так как построение эпюр
внутренних сил в этой системе сложнее, чем в консоль-
ной. На рис. 1.15, д, е показаны два варианта основных
систем для расчета несимметричной бесшарнирной арки.
Канонические уравнения для обеих основных систем
имеют вид
<L7>
При расчете пологих арок с использованием основной
системы, изображенной на рис. 1.15,3, коэффициент 63з
может на несколько порядков отличаться от других глав-
ных коэффициентов. При решении системы каноничес-
ких уравнений этот коэффициент как бы «поглощает»
влияние остальных членов. При решении системы урав-
нений с применением калькулятора приходится исполь-
зовать плавающую запятую. Поэтому для расчета не-
симметричных пологих арок может быть рекомендована
основная система, изображенная на рис. 1.15, е.
Иногда при расчете арок на неподвижную, нагрузку
боковые шарниры ставят в местах, где предполагаются
нули в окончательной эпюре моментов. При таком под-
ходе основная система будет наиболее близка по своей
работе к заданной. Однако построение эпюр внутренних
сил в такой системе является более трудоемкой задачей.
Приведенные выше соображения по выбору основных
систем относятся к расчету с использованием логариф-
мической линейки и калькуляторов. При использовании
ЭВМ, ввиду высокой точности, консольная основная сис-
тема (рис. 1.15,3) дает хорошие результаты. При ис-
пользовании ЭВМ целесообразной основной системой
является такая, в которой наиболее просто строятся эпю-
ры внутренних сил. Ось арки является криволинейной,
поэтому для определения перемещений по Мору возни-
кает проблема вычисления определенных интегралов.
Эти интегралы в большинстве случаев не выражаются в
элементарных функциях, поэтому при практических рас-
четах криволинейная ось арки заменяется вписанным
19
Рис. 1.16
многоугольником, для которого интегралы Мора вычис-
ляются по обычным правилам: либо по правилу Вереща-
гина, либо по формуле перемножения трапеций, либо по
формуле Симпсона.
Для пояснения процесса расчета рассмотрим бесшарнирную ар-
ку, изображенную на рис. 1.16, а. Сечение арки примем в виде пря-
моугольника. Тогда EF= (12/Л2)£У; при Л=1 м EF=12EJ. В оо
20
новной системе, изображенной на рис. 1.16,6, лишние неизвестные
перенесены в упругий центр. Основная система аналогична приве-
денной в [49, § 61]. Координата упругого центра г/о=2,2 м. Длины
элементов, на которые разбита ось арки, будут:
Zj_2 = Кб2+ 3,3332? = 6,864 м; 12_2 = Иб2+2г =
= 6,324 м; 1^ = К 62 + 0,6672 = 6,036 м.
Вычислим значения тригонометрических функций, которые по-
требуются в последующих расчетах:	~~
sin = 3,333/6,864 = 0,486; cos 04 = 6/6,864 = 0,874;
sin а2 = 2/6,324 = 0,316; cos а2 = 6/6,324 = 0,949;
sin а3 = 0,667/6,036 = 0,110; cos а3 = 6/6,036 = 0,994.
Далее построим единичные - и грузовые эпюры моментов
(рис. 1.16, в, г, д, е) и вычислим значения продольных сил. При этом
эпюры моментов отлажены со стороны растянутых волокон. Про-
дольные силы от Xt = l равны нулю. Для построения остальных
эпюр необходимо спроектировать силы Х2=1 и Х3=1 и нагрузку на
направление осей элементов, на которые разбита ось арки. Проекции
сил Xt=l и Х2=1 ргвны вычисленным выше синусам и косинусам.
С использованием этих величин вычисляются продольные силы и
от нагрузки. Значения продольных сил выписаны на рис. 1.16, г, д, е
рядом с соответствующими элементами. При этом в качестве поло-
жительной принята сжимающая продольная сила.
Представим значения коэффициентов канонических уравнений в
виде сумм:
б17 = б^ + С Д,₽=Д^+ДЙ>;
Д$ — соответственно значения единичных и грузовых коэф-
фициентов, возникающих за счет изгиба; 6^-,	— то же, за счет
продольной силы.
Перемножая эпюры моментов, получим
= 77 38,448; А" =-/- 1080,22?;
C.J	C.J
6д = ~7 125,509; Д& = —1528,73?;
Д^>= 7714316 >05’-
F.J	C.J
Перемножая эпюры продольных сил и учитывая, что EF=12EJ, бу-
дем иметь
= ^-2,817;	=	4,503?;
= 77 0,388; Д* ^-2,114?.
C.J	CJ
21
Из сопоставления выражений видим, что наибольшее влияние
продольная сила оказывает на значение коэффициента 62г. На зна-
чения остальных коэффициентов продольная сила практически не
влияет, поэтому ее можно учитывать только в этом коэффициенте.
Система канонических уравнений для арки имеет вид (1.6). Вычис-
лим значения лишних неизвестных:
Ai = — 1080,22 <7/38,448 = — 28,095 q\
Х2 = 1524,23 <7/128,326= 11,912 г?;
Х3 = — 14316,05 <7/4337,28 = — 3,3 <?;
28,095”
11,877
X = q
3,3 _
Далее выполняем расчет в матричной форме. Для получения
ординат окончательной эпюры моментов и значений продольных сил
воспользуемся формулами
Жр = Л1®+ О; NP = N°P + NX.	(1.8)
Построим далее матрицы Mt X и векторы Мр и Np . Для по-
строения воспользуемся эпюрами моментов и значениями продоль-
ных сил, приведенными на рис, 1.17 (методику построения этих
матриц см. в [49, § 64]:
3,8
0,467
—1,533
—2,2
— 1,533
0,467
.3,8
— 18-
—12
—6
0
6
12
18
—_144—
—72
— 18
0
0
0
0
0,874
0,949
0,994
0,994
0,949
0,874
0,486”
0,316
0,110
—0,110
—0,316
—0,486_
”5,832”
2,844
0,33
0
0
_0
;^ = 9
Строками матрицы М и вектора Л1р являются значения момен-
тов в сечениях 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 от 1, Х2=1, ^з=1 и нагрузки;
—	-*о
строками матрицы N и вектора N'p —значения продольных сил в
элементах 1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6, 6-7 от тех же воздействий. Подстав-
ляя М, N и Л1р, Np соответственно в (1.8), получим
11,372”
1,241
11,688
1,965
—9,920
—5,958
13,827_
NP = q
14,6q8
13,072
11,772
12,168
12,314
11,984
Эпюра моментов и значения продольных сил приведены на рис. 1.16, а*
22
Построим далее линии влияния моментов и продольных сил. На
рйс. 1.17 показаны грузовые эпюры, соответствующие положениям
силы Р=1 в точках 2, 3, 4, 5, 6. Перемножая эти эпюры с единич-
ными, получим матрицу грузовых столбцов

1
EJ
20,592
—55,372
329,472
80,748	177,984
—139,45 —175,306
1136,952 2168,64
80,748	20,5921
—139,45	—55,372 .
— 1136,952 —329,472]
(1.9)
Деля первую строку матрицы на
6ц, вторую на 622» третью на 633 и меняя
знаки на обратные, получим матрицу
Рис. 1.17
Рис. 1.18
Г—0,5356
0,4305
—0,0760
—2,1002 —4,6292 —2,1002
1,0867	1,3661	1,0867
—0,2621 —0,5	0,2621
—0,53561
0,4305
0,0760]
(1.Ю)
Х =
Строками этой матрицы являются ординаты линий влияния
лишних неизвестных Х2, Х3. Для построения линий влияния мо-
ментов и продольных сил воспользуемся формулами:
Мр = М?>+Мх; Np=N°p + Nx.	(1.11)
Построим линии влияния моментов и продольных сил в сече-
ниях 1, 2, 3, 4 (в сечениях 5, 6, 7 линии влияния аналогичны).
Строками матриц Л1р, М р являются ординаты линий влияния в
сечениях 1, 2, 3, 4, соответственно, в основной и окончательной си-
стеме. Строками матрицы Л1 являются значения моментов в сече-
23
виях 1, 2, 3, 4 от Xi = l, Х*=1,-Хз=*1. Аналогично расшифровывают-
ся значения матриц, входящих во вторую формулу (1?Н). Построим
матрицы, входящие в правую часть формул (1.11), используя эпю-
ры, изображенные на рис. 1.16 и 1.17:
1 —18 О О’
—12 0 0 .
—6 0 0 »
ООО
0,486 0 01
0,316 0 0 к
0,110 О 0J
Подставляя М, N, A1J, N р X в формулы (1.11), получим
3,8
0,467
—1,533
—2,2
—18
—12
—6
О
—6
О
О
О
—6
О
О
_ ГО 0,874 0,4861
JV— О 0,949 0,316 ; 2Vp =
|0 0,994 0,110
0,486
О
О
0,486
0,316
О
М =
—1
—1
—1

Мр =
—2,461	—1,053	0,820	1,512	0,804
1,649	—0,247	—0,733	—0,538	—0,175
0,332	2,007	—0,465	—1,138	—0,580 ’
—0,412	—0,291	1,624	—0,291	—0,412_
_ ГО,825	1,308	1,437	1,077	0,4131
Np = 10,385	1,264	1,454	1,114	0,432 .
[0,419	1,051	1,413	1,109	0,436,
Строки полученных матриц и представляют собой ординаты
л. в. в сечениях 1, 2, 3, 4. JI. в. моментов и продольной силы Л;2-з
показаны на рис. 1.18. Загрузим эти линии влияния нагрузкой q в
соответствии с рис. 1.16, а:
Мр =
”—2,461
1,649
0,332
—0,412
—0,580
—0,175
0,804
—1,053
—0,247
2,007
—0,291
—1,138
—0,538
1,512
0,820	1,512	0,804“
—0,733	—0,538	—0,175
—0,465	—1,138	—0,580
1,624	—0,291	—0,412
—0,465	2,007	0,332
—0,733	—0,247	1,649
0,820	— 1,053	—2,4б1_
			“ 11,241-	
X	СОСО СО	Я~	1,266 11,643 1,89	
	0 _0_		9,963 —5,952 13,944_	

*0,825
0,385
0,419
0,436
0,432
0,413
1,308
1,264
1,051
1,109
1,114
1,077
1,437
1,454
1,413
1,413
1,454
1,437
1,077
1,114
1,109
1,051
1,264
1,308
0,413-
0,432
0,436
0,419
0,385
0,825_
~з-
6
“ 14,634-
13,101
11,802
12,201
12,342
_12,012
Я-
Полученные результаты близки к ординатам эпюр, приведенных
на рис. 1.16, а.
Далее рассмотрим расчет арки с учетом жесткого присоедине-
ния надарочного строения (рис. 1.19). Надарочное строение пред-
ставляет собой систему балок и стоек, жестко соединенных между
24
Рис. 1.19
собой и с аркой. Примем сечения
всех элементов в виде прямоуголь-
ников. Ширина арки и ширина
балки приняты одинаковыми, ши-
рина стойки составляет 1/10 ши-
рины. арки; Ла=1 м; Лб=0,7 м;
/1ст=0,5 м, где Ла—высота сечения
арки, Ле — высота сечения балки,
Лет—высота сечения стойки. Тогда
12
EFa = EJa — 12£Va;
hl
Рис. 1.20
bh3	h36 bh3a
EJb = 7? = ч To = °’73	= °-343 £Ja:
12	// 12
ria
12	12-0,73
EFe=^EJf>=EJa=8’4 EJ&’
.	1 bhCT 1 йст
CT IF TF = To
bh3B 1
— = — 0,53 EJa = 0,0125 Ea;
pp -pn,hh	г0,Ы2йст
EF— E 0,1 bh(yr — E	— 0,6 EJa,
Л3 12
,la
здесь EJa, EFa — жесткость арки; EJe, EF& — жесткости балки;
EJct, EFCT — жесткости стойки.
Для расчета используем метод перемещений. Фрагмент основной
системы метода перемещений и эпюра моментов в основной системе
от нагрузки q показаны на рис. 1.20, а. Равномерно распределенную
нагрузку заменим узловой (рис. 1.20,6). Расчет произведем на ЭВМ
«Наири» с использованием программы метода перемещений [51].
25
Вводя в машину исходные данные по арке и надарочному строению
и вектор узловой нагрузки, получим эпюры от узловой нагрузки.
Складывая их с эпюрами от нагрузки в основной системе, получим
окончательную эпюру моментов, приведенную на рис. 1.19.
§ 1.4. Расчет сводчатых конструкций,
находящихся в упругой среде
Конструкции, подкрепляющие подземные выработки,
носят название обделок. При расчете обделок из них
выделяется участок длиной 1 м. Если грунты являются
устойчивыми, то в качестве обделки используется свод,
опирающийся на породу (рис. 1.21,а).
Рис. 1.21
Рис. 1.2
В качестве вертикальной нагрузки, в зависимости от
глубины заложения и ширины выработки, либо прини-
мается вес вышележащих слоев, либо предполагается,
что над обделкой возникает естественный свод и в каче-
стве нагрузки принимается вес грунта, находящегося
между естественным сводом и обделкой. Вертикальная
нагрузка обычно принимается в виде равномерно рас-
пределенной.
На рис. 1.22 показана основная система для расчета
свода, изображенного на рис. 1.21, а. Построим добавоч-
ную матрицу и вектор грузовых членов за счет смеще-
ния опор. Эти величины следует добавить к матрице
податливости от деформаций свода. Деформации свода,
как указывалось в § 1.1, отличаются от деформаций
арки только заменой модуля Е на Е/(1—р2), и их
расчет подробно рассмотрен в § 1.3. Поэтому остановим-
26
ся далее на построении матрицы податливости от сме-
щения опор.
Будем предполагать, что по подошвам свода возни-
кают силы трения, которые препятствуют смещениям
пят сводов по грунту (рис. 1.21,6).
Построим матрицу податливости основания под пя-
той свода (рис. 1.21, в). Из условия равновесия на ось,
касательную к оси свода у пяты, имеем: 1=&&6П, отку-
да 6ц==1/(Л6), где k— коэффициент постели.
Составляя сумму моментов относительно центра тя-
жести пяты, получим
Id Ь 2 b	k&	с 12
1 = 7 7	- J J 2 ™ 1 = -J7 откуда 622 = — .
Окончательно матрица податливости будет
1	12
, где 6ц =	; 622 =	; 612 — 621 — О»
д*
L°21
Буквами X на рис. 1.22 обозначены лишние неизвестные
метода сил, буквами X' — силы, с которыми свод дейст-
вует на опоры. На том' же рисунке показаны силы воз-
действия свода на опоры, возникающие от нагрузки q<
Найдем связь между силами X и X':
Х^Х^Х2Г
Х2 = Х2 cos а
или Х( = V Xi
где
Г1 f 1 -> Гх*
[^0 cos a J Х2
Матрица податливости в базисе из сил Х2 будет
иметь вид Ао — Р71*1Л
Вычислим дополнительный грузовой столбец
утл*
Добавляя матрицу До и sin а от смещения опор к матри-
це податливости и грузовому вектору от деформации
свода, получим коэффициенты канонических уравнений
для расчета свода на сметающихся опорах,
27
В случае, если грунты являются неустойчивыми, об-
делка подкрепляет весь контур выработки. В этих слу-
чаях наибольшее распространение получили обделки
кругового и подковообразного очертаний (рис. 1.23). На
подобные конструкции помимо вертикальной нагрузки
часто действует и боковая нагрузка от породы или воды,
если обделка находится в грунтах, насыщенных водой.
Для расчета подобных об-
делок наиболее широкое
распространение получила
расчетная схема, предложен-
ная в 1936 г. инженерами
Метропроекта. При исполь-
зовании этой схемы так же,
как и при расчетах арок и
сводов, плавное очертание
оси заменяется вписанным
Рис. 1.23
многоугольником. Далее распределенные нагрузки заме-
няются сосредоточенными силами, приложенным в уг-
лах многоугольника, заменяющего ось обделки. Каждая
из нагрузок равна произведению интенсивности на сум-
му половин проекций элементов, примыкающих к углу
многоугольника (рис. 1.24, а),
Работа грунта, окружающего тоннельную обделку,
МЪделируется не связанными между собой пружинами
(винклеровскоеоснование). Каждая из пружин собирает
отпор с половин длин элементов, примыкающих к углу
многоугольника. Жесткость пружины при этом подсчи-
тывается по формуле
где b—ширина обделки (в соответствии со сказанным
выше b — 1). Размеры si и s2 пояснены на рис. 1.24,6.
Для упрощения рисунков податливые опоры будем изо-
бражать так, как показано на рис. 1.24, а. В местах, где
обделка перемещается от породы, связи не ставятся. Эта
зона называется зоной отлипания. При преобладающей
вертикальной нагрузке зона отлипания назначается в
верхней части обделки. Для уточнения зоны отлипания
28
используется метод последовательных приближений. Та-
ким образом, расчет обделки сводится к расчету рамы
в упругой среде с односторонними связями. Особенно-
стью расчета является то, что при определении переме-
щений помимо изгибающих моментов необходимо учиты-
вать продольные силы.
При расчете круговой обделки (рис. 1.25, а) заменим
круговое очертание вписанным 16-угольником (рис.
1.25,6), Будем предполагать, что на обделку действует
равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q.
Зону отлипания назначим в верхней части обделки в пре-
делах угла 2ф0-
Рассмотрим расчет по методу сил. В качестве основ-
ной системы примем трехшарнирную арку, опирающую-
ся на шарнирную цепь (рис. 1.26). Далее определим
внутренние сиы в трехшарнирной арке и цепи от нагруз-
ки q и единичных значений лишних неизвестных (Ао =
= 1, Х1 = 1,...,Л7= 1), Эпюры внутренних сил удобно
представлять в виде таблицы (табл. 1.3). В последней
строке приведена суммарная эпюра, соответствующая за-
гружению основной системы одновременно всеми лиш-
ними неизвестными, равными единице (Хо= 1	== 1).
При этом в основной системе возникает только эпюра
моментов, причем во всех сечениях М = 1. Значения N
и R равны нулю. Это обстоятельство можно использо-
вать для контроля правильности вычисления внутренних
усилий—сумма продольных сил и сумма реакций, соот-
ветствующих единичным состояниям, равна нулю, а.
сумма моментов равна единице. Для определения еди-
ничных и грузовых перемещений используются формулы^
29.
Рис. 1.26

Расчет обделки удобно проводить в матричной форме
[49, § 64], при этом исходные матрицы могут быть легко
построены с использованием табл. 1.3.
Схема обделки, изображенная на рис. 1.25,6, может
быть рассчитана с использованием не только метода сил,
но и метода перемещений [49]. При использовании ме-
тода перемещений число неизвестных возрастает при-
мерно в три раза, однако процедура нахождения коэф-
фициентов канонических уравнений стновится хорошо
алгоритмизированной. Поэтому этот метод нашел широ-
кое распространение при расчете обделок с применением
ЭВМ. При этом используется матрица жесткости для
стержня с учетом пружин, расположенных по его кон-
цам. Эти пружины имитируют работу винклеровского
основания. В углах многоугольника, вписанного в контур
30
Таблица 1.3
обделки, ставится не одна пружина, как это было при
использовании метода сил, а две (рис. 1.27, а). В даль-
нейшем пружины, имитирующие работу грунта, будем
изображать так, как показано на рис. 1.27,6. Метод пе-
ремещений может быть использован для расчета любых
стержневых систем, поэтому с его применением может
быть реализована и расчетная схема с одной пружиной,
поставленной по биссектрисе (аналогичная расчетной
схеме Метропроекта). Процесс формирования полной
матрицы системы канонических уравнений при этом не-
сколько усложняется.
Применение метода сил для расчета сложных много-
контурных обделок связано с построением достаточно
сложных единичных и грузовых эпюр в основной систе-
ме. Это обстоятельство приводит к сложному алгоритму.
Применение метода перемещений в этом случае по су-
ществу ничем не отличается от расчета одноконтурных
обделок, поэтому метод перемещений нашел широкое
Рис. 1.28
применение при расчете таких сложных конструкций, как
станции метрополитена.
На рис. 1.28, а изображена схема секции колонной
станции, приведены координаты углов многоугольника,
вписанного в контур обделки. При расчете принимались
различные коэффициенты постели для верхней (ki) и
нижней (k2) частей обделки. Жесткостные характеристи-
ки элементов имеют следующие значения: EJQ=
= 0,1008-104 кН-м2; EFo=0,952.105 кН; Е/к=0; EFK=
= 0,8039-105 кН.
На рис. 1.28,6 показаны эпюры внутренних сил (Af
и N). Все значения даны в пересчете на 1 м длины.
Г л а в а 2. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ВИСЯЧИХ
И КОМБИНИРОВАННЫХ СИСТЕМ
§2.1. Гибкая растянутая нить как несущий элемент
Пусть идеально гибкая невесомая нить длиной Lq за-
креплена в точках Л и В, причем LQ>AB (рис. 2.1,а).
До тех пор, пока к ней не приложена какая-либо внеш-
няя нагрузка, такая нить является геометрически изме-
няемой системой, ее форма неопределенна, что помечено
на рисунке пунктиром. Дело коренным образом меняется
как только к нити будет приложена некоторая нагрузка,
32
и она получит натяжение. Пусть это будет вертикальная
нагрузка, интенсивность которой q отнесена к единице
длины горизонтальной проекции нити. Найдем форму
провисания нити, определяемую ординатами У =
tg р, отсчитываемыми от прямой АВ.
В идеально гибкой нити изгибающий момент в любом
сечении К равен нулю. Воспользуемся этим и приравня-
ем нулю момент всех правых сил относительно точки К
MK^VB(l — x) — HY-q(a — х)2/2.	(а)
Здесь первые два слагаемые представляют момент ре-
акций и Sb относительно точки К. Сила Зв при под-
счете момента перенесена вдоль прямой АВ в точку, ле-
жащую на вертикали, проведенной через точку К. Тогда
момент относительно точки Л дает только горизонталь-
ная составляющая этой силы, т. е. распор Н с плечом У.
Последнее слагаемое — это момент от нагрузки q.
Равенство (а) можно записать короче, если заметить,
что все слагаемые, кроме члена (—HY), представляют
в сумме изгибающий момент в условной шарнирно опер-
той балке АВ, загруженной той же нагрузкой, что и
нить, который обозначим Мб=Фд(х) (рис. 2.1, б). Тогда
—HY-|-Л1б=0, откуда найдем
(2.1)
НН	v
Так как функция Мь=Фч(х) при заданной нагрузке
q известна, то равенство (2.1) определяет ординаты
провисания нити с точностью до множителя 1///. Равен-
ству (2.1) можно придать форму дифференциального
уравнения, если обе части его дважды продифференци-
ровать по х и учесть, что — Q'6 =—q и Y”=y”
Здесь нагрузка q может быть произвольной функцией от х.
Подчеркнем, что наше предположение о том, что ин-
тенсивность q отнесена к единице длины проекции нити
в принципе довольно существенно. Если интенсивность на-
грузки qs связана с длиной нити ds, то из равенства
Qdx~qsds найдем q=qsds!dx. Так как ds—dxV 1-^
+ (/)2, то q=qs V1 + (у')2.
33
Подставив это значение q в (2.2), получим более
сложное уравнение
Ну" + q, V 1 + (/)2 = о.	(2.3)
Например, для q —const решением уравнения (2.2)
будет квадратная парабола, поскольку функция Фч —
=Мъ, т. е. эпюра моментов в балке, как хорошо извест-
но, очерчена именно по этой кривой. Для /;s=const из
Рис. 2.1
Рис. 2.2
решения уравнения (2.3) получается кривая, называе-
мая цепной линией. Ее уравнение выражается через ги-
перболический косинус. Можно убедиться, что при ма-
лых стрелках провисания указанные две кривые очень
мало различаются.
В дальнейшем будем иметь дело с достаточно поло-
гими нитями, так что (р')2<С1 и qs~q, поэтому будем
считать справедливым во всех случаях уравнение (2.2).
Предположим теперь, что мы имеем висячую систе-
му с фиксированной величиной распора Н. Распор
создается нитью, перекинутой через блок, и подвешен-
ным грузом веса Н (рис. 2.2). Система имеет постоян-
ную нагрузку q и ординаты провисания ¥(х), связанные
равенством (2.1) с распором Н и нагрузкой q. Длина
панелей на рис. 2.2 может быть бесконечно малой, тогда
будет гладкой кривой. Для конечной длины пане-
ли это будет ломаная линия. Пусть такая система
догружается некоторой временной нагрузкой р, вслед-
ствие чего в системе возникнут перемещения w, v. Новое
34
положение системы схематически показано на рис. 2.2 в
предположении, что подвески не меняют своей длины,
т. е. вертикальные перемещения v одинаковы у нити и у
проезжей части. Для деформированного состояния со-
гласно (2.1) имеем
У-^=(Фд + Фр)/Н.	(2.4)
Вычитая из (2.4) равенство (2.1), найдем прогибы v
и = [Фр(х)]/Н,	(2.5)
где Фр=СМб)р — функция, выражающая изгибающие моменты в ус-
ловной шарнирно опертой балке от нагрузки р. Ее ординаты, оче-
видно, линейно зависят от р.
Равенство (2.5) показывает, что данная система ли-
нейно-«упруго» реагирует на приложение любой верти-
кальной нагрузки р. При этом прогибы v будут тем
меньше, чем больше натяжение Н, Распор Н играет
роль параметра жесткости висячей системы.
В современных висячих конструкциях покрытий со-
оружений, мостовых переходов или висячих трубопро-
водов используется для увеличения их жесткости повы-
шение натяжения нитей Н (рис. 2.3). В переходах боль-
ших пролетов (рис. 2.3, а) это усилие натяжения может
обеспечиваться большой нагрузкой собственного веса.
Для облегчения системы с той же целью может приме-
няться предварительное натяжение тросов, для чего по-
мимо несущего троса 1 в систему вводится напрягаю-
щий трос 2 (рис. 2.3,6). Покрытия могут иметь самую
разнообразную форму в плане: радиальная система или
система шатрового типа (рис. 2.3, в), двухпоясная ра-
диальная система с предварительным напряжением
(рис. 2.3, а), ортогональная сеть, очерченная по выпук-
ло-вогнутой поверхности с предварительным напряжени-
ем (рис. 2.3,6) и др. Для повышения жесткости помимо
увеличения натяжения Н стремятся уменьшить продоль-
ные перемещения и точек троса, что стесняет возмож-
ность изменения формы провисания кабеля под нагруз-
кой и повышает жесткость системы. В мостовых
конструкциях для этой цели применяют введение на-
клонных вант (рис. 2.3, е), прикрепление кабеля к бал-
ке жесткости. Особенно эффективно применение наклон-
ных подвесок (рис. 2.3,ж). В пространственных висячих
покрытиях с этой целью могут вводится фермы жестко-
сти, образуемые также из натянутых тросов (рис. 2.3, з).
Вернемся вновь к модели висячей системы с фикси-
35
рованным распором (см. рис. 2.2). «Упругая» отпор-
иость системы в данном случае создается исключительно
за счет изменения формы провисания нити, вследствие
чего в загруженном состоянии (<?+р) изменяются усло-
вия ее равновесия, которые надо составлять с учетом
Рис. 2.3
прогибов v [см. (2.4)]. Такой расчет называется рас-
четом по «деформированной» схеме или более кратко —
деформационным расчетом.
Как видим, висячая система с фиксированным распо-
ром Н обладает способностью «упруго» воспринимать
вертикальную нагрузку, но для ее расчета принципиаль-
но необходимо использование деформационного подхода.
Слово «упруго» здесь взято в кавычки, так как отпор-
пость системы достигается за счет изменения геометри-
ческой формы нити, а не за счет ее деформации.
36
(2.6)
(2.7)
(2.8)
При фиксированном распоре Н и малых перемеще-
ниях от приложения нагрузки р не возникало бы каких-
либо деформаций элементов нити. В действительности
дело обстоит сложнее, так как обычно горизонтальное
перемещение ив точки В либо упруго стеснено, либо
полностью устранено. По этой причине распор, ранее
равный Hq> при приложении нагрузки р изменяет свою
величину и становится равным сумме
Н - Hq 4- Нр.
Вместо равенств (2.1) и (2.4) теперь имеем
У = Фд/н^ У v — (ФдФр)/н.
Их разность дает
_ Фд-\-Фр Фд
v~ н ~н„ '
Равенство (2.8) показывает, что для определения про-
гибов v надо знать полный распор Я, который в свою
очередь зависит от прогибов, причем эта зависимость,
как мы увидим ниже, оказывается нелинейной. Поэтому
в целом весь расчет висячих систем по деформирован-
ному состоянию оказывается нелинейной задачей.
В следующем параграфе выводятся основные урав-
нения, определяющие напряженно-деформированное со-
стояние пологой нити как нелинейного элемента сис-
темы.
§ 2Л. Уравнения равновесия и деформации
пологой пространственной нити
Предположим, что в системе координат xyz дана
идеально гибкая упругая нить, пологая в направлении
оси х (рис. 2.4). Начальное состояние нити, показанное
на рисунке пунктиром, задано уравнениями в проекциях
на координатные плоскости хОу и xOz:
У о “ Уд ♦ г0 = z0 (*) •	(2-9)
В этом состоянии нить испытывает действие некоторой
распределенной нагрузки, составляющие интенсивности
которой обозначим qox, qoyf Цы, а распор нити Hq —
=Hq(x), Он будет переменным по длине нити ввиду на-
личия продольной нагрузки дОх.
Пусть в результате действия на нить дополнительной
нагрузки рх, ру, pz нить заняла новое положение, пока-
занное на рис. 2.4 сплошной линией. Составляющие пе-
37
ремещений вдоль осей x, у, z при переходе в новое по-
ложение обозначим соответственно и, и и w. Координа-
ты, суммарные нагрузки и распор в деформированном
состоянии теперь будут:
У (х) = у0 + v; ? (х) = + оу;
Ух = Уох 4" Рх> Уу = У оу 4” Ру*> Ух — Уог 4“ Рх>
/7 = #04-А//.	(2.10)
На состояние нити существенно влияет изменение тем-
пературы, поэтому будем считать, что при переходе в
новое положение температура нити получила прираще-
ние Д/°>0.
Рис. 2.4
Рис. 2.5
Составим уравнения равновесия элемента нити dx
в деформированном состоянии, рассматривая проекцию
элемента на плоскость хОу (рис. 2.5) и аналогичную
проекцию на плоскость xOz. Сумма проекций всех сил
элемента на оси х, у, z дает
dH	dQv	dQ?
+ — =0;	^ + -^-	= 0;	-^0.	(2.11)
dx	dx	dx
По рис. 2.5 заменим	Qy = н ~	= Hy'*t Qz = Hz',
после чего равенства (2.11) получают окончательный
вид искомых уравнений равновесия
<7х4“#' = О; qy + (Ну'У = 0; qz + (Hz'Y = 0.	(2.12)
Штрихом здесь и далее обозначено дифференцирование
по х.
Составим теперь геометрическое уравнение, связыва-
ющее относительное удлинение нити е и перемещения
и, v и w. Квадрат длины элемента нити до деформации
ds g и после деформации ds2 можно выразить так:
ds2 dx2+ dy% + dzfi;
ds?- = (dx 4- a‘w)2 4- dy2 4- dz2.
38
Вычтем из второй строки первую, заменив
ds2—dsg = (ds+ds0) (ds—ds0) ж 2 ds0Ads и (dx^du)2—
—dx2 — (2 dx-{~du) du. В результате после деления обеих
частей равенства на ds% получим
2 = [2— + —— + (—]2 — (—V 4- (—У — (— у
d$o \ dsQ ds0 / ds0 \ds0 /	^s0 /	/
Слева здесь стоит величина 2е. Справа заменим ds3 на
dx/cosq), где <р — угол наклона элемента dsQ к оси %.
Тогда
е cos'2 <р = (1 + Д- и') и' + Д- (ул - у‘1) + y (г '2 - г’$.
Количественно величина и' имеет порядок е и, следова-
тельно,	Пренебрежем этой величиной в первой
скобке, после чего окончательно получим
е cos-2<р = и' + -у (у'2 — у'2} 4- Д- (г'2 — z'g)	(2.13)
ИЛИ
ecos“~2<jp — и +y’ov -\-Zqw' +	+	(2.14)
Последнее равенство здесь получено путем подста-
новки y=yo+v и z=Zq-\-w в равенство (2.13).
Напишем теперь физическое соотношение по закону
Гука, с учетом температурного удлинения нити и прира-
щения продольной силы в нити A7V=A///cos ср
s = (A#/EFcos<p) 4- aAt°,	(2.15)
где а — коэффициент температурного расширения материала нити.
Уравнения (2.12) — (2.15) составляют все основные
уравнения, определяющие напряженно-деформирован-
ное состояние гибкой пологой нити. Как видим, дефор-
мация е, а следовательно, и распор А// нелинейно зави-
сят от прогибов v и ш, что и приводит в конечном счете
к нелинейности всей задачи в целом.
Из (2.13) и (2.14), интегрируя и' по х, найдем про-
дольные перемещения точек нити
X С dx u-u(0)4-oaM 2 4 J cos2 Ф 0	С J EF cos3 Ф 0
39
dx — -j- J(y/2 + ^'2) dxt
о
(2.16)
где и (0) —перемещение и при х=0.
То же выражение, очевидно, можно написать и по-
другому
и = и (0) + аД/с
kHdx
EF cos3
_ т J	_ у'°2+z‘ ~г»2)dx’
о
(2.17)
Выражение (2.16) показывает, что продольные пере-
мещения нити и зависят не только от ее упругих дефор-
маций, вызываемых приращением распора ДЯ, но и от
прогибов v и w. Последние влияют на перемещение и
в силу изменения формы нити. Это чисто кинематиче-
ские перемещения, причем зависимость и от прогибов
v и w здесь также нелинейная. Таким образом, источ-
ником нелинейности поведения висячих систем служат
как бы две причины: первая — нелинейная связь между
перемещениями и и v, w при кинематическом изменении
формы нити и вторая—упругое изменение величины
распора при нелинейной зависимости между деформаци-
ями и прогибами. Такое деление является, конечно, ус-
ловным, поскольку в реальной системе отмеченные фак-
торы взаимосвязаны. Но оно помогает лучше понять ра-
боту висячих систем. В частности, в так называемых ви-
сячих системах повышенной жесткости (см. рис. 2.3, е,
ж, з), как указывалось, введением наклонных подвесок
или вант стремятся стеснить продольные перемещения
и нити и свести к минимуму кинематические формоизме-
нения системы.
Заметим, что если опоры нити расположены резко
на различных уровнях, то ось х надо совместить с ее
хордой. В большинстве случаев по отношению к хорде
нити висячих конструкций не сильно провисают и могут
рассматриваться как пологие. Вертикальная нагрузка
при этом разлагается на составляющие в соответствии
с выбранными осями координат.
40
§ 2.3. Плоская нить
Рассмотрим важный частный случай плоской нити,
загруженной только вертикальной нагрузкой q(x)
(рис. 2.6). В этом случае /7 = const, AH=II—HC~const
и уравнения (2.11) — (2.13) приобретают вид
Ну" 4" <7 (х) = О	(2.18)
е cos”2 <р = и + -у (у'г — у'ц) = и + Уо Н- ~~ v'2; (2.19)
4- аДГ°.
(2.20)
Рис. 2.7
Перемещение и(1) будет
i	г
= и (0) + vaAf 14- р уу — Ус\ v' dx — -у J v* dx (2.21)
о	о
I
или «(/) = « (0) 4- va.A/° 14- и — -у J {у2 — y^dx. (2.22)
о
Здесь через ц и у обозначены безразмерные множители
L f dx
I J COS3(p *
I
1 C dx
I J cos2<p
0
(2.23)
Для квадратной параболы проф. В. А. Смирнов [48]
приводит следующие приближенное для р и точное для
v выражения
+Ttg2₽]tg2
41
-1 + т(-тТ + ^-
О \ 4 /
Так, для р==0 и ///=1/10	1,08 и v«l,05. Во многих
случаях приближенно принимают значения р, v, а также
cosq) в приведенных ранее формулах, равными единице.
Из формулы (2.22) следует, что если нить длиной L
из горизонтального положения переводится без деформа-
ций в положение пологой кривой у~у (х) (или наобо-
рот), то величина и(1), равная разности длин кривой L
и ее пролета I (проекции на ось х), будет (рис. 2.7)
i
= L—I =	у'2 dx.	(2.24)
о
Для определения новой линии провисания у(х) и
прогибов v=y—уо рассматриваемой нити (см. рис. 2.6)
следует интегрировать уравнение (2.18). Это, очевидно,
приведет к уже известному равенству (2.1), которое в
обозначениях данного параграфа запишется так:
r = // + xtgp = 0<7///; и=У-У0 = (Ф9/Н)-(Фъ/Н0). (2.25)
Единственное неизвестное здесь—распор Н=Н0-{-&Н.
Найдем его из условий м(0)=0; и(1)—01 что с учетом
(2.22) и равенств (2.25) дает
vaA/° I -р р
(Н-Яо)/
EF
Ф Ф \
-^—^)dx=0- (2-2б)
Преобразуя, получим кубическое уравнение относитель-
но распора Я
ЛЯ3 4- ВН* — С = 0,	(2.27)
I
где Л — р/ДЕТ7; В = I —dx — р ~~ 4- vaAZ0 I =
2 J Я§ EF
о
i
= Lo-l-(yHollEF) + va^l-, С = ~^Ф’’ах.	(2.28)
О
Так как Ф(х) =Мъ, то Ф'—Qq и интегралы в формулах
(2.28) можно вычислять путем «перемножения» эпюр
42
поперечных сил Qe в шарнирной балке от нагрузок qQ
Поэтому коэффициент В при ц=1
1 в уравнении (2.27) будет В —
— HqI/EF, причем H0=q0P/8f0. Найдем выражение для С
(2.28)
с-T.I
о
о
о
+ J	Qpdx.
О	о
Перемножив эпюры, изображенные на рис. 2.9, получим
C = (^Z3 + 3«0PZ2 + 3P2/)/24.
Введем_ относительные (безразмерные) величины P=PlqJ,. Н=
— Н/Но и f=f/f0. Тогда уравнение (2.27) путем деления его на Н20
приводится к виду
43
нг
^-(Н-0 + 4-1 -(^- + Р + ?‘) = °.
Sfl	3 J к 3	/
(2.30)
где e0 = H0/EF. Отсюда найдем
p = |/4- + T(//2-I) + S("-,)H2 ~Т-<2-31)
Стрелу провисания получим как балочный изгибающий момент
посередине, деленный на распор Н, что в безразмерной форме дает
7=///о = (1+2Р)/Н.	(2.32)
На рис. 2.8 сплошными линиями показаны зависимости ДЯ
и Л/ в функции от Р для нити с начальной стрелой провисания
ЬД=1/Ю и податливостью на растяжение, характеризуемой величи-
ной ео=О,ОО1. Пунктиром показаны те же зависимости, но для не-
растяжимой нити, для которой в (2.31) принято EF~oo и е0 —0.
Существенной на рис. 2.8 является нелинейная зави-
симость между силой Р и соответствующим ей прогибом
v=Af. Причем и для нерастяжимой нити, где все пере-
мещения определяются лишь изменениями формы нити,
эта зависимость также нелинейна. Так как нить обычно
взаимодействует с другими несущими элементами конст-
рукции, например с балкой (см. § 2.6), то распределение
суммарной поперечной нагрузки между нитью и балкой
будет зависеть от величины этой нагрузки и может быть
найдено из соответствующего нелинейного расчета.
Из рис. 2.8 следует, что растяжимость нити больше
влияет на зависимость v(P), чем на приращение распо-
ра ЛЯ. Если приближенно принять, что в уравнении
(2.27) EF~oo и 4=0, то для распора получаем
H^Vcis	(2.33)
В расчетах систем, где нить взаимодействует с дру-
гими элементами, удобно все расчетные уравнения для
нити выразить в дискретной форме через ее вертикаль-
ные перемещения v — [ць..., vn]T и узловые силы (рис.
2.10,а). Для этого прежде всего запишем соотношение
(2.1) в векторной форме
y = ‘77^6 = -^LTnPt	(2.34)
п	п
где К—[Fi, ..., Уп]г; P=[Pi, ..., 7>n]T, a Lm— матрица влияния мо-
ментов в шарнирно опертой балке (см. [49], §11).
Соотношение (2.34) является дискретным аналогом
равенства (2.1) или первого из равенств (2.25).
44
Составим теперь обратное соотношение, выражаю-
щее силы Р через ординаты Y или у. Из рис. 2.11 найдем
поперечные силы Ti—H(yt—yt-\)ld для i-ro шарнирно-
го звена, наклоненного относительно направления дейст-
Рис. 2.10
вия сил Н. Суммарная узло-
вая сила Pi шарнирной цепи
будет
Р = Т +тж=--------------н.
а
(2.35)
Очевидно, что величины tji
здесь можно заменить на соот-
ветствующие ординаты У/, так
как разности в приведенном
выше выражении от этого
не изменятся. В векторной фор-
ме соотношение (2.35) запишется
Рис. 2.11
так:
Р = НТу^ HTY;
(лХл).
(2.36)
Соотношение (2.36) является дискретным аналогом
уравнения (2.18). Действительно, множитель при Н в
(2.35) представляет величину второй производной
(—у"), выраженную в конечных разностях. Матрица Т
имеет простой механический смысл. Растянутая цепь ло-
маного очертания стремится выпрямиться. Для удержа-
45
ния ее в равновесии в узлах полигональной кривой надо
приложить силы Р, которые получаются с помощью мат-
рицы Т. Вектор (—Р) можно трактовать как силы, с
которыми действует растянутая цепь на связи, удержи-
вающие цепь в положении, отклоненном от прямой. Их
условно называют «возвращающие» силы растянутой
цепи. В случае сжатой цепи их называют «толкающие»
силы цепи. Сам вектор Р тогда будет представлять реак-
ции в упомянутых связях.
Матрица Т уже встречалась ранее (см. [49, § 12), где
она обозначалась через U. Там же было показано, что
она является обратной к Lm. Равенство T—L~l (2.37)
в данном случае следует из сопоставления (2.34) и
(2.36).
Если на рис. 2.10, а принять за Ро—вектор началь-
ных узловых сил, а ДР— вектор дополнительных сил,
вызывающих прогибы и, то из (234) получим
v — Т Yq — Lm Р	L mP q
Подставив сюда Р=Р0+ДР, найдем
ИЛИ
v- и LmbP-
°= “77	—	?о-
(2.38)
(2.39)
Соотношения (2.38), (2.39) выражают податливость
нити, несущей грузы Ро при действии дополнительных
сил ДР.
Умножив (2.38), (2.39) на матрицу T=L~1, найдем
вектор ДР=/?, выражающий реакции в связях, получив-
ших принудительные перемещения v (рис. 2.10,6),
—	->	-> ли -*
R = bP = HTv-Y-—P0
или
Я = ДР = НТ V + ДРТГ0 = HTv 4- ЬНТуь
(2.40)
(2.41)
46
Эти равенства выражают жесткость предварительно на-
груженной нити, отвечающую прогибам v.
К соотношениям податливости и жесткости нити от-
носительно вертикальных перемещений v надо доба-
вить в дискретной форме выражение горизонтального
перемещения u (Z), служащего для определения распора
Н или Д#. На основании (2.21) получим
\И1
и{1) = и (0) + vaA/° I + j.i'——
hr
n-H	n+1
- d yot Y v'i f	(2.42)
i=l	i=l
где величины
v'i = (°г -	Уы = (.‘Jot ~ yo,l-i)/d	(2-43)
представляют тангенсы углов наклона участков ломаных
кривых и(х) и уо(х). Последние слагаемые можно выра-
зить через векторы yQ и v, что после простых преобразо-
ваний дает
НО = и(0) 4-vaAf / + р	(2.44)
hr	£
Заметим, что так как (r/J Т) = (Л/о)т, то предпос-
леднее слагаемое в (2.44) можно написать в виде
(yoTv) = (fy„)Tv.	(2.45)
Приведенные выражения податливости и жесткости
нити в сочетании с формулой для и(1) позволяют состав-
лять расчетные уравнения по методу сил, перемещений
или смешанному методу для различных систем, в кото-
рые нить входит как элемент конструкции. Далее будут
рассмотрены примеры составления таких уравнений для
некоторых систем.
§ 2.4. Плоская и пространственная система нитей
Составим уравнения для расчета вантовой двухпояс-
ной безраскосной фермы (рис. 2.12). Пояса, очерченные
по квадратным параболам, имеют начальное натяжение
#oi и #02, которые связаны соотношением
/foi. Это соотношение получается из условия, что интен-
сивность усилий в стойках у верхнего и нижнего поясов
47
одинакова ^01 = ^02» каждая из которых через распор
выражается равенством qG=8foHo/l2. Число подвесок
будем считать бесконечно большим, а сами подвески —
нерастяжимыми. Предполагаем, что нити на концах име-
ют упругие горизонтальные связи с жесткостью С] (0),
Ci(/) и С2(0), С2(/). Такими упругими связями могут
служить, например, оттяжки (см. рис. 2.3, а, б).
За неизвестные примем прогибы и(х) и приращения
распоров, которые обозначим \H\~Xx и &Н2=Х2,
Очертание поясов до приложения нагрузки р(х) будет
^oi V01 х (I - х)//2; у02	4/02 х (I - х)//2.	(2.46)
После приложения нагрузки их очертание получим в ви-
де суммы	и t/02+u = t/2. Уравнение (2.18) в
деформированном состоянии для нитей-поясов получит
вид
Я1^ + <71(Ч^0; Я2^4-92(х) + р(х) = 0,
где д2=—<71 — интенсивность усилий в подвесках в деформированном
состоянии (рис. 2.13).
Складывая обе эти строки, получим первое из приводи-
мых ниже уравнений:
я, (г/м + (г/ад + о + р Ю = 0;	(2.47)
I	I
6U A't — J^01 v dx — -у J ( v’)2 dx = 0;	(2.48)
о	0
I	t
622 X2 - j ^02	- Y J ( "T dx = °‘	(2.49)
0	0
Здесь Z/i = Z/oi+A'i; H2=HQ2+X2, а последние два урав-
нения (2.48), (2.49) записаны с использованием равенст-
ва (2.21) и выражают условия совместности деформации
упругих опор и нитей. Они могут быть получены, если в
равенстве (2.21), например для первой нити, положить
Д/°=0, щ (0)=X!/Ci(0) и W1(/)=— XJC^l). Каждое
из уравнений (2.48), (2.49) выражает, как в методе сил,
условие отсутствия суммарного перемещения по направ-
лению лишнего неизвестного и Х2. Соответственно че-
рез би и 622 в этих равенствах обозначены величины:
И/1	1	1
= ТГ +	;	= 1 ’2) ‘	(2 50)
/ С/ (°) Ci W
48
Система (2.47) — (2.49) составляет искомые нелиней-
ные уравнения, из которых могут быть определены неиз-
вестные и(х), Х[ и Х2. Нелинейность ее выражается в
том, что в равенстве (2.47) содержатся произведения не-
известных Xiv"+X2v"t а в уравнениях (2.48), (2.49) —
квадраты v'.
Рис. 2.12
Рис. 2.13
Запишем те же урав-
нения, но в дискретной
форме. Вместо распреде-
ленных величин v(x),
Уо(х), Р(х) будем теперь
рассматривать векторы v,
Рис. 2.14
г/о, Р в соответствии с ос-
новной системой, изобра-
женной на рис. 2.14. Суммарные реакции в дополнитель-
ных опорах основной системы от первой и второй нитей,
а также от нагрузки должны быть равны нулю
^ + ?2 + ^р = 0.
Заменяя R\ и R2 с помощью равенства (2.41) и учиты-
вая, что RP~—Р, получим первое из уравнений:
Tv + Хг T^oi ч- Н2 Tv + Х2 Ту02—~Р = О
или
(Hi 4- Я2) Tv 4- Xi Tyoi + Х2Ту02 - Р = 0;	(2.51)
- ( 7>oi)T v+611 Xi ~~ ( »т Т = 0;	(2.52)
- (	+ 622 Хг - ~ О Tv) = 0.	(2.53)
49
Последние два уравнения составлены с использованием
равенства (2.44).
В данном случае, поскольку f/Oi и //02 очерчены по
квадратным параболам (2.46), величина второй произ-
и	—*
водной у о =const. Поэтому значения Туо во всех узлах
будут одинаковые:
(ту^У = (8/ш d//2) [ 11 ... П](пХ1)=Т1ет;	(2.54)
(г%2)Т=-(8/02<1/12)[11 ... 11](пх1) —
где е — вектор-столбец, состоящий из п единиц; yj—3fod!l\
Уравнения равновесия (2.51) и совместности дефор-
маций (2.52), (2.53) можно записать в канонической
форме уравнений смешанного метода, если воспользо-
ваться обозначениями, принятыми в этом методе для
линейных систем
^zz : _^zx_ z 1	Г
. Axz : Ахх J L X J	I —ЛНел.
(2.55)
где Z = V, X--= [X, Х2]т ; Rp =- Р;
Rzz^^ + HJT-, Rzx=- А?г = [7>01;	(2.56)
Ахх = [е“в221; Анел =	[ 1 ]'
Особенность уравнений (2.55) состоит в том, что в них
матрица жесткости Rzz зависит от неизвестных X, так
как //1 = //о1+Х1, //2=//02+Х2, что делает уравнения
равновесия нелинейными за счет произведения RzzZ.
Уравнения совместности деформаций нелинейны за счет
членов Днел, присоединенных в (2.55) к вектору грузово-
го столбца. Решение их возможно лишь приближенное.
Для этого применяют один из методов итераций. Ис-
пользуют также так называемый способ последователь-
ного догружения системы, на котором остановимся позд-
нее. Целесообразно комбинированное применение спосо-
ба последовательных догружений и итераций.
Решение системы (2.55) можно свести к уравнениям,
явно содержащим Xi и Х2 как два основных нелинейных
50
параметра системы. Для этого найдем вектор Z из пер-
вой строки (2.55) и подставим его во вторую строку этих
уравнений:
2=-«Й(лР + ₽гхх);	(2.57)
АххX - Axz Rz'z [rp + Rzx X) - Дяел = 0.	(2.58)
Так как R^ =[1/(Hi-\-H2)]Lm и Lm Т=Е (единичная
матрица), то (2.57), (2.58) дают такие равенства:
7 <2'59>
6-Х-“ (W.. + W,
Х2 ег у02 ) Анел ~ 0;
б22 Х2 -	"
(Лох-Г /У02“ГЛ1"Г А2) \
(2.60)
где Мр — вектор «балочных» моментов от нагрузки Р.
Произведения ет на векторы Мр, yQit yQ2 есть числа, рав-
ные сумме компонент соответствующего вектора,
?Мр = 2 MFi< ^т~Уо 2 Ущ 
1=1	1=1
Через Днел обозначена нелинейная часть «(/), равная
Днел = у FTZ.	(2.61)
Если (2.61) подставить в (2,60), получим два нелиней-
ных уравнения, содержащие только и Х2.
Рассмотрим числовой пример (рис. 2.15). Пусть /=40 м, foi=fo2 =
=3м, Fi = 6cm2, F2=4cm2, £=200 ГПа, //0=Ю0кН. Исследуем зави-
симость Xi и Х2 от величины силы Р, которые будем измерять в ки-
лоньютонах. Величины 6циб22 (2.50) определяем от Xi и Х2, равных
1 кН. При отсутствии упругих опор они будут 6ц = 1/30 И б22=
= 1/20 см/кН.
Векторы Мр и i/oi=—Уо2=Уо ввиду симметрии выпишем только
до половины пролета:
51
Рис. 2.15
Л1р = Р[250; 500; 750; 1000; ... ]т (кН-см);
yj = [131,25; 225 ; 281,25 ; 300; ...]т(см).
Равенства (2.59) — (2.60) получают вид (у1 = уа =0,075)
? = -2Оо41 + ^-(**ГЛ^1:
1	300Р— 118,125 (Хх — Х2)
30 * Х1 ~	200 ч- Х1 + х2	нел ~~ ’
1 у , ЗООР — 118,125 (Хх — Х2)	_
2()2'	200 + Х1 + Х2	нел
где
500Р2 _ 161,25Р (Хх — Х2) + 4,4295 (Хх — Х2)2
(200 + X, + Х2)2
(а)
(б)
(в)
(Г)
Решение этих уравнений относительно Xi и Х2 облегчается, если
пренебречь нелинейной частью и(1), т. е. принять Днел = 0. Тогда из
(б) и (в), перенеся вторые слагаемые в правую часть и поделив
одно равенство на другое, найдем XJX2 = —3/2. После чего любое
из этих уравнений сводится к квадратному уравнению относительно
Xi или Х2. Результаты такого решения показаны пунктиром в ок-
52
рестности начала координат на графике рис. 2.15. Сплошными линия-
ми показаны зависимости (Р) и Х2(Р) с учетом слагаемого Днел.
Последние были получены так. Сложив (б) и (в), найдем
Xi — 60Диел 1,5Х2,	(д)
после чего из уравнения (в) получим квадратное уравнение, содер-
жащее веЛИЧИНу Днел,
- (12212,5 - 140Днел) Х2 - 12000Р + 291500Дн +2400Д2ел = 0. (е)
Процесс приближений при определении Х{ и Х2 можно вести для
любого фиксированного значения нагрузки Р Однако в некоторых
случаях этот процесс может быть расходящимся при неудачном за-
дании начального приближения. Поэтому вычисления велись с пос-
тепенным увеличением нагрузки Р (последовательным загруженном).
Приняв, например, Р = 5 кН и Днел^О, по формулам (е), (д) на-
ходим Х2 и Xf. После чего по равенству (г) вычисляем Днел. Затем
процесс повторяется. В результате двух приближений с достаточной
точностью было получено Х{ — 9,21 кН, Х2 = —3,08 кН, ДНел ==
= 0,0766 см.
Далее силе Р дается приращение, например, Р = 5+5 = 10 кН,
значение Днел принимается по результатам предыдущей ступени на-
гружения и вновь путем итераций находится решение. Способ по-
следовательного догружения в сочетании с итерационным методом
в общем виде рассмотрим в дальнейшем (см. § 2.5).
Обратим внимание на то, что пренебрежение Днел в данном слу-
чае недопустимо, что можно заключить из сравнения пунктирных
линий (Днел = 0) и сплошных кривых на рис. 2.15. Взаимодействие
нитей существенно зависит от Днел. Как видим, усилие Н2 — Яо+
+ Х2 в нижней нити мало меняется с ростом силы Р, а при Р>
>20 кН даже возрастает. В общем случае степень влияния ДНРЛ
зависит от схемы загружения, начальных усилий натяжения и соот-
ношения дополнительной и начальной нагрузки системы.
На рис. 2.15 над схемой загружения показана эпюра вертикаль-
ных прогибов Z при Р=10 кН, вычисленных по равенству (а).
В качестве примера пространственной системы нитей
рассмотрим ортогональную предварительно напряжен-
ную сеть. На рис. 2.16, а показан фрагмент сети в плане,
а на рис. 2.16, б — в аксонометрическом изображении.
Будем считать, что в пересечении нитей гарантировано
лишь соединение в вертикальном направлении, а вдоль
нитей возможно некоторое проскальзывание, что схема-
тически изображено на рис. 2.16, в. Внешние нагрузки в
узлах Pi примем вертикальными. Начальные аппликаты
узлов сети обозначим го, а после приложения внешних
сил Pi—z. Вертикальные перемещения узлов будем обо-
значать либо Wi, либо как в методе перемещений, Zr-.
Составим уравнение равновесия i-ro узла в виде сум-
мы проекций всех сил узла на ось г. Для одиночной ни-
ти это уравнение выражается равенством (2.35). Запи-
53
тем его отдельно применительно к нитям, пересекаю-
щимся в точке i (рис. 2.16, а),
Рис. 2.16
Силы Лх и Piy — это части суммарной узловой силы
Pit воспринимаемые соответственно нитью, параллельной
оси х и оси у. Составив сумму Pi=Pix-\-Piyi получим
нужное уравнение
Pi = 2(^f +^)г*-^(гк+гт)-^(г1+гп)- (2'62)
Составление таких уравнений для всех узлов сети
особенно просто, если воспользоваться операторным изо-
бражением правой части этого уравнения, показанным
на рис. 2.17. Этот оператор аналогичен конечно-разност-
ному гармоническому оператору V2=d2/dx2+d2/dy2.
Поэтому обозначим для краткости оператор на рис. 2.17,
выражающий правую часть уравнения (2.62) через
и запишем это уравнение в виде
V«(2-^ = 0.	(2.63)
54
Попутно заметим, что если считать число нитей очень
большим и заменить d\y d2 на dx, dyy то уравнения
(2.62), (2.63) перейдут в дифференциальное уравнение
равновесия сплошной нитевой сети
d2z , д2г
Нх—+Ну — -р(х,У) = 0,	(2-64)
где Нх, Hv — интенсивность
распора в нитях в данной точ-
ке, т. е. величина распора на
ширине Дх = 1 и &у = 1 при
постоянных Нх и Ну, а
р(х,у) — интенсивность верти-
кальной распределенной на-
грузки, отнесенная к единице
площади плана сети.
Если внешняя нагрузка
Pi отсутствует [р (х, у) =
=0], то сеть находит-
ся только под действием
начальных натяжений
Рис. 2.17
РР и уравнения (2.62), (2.63) получат вид
(rjO	rjO \	rjO	Г/0
п xi	** ui 1	п xi	11 ui
-7- + -7-hoi-^ (гок + *om) - -f- (го1 + Zon) =0, (2.65)
“1	«2 /	“1	«2
или в кратком виде
Vtf,-zo = O.
Вместо (2.64) будем иметь
дх2 у ду2
(2.66)
(2.67)
Эти последние уравнения определяют очертание началь-
ной сетевой поверхности, имеющей предварительные на-
тяжения.
Составим теперь уравнения равновесия сети так, что-
бы в них явно входили прогибы w. Для этого заменим в
(2.64) г=2о+^,	(индексы х и у здесь опус-
каем у Н и ДЯ) и вычтем из (2.64) равенство (2.66).
В результате получим
V(//c+A/7)i (20 +	~~ Pt —	~ °’
Поскольку Н в оператор входит линейно, то
А(н°+дн)1 =Vh/+v1hp поэтому окончательно имеем
zo~pi = 0,(i = l, , W).	(2.68)
55
Здесь представляет оператор, изображенный на
рис. 2.17, но в нем величины распоров Hxi и Hyi надо за-
менить на приращения распоров &Hxi и SHyi. Через N
обозначено общее число внутренних узлов сети.
Соотношения (2.68) выражают жесткость сети, име-
ющей начальные натяжения, по отношению к вертикаль-
ным прогибам Wi,
Перенумеруем все внутренние узлы сети определен-
ным образом. Наиболее удобно использовать последова-
тельную нумерацию узлов по коротким рядам сети. Обо-
значим прогиб в узле вместо Wi через Zz, как это приня-
то в методе перемещений. Тогда уравнения (2.68) можно
написать в виде
% “Ь^zz(^h) гоRp ~ 0*	(2.69)
где Рр =—Р\ Р —вектор узловых нагрузок; Z — вектор узловых про-
гибов; г0 — вектор начальных аппликат узлов сети.
Матрицы и Rzz(^h) строятся с помощью операто-
ров V 2Hi и VlHi (см. рис. 2.17).
Приращения распоров ДЯХ и ЛНУ в нитях предста-
вим как вектор лишних неизвестных X. Тогда RZz(^h)Z
=RzxX. Добавим к уравнениям (2.69) уравнения, вы-
ражающие условия совместности деформаций отдельных
нитей. В результате получим систему нелинейных урав-
нений смешанного метода, аналогичную (2.55),
Rzz(H°+x) z + #zx X + Rp ~
AXzz + AxxX- Днел = 0,
где Axz =— /?2Х; Д/нел ~ “У (2/	zj];
(2.70)
Ангел
длгел
ДЛ1нел
Здесь индекс j связан с номером X/,соответствующим ни-
ти того или другого направления; Z,—вектор прогибов
узлов /-й нити; М — общее число нитей. Податливости
56
Ъц каждой нити вычисляются по формулам (2.50). Обо-
значение Rzz^H+x) говорит о том, что эта матрица стро-
ится с помощью операторов (см. рис. 2.17), в которых в
качестве распоров принимаются их полные значения,
например, -\-Xxi и Н®{ +Xyi. Ясно, что ввиду ли-
нейности оператора V имеем равенство
^ZZ(№J4-X) = ftzZ(H') + ^ZZ(X) •
Заметим, что вместо уравнений смешанного метода
(2.70) можно было бы воспользоваться методом переме-
щений. Если считать, что нити в узлах в отличие от рис.
2.16, b имеют полное скрепление, то за неизвестные
можно принять в каждом узле перемещения tn, vi и ш/.
Эти уравнения будут также нелинейны и будут иметь
больший порядок, чем (2.70).
§ 2.5. О решении нелинейных уравнений
Система уравнений (2.70), описывающая напряжен-
но-деформированное состояние ортогональной сети ни-
тей, как уже указывалось, нелинейна. В последнее время
в строительной механике все
чаще встречаются задачи, сво-
дящиеся к решению нелиней-
ных уравнений. К этому приво-
дит учет геометрической (как
в случае гибкой нити) или фи-
зической (за счет нелинейного
деформирования материала)
нелинейности поведения сис-
тем. Применительно к ванто-
вым конструкциям существуют
приемы приближенного решения уравнений типа (2.70),
основанные на специфической структуре этих уравнений
и особенностях работы таких систем [15].
Изложим кратко два метода решения нелинейных
уравнений, которые находят широкое применение в рас-
четах не только висячих, но и многих других нелинейно
деформируемых конструкций, а именно — метод Ньюто-
на и метод последовательных догружений.
Учащиеся знакомы с методом Ньютона (методом ка-
сательных) для нахождения корня уравнения с одной
неизвестной
/(х)=0.
57
(2-71)
Из рис. 2.18 ясно, что, если — некоторое близкое
к корню х* значение, то следующее	приближе-
ние можно найти как абсциссу точки пересечения каса-
тельной, имеющей тангенс угла наклона f'(x(ft>), с осью х
=	=%(*)-[/'(х<Л))Н	(2.72)
Пусть теперь дана система нелинейных уравнений, в ко-
торой все неизвестные (и перемещения, и силы) обозна-
чим Xi, ..., хп, а через р — параметр внешней нагрузки
71 (хо ••• , *п, р) = 0
fn(xlt ... , хп, р) = 0.
(2.73)
Требуется найти корни этой системы х*,..., х* . В сокра-
щенной записи система (2.73) выглядит так:
F (х, р) = о,
(2.74)
где х— [хь ...» хте]т — вектор неизвестных, a F=[fb fn]T.
Разложив левые части уравнений (2.73) в ряд по
степеням малых приращений вектора х и оставляя в нем
лишь слагаемые первого порядка, получим формулу для
(£+1)-го приближения искомого корня х*, аналогичную
(2.72),

(2.75)
Здесь F<F>— вектор невязок, получающийся при подста-
новке х=х^ в (2.73); F' — так называемая матрица
Якоби
~ dft _ dfj ~
dxi ’ ” дхп
dfn _
дх± * * * дхп
(2.76)
Запись F'(x<ft)) обозначает, что матрица F' составляется
при x=x<ft>.
Рекуррентная формула (2.75) и составляет метод
итераций Ньютона для определения корней X*. Если в
процессе итераций матрицы F' и (Т7')-1 берутся при од-
58
ном и том же «начальном» значении х=х®\ то такой
прием называют модифицированным методом Ньютона:
>+’>= *<*> - [f' (*<°> )]-* ?<*>.
(2.77)
На рис. 2.18 модифицированный метод Ньютона соответ-
ствовал бы тому, что вместо касательных из точек на
кривой f(x) проводились прямые с одним и тем же на-
чальным тангенсом угла наклона
Применим формулу Ньютона (2.75) к нелинейным
уравнениям (2.70). В этом случае вектор неизвестных х
состоит частично из перемещений Z, а частично — из
сил X:
(2.78)
Матрица Якоби F' делится на блоки в соответствии с
составом х. Последовательно дифференцируя уравнения
(2.70) по (2.76), получим F' в виде
Axz~® : Ахх
(2.79)
где
; DT= (/?2Z(X/ =
j= 1, ... M.
(MxN)	(2.80)
Mf N — число нитей и узлов, соответственно. Матрица
D — результат дифференцирования Анел по Zif (i = l, ...,
М), a DT получается вследствие дифференцирования
произведения Rzz^h0 +xyZ по Xh (/=1, ...,А1). В j-й стро-
ке матрицы D перемещения Z/ /*-й нити размещаются в
соответствии с нумерацией узлов сети, а остальные эле-
менты строки являются нулями. Обозначение в правой
части второго равенства (2.80) показывает, что /*-й стол-
бец матрицы DT можно получить как произведение мат-
59
рицы жесткости Rzz, вычисленной от распора Х/ = 1, на
вектор Z.
Процесс приближений по методу Ньютона с матри-
цей F' (2.79) и вектором неизвестных (2.78) проводится
по формуле (2.75). Если в матрице F' положить Х = Х<0)
и Z=Z(0> и зафиксировать эти значения, то приближе-
ния будут выполняться по формуле (2.77) модифициро-
ванного метода Ньютона.
При неудачном выборе начального приближения про-
цесс итераций может быть либо очень медленно сходя-
щимся или может вовсе оказаться расходящимся. В свя-
зи с этим рассмотрим другой метод — метод последова-
тельных догружений применительно к нелинейной систе-
ме уравнений общего вида (2.73).
Будем считать, что каждому значению параметра р
соответствует определенное значение корней х* этой си-
стемы. С непрерывным увеличением параметра р будут
изменяться и корни xi(p),..., хп(р) (звездочку в обозна-
чении корня здесь и далее опускаем). Предположим,что
функции Xi(p), ..., хп(р) дифференцируемы по парамет-
ру Р-
Уравнения (2.73) выполняются как для значения па-
раметра р, так и для любого другого его значения, в ча-
стности, для p-\-dp. Поэтому приращению dp должны
соответствовать нулевые приращения левых частей
(2.73). Следовательно, полные дифференциалы их с из-
менением параметра на dp будут равны нулю
(2.81)
По правилу дифференцирования сложных функций раз-
вернем равенства (2.81):
+гт+т)*-"
\ дх±	др	дхп др	др	/
/ dfn	dfn дхп	d/п	\
—-------г ... Ч-т---г^—~ ар — О
\ дх!	др	дхп др	др	)
(2.82)
60
Частные производные по р будем отмечать сверху точ-
кой — ( ) = (’). Тогда вместо (2.82) можно написать
(2.83)
Это — система обыкновенных дифференциальных урав-
нений первого порядка, определяющая изменение кор-
ней х уравнений (2.73) с ростом параметра р. Причем
значению р=0 отвечает х=0. С математической точки
зрения мы пришли к задаче Коши для системы (2.83) с
нулевыми начальными условиями.
Заменим дифференциалы в (2.82) соответствующими
малыми приращениями
(2.84)
.	_ дхп	dfj>
dxn — dp^hxn;	dp —> bfnp,
Тогда вместо (2.82) получим линейную систему алгебра-
ических уравнений относительно вектора приращений
Дх
F' &х + Д/р = О,
(2.85)
где F'— та же матрица Якоби (2.76), которая используется и в ме-
тоде Ньютона; Дх= [Длл, ..., Дхп] т — приращения корней системы
(2.73), вызванные приращением Др; Д/Р — вектор грузовых (свобод-
ных) членов, соответствующий приращению параметра Др.
Из (2.85) найдем
дх =— (F')-1 ~£fp.
(2.86)
Порядок вычислений обычно бывает такой. Задаются
шагом параметра нагрузки Др и, последовательно уве-
личивая нагрузку на Др, по (2.86) находят приращения
Дх. При этом на каждом (п+1) -м шаге догружения мат-
61
рицу Fr строят с использованием значений получен-
ных как сумма приращений на предыдущих п шагах,
х(п) =	(2.87)
t=i
Такой процесс соответствует решению упомянутой зада-
чи Коши по методу Эйлера. Решение иногда целесооб-
разно вести с переменным шагом Др.
Отметим важную особенность рассмотренного мето-
да. Благодаря приближенной замене (2.84) с ростом
параметра р решение будет уклоняться от точной зави-
симости Xi(p) (рис. 2.19, а). Поэтому целесообразным
бывает комбинированное применение пошагового нагру-
жения и периодического уточнения решения по методу
Ньютона ( рис. 2.19,6). При этом в методе Ньютона мы
каждый раз имеем достаточно хорошее начальное при-
ближение, чтобы не опасаться расходящегося процесса
итераций. Число шагов догружений между итерациями,
а также размер шага Ар обычно устанавливаются проб-
ными расчетами.
В заключение укажем, что матрица Якоби F' в нели-
нейных уравнениях метода перемещений имеет смысл
матрицы жесткости, отвечающей бесконечно малым при-
ращениям перемещений («мгновенная» матрица жестко-
сти). В методе сил и смешанном методе это будет «мгно-
венная» матрица податливости и «мгновенная» матрица
смешанного метода. В зарубежной литературе эти мат-
рицы называют «касательными» матрицами, например,
касательная матрица жесткости.
62
§ 2.6. Гибкая нить с балкой жесткости
Рассмотрим особенности расчета комбинированных
систем, в состав которых помимо гибкой нити входят из-
гибаемые элементы, с которыми нить связана и имеет
общие вертикальные перемещения. Такое соединение
гибкой нити и изгибаемых элементов уменьшает формо-
изменения нити и увеличивает жесткость системы.
Рис. 2.20
Рассмотрим эти вопросы на примере простейшей си-
стемы, состоящей из балки и кабеля (рис. 2.20). Фор-
мально эта система является геометрически неизменяе-
мой, а при рассмотрении ее с позиций недеформируемой
схемы — однажды статически неопределимой. Однако
мы знаем, что для правильного определения напряжен-
но-деформированного состояния кабеля как гибкой нити
необходимо его рассматривать с учетом перемещений.
Поэтому и весь расчет комбинированной системы в це-
лом надо проводить по деформированной схеме.
Составим вначале расчетные уравнения в контину-
альной форме, считая число подвесок бесконечно боль-
шим. Пусть qo(x)—начальная нагрузка системы, вос-
принимаемая кабелем с распором Но. Следовательно,
Н0У0 +	(2.88)
После приложения нагрузки р(х) со стороны подвесок
на кабель в деформированном состоянии будет действо-
вать нагрузка интенсивностью ^(х), связанная с сум-
марным распором Нравенством
qH=-H(y0 + vy.	(2.89)
Интенсивность суммарной нагрузки на балку в де-
формированном состоянии обозначим q^. Из курса со-
противления материалов известно, что для оси и и на-
63
грузки ^б, направленных вниз (рис. 2.21), имеем соотно-
шения
M=—EJv"', qQ	(2.90)
из которых получим
q6 = (EJv")".	(2.91)
Сумма	нагрузок кабеля и балки,	получивших	прогибы
и, должна	быть равна суммарной внешней	нагрузке /?о+
Рис. 2.23
Рис. 2.24
•4-р, т.е. z/б+^к—Р'о+р. Следовательно, с учетом (2.91),
(2.89) получим
(EJv'T - н (у0 + V)" = q0 (х) 4- р (х).	(2.92)
Перенеся слагаемое (—Ну^ ) в правую часть и заменив
там Н~Н0-[-Х1 с учетом (2.88), окончательно найдем
(EJv")"-Hv" = P(x)--^q9.	(2.93)
“о
Для EJ=const это уравнение будет
E^IV-Wv=p(x)-^i-9(S.	(2.94)
Мы получили уравнение равновесия системы.
Уравнения (2.93), (2.94) можно интерпретировать
как дифференциальные уравнения изгиба балки с присо-
единенной к ней горизонтальной нитью — струной, рас-
тянутой силой Н (суммарный распор), что изображено
64
на рис. 2.22. Действительно, если положить Е/=0, то
это уравнение превращается в известное уравнение рав-
новесия нити с распором //, очерченной по кривой ц(х)
и нагруженной поперечной нагрузкой р—(Xi/HQ)q0. При
/7=0, наоборот, это будет уравнение изгиба балки типа
(2.91). При и Я=#0 — это уравнение изгиба стерж-
ня с присоединенной струной на рис. 2.22 или в пределе,
при бесконечно большом числе подвесок, — уравнение
растянуто-изогнутого стержня.
Из сказанного можно сделать вывод, что прогибы v
можно определять в основной системе, показанной на
рис. 2.23, поскольку в ней от распора Х\ на балку со сто-
роны кабеля передается через подвески нагрузка, рав-
ная — (Xi//7o)<7o» что в сумме с р дает интенсивность,
стоящую в правой части (2.93), (2.94).
Итак, мы пришли к основной системе метода сил
(рис. 2.23). Особенность деформационного расчета ее бу-
дет проявляться в том, что в состав этой системы входит
растянуто-изогнутый стержень с растягивающей силой Я,
равной полному распору системы НВсе пере-
мещения в ней надо определять с учетом изгиба этого
стержня, описываемого дифференциальным уравнением*
(2.93), (2.94).
Примем в дальнейшем EJ=const и запишем (2.94) в
виде
rv 2 п Р (*)	Xi <7о(х)
v — п v =--------- —-------t
EJ	Но EJ 1
где коэффициент и— HIEJ •
Безразмерный параметр
г = я/ = / Vh/ej
(2.95)
(2.96)
называют коэффициентом деформативности. От него за-
висит решение уравнения (2.95), общий интеграл которо-
го имеет вид
V — t>i 4-~	+ 6*2 х + С5 sh лх Ч-С4 ch nx + v2.	(2.97)
Здесь — решение однородного уравнения (2.95), а
V2—частное решение, зависящее от вида правой части.
На общих методах интегрирования уравнения изгиба
растянуто-изогнутых стержней (и аналогичного —.для
сжато-изогнутых) подробно остановимся в третьей части
курса. Здесь лишь приведем прогибы (2.97) и найденные
65
по ним изгибающие моменты для сосредоточенной силы
Р, имеющей абсциссу хр (рис. 2.24, а, в),
Vp = ~еГ ["7(1 ~ “ ~7^7 *г (1 “ а ]=
рр
= -^-^(1.^);	(2-98)
Мр=—	shz (!-£)]t	(2.99)
L г sh г	J
где g=x/Z; gP=xP/Z, причем	Для	участка
в этих выражениях надо заменить g на gp и наобо-
рот. При Р=1 приведенными выражениями можно поль-
зоваться как соответствующими функциями влияния в
растянуто-изогнутом стержне [20].
Для равномерно распределенной нагрузки <jo=cons^
выражение vq о будет (рис. 2.24, б)
l/r2Ul-£) rchr(0,5-g)
EJ г* \	2	1 ch 0,5г	/
= ^7-ф2(^)-	(2.100)
EJ
Воспользуемся теперь основной системой на рис. 2.23
для составления уравнения, из которого определяется
приращение распора Х\. Для этого надо просуммировать
разности ц(/)—и(0) для трех участков кабеля, пользу-
ясь выражением (2.21). Их сумма дает перемещение по
направлению Хь которое должно быть равно нулю
/
Ai = аД/« 2 vi 1‘ + Х1 У} ^7 - JУо° dx - Д1нел = 0> (2.101)
i	i 1 О
I
где Д1нел = Д jV’ dx.	(2.102)
о
Представим полные прогибы в виде суммы, соответст-
вующей составу правой части уравнения (2.95)
v = vp — X10](t = Vp —	.	(2.103)
“О
После этого уравнение (2.101) можно записать в кано-
нической форме
+А^-А1нел = °>	(2.104)
66
I
we 6и = ’’S 'eF7 + ^'J	y^dx' (2J05)
u
I
AjP =— j vp yQ dx 4- aA/° Zvz Zz;	(2.106)
i—индекс суммирования по пролетам кабеля; отмечен-
ные звездочкой коэффициенты вычисляются в основной
системе, содержащей растянуто-изогнутую балку жест-
кости. Это выражается в том, что vqt) и vp берутся как
решение уравнения (2.95).
Интегралы в (2.105), (2.106) можно путем интегри-
рования по частям с учетом (2.88) преобразовать так:
i	i	i
J Vo dx = ~ J % Уо ** =-~^ J ?0	°?.ix- (2ЛО7)
О	о	°0
Для начальной кривой провисания в виде квадратной
параболы ^0=const и HQ—qQl2/8fQ. Кроме того,
(2.108)
Аналогично (2.107) преобразуем
(*v'p#Qdx = — f vpyQ dx = —f vpq^(x)dx. (2.109)
J	J	Hq J
OO	0
Последний интеграл выражает работу нагрузки qQ на
перемещениях vp, По теореме о взаимности имеем
(2110)
0	/
где индекс / относится к номеру внешней сосредоточен-
ной силы, приложенной в точке с безразмерной абсцис-
сой £/. Для #o=const с учетом (2.100) получим
1 ..
(2-ш>
0	/
67
В результате подстановки (2.107), (2.109) в (2.105) и
(2.106) с учетом (2.108), (2.111) окончательно найдем
(2J,2)
i
Д;Р = аЛ'° J} vf Z; -	Р, 0>&У, (2-1 >3)
I	/
/—индекс суммирования по внешним сосредоточенным силам.
Распор Xi определим из (2.104) в виде
Х^-^р-Д^ел)^.-	(2"Ч
Выражением (2.114) можно воспользоваться только в
ходе последовательных приближений, так как правая
часть его зависит от коэффициента деформативности г
(2.96), в свою очередь зависящего от H = H0-}-Xi. Начи-
нают процесс приближений, приняв X! в формуле для г
либо равным нулю, т. е. положив r —	, либо
задавая для г некоторое ориентировочное значение.
Затем по формуле (2.114) уточняют значение Хь В этой
формуле обычно величиной ДШел (2.102) пренебрегают.
Подробные исследования комбинированных систем
выполнены с помощью изложенного подхода в книге
[20]. В ней можно найти дополнительные детали, форму-
лы и вспомогательные таблицы данного метода расчета
для комбинированных систем различных типов. Их рас-
чет в общем случае сводится к решению системы канони-
ческих уравнений метода сил.
Так, например, на рис. 2.25 показана основная систе-
ма для расчета трехпролетной висячей конструкции. Ка-
нонические уравнения метода сил для нее, пренебрегая
А1 нел (2.102), запишем так:
дХ+Др==0,	(2.115)
где матрицу податливости и грузовой вектор
строим аналогично изложенному выше с учетом работы
•балки жесткости в основной системе как растяну*о-изо-
68
Рис. 2.25
Ц- - 
Рис. 2.26
гнутого стержня. Это подчеркивается в обозначениях
звездочками.
До сих пор предполагалось, что распор от кабеля по
концам передается на опоры (внешне распорная систе-
ма). Если кабель на концах соединен с балкой жестко-
сти и распор передается на нее, вызывая сжатие, то такую
конструкцию называют системой с воспринятым распо-
ром (рис. 2.26, а). Для такой конструкции, следуя изло-
женной методике, в основной системе (рис. 2.26,6) бал-
ки крайних пролетов, не связанные подвесками с кабе-
лем, при определении прогибов v надо рассматривать
как сжато-изогнутые элементы с продольной силой Н
(они выделены штриховкой). Балка среднего пролета за
счет «струнного» эффекта, вызванного связью ее с кабе-
лем, должна была бы считаться растянуто-изогнутой.
Но при наличии сжимающей силы Н оба эффекта ком-
пенсируют друг друга и прогибы в среднем пролете
основной системы должны вычисляться как в обычной
балке без учета продольно-поперечного изгиба. Сказан-
ное касается только определения прогибов. Реальная
продольная сила в балке жесткости рассматриваемой
системы	на всем протяжении конструкции. - 
69
Еще одна особенность системы на рис. 2.26 будет со-
стоять в том, что в выражении (2.105) должны
быть учтены слагаемые 2(llEFe)it учитывающие упругое
укорочение балки жесткости от Xi= 1.
Для количественной иллюстрации влияния нелиней-
ности висячей комбинированной системы на рис. 2.27
показано изменение прогиба и изгибающего момента в
балке жесткости в четверти пролета. На рисунке величи-
ны прогиба т)о,25 и момента /п0,25 даны в относительной
(безразмерной) форме в функции от двух основных па-
раметров, определяющих напряженно-деформированное
состояние системы, гиф. Последний коэффициент обра-
зуется, если в выражении 6^	(2.112) вынести за скоб-
ки множитель при Ф3,
е>> = -^-(Ч’ + фз(г)):	=	(2Л17)
A4F2 1	1 EF;
Он характеризует влияние упругой растяжимости кабе-
ля системы.
Рис. 2.27 показывает, что геометрическая нелиней-
ность внешнераспорной системы может существенно сни-
зить усилия и перемещения по сравнению с таковыми,
найденными при расчете по недеформируемой схеме.
Последнему случаю на этом рисунке соответствуют зна-
чения при г=0. В реальных конструкциях это снижение
может достигать 30—40 % и должно учитываться в рас-
четах, что обеспечит более высокую экономичность кон-
струкций.
Заметим, что, если зафиксировать полный распор Н,
т. е. параметр г, то система реагирует линейно на лю-
бую поперечную нагрузку. В таком предположении мож-
но использовать аппарат линий влияния. Например, на
рис. 2.28 изображены линии влияния момента в четвер-
ти пролета для двух резко различных значений г=2 и
г—10 (размерный множитель у т0,25 тот же, что и на
рис 2.27). Строго говоря, этими линиями влияния поль-
зоваться нельзя для произвольного загружения, так как
линия влияния зависит от распора, который заранее не
известен и зависит от загружения. Но форма линий вли-
яния не очень сильно изменяется с изменением г, особен-
но если изменение г не столь заметно, как на .рис. 2.28.
70
Этим можно воспользо-
ваться в расчетах висячих
систем на подвижную на-
грузку. При ориентиро-
вочно заданном значении
г по соответствующей ли-
нии влияния находится
невыгодное загружение
для расчетного сечения, а
затем при этом за груже-
нии путем последователь-
ных приближений уточ-
няется величина распора
и находится истинное зна-
чение гист. Это позволяет
выбрать из таблиц инте-
ресующие линии влияния,
отвечающие гист. В лите-
ратуре имеются таблицы
линий влияния для вися-
чих систем разнообраз-
ных схем [20, 21J. Дан-
ные этих работ использо-
ваны на рис. 2.27, 2.28.
Обратимся теперь к
составлению расчетных
уравнений для комбини-
рованной системы в ди-
скретной форме. Дискрет-
ная форма расчета хоро-
шо приспособлена к при-
менению ЭВМ и позволя-
ет учесть многие ослож-
няющие расчет факторы
(переменность сечения
балки, наличие горизон-
тальных нагрузок на ка-
бель, наклон подвесок
и т. п.). Она широко ис-
пользуется и развивается в
Рис. 2.28
работах [32, 48 и др.].
Рассмотрим основную систему на рис. 2.29, а. Ее со-
стояние будем характеризовать вектором прогибов, обо-
значаемых через Zit т. е. u=Z, и приращением распора
71
в кабеле Xi, Будем считать, что нам известна матрица
жесткости, построенная отдельно для балки /?с, отве-
чающая прогибам Z (рис. 2.30, а), т. е.
=	(2.118)
Построение ее можно осуществить различным образом.
Для статически определимого опирания балки ее можно
построить как обратную к соответствующей матрице по-
датливости.
На рис. 2.30, б показан другой, более общий прием
построения с помощью метода перемещений. Обозна-
чив углы поворота узлов Zlt а прогибы Z через Z2i соста-
вим систему уравнений
/и	г12 2'2 — 0;
Г21	г2-2 2% ~	•
(2.119)
Исключив отсюда Zi, найдем матрицу Re (2.118) в виде
Г22	Л21	г12-
(2.120)
В данном случае балку с промежуточными опорами на
рис. 2.30, а мы по существу рассматриваем как супер-
элемент и для него матрица жесткости Re строится по
общей зависимости (550), приведенной в [49, § 82].
i
Рис. 2.30
72
Наконец, удобно для этой цели использовать и сме-
шанный метод. Так, для основной системы, показанной
на рис. 2.30, в, составим уравнения смешанного метода
ахх % 4“ axz z — 0»
rzx % Ч~ rzzZ —
Откуда, исключив X, найдем матрицу /?б (2.118)
~ rzz rzx ахх axz 
Поскольку в данном случае rzz=0 и ггх==—ах
мулу для 7?б можно написать и так:
^6 = a\zaxxaxz-
(2.121)
(2.122)
фор-
(2.123)
Итак, считаем, что матрица /?б (2.118) известна. Рас-
четные уравнения для основной системы на рис. 2.29, а
будут выражать равенство нулю суммарных реакций в
связях 1,..., п (условия равновесия) и отсутствие пере-
мещения по направлению Х\:
+ Rp ~	1
Д1« 0.	J
где RK и 7?б — реакции от кабеля и от балки,
ниями Z.
(2.124)
вызванные перемеще-
Далее, поступая аналогично тому, как это делалось
в § 2.4 для двухпоясной вантовой фермы (см. рис. 2.14),
уравнения (2.124) представим в канонической форме
смешанного метода [см. (2.55)]:
Rzz z “Ь Rzx Ч- Rp 0*
AXZ Z + АХХ	— А1нел ~ °к
где в данном случае
Rp = Rzx ~ “ Ахг — ТУб* Д1нел ~2~ тz)’,
Ахх=«п=S (Н,	Д1/ = а*° 3 vi I,-
(2.125)
(2.1^6)
Величины и Дц дают перемещения по направле-
нию Xi от растяжения кабеля и от изменения температу-
ры, a AxzZ и Д1нел — линейная и нелинейная части этого
перемещения, вызванные прогибами Z.
73
Матрица жесткости Rzz представляет сумму матриц
жесткости кабеля и балки
*ZZ =	= ("о + Х1) Т +	(2.127)
Уравнения равновесия, выражаемые первой строкой
(2.125), являются дискретным аналогом дифференциаль-
ного уравнения (2.93). Поэтому аналогично изложенной
выше интерпретации этого уравнения и систему (2.125)
можно рассматривать как канонические уравнения сме-
шанного метода для основной системы, в состав которой
входит балка с присоединенной «струной», растянутой
полным распором Н (рис. 2.29, б).
Для решения системы уравнений (2.125) можно ис-
пользовать метод Ньютона, метод последовательных на-
гружений или их комбинацию (см. § 2.5). Матрица Яко-
би в данном случае имеет такой вид:
[(Н<,+ ха T+R6 | гЦ+z)
• • ......................
- [rU + z)]Ti Ахх
(2.128)
Структура уравнений (2.125) позволяет процесс оп-
ределения Xi свести к рекуррентному решению квадрат-
ного уравнения. Согласно предложению проф. А. А. Пет-
ропавловского можно поступить так [32]. Выделим из
матрицы Rzz (2.127) полный распор как множитель,
представив Rzz в виде
^ = (^0 + Хг)С,	(2.129)
где
G = r + 7F	(2130)
''о "Г Xi
Выразим теперь из первой строки (2.125) вектор Z
^=~~H^xTG~1^p+R^x^	<213,)
и подставим его в первое слагаемое второй строки. В ре-
зультате после умножения ее на	придем к
квадратному уравнению относительно Xj
+	+	(2.132)
где а. ——
b — АХХ ио ~ Axz #ZX "Ь “ Л1нел‘
с = - Axz G-1RP + /Уо (Дк-Д1йел).
(2.133)
74
Процесс приближений очевиден — задаемся и фор-
мируем матрицу 6, после чего становится возможным
составить уравнение (2.132) и из него найти уточненное
значение приращения распора как наименьший корень
этого уравнения. Практически для висячих мостов, как
указывалось, решение ведут без учета Д1нел, т. е. нели-
нейность учитывается лишь в уравнениях равновесия и
ею пренебрегается в условии совместности деформаций
кабеля. Из (2.132, 2.133) следует, что учет Д1нел не вы-
зывает затруднений в процессе итераций. Возможно, что
в некоторых случаях и для мостовых конструкций его
влияние окажется заметным, на что указывает пример
двухкабельной системы, приведенный в § 2.4.
Обратим внимание на то, что о сходимости процесса
приближений не следует судить только по величине Xlt
Малым значениям приращений распора соответствуют
существенно более заметные изменения в изгибающих
моментах. Поэтому останавливать процесс итераций сле-
дует с учетом достигнутой точности значений изгибаю-
щих моментов в балке жесткости.
Г л а в а 3. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ СТРОИТЕЛЬНОЙ
МЕХАНИКИ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭВМ
§ 3.1.	Введение
При применении ЭВМ наибольший интерес представ-
ляют общие подходы к решению задач. Таким общим
подходом является решение задач с использованием
уравнений смешанного метода. В работе [39] получены
общие уравнения строительной механики на основании
условно экстремального принципа. Эти же уравнения
приведены в [49].
В данной главе рассматриваются вопросы автомати-
зации расчета с использованием ЭВМ на базе общих
уравнений строительной механики. При этом применен
системный подход, при использовании которого стержне-
вая система разбивается на отдельные стержни и далее
из этих стержней строится ансамбль стержней (стержне-
вая система). Аналогичный подход, применяемый для
электрических систем, был перенесен и на системы дру-
75
гих типов, в том числе на механические в работах Крона
[23]. Там он назван греческим словом «диакоптика», что
означает расчленение как системный метод. Для стерж-
невых систем такой подход развит в работах Л. А. Рози-
на [43] и его учеников. Ввиду важности общих уравне-
ний строительной механики приводится их вывод. Уде-
лено внимание построению этих уравнений для отдель-
ного стержня, формированию общих уравнений строи-
тельной механики из уравнений отдельных стержней и
их решению.
В последующих главах показана связь общих урав-
нений строительной механики с уравнениями теории уп-
ругости и уравнениями метода конечных элементов
(МКЭ), который находит в настоящее время все более
широкое распространение при расчете нестержневых си-
стем. При этом расчет стержневых систем может рас-
сматриваться как частный случай Л4КЭ, при котором в
качестве конечных элементов используются стержни.
Для наглядности векторы и матрицы, относящиеся к
отдельному стержню, будем обозначать малыми буква-
ми, аналогичные векторы и матрицы, относящиеся ко
всей системе, — теми же большими буквами.
§ 3.2.	Стержневые системы
как системы с конечным числом
степеней свободы
Рассмотрим стержневую систему, состоящую из пря-
молинейных стержней постоянного сечения, соединенных
между собой либо жесткими, либо шарнирными узлами
и присоединенную к земле шарнирно подвижными и
шарнирно неподвижными опорами. Если система вклю-
чает в себя криволинейные стержни (например, арки,
своды или арочные и сводчатые системы), их можно ап-
проксимировать вписанным многоугольником, стороны
которого являются прямолинейными стержнями. Если
сечение стержня является переменным, то его можно за-
менить ступенчато-переменным.
При расчете стержневой системы удобно использо-
вать две системы координат: местную (локальную) си-
стему, связанную со стержнем (на рис. 3.1 система g,
т|) и общую (глобальную) систему для всего ансамбля
(на;:рис. 3.1 система х, у). Местная система удобна для
записи уравнений отдельного стержня, общая использу-
76
ется для составления общей системы уравнений строи-
тельной механики. Векторы и матрицы, относящиеся к
местной системе координат, если это необходимо, будем
помечать звездочками. Будем использовать правую си-
стему координат, при этом положительные углы поворо-
та и моменты направлять в соответствии с правилом бу-
равчика (при взгляде вдоль
оси вращения по часовой
стрелке). Плоские стержне-
вые системы рассмотрим как
частный случай пространст-
венных систем, при этом бу-
дем считать, что ось z на-
правлена на нас. В соответ-
ствии с правилом буравчика
для плоских систем будем
считать положительными уг-
лы поворота и моменты, на-
правленные против хода ча-
совой стрелки.
Введем две нумерации узлов: общую (/, /) и мест-
ную. В местной системе начало стержня обозначим бук-
вой «н», а конец «к». При рассмотрении стержня в ло-
кальной системе будем пользоваться местной нумераци-
ей, при рассмотрении в глобальной системе — общей
нумерацией. Будем считать, что нагрузка приложена к
узлам (см. рис. 3.1), случай местной нагрузки рассмот-
рен в § 3.9.
На рис. 3.2 изображен стержень, координаты которо-
го до деформации Х-, У»; X/, У/. После деформации ко-
ординаты получили приращения AXt=xz, Ayz=i/,-;
А У j=уВектор перемещений концов стержня
в глобальной системе координат имеет вид
= м,ч>у]т.
где Xi, ус, Xj, у) — соответственно перемещения узлов i и / вдоль
осей х и у\ <pi, срj — углы поворота узлов i и /.
Тот же вектор в локальной системе координат будет
z*

