ЭДВИН Э. МОИЗ,
ФЛОЙД Л. ДАУНС, мл.
ГЕОМЕТРИЯ
Перевод с английского
И. А. ВАЙНШТЕЙНА
Под редакцией
И. М. ЯГЛОМА
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1972

513
Μ 74
Моиз Э. Э. и Дауне Ф. Л., мл.
Μ 74 Геометрия. Перевод с англ. И. А. Вайнштейиа.
Под ред. И. М. Яглома. М., «Просвещение», 1972.
622 с. с илл.
6-6 513
БЗ № 26—72

ОГЛАВЛЕНИЕ
От издательства 8
Из предисловия авторов .* 9
ГЛАВА 1. ЗДРАВЫЙ СМЫСЛ И СТРОГОЕ РАССУЖДЕНИЕ
§ 1. Два типа задач ^. 13
§ 2. Логически последовательное изложение геометрии 19
Евклид 22
ГЛАВА 2. МНОЖЕСТВА, ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ПРЯМЫЕ
§ 1. Множества . < 27
§ 2. Порядок на числовой прямой к . . . . 32
§ 3. Абсолютная величина 37
§ 4. Масштабные линейки и единицы длины 39
Аксиома 1 (аксиома расстояния) 42
§ 5. Бесконечная линейка 43
Аксиома 2 (аксиома масштабной линейки) 45
§ 6. Аксиома прикладывания линейки. Понятие «между». Отрезки и
лучи , 48
Аксиома 3 (аксиома прикладывания линейки) 48
Аксиома 4 (аксиома прямой) 51
§ 7. Замена единицы длины 56
ГЛАВА 3. ПРЯМЫЕ, ПЛОСКОСТИ И РАЗБИЕНИЯ
§ 1. Введение 63
§ 2. Прямые и плоскости; чертежи 64
Аксиома 5 ' 65
§ 3. Прямые и плоскости; чертежи (окончание) 67
Аксиома 6 67
Аксиома 7 (аксиома плоскости) 68
Аксиома 8 (аксиома пересечения плоскостей) 68
§ 4. Выпуклые множества 71
Аксиома 9 (аксиома разбиения плоскости) 72
Аксиома 10 (аксиома разбиения пространства) 74
§ 5. Семь кёнигсбергских мостов 76
Леонард Эйлер -. 78
ГЛАВА 4. УГЛЫ И ТРЕУГОЛЬНИКИ
§ 1. Основные понятия 83
§ 2. Несколько замечаний об углах 88
§ 3. Угловая мера 89
Аксиома 11 (аксиома измерения углов) 90
3

Аксиома 12 (аксиома построения углов) 91
Аксиома 13 (аксиома сложения углов) 91
Аксиома 14 (аксиома пополнения) 92
§ 4. Прямые углы, перпендикулярность, конгруэнтные углы .... 96
Джордж Дэвид Биркгоф . . . 103
§ 5. Запись теоремы в форме «предположение — заключение» .... 105
§ 6. Запись простых доказательств 106
ГЛАВА 5. КОНГРУЭНТНОСТЬ
§ 1. Идея конгруэнтности - 117
§ 2. Конгруэнтность треугольников 124
§ 3. Аксиомы конгруэнтности треугольников 131
Аксиома 15 (СУС-аксиома) ·...., - . 132
Аксиома 16 (УСУ-аксиома) 132
Аксиома 17 (ССС-аксиома)1 . 132
§ 4. Доказательство постарайтесь придумать сами! 134
§ 5. Биссектрисы углов . . 146
§ 6. Равнобедренные и равносторонние треугольники -. 148
§ 7. Перекрывающиеся треугольники. Применение рисунков для
передачи информации 153
§ 8. Четырехугольники, квадраты и прямоугольники 159
ГЛАВА 6. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
§, 1. Как строится дедуктивная система 171
§ 2. Доказательства от противного 171
§ 3. Теоремы о прямых и плоскостях 174
§ 4. Перпендикуляры . . 179
§ 5. Введение в доказательствах вспомогательных точек и прямых.
Употребление слова «пусть» .. . ♦ , 187
§ 6. Как обойтись без УСУ-аксиомы 193
§ 7. Как обойтись без ССС-аксиомы 194
§ 8. Отношение «между» и разбиение 196
ГЛАВА 7. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
§ 1. Разумные гипотезы 203
§ 2. Неравенства между числами, отрезками и углами 205
§ 3. Теорема о внешнем угле 207
§ 4. Теоремы о конгруэнтности, основанные на теореме о внешнем
угле 212
§ 5. Неравенства, связывающие элементы треугольника . 216
§ 6. Взаимно обратные теоремы 219
§ 7. Расстояние между прямой и точкой. Неравенство треугольника 221
§ 8. Теорема о шарнире и' обратная теорема 224
§ 9. Высоты треугольников , 227
4

г ПАВА 8. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ
В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Определение перпендикулярности прямых и плоскостей .... 235
§ 2. Лемма · · - 237
§ 3. Основная теорема о перпендикулярах 238
§ 4. Существование и единственность 241
§ 5. Перпендикулярные прямые и плоскости (сводка результатов) . 245
ГЛАВА 9. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. Условия, гарантирующие параллельность 253
§ 2. Соответственные углы 260
§ 3. Аксиома параллельности 262
Аксиома 18 (аксиома параллельности) . —
§ 4. Треугольники 266
§ 5. Плоские четырехугольники 269
§ б. Ромб, прямоугольник и квадрат 275
§ 7. Несколько теорем о прямоугольных треугольниках 278
§ 8. Секущие ко многим параллельным прямым 281
§ 9. Как Эратосфен измерил Землю 285
Эратосфен . 287
ГЛАВА 10. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ
§ 1. Основные факты о параллельных прямых и плоскостях .... 295
§ 2. Двугранные углы. Перпендикулярные плоскости^ 301
§ 3. Проекции 308
Николай Иванович Лобачевский 316
ГЛАВА 11. МНОГОУГОЛЬНЫЕ ОБЛАСТИ И ИХ ПЛОЩАДИ
§ 1. Многоугольные области 319
Аксиома 19 (аксиома площади) ~ . 321
Аксиома 20 (аксиома конгруэнтности) —
Аксиома 21 (аксиома сложения площадей) 322
Аксиома 22 (аксиома единицы площади) —
§ 2. Площади треугольников и четырехугольников 326
§ 3. Теорема Пифагора 334
Пифагор , 335
§ 4. Треугольники специального вида 339
ГЛАВА 12. ПОДОБИЕ
§ 1. Идея подобия. Пропорциональность 349
§ 2. Подобие треугольников .-' 354
§ 3. Основная теорема о пропорциональности и обратная теорема . . 357
§ 4. Основные теоремы о подобии 362
§ 5. Подобие прямоугольных треугольников 373
§ б. Площади подобных треугольников 376
5

§ 7. Тригонометрические отношения 379
§ 8. Тригонометрические расчеты. Применение таблиц 383
§ 9. Формулы, связывающие тригонометрические отношения 387
ГЛАВА 13. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. Введение . .- 395
§ 2. Система координат на плоскости —
Рене Декарт 400
§ 3. Как изобразить систему координат на бумаге в клетку .... 401
§ 4. Подъем (невертикальной) прямой 406
§ 5. Параллельные и перпендикулярные прямые , 412
§ 6. Формула расстояний 415
§ 7. Формула середины. Деление отрезка в данном отношении ... 419
§ 8. Применение метода координат для доказательства теорем .... 424
§ 9. Условие и его график . 428
§ 10. Уравнение прямой 431
ГЛАВА 14. ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ
§ 1. Основные определения 441
§ 2. Касательные к окружности 445
§ 3. Касательные плоскости к сфере < 453
§ 4. Дуги окружностей 458
§ 5. Вписанные углы и высекаемые дуги 462
§ 6. Конгруэнтные дуги 468
§ 7. Секущие и касательные отрезки. Степень точки относительно
окружности 473
§ 8. Окружность на координатной плоскости 481
ГЛАВА 15. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ;
ПОСТРОЕНИЯ
§ 1. Необходимые и достаточные, условия 493
§ 2. Роль необходимых и достаточных условий в аналитической
геометрии 497
§ 3. Теоремы о конкуррентности 499
§ 4. Биссектрисы углов треугольника 503
§ 5. Теорема о конкуррентности медиан 505
§ 6. Построения с помощью циркуля .и линейки 508
§ 7. Простейшие построения 510
§ 8. Простейшие построения (продолжение) 513
§ 9. Вписанные и описанные окружности . . . ., 518
§ 10. Неразрешимость некоторых классических задач на
построение - 520
ГЛАВА 16. ПЛОЩАДЬ КРУГА И СЕКТОРА
§ 1. Многоугольники ; 529
§ 2. Правильные многоугольники 534
6

§ 3. Длина окружности. Число π 536
§ 4. Площадь круга 540
§ 5. Длина дуги и площадь сектора 543
ГЛАВА 17. ТЕЛА И ИХ ОБЪЕМЫ
§ 1. Призмы 551
§ 2. Пирамиды ; 558
§ 3. Объемы призм и пирамид. Принцип Кавальери 563
Аксиома 23 (аксиома единицы объема) 564
Аксиома 24 (принцип Кавальери) 565
Архимед '. . 571
§ 4. Цилиндры и конусы 572
§ 5. Объем шара и площадь его поверхности . . . 578
Дополнения 585
Список аксиом . / 593
Я. М. Яглом. «Метрические» системы обоснования геометрии и книга
Моиза — Даунса 595
Литература . . . . 606
Указатель символов > . . ' 614
Предметный указатель 616
Именной указатель 622

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
Настоящая книга представляет собой
учебник геометрии, используемый в старших
классах части американских средних школ.
Содержащийся здесь материал покрывает
полную программу курса: он содержит и
разделы, относящиеся к планиметрии, и
первоначальные (впрочем, довольно скромные)
сведения по стереометрии. В книге
произведена удачная попытка частичного
объединения планиметрического и
стереометрического материала, излагаемого зачастую в
рамках одной главы.
Учебник Моиза и Даунса является
также и задачником — он содержит полное
количество задач, необходимое для целей
преподавания. Для удобства преподавателя
задачи, которые авторы считают
возможным опустить, отмечены крестиками (+);
более трудные задачи отмечены звездочками
(*). Особо выделены так называемые
«конкурсные задачи» (honors problems),
адресованные лишь к наиболее успевающим
учащимся.
«Основной текст книги сопровождается
Дополнениями, заимствованными из
«учительского издания» учебника, и
послесловием редактора перевода, поясняющим
основные установки этой книги, а также
содержащим некоторые сведения о ее
авторах и о том, как используется этот
учебник в американских средних школах. В
конце книги имеется полный список всех
аксиом, позволяющий более полно представить
себе избранную авторами дедуктивную
систему, а также список всех употребляемых
в книге символов и предметный указатель.
Немногочисленные подстрочные
примечания в тексте книги принадлежат
переводчику и редактору.
8

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ
В последние годы происходила оживленная дискуссия о
содержании курса геометрии, который проходится в старших классах средней
школы. Просмотрев оглавление этой книги, легко заметить, что
мы близко следуем рекомендациям Комиссии по математике Совета
по вступительным экзаменам в колледжи (Commission on
Mathematics of the College Entrance Examination Board) и находимся под
сильным влиянием опубликованной исследовательской Группой
по школьной математике (School Mathematics Study Group,
сокращенно SMSG) книги под названием «Геометрия». При отборе
материала для нашей книги мы руководствовались идеями,
которые были приняты как этими коллективами, так и некоторыми
другими.
Самый простой способ объяснить дух и метод этой книги состоит
в том, чтобы сразу выразить глубочайшую признательность нашим
коллегам по SMSG. Нам посчастливилось участвовать в проводимой
в рамках SMSG коллективной работе, и мы были воодушевлены
длительными и серьезными обсуждениями стиля и метода
преподавания математики. Естественно, что ады писали свою книгу,
основываясь на собственных убеждениях, сложившихся после нескольких
лет труда и размышлений под влиянием нашего опыта преподавания
в средней школе; отступления от выработанной коллективно линии
изложения здесь столь многочисленны, что мы не можем
претендовать ни на какую поддержку нашей книги авторитетом SMSG.
Однако наши взгляды со времени летних месяцев 1958, 1959 и
1960 гг. существенно не изменились; основные установки
составленной под эгидой SMSG книги и теперь кажутся нам такими же
обоснованными, как и раньше, так что своей задачей мы считаем
лишь усовершенствование воплощения этих установок.
Перечислим теперь основные особенности нашей книги.
1. Основные понятия стереометрии вводятся у нас рано, в гл. 3,
и с этого момента систематически используются. Они возникают
не только в более поздних главах, специально посвященных изучению
стереометрии, но и в задачах к главам, посвященным планиметрии.
Таким образом, к тому времени, когда мы обратимся к
систематическому изучению стереометрии в гл. 8, учащийся будет уже
иметь большой и разнообразный (хотя и интуитивный) опыт в этом
направлении.
9

2. Система координат на прямой вводится в гл. 2, и после этого
мы свободно пользуемся алгеброй. Расстояния и углы измеряются
числами, и при действиях с ними применяются алгебраические
методы. Это позволяет легко ввести в гл. 13 (после того, как
учащийся познакомится с подобием и теоремой Пифагора)
координаты на плоскости.
3. Теорию измерения площадей обычно проходят в конце курса
геометрии. Здесь мы излагаем ее в гл. 11, т. е. примерно в середине
курса. Для этого есть две причины. Во-первых, понятие площади
должно появляться рано потому, что оно является легким, если
не считать требований, которые оно предъявляет к алгебраическим
навыкам. (Эти навыки так или иначе нужно развивать.) Во-вторых,
оно полезно в остающейся части теории, давая простое
доказательство теоремы Пифагора, а также теоремы о
пропорциональных отрезках, на которую опирается теория подобия.
4. Почти в каждом случае, прежде чем формально определить
какое-либо понятие, мы объясняем его интуитивно — путем
неформального обсуждения, чаще всего базирующегося на разборе
рисунков. (См., например, определение выпуклого множества на стр. 69.)
5. Рисунки в книге используются очень широко; они снабжаются
некоторыми пометками, имеющими своей целью увеличение
доставляемой рисунками информации. (См. стр. 126—127, где мы объясняем,
как пометками обозначать конгруэнтность, а также стр. 141 —142,
где мы объясняем пользу проставляемых на рисунках
восклицательных знаков: с их помощью мы обозначаем заключения.)
6. Мы постарались придумать названия для возможно большего
числа теорем, чтобы облегчить их запоминание и ссылки на них.
(См., например, «теорему о шарнире» на стр. 224 и «аксиому
масштабной линейки» на стр. 45.)
7. Основная цель этой книги состоит в том, чтобы научить
учащегося пользоваться математическим языком—т. е. понимать
Математическую книгу и самому использовать усвоенные формы
записи. Это — не простая задача. Трму, кто учится пользоваться
математическим языком, должны быть сообщены термины и
обозначения, быстро и точно передающие смысл математического
понятия. Не следует думать, что так поступают все. Например,
во многих книгах один и тот же символ А В употребляется для
обозначения: а) прямой, содержащей точки А и В; Ь) отрезка с
концами А и J3; с) луча, исходящего из Л и проходящего через
10

В; d) расстояния между точками А и В. Вовсе не редкость
также встретить в какой-либо книге детальное объяснение
различия между отрезками и прямой, которое, однако, полностью
игнорируется самими авторами (или автором). Но если
применяемый язык так неряшлив, учащийся скорее всего придет к
(законному!) заключению о том, что предложенный ему учебник для
серьезного изучения не годится. В нашей книге мы сделали попытку
добиться вдумчивого внимания учащихся, последовательно приучая
их к ясности и точности изложения.
Кембридж и Ньютон, Массачусетс, Э. Э. М.
Октябрь 1963 г. Ф. Л. Д.

1 ЗДРАВЫЙ СМЫСЛ
И СТРОГОЕ РАССУЖДЕНИЕ

§ 1. ДВА ТИПА ЗАДАЧ
Рассмотрим следующие задачи.
1. Прямоугольник имеет размеры 6смх8см. Ограниченная им
площадь разбита прямолинейным отрезком на две части. Чему равна
площадь одной из этих частей, если площадь другой равна 20 кв. см?
2. Сумма (измеренных в сантиметрах)
основания и боковой стороны
некоторого прямоугольника равна 14. Второй
прямоугольник имеет в 5 раз большее
основание и втрое большую боковую сто- ~ I
рону. Периметр второго
прямоугольника равен 91. Какие размеры имеет
первый прямоугольник?
Задачу 1 вы сумеете решить без осо- q cm
бых размышлений. Ответ — 28 кв. см,
потому что 6-8 = 48 и 48 — 20 = 28.
Конечно, при желании мы могли бы эту задачу решить и
алгебраически, составив уравнение
20 + л; = 6-8
и затем найдя из него, что χ = 28. Но решающий задачу таким
способом рискует вызвать нелестное мнение о своих умственных
способностях, поскольку в алгебре здесь нет никакой нужды.
Скорее всего, вам еще до того, как вы вообще начали изучать алгебру,
приходилось решать с помощью арифметики и более трудные
задачи. И если бы все алгебраические уравнения были бы такими
же ненужными, как только что составленное, то ни один
серьезный человек не заинтересовался бы ими.
Иное дело, однако, задача 2. Если мы обозначим основание
и боковую сторону первого прямоугольника через χ и у, то
основание и боковая сторона второго прямоугольника будут равны
Ьх и Зу. Следовательно,
5х + Зу = ^-9
так как сумма основания и боковой стороны равна половине
периметра. Кроме того, мы знаем, что
х + У=14.
Мы пришли к системе двух уравнений с двумя неизвестными.
Чтобы ее решить, умножим второе уравнение почленно на 3; мы
получим
Зх + 3у = 42.
Затем почленно вычтем последнее уравнение из первого; это даст
нам .
13

или
Следовательно,
i,= 14-l|=12j-.
Нетрудно проверить, что наш ответ удовлетворяет условиям задачи.
Эти две задачи кажутся схожими, но в одном очень важном
отношении они совершенно различны. Первую из них можно было
бы назвать «задачей на здравый смысл». Легко догадаться, каким
должен быть ответ, и столь же легко проверить, что ответ, к
которому приводит естественная догадка, правилен. Угадать же
ответ второй задачи почти невозможно. Чтобы ее решить, нужно
кое-что знать о математических методах.
Ситуации такого рода в геометрии не редки. Рассмотрим
следующие утверждения.
1. Если треугольник имеет стороны 3, 4 и 5, то он является
прямоугольным, причем прямой угол противолежит наибольшей
стороне.
2. Пусть дан треугольник со сторонами a, b и с. Если
а* + Ь2 = с2,
то треугольник является прямоугольным, причем прямой угол
противолежит наибольшей стороне.
Первый из этих фактов был известен еще древним египтянам.
Они проверили его на опыте. Вы можете удостовериться в том,
что он верен, как можно точнее начертив треугольник 3 — 4 — 5
и измерив транспортиром угол, противолежащий наибольшей
стороне. Нужно, конечно, учитывать, что такая проверка является
только приближенной. Допустим, например, что этот угол,
который мы предположили точно равным 90°, в действительности равен
89° 59'59-γ- (т. е. 89 градусов, 59 минут и 59 ^ секунды). В этом
случае вам едва ли удалось бы обнаружить это различие с
помощью транспортира, как бы тщательно вы ни точили свой карандаш
14

и вычерчивали треугольник. Тем не менее «египетский метод» с
точки зрения здравого смысла является хорошим методом проверки
экспериментального факта.
Египтяне были очень искусны в проведении физических
измерений. Ребра основания великой пирамиды в Гизе (пирамиды
Хеопса) равны приблизительно 230,43 м, причем длины этих
четырех ребер отличаются одна от другой не более чем на 2 см.
По-видимому, никто сегодня не знает, какими средствами строители
добились такой точности (Чем больше вы будете думать над этой
задачей, тем более трудной она вам, вероятно, покажется.)
Утверждение 2 египтянам известно не было, оно было открыто
греками много позже. Проверить это утверждение экспериментально
совершенно невозможно по той простой причине, что пришлось бы
рассмотреть бесконечное множество случаев. Можно, например,
сделать чертеж и снять показания транспортира для всех
следующих треугольников
и так далее до бесконечности. Таким образом, проверить наше
общее утверждение экспериментально (даже приближенно) нет
никакой надежды. Поэтому разумный человек не будет убежден, что
утверждение 2 во всех случаях верно до тех пор, пока он не
обоснует его рассуждениями, основанными на правилах логики.
Это и явилось причиной того, почему именно греки, а не
египтяне открыли, что наше второе утверждение верно. Египтяне были
очень сильны в измерениях, и они сделали несколько чрезвычайно
проницательных догадок, которые позднее оказались верными. Но
греки открыли новый метод, который оказался гораздо более
мощным,— метод строгого геометрического рассуждения. С помощью
этого метода они превратили правдоподобные догадки в прочные
знания и установили некоторые настолько поразительные факты,
что без доказательства им никто не поверил бы. Тем самым древние
греки заложили основания современной математики, а потому и
всей современной науки вообще.
15

Задачи к § 1
1. Насколько хорошо вы оцениваете на глаз? Проделайте следующий
эксперимент. Возьмите кусок веревки длиной приблизительно в полтора метра и
положите его на пол в виде петли со свободными концами. Затем
потяните за концы веревки, постепенно уменьшая петлю, и остановитесь
в тот момент, когда вам покажется, что петля по размеру равна вашей
талии. Пометьте веревку в точках ее самопересечения
и проверьте, правильно ли вы угадали, обтянув ее
вокруг талии.
После того как вы произведете эту проверку,
прочитайте замечание к задаче 1на стр. 18.
2. Вот еще одна задача на оценку на глаз. Газетный лист
довольно тонок — около 0,08 мм\ пачку газе г вам
приходилось видеть довольно часто. Представьте себе,
что вы расстелили один газетный лист на полу. Затем
вы кладете на него другой лист, затем еще два, затем
четыре и т. д., так что пачка газет все время увеличивается. Каждый раз
вы добавляете к пачке столько газет, сколько в ней уже было раньше.
После десятикратного повторения этой операции высота пачки достигнет
примерно 8 см. Какую высоту имела бы пачка, если бы вы были в
состоянии повторить эту операцию 50 раз?
Один из ответов а) — d), приведенных ниже, является правильным; вам
нужно только оценить (или подсчитать), какой именно.
a) Примерно такую же, как ваша классная комната.
b) Примерно такую же, как четырехэтажное здание.
c) Примерно такую же, как Импайр Стейт Билдинг х).
d) Более чем в два раза превышающую высоту Импайр Стейт Билдинг.
После того как вы произведете свой выбор, прочитайте замечание к задаче
2 на стр. 19.
3. На первый из двух приведенных ниже вопросов можно ответить на
основании «здравого смысла». Дайте только ответ. Ответ на второй вопрос
требует небольших арифметических или алгебраических вычислений. Покажите,
как вы их проделаете.
a) Чему равна одна шестая от 12?
b) Чему равна одна шестая от 5 255 622?
4. Поступите, как в .задаче 3:
a) Третья часть расстояния между двумя городами равна 10 км. Чему равно
все расстояние?
b) Расстояние между двумя городами на 10 км больше, чем треть
расстояния между ними. Чему равно расстояние между этими городами?
5*. Поступите, как в задаче 3:
a) Если пятнадцатисантиметровый кусок проволоки разрезать на две части
так, чтобы одна часть была в четыре раза длиннее другой, то чему будет
равна длина большей части?
b) Если пятнадцатисантиметровый кусок проволоки разрезать на две части
так, чтобы площадь квадрата, образуемого сгибанием одной части, была
в четыре раза больше площади квадрата, образуемого сгибанием другой,
то чему будет равна длина большей части?
6, Если два ученика добросовестно и независимо друг от друга будут
измерять ширину классной комнаты линейками, один слева направо, а другой
справа налево, то, по всей вероятности, они получат различные результаты.
Проверьте это! Какое из следующих соображений является правдоподобной
причиной такого различия?
!) Импайр Стейт Билдинг —самый высокий в мире дом (475 ж, 102 этажа) в
момент написания этой книги.
О
16

а) Линейки имеют разные длины.
м Веши удлиняются (или укорачиваются), когда их измеряют не слева
направо, а справа налево.
c) Расхождения, являющиеся результатом изменения положения линейки,
накапливаются, и сложение этих, маленьких ошибок приводит к
заметному различию.
d) Один из двух учеников сбился со счета.
7. Покажите, что равенство п2 — 2л + 2 = я верно при п=1. Верно ли оно
при я = 2? Верно ли оно всегда, т. е. при любом значении п>
8. Важной составной частью изучения математики является овладение умением
подмечать детали, наталкивающие на некоторые общ^е умозаключения.
Взгляните, например, на соотношения
3 + 5 = 8, 9 + 5=14, 11 + 17 = 28.
По ним нетрудно догадаться, что сумма двух нечетных чисел есть число
четное. Можете ли вы придумать два нечетных числа, суммой которых
является нечетное дисло? Доказывает ли ваш ответ, что такие два нечетных
числа не существуют?
9. Рассмотрите соотношения
12=1, 32 = 9, 52=25, 72 = 49.
a) Постарайтесь извлечь из них какое-либо заключение относительно
нечетных чисел. Запишите утверждение, обобщающее ваше наблюдение.
b) Докажите, что это обобщение верно.
10. Разделите каждое из чисел З2, Б2 и 72 на 4.
a) Чему в каждом из этих случаев равен остаток?
b) Какой здесь напрашивается вывод?
c) Сколько нечетных чисел нужно было бы возвести в квадрат и разделить
на 4, чтобы гарантировать, что остаток всегда будет один и тот же?
11. Рассмотрите следующие фигуры и вывод, на который они наталкивают:
Число соединяемых
точек: 2 3 4 5 6
Число образуемых
областей: 2 4 8 16 ?
a) Замените вопросительный знак под цифрой 6 числом, которое, по вашему
мнению, должно здесь стоять.
b) Нарисуйте окружность и соедините любые шесть ее точек всевозможными
отрезками. Подсчитайте число образованных при этом областей. Согла-
' суется ли этот результат с вашим ответом на вопрос а)?
c) Что показывает эта задача: всегда ли верно напрашивающееся обобщение
наблюдений или это не так?
12. Следующие рисунки, в которых мы встречаемся с обманами зрения,
показывают, что не всегда можно верить своим глазам.
а) Является ли отрезок CD продолжением отрезка Л В? Возьмите линейку
и проверьте, правы ли вы.
17

b) Одинаковы ли по длине отрезки XY и YZ7 Возьмите масштабную линейку
или циркуль и проверьте, правы ли вы.
c) MN и PQ — прямолинейные это отрезки или нет?
d) Какая из прямых справа от прямоугольника является продолжением
прямой слева?
e) Какой из отрезков длиннее, А В или CD?
LK
β
13. Рассмотрим выражение я2 — я+11. При п—\ оно равно 11. При я = 2 оно
равно 13. При п = 3 оно дает 17. Числа 11, 13 и 17 являются простыми.
(Простым числом называется целое число, большее единицы, которое делится
только на себя и на единицу.) Если подставлять вместо η любые
натуральные числа, то всегда ли мы будем получать простые числа?
14*+. а) Покажите, что выражение
п2 — n+ky
когда k равно 3 или 5, ведет себя так же, как и выражение
п2 — п+П
(см. задачу 13).
b) На какое общее утверждение наталкивает а)? Верно оно или нет?
c) Какое наименьшее число, большее чем 11, годится здесь в качестве k?
Годится ли здесь число 41?
154". Пилот реактивного самолета собирается покрыть 1500-километровый путь
со средней скоростью 1500 км/час. Первые 1200 км он прошел со скоростью
1200 км/час. С какой скоростью должен он пройти оставшийся путь?
164". Проверьте с помощью, линейки, что размеры на рисунке указаны верно.
Если они правильны, то, вычислив площади частей, на которые разбит
прямоугольник, покажите, что сумма всех этих площадей больше, чем площадь
всего прямоугольника. Странно, не правда ли? Можете ли вы это объяснить?
Замечание к задаче 1. Почти каждый делает петлю примерно в
два раза больше, чем нужно. Можно получить вполне удовлетворительный
результат, если немножко порассуждать следующим образом. Длина окружности
в π раз больше диаметра, а π приблизительно равно 3. Поэтому диаметр
составляет около одной третьей части длины окружности. Таким образом, если вы
знаете, что окружность вашей талии близка, скажем, к 60 см, то петля должна
иметь диаметр, приблизительно равный 20 см. Это может показаться
неправдоподобно малым, но если вы проанализируете задачу математически, то
согласитесь, что это строго логичное рассуждение вполне надежно.
18

Это один из многих довольно часто встречающихся случаев, когда много
выгоднее использовать математический подход к Задаче, пусть даже совсем
Грубый, чем просто гадать на кофейной гуще.
Замечание к задаче 2. Это также одна из многих весьма обычных
ситуаций, когда математический анализ помогает
открыть поразительные факты, которые иначе
обнаружить невозможно. Аспект математики,
связанный не с Подтверждением уже открытого, а
непосредственно с открытиями, играет огромную
р0ЛЬ__и он столь же важен, сколь и полезен при
решении задач.
Так как каждый раз, прибавляя газеты к
пачке, вы удваиваете число газетных листов, то
после 50 таких операций вы получите 250 листов.
Таблица степеней числа 2, или непосредственлый 5 Ъ
подсчет, убедит вас, что вы будете иметь э
1 125 899 906 842 624 листа. Стоит еще немножко
посчитать —и вы убедитесь, что пачка должна
иметь высоту, большую, чем 90 миллионов километров, т. е. большую, чем
половина расстояния от Земли до Солнца.
Даже если вы решили, что правильным является ответ d), вы скорее всего
все же не подозревали, насколько мал этот ответ по сравнению с истинным
значением.
§ 2. ЛОГИЧЕСКИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ
ГЕОМЕТРИИ
Если вы немножко подумаете, то убедитесь, что знаете немало
геометрических фактов. Например, вы знаете, как находить
площадь различных простых фигур. Известно вам и равенство
Пифагора, связывающее стороны прямоугольных треугольников.
Некоторые из знакомых вам фактов так очевидны, что вам, пожалуй,
никогда не пришло бы в голову формулировать их словами, не
говоря уже о том, чтобы задуматься, а почему же они верны.
Примером такого рода служит следующее утверждение:
Две прямые не могут пересечься более чем в одной точке.
Но некоторые другие из этих фактов, например равенство
Пифагора, совсем не очевидны. В этой книге мы собираемся
излагать геометрические факты таким образом, чтобы из нескольких
простых начальных утверждений получать затем более сложные.
Мы увидим, что все геометрические факты можно вывести из
небольшого числа простых и очевидных утверждений. Это наводит
нас на мысль о том, что все эти факты можно расположить в
таком порядке, что каждое утверждение в нашем списке можно
вывести из предыдущих утверждений путем логического
рассуждения.
И действительно, мы собираемся реализовать следующую
программу: мы будем определять геометрические понятия с той
степенью ясности и полноты, которая покажется нам
необходимой, и устанавливать геометрические факты, приводя их ло-
4
19

гические доказательства. Утверждения, которые мы будем
доказывать, называются теоремами.
Хотя почти все наши утверждения будут доказаны как теоремы,
будут и некоторые исключения. Простейшие и наиболее
фундаментальные из наших утверждений не будут доказываться.
Они называются аксиомами. Точно так же и простейшими и
наиболее фундаментальными понятиями геометрии мы будем
свободно пользоваться, вовсе не пытаясь их определять. Эти
понятия, называются неопределяемыми понятиями.
На первый взгляд может показаться, что лучше определить
каждое понятие, которым мы. пользуемся, и доказать каждое
из высказываемых нами утверждений. Но совсем легко убедиться,
что этого сделать нельзя.
Рассмотрим сначала вопрос о теоремах. Обычно, когда мы
доказываем какую-нибудь теорему, мы показываем, что она
логически следует из теорем, которые нами уже были доказаны
раньше. Но всегда проводить доказательства таким образом
нельзя. В частности, первое доказательство, которое нам
встретится, так проведено быть не может, потому что в этом случае
вообще нет теорем, которые были бы уже доказаны до этого.
Но с чего-нибудь начать необходимо. Это значит, что некоторые
утверждения мы обязаны принять без доказательства. Такие
недоказанные утверждения и являются аксиомами.
Тот же принцип применим и к определениям. По большей
части, когда мы вводим новое понятие, мы определяем его,
пользуясь понятиями, которые уже были определены раньше. Но
всегда так поступать невозможно. В частности, первое из наших
определений сформулировать таким образом нельзя, потому что
в этом случае вообще нет понятий, которые были бы определены
ранее. Это значит, что некоторые геометрические понятия мы
обязаны ввести, не давая им никакого определения. Именно
потому мы будем пользоваться простейшими и наиболее
фундаментальными геометрическими понятиями, не предпринимая попытки
их определить. Такими фундаментальными неопределяемыми
понятиями будут понятия: точка, прямая и плоскость.
Аксиомы, конечно, выбираются отнюдь не произвольно. (В
противном случае ни один разумный человек не стал бы обращать
на них никакого внимания.) Аксиомы описывают основные
свойства пространства. Точно так же и идеи точки, прямой и
плоскости подсказываются некоторыми физическими объектами. Если
мы нанесем карандашом точку на листе бумаги, то получим
вполне удовлетворительное изображение геометрической точки.
Чем острее карандаш, тем лучше это изображение. Такое
изображение всегда будет только приближенным, потому что точка,
нарисованная карандашом, всегда Занимает некоторую площадь,
в то время как геометрическая точка площади не имеет. Но если
вы вообразите, как все более и более острые карандаши нано-
20

сят все меньшие и меньшие точечки, то вы получите хорошее
представление о том, что мы понимаем в геометрии под словом
«точка».
Под «прямой» мы всегда будем понимать прямую линию.
Прямая линия бесконечно простирается в обоих направлениях. Обычно
мы указываем это на наших рисунках, пририсовывая в концах
изображенной части прямой стрелки.
Эти стрелки должны напоминать нам, что прямая не кончается
там, где обрывается чертеж.
Для фигуры вроде изображенной ниже мы будем пользоваться
другим термином —«отрезок». Хорошее представление об отрезке
дает туго натянутая веревка. Еще точнее изображает отрезок сильно
натянутая тонкая струна рояля и т. д.
Если вы вообразите совершенно ровную поверхность, бесконечно
простирающуюся в каждом направлении, то вы получите хорошее
представление о том, какой должна быть плоскость.
Следует иметь в виду, что все вышесказанное·—это не
определения. Это только объяснение тех идей, которыми люди
руководствовались, когда выбирали аксиомы. Когда мы приступим к
доказательству теорем, единственной информацией о точках, прямых и
плоскостях, которой мы сможем пользоваться, будет информация,
даваемая аксиомами.
В заключение сделаем два предостережения.
Во-первых, существуют пределы того, что логика может для
нас сделать. Логика позволяет проверять наши догадки. Но прежде
такие догадки должны возникнуть, и тут от логики большой
помощи ждать нельзя. При изучении математики вы никогда не
достигнете той ступени, когда можно будет продвигаться без
изобретательности или не руководствуясь своей интуицией.
Во-вторых, первые несколько теорем, которые мы докажем, не
произведут сильного впечатления: вас может удивить, почему мы
просто не объявили их аксиомами, после чего их вообще не
пришлось бы доказывать. Но эта первая часть, во всяком случае,
будет легкой; наберитесь терпения, прочтите текст и переходите к
задачам.
В начале следующей главы мы дадим краткий очерк идеи
множества и краткий обзор свойств действительных чисел. Этим ма-
21

териалом мы будем пользоваться на протяжении всего курса. Мы
будем, однако, относиться к нему, как к орудиям, которыми мы
строим здание геометрии, а не как к тому, что мы строим. Мы
не станем формулировать специальных аксиом и теорем для этих
понятий, а будем считать, что они имеются в нашем распоряжении
с самого начала. В некоторых из наших аксиом будут
фигурировать действительные числа, а алгеброй мы будем пользоваться
в доказательствах. На самом деле, геометрия и алгебра очень
тесно связаны, и обе эти науки легче изучать, если начать с
установления связи между ними.
ЕВКЛИД (третий век до нашей эры)
Евклид, пожалуй, имел самый большой успех из всех когда-
либо живших авторов научных сочинений. Его знаменитая книга
«Начала» является учебником геометрии и теории чисел. За две
с лишним тысячи лет каждый, кто изучал геометрию, учил ее по
Евклиду. И за все это время «Начала» служили! для всех
образцом логического рассуждения.
Никто сегодня не знает, какая часть изложенного в «Началах»
принадлежит самому Евклиду. Кое-что могло опираться на более
ранние работы, и
предполагается, что некоторые из
наиболее важных
геометрических идей в «Началах»
восходят к Евдоксу,
который жил примерно в то же
время, что и Евклид. Во
всяком случае, из книг,
дошедших до нас,
«Начала» являются первой
книгой, в которой изложение
геометрии проведено в
организованной логичной
форме, отправляясь от
нескольких' простых положений и
вырастая из них с помощью
логических рассуждений.
С тех пор этот метод
стал основным в
математике. Замечательно, что он
был открыт так рано и
был применен так хорошо.
Логика в математике
играет ту же роль, что
эксперимент в физике. И в ма-
22

тематике и в физике у вас может возникнуть идея, которая
кажется вам правдоподобной. Но в физике лучший способ убедиться
в ее правильности - пойти в лабораторию и попытаться ее
проверить, а в математике — еще немного поразмышлять и попытаться
ее доказать.
В то время как общий метод Евклида сохраняет силу, его
аксиомы и основанная на них теория сегодня уже являются мало
употребительными. Благодаря развитию алгебры использование
чисел для измерения геометрических величин приобрело
фундаментальное значение. Этот метод в «Началах» не встречался,
потому что во времена Евклида алгебра еще почти не была
известна.
Задачи к § 2
Ученик, желающий узнать значение слова «измерение», обращается к
толковому словарю. В словаре в качестве его синонима указано слово «размер».
Затем ученик в свою очередь находит синонимы этого слова. Он составляет
следующую таблицу:
-величина
измерение — размер —
-протяженность —
или
—величина —
или
—длина -— наибольшее измерение
измерение
или
—размер
a) Выделите из этой таблицы «круговой (или циклический) список»,
состоящий из трех терминов, каждый из которых имеет в качестве синонима
следующий за ним. (В «круговом списке» первый термин считается
следующим за последним.)
b) Составьте «круговой список», состоящий из четырех терминов.
2+. Составьте таблицу, аналогичную таблице задачи 1, начав с какого-либо
другого слова в словаре.
3. Что, по вашему мнению, неправильно в следующих непригодных
«определениях»?
a) Квадрат есть нечто некруглое.
b) Окружность есть нечто круглое.
c) Прямоугольный треугольник есть треугольник, углы которого — прямые.
d) К равностороннему треугольнику мы приходим, если треугольник имеет
три стороны одной и той же длины.
e) Диаметр окружности есть прямая, проходящая через центр этой
окружности.
4, Ответьте на тот же вопрос, что и в задаче 3.
a) Периметр прямоугольника получится, если образовать сумму длин его
сторон.
b) Длина окружности получится, если вы умножите Диаметр на π.
c) Плоская фигура, имеющая четыре стороны, являтся прямоугольником,
если ее противоположные стороны имеют одну и ту же длину.
23

d) Разносторонний треугольник есть треугольник, который имеет три
стороны и три угла и все стороны которого имеют одну и ту же длину,
а все углы — одну и ту же величину.
e) Треугольник образуется тремя прямыми, которые попарно пересекают
ДРУГ Друга.
5+. После того как вы прочитали § 2, вы должны быть в состоянии решить,
верно или ошибочно каждое из следующих утверждений:
a) Каждое понятие геометрии можно' определить с помощью более простых
геометрических понятий.
b) Теоремы доказывают только на основании определений и неопределяемых
понятий.
c) Строгое геометрическое рассуждение приводит к геометрическим истинам',
которые могут быть выведены из измерений.
d) Лучший способ научиться доказывать теоремы состоит в том, чтобы
внимательно разобрать ряд примеров их доказательства.
e) Если захотеть описать все необходимые шаги, то каждую теорему можно
докааать исходя из аксиом и неопределяемых понятий, не ссылаясь ни
на какие другие теоремы.
f) Любое утверждение, которое кажется истинным, можно было бы взять
в качестве аксиомы.
6+. Допустим, что вы в состоянии плотно обтянуть, стальной лентой очень
большую сферу, скажем поверхность Земли по ее экватору. Длина ленты
должна быть приблизительно равна 40 000 км. Допустим, что в эту ленту
вставлена' добавочная стальная полоска длиной 2 м так, что новая лента
больше уже плотно не прилегает к сфере. Удлиненная лента будет отходить
от сферы, и ее радиус будет чуть-чуть больше радиуса первоначальной
ленты. На сколько будет отходить от сферы удлиненная стальная лента?
(Если вам потребуется радиус Земли, то можете считать его равным 6400 км.)

