Моиз Э.Э. & Даунc Ф.Л. Геометрия
Титул
Издат. данные
Оглавление
От издательства
Из предисловия авторов
Глава 1. Здравый смысл и строгое рассуждение
§ 2. Логически последовательное изложение геометрии
Глава 2. Множества, действительные числа и прямые
§ 2. Порядок на числовой прямой
§ 3. Абсолютная величина
§ 4. Масштабные линейки и единицы длины
§ 5. Бесконечная линейка
§ 6. Аксиома прикладывания линейки. Понятие «между». Отрезки и лучи
§ 7. Замена единицы длины
Глава 3. Прямые и плоскости и разбиения
§ 2. Прямые и плоскости; чертежи
Аксиома 6
§ 4. Выпуклые множества
§ 5. Семь кёнигсбергских мостов
Глава 4. Углы и треугольники
§ 2. Несколько замечаний об углах
§ 3. Угловая мера
§ 4. Прямые углы, перпендикулярность, конгруэнтные углы
§ 5. Запись теоремы в форме «предположение - заключение»
§ 6. Запись простых доказательств
Глава 5. Конгруэнтность
§ 2. Конгруэнтность треугольников
§ 3. Аксиомы конгруэнтности треугольников
§ 4. Доказательство постарайтесь придумать сами!
§ 5. Биссектрисы углов
§ 6. Равнобедренные и равносторонние треугольники
§ 7. Перекрывающиеся треугольники. Применение рисунков для передачи информации
§ 8. Четырехугольники, квадраты и прямоугольники
Глава 6. Геометрические доказательства
§ 2. Доказательства от противного
§ 3. Теоремы о прямых и плоскостях
§ 4. Перпендикуляры
§ 5. Введение в доказательствах вспомогательных точек и прямых. Употребление слова «пусть»
§ 6. Как обойтись без УСУ-аксиомы
§ 7. Как обойтись без ССС-аксиомы
§ 8. Отношение «между» и разбиение
Глава 7. Геометрические неравенства
§ 2. Неравенства между числами, отрезками и углами
§ 3. Теорема о внешнем угле
§ 4. Теоремы о конгруэнтности, основанные на теореме о внешнем угле
§ 5. Неравенства, связывающие элементы треугольника
§ 6. Взаимно обратные теоремы
§ 7. Расстояние между прямой и точкой. Неравенство треугольника
§ 8. Теорема о шарнире и обратная теорема
§ 9. Высоты треугольников
Глава 8. Перпендикулярные прямые и плоскости в пространстве
§ 2. Лемма
§ 3. Основная теорема о перпендикулярах
§ 4. Существование и единственность
Глава 9. Параллельных прямые на плоскости
§ 2. Соответственные углы
§ 3. Аксиома параллельности
§ 4. Треугольники
§ 5. Плоские четырехугольники
§ 6. Ромб, прямоугольник и квадрат
§ 7. Несколько теорем о прямоугольных треугольниках
§ 8. Секущие ко многим параллельным прямым
§ 9. Как Эратосфен измерил Землю
Глава 10. Параллельных прямые и плоскости
§ 2. Двугранные углы. Перпендикулярные плоскости
§ 3. Проекции
Глава 11. Многоугольные области и их площади
§ 2. Площади треугольников и четырехугольников
§ 3. Теорема Пифагора
§ 4. Треугольники специального вида
Глава 12. Подобие
§ 2. Подобие треугольников
§ 3. Основная теорема о пропорциональности и обратная теорема
§ 4. Основные теоремы о подобии
§ 5. Подобие прямоугольных треугольников
§ 6. Площади подобных треугольников
§ 7. Тригонометрические отношения
§ 8. Тригонометрические расчеты. Применение таблиц
§ 9. Формулы, связывающие тригонометрические отношения
Глава 13. Аналитическая геометрия на плоскости
§ 2. Система координат на плоскости
§ 3. Как изобразить систему координат на бумаге в клетку
§ 5. Параллельные и перпендикулярные прямые
§ 6. Формула расстояний
§ 7. Формула середины. Деление отрезка в данном отношении
§ 8. Применение метода координат для доказательства теорем
§ 9. Условие и его график
§ 10. Уравнение прямой
Глава 14. Окружности и сферы
§ 2. Касательные к окружности
§ 3. Касательные плоскости к сфере
§ 4. Дуги окружностей
§ 5. Вписанные углы и высекаемые дуги
§ 6. Конгруэнтные дуги
§ 7. Секущие и касательные отрезки. Степень точки относительно окружности
§ 8. Окружность на координатной плоскости
Глава 15. Необходимые и достаточные условия построения
§ 2. Роль необходимых и достаточных условий в аналитической геометрии
§ 3. Теоремы о конкуррентности
§ 4. Биссектрисы углов треугольника
§ 5. Теорема о конкуррентности медиан
§ 6. Построения с помощью циркуля и линейки
§ 7. Простейшие построения
§ 9. Вписанные и описанные окружности
§ 10. Неразрешимость некоторых классических задач на построение
Глава 16. Площадь круга и сектора
§ 2. Правильные многоугольники
§ 3. Длина окружности. Число п
§ 4. Площадь круга
§ 5. Длина дуги и площадь сектора
Глава 17. Тела и их объемы
§ 2. Пирамиды
§ 3. Объемы призм и пирамид. Принцип Кавальери
Архимед
§ 4. Цилиндры и конусы
§ 5. Объем шара и площадь его поверхности
Дополнения
Список аксиом
И.М. Яглом. «Метрические» системы обоснования геометрии и книга Моиза-Даунса
Литература
Указатель символов
Предметный указатель
Именной указатель
Text
                    ЭДВИН Э. МОИЗ,
ФЛОЙД Л. ДАУНС, мл.
ГЕОМЕТРИЯ
Перевод с английского
И. А. ВАЙНШТЕЙНА
Под редакцией
И. М. ЯГЛОМА
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1972


513 Μ 74 Моиз Э. Э. и Дауне Ф. Л., мл. Μ 74 Геометрия. Перевод с англ. И. А. Вайнштейиа. Под ред. И. М. Яглома. М., «Просвещение», 1972. 622 с. с илл. 6-6 513 БЗ № 26—72
ОГЛАВЛЕНИЕ От издательства 8 Из предисловия авторов .* 9 ГЛАВА 1. ЗДРАВЫЙ СМЫСЛ И СТРОГОЕ РАССУЖДЕНИЕ § 1. Два типа задач ^. 13 § 2. Логически последовательное изложение геометрии 19 Евклид 22 ГЛАВА 2. МНОЖЕСТВА, ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ПРЯМЫЕ § 1. Множества . < 27 § 2. Порядок на числовой прямой к . . . . 32 § 3. Абсолютная величина 37 § 4. Масштабные линейки и единицы длины 39 Аксиома 1 (аксиома расстояния) 42 § 5. Бесконечная линейка 43 Аксиома 2 (аксиома масштабной линейки) 45 § 6. Аксиома прикладывания линейки. Понятие «между». Отрезки и лучи , 48 Аксиома 3 (аксиома прикладывания линейки) 48 Аксиома 4 (аксиома прямой) 51 § 7. Замена единицы длины 56 ГЛАВА 3. ПРЯМЫЕ, ПЛОСКОСТИ И РАЗБИЕНИЯ § 1. Введение 63 § 2. Прямые и плоскости; чертежи 64 Аксиома 5 ' 65 § 3. Прямые и плоскости; чертежи (окончание) 67 Аксиома 6 67 Аксиома 7 (аксиома плоскости) 68 Аксиома 8 (аксиома пересечения плоскостей) 68 § 4. Выпуклые множества 71 Аксиома 9 (аксиома разбиения плоскости) 72 Аксиома 10 (аксиома разбиения пространства) 74 § 5. Семь кёнигсбергских мостов 76 Леонард Эйлер -. 78 ГЛАВА 4. УГЛЫ И ТРЕУГОЛЬНИКИ § 1. Основные понятия 83 § 2. Несколько замечаний об углах 88 § 3. Угловая мера 89 Аксиома 11 (аксиома измерения углов) 90 3
Аксиома 12 (аксиома построения углов) 91 Аксиома 13 (аксиома сложения углов) 91 Аксиома 14 (аксиома пополнения) 92 § 4. Прямые углы, перпендикулярность, конгруэнтные углы .... 96 Джордж Дэвид Биркгоф . . . 103 § 5. Запись теоремы в форме «предположение — заключение» .... 105 § 6. Запись простых доказательств 106 ГЛАВА 5. КОНГРУЭНТНОСТЬ § 1. Идея конгруэнтности - 117 § 2. Конгруэнтность треугольников 124 § 3. Аксиомы конгруэнтности треугольников 131 Аксиома 15 (СУС-аксиома) ·...., - . 132 Аксиома 16 (УСУ-аксиома) 132 Аксиома 17 (ССС-аксиома)1 . 132 § 4. Доказательство постарайтесь придумать сами! 134 § 5. Биссектрисы углов . . 146 § 6. Равнобедренные и равносторонние треугольники -. 148 § 7. Перекрывающиеся треугольники. Применение рисунков для передачи информации 153 § 8. Четырехугольники, квадраты и прямоугольники 159 ГЛАВА 6. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА §, 1. Как строится дедуктивная система 171 § 2. Доказательства от противного 171 § 3. Теоремы о прямых и плоскостях 174 § 4. Перпендикуляры . . 179 § 5. Введение в доказательствах вспомогательных точек и прямых. Употребление слова «пусть» .. . ♦ , 187 § 6. Как обойтись без УСУ-аксиомы 193 § 7. Как обойтись без ССС-аксиомы 194 § 8. Отношение «между» и разбиение 196 ГЛАВА 7. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА § 1. Разумные гипотезы 203 § 2. Неравенства между числами, отрезками и углами 205 § 3. Теорема о внешнем угле 207 § 4. Теоремы о конгруэнтности, основанные на теореме о внешнем угле 212 § 5. Неравенства, связывающие элементы треугольника . 216 § 6. Взаимно обратные теоремы 219 § 7. Расстояние между прямой и точкой. Неравенство треугольника 221 § 8. Теорема о шарнире и' обратная теорема 224 § 9. Высоты треугольников , 227 4
г ПАВА 8. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ § 1. Определение перпендикулярности прямых и плоскостей .... 235 § 2. Лемма · · - 237 § 3. Основная теорема о перпендикулярах 238 § 4. Существование и единственность 241 § 5. Перпендикулярные прямые и плоскости (сводка результатов) . 245 ГЛАВА 9. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ § 1. Условия, гарантирующие параллельность 253 § 2. Соответственные углы 260 § 3. Аксиома параллельности 262 Аксиома 18 (аксиома параллельности) . — § 4. Треугольники 266 § 5. Плоские четырехугольники 269 § б. Ромб, прямоугольник и квадрат 275 § 7. Несколько теорем о прямоугольных треугольниках 278 § 8. Секущие ко многим параллельным прямым 281 § 9. Как Эратосфен измерил Землю 285 Эратосфен . 287 ГЛАВА 10. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ § 1. Основные факты о параллельных прямых и плоскостях .... 295 § 2. Двугранные углы. Перпендикулярные плоскости^ 301 § 3. Проекции 308 Николай Иванович Лобачевский 316 ГЛАВА 11. МНОГОУГОЛЬНЫЕ ОБЛАСТИ И ИХ ПЛОЩАДИ § 1. Многоугольные области 319 Аксиома 19 (аксиома площади) ~ . 321 Аксиома 20 (аксиома конгруэнтности) — Аксиома 21 (аксиома сложения площадей) 322 Аксиома 22 (аксиома единицы площади) — § 2. Площади треугольников и четырехугольников 326 § 3. Теорема Пифагора 334 Пифагор , 335 § 4. Треугольники специального вида 339 ГЛАВА 12. ПОДОБИЕ § 1. Идея подобия. Пропорциональность 349 § 2. Подобие треугольников .-' 354 § 3. Основная теорема о пропорциональности и обратная теорема . . 357 § 4. Основные теоремы о подобии 362 § 5. Подобие прямоугольных треугольников 373 § б. Площади подобных треугольников 376 5
§ 7. Тригонометрические отношения 379 § 8. Тригонометрические расчеты. Применение таблиц 383 § 9. Формулы, связывающие тригонометрические отношения 387 ГЛАВА 13. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ § 1. Введение . .- 395 § 2. Система координат на плоскости — Рене Декарт 400 § 3. Как изобразить систему координат на бумаге в клетку .... 401 § 4. Подъем (невертикальной) прямой 406 § 5. Параллельные и перпендикулярные прямые , 412 § 6. Формула расстояний 415 § 7. Формула середины. Деление отрезка в данном отношении ... 419 § 8. Применение метода координат для доказательства теорем .... 424 § 9. Условие и его график . 428 § 10. Уравнение прямой 431 ГЛАВА 14. ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ § 1. Основные определения 441 § 2. Касательные к окружности 445 § 3. Касательные плоскости к сфере < 453 § 4. Дуги окружностей 458 § 5. Вписанные углы и высекаемые дуги 462 § 6. Конгруэнтные дуги 468 § 7. Секущие и касательные отрезки. Степень точки относительно окружности 473 § 8. Окружность на координатной плоскости 481 ГЛАВА 15. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ; ПОСТРОЕНИЯ § 1. Необходимые и достаточные, условия 493 § 2. Роль необходимых и достаточных условий в аналитической геометрии 497 § 3. Теоремы о конкуррентности 499 § 4. Биссектрисы углов треугольника 503 § 5. Теорема о конкуррентности медиан 505 § 6. Построения с помощью циркуля .и линейки 508 § 7. Простейшие построения 510 § 8. Простейшие построения (продолжение) 513 § 9. Вписанные и описанные окружности . . . ., 518 § 10. Неразрешимость некоторых классических задач на построение - 520 ГЛАВА 16. ПЛОЩАДЬ КРУГА И СЕКТОРА § 1. Многоугольники ; 529 § 2. Правильные многоугольники 534 6
§ 3. Длина окружности. Число π 536 § 4. Площадь круга 540 § 5. Длина дуги и площадь сектора 543 ГЛАВА 17. ТЕЛА И ИХ ОБЪЕМЫ § 1. Призмы 551 § 2. Пирамиды ; 558 § 3. Объемы призм и пирамид. Принцип Кавальери 563 Аксиома 23 (аксиома единицы объема) 564 Аксиома 24 (принцип Кавальери) 565 Архимед '. . 571 § 4. Цилиндры и конусы 572 § 5. Объем шара и площадь его поверхности . . . 578 Дополнения 585 Список аксиом . / 593 Я. М. Яглом. «Метрические» системы обоснования геометрии и книга Моиза — Даунса 595 Литература . . . . 606 Указатель символов > . . ' 614 Предметный указатель 616 Именной указатель 622
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА Настоящая книга представляет собой учебник геометрии, используемый в старших классах части американских средних школ. Содержащийся здесь материал покрывает полную программу курса: он содержит и разделы, относящиеся к планиметрии, и первоначальные (впрочем, довольно скромные) сведения по стереометрии. В книге произведена удачная попытка частичного объединения планиметрического и стереометрического материала, излагаемого зачастую в рамках одной главы. Учебник Моиза и Даунса является также и задачником — он содержит полное количество задач, необходимое для целей преподавания. Для удобства преподавателя задачи, которые авторы считают возможным опустить, отмечены крестиками (+); более трудные задачи отмечены звездочками (*). Особо выделены так называемые «конкурсные задачи» (honors problems), адресованные лишь к наиболее успевающим учащимся. «Основной текст книги сопровождается Дополнениями, заимствованными из «учительского издания» учебника, и послесловием редактора перевода, поясняющим основные установки этой книги, а также содержащим некоторые сведения о ее авторах и о том, как используется этот учебник в американских средних школах. В конце книги имеется полный список всех аксиом, позволяющий более полно представить себе избранную авторами дедуктивную систему, а также список всех употребляемых в книге символов и предметный указатель. Немногочисленные подстрочные примечания в тексте книги принадлежат переводчику и редактору. 8
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ В последние годы происходила оживленная дискуссия о содержании курса геометрии, который проходится в старших классах средней школы. Просмотрев оглавление этой книги, легко заметить, что мы близко следуем рекомендациям Комиссии по математике Совета по вступительным экзаменам в колледжи (Commission on Mathematics of the College Entrance Examination Board) и находимся под сильным влиянием опубликованной исследовательской Группой по школьной математике (School Mathematics Study Group, сокращенно SMSG) книги под названием «Геометрия». При отборе материала для нашей книги мы руководствовались идеями, которые были приняты как этими коллективами, так и некоторыми другими. Самый простой способ объяснить дух и метод этой книги состоит в том, чтобы сразу выразить глубочайшую признательность нашим коллегам по SMSG. Нам посчастливилось участвовать в проводимой в рамках SMSG коллективной работе, и мы были воодушевлены длительными и серьезными обсуждениями стиля и метода преподавания математики. Естественно, что ады писали свою книгу, основываясь на собственных убеждениях, сложившихся после нескольких лет труда и размышлений под влиянием нашего опыта преподавания в средней школе; отступления от выработанной коллективно линии изложения здесь столь многочисленны, что мы не можем претендовать ни на какую поддержку нашей книги авторитетом SMSG. Однако наши взгляды со времени летних месяцев 1958, 1959 и 1960 гг. существенно не изменились; основные установки составленной под эгидой SMSG книги и теперь кажутся нам такими же обоснованными, как и раньше, так что своей задачей мы считаем лишь усовершенствование воплощения этих установок. Перечислим теперь основные особенности нашей книги. 1. Основные понятия стереометрии вводятся у нас рано, в гл. 3, и с этого момента систематически используются. Они возникают не только в более поздних главах, специально посвященных изучению стереометрии, но и в задачах к главам, посвященным планиметрии. Таким образом, к тому времени, когда мы обратимся к систематическому изучению стереометрии в гл. 8, учащийся будет уже иметь большой и разнообразный (хотя и интуитивный) опыт в этом направлении. 9
2. Система координат на прямой вводится в гл. 2, и после этого мы свободно пользуемся алгеброй. Расстояния и углы измеряются числами, и при действиях с ними применяются алгебраические методы. Это позволяет легко ввести в гл. 13 (после того, как учащийся познакомится с подобием и теоремой Пифагора) координаты на плоскости. 3. Теорию измерения площадей обычно проходят в конце курса геометрии. Здесь мы излагаем ее в гл. 11, т. е. примерно в середине курса. Для этого есть две причины. Во-первых, понятие площади должно появляться рано потому, что оно является легким, если не считать требований, которые оно предъявляет к алгебраическим навыкам. (Эти навыки так или иначе нужно развивать.) Во-вторых, оно полезно в остающейся части теории, давая простое доказательство теоремы Пифагора, а также теоремы о пропорциональных отрезках, на которую опирается теория подобия. 4. Почти в каждом случае, прежде чем формально определить какое-либо понятие, мы объясняем его интуитивно — путем неформального обсуждения, чаще всего базирующегося на разборе рисунков. (См., например, определение выпуклого множества на стр. 69.) 5. Рисунки в книге используются очень широко; они снабжаются некоторыми пометками, имеющими своей целью увеличение доставляемой рисунками информации. (См. стр. 126—127, где мы объясняем, как пометками обозначать конгруэнтность, а также стр. 141 —142, где мы объясняем пользу проставляемых на рисунках восклицательных знаков: с их помощью мы обозначаем заключения.) 6. Мы постарались придумать названия для возможно большего числа теорем, чтобы облегчить их запоминание и ссылки на них. (См., например, «теорему о шарнире» на стр. 224 и «аксиому масштабной линейки» на стр. 45.) 7. Основная цель этой книги состоит в том, чтобы научить учащегося пользоваться математическим языком—т. е. понимать Математическую книгу и самому использовать усвоенные формы записи. Это — не простая задача. Трму, кто учится пользоваться математическим языком, должны быть сообщены термины и обозначения, быстро и точно передающие смысл математического понятия. Не следует думать, что так поступают все. Например, во многих книгах один и тот же символ А В употребляется для обозначения: а) прямой, содержащей точки А и В; Ь) отрезка с концами А и J3; с) луча, исходящего из Л и проходящего через 10
В; d) расстояния между точками А и В. Вовсе не редкость также встретить в какой-либо книге детальное объяснение различия между отрезками и прямой, которое, однако, полностью игнорируется самими авторами (или автором). Но если применяемый язык так неряшлив, учащийся скорее всего придет к (законному!) заключению о том, что предложенный ему учебник для серьезного изучения не годится. В нашей книге мы сделали попытку добиться вдумчивого внимания учащихся, последовательно приучая их к ясности и точности изложения. Кембридж и Ньютон, Массачусетс, Э. Э. М. Октябрь 1963 г. Ф. Л. Д.
1 ЗДРАВЫЙ СМЫСЛ И СТРОГОЕ РАССУЖДЕНИЕ
§ 1. ДВА ТИПА ЗАДАЧ Рассмотрим следующие задачи. 1. Прямоугольник имеет размеры 6смх8см. Ограниченная им площадь разбита прямолинейным отрезком на две части. Чему равна площадь одной из этих частей, если площадь другой равна 20 кв. см? 2. Сумма (измеренных в сантиметрах) основания и боковой стороны некоторого прямоугольника равна 14. Второй прямоугольник имеет в 5 раз большее основание и втрое большую боковую сто- ~ I рону. Периметр второго прямоугольника равен 91. Какие размеры имеет первый прямоугольник? Задачу 1 вы сумеете решить без осо- q cm бых размышлений. Ответ — 28 кв. см, потому что 6-8 = 48 и 48 — 20 = 28. Конечно, при желании мы могли бы эту задачу решить и алгебраически, составив уравнение 20 + л; = 6-8 и затем найдя из него, что χ = 28. Но решающий задачу таким способом рискует вызвать нелестное мнение о своих умственных способностях, поскольку в алгебре здесь нет никакой нужды. Скорее всего, вам еще до того, как вы вообще начали изучать алгебру, приходилось решать с помощью арифметики и более трудные задачи. И если бы все алгебраические уравнения были бы такими же ненужными, как только что составленное, то ни один серьезный человек не заинтересовался бы ими. Иное дело, однако, задача 2. Если мы обозначим основание и боковую сторону первого прямоугольника через χ и у, то основание и боковая сторона второго прямоугольника будут равны Ьх и Зу. Следовательно, 5х + Зу = ^-9 так как сумма основания и боковой стороны равна половине периметра. Кроме того, мы знаем, что х + У=14. Мы пришли к системе двух уравнений с двумя неизвестными. Чтобы ее решить, умножим второе уравнение почленно на 3; мы получим Зх + 3у = 42. Затем почленно вычтем последнее уравнение из первого; это даст нам . 13
или Следовательно, i,= 14-l|=12j-. Нетрудно проверить, что наш ответ удовлетворяет условиям задачи. Эти две задачи кажутся схожими, но в одном очень важном отношении они совершенно различны. Первую из них можно было бы назвать «задачей на здравый смысл». Легко догадаться, каким должен быть ответ, и столь же легко проверить, что ответ, к которому приводит естественная догадка, правилен. Угадать же ответ второй задачи почти невозможно. Чтобы ее решить, нужно кое-что знать о математических методах. Ситуации такого рода в геометрии не редки. Рассмотрим следующие утверждения. 1. Если треугольник имеет стороны 3, 4 и 5, то он является прямоугольным, причем прямой угол противолежит наибольшей стороне. 2. Пусть дан треугольник со сторонами a, b и с. Если а* + Ь2 = с2, то треугольник является прямоугольным, причем прямой угол противолежит наибольшей стороне. Первый из этих фактов был известен еще древним египтянам. Они проверили его на опыте. Вы можете удостовериться в том, что он верен, как можно точнее начертив треугольник 3 — 4 — 5 и измерив транспортиром угол, противолежащий наибольшей стороне. Нужно, конечно, учитывать, что такая проверка является только приближенной. Допустим, например, что этот угол, который мы предположили точно равным 90°, в действительности равен 89° 59'59-γ- (т. е. 89 градусов, 59 минут и 59 ^ секунды). В этом случае вам едва ли удалось бы обнаружить это различие с помощью транспортира, как бы тщательно вы ни точили свой карандаш 14
и вычерчивали треугольник. Тем не менее «египетский метод» с точки зрения здравого смысла является хорошим методом проверки экспериментального факта. Египтяне были очень искусны в проведении физических измерений. Ребра основания великой пирамиды в Гизе (пирамиды Хеопса) равны приблизительно 230,43 м, причем длины этих четырех ребер отличаются одна от другой не более чем на 2 см. По-видимому, никто сегодня не знает, какими средствами строители добились такой точности (Чем больше вы будете думать над этой задачей, тем более трудной она вам, вероятно, покажется.) Утверждение 2 египтянам известно не было, оно было открыто греками много позже. Проверить это утверждение экспериментально совершенно невозможно по той простой причине, что пришлось бы рассмотреть бесконечное множество случаев. Можно, например, сделать чертеж и снять показания транспортира для всех следующих треугольников и так далее до бесконечности. Таким образом, проверить наше общее утверждение экспериментально (даже приближенно) нет никакой надежды. Поэтому разумный человек не будет убежден, что утверждение 2 во всех случаях верно до тех пор, пока он не обоснует его рассуждениями, основанными на правилах логики. Это и явилось причиной того, почему именно греки, а не египтяне открыли, что наше второе утверждение верно. Египтяне были очень сильны в измерениях, и они сделали несколько чрезвычайно проницательных догадок, которые позднее оказались верными. Но греки открыли новый метод, который оказался гораздо более мощным,— метод строгого геометрического рассуждения. С помощью этого метода они превратили правдоподобные догадки в прочные знания и установили некоторые настолько поразительные факты, что без доказательства им никто не поверил бы. Тем самым древние греки заложили основания современной математики, а потому и всей современной науки вообще. 15
Задачи к § 1 1. Насколько хорошо вы оцениваете на глаз? Проделайте следующий эксперимент. Возьмите кусок веревки длиной приблизительно в полтора метра и положите его на пол в виде петли со свободными концами. Затем потяните за концы веревки, постепенно уменьшая петлю, и остановитесь в тот момент, когда вам покажется, что петля по размеру равна вашей талии. Пометьте веревку в точках ее самопересечения и проверьте, правильно ли вы угадали, обтянув ее вокруг талии. После того как вы произведете эту проверку, прочитайте замечание к задаче 1на стр. 18. 2. Вот еще одна задача на оценку на глаз. Газетный лист довольно тонок — около 0,08 мм\ пачку газе г вам приходилось видеть довольно часто. Представьте себе, что вы расстелили один газетный лист на полу. Затем вы кладете на него другой лист, затем еще два, затем четыре и т. д., так что пачка газет все время увеличивается. Каждый раз вы добавляете к пачке столько газет, сколько в ней уже было раньше. После десятикратного повторения этой операции высота пачки достигнет примерно 8 см. Какую высоту имела бы пачка, если бы вы были в состоянии повторить эту операцию 50 раз? Один из ответов а) — d), приведенных ниже, является правильным; вам нужно только оценить (или подсчитать), какой именно. a) Примерно такую же, как ваша классная комната. b) Примерно такую же, как четырехэтажное здание. c) Примерно такую же, как Импайр Стейт Билдинг х). d) Более чем в два раза превышающую высоту Импайр Стейт Билдинг. После того как вы произведете свой выбор, прочитайте замечание к задаче 2 на стр. 19. 3. На первый из двух приведенных ниже вопросов можно ответить на основании «здравого смысла». Дайте только ответ. Ответ на второй вопрос требует небольших арифметических или алгебраических вычислений. Покажите, как вы их проделаете. a) Чему равна одна шестая от 12? b) Чему равна одна шестая от 5 255 622? 4. Поступите, как в .задаче 3: a) Третья часть расстояния между двумя городами равна 10 км. Чему равно все расстояние? b) Расстояние между двумя городами на 10 км больше, чем треть расстояния между ними. Чему равно расстояние между этими городами? 5*. Поступите, как в задаче 3: a) Если пятнадцатисантиметровый кусок проволоки разрезать на две части так, чтобы одна часть была в четыре раза длиннее другой, то чему будет равна длина большей части? b) Если пятнадцатисантиметровый кусок проволоки разрезать на две части так, чтобы площадь квадрата, образуемого сгибанием одной части, была в четыре раза больше площади квадрата, образуемого сгибанием другой, то чему будет равна длина большей части? 6, Если два ученика добросовестно и независимо друг от друга будут измерять ширину классной комнаты линейками, один слева направо, а другой справа налево, то, по всей вероятности, они получат различные результаты. Проверьте это! Какое из следующих соображений является правдоподобной причиной такого различия? !) Импайр Стейт Билдинг —самый высокий в мире дом (475 ж, 102 этажа) в момент написания этой книги. О 16
а) Линейки имеют разные длины. м Веши удлиняются (или укорачиваются), когда их измеряют не слева направо, а справа налево. c) Расхождения, являющиеся результатом изменения положения линейки, накапливаются, и сложение этих, маленьких ошибок приводит к заметному различию. d) Один из двух учеников сбился со счета. 7. Покажите, что равенство п2 — 2л + 2 = я верно при п=1. Верно ли оно при я = 2? Верно ли оно всегда, т. е. при любом значении п> 8. Важной составной частью изучения математики является овладение умением подмечать детали, наталкивающие на некоторые общ^е умозаключения. Взгляните, например, на соотношения 3 + 5 = 8, 9 + 5=14, 11 + 17 = 28. По ним нетрудно догадаться, что сумма двух нечетных чисел есть число четное. Можете ли вы придумать два нечетных числа, суммой которых является нечетное дисло? Доказывает ли ваш ответ, что такие два нечетных числа не существуют? 9. Рассмотрите соотношения 12=1, 32 = 9, 52=25, 72 = 49. a) Постарайтесь извлечь из них какое-либо заключение относительно нечетных чисел. Запишите утверждение, обобщающее ваше наблюдение. b) Докажите, что это обобщение верно. 10. Разделите каждое из чисел З2, Б2 и 72 на 4. a) Чему в каждом из этих случаев равен остаток? b) Какой здесь напрашивается вывод? c) Сколько нечетных чисел нужно было бы возвести в квадрат и разделить на 4, чтобы гарантировать, что остаток всегда будет один и тот же? 11. Рассмотрите следующие фигуры и вывод, на который они наталкивают: Число соединяемых точек: 2 3 4 5 6 Число образуемых областей: 2 4 8 16 ? a) Замените вопросительный знак под цифрой 6 числом, которое, по вашему мнению, должно здесь стоять. b) Нарисуйте окружность и соедините любые шесть ее точек всевозможными отрезками. Подсчитайте число образованных при этом областей. Согла- ' суется ли этот результат с вашим ответом на вопрос а)? c) Что показывает эта задача: всегда ли верно напрашивающееся обобщение наблюдений или это не так? 12. Следующие рисунки, в которых мы встречаемся с обманами зрения, показывают, что не всегда можно верить своим глазам. а) Является ли отрезок CD продолжением отрезка Л В? Возьмите линейку и проверьте, правы ли вы. 17
b) Одинаковы ли по длине отрезки XY и YZ7 Возьмите масштабную линейку или циркуль и проверьте, правы ли вы. c) MN и PQ — прямолинейные это отрезки или нет? d) Какая из прямых справа от прямоугольника является продолжением прямой слева? e) Какой из отрезков длиннее, А В или CD? LK β 13. Рассмотрим выражение я2 — я+11. При п—\ оно равно 11. При я = 2 оно равно 13. При п = 3 оно дает 17. Числа 11, 13 и 17 являются простыми. (Простым числом называется целое число, большее единицы, которое делится только на себя и на единицу.) Если подставлять вместо η любые натуральные числа, то всегда ли мы будем получать простые числа? 14*+. а) Покажите, что выражение п2 — n+ky когда k равно 3 или 5, ведет себя так же, как и выражение п2 — п+П (см. задачу 13). b) На какое общее утверждение наталкивает а)? Верно оно или нет? c) Какое наименьшее число, большее чем 11, годится здесь в качестве k? Годится ли здесь число 41? 154". Пилот реактивного самолета собирается покрыть 1500-километровый путь со средней скоростью 1500 км/час. Первые 1200 км он прошел со скоростью 1200 км/час. С какой скоростью должен он пройти оставшийся путь? 164". Проверьте с помощью, линейки, что размеры на рисунке указаны верно. Если они правильны, то, вычислив площади частей, на которые разбит прямоугольник, покажите, что сумма всех этих площадей больше, чем площадь всего прямоугольника. Странно, не правда ли? Можете ли вы это объяснить? Замечание к задаче 1. Почти каждый делает петлю примерно в два раза больше, чем нужно. Можно получить вполне удовлетворительный результат, если немножко порассуждать следующим образом. Длина окружности в π раз больше диаметра, а π приблизительно равно 3. Поэтому диаметр составляет около одной третьей части длины окружности. Таким образом, если вы знаете, что окружность вашей талии близка, скажем, к 60 см, то петля должна иметь диаметр, приблизительно равный 20 см. Это может показаться неправдоподобно малым, но если вы проанализируете задачу математически, то согласитесь, что это строго логичное рассуждение вполне надежно. 18
Это один из многих довольно часто встречающихся случаев, когда много выгоднее использовать математический подход к Задаче, пусть даже совсем Грубый, чем просто гадать на кофейной гуще. Замечание к задаче 2. Это также одна из многих весьма обычных ситуаций, когда математический анализ помогает открыть поразительные факты, которые иначе обнаружить невозможно. Аспект математики, связанный не с Подтверждением уже открытого, а непосредственно с открытиями, играет огромную р0ЛЬ__и он столь же важен, сколь и полезен при решении задач. Так как каждый раз, прибавляя газеты к пачке, вы удваиваете число газетных листов, то после 50 таких операций вы получите 250 листов. Таблица степеней числа 2, или непосредственлый 5 Ъ подсчет, убедит вас, что вы будете иметь э 1 125 899 906 842 624 листа. Стоит еще немножко посчитать —и вы убедитесь, что пачка должна иметь высоту, большую, чем 90 миллионов километров, т. е. большую, чем половина расстояния от Земли до Солнца. Даже если вы решили, что правильным является ответ d), вы скорее всего все же не подозревали, насколько мал этот ответ по сравнению с истинным значением. § 2. ЛОГИЧЕСКИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ Если вы немножко подумаете, то убедитесь, что знаете немало геометрических фактов. Например, вы знаете, как находить площадь различных простых фигур. Известно вам и равенство Пифагора, связывающее стороны прямоугольных треугольников. Некоторые из знакомых вам фактов так очевидны, что вам, пожалуй, никогда не пришло бы в голову формулировать их словами, не говоря уже о том, чтобы задуматься, а почему же они верны. Примером такого рода служит следующее утверждение: Две прямые не могут пересечься более чем в одной точке. Но некоторые другие из этих фактов, например равенство Пифагора, совсем не очевидны. В этой книге мы собираемся излагать геометрические факты таким образом, чтобы из нескольких простых начальных утверждений получать затем более сложные. Мы увидим, что все геометрические факты можно вывести из небольшого числа простых и очевидных утверждений. Это наводит нас на мысль о том, что все эти факты можно расположить в таком порядке, что каждое утверждение в нашем списке можно вывести из предыдущих утверждений путем логического рассуждения. И действительно, мы собираемся реализовать следующую программу: мы будем определять геометрические понятия с той степенью ясности и полноты, которая покажется нам необходимой, и устанавливать геометрические факты, приводя их ло- 4 19
гические доказательства. Утверждения, которые мы будем доказывать, называются теоремами. Хотя почти все наши утверждения будут доказаны как теоремы, будут и некоторые исключения. Простейшие и наиболее фундаментальные из наших утверждений не будут доказываться. Они называются аксиомами. Точно так же и простейшими и наиболее фундаментальными понятиями геометрии мы будем свободно пользоваться, вовсе не пытаясь их определять. Эти понятия, называются неопределяемыми понятиями. На первый взгляд может показаться, что лучше определить каждое понятие, которым мы. пользуемся, и доказать каждое из высказываемых нами утверждений. Но совсем легко убедиться, что этого сделать нельзя. Рассмотрим сначала вопрос о теоремах. Обычно, когда мы доказываем какую-нибудь теорему, мы показываем, что она логически следует из теорем, которые нами уже были доказаны раньше. Но всегда проводить доказательства таким образом нельзя. В частности, первое доказательство, которое нам встретится, так проведено быть не может, потому что в этом случае вообще нет теорем, которые были бы уже доказаны до этого. Но с чего-нибудь начать необходимо. Это значит, что некоторые утверждения мы обязаны принять без доказательства. Такие недоказанные утверждения и являются аксиомами. Тот же принцип применим и к определениям. По большей части, когда мы вводим новое понятие, мы определяем его, пользуясь понятиями, которые уже были определены раньше. Но всегда так поступать невозможно. В частности, первое из наших определений сформулировать таким образом нельзя, потому что в этом случае вообще нет понятий, которые были бы определены ранее. Это значит, что некоторые геометрические понятия мы обязаны ввести, не давая им никакого определения. Именно потому мы будем пользоваться простейшими и наиболее фундаментальными геометрическими понятиями, не предпринимая попытки их определить. Такими фундаментальными неопределяемыми понятиями будут понятия: точка, прямая и плоскость. Аксиомы, конечно, выбираются отнюдь не произвольно. (В противном случае ни один разумный человек не стал бы обращать на них никакого внимания.) Аксиомы описывают основные свойства пространства. Точно так же и идеи точки, прямой и плоскости подсказываются некоторыми физическими объектами. Если мы нанесем карандашом точку на листе бумаги, то получим вполне удовлетворительное изображение геометрической точки. Чем острее карандаш, тем лучше это изображение. Такое изображение всегда будет только приближенным, потому что точка, нарисованная карандашом, всегда Занимает некоторую площадь, в то время как геометрическая точка площади не имеет. Но если вы вообразите, как все более и более острые карандаши нано- 20
сят все меньшие и меньшие точечки, то вы получите хорошее представление о том, что мы понимаем в геометрии под словом «точка». Под «прямой» мы всегда будем понимать прямую линию. Прямая линия бесконечно простирается в обоих направлениях. Обычно мы указываем это на наших рисунках, пририсовывая в концах изображенной части прямой стрелки. Эти стрелки должны напоминать нам, что прямая не кончается там, где обрывается чертеж. Для фигуры вроде изображенной ниже мы будем пользоваться другим термином —«отрезок». Хорошее представление об отрезке дает туго натянутая веревка. Еще точнее изображает отрезок сильно натянутая тонкая струна рояля и т. д. Если вы вообразите совершенно ровную поверхность, бесконечно простирающуюся в каждом направлении, то вы получите хорошее представление о том, какой должна быть плоскость. Следует иметь в виду, что все вышесказанное·—это не определения. Это только объяснение тех идей, которыми люди руководствовались, когда выбирали аксиомы. Когда мы приступим к доказательству теорем, единственной информацией о точках, прямых и плоскостях, которой мы сможем пользоваться, будет информация, даваемая аксиомами. В заключение сделаем два предостережения. Во-первых, существуют пределы того, что логика может для нас сделать. Логика позволяет проверять наши догадки. Но прежде такие догадки должны возникнуть, и тут от логики большой помощи ждать нельзя. При изучении математики вы никогда не достигнете той ступени, когда можно будет продвигаться без изобретательности или не руководствуясь своей интуицией. Во-вторых, первые несколько теорем, которые мы докажем, не произведут сильного впечатления: вас может удивить, почему мы просто не объявили их аксиомами, после чего их вообще не пришлось бы доказывать. Но эта первая часть, во всяком случае, будет легкой; наберитесь терпения, прочтите текст и переходите к задачам. В начале следующей главы мы дадим краткий очерк идеи множества и краткий обзор свойств действительных чисел. Этим ма- 21
териалом мы будем пользоваться на протяжении всего курса. Мы будем, однако, относиться к нему, как к орудиям, которыми мы строим здание геометрии, а не как к тому, что мы строим. Мы не станем формулировать специальных аксиом и теорем для этих понятий, а будем считать, что они имеются в нашем распоряжении с самого начала. В некоторых из наших аксиом будут фигурировать действительные числа, а алгеброй мы будем пользоваться в доказательствах. На самом деле, геометрия и алгебра очень тесно связаны, и обе эти науки легче изучать, если начать с установления связи между ними. ЕВКЛИД (третий век до нашей эры) Евклид, пожалуй, имел самый большой успех из всех когда- либо живших авторов научных сочинений. Его знаменитая книга «Начала» является учебником геометрии и теории чисел. За две с лишним тысячи лет каждый, кто изучал геометрию, учил ее по Евклиду. И за все это время «Начала» служили! для всех образцом логического рассуждения. Никто сегодня не знает, какая часть изложенного в «Началах» принадлежит самому Евклиду. Кое-что могло опираться на более ранние работы, и предполагается, что некоторые из наиболее важных геометрических идей в «Началах» восходят к Евдоксу, который жил примерно в то же время, что и Евклид. Во всяком случае, из книг, дошедших до нас, «Начала» являются первой книгой, в которой изложение геометрии проведено в организованной логичной форме, отправляясь от нескольких' простых положений и вырастая из них с помощью логических рассуждений. С тех пор этот метод стал основным в математике. Замечательно, что он был открыт так рано и был применен так хорошо. Логика в математике играет ту же роль, что эксперимент в физике. И в ма- 22
тематике и в физике у вас может возникнуть идея, которая кажется вам правдоподобной. Но в физике лучший способ убедиться в ее правильности - пойти в лабораторию и попытаться ее проверить, а в математике — еще немного поразмышлять и попытаться ее доказать. В то время как общий метод Евклида сохраняет силу, его аксиомы и основанная на них теория сегодня уже являются мало употребительными. Благодаря развитию алгебры использование чисел для измерения геометрических величин приобрело фундаментальное значение. Этот метод в «Началах» не встречался, потому что во времена Евклида алгебра еще почти не была известна. Задачи к § 2 Ученик, желающий узнать значение слова «измерение», обращается к толковому словарю. В словаре в качестве его синонима указано слово «размер». Затем ученик в свою очередь находит синонимы этого слова. Он составляет следующую таблицу: -величина измерение — размер — -протяженность — или —величина — или —длина -— наибольшее измерение измерение или —размер a) Выделите из этой таблицы «круговой (или циклический) список», состоящий из трех терминов, каждый из которых имеет в качестве синонима следующий за ним. (В «круговом списке» первый термин считается следующим за последним.) b) Составьте «круговой список», состоящий из четырех терминов. 2+. Составьте таблицу, аналогичную таблице задачи 1, начав с какого-либо другого слова в словаре. 3. Что, по вашему мнению, неправильно в следующих непригодных «определениях»? a) Квадрат есть нечто некруглое. b) Окружность есть нечто круглое. c) Прямоугольный треугольник есть треугольник, углы которого — прямые. d) К равностороннему треугольнику мы приходим, если треугольник имеет три стороны одной и той же длины. e) Диаметр окружности есть прямая, проходящая через центр этой окружности. 4, Ответьте на тот же вопрос, что и в задаче 3. a) Периметр прямоугольника получится, если образовать сумму длин его сторон. b) Длина окружности получится, если вы умножите Диаметр на π. c) Плоская фигура, имеющая четыре стороны, являтся прямоугольником, если ее противоположные стороны имеют одну и ту же длину. 23
d) Разносторонний треугольник есть треугольник, который имеет три стороны и три угла и все стороны которого имеют одну и ту же длину, а все углы — одну и ту же величину. e) Треугольник образуется тремя прямыми, которые попарно пересекают ДРУГ Друга. 5+. После того как вы прочитали § 2, вы должны быть в состоянии решить, верно или ошибочно каждое из следующих утверждений: a) Каждое понятие геометрии можно' определить с помощью более простых геометрических понятий. b) Теоремы доказывают только на основании определений и неопределяемых понятий. c) Строгое геометрическое рассуждение приводит к геометрическим истинам', которые могут быть выведены из измерений. d) Лучший способ научиться доказывать теоремы состоит в том, чтобы внимательно разобрать ряд примеров их доказательства. e) Если захотеть описать все необходимые шаги, то каждую теорему можно докааать исходя из аксиом и неопределяемых понятий, не ссылаясь ни на какие другие теоремы. f) Любое утверждение, которое кажется истинным, можно было бы взять в качестве аксиомы. 6+. Допустим, что вы в состоянии плотно обтянуть, стальной лентой очень большую сферу, скажем поверхность Земли по ее экватору. Длина ленты должна быть приблизительно равна 40 000 км. Допустим, что в эту ленту вставлена' добавочная стальная полоска длиной 2 м так, что новая лента больше уже плотно не прилегает к сфере. Удлиненная лента будет отходить от сферы, и ее радиус будет чуть-чуть больше радиуса первоначальной ленты. На сколько будет отходить от сферы удлиненная стальная лента? (Если вам потребуется радиус Земли, то можете считать его равным 6400 км.)