«и, ин; «к, VK — соответственно перемещения узлов н, к вдоль осей
| и *]; срв = <р<» <Рк=<Рл —углы поворота.
77
Найдем связь между векторами z и z*. На рис. 3.3
изображено перемещение Дх и показаны его проекции на
локальные и глобальные оси. По рис. 3.3
ин — xicos Ф + yt sin Ф;
t>H = — sin Ф + У[ cosФ,
Используя эти зависимости, запишем связь между век-
торами ZH И Zi
г cos Ф sin Ф 01
?н — с ц, где с = I — sin Ф cos Ф 0
[	0	0 1J
Матрица с строится по координатам узлов I, / в глобаль-
ной системе (см. рис. 3.2)
X = K(Xj-Xj)» + (yy-rt)« ;
cos© = (Xj —Х()//; 5шФ = (Гу — Yt)ll.
78
Для стержня х/ имеем
2* = с5, гдеС=[д °].
Умножая обе части (3.1) на Ст, будем иметь
(3.1)
с’ i* = CTCz
ИЛИ
г = Ст г*.
Произведение Ст. С=Е> так
как матрица С является ор-
тогональной матрицей.
Зависимость (3.1) позво-
ляет определять вектор пе-
ремещений в локальной си-
стеме координат по извест-
ному вектору перемещений
в глобальной системе коор-
динат. Зависимость (3.2)
Рис. 3.3
осуществляет обратный переход.
Построим далее формулу для определения перемеще-
ний в любой точке стержня по известным перемещениям
начала и конца стержня в локальной системе координат.
При узловой нагрузке имеем
N
е = —— = const;
w = а2| 4- «г,
d2v М d3v Q
"^ = -Fr = const = 6“«:
= аб&3 + ай£2 +	+ а3 
Запишем выражения (3.3) и (3.4) в матричной форме:
г* (I)
Г «Ю I Г1 В о о о о?
L HI) 1 Lo о 1 U2 id
= L(|)a.	(3.5)
Выразим вектор коэффициентов а через вектор г*.
Подставляя в (3.5) координаты начала и конца стержня,
будем иметь
79
ин
Фн
_ <Рк _
-100000'
0 0 1 000
000100
Т I 6 6 6 о
0 0 1 / /2 Z3
__0 О 0 1 2Z 3/2__
ctj
«2
а3
а4
«5
а0
(3.6)
Умножая обе части равенства (3.6) на L~\ получим
а =			£—1	(3.7)			
	- 1	0	0	0	0	0 "	
	— 1/1	0	0	1//	0	0	
	0	1	0	0	0	0	
где L-1 ==	0	0	1	0	0	0	•
	0	— з//2	— 2//	0	з//2	-1/1	
	0	2//3	1/Р	0	— 2/Z3	I//2	
Подставляя (3.7) в (3.5), будем иметь
z* ® =
где L (£)£-* =
i
—>
о
3	2	11
- £2__ £3	_	 £2 _!-£3
/2 Ь /3 Ь	; . "Г /2 &
(3.9)
о
Элементами матрицы (3.9) являются функции, кото-
рые выражают перемещения точки с координатой g
вдоль осей g [первая строка матрицы (3.9)} и т) [вто-
рая строка матрицы (3.9)] от единичных перемещений
начала и конца стержня (соответственно первый стол-
бец от ин==1, второй от vH=l, третий от <рн= 1 и т. д.).
Подставляя в (3.8) выражение (3.1), получим

(3.10)
Выражение (3.10) позволяет определить перемеще-
ние любой точки стержня в локальной системе коорди-
нат, если известны перемещения начала и конца стерж-
ня в глобальной. Вектор перемещений для ансамбля
80
стержней в глобальной системе координат имеет вид
Z = [ 4 . . . 3 . . . 7} . . . г*]т
где п — число узлов.
В случае жесткого узла	т.
В случае шарнирного узла его перемещение харак-
теризуется только линейными составляющими Zj —
= kjJ//].
Выражение (3.9) позволяет определять перемещения
во всех точках стержня, когда оба узла являются жест-
кими. Рассмотрим случай, когда стержень в сечении н
имеет шарнир (в случае, если шарнир в точке к, вык-
ладки аналогичны), требуется определить срн. В этом
случае
d?v	d‘2v
Дифференцируя (3.4), будем иметь
d2u
=	2а5.
(З.П)
В сечении н координата g=0. Подставляя в (3.11)
g=0 и приравнивая d2v!d%2 нулю, будем иметь as=0.
Определим а5 по выражению (3.7)
3	2	3	1
а5---j2 УН — Фн 4" ^2 °К —	Фк — 9»
или
3 ,	,1
Фн— 2i	2 ^к’
Дополняя вектор z* координатой срн и подставляя
фн в (3.8), определим перемещения всех точек стержня
в локальной системе координат в случае, если стержень
имеет шарнир в точке н. Таким образом, стержневые
системы являются системами с конечным числом сте-
пеней свободы. При этом число степеней свободы равно
числу координат вектора г, например, число степеней
свободы стержневой системы, изображенной на рис. 3.1,
« = 3'3+2-1 = 11.
81
§ 3.3	Основные уравнения строительной
механики для стержня
Как указывалось выше, при изучении работы от-
дельного стержня удобно использовать локальную сис-
тему координат. Первоначально будем рассматривать
плоский стержень, изображенный на рис. 3.4. В сечении,
соответствующему началу стержня, возникают усилия
Л'е, Qh, Мн; в сечении, соответствующем концу — усилия
Л^к, Q«, Мк. Таким образом, по концам стержня дейст-
вуют шесть усилий. Эти усилия являются внутренними
в сечениях н и к по отношению ко всей стержневой сис-
теме. С другой стороны, эти же усилия являются внеш-
ними по отношению к выделенному стержню. Зная эти
усилия, можно определить внутренние силы, действую-
щие в любом сечении стержня. Каждый стержень на-
ходится в равновесии, следовательно, эти усилия не
являются независимыми, а связаны между собой тре-
мя уравнениями равновесия. Составим эти уравнения:
2£=0; _/VK + /VK = O; - NK = /V;
S4 — 0; QH — 0; QH —	— Q*,
2Ma = 0;	- MK 4- QI = 0; Q = у (MK - Mn).
(3.12)
В качестве независимых усилий примем Л/, Л4И, Л4К; ос-
тальные усилия можно найти, используя соотношения
(3.12). Таким образом, в качестве вектора, характери-
зующего внутренние усилия, возникающие в стержне,
примем

(3.13)
Запишем (3.12) в матричной форме
"Л/н п
Qh
Мп !
л/к
Qk
_мк_
- 1 о о ~
о — 1/Z 1/1
0	1	о
1	о	о
О — 1/1 1/1
0	0	1
- N 1
Л1н ,
1Мк J
(3,14)
где sHK — полный вектор внешних сил, действующих на стержень нк.
62
----------
Рис. 3.4
Для составления уравнений равновесия узлов стерж-
невого ансамбля необходимо записать усилия, дейст-
вующие по концам стержня, в единой системе коорди-
нат т]. Из рис. 3.4 имеем
p2 = -Qk;
mH = Л1н; /пк = Мк.
(3.15)
Запишем зависимости					(3.15)		в матричной форме			
	р1		— 1	0	0	0	0 0			
	рЗ		0	1	0	0	0 0		Он	
р* =	т„		0	0	— 1	0	0 0		Af_H	. (3.15)
	р1		0	0	0	1	0 0		Л/к	
	р2		0	0	0	0	— 1 0		Ок	
	2”к _		о	0	0	0	о 1 _			
Векторы сил в местной и общей системах координат
связаны зависимостью, аналогичной (3.2),

(3.18)
где
вектор внешних сил, приложенных к узлам f, j в глобальной системе
координат.
Подставляя (3.17) в (3.18), получим
p = CTa*s — a Si	(3.19)
sinO sin<D
— cos Ф ---------- — —-—
cos Ф cos Ф
— sin Ф —--------—	—'—
5тФ	sin Ф
cos Ф —--- ---
собФ	собФ
sino ______
О О	1
Далее найдем связь между перемещениями узлов /, j и
деформациями стержня. Перемещения концов стержня
в общей системе координат характеризуются вектором
обобщенных перемещений

соответствующим вектору р. Так, работа вектора на-
грузки может быть записана в виде
АР = Рт
(3.22)
.84
Рис. 3.5
%
На рис. 3.5 показаны перемещения концов стержня и
его деформации. Деформации стержня, соответствую-
щие вектору s, характеризуются вектором
6 = [Д/ Д<Рн Дфк]т.
Работа вектора усилий s имеет вид
sT 6.
В соответствии с рис. 3.5 запишем:
Д/ = мк — нн;
Дфн == (фн ф) — — фи
t>K-
Дфк = Фк - Ф = Фк -------
(3.23)
(3.24)
Запишем зависимости (3.24) в матричной форме
" Д/ 1
Афн I
- Дфк J
—1 о он оо'
о — 1/Z — 1 S О 1/Z о
0	1//	0'0-1// 1
Фн
ик
ик
(3.25)
- Фк _
Сравнивая (3.17) и (3.25), запишем зависимость
(3.25) в виде
6=(а*)т~г*.	(3.26)
85
Испельзуя зависимость (3.1), выразим вектор дефор-
маций б через вектор перемещений z в общей систе-
ме координат:
б = (а*)тс7.	(3.27)
Сравнивая (3.20) и (3.27), будем иметь
6 = aTz.
(3.28)
Зависимости (3.17) и (3.19) являются статическими
зависимостями, вытекающими из условия равновесия
узлов; зависимости (3.26) и (3.28) — геометрическими,
вытекающими из условия неразрывности перемещений
узлов, примыкающих к концам стержня, и деформаций
стержня.
Запишем физические уравнения, связывающие уси-
лия s с деформациями б:
Г М 1	Г	б	о	О 1	Г	ЛМ
б — I Д(рн I	=	I	0	бнн	бик	•	I	Ма I = Ь s.	(3.29)
L Дфк J	L	о	бкн	^кк -	L	мк J
В соответствии с законом Гука можно записать
б==//(£Г).
Перемножая эпюры, изображенные на рис. 3.6, имеем
^нн = бкк =	бнк = бкн = l(GEJ).
При решении практических задач часто используется			
зависимость (3.29)	в обратной форме s = ~ EF	0	0 1	4EJ	2EJ		где
Ь—1 —	и о -	1	~ 1 2EJ	4EJ 1 1 _	(3.30)
Выпишем основные зависимости для плоского стержня
Статические соотношения
р* = a* s
р — a s
р=[р|р>н: р|Рктк]т;
р=[р? p^mi- р/Р/т/]т
7=[МИаЛ4к1*
Геометрические соотношения
•д =
Д = аТ г
7 = [Ыиг.яЧ>и; «К£>К<РК1Т
« = [Д/ Д<Рн ДфкР
86
Рис. 3.6
р*, г* — соответственно векторы внешних сил и соответствующих
им перемещений в локальной системе координат; р, z — то же, в гло-
бальной системе координат; s — вектор, определяющий внутренние
силы в стержне; 6 — вектор деформаций, соответствующих векто-
ру
	— 1	0	0		— соэФ	sin Ф Z	sin Ф ~	1
	0	1 ~ /	1 1		— sin Ф	соэФ ”	1	собФ 1
а* =	0	— 1	0	; а ~	0	— 1	0
	1	0	0		собФ	sin Ф ~ 1	sin Ф 1
	0	1 1	1 ~ 1		БШФ	соэФ 1	СО5Ф 1
	0	0	1		0	0	1
Физические соотношения (закон Гука): d =	$=Ь-*б
Для пространственного стержня будем иметь:
р* = [Рв рЗ Ph т3 тн- pl рЗ рЕ т3 ОТЕ]Т:
7* = [йн VH WH <р| Ч>й фЕ; «к ок »к ф Е фЗ Ч>Е]Т;
~s = [ми* AfJ МЦ м|]т;
б= [д/ Дф; ДфЗ Дф^ Дф£ Дф£]т»
где — ось, совпадающая с продольной осью стержня; V], £ — оси,
совпадающие с главными центральными осями поперечного сечения.
87
Рис. 3.7
На рис. 3.7, а показа-
ны положительные на-
правления сил и момен-
тов (рис. 3.7,6), действу-
ющих на стержень. Мат-
рица для пространствен-
ного стержня имеет вид
- — 1	0	0	0	0	О
ООО	о	-ш	1/Z
о о—М/	1//	0	0
0—10	о	о	о
0 0	1	000
ООО 0—1	о
Г.о””'0.о”	о	о
ООО	о	1// — \ц
О 0	1//—1// О О
0	1 0	0	0	0
000—1 о	о
О	О 0	О	0	1
Запишем матрицу закона
стержня
Гука для пространственного
	- 1	0	0	0	0	0	
	EF						
		1					
	и	Gh	0	0	0	0	
	0	0	1	I	0	0	
			3EJ	bEJn			
			n	n			
Ъ —	0	0	I	I	0	0	•
				3£Jn			
	л				I	I	
	V	0	0	0	3EJ^	6EJt	
	0	0	0	0	i	I	
							
88
Матрица перехода от глобальной системы координат к
локальной — Ср, "z* = Cz) имеет вид
"“/j т1 пх
^2 т2
/я Чз
где /, т, п — направляющие косинусы, определенные табл. 3.1.
В первой строке таблицы
приведены направляющие
косинусы между осью §
И ОСЯМИ .¥, уу Z и т. д.
Матрица а в глобаль-
ной системе координат
имеет вид
Таблица 3.1
	X	У	г
£		тг	«1
		т2	П2
£			Пз
Итак, основные уравнения для стержня будут
p=as\ 6 = oTz; b = bs.
(3.31)
Исключая из 2-го и 3-го уравнений системы (3.31) век-
тор б, получим aTz—bs. Матрица закона Гука является
не особенной матрицей, поэтому можно записать s =
= 6~1aTz. Подставляя значение s в 1-е уравнение систе-
мы (3.31),
р — ab~1 ат — г z; z = ab—1 аТ.
(3.32)
Вектор р является вектором внешних сил, приложен-
ных к стержню, поэтому матрица г, связывающая век-
тор перемещений с вектором внешних сил, является
матрицей реакций для стержня ij. Подставляя в (3.32)
выражение для а по (3.20), получим
г = Сгг*С,
(3.33)
где г* — (а*) Ь—1 (а*)т.
Используя (3.17) и (3.30) для плоского стержня,
будем иметь
89
	~ EF 1 0	0	0	EF ~	1 0	-	0	0	
		12 EJ Is	6EJ 1		12Е/ Р	6EJ Р	
г* =	0	6EJ Р	4EJ 1	0	—	6EJ I2	2EJ 1	,(3.34)
	EF 1	0	0	EF 1	0	0	
	0	12£J ~ /з ~	6EJ Р	0	12EJ	6EV Р	
	0	6EJ Р	2EJ 1	0 -	6EJ Р	4EJ / _	
г* —	матрица	реакций	в локальной		системе	координат.	
При построении матрицы реакций г для стержня она
первоначально строится в локальной системе (3.34)
(в этой системе матрица г* строится наиболее просто)
и далее по (3.33) производится перевод ее в глобаль-
ную систему.
§ 3.4. Составление основных уравнений
для стержневых систем
Составление общих уравнений для стержневого ан-
самбля рассмотрим на примерах плоских стержневых
систем. Эти уравнения строятся с использованием мат-
риц а (3.21) и b (3.29). Первоначально рассмотрим
процесс составления уравнений равновесия с использо-
ванием матриц а. На рис. 3.8 показан некоторый про-
извольный t-й узел и часть примыкающего к нему /-то-
го стержня. Со стороны /-того стержня на i-й узел
действуют силы рха, та. Эти силы имеют противо-
положное направление по отношению к силам, дейст-
вующим на /-й стержень. Аналогичные силы будут
действовать на /-й узел со стороны остальных стержней.
Кроме этих сил, на узел будут действовать в общем слу-
чае внешние силы Р^,	М/. Составляя уравнение рав-
новесия для /-ного узла, получим
2Х = 0;	=	= £ ₽« •
1=1	1=1
ЕУ = 0;	^=2 Ри>
(3.35)
90
m	tn
= 0; M = 2 '«,•> = 0; M.= У, m,,.
i=i	‘ i=i
где tn — число стержней, примыкающих к i-му узлу.
Для получения правых частей выражений (3.35) ис-
пользуем матрицы а.
Первоначально рассмотрим частные случаи. Предпо-
ложим, что рассчитывается горизонтальная балочная си-
стема, в которой отсутствует продольная сила /V, в этом
случае
р =[р? т,> р? т/]т; = [Л,„ Л,и]т>
и матрицы а и b имеют вид, приведенный в табл. 3.2 (ва-
риант 5).
Общая система координат в этом случае совпадает с
местной.
При расчете фермы моменты отсутствуют s—N, а
р== [р Ру Р/-]т, и матрицы а и b имеют вид приведен-
ной в табл. 3.2 (вариант 4).
91
Таблица 3.2
№
пп
Вариант
Матрица а
Матрица b
Матрица 6*“1
P =	P* P* W 6 = A sin Ф	sin Qi — cos Ф 	 —	 Z	Z -sin® __ cos ф	cos Ф Z	Z 0—10	|T ; ~s = ['VA-I„AfK]T; г = [х1У1 q'j, Xjy/ <P/]T; = [Д/Дфл Дфк]Т - 1	~	~ EF	~ 0	0	  0	0 EF	I I	I	4EJ	2EJ 0 	 	 0 	_—- 3EJ	6EJ	I	I Il	2EJ 4FJ 0		 	 о _	 6£V 3EJ _	I	I -
sin Ф	sin Ф cos Ф —	 	 l	I sin®	С05ф .. I	I	
Р = [ Р? Pyi .Pj И/]т :"s = [ W<MK]T ; г = [xi{/i х]У) m,]T : 6 = [Д I Д <p„ jT
CO w	2	У\ф		rf	_	sinO — cos Ф	— —-— cos Ф — sin<D	—-—
				sin Ф СО&Ф	1 cos Ф sin Ф — —•— 0	1
	3		P =[ px p'J mi. pt p* ]T; s =	
				sin Ф — собФ		 " cosQ — sin Ф — 0	-I
				sin Ф cos Ф —	 I cos Ф sin Ф		 i
		-7Г	» о —— 3EJ			0 1 0 1
[Л’Л1Н]Т. г = [х;у, <рг. хда<Р|]т ; 6 = [д 1А грн]т					
		EF	° 1 0		 3EJ			с 22-
Продолжение табл. 3.2
№ пп	Вариант	Матрица а			Матрица' b	Матрица Ь-"1
4	N	= [р? Р? •₽/ Р/ ]т '• s " N; ^ "= [Wt’ *wF : 6 = д z				
			СО$Ф — sin Ф cos Ф sin Ф		1 EF	EF 1
р — [pf m;, p'-'j mj]T ; s = [<МИЛ'1К]Т ; г = [у( <р(, Vj фг ]т ; б = [д фа Д фк]
5			\п -1	0				1	1 3EJ	QEJ 1	1 6EJ	3EJ			4EJ _ 2EJ 1	1 2EJ	4EJ ~ 1	1
			1/Z	-\п 0	1						
В табл. 3.2 собраны матрицы а и b для различных
частных случаев.
Покажем далее, как по матрицам а и b для отдель-
ного стержня строится матрица уравнений равновесия
А и матрица закона Гука В для всего ансамбля стерж-
ней. Рассмотрим этот процесс на конкретных примерах.
Пример 1. Составим матрицу уравнений равновесия
для узлов фермы /, 2, 3, 4У изображенной на рис. 3.9
(в скобках — номера стержней). Каждый стержень соеди-
няет два узла, узел i стержня фермы будем принимать в
узле с младшим номером. Матрица А для рассматривае-
мой фермы приведена в табл. 3.3. Строки табл. 3.3 соот-
Таблица 3.3
Номера узлов	Номера стержней							
	(/)	(2)	(?)	(*)	(о)	«И |	(7)	<<У)
1	—1			—1		—4/5 —3/5	1	1
2	1	—1			4/5 —3/5			
3			— 1	1	—4/5 3/5			
4		1	1			4/5 3/5		
ветствуют узлам, а столбцы — стержням. Для каждого
узла /, 2, 5, 4 отведено две строки, первая из которых со-
ответствует уравнению SX=0, а вторая 2 Г—0. Матри-
ца А строится по стержням. Рассмотрим этот процесс на
примере стержня (6). Построим матрицу а для отдель-
ного стержня фермы (см. вариант 4 табл. 3.2)
а = [—4/5 —3/5, 4/5 3/5Jт.
i	/
Часть матрицы, относящуюся к узлу i, поместим в табл.
3.3 в строки, соответствующие узлу /, а часть, соответ-
ствующую узлу /, в строки, соответствующие узлу 4. Ана-
логично поступаем и с остальными стержнями фермы.
Особо остановимся на формировании элементов мат-
рицы А, возникающих за счет опорных стержней. Анало-
гично стержням фермы для этого необходимо задать ко-
ординаты начал и концов опорных стержней. Ввиду того,
95
что за положительную продольную силу взята, растягива-
ющая сила, опорные реакции направляются таким обра-
зом, чтобы соответствующие им стержни были растянуты-
ми (см. рис. 3.9). Можно принимать длины опорных стер-
жней равными единице. Для примера рассмотрим стер-
жень 7 (см. рис. 3.9). На рис. 3.10 приведены два случая:
Рис. 3.10
начало опорного стержня в узле фермы (рис. 3.10, а) и
конец стержня в узле фермы (рис. 3.10,6). Узел фермы
помечен на рис. 3.10 кружком с точкой. Вычислим значе-
ние cos Ф:
1) для случая, изображенного на рис. 3.10, а, имеем
COS(D = (X;-Xf)/1 - [Xj<XiY,
2) для случая, изображенного на рис. 3.10,6, имеем
cos<D=(X;-Xi)/l = 1 (Xj> Х^.
Матрица а для 1-го случая будет иметь вид
а = [1,0; — 1,0р;
i f
для 2-го случая:
а = [—1,0; 1,0р.
i f
В первом случае в строки, соответствующие узлу 1 (см.
табл. 3.3), необходимо поместить часть матрицы а, соот-
ветствующую узлу г, а во втором — соответствующие узлу
/, т. е. в обоих случаях часть матрицы а, помещаемая в
узел 1, имеет вид а==[1,0]т.
Можно построить специальный алгоритм для учета
опорных стержней. В последнем столбце табл. 3.3 записан
вектор грузовых членов системы уравнений равновесия.
Обратим внимание на то, что уравнения равновесия запи-
сываются в форме AS=P, а не в форме 4S+P=0, как
это делается при составлении уравнений равновесия вруч-
ную, путем вырезания узлов. Поэтому знаки элементов
96
матрицы А противоположны знаком традиционного вари-
анта вырезания узлов (—AS = P).
Построим далее матрицу В для фермы, показанной на
рис. 3.9. Выпишем b для каждого стержня:
. 4а	За	4а	За
Ь, ------; Ь.,	— —--- ; Ь* — ----;	Ъл —-----;
EFt ’ 2 EF2 3	EF3 ’	4	EF4
, 5а	5а
~	Ь6 = ——	; Ь7 — 0;	0; Ь9 — 0
Ег5	Ег о
(опорные стержни не деформируются, поэтому их подат-
ливости равны нулю). Матрица В для фермы, изображен-
ной на рис. 3.9, имеет диагональный вид
рис. 3.11, составляются два уравнения равновесия 2У=0.
(в случае вертикальной нагрузки уравнение
2Х=0 удовлетворяется тождественно). Матрица А стро-
Таблица 3.4
		' (	1)	( Л1н	2)			( Мн	3)	(4) г4	(5) vs	(6) Ге	р
1	1 —I	1 11					1			М
2	1 Z1	1 “ 11 1	1 -тг —1	1 4				1		
3			1 ^2	1 -т 1	1 ^3 —1	1 h				Р ~м
4					h	1 G 1			1	
97
ится по стержням и приведена в табл. 3.4. Аналогично
предыдущему примеру сначала строится матрица а (см.*
табл. 3.2, вариант 5). Связь между общей и местной ну-
мерацией аналогична нумерации, принятой в предыдущем
примере (узел i в младшем номере стержневого ансамб-
ля (балки), узел /— в старшем номере для опорных стер-
жней узел i совпадает с узлом балки). Все остальные по-
строения аналогичны построениям предыдущего примера.
Построим далее матрицу закона Гука В. Матрицы b
для каждого стержня, из которых состоит балка,
	" h	it “		^2	
*1=	3EJi /i	6EJi	; b2 =	3EJ2 h	6£J2 ^2
	6£Jj	3EJ1		_ 6£j2	3EJ2
I Мат] структу		4 3E3	GE J •’з	/	1 ‘з	h 6EJ3 3EJ эица В для ба РУ " ь. |		3 3 лки им	= 0; Ь5 = [еет кв<	= 0; b6 — t 1зидиаго	). нальную
		*2				
В =			^3			
				0		
					0	
							0
98
Таблица 3.5
	(О			(2)		(3)		(4)		(5)			(6)				~р
			М«	N	мн	Л/	Л,к	N	Л4К	N		Л4К			мк	
1		-\/h	\!h	—1												
	1				—1//											
		—1			— 1											—Л4
2				1			1/Л		— 1/Л							
					1/Z	1		— 1								
3									1М	— 1						Р
								1			-1/1	1/Z				
									1		— 1					
4										1				— l/2h	1 /2h	
											1/Z	-1/1	1			-Р
												1		— 1		—М
Пример 3. Матрица уравнений равновесия для ра-
мы, изображенной на рис. 3.12, приведена в табл. 3.5.
Уравнения в этом случае составляются только для узлов
рамы. Для жестких узлов /, 3, 4 составляются три урав-
нения равновесия:	£У==0, 2М=0, а для шарнир-
ного— два: 2Х=0 и 2У=0. Все построения идентичны
построениям предыдущих примеров. Для построения мат-
рицы а для отдельных стержней используется табл. 3.2
(варианты /, 2, 3). Для стержнем, соединяющих узлы ра-
мы, узел i совмещается с узлом, имеющим младший но-
мер, а для стержней, соединяющих узлы рамы с землей,
узел i совмещается с узлом рамы. Для построения матри-
цы В построим матрицы b для отдельных стержней
					~ i	A
	hiEr\	0	0		ef2	V
ь1 =	0	h!3EJi	h/QEJi			
	0	h/QEJi	hlZE^		0	I
						3EJ2
					~ h	
	Г //^5	0	° 1		EF3	0
	0	Z/3£J5	Z/6£J5	; ft3 =		
	о	Z/6£J5	z/3£J5 J		0	ft
						3£7a
					~ ft	A
	2ft/EF6	0	0 1		££4	U
be —	0	2h!3EJQ	2ft/6£J6	; ft4 =		
	0	2h/5EJe	2ft/3£J6 J		0	ft.
						3£J4
изображенной
на рис.
3.12, имеет
Матрица В для рамы,
квазидиагональную форму
100
§ 3.5. Статико-геометрическая аналогия,
постановка задачи строительной механики
и общая система для ее решения
Составим для стержневой системы уравнения равнове-
сия ее узлов:
AS — P.	(3.36)
Запишем связь между деформациями стержней и пе-
ремещениями узлов:
Д^лД.	(3.37)
Найдем связь между матрицами А и А]. Стержневая
система находится в равновесии под действием внешних
сил, приложенных к узлам, и внутренних сил, действую-
щих в стержнях, следовательно, в соответствии с прин-
ципом возможных перемещений сумма работ всех сил на
любых возможных перемещениях должна быть равна ну-
лю. Возьмем в качестве возможных действительные пере-
мещения. В соответствии с (3.22) подсчитаем работу
внешних сил. Как указывалось выше, вектор 5 характери-
зует вектор внутренних сил для всей стержневой системы.
Но этот же вектор характеризует внешние силы, действу-
ющие на отдельные стержни. При использовании принци-
па возможных перемещений необходимо учитывать работу
внутренних сил, действующих в стержне. Эти силы про-
тивоположны силам, характеризуемым вектором 5. По-
этому работу As в соответствии с (3.23) необходимо брать
со знаком минус. Итак,
PTZ —5тД=0.	(3.38)
Подставляя в (3.38) значения Р по выражению (3.36) и
Д по (3.37), будем иметь
ST Ат Z — ST AjZ — О
или
откуда
Д! = ЛТ.	(3.39)
Выражение (3.39) и представляет собой статико-геомет-
рическую аналогию.
101
Обратим внимание на то, что при построении основ-
ных уравнений для стержня матрицы статических и гео-
метрических уравнений получились взаимно транспони-
рованными, что является следствием статико-геометриче-
ской аналогии. Далее поставим задачу строительной ме-
ханики в общем виде.
Дано: 1) координаты всех узлов стержневой системы
(геометрическая информация); 2) жесткости EF иEJ всех
стержней (физическая информация); 3) связь между уз-
лами, показывающая какой узел с каким связан (тополо-
гическая информация); 4) загружение системы Р и Д';
Д'— вектор заданных деформаций. Заданные деформа-
ции могут возникать от неточности изготовления стерж-
ней, температуры, ползучести и т. д. Если известна осад-
ка опор, то ее можно также трактовать как заданную
деформацию для опорных стержней.
Требуется определить: 1) усилия S во всех стержнях;
2) перемещения Z всех узлов.
Для решения поставленной задачи имеем:
1) статические уравнения — уравнения равновесия
ДЗ = Р;	(3.40)
2) геометрические уравнения Д = Дт1;	(3-41)
3) физические уравнения Д-ВЗ + Д'.	(3.42)
Векторы Р, Z состоят соответственно из векторов внеш-
них сил, приложенных к узлам, и перемещений тех же
узлов, а векторы S, Д — из векторов, характеризующих
внутренние усилия в стержнях, и соответствующих им
векторов деформаций. Матрица В является квазидиаго-
нальной матрицей. Матрицы уравнений равновесия и гео-
метрических уравнений являются взаимно транспониро-
ванными. Как указывалось ранее, в число неизвестных
строительной механики входят только векторы внутрен-
них усилий S и перемещений узлов Z. Для определения
этих векторов исключим из систем (3.40), (3.41), (3.42)
вектор деформаций Д. Заменяя в (3.41) вектор Д по вы-
ражению (3.42), получим
BS + Д' = ДТ1.	(3.43)
102
Добавляй к уравнению (3.43) уравнение равновесия
(3.40), получим полную систему для решения задач
строительной механики [39]
BS— дт2+Д' = 0;
(344)
ЛЗ — Р=0.
Векторы Р и Д' являются заданными векторами. Таким
образом, для составления общей системы уравнений
строительной механики необходимо построить только
две матрицы: матрицу уравнений равновесия А и матри-
цу закона Гука В. Как указывалось в § 3.4, каждая из
этих матриц может быть построена из соответствующих
матриц для отдельных стержней. В общем случае мат-
рица А для пространственной системы с жесткими узла-
ми имеет 6п строк и 6s — столбцов (где п — число узлов,
s — число стержней). Первое уравнение системы содер-
жит 6s уравнений, второе би, итого 6 (s-|-n) уравнений.
Число неизвестных также равно 6 (n+s) (6 п — неизве-
стных перемещений и 6s — неизвестных усилий). В слу-
чае, если система имеет шарниры, число уравнений си-
стемы будет уменьшаться, соответственно будет умень-
шаться и число неизвестных (см. § 3.2).
Рассмотрим случай, когда пространственная система
имеет 11Ц — простых полных шарнира и Ш2 — простых
цилиндрических шарнира. Напомним, что шарнир назы-
вается простым, если он соединяет два стержня. Если
шарнир пересекает более двух стержней, то он называ-
ется сложным. Сложный шарнир эквивалентен (k—1)-
му простому шарниру (где k — число стержней, пересе-
каемых шарниром). В такой системе число неизвестных
будет
6s — 3ZZZi — Ш2 — усилий
бгс — 3ZZZX — 1П2 — перемещений
Итого: 6 (s 4- п) — 6ZZ7j — 2Ш 2 — неизвестных
Полная система уравнений (3.43) в этом случае содер-
жит: (6s—3ZZ/1—Ш2) —уравнений первого типа и (6п—
ЗШ1—Ш2)уравнений второго типа, т. е. опять-таки
число уравнений будет равно числу неизвестных.
103
§ 3.6.	Решение общей системы
уравнений строительной механики,
смешанный метод
Рассмотрим первоначально случай статически опре-
делимой системы. В этом случае 6s—6п=0, откуда
6$=6я (для системы без шарниров). При этом матрица
Л является квадратной (порядок матрицы А—6nX6s),
так как число уравнений равно числу неизвестных. Оп-
ределитель матрицы А не должен быть равен нулю, так
как в противном случае система была бы либо изменяе-
мой, либо мгновенно изменяемой. Следовательно, матри-
ца А имеет обратную. Система уравнений распадается
на две независимые системы. Решая второе уравнение
(3.44) получим
S = A-1P.	(3.45)
Решая	первое	уравнение (3.44) относительно	Z,	будем
иметь
2’=(л-1)т(в5 + д').	(3.46)
Итак, равенство	(3.45) позволяет определить усилия во
всех стержнях, а равенство (3.46) — перемещения всех
узлов. В обоих равенствах (3.45) и (3.46) используется
одна и та же матрица.
Равенство (3.46) позволяет определять перемещения
по заданным деформациям, используя матрицу уравне-
ний равновесия Л-1.
Рассмотрим случай, когда Р=0 (узлы системы сво-
бодны от нагрузки). Подставляя Р=0 в (3.45) и (3.46),
получим
S-О; г = (Д-1)тд\	(3.47)
Первое равенство (3.47) говорит о том, что при смеще-
нии опор, действии температуры или неточности изготов-
ления стержней в статически определимых системах уси-
лий не возникает. Второе равенство (3.47) позволяет оп-
ределить перемещения всех узлов статически определи-
мой системы, если известен вектор принудительной де-
формации А'. В случае, если s<Zn, стержневая система
является изменяемой. Если система неизменяемая и
s>n, то она является статически неопределимой. Мат-
104
рица А при этом является прямоугольной и не имеет об-
ратной. Для решения задачи необходимо решить совме-
стную систему уравнений (3.44). В качестве неизвестных
в нее входят усилия S и перемещения Z, следовательно,
ее Ложно трактовать как систему смешанного метода.
Систему уравнений (3.44) можно сделать симметричной,
если умножить второе матричное уравнение на отрица-
тельную единичную матрицу.
§ 3.7.	Метод перемещений
Система уравнений смешанного метода содержит
большое количество уравнений 6 (п+$). Для уменьше-
ния количества уравнений исключим из нее вектор 5.
Для этого определим из первого матричного уравнения
(3.44) вектор S
S — В—1 Лт Z — В—1 Ь'.	(3.48)
Матрица В является квазидиагональной матрицей.
В этой матрице в местах, соответствующих опорным
стержням, стоят нули (см. § 3.4), т. е. эта матрица явля-
ется особенной. При решении практических задач вмес-
то нулей в матрице В можно ставить малые числа (на
несколько порядков меньше остальных членов), т. е. счи-
тать, что опорные стержни являются чуть-чуть податли-
выми (практически недеформируемыми пружинами). Ес-
ли эти податливости задать малыми, то их наличие не
будет сказываться на результатах расчета. После подста-
новки в матрицу В вместо нулей малых чисел она ста-
нет неособенной и будет иметь обратную. При этом в
матрице В-1 в местах, соответствующих опорным стерж-
ням, будут стоять большие числа. Подставляя (3.48) во
второе уравнение системы (3.44), получим
АВ-1 ATZ — P — АЕ—1 А' = 0.	(3.49)
Система уравнений (3.49) представляет собой систему
уравнений равновесия, записанную через перемещения.
Эта система является системой уравнений метода пере-
мещений, ее матрица является симметричной АВ~1АТ
(ДВ-’ЛТ)Т. Ввиду квазидиагональной структуры матри-
цы матрица АВ~ХАТ может быть построена по стер-
жням. При этом можно использовать матрицу жесткости
для стержня (3.33).
105
Эту матрицу удобно представить в виде четырех бло-
ков
Гц, гц — блоки реакций, возникающих в узле i, / при единичных
смещениях того же узла, гц— блоки, учитывающие взаимодей-
ствие между узлами.
Далее необходимо разослать эти блоки в соответст-
вии с общей нумерацией узлов системы. Поясним ска-
занное примером. Предположим, что стержень т соеди-
няет узлы i и j (рис. 3.13, а). На рис. 3.13, б схематичес-
ки показаны блочные строки системы уравнений метода
перемещений, относящиеся к узлам i и /, и порядок рас-
становки блоков матрицы для дп-го стержня. Если в уз-
ле сходится несколько стержней, то соответствующие
блоки складываются. В соответствии с рис. 3.13, а узел
i не имеет горизонтального перемещения; для учета это-
го обстоятельства в матрице системы уравнений произво-
дится операция вычеркивания строки и столбца, соот-
ветствующих наложенной связи. Операция вычеркива-
ния заключается в том, что строка и столбец матрицы,
соответствующие вычеркиваемой связи, зачищаются, а
на главную диагональ ставится единица. При этом, если
в грузовой столбец на это же место поставить ноль, со-
ответствующее неизвестное будет равно нулю (т. е. бу-
дет наложена связь). В принципе, строки и столбцы, со-
ответствующие наложенным связям, можно не формиро-
вать, однако при этом нарушается стандартность форми-
рования, что вносит некоторые осложнения в программи-
рование. Поясним структуру матрицы реакций на примере
фермы, изображенной на рис. 3.14,а. На рис. 3.14, б по-
казана структура матрицы системы уравнений метода
перемещений, которая получается после рассылки мат-
риц реакций всех стержней. Крестами на рис. 3.14, б по-
казаны элементы и блоки, отличные от нуля. Для уче-
та опорных закреплений произведена операция «вычер-
кивания». Эту же операцию можно произвести, ставя на
соответствующие места главной диагонали большое чис-
ло. Эта операция эквивалентна постановке по направ-
лению опорных стержней практически недеформируемых
пружин, что эквивалентно постановке в матрице В в ме-
ста, соответствующие опорным стержням, малых чисел
(см. начало настоящего параграфа).
106
107
Как известно, при расчете стержневых систем, рабо-
тающих на изгиб (балок и рам), можно пренебречь вли-
янием продольных деформаций [49]. Это обстоятельство
уменьшает число неизвестных метода перемещений. По-
ясним сказанное примером. На рис. 3.15, а изображена
рама с наклонной стойкой, а на рис. 3.15,6, в показаны
неизвестные метода перемещений с учетом и без учета
продольных деформаций стержней. Вследствие отсутст-
вия деформаций от продольных сил часть неизвестных
обращается в ноль, а часть оказывается линейно зави-
симой. Для того чтобы найти эту зависимость, на рис.
3.15, г показана шарнирная схема и ее перемещения.
Итак:
zt = Z'; Z4 гз;
Z2=-TZ3-.	25=0;
Система уравнений для основной системы, изобра-
женной на рис. 3.15,6, имеет вид
/?Z4-Rp = 0.	(3.51)
Подставляя в (3.51) зависимость (3.50), будем иметь
ЯСГ + Яр = 0.
Умножая обе части равенства на Ст, получим
+	(3.52)
где /?' = Ст RC, Rp = Ст Rp.
Система (3.52) содержит три неизвестных (первоначаль-
ная система (3.51) имела шесть неизвестных).
Приведем еще пример сокращения числа неизвест-
ных. По условию недеформируемости стержней от про-
дольной силы для рамы, изображенной на рис. 3.16, а,
имеем
*2 = 0;
^-=4 г8 = °;
Zl8=Z* 2М =0;
Z4=Z4= Z5 = 0;	Ze=Z'2;
Zg = Z3; Z1Q = Zg; Zu = 0; ZJ2 — Z5;
Z15^4;	Z16;=Z'e;	Z17=0; Z^ Z'.
Таким образом, число уравнений уменьшается более чем
вдвое при использовании основной системы по рис.
3.16, в (8 неизвестных) в то время как окончательные ре-
зультаты будут теми же, что и при использовании основ-
ной системы, показанной на рис. 3.16, б (18 неизвест-
ных).
§ 3.8.	Метод сил
Остановимся на методе, при котором в качестве не-
известных принимаются усилия в стержнях. В случае
109
статически неопределимой системы число строк матрицы
А вегда меньше числа ее столбцов (в противном случае
система либо изменяема, либо мгновенно изменяема).
Перенумеруем неизвестные таким образом, чтобы опре-
делитель матрицы из 6п первых столбцов был неравен
нулю и разобьем матрицу А на две матрицы До и Ах
68-6п
В соответствии с разбивкой
равновесия можно схематически
матрицы А уравнения
представить в виде
6п
вп 6(5-п)
или
Ло$о + АхХ-Р=0,	(3.53)
причем Det Ао#=О.
Разбивка матрицы А на две матрицы (До и Дх) эк-
вивалентна выбору основной системы. При этом X игра-
ет роль лишних неизвестных. Неравенство Ве1До#=О га-
рантирует неизменяемость основной системы, перестав-
ляя столбцы матрицы Д, таким образом, чтобы DeMoy=
=#0 можно получать различные основные системы.
В соответствии с разбивкой матрицы А первое урав-
нение (3.44) можно представить в виде
НО
или
Вп so -	Z + Д' = 0; Вх X - A'xZ +ДА=0.
Добавляя к этой системе уравнение (3.53), запишем об-
щую систему уравнений строительной механики (3.44) в
виде трех уравнений
• B0S0- ?1JZ + Ao-O;	(3.54)
Вх	Z+Дх = 0.
Исключим из системы (3.54) векторы So и Z. Из перво-
го уравнения системы (3.54) имеем
«0 = V* (~ ЛА X +>) = Lx X + 3%	(3.55)
где	= — А»1	^р:~ А)1 Р	(3.56)
Из второго уравнения системы (3.54) получим
г = (л7,)тв0х0 + (д71)тд;.	(3.57)
Подставляя (3.55) в (3.57), будем иметь
Z = (дг’)т Во Lx х + (4Г’)Т аЛ + (АГ1 )т До-	(3.58)
Подставляя (3.58) в третье уравнение системы (3.54),
получим
Вх * -	во lx* + (V)TV°p +(V)T До] + Дд=о.
(3.59)
Раскрывая скобки и используя обозначения (3.56), окон-
чательно будем иметь
(£J Во Lx + ВА) X + L\ Bjfy + L\X +~&х = 0.	(3.60)
Уравнение (3.60) представляет собой условие неразрыв-
ности перемещений по направлению лишних неизвест-
ных, а эти уравнения и являются уравнениями метода
сил. После того как из системы (3.60) найден вектор X,
определяются по (3.55) усилия So и далее по (3.57) пе-
ремещения всех узлов. Таким образом, при использова-
111
МММ		о	со	"35	-4	о	ел		ы	№	и-	№ узла	
tore № 014* СО	К 52		оо “Ч	Cl ел	Хоо	to н-	О <£>	00 -ч	ОСл	4* СР	№ >—	№ стержня	
										ро ООО	_i i	—	Nl
									о *-		о 1		N8	
									4 ООО	.4 ООО		со	N,
								о —		oh		4*	
								0,6 0.8	—0,6 —0,8			ел	и*
							О>-		oi			о	N,	
							0,6 —0,8	ООО					Я,
						О ►—		oL				00	N,	
						рр ооо	00 о					со	No
					о*-		oL					о	n19
					0,6 —0,8	—0,6 0,8						£	
				©I-		eh						к	*12
				рр ООО	ООО							W	* 13
			О —		4							£	*14
													
Таблица 3.6
	£	>	гГ		£	S <		<Г		Р				
	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28
						1 0	0 1							0 0
									0.4	-0,8	—0,6	—0,4	—0.2	
														3
										—1				0 6
														—4 9
											—1			0 12
										1				—4 15
									0 1			—1		0 18
	—0,6 0,8	—1 0												21
	0,6 —0,8		—0,6 —0,8.	—1 0									—1	0 24
		1 0	0,6 0,8		-0,6 0,8									1 1*..
				1 0	0,6 —0,8			0 1						0 30
									40,6	—0,2	—0,4	-0,6	—0;8	
						1	1	1 30	1 18	—1 -6	—1 —12	—1 —18	—1? —24	
113
нии метода сил приходится дважды решать систему ли-
нейных уравнений: один раз для определения Lx и Sp
(3.56), а второй раз для определения X из системы урав-
нений (3.60). Для пояснения использования метода сил
приведем пример.
Пример. На рис. 3.17, а изображена ферма, жестко-
сти всех стержней которой одинаковы и равны EF0. Тре<
Рис. 3.17
буется построить линии влияния во всех элементах фер-
мы. Перенумеруем узлы фермы таким образом, чтобы
каждый последующий узел присоединялся к предыдуще-
му диску двумя стержнями с последующими номерами
(в качестве первого диска используется стержень (1).
При такой нумерации удобно использовать метод выре-
зания узлов, так как при вырезании узлов в соответст-
вии с их номерами на каждом шаге надо решать два
уравнения с двумя неизвестными. Матрица уравнений рав-
новесия для фермы, изображенной на рис. 3.17, приведе-
на в табл. 3.6. Матрица А построена по стержням (по
столбцам) в соответствии с методикой, описанной в §3.4.
В столбцах 24—27 стоят единичные нагрузки, приложен-
ные соответственно в узлах 3—9. Нагрузки взяты со зна-
ком минус, так как они направлены навстречу оси Л
Матрица А имеет 22 строки и 23 столбца, следовательно,
ферма, изображенная на рис. 3.17, а, является однажды
статически неопределимой.
В качестве матрицы Ло используем первые 22 столб-
ца матрицы Л, матрица Ах состоит из одного столбца
114
(23-го). Такая разбивка соответствует основной системе,
изображенной на рис. 3.17,6. Построим матрицы
lx ~ А) Ах и “ А
Для получения матрицы Lx необходимо решить систему
уравнений с матрицей 40 и грузовым столбцом, соответ-
ствующим 23-му стержню. Для определения Sp необхо-
димо решить систему уравнений с той же матрицей и че-
тырьмя столбцами единичных загружений (24—27).
Аналогично ручному счету первоначально определим
опорные реакции. Каждому узлу в табл. 3.6 соответству-
ют две строки, первая из которых представляет собой
XX, а вторая ХУ. Если сложить первые строки для всех
узлов, то получим XX для всей системы; аналогично со-
ставляется ХУ для всей системы. Полученные результаты
приведены в строках 23 и 24. Для уравнения XMi=O
(сумма моментов относительно начала координат равна
нулю) построим 28-й столбец, в который занесены коор-
динаты узлов, причем в первую строку координаты У со
знаком минус, а во вторую координаты X. Если каждую
из строк умножить на координаты, стоящие в столб-
це 28 и сложить, то получим 25-ю строку, соответствую-
щую ХМ. При этом первые 21 элемента будут равны ну-
лю. Далее необходимо решить два уравнения с двумя не-
известными строк 24 и 25 (неизвестное Л^2о=О)
1Х21+1Х22+1Х = [—1; -1; -1; -1Ц
3(W22+18Х = [—6; — 12; — 18; — 24] J’	'
где Х=М2з— лишнее неизвестное.
Откуда
Х22 + 0,6Х — [—О, 2; —0,4; —0,6; —0,8].	(3.62)
Вычитая полученное выражение из первой строки систе-
мы уравнений (3.61), получим
Л/21 + 0,4Х — [— 0,8; —0,6; —0,4; —0,2].	(3.63)
Полученные выражения (3.62) и (3.63) заносим соответ-
ственно в 22-ю и 2-ю строки 23—27-го столбцов. Таким
образом, получены опорные реакции в основной системе
от всех загружений. Теперь для определения L и 5“ не-
обходимо сделать обратный ход по Гауссу снизу вверх
(из нижнего уравнения определить Azi3 далее подставить
это значение в предыдущую строку и определить /Vi8 и
т.д.). Значения Lx и приведены в табл. 3.7. Графы <?,
115,-
Таблица 3.7
№ стерж- ня	l		(lJ#o)T
1	2	3	4
М	5	0,5	2,5
д/2	6	—0,3	—1,8
	5	-0,5	—2,5
М	6	0,6	3,6
	5	0,5	2,5
N6	6	-0,9	-5,4
N?	5	—0,5	—2,5
	6	1,2	7,2
N9	5	0,5	2,5
Mo	6	—1,5	—9
Mi	5	—0,5	—2,5
M2	6	1,8	10,8
Мз	5	—0,75	—3,75
M4	6	-1,35	—8,1
Л’15	5	0,75	3,75
Me	6	0,9	5,4
JV17	5	—0,75	—3,75
M8	6	—0,45	—2,7
, S 3 S s	5	0,75 0 0,4 0,6	3,75
2		1	84,9
<г°
5	6	1 7.	8
— 1	—0,75	—0,5	—0,25
0,6	0,45	0,3	0,15
1	0,75	0,5	0,25
-1,2	—0,9	—0,6	—0,3
0,25	—0,75	-0,5	-0,25
1,05	1,35	0,9	0,45
—0,25	0,75	0,5	0,25
—0,9	—1,8	— 1,2	—0,6
0,25	0,5	-0,5	—0,25
0,75	1,5	1,5	0,75
—0,25	—0,5	0,5	0,25
—0,6	—1,2	— 1,8	—0,9
0,25	0,5	0,75	-0,25
0,45	0,9	! » 35	1,05
-0,25	-0,5	—6,75	0,25
—0,3	—0,6	—0,9	—1,2
0,25	0,5	C-,75	1
0,15	0,3	0,45	0,6
—C?25	—0,5	—0,75	—1
0	0	0	0
—0,8	-0,6	—0,4	—0,2
—0,2	—0,4	—0,6	—0,8
—42,7|	—74,6	—84,0	—50,55
5, 6, 7, 8 заполняются последовательно, начиная с ниж-
ней строки, с Л^22, по мере вычисления усилий. Длины
соответствующих стержней, приведенные в графе 2, ис-
пользуются в последующем.
Описанный алгоритм построения Lx и 5° не являет-
ся самым рациональным при ручном счете. Для расчета
фермы, изображенной на рис. 3.17, более целесообразно
применять разложение нагрузки по уравновешенным
воздействиям, однако данный алгоритм удобен для ЭВМ.
Используя его, можно рассчитать любую плоскую фер-
му, образованную путем последовательного присоедине-
ния узлов с помощью двух стержней, не лежащих на од-
ной прямой. До появления ЭВМ при расчете ферм с шар-
нирными узлами широко использовался прием Кремо-
ны — Максвелла, при котором для нахождения усилий
применялся метод последовательного вырезания узлов.
Приведенный алгоритм есть, по существу, аналитический
116
вариант того же приема. Аналогичный алгоритм можно
построить и для расчета пространственных ферм, обра-
зованных путем последовательного присоединения узлов
с помощью трех стержней, не лежащих в одной плоскос-
ти.’ Использование метода перемещений для расчета по-
добных систем нерационально.
Далее составим уравнение совместности метода сил
£.;BoZ.xX+^B0S°p = 0.	(3.64)
Матрица Bq при этом имеет вид
В° = -^Во.
где Во — диагональная матрица размерности 19X19, на главной диа-
гонали которой стоят длины стержней 1, 2, 3, 4, 5, 6... 19 (5, 6, 5, 6,
5, 6...5).
Произведя перемножение в соответствии с (3.64), по-
лучим (все вычисления приведены в табл. 3.7: перво-
начально вычисляется произведение LjB0, транспониро-
Таблица 3.8
№ стержня	Номера точек			
	3	5	7	9
1	0,7485	—0,3106	0	0,0477
2	0,4491	0,1864	0	—0,9286
3	0,7485	0,3106	0	—0,0177
4	—0,8983	—0,3728	0	0,0572
5	0,5014	—0,3106	0	—0,0477
6	0,5974	0,5592	0	—0,0859
7	—0,5014	0,3106	0	—0,0477
8	-0,2965	—0,7456	0	0,1145
9	0,5014	0,9393	0	0,0477
10	—0,0043	0,1819	0	—0,1431
11	—0,5014	—0,9393	0	-0,0477
12	0,3052	0,3817	0	0,1717
13	-0,1272	—0,1590	0	—0,6965
14	—0,2289	—0,2862	0	0,2462
15	0,1272	0,1590	0	0,6965
16	0,1526	0,1908	0	—0,6641
17	—0,1272	—0,1590	0	0,5534
18	—0,0763	—0,0954	0	0,3321
19	0,1272	0,1590	0	—0,5534
20	0	0	0	0
21	—0,5988	—0,2485	0	—0,0382
22	0,1017	0,1272	0	—0,4428
23	0,5029	0,8787	1	0,5954
117
ванное значение которого приведено в гр. 4, далее оно
умножается на Lx и S°, результаты перемножения при-
ведены в последней строке таблицы)
84,9zY — ——-[42,7; 74,6; 84,9; 50,55] = 0,
EF	EF
откуда Х = [0,5029; 0,8787; 1; 0,5954].
После построения линии влияния лишнего неизвестного
строятся линии влияния во всех стержнях фермы
Sv=LxX+S°p.	(3.65)
Полученные по формуле (3.65) ординаты линий влияния
приведены в табл. 3.8.
§ 3.9. Учет местной нагрузки
В предыдущих параграфах предполагалось, что на-
грузка, действующая на стержневую систему, является
узловой. При решении практических задач наряду с уз-
ловой нагрузкой часто встречаются случаи, когда нагруз-
Рис. 3.18
ка располагается между
узлами. Эту нагрузку бу-
дем в последующем на-
зывать местной нагруз-
кой. Учет местной нагруз-
ки надо производить
дважды; в начале расчета
при формировании векто-
ра грузового столбца и в
конце при построении
окончательных эпюр.
На рис. 3.18, а изобра-
жен стержень с прило-
женной к нему местной
нагрузкой в виде сосредо-
точенного момента Л1,
сосредоточенной верти-
кальной силы Р, сосредо-
точенной горизонтальной
силы Я и равномерно
распределенной нагрузки
интенсивности q.
118
Определим реактивные усилия, ^действующие со сто-
роны заделок на балку (рис. 3.18,а). На рис. 3.18,б—г
показаны эпюры перемещений точек стержня от иг = 1,
г>г=1, фг = 1. Функции, выражающие эти перемещения,
взяты из (3.9). Для определения реактивных сил вос-
пользуемся теоремой о взаимности работ. В качестве од-
ного из возможных состояний примем грузовое состоя-
ние, а в качестве другого — последовательно каждое из
единичных. Работа внешних сил каждого из единичных
состояний на перемещениях грузового состояния равна
нулю (так как в единичных состояниях внешние силы
приложены по концам стержня, а в грузовом состоянии
концы стержня не имеют никаких перемещений). Следо-
вательно, по теореме о взаимности работ работа внеш-
них сил грузового состояния на перемещениях единичных
состояний равна нулю.
Рассмотрим единичное состояние, изображенное на
рис. 3.18,6 («г=1). Составим выражения работ сил гру-
зового состояния на перемещениях единичного состояния
и приравняем его нулю
^+«(-^ = 0
или
7")-	<365>
Аналогично для единичного состояния, изображенного
на рис. 3.18, в (Цг=1), можно записать
л f з 2	\	/3
или
р2 = м 4- —	+ ₽ — 7“ +т" ipj+
+?(£,--7^ + 774	<3-66)
Для единичного состояния, изображенного на рис.
3.18, е, имеем
d /	2	-	1	\	/	2
\	I Р	/s=5Af	\	I
1195
,пн = м (1 - "75 м + ~р~ &)+ р	""	& + Т &)+
+ <7|—— — £3Н-------— й).	(3.67)
7 \ 2	31	4/2	/
Аналогичные выражения можно записать и для еди-
ничных состояний, относящихся к точке k (см. рис.
3.18, д—ж):
Рк =— Н	’
Рк = Л/(т-— т" + p(^-l2p—-^-l3pj +
+	(3-69)
воположныи, получим
+*(—5FS’+1H)-	<3-70>
Активные силы, эквивалентные действию местной на-
грузки
(р‘ = [р5, р9,	Р), Р-*Л1,]Т),
имеют знак, противоположный реактивным
Рк>р^тк]т)-
Изменяя в выражениях (3.65) — (3.70) знак на проти-
”1 - 1н| О
о !
.....9... z.!.±.4.k~^k
|и 0
° ~ (— 1м +
_ О 2|м-3^	_
120
рр
о
- 14-3&-2g,
/ (— Ip + 2gp |p)
О
-3fp + 2|3
l(fp-&)
Здесь
= U = Ip = IpA;I, = 7-
H
M
p
Q
(3.71)
Для определения вектора внешней нагрузки от действия
местной нагрузки в глобальной системе координат ис-
пользуется формула (3.2)
Р = стР*.
(3.72)
Для построения эпюр моментов и поперечных сил от ме-
стной нагрузки может быть использован либо метод сече-
ния, либо метод начальных параметров; последний поз-
воляет строить и эпюру прогибов. Для построения окон-
чательных эпюр эпюры от узловой нагрузки складыва-
ются с эпюрами от местной нагрузки (см. § 1.3).
§ 3.10. Уравнения для решения геометрически
и физически нелинейных задач
До сих пор мы рассматривали линейные задачи, в ко-
торых вследствие закона Гука и малости перемещений
имелась прямая пропорциональность между внешними
нагрузками, внутренними силовыми факторами и пере-
мещениями. Следствием этого является принцип супер-
позиции, широко используемый в линейной строительной
механике. В случае больших перемещений задача стро-
ительной механики становится нелинейной. Эта задача
при больших перемещениях называется геометрически
нелинейной задачей в отличие от физически нелинейной,
в которой не соблюдается закон Гука.
Рассмотрим случай, когда перемещения большие, а
деформации малые. Этот случай имеет наибольшее рас-
пространение на практике. Первоначально рассмотрим
121
стержневые системы, все узлы которых шарнирные. Нач-
нем с плоских систем. Выделим стержень и составим для
него уравнения равновесия в деформированном состоя-
нии. На рис. 3.19 изображен стержень до и после де-
формации в локальной системе координат, связанной со
стержнем в недеформированном состоянии. Для состав-
ления уравнений равновесия узлов стержневого ансамб-
ля необходимо записать усилия, действующие по концам
стержня, в единой системе координат:
=—TV cos ср; р* = TV cos <р; 1
Н	(3.73)
pjj =—Nsincp; pJJ — N sin <р, J
где
Ду	*+Д«
Sin4>=7+I? Cos,f = f+I? (3’74)
Здесь
Л«=«к —пн; Ду = ук— уп.	(3.75)
Запишем зависимости (3.73) в матричной форме:
Рн
₽2
IЧ- Ди
~ / + Д1
Ду
”/ +Д/
/ 4“ Ди
I 4~ Д/
Ду
_ Z н- AZ _
122
W = <r(z)7V.
(3.76)
Здесь и ниже р — вектор внешних сил, действующих
на стержень в локальной системе координат (для прос-
тоты записи знак * опущен). Для пространственного
случая
	
+ KI Ку ~ 1 + м ~ / + К1	N = а (г)
1 Ки 1+ К1 Ку 1 + М / + AZ	
(3.77)
Деля все строки матрицы a (z) на I и пренебрегая отно-
сительной деформацией е = (Д/)// по сравнению с еди-
ницей (для случая малых деформаций), будем иметь
I
Ку
~~
Kw
Ки
Ки
~г
Kw
I
N = a(z) У.
(3.78)
Здесь и, у, w — перемещения вдоль локальных осей т), g.
Составим геометрические уравнения для шарнирно-
го стержня. На рис. 3.20 изображен стержень н — к до
и после деформации. Используя теорему Пифагора, за-
пишем
/2 — I2 =-(/ + Ав)2 + Ди2 + Ди)2 — Z2 = /2 -Ь 21Ди + Д«2 +
123
+ Av2 4* До>2— I2
ИЛИ
/2 —Z2	I
—------= Ди 4- (Ди2 4- Дм2 4- Ду2).
Преобразуя левую часть и пренебрегая е = (Д/)/2/ по
сравнению с единицей, получим
С-<г _(Z„-O(f,+0 _ дцдг + 20
21	21	21
(3 79)
AZ.
(3.80)
Подставляя (3.80) в (3.79), получим
А/ = Au 4" ~ (Д«2 + Ди2 + Дш2) =
Ду ж , До/
или в матричной форме
Г/ , Au Aw Доу \] I
21 21
21
(3.81)
с другой стороны,
Ди '
Ду
Доу _
—1 0
0—1
0
0:100
0:010
0—1 =001
~wH~
WK
(3.82)
Подставляя (3.82) в (3.81), получим
Г/ Ди
2?
A/ =
Ду Дгу
21 ~ 21
“ин “
ик
иК
=	(z) z.
Дш
Ду
21	21
(3.83)
X
X
Сравнение (3.78) и (3.83) показывает, что в случае
геометрически нелинейной задачи, нет статико-геомет-
рической аналогии (ai#=aT). Выражения (3.78) и (3.83)
124
позволяют составить уравнения равновесия и геометри-
ческие уравнения для ансамбля стержней. Процесс со-
ставления матрицы уравнений равновесия проводится
аналогично случаю линейной задачи. В отличие от ли-
нейной задачи, помимо матрицы уравнений равновесия,
необходимо строить матрицу геометрических уравнений
(в линейной задаче эта матрица получается транспор-
тированием матрицы уравнений равновесия). Процесс
построения этой матрицы аналогичен процессу построе-
ния матрицы уравнений равновесия, но проводится он
не по столбцам, а по строкам. Дополняя статические и
геометрические уравнения законом Гука, получим пол-
ную систему уравнений для решения геометрически .не-
линейной задачи. Итак,
4(Z)S = P;
Д - A (Z) Z;
Д — BS.
Исключая А из системы, будем иметь
BS — Дх (Z) Z = 0;
A(Z)S —P = Q.
(3.84)
(3.85)
Решая первое уравнение системы (3.85) относительно
3 и подставляя во второе, получим систему уравнений
для решения задачи в перемещениях
A (Z) В—1 Л! (Z) Z — Р = 0.	(3.86)
Матрицы A (Z) и А\ (Z) линейно зависят от перемеще-
ний, следовательно, система (3.86) является системой
кубических уравнений относительно перемещений. Об-
ратим внимание на то, что матрица A (Z) B^Ai(Z) не
является симметричной матрицей. При Z = 0 эта мат-
рица переходит в обычную линейную симметричную
матрицу.
Остановимся далее на статико-геометрической ана-
логии для геометрически нелинейной задачи. Предполо-
жим, что система находится в равновесии в деформиро-
ванном состоянии. Зададим этой системе возможные
перемещения относительно деформированного состоя-
ния^ Обозначим эти возможные перЫёпХенЙя —dZ.
125
Этим возможным перемещениям соответствует вектор
деформаций dA.
Ввиду малости возможных перемещений можно запи-
сать
dk=A2(Z)dZ.	(3.87)
Система в деформированном состоянии находится в рав-
новесии, следовательно, в соответствии с принципом
возможных перемещений сумма работ всех сил на воз-
можных перемещениях должна быть равна нулю
Рт dz —	= о.	(3.88)
Подставляя в (3.88) значение Рт по уравнению равно-
весия (первое уравнение системы (3.84) и dA но (3.87),
получим
5ТЛТ (Z) dZ — St42(Z) dZ = 0,
откуда
Л2 (Z) = Лт(^).
Таким образом, в случае геометрически нелинейных
задач статико-геометрическая аналогия справедлива,
когда геометрические уравнения записаны в прираще-
ниях:
(3.89)
A {Z}S = Р;
dA Лт (Z) dZ*.
Дополняя систему (3.89) законом Гука в приращениях,
получим
Л (Z) S = Р;
dA = Лт (Z) dZ;
Д = BS.
(3.90)
Продемонстрируем статико-геометрическую аналогию
на примере плоского шарнирного стержня. По теореме
Пифагора имеем
(/+АП2= (/ + Ап)2 + Ди2.	(3.91)
Возьмем дифференциал от обеих частей равенства
(3.91)
2 (I + A/) dA/ — 2 (I	Atz) dAu 4~ ЗДо dAu,
126
откуда
dAZ =	dAW +	Л~/~ d&V = T7 (duK — ^h) +
14-	AZ I + AZ Z + AZ
+ 7Г77^н“^	<3’92)
Z-r AZ
или в матричной форме
dwfr
Г Z4*Au Aw ;/4-Ан Ao 1 dvu
dM — I —	—	’ i	I .	.	<3. 33)
[ Z+AZ Z4-AZ:.Z+AZ z+AzJ duK
_^K_
Сравнивая выражения (3.76) и (3.93), получим
d\l == ат (z) dz.	(3.94)
Остановимся далее на процессе решения геометри-
чески нелинейных задач методов Ньютона — Рафсона.
Если в первое уравнение системы (3.90) подставить век-
тор S, соответствующий некоторому вектору Z, то полу-
чим вектор невязки или вектор неуравновешенных сил
(в случае, если вектор перемещений не является истин-
ным). Этот вектор будет функцией от Z. Обозначим
эту функцию ф (Z):
J(Z) = A{Z}S—~P.	(3.95)
Вычислим дифференциал функции ф (Z):
(Z) = dA {Z)S + A (Z) dS.	(3.96)
В соответствии с системой (3.90) имеем
Лт (Z) dZ = BdS,
откуда
dS - В—1 Лт (Z) dZ.	(3.97)
Подставляя (3.97) в (3.96), получим
аф (Z) = A (Z) В-1 Дт (Z) dZ + dA (Z) S.	(3.98)
В выражение dA (Z) S линейно входят дифференциалы
перемещений (dZ), поэтому это выражение можно пред-
ставить в виде
dA (Z) S = К2 (S) d Z.	. 99)
127
Подставляя (3.99) в (3.98), получим :

(31 too
где
К1(7) = Л(2)В-Чт(2)«
Из выражения (3.100) имеем
(4 (Z)1MZ -	(Z) 4-	(S).
Примем в качестве n-го приближения Zn- Разложим
функцию ip(Z) (3.95) в ряд Тейлора около точки Zn и
ограничимся одним членом ряда
dib (Zn) ->
^(Zn)+ - * AZ = 0.
aZ
Отсюда
или
AZ =- [Ki (Zn) 4- K2 (Sn)]-1 ? (Zn);	(3.101)
q(Zn) = A(Zn)Sn-P-	(3.102)
Sn = B-Mi(Zn)Zn;	(3.103)
Zn+1 = Zn4-AZ.	(3.104)
Обратим внимание на то, что усилия Sn необходимо оп-
ределять с учетом нелинейных соотношений (3.103).
Матрицы Ki(Zn) и /G(Sn) строятся по стержням.
Обозначим эти матрицы для стержней малыми буква-
ми k\
К (zn) = a (zn) Ь-1 a? (zn);	(3.105)
da (zn) sn = k2 (sn) dz,	(3.106)
где
a (zn) =
An
/
128
Нелинейную матрицу a(zn) можно получить из линей-
ной матрицы а, используя формулу (3.17). Матрица С
(3.1) при этом будет состоять из косинусов углов меж-
ду недеформированным и деформированным состояни-
ями (см. рис. 3.19)
cos ДФ = cos ф = 1 4- (Ди)//; sin ДФ = sin Ф == (Ди)//.	(3.107)
В соответствии с формулами (3.2) и (3.13)				матрица С	
и линейная матрица		а (при Мн = ЛГк :	= 0)	имеют вид	
	. , Ди	Ди			— ~	
	,+—	0	0		1	
	Ди	Ди				
	— *+—	0	0		0	
с 					.....	(3.108)
V —			; и =		
		, Ди	Ди			
	0	0	1+	 		 / /		1	
		Ди	Ди			
	0	0		 Ч" —		0	
	—	1	/	-		— —	
В соответствии с формулой перехода (3.20) имеем
		Ди ~	1	0	0	
а (г) = Ста —	Au /	‘+-Т	0	0	
	0	0	1+^- 1	Ди 1	X
	0	0	ки 1	1+-S2- 1	
			1	—	
0
(3.109)
Следовательно, матрица k\(zn) есть обычная линейная
матрица жесткости, но составленная для деформирован--
129
него состояния. Эта матрица может быть получена пу-
тем подвижки координат (к координатам узлов
ня н—к прибавляются перемещения точек «, к).
Остановимся далее на
[см. (3.106)]:
построении матрицы
da(z)N= d
стерж-
($n)
/4-Ди~
/4-Д/
Ди
/4-Д/
/4-Ди
/4-Д/
Ди

— d
— d
АЛ
(3.110)
d
_ 14- Д/
Развернем первые две
da(z)N\
d
строки матрицы
столбца
ади(/4-дп —бШ(/ + ди) „
----------------------д/.
(/4-Д/)2
dAv (14~ Д/) — dM Av
(/4-Д/)2
/V.
(3.111)
Используя
дение da(z)N:
зависимости (3.111), запишем
произве-
дя (г) N =
N	0	< + Ац д,
1 + Ы		(/ + Д0г
0	N	До 	/V (Z 4- Д/)2
	~ 1 + М	
N	0	_ _z + Дц А/
1 + М		U+ до2^
п	_/V		to	к,
/4- ы
(/ + Д/)?
х
с другой стороны,
Z4- Д/
dAu
dAv
dAl
о
Ди
-	(N)
(3.112)
о
0
Z +Ди
Ди
/ + Д//4- ДС
duH
йик
_du.
'к
(3.113)
130
Подставляя (3.113) в (3.112), получим матрицу
“ До2___________Л	Ди (/ Да) N :
(I + Д/)а Z + Д/ “ (Z -ь д/>2 z + S
Ду (Z4~ Да)	N	(Z+Да)2 ZV	j
~ (Z + AZ)?	Z + AZ	(Z4-AZ)2 Z4-AZ	:
k2 W — ............................................."
Ду2 /V Ду (Z + Аа) ZV 
~ (Z4-AZ)2 Z + AZ (Z4-AZ)2 Z Ч-AZ j
Ду (Z 4- Да) zv (ZH-Да)2 N	1
(Z4-AZ)2 l+M	~ (Z + AZ)2 Z4-Д/ t
	Ду2	N	Ду (Z 4~ Ам)	N ”	
	~ (/ + Д/)2	14- AZ	U + A/)2	1 + м	
	Ду (Z + Да)	N	(1 + Ли)8	N	
	(Z + М)2	1 + М	- а+дп2	/ + Д/	. (3.114)
	Ду2	N	Ду (Z 4~ Да)	N	
	(/ + Д/)2 1+М		(Z4- А/)2	Z4-AZ	
	&v (1 + Да)	N	(Z4~Aa)2	N	
	~ (2 + ДО2	1 + М	(/ + Д02	1 + Л1 _	
Умножим и разделим все элементы матрицы k2(N) на
/3. Пренебрегая относительной деформацией (Д/)// по
сравнению с единицей, получим
(3.115)
131
Далее рассмотрим случай плоского стержня, рабо-
тающего на изгиб. На рис. 3.21 изображен стержень до
и после деформации в локальной системе координат,
связанной со стержнем в недеформированном состоя-
нии. Будем считать перемещения большими, а дефор-
мации малыми. При со-
ставлении статических
уравнений будем прене-
брегать деформациями
стержня ввиду их мало-
сти. Поэтому стержень
после деформации на рис.
3.21 изображен прямоли-
нейным.
Для составления урав-
нений равновесия узлов
стержневого ансамбля не-
обходимо записать уси-
лия, действующие по кон-
цам стержня в единой си-
стеме координат.
Для узла н
Рис. 3.21
Д'cos ф — Qsin(jp; =— N sin ф 4~ Q cos ф; тп =— М
(3.116)
Для узла к
р| = N cos ф + Q sin ф;
p]J = N sin ф — Q cos ф;
/nK = JWK,
(3.117)
где
Mv — 7ИН	14- ик — ин / 4- А«
---;----; cos ф — --------------—--------•
/ + Д/	/4-Д/	/ + Д/
______Д^
/4-Д/ “ /4-Д/*
Запишем зависимости (3.116) и (3.117) в матричной
форме
132
): ’		~ (+Au	До	Ду		
Рн		/4-Д/ Ду	(/+Д02 _ Z + Au	“ (Z + AZ)2 Z + Au		
Ph тн		“ /4-Д/ 0	U + AZ)2 — 1	(Z4- ДО? 0	г iv 1 • Л1н - 1_Л1К J	a(zjs
		Z 4“ Ди	Ду	Ду		
pi		/4- Д/ Ду	~ (Z + А/)? Z 4-Au	(Z + AZ)2 Z+ Au		(3.118) (см.
Рк __mK _ Состг	1ВИ1	/ + Д/ 0 и далее	(Z 4" AZ)2	(/4-Д/)2 о	1 геометрические ур		авнения	
рис. 3.5):
Ди
Дфн = — (<ра — ф) =— ф„ + arctg  —— ;
Ди
Д<₽к = ’Р1> — <р = фк — arctg	(3.119)
Вычислим дифференциал от
arctg [(Ay/(Z + Ды)1-
/ Ду \	1	dAy(Z + Aa)— dA «Дм
d I arctfi--I =--------------- ---*—---------------
\ Б/ + Ди/ , , / Ду \2	U4- Ди)2-
1+(т+г«)
— н~Дц)2 и ~ Дц)1 __
“	[(Z + Дм)2 + Ду?] (Z + А«)2	“
__ (Z + А») (dyK — dyH) — Ду (duK — duH)
~	(Z-bA/)§
Тогда
илт Ягп I (/-ЬД«)(^к—№(duK — duH)
4Дфн — — dcpH 4----------------—-------------;	(3.120)
dA<pK — dcpK —
(Z + Ди) (dvK — dvK) — Ду (d«K — duH)
(Z + AZ)2
Дополняя зависимости (3.120) соотношением (3.93)
получим
dAZ	Z + Au	Ду	0
	I + AZ	~Z+ AZ	
dA(pH	у	z + A«	1
	(Z + AZ)2	~ (Z + AZ)2	— 1
^Дфк	Ду	z +Au	6
	- (Z+AZ)2	(Z + AZ)2	
133
duH
dyH
^Фв
duK
dyB
_^Фк —
(3.121)
? /Ч~ Ди	Др
f Л- л/	Л- д/
• Ду /4~Д/
р (/4-Д/)2	(Л-Д/)а
:	4-
: (Z + Д/р ~ (Л- Д/")а
или
d& — ar dz,
т. е. опять-таки соблюдается статико-геометрическая
аналогия в превращениях.
Используем далее метод Ньютона —Рафсона. Для
отдельного стержня имеем
dip — das + ads.
Используя закон Гука и статико-геометрическую ана-
логию, получим
dip = das + air-1 a? dz.	(3.122)
Вычислим дифференциалы от элементов матрицы а:
d Z/+A«\	(Z+ ДО — <^Д/ (Z + ДЦ)
Д/4-Д//	(/4-Д/)2	5
f Ди \ _ dAu (I 4- Д/) — dA/ Ди .
Д/4-Д//	(/4-Д/)2
d Г /_|-Ди 1 _ dAu (/4- А/р — 2 (/ 4- Д/) dM (I 4- Да)
d [ (Z4- Д/)2 J ”	(/4-Д/)4
Г Др 1 _ dAu (/ 4- ДО2 — 2 (/ 4- АО dM Ьу
Й[(/4-Д/)2]”	(/4-ДР4
Запишем первую и вторую строки матрицы da-s
dbu (14- Д/) — dM(l 4- Ди)
—-----------------------------n —
(/4-ДО?
dAu (/4-ДР2 - 2(/4-ДО dA/Ди z ж4
----------------------------(Ат к — /Ин) —
(/4-Д/)4
dAu (/ 4~ Д/) — dA/ Ди Ж7 ,
—-------------------/V 4"
(/4-ДО?
dbu у 4- ДР2-2 (/4- Д/) dM(i4- Ди)
-----------------;--------------(/И к — /Ин)
(/4-др4
134
Произведение da-s запишем в виде
	N		
das =-	~+ Д/ Л4к-МН (/+Д/)2 0	(Z + AZ)2 N Z+ AZ 0	
	N Z+ AZ _ JHK- .-u„ _ (z + д/)2	(Z + AZ)2 N 14* Д/	
(Мк-Мн)
/4~Д« ж, , 2Ди
---------N *4------------
(Z + AZ)2 (I + AZ)3
Др 2 (Z + А»)
(Z + AZ)2 N (14- AZ)3 (Л1к Л н)
/ + Да	2Ди
(Z + Д/)2 N~ (/-Ь AZ)3
(Мк-Мн)
At>	2(/ + Дц)
(Z + Д/)2	(Z +А/)3
(Л4К — Ма)
(3.123)
С другой стороны, в соответствии с (3.113) можно за-
писать
О
Подставляя (3.124) в (3.123), получим
das = k2 (s) dz.
135
Элементы матрицы kzis):
1	2		— 1	—2	
2	3		—2	—3	
					