2 МНОЖЕСТВА, ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ
ЧИСЛА И ПРЯМЫЕ

§ 1. МНОЖЕСТВА
Может случиться, что слово «множество» вы в математике не
встречали, но соответствующая идея вам, наверное, хорошо
знакома. Ваша семья есть множество людей, состоящее из вас,
ваших родителей и ваших братьев и сестер (если они имеются).
Эти люди являются элементами данного множества. Ваш класс
в школе также есть некоторое множество людей. Про любой
элемент множества говорят, что он принадлежит этому множеству.
Например, вы принадлежите вашей семье и вашему классу. Про
множество говорят,, что оно содержит свои элементы или что оно
состоит из своих. элементов! Например, и ваша семья и ваш
класс содержат вас. Если одно множество содержит каждый
элемент некоторого другого множества, то мы говорим, что второе
множество является подмножеством первого. Например, ваш класс
является подмножеством множества всех учеников вашей школы,
а это последнее множество включает ваш класс. (Мы говорим,
что подмножество включено в то множество, частью которого
оно является.)
Заметим, что при определении подмножества мы не
исключили возможности совпадения подмножества со всём множеством.
Таким образом, каждое множество является также своим
собственным подмножеством.
Когда мы говорим, что два множества равны, или пишем
равенство А = В, связывающее два множества А и В, мы имеем
в виду только то, что эти два* множества имеют в точности одни
и те же элементы. Предположим, например, что А есть
множество всех целых чисел, заключенных между 9-j- и 14|7, а В —
множество всех целых чисел, заключенных между 9тд и 14·^·.
Тогда А=В, ибо каждое из множеств А и В состоит из чисел
10, 11, 12, 13 и 14. Фактически почти всегда одно и то же
множество можно описать несколькими разными способами. Поэтому
из того, что описания выглядят различно, вовсе еще не следует,
что различаются и сами множества. С тем же самым мы
сталкиваемся и в алгебре. Выражения 3-17 и 39+12 выглядят
различно, но они отесывают одно и то же число; именно это мы и
имеем в виду, когда пишем 3· 17 = 39+ 12.
"Два множества пересекаются, если существует хотя бы один
элемент, принадлежащий каждому из них. Например, ваша семья
и ваш (школьный) класс пересекаются, поскольку вы являетесь
элементом и своей семьи и своего класса. (Вернее всего, вы яв-.
ляетесь единственным общим элементом этих двух множеств.)
Пересечение двух множеств есть множество всех объектов,
принадлежащих обоим этим множествам.
21

Переходя к математическим примерам, мы видим, что
множество всех четных чисел состоит из элементов
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ... ,
а множество всех чисел, делящихся на 3, —из элементов
3, 6, 9, 12, 15, 18, ...
Пересечением этих двух множеств является множество,
состоящее из чисел
6, 12, 18, ...
(т. е. множество всех чисел, делящихся на 6).
На рисунке справа каждый из двух прямоугольников,
состоящих из четырех отрезков, является некоторым множеством точек;
пересечение этих
прямоугольников состоит из двух точек.
Точно так же некоторым
множеством точек является и
каждая из изображенных - на этом
рисунке прямоугольных
областей, пересечением которых яв-.
ляется маленькая
прямоугольная область в середине рисунка.
На следующем рисунке
каждая из двух прямых является
множеством точек; их
пересечение состоит из одной
единственной точки.
В этой книге точки, прямые
и плоскости будут'
рассматриваться как некоторые множ:е-
ства точек.1 (Если хотите,
можете считать это нашей первой
аксиомой.) В действительности,
все геометрические фигуры мы
будем рассматривать как
множества точек. На следующем
рисунке мы видим два множества
точек, каждое из которые
представляет собой некоторую
прямоугольную область,
принадлежащую своей плоскости, при
этом плоскости двух
прямоугольников различны.
Пересечением прямоугольников
служит отрезок прямой.
28

Объединение двух множеств есть множество, состоящее из всех
Гъектов, принадлежащих какому-либо одному из этих множеств,
а также всех объектов, принадлежащих другому.
Например, на рисунке снизу мы видим большую
прямоугольную область /?, являющуюся объединением двух меньших
прямоугольных областей А п В. Пересечением А и В служит
вертикальный отрезок почти в середине рисунка. Точки этого отрезка
входят в объединение А к В сразу по двум причинам: как
принадлежащие А и как принадлежащие В.
Пересечение и объединение трех или большего числа
множеств определяются аналогично. Таким образом, треугольник яв-
А
В
ляется объединением трех отрезков, а прямоугольник —
объединением четырех отрезков.
Иногда бывает удобно пользоваться понятием пустого
множества. Так называется множество, вообще не содержащее
никаких элементов. Идея рассматривать такое множество на первый
взгляд может показаться несколько странной, но в
действительности она не более странная, чем идея о числе нуль. Пустое
множество и число нуль —родственники; так, следующие три
высказывания имеют в точности один и тот же смысл:
1°. В Чикаго нет белых слонов.
2°. Число белых слонов в Чикаго равно нулю.
3°. Множество всех белых слонов в Чикаго пусто.
Поскольку введено пустое множество, мы можем теперь говорить
о пересечении любых двух множеств, допуская и возможность того*
что это пересечение пусто. Например, пусто пересечение множества
всех нечетных чисел и множества всех четных чисел. Пересечение
29

изображенных ца предыдущем рисунке треугольника и
прямоугольника также является пустым множеством.
Пустое множество обозначается символом 0.
Предостережение. Если сравнить определения терминов
«пересекаются» и «пересечение», то легко заметить одну тонкость,
связанную с их употреблением. Когда мы говорим о пересечении двух
множеств, мы допускаем и возможность того, что это пересечение
пусто; однако когда мы говорим, что два множества пересекаются,
то всегда подразумеваем, что их пересечение содержит по крайней
мере один элемент. Таким образом, равносильны следующие два
утверждения: }
1°. Множества А и В пересекаются.
2°. Пересечение А и В непусто.
Еще одно предостережение. Нуль и пустое
множество— родственники, быть может, близкие, однако это вовсе не одно
понятие, а два разных.^ Например, уравнение
имеет своим единственным решением число 0, и потому множество
его решений непусто: оно состоит из одного элемента, а именно из
числа 0. С другой стороны, уравнение
. х+ 1 =а; + 2
вообще не имеет решений. Следовательно, множество его
решений есть ф,
Задачи к § 1
1. Для «аких из следующих множеств А и В множество А равно множеству В:
3 25
a) А — множество всех целых чисел, заключенных между -и-^;
В — множество, состоящее из чисел 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8;
b) А — множество всех имен девочек, начинающихся на букву Н;
В — множество, состоящее из имен Нина, Наташа, Надя, Нюра, Настя,
Нелли;
c) —множество всех стран Центральной Америки, названия которых
начинаются с буквы П;
В — множество всех стран Центральной Америки, которые можно пересечь
морским путем (по каналу);
d) Л— множество всех учеников вашего класса, которым меньше 10 лет;
В — множество месяцев в году, начинающихся на букву Р;
e) А — множество всех решений уравнения # + 7=12;
В — множество всех решений уравнения я2 = 25;*
f)\А — множество всех решений уравнения Ъх + 8 = 8;
В — множество всех решений уравнения 7 (х2 + 2) — 5 = 9?
2. Пусть
Ρ =={2, 5, 7, 10, 14, 17,: 19}.
(Замечание. Эта запись читается так: «Р есть множество^ состоящее из
элементов 2г 5, 7, 10, 14, 17 и 19»,) Пусть далее
Q = (2г4,бЛ Ю, 12}.
30

Из каких чисел состоит пересечение множеств Ρ и Q? Из каких чисел
состоит объединение Ρ и Q?
я Рассмотрим следующие множества:
ς -множество всех учеников вашей школы.
5— множество всех мальчиков в вашей школе.
52 — множество всех девочек в вашей школе.
53 — множество всех учителей вашей школы.
54_множество, единственным элементом которого являетесь вы —ученик
школы.
a) Какие из этих множеств попарно пересекаются?
b) Какое множество является объединением 52 и 53?
c) Какое множество является объединением 5А и 55?
d) Опишите объединение Sj и 54.
e) Какие из этих множеств являются подмножествами SJ
4. Прямые и окружности, изображенные на следующем рисунке, мы будем рас-
' сматривать как множества точек. Объясните, что представляет собой в
каждом из трех случаев их пересечение.
4
<л
8,
9.
5. Что представляет собой пересечение треугольника ЛВС и отрезка АС
(см. рисунок)? А их объединение?
6. Рассмотрим множество Ε всех
положительных четных чисел и
множество О всех положительных нечетных
чисел.
э) Опишите объединение Ε и О.
Ь) Опишите пересечение Ε и О.
7. Рассмотрим множество, состоящее из
трех мальчиков: {Л, В, С}. Любое его ^
подмножество будем называть
комитетом.
a) Перечислите все -возможные комитеты.
b) Сколько мы можем образовать комитетов с двумя членами?
c) Покажите, что каждые два из фигурирующих комитетов в п. Ь)
пересекаются. ν
d) Что означает здесь слово «пересекаются»?
Пусть Л.--множество всех irap чисел (х, у), удовлетворяющих уравнению
~^· *' ^ ~~множество всех пар чисел (х, .у), удовлетворяющих
уравнению 2х+у=\\. Опишите пересечение множеств А и В.
Пусть А ={(1,12), (2,9), (3,6), (4,3), (5,0)},
£ = {(1,9), (2,7), (3,5), (4,3), (5,1)}.
(Заметим, что элементами множеств А и В являются пары чисел.) Какие
* ~ " 'В?
10 rF ШСлЛ ВХ0ДЯТ в пересечение Л и Л? В объединение А
и. пусть Л—множество всех решений уравненг- с~ ' ~
жество всех решений уравнения 3r-s*»5. Из
пересечение А п В?
усть Л—множество всех решений уравнения 5r + s=ll, а В~мно-
каких пар чисел состоит
31

11. Пусть Л—множество всех решений уравнения 7х — у — 28, а θ —мно.
жество всех решений уравнения Зх-{-2у = 12. Из каких пар чцсел состоит
пересечение А и В?
12. Пусть Л—множество всех решений уравнения 2т-{-п = 8, а £-~МНо_
жество всех решений уравнения Am + 2п *= 12. Опишите пересечение А и В
13*. Рассмотрим множество всех натуральных чисел, делящихся на 2 и
множество всех натуральных чисел, делящихся на 3.
a) Опишите пересечение -этих двух множеств и укажите какие-либо
четыре его элемента.
b) Найдите алгебраическое выражение для этого пересечения.
c) Опишите объединение этих двух множеств и укажите какие-либо шесть"
его элементов.
14. Представим £ебе точку А на доске или на листе 'бумаги. Сколько
прямых на плоскости доски или листа бумаги содержат точку Л? (Прямые
содержащие точку Л, образуют некоторое множество, элементами которого
они являются. Сколько элементов содержит это множество?)
15. а) Даны две различные точки А и В. В множестве всех прямых сколько
имеется элементов, содержащих одновременно Л и В} (Часто этот вопрос
формулируют иначе: сколько прямых можно провести через две данные
точки Л и В})
b) Даны три точки Л, В vrJCt не принадлежащие одной прямой. Сколько
имеется прямых, содержащих две из этих трех точек?
c) Даны четыре точки Л, В, С и D, никакие три из которых,не
принадлежат одной прямой. Сколько имеется прямых, содержащих две из этих
точек? Сколько было бы таких прямых, если бы были заданы пять точек,
никакие три из которых не принадлежат одной прямой: :.
d)* В задачах а), Ь) и с) ставился один и тот же вопрос, но число заданных
точек было различно. -Ответьте на тот же вопрос, если задано η точ©к.
16+. При перечислении всех подмножеств данного множества в число этих
множеств включают само множество и пустое множество. Так, множество-}а, Ь}
имеет следующие подмножества:
{а, Ь}9 {а}, {*}, ф.
Таким образом, множество с двумя элементами имеет четыре подмножества.
a) Перечислите все подмножества множества {а, Ь, с}.
b) Сколько подмножеств имеет множество из четырех элементов?
c) Сколько подмножеств имеет множество из пяти элементов?
d) Сколько подмножеств имеет множество из η элемейтов?
§ 2. ПОРЯДОК НА ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОЙ
Первыми числами, которые вы изучали, были натуральные
числа
1, 2, 3, 4, о, . ..
Эта последовательность натуральных чисел не имеет конца,
потому что, как бы далеко мы ни зашли, всегда можно
продвинуться еще йа шаг, прибавив к надлежащему числу 1. Мы
можем себе представить, что натуральные числа расположены на
прямой и идут слева направо:
Я» II II ИИЦИДИШ ШИШКИН Mill. IHHinilfin.!.» О ι м—О ■ ■ ЧП"0 ■■■■■■ Они Ц frb»
1 2 3 4 5-
32

Слева от 1 поставим число 0:
-j——О—«-О ~ "■■ О"" . О ■ О' . fe-
О Ь 2 3 4 5—
Затем введем отрицательные целые числа, расположив их так,
чтобы они шли справа налево:
^ ,| .м | ( )- f О О О О О "О *-»
.·· -5-4-3-2-1012345 -
Числа, которые мы теперь имеем, называются целыми числами.
Множество целых чисел состоит из положительных целых чисел,
отрицательных целых чисел и нуля. Натуральные числа—это,
конечно, положительные целые числа; их часто так и называют.
Заметим, что на прямой осталось еще много точек, которым
пока не приписано никаких чисел. Нам нужно, по крайней мере,
112 1 12
разместить Дроби ^, g-, g-, —g-,—3", " и Т* Д' МеждУ каж"
дыми двумя целыми числами имеется бесконечное множество
таких дробей. Поэтому все, что мы можем сделать на рисунке, это
указать для примера некоторые из них.
2 7 3 2 2 3
-**"""0 ' о ' ■■ ■ о-Ч—сН он о—н-о 1 <Н о ■■ Ь"'"' о· t»
--5 -4-3-2-1 0 1 2' 3 4 5-
Все числа, о которых мы говорили до сих пор, имели вид
-, где ρ и q —-целые числа и q не равно нулю. Они называются
рациональными числами. [Этот термин («рациональный» значит
«разумный») вовсе не должен приводить к мысли, что остальные
числа неразумны. Он только отмечает тот факт, что
рациональные числа являются отношениями (по-латыни ratio) целых
чисел.] v
Рациональные числа не заполняют числовую прямую
целиком. Существует много чисел, которые нельзя выразить в виде
отношения целых чисел. Например, число |/2 не является
рациональным. Это же относится и к числам а также к
некоторым «особым» числам вроде π.
^Если мы нанесем все эти добавочные числа так, чтобы
каждой точке нашей прямой было приписано некоторое число, то
мы получим полное множество действительных чисел:
33

V2 3 ή 2
.u* ■■ Ο ι О [О О ) ' Ό" ) Ό ICJ ■!("■ Ό ■■ О} "О О' Ρ*
--5 -4 -3 -2 -1 ' 0 1 с2 3 4 5···
Можно проверить, что все числа на этом рисунке
расположены примерно там, где- им и положено.
В нашем курсе геометрии действительные числа будут
использоваться повсюду. И, начиная с, этого момента, для нас
становится важным представлять их себе лежащими в
определенном порядке на прямой.
Число χ меньше, чем число у, если χ лежит на числовой
прямой левее, чем уу например, как на следующем рисунке.
χ Я
«в О " Ό j'O О Ό О | О- »
- -3 -2 -1 0 1-2 3 -
Этот факт мы записываем так: х<у. Очевидно, каждое
отрицательное число лежит левее любого положительного числа,
поэтому каждое отрицательное число меньше любого
положительного числа. Так, например,
— ι ооо ооо <: -^-,
хотя число — 1 000 000 в каком-то смысле и кажется больше.
Выражения, в которые входит знак <, называются
неравенствами. Любое неравенство можно переписать, обратив его
знак; у>х означает просто, что х<Су· Таким образом, если
у>х, то у ле>кит на числовой прямой правее, чем х.
Выражение х^у означает, что либо х<у, либо х=у.
Таким образом, — 2^ 1, - поскольку-—2~< 1 и 2^2, так . как
2 = 2.
При изучении алгебры вы до сих пор имели дело главным
образом с поведением действительных чисел при сложении и
умножении. В действительности алгебру можно изучать тем же
методом, каким мы будем в этом курсе изучать геометрию.
Иными словами, все известные рам алгебраические факты можно-
вывести из нескольких простых аксиом. Тем не менее не
исключено, что алгебру вы таким способом не изучали, а нам
'едва ли хватит времени, чтобы пройти всю алгебру снова. По-
34

этому в нашем курсе мы будем без особых оговорок
использовать почти все, что вы знаете из алгебры.
Так как, однако, довольно распространены различные
недоразумения, относящиеся к употреблению неравенств и к
квадратным корням, в этих вопросах нужно быть особенно
осторожными. Отношение < называется- отношением порядка. Вот его
основные свойства:
П Трихотомия («закон исключенного четвертого»),
*" Для каждых двух чисел χ и у справедливо одно и только одно из
следующих отношений: χ < у, х = у, х > */.
П2. Транзитивность.
Если х<у к y<z, το χ<ζ
По. Закон сложения.
Если а<Ь и х*£у, то а+х<Ь + у.
П4. Закон умножения.
Если χ < у и а > О, то ах < ау.
Из этих четырех законов вытекают все обычные правила
действии с неравенствами. Наконец, нам понадобится еще
следующий закон:
К1в Существование квадратных корней.
Для каждого положительного числа χ существует хотя бы один положи-
тельный квадратный корень у = Υ χ из этого числа (т. е. такое число у :> О,
что у2 = #).
В учении о квадратных корнях имеется один довольно
деликатный момент. Когда мы говорим, что χ есть квадратный
корень из а, то мы подразумеваем только то, что х2 = а.
Например, 2 есть квадратный корень из 4, так как 22 = 4. Но—2
также является квадратным корнем из 4, поскольк (—2)2 = 4.
Однако запись χ = Υ а означаем, что χ есть положительный
квадратный корень из а.ч Таким образом, из следующих двух
утверждений первое верно, а второе неверно.
Верно: —2 есть квадратный корень из 4.
Неверно: — 2=уТ.
Причина именно такого употребления символа ]/а очень
проста. Если допустить, что У а означает любой из двух
квадратных корней из а, то мы вообще не будем иметь символа,
например, для положительного квадратного корня из 7. Попытка
поставить перед Yl знак плюс ни· к чему бы не привела,
поскольку знак плюс не меняет значения никакого выражения:
если бы У7 был отрицателен, то и ,+ VT также был бы
отрицателен. По этой причине условливаются, что Y~a всегда обоз-
ачает положительный двадратный корень из а>0. Отрицатёль-
36

ным корнем из а тогда будет число —У а; выражение же j/θ"
означает 0.
Для ссылок удобно сформулировать следующие предложения,
которыми мы далее будем пользоваться.
Правило сложения равенств:
Если а = Ь и c = d9 то a-\-c~b-\-d.
Правило вычитания равенств:
Если а = Ь и c = d, то a—c = b — d.-
Правило умножения равенств:
Если а = Ь и c=dy то ac = bd.
Задачи к § 2
1. Составьте таблицу, озаглавив ее столбцы следующим образом:
^Действительные числа», «Рациональные числа», «Положительные числа», «Целые
числа», «Иррациональные числа». В столбце «Действительные числа» запишите
7, -§-, УТТ, 0,02, j/ΐ, ll, 14,003, -3,
Ц, -/|. 0> 1,414, -]/~|, п.
Заполните таблицу, поставив каждое яз этих чисел во все те столбцы,
в заголовках которых названы множества, содержащие данное число.
2. Выясните, верно или ошибочно каждое из следующих утверждений!
a) Отрицательные числа являются действительными числами.
b) Действительная числовая прямая имеет по крайней мере один
конец.
c) Для всех чисел χ число -~х отрицательно.
7
d) Точка на действительной числовой прямой, соответствующая -^, ле-
6 8
жит между точками, соответствующими уй-г,
e) На Действительной числовой прямой существует точка,
соответствующая числу У2 и отличная от точки, соответствующей числу 1^414.
f) Если л; —отрицательное число, то — χ —положительное число.
g) Если #(>#, то х — г/>'0.
3. В каком порядке должны быть расположены на числовой прямой точки
каждого из следующих множеств (при этом предполагается, что
положительные числа лежат справа от нуля):
а) \\ 1^"; 1-|; Ь) 4,1; 4,06; 4,012;
с) -1,3; -0,7; -2,14; d) |-; -1-|; -1-J-?
4. Запишите следующие высказывания, пользуясь знаками порядка (т. е. <,
^ и т.д.):
а) х—число, большее чем 0.
ЪУу~ число, заключенное между — 1 и 2.
c) W — число, заключенное между — 1 и 2 (включая и сами эти значения).
d) k— положительное число.
e) т — отрицательное число.
f) л—неотрицательное число.
36

β Какие из следующих равенств верны__
'а) /16-4; Ь)1Л>5=-$; ^^64=-8;
d) -/ре--0,6; е) -}/0,04 = 0,2? __
7 В каком из следующих случаев выполняется условие У~х* —х:
' а) * = 3; Ь) *=-3; с) * = 0;
i)x=*\\ е)*= —1; f)*<0;
g)x^0; h)i>0?
8. На числовой прямой с единичным интервалом δ 1 еж по возможности точно
нанесите следующие числа:
О, 1, ΫΊ, -УТ, \Г$, -^9", VT6, -/25.
9. Пусть г и 5 —действительные числа, отличные от нуля, и такие, что r>s.
Укажите, какие из следующих неравенств верны всегда, т. е. для всех г
и s, верны иногда, т. е. только для некоторых г и s, или не верны
никогда:
a)s>r, b)'r —s>0, с) ~>1. d)s2</-2.
10*. Ответьте на тот же вопрос, что и в задаче 9, для следующих неравенств:
а) 1>1, Ь)гЗ>5з,
с) — г<-~s, d) r-~'2<s —2.
§ 3. АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА
Абсолютная величина числа χ обозначается символом \х\.
Смысл этого символа легко понять из примеров:
101 =0, | —8| = 8,
|2| = 2, 1871 =87,
| —2| = 2, |—951 = 95,
|7| = 7, |-]/1з| = 1/~ТЗ
и т. д. Здесь мы руководствуемся следующими правилами:
1°. Если χ ^ 0, то \х\ = х.
2°. Если х<0, то \х\ — соответствующее положительное число.
Если задано конкретное число, то легко увидеть, чему равна
его абсолютная величина. Если перед ним нет знака минус, то
переход от числа к его абсолютной величине ничего не меняет.
Ьсли же перед числом стоит знак минус, то, чтобы получить
аосолютную величину числа, этот знак нужно отбросить:
Производя алгебраические преобразования с выражениями
вроде 1*1, \а — Ь\ и т. д., нам удобно иметь алгебраическую форму
условия 2°. Таким образом, мы хотим для любого отрицательного
ела χ иметь алгебраическую запись, дающую соответствующее
37

положительное число. Если данное отрицательное число обозначено
буквой х, то мы не можем «отбросить знак минус», так как перед
'х нет никакого минуса. Эту трудность можно преодолеть с
помощью простого приема: если x<0, то соответствующее
положительное число равно — х. Вот несколько примеров:
х=—2, . —х=—(-^2) = 2,
х= — 3, — х= — ( —3) = 3 ит.д.,
Мы можем теперь дать второе определение |л:|:
1°. Если х^О, то \х\ = х.
2°. Если х<0, то \х\ = —х.
Это второе определение труднее для понимания, чем первое,
но с ним в дальнейшем будет легче работать. Проверьте его на
нескольких числах, пока не убедитесь, что оно и в самом деле
дает именно то, что требовалось.
Задачи к § 3
1. Чему равна каждая из следующих величин:
a) J 5 | ; Ъ) | -6|; с) -| -6|;
d) 2|+(-2);, е)|2Ц-|-2|; f) Ί8-5|;
g) |5-8|; h) |5|-j8|; i) |-8-5|?
2. Какие из следующих утверждений верны:
а) |-3|=:|3|; Ь)|3|«-3;
с) |7-9| = |9 —7|; d) |0-4| = |4-D|;
e) I k I = k для каждого действительного числа, k?
3. Какие из следующих равенств верны для всех значений переменных:
а) I — η | == — η ; b) |/г2|=/г2;
с) * — 3| = |3 — *|; d) \a—b\=-\b — a\\
e) \d+l\ = \d\ + 11
4. Дополните следующие утверждения:
a) Если к > 0, то | к | =
b) Еслет k < 0, то \к\ = —
c) Если 6 = 0, то |£|=
5. На следующих четырех рисунках графически изображены на числовой
прямой четыре алгебраических соотношения, записанных слева от рисунка.
χ <2 ■
\х\<2'
\х\>2
ч-
н-
н-
-3 -2 -1
-н
0
-3 -2 -1
-2 -f
-2 -1
Ч-
н-
-2
Аналогично этому изобразите графически следующие соотношения:
а) х—\\ Ь) # —отрицательное число;
с)*>1; d) *^0; е) , jc | == I;
0 |др|^1; g) |*|>1; h) |*|^0.
3$

й \ Чем графическое, изображение соотношения #<0 отличается of графи-
3 ческого изображения соотношения дс^О?
b) Чем графическое изображение соотношения 1*1 = 1 отличается от графи-
ческого изображения соотношения |х|^1?
c) Чем графическое изображение соотношения — 1 ^ χ ^ 1 отличается от
графического изображения соотношения | χ | < 1?
7* Если мы рассмотрим алгебраические соотношения с двумя переменными
'χ и г/, где χ и у принимают действительные значения, то их мы сможем
изобразить* на (координатной) (х, ^-плоскости. Вам придется только
вспомнить, что графическое изображение соотношения между χ и у —это
множество всех упорядоченных пар (х, у) (т. е. всех точек плоскости с
координатами χ и у !), удовлетворяющих нашему алгебраическому соотношению.
Так, соотношение х—у—1 изображено слева, а условие х — у^1 справа
на следующем рисунке.
л-у=1
a) Графически изобразите соотношение у = \х\.
b) Графически изобразите соотношение У>\х\-
8*. Пользуясь задачей 7, как введением к этой задаче,
a) Графически изобразите соотношение | χ | +1 у I = 1;
b) Графически изобразите соотношение | χ ] -f-1 у \ < 1.
§ 4. МАСШТАБНЫЕ ЛИНЕЙКИ И ЕДИНИЦЫ ДЛИНЫ
Если две точки Ρ и Q находятся одна от другой достаточно
близко, то мы можем определить расстояние между ними,
приложив обычную масштабную линейку:
Ρ
О
+
10
Т
11
12
На рисунке расстояние между Ρ и Q равно 7 см. Конечно,
нет необходимости совмещать нулевую точку линейки с точкой Р\
можно расположить линейку, например, так:
Ρ
Q
-f-
10
τ
11
12
39

И здесь мы находим, что расстояние между Ρ и Q, измеряемое Щ
сантиметрах, равно 9 — 2 = 7.
f
1-
~п—
2
ι
—,—
3
Γ " I "'
4 5
ε -
—έ—
—J—
6
ι
7
г
ι
—j—
8
j ρ^
9 10
ι
ί
""Η 1
11 12
ί
0 d
Иногда на другой стороне линейки наносят деления в других,
единицах, например в дюймах. Прикладывая дюймовую шкалу,
как и выше, находим расстояние между Ρ и Q. Оно оказывается■
з
равным приблизительно 2-^-дюйма.
Известно, что один фут равен 12 дюймам, а один ярд— 36
дюймам. Метр равен 100 сантиметрам. Миллиметр — одна тысячная
1\яетра. Мы можем поэтому измерить расстояние между Ρ и Q и в
3 11
этих единицах. Оно равло 70 мм; 7см; 0,07 м; 2-^ дюйма; ^фута;
утлЯрда. Таким образом, число, которое мы получаем в качестве
меры расстояния между точками, зависит от выбора единиц длины.
Задачи к § 4 (часть 1)
1. Расстояние от точки Я до точки К, измеренное в сантиметрах равно 12.
Чему будет равно число, измеряющее это расстояние, если за единицу длины
принять миллиметр?
2. Расстояние от К До М, измеренное в миллиметрах, равно 9. Чему равно
число, измеряющее в сантиметрах расстояние от К до М?
Q
R
τ
Рис. 32
3. а) Линейкой, "на которой нанесены различные шкалы, измерены расстояния
PQ, PR, Ρ Τ и QT и результаты записаны в таблице. Заполните эту таблицу.
Единица измерения
Дюйм
Фут
1 Ярд
'Сантиметр
Миллиметр
Метр
Ладонь
Пядь
PQ
2
1
Ϊ8
v 5,08
0,54
PR
1
Τ
0,0762
РТ
1
9"
0,364
QT .
50,8
40

Ы Чему равно отношение PQ к PR7 PQ к РТ7
с) Изменяется ли отношение PQ к РТ при переходе от одной единицы
длины к другой? -
а) Чему равно расстояние QR в дюймах' в сантиметрах? в ладонях?
4 Обсудите следующие вопросы:
а) Почему существует столько единиц для измерения длин?
в) Допустим, что мы в состоянии установить одну универсальную еди-
ницу для измерения длин. Какие преимущества это бы нам дало? Какие
-недостатки это бы имело?
5 В каждом из следующих равенств вставьте в пропуски соответствующие
числа:
a) б дюймов = ...фута == ... ярда;
b) ... дюймов = 7 у футов == ... ярдов;
c) ... дюймов = ... футов = —ярда.
6. В каждом из следующих равенств вставьте в пропуски соответствующие
числа:
а) 2ж = ... £Ж = ... мм;
5) ... м = 50 см ;= ... мм;
с) ... м = ... еж = 1 лш.
7. i, β и С— три точки на прямой, расположенные, как показано на
рисунке. Чему равно АС, если
А В С
ос ш ш а »
а) Л£ — 6 см и ВС = 12 еж;
в) ЛВ = 6 ж и ВС = 12 л;
с) ЛВ = 6 /еж и ВС = 12 км}
8. Л, В и С —три точки на прямой, расположенные в том же порядке, что
и в задаче 7. Чему равно ЛС, если
a) ЛВ = 6 м и ВС = 12 еж;
b) ЛВ = б еж и ВС= 12 ж;
c) ЛВ = 6 кж и ВС — 12 еж?
9. Обратите внимание на то, что в; задачах 7 и 8 заданы только числа 6 и 12.
Объясните, почему же в ответах на задачу 7 во всех трех случаях
получается одно и то же число, хотя единицы измерения разные, а в задаче 8
все ответы различны?
С точки зрения логики любая единица длины не менее
пригодна для измерения, чем какая угодно другая." Однако, если при
решении одной и той же задачи пользоваться несколькими
единицами, то это вызовет излишние трудности. Поэтому выберем
какую-либо одну единицу длины и условимся во всех случаях
пользоваться именно этой единицей. (Если хотите, можете считать* что
выбрана та единица, которая вам больше всего нравится. Если,
например, вам нравятся сантиметры, или метры, или километры,
то вы можете думать, что именно этими единицами мы и
пользуемся. Все последующие теоремы остаются верными при любом
выборе единицы длины.)
Итак, раз мы уже выбрали единицу, каждой паре точек Ρ и
Ч соответствует некоторое определенное число, показывающее, на-
4J

сколько далеко они отстоят одна от другой. Это число называется
расстоянием между Ρ и Q.
Теперь мы «математизируем» это неформальное обсуждение,
сформулировав следующие аксиому и определение·:
Аксиома 1 (аксиома расстояния)
Каждой паре различных точек соответствует некоторое
определенное положительное число.
Определение
Ρасстоянием между двумя точками называется число, фи-
гурирующее в аксиоме расстояния, (Расстояние между точками Ρ
и Q обозначается символом PQ.)
Далее мы будем допускать и возможность того, что P = Q, т. е.
что Ρ и Q — одна и та же точка., В этом случае мы- полагаем
PQ = 0. Заметим еще, что расстояние между точками определено
просто для пары точек и не зависит от порядка, в котором
указываются эти точки; таким образом, всегда PQ = QP.
В некоторых, из задач, предлагаемых ниже, встречаются
различные единицы длины, например сантиметры, дециметры, метры
и т. д. Как мы уже говорили, все наши теоремы справедливы для
каждой из этих единиц при условии, что, применяя данную теорему,
мы пользуемся одной единицей для измерения всех расстояций.
Иными словами, единицу длины можно выбрать любую, но уже
затем твердо ее придерживаться; менять единицу в середине до- -
казательства нельзя,
Задачи к § 4 (часть 2)
1. Аллен, Брюс и Чарлз измерили в сантиметрах расстояние между двумя
точками Ρ и Q, отмеченными на доске. Аллен сказал, что PQ = 27, Брюс —
что PQ = 27,5, а Чарлз —что PQ = 26,75. Сколько из этих мальчиков
могли быть правы? Почему? Обязательно ли хотя бы один из них был
прав? Подумайте.
2. Если расстояние PQ равно 54 см, то чему оно равно в дециметрах?
в метрах?
3. Если расстояние RS равно 15 дм, то чему оно равно в сантиметрах?
в метрах?
4. Эдвард и Фрэнк подсчитали расстояние между одними · и теми же
точками Л, В и С. Эдвард сказал: «АВ = 1, а БС = 2-^-», Фрэнк сказал:
<АВ = 12, а ВС = 30». Если оба мальчика были правы, то объясните, как
они могли для одних и тех же расстояний получить разные числа?
Согласуется ли это с аксиомой расстояния?
5. Если расстояние RS равно χ дм, то чему равно RS в сантиметрах?
в метрах?
6*.'Расстояние А В, измеренное в сантиметрах, на. 15 больше, чем 5-кратное
то же самое расстояние, измеренное в дециметрах. Чему равно расстояние.
А В в дециметрах?
42

7* Периметр треугольника, измеренный в сантиметрах, на 20 больше, чем
'й-коатный периметр того же треугольника, измеренный в дециметрах. Чему
оавен этот периметр в сантиметрах?
R+ Если сторона квадрата равна 4 дм, то его периметр равен 16 дм,
а площадь—16 кв. дм. Так как 16=16, то утверждение «Площадь квадрата
равна его периметру» для нашего квадрата верно.
a) Будет ли это утверждение верно для нашего квадрата, если его
стороны измерять в сантиметрах?
b) Найдите два других квадрата, для которых это утверждение верно.
c) Что общего имеют три квадрата, для которых верно указанное утвержде-
9+ Если основание прямоугольника равно 6 дм, а боковая сторона-—4 дм,
то утверждение «периметр прямоугольника равен сумме удвоенного
основания и удвоенной боковой стороны» для нашего прямоугольника верно.'
a) Будет ли это утверждение верно, если основание и высоту
прямоугольника измерять в сантиметрах? в метрах?
b) Зависит ли справедливость этого утверждения от специального подбора
чисел? от выбора единицы длины?
10+. Если радиус круга равен 2 м, то длина окружности (C — 2nR) равна
4я м, а площадь круга (А =яг2) равна 4π кв. м. Тогда утверждение «площадь
круга равна длине окружности» для нашего круга верно.
a) Будет ли это утверждение верно для нашего круга*, если его радиус
измерять в дециметрах?
b) Найдите два других круга, для которых это утверждение верно.
c) Зависит ли справедливость этого утверждения от специального подбора
чисел? от выбора единицы длины?
11+. Из задач 8, 9 и 10 можно увидеть, что некоторые геометрические
утверждения верны только для определенных чисел, причем здесь не имеет значения
то, как выбрана единица длины. Другие утверждения верны независимо
ни от выбора чисел, ни от выбора единиц.
Проверьте, что каждое из следующих утверждений верно. Затем укажите,
останется ли каждое из них верным, если измерять длины в других
единицах. Какие утверждения ^останутся верными только в том случае, если при
любой единице длины не менять фигурирующие в задаче числа?
a) Периметр прямоугольника с основанием 3 дм и боковой стороной 4 дм
равен 14 дм.
b) Периметр квадрата со стороной 2 дм в два раза больше его площади.
c) Периметр треугольника, каждая сторона которого равна 12 см, равен 36 см.
d) Треугольник со сторонами 3 см, 4 см, 5 см является прямоугольным
(воспользуйтесь равенством Пифагора).
e) Треугольник со сторонами 9 см, 12 см и 15 см является прямоугольным.
f) Площадь круга с радиусом 4 дм в два раза больше длины его окружности.
§ 5. БЕСКОНЕЧНАЯ ЛИНЕЙКА
В начале этой главы мы нанесли на прямую числовую шкалу,
подобно тому как изображено на этом рисунке.
-/3 ,я
— 1 н н н 1 нн—ι н 1 *>
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 и
Можно, конечно, взять масштаб покрупнее:
-/3 /2
"*·"*-* ' 1—l·- | | ! Ι ι »s
'2 -1 0 1 2
43

или помельче:
'/3 \/2 Tl
<*« 5 , 1 щ^ , ^^^ н , ; ^
-*t -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Мы, однако, условимся, что, начиная, с этого момента,
каждый раз, когда будем наносить на прямую числовую шкалу,
будем пользоваться той шкалой, которая соответствует аксиоме
расстояния (которая ведь предполагает, что единица измерения
длин уже как-то выбрана). Это значит, что точка, помеченная
числом 1, находится от точки, помеченной числом 0, на
расстоянии 1, а точка, помеченная числом — 2, находится от точки,
помеченной числом 0, на расстоянии 2 и т. д.
Ρ 2 Q l_R ■ 5 Τ
^ , ί η^Ί -и 1—« ^
-3 -2 »1 0 ϊ 2 1
На последнем рисунке можно найти расстояния Q/?=l,
QS=2, QT = 3. Отсюда с помощью вычитания находим
£S = 2—1 = 1,
/?Г = 3— 1 =2Х
Р/?=1 —(—2) = 3.
Создается впечатление, что всегда можно находить
расстояние, взяв разность соответствующих пометок шкалы. Это
утверждение и в самом деле «почти верно». (Но не совсем верно.)
Если точки Ρ и R взять в обратном порядке, то мы получим
неверный ответ:
др^ — г—ι- — з,
отличающийся от правильного ответа только знаком.
Фактически примерно в половине случаев вычитание даст
отрицательное число, в то время как расстояние (см. аксиому 1) всегда
должно быть положительно.
Эту трудность, однако, легко устранить: будем заменять
разность пометок шкалы ее абсолютной величиной. После этого все
правильные ответы останутся правильными, а все неправильные
станут правильными. Например,
РЯ = |1_(_2)|НЗ| = 3
44

ЯЯ = |_2-1! = |—3| = 3,
как и должно быть.
Таким ·> образом, мы видим, что расстояние между двумя
точками равно абсолютной величине разности соответствующих чисел.
Этим общим соображениям мы придадим формальный
характер, объединив их в следующей аксиоме:
Аксиома 2 (аксиома масштабной линейки)
Точкам прямой можно поставить в соответствие
действительные числа так, что,
1°. каждой точке прямой будет соответствовать одно и только
одно действительное число;
2°. каждому действительному числу будет соответствовать одна
и только одна точка прямой;
3°. расстояние между любыми двумя точками будет равно
абсолютной величине разности соответствующих чисел.
Мы называем эту аксиому «аксиомой масштабной линейки»
потому, что в сущности она доставляет нам «бесконечную
(масштабную) линейку», которую мы можем прикладывать к любой
прямой и находить с ее помощью расстояния между любыми
двумя точками.
Определения
Соответствие между точками и числами, описанное в аксиоме
масштабной линейки, называется системой координат (на
прямой). Число, соответствующее данной точке, называется
координатой этой точки.
Ρ Q R 5 Т
*+ 1 1 1 1 1 1 -ι ►
-3-2-1 0 1 2 3
На верхнем рисунке координатой точки Р служит число — 2,
координатой точки Q — число 0, координатой точки R — число 1
и т. д. Если точка Ρ имеет координату х, а точка Q
—координату уу то аксиома масштабной линейки утверждает, что
PQ = \y—x\.
Р > Q
** (- —j « 1 I Ч *►
* -1 0 1 у
45

Задачи к § 5
1. На этом рисунке на прямой установлена система координат с 0 в точке А
и с 1 в точке С. Некоторые нецелочисленные координаты, чтобы их было
легче рассмотреть, выписаны ниже целочисленных. Определите следующие
расстояния:
а) АС; Ъ) AD; с) El\ d) PR;
е) RI; f) AN; g) BH; h) QM;
i) AF; j) DJ; k) ND; 1) PF.
R Q Ρ Ν MA д CD EF Q Η 1 J
*■ j h+—I Μ—I—' I ' 1 ' 1 —И—H-*-t~~*«H -».
* -S -4 -J -f - ί 0 f 2 3 4 5 б
-j -^ -i j ^ τι | /J?
2. Упростите:
a) | 6-2 |; b) |2 —6|; c) |5-0|;
d) 10-51; e) |0-(-5)|; f) |4-(-4)|;
g)|*|; h)|*-0|; i) |л: —(—^) 1;
j) |χ| —|—*|.
3. Пользуясь аксиомой масштабной линейки, найдите расстояние между двумя
точками, имеющими следующие координаты:
а) 0 и 8; Ь) 8 и 0; с) 0 и —8;
d) -5 и -7; е) -1- и ~; f) ]/2~ и уТ;
g) V% и — Yb\ h) χ и y\ i) 2а и — а\
j) 0 и #.
4. Необходимо ли, пользуясь обычной 30-сантиметровой линейкой для
измерения " расстояния между двумя точками, отмеченными на листе бумаги,
помещать 0 в одну из этих точек? Объясните.
5. Допустим, что при измерении расстояния PQ вы собираетесь совместить
нуль вашей линейки с точкой Ρ и прочитать положительное число при
точке Q. Как вы сумеете определить расстояние PQ, если вы нечаянно
наложили свою линейку так, что точке Ρ соответствует —, а точке
Q а) соответствует некоторое положительное число; Ь) соответствует
некоторое отрицательное число S.
6. Шкалы А и В на этом рисунке отвечают одной и той же единице длины,
но независимо от этого точкам прямой ставят в соответствие разные числа.
a) Какие координаты имеют точки R, Ρ и Q на шкале Л?
b) Покажите, как найти расстояние RQ, пользуясь шкалой В; пользуясь
шкалой А.
c) Чему равно расстояние PQ на шкале Л? на шкале В}
Шкала А-и -2 R Ρ Q
*——= f—I 1 I I I ι h —h
Шкала В 0 12 3*56 χ и
46

Рассмотрим некоторую систему координат на прямой. Допустим, что к коор-
инате каждой точки прибавлено число 3 и данной точке поставлена
в соответствие полученная сумма.
a) Каким будет новое число, соответствующее точке Я, если ранее она
имела координату 5? Каким будет новое число для точки Q, ранее
имевшей координату —2?
b) Какими будут новые числа для двух точек прямой, если ранее эти
точки имели координаты а и 6?
c) Каждой ли точке прямой будет соответствовать-новое число? Каждое
ли число будет при этом соответствовать какой-либо точке прямой?
d) Покажите, что формула
I (Новое число для некоторой точки) —(Новое число для другой точки) |
определяет расстояние между этими двумя точками.
e) Удовлетворяет ли новое соответствие между точками и числами
каждому из трех условий аксиомы масштабной линейки? Можно ли каждое
новое число называть координатой соответствующей точки? Почему?
8. Шкалы Л и Б на этом~ рисунке имеют одну и ту же единицу, но точкам
прямой ставят в соответствие разные числа.
К* Μ Ν
Шкала а 3 2. 1 0 -1 λ у
^^ н и—j—н 1 1 )> I "i я»
Шкала В -2-1 0 12 3
a) Какую координату имеет точка К на шкале Л?
b) Какие координаты имеют точки Μ и N на шкале В?
c) Какую координату имеет точка Μ на шкале В, если х — — 6?
d) Чему равно у, если точка N на шкале В имеет координату 9 -~- ?
e) Чему равно расстояние КМ? расстояние MN?
9. Сколько имеется действительных чисел? Откуда вам это известно? Говорит
ли это что-нибудь о числе точек на прямой? Сколько точек должна
содержать прямая? Каким образом участвует в вашем рассуждении аксиома
масштабной линейки?
10. Города Актон, Барнхэм и Сентервилл, находящиеся в одном из округов
США, «коллинеарны» (т. е. принадлежат одной прямой), хотя и ^не
обязательно расположены в том порядке, в каком они перечислены в этой
задаче. Расстояние от Актона до Барнхэма равно 12 км; расстояние от
Барнхэма до Сентервилла равно 21 км.
a) Можно ли сказать, какой город находится между двумя другими? Какой
город ^не находится между двумя другими?
b) Сделайте эскиз и с его помощью определив расстояние от Актона до
Сентервилла. Существует ли здесь только одна возможность или больше?
c) Если вам дополнительно стало известно, что расстояние от Актона
До Сентервилла равно 9 км, то какой город находится между двумя
другими?
а) Если расстояние между Актоном и Барнхэмом равно k километрам,
между Актоном и Сентервиллом — т километрам, между Барнхэмом и
Сентервиллом k-\-m километрам, то какой город находится между двумя
Другими?
»·£,// и К — три точки на прямой. Ε и Η отстоят друг от друга на 3 см,
а " ·ΛΗι-/^~~Η3 ^ см' Сколькими способами можно расположить эти три
точки? Поясните ваш вывод эскизом.
• а одной и той же прямой заданы три системы координат. Три фиксиро
анные точки Л, В и С этой прямой имеют следующие координаты:
системе I точка А имеет координату —6, а точка В координату —2;
систему 11 точки Л и С имеют соответственно координаты — 4 и — 3;
47

В системе III точки С и θ имеют соответственно координаты 7 и 4.
a) Какая точка лежит между двумя другими?
b) Подсчитайте АВ + АС + ВС.
§ 6. АКСИОМА ПРИКЛАДЫВАНИЯ ЛИНЕЙКИ.
ПОНЯТИЕ «МЕЖДУ». ОТРЕЗКИ И ЛУЧИ
Аксиома масштабной линейки говорит нам, что на любой
прямой мы можем установить систему координат, приложив к этой
прямой «бесконечную линейку» (числовую шкалу). Очевидно,
это можно сделать многими различными способами. Например,
если на рассматриваемой прямой задана произвольная точка Т5,
то Ρ можно сделать нулевой точкой а затем «положительную
часть» шкалы направить в любую сторону от точки Р;
р
^а— _) 1 1_ 1_ j 1 μ- 1 1_ *►
-4-3-2-1 0 12 3 4
Ρ
^ _4- Η 1 j -j 1 -η 1 Η- *-
4 3 2 1 0-1-2-3-4
Таким образом, если Q — любая другая точка этой прямой,
то линейку можно приложить так, что координата точки Q будет
положительной:
Ρ О
^к ( 1 1 1 н—~Н i—I—I 1 ' >
-4-3-2-1 0 1 2x3 4
Q Ρ
-#. , 1 1 1 1 1 1 (. ( 1 ^
4 3x2 1 0-1-2-3-4
(На нашем рисунке в обоих случаях линейка приложена так,
что х>0.)
Придадим этому наблюдению формальный характер,
высказав его в виде следующей аксиомы:
Аксиома 3 (аксиома прикладывания линейки)
Каковы бы ни были две различные .точки Ρ и Q на
произвольной прямой, система координат на этой прямой может быть
выбрана так, что точка Ρ будет иметь координату нуль, а
координата точки Q будет положительна.
Какой смысл имеет утверждение, что точка В лежит между
двумя точками Л и С, знает каждый: это означает, что все три
точки лежат на одной прямой, причем на этой прямой они
расположены так:
«* О— = 1 О— *^
А в С
48