2 МНОЖЕСТВА, ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ПРЯМЫЕ
§ 1. МНОЖЕСТВА Может случиться, что слово «множество» вы в математике не встречали, но соответствующая идея вам, наверное, хорошо знакома. Ваша семья есть множество людей, состоящее из вас, ваших родителей и ваших братьев и сестер (если они имеются). Эти люди являются элементами данного множества. Ваш класс в школе также есть некоторое множество людей. Про любой элемент множества говорят, что он принадлежит этому множеству. Например, вы принадлежите вашей семье и вашему классу. Про множество говорят,, что оно содержит свои элементы или что оно состоит из своих. элементов! Например, и ваша семья и ваш класс содержат вас. Если одно множество содержит каждый элемент некоторого другого множества, то мы говорим, что второе множество является подмножеством первого. Например, ваш класс является подмножеством множества всех учеников вашей школы, а это последнее множество включает ваш класс. (Мы говорим, что подмножество включено в то множество, частью которого оно является.) Заметим, что при определении подмножества мы не исключили возможности совпадения подмножества со всём множеством. Таким образом, каждое множество является также своим собственным подмножеством. Когда мы говорим, что два множества равны, или пишем равенство А = В, связывающее два множества А и В, мы имеем в виду только то, что эти два* множества имеют в точности одни и те же элементы. Предположим, например, что А есть множество всех целых чисел, заключенных между 9-j- и 14|7, а В — множество всех целых чисел, заключенных между 9тд и 14·^·. Тогда А=В, ибо каждое из множеств А и В состоит из чисел 10, 11, 12, 13 и 14. Фактически почти всегда одно и то же множество можно описать несколькими разными способами. Поэтому из того, что описания выглядят различно, вовсе еще не следует, что различаются и сами множества. С тем же самым мы сталкиваемся и в алгебре. Выражения 3-17 и 39+12 выглядят различно, но они отесывают одно и то же число; именно это мы и имеем в виду, когда пишем 3· 17 = 39+ 12. "Два множества пересекаются, если существует хотя бы один элемент, принадлежащий каждому из них. Например, ваша семья и ваш (школьный) класс пересекаются, поскольку вы являетесь элементом и своей семьи и своего класса. (Вернее всего, вы яв-. ляетесь единственным общим элементом этих двух множеств.) Пересечение двух множеств есть множество всех объектов, принадлежащих обоим этим множествам. 21
Переходя к математическим примерам, мы видим, что множество всех четных чисел состоит из элементов 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ... , а множество всех чисел, делящихся на 3, —из элементов 3, 6, 9, 12, 15, 18, ... Пересечением этих двух множеств является множество, состоящее из чисел 6, 12, 18, ... (т. е. множество всех чисел, делящихся на 6). На рисунке справа каждый из двух прямоугольников, состоящих из четырех отрезков, является некоторым множеством точек; пересечение этих прямоугольников состоит из двух точек. Точно так же некоторым множеством точек является и каждая из изображенных - на этом рисунке прямоугольных областей, пересечением которых яв-. ляется маленькая прямоугольная область в середине рисунка. На следующем рисунке каждая из двух прямых является множеством точек; их пересечение состоит из одной единственной точки. В этой книге точки, прямые и плоскости будут' рассматриваться как некоторые множ:е- ства точек.1 (Если хотите, можете считать это нашей первой аксиомой.) В действительности, все геометрические фигуры мы будем рассматривать как множества точек. На следующем рисунке мы видим два множества точек, каждое из которые представляет собой некоторую прямоугольную область, принадлежащую своей плоскости, при этом плоскости двух прямоугольников различны. Пересечением прямоугольников служит отрезок прямой. 28
Объединение двух множеств есть множество, состоящее из всех Гъектов, принадлежащих какому-либо одному из этих множеств, а также всех объектов, принадлежащих другому. Например, на рисунке снизу мы видим большую прямоугольную область /?, являющуюся объединением двух меньших прямоугольных областей А п В. Пересечением А и В служит вертикальный отрезок почти в середине рисунка. Точки этого отрезка входят в объединение А к В сразу по двум причинам: как принадлежащие А и как принадлежащие В. Пересечение и объединение трех или большего числа множеств определяются аналогично. Таким образом, треугольник яв- А В ляется объединением трех отрезков, а прямоугольник — объединением четырех отрезков. Иногда бывает удобно пользоваться понятием пустого множества. Так называется множество, вообще не содержащее никаких элементов. Идея рассматривать такое множество на первый взгляд может показаться несколько странной, но в действительности она не более странная, чем идея о числе нуль. Пустое множество и число нуль —родственники; так, следующие три высказывания имеют в точности один и тот же смысл: 1°. В Чикаго нет белых слонов. 2°. Число белых слонов в Чикаго равно нулю. 3°. Множество всех белых слонов в Чикаго пусто. Поскольку введено пустое множество, мы можем теперь говорить о пересечении любых двух множеств, допуская и возможность того* что это пересечение пусто. Например, пусто пересечение множества всех нечетных чисел и множества всех четных чисел. Пересечение 29
изображенных ца предыдущем рисунке треугольника и прямоугольника также является пустым множеством. Пустое множество обозначается символом 0. Предостережение. Если сравнить определения терминов «пересекаются» и «пересечение», то легко заметить одну тонкость, связанную с их употреблением. Когда мы говорим о пересечении двух множеств, мы допускаем и возможность того, что это пересечение пусто; однако когда мы говорим, что два множества пересекаются, то всегда подразумеваем, что их пересечение содержит по крайней мере один элемент. Таким образом, равносильны следующие два утверждения: } 1°. Множества А и В пересекаются. 2°. Пересечение А и В непусто. Еще одно предостережение. Нуль и пустое множество— родственники, быть может, близкие, однако это вовсе не одно понятие, а два разных.^ Например, уравнение имеет своим единственным решением число 0, и потому множество его решений непусто: оно состоит из одного элемента, а именно из числа 0. С другой стороны, уравнение . х+ 1 =а; + 2 вообще не имеет решений. Следовательно, множество его решений есть ф, Задачи к § 1 1. Для «аких из следующих множеств А и В множество А равно множеству В: 3 25 a) А — множество всех целых чисел, заключенных между -и-^; В — множество, состоящее из чисел 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8; b) А — множество всех имен девочек, начинающихся на букву Н; В — множество, состоящее из имен Нина, Наташа, Надя, Нюра, Настя, Нелли; c) —множество всех стран Центральной Америки, названия которых начинаются с буквы П; В — множество всех стран Центральной Америки, которые можно пересечь морским путем (по каналу); d) Л— множество всех учеников вашего класса, которым меньше 10 лет; В — множество месяцев в году, начинающихся на букву Р; e) А — множество всех решений уравнения # + 7=12; В — множество всех решений уравнения я2 = 25;* f)\А — множество всех решений уравнения Ъх + 8 = 8; В — множество всех решений уравнения 7 (х2 + 2) — 5 = 9? 2. Пусть Ρ =={2, 5, 7, 10, 14, 17,: 19}. (Замечание. Эта запись читается так: «Р есть множество^ состоящее из элементов 2г 5, 7, 10, 14, 17 и 19»,) Пусть далее Q = (2г4,бЛ Ю, 12}. 30
Из каких чисел состоит пересечение множеств Ρ и Q? Из каких чисел состоит объединение Ρ и Q? я Рассмотрим следующие множества: ς -множество всех учеников вашей школы. 5— множество всех мальчиков в вашей школе. 52 — множество всех девочек в вашей школе. 53 — множество всех учителей вашей школы. 54_множество, единственным элементом которого являетесь вы —ученик школы. a) Какие из этих множеств попарно пересекаются? b) Какое множество является объединением 52 и 53? c) Какое множество является объединением 5А и 55? d) Опишите объединение Sj и 54. e) Какие из этих множеств являются подмножествами SJ 4. Прямые и окружности, изображенные на следующем рисунке, мы будем рас- ' сматривать как множества точек. Объясните, что представляет собой в каждом из трех случаев их пересечение. 4 <л 8, 9. 5. Что представляет собой пересечение треугольника ЛВС и отрезка АС (см. рисунок)? А их объединение? 6. Рассмотрим множество Ε всех положительных четных чисел и множество О всех положительных нечетных чисел. э) Опишите объединение Ε и О. Ь) Опишите пересечение Ε и О. 7. Рассмотрим множество, состоящее из трех мальчиков: {Л, В, С}. Любое его ^ подмножество будем называть комитетом. a) Перечислите все -возможные комитеты. b) Сколько мы можем образовать комитетов с двумя членами? c) Покажите, что каждые два из фигурирующих комитетов в п. Ь) пересекаются. ν d) Что означает здесь слово «пересекаются»? Пусть Л.--множество всех irap чисел (х, у), удовлетворяющих уравнению ~^· *' ^ ~~множество всех пар чисел (х, .у), удовлетворяющих уравнению 2х+у=\\. Опишите пересечение множеств А и В. Пусть А ={(1,12), (2,9), (3,6), (4,3), (5,0)}, £ = {(1,9), (2,7), (3,5), (4,3), (5,1)}. (Заметим, что элементами множеств А и В являются пары чисел.) Какие * ~ " 'В? 10 rF ШСлЛ ВХ0ДЯТ в пересечение Л и Л? В объединение А и. пусть Л—множество всех решений уравненг- с~ ' ~ жество всех решений уравнения 3r-s*»5. Из пересечение А п В? усть Л—множество всех решений уравнения 5r + s=ll, а В~мно- каких пар чисел состоит 31
11. Пусть Л—множество всех решений уравнения 7х — у — 28, а θ —мно. жество всех решений уравнения Зх-{-2у = 12. Из каких пар чцсел состоит пересечение А и В? 12. Пусть Л—множество всех решений уравнения 2т-{-п = 8, а £-~МНо_ жество всех решений уравнения Am + 2п *= 12. Опишите пересечение А и В 13*. Рассмотрим множество всех натуральных чисел, делящихся на 2 и множество всех натуральных чисел, делящихся на 3. a) Опишите пересечение -этих двух множеств и укажите какие-либо четыре его элемента. b) Найдите алгебраическое выражение для этого пересечения. c) Опишите объединение этих двух множеств и укажите какие-либо шесть" его элементов. 14. Представим £ебе точку А на доске или на листе 'бумаги. Сколько прямых на плоскости доски или листа бумаги содержат точку Л? (Прямые содержащие точку Л, образуют некоторое множество, элементами которого они являются. Сколько элементов содержит это множество?) 15. а) Даны две различные точки А и В. В множестве всех прямых сколько имеется элементов, содержащих одновременно Л и В} (Часто этот вопрос формулируют иначе: сколько прямых можно провести через две данные точки Л и В}) b) Даны три точки Л, В vrJCt не принадлежащие одной прямой. Сколько имеется прямых, содержащих две из этих трех точек? c) Даны четыре точки Л, В, С и D, никакие три из которых,не принадлежат одной прямой. Сколько имеется прямых, содержащих две из этих точек? Сколько было бы таких прямых, если бы были заданы пять точек, никакие три из которых не принадлежат одной прямой: :. d)* В задачах а), Ь) и с) ставился один и тот же вопрос, но число заданных точек было различно. -Ответьте на тот же вопрос, если задано η точ©к. 16+. При перечислении всех подмножеств данного множества в число этих множеств включают само множество и пустое множество. Так, множество-}а, Ь} имеет следующие подмножества: {а, Ь}9 {а}, {*}, ф. Таким образом, множество с двумя элементами имеет четыре подмножества. a) Перечислите все подмножества множества {а, Ь, с}. b) Сколько подмножеств имеет множество из четырех элементов? c) Сколько подмножеств имеет множество из пяти элементов? d) Сколько подмножеств имеет множество из η элемейтов? § 2. ПОРЯДОК НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ Первыми числами, которые вы изучали, были натуральные числа 1, 2, 3, 4, о, . .. Эта последовательность натуральных чисел не имеет конца, потому что, как бы далеко мы ни зашли, всегда можно продвинуться еще йа шаг, прибавив к надлежащему числу 1. Мы можем себе представить, что натуральные числа расположены на прямой и идут слева направо: Я» II II ИИЦИДИШ ШИШКИН Mill. IHHinilfin.!.» О ι м—О ■ ■ ЧП"0 ■■■■■■ Они Ц frb» 1 2 3 4 5- 32
Слева от 1 поставим число 0: -j——О—«-О ~ "■■ О"" . О ■ О' . fe- О Ь 2 3 4 5— Затем введем отрицательные целые числа, расположив их так, чтобы они шли справа налево: ^ ,| .м | ( )- f О О О О О "О *-» .·· -5-4-3-2-1012345 - Числа, которые мы теперь имеем, называются целыми числами. Множество целых чисел состоит из положительных целых чисел, отрицательных целых чисел и нуля. Натуральные числа—это, конечно, положительные целые числа; их часто так и называют. Заметим, что на прямой осталось еще много точек, которым пока не приписано никаких чисел. Нам нужно, по крайней мере, 112 1 12 разместить Дроби ^, g-, g-, —g-,—3", " и Т* Д' МеждУ каж" дыми двумя целыми числами имеется бесконечное множество таких дробей. Поэтому все, что мы можем сделать на рисунке, это указать для примера некоторые из них. 2 7 3 2 2 3 -**"""0 ' о ' ■■ ■ о-Ч—сН он о—н-о 1 <Н о ■■ Ь"'"' о· t» --5 -4-3-2-1 0 1 2' 3 4 5- Все числа, о которых мы говорили до сих пор, имели вид -, где ρ и q —-целые числа и q не равно нулю. Они называются рациональными числами. [Этот термин («рациональный» значит «разумный») вовсе не должен приводить к мысли, что остальные числа неразумны. Он только отмечает тот факт, что рациональные числа являются отношениями (по-латыни ratio) целых чисел.] v Рациональные числа не заполняют числовую прямую целиком. Существует много чисел, которые нельзя выразить в виде отношения целых чисел. Например, число |/2 не является рациональным. Это же относится и к числам а также к некоторым «особым» числам вроде π. ^Если мы нанесем все эти добавочные числа так, чтобы каждой точке нашей прямой было приписано некоторое число, то мы получим полное множество действительных чисел: 33
V2 3 ή 2 .u* ■■ Ο ι О [О О ) ' Ό" ) Ό ICJ ■!("■ Ό ■■ О} "О О' Ρ* --5 -4 -3 -2 -1 ' 0 1 с2 3 4 5··· Можно проверить, что все числа на этом рисунке расположены примерно там, где- им и положено. В нашем курсе геометрии действительные числа будут использоваться повсюду. И, начиная с, этого момента, для нас становится важным представлять их себе лежащими в определенном порядке на прямой. Число χ меньше, чем число у, если χ лежит на числовой прямой левее, чем уу например, как на следующем рисунке. χ Я «в О " Ό j'O О Ό О | О- » - -3 -2 -1 0 1-2 3 - Этот факт мы записываем так: х<у. Очевидно, каждое отрицательное число лежит левее любого положительного числа, поэтому каждое отрицательное число меньше любого положительного числа. Так, например, — ι ооо ооо <: -^-, хотя число — 1 000 000 в каком-то смысле и кажется больше. Выражения, в которые входит знак <, называются неравенствами. Любое неравенство можно переписать, обратив его знак; у>х означает просто, что х<Су· Таким образом, если у>х, то у ле>кит на числовой прямой правее, чем х. Выражение х^у означает, что либо х<у, либо х=у. Таким образом, — 2^ 1, - поскольку-—2~< 1 и 2^2, так . как 2 = 2. При изучении алгебры вы до сих пор имели дело главным образом с поведением действительных чисел при сложении и умножении. В действительности алгебру можно изучать тем же методом, каким мы будем в этом курсе изучать геометрию. Иными словами, все известные рам алгебраические факты можно- вывести из нескольких простых аксиом. Тем не менее не исключено, что алгебру вы таким способом не изучали, а нам 'едва ли хватит времени, чтобы пройти всю алгебру снова. По- 34
этому в нашем курсе мы будем без особых оговорок использовать почти все, что вы знаете из алгебры. Так как, однако, довольно распространены различные недоразумения, относящиеся к употреблению неравенств и к квадратным корням, в этих вопросах нужно быть особенно осторожными. Отношение < называется- отношением порядка. Вот его основные свойства: П Трихотомия («закон исключенного четвертого»), *" Для каждых двух чисел χ и у справедливо одно и только одно из следующих отношений: χ < у, х = у, х > */. П2. Транзитивность. Если х<у к y<z, το χ<ζ По. Закон сложения. Если а<Ь и х*£у, то а+х<Ь + у. П4. Закон умножения. Если χ < у и а > О, то ах < ау. Из этих четырех законов вытекают все обычные правила действии с неравенствами. Наконец, нам понадобится еще следующий закон: К1в Существование квадратных корней. Для каждого положительного числа χ существует хотя бы один положи- тельный квадратный корень у = Υ χ из этого числа (т. е. такое число у :> О, что у2 = #). В учении о квадратных корнях имеется один довольно деликатный момент. Когда мы говорим, что χ есть квадратный корень из а, то мы подразумеваем только то, что х2 = а. Например, 2 есть квадратный корень из 4, так как 22 = 4. Но—2 также является квадратным корнем из 4, поскольк (—2)2 = 4. Однако запись χ = Υ а означаем, что χ есть положительный квадратный корень из а.ч Таким образом, из следующих двух утверждений первое верно, а второе неверно. Верно: —2 есть квадратный корень из 4. Неверно: — 2=уТ. Причина именно такого употребления символа ]/а очень проста. Если допустить, что У а означает любой из двух квадратных корней из а, то мы вообще не будем иметь символа, например, для положительного квадратного корня из 7. Попытка поставить перед Yl знак плюс ни· к чему бы не привела, поскольку знак плюс не меняет значения никакого выражения: если бы У7 был отрицателен, то и ,+ VT также был бы отрицателен. По этой причине условливаются, что Y~a всегда обоз- ачает положительный двадратный корень из а>0. Отрицатёль- 36
ным корнем из а тогда будет число —У а; выражение же j/θ" означает 0. Для ссылок удобно сформулировать следующие предложения, которыми мы далее будем пользоваться. Правило сложения равенств: Если а = Ь и c = d9 то a-\-c~b-\-d. Правило вычитания равенств: Если а = Ь и c = d, то a—c = b — d.- Правило умножения равенств: Если а = Ь и c=dy то ac = bd. Задачи к § 2 1. Составьте таблицу, озаглавив ее столбцы следующим образом: ^Действительные числа», «Рациональные числа», «Положительные числа», «Целые числа», «Иррациональные числа». В столбце «Действительные числа» запишите 7, -§-, УТТ, 0,02, j/ΐ, ll, 14,003, -3, Ц, -/|. 0> 1,414, -]/~|, п. Заполните таблицу, поставив каждое яз этих чисел во все те столбцы, в заголовках которых названы множества, содержащие данное число. 2. Выясните, верно или ошибочно каждое из следующих утверждений! a) Отрицательные числа являются действительными числами. b) Действительная числовая прямая имеет по крайней мере один конец. c) Для всех чисел χ число -~х отрицательно. 7 d) Точка на действительной числовой прямой, соответствующая -^, ле- 6 8 жит между точками, соответствующими уй-г, e) На Действительной числовой прямой существует точка, соответствующая числу У2 и отличная от точки, соответствующей числу 1^414. f) Если л; —отрицательное число, то — χ —положительное число. g) Если #(>#, то х — г/>'0. 3. В каком порядке должны быть расположены на числовой прямой точки каждого из следующих множеств (при этом предполагается, что положительные числа лежат справа от нуля): а) \\ 1^"; 1-|; Ь) 4,1; 4,06; 4,012; с) -1,3; -0,7; -2,14; d) |-; -1-|; -1-J-? 4. Запишите следующие высказывания, пользуясь знаками порядка (т. е. <, ^ и т.д.): а) х—число, большее чем 0. ЪУу~ число, заключенное между — 1 и 2. c) W — число, заключенное между — 1 и 2 (включая и сами эти значения). d) k— положительное число. e) т — отрицательное число. f) л—неотрицательное число. 36
β Какие из следующих равенств верны__ 'а) /16-4; Ь)1Л>5=-$; ^^64=-8; d) -/ре--0,6; е) -}/0,04 = 0,2? __ 7 В каком из следующих случаев выполняется условие У~х* —х: ' а) * = 3; Ь) *=-3; с) * = 0; i)x=*\\ е)*= —1; f)*<0; g)x^0; h)i>0? 8. На числовой прямой с единичным интервалом δ 1 еж по возможности точно нанесите следующие числа: О, 1, ΫΊ, -УТ, \Г$, -^9", VT6, -/25. 9. Пусть г и 5 —действительные числа, отличные от нуля, и такие, что r>s. Укажите, какие из следующих неравенств верны всегда, т. е. для всех г и s, верны иногда, т. е. только для некоторых г и s, или не верны никогда: a)s>r, b)'r —s>0, с) ~>1. d)s2</-2. 10*. Ответьте на тот же вопрос, что и в задаче 9, для следующих неравенств: а) 1>1, Ь)гЗ>5з, с) — г<-~s, d) r-~'2<s —2. § 3. АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА Абсолютная величина числа χ обозначается символом \х\. Смысл этого символа легко понять из примеров: 101 =0, | —8| = 8, |2| = 2, 1871 =87, | —2| = 2, |—951 = 95, |7| = 7, |-]/1з| = 1/~ТЗ и т. д. Здесь мы руководствуемся следующими правилами: 1°. Если χ ^ 0, то \х\ = х. 2°. Если х<0, то \х\ — соответствующее положительное число. Если задано конкретное число, то легко увидеть, чему равна его абсолютная величина. Если перед ним нет знака минус, то переход от числа к его абсолютной величине ничего не меняет. Ьсли же перед числом стоит знак минус, то, чтобы получить аосолютную величину числа, этот знак нужно отбросить: Производя алгебраические преобразования с выражениями вроде 1*1, \а — Ь\ и т. д., нам удобно иметь алгебраическую форму условия 2°. Таким образом, мы хотим для любого отрицательного ела χ иметь алгебраическую запись, дающую соответствующее 37
положительное число. Если данное отрицательное число обозначено буквой х, то мы не можем «отбросить знак минус», так как перед 'х нет никакого минуса. Эту трудность можно преодолеть с помощью простого приема: если x<0, то соответствующее положительное число равно — х. Вот несколько примеров: х=—2, . —х=—(-^2) = 2, х= — 3, — х= — ( —3) = 3 ит.д., Мы можем теперь дать второе определение |л:|: 1°. Если х^О, то \х\ = х. 2°. Если х<0, то \х\ = —х. Это второе определение труднее для понимания, чем первое, но с ним в дальнейшем будет легче работать. Проверьте его на нескольких числах, пока не убедитесь, что оно и в самом деле дает именно то, что требовалось. Задачи к § 3 1. Чему равна каждая из следующих величин: a) J 5 | ; Ъ) | -6|; с) -| -6|; d) 2|+(-2);, е)|2Ц-|-2|; f) Ί8-5|; g) |5-8|; h) |5|-j8|; i) |-8-5|? 2. Какие из следующих утверждений верны: а) |-3|=:|3|; Ь)|3|«-3; с) |7-9| = |9 —7|; d) |0-4| = |4-D|; e) I k I = k для каждого действительного числа, k? 3. Какие из следующих равенств верны для всех значений переменных: а) I — η | == — η ; b) |/г2|=/г2; с) * — 3| = |3 — *|; d) \a—b\=-\b — a\\ e) \d+l\ = \d\ + 11 4. Дополните следующие утверждения: a) Если к > 0, то | к | = b) Еслет k < 0, то \к\ = — c) Если 6 = 0, то |£|= 5. На следующих четырех рисунках графически изображены на числовой прямой четыре алгебраических соотношения, записанных слева от рисунка. χ <2 ■ \х\<2' \х\>2 ч- н- н- -3 -2 -1 -н 0 -3 -2 -1 -2 -f -2 -1 Ч- н- -2 Аналогично этому изобразите графически следующие соотношения: а) х—\\ Ь) # —отрицательное число; с)*>1; d) *^0; е) , jc | == I; 0 |др|^1; g) |*|>1; h) |*|^0. 3$
й \ Чем графическое, изображение соотношения #<0 отличается of графи- 3 ческого изображения соотношения дс^О? b) Чем графическое изображение соотношения 1*1 = 1 отличается от графи- ческого изображения соотношения |х|^1? c) Чем графическое изображение соотношения — 1 ^ χ ^ 1 отличается от графического изображения соотношения | χ | < 1? 7* Если мы рассмотрим алгебраические соотношения с двумя переменными 'χ и г/, где χ и у принимают действительные значения, то их мы сможем изобразить* на (координатной) (х, ^-плоскости. Вам придется только вспомнить, что графическое изображение соотношения между χ и у —это множество всех упорядоченных пар (х, у) (т. е. всех точек плоскости с координатами χ и у !), удовлетворяющих нашему алгебраическому соотношению. Так, соотношение х—у—1 изображено слева, а условие х — у^1 справа на следующем рисунке. л-у=1 a) Графически изобразите соотношение у = \х\. b) Графически изобразите соотношение У>\х\- 8*. Пользуясь задачей 7, как введением к этой задаче, a) Графически изобразите соотношение | χ | +1 у I = 1; b) Графически изобразите соотношение | χ ] -f-1 у \ < 1. § 4. МАСШТАБНЫЕ ЛИНЕЙКИ И ЕДИНИЦЫ ДЛИНЫ Если две точки Ρ и Q находятся одна от другой достаточно близко, то мы можем определить расстояние между ними, приложив обычную масштабную линейку: Ρ О + 10 Т 11 12 На рисунке расстояние между Ρ и Q равно 7 см. Конечно, нет необходимости совмещать нулевую точку линейки с точкой Р\ можно расположить линейку, например, так: Ρ Q -f- 10 τ 11 12 39
И здесь мы находим, что расстояние между Ρ и Q, измеряемое Щ сантиметрах, равно 9 — 2 = 7. f 1- ~п— 2 ι —,— 3 Γ " I "' 4 5 ε - —έ— —J— 6 ι 7 г ι —j— 8 j ρ^ 9 10 ι ί ""Η 1 11 12 ί 0 d Иногда на другой стороне линейки наносят деления в других, единицах, например в дюймах. Прикладывая дюймовую шкалу, как и выше, находим расстояние между Ρ и Q. Оно оказывается■ з равным приблизительно 2-^-дюйма. Известно, что один фут равен 12 дюймам, а один ярд— 36 дюймам. Метр равен 100 сантиметрам. Миллиметр — одна тысячная 1\яетра. Мы можем поэтому измерить расстояние между Ρ и Q и в 3 11 этих единицах. Оно равло 70 мм; 7см; 0,07 м; 2-^ дюйма; ^фута; утлЯрда. Таким образом, число, которое мы получаем в качестве меры расстояния между точками, зависит от выбора единиц длины. Задачи к § 4 (часть 1) 1. Расстояние от точки Я до точки К, измеренное в сантиметрах равно 12. Чему будет равно число, измеряющее это расстояние, если за единицу длины принять миллиметр? 2. Расстояние от К До М, измеренное в миллиметрах, равно 9. Чему равно число, измеряющее в сантиметрах расстояние от К до М? Q R τ Рис. 32 3. а) Линейкой, "на которой нанесены различные шкалы, измерены расстояния PQ, PR, Ρ Τ и QT и результаты записаны в таблице. Заполните эту таблицу. Единица измерения Дюйм Фут 1 Ярд 'Сантиметр Миллиметр Метр Ладонь Пядь PQ 2 1 Ϊ8 v 5,08 0,54 PR 1 Τ 0,0762 РТ 1 9" 0,364 QT . 50,8 40
Ы Чему равно отношение PQ к PR7 PQ к РТ7 с) Изменяется ли отношение PQ к РТ при переходе от одной единицы длины к другой? - а) Чему равно расстояние QR в дюймах' в сантиметрах? в ладонях? 4 Обсудите следующие вопросы: а) Почему существует столько единиц для измерения длин? в) Допустим, что мы в состоянии установить одну универсальную еди- ницу для измерения длин. Какие преимущества это бы нам дало? Какие -недостатки это бы имело? 5 В каждом из следующих равенств вставьте в пропуски соответствующие числа: a) б дюймов = ...фута == ... ярда; b) ... дюймов = 7 у футов == ... ярдов; c) ... дюймов = ... футов = —ярда. 6. В каждом из следующих равенств вставьте в пропуски соответствующие числа: а) 2ж = ... £Ж = ... мм; 5) ... м = 50 см ;= ... мм; с) ... м = ... еж = 1 лш. 7. i, β и С— три точки на прямой, расположенные, как показано на рисунке. Чему равно АС, если А В С ос ш ш а » а) Л£ — 6 см и ВС = 12 еж; в) ЛВ = 6 ж и ВС = 12 л; с) ЛВ = 6 /еж и ВС = 12 км} 8. Л, В и С —три точки на прямой, расположенные в том же порядке, что и в задаче 7. Чему равно ЛС, если a) ЛВ = 6 м и ВС = 12 еж; b) ЛВ = б еж и ВС= 12 ж; c) ЛВ = 6 кж и ВС — 12 еж? 9. Обратите внимание на то, что в; задачах 7 и 8 заданы только числа 6 и 12. Объясните, почему же в ответах на задачу 7 во всех трех случаях получается одно и то же число, хотя единицы измерения разные, а в задаче 8 все ответы различны? С точки зрения логики любая единица длины не менее пригодна для измерения, чем какая угодно другая." Однако, если при решении одной и той же задачи пользоваться несколькими единицами, то это вызовет излишние трудности. Поэтому выберем какую-либо одну единицу длины и условимся во всех случаях пользоваться именно этой единицей. (Если хотите, можете считать* что выбрана та единица, которая вам больше всего нравится. Если, например, вам нравятся сантиметры, или метры, или километры, то вы можете думать, что именно этими единицами мы и пользуемся. Все последующие теоремы остаются верными при любом выборе единицы длины.) Итак, раз мы уже выбрали единицу, каждой паре точек Ρ и Ч соответствует некоторое определенное число, показывающее, на- 4J
сколько далеко они отстоят одна от другой. Это число называется расстоянием между Ρ и Q. Теперь мы «математизируем» это неформальное обсуждение, сформулировав следующие аксиому и определение·: Аксиома 1 (аксиома расстояния) Каждой паре различных точек соответствует некоторое определенное положительное число. Определение Ρасстоянием между двумя точками называется число, фи- гурирующее в аксиоме расстояния, (Расстояние между точками Ρ и Q обозначается символом PQ.) Далее мы будем допускать и возможность того, что P = Q, т. е. что Ρ и Q — одна и та же точка., В этом случае мы- полагаем PQ = 0. Заметим еще, что расстояние между точками определено просто для пары точек и не зависит от порядка, в котором указываются эти точки; таким образом, всегда PQ = QP. В некоторых, из задач, предлагаемых ниже, встречаются различные единицы длины, например сантиметры, дециметры, метры и т. д. Как мы уже говорили, все наши теоремы справедливы для каждой из этих единиц при условии, что, применяя данную теорему, мы пользуемся одной единицей для измерения всех расстояций. Иными словами, единицу длины можно выбрать любую, но уже затем твердо ее придерживаться; менять единицу в середине до- - казательства нельзя, Задачи к § 4 (часть 2) 1. Аллен, Брюс и Чарлз измерили в сантиметрах расстояние между двумя точками Ρ и Q, отмеченными на доске. Аллен сказал, что PQ = 27, Брюс — что PQ = 27,5, а Чарлз —что PQ = 26,75. Сколько из этих мальчиков могли быть правы? Почему? Обязательно ли хотя бы один из них был прав? Подумайте. 2. Если расстояние PQ равно 54 см, то чему оно равно в дециметрах? в метрах? 3. Если расстояние RS равно 15 дм, то чему оно равно в сантиметрах? в метрах? 4. Эдвард и Фрэнк подсчитали расстояние между одними · и теми же точками Л, В и С. Эдвард сказал: «АВ = 1, а БС = 2-^-», Фрэнк сказал: <АВ = 12, а ВС = 30». Если оба мальчика были правы, то объясните, как они могли для одних и тех же расстояний получить разные числа? Согласуется ли это с аксиомой расстояния? 5. Если расстояние RS равно χ дм, то чему равно RS в сантиметрах? в метрах? 6*.'Расстояние А В, измеренное в сантиметрах, на. 15 больше, чем 5-кратное то же самое расстояние, измеренное в дециметрах. Чему равно расстояние. А В в дециметрах? 42
7* Периметр треугольника, измеренный в сантиметрах, на 20 больше, чем 'й-коатный периметр того же треугольника, измеренный в дециметрах. Чему оавен этот периметр в сантиметрах? R+ Если сторона квадрата равна 4 дм, то его периметр равен 16 дм, а площадь—16 кв. дм. Так как 16=16, то утверждение «Площадь квадрата равна его периметру» для нашего квадрата верно. a) Будет ли это утверждение верно для нашего квадрата, если его стороны измерять в сантиметрах? b) Найдите два других квадрата, для которых это утверждение верно. c) Что общего имеют три квадрата, для которых верно указанное утвержде- 9+ Если основание прямоугольника равно 6 дм, а боковая сторона-—4 дм, то утверждение «периметр прямоугольника равен сумме удвоенного основания и удвоенной боковой стороны» для нашего прямоугольника верно.' a) Будет ли это утверждение верно, если основание и высоту прямоугольника измерять в сантиметрах? в метрах? b) Зависит ли справедливость этого утверждения от специального подбора чисел? от выбора единицы длины? 10+. Если радиус круга равен 2 м, то длина окружности (C — 2nR) равна 4я м, а площадь круга (А =яг2) равна 4π кв. м. Тогда утверждение «площадь круга равна длине окружности» для нашего круга верно. a) Будет ли это утверждение верно для нашего круга*, если его радиус измерять в дециметрах? b) Найдите два других круга, для которых это утверждение верно. c) Зависит ли справедливость этого утверждения от специального подбора чисел? от выбора единицы длины? 11+. Из задач 8, 9 и 10 можно увидеть, что некоторые геометрические утверждения верны только для определенных чисел, причем здесь не имеет значения то, как выбрана единица длины. Другие утверждения верны независимо ни от выбора чисел, ни от выбора единиц. Проверьте, что каждое из следующих утверждений верно. Затем укажите, останется ли каждое из них верным, если измерять длины в других единицах. Какие утверждения ^останутся верными только в том случае, если при любой единице длины не менять фигурирующие в задаче числа? a) Периметр прямоугольника с основанием 3 дм и боковой стороной 4 дм равен 14 дм. b) Периметр квадрата со стороной 2 дм в два раза больше его площади. c) Периметр треугольника, каждая сторона которого равна 12 см, равен 36 см. d) Треугольник со сторонами 3 см, 4 см, 5 см является прямоугольным (воспользуйтесь равенством Пифагора). e) Треугольник со сторонами 9 см, 12 см и 15 см является прямоугольным. f) Площадь круга с радиусом 4 дм в два раза больше длины его окружности. § 5. БЕСКОНЕЧНАЯ ЛИНЕЙКА В начале этой главы мы нанесли на прямую числовую шкалу, подобно тому как изображено на этом рисунке. -/3 ,я — 1 н н н 1 нн—ι н 1 *> -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 и Можно, конечно, взять масштаб покрупнее: -/3 /2 "*·"*-* ' 1—l·- | | ! Ι ι »s '2 -1 0 1 2 43
или помельче: '/3 \/2 Tl <*« 5 , 1 щ^ , ^^^ н , ; ^ -*t -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Мы, однако, условимся, что, начиная, с этого момента, каждый раз, когда будем наносить на прямую числовую шкалу, будем пользоваться той шкалой, которая соответствует аксиоме расстояния (которая ведь предполагает, что единица измерения длин уже как-то выбрана). Это значит, что точка, помеченная числом 1, находится от точки, помеченной числом 0, на расстоянии 1, а точка, помеченная числом — 2, находится от точки, помеченной числом 0, на расстоянии 2 и т. д. Ρ 2 Q l_R ■ 5 Τ ^ , ί η^Ί -и 1—« ^ -3 -2 »1 0 ϊ 2 1 На последнем рисунке можно найти расстояния Q/?=l, QS=2, QT = 3. Отсюда с помощью вычитания находим £S = 2—1 = 1, /?Г = 3— 1 =2Х Р/?=1 —(—2) = 3. Создается впечатление, что всегда можно находить расстояние, взяв разность соответствующих пометок шкалы. Это утверждение и в самом деле «почти верно». (Но не совсем верно.) Если точки Ρ и R взять в обратном порядке, то мы получим неверный ответ: др^ — г—ι- — з, отличающийся от правильного ответа только знаком. Фактически примерно в половине случаев вычитание даст отрицательное число, в то время как расстояние (см. аксиому 1) всегда должно быть положительно. Эту трудность, однако, легко устранить: будем заменять разность пометок шкалы ее абсолютной величиной. После этого все правильные ответы останутся правильными, а все неправильные станут правильными. Например, РЯ = |1_(_2)|НЗ| = 3 44
ЯЯ = |_2-1! = |—3| = 3, как и должно быть. Таким ·> образом, мы видим, что расстояние между двумя точками равно абсолютной величине разности соответствующих чисел. Этим общим соображениям мы придадим формальный характер, объединив их в следующей аксиоме: Аксиома 2 (аксиома масштабной линейки) Точкам прямой можно поставить в соответствие действительные числа так, что, 1°. каждой точке прямой будет соответствовать одно и только одно действительное число; 2°. каждому действительному числу будет соответствовать одна и только одна точка прямой; 3°. расстояние между любыми двумя точками будет равно абсолютной величине разности соответствующих чисел. Мы называем эту аксиому «аксиомой масштабной линейки» потому, что в сущности она доставляет нам «бесконечную (масштабную) линейку», которую мы можем прикладывать к любой прямой и находить с ее помощью расстояния между любыми двумя точками. Определения Соответствие между точками и числами, описанное в аксиоме масштабной линейки, называется системой координат (на прямой). Число, соответствующее данной точке, называется координатой этой точки. Ρ Q R 5 Т *+ 1 1 1 1 1 1 -ι ► -3-2-1 0 1 2 3 На верхнем рисунке координатой точки Р служит число — 2, координатой точки Q — число 0, координатой точки R — число 1 и т. д. Если точка Ρ имеет координату х, а точка Q —координату уу то аксиома масштабной линейки утверждает, что PQ = \y—x\. Р > Q ** (- —j « 1 I Ч *► * -1 0 1 у 45
Задачи к § 5 1. На этом рисунке на прямой установлена система координат с 0 в точке А и с 1 в точке С. Некоторые нецелочисленные координаты, чтобы их было легче рассмотреть, выписаны ниже целочисленных. Определите следующие расстояния: а) АС; Ъ) AD; с) El\ d) PR; е) RI; f) AN; g) BH; h) QM; i) AF; j) DJ; k) ND; 1) PF. R Q Ρ Ν MA д CD EF Q Η 1 J *■ j h+—I Μ—I—' I ' 1 ' 1 —И—H-*-t~~*«H -». * -S -4 -J -f - ί 0 f 2 3 4 5 б -j -^ -i j ^ τι | /J? 2. Упростите: a) | 6-2 |; b) |2 —6|; c) |5-0|; d) 10-51; e) |0-(-5)|; f) |4-(-4)|; g)|*|; h)|*-0|; i) |л: —(—^) 1; j) |χ| —|—*|. 3. Пользуясь аксиомой масштабной линейки, найдите расстояние между двумя точками, имеющими следующие координаты: а) 0 и 8; Ь) 8 и 0; с) 0 и —8; d) -5 и -7; е) -1- и ~; f) ]/2~ и уТ; g) V% и — Yb\ h) χ и y\ i) 2а и — а\ j) 0 и #. 4. Необходимо ли, пользуясь обычной 30-сантиметровой линейкой для измерения " расстояния между двумя точками, отмеченными на листе бумаги, помещать 0 в одну из этих точек? Объясните. 5. Допустим, что при измерении расстояния PQ вы собираетесь совместить нуль вашей линейки с точкой Ρ и прочитать положительное число при точке Q. Как вы сумеете определить расстояние PQ, если вы нечаянно наложили свою линейку так, что точке Ρ соответствует —, а точке Q а) соответствует некоторое положительное число; Ь) соответствует некоторое отрицательное число S. 6. Шкалы А и В на этом рисунке отвечают одной и той же единице длины, но независимо от этого точкам прямой ставят в соответствие разные числа. a) Какие координаты имеют точки R, Ρ и Q на шкале Л? b) Покажите, как найти расстояние RQ, пользуясь шкалой В; пользуясь шкалой А. c) Чему равно расстояние PQ на шкале Л? на шкале В} Шкала А-и -2 R Ρ Q *——= f—I 1 I I I ι h —h Шкала В 0 12 3*56 χ и 46
Рассмотрим некоторую систему координат на прямой. Допустим, что к коор- инате каждой точки прибавлено число 3 и данной точке поставлена в соответствие полученная сумма. a) Каким будет новое число, соответствующее точке Я, если ранее она имела координату 5? Каким будет новое число для точки Q, ранее имевшей координату —2? b) Какими будут новые числа для двух точек прямой, если ранее эти точки имели координаты а и 6? c) Каждой ли точке прямой будет соответствовать-новое число? Каждое ли число будет при этом соответствовать какой-либо точке прямой? d) Покажите, что формула I (Новое число для некоторой точки) —(Новое число для другой точки) | определяет расстояние между этими двумя точками. e) Удовлетворяет ли новое соответствие между точками и числами каждому из трех условий аксиомы масштабной линейки? Можно ли каждое новое число называть координатой соответствующей точки? Почему? 8. Шкалы Л и Б на этом~ рисунке имеют одну и ту же единицу, но точкам прямой ставят в соответствие разные числа. К* Μ Ν Шкала а 3 2. 1 0 -1 λ у ^^ н и—j—н 1 1 )> I "i я» Шкала В -2-1 0 12 3 a) Какую координату имеет точка К на шкале Л? b) Какие координаты имеют точки Μ и N на шкале В? c) Какую координату имеет точка Μ на шкале В, если х — — 6? d) Чему равно у, если точка N на шкале В имеет координату 9 -~- ? e) Чему равно расстояние КМ? расстояние MN? 9. Сколько имеется действительных чисел? Откуда вам это известно? Говорит ли это что-нибудь о числе точек на прямой? Сколько точек должна содержать прямая? Каким образом участвует в вашем рассуждении аксиома масштабной линейки? 10. Города Актон, Барнхэм и Сентервилл, находящиеся в одном из округов США, «коллинеарны» (т. е. принадлежат одной прямой), хотя и ^не обязательно расположены в том порядке, в каком они перечислены в этой задаче. Расстояние от Актона до Барнхэма равно 12 км; расстояние от Барнхэма до Сентервилла равно 21 км. a) Можно ли сказать, какой город находится между двумя другими? Какой город ^не находится между двумя другими? b) Сделайте эскиз и с его помощью определив расстояние от Актона до Сентервилла. Существует ли здесь только одна возможность или больше? c) Если вам дополнительно стало известно, что расстояние от Актона До Сентервилла равно 9 км, то какой город находится между двумя другими? а) Если расстояние между Актоном и Барнхэмом равно k километрам, между Актоном и Сентервиллом — т километрам, между Барнхэмом и Сентервиллом k-\-m километрам, то какой город находится между двумя Другими? »·£,// и К — три точки на прямой. Ε и Η отстоят друг от друга на 3 см, а " ·ΛΗι-/^~~Η3 ^ см' Сколькими способами можно расположить эти три точки? Поясните ваш вывод эскизом. • а одной и той же прямой заданы три системы координат. Три фиксиро анные точки Л, В и С этой прямой имеют следующие координаты: системе I точка А имеет координату —6, а точка В координату —2; систему 11 точки Л и С имеют соответственно координаты — 4 и — 3; 47
В системе III точки С и θ имеют соответственно координаты 7 и 4. a) Какая точка лежит между двумя другими? b) Подсчитайте АВ + АС + ВС. § 6. АКСИОМА ПРИКЛАДЫВАНИЯ ЛИНЕЙКИ. ПОНЯТИЕ «МЕЖДУ». ОТРЕЗКИ И ЛУЧИ Аксиома масштабной линейки говорит нам, что на любой прямой мы можем установить систему координат, приложив к этой прямой «бесконечную линейку» (числовую шкалу). Очевидно, это можно сделать многими различными способами. Например, если на рассматриваемой прямой задана произвольная точка Т5, то Ρ можно сделать нулевой точкой а затем «положительную часть» шкалы направить в любую сторону от точки Р; р ^а— _) 1 1_ 1_ j 1 μ- 1 1_ *► -4-3-2-1 0 12 3 4 Ρ ^ _4- Η 1 j -j 1 -η 1 Η- *- 4 3 2 1 0-1-2-3-4 Таким образом, если Q — любая другая точка этой прямой, то линейку можно приложить так, что координата точки Q будет положительной: Ρ О ^к ( 1 1 1 н—~Н i—I—I 1 ' > -4-3-2-1 0 1 2x3 4 Q Ρ -#. , 1 1 1 1 1 1 (. ( 1 ^ 4 3x2 1 0-1-2-3-4 (На нашем рисунке в обоих случаях линейка приложена так, что х>0.) Придадим этому наблюдению формальный характер, высказав его в виде следующей аксиомы: Аксиома 3 (аксиома прикладывания линейки) Каковы бы ни были две различные .точки Ρ и Q на произвольной прямой, система координат на этой прямой может быть выбрана так, что точка Ρ будет иметь координату нуль, а координата точки Q будет положительна. Какой смысл имеет утверждение, что точка В лежит между двумя точками Л и С, знает каждый: это означает, что все три точки лежат на одной прямой, причем на этой прямой они расположены так: «* О— = 1 О— *^ А в С 48
или так: ..-_———о ■ 1 ' —° ■■■■■» С В А Все это верно. Достаточно нарисовать несколько картинок, того чтобы каждый человек понял значение слова «между». Но в гл. 1 мы обещали, что все понятия геометрии, все новые термины,' за исключением^ только терминов «точка», «прямая» и «плоскость», будут определены. Чтобы сдержать слово и выполнить наше обещание, нам придется дать понятию «между» математическое определение, согласующееся с интуитивными представлениями, возникающими при рассматривании рисунков. Сделать это нетрудно. Определение Точка В лежит между А и С, если 1°. А, В и С — различные точки одной и той же прямой; 2°. АВ + ВС^АС. Легко проверить, что это определение выражает как раз ту идею, которая подсказывается последними двумя рисунками. Та форма, которая придана нами определению понятия «между», основывается на одной тонкости. Мы здесь имеем в виду тонкость, связанную с употреблением слова «если». В том случае, когда два каких-либо утверждения, фигурирующие в определении нового понятия, связаны предлогом «если», эти утверждения считаются полностью равносильными (эквивалентными). Таким образом, если мы знаем, что В лежит между Л и С, то мы можем утверждать, что имеют место и 1° и 2°, а если мы знаем, что имеют место 1° и 2°, то мы можем утверждать, что В лежит между Л и С. Это употребление слова «если» является совершенно специфическим, потому что оно отличается от употребления этого слова как в обычной речи, так и в аксиомах и в теоремах. Только в определениях слово «если» означает «равносильно». Задачи к § 6 (часть 1) 1. Рассмотрим систему координат на прямой, в которой точки R и S имеют соответственно координаты χ и у. Применим аксиому прикладывания линейки, т. е. переместим шкалу так, что точка R получит координату О, а координатой точки S станет некоторое положительное число. Чему будет равно это число, если а) * = -3, у = 4; Ь) * = —4, у = - 10; с) * = 8, у = _2; d) * = |, у = -4; е) * = 5,2, у = 6,1; О * = а, у = Ь? 2# oamf л С~~точки некоторой прямой. ЛС = £С = 5, координата точки С пэо^Гг * а К00РДината точки А больше, чем координата точки В. Чему 3 VBHj* к°ординаты точек А и В? С пя И Со~~ТрИ точки некот°рой прямой. АС = ВС= 10, координата точки пярии?На ' а координата точки А больше, чем координата точки В. Чему равны координаты точек А и В? 49
4. Μ, Μ и Ρ— три точки некоторой прямой. ΜΝ — 7, ЛЛР —9, ΛίΡ = 2, а координата точки Μ равна 3. Чему равны координаты точек N и Я, если a) координата точки УИ меньше, чем координата точки Ν; b) координата точки Μ больше, чем координата точки № 5. Пусть R, S и Г —три точки некоторой прямой. Какое соотношение между RS, ST и RT должно выполняться, если R лежит между S и Г? 6. Р9 Q и R — три точки некоторой прямой. Какая из этих точек лежит между двумя другими, если PQ=12, PR = 7 и Q#=5? На какой аксиоме или на каком определении базируется ваш ответ? 7. (j, Я и /С —три точки некоторой прямой. Координаты ό и Я соответственно равны 4 и —3. Какую координату имеет точка /С, если Я лежит между G и К и G/C= 13? 8*. Л^/; и /С--три точки некоторой прямой. Координаты точек А и К равны ]/2 и —1^18. Какую координату имеет точка Я, если АЕ — ЕЮ 9*. Л, Л и С —три точки некоторой прямой соответственно с координатами а, Ь и с. Какая из этих точек лежит между двумя другими, если| а—с | + 4-|с — Ь\ = \а — 6|? Обоснуйте ваш ответ. 10+. Является ли следующее предложение определением понятия «между» для точек прямой: F, G и Я— различные точки одной и той же прямой и FG-\~GH= FH, если точка G лежит между F и Я? Чем эта формулировка отличается от той, которая была дана в тексте? 11+. Пусть Л, В и С — три точки на окружности. Можно ли сказать, что каждая из этих точек лежит между двумя другими? Подумайте. Каждое из двух следующих утверждений очевидно. 1°. Пусть А, В и С—точки некоторой прямой с координатами хг у и г: Α β С χ у тогда если x<y<Lz, то точка В лежит между точками Л и С. 2°. Если А, В и С — три различные точки одной прямой, то ровно одна из них лежит между двумя другими: ABC т ■q 1 в 1-1 '1 А _| 1 С -Ч— А ι | . _ . * В μ. ■ » С ί ^ is» Фактически оба эти утверждения можно доказать, опираясь на аксиому масштабной линейки. Если же отказаться от их доказательства, то эти предложения придется считать аксиомами. В о 50
Теперь мы достигли того пункта, когда нам оказывается необходимой следующая Аксиома 4 (аксиома прямой) л ля каждых двух различных точек существует одна и только одна прямая, содержащая обе эти точки. А В «-О '' ' '■■' " О— Прямую, содержащую точки А и В, мы будем обозначать символом АВ. Двусторонняя стрелка над буквами А и В должна напоминать принятое нами изображение прямой на чертежах. Это обозначение навевает мысль о том, что для определения прямой достаточно указать две ее точки А и β, но именно это и утверждает аксиома прямой. Иногда, конечно, проще обозначить прямую одной буквой, например буквой /, или буквой ш, или любой другой. Отрезок—это фигура, выглядящая примерно таю А В & ■ ' ■ ' ■"'■' ■ -» Более точное описание отрезка дают следующие Определения Пусть А и β —любые две точки; тогда отрезок АВ есть множество, состоящее из Л, β и из всех точек, лежащих между - А и β. Точки А и β называются концами отрезка АВ. Горизонтальная черта сверху в обозначении АВ должна напоминать нам изображение отрезка. Заметим, что отрезок АВ и расстояние АВ отличаются очень сильно. На самом деле это совершенно разные понятия: АВ есть геометрическая фигура, т. е. некоторое множество точек, а АВ — число, измеряющее расстояние между концами отрезка. Определение Число А В называется д ли ной отрезка. АВ. Луч-—это фигура, выглядящая примерно так: А В 9 а ч ι ι π а» отот рисунок подразумевает, что луч начинается в точке Л, роходит через В и затем неограниченно удаляется вдолъ прямой 51