—1	—2		1	2	
—2	—3		2	3	
					
где цифрами /, 2, 3 обозначены выражения:
2hv (I + Да)
(/ + А/)4
(Л4К ТИц)
(/ + AZ)3
1
2
3
(/+Аы)Ла л,
(Z 4- А/)3
Да2 -(/-}- Дц)2
(Z + А/)4
(Мк-Мн)
(/ + А»)2
(ZH-AZ)3
2Др (/ + Ап)
(Z + A/)4
(Мк-Мн)
N +
Знак минус у цифр /, 2, 3 в матрице означает, что соот-
ветствующее выражение надо брать с минусом.
Пренебрегая (Л/)// по сравнению с единицей, получим
1
2
3
Au V .V Ди / А«\/Мк-Л1ну
1 + Т) Т + 2~Г( +-ГД——}
Матрица k\(z) =ab~laT [см. (3.122)] может быть
представлена как матрица линейная, но составленная
для деформированного состояния аналогично тому, как
это делалось для шарнирного стержня.
Наконец, учтем влияние продольно-поперечного из-
гиба на длине элемента. Запишем связь между векто-
136
рами s и Д, учитывающую влияние продольно-попереч-
ного изгиба:
Л/ 1 го о о п г д/
Мн I = I О г22 т23 I • I Лфн
MKJ L0 rag 1_Лфн
или
д.
а} 1М
s)
IM
ft
Рис. 3.22
N
Получим выражения Г22, ггз, г32, гзз- Рассмотрим два
деформированных состояния стержня: состояние 2
(рис. 3.22, а) и состояние 3 (рис. 3.22 6). В состоянии
2 (рис. 3.22, а) на элемент будет действовать момент
dM.2 = ftdv2 = АГ
dy3
а в состоянии 3 будет возникать угол поворота
Подсчитывая работу сил состояния 2 на перемещениях
состояния 3, получим
о	о
Аналогично
-«О* <3->
е	о
Для получения коэффициентов матрицы Ь~г необхо-
димо решить соответствующие дифференциальные урав-
нения. Не решая их, воспользуемся приближенным
137
приемом, применяемым при расчете рам [40,5]. Будем
считать, что кривые &2 и из являются кубическими па-
раболами, т. е. в качестве форм изгиба стержня примем
формы изгиба без учета продольных сил. В этом и за-
ключается приближенность подхода; очевидно, что ре-
зультат будет тем точнее, чем меньше длина стержня.
В соответствии с граничными условиями (см. рис.
3.18, г, ж)
2	1	11
Вычислим производные:
^=_1 + J_g_Ag3. *1=__2_? + Абг. (3.127)
Подставляя (3.127) в (3.125), (3.126), получим
2 жг	1
г2г-гл- 15 Nt; ra-rn- дом •
Дополнительная матрица, учитывающая влияние про-
дольно-поперечного изгиба, имеет вид
, N Г° 0 °]
Ь7* =-- О W Р .	(3.128)
9	30/ [о Л 4PJ
Тангенциальная матрица, учитывающая
дольно-поперечного изгиба, имеет вид
k3(z) = a(z)b~x с?
влияние про-
(3.129)
В выражении (3.129) в качестве a (z) аналогично мат-
рице ki(z) может быть использована линейная матрица
а, но составленная для деформированного состояния.
Окончательная касательная матрица вычисляется по
формуле
Л (г) = а (z) а* (г) + а (г) Ь”1 ат (z) + k* (s)
или
* (г) = а (г) {b~l + Jа* (г) + ft, (s).	(3.130)
При этом матрица а является линейной матрицей, со-
ставленной для деформированного состояния (при ее
использовании применяется подвижка координат). При
использовании метода Ньютона—Рафсона необходимо
вычислить внутренние силы с учетом нелинейных соот-
13в
ношений. Получим точные выражения для внутренних
сил:	- -
N
Л1К
или в развернутом виде
EF EF Г 1	,
N = — Д/ = — Ди + —(Ди2 + Дг>2)
At/	Av
Афн = — Фн + arctg —— ; Дф„ = <fK — arctg ——
I + Au	14- Au
(3.131)
где
В заключение выпишем систему уравнений для ре-
шения физически нелинейных задач
AS = P]
Д = Ar Z;
(3.132)
Д = B(S)S,
особенностью которой является то, что в отличие от
уравнений для решения линейной задачи матрица зако-
на Гука В (S) зависит от усилий S.
Исключая из системы (3.132) вектор деформаций
Л, получим систему смешанного метода
B(S)S_^Z + A> = 0;|	(3133)
л 5	— Р = 0.
139
Простейшей физически нелинейной задачей является
задача расчета ферм с шарнирными узлами при уело*
вии, что материал стержней не подчиняется закону Гу-
ка. 'Для решения подобных задач используется метод
последовательных приближений. При расчете ферм с
шарнирными узлами удобно использовать метод сил.
так как число неизвестных при этом меньше, чем по
методу перемещений. Запишем систему канонических
уравнений метода сил:
[Lx В (S) Lx + Вх (3)] X + Ц В (5) 5®,+	+ 4=°- (3-134]
При этом в процессе последовательных приближений
матрица Lx остается постоянной и на каждом этапе не-
обходимо решать только одну систему (3.134), числа
уравнений в которой равно степени статической неопре-
делимости.
Г п а в а 4. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
§4.1. Уравнения теории упругости и их связь
с уравнениями строительной механики
Покажем, что уравнения теории упругости можно
записать в форме, аналогичной форме записи общих
уравнений строительной механики (3.40) — (3.42). Соста-
вим основные уравнения теории упругости:
а)	Статические уравнения (уравнения равновесия).
На рис. 4.1 показан элемент, выделенный из тела. За по-
ложительные направления нормальных напряжений
приняты растягивающие напряжения. Касательные на-
пряжения снабжены двумя индексами, первый из кото-
рых обозначает направление напряжения, а второй—
направление нормали к площадке. Если внешняя нор-
маль направлена в положительном направлении ко-
ординатной оси, то и касательное напряжение направ-
ляется в положительном направлении оси и наоборот.
Площадки, совпадающие с плоскостями хОу, yOz и
zOx, будем называть исходными. Внешние нормали ис-
ходных площадок имеют направления, противополож-
ные координатным осям (соответственно z, xt у), поэто-
му положительные касательные напряжения по исход-
ным ' площадкам направлены противоположно
140
координатным осям (рис. 4.1,6). По грани yOz действу-
ет напряжение ах. По противоположной грани. +
дах
— (рис. 4.1,а). Умножая эти напряжения на соот-
ветствующие им площадки и проектируя на ось х, получим
— <гх dy dz + (qjc 4- dx'l dy dz = dx,dy dz. (4.1)
ш dx /	dx - л
Рис. 4.1
Таким образом, при проектировании на оси в уравнения
равновесия входят только приращения напряжений, ко-
торые изображены на рис. 4.1, а. Умножая эти прира-
щения на соответствующие им площадки и сокращая
на dx, dy, dz, получим
+	+	х = о-1 dx	dy	dz +	+	_j_ у _ 0. dx	dy	dz +	+^z + z = 0 dx	dy	dz	j	(4.2)
Л, У, Z — составляющие объемных сил силы, направленные вдоль	
осей х, у, z, приходящиеся на единицу объема).
Составим уравнения моментов относительно осей,
параллельных координатным осям и проходящих через
центр элемента (рис. 4.1, 6). Очевидно, что нормальные
напряжения и объемные силы не будут давать момен-
141
тов относительно этих осей. Приращения касательных
напряжений будут давать составляющие более высоко-
го порядка, поэтому они на рис. 4.1, б не показаны. Итак,
составляя уравнения моментов и сокращая на dx, dy,
dz, получим
тху— Тух, Туг— TZy', Тгх— Txz*	(4.3)
Соотношения (4.3) носят название закона парности
касательных напряжений. Используя закон парности,
запишем уравнения (4.2) в виде
дсх
дх
доу
ду
। дтХу	дхгх
ду	дг
। дхху । дтуг
дх дг
d<h	, дху2 дт2Ж
~т	—Z-----* Z '
дг	ду дх
(4.4)
Уравнения равновесия (4.4) можно символически за-
писать в виде
Au + Р = 0.	(4.5)
Здесь
	- д	д	_а_"	
	—	0	0	—	0		
	дх	ду	дг	
Л —	0	— 0	д д	0	;	(4.6)
	ду	дх дг		
	д	д	д	
	0	0	—	0	—		
	dz	ду	дх_	
° — [°Х Gy ТХу Tyz Т2х1 » Р — [XYZl .
При этом выражение Да надо понимать как обычную
операцию умножения матрицы на вектор. Обратим вни-
мание, что выражение Да надо понимать как единое
выражение, где А есть оператор, который имеет смысл
только в совокупности с вектором а, поэтому нельзя
записать (Да)т = атДт, так как правая часть этого ра-
венства не имеет смысла (нет вектора у оператора Д).
б)	Геометрические уравнения. На рис. 4.2 показаны
три ребра элементарного параллелепипеда dx, dy, dz.
При деформации тела точка О переместится по оси х
142
на и, по оси у — на у и по оси z — на в результате че-
го займет положение О'. Переместим ребра ОА и ОВ
поступательно, в результате чего точка А переместится
в положение Д', точка В — в положение В'. Точка А
имеет относительные перемещения (по отношению к
точке О'), равные приращениям перемещенийdr;
— dx\ — dx, В результате этих перемещений ребро О А
дх дх
удлинится и повернется, точка А займет положение Д'".
Аналогичные перемещения получит и точка В. Вычис-
лим относительные удлинения ребер ОД и ОВ и проек-
цию искажения прямого угла на плоскость, параллель-
ную плоскости хОу,
143
Аналогично, рассматривая деформации ребра O—Ct
можно записать
dw	dv . dw	dw ди
ег = ^;	=
(4.8)
Запишем выражения (4.7), (4.8) в виде
ди
ЕХ == ~-ч	»
дх
dv
Еу ~	л »
У	ду
dw
®2	7i7:
ди dv
dv дш
%2= т +^=
ди	 dw
Угх~ ~дг	~Г~дх'
Равенство (4.9) в символической форме можно записать
в виде
7=ЛТ2.	(4.10)
Здесь Ат — дифференциальный оператор, транспортиро-
ванный к оператору А [см. (4.6) ];
в = [ех Еу е2 уХу yyZ угх]т Z = [и, v, ьу]т •
Сравнивая выражения (4.10) и (3.41), приходим к
выводу, что в уравнениях теории упругости, как и в
уравнениях строительной механики, имеется статико-
геометрическая аналогия. Особенностью является то,
что в строительной механике А —- матрица, а в теории
упругости — матричный дифференциальный оператор.
Этот оператор будем называть в последующем основ-
ным оператором теории упругости.
б) Физические уравнения (закон Гука). Если через
каждую точку тела проходят три взаимно перпенди-
кулярные плоскости упругой симметрии, то такое тело
называется ортогонально анизотропным, или, короче,
ортотропным. В этом случае закон Гука имеет вид
е — В а + е',	(4.11)
144
Рис. 4.4
В силу симметрии имеем:
Pxj//Еу — \ЬуХ1 Ех\ Цуг/Ег = fayf Еу*,
№xz!Ъ ~ №гх/Ех
или
Ех №ху = Еу р,ух; Еу [iyz — Ег Цзр;
Ez P'gx — Ех PxzJ
е'— вектор начальных деформаций.
Рассмотрим далее случай статических граничных
условий. На рис. 4.3 изображен элемент, выделенный у
поверхности; Рх, Ру, Р2 — составляющие вектора внеш-
них напряжений. В соответствии с рисунком имеем
Fx — Fl; Fy = Fm*, Fz — Fn,	(4.12)
где F — площадь наклонной площадки; Fx, Fv, Fz — площади проек-
ции наклонной площадки на координатные плоскости; Z, т, п — ко-
синусы углов между внешней нормалью к площадке и соответствен-
но осям х, у, г.
Спроектируем внешние и внутренние силы на ось г:
РхР — oxFx — тХу Fy — тхг Fz"0.	(4.13)
145
Подставляя (4.12) в (4.13) и сокращая на F, полу-
чим PJC=ox/+Tx!/m+Tx2n. Ааналогично, проектируя на
оси у и z, получим выражения для Ру и Рг
Ру = Чх 1-^ОуПг + туг п\ Рг — тгх 14- т,гу т-\-агп.
Используя закон парности касательных напряжений,
можно записать
Рх = ох I +ъХут + т2Х л;
Ру = Oytn +ъху1 + Tj/z п	(4.14)
Рг =	Oz п	+ Tyz т 4- Т2х /•
Выражение (4.14) можно записать в виде
Ps = AsO,	(4.15)
где As — матрица, полученная из дифференциального оператора при
d	d	d
замене v на /; на т\ —на л.
dx	dy	dz
Сформулируем задачу теории упругости для тела с
объемом V, ограниченного поверхностью S. Предполо-
жим, что на части поверхности Si заданы напряжения
(статические граничные условия), а на части поверх-
ности S2 заданы перемещения (кинематические гранич-
ные условия) (рис. 4.4). Требуется определить а и Z
для точек х, у, z, v.
Выпишем основные уравнения упругости:
Ло4-р = 0;
Т-Л7?;	(4.16)
е = В а -}- 8-.
Сравнивая общие уравнения строительной механики
(3.40) — (3.42) и уравнения теории упругости, видим
их полную идентичность. Еще раз подчеркнем, что в
уравнениях (3.40) — (3.42) А — матрица, а в уравнениях
(4.16) А — матричный оператор.
Исключая из системы е, получим окончательную си-
стему уравнений теории упругости
Ва-Л<г 4~Т' = о1
> X, у, z£i>.	(4.17)
Ла 4-P = 0J
Статические граничные условия: Ps = Psi—Asg} xyz €S\.
Кинематические граничные условия: Zs=Zs2; xyz ^82.
146
Матрица В (матрица закона Гука) является симметрич-
ной неособенной матрицей и имеет обратную. Выразим
а из первого уравнения системы (4.17)
о = В'1 лт Z — ВТ1 Р = DAT Z — D е'.	(4.18)
Подставляя это значение о во второе уравнение систе-
мы (4.17) получим
ADATZ	=	(4.19)
Система уравнений (4.19) содержит три уравнения и
три неизвестных (Z—[uvw]T) и является разрешающей
системой при решении задачи теории упругости в пере-
мещениях.
Далее рассмотрим случай плоской задачи. При этом
будем иметь:
= Tzx = О? — т» Уху — т>
Для случая плосконапряженного состояния ог=0 и за-
кон Гука (4.11) имеет вид

8»-----F
_ Уху
°х---°у
ох+—ов
Ьу
(4.21)
2
G

Для случая плоскодеформирова иного состояния
ег^0. Тогда из третьего уравнения системы (4.11) имеем
М?х РгУ ,1	_п
By
147
©ткуда
иг — Ez
Mzx , Игу
“ °х + — Оу
Ех Еу
Подставляя (4.22) в первые два уравнения
(4.11), получим
1 Мхг Mzx Мху "Г Маг МгУ .
£а ------------- Ох-------------Gy't
Ех	Е-у
Мух Н" Муг Мгх .1 Муг МгУ
«У = — ----------- сх +---------Оу.
&Х	СУ
Перепишем выражение (4.23) в виде
(4.22)
системы
(4.23)
1
/О ~*Мх г Mzx)
Ох —
(МхУ 4~ Мхг Мгу)/(1 Муг Mzy)
£у/(1 — Myz Mzy)
ау;
(Мух4~Муг'Мгх)/(1 — Мхг Mzx) .	1
-------------------------а~ ч---------------О и« (4.24)
Ех/(1 — Мхг Mzx)	Еу/(1 Mj/z рг^)
Из сравнения выражений (4.24) и (4.21) видим, что
для получения закона Гука для плоско-деформирован-
ного состояния необходимо в законе Гука для плоско-
напряженного состояния произвести замену
Ех на Ех/(1 —[1XZ р2Х); Мху на (Мху “h Мхг Mzy)/(1 Муг Мгу)»
Еу на Еу/(1 — руг р2у); р^х на (p,j/x 4" Myz Mzx)/(1 Мхг Mzx)*
В дальнейшем везде будем писать закон Гука для плос-
конапряженного состояния (случай плоскодеформиро-
ванного состояния получается автоматически при ис-
пользовании приведенной выше замены).
Запишем закон Гука для ортотропного материала в
матричной форме:
tx еУ	=	~ 1 Ех Мух Ех	Мху Еу 1 Еу	0 0	•	°х аУ	.	(4 25)
У		0	0	1 G _		т	
е = Во.
или
В случае изотропного материала ЕХ=ЕУ=Е\ цХу = ЦуХ~
= ц- G=£7[2(l+g)] и матрица В имеет вид
1 Г 1 —О 1
в= — I —м 1	0	•	и-27)
£[о 0	2 (1 + ja) J
148
В дальнейшем наряду с прямой формой будем исполь-
зовать закон Гука в обратной форме
o = Er^=Dlt	(4.28)
где
Е

'Е'х
Е Е'у
о
0
0
G
(4.29)
О
Здесь
EX ~ Ex/{l PyX pxt/)» Ey = Eg/(1 ^yxj'i
E" — Ex Pxy/(1 —’ Pyx Pxif) = Ey Pf/x/(l	Pxy Hyx)*
В случае изотропного материала
D = ^-
Подставляя (4.29) в выражение
чим
0 
о
1 —и
2
(4.19) при е' = 0,
(4.31)
, d2u	д2и	d2v
х дх2 ду2	ох ду~
f d2v	d2v	д2и
£»'Н+стч + (£',+0)тт' + г = 0-
y dy2 dx2	dx dy
(4-30)
полу-
(4.32)
И
0

о
§ 4.2. Принцип Лагранжа
Вернемся к рис. 4.4. Поверхность, ограничивающая
тело, S=Si4-S2. На части поверхности Si заданы стати-
ческие граничные условия, а на части S2 — кинематиче-
ские.
Введем обозначения:
Z= [и v w]T — вектор действительных перемещений;
Z=Z + 6Z — вектор возможных перемещений. Под
вектором возможных перемещений будем понимать
Г49
вектор, который удовлетворяет внутренним и внешним
связям, наложенным на тело. Это означает, что коорди-
наты Z должны удовлетворять условию сплошности
внутри тела (т. е. должны быть непрерывными функция-
ми внутри тела) и кинематическим граничным условиям
на части поверхности S2;
6Z— вариация перемещений;
Z — Z^; Z — %s2* х* У* 2
следовательно,.-^ ~ 7 п /-о
о Z = z — Z = 0, xty,z£S2,
т. е. вариация перемещений на части поверхности S2
равна нулю.
Будем рассматривать тело как совокупность элемен-
тарных объемов. Тело находится в равновесии, следова-
тельно, сумма работ всех сил на любых возможных пе-
ремещениях в соответствии с принципом возможных пе-
ремещений должна быть равна нулю

\pi~ZdS-
JaT7dK = O. (4.33)
Первый интеграл выражает работу объемных сил, вто-
рой — работу поверхностных сил, третий — работу внут-
ренних сил. Знак минус у последнего интеграла объяс-
няется следующим: напряжения характеризуют внут-
ренние силы по отношению ко всему телу. Те же
напряжения характеризуют внешние силы по отноше-
нию к вырезанному объему (см. рис. 4.1). В соответ-
ствии с принципом Лагранжа необходимо вычислить ра-
боту внутренних сил по отношению к элементарному
объему, но эти силы являются противоположно направ-
ленными по отношению к силам, характеризуемым о,
поэтому работу внутренних сил надо брать со знаком
минус.
Подставляя в выражение (4.33) е=Лт2 и Z=Z+&Z,
получим
J₽T ZdV+ ^P'ZdS — J aT4TZdV + J?T«ZdV +
150
Первые три интеграла выражают работу всех сил на
действительных перемещениях. В действительном со-
стоянии система находится в равновесии, следователь-
но, эта работа равна нулю. Кроме того,
Jpj6 ZdS = JpjeZdS,
S	Sx
так как 6Z=0 на части поверхности Sj. Учтя все ска-
занное, запишем
6ZdV + JpJfiZdS
— J aW6ZdV = 0.
v
(4.34)
Вариация у функционала играет ту же роль, что
дифференциал у функции. Свойства вариации анало-
гичны свойствам дифференциала (см. прил. 3)»
Используя эти. свойства, можно записать:
Рт 6 Z = 6 (?т J § (рт z ) dV=6 J ?т Zd;	(4.35)
V	V
Pj6Z = 6(?jz); j6(pJz}dS=6j?JZdS.
s	s
Преобразуем последний интеграл выражения (4.34)
aТЛТ6Z	бе ® ?D6 е.	(4.36)
Произведение (4.36) является скаляром, следовательно,
?£>6 7 = (eTD6e)T =	(4.37)
Используя свойство вариации произведения и (4.37),
можно записать
5 (eTDe| — 6етD е + e* D 6 в — 2eTDd es
откуда
ет D6 е = — § ( eTD е).
(4.38)
Подставляя (4.35) и (4.38) в (4.34) и вынося знак
вариации (сумма вариаций равна вариации суммы), по-
лучим
b(~Y JeTDe'dV — §P*ZdV — JpJZdsj = O	(4.39)
V	V	St
или
63 = 0,	(4.40)
151
где
3 =-|-JeW еdV
V
Si
v
=	P^ZdS. (4.41)
V	V	St
Величина Э носит название полной энергии системы, а
равенство (4.40) выражает принцип Лагранжа: действи-
тельные перемещения сообщают функционалу полной
энергии системы стационарное значение.
§ 4.3. Принцип Рейснера.
Принципы Лагранжа и Кастилиано
как частные случаи принципа Рейснера
Прежде чем формулировать вариационные принципы, докажем
два интегральных тождества для основного оператора теории упру-
гости [44]. Для простоты выкладок интегральные тождества дока-
жем для случая плоской задачи:
, dv ди ди dv dv
ду ду дх дх v ду
= J { дх	+ ~^у V +	‘
Л ди dv
ох — + Оу —
дх J ду
dF<
(4.42)
Первый интеграл выражения (4.42) заменим интегралом по контуру,
ограничивающему площадь F. Формула, связывающая интеграл по
-площади с интегралом по контуру (формула Грина), имеет вид
JJ —	Pdx+ Qdy. (4.43)
JJ\d* ду
152
На рис. 4.5 изображен элемент, выделенный у контура области»
и показано положительное направление обхода контура S. В соответ*
ствии с рисунком имеем
dx — — ldS\ dy — mdS,
Подставляя эти выражения в (4.43), получим
или, вводя обозначение Р=—Р\, будем иметь Рис. 4.5
(4.44)
Применяя формулу (4.44) к первому интегралу выражения (4.42),
получим
J (/4 a)* Z dF — j {(ох и + та) I + (о^ v + т«) т} dS —
F	s
т]«
dF,
В свернутом виде окончательно будем иметь

= JaT Л^ ZdS — J ат (лт z) dF.
S	F
Интегральное тождество для объема записывается аналогично
J (л of Z dV = J ст Л* Z dS - J ат (лт ?) dV. (4.45)
V	s	V
Здесь S — поверхность, ограничивающая объем V.
153
. Получим еще одно интегральное тождество. Под знаками ин-
тегралов в (4.45) стоят скаляры, следовательно, равенство не нару-
шается, если протранспонировать выражения, стоящие под знаком
Интегралов (при этом необходимо помнить, что выражения (До) и
(ATZ) нельзя понимать как произведение матрицы на вектор, а на-
до понимать как единые выражения),
(" ZT (я a) dV =
PAS ~adS—
§ (A^zfadV,
ИЛИ
J (я* z)T а dV = J ZT	a dS
V	s
(4.46)
V
Интегральные тождества (4.45) и (4.46) можно рассматривать как
правила, по которым производится транспонирование выражений,
содержащих основной оператор теории упругости под знаком ин-
теграла. Далее выпишем уравнения теории упругости при в'=0:
Аа+Р=0	(4.47)	
~e = AtZ	х, yt z£V;	(4.48)
е — Во		(4.49)
. °9 to. 11 t © К 11 to.	P x,ytz^S^	(4.50)
z = zs , ^>2 1	x,'y, z£S2.	(4.51)
Уравнения (4.47) являются уравнениями равновесия, уравнения
(4.48) — уравнениями неразрывности, а уравнения (4.49) — уравне-
ниями закона Гука. Уравнения (4.50) выражают статические гра-
ничные условия, а (4.51)—кинематические граничные условия.
Остановимся далее на принципе Лагранжа. Предположим, что
компоненты вектора Z являются непрерывными функциями (в этом
случае существуют первые производные по х, у, г) и вектор е мо-
жет быть найден по выражению (4.48). Таким образом, для векто-
ра Z выполняется уравнение (4.48). Считая справедливым закон
Гука (4.49) и решая его относительно о, будем иметь
a = B-,e = D‘e.	(4.52)
Будем предполагать, что вектор Z удовлетворяет кинематическим
граничным условиям (4.51). Таким образом, по условию вектор Z
выбирается так, чтобы удовлетворялись уравнения (4.48), (4.51);
кроме того, считается справедливым закон Гука (4.49), Для того
чтобы вектор Z был решением задачи теории упругости, необходи-
154
мо, чтобы вектор а, найденный по выражению (4.52), удовлетворял
двум уравнениям
Ло-ЬР = 0, x,z/,z^V;
(4.53)
^s~^s°—^s или pst— A$o = Qi x,ytz^Slt
Функция равна нулю в том случае, если она ортогональна к любой
функции. Составим условие ортогональности выражений (4.53) к
вариациям 6Z:
J [(Ло) + ?]T«Zdo+ j (?St— Л5а)Тб2<1$ = 0.	(4.54)
v	S,
Второй интеграл берется только по части поверхности Si, так как
на части поверхности S2 вектор Z известен и не варьируется (6Z=
=0, х, у, z^S2). Первый интеграл можно понимать как работу не-
уравновешенных внутренних сил на вариациях вектора Z, а вто-
рой— как работу неуравновешенных поверхностных сил. С учетом
интегрального тождества (4.45) первый интеграл равенства (4.54)
будет иметь вид
j [Uо) + PJ 6ZdV= J <jMs6 ZdS —
V	31
- J а’ U* fi z) dV+« J PT Z dV.
V	V
(4.55)
С учетом (4.48), (4.52) и (4.38) второй интеграл выражения (4.55)
примет вид
J ат Лт 6 ZdV = J от бе dV = J ? D6 edV = -у dV. (4.56)
V	k'	V	V
Подставляя (4.56) в (4.55), получим
J[^a) + ?]T6ZdH= |атЛ<!6 ZdS — б-|-JeTo7dl' +
V	St	V
+ б J Р1 ~ZdV.
V
(4.57)
Раскроем второй интеграл выражения (4.54)
J l^s, —	о)] & ZdV = б § ps,z dS— o' ATS6Z dS. (4.58)
St	Si	Si
Подставляя (4.57) и (4.58) в (4.54) и сокращая одинаковые члены

155
получим
бГ—j7TD7dF +J	Z dV 4- J PrsZdS |=0 (4.59)
V	V	Si
или, умножая обе части равенства (4.59) на —1, будем иметь
ЬЭл = 0,	(4,60)
где
Эл = у J е* D edV — JZdS — Jp» ZdV, (4.61)
v	Si	v
Г= A'Z.
Выражение (4.61) представляет полную энергию системы {Эл —
функционал Лагранжа), а равенство (4.60)—принцип стационар-
ности полной энергии системы (принцип Лагранжа).
Рассмотрим далее двойственный ему принцип Кастилиано. Пред-
положим, что вектор о удовлетворяет уравнениям равновесия (4.47),
кроме того, компоненты о удовлетворяют статическим граничным
условиям (4.50) и выполняется закон Гука (4.49). Для того чтобы
вектор а был решением задачи теории упругости, необходимо вы-
полнение уравнения неразрывности деформации (4.48) и кинемати-
ческих граничных условий (4.51). Подставляя (4.49) в (4.48), бу-
дем иметь
Во—ATZ = 0.	(4.62)
Итак, истинным вектором а является вектор, удовлетворяющий
уравнениям (4.62) и кинематическим граничным условиям (4.51).
Аналогично предыдущему составим условие ортогональности, но по
отношению к
J [в a — Atz)t 6 cdv + J (z— ZsJas6 adS = 0. (4.63)
V	s,
Второй интеграл берется только по части поверхности S2, так как
б<т=О при х, у, z^S\ (о удовлетворяет статическим граничным ус-
ловиям). С учетом равенства (4.46) первый интеграл выражения
(4.63) будет иметь вид
В а — A* z)T 6 a dV = J О’ В6 а dV — J ZT Л5 6а dS +
V	St
+ J ZT (лбa) dV.	(4.64)
V
Покажем, что
J V (лба) dV = 0.	(4.65)
V
V-
V
156
Итак,
Ло + Р==0}	(4.66)
Ио+? = 0;	(4.67)
а —вектор действительных напряжений; а=о+6а— вектор воз-
можных напряжений.
Вычитая из (4.65) выражение (4.66), получим
А ( о — о) — 0 или Лба — 0.
Преобразуем первый интеграл выражения (4.64). Аналогично
(4.56) можно доказать, что
Jo*B6odV = -i-6 Jtf’BcdIZ.	(4.68)
V	V
Подставляя (4.68) в (4.64) и учитывая (4.65), получим
J (в a — в о dV = 6	JaT BfiadVj _ J Z’ Л5 6a dS. (4.69)
V	V	s2
Раскроем второй интеграл выражения 4.63)
(z —ZSJT4S6 odS = Jzr4s6adS — 6 J ZSt As odS .(4.70)
<S2	S2	5ч
Складывая (4.69) и (4.70) и сокращая подобные члены получим:
(J ZT As 6odsj , получили
s2
JoTBadV — Jzj^s ads) = 0;	(4.71)
V	St
6Эк = 0;	(4.72)
Эк = -yJa’B a —§Z^PsdS,	(4.73)
V	s2
где Ps= Aso.
Выражение (4.73) носит название дополнительной энергии системы
(Эк — функционал Кастилиано), а равенство (4.72) представляет
собой принцип стационарности дополнительной энергии — принцип
Кастилиано. Из всех возможных напряженных состояний, удовлет-
воряющих уравнениям равновесия и статическим граничным усло-
виям, действительные напряжения сообщают дополнительные энер-
гии системы стационарное значение.
Далее перейдем к функционалу Рейснера. Предположим, что
для решения задачи теории упругости составляется условие ортого-
нальности для уравнений (4.47), (4.48), (4.50), (4.51) по отношению
157
к вариации перемещений (6Z) и вариации напряжений (ба) таким
образом, чтобы каждое слагаемое имело размерность работы
J (во — А'гУба dV+ J Ua + ?) 6Z +
V	V
+ f - As °)Т 6 2dS + j (z - ZS)T 6PS = 0;	(4.74)
Si	s2
при этом на векторы возможных перемещений и напряжений не на-
кладывается никаких условий. Функционал Рейснера может быть
получен в двух формах. Получим первоначально первую форму, при
этом будем использовать интегральное соотношение (4.45). Раскро-
ем каждый из интегралов, входящих в выражение (4.74). Исполь-
зуя (4.68), раскроем первый интеграл (4.74):
J (во-Л<г)Т6а*<^=б(-^УатВа</Й —
v
- J 6 ат (^z) dV = 6l[ — ij.	(4.75)
V
Используя равенство (4.45), раскроем второй интеграл (4.74)
+ ?)’ 6ZdV = J <PA$f>ZdV — jaT (4T6z) dV +
v	sv
+ 6^PTZdV=l'3 — I4+6I5.	(4.76)
V
Обратим внимание на то, что первый интеграл выражения (4.76) бе-
рется по всей поверхности S, а не по поверхности как в анало-
гичном выражении (4.55), так как при использовании принципа
Рейснера вариация 6Z не удовлетворяет кинематическим граничным
условиям.
Раскроем оставшиеся интегралы выражения (4.74):
s2
Si
J (?S1 — Л5а)Т 6 ZdS = 6 J PTSi6ZdS —
St	s,
— JaT 6 Z dS = 6lj — l’i:	(4.77)
s>
Л — Zj’ 6 Ps dS = J Z* 6 Ps dS — 6 J Zss Ps dS +
Si	s2
6 ZT Ps dS—^6ZTPs dS=b J (z — Zs)* As a dS —
; s2	s,
— oT 4$ 6 Z dS = 6I3 — Ig .
Si
(4.78)
158
Складывая выражения (4.75), (4.76), (4.77), (4.78) и приводя по-
добные члены, будем иметь
— 12 — 14
— J б от (лт z) dV—j'aT (л1 6 z) dV =•
v	v
= — б J ат (лт z) dV;
V
= Ja1 Л5 «1 dS— Л5 6Z dS — J Л, 6 Z dS = Oj
S	St	s,
-Ja’BadV—Ja* (at~Z) dV + §P* Z dV +
V	V	I'
+ J Plt Z dS + J (z - ZSJT Лз 0 ds]=0	(4.79)
Sj	S2
или
63Pl=0;
Эр, — первая форма функционала Рейснера.
1 Получим из (4.79) функционал Лагранжа, при построении ко-
торого предполагается, что Z удовлетворяет уравнениям з
откуда
8 —i4T Zj Xi у, z£V;
8~ В Oi X9y^Z^Vl
О = В”1 8 = D 8.
Подставляя эти значения в (4.79), получим
J e*D edV — JeWedK + Jj”ZdV +JP$ ZdS +
V	V	V	St
+ J (z - ZSJT Лз о dS4) = 6-i- J ? D~ZdV + J2» PSt dS+
Ss	V	Si
+ JpTZdV=—бЭл = 0.	(4.80)
V
Получим далее вторую форму интеграла Рейснера, используя
интегральное равенство (4.46) аналогично тому, как это делалось
при получении функционала Кастилиано. Итак,
У (в<г —Лтг)тбаЛУ = бМ-у 0TBadV —J ZT As &adS +
V	vs
+ yz»Uea)dV=6i;-i;+i;.	(4.81)
V
159
Опять-таки обратим внимание на то, что второй интеграл выраже-
ния (4.81) берется по всей поверхности S, а не по поверхности St,
как в аналогичном выражении (4.64), так как при использовании
принципа Рейснера вариация бо не удовлетворяет кинематическим
граничным условиям. Кроме того, последний интеграл в выражении
(4.8!) не равен нулю, так как вектор возможных изменений напря-
женного состояния (о=о+бо) не удовлетворяет уравнениям рав-
новесия
Si-
Si
J U<r-|-p)T6ZdV = J (д a)I6ZdV'+6 JpTZdV =
v	v
= J б Z Да dV+ б J ZT Р dV = l' + 6lj;
V	V
PS, — »s °)T 6Z dS = 6 J Ps,6 Z dS — ^(Asoy6ZdS —
Si	s,
(Д5 o)T Z dS + J б (Д5 a)T Z dS = 6 J (pJ, — Д5а)Т Z dS +
s,	s,
+ J ZT Д$б odS = 61g + 1? ;
St
J (z — ZSt)T6PsdS = J Z1 Zs 6~odS —
— 6 JzJ^s6adS = lg+ 61<j .
s,
Используя свойства вариации, приведем подобные члены:
|"3 + *4 = J ZT Ьб a) dV + J 6 Z* (Aa) dV = 6 J гт(Да)т dVi
V	V	V
—12+ b+ Ig = — j’z’^s6ads + ]*гтД5ба<1$4-
S	St
4- J гтд5 6 a dS = 0.
s.
Окончательно будем иметь
бЦ-JaTBadV-f-Jz* (д a + p) dV +
V	V
Д-^Р^ —Дзо)?^ —Jz^s^dS^O (4.82)
S1	St
или = 0;
Э —вторая форма интеграла Рейснера.
Pt	160
, Получим из (4.82) функционал Кастилиано, при использовании
которого предполагается, что вектор о удовлетворяет уравнениям:
АоЧ-Р = 0,
(4.83)
Подставляя (4.83) в (4.82), получим
6 J отВ о dV — J ZAs о dsj == 0.
v
При получении функционала Рейснера предполагалось, что вы-
полняется закон Гука. Если на функции перемещений и напряжений
не накладывать никаких условий, то получим более общий функцио-
нал Ху-Вашицу, получение которого аналогично приведенным вы-
ше функционалам. При этом производится независимое варьирова-
ние векторами Z, е, о (6Z, бе, бо).
Если предположить, что векторы е и о связаны законом Гука,
то из функционала Ху-Вашицу можно получить функционал Рейс-
нера.
§ 4.4. Метод конечных элементов
и его связь с методом Ритца
В предыдущем параграфе получено три функциона-
ла, каждый из которых можно использовать для реше-
ния задачи теории упругости. Из всех функционалов
наибольшее распространение получил функционал Лаг-
ранжа, который требует построения функций Z,: удов-
летворяющих только условию непрерывности и кинема-
тическим граничным условиям. Построение функций о,
удовлетворяющих условию равновесия и статическим
граничным условиям, которые требуются при использо-
вании функционала Кастилиано, значительно сложнее.
При использовании функционала Рейснера на функции
Z и о не накладывается никаких условий, однако систе-
ма получается более обширной, так как производится
варьирование как вектором Z, так и вектором о. Рас-
смотрим далее решение плоской задачи с использовани-
ем функционала Лагранжа
J(atz)TD (atz) dF — ^P^Z dF — ^P^ZdS. (4.84)
F	F	St
161
Для нахождения стационарного значения полной
энергии системы Э используем метод Ритца. Представ
вим Z в виде суммы произведений непрерывных линей-
но-независимых функций, удовлетворяющих кинемати-
ческим граничным условиям, на некоторые коэффици-
енты ось р»:
Z(xty}=
“(х,у)
v(x, у)
2 ft Л
Г/Л*, у}
L °
(4.85)
Подставляя (4.85) в (4.84) и раскрывая интегралы
вместо функционала (4.84), получим функцию, завися-
щую от первых и вторых степеней коэффициентов и
₽й
3 = 3(ait ^).	(4.86)
Для отыскания экстремума функции (4.86) используем
выражения:
d9(a,.,Pi)	^(«п,Р,)=0.
dat	ар,-	'
Так как Э (а,, 0Z) зависит только от первых и вторых
степеней коэффициентов щ-, 0/, получим систему линей-
ных уравнений относительно коэффициентов щ, 0/. При
этом число уравнений будет равно числу неизвестных.
В случае линейно независимых функций матрица этой
системы будет неособенной. Как известно, успех исполь-
зования метода Ритца зависит от удачного выбора ко-
ординатных функций fi.
При использовании метода конечных элементов
(МКЭ) на рассчитываемую область наносится сетка и в
качестве координатных функций используются локальные
функции, число которых равно числу узлов сетки. Функ-
ция, относящаяся к i-му узлу, отлична от нуля только
в пределах элементов, примыкающих к узлу i. На
рис. 4.6 эта часть области заштрихована. Здесь и в
дальнейшем для простоты рисунков при рассмотрении
сущности МКЭ будем использовать редкие сетки. Одна-
ко при решении практических задач необходимо исполь-
зовать густые сетки, число узлов которых измеряется
162
с‘отнями и тысячами. На рис. 4.7 даны два изображения
функции /if(x,y), соответствующей точке 7' На рис. 47, а
эта функция иображена в аксиометрии. Функция rii(x,y)
имеет в точке i ординату, равную единице, а в осталь-
ных узлах сетки она равна нулю. На рис. 4.7,6 эта же
функция у} изображена в плоскости. При решении
Рис. 4.6
Рис. 4.7
плоской задачи с использованием функционала (4.84)
искомый вектор имеет вид
Z(x,y) = [u(x,y) v(x, у)?,
где и—перемещение по горизонтали; v—то же, по вертикали.
Так как ординаты функций л» в узлах сетки i равны
единице, вектор Z представляется в виде
->	['«(*»!/)']	" {^{х,у}	0	*1 Гчг
£(*,») =	=2
LV(X»£/)J f=i L 0 Mm)J 1л
(4.88)
где n — число узлов сетки; (Л, vt — перемещения узлов i по гори-
зонтали и вертикали.
Таким образом, искомые коэффициенты а,,
[см. (4.85)] являются перемещениями узлов сетки. Чет-
кий физический смысл коэффициентов разрешающей
системы метода Ритца делает МКЭ наглядным и удоб-
ным инструментом при решении практических задач.
В пределах ребер сетки функция «г меняется по ли-
нейному закону, вследствие чего функции и (х, у) и
ц (х, у) вяляются непрерывными в пределах всей об-
ласти. Поясним это на примере одномерной задачи. На
рис. 4.8 изображены функции п\(х)—п4(х). Умножая
первую функцию на перемещение первой точки вто-
рую — на «2 и т. д. и складывая, получим функцию пе-
ремещений и (х), которая по построению будет непре-
рывной функцией от х.
163
Использование локальных функций позволяет учи-
тывать произвольные кинематическйе граничные усло-
вия. При этом для узлов, перемещения которых извест-
ны, достаточно умножить соответствующие координат-
ные функции на величины заданных перемещений. Об-
ратим внимание на то, что граничные условия можно
Рис. 4.8
ками, равны нулю.
ставить как для точек, ограничи-
вающих рассчитываемую об-
ласть, так и для точек, находя-
щихся внутри области.
Использование локальных
функций приводит к тому, что
-яри вычислении интегралов по-
лучаются величины, отличные от
нуля только для смежных точек
(соединенных ребром). Если точ-
ки соединены более чем одним
ребром, то интегралы, учитываю-
щие взаимодействие между точ-
Это обстоятельство приводит к
тому, что матрица разрешающей системы уравнений ме-
тода Ритца имеет ленточную структуру. Таким образом,
МКЭ является методом Ритца с использованием специ-
фических локальных координатных функций. После того
как на область нанесена сетка, континуальная система
превращается в систему с конечным числом степеней
свободы. В случае плоской задачи число степеней свобо-
ды равно числу перемещений узлов. Если сетка имеет
п узлов, для которых заданы s смещений, то вектор пе-
ремещений имеет вид
Z=[u1v1, u2v2 ... unvny = [Zi ... z. ... 2m]T,
где —s; s — число наложенных связей (во втором представле-
нии Z выброшены известные степени свободы).
Для системы с конечным числом степеней свободы
можно записать R = RZ, где R— матрица реакций;
R — вектор реакций, соответствующих вектору переме-
щений Z.
При загружении пластины узловыми силами полная
энергия системы может быть записана в виде
Эл— у Z1RZ + ZT Р,
(4.89)
164
где Р — вектор узловых сил
Р = [Р1х р1у > Р2ХР2у ••• Рпх%Г = [РГ- РГ" Vn\T
Для отыскания стационарного значения вычислим
производную
“о"
дЭ 1
— = Y{-[0 ... 1 ... 0]RZ-Z'R
-Н° ••• 1	0]Р = — (—(шг1+ ••• Гцг[ + ri.mzm) ~~~
^('Пг1 + ••• Oizf+ ••• rmi гт)} 4-Рр
Придавая индексу i значений 1, 2...m, получим
- дЭ -
дЭл
dZ
дЭ
dz2
0?Z + SIz}+£-
дЭ
. _ дгт _
Учитывая симметрию матрицы R и используя принцип
Лагранжа, можно записать

(4.90)
§ 4.5. Связь МКЭ
с методами строительной механики
Рассмотрим треугольную пластину, изображенную на
рис. 4.9, а. Разделим пластину на элементы (рис. 4.9, б).
Перемещения всех точек будем характеризовать пере-
мещениями угловых точек. Будем считать, что вдоль ре-
бер сетки пермещения меняются по линейному закону.
Составим для пластины, показанной на рис. 4.9, б, сис-
тему уравнений строительной механики:
(bS-^Z + A' = 0;	(491)
[ лЗ __ р = о.
165
Для рассматриваемой системы имеем
Z = [’zj’zj	J* , где Z4 = [u( uj*
(i — номер узла).
В соответствии со связями, наложенными на систему,
Ui=0; v 1=0; и3=0.
Для того чтобы отличить номера элементов от номе-
ров узлов, последние помечены на рис. 4.9, б скобками.
В соответствии с этими номерами вектор внутренних сил
имеет вид
"s=["si^3 slJ’’
Для определения вектора Si выделим треугольный
элемент (рис. 4.10, а), на который действуют шесть сил,
166
но для него можно, составить,три уравнения, равновесия.
Таким образом, внутренние силы можно характеризо-
вать тремя величинами. Будем характеризовать внут-
ренние силы вектором s
^=IP«;p«aPJT-	(4.92)
Остальные внутренние силы можно выразить через ком-
поненты вектора s, используя уравнения равновесия
SX = 0; P„, + pu, + pUj = 0;	PU1=-Ри,~ Ри,<
SAfj = 0; pCja —ри> = 0;	Р„, = ₽Р„з;	=	(4.93)
ЕУ = 0; pVt + р„г + Ро> = 0; рР1 =- £рИ) - p„s.
Рис. 4.11
В соответствии с формулами (4.93) имеем
элемента. Матрица b связывает вектор обобщенных
сил, приложенных к угловым точкам (s), с вектором
деформаций 6 = 6$, где
6 = 1“2 “з °з]Т ;	[Р«. Риз PoJT •
167
Дополним треугольник до прямоугольника (рис. 4Л1)
и будем считать, что в пределах прямоугольника на-
пряженное состояние является однородным. Предста-
вим деформацию прямоугольника в виде растяжения
вдоль оси х (рис. 4.11, а), сдвига (рис. 4.11,6) и растя-
жения вдоль оси у (рис. 4.11,в). Внешние силы будем
характеризовать обобщенными силами р. Элементами
матрицы Ь являются перемещения угловых точек за счет
Р«2	1 > Р Из- — 1 Р Г3 ~ 1
1
О
6з1
О
^22
О
О
бзз
(4.95)
В соответствии с формулами сопротивления материалов
имеем:
с	2«	2 п . п
бц *—	. —• Р Р ; Р —
Ehb Eh
с * 2а 1
613 — 631 —
(4.96)
Итак,
а
2
цб =—-----и;
Ehb a	Eli
.	2 2(1 +р)	4(Ц-р)
«22 = уь = - z> = - —— ь — ——
2
бзз — “77“ Р (А — толщина пластины).
Eh
Р;
р — as.
(4.97)
По статико-геометрической аналогии
б — ат z.
(4.98)
Закон Гука для треугольного элемента, изображенного
на рис. 4.10, а, имеет вид
(4.99)
где
2 р-i
О
—2р
О — 2р
4 (1 + р) Р О
' 0	20
Подставляя (4.99) в (4.98), получим
bs — ат г,
6 =
ь
Ь — bsy
163
откуда
s = t—1aTz*.	(4 ЛОО)
Подставляя (4.100 в (4.97), получим
р = ab—1 аг z— г Zf
гдег — аЬ—'а*.	(4.101)
Используя выражения (4.97) и (4.99), построим мат-
рицы А и В для системы, изображенной на рис. 4.9, б.
Матрица А приведена в табл. 4.1. Римскими цифрами
I, II, III помечены опорные стержни. Для системы, изоб-
раженной на рис. 4.9, б, можно составить 12 уравнений
равновесия (2п, п — число узлов), число неизвестных
равно устроенному числу элементов (напряженное сос-
тояние каждого элемента определяется тремя силами
Р«3> Ръ ) плюс число опорных стержней. Степень
статической неопределимости системы, изображенной на
рис. 4.9, б, будет i= (4-3+3)—12=3.
Матрица А строится по элементам. Первоначально
строится матрица а (4.94) для каждого элемента; далее
части, соответствующие точкам 7, 2, 3 местной нумера-
ции (см. рис. 4.10, а), разносятся в соответствии с об-
щей топологией системы. Например, для 2-го элемента
часть матрицы а, соответствующую точке 1' в местной
нумерации (верхние две строки), помещаем в строки,
соответствующие точке 2. Далее части, соответствующие
точкам 2' и 3' местной нумерации, помещаем в строки,
соответствующие точкам 3 и 5 общей нумерации. Обра-
тим внимание на то, что четвертый элемент перевернут
(рис. 4.9, б) по отношению к остальным элементам, поэ-
тому в соответствии с рис. 4.10, б его реакции направле-
ны навстречу общим осям X, У и в соответствующей мат-
рице а необходимо все знаки сменить на обратные. Мат-
рица В строится из блоков bi и имеет вид (4.102).
Опорные стержни являются неподатливыми, поэтому на
главной диагонали на местах, соответствующих этим
элементам, ставятся нули. Подставляя матрицы А (см.
табл. 4.1) и В (4.102) в (4.91), получим систему урав-
нений для нахождения векторов перемещений узлов Z
и внутренних усилий 5. При решении системы может быть
использован как метод перемещений, так и метод сил.
169
Таблица 4.1
		(1)			(2)			(3)				(4)				I	II	III	
		1	2	3	11	2 |	3		1	2	3	1	2	3				
1	и	—1	—1											1			
	V		-р	—1											1		
2	и	1			—1	-1						— 1					
	V		р			-р	—1						—1				
3	и				1												
	V					р										1	
4	и		1					— 1	— 1		— 1						
	V			1					-р	-1		-р					
5	и					1		1			1	1					
	V						1		р			р	1				
6	и								1								р
	V									1							
§ 4.6. Связь МКЭ с методом перемещений
Рассмотрим пластину, изображенную на рис. 4.12, а,
на которую действуют две силы: одна из них (Pi) при-
ложена на контуре, а другая (Р2) внутри контура На
пластину наложены связи в точках Л, В и С, В точке
А наложены две связи, полностью исключающие пере-
мещения точки Л, в точках В и С наложено по
одной связи, первая из которых препятствует вертикаль-
ному перемещению в точке В, а вторая — горизонталь-
ному в точке С. Как и в предыдущих параграфах, для
наглядности будем использовать редкую сетку. Разде-
лим пластину горизонтальными и вертикальными сече-
Рис. 4.12
171
пиями на четыре прямоугольных элемента с размерами
aXb и будем считать, что эти элементы соединены толь-
ко в угловых точках, которые назовем узлами (рис»
4.12, б). Усилия взаимодействия между сторонами со-
седних элементов являются распределенными. Эти уси-
лия будем характеризовать обобщенными силами. Для
расчета системы используем метод перемещений. Пере-
мещения всех точек будем определять перемещениями уз-
ловых точек, следовательно, разбивка пластины на
элементы превращает ее в систему с конечным числом
степеней свободы. В каждом узле имеется по два неиз-
вестных (горизонтальное и вертикальное перемещения)
и, следовательно, число неизвестных равно удвоенному
чиску узлов минус число наложенных связей. В нашем
случае число неизвестных перемещений т = 2-9—4=14.
Накладывая на узлы системы связи, получим основ-
ную систему метода перемещений, изображенную на
рис. 4.12, в. Для того чтобы отличить действительные
связи системы от связей, наложенных для получения
основной системы, диск земли у действительных связей
помечен штриховкой. Для отыскания неизвестных пере-
мещений составляется система канонических уравнений
метода перемещений. Число этих уравнений равно чис-
лу связей, наложенных в основной системе. Следователь-
но, число уравнений равно числу неизвестных, каждое
из уравнений имеет смысл — обобщенное усилие в на-
ложенной связи равно нулю. Таким образом, расчет
пластинки после разбиения ее на элементы ничем прин-
ципиально не отличается от расчета стержневой системы,
темы.
Составим систему канонических уравнений для ос-
новной системы, изображенной на рис. 4.12, в. Первона-
чально составим полную систему, включая уравнения,
относящиеся к опорным стержням. Система каноничес-
ких уравнений для основной системы, изораженной на
рис. 4.12, в, имеет вид
/?Z + £p = 0;
Z — [zj Zj ... Zj j ;
p?]p R^p ... R^p j .
Матрица системы канонических уравнений R и вектор
грузовых членов Rp приведены в табл. 4.2. Очевидно, что
172
Таблица 4.2
для строк, соответствующих опорным связям, не надо
составлять канонические уравения. Кроме того, переме-
щения по направлению опорных связей не должны вхо-
дить и в остальные уравнения, так как они равны нулю.
Однако при формировании системы на машине алгорит-
мично формировать полную систему, включая опорные
стержни. Далее для учета опорных связей можно исполь-
зовать три приема. При использовании первого приема
можно произвести «сжатие» матрицы системы, выкиды-
вая строки и столбцы, соответствующие опорным стер-
жням. При использовании второго приема в строки и
столбцы, соответствующие опорным связям, ставятся ну-
ли, и на главную диагональ в места, соответствующие
опорным связям, ставятся единицы. При использовании
третьего приема необходимо на главную диагональ на
173
места, соответствующие опорным стержням; поставить
больйие числа. Эта процедура эквивалентна постановке
жестких связей в местах, соответствующих опорным
стержням.
Построим матрицу реакций для отдельного прямо-
угольника с размерами аХЬ. Перемещения каждой угло-
Рис. 4.13
вой точки (рис. 4.13, а) будем характеризовать вектором
где i=l, 2, 3, 4;
перемещения всех точек — вектором
z = pl zj z' z; ]т.
Обобщенные силы, действующие в точках 1, 2, 3, 4 (рис.
4.13, б), связаны с перемещениями в этих же точках соот-
ношением
ку i, от единичных перемещений связей, наложенных на точку /;
чы/1ч-^-
Г”1 uj | rVi Vj

Прежде чем строить матрицу реакций R, остановимся
на некоторых ее свойствах. В силу теоремы о взаимности
174
реакций	т. е. матрица реакций является сим-
метричной и полностью определяется ее нижней треуголь-
ной частью
Ril симметрично
^21	^22
^31	^32	^33
Т?41	/?42 /?4Я	^44
(4.103)
Первым столбцом матрицы 7? являются реакции, воз-
никающие в точках 1, 2, 3, 4 от единичных смещений пер-
вой точки. Введем обозначения для блоков первого
столбца: /?п=Лц; /?21 = В2г, /?з1 = СзГ, R^=D^. В силу
двоякой симметрии прямоугольника матрица будет сим-
метричной по модулю матрицей относительно второй
диагонали (проходящей из левого нижнего угла в пра-
вый верхний). Таким образом, в силу теоремы о взаим-
ности реакций и двоякой симметрии прямоугольника мат-
рица R является двоякосимметричной по модулю матри-
цей. Блоки реакций, отличающиеся только знаками, в
матрице R будем обозначать одинаковыми буквами
^12 б\з ^14
^21	^22	Б23	С24
Gi Б32 /433 В34
^41	^42	Д|3	^44
(индексы указывают на
разницу в знаках).
(4.104)
Таким образом, модули всех элементов матрицы R
полностью определяются элементами первого столбца.
Для установления знаков построим три оператора зна-
ков. Разделим перемещения на две группы; для того что-
бы установить, к какой группе относится то или иное пе-
ремещение, перегнем элемент относительно оси у (см.
рис. 4.13,я). В результате этого точка 1 наложится на
точку 2, а точка 3 на точку 4. Если положительные на-
правления обоих перемещений совпадут, то отнесем их к
группе 1, если не совпадут — к группе 2. Аналогичную
операцию можно провести и относительно оси х. Итак,
имеем:
Ось у	Ось х
Группа 1	Группа 2	Группа 1	Группа 2
V	и	и	V
175
Построим операторы для получения знаков второго,
третьего и четвертого столбцов по знакам первого столб-
ца. Для построения оператора 2 используем левую из
приведенных схем, а для получения оператора 3 — при-
знаки операторов 2 и 3 устанавливаются по следую-
щему правилу: на пересечении строки и столбца ставит-
ся знак ( + ) в том случае, если перемещения, стоящие
слева и сверху, принадлежат к одной группе, в против-
ном случае ставится знак (—). Для получения знаков
оператора 4 необходимо оператор 3 «наложить» на опе-
ратор 2, причем, если знаки совпали, то в соответствую-
щее место оператора 4 ставится знак ( + ), в противном
случае —знак (—). Операторы 2, 3 и 4 служат соответ-
ственно для получения знаков второго, третьего и чет-
вертого столбцов матрицы R по знакам первого столбца.
При этом для получения знаков второго столбца необхо-
димо «наложить» по приведенному выше правилу опера-
тор 2 на знаки элементов первого столбца и т. д.
Блок первого столбца Ли в силу теоремы о взаимно-
сти реакций является симметричным блоком. Остальные
блоки (Дгь Сзь £>41) в силу симметрии прямоугольника
являются симметричными по модулю. Для установления
знаков элементов, расположенных выше главной диаго-
нали, необходимо на знаки элементов, расположенных
ниже главной диагонали, «наложить» части операторов,
расположенных ниже ступенчатой линии. Элементы, рас-
положенные на главных диагоналях и ниже в блоках
41ь B2i, С31, £>41, полностью определяют всю матрицу R
цля прямоугольника, поэтому эти'элементы будем в даль-
нейшем называть исходными элементами
Й11 j	^21
fl2L	а 22
—
6*31 —
|	С21
С21 С 22
(4.105)
176
Построим блоки первого блочного столбца матрицы
реакций. Вычислим реакции, которые возникают при
смещении Wi = l (рис. 4.14,а). Будем считать, что по от-
ношению к этому прямоугольнику справедлива гипотеза
плоских сечений. На рис. 4.15 показана деформация пря-
моугольника. До деформации прямоугольник занимал
положение 1-3-4-2. После смещения точки 1 на единицу
по горизонтали прямоугольник займет положение 1"'-3-
4-2. Полную деформацию можно представить в виде сум-
мы трех деформаций: сжатия на 1/2 (Г-3'-4-2); изгиба,
при котором крайнее нижнее волокно укорачивается на
’/г (Г'-3"-4-2), а точка к смещается на А; сдвига, при ко-
тором точка к" возвращается в положение к'. Рассмот-
рим каждую деформацию в отдельности.
Сжатие (рис. 4.16,а). Вычислим обобщенные силы
N и S, при действии которых сторона 1-3 перемещается
177
по горизонтали на ’/а, остальные стороны не перемещают-
ся. В соответствии с обобщенным законом Гука для
плоского напряженного состояния имеем
°и = 1-----ГТ	; а0==  --— (е0 + ре„).
1 р	j р
В нашем случае
1 Л Е 1
£“~ 2а ’ ес“°: °и~ I-ц* 2а 1
g Ц
"	1 — р,2 2а '
Учитывая, что
где h — толщина
2W
bh ~
2S
<ju = 2N / {bh); av — 2S/{ah'),
пластины, получим
’ ОТКуДа N = ; (4-,06)
— ——------— , откуда S = —— з (4.107)
ah 1 - р2 2а 1 У 4 (1 - ц2)	'	*
где Ыа.
Изгиб (рис. 4.16, б). Дифференциальное уравнение из-
гиба имеет вид
}/p = M/(EJ).	(4.108)
В соответствии с рис. 4.16,6
а рд<р = р [(1/2): (6/2)] = р/6,
откуда
р — ab.	(4.109)
Подставляя (4.109) в (4.108), получим
\l{ab)=^MI{EJ) или = \2РЬЦЕКЬ*),
откуда
Р= (£hP)/12.	(4.110)
Вычислим перемещение Д (см. рис. 4.16,6):'
Ma2 а2 1	1
Л = 2EJ = Т ~lb~ = ~2р” ‘
Сдвиг (рис. 4.16, в) для равновесия момент от сил Т
должен быть равен моменту ст сил Q, 2Та — 2ОЬ, откуда
1-78
По закону Гука имеем
_ Е	Е	Д _ Е	1
2(1 4" Ji) V 2(1 +|л) а 4(1 4- И) Ра
_ 2Г_____Е_____1_
Т bh 4 (1 4- р) ра
откуда
Т = £й/[8(1+р)1; (4.111)	Q = Eft/[8p(l 4-Н)1- (4.112)
Для того чтобы определить реакции при единичном
смещении «i~l (см. рис. 4.14,а), необходимо сложить
напряженные состояния растяжения, изгиба и сдвига:
= N + P + Q = *[(4-р2) Р + у О -р) Р-1];
rvtU, = s + т = k у (1 + и);
^и,=-Лг-Р + <2 = *[-(4-р2)Р + у (1 -р) р-1 ];
rV!u=S-T=-k^-(\-^y,	(4.113)
rUlllt = Л/ - Р - Q = k [(2 + Р) р - у (1 - и) Р-1];
ч«.=-5+г = *Т(1-ЭД:
Г	3	1
+ ^ -Q = *[-(2 + |Л2) р-у (1 -р) Р-1]!
rv.ut=-S-T=-kT(l+^’
где
fe-Eh/[12(l—р2)].
Реакции, возникающие при смещении точки / на еди-
ницу в направлении оси v (см. рис. 4.14,6), могут быть
получены заменой в выражениях (4.113) р на 1/р.
Покажем далее, как, имея матрицу реакций для эле-
мента, простроить матрицу реакций для всей системы.
На рис. 4.12,в номера, соответствующие местной нуме-
рации, помечены штрихами. Матрица реакций в местной
179
нумерации для всей системы имеет вид (при постоянной
толщине пластины)
’ R	О	О	О
О	/?	О	О
о	о	я	о
0	0	0	7?
(4.114)
Я— матрица реакций для одного элемента с размерами а\Ь
[см. (4.104)].
Рис. 4.17
Построим матрицу, связывающую вектор перемещен
ний в локальной системе, с вектором перемещений в гло?
бальной системе:
Z' = CZ;	(4.115)
С — матрица перехода, приведенная в табл. 4.3 (Е — единичная
Матрица второго порядка);
Z' — вектор перемещений в локальной системе; номера, соответству-
ющие координатам вектора Z', приведены в графе 2 табл. 4.3;
Z — вектор перемещений в глобальной системе; 1—9 в табл. 4.3 —
номера, соответствующие координатам вектора Z.
С учетом (4.115) матрица R в глобальной системе
координат для всего ансамбля элементов будет вычис-
ляться по формуле
R =	(4.116)
Можно использовать и другой прием получения мат-
рицы реакций для всей системы. Для получения уравнений
удобно рассматривать не каждое уравнение в отдельно-
сти, а выделять группы уравнений, относящиеся к одной
точке. В дальнейшем изложении эти группы будем назы-
180
Та блица 4.3
Эле- мент		1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1'	Е								
	2'		Е							
	3'				Е					
	4'					Е				
2	Г		Е							
	2'			Е						
	3'					Е		I		
	4'						Е			
3	Г				Е					
	2'					Е				
	3'							Е		
	4'								Е	
4	Г					Е				
	2'						Е			
	3'								Е	
	4'									Е
181
вать блочными строками. Число уравнений, входящих в
одну блочную строку, равно числу степеней свободы в
угловой точке элемента (в нашем случае равно двум).
В качестве неизвестных в эти строки входят векторы ZZ?,
координатами которых являются перемещения точки k.
В каждую блочную строку входят только те векторы пе-
ремещений, которые вызывают реакцию в точке,- соответ-
ствующей этой блочной строке. По матрице реакций для
отдельного прямоугольного элемента составим матрицу
реакций, возникающих в точке i от единичных смещений
узлов, помеченных на рис. 4.17 жирными точками:
^,£-1+п ^1,1+п
1 Ri.i
#i,i—1—n Ri,i—n ^i,i+l—n
Местная нумерация узлов каждого из элементов ука-
зана на рис. 4.24. Используя обозначения, приведенные в
(4.104), составим матричный оператор, показанный на
рис. 4.18. Накладывая этот оператор на узлы сетки ана-
логично тому, как это делается при использовании конеч-
ных разностей, получим систему линейных уравнений.
В отличие от метода конечных разностей в кружках опе-
ратора стоят не числа, а матрицы и искомыми являются
не скаляры (значения функции в точке f), а векторы Z^.
Например, накладывая оператор на точку i, получим
^41 Л’—1—Л + (^31	С42) Zi—n + £>32 Z+1—л "Ь
+ (В21 + В4з) А-1+ 2 Ъ + (В12 + В34)	+
1=1
+Р23 А-1+л + (С13 + С2з) + D14^l+l+n +Л'Р = °’	(4 П7)
После того как построена система линейных уравне-
ний, которая имеет ленточную структуру, по специальной
программе производится решение этой системы и вычис-
ляются векторы перемещений всех угловых точек Z,. По
этим перемещениям определяются обобщенные реакции
(см. рис. 4.13,6). По обобщенным реакциям определяют-
ся напряжения. В. частности, для точки, расположенной
в центре прямоугольника, будем иметь:
°и~ bh ~ bh !
182
Нт	"t"	*+	^U.
ah	ah 1 Tuv ah	ah
__ ^Vi #Va _ ^Vt #Vi
%vu bh “ bh ‘
Очевидно, что Тиг=тги. Обратим внимание на то, что рас-
смотренный в этом параграфе элемент вследствие дефор-
мации изгиба искривляет кромки (см. рис. 4.15), в ре-
зультате чего после деформации возникают разрывы
между соседними элементами.
§ 4.7. Решение плоской задачи
теории упругости по МКЭ
При решении плоской задачи по МКЭ наиболее час-
то используются треугольные и прямоугольные элемен
ты. Для построения матриц жесткости используется спе-
циальная формула. Получение
формулы и ее применение пояс-
ним на примере изотропного пря-
моугольного треугольника (рис.
4.19). В качестве степеней сво-
боды, определяющих деформа-
цию треугольника, примем пере-
мещения его угловых точек по го-
ризонтали и вертикали. Зададим-
ся полем перемещений
и == at + a2x -Ь <х3 j/;	(4.118)
(4.119)
или в матричной форме
z(x,y) = M(x, у) а.
где
у) =
Г1 х у О О О
|_0 0 0 1 х у
183
Используя формулы Коши (4.9), получим вектор дефор-
маций
или
1 = Ва.	(4.120)
Закон Гука для изотропной пластинки имеет вид
—	(4.121)
Подставляя (4.120) в (4.121), получим
a — DBa.	(4.122)
Составим выражение для энергии деформации элемента:
Й = G^edxdy = -у ат h JJB'DBdxdya = -у а/?* а ,(4.123)
F	F
где
\\BTDBdxdy;
R* — матрица жесткости, при построении которой в качестве
обобщенных перемещений использованы коэффициенты а.
Далее необходимо выразить коэффициенты полиномов
полей перемещений через обобщенные перемещения
U2V2\ U3V3.
“1	“ 1 0 0 0 0 0 ~	- «1
»i	000100	a2
«2	1 aOOOO	a3
	0 0 0 1 a 0	a4
	10b 000	«5
_ v3 __	_0 0 0 1 0 b __	»6 -
(4.124)
или
откуда
Z = La,
a = £-1 z.
(4.125)
184
Подставляя (4Л25) в (4.123), получим
Q =	(4.126)
где
=	(4.127)
Формула (4.127) выражает переход от матрицы жест-
кости R* к матрице жесткости R при замене вектора
обобщенных перемещений а на Z. Для случая треуголь-
ника матрица В не зависит от х и у, поэтому имеем
С С	abh
R* = hBTDB\\ dxdy= —B'DB.	(4.128)
Подставляя в (4.128) матрицы В и D и используя фор-
мулу (4.127), получим
12(1 — р)
6₽ + 3(1 -ц)₽-1 3(1 + ц)	3(1 +11) б₽-Ч-3(1 - ц)Р	-6Р — 6р.
-6₽	— 6р	6₽
-3(1-Ю	— 3(1 — р) р	0
-3 (1 — И) р—1	-3(1-и)	0
— 6|Л	-бр-1	бр
cd. X =L 1 1 со со 1 1	-3(1 -(Л)р-1 -3(1 -И)	— 6р -бр-*	
0	0	6ц	(4.129)
3(1 -р) ₽	3 (1 - |О	0	
3(1 —и)	3(1 - Ц) ₽-1	0	
0	0	6Р-1 _	
При построении матрицы реакций для треугольного эле-
мента может быть использован другой прием. Первона-
чально строится матрица реакций без учета жесткого
смещения (рис. 4.20, а). Зададимся полем перемещения
u = ai-|-a2x4-a3//; v = a4 -f- a5x + aeу,	(4.130)
при
x ~ 0, у — О u = O, и = 0;
х — а, у — 0 и = и*, v — 0;
х -- 0, у ~ b и — и — Уд.
185
О = «!•
Подставляя эти значения в выражение (4.130), получим
0 = а4;
.131)
Выражая коэффициенты а из (4.131)
подставляя их выражения в (4.130) и
ричную форму, получим
U
v
через и* и ц*,
используя мат-
(4.132)
Используя формулы Коши, будем иметь
186

к
(4.133)
Составим выражение для энергии деформации элемента:
Й = у Л JJ cTedx dy=-^- (z*)T	,
F
где
BT DBdxdy =BT DB.
Подставляя выражение для В (4.133) и D (4.30), по-
лучим
(4.134)
Обратим внимание на то, что матрицы (4.134) и (4.99)
являются взаимно обратными матрицами, так как при
получении обеих матриц использовалось однородное по-
ле напряжений. Произведем учет жесткого смещения. На
рис. 4.20, б оно представлено в виде поступательного
смещения (положение Г-2'-3') и поворота (положение
Г-2"-3"). Окончательное положение треугольника (пос-
ле деформации) Г-2"'-3"'. Перемещения угловых точек
относительно положения /'-2" -3" помечены звездочка-
ми. Из рис. 4.20, б следует
*	*	fl — V2
——----b\
«з^з — Up
или в матричной форме
-1 о
-1 -р
о — 1
М2
*2
1 0 :0 О’
0 ₽ j 1 0
о о i о 1
«з
из
187
Это же выражение можно получить, Используя (4.94) и
ст'атико-геометрическую аналогию.
Окончательно матрица реакций с учетом жесткого
смещения получается по формуле
R = L*R*L.	(4.135)
Производя перемножения по формуле (4.135), найдем
матрицу, полностью совпадающую с выражением
ч	(4.129).
Рис. 4.21
Построим далее матрицу
для ортотропного треуголь-
ника произвольного положе-
ния (рис. 4.21). Составим
функцию, принимающую в
точке 1 значение, равное
единице, а в точках 2 и 3—
значения, равные нулю.
Обозначим эту функцию гц.
Запишем уравнение прямой,
проходящей через точки 2
и 3:
----— - -------— или (у — у2)(х3 — х2) — (х — х2) (у3 — уд = 0.
Уз — Уъ хз — *2
Тогда
"1 = MG/ — ^2)(*з — хд — (х — -Ч)(Уз — У2)1.	(4.136)
Очевидно, что если подставить в уравнение (4.136)
значения координат точек 2 (х2#2) и 3 (х3у3) функция
П[ будем принимать нулевое значение. Для определения
коэффициента k{ подставим в формулу (4.136) коорди-
наты l-Й ТОЧКИ (*1#1). При ЭТОМ фуНКЦИЯ П[ = 1
1 = M(£i — £/2)Оз — х2) — (*! — х2)(г/3 — ^2)].
Отсюда
kl = 1 Н(У1 — Уд(х3 — х2) — (%! — Х2)(у3 — z/2)j .
Вводя обозначения у г—у^=у^, хг—Xj—Хц,
«I =	— Уд х32 — (X — х2) y32]/2F,	(4.137)
где F— площадь треугольника 1-2-3.
Аналогично построению функции П\ с использовани-
ем круговой подстановки могут быть построены осталь-
ные функции н2 и Из, каждая из которых обладает свой-
ством
«г (*1 Уд 0; n2 (х2 у2) = 1; п2 (х3 уа) = 0;
«з = (*i Уд = 0; п3 = (х2 уд = 0; п3 == (х3 у3) = 1;
188
п2 = [(У — Уз) *1з — (* — *з) !/1з]/2Г;	(4.138)
«з = [(У — У1) *21 — (* — *i) y2i\№F.	(4.139)
Используя функции Ль л2, лз, запишем выражение
для поля перемещений Z(xt/) = [rw]T через перемещения
угловых точек:
«2 v2 и3ия]т;
Mi О
О
: п2	0 : п3	О
: 0 п2 : 0	п3
«1
и1
«2
^2
И3
»3
ди
дх
ду
ду
ди	dv
ду	дх
“ дп-.
дх
дп2
дх
дп3
дх
dtij
дх
drij
дх
дпА
дх
дп2
дх
дп2
ду
дп2
дх
дп5
ду
дпа
ду
дп3
дх
Z=BZ;
8 =
О
О
ех
О
О
О
О
(4. 140)
dfii
У32~У23',
л <^2
2f дх	У 1з = Уз1,
^т> дп3
2F ~ =~У11 = г/12’’
Подставляя (4.141)
дп±
F ду ~
„ дп.,
2F------ = х13;
ду 13’
„ д/ц
2F —- = x2i •
ду
в (4.140), получим
(4.141)
В =----
2F
Ум
О
*32
О
*32
У-23
Уз!
О
*13
Ум
У12
О
*21
О
*21
У12
^7-й- (4 142)
2 г
О
Использование функций ль л2,
лз позволяет сразу запи-
сать выражение для поля деформаций через перемеще-
189
Табл и, ц а 4.4
Е* У23 Н"^*32					
Е"хъ 2^23“Ь^*32^23	Е у Х32^'^23				
^хЛх+ЧЛз	Е"х,гУ31+(1Х1^		Симметрично		
Е"Х1зУ23~\~ ’6*32^31	^УХ32Х 13^^23^31	^,г х1зУз1~У^х1зУз\	Еу ^1зН”^Й1		
E'^„+Gxnxa	^'Х32У12+Сх21у23	хУз\У\2~^~^Х\'3^2\	Е" х\зУ12~^~^Х21Уз1.	£x??2+G^1	
Е” Х21У23^6Х32У 12	£рх32Х21+°923!/12	Е" х2\Уз\~№х\зУ\2	Е хХ13Х21"Ь^31^12	Е" Х2\У\^^Х2\У\2	Е у х21+^12
Общий множитель h/(4F).
имя угловых точек, поэтому формула для построения
матрицы реакций упрощается:
(4.143)
4г
Подставляя В и D в (4.143), получим матрицу реак-
ций для произвольного треугольника, приведенную в
табл. 4.4. Чтобы построить из нее матрицу (4.129), необ-
ходимо сделать подстановку
Угз =—	Уз! =	У12 ~ 0;
xS2 =— а; х13 = 0; x2i = а;
е; = г;=£/(1-|?); Е = ц£/(1 - (i2); G = Е/[2 (1 + и)].
При построении полей перемещений для треугольного
элемента удобно использовать однородные координаты
(см. прил. 1). В этом случае поле перемещений записы-
вается сразу
Ui
Vi
Г и J _ Г Li 0 « L2 0 - 12 0 1	«2
{ v J f 0 Lj : 0 L2 • 0 L3 j	и2
«з
^3
Дифференцируя это выражение, получим матрицу В и
далее матрицу R. Формулы дифференцирования и ин-
тегрирования функций однородных координат приведе-
ны в прил. 1.
Построим далее матрицу реакций для прямоугольни-
ка, изображенного на рис. 4.22. Поле перемещений при-
мем в виде
и — п± п2 и2 + п3 и3 + л4 м4;
v = пг Vi + п2 v2 4“ n3v3 + n4u4,	(4.144)
где rii — линейчатые функции, принимающие в узле i значение, рав-
ное 1, а во всех остальных точках — значения равные нулю.
Для построения nt рассмотрим функции:
=	ф1<т1) = 4‘(1“г1); (4145)
= y (1 + 1); Ф2(п) = 4-(1-11)-
191
Графики функций Ф (g) показаны на рис. 4.23, Построй
им rtf как произведения функций Ф:
"1 - Ф1 (£)	(П) - v (1 - £) (1 - п):
4
л2 - (I) А (п) = U +1)(1 -п);	(4.146)
ns = ф1 (s) ф2 (п) - V (! - £)(1 + П);
4
Рис. 4.23
Запишем (4.144) в матричной форме
г и	1	г	о  п2 0  п3 0 ‘ п4
[ v	]	[О	пг ; 0 п2 : 0 п3 : О
Z =	[«! Uj I u2 v2 I U3 V3 [ U4 и4]т.
По формулам Коши имеем
ех
еУ —
L Y
192
О 1 -*
Z; (4.147)
«4 1
- dfij
дх
О
drif
ду
О
дгц
ду
дпг
дх
дп2
дх
О
дп2
ду
О
дп2
ду
дп2
дх
J dns
• дх
: О
; дпз
: ду
О
дп3
ду
дп3
дх
dtij
дх
О
dtij
ду
drij
дх
Z = BZ.
(4.148)
В нашем случае матрица В следующая*.
з
|~тг1,+а
I
0 b’i’0+’,)	0
•^а + n)	о
0	4г<1 + а
(4.149)
Для вычисления матрицы реакций воспользуемся
формулой
Вт DBdxdy —
vf JBTDB^-
(4.150)
О
В табл. 4.5 приведены элементы матрицы реакций
для прямоугольного элемента, показанного на рис. 4.22.
Матрицы реакций, полученные в данном параграфе, по-
193
о	<5			
E"4~G	4 ,	,	4 —Ч—G0 3 у	3		
G0-1 3 х 3 н	—E”+G	4	4 ?^+-Gp-	
Е"— G	—£'₽“’— —GP 3 y	3	—E"-~G	4	4 з^-Ч-убр
	E"—G	1	1 co I to 00 | to I	Т» -	1	E"+G
—E"+G	ч	сч I co Щ	i [ co	। 1	E"+G	1 |	00 j to 00 I to Ci 750	J- 1
2,2, — — £.6——Gp-1 3	3	~-E"—G	— £'P—-GP-1 3 x 3 H	—EZ,-FG
—E"—G	| go | to 00 I to XD	X 1	E"—G	+ 7	CG. щ=» «|« XT | CO 4“ 1	
Общий множитель //4.
строены с использованием полей, непрерывных в преде-
лах всей области. Эти поля соответствуют возможным
перемещениям, применяемым при использовании прин-
ципа Лагранжа (см. § 4.2).
В § 4.6 получена система алгебраических уравнений
для точки i (4.117). Покажем, что при стремлении разме-»
194
Таблица 4.5
			
			
	Симметрично		
			
— е'Р+—ср-1 3 х 3			
—Е" - G	^-Ч-jGP		
~-е;р+—ср-1 3*3	Е"— G	4,4, у Ехр+-ср-1	
—E"^G	— е'Р-1— —ср 3 у	3	E”+G	-Е'Р-Ч-СР 3*3
ров элемента к нулю (а = Дх->0; Ь = Дг/->0) система
алгебраических уравнений (4.117) стремится к системе
дифференциальных уравнений (4.32). На рис. 4. 24 изо-
бражены четыре элемента, примыкающих в точке k. Пред-
положим, что перемещения меняются плавно. Тогда,
применяя формулу Тейлора, можно выразить перемеще-
195
ния в точках 1—8 через вектор z и его производные:
*1 = г +	+ г'хх ~Y + 0 (Д3):
,, Дх2
г2 = г + гхД^+грД1' + 2хх —+
+г"ху + z"w-%-+° (дз);
(4.151)
„ Ду-5
гз = г + гг/^ + г^~ + °(д8)>
Для остальных точек выражения для векторов переме-
щений Zi (г—4...8) отличаются только знаками:
т. 4(—Дх, Ау)\ т. 5(—Дх, 0); т. 6 (—Дх, —Az/);
т. 7(0, —Ду); т. 8 (Дх, —Ау).
Как показано в § 4.6,
прямоугольного элемента в
быть представлена в виде
матрица R для отдельного
силу его симметрии может
-4ц Л12 б’хз D14
^21	422	^23	б“24
631 ^32 433 В3д
^41 б42 В43	Л44
(4.152)
Здесь одинаковыми буквами обозначены блоки, имеющие
одинаковые по модулю элементы. Используя операторы
знаков, приведенные в § 4.6, запишем матрицу реакций
через исходные элементы:
196
~ali ап	«22 «22	Ьц	b2t	«11 —.«21...	c2i „„.£22.	dLi d2i_	d2i 	^22.
Ьц	«21	«11	«21	dll	d2i	«11	‘ «21
&21		Ь-22_	—£21		«.22.	—^21..		d2j>_	£21		£22.
«11	—«21	dii	d2i	«U	«21	bn	^21
«21..	«22	—^21.		4g2	—«21..		£22.	^.2.1...		.^22.
du	d-21	C11	«21	&lf	^21	«11	«21
J^2L	^22	—«21	«22	b2i	^22	«21	«22 —
(4.153)
Рис. 4.25
Используя (4.153), запишем оператор, изображенный на
рис. 4.18, через исходные элементы. Полученный опера-
тор приведен на рис. 4.25. Накладывая матричный опе-
ратор на точку k (рис. 4.24) и приводя подобные члены,
будем иметь
Г4 («и 4- btl + си 4- du)	0	1, Г и 1 [
[О	4 («22 4“ ^22 4“ С22 4-	] L v J
Ах2 I4(bii4-dn) о
+ L 0	4 (^22 4- d22)
197
— 4Дх Др[ у j + О (А3).	(4.154)
Поясним процесс получения выражения (4.154). Век-
тор ?=[и и]т присутствует в разложениях всех векторов
(г, zl—z8), поэтому матричным множителем при нем
стоит сумма матриц оператора, изображенного на
рис. 4.25. В разложениях при zx — [wx vx J, присутствую-
щих в векторах z8, Zi, Z2 (см. рис. 4.24), множителем стоит
Дх, а у векторов z6, Z5, z4 — минус Дх, поэтому матричным
множителем у вектора zx = \их vx]; стоит сумма матриц
правого ряда оператора минус сумма матриц левого ря-
да оператора. Очевидно, что полученная матрица будет
нулевой. Для получения матричного множителя при
2У= {иу vy]T необходимо из суммы матриц верхнего
ряда вычесть сумму матриц нижнего ряда, эта матрица
будет также нулевой. Для получения матричных множи-
телей при z’xx = [и'хх vxx]т, г'т = [и'ю	необходимо
соответственно сложить матрицы правого и левого
рядов (множитель при z"xx =\Цхх ^Л]т) и умножить на
(Дх2)/2; верхнего и нижнего рядов (множитель при z"yy<=
= [w^ vyy ]т), и результат умножить на (Д#2)/2. Нако-
нец, для получения матричного множителя у вектора
г'ху	необходимо из крайних матриц восходя-
щей диагонали вычесть сумму крайних матриц нисходя-
щей диагонали, далее результат умножить на Дх ДДля
прямоугольного элемента (см. табл. 4.5) вычислим эле-
менты матриц, входящих в выражение (4.154). После
сокращения на 4 будем иметь
«11+ ^11 + 41 + du== 0;	«22 + Ь22 + «22 + rf22 == °;
bn + dn=~2^-’	^ + d^=-2G^’
198
d2i^E"-G-, Cn+dll=_2G—; c2i + d2,=-2El—.
Подставляя (4.155) в (4.154), получим
d2 и	/ ,r x d2 v
— Ex —— kx ky — (E + G)	Дх ky —
dx2	dx dy
д2 и
— Q — Ax ky — Xkx kyО (Д3) = 0;
Ф2
d2v	d2u	, d2v
—	Ay — (E" -I- G) —	Дх Ду — E ——- Дх Ду —
dx2	dxdy	y dy2
— Ykx ky-^Q (Д3).
Деля оба уравнения на (Дх Д«/) при Дх—>0, получим
, д2 и	О2 и	д2 v
Ех t^+gtt“-h£"+g)~tt“ + x = 0;
х dx2	dy2	dx ду
(4.156)
, d2 v	d2 v	д2 и
E„------4- G-----------F (E" 4- G)------
y dy2	дх2	дх dy
Уравнения (4.156) совпадают с уравнениями плоской
задачи теории упругости (4.32).
§ 4.8. Осесимметричная задача
На рис. 4.26 изображено осесимметричное тело, загру-
женное осесимметричной нагрузкой. Ось вращения обо-
значим через у, а перпендикулярную к ней — через г. Две
координаты г, у полностью определяют как положение
точки, так и напряженное состояние в ней, поэтому точ-
ки, имеющие одинаковые координаты г, у, находятся в
одинаковых условиях. Любое меридиональное сечение
является плоскостью симметрии и в нем отсутствуют ка-
сательные напряжения, т. е. любое меридиональное сече-
ние совпадает с главными площадками для всех точек,
лежащих в этом сечении.
Для расчета осесимметричных тел по МКЭ использу-
ются кольцевые конечные элементы. Для кольцевого
конечного элемента прямоугольного поперечного сечения
(рис. 4.27, а) поле перемещений примем таким же, как
и для плоской задачи теории упругости (рис. 4.27,6)
1 __ Г 0  п2 0
и] [0 п±: 0 п2
; П3 0 ; «4 0
: 0 п3 : 0
•Z,
(4.157)
199
где
z = [ z; zfzf^]T; z. = [u. |«;Г;
i =
Здесь
«1 = -7- (I - У (1 - п); «2 = 4(1 + £)(1 - п);
4	4
^ = Т0 +£)(1+11); (4158)
| = х:(а/2) = 2х/а\ y] = у:(Ь/2) = 2у/Ь.
В соответствии с формулами Коши имеем
ди
ег = 1Г; £н = 1Г: 7"+~'
(4.159)
В отличие от плоской задачи в осесимметричной задаче,
кроме деформаций ег, е^, у (1.159), возникает деформа-
ция (ее ) в направлении угла 6 (рис. 4.27,а).
Рассмотрим де-
формацию волокна
ab, отстоящего от
центра на расстоя-
нии г (рис. 4.27,а).
На рис. 4.27, в пока-
зано положение это-
го волокна до дефор-
мации (ab) и после
деформации (aiZ?i),
при которой в силу
симметрии все точки
волокна ab переме-
щаются на и. Итак,
Рис. 4.26
Рис. 4.27
200
Ads _ ud6 и
Gf) ds rd6 r
(4.160)
В соответствии с формулами (4. 159) и (4.160) имеем
					ди				2	dnx		0	
		ег			дг				a				
					dv					0 r	2	дпг	
	е =	ЕУ £е			ду и г						b	дт] 0	
					-у- + - _ ду	dv			2	dnt	2	дпг	
		т	—			Or	—		b	дт)	a		
2	дп2		0		2 дпз		0		2	дгц			
а	д$				а д^				a		1		
	0	2	дп2		0	2	dn3			0	2	дп4	
		b	th]			b	(				b	дт]	Z «=
	Т		0		пз г		0		r		I	D	
2	сп2	2	дп2		2 дп3	2	dn3		2	dn4	2	дп4	
b	01]	а	01		b <Л]	а			b	dr]	a	01 _	
						= BZ.						(4.161)	
В соответствии с формулой (4.11) обобщенный закон
Гука для осесимметричной задачи имеет вид
		1 Ег		 ^гг/ ЕУ	Иге ” Е,	0	—1	Ег	
			Ег	1 ЕУ	V-yQ	0		£У	= Db.
°е		_ Per Ег	Еу	1 Eq	0		ее	
т		0	0	0	1 G		У	
Для изотропного материала
= £; нГ!/ = ^г = ^ = ^==^=м=н
201
обобщенный закон Гука будет иметь вид
Выпишем выражение потенциальной энергии
2Л а/2 Ь(2
Q = ^JoTecfo ==-^-ZT J J J BrDBrdQdrdyZ = -^-ZTRZ.
О —а/2—6/2
Переходя к относительным координатам и интегри-
руя по углу 0, получим
1 1
nab г г
R = I XrB^DBd^d-^,	(4.163)
—1 —1
Развернем выражения для функций п:
«1= 4~(1 — п + 6п); п2 = -^-(1 + В—n — ?п);
4	4
п3= 4“ 0 — £ + п — ёп); «4 = ~-0 +^Ч-т1+
4	4
Вычислим производные от этих функций:
дпА ~дГ	_ JL 4	(-1 + п);	дпг ал	1 4	
1Г		1_ ~ 4		дп2 дт]	1 4	(-1 - ^);
~дГ	__ _1_ “ 4	(-1-Ч);	дп3 _ дт]	1 4	
дп4	л	(1 + ч);	dnt _	1 л	(1+S).
При использовании формулы (4.163) необходимо вы-
числить значения интегралов
1
Ц = J -у- r = r0 + x = r0^l+ —^ = r0(l+ a|)t
202
где
или
Производя перемножение по формуле (4.163) и ис-
пользуя приведенные выше выражения, получим матри-
цу /?, приведенную в табл. 4.6.
В случае, если конечный элемент примыкает к оси у
(рис. 4.28), нельзя пользоваться матрицей реакций, при-
веденной в табл. 4.6. Матрица жесткости для такого эле-
мента получается из матрицы жесткости, приведенной в
табл. 4.6 путем вычеркивания 1-го и 5-го столбцов и
строк и подстановки Гъ~а!2. В состав некоторых эле-
2л0-’-а
ментов входит произведение (2г0—a) In —	. Вычислим
—а
2/7» + CL
lim (2r0 — a) In ---= 0- oo.
2r0 — a
По правилу Лопиталя
—— lim
2fl(2r0 —fl)
(2r0 + fl)
= 0.
203
Таблица 4.6
15
16
—8
—6
6
—2
12
-10
15
7
13
8
11
—16
14
— 13	14
18	20
17	—18
Симметрично
1,15
2,16
3
4,10
5,17
6,18
7
8,13
9,19
, (!ц)(2гд±ар
~ За3
| 6г0+а	2ц
~ 12а&	ЗЬ
(l-g) (4rg-g2)
За3
_ О"4Н) (в/рТа)
12а&
(1—Ц) (2^о±а)2
6а3
(1—4ц) (6г0+а)
In
2г0+а
2г0—а
(1—2ц) (4г0=ра)	4
662
За
2г0Н~а , 1—2ц
Г°
1П 2г0—а ‘ ЗЬ*
,П 2г0—а
+^-
I2ab	ЗЬ
(1-ц) (4fg—а2)	2г0+а
6а3	° 2г0—а
2r0+a	(1—2ц)
2
6W	За
(I—2И)
3&2
(бгр+а)
12а6
(1-Р)
ЗЬ*
(4г а) +
2(1—2И)
За*
г0
204
Лродолжение табл. 4.6
11
12, 20
14
2(1-Нко 2 (1—2ц)
ЗЬ2	За2 Г
Общий множитель к таблице
1 —ц	2—2ц
__ 2 (!~и) Ч _ (1—2И) ч
3&	За2
яаЬЕ
2(1-2ц) (1+ц) *
После преобразования матри-
ца жесткости для этого случая
будет иметь вид, приведенный
на стр. 206.
Рассмотрим далее кольце-
вой элемент треугольного по-
перечного сечения (рис. 4.29).
Аналогично плоской задаче по-
ле перемещений примем в ви-
де
Рис. 4.29
Г « 1 = | Li 0 j £2 0 ; L3 0 1 -
L н [о £, : 0 L2 : 0 £3] ’ ’
(4.164)
где
Z = [Zi Z2 z“J]T; Z; = [ы. 0/], i = 1 - 3.
Здесь L — однородные координаты (см. прил. 1). Поля
перемещений в соответствии с (4.164) меняются по ли-
нейному закону, при этом поля деформации ег, еу, у по
(4.61) получаются постоянными. Примем поле деформа-
ций ев также постоянным и равным zQ=ulr^ulr^ где
го — расстояние от оси до центра тяжести треугольника
(очевидно, что ошибка будет тем больше, чем ближе к
оси находится треугольник).
В соответствии со сказанным
~~ dLj
ду 0
0	_д^_
ду
дУ дх
205
206
"о		
0	(1—ц)а	1—2g ЗЬ2	За	
0	1—4jli 3b	4	(1-2ц) а За + 2Ьг
0	(1—ц)а	1—2ц 36» — За	1— 2ц ЗЬ
0	0	0
0	(1—jLX)g	1—2р, 36а + 6а	1 36
0	1	 зь	2	(1 —2ц) а За ~	2Ь2
0	(1—jit) а	1—2ц ЗЬ2 ~~ 6а	1—6ц 36
n Eab
2(1-2ц)(1+ц)
(i-Юд , kzgE
ЗЬ2 За
Симметрично
О I
(1—ц)а 1—2ц
ЗЬ2 6а
(!—ц)а	!—2ц
3d2 За
1—6ц
3d
(1—ц)а 1—2ц
d2 Ф 6а
1—4ц зь	4 (1—2ц)а За+ 2d2	
(1—и) а	1—2U ЗЬ2	За	1—2ц 3d	о—Н)а , 3d2 ± 1—2ц +-^Г.
Э12	О	дЦ	о	
дх		дх		
п	дЬ2	А	dL3	
и	ду	и	ду	Z = BZ.
^2	о	^3	0	
г0		Го		
dL2	дЬ2	dL3	dL3	
ду	дх	ду	дх __	
(4.165)
Матрица реакций вычисляется по формуле
Я = 2лг0 ^B'DBdF.
А
§ 4.9. Решение объемной задачи
теории упругости по МКЭ
При решении объемной задачи часто используются
элементы в виде пирамид и параллелепипедов. ~
рим элемент в виде пирамиды (рис. 4.30).
степеней свободы примем переме-
щения угловых точек щ-, Vit Wt
(i=1...4). Зададимся полем пере-
мещений
Рассмот-
качестве
Рис. 4.30
v = «54-авх + а7//4-а8г; (4.166)
или в матричной форме
и
V
W
= N (хуг) •
'1 х у г
N (хуг) = 0 0 0 0
.0 0 0 0
а.
= W (хуг) а;
(4.167)
-а12 1
0000:000 0]
Ixz/ziOOOO;
0000: 1 х у г J
а==1а1» а2...а12] ;
207
ех
Уху
Ууг
Угх
ди
дх
dv
ду
dw
dz
ди	dv
ду	дх
dv	dw
~ I—~'
dz	ду
dw	ди
дх	dz
(4.168)
Используя закон Гука (4.11), получим выражение
для напряжений c—DBa.
Составим выражение для энергии деформации эле-
мента
Вт DB dx dy dza.	(4.169)
Подставляя в (4.169) выражение для е (4.168), получим