или так:
..-_———о ■ 1 ' —° ■■■■■»
С В А
Все это верно. Достаточно нарисовать несколько картинок,
того чтобы каждый человек понял значение слова «между».
Но в гл. 1 мы обещали, что все понятия геометрии, все новые
термины,' за исключением^ только терминов «точка», «прямая» и
«плоскость», будут определены. Чтобы сдержать слово и
выполнить наше обещание, нам придется дать понятию «между»
математическое определение, согласующееся с интуитивными
представлениями, возникающими при рассматривании рисунков.
Сделать это нетрудно.
Определение
Точка В лежит между А и С, если
1°. А, В и С — различные точки одной и той же прямой;
2°. АВ + ВС^АС.
Легко проверить, что это определение выражает как раз ту
идею, которая подсказывается последними двумя рисунками.
Та форма, которая придана нами определению понятия «между»,
основывается на одной тонкости. Мы здесь имеем в виду тонкость, связанную с
употреблением слова «если». В том случае, когда два каких-либо утверждения,
фигурирующие в определении нового понятия, связаны предлогом «если»,
эти утверждения считаются полностью равносильными (эквивалентными). Таким
образом, если мы знаем, что В лежит между Л и С, то мы можем утверждать,
что имеют место и 1° и 2°, а если мы знаем, что имеют место 1° и 2°, то мы
можем утверждать, что В лежит между Л и С. Это употребление слова «если»
является совершенно специфическим, потому что оно отличается от
употребления этого слова как в обычной речи, так и в аксиомах и в теоремах. Только
в определениях слово «если» означает «равносильно».
Задачи к § 6 (часть 1)
1. Рассмотрим систему координат на прямой, в которой точки R и S имеют
соответственно координаты χ и у. Применим аксиому прикладывания линейки,
т. е. переместим шкалу так, что точка R получит координату О, а
координатой точки S станет некоторое положительное число. Чему будет равно
это число, если
а) * = -3, у = 4; Ь) * = —4, у = - 10;
с) * = 8, у = _2; d) * = |, у = -4;
е) * = 5,2, у = 6,1; О * = а, у = Ь?
2# oamf л С~~точки некоторой прямой. ЛС = £С = 5, координата точки С
пэо^Гг * а К00РДината точки А больше, чем координата точки В. Чему
3 VBHj* к°ординаты точек А и В?
С пя И Со~~ТрИ точки некот°рой прямой. АС = ВС= 10, координата точки
пярии?На ' а координата точки А больше, чем координата точки В. Чему
равны координаты точек А и В?
49

4. Μ, Μ и Ρ— три точки некоторой прямой. ΜΝ — 7, ЛЛР —9, ΛίΡ = 2, а
координата точки Μ равна 3. Чему равны координаты точек N и Я, если
a) координата точки УИ меньше, чем координата точки Ν;
b) координата точки Μ больше, чем координата точки №
5. Пусть R, S и Г —три точки некоторой прямой. Какое соотношение между
RS, ST и RT должно выполняться, если R лежит между S и Г?
6. Р9 Q и R — три точки некоторой прямой. Какая из этих точек лежит
между двумя другими, если PQ=12, PR = 7 и Q#=5? На какой аксиоме
или на каком определении базируется ваш ответ?
7. (j, Я и /С —три точки некоторой прямой. Координаты ό и Я
соответственно равны 4 и —3. Какую координату имеет точка /С, если Я лежит
между G и К и G/C= 13?
8*. Л^/; и /С--три точки некоторой прямой. Координаты точек А и К равны
]/2 и —1^18. Какую координату имеет точка Я, если АЕ — ЕЮ
9*. Л, Л и С —три точки некоторой прямой соответственно с координатами
а, Ь и с. Какая из этих точек лежит между двумя другими, если| а—с | +
4-|с — Ь\ = \а — 6|? Обоснуйте ваш ответ.
10+. Является ли следующее предложение определением понятия «между»
для точек прямой:
F, G и Я— различные точки одной и той же прямой и
FG-\~GH= FH, если точка G лежит между F и Я? Чем
эта формулировка отличается от той, которая была дана
в тексте?
11+. Пусть Л, В и С — три точки на окружности.
Можно ли сказать, что каждая из этих точек лежит
между двумя другими? Подумайте.
Каждое из двух следующих утверждений очевидно.
1°. Пусть А, В и С—точки некоторой прямой с координатами
хг у и г:
Α β С
χ у
тогда если x<y<Lz, то точка В лежит между точками
Л и С.
2°. Если А, В и С — три различные точки одной прямой, то
ровно одна из них лежит между двумя другими:
ABC
т
■q
1
в
1-1 '1
А
_|
1
С
-Ч—
А
ι | . _ .
*
В
μ.
■ »
С
ί ^
is»
Фактически оба эти утверждения можно доказать, опираясь
на аксиому масштабной линейки. Если же отказаться от их
доказательства, то эти предложения придется считать аксиомами.
В
о
50

Теперь мы достигли того пункта, когда нам оказывается
необходимой следующая
Аксиома 4 (аксиома прямой)
л ля каждых двух различных точек существует одна и только
одна прямая, содержащая обе эти точки.
А В
«-О '' ' '■■' " О—
Прямую, содержащую точки А и В, мы будем обозначать
символом АВ. Двусторонняя стрелка над буквами А и В должна
напоминать принятое нами изображение прямой на чертежах.
Это обозначение навевает мысль о том, что для определения
прямой достаточно указать две ее точки А и β, но именно это и
утверждает аксиома прямой. Иногда, конечно, проще обозначить
прямую одной буквой, например буквой /, или буквой ш, или
любой другой.
Отрезок—это фигура, выглядящая примерно таю
А В
& ■ ' ■ ' ■"'■' ■ -»
Более точное описание отрезка дают следующие
Определения
Пусть А и β —любые две точки; тогда отрезок АВ есть
множество, состоящее из Л, β и из всех точек, лежащих между
- А и β. Точки А и β называются концами отрезка АВ.
Горизонтальная черта сверху в обозначении АВ должна
напоминать нам изображение отрезка. Заметим, что отрезок АВ и
расстояние АВ отличаются очень сильно. На самом деле это
совершенно разные понятия: АВ есть геометрическая фигура, т. е.
некоторое множество точек, а АВ — число, измеряющее расстояние
между концами отрезка.
Определение
Число А В называется д ли ной отрезка. АВ.
Луч-—это фигура, выглядящая примерно так:
А В
9 а ч ι ι π а»
отот рисунок подразумевает, что луч начинается в точке Л,
роходит через В и затем неограниченно удаляется вдолъ прямой
51

АВ от А к В. Обозначая луч, мы всегда рисуем стрелку слева
направо, независимо от того, какое направление имеет этот луч.
Например, все лучи, изображенные на следующем рисунке, будут
обозначаться одним символом АВ.
Пояснив таким образом, что представляет собой луч,
определим теперь его строго:
Определения
Пусть А и β—-точки прямой L Луч А В есть множество точек,
являющееся объединением
1°. отрезка А В;
2°. множества всех точек С, для которых В лежит между Л и С.
Точка А называется началом луча А В,
Две упомянутые части луча выглядят примерно так:
N
(?)
А
Если точка А лежит на прямой / между β и С, то два ^уча
АВ и АС «направлены в противоположные стороны»:
АС
АВ
-е-
А
Определение
Если точка А лежит между точками В и,Сг то лучи АВ и
АС называются противоположными лучами.
Заметим, что пара точек А и В определяет по меньшей мере
шесть геометрических фигур (и одно число). Вот,эти шесть фигур:
Прямая АВ:
52

Отрезок ΑΒι
Луч АВ:
А 6
А В
Луч, противоположный лучу А В:
Луч В Αι
А в
-»·
Луч, противоположный лучу В А:
В
Число, определяемое точками Л и В, —это, разумеется,
расстояние А В.
Задачи к § 6 (часть 2)
*· Л, В и С —три точки некоторой прямой, координаты которых
соответственно равны 7, 3 и 12. Какая из этих точек лежит между двумя другими?
*> Ρ, Q и R — три точки некоторой прямой, координаты которых
соответственно равны —5, — У 4 и — "|/"12. Какая из этих точек лежит между
Двумя другими?
°*· G, Я и Ζ— три точки некоторой прямой. Какое из следующих утверждений
может быть верным?
a) Точка К лежит между G и Я, и точка Я лежит между Си!
b) Точка Я лежит между ^и(?,и точка Я лежит между £ и /<Г.
c) 1очка (? лежит между Η и К, и точка if лежит между G и Я.
а) 1очка /Г лежит между Я и £, и точка £ лежит между if и Я.
4 е) 1очка G лежит между Ζ и Я, и точка G лежит между Η и К.
' ^аш три точки некоторой прямой. Сколько из них не лежит между двумя
'h ^И Т^ЧиИ ^' ^ и "^ некотоР°й прямой имеют соответственно координаты а,
и а , 0, причем а > 0 и а> Ь. Какая из этих точек лежит между двумя
6 Другими, если а) Ь > 0; в) Ь < 0; с) 6-0?
ούτ, и ^~~~ТРИ точки, не принадлежащие одной прямой. Сколько прямых
они определяют? Назовите эти прямые.
53

7. D, E, F и G — четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной
прямой. Сколько прямых они определяют? Назовите эти прямые.
8. Я, Q и R— три точки. Сколько отрезков они определяют? Назовите эти
отрезки. Сколько прямых определяют точки Я, Q и /??
9. а) Верно ли, что АВ — ВА1? Почему?
b) Верно ли, что Л£ = ЯЛ? Почему?
c) Верно ли, что АВ~ В А? Почему?
10. Верно ли, что АВ — АВ} Почему? Что такое АВ?
И. а) Перепишите следующий абзац, снабжая, если это нужно, каждую
пару букв подходящим значком сверху.
xz содержит точки у и ν, но xz не содержит ни у, ни г. V принадлежит
χζ, но у не принадлежит xz. yz-\-ZO=yv.
b) Сделайте эскиз, показывающий относительное расположение четырех
точек, о которых шла речь в п. а).
12. Каждая из точек R, S и Τ лежит между двумя другими, если луч RS
- противоположен лучу RT?
13, Найдите пересечение лучей CD и DC\ прямой CD и луча DC.
14, Пусть Л, В и С —три точки некоторой прямой, причем АС-{-ВС — АВ.
Найдите пересечение лучей С В и ~ВА; лучей АС и АВ; лучей С А и СБ.
15. Является ли следующее определение корректным определением луча Л2:
Луч АВ есть множество всех точек D прямой А В, для которых
утверждение: «А лежит между D и В» не верно?
Из аксиомы прикладывания линейки следует
Теорема 2.1 (теорема о нанесении точки)
Пусть АВ — луч их — положительное число. Тогда существует
одна и только одна точка Ρ луча АВ, такая, что АР = х.
Доказательство. В силу аксиомы прикладывания линей-
ки мы можем выбрать систему координат на прямой АВ так,
что координатой точки А будет О, а координатой точки В-
некоторое положительное число г:
А В Ρ
0 г л
Пусть Р~ точка, координата которой равна данному числу х.
Тогда, поскольку х>0, точка Ρ принадлежит лучу АВ. Кроме
того,
(по определению абсолютной величины при х>0 имеем | jc | = jc).
Так как только одна точка луча АВ имеет координату х, то
только одна точка этого луча находится на расстоянии а: от Л.
х) Напоминаем, что равенство множеств (в частности, точечных
множеств—геометрических фигур) было определено выше (см. стр. 27).
54

Наметим, что это доказательство воспроизводит прием, который
применили бы, если бы луч был нарисован на бумаге и мы
МЫ сили точку Ρ с помощью линейки: мы совместили бы нуле-
на"° 0хМетку линейки с Л, а затем нанесли бы точку Рш
соответствующую числу χ на шкале.)
Определение
Точка В называется серед иной отрезка АС, если
ίο. В лежит между Л и С;
2°. АВ^ВС.
β
Теорема 2.2
Каждый отрезок имеет середину и притом только одну.
Доказательство. Точки А и С (концы отрезка) нам
известны, а ищем мы точку 5, удовлетворяющую двум условиям:
АВ + ВС^АС и АВ = ВС.
Из этих двух соотношений следует, что
Но в силу теоремы 2.1 на луче АС существует ровно одна
точка β, удаленная от А на расстояние Л С/2· Поэтому отрезок АС
имеет ровно одну середину.
Определение
Говорят, что середина отрезка делит этот отрезок
пополам.
Задачи к § 6 (часть 3-я)
5 TV
1усть S, Τ и I/-— различные точки луча ST. Может ли иметь место равен-
2 SJB0 57" = SI/? Почему?
Усть ^~точка некоторой прямой и η — положительное число. Сколько
чек этой прямой удалено на расстояние η от Р? На какие определения
3 А пТеоремы опирается ваш ответ?
ко И ^"~ТРИ ,ТОчки некоторой прямой. Координата точки А равна 0, а
ордината точки С равна — 6. Какую координату имеет середина В
отрезка Л С?
65

4. АУ В и С —три точки некоторой прямой. Координаты точек Л и В
соответственно равны — 2 и 8. Какую координату имеет точка С, делящая
отрезок А В пополам?
5. Точка В, являющаяся серединой отрезка АС, имеет координату 5. Какие
координаты имеют точки Л и С, если дано, что координата точки А больше
координаты точки С и что ВС —9?
6. Можете ли вы определить, что такое середина прямой?
7. а) Пусть точка Μ делит пополам отрезок PQ. Какую координату имеет М,
если координаты точек Ρ и Q соответственно равны 4 и 10?
Ь) Какое слово (или какие слова) нужно вставить в следующее предложение:
Если М — середина отрезка PQ, то координата точки Μ равна ...
координат точек Ρ и Q?
8+. Почему следующее предложение нельзя считать определением середины
отрезка:
Точка В называется серединой отрезка АС, если АВ = ВС?
9+*. а) В каком отношении находятся три различные точки Л, В и С, если
АВ + ВС = АС?
Ь) Пусть А, В и С —три различные точки. Может ли случиться, что будет
выполняться неравенство АВ+ВС >АС7 Если нет, то почему? Если да,
то какая связь существует между точками Л, В и С?
§ 7. ЗАМЕНА ЕДИНИЦЫ ДЛИНЫ
В § 4 мы объяснили, что при решении геометрических задач
можно выбирать какую угодно единицу длины при условии, что
пока мы решаем данную конкретную задачу, мы все время должны
сохранять одну и ту же единицу. С другой стороны, в любо;й
момент, как только мы того пожелаем, мы вправе начать все
снова, перейдя к другой единице длины.
Допустим, например, что задаваемые аксиомой расстояния,
длины измеряются в метрах, так что для любых двух точек Ρ и Q
число PQ есть число метров между Ρ и Q. Если мы решим, что
удобнее пользоваться дециметрами, нам нужно будет умножить
все расстояние на 10. Иными словами, если {PQY (произносится
«PQ штрих» или «PQ прим») —новое расстояние между Ρ и Q, то
(PQ)'=WPQ.
Новое расстояние ничуть не хуже старого; аксиома масштабной
линейки столь же справедлива для новых расстояний, как и для
старых.
Ρ Q
^ j J 1 ( 1 1 1 1 1 ^i
-3-2-1 0x1 2 у 3
Ρ
*m 1 1 1 1 I, I 1 1, | · *~L
-30 -20 -10 0 x 10 20 у 30
На каждой прямой l существует система координат, в которой
PQ = \y-x\·
Все, что нам нужно сделать, чтобы получить систему координат,
пригодную для измерения новых расстояний,—это умножить каж-
56

ю старую координату на 10. Таким образом, на нашем рисунке
x'sslOx, у' = №у и> следовательно,
\y'-x'\ = \l0y-l0x\ = l0\y-x\ = lbPQ = (PQy,
как и должно было быть.
Фактически мы можем выбрать любые две точки Л и β и
определить «новое» расстояние так, чтобы было (АВ)' = 1. Для этого
нам нужно только разделить все старые расстояния на АВ, т. е.
положить
Тогда мы будем иметь
(A RV —.
АВ
(АВ)'=%=1,
что нам и требовалось. Система координат на прямой, пригодная
для измерения новых расстояний (PQ)', получается, если мы
разделим все старые координаты на АВ, т. е. положим
X'
Следовательно,
1/7'— X'\—JL -
\У х \-АВ
что нам и требовалось.
Задачи к § 7
А В
X
X
"АВ ~
С
•
* ЛЯ*
\у-х\ __ PQ _,рпу
' ~~Ж~ ~~ АВ ~ ^Ч)
DBF
а ■ е · ι»'
1. Если на этом рисунке ЛБ = 3 и AB^BC^CD^DE^EF, то 4F=15.
Чему будет равно расстояние (AF)'', если за новую единицу принято АВ
(т. е, если (Л£)'^1)?
2. Пусть в задаче 1 за новую единицу принято АС (т. е. (ЛС)' = 1). Чему
тогда равно расстояние (Л£)'? расстояние (AF)'} расстояние (АВ)'?
3. Рассмотрите два выписанных ниже утверждения к для каждого из них
ответьте на следующий вопрос: зависит ли справедливость этого утверждения
от специального выбора единицы длины?
a) Если Л, Ву С, D, E, F — различные точки некоторой прямой, такие, что
AB^BC = CD = DE=EFy
то
AC^BD^CE^DF.
b) Если Л, В^ С, D, Я, F — различные точки некоторой прямой, такие, что
AB = BC = CD=DE = EF,
т° AF делится на 5 (т. е. AF/5 — целое число).
67

Какое из этих утверждений выражает более «применимый» факт?
1131137291
го ю 2Ь J * id То I Σο Ι
ι ι ι ι ι ι ι ι ι »
4. Система координат, указанная на этом рисунке, исходит из расстояния,!
измеряемого в дециметрах. Перерисуйте этот чертеж в вашу тетрадь-и^снизyj
от прямой выпишите числа, указывающие координаты для расстояний, из-ι
меряемых в сантиметрах. Сделайте то же для расстояний, единицей кото-!
рых служат 5 см; \м.
д β м /у
О 1АВ 2Ад ЗАВ UAB 5АВ 6АВ
~* 1 1 | 1 1 1 1 f 1 *~
О ■ 1MN 2MN 3MN UMN
5. На этом рисунке на прямую нанесены две шкалы. В верхней шкале в
качестве единицы используется длина отрезка А В, а в нижней— длина отрезка
MN. Заметим, что 6AB = 4MN.
a) Чему равно отношение А В к MN?
b) Чему равно отношение MN к ЛВ?
c) Скольким АВ равно 3 MN?
а) Скольким MN равно 4Л£?
е) Заполните таблицу:
\АВ = .
2Л£ = .
ЗЛ£ = .
4АВ = .
5Л£ = .
6ЛБ = .
хАВ = .
..МЛ/;
.МЫ;
..МЫ'
..МЫ;
.MN;
..MN
..MN.
1Ш = .
2MN = .
3ΜΝ=.
ΑΜΝ = .
χΜΝ = .
.ЛВ;
.АВ;
.АВ;
.АВ;
.АВ;
6*. При раскопках развалин, относящихся к какой-то древней цивилизации,
группа археологов нашла куски двух старых линеек, на которых были
нанесены известные числовые символы, но единицы измерения на этих
линейках были различны. Одну из этих шкал археологи назвали «шкалой
зет» по той причине, что4 на этой линейке был вырезан какой-то символ,
напоминающий букву 2. После нескольких проб они обнаружили, что
диагональ квадрата, сторона которого имеет один зет длины, равна единице
второй шкалы. Поэтому они назвали вторую шкалу «шкалой диаг». С
помощью равенства Пифагора для прямоугольного треугольника они выяснили,
что 1 диаг = "1/2 зета. Вот изображение этих двух шкал.
-j 1 J 1 ι ». >
О Зешы 12 3 4-5 67
» I ! » I . '
О Диаг и 1 2 3 и 5
а) Чему равна длина в зетах отрезка, длина которого в диаг а х равна 1?
2? 5? л?
58

b)
Составьте таблицу для перевода диагов в зеты в пределах от 1 до 10
диагов.
\ Чему равна длина в диагах отрезка, длина которого в зетах равна 1?
c) 4> 5? 8? п>
d) Заполните эту таблицу, переводящую зеты в Диаги от 1 до 10 зетов
Число зетов ! Число диагов I Десятичное приближение
1
2
3
4
τ У*
V2
f-^2-
0,707
1,414
Обзорные вопросы и задачи к главе 2
1. Пусть Л —множество всех месяцев года, название которых начинается
с буквы И; .
В — множество, всех месяцев года, имеющих ровно 30 дней;
С —множество всех месяцев года, название которых начинается с буквы Ф.
a) Перечислите все элементы пересечения А и В.
b) Перечислите все элементы объединения А и В.
c) Перечислите все элементы пересечения В и С.
d) Является ли С подмножеством множества Л? множества β?
множества С?
2. а) Что представляет собой пересечение отрезков FD и BE на нашем
рисунке?
b) Что представляет собой пересечение отрезка АЕ и треугольника FGE?
c) Что представляет собой объединение отрезков ED и DC?
d) Что представляет собой объединение отрезков BG и BE?
e) Что представляет собой пересечение отрезков А В и EG"?
3. а) Сколько квадратов имеет данное положительное число?
b) Чему равен квадрат числа 4?
c) Сколько существует квадратных корней из данного положительного
числа?
d) Является ли число Y\ отрицательным или положительным?
• Ьыразите следующие числа, не пользуясь знаком абсолютной величины:
а) |-6 |;
d) |-5|_7;
g) |п + (_я)|;
Ь) |5-7|;
е) |«|;
h) \n\ + \-n\.
с) |Б|-|7|;
f) !-«!;
аполните пропуски, указав, будет ли данное число положительно,
отрицательно или равно нулю:
69

a) Если a<Cb, то a — b...
b) Если а = 6, то a — b...
c) Если α>&, το α— bo..
rM
6. а) Какое соотношение определяет взаимное положение точек Ρ, Μ и Q
на этом рисунке?
^ Ь) При каких условиях точка Μ являлась бы серединой отрезка RS?
7. Четыре точки Л, £, С и D принадлежат некоторой прямой, порядок их
расположения таков, что АС>АВ и BD < ВС. Сделайте чертеж, показав,
как расположены эти четыре точки. Существует ли только один возможный
их порядок? Объясните.
8. G— множество всех пар целых чисел χ и #, сумма которых равна 21; Η —
множество всех пар чисел χ и г/, разность которых равна Ь.
a) Принадлежит ли пара 15 и 6 множеству G?
b) Принадлежит ли пара 9 и 4 Множеству Я?
c) Из каких пар состоит пересечение множеств G и Я?
W
-4—
Ζ
-4-
9. а) Какую координату имеет изображенная на этой прямой точка W?
точка S?
b) Какая точка имеет координату 0? —3? 5?
c) Чему равно RT; VZ; TWt; TQ; RW\ PZ; XS; YQ?
10. На некоторой прямой задана система координат. Точка А имеет
координату 6, 'точка Б —координату — 2, точка С —координату 1, точка D —
координату χ и точка Е — координату у.
a) Укажите для каждой из этих точек, между какими двумя другими она
лежит.
b) Чему равно А В; ВС; AD; CE; BE; DE?
c) В каком порядке расположены наши пять точек на прямой, если χ —
-6>0 и г/-(-2)<0?
11. На некоторой прямой задана система координат. Точка Ρ имеет
координату 7, а точка Q —координату —12. Какую координату имеет точка М,
если MP = MQ}
12. Укажите, верно или ошибочно каждое из следующих утверждений:
4
а) —-5 — целое число; Ь)
с) 0—-рациональное число;
е) ]Л) —целое число; f)
ч V2 ич
§0 ~~л рациональное число; п)
• действительное число;
d) ]iS —рациональное число;
f4 31
ι) — -^ рациональное число
VI
χ — есть отрицательное число
всех действительных х\
для
рациональное число; j) |дг|=дг.
60

Если расстояние от точки Л до точки В, измеренное в сантиметрах,
явно ky то чему равно расстояние АВ, измеренное в дециметрах?
*Если расстояние от точки Ρ до точки М-, измеренное в метрах; равно t>
то чему равно расстояние РМ, измеренное в сантиметрах?
- Пары букв в следующем абзаце означают или числа, или прямые, или
отрезки, или лучи. Перепишите этот абзац, расставив там, где нужно,,
значки 'над парами букв. А В + ВС = AC DB содержит точки Л и С, но
ОВ не содержит ни точки Л, ни точки С. Тогда А принадлежит DB, но
точка С не принадлежит DB.
16 Какие из следующих утверждений верны, если Л, В, Си D-—различные
точки, причем Ж содержит В, £D содержит С?
a) Точка В лежит между Л и С.
b) Прямая ВС содержит точку Л.
С) :4С = яб.__
d) Прямые ?С и BD пересекаются только в точках В и С.
e) Прямые *Кб и ЪС не пересекаются.
f) Луч АС противоположен лучу DB.
17. На прямой АВ задана такая система координат, что отрезок АВ есть
множество всех точек, координаты χ которых удовлетворяют условию Б^х^
«^ 7. Координата точки А меньше, чем координата точки В.
a) Какую координату имеет начало луча ЛИ? луча ВА? луча,
противоположного лучу ВА?
b) Какую координату имеет середина отрезка АВ?
18. а) Нарисуйте два отрезка АВ и CD> для которых пересечение АВ и CD
пусто, но пересечение АВ и CD состоит из одной точки.
Ь) Нарисуйте два Отрезка PQ и RS, для которых пересечение PQ и RS
пусто, но
19. Верхняя строчка чй&еЛ около точек прямой на рисунке внизу
представляет некоторую систему координат. Какие из строчек чисел от а) до е) не
представляют системы координат, удовлетворяющей аксиоме масштабной
линейки и аксиоме прикладывания линейки?
•■я ι ι
-4
а) -ц
ь) -6
О 0
Ю-10
е) 5
1 -hi
-J
3
-5
1
-9
Ц·
Mi Ι ι
-2
2
-Ц
2
-θ
3
t ι
-;
/
-3
3
-7
2
II III I I
0
0
-2
4
-6
1
1
-/
-/
5
-5 ш
0
2
-2 ,
0
6
-U
1
δ
-3
1
7
-3
2
4
-ц
2
8
-2
3
5
-5
3
9
-7
ц
ι ' iw
6
~6
ч
0
0
5
*0 . Для каждого из перечисленных ниже условий рассмотрите множество всех
точек прямой, координаты χ которых удовлетворяют этому условию:
а)*^3; Ь)*=1; . с) 5^л:^0;
d)*^l; e)* = —4; ι) χ^—2 или х^2;
Й I х I ^ 2; h) | χ | ^ 0.
Какое из этих множеств является лучом? точкой? отрезком? Нарисуйте
каждую из этих фигур/

ПРЯМЫЕ,
ПЛОСКОСТИ И РАЗБИЕНИЯ
•
«ч У ,
Г
I? 1
и ■ ^ <
\ *£

§ f. ВВЕДЕНИЕ
В предыдущей главе мы говорили только о прямых и об из-
ении расстояний. Фактически мы всегда рассматривали
единственную прямую, и поэтому никакие обсуждения отношений
°ежду разными прямыми нам не были нужны. Теперь мы
приступим к изучению прямых и плоскостей в пространстве.
Напомним что нашими основными неопределяемыми понятиями являются
точка, прямая и плоскость, причем прямые и плоскости являются
определенными множествами точек.
Определение
Множество всех точек называется пространством.
В следующем параграфе мы объясним некоторые термины,
которыми мы будем пользоваться при изучении прямых и
плоскостей, и сформулируем некоторые из самых элементарных
фактов, к ним относящихся. Большая часть этих фактов будет
высказана в качестве аксиом, а кое-какие из них —в виде теорем.
В дальнейшем мы увидим, что все теоремы этой главы можно
доказать, опираясь на аксиомы. Но сейчас их доказательств мы
касаться не будем, если не считать одного очень простого
исключения. Все, что мы попытаемся здесь сделать/—это обсудить
несколько основных фактов и научиться изображать фигуры
в пространстве.
Задачи к § 1
(Замечание. При попытках представлять себе различные связи между
точками, прямыми и плоскостями в пространстве часто хорошим подспорьем
могут оказаться куски картона как заменители плоскости и карандаши как
заменители прямых.)
1. Вытяните руку перед собой. Рассмотрите точку Л, совпадающую с кончиком
вашего указательного пальца, и точку В, совпадающую с правым верхним
передним углом вашей комнаты. Сколько прямых одновременно содержат
обе точки А и В? Какая аксиома подкрепляет ваш ответ?
2. Возьмите книгу или кусок жесткого картона. Можете ли вы удержать их
на концах двух карандашей так, чтобы они не смогли двигаться? Каково
наименьшее число карандашей, необходимое для этого.
• М°гУт ли три точки принадлежать одной прямой? Должны ли три точки
принадлежать одной прямой?
Пусть какой-нибудь угол вашего письменного стола представляет точку Р,
выключатель на стене —точку Q и один из углов комнаты—точку R'. Суще-
5 £твУет ли плоскость, содержащая точки Р, Q и R?
акое минимальное число точек необходимо для определения плоскости?
сегда ли три точки полностью определяют некоторую плоскость?
63

б. Какие прямолинейные отрезки на этом рисунке, изображающем маленькую
палатку, вам нужно вообразить, чтобы дополнить контуры палатки? Что
представляет собой пересечение двух плоскостей, содержащих два ската
палатки?
7. Палатка на этом рисунке имеет квадратный пол. Какие прямолинейные
отрезки дополняют контуры палатки?
8. Соедините два карандаша их заточенными концами и зажмите их между
большим и указательным пальцами. Если эти карандаши представляют две
пересекающиеся прямые, то сколько существует плоскостей, одновременно
содержащих обе эти прямые?
1 ГЕОМЕТРИЯ III |
«;
9. Какой из этих двух рисунков, по вашему мнению, дает более полное
изображение книги? Как нужно держать книгу, чтобы она выглядела так,
как на рисунке а)? как на рисунке Ь)?
10. Посередине доски в 2 ж длиной, т. е. на расстоянии 1 м от каждого из
ее концов, проведена черта. Столяр тщательно распиливает доску по той
черте. Однако ни одна из двух получившихся при этом половин не имеет
1 м длины. Более того, общая длина двух половин не равна длине всей
доски. Как вы сумеете это объяснить?
§ 2. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ; ЧЕРТЕЖИ
Левая фигура на следующем рисунке изображает
треугольную пирамиду. Отрезки АВ, AC, AD, ВС, BD и CD называются
ее ребрами. (Заметьте, что ребро BD изображено- пунктиром,
поскольку, если бы пирамида была сплошным телом, его нельзя
было бы видеть. Если ту же фигуру нарисовать, как показано
на рисунке, то она выглядела бы 'похожей на некоторое
множество точек, принадлежащее плоскости чертежа.)
А
С
64

Все пять точек Л, Е, В, С и F принадлежат одной плоско-
а именно плоскости, содержащей переднюю левую грань
Сщ)амидь1. Точки, принадлежащие одной плоскости, называются
П0мпланарными. Конечно, точки А, В, С и D не компланарны/
К Три точки А, В и Ε принадлежат одной прямой, а именно
прямой АВ. Обладающие этим свойством точки называются кол-
линеарными. Конечно, точки Л, θ и С не коллинеарны. Точно
так же A, F и С коллинеарны, а точки Л, F и G — нет.
Теперь мы определим эти термины более формально.
Определение
Точки, образующие некоторое (точечное) множество,
коллинеарны, если существует прямая, содержащая все эти точки.
Определение
Точки, образующие некоторое (точечное) множество,
компланарны, если существует плоскость, содержащая все эти точки.
(Вопрос. Точки В, F и G на предыдущем рисунке не
принадлежат ни одной из граней пирамиды. Следует ли из этого, что
точки Е, F и G не компланарны?)
Чтобы построить геометрию по схеме, описанной в гл. 1, нам
нужны аксиомы, которые передавали бы реальный смысл наших
неопределяемых понятий: точки,- прямой и плоскости. Для
прямых мы такие аксиомы уже ввели. Аксиома линейки хорошо
описывает, как выглядит прямая, когда вы рассматриваете ее
изолированно от всех других точек плоскости или пространства. Мы
упоминали также, что любые две точки определяют некоторую
прямую (см. аксиому 4 на стр. 49):
Аксиома 4 (аксиома прямой)
Для каждых двух точек существует одна и только одна
прямая, содержащая обе точки.
Теперь мы хотим выписать аксиомы, выражающие свойства
плоскостей и пространства. Первой будет аксиома, утверждающая,
что фигуры того типа, которые мы рисовали в начале этого
параграфа, в нашей геометрии действительно встречаются.
Аксиома 5
а) Каждая плоскость содержит по крайней мере три неколли-
неарные точки.
в) Пространство содержит по крайней мере четыре
некомпланарные точки.
65

Это только другой способ выражения того факта, что плоско,
сти являются «широкими» (а не «узенькими»), или «одномерными»
как прямая, а пространство не является «плоским».
Наконец, заметим, что в аксиоме прямой содержится некото,
рая информация о том, как пересекают друг друга различные
прямые.
Теорема 3.1
Если две {различные) прямые пересекаются, то их пересечение
содержит только одну точку.
Доказательства. Если бы две различные прямые / и щ
пересекались в двух различных точках Ρ и Q, то существовали бы I
по крайне мере две прямые — / и т —, содержащие Ρ и Q. Но
аксиома прямой утверждает, что это невозможно.
Замечание. Начиная с этого момента, всякий раз, когда мы будем
говорить о двух точках, или о двух прямых, или о двух плоскостях, мы будем
подразумевать, что эти точки, прямые или плоскости различны. Иными
словами, говоря о двух объектах, мы всегда будем подразумевать, что имеются
именно два отдельных объекта, а не один объект; в соответствии с этим в
формулировке аксиом 1 и 4 мы далее будем опускать прилагательное «различные».
(Но если мы просто говорим, что Ρ и Q — точки, то мы не исключаем и ту
возможность, что P = Q.)
Задачи к § 2
1. Выясните, посмотрев на этот рисунок, изображающий некоторую
пространственную фигуру, являются ли точки следующих множеств 1°. коллинеар-
ными; 2°. не коллинеарными, но компланарными;
3Q. не компланарными:
a) {Л, В, С, D};
b) {A, D, В};
c) [Р, D, Q};
d) {P, В, С};
e) {Л, В, С, Q};
2. Сколько прямых могут содержать одну данную
точку? две данные точки? три данные точки?
3. Дано: Ρ и Q —различные точки. Прямая 1г
содержит обе точки Ρ и Q; прямая /2 также
содержит обе точки Ρ и Q.
Что можно сказать о прямых 1Х и /2? Какая
аксиома или теорема подкрепляет ваше заключение?
4. Дано /х и /2 —различные прямые. Точка Ρ принадлежит и 1г и /2. Точка Q
также принадлежит и 1Х и /2-
Что можно сказать о точках Ρ и Q? Какая аксиома или теорема
подкрепляет ваше заключение?
5. Напишите строгое определение неколлинеарных точек.
6. Скажите, сколько прямых можно провести через пары различных точек А,
β, С и D, если
a) Л, В, С коллинеарны;
b) Никакие три из этих точек не коллинеарны;
c) Эти точки некомплапарны.
7. Дана прямая /. Сколько плоскостей в пространстве могут содержать /?
8 С помощью спичек и клея сделайте модель фигуры из задачи 1.
66

ξ 3. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ; ЧЕРТЕЖИ (ОКОНЧАНИЕ)
Следующая аксиома выражает тот факт, что плоскости не
искривляются.
Аксиома 6
Если две точки какой-либо прямой принадлежат некоторой
лоскости, то и вся эта прямая принадлежит той же плоскости.
Следующая теорема описывает, каким образом прямые и
плоскости пересекаются друг с другом.
Теорема 3.2
Если какая-либо прямая пересекает не содержащую ее
плоскость, то их пересечение содержит только одну точку.
(Позднее мы увидим, что теорема 3.2 не доставляет нам новой
информации; она следует из аксиомы 6 точно так же, как теорема
3.1 следовала из аксиомы 4.)
На этом рисунке мы видим
прямую /, пересекающую
плоскость Ε так, как ей
предписывает теорема- 3.2. В дальнейшем
будет встречаться много
рисунков такого типа, и вам нужно вни- «— г—
мательно их разглядеть, чтобы вы ^
смогли научиться рисовать их
самостоятельно. Когда мы рисуем прямую, мы, разумеется,
сначала проводим отрезок этой прямой, а затем на его концах
пририсовываем стрелки, указывающие, что прямая на этом не
кончается. Чтобы изобразить плоскость, обычно мы рисуем лежащий
в этой плоскости прямоугольник. Когда мы смотрим на
прямоугольник сбоку (будем считать, что именно так мы смотрим на
плоскость на последнем рисунке), то этот прямоугольник
выглядит как параллелограмм. Подобным же образом окружность,
рассматриваемая в перспективе, выглядит как эллипс, изображенный
на нижнем рисунке слева. Если бы наши глаза находились в
плоскости прямоугольника, то он казался бы просто похожим на
отрезок, как внизу справа, и чертеж был бы логически правильным,
но не поучительным.
L
67

Аксиома 4 утверждала, что прямую определяют две ее точки.
Для определения плоскости требуются три неколлинеарные точки:
Аксиома 7 (аксиома плоскости)
Любые Упри точки принадлежат по крайней мере одной
плоскости) любые три неколлинеарные точки принадлежат только
одной плоскости.
Другими словами· любые три точки компланарны, и если они
при этом неколлинеарны, то эти точки однозначно определяют
проходящую через них плоскость.
Теорема 3.3
Если даны прямая и не
принадлежащая ей точка, то
существует одна и только одна
плоскость, содержащая эту прямую и
эту точку.
Теорема 3.4
Если даны две
пересекающиеся прямые, то существует одна
и только одна плоскость,
содержащая обе эти прямые.
В заключение сформулируем следующую аксиому
Аксиома 8 (аксиома пересечения плоскостей)
Если две плоскости пересекаются, то их пересечение есть
прямая.
Может показаться, что мы собираемся продолжать и дальше
выписывать бесконечную серию аксиом, выражающих наши
основанные на здравом смысле представления о пространстве.. Однако
оказывается, что в этом нет необходимости. В этой книге мы
будем изучать геометрию пространства на базе всего лишь двад-
68

яти четырех основных утверждений. Все остальные можно из них
ывести, если знать, как это делать. Вы будете здесь этому учиться.
3 Двадцать четыре не следует считать «большим» числом. В
действительности оно столь мало, что делает геометрию совершенно
не похожей на такие науки, как, например, биология. Всю
биологию или даже любую содержательную ее часть невозможно
базировать на двадцати четырех фактах, обнаруженных с ромощью
наблюдений. Чтобы получить тысячи других фактов, которые нам
необходимо знать, нам пришлось бы продолжать
экспериментировать, исследуя в лаборатории те или иные растения или
животные/ Лаборатория же геометра — это его голова, в которой
выстраиваются логические цепи, исходным пунктом для которых
служит очень небольшое число основных фактов.
Задачи к § 3
1. Сколько плоскостей могут содержать одну данную точку? две данные точки ?
три данные точки?
2. Стол с четырьмя ножками, стоящий на ровном полу, иногда качается,
а стол с тремя ножками всегда стоит устойчиво. Объясните причину этого.
3. Какую аксиому иллюстрирует этот
рисунок?
4. Дополните следующее утверждение:
две различные прямые могут
пересекаться лишь в ... , а две различные
плоскости могут пересекаться лишь
по
5. Плоскость Ε содержит точки R и Г.
Что можно сказать о прямой RT?
Какие аксиомы или теоремы подкрепляют ваш ответ? Сделайте рисунок,
иллюстрирующий эту задачу.
6. Нарисуйте плоскость £, изобразив для этого некоторый параллелограмм.
Нарисуйте прямолинейный отрезок, лежащий в плоскости Е. Нарисуйте
прямолинейный отрезок, пересекающий плоскость Ε в единственной точке, и
не пересекающийся с первым отрезком.
7. Какое заключение можно сделать относительно прямой АВ и плоскости F,
если они имеют общие точки К и Ш Почему?
8. Прямую можно обозначить, указав какие-либо две ее точки. Сколько точек
нужно назвать, чтобы получить обозначение плоскости?
9· Дано. Точки А, В и С лежат в плоскости Е. Точки Л, В и С лежат
в плоскости F. Можно ли отсюда заключить, что плоскости Ε и F
совпадают? Объясните.
•Дано. 1Х и /2 — различные прямые. Прямая 1Х лежит в плоскости Е.
Прямая /2 лежит в плоскости F. Прямые /х и /2 пересекаются в точке Р. Точка
ν> отличная от Р, принадлежит и прямой 1г и плоскости F. Точка R,
отличная от Р, принадлежит и прямой /2 и плоскости Е.
*\акое заключение можете вы сделать относительно плоскостей Ε и F? Какие
/
/
/ \ /л
аксиомы или теоремы подкрепляют ваш ответ?
69

И. Внимательно изучите этот рисунок,
изображающий некоторое прямоугольное тело, до
тех пор, пока не поймете, каким образом он
выполнен так, что кажется похожим на
пространственную фигуру. Затем закройте книгу
и сделайте по памяти рисунок, похожий на
этот. Попрактикуйтесь до тех пор, пока не
будете довольны своими результатами.
12. После того как вы выполните то, что
требуется в задаче И, сделайте рисунок,
изображающий куб.
13+. Фигура, являющаяся- объединением всех
отрезков, имеющих своими концами четыре
данные не компланарные точки, называется
треугольной пирамидой, или тетраэдром1J.
Рассматриваемые четыре точки называются
вершинами тетраэдра.
С
a) Дайте определения ребра тетраэдра.
b) Сколько ребер имеет тетраэдр? Перечислите их.
c) Существуют ли у тетраэдра пары непересекающихся ребер?
d) Грань тетраэдра есть треугольная область, определяемая любыми тремя
вершинами. Перечислите четыре грани тетраэдра. Существуют ли у него
пары непересекающихся граней?
14+. Эта фигура есть четырехугольная
пирамида с квадратным основанием.
(Подразумевается, что ее (квадратное) основание
расположено ближе всего к вам.) Перечислите все £
плоскости, определяемые вершинами
пирамиды (Всего имеется семь таких плоскостей.)
А В
15*+. Рассмотрим следующие определения:
М-пространстео есть множество, состоящее из четырех некомпланарных
точек Л, В, С и D. Прямой называется любая пара точек, принадлежащих
^-пространству. Плоскостью называется любая тройка точек,
принадлежащих УИ-пространству.
Тщательно изучив все пары и тройки точек, покажите, что УИ-простран-
ство удовлетворяет аксиомам 4, 5, 6, 7, 8 и теоремам 3-1, 3-2, 3·3 и 3-4.
(Такая система точек называется четырехточечной геометрией.)
Какая из имеющихся в тексте книги аксиом гарантирует, что обычное
пространство содержит бесконечно много точек?
1} Подобно тому как под треугольником ABC понимают как совокупность
трех отрезков Л В, ВС и АС, так и ограниченную этими отрезками область
(а иногда и просто три точки А, В и С!), так и под тетраэдром Л BCD можно
понимать совокупность из шести отрезков А В, ВС, AD, AC, BD, CD (именно
так понимается тетраэдр в этой задаче), или совокупность четырех
треугольников ABC, ABD, ACD, BCD (понимаемых как плоские области) или как
ограниченное этими четырьмя треугольниками пространственное тело или,
наконец, просто как четыре точки Л, В, С и Z>.
70

§ 4. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА
Множество точек называется выпуклым,, если мы всегда можем
не покидая этого множества, пройти от одной его точки к другой
по кратчайшему расстоянию между ними.
Например, каждое из изображенных здесь множеств выпукло,
если считать, что каждое из этих множеств является целой областью
на плоскости, а не сводится к одной только границе. В этих
множествах из любой точки Ρ можно добраться до любой другой
точки Q, двигаясь по прямой и не выходя за пределы множества.
Некоторые примеры этого можно видеть на наших рисунках.
С другой стороны, ни одно из этих множеств не является
выпуклым. Это следует из наличия у каждого из этих множеств
таких его точек Ρ и Q, которые нельзя соединить отрезком,
принадлежащим данному множеству.
Чтобы сформулировать все это в более строгой (и «более
математической») форме дадим следующее
определение
Множество А называется выпуклым, если для каждых двух
точек Ρ и Q, принадлежащих этому множеству, отрезок PQ цели-
к°м принадлежит Л.
Множества, о которых мы до сих пор говорили, были «малень-
ми». Но выпуклое множество вполне может быть и большим.
пример, каждая плоскость является выпуклым множеством.
^ лее, прямая / на плоскости разрезает эту плоскость на два мно-
71