АВ от А к В. Обозначая луч, мы всегда рисуем стрелку слева направо, независимо от того, какое направление имеет этот луч. Например, все лучи, изображенные на следующем рисунке, будут обозначаться одним символом АВ. Пояснив таким образом, что представляет собой луч, определим теперь его строго: Определения Пусть А и β—-точки прямой L Луч А В есть множество точек, являющееся объединением 1°. отрезка А В; 2°. множества всех точек С, для которых В лежит между Л и С. Точка А называется началом луча А В, Две упомянутые части луча выглядят примерно так: N (?) А Если точка А лежит на прямой / между β и С, то два ^уча АВ и АС «направлены в противоположные стороны»: АС АВ -е- А Определение Если точка А лежит между точками В и,Сг то лучи АВ и АС называются противоположными лучами. Заметим, что пара точек А и В определяет по меньшей мере шесть геометрических фигур (и одно число). Вот,эти шесть фигур: Прямая АВ: 52
Отрезок ΑΒι Луч АВ: А 6 А В Луч, противоположный лучу А В: Луч В Αι А в -»· Луч, противоположный лучу В А: В Число, определяемое точками Л и В, —это, разумеется, расстояние А В. Задачи к § 6 (часть 2) *· Л, В и С —три точки некоторой прямой, координаты которых соответственно равны 7, 3 и 12. Какая из этих точек лежит между двумя другими? *> Ρ, Q и R — три точки некоторой прямой, координаты которых соответственно равны —5, — У 4 и — "|/"12. Какая из этих точек лежит между Двумя другими? °*· G, Я и Ζ— три точки некоторой прямой. Какое из следующих утверждений может быть верным? a) Точка К лежит между G и Я, и точка Я лежит между Си! b) Точка Я лежит между ^и(?,и точка Я лежит между £ и /<Г. c) 1очка (? лежит между Η и К, и точка if лежит между G и Я. а) 1очка /Г лежит между Я и £, и точка £ лежит между if и Я. 4 е) 1очка G лежит между Ζ и Я, и точка G лежит между Η и К. ' ^аш три точки некоторой прямой. Сколько из них не лежит между двумя 'h ^И Т^ЧиИ ^' ^ и "^ некотоР°й прямой имеют соответственно координаты а, и а , 0, причем а > 0 и а> Ь. Какая из этих точек лежит между двумя 6 Другими, если а) Ь > 0; в) Ь < 0; с) 6-0? ούτ, и ^~~~ТРИ точки, не принадлежащие одной прямой. Сколько прямых они определяют? Назовите эти прямые. 53
7. D, E, F и G — четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько прямых они определяют? Назовите эти прямые. 8. Я, Q и R— три точки. Сколько отрезков они определяют? Назовите эти отрезки. Сколько прямых определяют точки Я, Q и /?? 9. а) Верно ли, что АВ — ВА1? Почему? b) Верно ли, что Л£ = ЯЛ? Почему? c) Верно ли, что АВ~ В А? Почему? 10. Верно ли, что АВ — АВ} Почему? Что такое АВ? И. а) Перепишите следующий абзац, снабжая, если это нужно, каждую пару букв подходящим значком сверху. xz содержит точки у и ν, но xz не содержит ни у, ни г. V принадлежит χζ, но у не принадлежит xz. yz-\-ZO=yv. b) Сделайте эскиз, показывающий относительное расположение четырех точек, о которых шла речь в п. а). 12. Каждая из точек R, S и Τ лежит между двумя другими, если луч RS - противоположен лучу RT? 13, Найдите пересечение лучей CD и DC\ прямой CD и луча DC. 14, Пусть Л, В и С —три точки некоторой прямой, причем АС-{-ВС — АВ. Найдите пересечение лучей С В и ~ВА; лучей АС и АВ; лучей С А и СБ. 15. Является ли следующее определение корректным определением луча Л2: Луч АВ есть множество всех точек D прямой А В, для которых утверждение: «А лежит между D и В» не верно? Из аксиомы прикладывания линейки следует Теорема 2.1 (теорема о нанесении точки) Пусть АВ — луч их — положительное число. Тогда существует одна и только одна точка Ρ луча АВ, такая, что АР = х. Доказательство. В силу аксиомы прикладывания линей- ки мы можем выбрать систему координат на прямой АВ так, что координатой точки А будет О, а координатой точки В- некоторое положительное число г: А В Ρ 0 г л Пусть Р~ точка, координата которой равна данному числу х. Тогда, поскольку х>0, точка Ρ принадлежит лучу АВ. Кроме того, (по определению абсолютной величины при х>0 имеем | jc | = jc). Так как только одна точка луча АВ имеет координату х, то только одна точка этого луча находится на расстоянии а: от Л. х) Напоминаем, что равенство множеств (в частности, точечных множеств—геометрических фигур) было определено выше (см. стр. 27). 54
Наметим, что это доказательство воспроизводит прием, который применили бы, если бы луч был нарисован на бумаге и мы МЫ сили точку Ρ с помощью линейки: мы совместили бы нуле- на"° 0хМетку линейки с Л, а затем нанесли бы точку Рш соответствующую числу χ на шкале.) Определение Точка В называется серед иной отрезка АС, если ίο. В лежит между Л и С; 2°. АВ^ВС. β Теорема 2.2 Каждый отрезок имеет середину и притом только одну. Доказательство. Точки А и С (концы отрезка) нам известны, а ищем мы точку 5, удовлетворяющую двум условиям: АВ + ВС^АС и АВ = ВС. Из этих двух соотношений следует, что Но в силу теоремы 2.1 на луче АС существует ровно одна точка β, удаленная от А на расстояние Л С/2· Поэтому отрезок АС имеет ровно одну середину. Определение Говорят, что середина отрезка делит этот отрезок пополам. Задачи к § 6 (часть 3-я) 5 TV 1усть S, Τ и I/-— различные точки луча ST. Может ли иметь место равен- 2 SJB0 57" = SI/? Почему? Усть ^~точка некоторой прямой и η — положительное число. Сколько чек этой прямой удалено на расстояние η от Р? На какие определения 3 А пТеоремы опирается ваш ответ? ко И ^"~ТРИ ,ТОчки некоторой прямой. Координата точки А равна 0, а ордината точки С равна — 6. Какую координату имеет середина В отрезка Л С? 65
4. АУ В и С —три точки некоторой прямой. Координаты точек Л и В соответственно равны — 2 и 8. Какую координату имеет точка С, делящая отрезок А В пополам? 5. Точка В, являющаяся серединой отрезка АС, имеет координату 5. Какие координаты имеют точки Л и С, если дано, что координата точки А больше координаты точки С и что ВС —9? 6. Можете ли вы определить, что такое середина прямой? 7. а) Пусть точка Μ делит пополам отрезок PQ. Какую координату имеет М, если координаты точек Ρ и Q соответственно равны 4 и 10? Ь) Какое слово (или какие слова) нужно вставить в следующее предложение: Если М — середина отрезка PQ, то координата точки Μ равна ... координат точек Ρ и Q? 8+. Почему следующее предложение нельзя считать определением середины отрезка: Точка В называется серединой отрезка АС, если АВ = ВС? 9+*. а) В каком отношении находятся три различные точки Л, В и С, если АВ + ВС = АС? Ь) Пусть А, В и С —три различные точки. Может ли случиться, что будет выполняться неравенство АВ+ВС >АС7 Если нет, то почему? Если да, то какая связь существует между точками Л, В и С? § 7. ЗАМЕНА ЕДИНИЦЫ ДЛИНЫ В § 4 мы объяснили, что при решении геометрических задач можно выбирать какую угодно единицу длины при условии, что пока мы решаем данную конкретную задачу, мы все время должны сохранять одну и ту же единицу. С другой стороны, в любо;й момент, как только мы того пожелаем, мы вправе начать все снова, перейдя к другой единице длины. Допустим, например, что задаваемые аксиомой расстояния, длины измеряются в метрах, так что для любых двух точек Ρ и Q число PQ есть число метров между Ρ и Q. Если мы решим, что удобнее пользоваться дециметрами, нам нужно будет умножить все расстояние на 10. Иными словами, если {PQY (произносится «PQ штрих» или «PQ прим») —новое расстояние между Ρ и Q, то (PQ)'=WPQ. Новое расстояние ничуть не хуже старого; аксиома масштабной линейки столь же справедлива для новых расстояний, как и для старых. Ρ Q ^ j J 1 ( 1 1 1 1 1 ^i -3-2-1 0x1 2 у 3 Ρ *m 1 1 1 1 I, I 1 1, | · *~L -30 -20 -10 0 x 10 20 у 30 На каждой прямой l существует система координат, в которой PQ = \y-x\· Все, что нам нужно сделать, чтобы получить систему координат, пригодную для измерения новых расстояний,—это умножить каж- 56
ю старую координату на 10. Таким образом, на нашем рисунке x'sslOx, у' = №у и> следовательно, \y'-x'\ = \l0y-l0x\ = l0\y-x\ = lbPQ = (PQy, как и должно было быть. Фактически мы можем выбрать любые две точки Л и β и определить «новое» расстояние так, чтобы было (АВ)' = 1. Для этого нам нужно только разделить все старые расстояния на АВ, т. е. положить Тогда мы будем иметь (A RV —. АВ (АВ)'=%=1, что нам и требовалось. Система координат на прямой, пригодная для измерения новых расстояний (PQ)', получается, если мы разделим все старые координаты на АВ, т. е. положим X' Следовательно, 1/7'— X'\—JL - \У х \-АВ что нам и требовалось. Задачи к § 7 А В X X "АВ ~ С • * ЛЯ* \у-х\ __ PQ _,рпу ' ~~Ж~ ~~ АВ ~ ^Ч) DBF а ■ е · ι»' 1. Если на этом рисунке ЛБ = 3 и AB^BC^CD^DE^EF, то 4F=15. Чему будет равно расстояние (AF)'', если за новую единицу принято АВ (т. е, если (Л£)'^1)? 2. Пусть в задаче 1 за новую единицу принято АС (т. е. (ЛС)' = 1). Чему тогда равно расстояние (Л£)'? расстояние (AF)'} расстояние (АВ)'? 3. Рассмотрите два выписанных ниже утверждения к для каждого из них ответьте на следующий вопрос: зависит ли справедливость этого утверждения от специального выбора единицы длины? a) Если Л, Ву С, D, E, F — различные точки некоторой прямой, такие, что AB^BC = CD = DE=EFy то AC^BD^CE^DF. b) Если Л, В^ С, D, Я, F — различные точки некоторой прямой, такие, что AB = BC = CD=DE = EF, т° AF делится на 5 (т. е. AF/5 — целое число). 67
Какое из этих утверждений выражает более «применимый» факт? 1131137291 го ю 2Ь J * id То I Σο Ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι » 4. Система координат, указанная на этом рисунке, исходит из расстояния,! измеряемого в дециметрах. Перерисуйте этот чертеж в вашу тетрадь-и^снизyj от прямой выпишите числа, указывающие координаты для расстояний, из-ι меряемых в сантиметрах. Сделайте то же для расстояний, единицей кото-! рых служат 5 см; \м. д β м /у О 1АВ 2Ад ЗАВ UAB 5АВ 6АВ ~* 1 1 | 1 1 1 1 f 1 *~ О ■ 1MN 2MN 3MN UMN 5. На этом рисунке на прямую нанесены две шкалы. В верхней шкале в качестве единицы используется длина отрезка А В, а в нижней— длина отрезка MN. Заметим, что 6AB = 4MN. a) Чему равно отношение А В к MN? b) Чему равно отношение MN к ЛВ? c) Скольким АВ равно 3 MN? а) Скольким MN равно 4Л£? е) Заполните таблицу: \АВ = . 2Л£ = . ЗЛ£ = . 4АВ = . 5Л£ = . 6ЛБ = . хАВ = . ..МЛ/; .МЫ; ..МЫ' ..МЫ; .MN; ..MN ..MN. 1Ш = . 2MN = . 3ΜΝ=. ΑΜΝ = . χΜΝ = . .ЛВ; .АВ; .АВ; .АВ; .АВ; 6*. При раскопках развалин, относящихся к какой-то древней цивилизации, группа археологов нашла куски двух старых линеек, на которых были нанесены известные числовые символы, но единицы измерения на этих линейках были различны. Одну из этих шкал археологи назвали «шкалой зет» по той причине, что4 на этой линейке был вырезан какой-то символ, напоминающий букву 2. После нескольких проб они обнаружили, что диагональ квадрата, сторона которого имеет один зет длины, равна единице второй шкалы. Поэтому они назвали вторую шкалу «шкалой диаг». С помощью равенства Пифагора для прямоугольного треугольника они выяснили, что 1 диаг = "1/2 зета. Вот изображение этих двух шкал. -j 1 J 1 ι ». > О Зешы 12 3 4-5 67 » I ! » I . ' О Диаг и 1 2 3 и 5 а) Чему равна длина в зетах отрезка, длина которого в диаг а х равна 1? 2? 5? л? 58
b) Составьте таблицу для перевода диагов в зеты в пределах от 1 до 10 диагов. \ Чему равна длина в диагах отрезка, длина которого в зетах равна 1? c) 4> 5? 8? п> d) Заполните эту таблицу, переводящую зеты в Диаги от 1 до 10 зетов Число зетов ! Число диагов I Десятичное приближение 1 2 3 4 τ У* V2 f-^2- 0,707 1,414 Обзорные вопросы и задачи к главе 2 1. Пусть Л —множество всех месяцев года, название которых начинается с буквы И; . В — множество, всех месяцев года, имеющих ровно 30 дней; С —множество всех месяцев года, название которых начинается с буквы Ф. a) Перечислите все элементы пересечения А и В. b) Перечислите все элементы объединения А и В. c) Перечислите все элементы пересечения В и С. d) Является ли С подмножеством множества Л? множества β? множества С? 2. а) Что представляет собой пересечение отрезков FD и BE на нашем рисунке? b) Что представляет собой пересечение отрезка АЕ и треугольника FGE? c) Что представляет собой объединение отрезков ED и DC? d) Что представляет собой объединение отрезков BG и BE? e) Что представляет собой пересечение отрезков А В и EG"? 3. а) Сколько квадратов имеет данное положительное число? b) Чему равен квадрат числа 4? c) Сколько существует квадратных корней из данного положительного числа? d) Является ли число Y\ отрицательным или положительным? • Ьыразите следующие числа, не пользуясь знаком абсолютной величины: а) |-6 |; d) |-5|_7; g) |п + (_я)|; Ь) |5-7|; е) |«|; h) \n\ + \-n\. с) |Б|-|7|; f) !-«!; аполните пропуски, указав, будет ли данное число положительно, отрицательно или равно нулю: 69
a) Если a<Cb, то a — b... b) Если а = 6, то a — b... c) Если α>&, το α— bo.. rM 6. а) Какое соотношение определяет взаимное положение точек Ρ, Μ и Q на этом рисунке? ^ Ь) При каких условиях точка Μ являлась бы серединой отрезка RS? 7. Четыре точки Л, £, С и D принадлежат некоторой прямой, порядок их расположения таков, что АС>АВ и BD < ВС. Сделайте чертеж, показав, как расположены эти четыре точки. Существует ли только один возможный их порядок? Объясните. 8. G— множество всех пар целых чисел χ и #, сумма которых равна 21; Η — множество всех пар чисел χ и г/, разность которых равна Ь. a) Принадлежит ли пара 15 и 6 множеству G? b) Принадлежит ли пара 9 и 4 Множеству Я? c) Из каких пар состоит пересечение множеств G и Я? W -4— Ζ -4- 9. а) Какую координату имеет изображенная на этой прямой точка W? точка S? b) Какая точка имеет координату 0? —3? 5? c) Чему равно RT; VZ; TWt; TQ; RW\ PZ; XS; YQ? 10. На некоторой прямой задана система координат. Точка А имеет координату 6, 'точка Б —координату — 2, точка С —координату 1, точка D — координату χ и точка Е — координату у. a) Укажите для каждой из этих точек, между какими двумя другими она лежит. b) Чему равно А В; ВС; AD; CE; BE; DE? c) В каком порядке расположены наши пять точек на прямой, если χ — -6>0 и г/-(-2)<0? 11. На некоторой прямой задана система координат. Точка Ρ имеет координату 7, а точка Q —координату —12. Какую координату имеет точка М, если MP = MQ} 12. Укажите, верно или ошибочно каждое из следующих утверждений: 4 а) —-5 — целое число; Ь) с) 0—-рациональное число; е) ]Л) —целое число; f) ч V2 ич §0 ~~л рациональное число; п) • действительное число; d) ]iS —рациональное число; f4 31 ι) — -^ рациональное число VI χ — есть отрицательное число всех действительных х\ для рациональное число; j) |дг|=дг. 60
Если расстояние от точки Л до точки В, измеренное в сантиметрах, явно ky то чему равно расстояние АВ, измеренное в дециметрах? *Если расстояние от точки Ρ до точки М-, измеренное в метрах; равно t> то чему равно расстояние РМ, измеренное в сантиметрах? - Пары букв в следующем абзаце означают или числа, или прямые, или отрезки, или лучи. Перепишите этот абзац, расставив там, где нужно,, значки 'над парами букв. А В + ВС = AC DB содержит точки Л и С, но ОВ не содержит ни точки Л, ни точки С. Тогда А принадлежит DB, но точка С не принадлежит DB. 16 Какие из следующих утверждений верны, если Л, В, Си D-—различные точки, причем Ж содержит В, £D содержит С? a) Точка В лежит между Л и С. b) Прямая ВС содержит точку Л. С) :4С = яб.__ d) Прямые ?С и BD пересекаются только в точках В и С. e) Прямые *Кб и ЪС не пересекаются. f) Луч АС противоположен лучу DB. 17. На прямой АВ задана такая система координат, что отрезок АВ есть множество всех точек, координаты χ которых удовлетворяют условию Б^х^ «^ 7. Координата точки А меньше, чем координата точки В. a) Какую координату имеет начало луча ЛИ? луча ВА? луча, противоположного лучу ВА? b) Какую координату имеет середина отрезка АВ? 18. а) Нарисуйте два отрезка АВ и CD> для которых пересечение АВ и CD пусто, но пересечение АВ и CD состоит из одной точки. Ь) Нарисуйте два Отрезка PQ и RS, для которых пересечение PQ и RS пусто, но 19. Верхняя строчка чй&еЛ около точек прямой на рисунке внизу представляет некоторую систему координат. Какие из строчек чисел от а) до е) не представляют системы координат, удовлетворяющей аксиоме масштабной линейки и аксиоме прикладывания линейки? •■я ι ι -4 а) -ц ь) -6 О 0 Ю-10 е) 5 1 -hi -J 3 -5 1 -9 Ц· Mi Ι ι -2 2 -Ц 2 -θ 3 t ι -; / -3 3 -7 2 II III I I 0 0 -2 4 -6 1 1 -/ -/ 5 -5 ш 0 2 -2 , 0 6 -U 1 δ -3 1 7 -3 2 4 -ц 2 8 -2 3 5 -5 3 9 -7 ц ι ' iw 6 ~6 ч 0 0 5 *0 . Для каждого из перечисленных ниже условий рассмотрите множество всех точек прямой, координаты χ которых удовлетворяют этому условию: а)*^3; Ь)*=1; . с) 5^л:^0; d)*^l; e)* = —4; ι) χ^—2 или х^2; Й I х I ^ 2; h) | χ | ^ 0. Какое из этих множеств является лучом? точкой? отрезком? Нарисуйте каждую из этих фигур/
ПРЯМЫЕ, ПЛОСКОСТИ И РАЗБИЕНИЯ • «ч У , Г I? 1 и ■ ^ < \ *£
§ f. ВВЕДЕНИЕ В предыдущей главе мы говорили только о прямых и об из- ении расстояний. Фактически мы всегда рассматривали единственную прямую, и поэтому никакие обсуждения отношений °ежду разными прямыми нам не были нужны. Теперь мы приступим к изучению прямых и плоскостей в пространстве. Напомним что нашими основными неопределяемыми понятиями являются точка, прямая и плоскость, причем прямые и плоскости являются определенными множествами точек. Определение Множество всех точек называется пространством. В следующем параграфе мы объясним некоторые термины, которыми мы будем пользоваться при изучении прямых и плоскостей, и сформулируем некоторые из самых элементарных фактов, к ним относящихся. Большая часть этих фактов будет высказана в качестве аксиом, а кое-какие из них —в виде теорем. В дальнейшем мы увидим, что все теоремы этой главы можно доказать, опираясь на аксиомы. Но сейчас их доказательств мы касаться не будем, если не считать одного очень простого исключения. Все, что мы попытаемся здесь сделать/—это обсудить несколько основных фактов и научиться изображать фигуры в пространстве. Задачи к § 1 (Замечание. При попытках представлять себе различные связи между точками, прямыми и плоскостями в пространстве часто хорошим подспорьем могут оказаться куски картона как заменители плоскости и карандаши как заменители прямых.) 1. Вытяните руку перед собой. Рассмотрите точку Л, совпадающую с кончиком вашего указательного пальца, и точку В, совпадающую с правым верхним передним углом вашей комнаты. Сколько прямых одновременно содержат обе точки А и В? Какая аксиома подкрепляет ваш ответ? 2. Возьмите книгу или кусок жесткого картона. Можете ли вы удержать их на концах двух карандашей так, чтобы они не смогли двигаться? Каково наименьшее число карандашей, необходимое для этого. • М°гУт ли три точки принадлежать одной прямой? Должны ли три точки принадлежать одной прямой? Пусть какой-нибудь угол вашего письменного стола представляет точку Р, выключатель на стене —точку Q и один из углов комнаты—точку R'. Суще- 5 £твУет ли плоскость, содержащая точки Р, Q и R? акое минимальное число точек необходимо для определения плоскости? сегда ли три точки полностью определяют некоторую плоскость? 63
б. Какие прямолинейные отрезки на этом рисунке, изображающем маленькую палатку, вам нужно вообразить, чтобы дополнить контуры палатки? Что представляет собой пересечение двух плоскостей, содержащих два ската палатки? 7. Палатка на этом рисунке имеет квадратный пол. Какие прямолинейные отрезки дополняют контуры палатки? 8. Соедините два карандаша их заточенными концами и зажмите их между большим и указательным пальцами. Если эти карандаши представляют две пересекающиеся прямые, то сколько существует плоскостей, одновременно содержащих обе эти прямые? 1 ГЕОМЕТРИЯ III | «; 9. Какой из этих двух рисунков, по вашему мнению, дает более полное изображение книги? Как нужно держать книгу, чтобы она выглядела так, как на рисунке а)? как на рисунке Ь)? 10. Посередине доски в 2 ж длиной, т. е. на расстоянии 1 м от каждого из ее концов, проведена черта. Столяр тщательно распиливает доску по той черте. Однако ни одна из двух получившихся при этом половин не имеет 1 м длины. Более того, общая длина двух половин не равна длине всей доски. Как вы сумеете это объяснить? § 2. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ; ЧЕРТЕЖИ Левая фигура на следующем рисунке изображает треугольную пирамиду. Отрезки АВ, AC, AD, ВС, BD и CD называются ее ребрами. (Заметьте, что ребро BD изображено- пунктиром, поскольку, если бы пирамида была сплошным телом, его нельзя было бы видеть. Если ту же фигуру нарисовать, как показано на рисунке, то она выглядела бы 'похожей на некоторое множество точек, принадлежащее плоскости чертежа.) А С 64
Все пять точек Л, Е, В, С и F принадлежат одной плоско- а именно плоскости, содержащей переднюю левую грань Сщ)амидь1. Точки, принадлежащие одной плоскости, называются П0мпланарными. Конечно, точки А, В, С и D не компланарны/ К Три точки А, В и Ε принадлежат одной прямой, а именно прямой АВ. Обладающие этим свойством точки называются кол- линеарными. Конечно, точки Л, θ и С не коллинеарны. Точно так же A, F и С коллинеарны, а точки Л, F и G — нет. Теперь мы определим эти термины более формально. Определение Точки, образующие некоторое (точечное) множество, коллинеарны, если существует прямая, содержащая все эти точки. Определение Точки, образующие некоторое (точечное) множество, компланарны, если существует плоскость, содержащая все эти точки. (Вопрос. Точки В, F и G на предыдущем рисунке не принадлежат ни одной из граней пирамиды. Следует ли из этого, что точки Е, F и G не компланарны?) Чтобы построить геометрию по схеме, описанной в гл. 1, нам нужны аксиомы, которые передавали бы реальный смысл наших неопределяемых понятий: точки,- прямой и плоскости. Для прямых мы такие аксиомы уже ввели. Аксиома линейки хорошо описывает, как выглядит прямая, когда вы рассматриваете ее изолированно от всех других точек плоскости или пространства. Мы упоминали также, что любые две точки определяют некоторую прямую (см. аксиому 4 на стр. 49): Аксиома 4 (аксиома прямой) Для каждых двух точек существует одна и только одна прямая, содержащая обе точки. Теперь мы хотим выписать аксиомы, выражающие свойства плоскостей и пространства. Первой будет аксиома, утверждающая, что фигуры того типа, которые мы рисовали в начале этого параграфа, в нашей геометрии действительно встречаются. Аксиома 5 а) Каждая плоскость содержит по крайней мере три неколли- неарные точки. в) Пространство содержит по крайней мере четыре некомпланарные точки. 65
Это только другой способ выражения того факта, что плоско, сти являются «широкими» (а не «узенькими»), или «одномерными» как прямая, а пространство не является «плоским». Наконец, заметим, что в аксиоме прямой содержится некото, рая информация о том, как пересекают друг друга различные прямые. Теорема 3.1 Если две {различные) прямые пересекаются, то их пересечение содержит только одну точку. Доказательства. Если бы две различные прямые / и щ пересекались в двух различных точках Ρ и Q, то существовали бы I по крайне мере две прямые — / и т —, содержащие Ρ и Q. Но аксиома прямой утверждает, что это невозможно. Замечание. Начиная с этого момента, всякий раз, когда мы будем говорить о двух точках, или о двух прямых, или о двух плоскостях, мы будем подразумевать, что эти точки, прямые или плоскости различны. Иными словами, говоря о двух объектах, мы всегда будем подразумевать, что имеются именно два отдельных объекта, а не один объект; в соответствии с этим в формулировке аксиом 1 и 4 мы далее будем опускать прилагательное «различные». (Но если мы просто говорим, что Ρ и Q — точки, то мы не исключаем и ту возможность, что P = Q.) Задачи к § 2 1. Выясните, посмотрев на этот рисунок, изображающий некоторую пространственную фигуру, являются ли точки следующих множеств 1°. коллинеар- ными; 2°. не коллинеарными, но компланарными; 3Q. не компланарными: a) {Л, В, С, D}; b) {A, D, В}; c) [Р, D, Q}; d) {P, В, С}; e) {Л, В, С, Q}; 2. Сколько прямых могут содержать одну данную точку? две данные точки? три данные точки? 3. Дано: Ρ и Q —различные точки. Прямая 1г содержит обе точки Ρ и Q; прямая /2 также содержит обе точки Ρ и Q. Что можно сказать о прямых 1Х и /2? Какая аксиома или теорема подкрепляет ваше заключение? 4. Дано /х и /2 —различные прямые. Точка Ρ принадлежит и 1г и /2. Точка Q также принадлежит и 1Х и /2- Что можно сказать о точках Ρ и Q? Какая аксиома или теорема подкрепляет ваше заключение? 5. Напишите строгое определение неколлинеарных точек. 6. Скажите, сколько прямых можно провести через пары различных точек А, β, С и D, если a) Л, В, С коллинеарны; b) Никакие три из этих точек не коллинеарны; c) Эти точки некомплапарны. 7. Дана прямая /. Сколько плоскостей в пространстве могут содержать /? 8 С помощью спичек и клея сделайте модель фигуры из задачи 1. 66
ξ 3. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ; ЧЕРТЕЖИ (ОКОНЧАНИЕ) Следующая аксиома выражает тот факт, что плоскости не искривляются. Аксиома 6 Если две точки какой-либо прямой принадлежат некоторой лоскости, то и вся эта прямая принадлежит той же плоскости. Следующая теорема описывает, каким образом прямые и плоскости пересекаются друг с другом. Теорема 3.2 Если какая-либо прямая пересекает не содержащую ее плоскость, то их пересечение содержит только одну точку. (Позднее мы увидим, что теорема 3.2 не доставляет нам новой информации; она следует из аксиомы 6 точно так же, как теорема 3.1 следовала из аксиомы 4.) На этом рисунке мы видим прямую /, пересекающую плоскость Ε так, как ей предписывает теорема- 3.2. В дальнейшем будет встречаться много рисунков такого типа, и вам нужно вни- «— г— мательно их разглядеть, чтобы вы ^ смогли научиться рисовать их самостоятельно. Когда мы рисуем прямую, мы, разумеется, сначала проводим отрезок этой прямой, а затем на его концах пририсовываем стрелки, указывающие, что прямая на этом не кончается. Чтобы изобразить плоскость, обычно мы рисуем лежащий в этой плоскости прямоугольник. Когда мы смотрим на прямоугольник сбоку (будем считать, что именно так мы смотрим на плоскость на последнем рисунке), то этот прямоугольник выглядит как параллелограмм. Подобным же образом окружность, рассматриваемая в перспективе, выглядит как эллипс, изображенный на нижнем рисунке слева. Если бы наши глаза находились в плоскости прямоугольника, то он казался бы просто похожим на отрезок, как внизу справа, и чертеж был бы логически правильным, но не поучительным. L 67
Аксиома 4 утверждала, что прямую определяют две ее точки. Для определения плоскости требуются три неколлинеарные точки: Аксиома 7 (аксиома плоскости) Любые Упри точки принадлежат по крайней мере одной плоскости) любые три неколлинеарные точки принадлежат только одной плоскости. Другими словами· любые три точки компланарны, и если они при этом неколлинеарны, то эти точки однозначно определяют проходящую через них плоскость. Теорема 3.3 Если даны прямая и не принадлежащая ей точка, то существует одна и только одна плоскость, содержащая эту прямую и эту точку. Теорема 3.4 Если даны две пересекающиеся прямые, то существует одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые. В заключение сформулируем следующую аксиому Аксиома 8 (аксиома пересечения плоскостей) Если две плоскости пересекаются, то их пересечение есть прямая. Может показаться, что мы собираемся продолжать и дальше выписывать бесконечную серию аксиом, выражающих наши основанные на здравом смысле представления о пространстве.. Однако оказывается, что в этом нет необходимости. В этой книге мы будем изучать геометрию пространства на базе всего лишь двад- 68
яти четырех основных утверждений. Все остальные можно из них ывести, если знать, как это делать. Вы будете здесь этому учиться. 3 Двадцать четыре не следует считать «большим» числом. В действительности оно столь мало, что делает геометрию совершенно не похожей на такие науки, как, например, биология. Всю биологию или даже любую содержательную ее часть невозможно базировать на двадцати четырех фактах, обнаруженных с ромощью наблюдений. Чтобы получить тысячи других фактов, которые нам необходимо знать, нам пришлось бы продолжать экспериментировать, исследуя в лаборатории те или иные растения или животные/ Лаборатория же геометра — это его голова, в которой выстраиваются логические цепи, исходным пунктом для которых служит очень небольшое число основных фактов. Задачи к § 3 1. Сколько плоскостей могут содержать одну данную точку? две данные точки ? три данные точки? 2. Стол с четырьмя ножками, стоящий на ровном полу, иногда качается, а стол с тремя ножками всегда стоит устойчиво. Объясните причину этого. 3. Какую аксиому иллюстрирует этот рисунок? 4. Дополните следующее утверждение: две различные прямые могут пересекаться лишь в ... , а две различные плоскости могут пересекаться лишь по 5. Плоскость Ε содержит точки R и Г. Что можно сказать о прямой RT? Какие аксиомы или теоремы подкрепляют ваш ответ? Сделайте рисунок, иллюстрирующий эту задачу. 6. Нарисуйте плоскость £, изобразив для этого некоторый параллелограмм. Нарисуйте прямолинейный отрезок, лежащий в плоскости Е. Нарисуйте прямолинейный отрезок, пересекающий плоскость Ε в единственной точке, и не пересекающийся с первым отрезком. 7. Какое заключение можно сделать относительно прямой АВ и плоскости F, если они имеют общие точки К и Ш Почему? 8. Прямую можно обозначить, указав какие-либо две ее точки. Сколько точек нужно назвать, чтобы получить обозначение плоскости? 9· Дано. Точки А, В и С лежат в плоскости Е. Точки Л, В и С лежат в плоскости F. Можно ли отсюда заключить, что плоскости Ε и F совпадают? Объясните. •Дано. 1Х и /2 — различные прямые. Прямая 1Х лежит в плоскости Е. Прямая /2 лежит в плоскости F. Прямые /х и /2 пересекаются в точке Р. Точка ν> отличная от Р, принадлежит и прямой 1г и плоскости F. Точка R, отличная от Р, принадлежит и прямой /2 и плоскости Е. *\акое заключение можете вы сделать относительно плоскостей Ε и F? Какие / / / \ /л аксиомы или теоремы подкрепляют ваш ответ? 69
И. Внимательно изучите этот рисунок, изображающий некоторое прямоугольное тело, до тех пор, пока не поймете, каким образом он выполнен так, что кажется похожим на пространственную фигуру. Затем закройте книгу и сделайте по памяти рисунок, похожий на этот. Попрактикуйтесь до тех пор, пока не будете довольны своими результатами. 12. После того как вы выполните то, что требуется в задаче И, сделайте рисунок, изображающий куб. 13+. Фигура, являющаяся- объединением всех отрезков, имеющих своими концами четыре данные не компланарные точки, называется треугольной пирамидой, или тетраэдром1J. Рассматриваемые четыре точки называются вершинами тетраэдра. С a) Дайте определения ребра тетраэдра. b) Сколько ребер имеет тетраэдр? Перечислите их. c) Существуют ли у тетраэдра пары непересекающихся ребер? d) Грань тетраэдра есть треугольная область, определяемая любыми тремя вершинами. Перечислите четыре грани тетраэдра. Существуют ли у него пары непересекающихся граней? 14+. Эта фигура есть четырехугольная пирамида с квадратным основанием. (Подразумевается, что ее (квадратное) основание расположено ближе всего к вам.) Перечислите все £ плоскости, определяемые вершинами пирамиды (Всего имеется семь таких плоскостей.) А В 15*+. Рассмотрим следующие определения: М-пространстео есть множество, состоящее из четырех некомпланарных точек Л, В, С и D. Прямой называется любая пара точек, принадлежащих ^-пространству. Плоскостью называется любая тройка точек, принадлежащих УИ-пространству. Тщательно изучив все пары и тройки точек, покажите, что УИ-простран- ство удовлетворяет аксиомам 4, 5, 6, 7, 8 и теоремам 3-1, 3-2, 3·3 и 3-4. (Такая система точек называется четырехточечной геометрией.) Какая из имеющихся в тексте книги аксиом гарантирует, что обычное пространство содержит бесконечно много точек? 1} Подобно тому как под треугольником ABC понимают как совокупность трех отрезков Л В, ВС и АС, так и ограниченную этими отрезками область (а иногда и просто три точки А, В и С!), так и под тетраэдром Л BCD можно понимать совокупность из шести отрезков А В, ВС, AD, AC, BD, CD (именно так понимается тетраэдр в этой задаче), или совокупность четырех треугольников ABC, ABD, ACD, BCD (понимаемых как плоские области) или как ограниченное этими четырьмя треугольниками пространственное тело или, наконец, просто как четыре точки Л, В, С и Z>. 70
§ 4. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА Множество точек называется выпуклым,, если мы всегда можем не покидая этого множества, пройти от одной его точки к другой по кратчайшему расстоянию между ними. Например, каждое из изображенных здесь множеств выпукло, если считать, что каждое из этих множеств является целой областью на плоскости, а не сводится к одной только границе. В этих множествах из любой точки Ρ можно добраться до любой другой точки Q, двигаясь по прямой и не выходя за пределы множества. Некоторые примеры этого можно видеть на наших рисунках. С другой стороны, ни одно из этих множеств не является выпуклым. Это следует из наличия у каждого из этих множеств таких его точек Ρ и Q, которые нельзя соединить отрезком, принадлежащим данному множеству. Чтобы сформулировать все это в более строгой (и «более математической») форме дадим следующее определение Множество А называется выпуклым, если для каждых двух точек Ρ и Q, принадлежащих этому множеству, отрезок PQ цели- к°м принадлежит Л. Множества, о которых мы до сих пор говорили, были «малень- ми». Но выпуклое множество вполне может быть и большим. пример, каждая плоскость является выпуклым множеством. ^ лее, прямая / на плоскости разрезает эту плоскость на два мно- 71
жества, каждое из которых выпукло и простирается неограниченно далеко. Эти два множества Нг и Я2 называются полуплоскостями, или сторонами, прямой /, а I называется ребром каждой из этих полуплоскостей. Полуплоскости являются выпуклыми, потому что если какие- либо две точки лежат на одной и той же стороне прямой (мы будем говорить: по ©дну и ту же сторону от прямой), то соединяющий их отрезок никогда не пересечет эту прямую. ' Напротив, если Τ и [/ — точки, лежащие по противоположные стороны от прямой /, то отрезок TU всегда пересекает эту прямую. Соединим теперь предыдущие утверждения в одной аксиоме и нескольких определениях. Аксиома 9 (аксиома разбиения плоскости) Даны прямая и содержащая ее плоскость. Тогда точки этой плоскости, не принадлежащие данной прямой, образуют два таких множества, что 1°. каждое из этих множеств выпукло; 2°. если точка Ρ принадлежит одному из этих множеств, а точка Q —другому, то отрезок PQ пересекает данную прямую. Определения Если даны прямая I и содержащая ее плоскость Е, то два множества описанные в аксиоме разбиения плоскости, называются полуплоскостями, или сто ρ о нами, прямой I, a l называется их ребром. Если точка Ρ принадлежит одной из этих полуплоскостей, а точка Q — другой, то мы будем говорить, что Ρ и Q лежат по противоположные стороны от прямой L 72
О том, каким способом прямая разбивает плоскость на две полуплоскости, наша аксиома говорит следующее: ίο. Если две точки принадлежат одной и той же полуплоскости, то соединяющий их отрезок принадлежит той же полуплоскости и, таким образом, никогда не пересекает данную прямую. 2°. Если две точки принадлежат противоположным полуплоскостям, то соединяющий их отрезок всегда пересекает данную прямую. В то время как в любой заданной плоскости прямая имеет лишь две стороны, каждая прямая в пространстве имеет бесконечно много сторон. На следующем рисунке мы видим пять из этого бесконечного множества полуплоскостей в пространстве, имеющих прямую / своим ребром. (Вопрос, Существует ли различие между следующими двумя утверждениями? 1°. Точки Ρ и Q лежат по разные стороны от прямой /. 2°. Точки Ρ и Q лежат по противоположные стороны от прямой /.) Плоскость разбивает пространство точно таким же образом, как прямая разбивает плоскость. Два множества, на которые плоскость разбивает пространство, азываются полупространствами, или сторонами, данной плоскости. а нашем рисунке они обозначены буквами Ях (полупространство, 73
лежащее над плоскостью) и Я2 (полупространство, лежащее под плоскостью). Каждое из этих двух полупространств выпукло. Если точка R принадлежит одному из этих полупространств, а точка S — другому, то отрезок RS всегда пересекает плоскость. Снова соединим это в одной аксиоме и нескольких определениях. Аксиома 10 (аксиома разбиения пространства) Точки пространства, не принадлежащие данной плоскости, образуют два таких множества, что 1°. каждое из этих множеств выпукло; 2°. если точка Ρ принадлежит одному из этих множеств, а точка Q — другому, то отрезок PQ пересекает данную плоскость. Определения Два множества, описанные в аксиоме разбиения пространства, называются полупространствами, а данная плоскость называется гранью каждого из этих полупространств. Заметим, что в то время, как каждая прямая в пространстве является ребром бесконечного множества полуплоскостей,, каждая плоскость в пространстве является гранью только двух полупространств. Задачи к § 4 (Замечание. Отвечая на вопросы нижеприведенных задач, нужно в ситуациях, не охватываемых структурой наших аксиохм, руководствоваться интуитивными представлениями о пространстве.) 1. Ответьте устно на следующие вопросы: a) Является ли прямая выпуклым множеством? Объясните. b) Является ли множество, состоящее только из двук точек, выпуклым? Почему? c) Если из прямой удалить одну точку, то будут ли остальные точки образовывать выпуклое множество? d) Является ли окружность выпуклым множеством? e) Является ли круг выпуклым множеством? f) Является ли сфера выпуклым множеством? g) Является ли шар выпуклым множеством? h) Разбивает ли точка плоскость? пространство? прямую? i) Разбивается ли плоскость лучом? прямой? отрезком? j) Могут ли две прямые на плоскости разбивать эту плоскость йа две области? на три области? на четыре области? на пять областей? 2. Каждая точка отрезка АВ на этом рисунке принадлежит множеству К- Означает ли это, что К — выпуклое множество? Объясните., 74 ^
о Является ли каждая плоскость выпуклым множе- ством? Объясните. Какая аксиома существенна для вашего объяснения? 4. Какие из областей, обозначенных прописными буквами на этом рисунке, являются выпуклыми множествами? 5. Если из плоскости удалить одну точку, то будет ли оставшееся множество выпуклым? 6. Круги С и D являются выпуклыми множествами. ^» ^ , Будег ли выпуклым множество а) их пересечение? * х Ь) их объединение? щ 7. Пусть / — прямая в плоскости Е. Является ли выпуклым множество всех точек плоскости £, лежащих по одну сторону от прямой /? 8. Нарисуйте плоский четырехугольник (фигуру с четырьмя сторонами), внутренность которого выпукла. Нарисуйте плоский четырехугольник, внутренность которого не выпукла. 9. Является ли множество, состоящее из всех точек сферы и из всех точек, лежащих внутри нее, выпуклым? ίΟ. Является ли тор (баранка) выпуклым множеством? 11. Нарисуйте две полуплоскости, имеющие общее ребро и такие, что все принадлежащие хоть одной из плоскостей точки компланарны Нарисуйте две полуплоскости, имеющие общее ребро, но не удовлетворяющие этому условию. 12. Нарисуйте две полуплоскости такие, что все их точки компланарны, но полуплоскости не имеют общего ребра. 13. Η ι и Я2 —две полуплоскости, удовлетворяющие первому условию задачи 12. Составляет ли объединение #х и Н2 всю плоскость, если a) Hi и Н2 имеют одно и то же ребро (объясните); b) Ребро полуплоскости Я χ пересекает ребро полуплоскости Н2 в единственной точке (объясните)? И. а) На сколько множеств точка, принадлежащая прямой, разбивает эту прямую? Какое название напрашивается для каждого из этих множеств* Ь) Пользуясь терминологией, введенной вами в а), напишите утверждение о разбиении прямой, аналогичные аксиомам 9 и 10. 15. Чем луч отличается от полупрямой? 16 . Могут ли три прямые на плоскости разбить эту плоскость на три области? четыре области? пять областей? шесть областей? семь областей? • На сколько множеств разбивают пространство две пересекающиеся плоско сти? две параллельные плоскости? • Каково наибольшее число множеств, на которые пространство может быть разбито тремя различными плоскостями? Каково наименьшее число таких множеств? 75
Ϊ9+. Верно или ошибочно следующее утверждение: объединение любых двух выпуклых множеств, имеющих хотя бы две общие точки, является выпуклым множеством? Обоснуйте ваш ответ. 20*+. Напишите аккуратное объяснение причин/в силу которых верно следующее утверждение: пересечение любых двух выпуклых множеств, имеющих хотя бы две общие точки, является выпуклым множеством. (Указание. Пусть Ρ <и Q — любые две общие точки наших множеств. Какие множества должны содержать отрезок PQ?) 21 *+. Изобразите на рисунке любое геометрическое тело, ограниченное плоскими поверхностями и обладающее тем свойством; что множество точек, лежащих внутри него, не выпукло. § 5, СЕМЬ КЁНИГСБЕРГСКИХ МОСТОВ Вы можете подумать, что в идее обхода улиц, мостов и т. д. нет ничего интересного. Но в действительности есть известная математическая задача, в которой речь идет о таком «обходе» и, пожалуй, ни о чем другом. Город Кенигсберг стоял на берегу Балтийского моря в устье реки Прегель. На реке имелись два острова, связанные с материком и друг с другом семью мостами, как показано на рисунке. Жители Кенигсберга, гулявшие по этим островам, обнаружили, что если они начинают свою прогулку на южном берегу, то им никак не удается так ее спланировать, чтобы пройти по каждому мосту ровно по одному разу. Получалось, что им приходится хотя бы один мост пропустить: или пройти по какому-нибудь мосту дважды; 76
Они вынуждены были признать, что пройти по каждому мосту ровно по одному разу они не могут, но окончательной уверенности в этом ни у кого не было. Наконец, в 1735 г. кто-то сообщил эту задачу великому математику Леонарду Эйлеру. Эйлер выяснил, что тем, кто еще не оставил своих попыток, пора их прекратить. Он произвел следующий анализ задачи. Рассмотрим сначала восточный остров: К нему ведут три моста. По условию задачи ваша прогулка начинается на южном берегу и, значит, где-то вне восточного острова. Поскольку по каждому из трех мостов вы должны пройти по одному разу, кончиться она должна на восточном острове. (Вот с чем это можно сравнить. Будем поочередно включать и выключать свет от настольной лампы, вставляя вилку провода в штепсельную розетку или вынимая ее. Тогда если вначале вилка была вне розетки и потому свет был выключен, то после трех таких операций, вилка окажется в розетке и свет будет включен.) Теперь рассмотрим западный остров: К нему ведут пять мостов, а пять (как и три) — число нечетное. Отсюда следует, что, поскольку вы начинаете прогулку вне западного острова, кончить вы ее должны на западном острове. (Если пять раз проделать ту же операцию с вилкой и розеткой и если вначале свет оыл выключен, то в конце он будет включен.) Но это значит, что «Кенигсбергская прогулка» невозможна, так как нельзя ее кончить в двух местах сразу. Решение Эйлером этой задачи имело очень большое значение, потому что впервые вообще была решена задача такого характера. ^аметим, что если начертить карту островов на куске резины, то ТУ резину можно будет как угодно растягивать, деформируя очер- НИя островов, но при том вовсе не меняя задачи. 77
Из эйлеровского анализа «Кёнигсбергской прогулки» развилась целая ветвь математики, которая занимается такого рода задачами. Эта ветвь математики называется топологией, (Между прочим, если вы захотите найти Кенигсберг на карте, то искать его нужно на старой карте. Теперь он находится в Советском Союзе и называется Калининград. Задача же сохранила свое старое название.) ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (1707—1783) Эйлерово решение задачи о семи кёнигсбергских мостах типично для его проницательности и изобретательности. До него никому вообще не приходило в голову, что задачи такого рода относятся к математике, С тех пор математика быстро выросла во многих неожиданных направлениях. Эйлеровский анализ задачи о кёнигсбергских мостах явился первым ростком новой области математики, сегодня известной под названием топологии, которая достигла своего наивысшего расцвета в двадцатом веке к все еще продолжает развиваться. Эйлер, был не только талантливым, но и чрезвычайно трудолюбивым человеком. Он получал оригинальные математические результаты в таком количестве, что едва ли кто-нибудь может в этом с ним сравниться. Собрание его математических работ занимает более шестидесяти больших томов. В двадцать k * восемь лет он ослеп на один глаз, а в пятьдесят почти полностью потерял зре- % ΐ 78-
„, Но его память была баснословна — он знал наизусть всю «Энеиду» Вергилия —и в любой момент он был в состоянии проделать в уме тпиннейшие вычисления. Таким образом, он до конца своей жизни сумел продолжать свою работу в том же объеме, что и раньше. Вопросы и задачи для повторения ι а) Точки коллинеарны, если ... м Точки компланарны, если ... c) Могут ли 4 точки быть коллинеарны? d) Должны ли 2 точки быть коллинеарны? e) Должны ли 4 точки быть коллинеарны? И Могут ли η точек быть коллинеарны? g) Должны ли 4 точки быть компланарны? h) Могут ли η точек быть компланарны? 2. Какое из нижеследующих утверждений верно (объясните)? \ а) Если 3 точки коллинеарны, то они компланарны. Ь) Если 3 точки компланарны, то они коллинеарны. 3. Прокомментируйте утверждение: «Поверхность стола есть плоскость». 4. Изучите изображенную здесь пространственную фигуру (где точки А, Ву С и D компланарны) и ответьте на следующие вопросы: a) Коллинеарны ли точки Я, D и F? b) Компланарны ли точки Е, С, В и F? c) Пересекаются ли отрезки АС и BD? d) Пересекаются ли отрезки АС и DF? e) Компланарны ли точки Е, В и F? ϊ) Компланарны ли точки F, В, G и D? 5. Перечислите все изученные нами условия, которые определяют плоскость. Например, «Прямая и точка, не принадлежащая этой прямой, определяют плоскость» (теорема 3.3) 6. Сколько существует плоскостей, содержащих три данные точки, если эти точки не принадлежат одной прямой? 7. Прямая /х пересекает плоскость Ε в точке Р, но не принадлежит Е. Прямая /2 принадлежит плоскости Е, но не. содержит точки Р. /Может ли прямая /х пересекать прямую /2? Объясните. 8. Две плоскости Ε и F пересекаются по прямой АВ. Каждая из точек Ρ и Q принадлежит обеим плоскостям Ε и F. Должны ли Ρ и Q принадлежать < -> 1 прямой АВ? Объясните. 9· Укажите, верны или ошибочны следующие утверждения: a) Пространство содержит по крайней мере четыре точки. b) Каждая полуплоскость содержит свое ребро. c) Луч разбивает плоскость. \ ρ ждая плоскость разбивает пространство на два выпуклых множества. е) Если прямая / разбивает плоскость Ε на две полуплоскости Нг и Я2 и если точка Ρ принадлежит полуплоскости Ην а точка Q — полуплоскости Π т\ъ Т° отРезок PQ пересекает прямую /. 10 к" Ые две полуплоскости компланарны. • *\акие из областей, обозначенных на рисунке прописными буквами, являются выпуклыми множествами? аким общим свойством обладают полу- 12 зЛ0СК0сти и полупространства?' ' жестИШИТе 0ПРеДелеьше выпуклого мно- 79
13. Всегда ли объединение двух полуплоскостей является плоскостью? Бывает ли оно хотя бы иногда плоскостью? Объясните. 14. Дополните следующие утверждения, рассмотрев рисунок: ... Ε разбивает пространство на ... Нх и ... . Мы знаем, что А и ... лежат по одну сторону от ... , так как ... не пересекает плоскости Е. Точно так же точки В и D лежат по ... от плоскости £, так как ... . Мы можем доказать, что АС ... , показав, что А и ... лежат по ... от плоскости Е. 15. Нарисуйте прямую /, разбивающую плоскость на две полуплоскости. Обоз- начьте эти полуплоскости буквами Нх и #2. Выберите в Нг точки D и /с и #2 —точку F. a) Каково пересечение отрезка WR и прямой /? Почему? b) Каково пересечение отрезка KF и прямой /? Почему? 16+ Каждая из плоскостей Е, F и G пересекает две другие плоскости, как показано на рисунке. На сколько выпуклых областей разбивают они пространство? 17+ Вы «выигрываете» если, не отрывая карандаша от бумаги, сумеете провести его по всем отрезкам данной фигуры ровно по одному разу. Перерисуйте изображенные ниже фигуры на отдельном листе бумаги и постарайтесь обнаружить, какие две из этих пяти фигур позволяют вам «выиграть». Существует ли способ, позволяющий строить разнообразные фигуры, не позволяющие вам «выиграть»? ν в) д) 18+ Две из трех фигур, изображенных на рисунке ниже, можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя его по одному и тому же отрезку дважды, а третью —нельзя. Какие две фигуры «можно нарисовать таким способом? Попытайтесь нарисовать каждую из этих фигур таким способом на своем листе бумаги. Можно ли прийти к нужному заключению без проб?