й = ат/?*а,	(4.170)
где R*=V-BTDB’, V — объем пирамиды; R* — матрица жесткости,
при построении которой в качестве обобщенных перемещений ис-
пользованы коэффициенты а.
208
Далее необходимо выразить коэффициенты полино-
мов полей перемещений через wiiwi; u2V2W2} U3V3W3;
U4V4WC
~ ui~
vt
«2
^2
^2.
«3
V3
&3
или
откуда
1 *1	У1	zi	0	0	0	0	00	О	О —
0 0	0	0	1	х4	yr	z4	О	О	О	О
ООО 0 0 0 О О 1 х4 у4 Zf
1 х2	у2	г2	О	О	О	0	0	0	О	О
О О	О	О	1	х2	у2	г2	О	О	О	О
0 0	О	ООО	О	О	1	х2 у2 г2
1 х3	у3	г3	О	О	О	ООО	О	О
0 0	О	О	1	х3	у3	г3	О	О	О	О
00	0	000	0	0	1	Хзуз£з
1 х4	у4	?4	6	6	О	О	О	О	О	О
0 0	О	О	1	х4	у*	?4	О	О	О	О
_0 Ю	О	ООО	О	О	1	х4 у4 г4_
ai
«2
а3
а4
«5
«в
а7
«з
«Го
«а
—«12—
i = La,
а = L—1 Z.
(4.171)
(4.172)
Покажем, как вычислить матрицу Л-1. Совместим на-
чало координат с точкой 1 (xt =0, £/1=0, Zi=O). Итак,
где
-* Г 1	„ *гУъЧ
е = 1 ;	х3 у3 z3
L1J L*i У1 ч
Матрица N^1 имеет вид
^-1 =
1 О
7 "г1
(4.174)
[1 о I
е Ni J
1 ° 1
7 NTl J
Ч °]
?
_o eJ
209
Е — единичная матрица.
"Г1
1
1ЛМ
I Уз	*з	I	I	у 2	г2	I
I У4	24	I	I	У4	Z4	I
I *3	?3	I	|	*2	*2	I
I Х4	24	I	I	*4	*4	I
1 Х3	УЗ	I	I Х2	У2	I
I х4	У4	I	I х4	У4	I
I Уз ?2
I Уз гя
I Х2 22
I Х3 23
I Х2 Уг
I хз Уз
Раскрывая выражение (4.174), будем иметь e+Af]f—0;
f——TVje, т. е. элементами вектора f являются суммы
элементов строк матрицы с обратным знаком. Ис-
пользуя матрицу N~l, получим значения а/ (/=1...12)
как функции от tn, Vi, Wi (i=1...4). Матрица этого пре-
образования и есть искомая матрица L-1. Подставляя
(4.172) в (4.171), получим	о
Q = ZT/?Z, R=
R — матрица реакций для элемента в виде пирамиды.
Построим матрицу реакций для элемента в виде па-
раллелепипеда, изображенного на рис. 4.31. Поле пере-
мещений примем в виде
210
Аналогично плоской задаче для построения п, рассмот-
рим функции
= -yd-В); Ф,(Э=4'(1+6)5
<М>1) = у (1-п); Ф2(П)=-у(1+»1)г	(4.176)
=	Ф2© = -у(1+?):
х	2х	2у	2г
а/2	а ’ *1 Z> ’ с
Представим п,[ как произведение функций Ф:
«х = Ф1 (£) Ф1 (П) Ф1 (С) = 4" <1 - 1 - П) (1 -
о
Пг = ф2 (В) ф, (п) Ф1 (В) = 4" (1 + В) (1 -n) (1 - В)
о
«3 = Ф2 (В) Ф2 (ч) Ф1 © = ~ (1 - Э (1 + Ч) (I - В)
о
«4 = Ф2 (В) Ф2 (Я)	(В) = 4- (I + В) (1 + ч) (I - В)
о
Лз = Ф1©Ф1(П)Ф»© = 4'<1-Э(1~Ч) (1-0
пв = ф2(В)^1(ч)Ф2© = 4_(1+0(1-ч)(1-£)
»7 = Ф1(В)<Мч)Ф2© = 4'<1-О(1 + ч)(1+?)
Л8 = ф2 © ф2 (п) Ф2 (В) = 4" <* + 0 (1 + ч) (1 + 0
о
Используя формулы Коши по вектору перемещений, вы-
числим вектор деформаций
ех
&2
Уху
Ууг
_Угх_
— 1^1 ^2	В? BgJ Zt — BZ ,
(4.177)
211
где
	дп} дх	0	0
		dnt	
	0		0
		ду	drij
	0	0	
			дг
	дгц	dni	С\
	ду	дх	V
	Л	дгц	дП;
	и	дг	ду
	дпг	Л	drij
		и	дх _
(4.178)
Матрица реакций для параллелепипеда вычисляется по
формуле
1 1 1
Я = f J f B'DBdUT]^.	(4.179)
—1 J.1 —1
Построим матрицу реакций для элемента в виде пря-
мой треугольной призмы, изображенной на рис. 4.32. По-
ле перемещений примем в виде
где
О 0 -
О П[ О
.° 0 л,-_
= [^2МЛ4МЛв].
ui
vi
W}
Для построения гц используем функции
=	—0; ф2Ю = -7(1 + «-
Функции rii имеют вид
ni=	0	£)
«з -у (1 — Б) £з;
пъ=	(1	С)	L2’,
П2 2 П Q ^2»
«4 = “0 + £) Ll>
П6 = — (1 +£) ^3-
и 1
V
w J
212
Li(i=\—3)—функции однородных координат, принимающие значе-
ния Li = \ в точке i и Li—0 во всех остальных точках;
г __ 2г
S = ~й/2~ ~ '
Используя формулы Коши по вектору перемещений, вы-
числим вектор деформаций
ег
Уху
Угу
= [3, B2B3fl4e5 B6}Z = BZ>
(4.180)
где Bi — см. формулу (4.178).
Матрица реакций для прямой треугольной призмы
вычисляется по формуле
1
R = J f Вт DBdFd£.	(4.181)
§ 4.10. Сложные элементы
Выше были рассмотрены простейшие элементы для
решения плоской и объемной задач теории упругости.
Элементы, у которых полином, описывающий поле пере-
мещений, содержит число коэффициентов на единицу
большее, чем размерность задачи, называются симплекс-
элементами (простейшими элементами). Треугольник,
поле которого задается полиномом (см. § 4.7)
f =	+	(4.182)
является симплекс-элементом для решения плоской за-
дачи (размерность задачи 2, число коэффициентов поли-
нома, аппроксимирующего поле перемещений, равно 3).
Треугольная пирамида также является примером симп-
лекс-элемента
f = ®i4- а2х + аз+ a4z	(4.183)
(размерность задачи 3, число коэффициентов полинома,
аппроксимирующего поле перемещений, равно 4).
Если число коэффициентов аппроксимирующего по-
линома превышает размерность задачи более чем на еди-
ницу, элементы называются комплекс-элементами (слож-
ными элементами). Например, для треугольника в каче-
стве точек, перемещения которых определяют степени
свободы, помимо угловых точек, можно принять и точки,
213
расположенные в середине сторон (рис. 4.33). В этом
случае в качестве полинома, аппроксимирующего поле
перемещений, используется полином с 6-ю коэффициен-
тами
f = + а2х + аау +	+ а&ху + а6у2.	(4.184)
Элемент, изображенный на рис. 4.33, является комплекс-
элементом (число коээфициентов полинома (4.184) бо-
лее чем на единицу превышает размерность задачи).
Если стороны элемента параллельны координатным
осям, то подобные элементы называются мультиплекс-
элементами. Примером мультиплекс-элемента является
прямоугольный элемент, рассмотренный в § 4.7, для ко-
торого поле перемещений аппроксимируется полиномом
aiа2 ха9 уat ху.	(4.185)
Число коэффициентов аппроксимирующего полинома у
мультиплекс-элементов превышает размерность задачи
более чем на единицу. При этом стороны элемента долж-
ны быть параллельны координатным осям. Границы
симплекс-элементов не подвергаются такому ограни-
чению.
При решении практических задач приходится нано-
сить очень густые сетки. Применение сложных элемен-
тов позволяет использовать более редкие сетки, однако
процесс формирования системы уравнений в этом случае
осложняется.
В данном параграфе будут рассмотрены комплекс- и
мультиплекс-элементы в виде треугольников и четырех-
угольников. Первоначально рассмотрим элементы с пря-
молинейными кромками, затем — с искривленными. Наи-
214
большее практическое значение имеют сложные элемен-
ты при решении объемной задачи теории упругости, так
как в этом случае число уравнений возрастает на порядок
по сравнению с плоской задачей.
Рассмотрим элемент в виде произвольного четырех-
угольника (рис. 4.34). В качестве полинома, аппрокси-
мирующего поле перемещений и и и, примем полиномы
(1.185). Представим поле перемещений в виде
и] _ ГI х У ХУ О 0 о 0 1
у] [0 0 0 0 1 х у ху\
(4.186)
Выразим коэффициенты полиномов (4.186) через переме-
щения узловых точек 1—4 (см. рис. 4.34):
или
Z = La,
откуда
a = L—1Z.
(4.187)
(4.188)
(4.189)
По полю перемещений (4.185), используя формулы Коши,
построим поле деформаций
	=	ди дх dv ду ди ,	dv	=	0 1		0^ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 х	а — Ва— BA—1 Z.
					0	0		
Уху		~;	h _ ду	дх _		0	0	1 х 0 1 0 у	
(4.190)
Далее построим поле напряжений
215
Ox
Gu
T xy
Ex e' 0
£ E'y 0
О 0 G
e = De.
Запишем выражение для потенциальной энергии дефор-
маций
Si = h\\a-’edF = Z-'RZ,	(4.191)
Г
где
К = (£-1)т h СС Вт DBdF • L—1 = (£-1)’/?* L—1.	(4.192)
F
Вычисли;	м подынтегральное выражение						матрицы реак-	
ций /?* (4.192):								
	“0	0	0	0	0 0	0	0	
	0	Ех	0	Ех У	0 0	Е"	Е"х	
	0	0	G	Gx	0 G	0	Gy	
	0	Е'хУ	Gx	Е'х у2 4- Gx2	0 Gx	ЕУ	(£"4-G) ху	
Вт DB -	0	0	0	0	0 0	0	0	
	0	0	G	Gx	0 G	0	Gy	
	0	Е"	0	Е"у	0 0	Еу	Е'их	
	0	Е"х	Gy	{Е“ + G) ху	0 Gy	Е>	E'xx2+Gy2 _	
(4.193)
Интегрируя выражение (4.193), получим
	”0	0	0	0	0	0	0	0
	0	ЕхЕ	0		0	0	E" F	E"SV
	0	0	GF	GSy	0	GF	0	GSX
	0	Ех$х	GSy	E'xJx-VGJv	0	GSy		(E" + G) JXy
	0	0	0	0	0	0	0	0
	0	0	GF	GSV	0	GF	0	GSX
	0	Е” F	0	E"'SX	0	0		e's У у
	_0	Е" Sy	GS"	(E" + G) Jsy	0	GSX	ЕЛ	E’J -rGJ у у	X _
(4.194)
где F— площадь элемента; Sx, Sy — статические моменты относи-
тельно осей ли//; /х> Jy, Jxy — осевые и центробежный моменты
инерции элемента.
216
Для подсчета геометрических характеристик элемен-
та необходимо разбить четырехугольник на два треуголь-
ника и интегрирование производить по каждому тре-
угольнику в отдельности.
Для вычисления геометрических характеристик бу-
дем использовать весовые коэффициенты, приведенные
в табл. 1 прил. 2. Для полинома второй степени они от-
личны от нуля только для точек, находящихся посре-
дине сторон треугольника, и равны
F	8^1
— . 8=—-----F — — F.
4!	1-2-3*4	3
Поместим начало координат посредине короткой диа-
гонали четырехугольника (см. рис. 4.34). Выпишем вы-
ражения для геометрических характеристик:
I Г1 Х1 У\ 1	1 Г 1 Х2 У 2 ~|
F = F1-\-F2 = — 1 х2 у2 н- — 1 xi ;
L1 хз Уз J	L1 хз Уз J
Аналогично вычисляются Sy и Jy.
Можно построить усложненный элемент, например
четырехугольный, ослабленный круговым отверстием
(рис. 4.35), что легко учитывается при подсчете геомет-
рических характеристик элемента. Конечно, при этом не
учитывается концентрация напряжений, однако такой
элемент может быть с успехом использован для оценки
жесткостных свойств сложных перфорированных кон-
струкций.
Следует обратить внимание на то, что описанный
четырехугольный элемент является не совместным (пе-
217
ремещения вдоль кромок меняются по закону квадрат-
ной параболы), поэтому приведенные выше формулы
можно использовать только для элементов, близких к
прямоугольнику.
Рассмотрим далее элемент в виде треугольника,
изображенного на рис. 4.33. В качестве полинома, ап-
Рис. 4.35
Рис. 4.36
I
j
проксимиру ющего поля перемещений и и v, примем по-
лином (4.184)
'«1 "
Ги1 [1 х у х2 ху У2. ; 0 0 0 0 0 0 1
[у] [0 0 0 0 0 0 : 1 х у х2 ху £/2J •
1а12
(4.196)
Так же, как для четырехугольного элемента, под-
ставляя в (4.196) координаты точек 1—6 и оборачивая
полученную квадратную матрицу 12X12, выразим век-
тор коэффициентов а через перемещения точек 1—6.
Запишем выражения для вектора деформаций:
-> г 1
=
LTxt/J
0 1 0 2л:
0 0 0 0
0 0 10
г/ 0 :000 0 0 01
0 0:0 0 1 0 х 2у\
х 2у : 0 1 0 2х у 0 J
• а
или
Е = Ba = BL—1 Z.
(4.197)
Для построения матрицы реакций используем форму-
лу (4.192). Полученная после интегрирования матрица
реакций R* приведена в табл. 4.7. Если начало коорди-
нат в треугольнике совпадает с центром тяжести, то
статические моменты (Sx, Sy) в табл. 4.7 равны нулю.
Для получения окончательной матрицы реакций R
необходимо иметь матрицу L-1, которая может быть
построена численно путем обращения матрицы L. Эту
же матрицу можно построить с помощью однородных
218
219
					
	Е'ХЕ		2E, Sy	E'^SU	
		GF		GSy	2GSX
	2Е'Л		<Jy	2E'^XV	
	e's x X	GSy	2E^Xy	E'rJx + EJy	2GJ xy
		2GSX		^GJXy	4GJX
					
		GF		GSV	2GSX
	E" F		2E" Sy	E"SX	
		2GSy		2GJU	4G J Xy
	E"Sy	GSX	2E" Jv	(E"+G) Jxy	2GJX
	2E" Sx		4£" Jxy	2E" Jx	
Таблица 4.7
		1	1		
		E"F		E"Sy	2E" Sx
	GF		2GSy	GSX	
		2E" Sy		2E" Jy	4£" JXy
	GSy	E"SX	2GJU	(E" + G) Jxy	^E" Jx
	2GSX		*GJxy	2GJX	
					
	GF		2GSy	GSX	
		E'yF		E>u	2E'y Sx
	2GSy		iGJv	2GJXy	
	GSX	E>u	2GJ xy	E'yJv+aJx	2E'uJXV
		2E'yS*		2E'yJXy	^E'yJX —
координат (см. прил. 1) в буквенном виде. Выпишем
формулы, связывающие декартовы координаты с одно-
родными:
= "ZiT	4“ Хз2^)’
zr
^2 = 2/г (^2 4“ Уз1х 4“ х^);	(4.198)
^3 = 2/7	4“ У 12х 4" Х21#) •
Запишем выражение для полей перемещений через
перемещения узлов:
«1
Г и 1 Г rii 0  п2 0 ; п3 0  п4 0  п5 0  п6 0 1	"""
[ v J	[ 0 Пу : 0 п2 i О п3 : 0 л4 : 0 л5 : 0 п6 ]
«6
_ Ц» -
Функции пг равны единице в t-й точке и равны нулю во
всех остальных точках. Для примера на рис. 4.36 пока-
заны две характерные функции п\ и п4, для которых
П1 ~	^Г» П4 ~
Коэффициенты ki и /г4 найдем из условий, что функции
П] и п4 равны единице в точках 1 и 4:
i =	'=Чт-т): ki = i-
Итак, окончательно
nt — 2	Lt; = 4LXL2.	(4.200)
Используя (4.198), запишем функции п\ и я4 через де-
картовы координаты:
«1 = 2L1 ~ \ = 2	(4, + у^х + х32 у)2 -	(Д1+!/23х+
+ *32 У) = ~^Г (Л? + У* х2 + *32 У2 + 2Л1 Угз х +
4~ ~ь 2£/2зЛ'32 хУ) ас (^1 4~ Угз х 4* *32 у) >
zr
220
п4 =	(А! + у23х + xS2y) (А2 + ysi X + ад) =
1
= -^2~ (^1^2 4- А#31* + Л*хз# + #2зЛ* 4" #23#31*2 + #23*13*# 4“
4~ х32А2У 4- xS2y3lxy 4- Хо2ад2)
или в матричной форме
Я1=[1х,1г Ху	-г)->
Рис. 4.37
2	2 Пт
Х32 / Aj 1 \ #23	#23 *32	*32
F \ F ~ 2 / 2F2 F2 2F2 J ’
П4 = [ 1 тс у X2 ху у2] Лх Л2	(Лх^31 4-У2зЛ2)
1	i	1
r-о	(^1Х13 4“ *32^2)	со	^23//31	r-о	(#23*13 +
Г2	Г2	Г2
1
4-*32#31) “^“*32*13
Остальные функции могут быть легко построены с
использованием круговой подстановки. Выписывая по
столбцам множители в функциях П\ ... получим мат-
рицу L"*1, приведенную в табл. 4.8.
При построении поля перемещений для треугольного
элемента использован полный полином второй степени,
поэтому построенный треугольный элемент является
совместным элементом. Перемещения вдоль сторон тре-
угольника меняются по квадратной параболе, которая
определяется единственным образом по трем точкам.
221
	А/А Л 2F \ F	)	0	4г | 2F 1			0	4,ч / 2F ‘	?>-		
	У 23 1 4t   _J_ F \ F	2	)°	т!	ГА_.	V,	1°	#12 | F \	. F	т)	|0 =
	*32 / A _J_ F \ F	2	)°	т!		Е	1°	F \	4g F ~	7)	1°^
	2/72	0	1 2F2	#31		0	1 2F2	#?2		
	1 У23 *32	0	I Г2 !	7з1 *13		0	1 р2 #12*21			°!
	— х2 2/72 Л32	0	1 2F2	X2 х13		0	1 .2/?2..	*21		
			оА 2F	1	0		0 — 2F	0-	)	
	Q У 23 / -41 	 _ F \ F		0 to Р		_Г	j	о^- F	И1-	Т	) i
	•4F ।	_1_\ 2	0il3. F	(д_	1 2				1 2	
	0 2F2 ^23		°2F*	#31			°2F*	#12		
	1 0 р2 У23 *31			#31 *13			“К	#12 *21		
	0 — х2 U 2F2 32		0 — х2 2/72				°2f2	х2 Х21		
										
Аналогично можно построить целое семейство слож-
ных треугольных элементов с двумя, тремя и т. д. точ-
ками на стороне. Для того чтобы поле перемещений
описывалось полным полиномом, используем помимо
контурных точек внутернние точки так, как это показа-
но на рис. 4.37. Сравнивая рис. 4.37 и рис. 5.23, видим,
что число точек при таком подходе соответствует числу
коэффициентов полного полинома, причем треугольни-
ку с тремя точками на стороне (рис. 4.37, а) будем со-
ответствовать полный полином третьей степени, а тре-
угольнику с четырьмя точками на стороне (рис. 4.37, б) —
полный полином четвертой степени и т. д. Поля переме-
щений для всего семейства будут совместны.
222
Таблица 4.8
	Г2	^2	0 Г 4 1 Г2 (А #314"4/23-42) 0 г2 (-41	-42) 0 1 У 23 У31	б 1 С2 (#23 *1з4“*32 #31) б Г* 1 У7 *32 *13	б	1	
		р2 ^2 Аз	б	1 77 Л Л	0 Г4
		р2 (-4г #1г4~ У si -4з) б	(Аз#2з4-#12А) б
		(Л2 x21~j-х13 Аа) 0	"р2 (^3 *32"^*21 -41) б
		1 р2 У31У12	б	1 р2 #12 #23	б
		р2 (у31 *214“*13 #12) б	“77 (#12 *324“* 21 Узз) б Г2
		1	1
		р2 *13 *21	б	р2 *21 *32	б
	1 о — А а2 /72	1	2	А	0 7^ Аз Ai
	б (Ai #з14“#гз-42)	б	(А2 1/]24“Уз1 4з)	°Т? (4»2з+л2А)
	°-~ М1*13+*32^2) г-	1 б р2 (-42 -4i~F*i3 43)	б “7Т (-43 Хз24**21 -41) г2
	1 о Узз У3i	б-^ #31 #12	б У12 У2З
	Оу7(1/23*13+-«32Й1)	(#31 *214"*13 #12)	б “77 (1/12 *зй4-*21 4/2з) г л
	1 0	*32 *13	б “7 *13*21	б “77 *21 *32 /72
В элементах, изображенных на рис. 4.37, кроме кон-
турных точек использованы и внутренние точки. Внут-
ренние точки порождают локальные степени свободы,
т. е. внутренние точки являются изолированными точ-
ками и в уравнения равновесия, относящиеся к этим
точкам, входят неизвестные, принадлежащие только дан-
ному элементу. Поэтому перемещения внутренних точек
можно выразить через перемещения контурных, и в об-
щую систему уравнений для ансамбля элементов вклю-
чать только те неизвестные, которые относятся к кон-
турным точкам. Этот подход позволяет сокращать по-
223
рядок обшей системы уравнений при использовании
сложных элементов. Поясним подробнее процесс ис-
ключения локальных степеней свободы. Перенумеруем
перемещения таким образом, чтобы в векторе переме-
щений для одного элемента сначала стояли перемеще-
ния, относящиеся к внутренним точкам, и далее — к
контурным
Z=[zoZi]T,	(4.201)
где Zo — вектор перемещений внутренних точек; Zt — вектор переме-
щений контурных точек.
В соответствии с разбивкой вектора Z матрица реак-
ций элемента может быть представлена в виде
Я = |п0,1р01]-	<4-202*
Запишем равенство
[*»•*«] . Jol pol	(4.203)
1^10 Rll J [ Zi J [«! J
где Rq — вектор реакций, действующих на внутренние точки; R{ —>
вектор реакций, действующих на контурные точки.
Исключаем по Гауссу вектор Zo из уравнений, относя-
щихся к контурным точкам,
Е Rqo ^01
0	Я10	/?01
^OQ1 *0
— ^Ю^ОО1 *0
(4.204)
В соответствии с физическим смыслом процесса
исключения по Гауссу матрица	яв‘
ляется матрицей реакций при освобожденных связях во
внутренних точках, т. е. матрица R* и есть искомая.
Вектор R*=Ri—RiqR^Rq является вектором обобщен-
ных реакций, приложенных к контурным точкам. При
отсутствии сил во внутренних точках	т. е. век-
тор обобщенных реакций равен вектору реакций, при-
ложенных к контурным точкам. Исключение внутренних
точек несколько усложняет алгоритм построения матри-
цы реакций. При этом процесс исключения по Гауссу
приходится использовать дважды — при формировании
системы уравнений и при вычислении напряжений, так
как для определения деформаций (4.197) и напряжений
необходимо знать перемещения внутренних точек.
224
Остановимся далее на сложных прямоугольных эле-
ментах. На рис. 4.38, а изображен прямоугольный эле-
мент с одной промежуточной точкой на стороне, а на
рис. 4.38,6 — с двумя точками. Для построения полей
перемещений таких элементов используем интерполяцию
по Лагранжу. При интерполяции по Лагранжу имеем
У =	(х) + У1&! (х) 4-. • - + Уп фп (х),
где yi — значение функции в узлах интерполяции;
Ф_________(X — х0) (х — xj ... (х — xt_J ... (г — хп)
1 (Xi — х0) (х£ — хО . . . (Xf — Xi-1) (xf — xf + 1) ...(Xi— xn) ’
(4.205)
Функции Ф] равны единице в точках Xi и нулю во всех
остальных узловых точках (рис. 4.39).
Рассмотрим элемент, изображенный на рис. 4.38, а.
При построении полей перемещений используем относи-
тельные координаты
Е=-^- = —• .=-^- = 2^-
ъ а/2 а ’ 1	b/2 b
225
На рис. 4.40 изображены функции щ. Для построе-
ния функций пг построим интерполяционный полином
Лагранжа второй степени на интервале от —1 до +1:
f (D = f (-1) G) +1 (0) Ф2 Ю 4- f (1) Ф3 (D;	(4.207)
где
,	(E-W-l)	_ 1 П_Л
(_ 1 — 0)(—1 —1)	2	>	2
02 (6) = (o+i)(oZi) = О - а (• + а = (1 - &2);
ф3 (У =	0), = J_ g	= _L (|2 4- у.
Аналогично строится интерполяционный полином
fM
Рис. 4.40
226
Используя интерполяционные полиномы Лагранжа,
запишем аналитические выражения функции я,:
па = Ф2©*2(Ч) = (1-В2) (1-^) = 1-тГ»-В2-иач2;
«1 = Ф1 (0 Ф1 (л) = у (I2 -1) (ч2 - Ч) =
= 4(^п2-?2ч-^2 + 5ч);
л2 = Фз (5) Фз (л) = 4" (62 +1) (ч2 - Ч) -
= 4(w-^ + &’2_6n):
«з = фг ® Фз (ч) = 4- (52 - S) (ч2 - ч) =
4
=4<^п2+'2’1~^2_^):
л, = Фз (В) Фз (Ч) = 4" № + © (Ч2 + Ч) =
=4(|2i)i!'H2ii+sii2+6n):
«5 = Ф2®ф1(ч) = -4<1-£2Н’’2-’’) =
=	(ч2 — ч — £2ч2 + £2ч);
п6 = Фз (Э Фз (Ч) = у (&2 + 5) (1 ~ Ч2) =
= 4-(^-^2 + 5~^2):	(4'208)
Чз = Фз (I) Фз (Ч) = 4 (> - S2) (ч2 + Ч) =
= -у w2 + ч — ?2 ч2 — 12ч);
пв = Ф1(^)Ф2(Ч) = 4 ^2-В)(1-ч2) =
= 4^2-^ч2-5+£ч2);
227
1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	—0,
-1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	0,25	0	-0,25	0	—0,25	0	0,25	0	0
-1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,
0	0	-0,25	0	—0,25	0	0,25	0	0,25	0	0,
1	0	0,25	0	0,25	0	0,25	0	0,25	0	—0,
0	0	—0,25	0	0,25	0	—0,25	0	0,25	0	0
0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	—1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	0,25	0	—0,25	0	—0,25	0	0,25	0
0-	-1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	—0,25	0	—0,25	0	0,25	0	0,25	0
0	1	0	0,25	0	0,25	0	0,25	0	0,25	0
0	0	0	-0,25	0	0,25	0	—0,25	0	0,25	o’
Таблица 4.9
5
5
5
5
0	0	0	0	0	0	0
0	0,5	0	0	0	-0,5	0
0	0	0	0,5	0	0	0
0	0,5	0	0	0	0,5	0
0	0	0	0	0	0	0
0	0	0	0,5	0	0	0
0	0	0	—0,5	0	0	0
0	—0,5	0	-0,5	0	—0,5	0
0	-0,5	0	0	0	0,5	0
0	0	0	0	0	0	0
0	0	0,5	0	0	0	0
—0.5	0	0	0	0,5	0	0
0	0	0,5	0	0	0	—0,5
0	0	0	0	0	0	0
0,5	0	0	0	0,5	0	0
0,5	0	0	0	-0,5	0	0
—0,5	0	-0,5	0	-0,5	0	—0,5
0	0	—0,5	0	0	0	0,5
Используя функции Hi, запишем выражения для по-
лей перемещений:
Г «1 [1 I П I2 In П2 12П 12П2 In2
[и] [о ооооо о о о П
10000 00 0	0	0 1	2
“11 I П ? In I]2 12П	]
Рис. 4.41
Матрица L~l приведена в табл. 4.9. По полю перемеще-
ний построим поле деформаций:
ех		0		2 а	4 0 — а	S —’ а	1 0	— Вп а	4	2 — W — п2		
									а		а
Е1/	=		0	0	0 0	0	0	0	0		0
Уху			0	0 -	*- 0 ь	2 — е b *	4 п	2	4 b	-В2п	
0	0	0		0	0	0	0	0	0	—	
0	0 	2 b		0		4 Т*1"	2 г52		4 b		L-1 X
о -	2 а	0		4	2 —П а	о -	-Вл а	4 — In2 а	2 а	п2	
XZ = SL~1Z.
(4.209)
Окончательная матрица реакций будет
Я = (L—V RL—1, где R =
-y-J J BWBdgdn.
(4.210)
Наиболее простой сеткой при решении задач по
МКЭ является прямоугольная сетка. Однако при сгу-
229
щении сетки у концентраторов возникает излишнее чис-
ло узлов в местах, где напряжения меняются плавно и
не требуется столь густая сетка (рис. 4.41). Кроме того,
элементы получаются сильно вытянутыми, что ухудша-
ет обусловленность системы. Для того чтобы избежать
этого, необходимо менять шаг сетки от элемента к эле-
менту (рис. 4.42). При этом необходимо иметь прямо-
угольные элементы с переменным числом степеней сво-
боды по сторонам.
Покажем процесс построения матрицы реакций для
такого элемента на примере прямоугольного элемента
с двумя промежуточными точками на одной из сторон
(рис. 4.43).
Поле перемещений примем в виде
” ”
Vi
Г u 1	Г О л2 0 л3 0 п4 0 л5 0 лв 0 1
[ v ]	[ 0 пг 0	0 пя 0 л4 0 п& 0 пв J
«о
- &в -
На рис. 4.44 изображены функции пг-. Для получения
функций tii построим интерполяционный полином Лаг-
ранжа третьей степени на интервале от —1 до 41:

+
0.©+f(D<M£),
(4.212)
230
где
Рис. 4.44
9
= -ПГ(5+1)(В-1)(3£-1);
lb
ф3(1) =

231
= --(|+1) (g— 1) (35+1);
lb
04 ®=------1—n?—ту=
<1 + 1Ч1+т)(1-т)
= -^-(£+D (35+1) (35-i).
lb
Используя интерполяционные полиномы Лагранжа,
запишем выражения для функций пс
ъ (5) у (1 - ч) = - уу да -1) (5 -1) (1 -ч);
1	9	\
"2 = ф2 (?) у (1 - ч) =	(5а - 1] (35-1) (1 - ч);
«з = ф3(5) у(1 -ч) = --у(52-1)(ЗВ+1)(1-ч);
(4.213)
«4 = ф«(5) у(1-ч) = -у(5+1)да-1)(1-ч);
л6= у ('-?)у <1 + ч) = у d-?)(> +ч);
«6= у (1+5)у (1 + ч) = у (1 + 5)(1 + ч)-
Далее, аналогично предыдущему, строятся матрицы
L~} и В, по формуле (4.210) вычисляется матрица реак-
ций.
Наконец, остановимся на построении сложных конеч-
ных элементов с использованием процесса отображе-
ния.
Ниже будут рассмотрены произвольные элементы
как с прямолинейными, так и с искривленными кромка-
ми [17]. Для получения полей перемещений для этих
элементов необходимо построить функции, отображаю-
щие квадрат на произвольный четырехугольник. Рас-
смотрим два вида четырехугольников: с прямолинейны-
ми кромками (рис. 4.45, а) и с параболическими кром-
ками (рис. 4.45,6). Функции, отображающие квадрат
232
на четырехугольник с прямолинейными кромками (рис.
4.45,а), имеют вид
х = {ПуП^пА х; у = [п1и2ПзП4] у;
х = [XiX2x3x4]T; у = 1*/1!/2</з*/4]т;	(4.214)
И! = 0^)0! 01); л2 = Ф2а)Ф1(п);
п3 = фг (У ф2 Сп); щ = ф2 (£) ф2 (п).
Функции Ф) и Ф2 выражаются уравнениями (4.145).
Формулы (4.214) ставят в соответствие каждой точке
U» п)> расположенной внутри квадрата (см. рис. 4.45, а
справа), точку Л1(х, у), расположенную внутри четырех-
угольника (см. рис. 4.45,а слева). При этом угловые
точки квадрата переходят в угловые точки четырех-
угольника.
Рассмотрим четырехугольник, изображенный на рис.
4.45, б. Функции, отображающие квадрат, изображен-
233
ный на рис. 4.45, а справа, на четырехугольник с искрив-
ленными кромками, изображенный на рис. 4.45,6 слева,
имеют вид
х = [па п± ... л8] х; у = [па . «8] у\
х = [*а Xi ... х8]т; у = [уа уг ... у8]т.
Функции па, пь п8 находятся по (4.208). Поля пере-
мещений запишем с помощью тех же функций п в виде
(4.206).
На рис. 4.46 показан элемент с искривленными
кромками, описанными по закону кубической параболы.
Отображающие функции могут быть построены анало-
гично с использованием кубических полиномов Лаг-
ранжа.
Рассмотрим процесс построения матрицы реакций на
примере элемента, изображенного на рис. 4.45, б,
ди
дх
dv
ду
ди	dv
ду	дх
(4.215)
’ «а
Va
и1
234
где
О
В=[ВОВ1...]; Bt =
дх
о
ду
дп.} dfij
(i = a, 1, 2 ... 8). (4.216)
ду дх
Так как п/ определяется через £ и т], необходимо выра-
зить производные по х и у через производные по g и тр
dni дП} дх дгц ду
д£ дх д% ду д% '
dri}	дп,}	дх	j dni	ду
дт]	дх	dr] ду	дт]	’
или в матричной форме
где J — якобиева
дх ду
дх ду
дт) dr]
матрица,
дп{
dtiy
дп<
дп2
дп2
дт] dr] дт]
(4.217)
dnt
drij
(4.218)

235
Подставляя (4.218) в (4.216), получим
drij

О
дп{
дт]
Таким образом, матрицы Bi выражены через произ-
водные от Ni по g и т]. Для получения матрицы реакций
используем формулу
R = h yj fiT DBdxdy = h J J B? DBdetJ
Для вычисления интеграла необходимо воспользоваться
численным интегрированием (см. прил. 4).
Аналогично прямоугольным элементам по тому же
алгоритму могут быть построены треугольные элементы
с искривленными кромками. Используя описанный под-
ход, можно построить сложные объемные элементы с
искривленными гранями [17]. Число выкладок при этом,
естественно, резко возрастает и ввиду ограниченности
книги их приводить не будем.
В заключение приведем классификацию сложных
элементов. При описании геометрии и полей перемеще-
ний можно использовать различные полиномы, степень
которых зависит от числа узлов. Имеются следующие
три варианта:
1)	число узлов, определяющих геометрию элемента,
меньше, чем число узлов, определяющих поля,— субпа-
раметрические элементы;
2)	число узлов, определяющих геометрию элемента,
равно числу узлов, определяющих поля,— изопарамет-
рические элементы;
236
3)	число узлов, определяющих геометрию элемента,
больше числа узлов, определяющих поля,— суперпара-
метрические элементы.
В соответствии с этой классификацией и классифика-
цией, приведенной в начале параграфа, элементы, изоб-
раженные на рис. 4.37, являются субпараметрическими
комплекс-элементами, а элементы, изображенные на
рис. 4.38,— субпараметрическими мультиплекс-элемен-
тами. Наконец, элементы, изображенные на рис. 4.45 и
4.46, являются изопараметрическими комплекс-элемен-
тами.
Г л а в а 5. РАСЧЕТ ТОНКИХ ПЛАСТИН НА ИЗГИБ
§ 5.1. Прямоугольный элемент
Рассмотрим прямоугольный элемент, изображенный
на рис. 5.1. Вектор перемещений, принятых в качестве
степеней свободы, имеет вид
Рис. 5.1
237
где w — прогиб элемента в точке с координатами х, у,
L(x, у) — [1 х у х2 ху у2 х3 х2у ху2 у* х3у лт/3];	(5.3)
а = [«! а2 ... ^i2]T-
Полином (5.3) содержит 12 коэффициентов. Дифферен-
циальное уравнение равновесия для пластинки, работа-
ющей на изгиб, при загружении ее нагрузкой, распре-
деленной по контуру, имеет вид
d*w d4w
—2	—}---
Эх4 дх2 ду2 ду^
(5.4)
Подставим выражение (5.2) в дифференциальное
уравнение (5.4)
54w	d*w
	=	=-= 0.
дх4---------------ду4-дх2 ду2
Таким образом полином (5.2) удовлетворяет уравнению
равновесия внутри элемента.
Поле перемещений непрерывно между соседними
элементами по перемещениям. Например, вдоль линии
1-2 (см. рис. 5.1) для перемещения Wi-2 получим
= ах + а2х—а3 — + а4х2 — «э ~ + аб—+ а7х3 —
b	b2	b*	b Q b3
- ав — х2 +	— х - а*, — - ari — х3 —а12 — х =
2	4	о	2	о
Перемещение w по кромке 1-2 изменяется по закону
кубической параболы. Два соседних элемента имеют
одинаковые узловые перемещения w2<p^ , которы-
ми может быть определена единственная кубическая па-
рабола. Отсюда очевидна справедливость вывода о не-
прерывности перемещений на границах элементов.
Вычислим производную по нормали к кромке 7-2:
“ = а3 + а5х + 2а6у а8х2 + 2ад/ + За10г/2 4- апх3 + За12х£/а.
238
Выражение для угла поворота по кромке 1-2 будет
иметь вид
Ф1-2 = “з + aSx~ <V + V2 - % bK + 3“10 ~ +
+ «1/ + За12 х = I — аб b + — а10£2 j +
+ (а5 — а9ь + -j-
»i262 х + а8х2 + апх3.
(5.6)
Угловые перемещения вдоль кромки 1-2 изменяются по
закону кубической параболы. Два соседних элемента
имеют в точках 1 и 2 два одинаковых угловых переме-
щения ср*, , которыми не может однозначно опреде-
литься кубическая парабола. Следовательно, на грани-
цах смежных элементов могут возникать разрывы в
производной по нормали к кромке.
Запишем поля перемещений и углов поворота в
матричной форме
	w{xt у)		ю(х, у} “		L(x, У)	
Z (*, у)=	<рх(х, у)	—	даДх» У} ду	=	У)	а =
	— Ф^(*. У)		dw(х, у) дх _		—	у}	
			= L(x, y)at			(5.7)
где
Г1 х	у	х2	ху	у2	х3 х2у	ху2	yi х3у	ху3
L(x,#)= 0	0	1	0	х	2у	0 х2	2ху	Зу2 х3	Зху2
[О —I	0	—2х	— у	0	— Зх2 — 2ху	—у2	0 —Зх2	—у3
(5.8>
Подставляя в (5.7) координаты точки /, получим
zr = L^a,
(5-9)
где
*1 = ср* <pf ]*.
Аналогично подставляя координаты остальных точек,
получим матрицу L порядка 12X12. Итак,
z = L-a,	(5.10)
где
239
	1 0 0	а ~ 2 0 — 1	ь ~ 2 1 0	а2 0 — а	ab а ~2 b 2	Ь2 4 0	а2 ~ 8	”* 0 -1-	а2Ь 8 а2 4 ab __
		а	ь	а2	ab	Ь2	а3	а2Ь
	1	2	“ 2	4 ~	4	4	8	~	8
					а			а2
	0	0	1	0	~2	— b	0	4
					b		3	ab
	0	— 1	0	— а	2	0	-Та?	
L —	1	а	ь	а2	ab	Ь2	Q3	а2Ь
		“ 2	2	4 “		4	~ 8	
					а			а2
	0	0	1	0 —		b	0	
					Т			~4^
					b		3	ab
	0	— 1	0	а —	2	0	-~а	
	1	а	ь	а2	ab	Ь2	а3	а2Ь
	1	т	~2	4	4	4	8	8
					а			а2
	0	0	1	0	V	ь	0	
					b		3	ab
	0	— 1	0 •			0		 	Л2 		
				— а —	2		~ 4 а	
								
Умн<	ожая обе		части равенства (5.10) на /л1, получим					
				а =				(5.11)
Вычислим матрицу £-1. По построению матрица								L име-
ет вид								
				~ L (	а	—'1~		
				ч	~~2 '	2 j		
				L (	’ а	_L \		
				ь2 1	, 2 ~	2 /		
			L =		а	_й\		(5.12)
				Ls( -				
				ч	2	2 )		
				L (	а			
					2	2 ) _		
					240			
ab2	b3	a3b	ab3 ~
			