жества, каждое из которых выпукло и простирается неограниченно
далеко. Эти два множества Нг и Я2 называются полуплоскостями,
или сторонами, прямой /, а I называется ребром каждой из этих
полуплоскостей.
Полуплоскости являются выпуклыми, потому что если какие-
либо две точки лежат на одной и той же стороне прямой (мы будем
говорить: по ©дну и ту же сторону от прямой), то соединяющий
их отрезок никогда не пересечет эту прямую. '
Напротив, если Τ и [/ — точки, лежащие по противоположные
стороны от прямой /, то отрезок TU всегда пересекает эту прямую.
Соединим теперь предыдущие утверждения в одной аксиоме и
нескольких определениях.
Аксиома 9 (аксиома разбиения плоскости)
Даны прямая и содержащая ее плоскость. Тогда точки этой
плоскости, не принадлежащие данной прямой, образуют два
таких множества, что
1°. каждое из этих множеств выпукло;
2°. если точка Ρ принадлежит одному из этих множеств,
а точка Q —другому, то отрезок PQ пересекает данную прямую.
Определения
Если даны прямая I и содержащая ее плоскость Е, то два
множества описанные в аксиоме разбиения плоскости, называются
полуплоскостями, или сто ρ о нами, прямой I, a l
называется их ребром. Если точка Ρ принадлежит одной из этих
полуплоскостей, а точка Q — другой, то мы будем говорить, что
Ρ и Q лежат по противоположные стороны от
прямой L
72

О том, каким способом прямая разбивает плоскость на две
полуплоскости, наша аксиома говорит следующее:
ίο. Если две точки принадлежат одной и той же
полуплоскости, то соединяющий их отрезок принадлежит той же
полуплоскости и, таким образом, никогда не пересекает данную прямую.
2°. Если две точки принадлежат противоположным
полуплоскостям, то соединяющий их отрезок всегда пересекает данную прямую.
В то время как в любой заданной плоскости прямая имеет
лишь две стороны, каждая прямая в пространстве имеет бесконечно
много сторон. На следующем рисунке мы видим пять из этого
бесконечного множества полуплоскостей в пространстве, имеющих
прямую / своим ребром.
(Вопрос, Существует ли различие между следующими двумя
утверждениями?
1°. Точки Ρ и Q лежат по разные стороны от прямой /.
2°. Точки Ρ и Q лежат по противоположные стороны от прямой /.)
Плоскость разбивает пространство точно таким же образом,
как прямая разбивает плоскость.
Два множества, на которые плоскость разбивает пространство,
азываются полупространствами, или сторонами, данной плоскости.
а нашем рисунке они обозначены буквами Ях (полупространство,
73

лежащее над плоскостью) и Я2 (полупространство, лежащее под
плоскостью). Каждое из этих двух полупространств выпукло. Если
точка R принадлежит одному из этих полупространств, а точка S —
другому, то отрезок RS всегда пересекает плоскость.
Снова соединим это в одной аксиоме и нескольких определениях.
Аксиома 10 (аксиома разбиения пространства)
Точки пространства, не принадлежащие данной плоскости,
образуют два таких множества, что
1°. каждое из этих множеств выпукло;
2°. если точка Ρ принадлежит одному из этих множеств,
а точка Q — другому, то отрезок PQ пересекает данную плоскость.
Определения
Два множества, описанные в аксиоме разбиения пространства,
называются полупространствами, а данная плоскость
называется гранью каждого из этих полупространств.
Заметим, что в то время, как каждая прямая в пространстве
является ребром бесконечного множества полуплоскостей,, каждая
плоскость в пространстве является гранью только двух
полупространств.
Задачи к § 4
(Замечание. Отвечая на вопросы нижеприведенных задач, нужно в
ситуациях, не охватываемых структурой наших аксиохм, руководствоваться
интуитивными представлениями о пространстве.)
1. Ответьте устно на следующие вопросы:
a) Является ли прямая выпуклым множеством? Объясните.
b) Является ли множество, состоящее только из двук точек, выпуклым?
Почему?
c) Если из прямой удалить одну точку, то будут ли остальные точки
образовывать выпуклое множество?
d) Является ли окружность выпуклым множеством?
e) Является ли круг выпуклым множеством?
f) Является ли сфера выпуклым множеством?
g) Является ли шар выпуклым множеством?
h) Разбивает ли точка плоскость? пространство?
прямую?
i) Разбивается ли плоскость лучом? прямой?
отрезком?
j) Могут ли две прямые на плоскости разбивать
эту плоскость йа две области? на три области?
на четыре области? на пять областей?
2. Каждая точка отрезка АВ на этом рисунке
принадлежит множеству К- Означает ли это, что К —
выпуклое множество? Объясните.,
74
^

о Является ли каждая плоскость выпуклым множе-
ством? Объясните. Какая аксиома существенна для
вашего объяснения?
4. Какие из областей, обозначенных прописными буквами на этом рисунке,
являются выпуклыми множествами?
5. Если из плоскости удалить одну точку, то будет ли оставшееся множество
выпуклым?
6. Круги С и D являются выпуклыми множествами. ^» ^ ,
Будег ли выпуклым множество а) их пересечение? * х
Ь) их объединение?
щ
7. Пусть / — прямая в плоскости Е. Является ли выпуклым множество всех
точек плоскости £, лежащих по одну сторону от прямой /?
8. Нарисуйте плоский четырехугольник (фигуру с четырьмя сторонами),
внутренность которого выпукла. Нарисуйте плоский четырехугольник,
внутренность которого не выпукла.
9. Является ли множество, состоящее из всех точек сферы и из всех точек,
лежащих внутри нее, выпуклым?
ίΟ. Является ли тор (баранка) выпуклым множеством?
11. Нарисуйте две полуплоскости, имеющие общее ребро и такие, что все
принадлежащие хоть одной из плоскостей точки компланарны Нарисуйте две
полуплоскости, имеющие общее ребро, но не удовлетворяющие этому условию.
12. Нарисуйте две полуплоскости такие, что все их точки компланарны, но
полуплоскости не имеют общего ребра.
13. Η ι и Я2 —две полуплоскости, удовлетворяющие первому условию задачи 12.
Составляет ли объединение #х и Н2 всю плоскость, если
a) Hi и Н2 имеют одно и то же ребро (объясните);
b) Ребро полуплоскости Я χ пересекает ребро полуплоскости Н2 в
единственной точке (объясните)?
И. а) На сколько множеств точка, принадлежащая прямой, разбивает эту
прямую? Какое название напрашивается для каждого из этих множеств*
Ь) Пользуясь терминологией, введенной вами в а), напишите утверждение
о разбиении прямой, аналогичные аксиомам 9 и 10.
15. Чем луч отличается от полупрямой?
16 . Могут ли три прямые на плоскости разбить эту плоскость на три области?
четыре области? пять областей? шесть областей? семь областей?
• На сколько множеств разбивают пространство две пересекающиеся плоско
сти? две параллельные плоскости?
• Каково наибольшее число множеств, на которые пространство может быть
разбито тремя различными плоскостями? Каково наименьшее число таких
множеств?
75

Ϊ9+. Верно или ошибочно следующее утверждение: объединение любых двух
выпуклых множеств, имеющих хотя бы две общие точки, является выпуклым
множеством? Обоснуйте ваш ответ.
20*+. Напишите аккуратное объяснение причин/в силу которых верно следующее
утверждение: пересечение любых двух выпуклых множеств, имеющих хотя бы
две общие точки, является выпуклым множеством. (Указание. Пусть
Ρ <и Q — любые две общие точки наших множеств. Какие множества должны
содержать отрезок PQ?)
21 *+. Изобразите на рисунке любое геометрическое тело, ограниченное плоскими
поверхностями и обладающее тем свойством; что множество точек, лежащих
внутри него, не выпукло.
§ 5, СЕМЬ КЁНИГСБЕРГСКИХ МОСТОВ
Вы можете подумать, что в идее обхода улиц, мостов и т. д.
нет ничего интересного. Но в действительности есть известная
математическая задача, в которой речь идет о таком «обходе» и,
пожалуй, ни о чем другом.
Город Кенигсберг стоял на берегу Балтийского моря в устье
реки Прегель. На реке имелись два острова, связанные с
материком и друг с другом семью мостами, как показано на рисунке.
Жители Кенигсберга, гулявшие по этим островам, обнаружили,
что если они начинают свою прогулку на южном берегу, то им
никак не удается так ее спланировать, чтобы пройти по каждому
мосту ровно по одному разу. Получалось, что им приходится
хотя бы один мост пропустить:
или пройти по какому-нибудь мосту дважды;
76

Они вынуждены были признать, что пройти по каждому мосту
ровно по одному разу они не могут, но окончательной
уверенности в этом ни у кого не было. Наконец, в 1735 г. кто-то сообщил
эту задачу великому математику Леонарду Эйлеру. Эйлер выяснил,
что тем, кто еще не оставил своих попыток, пора их прекратить. Он
произвел следующий анализ задачи.
Рассмотрим сначала восточный
остров: К нему ведут три моста. По
условию задачи ваша прогулка
начинается на южном берегу и,
значит, где-то вне восточного острова.
Поскольку по каждому из трех
мостов вы должны пройти по одному
разу, кончиться она должна на
восточном острове. (Вот с чем это можно сравнить. Будем
поочередно включать и выключать свет от настольной лампы, вставляя
вилку провода в штепсельную розетку или вынимая ее. Тогда если
вначале вилка была вне розетки и потому свет был выключен,
то после трех таких операций, вилка окажется в розетке и свет
будет включен.)
Теперь рассмотрим западный
остров: К нему ведут пять мостов, а
пять (как и три) — число нечетное.
Отсюда следует, что, поскольку вы
начинаете прогулку вне западного
острова, кончить вы ее должны
на западном острове. (Если пять
раз проделать ту же операцию с
вилкой и розеткой и если вначале свет
оыл выключен, то в конце он будет включен.) Но это значит, что
«Кенигсбергская прогулка» невозможна, так как нельзя ее
кончить в двух местах сразу.
Решение Эйлером этой задачи имело очень большое значение,
потому что впервые вообще была решена задача такого характера.
^аметим, что если начертить карту островов на куске резины, то
ТУ резину можно будет как угодно растягивать, деформируя очер-
НИя островов, но при том вовсе не меняя задачи.
77

Из эйлеровского анализа «Кёнигсбергской прогулки» развилась
целая ветвь математики, которая занимается такого рода
задачами. Эта ветвь математики называется топологией,
(Между прочим, если вы захотите найти Кенигсберг на карте,
то искать его нужно на старой карте. Теперь он находится в
Советском Союзе и называется Калининград. Задача же сохранила
свое старое название.)
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (1707—1783)
Эйлерово решение задачи о семи кёнигсбергских мостах
типично для его проницательности и изобретательности. До него
никому вообще не приходило в голову, что задачи такого рода относятся
к математике, С тех пор математика быстро выросла во многих
неожиданных направлениях. Эйлеровский анализ задачи о
кёнигсбергских мостах явился
первым ростком новой
области математики, сегодня
известной под названием
топологии, которая
достигла своего наивысшего
расцвета в двадцатом веке к
все еще продолжает
развиваться.
Эйлер, был не только
талантливым, но и
чрезвычайно трудолюбивым
человеком. Он получал
оригинальные математические
результаты в таком
количестве, что едва ли
кто-нибудь может в этом с ним
сравниться. Собрание его
математических работ
занимает более шестидесяти
больших томов. В двадцать
k * восемь лет он ослеп на один
глаз, а в пятьдесят
почти полностью потерял зре-
%
ΐ
78-

„, Но его память была баснословна — он знал наизусть всю «Энеиду»
Вергилия —и в любой момент он был в состоянии проделать в уме
тпиннейшие вычисления. Таким образом, он до конца своей жизни
сумел продолжать свою работу в том же объеме, что и раньше.
Вопросы и задачи для повторения
ι а) Точки коллинеарны, если ...
м Точки компланарны, если ...
c) Могут ли 4 точки быть коллинеарны?
d) Должны ли 2 точки быть коллинеарны?
e) Должны ли 4 точки быть коллинеарны?
И Могут ли η точек быть коллинеарны?
g) Должны ли 4 точки быть компланарны?
h) Могут ли η точек быть компланарны?
2. Какое из нижеследующих утверждений верно (объясните)?
\ а) Если 3 точки коллинеарны, то они компланарны.
Ь) Если 3 точки компланарны, то они коллинеарны.
3. Прокомментируйте утверждение: «Поверхность стола есть плоскость».
4. Изучите изображенную здесь пространственную
фигуру (где точки А, Ву С и D компланарны)
и ответьте на следующие вопросы:
a) Коллинеарны ли точки Я, D и F?
b) Компланарны ли точки Е, С, В и F?
c) Пересекаются ли отрезки АС и BD?
d) Пересекаются ли отрезки АС и DF?
e) Компланарны ли точки Е, В и F?
ϊ) Компланарны ли точки F, В, G и D?
5. Перечислите все изученные нами условия,
которые определяют плоскость. Например,
«Прямая и точка, не принадлежащая этой прямой,
определяют плоскость» (теорема 3.3)
6. Сколько существует плоскостей, содержащих
три данные точки, если эти точки не принадлежат одной прямой?
7. Прямая /х пересекает плоскость Ε в точке Р, но не принадлежит Е.
Прямая /2 принадлежит плоскости Е, но не. содержит точки Р. /Может ли
прямая /х пересекать прямую /2? Объясните.
8. Две плоскости Ε и F пересекаются по прямой АВ. Каждая из точек Ρ и Q
принадлежит обеим плоскостям Ε и F. Должны ли Ρ и Q принадлежать
< -> 1
прямой АВ? Объясните.
9· Укажите, верны или ошибочны следующие утверждения:
a) Пространство содержит по крайней мере четыре точки.
b) Каждая полуплоскость содержит свое ребро.
c) Луч разбивает плоскость.
\ ρ ждая плоскость разбивает пространство на два выпуклых множества.
е) Если прямая / разбивает плоскость Ε на две полуплоскости Нг и Я2 и
если точка Ρ принадлежит полуплоскости Ην а точка Q — полуплоскости
Π т\ъ Т° отРезок PQ пересекает прямую /.
10 к" Ые две полуплоскости компланарны.
• *\акие из областей, обозначенных на
рисунке прописными буквами, являются
выпуклыми множествами?
аким общим свойством обладают полу-
12 зЛ0СК0сти и полупространства?'
' жестИШИТе 0ПРеДелеьше выпуклого мно-
79

13. Всегда ли объединение двух полуплоскостей
является плоскостью? Бывает ли оно хотя бы
иногда плоскостью? Объясните.
14. Дополните следующие утверждения,
рассмотрев рисунок: ... Ε разбивает пространство
на ... Нх и ... . Мы знаем, что А и ... лежат по
одну сторону от ... , так как ... не пересекает
плоскости Е. Точно так же точки В и D лежат
по ... от плоскости £, так как ... . Мы можем
доказать, что АС ... , показав, что А и ...
лежат по ... от плоскости Е.
15. Нарисуйте прямую /, разбивающую плоскость на две полуплоскости. Обоз-
начьте эти полуплоскости буквами Нх и #2. Выберите в Нг точки D и /с
и #2 —точку F.
a) Каково пересечение отрезка WR и прямой /? Почему?
b) Каково пересечение отрезка KF и прямой /? Почему?
16+ Каждая из плоскостей Е, F и G пересекает
две другие плоскости, как показано на
рисунке. На сколько выпуклых областей разбивают
они пространство?
17+ Вы «выигрываете» если, не отрывая
карандаша от бумаги, сумеете провести его по всем
отрезкам данной фигуры ровно по одному разу.
Перерисуйте изображенные ниже фигуры на
отдельном листе бумаги и постарайтесь
обнаружить, какие две из этих пяти фигур позволяют
вам «выиграть». Существует ли способ,
позволяющий строить разнообразные фигуры, не позволяющие вам «выиграть»?
ν
в)
д)
18+ Две из трех фигур, изображенных на рисунке ниже, можно нарисовать,
не отрывая карандаша от бумаги и не проводя его по одному и тому же
отрезку дважды, а третью —нельзя. Какие две фигуры «можно нарисовать
таким способом? Попытайтесь нарисовать каждую из этих фигур таким
способом на своем листе бумаги. Можно ли прийти к нужному заключению
без проб?

4
УГЛЫ
И ТРЕУГОЛЬНИКИ
/ \
*ч* **· ?х
t ^
/\/i is. , α
YJ >'!--*■-"^
ίΐ ' ^
! \ / I
I'
^4&λ νΛΛ,,/ν V·-"
/ ч /
\ >< S
iy^*X " V >
w>«4

§ ι. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
угол — это фигура, похожая на одну из следующих фигур:
Определения
Если два луча имеют одно и то же начало, но не принадлежат
одной прямой, то их объединение есть угол. Два данных луча
называются сторонами угла, а их общее начало — его вершиной.
Если сторонами угла являются лучи Д£Ги АС, то угол
обозначается символом /ВАС или /.CAB.
Не имеет значения, какая сторона
угла упомянута первой. Не
существенно также и то, какие точки вы
выберете на каждой из двух сторон, чтобы
их определить. Угол на нижнем
рисунке слева с одинаковым основанием
можно обозначить символом /ВАС,
или /DAE, или /ВАЕ и т. д. Если ясно, какие стороны
имеет угол, то для краткости можно даже просто писать /А.
А на фигурах вроде той, что изображена справа, «внутри» углов
стоят цифры и буквы, так что вместо /ВАС можно писать /I,
вместо /CAD можно писать" /а и т. д.
Стороны угла являются лучами, а не отрезками. Поэтому
ФигУра, изображенная слева, углом не является.
83

(Разумеется., она определяет некоторый угол, изображенный
на том же рисунке справа, аналогично тому как отрезок
определяет некоторую прямую, не являясь ею.)
Треугольник — это фигура, выглядящая примернотак, как одна
из фигур, изображенных на рисунке:
Определения
Если А, В и С—любые три неколлинеарные точки, то
объединение трех отрезков АВ, АС и ВС называется треугольны-
ком и обозначается символом /\АВС. Точки А, В и С
называются вершинами треугольника, а отрезки АВ, АС и ВС—
его сторонами. Каждый /\АВС определяет три угла, а именно
jLBAC, /.ABC, /_АСВ\ они называются углами ДABC, (Если
очевидно, о каком треугольнике идет речь, то их часто просто
обозначают как £А9 Ζ В и Ζ С·)
Заметим, что когда мы рисуем какой-нибудь треугольник,
мы вовсе не обязаны рисовать его углы. Как школа «порождает»
своих выпускников, но не включает их, так и треугольник
определяет свои углы, но не включает их. Если мы захотим
нарисовать эти углы, нам нужно будет продолжить стороны
треугольника и приделать к ним стрелки, как показано на рисунке
внизу слева» Обычно в этом нет необходимости, потому что
очевидно, что это за углы.
Внешность ®1 XВнутренность
А /
Внешность / с-
• / ·
/ Внешность
Из правого рисунка видно, что такое внутренность и
внешность угла.
Определения
Пусть /_ВАС—угол на плоскости Е. Точка Ρ принадлежит
внутренности Z.BAC (лежит внутри этого угла), если
84

jo. p и В лежат по одну и ту же сторону от прямой АС;
20. Ρ и С лежат по одну и ту же сторону от прямой АВ.
Внешность ABAC есть множество всех точек плоскости Е,
принадлежащих углу и не лежащих внутри его. (Если точка Q
принадлежит внешности Z.BAC, то говорят, что она лежит вне
этого угла.)
Можно проверить это определение на том же рисунке и
убедиться, что оно выражает именно то, что здесь имелось в виду.
Например, точка Ρ лежит внутри угла, потому что она
удовлетворяет и условию 1°, и условию 2°. Точка Q± лежит вне угла:
она удовлетворяет условию 1°, но не удовлетворяет условию 2°.
Точка Q2 лежит вне угла: она не удовлетворяет ни условию 1°,
ни условию 2°. Точка Q3 удовлетворяет условию 2°, но не
удовлетворяет условию 1°.
Заметим, что внутренность угла мы определили как
пересечение двух полуплоскостей. Одна из них является стороной
прямой ЛС, содержащей точку В, а другая—стороной прямой АВ,
содержащей точку Ci
Что такое внутренность и внешность треугольника, видно из
следующего рисунка:
Внешность/' \ Внешность
Внутренность
Внешность
0пРеделения
Точка принадлежит внутренности треугольника (лежцт
нУШри треугольника), если она лежит внутри каждого из
85

углов этого треугольника. Точка принадлежит внешности
треугольника (лежит вне треугольника), если она принадлежит
плоскости этого треугольника, но не принадлежит самому
треугольнику и не лежит внутри его.
Как и прежде, можно проверить это определение на нашем
рисунке и убедиться, что оно выражает именно то, что мы имели
в виду. (Если бы мы только потребовали, чтобы точка лежала
внутри каких-либо двух углов треугольника, а не внутри всех
трех, то пришли бы мы к тому же самому понятие внутренности
треугольника?) Любые определения намного легче выучить, если
сначала продумать их наглядный смысл. В самом деле, когда
двы забываете определение, то это обычно происходит по той
причине, что вы пытались заучить его наизусть, не стараясь
внимательно разобрать, насколько оно выражает те идеи,
которые имелись при этОхМ в виду.
Задачи к § 1
(Замечание. Начиная с этого момента мы, вместо того чтобы писать «точка
В лежит между точками А и С», пользуемся в задачах символом А—В —С.)
1. Дополните следующее определение:
Угол есть ... двух ..., имеющих одно и то же
2. Дополните следующее определение:
Треугольник есть ... трех, соединяющих
каждую пару из трех ....
3. На этом рисунке точки К, Ρ к Η коллинеарны.
Назовите все пять имеющихся на этом рисунке
углов.
но не
4. Дан /\АВС. Являются ли отрезки АС и АВ
сторонами Ζ,Α? Объясните.
5. Сколько углов определяется изображенной на этом рисунке фигурой?
Назовите их. Сколько из них можно, не опасаясь ошибки, обозначить,
указывая только букву, отвечающую вершине угла?
86

Могут ли два угла треугольника иметь
общую сторон у > Объясните.
Сколько углов имеется на этом рисунке? (Их
здесь больше шести.)
Верно ли следующее утверждение: АЛ ВС
есть объединение LCAB и /.СВА? Почему?
D v
Какие точки на этом рисунке лежат
a) внутри LCAB\
b) вне Δ Ε ВС;
c) внутри LABD\
d) вне LABQ}
10. Лежит ли вершина угла внутри этого угла? вне его?
П. На сколько областей треугольник разбивает плоскость этого треугольника?
12. На сколько областей углы треугольника разбивают плоскость этого
треугольника?
з-Назовите все треугольники на левом рисунке. (Их здесь больше четырех.)
•Сколько треугольников имеется на рисунке справа? (Один из способов решения
этой задачи состоит в следующем* выпишем- буквы {Р, R, H> M, D, К},
затем составим всевозможные сочетания из трех входящих в это множество
°УКВ и каждое из них проверим на рисунке.)
ί6* оВЛЯется ли внутренность угла выпуклым множеством? А внешность угла?
• вляется ли треугольник выпуклым множеством?
• вляется ли внутренность треугольника выпуклым множеством? А его
IP гт
чен* ^^ВС и точка Ρ внутри LA и, кроме того, вне Z.C. Какое заклю-
Ие м°жно сделать относительно точки Р?
37-

19*. а) Может ли точка лежать вне треугольника и внутри какого-либо щ
его углов? Нарисуйте.
Ь) Может ли точка лежать вне треугольника и вне каждого из его углов?
Нарисуйте.
20*. Дан ДАВС η точка Р. Точки Ρ и А лежат по одну сторону от прямой
ВС ; точки Ρ и В лежат по одну сторону от прямой АС.
a) Лежит ли точка Ρ внутри Z.ACB?
b) Лежит ли точка Ρ внутри Δ АСВ?
2\+. Дан А ЛВС и точки D, Е, Ff G, где Л— D—В, В—Е—С, C—D—F
D—G—E.
a) Лежит ли точка G внутри или вне /\АВС?
b) Пересекает ли луч BG отрезок АС?
c) Лежат ли точки G и F по противоположные стороны от ... ?
d) Как вы можете обосновать свой ответ на вопрос а)?
§ 2. НЕСКОЛЬКО ЗАМЕЧАНИЙ ОБ УГЛАХ
Углы, как мы их определили в этой главе, являются просто
некоторыми множествами точек.
с
В
Порядок, в котором указываются стороны угла, не имеет
абсолютно никакого значения.
Это самая простая форма идеи угла; именно она нужна нам в
этом курсе. Однако позднее, когда вы будете изучать
тригонометрию, понятие угла приобретет для вас и другую форму. В
тригонометрии будет играть существенную роль то, какая сторона
уг#а упомянута первой, а какая —второй:
ι Начальная сторона
С
Δ CAB
Конечная сторона
С
I ВАС
Иными словами, в тригонометрии мы различаем LCAB и
Ζ.ВАС. У jLCAB сторона АС является начальной, а сторона АВ —
конечной, а у LBAC начальной является сторона АВ, а
конечной—сторона АС. Такого рода углы называются направленными
£8

лаМИв При рассмотрении направленных углов допускают также
^нулевые углы» и «развернутые углы»..
, s~\ ,, ,
^ ■ ^ — — — г — * — —
в С
LBAC
А
Δ ВАС
В этом курсе направленные углы не используются, потому что в
элементарной геометрии они не нужны. Например, углы
треугольника никогда не являются нулевыми или развернутыми и не
существует разумного способа, позволяющего решить, каково их
направление, т. е. какая из сторон £АВС является начальной, а
какая —конечной. Направление углов нам пришлось бы
приписывать им случайно, и это не принесло бы нам никакой пользы,
потому что случайно выраженные направления не имели бы никакого
отношения к тем задачам, которыми мы занимаемся.
§ 3. УГЛОВАЯ МЕРА
Точно так же, как отрезки мы измеряли масштабной линейкой,
так углы мы измеряем транспортиром:
м ЛИ(^Л0 градусов, содержащееся в данном угле, называется
Р°н. Если £ PQR содержит г градусов, то мы пишем
т L PQR = r.
его
89

Наблюдая деления транспортира, мы видим, что
т Ζ CAD = 30, т Ζ CAF^ 90,
m Ζ СЛ£ = 45, m Z. C71G = 100
и т. д.
Заметим, что мы не пользуемся значком градуса, когда пишем
30, 45 и т. д. , потому что это подразумевает само употребление
буквы т: величина т Ζ PQR есть число градусов в угле Ζ PQR,
Точно так же, как мы, пользуясь масштабной линейкой,
находили расстояния путем вычитания, мы можем путем вычитания
«находить и меры углов. Например, мы должны иметь т /mDAE=l5t
так как
15 = 45 —30 = m Z CAE — m Z CAD.
Тот же прием дает нам
т Ζ GAD= 100 — 30 = 70.
Заметим, что число 180 не является мерой ни одного угла на
нашем рисунке. (Символ Ζ ВАС не имеет смысла, поскольку лучи
АВ и АС коллинеарны.) Мы можем тем не менее, пользуясь
вычитанием из 180, получить
т Ζ BAJ= 180— 150 = 30,
т Ζ £Л# = 180— 130=50
и т. д.
В следующих аксиомах просуммированы те факты, на которых
базируется использование транспортира. На рисунках,
иллюстрирующих содержание этих аксиом, мы пишем^ r.°, s° и т. д., чтобы
напомнить, что эти числа являются градусной мерой
соответствующих углов.
Аксиома 11 (аксиома измерения углов)
Каждому углу Ζ ВАС соответствует некоторое действительное
число, заключенное между 0 и 180.
А С
90

Определение
Число, фигурирующее в аксиоме измерения углов, называется
нерой L ВАС и записывается так: т £ ВАС.
Угол, имеющий любую меру от 0 до 180, мы можем построить
всюду, где только захотим. Ясно также, что исходя из некоторого
луча на плоскости и числа г, мы сможем построить наш угол по
каждую сторону от прямой, содержащей этот луч. Отсюда
возникает
Аксиома 12 (аксиома построения углов)
Пусть АВ — луч, принадлежащий ребру полуплоскости Н.
Тогда для каждого действительного числа г, заключенного между
О и 180, существует ровно один такой луч АР, что точка Ρ
принадлежит полуплоскости Η и т Ζ. РАВ = г.
В
Пользуясь следующей аксиомой, мы можем вычислить меру
углов с помощью сложения и вычитания:
Аксиома 13 (аксиома сложения углов)
Если точка D лежит внутри угла Ζ ВАС, то
т Ζ ВАС=т Ζ BAD+m Ζ DAC.
с_
91

Отсюда также вытекает:
т L CAD^tn Z САВ-т Z DAB.
Два угла называются смежными, если они выглядят, как!
на этом рисунке:
BAD
Точнее: имеем следующее
Определение
Если А В и AD— противоположные лучи, а АС — некоторый
другой луч, то ABAC и Z.CAD называются смежными.
В следующем определении речь идет исключительно о мере
углов, в нем ничего не говорится о расположении углов,
столь существенном для определения смежных углов.
Определение
Если сумма мер двух углов равна 180, то эти углы называв
ются по по л нительн ы^м и, а каждый из них называется η о-
полнением другого.
r+s=180
Углы могут оказаться смежными, и в этом случае они всегда
являются пополнительными:
Аксиома 14 (аксиома пополнения)
Если два угла являются смежными, то они пополнительны.
Эти аксиомы можно для краткости обозначить' буквами АИУ,
АПУ, АСУ и АП, возникающими в результате сокращения
названий: аксиома измерения углов, аксиома построения углов,
аксиома сложения углов и аксиома пополнения.
Вы помните, что при обсуждении вопроса об измерении
расстояний мы пришли к выводу, что можем выбрать; любую
единицу измерения, какую нам будет угодно избрать. При этом
92

ели мы решим изхменить единицу измерения расстояний, то нам
нужно будет лишь умножить все расстояния на некоторое число,
и все относящиеся к расстояниям' аксиомы при этом останутся
силе. Но для меры углов это не верно, потому что аксиома
пополнения определяет единицу измерения углов. При нашем
определении пополнительных углов аксиома 14 утверждает, что
сумма мер двух смежных углов равна 180. Если мы удвоим
меру каждого угла или же разделим меру каждого угла на 2,
то эта аксиома перестанет выполняться.
Задачи к § 3
1. Если т/Л = 63 и т/.В= 117, то ΖА и LB ... углы.
% Чему равна мера т Ζ MPS, если на нашем рисунке слева т Ζ QPS — 41
и т Ζ QPM = 37? Какая аксиома подкрепляет ваше заключение?
3. Точки F, Ρ и W на рисунке справа коллинеарны и т Ζ ΧΡΥ = m Ζ ΖΡΥ.
a) Назовите две пары смежных углов.
b) Назовите три пары пополнительных углов.
4, Дано, что A — K — F и точка D не принадлежат прямой AF.
a) Ζ AKD и Ζ FKD являются ....
b) m z AKD+tn Z FKD=* ....
Какая аксиома существенна для вашего ответа?
5. Прямые GH и PQ на этом рисунке пересекаются, образуя четыре угла.
а) Чему равна я, если # = 52?
6 в) Чему равны Ь, с и d, если а= ПО?
величХ°'ДЯ И3 следУющего рисунка подсчитайте каждую из названных ниже
a) m ζ ЛЯС; b) m Ζ £ΡΖ); с) //2 Ζ GPA;
*)т Ζ £>Я£; е) /и Ζ №S; f) m Z APB-j-m ζ £P£;
Ki m ζ FPA+m Ζ /7>S; h) m Ζ ЛРС + /П LCPH\
l) rn ζ FPA~m Ζ D/Mi j) m LFPH-m LFPQ,
93

7. С помощью транспортира найдите каждую из следующих величин:
а) т L RPS
с) т L VPS
е) т LXPR
g) m L WPS
г) т Δ: XPS
Ъ) т Ζ VPR\
d) т LTPR;
\)т L XPY\
h) m L XP W;
j) m L TPR + m L$PW.
8. После некоторой тренировки вы будете в состоянии довольно точно
оценивать величину углов и без помощи транспортира. Не пользуясь
транспортиром, определите, какие из изображенных на этих рисунках углов имеют
меру в указанных границах (подберите для изображенных внизу углов
подходящие границы в левом столбце):
a) 80 < χ < 955
b) 55 < χ < 70;
c) 40 < χ < 60;
d)90<*<105; /\χ~ Ι^\*~
е)' 20 < χ <45;
f) 110<л:<125.
L
9. Пользуясь линейкой без делений и транспортиром, постройте углы,
имеющие градусную меру, равную 30, 60, 15, 90, 100 и 135.
10. Пользуясь только линейкой без делений, но не транспортиром, нарисуйте
углы, мера которых приблизительно равна 10, 30, 45,60, 90, 120, 135 и 150.
Затем с помощью транспортира проверьте, на сколько вы ошиблись.
П+. На ребре некоторой полуплоскости возьмите такие точки М9 К и о Л, что
М-—А — К- Проведите луч AT так, чтобы было т L ТАК= 35. В той же
полуплоскости возьмите луч AV', для которого m L MAV = 85. Измерьте Z. TAV
транспортиром. Находится ли полученное вами число в согласий с числом,
вычисленным по правилам?
94

2 На этом рисунке
'а) т /.САВ + т LDAC
b)m?£EAD + m Ζ DAC
с) м Ζ EAD + m Δ DAB
6)m Ζ EAC — m L DAC
В С
13. Определите меру пополнения угла, если мера исходного угла равна
а) 80; Ь) 48; с) 144; d) 25,5;
е)л; f) n + k\ g) 180 —η; h) 90 —я.
14. На этом рисунке
a) т Ζ SPR + m Ζ QPO = т L .?. ;
b) m Ζ RSQ + tn Ζ .?. = т L RSP;
o)m L POQ + m Ζ POS = .}. ;
d)m Ζ RSQ~m Ζ SRO = m L .?. ;
e)m Ζ ROQ= 180-m Ζ .?. ;
f)S0 + 0Q = .?. .
15. Чему равна мера каждого из двух пополнительных углов, если эти углы
имеют одинаковые меры?
16. Чему равна мера угла, если она в три раза больше меры пополнения этого
угла?
17. Мера некоторого угла на 24 больше меры его пополнения. Найдите меры
обоих углов. '
18*. Удвоенная мера некоторого угла на 30 меньше меры его пополнения,
умноженной на пять. Чему равна мера этого угла?
19*. Чему равна мера т Ζ CAB, если т Ζ BAD =65 и т L D4C = 32 (Ζ CAB
и Ζ BAD принадлежат одной плоскости)?
20· Прямые ММ и PQ на этом рисунке пересекаются в точке А. Какие аксиомы
или определения подкрепляют каждое из следующих утверждений?
a) L РАМ и ζ QAM являются смежными,
b) Ζ РАМ и ζ QAM пополнительные,
c) т Ζ РАМ+т ζ QAM= 180,
d)m z.QAM + m z QAM = 180.
Γ· Будет ли
т Ζ АВС+т Ζ DBC^m Z MAS+m Z MAS,
95
s ^

если
т L АВС+т Ζ DBC=180 и т L MAS+m Ζ MAS = 180?
Почему? Если мы, кроме того, знаем, что т L DBC=m L NASt то какое
можно будет сделать заключение? Почему?
Конкурсная задача
Обоснуйте следующее утверждение:
Если прямая / пересекает две стороны /\АВС в
точках D и Ε (причем эти точки отличны от Л, В и
С), то прямая / не пересекает третьей стороны этого
треугольника.
(Указание. Вспомните содержание § 4 гл. 3 и
докажите, что точки В и С лежат по одну сторону от
прямой /.)
§ 4. ПРЯМЫЕ УГЛЫ,
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ, КОНГРУЭНТНЫЕ УГЛЫ
Определение
Если два смежных угла имеют
одну и ту же меру, то
каждый из них называется
прямым углом.
В этом случае в силу аксиомы пополнения г + г= 180. Поэтому
с таким же основанием мы можем дать и следующее
Определение
Прямым углом
называется угол, мера которого
равна 90.
Определение
Если лучи АВ и АС образуют прямой угол, то они называются
(взаимно) перпендикулярными} что записывается так:
АВ±АС.
Тем же термином w теми же обозначениями мы пользуемся и
в1 хс
J
8<
1
>
гг..
А
С
96

сЛучае замены лучей прямыми или отрезками. Таким образом,
если Δ ВАС-прямой угол, то
АВ±*АС, . AB±JC, АВ±А£
т. Д. Для ЛК)бых комбинаций прямых, лучей и отрезков.
Определения
Если сумма мер двух углов равна 90, то эти углы называются
дополнительными, а каждый из них называется
дополнением другого. Угол, мера которого меньше 90, называется
острым. Угол, мера которого больше 90, называется тупым.
Определение
Два угла, имеющие одну и ту же меру,
называются конгруэнтными.
Таким образом, £ ABC и Ζ DEF
конгруэнтны, если
т L АВС^т L DEF.
В этом случае мы пишем
Сим:
L ABC^ Z DEF.
вол
= произносится так: «конгруэнтен». Ε
97

Заметим, что записи т £ АВС — т £ DEF (равенство чисел!)
и Ζ АВСо^ Z. DEF (конгруэнтность углов!) равносильны: они
означают в точности одно и то же. Любую из них мы можем
свободно заменить другой.
Задачи к § 4 (часть 1)
*)
*)
К
V
β>
Прямолинейные отрезки в этой задаче считаются перпендикулярными, если„
они такими кажутся. Отберите на этом рисунке пары перпендикулярных
отрезков. Если вы полагаете, что какая-либо пара отрезков не
перпендикулярна, то объясните почему.
Углы на рисунке имеют указанные меры.
a) Назовите пару дополнительных углов.
b) Какая аксиома позволяет утверждать, что
т/.£>Л (3 = 105?
3. На рисунке точка Μ на прямой А В является
вершиной прямого Ζ SMT, a m L ТМВ = 50.
a) Назовите пару перпендикулярных лучей,
если они здесь есть.
b) Назовите пару дополнительных углов, если
они здесь есть.
c) Назовите пару конгруэнтных углов, если
они здесь есть.
d) Назовите пару пополнительных углов, если
они здесь есть.
4. Точка А служит общим началом двух
перпендикулярных лучей А В и АС. Точка D лежит внутри L ВАС, а точка £-"
вне этого угла; при этом ЛЗ J. ~АВ*
98

a) Назовите пару дополнительных углов, если они здесь есть.
b) Назовите пару пополнительных углов, если они имеются.
c) Назовите пару конгруэнтных углов, если они здесь есть.
к Дополните каждое предложение так, чтобы оно стало верным.
a) Если т L MPS = 39 и т L r#iV = 39, то L MPS ... Ζ ΤΗΝ.
b) Пополнение острого угла является ... углом.
c) Дополнение острого угла является ... углом.
d) Если L ADK-: Δ ВЕН, то меры этих углов ....
,0. Если мера некоторого угла в 2 раза больше меры его дополнения, то чему
равны меры каждого из этих углов?
7. Определите меру дополнения угла, мера которого равна
а) 20; Ь) 68; с) 46,5; d) η; е) 90 — η; f) 46+п.
8. Чему равна мера некоторого угла, если известно, что мера его пополнения
на 39 больше, чем удвоенная мера его дополнения?
Если вы не забыли, что означают слова, встречающиеся в
следующих теоремах, то легко сообразите, что эти теоремы верны.
Теорема 4.1
Если два угла дополнительны, то оба они —острые.
Теорема 4.2
Каждый угол конгруэнтен самому себе.
(Ясно, что всегда т £ А~т /. А.)
Теорема 4.3
Любые два прямых угла конгруэнтны.
Теорема 4.4
Если два угла одновременно конгруэнтны и пополнительны,
то каждый из них является прямым.
(Указание. Поскольку они конгруэнтны, то имеют одну и ту
же меру г; покажите, что г должно быть равно 90.)
Теорема 4.5
Пополнения конгруэнтных углов конгруэнтны.
99

Другая формулировка. Если
1°. ΔΑ^^Β,
2°. Ζ А и Ζ С пополнительны,
3°. Ζ β и Z, D пополнительны,
то 4°. Ζ С о=; Ζ £>·
Доказательство. Пусть г~т£А, как указано на
рисунке вверху. Запишем остальную часть доказательства так, чтобы
вы могли воспользоваться этой записью как образцом, которым
можно руководствоваться при самостоятельном доказательстве
теорем:
Утверждения
1. r-\-m Ζ С=180.
2. r=m Ζ В.
3. г + т ζ£>=180.
4. m Ζ С=180 — r.
5. m Z £ = 180 — r.
6. m Z. C = m LD и ZC~ZD.
Аргументы
Ζ Л и Ζ С пополнительны.
Ζ β и Ζ £> пополнительны.
Шаг 1.
Шаг 3.
Шаги 4 и 5.
У такого «двухстолбцового способа» записи доказательств есть
свои достоинства. Пользуясь им/ легче организовать работу и
легче запомнить, что каждый раз, как только в ходе
доказательства сделано какое-либо утверждение, нужно сразу же
указать и аргументы, которые его обосновывают.
Заметим также, что прежде чем мы приступили к
доказательству этой теоремы, мы сформулировали ее по-другому. Этот прием
часто будет нам полезен впоследствии. Всякий раз, когда это.
возможно, мы будем формулировать теоремы чисто словесно, почти
не пользуясь математическими обозначениями или даже совсем
обходясь без них. Тогда теоремы будет легче прочесть и легче
запомнить. Приводя другую формулировку, мы вводим
обозначения, которые будут использованы в доказательстве.
На рисунке, приведенном в связи с разобранным
доказательством, изображен лишь один весьма частный случай: два угла
могут оказаться пополнительными и не будучи расположенными
так, что их пополнительность сразу заметна глазу.
Пополнительные углы могут выглядеть и так:
С
Г+3 = 1д0
А
V
100

Обычно рисунок только иллюстрирует теорему или задачу.
ие нужно думать, что рисунки, имеющиеся в этой книге, в
каждом случае являются единственно верными.
Теорема 4.6
Пополнения конгруэнтных углов конгруэнтны.
Доказательство очень похоже на доказательство теоремы 4.5,
и вы должны суметь записать его самостоятельно, пользуясь
предыдущим доказательством как образцом. Вы просто обязаны это
сделать. Надеемся, что вам поможет приведенный выше рисунок.
(Указание. Приведите самостоятельно другую формулировку
теоремы.)
Если две прямые пересекаются, они образуют четыре угла.
На нашем рисунке Ζ 1 и Z. 3 называются вертикальными; 2. 2 и
L 4 также называются вертикальными. Иными словами, имеет
место
Определение
Ша угла называются вертикальными, если их стороны
состсшляют две пары противоположных лучей.
Рассматривая наш рисунок, можно заметить, что вертикальные
У лы конгруэнтны. Это и в самом деле всегда так, как показывает
следующая
101

Теорема 4.7 (теорема о вертикальных
углах)
Вертикальные углы
конгруэнтны.
Доказательство. Нам дано, что £ \ и Ζ 2 —
вертикальные углы, т. е.
1°. АС и АЕ — противоположные лучи; АВ и AD—
противоположные лучи.
Следовательно,
2°. Z1 и Ζ3—-смежные углы и Ζ 2 и Ζ 3 — также
смежные углы.
3°. Z3^Z3.
4°. Ζ 1 и Ζ 2 являются пополнениями, конгруэнтных углов.
В силу теоремы 4.5 отсюда следует, что
5°. Ζ 1 ^ Ζ 2.
Теорема 4,8
Если две пересекающиеся прямые образуют один прямой угол,
то они образуют четыре прямых угла.
Доказательство. Маленький квадратик около вершины
Ζ 1 на этом рисунке указывает, что Ζ 1—прямой угол. Это
дано. Нам нужно доказать, что также и Ζ 2, Ζ 3 и Ζ 4
—прямые. Вот главные этапы доказательства. (Вы должны суметь
аргументировать каждый этап!)
1°. Ζ 3 — прямой угол.
2°. Ζ 2 и Ζ 1'— пополнительны.
3°. /л Ζ 2 + 90= 180.
4°. Ζ 2 —прямой угол.
5°. Ζ 4— прямой угол.
V
Существует теорема, на использовании которой основаны
наши шаги 1° ц 5°. Основанием для шага 2° послужила одна
аксиома, а шаги 3° и 4° основывались на определениях.
102