4 УГЛЫ И ТРЕУГОЛЬНИКИ / \ *ч* **· ?х t ^ /\/i is. , α YJ >'!--*■-"^ ίΐ ' ^ ! \ / I I' ^4&λ νΛΛ,,/ν V·-" / ч / \ >< S iy^*X " V > w>«4
§ ι. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ угол — это фигура, похожая на одну из следующих фигур: Определения Если два луча имеют одно и то же начало, но не принадлежат одной прямой, то их объединение есть угол. Два данных луча называются сторонами угла, а их общее начало — его вершиной. Если сторонами угла являются лучи Д£Ги АС, то угол обозначается символом /ВАС или /.CAB. Не имеет значения, какая сторона угла упомянута первой. Не существенно также и то, какие точки вы выберете на каждой из двух сторон, чтобы их определить. Угол на нижнем рисунке слева с одинаковым основанием можно обозначить символом /ВАС, или /DAE, или /ВАЕ и т. д. Если ясно, какие стороны имеет угол, то для краткости можно даже просто писать /А. А на фигурах вроде той, что изображена справа, «внутри» углов стоят цифры и буквы, так что вместо /ВАС можно писать /I, вместо /CAD можно писать" /а и т. д. Стороны угла являются лучами, а не отрезками. Поэтому ФигУра, изображенная слева, углом не является. 83
(Разумеется., она определяет некоторый угол, изображенный на том же рисунке справа, аналогично тому как отрезок определяет некоторую прямую, не являясь ею.) Треугольник — это фигура, выглядящая примернотак, как одна из фигур, изображенных на рисунке: Определения Если А, В и С—любые три неколлинеарные точки, то объединение трех отрезков АВ, АС и ВС называется треугольны- ком и обозначается символом /\АВС. Точки А, В и С называются вершинами треугольника, а отрезки АВ, АС и ВС— его сторонами. Каждый /\АВС определяет три угла, а именно jLBAC, /.ABC, /_АСВ\ они называются углами ДABC, (Если очевидно, о каком треугольнике идет речь, то их часто просто обозначают как £А9 Ζ В и Ζ С·) Заметим, что когда мы рисуем какой-нибудь треугольник, мы вовсе не обязаны рисовать его углы. Как школа «порождает» своих выпускников, но не включает их, так и треугольник определяет свои углы, но не включает их. Если мы захотим нарисовать эти углы, нам нужно будет продолжить стороны треугольника и приделать к ним стрелки, как показано на рисунке внизу слева» Обычно в этом нет необходимости, потому что очевидно, что это за углы. Внешность ®1 XВнутренность А / Внешность / с- • / · / Внешность Из правого рисунка видно, что такое внутренность и внешность угла. Определения Пусть /_ВАС—угол на плоскости Е. Точка Ρ принадлежит внутренности Z.BAC (лежит внутри этого угла), если 84
jo. p и В лежат по одну и ту же сторону от прямой АС; 20. Ρ и С лежат по одну и ту же сторону от прямой АВ. Внешность ABAC есть множество всех точек плоскости Е, принадлежащих углу и не лежащих внутри его. (Если точка Q принадлежит внешности Z.BAC, то говорят, что она лежит вне этого угла.) Можно проверить это определение на том же рисунке и убедиться, что оно выражает именно то, что здесь имелось в виду. Например, точка Ρ лежит внутри угла, потому что она удовлетворяет и условию 1°, и условию 2°. Точка Q± лежит вне угла: она удовлетворяет условию 1°, но не удовлетворяет условию 2°. Точка Q2 лежит вне угла: она не удовлетворяет ни условию 1°, ни условию 2°. Точка Q3 удовлетворяет условию 2°, но не удовлетворяет условию 1°. Заметим, что внутренность угла мы определили как пересечение двух полуплоскостей. Одна из них является стороной прямой ЛС, содержащей точку В, а другая—стороной прямой АВ, содержащей точку Ci Что такое внутренность и внешность треугольника, видно из следующего рисунка: Внешность/' \ Внешность Внутренность Внешность 0пРеделения Точка принадлежит внутренности треугольника (лежцт нУШри треугольника), если она лежит внутри каждого из 85
углов этого треугольника. Точка принадлежит внешности треугольника (лежит вне треугольника), если она принадлежит плоскости этого треугольника, но не принадлежит самому треугольнику и не лежит внутри его. Как и прежде, можно проверить это определение на нашем рисунке и убедиться, что оно выражает именно то, что мы имели в виду. (Если бы мы только потребовали, чтобы точка лежала внутри каких-либо двух углов треугольника, а не внутри всех трех, то пришли бы мы к тому же самому понятие внутренности треугольника?) Любые определения намного легче выучить, если сначала продумать их наглядный смысл. В самом деле, когда двы забываете определение, то это обычно происходит по той причине, что вы пытались заучить его наизусть, не стараясь внимательно разобрать, насколько оно выражает те идеи, которые имелись при этОхМ в виду. Задачи к § 1 (Замечание. Начиная с этого момента мы, вместо того чтобы писать «точка В лежит между точками А и С», пользуемся в задачах символом А—В —С.) 1. Дополните следующее определение: Угол есть ... двух ..., имеющих одно и то же 2. Дополните следующее определение: Треугольник есть ... трех, соединяющих каждую пару из трех .... 3. На этом рисунке точки К, Ρ к Η коллинеарны. Назовите все пять имеющихся на этом рисунке углов. но не 4. Дан /\АВС. Являются ли отрезки АС и АВ сторонами Ζ,Α? Объясните. 5. Сколько углов определяется изображенной на этом рисунке фигурой? Назовите их. Сколько из них можно, не опасаясь ошибки, обозначить, указывая только букву, отвечающую вершине угла? 86
Могут ли два угла треугольника иметь общую сторон у > Объясните. Сколько углов имеется на этом рисунке? (Их здесь больше шести.) Верно ли следующее утверждение: АЛ ВС есть объединение LCAB и /.СВА? Почему? D v Какие точки на этом рисунке лежат a) внутри LCAB\ b) вне Δ Ε ВС; c) внутри LABD\ d) вне LABQ} 10. Лежит ли вершина угла внутри этого угла? вне его? П. На сколько областей треугольник разбивает плоскость этого треугольника? 12. На сколько областей углы треугольника разбивают плоскость этого треугольника? з-Назовите все треугольники на левом рисунке. (Их здесь больше четырех.) •Сколько треугольников имеется на рисунке справа? (Один из способов решения этой задачи состоит в следующем* выпишем- буквы {Р, R, H> M, D, К}, затем составим всевозможные сочетания из трех входящих в это множество °УКВ и каждое из них проверим на рисунке.) ί6* оВЛЯется ли внутренность угла выпуклым множеством? А внешность угла? • вляется ли треугольник выпуклым множеством? • вляется ли внутренность треугольника выпуклым множеством? А его IP гт чен* ^^ВС и точка Ρ внутри LA и, кроме того, вне Z.C. Какое заклю- Ие м°жно сделать относительно точки Р? 37-
19*. а) Может ли точка лежать вне треугольника и внутри какого-либо щ его углов? Нарисуйте. Ь) Может ли точка лежать вне треугольника и вне каждого из его углов? Нарисуйте. 20*. Дан ДАВС η точка Р. Точки Ρ и А лежат по одну сторону от прямой ВС ; точки Ρ и В лежат по одну сторону от прямой АС. a) Лежит ли точка Ρ внутри Z.ACB? b) Лежит ли точка Ρ внутри Δ АСВ? 2\+. Дан А ЛВС и точки D, Е, Ff G, где Л— D—В, В—Е—С, C—D—F D—G—E. a) Лежит ли точка G внутри или вне /\АВС? b) Пересекает ли луч BG отрезок АС? c) Лежат ли точки G и F по противоположные стороны от ... ? d) Как вы можете обосновать свой ответ на вопрос а)? § 2. НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИЙ ОБ УГЛАХ Углы, как мы их определили в этой главе, являются просто некоторыми множествами точек. с В Порядок, в котором указываются стороны угла, не имеет абсолютно никакого значения. Это самая простая форма идеи угла; именно она нужна нам в этом курсе. Однако позднее, когда вы будете изучать тригонометрию, понятие угла приобретет для вас и другую форму. В тригонометрии будет играть существенную роль то, какая сторона уг#а упомянута первой, а какая —второй: ι Начальная сторона С Δ CAB Конечная сторона С I ВАС Иными словами, в тригонометрии мы различаем LCAB и Ζ.ВАС. У jLCAB сторона АС является начальной, а сторона АВ — конечной, а у LBAC начальной является сторона АВ, а конечной—сторона АС. Такого рода углы называются направленными £8
лаМИв При рассмотрении направленных углов допускают также ^нулевые углы» и «развернутые углы».. , s~\ ,, , ^ ■ ^ — — — г — * — — в С LBAC А Δ ВАС В этом курсе направленные углы не используются, потому что в элементарной геометрии они не нужны. Например, углы треугольника никогда не являются нулевыми или развернутыми и не существует разумного способа, позволяющего решить, каково их направление, т. е. какая из сторон £АВС является начальной, а какая —конечной. Направление углов нам пришлось бы приписывать им случайно, и это не принесло бы нам никакой пользы, потому что случайно выраженные направления не имели бы никакого отношения к тем задачам, которыми мы занимаемся. § 3. УГЛОВАЯ МЕРА Точно так же, как отрезки мы измеряли масштабной линейкой, так углы мы измеряем транспортиром: м ЛИ(^Л0 градусов, содержащееся в данном угле, называется Р°н. Если £ PQR содержит г градусов, то мы пишем т L PQR = r. его 89
Наблюдая деления транспортира, мы видим, что т Ζ CAD = 30, т Ζ CAF^ 90, m Ζ СЛ£ = 45, m Z. C71G = 100 и т. д. Заметим, что мы не пользуемся значком градуса, когда пишем 30, 45 и т. д. , потому что это подразумевает само употребление буквы т: величина т Ζ PQR есть число градусов в угле Ζ PQR, Точно так же, как мы, пользуясь масштабной линейкой, находили расстояния путем вычитания, мы можем путем вычитания «находить и меры углов. Например, мы должны иметь т /mDAE=l5t так как 15 = 45 —30 = m Z CAE — m Z CAD. Тот же прием дает нам т Ζ GAD= 100 — 30 = 70. Заметим, что число 180 не является мерой ни одного угла на нашем рисунке. (Символ Ζ ВАС не имеет смысла, поскольку лучи АВ и АС коллинеарны.) Мы можем тем не менее, пользуясь вычитанием из 180, получить т Ζ BAJ= 180— 150 = 30, т Ζ £Л# = 180— 130=50 и т. д. В следующих аксиомах просуммированы те факты, на которых базируется использование транспортира. На рисунках, иллюстрирующих содержание этих аксиом, мы пишем^ r.°, s° и т. д., чтобы напомнить, что эти числа являются градусной мерой соответствующих углов. Аксиома 11 (аксиома измерения углов) Каждому углу Ζ ВАС соответствует некоторое действительное число, заключенное между 0 и 180. А С 90
Определение Число, фигурирующее в аксиоме измерения углов, называется нерой L ВАС и записывается так: т £ ВАС. Угол, имеющий любую меру от 0 до 180, мы можем построить всюду, где только захотим. Ясно также, что исходя из некоторого луча на плоскости и числа г, мы сможем построить наш угол по каждую сторону от прямой, содержащей этот луч. Отсюда возникает Аксиома 12 (аксиома построения углов) Пусть АВ — луч, принадлежащий ребру полуплоскости Н. Тогда для каждого действительного числа г, заключенного между О и 180, существует ровно один такой луч АР, что точка Ρ принадлежит полуплоскости Η и т Ζ. РАВ = г. В Пользуясь следующей аксиомой, мы можем вычислить меру углов с помощью сложения и вычитания: Аксиома 13 (аксиома сложения углов) Если точка D лежит внутри угла Ζ ВАС, то т Ζ ВАС=т Ζ BAD+m Ζ DAC. с_ 91
Отсюда также вытекает: т L CAD^tn Z САВ-т Z DAB. Два угла называются смежными, если они выглядят, как! на этом рисунке: BAD Точнее: имеем следующее Определение Если А В и AD— противоположные лучи, а АС — некоторый другой луч, то ABAC и Z.CAD называются смежными. В следующем определении речь идет исключительно о мере углов, в нем ничего не говорится о расположении углов, столь существенном для определения смежных углов. Определение Если сумма мер двух углов равна 180, то эти углы называв ются по по л нительн ы^м и, а каждый из них называется η о- полнением другого. r+s=180 Углы могут оказаться смежными, и в этом случае они всегда являются пополнительными: Аксиома 14 (аксиома пополнения) Если два угла являются смежными, то они пополнительны. Эти аксиомы можно для краткости обозначить' буквами АИУ, АПУ, АСУ и АП, возникающими в результате сокращения названий: аксиома измерения углов, аксиома построения углов, аксиома сложения углов и аксиома пополнения. Вы помните, что при обсуждении вопроса об измерении расстояний мы пришли к выводу, что можем выбрать; любую единицу измерения, какую нам будет угодно избрать. При этом 92
ели мы решим изхменить единицу измерения расстояний, то нам нужно будет лишь умножить все расстояния на некоторое число, и все относящиеся к расстояниям' аксиомы при этом останутся силе. Но для меры углов это не верно, потому что аксиома пополнения определяет единицу измерения углов. При нашем определении пополнительных углов аксиома 14 утверждает, что сумма мер двух смежных углов равна 180. Если мы удвоим меру каждого угла или же разделим меру каждого угла на 2, то эта аксиома перестанет выполняться. Задачи к § 3 1. Если т/Л = 63 и т/.В= 117, то ΖА и LB ... углы. % Чему равна мера т Ζ MPS, если на нашем рисунке слева т Ζ QPS — 41 и т Ζ QPM = 37? Какая аксиома подкрепляет ваше заключение? 3. Точки F, Ρ и W на рисунке справа коллинеарны и т Ζ ΧΡΥ = m Ζ ΖΡΥ. a) Назовите две пары смежных углов. b) Назовите три пары пополнительных углов. 4, Дано, что A — K — F и точка D не принадлежат прямой AF. a) Ζ AKD и Ζ FKD являются .... b) m z AKD+tn Z FKD=* .... Какая аксиома существенна для вашего ответа? 5. Прямые GH и PQ на этом рисунке пересекаются, образуя четыре угла. а) Чему равна я, если # = 52? 6 в) Чему равны Ь, с и d, если а= ПО? величХ°'ДЯ И3 следУющего рисунка подсчитайте каждую из названных ниже a) m ζ ЛЯС; b) m Ζ £ΡΖ); с) //2 Ζ GPA; *)т Ζ £>Я£; е) /и Ζ №S; f) m Z APB-j-m ζ £P£; Ki m ζ FPA+m Ζ /7>S; h) m Ζ ЛРС + /П LCPH\ l) rn ζ FPA~m Ζ D/Mi j) m LFPH-m LFPQ, 93
7. С помощью транспортира найдите каждую из следующих величин: а) т L RPS с) т L VPS е) т LXPR g) m L WPS г) т Δ: XPS Ъ) т Ζ VPR\ d) т LTPR; \)т L XPY\ h) m L XP W; j) m L TPR + m L$PW. 8. После некоторой тренировки вы будете в состоянии довольно точно оценивать величину углов и без помощи транспортира. Не пользуясь транспортиром, определите, какие из изображенных на этих рисунках углов имеют меру в указанных границах (подберите для изображенных внизу углов подходящие границы в левом столбце): a) 80 < χ < 955 b) 55 < χ < 70; c) 40 < χ < 60; d)90<*<105; /\χ~ Ι^\*~ е)' 20 < χ <45; f) 110<л:<125. L 9. Пользуясь линейкой без делений и транспортиром, постройте углы, имеющие градусную меру, равную 30, 60, 15, 90, 100 и 135. 10. Пользуясь только линейкой без делений, но не транспортиром, нарисуйте углы, мера которых приблизительно равна 10, 30, 45,60, 90, 120, 135 и 150. Затем с помощью транспортира проверьте, на сколько вы ошиблись. П+. На ребре некоторой полуплоскости возьмите такие точки М9 К и о Л, что М-—А — К- Проведите луч AT так, чтобы было т L ТАК= 35. В той же полуплоскости возьмите луч AV', для которого m L MAV = 85. Измерьте Z. TAV транспортиром. Находится ли полученное вами число в согласий с числом, вычисленным по правилам? 94
2 На этом рисунке 'а) т /.САВ + т LDAC b)m?£EAD + m Ζ DAC с) м Ζ EAD + m Δ DAB 6)m Ζ EAC — m L DAC В С 13. Определите меру пополнения угла, если мера исходного угла равна а) 80; Ь) 48; с) 144; d) 25,5; е)л; f) n + k\ g) 180 —η; h) 90 —я. 14. На этом рисунке a) т Ζ SPR + m Ζ QPO = т L .?. ; b) m Ζ RSQ + tn Ζ .?. = т L RSP; o)m L POQ + m Ζ POS = .}. ; d)m Ζ RSQ~m Ζ SRO = m L .?. ; e)m Ζ ROQ= 180-m Ζ .?. ; f)S0 + 0Q = .?. . 15. Чему равна мера каждого из двух пополнительных углов, если эти углы имеют одинаковые меры? 16. Чему равна мера угла, если она в три раза больше меры пополнения этого угла? 17. Мера некоторого угла на 24 больше меры его пополнения. Найдите меры обоих углов. ' 18*. Удвоенная мера некоторого угла на 30 меньше меры его пополнения, умноженной на пять. Чему равна мера этого угла? 19*. Чему равна мера т Ζ CAB, если т Ζ BAD =65 и т L D4C = 32 (Ζ CAB и Ζ BAD принадлежат одной плоскости)? 20· Прямые ММ и PQ на этом рисунке пересекаются в точке А. Какие аксиомы или определения подкрепляют каждое из следующих утверждений? a) L РАМ и ζ QAM являются смежными, b) Ζ РАМ и ζ QAM пополнительные, c) т Ζ РАМ+т ζ QAM= 180, d)m z.QAM + m z QAM = 180. Γ· Будет ли т Ζ АВС+т Ζ DBC^m Z MAS+m Z MAS, 95 s ^
если т L АВС+т Ζ DBC=180 и т L MAS+m Ζ MAS = 180? Почему? Если мы, кроме того, знаем, что т L DBC=m L NASt то какое можно будет сделать заключение? Почему? Конкурсная задача Обоснуйте следующее утверждение: Если прямая / пересекает две стороны /\АВС в точках D и Ε (причем эти точки отличны от Л, В и С), то прямая / не пересекает третьей стороны этого треугольника. (Указание. Вспомните содержание § 4 гл. 3 и докажите, что точки В и С лежат по одну сторону от прямой /.) § 4. ПРЯМЫЕ УГЛЫ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ, КОНГРУЭНТНЫЕ УГЛЫ Определение Если два смежных угла имеют одну и ту же меру, то каждый из них называется прямым углом. В этом случае в силу аксиомы пополнения г + г= 180. Поэтому с таким же основанием мы можем дать и следующее Определение Прямым углом называется угол, мера которого равна 90. Определение Если лучи АВ и АС образуют прямой угол, то они называются (взаимно) перпендикулярными} что записывается так: АВ±АС. Тем же термином w теми же обозначениями мы пользуемся и в1 хс J 8< 1 > гг.. А С 96
сЛучае замены лучей прямыми или отрезками. Таким образом, если Δ ВАС-прямой угол, то АВ±*АС, . AB±JC, АВ±А£ т. Д. Для ЛК)бых комбинаций прямых, лучей и отрезков. Определения Если сумма мер двух углов равна 90, то эти углы называются дополнительными, а каждый из них называется дополнением другого. Угол, мера которого меньше 90, называется острым. Угол, мера которого больше 90, называется тупым. Определение Два угла, имеющие одну и ту же меру, называются конгруэнтными. Таким образом, £ ABC и Ζ DEF конгруэнтны, если т L АВС^т L DEF. В этом случае мы пишем Сим: L ABC^ Z DEF. вол = произносится так: «конгруэнтен». Ε 97
Заметим, что записи т £ АВС — т £ DEF (равенство чисел!) и Ζ АВСо^ Z. DEF (конгруэнтность углов!) равносильны: они означают в точности одно и то же. Любую из них мы можем свободно заменить другой. Задачи к § 4 (часть 1) *) *) К V β> Прямолинейные отрезки в этой задаче считаются перпендикулярными, если„ они такими кажутся. Отберите на этом рисунке пары перпендикулярных отрезков. Если вы полагаете, что какая-либо пара отрезков не перпендикулярна, то объясните почему. Углы на рисунке имеют указанные меры. a) Назовите пару дополнительных углов. b) Какая аксиома позволяет утверждать, что т/.£>Л (3 = 105? 3. На рисунке точка Μ на прямой А В является вершиной прямого Ζ SMT, a m L ТМВ = 50. a) Назовите пару перпендикулярных лучей, если они здесь есть. b) Назовите пару дополнительных углов, если они здесь есть. c) Назовите пару конгруэнтных углов, если они здесь есть. d) Назовите пару пополнительных углов, если они здесь есть. 4. Точка А служит общим началом двух перпендикулярных лучей А В и АС. Точка D лежит внутри L ВАС, а точка £-" вне этого угла; при этом ЛЗ J. ~АВ* 98
a) Назовите пару дополнительных углов, если они здесь есть. b) Назовите пару пополнительных углов, если они имеются. c) Назовите пару конгруэнтных углов, если они здесь есть. к Дополните каждое предложение так, чтобы оно стало верным. a) Если т L MPS = 39 и т L r#iV = 39, то L MPS ... Ζ ΤΗΝ. b) Пополнение острого угла является ... углом. c) Дополнение острого угла является ... углом. d) Если L ADK-: Δ ВЕН, то меры этих углов .... ,0. Если мера некоторого угла в 2 раза больше меры его дополнения, то чему равны меры каждого из этих углов? 7. Определите меру дополнения угла, мера которого равна а) 20; Ь) 68; с) 46,5; d) η; е) 90 — η; f) 46+п. 8. Чему равна мера некоторого угла, если известно, что мера его пополнения на 39 больше, чем удвоенная мера его дополнения? Если вы не забыли, что означают слова, встречающиеся в следующих теоремах, то легко сообразите, что эти теоремы верны. Теорема 4.1 Если два угла дополнительны, то оба они —острые. Теорема 4.2 Каждый угол конгруэнтен самому себе. (Ясно, что всегда т £ А~т /. А.) Теорема 4.3 Любые два прямых угла конгруэнтны. Теорема 4.4 Если два угла одновременно конгруэнтны и пополнительны, то каждый из них является прямым. (Указание. Поскольку они конгруэнтны, то имеют одну и ту же меру г; покажите, что г должно быть равно 90.) Теорема 4.5 Пополнения конгруэнтных углов конгруэнтны. 99
Другая формулировка. Если 1°. ΔΑ^^Β, 2°. Ζ А и Ζ С пополнительны, 3°. Ζ β и Z, D пополнительны, то 4°. Ζ С о=; Ζ £>· Доказательство. Пусть г~т£А, как указано на рисунке вверху. Запишем остальную часть доказательства так, чтобы вы могли воспользоваться этой записью как образцом, которым можно руководствоваться при самостоятельном доказательстве теорем: Утверждения 1. r-\-m Ζ С=180. 2. r=m Ζ В. 3. г + т ζ£>=180. 4. m Ζ С=180 — r. 5. m Z £ = 180 — r. 6. m Z. C = m LD и ZC~ZD. Аргументы Ζ Л и Ζ С пополнительны. Ζ β и Ζ £> пополнительны. Шаг 1. Шаг 3. Шаги 4 и 5. У такого «двухстолбцового способа» записи доказательств есть свои достоинства. Пользуясь им/ легче организовать работу и легче запомнить, что каждый раз, как только в ходе доказательства сделано какое-либо утверждение, нужно сразу же указать и аргументы, которые его обосновывают. Заметим также, что прежде чем мы приступили к доказательству этой теоремы, мы сформулировали ее по-другому. Этот прием часто будет нам полезен впоследствии. Всякий раз, когда это. возможно, мы будем формулировать теоремы чисто словесно, почти не пользуясь математическими обозначениями или даже совсем обходясь без них. Тогда теоремы будет легче прочесть и легче запомнить. Приводя другую формулировку, мы вводим обозначения, которые будут использованы в доказательстве. На рисунке, приведенном в связи с разобранным доказательством, изображен лишь один весьма частный случай: два угла могут оказаться пополнительными и не будучи расположенными так, что их пополнительность сразу заметна глазу. Пополнительные углы могут выглядеть и так: С Г+3 = 1д0 А V 100
Обычно рисунок только иллюстрирует теорему или задачу. ие нужно думать, что рисунки, имеющиеся в этой книге, в каждом случае являются единственно верными. Теорема 4.6 Пополнения конгруэнтных углов конгруэнтны. Доказательство очень похоже на доказательство теоремы 4.5, и вы должны суметь записать его самостоятельно, пользуясь предыдущим доказательством как образцом. Вы просто обязаны это сделать. Надеемся, что вам поможет приведенный выше рисунок. (Указание. Приведите самостоятельно другую формулировку теоремы.) Если две прямые пересекаются, они образуют четыре угла. На нашем рисунке Ζ 1 и Z. 3 называются вертикальными; 2. 2 и L 4 также называются вертикальными. Иными словами, имеет место Определение Ша угла называются вертикальными, если их стороны состсшляют две пары противоположных лучей. Рассматривая наш рисунок, можно заметить, что вертикальные У лы конгруэнтны. Это и в самом деле всегда так, как показывает следующая 101
Теорема 4.7 (теорема о вертикальных углах) Вертикальные углы конгруэнтны. Доказательство. Нам дано, что £ \ и Ζ 2 — вертикальные углы, т. е. 1°. АС и АЕ — противоположные лучи; АВ и AD— противоположные лучи. Следовательно, 2°. Z1 и Ζ3—-смежные углы и Ζ 2 и Ζ 3 — также смежные углы. 3°. Z3^Z3. 4°. Ζ 1 и Ζ 2 являются пополнениями, конгруэнтных углов. В силу теоремы 4.5 отсюда следует, что 5°. Ζ 1 ^ Ζ 2. Теорема 4,8 Если две пересекающиеся прямые образуют один прямой угол, то они образуют четыре прямых угла. Доказательство. Маленький квадратик около вершины Ζ 1 на этом рисунке указывает, что Ζ 1—прямой угол. Это дано. Нам нужно доказать, что также и Ζ 2, Ζ 3 и Ζ 4 —прямые. Вот главные этапы доказательства. (Вы должны суметь аргументировать каждый этап!) 1°. Ζ 3 — прямой угол. 2°. Ζ 2 и Ζ 1'— пополнительны. 3°. /л Ζ 2 + 90= 180. 4°. Ζ 2 —прямой угол. 5°. Ζ 4— прямой угол. V Существует теорема, на использовании которой основаны наши шаги 1° ц 5°. Основанием для шага 2° послужила одна аксиома, а шаги 3° и 4° основывались на определениях. 102
ДЖОРДЖ ДЭВИД БИРКГОФ (1884—1944) д. Д. Биркгоф был одним из самых разносторонних и продуктивных математиков своего поколения. За время своей жизни он написал сто девяносто научных ста- \ тей, относящихся к раз- ♦ личным областям чистой и прикладной математики. Собрание его трудов занимает три больших тома. Кроме того, он написал несколько % книг по математике и по. теории относительности. Система аксиом геометрии, принятая в этой книге, является видоизменением предложенной Д. Д. Биркгофом системы аксиом. В течение нескольких столетий идея измерения отрезков и углов была центральной идеей геометрии. Аксиомы Биркгофа вводят эту идею с самого начала; они описывают методы, которыми фактически пользуется каждый. Таким образом, хотя аксиомы Биркгофа не принадлежали к числу его самых больших вкладов в науку, они тем не менее многое сделали более ясным. Задачи к § 4 (часть 2) 1. Дано, что Ζ ЛВС ^ Ζ DEH и что Ζ ЛВС и Ζ DEH пополнительны. Какое заключение отсюда следует? Какая аксиома, какое определение или какая теорема подкрепляют это заключение? 2· Если Ζ Ми Ζ К пополнительны, Ζ Ρ и Ζ G пополнительны, a Z G^ Ζ Μ, то что можно сказать об Ζ К и Ζ Ρ? Какое утверждение подкрепляет ваше заключение? 3· Если ζ РЛМ и Ζ МЛ] дополнительны и L /СА/и ζ МЛ J дополнительны, то Ζ KAJ^ ^ Ζ РЛМ. Почему? Mi 103
4 а) Если две прямые пересекаются, то сколько пар вертикальных углов они образуют? b) Если мера одного кз углов задачи а) равна 62, то чему равны меры остальных углов? c) Если все четыре угла задачи а) конгруэнтны, то чему равна мера каждого из них? 5. Три прямые на этом рисунке пересекаются в одной точке. Дано, что а = 85 и е = 30. Найдите Ьу с, d и /. 6. Если один из образованных двумя пересекающимися прямыми углов имеет меру х, то каковы меры трех остальных, образуемых этими прямыми углов? 7. Докажите теорему 4.3. 8. Докажите теорему 4.4. 9+. Дана прямая АВ, отделяющая две полуплоскости Нг и Я2, такая точка Ρ полуплоскости Нъ что т L РАВ — 30. Если Q — точка полуплоскости Я2, для которой L QAB д^ L РАВУ то точка Ρ лежит ... Ζ PAQ и m£PAQ=. .... Если луч AQ противоположен лучу АР, то /, РАВ ... LQAB и т L QAB =.... 10*. Пусть В А и BE— противоположные лучи и в полуплоскости Η (см. рисунок) L ABG^ L KBG L KBD ^ Z DBE. Найдите mL GBD. (Указание т L DBE~y.) Положите т Ζ ABG =* и 11+. Плоскость Ε на этом рисунке пересекает плоскость F по прямой АВ. Обе прямые GH и КМ принадлежат плоскости F и пересекают прямую АВ в * точке Р. a) Назовите две пары вертикальных углов b) Назовите две пары пополнительных углов. с) Если GH _L АВ, то назовите две пары дополнительных углов. 104
12*+. Прямые АВ, QR, GH и KM на этом рисунке пересекаются в точке Р. Прямая QR принадлежит плоскости Е, прямые GH и КМ — плоскости F. — /? Прямая Л£ служит пересечением плос- г/^ б \/У \ \ / костей Ε и F. a) Какие два угла пополнительны к L APG? b) Какие два. угла пополнительны к /.НРМ? 7^ c) Если L BPR^ L KPG, то какие другие углы должны быть конгруэнтны? d) Если L RPG — прямой угол, то какие другие углы должны быть прямыми? § 5. ЗАПИСЬ ТЕОРЕМЫ В ФОРМЕ «ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ — ЗАКЛЮЧЕНИЕ» Каждая теорема является утверждением о том, что если верно что-либо одно, то верно и нечто другое. Например, теорема 4.8 утверждает, что если две пересекающиеся прямые образуют один прямой угол, то они образуют четыре прямых угла. Часть «если» в условии теоремы называется предположением', в ней говорится, что дано. Часть «то» называется заключением теоремы; в ней говорится, что требуется доказать. Поэтому теорему 4.8 мы можем записать следующим образом: Теорема 4.8 Предположение. Прямые 1Х и /2 образуют один прямой угол. Заключение. Прямые 1г и 12 образуют четыре прямых угла. Аналогично, теорему 4.3 можно записать так: Теорема 4.3 Предположение. £ А и Z. В — прямые углы. Заключение. /_A9^LB. Аксиомы похожи на теоремы и отличаются от последних только тем, что они не доказываются. Большую часть аксиом р?жно высказать в той же форме «если ..., то», что и теоремы например, аксиому сложения углов можно записать так: 105
Аксиома 13 (аксиома сложения углов). Предположение. Точка D лежат внутри £ ВАС* Заключение, m Ζ ВАС = т Ζ BAD + m Z. DAC. В некоторых случаях форма «предположение — заключение» неестественна или бесполезна. Например, если мы захотим сказать, что пространство содержит четыре некомпланарные точки, то запись Предположение. S есть, пространство. Заключение. S содержит четыре некомпланарные точки не имеет никаких преимуществ перед более простой формулировкой нашего утверждения, с которой мы начинали. Конечно, вовсе не обязательно, чтобы все теоремы формулировались в форме «предположение — заключение». Независимо от формы, в которой записана теорема, должно быть ясно, что дано и что требуется доказать. По большей части, однако, мы должны быть в состоянии, если захотим, сформулировать теорему в форме «предположение—заключение», так как если мы этого сделать не сможем, то есть основания думать, что мы недостаточно ясно понимаем содержание теоремы. Задачи к § 5 1. Выделите предположение и заключение для каждого из следующих утверждений: a) Если два угла дополнительны, то каждый из них —острый, b) Если а = Ь и b = с, το а = с. c) Если а = Ь, то a-{-c = b-rс. d) Если два угла одновременно конгруэнтны и пополнительны, то каждый из них является прямым. e) Если измерения прямоугольника равны а и Ьу то его площадь равна аЬ. f) Если две плоскости пересекаются, то их пересечение есть прямая. 2. Запишите каждое из следующих утверждений как утверждение вида «Если ..., то ...»: a) Дополнения конгруэнтных углов конгруэнтны. b) Площадь треугольника с высотой а и основанием Ь равна -^ аЪ. c) Пересечение двух плоскостей есть прямая. d) Три неколлинеарные точки принадлежат только одной плоскости. e) Два смежных угла являются пополнительными. § 6. ЗАПИСЬ ПРОСТЫХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ Очень скоро аккуратная запись найденных вами доказательств составит довольно большую часть всей работы над задачами. Поэтому стоит еще немного попрактиковаться в записи легких дока- 106
зательств до того, как в следующей главе мы займемся более трудными. Вероятно, лучший способ показать, как должны выглядеть ваши доказательства, — привести еще несколько примеров. Пример 1. Дано. АЛВС и &ABD (как на рисунке), причем /DAB^LDBA и £CADo* 9+ L CBD. Требуется доказать. £САВд*£СВА.* Док азательство Утверждения 1. т L DAB = m L DBA. 2. т Δ CAD^m L CBD. 3.mZ DAB + m L CAD = =mZ DBA+m L CBD. 4. m LCAB^m L CBA. 5. L CABc^l ζ CBA, Аргументы ДаноГ Дано. Правило сложения равенств. Аксиома сложения углов. Определение конгруэнтности углов. Пример 2. Дано. Точки А, В, С и D (как на рисунке), причем AD=CB. Μ Требуется доказать. AC^DB. Доказательство Утверждения 1 ЛС + CD^AD. 2. CD + DB = CB. 3. AD^CB. 4. AC + CD^CD + DB. 5. AC^DB. Аргументы Определение понятия «между». Определение понятия «между». Дано. Сопоставление равенств шагов 1, 2, 3. Правила вычитания равенств. 107
Пример 3. Дано. Лучи АВ, АС и AD. причем точка С лежит внутри Ζ BAD и т Ζ ВЛС + m Ζ CAD = 90. а в Требуется доказать. AB±_AD. Доказательство Утверждения 11. т Ζ BAC + m Ζ СЛО = 90. 2. т Ζ ВАС + т Ζ CAD = = т Ζ BAD. 3. т Ζ BAD = 90. 4. Ζ BAD-— прямой угол. 5. АВ 1 AD. Аргументы Дано. Аксиома сложения углов. Сопоставление шагов 1 и 2. Определение прямого угла. Определение перпендикулярных лучей. Задачи к § 6 1. Перепишите все нижеследующее и дополните доказательство. Дано. mZ Л = 38 и m Z £ = 52. Требуется доказать. L А дополнителен Ζ В. Доказательство Утверждения 1. т Ζ А =... 2. т Ζ £ = ... 3. т Ζ A+m Ζ £ = ... 4. Ζ Л дополнителен Ζ θ. Аргументы Дано. 2. Перепишите и проведите доказательство. Дано. Рисунок, где PQ = RS. Требуется доказать. PR = = Q5. Ρ a R 5 А\ 108
Перепишите и проведите доказательство. Дано. Рисунок, гдет £САВ=т Ζ СВА и т Ζ DAB^m Ζ DBA. Требуется доказать, m Z CAD = Jm Ζ CBD. 4. Перепишите и дополните доказательство. Дано. Рисунок, где Ζ ΡΜΝ ^ Ζ ΡΝΜ, Требуется доказать. Ζ CMP ^ ^ Ζ DNP. Μ N Доказательство Утверждения \ 1. Ζ CMP пополнителен Ζ ΡΜΝ. 2. Ζ. DNP ... 3. ... 4. ζ CMP ~ Ζ DNP. Аргументы Смежные углы пополнительны. Дано. 5. Перепишите и проведите доказательство. Дано. Рисунок, где Ζ DBC^ Z ECB. Требуется доказать. Ζ АВСд^ Ζ АСВ. 6· Перепишите и приведите аргументы. Дано. Прямые А В, CD и EF пересекаются в т°чке К; а = с. Требуется док азать. Ь — с. ъА 04 а 109
Доказательство 1 Утверждения 1. Прямые ~АВ и ΈΡ пересекаются в точке К» 2. Ζ АКЕ vl Ζ ВKF — вертикальные углы. 3. Δ АКЕ д^ Δ BKF. 4. α = 6. 5. а—с. 6. Ь = с. Аргументы 7. Перепишите и проведите доказательство. Дано. Рисунок, где Ζ ABC^ Ζ ЛСБ. Требуется доказать. __ ζ DBF ^ 8. Перепишите и докажите. Дано. Д75_1_ЛЗи\/ £ЛС Q Требуется доказать. Ζ ОДЕ. Ζ 1)ЛС^ Вопросы и задачи для повторения В задачах 1 —15 дополните каждое из приведенных утверждений. 1. Каждому углу соответствует некоторое действительное число, заключенное между ... и ..., называемое мерой этого угла. 2. Инструмент, используемый для измерения углов, называется ..... 3. Если сумма мер двух углов равна 90, то каждый из этих углов называется ... другого. 4. Угол, мера которого меньше 90, называется .... 5. Угол, мера которого больше 90, называется .... 6. Два угла, образованные объединением двух противоположных лучей и некоторого третьего луча, имеющего то же начало, называются .... 7. Углы, имеющие равные меры, называются ... углами. 110
с Каждый из двух дополнительных углов должен быть .... о Если два угла конгруэнтны, то их пополнения 10. Каждый из двух одновременно конгруэнтных и пополнительных углов 'должен быть .... 11. Каждый треугольник имеет ... стороны и ... угла; ему принадлежат ... треугольника, но не принадлежат ... треугольника. 12. Сумма мер двух дополнительных углов равна ..., а сумма мер двух пополнительных углов равна —- 13. Сумма мер двух ... углов всегда меньше, чем 180, а сумма мер двух ... углов всегда меньше, чем .... 14. Если стороны двух углов являются противоположными лучами, то эти ' углы называются .... 15. Точка Μ лежит внутри Ζ GHK, если точки Μ и ... лежат по одну сто- рону от Η К и если точки Μ и ... лежат по одну сторону от Задачи 16 — 25 относятся к следующему рисунку (На этом рисунке точки, которые кажутся коллинеарными, и на самом деле коллинеарны.) 16. Сколько на этом рисунке треугольников? 17. Верно ли, что т Ζ BFC=m Ζ EFD? 18. Верно ли, что Ζ BFC = Ζ EFD? 19. Верно ли, что Ζ FDB^ Ζ EQC? 20. Назовите угол, пополнительный к Ζ ABF. 21. т Ζ AGB+m Ζ BGF = ... 22. т L GFC + m ADFE = ... 23. Назовите пару вертикальных углов. 24. Если Ζ GBF дополнителен Ζ FBE, то отрезки GB и ЕЁ должны быть .... 25. Сколько углов имеется на этом рисунке? 26. Мера некоторого угла в пять раз больше меры его дополнения. Найдите меру каждого из этих углов. 27. Мера пополнения некоторого угла в пять раз больше меры дополнения этого угла. Найдите меру этого угла. 28. Всегда ли сумма мер двух углов равна мере некоторого третьего угла? Объясните. 29. На рисунке луч 5Ϊ противоположен лучу GE и GE J_ GC, Дополните доказательство того, что Ζ AGE дополнителен ζ EGC. Ill
Доказательство Утверждения 1. Луч GA противоположен лучу GE. 2. Ζ AGB пополнителен Ζ BGE. · 3. т Ζ AGB+m Ζ BGE = 180. 4. СВ 1 GC 5. m Ζ BGC = 90. 6. /я Ζ BGE = m Ζ ЯСС+ 90. 7. /τι Ζ ЛбЛ + m Ζ Я(/С + 90 = = 180. 8. m Ζ Л(/Б+т Ζ EGC = 90. 9. Ζ AGB дополнителен Ζ £GC. Аргументы Аксиома пополнения. Определения перпендикулярности и прямого угла. Подстановка шага 6> в шаг 3. ... ... 30. Пусть А В и Л С —противоположные лучи. Точки Е, F и Я лежат по одну и ту же сторону от прямой АВ Точки Ε и Η лежат по противоположные стороны от прямой ВР. Точки А и Η лежат по одну сторону от прямой IsF. Далее, ~BF ± АС и BE ± ВН, a т Z FBE = 20. Сделайте рисунок и найдите: а) т Ζ ££Л; b) m Z /?£#; с) m Z EBC. 31. Существует ли в плоскости треугольника такая точка, которая не лежит ни вне, ни внутри как самого треугольника, так и каждого из его углов? 32. Дан Д ABC и точка Ρ в той же плоскости Точки Ρ и А лежат по одну сторону Ът ВС Точки Ρ и В лежат по одну сторону от АС. a) Внутри какого угла лежит точка Я? b) Должна ли точка Ρ лежать внутри Δ ABC? 33. Если вам дано, что Ζ а дополнителен Ζ у> a Z Ь дополнителен Ζ χ и Ζ # = Ly, то какую аксиому или теорему вы, использовали бы для доказательства того, что Ζ я = Ζ Ы 34. Верно ли следующее утверждение? Если прямые PQ и RS пересекаются в точке О, то Ζ POR ^ Z QOS 35. Дано. Прямые АВ, CD, PQ и RS лежат в плоскости £ и пересекаются в точке О, при этом CD J_ АВ. Дополните доказательство того, что b+g+d=a W2
Доказательство. Дважды применяя АСУ, имеем т Ζ СОВ = 6 + с + d. Но так как CD ..., то т Ζ СОВ = а. Поэтому а = .... Но Ζ POR и ... являются ... углами, так что с = .... Подставляя g вместо с, заключаем, что — 46 Является ли следующее утверждение правильной переформулировкой акси- " омы построения углов: Если даны луч RS и число k, заключенное между 0 и 180, то существует ровно один такой луч RP, что т Ζ SRP = k. я? Дано. Рисунок, где BE ± АС и 2abgq^lcbd. Требуется доказать. Δ GBE ^ ~L DBE. 38. На левом рисунке Ζ 2 и Ζ 3 —пополнительные углы. Докажите, что Ζ 1 = Ζ 4. В 39. Докажите, что если на рисунке справа Ζ &= Ζ с, το?Ζ α = Ζ d. 40. Л — В — С на прямой /. Точки D и Ε лежат по противоположные стороны от прямой /, причем расположены так, что, проведя лучи Ш) и ££, получаем ζ CBD ^ Ζ С BE. Доказать, что т Ζ ABD^m Z Л££. ли ... , то ...», следу- 41. Джим и Джордж должны были записать в форме «Если ющее утверждение: «Две пересекающиеся прямые пересекаются только в одной точке». Джордж написал: «Если Р —точка, то прямые 1г и /2 пересекаются только в Я». Джим написал: «Прямые /х и 42 пересекаются только в одной точке, если °ни пересекаются и различны». Прав ли какой-нибудь из мальчиков? 42- ♦ Если О А, О В и ОС — три различных луча на плоскости, никакие два из которых не противоположны, то верно или ошибочно каждое из следующих утверждений? a) т ζ АОВ + т ζ ВОС^т Ζ АОС. b) tn ζ АОВ + т Ζ ВОС + т Ζ ЛОС = 360. (оспомните, что достаточно только одного исключения, чтобы все утверждение оказалось ошибочным.) ИЗ
43+. Можно ли внутренность треугольника определить как пересечение трех полуплоскостей? Сделайте рисунок. Запишите определение внутренности Δ ЛВС, считая, что X — произвольная точка внутри /\АВС. (Сошлитесь на определение внутренности угла, данное в § 1.) 44+. Определяется ли внутренность Δ ЛВС полностью пересечением внутренностей любых двух углов этого треугольника? Сделайте рисунок и сформу- лируйте определение. Равносильны ли предыдущие определения? 45*+. Объясните, почему верно следующее утвержде- д ние. Если прямая / пересекает Δ ЛВС в точке D такой, что Λ — D — B, и / не пересекает ВС, то прямая / долж'на пересечь отрезок АС в такой точке Е, что А-Е-С. •ь
КОНГРУЭНТНОСТЬ \ *w
§ \. ИДЕЯ КОНГРУЭНТНОСТИ Грубо говоря, две геометрические фигуры конгруэнтны, если они имеют в точности один и тот же размер и одну и ту же форму. Например, все треугольники на этом рисунке конгруэнтны. В F Н Один из способов описать эту ситуацию состоит в следующем. Конгруэнтность изображенных на нашем рисунке треугольников означает, что любой из них можно так наложить на любой другой, что они полностью совпадут. Поэтому для того, чтобы разъяснить смысл утверждения о конгруэнтности двух треугольников, нам нужно объяснить, какие точки куда должны переходить. Например, накладывая /\АВС на /\DFE, мы должны совместить вершину А с £, вершину В с F и вершину С с D. Пары соответствующих вершин можно выписать столбиком: А ++Е, B++F, C++D. Чтобы выразить конгруэнтность первого треугольника и третьего, нужно сопоставить их вершины так: A++G, В++Н, Как бы вы сопоставили вершины, чтобы выразить конгруэнтность второго и третьего треугольников? Схема сопоставления такого рода точек устанавливает взаимно-однозначное соответствие между вершинами двух треугольников. Если такая схема «работает», т. е. если треугольники совпадают, когда их вершины предписанным образом совмещены, то 9то взаимно-однозначное соответствие называется конгруэнтностью, связывающей два данных треугольника. Например, соответствия, к°торые мы только что выписала, были конгруэнтностями. С дру- г°и стороны, запись С++Е 117