8	8	16	16
ab	3	a3	3
	— b2	-—  	—	ab2
2	4	8	8
Ь2		3	b3
	0	— a2b	—  
4		8	8
ab2	b3	a3b	ab3
8	8	16	15
ab	3 n	a3	3
	— b2		— ab2
2	4	8	8
Ь2		3	b3
	0	— a2b	
4		8	8
ab2	b3	a3b	ab3
~ ~8 "	8	~ 16	~ 16
ab	3 Л	d*	3
~~~	— b2		— — ab2
	4	~~ 8	8
h2		3	&
	n	- -	
	U	—- ~ “0	
~~ 4		8	8
ab2	b3	a3b	at)3
8	8	16	16
ab	3	d3	3
	— b3		— ab2
2	4	8	8
b2		3	~ b3
	A		 ~2 A	
	U	— a о	
~ 4		8	8
3 соответствии с
ощую структуру:
(5.12) матрица L~l будет иметь
следу-
b
~2
2 ’
(5.13)
Таким образом, для построения матрицы L~l достаточно
построить три ее столбца, для получения остальных
столбцов достаточно произвести смену знаков. Наиболее
наглядно она строится в том случае, когда известны ее
три последних столбца (гак как при этом значения а и
241

242
Ь положительны). Построим вспомогательные функции,
графики которых изображены на рис. 5.2:
1	х	1	у
= —ч—; ф1 w = v + V
2	а	2	о
1	3	к	(	х \з	1	3	у I у	\3
Фа«=т+тт-2(т);
(5.14)
fl	1	1	1
= Т + ~Т %х2 “т *3;
8	4	2а	а2
b 1	1	1
Ф, (у) — — — — — у -у2 4-у3.
м 8	4 У 2Ь Ь2 У
Используя (5.14), построим еще одну вспомогательную
функцию
/(х) = Ф2(х)-Ф1(х)	(5.15)
2, \ а \ а /
На рис. 5.3 изображены функции, соответствующие
единичным перемещениям точки 4 и нулевым перемеще-
ниям во всех остальных точках.
Построим функцию, соответствующую ау4 = 1, cp*=O,
<р^ =0 (рис. 5.3, а). Эту функцию можно представить как
сумму функций, построенных с использованием функций
(5.14) и (5.15),
Далее построим функцию w4=0, ср* = 1, ^=0 (рис.
5.3, б):
/1 X \ f Ь Г 1	1	\
«- = ф1МФ3(г/) = (у + —)(- — ~-у + ^у2 + -^у3) “
243
Г ь =	у) — — L *6 ~2	b	1	11 —	—— 0 —		0 0 (5.17)
	8а	8	4а 4Ь	
	-	— 0	]	
	ab 2b2	ab2 ]	
и, наконец, функцию w4=0, q?J = O, <p^ =1; / a r 1	1	1	\ / 1 ш = фз(х)ф1(0 = (—+ —x_—x2__хзД-		+!)-
= L(*, y) Hy “ I lo		— _	Q __	 8 8b	4а 4Ь	2а2	 —
1	1 1т - 0 0- — 0 .	(5.18)
2ab	a2b J Столбцы произведений (5.16), (5.17), (5.18) составляют		
три последних столбца	матрицы L~} (5.13) -	1	Ь	а " 4	“	16	16 3	Ъ	1 4а	8а	8 3	1	а 4Ь	~	8	8Ь 0	0	Д 4а 2	1	1 ab	4а	4Ь 0—0 4Ь а3	®	2а2 °	0	-it °	2ab	° _-Д	J-	0 &	2Ъ2 — —	0	—— а3Ь	а2Ь -L о __ ab3	ab2	_ 244	
Вычислим вектор деформаций
е —
ех
- d*L(x, у) ~
еи
дх
d*L(x, у)
ду*
2 ^(х, У)
дхду
= — zBa = zBL~'z\ (5.19)
— —z
У
z — расстояние от нейтральной
локна;
плоскости до рассматриваемого во-
Г0 0 0 2 0 0
B = 000002
6x 2y 0 0 &xy 0 I
0 0 2x 6г/ 0 Sxy .
0000200 4x 4 г/ 0 6x2 6z/2 J
Составим выражение для потенциальной энергии:
6/2
(5.20)
^тУУУ^^^т
а/2 Ь/2
-а/2 -6/2
Вт DBdx dyL~~^z = -у 7Т
—6/2
а/2 6/2
J J BTDBX
—а/2 —6/2
X dx dy L—1 z — — zTR z,
где
№
a/2	b/2
J J FDBdxdyL-1.
—a/2 —b/2
(5.21)
Подставляя L~l (5.13), В (5.20), D (4.29) в формулу
(5.21) и интегрируя, получим матрицу реакций для эле-
мента, изображенного на рис. 5.1. Первые три столбца
матрицы реакций (соответствующие первой точке) при-
ведены в табл. 5.1.
Как и в плоской задаче (см. § 4.6), матрица реакций
может быть представлена в виде
411 &12 б113 Dj4
#>1 Д22 &23 См
R Сз1 б>32 Лзз BS4
В41 642 ^43 А44
Одинаковыми буквами обозначены блоки матрицы ре-
акций, элементы которых одинаковы по модулю. Разде-
245

				1	X , CM | CO	1	>51- I 1 =	Q	[bi— i s-'Js-	)-- I = 1гэ
						, ,	x S (rifr — m) —• — — <z-tiZ — s0) Z пэ		
zP	02.	-J- сч | oo	i	) 51- I = ce7		0 = '	’’«q	D	(Ti — | 4~ sdsj	= te7
			'i	(Я — I -4	i	'> 1	fS 51*- II	7[ +	+1 г—d-	>t+ = izq
		| = s&o		«?РГ|— :	= zsv	(z- V	(rffr — tl) — — I -fl—ids) s— = H<? [(ИЯ-1)-р + 4-iflsj = "»	
			zQ + ;	। Of — J -4]	?-! + V = zzq	Q	[(rffr+i)-- L	i г-flS—j = ”»	
						1 (rtf’—H)-|- + + (z~-d“h гУ) — Uy		
IS епни19 ex
Продолжение табл. 5.1
С31 = [р - — У (1 +4ц)]« ^1 = -2(₽2+₽-2) + + 1(14-4р) о			с32 — 0	Сзз ~	[> i — и)	а2
^21 — |^“ 1 + 7(1	-₽-2 - Ц)]	+	d22 =	fl-2 + + ^(1-И)]*2 15	J			
^31 = 1 -Г{1	[р2- -н)]	а	^32 ~ 0	^33“ +i(l	1 — ю|	а2
Общий множитель D!ab\ $=b)a\ D — цилиндрическая жесткость.
лим переме Ос 1 группа	мщения на две группы (см. § 4.7 и рис. 5.1): ь у	Ось х 2 группа	1 группа |	2 группа
ФУ Аналогично	1	I СУ фх	ф*	Ю фУ плоской задаче (см. § 4.7) составим опера-
торы знаков:
Оп	epai	ор 1 <₽х	фУ	Оп	tepai СУ	гор 2 фХ	) фУ	Оп	epai W	гор < фх	1 фУ
ш	+	+	—		+		+	ш	+	—	—
фх	+			ГРХ	—	+	—	фх	—	+	+
ФУ	-	“ 1	+	фУ	+	—	+	фУ	—	+	+
247
Используя операторы знаков, запишем матрицу реакций
через исходные элементы
«11	а21	«31	4ll	^31		«11	«21	«31
^23	«22	°32	Ь21	Ь22	Ь32		" «21	«22	«32
«31	а32	а33			— ^32	413		«31	«32	«33
^11	^21	&31	Ац	Qsi — «si		^11	^21	d31
^21	^22	^32	«21	«22 — «32		 d2i d22	d32
^31	&32	^33	«31	«32	«33		dsi d32	d33
Cll	«21	С31	dll 	 4>1	d31		«11	«21	«31
«21	С22	«32	d2i d22	d32	—	«21	«22	«32
«31	«32	С33	— d3f — d32	d33		«31	«32	«33
411	4п — ^31	Cll	«21	«31		^11	^21
^21	^22	^32	«21	«22	«32		' ^21	^22	^32
^31	4з2	^33	«31	«32	«33		^3i	b32	b33
			
	^11	^21	411		
	4>i	d22 d;	32	
	4n d32 dL	>3	
	«11	«21 	 «31		
	«21	«22	«32		
	«31	«32	«33		
							(5
	41 b2l b3	1	
	^21	4'2	^32		
	41	&32	^33		
	«11	«21	«31		
	«21	«22	«32		
	— «31	«32	«33		
.22)
Как указывалось, поле перемещений, соответствую-
щее матрице (5.22), не является непрерывным по про-
изводным по нормалям к кромкам элемента. Следова-
тельно, это поле перемещений не удовлетворяет условиям,
накладываемым на возможные поля в соответствии с
принципом Лагранжа. Однако можно доказать, что ре-
шение будет сходиться к точному. Можно провести пре-
248
дельный переход аналогично тому, как это делалось в
плоской задаче, и показать, что уравнение метода ко-
нечных элементов для произвольной точки k при умень-
шении размеров (Дх->0, Д*/->0) переходит в бигармони-
ческое уравнение (5.4). Ввиду громоздкости выкладок
этот предельный переход приводить не будем. Как пока-
зывают численные эксперименты, матрица (5.22) при
Рис. 5.4
решении практических задач дает достаточно хорошее
решение.
Построим далее матрицу, соответствующую полю пе-
ремещений, непрерывному как по прогибам, так и по
углам поворота. Для построения матрицы используем
функции Биркгофа — Гарабедиана [58]. Зададим поле
перемещений в виде полинома в относительных коорди-
натах:
w = [1 £ И £2 Н2 I3 ni п2 Л3 пз	(5.23)
а =[04012 ... а12]т,
где
х 2х __ у _ 2у
а/2 ~ а ’	b/2 ~ b
Функция Пз имеет вид
п3 =	+ З1п3 ~	.	(5.24)
Функции «2, «4 приведены на рис. 5.4. При этом
единичный квадрат в относительных координатах, соот-
ветствующий элементу с размерами a\bf поделен на
четыре треугольные области и в каждой из областей
эти функции имеют свое аналитическое выражение.
Функции Пь п2, Ил являются непрерывными функциями
249
вплоть до первых производных. Рассмотрим функцию
щ в области 3-0-4 и 4-0-2. По линии 0-4 имеем т]=£,
следовательно:
(2£п - 2*) . - 2|2 - 2£;	- 2£ + Ч2)п=- = I2 ~ + I2 =
= 2^ — 2^;	°	(5.25)
д	д
— (2£П-2£) £ = 2*-2; — (^-21 + ^) =2|-2. (5.26)
Таким образом, по линии 0-4 имеется непрерывность как
в перемещениях (5.25), так и в производной от них по
g (5.26) . Вторая производная имеет разрыв
д2	д2
-^-(^2-2^ + П2)=2; —(2^-2£) = 0.
Аналогичными свойствами обладают все функции
«1, п2, ^4 по всем границам между областями. Таким
образом, функции и2, л4 непрерывны внутри квадра-
та вплоть до первых производных.
Поле перемещений (5.23) непрерывно между сосед-
ними элементами по перемещениям. Например, вдоль
нижней кромки имеем (т|=—1)
^1-2 = ах + а2£ — а3 + аД2 — а5£ + а6 + а7£3 +
+ «8 (—2£ —2£)-f-аэ (1 — 2-р I2) —- а10 4" ап (—• 3£3 — 3£ +
+ |3 + 5|) + <z12y(I-&3-3| + 353).	(5.27)
Перемещения по нижней кромке изменяются по кубиче-
ской параболе, которая однозначно определяется пере-
мещениями угловых точек (04	, w2 ф^).
Вычислим производную по нормали к нижней кром-
ке
jtw =	= г	+
ду дх\ ду b L
+ а10Зч2 + «и (3g> + 9^2 - 3^n‘2-5g) + «п “J" (- 5£п‘ +
4
+ 3ire + 9i)4-3g>)] .
При т] = —1
dw 2
— = — (а3 + а5 | — 2а6 — 2а8 £ + За1о +
ду о
2
+4а11+4а12 £)— ~Г [(аз ~ 2а6 + За10) + (а5 + 4alt 4- 4а12) . (5.28)
о
Таким образом, производная по нормали меняется по
закону прямой линии, которая полностью определяется
250
двумя параметрами (<pf, cpj). Аналогичными свойствами
обладает поле (5.23) и вдоль остальных кромок. Таким
образом, поле перемещений (5.23) непрерывно как по
перемещениям, так и по производным от них. Весь
дальнейший ход получения матрицы жесткости аналоги-
чен рассмотренному выше.
Дифференцируя выражение (5.23) и подставляя ко-
ординаты точек /, 2, 5, 4, получим
(5.29)
откуда
a = L-4.	(5.30)
Используя формулы Коши по полю перемещений, полу-
чим поле деформаций
Г=Всс = zBL-'Z.	(5.31)
Далее составим выражение для потенциальной энергии:
Л/2
—Л/2
— (L-1)-1 J J B1 DBd^dr\L—1 Z = Z* RZ;
abh3 С С
Л = — (L-1)T J j В1 DBd^dr\L-
При вычислении интегралов, ввиду наличия функций
п2, и4, приходится производить интегрирование по треу-
гольной области. При интегрировании удобно использо-
вать весовые коэффициенты, приведенные в прил. 2.
Остановимся еще на одной модели, поля которой не-
прерывны как по прогибам, так и по производным к ним
[59]. В качестве вектора обобщенных перемещений
примем	_	_	_	_
z =
Z2
, где zt =
Wi
4>i
dwi
ду
dwt
дх
д2 Wi
— дхду _



251
т. е. дополнительно к вектору обобщенных перемещений
д* Wj
(5.1) добавляется еще одна степень свободы (круч
чение).
Поле перемещений представим в виде
ш = #(!, ri)Z = [nln2 ... n16]Z,
где Пк — единичная функция прогиба.
Чтобы получить функции и*, построим четыре вспомо-
гательные функции (рис. 5.5):
^i(D = 4"(2-^+53); *2a) = Y<2+35-s3)i
Ф.(В) = у (-1-B + ^-t-S3)-	(5.32)
Если в функциях (5.32) заменить § на q, то получим
четыре аналогичные функции от q: Ф1(т]), Ф2(л),
Фз(ц), ФИл)- Любая из функций пь может быть постро-
ена как произведение Ф(£) на Ф(ц). На рис. 5.6 пока-
зано получение функции п2, соответствующей обобщен-
ному перемещению = 1. Аналогично можно построить
и остальные функции:
«1 = Ф1 (В) (л); «б = ф2 (I) ф3 (л;)
«2 = Ф1 (В) ф3 (л); «7=-ф4 (£) ф£ (л);
«з =—ф3 (В) Ф1 (л);	«в = ф4 (I) ф3 (л);
«4 = Фз (£) Фз (Л)	«9 = Ф1 (В) ф2 (л);
«5 = ф2 (I) (л);	«ю = Ф1 ® ф3 (л);
«и =-Ф8 (I) ф2 (л);
«12 = Фз (£) ф4 (л);
«1з = ф2 (£) ф2 (л);
«и = ф2 Ю ф4 (л);
П15 =— ф4 (I)	(л);
«16 ~ ф4 (g) Ф4 (л)-
(5.32)
252
Рис. 5.6
Далее процесс постро-
ения матрицы реакций
производится аналогично
предыдущему.
В заключение остано-
вимся на вопросах учета
поперечного сдвига. При
этом будем учитывать ги-
потезу прямых, согласно
которой в процессе дефор-
мации пластины норма-
ли к срединной поверхно-	Рис. 5.7
сти до деформации оста-
ются прямыми, но вследствие деформаций сдвига не яв-
ляются нормалями к срединной поверхности после де-
формации (рис. 5.7). Вектор обобщенных перемещений
имеет вид
где ti =
...4	(5.33)
Примем независимыми поля для учета изгибных и
сдвиговых деформаций. В качестве поля, учитывающего
изгибные деформации, примем поле (5.3). Поле, соот-
ветствующее сдвиговым деформациям, примем в виде
4х = «13 + 0С14 х -ь а15 у + а16 ху;
= «15 + «16 х + «1? У + «is ху,
253
тогда окончательно поле перемещений будет
у
Vх (х, у)
Чу(х, у)
= L (ху) а,
(5.34)
где
« = [«! а2 ... а20]т;
	1 х у	X2	ху	У2	х3 х2 у
L(x, 0 =	ООО	0	0	0	0	0 ->
	ООО	0	0	0	0	0
Все дальнейшие выкладки по построению матрицы ре-
акций аналогичны приведенным выше.
§ 5.2. Расчет пластинок
на упругом основании
Упругое (винклеровское) основание можно модели-
ровать с помощью пружин, поставленных в вершинах
прямоугольного элемента (рис. 5.8). При этом жесткость
„	л.	, ab
каждой пружины определяется по формуле с — k ,
k — коэффициент постели. Чтобы получить матрицу
жесткости для элемента, изображенного на рис. 5.8, не-
обходимо к диагональным элементам, соответствующим
вертикальным перемещениям (t^i, ш2,	w4), добавить
254
Рис. 5.8
Рис. 5.9
жесткость пружин с. Этот способ позволяет учитывать
односторонние связи между пластинкой и основанием.
Для нахождения зоны контакта между плитой и основа-
нием используется метод последовательных приближе-
ний. Замену винклеровского основания системой пружин
будем называть дискретным способом учета основания.
Наряду с дискретным способом учета упругого осно-
вания может быть применен и континуальный. Для уче-
та упругого основания необходимо знать уравнение по-
верхности плиты при единичных смещениях ее углов.
Для этого необходимо	решить	уравнение
,	d*w kw	_
+2	+	—	(5.37)
дх*	дх2 ду2	ду* D
для прямоугольной области, что является достаточно
сложной задачей, не имеющей решения в замкнутом
виде. Поэтому применим приближенный метод, при ис-
пользовании которого задаются формой изгиба элемента
(не решая дифференциального уравнения). При единич-
ных смещениях углов поверхность элемента изгибается
по сложному закону. Чем жестче основание по сравне-
нию с жесткостью элемента, тем эта поверхность будет
сложнее, причем она может быть и многоволновой (рис.
5.9). С уменьшением размера элемента поверхность ста-
новится одноволновой, которую можно достаточно хоро-
шо проаппроксимировать поверхностью изгиба пластин-
ки при отсутствии реактивной нагрузки со стороны осно-
вания. Итак, в качестве формы изгиба можно применять
либо полином (5.2), либо (5.23)
П) = *-(£, т])!-1/.
255
Интенсивность нагрузки со стороны основания будет
р(В, = n}L-iz.
Вычислим потенциальную энергию основания:
77 "Г	=
2 JJ	2	4
/•'
1 1
X (L->P f f и Й, Г)) L й, П) ^Л)Л) (L-1) z= у ZRO L,
—1 --1
где
LT& ПИ(£>
(5.38)
Ro — матрица реакций, учитывающая работу упругого основания.
Исходные элементы матрицы реакций, учитывающей
работу упругого основания, приведены в табл. 5.2. Пол-
ная матрица имеет вид (5.22) .
Таблица 5.2
flu —0,137063 а21=—0,018293 6 «31 = 0,018293 а	а22=0,003174 62 «32=—0,002500 ab	fl33=0,003174 а2
6ц=0,048650 621=—0,007896 6 631 = —0,010873 а	fe22=0,001587 62 632=0,001666 ab	633=—0,002380 «2
с, 1 = 0,048650 с21 = 0,010873 6 с31=0,007896 а	с22=—0,002380 62 сз2=—0,001666 ab	Сзз=0,001587 а2
du = 0,015634 d2i=0,004603 6 d3l=—0,004603 а	^22=—0,001190 62 d32=0,001111 ab	</33=—0,001190 а2
Общий множитель kab.
256
Аналогично можно получить матрицу реакций и для
модели основания с двумя коэффициентами постели.
Для этой модели связь между нагрузкой и перемещени-
ем основания имеет вид
Р (х, у) =. kt w — k2 A2 aj;
здесь Р (х, у) —отпор основания; w — прогиб; ki, 62— коэффициен-
d2 d2
ты постели; Д2= — + ~~ — оператор Лапласа.
dx2 dy2
Эту модель можно трактовать как нерастяжимую
мембрану, находящуюся на упругих, не связанных меж-
ду собой, пружинах. При использовании этой модели не-
обходимо учитывать работу основания не только под пли-
той, но и за контуром плиты. Наиболее простым спосо-
бом является введение законтурных точек, для которых,
так же как и для внутренних точек, составляются урав-
нения.
Можно учитывать работу основания, используя спе-
циальные контурные элементы.
§ 5.3. Получение матрицы реакций
для треугольного элемента
На рис. 5.10 изображен треугольный элемент, распо-
ложенный в горизонтальной плоскости хОу. Начало
координат принято в центре тяжести треугольника. В
качестве полинома, аппроксимирующего функцию про-
гиба, примем
w = at 4- а2 X + а3 у 4- а4 х2 4- а5 ху -h aG у2 4“ а7 х3 4- а6 х2 у 4~
4-о9 *У2 + йю !/3.
(5.39)
По условию симметрии полином (5.39) имеет 10 коэф-
фициентов. Треугольник имеет три угловых точки,
если в каждой точке при-
нять по три неизвестных
(wh <₽*, <Pf), то полное
число степеней свободы
равно девяти, что на еди-
ницу меньше количества
коэффициентов полинома
(5.39). Поэтому необходи-
мо ввести еще одну до-
полнительную степень
свободы, в качестве кото-
рой можно принять пере-
257
мещение центра тяжести соо. Запишем выражение (5.39)
в матричной форме
w — [1 X у х2 ху
где a=[aia2a3... а10]т.
Дифференцируя (5.40)
для полей углов поворота
W
(рх =
У _
1	X	у	X2	ху у2	X3
_ О	О	1	о	х 2у	0
0—10 —2х —у 0 — 3.
у2 Xs х2 у ху2 у3) о,	(5.40)
по х и у, получим выражения
w '
dw
ду
dw
х2 у	ху2	У3	
X2	2ху	Зу2	
—2ху	~У2	0	а. (5.41)
Подставляя в (5.41) координаты точек 0, 1, 2,. 3, полу-
чим
W		1	0	0	0	0	0	0
		1	*1	h	Х1		У1	Х1
Ф1		0	0	1	0	xi	2У1	0
Ф1		0	—1	0	-ч		0	—Зх]
w2		1	х2	^2	х2	хгУг	Уг	хг х2
Ч>2	—	0	0	1	0	Х2	2У2	0
		0	—1	0	-ч	~Уг	0	—Зх^
ta3		1	хз	Уз	4	х3Уз	Уз	
Ч>3		0	0	1	0	хз	ч	0
Фз		0	—1	0	—2х3	-Уз	0	-3zj
258
0	0	0
Х1У1		9?
xl		3у1
-M		0
4^2	хгУ2	
X2 X2	4^2	Зу1
~2Xi^	-у1	0
хзУз	хз Уз	Уз
*3	2хзуз	ЗУз
2хз %	-у!	0
Z = La-t откуда		сГ= L-1 Z.
(5-42)
Подставляя (5.42) в (5.41), получим
w — [1 х у х2 ху у2 х3 х2 у ху2 г/3] L—1 Z.	(5.43)
По вектору (5.43), используя зависимости Коши, по-
строим вектор относительных деформаций
	д2 w			
			000200 6x2# 0 0	
	"дх2			
	д2 w			_ь.
Е =— Z	'ду2	=— г	0 0 0 0 0 2 0 0 4х бу	L-1Z =
			000020 0 4х 4г/ 0	
	дхду		_ 		
=—zBL-iZ.	(5.44)
Далее вычислим вектор напряжений o:o=DBL-1Z.
(5.45)
Подсчитаем потенциальную энергию, накапливаемую в
элементе,
1 С	1 ->	h3 С	-*
П = — j ат zdF = — ZT (Z-1)T	BFDBdxdy L—1 Z =
д	д
= у 1-1)T R* !~1 z,	(5.46)
где
BT DBdxdy.
(5.47)
259
Матрица, стоящая под интегралом в (5.47), имеет вид
ООО	0	0	0	0	0	0	0
ООО	0	0	0	0	0	0	0
ООО	0	0	0	0	0	0	0
ООО	4£'	0	4£	12£*х		4£ х	12Е'у
ООО	0	G	0	0	2Gx	2Gy	0
ООО	4£	0	ч	12Е* х	4£" у	^Еух	12Е;у
ООО	\2ЕХ х	0	12£ х	ЗбЕ'х2	\2Е'Х ху	12е" х2	36Е ху
ООО	4Еху	2Gx	4Е у	12£*ху	Е'х +	4Е* ху +	12Е"у2
					+ 4x2G	+ 4Gxy	
ООО	4Е х	2Gy	4Е‘ух	12£\2	4£ ху +	4х2 Еу +	»2е; ху
					+ 4Gxy	+ 4/£6	
ООО	12£ у	0	^ЕуУ	36£" ху	КЕ’у2	12£; ху	36Еу у2
(5.48)
Интегрируя почленно матрицу (5.48) по треугольной
области, получим матрицу /?*. Процесс интегрирования
удобно проводить численно, используя весовые коэффи-
циенты, приведенные в прил. 2.
Г*И = (4 [ hi (*1^1) + hi (х2 У2) + hi (хз %)1 +
+ 9[Ц^;	+	+
+	)] +54/;j (0,0)]-^- ,	(5.49)
\ Z	2	/ J	J О!
где Д — площадь треугольника; —элемент матрицы /?*, стоящий
в i-й строке и ;-м столбце; fa — функция, стоящая в матрице (5.48)
в i-й строке и /-м столбце (соответствующая элементу rt-y).
Недостатком приведенного треугольного элемента
является наличие промежуточной точки О. Наличие этой
степени свободы обусловлено симметричной записью
полинома (5.40). Некоторые авторы пытались умень-
шить число коэффициентов полинома на единицу. Гак,
предлагалось принять коэффициент аз —0 (симметрия
полинома при этом не нарушается), однако при этом
теряются деформации, соответствующие чистому круче-
нию ЛГкр = d2w/ (дхду),
260
и элемент дает решение, не сходящееся к точному. Пред-
лагалось принять а8=а9, но при этом для некоторых
видов треугольников матрица L получается особенной и
не имеет обратной, что не позволяет построить матрицу
R по формуле (5.46). Степень свободы, соответствующая
точке О, является локальной, т. е. при перемещении
деформируется только данный треугольник и не про^-
исходит никаких деформаций в соседних треугольниках.
В § 4.10 показано, как избавиться от этой локальной
степени свободы, используя исключение по Гауссу.
§ 5.4.	Расчет трехслойных пластин
с легким заполнителем*
Для расчета трехслойных пластин с легким заполни-
телем будем использовать следующие основные гипоте-
зы:
1)	несущие слои, материал которых ортотропен, сим-
Рис. 5.11
Рис. 5,12
метричны относительно срединной плоскости и остаются
эквидистантными в процессе деформации;
2)	нормальные напряжения в плоскости пластины
воспринимаются только тонкими несущими слоями и
распределены по толщине равномерно;
3)	легкий изотропный заполнитель не воспринимает
никаких напряжений в'плоскости пластины, а из плоско-
* При написании параграфа использован материал В. С. На-
умова.
261
сти воспринимает только касательные напряжения, ко-
торые предполагаются равномерно распределенными по
толщине заполнителя.
Получим систему дифференциальных уравнений для
расчета трехслойных пластин. На рис. 5.11 показаны
приращения внутренних усилий, которые дают проекции
на ось z. При этом,'так же как и при выводе уравнений
равновесия теории упругости (см. § 4.1), проекции от
самих усилий уничтожаются. На рисунке показаны так-
же усилия и приращения усилий, которые дают моменты
относительно осей хи у. Итак,
SZ = 0;
dx dy-^	dy dx— qd xdy = 0;
dx	dy
ZMX = 0;
~y dy dx(h + t) + ^-yx- dx dy	Qzy dx dy — 0;
dy	dx
lMy = 0;
dh\	dl\u
—~ dx dy (h -HH---dy dx + 0 — Qzx dx dy = 0.
dx	dy
Сокращая на dx dy, получим
। dQzy
—-----1—~ = <7;
dx dy
+ +	(5-50>
Qzx = (/i+o(~
\ dx dy )
В уравнения (5.50) в качестве неизвестных входят по-
гонные усилия Nx, Ny, Txv — TyX, Qzx, Qzy. Таким образом,
система трех дифференциальных уравнений равновесия
содержит пять неизвестных и задача является статиче-
ски неопределимой, поэтому для решения составляются
уравнения деформаций.
В соответствии с рис. 5.12 имеем
Л /	h-j-1	/r-ctx
« = —у- ф;	=	у; v3=— г<р. (5.51)
где u, v — перемещения точек верхнего слоя; u3, va — перемещения
точек заполнителя.
262
За положительные направления углов <р и ф приняты по-
вороты против хода часовой стрелки при взгляде соот-
ветственно навстречу осям х, у.
Используя формулы Коши, вычислим деформации
ди h -j- / dip	dv h + t dtp
dx 2 дх	ду	2 ду *
du du h 4~ t / dip 0<p
Уху ~ду~ + ~дх~ = ~2~\ду~ ~ ~дх~ J’
(5.52)
dw , d«3 dw ,	dw , du3 dw
Угх — "7 + ~; = ~Г" + "ф; Угу — ~7 Ь =	~ Ф«
dx dz dx	y dy dz dy
Далее составим уравнения закона Гука для случая, ког-
да внешние слои ортотропны, а внутренний слой рабо-
тает только на сдвиг:
Nx = tax^t (E^x + E‘ е^-,
N, = la!l=:t(E'ex + Eueu)-
ТХу — ТуХ ~ tUxy — 16уху’>	(5.53)
Qzx = h^zx = Угх> Qzy ~ h%zy ~ hG3 yZy\
где G3 — модуль сдвига заполнителя.
Подставляя в (5.53) выражения деформаций по (5.52),
получим
= (Л + 0£/ ,
х 2 \Ьх дх ду Г
у 2 Г У ду Г
Системы уравнений (5.50) и (5.54) содержат восегль
неизвестных (2VX, Ny, Тху = ТуХ, Qzx, Qzy, w, <p, ф); для
их нахождения имеется восемь уравнений. Задачу бу-
дем решать в перемещениях, для этого подставим погон-
ные усилия (5.54) в уравнения равновесия (5.50):
263
G3h
G3h
(A + 02^ [ » d2ip _
2	[ dxdy
f d2ip	d2<p \1
\ дудх	dx2 /J’
(h + 021 Г , d2ip
(5.55)
— E1
/	2	[ x dx2
d2 (p / d2 ip d2 <p \1
дудх 6 \ ду2 dxdy ] J
ИЛИ
d2 w d2 w	dip	dtp________q .
dx2	dy2	dx	dy	G3h ’
dw (h 4- 02 i
oy	2G3 h
, d2q>
£ ----—
у dy2
_A+(r+G)^]5
dx2	dxdy]
, d2<P j
(5.56)
(fe + O2*
2G3h
dw ,
— pip
dx
x dx2 +G ду2 ' ±а'дхдуГ
Система уравнений (5.56)
является замкнутой систе-
мой для решения задачи в
перемещениях.
Построим матрицу реак-
ций для прямоугольного
трехслойного элемента с
легким заполнителем (рис.
5.13). Используя функции
«ь «2, п3, т [см. (4.146)],
построим поля перемещений
Рис. 5.13
По формуле (5.52) имеем
еУ Уху Угх	=	2 ~дГ h-\-i д<р ~ 2 ду h +1 /dip	dtp \ 2 \ dy	dx ] dw , — 4- dx	= kBZ.
		dw	
Угу		dy	
(5.58)
Матричный множитель k выражения (5.58) имеет вид
	~ h-\-t 2	0	0	0	0	
	0	h +1	0	0	0	
k =	0	2 0	h 4~ t 2	0	0	(5.59)
	0	0	0	1	0	
	0	0	0	0	1	
Матрица В будет
0	0	dnt	0	0	dn2
		X			dx
0	dtij dy	0	0	dn2 dy	0
0	dnr	dnr	0	dn2	dn2
	dx	dy		dx	dy
дпр dx	0	П1	dn2 dx	0	n2
dn-p dy	—	0	dn2 dy	— «2	0
265
0	0	дп3 дх	0	0	дп4 дх	
0	о'п3 ду	0	0	дп4 ду	0	
-> 0	дп3 дх	дп3 ду	0	дп4 дх	дп4 ду	(5.60)
дп3 дх	0	п3	дп4 дх	0	«4	
дп3 ду	-п3	0	дп4 ду	-п4	0	
Подставляя в (5.60) значения и2, n5i гц по (4.146) и
дифференцируя, получим
0	0	
0		0
	1 -	1
0	-т~(1-п) 2а	
	0	-Д(1-5)(1 -П) 4
		0
о	о 0	4г(1 + э	0 0	-^<' + 9 -^-(1-4)	0	4"(1 + 5){1~’1) -^-(> + 5) —;С +£)(1-ч)	о i	—>
266
	0		О			
	0 0 -^(1+п)		-lb*-В -^-О+П) О	1 т(,_	О П-В) В)О -Н)	
	- 0 0 0		0 -^а+в) -Y-o+q) О	О -^О+п) О Y-d+6) v (‘ + s)(‘ + п) 4		
-^-(1+у -4_<1+£)(1+ч) Матрицу Гука представим в виде				О (5.6f) произведения		
	D = k (ft + 0»i 2 (h + О2 2 О	" 2tEx 2tE О О О ~£"	2tE	ООО 0	0	о О	2tG	0	о О	0	hGa	о О	О	О	Л63 ^-Е" * + Г1Е'	0 2 - У о	с		о о О О О О	
	О О		О О	О	ЛС3 О о	0 hO3		
(5.62)
267
Для получения матрицы реакций R используем формулу
R =
В1 D В d^dx].
Исходные элементы матрицы реакций [см. (5.22)] при-
ведены в табл. 5.3. Аналогично плоской задаче сделаем
предельный переход. Разложим перемещения около точ-
ки k (см. рис. 4.24) в ряд Тейлора с точностью до треть-
его порядка малости:
__г	^х^
zx = z + zx &x 4~ гхх —— 4- о (Д ’);
г2
где
4- о (А3);
(5.63)
Перемещения в остальных точках отличаются от (5.63)
только знаками при Дх и Дг/.
Аналогично плоской задаче, используя (5.22), по-
строим матричный оператор, изображенный на рис. 5.14.
Накладывая этот оператор на точку k (см. рис. 4.24) и
приводя подобные члены, будем иметь
4 (сп 4-	4- «и 4-
О
О	4 (О22 4- ^22 4" С224~^22)
о
О
о
X	о
4 («зз 4- ^зз 4~ Сзз4-^зз)_
268
Рис. 5.14
О
О
О 4(fc31-W31)
0-
О


+
-•4 (£31ЧЧ1)
о
о
+ At/
4 (*и + dn)
О
Дх2
2
О
о
4 (^22 4“ ^22)
О
269
Таблица 5.3
4/г X ( fW)	2o/i „ — Gs 3 3	2bh -TG’
2fl/i °21 ~	Q G3 о	20 + Q4 v °22 ”	3 x X (p-1£;+PG) + + 4-y4	
2bh аз1	g °з		_ 20 + 02/, a33—	3	(pfx + + P~1G) + -^-G3
2h — g G3 X X (-2P + P-1)	ah 	 Go 3 3	2ftft T°3
. --C ^21 ~ о ^3 о	2 (ft + Q21 ^22 —	g	X X (Г1 £; - 2P G) + ,2abh + —°3	
b31 — 	 2 °3	(h±tyt b32—	2	~G>	0 + O2/ ч, °зз “	2	x x(-2₽£; + ₽-‘G) + 2abh + —O3
270
Продолжение табл. 5.3
2А еп = "з X (Р-20-i)	2аЛ “ з 3	— r “ 3 Gs
2а/г с21 — з G3	(h±jyt C22 —	з	A (-2г'£;+₽с)+ , 2с*л + —с3	-^(£“-G)
bh c3i	з G3	_ (ft + 0*/ c32--	2 X X (£" —G)	(ft+0»f сзз- з (₽£*“ ! ч 2abh -2₽ G) + — G3
2h ^11 —	Q G3 X О х (Р+ р-1)	ahr ~ 3°’	Wi 	G3 3. 3
ah _ d2i — G3	d	+ d‘2 -	3 X (ГХ- ₽G) + -4- —Г + 9 G3	(£" + G)
bh ^31 == "у G3	(h±t)4 “32 —	g	(£ “b 0)	_ (h+tyt d3S~	3 X (₽ e'x + p-10) + + -GS 9 3
Общий множитель 74.
271
Приведение подобных членов производится так же,
как в плоской задаче (см. § 4.7). Множителем у векто-
ра z ставится сумма всех матриц оператора (см. рис.
5.14), у вектора zx — сумма матриц правого ряда минус
сумма матриц левого ряда оператора и т. д.
Раскрывая выражение (5.64) и сокращая на 4, полу-
чим
dib	Дф
(«и -Ь -р dn) W + Дх (631 + d31) н- Дг/ (с21 + d21)	+
Дх2	d2 w by2	d2 w
+ —	+ *н) ~	+
+ q&x&y + О (Д3) = 0;
(5.65)
dw
(^22 4" ^22 4" ^22 4“ ^22^ Ф &У (^21 4~ ^21) ~д	Ь
оу
Дх2	д2 ф ,	d2 ф
+ — (fe22 + ад + ЛхЛ^г-^^ +
+	(«82 + d22>	+ 0 (Д3) = °:
dw Дх2
(я.ч з ”5“ ^33 4“ ^33 4“ ^зз) Ф (^31 4“ ^31)	4-	(^33 4“ ^33 ) X
d2 ф	д2 ф	Дг/2	d2 ф
X —+ Дх ^y d32	(с33 + dS3) —+ 0 (Д3) = 0.
dx2	dx dy 2	dy2
Используя табл. 5.3, вычислим множители при функ-
циях w, ф, ф и их производных:
Gii 4"	4“ Qi 4*	= 0; b3i + d3i —— bhGs’f
ci2 4" ^12 “ ahG3’, bn + d±i =— 2hG3 p; cu + d^ —— 2hG3 0—1;
^22 4- b22 4- c22 + d22 = abhG3t d32 =	~	G^;
272
(5.66)
Ь22 + d22 =~ (Л + О2 t ₽G + — 6з5
, 9 i , abh „
s2 + d22 = - (Л + О2 Ф-1 Ey + — G3:
«•и + *33 + c33 +	= o**G3;	d32 = —	(£" + G)}
*зз + d33=— (* + 02 l^Ex +	G3;
A-} +	=— (h + /)2 ф—1G 4------— G3.
Подставляя (5.66) в (5.65) и учитывая b—ky, а—
= Дх, получим
дф	д(р Дх2 д2 w
Дх (- byhG3) + Д</ Дхйбз —- — 2hG3 ₽ — -
дх	ду 2	дх2
Ду2	д2 w
- -f- 2hG3 (W — - qbx Ду + О (Д3) = 0;
z	оу
Lx LyhG3 <р — Ly LxhG3	j— (h + О2 t₽G +
, bxbyhGJW , , . (ft-H)2<	,
+ —Т~]1?+ДхДу—T~(£ +G)^7+
+ ^-[_(Л + 0ф-2£; + ^-Сз]-^+0(Дз) = 0;
L	° J иУ
\yhG3 ф + ^y^x hGQ	+ ““ [ (Л + О2 +
+^F]S+“»’!tTi<£-+«+
+ [- (* + 02 ₽-• G +	hG3 1^- + о (Д3) = 0. (5.67)
	2 [	3 J dy2
Подставляя В=Д#/Дх, сокращая на —GJiAxky и прене
брегая малыми, получим
систему дифференциаль-
ных уравнений, совпадаю-
щую с (5.56).
Построим матрицу ре-
акций для треугольного
трехслойного элемента с
легким заполнителем
(рис. 5.15). Используя од-
нородные функции, по-
строим поля перемеще-
ний
Рис. 5.15
273
~ w
ф
ф
(5.68)
 Li	О	О	:	L2	О	О	:	L3	О
О	Lt	0	:	О	L2	О	i	О	Га
О	О	Lj	:	О	О	L2	:	О	О
Z = фх w2 Ф2 ф2; Ф3 Фз] -
Производные от Lb L2, L3 имеют вид (см. прил. 1)
dLr	1	dL2	1	.	дЬз	 ~ у'л'	дх ~	1 2F У12’	
дх	2F	дх			
dLr ду	1 2F Хзг'	dL2 ду		1_	дЦ ~ 2F *й ’’ ду “	~2F	(5.69)
Далее по формуле (5.58), используя (5.69), построим
матрицу							
	- 0	0 Уяз	0	0 Уз!	 о	0 012 "	
	0	х32 0	0		Х13 ®	: 0	X21	®	
в = —	0	У 23 Х32	0	Узл. *13	i 0	У12 *21	.(5.70)
2F	У 23	0 2FL1	Уз!	0 2FL2	: У12	0 2FL3	
	Х32	—Lr2F 0	*13	—L22F 0	\x2i	—L^F 0	
Для построения матрицы реакций R используется фор-
мула
= B'DBdF\	(5.71)
A
D — см. формулу (5.62).
§ 5.5. Получение матрицы реакций для элемента
в виде тонкостенной конической оболочки
при действии осесимметричной нагрузки
Геометрия тонкостенной осесимметричной оболочки,
изображенной на рис. 5.16, полностью определяется ее
меридиональным сечением. Рассмотрим случай, когда
нагрузка также является осесимметричной. В этом слу-
чае и напряженное состояние будет симметричным. Для
расчета подобных оболочек можно использовать коль-
цевые конические элементы. Если оболочка имеет кри-
волинейный меридиан, то с использованием конических
элементов он может быть заменен вписанным многоу-
гольником, причем результат будет тем точнее, чем боль-
ше элементов.
274
На рис. 5.17 изображен конечный элемент в виде
усеченного тонкостенного конуса с шестью степеняхми
свободы. С помощью такого элемента можно аппрокси-
мировать осесимметричную оболочку произвольной
формы. При ф=0 конический элемент переходит в ци-
Рис. 5.16
Рис. 5.17
линдрический, а при ф=90°—в кольцевой элемент. Поэ-
тому этот элемент можно считать универсальным. Поле
перемещений примем в виде
Г 1=1
к © J L
1^.0 00 0 1^
о о I U2 £3 Г ’
(5.72)
где
а = а2 а3 а4 а5 а6]т;
s 2s
//2 ~ I
Дифференцируя w по s, получим поле углов поворота.
Подставляя в уравнения полей координаты точек 1 и 2,
получим
“	~ 1		—1	0	0	0	0	а1		
		0	0	1	—1	1	—1		а2	
Ф1		0	0	0	2 1	4 1	6 1_		а3	, (5.73)
<4		1	1	0	0	0	0		а4	
		0	0	1	1	1	1		«5	
^2		0	0	0	2 1	4 1	6 1 _		ав	
275
где
Z*~La, откуда a — L—1 Z*;
(5.74)
L—1 =	~	—	0	0 2 — —	0	0 2 o	—	— 2	8 " -T-T »	0	-Л _	»	T	i
2
О
О
1	0	0
2		
	1	I
0	'  »	
	2	8
	3	I
0	>	
	4	8
0	0	I 8
	1	I
0		
	~ 4	8 -
(5.75)
Итак,
\и (Ж [Ц о о о о
|№ ®] [о о 1 u2
L-1Z.
(5.76)
Геометрические уравнения осесимметричной оболоч-
ки при действии осесимметричной нагрузки имеют вид
dU	simp+lT £cosip
=	®e= ~r	'
d2 W (I)	sin ф dW (1)
°*	ds2	r ds
(5.77)
Подставляя в (5.77) выражения для U(%) и IF(g) по
формуле (5.72), получим вектор деформаций для ней-
трального слоя
eQ
xs
ds
U (£) sin + Г (£) cos ip
_^(l)
ds2
sin ip dW (%)
r ds
276
	0	2 /	0	0	0	0
	sin ф	sin яр	cos ф	созф cos ф _	г»
	г	& г	/	§	to Г	Г	to Г
	0	0	0	8 ° “ /2	/2 S
	0	0	0	2 sin ф 4 sin ф ~ rl ~ rl	_6sin<|; rl
(5.78)
Запишем закон
ного конуса
Гука для элемента в виде тонкостен-
или а = D е.
(5.79)
Для построения матрицы жесткости используется
формула

(5.80)
где

2 Л
J ^B'DBrdOdS
0 s
Вт DBrd% =
= nl J B’DBrdl;
(5.81)
/?* — матрица реакций в локальной системе координат; R**—матри-
ца реакций, для которой в качестве степеней свободы принят а.
277
Таблица 5.4
*11.					
ki 1г + 4л £м sin ip	*11.+ 8 л ESM Го +	1		Симметрично		
^2	-|- 4 л Е^ costp	Iq			
Ml	^2 ^2	Л9 1!	£3 12 + 4 k4 1е		
					
X к oo СЧ ю	) + •ч1	<	X t 3 t U4	.E •*	СЧ	3L 7	+ <S J_	« s	CO 1 x " +
+	t “	(Л v 00 + «	C *"	c co •ee	j;/ 	 It ZP J-	СЧ + *5?
C4 4?		co
л I Eqm sin2 яр л I Eqm sintycosip л/Е^соз2^ tt£QHsin2i|)
где kt = --------- ; k2 =-------------; k3 =------------; k4 =
279
Матрица R**, полученная по (5.81), приведена в
табл. 5.4. Интегралы h вычисляются по формуле
1
где
a = (/sin4)/2roi t=l ... 6.	(5.83)
Значения а меняются в пределах —а=0
соответствует цилиндрической оболочке, а=±1 соответ-
ствует положению первой точки (а=1) или второй точ-
ки (а==—1) на оси симметрии (рис. 5.18).
Рис. 5.18	Рис. 5.19
В табл. 5.5 приведены формулы для вычисления ин-
тегралов (5.60). В графе 4 приведены точные значения
интегралов (5.60). Все интегралы выражаются через
функцию
При а = 0 выражение (5.84) принимает неопределенное
значение (0/0); для его нахождения необходимо рас-
крыть эту неопределенность, используя правило Лопи-
таля. Полученные при этом значения приведены в гра-
фе 2.табл. 5.5. Очевидно, что при малых значениях а
(элемент близок к цилиндрическому) формулы, приве-
денные в графе 4, дают низкую точность. Поэтому в
графе 3 приведены формулы в виде рядов. При этом
In (1 4-а)/(1 - а)
280
раскладывался в ряд Маклорена по степеням а
На)=/(О)+/'(О)х + /"-^- + /о"	...
Если в формулах, приведенных в графе 3, положить
а=0 (цилиндрический элемент), то получим выраже-
ния, приведенные в графе 2.
Согласно рис. 5.17 при а->1,с->0. Данный случай со-
ответствует малому отверстию в оболочке, расположен-
ному на ее оси. Это отверстие является концентратором
напряжений. При этом
In
1 4* а
1 — а
Найдем связь между векторами перемещений в гло-
бальной и локальной системах координат. В соответст-
вии с рис. 5.19 имеем
(7 = X sin ф 4~ У cos Ф;
(5.85)
IF = X cos ф — У sin ф.
(5.86)
На основании формул (5.86)
-Ui~	sin ф		СО&Ф	0	0	0	o -	
Wi		соэф	— sin ф	0	0	0	0	
		0	0	1	0	0	0	X
(Ji		0	0	0	sin ф	cos ф	0	
Vi		0	0	0	cos ф	— sin ф	0	
_<t>i -		0	0	0	0	0	1	
(5.87)
Z* - CZ.
(5.88)
Подставляя (5.88) в (5.74), получим
a = L-iCz.
281
282
ОС | со 1		Q0 со 1		46 15		<Д | LO 1	
00		00 | СО 1		46	15	46	15
2 , 2	1	1+а	’	За а3 а4 1 — а			 U|				 	 » +1 I г г	8 1 кО 8 ъ *8 СО	»Ч- I 1	2	3	3	8 | 8 1 г* ь |Ъ 1 СО Ь 1 8	±1 J -1 еч| М1 СЧ	II !& F 1% 1 I 8 1 со 1 | 8 11Л 1
СО’ 1 5 £ £	+ £ • СЧ 1 л 1-е 1 |« 1	3 С5 <я €4 <й сч	5 "Г 7 -г ... -г2д + 1 п > 2 ___	4 £ 8| сч 1 <§1	+ £ 1 * 00 ]' Л 1 с о 1 1- 1	т е М8 сч J м । <Я!	7	9	2п +1 /1^3
О		сч	1“°	о		«I».	
со					л		
283
Перемножая матрицы (5.75) и (5.87), будем иметь
— sin lb 2	— cos Ф
1 — — sin ib 2	1 _ — у cos ip
1	1
— cosip	— — sinip
3	3
— — cos ib 4	Y sinip
0	0
1	1
—— cos ip _	4	— — sin ip 4
1	1
— sinip	у cosip
1	1
— sinip	у COS Ip
1	1
у cosip —	— sin ip
3	3
— cos ip —	— sin ip
О	О
О
О
I
8
I
8
I
8
I
8
Произведение R**L~'C представляет собой матрицу
обобщенных реакций по координатам а от вектора пере-
мещений Z в глобальной системе координат.
Рассмотрим случай, когда точка 1 (а=Н".1) или
2(а= —1) находится на оси симметрии. Если на оси
симметрии находится точка 1, то перемещения Х1=0,
Ф1=0; аналогично, если на оси симметрии находится
точка 2, тоХ2—О, Ф2—0. Прочеркнем в матрице С
первый и третий (точка 1 на оси симметрии) или четвер-
тый и шестой (точка 2 на оси симметрии) столбцы. При
284
—- in---- ->оо по физическому смыслу эле-
| а1 1 — а |
менты матрицы R**L~'C должны быть конечными (пос-
ле прочеркивания), поэтому после приведения подобных
1	1 ОС	.	-
членов выраженияin-—- при a = dzl должны обя-
зательно сократиться, а следовательно, можно в матри-
1 ос
це /?** положить in равным любому числу, напри-
мер, in j—— = о. Значения интегралов 1$ для этого слу-
чая приведены в графах 5 и 6 табл. 5.5.
§ 5.6. Расчет тонких пологих оболочек
и пластин со сложным контуром по МКЭ
с использованием прямолинейной
ортогональной сетки
Для расчета прямоугольных пластин и пологих обо-
лочек известна серия простых прямоугольных конечных
элементов. Однако с помощью прямоугольных элементов
не удается описать геометрию конструкции сложного
очертания. В этом случае применяются либо треуголь-
ные элементы, либо элементы с искривленными кромка-
ми. Использование треугольных и криволинейных эле-
ментов позволяет хорошо описывать геометрию конст-
рукции со сложным контуром, однако простейшие треу-
гольные элементы обладают невысокой точностью; в то
же время, если геометрия конструкции определяется
планом, вряд ли целесообразно из-за сложной границы
применять криволинейные элементы на всей расчетной
области. В этом случае выгоднее использовать комбина-
цию из прямоугольных элементов (внутри области) и
специальных элементов (в зоне, примыкающей к слож-
ному контуру).
В этом параграфе рассматриваются вопросы исполь-
зования прямоугольной сетки для расчета пластин и
пологих оболочек произвольного очертания. Геометрия
пологих оболочек отождествляется с ее проекцией на
плоскость. На рис. 5.20, а показан план некоторой поло-
гой оболочки, имеющей вырез, с нанесенной сеткой
(редкой для наглядности). Область DQ имеет толщину
285
6q=0, область Di—толщину 6f#=0. Контур, совпадаю-
щий с сеткой (на рис. 5.20,а внешний контур), назо-
вем простым; контур, пересекающий сетку (на рис.
5.20,а внутренний контур),— сложным. Элементы, пере-
секаемые сложным контуром, будем называть погранич-
ными. В пределах элемента линию контура заменим от-
х
Рис. 5.20
резком прямой. В качестве поля перемещений на всех
элементах используется полином одной и той же степе-
ни как для элементов, находящихся внутри области
(рис. 5.20,6), так и для пограничных элементов (рис.
5.20,в). Элементы, полностью принадлежащие расчет-
ной области, будем называть базовыми. Для погранич-
ных элементов вычисление реакций, соответствующих
единичным перемещениям, выполняется путем интегри-
рования по части ячейки сетки, принадлежащей рассчи-
тываемой области. Использование прямоугольной сетки
позволило свести к минимуму исходную информацию,
описывающую рассчитываемую конструкцию. Для этого
конструкция представляется в виде областей. Каждая
область описывается контуром (набор отрезков прямых
и дуг окружностей) и ссылкой на физические и геомет-
рические константы области. Сетка задается двумя
шкалами: шкала разбивки по оси х и шкала по оси у.
В качестве базовых элементов использованы элемен-
ты в виде пологих оболочек, прямоугольных в плане.
При этом в качестве степеней свободы в узле приняты
w, ц, w, ф? — всего 20 степеней свободы (рис. 5.21).
Вектор перемещений имеет вид
2 = [Zj zT2 Z3
286
где
Рис. 5.21
Z. = [«. V. w. ф? ф|] = и. V. w.
dwi	dwi 1т
ду	дх Г
Поля перемещений примем в виде
	и(х, у) и(х, У) W (х, у)		^(х,У) v(x»y) w(xt у)	
£(*.») =	ФЛ(*, у) У)		dw (х, у) ду у) дх _	— L(xt у) а,
(5.89)
где
а = [ах а2.. .а1е а20р.
Здесь
И х У ХУ 0 0 0 0:0 0 07
i (X, у) = |о 0 0 0 1 х у Ху : 0 0 0|;
L2 (х,У) =
1 х у х2 ху у2
0 0 1 0 х 2у
О —10 — 2х — у О
X3	х2 у ху2 у3 х3у	ху3 ’
О	х2	2ху Зу* х3 Зху2
—Зх^—2ху — t/З о —з%2^—уз ^
287
Подставляя в (5.89) координаты узловых точек (см.
рис. 5.21), получим
(5.90)
Z = La,
— числовая матрица порядка 20X20
Решая (5.90) относительно а, будем иметь
а — L-1 Z.
(5.91)
Как показано выше, матрица L представлена в виде
блоков, различающихся знаками при а и Ь. Обратная
матрица L-1 также имеет блочную структуру с аналогич-
ной заменой знаков при а и b
L-i=[L*(— a, —b) L*(a, — b) L*(—a,b) L* (a, b)].
Рассмотрим процесс построения матрицы реакций
для пологой оболочки. В оболочке возникают два вида
напряженного состояния: мембранное и изгибное. Вы-
числим вектор относительных деформаций, соответству-
ющих мембранному напряженному состоянию,
—	{- kxw
дх
			dv	, b	— b-
EM —	— + kyw dy du	dv , ftf 		h -г	b 2kxv w _ dy	dx	_	= Вы. a ~ Bm. L—1 Z t
(5.92)
где kx, ky, kxy — кривизны оболочки;
ГО 1
о о
о о
0 у 0 0 0 0 kx kxx
0 0 0 0 1 х ky	kyx
1 X 0 1 0 у 2kxy 2ххух
kx у	kx х2 kx ху
kyy	kyX2 kyxy ->
2&xy У Mxyx2 %kXyXy
kx y2	kx x3	kx x2 у	kx xy2	kx y3	kx x3 у	kx xy3
ky y2	ky X3	ky X2 у	ky xy2	ky y3	ky X3 у	ky xy3
2&хуУ2 2kxyX3 2kxyx2 у 2kXy xy2 2kxyy3 2kxyx3y 2kxyxy3_
(5.93)

288
Для вычисления мембранных напряжений используется
выражение
(Тм — L 1 Z,
(5.94)
где D — матрица закона Гука, которая в случае ортотропного мате-
риала имеет вид
Е Е'у
О О
где
= V0 -	E'u = £„/(* - М;
£' = %x£>V,V	(5.95)
Вычислим вектор деформаций, соответствующих из-
гибной работе оболочки,
еи — z
d2w
дх*
д2ы
~ ду*
d*w
дх ду
=— гВ^ а =— гВи £—1Z.
(5.96)
Матрица Ви совпадает с матрицей (5.20)
Для вычисления изгибных напряжений используется
выражение
	аи =— гОВи L—rZ.	(5.97)
Элементы	матрицы реакций R вычисляются	по форму-
ле	R = (£-1)т	(5.98)
где	Л*=Л‘и+^	
Здесь		(5.99)
		(5.100)
Выражение (5.100) позволяет строить матрицы реак- ций как для базовых, так и для пограничных элементов.		
289
В случае базовых элементов при построении матриц
и интегралы вычисляются по прямоугольнику с
размерами а и b (см. рис. 5.20, 6); для пограничных эле-
ментов эти интегралы вычисляются только по части эле-
мента, принадлежащей расчетной области (см. рис*
5.20, в).
Выпишем выражения для относительных деформаций
при мембранном состоянии:
ди	dv
£* = ~^ + k*w'	=
Уху = ~ + “ + 2kxvw.	(5.101)
Рассмотрим случай, когда оболочка имеет жесткое
смещение по нормали к плану. Обозначим это жесткое
смещение через w*. В соответствии с (5.89)
w* — а9 + а10 * + аи£, « = 0, и = 0.	(5.102)
Подставляя (5.102) в (5.101), получим
= kx («э + аю * 4- «111/) ¥= 0;
еу = kv (а9 + а10 х 4- аи у) =h 0;	(5.103)
Тх(/ = 2kxy (а9 + а10х + ап у} ^0.
Следовательно, поля перемещений (5.89) не удовлетво-
ряют условию жесткого смещения по нормали к плану
оболочки. Это обстоятельство порождает погрешность,
которая зависит от размеров элементов и характера за-
крепления.
Построим поля, удовлетворяющие условию жестко-
го смещения по нормали к плану (модель 1):
ди*	dv*
Их = —----F kx W* = 0;	= —------F ky w* = 0;
дх	ду
ди* dv*
Тх» =	+ 2kxu w* = °.
или
ди*
kx w* =— kx (а9 + а10 х 4- аи у)-,
dv*
=— ky w* =— ky (а0 + а10 X + а„ у)-,	(5.104)
du* c,v*
~~ Ь	—— 2kXy (ао 4“ аю х + аиУ)*
290
Интегрируя первое и второе уравнения системы (5.104),
получим
и* —— kx (а9 х 4~ а]0	-f- «ц ХУ) Ч~ /1 (^)>	(5* Ю5)
/	у2\
V* =~ ky I «э У + «ю ХУ + «11 — ) + /2 (*)•
Подставляя (5.105) в последнее уравнение (5.104), по-
лучим
— k а,,х4- К (у) — k ct у-\- & (х) ~—2k (а + a.fx-4- «, , у}
Перенося слагаемые, зависящие от х, в левую часть, а
зависящие от у в правую, будем иметь
/о (х) Ч" & «п + 2й ct х—k а,, х —— К (у) — k а.4
4-	k aij — 2k а,лу
1 у юJ ху 11J
ИЛИ
f'2 W + kxy а9 + 2kxy а10 х - kx аи х = с3;
- ft (</) - kxy а9 + ky а10 у - &ху аг1 у = с3.
Отсюда
f'l (</) =- Ьху а, + ky аи у - 2kxy ап у - с3>	(5.106)
W =- kxy а9 - 2kxy а1(, х + kx ап х + с3.
Интегрируя выражения (5.106), получим
fi (У) =— kXy ай у + -у ky «10 */2 — kxy «п Уг — с3 у + Q,
(5.107)
/г (*) ~ kxy «9 х	kXy а10 х2 +	kx ап х2 4" х Ч" с2-
Подставляя (5.107) в (5.105), получим w* и у*, соответ-
ствующие w*:
/ kx
^a9(—kxx — kxy у) Ч- а101 — — х2 +
4" ~2~ ^2) + аи ХУ “ k^y У2) -^У + ci> <5 • 108>
/ kr,
v* = a9(—kyy — kxy х) 4- «ю•(— ky xy — kxy x2) 4- ап I----У2 +
4~ ~f~x2} 4- c3x 4- c2.
291
Последние два слагаемых в выражениях (5.108) соот-
ветствуют жесткому смещению в плоскости плана обо-
лочки. Матрица Li(x, у) [см. (5.89)] в соответствии с
(5.108) будет иметь вид
Li {х, у) =
\ х у ху ООО 0 — kxx — kXy у
ООО 0 1 х у ху —kyy — kxyx
kv	k 1]
—кххУ — кхцУг
— kgXy — kXyX* ~Х---------^~У
(5.109)
Рассмотрим еще одну модель конечного элемента
для расчёта пологих оболочек. Поле w примем таким
же, как и в модели 1. Для получения полей и п v за-
дадимся полями напряжений, меняющимися по линейно-
му закону (модель 2),
01
0
1 у о о
0 О 1 X
0 0 0 0

о —

(5.110)
По вектору о вычислим вектор е
выражения (5.111), бу-
Интегрируя первые две
строки
292
Pxg У2	1
Ex 2	Et
Pyx .**. 0
E, 2
-г-xj/ 0
[71 (У) 1
kwl
(5.112)
Дифференцируя (5.112), выразим
dw ди [11 I | I I 1 -* , ,	, ,
^==V+^=Lol^rTl ^ИТ1+Л(!/)+Мх) =
1
= ~ as-
G 8
Собирая отдельно члены, содержащие х и у, будем
иметь
, 11 ,11
/2 (х) + ~7~ ха& — ае =— fi (У) — ~Г~ УЪ + — а8
сх	^у
ИЛИ
1 1
/2 (*) + ~ Ха5 — ~^Г а8 = аз;
, 1 1
— Л (^) — ~т~у^ + а8= аз-
Ly
Интегрируя (5.113), получим
1 х2 1	.
/2U) =—	4-а3х + а2;
1 У2 .1
/1 to) --=-~Г^ + — у^ — asJ' + Of
t-'у £ '
Подставляя (5.114) в (5.112), получим
Я Г,0-у ~ГХХ 1ГХУ
V 01 х-------У ~~2E^(Xi + 'lxVyi}
~^К	+
1	1 1	“•
	У		ХУ	7— х
Еу------------------Еу-Ж
(5.113)
(5.114)
(5.115)
293
Матрица Li (х, у) [см. (5.89) ] в соответствии с (5,115)
будет
1 О -у
Li(x,y)=	и,	1
0 1 х ~~t^y ~~2Ё^(хг + У-хуУг}
—	{у2 +	х2) ~±~у —kxX — kxyy
Су	^Еу
I	I	1
— У	~7~ХУ	~^х	— kyy — kxyX
СУ	су
—*2 +У2 —кх*У — ЬхуУг
kv k	(5.116)
— ky ху — kxy X2 Н-— у2 — х2
Поля перемещений, соответствующие последней модели,
удовлетворяют уравнениям равновесия в перемещениях
при a12=ai3=...=a2o=O.
Как указывалось выше, при построении матриц ре-
акций для пограничных элементов необходимо произво-
дить интегрирование по части элемента, принадлежащей
расчетной области. При этом пограничные элементы
могут иметь вид треугольника, трапеции или пятиуголь-
ника (рис. 5.22). Трапеция и пятиугольник могут быть
представлены соответственно в виде двух или трех треу-
гольников (рис. 5.22). Таким образом, для вычисления
интегралов (5.99), (5.100) необходимо уметь интегриро-
вать по треугольнику произвольного положения. На рис.
5.23 приведен набор подынтегральных функций необхо-
димых для построения матрицы реакций элемента в
виде пологой оболочки.
В случае простого контура постановка граничных ус-
ловий существенных затруднений не вызывает и осуще-
ствляется по обычным алгоритмам МКЭ. В случае слож-
ного контура учет граничных условий нуждается в спе-
циальном рассмотрении. Если контур является свобод-
ным от связей, то на нем могут быть поставлены стати-
ческие граничные условия. Если на контур наложены
связи, то на нем могут быть поставлены как кинемати-
ческие, так и смешанные граничные условия (кинемати-
ческие и статические).
294
Рассмотрим случай статических граничных условий.
В этом случае при составлении матрицы жесткости ан-
самбля элементов составляются уравнения не только
для узлов, принадлежащих рассчитываемой области, но
и для узлов, находящихся вне области, когда эти узлы
принадлежат элементам, пересекаемым контуром. Такие
узлы будем называть фиктивными (на рис. 5.24 они по-
мечены крестиками). Если на кромке приложена распре-
деленная нагрузка q(x, у), то эту нагрузку можно пред-
ставить в виде двух составляющих qx(x, у) и qy(xt у).
При этом вектор RP вычисляется по формуле
г ХВ	У В	,
Rp = J [L(x, у) qy (х, у) dx-\- j [L (x, у)	qx (x, у) dy.
XA	У A
(5.117)
Запишем уравнение прямой, проходящей через точки А
и 8,
у- Ул _ Х~ХА
Ув~Уа ~ ХВ~ХА ‘
(5.118)
Выразим из (5.118) у как функцию от х и х как функ-
цию от у:
у = Уа+~—Г~(х-хл);	<5119>
ХВ~~ХА
х = ха+-^-—^-(у-Уа).	(512°)
Ув~~Уа
Подставляя (5.119) в первое слагаемое и (5.120) во
второе слагаемое выражения (5.117) и интегрируя, по-
лучим вектор RP.
После решения системы канонических уравнений, со-
ответствующей рассмотренному случаю, получаем пере-
мещения во всех внутренних и фиктивных узлах. Для
получения перемещений точек, принадлежащих конту-
ру, необходимо воспользоваться функциями полей пере-
мещений (5.89), заменив а в соответствии с (5.91):
Z (х, у} = L (х, у) Is-1 Z.	(5.121)
Например, для определения перемещений в точке А
элемента k-1-т-п необходимо в матрицу L(x, у) подста-
295
вить координаты точки А, а в качестве координат векто-
ра Z принять перемещения узлов k, /, /и, п (см. рис.
5.24).
Рассмотрим случай кинематических граничных усло-
вий. В качестве степеней свободы примем перемещения
точек пересечения контура с сеткой. На рис. 5.22 приве-
дены типы пересечения элемента контуром (область,
принадлежащая конструкции, заштрихована). В случае,
показаннолм на рис. 5.22, а, число точек пересечения рав-
но числу фиктивных узлов (помечены крестиками). Уз-
лы, перемещения которых приняты в качестве степеней
свободы, обозначены цифрами /, 2, 3, 4. Перемещения
в этих узлах также определяются выражением (5.90), но
матрица L в этом случае получается путем подстановки
в А(х, у) [см. (5.89)] координат точек /, 2, 3, 4
L (xi> У1)
L (*2, У2)
L Уз)
Л (*4, Уi) _
В результате решения системы уравнений будем по-
лучать перемещения не фиктивных точек, а точек, ле-
жащих -на контуре. В случае, показанном на рис.
5.22,6, число фиктивных точек на единицу больше, чем
число точек пересечения. Для того чтобы сохранить
число степеней свободы и порядок полинома, необходимо
добавить одну точку. В качестве этой точки удобно ис-
пользовать центр тяжести треугольника. Перейдем к
рассмотрению случая, показанного на рис. 5.22, в. При
этом фиктивных точек одна, а точек пересечения две.
В качестве четвертой точки предлагается использовать
точку на середине линии контура. Отметим, что исполь-
зование этого элемента приводит к некоторой потере
точности решения.
Таким образом, во всех случаях пересечения элемен-
та контуром используются одни и те же полиномы
L(x, у) а, совпадающие с полиномами для базового эле-
мента. Если элемент базовый или пересекается конту-
ром и при этом используются фиктивные узлы, то мат-
рица L1 может быть получена в буквенном виде. Если
элемент пересекается контуром и узлы переносятся в
точки пересечения сетки контуром, матрица L-1 вычис-
ляется численно по методу Гаусса с выбором главного
элемента.
296
Процесс формирования системы канонических урав-
нений как для базовых, так и для пограничных элемент
тов определяется топологией прямоугольной сетки. При
этом для пограничных элементов фиктивные узлы в
случае постановки кинематических граничных условий
переносятся в узлы элемента, которыми определяются
его степени свободы (см. рис. 5.22). Каждому фиктивно-
му узлу ставится в соответствие узел элемента. На рис.
5.25 показан фрагмент конструкции в районе сложного
контура. Стрелками соединены фиктивные узлы с соот-
ветствующими им узлами элементов. Для всех узлов за
исключением узла п наблюдается однозначное соответ-
ствие. Фиктивному узлу п, как видно на рис. 5.25, ста-
вятся в соответствие три точки 7, 2, 3, принадлежащие
трем смежным элементам. При формировании матрицы
реакций ансамбля элементов всем трем узлам этих эле-
ментов будет соответствовать одна блочная строка (для
узла п) системы канонических уравнений. Это обстоя-
тельство приводит к увеличению жесткости контура.
Очевидно, что жесткость будет уменьшаться со сгуще-
нием сетки.
Ниже приведены некоторые примеры решения пло-
ской задачи (пример 1), задачи изгиба (пример 2) и за-
дачи расчета пологих оболочек (пример 3).
Пример 1. В [45] поставлена задача определения по МКЭ ко-
эффициента концентрации напряжений, вызванной круговой выточ-
кой, при осевом нагружении детали (рис. 5.26, а). Толщина детали
постоянная и равна 6=0,5 см, модуль упругости £=2-107 Н/см2,
коэффициент Пуассона р,=0,25. В работе [45] приняты два способа
разбивки детали на конечные элементы: на треугольные элементы
(рис. 5.26, б) и конечные элементы второго порядка (рис. 5.26, в).
Коэффициенты концентрации напряжения, определяемые как отно-
шение максимального напряжения к нагрузке 44 000 Н/см2, соста-
вили: в случае треугольной сетки k= 1,47; во втором случае 6=1,52.
По рассмотренному подходу на деталь наносилась сетка в соответ-
ствии с рис. 5.26, г. Коэффициент концентрации составил 6=1,44,
что лучше согласуется с 6=1,42, принятым в [45] за эталон.
Пример 2. Круглая пластинка диаметром D=10, толщиной 6=
=0,5 с модулем упругости £=100 и коэффициентом Пуассона
=0,2 загружена сосредоточенной силой в центре. Рассмотрены два
случая граничных условий на контуре пластинки — шарнирное опи-
рание и защемление. В качестве эталонного использовалось точное
решение [53]. На рис. 5.27 показана расчетная область (четверть
круга) и указаны три варианта разбивки. По первому варианту ра-
диус пластинки разбит на пять участков равной длины. В двух
других вариантах использованы сетки 10X10 и 20X20 ячеек.
При шарнирном опирании граничные условия формулировались
как отсутствие перемещений w в точках пересечения контура с ли-
297
Рис. 5.23
Рис. 5.24
а)
22000Н/см*	_______ R=2cm
/\0=2м
МО(ЮН/смг
3 в
я
Рис. 5.25
6^61 000 Н 1см2 К-1,52
3	2 / 0,5*НМ°Ш‘1! 1 1,5
—>—W-A¥A-+-H—]
У // 16 36 0! 76 81 86 si
______ III ill 11 и 11 j i i_j—_
5	10	15 20 4У 65 80 85 90 95
6^63571H/см2, K=1rW
Рис. 5.26
298
ниями сетки. Прогиб под силой составил: при сетке 5X5— 1,23774,
при сетке 10ХЮ— 1,22745, при сетке 20X20— 1,22257. Эталонный
прогиб согласно [531 равен 1,22231. Отчетливо прослеживается, что
при сгущении сетки расчетные значения приближаются к точному.
Следует отметить высокую точность даже при сетке 5X5, расхож-
дение составляет 1,3 %. Значения напряжений также приближаются
к точному решению по мере сгущения сетки. Так, для кольцевых на-
пряжений о* расхождение с точным решением при г!а—0,2 на сетке
5X5 составило 2 %. На рис. 5.27 приведены кольцевые нормальные
напряжения по поверхности пластинки (сетка ЮХЮ)- Показаны
изолинии кольцевых напряжений. Изолинии получились близкими к
окружностям, что говорит о корректности предлагаемой методики.
Для радиальных напряжений о> расхождение с точным значением
при г!а—Ъ,2 на сетке 5X5 составило 14 %. При сетке 20X20 реше-
299
ние сближается и расхождение в той же точке составило 4,5 %.
В работе [4] сказано, что для свободно опертой по контуру плас-
тинки «при аппроксимации криволинейного контура пластины ло-
маной неизбежно появляется ошибка, которая не исчезает при пре-
дельном переходе». Однако, как показали результаты численных
300
экспериментов, решение стремилось к точному в процессе сгущения
сетки. Аналогичные результаты были получены для различных ко-
эффициентов Пуассона (ц=0; ц=0,5). Эти результаты вызваны, по-
видимому, специфической постановкой кинематических граничных ус-
ловий — запрещались прогибы только в узлах ломаной, аппрокси-
мирующей окружность.
В случае защемления граничные условия формулировались как
отсутствие перемещений w, фх, в точках пересечения контура с
линиями сетки. Расчет производился при тех же вариантах сеток.
Прогиб под силой составил: при сетке 5X5 — 0,475328, при сетке
ЮХЮ — 0,472741, при сетке 20X20 — 0,461888. Эталонный прогиб
согласно [53] равен 0,458366. Расхождение по прогибу при сетке
5X5 составляет 3,7 %. Расхождение в напряжениях для сетки 5X5
при г/а=0,2 составило: для кольцевых напряжений Ot — 3,3 %; Для
радиальных аг— 28,6 %. Для сетки 20X20 в той же точке для коль-
цевых и радиальных напряжений расхождение получилось равным
0,3 %. Отметим, что-для защемленной пластинки при сетке 5X5 по-
лучаются худшие результаты, чем для шарнирно-опертой. Вызвано
это более сложнььм характером изогнутой поверхности защемленной
пластинки.
Пример 3. Для иллюстрации возможностей изложенной мето-
дики приведем пример расчета пологой оболочки со сложным конту-
ром и вырезом на действие группы сосредоточенных сил. На
рис. 5.28, а, б показаны разрез и план оболочки и приведены ее гео-
метрические размеры. Модуль упругости материала был принят £=
= 25 ГПа, коэффициент Пуассона р,=0,15. Из условия симметрии
за расчетную область принималась четверть оболочки. На рис. 5.28, б
показана разбивка на конечные элементы. На рис. 5.28; а показана
картина прогибов и приведены значения прогибов в зоне выреза.
На рис. 5.28, в приведены эпюры нормальных напряжений по сече-
нию 1—1.
Глава 6. ПОЛУАНАЛИТИЧЕСКИЙ ВАРИАНТ МКЭ
И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ РАСЧЕТА
ТОНКОСТЕННЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СИСТЕМ
§ 6.1. Введение
В практике строительства часто встречаются конст*
рукции, расчетные схемы которых представляют собой
системы с шарнирным опиранием по торцам. Под шар-
нирным опиранием будем понимать опирание на абсо-
лютно жесткие в своей плоскости и абсолютно гибкие из
плоскости диафрагмы. Эти конструкции могут включать
в себя пластины и оболочки (рис. 6.1). При расчете по-
добных конструкций удобно использовать разложение
искомых функций в одинарные тригонометрические ря-
ды. Подобный подход, когда при решении задач по
МКЭ в одном направлении задаются формой перемеще-
ний в виде функции, а в другом направлении решают
301
алгебраическую систему МКЭ, получил название полу-
аналитического варианта МКЭ. Для расчета систем,
шарнирно опертых по торцам, необходимо построить
матрицу реакций для узкой полоски, выделенной из ор-
тотропной пологой оболочки двоякой кривизны. Для 110-
Рис. 6.2
Рис. 6.1
лучения матрицы реакций пластины необходимо поло-
жить равными нулю главные кривизны. Для проверки
правильности построения матрицы реакций делается
предельный переход.
.При использовании полуаналитического варианта за-
даются полями перемещений в поперечном направле-
нии. Поле перемещений, соответствующее мембранному
напряженному состоянию, задается линейным, а изгиб-
ному напряженному состоянию — в виде кубической па-
раболы. В связи с этим полоски надо принимать доста-
точно узкими, что приводит к большому числу неизвест-
ных.
При действии сосредоточенных и полосовых нагрузок
рассчитываемая система расчленяется на узкие полоски
так, чтобы нагрузки находились на границе двух сосед-
них полосок. В силу ортогональности тригонометриче-
ских функций гармоники разделяются и расчет на каж-
дую гармонику производится независимо. Окончатель-
ный результат получается суммированием расчетов на
каждую гармонику. На рис. 6.2, а представлен фрагмент
поперечного сечения складки, расчлененной на узкие
продольные полоски. Поперечное сечение рассматрива-
ется условно как плоская рама. На рис. 6.2,6 показана
основная система метода перемещений для этой рамы.
В каждом узле основной системы наложено по четыре
связи (три линейных и одна угловая). При этом связь,
направленная вдоль образующей, проектируется в точ-
ку. На этом же рисунке для £-го узла показаны неизвест-
302
ные метода перемещений. При составлении матрицы ре-
акций для ансамбля пластин необходимо построить
матрицы реакций для узких полосок. Для сокращения
числа неизвестных может быть использован специаль-
ный суперэлемент, ширина которого меняется по закону
геометрической прогрессии.
Аналогичный подход при разложении функций пере-
мещений в тригонометрические ряды в окружном на-
правлении может быть использован и при расчете тон-
костенных осесимметричных конструкций при действии
неосесимметричной нагрузки.
В ряде областей техники находят широкое примене-
ние конструкции с наполнителями, в частности трехслой-
ные пластины. Трехслойная пластина состоит из двух
внешних относительно тонких слоев прочного материала
(несущих слоев), между которыми размещается отно-
сительно легкий и малопрочный средний слой (заполни-
тель), обеспечивающий совместную работу и устойчи-
вость внешних слоев. Несущие слои обычно выполняются
из металла, фанеры или жесткой пластмассы. В ка-
честве заполнителя используют армированные и неар-
мированные пластмассы, пористую резину, металл в ви-
де гофрированного или складчатого листа, сотовых
ячеек, а также в виде отдельных профилированных элемен-
тов (ребристый заполнитель). Конструкции с разнесен-
ными благодаря заполнителю несущими слоями облада-
ют высокими прочностными и жесткостными характери-
стиками. В трехслойных плитах с легким заполнителем
несущие слои воспринимают нормальные и касательные
напряжения, действующие в плоскости (изгибающие и
крутящие моменты), а заполнитель воспринимает сдви-
ги из плоскости пластины (поперечные силы). Полуана-
литический вариант МКЭ может с успехом применяться
для расчета складчатых систем, составленных из много-
слойных пластин, шарнирно-опертых по торцам. В част-
ности, в данной главе будут рассмотрены вопросы рас-
чета трехслойных конструкций с легким заполнителем,
£ 6.2. Получение матрицы реакций для узкой
полоски, выделенной из ортотропной оболочки
двоякой кривизны
В оболочке под действием нагрузки возникают две
группы усилий: мембранные и изгибные. На рис. 6.3
303
Рис. 6.3
u = U (у) cos —— ;
плх
w — W (у) sin —-— ; <р =
изображена полоска, вы-
деленная из пологой обо-
лочки. Будем предпола-
гать, что направления
главных кривизн совпада-
ют с осями х, у. Предста-
вим поля перемещений в
виде произведения двух
функций:
ппх
v=V (у) sin —— ;
dw	х
	— <D(r/)sinnn— .	’6.1)
ду---------------------I
Переходя к безразмерным координатам, получим
и — U (4) cos пп^\ v = V (4) sin лл£;
dw
w — W (4) sin пл&	<р = —-—=Ф(ч)51плл£,
ду
(6.2)
где £= х/Z; ч = У 4b/2) — 2у/Ъ.
Подставляя в функции V(r|), №(?])> Ф(л) зна-
чения ч, соответствующие кромкам 1-2 (ч =—1). и 3-4
(Ч = 1), получим
С/ (— 1) =
№(— 1) = U\;
ф(_ 1) = Ф1;
V(+1) = V2;
W (+1)-1Г2;
ф(+1) = ф2.
Объединим эти перемещения в вектор обобщенных пере-
мещений
Z =	V, ^1Ф1,и2У2^2,Ф2],
(6.3)
составляющие которого примем в качестве степеней сво-
боды для узкой полоски. Будем предполагать, что пере-
мещения и и v меняются вдоль оси ц по линейному за-
кону, а перемещения w — по закону кубической пара-
болы.
Рассмотрим сначала построение матрицы реакций
для узкой полоски, элементами которой являются мем-
бранные усилия. Представим поля перемещений в виде
и
v
W
~ пг 0 0 0 ns О
О л2 0 0 0 л4
О 0 mi т2 О О
0 0 1,
О О Z,
т3 т4
(6-4)
304
где
ni = —(1 — т]) cosnn£;
«2 = ^“ О — П) sin/zji£;
п3 = 'у(1 + г1) cos пп>
л4=	(1 4- П) sin пл|;
гп[ —	(2 — Зт| 4~ Ч3) sin
b
тг =	- (1 — т] — т]2 + i]3) sin пл&
8
т3 — — (2 + Зг] — Г)3) sin пл£;
4
b
т4 = — (— 1 — л + т|2 4- if) sin пл£.
8
Относительные деформации для пологих оболочек име-
ют вид
ди	dv	ди	dv
ех = ~~ + ki w> еи = —г я2 Y = “7—г	>
дх	ду	ду	дх
где kit k2 — главные кривизны, направленные вдоль осей х, у. В соответствии с зависимостями (6.4) вектор относи- тельных деформаций представим в виде					
е —	дп< ~~ 0	гид дх л ° ду кгП дп< дп2 	L —-	0 _ ду дх	ki т2 k2 гн2 0	дл3 дх 0 ?дп3 ду	0 k± т3 kY дп* и	и 	 k2 tn3 k2 гпц ду дпл —-	0	0 дх	_	Z
или					
Е — Вм Z.
Используя (6.4), получим матрицу Вм и представим
ее в виде
ВМ = ВМ(£)ЯМ(П).	(6.5)
где
[sin	0	0 1
О	sinnn|	0	;
0	0	cosnn^J
Г 1 0 2 3 ; 4 0 5 6'
Вм(т]) =	0 7 8 9* 010 11 12 .
[13 14 0 0 ; 15 16 О О
(6.6)
(6.7)
305
Здесь
пл „
1	-1Г(
9	*1 -у- (2 — Зц + п3)
4	4
Ь
„ ki— (1 — Т] — П2 Н-*13)
о о
ПЛ
—---(1 4" ч)
4	2Z 1
fej-у (2 + Зг| — т]3)
5	4
Л *i-y(—1 —Ч+Ч2+Ч3)
О о
1
7	~ b
^-Д^-зп+ч3)
о 4
9
10
11
12
13
14
15
16
b
Л2—(1	—
о
1
ь
Л24-(2 + 3П-^3)
4
b
fc — Г—T^ + ^+if)
о
1
~ b
пл
— d-Ч)
1
ь
VU + n)
Для построения матрицы реакций воспользуемся форму-
лой
*м*ЧЛ*Ь
(6.8)
где
D =
Е" 0 '
£" £; 0
_ 0 О G
Подставляя (6.5) в (6.8), получим
1 1
Км = -у- f J (Ч) в; © DBM ® Вы (Г)) % =
0 —1
1
= -у-У*£(ч)0*Вм(чХ	(6-9)
—1
где
1
о
(6.10)
306
После раскрытия выражения (6.10) получим
О* — —
Ех Е 0
0 О G
(6.П)
2
Подставляя выражения для (6.7) и (6.11) в (6.9) и ин-
тегрируя, получим матрицу RM, приведенную в табл. 6.1.
Рассмотрим далее построение матрицы Вм для узкой
полоски, работающей в условиях изгиба. Запишем вы-
ражение для поля перемещений в матричной форме
w = [0 0 т1 т2 ; 0 0 т3 mJZ.
Для нахождения деформаций используем выражения
ех =—z Подставляя в			.д2 w дх2 (6.12)	д2 w	d2w y—2zdxdy- значение w, получим						(6.12)	
	— —		П г\	д2т1	д2 т2	п	л	д2 т3	д2 т4		
	ех		и 0	дх2	дх2	и	и	дх2	дх2		
			л л	д2 тх	д2 т2	л	л	д2 т3	д2 т4		
	ег/	=— Z	и и	дуг	ду2	и	и	дуг	ду2		Z
	Т		0 0	дхду	2^2 дхду	0	0	2^3 дхду	2^4 дхду		
или
е — z Ва Z.
Используя (6.4), получим матрицу Ва и представим ее
в виде произведения Ви=Ви(5)Ви(т1), где
Ви (£) =
о
о
cos лл£_
О
sin лл|
О
sin ил£
0
0
	0 0 12	0 0 3 4
ви01) =	0 0 5 6	0 0 7 8
	_0 0 9 10	0 0 11 12
(6.13)
307
,л2л2 Ь , Ех ~	Ь х 6	1 +Gi	пл 4	7 — — n лЬ X 40 x(E'xkl+E"k2)	Ь2пл . xC^j+e"^
пл 4	F’ 1 j.sWb E^2b+G 6 /	{(e"Ei+E>2)	^{E"k^E^
7 --плйХ х(£>!+£'М	i(£X+ +^1	^|w(exa;+ +2ЕХМ- +£>2>	^b2‘^+ +2E"klk2+E'!/k22)
40~Х x(E>i+£"*2)	+E’M	^l(E^+ ~t~2E k^k2~j~ +E'A)	^E'^ +2E"k1ki+E'$)
/П2л2 Ь Е* 12 1	ПЛ - — (E"+G) 4	3 — -— плЬХ 40 X (f'&i+E k2^	-^(Е’А+Е\)
пл 4	-Ei+ п2л2 b +G 12 I	7(£"*1+£>2)	~^(E"^+E^)
3 — ~плЬ X 40 X (£>!+еЧ)	-7(£"^+ +e>2)	Q 1И£>’+ -\-2E +V2)	Йй2/(£>?+ +2Е\к2+Е‘$)
плд2/ , -^(£Л+ +е\)	bl z ZZ -s(£1'+	~}~2E k^k2~\~	+2Ekik.1+Eyk2i)
Обший множитель h.
308
Таблица 6.1
,п2л2 b	1 х 12 1 G2b	^(E"+G) 4	3 — —плЬХ 40 х(е>1+е"*2)	
пл --(£“+6)	, 1 п2л2 b ~Еу2Ь^ 12 1	'(£ ^,+ЕЛ)	^(е7,+е^2)
3 --плЬХ х(е>,+е72)	-у(£Ч + +£Л)	iTofc/(£>>+ +2е71а2+	+2Eklk2+E'ykl]
плЬ2, , -1Г(£Л+ -Ь£ 62)	+£Л)	13 ч , о йоь^ЕЛ+ +2£ 	+£>i)	+2E'kll.,-\-E'yk22j
_,п2л2 b '	1 Ек	-|-6 х 6 12b	T1£"-G) 4	х(е>,+е72)	n^(£>l+£4)
пл	. 1 , пгп^ b ЕУй+° 6 1	-7(£"fei+ +£>2)	^(E ki+E'l/k2)
7 ——плЬХ 40 х(Е>,+е"й2)	—^-(£'Х+ +^Л)	^w(£>.+ +2E”k1k.2+ + ЕУ^)	-^b2/(E^+ +2Ek,k2+E^2)
плЬ2, , ~^(£Л+ +А)	^(Е^+^г)	-^‘^+ +2E"ktk2+ +£?1)	2To№ +2E\k2+E$)
309
		1		1	1	1
					j i
w О			13	>	4 4	3 n 2 2 i 280 X /2	10 ,	3 r,'/2	1	3z> 2 ? I£^ICre "	11 Г'63 4 4 , " + . 3	2 2 , 3 Z2 , +й£6пл+т^7 + +^С6л2Л2	
			4e/^+ 1680 x P + ^£Wl,2+T^f+ + 1G6^	—Ex— n4n‘ + 840 x P 1£W„3+1^Z2 + + ^-Gb^n^ 15	
Таблица 6.2
1		
		
	9	4 4	9 9 ^яя-^пя- 3 . р 3 „ , ,	13	г-’*9	4 4, ЭЭбО Ехр п п + +4У6"2"2+ + ~Е 'и~+^РЬп2 Я2 4 УЬ 20
	сч	: 1	К	: 1	: Э j в г i -IS « М	м	1 •^1 — е	| V с Ч- sis -1° V г 1 т	1 Л fe4 		Ey— п4л4— 1120 х I2 — — £"й2п2л2 + 120 +lEil2~T0GbVn2
1		
Общий множитель h3/(3 bl).
1	
1	
13 , ft2 -Ех-л‘л‘ + 3	3	/2 + _™+_£;_+ -I	G/t2n2 5	11 n' *3	. Л -^О^УЛЛ- -A£"ft„2„2_ 4 » b — — Gdn2n2 30
1 I CO	1 Л I 5|- ok 8,03 1"	hl ЬЭ|_	7=	4	« °1	4 S?	1 §*	'	a Г a	1	, 64 8То^-Г4я4+ + ^E"Wn2+ + | E'yP+^Gbin^
Здесь
1
2
3
4
5
6
п2 л2
- 4/2 (2-Зп + п3)
Ьп2 л2
— О,, ' (1 — п — ч2 + п3)
ог
п2 л2
— (2 + зл-п3)
4Z2
Ьп2 л2	, о ,
8Z2
^(-2 + бп)
7	-iw
8	-2б'(2 + 6П)
ПЛ
9	Ъ7<~3 + 3,)2)
пл
Ю — (—1 — 2П Н-3П2)
4Z
пл
11	-^Г(3-3”2)
пл
12 —- (- 1 + 2П + ЗП2)
4Z
Аналогично мембранной задаче представим формулу
для матрицы реакций изгибной задачи в виде
1
Ы№ С
Яи = J ви (п) Ва (ц) di]-	(6-14)
-1
Подставляя в (6.14) выражения (6.13) и (6.11), получим
матрицу реакций, приведенную в табл. 6.2. Полная мат-
рица реакций для узкой полоски, выделенной из орто-
тропной оболочки двоякой кривизны, определяется по
выражению

(6.15)
Для проверки правильности матрицы реакций и сходи-
мости метода сделаем предельный переход и покажем,
что в пределе (при ширине полоски Ь->0) система алге-
браических уравнений МКЭ переходит в соответствую-
щую систему дифференциальных уравнений. Дифферен-
циальные уравнения равновесия пологой ортотропной
оболочки, записанные в перемещениях, имеют вид
д2и G д2и } Е" +G d2v f , £/z	\ dw
дх2 + Ех ду2 ‘ Ех дхду 1 Ех 2 J дх
= 0;
G д2и E" + G д2и / Е
Еу д*2	Е’у дхду \ Еу
(6.16)
312
d^w	2 (Е" + 2G)	diw t	Ех д*ш			' Е'х п 	L. +2 1
ду^	ЕУ	дх2 ду2	Е' дх* лу	62		Е 1 + < £у
Ex ди
E" ди
2E”
Ey
EtJ dx Eg ду
Подставляя в (6.16) выражения (6.1), после сокраще-
ния первого уравнения на cos [ (плх)//], а второго и треть-
его на sin[(ппх)/1] получим
л2 л2 G
Е" -\~G
у'
I
пл
— №(У)=0;
G п2 л2	Е" + 6 лл
— ~г~	-----~U'(y) +
Е	?	Е	I
су	су
IE”	\ ,
+ -7-**+**Г<*>=0:
\ ЕУ	)
(6.17)
Р
IV 2 (£” + 26)
WGj)~	/2 w(y} +
Еу	ЕУ
п*л*
Z4
W(y) +
12 I / Е	2Е№	\	/ Е
+ ~Л2” I I ~ kl -------- kl k2 ^2 I W (У) + М ------- Х
О2 1 \ Е Е 2	/	Ч F
LA у ьу	J	\ у
пл	Е" ; \	/ Е" пл	, \
X— Щу)+—V иЛ — — ^} + И( J =0.
1 \ L /
Составим каноническое
уравнение метода переме-
щений (уравнение равно-
весия) для контактного
сечения двух примыкаю-
щих полосок (рис. 6.4).
E2i z (~“д//) + {^22 +Яц) ?+
Рис. 6.4
+ /?12Z(+ Ду) —0.	(6.18)
313
Приведя подобные члены в выражении (6.19), будем
314
иметь
(R2i 4- К 22 + Rii + Я12)
“ dU-
ду
dV
ду
dW
ду
ОФ
ду
&У 4-
+ (^21+^12)
“ д* U "
ду3
д*У
ду3
д3\У
ду3
Э3 Ф
dt/3
At/3
+ (/?21 + ад
д*У
ду4
О4 IF
dt/4
^Ф
dz/4
Др4
-^~ + «W)=O.
(6.20)
Матрицу реакций (6.15) представим в виде
Г/?и #121
1^21 ^22!
	_«2i.	«31	«41	bll	Ai	Ai	Ai
: «21	«22!		«42	—^21	^22	A2	A2
: азг	a32	«33*	«43	^31	A 2	Аз	Аз
: аА1.	a12	«43	_.,.«4-K	—Ai	A 2	—Аз	A4
''fin:	^7.Ai	^31	~^41	«и	«21	«31	—«41
’.Ai	^22!..	.Z7^.3.2	^42	«21	«22	—«32	«42
:Ai	^32	^33;	.77; ^43	«31	«32	«33	—«43
.‘Ai	^42	^43	...A4!	—«41	«42	—«43	«44
(6.21)
315
Используя выражение (6.21), развернем блоки, вхо-
дящие в формулу (6.20),
(#21 4" #22 + #11 + #12) =	
2 (041 + Ьп)	2 (а31	*31) 0	2 (а22 4~ *22)	0	0 («42 "1* *4s)	’
2 (a3i 4- *31)	0	(а33 4* *зз) _	0	2 (а42 4“ *42)	0	0 2 («44 4“ *44) _
"	0	2621	0 „	— 2^21	0	2^3о (~ #21 + #12) =	о — 2632	0	2*41 2*°43 :
__ 2bit 0	— 2b 2*ii 0	2&3j	13	6 _ 0 ‘
2631	0 2Ь33 О
О 2642	0 2fc44
С учетом выражения (6.22) первые три уравнения
(6.20) примут вид
(«и 4- *и) У (у) + («31 + М V О/) + *21 ^У V'G/) +
Да2
+ *.i by Ф' (у) + Ьи -f- U" (у) 4- *31 X
Да2
x-f-«z"(z/) + '’(A‘/3) = 0;
(а22 + b22) V (у) + (а42 + *42) Ф (у) — b2i by U' {у) +
Да2
+ *32	(У) + *22 “f- V" (У) +
Ли2
+ *42	(У) + ° (by3) = 0;
(ая + *31) U (у) + (а33 + Ы IF (у) - *32 Д</ V (?) +
Да2	Да2
+ *43 ДрФ' (У) + *31 U" (У) + *33 -f-	(У) -
- *32 V" (У) + *43 ~ Ф"' (У) + *31	(у) +
О	О	24
+ *ззW™ (у) + О (by3) = 0.
(6.23)
Используя табл. 6.1 и 6.2, вычислим сомножители при
функциях в выражениях (6.23), ограничиваясь при этом
316
только теми из них, которые содержат Аг/ в первой степе-
ни в числителе или знаменателе. В табл. 6.3 приведены
результаты этих вычислений.
Подставляя в (6.23) сомножители, приведенные в
табл. 6.3, получим
, п2 л2	пл , ,	„
Ех hby U(y)- — (Ех + Е fe2) hby W (у) -
-	(Е" + G) ЛДу V (у) — G -У- by U" (у) + о (Лу*) = 0; (6.24)
4	4
п2 л2	пл
Q--	V	G) h&y (J'
41	4
- Y (E’ kr + e; k2) h\y IF' iy) — Ey — h&y V" (у) + о (Ду2) = 0;
(6.25)
- -у- (e; *x + E k2) h Ду U (y) + -y (E>2 + 2E’ k2 +
, 9.	1	, И4 Л4
+ Eyty hAylF(y) + —£x-y-h3AyIF(y) +
+ “j" (E ki + El кг) hAy v'{у] + E n2 n2 ~y~ Ауф' (у) +
I	,	о 1	,	1	9	9 Л3	,
+ — Eylh3—ф {у)Л- — Сп-Л2 —Дг/ф (£)-
4	y by	60	I
- E" rfi л2 -7- Ду V" (у) — ——E lh^—^—W (у) -
20	I	4 y Ly
- -i- Gn2 л2 Ду IF' (y) + -7- Ey lh3 ДуФ" (у) -
10	I	24 J
--^E't/lh3/\yW'v+ o^y2) = 0.	(6.26)
Умножая уравнение (6.24) на —4l(Exhlby) и (6.25)
на —4/(ExhlAy) при Sy->0, получим первые два уравне-
ния системы (6.17). Для получения третьего уравнения
системы (6.17) необходимо в уравнении (6.26) произвес-
ти замену
Ф' (у) = IF" (у), Фт (у) = IF1V (у),
привести подобные члены, умножить все члены уравне-
ния на th6 by) и устремить Sy к нулю.
317
318
Таблица 6.3
«И +	. п2л2 h . Ex — — ^y	*42 2	0
«31 + 63t	(E^ + E'%) ЛДу	«31 + ^31	ПЛ f ,	f	X -—(EA + £"*2) *Ay
*21 Ay	nn> - — (E" + G)hby 4	«за "h ^зз	-J- [E'x k] + 2Е”к& + E’yty hby + _L 1 C’ "4jl4 АЗ Л +1Г£-тЛ y
&41 Az/	0	—*32 Aj/	^(E"ki + E'yk2)hby
. Ay2 *n 2	„ *	Az/2	„ hl A — G VT" hl	= ^~G— 2 Az/	2	4	^43 Az/	1	h3	1,1 — E"n^ — ^+—E!/^ — + ,	1	h3 + TT G m2 л2 — Ay 60	I
Продолжение
. № 631 2	0	h № »3i 2	0
й22	^22	п2 л2 h ° 4	. ^2 &ЗЭ 2	1	h*	1,1 __р,л2я2тДУ-ТЕЛ3-- 1	h3 ~ Gn?
<*42 + &42	0	A A^3 -(>32 g	0
—*2i Дг/	-^(£" + 6)ЛД£/	h ^ 1,13 6	
*32 &У	--j-(E"^ + e;*2) h\y	fcsl 24	0
к № Ьзг 2	~E'y~h\y	. 33 24	~7яЕ'у1нг&у 4o y
Рис. 6.5
На рис. G.5 приведены
результаты расчета одно-
пролетной двухволновой
оболочки, подкрепленной
ребрами, с использовани-
ем полученной выше мат-
рицы.
Оболочка имеет сле-
дующие параметры: дли-
на 1= 12 м; ширина 6 =
= 12 м; кривизна вдоль
оси х £1=0,025 1/м, вдоль
оси у—£г=0,05 1/м; тол-
щина 6=0,06 м; коэффи-
циент Пуассона ц=0,15;
модуль упругости Е = 1;
размеры поперечного се-
чения бортовых элементов
0,2X0,4 м. В скобках при-
ведены результаты рас-
чета, полученные другим методом [2]. Результаты
обоих расчетов близки между собой.
§ 6.3. Получение матрицы реакций для узкой
полоски, выделенной из трехслойной пластины
с легким заполнителем
Для расчета систем, к которым относятся трехслой-
ные пластины, необходимо построить матрицу реакций
для узкой полоски, находящейся как в условиях плоского
напряженного состояния, так и в условиях изгиба. Для
получения матрицы реакций узкой полоски, выделенной
из трехслойной пластины, находящейся в условиях плос-
кого напряженного состояния, воспользуемся матрицей
реакций для оболочки (см. табл. 6.1) при £1=£2=0.
При этом толщину пластины h надо заменить на 2t (t —
толщина несущего слоя трехслойной пластины). Запол-
нитель при этом не работает.
Построим матрицу реакций для узкой полоски, рабо-
тающей на изгиб. В соответствии с полуаналитическим
вариантом МКЭ представим поля перемещений в виде
произведения двух функций, одна из которых зависит от
320
у, а вторая от х:
плх	л . ппх	тv иля
W (У) sin —— ; ф = Ф (у) sin —— ; ф = ¥ (j/)cos —j— .
(6.27)
Положительные направления перемещении н, <р, ф
показаны на рис. 6.6. Уг-
лы поворота на рис. 6.6
показаны двойными
стрелками, при этом на-
правления самих углов
поворота принимаются в
соответствии с правилом
буравчика. Переходя к
безразмерным координа-
там, получим
Рис. 6.6.
•су = W (q) sin пл£; (р = Ф (q) sin пл£; ф = ¥ (q) cos лл|,
где£==х//;	q=(2^)/&.	(6.28)
Подставляя в функции №(q), Ф (q), ¥(q) значения,
соответствующие кромкам 1-2 (q =—1) и 3-4 (q = 1), по-
лучим
F (— 1) = UZj; W (+ 1) = Г2;
Ф(-1) = Ф1;	Ф(+1) = Ф2;	(6.29)
¥(—1) = ¥1;	Ч'Н-1) = ¥2;
Объединим эти перемещения в вектор обобщенных пере-
мещений
z= р?!фтТ1, и/2Ф2 ¥2]\	(6.30)
составляющие которого примем в качестве степеней
свободы для узкой полоски. Будем предполагать, что
перемещения вдоль оси q меняются по линейному зако-
ну. Построим поля перемещений в виде
Г оу 1 Г п2 0 0 •
Ф 1=0 п2 0 
L ф J [0 0 «! 
и4 0 0 V
0 п4 0 Z,
0 0 n3J
где
rti = — (I — q) cos пл|;	п2 = — (1 — q) sin пл&
ns =	(1 + q) cos	n4 =	(1 + q) sin nn£.
(6.31)
(6.32)
Используя формулы (5.52), по полям перемещений по-
строим вектор относительных деформаций:
321
(6.33)
В соответствии с (6.33) вектор относительных деформа-
ций представим в виде
или
Е= kBZ.
О
дп4
~ ду
дп4
дх
О
— п4
О О
о о
о о
1 о
О 1
дп3
дх
О
дп3
ду
«з
О
(6.34)
Используя (6.31),
ее в виде
получим матрицу В и представим
В-В(|)В(Л),
322
(6.35)
где
		sin	0		0	0	0 1	
в(1) =		0 sir 0 0 0 В(ч) =	1ЛЛ| 0 0 0 г 0 0 0 9 L13	0	0 cos пл£	0 0	cos ил£ 0	0	s 0	1.0	0	2-1 30:040 56:078 0 10 : 11 0 12 14 0 г 15 16 0J			0 0 0 ;in пл% _	;	(6.36) (6.37)
1		—тг-ч- 21	-п)		9	V<-	-п)	
2					10	-h	— ’))	
3		1 ь			11	пл ^-0 + n)		
4		1 — ь			12	у (‘ + Ч)		
5		— — (1 - 21 V	ч)		13	— “	1 ь	
6		1 ” ь			14		L ~т))	
7		“1Г(1 + ч)			15	1 ь		
8		1 ь			16	--у(1+ч)		
Для построения матрицы реакций воспользуемся форму-
лой
R = A J J BTkDkBd^drj,
о —1
(6.38)
где
2tEx 2iE О
2tE' 2tEy О
О 0 2tG
О	О	О G3h
0	0	0	0
О
О
О
о
G3h_
О
О
О
323
Подставляя (6.35) в 0 — 1 < ГДе	D* 2h , 2h п2л2 Gl 4~ Gq 3 b2	3	/?	(6138), получим 1 / C - J B(n)D*B(n)dii, —1 i =^&®kDkB® d%. 63 T	(i))djdi] = (6.39) (6.40) 2h n 7t — G3	 —7~ 3 3 I
	<f+“TV+ 2h + G3 — 3 3	2b I + th1 nn + G 2b I