ДЖОРДЖ ДЭВИД БИРКГОФ (1884—1944)
д. Д. Биркгоф был
одним из самых
разносторонних и продуктивных
математиков своего
поколения. За время своей
жизни он написал сто
девяносто научных ста- \
тей, относящихся к раз- ♦
личным областям чистой
и прикладной
математики. Собрание его
трудов занимает три
больших тома. Кроме того,
он написал несколько %
книг по математике и по.
теории относительности.
Система аксиом
геометрии, принятая в этой
книге, является
видоизменением предложенной
Д. Д. Биркгофом
системы аксиом. В течение
нескольких столетий
идея измерения отрезков
и углов была центральной идеей геометрии. Аксиомы Биркгофа
вводят эту идею с самого начала; они описывают методы,
которыми фактически пользуется каждый. Таким образом, хотя аксиомы
Биркгофа не принадлежали к числу его самых больших вкладов
в науку, они тем не менее многое сделали более ясным.
Задачи к § 4 (часть 2)
1. Дано, что Ζ ЛВС ^ Ζ DEH и что Ζ ЛВС и Ζ DEH пополнительны. Какое
заключение отсюда следует? Какая аксиома, какое определение или какая
теорема подкрепляют это заключение?
2· Если Ζ Ми Ζ К пополнительны, Ζ Ρ и Ζ G пополнительны, a Z G^ Ζ Μ,
то что можно сказать об Ζ К и Ζ Ρ? Какое утверждение подкрепляет
ваше заключение?
3· Если ζ РЛМ и Ζ МЛ] дополнительны и
L /СА/и ζ МЛ J дополнительны, то Ζ KAJ^
^ Ζ РЛМ. Почему?
Mi
103

4 а) Если две прямые пересекаются, то сколько пар вертикальных углов они
образуют?
b) Если мера одного кз углов задачи а) равна 62, то чему равны меры
остальных углов?
c) Если все четыре угла задачи а) конгруэнтны, то чему равна мера
каждого из них?
5. Три прямые на этом рисунке пересекаются в
одной точке. Дано, что а = 85 и е = 30.
Найдите Ьу с, d и /.
6. Если один из образованных двумя пересекающимися прямыми углов имеет
меру х, то каковы меры трех остальных, образуемых этими прямыми
углов?
7. Докажите теорему 4.3.
8. Докажите теорему 4.4.
9+. Дана прямая АВ, отделяющая две полуплоскости Нг и Я2, такая точка Ρ
полуплоскости Нъ что т L РАВ — 30. Если Q — точка полуплоскости Я2,
для которой L QAB д^ L РАВУ то точка Ρ лежит ... Ζ PAQ и m£PAQ=. ....
Если луч AQ противоположен лучу АР, то /, РАВ ... LQAB и т L QAB =....
10*. Пусть В А и BE— противоположные лучи и в
полуплоскости Η (см. рисунок) L ABG^ L KBG
L KBD ^ Z DBE. Найдите mL GBD.
(Указание
т L DBE~y.)
Положите т Ζ ABG =* и
11+. Плоскость Ε на этом рисунке
пересекает плоскость F по прямой АВ. Обе
прямые GH и КМ принадлежат
плоскости F и пересекают прямую АВ в
* точке Р.
a) Назовите две пары вертикальных углов
b) Назовите две пары пополнительных углов.
с) Если GH _L АВ, то назовите две пары дополнительных углов.
104

12*+. Прямые АВ, QR, GH и KM на
этом рисунке пересекаются в
точке Р.
Прямая QR принадлежит плоскости Е,
прямые GH и КМ — плоскости F.
— /?
Прямая Л£ служит пересечением плос- г/^ б \/У \ \ /
костей Ε и F.
a) Какие два угла пополнительны к
L APG?
b) Какие два. угла пополнительны к
/.НРМ?
7^
c) Если L BPR^ L KPG, то какие другие углы должны быть конгруэнтны?
d) Если L RPG — прямой угол, то какие другие углы должны быть
прямыми?
§ 5. ЗАПИСЬ ТЕОРЕМЫ В ФОРМЕ «ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ —
ЗАКЛЮЧЕНИЕ»
Каждая теорема является утверждением о том, что если верно
что-либо одно, то верно и нечто другое. Например, теорема 4.8
утверждает, что если две пересекающиеся прямые образуют один
прямой угол, то они образуют четыре прямых угла. Часть «если»
в условии теоремы называется предположением', в ней говорится,
что дано. Часть «то» называется заключением теоремы; в ней
говорится, что требуется доказать. Поэтому теорему 4.8 мы
можем записать следующим образом:
Теорема 4.8
Предположение. Прямые 1Х и /2 образуют один прямой
угол.
Заключение. Прямые 1г и 12 образуют четыре прямых
угла.
Аналогично, теорему 4.3 можно записать так:
Теорема 4.3
Предположение. £ А и Z. В — прямые углы.
Заключение. /_A9^LB.
Аксиомы похожи на теоремы и отличаются от последних
только тем, что они не доказываются. Большую часть аксиом
р?жно высказать в той же форме «если ..., то», что и теоремы
например, аксиому сложения углов можно записать так:
105

Аксиома 13 (аксиома сложения углов).
Предположение. Точка D лежат внутри £ ВАС*
Заключение, m Ζ ВАС = т Ζ BAD + m Z. DAC.
В некоторых случаях форма «предположение — заключение»
неестественна или бесполезна. Например, если мы захотим
сказать, что пространство содержит четыре некомпланарные точки,
то запись
Предположение. S есть, пространство.
Заключение. S содержит четыре некомпланарные точки
не имеет никаких преимуществ перед более простой
формулировкой нашего утверждения, с которой мы начинали.
Конечно, вовсе не обязательно, чтобы все теоремы
формулировались в форме «предположение — заключение». Независимо от
формы, в которой записана теорема, должно быть ясно, что дано
и что требуется доказать. По большей части, однако, мы должны
быть в состоянии, если захотим, сформулировать теорему в форме
«предположение—заключение», так как если мы этого сделать не
сможем, то есть основания думать, что мы недостаточно ясно
понимаем содержание теоремы.
Задачи к § 5
1. Выделите предположение и заключение для каждого из следующих
утверждений:
a) Если два угла дополнительны, то каждый из них —острый,
b) Если а = Ь и b = с, το а = с.
c) Если а = Ь, то a-{-c = b-rс.
d) Если два угла одновременно конгруэнтны и пополнительны, то каждый
из них является прямым.
e) Если измерения прямоугольника равны а и Ьу то его площадь равна аЬ.
f) Если две плоскости пересекаются, то их пересечение есть прямая.
2. Запишите каждое из следующих утверждений как утверждение вида «Если ...,
то ...»:
a) Дополнения конгруэнтных углов конгруэнтны.
b) Площадь треугольника с высотой а и основанием Ь равна -^ аЪ.
c) Пересечение двух плоскостей есть прямая.
d) Три неколлинеарные точки принадлежат только одной плоскости.
e) Два смежных угла являются пополнительными.
§ 6. ЗАПИСЬ ПРОСТЫХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ
Очень скоро аккуратная запись найденных вами доказательств
составит довольно большую часть всей работы над задачами.
Поэтому стоит еще немного попрактиковаться в записи легких дока-
106

зательств до того, как в следующей главе мы займемся более
трудными. Вероятно, лучший способ показать, как должны
выглядеть ваши доказательства, — привести еще несколько примеров.
Пример 1.
Дано. АЛВС и &ABD
(как на рисунке), причем
/DAB^LDBA и £CADo*
9+ L CBD.
Требуется доказать.
£САВд*£СВА.*
Док азательство
Утверждения
1. т L DAB = m L DBA.
2. т Δ CAD^m L CBD.
3.mZ DAB + m L CAD =
=mZ DBA+m L CBD.
4. m LCAB^m L CBA.
5. L CABc^l ζ CBA,
Аргументы
ДаноГ
Дано.
Правило сложения равенств.
Аксиома сложения углов.
Определение конгруэнтности углов.
Пример 2.
Дано. Точки А, В, С
и D (как на рисунке),
причем AD=CB.
Μ
Требуется доказать. AC^DB.
Доказательство
Утверждения
1 ЛС + CD^AD.
2. CD + DB = CB.
3. AD^CB.
4. AC + CD^CD + DB.
5. AC^DB.
Аргументы
Определение понятия «между».
Определение понятия «между».
Дано.
Сопоставление равенств шагов 1, 2, 3.
Правила вычитания равенств.
107

Пример 3.
Дано. Лучи АВ, АС и AD. причем
точка С лежит внутри
Ζ BAD и т Ζ ВЛС + m Ζ CAD = 90.
а в
Требуется доказать. AB±_AD.
Доказательство
Утверждения
11. т Ζ BAC + m Ζ СЛО = 90.
2. т Ζ ВАС + т Ζ CAD =
= т Ζ BAD.
3. т Ζ BAD = 90.
4. Ζ BAD-— прямой угол.
5. АВ 1 AD.
Аргументы
Дано.
Аксиома сложения углов.
Сопоставление шагов 1 и 2.
Определение прямого угла.
Определение перпендикулярных
лучей.
Задачи к § 6
1. Перепишите все нижеследующее и дополните доказательство.
Дано. mZ Л = 38 и m Z £ = 52.
Требуется доказать. L А дополнителен Ζ В.
Доказательство
Утверждения
1. т Ζ А =...
2. т Ζ £ = ...
3. т Ζ A+m Ζ £ = ...
4. Ζ Л дополнителен Ζ θ.
Аргументы
Дано.
2. Перепишите и проведите
доказательство.
Дано. Рисунок, где PQ = RS.
Требуется доказать. PR =
= Q5.
Ρ a R 5
А\
108

Перепишите и проведите доказательство.
Дано. Рисунок, гдет £САВ=т Ζ СВА
и т Ζ DAB^m Ζ DBA.
Требуется доказать, m Z CAD =
Jm Ζ CBD.
4. Перепишите и дополните доказательство.
Дано. Рисунок, где Ζ ΡΜΝ ^ Ζ ΡΝΜ,
Требуется доказать. Ζ CMP ^
^ Ζ DNP.
Μ
N
Доказательство
Утверждения
\
1. Ζ CMP пополнителен Ζ ΡΜΝ.
2. Ζ. DNP ...
3. ...
4. ζ CMP ~ Ζ DNP.
Аргументы
Смежные углы пополнительны.
Дано.
5. Перепишите и проведите доказательство.
Дано. Рисунок, где Ζ DBC^ Z ECB.
Требуется доказать. Ζ АВСд^ Ζ АСВ.
6· Перепишите и приведите аргументы.
Дано. Прямые А В, CD и EF пересекаются в
т°чке К; а = с.
Требуется док азать. Ь — с.
ъА 04
а
109

Доказательство
1 Утверждения
1. Прямые ~АВ и ΈΡ пересекаются в точке К»
2. Ζ АКЕ vl Ζ ВKF — вертикальные углы.
3. Δ АКЕ д^ Δ BKF.
4. α = 6.
5. а—с.
6. Ь = с.
Аргументы
7. Перепишите и проведите доказательство.
Дано. Рисунок, где Ζ ABC^ Ζ ЛСБ.
Требуется доказать. __ ζ DBF ^
8. Перепишите и докажите.
Дано. Д75_1_ЛЗи\/ £ЛС Q
Требуется доказать.
Ζ ОДЕ.
Ζ 1)ЛС^
Вопросы и задачи для повторения
В задачах 1 —15 дополните каждое из приведенных утверждений.
1. Каждому углу соответствует некоторое действительное число, заключенное
между ... и ..., называемое мерой этого угла.
2. Инструмент, используемый для измерения углов, называется .....
3. Если сумма мер двух углов равна 90, то каждый из этих углов
называется ... другого.
4. Угол, мера которого меньше 90, называется ....
5. Угол, мера которого больше 90, называется ....
6. Два угла, образованные объединением двух противоположных лучей и
некоторого третьего луча, имеющего то же начало, называются ....
7. Углы, имеющие равные меры, называются ... углами.
110

с Каждый из двух дополнительных углов должен быть ....
о Если два угла конгруэнтны, то их пополнения
10. Каждый из двух одновременно конгруэнтных и пополнительных углов
'должен быть ....
11. Каждый треугольник имеет ... стороны и ... угла; ему принадлежат ...
треугольника, но не принадлежат ... треугольника.
12. Сумма мер двух дополнительных углов равна ..., а сумма мер двух
пополнительных углов равна —-
13. Сумма мер двух ... углов всегда меньше, чем 180, а сумма мер двух ...
углов всегда меньше, чем ....
14. Если стороны двух углов являются противоположными лучами, то эти
' углы называются ....
15. Точка Μ лежит внутри Ζ GHK, если точки Μ и ... лежат по одну сто-
рону от Η К и если точки Μ и ... лежат по одну сторону от
Задачи 16 — 25 относятся к следующему рисунку (На этом рисунке точки,
которые кажутся коллинеарными, и на самом деле коллинеарны.)
16. Сколько на этом рисунке треугольников?
17. Верно ли, что т Ζ BFC=m Ζ EFD?
18. Верно ли, что Ζ BFC = Ζ EFD?
19. Верно ли, что Ζ FDB^ Ζ EQC?
20. Назовите угол, пополнительный к Ζ ABF.
21. т Ζ AGB+m Ζ BGF = ...
22. т L GFC + m ADFE = ...
23. Назовите пару вертикальных углов.
24. Если Ζ GBF дополнителен Ζ FBE, то отрезки GB и ЕЁ должны быть ....
25. Сколько углов имеется на этом рисунке?
26. Мера некоторого угла в пять раз больше меры его дополнения. Найдите
меру каждого из этих углов.
27. Мера пополнения некоторого угла в пять раз больше меры дополнения
этого угла. Найдите меру этого угла.
28. Всегда ли сумма мер двух углов равна мере некоторого третьего угла?
Объясните.
29. На рисунке луч 5Ϊ противоположен лучу GE и GE J_ GC,
Дополните доказательство того, что Ζ AGE
дополнителен ζ EGC.
Ill

Доказательство
Утверждения
1. Луч GA противоположен
лучу GE.
2. Ζ AGB пополнителен Ζ BGE. ·
3. т Ζ AGB+m Ζ BGE = 180.
4. СВ 1 GC
5. m Ζ BGC = 90.
6. /я Ζ BGE = m Ζ ЯСС+ 90.
7. /τι Ζ ЛбЛ + m Ζ Я(/С + 90 =
= 180.
8. m Ζ Л(/Б+т Ζ EGC = 90.
9. Ζ AGB дополнителен Ζ £GC.
Аргументы
Аксиома пополнения.
Определения перпендикулярности
и прямого угла.
Подстановка шага 6> в шаг 3.
...
...
30. Пусть А В и Л С —противоположные лучи. Точки Е, F и Я лежат по
одну и ту же сторону от прямой АВ Точки Ε и Η лежат по
противоположные стороны от прямой ВР. Точки А и Η лежат по одну сторону от
прямой IsF. Далее, ~BF ± АС и BE ± ВН, a т Z FBE = 20. Сделайте
рисунок и найдите:
а) т Ζ ££Л;
b) m Z /?£#;
с) m Z EBC.
31. Существует ли в плоскости треугольника такая точка, которая не лежит
ни вне, ни внутри как самого треугольника, так и каждого из его углов?
32. Дан Д ABC и точка Ρ в той же плоскости Точки Ρ и А лежат по одну
сторону Ът ВС Точки Ρ и В лежат по одну сторону от АС.
a) Внутри какого угла лежит точка Я?
b) Должна ли точка Ρ лежать внутри Δ ABC?
33. Если вам дано, что Ζ а дополнителен Ζ у> a Z Ь дополнителен Ζ χ и
Ζ # = Ly, то какую аксиому или теорему вы, использовали бы для
доказательства того, что Ζ я = Ζ Ы
34. Верно ли следующее утверждение? Если прямые PQ и RS пересекаются
в точке О, то Ζ POR ^ Z QOS
35. Дано. Прямые АВ, CD, PQ и RS лежат в
плоскости £ и пересекаются в точке О, при
этом CD J_ АВ. Дополните доказательство того,
что
b+g+d=a
W2

Доказательство. Дважды применяя АСУ, имеем т Ζ СОВ = 6 + с + d.
Но так как CD ..., то т Ζ СОВ = а. Поэтому а = ....
Но Ζ POR и ... являются ... углами, так что с = ....
Подставляя g вместо с, заключаем, что —
46 Является ли следующее утверждение правильной переформулировкой акси-
" омы построения углов:
Если даны луч RS и число k, заключенное между 0 и 180, то существует
ровно один такой луч RP, что т Ζ SRP = k.
я? Дано. Рисунок, где BE ± АС и
2abgq^lcbd.
Требуется доказать. Δ GBE ^
~L DBE.
38. На левом рисунке Ζ 2 и Ζ 3 —пополнительные углы.
Докажите, что Ζ 1 = Ζ 4.
В
39. Докажите, что если на рисунке справа Ζ &= Ζ с, το?Ζ α = Ζ d.
40. Л — В — С на прямой /. Точки D и Ε лежат по противоположные стороны
от прямой /, причем расположены так, что, проведя лучи Ш) и ££,
получаем ζ CBD ^ Ζ С BE. Доказать, что
т Ζ ABD^m Z Л££.
ли ... , то ...», следу-
41. Джим и Джордж должны были записать в форме «Если
ющее утверждение:
«Две пересекающиеся прямые пересекаются только в одной точке». Джордж
написал: «Если Р —точка, то прямые 1г и /2 пересекаются только в Я».
Джим написал: «Прямые /х и 42 пересекаются только в одной точке, если
°ни пересекаются и различны». Прав ли какой-нибудь из мальчиков?
42-
♦ Если О А, О В и ОС — три различных луча на плоскости, никакие два
из которых не противоположны, то верно или ошибочно каждое из
следующих утверждений?
a) т ζ АОВ + т ζ ВОС^т Ζ АОС.
b) tn ζ АОВ + т Ζ ВОС + т Ζ ЛОС = 360.
(оспомните, что достаточно только одного исключения, чтобы все
утверждение оказалось ошибочным.)
ИЗ

43+. Можно ли внутренность треугольника определить как пересечение трех
полуплоскостей? Сделайте рисунок. Запишите определение внутренности
Δ ЛВС, считая, что X — произвольная точка внутри /\АВС. (Сошлитесь
на определение внутренности угла, данное в § 1.)
44+. Определяется ли внутренность Δ ЛВС полностью пересечением
внутренностей любых двух углов этого треугольника? Сделайте рисунок и сформу-
лируйте определение. Равносильны ли предыдущие определения?
45*+. Объясните, почему верно следующее утвержде- д
ние.
Если прямая / пересекает Δ ЛВС в точке D такой,
что Λ — D — B, и / не пересекает ВС, то прямая /
долж'на пересечь отрезок АС в такой точке Е, что
А-Е-С.
•ь

КОНГРУЭНТНОСТЬ
\
*w

§ \. ИДЕЯ КОНГРУЭНТНОСТИ
Грубо говоря, две геометрические фигуры конгруэнтны, если
они имеют в точности один и тот же размер и одну и ту же
форму. Например, все треугольники на этом рисунке конгруэнтны.
В F Н
Один из способов описать эту ситуацию состоит в следующем.
Конгруэнтность изображенных на нашем рисунке треугольников
означает, что любой из них можно так наложить на любой другой,
что они полностью совпадут. Поэтому для того, чтобы разъяснить
смысл утверждения о конгруэнтности двух треугольников, нам
нужно объяснить, какие точки куда должны переходить. Например,
накладывая /\АВС на /\DFE, мы должны совместить вершину
А с £, вершину В с F и вершину С с D. Пары соответствующих
вершин можно выписать столбиком:
А ++Е,
B++F,
C++D.
Чтобы выразить конгруэнтность первого треугольника и третьего,
нужно сопоставить их вершины так:
A++G,
В++Н,
Как бы вы сопоставили вершины, чтобы выразить конгруэнтность
второго и третьего треугольников?
Схема сопоставления такого рода точек устанавливает
взаимно-однозначное соответствие между вершинами двух
треугольников. Если такая схема «работает», т. е. если треугольники
совпадают, когда их вершины предписанным образом совмещены, то
9то взаимно-однозначное соответствие называется конгруэнтностью,
связывающей два данных треугольника. Например, соответствия,
к°торые мы только что выписала, были конгруэнтностями. С дру-
г°и стороны, запись
С++Е
117

определяет взаимно-однозначное соответствие, но не конгруэнтность
потому что первый и второй треугольники при сопоставлении их
вершин по этой схеме не совпадут. Это соответствие приведет к&
многим несуразностям: отрезок АВ слишком короток, чтобы нало-
житься на FD, отрезок АС слишком длинен, чтобы совпасть с FE
и т. д.
Взаимно-однозначные соответствия можно записывать короче-
в одну строку. Например, соответствие
А
В
С<
*Е9
>F9
А
составляющее содержание первого из разобранных нами
примеров, можно записать в одну строку так:
ABC++EFD.
При этом следует условиться, что первая буква слева соответствует
первой букве справа, вторая буква — второй и третья — третьей:
ABC
ι
η
Ε F D
J
Jt
Приведем еще один пример. Две фигуры на следующем рисунке
имеют один и тот же размер и одну и ту же форму.
Чтобы показать, как одну из них можно наложить на другую,
их вершины нужно сопоставить так:
A~F9
В++Е,
С++Н,
118

от0 соответствие является конгруэнтностью, т. е. если вершины
совместить указанным способом, то фигуры полностью совпадут. Для
краткости ато соответствие можно записать в одну строку:
ABCD++FEHG.
Заметим, что порядок, в котором записаны сопоставляемые
пары, значения не имеет. Наш перечень сопоставляемых пар
можно было бы записать и так:
D++G,
В<+Еу
С <-> Н,
A++F,
и наше взаимно-однозначное соответствие можно было бы записать
в одну строку так:
DBCA <-* GEHF.
Единственное, что существенно,—это то, какие точки соответствуют
друг другу,
А
D
Две фигуры могут быть конгруэнтны и не одним единственным
способом. На этом рисунке соответствие
ABC++FDE
является конгруэнтностью, а соответствие
ABC *+FED
второй конгруэнтностью между теми же двумя треугольниками.
Очевидно, что Δ ABC совпадает с самим собой; для того чтобы
наложить /\АВС на /\АВС, его не надо двигать. Если мы
условимся каждой вершине Δ ABC ставить в соответствие ту же
вершину, то получим конгруэнтность
ABC *+ABC.
^на называется тождественной конгруэнтностью. Но сопоставить
Вершины этого треугольника можно и по-другому. При соответствии
Вершины В и С меняются местами, а треугольник совпадает
с Самим собой. Ясно, что такая конгруэнтность возможна далеко не
Всегда; она никак не может иметь места, если у треугольника
ет Хотя бы двух сторон, имеющих одну и ту же длину.
119

Задачи к § 1
В некоторых из нижеследующих задач вам надо решить, конгруэнтны ли две
данные фигуры, внимательно изучив рисунок, на котором они изображены. При
этом фигуры, которые кажутся конгруэнтными при измерении их с разум,
ной степенью точности, можно считать конгруэнтными. (Никаких обманов
зрения эти рисунки не содержат.)
1. Какие из следующих пар фигур конгруэнтны?
е)
^37
ιθ
/pi
W
ж) з)
2. Для какой из этих фигур нельзя на том же рисунке подобрать конгруэнт-j
ную ей фигуру?
5)
120

Взгляните на фигуры, изображенные ниже. Выпишите столько конгруэнтностей
между ними, сколько вам удастся отыскать. Здесь нужно найти шесть
конгруэнтностей (не считая тождественной конгруэнтности, сопоставляющей
каждую из фигур саму с собой, но учитывая нетождественную конгруэнтность
между произвольным треугольником и им самим, существующую в том
случае, когда у этого треугольника есть две конгруэнтные стороны). Вот одна
из конгруэнтностей: АСВ+-+ LMN.
Сделайте то же, что и в задаче 3, Для следующих фигур:
5
5· а) Конгруэнтна ли любая фигура сама себе?
Ч Если каждая из двух фигур конгруэнтна третьей, то конгруэнтны ли
°ни между собой?
с) Конгруэнтны ли стороны квадрата?
Ч Конгруэнтны ли стороны прямоугольника?
ч Конгруэнтны ли две противоположные грани куба?
ч Конгруэнтны ли две смежные грани куба?
S) Конгруэнтны ли две противоположные грани прямоугольного бруса,
имеющего форму кирпича?
") Конгруэнтны ли две смежные грани кирпича?
121

6. Треугольники каждой из следующих пар треугольников конгруэнтны. gbN
пишите конгруэнтности v для каждой из этих пар. (Вот первая конгруэнт*
ность: AED^BEC.)
7. При каких условиях следуюнще пары фигур будут конгруэнтны?
а) Два отрезка. Ь) Две прямые. с) Два угла,
d) Две окружности. е) Два квадрата. 1) Два треугольника.
8+. Рассмотрим пятиугольную звезду ABCDE. Выпишите все конгруэнтности,
сопоставляющие этой звезде ее саму, начиная с (тождественной)
конгруэнтности ABCDE^ABCDE.
9+. Δ ABC — равносторонний треугольник, т. е. АВ = ВС = АС. Выпишите все
конгруэнтности, сопоставляющие этому треугольнику его самого, начиная
с (тождественной) конгруэнтности ABC ^ ABC. (Их больше четырех.)
122

tn* Какие из изображенных на рисунке плоских фигур мотут быть
наложены одяа на другую? Для каждой совместимой пары скажите, нужно ли,
для того чтобы совместить фигуры, повернуть их в пространстве, или
достаточно поворачивать их в плоскости, или можно даже передвигать
фигуры в плоскости не поворачивая их?
а)
. I 1
1 I 1
δ)
J I
ι " ι- ■ ι
Ι ι
в)
i
г) д) е)
11*. Какие из изображенных на рисунке тел конгруэнтны?
Ρ
«)
А
И
в)·
^
·)
.Допустим, что изображенный внизу орнаментальный фриз* как и прямая,
бесконечно простирается в обе стороны. Рассмотрим горизонтальный сдвиг
Фриза,^ переводящий каждое острие в следующее острие на той же стороне
прямой. Хочется сказать, что этот сдвиг порождает некоторую
конгруэнтность, совмещающую (бесконечный) фриз сам с собой.
s\\\\W --
а) Опишите сдвиги различного типа, которые будут порождать
конгруэнтности, совмещающие фриз с самим собой. Сколько таких конгруэнтно-
стей существует?
123

ι— ι— ι— ι— ι— ι—
_J _J _J _J _l _l—
b) Опишите два типа сдвигов, порождающих конгруэнтности, совмещающие
изображенный ниже фриз с самим собой.
§ 2. КОНГРУЭНТНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
В предыдущем параграфе мы не формально объяснили идею
конгруэнаности. Дадим теперь несколько точных определений,
которые позволят нам математически обработать эту идею.
Для углов и отрезков легко точно сказать, что мы имеем
в виду:
Определения
Углы конгруэнтны, если они имеют одну и ту же меру.
Отрезки конгруэнтны, если они имеют одну и туже длину.
Конечно, первое из этих определений является повторением
определения из § 4 гл. 4. Очевидно, что имеет место
Теорема 5. 1
Каждый отрезок конгруэнтен самому себе.
Доказательство тривиально, так как отрезок имеет ту же
длину, что и он сам. В последующих доказательствах мы будем
обозначать фигурирующую в этой теореме конгруэнтность терми-г
ном тождественная конгруэнтность.
Точно так же, как мы пишем £ А^ £ В, чтобы указать, что
конгруэнтны углы /.А и Ζ £, условимся писать
ABg^CD,
чтобы указать, что конгруэнтны отрезки АВ и CD. Таким
образом,
ASg^CD означает, что ЛВ = СД
Ζ Α ^ Ζ В означает, что т Ζ Л = m Ζ В.
Каждое из равенств справа связывает два числа. Каждая из
конгруэнтностей слева, связывает две геометрические фигуры.
Мы не связываем обозначения геометрических фигур знаком —*
если не убеждены, что эти две фигуры в точности совпадают
124

/являются одной фигурой) —а случаи такого рода чрезвычайно
редки.
Один такой пример показан на рисунке,, Здесь законно
написать
Ζ ВАС=- £EADy
потому что Ζ ВАС и Z. EAD не только конгруэнтны; Ζ ВАС и
l_EAD— это точно один и тот же угол, так что связывающая
£ ВАС и Z. EAD конгруэнтность — тождественная. Аналогично,
~АВ и В А — всегда точно один и тот/же отрезок и потому
законно не только писать АВ^ВА, но даже и АВ = ВА.
Рассмотрим теперь соответствие
ABC++DEF
между вершинами двух треугольников: Д ABC и Д DEF. Оно
автоматически устанавливает и соответствие сторон этих
треугольников:
Тв*+~ШУ
AC++~DF,
~BC^W,
и> кроме того, соответствие их углов:
LA-
LB
LC-
LD,
ΔΕ,
Ζ/7·
теперь мы можем сформулировать определение конгруэнтности,
бывающей два треугольника.
125

Определение
Пусть дано соответствие
ABC++DEF
между вершинами двух треугольников. Если конгруэнтна каждая
пара соответствующих сторон и каждая пара соответствующих
углов, то соответствие ABC<->DEF называется
конгруэнтностью, связывающей два данных треугольника.
Когда мы пишем [\ABC^/\DEF, мы подразумеваем, что
соответствие ABC++DEF является конгруэнтностью. Это очень
хорошее сокращение: короткая запись /\ABC^/\DEF
информирует* нас сразу о шести фактах, а именно о том> что
iB^JDE, или AB = DE,
ACg^DF,
ВС^Щ
ΔΑς^ΑΟ,
ΔΒ^ΑΕ,
LC<^LFy
или
или
или
или
или
AC = DFf
BC = EFt
т Ζ, Л = m Δ D,
mΔB = mΔ Εу
т £ С = т Ζ. F.
В каждой из этих шести строчек конгруэнтность слева
означает то же, что и равенство справа. Поэтом^ мы можем
пользоваться любой из этих форм записи в зависимости от
обстоятельств. Обычно мы будем писать -AB = DE вместо ABo^DE,
так как первая запись проще. По той же причине мы будем
чаще писать Ζ, ^ = Ζ £> а не т £ А=т ^D.
На рисунках конгруэнтность, связывающую отрезки или углы,
удобно указывать пометками, как это сделано на рисунке. В этом
случае шесть конгруэнтностей, указанных пометками, сообщают
нам, что
AABC^ADEF.
На следующем рисунке пометки сообщают нам меньше; Я"
в самом деле, довольно легко усмотреть, что эти два треуголь-
126

ника не конгруэнтны ни при каком соответствии их вершин.
В некоторых случаях нам может быть дана лишь часть
информации, заключающейся в утверждении о конгруэнтности двух
треугольников, и мы все равно сумеем установить, что какое-то
определенное соответствие вершин треугольников является
конгруэнтностью. Так, рисунок внизу указывает, что при соответствии
ABC^-^DEF все три пары соответствующих сторон
треугольников ABC и DEF и две из трех пар соответствующих углов
конгруэнтны. Отсюда, конечно, должно следовать, что и Z, С = Z. F,
так что /\ABC^/\DEF. А фактически мы должны уметь
приходить к тому же заключению, обладая еще меньшими знаниями.
В последней группе задач к § 2 вы найдете условия, при
которых можно утверждать, что некоторое соответствие между двумя
треугольниками является конгруэнтностью. Как вы увидите,
факты этого рода нетрудно изображать на рисунках.
Определения
Говорят, что сторона треугольника заключена между
углами этого треугольника, вершины которых являются концами
Рассматриваемой стороны.
Говорят, что угол треугольника заключен между
„сторонами этого треугольника, принадлежащими сторонам данного угла.
Например, в изображенном выше /\АВС сторона АС заклю-
чена между £ А и £С9 a £ А заключен между АВ и АС.
127

Задачи к § 2
1. Дано, что Л АВЕ^- Л DCF. Дополните
следующие утверждения, вписав пропущенные
символы.
Соответствие А ... <-*.
энтностью.
CF является конгру-
Δ Α^Δϋ.
Δ вд*....
ΔΕ9*....
АВд^...
ш^...
ЯЁ^...
Дано, что Д MQP ^ Δ NQP. Перечислите шесть
пар конгруэнтных друг другу элементов (сторон,
углов) этих двух треугольников.
3. Для каждой из конгруэнтностей перечислите шесть пар конгруэнтных
элементов треугольников.
a) Δ RQF ~ Δ ΑΒΧ. (Если хотите, можете сделать набросок этих
треугольников.)
b) £\EHW = &MRK- (Не пользуйтесь рисунком.)
c) Δ AZW £= Δ BWZ. (Не пользуйтесь рисунком.)
4. Выпишите связывающую два треугольника конгруэнтность, которая
определяется следующими шестью парами конгруэнтностей, связывающих элементы
треугольников:
AK9^BW;
AT^BR\
LAg^LB.
LKg+LW.
5. а) Какой угол в Δ ABC заключен между сторонами ВС и АВ7
b) Какая сторона заключена между Ζ А и Δ В"?
c) Между какими сторонами заключен Δ С? q
d) Между какими углами заключена сторона
ВС?
128

ge Рассмотрим Δ GHK. Не можете ли вы придумать простой метод,
позволявший, не делая чертежа, определить, какие стороны и углы заключены между
какими углами и сторонами?
a) Заключен ли Ζ Я между GH и Я/С?
b) Заключена ли сторона С/С между Ζ G и Ζ /С?
c) Какой угол заключен между GH и С/С?
d) Какая сторона заключена между Δ G и Ζ Я?
(Замечание. В задачах 7—13 для построения углов и отрезков нужно
пользоваться масштабной линейкой и транспортиром.)
7. Постройте Δ RST, у которого RS = 5 см, RT = 3 ел* и /я Ζ # = 35.
8. Постройте Δ ЛЯС, у которого АВ = 4 см, т Ζ Л = 45 и m Ζ θ = 60. Если
построить несколько треугольников ABC с теми же данными, то как будут
соотноситься эти треугольники?
9. Постройте /±MNP, у которого MN = 6 см, NP = 4 см'и РМ=*7 см. Для
того чтобы закончить построение, вам может потребоваться циркуль.
10. Пользуясь одной лишь линейкой, постройте треугольник, никакие две
стороны которого не конгруэнтны. Затем постройте второй треугольник,
конгруэнтный первому, и опишите шаги, которые вы сделали. Существует лишь
один способ построения второго треугольника по первому или несколько?
Сколькими из шести элементов первого треугольника вы воспользовались
при построении второго? Каково наименьшее число попарно конгруэнтных
элементов, необходимое, чтобы гарантировать конгруэнтность самих
треугольников?
И. Постройте Is ABC, у которого т Ζ Л =40, АС = 6 см и С£ = 4 см.
Затем постройте ADEF, у которого т Ζ D —40, DF — 6 см и /?£ = 4 см.
Обязательно ли Δ ЛВС и /\DEF конгруэнтны?
12. В задаче 8 вы должны были прийти к заключению, что все треугольники
ABC, меры некоторых элементов (сторон, углов) которых известны,
конгруэнтны между собой, т. е. все соответствующие их элементы конгруэнтны.
В случае, когда это верно, мы будем говорить, что три данных элемента
определяют треугольник. В задаче 11 вы должны были найти два
неконгруэнтных треугольника, три элемента которых имеют заданные меры.
А задача 7 —допускает ли она один треугольник в качестве решения или
больше?1) А задача 9? Можно ли указать такие меры углов и отрезков,
которые не задавали бы ни одного треугольника?
13*. Постройте треугольник, определяемый каждой системой заданных ниже
мер; если заданные числа допускают два треугольника, то постройте их
оба. Если можно построить больше двух треугольников или нельзя
построить ни одного, то объясните почему:
1) Тут авторы допускают некоторую непоследовательность, считая все
(беспечно много различных!) конгруэнтные треугольники одним решением
задачи, что противоречит подчеркнутому отказу от использования знака = для
оозначения конгруэнтности Более согласовалась бы с установками книги
в едУюЩая (к сожалению, громоздкая) формулировка: допускает ли задача 7
качестве решения один класс конгруэнтных треугольников или больше?
129

a) m L Μ = 30, MO = 2, m Δ Ο = 90;
b) m 21 β = 55, ЛБ = 5, БС = 3;
c) м L G = 35, G# = 6, ЯУ == 4;
d) Л£ = 5, £С = 3, ЛС — 4;
e)mZM = 80, MO = 2, m Ζ Ο = 120-
ί) DE = S, £/? = 3, 0^ = 4;
g) DE^A, DF = 8, m Δ D = 60;
h) m Ζ Л == 70, mZ5 = 60, m Ζ С = 50.
14*. а) Д Л£С и Δ DEF не пересекаются, и точка Μ лежит между β и С.
Каким из двух символов — = или ^ — нужно заполнить пропуски, чтобы
каждое из следующих предложений превратилось в осмысленное и по
возможности верное утверждение?
Ϊ) А ЛВС ... &DEF\
II) т L В ... т 1Е\
III) ВС ... EF;
IV) ЛЯ ... Ш\
V) ΔΕ ... ZF;
VI) L ЛВМ ... L ЛБС;
VII) т L ЛВМ ... т L DEF\
VIII) ЛЯ ... DE.
b) В какой из строчек I) —VIII) имели бы смысл оба символа: = и сы ?
c) Если бы А В был тем же самым отрезком, что и DE, а точки С \\ F
были бы различны, то в какой строчке символ ^ заменился бы
символом = ?
15*. Дан А ЛВС. Если
д ЛВС ^ Δ ВЛС и Δ ЛВС ^ Δ АСВ,
то какое заключение можно сделать относительно Д ЛВС? Как вы
докажете, что ваше заключение справедливо?
16*. Дано, что PC JL КМ, причем К — Р — М. Точки Л и Б лежат по ту же сто-
рону от КМ, что и С, но точки Л и В лежат по противоположные стороны
от PC. Точка Л лежит по ту же сторону от PC, что и /С, и Δ АС Ρ ^ Δ ВСР.
Докажите, что Δ ΚΡΑ ^ Δ MP В.
17*. Если
Δ ЛВС ^ Δ DEF и Δ DEF ^ Δ GHK,
то какое заключение можно сделать относительно Δ ABC и Δ GHK? Как
вы докажете, что ваше заключение справедливо? Сформулируйте теорему,
обобщающую эту ситуацию.
Конкурсная задача
Отношение эквивалентности определяется как отношение #, связывающее пары
элементов некоторого множества и обладающее следующими свойствами:
Если а, Ь и с —любые элементы данного множества, то
(0 а * а (рефлективность),
(и),Если а # Ь, то Ь * а (симметричность).
(iii) Если йй и Ьс, τοβ*ο (транзитивность).
Применяя это определение, нужно звездочку (*) заменять данным
отношением. Рассмотрим, например, отношение: «имеет то же место рождения, что и»,
связывающее элементы множества всех людей и указывающее, что данные два
человека родились в одном и том же родильном доме. Мы будем иметь:
(ί) а имеет то же место рождения, что и а.
130

(it) Если а имеет то же место рождения, что и 6, то и Ь имеет то же место
рождения, что и а.
(Ш) Если а имеет то же место рождения, что и Ь> а Ь имеет то же место
'рождения, что и с, то а имеет то же место рождения, что и с.
Поскольку все эти утверждения верны, мы говорим, что наше отношение
является отношением эквивалентности.
a) Показать, что конгруэнтность треугольников является отношением
эквивалентности. Вам нужно объяснить, почему верно каждое из трех указанных
утверждений. В своем доказательстве вы можете использовать задачу 17.
b) Для каждого из следующих отношений выберите подходящее множество,
пары элементов которого оно связывает, а затем определите, какие из этих
отношений являются отношениями эквивалентности:
«меньше, чем», «равно», «обратно», «является одноклассником», «проживает
в том же городе, что и», «выше, чем», «ходит быстрее, чем», «такой же
мокрый, как».
§ 3. АКСИОМЫ КОНГРУЭНТНОСТИ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Как вы уже, несомненно, сами заметили, существует, по
крайней мере, три ситуации, когда мы можем сделать
заключение, что некоторое соответствие между двумя треугольниками
является конгруэнтностью.
В первом случае соответствие ABC — DEF называется СУС-
соответствием; под этим мы подразумеваем, что две стороны и
заключенный между ними угол первого треугольника конгруэнтны
соответствующим элементам второго. (Буквы «СУС» заменяют слова
«сторона, угол, сторона».) Из этих условий следует, что /\АВС<^.
^/\DEF,
СУС
Во втором случае соответствие ABC ~ DEF называется УСУ*
соответствием; под этим мы подразумеваем, что два угла и
заключенная между ними сторона первого треугольника конгруэнтны
соответствующим элементам второго. (Буквы «УСУ» заменяют
слова «угол, сторона, угол».) И из этих условий следует, что
AABC^ADEF.
131

Наконец, в третьем случае соответствие ABC — DEF
называется ССС-соответствием; под этим мы подразумеваем, что все
три стороны первого треугольника конгруэнтны соответствующим
сторонам второго. (Буквы «ССС» заменяют слова «сторона,
сторона, сторона».) И здесь мы должны иметь /\АВС^ /\DEF.
Мы придадим этим наблюдениям формальный характер,
зафиксировав их в следующих аксиомах:
Аксиома 15 (СУС-аксиома)
Каждое СУС-coomeemcmeue является конгруэнтностью.
Аксиома 16 (УСУ-аксиома)
Каждое У СУ-соответствие является конгруэнтностью.
Аксиома 17 (ССС-аксиома)
Каждое ССС-соответствие является конгруэнтностью.
Эти аксиомы мы чаще всего будем применять к соответствиям
между двумя различными треугольниками. Однако мы
видели, что в некоторых случаях можно установить также
(нетождественное) соответствие между треугольником и им самим,
наши три аксиомы применимы и в таких случаях. Таким
образом, СУС-аксиому можно проиллюстрировать так:
aABC^uDEF
но также и так;
132

здесь пометки говорят нам, что соответствие
ABC — АСВ есть СУС-соответствие. Поэтому
мы можем применить СУС-аксиому и
заключить, что ААВСд^ААСВ.
ЛАВС=ААСВ
Предостережение. Такой вещи, как ССУ-аксиома, не
существует!
Соответствие ABC *- DEF на этом рисунке является «ССУ-соот-
ветствием»: две стороны и не заключенный между ними
угол /\АВС конгруэнтны соответствующим элементам /\DEF.
Но это соответствие, очевидно, конгруэнтностью не является. И
в самом деле, сторона DF слишком длинна, £ Ε слишком велик,
a L F слишком мал
Конечно, из того, что равны соответствующие углы, следует
только, что два треугольника имеют одну и ту же форму; они
не обязаны иметь один и тот же размер.
Треугольники, связанные таким образом (связанные" «УУУ-со-
ответствием»), называются подобными.
Начиная с этого момента мы для краткости часто будем
ссылаться на наши три аксиомы просто как на СУСУ УСУ и ССС.
Задачи к § 3
1· В каждой из изображенных на рисунке пар треугольников конгруэнтные
элементы треугольников указаны пометками. Какие треугольники
конгруэнтны по СУС-аксиоме?
133

2. В каждой из изображенных на следующей странице пар треугольников
конгруэнтные элементы указаны пометками. Назовите, если это возможно,
аксиому конгруэнтности (СУС, УСУ или CCC)f из которой следует, что
соответствующие треугольники конгруэнтны.
§ 4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПОСТАРАЙТЕСЬ ПРИДУМАТЬ САМИ!
Теперь у вас имеется достаточно материала, чтобы на его
базе можно было самостоятельно проводить подлинные
геометрические доказательства. Начиная с этого момента придумывание
собственных доказательств составит очень важную часть вашей
работы, и, может быть, это покажется вам. более занимательным,
чем разбирать придуманные другими доказательства.
Приведем пару примеров, чтобы показать, как поступают,
когда стараются найти доказательство, и как его записывают.
Пример 1.
Если два отрезка делят друг, друга пополам, то отрезки,
соединяющие концы данных отрезков, конгруэнтны.
Приступая к решению такого рода задачи, прежде всего
нужно сделать рисунок и обозначить каждую вершину какой-нибудь
прописной буквой. Затем нужно сформулировать предположение и
заключение в принятых вами обозначениях.
134

*)
3)
Дано. Отрезки AR и ВН делят друг друга пополам β точке F.
Требуется доказать. AB^RH.
Укажем пометками на рисунке конгруэнтности, которые нам
заданы. Затем, как обычно, разделим лист бумаги на два столбца
и напишем заглавия: «утверждения» и «аргументы». (Все
ЗТ0> разумеется, окажется ни к чему, если мы не сумеем
пРидумать доказательство, которое можно будет записать в этих
Щх столбцах.)
135