определяет взаимно-однозначное соответствие, но не конгруэнтность потому что первый и второй треугольники при сопоставлении их вершин по этой схеме не совпадут. Это соответствие приведет к& многим несуразностям: отрезок АВ слишком короток, чтобы нало- житься на FD, отрезок АС слишком длинен, чтобы совпасть с FE и т. д. Взаимно-однозначные соответствия можно записывать короче- в одну строку. Например, соответствие А В С< *Е9 >F9 А составляющее содержание первого из разобранных нами примеров, можно записать в одну строку так: ABC++EFD. При этом следует условиться, что первая буква слева соответствует первой букве справа, вторая буква — второй и третья — третьей: ABC ι η Ε F D J Jt Приведем еще один пример. Две фигуры на следующем рисунке имеют один и тот же размер и одну и ту же форму. Чтобы показать, как одну из них можно наложить на другую, их вершины нужно сопоставить так: A~F9 В++Е, С++Н, 118
от0 соответствие является конгруэнтностью, т. е. если вершины совместить указанным способом, то фигуры полностью совпадут. Для краткости ато соответствие можно записать в одну строку: ABCD++FEHG. Заметим, что порядок, в котором записаны сопоставляемые пары, значения не имеет. Наш перечень сопоставляемых пар можно было бы записать и так: D++G, В<+Еу С <-> Н, A++F, и наше взаимно-однозначное соответствие можно было бы записать в одну строку так: DBCA <-* GEHF. Единственное, что существенно,—это то, какие точки соответствуют друг другу, А D Две фигуры могут быть конгруэнтны и не одним единственным способом. На этом рисунке соответствие ABC++FDE является конгруэнтностью, а соответствие ABC *+FED второй конгруэнтностью между теми же двумя треугольниками. Очевидно, что Δ ABC совпадает с самим собой; для того чтобы наложить /\АВС на /\АВС, его не надо двигать. Если мы условимся каждой вершине Δ ABC ставить в соответствие ту же вершину, то получим конгруэнтность ABC *+ABC. ^на называется тождественной конгруэнтностью. Но сопоставить Вершины этого треугольника можно и по-другому. При соответствии Вершины В и С меняются местами, а треугольник совпадает с Самим собой. Ясно, что такая конгруэнтность возможна далеко не Всегда; она никак не может иметь места, если у треугольника ет Хотя бы двух сторон, имеющих одну и ту же длину. 119
Задачи к § 1 В некоторых из нижеследующих задач вам надо решить, конгруэнтны ли две данные фигуры, внимательно изучив рисунок, на котором они изображены. При этом фигуры, которые кажутся конгруэнтными при измерении их с разум, ной степенью точности, можно считать конгруэнтными. (Никаких обманов зрения эти рисунки не содержат.) 1. Какие из следующих пар фигур конгруэнтны? е) ^37 ιθ /pi W ж) з) 2. Для какой из этих фигур нельзя на том же рисунке подобрать конгруэнт-j ную ей фигуру? 5) 120
Взгляните на фигуры, изображенные ниже. Выпишите столько конгруэнтностей между ними, сколько вам удастся отыскать. Здесь нужно найти шесть конгруэнтностей (не считая тождественной конгруэнтности, сопоставляющей каждую из фигур саму с собой, но учитывая нетождественную конгруэнтность между произвольным треугольником и им самим, существующую в том случае, когда у этого треугольника есть две конгруэнтные стороны). Вот одна из конгруэнтностей: АСВ+-+ LMN. Сделайте то же, что и в задаче 3, Для следующих фигур: 5 5· а) Конгруэнтна ли любая фигура сама себе? Ч Если каждая из двух фигур конгруэнтна третьей, то конгруэнтны ли °ни между собой? с) Конгруэнтны ли стороны квадрата? Ч Конгруэнтны ли стороны прямоугольника? ч Конгруэнтны ли две противоположные грани куба? ч Конгруэнтны ли две смежные грани куба? S) Конгруэнтны ли две противоположные грани прямоугольного бруса, имеющего форму кирпича? ") Конгруэнтны ли две смежные грани кирпича? 121
6. Треугольники каждой из следующих пар треугольников конгруэнтны. gbN пишите конгруэнтности v для каждой из этих пар. (Вот первая конгруэнт* ность: AED^BEC.) 7. При каких условиях следуюнще пары фигур будут конгруэнтны? а) Два отрезка. Ь) Две прямые. с) Два угла, d) Две окружности. е) Два квадрата. 1) Два треугольника. 8+. Рассмотрим пятиугольную звезду ABCDE. Выпишите все конгруэнтности, сопоставляющие этой звезде ее саму, начиная с (тождественной) конгруэнтности ABCDE^ABCDE. 9+. Δ ABC — равносторонний треугольник, т. е. АВ = ВС = АС. Выпишите все конгруэнтности, сопоставляющие этому треугольнику его самого, начиная с (тождественной) конгруэнтности ABC ^ ABC. (Их больше четырех.) 122
tn* Какие из изображенных на рисунке плоских фигур мотут быть наложены одяа на другую? Для каждой совместимой пары скажите, нужно ли, для того чтобы совместить фигуры, повернуть их в пространстве, или достаточно поворачивать их в плоскости, или можно даже передвигать фигуры в плоскости не поворачивая их? а) . I 1 1 I 1 δ) J I ι " ι- ■ ι Ι ι в) i г) д) е) 11*. Какие из изображенных на рисунке тел конгруэнтны? Ρ «) А И в)· ^ ·) .Допустим, что изображенный внизу орнаментальный фриз* как и прямая, бесконечно простирается в обе стороны. Рассмотрим горизонтальный сдвиг Фриза,^ переводящий каждое острие в следующее острие на той же стороне прямой. Хочется сказать, что этот сдвиг порождает некоторую конгруэнтность, совмещающую (бесконечный) фриз сам с собой. s\\\\W -- а) Опишите сдвиги различного типа, которые будут порождать конгруэнтности, совмещающие фриз с самим собой. Сколько таких конгруэнтно- стей существует? 123
ι— ι— ι— ι— ι— ι— _J _J _J _J _l _l— b) Опишите два типа сдвигов, порождающих конгруэнтности, совмещающие изображенный ниже фриз с самим собой. § 2. КОНГРУЭНТНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНИКОВ В предыдущем параграфе мы не формально объяснили идею конгруэнаности. Дадим теперь несколько точных определений, которые позволят нам математически обработать эту идею. Для углов и отрезков легко точно сказать, что мы имеем в виду: Определения Углы конгруэнтны, если они имеют одну и ту же меру. Отрезки конгруэнтны, если они имеют одну и туже длину. Конечно, первое из этих определений является повторением определения из § 4 гл. 4. Очевидно, что имеет место Теорема 5. 1 Каждый отрезок конгруэнтен самому себе. Доказательство тривиально, так как отрезок имеет ту же длину, что и он сам. В последующих доказательствах мы будем обозначать фигурирующую в этой теореме конгруэнтность терми-г ном тождественная конгруэнтность. Точно так же, как мы пишем £ А^ £ В, чтобы указать, что конгруэнтны углы /.А и Ζ £, условимся писать ABg^CD, чтобы указать, что конгруэнтны отрезки АВ и CD. Таким образом, ASg^CD означает, что ЛВ = СД Ζ Α ^ Ζ В означает, что т Ζ Л = m Ζ В. Каждое из равенств справа связывает два числа. Каждая из конгруэнтностей слева, связывает две геометрические фигуры. Мы не связываем обозначения геометрических фигур знаком —* если не убеждены, что эти две фигуры в точности совпадают 124
/являются одной фигурой) —а случаи такого рода чрезвычайно редки. Один такой пример показан на рисунке,, Здесь законно написать Ζ ВАС=- £EADy потому что Ζ ВАС и Z. EAD не только конгруэнтны; Ζ ВАС и l_EAD— это точно один и тот же угол, так что связывающая £ ВАС и Z. EAD конгруэнтность — тождественная. Аналогично, ~АВ и В А — всегда точно один и тот/же отрезок и потому законно не только писать АВ^ВА, но даже и АВ = ВА. Рассмотрим теперь соответствие ABC++DEF между вершинами двух треугольников: Д ABC и Д DEF. Оно автоматически устанавливает и соответствие сторон этих треугольников: Тв*+~ШУ AC++~DF, ~BC^W, и> кроме того, соответствие их углов: LA- LB LC- LD, ΔΕ, Ζ/7· теперь мы можем сформулировать определение конгруэнтности, бывающей два треугольника. 125
Определение Пусть дано соответствие ABC++DEF между вершинами двух треугольников. Если конгруэнтна каждая пара соответствующих сторон и каждая пара соответствующих углов, то соответствие ABC<->DEF называется конгруэнтностью, связывающей два данных треугольника. Когда мы пишем [\ABC^/\DEF, мы подразумеваем, что соответствие ABC++DEF является конгруэнтностью. Это очень хорошее сокращение: короткая запись /\ABC^/\DEF информирует* нас сразу о шести фактах, а именно о том> что iB^JDE, или AB = DE, ACg^DF, ВС^Щ ΔΑς^ΑΟ, ΔΒ^ΑΕ, LC<^LFy или или или или или AC = DFf BC = EFt т Ζ, Л = m Δ D, mΔB = mΔ Εу т £ С = т Ζ. F. В каждой из этих шести строчек конгруэнтность слева означает то же, что и равенство справа. Поэтом^ мы можем пользоваться любой из этих форм записи в зависимости от обстоятельств. Обычно мы будем писать -AB = DE вместо ABo^DE, так как первая запись проще. По той же причине мы будем чаще писать Ζ, ^ = Ζ £> а не т £ А=т ^D. На рисунках конгруэнтность, связывающую отрезки или углы, удобно указывать пометками, как это сделано на рисунке. В этом случае шесть конгруэнтностей, указанных пометками, сообщают нам, что AABC^ADEF. На следующем рисунке пометки сообщают нам меньше; Я" в самом деле, довольно легко усмотреть, что эти два треуголь- 126
ника не конгруэнтны ни при каком соответствии их вершин. В некоторых случаях нам может быть дана лишь часть информации, заключающейся в утверждении о конгруэнтности двух треугольников, и мы все равно сумеем установить, что какое-то определенное соответствие вершин треугольников является конгруэнтностью. Так, рисунок внизу указывает, что при соответствии ABC^-^DEF все три пары соответствующих сторон треугольников ABC и DEF и две из трех пар соответствующих углов конгруэнтны. Отсюда, конечно, должно следовать, что и Z, С = Z. F, так что /\ABC^/\DEF. А фактически мы должны уметь приходить к тому же заключению, обладая еще меньшими знаниями. В последней группе задач к § 2 вы найдете условия, при которых можно утверждать, что некоторое соответствие между двумя треугольниками является конгруэнтностью. Как вы увидите, факты этого рода нетрудно изображать на рисунках. Определения Говорят, что сторона треугольника заключена между углами этого треугольника, вершины которых являются концами Рассматриваемой стороны. Говорят, что угол треугольника заключен между „сторонами этого треугольника, принадлежащими сторонам данного угла. Например, в изображенном выше /\АВС сторона АС заклю- чена между £ А и £С9 a £ А заключен между АВ и АС. 127
Задачи к § 2 1. Дано, что Л АВЕ^- Л DCF. Дополните следующие утверждения, вписав пропущенные символы. Соответствие А ... <-*. энтностью. CF является конгру- Δ Α^Δϋ. Δ вд*.... ΔΕ9*.... АВд^... ш^... ЯЁ^... Дано, что Д MQP ^ Δ NQP. Перечислите шесть пар конгруэнтных друг другу элементов (сторон, углов) этих двух треугольников. 3. Для каждой из конгруэнтностей перечислите шесть пар конгруэнтных элементов треугольников. a) Δ RQF ~ Δ ΑΒΧ. (Если хотите, можете сделать набросок этих треугольников.) b) £\EHW = &MRK- (Не пользуйтесь рисунком.) c) Δ AZW £= Δ BWZ. (Не пользуйтесь рисунком.) 4. Выпишите связывающую два треугольника конгруэнтность, которая определяется следующими шестью парами конгруэнтностей, связывающих элементы треугольников: AK9^BW; AT^BR\ LAg^LB. LKg+LW. 5. а) Какой угол в Δ ABC заключен между сторонами ВС и АВ7 b) Какая сторона заключена между Ζ А и Δ В"? c) Между какими сторонами заключен Δ С? q d) Между какими углами заключена сторона ВС? 128
ge Рассмотрим Δ GHK. Не можете ли вы придумать простой метод, позволявший, не делая чертежа, определить, какие стороны и углы заключены между какими углами и сторонами? a) Заключен ли Ζ Я между GH и Я/С? b) Заключена ли сторона С/С между Ζ G и Ζ /С? c) Какой угол заключен между GH и С/С? d) Какая сторона заключена между Δ G и Ζ Я? (Замечание. В задачах 7—13 для построения углов и отрезков нужно пользоваться масштабной линейкой и транспортиром.) 7. Постройте Δ RST, у которого RS = 5 см, RT = 3 ел* и /я Ζ # = 35. 8. Постройте Δ ЛЯС, у которого АВ = 4 см, т Ζ Л = 45 и m Ζ θ = 60. Если построить несколько треугольников ABC с теми же данными, то как будут соотноситься эти треугольники? 9. Постройте /±MNP, у которого MN = 6 см, NP = 4 см'и РМ=*7 см. Для того чтобы закончить построение, вам может потребоваться циркуль. 10. Пользуясь одной лишь линейкой, постройте треугольник, никакие две стороны которого не конгруэнтны. Затем постройте второй треугольник, конгруэнтный первому, и опишите шаги, которые вы сделали. Существует лишь один способ построения второго треугольника по первому или несколько? Сколькими из шести элементов первого треугольника вы воспользовались при построении второго? Каково наименьшее число попарно конгруэнтных элементов, необходимое, чтобы гарантировать конгруэнтность самих треугольников? И. Постройте Is ABC, у которого т Ζ Л =40, АС = 6 см и С£ = 4 см. Затем постройте ADEF, у которого т Ζ D —40, DF — 6 см и /?£ = 4 см. Обязательно ли Δ ЛВС и /\DEF конгруэнтны? 12. В задаче 8 вы должны были прийти к заключению, что все треугольники ABC, меры некоторых элементов (сторон, углов) которых известны, конгруэнтны между собой, т. е. все соответствующие их элементы конгруэнтны. В случае, когда это верно, мы будем говорить, что три данных элемента определяют треугольник. В задаче 11 вы должны были найти два неконгруэнтных треугольника, три элемента которых имеют заданные меры. А задача 7 —допускает ли она один треугольник в качестве решения или больше?1) А задача 9? Можно ли указать такие меры углов и отрезков, которые не задавали бы ни одного треугольника? 13*. Постройте треугольник, определяемый каждой системой заданных ниже мер; если заданные числа допускают два треугольника, то постройте их оба. Если можно построить больше двух треугольников или нельзя построить ни одного, то объясните почему: 1) Тут авторы допускают некоторую непоследовательность, считая все (беспечно много различных!) конгруэнтные треугольники одним решением задачи, что противоречит подчеркнутому отказу от использования знака = для оозначения конгруэнтности Более согласовалась бы с установками книги в едУюЩая (к сожалению, громоздкая) формулировка: допускает ли задача 7 качестве решения один класс конгруэнтных треугольников или больше? 129
a) m L Μ = 30, MO = 2, m Δ Ο = 90; b) m 21 β = 55, ЛБ = 5, БС = 3; c) м L G = 35, G# = 6, ЯУ == 4; d) Л£ = 5, £С = 3, ЛС — 4; e)mZM = 80, MO = 2, m Ζ Ο = 120- ί) DE = S, £/? = 3, 0^ = 4; g) DE^A, DF = 8, m Δ D = 60; h) m Ζ Л == 70, mZ5 = 60, m Ζ С = 50. 14*. а) Д Л£С и Δ DEF не пересекаются, и точка Μ лежит между β и С. Каким из двух символов — = или ^ — нужно заполнить пропуски, чтобы каждое из следующих предложений превратилось в осмысленное и по возможности верное утверждение? Ϊ) А ЛВС ... &DEF\ II) т L В ... т 1Е\ III) ВС ... EF; IV) ЛЯ ... Ш\ V) ΔΕ ... ZF; VI) L ЛВМ ... L ЛБС; VII) т L ЛВМ ... т L DEF\ VIII) ЛЯ ... DE. b) В какой из строчек I) —VIII) имели бы смысл оба символа: = и сы ? c) Если бы А В был тем же самым отрезком, что и DE, а точки С \\ F были бы различны, то в какой строчке символ ^ заменился бы символом = ? 15*. Дан А ЛВС. Если д ЛВС ^ Δ ВЛС и Δ ЛВС ^ Δ АСВ, то какое заключение можно сделать относительно Д ЛВС? Как вы докажете, что ваше заключение справедливо? 16*. Дано, что PC JL КМ, причем К — Р — М. Точки Л и Б лежат по ту же сто- рону от КМ, что и С, но точки Л и В лежат по противоположные стороны от PC. Точка Л лежит по ту же сторону от PC, что и /С, и Δ АС Ρ ^ Δ ВСР. Докажите, что Δ ΚΡΑ ^ Δ MP В. 17*. Если Δ ЛВС ^ Δ DEF и Δ DEF ^ Δ GHK, то какое заключение можно сделать относительно Δ ABC и Δ GHK? Как вы докажете, что ваше заключение справедливо? Сформулируйте теорему, обобщающую эту ситуацию. Конкурсная задача Отношение эквивалентности определяется как отношение #, связывающее пары элементов некоторого множества и обладающее следующими свойствами: Если а, Ь и с —любые элементы данного множества, то (0 а * а (рефлективность), (и),Если а # Ь, то Ь * а (симметричность). (iii) Если йй и Ьс, τοβ*ο (транзитивность). Применяя это определение, нужно звездочку (*) заменять данным отношением. Рассмотрим, например, отношение: «имеет то же место рождения, что и», связывающее элементы множества всех людей и указывающее, что данные два человека родились в одном и том же родильном доме. Мы будем иметь: (ί) а имеет то же место рождения, что и а. 130
(it) Если а имеет то же место рождения, что и 6, то и Ь имеет то же место рождения, что и а. (Ш) Если а имеет то же место рождения, что и Ь> а Ь имеет то же место 'рождения, что и с, то а имеет то же место рождения, что и с. Поскольку все эти утверждения верны, мы говорим, что наше отношение является отношением эквивалентности. a) Показать, что конгруэнтность треугольников является отношением эквивалентности. Вам нужно объяснить, почему верно каждое из трех указанных утверждений. В своем доказательстве вы можете использовать задачу 17. b) Для каждого из следующих отношений выберите подходящее множество, пары элементов которого оно связывает, а затем определите, какие из этих отношений являются отношениями эквивалентности: «меньше, чем», «равно», «обратно», «является одноклассником», «проживает в том же городе, что и», «выше, чем», «ходит быстрее, чем», «такой же мокрый, как». § 3. АКСИОМЫ КОНГРУЭНТНОСТИ ТРЕУГОЛЬНИКОВ Как вы уже, несомненно, сами заметили, существует, по крайней мере, три ситуации, когда мы можем сделать заключение, что некоторое соответствие между двумя треугольниками является конгруэнтностью. В первом случае соответствие ABC — DEF называется СУС- соответствием; под этим мы подразумеваем, что две стороны и заключенный между ними угол первого треугольника конгруэнтны соответствующим элементам второго. (Буквы «СУС» заменяют слова «сторона, угол, сторона».) Из этих условий следует, что /\АВС<^. ^/\DEF, СУС Во втором случае соответствие ABC ~ DEF называется УСУ* соответствием; под этим мы подразумеваем, что два угла и заключенная между ними сторона первого треугольника конгруэнтны соответствующим элементам второго. (Буквы «УСУ» заменяют слова «угол, сторона, угол».) И из этих условий следует, что AABC^ADEF. 131
Наконец, в третьем случае соответствие ABC — DEF называется ССС-соответствием; под этим мы подразумеваем, что все три стороны первого треугольника конгруэнтны соответствующим сторонам второго. (Буквы «ССС» заменяют слова «сторона, сторона, сторона».) И здесь мы должны иметь /\АВС^ /\DEF. Мы придадим этим наблюдениям формальный характер, зафиксировав их в следующих аксиомах: Аксиома 15 (СУС-аксиома) Каждое СУС-coomeemcmeue является конгруэнтностью. Аксиома 16 (УСУ-аксиома) Каждое У СУ-соответствие является конгруэнтностью. Аксиома 17 (ССС-аксиома) Каждое ССС-соответствие является конгруэнтностью. Эти аксиомы мы чаще всего будем применять к соответствиям между двумя различными треугольниками. Однако мы видели, что в некоторых случаях можно установить также (нетождественное) соответствие между треугольником и им самим, наши три аксиомы применимы и в таких случаях. Таким образом, СУС-аксиому можно проиллюстрировать так: aABC^uDEF но также и так; 132
здесь пометки говорят нам, что соответствие ABC — АСВ есть СУС-соответствие. Поэтому мы можем применить СУС-аксиому и заключить, что ААВСд^ААСВ. ЛАВС=ААСВ Предостережение. Такой вещи, как ССУ-аксиома, не существует! Соответствие ABC *- DEF на этом рисунке является «ССУ-соот- ветствием»: две стороны и не заключенный между ними угол /\АВС конгруэнтны соответствующим элементам /\DEF. Но это соответствие, очевидно, конгруэнтностью не является. И в самом деле, сторона DF слишком длинна, £ Ε слишком велик, a L F слишком мал Конечно, из того, что равны соответствующие углы, следует только, что два треугольника имеют одну и ту же форму; они не обязаны иметь один и тот же размер. Треугольники, связанные таким образом (связанные" «УУУ-со- ответствием»), называются подобными. Начиная с этого момента мы для краткости часто будем ссылаться на наши три аксиомы просто как на СУСУ УСУ и ССС. Задачи к § 3 1· В каждой из изображенных на рисунке пар треугольников конгруэнтные элементы треугольников указаны пометками. Какие треугольники конгруэнтны по СУС-аксиоме? 133
2. В каждой из изображенных на следующей странице пар треугольников конгруэнтные элементы указаны пометками. Назовите, если это возможно, аксиому конгруэнтности (СУС, УСУ или CCC)f из которой следует, что соответствующие треугольники конгруэнтны. § 4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПОСТАРАЙТЕСЬ ПРИДУМАТЬ САМИ! Теперь у вас имеется достаточно материала, чтобы на его базе можно было самостоятельно проводить подлинные геометрические доказательства. Начиная с этого момента придумывание собственных доказательств составит очень важную часть вашей работы, и, может быть, это покажется вам. более занимательным, чем разбирать придуманные другими доказательства. Приведем пару примеров, чтобы показать, как поступают, когда стараются найти доказательство, и как его записывают. Пример 1. Если два отрезка делят друг, друга пополам, то отрезки, соединяющие концы данных отрезков, конгруэнтны. Приступая к решению такого рода задачи, прежде всего нужно сделать рисунок и обозначить каждую вершину какой-нибудь прописной буквой. Затем нужно сформулировать предположение и заключение в принятых вами обозначениях. 134
*) 3) Дано. Отрезки AR и ВН делят друг друга пополам β точке F. Требуется доказать. AB^RH. Укажем пометками на рисунке конгруэнтности, которые нам заданы. Затем, как обычно, разделим лист бумаги на два столбца и напишем заглавия: «утверждения» и «аргументы». (Все ЗТ0> разумеется, окажется ни к чему, если мы не сумеем пРидумать доказательство, которое можно будет записать в этих Щх столбцах.) 135
Η Так как наша цель — доказать, что два определенных отрезка конгруэнтны, то вспомним, что мы знаем о конгруэнтных отрезках Пометки на рисунке указывают, что FB = FH, и в силу определения середины отрезка это действительно так. По той причине и AF^RF. Если мы хотим доказать, что AB^RH, то больше всего шансов это сделать, показав, что эти отрезки являются соответствующими сторонами двух конгруэнтных треугольников. Для этого между треугольниками, изображенными на нашем рисунке, нужно установить некоторое соответствие, а затем показать, что мы имеем СУС-соответствие, УСУ-соответствие или ССС-сс- ответствие. Из рисунка видно, что это должно быть соответствие AFB++RFH. Две пары сторон конгруэнтны, так как 'A'F^RF иТЪ^ТН. А как обстоит дело с заключенными между ними углами? Если бы оказались конгруэнтными и они, то мы могли бы применить СУС-аксиому. Но они и в самом деле конгруэнтны, потому что эти углы являются вертикальными. Значит, по СУС-аксиоме наше соответствие является конгруэнтностью. Отрезки А В к RH служат соответствующими сторонами и потому конгруэнтны. Именно это мы и хотели доказать. В форме записи в два столбца наше доказательство будет выглядеть примерно так: Дано. Отрезки AR и ВН делят друг друга пополам β точке F. Требуется доказать. AB±_RH. н А^· 1 ι / ' 1 -^/? В 136
Доказательство Утверждения 1. Отрезки AR и ВН делят друг друга пополам. 2. AF=RF. 3. FB = FH. 4. L AFB ^ L RFH. 5. Δ AFB 9^ Δ RFH. 6. AB^RH. Аргументы Дано. Определение деления отрезка пополам. Определение деления отрезка пополам. Теорема о конгруэнтности вертикальных углов (теорема 4.?). СУС-аксиома. Определение конгруэнтности треугольников. Это. доказательство приведено только как образец того, как могла бы выглядеть ваша самостоятельная работа. Существуют пределы «стандартности», которую можно ожидать от формы доказательства. Например, в шагах 2 и 3 мы записали конгруэнтность отрезков формулами AF = RF и FB = FH. Но это можно было бы записать и по-другому: AFg^RF и FBg^FH, поскольку конгруэнтность отрезков и равенство их длин означают одно и то же. Нельзя также строго указать, насколько подробным должно быть доказательство. По мере того как ваши знания и умения будут возрастать, вы сможете записывать доказательства с меньшим числом деталей. Ваш учитель явится лучшим судьей: когда вы это заслужите, он укажет вам, что вам будет разрешено пропускать. Теперь вы понимаете, как обстоит дело, и потому второй наш пример мы изложим с некоторыми пропусками. Ваша задача состоит в том, чтобы заполнить пустые места так, чтобы получилось доказательство. и Пример 2. Дано AH1-FR и LAHB^LFUB. Требуется доказать. Δ Α= Δ F. A А 137
Док азательство Утверждения 1. AHg^FH. 2. Δ ΑΗΒΟ^ΔΡΗΒ. 3. Η В ^ Η В. 4. ΔΑΗΒ^Δ .... 5. Ζ Л 9Ё Ζ Ζ7. Аргументы Дано. Каждый отрезок конгруэнтен самому ι себе. Задачи к § 4 (часть 1) U Перепишите эту задачу на отдельный листок бумаги и заполните пропущенные в ней доказательства. Дано. Рисунок, где CD 1 АВ и AD 9^ BD. Требуется доказать. д ADC ^ Д BDC. Доказательство Утверждения i.Jd^bd. 2. CD 1 АВ. 3. Ζ ADC ^ Z £DC. 4. CD^CD. 5. ДЛОС^... Аргументы Дано. Определения перпендикуляра и прямого угла. Тождественная конгруэнтность. (Каждый отрезок конгруэнтен себе самому.) 2. Перепишите задачу на отдельный листок и заполните пропущенные детали. Ρ λ Υ Дано. /\МКР и /\ΧΥΖ, у которых ΔΜο^ΔΥ, ΔΜΚΡ^ΔΥΧΖ и МК = Требуется доказать. РК = ΖΧ. 138
Доказательство Утверждения 1. ZM^ZK, MK^XY, L MKPQE L YXZ. 2. AMKP^... . Аргументы Соответствующие элементы конгруэнтных треугольников конгруэнтны (в силу определения конгруэнтности треугольников). На этом рисунке отрезок ЛЕ пересекает ~BD в точке С так, что AC^DC и ВС = — ЕС. Покажите, что Z.4 = L Dy воспроизведя следующее доказательство. Дополните пропущенные аргументы. Доказательство Утверждения 1. AC^DC. 2. L АС В ^ L DCE. 3. ВС^ЕС. 4. Д АСВ ^ Δ DCE. 5. Δ Α^ AD. Аргументы ι Дано. ... ... Соответствующие элементы конгруэнтных треугольников конгруэнтны. (Замечание. Хотя утверждения 2 и 4 кажутся очень похожими, одно из них относится к углам, а другое— к треугольникам. Учтите это, формулируя аргументы, обосновывающие утверждения 2 и 4.) 4. На этом рисунке AB^CD и т /. л: = ~ т Δ у. Докажите, что т L АСВ =а = т L DAC. 139
5. Перепишите задачу и дополните доказательство. Докажите, что если на нашем рисунке GK = HK и М—середина отрезка GHt то ζ G ^ё L Н. Доказательство Утверждения 1. GK^HK. 2. Μ— середина отрезка GH. 3. ... 4. ... 5. Δ GMK 9* Δ ЯМ/С. 6. ... Аргументы Дано. Определение середины. Тождественная конгруэнтность. 6. Докажите, что если в Δ GHK имеем QK^HK и G — M — H, так что Ζ GKM^ = Ζ Я/СМ, τα точка Μ является серединой отрезка (?Я. 7. Докажите, что если отрезки А Е и DF делят друг друга пополам в точке Р, то Δ PDA ^ Δ Ζ5/7/? (Нужно сделать рисунок.) 8. Дане. Отрезок TtS и точки Τ и U по противоположные стороны от прямой *#S, причем такие, что TR = UR, TS^US и UR<VS. Требуется доказать. m£T~m/.U. 9. Да ноЛХг-СЯ, Ζ D = Z С, ДО 1 D/C, 0 ЛЯ 1 С/С. Требуется доказать. AD = BC. 140
10. Дано. Точки Л, С, D и Ε коллинеарны, причем A — E — D и A — D — C. Точка В не принадлежит АС и такова, что АВ — СВ, EB — DB и Л£ = СО. Требуется доказать. L ABE^ LDBC. ц*+. Дано, что отрезок £Q пересекает отрезок РА в точке /?, но BQ^zPA. Точки В и Q лежат по противоположные стороны от РА. Точки S и С принадлежат соответственно PR и AJR, причем RS = RC, ВС ±.~РА и QS J_ РЛ. Кроме того, ζ #Л/? ^ Ζ QP#. Докажите, что отрезок РА делит отрезок Щ пополам и что Ζ ABC ^ Z PQ5. 12*+. Дано. Л HRE, где RH — RE. Точки Μ и /С принадлежат сторонам Ζ ##£ и таковы, что R — H — M и R—E — K. Отрезки ΕΛί и #/( пересекаются в точке Т. Ζ HRT ^ Ζ £7?Γ. Докажите, что АМТНд^АКТЕ. После того как вы закончили доказательство, часто обнаруживаете, что рисунок можно сделать более поучительным, поставив на нем дополнительные пометки. Этот рисунок иллюстрирует пример 1 и его доказательство. Пометки на отрезках AF и FR указывают, что конгруэнтность AF^FR была дана. Пометки на FH и FB указывают, что и конгруэнтность FH ^ FB была дана. Пометки на £ AFB и £ RFH и восклицательные знаки указывают, что конгруэнтность ,/ AFB ^ = L RFH была доказана. И пометки на А В и RH также указывают, что конгруэнтность AB^RH была доказана. Подобным же образом пометки на следующем рисунке сообщают, что было дано и что было доказано в примере 2. A F 141
Аналогично наши три аксиомы конгруэнтности СУС, УСУ и ССС оправдывают все восклицательные знаки на следующих рисунках: cue УСУ есс Вообще, это очень полезно —размечать рисунки таким образом, чтобы в них было заключено как можно больше информации. Иногда удается сделать чертеж, дающий полную картину какой- либо теоремы. Например, следующие рисунки полностью излагают теоремы, встречавшиеся нам в гл. 4. Какие это теоремы? хь D7 В доказательствах часто делают ту ошибку, что предполагают доказанным то, справедливость чего надо доказать. Другая распространенная ошибка — пользоваться в своем доказательстве как основанием теоремой, в действительности являющейся следствием 142
утверждения, которое собираются доказать. Такие рассуждения называют «порочным кругом»; в качестве логических доказательств они ничего не стоят. Особенно плохой вид порочного круга— использование той теоремы, которую мы пытаемся доказать, в качестве аргумента для обоснования одного из шагов «доказательства». Задачи к § 4 (часть 2) 1. Каждый из рисунков внизу размечен так, что он точно указывает предположение и заключение. Напишите, что дано и что требуется доказать для каждого из этих рисунков. а) 2. Сделайте то же, что в задаче 1, исходя из следующих рисунков. 3. Перепишите задачу и дополните доказательство. Дан рисунок, где АС=ВС, DC^EC, G — середина отрезка DC, Я—середина отрезка £С и L АСЕ 9ё Δ BCD. Докажите2 что AG==BH. 143
До к а зате л ьство Утверждения 1. АС^ВС. 2. DC = EC. Точка С—середина DC. Точка ...-—... 3. DG=GC = ^DC. 4. ЕН = НС=~ЕС. | б. GC = HC. 6. m Ζ ЛС£ = т Ζ BCD. 7. m Ζ ЛСС+m Ζ ССЯ = = m Ζ ВСН + т Ζ ССЯ. 8. /wZ GCH = m Ζ ССЯ. 9. m Ζ ACG = m Ζ ВСЯ. [ 10. Δ AGC с* δ ВЯС. 11. AG^BH. Аргументы Определение середины. ι Шаги 2, 3 и 4 и подстановка. Условие и определение конгруэнтных углов. Аксиома сложения углов и ... в 4 шаг 6. Правило вычитания равенств. Шаги 1, 5, 9 и ... аксиома. 4. Докажите, что если на этом рисунке AE = BCt AD = BD и DE = DC, то Δ Ε^ Δ С. 5. Докажите, что если на том же рисунке АЕ = ВС, AD^BD и Δ EAD д^ Δ CBD, то Л BDE ξ* Ζ ADC. 6. Можете ли вы доказать, что если на том же рисунке АЕ = ВС, AD — BD и Ζ £^ Ζ С, то ED = CD? Если да, то сделайте это. Если нет, то объясните почему. 7*. Можете ли вы доказать, что если на гом же рисунке Ζ Ε ^ Ζ С, ED —CD и Ζ BDE^ Δ ADC, то АЕ = ВС? Если да, то сделайте это. Если нет, то объясните почему. 8. Дано. Рисунок, где ЛВ ±. М/С и точка В является серединой отрезка М/С. Требуется доказать. Δχ—Διί- Μ 9. Дано, что луч АЕ делит отрезок ВК пополам в точке R и что АВ — АК- Докажите, что АЁ χ Β/(. 144
10. На этом рисунке CF — CM, £ 1 ^ 4 2 и Ζ 3 ^ Ζ 4. Докажите, чго Ζ 5 ^ Ζ 6. 11. Дано, что отрезки PQ и RS пересекаются в точке Г причем P — T — Q и R-T-S, кроме того, RT^QT, PR ±RS и SQ ± PQ. Докажите, что Ζ Ρ ~ Ζ S. 12. Докажите, что если на этом_рисунке PS—QS, PV^QV и Ζ * 2* L У, то ЗУ ± PQ. /^ 13. Докажите, что если на этом рисунке АВ — СВ, Ζ МАЕ^ Ζ NCD и AE*=CD, то ΔΑΒΕ^ζ £Ё Δ C£D. 14. Можете ли вы доказать, что если на том же рисунке Ζ ЕВА ^ ζ DBC и Ζ £ ^ Ζ D, то д Л££ ^ Δ C£D? Объясните. ^ч 15*. Можете ли вы показать, что если на том же рисунке АВ—СВ, т Ζ МАЕ — = /n L NCD и т Ζ ABD — m Ζ С BE, то BE = BD? Если ваш ответ утвердителен, то приведите доказательство. 16* На рисунке внизу слева дано, что А, В, С и D —некомпланарные точки, причем точки В, С и D лежат в плоскости Е. Покажите, что если АВ ± ВС, АВ χ BD и BC^BD, то AC^AD. :Л0кажите что если на рисунке справа Δ ΑΒΡ ς^ Ζ. СВР, ВР ± АР и ВР I CP, то АВ^СВ, 145
§ 5. БИССЕКТРИСЫ УГЛОВ Пометки на рисунке указывают, что луч AD делит £ ВАС пополам. Луч AD на следующем рисунке не делит £ ВАС пополам, потому что он «направлен в противоположную сторону». Таким образом, мы подошли к следующему определению: Определение Если точка D лежит внутри £ ВАС и Z, BAD^ L&AC, то луч AD делит /.ВАС пополам; в этом случае луч A D называется биссектрисой /„ВАС. Теорема ЪЛ Каждый угол имеет биссектрису и притом ровно одну. Доказательство. 1°. Выберем на рисунке внизу слева точки β и С на сторонах LA так, чтобы было АВ = АС. Пусть D — середина отрезка ВС. Тогда соответствие ADB <-* ADC является ССС-соответствием и по ССС-аксиоме /\ADB^/\ADC. Следовательно, Ζ BAD 9ё /CAD, так как это - соответствующие углы. Поэтому Z. А имеет биссектрису. 146
2°. Допустим, что луч AD делит £_ ВАС пополам, как показано на рисунке справа. Пусть г^т /_ ВАС. Тогда r = m Z DAB, так как эти углы конгруэнтны. По аксиоме 13 r+r = m Z 5ЛС. Таким образом, ' = 4"m L ВАС. Но мы также знаем, что точка D лежит по ту же сторону от А С, что и В. (Почему?) По аксиоме построения углов существует только один луч, который «лежит по нужную сторону от АС» и «образует угол нужной величины (угол с нужной мерой}». Задачи к § 5 1. Верны или ошибочны следующие утверждения (объясните ваши ответы): a) биссектриса угла лежит целиком внутри этого угла; b) биссектриса угла образует со сторонами этого угла два острых угла? 2. Дано, что АР— биссектриса Δ ВАС и ЛС — = АВ. Докажите, что РС — ВР. 3. Точки А и В лежат по противоположные стороны от прямой CY и С — Χ — Υ. Докажите, что если Δ ΑΧΥ ^ Δ ΒΧΥ, то ХС делит Δ ΑΧΡ пополам. 4· Даны два смежных угла. Докажите, что их биссектрисы перпендикулярны. 5· Дано. Прямые AD, BE и CF пересекаются в точке К и КС делит пополам Δ DKB. Требуется доказать. KF делит пополам δ ΑΚΕ. 147
6*. Прямые MN и PQ пересекаются в точке О, причем Μ — 0 — Ν и Р — О — п Точки S и Τ лежат внутри L QON так, что ATOQQ^ L TON и Ζ SOQg^ ^ Δ SON. Луч О/? является биссектрисой Ζ РОМ. Докажите, что точки R, S и Τ коллинеарны. 7. Плоскости Ε и F на этом рисунке пересекаются по прямой А В, Прямая Ρ К лежит в плоскости F и пересекает прямую АВ в точке D. Кроме того, РА=РВ, ΔΡΑΒ=ΔΡΒΑ, и__точка D является серединой отрезка А В. Докажите, что Р/С — биссектриса L АР В. 8*. Точки Р, В, D и С на этом рисунке принадлежат плоскости £, а точка А этой плоскости не принадлежит. Δ ЛВС и Δ Ρ ВС являются равнобедренными: АВ = АС и Ρ В —PC. Докажите, что если AD — биссектриса ζ ВАС, то PD — биссектриса ζ ВРС. ζ § 6. РАВНОБЕДРЕННЫЕ И РАВНОСТОРОННИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ В конце § 1 мы упоминали случай сопоставления вершин Д ABC вершинам того же треугольника, возникающий, когда по крайней мере две стороны этото треугольника имеют одну и ту же длину. Именно с этим случаем мы сталкиваемся в нашей первой теореме о конгруэнтности. Теорема 5.3 (теорема о равнобедренном треугольнике) Если две стороны треугольника конгру- л энтны, то и углы, противоположные этим сторонам, конгруэнтны. В 148
Другая фор мул ировк а. Дан /\АВС. Если АВ ^ АС, то L В = Δ С. Доказательство. Рассмотрим соответствие АВС++АСВ между /\АВС и им самим. Мы видим, что при этом соответствии АВ++АС ~АС++АВ L А^> £А Так как это СУС-соответствие, то из СУС-аксиомы следует, что ААВСд^ААСВ, т. е. что соответствие ABC «-> АСВ является конгруэнтностью. По определению конгруэнтности все пары соответствующих элементов конгруэнтных треугольников конгруэнтны. Следовательно, Z. £ = ^ £ С, потому что эти углы — соответствующие. Покажем теперь, как только что приведенное доказательство выглядит в форме записи в два столбца. (Мы пользуемся той же формулировкой теоремы и тем же рисунком, что и выше.) Доказательство Утверждения 1. ЛБ~ЛС, ЛС~ АВ. 2. ζ. Α ^ Ζ А. з! &АВСс^&АСВ. 4. Ζ Β^ LC. Аргументы Дано. Тождественная конгруэнтность. Шаги 1 и 2; СУ С. Определение конгруэнтности между треугольниками. Определения Треугольник с двумя конгруэнтными сторонами называется равнобедренным, Третья сторона треугольника называется его основанием. Два угла, между которыми заключено основание, называются углами при основании, угол, противолежащий основанию, —углом при вершине. В этих терминах теорему 5.3 можно сформулировать так: Углы при основании равнобедренного треугольника конгруэнтны. Определения Треугольник, все три стороны которого конгруэнтны, называется Равносторонним. 149
Треугольник, никакие две стороны которого не конгруэнтны, называется разносторонним. Треугольник, все три угла которого конгруэнтны, называется равноугольным. Пользуясь терминами равносторонний, равноугольный, сформулируем теорему, вытекающую из теоремы 5.3. Мы назовем ее следствием 5.3.1. {Следствием называется теорема, которая легко вытекает из какой-либо другой теоремы.) Следствие 5.3.1 Каждый равносторонний треугольник является также и равноугольным. Другая формулировка. Дан Δ ABC. Если ВС = АС = АВ, то Ζ. ^ = Оё L В £* L С. Г\ ι ι/\ BL-J +.—LAC Для доказательства нужно дважды применить теорему 5.3. Проведение доказательства во всех деталях предоставляется вам. Следующая теорема может показаться похожей на теорему 5.3, но в действительности они различны; это становится особенно ясным, если исходить из вторых формулировок теорем 5.3 и 5.4. (Обратите внимание на то, как отличаются пометки на иллюстрирующих эти теоремы рисунках.) Теорема 5.4 Если два угла треугольника конгруэнтны, то и стороны, противолежащие этим углам, конгруэнтны. Другая формулировка. Дан Δ ЛВС. Если Ζ В ^ L С, то АВ = АС. Доказательство. Так как LB^jLC, ВС^СВи £С^ = L Ву то соответствие ABCW AC'В является УСУ-соответствием. Поэтому оно является конгруэнтностью, и /\АВС^/\АСВ. 150
Следовательно, АВ — АС, потому что соответствующие стороны конгруэнтных треугольников конгруэнтны. Следствие 5.4.1 /} Каждый равноугольный треугольник является также равносторонним. Вы сами сумеете дать другую формулировку этой теореме и записать ее доказательство. Задачи к § 6 1. Выберите, какое из следующих слов правильно заканчивает каждое предложение; a) Биссектриса угла является (i) отрезком; (п) лучом; (iii) плоскостью. b) Равносторонний треугольник является (i) равнобедренным; (и) разносторонним; (iii) равноугольным. c) Следствие является (i) определением; (и) аксиомой; (iii) теоремой. d) Если два угла треугольника конгруэнтны, то у этого треугольника имеются и две конгруэнтные стороны; это мы можем утверждать на основании (1) определения; (ii) следствия, (iii) теоремы. 2. Δ PRS на этом рисунке является равнобедренным, причем PR = PS. Докажите, что Δ χ = S Δ у. 3. Докажите, что если на этом рисунке Ат^ Δη, то Д GHK является равнобедренным. 4· Дано. Плоская фигура ADBC, где AD = = BD и АС = ВС. Требуется доказать. Δ CAD g^ Δ CBD. 5»Дано. Плоская фигура ADBC, где АС = ВС и ΔΟΑΌ^ Δ CBD. Требуется дока- зать. AD = BD. 151
6. Нужно ли в задачах 4 и 5 предполагать, что фигура ADBC — плоская? Объясните. 7. Докажите следствие 5.4.1: Каждый равноугольный треугольник является также равносторонним. 8. Дан рисунок с указанными на нем пометками. ^ Докажите, что Д MNK — равнобедренный треугольник. MP Q N 9. Дан Д ЛВС, для которого соответствие АВС**-*АСВ является конгруэнтностью. Отсюда можно заключить, что /\АВС будет (i) разносторонним; (и) равнобедренным; (Ш) равносторонним. 10. Дан /\АВС, для которого соответствие ABC<<-> CAB является конгруэнтностью. Тогда Д ABC будет (i) разносторонним; (п) равнобедренным; (Hi) равносторонним. 11. Доказать: биссектриса угла, противолежащего основанию равнобедренного треугольника, делит основание пополам и перпендикулярна основанию. 12. На этом рисунке АС— ВС, L A ^ L у и L В ^ё L х. Докажите, что Д CDE — равнобедренный треугольник. А 13*. Точки С и D лежат на некоторой плоскости по противоположные стороны от прямой АВ, причем они расположены так, что Д ABC является равносторонним, а Д A BD — равноугольным. Докажите, что L С ^ L D. 14. Дано, что на этом рисунке PQ1.MQ, PQ1.NQ и MQ = NQ. Докажите, что Д MNP — равнобедренный треугольник. 15. Докажите, что если на том же рисунке L PMN ξ* L PNM и L MPQ ΕΞ LNPQ, to Ζ PMQ^ LPNQ. 152 /fk A
§ 7. ПЕРЕКРЫВАЮЩИЕСЯ ТРЕУГОЛЬНИКИ. ПЕРЕДАЧА ИНФОРМАЦИИ С ПОМОЩЬЮ РИСУНКОВ Часто треугольники, с которыми нам приходится иметь дело, расположены на чертежах не раздельно, а перекрываются, как AAFM и /\FAH на рисунке: Когда мы сталкиваемся с такими случаями, особенно важно, чтобы избежать путаницы' и ошибок, правильно записать наши конгруэнтности: /\AFMg^/\FAH. Проверим, что соответствие AFM+^FAH действительно является конгруэнтностью. После того как это сделано и мы хотим записать, какие же стороны (или углы) конгруэнтны, отвлечемся от рисунка и рассмотрим лишь саму запись /\AFMg^/\FAH. Мы знаем, что AFg^TA, FMg^AH, AMg^FH, поскольку это — соответствующие стороны в нашей конгруэнтности: АРМ t РАН ft J Так поступать — намного надежнее, чем вертеть голоеой, разглядывая рисунок со всех сторон, чтобы избежать ошибки. Рассмотрим теперь случай, когда такая ситуация возникает в доказательстве теоремы. Дано. HA^HF; HM = HQ. Требуется доказать. FM = AQ.