2h пл — G3	 3 3 I	2b I , Л th2 пл -4- G 2b I	, th2 п2л2 , th2 , Ex~\ ^~+ G 3 l2	b2 Д.Г 211 + G3"y
2h	h п2ла —Сз + з 3 Z2	h -°3~	h пл G3 3 3	/
r A Сэ b	, th2 , — Ey~^ + y b2 th2 п2л2	h 4~G	-4-Gq 6 P T 3 3	th2 пл	th2 пл E'f	~4'G 2b I	2b I
h пл °2 3 ~T Общий множитель I	_£„ A. _ 2b I „ th2 пл —G	 2b I )l/4\ t 4Jitпоэтому (/l-b 324	, th2 n2n2 EjC 6 Г2 th2	h ~G +G3 v b2	3 ~i)2=h2.
После раскрыт <(ft + /)2 2 /(ft + /)2 1	2 = V 2	0 0 0 2h , h л2л2 —6ч	-^G« 3 &2	3	/2	ия выражения (6.4 .	с Л	2 р. МЛ±О!₽>	< 2	» /(ft 4 0	2 0	С 0	С С8Т	0) получим 1	0	0 1	0	0 0	0	(6л,> >	hG3	0 1	0	hG3 Таблица 6.4 h пл G3	* 3 I
h ~°8Т	-<£+ , W nW , h ~i 0	4 Gq 6	/2	3 3	F''iEL'?L ~E 2b 1 th2 nn _G	 2b I
g8-^- 8 3 1	th2 пл С	‘ - -4— 2b 1 , th2 пл +G	 2b 1	pf п2лг x 6	/ 2 ”* /Л2	h —G	г Go — b2 8 3
2h	2h п2л2 Go	-l-Go 3 6»	3 3	/2	Г Л -G3 ь	2h пл —63	 3 I
-°8 7"	..th2	th2 nW Еи р +G з p + , 2h +G3 ~ b	th^m_ _ 2b I /ft2 nn “° 2b ~
2h пл ^•тт	E 2b , - th2 пл -G-^T	, th2 п2я2 , 3 P + ,r‘Jt .r +G b^ +°8T
325
Подставляя (6.41) и (6.37) в (6.39), получим матрицу
реакций для узкой полоски, выделенной из трехслойной
пластинки, приведенную в табл. 6.4. Представим эту мат-
рицу в виде
c3f j	^ii	^21	bai
• ^21	^22*	^32	^22	^32
rD o ч	*G3i	fl32	°зз: i	^31	—^32	^33
pu' Л12	.....Л _
« =	i	• <6Л2)
• ^ii:.7^21.	^3i; aii —a3i
: ^21	^22:."77^32 	C21	a22	C32
——a32 агз—
Проверим полученную матрицу реакций /? с помощью
предельного перехода. В § 5.4 получена система диффе-
ренциальных уравнений для трехслойной пластинки. Эта
система при отсутствии нагрузки имеет вид
д2. w	d2w	дф	dg _
дх2	ду2	дх	ду
ду	2(?3 >]	[	[ ду2 дх2	дх 1
dw , (h+tyt^, д2ф „	„	52q> ]
'аГ + ,|’==' 2g3a Г-^+с“7г-(£ +с)а^Г
Подставляя в эти уравнения значения w, <р, ф, по вы-
ражениям (6.27) получим
„ п2 л2	лл
~ф(у}~[~Ф'^>+ °Ф-
ПЛ, . 1
-(£”+G)—¥(г/)]= 0;
пл	(h 4- О2 И	' ^2
т ({/) + — w (у) - 1 Т/ G'F" (у) - Ех —— Ч (у) -
I	l	* 
-(£'+G)—Ф(^|=0.
(6.43)
Составим уравнение равновесия для контактного се-
чения двух примыкающих полосок:
Я2Г z (- Ly} + (Я22 4- tfu) z 4- Z (+ А^) = 0.	(6.44)
326
- d2W -
dz/2
д2Ф
dy2
d2T
dy2
Az/2
+ о (A#3)
(6.45)
Приводя подобные члены в выражении (6.35), будем
1меть
(Я21 + flu 4- /?22 ч- Я12)
4-(*3i + *ia)
д2Ф
dy2
d2*F
dy2
+ (-/?2i +*f2)
""dr"
dy
дФ
dy
dW
dy
-f- + o(AS3)=0.
Ai/ +
(6.46)
г
Ф
¥
Г d2w “
Используя (6.42), развернем блоки, входящие в
(6.46):
327
(Rzi + flu 4- ^22 4- ^i2) =
2 (an 4~ *u)
0
2 («31 4- *31)
0	2 (flftj 4“ *31)
2 («22 4“ *22)
0	2 («33 4- *33)
( ^21 4" ^12) —
0
- 2*21
0
2*21
0
2*32
О
2^32
О
(6.47)
(^21 4" # 12) —
2*11
0
2*31
О
2*22
О
2*з!
О
2*зз
Подставляя матрицы (6.47)
в (6.46), получим
(«н 4~ *ц) W (у) 4- («314- *31) V (у) 4- *21 Ьу Ф' (у) 4-
+*и“Т"w' м+*31	<у)+° (ду3)=°;
(а22 + Z>22) Ф (у) - ba EyW' (у) + *32 Ду Ч" (</) +
Д у2
+ *ю-|-ФЛ'(У) + о(Ау8) = 0;
(6.4В)
fan + *31) V (У) + («зз + *зз) V («/) - *32 А»Ф' (у) +
Ду2	Ду2
+ *31 -у- V" {у) 4- *33	Ч"' (*/) 4- О (Д^) = О.
Используя табл. 6.4, вычислим сомножители при
функциях в выражениях (3.48), ограничиваясь при этом
только теми из них, которые не зависят от Аг/:
п2 л2	.	пл
«11 4- *11 ~ Оз* J «si 4“ *з1 = G3 h —j~~ ;
Дг/2
*21 &У = 63 Л; *п 2	~
t (h 4- О2 «2 л2
«22 4- *22 = 6	~	4- 63 *;
АЛ-Г'Ь. h Л —	г// Н*4-/)2 пл Н*4-/)2 пл
*21 ^У —	*>	*32	— Е 2i I 6	2 I
и _	__ с' 1 <h + 62
»22-	2	2	;
пл	, t (h -J- t)2 n2 л2
«31 + *31 - Оз ft “j— •> C33 + *33 = Ex	- — —~	I- 03 h;
h b„ F« ‘V' + W nn . r <<h + /)2 nn .
-b3^y-E	2 t +G ---------------
ky2 /(*4“02
*33	2 -G 2
328
Подставляя эти сомножители в (6.48), получим
п2 л2	пл
Ga h	W (у) + G3 Л — W (у) + Оз ЛФ' (У) -Gah№"' (у) +
Р	I
4-	о (At/) = 0;
[о -•(Л2—	+ G3 л] ф ({/) + Ga hW’y -
_ [£«	_^L . J11+O2_^L1 ,y} _
[	2 I 2 /J
, -/(Я4-О2
- Ey  1 2— Ф" (t/) + о (Ai/) = 0;
G3h
V(i/) +
пл Г , t (h t)2 n2 л2
— uzO + ^-L-------—+ <
I™ '(h + 02 «л , „ t(h + ty nn
[£ —-------F+G~2--------
+ G --(/12— V" (у) + о (by) = 0.
Умножая первое уравнение на —\/(G3h)t а второе и
третье на 1/(G3A) и устремляя At/ к нулю, получим сис-
тему дифференциальных уравнений, совпадающую с
(6.43).
§ 6.4. Суперэлемент
для получения матрицы реакций оболочкир
составленной из узких полосок
Представим, что каждая пластина, из которых состо-
ит складка, имеет постоянную толщину. В этом случае
для уменьшения числа неизвестных может быть эффек-
тивно использован суперэлемент. Матрица реакций для
узкой полоски имеет вид
Г^11 ^12 |
|/?21 ^22 J
(6.49)
Покажем, как из матрицы реакций для элемента ши-
риной b построить матрицу реакций для элемента шири-
ной 2 Ь. На рис. 6.7 изо-
бражены две примыкаю-
щие одна к другой узкие
полоски. Вектор переме-
щений нижнего сечения
полоски двоякой ширины
обозначим Zj, верхне-
2Г	Г.
Рис. 6.7
329
го — Zu. Перемещение контактного сечения между полос-
ками обозначим Z. Аналогичные обозначения примем и
для вектора нагрузки (Я1Р, Я2р, Яр).
Составим уравнения равновесия для системы, состоя-
щей из двух полосок (см. рис. 6.7):
fliiZi4- fli2Z	= RiPi
R2i~Zi + (R22 + Яй) Z + Ri2 Zu = Rp;	(6.50)
R2l Z 4- T?22Zn == RiP.
Исключим из системы (6.50) перемещение промежуточ-
ного сечения Z, для этого умножим второе уравнение на
(Ягг+Аи)-1
RiiZi + R^z	=Rip't
(fl22 4- Rn)-1 R21Z14-z 4- (Rn 4- An)-1 fl12 Zu = (R22 4- Яп)-1^;
R2iZ	+R22Zii = R2p.
Далее умножим второе уравнение сначала на Я12, затем
на Я2ь Первое произведение вычтем из первого уравне-
ния, а второе произведение из третьего уравнения
Aj 1 4- Ri и zn — R1P; Rn ! Zj 4- Яп n zil ~^hp*
гДе	^11 “.^11^12 (^22	^21»
Ai n “ ^12 (^22	^n)—1 ^12!
An i ~ ^21 (^22	^h)""1 ^21*»	(6.51)
Яц II = ^22	^21 (^22
^ip flip — fl12 (fl22 4“ Ап)'1 Ар»
A ii p ~ flap ~ A2i (fl22 4“ Ац)-1 Ap •
Формулы (6.51) позволяют построить матрицу реакций
для полоски шириной 2Ь по матрице реакций для полос-
ки шириной Ь.
Далее, используя те же формулы, можно по матрице
реакций для полоски шириной 2Ь построить матрицу ре-
акций для полоски шириной 4Ь. и т. д. Таким образом,
ширина полоски при использовании формул (6.51) уве-
личивается по закону геометрической прогрессии со зна-
менателем, равным 2.
330
Введем обозначения: В — ширина пластины; b — ши*
рина полоски. Тогда В~2у. Величину у будем называть
уровнем суперэлемента.
Описанный суперэлемент удобен для расчета систем,
регулярных в одном направлении. Использование супер-
элемента позволяет резко сократить затраты машинного
времени по сравнению с использованием полуаналитиче-
ского варианта без суперэлемента. Это является следст-
вием того, что после обработки отдельных пластин по
алгоритму связи необходимо вводить только в местах
перелома профиля складки или оболочки (см. рис. 6.2, б).
§ 6.5. Получение матрицы реакций для элемента
в виде тонкостенной конической оболочки
при действии неосесимметричной нагрузки
На рис. 6.8 изображен конечный элемент в виде тон-
костенного усеченного конуса
боды для расчета осесиммет-
ричных конструкций на не-
осесимметричную нагрузку.
По сравнению со случаем
действия осесимметричной
нагрузки (см. рис. 5.17) до-
бавляются еще две степени
свободы Vj и V% (см. рис.
6.8).
Для решения задачи не-
обходимо задаться двумя
видами полей:
1-й вариант
с восемью степенями сво-
Рис. 6.8
(«j + а2 й cos «0 = U (|) cos п0;
v == (аз "Ь а4 Й sin «6 = V (g) sin n0;
(6.52)
= («5 + аб i + а7 £2 + «8 £3) cos n0 = IT (I) cos П0;
2-й вариант
и — (а2 -Ь Й sin n0 = U (Й sin п0;
v — («з Н~ а4 Й cos пО — V (|) cos п0;	(6.53)
w = (аб + ae g ч- а7 g2 + а8 g3) sin n0 = W (g) sin п0,
s 2s
где£ = — = —, п—0, 1,2, 3...; п=0 соответствует
осесимметричному загружению по 1-му варианту полей
перемещений и кручению по 2-му варианту полей пере-
мещений.
331
Представим выражения (6.52) и (6.53) в матричной
форме
Ги 1
L = L(0)Z*(Bh	(6.54)
U J
Для 1-го варианта
[cos л9	0	ОТ
О	sin п0	О	I.
О	0	cosrtO J
Для 2-го варианта
rsinrcO	О	ОТ
12 (0) = I О	COS яб	О I.
|_ О	0	sin пб J
Вектор амплитудных значений перемещений в локаль-
ной системе координат
гщвл
2* (В) = V (В)
a) J
"aj4-a2B
a3 -h a4 В
_a5 4- ac B+a7 B2 + a8 B3_
(6.55)
Вектор амплитудных значений перемещений точек 1 и 2
в локальной системе координат имеет вид
332
где
1
2
1
’ 2
О
О
О
о
Выразим а
о
о
1
2
1
2
О
О
О	О
О	О
О	О
О	О
1	I
2	8
3
4	8
(6.58)
через вектор перемещений в глобальной
системе координат. Первоначально найдем связь между
локальными и глобальными перемещениями. В соответ-
ствии с рис. 5.19 имеем
U = X sin ip + Y cos -ф; IF = Xcosip— Ksintp. (6.59)
Вектор амплитудных значений перемещений точек 1 и 2
в глобальной системе координат имеет вид
о о
О ; о
о i о
1 I
4	8
Z = [X1V1r1Oi; Х2У2У2Ф2]Т.
Вектор перемещений в глобальной системе связан с век-
тором перемещений в локальной системе координат
Z*=CZ,	(6.60)
где в соответствии с (6.59) матрица С имеет вид
	sin ip	0	cosip	0:	0	0	0	0	
	0	1	0	0«	0	0	0	0	
	cos гр	0	— sin ip	oi	0	0	0	0	
с =	0	0	0	1 i	0	0	0	0	. (6.61)
	0 0	0 0	0 0	0: sin ip Oi 0		0 1	cos ip 0	0 0	
	0	0	0	0 j COS Ip		0	— sin ip	0	
	0	0	0	OS	0	0	0	1-	
ззз
Подставляя (6.60) в (6.57), получим		(6.62)
	a = L C Z,	
где		
" I	Л 1	I	Л 1 Л "
•jsinip	0 -^ncosip 0 —sinip	0 — cos ip 0
1 . — —Sinip	Л 1 ~ 1 0 ——cosip 0 —sinip	0 cos ip 0
0	4-ooo 2	1	0	0
0	——	0	0	0	—	00
	2	2
LT1C =	t	„	1	I 1	„	1	I
—cosip	0 —ysinip — -cosn>	0	Sinij,—- z	о
3	n 3	I j 3	„ з	I
— ~COS ip	0	—sin ip —— ; — cos ip 4	о : 4	о -jsinn>—8
0	° ° -41 ° о :	»	°	7
1	Л 1	ill	„ 1 .	1
—cos ip	0 ——sinip — i——cosip 4	о j 4	о — sinH> —
—*	i	
		(6.63)
Для случая конической оболочки связь между пере-
мещениями и деформациями имеет вид
ди	Г 1 dv 1	,	]
8s== ee== Т аё-b~^cos^ + l/siriФ)р
1 ди	dv	1	„
М = —psinip;	(6.64)
Г Ou	OS	Г
__	1	। cos Ф sin ip dw .
*s	’ Ze = —	d№+ 30 ~ r ds’
(1	02ш sin ip dw , cos ip dv sin ip cos ip \
----+	----"7-------I----v •
r ds d0 r2 00 r ds r2 J
Вычислим производные no s от функций «(£),
которые необходимы для получения вектора деформа-
ций е
Ce = [V08s0’ к8и0к5еГ):
334
ди (%)	2 dv (%)	2
ds ~ I ds ~ l аГ’
(6.65)
dw (£)	2
—- = — («в + 2a71 + За8 £2) = Ф (I);
os I
d2w (I)	4
—^ = — (20,4-60,6) = K«).
os* Z2
Первоначально рассмотрим 1-й вариант поля переме-
щений. Подставляя (6.52) в (6.64) и используя обозна-
чения (6.65), получим
2	Гл	cosib
es = -ya2cosne; eg = V (^) +-^ W'(^)+
sin lb 1
+	cosnO;
[п	2	sin 1Ь	1
— — И (|) 4- — а4 — -у— V (£) I sin п0;	(6.66)
1/г2	п cos il)	sin ib 1
—W (Э 4- —^-V g) - —^Ф(б) j cos «6;
In	ft sin ip . 2 cos ib
— Ф(Ю —r*U4£)4-—
r	r2	rl
sin ib cos ib 1
-—7^^^]sinne-
При подстановке в (6.64) поля перемещений (6.53)
cos л0 поменяется на sin n0, sin «О на cos лО. Кроме того,
слагаемые, в которые входят производные по 0, поме-
няют знак на противоположный. Но при вычислении
производной по 0 множителем выходит номер гармоники
л, поэтому для второго варианта поля перемещений
вместо п надо поставить —п.
Запишем выражения (6.66) в матричной форме:
	0	0	0	0	0	2 1	0	
	sin ip	п	cosip	о	0	о	о	
	г	г	г					
7=в(0)	п г 0	sinip г 0	0 0	0 0	0 -1	0 0	2 1 0	X
	п	cosip	п2	sinip	А	п	Л	
	V	г2	7"	г	и	и	и	
	0	^sin i|) cos ip Л2	sin ip -2 —л	2 — Г	0	0	cosip 4 г 1	
335
V & -
на
№(£)
Ф(£)
K(D
a2
a4
(6.67)
Для 1-го варианта поля перемещений п = 4-/г, для 2-го
варианта поля перемещений п=—п.
Для 1-го варианта поля перемещений (6.52)
	cos nft	0	0	0	0	° “1	
	0	cos nti	0	0	0	0	
Bi (6)=	0 0	0 0	sin nQ 0	0 cos Л0	0 0	0 0	. (6.68)
	0	0	0	0	cos n0	0	
	0	0	0	0	0	sin n6_	
Для 2-го варианта поля перемещений (6.53)
Подставляя (6.70) в (6.67), получим е—В(0)В(В)а.
Матрица В(£) приведена в табл. 6.5.
Для построения матрицы реакций В* используем
формулу
2л
JJ В< (£) В* (е) DB (6) В (g) rd Ms =
О s
(6.71)
2
336
Таблица 6.5
	0	2 I	0	0
	sin гр rQ	sin ip r0	n Го	—в Го
	n Го	-—в Го	sin гр Го	2 _ sin гр 1	г0
оо	0	0	0	0
	0	0	л cos гр '0	л cos гр 2 го
	0	0	2sin грсозгр 'и	4 — cos гр —	— г01 2 sin гр cos гр_ “	>1 '•
0		0		0		0
cos гр Го		cos гр 5 Го		£211^ Го		cos гр 	?3 Го
0		0		0		0
А		о		8		р -
и						
rt2	л2 2 Го	2 sin гр	л2 'о	Г01	п2 Го	?3_6S-inlg2 5 rol
2п sin гр 2 'и	4л Го/	2n sin гр^ Го	8л Го1	2fisi^a Го	12л г0/	Го
2Л
где D* = ]*
о
£T(0) DB (0)d0;
(6.72)

'К
&Е"
О
б£"
О
о
о
6G
о
о
о
о
о
о
О
О
О
О
О
О
О
О
О
12 •
63
—Е"
12
, 63
, 63 '
О
о
1	О о tn o^s4	° О	_ о 3	0	0	......	0	0 ООО ООО ООО
ООО 0	0	0 _ 0	0	0	о 0 0 би
6G_
£)*
(6.73)
рассмотрим три случая:
Для получения матрицы
1) и=О, поле перемещений по 1-му варианту (6.52)
В(0) =
1
о
1
oJ
В соответствии с (6.72) матрица D* имеет вид
(6.74)
(6.75)
338
2) п=0, поле перемещений по 2-му варианту

(6.76)
В соответствии с (6.72) матрица D* имеет вид
(6.77)
3) п>0, при подстановке В (6) по выражениям (6.68)
или (6.69) в подынтегральное выражение (6.72) получим
произведение элементов матрицы £> на sin2n6 или cos2 п0.
Вычислим интегралы:
2л	2л
f . _ Л „ Г1 — cos 2д0
| sin2 nd dd = i --------dd=n^
о	0
2л	2Л
f « Л С 1 + cos 2n0
j cos2 nd dd = I -------dd—tn.
о	о
С учетом (6.78) матрица D* имеет вид
D* = jiD.
(6.78)
(6.79)
Далее по формуле (6.71) будем строить матрицу ре-
акций. Процесс интегрирования проводится численно.
Для численного интегрирования используется формула
Гаусса, которая для вычисления интеграла (6.71) имеет
вид
1	п
с<п’/(?.),
—1	1
где — весовые коэффициенты; f (|) — значения подынтеграль-
ной функции в точках Гаусса.
339
При n=6
—	^ = Be = 0,9324695; -у Cj6) = -у = 0,0856622;
—	В. = B. = 0,6612092; 4- C<e> = -7- Cle) = 0,1803808;
z a	2	2
—	13 = = 0,2386192; у c|6) = у C^} = 0,2339570.
Далее рассмотрим случай, когда точка 1 или точка 2
находится на оси симметрии. При этом на оси симметрии
нет концентратора и, следовательно, деформации долж-
ны быть конечными при г->0. Вследствие этого в (6.64)
множители при 1/ги 1/г2 должны быть равны нулю. При-
равнивая эти множители нулю, будем иметь
dv ,	ом	Л dw
• + w cos ip w sin лр = 0;  — v sin ip = 0; — sin = 0;
du	dQ	ds
d2w dv	d2w , dv	~
~^+iro^=0: ~^r+^cos*=0:
dw
у sin — v sin tycos ip = 0.
Равенство (6.80) соблюдается при g =— 1, если па оси
симметрии находится точка 1, или при g=l, если на оси
симметрии находится точка 2. Используя (6.56), выпи-
шем выражения для амплитудных значений перемеще-
ний (/(g), V(g), №(g), <D(g) при g = l и g=—1 (табл.
6.6).
Таблица 6.6
е = -1	
(/£ = Otf — «2 = а3 — а4 «5 — ае + а? — а8 2 Ф1 = — («в —	+ За8)	{/2^ai-f а2 У 2 = «э 4- «4 1^2 = «5 + ае + а7 4- ав 2 Ф2 — — (а6 + 2а7 + За8)
Зависимость (6.62) связывает коэффициенты а с векто-
ром перемещений в глобальной системе. Используя табл.
6.6 и выражение (6.63), выразим (/(g), V(g), W(g), Ф (g)
при g =—1 и g=l через перемещения в глобальной сис-
теме координат. Подставляя в табл. 6.6 значения а по
(6.62), получим (табл. 6.7):
340
Таблица 6.7
	£ = 1
— Xi sin гр + cos гр = V. = cos гр — sin гр. ФХ = ФХ	U2 = X. sin Ф + Kj cos v2 = v2 W2 = X2 cos<|> — Y2 sinip Ф2 = Фа
Значение 5 =—1 соответствует положению точки 1 на
оси симметрии, a g=l положению точки 2 на оси сим-
метрии. В соответствии с табл. 6.7 для получения зна-
чений U2, V2, ^2, Фг при g=l из значений £/b Vb Ф1
при g=—1 достаточно сменить у перемещений X, V, У,
Ф индекс 1 на индекс 2. Поэтому в дальнейшем будем
рассматривать случай, когда на оси симметрии нахо-
дится точка 1 (g== — 1); для второго случая (5=1) в со-
ответствии со сказанным достаточно поменять индекс
1 на индекс 2.
Подставляя в (6.80) выражение для поля переме-
щений по 1-му варианту (6.52) при g== — 1, будем иметь
nVx + cos гр + Ui sin гр — 0;	(6.81
— nV1 — Vj sin гр — 0;	(6.82)
(I^sin^ — O;	(6.83)
n2 IFi -j- nVt cos гр = 0;	(6.84)
2
~ a4 cos Ф = 0;	(6.85)
— nWr sin ip — I7! cos гр sin — 0.	(6.86)
Обратим внимание на то, что simp=H=0 (в цилиндри-
ческой оболочке точка 1 не может находиться на оси
симметрии), а значение cosip находятся в пределах
О-^созф^ 1.
Аналогично предыдущему для получения системы
уравнений (6.81) — (6.86), соответствующей полю пе-
ремещений по 2-му варианту, необходимо значение п
сменить на минус п, так как производные по 0 будут
иметь противоположные знаки.
Из уравнения (6.83) Ф1=0 и в соответствии с
табл. 6.7 имеем: Ф1 = 0, если на оси находится точка /;
соответственно Ф2 = 0, если на оси находится точка 2.
Подставляя Ф1 = 0 в (6.85), получим оц=0. Подставляя
это значение а в четвертое уравнение (6.62), будем
иметь:
~TV1 + TV2 = 0: Vi = v*-
Итак, при любом варианте поля (6.52) или (6.53) 2
при	^ = -1 Ф1 = 0, Vi-V2;
при	Ф2 = 0, Vi = V2.
Рассмотрим случай п = 0. При этом уравнение (6.84)
удовлетворяется тождественно и оставшиеся уравнения
будут иметь вид
Ui sin гр 4- И7! cos гр — 0;
—.Visini|) = 0;	(6.87)
— Vf cos ip sin гр — 0,
откуда Vi = 0 (соответственно V2=0 при g=l).
Используя первое уравнение (6.87) и табл. 6.7, имеем
Xr sin2 гр Y1 sin гр cos гр + Х^ cos2 гр —	sin гр cos гр = 0, (6.88)
откуда
(sin2 гр 4- cos2 гр) — 0; Х^О.
Итак, при любом варианте поля имеем при гг==О: при
£= —1 у1==о, Х1=о; при £= 1 1/2=0, Х2 = 0.
Далее рассмотрим случай п>0. Как сказано выше,
simp0, поэтому уравнение (6.86) можно сократить на
simp. Полученное после сокращение уравнение отлича-
ется от уравнения (6.84) множителем (—п). Таким об-
разом, остаются три независимых однородных уравне-
ния
sin гр£7т 4- nVj + cos гр	= 0;
— nUi — sin гр Vt = 0;	(6.89)
— cos грр\ —	= 0.
Для исследования решений системы (6.89) вычислим
определитель системы
sin гр п cos гр
—п	— sin гр 0
0	— cos гр — п
— п sin2 гр4~« cos2 гр — я3—0 (6.90)
ИЛИ п(1—И2) =0.
Таким образом, система (6.89) имеет решения, отлич-
ные от нуля, при п—0 п=±1. Случай п = 0 уже ис-
следован выше: —1, так как /г^>0.
342
Рассмотрим случай п = 1 и первый вариант поля
перемещений (6.52). Подставляя в (6.89) п=1 и от-
брасывая третье уравнение (определитель системы равен
нулю), получим
sin + Vi + cos гр ITx = 0;
(6.91)
— — sin грР\	=0.
Подставляя в (6.91) Ui и в соответствии с табл
6.7, получим
Xi sin2 гр — Pj sin гр cos гр + Vf 4“ Xj cos2 гр—Yi sin гр cos гр=0;1
— Xi sin гр — Yi cos гр — Vi sin У = 0,	J
Приводя подобные члены в первом уравнении (6.92) и
деля второе уравнение на —simp, получим
X^Vj^O;
(6.93)
— ХГ -ь Vi + Pi ctg гр = 0,
Итак, при п = 1 и 1-м варианте поля перемещений
имеем: при g = l Xi ——Vlt У±=0; при g =—1 Х2 =—W,
У2=0.
В соответствии со сказанным выше, для получения
соотношений при втором варианте поля перемещений
(6.53) необходимо сменить п на —п. Итак, при п=—I
и 2-м варианте поля перемещений имеем; при g=l X —
= Vi, У1==0; при 1 X2 = V2, У2=0.
Наконец при п>1 определитель системы (6.81) не
равен нулю и система имеет только нулевое решение.
Прип>1 имеем t7i = 0; Vi=0; ITi=0.
В соответствии с табл. 6.7
Xi sin гр 4“ Yi cos гр ® 0;
— 0;	(6.94)
Хх cos гр — Yi sin гр = 0)»
откуда Х\ =0, У1=0.
Итак, при м>1 и любом варианте поля перемещений
(6.52) и (6.53) имеем: при g=—1 1Л— 0, Xi—0, Yi=0;
при ^^=1 V2=z0, Х2=0, У2=Л).
В табл. 6.8 собраны все варианты граничных усло-
вий на оси симметрии.
343.
Таблица 6.8
	1 вариант		2 вариант	
	^ = -1		a = -i	
л—0		У,=У2;Ф2=0		^=и2;Ф2=0
	Vt=0; Xj=0	V2=0; Х2=0	Vf=O; Xi=0	У2=0; Х2=0
П=1	Vi=V2; Фх==0	У1=И2; Ф2=0	^=У2;Ф,==0	У1=У2;Ф2==0
	x,= -vi: У1=0	° 1 II II	*1=УГ> ^1=0	*2=К>; У 2=0
Л>1	Vv=V2; Ф1==0	^=^2;Ф2-0	Гг=У2; Ф1=0	V4=V2; Ф2=0
	|/1=0; Х,=0; У1=0	•4 № - • Оьо II с	Vj=O; А'^0; У1==0	V2=0; Х2=0; У2=0
Глава 7. РАСЧЕТ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СКЛАДЧАТЫХ СИСТЕМ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
И РЕШЕНИЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ ПЛАСТИН
В ОДИНАРНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДАХ
§ 7.1. Вводные замечания
В строительстве широко применяются конструкции
в виде соединения брусьев и относительно тонких плит,
примеры которых показаны на рис. 7.1, а—в. Изобра-
женные на этом рисунке системы представляют собой
цилиндрические складчатые оболочки с различным очер-
танием поперечного сечения. Конструкции, имеющие в
своем составе ярко выраженные балки, наподобие си-
стемы, изображенной! на рис. 7.1, а, называют также
плитно-балочными системами. Они представляют част-
ный случай складчатой оболочки.
Распространенным случаем опирания складчатой
оболочки является опирание ее на торцевые диафрагмы.
Обычно конструкция их такова, что жесткость диафраг-
мы в ее плоскости во много раз больше, чем жесткость в
344
Рис. 7.3
отношении перемещений из этой плоскости. Поэтому в
дальнейшем будем считать, что торцы цилиндрической
оболочки присоединены к идеальным диафрагмам—
абсолютно жестким в плоскости и абсолютно податли-
вым из плоскости диафрагм (рис. 7.2, а). Это означает,
что при приложении внешней нагрузки перемещения и
при х = 0 и х = 1 происходят свободно. Вследствие этих
перемещений возникают в общем случае перемещения
торцевых сечений как жесткого целого и их искривле-
ние (депланация), которые совершаются свободно, без
стеснений. В то же время компоненты перемещений то-
чек торцов в плоскости диафрагмы будут полностью
исключены.
Как следствие, в торцевых сечениях оболочки возни-
кают лишь касательные напряжения, а нормальные на-
пряжения вх во всех точках торцевых сечений равны
нулю. Основными усилиями, передаваемыми оболочкой
на идеальную диафрагму, будут касательные силы S,
возникающие в плоскостях отдельных граней складки
(рис. 7.2,6). В торцевых сечениях будут возникать так-
же крутящие моменты и поперечные силы, как в сече-
ниях изгибаемых пластинок, составляющих грани
складки. Однако последние обычно играют значительно
меньшую роль, чем силы S, в общем равновесии склад-
ки, Схематически прикрепление складки к идеальным
345
диафрагмам можно представить как опирание пластин
складки на плоскую ферму с шаровыми шарнирами и
абсолютно жесткими стержнями (рис. 7.3). Верхний ряд
узлов такой фермы, к которым прикрепляется складка,
имеет свободное перемещение в направлении оеи х, а
составляющие перемещений этих узлов в направлении
осей у и z равны нулю. Описанный вид опирания оболоч-
ки будем называть опиранием шарнирного типа.
§ 7.2. Канонические уравнения
метода перемещений для шарнирно-опертой
складчатой оболочки
Рассмотрим цилиндрическую складчатую оболочку
постоянного поперечного сечения, опирающуюся по кон-
цам на диафрагмы — абсолютно жесткие и неподвиж-
ные в своей плоскости и гибкие из этой плоскости
(рис. 7.4,а). На рис. 7.4,6 штриховкой показаны пере-
мещения и(х = 0) торцевого сечения оболочки. Как
указывалось, при наличии на торцах абсолютно гибких
из своей плоскости диафрагм эти перемещения конце-
вых сечений будут развиваться свободно, без появления
на торце оболочки продольных нормальных напряже-
ний. Следовательно, на торцах рассматриваемой обо-
лочки нормальные напряжения будут равны нулю и мо-
гут иметь место лишь касательные напряжения, кото-
рым соответствуют усилия Sxy, Qx и Мху в сечениях
х=0 и x=L Во всех промежуточных сечениях будут воз-
никать в общем случае все усилия, показанные на
рис. 7.5, отвечающие изгибу и деформации в срединной
поверхности грани.
Иногда при расчетах складчатые оболочки делятся на длинные,
средней длины и короткие. Это деление связано со стремлением
упростить расчет оболочки; при этом не учитываются отдельные де-
формации и силовые факторы, возникающие в сечениях оболочки
(см. рис. 7.5). Тем не менее роль таких факторов, как изгибающий
момент Мх, изгибающий момент Mv, деформации контура попереч-
ного сечения, деформации сдвига в срединной поверхности оболочки
и т. д., в различной степени существенна в зависимости от длины
оболочки. В излагаемом ниже методе расчета учитываются все си-
ловые факторы, показанные на рис. 7.5, и соответствующие им де-
формации без деления оболочек на длинные, средние и короткие.
Указанные деформации учитываются точно, как для действительной
континуальной системы, поскольку для описания деформаций пла-
стинок, входящих в состав оболочки, будем пользоваться решениями
теории упругости.
346
Рис. 7.6
На рис. 7.6, а показана часть рассматриваемой склад-
чатой оболочки. Линии пересечения срединных плоско-
стей плит, такие как О—О, будем называть узловыми
линиями или просто узлами. В некоторых случаях удоб-
но за узловые принимать линии, проходящие через цент-
ры кручения брусьев, находящихся в* узле.
Рассмотрим вначале случай, когда внешняя нагруз-
ка Р, /, qy tn приложена только к точкам узловых линий.
Учет внеузловой нагрузки рассмотрим особо.
347
По всей длине узловых линий введем системы не-
прерывно распределенных связей, устраняющие все
линейные перемещения точек узловых линий и углы
поворота узлов вокруг этих линий. На рис. 7.6, б схема-
тически изображены такие связи. В каждом узле* име-
ются четыре неизвестные функции, выражающие пере-
мещения по направлению введенных связей. Обозначим
неизвестные функции поперечных перемещений и углов
поворота через Zz(x), а функции продольных переме-
щений через Z;(x). Разложим в ряд каждую из таких
функций соответственно по синусам и косинусам:
Z. (х) = 2 sin (ллх/Z);
П=1
7Дх) = 2 COS(плх/Z),	(7.1)
п=1
где х—абсцисса точек узловой линии, отсчитываемая от опоры
вдоль пролета; Z^ и — неизвестные амплитуды n-й гармони-
ки соответствующего перемещения.
Представив Zf(x) и Zy(x) в форме (7.1), мы пришли
к задаче, в которой вместо неизвестных функций име-
.ются неизвестные числа Z^n\ С точки зрения идей строи-
тельной механики, введены групповые (базисные) пере-
мещения узлов конструкции в виде волн синусоиды или
косинусоиды
zi = z\n} sin (плх//);	(7.2)
Zj — Z<jn} cos (плх/Z)	(7.3)
и приняты за неизвестные обобщенные перемещения ам-
плитуды этих групповых перемещений.
От смещения некоторой &-й системы связей по зако-
ну синуса или косинуса n-й гармоники с амплитудой,
равной единице, в связях i и j возникают реакции, из-
меняющиеся по длине по некоторому закону. Обозна-
чим их
rik^rikix);	(7.4)
rik=rik№-	(7-5>
Далее будет показано, что от поперечных смещений
кромок пластинки в виде гармоники синуса, а от про-
дольных перемещений — по закону косинуса все возни-
кающие на кромках реакции изменяются по длине по
закону той же гармоники синуса, за исключением каса-
348
тельного усилия Syx, которое меняется по косинусу той
же n-й гармоники. Аналогичное положение имеет место
и с реакциями бруса при его деформациях в виде гар-
моник синуса или косинуса. Из сказанного можно за-
ключить, что в рассматриваемой складчатой конструк-
ции реакции и r]k по длине пролета будут меняться
по законам:
rik= rik} sin («л*/0;	(7.6)
r/ft = r^cos(/inx//),	(7.7)
где и —амплитуды реакций от смещения Zk при Z^ ==1.
Из предыдущих разделов курса известно, что обоб-
щенным перемещениям соответствуют обобщенные ре-
акции, которые можно подсчитать как работу рассмат-
риваемых сил на соответствующих групповых перемеще-
ниях. В нашем случае обобщенные реакции, которые
обозначим большими буквами Rif{ и RJflt найдутся как
работа сил, определяемых формулами (7.4) и (7.5) на
перемещениях, определяемых формулами (7.2) и (7.3)
при Z$n) = 1 и Z\n} = 1:
i	i
Rih = f rik Ztdx = J (x) sin (nnx/l) dx-	(7.8)
о	0
I	I
Rfh = f rf t Zj- dx = J rfk (x) cos (плх/l) dx.	(7.9)
b	0
Пусть теперь система связей k имеет смещение по
гармонике некоторого произвольного номера т. Тогда
в формулах (7.6) и (7.7) надо п заменить на т. Под-
ставляя после этого значения и* и г;л в (7.8) и (7.9),
получим
i
^ikm) ~ f sin (^лх//) sin (nnx/l) dx\	(7.10)
i
= r/T) J cos (mjlx//) cos (лях//) dx. (7.И)
о
При m^=n интегралы (7.10) и (7.11) равны нулю,
в чем выражается так называемое условие ортогональ-
ности гармоник синуса или косинуса различных номеров.
При т=п они будут
J sin2 (ппх/l) dx = J cos2 (плх//) dx = //2.	(7.12)
oJ	о
349
Таким образом, в рассматриваемой системе
R^m) = R(/km) =о; И * «)	(7.13)
и из всех обобщенных реакций R[nkm) и остаются в
общем случае неравными нулю только реакции, соот-
ветствующуе неизвестным ZW одной и той же n-й гар-
моники. При этом
р(пп) = (п)	.
Kik rik 2 ’
n(nn) — An} JL
Kik ~rjk 2 •
(7.14)
(7.15)
Следовательно, для определения неизвестных ампли-
туд Z<n> в разложении (7.1) каждую n-ю гармонику мо-
жем рассматривать независимо от других гармоник.
От узловой нагрузки в связях возникают реакции,
в общем случае являющиеся функциями х. Разложим
эти функции также в ряды, аналогичные (7.1),
rip = 2 R<inpsin (плх/‘У’	(7-16)
n—1
R}-p = 2	cos (nnxII).
Следует подчеркнуть, что здесь RW и R<ff —ам-
плитуды гармоник грузовых реакций, но не обобщенные
реакции. Чтобы получить обобщенные реакции, надо вы-
числить работу реакций (7.16) на перемещениях (7.2)
и (7.3) при Z<") = 1 и Zp) = l. Подобно (7.14) и (7.15)
получим обобщенные грузовые реакции в виде
(7.18)
Суммарные обобщенные реакции во всех системах
связей конструкции от их смещений по гармоникам с
неизвестными амплитудами Z<n> и от внешней нагрузки
должны быть равны нулю. Это условие для каждой гар-
моники номера п приводит к следующей системе урав-
350
нений (т — общее число введенных систем связей)
+ R$Z^+ ... + R[% Z™ + R{™> =0;
Rip Z[n> + R$ + ... +R(2pZ^ +R<£n> =0; (7.19)
4? z(tn) + 4V zp’ + ... + 4£ 4” + 4p * = o-
Так как в этой системе уравнений все обобщенные
реакции на основании (7.14), (7.15) и (7.17), (7.18)
пропорциональны амплитудам реакций с одним и тем
же множителем Z/2, то, сокращая уравнения (7.19) на
этот множитель, можем систему (7.19) записать в сле-
дующем виде
r<"> Z<"> + r<")	4- ... + r<"> Z<?} +	- 0;
/#> Z™ 4- r$ Z™ 4- ... 4- Z™ 4- R(2$ = °: (7 -2°)
(n) 7(п) I An) y(n) 1	! (и) 7(n) I D(n)
rml 41	гт2 ^2	' гтт ~ 'тР и»
которая составляется и решается отдельно для каждой
гармоники номера п. Это и есть канонические уравне-
ния метода перемещений для расчета цилиндрических
складчатых оболочек. Как видим, система уравнений
(7.20) вполне аналогична таковой в расчете стержневых
систем методом перемещений. Вся особенность здесь со-
стоит лишь в том, что в уравнения (7.20) входят ампли-
туды реакций и неизвестных перемещений, в то время
как сами эти реакции и перемещения изменяются по
длине по закону синуса или косинуса рассматриваемой
гармоники номера п.
Поясним физическую сторону излагаемого метода
на примере. На рис. 7.7 показано разложение
равномерно распределенной нагрузки q в ряд синусов
по формуле
4<7 . лх 4q . Злх	VI 4q . плх
q= ----sin----И ——sin-----F ... — >.------sin"—. (7.21)
л l 3л I	лп I
n=i
Чем больше число гармоник п, тем ближе их сумма бу-
дет составлять q = const. Пусть теперь необходимо рас-
считать балочную конструкцию, показанную на рис. 7.8,
на действие нагрузки q=const. Вместо заданной нагруз-
ки <? = const будем загружать систему отдельными со-
351
Рис. 7.8
ставляющими ее гармониками, как показано на рис. 7.8.
От действия каждой гармоники балка длиной I разби-
вается на п участков, каждый длиной //п, которые де-
формируются подобно друг другу. При этом перемеще-
ния в балке будут изменяться вдоль оси х по закону
гой же гармоники, что и соответствующая составляющая
нагрузки с определенными амплитудами перемещений.
Именно эти амплитуды перемещений точек узловых ли-
ний определяются из уравнений (7.20), составляе-
мых для каждой гармоники п. При этом, естественно,
число гармоник, которое необходимо удержать в расче-
те, зависит от требуемой точности расчета.
Для того чтобы уметь составить выражения реакций
riki необходимо определить напряженно-деформирован-
ное состояние отдельной пластины, вызванное смеще-
ниями ее кромок (7.2), (7.3) при z/n) = l. Далее
эти вопросы рассмотрены отдельно вначале для дефор-
352
Рис. 7.9
маций изгиба пласти-
ны, а затем для дефор-
маций пластины в ее
срединной плоскости.
Рис. 7.10
§ 7.3. Определение реакций
на кромках прямоугольной пластины
при ее изгибе от смещения кромок.
Метод начальных параметров в изгибе пластин
Рассмотрим прямоугольную пластину постоянной
толщины б с размерами b и I (рис. 7.9). Пусть кромки
х=0 и х = / этой пластины будут шарнирно оперты, а
две другие кромки — произвольно закреплены. Диффе-
ренциальное уравнение изгиба пластины имеет вид
д* w	д* w	д* w а
-----и 2--------1 (7.22)
дх* дх2ду2 ду* D	У ’
Здесь w — прогибы пластины; q — интенсивность внешней распреде-
ленной нагрузки; £>=63/[12(1—и2) ] —Цилиндрическая жесткость
пластины; ц — коэффициент Пуассона.
Если внешним воздействием на пластину является
только смещение ее кромки, то # = 0 и дифференциаль-
ное уравнение (7.22) будет однородным
d*w
дх*
d*w , d*w
--------|-----= 0.
дх2 ду2 ду*
(7.23)
Для решения этого уравнения воспользуемся мето-
дом Мориса Леви, для чего представим прогибы пласти-
353
ны в форме одинарного тригонометрического ряда
w =	(/ллх/Z),	(7.24)
m=l
где Ут — неизвестные функции аргумента у.
Эта форма решения удовлетворяет граничным усло-
виям шарнирного опирания пластины на кромках х = 0
и х=1. Функции Ут должны удовлетворять граничным
условиям на двух кромках пластины, параллельных оси
х, а также дифференциальному уравнению (7.23). Под-
ставляя (7.24) в уравнение (7.23), получим
772- оо
У (у™ _ 2	у + у Vin = о.
т /2 т £ т) I
zn=l
Поскольку в правой части стоит О, левая часть дол-
жна быть тождественно равна нулю при любом значе-
нии х. Это возможно только при условии, когда выра-
жения, стоящие в каждой скобке, являющиеся множи-
телем при соответствующем синусе, равны нулю.
Отсюда получаем дифференциальное уравнение для оп-
ределения функции Ym для каждого т в виде
nV-2^y" + ^ym = 0.	(7.25)
Общий интеграл этого уравнения будет
,	_ . тлу тлу тлу ,	, тпу ,
Ym = С± ch + С2 sh 4- С3 sh +
тлу тлу
4“ С л	ch 
I I
(7.26)
Произвольные постоянные Сь С2, С3 и С4 должны
быть найдены из граничных условий на кромках пла-
стины, параллельных оси х. Для построения метода пе-
ремещений надо определить реакции на продольных
кромках пластины в случае, когда одной из этих кромок
дано принудительное перемещение в виде прогибов или
углов поворота кромки, изменяющихся по длине по за-
кону синуса:
ч	плх дш
W (х) = 1 - sin--;	= е (х) = 0;	(7.27)
Z ду
, х	dw	плх
w (х) — 0; 0 (х) =----= sin-----.	(7.28)
оу	I
354
Для примера на рис. 7.9,6 показана деформация пла-
стины для случая w(x) =1 • sin(3jtx/Z) ; 0(х)=О.
Указанные реакции надо получить при различных
граничных условиях на кромке пластины, противополож-
ной той, которая получила соответствующее смещение.
Рассмотрим случай, когда одна из продольных кромок испыты-
вает смещение (7.27), а другая жестко заделана (рис. 7.10).
Используем следующие граничные условия на продольных
кромках:
6	плх dw п
» = v: “'=l-sin——; — = 0;	(7.29)
i	Оу
Подставляя в (7.29) ряд (7.24), которым заданы прогибы
придем к выводу, что из этого ряда остается только один член,
у которого т=п (значок п при Yn в дальнейшем опускаем):
w = Y sin (ratx/Z),	(7.30)
где
r = CiCh22L+C22^sh^ + C3sh^ +
+ C4-y^-ch-^-	(7.31)
Все другие гармоники, у которых т=£п, тождественно равны
нулю. Таким образом, от смещения продольной кромки пластины,
изменяющегося вдоль оси х по закону синуса, прогибы пластины
по ее длине также меняются по синусоидальному закону. В по-
перечном направлении они определяются функцией У. Далее будет
показано, что реакции Му и Vy на кромках пластины, которые тре-
буется определить, также меняются по закону синуса той же гар-
моники номера п.
Разложим прогибы пластины w на симметричные и кососиммет-
ричные относительно оси х (см. рис. 7.10):
w = Wj + w2t	(7.32)
где Wi и w2— соответственно симметричные и кососимметричные
составляющие полных прогибов w.
На основании равенства (7.30) будем иметь
w1 = Y1sin(nnx/l)'	(7.33)
w2 = У2sin (плх/Г).	(7.34)
Функции и У2 должны быть найдены по выражению (7.31).
Учитывая, что функции У1 и У2 являются соответственно симметрич-
ной и кососимметричной относительной оси х, в выражении (7.31)
для функции У1 надо принять С3=С4=О, а для функции У2 Ci = C2 =
=0. Таким образом, имеем
„	„ , ппУ . ~ ггпУ ппУ
У1 = С1сЬ—^- + C2-y-sh-y^ ;	(7.35)
355
Уй = C3 sh----h C4---ch-----.
23 I	I I
Для определения постоянных Ci, C2 и Сз, Ct используем сле-
дующие четыре условия, вытекающие из условий (7.29), при (/=6/2:
1) Ух — 1/2; 2) dY1/dy = ^ 3)У2=1/2; 4)dF2/^ = 0.
Значения постоянных Ci, С2, С3 и Ct получим в виде
sh a -j- a ch a Л 1 sh a
sh a ch a -f- a
ch a + a sh a
sh a ch a — a ’
(7.36)
С2=-----------------;
2 sh ос ch ос Ц- a
1	ch a
. (7.37)
2 sh a ch a — a
C* = T
Сз = Т
где a= (плb) /21.
Таким образом, для схемы,
следующее решение для У1 и У2
1
изображенной на рис. 7.10, имеем
[(sha + acha)ch£a — gashashga], (7.38)
2 (sh a ch a + a)
1 ....
У2 = 777-----Г------ [(cha + asha)shga —gachachga], (7.39)
2 (sh a ch a — a)
где g= (2y)/b.
Найдем теперь реактивные усилия Му и поперечную обобщен-
ную силу Vy при у=±Ь/2 (последняя включает действие поперечных
сил и крутящих моментов, приложенных к продольным кромкам
пластины). Опустим далее индекс у Му, Уу и определим их по фор-
мулам
Му = М =
d Гд2 ш	d2 ш 1
Vy = V=-D — — + (2-^)-^- .
dy L ty*	dx2 J
Подставляя сюда вместо w его значение из формулы
найдем
(7.40)
(7.30),
М=-
— р,
nnr
sin------:
/
nnx
sin-----.
I
(7.41)
d3 Y	n2 л2 dY
dy3 v r I2 dy
Из этих выражений следует, что реакции М и V, возникающие от
заданного синусоидального смещения кромки пластины, изменяются
по длине также по закону синуса с тем же номером гармоники п.
Нас интересуют реакции на продольных кромках Мл, Va, Мв и Vb.
Для их определения надо подставить в выражения (7.41) для М и
V найденную выше функцию Y—Yi+Yz, приняв для левой кромки
g =—1 и для правой кромки g=l. Вычисления дают:
D „ ппх	D плх
=	; МВ	;	(7.42)
356
У=-
X
Рис. 7.11
,, D плх	D p nnx
VA = v"feSin ~F~' vB=~^^Sia~
Здесь fi — функции аргумента а, которые приводятся ниже.
Подобные вычисления могут быть проведены для раз-
личных граничных условий на кромках пластины, па-
раллельных оси х. Результаты этих вычислений пред-
ставлены на рис. 7.11, где указаны амплитудные значе-
ния реакций. По длине они изменяются по закону сину-
са аналогично (7.42). Значения функций, показанных на
рис. 7.11, следующие:
/ Л2 В2 \
/1-2“2(с-1 *£+1 )’
а*Сг
/3 = 8^T7j-4(|-H)a2;
(7.43)
357
а2 С	л / В2 А* \
f. = 8-----; /5 6 = 8а2 I--± ------];
/4 С2 —1 ’ /6'в \С — 1	с+1 )
F,	F,	F,
ft = —~; fe =---------3----; fe =---------•
flf2-f3	FlF2~Fl	FlF2—F3
где
Z = sha; B = cha; C — (sh a ch a)/a;
F1 =---------[--------*-------+________________];
2a2(l— p) [ (3 + p) C+(l — p) (3 + p) C-(1 - p)]’
Fi~ 8a4(l—p) [(3+p)C + (l-p) + (3 + p)C-(l-p)]:
f	1 Г (l+p)C+(l-p) (l+p)C-(l-pH
3	8a2(l—p) L (3 + p)C + (l—p) ~ (3 + p)C — (1 — p)j
a = (nnb)/2l.
Функции fi, f2, ft, f$ и f6 не зависят от коэффициента
Пуассона ц, в то время как остальные 4 функции от него
зависят. В прил. 5 приведены таблицы числовых значе-
ний указанных функций. При этом функции, зависящие
от коэффициента Пуассона, вычислены (применительно
к железобетону) для р,=0,15. При пользовании табли-
цами функций fi полезно иметь в виду значения пределов
для этих функций при аргументе а, стремящемся к 0 и
со. В табл. 7.1 приведены эти пределы.
Таблица 7.1
Игл	h	h	/з	А	h			fs	A
a->0	4	2	6	6	12	12	0	0	0
limfz a->oo	4а	0	4(l+p)a2	0	16a3	0	4a	4(l+p)a2	16a?
При малых значениях аргумента a(a<0,l) для функ-
ций f7, f8 и fg справедливы прибиженные формулы:
/,&8(1-р)а2; /в«у/9«8(1-р2)а‘.	(7.44)
358
Рассмотрим случай изгиба пластины, когда нагрузка д=/=0. Ре-
шение для данного случая представим в форме метода начальных
параметров.
Пусть пластина, имеющая на кромках х=0 и х=1 шарнирное
опирание, а на кромках, параллельных оси х,— произвольное за-
крепление, загружена некоторой нагрузкой, показанной на рис. 7,12, а.
Рис.7.12
Рис. 7.13
На рис. 7.12,6 показано изменение нагрузки в направлении оси Оу.
В направлении оси Ох нагрузка может изменяться по произвольно-
му закону. Под величинами Р и М понимаются внешние нагрузки,
распределенные вдоль линий, параллельных оси Ох, по любому за-
кону. В частности, они могут быть сосредоточенными в точке.
Для определения прогибов пластины в этом случае удобно в от-
личие от предыдущего решения расположить оси координат так, как
показано на рис. 7.12.
Разложим все нагрузки в ряд синусов вдоль оси Ох:
И—оо	п—оо
Qi (*) = S sin (плх/Z); Pt (х) = У Pin sin (Плх/Z);
гс=1	n=l
Л=оо
A4f (x) = 2 Min Sin (nnx//).
л=1
(7.45)
На рис. 7.12,6 указаны амплитудные значения нагрузки qin,
Pin, Min, являющиеся в формулах (7.45) коэффициентами при со-
ответствующих гармониках синусов. Уравнение упругой поверхно-
сти прогибов пластины, как и ранее, будем искать в виде
П=оо
ю(х,у)= 2 ynsin (плх//).
П=1
(7.46)
Если считать, что на левой кромке пластины известны амплиту-
ды Уо„, Удп, Mon, Qon, а также qOn и q'Qn для каждой n-й гармони-
ки, то, применяя ход решения, аналогичный описанному выше, мо-
жно прийти к формуле, определяющей Уп на каждом £-м участке
пластины вдоль оси Оу в форме метода начальных параметров:
359
у	лл
Укп = Уоп Fi (ay) + —— F2 (ay) +	F3 (ay) +
a	a2 и
r a3-D ^4 (ay) + (аУ) +"^o f* +
t=fe—1
+ S -^-^(^-oVi)- -^F1(ay-ayi) +
*=T	г—i
»=*—1	t=fe-l	>
+ 2 ^WP^~ay^ S	(7-47)
i=l	i=l
где
Fi (ay) = ch ay — -*	ay sh ay; F2 (ay) = — [(1 + p.) she*/ +
1
+ (1 — p) ay ch ay}; F3 (ay) =—— ay sh ay;
1	, ay ,
F4 (ay) = — (sh ay — ay ch ay)\ F5 (ay) = 1 + —r- sh ay — ch ay;
2	~
F6 (ay) — (-ay + — ay ch ay — — sh ay
a — (nrt)ll.
В формуле (7.47) под записью F(ay—ayi) понимается значение
соответствующей функции от аргумента, равного ау—ayi.
Имея выражение для прогибов пластинки w, можно по фор-
мулам
М:
д2 w Y
^7)’
д3 w д3 w
дх^ дх ду2

д3 w
ду дх2
; (7.48)
д2 w
Мзд=-Л^х==О(1-Н) —
получить и внутренние усилия, действующие в любых сечениях пла-
стины (рис. 7.13).
§ 7.4. Определение реакций
на кромках прямоугольной пластины
от смещения кромок в ее плоскости
Рассмотрим прямоугольную пластину постоянной
толщины 6 с размерами Ьи I (рис. 7.14). Пусть попереч-
ные кромки этой пластины (х = 0 и х = 1) будут закрепле-
ны так, что на них могут возникать лишь касательные
360
напряжения, а нормальные напряжения равны нулю.
Такое закрепление на рис. 7.14 аналогично рис. 7.3 схе-
матически представлено в виде опирания пластины на
плоские шарнирные фермочки, имеющие бесконечно
большое число узлов, скрепленных с кромками пласти-
ны. Обозначим перемеще-	.щх
ния точек пластины в ее
плоскости в направлении
оси х через нив направ-
лении оси у через v. При-
нудительные перемеще-
ния и и v точек продоль-
ных кромок пластины
вызывают деформацию в
ее плоскости и сопровож-
даются появлением на	Рис- 7.14
кромках напржений оу и
%ху. На единице длины кромки возникают нормальные
и касательные усилия, которые определяются через на-
пряжения по формулам
Ny—Vyfc ^xy — ^xyS-	(7.49)
Если продольным кромкам пластины даются какие-
то принудительные перемещения и = и(х) и u = w(x), то
возникающие при этом усилия Ny и Sxy на кромках бу-
дем рассматривать как соответствующие реакции.
Рассмотрим определение указанных реакций от сме-
щений продольных кромок пластины, изменяющихся по
длине по законам
у = 1 -sin (плх/l); и = 0,	(7.50)
а также
v ~ 0; и = 1 -cos (плх/Г).	(7.51)
На рис. 7.15 для примера показаны деформации плас-
тины от смещений правой кромки следующих видов:
V— 1 -sin(3nx//); и=0 (рис. 7.15, а) и и = 0; и=1Х
Xcos(3jix//) (рис. 7.15, б), в то время как левая кромка
пластины остается жестко защемленной.
Для определения реакций можно было бы применить
уравнения равновесия для плоского напряженного сос-
тояния пластины, выраженные через перемещения и и v:
Е / д2 и 1 — р д2 и \__________£______д2 у
1 — р2Д дх2 2	~д^) + 2 (1 — р) дхду
Е /1 — р д2 у д2 и \
1 —р2	дх2 + "ду2 ) +
Е д2и _
2(1—р) дхду О’
(7.52)
361
Рис. 7.15
где рх, ру — компоненты объемных нагрузок, в данном
случае равные нулю. Однако, в целях большей аналогии
с рассмотренной выше задачей об изгибе пластины, вос-
пользуемся условием совместности деформаций, выра*
женным в виде бигармонического уравнения, известного
из курса теории упругости
д4д	, д*(р
дх* дх2ду2 ду*
(7.53)
Функция <р=ф (х,у) называется функцией напряже-
ний. Через нее искомые напряжения выражаются следу-
ющим образом:
<ух = д2ф/д#2;	= д2 q/дх2; хху =— d2q/dxdy. (7.54)
Для рассматриваемых условий закрепления попереч-
ных кромок прямоугольной пластины в теории упругости
используется метод Файлона. Согласно этому методу
функцию напряжений задают в виде следующего ряда:
ф= 2 ymSin (тллх//),	(7.55)
т~ 1
где Ут —Функция одного только у, представляющая ам-
плитудное значение m-й гармоники этого ряда. Подстав-
ляя выражение (7.55) в уравнение (7.53), получим для
определения неизвестных функций У^, как и в задаче об
изгибе пластины, уравнение (7.25). Решение этого урав-
нения можно представить в виде
~ тпУ . тшУ . ~ . тяу .
Ут — Cl ch j И С2 j sh - 4- С3 sh —--Ь
may , тпу
+ с*~ГсЬ~
(7.56)
362
Произвольные постоянные СЬ...,С4 должны быть най-
дены из граничных условий на продольных кромках
пластины. Так же, как и для изгиба пластины, здесь
можно показать, что для смещения кромок (7.50) или
(7.51) в виде гармоники синуса или косинуса номера п
в ряде (7.55) остается только одно слагаемое
<р = У sin (лпх/Z)	(7.57)
и одна ему соответствующая функция
y = C1ch^ + C2-^sh^ + C3sh^ +
пну пну
+ с4 —ch —
(5.58)
При этом напряжения стх, оу и тху вдоль пластины будут
меняться по закону той же гармоники синуса или коси-
нуса, которая соответствует заданному смещению
кромки
ах (х) = sin (/глх/Z);
W= °yl} s'n (ллх/0;
W = cos (лих/0,
(7.59)
где	—амплитудные значения напряжений вдоль ли-
ний у=const.
Напряжения на продольных кромках и реактивные
усилия Ny и Sxy, определяемые по (7.49), будут менять-
ся по закону той же гармоники номера и, которая соот-
ветствует смещению кромки (см. рис. 7.15).
Используя выражения (7.54), определяющие напря-
жения через функцию ф, можно получить формулы для
амплитудных значений напряжений, выраженные через
функцию У:
а(п)	.
х dy2
<у(«)
У	р
ху I dy
(7.60)
Зная напряжения (7.60), найдем соответствующие им
амплитуды перемещений и v(n). Для этого восполь-
363
зуемся формулами закона Гука и уравнениями Коши:
1	ди
8Х = —(ах-Иа,) = —;
1 ,	dv
^=-7^-^) =-у-;
2(1+м)тж!/ ди до
= Е =^Г + "&
(7-61)
Если в первое и третье из этих равенств подставить зна-
чения ох, Оу и тХу (7.59) с учетом (7.60), а также выра-
жения для искомых перемещений
и = i№ cos (плх/1);	(7.62)
v = с/л) sin (плх//),
то после сокращения первой строки (7.61) на sin(nnx//)
и третьей на cos (ппх/1) найдем
1 / d2Y
Е \ dy2
, и2 л2
+ н —У
I
2 (1 ч- р)	пл	dY	di№	пл
Е	I	dy	dy	I	V
Отсюда получим искомые амплитуды перемещений
=-
. пп VY
Е \ пл dy2 I Г
tf(n) = _L
I2 d3Y
n2 л2 dy3
dY 1
-(2 + p)— .
dy j
(7.63)
Е
Значения амплитудных напряжений определятся после того как
будет найдена функция У, т. е. найдены произвольные постоянные
Сь С2, Сз и С4, входящие в формулу (7.58). Рассмотрим их опре-
деление на примере смещения правой кромки по закону u=0; v~
= l*sin(rwix//) при жестко закрепленной левой кромке (см.
рис. 7.15, а).
Разложим функцию У на симметричную и кососимметрич-
ную У2 относительно оси х
У=У1 + У2.	(7.64)
Учитывая прямую и обратную симметрию функций У1 и У2,
для них будем иметь в выражении (7.58) соответственно С3 = С4=0
и Ci —С2—0, следовательно:
V _ г .	, г, ппУ . ппУ .
— Сг ch	+ С2 sh ,
V Г еЬ ППУ _L г ППУ ППУ
У2 — Сз sh-г Сл-ch--.
23	1'1 I
(7.65)
364
Для определения Ci, С2 и Сз, Ci имеем граничные условия при
У-Ь/2
ц(л) = 0; у(п) = 1/2.	(7.66)
Подставляя Ki по (7.65) в формулы (7.63) для и v{n^ и
приравнивая по (7.66) первую формулу нулю и вторую 0,5, получим
два уравнения для определения Ci и С2. Поступая точно так же с
функцией У2, получим значения С3 и Ci. Указанные вычисления
дают:
_ ЬЕ___________2ch а +(1 + р) ash а
1	(1р.) 4а (3 — p)shacha— (1 + р) а
с _	ЬЕ _________(1 + p)cha______
2	(1 -}-р)4а (3 — p)shacha — (1 + р) а
_	ЬЕ______2sha + (l 4-p)acha	(7'67)
3	(1 + р) 4а (3 — р) sh a ch a -f- (1 + р) а
__ ЬЕ____________(1 + р) sh а___
4 (1+р)4а(3— р) sh ach а + (1 + Н) а
Подставляя найденные значения У1 и У2 в формулы (7.60), по-
лучим формулы для амплитудных значений напряжений в пласти-
не. Полагая в этих формулах у=±Ы2 и складывая напряжения от
симметричной и кососимметричной деформаций, найдем амплитуд-
ные напряжения на кромках пластины, параллельных оси Ох:
Е	Е
на смещаемой кромке ау —	; тху = ф3 — ;
Ь	Ь
Е	Е
на неподвижной кромке ау = ф2 ~ ; ^ху — Ф4 •
Подобные вычисления проделаны для смещений од-
ной кромки вида (7.50) и (7.51) в двух основных случа-
ях закрепления другой кромки: жестко защемленной и
свободной. Результаты этих вычислений приведены на
рис. 7.16. Указанные на рисунке функции имеют следу-
ющие значения в обозначениях, принятых ранее для
функций fi(a):
=	2 Г В*____________Д2 1 в
[(3-ц)С-(1 +ц)±(3-|х)С + (1+м)|:
= a Г(1-^)С + (»+и) (1-ц)С-(1+>01
%’4 1+fi [(3 — р)С + (1 + ц) (3-|Л)С-(I +ц)]’
2	1В* 1 2 3 4	Л2 1
Ча’6 1+р [(3 —р)С4-(1+р)	(3 — р)С — (1 + p)J '
4т Ф1 ~ hi Ф4 ~ Ч2 'Рг; Фе = Фз — П1 Фе + Пз
Фэ = Ф5 — Пз Фб + П4 Ф4»
365
Рис. 7.1b
где
„	4141+4г4з .
’ll —	,	>
4i 45 — 4з
„	414« — 4’з 41 .
41% — 4з
„ 4г 4з + 4з 41 .
Лг —	о »
”Фз 4'в — 44 4б
m =------------г" *
4145 — 4з
А — sh а; В = ch а;
С = (sh acha)/a;
а = (ппЪ}/21.
В табл. 2 пр ил. 5 при-
ведены значения функций
фг для коэффициента Пу-
ассона ц=0,15 примени-
тельно к железобетонным
конструкциям. В табл. 7.2
приведены пределы, к ко-
торым стремятся функции
ф/(а) при а->0 и а->оо. При а^З погрешность значений,
определяемых по формулам этой таблицы, не превышает
0,1 %.
По таблице функций фг- легко определяются напря-
жения огу и тХу на продольных кромках пластины, а, сле-
Таблица 7.2
4«	lim ф.	
	при а->0	при а-*оо
41	1/(1—Ц2)	4а/(1+р) (3—р.)
4а	1/(1 —pt2)	0
4.3	а[0,5-(и/1—Н)]/(1+и)	2а(1-м)/(1+|1) (3-р)
41	<х[0,5Н-(и/1— Ю1/(1+н)	0
4&>в	(6/Е)-1/2(1+И)	Нтфиз
4?.э	0	Ктяр!
4s	0	Птфз
366
довательно, по выражению (7.49) определяются и реак-
ции N? и SXy от смещений кромок в плоскости пластины,
изменяющихся по длине по закону синуса или косинуса
n-й гармоники.
§ 7.5. Техника определения коэффициентов
системы уравнений метода перемещений
В уравнениях (7.20) каждый коэффициент пред-
ставляет амплитудное значение реакций в i-й системе
связей от смещения k-й системы связей по л-й гармонике
с амплитудой Z(fen)=l. Каждую реакцию можно пред-
ставить как сумму, одно из слагаемых которой будет
соответствовать брусу, находящемуся в рассматривае-
мом узле, а другое — пластине, примыкающей к этому
узлу. Ниже даются некоторые формулы и разъясняется
техника определения указанных реакций.
Рассмотрим шарнирно опертый брус с жесткостью на
изгиб EJ, линия прогибов которого w(x) при Z(zn) = l
есть синусоида
w ~ 1 • sin (ппх/1).
В этом случае, используя зависимость qz=EJw1N, най-
дем амплитуду распределенных реакций в связях, удер-
живающих брус в изогнутом состоянии, в виде
г™ = (№е1)!?.	(7.69)
Если же перемещениями Zi являются углы поворота
узлов ф(х) вокруг узловой линии, представляющие углы
закручивания бруса, то амплитуда реакции бруса будет
(7.70)
где GJd — жесткость бруса при кручении.
Для случая, когда Zj представляет продольные пере-
мещения и(х) точек узловой линии, возникшие в резуль-
тате центрального растяжения — сжатия бруса, находя-
щегося в этом узле, амплитуда реакции бруса будет
r^ = (n2n2EF)/l2.	(7.71)
В двух последних случаях для получения г$ и гц
используются зависимости т==—GJaq" и qx=—EFu"
при
Ф = 1-sin {nnxtl) и и = 1 -cos (ппх/1).
367
Если узловая линия не совпадет с центром тяжести
бруса (рис. 7.17), то системы поперечных связей i и про-
дольных связей / будут взаимодействовать между собой.
Главные коэффициенты rW и rVp, соответствующие из-
гибной деформации и деформации растяжения — сжатия
бруса, определяются по формулам (7.69) и (7.71), при
этом в формуле (7.69) под / следует понимать момент
инерции сечения относительно оси уь пересекающей уз-
ловую линию (см. рис. 7.17). Взаимодействие между си-
стемами связей i и / состоит в том, что смещение одних
Рис. 7.17
вызывает появление реакций в других связях и наобо-
рот. При этом коэффициент rf/l)==r^) определяется фор-
мулой
= г(«) =_ (п3 л3 eEF)/ /3.	(7.72)
Здесь знак минус поставлен применительно к направ-
лениям Zi и Zj, показанным на рис. 7.17 и принятым за
положительные направления.
Формулу (7.72) легко получить, если учесть, что при
изгибе бруса по кривой
w= 1 «sin {ппхЦ)
и наличии внецентренно расположенных продольных
связей Zj поворот сечений происходит вокруг осей Это
вызывает продольные перемещения центров тяжести и—
=—ew' и, как следствие, появление продольных сил и
соответствующих распределенных реакций
qx —-— EFu" = eEFw"' =— (п3 л3 eEF113) cos (ллх//),
амплитуда которых и дается формулой (7.72). По теоре-
ме о взаимности реакций (см. § 7.6) от смещения про-
дольных связей Zj будем иметь реакции в поперечных
связях i с амплитудой
Аналогично рассуждая, придем к следующей форму-
ле для реакции, связывающей прогибы zh внецентренной
368
узловой линии и углы закручивания бруса Zh+i (см. рис.
7.17)
rk,k+i ” rk+i,k—~~ (еп*	(7.73)
Если брус представляет собой тонкостенный стер-
жень, то используя соответствующие дифференциальные
уравнения для изгиба, кручения и растяжения таких
стержней, по аналогичной методике легко можно полу-
чить формулы для соответствующих амплитуд распре-
деленных реакций, отнесенных к данной узловой линий.
При определении реакций пластин следует различать
изгибно-крутильную деформацию и деформацию в их
плоскости (плоское напряженное состояние). Для опре-
деления реакций пластины от изгиба, вызванного попе-
речными смещениями и поворотом ее кромок, следует
пользоваться рис. 7.11 и таблицами соответствующих
функций /Да) прил. 5. Реакции, вызванные деформаци-
ями пластины в ее плоскости, определяются по рис. 7.16,
а также по таблицам значений функций фДа) прил. 5.
Для рассматриваемой гармоники номера п аргумент дан-
ной пластины а подсчитывается по формуле
а — (плЬ)/21,
где b и I — ширина и длина пластины. Естественно, что
при выполнении расчетов на ЭВМ должны быть состав-
лены программы для вычисления /Да) и фДа), к кото-
рым надо обращаться при формировании матрицы ре-
акций.
Выбор положительных направлений для тех или иных
известных перемещений произволен. Знак реакции
определяется при этом по общему правилу: если ее на-
правление совпадает с принятым положительным на-
правлением ZJ.n), то реакция положительна, и наоборот.
При этом направления Zj.n) и оцениваются по одной
и той же полуволне синуса или косинуса; обычно это
первая полуволна от начала координат х=0. Подчерк-
нем, что форма представления реакций от изгиба плас-
тин, показанных на рис. 7.11, такова, что в «балочном»
значении реакций, т. е. реакций, возникающих в балке
пролетом b и жесткости Dy роль числового множителя
играет та или иная функция /Да). Это позволяет опре-
делять реакции от изгиба пластин как в обычных урав-
нениях метода перемещений, записанных для некоторой
рамы, схема которой совпадает со схемой поперечного
369
Рис. 7.18
Рис. 7.19
а)
Рис. 7.20
сечения складчатой обо-
лочки, а жесткости со-
ставляющих ее стерж-
ней зависят от аргу-
мента а, т. е. от номе-
ра члена синусоидаль-
ного ряда п. Поэтому
направление и знак ре-
акций от изгиба пла-
стин устанавливаются
весьма легко. Несколь-
ко менее привычным
может оказаться уста-
новление направления
реакций, вызванных де-
формацией пластины в
ее плоскости. Здесь сле-
дует пользоваться рис.
7.16 и иметь в виду, что
напряжения <зу и хху на
кромках пластины со-
ответствуют по своему
направлению изобра-
женной на этом рисун-
ке деформации пласти-
ны и положительному
значению соответству-
ющей функции ф^а).
Если для некоторых
значений а направле-
ние напряжений не сов-
падает с изображенным
на рис. 7.16, то это бу-
дет учтено автоматиче-
ски тем, что значение
соответствующей функ-
ции фх(а) будет отри-
цательным.
Если пластины в местах
соединения имеют вуты или
примыкают к брусу, имею-
щему значительные разме-
ры поперечного сечения, то
расчетные кромки пластин
не будут совпадать с цент-
370
рами узла. В этом случае поворот узла вызывает не только пово-
рот, но и смещение сечения пластины у ее кромок. При этом реак-
ция в связи, введенной в центре узла, является суммой реакций как
от поворота, так и от смещения кромки пластины. На рис. 7.18 пред-
ставлен такой случай, где участки длиной а и с поперечного сечения
пластины считаются бесконечно жесткими. На основании рис. 7.11
легко можно получить следующие формулы для подсчета амплитуд
реакций, отнесенных к центрам узлов:
а)	для поворота узла
б)	для смещения узла
D / а \
(7.75)
Для деформации пластины в ее плоскости в случае, когда ее
продольная кромка не совпадает с узловой линией, как это показано
на рис. 7.19, а,' следует также учитывать характерные особенности
подсчета реакций, отнесенных к центру узла.
На рис. 7.20 брус В (см. рис. 7.19, а) показан в плане. Из
рис. 7.20, а видим, что смещение связей 5 по синусоиде с амплиту-
дой Z^ =1 вызывает продольные перемещения кромки пластины,
которые по длине будут изменяться по закону косинусоиды с амп-
литудой	Таким образом, реакции на кромке пластины, ко-
торой она примыкает к брусу, надо определять в этом случае как
от поперечных смещений кромки (в направлении Z5), так и от ука-
занных продольных перемещений.
На рис. 7.20, б показано, что касательные усилия, действующие
вдоль бруса в месте примыкания к нему кромки пластины, вызыва-
ют реакцию в связях 5 с амплитудой
где тб — амплитуда касательного усилия.
371
С учетом указанных особенностей приведем значения коэффи-
циентов матрицы реакций для элемента ДВ, показанного на
рис. 7.19, б в локальной системе координат x'y'z't связанной с этим
элементом,
ГН..................г18
Г81.....................г88
^нн  ^нк
^кн: *кк
(7.76)
где характерные элементы матрицы R' будут иметь следующие вы-
ражения:
<11 —
п4 л4 EJ уА
, £6 Г , 2пла , 7 пла \2 ]
4- — [Ф1 + ——ф3 4-—) Фе]; •
£6 Г , пла ]
Г12	I Фз 4---— ФбJ;
<13 — <14 — 0;
£6
пл (а 4" с) п2 л2 ас ]
ф2——:----Ф4 — —-—Фе ;
Г	4 J
£6 Г пла ]
<16— IФ14“ Фе ’> <i? —<ie— 0;
п2 л2 EFa , £6
Г22 =	I Фб! <23 = <24 — 0;
(7.77)
£6 Г плс ]	£6
<25“у IФ4 4—— Фе I; <26 =—ф6;
D /	а	а2	\	D / £	а	\
<зз	+ 2 —^4--—f5l; <з4=—— ('з 4“ ~ f& );
о \	о	Ьг	)	Ь2 \	о	]
D / а 4_ с с2 \
<35=::<36=^i <37 = . I /2 4	7	/14"	/б)»
Ъ \ b	о2 )
D I а \	D
<38 “ £2 U4 4* b fej’ <44— £3 f&f <45 — <46 —0;
_ D 7 с \	D
Гц— ф 1/14- ь <48	£3 fe*
Приведенные формулы соответствуют блокам /?нн и /?кН (7.76).
Для блока /?кк .формулы составляются аналогично элементам
(с заменой в соответствующих элементах /?нн а на с, а также за-
меной знаков в элементах r$G и г7« на обратные по сравнению с ri2
и г34).
По формулам (7.76) может быть построена матрица жесткости
элемента на рис. 7.19,6 в локальной системе координат y'z'. При
R’ =
372
переходе к глобальной системе координат yz используется обычное
матричное равенство
где в данном случае (рис. 7.21)
[Ст R'C [C'R'C
It *1	1	tin.
CT RKn C
(7.78)
cos а	0	0	sin а
О	10	0
0	0	10
— sin а	0	0	cos а
(7.79)
Определим теперь грузовые члены системы, показан-
ной на рис. 7.22, от внешней нагрузки, приложенной в уз-
лах конструкции. В основ-
ной системе, т. е. в систе-
ме с закрепленными уз-
лами, вся внешняя узло-
вая нагрузка будет вос-
приниматься введенными
связями, закрепляющими
узловые линии. На рис.
Рис. 7.22
7.22 показаны возможные узловые распределенные и со-
средоточенные нагрузки. Грузовыми коэффициентами
являются амплитуды гармоник, по которым разлагаем
реакции в связях от внешней нагрузки. Разлагая на-
грузки, показанные на рис. 7.22, а, в ряд по синусам
373
(а для продольных сил по косинусам), получим
/	
2 С	плх	
= ~ J q (*) sin ~~j~ dx> 0 I	
^\tp=~ ( m (x) sin	dx\ Id	I 0 i	(7.80)
2 f*	плх ~ ~ 1 (*) cos — dx- 0	
В частности, при m=const и ^=const будем иметь
= 4?/(ил);	— 4т/(пл).
(7-81)
Сосредоточенные силы и моменты, показанные на
рис. 7.22, б, дают следующие амплитуды реакций в со-
ответствующих связях:
m=k
m=l
tn—: k
m—l
rn-=k
R<»)=2^sin^.
777=1
/ > 2ПЛ	плх,
m cos—г
771=1
(7.82)
Здесь k — число сосредоточенных сил или моментов, приложенных к
точкам данной узловой линии.
Заметим, что последняя формула (7.82) дает реакцию
от внешнего изгибающего момента в связях, устраняю-
щих поперечные перемещения узловой линии в плоскос-
ти действия этого момента.
Для случая, когда распределенная нагрузка qm> скру-
чивающий момент Шт или продольная касательная на-
374
грузка tm являются равномерно распределенными на
участках ст, центры которых имеют абсциссы ат (рис.
7.22, в), соответствующие реакции будут
m=k
4	плст . ллд,
R{p =---- 7 . Ят Sin —— sin-----~
пл	I	I
т=1
m—k
4	плст . ПТШт
2j тт sin ~Гsin ~Г
tn-1
(7.83)
m=k
tmsin
плс-т	плйщ
-------COS--------
I	I
При этом вдоль каждой узловой линии внешняя ка-
сательная нагрузка t должна быть уравновешенной, по-
скольку косинусоидальный ряд (7.16), в который разла-
гается продольная реакция Rjp(x), состоит из самоурав-
новешенных гармоник косинуса. Рассмотрим расчетный
прием, который можно применить в случае, если внеш-
няя продольная нагрузка, будучи в целом на сооружении
уравновешенной, дает вдоль отдельных узловых линий
неуравновешенные реакции R}P.
К узловым линиям, вдоль которых действуют неурав-
новешенные реакции RjPt приложим уравновешивающие
их распределенные нагрузки tj — Rjp/l. Таким образом,
получим нагружение, удовлетворяющее указанному
выше условию, и решение с помощью излагаемого мето-
да станет возможным. Однако, чтобы компенсировать
добавочные нагрузки необходимо к полученному ре-
шению добавить решение от противоположно направлен-
ных нагрузок (—tj). Это добавочное решение нетрудно
получить, так как нагрузки // создают лишь чистый
сдвиг пластин рассматриваемой складчатой системы.
При этом для определения внутренних сдвигающих сил,
действующих в каждой пластине в случае, если оболоч-
ка имеет сложный замкнутый контур поперечного сече-
ния, целесообразно воспользоваться методом перемеще-
ний, составив уравнения, выражающие условия равно-
весия вдоль каждой узловой линии.
375
§ 7.6. Теоремы
о взаимности перемещений и реакций
к их применение для определения реакций
от внеузловой нагрузки
Выше отмечалось, что система уравнений (7.20).—•
обычная каноническая система уравнений метода пере-
мещений, с той лишь особенностью, что перемещения
Zi и реакции являются обобщенными перемеще-
ниями и реакциями. К ним без каких-либо особенностей
применимы все теоремы строительной механики, извест-
ные из теории стержневых систем. Так, реакции обла-
дают свойством взаимности
=	(7.84)
Следовательно, матрицы систем уравнений (7.19) и
(7.20) будут всегда симметричны относительно главной
Рис. 7.23
Рис. 7.24
диагонали. Матрица, обратная матрице реакций, будет
также симметричной; элементами ее будут амплитуды
перемещений от нагрузок, распределенных по длине по
закону синуса и косинуса. Эти перемещения также обла-
дают свойством взаимности
=	(7.85)
На рис. 7.23 показан пример взаимности перемеще-
ний для первой гармоники. Справедлива также теоре-
376
ма А. А. Гвоздева о взаимности реакций и перемещений
(7.86)
Ввиду важности этой теоремы для дальнейшего, оста-
новимся на ней подробнее. Пусть на пластину, шарнир-
но опертую на гранях х=0 и х=/, действует некоторая
сосредоточенная сила Pk (рис. 7.24). В некоторой сис-
теме связей i от силы Pk возникают реакции rik{x), рас-
пределенные по длине по некоторому закону. Функцию
rik(x) разложим в ряд, в данном случае по синусам:
rzfe(*) = У r^sinfnnx//).	(7.87)
П=1
Под в равенстве (7.86) понимается обобщен-
ная реакция, соответствующая /2-й гармонике ряда
(7.87). В § 7.2 указывалось, что обобщенная реакция
от амплитуды реакций rty отличается множителем
//2 и представляет собой работу распределенных реак-
ций, имеющих амплитуду на перемещениях n-й гар-
моники при Zin) =1. Дадим перемещение связям i Zt =
1 • sin (mjtx/Z) (рис. 7.24,6) и применим теорему о равен-
стве возможных работ (теорему Бетти) к состояниям,
показанным на рис. 7.24, а и б,
i
J rik{x} sin dx 4- Pk =0.	(7.88)
о
Подставляя под интеграл выражение реакции в ви-
де ряда (7.87), убедимся в том, что из всех гармоник
этого ряда совершает работу на n-й гармонике переме-
щение только n-я гармоника реакций в силу ортогональ-
ности гармоник синуса различных номеров. Учитывая
это, а также (7.12), из (7.88) получим равенство X
X -у- = —Ph , в левой части которого стоит обоб-
щенная реакция Рль^. Положив Р/?=1 и заменив, как
это принято для единичных сил, на 6£4, получим
равенство (7.86). В большинстве случаев нас будет ин-
тересовать не обобщенная реакция а амплитуда
Ап)
rik
9
№=- — №•	(7.89)
377
Равенство (7.89) устанавливает весьма важную за-
висимость. Из него вытекает простое правило для опре-
деления любой амплитудной реакции а именно: для
определения следует системе связей i дать по на-
правлению этих связей смещение в виде гармоники, со-
ответствующей искомой реакции. Образовавшаяся при
этом упругая поверхность перемещений точек конструк-
ции является с точностью до множителя 2// поверхностью
влияния искомой амплитуды
Если прогибы пластины (см. рис. 7.24, б) обоз-
начим через то от произвольной нагрузки q (х, у)
грузовая реакция на основании сказанного будет
=— -у-J wk? (х> у) (х. У) dF> (7-90)
F '
где F— площадь загружения нагрузкой q (х'у).
От системы сосредоточенных сил будем иметь сумму
k—ni
=—T^iw^ р“-	(7,91)
Удобство формул (7.90) и (7.91) заключается в том,
что используя значения реакций пластин по рис. 7.11 и
таблицы значений функций ft (а), легко можно соста-
вить выражение для прогибов пластины от произ-
вольного смещения ее кромок. В § 7.3 было записано
уравнение упругой поверхности пластины в форме ме-
тода начальных параметров
= Yn (у) sin (плх/1),	(7.92)
где для случая отсутствия внешней нагрузки на плас-
тине
Г 1	1 y'
Уп (у) = У on ^ch ay —	ay sh	[(1 + p) sh ay +
+ (1 — p) ay ch ay\ — ay sh ay +	(sh ay — ay ch ay), (7.93)
УОп> Von’ ^on, Qon—амплитуды соответствующих факторов на кром-
ке пластины г/=0; а—(пл)/1.
Указанные начальные параметры для любого смеще-
ния кромок находятся с помощью рис. 7.11 и прил. 5.
378
Так, для разобранного выше случая (см. рис. 7.24, б)
будем иметь
,	D	D
Уоп=-1'> Y0n = ^	=
§ 7.7. Примеры
В данном параграфе кроме двух простейших иллюст-
ративных примеров применения изложенного метода
расчета, рассмотрена более
сложная задача, решение ко-
торой потребовало примене-
ния ЭВМ.
Пример 1. Пусть требует-
ся определить изгибающие
моменты, действующие в
стеновых плитных панелях и
в плитах перекрытия в кон-
струкции, показанной на рис.
7.25, а, от действия симмет-
рично приложенных сосредо-
точенных сил (ось Ох в каж-
дой плите параллельна про-
дольной оси здания). Толщи-
ны всех плит примем оди-
наковыми. Поперечное сечение конструкции показано
на рис. 7.25, б. На этом же рисунке показано единствен-
ное неизвестное Z\ — углы поворота узла пересечения
плит. Неизвестное Z\ в поперечном сечении рассматри-
вается как групповое вследствие симметрии конструк-
ции относительно вертикальной продольной плоскости.
Вдоль линии А — В соединения стены с конструкцией
крыши предполагаем шарнирное опирание продольной
кромки стеновой плиты. Считаем также, что на торцах
здания все плиты имеют шарнирное опирание. Имеем
одно каноническое уравнение для определения ампли-
туд Z(">
=0.	(7.94)
На рис. 7.26 показана эпюра амплитуд изгибающих
моментов Му от z}n) = l, которая строится на основании
табл. 7.1. Отметим, что узловой момент для средней го-
379
Рис. 7.26
ризонтальной плиты найден как алгебраическая сумма
моментов от поворотов правого и левого узлов. На ос-
новании рис. 7.26 имеем суммарный реактивный момент
отнесенный к одному узлу системы
D	D
гпп = “Г Vi <a)J +	Т“ +
о	bf
+ [/1(2<х)+/а(2а)]^-.	(7.95)
Здесь
a — (ппЬ)!21\ ax — (nn&r)/2/.
Так как bi=2b, то ai=2a и
. х D
Г = — [/1 (a) + ft (2а) + f, (а)].	(7.96)
и
Для определения грузовой реакции вызванной
действием внеузловой нагрузки Р, воспользуемся фор-
мулами (7.91) — (7.93). В нашем случае
Я}?* =- -у-	~у- Уп (b) sin -у-,
где WfrP—прогиб пластины под силой Pk=P от смещения Z=
= 1 -sin(raix//), показанного на рис. 7.26,6; Yn(b)—амплитудное
значение этого прогиба при у=Ь.
380
Принимая в качестве начальных параметров вели-
чины
^Ол"Ма)“! Qon = — /в (а)
указанные на рис. 7.26, б, и подставляя их в формулу
(7.93) для Ул при у — Ь, получим
(fo (a) \	1 пл
l-(i + -^^l-2ach2alsin—.	(7.97)
При / = 5,24b и п= 1 имеем
a = (1 .л/0/2-5,246 = 0,3.
В табл. 7.3 приведены значения необходимых функ-
ций для /г=1, 3, ..., 9, взятые из табл. 1 прил. 5. Гар-
моники, соответствующие четным п, выпадают, так как
в формуле (7.97) для четных п sin(пл/2) =0. Значения
г11)» %\Пр и ^(п), приведенные в табл. 7.3, подсчитаны по
формулам (7.96), (7.97) и из уравнения (7.94).
Таблица 7.3
п	a	/1(«)	A(2a)	Ma)	/„(a)
1	0,3	4,096	4,388	0,551	0,069
3	0,9	4,880	7,421	3,144	2,707
5	1,5	6,427	12,009	5,850	9,783
7	2,1	8,507	16,800	8,365	20,109
9	2,7	10,821	21,600	10,793	33,492
Продолжение
п	А(2а)	_L_ г(«) D И	— о('’* ЬР R'f	1
1	1,899	9,036	—1,667	0,18448
3	1,067	15,444	0,612	—0,03963
5	0,298	24,284	—0,178	0,00733
7	0	33,672	0,050	—0,00148
9	0	43,212	—0,014	0,00032
381
Обозначим амплитуды моментов Му в сечениях 1, 2,
3 и 4 примыкания плит к узлу для /г-й гармоники
mS2n\ т<п> и Формулы для их подсчета, используя
эпюру моментов от Zi на рис. 7.26, а, получим в виде
О
т(2п) = Z[n> (а) -у- ;
(7.98)
Эти формулы написаны по общему правилу метода
перемещений: окончательные усилия равны алгеб-
раической сумме усилий в основной системе, вызванных
неизвестным Z(zn), и усилий в основной системе от внеш-
ней нагрузки
5{ = 5,.,Ля>+5г,0.
От силы Р в основной системе возникает момент
только в сечении 1	Результаты подсчетов по
формулам (7.98) даны в табл. 7.4.
Таблица 7.4
п	— ЬР 1	_Z_ («) ЬР	— w(rt) ЬР 3	_L («) Р т4
1	—1,565	0,756	0,23	0,58
3	0,487	—0,193	—0,126	—0,168
5	— 0,135	0,047	0,043	0,045
7	0,038	—0,013	—0,012	—0,012
9	—0,01	0,003	0,003	0,003
Каждый момент тг(х) в t-м сечении (t=l, 2, 3, 4)
меняется по длине по закону
(х) = 2 sin (шгх//), п=1, 3, ... ,9.	(7.99)
п
На рис. 7.27, а приведен вид эпюры искомых изги-
бающих моментов Му для среднего сечения x—lj2. Так-
как в формуле (7.99) знаки sin(«itx//) при х = //2 и
382
n=l,3,	9 чередуются, то значения моментов, указан-
ные на рис. 7.27, а, оказываются равными арифмети-
ческой сумме величин, стоящих в соответствующей гра-
фе табл. 7.4.
На рис. 7.27, б для примера по формуле (7.99) по-
строена эпюра распределения
моментов тг(х) в сечении при-
мыкания консольной плиты к
узлу.
Интересно отметить, что в
данном случае максимальное
значение момента ть учиты-
вая, что /==5,24 Ь, будет
max Шу = 2,235 —у—* — 0,426Р.
Известно, что в случае же-
сткого защемления бесконечно
длинной консольной плиты
этот момент не зависит от ши-
рины пластины b и равен
0,51 Р, Как видим, вследствие
Рис. 7.27
упругого закрепления консоль-
ной пластины в узле, а также конечности ее длины мак-
симальный момент уменьшился на 16,5 %.
Пример 2. Исследуем распределение нормальных
напряжений в двухреберной балке от действия равно-
мерно распределенной нагрузки q, приложенной в плос-
кости ребер (рис. 7.28, а). Изгибными деформациями
Рис. 7.28
383
пластин системы из их плоскости пренебрегаем. За не-
известные примем показанные на рис. 7.28, б вертикаль-
ные перемещения узловой линии Z\ и продольные пере-
мещения Z2. Ввиду малого влияния на результаты рас-
чета перемещения в горизонтальной плоскости Z3
примем равными нулю. Для определения неизвестных
имеем два уравнения
г(п) Ап) 'I Г 7(П) "1 Г /?(пИ
01	г12	1 j I I q
'22 ’ J L Z2n> J L 0 J
(7.100)
Значения коэффициентов, входящих в уравнение
(7.100), определим по рис. 7.16. Они будут:
'п,=-у-’М®): 4"’ = 4"’ =~
'22* =	[24>9 (а) + -7- Ч’5 (2а) — Фе (2а)]; R^} = 0.
о [	*	* J
В данном случае /=7,85 Ь. Следовательно, при п=1
ллб Ьл „ п
а —----=--------= 0,2.
21	2-7,85
Воспользовавшись таблицами функций ф, для п =
1; 3 и 5, получим следующие системы уравнений:
п = 1
[ 0,00740 —0,02749
—0,02749	0,42914
Е6
ь
п = 3
"ZP1 Г
J L
—1,274
0
?=0;
Ед b	0,2752 —0,32241 —0,32241	2,15371		’ Zi3)l Z<3> J	+	’—0,425 I 0 J	9=0;
п ---= Ед	5 0,88889 —0,60230*		’ zp'		—0,255	
b	—0,60230 3,63892		L Zi5) .	+	0	9 = 0.
Результаты их решения приведены в табл. 7.5.
На рис. 7.28, в дана нумерация точек, в которых оп-
ределяются продольные нормальные напряжения. Заме-
тим, что при равенстве продольных деформаций вдоль
узловой линии в точках 1 и 2, 3 продольные нормальные
напряжения о(х) будут разными. Однако ввиду того,
384
Таблица 7.5
	П=1	п=3	п—Ъ
Е6 Z>	226,048	1,873	0,323
Z™ Е6	14,479	0,28	0,053
что отличаются они незначительно, приведем подсчет
лишь в точках /, 4, 5 и 6. Используя рис. 7.16, получим
следующие формулы для вычисления амплитуд напря-
жений Of (/== 1,4, 5, 6):
°!"’ =— [pl’7 (a) zin> + (2“ — М’а («)) z2n)] Y :
£
= [2ат]1 (a) Z{rt) — 2ат]3 (а) Z^n)]	;
=4-2ат,3(а)4п,-|--
(7.101)
во внутренних точках пласти-
Рис. 7.29
Точка 6 является внутренней точкой пластины. Для
определения напряжений
ны могут быть получены
отдельные формулы, вы-
ражающие искомые на-
пряжения через переме-
щения краев этой
пластины. Однако удоб-
нее пользоваться вспомо-
гательными узловыми ли-
ниями, вводимыми в тех
точках, где требуется най-
ти напряжения. Так, в данном случае, введя дополни-