Η
Так как наша цель — доказать, что два определенных отрезка
конгруэнтны, то вспомним, что мы знаем о конгруэнтных отрезках
Пометки на рисунке указывают, что FB = FH, и в силу
определения середины отрезка это действительно так. По той причине
и AF^RF. Если мы хотим доказать, что AB^RH, то больше
всего шансов это сделать, показав, что эти отрезки являются
соответствующими сторонами двух конгруэнтных треугольников.
Для этого между треугольниками, изображенными на нашем
рисунке, нужно установить некоторое соответствие, а затем показать,
что мы имеем СУС-соответствие, УСУ-соответствие или ССС-сс-
ответствие. Из рисунка видно, что это должно быть соответствие
AFB++RFH.
Две пары сторон конгруэнтны, так как
'A'F^RF иТЪ^ТН.
А как обстоит дело с заключенными между ними углами? Если бы
оказались конгруэнтными и они, то мы могли бы применить
СУС-аксиому. Но они и в самом деле конгруэнтны, потому что
эти углы являются вертикальными. Значит, по СУС-аксиоме
наше соответствие является конгруэнтностью. Отрезки А В к RH
служат соответствующими сторонами и потому конгруэнтны.
Именно это мы и хотели доказать.
В форме записи в два столбца наше доказательство будет
выглядеть примерно так:
Дано. Отрезки AR и ВН делят друг друга пополам β точке F.
Требуется доказать. AB±_RH.
н
А^· 1 ι / ' 1 -^/?
В
136

Доказательство
Утверждения
1. Отрезки AR и ВН делят друг
друга пополам.
2. AF=RF.
3. FB = FH.
4. L AFB ^ L RFH.
5. Δ AFB 9^ Δ RFH.
6. AB^RH.
Аргументы
Дано.
Определение деления отрезка пополам.
Определение деления отрезка пополам.
Теорема о конгруэнтности
вертикальных углов (теорема 4.?).
СУС-аксиома.
Определение конгруэнтности
треугольников.
Это. доказательство приведено только как образец того, как
могла бы выглядеть ваша самостоятельная работа. Существуют
пределы «стандартности», которую можно ожидать от формы
доказательства. Например, в шагах 2 и 3 мы записали
конгруэнтность отрезков формулами
AF = RF и FB = FH.
Но это можно было бы записать и по-другому:
AFg^RF и FBg^FH,
поскольку конгруэнтность отрезков и равенство их длин означают
одно и то же.
Нельзя также строго указать, насколько подробным должно
быть доказательство. По мере того как ваши знания и умения
будут возрастать, вы сможете записывать доказательства с
меньшим числом деталей. Ваш учитель явится лучшим судьей: когда вы
это заслужите, он укажет вам, что вам будет разрешено пропускать.
Теперь вы понимаете, как обстоит дело, и потому второй наш
пример мы изложим с некоторыми пропусками. Ваша задача
состоит в том, чтобы заполнить пустые места так, чтобы
получилось доказательство.
и
Пример 2.
Дано AH1-FR и LAHB^LFUB.
Требуется доказать. Δ Α= Δ F. A
А
137

Док азательство
Утверждения
1. AHg^FH.
2. Δ ΑΗΒΟ^ΔΡΗΒ.
3. Η В ^ Η В.
4. ΔΑΗΒ^Δ ....
5. Ζ Л 9Ё Ζ Ζ7.
Аргументы
Дано.
Каждый отрезок конгруэнтен самому ι
себе.
Задачи к § 4 (часть 1)
U Перепишите эту задачу на отдельный листок бумаги и заполните
пропущенные в ней доказательства.
Дано. Рисунок, где
CD 1 АВ и AD 9^ BD.
Требуется доказать.
д ADC ^ Д BDC.
Доказательство
Утверждения
i.Jd^bd.
2. CD 1 АВ.
3. Ζ ADC ^ Z £DC.
4. CD^CD.
5. ДЛОС^...
Аргументы
Дано.
Определения перпендикуляра и
прямого угла.
Тождественная конгруэнтность.
(Каждый отрезок конгруэнтен
себе самому.)
2. Перепишите задачу на отдельный листок и заполните пропущенные детали.
Ρ λ Υ
Дано. /\МКР и /\ΧΥΖ, у которых
ΔΜο^ΔΥ, ΔΜΚΡ^ΔΥΧΖ и МК =
Требуется доказать. РК = ΖΧ.
138

Доказательство
Утверждения
1. ZM^ZK, MK^XY,
L MKPQE L YXZ.
2. AMKP^... .
Аргументы
Соответствующие элементы
конгруэнтных треугольников
конгруэнтны (в силу определения
конгруэнтности треугольников).
На этом рисунке отрезок ЛЕ пересекает
~BD в точке С так, что AC^DC и ВС =
— ЕС. Покажите, что Z.4 = L Dy
воспроизведя следующее доказательство.
Дополните пропущенные аргументы.
Доказательство
Утверждения
1. AC^DC.
2. L АС В ^ L DCE.
3. ВС^ЕС.
4. Д АСВ ^ Δ DCE.
5. Δ Α^ AD.
Аргументы ι
Дано.
...
...
Соответствующие элементы
конгруэнтных треугольников
конгруэнтны.
(Замечание. Хотя утверждения 2 и 4 кажутся очень похожими, одно из них
относится к углам, а другое— к треугольникам. Учтите это, формулируя
аргументы, обосновывающие утверждения 2 и 4.)
4. На этом рисунке AB^CD и т /. л: =
~ т Δ у. Докажите, что т L АСВ =а
= т L DAC.
139

5. Перепишите задачу и дополните
доказательство. Докажите, что если на нашем
рисунке GK = HK и М—середина
отрезка GHt то ζ G ^ё L Н.
Доказательство
Утверждения
1. GK^HK.
2. Μ— середина отрезка GH.
3. ...
4. ...
5. Δ GMK 9* Δ ЯМ/С.
6. ...
Аргументы
Дано.
Определение середины.
Тождественная конгруэнтность.
6. Докажите, что если в Δ GHK имеем
QK^HK и G — M — H, так что Ζ GKM^
= Ζ Я/СМ, τα точка Μ является
серединой отрезка (?Я.
7. Докажите, что если отрезки А Е и DF делят друг друга пополам в точке Р,
то Δ PDA ^ Δ Ζ5/7/? (Нужно сделать рисунок.)
8. Дане. Отрезок TtS и точки Τ и U по противоположные стороны от
прямой *#S, причем такие, что TR = UR, TS^US и UR<VS.
Требуется доказать. m£T~m/.U.
9. Да ноЛХг-СЯ, Ζ D = Z С, ДО 1 D/C, 0
ЛЯ 1 С/С.
Требуется доказать. AD = BC.
140

10. Дано. Точки Л, С, D и Ε коллинеарны, причем A — E — D и A — D — C.
Точка В не принадлежит АС и такова, что АВ — СВ, EB — DB и Л£ = СО.
Требуется доказать. L ABE^ LDBC.
ц*+. Дано, что отрезок £Q пересекает отрезок РА в точке /?, но BQ^zPA.
Точки В и Q лежат по противоположные стороны от РА. Точки S и С
принадлежат соответственно PR и AJR, причем RS = RC, ВС ±.~РА и QS J_ РЛ.
Кроме того, ζ #Л/? ^ Ζ QP#. Докажите, что отрезок РА делит отрезок
Щ пополам и что Ζ ABC ^ Z PQ5.
12*+. Дано. Л HRE, где RH — RE. Точки Μ и /С принадлежат сторонам
Ζ ##£ и таковы, что R — H — M и R—E — K.
Отрезки ΕΛί и #/( пересекаются в точке Т. Ζ HRT ^ Ζ £7?Γ. Докажите,
что АМТНд^АКТЕ.
После того как вы закончили доказательство, часто
обнаруживаете, что рисунок можно сделать более поучительным,
поставив на нем дополнительные пометки.
Этот рисунок иллюстрирует пример 1 и его доказательство.
Пометки на отрезках AF и FR указывают, что конгруэнтность
AF^FR была дана. Пометки на FH и FB указывают, что и
конгруэнтность FH ^ FB была дана. Пометки на £ AFB и £ RFH
и восклицательные знаки указывают, что конгруэнтность ,/ AFB ^
= L RFH была доказана. И пометки на А В и RH также
указывают, что конгруэнтность AB^RH была доказана.
Подобным же образом пометки на
следующем рисунке сообщают, что было дано и что
было доказано в примере 2.
A F
141

Аналогично наши три аксиомы конгруэнтности СУС, УСУ и
ССС оправдывают все восклицательные знаки на следующих
рисунках:
cue
УСУ
есс
Вообще, это очень полезно —размечать рисунки таким образом,
чтобы в них было заключено как можно больше информации.
Иногда удается сделать чертеж, дающий полную картину какой-
либо теоремы. Например, следующие рисунки полностью излагают
теоремы, встречавшиеся нам в гл. 4. Какие это теоремы?
хь
D7
В доказательствах часто делают ту ошибку, что
предполагают доказанным то, справедливость чего надо доказать. Другая
распространенная ошибка — пользоваться в своем доказательстве как
основанием теоремой, в действительности являющейся следствием
142

утверждения, которое собираются доказать. Такие рассуждения
называют «порочным кругом»; в качестве логических доказательств
они ничего не стоят.
Особенно плохой вид порочного круга— использование той
теоремы, которую мы пытаемся доказать, в качестве аргумента для
обоснования одного из шагов «доказательства».
Задачи к § 4 (часть 2)
1. Каждый из рисунков внизу размечен так, что он точно указывает
предположение и заключение. Напишите, что дано и что требуется доказать для
каждого из этих рисунков.
а)
2. Сделайте то же, что в задаче 1, исходя из следующих рисунков.
3. Перепишите задачу и дополните доказательство.
Дан рисунок, где АС=ВС, DC^EC, G — середина отрезка DC,
Я—середина отрезка £С и L АСЕ 9ё Δ BCD. Докажите2 что AG==BH.
143

До к а зате л ьство
Утверждения
1. АС^ВС.
2. DC = EC.
Точка С—середина DC.
Точка ...-—...
3. DG=GC = ^DC.
4. ЕН = НС=~ЕС.
| б. GC = HC.
6. m Ζ ЛС£ = т Ζ BCD.
7. m Ζ ЛСС+m Ζ ССЯ =
= m Ζ ВСН + т Ζ ССЯ.
8. /wZ GCH = m Ζ ССЯ.
9. m Ζ ACG = m Ζ ВСЯ.
[ 10. Δ AGC с* δ ВЯС.
11. AG^BH.
Аргументы
Определение середины. ι
Шаги 2, 3 и 4 и подстановка.
Условие и определение конгруэнтных
углов.
Аксиома сложения углов и ... в
4 шаг 6.
Правило вычитания равенств.
Шаги 1, 5, 9 и ... аксиома.
4. Докажите, что если на этом рисунке AE = BCt
AD = BD и DE = DC, то Δ Ε^ Δ С.
5. Докажите, что если на том же рисунке
АЕ = ВС, AD^BD и Δ EAD д^ Δ CBD, то
Л BDE ξ* Ζ ADC.
6. Можете ли вы доказать, что если на том же рисунке АЕ = ВС, AD — BD
и Ζ £^ Ζ С, то ED = CD? Если да, то сделайте это. Если нет, то
объясните почему.
7*. Можете ли вы доказать, что если на гом же рисунке Ζ Ε ^ Ζ С, ED —CD
и Ζ BDE^ Δ ADC, то АЕ = ВС? Если да, то сделайте это. Если нет, то
объясните почему.
8. Дано. Рисунок, где ЛВ ±. М/С и точка В
является серединой отрезка М/С.
Требуется доказать. Δχ—Διί-
Μ
9. Дано, что луч АЕ делит отрезок ВК пополам в точке R и что АВ — АК-
Докажите, что АЁ χ Β/(.
144

10. На этом рисунке CF — CM, £ 1 ^ 4 2 и
Ζ 3 ^ Ζ 4. Докажите, чго Ζ 5 ^ Ζ 6.
11. Дано, что отрезки PQ и RS пересекаются в точке Г причем P — T — Q и
R-T-S, кроме того, RT^QT, PR ±RS и SQ ± PQ.
Докажите, что Ζ Ρ ~ Ζ S.
12. Докажите, что если на этом_рисунке PS—QS,
PV^QV и Ζ * 2* L У, то ЗУ ± PQ.
/^
13. Докажите, что если на этом рисунке АВ — СВ,
Ζ МАЕ^ Ζ NCD и AE*=CD, то ΔΑΒΕ^ζ
£Ё Δ C£D.
14. Можете ли вы доказать, что если на том же
рисунке Ζ ЕВА ^ ζ DBC и Ζ £ ^ Ζ D, то
д Л££ ^ Δ C£D? Объясните.
^ч
15*. Можете ли вы показать, что если на том же рисунке АВ—СВ, т Ζ МАЕ —
= /n L NCD и т Ζ ABD — m Ζ С BE, то BE = BD? Если ваш ответ
утвердителен, то приведите доказательство.
16* На рисунке внизу слева дано, что А, В, С и D —некомпланарные точки,
причем точки В, С и D лежат в плоскости Е. Покажите, что если АВ ± ВС,
АВ χ BD и BC^BD, то AC^AD.
:Л0кажите что если на рисунке справа Δ ΑΒΡ ς^ Ζ. СВР, ВР ± АР и
ВР I CP, то АВ^СВ,
145

§ 5. БИССЕКТРИСЫ УГЛОВ
Пометки на рисунке указывают, что луч AD делит £ ВАС
пополам.
Луч AD на следующем рисунке не делит £ ВАС пополам,
потому что он «направлен в противоположную сторону».
Таким образом, мы подошли к следующему определению:
Определение
Если точка D лежит внутри £ ВАС и Z, BAD^ L&AC, то
луч AD делит /.ВАС пополам; в этом случае луч A D
называется биссектрисой /„ВАС.
Теорема ЪЛ
Каждый угол имеет биссектрису и притом ровно одну.
Доказательство. 1°. Выберем на рисунке внизу слева
точки β и С на сторонах LA так, чтобы было АВ = АС. Пусть
D — середина отрезка ВС. Тогда соответствие ADB <-* ADC
является ССС-соответствием и по ССС-аксиоме /\ADB^/\ADC.
Следовательно, Ζ BAD 9ё /CAD, так как это - соответствующие углы.
Поэтому Z. А имеет биссектрису.
146

2°. Допустим, что луч AD делит £_ ВАС пополам, как
показано на рисунке справа. Пусть г^т /_ ВАС. Тогда r = m Z DAB,
так как эти углы конгруэнтны. По аксиоме 13
r+r = m Z 5ЛС.
Таким образом,
' = 4"m L ВАС.
Но мы также знаем, что точка D лежит по ту же сторону
от А С, что и В. (Почему?) По аксиоме построения углов
существует только один луч, который «лежит по нужную сторону от АС»
и «образует угол нужной величины (угол с нужной мерой}».
Задачи к § 5
1. Верны или ошибочны следующие утверждения (объясните ваши ответы):
a) биссектриса угла лежит целиком внутри этого угла;
b) биссектриса угла образует со сторонами этого угла два острых угла?
2. Дано, что АР— биссектриса Δ ВАС и ЛС —
= АВ.
Докажите, что РС — ВР.
3. Точки А и В лежат по противоположные
стороны от прямой CY и С — Χ — Υ. Докажите,
что если Δ ΑΧΥ ^ Δ ΒΧΥ, то ХС делит
Δ ΑΧΡ пополам.
4· Даны два смежных угла. Докажите, что их биссектрисы перпендикулярны.
5· Дано. Прямые AD, BE и CF пересекаются
в точке К и КС делит пополам Δ DKB.
Требуется доказать. KF делит
пополам δ ΑΚΕ.
147

6*. Прямые MN и PQ пересекаются в точке О, причем Μ — 0 — Ν и Р — О — п
Точки S и Τ лежат внутри L QON так, что ATOQQ^ L TON и Ζ SOQg^
^ Δ SON. Луч О/? является биссектрисой Ζ РОМ. Докажите, что точки
R, S и Τ коллинеарны.
7. Плоскости Ε и F на этом рисунке
пересекаются по прямой А В, Прямая Ρ К
лежит в плоскости F и пересекает прямую
АВ в точке D. Кроме того, РА=РВ,
ΔΡΑΒ=ΔΡΒΑ, и__точка D является
серединой отрезка А В. Докажите, что
Р/С — биссектриса L АР В.
8*. Точки Р, В, D и С на этом рисунке
принадлежат плоскости £, а точка А
этой плоскости не принадлежит. Δ ЛВС
и Δ Ρ ВС являются равнобедренными:
АВ = АС и Ρ В —PC. Докажите, что если
AD — биссектриса ζ ВАС, то PD —
биссектриса ζ ВРС.
ζ
§ 6. РАВНОБЕДРЕННЫЕ И РАВНОСТОРОННИЕ
ТРЕУГОЛЬНИКИ
В конце § 1 мы упоминали случай сопоставления вершин Д ABC
вершинам того же треугольника, возникающий, когда по крайней
мере две стороны этото треугольника имеют одну и ту же длину.
Именно с этим случаем мы сталкиваемся в нашей первой теореме
о конгруэнтности.
Теорема 5.3 (теорема о равнобедренном треугольнике)
Если две стороны треугольника конгру- л
энтны, то и углы, противоположные этим
сторонам, конгруэнтны.
В
148

Другая фор мул ировк а. Дан /\АВС. Если АВ ^ АС,
то L В = Δ С.
Доказательство. Рассмотрим соответствие
АВС++АСВ
между /\АВС и им самим. Мы видим, что при этом соответствии
АВ++АС
~АС++АВ
L А^> £А
Так как это СУС-соответствие, то из СУС-аксиомы следует, что
ААВСд^ААСВ,
т. е. что соответствие ABC «-> АСВ является конгруэнтностью. По
определению конгруэнтности все пары соответствующих элементов
конгруэнтных треугольников конгруэнтны. Следовательно, Z. £ =
^ £ С, потому что эти углы — соответствующие.
Покажем теперь, как только что приведенное доказательство
выглядит в форме записи в два столбца. (Мы пользуемся той же
формулировкой теоремы и тем же рисунком, что и выше.)
Доказательство
Утверждения
1. ЛБ~ЛС, ЛС~ АВ.
2. ζ. Α ^ Ζ А.
з! &АВСс^&АСВ.
4. Ζ Β^ LC.
Аргументы
Дано.
Тождественная конгруэнтность.
Шаги 1 и 2; СУ С.
Определение конгруэнтности между
треугольниками.
Определения
Треугольник с двумя конгруэнтными сторонами называется
равнобедренным, Третья сторона треугольника называется
его основанием. Два угла, между которыми заключено основание,
называются углами при основании, угол, противолежащий
основанию, —углом при вершине.
В этих терминах теорему 5.3 можно сформулировать так:
Углы при основании равнобедренного треугольника конгруэнтны.
Определения
Треугольник, все три стороны которого конгруэнтны, называется
Равносторонним.
149

Треугольник, никакие две стороны которого не конгруэнтны,
называется разносторонним.
Треугольник, все три угла которого конгруэнтны,
называется равноугольным.
Пользуясь терминами равносторонний, равноугольный,
сформулируем теорему, вытекающую из теоремы 5.3. Мы назовем ее
следствием 5.3.1. {Следствием называется теорема, которая легко
вытекает из какой-либо другой теоремы.)
Следствие 5.3.1
Каждый равносторонний треугольник
является также и равноугольным.
Другая формулировка. Дан
Δ ABC. Если ВС = АС = АВ, то Ζ. ^ =
Оё L В £* L С.
Г\ ι ι/\
BL-J +.—LAC
Для доказательства нужно дважды применить теорему 5.3.
Проведение доказательства во всех деталях предоставляется вам.
Следующая теорема может показаться похожей на теорему 5.3,
но в действительности они различны; это становится особенно
ясным, если исходить из вторых формулировок теорем 5.3 и 5.4.
(Обратите внимание на то, как отличаются пометки на
иллюстрирующих эти теоремы рисунках.)
Теорема 5.4
Если два угла треугольника
конгруэнтны, то и стороны, противолежащие этим
углам, конгруэнтны.
Другая формулировка. Дан
Δ ЛВС. Если Ζ В ^ L С, то АВ = АС.
Доказательство. Так как LB^jLC, ВС^СВи £С^
= L Ву то соответствие
ABCW AC'В
является УСУ-соответствием. Поэтому оно является
конгруэнтностью, и
/\АВС^/\АСВ.
150

Следовательно, АВ — АС, потому что соответствующие стороны
конгруэнтных треугольников конгруэнтны.
Следствие 5.4.1 /}
Каждый равноугольный треугольник
является также равносторонним.
Вы сами сумеете дать другую формулировку этой теореме и
записать ее доказательство.
Задачи к § 6
1. Выберите, какое из следующих слов правильно заканчивает каждое
предложение;
a) Биссектриса угла является
(i) отрезком; (п) лучом; (iii) плоскостью.
b) Равносторонний треугольник является
(i) равнобедренным; (и) разносторонним; (iii) равноугольным.
c) Следствие является
(i) определением; (и) аксиомой; (iii) теоремой.
d) Если два угла треугольника конгруэнтны, то у этого треугольника
имеются и две конгруэнтные стороны; это мы можем утверждать на
основании
(1) определения; (ii) следствия, (iii) теоремы.
2. Δ PRS на этом рисунке является
равнобедренным, причем PR = PS. Докажите, что Δ χ =
S Δ у.
3. Докажите, что если на этом рисунке Ат^ Δη,
то Д GHK является равнобедренным.
4· Дано. Плоская фигура ADBC, где AD =
= BD и АС = ВС. Требуется доказать.
Δ CAD g^ Δ CBD.
5»Дано. Плоская фигура ADBC, где АС = ВС
и ΔΟΑΌ^ Δ CBD. Требуется дока-
зать. AD = BD.
151

6. Нужно ли в задачах 4 и 5 предполагать, что фигура ADBC — плоская?
Объясните.
7. Докажите следствие 5.4.1:
Каждый равноугольный треугольник является также равносторонним.
8. Дан рисунок с указанными на нем пометками. ^
Докажите, что Д MNK — равнобедренный
треугольник.
MP Q N
9. Дан Д ЛВС, для которого соответствие АВС**-*АСВ является
конгруэнтностью. Отсюда можно заключить, что /\АВС будет (i) разносторонним;
(и) равнобедренным; (Ш) равносторонним.
10. Дан /\АВС, для которого соответствие ABC<<-> CAB является
конгруэнтностью. Тогда Д ABC будет (i) разносторонним; (п) равнобедренным;
(Hi) равносторонним.
11. Доказать: биссектриса угла, противолежащего основанию равнобедренного
треугольника, делит основание пополам и перпендикулярна основанию.
12. На этом рисунке АС— ВС, L A ^ L у и
L В ^ё L х. Докажите, что Д CDE —
равнобедренный треугольник.
А
13*. Точки С и D лежат на некоторой плоскости по противоположные стороны
от прямой АВ, причем они расположены так, что Д ABC является
равносторонним, а Д A BD — равноугольным. Докажите, что L С ^ L D.
14. Дано, что на этом рисунке PQ1.MQ, PQ1.NQ
и MQ = NQ. Докажите, что Д MNP —
равнобедренный треугольник.
15. Докажите, что если на том же рисунке
L PMN ξ* L PNM и L MPQ ΕΞ LNPQ, to
Ζ PMQ^ LPNQ.
152
/fk
A

§ 7. ПЕРЕКРЫВАЮЩИЕСЯ ТРЕУГОЛЬНИКИ.
ПЕРЕДАЧА ИНФОРМАЦИИ С ПОМОЩЬЮ РИСУНКОВ
Часто треугольники, с которыми нам приходится иметь дело,
расположены на чертежах не раздельно, а перекрываются, как
AAFM и /\FAH на рисунке:
Когда мы сталкиваемся с такими
случаями, особенно важно, чтобы избежать
путаницы' и ошибок, правильно записать наши
конгруэнтности:
/\AFMg^/\FAH.
Проверим, что соответствие AFM+^FAH действительно
является конгруэнтностью. После того как это сделано и мы хотим
записать, какие же стороны (или углы) конгруэнтны, отвлечемся
от рисунка и рассмотрим лишь саму запись /\AFMg^/\FAH.
Мы знаем, что
AFg^TA, FMg^AH, AMg^FH,
поскольку это — соответствующие стороны в нашей конгруэнтности:
АРМ
t
РАН
ft
J
Так поступать — намного надежнее, чем вертеть голоеой,
разглядывая рисунок со всех сторон, чтобы избежать ошибки.
Рассмотрим теперь случай, когда такая ситуация возникает
в доказательстве теоремы.
Дано. HA^HF; HM = HQ.
Требуется доказать. FM = AQ.

О^ень распространенный способ доказательства конгруэнтности
двух отрезков состоит в установлении того, что эти два отрезка
являются соответствующими сторонами конгруэнтных
треугольников. Чтобы можно было с успехом воспользоваться здесь этим
методом, прежде всего нужно выявить треугольники, содержащие
отрезки FM и AQ. Такими являются /\HMF и /\HQA, и они
существенно перекрываются. Теперь задача сводится к
доказательству, что эти треугольники действительно конгруэнтны.
Доказательство, изложенное в форме записи в два столбца, приведено
ниже.
Доказательство
Утверждения
1. HA=HF.
2. L Я^ L Н.
3. HM^HQ.
1 4. AHMFc^^HQA.
5. FM = AQ.
Аргументы
Дано.
Угол конгруэнтен самому себе.
Почему?
Почему?
Почему?
Строго логическое доказательство должно не зависеть от
рисунка; оно должно вытекать из аксиом, определений и ранее
доказанных теорем. Но геометры совершенно свободно пользуются
рисунками, в первую очередь для сокращения развернутых
объяснений смысла задачи. В этом духе мы сформулировали пример 1
в начале § 4 следующим образом:
Дано. AR и ВН делят друг друга пополам β точке Я.
Требуется доказать: AB^RH.
В
154

Позднее мы объяснили, что все содержание этой теоремы можно
передать дополнительными пометками на рисунке, вообще не
пользуясь словами, например так, как это указано на рисунке:
Чтобы обойтись без рисунка, нам нужно было бы
сформулировать пример 1 так:
Пример 1.
Пусть А, В, Ff H и К — пять неколлинеарных точек, лежащих
в одной плоскости. Если
1°. точка F лежит- между А и R\
2°. точка F лежит между В и Я;
3°. AF=FR;
4°. BF=FH, то
5°. AB = RH.
Первые два утверждения этого примера прочитать на рисунке,
конечно, легче, чем третье. И читаются они совершенно точно, если
понимать, как рисунки применяются для сокращения записей. Мы
будем пользоваться рисунками, чтобы указать коллинеарность точек,
порядок точек на прямой, положение точек внутри угла и вообще
относительное расположение точек, прямых и плоскостей. С
другой стороны, не следует делать заключения, что отрезки или углы
конгруэнтны, только потому, что они кажутся конгруэнтными.
Чтобы передать с помощью рисунка информацию такого рода,
нужно обычным способом сделать на нем пометки.
В Ε
ΔΔ
Αί—_ _ДС 0ί— -Л/г
155

Например, правый рисунок сообщает нам, что DE^EF, но
рисунок слева вовсе не говорит, что АВ^ВС, даже несмотря на
то, что самые тщательные измерения показывают, что это,
по-видимому, так.
А А
JEL
С В D С В D
Аналогично и здесь левый рисунок указывает, что А В ±_ CD,
а правый — нет.
Задачи к § 7
1. На этом рисунке RV = ST, RQ = SP и L VRQ^
^ ^ TSR. Дополните доказательство того, что
QV = PT.
R Ρ
О S
Доказательство
Утверждения
1. RV = ST.
2. L VRQ ^ L TSP.
3. ...
4. &RQV9±....
5. ...
Аргументы
Дано.
2. Докажите, что если на рисунке слева KG J. GH, LH J_ GH и L KHG ^
^ L LGH, то ЖЕ ^ LG.
С
156

3. Дано, что АС = ВС и LCAEg^LCBD
(см. рисунок справа в конце предыдущей
страницы). Докажите, что ААСЕ^/\ BCD.
4. На этом рисунке АС = ВС, DC = EC и
AD = BE. Дополните доказательство того,
что L АСЕ ^ L BCD.
Док азательство
Утверждения
1 1 АС^ВС, DC^EC.
2. AD = BE.
3. DE = DE.
4. AD + DE^BE + DE.
5. AE^BD.
6. ...
7. L ACE ^ Ζ BCD.
Аргументы
Дано.
..."
Правило сложения равенств.
Определение понятия «между» и
шаг 4.
...
5. На этом рисунке PM—QN, PS—QR и
MR^NS. Докажите, что L PSN^ LQRM.
Μ
6. Докажите, что если на этом рисунке AF— BG,
L Л ^ ζ В и AE = BDt то EF = DG.
« · Докажите, что если на том же рисунке
L А^ ζ В, AD^BE и L ADG ^ Δ BEFy
то t CFE ^ t CGD.
AD £ a
157

8*. На рисунке внизу слева AD = BC, AC = BD, AK^BN и AG = BH. Дока^
жите, что KG — NH.
9. Дана плоская фигура RSTV, причем w=x и y = z (см. рисунок справа).
Докажите, что RV = ST.
10. Дано, что на этом рисунке Ζ χ = Ζ у и
Ζ m ^ Ζ п. Докажите, что АС = ВС,
11 *. Докажите, что если на том же рисунке DF — EF и Ζ х = Ζ у, то Д Л£# —
равнобедренный треугольник.
12*. Докажите, что если на том же рисунке АС = ВС и DC — EC, то DF — EF.
13. Найдите на этом рисунке угол, конгруэнтный р
Δ KML, если ΜΚ=Μ<2, ML = MP и KL = QP.
Докажите, что ваш ответ правилен.
14*. Докажите, что если на том же рисунке М/( =
MQ, Δ К 9^ Δ Q, Ш ± МК иТМ ±_ Щ, то
Δ L ^ Ζ Я
15. Точки В и С на сторонах Ζ А взяты так, что АВ — АС. Через В прохо·
—>
дит прямая, перпендикулярная АС в точке D. Аналогично, через С проходит
—>
прямая, перпендикулярная АВ в точке Е. Докажите, что если AD = AE, то
BD=CE.
16*β Прямая / перпендикулярна отрезку XV и делит его пополам в точке S.
Точки R и Τ являются соответственно серединами отрезков XS и YS.
На прямой / по противоположные стороны от ΧΥ взяты такие точки А и В,
что АХ = ВУ и AT^BR. Докажите, что Л5 = BS.
158

17*. Докажите, что если Ζ D ^ Ζ DKM и КМ =
^СМ = ТМУ то AD^BC.
18. Точки By D и Η на этом рисунке
принадлежат плоскости £, а точки Л и С —не
принадлежат ей. Докажите, что если А В J_ J3D,
CD ±~HD, AB^HD nCD = BD, ro AD^HC.
с
k_/
/
"4
/«
r
с
0
8
£/
19. а) Докажите, что если на этом рисунке точка
X является серединой отрезка ΜΝ, ΛίΖ —Λ/Ύ
и ΧΖ = ΧΚ, то Ζ Κ^ΖΖ.
b) Необходимо ли, чтобы точки Μ, Ν, Χ, Υ и
Ζ были компланарны?
20*. а) Докажите, что если на том же рисунке точки Μ, Ν, Χ, Υ и Ζ
компланарны, точка X является серединой отрезка ΜNt Ζ Μ ^ Ζ Ν и Ζ ΜΧΥ ^
^ Ζ ΝΧΖ, το Ζ Κ^ Ζ Ζ.
Ь) Необходимо ли, чтобы точки Μ, Ν, Χ, Κ и Ζ были компланарны?
Объясните.
§ 8. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ, КВАДРАТЫ
И ПРЯМОУГОЛЬНИКИ
Четырехугольник — это фигура с четырьмя сторонами. Вот примеры
четырехугольников:
159

Фигура вроде той, которая изображена на рисунке слева,
четырехугольником не является.
В
Кроме того, стороны четырехугольника не должны пересекаться.
Поэтому фигура справа —тоже не четырехугольник.
Следующие определения сформулированы так, чтобы они
включали те случаи, которые мы хотим включить, и исключали те случаи,
которые нам не нужны.
Определения
Пусть A, В, С и D —четыре компланарные точки. Если
никакие три из них не коллинеарны и отрезки АВ, ВС, CD и Ό А имеют
общими только свои концы, то объединение этих четырех отрез-
ков называется четы ρ ex
угольник ом. Эти четыре отрезка
называются сторонами
четырехугольника, а точки А, В, С я D — eao
вершинами. Z.DAB, ^ ABC,
jH BCD и Ζ, CD А (их можно просто
обозначить /.Α, Δ В, Z.C и Ζ D),
называются углами
четырехугольника.
Если все четыре угла
четырехугольника являются прямыми, то
четырехугольник называется
прямоугольником.
Если все четыре угла
четырехугольника являются прямыми и все
четыре его стороны конгруэнтны, то
четырехугольник называется к в α
δρα т о м.
Мы будем обозначать четырехугольник символом Q ABCD.
160

Пометки на следующем рисунке
сообщают нам, что отрезок AD являет^
ся медианой Δ ABC.
формально это звучит так;
Определение
Медиана треугольника есть отрезок, концами которого
служат какая-либо вершина треугольника и середина
противоположной стороны.
Каждый треугольник имеет три
медианы—по одной на каждую вершину.
Пометки на следующем рисунке
указывают, что отрезок АЕ является
биссектрисой Δ ABC.
Определение
Отрезок называется биссектрисой треугольника, если
1°. он принадлежит лучу, делящему пополам какой-либо угол
этого треугольника;
2°. его концами служат вершина этого угла и точка
противоположной стороны.
Задачи к § 8
1. Постройте (сделайте его побольше!) разносторонний треугольник. Постройте
три его медианы. Постройте три его биссектрисы.
2· Дано. Д ABC у медиана AD которого
перпендикулярна стороне £С.
Требуется доказать. Отрезок AD
является биссектрисой Д ЛВС и Д ABC—
равнобедренный треугольник.
161

3. Докажите, что медиана, проведенная к основанию равнобедренного
треугольника, перпендикулярна основанию и является биссектрисой угла,
противоположного основанию.
4. Дано, что Π MOPQ является квадратом
и точка R есть середина стороны MQ.
Докажите, что Δ ROP — равнобедренный тре- -
угольник.
О Ρ
5. Z(/hZ#bD GKHM являются прямыми и, кроме того, GK — MH и GH =
= МК, причем G и Η лежат по противоположные стороны οτΛί/(. Докажите,
что Π GКНМ — прямоугольник.
6. В D A BCD отрезки АС и BD перпендику
лярны и пересекаются в точке F; кроме
того, AC — BD и FD = FC. Докажите, что
Δ ACD ^ Δ BDC.
7. Доказать: медианы конгруэнтных сторон равнобедренного треугольника
конгруэнтны.
8. Доказать: биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенные из
вершин при его основании, конгруэнтны.
9. D A BCD—квадрат, а точки Я, Q, R и S
являются серединами сторон А В, ВС, CD и В Q с
WA. Докажите, что L PQR = L PSR.
10. D ABFH — квадрат. X—точка луча АН, a Y—точка луча BF, такие, что
АХ^ВУ. Докажите, что АУ^ВХ.
11. Луч АР делит пополам L ВАС. D'-~точка на АВ, а Е—точка на АС, такие,
что AD — AE. Докажите, что PD = P£.
12*. Дан рисунок, где луч КМ делит пополам
оба угла· L HKG и ζ HSG. Докажите, что
КМ Л HW. н
1
\^^^г
\а
\ м
<*^^/
S /
й/
162
К

jo* Дркажите, что если на Зтом рисунке
то
Ζ5^ Ζ 6 и Ζ, 7 ^ Ζ 8.
Конкурсная задача
a) Можете ли вы вывести из ранее
доказанных теорем, что если АС^МР, БС —
-— WP и медиана Л£> = медиане MQ, то
д Л ВС с^ Λ ΜΝΡ7 Если да, то сделайте
это. Если нет, то объясните почему.
b) Можете ли вы- вывести из ранее
доказанных теорем, что если AC£^ MP, АВ^~
д^ MN и медиана AD Q^ медиане MQ, то
Δ ABC = &ΜΝΡ? Если да, то сделайте
это.
Дополнительные задачи
Дано. DC = BC и DK = BK (см. рисунок).
Требуется доказать. Л£ = Л£.
2. Даны два конгруэнтных треугольника. Докажите, что медиана, делящая
пополам любую сторону одного треугольника, конгруэнтна
медиане,,делящей пополам соответствующую сторону другого треугольника.
Докажите, что если на этом рисунке MQ =
— PQ^PR^NR, тоД MNP —
равнобедренный треугольник.

4. X и Q — такие точки &Р$Т, что 5 — Χ — Τ и SX = 5/?, соответственно
R — Q — T и луч SQ делит пополам Ζ /?S7\ Проведем отрезок QX. Какой
угол конгруэнтен L Ю Докажите, что они конгруэнтны.
5. На этом рисунке XW = ZY, AX = BY и
AZ = BW. Какой угол конгруэнтен Z. Л?
Докажите их конгруэнтность.
6· Дан рисунок внизу слева, где отрезки QS и RT делят друг друга пополам
в точке Р. Докажите, что ЛР = ВР.
7. Докажите, что если на правом рисунке АВ — АС, AD = AE и Δχ£~ Δν,
то АО^АН.
8· Докажите, что каждая биссектриса равностороннего треугольника
одновременно является и его медианой.
9. а) На этом рисунке AD — BC, А В —DC, a
отрезок MN делит отрезок АС пополам в
точке /С. Будет ли и АС делить пополам
отрезок MN} Докажите, что ваш ответ
правилен.
О Μ
N В
Ь) Должны ли все точки изображенной на рисунке фигуры быть
компланарны?
10· а) На этом рисунке NK—ML и MK — NL.
Докажите, что /.MNK^^NML.
b) Должны ли отрезки КМ и NL
пересекаться?
N
^
Μ
И.Дано. Рисунок, где АВ = АС hZ RCB;
9Ё L TBC.
Требуется доказать. RC — BT.
164

12, Докажите, что если два треугольника конгруэнтны, то биссектриса одного
^'треугольника, проведенная из любого его угла, конгруэнтна проведенной
из соответствующего угла биссектрисе другого треугольника.
13*. Точки Л, Я и С на этом рисунке лежат в
плоскости Εу а точки R и S — по
противоположные стороны от Е. Докажите, что если
АР J^RS^RP^SP и RC = SCt то
a) СР 1 RS;
b) L ACR^L ACS.
14*. Дано, что Л — С — В и CD J_ АВ. Точка Ρ лежит внутри Ζ ЛСД а точка
Q —внутри Ζ £CD, причем L PC A ^ Z QCB. Докажите, что если CD J_ PQt
то PC = QC.
15*. Пусть отрезки ЛР и #С делят друг друга пополам в точке N, а отрезки
~АС и BQ делят друг друга пополам в точке /О Покажите, что QC = PC.
16*. Дан произвольный ДАВС. Пусть £> — такая точка, что D и С лежат по
противоположные стороны от АВ и Д Л £D —равносторонний треугольник,
а £—такая точка, что Ε и А лежат по противоположные стороны от ВС и
д ВСЕ — равносторонний треугольник. Докажите, что AE = CD.
17*. Дан D ABCD (см,· рисунок), причем АВ =
= DC и Л1)=?=£С. Докажите, что ЛС и 55
делят друг друга пополам.
18*. Точки G и В на этом рисунке делят
отрезок Af/? на три конгруэнтные части, а -точки
б и Ρ точно таким же образом делят отрезок
АС. Покажите, что если ЛС = £(3, то£ R =
QEZ'C.
. Запишите аккуратное определение того, что означают слоца: «Точки С и D
делят отрезок А В на три конгруэнтные части».
• Докажите, что если прямая XY перпендикулярна каждому из трех раз- ,
личных лучей ХАг ХВ и ХС и если ХА^ХВ^ХС, то AY^BY^CY.
165

21 *. Д а н о. A KVL—равнобедренный треугольник,
у которого KV —LV и луч MP содержит
медиану VP.
Требуется док а зать. ST = RT.
22*+. а) Пусть А В и CD делят друг друга пополам в точке /С. Докажите,
что AC = BD и AD = BC.
b) Пусть теперь отрезок EF также делится точкой К пополам. Сумеете ли
вы найти шесть пар конгруэнтных отрезков, ни один из которых не
содержит точку /С?
c) Как изменится ваше заключение (см. задачу Ь), если отрезок EF не
принадлежит плоскости, содержащей отрезки АВ и CD? Попытайтесь
мысленно представить себе получающуюся фигуру, или набросать картинку,
или сделать модель.
23^. Дан Δ В А С, где АВ^АС. Тогда R лежит на А В, а точка Т — на Л С,
причем так, что RC = TB. Можете ли вы, основываясь на этой информации,
доказать, что AR — AT? Если да, то сделайте это. Если нет, то объясните
почему.
24*f. Пусть ДРАВ и AQAB лежат в различных
плоскостях, но имеют общую сторону А В.
Докажите, что если д РАВ ^ IsQAB и X —
любая точка отрезка АВ, то L XPQ~ L XQP*
25*+. Доведите до конца евклидово доказательство
теоремы, утверждающей, что углы при основании
равнобедренного треугольника конгруэнтны.
Дано. L ВАС, где АВ^АС.
Требуется доказать. L ACBc^ L ABC.
(Указание. Возьмите такие точки Ε и F,
что Л — В—-Е и Л —С — /7, кроме того, Л£ =
= AF. Проведите отрезки BF и СЕ.)
Вопросы и задачи для повторения
1. Укажите, верно или ошибочно каждое из следующих утверждений:
а) Если при соответствии ABC ♦* KLM имеем ~АС с^ КМ, АВ ~
Δ А = L Κι то это соответствие является конгруэнтность,ю.
■KL и
166

b) Если AC — BD, то непременно или А = В и C — D, или A — D и Б = С.
c) Если три угла одного треугольника конгруэнтны трем углам другого
треугольника, то эти треугольники конгруэнтны.
d) Если в Δ DEF выполняются равенства т LD~m LE~m LF, то он
является равносторонним.
e) Медиана треугольника делит пополам угол треугольника.
f) Если Δ ΧΥΖ £ё Δ ВАС, то Δ Χ 9ё Δ Ά.
g) Если Δ A ^ Δ С в Δ ЛВС, то АВ^АС.
h) Если Δ^^^^Δ^ΧΚ, то Δ ΑΎΖ — равносторонний треугольник.
i) Два треугольника конгруэнтны, если две стороны и угол одного
треугольника конгруэнтны двум сторонам и углу другого.
j) Не существует Δ ABC, у которого Δ А = Δ В.
2. Определите «конгруэнтные отрезки».
3. Определите «биссектрису угла».
4. Определите «биссектрису треугольника».
5. Докончите предложение. Если биссектриса треугольника является и
медианой, то треугольник является....
6. Докончите предложение. Четырехугольник, имеющий четыре прямых угла,
называется....
7. Докончите предложение. В APRQ Δ Q заключен между ... и ... , а между
Δ Ρ и Δ R заключена сторона....
8. Каждый из треугольников ЛВС и PQR имеет по две стороны длины 7 и по
углу, мера которого равна 40. Конгруэнтны ли эти треугольники? Почему
это так (или не так)?
9. Докажите, что если на этом рисунке
АВ — АС и луч АД делит пополам ABAC,
то
a) RB = RC;
b) Луч AR содержит биссектрису Δ BRC.
10. Доказать: если Δ ABC — равносторонний треугольник, то & ABC-
~ Δ CAB ^ Δ ЛСВ.
11. Запишите предположение и заключение
Для теоремы, содержание которой
передают пометки на этом рисунке.