О^ень распространенный способ доказательства конгруэнтности двух отрезков состоит в установлении того, что эти два отрезка являются соответствующими сторонами конгруэнтных треугольников. Чтобы можно было с успехом воспользоваться здесь этим методом, прежде всего нужно выявить треугольники, содержащие отрезки FM и AQ. Такими являются /\HMF и /\HQA, и они существенно перекрываются. Теперь задача сводится к доказательству, что эти треугольники действительно конгруэнтны. Доказательство, изложенное в форме записи в два столбца, приведено ниже. Доказательство Утверждения 1. HA=HF. 2. L Я^ L Н. 3. HM^HQ. 1 4. AHMFc^^HQA. 5. FM = AQ. Аргументы Дано. Угол конгруэнтен самому себе. Почему? Почему? Почему? Строго логическое доказательство должно не зависеть от рисунка; оно должно вытекать из аксиом, определений и ранее доказанных теорем. Но геометры совершенно свободно пользуются рисунками, в первую очередь для сокращения развернутых объяснений смысла задачи. В этом духе мы сформулировали пример 1 в начале § 4 следующим образом: Дано. AR и ВН делят друг друга пополам β точке Я. Требуется доказать: AB^RH. В 154
Позднее мы объяснили, что все содержание этой теоремы можно передать дополнительными пометками на рисунке, вообще не пользуясь словами, например так, как это указано на рисунке: Чтобы обойтись без рисунка, нам нужно было бы сформулировать пример 1 так: Пример 1. Пусть А, В, Ff H и К — пять неколлинеарных точек, лежащих в одной плоскости. Если 1°. точка F лежит- между А и R\ 2°. точка F лежит между В и Я; 3°. AF=FR; 4°. BF=FH, то 5°. AB = RH. Первые два утверждения этого примера прочитать на рисунке, конечно, легче, чем третье. И читаются они совершенно точно, если понимать, как рисунки применяются для сокращения записей. Мы будем пользоваться рисунками, чтобы указать коллинеарность точек, порядок точек на прямой, положение точек внутри угла и вообще относительное расположение точек, прямых и плоскостей. С другой стороны, не следует делать заключения, что отрезки или углы конгруэнтны, только потому, что они кажутся конгруэнтными. Чтобы передать с помощью рисунка информацию такого рода, нужно обычным способом сделать на нем пометки. В Ε ΔΔ Αί—_ _ДС 0ί— -Л/г 155
Например, правый рисунок сообщает нам, что DE^EF, но рисунок слева вовсе не говорит, что АВ^ВС, даже несмотря на то, что самые тщательные измерения показывают, что это, по-видимому, так. А А JEL С В D С В D Аналогично и здесь левый рисунок указывает, что А В ±_ CD, а правый — нет. Задачи к § 7 1. На этом рисунке RV = ST, RQ = SP и L VRQ^ ^ ^ TSR. Дополните доказательство того, что QV = PT. R Ρ О S Доказательство Утверждения 1. RV = ST. 2. L VRQ ^ L TSP. 3. ... 4. &RQV9±.... 5. ... Аргументы Дано. 2. Докажите, что если на рисунке слева KG J. GH, LH J_ GH и L KHG ^ ^ L LGH, то ЖЕ ^ LG. С 156
3. Дано, что АС = ВС и LCAEg^LCBD (см. рисунок справа в конце предыдущей страницы). Докажите, что ААСЕ^/\ BCD. 4. На этом рисунке АС = ВС, DC = EC и AD = BE. Дополните доказательство того, что L АСЕ ^ L BCD. Док азательство Утверждения 1 1 АС^ВС, DC^EC. 2. AD = BE. 3. DE = DE. 4. AD + DE^BE + DE. 5. AE^BD. 6. ... 7. L ACE ^ Ζ BCD. Аргументы Дано. ..." Правило сложения равенств. Определение понятия «между» и шаг 4. ... 5. На этом рисунке PM—QN, PS—QR и MR^NS. Докажите, что L PSN^ LQRM. Μ 6. Докажите, что если на этом рисунке AF— BG, L Л ^ ζ В и AE = BDt то EF = DG. « · Докажите, что если на том же рисунке L А^ ζ В, AD^BE и L ADG ^ Δ BEFy то t CFE ^ t CGD. AD £ a 157
8*. На рисунке внизу слева AD = BC, AC = BD, AK^BN и AG = BH. Дока^ жите, что KG — NH. 9. Дана плоская фигура RSTV, причем w=x и y = z (см. рисунок справа). Докажите, что RV = ST. 10. Дано, что на этом рисунке Ζ χ = Ζ у и Ζ m ^ Ζ п. Докажите, что АС = ВС, 11 *. Докажите, что если на том же рисунке DF — EF и Ζ х = Ζ у, то Д Л£# — равнобедренный треугольник. 12*. Докажите, что если на том же рисунке АС = ВС и DC — EC, то DF — EF. 13. Найдите на этом рисунке угол, конгруэнтный р Δ KML, если ΜΚ=Μ<2, ML = MP и KL = QP. Докажите, что ваш ответ правилен. 14*. Докажите, что если на том же рисунке М/( = MQ, Δ К 9^ Δ Q, Ш ± МК иТМ ±_ Щ, то Δ L ^ Ζ Я 15. Точки В и С на сторонах Ζ А взяты так, что АВ — АС. Через В прохо· —> дит прямая, перпендикулярная АС в точке D. Аналогично, через С проходит —> прямая, перпендикулярная АВ в точке Е. Докажите, что если AD = AE, то BD=CE. 16*β Прямая / перпендикулярна отрезку XV и делит его пополам в точке S. Точки R и Τ являются соответственно серединами отрезков XS и YS. На прямой / по противоположные стороны от ΧΥ взяты такие точки А и В, что АХ = ВУ и AT^BR. Докажите, что Л5 = BS. 158
17*. Докажите, что если Ζ D ^ Ζ DKM и КМ = ^СМ = ТМУ то AD^BC. 18. Точки By D и Η на этом рисунке принадлежат плоскости £, а точки Л и С —не принадлежат ей. Докажите, что если А В J_ J3D, CD ±~HD, AB^HD nCD = BD, ro AD^HC. с k_/ / "4 /« r с 0 8 £/ 19. а) Докажите, что если на этом рисунке точка X является серединой отрезка ΜΝ, ΛίΖ —Λ/Ύ и ΧΖ = ΧΚ, то Ζ Κ^ΖΖ. b) Необходимо ли, чтобы точки Μ, Ν, Χ, Υ и Ζ были компланарны? 20*. а) Докажите, что если на том же рисунке точки Μ, Ν, Χ, Υ и Ζ компланарны, точка X является серединой отрезка ΜNt Ζ Μ ^ Ζ Ν и Ζ ΜΧΥ ^ ^ Ζ ΝΧΖ, το Ζ Κ^ Ζ Ζ. Ь) Необходимо ли, чтобы точки Μ, Ν, Χ, Κ и Ζ были компланарны? Объясните. § 8. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ, КВАДРАТЫ И ПРЯМОУГОЛЬНИКИ Четырехугольник — это фигура с четырьмя сторонами. Вот примеры четырехугольников: 159
Фигура вроде той, которая изображена на рисунке слева, четырехугольником не является. В Кроме того, стороны четырехугольника не должны пересекаться. Поэтому фигура справа —тоже не четырехугольник. Следующие определения сформулированы так, чтобы они включали те случаи, которые мы хотим включить, и исключали те случаи, которые нам не нужны. Определения Пусть A, В, С и D —четыре компланарные точки. Если никакие три из них не коллинеарны и отрезки АВ, ВС, CD и Ό А имеют общими только свои концы, то объединение этих четырех отрез- ков называется четы ρ ex угольник ом. Эти четыре отрезка называются сторонами четырехугольника, а точки А, В, С я D — eao вершинами. Z.DAB, ^ ABC, jH BCD и Ζ, CD А (их можно просто обозначить /.Α, Δ В, Z.C и Ζ D), называются углами четырехугольника. Если все четыре угла четырехугольника являются прямыми, то четырехугольник называется прямоугольником. Если все четыре угла четырехугольника являются прямыми и все четыре его стороны конгруэнтны, то четырехугольник называется к в α δρα т о м. Мы будем обозначать четырехугольник символом Q ABCD. 160
Пометки на следующем рисунке сообщают нам, что отрезок AD являет^ ся медианой Δ ABC. формально это звучит так; Определение Медиана треугольника есть отрезок, концами которого служат какая-либо вершина треугольника и середина противоположной стороны. Каждый треугольник имеет три медианы—по одной на каждую вершину. Пометки на следующем рисунке указывают, что отрезок АЕ является биссектрисой Δ ABC. Определение Отрезок называется биссектрисой треугольника, если 1°. он принадлежит лучу, делящему пополам какой-либо угол этого треугольника; 2°. его концами служат вершина этого угла и точка противоположной стороны. Задачи к § 8 1. Постройте (сделайте его побольше!) разносторонний треугольник. Постройте три его медианы. Постройте три его биссектрисы. 2· Дано. Д ABC у медиана AD которого перпендикулярна стороне £С. Требуется доказать. Отрезок AD является биссектрисой Д ЛВС и Д ABC— равнобедренный треугольник. 161
3. Докажите, что медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, перпендикулярна основанию и является биссектрисой угла, противоположного основанию. 4. Дано, что Π MOPQ является квадратом и точка R есть середина стороны MQ. Докажите, что Δ ROP — равнобедренный тре- - угольник. О Ρ 5. Z(/hZ#bD GKHM являются прямыми и, кроме того, GK — MH и GH = = МК, причем G и Η лежат по противоположные стороны οτΛί/(. Докажите, что Π GКНМ — прямоугольник. 6. В D A BCD отрезки АС и BD перпендику лярны и пересекаются в точке F; кроме того, AC — BD и FD = FC. Докажите, что Δ ACD ^ Δ BDC. 7. Доказать: медианы конгруэнтных сторон равнобедренного треугольника конгруэнтны. 8. Доказать: биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенные из вершин при его основании, конгруэнтны. 9. D A BCD—квадрат, а точки Я, Q, R и S являются серединами сторон А В, ВС, CD и В Q с WA. Докажите, что L PQR = L PSR. 10. D ABFH — квадрат. X—точка луча АН, a Y—точка луча BF, такие, что АХ^ВУ. Докажите, что АУ^ВХ. 11. Луч АР делит пополам L ВАС. D'-~точка на АВ, а Е—точка на АС, такие, что AD — AE. Докажите, что PD = P£. 12*. Дан рисунок, где луч КМ делит пополам оба угла· L HKG и ζ HSG. Докажите, что КМ Л HW. н 1 \^^^г \а \ м <*^^/ S / й/ 162 К
jo* Дркажите, что если на Зтом рисунке то Ζ5^ Ζ 6 и Ζ, 7 ^ Ζ 8. Конкурсная задача a) Можете ли вы вывести из ранее доказанных теорем, что если АС^МР, БС — -— WP и медиана Л£> = медиане MQ, то д Л ВС с^ Λ ΜΝΡ7 Если да, то сделайте это. Если нет, то объясните почему. b) Можете ли вы- вывести из ранее доказанных теорем, что если AC£^ MP, АВ^~ д^ MN и медиана AD Q^ медиане MQ, то Δ ABC = &ΜΝΡ? Если да, то сделайте это. Дополнительные задачи Дано. DC = BC и DK = BK (см. рисунок). Требуется доказать. Л£ = Л£. 2. Даны два конгруэнтных треугольника. Докажите, что медиана, делящая пополам любую сторону одного треугольника, конгруэнтна медиане,,делящей пополам соответствующую сторону другого треугольника. Докажите, что если на этом рисунке MQ = — PQ^PR^NR, тоД MNP — равнобедренный треугольник.
4. X и Q — такие точки &Р$Т, что 5 — Χ — Τ и SX = 5/?, соответственно R — Q — T и луч SQ делит пополам Ζ /?S7\ Проведем отрезок QX. Какой угол конгруэнтен L Ю Докажите, что они конгруэнтны. 5. На этом рисунке XW = ZY, AX = BY и AZ = BW. Какой угол конгруэнтен Z. Л? Докажите их конгруэнтность. 6· Дан рисунок внизу слева, где отрезки QS и RT делят друг друга пополам в точке Р. Докажите, что ЛР = ВР. 7. Докажите, что если на правом рисунке АВ — АС, AD = AE и Δχ£~ Δν, то АО^АН. 8· Докажите, что каждая биссектриса равностороннего треугольника одновременно является и его медианой. 9. а) На этом рисунке AD — BC, А В —DC, a отрезок MN делит отрезок АС пополам в точке /С. Будет ли и АС делить пополам отрезок MN} Докажите, что ваш ответ правилен. О Μ N В Ь) Должны ли все точки изображенной на рисунке фигуры быть компланарны? 10· а) На этом рисунке NK—ML и MK — NL. Докажите, что /.MNK^^NML. b) Должны ли отрезки КМ и NL пересекаться? N ^ Μ И.Дано. Рисунок, где АВ = АС hZ RCB; 9Ё L TBC. Требуется доказать. RC — BT. 164
12, Докажите, что если два треугольника конгруэнтны, то биссектриса одного ^'треугольника, проведенная из любого его угла, конгруэнтна проведенной из соответствующего угла биссектрисе другого треугольника. 13*. Точки Л, Я и С на этом рисунке лежат в плоскости Εу а точки R и S — по противоположные стороны от Е. Докажите, что если АР J^RS^RP^SP и RC = SCt то a) СР 1 RS; b) L ACR^L ACS. 14*. Дано, что Л — С — В и CD J_ АВ. Точка Ρ лежит внутри Ζ ЛСД а точка Q —внутри Ζ £CD, причем L PC A ^ Z QCB. Докажите, что если CD J_ PQt то PC = QC. 15*. Пусть отрезки ЛР и #С делят друг друга пополам в точке N, а отрезки ~АС и BQ делят друг друга пополам в точке /О Покажите, что QC = PC. 16*. Дан произвольный ДАВС. Пусть £> — такая точка, что D и С лежат по противоположные стороны от АВ и Д Л £D —равносторонний треугольник, а £—такая точка, что Ε и А лежат по противоположные стороны от ВС и д ВСЕ — равносторонний треугольник. Докажите, что AE = CD. 17*. Дан D ABCD (см,· рисунок), причем АВ = = DC и Л1)=?=£С. Докажите, что ЛС и 55 делят друг друга пополам. 18*. Точки G и В на этом рисунке делят отрезок Af/? на три конгруэнтные части, а -точки б и Ρ точно таким же образом делят отрезок АС. Покажите, что если ЛС = £(3, то£ R = QEZ'C. . Запишите аккуратное определение того, что означают слоца: «Точки С и D делят отрезок А В на три конгруэнтные части». • Докажите, что если прямая XY перпендикулярна каждому из трех раз- , личных лучей ХАг ХВ и ХС и если ХА^ХВ^ХС, то AY^BY^CY. 165
21 *. Д а н о. A KVL—равнобедренный треугольник, у которого KV —LV и луч MP содержит медиану VP. Требуется док а зать. ST = RT. 22*+. а) Пусть А В и CD делят друг друга пополам в точке /С. Докажите, что AC = BD и AD = BC. b) Пусть теперь отрезок EF также делится точкой К пополам. Сумеете ли вы найти шесть пар конгруэнтных отрезков, ни один из которых не содержит точку /С? c) Как изменится ваше заключение (см. задачу Ь), если отрезок EF не принадлежит плоскости, содержащей отрезки АВ и CD? Попытайтесь мысленно представить себе получающуюся фигуру, или набросать картинку, или сделать модель. 23^. Дан Δ В А С, где АВ^АС. Тогда R лежит на А В, а точка Т — на Л С, причем так, что RC = TB. Можете ли вы, основываясь на этой информации, доказать, что AR — AT? Если да, то сделайте это. Если нет, то объясните почему. 24*f. Пусть ДРАВ и AQAB лежат в различных плоскостях, но имеют общую сторону А В. Докажите, что если д РАВ ^ IsQAB и X — любая точка отрезка АВ, то L XPQ~ L XQP* 25*+. Доведите до конца евклидово доказательство теоремы, утверждающей, что углы при основании равнобедренного треугольника конгруэнтны. Дано. L ВАС, где АВ^АС. Требуется доказать. L ACBc^ L ABC. (Указание. Возьмите такие точки Ε и F, что Л — В—-Е и Л —С — /7, кроме того, Л£ = = AF. Проведите отрезки BF и СЕ.) Вопросы и задачи для повторения 1. Укажите, верно или ошибочно каждое из следующих утверждений: а) Если при соответствии ABC ♦* KLM имеем ~АС с^ КМ, АВ ~ Δ А = L Κι то это соответствие является конгруэнтность,ю. ■KL и 166
b) Если AC — BD, то непременно или А = В и C — D, или A — D и Б = С. c) Если три угла одного треугольника конгруэнтны трем углам другого треугольника, то эти треугольники конгруэнтны. d) Если в Δ DEF выполняются равенства т LD~m LE~m LF, то он является равносторонним. e) Медиана треугольника делит пополам угол треугольника. f) Если Δ ΧΥΖ £ё Δ ВАС, то Δ Χ 9ё Δ Ά. g) Если Δ A ^ Δ С в Δ ЛВС, то АВ^АС. h) Если Δ^^^^Δ^ΧΚ, то Δ ΑΎΖ — равносторонний треугольник. i) Два треугольника конгруэнтны, если две стороны и угол одного треугольника конгруэнтны двум сторонам и углу другого. j) Не существует Δ ABC, у которого Δ А = Δ В. 2. Определите «конгруэнтные отрезки». 3. Определите «биссектрису угла». 4. Определите «биссектрису треугольника». 5. Докончите предложение. Если биссектриса треугольника является и медианой, то треугольник является.... 6. Докончите предложение. Четырехугольник, имеющий четыре прямых угла, называется.... 7. Докончите предложение. В APRQ Δ Q заключен между ... и ... , а между Δ Ρ и Δ R заключена сторона.... 8. Каждый из треугольников ЛВС и PQR имеет по две стороны длины 7 и по углу, мера которого равна 40. Конгруэнтны ли эти треугольники? Почему это так (или не так)? 9. Докажите, что если на этом рисунке АВ — АС и луч АД делит пополам ABAC, то a) RB = RC; b) Луч AR содержит биссектрису Δ BRC. 10. Доказать: если Δ ABC — равносторонний треугольник, то & ABC- ~ Δ CAB ^ Δ ЛСВ. 11. Запишите предположение и заключение Для теоремы, содержание которой передают пометки на этом рисунке.
12. Запишите теорему, подсказываемую рисунком слева. С 13. На плоской фигуре, изображенной справа, АС— ВС и АК=ВК- Перечислите все заключения, которые отсюда следуют. (Вы должны уметь доказать каждое из них.) 14*. Биссектриса L Q при основании равнобедрен- /? ного Д PQR пересекает противоположную сторону в точке S, Τ — точка основания PQ, для которой ST — PT> а луч SV делит пополам L PST. Докажите, что L TSV £ё L RQS. 15*. Точки Л, В, С и D на этом рисунке не лежат в одной плоскости и АВ = АС = AD — BC — = BD = CD. Точки Q и R соответственно являются серединами отрезков AC nADt а Р — произвольная точка отрезка АВ. Докажите, что Δ PQR — равнобедренный треугольник. 16*+. Пусть / — общее ребро двух полуплоскостей Нг и Я2; далее, А и^ — две точки прямой /, а М и R— точки полуплоскостей Ηχ и Я2 такие, что L MAB^ L RAB и AM = AR. a) Докажите, что Δ MRB — равнобедренный треугольник. b) Должен ли отрезок MR пересекать прямую /? c) Требует ли ответ на а), чтобы полуплоскости Нг и Я2 были компланарны?
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА I у>/ -ч V
§ 1. КАК СТРОИТСЯ ДЕДУКТИВНАЯ СИСТЕМА В гл. 1 мы пытались в общих чертах объяснить, как должен строиться курс геометрии. Приобретенный вами за это время опыт ставит вас в намного более выгодное положение, позволяющее лучше понять эти объяснения. Идея множества, методы алгебры и процесс логического рассуждения—вот орудия, которыми мы строили. Сама геометрия—это то, что мы строили. Мы начали с точки, прямой и плоскости как с неопределяемых понятий и пока воспользовались семнадцатью аксиомами. Иногда новые понятия определялись со ссылкой на аксиомы. (Например, расстояние PQ было определено как положительное число, фигурирующее в аксиоме расстояния.) В других случаях определения базировались только на неопределяемых терминах. (Например, точки некоторого множества коллинеарны, если все они принадлежат одной прямой.) Но каждый раз мы вводили наши определения с помощью лишь терминов, которые так или иначе были уже известны ранее. К настоящему моменту мы нагромоздили определения одно на другое так плотно, что список их оказался очень длинным. И фактически растянутость этого списка является одной из главных причин, заставлявших нас с самого начала заботиться, чтобы не произошло путаницы и все было в порядке. Точно так же все относящиеся к геометрии утверждения, которые мы делаем, в конечном счете основаны на аксиомах. Иногда мы выводили теоремы непосредственно из аксиом, а иногда наши доказательства опирались на теоремы, которые уже были доказаны. Но в каждом случае цепь рассуждений могла быть прослежена до аксиом. Было бы неплохо, если бы вы, учитывая все это, перечитали вторую половину гл. 1. Теперь она покажется вам намного более ясной, чем в первый раз. Гораздо легче оглянуться назад и понять, чего вы уже успели достичь, чем понимать объяснение того, что вы только собираетесь делать. § 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ОТ ПРОТИВНОГО В гл. 1 мы отметили, что лучший способ научиться логическим рассуждениям—провести некоторые из них. Вообще говоря, это правильно. Но существует один тип доказательств, который требует особого обсуждения. Для теоремы 3.1 мы предложили так называемое доказательство от противного. Вот эта теорема и ее доказательство: Теорема 3.1 Если две различные прямые пересекаются, то их пересечение содержит одну и только одну точку. 171
Доказательство. Если бы две различные прямые пересекались в двух различных точках Ρ и Q, то существовали бы две прямые, содержащие Ρ и Q. Аксиома прямой говорит нам, что это никогда не может иметь места. Возможно, вы уже встречались с такого рода рассуждениями о Вы уже можете знать доказательство иррациональности числа Υ"2, а это—доказательство от противного *\ Во всяком случае, вы должны были много раз слышать такого рода рассуждения' в обычных разговорах. Оба следующих замечания служат примерами доказательств от противного. Π ρ имер 1 «Дождь сейчас не идет. Если бы дождь шел, то люди, приходящие с улицы, были бы мокры; но на самом деле это не так». Пример 2 «Футбольного матча сегодня не будет. Если бы сегодня предстоял матч, то стадион к этому времени был бы уже полон народа, но, кроме нас с тобой, здесь никого нет». В каждом из этих случаев говорящий хочет показать, что некоторое утверждение верно. Свое доказательство он начинает с допущения, что это утверждение неверно. Затем он замечает, что допущение приводит к заключению, противоречащему какому-то известному факту. В первом случае говорящий начинает с допущения, что дождь идет; оно ведет к заключению, что люди, входящие в дом, должны быть мокрыми, а это противоречит тому известному говорящему факту, зто эти люди — сухие, Аналогично, во втором случае говорящий начинает с допущения, что футбольный матч должен сегодня состояться; это допущение приводит его к противоречию с тем фактом, что на стадионе присутствуют всего лишь два человека. В доказательстве теоремы 3.1 мы начинаем, с допущения, что какие-либо две различные прямые пересекаются в двух различных х) Авторы имеют в виду следующее общераспространенное рассуждение: если г лГК т * т* η бы число γ 2 равнялось несократимой дроои -—, то мы имели бы —^ = 2, т. е. т2 = 2я2, откуда следует, что т — четно, а значит, п — нечетно; но тогда т2 делится на 4, а 2/г2 только на 2, а значит, равенство ^2=— невозможно. В противоположность этому евклидовское доказательство иррациональности 1^2, основанное на анализе процесса измерения диагонали квадрата со стороной 1, являлось «прямым» доказательством. — Прим. ред. 172
точках. Оно противоречит аксиоме прямой. Следовательно, допущение .было ошибочным, а это значит, что теорема верна. Очень часто наши доказательства от противного в геометрии будут столь же короткими и простыми, как это. .Они будут всего лишь сводиться к каким-нибудь соображениям, основанным на здравом смысле. Но такие соображения, основанные на здравом смысле, составляют часть азбуки математических рассуждений, и без них было бы трудно обойтись. Задачи к § 2 1. Для того чтобы проиллюстрировать процесс логического рассуждения, примите каждое из следующих предположений, а затем логически закончите каждое заключение. a) Предположение, Все мальчики любят играть в футбол. Моему брату четырнадцать лет. Заключение. Мой брат ... b) Предположение. Только небрежные люди делают ошибки, Я никогда не бываю небрежен. Заключение. Я ... c) Предположение. Джек всегда смеется, после того как сострит. Джек только что сострил,. Заключение. Джек ... d) Предположение. В любом равнобедренном треугольнике углы при основании конгруэнтны. В 1\АВС выполняется равенство АС=*ВС. Заключение. ... 2. Какие из следующих высказываний служат примерами рассуждения от противного? a) Температура воздуха на улице должна быть ниже 0° С. Если бы она не была ниже 0° С, то окна не замерзли бы. Но они замерзли. Следовательно, температура воздуха ниже 0° С. b) Пора обедать. Если бы было еще рано обедать, то я не был бы голоден. Но я очень голоден. Следовательно, пора обедать. c) Концерт должен был уже окончиться. Много людей покидают концертный зал лишь после окончания концерта. Но я вижу, что сейчас из зала выходит много людей. Следовательно, концерт окончился. 3. Сейчас больше четырех часов дня. Если бы это было не так, то я слышал бы шум работающих строителей. Я же никакого шума не слышу, В этом примере доказательства от противного выделите* a) утверждение, которое требуется доказать; b) сделанное допущение; c) заключение, вытекающее из этого допущения; d) известный факт, противоречащий с). 4. Миссис Адаме купила набор кухонной посуды, разрекламированной как изделия из нержавеющей стали. После того как она им пользовалась несколько недель, она обнаружила, что некоторые кастрюли начали ржаветь. Тогда она решила, что этот набор был не из нержавеющей стали, и вернула его; чтобы получить деньги обратно. Проделайте то же, что и в задаче 3. 5· Докажите, что биссектриса угла разностороннего треугольника не может быть перпендикулярна противоположной стороне. • Докажите, что никакие два угла разностороннего, треугольника не кон- гРуэнтны. 173
7+, Какие заключения можете вы вывести из следующего предположения, в котором буквы р, q и г заменяют различные утверждения Если ρ верно, то и q верно. Если q верно, то и г верно. ρ верно? 8+. Какие заключения можете вы вывести из следующего предположения: Если ρ верно, то и q верно. Если г верно, то s не верно. Если q верно, то и s верно. ρ верно? Пользовались ли вы хоть в одном пункте рассуждением от противного? Объясните. 9+. Если К синее, то Μ красное. Если К зеленое, то Μ желтое. Если К красное, то J синее. a) К синее, значит Μ ... и J ... b) Μ желтое. Можно ли вывести отсюда какое-либо заключение относительно /С? Если да, то какое? c) J не синее. Можно ли вывести отсюда какое-либо заключение относительно Ю Если да, то какое? 10+. Какое заключение вытекает из следующих данных: a) Не умеющие играть на флейте в клуб пловцов не принимаются. b) Черепахи не умеют играть на флейте. c) Не членам клуба пловцов не разрешается носить в клубном бассейне полосатые плавки. d) Я всегда в клубном бассейне ношу полосатые плавки. (Указание. Приведите каждое утверждение к форме «Если ... то ...» и запишите ваше рассуждение в виде диаграммы, как в задачах 7 и 8. Например, пусть р — утверждение: «Некто является членом клуба пловцов» и т. д.) 11+. Какое заключение вытекает из следующих предположений* a) Прирученные львы имеют острые зубы. b) Львы, которые едят людей, никогда не болеют. c) Львы, которые никогда не едят людей, имеют тупые зубы. d) Мой любимый лев, живущий у меня дома, болен воспалением легких. Воспользовались ли вы доказательством от противного? Объясните. § 3. ТЕОРЕМЫ О ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЯХ Теперь довольно легко доказать остальные теоремы гл. 3. Для удобства сначала мы вновь сформулируем аксиомы, на которые опираются доказательства этих теорем. Аксиома 4 (аксиома прямой) Для каждых двух точек существует одна и только одна прямая, содержащая обе эти точки. Аксиома 5 a) Каждая плоскость содержит по крайней мере три некол- линеарные точки. b) Пространство содержит по крайней мере четыре некомпланарные точки. 174
Дксиома б Если две точки какой-либо прямой принадлежат некоторой плоскости, то и вся эта прямая принадлежит той же плоскости. Аксиома 7 (аксиома плоскости) Любые три точки принадлежат по крайней мере одной плоскости, и любые три неколлинеарные точки принадлежат только одной плоскости. Теперь мы докажем следующую теорему. Теорема 3.2 Если какая-либо прямая пересекает не содержащую ее плоскость, то их пересечение содержит только одну точку. Доказательство. Нам даны прямая / и плоскость Е. По предположению мы имеем; 1°. / пересекает Ε по крайней мере в одной точке Р. 2°. Ε не содержит прямую /. Мы проведем доказательство от противного, и потому начнем с допущения, что 3°. I пересекает Ε в точке Ρ и в некоторой другой точке Q. Нам нужно показать, что допущение 3° приводит к противоречию с известным фактом. Вот как мы это сделаем. Так как обе точки Ρ и Q принадлежат плоскости £, то из аксиомы 6 следует, что и прямая / целиком принадлежит £, что противоречит 2°. Следовательно, допущение 3° было ошибочно, а значит, теорема 3.2 верна. Конечно, иллюстрирующий это доказательство рисунок выглядит довольно странно. Мы изобразили точку Q только для того, чтобы напомнить обозначения, принятые в доказательстве. Само Доказательство показывает, что такой точки быть не может. Сопровождающие доказательства от противного рисунки всегда будут казаться нелепыми по той простой причине, что они передают 175
невозможные ситуации. Если бы мы попытались графически^ проиллюстрировать доказательство теоремы 3.1, то полученный рисунок выглядел бы даже еще хуже. (Этот рисунок изображал бы невозможную ситуацию, когда две прямые пересекаются в двух различных точках.) Теорема 3.3 Если даны прямая и не принадлежащая ей точка, то существует одна и только одна плоскость, содержащая эту прямую и эту точку. Пусть /-данная прямая и Ρ-данная точка. Чтобы доказать теорему, нужно установить следующее: 1°. Существует плоскость Е, содержащая Put. 2° Существует толькоодна плоскость Е, содержащая Pul. Утверждения 1° и 2°, вместе взятые, утверждают, что существует ровно одна плоскость, содержащая Ρ я I. Доказательство 1° Пусть Q и R- любые· две точки прямой I. В силу аксиомы 7 существует плоскость Е, содержащая Р, Q и Л. В силу аксиомы 6 плоскость Ε целиком содержит всю прямую I. 1аким образом, Ε содержит и точку Ρ и прямую I. 2° Воспользуемся методом доказательства от противного. Попустим, что существует отличная от Ε плоскость Ε, содержащая Ρ и I. Тогда Ε содержит Р, Q и R. Но точки Р, Q и R не коллинеарны по той причине, что /-единственная прямая, содержащая Q и R (почему?), а прямая / не содержит Р. Итак мы имеем две различные плоскости Ε и F, содержащие неколлинеарные точки' Р, Q и R, что противоречит аксиоме 7. Заметим что эта теорема и ее доказательство естественно распадаются на две части. Тем самым иллюстрируется различие между существованием и единственностью. Первая часть доказательства устанавливает существование плоскости Е, содержащей f и / Вторая часть устанавливает единственность плоскости, содержащей Ρ и I. Когда мы доказываем существование, мы устанавливаем что имеется не менее одного объекта определенного вида. Когда мы доказываем единственность, мы устанавливаем, что имеется не более одного такого объекта. Если случится, что мы сумеем доказать и то и другое, то мы будем знать, что существует ровно один такой объект. 176
Однако существование и единственность вовсе не всегда, при любых обстоятельствах, сопутствуют друг другу. Во многих случаях мы имеем одно без другого, а часто —ни то, ни другое. Например, для блох, проживающих в шерсти бездомного пса, обычно можно доказать лишь существование, но не един* ственность. (В самом деле: счастлив пес, в шерсти которого живет всего лишь одна блоха.) Аналогично, если х — рациональное число, то существуют такие целые числа ρ и q, что Но такая пара целых чисел не единственна, потому что, кроме того, Л~~ 2q — Zq и т. д. Для старшей дочери встреченной нами женщины мы, очевидно, смело можем утверждать ее единственность, но вовсе не обязательно существование: в некоторых семьях вовсе нет детей или все дети— мальчики. Для общих точек двух различных отрезков не обязано иметь места ни существование, ни единственность: пересечение двух отрезков АВ и CD может содержать целый отрезок, или ровно одну точку, или же вовсе оказаться пустым: А* Чтобы подчеркнуть двойное значение выражения «ровно один», это выражение часто заменяют словами: «один и только один». Следующая наша теорема распадается на две части совершенно таким же образом, как и теорема 3.3. Теорема 3.4 Если даны две пересекающиеся пря- Mble, то существует одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые. 177
Нам дано, что прямые 1г и 12 пересекаются в точке Р, а нужно доказать два утверждения. 1° (существование). Существует плоскость £, содержащая 1Х и /2. 2° (единственность). Существует только одна плоскость Е, содержащая 1г и /2. Мы Запишем эти доказательства в два столбца. Доказательство Утверждения 1. 1г содержит точку Q, отличную от Ρ 2. Q не принадлежит /2. 3. Существует плоскость Еу содержащая Q и /2. 4 Плоскость £ содержит прямую lv 5. Допустим, что отличная от £ плоскость Е' также содержит прямые 1Л и /2. 6. Я' содержит точку Q, 7. Обе плоскости Ε и Е' содержат точку Q и прямую /2. 8. £' не существует. Аргументы По аксиоме линейки каждая прямая содержит бесконечно много точек В силу теоремы 3.1 прямая 1Ί пересекает /2 только в~точке Р. Теорема 3.3. В силу аксиомы 6 (ибо Ε содержит точки Ρ и Q). Начало доказательства от противного. Q принадлежит прямой 1г ! Шаги 3, 4, 5 и 6. Шаг 7 противоречит теореме 3.3. Заметим, что доказательство 2° дает вам образец записи в два столбца доказательств от противного. Строго говоря, фраза «Начало доказательства от противного» не является «аргументом»; она только объясняет, что мы имели в виду, записывая шаг 5. Задачи к § 3 1. Какую теорему можно сформулировать таким образом: «Две пересекающиеся прямые определяют плоскость»? 2. Если не все три прямые на левом рисунке компланарны, то сколько плоскостей они определяют? Перечислите все эти плоскости, назвав прямые, определяющие каждую из них. О к м 178
3 Никакие три луча на правом рисунке не компланарны Сколько плоскостей эти лучи определяют? Обозначьте каждую плоскость ее определяющими точками. 4 Какие аксиомы или теоремы, сформулированные в § 3, устанавливают единственность точки, существование которой установить нельзя? 5. Как указано на рисунке, точки А и В φ ρ лежат в плоскости Е, а точка Ρ — выше нее Какие аксиомы или теоремы утверждают, что прямая ЛВ содержится в £? На рисунке неявно присутствует вторая плоскость. Назовите ее. Каково ее пересечение с Я? Если некоторая четвертая точка Q лежит ниже плоскости £ и не коллинеарна ни с Ρ и Л, ни с Ρ и £, то какие плоскости при этом определяются? Сделайте чертеж. 6. Объясните, как употребляется выражение «один и только один», 7. Допустим, что вы хотите доказать, что в плоскости существует не более одной прямой, перпендикулярной данной прямой в данной точке Вы будете доказывать существование или единственность? Если бы вы стали проводить доказательство от противного, то какое допущение вы бы сделали в начале своего рассуждения? § 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРЫ С помощью линейки и транспортира легко восставить перпендикуляр к данной прямой в данной ее точке: просто нужно, как на этом рисунке, отложить угол в 90° с вершиной в данной точке Ρ так, чтобы одна сторона РХ этого угла принадлежала данной прямой /, а другая — одной из полуплоскостей, определяемых прямой /. * Перпендикуляр должен быть единст- г I венным, потому что на транспортире ! существует только одна пометка 90°. * Теперь мы опишем эту ситуацию в виде некоторой теоремы, которую затем и докажем на основании наших аксиом. Теорема 6.1 В данной плоскости существует одна и только одна прямая, перпендикулярная к данной прямой в данной ее точке. Другая' формулировка. Пусть Ε — некоторая плоскость, I — прямая в плоскости Ε и Ρ — точка прямой I. Тогда 1°. в плоскости Ε существует йрямая т, содержащая Ρ и перпендикулярная прямой I; 2°. такая прямая т единственна. Доказательство. 1°. Пусть Я —одна из двух полуплоскостей, содержащихся в £ и определяемых прямой /, а X —произ- в°льная точка прямой /, отличная от Ρ (см. рисунок выше). В силу Υ Η χ 90° 179
аксиомы построения углов существует луч PY, где точка У принадлежит Я, такой, что т Ζ ΥΡΧ = 90. Пусть m = PY. Тогда т±.1 и т пересекает / в точке Р. 2 Η /\ 2°. Допустим теперь, что две прямые т1 и т2 перпендикулярны прямой / и пересекают ее в точке Р. Мы покажем, что mi = m2. ^ Прямые тх и т2 содержат лучи PYX и РУ2, где точки Υχ и У2 принадлежат Я. По определению перпендикулярных прямых и по теореме 4.8 оба угла: Ζ. Υ±ΡΧ и £ IV'-X — являются прямыми, как указано на нашем рисунке. В силу аксиомы построения углов это означает, что ΡΥ1 и ΡΥ2 — один итотже луч. Так как прямые тх и т2 имеют больше чем одну общую точку, то они не могут быть различными. Следовательно, тг = т2. Заметим, что при доказательстве единственности перпендикуляра к прямой / в точке Ρ мы должны были ограничиться данной плоскостью. В пространстве к каждой прямой в каждой ее точке можно восставить бесконечное · множество перпендикуляров; так, все спицы велосипедного колеса перпендикулярны его оси. Пометки на следующем ршсунке указывают, что прямая / является медиатрисой отрезка АВ. Определение Медиатрисой отрезка β данной плоскости называется прямая, принадлежащая этой плоскости, перпендикулярная данному отрезку и проходящая д через его середину. t Каждый отрезок АВ имеет одну и только одну середину С, а через С проходит одна и только одна прямая, перпендикулярная прямой АВ. Следовательно, медиатриса отрезка существует и единственна. Следующая теорема описывает медиатрису отрезка иначе: I ♦ ' Ь · ГС β 180
Теорема 6.2 (теорема о медиатрисе) Медиатриса данного отрезка в данной плоскости есть множество всех точек этой плоскости, равноудаленных от концов этого отрезка. Другая формулир овк а. Пусть I —медиатриса отрезка АВ β плоскости Е. Тогда: 1° Если точка Ρ принадлежит I, /' I \ 2°. Если РА = РВУ то точка Ρ / L \ принадлежит L <£- ч———♦—J 1 ^» А / \ \ с в Эта теорема доставляет нам пример так называемого характеристического признака математического понятия. Чтобы охарактеризовать некоторое множество точек, мы устанавливаем условие, которому 1°. удовлетворяют все точки данного множества; 2°. не удовлетворяют никакие другие точки. В нашем случае рассматриваемое множество точек является медиатрисой отрезка АВ, а наше условие состоит в том, чтобы РА = РВ. Поэтому вторая формулировка теоремы, естественно, распадается на две части, и это же относится к доказательству. Доказательство. 1°. Пусть С — середина отрезка АВ и Ρ — произвольная точка прямой /. Если Р = С, то, очевидно, РА = РВ. Допустим теперь, что Ρ не совпадает с С, так что Ρ не принадлежит АВ. Тогда РС — РС в силу тождественной конгруэнтности; далее, Z. PC А д* Ζ РСВ, поскольку оба эти угла— прямые, и СА = СВ, так как С — середина АВ. На основании CYC Δ PC А оё Δ РСВ. Следовательно, РА = РВ. 2°. Дано, что точка Ρ принадлежит плоскости Ε и что РА — РВ. Если Ρ принадлежит АВ, то Р = С, так как отрезок АВ имеет только одну ^ередину. Если Ρ не принадлежит АВ, то Г —прямая PC, РС = РС, LA^CB и РА=РВ. (Почему?) На 0сновании ССС, как и прежде, имеем АРСА9*ДРСВ. 181
Поэтому согласно определению /_ PCD является прямым и, значит, 1Г ±_АВ в точке С. Но по теореме 6.1 перпендикуляр единствен, следовательно, /' = /. Таким образом^ точка Ρ принадлежит /, что и требовалось доказать. Следствие 6.2.1 Даны отрезок АВ и прямая I, принадлежащие одной плоскости. Если каждая из каких-либо двух точек прямой I равноудалена от А и Ву то I является медиатрисой отрезка АВ. Доказательство, В силу теоремы 6.2 прямая I содержит две точки медиатрисы отрезка АВ. Так как две точки определяют прямую, это означает, что прямая I является медиатрисой отрезка АВ. Мы нашли, что при построении перпендикуляра к данной прямой, проходящего через точку, принадлежащую этой прямой, никакой проблемы не возникает: нужно только отложить угол в 90°. Если точка не принадлежит данной прямой, то построение становится уже не совсем тривиальным. Пусть даны прямая / и точка Р, не принадлежащая /. Мы хотим построить прямую, проходящую через Ρ и перпендикулярную /. (Разумеется, мы действуем в некоторой плоскости Е, содержащей / и Р.) Пусть Q и R— любые две точки прямой /. Чтобы построить перпендикуляр, сначала мы проведем луч QP и измерим £_ POR. Затем мы проведем луч QS, где точка S лежит по противоположную сторону от / по отношению к точке Р, как указано на рисунке, и такова, что ASQR^^PQR. (Какая аксиома это позволяет?) Затем мы нанесем на луч Q§ точку Т, для которой TQ = PQ. Тогда отрезок ТР пересечет прямую / в некоторой точке U. (Почему?) Теперь QU — QU, Z. PQU' = Q^ATQU и TQ = PQ. Следовательно, в силу CYC /\PQUc* ^ATQU и LPUQ и £ TUQ являются прямыми. Таким обра- 182
ooUy ΤΡ J_ l, и мы построили перпендикуляр к /, проходящий через'точку Р. Опираясь на это рассуждение, вы должны суметь дополнить доказательство следующей теоремы, которое мы запишем в два столбца. Теорем а 6.3 Существует по крайней мере одна прямая, перпендикулярная данной прямой и проходящая через данную точку, не принадлежащую этой прямой. Другая формулировка. Пусть I — прямая и Ρ — точка, не принадлежащая I. Тогда существует прямая, перпендикулярная I и содержащая Р. Доказательство Утверждения 1. Прямая / содержит две точки Q и R 2 Существует такой луч QS, где S и Ρ лежат по противоположные стороны от/, что Ζ SQR^/. PQR. 3 На луче QS существует такая точка Г, что TQ = PQ 4. Точки Τ я Ρ лежат по противоположные стороны от /. 5. Отрезок ТР пересекает прямую / в некоторой точке U. 6. д PQU ^ Δ TQU 7· L Ρί/Q —прямой угол 8< PUL 1. Аргументы Аксиома линейки. ? ? Точки Ρ и 5 лежат по ложные стороны от /, а Г —по одну сторону от / ? ? ? ? противопо- точки S и Это доказательство, как оно здесь записано, не допускает возможности Q = i/. Когда мы случайным образом выбрали на / точку Qf вообще говоря, могло случиться, что PQ J_Z. Но, ко- 183
нечно, если бы это случилось, то нам далее нечего было бы доказывать, потому что мы уже имели бы искомый перпендикуляр, а именно, прямую PQ. Таким образом, перпендикуляр к прямой, проходящий через данную точку, не принадлежащую этой прямой, существует. Теперь мы покажем, что этот перпендикуляр — единствен. Теорема 6.4 Существует не более одной прямой, перпендикулярной данной прямой и проходящей через данную точку, не принадлежащую этой прямой. rh Доказательство. Как и большинство доказательств единственности, это доказательство является доказательством от противного. Допустим, что 1Х и /2 — дзе различные прямые, проходящие через Ρ и перпендикулярные /. Пусть А и В —точки, в которых ^прямые /х и /2 пересекают /, a Q — точка луча, противоположного лучу АР, причем такая, что AQ — AP. (Она существует по теореме о нанесении точки.) На основании СУ С имеем APAB^AQAB. (Наш рисунок создает впечатление, что это не так, но вспомните, что рисунок изображает невозможную ситуацию; ведь * наша задача как раз и состоит в доказательстве невозможности этой ситуации.) Следовательно, /, РВА ^ Ζ QBA, так как это соответствующие углы. Поэтому BQ±_l в точке В. Таким образом, сущест- вуют две прямые, /2 и BQ, перпендикулярные прямой / в точке В, Но это противоречит теореме 6.1, утверждающей, что в данной плоскости существует только одна прямая, перпендикулярная данной прямой в данной ее точке. Итак, наше допущение о том, что существуют два перпендикуляра к /, проходящие через точку В, было ошибочно. 184
Следствие 6.4.1 Ни один треугольник не может иметь два прямых угла. Доказательство. Ьсли бы оба угла: / Л и Ζ В—в A ABC были прямыми, то нашлись бы два перпендикуляра к прямой АВУ проходящие через точку С..Но в силу теоремы 6.4 это невозможно. Определение Прямоугольным треугольником называется треугольник, один из углов которого является прямым. Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой, а стороны, смежные с прямым углом, называются катетами. Разумеется, только предыдущая теорема дает нам право говорить о прямом угле (единственном!) прямоугольного треугольника. Задачи к § 4 1. Пусть в плоскости Μ точка А принадлежит прямой / и, кроме того, AT J_ / и AQ _]_ /. Какое заключение можете вы тогда сделать относительно AQ и ЛГ? Почему? 2. Какая теорема утверждает, что вершина угла, противоположного основанию равнобедренного треугольника, принадлежит медиатрисе этого основания? 3. Прямая / на этом рисунке является медиатри- сой отрезка АВ. Длины отрезков указаны на рисунке. Найдите х, у, г. 4 Докажите, что если D —середина отрезка ВС <—^- - и ΛΏ J_ ВС, то д ABC— равнобедренный треугольник. В своем доказательстве не пользуйтесь конгруэнтными треугольниками.