тельное неизвестное (рис. 7.29), получим для него
уравнение
+ 4"’ z<"> = о,
откуда может быть выражено через и далее
напряжение в точке 6 определяется, как в обычной
узловой точке. Этим приемом удобно пользоваться для
крайних точек консольных пластин, а также для любых
385
внутренних точек системы. При этом неизвестные, свя-
занные с дополнительными узловыми линиями, при ре-
шении задачи на ЭВМ целесообразно включить в сос-
тав общего вектора неизвестных Z(n), находимого из ре-
шения совместной системы уравнений.
Амплитуды напряжений приведены в табл. 7.6.
Таблица * 7.6
п	JLo<n) <7	1	— о?’ ц 4	— арО Q °	— <rfn» Q Ь
1 3 5 П<	—5,481 —0,4 —0,145 □льзуясь фор	27,329 1,194 0,293 мулой sir	—4,797 —0,077 0,003 1 (плх/1) ,	—4,98 —0,103 —0,002
можно определить значение напряжений в рассматри-
ваемых точках в ряде сечений по длине балки. По дан-
ным такого расчета на рис. 7.28, а построены эпюры
напряжений в сечениях х=1/4 и х=1/2.
Пример 3. Приведем результаты исследования распределения
напряжений в тонкостенном стержне при действии сил, близких к
сосредоточенным. На рис. 7.30
Рис. 7.30
приведена схема тонкостенного
стержня загруженного силами
Р, приводящимися к бимомен-
ту. Силы Р будем представлять
как равномерно распределен-
ные нагрузки t=P{c на малом
интервале с (рис. 7.31). Так
как рассматриваемая нагрузка
на стержень симметрична от-
носительно середины стержня,
то в расчете использовались
лишь нечетные гармоники п~
Рис. 7.31
386
= 1, 3, 5, ...» т. Максимальное число т, фактически использованное
в расчете, зависело от значения с/1 и составляло 1009. На рис. 7.33
показана аппроксимация нагрузки /=const при а=с/2, с=//100 и раз-
личном числе гармоник т. Из этих графиков видно, что прямоуголь-
ная эпюра /-=1 удовлетворительно аппроксимируется в данном слу-
чае при иг = 605...807. На рис. 7.32 показано распределение нормаль-
ных напряжений в стержне и их сравнение с напряжениями, опреде-
ленными по теории В. 3. Власова. Стержень рассматривался как
шарнирно опертая на концах складчатая оболочка, составленная из
пластин, при этом //6 = 20; 6/6=10; а = //4; с//=100. На этом же
рисунке показана эпюра углов закручивания 0 (за единицу измере-
ния напряжений принята величина Р/862, а для угла закручивания
Рис. 7.32
387
Рис. 7.33
PfiffiE). На рис. 7.34 показано то же, но для случая, когда силы Р
приложены у торцов в точках с нулевыми секториальными коорди-
натами (бимомент равен нулю) и вся полученная эпюра представ-
ляет локальные напряжения, не учитываемые теорией В. 3. Власова.
Подобные исследования нередко являются необходимыми при
воздействии различных локальных нагрузок и успешно могут быть
проведены по изложенному методу. При этом факт шарнирного опи-
рания несущественен, так как интерес представляет, как правило,
локальный эффект, быстро затухающий с удалением от мест прило-
жения нагрузки.

Рис. 7.34
388
§ 7.8. Об использовании смешанного метода
Как указывалось, применяемое в настоящем методе
разложение неизвестных функций в тригонометричес-
кие ряды синусов для поперечных перемещений и коси-
нусов для продольных автоматически удовлетворяет
симметричным относительно середины конструкции гра«
ничным условиям опирания шарнирного типа, а именно:
свободное продольное перемещение точек торцовых се-
чений (свободная депланация) и полное отсутствие по-
перечных перемещений этих точек. При этом конструк-
ция постоянного сечения не должна иметь по длине про-
межуточных опор или диафрагм. Для конструкций,
удовлетворяющих описанным условиям, изложенный
метод применим без каких-либо особенностей. При уве-
личении числа гармоник п будем получать решение,
стремящееся к точному. Однако оказывается, что в ря-
де случаев, когда описанные условия закрепления кон-
струкции не выполняются, этот метод все-таки можно
применить, если решение вести по смешанному методу,
принимая за неизвестные
частично перемещения, час-
тично усилия.
Рассмотрим складчатую
систему, шарнирно опертую	/yJv'y/// Л
на торцах и имеющую неко-
торые упругие связи (опо-
ры) в промежуточных точ-	О?
ках (рис. 7.35).	|ГГ—
Освободим систему от jjl If jjk
всех промежуточных связей,
а усилия взаимодействия си-
стемы И упругих связей обо-	Рис. 7.35
значим через X/. В остав-
шейся складчатой системе
введем связи метода перемещений, и перемещения по их
направлению, как и ранее, обозначим Zt и Zj. Таким
путем получена основная система смешанного метода.
Если теперь разложить реакции от неизвестных усилий
Xi, возникающие во введенных связях основной систе-
мы метода перемещений, в соответствующие тригоно-
метрические ряды, то можно написать условия равен-
ства нулю обобщенных реакций во введенных связях й
равенства нулю перемещений по направлению Xi в ви-
389
де системы уравнений смешанного метода. Эта система
уравнений будет иметь следующую структуру, если ну-
мерацию всех Х-в произвести после нумерации Z-b
Здесь Z<">— вектор неизвестных перемещений n-й гармоники; X —
вектор неизвестных сил; R^z — матрица обобщенных реакций в ос-
новной системе, записанная для n-й гармоники перемещений; —
матрица обобщенных реакций n-й гармоники во введенных связях
основной системы от единичных значений лишних неизвестных X;
^xz —матрица перемещений по направлению лишних неизвестных
X от единичных значений Z(n>; Ахх —матрица перемещений от еди-
ничных значений лишних неизвестных X в основной системе. В слу-
чае, когда заданная система имеет по длине упругие связи, матрица
А хх составляется как матрица податливостей этих упругих связей.
Если связи заданной системы жесткие, то	R^p —вектор
обобщенных грузовых реакций n-й гармоники в основной системе;
Аар—вектор грузовых перемещений по направлению лишних неиз-
вестных X в основной системе. Если внешняя нагрузка не приложе-
на к упругим связям заданной системы, то Дхр=0.
Матрица L (7.103) будет в общем случае иметь весь-
ма высокий порядок, равный числу неизвестных пере-
мещений всех удерживаемых в расчете гармоник плюс
число неизвестных сил Однако благодаря особой
структуре этой матрицы ее решение легко записать че-
рез обратные матрицы	Чтобы записать это ре-
390
шение,.прежде всего обратим внимание на то, что на ос-
новании теоремы о взаимности реакций и перемещений
матрицы будут транспортированными по отноше-
нию к матрицам /?^и обратными по знаку. Таким обра-
зом, если	то Л(хп2 = —Втп.
Решение системы (7.102) запишется теперь в сле-
дующем виде:
(7.104)
Z<n> =-[«1пг)]-1(впХ + ^пр>),	(7.105)
где
п—т
А = А*хх + 2 вТп [/?$]'* вп; (7.106)
n—1
п—m	г
Др = дХр + 2 вп Wz]~l *№ С  107>
П=1
т — число гармоник, используемых в расчете.
Поясним физический смысл полученного решения на примере
призматической оболочки, бортовой элемент которой связан с упру-
гой колонной (см. рис. 7.35). Введя разрез в месте примыкания ко-
лонны к бортовому элементу оболочки, примем за неизвестные си-
лы Xi, Х2 и момент Хз, вызванные деформацией колонны в плоско-
сти поперечного сечения оболочки. Сопротивлением колонны из этой
плоскости пренебрежем. Таким путем из заданной системы получе-
ны две ее части: оболочка, к расчету которой применим метод пере-
мещений без каких-либо особенностей, и упругая связь — колонка.
Неизвестные Хь Х2 и Хз можно найти из условий совместности де-
формаций этих двух частей. Для этого, очевидно, необходимо рас-
считать колонну и оболочку на внешние нагрузки Р и qy приложен-
ные к ним, а также на единичные значения Хь Х2 и Х3. Выполнив
расчет оболочки на все эти воздействия по методу перемещений,
окончательные перемещения п-й гармоники в оболочке можно опре-
делить как сумму
К = ^р + 2°ПЛ-.	(7.108)
где Z®np—перемещения в системе с отделенной упругой связью
(т. е. в основной системе метода сил, когда за неизвестные прини-
маются Xi, Х2 и Хз); Z„x — перемещения в той же системе от най-
денных из условий совместности деформаций Х-в.
Решение выполняется по матричным формулам (7.104) — (7.107).
При этом матрица А (7.106) есть матрица податливости по отно-
шению к неизвестным X в основной системе, состоящей из оболочки
и колонны с разрезом между ними.
391
Г л а в а 8. РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
НА ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПЛАНЕ
§ 8.1. Общие сведения
Оболочкой называют тело, ограниченное двумя кри-
волинейными поверхностями, расстояние между кото-
рыми (толщина б) существенно меньше двух других
характерных размеров тела. Такими размерами, напри-
мер, могут быть размеры в плане а и в (рис. 8.1, а).
Поверхность, делящая толщину оболочки пополам, на-
зывается срединной. В дальнейшем будем рассматри-
вать так называемые тонкие оболочки, для которых
справедлива гипотеза прямых нормалей, состоящая в
том, что нормаль к срединной поверхности АВ (рис.
8.1, б) в процессе деформации оболочки не меняет дли-
ну и остается прямой и нормальной к деформированной
срединной поверхности. Следовательно, для таких ебо-
лочек перемещение любой точки по толщине оболочки,
лежащей на нормали АВ, однозначно определяется пе-
ремещениями срединной поверхности. Поэтому в теории
тонких изотропных упругих оболочек вся геометрия обо-
лочки связывается с геометрией ее срединной поверх-
ности. Напомним некоторые общие положения из гео-
метрии поверхностей.
Положение точки поверхности может быть задано в
общей декартовой системе координат в форме уравне-
ния (рис. 8.2)
2 = f (х,у).	(8.1)
Наряду с декартовой системой координат введем на
поверхности ортогональные криволинейные координаты
а—р. Для этого представим, что на поверхность нане-
сено семейство ортогональных линий. Пусть длины дуг
линий Sa и Sp определяются через аир выражениями:
Sa = fa («»₽);	5p-fp(a,p).	(8.2)
Частные дифференциалы выражений (8.2) представим
в виде
df„	dffi
dSa = —da = Ada- aSp = ~~W = Bd$.	(8.3)
Квадрат длины элемента dS (рис. 8.3, а) будет
dS2 = dS2a + dS^ = A2 da2 + B2dp2.	(8.4)
392
Рис. 8.1
Рис. 8.3
Функции А=А (а,р) и В—В (а,р) именуются коэффи-
циентами Ламе криволинейных координат или в теории
поверхностей — коэффициентами квадратичной формы
(8.4), называемой первой квадратичной формой поверх-
ности. Они являются важными геометрическими харак-
теристиками поверхности и фигурируют во многих соот-
ношениях теории оболочек.
Рассмотрим теперь кривизны малого элемента по-
верхности (см. рис. 8.3,а), выделяемого нормальными
сечениями, т. е. сечениями, содержащими нормаль п.
При движении точки К вдоль дуги dSa нормаль п в об-
щем случае повернется в плоскости п КК\ на угол дфа
и в то же время выйдет из этой плоскости на угол д<рар.
Аналогично для дуги &S& имеем углы и д<рра. Вели-
чины
393
^<х _ 1	k _ a<pp _ 1
dSa Pa ’’	₽ dSp pp ’’
= J^2L=
“P dSa dS^
(8.5)
называются: кривизнами в направлении соответствую-
щих координатных линий ka, k$ и кривизной кру-
чения ka.fi. Они составляют тензор кривизн в рассматри-
ваемой точке поверхности
^сф 1
kafi ]
(8.6)
При совместном повороте секущих взаимноортогональ-
ных плоскостей n 'KKi ипКК2 вокруг нормали п компо-
ненты тензора Тк изменяются по тем же законам, что и,
например, компоненты плоского напряженного состоя-
ния
_	та 1	[	0 1
TG =	1 I	(8.7)
[_та аа-|-90о J L0 °2l
Подобно тому как напряженное состояние (8.7) приво-
дится к главным напряжениям ai, о2 [что указано в (8.7)
стрелкой] тензор кривизн (8.6) путем соответствующего
выбора ориентации линий аир всегда может быть при-
веден к виду
°1,	(8-8)
[в «г!
где /?!=!/= Лщдх» ^2 = 1 //?г ~ ^min» &12 = 6.	(8.9)
Радиусы /?ь /?2 называются главными радиусами кривиз-
ны, a ki, k2— главными кривизнами. Кручение элемен-
та, выделенного в направлениях главных кривизн &i2,
равно нулю (рис. 8.3,6). Линии на поверхности, в каж-
дой точке совпадающие с направлением главной кривиз-
ны в этой точке, называются линиями кривизны поверх-
ности. Криволинейные координаты, отвечающие линиям
кривизны, обычно обозначаются не а и р, как на рис.
8;3, а, а «1 и а2, как это показано на рис. 8.3, б. Квадра-
тичная форма (8.4) записывается в этом случае в виде
as2 = Д2 daj + д| dal	(8-10)
Если мысленно разбить поверхность на элементы
dSiXdS2 типа, показанного на рис. 8.3, то каждому из
394
них будут присущи свои величины коэффициентов Ламе
Д1(аьа2), Л2(аьа2) и кривизн /?1(аьа2), /гг(аьа2). Для
гладкой непрерывной поверхности эти величины будут
непрерывными функциями координат оц и а2. Возникает
вопрос, могут ли быть эти функции заданными произ-
вольно, не связанными между собой. Ответ на этот воп-
рос дают так называемые условия Кодацци — Гаусса,
которые для линий главных кривизн имеют следующий
вид:
(*2 Д2) —	(8-П)
dotj	дах
д ( 1 дА2 \ , д ( 1	дЛх \	к к л л
dax \ Hi } да2 \ Л2 да2 /
Если функции Дь Д2, k±9 k2 удовлетворяют уравнениям
(8.11), то длины и кривизны элементов поверхности будут
такими, что множество элементов dSiXdS2 может обра-
зовать непрерывную главную поверхность. В противном
случае такой поверхности не существует.
Величина произведения k\ /г2, входящего в третье
уравнение (8.11) (полученное Гауссом)
К=М2==1/(М2),	(8.12)
называется гауссовой кривизной.
Рассмотрим пример тороидальной поверхности, образованной
вращением окружности радиуса г0 вокруг оси вращения О—О
(рис. 8.4). Линиями кривизны для поверхности вращения служат
меридианы, лежащие в плоскостях, содержащих ось вращения О—О
(в данном случае это окружности радиуса г0) и параллели, лежащие
в плоскостях, нормальных к оси вращения О—О. Один главный ра-
диус Ri = r0, а второй равен отрезку нормали КС, т. е.
/?2 = КС = r0 + (r/cos ах).
Выражения для длин линии кривизны будут:
Si ~ r0 otx; S2 = (г Ч~ Го cos osx) ot2.
Примем в качестве криволинейных координат углы оч и а2. Тог-
да коэффициенты квадратичной формы (8.10), учитывая (8.3), най-
дем в виде
dS2
Д1=—Ai = — = r+r<>cosai.
Вычислим гауссову кривизну:
К = 1 /Ri R2 = [г0 (г0 4- (г/cos 04))—
395
При «i< — /С>0,
радиусы RihR2 имеют одинаковые знаки и эта
л
часть поверхности является двояковыпуклой; при ai = — Л=0, в этой
окрестности поверхность имеет нулевую гауссову кривизну;
л
при 04 > — Л<0, т. е. Ri и R2 имеют разные знаки, и эта часть
поверхности имеет седлообразную форму (выпукловогнутую).
По гауссовой кривизне принято все оболочки делить
на три вида: положительной (рис. 8.5,а), отрицательной
(рис. 8.5, б) и нулевой (рис. 8.5, в, г) гауссовой кривизны.
В последнем случае на рис. 8.5, в, а одно семейство линий
кривизны состоит из прямых (образующие цилиндра, ко-
нуса), радиус кривизны которых /?2 = °° и, следовательно
Заметим, что для плоскости (ki=k2—0) первые два
уравнения Кодацци—Гаусса (8.11) тождественно удов-
летворяются, а. третье получает вид
д	/ 1	ал2 \	д / 1	\	0
dai Лх /	да2 \ А2	да2 )
(8.13)
396
Уравнение (8.13) справедливо и для оболочек нулевой
гауссовой кривизны (рис. 8.5,в,г). Геометрически это оз-
начает, что они могут быть образованы путем соответ-
ствующего изгибания плоскости (без изменения длин
линий) и, наоборот, могут быть развернуты в плоскость
за счет только изгибания. Такие поверхности называют-
ся развертывающимися. При K=/?i &2=#0 поверхность
неразвертывающаяся.
Рассмотрим теперь примеры поверхностей, характер-
ные для очертаний покрытий, используемых в строитель-
стве. На рис. 8.6 изображена поверхность переноса, урав-
нение которой записывается в виде
z — F (х,//) = Л(х) + Г2(</).	(8.14)
Она образуется путем скольжения плоской кривой Fx(x)
по кривым F2(y) как направляющим (или наоборот).
Типичным для железобетонных оболочек покрытий явля-
ется задание в качестве Fi(x) и F2(y) квадратных пара-
бол. Тогда уравнение (8.14) получит выражение
г =- (4/х/а2) х (а - х) - (4/2/да) у (Ь - у).	(8.15)
Общая стрела подъема такой поверхности в центре будет
/ = Л + /2.	(8.16)
На примере рассматриваемой оболочки, очерченной
по поверхности переноса, введем понятие пологой обо-
лочки. Под пологой понимается оболочка, для которой
можно приближенно считать, что геометрия линий на ее
поверхности (длины, углы между линиями) практически
не отличается от геометрии проекций этих линий на плос-
кость, над которой построена эта поверхность. Для обо-
лочек переноса обычно считается, что если f/a и fib <4$,
то оболочка пологая. Они называются пологими оболоч-
ками двоякой кривизны. Более строгое допущение о по-
логости оболочки связано с требованием приближенного
выполнения условия (8.13) (как и для плоскости) при
k\ =/=0 и ^2=#0-
Криволинейную систему координат на пологой обо-
лочке двоякой кривизны, полученную как проекцию на
нее сетки декартовых координат х у, называют почти де-
картовой (почти плоской) системой координат. Анало-
гично для пологой сферической оболочки можно гово-
рить о почти полярной системе координат.
Для пологих оболочек существенно упрощаются рас-
четные уравнения. В частности, кривизны элементов по-
397
логой оболочки, выделяемых линиями почти декартовой
системы координат на ее поверхности, приближенно
можно определять по формулам
д2 F t д2 F	д2 F
kx = —TV »	=	; kxy — Т—V •	(8-17)
х дх2 v ду2 у дхду	'
Для поверхности переноса (8.15) имеем
kx = 8fy/ab ky = 8/2/д2; kxy = 0.
(8.18)
Следовательно, линии на поверхности, расположенные
в вертикальных сечениях, параллельных осям х и у, мож-
но приближенно считать линиями кривизны, а главные
кривизны &i = const и k2 = const совпадают с kx и ky.
Рассмотрим оболочку в виде части гиперболического
параболоида (сокращенно называемую гипаром) (рис.
8.7, а). Уравнение поверхности будет:
г=—(//а2) ху.
(8.19)
На рис. 8.7,6 показан пример формирования покрытия
из четырех «лепестков» гипара. Для пологой оболочки в
виде гипара по формулам (8.17) найдем
kx = ky = б; kxy =— (//а2) = const.
(8.20)
По способу образования это линейчатая поверхность.
Она образована путем скольжения прямой по двум пе-
рекрещивающимся прямым как по направляющим. Мож-
но сказать, что поверхность гипара это как бы «закру-
ченная плоскость». Линии кривизны ее лежат в плоскос-
тях, повернутых относительно плоскостей xOz и yOz на
угол 45°, причем kx——k2 = kxy, т. е. это поверхность
отрицательной гауссовой кривизны.
§ 8.2. Линейные уравнения для пологих упругих
оболочек в декартовых координатах
Эти уравнения выводятся в курсе теории упругости,
поэтому приведем их здесь без подробных выводов, ог-
раничившись лишь краткими пояснениями. Поскольку
пологие оболочки в естественном состоянии представля-
ют собой слабо изогнутые пластины, уравнения для них
во многом аналогичны соответствующим уравнениям
для пластин.
Как в общем случае, указанные уравнения делятся
на три группы — статические, геометрические, физичес-
398
кие. Запишем эти уравнения, принимая за положитель-
ные направления перемещений и усилий направления,
указанные на рис. 8.8. Естественные кривизны оболочки
обозначим так:
Рис. 8.8
д2 2	d2 z	д2 г
=	= 2*г;	т"^“ = г*Н8‘21)
дх2 '	2 ду2 у'	12 дх ду
где z=z(x, у) — уравнение срединной поверхности.
Чтобы сократить записи уравнений, все частные про-
изводные по х и у будем отмечать с помощью соответст-
вующих нижних индексов, как это показано в (8.21).
Статические уравнения для элемента оболочки:
+ 5^-Ь pi = 0;
Sx + ^ + p2-0;	(8.22)
Af13C -Ь — Qi = 0;
М® + нх — 0.2 = 0;
Qix Q2y 4-	4- n2 k2 + 2S#12 + — 0.
Здесь первые четыре уравнения совпадают с уравнени-
ями для плоской панели (пластины) и лишь в послед-
нем уравнении, выражающем сумму проекций всех сил
элемента на направление р3 учтено искривление эле-
мента за счет слагаемых, содержащих кривизны.
Если исключить Qi и Q2, то пять уравнений (8.22)
сводятся к трем:
Nix+ •$!/ +Pi == 0;
(8.23)
Mix* + 2НХУ 4- W 4- Л\ + N2 k2 4-2SAj1s 4- Pi = 0.
399
Геометрические уравнения, связывающие деформа-
ции элемента в срединной поверхности ei, 62, Т12 и прира-
щения его кривизн хь хг, Х12 с перемещениями и, v, wt
имеют вид
= «х — V:
^2 = Vy— k2
V12 = uy + vx — 2^12 w*	(8 • 24)
Xj =— Wx1',
X2 =—Wy2-
X12 ---%wXW
Физические уравнения (закон Гука) для элемента
тонкой изотропной оболочки запишем так:
Ni — В(ех + цб2); Мг = D (хт + рх2);
N2 =	М2 = D (jxxj + х2);	(8.25)
S — [В (1 — И)/2] Vl2; И = [D (1 - И)/2] х12.
где В = Е6/(\ — р2); D = Е63/12 (1 — р2).
В некоторых случаях упругие свойства оболочки в
направлениях 1 и 2 могут быть различными и ее прихо-
дится рассматривать как ортотропную. Тогда закон Гу-
ка для такой оболочки представим в виде
N 1 — ^11 е1 + ^12 ®2»
^21 ®1 ~Ь ^«2 ^2»
S = G12 712»
Л41 — Xj + ^12 Х2‘
Л42 = ^21 ^1	^22 ^2»
Я = F12 х12.
(8.26)
Иногда требуется выражения (8.26) записать в обратной
форме. Сделаем это с помощью коэффициентов, анало-
гичных коэффициентам в (8.26), но обозначенных соот-
ветствующими малыми буквами:
ei — ^11^1	^12^2» К1 — ^ii^i—^12^2»
С2 ' ‘ ^21	^22 ^2»	^2	““ ^21 ^41 *"Ь" ^22	(8.27)
712==£12'$;	5<12=/12^.
В равенствах (8.26), (8.27) соблюдается симметрия всех
коэффициентов В12 — В21, ^12=^2Ь ^12 = ^2Ь ^12 — ^21.
Уравнения (8.23) — (8.26) можно записать в ком*
пактной форме, если ввести векторы усилий, деформа-
ций, перемещений и внешних нагрузок
Я-
ci
е2
712
Х1
х2
-^12-
ГР1'
Р2 •
1Рз J
(8.28)
U =
U
V
W
р =
400
Тогда указанные уравнения получат вид
AN + р = 0;
е = Аи\
N = Се,
(8.29)
где матрицы А и С состоят из следующих элементов
(в матрице А часть «элементов» представляет операторы
дифференцирования):
	“ д дх	0	д ду	0
А =	0	д ду	д дх	0
	ki	^2	2Л12	д2 дх2
0	0
о	о
а2 Л а2
Л 2	Л Л
ду2	дх ду
(8.30)
В равенствах (8.29) матрица А является сопряжен-
ной матрицей А, в чем выражается известное свойство
двойственности, статических и геометрических уравнений
деформируемых систем. Как показано проф. А. Р. Ржа-
ницыным [42], для дискретных систем А является просто
транспонированной матрицей А, т. е. А=АТ, с чем мы
уже встречались ранее (см. § 3.5, [49, § 13]). Для кон-
тинуальных систем в общем случае матрица А строится
как транспонированная матрица А, но с дополнитель-
ным преобразованием транспонируемых элементов. В слу-
чае двумерной задачи это преобразование делается по
правилу: если
«ife =f(xt у)
(Ф (х, у) N)
дхт дуп
то ahi =- (- !)(«+«> Ф (X, у)	•	(8.31)
где aik и tthi — транспонируемые элементы матриц А и Л.
401
В формулах (8.31) под W и и следует понимать соот-
ветствующие компоненты векторов N и и.
В рассматриваемом случае пологой оболочки мат-
рица А отличается от Ат только знаками последней
строки [у элементов которой порядок дифференцирова-
ния в формулах (8.29)	= 0 или т + п = 2].
Общие уравнения (8.29) можно свести к меньшему
числу разрешающих уравнений, записанных относи-
тельно функций, выбираемых в качестве основных. Так,
если принять за основные три функции перемещений и,
то, выражая N через е и е через и, первое
(8.29) приведем к виду
Lu + р = О,
где оператор L—ACA состоит из элементов
уравнение
(8.32)
L13
^23 I
^33 _
д2
+ G12 t
+ В11 fel + 2В12 *1	+
^12
^22
Аз2
L =
d2
д2
^11
^21
-^31
_________ д2
= дх* +01г-^Г:
Du-Tr + 2D777"S + D'
дх* дх2 ду2
+ B22% + 4G12k2i2;
д2
Ll2 =	—В gxdy j
д	д
- (^Ц	4“ ^12 ^2)	2612^12 &	’>
д	д
^23 ~ ^32 ~	(^21	4“ ^22 ^2) ду 2(?i2 Л12	»
причем через В и D здесь обозначены величины
B = G12 + B12; D = 2F12 + Di2.	(8.33)
Уравнения (8.32) являются уравнениями равнове-
сия ортотропной пологой оболочки, записанными в пе-
ремещениях.
Приведем теперь разрешающие уравнения в смешан-
ной форме, приняв в качестве основных две неизвест-
ные функции — прогибы w (х, у) и функцию мембран-
ных усилий ф (х,у), с которой в общем случае усилия
402
AG, N2 и S связаны зависимостями
*	?
Л\ = W — ) Pi	N2 = Ф*2 — J P2 dy;
b	о
5=— фху (0 < x < x; 0 < y< у} .	(8.34)
Равенства (8.34) обеспечивают тождественное удовлет-
ворение первых двух уравнений равновесия (8.23).
В качестве разрешающих принимаются два уравнения,
а именно: третье уравнение равновесия (8.23) и урав-
нение совместности деформаций в срединной поверх-
ности оболочки, получаемое путем исключения переме-
щений и и v из первых трех уравнений (8.24). Выпи-
шем указанные два уравнения вместе:
441*2 4- 2Нху + М‘2у2 + ^1^4- N2 k2 4- 2S/?12 4- Рз = 0;
(8.35)
«1/? +	- V12,ху +	+ ®х* k2 + 2wXy *12 = °'
Выразив в (8.35) моменты через прогибы по (8.26),
деформации еь е2 и yi2 через усилия N2t S по
(8.27) и заменив последние их выражениями через
функцию ф, придем к следующей системе двух диффе-
ренциальных уравнений (для Pi=P2 = 0)
ю — МгФ ” Psi	(8.36)
£21 ®	^22 Ф “ 0 »
где
а4 а4 о4
L-ii = £)п-----1- 2D---- 4" ^22----»
11	11 Эх4	дх2ду2	22 ду*
О4	д*	д*
^22 “ ^22	4 4~ (£12	2Ь12)	" ’ " + Ьц ;
дх*	дх2 ду2	ду*
д2	д2 д2
Здесь D имеет значение (8.33).
В случае изотропной оболочки с толщиной б
£>н = D22 = D = Е63/12 (1 - Р);
Ьц = ь22 = (£12 - 2Ь1г)/2 = (£6)-*
и уравнения (8.36) записываются в виде известных
уравнений В. 3. Власова через бигармонический опера-
тор V2V2
Dv2 V2 w — ф = р3;	(8.37)
Vkw+ V2 V2<p = 0,
403
где
а2 г аз
v ах2 ду2
д* а4 а4
v v ах4	ах2 ду2	ду* *
2 _	_ а2 а2 а2
12	1 ду2	12 дх ду ^2 ах2
В. 3. Власовым показано также, что от системы
(8.37) можно перейти к одному уравнению, если ввести
некоторую разрешающую функцию F (x,y)t через ко-
торую искомые величины w и <р выражаются так:
Ц?==—v2v2F; (p = £'6v^F.	(8.38)
Второе уравнение (8.37) при этом удовлетворяется тож-
дественно, а первое путем подстановки в него формул
(8.38) приводится к следующему окончательному виду:
Ov2v2v2v2f +	+ р3 = о. (8.39)
$ 8.3. Расчет шарнирно-опертой оболочки
с помощью двойных тригонометрических рядов
Рассмотрим характерные особенности работы вы-
пуклой пологой оболочки, очерченной по поверхности
переноса в виде эллиптического параболоида
z=-4f

(8.40)
часто используемой в конструкциях покрытий. На кон-
туре оболочку будем считать опертой на бортовые эле-
менты. Ими могут служить балки с криволинейным
поясом (рис. 8.9), бортовые фермы, арки с затяжкой
и т. п. Все указанные конст-
рукции опорных элементов
обладают достаточно боль-
шой жесткостью в отноше-
нии перемещений в плоско-
сти этих конструкций и не-
сравнимо меньшей жестко-
стью относительно переме-
щений из их плоскости. Это
позволяет в качестве расчет-
ной схемы принять схему
Рис. 8.9
404
опирания оболочки на идеальные диафрагмы (рис. 8.10, а)
или практически эквивалентную ей для пологой оболоч-
ки схему опирания на шарнирные опоры (рис. 8.10,6),
диафрагмы
Рис. 8.10
Граничные условия, например для кромки х=а,
формулируются в этом случае так:
х — а\ w(a,y) = Q\ c/(a,i/)=0; /Vj = (а,у) — 0. (8.41)
При этом на идеальную диафрагму передаются сдви-
гающие мембранные силы S (рис. 8.10, в), а также
обобщенные поперечные силы, аналогичные таковым в
шарнирно-опертой пластине (на рисунке они не пока-
заны). В большинстве случаев основную роль в обес-
печении равновесия оболочки, а также в качестве сило-
вого воздействия на опорную бортовую конструкцию
играют сдвигающие силы S.
Для описанного случая шарнирного опирания обо-
лочки покрытия решение можно получить, представив
нагрузку Рз(ад), а также неизвестные функции w (х, у)
и ф(х> У) в уравнениях (8.36) с помощью двойных три-
гонометрических рядов
оо оо
Рз ~ 2 У Ятпп
т=1 п=1
— У У wmn ^ТП^Пг	(8.42)
т=1 л=1
Ф = У| У Фтп^т^щ
т=1 л—1
где для краткости записи введены обозначения
Sm ~ sin (тлх/ар, Sn = sin (nnylb),	(8.43)
а т и п — целые числа /, 2, 3, ...
405
Подставив (8.42) в уравнения (8.36) и приравняв
коэффициенты при одинаковых произведениях SmSn,
придем для каждой пары чисел т и п к следующей
системе двух алгебраических уравнений относительно
неизвестных штп и фтоп:
Ац wmn А ^12 Утл = ^тп*
Ai wmn 4" А2 Фтп = О-	(8.44)
Здесь для ортотропной оболочки коэффициенты этих
уравнений имеют значения:
Ai — (гал/а)4 + 2D (тпл2/аЬ)2 A D22 (лл/6)4;
>112 = Ai = ki (пл/b)2 А /?2 (/пл/а)2;
Аг = ^22 (тл/а)4 A (g12 — 2612) (тпл2/аЬ)2 А (пл/Ь)4.
В частном случае изотропной оболочки толщиной 6,
решая (8.44), получим
Wmn = (1 — n) 4тп а4/л4 D (т2 А у2 П2)2;
Фтпп = Wn «1/8л2 у2 f (ах п2 А а2 т2),
где
т) = ₽ (ах п2 А а2 т2)2/[(т2 А У2 п2)4 А ₽ (ах п2 А а2 /л2)2]; (8.45)
0= 768(1 —р2) у4/2/62 л4; у = а/Ь.
Теперь, определив коэффициенты рядов (8.42) для
функций w и <р, по формулам (8.25) и (8.34) путем со-
ответствующего дифференцирования найдем выраже-
ния для усилий в оболочке
Mi = 2 2 ^тп> sm	Ni = 2 2 N\mn) sm sn,
m n	m n
VS24"4s»; ^ = 22^тл)5т5п; <8-46>
tn n	m n
n = ^H^cmcn- s = 22s<™>cmcn,
m n	m n
где все суммы, как и в (8.42), понимаются как суммы
По т=1, 2, ..., оо и /г=1, 2, ...., сю и введены дополни-
тельные обозначения
Ст = cos (тлх /а); Сп — cos (плу/Ь).	(8.47)
Коэффициенты рядов (8.46) имеют следующие выра-
жения:
Л11('ЛЛ) = (?0 а2/4"2) ('"2 +	"2) “’mn!
Л1‘И1«> = (9оа2/4л2) (рл2 + у2 л2) №mn;
4С6
~	a2l4n?) (1 — p) mny wmn‘t	(8.48)
H[mn) =-(^/8/) n^mn\
^2mn) =—(<7o«780
S(mn) =__ a2/sfl (mn/y) qma.
Здесь введены безразмерные числа wmn и (pwn: wmn =
=wmn/w0 и <pmn=<pmn/<po, отнесенные к размерным
величинам o>0“?oa4/4ji4Z) и ф0=/?0а4/8л;2/:у2, принимае-
мые за «единицы измерения» w и ср, причем qQ — раз-
мерный параметр внешней нагрузки, входящий как
множитель в выражение (8.42) для рз, например, наи-
большая ордината интенсивности этой нагрузки.
Выражения (8.44) — (8.48) вполне описывают на-
пряженно-деформированное состояние оболочки при ус-
ловии, если известны коэффициенты разложения нагруз-
ки р3, которые в общем случае определяются как коэф-
фициенты Фурье двумерной функции р3(х, у),
а b
4 С f	тпх	ппу , t п
Qmn = -—\ \p3(xty)sin-----sin—- dxdy.	(8.49)
ab J J	a	b
о о
Для частных случаев нагрузки, показанных на рис. 8.11,
соответствующие значения qmn по (8.49) получаются в
виде
а) Qmn ~ (1 ^Qo?Sm (хь) Sm (с) Sn (Уь) $п (Ф>
Q Qmn =— (&70//ппл2) Sm (xfe) Sm (с) cos (ял);	(8.50)
в) Qmn =— (8<70/липл2) cos (/пл) Sn (yh) Sn (d).
Здесь функции Sm, Sn вычисляются по (8.43) при значе-
нии х или у, указанном в скобках S( ), например:
$т (xk) — sin (/nnxft/a); Sn (d) — sin (nnd/a).
Для q—qQ—const на площади всей оболочки aXb по
формуле (8.50а) найдем
Qmn — \§Qq! тпз&\	(m,/z = 1,3, 5...)
=	(/n, л = 2, 4, 6,...).
В предельном случае сосредоточенной силы при-
ложенной в точке с коэффициентами хь, уи> приняв в
(8.50а) qQ—Ph№cd и с->-0, d->0, получим
Qmn — (4/\//пил2) Sm (xfe) Sn (уъ).
407
Рис. 8.11
Рис. 8.12
Рис. 8.13
Рассмотрим простейший пример — загружение квад-
ратной в плане оболочки нагрузкой, распределенной по
закону (рис. 8.12) p3 = qosin(nx/a)sin(jty/a), В этом слу-
чае отличен от нуля только первый член разложения на-
грузки <7п=^о, а все прочие равны нулю. При равных
кривизнах k\—k2=4fla2 и у=1 по формулам (8.45) —
(8.48) найдем для т—п= 1
^п-(1 —п); Фи = п;
Т] =---------------------------;	(8.51)
1	{1 4-[л4 62//2 48 (1 -р2)])	1	’
Mi = М2 =	(1 + р) (1 — Т]) sin (лх/а) sin \яу!а)\
Н = Мо (1 — р) (1 — ч) cos (лх/а) cos (л^/а);
Mi = ^2 —— No Ч sin (лх/а) sin (лу/а)',
S =— Nq ч cos (их/а) cos (лу/а),
где
Af0 = qQ	No = q0 a2l%f.
408
Распределение внутренних усилий и прогибов в обо-
лочке в соответствии с формулами (8.51) показано на
рис. 8.13. Заметим, что наряду со сжимающими усилия-
ми в срединной поверхности Wi и N2 в оболочке действу-
ют значительные сдвигающие усилия. Они достигают
наибольшего значения в угловых точках, где под углом
45° к площадке сдвига возникают растягивающие уси-
лия, численно равные усилиям сдвига, что показано на
рис. 8.13 для угла В. С этим обстоятельством необходи-
мо считаться при армировании железобетонных оболо-
чек покрытий.
Если f->0, то оболочка работает как шарнирно-опер-
тая пластина, в которой возникают лишь изгибные сило-
вые факторы, а мембранные усилия равны нулю. Этому
случаю соответствует в (8.51) т]-И). Наоборот, если
(6//)—-0, при f=const, т. е. оболочка становится все
более тонкой, то в (8.51) т]->1; это приводит к тому, что
в оболочке исчезают изгибные усилия и остаются лишь
мембранные силы в срединной поверхности. Такие уси-
лия в срединной поверхности называются без момент-
ними.
Таким образом, величина т] равна отношению мемб-
ранных усилий, найденных в оболочке соответственно по
моментной и безмоментной теориям. С другой стороны,
величина (1—rj) дает отношение прогиба (а, следова-
тельно, и моментных усилий) в оболочке к прогибам (и
моментным усилиям), вычисленным в соответствующей
шарнирно-опертой пластине, т. е.
Т] = ^мом^безмом. j _ п Ц>бол/йупл = ^обол/д^. (8 52)
Приведем числовые оценки, приняв р=0,15 (для же-
лезобетона), тогда
11	1 + 2д2//2 И 1 ~ 11 = + ^2/2б2 •	(8'53)
Для реальных пологих оболочек покрытий f/6>>10.
Пусть f/6=10, тогда т)=200/201 и 1—т)= 1/201 и с уче-
том (8.52) можем заключить, что для оболочек покры-
тий при распределенной нагрузке усилия в срединной по-
верхности, найденные по моментной и безмоментной тео-
риям, различаются очень мало (200 и 201 в данном
случае). В то же время прогибы оболочки и моментные
усилия оказываются во много раз меньшими, чем в плас-
тине. Это говорит о большой рациональности работы
оболочки в сравнении с пластиной.
409
Заметим, что к сказанному следует относиться с ос-
торожностью. При наличии связей, стесняющих дефор-
мации в срединной поверхности или прогибы (опорные
закрепления, ребра жесткости), при резко изменяющих-
ся нагрузках безмоментная (более простая) теория мо-
жет дать неверный результат, а характер прогибов и
моментов в оболочке не только по величине, но и по очер-
танию эпюр может резко отличаться от аналогичных по-
казателей в пластине. В указанных случаях, безусловно,
следует пользоваться общей моментной теорией расчета
оболочек.
Проследим еще одну зависимость, а именно
=F(f), чтобы выяснить, как зависит амплитуда усилия
Ni в срединной поверхности от стрелы подъема оболочки
f. Это выражение с учетом (8.51) и (8.53), опуская знак
минус, получим в виде
^1> = (’ос2/86)Н^-	(854)
График этой зависимости показан на рис. 8.14. Усилие
JVi достигает экстремума при пологости (//б) =1/2/4.
Левая часть кривой на этом графике изображена пункти-

Рис. 8.14
ром, так как относится к
весьма пологим оболоч-
кам. Она справедлива
только для очень малых
нагрузок t/o, когда проги-
бы Юц<<б. Для больших
нагрузок в такой пологой
оболочке возможно ее
«прощелкивание», когда
прогибы сильно изменят
первоначальное очертание
поверхности оболочки. Такие расчеты ведутся с помощью
геометрически нелинейных уравнений.
§ 8.4. Расчет бортовых элементов
шарнирно-опертой оболочки
Как уже указывалось, основным видом силового воз-
действия на бортовые элементы оболочки рассматривае-
мого типа является воздействие касательных усилий S,
Чтобы проследить особенности расчетов силового вза-
410
имодействия оболочки и опорных закреплений, рассмот-
рим конкретный пример опирания оболочки на балки с
криволинейным поясом (рис. 8.15,а). Разложим каса-
тельные усилия 5 на вертикальную и горизонтальную
составляющие, включив в вертикальную составляющую
и распределенный собственный вес балки:
qx — S (х) cos ф;
(8.55)
Qy = 5 (х) sin ф + q6 = S (х) sin ф + Y6 h (x)c,
где Y6, h(x) —вес единицы объема и высота сечения балки.
Внутренние усилия, приведенные к центральным осям
сечения балки, получим из условия равновесия ее отсе-
ченной части (рис. 8.15,6):
W = J qx(x) d 7;
о
Q Qo — | Qy (*)
о
= jQd х — j qx (х) [h (х) — 0,5 h (x)J die =
о о
X	X
= jQdx — §qx(x)h(x) d х-Ь0,5 Nh(x). (8.56)
о о
Вычисление определенных интегралов (8.56) в анали-
тической форме весьма громоздко. Поэтому рассмотрим
X	~
численный способ определения интеграла У = \ y(x)dx
о
для ряда значений х=х0, хь хг, ...,хп. Геометрически эта
задача интерпретируется как определение вектора Y по
заданному вектору у (рис. 8.16)
Y =
Уо
JJn_.
причем величина У, представляет площадь под кривой
у(х) на участке 0—х<. Матрицу Q можно построить, ис-
пользуя ту или иную квадратурную формулу. В частности,
для равноотстоящих узлов I, j, k, проводя по трем сосед-
ним ординатам yit yjf yk квадратную параболу, найдем
411
412
площади (рис. 8.17) в виде
<i>i_j = -^(5yi + Sy/-yky,
(8.57)
d
(4^ + 1(Ч' + Ч)-
Применяя эти формулы к интервалам (0-1), (0-2), (0-2,
2-3), (0-2, 2-4), (0-2, 2-4, 4-5) и т. д., получим выраже-
ния соответственно для Уь У2, Уз, У4, У5 и т. д. Коэффи-
циенты при yi этих выражений и образуют матрицу Q,
которую в общем случае называют матрицей интегриро-
вания. Для четырех равных интервалов d, например, эта
матрица будет (первая строка в ней соответствует равен-
ству Уо=0)
го о оо оп
d	5	8	-1	0	0
Q =------ 4	16	4	0	0
12	4	16	9	8	—1
_4 16	8 16	4.
(8.58)
Введем векторы нагрузок на балку qx, qy и диагональ-
ную матрицу высот сечений f/zj
9х =
(8.59)
Тогда формулы (8.56) для усилий в балке с помощью
равенства (8.56) приводятся к следующему виду:
7V —	•*
Q = Qqy-	(8.60)
Л4 = QQ — Q|hlftc-|-0,5PiJ
где через е обозначен столбец с элементами, равными
единице.
Приведем числовой пример расчета оболочки и бортовой балки.
Пусть железобетонная оболочка, имеющая размеры а =16 м, Ь =
= 20 м, fi = 0,05 a, f2=0,07 b, 6 = 0,07 м, загружена нагрузкой
(рис. 8.18)
У) = <7oSin (лх/а),	(а)
при </о=2 кПа.
Для бортовой балки fto=O,8 м, с=0,2 м, ув = 22 кН/м3. Модуль
упругости Е=40 ГПа, ц=0,17. Требуется найти усилия в оболочке
и в балке, расположенной вдоль оси х.
413
В расчетах оболочки по формулам, приведенным в предыдущем
параграфе, учитывая очертание нагрузки (а), удержим члены
рядов для т = 1 и /2=1, 3, 5, ..., 59 (для все члены рядов бу-
дут равны нулю). Вычисления по указанным формулам легко про-
граммируются, они были выполнены по специально составленной
доц. В. Д. Рыбиным программе на ЭВМ Наири. В табл. 8.1 приве-
дены полученные значения прогибов и усилий в ряде точек линии
х = й/2, а также сдвигающих усилий в точках линии х=0. На
рис. 8.19 показаны эпюры этих величин, причем эпюра S изображе-
на на условно спрямленном контуре оболочки. Пунктиром показаны
эпюры прогибов и усилий, полученные при удержании лишь первого
члена рядов, т. е. для т — п—\. Как видим, точность при этом по-
лучается недостаточной. Обычно при распределенной нагрузке при-
емлемые результаты получаются при удержании 10—15 гармоник
для т и п.
Для расчета балки строим векторы нагрузок и матрицу h ,
разбив половину длины балки на четыре интервала d = 2 м. Закон
изменения высот балки
М*) = Л0+~г*(а —*); tg<P = -“ ==^“(а —2*).
a2	dx а2
Для числовых данных примера получим: tgqpj = 0,2; 0,15; 0,10; 0,05;
0; St-=63,1; 58,3; 44,6; 24,2; 0 (кН/м); интенсивность веса балки
<7бг = 3,5; 5,1; 6,2; 6,8; 7 (кН/м) (i=0,l,..., 4). Соответствующие век-
торы и матрица [/г] (8.59) будут
-63,1-
58,3
44,6
24,2
0

Г°,8	П
1,15
1,40
1,55
1,60
(м).
По формулам (8.60) с использованием матрицы (8.58) найдем
N = Qqx =
~ 0 ”
123
227
297
321 J(kH)
Здесь величина 87,8=Qo найдена как вертикальная опорная реак-
ция балки по формуле Симпсона
<?О = (<’ +	+ 4<3> + <4>) d/3=
= (16,1 +4-13,8 +2-10,7 + 4-8 +7)’2/3 = 87,8 кН.
414
Таблица 8.1
Линия	Величина	у/ь								
		0	1/8	1/4	3/8	1/2	5/8	3/4	7/8	1
	W	0	0,11	0,10	0,10	0,10	0,10	0,10	0,11	0
	Mi	0	84,6	41,8	43,4	43,2	43,4	41,8	84,6	0
	м2	0	212,7	— 17,1	2,1	5,5	2,1	— 17,1	212,7	0
	Л'1	0	—52,8	—32,5	—32,3	— 19,7	—22,3	—32,5	—52,8	0
1 х—а/2		0	—27,4	—43,4	—51,3	—53,8	-51,3	—43,4	—27,4	0
	S	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	н	0	0	0	0	0	0	0	0	0
х—0	S	—63,1	—44,1	-23,1	-10,1-	0	10,1	23,1	44,1	63,1
Далее получим

58
33
15
О
-Qfhj7x+O,5fh]
- 0“
123
227
297
321
- О'
94
140
156
J57
(кН-м).
Эпюры qx, qu, N, Q и M в балке изображены на рис. 8.20.
§ 8.5. Применение метода перемещений
и одинарных тригонометрических рядов
в расчетах пологих оболочек двоякой кривизны
В главе 7 был изложен метод перемещений для рас-
чета складчатых систем с использованием решений тео-
рии упругости для пластины в одинарных тригонометри-
ческих рядах. Аналогичный подход успешно может быть
применен и для расчета многоволновых оболочек двоя-
кой кривизны (рис. 8.21,а).
Так же как и в складчатой системе, узловыми лини-
ями, проведенными в направлениях оси х, оболочка раз-
бивается на ряд панелей (рис. 8.21,6). Узловые линии
располагаются на уровне срединной поверхности в мес-
тах примыкания ребер, перелома поверхности оболочки,
Рис. 8.21
416
местах приложения сосредоточенной или линейнораспре-
деленной нагрузки или просто в некоторых промежуточ-
ных точках поперечного сечения системы. На точки уз-
ловых линий накладываем непрерывно распределенные
линейные и угловые связи, полностью устраняющие пе-
ремещения продольных сечений оболочки, которые соот-
ветствуют узловым линиям. Линейные связи, обозначен-
ные на рис. 8.21,6 индексом /, соответствуют продоль-
ным тангенциальным перемещениям и точек узловой
линии. Две другие поперечные линейные связи и угловая
связь располагаются в плоскости, содержащей нормаль
к поверхности. На рис. 8.21, б они отмечены индексом i.
Для каждой узловой линии неизвестные перемещения —
продольные Zj=Zj(x) и поперечные линейные или угло-
вые Zi=Zi(x)—представляем, как и в складчатой сис-
теме, в виде
Z. (х) — V 2(.n) sin (ялх/д);
1	(8.61)
Zi № ~ S 2</1) cos (пп*/а),
п=1
где 2<п> и — амплитуды соответствующих угловых или линей-
ных перемещений.
От смещений (8.61), соответствующих некоторой п-й
гармонике этих рядов, реакции в связях будут изменять-
ся также по закону синуса или косинуса. Далее, приме-
няя рассуждения, приведенные в главе 7, с учетом орто-
гональности гармоник синуса и косинуса различных но-
меров для оболочки постоянной толщины вдоль ОСИ X
придем к системе уравнений
i=N
2	(А=1,2, ... ,AQ, (8.62)
i=l
записанной относительно амплитуд перемещений Z<”> п-й
гармоники и полностью аналогичной уравнениям (7.20)
для складчатых систем. Здесь так же расчет ведется для
каждой п-й гармоники отдельно и затем результаты сум-
мируются в соответствии с рядами (8.61).
Общая матрица жесткости для всей системы (8.62)
может быть построена, если будет построена матрица
жесткости отдельной панели оболочки. На рис. 8.22, а
изображен элемент основной системы в виде панели по-
417
логой оболочки. На рис. 8.22,6 показано его поперечное
сечение. Введем следующую нумерацию неизвестных пе-
ремещений, соответствующих локальным связям эле-
мента:
Рис. 8.22
на левой кромке при (/=0: Zv(0) =Zf, Zu(0) =Z2;
Ze (0) =Zg; Zw(0) =Z$\
то же на правой кромке приy—b'. Zv(b) =Z5; Zu(b) —
Z6; Ze-(b)=Z7; Zu\b)—Zs (индексы n для простоты опу-
щены).
Для того чтобы построить локальную матрицу реак-
ций, обычно вначале определяют выражения амплитуд
усилий в продольном сечении N(2n}, S(n), М\п\ —
амплитуда приведенной поперечной силы, вычисленная,
как обычно, с учетом поперечной силы Q2 и крутящего
момента И), Давая в этих выражениях координате у
значения 0 и Ь, строят матрицу AZ усилий на левой и пра-
вой продольных кромках. Элементами каждого столбца
этой матрицы будут усилия на двух кромках панели от
перемещений Z(kn) = l (fe=l, 2,..., 8). Пусть матрица N по-
строена:
[«и
П21
П81
Л12 ‘ ’ П18
П22 ‘ ’ П28
77 8 2 * ’ * П88
(8.63)
Чтобы получить локальную матрицу жесткости эле-
мента /?', надо у части элементов матрицы N изменить
знаки, так как направления положительных усилий и
направления Zk(k = l, 2,...,8) совпадают не везде (см.
рис. 8.22). Применительно к указанным на этом рисунке
направлениям перемещений Zk и внутренних усилий за-
418
мена знаков может быть проведена умножением матри-
цы N на следующую диагональную матрицу G, отмечен-
ную знаками (...):
=	=	1 -1 1 1 1 I —1 _1J2V.	(8.64)
До сих пор панель рассматривалась в местной (ло-
кальной) системе координат, и матрица реакций (8.64)
получена для местных
связей, направления Zw и
Zv которых на обеих кром-
ках панели совпадают с
нормалью к поверхности
и с тангенциальным на-
правлением в поперечном
сечении. На рис. 8.23 по-
казаны направления мест-
ных и общих связей, где,
как обычно, левая на-
Рис. 8.23
чальная кромка элемента отмечена индексом н, а пра-
вая конечная—индексом к. Направления локальных свя-
зей отмечены штрихом. Перейдем от локальной матрицы
/?' к глобальной R. Разобьем матрицу/?7 на четыре блока:
п' • р'
^нн : 1'нк
^КН ; ^КК
Переход от матрицы /?' к матрице /? в глобальной
системе осуществляется по известным формулам:
[С1 *нн С1 ? СГ С2
------ .= .
^2 ^кн ’ ^2 *кк
(8.65)
где
coso^	0	0	sinaf~
0	10	0
0	0	10’
.— sin	0	0	cos ссг
(Z-1,2)
(8.66)
Вектор грузовых реакций в глобальной системе свя-
зей Rp выражается через аналогичный вектор в локаль-
ной системе по формуле
Кр=
Кри
RpK
С[ Rps
Ч R'PK
(8.67)
419
Зависимость между вектором амплитуд перемещений
Z' и Z в локальной и глобальной системах выражается в
виде Z = C,Z', (i=l,2).
Из найденных таким образом матриц и векторов
Rp отдельных панелей системы формируется общая мат-
рица жесткости и грузовой вектор всей системы (8.62).
Построение локальной матрицы R' (8.64) и определе-
ние краевых усилий (8.63) требует интегрирования сис-
темы дифференциальных уравнений для оболочечной па-
нели. Для каждой п-й гармоники это будет одномерная
система уравнений (по аргументу у) и ее интегрирование
может быть проведено различными путями.
§ 8.6. Построение матрицы жесткости
панели оболочки путем точного интегрирования
уравнений
Точное построение матрицы жесткости для панели
изотропной оболочки удобно осуществить, используя
уравнение (8.39), записанное относительно разрешаю-
щей функции F(x, у). Такое построение с применением
ЭВМ выполнено доц. Е. И. Мелешонковым [2]. Идея его
состоит в следующем.
Представим F(x, у) в виде одинарного ряда
оо
Yn(y) sin(8-68)
П=1
где (у) — искомые функции координаты у.
При построении матрицы жесткости внешним воздей-
ствием являются смещения с единичными амплитудами
продольных кромок панели у=0 и у=Ь, поэтому нагруз-
ку рз на этом этапе считаем равной нулю.
Подставив (8.68) в уравнение (8.39) при рз=О полу-
чим обыкновенное дифференциальное уравнение
/ d 'JV	/ d2 п\П
Yn + c2[k^-k2^)	=	(8.69)
где (—)IV, (...)п— четырех- и двукратный оператор, ука-
занный в скобках, примененный к функции Yn, а
Хп - пл/’а; с* = £6/0 = 12(1 — р2)/62.
Общий интеграл уравнения восьмого порядка (8.69)
420
содержит 8 произвольных постоянных Ci
г=8
Yn= 2 С2Ф,-(//),	(8.70)
i=i
ГДе	Ф. = ch рху sin qYy\ Ф* ~ ch pyy cos qxy\
(8.71)
Ф3 = sh ppy cos qpj', Ф, - sh pxy sin qpy,
а функции Ф5—Ф8 имеют те же выражения, что и (8.71),
но с заменой чисел pi, qx на р2, г/2, причем указанные
числа являются корнями соответствующего характерис-
тического уравнения для (8.69) и имеют такие значения:
/и = ^х/2; у = с/.-’(£,—Л,2).
Здесь в первой формуле плюс отвечает корням и р2>
минус qi и ^2, а во второй и третьей формулах эти знаки
относятся к числам. Bi и Д2, В2 соответственно (для
у>0). В случае у<0 в формуле для Д1,2 вместо ± на-
до поставить +.
Составим матрицу 0, состоящую из функций 0г (/=
= !,...,8) и их семи производных (штрихом обозначены
производные Фг по у)
(8.73)
Ф™ .... 0^nJ8x8-
Свойство функций Фг состоит в том, что, если первую
строку 0 обозначить Фт =[0i...0s], то все последующие
строки получаются по простому правилу
(ф' )т = [ф; .., Ф8] - Фт Д;
(ф" )т = [ф" ... ф"] = Фт Д2;	(8.74)
421
($V11)T = [фу11	= Зтд7>
где матрица Д состоит из элементов
ГД1! 0
L О :42J
О — Qi О Pi~
Qi	0	Pi	О
°	Pi	0	qt
Pi 0	~ Qi О
; (i’=l, 2). (8.75)
Таким образом, располагая числовыми матрицами
(8.75), на ЭВМ очень легко построить матрицу Ф (8.73).
Матрица Ф необходима, поскольку через функции Ф7-
и их производные выражаются все усилия и перемеще-
ния оболочки данной я-й гармоники разложения (8.68).
Действительно, этому разложению функции F(x, у}
соответствуют такие выражения для перемещений и уси-
лий в оболочке
где коэффициенты рядов, отмеченные верхним индексом
(п), являются функциями координаты у. Они могут быть
выражены через функции Yn(y) с помощью соотношений
(8.38) и уравнений (8.24), (8.25) и (8.34) путем подста-
новки выражений (8.76) и приравнивания в левой и пра-
вой частях равенств множителей при одинаковых сину-
422
сах или косинусах. Такие вычисления дают следующие
равенства:
VW =	(2 + ц)] Y‘n + (й2 + И*!) У"п;
= - (^ + Ц*2) Л® Yn + [Лг (2 + р) - fe2l кп Y"n-
е(л)=-^^ + 2Х2п<-Упу;
-(п> =-^^ + 2Х2„г;-у1у;
jv<'’> = £6(vX-*iHiv);
N^^Eb{-k^nYn + k^nY’ny
SW = E^(k2^nY'n-\^nY^
Af(«) = О (-Л® Yn + 4 (2 + И) < - Л2 (1 + 2р.) У™ + рУХ1); (S. 77 )
^П) = D (- ИХ6„ У„ + Л.4„ (1 + 2р) Y"n - А2 (2 + р) У,1/ + Y™)-
= D (1 - р) (? = Y'„ - 2Х3п Y"n + Ап УХ)!
И}«> ^D(-%7nYn+ л* (4 ~ Р) У'„ - <5 - 2р) У™ +
+ An(2-p)y'XI);
У<"> = D (- л« (2 - р) УJ, + Х4„ (5 - 2р) Y’n - Х2„ (4 - р) У^ + У^п)
В формулы (8.77) входят функции Yn и их производ-
ные, которые выражаются через известные функции Ф/.
Дифференцирование же последних, как отмечалось,
удобно производить с помощью матричных равенств
(8.74).
Для построения матрицы жесткости панели оболочки
введем два вектора: вектор перемещений и2 и вектор
усилий ^2, элементами которых являются амплитуды пе-
ремещений и усилий вдоль линий у = const:
’ о(л>		~N^ ~
u(n)		S<n)
0<П)	; Na =	Л4^'°
ц,(л)		_V2n) _
(8.78)
С помощью формул (8.77) составим выражения для
перемещений при 1/=0 и у=Ь у левой и правой кромок
панели, представив их в матричной форме
«2 (?)
«2 (&)
о। iL«J l0<*”
•С= А-С,
(8.79)
423
где
О
- (*1 - н*2)
о
. "4
1Л>1 ' ^2 (2 I Р)]
О
— л4
п
О
(*2-гм*Р	о ООО-
0	0 0 0 0
21;.	0—100	*
О	—1000
о
№ (2 + р) - k2] '
О	—>
(8.80)
а через С обозначена подлежащая определению матри-
ца постоянных интегрирования (8.70), отвечающих еди-
ничным амплитудам перемещений левой и правой кро-
мок панели,
£11 £.1? £|3 £14 £15 £16 £17 £18
Q __ £zi..........................£28
^£"1........................£в8.
(8.81)
Номер столбца этой матрицы совпадает с номером пере-
мещения Zi (/=!,...,8) в локальной системе координат
(см. рис. 8.22), которому отвечает данный столбец посто-
янных интегрирования. Величины Ф(0) и Ф(Ь) в (8.79)
означают матрицы (8.73) при у — 0 и у=Ь.
Полагая в (8.79) перемещения, составляющие век-
торы и2(0) и 112(b), поочередно равными единице, полу-
чим матрицу С как обратную матрице А равенства
(8.79), т. е.
С = А-'.
(8.82)
Теперь остается только найти краевые усилия М2(0)
и ^2(Ь) (8.78), что с помощью формул (8.77) приводит
к равенству, аналогичному (8.79),
L (6) [о \^г
где
Ф(0)
Ф(й)
(8.83)
		0	0
/ —	0	—/г.,?.’ В	0	
—		<•	??„(!+ 2p)D	0
	0	-	<2—ц)о	о	^(5-2f*)D
424
о	о о о
О	ООО
— 12„(2 4-|X)D	О DO
о	_^(4 — il)D О — D_
В = Е6.	(8.81)
Матрица У (8.83) и есть матрица краевых усилий
(8.63), вызванных единичными смещениями кромок у—О
и у=Ь, с помощью которой по формуле (8.64) строится
матрица жесткости R' панели в локальной системе коор-
динат /?'8х8 = 6-Л\ или в развернутой форме
^8X8
М-°. 1
О :^2]
Ф(О)
_Ф(Ь)
= G
Если нагрузка на панель р3#=0, то представив ее в
виде
оо
= Яп (у) sinXnx,
П=1
придем к неоднородному уравнению типа (8.69) в кото-
ром вместо нуля в правой части будет (—qn(y)!D). Об-
щий интеграл вместо (8.70) надо будет записать в виде
z=8
Уп=2 С(ФЛЙ +Участи.	(8.86)
в котором частное решение Участн зависит от вида правой
части (—qniyjlD), а постоянные С/, составляющие век-
тор Счастн, должны быть найдены из условия, что при
/у==0 и у—Ь перемещения кромок отсутствуют, т. е.
и2(0)=0 и ц2(Ь)=0. Действуя аналогично тому, как это
делалось при получении матрицы реакций панели (8.85),
можно получить следующее выражение для грузовых ре-
акций рассматриваемой панели:
425
где через УчасТн обозначен вектор, составленный из функ-
ции Участн и ее первых семи производных, Е — единич-
ная диагональная матрица (16X16).
Естественно, что для применения описанной методики
надо иметь полную программу расчета, формирующую
для каждой гармоники п из отдельных панелей общую
матрицу жесткости системы, производящую решение сис-
темы уравнений и вычисление усилий и перемещений, а
также выполняющую суммирование результатов, полу-
ченных для всех удерживаемых гармоник. Приведем при-
426
мер расчета по такой программе, составленной Е. И. Ме-
лешонковым.
На рис. 8.24 приведены некоторые эпюры прогибов и усилий для
оболочки, загруженной нагрузкой, распределенной по поверхности
и вдоль линии. Характеристики оболочки: /г,=/г2—0,025 (1/м), 6=
— 0,06 м, р,=0,15. Один край оболочки считался жестко защемлен-
ным, все остальные — шарнирно-опертыми.
На рис. 8.25 приведены результаты расчета аналогичной оболоч-
ки, опертой на двух краях на криволинейные упругие брусья разме-
427
Рис. 8.26
ром в первом случае 0,2X0,3 м и во втором — 0,2X0,4 м. Оболочка
загружена нагрузкой q, распределенной вдоль линии по оси сим-
метрии. В эпюрах прогибов общим множителем является величина
103 47/Е6. Вдоль оси у оболочка разбивалась на восемь панелей.
Опорные брусья учитывались путем добавления их матрицы жест-
кости (с учетом деформаций изгиба, растяжения и кручения) к
матрице жесткости примыкающего элемента оболочки. В расчете
удерживались гармоники для п— 1, 3,5,...» 15. Сплошной линией на
428
рис. 8.25 показаны эпюры для менее жесткого бортового бруса,
пунктиром — для более жесткого. Как видим, упругая податливость
опорного контура может заметно влиять на напряженно-деформиро-
ванное состояние оболочки. Данный метод позволяет легко учиты-
вать наличие упругих подкрепляющих ребер, а 1акже вести расчет
многоволновых оболочек.
На рис. 8.26 приведены эпюры двух схем загружения двухвол-
новой оболочки с бортовыми брусьями сечением 0,2X0,4 м. Срав-
нение эпюр показывает, что изменение нагрузки в левом пролете
практически не отразилось на эпюре усилий правого пролета. Это
говорит об относительной локальности влияния нагрузки данного
пролета. Разрыв в ординатах эпюры М2 в месте сопряжения волн
оболочки при несимметричном загружении объясняется сопротивле-
нием бруса кручению.
§ 8.7. Численные методы построения
матрицы жесткости панели
В случае ортотропной, многослойной или оболочки
переменной (вдоль оси у) толщины решение соответст-
вующей краевой задачи для одномерной системы диффе-
ренциальных уравнений существенно усложняется.
Поэтому в таких случаях целесообразно воспользовать-
ся одним из численных методов. Наиболее эффектив-
ными оказываются два подхода. Первый представляет
собой интерполяционную методику решения краевых за-
дач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Он основан на использовании числовых матриц интегри-
рования Q или дифференцирования D. Их построение
осуществляется на основе выбранной системы базисных
функций, с помощью которых производится аппрокси-
мация неизвестных функций и их производных данной
краевой задачи.
Второй подход основан на сведении данной краевой
задачи, в которой граничные условия формулируются в
начале и конце участка интегрирования (т. е. на левой
и правой кромках панели оболочки), к последовательно-
сти задач Коши, каждая из которых решается при гра-
ничных условиях, заданных в начальной точке участка
интегрирования [19]. Здесь наиболее эффективным ока-
зывается применение методов численного интегрирова-
ния типа Рунге—Кутта с промежуточной ортогонализа-
цией (метод ортогональной прогонки). Поскольку по-
следние достаточно широко освещены в общематемати^
ческой литературе, далее кратко остановимся на интер-
поляционной методике.
429
Рис. 8.28
пользования в качестве ба-
зисных функций полиномов
Лагранжа (рис. 8.27):
(х — а0) (х — gt)... (х — af-i) (X — дж)... (х — ап)
1 Х (flf — Go) (°i	G1)
(az — а^) (at — of+1)... (af—an) ’
(8.88)
(i = 0, 1,2,..., и), а0 = О,
Особенность полинома Ri(x) состоит в том, что в i-м
узле он принимает значение, равное единице, а во всех
остальных п узлах равен нулю.
Пусть кривая у(х) и ее производная у'(х) характе-
ризуются векторами (рис. 8.28)
Уо
У
У =
(8.89)
L»nJ	уп
Аппроксимируем кривую у'(х) полиномами Лагранжа
У (*)	+	(8'90)
Интегрируя выражение (8.90) от х=0 до х=аь аъ...,ап,
получим связь между векторами у и у*
У^Уо-е-1-Qy',
(8.91)
где
Г 0 0
Q =
0 1
_ tono(Oni-. -WunJ
Г1 1
(8.92)
е =
Элемент матрицы им определяется по равенству
ah
G)ki~ f (*) dr,
0
а графически изображается площадью, заштрихованной
на рис. 8.27. Так, для п=2; 3 и 4 при делении участка
430
интегрирования на равные отрезки d матрицы Q, вычис-
ленные проф. А. Ф. Смирновым, будут:
п — 2
го о
5 8
4 16
°1
—1 ;
4
(8.93)
/1 = 3
г0 О ОО-.
_	9 19—511
“ 24 8 32	8 0 ;
L9 27 27 9J
	Г °	0	0	0
d	251	646	—264	106
Q =		232	992	192	32
720	243	918	648	378
	L224	1024	384	1024
Оп
—19
—8
—27
224J
Матрица Q переводит вектор производной в вектор диф-
ференцируемой функции. Последовательно применяя это
равенство к старшим производным (т. е. аппроксимируя
каждую из них полиномами Лагранжа), получим век-
торы последовательных производных
у = у^ + ^у'\
/ =	(8.94)
1)	(m—1)
у — уо e+Qy .
В правых частях этих выражений можно получить
только вектор старшей производной у{т\ если последо-
вательно, начиная с последней строки (8.94), сделать
подстановку у{т~1\ у(т~2) и т. д. в предыдущие строки.
Тогда получим
У = Уов	О? У™;
У = уве 4-	.+ у^т-° Q(,n 2)e4~Q(/n у^.
Жт-1>~е + О?т'
(8.95)
Здесь Qft—степени матрицы Q. Для равноотстоящих уз-
лов имеем простое соотношение
г о 1
1
2fe
Qe=~T
(8.96)
У =
431
Таким образом, равенства (8.95) выражают неизвестные
векторы функции у и векторы ее последовательных про-*
взводных от первой до (т—1)-й через вектор старшей
производной у<™> и т начальных значений z/o, Уц,...у{™—1}
Равенства (8.95) можно записать более компактно,
если ввести расширенный вектор старшей производной,
добавив в число координат этого вектора значения функ-
ции и ее производных в начальной точке, т. е.
!/о
у'о
:(т) =
^0
-*(т)
_ У
Тогда равенства (8.95) запишутся в виде
“7	(т— 1)
У =1 Y ,
(8.97)
(8.98)
где матрицы /, имеющие (п+1) строку и (яь-|-п+1)
столбец, состоят из таких блоков
/"'=[7; й^ Й2^ ...;йт~1^ й"1];
/”>-’ =	йЛ...;йл,-2^йт-’];	(8-99)
/ =	0-0;. ..;е; й];
0 — нулевой столбец.
Теперь введем матрицу дифференцирования. Вместо
равенства (8.91) напишем в известном смысле обратное
соотношение
У' = y'oh + Dy.	(8.100)
Матрица дифференцирования D и столбец h переводят
вектор функции у в вектор ее производных у'. Для про-
извольного интерполяционного базиса матрицу D мож-
но получить формально из (8.91), выразив ее через эле-
менты матрицы Q. Обозначим в (8.92) соответствующие
432
блоки матрицы Q так:
(Oli .. . (dln
wni •• ’^пп
Тогда из (8.91) получим
0 .L
— Q"1 7 : !
о
Q-1
(8.101)
(8.102)
Однако, с использованием полиномов Лагранжа величи-
ны D и h легко получить независимо от Q для любой
сетки размещения узловых точек.
Введем полином Н(х), имеющий ординаты во всех
//'(0) = 1 (рис. 8.29, а)
Q* =
D —
(— п п
Я (х) ----------X (х — (х — а2)...(х — ап).	(8.103)
Мг* .ап
Кроме того, введем полином Q/(x), аналогичный поли-
ному Лагранжа (см. рис. 8.27), но отличающийся от него
лишь тем, что в точке х=0 производная Qt'(0)=0
(рис. 8.29,6). Через полином Лагранжа Ri(x) и полином
Н(х) функция Qi(x), очевидно, может быть выражена
так:
Q. (х) = Я. (х) - ₽: (0) • Н (х).	(8.104)
Теперь аппроксимируем функцию у(х) с помощью
кривых Qi(x) и Н(х)
у (X) = у'0Н (х) + у0 Qo (X) +	(X) -Ь. .4- уп Qn(x}. (8.105)
Здесь первое слагаемое дает возможность распоря-
жаться величиной t/', а все остальные слагаемые обес-
433
печивают совпадение ординат полинома (8.105) с ап-
проксимируемой кривой у(х) в узловых точках. Геомет-
рически слагаемое у'^Н(х) на рис. 8.30 представлено ор-
динатами нижней кривой, а все остальные слагаемые
1=п
<2И = ^У^1М	(8.106)
г=0
выражают разности ординат верхней и нижней кривых.
Дифференцируя (8.105) и вычисляя производные в
точках х=0, аь а2,..., ап, получим элементы вектора h
и матрицы D, которую удобно представить как разность
D = DR-DH	(8.107)
в следующем виде:				
h =	1 н' (0J		Л'(О)	(O).-X(O)	;	(8.108)
			;[«o(0)«;(0).../?;(0)].	
Первая строка матрицы D, естественно, как и в (8.102),
получается нулевой. Элементы матриц (8.108) R't(x) и
Н'(х) вычисляются по формулам, являющимся резуль-
татом дифференцирования (8.105)
/=0,l...,(f-l).(i-H).п
,	2	(*—«о) • • •	ai+l)... (х —
— ----------=!!i_________________________________'__________
4	(^i —а0)-..(а£ —	—
— az+i)...(flf — an)
T	(X — a„)... (X — aj-j) (X — a;+1)... (x — an)
1Г (x) = (- 1)"----—-------------------------------------------------
#1^2' • '&П
(8.110)
причем здесь надо считать а0=0.
434
При равных интервалах для п=2, 3, 4 h и D имеют
значения:
1
п = 2
О
D=^T 1-2,5
2d I 4
2d
О
2
—8
О
0,5
4
Г 1 1
-1/3 .
1/3 ’
L—1 J
D 18d
n = 3
Г 0
—17
14
L—39
О
9
—36
81
О
9
18
—81
0-1
—1
4
39 J
• 1 -
—0,25
1/6
—0,25
. 1
24d
п = 4
- О
— 18,5
31/3
—14,5
_ 56
О
4
—32
36
-128
о
18
12
-54
144
О
—4
32/3
28
—128
О 
0,5
4,5
56 J


1
(8.111)
Используя рассуждения, аналогичные приведенным
выше, запишем наподобие (8.98) выражения всех произ-
водных от первой до m-й включительно через расширен-
ный вектор У
ут = [^т), $п~Л}..У»' У1.....Уг\-	<8-112>
Эти выражения имеют вид
Р = ДУ;
? = Д2 У;
Ут = дт Yf
где матрицы Д, имеющие	строку и
столбец, строятся из элементов
Д = [0; 0;.....;0;	h\ DJ;
Д2 = [0;0;...; б;h\ Dh\ D2];
Дт = [Л; Рй; Я2 й;...; Dm~~x h-t Dm].
(8.113)
(m+n+1)
(8.114)
Методика применения матриц интегрирования I
(8.98) или дифференцирования Д (8.114) к решению
краевых задач для дифференциальных уравнений в
принципе одинакова. Рассмотрим ее на примере исполь-
зования матриц Д.
435
Пусть дано дифференциальное уравнение tn-го по*
рядка:
Fm (х) у™ +	у'т~'} +• • •+ Fi (х) у = Fo (х). (8.115)
Разбив участок интегрирования на п интервалов и введя
векторы функции —	уп}, а также ее произ-
водных (*/')т= [*/о; У\ ,—,Уп] и т. д., выразим производ-
ные с помощью равенств (8.113) через расширенный
вектор функции (8.112):
If т \Дт r+ ff^W1"1-1’ Y +•. • + [F.j Д f- (foj.	(8.116)
Здесь через |7\] обозначена диагональная матрица, со-
ставленная из значений функций Fk(x), вычисленных при
%—0, «1, а2, ап. Равенство (8.116) представляет
(п+1) алгебраическое уравнение относительно (т +
4-п +1) компонент вектора У. Добавив необходимые т
граничных краевых условий, получим (/zz+n-bl) урав-
нений, совместное решение которых дает все (m+n-t-1)
компонент искомого вектора У. Через него с помощью
равенств (8.113) выражаются необходимые в задаче век-
торы производных функции у(х).
При использовании матриц интегрирования путь ре-
шения аналогичен, но окончательная система алгебраи-
ческих уравнений будет записана относительно расши-
ренного вектора старшей производной У(т) (8.97). Опыт
расчетов на ЭВМ показывает, что описанная методика,
обладая достаточной точностью и универсальностью, с
успехом может применяться и применяется при решении
различных краевых задач строительной механики, в том
числе и для построения матриц жесткости оболочечных
элементов.
Г лава 9. ПРИВЕДЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
К ОДНОМЕРНЫМ. ПОНЯТИЕ О РАСЧЕТЕ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СИСТЕМ
ПО МЕТОДУ В. 3. ВЛАСОВА
§ 9.1. Приведение многомерных задач
к одномерным
При расчетах на прочность двумерных и трехмерных
элементов конструкций необходимо решать краевые за-
дачи для уравнений в частных производных. Гораздо
436
проще решаются граничные задачи для обыкновенных
дифференциальных уравнений, когда неизвестные функ-
ции являются функциями одной переменной. Поэтому в
расчетах сооружений и их элементов часто используют-
ся различные способы приведения двумерных и трехмер-
ных задач к одномерным.
Примеры решений двумерных задач с использовани-
ем одинарных тригонометрических рядов даны в преды-
дущих главах, в которых расчеты цилиндрических приз-
матических систем и осесимметричных оболочек приво-
дились к решению краевых задач для систем обыкно-
венных дифференциальных уравнений. Решение
одномерных краевых задач удается иногда получить в
элементарных функциях (см. § 7.3, 7.4) либо на ЭВМ с
помощью соответствующих стандартных программ (про-
цедур) .
Для приведения двумерных и трехмерных задач к
одномерным не обязательно использовать тригономет-
рические функции. Даже в задачах расчета на изгиб
прямоугольных пластин (см. § 7.2) тригонометрические
ряды удобны в случае шарнирного опирания пластины
на двух параллельных кромках. При произвольном опи-
рании пластин решение задачи осложняется уже на эта-
пе получения обыкновенных дифференциальных уравне-
ний. Еще сложнее получить соответствующие системы
уравнений для конструкций, состоящих из нескольких
пластин и оболочек. В разработку способов приведения
двумерных и трехмерных задач к одномерным внесли
большой вклад советские ученые. Широко известен ме-
тод Канторовича—Власова,
который предложен почти	ъ
одновременно с разных по-	а ,-т-Л-гг	Ш
зиций математиком Л. В.	-- и I m ♦---- Т
Канторовичем и специалис-
том в области строительной
механики В. 3. Власовым.
Рассмотрим этот метод, *
его связь с методом Галер-
кина и различные варианты
его трактовки на примере ___________________л
решения плоской задачи тео-	ttW
рии упругости для ортотроп-	*
ной пластины, показанной
на рис. 9.1. Будем опреде-	Рис. 9.1
437
лять напряженное и деформированное состояние этой
пластины от заданной нагрузки q.
Поставленную задачу можно рассматривать как крае-
вую для системы дифференциальных уравнений в пере-
мещениях
д2и д2и d2v
&ХХ----Ь Kxv--1“ Н XU- Рх =
ххдх‘‘	ху йу> xv дхду	Рх
d2v	d2v	д2и
КУ^ + К^^ + Н^+р^°’]
Ех8	..
где Кхх = -	- —— ; Kvy — у— — ;
1 Ихг/ Н!/Х	1 Pxj/ Pz/X
Кху — Кух = Gxy 6 ~ Gyx S’, Нху=* рХУ Кхх 4" Кху\
Нух = H/х Куу 4" Кух\
(9.1)
рх, Ру — составляющие объемных сил в направлении осей х и у.
Уравнения (9.1) получаются из аналогичных уравнений равно-
весия в напряжениях (4.5), (4.20) подстановкой в них зависимо-
стей Гука для ортотропного тела. Выражения деформаций через на-
пряжения для плоского напряженного состояния записываются сле-
дующим образом:
1	Нху	1	Рух
ех — р ах — р Gy> еу~ р °у~~ р °х»
ЕХ	Еу	Еу	Ех
или
. Г ^!Ех —Px^Z/l
L—PyxIEx	ИЕУ 1
откуда
-	----!---Г Ех
1--Pxl/Pj/X LPz/X Еу Еу J
Для касательных напряжений имеем
ЪХу — Ъух ~ бХу уХу = GyX УуХ'
Записывая деформации через перемещения
ди dv	ди dv
ex==^'ej) = ~d^'	=	=
(9.2)
(9.2')
(9.3)
подставляя (9.3) в (9.2) и (9.2') и далее результат в уравнения
равновесия (4.2), (4.20) и умножая последние на толщину пластины
6, получаем (9.1).
В частном случае для изотропного тела при
= ^у = Е> Рху = Н/х = Ц5 бХу = Gyx == G = Е/[2 (1 + р,)]
438
коэффициенты уравений (9.1) будут следующими:
кхх = куу = кху-КуХ-аь- 2(1+и) ;
Е6
Нху = НуХ- 2(1_|Х) •	(9'4)
Выражения для внутренних сил Nx, Nv, Тху=Тух по-
лучаются путем умножения (9.2), (9.2') на 6. Внутрен-
ние силы записываются через перемещения следующим
образом:
&ЕХ (ди , dv \	.п
А/х = “-------~ Т“Р	(9-5)
1 — Нху ,ui/x \ дх	ду }
ЬЕц I ди dv \
Му = -—-— bi/*	h	(9.6)
1 — Hf/x \ дх ду /
fdu dv \
T=Gb — +— .	(9.7)
\ ду дх]
Таким образом, в задаче, указанной на рис. 9.1, гранич-
ные условия для уравнений (9.1) запишутся следующим
образом:
при — 0 и^О; и = 0;	(9.8)
при г/— h 7 = 0; ——h~=0;	(9.9)
ду дх
f 0 при 0	< а\
Му — ]—Q » а < х	(9.10)
(О » д<х</,
Nv выражается через и и v формулой (9.6);
при х=0 и х=1;
Л'х —0 и 7^0;	(9.11)
Nx и Т записываются согласно формулам (9.5) и (9.7).
Решение уравнений (9.1) при граничных условиях
(9.8) — (9.11)—непростая задача, даже при использо-
вании в расчетах современной вычислительной техники.
Одним из способов решения этой задачи является
приведение ее к решению граничной задачи для, вообще
говоря, бесконечной системы обыкновенных дифферен-
циальных уравнений. Для этого можно использовать
метод Галеркина. Представим неизвестные перемещения
и(х, у) и у(х, у) через базисные функции <рДх) и ф,(х):
и = S иь	о = 2 vh (У) № W •	(9.12)
fe=l	/г=1
439
Будем считать, что каждая из систем функций <р&(х)
и фл (х) является полной системой, т. е. имеется единствен-
ная функция—тождественный ноль, ортогональная на от-
резке О—I ко всем базисным функциям фа(х) или i|^(x)«
Используя это свойство тождественного нуля и подстав-
ляя (9.12) в уравнения (9.1), умножая их соответствен-
но на ^i(x) и tyi(x) и интегрируя от нуля до I
У J (Кхх % 5 + К**	+ °'k д? +₽«) <Р‘ dX = °:
1г О
2	+ *VV % + Ндх +	dX=0’
!Г о
получаем систему уравнений (/== 1, 2, 3,...)
Кух 2 aik uk + *Хх V tik -j- Hxy 2 cik vk ^х,1 ~ 9»
k	k	k
Kyy 2 dik vk KyX 2 /ik vk	Hijx 2 ^ik Uk Qy,i 9,
k	k	k
I	I	)
c	c
aik = J <Mh dx; bih = J <p2 — dx;
о	о
i	i
Cih = ] dx dX} dih J dx:'
о	0
0
I	I
C	dqh	C
iih = j 17 dx' Яхл j Px ъ dx;
о	0
4v,i J Py Vt dx-
(9.13)
(9.14)
Штрихом в уравнениях (9.13) обозначено дифферен-
цирование по у.
Формулы (9.14) содержат под знаком интегралов
вторые производные по х, от которых можно избавить-
ся, используя интегрирование по частям. Сейчас не бу-
дем этого делать, так как в дальнейшем такие коэффи-
440
циенты уравнений (9.13) будут получены другим вариа-
ционным методом.
Граничные условия для уравнений (9.13) получаются
при f/=0 подстановкой выражений (9.12) в формулы
(9.8):
при у = О (0)=0; Vi (0) = 0 (t — 1,2, 3, ...) . (9.15)
Сложнее вывод граничных условий при y—h. Поступим
аналогично тому, как это делалось при выводе уравне-
ний (9.13). Подставляя выражения (9.12) в формулу
(9.9), умножая это равенство на <р<(х) (i— 1, 2, 3, ...) и
интегрируя от нуля до /, получаем: при y = h
^alkU;(h) + ^ctkvkW=Q.	(9.16)
k	k
Аналогично, подставляя в равенство МгДй)+<7=0 выра-
жение (9.6) с учетом формул (9.12), умножая это равен-
ство на фг(х) (i=l, 2, 3, .,.) и интегрируя от нуля до I
1 -
у +3 v'k +?w] **dx=°(9,17)
и	k	k
с учетом заданных условий (9.10), получим (i=l, 2, 3,
...)
^УУ Jid {ih uk Куу	Qy,t “°*
k
где
_ ь
(9- 19)
а
Обратим особое внимание на механический смысл
операций, выполняемых при получении уравнений (9.17).
Умножая в соответствии с процедурами метода Галерки-
на Ny(h) и q на фг- и интегрируя, мы тем самым опреде-
ляем работу внутренних и внешних сил в точках y~h
на возможных перемещениях, задаваемых по одной из
базисных функций и=фг(х). Эта работа в соответствии
с принципом возможных перемещений должна равняться
нулю. В совокупности удовлетворение всем равенствам
(9.17) при 1=1, 2, 3, ... эквивалентно равенству внешних
сил q и внутренних Ny во всех крайних точках y = fi.
441
Аналогичный смысл имеют и те операции, которые
выполнялись при получении уравнений (9.13). Заметим,
что для получения этих уравнений, вообще говоря, нет
необходимости использовать уравнения в частных про*
изводных (9.1).
Как показал В. 3. Власов, эти уравнения и, что самое
существенное, аналогичные уравнения для более слож-
ных цилиндрических систем, могут быть получены пря*
мым вариационным способом. Для этого рассмотрим
равновесие элементарной полоски dy, вырезанной из
пластины двумя смежными сечениями (рис. 9.2), парал-
лельными оси х. Поскольку полоски находятся в равно-
весии, то в соответствии с принципом возможных пере-
мещений работа всех сил, показанных на рис. 9.2, а, яв-
ляющихся внешними по отношению к полоске, в сумме
с работой внутренних сил должна равняться нулю на
любом возможном перемещении. Примем за возможное
перемещение перемещения по закону v(x) =ipj(x) при
,ч(х)=0 (рис. 9.2,а). Тогда возможная работа А в соот-
ветствии с рис. 9.2, б запишется так:
= J dy) ’I’i dx + J (Pv dy) 4’;
о	0
dx — С (T dy) — dx,
J dx
о
(9.20)
442
Последнее слагаемое выражения (9.20) представляет со-
бой работу внутренних сил Т полоски на ее деформаци-
ях в соответствии с рис. 9.2, а, б. Поэтому оно записано
со знаком минус. Другие внутренние силы Nx работы не
производят, так как при заданной деформации е==
=ди/дх=0.
Подставляя в (9.20) выражения для внутренних сил,
записанные в соответствии с формулами (9.6), (9.7) и
(9.12) через иь({/)» vk(y) и базисные функции
k	k
(9-22)
1г	1г
и приравнивая возможную работу (9.20) нулю, получим
уравнение
^yy^i^ikvk КуХ 2 rikvk	Кху	0,
k	i	k
(9.23)
где штрихом по-прежнему обозначено дифференцирова-
ние по у,
и	о
Остальные коэффициенты совпадают с соответствующи-
ми выражениями (9.14). Коэффициенты уравнения
(9.23), на первый взгляд, не полностью совпадают с ко-
эффициентами второго уравнения системы (9.13), но ин-
тегрированием по частям коэффициентов fik, tik с уче-
том отсутствия нагрузок на кромках х=0, х—1 можно
преобразовать второе уравнение системы (9.13) к виду
(9.23). Действительно, интегрирование по частям дает
для коэффициента fik следующее выражение;
Аналогично
i t
tih = 4>fc Ф; | — J Фл dx.	(9.26)
0	0
443
Учитывая, что НуХ=КууЦУх+Кух и подставляя выраже-
ния (9.25), (9.26) во второе уравнение системы (9.13),
легко преобразуем его к виду (9.23) с добавочным сла-
гаемым в виде
<Гл)4’1 I =Т№(П-ТШ(0)- (9-27)
'it	k	о
В нашем случае эти слагаемые согласно (9.11) равны
нулю, так как грани х=0 и х=1 не нагружены. Если
Т(0)#=0, 7(/)=#0, то возможную работу этих сил (9.27)
нужно учитывать и при выводе уравнения (9.23).
Аналогично, задавая полоске возможные перемеще-
ния и=(р,, и=0 и приравнивая возможную работу А ну-
лю, получим согласно рис. 9.2, а, в
i	i	i
J dX + J (Рх	dx===0’ <9>28)
ООО
где знак минус перед последним слагаемым объясняет-
ся тем, что это слагаемое равно работе внутренних сил
Nx на деформациях г—д^дх.
Учитывая выражения сил Nx через и*, Vk, базисные
функции <рг-, фг-
и аналогичное выражение для сил Т (9.22), преобразу-
ем (9.28) к следующему виду:
Kjcy Jij aik uk &xx 2 §ik uk "Ь
k	k
+ 2 (Kxv	- Kxx »xv	+ 4x,i = 0.	(9.29)
где
f dqh 6<pf	f 5q>l
6*=}-^dX’ S*'=]^dX'
0	0
остальные коэффициенты совпадают с соответствующи-