12. Запишите теорему, подсказываемую рисунком слева.
С
13. На плоской фигуре, изображенной справа, АС— ВС и АК=ВК-
Перечислите все заключения, которые отсюда следуют. (Вы должны уметь доказать
каждое из них.)
14*. Биссектриса L Q при основании равнобедрен- /?
ного Д PQR пересекает противоположную
сторону в точке S, Τ — точка основания PQ, для
которой ST — PT> а луч SV делит пополам
L PST. Докажите, что L TSV £ё L RQS.
15*. Точки Л, В, С и D на этом рисунке не лежат
в одной плоскости и АВ = АС = AD — BC —
= BD = CD. Точки Q и R соответственно
являются серединами отрезков AC nADt а Р —
произвольная точка отрезка АВ. Докажите, что
Δ PQR — равнобедренный треугольник.
16*+. Пусть / — общее ребро двух полуплоскостей Нг и Я2; далее, А и^ — две
точки прямой /, а М и R— точки полуплоскостей Ηχ и Я2 такие, что
L MAB^ L RAB и AM = AR.
a) Докажите, что Δ MRB — равнобедренный треугольник.
b) Должен ли отрезок MR пересекать прямую /?
c) Требует ли ответ на а), чтобы полуплоскости Нг и Я2 были
компланарны?

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
I у>/ -ч
V

§ 1. КАК СТРОИТСЯ ДЕДУКТИВНАЯ СИСТЕМА
В гл. 1 мы пытались в общих чертах объяснить, как должен
строиться курс геометрии. Приобретенный вами за это время
опыт ставит вас в намного более выгодное положение,
позволяющее лучше понять эти объяснения.
Идея множества, методы алгебры и процесс логического
рассуждения—вот орудия, которыми мы строили. Сама
геометрия—это то, что мы строили. Мы начали с точки, прямой и
плоскости как с неопределяемых понятий и пока воспользовались
семнадцатью аксиомами. Иногда новые понятия определялись
со ссылкой на аксиомы. (Например, расстояние PQ было
определено как положительное число, фигурирующее в аксиоме
расстояния.) В других случаях определения базировались только
на неопределяемых терминах. (Например, точки некоторого
множества коллинеарны, если все они принадлежат одной прямой.)
Но каждый раз мы вводили наши определения с помощью лишь
терминов, которые так или иначе были уже известны ранее.
К настоящему моменту мы нагромоздили определения одно на
другое так плотно, что список их оказался очень длинным.
И фактически растянутость этого списка является одной из
главных причин, заставлявших нас с самого начала заботиться,
чтобы не произошло путаницы и все было в порядке.
Точно так же все относящиеся к геометрии утверждения,
которые мы делаем, в конечном счете основаны на аксиомах.
Иногда мы выводили теоремы непосредственно из аксиом, а
иногда наши доказательства опирались на теоремы, которые уже
были доказаны. Но в каждом случае цепь рассуждений могла
быть прослежена до аксиом.
Было бы неплохо, если бы вы, учитывая все это, перечитали
вторую половину гл. 1. Теперь она покажется вам намного
более ясной, чем в первый раз. Гораздо легче оглянуться назад и
понять, чего вы уже успели достичь, чем понимать объяснение
того, что вы только собираетесь делать.
§ 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ОТ ПРОТИВНОГО
В гл. 1 мы отметили, что лучший способ научиться
логическим рассуждениям—провести некоторые из них. Вообще говоря,
это правильно. Но существует один тип доказательств, который
требует особого обсуждения. Для теоремы 3.1 мы предложили так
называемое доказательство от противного. Вот эта теорема и ее
доказательство:
Теорема 3.1
Если две различные прямые пересекаются, то их пересечение
содержит одну и только одну точку.
171

Доказательство. Если бы две различные прямые
пересекались в двух различных точках Ρ и Q, то существовали бы две
прямые, содержащие Ρ и Q. Аксиома прямой говорит нам, что
это никогда не может иметь места.
Возможно, вы уже встречались с такого рода рассуждениями о
Вы уже можете знать доказательство иррациональности числа
Υ"2, а это—доказательство от противного *\ Во всяком случае,
вы должны были много раз слышать такого рода рассуждения'
в обычных разговорах. Оба следующих замечания служат примерами
доказательств от противного.
Π ρ имер 1
«Дождь сейчас не идет.
Если бы дождь шел, то люди, приходящие с улицы, были бы
мокры; но на самом деле это не так».
Пример 2
«Футбольного матча сегодня не будет.
Если бы сегодня предстоял матч, то стадион к этому времени
был бы уже полон народа, но, кроме нас с тобой, здесь никого
нет».
В каждом из этих случаев говорящий хочет показать, что
некоторое утверждение верно. Свое доказательство он начинает
с допущения, что это утверждение неверно. Затем он замечает,
что допущение приводит к заключению, противоречащему
какому-то известному факту. В первом случае говорящий начинает с
допущения, что дождь идет; оно ведет к заключению, что люди,
входящие в дом, должны быть мокрыми, а это противоречит тому
известному говорящему факту, зто эти люди — сухие, Аналогично,
во втором случае говорящий начинает с допущения, что
футбольный матч должен сегодня состояться; это допущение приводит его
к противоречию с тем фактом, что на стадионе присутствуют всего
лишь два человека.
В доказательстве теоремы 3.1 мы начинаем, с допущения, что
какие-либо две различные прямые пересекаются в двух различных
х) Авторы имеют в виду следующее общераспространенное рассуждение: если
г лГК т * т* η
бы число γ 2 равнялось несократимой дроои -—, то мы имели бы —^ = 2,
т. е. т2 = 2я2, откуда следует, что т — четно, а значит, п — нечетно; но тогда т2
делится на 4, а 2/г2 только на 2, а значит, равенство ^2=— невозможно. В
противоположность этому евклидовское доказательство иррациональности 1^2,
основанное на анализе процесса измерения диагонали квадрата со стороной 1,
являлось «прямым» доказательством. — Прим. ред.
172

точках. Оно противоречит аксиоме прямой. Следовательно,
допущение .было ошибочным, а это значит, что теорема верна.
Очень часто наши доказательства от противного в геометрии
будут столь же короткими и простыми, как это. .Они будут всего
лишь сводиться к каким-нибудь соображениям, основанным на
здравом смысле. Но такие соображения, основанные на здравом
смысле, составляют часть азбуки математических рассуждений,
и без них было бы трудно обойтись.
Задачи к § 2
1. Для того чтобы проиллюстрировать процесс логического рассуждения,
примите каждое из следующих предположений, а затем логически закончите
каждое заключение.
a) Предположение, Все мальчики любят играть в футбол. Моему
брату четырнадцать лет.
Заключение. Мой брат ...
b) Предположение. Только небрежные люди делают ошибки, Я
никогда не бываю небрежен.
Заключение. Я ...
c) Предположение. Джек всегда смеется, после того как сострит.
Джек только что сострил,.
Заключение. Джек ...
d) Предположение. В любом равнобедренном треугольнике углы при
основании конгруэнтны. В 1\АВС выполняется равенство АС=*ВС.
Заключение. ...
2. Какие из следующих высказываний служат примерами рассуждения от
противного?
a) Температура воздуха на улице должна быть ниже 0° С. Если бы она не
была ниже 0° С, то окна не замерзли бы. Но они замерзли.
Следовательно, температура воздуха ниже 0° С.
b) Пора обедать. Если бы было еще рано обедать, то я не был бы голоден.
Но я очень голоден. Следовательно, пора обедать.
c) Концерт должен был уже окончиться. Много людей покидают
концертный зал лишь после окончания концерта. Но я вижу, что сейчас из
зала выходит много людей. Следовательно, концерт окончился.
3. Сейчас больше четырех часов дня. Если бы это было не так, то я слышал бы
шум работающих строителей. Я же никакого шума не слышу, В этом
примере доказательства от противного выделите*
a) утверждение, которое требуется доказать;
b) сделанное допущение;
c) заключение, вытекающее из этого допущения;
d) известный факт, противоречащий с).
4. Миссис Адаме купила набор кухонной посуды, разрекламированной как
изделия из нержавеющей стали. После того как она им пользовалась
несколько недель, она обнаружила, что некоторые кастрюли начали ржаветь.
Тогда она решила, что этот набор был не из нержавеющей стали, и вернула
его; чтобы получить деньги обратно. Проделайте то же, что и в задаче 3.
5· Докажите, что биссектриса угла разностороннего треугольника не может
быть перпендикулярна противоположной стороне.
• Докажите, что никакие два угла разностороннего, треугольника не кон-
гРуэнтны.
173

7+, Какие заключения можете вы вывести из следующего предположения, в
котором буквы р, q и г заменяют различные утверждения
Если ρ верно, то и q верно.
Если q верно, то и г верно.
ρ верно?
8+. Какие заключения можете вы вывести из следующего предположения:
Если ρ верно, то и q верно.
Если г верно, то s не верно.
Если q верно, то и s верно.
ρ верно?
Пользовались ли вы хоть в одном пункте рассуждением от противного?
Объясните.
9+. Если К синее, то Μ красное.
Если К зеленое, то Μ желтое.
Если К красное, то J синее.
a) К синее, значит Μ ... и J ...
b) Μ желтое. Можно ли вывести отсюда какое-либо заключение
относительно /С? Если да, то какое?
c) J не синее. Можно ли вывести отсюда какое-либо заключение
относительно Ю Если да, то какое?
10+. Какое заключение вытекает из следующих данных:
a) Не умеющие играть на флейте в клуб пловцов не принимаются.
b) Черепахи не умеют играть на флейте.
c) Не членам клуба пловцов не разрешается носить в клубном бассейне
полосатые плавки.
d) Я всегда в клубном бассейне ношу полосатые плавки.
(Указание. Приведите каждое утверждение к форме «Если ... то ...» и
запишите ваше рассуждение в виде диаграммы, как в задачах 7 и 8.
Например, пусть р — утверждение: «Некто является членом клуба пловцов» и
т. д.)
11+. Какое заключение вытекает из следующих предположений*
a) Прирученные львы имеют острые зубы.
b) Львы, которые едят людей, никогда не болеют.
c) Львы, которые никогда не едят людей, имеют тупые зубы.
d) Мой любимый лев, живущий у меня дома, болен воспалением легких.
Воспользовались ли вы доказательством от противного? Объясните.
§ 3. ТЕОРЕМЫ О ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЯХ
Теперь довольно легко доказать остальные теоремы гл. 3. Для
удобства сначала мы вновь сформулируем аксиомы, на которые
опираются доказательства этих теорем.
Аксиома 4 (аксиома прямой)
Для каждых двух точек существует одна и только одна
прямая, содержащая обе эти точки.
Аксиома 5
a) Каждая плоскость содержит по крайней мере три некол-
линеарные точки.
b) Пространство содержит по крайней мере четыре
некомпланарные точки.
174

Дксиома б
Если две точки какой-либо прямой принадлежат некоторой
плоскости, то и вся эта прямая принадлежит той же плоскости.
Аксиома 7 (аксиома плоскости)
Любые три точки принадлежат по крайней мере одной
плоскости, и любые три неколлинеарные точки принадлежат только
одной плоскости.
Теперь мы докажем следующую теорему.
Теорема 3.2
Если какая-либо прямая пересекает
не содержащую ее плоскость, то их
пересечение содержит только одну
точку.
Доказательство. Нам даны прямая / и плоскость Е. По
предположению мы имеем;
1°. / пересекает Ε по крайней мере в одной точке Р.
2°. Ε не содержит прямую /.
Мы проведем доказательство от противного, и потому начнем
с допущения, что
3°. I пересекает Ε в точке Ρ и в некоторой другой точке Q.
Нам нужно показать, что допущение 3° приводит к
противоречию с известным фактом. Вот как мы это сделаем. Так как обе
точки Ρ и Q принадлежат плоскости £, то из аксиомы 6 следует,
что и прямая / целиком принадлежит £, что противоречит 2°.
Следовательно, допущение 3° было ошибочно, а значит,
теорема 3.2 верна.
Конечно, иллюстрирующий это доказательство рисунок
выглядит довольно странно. Мы изобразили точку Q только для того,
чтобы напомнить обозначения, принятые в доказательстве. Само
Доказательство показывает, что такой точки быть не может.
Сопровождающие доказательства от противного рисунки всегда будут
казаться нелепыми по той простой причине, что они передают
175

невозможные ситуации. Если бы мы попытались графически^
проиллюстрировать доказательство теоремы 3.1, то полученный
рисунок выглядел бы даже еще хуже. (Этот рисунок изображал бы
невозможную ситуацию, когда две прямые пересекаются в двух
различных точках.)
Теорема 3.3
Если даны прямая и не
принадлежащая ей точка, то
существует одна и только одна
плоскость, содержащая эту прямую
и эту точку.
Пусть /-данная прямая и Ρ-данная точка. Чтобы
доказать теорему, нужно установить следующее:
1°. Существует плоскость Е, содержащая Put.
2° Существует толькоодна плоскость Е, содержащая Pul.
Утверждения 1° и 2°, вместе взятые, утверждают, что
существует ровно одна плоскость, содержащая Ρ я I.
Доказательство
1° Пусть Q и R- любые· две точки прямой I. В силу
аксиомы 7 существует плоскость Е, содержащая Р, Q и Л. В силу
аксиомы 6 плоскость Ε целиком содержит всю прямую I. 1аким
образом, Ε содержит и точку Ρ и прямую I.
2° Воспользуемся методом доказательства от противного.
Попустим, что существует отличная от Ε плоскость Ε,
содержащая Ρ и I. Тогда Ε содержит Р, Q и R. Но точки Р, Q и R
не коллинеарны по той причине, что /-единственная
прямая, содержащая Q и R (почему?), а прямая / не содержит Р.
Итак мы имеем две различные плоскости Ε и F, содержащие
неколлинеарные точки' Р, Q и R, что противоречит аксиоме 7.
Заметим что эта теорема и ее доказательство естественно
распадаются на две части. Тем самым иллюстрируется различие
между существованием и единственностью. Первая часть
доказательства устанавливает существование плоскости Е, содержащей f
и / Вторая часть устанавливает единственность плоскости,
содержащей Ρ и I. Когда мы доказываем существование, мы
устанавливаем что имеется не менее одного объекта определенного вида.
Когда мы доказываем единственность, мы устанавливаем, что
имеется не более одного такого объекта. Если случится, что мы
сумеем доказать и то и другое, то мы будем знать, что
существует ровно один такой объект.
176

Однако существование и единственность вовсе не всегда, при
любых обстоятельствах, сопутствуют друг другу. Во многих
случаях мы имеем одно без другого, а часто —ни то, ни другое.
Например, для блох, проживающих в шерсти бездомного пса,
обычно можно доказать лишь существование, но не един*
ственность. (В самом деле: счастлив пес, в шерсти которого живет
всего лишь одна блоха.) Аналогично, если х — рациональное
число, то существуют такие целые числа ρ и q, что
Но такая пара целых чисел не единственна, потому что, кроме
того,
Л~~ 2q — Zq
и т. д. Для старшей дочери встреченной нами женщины мы,
очевидно, смело можем утверждать ее единственность, но вовсе не
обязательно существование: в некоторых семьях вовсе нет детей
или все дети— мальчики. Для общих точек двух различных
отрезков не обязано иметь места ни существование, ни
единственность: пересечение двух отрезков АВ и CD может содержать
целый отрезок, или ровно одну точку, или же вовсе оказаться
пустым:
А*
Чтобы подчеркнуть двойное значение выражения «ровно один»,
это выражение часто заменяют словами: «один и только один».
Следующая наша теорема распадается на две части совершенно
таким же образом, как и теорема 3.3.
Теорема 3.4
Если даны две пересекающиеся пря-
Mble, то существует одна и только одна
плоскость, содержащая обе эти прямые.
177

Нам дано, что прямые 1г и 12 пересекаются в точке Р, а нужно
доказать два утверждения.
1° (существование). Существует плоскость £,
содержащая 1Х и /2.
2° (единственность). Существует только одна плоскость Е,
содержащая 1г и /2.
Мы Запишем эти доказательства в два столбца.
Доказательство
Утверждения
1. 1г содержит точку Q, отличную
от Ρ
2. Q не принадлежит /2.
3. Существует плоскость Еу
содержащая Q и /2.
4 Плоскость £ содержит
прямую lv
5. Допустим, что отличная от £
плоскость Е' также содержит
прямые 1Л и /2.
6. Я' содержит точку Q,
7. Обе плоскости Ε и Е' содержат
точку Q и прямую /2.
8. £' не существует.
Аргументы
По аксиоме линейки каждая
прямая содержит бесконечно много точек
В силу теоремы 3.1 прямая 1Ί
пересекает /2 только в~точке Р.
Теорема 3.3.
В силу аксиомы 6 (ибо Ε
содержит точки Ρ и Q).
Начало доказательства от
противного.
Q принадлежит прямой 1г
! Шаги 3, 4, 5 и 6.
Шаг 7 противоречит теореме 3.3.
Заметим, что доказательство 2° дает вам образец записи в два
столбца доказательств от противного. Строго говоря, фраза
«Начало доказательства от противного» не является «аргументом»; она
только объясняет, что мы имели в виду, записывая шаг 5.
Задачи к § 3
1. Какую теорему можно сформулировать таким образом: «Две пересекающиеся
прямые определяют плоскость»?
2. Если не все три прямые на левом рисунке компланарны, то сколько
плоскостей они определяют? Перечислите все эти плоскости, назвав прямые,
определяющие каждую из них.
О
к
м
178

3 Никакие три луча на правом рисунке не компланарны Сколько плоскостей
эти лучи определяют? Обозначьте каждую плоскость ее определяющими
точками.
4 Какие аксиомы или теоремы, сформулированные в § 3, устанавливают
единственность точки, существование которой установить нельзя?
5. Как указано на рисунке, точки А и В φ ρ
лежат в плоскости Е, а точка Ρ — выше
нее Какие аксиомы или теоремы
утверждают, что прямая ЛВ содержится в £?
На рисунке неявно присутствует вторая
плоскость. Назовите ее.
Каково ее пересечение с Я? Если некоторая четвертая точка Q лежит ниже
плоскости £ и не коллинеарна ни с Ρ и Л, ни с Ρ и £, то какие плоскости
при этом определяются? Сделайте чертеж.
6. Объясните, как употребляется выражение «один и только один»,
7. Допустим, что вы хотите доказать, что в плоскости существует не более
одной прямой, перпендикулярной данной прямой в данной точке Вы будете
доказывать существование или единственность? Если бы вы стали
проводить доказательство от противного, то какое допущение вы бы сделали
в начале своего рассуждения?
§ 4. ПЕРПЕНДИКУЛЯРЫ
С помощью линейки и транспортира легко восставить
перпендикуляр к данной прямой в данной ее точке: просто нужно, как
на этом рисунке, отложить угол в 90° с вершиной в данной точке
Ρ так, чтобы одна сторона РХ
этого угла принадлежала данной
прямой /, а другая — одной из
полуплоскостей, определяемых прямой /. *
Перпендикуляр должен быть единст- г I
венным, потому что на транспортире !
существует только одна пометка 90°. *
Теперь мы опишем эту ситуацию в виде некоторой теоремы,
которую затем и докажем на основании наших аксиом.
Теорема 6.1
В данной плоскости существует одна и только одна прямая,
перпендикулярная к данной прямой в данной ее точке.
Другая' формулировка. Пусть Ε — некоторая плоскость,
I — прямая в плоскости Ε и Ρ — точка прямой I. Тогда
1°. в плоскости Ε существует йрямая т, содержащая Ρ
и перпендикулярная прямой I;
2°. такая прямая т единственна.
Доказательство. 1°. Пусть Я —одна из двух
полуплоскостей, содержащихся в £ и определяемых прямой /, а X —произ-
в°льная точка прямой /, отличная от Ρ (см. рисунок выше). В силу
Υ Η
χ 90°
179

аксиомы построения углов существует луч PY, где точка У
принадлежит Я, такой, что т Ζ ΥΡΧ = 90. Пусть m = PY. Тогда
т±.1 и т пересекает / в точке Р.
2
Η
/\
2°. Допустим теперь, что две прямые т1 и т2
перпендикулярны прямой / и пересекают ее в точке Р. Мы покажем, что
mi = m2. ^
Прямые тх и т2 содержат лучи PYX и РУ2, где точки Υχ и
У2 принадлежат Я. По определению перпендикулярных прямых и
по теореме 4.8 оба угла: Ζ. Υ±ΡΧ и £ IV'-X — являются прямыми,
как указано на нашем рисунке. В силу аксиомы построения углов
это означает, что ΡΥ1 и ΡΥ2 — один итотже луч. Так как
прямые тх и т2 имеют больше чем одну общую точку, то они не
могут быть различными. Следовательно, тг = т2.
Заметим, что при доказательстве единственности
перпендикуляра к прямой / в точке Ρ мы должны были ограничиться
данной плоскостью. В пространстве к каждой прямой в каждой
ее точке можно восставить бесконечное · множество
перпендикуляров; так, все спицы велосипедного колеса перпендикулярны его оси.
Пометки на следующем ршсунке указывают, что прямая /
является медиатрисой отрезка АВ.
Определение
Медиатрисой отрезка β данной
плоскости называется прямая,
принадлежащая этой плоскости,
перпендикулярная данному отрезку и проходящая д
через его середину.
t
Каждый отрезок АВ имеет одну и только одну середину С,
а через С проходит одна и только одна прямая,
перпендикулярная прямой АВ. Следовательно, медиатриса отрезка существует
и единственна.
Следующая теорема описывает медиатрису отрезка иначе:
I ♦ ' Ь ·
ГС β
180

Теорема 6.2 (теорема о медиатрисе)
Медиатриса данного отрезка в данной плоскости есть
множество всех точек этой плоскости, равноудаленных от концов этого
отрезка.
Другая формулир овк а.
Пусть I —медиатриса отрезка АВ β
плоскости Е. Тогда:
1° Если точка Ρ принадлежит I, /' I \
2°. Если РА = РВУ то точка Ρ / L \
принадлежит L <£- ч———♦—J 1 ^»
А
/
\
\
с
в
Эта теорема доставляет нам пример так называемого
характеристического признака математического понятия. Чтобы
охарактеризовать некоторое множество точек, мы устанавливаем условие, которому
1°. удовлетворяют все точки данного множества;
2°. не удовлетворяют никакие другие точки.
В нашем случае рассматриваемое множество точек является
медиатрисой отрезка АВ, а наше условие состоит в том, чтобы
РА = РВ. Поэтому вторая формулировка теоремы, естественно,
распадается на две части, и это же относится к доказательству.
Доказательство. 1°. Пусть С —
середина отрезка АВ и Ρ — произвольная
точка прямой /. Если Р = С, то, очевидно,
РА = РВ. Допустим теперь, что Ρ не
совпадает с С, так что Ρ не принадлежит АВ.
Тогда РС — РС в силу тождественной
конгруэнтности; далее, Z. PC А д* Ζ РСВ,
поскольку оба эти угла— прямые, и
СА = СВ, так как С — середина АВ. На
основании CYC Δ PC А оё Δ РСВ. Следовательно, РА = РВ.
2°. Дано, что точка Ρ принадлежит плоскости Ε и что РА — РВ.
Если Ρ принадлежит АВ, то Р = С,
так как отрезок АВ имеет только одну
^ередину. Если Ρ не принадлежит
АВ, то Г —прямая PC, РС = РС,
LA^CB и РА=РВ. (Почему?) На
0сновании ССС, как и прежде, имеем
АРСА9*ДРСВ.
181

Поэтому согласно определению /_ PCD является прямым и,
значит, 1Г ±_АВ в точке С. Но по теореме 6.1 перпендикуляр
единствен, следовательно, /' = /. Таким образом^ точка Ρ принадлежит
/, что и требовалось доказать.
Следствие 6.2.1
Даны отрезок АВ и прямая I, принадлежащие одной плоскости.
Если каждая из каких-либо двух точек прямой I равноудалена
от А и Ву то I является медиатрисой отрезка АВ.
Доказательство, В силу теоремы 6.2 прямая I содержит
две точки медиатрисы отрезка АВ. Так как две точки определяют
прямую, это означает, что прямая I является медиатрисой отрезка
АВ.
Мы нашли, что при построении перпендикуляра к данной
прямой, проходящего через точку, принадлежащую этой прямой,
никакой проблемы не возникает: нужно только отложить угол в 90°.
Если точка не принадлежит данной прямой, то построение
становится уже не совсем тривиальным.
Пусть даны прямая / и точка Р, не принадлежащая /. Мы
хотим построить прямую, проходящую через Ρ и
перпендикулярную /. (Разумеется, мы действуем в некоторой плоскости Е,
содержащей / и Р.)
Пусть Q и R— любые две точки прямой /. Чтобы построить
перпендикуляр, сначала мы проведем луч QP и измерим £_ POR.
Затем мы проведем луч QS, где точка S лежит по
противоположную сторону от / по отношению к точке Р, как указано на
рисунке, и такова, что
ASQR^^PQR.
(Какая аксиома это позволяет?) Затем мы нанесем на луч Q§
точку Т, для которой TQ = PQ. Тогда отрезок ТР пересечет
прямую / в некоторой точке U. (Почему?) Теперь QU — QU, Z. PQU' =
Q^ATQU и TQ = PQ. Следовательно, в силу CYC /\PQUc*
^ATQU и LPUQ и £ TUQ являются прямыми. Таким обра-
182

ooUy ΤΡ J_ l, и мы построили перпендикуляр к /, проходящий
через'точку Р.
Опираясь на это рассуждение, вы должны суметь дополнить
доказательство следующей теоремы, которое мы запишем в два
столбца.
Теорем
а 6.3
Существует по крайней мере одна прямая,
перпендикулярная данной прямой и проходящая через данную точку, не
принадлежащую этой прямой.
Другая формулировка. Пусть I — прямая и Ρ — точка,
не принадлежащая I. Тогда существует прямая,
перпендикулярная I и содержащая Р.
Доказательство
Утверждения
1. Прямая / содержит две точки Q и R
2 Существует такой луч QS, где S
и Ρ лежат по противоположные
стороны от/, что Ζ SQR^/. PQR.
3 На луче QS существует такая
точка Г, что TQ = PQ
4. Точки Τ я Ρ лежат по
противоположные стороны от /.
5. Отрезок ТР пересекает прямую /
в некоторой точке U.
6. д PQU ^ Δ TQU
7· L Ρί/Q —прямой угол
8< PUL 1.
Аргументы
Аксиома линейки.
?
?
Точки Ρ и 5 лежат по
ложные стороны от /, а
Г —по одну сторону от /
?
?
?
?
противопо-
точки S и
Это доказательство, как оно здесь записано, не допускает
возможности Q = i/. Когда мы случайным образом выбрали на /
точку Qf вообще говоря, могло случиться, что PQ J_Z. Но, ко-
183

нечно, если бы это случилось, то нам далее нечего было бы
доказывать, потому что мы уже имели бы искомый
перпендикуляр, а именно, прямую PQ.
Таким образом, перпендикуляр к прямой, проходящий через
данную точку, не принадлежащую этой прямой, существует.
Теперь мы покажем, что этот перпендикуляр — единствен.
Теорема 6.4
Существует не более одной прямой, перпендикулярной
данной прямой и проходящей через данную точку, не
принадлежащую этой прямой.
rh
Доказательство. Как и большинство доказательств
единственности, это доказательство является доказательством от
противного. Допустим, что 1Х и /2 — дзе различные прямые, проходящие
через Ρ и перпендикулярные /. Пусть А и В —точки, в которых
^прямые /х и /2 пересекают /, a Q — точка луча, противоположного
лучу АР, причем такая, что AQ — AP. (Она существует по
теореме о нанесении точки.) На основании СУ С имеем
APAB^AQAB.
(Наш рисунок создает впечатление, что это не так, но вспомните,
что рисунок изображает невозможную ситуацию; ведь * наша
задача как раз и состоит в доказательстве невозможности этой
ситуации.)
Следовательно, /, РВА ^ Ζ QBA, так как это
соответствующие углы. Поэтому BQ±_l в точке В. Таким образом, сущест-
вуют две прямые, /2 и BQ, перпендикулярные прямой / в точке В,
Но это противоречит теореме 6.1, утверждающей, что в данной
плоскости существует только одна прямая, перпендикулярная
данной прямой в данной ее точке. Итак, наше допущение о том,
что существуют два перпендикуляра к /, проходящие через точку В,
было ошибочно.
184

Следствие 6.4.1
Ни один треугольник не может иметь два
прямых угла.
Доказательство. Ьсли бы оба угла:
/ Л и Ζ В—в A ABC были прямыми, то
нашлись бы два перпендикуляра к прямой АВУ
проходящие через точку С..Но в силу теоремы 6.4
это невозможно.
Определение
Прямоугольным треугольником называется
треугольник, один из углов которого является прямым. Сторона,
противоположная прямому углу, называется гипотенузой,
а стороны, смежные с прямым углом, называются катетами.
Разумеется, только предыдущая теорема дает нам право
говорить о прямом угле (единственном!) прямоугольного
треугольника.
Задачи к § 4
1. Пусть в плоскости Μ точка А принадлежит прямой / и, кроме того, AT J_ /
и AQ _]_ /. Какое заключение можете вы тогда сделать относительно AQ и
ЛГ? Почему?
2. Какая теорема утверждает, что вершина угла, противоположного основанию
равнобедренного треугольника, принадлежит медиатрисе этого основания?
3. Прямая / на этом рисунке является медиатри-
сой отрезка АВ. Длины отрезков указаны на
рисунке. Найдите х, у, г.
4 Докажите, что если D —середина отрезка ВС
<—^- -
и ΛΏ J_ ВС, то д ABC— равнобедренный
треугольник. В своем доказательстве не
пользуйтесь конгруэнтными треугольниками.

5. На этом рисунке GE = КЕ, GM = КМ и точка
Η принадлежит ЕМ. Докажите, что GH = КН,
не пользуясь конгруэнтными треугольниками.
6. Прямая / является медиатрисой отрезка QT, Точка Ρ лежит по ту же
сторону от /, что и Q. Отрезок РТ пересекает прямую / в точке R. Докажите,
что PT = PR+RQ.
7. а) Сколько существует на плоскости перпендикуляров к данной прямой
в данной ее точке?
Ь) Сколько существует в пространстве перпендикуляров к данной прямой
в данной ее точке?
8. Скопируйте этот рисунок. С помощью линейки
и транспортира постройте перпендикуляры к
прямой DB, проходящие через Л и С. Постройте
перпендикуляр к прямой Ъс, проходящий че-
' рез By и перпендикуляр к прямой ВС,
проходящий через А.
9. Какая теорема позволяет сказать:
«Пусть Л —точка, принадлежащая перпендикуляру к данной прямой /,
проходящему через данную точку В, не лежащую на /»?
10. а) Если Z, R — прямой угол в /\ POR, то
сторона PQ называется ..., а стороны RQ и RP
называются ....
Ь) Если Z. С —прямой угол в Δ ABC, то
гипотенузой является сторона..., а катетами —
стороны ... и ... .
11. Докажите, что если медиана, делящая пополам гипотенузу прямоугольного
треугольника, перпендикулярна гипотенузе, то этот прямоугольный
треугольник—равнобедренный.
12*. Дан Δ ABC, у которого АС — ВС. Биссектрисы углов при основании (Z. А
и /;β) пересекаются в точке F. Докажите, что прямая CF перпендикулярна
основанию АВ. (В доказательстве нужно рассмотреть некоторые
конгруэнтные треугольники.)
186

α* Одна из диагоналей четырехугольника делит пополам два угла этого че-
тырехугольника. Докажите, что она делит пополам и другую диагональ.
«л* Точки Л, В и С лежат в плоскости Ε. ρ
Точки Ρ и Q лежат по противоположные
стороны от Е. Дано, что PB = QB, что А —
середина отрезка^Рф и что L РВС^ L QBC.
Докажите, что PQ 1 АС,
§ 5. ВВЕДЕНИЕ В ДОКАЗАТЕЛЬСТВАХ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ
ТОЧЕК И ПРЯМЫХ.
УПОТРЕБЛЕНИЕ СЛОВА «ПУСТЬ»
Вероятно, вы уже заметили, что в некоторых наших
доказательствах мы вводили в рассмотрение точки и прямые, в
формулировке теоремы не фигурирующие. Вспомним, например, то место
в § 4, где мы хотели доказать, что всегда существует
перпендикуляр к данной прямой, проходящей через данную точку, не
принадлежащую этой прямой.
ο*\^
i
Ρ
iLt
г
1
i ^—'
υ
R
ί
Здесь заданы были только прямая / и точка Р, но для
построения перпендикуляра ТР мы ввели точки Q и R, лучи QP
и QS и точку Г.
В каждом шаге записи доказательства этой теоремы (теоремы
3-6) в два столбца в левом столбце утверждается, что действительно
существуют точки и лучи, обладающие нужными свойствами. И если
вы заполнили правый столбец правильно, то в каждом шаге вы
сделали ссылку на аксиомы (или, быть может, на теоремы),
оправдывающие соответствующее утверждение.
Однако по большей части аргументы в таких случаях очень
просты. И, записывая пункты доказательства, часто мы пользуемся
187

неформальном языком. Вот один пример, встретившийся нам в
обсуждении, предшествовавшем теореме 6.3. Мы сказали:
«Пусть Q и R — любые две точки прямой /. Чтобы построить
перпендикуляр, мы сначала проведем луч QP ...»
Математики часто так говорят, и нет причин, по которым этого
не стоило бы делать. Но если вы внимательно не следите за тем,
что происходит, то использование выражений такого рода легко
может привести к недоразумениям. Иногда может показаться, что
математики просто говорят «пусть» всякий раз, когда им хочется,
чтобы что-то выполнялось. Но, конечно же, они делают совсем
не то. Когда мы говорим: «Пусть Q и #—<- любые две точки прямой Ь,
мы утверждаем, что прямая / содержит две точки и что мы знаем,
почему это так. Поскольку мы уже доказали теоремы 6.3 и 6.4,
мы знаем, что перпендикуляр, о котором в них говорится,
существует и единствен. Поэтому мы имеем право сказать: «Пусть V —
перпендикуляр к прямой /, проходящий через точку Р». Это
сокращенный способ, позволяющий сослаться на обе эти теоремы
сразу. (Вопрос. Если бы мы знали только теорему 6.3, но не
теорему 6.4, то сокращенное утверждение какого вида мы имели
право сделать?)
Когда мы вводим вспомогательные точки и прямые в
записываемых в два столбца доказательствах, нам нужно как на
аргументы ссылаться на какие-то аксиомы или теоремы. Вот перечень
аксиом и теорем, на которые мы будем для этой цели ссылаться.
Это утверждения, говорящие нам, что некоторая точка, прямая
или плоскость существует, или единственна, или то и другое вместе.
Аксиома 4 (аксиома прямой)
Для каждых двух точек существует одна и только одна прямая,
содержащая обе эти точки.
Аксиома 5
a) Каждая плоскость содержит по крайней мере три некол-
линеарные точки.
b) Пространство содержит по крайней мере четыре
некомпланарные точки.
Теорема 2.1 (теорема о нанесении точки)
Пусть А В—луч и χ—положительное число. Тогда существует
юдна и только одна точка Ρ луча АВ, для которой АР = х.
Теорема 2.2
Каждый отрезок имеет середину и притом только,одну.
138

Теорема 3.1
Если две прямые пересекаются, то их пересечение содержит
только одну точку.
Теорема 3.2
Если какая-либо прямая пересекает не содержащую ее
плоскость, то их пересечение содержит только одну точку.
Аксиома 7 (аксиома плоскости)
Любые три точки принадлежат по крайней мере одной
плоскости, и любые три неколлинеарные точки принадлежат только
одной плоскости.
Теорема 3.3
Если даны прямая и не принадлежащая ей точка; то
существует одна и только одна плоскость, содержащая эту прямую и
эту точку.
Теорема 3.4
Если даны две пересекающиеся прямые, то существует одна и
только одна плоскость, содержащая обе эти прямые.
Аксиома 12 (аксиома построения углов)
Пусть АВ—луч, принадлежащий ребру полуплоскости Я,
Тогда для каждого числа г, заключенного между О и 180,
существует ровно один такой луч АР, что точка Ρ лежит в
полуплоскости Η и т £ РАВ = г.
Теорема 5.2
Каждый угол имеет биссектрису и притом только одну.
Теорема 6.1
В данной плоскости существует одна и только одна прямая,
перпендикулярная данной прямой в данной ее точке.
Теорема 6.3
Существует по крайней мере одна прямая, перпендикулярная
данной прямой и проходящая через данную точку, не
принадлежащую ШОй ПрЯМОй%
189

Теорема 6.4
Существует не более одной прямой., перпендикулярной данной
прямой и проходящей через данную точку, не принадлежащую
этой прямой.
Среди ^всех до сих пор рассмотренных теорем и аксиом только
что перечисленные — это те, которыми мы будем пользоваться при
введении вспомогательных точек и прямых. Но, конечно, от этих
теорем нам не будет никакого толка, если, проводя
доказательство, мы не сумеем сообразить, какие точки и прямые полезно
ввести в рассмотрение. В действительности, придумывание полезных
точек и прямых, т. е. таких, которые стоит ввести, составляет
одновременно и трудную и наиболее интересную часть нашей
работы; ссылки на теоремы —это только способ, позволяющий
гарантировать, что мы поступаем правильно.
Для изобретения доказательств нет жестких правил; можно
этому научиться только на практике.
Пр имер
Дано. Плоская фигура (см. рисунок), где
AD = AE и CD^CE.
Требуется доказать.
Так как все наши аксиомы и теоремы, относящиеся к
конгруэнтности, имеют дело с треугольниками, кажется разумным
изобразить на нашем рисунке какие-либо треугольники. Мы можем
осуществить это очень легко, проведя отрезок АС или отрезок DE.
Допустим, что мы проведем (т. е. введем А
в наше доказательство) отрезок DE так, что
наша фигура будет выглядеть как на
следующем рисунке. Это позволит нам довести
доказательство до конца, так как из того,
что т L ADE g* m L AED и т L CDE д*
= т Л CED, по аксиоме сложения углов
следует, что т L ADC = m Л АЕС.
190

Предостережение. Прежде чем «вводить» какие-либо
чки или прямые, нужно удостовериться, что они существуют.
Т? ничего легче, чем описывать воображаемые объекты, необду-
нНо приставляя какие-то слова одно к другому. Рассмотрим,
^япример, следующую «теорему» и ее «доказательство».
«Теорема»
В любом Δ Авс имеем Δ Вд^ £С.
«Доказательство». Пусть D —
точка, лежащая между_Б и__С и
такая, что BD = DC и AD±BC. Тогда
/ ADB= L ADC, так как оба эти
угла —прямые. Следовательно, ADB++
ί+ ADC есть СУС-соответствие. Поэтому
^ADB^AADC и LB^LC.
Эта «теорема» смехотворна, поэтому ее «доказательство» должно
быть неверно. И нетрудно заметить, что ошибочный шаг в
доказательстве сделан в самом начале, когда мы слишком беззаботно
воспользовались словом «пусть». Если случайно не окажется, что
Δ В^ /. С, то середина отрезка ВС и основание перпендикуляра,
проведенного к ВС из точки Л, будут двумя различными точками.
Таким образом, в большинстве случаев точка D, существование
которой мы «допустили», на самом деле не существует. Заметим,
что если бы автор этого неверного доказательства изобразил на
своем рисунке разносторонний треугольник, то его ошибка была
бы совершенно очевидной. Хорошие рисунки не гарантируют
отсутствия ошибок, но все же часто позволяют их избежать.
Задачи к § 5
• Докажите теорему, сформулированную в
2 пРИмеРе 1 на стр. 191, проведя отрезок АС.
' ί \\ РИСУН0К (обратите внимание на
пометки';· Докажите, что L М.^ L Р.
191

3. Дан рисунок, на котором AD = CB и ЛВ ·.
Докажите, что АК — СК.
4. Составьте на своем листе бумаги список аксиом и теорем, перечисленных
на стр. 189—191, вместо аксиомы 4, написав просто 4, вместо теоремы
2.1 —просто 2.1 и т. д. Если аксиома или теорема утверждает
существование какого-либо объекта, рядом с номером этой аксиомы или теоремы
напишите букву С, если единственность — букву £, если и существование
и единственность, то буквы СЕ. Например, аксиома 4 в нашем списке
должна вцглядеть так: «4СЕ».
, Даны точки А а В, лежащие в плоскости Е>
и точки Ρ и Q, лежащие по
противоположные стороны от плоскости Ε и такие, что
PA — QA и А В ±_ PQ. Докажите, что точка
В равноудалена от Ρ и Q. Как участвует в
вашем доказательстве теорема 3.4?
6. Дано. Точки Q, /?, S и Τ компланарны,
QR=QT и т L R=m L Т.
Требуется доказать. SR — ST.
Сохранит ли ваше доказательство силу, если
точки Q, R, S и Τ не компланарны?
7. Найдите ошибку в следующем
«доказательстве». Точки Б и С на сторонах L А взяты
так, чтобы АВ = АСш D — любая точка внутри
Ζ А. Проведем луч, делящий L А пополам
и содержащий точку D, а также отрезки
DC и DB. По определению биссектрисы
LDAC^. Δ DAB. Далее, AD = AD как
тождество. Следовательно, в силу СУ С Д ADC ^ &ADB и DB—DC.
Таким образом£ точка £> равноудалена от В и С.
192

8. Дано. AB^PQ и BP = AQ.
Требуется доказать.
a) L A S L Р\
b) &ABMs*APQM.
AH = RD, Δ А^ Δ R, причем
Δ Ηζζ Δ D.
9*. Дано, пи —-χ~, α. ^* = α. *χ,
#, Л, /? и D компланарны
--.- Λ« тт^тгооо^» / U
точки ϋ, /*, *χ « — "-—
Требуется доказать
10*. Наметьте второе решение задачи 9, проведя вспомогательные отрезки,
отличные от тех, которыми вы пользовались раньше.
11*. Придумайте два доказательства
следующего утверждения и скажите, какое из
них не зависит от требования, чтобы
точки Л, В, С и D были компланарны.
Дано. Рисунок, где АВ^АС и £D =
= CD.
Требуется доказать. Δ ABD ^
9Ё Δ ACD.
12*. Плоскости R и, Г на этом рисунке
пересекаются по прямой MN. Точка Ε
лежит в плоскости 7\ точка S —в плоско-
сти к, а прямая ΜΝ содержит точки А
и Υ. Докажите, что если ΕΥ = ΕΑ и
SY^SA, то Δ Ε AS ^ Δ EYS.
§ 6. КАК ОБОЙТИСЬ БЕЗ «ГСУ-АКСИОМЫ
. ИзУчение конгруэнтности треугольников в предыдущей главе
тель°СН0ВЬ1ВаЛИ на трех аксиомах: Сус> усу и ссс· в Действи-
При Ности' единственной из них, которую мы в самом деле должны
то ять за аксиому, является СУС\ если мы примем только СУС,
тавшиеся две «аксиомы» можно доказать.
193

Сначала рассмотрим случай УСУ. Пусть дано УСУ-соответствие
ABC*-* DBF,
как указано на рисунке, так что
( LA^LD;
l.l AC = DF;
XLC^LF.
Нам нужно доказать, что Д ABC ^ Д DEF.
Доказательство
Утверждения
2. Луч ЛВ содержит такую
точку В', что AB< = DE.
3. AB'C*->DEF есть СУС-соот-
ветствие.
4. ДЛ^'С — ДЯ^·
5. Ζ ACBf^ Δ DFE. .
6. CB' = CB.
7. £' = B.
8. /\ABC^&DEF.
Аргументы
Теорема о нанесении точки.
Шаги 1 и 2.
СУС.
Соответствующие углы.
Аксиома построения углов.
Две различные прямые пересекаются
не более чем в одной точке.
Шаги 4 и 7.
§ 7. КАК ОБОЙТИСЬ БЕЗ ССС-АКСИОМЫ
Теперь мы покажем, что и ССС можно дока- а
зать как теорему. Сначала мы напомним, что
единственным, чем мы пользовались в
доказательстве теоремы о равнобедренном треугольнике,
была аксиома СУС. Так как АВС*-*АСВ есть
СУС-соответствие, то /\АВСо=^/\АСВ, и
потому
Таким образом/ при доказательстве ССС мы можем
пользоваться теоремой о равнобедренном треугольнике, не впадая в
порочный круг.
194