5. На этом рисунке GE = КЕ, GM = КМ и точка Η принадлежит ЕМ. Докажите, что GH = КН, не пользуясь конгруэнтными треугольниками. 6. Прямая / является медиатрисой отрезка QT, Точка Ρ лежит по ту же сторону от /, что и Q. Отрезок РТ пересекает прямую / в точке R. Докажите, что PT = PR+RQ. 7. а) Сколько существует на плоскости перпендикуляров к данной прямой в данной ее точке? Ь) Сколько существует в пространстве перпендикуляров к данной прямой в данной ее точке? 8. Скопируйте этот рисунок. С помощью линейки и транспортира постройте перпендикуляры к прямой DB, проходящие через Л и С. Постройте перпендикуляр к прямой Ъс, проходящий че- ' рез By и перпендикуляр к прямой ВС, проходящий через А. 9. Какая теорема позволяет сказать: «Пусть Л —точка, принадлежащая перпендикуляру к данной прямой /, проходящему через данную точку В, не лежащую на /»? 10. а) Если Z, R — прямой угол в /\ POR, то сторона PQ называется ..., а стороны RQ и RP называются .... Ь) Если Z. С —прямой угол в Δ ABC, то гипотенузой является сторона..., а катетами — стороны ... и ... . 11. Докажите, что если медиана, делящая пополам гипотенузу прямоугольного треугольника, перпендикулярна гипотенузе, то этот прямоугольный треугольник—равнобедренный. 12*. Дан Δ ABC, у которого АС — ВС. Биссектрисы углов при основании (Z. А и /;β) пересекаются в точке F. Докажите, что прямая CF перпендикулярна основанию АВ. (В доказательстве нужно рассмотреть некоторые конгруэнтные треугольники.) 186
α* Одна из диагоналей четырехугольника делит пополам два угла этого че- тырехугольника. Докажите, что она делит пополам и другую диагональ. «л* Точки Л, В и С лежат в плоскости Ε. ρ Точки Ρ и Q лежат по противоположные стороны от Е. Дано, что PB = QB, что А — середина отрезка^Рф и что L РВС^ L QBC. Докажите, что PQ 1 АС, § 5. ВВЕДЕНИЕ В ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ТОЧЕК И ПРЯМЫХ. УПОТРЕБЛЕНИЕ СЛОВА «ПУСТЬ» Вероятно, вы уже заметили, что в некоторых наших доказательствах мы вводили в рассмотрение точки и прямые, в формулировке теоремы не фигурирующие. Вспомним, например, то место в § 4, где мы хотели доказать, что всегда существует перпендикуляр к данной прямой, проходящей через данную точку, не принадлежащую этой прямой. ο*\^ i Ρ iLt г 1 i ^—' υ R ί Здесь заданы были только прямая / и точка Р, но для построения перпендикуляра ТР мы ввели точки Q и R, лучи QP и QS и точку Г. В каждом шаге записи доказательства этой теоремы (теоремы 3-6) в два столбца в левом столбце утверждается, что действительно существуют точки и лучи, обладающие нужными свойствами. И если вы заполнили правый столбец правильно, то в каждом шаге вы сделали ссылку на аксиомы (или, быть может, на теоремы), оправдывающие соответствующее утверждение. Однако по большей части аргументы в таких случаях очень просты. И, записывая пункты доказательства, часто мы пользуемся 187
неформальном языком. Вот один пример, встретившийся нам в обсуждении, предшествовавшем теореме 6.3. Мы сказали: «Пусть Q и R — любые две точки прямой /. Чтобы построить перпендикуляр, мы сначала проведем луч QP ...» Математики часто так говорят, и нет причин, по которым этого не стоило бы делать. Но если вы внимательно не следите за тем, что происходит, то использование выражений такого рода легко может привести к недоразумениям. Иногда может показаться, что математики просто говорят «пусть» всякий раз, когда им хочется, чтобы что-то выполнялось. Но, конечно же, они делают совсем не то. Когда мы говорим: «Пусть Q и #—<- любые две точки прямой Ь, мы утверждаем, что прямая / содержит две точки и что мы знаем, почему это так. Поскольку мы уже доказали теоремы 6.3 и 6.4, мы знаем, что перпендикуляр, о котором в них говорится, существует и единствен. Поэтому мы имеем право сказать: «Пусть V — перпендикуляр к прямой /, проходящий через точку Р». Это сокращенный способ, позволяющий сослаться на обе эти теоремы сразу. (Вопрос. Если бы мы знали только теорему 6.3, но не теорему 6.4, то сокращенное утверждение какого вида мы имели право сделать?) Когда мы вводим вспомогательные точки и прямые в записываемых в два столбца доказательствах, нам нужно как на аргументы ссылаться на какие-то аксиомы или теоремы. Вот перечень аксиом и теорем, на которые мы будем для этой цели ссылаться. Это утверждения, говорящие нам, что некоторая точка, прямая или плоскость существует, или единственна, или то и другое вместе. Аксиома 4 (аксиома прямой) Для каждых двух точек существует одна и только одна прямая, содержащая обе эти точки. Аксиома 5 a) Каждая плоскость содержит по крайней мере три некол- линеарные точки. b) Пространство содержит по крайней мере четыре некомпланарные точки. Теорема 2.1 (теорема о нанесении точки) Пусть А В—луч и χ—положительное число. Тогда существует юдна и только одна точка Ρ луча АВ, для которой АР = х. Теорема 2.2 Каждый отрезок имеет середину и притом только,одну. 138
Теорема 3.1 Если две прямые пересекаются, то их пересечение содержит только одну точку. Теорема 3.2 Если какая-либо прямая пересекает не содержащую ее плоскость, то их пересечение содержит только одну точку. Аксиома 7 (аксиома плоскости) Любые три точки принадлежат по крайней мере одной плоскости, и любые три неколлинеарные точки принадлежат только одной плоскости. Теорема 3.3 Если даны прямая и не принадлежащая ей точка; то существует одна и только одна плоскость, содержащая эту прямую и эту точку. Теорема 3.4 Если даны две пересекающиеся прямые, то существует одна и только одна плоскость, содержащая обе эти прямые. Аксиома 12 (аксиома построения углов) Пусть АВ—луч, принадлежащий ребру полуплоскости Я, Тогда для каждого числа г, заключенного между О и 180, существует ровно один такой луч АР, что точка Ρ лежит в полуплоскости Η и т £ РАВ = г. Теорема 5.2 Каждый угол имеет биссектрису и притом только одну. Теорема 6.1 В данной плоскости существует одна и только одна прямая, перпендикулярная данной прямой в данной ее точке. Теорема 6.3 Существует по крайней мере одна прямая, перпендикулярная данной прямой и проходящая через данную точку, не принадлежащую ШОй ПрЯМОй% 189
Теорема 6.4 Существует не более одной прямой., перпендикулярной данной прямой и проходящей через данную точку, не принадлежащую этой прямой. Среди ^всех до сих пор рассмотренных теорем и аксиом только что перечисленные — это те, которыми мы будем пользоваться при введении вспомогательных точек и прямых. Но, конечно, от этих теорем нам не будет никакого толка, если, проводя доказательство, мы не сумеем сообразить, какие точки и прямые полезно ввести в рассмотрение. В действительности, придумывание полезных точек и прямых, т. е. таких, которые стоит ввести, составляет одновременно и трудную и наиболее интересную часть нашей работы; ссылки на теоремы —это только способ, позволяющий гарантировать, что мы поступаем правильно. Для изобретения доказательств нет жестких правил; можно этому научиться только на практике. Пр имер Дано. Плоская фигура (см. рисунок), где AD = AE и CD^CE. Требуется доказать. Так как все наши аксиомы и теоремы, относящиеся к конгруэнтности, имеют дело с треугольниками, кажется разумным изобразить на нашем рисунке какие-либо треугольники. Мы можем осуществить это очень легко, проведя отрезок АС или отрезок DE. Допустим, что мы проведем (т. е. введем А в наше доказательство) отрезок DE так, что наша фигура будет выглядеть как на следующем рисунке. Это позволит нам довести доказательство до конца, так как из того, что т L ADE g* m L AED и т L CDE д* = т Л CED, по аксиоме сложения углов следует, что т L ADC = m Л АЕС. 190
Предостережение. Прежде чем «вводить» какие-либо чки или прямые, нужно удостовериться, что они существуют. Т? ничего легче, чем описывать воображаемые объекты, необду- нНо приставляя какие-то слова одно к другому. Рассмотрим, ^япример, следующую «теорему» и ее «доказательство». «Теорема» В любом Δ Авс имеем Δ Вд^ £С. «Доказательство». Пусть D — точка, лежащая между_Б и__С и такая, что BD = DC и AD±BC. Тогда / ADB= L ADC, так как оба эти угла —прямые. Следовательно, ADB++ ί+ ADC есть СУС-соответствие. Поэтому ^ADB^AADC и LB^LC. Эта «теорема» смехотворна, поэтому ее «доказательство» должно быть неверно. И нетрудно заметить, что ошибочный шаг в доказательстве сделан в самом начале, когда мы слишком беззаботно воспользовались словом «пусть». Если случайно не окажется, что Δ В^ /. С, то середина отрезка ВС и основание перпендикуляра, проведенного к ВС из точки Л, будут двумя различными точками. Таким образом, в большинстве случаев точка D, существование которой мы «допустили», на самом деле не существует. Заметим, что если бы автор этого неверного доказательства изобразил на своем рисунке разносторонний треугольник, то его ошибка была бы совершенно очевидной. Хорошие рисунки не гарантируют отсутствия ошибок, но все же часто позволяют их избежать. Задачи к § 5 • Докажите теорему, сформулированную в 2 пРИмеРе 1 на стр. 191, проведя отрезок АС. ' ί \\ РИСУН0К (обратите внимание на пометки';· Докажите, что L М.^ L Р. 191
3. Дан рисунок, на котором AD = CB и ЛВ ·. Докажите, что АК — СК. 4. Составьте на своем листе бумаги список аксиом и теорем, перечисленных на стр. 189—191, вместо аксиомы 4, написав просто 4, вместо теоремы 2.1 —просто 2.1 и т. д. Если аксиома или теорема утверждает существование какого-либо объекта, рядом с номером этой аксиомы или теоремы напишите букву С, если единственность — букву £, если и существование и единственность, то буквы СЕ. Например, аксиома 4 в нашем списке должна вцглядеть так: «4СЕ». , Даны точки А а В, лежащие в плоскости Е> и точки Ρ и Q, лежащие по противоположные стороны от плоскости Ε и такие, что PA — QA и А В ±_ PQ. Докажите, что точка В равноудалена от Ρ и Q. Как участвует в вашем доказательстве теорема 3.4? 6. Дано. Точки Q, /?, S и Τ компланарны, QR=QT и т L R=m L Т. Требуется доказать. SR — ST. Сохранит ли ваше доказательство силу, если точки Q, R, S и Τ не компланарны? 7. Найдите ошибку в следующем «доказательстве». Точки Б и С на сторонах L А взяты так, чтобы АВ = АСш D — любая точка внутри Ζ А. Проведем луч, делящий L А пополам и содержащий точку D, а также отрезки DC и DB. По определению биссектрисы LDAC^. Δ DAB. Далее, AD = AD как тождество. Следовательно, в силу СУ С Д ADC ^ &ADB и DB—DC. Таким образом£ точка £> равноудалена от В и С. 192
8. Дано. AB^PQ и BP = AQ. Требуется доказать. a) L A S L Р\ b) &ABMs*APQM. AH = RD, Δ А^ Δ R, причем Δ Ηζζ Δ D. 9*. Дано, пи —-χ~, α. ^* = α. *χ, #, Л, /? и D компланарны --.- Λ« тт^тгооо^» / U точки ϋ, /*, *χ « — "-— Требуется доказать 10*. Наметьте второе решение задачи 9, проведя вспомогательные отрезки, отличные от тех, которыми вы пользовались раньше. 11*. Придумайте два доказательства следующего утверждения и скажите, какое из них не зависит от требования, чтобы точки Л, В, С и D были компланарны. Дано. Рисунок, где АВ^АС и £D = = CD. Требуется доказать. Δ ABD ^ 9Ё Δ ACD. 12*. Плоскости R и, Г на этом рисунке пересекаются по прямой MN. Точка Ε лежит в плоскости 7\ точка S —в плоско- сти к, а прямая ΜΝ содержит точки А и Υ. Докажите, что если ΕΥ = ΕΑ и SY^SA, то Δ Ε AS ^ Δ EYS. § 6. КАК ОБОЙТИСЬ БЕЗ «ГСУ-АКСИОМЫ . ИзУчение конгруэнтности треугольников в предыдущей главе тель°СН0ВЬ1ВаЛИ на трех аксиомах: Сус> усу и ссс· в Действи- При Ности' единственной из них, которую мы в самом деле должны то ять за аксиому, является СУС\ если мы примем только СУС, тавшиеся две «аксиомы» можно доказать. 193
Сначала рассмотрим случай УСУ. Пусть дано УСУ-соответствие ABC*-* DBF, как указано на рисунке, так что ( LA^LD; l.l AC = DF; XLC^LF. Нам нужно доказать, что Д ABC ^ Д DEF. Доказательство Утверждения 2. Луч ЛВ содержит такую точку В', что AB< = DE. 3. AB'C*->DEF есть СУС-соот- ветствие. 4. ДЛ^'С — ДЯ^· 5. Ζ ACBf^ Δ DFE. . 6. CB' = CB. 7. £' = B. 8. /\ABC^&DEF. Аргументы Теорема о нанесении точки. Шаги 1 и 2. СУС. Соответствующие углы. Аксиома построения углов. Две различные прямые пересекаются не более чем в одной точке. Шаги 4 и 7. § 7. КАК ОБОЙТИСЬ БЕЗ ССС-АКСИОМЫ Теперь мы покажем, что и ССС можно дока- а зать как теорему. Сначала мы напомним, что единственным, чем мы пользовались в доказательстве теоремы о равнобедренном треугольнике, была аксиома СУС. Так как АВС*-*АСВ есть СУС-соответствие, то /\АВСо=^/\АСВ, и потому Таким образом/ при доказательстве ССС мы можем пользоваться теоремой о равнобедренном треугольнике, не впадая в порочный круг. 194
Допустим теперь, что нам дано ССС-соответствие ABC<~DEF. Доказательство Утверждения 1. AB^DE, AC^DF, BC^EF. 2. По противоположную по отношению к точке В сторону от Л С существует такая точка G, что ACAGg^LD. 3. Существует такая точка Η луча Ж?, что AH = DE. 4. AHC*->DEF есть СУС-соответ- ствие. 5. Δ ЛНС ^ Δ DEF. Аргументы Дано. Аксиома построения углов. Теорема о нанесении точки. Шаги 1, 2 и 3. СУС. Таким образом, мы построили конгруэнтную копию /\DEF снизу от Д ABC. Этим закончена первая половина доказательства. Во второй половине мы собираемся показать, что Д АВС^/\ АНС. Нижеследующее доказательство относится к случак^ изображенному на нашем рисунке, т. е. случаю, когда отрезок ВН пересекает прямую АС в точке, лежащей между А и С. Доказательство (продолжение) Утверждения 6. Δ АВНд^^АНВ. 7. £НВСд^£СНВ. У' АВС++АНС есть СУС-соот- ветствие. u· &ABCg^&DEF. Аргументы Теорема о равнобедренном треугольнике. Теорема о равнобедренном треугольнике. Аксиома сложения углов. Шаги 1, 5 и 8. СУС. Шаги 5 и 10. 195
Конечно, нужно рассмотреть еще два случая1). К=А Доказательства, отвечающие этим случаям, вам провести самостоятельно. мы предоставляем § 8· ОТНОШЕНИЕ «МЕЖДУ» И РАЗБИЕНИЕ Если вы внимательно следили за нашими доказательствами, то вы дважды могли уличить нас в неполноте. В доказательстве теоремы 5.2 в действительности мы должны были знать, что середина D отрезка ВС лежит внутри £ ВАС, Информация об этом была нам нужна для того, чтобы убедиться, что луч AD удовлетворяет определению биссектрисы угла. Точно так же в доказательстве ССС в предыдущем параграфе, когда в шаге 8 мы пользовались сложением углов, мы должны были знать, что точка К лежит внутри Z, АНС. Строго говоря, эти утверждения нуждаются в доказательстве. Но почти во всех книгах, зключая «Начала» Евклида и большинство последующих учебников, такие доказательства опущены. Не надо думать, что это непременно плохо. Здравый смысл является в геометрии совершенно правильным ориентиром—прежде всего именно здравый смысл говорит нам, что наши аксиомы разумны. И геометрия сложилась как вполне развитая наука за две тысячи лет до того, как людям удалось выписать аксиомы, кото- λ) Возможен также случай, когда точка К лежит правее точки С\ однако его можно отдельно не рассматривать (почему?). 196
действительно годятся для доказательства геометрических теорем. Но раз уж мы выписали эти аксиомы и раз мы научились ими хотелось бы освободить изложение от явных пробе- и доказав теоремы, которые нам требуются. пользоваться, лов, сформулировав Теорема 6.5 Если точка Μ лежит на прямой I между точками А и С, то Μ и А лежат по одну сторону от любой другой прямой, содержащей С. Доказательство. Пусть Ιχ·— другая прямая, содержащая точку С. Допустим, что А и Μ лежат по противоположные стороны от lv Тогда отрезок AM содержит некоторую точку D прямой lv Но отрезок AM принадлежит /, а / пересекает 1г только в точке С. Следовательно, C = D. Поэтому в ν силу определения отрезка точка С находится между А и М, что невозможно, так как точка Μ лежит между А и С (см. утверждение 2° на стр. 48). Отсюда легко получается террема, которая была нам нужна в доказательствах теорем 5.2 и ССС. Теорема 6.6 Если точка Μ лежит между точками В и С и если А —- любая точка, не принадлежащая прямой ВС, то точка Μ лежит внутри L ВАС. А "С Доказательство. Из предыдущей теоремы мы знаем, что 1 о < ■> 1 · точки Μ и В лежат ло одну сторону от АС. Применяя эту теорему повторно, получаем, что * . точки Μ и С лежат по одну сторону от A S. Но по опре- лению внутренности угла это и означает, что точка Μ лежит внутри £ВАС. 197
Задачи к § 8 (Замечание. В нижеследующих задачах ни из одного рисунка не нужно «вычитывать» никакой информации.) 1+. Сделайте рисунок для следующего утверждения и докажите, что оно справедливо. Каждая точка любой стороны произвольного треугольника, отличная от вершины треугольника, лежит внутри угла, противоположного этой стороне. 2+. Даны прямая АС и точка R, удовлетворяющая условию R — A—Cy точка Б, не принадлежащая ЛС, и такие точки Ρ и. Q, что Б — Ρ— С и B — Q — A. Дополните каждое из следующих утверждений и обоснуйте свой ответ: a) Точка Ρ лежит внутри /..... b) Точки Q и В лежат по ... сторону от ЛС. c) Точки Ρ и В лежат по ... от АС. d) Точки Q и Ρ лежат по ... от АС. e) Точки R и Ρ лежат по ... от Л В. 3+. Доказать. Если точка Μ лежит на прямой / между точками Л и С, то Л и С лежат по противоположные стороны от любой другой прямой, содержащей Λί. 4+. Даны компланарные точки Л, В, С, D, Ε и Ht причем Л, В и С неколлинеар- ны и, кроме того, B — C—Dy Л — Б—С и В — Е — Н. Докажите, что Л и Я ле· жат по одну сторону от BD. 5*+. Доказать. Если некоторая прямая пересекает какую-либо сторону треугольника в точке, отличной от его вершины, то она должна пересечь еще хотя бы одну сторону этого треугольника, (Указание. Пусть Нг и #2 — полуплоскости с ребром /, причем точка С принадлежит Нг. Нужно рассмотреть три случая: когда точка В принадлежит прямой /, когда В принадлежит Нх и когда В принадлежит #2.) 6*+. Даны компланарные точки Л, Б, С, D, Ε и Ну причем Л, Б и С неколлинеарны -и, кроме того, B — C — Dy A —E—С и £ —Б — //в Докажите, что точка Η лежит внутри Ζ ACD. (Указание, Согласно определению внутренности угла вам нужно показать, что точки А и Η лежат по одну сторону от прямой CD (см. задачу 4) и что точки D и Η лежат по одну сторону от прямой АС.) 198
7*+ Следующая теорема, справедливость которой кажется такой очевидной, часто принимается без доказательства. Если К— любая точка внутри^ Ζ ABC, то луч ВК пересекает отрезок АС. После того как вы сумеете ответить на предлагаемые ниже вопросы, вы получите доказательство. Чтобы обосновать свои рассуждения, вы можете пользоваться другими задачами из этого списка. a) Пусть #х и #2 — полуплоскости, имеющие своим ребром прямую ВС, причем точка А принадлежит Hv Возьмем любую точку D на луче, противоположном лучу ΈΛ. Проведем отрезок DC, образовав Д DAC. Почему точка D принадлежит #2? b) Почему точка К принадлежит Нг? Какая теорема показывает, что каждая точка луча ВК, исключая В, принадлежит Ях? c) Почему каждая точка отрезка DC, отличная от С, принадлежит #2? d) Почему отрезок DC не пересекает луча В К? e) Почему отрезок DC не пересекает луча, противоположного лучу ΤΠξ? f) Почему отрезок DC не пересекает прямой ВК? g) Почему прямая ВК должна пересечь отрезок АС? h) Почему луч, противоположный лучу ~~В>К, не пересекает отрезка АС? i) Почему луч В К пересекает отрезок АС? Конкурсная задача Из следующего неверного рассуждения, которым мы пытаемся доказать, что некоторый тупой угол конгруэнтен прямому, ясно видно, насколько важно знать, по какую сторону от прямой лежит точка. Допустим, что □ ABCD — прямоугольник и что его сторона ВС повернута вокруг точки В в направлении от прямоугольника, так что ~ВС'~~ВС и L А ВС — тупой угол. Пусть ме- ί Ρ а отрезка А В пересекает медиатрису отрезка DC в некоторой точке X. C.CJTH V «С ^ лежит ниже прямой А В, как показано на рисунке, то по ССС-теореме и потому Δ AXD^& BXC т LDAX=.m L С'ВХ. 199
Кроме того, в силу ССС Δ ЕАХ ^ Δ ЕВХ и, таким образом, т Ζ Ε ΑΧ =- = m/ ££Х, откуда после вычитания следует, что m Ζ. DAE = m z. С BE. Если точка, соответствующая точке X, лежит выше ЛИ, 0 С как на нижнем рисунке, то, в точности как и раньше, получаем т Ζ DAX = m Z С'ВХ, m Ζ. £ЛХ = m Z ££X, и требуемое равенство следует из сложения двух предыдущих: т -L DAE = mZ С BE. Что в этом рассуждении неверно? (Указание. Попробуйте сделать точный рисунок для случая, когда т L ABC лишь чуть-чуть меньше, чем 180. Насколько такое «доказательство» будет проходить в этом случае?) А Е В Вопросы и задачи для повторения 1. Предположим, что каждое из нижеследующих утверждений вы собираетесь доказать методом от противного. С какого допущения в каждом случае вы начнете? a) Если у треугольника нет двух конгруэнтных углов, то он не равнобедренный, b) Если даны прямая и не принадлежащая ей точка, то существует не более одной прямой, проходящей через эту точку и перпендикулярной данной прямой. c) Если какая-либо точка равноудалена от концов некоторого отрезка, то она лежит на медиатрисе этого отрезка. d) Если две компланарные прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны. e) На плоскости существует не более одной прямой, перпендикулярной данной прямой в данной ее точке. f) V2 —не рациональное число. g) Нуль не имеет обратного числа. 2. Определите медиатрису отрезка. 3. Сформулируйте теорему о медиатрисе. 4. Перерисуйте· каждый из изображенных выше треугольников, выбранных так, чтобы каждый из них определенно был разносторонним. Постройте медиатрисы каждой стороны каждого треугольника. Будет ли хотя бы одна из этих медиатрис делить пополам какой-нибудь угол одного из наших треугольников? 5. Для каждого из нижеследующих утверждений укажите, верно оно или нет. a) На плоскости существует не более двух перпендикуляров к данной прямой в данной ее точке. b) Доказать, что «существует ровно один» —это значит, доказать и существование и единственность. c) Самая длинная сторона любого треугольника называется гипотенузой. d) В прямоугольном треугольнике сторона2 противоположная прямому углу, называется гипотенузой. 200
На этом рисунке АЕ^ВС, ED^CD, точка О является серединой отрезка ЛВ и L Ε ^ L С. Докажите, что DG 1 АВ. Прямая I является медиатрисой отрезка ВС, причем Л —середина этого отрезка. Точки i( и G лежат по одну сторону от прямой ВС. Точка К лежит по ту же сторону от /, что и точка В, а точка G — по ту же сторону от /, что и С, и при этом Ζ ВАК = L С АО. Перпендикуляр к отрезку В£ в точке В пересекает луч АК в точке D, а перпендикуляр к отрезку ВС в точке С пересекает луч AG в точке Е. Докажите, что отрезки BE и СО пересекаются на прямой U
7 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА . * ·· ·· ···· * f-- -: ^Μ - ■ t * *t\ <%· ■■■ ч \ ··· "- * , ъ "■■ - |; - ····. ^· & "":··>ν'·*;*''';νέ^' ":л ····" " ·&■$> ч · ' .^ & <. ■■ ν ^w Jb ·
1. РАЗУМНЫЕ ГИПОТЕЗЫ До сих пор, изучая геометрию треугольника, мы имели дело только с условиями, обеспечивающими равенство двух отрезков (или их длин) или двух углов (их мер). Теперь мы перейдем к изучению условий, обеспечивающих «направленное неравенство» отрезков или углов, т. е. то, что один отрезок больше другого (другими словами — имеет большую длину) или один угол больше другого (другими словами — имеет большую меру). Начнем мы, однако, не с доказательства теорем. Сначала выскажем некоторые разумные гипотезы о характере утверждений, которые должны были бы быть верными. (Эти утверждения нельзя называть теоремами, пока и поскольку они еще не доказаны.) Рассмотрим следующий пример. Дан треугольник с двумя сторонами неодинаковой длины. Что можно сказать об углах, противолежащих "этим сторонам? Заметим, что зта задача естественно возникает из теоремы 5. 3, утверждающей, что если две стороны треугольника имеют одну и ту же длину, то противолежащие им углы имеют одну и ту -же меру. Эту ситуацию вы можете исследовать, нарисовав треугольник с двумя сторонами заведомо неравной длины. Здесь ВС больше, чем АВ, и т £ А больше, чем т £ С Начертив еще несколько треугольников, вы, вероятно, убедитесь, что должно быть верно следующее утверждение: Если две стороны треугольника имеют неравные длины, то углы, противолежащие этим сторонам, имеют неравные меры и больший угол лежит против большей стороны. Теперь испробуйте тот же прием на следующих задачах. Задачи к § 1 кажД°Г0 из этих треугольников т L A >tn L В. Какую гипотезу можете ы высказать о сторонах, противолежащих L А и L. В? 203
2. Рассмотрим любые три' треугольника. Обозначим вершины каждого из них буквами Л, В и С. Кажется ли вам верным неравенство АВ + ВС > АС? Что больше: ВС + АС или АВ? Как -обстоит дело с ВС и АС~\-АВ? Какое общее утверждение подсказывается вашим ответом? 3. Рассмотрите несколько разносторонних треугольников различной формы. Для каждого из них отметьте наибольшую сторону и наибольший угол. Какая гипотеза здесь напрашивается? Доказывают ли ваши примеры, чТ0 она верна? 4. Нарисуйте &RST и /\АВС, у которых RS = AB, ST^BC и т L RST> >mz ABC, Сравните RT и AC. А В D A ' В D А В D 5. Какую гипотезу относительно m Ζ CBD и т L ВАС вызывают у вас изображенные здесь треугольники? Как вы думаете, останется ли ваша гипотеза в силе, если вершина С на третьем рисунке будет удалена очень далеко влево от вершин Л и β? Не приходит ли вам в голову, как доказать, что эта гипотеза справедлива? 6. Нарисуйте любой /\МОР, Пусть К—точка между Μ и серединой отрезка MP. Проведите отрезок /СО. Для /\МОР и Д КОР имеем: РО = РО,' Ζ-Ρ=Ζ Ρ и MP > /СР. Человек, склонный к поспешным выводам, может решить, что МО > КО. Покажите, что это неравенство выполняется не всегда. 7. Даны прямая / и не принадлежащая ей точка Р. Пусть Q — основание перпендикуляра, опущенного из Ρ на /, а А — какая-нибудь другая точка прямой /. Какая, гипотеза относительно PQ и РА кажется вам справедливой? 8+. Позволяет ли описанный ниже прием произвести трисекцию любого угла? Чтобы помочь себе ответить на этот вопрос, сделайте несколько рисунков. На сторонах произвольного Ζ. Л возьмем точки В и С так, что АВ = АС. Проведем отрезок ВС и разделим его на три конгруэнтные части точками D и Ε у так что BD — DE — EC. Проведем отрезки AD и АЕ. Тогда лучи AD и АЕ делят Ζ Л на три конгруэнтные части. 204
q+ ОС и QB — неколлинеарные отрезки, при- * надлежащие плоскости Е, а Р — не принадлежащая этой плоскости точка, такая, что L PQB и ^ PQC — прямые. Напишите верное, по вашему мнению, предложение, касающееся РВ и PC. i0*+. Пусть Л —точка в плоскости Е, и АВ — ие принадлежащий этой плоскости луч, а Л?— луч, принадлежащий Е. Рассмотрев различные положения луча АС, как можно точнее опишите те его положения, при которых т L ВАС будет наибольшей и наименьшей. Мы не ждем доказательства, а просим вас на основании ваших знаний о пространстве постараться догадаться, каким должен быть ответ. § 2. НЕРАВЕНСТВА МЕЖДУ ЧИСЛАМИ, ОТРЕЗКАМИ И УГЛАМИ Неравенства, связывающие отрезки или углы, определяются с помощью чисел, измеряющих эти отрезки и углы. Определение AB<CD, если AB<CD. Другими словами, один отрезок меньше -(или короне) другого, если он имеет меньшую длину. Точно так же имеет место Определение L А < / В, если т £ А<т £ В. Поэтому прежде чем мы перейдем к изучению неравенств, связывающих отрезки и углы, нам нужно вспомнить законы из § 2 гл. 2, которым подчиняются неравенства между числами. πι· Трихотомия Для каждых χ и у выполняется одно и только одно из следующих условий: х<.у, х = у, х>у. П2· Транзитивность Если х<:у и y<Zf то x<Zt Пз· Закон сложения Если а<Ь и х^у, то а + х<Ь + у. 205
П4. Закон умножения Если x<Ly и а>0у то ах<Сау. Алгебра, которой мы будем пользоваться при манипуляциях с геометрическими неравенствами, будет очень проста. Нам даже не потребуется П4, но зато нам будет нужна следующая теорема. Теорема 7.1 Если а = Ь + с и £>0, то а>Ь. Доказательство. Так как а — Ь = с, то а — Ь>0. Следовательно, (a — b) + b>0 + b и а>Ь. Задачи к § 2 1. Для каждого из следующих примеров укажите'свойство отношения порядка, которое этот пример иллюстрирует. a) Если т> 7 и η < 7, то п<.т. b) Если 4<6, то 14<21. c) Если АВ < 13, то АВ φ 13. d) Если х — у = 7 и у < 3, то χ < 10; e) Если Δ Λ< Δ С и Δ Β> Δ С, то Δ Α< ΔΒ. f) Если RS<GH и 5Г<Я/С, то RS + ST < GH + HK. 2. На этом рисунке q AB<GB и ВС<ВН. Докажите, что АС φ GH. Дано, что точки Л, В и С коллинеарны и что точки G, Η и /С коллине- арны. Они расположены так, что АВ <С GH и ВС < ЯД". Следует ли отсюда, что АС < G#? Почему да или почему нет? 4. Дано. Рисунок, где Δ DAB < Δ DBA и Δ DAC < Δ DBC. Требуется доказать. Δ CAB < < Δ СВА. Подробно объясните, почему из теоремы 7.1 вытекает такое следствие: если D — точка внутри Δ ABC, то Δ ABC > Δ ABD и Δ ABC > Δ CBD. 206
Дан рисунок, где точка Μ является серединой и отрезка PS и отрезка ~RQ- Докажите, что Ζ RQT > L R. η* Пользуясь свойством П2, докажите, что любое отрицательное число меньше любого положительного числа. 8*. Предположим, что свойство П3 сформулировано просто в таком виде: При любых a, b и χ если а<Ь, то а + х <Ь-\-х. Докажите, что остающаяся часть свойства П3 При любых я, Ь, χ и у если а<Ь и х<Су, то а-\-х <Ь~\-у будет тогда следовать из этого утверждения как теорема. (Указание. Установите, что а-\-х <у + Ь и x + b <y + b, и примените П2.) 9*+. Вновь обратимся к рисунку к задаче 6, но теперь предположим, что выполняются только следующие условия: точки S и Ρ лежат по противопо- ложные стороны от прямой RQ, точки S и R лежат по одну сторону от прямой RT и P — Q —Г. Докажите, что точка S лежит внутри Ζ RQT. § 3. ТЕОРЕМА О ВНЕШНЕМ УГЛЕ Z. 1 на следующем рисунке называется внешним углом /\АВС. Определение Если точка С лежит между точками А и D, то L BCD называется внешним углом ~/\АВС. т. ^ак показано на следующем рисунке, всякий треугольник меет щесть внешних углов: 207
Они образуют три пары вертикальных углов. И, как видно из рисунка, углы каждой пары вертикальных углов конгруэнтны. Всякий внешний угол является смежным с одним из углов самого треугольника. Например, на нашем рисунке Ζ 1 и Ζ С треугольника —смежные углы. Остальные два угла треугольника называются внутренними углами, не смежными с данным внешним углом. Определение Δ Α η Ζ. В /\АВС называются в нут ρ енн ими углами, не смежными с внешними углами BCD и АСЕ. Аналогично, Ζ А и £. С являются внутренними углами, не смежными с внешними углами ABF и CBG. Следующая теорема служит ключом к теории геометрических неравенств. Теорема 7.2 (теорема о внешнем угле) Внешний угол треугольника больше любого внутреннегс? угла, с ним не смежного. В Другая формулировка. Дан /\АВС. Если точка С лежит между А и D, то LBCD> СВ. 208
Заметим, прежде всего, что в этой формулировке действительно аключено все содержание теоремы. Здесь сказано, что Ζ 1 > L В. Изменяя обозначения (переставляя точки А и θ), получаем, что / 2> L А. Так как 2 1 = Ζ 2, отсюда следует, что Ζ 1 > L А. Следовательно, L 1 больше любого угла, с ним не смежного. Перейдем к доказательству теоремы. Доказательство Утверждения 1. Пусть Е — середина отрезка ВС» 2. Пусть F — точка луча, противоположного лучу ЕА, такая, что EF^EA. 3. LBEAc^L z CEF. 4. Д ΒΕΑ 9Ξ Δ С£Л 5. /я Ζ £ = m Z EC/7. 6. m L BCD = m L ECF + m L FCD. 7. m Ζ BCD^m LB + m L FCD. 8. mZ BCD>m Ζ Β. 9. Ζ £CD > Δ Β. Аргументы ? ? } ? ? Аксиома сложения углов. Утверждения 5 и 6. Теорема 7.1. Определение отношения > для углов. Теорема о внешнем угле имеет очевидное Следствие 7.2.1 Если треугольник имеет один прямой угол углы этого треугольника —острые. (если £ С—прямой угол, то прямым является и ^ 1, Теорема о внешнем угле Утверждает, что Ζ 1 > Ζ В и Ζ 1 > LA. следовательно, mZ£<90 и mLA<90.) то остальные d.T_—^ 209
Если бы мы знали теорему о внешнем угле раньше, то мы могли бы проще доказать единственность перпендикуляра к данной прямой, проходящей через данную точку, не принадлежащую этой прямой (ср. выше, стр. 184). Если бы существовало два перпендикуляра к прямой /, проходящих р через точку Р, то Z. 1 был бы конгруэнтен Z, PQR, что невозможно: Z. 1 является внешним углом Д PQR> a Z^Q# —один из внутренних углов, с ним не смежных., 1 ι? Задачи к § 3 1. а) Назовите на этом рисунке внутренние углы треугольника, не смежные с внешним А Л BE. b) Какой внешний угол имеет углы Ζ ЛВС и ζ ВАС внутренними, с ним не смежными? a) Какие углы на этом рисунке являются внешними углами данного треугольника? b) Какое неравенство связывает т L DAC и т L В? Почему? c) Как связаны т L DAC и т £ ВАЕ? Почему? d) Как связаны т L DAC и т £ ВАС} Почему? 3. Пользуясь рисунком только для пояснения обозначений, дополните каждое из следующих утверждений на основании ранее доказанных теорем: a) Если χ = 40 и г/ = 30, то w >— R b) Если х = 72 и у = 73, то w .... c) Если у = 54 и z=68, то w — d) Если w =а 112, то χ .... e) Если ш=150, то ζ.... f) Если χ = 25 и ζ = 90, то w .... g) Если г = 90, то χ ... и у .... 210
Докажите, что на левом нижнем рисунке L САК> Δ G. 5. Правый рисунок является иллюстрацией к следующему утверждению: Внешний угол четырехугольника больше каждого внутреннего угла, с ним не смежного. Верно ли это утверждение? Объясните. а) Луч PS на этом рисунке является биссектрисой L RPM. Докажите, что^ Ζ SCM> L SPM. b) Докажите, что если L SCV ^ L PRV, то L PRT > L S. 7. Даны любые два отрезка, А В и DE. Можете ли вы придумать утверждение, касающееся А В и DE, которое всегда было бы верно? В чем оно состоит? Приведите основание для вашего ответа. Объясните, почему пометки на этом рисунке указывают невозможную ситуацию. 9+. Докажите следующую теорему: Сумма мер любых двух углов треугольника меньше, чем 180. Другая формулировка. При обозначениях мер углов треугольника, Указанных на этом рисунке, а + Ь< 180, & + с<180, а + с< 180. 211
Ϊ0+. Докажите следующую теорему: Углы при основании любого равнобедренного треугольника являются острыми. (Указание. Примените теорему из задачи 9.) § 4. ТЕОРЕМЫ О КОНГРУЭНТНОСТИ, ОСНОВАННЫЕ НА ТЕОРЕМЕ О ВНЕШНЕМ УГЛЕ Определение Дано соответствие ABC++DEF между двумя треугольниками: Если конгруэнтны две соответствующие стороны и две пары соответствующих углов, то соответствие ABC — DEF называется СУ У-соответствием. (Здесь, разумеется, буквы СУУ заменяют слова: сторона, угол, угол.) Теорема 7.3 (СУУ-теорема) Каждое СУ У-соответствие является конгруэнтностью. Из УСУ мы уже знаем, что если конгруэнтные стороны заключены между конгруэнтными углами, то наше соответствие является конгруэнтностью. Поэтому мы можем сформулировать теорему иначе, считая, что нам задано соответствие того типа, которое проиллюстрировано на предыдущем рисунке. Другая формулировка. Даны Δ ABC и Δ DEF. Если LA=LD, LB^LE и IC^DF, то AABC^ADEF. Доказательство. Для А В к DE имеются три возможности: AB^DE, (1) . AB<DE, (2) AB>DE. (3) 212
Если имеет место равенство (1), то теорема доказана, так как этом случае соответствие ЛВС — DEF является СУС-соответ- ствием. Мы покажем, что неравенства (2) и (3) невозможны. Допустим, что выполняется неравенство (2): AB<.DE. Пусть #' —такая точка луча АВ, что AB'=DE. Тогда в силу СУС д АВ'С^ Δ DEF. Следовательно, Ζ АВ'Сд^ L DEF. Значит, ^ АВС^ L АВ'С. (Почему?) Но это невозможно, поскольку теорема о внешнем угле утверждает, что Ζ Л SO L АВ'С. Совершенно аналогично можно показать, что невозможно и неравенство (3): AB>DE. Вы сумеете провести это рассуждение сами. Поскольку неравенста (2) и (3) невозможны, должно выполняться равенство (1) и в силу СУС /\ABC^/\DEF. Это завершает доказательство. В предыдущей главе мы нашли, что такой вещи, как «ССУ- теорема», не существует. Иными словами, ССУ-соответствие не всегда является конгруэнтностью. Мы можем, однако, доказать такого рода теорему в случае прямоугольных треугольников. Тео: рема 7.4 (теорема о гипотенузе и катете) Дано некоторое соответствие между двумя прямоугольными РеУ голь пиками. Если гипотенуза и один катет первого тре- цго Ьника К0нгруэнтны соответствующим элементам второго тре- ьника> то это соответствие является конгруэнтностью. 213
Другая формулировка. Даны /S ABC a /\DEF, причем т LA^m L D = 90, AB^DE, BC = EF. Тогда Доказательство Утверждения 1. На луче, противоположном лучу DF, существует такая * точка G, что DG^AC. 2. ADEGQ^AABC. 3. EG^BC. 4. LGZzLLC. 5. EG = EF. 6. LF<=^ LG. 7. Д DEF с* Д DEG. 8. &ABCg*/\DEF. Аргументы ? ? ? ? Шаг З и условие. ? Шаги 5 и 6 и СУУ. Шаги 2 и 7. 1 Задачи к § 4 1. Перечислите все известные вам методы доказательства конгруэнтности треугольни· ков. 2. Дано. FT JlRT, SV ± QV, RT = QVt PQ^SR. Требуется док а з а ть/ PT — SV. 214
3 Отрезок А В па этом рисунке делится пополам отрезком CD и Ζ С ^ Ζ D. Докажите, что отрезок CD делится пополам отрезком АВ. 4, Дано. LK^LJ и MR^NR. Требуется доказать. MK^NJ. 5. Из середины одной стороны треугольника проведены отрезки, перпендикулярные двум другим сторонам. Докажите, что если эти отрезки конгруэнтны, то треугольник — равнобедренный. 6, Дано. £--середина отрезка АВ, AD ± А В ' иЖ ±.1В и Ζ ADE ^ Ζ ВСЕ. Требуется i Ζ ECD. доказать. Ζ EDC ^ Точки К и iyi делят отрезок GH на три равные части, причем G — K — M. Точки I ц J лежат по одну сторону от прямой GH на перпендикулярах к этой прямой, восставленных соответственно в точках G и Н. Далее, JM — IK. Отрезки УТЙГи IK пересекаются в точке Р. Докажите, что Д Ρ КМ — равнобедренный треугольник. 8* ΐ-u • па этом рисунке ζ D и Ζ С —прямые углы и Д APR ^ Д BQT. Докажите, что д ADF о* Д £С£. • ^Точки Л, β и Q лежат в плоскости Et ~AQ ± ~PRf ~Щ ± Р# и Ζ РЛЯ ^ = ^ РВЛ. Докажите, что Д РЛ# ^ Д P&R. 215
§ 5. НЕРАВЕНСТВА, СВЯЗЫВАЮЩИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА Теперь мы перейдем к доказательству некоторых теорем, высказанных нами в начале этой главы в качестве гипотезы. Теорема 7.5 Если две стороны треугольника не конгруэнтны, то и углы, противоположные этим сторонам, не конгруэнтны и больший угол лежит против большей стороны, А J ^ ι » '^^^ >Ч Другая формулировка. Если в произвольном Д ABC выполняется неравенство АВ> АС, то и Δ С> £ В. Доказательство. Пусть D — такая точка луча АС, что AD = AB. Тогда Ζ ABD^ Ζ А потому что углы при основании равнобедренного треугольника конгруэнтны. Так как AD = АВ> >АС, то точка С должна лежать между А и D. Поэтому по аксиоме сложения углов т Ζ ABD = m Ζ ABC + m Ζ CBD. Следовательно, т LABC<m L ΑΒΌ. (Почему?) Теперь мы перестанем пользоваться мерами углов и перепишем последнее неравенство просто в виде LABC</_ABD. Так как Ζ ABD^ Ζ D, то отсюда следует, что Z.ABC<£D. Но из теоремы о внешнем угле мы знаем, что LD<LACB. Следовательно, LABC<L ACB. Итак, в /\АВС мы имеем Z^<ZC, что и требовалось доказать. 216
Теорема 7.6 Если два угла треугольника не конгруэнтны, то и стороны, противоположные этим углам, не конгруэнтны и большая сторона лежит против большего угла. е Другая формулировка. Если в произвольном /\АВС выполняется неравенство Δ С> Z. В, то и АВ>АС. Доказательство. Для чисел АВ и АС имеются три возможности: АВ<АС, (1) АВ = АС, (2) АВ>АС. (3) Если бы выполнялось неравенство (1), то из предыдущей теоремы следовало бы, что ZC<CZ,£> a это неверно. Таким образом, неравенство (1) невозможно. Если бы выполнялось равенство (2), то Ζ В и £ С были бы углами при основании равнобедренного треугольника. Это давало бы L В = L С, что неверно. Таким образом, и равенство (2) невозможно. Остается только одна возможность — неравенство (3), что мы и хотели доказать. Все это — лишь удобный способ записи доказательства от противного. То же самое мы могли бы более формально сказать так: «Допустим, что теорема неверна. Тогда либо АВ = АС, либо АВ<сАС. Равенство АВ = АС невозможно потому, что —Неравенство АВ<АС невозможно потому, что — Поэтому наше Допущение было ошибочно. Следовательно, теорема верна». Но схема, которой мы пользовались' в первый раз, пожалуй, логически проще, и мы будем пользоваться ею в дальнейшем. Идея состоит в том, чтобы перечислить все имеющиеся в данной ситуации «возможности», а затем показать, что только одна из них действительно возможна. Задачи к § 5 *· β А ЛВС имеем АВ = \2, БС = 7, ЛС = 9. Назовите наибольший угол; наименьший угол. Δ PQR имеем т^Р== 72, mzQ = 37 и т^^ = 71. Назовите наибольшую сторону; наименьшую сторону. 217
3. На левом рисунке L ABD > L DBC. Докажите, что AD > BD. 4. Перечислите стороны правого треугольника в порядке возрастания их длин. ■ 5. Какой отрезок на левом рисунке имеет наибольшую длину, если углы имеют указанные меры? Тот же вопрос для правого рисунка. 6. Какой отрезок на левом рисунке имеет наименьшую длину, если углы имеют указанные меры? Тот же вопрос для правого рисунка. 7. Отрезки АВ и CD (левый рисунок) пересекаются в точке Е, L С > Ζ А и ZD>Z5. Докажите, что АВ > CD. 8*. В равнобедренном Д KGH (правый рисунок) имеем KG — KH, Р —любая точка прямой GH, не принадлежащая отрезку GH. Докажите, что РК всегда больше, чем KG и КН. 9*. Какой отрезок на этом рисунке имеет наименьшую длину, если Εέ углы имеют указанные меры? 61° '98° 6Г JS' 42° № Μ 45° 420° 351 /25: 218 А
§ 6. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ Теоремы 7.5 и 7.6 связаны некоторым специальным образом; 0Нй называются взаимно обратными (а каждая из них — обратной к другой). Связь между ними будет легче увидеть, если сформулировать их следующим образом: Теорема 7.5 Дан A ABC. Если АВ>АС, то Ζ С> Ζ В. Теорема 7.6 Дан Δ ABC. Если Ζ С> L В, то АВ>АС. Много таких примеров мы встречали и раньше. Например, Теорема 5.3 Если две стороны треугольника конгруэнтны, то и углы, противоположные этим сторонам, конгруэнтны. Теорема 5.4 Если два угла треугольника конгруэнтны, то и стороны, противоположные этим углам, конгруэнтны. И здесь связь между этими теоремами станет более очевидной, если сформулировать их иначе. Теорема 5.3' Дан /\ ABC. Если АВ=-АС, то LC^LB. Теорема 5.4' Дан А АВС. Если LC^LB, то АВ = АС. После того как мы доказали какую-нибудь теорему, имеющую простую форму «если ..., то», обычно -имеет смысл исследовать обратную ей теорему. В каждом случае нужно проводить отдельное исследование, так как легко может случиться, /что теорема, ооратная верной теореме, вовсе не верна. Мы знаем, наприм_ер, что если два угла вертикальны, то они конгруэнтны. Обратная теорема утверждала бы, что если два угла конгруэнтны, то они вертикальны, а это не только не верно, но совершенно нелепо. "алогично, если х==//' то ^2 = *Л Обратная теорема утверждала бы, что если л:2 = *Д то х = у. Таким образом, и здесь ратная теорема не верна: она исключает возможность, что ~—у- eg сли окажутся верными и сама теорема и теорема, обратная то мы можем объединить их в одной теореме с помощью слов 219