ми коэффициентами уравнений (9.13).
Аналогично предыдущему интегрированием по час-
тям коэффициентов bik и аь можно преобразовать пер-
вое уравнение системы (9.13) к виду (9.29) с дополни-
444
тельными слагаемыми, равными работе сил Лгх(0), Лл(/)
на перемещениях cpt(O), <pt(Z):
МХ (О Ъ (0) Ф; (0).
В данном случае это слагаемое равно нулю, так как
Ах(0) = Nx(l) =0. При необходимости величину возмож-
ной работы сил ZVX(O) и Nx(l) можно учесть соответст-
вующими слагаемыми в уравнении (9.29).
Таким образом, для расчета ортотропной пластины
необходимо решить систему уравнений (9.23), (9.29) при
граничных условиях (9.15), (9.16), (9.18).
В частном случае изотропной пластины, учитывая со-
отношения (9.4), будем иметь систему уравнений
В. 3. Власова (£=!, 2, 3, ...) [9]
1 — ц VI
—2/^-

(9.30)
где
aih=
о	о
0	о
I	I
^ih = J 'Фа. ’> rih ~ J
о	о
о	О
(9.31)
чх,1 = 4x.i (Й = j °Л dx< %.1 = 4v.i (У> = f Р„ Ч’.-dx-
0	о
445
Остановимся еще на одном способе получения урав-
нений (9.30) и подобных им уравнений для цилиндриче-
ских систем.
Запишем выражение для полной энергии пластины
I h
~ С Г Г 1 Г жт ди г А7 „ (ди dv V]
J J {т г* *+Л^+ги+^)г
о о
— Рх — Ру дх dy Н- 77КОНТ ,	(9.32)
где Лкопт — потенциал сил, приложенных на контуре.
ъ
Для пластины по рис. 9.1 /7К0Нт= j* qv(h)dx.
а
Подставляя в (9.32) выражения v, и, Nx, Ny, Т через
базисные функции фг(х), фг(у) и неизвестные Ui(y),
Vi(y), получим, что полная энергия Э является функцио-
налом Ui и Vi — функцией функций щ(у), Vi(y), Соглас-
но принципу Лагранжа для деформируемых тел полная
энергия Э в состоянии равновесия должна иметь стацио-
нарное значение. Используя этот принцип, на основании
прямого метода вариационного исчисления — метода
Л. В. Канторовича, получим, как и в методе Ритца, урав-
нения (9.23), (9.29). В отличие от метода Ритца получа-
ем систему дифференциальных уравнений, так как ко-
эффициенты Vi в выражениях (9.12) являются функ-
циями переменной у.
Как видно, уравнения (9.23), (9.29) могут быть полу-
чены различными способами. Самый простой, наглядный
и достаточно универсальный способ — ёто применение ме-
тода В. 3. Власова, т. е. непосредственное использование
принципа возможных перемещений и запись уравнений
равновесия для элементарной полоски.
При решении практических задач бесконечные систе-
мы обрываются на каком-то номере и решается конеч-
ная система дифференциальных уравнений. Например, в
качестве базисных функций при решении рассматривае-
мой плоской задачи можно принять степенные полиномы
<Рг(х)=фг(х)=Рг(л:) (рИС. 9.3).
Ограничиваясь в расчетах функциями (р0=='ф0= 1 и
мы как бы вводим «гипотезу плоских сече-
ний» аналогично методам сопротивления материалов,
Удерживая в расчете большее число функций, будем
446
Рис. 9.3
уточнять решение,
практически до тех пор,
пока добавление новых
функций не изменяет в
заданных пределах на-
пряженного и дефор-
мированного состояния
пластины.
Обратим внимание на то, что базисные функции не
обязательно должны быть дважды дифференцируемыми
функциями, как это следует из формул (9.14). Согласно
выражениям (9.31) достаточно, чтобы существовали пер-
вые производные дцн/дх, dtyi/dx. Таким образом, разбив
пластину по длине I на несколько участков M—d, мож-
но приближенно представить функции и и v в каждом
сечении ломаными (рис. 9.4,а). Это будет соответство-
вать тому, что базисные функции (рА (х) =ф/1(х) (Лг=О,
1, 2, ..., и) будут приняты в виде треугольников (рис.
9.4,6). Производные от них d(p*/dx, дфь/дх будут кусоч-
но постоянными (рис. 9.4,в). В этом случае многие ко-
эффициенты, входящие в уравнения (9.23), (9.29) или
(9.30), будут нулевыми. Ненулевыми будут результаты
«перемножения» смежных эпюр или квадраты эпюр, по-
казанных на рис. 9.4,6, в, например:
— &и — 2d/3 (i #= 0, п);	— d00 — Япп — &пп — ^/3;
Ьц ~ fa = 2М С1* ^0, n); b00 = f00 = bnn = fnn = 1/d;
= ai—l.i	ai,i— 1 “	* * =	~
(9.33)
hi = eii = • • • = 0;	~	~ ^4-ii = — 1/2;
И T. Д.
447
§ 9.2. О решении дифференциальных уравнений
вариационного метода
Решение на ЭВМ краевой задачи для системы диф-
ференциальных уравнений (9.23), (9.29) или (9.30) удоб-
нее получить после приведения ее к системе уравнений
первого порядка. Для этого введем вектор х неизвест-
ных, состоящих из искомых функций и их производных
где
Z= [UqUv ’ unv0V! - • yn]T;

Увеличивая таким образом в 2 раза число неизвест-
ных функций, будем соотношение y=z' рассматривать
как 2п дополнительных уравнений. Вместо системы 2п
уравнений второго порядка будем иметь систему 4п
уравнений первого порядка, которую запишем в матрич-
ной форме
а(х)' + Вх + р = 0,	(9.34)
соотношением у—
иметь следующую
где в соответствии с (9.30), (9.31) и
=2' матрицы Л, В и вектор р будут
структуру:
Qx
В блоки л, dy ... и т. д. входят согласно (9.23), (9.29),
кроме соответствующих коэффициентов, еще и множи-
тели из обобщенных жесткостей ортотропной пластины
Кхх, Куу и т. д.
Для решения уравнений (9.34) численными методами
необходимо разрешить их относительно производных х'г
т. е. разрешить уравнения (9.23), (9.29) относительно
старших производных. Обращая матрицы а и rf, приве-
дем систему (9.34) к виду
7' = Сх + р,	(9.35)
448
где
С = —Д-1В =
В случае изотропной пластины постоянной жесткости
из уравнений (9.30) при выборе базисных функций в ви-
де, указанном на рис. 9.4, б, будем, например, иметь
“2 1	0 “
1 4 1
1 4 1
0	14 1
1 2
1	10 0 0
—1	0 10 0
0—1010
—1	0 1
—1 1
Решение на ЭВМ краевой задачи для системы (9.35)
можно произвести путем решения нескольких задач Ко-
ши (начальных задач) с последующим удовлетворением
граничным условиям. Каждая начальная задача решает-
ся, например, методом Рунге — Кутта. Представим ре-
шение системы (9.35) в виде
->
х(</)= 2 xh(f>)Xh(y)-\-Xp(y),
£1
(9.36)
где хл(0)—значения неизвестных функций при t/=0; Хк— решения
однородной системы х'——А~1Вх, соответствующие единичным На-
чальным условиям:
*i(0)=0, х2(0) = 0, ... , xfe(0) = 1...хп(0)=0.
Хр(у) —частное решение неоднородной системы (9.35) при нулевых
начальных условиях.
449
В рассматриваемой задаче в сумме (9.36) часть сла-
гаемых соответствующих начальным значениям uk(Q) =
= 0, Uft(0)=0, обращается в ноль. Необходимо вычис-
лять лишь те Xk(y)t которые соответствуют начальным
значениям w'(0) =1, а также иД0) = 1. Неизвестные
uk (0) и v'k (0) определяются из граничных условий
(9.16), (9.18) на противоположном конце пластины при
y=h. При сравнительно небольшой длине отрезка ин-
тегрирования h^.1 такая схема расчета может быть реа-
лизована. Однако в общем случае эта реализация мето-
да Власова — Канторовича приводит к трудностям вы-
числительного порядка, которые непросто преодолеть
даже при расчете на ЭВМ. Дело в том, что фундамен-
Эпюра \И05см
q-1D0
Эпюра (by
20 CM
20CM
2OCM
20 cm
20cm
20cm
20 CM
11&6
X
80 CM
80 cm



jwr
C5 CSI
Illi	1л O?
Рис. 9.5
450
тальные функции Xk(y) быстро нарастают, что, в свою
очередь, приводит к переполнению разрядной сетки
ЭВМ и, что еще существеннее, — они становятся почти
линейно зависимыми, и система уравнений относительно
u'k (0) и v ДО) практически не решается, так как матри-
ца системы становится близкой к особенной.
Для решения таких систем уравнений разработаны
специальные методы прогонки, в которых реализуются
приемы, устраняющие неустойчивость решений. Широко
распространен метод С. К. Годунова [12], основанный
на том, что в процессе численного интегрирования не-
сколько раз производится ортогонализация решений. От-
резок интегрирования разбивается на несколько частей,
в конце каждой части производится замена переменных
путем ортогонализации и нормирования решений, что
позволяет избежать их чрезмерного возрастания и
«сплющивания».
Этот метод реализуется с применением соответствую-
щих стандартных программ, которые в настоящее время
разработаны для всех достаточно мощных ЭВМ.
На рис. 9.5 приведены результаты решения задачи о
напряженном и деформированном состоянии квадратной
пластины ft = Z при безразмерной нагрузке #=100 на
средних четырех участках при ц=0,3; Е=2-106; 6=
= 1 см (Решение выполнено по программе, реализующей
метод С. К. Годунова, составленной В. П. Мальцевым).
§ 9.3. Основы расчета призматических
тонкостенных систем по методу В. 3. Власова
При расчетах призматических систем (рис. 9.6) могут
применяться различные расчетные модели в зависимости
от конструкции системы, ее опирания, вида нагрузки,
мощности вычислительных средств и т. п. Например, в
ряде задач заведомо известно, что при деформации си-
стемы контур ее поперечного сечения практически не ис-
кажается (рис. 9.6,а). Можно считать, что деформации
каждой из пластин происходят в ее срединной поверхно-
сти. Изгибом пластин можно пренебречь и аналогично
рассмотренному выше примеру напряженное состояние
каждой пластины характеризовать усилиями А\, Ns, Т.
За неизвестные принимаются перемещения и(х), v(x)
451
Рис. 9.6
характерных узлов систе-
мы. Выбираются соответ-
ствующие базисные функ-
ции <р/($) и как на-
пример, на рис. 9.6, а. Для
сокращения порядка со-
вместных уравнений, учи-
тывая симметрию систе-
мы, можно вводить обоб-
щенные перемещения.
При этом, как и в расче-
тах рам, иногда пренебре-
гают деформациями плас-
тин в направлении s. С
использованием такой
предпосылки строилась,
например, в курсе сопро-
тивления материалов тео-
рия тонкостенных стерж-
ней, которая является ча-
стным случаем рассматриваемой методики. В теории тон-
костенных стержней открытого профиля добавлялось еще
допущение об отсутствии сдвигов в срединной поверхности.
В системах с закрытым профилем сечения такое допуще-
ние неприемлемо, так как сдвиги du/ds-\-dv/dx здесь су-
щественно влияют на деформированное состояние систе-
мы. Уравнения В. 3. Власова имеют в этом случае такой
же вид, как и в рассмотренном выше примере расчета
одной пластины (/, /=1, 2, 3, ..., m); (/z, k = \, 2, 3, ..., п)
„ , 1
Т2«/. Ut. - Zbi£ Ui - Xcik vk + — Pf = 0;
1
lchi ui + ^rhk vk - vk + — qh - 0,
T = £/G; ah = J <pz (s) <p. (s) dF\
cjk = f Ф/ (s) % <s>dF’ 'hk = J (s) (s) dF'<
Ьц = j 4>'< (s)4>j dF- CM = J (s) <p'. (s) dF;
(9.37)
Несколько сложнее случай, когда на напряженное со-
стояние существенно влияют деформации изгиба пласти-
ны (рис. 9.6,6). В этом случае при вычислении возмож-
ной работы внутренних сил, возникающих при изгибе
452
элементарной рамы (рис. 9.6,в), необходимо учитывать
изгибающие моменты [9]
shk=	+
Mh(s)Mh (s) .
----EJ----dS-
ГЛАВА 10. ОСНОВЫ МЕТОДА
ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
§ 10.1. Понятие о предельных нагрузках
и механизмах разрушения
Реальные конструкции представляют собой в боль-
шинстве случаев многократно статически неопределимые
системы, материал которых обладает свойством пластич-
ности. Это дает конструкции дополнительные резервы
прочности. После того как в наиболее деформированных
элементах напряжения достигают предела текучести,
конструкция может еще нести дополнительную нагрузку
за счет перераспределения внутренних сил и их дополни-
тельного возрастания. Из курса сопротивления материа-
лов, например, известно, что для системы, показанной на
рис. 10.1, а, стержни которой изготовлены из материала
с диаграммой Прандтля (рис. 10.1,6), при достижении
напряжениями о предела
текучести в наиболее на-
пряженном стержне
1о1 = от еще не происхо-
дит исчерпания несущей
способности системы. От-
носительные уДЛИНеНИЯ £2
и €3 будут меньшими ет и
возможно дальнейшее
увеличение нагрузки, при
которой усилия Д/2 и W3
будут возрастать при
JVi —const=От^-
ПрИ появлении текуче-
сти в стержне 2о2=огт не-
сущая способность систе-
мы также еще не исчер-
пывается, и лишь после
того как напряжения до-
стигнут предела текучести
о)
Рис. ЮЛ
453
во всех трех стержнях, дальнейшее возрастание
нагрузки невозможно. Соответствующая предельная
нагрузка РПред для заданной дважды статически неопре-
делимой системы легко находится, таким образом, из
уравнения равновесия для предельного состояния (рис.
10.1, в) 1МА=0:
^иред =	[(°т ^з) ^4“ (ат ^2) 2d 4" (о? Fт) 3d];
^ред=-^-(ЗЛ + 2А2 + /?3).
Другим известным из сопротивления материалов
примером является задача изгиба статически неопреде-
лимой балки от нагрузки Р (рис. 10.2,а).
При появлении текучести в крайних волокнах наибо-
лее напряженного сечения 1 еще не исчерпывается несу-
щая способность балки. При дальнейшем увеличении на-
грузки текучесть проникает в глубь сечения вплоть до
появления в нем пластического шарнира, когда М\ =
=Л1пл==сгт^пл. (Напомним, что, например, для прямо-
Рис. 10.2
угольного сечения согласно последней эпюре рис. 10.2, а
1^лл = 25	ЬЛ2/4). Но и при этом несущая способ-
ность балки не исчерпывается. Система как бы превра-
щается в статически определимую и геометрически неиз-
меняемую (рис. 10.2,6) при М2<МПЛ. Лишь после того
как в сечении 2 изгибающий момент достигает значения
454
М2=МпЛ, система превращается
10.2,в). Из
НИИ можно
в механизм (рис.
равновесия механизма в предельном состоя-
определить предельную нагрузку
М2 = Л1пл = -^1-^,
2	4	2 J
откуда

Аналогичная картина образования механизма пре-
дельного равновесия наблюдается и при нагружении пла-
стин, оболочек и более сложных систем, состоящих из
стержней, пластин, оболочек и выполненных из упруго-
пластического материала.
Например, при разрушении шарнирно опертой пря-
моугольной пластины, загруженной равномерно распре-
деленной нагрузкой (рис. 10.3,а), образуются пластиче-
ские шарниры вдоль линий, показанных на рис. 10.3,6.
Аналогично предельная нагрузка для оболочки вызыва:
ет появление пластических шарниров вдоль некоторых
линий (рис. 10.3, в), положение которых, вообще говоря,
заранее неизвестно.
Заметим, что нагрузка в общем случае характеризу-
ется несколькими параметрами и заранее неизвестны не
только механизм разгружения, но и наиболее опасное со-
четание нагрузок.
Для анализа предельного равновесия сложных систем
используются так называемые статическая и кине мат и-
ческая теоремы о предельном равновесии и вытекающие
из них свойства предельных нагрузок. В разработку со-
ответствующих методов большой вклад внесли работы
советских ученых А. А. Гвоздева, И. М. Рабиновича,
А. Р. Ржаницына и многих других.
455
§ 10.2. Теоремы о предельном равновесии
Системы, находящиеся в состоянии предельного рав-
новесия, обладают экстремальными свойствами. Вернем-
ся вначале к примеру, показанному на рис. 10.1, в. Рас-
смотрим произвольное статически возможное состояние
равновесия системы, которое может и не удовлетворять
уравнениям совместности деформаций. Очевидно, что в
данном примере при произвольных напряжениях хотя бы
в одном из стержней напряжение будет меньше от, и из
уравнения равновесия 2Л4д = 0 получим для соответст-
вующей силы Р* значение меньше предельного
<ZPпред-
Можно доказать (см. например [27, 55]), что и в
произвольном случае упругопластического тела нагруз-
ка, соответствующая статически возможному состоянию,
меньше чем предельная. Это и является формулировкой
статической теоремы. Из нее вытекает соответствующий
метод определения предельной нагрузки как наибольшей,
при которой возможно равновесие системы. Для статиче-
ски определимой системы такой подход очевиден. Но уже
применительно к стержневым статически неопределимым
системам его реализация нуждается в пояснении. Напри-
мер, системы, показанные на рис. 10.4, один раз стати-
чески неопределимы. В упругой стадии значения V=X
&ля системы на рис. 10.4, а или Н=Х для системы на
V-X
Рис. 10.4
рис. 10.4, б легко определяются, например методом сил,
из уравнений совместности деформаций. После перехода
системы в упругопластическую стадию эти значения из-
меняются. Но для выяснения возможных пределов изме-
нения q и X легко написать условия — ограничения. На-
пример, эпюра изгибающих моментов для системы на
рис. 10.4,6 имеет вид, показанный на рис. 10.5, а. Она
456
имеет две характерные ординаты в сечениях 1 (или 3)
и Z Будем пренебрегать влиянием продольных сил N и
считать, что переход в состояние предельного равновесия
происходит, как и в балках, вследствие достижения мо-
ментами соответствующих предельных значений Л1Пл.
2
Рис. 10.5
в) пшшш4
и	V у
2
Тогда для момента в узле Afi имеем ограничение Mi =
=Х/г^А1пл, откуда
X < (Мпл/7г).	(10.1)
Для момента в сечении 2
ар
м2 — Q — X/i < мпл,
о
откуда
Ч< у(Л1пл + Xh).	(10.2)
Неравенствам (10.1), (10.2) соответствует область
статически возможных значений q и X, показанная на
рис. 10.5, б. В соответствии со статической теоремой пре-
дельным значением нагрузки q будет <7пред—16 Мпл/^2
при Х=^М1ич/1г (точка k диаграммы). К такому же зна-
чению ^пред можно прийти в результате анализа равно-
весия механизма ригеля рамы (рис. 10.5, в) в состоянии
предельного равновесия
откуда
прав, сил
VMC=O; (f)
*7пред— 16Л1пл//2.
457
Положение сечений с максимальными моментами не
всегда заранее известно. Например, для балки на рис.
10.4,0 одно сечение будет над опорой /, а второе в про-
лете (рис. 10.6, о) на расстоянии z от крайней опоры.
Расстояние z изменяется при увеличении нагрузки после
появления пластического шарнира в сечении /. Однако
Рис. 10.6
z можно выразить через q и X, так как в сечении 2 с эк-
стремальным изгибающим моментом поперечная сила
равна нулю: Q2—0; —Х=0, откуда z=X!q.
Записывая ограничения для М\ и
ql2	2
ХКМп^ q<— (Л4ПЛ + Х/);	(10.3)
oz2
/И2 = Xz ~ <С 44пл
(Ю.4)
и подставляя в (10.4) выражение z=X!qt получим
<7>Ха/2Л4пл.	(10.5)
Множество значений q и X, удовлетворяющих нера-
венствам (10.3), (10.5), показано рис. 10.6,6. Согласно
статической теореме предельное значение нагрузки равно
наибольшему значению <7пред=П,6 МПред//2 при Х=
— 4,82 Мдред//.
Другим инструментом исследования предельного рав-
новесия является кинематическая теорема, согласно ко-
торой нагрузка, соответствующая кинематически воз-
можному состоянию, больше, чем предельная. В кинема-
тическом методе, основанном на этой теореме, сравни-
ваются величины нагрузок, соответствующих различным
кинематически возможным состояниям системы, и из них
выбирается наименьшее. В сочетании со статической тео-
458
ремой это дает оценки для предельной нагрузки снизу
и сверху.
При исследовании кинематически возможных схем
предельного равновесия будем использовать принцип
возможных перемещений. При расчете рам будем прене-
брегать влиянием продольных сил У и изгибающие мо-
менты Л1ПЛ, соответствующие появлению пластических
шарниров, считать такими же, как и в балках. Состав-
ляя выражения возможной работы механизма, необходи-
мо учесть работу внешних сил и работу внутрен-
к
них сил — моментов Mj в пластических шарнирах —
SMjOj, где О; — угол, характеризующий возможную де-
/
формацию в /-м шарнире. Таким образом, для любой
кинематически возможной схемы перемещений рамы бу-
дем иметь уравнения равновесия
Л	/
или
^Pk&k^MjQj.
k	/
(10.6)
Будем рассматривать так называемое простое нагру-
жение, когда силы возрастают пропорционально одному
параметру, для определения предельного значения кото-
рого и составляются уравнения равновесия (10.6). При
этом во всех пластических шарнирах идет развитие пла-
стических деформаций, т. е. слагаемые MjOj должны
быть положительными.
Число кинематически возможных состояний зависит
от числа характерных сечений, в которых могут образо-
вываться пластические шарниры. При использовании ки-
нематического метода в общем случае нет необходимости
в предварительном расчете по упругой стадии и анализе
последовательности образования пластических шарни-
ров, что, например, было сделано в предыдущем пара-
графе при определении предельного значения нагрузки
для балки (см. рис. 10.2). Выражая для каждого кинема-
тически возможного состояния перемещения Д* и углы
0j через один параметр и сокращая на него уравнения
(10.6), получаем соответствующее значение Р*>РПред.
Выбирая из них наименьшее, получим для РпрСд оценку
сверху.
459
Рассмотрим, например, задачу определения предель-
ного значения Рпред нагрузки из двух одинаковых сил Р
для рамы (рис 10.7, а). Механизм здесь может быть об-
разован после появления пластических шарниров в сече-
ниях 7, 2 и 3, причем достаточно появления шарниров в
двух сечениях. Например, уравнения (10.6) равновесия
механизма, показанного на рис. 10.7,6, запишем через
0:01=02=6; А1=Д2=Л0; 2Р*Д=2Л7пл0, откуда при
Д=/г6 получаем Р*=
Из уравнения равновесия второго механизма (рис.
10.7, в)
Р (А0) + Р (2Л0) = Мпл 0 + Л4ПЛ 0
получаем Р*х =2 Afm4/3/i.
Выбирая из выражений P\ — M™dh и 27ИПл/ЗЛ
наименьшее значение, получаем 7)Пред<2Л4Пл/3/т. В этой
задаче несложно доказать, что полученное значение Р\
будет предельным. Действительно, рассматривая меха-
низм (рис. 10.7, г) с произвольным значением 62=&0, где
0^7?^ 1, получим уравнение равновесия
РЙ0 + Р (2/10 - /г/10) = Мпл 0 + 7ИПЛ Л0 + Мпл (0 - *8),
откуда
р __ 7ИПЛ
~3—k h *
Поскольку k не может быть отрицательным, так как
в этом случае отрицательна работа момента M2t наи-
меньшее возможное значение Р равно 2Л4пл/ЗЛ. В этом
можно убедиться, используя статическую теорему.
Согласно рис. 10.8, а условия ограничения для
M2f А7з имеют следующий вид:
М1==МР — Х1<М1и};
M2 — Xl — hP <МПЛ;
= XI Л1пл
или
Р < ~~~ (МалXI);
оП
да-Л4пл);
h
XI < мпл.
(Ю.7)
460
Рис. 10.8
Рис. 10.7
Неравенствам (10.7) соответствует область статичес-
ки возможных значений параметров Р и Xlt показанных
на рис. 10.8,6. Максимальное возможное значение Р=
— 2Мал/ЗН. Таким образом, полученное значение Рпред=
~2Mnnj3h является предельным.
Аналогично исследуются и механизмы предельного
равновесия более сложных стержневых систем, пластин,
оболочек. Ввиду большого количества возможных состо-
яний применяются ЭВМ и современные математические
методы.
§ 10.3. Понятие об использовании методов
линейного программирования
При решении задач предельного равновесия на ЭВМ
можно использовать методы так называемого линейного
программирования — одного из разделов математики,
появившегося в 30-е годы в работах советского матема-
тика Л. В. Канторовича и использованного для решения
задач строительной механики в работах А. А. Чираса
[55] и других советских и зарубежных ученых.
461
Напомним, что<основная задача линейного програм-
мирования заключается в определении минимума (мак-
симума) линейной функции
х2, ... , хп) - а %! 4- с2 х2 -Ь ... + сп хп	(10.8)
при ограничениях (i—1, 2, 3, ...» т)
оц X] + ai2 х2 + ... + ain xn + bt< 0;	(10.9)
(/г=1, 2, 3.....n).	(10.10)
Геометрически эту задачу можно интерпретировать
как определение в области
Л2	п-мерного пространства, задан-
ной неравенствами (10.9),
(10.10) (см. например, рис.
10.9), такой точки xi, х2,...,хп,
в которой линейная функция f
\ имеет минимум, если, конечно,
\ он существует. В случае откры-
\ той области минимум может не
1L11-11111111111111II11 \ существовать, что обычно гово-
*1 рит о некорректности постанов-
Рис Ю9	ки задачи.
Очевидно, что в силу линей-
ности функции f минимум
ее значений в области будет достигаться в одном из уз-
лов ki. Одним из основных и общих методов решения за-
дачи линейного программирования является симплекс-
метод, смысл которого заключается в последовательном
направленном переборе вершин ki в направлении убыва-
ния функции f до нахождения ее минимума. Если необ-
ходимо определить максимум функции f, то, умножив ее
на —I, сведем задачу к определению минимума функции
Ч-
В предыдущем параграфе мы рассматривали однопа-
раметрические задачи. Предполагалось, что нагрузка за-
дается одним параметром и определяется его наимень-
шее (или наибольшее) значение. Использование мето-
дов линейного программирования позволяет поставить
задачу в более общем виде [55]. В качестве функции
f можно, применяя статический метод, взять сумму на-
грузок с весовыми коэффициентами
/ 2	= ?т Р.
1
(10.11)
462
Например, при Л = 1 f равна суммарной нагрузке f —
и можно, решая задачу линейного программиро-
вания, определить, при каком соотношении нагрузок сум-
марное значение предельной нагрузки будет наибольшим
и чему оно равно.
В качестве условий ограничений для рамы принима-
ются уравнения равновесия, связывающие изгибающие
моменты в характерных сечениях М и нагрузку Р,
Р = АМ	(10.12)
или
Р — ДМ-0.	(10.13)
При этом должны также выполняться условия Р<^0 и
т. е.
<Mk <М%Л ,	(10.14)
где М ™—предельный момент для А*-го сечения.
Обозначим через Л1ПреД вектор из М™ и запишем сово-
купность неравенств (10.14) в виде
ЕМ -С	—ЕМ •< -Мдред.	(10.15)
При использовании кинематического метода анало-
гично исходят из более общей, чем в предыдущем пара-
графе, функции цели [55]. Разыскивают не минимум па-
раметра Р, а минимум возможной работы сил Pk или
равной ей работы моментов М ™ в пластических шарни-
рах. Выражение (10.11) можно рассматривать как ра-
боту сил Рг на перемещениях ti)\
2м"л0л--=м^0,	(10.16)
I:
где знаки М ™ и 0 согласованы.
(Чаще говорят об эквивалентной величине мощно-
сти — работе сил в единицу времени, подчеркивая, что
возможные перемещения пропорциональны скорости
пластических деформаций. В настоящем курсе понятие
мощности сил не использовалось).
Перемещения А по направлению сил Р и деформации
0 в пластических шарнирах связаны, как уже неодно-
кратно показывалось в этом курсе, соотношением 0 =
=ДТА, матрица которого транспонирована к матрице
463
равновесия А, входящей в (10.12). Переписывая это со-
отношение в виде £0—АТА —0 и добавляя в соответст-
вии с (10.11), (10.14), (10.16) ограничения А^Т, 0^0,
получим задачу линейного программирования с матри-
цей, транспонированной по отношению к матрице ста-
тической задачи. Такие задачи называют двойственными.
Приведем их окончательные записи (без некоторых де-
талей, которые можно найти в специальной литературе
[55, 39]).
Статическая задача. Определить maxf~TTP при ус-
ловиях
Р—
ЕМ < 7ИПЛ; — EAf<AfnJ1; Р > 0.
Кинематическая задача. Определить min f = (Мпл)т6
при условиях
£0 —ДтА = 0; А >7;	0 > 0.
В частном случае из этих формулировок вытекают и
однопараметрические задачи.
Аналогично решаются задачи предельного равновесия
пластин, оболочек. Для описания их предельного состо-
яния используются различные теории прочности, но схе-
ма решения задачи остается близкой к схеме расчета
рам.
Рассмотренная задача поверочного расчета подразу-
мевает наличие готового проекта системы: известные се-
чения, значения М£л и т. д. Более общей является зада-
ча оптимального проектирования, которой также посвя-
щена обширная специальная литература. При решении
этой задачи используются методы линейного и нелиней-
ного программирования.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Александров А. В., Шапошников Н. Н. Об использовании дискрет-
ной модели при расчете пластинок с применением цифровых автома-
тических машин. — Тр. ин-та/МИИТ, 1966, № 194.
2.	Александров А. В., Лащеников Б. Я., Шапошников Н. Н., Смирнов
В. А. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с ис-
пользованием ЭВМ. В 2-х ч. Под ред. проф. А. Ф, Смирнова. — М.,
Стройиздат, 1976.
3.	Баландин В. А., Шапошников Н. Н. Расчет осесимметричных круг-
лых пластин и оболочек по методу конечных элементов с учетом по-
перечного сдвига. — В кн.: Вопросы прочности в химическом маши-
ностроении. М., 1978/НИИХИММАШ.
4.	Бидерман В. Л. Механика тонкостенных конструкций. М., Маши-
ностроение, 1977.
5.	Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.,
Гос. изд. технико-теор. литер. 1956.
6.	Вайнберг Д. В., Городецкий А. С., Киричевский В. В., Саха-
ров А. С. Метод конечного элемента в механике деформируемых
тел. — Прикладная механика, 1972, т. 8, вып. 3.
7.	Варвак П. М., Бузун И. М., Городецкий А. С. и др. Метод конеч-
ных элементов в механике сплошной среды. Киев, 1976.
8.	Вилипыльд Ю. К., Хархурим И. Я. Расчет упругих систем по ме-
тоду конечных элементов. Вып. 1 — 108. М., 1968/Гипротис.
9.	Власов В. 3. Тонкостенные пространственные системы. М., Гос-
стройиздат, 1958.
10.	Власов В. 3. Избранные труды. Т. 1. М., изд. АН СССР, 1962.
11.	ВХОД — язык описания исходной информации для ЭВМ. Вып. 2.
Полное описание языка. М., 1972/Гипротис.
12.	Годунов С. К. О численном решении краевых задач для систем
линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. — Успехи
математических наук, 1961, т. XVI, вып. 3.
13.	Городецкий А. С., Горобовец А. В., 3Доренко В. С. Вычислитель-
ный комплекс СУПЕР-76 для прочностного расчета конструкций на
ЭВМ Минск-32. Киев, 1977/НИИАСС.
14.	Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной матема-
тики. М., Гос. изд. физико-математической литературы, 1960.
15.	Дмитриев Л. Г., Касилов А. В. Вантовые покрытия. Киев, Буди-
вельник, 1974.
16.	Зенкевич О. К. Метод конечных элементов от интуиции к общ-
ности.— Механика. Период сб. иностр, статей № 6. М., Мир, 1970.
17. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М., Мир, 1975.
18.	Канторович Л. В. Один прямой метод приближенного решения
задачи о минимуме двойного интеграла. — Изв. АН ОМЕН, 5, 1933.
19.	Кармишин А. В., Лясковец В. А., Мяченков В. И., Фролов А. Н.
Статика и динамика оболочечных конструкций. М., Машиностроение,
1975.
20.	Кирсанов Н. М. Висячие системы повышенной жесткости. М.,
Стройиздат, 1973.
21.	Кирсанов Н. М. Расчет висячих комбинированных систем по ли-
ниям влияния с учетом прогибов. Изд. Воронежского ин-та, 1976.
465
22.	Козляков В. В., Постнов В. А., Хархурим И. Я. Применение ме-
тода конечных элементов для расчета прочности судовых конструк-
ций. — Судостроение, 1976, № 6.
23.	Крон Г. Исследование систем по частям — диакоптика. Пер. с
англ. Под ред. А. В. Баранова. М., Наука, 1972.
24.	Лащеников Б. Я. Метод перемещений в континуальной форме.—
В сб.: Исследования по теории сооружений, вып. XVI. М., Стройиз-
дат, 1968.
25.	Мажид К- И. Оптимальное проектирование конструкций. М.,
Высшая школа, 1979.
26.	Мелош Р. Основы получения матриц жесткости для прямого ме-
тода жесткостей. — Ракетная техника и космонавтика, 1963, № 7.
27. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести.
М., Машиностроение, 1975.
28.	Метод конечных элементов в строительной механике и механике
сплошных сред. — Реферативный обзор зарубежной литературы за
период 1966—1970 гг. Составитель Барскова Н. А., Л., 1971.
29.	Метод конечных элементов в строительной механике и механике
твердого деформируемого тела. — Аннотированный библиографичес-
кий указатель отечественной литературы 1970—1976 гг. Составители
Докшина Г. П. и Салов П. Н., Л., 1977.
30.	Назаров А. А. Основы теории и методы расчета пологих оболо-
чек. Л. — М., Стройиздат, 1966.
31.	Новожилов В. В. Теория упругости. Л., Гос. изд. судостроитель-
ной промышленности, 1958.
32.	Петропавловский А. А. и др. Вопросы теории висячих и ванто-
вых мостов. — Тр. ин-та/МИИТ, 1976, № 489.
33.	Постнов В. А., Хархурим И. Я. Метод конечных элементов в рас-
четах судовых конструкций. Л., Судостроение, 1974.
34.	Постнов В. А. Численные методы расчета судовых конструкций.
Л., Судостроение, 1977.
35.	Постнов В. А., Дмитриев С. А., Елтышев Б. К., Родионов А. А.
Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений. Под общ.
ред В. А. Постнова. Л., 1977.
36.	Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.,
Наука, 1979.
37.	Рейтман М. И., Шапиро Г. С. Методы оптимального проектиро-
вания деформируемых тел. М., Наука, 1976.
38.	Расчет строительных конструкций с применением электронных
машин. — Сборник статей по материалам трех конференций, прове-
денных в США в 1953—1963 гг. Пер. с англ. А. В. Александрова,
Б. П. Державина. Под ред. А. Ф. Смирнова. М., Стройиздат, 1967.
39. Резников Р. А. Методы решения задач строительной механики
на электронных вычислительных машинах. М., Стройиздат, 1964.
40.	Ржаницын А. Р. Приближенный расчет гибких рам. — Вестник
инженеров и техников, 1947, № 2.
41,	Ржаницын А. Р. Представление сплошного изотропного упругого
тела в виде шарнирно-стержневой системы. — В кн.: Исследования
по вопросам строительной механики и теории пластичности. М.,
Госстройиздат, 1956.
42.	Ржаницын А. Р. Расчет упругих оболочек. М., изд. МИСИ, 1977.
43.	Розин Л. А. Стержневые системы как системы конечных элемен-
тов. Л., изд. ЛГУ, 1976.
44.	Розин Л. А. Метод конечных элементов в применении к упругим
системам. М., Стройиздат, 1977.
466
45.	Сегерлинд Д. Применение метода конечных элементов. Пер. с
ашл. М., Мир, 1979.
46.	Смелов В. А. Метод перемещений в строительной механике. Учеб-
ное пособие. Л., изд. ЛПИ, 1976.
47.	Смирнов А. Ф., Александров А. В., Л а щен и ко в Б. Я., Шапошни-
ков Н. Н. Расчет сооружений с применением вычислительных машин.
М.» Стройиздат, 1964.
48.	Смирнов В. А. Висячие мосты больших пролетов. М., Высшая
школа, 1975.
49.	Смирнов А. Ф., Александров А. В., Лащеников Б. Я., Шапошни-
ков Н. Н. Строительная механика. Стержневые системы. М., Строй-
издат, 1981.
50.	Снитко Н. К. Строительная механика. Л., Стройиздат, 1972.
51.	Соловьев Г. П., Шапошников Н. Н. Методические указания по
расчету плоских стержневых систем методом перемещений с исполь-
зованием ЭВМ «Напри». М., МИИТ, 1978.
52.	Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М., Мир, 1980.
53.	Тимошенко С. П., Войновский—Кригер С. Пластинки и оболоч-
ки. — М., Физматгиз, 1963.
54.	Филин А. П. Элементы теории оболочек. Л., Стройиздат, 1975.
55.	Чирас А. А. и др. Теория и методы оптимизации упругопласти-
ческих систем. Л., Стройиздат, 1974.
56.	Шапошников Н. И. Расчет тоннельных обделок по методу пере-
мещений с применением ЭЦВМ. Изд. МИИТ, 1969.
57.	Шапошников Н. Н., Монахов Й. И. Расчет цилиндрических сис-
тем и пологих оболочек шарнирно-опертых по торцам с использова-
нием метода конечных элементов. — В сб.: Расчеты на прочность,
1977, № 18.
58.	Birkhoff G., Garabedian Н. Smooth Surface Interpolation. —
Journal of Mathematics and Physics, 1960, vol. 39.
59.	Bogner F. K., Fox R. L., Schmit L, A. The Generation of Inter-
Element— Compatible Stiffness and Mass Martices by the Use of In-
terpolation formulas. — Proceedings of the First Conference oh Matrix
Methods in Structural Mechanics, Wright — Patterson Air Force Base,
1966.
60.	Peckhold D. A., Schnobrich W. C. Finite Element Analysis of Ske-
wed Shallow Shells. — Proceedings ASCE. Journal of the Structural
Division, 1969, vol 95, № ST 4.
Приложение 1. ОДНОРОДНЫЕ КООРДИНАТЫ
При построении матрицы
кого элемента удобно применять
Рис. 1
реакций для произвольного треуголь-
две системы координат: глобаль-
ную х, у и локальную (рис. I).
В качестве локальной системы
используется однородная сис-
тема координат. Положение
точки, находящейся внутри
треугольника (например, точки
р на рис. 1), определяется в
этом случае тремя координа-
тами: Li=Fi/F; L^-F^F, где
Flt Fzt F3 — площади треуголь-
ников; F — общая площадь
треугольника (/7=/?|4-Г2+Гз)-
Между однородными коор-
динатами существует очевид-
ное соотношение: Li+La+Ls^
— 1. Однородные координаты
не зависят от положения
треугольника в общих осях х, у.
Угловые точки имеют следую-
щие координаты:
точка 1 Ц— 1, L2 — О,	L3 = 0;
» 2 Ц = 0, L2= 1,	=
3	= 0, L2 = 0, L3 1.
Для точек, расположенных посередине сторон:
точкам	L1==0,5,	£2	= 0,5,	L3	— 0,
» 5	£2	=	0,5,	£3	= 0,5,
» 6	£} ~ 0,5,	L2	— 0,	£3	=	0,5.
(2)
Найдем формулы
х, у к локальной £1;
перехода от глобальной системы координат
£2 £з- Из аналитической геометрии известно:
1 xi У1
1 х2 У2
1 хз Уз
F2=\/2
Fr= 1/2
F3=\/2
Х1 У1
Х2 Уъ
X у
(3)
£ = 1/2
1 Х1 У1
1 х у
1 хз Уз
1 х у
1 *2 У*
1 хз Уз
1
1
1
Площади, вычисленные по формуле (3), будут положительными,
так как обход вершин в порядке нумерации происходит против
468
часовой стрелки. Раскрывая определители, получим
1
= Ml 4- У23 х 4~ х32 у).
Аналогично
Li = (Аг 4- #з! х + xi3 у) /2Л;	L3 = (Д3 4- Уп х 4- *21 у} /2F,	(4)
где
А = х2 у3 — у2 х3; А? = хя yi — 1/з
Аз == *1 #2 ~ #1 *21
#23 — У2 ~~ Уз> *32 = хз х2;
#31 “ Уз	У1>	*1з — *1 — *з*>
#12 = #1	#2>	*21 ~ *2  *!•
Равенства (4) в матричной форме имеют вид
“1
X
А1 #23 *32
Аз #з1 *1з .	.
.Аз #12 *21J L#J
Равенство (5) позволяет переходить от глобальной системы коор-
динат к локальной. Для обратного преобразования используется
формула
2F
(5)
Г1“|
1 1 1 ]Г£1'
*1 *2 *3	^2
#1 #2 Уз _ . ^3 _
L#J
Запишем выражения для производных по х и у от функции од-
нородных координат (/=/(£1£2^з)).‘
df	df	dLt df	дЦ	df	dL3
dx	dL±	dx	dLr	dx	dL3	dx
= df 1 y^ JL 1 y& -JL
2F dLi 2F dLz 2F dL3
(6)
Аналогично
df
ду 2F dLx ‘ 2F dL2 ‘ 2F dL3
При интегрировании функций однородных координат
использовать формулу
*32 df xi3 df , X2f df
удобно
-2F,
(1-Н4-*4-2)!	’
(7)
Л
i\ /! k\
которая позволяет весьма компактно интегрировать по треугольной
области. Однородная система координат облегчает процесс построе-
ния матриц реакций для треугольника.
469
Приложение 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ПО ТРЕУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ
При вычислении интегралов по треугольной области удобно
использовать численное интегрирование. Если подынтегральные
функции являются полиномами, то при соответствующем числе то-
чек результаты численного интегрирования совпадают с точными.
Поясним процесс численного интегрирования на примере вычисле-
ния интегралов от функций, записанных в первых четырех строках
набора функций, приведенного на рис. 5.23, /, х, у, х2, ху, у2, х3,
х2у, ху2, у3.
Разобьем каждую сторону треугольника, по которому надо вы-
числять интегралы, на три равные части. При этом на стороне тре-
угольника образуются четыре узловых точки, через которые можно
провести полином третьей степени. Соединив точки деления, как
показано на рис. 1, а, разделим исходный треугольник на девять
равновеликих треугольников. На рис. 1, б, в, г показаны единичные
полиномы, соответствующие точкам 1, 4, 10. Построим полином,
соответствующий точке 1, для чего воспользуемся однородными ко-
« ординатами
(1)
(L, — 1/3) (Ех-2/3).
470
Этот полином будет принимать нулевые значения по линиям 2—3,
5—8, 4—9. В точке 1 полином (I) должен принимать значение рав-
ное единице, l^-1 • (1—1/3) (1—2/3); Ач=9/2. Окончательно’
Аналогично записываются единичные полиномы для точек 4, 10
fio = 27L, L, L3.
Вычислим интегралы от полиномов /,, ft, fl0 по формуле
f f L‘ Ц L^dxdy —-—  ---2F;
JJ 1 2 3	(/ + / + *+2)1 ’
F
Wl = JJ Z1 dx dy = -±--.	= JJ ft dx dy = ± F}
F	'	F
^fwdxdy=-l_F.
Интегралы, соответствующие остальным точкам, выражаются
через (01 и со4: <о2=(Оз=(«)1; (о5 = (0б=со7=(о8=(о9=(о*4. Значения ин-
тегралов (Of в дальнейшем будем называть весовыми коэффициен-
тами. Полученные весовые коэффициенты позволяют вычислять
точное значение интегралов по треугольной области от любого по-
линома не выше третьей степени.
Вычислим ff xnymdxdy, 0<(л-|-ш) <3;
F
J-p ym dx dy = (xj + x2" fl + xS fl) + (xj fl + xgfl +
F
+ « + *1 ft + xS fl + *9 У9 ) <% + fl %•
Здесь x^ yi — координаты узловых точек (см. рис. I прил. 1).
Аналогичные формулы могут быть построены для вычисления
интегралов от всех функций, приведенных на рис. 5.23.
Запишем общий вид формулы численного интегрирования
k
ff хп fl dx dy = 2
F	i=l
где i — номер текущей точки интегрирования; k —число точек ин
тегрирования; со, — весовой коэффициент текущей точки интегри
рования.
В табл. 1 приведены точные значения весовых коэффициентов
для всех единичных полиномов до восьмой степени включительно.
471
Таблица 1
7	° i
7	94 20В
3 -119 808
4	290816
5 -277 248
6	180 224
7	212 992
8	172 032
9	-370 688
10	376 832
1	1 870,i
2	4 184,6
3	5 007,8
4	3 773,0
5	45138,8
6	9604,0
7	62426.0
8	4 802,0
г_
71
1	зз
2	175
3	175
4	1000
5	125
1	О
2	84
3	-16
4	128
12	2}
1	4
2	9
3	54
81
4
5
6
7
О
1 728
- 1 296
3 072
3456
3 456
-2 592
F_
4!

2
1
А
7 1
F
Приложение 3. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Напомним некоторые сведения из математики
dy
dx
= lim
Дх—*0
А
Дх
= tg0;
dy
dy - А
= —— Ах — —— dx.
dx	dx
(1)
На рис. 1 пояснен геометрический смысл дифференциала функ-
ции. Для дальнейшего введем другую форму его представления.
Рассмотрим выражение у(х+аДх) как функцию от а при фикси-
рованных значениях х и Дх: т/(х+аДх) ~у(а).
Используя правило дифференцирования сложной функции, возь-
мем произвольную от у (а) по а
dy (а) dy (х 4- аДх) d (х + аДх) dy (х -И аДх)
da d (х 4~ аДх)
При а->0 получим
.. dy(a)
lim —-—
а»о dx
da d (x -f~ &Д*)
= — dx = dy.
dx
Ax.
(2)
(3)
472
Таким образом, дифференциал функции у(х) равен пределу про-
изводной по а от функции ^(х + аДх) при а—“О.
Основным понятием вариационного исчисления является функ-
ционал. Аргументом у функционала является функция. Приведем
примеры простейших функционалов. Длина линии, соединяющей две
точки, является функционалом, зависящим от уравнения линии, сое-
Рис. t
Рис. 2
линяющей эти две точки. Запишем аналитическое выражение для
этого функционала.
В соответствии с рис. 2 имеем
dS = Vdx* + dy* = dx]/ I + j .
Длина кривой, соединяющей точки xQ yQ и yit выражается фор-
мулой
I = f Kl +(dj//dx)2 dx = I [ff (x)J,
x0
т. e. аргументом функционала является функция.
Приведем еще один пример. Вычислим потенциальную энергию,
накапливаемую в изгибаемой балке. Потенциальная энергия, накап-
ливаемая в балке, равна работе внутренних сил
Q = 4“ Г не dv = 4г* I °2 dv-	(4)
V	V
Для балки, работающей на	изгиб,	имеет:
Al	d2y	М.	/рх
о = —у\	(5)	—	= — •	(&)
1 ’	dx2	EJ
Выражая значения М из (6) и подставляя в (5), получим
М = EJ {d2 y/dx2)', а =Е (d2 y/dx2) у.
Подставляя выражение для о в (4), получим
OF	OF
473
^^Л=О|1И,.
(7)
Таким образом, потенциальная энергия есть функционал от кривой
прогиба балки, выражаемый формулой (7).
Дифференциал аргумента функции выражается формулой ах=
= Лх = Х]—х0. В вариационном исчислении его аналогом является
вариация функции (рис. 3)
6// (х) = &у (х) = у} (х) — у (х),	(8)
т. е. вариацией функции у(х) является функция, равная разности
между соседней функцией уу (х) и функцией у(х).
Роль дифференциала функции в вариационном исчислении иг-
рает вариация функционала. Используя приведенное выше опре-
деление дифференциала, по аналогии введем понятие вариации
функционала
dv \У (*) + аЬу (*)]]	Q
da J’	(
Кривая, на которой функцио-
нал приобретает экстремальное
значение, называется экстремалью.
Рассмотрим функционал
с>[г/(х)] и предположим, что он
приобретает экстремальное значе-
ние на кривой i/(x), т. е. кривая
у(х) является экстремалью для
функционала п[г/(х)].
Рассмотрим семейство сосед-
них кривых, зависящее от пара-
метра а, у(х) +а6#(х). Подстав-
ляя в выражение для функцио-
нала уравнение семейства, мож-
но рассматривать функционал как
функцию от а (при фиксирован-
ных функциях у(х) и ду{х)
о (а) = и [у (х) + аду (х)].	(10)
По условию функция (10) принимает экстремальное значение при
а=0, с другой стороны, из дифференциального исчисления извест-
но, что функция принимает экстремальное значение, когда произ-
водная от нее равна нулю, следовательно,
[du(a)]/da = 0 при а->0.	(11)
Развертывая выражение для производной и используя (И), полу-
чим
lim {dv[y (х) + ду (x)])/da = dv [у (х)] = 0,
а-*0
т. е. на экстремалях вариация функционала 6v=0.
Вариация функции обладает свойствами:
ди (х) + dv (х) = д [и (х) + v (х)];
(12)
474
dku(x) = Л6а(х),	(13)
где k — постоянный множитель.
Свойство (12) совершенно очевидно. По определению имеем:
du (х) = цх (х) — ы(х);
dv (х) — Vi (х) — V (х);
du (х) = ut (х) — и (х) + Щ (х) — V (х) =	(х) + Vi (х)] —
— (И(х) + с/(х)] = 6[ы(х) + и(х)].
Аналогично доказывается и свойство (13). По (12) имеем
5 б!М*) = б S yt w.	сю
1-1	1=1
Устремляя п->оо, получим
[<*>// (х) dx = 6 jy (х) dx.	(15)
Аналогичными свойствами обладает и вариация функционала
[У (*)1 + dv2 [у (х)] = 6	[ у(х)J -Ь иг [у (х)]};	(16)
6М</(*)] = *ЗД(х)1.	(17)
Докажем свойство (16). По определению имеем
е , , и , е ' ,	..	[«/(X) + абг/(х)1
{у 4~ dv2 [у (х)] = 11m----------------------4-
а->0	da
, ,. dv2[y(x) + а&/(х)]	(tfox[!/(x) + adf/(x)] ,
4~ lim--------------------= lim {----------------------г
а-э da	а^о ( da
dv2 [y (x) + ady (x)]] d t t	* f
4--------------------- = hm ——	\y (x) + ady (x)] 4-
da	J a->o da
4~ v2 [// (x) 4- ady (x)]} = d [y (x) j 4- v2 [y (x) j) ,
что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается и свойство (17).
Приложение 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ
Для построения матриц реакций по приведенным в прил. 1—3
формулам, необходимо произвести дифференцирование выражения
для поля перемещений и вычислить определенные интегралы. При-
ведение этих выкладок в замкнутой форме для сложных элементов
трудоемко, поэтому для вычисления интегралов рационально ис-
пользовать численное интегрирование.
Первоначально рассмотрим одномерный случай. Для вычисле-
ния интегралов в этом случае можно воспользоваться полиномами
Лагранжа и получить формулы интегрирования Котеса. При ис-
пользовании полиномов Лагранжа узлы назначаются априори, при,
этом, как правило, используются равноотстоящие узлы. При п уз-
475
Рис. 1
лах численное интегрирование по
Лагранжу дает точное значение
интеграла вплоть до полинома
(п—1)-й степени.
Гауссом была предложена
другая формула интегрирования,
при которой производится варьи-
рование положением узлов таким
образом, чтобы при п узлах по-
лучалось точное решение для по-
линома степени 2п, т. е. чис-
ленное интегрирование по Гауссу
требует в 2 раза меньшего числа
узлов. Наиболее трудоемкой опе-
рацией при численном интегриро-
вании является процесс вычисле-
ния подынтегрального выражения,
и число этих значений по Гауссу в 2 раза меньше, чем по Котесу,
поэтому при построении матриц реакций для прямоугольных эле-
ментов рационально использовать при численном интегрировании
формулу Гаусса.
Формула Гаусса для вычисления интеграла имеет вид
—1	г=1
при п = 2
- ь = & = 0,57735027; у с<2> = -у = -у;
«2 = у-/<4) (I);
loo
при п — 3
-^ = ^ = 0,77459667;	£2 = 0;
_L ,,(3) = _L с(3) JL . 1 (3) =	. d -1 _ /(б) /П.
2 1	2 3	18 *	2 2	9 ’	3	15750'
при п = 4
_ = £4 = 0,86113631;	— &> = £з = 0,33998104;
у- c(<) = -L с(4) = 0,17392742; -у = -у с<4) =
= 0,32607258; R, = у^у/<8> (|),
где — остаточный член.
Рассмотрим прямоугольный элемент и примем п=3 (рис. 1):
7= j j/(|t))^dn = | Л) J’/ Йп)^-
—1 —1	—1 —1
476
Применим формулу Гаусса для вычисления внешнего интеграла:
г 1	1	1
J = J/ (5- — ’ll) d^+ V j f <*• °) dl+ if (5, i)i) dl,
—1	~L	--1
где |	| = | t1i | = 0,77469667.
Применим далее формулу Гаусса для вычисления внутренних ин-
тегралов:
+ 4НН<-£»’ 0)+4ио.О)+-|-НЬО) +
+ v	61  ’ll) + т н°’1111+“э"z (§1 ’П1)] ‘
478
Приложение 5. ТАБЛИЦЫ ФУНКЦИЙ fа] И фДа) ДЛЯ РАСЧЕТА ПЛАСТИН ПО МЕТОДУ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Таблица 1. Таблица функций Л(а) для расчета пластин по методу перемещений. Коэффициент Пуассона v = 0,15
а	fi	А	Л	h	h	/в	Л	h	h
0,00	4,00000	2,00000	6,00000	6,00000	12,00000	12,00000	0,00000	0,00000	0,00000
0,02	4,00051	1,99998	6,00073	6,00049	12,00418	12,00418	27186-10-’	15765 • 10—10	25026-10—1С
0,04	4,00175	1,99961	6,00232	6,00136	12,01553	12,01551	10857-10—6	25172-10—9	4005-1-10—9
0,06	4,00385	1,99905	6,00506	6,00289	12,03466	12,03456	24366-1О-6	12699-10—8	20287-10—8
0,08	4,00683	1,99830	6,00900	6,00511	12,06170	12,06138	43162-10—6	39943-10—8	64161•10—8
0,10	4,01067	1,99733	6,01408	6,00795	12,09659	12,09579	67133-10—6	96921-10—8	15677-1 С-7
0,12	4,01537	1,99615	6,02033	6,01141	12,13946	12,13780	96137-10—6	19948-10-7	32539-10-7
0,14	4,02092	I,99476	6,02774	6,01547	12,19041	12,18734	0,13001	36636-10—7	60346-1О-7
0,16	4,02733	1,99314	6,03636	6,02013	12,24960	12,24435	0,16856	61879-10—7	10306-10—8
0,18	4,03460	1,99131	6,04619	6,02536	12,31718	12,30879	0,21159	98018-10—7	16528-10-6
0,20	4,04273	1,98926	6,05726	6,03114	12,39336	12,38056	0,25887	14757 -10—6	25221-10—6
0,22	4,05172	1,98698	6,06961	6,03746	12,47834 •	12,45960	0,31019	21317*10—6	36968-1О-6
0,24	4,06157	1,98448	6,08325	6,04430	12,57237	12,54583	0,36529	29758-10-6	52415-10—6
0,26	4,07229	1,98176	6,09823	6,05163	12,67569	12,63913	0,42395	40358-10—8	72264-1О-6
0,28	4,08387	1,97881	6,11458	6,05943	12,78859	12,73942	0,48592	53401-10—в	97280-1 С-6
0,30	4,09631	1,97562	6,13235	6,06768	12,91137	12,84658	0,55097	69164-Ю-6	0,12828
0,32	4,10963	1,97221	6,15156	6,07633	13,04435	12,96048	0,61887	87925-10-6	0,166И
0,34	4,12382	1,96856	6,17228	6,08537	13,18789	13,08101	0,68940	0,10995	0,21178
0,36	4,13888	1,96467	6,19454	6,09477	13,34235	13,20803	0,76235	0,13550	0,26618
0,38	4,15481	1,96055	6,21839	6,10448	13,50811	13,34138	0,83750	0,16483	0,33035
0,40	4,17162	1,95618	6,24388	6,11448	13,68561	13,48092	0,91467	0,19816	0,40533
0,42	4,18931	1,95159	6,27108	6,12473	13,87526	13,62649	0,99368	0,23572	0.49223
0,44	4,20788	1,94671	6,30003	6,13519	14,07752	13,77791	1,07435	0,27771	0,59216
0,46	4,22733	1,94160	6,33079	6,14582	14,29287	13,93502	1,15654	0,32433	0,70626
0,48	4,24766	1,93624	6,36343	6,15659	14,52182	14,09762	1,24009	0,37574	0,83570
0,50	4,26888	1,93063	6,39800	6,16745	14,76487	14,26553	1,32487	0,43210	0,98165
0,52	4,29098	1,92476	6,43456	6,17836	15,02257	14,43855	1,41075	0,49355	1,14533
0,54	4,31398	1,91863	6,47319	6,18928	15,29549	14,61646	1,49763	0,56022	1,32791
0,56	4,33786	1,91224	6,51395	6,20017	15,58419	14,79905	1,58539	0,63220	1^53060
0,58	4,36264	1,90558	6,55691	6,21098	15,88930	14,98611	1,67394	0,70960	1,’75460
0,60	4,38830	1,89867	6,60213	6,22166	16,21142	15,17740	1,76320	0,79249	2,00*111
0,62	4,41486	1,89148	6,64969	6,23218	16,55119	15,37269	1,85307	0,88093	2^27130
0,64	4,44231	1,88402	6,69966	6,24247	16,90929	15,57173	1,94349	0,97496	2,56635
0,66	4,47066	1,87630	6,75211	6,25251	17,28638	15,77428	2,03440	1,07463	2 88741
0,68	4,49990	1,86830	6,80712	6,26224	17,68317	15,98009	2,12571	1,17995	3,’23562
0,70	4,53003	1,86002	6,86476	6,27162	18,10038	16,18880	2,21739	1,29093	3,61209
0,72	4,56106	1,85148	6,92510	6,28060	18,53873	16,40042	2,30938	1,40757	4,0/Ж
0,74	4,59298	1,84266	6,98822	6,28913	18,99898	16,61441	2,40162	1,52985	4,45418
0,76	4,62580	1,83356	7,05419	6,29717	19,48190	1G,83059	2,49408	1,65777	4,92190
0,78	4,65950	1,82418	7,12309	6,30467	19,98826	17,04867	2,58671	1,79127	5,42211
0,80	4,69409	1,81454	7,19500	6,31158	20,51888	17,26838	2,67947	1,93034	5,95580
0,82	4,72958	1,80461	7,26998	6,31787	21,07456	17,48942	2,77232	2,07491	6,52392
0,84	4,76595	1,79441	7,34813	6,32349	21,65614	17,71152	2,86525	2,22495	7,12742
0,86	4,80320	1,78394	7,42950	6,32839	22,26447	17,93437	2,95820	2,38038	8,76719
0,88	4,84133	1,77319	7,51418	6,33253	22,90038	18,15768	3,05116	2,54116	9,44413
0,90	4,88034	1,76217	7,60223	6,33587	23,56478	18,38116	3,14409	2,70721	9,15909
0,92	4,92022	1,75088	7,69374	6,33837	24,25851	18,60451	3,23698	2,87846	9,91290
0,94	4,96097	1,73932	7,78877	6,33999	24,98249	18,82744	3,32980	3,05484	10,0636
0,96	5,00259	1,72750	7,88739	6,34069	25,73762	19,04964	3,42252	3,23628	11,54027
0,98	5,04507	1,71542	7,98968	6,34044	26,52482	19,27082	3,51514	3,42270	12,41537
1,00	5,08840	1,70307	8,09569	6,33920	27,34500	19,49069	3,60762	3,61401	13,33242
1,02	5,13259	1,69047	8.20551	6,33694	28,19911	19,70894	3,69996	3,81015	14,29213
1,04	5,17761	1,67762	8,31919	6,33362	29,08809	19,92529	3,79214	4,01103	15,29521
1,06	5,22348	1,66452	8,43680	6,32921	30,01287	20,13944	3,88414	4,21658	16,34235
Продолжение
а	Л	/2	/з	h	h	h	h		f*		h	
1,08	5,27017	1,65117	8,55840	6,32370	30,97443	20,35112		3,97595		4,42672		17,43422
1,10	5,31769	1,63759	8,68405	6,31704	31,97372	20,56002		4,06757		4,64136		18,57149
1,12	5,36602	1,62377	8,81382	6,30922	33,01170	20,76588		4,15898		4,86044		19,75480
1,14	5,41516	1,60972	8,94775	6,30021	34,08936	20,96843		4,25016		5,08389		20,98479
1,16	5,46510	1,59546	9,08590	6,28999	35,20766	21,16738		4,34113		5,31163		22,26210-
1,18	5,51584	1*58097	9,22833	6,27855	36,36758	21,36249		4,43185		5,54358		23,58735
1,20	5,56735	1,56628	9,37508	6,26586	37,57011	21,55348		4,52234		5,77970		24,96115
1,22	5,61964	1,55138	9,52621	6,25191	38,81622	21,74011		4,61259		6,01990		26,38412
1,24	5,67269	1,53628	9,68177	6,23669	40,10691	21,92214		4,70259		6,26413		27,85686
1,26	5,72649	1,52100	9,84178	6,22019	41,44315	22,09932		4,79234		6,51233		29,37999
1 ,28	5,78103	1,50553	10,00631	6,20239	42,82593	22,27144		4,88183		6,76444		30,95410
1,30	5,83631	1,48989	10,17538	6,18331	44,25623	22,43827		4,97107		7,02041		32,57979
1,32	5,89231	1,47408	10,34904	6,16292	45,73503	22,59959		5,06006		7,28019		34,25768
1,34	5,94902	1,45811	10,52731	6,14123	47,26332	22,75521		5,14879		7,54372		35,98837
1,36	6,00642	1,44199	10,71024	6,11825	48,84208	22,90494		5,23726		7,81097		37,77246
1,38	6,06452	1,42573	10,89785	6,09396	50,47228	23,04859		5,32548		8,08190		39,61056
1,40	6,12328	1,40934	11,09017	6,06838	52,15488	23,18598		5,41345		8,35645		41,50328
1,42	6,18271	1,39282	11,28723	6,04152	53,89087	23,31696		5,50117		8,63460		43,45123
1,44	6,24279	1,37619	11,48905	6,01337	55,68119	23,44137		5,58863		8,91632		45,45505
1,46	6,30351	1,35944	11,69564	5,98396	57,52682	23,55908		5,67586		9,20158		47,51534
1,48.	6,36485	1,34260	11,90704	5,95330	59,42871	23,66994		5,76284		9,49031		49,63273
1,50	6,42681	1,32567	12,12325	5,92139	61,38780	23,77384		5,84959		9,78253		51,80787
1,52	6,48937	1,30866	12,34429	5,88826	63,40504	23,87088		5,93610		10,07820		54,04138
1,54	6,55251	1,29159	12,57017	5,85393	65,48136	23,96034		6,02238		10,37729		56,33390
1,56	6,61623	1,27444	12,80090	5,81840	67,61770	24,04276		6,10843		10,67980		58,68610
1,58	6,68051	1,25725	13,03649	5,78172	69,81498	24,11784	6,19426	10,98570	61,09861
1,60	6,74533	1,24001	13,27695	5,74389	72,07412	24,18553	6,27988	11,29498	63,57210
1,62	6,81070	1,22274	13,52228	5,70495	74,39604	24,24577	6,36529	11,60762	66,10724
1,64	6,87658	1,20545	13,77248	5,66491	76,78162	24,29852	6,45049	11,92361	68,70469
1,66	6,94297	1,18814	14,02755	5,62381	79,23179	. 24,34375	6,53549	12,24294	71,36513
1,68	7,00986	1,17082	14,28750	5,58168	81,74742	24,38143	6,62029	12,56561	74,08924
1,70	7,07723	1,15350	14,55231	5,53854	84,32939	24,41156	6,70491	12,89159	76,87771
1,72	7,14507	1,13620	14,82199	5,49442	86,97860	24,43414	6,78934	13,22090	79,73123
1,74	7,21337	1,11891	15,09652	5,44936	89,69589	24,44917	6,87359	13,55353	82,65050
1,76	7,28211	1,10165	15,37591	5,40339	92,48215	24,45668	6,95766	13,88947	85,63622
1,78	7,35128	1,08443	15,66013	5,35654	95,33822	24,45670	7,04157	14,22871	88,68910
1,80	7,42088	1,06725	15,94919	5,30885	98,26495	24,44926	7,12532	14,57127	91,80985
1,82	7,49088	1,05012	16,24308	5,26035	101,26319	24,43441	7,20890	14,91714	94,99919
1,84	7,56127	1,03306	16,54176	3,21107	104,33376	24,41222	7,29233	15,26632	98,25784
1,86	7,63205	1,01606	16,84525	5,16106	107,47751	24,38274	7,37562	15,61881	101,58652
1,88	7,70320	0,99914	17,15351	5,11034	110,69524	24,34605	7,45876	15,97461	104,98597
1,90	7,77470	0,98229	17,46654	5,05896	113,98778	24,30224	7,54177	16,33374	108,45692
1,92	7,84656	0,96554	17,78432	5,00695	117,35594	24,25139	7,62464	16,69619	112,00010
1,94	7,91874	0,94889	18,10683	4,95434	120,80051	24,19360	7,70738	17,06196	115,61626
1,96	7,99126	0,93233	18,43406	.4,90119	124,32231	24,12897	7,79000	17,43107	119,30615
1,98	8,06409	0,91589	18,76598	4,84751	127,92211	24,05761	7,87250	17,80351	123,07051
2,00	8,13722	0,89956	19,10258	4,79336	131,60071	23,97966	7,95189	18,17930	126,91008
2,10	8,50707	0,81983	20,85506	4,51667	151,20284	23,49519	8,36527	20,10861	147,26277
2,20	8,88302	0,74376	22,72145	4,23339	172,89019	22,86594	8,77341	22,12252	169,61015
2,30	9,26399	0,67182	24,69912	3,91779	196,75632	22,11127	9,17974	24,22195	194,04858
2,40	9,64905	0,60436	26,78547	3,66369	222,89309	21,25181	9,58464	26,40784	220,67527
2,50	10,03740	0,54158	28,97806	3,38449	251,39114	20,30850	9,98841	28,68104	249,58792
2,60	10,42838	0,48357	31,27461	3,11303	282,34053	19,30180	10,39129	31,04237	280,88449
2,70	10,82143	0,43031	33,67310	2,85164	315,83113	18,25112	10,79348	33,49250	314,66299
2,80	11,21612	0,38170	36,17177	2,60212	351,95290	17,17436	11,19514	36,03204	351,02141
Продолжение
а	ft	f-i	f3	fi	f«	fa	h	fs	f»
2,90	11,61207	0,33758	38,76909	2,36579	390,79614	16,08762	11,59638	38,66150	390,05757
3,00	12,00900	0,29772	41,46376	2,14355	432,45162	15,00502	11,99732	41,38129	431,86914
3,10	12,40669	0,26188	44,25472	1,93591	477,01068	13,93868	12,39802	44,19178	476,55361
3,14	12,56594	0,24862	45,39785	1,85700	495,66787	13,51903	12,55825	45,34143	495,25361
Таблица 2. Таблица функций 'фг(а) для расчета пластин по методу перемещений. Коэффициент Пуассона v=0,15
а		Фг	Фз	Ф*	Фе	Фе	ф7	Фз	Фе
0,00	I,02302	1,02302	0,00000	0,00000	0,43478	0,43478	0,00000	0,00000	0,00000
0,02	1,02314	1,02280	56296’10—7	11760-10—6	0,43528	0,43446	85194-10-11	31948-10—9	15979-1О-7
0,04	1,02352	1,02213	11277-10-6	23494-10-«	0,43678	0,43351	13571-10—9	25436-1О-8	63667-10-7
0,06	1,02415	1,02102	16961 -10- 6	35177-Ю-6	0,43928	0,43193	68186-10—9	85161-10—8	14233-Ю-6
0,08	1,02504	1,01948	22698-10—6	46781.10- 6	0,44276	0,42973	21326-10—8	19963-1О-7	25077-Ю-6
0,10	1,02618	1,01750	28508-10-6	58283-10—6	0,44722	0,42691	61376-10—8	38443-1О-7	38739-Ю-8
0,12	1,02758	1,01509	34403-Ю-6	69658-10-e	0,45264	0,42350	10483-10-’	65304-10-7	55024-10-6
0,14	1,02925	1,01225	40402 - 1*0—6	80882-10-c	0,45900	0,41951	19061-IO-7	10165-Ю-6	73710-Ю-6
0,16	1,03119	1,00900	46520-Ю-6	91932-10-6	0,46630	0,41494	31834-10—7	14835-10-6	94558.10-е
0,18	1,03339	1,00535	52771-10-6	0,10279	0,47450	0,40985	49802-1О-7	20608-Ю-®	0,11731
0,20	1,03588	1,00129	59167-10-6	0,11343	0,48359	0,40442	73968-10—7	27487-Ю-6	0,14172
0,22	1,03865	0,99685	65720-10-6	0,12383	0,49353	0,39811	10531-Ю-6	35511-10-6	0,16753
0,24	1,04170	0,99202	72442-10—6	0,13399	0,50431	0,39152	14476-Ю-6	44657-10-6	0,19449
0,26	1,04506	0,98683	79343-Ю-6	0,14387	0,51589	0,38449	19318-lO-e	54891-10-6	0,22237
0,28	1,04871	0,98128	86429-10-	0,15347	0,52824	0,37705	25132-Ю-6	66162-10-6	0,25096
0,30 0,32 0,34 0,36 0,38	1,05267 1,05694 1,06154 1,06645 1,07170	0,97540 0,96917 0,96264 0,95580 0,94866	93708-10—6 0,10119 0,10887 0,11676 0,12485	0,16277 0,17176 0,18044 0,18878 0,19679	0,54134 0,55515 0,56964 0,58477 0,60053	0,36923 0,36105 0,35256 0,34378 0,33473	31988-10—« 39941.10-в 49038-10-« 59313-10—6 70792-1 О-в	78407-10—« 91550-10—в 0,10551 0,12020 0,13553	0,28006 0,30951 0,33915 0,36884 0,39848
0,40	1,07729	0,94125	0,13316	0,20445	0,61686	0,32547	83490-10—6	0,15140	0,42797
0,42	1,08322	0,93358	0,14168	0,21177	0,63375	0,31600	97412-10—»	0,16773	0,45725
0,44	1,08949	0,92566	0,15040	0,21874	0,65116	0,30637	0,11256	0,18444	0,48626
0,46	1,09612	0,91750	0,15933	0,22535	0,66906	0,29660	0,12891	0,20143	0,51496
0,48	1,10310	0,90911	0,16846	0,23161	0,68742	0,28672	0,14646	0,21862	0,54331
0,50	1,11044	0,90052	0,17779	0,23752	0,70621	0,27677	0,16518	0,23595	0,57131
0,52	1,11814	0,89173	0,18731	0,24308	0,72540	0,26676	0,18504	0,25335	0,59894
0,54	1,12620	0,88276	0,19702	0,24829	0,74497	0,25672	0,20601	0,27075	0,62621
0,56	1,13464	0,87361	0,20692	0,25315	0,76489	0,24668	0,22804	0,28809	0,65312
0,58	1,14343	0,86430	0,21698	0,25766	0,78513	0,23665	0,25111	0,30532	0,67968
0,60	1,15260	0,85485	0,22722	0,26184	0,80567	0,22667	0,27516	0,32241	0,70591
0,62	1,16214	0,84527	0,23761	0,26569	0,82648	0,21675	0,30015	0,33930	0,73183
0,64	1,17205	0,83555	0,24816	0,26921	0,84756	0,20691	0,32603	0,35596	0,75746
0,66	1,18232	0,82573	0,25886	0,27241	0,86887	0,19717	0,35276	0,37237	0,78282
0,68	1,19296	0,81580	0,26969	0,27530	0,89040	0,18754	0,38027	0,38850	0,80793
0,70	I,20397	0,80578	0,28065	0,27789	0,91212	0,17804	0,40853	0,40433	0,83283
0,72	1,21535	0,79568	0,29173	0,28017	0,93403	0,16868	0,43749	0,41984	0,85754
0,74	1,22708	0,78550	0,30292	0,28217	0,95611	0,15948	0,46708	0,43502	0,88207
0,76	1,23917	0,77526	0,31421	0,28388	0,97834	0,15045	0,49727	0,44987	0,90645
0,78	1,25162	0,76497	0,32561	0,28533	1,00071	0,14159	0,52799	0,46438	0,93071
0,80	1,26442	0,75463	0,33708	0,28651	1,02321	0,13292	0,55922	0,47854	0,95486
0,82	1,27757	0,74426	0,34864	0,28743	1,04582	0,12444	0,59089	0,49235	0,97893
0,84	1,29106	0,73385	0,36028	0,28811	1,06854	0,11616	0,62295	0,50583	1,00293
0,86	1,30489	0,72342	0,37197	0,28855	1,09136	0,10809	0,65538	0,51897	1,02688
0,88	1,31905	0,71298	0,38373	0,28876	1,11427	0,10023	0,68812	0,53178	1,05079
484
Продолжение
а	Ф1	Ф 2	ф3	Ф4	ф5		Ф?	Фа	Фа
0,90	1,33354	0,70253	0,39554	0,28875	1,13725	0,09258	0,72113	0,54427	1,07468
0,92	1,34835	0,69208	0,40739	0,28853	1,16031	0,08515	0,75437	0,55645	1,09857
0,94	1,36348	0,68163	0,41028	0,28811	1,18344	0,07795	0,78780	0,56833	1,12245
0,96	1,37892	0,67120	0,43120	0,2874°	1,20662	0,07096	0,82138	0,57993	1,14635
0,98	1,39466	0,66079	0,44315	0,28669	1,22986	0,06420	0,85509	0,59124	1,17027
1,00	1,41070	0,65040	0,45511	0,28571	1,25315	0,05766	0,88883	0,60230	1,19421
1,02	1,42708	0,64004	0,46710	0,28456	1,27649	0,05134	0,92273	0,61310	1,21819
1,04	1,44366	0,62971	0,47909	0,28325	1,29989	0,04525	0,95661	0,62368	1,24221
1,06	1,46056	0,61943	0,49110	0,28178	1,32329	0,03938	0,99049	0,63403	1,26627
1,08	1,47779	0,60918	0,50310	0,28017	1,34674	0,03373	1,02435	0,64418	1,29038
1,10	1,49516	0,59899	0,51510	0,97843	1,37023	0,02829	1,05816	0,65413	1,31454
1,12	1,51286	0,58885	0,52710	0,27655	1,39374	0,02308	1,09189	0,66391	1,33875
1,14	1,53080	0,57877	0,53909	0,27455	1,41729	0,01807	1,12554	0,67353	1,36301
1,16	1,54899	0,56876	0,55106	0,27243	1,44086	0,01327	1,15909	0,68300	1,38732
1,18	1,56742	0,55880	0,56302	0,27020	1,46446	0,00868	1,19250	0,69233	1,41169
1,20	1,58609	0,54892	0,57467	0,26787	1,48808	0,00429	1,22579	0,70154	1,43610
1,22	1,60497	0,53911	0,58689	0,26544	1,51172	0,00010	1,25892	0,71064	1,46057
1,24	1,62408	0,52938	0,59879	0,26293	1,53538	—0,00390	1,29188	0,71964	1,48508
1,26	1,64339	0,51973	0,61067	0,26032	1,55907	—0,00770	1,32468	0,72855	1,50964
1,28	1,66292	0,51016	0,62253	0,25764	1,58277	—0,01132	1,35729	0,73739	1,53425
1,30	1,68264	0,50067	0,63435	0,25489	1,60649	—0,01476	1,38972	0,74616	1,55889
1,32	1,70255	0,49128	0,64615	0,25207	1,63023	—0,01802	1,42195	0,75488	1,58358
1,34	1,72265	0,48197	0,65792	0,24919	1,65399	—0,02111	1,45398	0,76355	1,60830
1,36	1,74293	0,47276	0,66965	0,24625	1,67776	—0,02403	1,48580	0,77219	1,63306
1,38	1,76338	0,46364	0,68136	0,24326	1,70155	—0,02679	1,51742	0,78079	1,65785
1,40
1,42
1,44
1,46
1,48
1,50
1,52
1,54
1,56
1,58
1,60
1,62
8?	1,64
1,66
1,68
1,70
1,72
1,74
1,76
1,78
1,80
1,82
1,84
1,86
1,88
I,78400 1,80479 1,82573 1,84682 1,86806	0,45462 0,44570 0,43688 0,42817 0,41956	0,69303 0,70467 0,71628 0,72786 0,73940	0,24022 0,23714 0,23402 0,23087 0,22769	1,72536 1,74918 1,77301 1,79687 1,82073	—0,02939 —0,03183 —0,03412 -0,03627 —0,03828	1,54883 1,58003 1,61102 1,64179 1,67237	0,78937 0,79794 0,80650 0,86506 0,82363	1,68269 1,70752 1,73239 1,75728 1,78219
1,88943	0,41105	0,75091	0,22449	1,84461	—0,04016	1,70272	0,83220	1,80712
1,91094	0,40265	0,76238	0,22126	1,86851	—0,04190	1,73287	0,84078	1,83206
1,93258	0,39436	0,77382	0,21802	1,89242	—0,04352	1,76281	0,84938	1,85701
1,92435	0,38618	0,78523	0,21476	1,91634	—0,04501	1,79256	0,85801	1,88198
1,97624	0,37811	0,79660	0,21149	1 ,‘94026	—0,04639	1,82211	0,86665	1,90695
1,99824	0,37016	0,80795	0,20821	1,96423	—0,04765	1,85146	0,87533	1,93192
2,02035	0,36231	0,81926	0,20493	1,98820	—0,04881	1,88062	0,88403	1,95690
2,04257	0,35458	0,83054	0,20165	2,01217	—0,0^986	1,90960	0,89277	1,98189
2,06489	0,34695	0,84178	0,19836	2,03617	—0,05081	I,93839	6,90154	2,00687
2,08731	0,33945	0,85300	0,19508 .	2,06017	-0,05167	1,96700	0,91085	2,03185
2,10982	0,33205	0,86419	0,19181	2,08419	—0,05243	1,99545	0,91919	2,05683
2,13242	0,32477	0,87534	0,18855	2,10821	—0,05310	2,02372	0,92808	2,08180
2,15511	0,31761	0,88647	0,18530	2,13225	—0,05369	2,05183	0,93700	2,10678
2,17788	0,31055	0,89757	0,18206	2,15631	—0,05420	2,07979	0,94596	2,13174
2,20073	0,30361	0,90864	0,17883	2,18037	—0,05463	2,10759	0,95496	2,15670
2,22366	0,29679	0,91969	0,17563	2,20445	—0,05499	2,13524	0,96400	2,18165
2,24665	0,29008	0,93071	0,17244	2,22853	—0,05527	2,16274	0,97309	1 2,20659
2,26972	0,28348	0,94170	0,16927	2,25263	-0,05549	2,19011	0,98221 J	1 2,23152
2,29286	0,27700	0,95267	0,16613	2,27674	-0,05565	2,21735	0,99138	2,25644
2,31605	0,27063	0,96361	0,16301	2,30086	—0,05574	2,24445	1,00058	2,28136
486
Продолжение
а		4>2	^3	^4	4’5		^7		^9
1,90	2,33931	0,26437	0,97453	0,15991	2,32499	—0,05578	2,27143	1,00983	2,30625
1,92	2,36262	0,25822	0,98543	0,15685	2,34913	—0,05577	2,29829	1,01911	2,33114
1,94	2,38599	0,25218	0,99630	0,15381	2,37328	—0,05570	2,32504	1,02844	2,35602
1,96	2,40941	0,24625	1,00716	0,15080	2,39744	—0,05558	2,35167	1,03780	2,38088
1,98	2,43289	0,24043	1,01799	0,14782	2,42161	—0,05542	2,37820	1,04720	2,40574
2,00	2,45641	0,23472	1,02881	0,14487	2,44579	—0,05521	2,40463	1,05664	2,43058
2,10	2,57464	0,20777	1,08260	0,13063	2,56681	—0,05361	2,53537	1,10435	2,55460
2,20	2,69378	0,18339	1,13600	0,11729	2,68802	—0,05126	2,66414	1,15286	2,67832
2,30	2,81361	0,16144	1,18907	0,10490	2,80939	—0,04841	2,79135	1,20205	2,80175
2,40	2,93398	0,14175	1,24187	0,09348	2,93090	—0,04523	2,91734	1,25180	2,92493
2,50	3,05476	0,12417	1,29446	0,08302	3,05252	—0,04188	3,04236	1,30201	3,04789
2,60	3,17586	0,10853	1,34680	0,07350	3,17423	—0,03848	3,16666	1,35260	3,17067
2,70	3,29719	0,09467	1,39918	0,06489 	3,29602	—0,03511	3,29039	1,40348	3,29329
2,80	3,41871	0,08241	1,45137	0,05712	3,41786	—0,03185	3,41369	1,45459	3,41579
2,90	3,54036	0,07160	1,50348	0,05017	3,53976	—0,02873	3,53668	1,50589	3,53818
3,00	3,66212	0,06211	1,55554	0,04395	3,66168	—0,02580	3,65942	1,55732	3,66050
3,10	3,78395	0,05378	1,60754'	0,03842	3,78364	—0,02306	3,78197	1,60889	3,78275
3,14	3,83270	0,05075	1,62834	0,03639	3,83243	—0,02203	3,83096	1,62951	3,83163
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .....................................................
Глава 1. Особенности расчета статически неопределимых ферм, арок
и сводов....................... .................................
§ 1.1.	Вводные замечания....................................
§ 1.2.	Расчет статически неопределимых ферм ....
§ 1.3.	Расчет статически неопределимых арок................
§ 1.4.	Расчет сводчатых конструкций, находящихся в упругой среде
Глава 2. Особенности расчета висячих и комбинированных систем
§ 2.1.	Гибкая растянутая нить как несущий элемент
§ 2.2.	Уравнения равновесия и деформации пологой пространст-
венной ниги........................ .	.	....
§ 2.3.	Плоская нить.................................
§ 2.4.	Плоская и пространственная система нитей ....
§ 2.5.	О решении нелинейных уравнений	...............
§ 2.6.	Гибкая нить с балкой жесткости......................
Глава 3. Общие уравнения строительной механики и методы их реше-
ния с использованием ЭВМ .	.	.	...
§ 3.1.	Введение	.......................................
§ 3.2.	Стержневые системы как системы с конечным числом
степеней свободы............................................
§ 3.3.	Основные уравнения строительной механики для стержня
§ 3.4. Составление основных уравнений для стержневых систем
§ 3.5.	Статико-геометрическая аналогия, постановка задачи строи-
тельной механики и общая система для ее решения
§ 3.6.	Решение общей системы уравнений строительной механики,
смешанный метод.............................................
§ 3.7.	Метод перемещений....................................
§ 3.8.	Метод сил ....	.......................
§ 3.9.	Учет местной нагрузки...............................
§ 3.10.	Уравнения для решения геометрически и физически не-
линейных задач .............................................
Глава 4. Основные положения метода конечных элементов
§ 4.1.	Уравнения теории упругости и их связь с уравнениями
строительной механики .	.	....
§ 4.2.	Принцип Лагранжа....................................
§ 4.3.	Принцип Рейснера. Принципы Лагранжа и Кастилиано как
частные случаи принципа Рейснера............................
§ 4.4.	Метод конечных элементов и его связь с методом Ритпа
§ 4.5.	Связь МКЭ с методами строительной механики
§ 4.6.	Связь МКЭ с методом перемещений.....................
§ 4.7.	Решение плоской задачи теории упругости по МКЭ
§ 4.8.	Осесимметричная задача..............................
§ 4.9.	Решение объемной задачи теории упругости по МКЭ
§ 4.10.	Сложные элементы....................................
Глава 5. Расчет тонких пластин на изгиб..........................
§ 5.1.	Прямоугольный элемент...............................
§ 5.2.	Расчет пластинок на упругом основании ....
§ 5.3.	Получение матрицы реакций для треугольного элемента
§ 5.4.	Расчет трехслойных пластин с легким заполнителем
§ 5.5.	Получение матрицы реакций для элемента в виде тонкостен-
ной конической оболочки при действии осесимметричной нагрузки
§ 5.6. Расчет тонких пологих оболочек и пластин со сложным кон-
туром по МКЭ с использованием прямолинейной ортогональной
сетки ......................................................
Глава 6. Полуаналитический вариант МКЭ и его применение для рас-
чета тонкостенных пространственных систем........................
§ 6.1.	Введение ............................................
§ 6.2.	Получение матрицы реакций для узкой полоски, выделен-
ной из ортотропной оболочки двоякой кривизны .	.	.	.
§ 6.3.	Получение матрицы реакций для узкой полоски, выделен-
ной из трехслойной пластины с легким заполнителем
§ 6.4.	Суперэлемент для получения матрицы реакций оболочки,
составленной из узких полосок ..............................
§ 6.5.	Получение матрицы реакций для элемента в виде тонкостен-
ной конической оболочки при действии неосесимметричной нагрузки
487
Стр.
3
5
5
8
16
26
32
32
37
41
47
57
63
75
75
76
82
90
101
104
105
109
118
121
140
140
149
152
161
165
171
183
199
207
213
237
237
254
257
261
274
285
301
301
303
320
229
331
Стр.
Глава 7. Расчет цилиндрических складчатых систем с использованием
метода перемещений и решений теории упругости для пластин в оди-
нарных тригонометрических рядах......................................344
§ 7.1.	Вводные замечания ......................................344
§ 7.2.	Канонические уравнения метода перемещений для шарнир-
но-опертой складчатой оболочки ............................... 346
§ 7.3.	Определение реакций на кромках прямоугольной пластины
при ее изгибе от смещения кромок. Метод начальных парамет-
ров в изгибе пластин ......................................... 353
§ 7.4.	Определение реакций на кромках прямоугольной пластины
от смещения кромок в ее плоскости..............................360
§ 7.5.	Техника определения коэффициентов системы уравнений
метода перемещений.............................................367
§ 7.6.	Теоремы о взаимности перемещений и реакций и их при-
менение для определения реакций от внеузловой нагрузки .	.	376
§ 7.7.	Примеры.................................................379
§ 7.8.	Об использовании	смешанного метода......................389
Глаза 8. Расчет оболочечных	конструкций на	прямоугольном плане 392
§ 8.1.	Общие сведения..........................................392
§ 8.2.	Линейные уравнения для пологих упругих оболочек в де-
картовых координатах...........................................398
§ 8.3.	Расчет шарнирно-опертой оболочки с помощью двойных
тригонометрических рядов.......................................404
§ 8.4.	Расчет бортовых элементов шарнирно-опертой	оболочки .	410
§ 8.5.	Применение метода перемещений и одинарных тригономет- '
рических рядов в расчетах пологих оболочек двоякой кривизны 416
§ 8.6. Построение матрицы жесткости панели оболочки путем точ-
ного интегрирования уравнений..................................420
§ 8	7. Численные методы построения матрицы жесткости панели 429
Глава 9. Приведение многомерных задач к одномерным. Понятие о
расчете цилиндрических систем по методу В. 3. Власова	.	436
§ 9.1.	Приведение многомерных задач к одномерным	.	.	.	435
§ 9.2.	О решении дифференциальных уравнений вариационного
метода.........................................................448
§ 9.3.	Основы расчета призматических тонкостенных систем по
методу В. 3. Власова............................. .	451
Глава 10. Основы метода предельного равновесия.....................453
§ 10.1.	Понятие о предельных нагрузках и механизмах разрушения 453
§ 10.2. Теоремы о предельном равновесии.......................456
§ 10.3.	Понятие об использовании методов линейного програм-
мирования .	..............................461
Список литературы............................................465
Приложение 1.	Однородные координаты.........................468
Приложение 2.	Интегрирование по треугольной области ....	470
Приложение 3.	Некоторые сведения из вариационного исчисления	.	472
Приложение 4.	Интегрирование по прямоугольной области . > .	.	475
Приложение 5. Таблицы функций f {(а) и Чч(а) для расчета пластин
по методу перемещений.................................. .	478
ОПЕЧАТКИ
с»».	Строка	Напечатано	Должно быть
5	5-я снизу		EJа
	3-я снизу		EJ& <С EJ*
27	4-я снизу	sin а	Др
	5-я снизу	Др	sin а
56	20-я сверху	^22(ДН)г0 =	
138	13-я сверху	1 ЗОЛ'/ ‘	
155	Ф-ла (4.58)	... ]6Т	... lTfi...
342	1-я снизу	П»0.	п > 0.
Зак. 316