«в том и только в том случае». Например, теоремы 7.5 и 7.6 можно объединить так: Теорема Дан ДА ВС. АВ> АС β том и только β том случае, если АС>£В.. А теоремы 5.3 и 5.4 объединяются так: Теорема Два угла треугольника конгруэнтны в том и только в том случае, если стороны, противоположные этим углам, конгруэнтны. Задачи к § 6 1. Напишите утверждение, обратное каждому из следующих утверждений. - Постарайтесь решить, верно или нет каждое из этих утверждение и каждое из обратных утверждений. a) Если вам больше 20 лет, то вы имеете право голоса. b) Если вы находитесь в Африке, то вы видите львов и слонов. c) Каждый, у кого скарлатина, серьезно болен. 2. Сделайте то же, что в задаче 1. ' a) Если два угла конгруэнтны, то они — прямые. b) Если два угла образуют линейную пару, то они пополнительны. c) Любая точка медиатрисы некоторого отрезка равноудалена от концов этого отрезка. d) Если два угла дополнительны, то каждый из них —острый. 3. Когда Джона попросили сформулировать утверждение, обратное утверждению «Если я слишком долго буду держать горящую спичку, то я обожгусь», он сказал: «Я обожгусь, если буду слишком долго держать горящую спичку». Является ли предложение Джона обратным первоначальному утверждению? Обсудите. 4. а) Будет ли утверждение, обратное любому верному утверждению, верно? Постарайтесь обосновать ваш ответ. Ь) Может ли утверждение, обратное неверному утверждению, быть верным? Постарайтесь обосновать свой ответ. 5. Пользуясь словами «в том и только в том случае», объедините две следующие теоремы в одну: Каждый равносторонний треугольник равноуголен. Каждый равноугольный треугольник равносторонен. 6. Разбейте следующую теорему на две теоремы в форме «если... , то»: Треугольник является равносторонним в том и только в том случае, если биссектриса каждого угла этого треугольника служит медиатрисой противоположной стороны. Какая из этих Двух теорем соответствует части «только в том случае, если» сформулированной нами теоремы? 220
§ 7 РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ТОЧКОЙ. НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА Теорема 7.7 (первая теорема о минимуме) Из всех отрезков, соединяющих данную точку с данной прямой кратчайшим является отрезок, перпендикулярный этой прямой. Другая формулировка. Даны прямая I и не принадлежащая ей точка Р. Если PQ ±_1 в точке Q и если R—другая точка прямой I, то PQ<iPR. Доказательство. По предположению т £ Q = 90. По следствию 7.2.1 £ R— острый угол. Таким образом, т Ζ R<m Z. Q. По теореме 7.5 PR>PQ. Расстоянием между точкой Ρ и прямой / естественно считать минимальное расстояние между Ρ и точками прямой /. Из предыдущей теоремы мы знаем, что такое минимальное расстояние существует, и знаем, где оно достигается. Поэтому наше определение можно сформулировать так: Определение Ρасстояние между прямой и не принадлежащей еи точкой есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки^ на^ эту прямую. (Расстояние между прямой и принадлежащей ей точкой по определению равно нулю.) (здесь под длиной перпендикуляра, опущенного из точки Ρ на прямую /, понимается длина отрезка PQ, где Q — такая точка прямой /, что PQ±L) Дат е^УЮ1даяо теорема говорит нам, что, как и следовало ожи- ь> обходный путь всегда длиннее прямого. 221
Теорема 7.8 (неравенство треугольника) Сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины третьей его стороны. Другая формулировка. В любом /\АВС выполняется неравенство: АВ + ВОАС. Доказательство. Пусть Д как указано на рисунке,— такая точка луча, противоположного лучу ВС, что BD = BA. Тогда DC = DB + BC, так как точка В лежит между D и С. Следовательно, DC = AB + BC. (1) Далее, т Ζ DAC = m Ζ DAB + m Ζ ВАС, так как В лежит внутри Ζ DAC. Следовательно, т LDAC>m Z DAB., Но т £0 = т Ζ DAB, так как BD = BA. Поэтому т /mDAC>m Z £>· (2) Применяя к /\ADC теорему 7.6, получаем DC>AC. (3) Сопоставляя (1) и (3), находим, ЛВ + ВОЛС, что и требовалось доказать. Задачи к § 7 1. Мы можем утверждать, что на рисунке слева CD <. ... и CD < ... и что BE< ... и ££< .... Сформулируйте теорему г из которой это следует. <- 222
2 Учитывая угловые меры, указанные на рисунке, расставьте PSy PR и PQ в правильном порядке в следующей цепочке неравенств: ... < ... < — Приведите теоремы, подкрепляющие ваше заключение. 3 Докажите, что сумма длин диагоналей четырехугольника меньше периметра этого четырехугольника. ' м Ρ 4, Докажите, что на рисунке ЕР + РМ + МК>ЕК. 5. 'На вопрос этой задачи вы можете ответить экспериментально, или если угодно, путем рассуждения. Допустим, что вы нарисовали треугольник, две стороны которого имеют длины 3 см и 7 см. Тогда третья сторона должна иметь длину, меньшую, чем ..., и большую, чем .... 6. Две стороны-треугольника имеют длины / и k. Если / < ky то какие ограничения накладываются на длину третьей стороны х? 7. Дана прямая / и две точки Ρ и Q, лежащие по одну сторону от /. Найдите ^ такую точку R прямой /, для которой сумма PR-^-RQ является наименьшей. φ ρ (Указание. Это "легко сделать, если вы решили задачу б к § 4 гл. 6.) / •0 8. Даны два отрезка, АС и ~Ш), пересекающиеся в точке Р. Докажите, что если ^ —любая, отличная от Ρ точка плоскости, в которой лежат отрезки АС и BD, то XA + XB + XC + XD>PA + д \~PB-\-PC-\~PD. Останется ли этот Результат в силе, если точка Х_не принадлежит плоскости отрезков АС и BD7 • усть Л, В и С —точки, не обязательно различные, -т-аС^АС. (Нужно рассмотреть несколько случаев.) • X? 9*J- Докажите, что 223
A<* ΙΟ*"1". Докажите, что кратчайшая ломаная, соединяющая две данные точки, есть отрезок с концами в этих точках. Другая формулировка. Даны η точек Лъ А2> ..., Ап. Докажите, что ЛгЛ2 + А2А3+... + Ап_±Ап ^ АхАп. § 8. ТЕОРЕМА О ШАРНИРЕ И ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА В Рассмотрим две связанные в точке А шарниром: палки АВ и АС, другие концы В и С которых соединены тонкой резинкой: Если палки развернуть шире, то резинка должна растянуться : Переводя сказанное на геометрический язык, получаем следующую теорему. (Вы, возможно, сочтете, что вторая формулировка звучит проще, чем формулировка самой теоремы.) Теорема 7.9 (теорема о шарнире) Если две стороны одного треугольника соответственно конгруэнтны двум сторонам другого треугольника и если угол, заключенный между указанными сторонами первого треугольника, больше угла, заключенного между соответствующими сторонами второго, то третья сторона первого треугольника больше третьей стороны второго треугольника. Другая формулировка. Даны Д Л23С и /\DEF, причем AB = DE и AC = DF. Если L A> L D, то BC>EF. В 224
Доказательство. Шаг /. г,«рм с построения такого Д А КС Начнем с построения „ веошиной К, лежащей внутри 1в1с, что Д^КС^Д^/7· Чтобы это сделать, сначала (пользуясь аксиомой построения углов) возьмем такой луч AQ, что точка Q лежит от прямой АС По ту же сторону, что и точка В и что £QAC^ Z, D. Затем (по теореме о нанесении точки) возьмем такую точку К луча AQ> что AK — DE. На основании СУ С имеем /\AKCg^/\DEF, как мы и хотели. д/аг 2. Теперь мы разделим пополам £ ВАК и обозначим буквой Μ точку пересечения биссектрисы этого угла с отрезком ВС. Мы уже близки к доказательству теоремы. В силу СУС 1\АМВд*/\АМК. Следовательно, МВ~МК. Применяя к /\СКМ неравенство треугольника (теорему 7.8), получаем ск<см + мк. Поскольку МВ=:МК, отсюда следует, что ск<см+мв. Так как CK^EF и СМ + МВ^ВС, то EF<BC, что и требовалось доказать. Верна и теорема, обратная теореме 7.9. еорема 7.10 (обратная теорема о шарнире) энп U^ee стоР°ны одного треугольника соответственно конгру- ронНЫ сторонам другого треугольника и если третья спю- угол Первого тРеугольника больше третьей стороны второго, то уголь Заключенный между указанными сторонами первого трестаnc)UKa> ^ольхт угла, заключенного между соответствующими зонами второго треугольника. 225
Другая формулировка. Даны /\АВС и ADEF, прц чемАВ = ОЕ и AC = DF. Если BOEF, то £ А> ^ D. Чтобы вывести эту теорему из теоремы о шарнире, поступим так же, как тогда, когда мы выводили теорему 7.6 из теоремы 7.5. Иными словами, покажем, что неравенство L А < Z. D и конгру! энтность Ζ Α = Ζ D невозможны, так что остается лишь единственная возможность: Δ А> £ D. Для первой части доказательства нужна теорема о шарнире, а для второй части — СУ С, Подробное доказательство проведите сами. Задачи к § 8 1. На этом рисунке AD = CD и L ADB> L CDB. Докажите, что АВ > ВС. 0Л А 2. 5-—точка основания равнобедренного APQR, отличная от середины. Докажите, что луч PS не является биссектрисой L RPQ- 3. Дано. Д ABM с медианой MKt причем L МКВ> Ζ ΜΚΑ Требуется доказать. AM > MB. q 4. Δ ABC и Δ ABD имеют общую сторону АВ и AC = AD. Докажите, что если точка С лежит внутри L DABy то BD > ВС. 5. В ARST точка Μ является серединой стороны RS h,RT>ST. Тогда /.TMR — тупой или острый? Объясните. 6. Докажите, что на рисунке (обратите внимание на пометки!) /, W > Z. V* 226^
7 На рисунке слева FH = AQ и AH>FQ. Докажите, что AB>FB. 8* На рисунке справа AD = BC. Докажите, что AODB. q* В Л ABC имеем A — F — C и A — D — В) причем FC = DB. Докажите, что 'если АВ> АС, то FB>CDs § 9. ВЫСОТЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ На каждом из этих рисунков отрезок ВО является высотой &АВС: В В каждом случае отрезок BD принадлежит перпендикуляру, опущенному из В на прямую АС, называется высотой, проведенной из вершины В к стороне АС. Заметим, что основание этого перпендикуляра не обязано принадлежать отрезку АС. Но все случаи учитываются в следующем определении. Определение Высота треугольника есть отрезок, принадлежащий перпен- оикуляру, опущенному из какой-либо вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону, и заключен- пыи между этими вершиной и стороной. (Вопрос. Может ли высота требника быть стороной этого - какГ^НИКа? ЕСЛИ Аа' то ПРИ *£Х Условиях это возможно?) ^f^^TT*треуголь- ной г, ри ВЬ1С«ты: по од- *4тТ*Ттой т каждой ДУюТ™, Это показано на сле: Аующем рисунке: 227
Здесь BD — высота, проведенная из вершины В; АЕ — высота, проведенная из вершины А и CF — высо/ra, проведенная из вершины С. Заметим, что ^хотя в этом конкретном случае никакие два из отрезков BD, AE и CF не имеют общей точки, все три содержащие их прямые, как видно из рисунка, пересекаются в одной точке G. К сожалению, то же слово «высота» употребляется еще в двух смыслах: (1) Иногда длина высоты также называется высотой. Так, если расстояние BD равно 6, то можно сказать, что высота, проведенная из вершины β, равна 6. (2) Прямая, содержащая высоту, также называется высотой. Так, на последнем рисунке прямые BD, АЕ и CF можно называть высотами. Именно в этом смысле мы употребляем словс^ «высота» в гл. 15, где мы докажем, что три «высоты» треуголь-~ ника всегда пересекаются в одной точке. Если бы высота непременно' была отрезком, то, как показывает последний рисунок, эта теорема была бы, конечно, неверна. Такое тройное значение одного и того же слова легко могло бьГ приводить к недоразумению. Но обычно этого не бывает, потому что в большинстве случаев из контекста видно, какое из этих значений имеется в виду. Задачи к § 9 1. Перерисуйте Δ ЛВС. Обратите внимание на то, что он разносторонний. Проведите биссектрису треугольника из вершины С. Затем проведите из вершины С медиану. Наконец, проведите из С высоту. Если вы начертили аккуратно, то вы должны увидеть, что эти три отрезка различны. В каком треугольнике биссектриса, медиана и высота совпадают? 2. Перерисуйте этот тупоугольный треугольник и проведите три его высоты. 3. Докажите, что высота, проведенная из вершины, противоположной основанию равнобедренного треугольника, одновременно является также и медианой. 228
Докажите следующую теорему: Высоты, проведенные из вершин, противоположных конгруэнтным сторонам равнобедренного треугольника, сами конгруэнтны. Ша рисунке изображен случай, когда т<С < ^ 90 Рассмотрите также случаи, когда mZC = 90 и т ZC>90.) 5 Докажите. Высоты равностороннего треугольника конгруэнтны. 6 докажите теорему, обратную теореме задачи 4: Если две высоты треугольника конгруэнтны^ то этот треугольник- равнобедренный. 7 Докажите следующую теорему: Дано соответствие ЛВС *-*■ DEF. Если AB = DE, BC — EF и высота, проведенная из вершины С, конгруэнтна высоте, проведенной из вершины F, то это соответствие является конгруэнтностью. JUho^ AB = DE ты CG и FH. CG=FH. BC = EF. Высо- Требуется доказать. /\ЛВС ^ ^ Δ DEF. 8. Докажите, что периметр треугольника больше, чем сумма трех его высот. Вопросы и задачи для повторения 1. Для каждого из этих примеров укажите, какое свойство отношения порядка он иллюстрирует. а) Если г > б и б > t9 то t < л Ь)ЕслиМЯ = 3 и Я5 = 7, то MP + RS = 10. с) Если DK^U и DK^ 11, то D/C=ll. Объясните, почему если D — точка, лежащая внутри Δ ЛВС, то L АВС> *> Z. DBC· 3· Если « = 20, то * .... Если 6 = 65, то* .... Ес*и с = Ю0? то* .... fb° c° 229
4. Определите расстояние между точкой и прямой- Определите высоту треуголь- 5. Докажите, что если медиана, проведенная к какой-либо стороне треугольника, не перпендикулярна этой стороне, то хотя бы две стороны треугольника не конгруэнтны, 6. Три проволочные растяжки равной длины поддерживают недавно посаженное на горизонтальной площадке дерево. Будут ли закрепляющие их в земле колышки находиться на равном расстоянии от основания дерева, если все три растяжки прикреплены к дереву на одной высоте? Почему? 7. Из различных вершин равностороннего треугольника проведены медиана, биссектриса и высота. Что можно ска* зать об их длинах? 8. Докажите, что на рисунке L AD В > L С. 9. В Д ЛВС имеем АС > АВ. Докажите, что если D — любая точка между В к С, то AD<AC. 10. Докажите следующую теорему: Любая точка .биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла. Дано. Луч АР делит пополам L ВАС. ТЁ±АВ. PF ±АС. Требуется доказать. PE = PF. П. Какой отрезок является наименьшим, если меры углов указаны на рисунке? Объясните свое рассуждение. '62 < {55° i?4° 230
l2 Плоскости Ε и F пересекаются по ч прямой ΑΊ3. Точка С лежит в плоскости F, а точка D — в плоскости Е. Кроме jroro, CB = AD, C~A ±Тв и DBX.AB. Докажите, что CA = DB. 13. Отрезки, соединяющие с тремя его вершинами -\-s-\-t больше, некоторую точку, лежащую внутри треугольника, имеют длины г, s и t. Докажите, что сумма r-f- чем половина периметра этого треугольника. -медиана Δ ABC, и С отрезки, пер- 14. Доказать. Если AM то проведенные из В пендикулярные прямой AM, конгруэнтны. 15. На этом рисунке PT~TR = RQ. Докажите, что PR>RQ. 16*.,Докажите следующую теорему: Если из любой точки перпендикуляра к некоторой прямой проведены к этой прямой два наклонных (не перпендикулярных) отрезка, то тот отрезок, конец которого, лежащий на данной прямой t дальше отстоит от основания перпендикуляра, имеет большую длину. 17*. Дано, что АС^ВС, АВ < АС и A — C — D. Доказать, что Δ ABD — ° разносторонний треугольник. • Доказать, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до концов одной из его сторон меньше суммы длин других двух сторон, ^ными словами, доказать, что а + Ь> 19: Если т У η ~~\РРям°й угол в Д ЛВС. (У^-2т/Л, то АВ = 2ВС. Δ #^3ание- Проведите биссектрису 231
20*. а) Дан Δ ABC, где БС = а, АС^Ь и АВ~с. Докажите, что |а —6|<Ct b) Сформулируйте словами теорему, обобщающую предложение из задачи а)! 21 *+. Сумма мер углов треугольника меньше, чем 270» 22+. На оснований сформулированных в этой книге ранее аксиом и уже доказанных теорем нельзя доказать, что сумма мер трех углов треугольника равна 180 (факт, с которым вы через некоторое время познакомитесь). Однако мы легко можем построить треугольник специального вида и дока- зать, что сумма мер его углов меньше, чем 181. Пусть Ζ ВАС имеет меру 1 (аксиома построения углов). На лучах А В —> и АС возьмем точки К и Μ так, что АК = АМ. Сумма мер углов Δ А КМ меньше, чем 181. Почему? Если мы сделаем mZ Л = -г-} то что мы сможем сказать о сумме углов полученного треугольника? Конкурсная задача Пусть прямая BD пересекает прямую АС в точке В> лежащей между А и С. Перпендикуляры, проведенные из точек Л и С к прямой BD, пересекают эту прямую соответственно в точках Ρ и Q. Докажите! что точки Ρ и Q не лежат по одну сторону от АС.
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ ^-' * /Г> ч. ^ : s P\*v .
1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В этой главе нас будут интересовать фигуры, не лежащие одной плоскости, поэтому прежде, чем вы приступите к чтению Втой главы, вам стоит просмотреть гл. 3, в которой введены основные понятия пространственной геометрии. Перпендикулярность прямой и плоскости определяется следующим образом: Определение Прямая и плоскость называются перпендикулярными, если они пересекаются и если каждая прямая, лежащая в данной плоскости и проходящая через точку их пересечения, перпендикулярна данной прямой. Если прямая I и плоскость Ε перпендикулярны, то мы пишем I ±,Е или ΕΆ.Ι. Если Р —точка их пересечения, то мы говорим, что 1±_Е в точке Р. ~ж На этом рисунке показаны три прямые, лежащие в £ и проходящие через точку Р. В соответствии с нашим определением все они должны быть перпендикулярны прямой / в точке Р, хотя может показаться, что это и не так. (На чертеже, выполненном с учетом законов перспективы, перпендикулярные прямые не всегда выглядят перпендикулярными.) Заметим, что если бы мы потребовали только, чтобы одна прямая плоскости Ε была перпендикулярна прямой /, то это ничего бы не дало: вы легко можете убедиться, что каждая плоскость, проходящая через Р, содержит такую прямую. С другой стороны, если бы оказалось, мгГ 1/Л°СК0СТЬ ^ С0ДеРжит Две прямые, перпендикулярные пря- _ и в точке Р, то 1±.Е в точке Р. Эта идея будет раскрыта слеДУющих параграфах. >' Задачи к § 1 1· На рисунке изображена плоскость L·. ая Ли точка, не принадлежащая изображенной фигуре, лежит в £? 235
Ъ) Подразумевает ли наш рисунок, точку вне нарисованной фигуры? что плоскость Ε включает каждую 2. а) Изобразите плоскость, перпендикулярную вертикальной прямой. b) Изобразите плоскость, перпендикулярную горизонтальной прямой. c) В каждой из плоскостей п. а) и Ь) нарисуйте по три прямые, проходящие через точку пересечения с исходной прямой. В каждом случае скажите, в каком отношении находится каждая из этих трех прямых с исходной прямой. 3. Перечитайте определение перпендикулярности прямой и плоскости и на основании этого определения решите, вер"но или нет следующее утверждение: Если прямая перпендикулярна некоторой плоскости, то она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости^ проходящей через точку пересечения. 4. Можете ли вы заключить, что плоскость Ε перпендикулярна прямой Я/С, ·<—>· если Ζ КРМ — прямой и прямая РМ принадлежит £? < ■> 5. Дано, что точки G, //, S и Ρ лежат в плоскости Ε и А В JL Ε в точке Р. Какие из следующих углов должны быть прямыми: Ζ APS, Ζ HPS, L GPU, Ζ GPB, L НРБ, L ΗΡΑ} 6. Точки Я, К и R на этом рисунке принадлежат плоскости Ε, а точка F ей не .принадлежит. а) Назовите плоскости, определяемые точками этого рисунка. Ь) Какие углы на этом рисунке должны быть прямыми, если луч HR перпендикулярен плоскости HKFt Точки Л, Ву С, D и G принадлежат вертикальной плоскости Ε и АР _[_ E. Назовите все углы, которые должны быть прямыми. 236
-г ,и А В и С на рисунке слева принадлежат плоскости Ε, РА ]_ Ε и *' РС^РВ. Докажите, лто ЛС = Л£. о Точки Л, С и С на рисунке справа лежат в вертикальной плоскости £, а точка Р —«перед» нею. Докажите, что если РА _[_ Ε и ЛО = ЛС, то PG = 10. Точки А, В и X лежат в плоскости Я, а точки Ρ и Q—по одну сторону от Е. Докажите, что если PB^QB и PA = QA, то PX — QX. Сохранит ли ваше доказательство силу, если Ρ и Q будут лежать по разные стороны от £? если Ρ и Q будут принадлежать £? § 2. ЛЕММА В конце предыдущего параграфа мы упомянули о том, что если плоскость Ε содержит две прямые, перпендикулярные прямой / в точке Р, то Ε _J_ / в точке Р. Доказательство этой теоремы является довольно длинным. Чтобы оно выглядело немножко более легким, мы докажем сначала одну подготовительную теорему, которая поможет нам в главном доказательстве. Такие «вспомогательные теоремы» называются леммами. Этот термин происходит от греческого слова-, означающего ветвь. Таким обра- сом, лемма— это ветвь длинного до- р казательства. Нашу лемму доказать нетрудно. Теорема 8.1 Если точки В и С равноудалены В от точек Ρ и Q, щ0 и каждая точка, мжащая между В и С, равноудалена °т точек Ρ и Q. Другую формулировку этой тео- точк1 Прредает РИСУН°К· Заметим, что в и ν ^' % и С дол'жны лежать ^и плоскости, потому что точка X принадлежит прямой В Г **~** ^» и существует плоскость, содержащая прямую ВС и 237
t04Ky P. Но легко может случиться, что /\ВРС и /\BQC будут лежать в различных плоскостях, и именно этот случай понадобится нам в доказательстве основной теоремы. Доказательство. 1°. Как указано на рисунке, нам дано, что BP — BQ и CP = CQ. На основании ССС отсюда следует, что ABPCg^ABQC. 2°. Следовательно, Ζ РВСд^ Ζ QBC. 3°. На основании СУ С отсюда следует, что Δ РВХ оё Δ QBX. 4°. Из 3° вытекает, что РХ = QX, т. е. что точка X равноудалена от Ρ и Q, а это нам и требовалось доказать. Нам будет нужно также следствие 6.2.1 (стр. 182). Следствие 6.2.1 Даны отрезок А В и прямая I, лежащие β одной плоскости. Если каждая из каких-либо двух точек прямой I равноудалена от А и В, то I является медиатрисой отрез- -*· ка ΑΪ3. Это следствие нам потребуется лишь в одном частном случае, который передается следующим рисунком: § 3. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ Теорема 8.2 Если какая-либо прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых в точке их пересечения, то она перпендикулярна плоскости, содержащей эти прямые. Другая формулировка. Пусть 1г и /2 — две прямые в плоскости Е, пересекающиеся в точке Л, а I — прямая, перпендику^ лярная и /χ и /2 в точке А. Тогда прямая I перпендикулярна каждой прямой 13, проходящей через А и принадлежащей Е. Доказательство. 1°. Пусть Ρ и Q—две точки прямой /, равноудаленные от А. Тогда /χ и /2 являются медиатрисами отрезка PQ (разумеется, лежащими в двух различных плоскостях)· В <л <vj -ι~- -. / А 238
2° Каждая из прямых 1г и /3 содержит, точки, лежащие лоскости'Я по разные стороны от прямой /3. Пусть В и С —точки В ^мых /ι и ^2> лежащие в £ по противоположные стороны от /3. Т^гда прямая /3 содержит точку X, заключенную между В и С. 3° В силу 1° и теоремы 6.2 каждая из точек В и С равно- удалена от точек Ρ и Q. 4° По теореме 8.1 точка X равноудалена от Ρ и Q. 5°. Таким образом, прямая /3 содержит середину отрезка PQ и другую точку X, равноудаленную от Ρ и Q. По следствию 6.2.1 /8J_/, что и требовалось доказать. Задачи к § 3 1. Даны точки Л, (3, #', /С, У и Λί в плоскости £. Точки Л, 6 и «/ неколлинеарны и АР 1 AG и ЛР 1 Л/. Докажите, что прямая АР перпендикулярна прямым АК иМ 2. В каком отношении находятся прямая /, линия пересечения двух стен в вашем классе, и плоскость F пола? Объясните. Перпендикулярна ли прямая / каждой прямой, лежащей в F? Сколько прямых в плоскости F перпендикулярны прямой /? 3. На этом рисунке ~АВ ± "SC, Ζλβ 1 SC и AB = BD. Докажите, что Д ЛЯС ^ Δ #£С. Будет ли А В J_ £? Почему да или почему нет? 4. Квадрат ABCD находится в плоскости Е. Р —не лежащая в плоскости Ε точка, для которой РА 1 ~АВ. a) Назовите все плоскости, определяемые парами отрезков. ; b) По крайней мере один из отрезков перпендикулярен одной из плоскостей, о которых шла речь в а). Какой отрезок? Какой плоскости? Помогает ли вам отвечать на поставленный вопрос теорема 8.2? • Какой отрезок в задаче 3 перпендикулярен какой плоскости? грч1°' ЧД^ точка К является серединой ότι-жа OG и что, кроме того, AD =AG и к°сти Апг причем точка Ρ не лежит в плос- Дикул - ^сли 3Десь есть отрезок, перпен- вите%ЯРНЫЙ НекотоР°й плоскости, то назо- тот отрезок и эту плоскость. 239
7. На этом' рисунке PQ 1 MP, PQ 1 TQ и MP _L MT. Перпендикулярен ли какой^ нибудь отрезок на этом рисунке какой- либо плоскости? Назовите все такие пары «отрезок — плоскость», если они существуют. 8. АВ и CD —конгруэнтные отрезки, делящие друг друга пополам в точке _Λί. Прямая / перпендикулярна каждому из этих отрезков в точке Μ. Ρ— любая точка прямой /. Сделайте рисунок и докажите, что точка Ρ равноудалена от точек Л, В, С и D. . На этом рисунке изображен куб, причем ВК = ВМ. Докажите, что точка Η равноудалена от точек К и М. (В доказательстве вы можете пользоваться следующими свойствами куба: а) Все двенадцать ребер куба конгруэнтны. Ь) Любые два его пересекающиеся ребра перпендикулярны.) 10*. Если точки Л, В, С и D некомпланарны, AD = DC, ВС = ВА и /.DBA — прямой угол, то по крайней мере один из изображенных на рисунке отрезков перпендикулярен одной из плоскостей. Какой отрезок и какой плоскости? Докажите, что ваш ответ правилен. 11*. Плоскости Ε и F на этом рисунке пересекаются по прямой АВ. Прямая RQ лежит в плоскости F, а прямая WX — в плоскости Е. Кроме того, RQ ±. АВ и WX I F. Докажите, что RQl_ E. 240
4 СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ Доказательством теоремы 8.2 закончилась трудная часть этой out Все остальное, что нам нужно узнать, получается совсем просто. Теорема 8.3 Через каждую точку данной прямой проходит плоскость, перпендикулярная данной прямой. Доказательство.- Пусть / — данная прямая, Р —произвольная точка на ней. 1°. Возьмем две любые различные плоскости Μ и Νχ, содержащие /. (Вопрос. Откуда мы' знаем, что существуют две различные плоскости, содержащие /? Вспомните аксиому б и теорему 3.3) 2°. В плоскости Μ существует прямая /х, перпендикулярная прямой / в точке Ρ (теорема 6.1). 3°. В плоскости N существует прямая /2, перпендикулярная прямой / в точке Ρ (теорема 6.1). 4°. Существует плоскость Е, содержащая прямые /, и L (теорема 3.4). 5°. Е±1 в точке Ρ (в силу 2°, 3° и теоремы 8.2). Теорема 8.4 col Ш пРямая и плоскость перпендикулярны, то эта плоскость в £Ржит каждую прямую, перпендикулярную данной прямой точке ее пересечения с плоскостью. плоек ^гая Формулировка. Если прямая I перпендикулярна в Tc^°CtntL ^ в т°чк<е Ρ и если прямая L перпендикулярна прямой I точке Ρ прямая ίχ перпендикулярна прямой то 1Х лежит в плоскости Е. 241
Доказательство Утверждения 1. / и /χ лежат в некоторой плоскости F. 2. Пересечение плоскостей F и Ε есть некоторая прямая /2. 3. /2 _1_ / в точке Р. 4. Ιχ J_ / в точке Р. 5. /χ и /2 —одна и та же прямая. 6. Ιχ лежит в плоскости Е. Аргументы ? ? Определение перпендикулярности прямой и плоскости. Дано. По теореме 6.1 в плоскости F существует только одна прямая, перпендикулярная / в точке Р. В силу шага 2 прямая /2 лежит в Е, а в силу шага 5 /1 = /2. Теорема 8.4 позволяет установить, что перпендикулярная плоскость, о которой говорится в теореме 8.3, единственна. Теорема 8.5 Через данную точку данной прямой проходит только одна плоскость, перпендикулярная данной прямой. Доказательство. Если бы нашлись две различные перпендикулярные плоскости, то их пересечение представляло бы собой единственную прямую. Но это невозможно, потому что каждая из них содержит все прямые, перпендикулярные данной прямой в данной точке. Напомним, что медиатриса отрезка в данной плоскости была охарактеризована как множество всех точек этой плоскости, равноудаленных от концов отрезка. Для медиатрисы-плоскости в пространстве мы имеем характеризационную теорему точно такого же рода. 242
Определенно диатрисой-плоскостью данного отрезка в пространстве мается плоскость, перпендикулярная отрезку и проходящая На3ез его середину. (Из теоремы 8.5 вытекает единственность меди- атрисы-плоскости данного отрезка.) Теорема 8.6 (теорема о медиатрисе-плоскости) Медиатриса-плоскость любого отрезка есть множество всех почек, равноудаленных от концов этого отрезка. Другая формулировка. Пусть Ε—медиатриса-плоскость отрезка АВ. Тогда: 1°. Если точка Ρ принадлежит Е, то РА = РВ. 2°. Если РА=РВУ то точка Ρ принадлежит Е. На рисунке точка С является серединой отрезка АВ. Заметим, что формулировка нашей теоремы, как и формулировка любой другой характеризационной теоремы, распадается на две части. Чтобы доказать 1°, нужно знать определение перпендикулярности прямой и плоскости и условие, характеризующее медиат- рису отрезка в плоскости. Для доказательства 2° нужна также теорема 8.5. Детали этих двух доказательств представляются вам. Задачи к § 4 * ^ Сколько прямых перпендикулярны данной прямой в данной ее точке? о) Сколько плоскостей перпендикулярны данной прямой в данной ее точке? • Дано, что луч АР перпендикулярен каж- ДОму из лучей АК, AM, AS, AR и ^τ,τΐ Сколько плоскостей определяется ^тими лучами? Есть ли на этом рисунке ' да тШе трех компланарных точек? Если каки ПочемУ? (Предполагается, что ни- неарньТИ И3 заданных точек не колли" Рк 243
3. Плоскости Е и F пересекаются по пря- мой #Q. Имеем: Л£ J. Е, где точка β _ принадлежит прямой KQ. Точка R принадлежит плоскости £, а точка С — плоскости F. Будет ли Л Л J. BR? Почему? Будет ли АВ ± /CQ? Почему? Будет ли АВ J_ £С? Почему? На этом рисунке GH ±_ E, MG = MH и PQ _L G# в точке М. Содержит ли плоскость Ε отрезок PQ? Почему? Какой термин описывает отношение между плоскостью Ε и отрезком GH? 5. Два отрезка АВ и CD перпендикулярны и делят друг друга пополам в точке /С. Плоскость Ζ содержит отрезок АВ, но не содержит отрезок CD. Является ли Ζ медиатрисой-плоскостью отрезка CD? Сделайте рисунок, иллюстрирующий ваше заключение. Ρ 6. Как показано на рисунке, плоскость Ε является медиатрисой-плоскостью отрезка PQ. а) />/? = .... TQ=.... PS = .... ί'ΡΤΜ^..., ΔΡΓΛί^.... b) Будет ли MR- ■-MS = MT? Объясните. 7. Не все точки этого рисунка компланарны. Докажите, что если AW — BW, АХ = ВХ, AY = BY и AZ^BZ, то точки W,.X, Υ и Ζ компланарны. 8. Докажите теорему 8.6. 9*. Сформулируйте теоремы 8.3 и 8.5 в виде одной теоремы, используя выражение «ровно одна». 244
η* Сформулируйте теорему 8.-6, используя выражение «в том и только в том случае». tt* Можно ли было теорему 8.5 доказать до теоремы 8.3? Объясните. 12*+. Докажите следующую теорему. " Если I — прямая, пересекающая плоскость Ε в точке М, то в плоскости Ε существует хотя бы одна такая прямая V, что I 1_1. Ι3*4". Верно ли следующее утверждение (докажите, что ваш ответ правилен). Четыре точки, каждая из которых равноудалена от двух данных точек, компланарны с двумя данными точками в том и только в том случае, если эти четыре точки коллинеарны? 14*+. Плоскость Ε на этом рисунке является медиатрисой-плоскостью отрезка А В в точке С« Точка Η лежит по ту же сторону от £, что и точка В, а точка К — по ту же сторону от £, что и точка А. Кроме того, J<r-C~H> HBLAB и ΤζΑ 1 АВ. Докажите, что a) отрезки АК и ВН компланарны; b) АН^ВК, § 5. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ (СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ) Следующие теоремы представляют сводку некоторых из основных фактов о перпендикулярных прямых и плоскостях. Одни доказательства являются простыми, а другие—довольно длинными, и мы не будем здесь каждое из них проводить. Но мы продемонстрируем встречающиеся здесь рассуждения, сопроводив подробными указаниями доказательство следующей теоремы. Теорема 8.7 Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, компланарны. Чтобы понять, как нужно проводить доказательство, рассмотрим сначала ситуацию, к которой мы приходим в том случае, если наша теорема верна. ^ными словами, допустим, что 5*е Рассматриваемые прямые Действительно лежат в одной плоскости, и спросим: в какой носкости должны они лежать? i / / / it t ι —j—r-jL—+— xh F Ε/ 245
Нам дано, что /ι_1_£ в точке А и /2_1_£ в точке-β. Кроме того, мы допустили, что /х и /2 лежат в некоторой плоскости: F На рисунке мы изобразили середину Μ отрезка АВ и, кроме того, такой отрезок PQ плоскости £, что АВ и PQ пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам. Определенно видно, что PQ ±_F в точке М. Если это так то плоскость F является медиатрисой-плоскостью отрезка pQ, До сих пор, разумеется, мы ничего не доказали, так как заранее предположили, что наша теорема верна. Но теперь мы понимаем, как стоит ее доказывать: сначала нужно провести в плоскости Ε такой отрезок PQ, что PQ и АВ будут пересекаться под прямыми углами и делить друг Друга пополам, а затем показать, что прямые 1± и /2 принадлежат медиатрисе- плоскости отрезка PQ. Эта идея проходит. Вот главные шаги доказательства: 1°. AP = AQ (как указано на рисунке). 2°. ACAPg^ACAQ. 3°. CP^CQ. 4°. Точка С принадлежит медиатрисе-плоскости отрезка PQ. Обозначим ее буквой F. 5°. Прямая /i принадлежит F. Точно таким же образом заключаем, что и 6°. Прямая /2 принадлежит F. Итак, плоскость, которую мы разыскивали, действительно является медиатрисой-плоскостью отрезка PQ; эта плоскость содержит обе прямые 1Х и /2, откуда и следует, что эти прямые компланарны. Вы можете счесть, что обсуждение, предшествовавшее доказательству, было для вас ценнее, чем само доказательство. Доказательство, если оно уже получено, является логическим, но процесс придумывания доказательства бывает логическим очень редко. Вам нужно изо всех сил стараться найти способ доказательства. И одним из лучших приемов для этого является метод «принимать желаемое за действительное», именно его мы проиллюстрировали в начале этого параграфа. 246
Теоремы этой главы пока еще дают неполную - информацию еопендикулярных прямых и плоскостях. Следующие теоремы восполняют пробелы. Теорема 8.8 Через данную точку проходит одна и только одна плоскость, перпендикулярная данной прямой. Теорема 8.9 Через данную точку проходит одна и только одна прямая, перпендикулярная данной плоскостей. Эти краткие по формулировке теоремы содержат очень много информации. Каждая из них распадается на два случая в соот- вегствии с тем, что данная точка может принадлежать или не принадлежать данной прямой или плоскости. Теоремы говорят нам, что в каждом из этих четырех случаев мы имеем и существование и единственность. Это, значит, что всего нам требуется восемь доказательств. Два из них уже были даны — см. выше, -теоремы 8.3 и 8.5. Теорема 8.9 гарантирует нам существование единственного перпендикуляра к данной плоскости, проведенного из данной точки, не лежащей в этой плоскости. Поэтому оправдано следующее определение, аналогичное определению, которое мы дали после теоремы 7.7. Определение Расстояние от точки до не содержащей ее плоскости есть длина перпендикулярного отрезка, проведенного из этой точки до этой плоскости. Теорема 8.10 (вторая теорема о минимуме) Кратчайший отрезок, соединяющий данную точку с данной не содержащей ее плоскостью, есть перпендикулярный отрезок. Доказательство очень похоже ^а Доказательство теоремы 7.7. Усть заданы перпендикулярный трезок^Р<2 и любой другой от- ок PR, соединяющий точку Ρ с плоскостью Е\ начнем Кост^ат^ЛЬство с того, что проведем через прямые PR и PQ плос- • Довести доказательство до конца предоставляется вам. 247
Задачи к § 5 1. Из точки Л, не лежащей на плоскости Et проведен к этой плоскости кратчайший отрезок, пересек*а*ющий ее в точке В. -Прямые / и /' лежат в плоскости Et причем / содержит точку В и /' JL Λ Покажите, что если /"—такая прямая, что Г ± I и /" j_ /', то прямые /" и ЛВ компланарны. 2. Докажите следующий частный случай теоремы 8.9. Существует не более одной прямой, перпендикулярной данной плоскости и проходящей через данную точку, не принадлежащую данной плоскости. 3*+. Точки Ρ и Q лежат по противоположные стороны от плоскости Ε и равноудалены от этой плоскости. Перпендикуляры из Ρ и Q на плоскость Ε пересекают Ε соответственно в точках R и S. Докажите, что a) отрезок PQ пересекает отрезок SR в некоторой точке Т; b) точка Τ является серединой отрезка SR. Вопросы и задачи для повторения 1. Если нужно, сделайте рисунок, который поможет вам решить, верно или нет каждое из следующих утверждений: a) Если две плоскости пересекаются,' то их пересечение есть прямая. b) Три прямые могут пересекаться в одной точке так Г что каждая из них будет перпендикулярна двум другим. c) Если прямая перпендикулярна каждой из двух других прямых, то она перпендикулярна плоскости, содержащей эти две прямые. d) Пересечение двух плоскостей может оказаться отрезком. e) Существует ровно одна . прямая, перпендикулярная данной плоскости в данной ее точке. f) Для любых четырех точек существует плоскость, их содержащая. g) Если какая-либо прямая пересекает некоторую плоскость только в одной точке, то в этой плоскости существуют по' крайней мере две прямые, перпендикулярные этой прямой. h) Через данную точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой. i) Если три прямые попарно пересекаются, но нет точки, принадлежащей всем-трем прямым, то эти три прямые компланарны. j) Три плоскости могут разбивать пространство на восемь областей. 248
полните Множество всех точек, равноудаленных от концов отрезка, есть. 2* этого отрезка. Пополните. Расстояние от точки до не содержащей ее плоскости есть .... Пополните. Если какая-либо прямая перпендикулярна каждой из двух . 4* прямых в'..., то она перпендикулярна ..., содержащей эти прямые. к На этом рисунке Δ ЛВС — равносторон- ний треугольник, лежащий в плоскости Е, и луч CD делит пополам L ВС А. Если 'отрезок HD перпендикулярен отрезку CD у то по крайней мере один отрезок на этом рисунке перпендикулярен одной из плоскостей. Какой отрезок? Какой плоскости? Плоскость__£ содержит точки А и К\ ТА 1 Е, С К 1 Е, но Α Φ К- Сколько плоскостей определяется точками Л, К, С и У? Объясните. Если боковые штанги ворот в одном конце футбольного поля перпендикулярны этому полю, то они компланарны, даже если их не соединяет верхняя штанга. Какая теорема подкрепляет это заключение? Могут ли они остаться компланарными, не будучи больше перпендикулярными полю? Если их соединить верхней штангой, то будет ли это гарантировать, что они всегда будут компланарны? ~ Луч АВ перпендикулярен вертикальной плоскости £, а точки Л, В, С, D, G и Η лежат в этой плоскости. Чему равна сумма т L DAP + m L САР? Если /. CAB — прямой угол, то по крайней мере один луч, отличный от Л?, и одна плоскость, отличная от Е, перпендикулярны. Назовите все такие пары луч — плоскость. &АВС лежит в плоскости Ε. Ρ — точка, ^лежащая_в_£ и_такая, что РА 1_ АВ, А 1 АС и PD ι ВС, _где D - точка, при- адлежащая отрезку ВС. Какое из усло- **«*&£%' P* = PD> PA<PD 249
10. &HMT лежит в плоскости Ε. Кроме того, НМ — ТМ, ΊζΜ 1 Е. Что верно: L КНТ > L КТН, L КНТ ^ L КТН, или L КНТ < L КТН? Почему? 11. Дано. Плоскость Ε содержит ДАВС. Прямая / J_ Ε в точке Т. Точка Τ равноудалена от точек А, В и С. X — любая точка прямой А. Требуется доказать. Точка X равноудалена от точек А, В и С. 12. Докажите, что если каждая из точек А и Л равноудалена от точек Ρ и Q, то и <-> каждая точка прямой Л£ равноудалена от Ρ и Q. 13. Дан о. Прямые ВС и BD лежат в плос- кости Е\ плоскость F J_ BD в точке β; плоскость G _L £C в точке В; плоскости G и F пересекаются по прямой А В. Требуется доказать. АВ J_ £. , Η. Δ #SQ на рисунке лежит в плоскости Ε и Р^ 1_ £· Докажите, что если L POR ^ L PSR, то z PQS ^ Z POS. 15. Докажите, что если на том же рисунке 'PR 1 £, Р# > /?S, SQ 1 Щ и SQ J. PQ, то PQ>QS. 16*. Дан куб, изображенный , на рисунке, причем ВК — ВМ и Р —середина отрезка КМ. Докажите, что плоскость HDP является медиатрисой-плоскостью отрезка КМ. (Вы можете пользоваться свойствами куба, указанными в задаче 9 к § 3 этой главы.) 250
Π*. Докажите, что каждый из четырех лучей АВ9 AC, AD и Л? не может быть перпендикулярен трем другим. nJZ не может Конкурсная задача Дано. АР 1 PQ, АР~± РС~У д PQ±*BC, Q — B — C. Требуется доказать. AQ _[_ ВС (Указание. Возьмите на прямой !?С такую точку /?, что QR^QB.)
9 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ *-Л. ;С1 " **\. U> ■■- , ^&&W -■'" - - ■ ,v Vv
§ ι. УСЛОВИЯ, ГАРАНТИРУЮЩИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ Существуют три способа расположения двух прямых в пространстве. 1°. Они могут пересекаться в некоторой точке. Теорема 3.4 утверждает, что в этом случае они должны быть компланарны. 2°. 0*ш могут не пересекаться и не быть компланарными. В этом случае они называются скрещивающимися прямыми. Рассмотрим, например, прямую /ь идущую по полу вашей комнаты вдоль одной из стен, и прямую /2, идущую по потолку перпендикулярно этой стене. Эти две прямые будут скрещивающимися. 3°. Наконец, эти две прямые могут лежать в одной плоскости й не пересекаться. В этом случае мы будем говорить, что наши две прямые параллельны. Определение Две некомпланарные прямые называются скрещивающимися. Определение Две прямые называются параллельными, если они 1°. компланарны; 2°. не пересекаются. Следующая теорема позволяет нам говорить о (единственной!) плоскости, содержащей две параллельные прямые. Теорема 9.1 Две параллельные прямые принадлежат одной и только одной плоскости. Доказательство. Если прямые 1Х я /2 параллельны, то из определения следует, что они лежат в некоторой плоскости Е. Нам остается только показать, что они лежат только в одной плоскости. Пусть Ρ — любая точка прямой /2. По теореме 3.3 существует единственная плоскость, содержащая 1г и Р. Поэтому существует °лько °Дна плоскость, содержащая прямые 1{ и /2, так как каж- дая плоскость, содержащая прямую /2, содержит и точку Р. 253
Чтобы указать, что прямые 1г и /2 параллельны, мы будем писать к II /.. Если два отрезка АВ и CD принадлежат параллельным прямым, то для краткост