Допустим теперь, что нам дано ССС-соответствие
ABC<~DEF.
Доказательство
Утверждения
1. AB^DE, AC^DF, BC^EF.
2. По противоположную по
отношению к точке В сторону от Л С
существует такая точка G, что
ACAGg^LD.
3. Существует такая точка Η луча
Ж?, что AH = DE.
4. AHC*->DEF есть СУС-соответ-
ствие.
5. Δ ЛНС ^ Δ DEF.
Аргументы
Дано.
Аксиома построения углов.
Теорема о нанесении точки.
Шаги 1, 2 и 3.
СУС.
Таким образом, мы построили конгруэнтную копию /\DEF
снизу от Д ABC. Этим закончена первая половина доказательства.
Во второй половине мы собираемся показать, что Д АВС^/\ АНС.
Нижеследующее доказательство относится к случак^
изображенному на нашем рисунке, т. е. случаю, когда отрезок ВН пересекает
прямую АС в точке, лежащей между А и С.
Доказательство (продолжение)
Утверждения
6. Δ АВНд^^АНВ.
7. £НВСд^£СНВ.
У' АВС++АНС есть СУС-соот-
ветствие.
u· &ABCg^&DEF.
Аргументы
Теорема о равнобедренном
треугольнике.
Теорема о равнобедренном
треугольнике.
Аксиома сложения углов.
Шаги 1, 5 и 8.
СУС.
Шаги 5 и 10.
195

Конечно, нужно рассмотреть еще два случая1).
К=А
Доказательства, отвечающие этим случаям,
вам провести самостоятельно.
мы предоставляем
§ 8· ОТНОШЕНИЕ «МЕЖДУ» И РАЗБИЕНИЕ
Если вы внимательно следили за нашими доказательствами, то
вы дважды могли уличить нас в неполноте. В доказательстве
теоремы 5.2 в действительности мы должны были знать, что середина
D отрезка ВС лежит внутри £ ВАС, Информация об этом была
нам нужна для того, чтобы убедиться, что луч AD удовлетворяет
определению биссектрисы угла. Точно так же в доказательстве ССС
в предыдущем параграфе, когда в шаге 8 мы пользовались
сложением углов, мы должны были знать, что точка К лежит
внутри Z, АНС.
Строго говоря, эти утверждения нуждаются в доказательстве.
Но почти во всех книгах, зключая «Начала» Евклида и
большинство последующих учебников, такие доказательства опущены. Не
надо думать, что это непременно плохо. Здравый смысл является
в геометрии совершенно правильным ориентиром—прежде всего
именно здравый смысл говорит нам, что наши аксиомы разумны.
И геометрия сложилась как вполне развитая наука за две
тысячи лет до того, как людям удалось выписать аксиомы, кото-
λ) Возможен также случай, когда точка К лежит правее точки С\ однако
его можно отдельно не рассматривать (почему?).
196

действительно годятся для доказательства геометрических
теорем.
Но раз уж мы выписали эти аксиомы и раз мы научились ими
хотелось бы освободить изложение от явных пробе-
и доказав теоремы, которые нам требуются.
пользоваться,
лов, сформулировав
Теорема 6.5
Если точка Μ лежит на прямой I между точками А и С,
то Μ и А лежат по одну сторону от любой другой прямой,
содержащей С.
Доказательство. Пусть Ιχ·— другая прямая, содержащая
точку С. Допустим, что А и Μ лежат по противоположные
стороны от lv Тогда отрезок AM содержит некоторую точку D
прямой lv Но отрезок AM принадлежит /, а / пересекает 1г только
в точке С. Следовательно, C = D. Поэтому в ν силу определения
отрезка точка С находится между А и М, что невозможно, так как
точка Μ лежит между А и С (см. утверждение 2° на стр. 48).
Отсюда легко получается террема, которая была нам нужна
в доказательствах теорем 5.2 и ССС.
Теорема 6.6
Если точка Μ лежит между точками В и С и если А —-
любая точка, не принадлежащая прямой ВС, то точка Μ лежит
внутри L ВАС.
А "С
Доказательство. Из предыдущей теоремы мы знаем, что
1 о < ■>
1 · точки Μ и В лежат ло одну сторону от АС. Применяя эту
теорему повторно, получаем, что
* . точки Μ и С лежат по одну сторону от A S. Но по опре-
лению внутренности угла это и означает, что точка Μ лежит
внутри £ВАС.
197

Задачи к § 8
(Замечание. В нижеследующих задачах ни из одного рисунка не нужно
«вычитывать» никакой информации.)
1+. Сделайте рисунок для следующего утверждения и докажите, что оно
справедливо. Каждая точка любой стороны произвольного треугольника,
отличная от вершины треугольника, лежит внутри угла, противоположного этой
стороне.
2+. Даны прямая АС и точка R, удовлетворяющая условию R — A—Cy точка
Б, не принадлежащая ЛС, и такие точки Ρ и. Q, что Б — Ρ— С и B — Q — A.
Дополните каждое из следующих утверждений и обоснуйте свой ответ:
a) Точка Ρ лежит внутри /.....
b) Точки Q и В лежат по ... сторону
от ЛС.
c) Точки Ρ и В лежат по ... от АС.
d) Точки Q и Ρ лежат по ... от АС.
e) Точки R и Ρ лежат по ... от Л В.
3+. Доказать. Если точка Μ лежит на
прямой / между точками Л и С, то Л и
С лежат по противоположные стороны от
любой другой прямой, содержащей Λί.
4+. Даны компланарные точки Л, В, С, D,
Ε и Ht причем Л, В и С неколлинеар-
ны и, кроме того, B — C—Dy Л — Б—С
и В — Е — Н. Докажите, что Л и Я ле·
жат по одну сторону от BD.
5*+. Доказать. Если некоторая прямая
пересекает какую-либо сторону
треугольника в точке, отличной от его вершины,
то она должна пересечь еще хотя бы одну
сторону этого треугольника,
(Указание. Пусть Нг и #2 — полуплоскости с
ребром /, причем точка С принадлежит
Нг. Нужно рассмотреть три случая:
когда точка В принадлежит прямой /,
когда В принадлежит Нх и когда В
принадлежит #2.)
6*+. Даны компланарные точки Л, Б, С, D,
Ε и Ну причем Л, Б и С неколлинеарны
-и, кроме того, B — C — Dy A —E—С и
£ —Б — //в Докажите, что точка Η лежит
внутри Ζ ACD. (Указание, Согласно
определению внутренности угла вам нужно
показать, что точки А и Η лежат по
одну сторону от прямой CD (см. задачу
4) и что точки D и Η лежат по одну
сторону от прямой АС.)
198

7*+ Следующая теорема, справедливость
которой кажется такой очевидной, часто
принимается без доказательства.
Если К— любая точка внутри^ Ζ ABC,
то луч ВК пересекает отрезок АС.
После того как вы сумеете ответить на предлагаемые ниже вопросы, вы
получите доказательство. Чтобы обосновать свои рассуждения, вы можете
пользоваться другими задачами из этого списка.
a) Пусть #х и #2 — полуплоскости, имеющие своим ребром прямую ВС,
причем точка А принадлежит Hv Возьмем любую точку D на луче,
противоположном лучу ΈΛ. Проведем отрезок DC, образовав Д DAC.
Почему точка D принадлежит #2?
b) Почему точка К принадлежит Нг? Какая теорема показывает, что
каждая точка луча ВК, исключая В, принадлежит Ях?
c) Почему каждая точка отрезка DC, отличная от С, принадлежит #2?
d) Почему отрезок DC не пересекает луча В К?
e) Почему отрезок DC не пересекает луча, противоположного лучу ΤΠξ?
f) Почему отрезок DC не пересекает прямой ВК?
g) Почему прямая ВК должна пересечь отрезок АС?
h) Почему луч, противоположный лучу ~~В>К, не пересекает отрезка АС?
i) Почему луч В К пересекает отрезок АС?
Конкурсная задача
Из следующего неверного рассуждения, которым мы пытаемся доказать,
что некоторый тупой угол конгруэнтен прямому, ясно видно, насколько важно
знать, по какую сторону от прямой лежит точка. Допустим, что □ ABCD —
прямоугольник и что его сторона ВС повернута вокруг точки В в направлении
от прямоугольника, так что ~ВС'~~ВС и L А ВС — тупой угол. Пусть ме-
ί
Ρ а отрезка А В пересекает медиатрису отрезка DC в некоторой точке X.
C.CJTH V «С ^
лежит ниже прямой А В, как показано на рисунке, то по ССС-теореме
и потому Δ AXD^& BXC
т LDAX=.m L С'ВХ.
199

Кроме того, в силу ССС Δ ЕАХ ^ Δ ЕВХ и, таким образом, т Ζ Ε ΑΧ =-
= m/ ££Х, откуда после вычитания следует, что m Ζ. DAE = m z. С BE.
Если точка, соответствующая точке X, лежит выше ЛИ, 0 С
как на нижнем рисунке, то, в точности как и раньше,
получаем т Ζ DAX = m Z С'ВХ, m Ζ. £ЛХ = m Z ££X,
и требуемое равенство следует из сложения двух
предыдущих: т -L DAE = mZ С BE. Что в этом рассуждении
неверно?
(Указание. Попробуйте сделать точный рисунок для
случая, когда т L ABC лишь чуть-чуть меньше,
чем 180. Насколько такое «доказательство» будет
проходить в этом случае?)
А Е В
Вопросы и задачи для повторения
1. Предположим, что каждое из нижеследующих утверждений вы собираетесь
доказать методом от противного. С какого допущения в каждом случае вы
начнете?
a) Если у треугольника нет двух конгруэнтных углов, то он не
равнобедренный,
b) Если даны прямая и не принадлежащая ей точка, то существует не
более одной прямой, проходящей через эту точку и перпендикулярной
данной прямой.
c) Если какая-либо точка равноудалена от концов некоторого отрезка, то
она лежит на медиатрисе этого отрезка.
d) Если две компланарные прямые перпендикулярны одной и той же
прямой, то они параллельны.
e) На плоскости существует не более одной прямой, перпендикулярной
данной прямой в данной ее точке.
f) V2 —не рациональное число.
g) Нуль не имеет обратного числа.
2. Определите медиатрису отрезка.
3. Сформулируйте теорему о медиатрисе.
4. Перерисуйте· каждый из изображенных выше треугольников, выбранных
так, чтобы каждый из них определенно был разносторонним. Постройте
медиатрисы каждой стороны каждого треугольника. Будет ли хотя бы одна
из этих медиатрис делить пополам какой-нибудь угол одного из наших
треугольников?
5. Для каждого из нижеследующих утверждений укажите, верно оно или нет.
a) На плоскости существует не более двух перпендикуляров к данной
прямой в данной ее точке.
b) Доказать, что «существует ровно один» —это значит, доказать и
существование и единственность.
c) Самая длинная сторона любого треугольника называется гипотенузой.
d) В прямоугольном треугольнике сторона2 противоположная прямому углу,
называется гипотенузой.
200

На этом рисунке АЕ^ВС, ED^CD, точка О
является серединой отрезка ЛВ и L Ε ^ L С.
Докажите, что DG 1 АВ.
Прямая I является медиатрисой отрезка ВС, причем Л —середина этого
отрезка. Точки i( и G лежат по одну сторону от прямой ВС. Точка К
лежит по ту же сторону от /, что и точка В, а точка G — по ту же сторону
от /, что и С, и при этом Ζ ВАК = L С АО. Перпендикуляр к отрезку В£
в точке В пересекает луч АК в точке D, а перпендикуляр к отрезку ВС
в точке С пересекает луч AG в точке Е. Докажите, что отрезки BE и СО
пересекаются на прямой U

7
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
НЕРАВЕНСТВА
.
* ·· ·· ···· * f-- -: ^Μ - ■ t *
*t\ <%· ■■■ ч \ ··· "- * , ъ
"■■ - |; - ····. ^· &
"":··>ν'·*;*''';νέ^'
":л ····" " ·&■$> ч · ' .^ & <. ■■
ν
^w
Jb ·

1. РАЗУМНЫЕ ГИПОТЕЗЫ
До сих пор, изучая геометрию треугольника, мы имели дело
только с условиями, обеспечивающими равенство двух
отрезков (или их длин) или двух углов (их мер). Теперь мы перейдем
к изучению условий, обеспечивающих «направленное неравенство»
отрезков или углов, т. е. то, что один отрезок больше другого
(другими словами — имеет большую длину) или один угол больше
другого (другими словами — имеет большую меру).
Начнем мы, однако, не с доказательства теорем. Сначала
выскажем некоторые разумные гипотезы о характере утверждений,
которые должны были бы быть верными. (Эти утверждения нельзя
называть теоремами, пока и поскольку они еще не доказаны.)
Рассмотрим следующий пример. Дан треугольник с двумя
сторонами неодинаковой длины. Что можно сказать об углах,
противолежащих "этим сторонам? Заметим, что зта задача естественно
возникает из теоремы 5. 3, утверждающей, что если две стороны
треугольника имеют одну и ту же длину, то противолежащие
им углы имеют одну и ту -же меру.
Эту ситуацию вы можете исследовать, нарисовав треугольник
с двумя сторонами заведомо неравной длины. Здесь ВС больше,
чем АВ, и т £ А больше, чем т £ С Начертив еще несколько
треугольников, вы, вероятно, убедитесь, что должно быть верно
следующее утверждение:
Если две стороны треугольника имеют неравные длины, то
углы, противолежащие этим сторонам, имеют неравные меры и
больший угол лежит против большей стороны.
Теперь испробуйте тот же прием на следующих задачах.
Задачи к § 1
кажД°Г0 из этих треугольников т L A >tn L В. Какую гипотезу можете
ы высказать о сторонах, противолежащих L А и L. В?
203

2. Рассмотрим любые три' треугольника. Обозначим вершины каждого из них
буквами Л, В и С. Кажется ли вам верным неравенство АВ + ВС > АС?
Что больше: ВС + АС или АВ? Как -обстоит дело с ВС и АС~\-АВ?
Какое общее утверждение подсказывается вашим ответом?
3. Рассмотрите несколько разносторонних треугольников различной формы.
Для каждого из них отметьте наибольшую сторону и наибольший угол.
Какая гипотеза здесь напрашивается? Доказывают ли ваши примеры, чТ0
она верна?
4. Нарисуйте &RST и /\АВС, у которых RS = AB, ST^BC и т L RST>
>mz ABC, Сравните RT и AC.
А В D A ' В D
А В D
5. Какую гипотезу относительно m Ζ CBD и т L ВАС вызывают у вас
изображенные здесь треугольники? Как вы думаете, останется ли ваша
гипотеза в силе, если вершина С на третьем рисунке будет удалена очень
далеко влево от вершин Л и β? Не приходит ли вам в голову, как доказать,
что эта гипотеза справедлива?
6. Нарисуйте любой /\МОР, Пусть К—точка между Μ и серединой
отрезка MP. Проведите отрезок /СО. Для /\МОР и Д КОР имеем: РО = РО,'
Ζ-Ρ=Ζ Ρ и MP > /СР. Человек, склонный к поспешным выводам,
может решить, что МО > КО. Покажите, что это неравенство выполняется
не всегда.
7. Даны прямая / и не принадлежащая ей точка Р. Пусть Q — основание
перпендикуляра, опущенного из Ρ на /, а А — какая-нибудь другая точка
прямой /. Какая, гипотеза относительно PQ и РА кажется вам справедливой?
8+. Позволяет ли описанный ниже прием произвести трисекцию любого угла?
Чтобы помочь себе ответить на этот вопрос, сделайте несколько рисунков.
На сторонах произвольного Ζ. Л возьмем точки В и С так, что АВ = АС.
Проведем отрезок ВС и разделим его на три конгруэнтные части точками D
и Ε у так что BD — DE — EC. Проведем отрезки AD и АЕ. Тогда лучи AD
и АЕ делят Ζ Л на три конгруэнтные части.
204

q+ ОС и QB — неколлинеарные отрезки, при-
* надлежащие плоскости Е, а Р — не
принадлежащая этой плоскости точка, такая,
что L PQB и ^ PQC — прямые. Напишите
верное, по вашему мнению, предложение,
касающееся РВ и PC.
i0*+. Пусть Л —точка в плоскости Е, и
АВ — ие принадлежащий этой плоскости
луч, а Л?— луч, принадлежащий Е.
Рассмотрев различные положения луча АС,
как можно точнее опишите те его
положения, при которых т L ВАС будет
наибольшей и наименьшей. Мы не ждем
доказательства, а просим вас на основании
ваших знаний о пространстве постараться догадаться, каким должен быть
ответ.
§ 2. НЕРАВЕНСТВА МЕЖДУ ЧИСЛАМИ,
ОТРЕЗКАМИ И УГЛАМИ
Неравенства, связывающие отрезки или углы, определяются
с помощью чисел, измеряющих эти отрезки и углы.
Определение
AB<CD, если AB<CD.
Другими словами, один отрезок меньше -(или короне) другого,
если он имеет меньшую длину.
Точно так же имеет место
Определение
L А < / В, если т £ А<т £ В.
Поэтому прежде чем мы перейдем к изучению неравенств,
связывающих отрезки и углы, нам нужно вспомнить законы из
§ 2 гл. 2, которым подчиняются неравенства между числами.
πι· Трихотомия
Для каждых χ и у выполняется одно и только одно из
следующих условий: х<.у, х = у, х>у.
П2· Транзитивность
Если х<:у и y<Zf то x<Zt
Пз· Закон сложения
Если а<Ь и х^у, то а + х<Ь + у.
205

П4. Закон умножения
Если x<Ly и а>0у то ах<Сау.
Алгебра, которой мы будем пользоваться при манипуляциях
с геометрическими неравенствами, будет очень проста. Нам даже
не потребуется П4, но зато нам будет нужна следующая теорема.
Теорема 7.1
Если а = Ь + с и £>0, то а>Ь.
Доказательство. Так как а — Ь = с, то а — Ь>0.
Следовательно, (a — b) + b>0 + b и а>Ь.
Задачи к § 2
1. Для каждого из следующих примеров укажите'свойство отношения
порядка, которое этот пример иллюстрирует.
a) Если т> 7 и η < 7, то п<.т.
b) Если 4<6, то 14<21.
c) Если АВ < 13, то АВ φ 13.
d) Если х — у = 7 и у < 3, то χ < 10;
e) Если Δ Λ< Δ С и Δ Β> Δ С, то Δ Α< ΔΒ.
f) Если RS<GH и 5Г<Я/С, то RS + ST < GH + HK.
2. На этом рисунке q
AB<GB и ВС<ВН.
Докажите, что АС φ GH.
Дано, что точки Л, В и С коллинеарны и что точки G, Η и /С коллине-
арны. Они расположены так, что АВ <С GH и ВС < ЯД". Следует ли
отсюда, что АС < G#? Почему да или почему нет?
4. Дано. Рисунок, где
Δ DAB < Δ DBA и Δ DAC < Δ DBC.
Требуется доказать. Δ CAB <
< Δ СВА.
Подробно объясните, почему из теоремы
7.1 вытекает такое следствие: если D —
точка внутри Δ ABC, то
Δ ABC > Δ ABD и Δ ABC > Δ CBD.
206

Дан рисунок, где точка Μ является серединой и отрезка PS и
отрезка ~RQ- Докажите, что Ζ RQT > L R.
η* Пользуясь свойством П2, докажите, что
любое отрицательное число меньше любого
положительного числа.
8*. Предположим, что свойство П3 сформулировано просто в таком виде:
При любых a, b и χ если а<Ь, то а + х <Ь-\-х.
Докажите, что остающаяся часть свойства П3
При любых я, Ь, χ и у если а<Ь и х<Су, то а-\-х <Ь~\-у
будет тогда следовать из этого утверждения как теорема.
(Указание. Установите, что а-\-х <у + Ь и x + b <y + b, и
примените П2.)
9*+. Вновь обратимся к рисунку к задаче 6, но теперь предположим, что
выполняются только следующие условия: точки S и Ρ лежат по противопо-
ложные стороны от прямой RQ, точки S и R лежат по одну сторону от
прямой RT и P — Q —Г. Докажите, что точка S лежит внутри Ζ RQT.
§ 3. ТЕОРЕМА О ВНЕШНЕМ УГЛЕ
Z. 1 на следующем рисунке называется внешним углом /\АВС.
Определение
Если точка С лежит между точками А и D, то L BCD
называется внешним углом ~/\АВС.
т. ^ак показано на следующем рисунке, всякий треугольник
меет щесть внешних углов:
207

Они образуют три пары вертикальных углов. И, как видно
из рисунка, углы каждой пары вертикальных углов конгруэнтны.
Всякий внешний угол является смежным с одним из углов
самого треугольника. Например, на нашем рисунке Ζ 1 и Ζ С
треугольника —смежные углы. Остальные два угла треугольника
называются внутренними углами, не смежными с данным
внешним углом.
Определение
Δ Α η Ζ. В /\АВС называются в нут ρ енн ими углами,
не смежными с внешними углами BCD и АСЕ.
Аналогично, Ζ А и £. С являются внутренними углами, не
смежными с внешними углами ABF и CBG.
Следующая теорема служит ключом к теории геометрических
неравенств.
Теорема 7.2 (теорема о внешнем угле)
Внешний угол треугольника больше любого внутреннегс? угла,
с ним не смежного.
В
Другая формулировка. Дан /\АВС. Если точка С
лежит между А и D, то
LBCD> СВ.
208

Заметим, прежде всего, что в этой формулировке действительно
аключено все содержание теоремы. Здесь сказано, что Ζ 1 > L В.
Изменяя обозначения (переставляя точки А и θ), получаем, что
/ 2> L А. Так как 2 1 = Ζ 2, отсюда следует, что Ζ 1 > L А.
Следовательно, L 1 больше любого угла, с ним не смежного.
Перейдем к доказательству теоремы.
Доказательство
Утверждения
1. Пусть Е — середина отрезка ВС»
2. Пусть F — точка луча,
противоположного лучу ЕА, такая, что
EF^EA.
3. LBEAc^L z CEF.
4. Д ΒΕΑ 9Ξ Δ С£Л
5. /я Ζ £ = m Z EC/7.
6. m L BCD = m L ECF + m L FCD.
7. m Ζ BCD^m LB + m L FCD.
8. mZ BCD>m Ζ Β.
9. Ζ £CD > Δ Β.
Аргументы
?
?
}
?
?
Аксиома сложения углов.
Утверждения 5 и 6.
Теорема 7.1.
Определение отношения > для углов.
Теорема о внешнем угле имеет очевидное
Следствие 7.2.1
Если треугольник имеет один прямой угол
углы этого треугольника —острые.
(если £ С—прямой угол, то прямым
является и ^ 1, Теорема о внешнем угле
Утверждает, что Ζ 1 > Ζ В и Ζ 1 > LA.
следовательно, mZ£<90 и mLA<90.)
то остальные
d.T_—^
209

Если бы мы знали теорему о внешнем угле раньше, то мы
могли бы проще доказать единственность перпендикуляра к данной
прямой, проходящей через данную точку, не принадлежащую этой
прямой (ср. выше, стр. 184). Если бы существовало два
перпендикуляра к прямой /, проходящих р
через точку Р, то Z. 1 был бы
конгруэнтен Z, PQR, что
невозможно: Z. 1 является внешним
углом Д PQR> a Z^Q# —один из
внутренних углов, с ним не
смежных.,
1 ι?
Задачи к § 3
1. а) Назовите на этом рисунке
внутренние углы треугольника, не
смежные с внешним А Л BE.
b) Какой внешний угол имеет углы
Ζ ЛВС и ζ ВАС внутренними,
с ним не смежными?
a) Какие углы на этом рисунке
являются внешними углами данного
треугольника?
b) Какое неравенство связывает
т L DAC и т L В? Почему?
c) Как связаны т L DAC и т £ ВАЕ? Почему?
d) Как связаны т L DAC и т £ ВАС} Почему?
3. Пользуясь рисунком только для пояснения обозначений, дополните каждое
из следующих утверждений на основании ранее доказанных теорем:
a) Если χ = 40 и г/ = 30, то w >— R
b) Если х = 72 и у = 73, то w ....
c) Если у = 54 и z=68, то w —
d) Если w =а 112, то χ ....
e) Если ш=150, то ζ....
f) Если χ = 25 и ζ = 90, то w ....
g) Если г = 90, то χ ... и у ....
210

Докажите, что на левом нижнем рисунке L САК> Δ G.
5. Правый рисунок является иллюстрацией к следующему утверждению:
Внешний угол четырехугольника больше каждого внутреннего угла, с ним
не смежного.
Верно ли это утверждение? Объясните.
а) Луч PS на этом рисунке является
биссектрисой L RPM. Докажите, что^
Ζ SCM> L SPM.
b) Докажите, что если L SCV ^ L PRV,
то L PRT > L S.
7. Даны любые два отрезка, А В и DE. Можете ли вы придумать утверждение,
касающееся А В и DE, которое всегда было бы верно? В чем оно состоит?
Приведите основание для вашего ответа.
Объясните, почему пометки на этом
рисунке указывают невозможную ситуацию.
9+. Докажите следующую теорему:
Сумма мер любых двух углов треугольника меньше, чем 180.
Другая формулировка. При
обозначениях мер углов треугольника,
Указанных на этом рисунке,
а + Ь< 180,
& + с<180,
а + с< 180.
211

Ϊ0+. Докажите следующую теорему:
Углы при основании любого равнобедренного треугольника являются
острыми.
(Указание. Примените теорему из задачи 9.)
§ 4. ТЕОРЕМЫ О КОНГРУЭНТНОСТИ, ОСНОВАННЫЕ
НА ТЕОРЕМЕ О ВНЕШНЕМ УГЛЕ
Определение
Дано соответствие ABC++DEF между двумя треугольниками:
Если конгруэнтны две соответствующие стороны и две пары
соответствующих углов, то соответствие ABC — DEF называется
СУ У-соответствием. (Здесь, разумеется, буквы СУУ заменяют
слова: сторона, угол, угол.)
Теорема 7.3 (СУУ-теорема)
Каждое СУ У-соответствие является конгруэнтностью.
Из УСУ мы уже знаем, что если конгруэнтные стороны
заключены между конгруэнтными углами, то наше соответствие является
конгруэнтностью. Поэтому мы можем сформулировать теорему
иначе, считая, что нам задано соответствие того типа, которое
проиллюстрировано на предыдущем рисунке.
Другая формулировка. Даны Δ ABC и Δ DEF. Если
LA=LD, LB^LE и IC^DF,
то
AABC^ADEF.
Доказательство. Для А В к DE имеются три возможности:
AB^DE, (1)
. AB<DE, (2)
AB>DE. (3)
212

Если имеет место равенство (1), то теорема доказана, так как
этом случае соответствие ЛВС — DEF является СУС-соответ-
ствием. Мы покажем, что неравенства (2) и (3) невозможны.
Допустим, что выполняется неравенство (2): AB<.DE. Пусть
#' —такая точка луча АВ, что AB'=DE. Тогда в силу СУС
д АВ'С^ Δ DEF. Следовательно, Ζ АВ'Сд^ L DEF. Значит,
^ АВС^ L АВ'С. (Почему?) Но это невозможно, поскольку
теорема о внешнем угле утверждает, что Ζ Л SO L АВ'С.
Совершенно аналогично можно показать, что невозможно и
неравенство (3): AB>DE. Вы сумеете провести это рассуждение сами.
Поскольку неравенста (2) и (3) невозможны, должно
выполняться равенство (1) и в силу СУС /\ABC^/\DEF. Это
завершает доказательство.
В предыдущей главе мы нашли, что такой вещи, как «ССУ-
теорема», не существует. Иными словами, ССУ-соответствие не
всегда является конгруэнтностью. Мы можем, однако, доказать
такого рода теорему в случае прямоугольных треугольников.
Тео:
рема 7.4 (теорема о гипотенузе и катете)
Дано некоторое соответствие между двумя прямоугольными
РеУ голь пиками. Если гипотенуза и один катет первого тре-
цго Ьника К0нгруэнтны соответствующим элементам второго тре-
ьника> то это соответствие является конгруэнтностью.
213

Другая формулировка. Даны /S ABC a /\DEF, причем
т LA^m L D = 90,
AB^DE, BC = EF.
Тогда
Доказательство
Утверждения
1. На луче, противоположном лучу
DF, существует такая * точка G,
что DG^AC.
2. ADEGQ^AABC.
3. EG^BC.
4. LGZzLLC.
5. EG = EF.
6. LF<=^ LG.
7. Д DEF с* Д DEG.
8. &ABCg*/\DEF.
Аргументы
?
?
?
?
Шаг З и условие.
?
Шаги 5 и 6 и СУУ.
Шаги 2 и 7. 1
Задачи к § 4
1. Перечислите все известные вам методы
доказательства конгруэнтности треугольни·
ков.
2. Дано. FT JlRT, SV ± QV, RT = QVt
PQ^SR.
Требуется док а з а ть/ PT — SV.
214

3 Отрезок А В па этом рисунке делится пополам отрезком CD и Ζ С ^ Ζ D.
Докажите, что отрезок CD делится пополам отрезком АВ.
4, Дано. LK^LJ и MR^NR.
Требуется доказать. MK^NJ.
5. Из середины одной стороны треугольника проведены отрезки,
перпендикулярные двум другим сторонам. Докажите, что если эти отрезки конгруэнтны,
то треугольник — равнобедренный.
6, Дано. £--середина отрезка АВ, AD ± А В
' иЖ ±.1В и Ζ ADE ^ Ζ ВСЕ.
Требуется
i Ζ ECD.
доказать. Ζ EDC ^
Точки К и iyi делят отрезок GH на три равные части, причем
G — K — M. Точки I ц J лежат по одну сторону от прямой GH на
перпендикулярах к этой прямой, восставленных соответственно в точках G и Н.
Далее, JM — IK. Отрезки УТЙГи IK пересекаются в точке Р. Докажите,
что Д Ρ КМ — равнобедренный треугольник.
8* ΐ-u
• па этом рисунке ζ D и Ζ С —прямые углы и Д APR ^ Д BQT.
Докажите, что д ADF о* Д £С£.
• ^Точки Л, β и Q лежат в плоскости Et ~AQ ± ~PRf ~Щ ± Р# и Ζ РЛЯ ^
= ^ РВЛ. Докажите, что Д РЛ# ^ Д P&R.
215

§ 5. НЕРАВЕНСТВА, СВЯЗЫВАЮЩИЕ
ЭЛЕМЕНТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА
Теперь мы перейдем к доказательству некоторых теорем,
высказанных нами в начале этой главы в качестве гипотезы.
Теорема 7.5
Если две стороны треугольника не конгруэнтны, то и углы,
противоположные этим сторонам, не конгруэнтны и больший
угол лежит против большей стороны,
А
J ^ ι » '^^^ >Ч
Другая формулировка. Если в произвольном Д ABC
выполняется неравенство АВ> АС, то и Δ С> £ В.
Доказательство. Пусть D — такая точка луча АС, что
AD = AB. Тогда Ζ ABD^ Ζ А потому что углы при основании
равнобедренного треугольника конгруэнтны. Так как AD = АВ>
>АС, то точка С должна лежать между А и D. Поэтому по
аксиоме сложения углов
т Ζ ABD = m Ζ ABC + m Ζ CBD.
Следовательно,
т LABC<m L ΑΒΌ.
(Почему?) Теперь мы перестанем пользоваться мерами углов
и перепишем последнее неравенство просто в виде
LABC</_ABD.
Так как Ζ ABD^ Ζ D, то отсюда следует, что
Z.ABC<£D.
Но из теоремы о внешнем угле мы знаем, что
LD<LACB.
Следовательно,
LABC<L ACB.
Итак, в /\АВС мы имеем Z^<ZC, что и требовалось
доказать.
216

Теорема 7.6
Если два угла треугольника не
конгруэнтны, то и стороны,
противоположные этим углам, не
конгруэнтны и большая сторона лежит
против большего угла. е
Другая формулировка. Если в произвольном /\АВС
выполняется неравенство Δ С> Z. В, то и АВ>АС.
Доказательство. Для чисел АВ и АС имеются три
возможности:
АВ<АС, (1)
АВ = АС, (2)
АВ>АС. (3)
Если бы выполнялось неравенство (1), то из предыдущей
теоремы следовало бы, что ZC<CZ,£> a это неверно. Таким
образом, неравенство (1) невозможно.
Если бы выполнялось равенство (2), то Ζ В и £ С были бы
углами при основании равнобедренного треугольника. Это давало бы
L В = L С, что неверно. Таким образом, и равенство (2)
невозможно.
Остается только одна возможность — неравенство (3), что мы
и хотели доказать.
Все это — лишь удобный способ записи доказательства от
противного. То же самое мы могли бы более формально сказать так:
«Допустим, что теорема неверна. Тогда либо АВ = АС, либо
АВ<сАС. Равенство АВ = АС невозможно потому, что
—Неравенство АВ<АС невозможно потому, что — Поэтому наше
Допущение было ошибочно. Следовательно, теорема верна».
Но схема, которой мы пользовались' в первый раз, пожалуй,
логически проще, и мы будем пользоваться ею в дальнейшем. Идея
состоит в том, чтобы перечислить все имеющиеся в данной
ситуации «возможности», а затем показать, что только одна из них
действительно возможна.
Задачи к § 5
*· β А ЛВС имеем АВ = \2, БС = 7, ЛС = 9. Назовите наибольший угол;
наименьший угол.
Δ PQR имеем т^Р== 72, mzQ = 37 и т^^ = 71. Назовите
наибольшую сторону; наименьшую сторону.
217

3. На левом рисунке L ABD > L DBC. Докажите, что AD > BD.
4. Перечислите стороны правого треугольника в порядке возрастания их длин. ■
5. Какой отрезок на левом рисунке имеет наибольшую длину, если углы
имеют указанные меры? Тот же вопрос для правого рисунка.
6. Какой отрезок на левом рисунке имеет наименьшую длину, если углы имеют
указанные меры? Тот же вопрос для правого рисунка.
7. Отрезки АВ и CD (левый рисунок) пересекаются в точке Е, L С > Ζ А
и ZD>Z5. Докажите, что АВ > CD.
8*. В равнобедренном Д KGH
(правый рисунок) имеем KG — KH,
Р —любая точка прямой GH, не
принадлежащая отрезку GH.
Докажите, что РК всегда больше,
чем KG и КН.
9*. Какой отрезок на этом рисунке
имеет наименьшую длину, если Εέ
углы имеют указанные меры?
61°
'98°
6Г
JS'
42°
№
Μ
45°
420° 351
/25:
218
А

§ 6. ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ
Теоремы 7.5 и 7.6 связаны некоторым специальным образом;
0Нй называются взаимно обратными (а каждая из них —
обратной к другой). Связь между ними будет легче увидеть, если
сформулировать их следующим образом:
Теорема 7.5
Дан A ABC. Если АВ>АС, то Ζ С> Ζ В.
Теорема 7.6
Дан Δ ABC. Если Ζ С> L В, то АВ>АС.
Много таких примеров мы встречали и раньше. Например,
Теорема 5.3
Если две стороны треугольника конгруэнтны, то и углы,
противоположные этим сторонам, конгруэнтны.
Теорема 5.4
Если два угла треугольника конгруэнтны, то и стороны,
противоположные этим углам, конгруэнтны.
И здесь связь между этими теоремами станет более очевидной,
если сформулировать их иначе.
Теорема 5.3'
Дан /\ ABC. Если АВ=-АС, то LC^LB.
Теорема 5.4'
Дан А АВС. Если LC^LB, то АВ = АС.
После того как мы доказали какую-нибудь теорему, имеющую
простую форму «если ..., то», обычно -имеет смысл исследовать
обратную ей теорему. В каждом случае нужно проводить
отдельное исследование, так как легко может случиться, /что теорема,
ооратная верной теореме, вовсе не верна. Мы знаем, наприм_ер,
что если два угла вертикальны, то они конгруэнтны. Обратная
теорема утверждала бы, что если два угла конгруэнтны, то они
вертикальны, а это не только не верно, но совершенно нелепо.
"алогично, если х==//' то ^2 = *Л Обратная теорема
утверждала бы, что если л:2 = *Д то х = у. Таким образом, и здесь
ратная теорема не верна: она исключает возможность, что
~—у-
eg сли окажутся верными и сама теорема и теорема, обратная
то мы можем объединить их в одной теореме с помощью слов
219

«в том и только в том случае». Например, теоремы 7.5 и 7.6
можно объединить так:
Теорема
Дан ДА ВС. АВ> АС β том и только β том случае, если
АС>£В..
А теоремы 5.3 и 5.4 объединяются так:
Теорема
Два угла треугольника конгруэнтны в том и только в том
случае, если стороны, противоположные этим углам, конгруэнтны.
Задачи к § 6
1. Напишите утверждение, обратное каждому из следующих утверждений.
- Постарайтесь решить, верно или нет каждое из этих утверждение и каждое
из обратных утверждений.
a) Если вам больше 20 лет, то вы имеете право голоса.
b) Если вы находитесь в Африке, то вы видите львов и слонов.
c) Каждый, у кого скарлатина, серьезно болен.
2. Сделайте то же, что в задаче 1. '
a) Если два угла конгруэнтны, то они — прямые.
b) Если два угла образуют линейную пару, то они пополнительны.
c) Любая точка медиатрисы некоторого отрезка равноудалена от концов
этого отрезка.
d) Если два угла дополнительны, то каждый из них —острый.
3. Когда Джона попросили сформулировать утверждение, обратное
утверждению «Если я слишком долго буду держать горящую спичку, то я обожгусь»,
он сказал: «Я обожгусь, если буду слишком долго держать горящую спичку».
Является ли предложение Джона обратным первоначальному утверждению?
Обсудите.
4. а) Будет ли утверждение, обратное любому верному утверждению, верно?
Постарайтесь обосновать ваш ответ.
Ь) Может ли утверждение, обратное неверному утверждению, быть верным?
Постарайтесь обосновать свой ответ.
5. Пользуясь словами «в том и только в том случае», объедините две
следующие теоремы в одну:
Каждый равносторонний треугольник равноуголен.
Каждый равноугольный треугольник равносторонен.
6. Разбейте следующую теорему на две теоремы в форме «если... , то»:
Треугольник является равносторонним в том и только в том случае,
если биссектриса каждого угла этого треугольника служит медиатрисой
противоположной стороны.
Какая из этих Двух теорем соответствует части «только в том случае,
если» сформулированной нами теоремы?
220

§ 7 РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ТОЧКОЙ.
НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА
Теорема 7.7 (первая теорема о минимуме)
Из всех отрезков, соединяющих данную точку с данной
прямой кратчайшим является отрезок, перпендикулярный этой
прямой.
Другая формулировка. Даны прямая I и не
принадлежащая ей точка Р. Если PQ ±_1 в точке Q и если R—другая
точка прямой I, то PQ<iPR.
Доказательство. По предположению т £ Q = 90. По
следствию 7.2.1 £ R— острый угол. Таким образом, т Ζ R<m Z. Q.
По теореме 7.5 PR>PQ.
Расстоянием между точкой Ρ и прямой / естественно считать
минимальное расстояние между Ρ и точками прямой /.
Из предыдущей теоремы мы знаем, что такое минимальное
расстояние существует, и знаем, где оно достигается. Поэтому
наше определение можно сформулировать так:
Определение
Ρасстояние между прямой и не принадлежащей
еи точкой есть длина перпендикуляра, опущенного из этой
точки^ на^ эту прямую. (Расстояние между прямой и
принадлежащей ей точкой по определению равно нулю.)
(здесь под длиной перпендикуляра, опущенного из точки Ρ на
прямую /, понимается длина отрезка PQ, где Q — такая точка
прямой /, что PQ±L)
Дат е^УЮ1даяо теорема говорит нам, что, как и следовало ожи-
ь> обходный путь всегда длиннее прямого.
221

Теорема 7.8 (неравенство треугольника)
Сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины
третьей его стороны.
Другая формулировка. В любом /\АВС выполняется
неравенство:
АВ + ВОАС.
Доказательство. Пусть Д как указано на рисунке,— такая
точка луча, противоположного лучу ВС, что BD = BA. Тогда
DC = DB + BC,
так как точка В лежит между D и С. Следовательно,
DC = AB + BC. (1)
Далее,
т Ζ DAC = m Ζ DAB + m Ζ ВАС,
так как В лежит внутри Ζ DAC. Следовательно,
т LDAC>m Z DAB.,
Но
т £0 = т Ζ DAB,
так как BD = BA. Поэтому
т /mDAC>m Z £>· (2)
Применяя к /\ADC теорему 7.6, получаем
DC>AC. (3)
Сопоставляя (1) и (3), находим,
ЛВ + ВОЛС,
что и требовалось доказать.
Задачи к § 7
1. Мы можем утверждать, что на рисунке слева CD <. ... и CD < ... и что
BE< ... и ££< .... Сформулируйте теорему г из которой это следует. <-
222

2 Учитывая угловые меры, указанные на рисунке, расставьте PSy PR и PQ
в правильном порядке в следующей цепочке неравенств: ... < ... < —
Приведите теоремы, подкрепляющие ваше заключение.
3 Докажите, что сумма длин диагоналей четырехугольника меньше периметра
этого четырехугольника. ' м
Ρ
4, Докажите, что на рисунке
ЕР + РМ + МК>ЕК.
5. 'На вопрос этой задачи вы можете ответить экспериментально, или если
угодно, путем рассуждения. Допустим, что вы нарисовали треугольник, две
стороны которого имеют длины 3 см и 7 см. Тогда третья сторона должна
иметь длину, меньшую, чем ..., и большую, чем ....
6. Две стороны-треугольника имеют длины / и k. Если / < ky то какие
ограничения накладываются на длину третьей стороны х?
7. Дана прямая / и две точки Ρ и Q,
лежащие по одну сторону от /. Найдите ^
такую точку R прямой /, для которой
сумма PR-^-RQ является наименьшей. φ ρ
(Указание. Это "легко сделать, если
вы решили задачу б к § 4 гл. 6.)
/
•0
8. Даны два отрезка, АС и ~Ш),
пересекающиеся в точке Р. Докажите, что если
^ —любая, отличная от Ρ точка
плоскости, в которой лежат отрезки АС
и BD, то XA + XB + XC + XD>PA + д
\~PB-\-PC-\~PD. Останется ли этот
Результат в силе, если точка Х_не
принадлежит плоскости отрезков АС и BD7
• усть Л, В и С —точки, не обязательно различные,
-т-аС^АС. (Нужно рассмотреть несколько случаев.)
• X?
9*J-
Докажите, что
223

A<*
ΙΟ*"1". Докажите, что кратчайшая ломаная, соединяющая две данные точки,
есть отрезок с концами в этих точках.
Другая формулировка. Даны η точек Лъ А2> ..., Ап. Докажите, что
ЛгЛ2 + А2А3+... + Ап_±Ап ^ АхАп.
§ 8. ТЕОРЕМА О ШАРНИРЕ И ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА
В
Рассмотрим две связанные
в точке А шарниром: палки АВ
и АС, другие концы В и С
которых соединены тонкой
резинкой:
Если палки развернуть
шире, то резинка должна
растянуться :
Переводя сказанное на геометрический язык, получаем
следующую теорему. (Вы, возможно, сочтете, что вторая
формулировка звучит проще, чем формулировка самой теоремы.)
Теорема 7.9 (теорема о шарнире)
Если две стороны одного треугольника соответственно
конгруэнтны двум сторонам другого треугольника и если угол,
заключенный между указанными сторонами первого треугольника, больше
угла, заключенного между соответствующими сторонами второго,
то третья сторона первого треугольника больше третьей
стороны второго треугольника.
Другая формулировка. Даны Д Л23С и /\DEF, причем
AB = DE и AC = DF. Если L A> L D, то BC>EF.
В
224

Доказательство. Шаг /.
г,«рм с построения такого Д А КС
Начнем с построения
„ веошиной К, лежащей внутри
1в1с, что Д^КС^Д^/7·
Чтобы это сделать, сначала (пользуясь аксиомой построения
углов) возьмем такой луч AQ, что точка Q лежит от прямой АС
По ту же сторону, что и точка В и что £QAC^ Z, D. Затем
(по теореме о нанесении точки) возьмем такую точку К луча AQ>
что AK — DE. На основании СУ С имеем /\AKCg^/\DEF, как
мы и хотели.
д/аг 2. Теперь мы разделим
пополам £ ВАК и обозначим
буквой Μ точку пересечения
биссектрисы этого угла с отрезком
ВС.
Мы уже близки к
доказательству теоремы. В силу СУС
1\АМВд*/\АМК.
Следовательно, МВ~МК. Применяя к /\СКМ неравенство
треугольника (теорему 7.8), получаем
ск<см + мк.
Поскольку МВ=:МК, отсюда следует, что
ск<см+мв.
Так как
CK^EF и СМ + МВ^ВС,
то
EF<BC,
что и требовалось доказать.
Верна и теорема, обратная теореме 7.9.
еорема 7.10 (обратная теорема о шарнире)
энп U^ee стоР°ны одного треугольника соответственно конгру-
ронНЫ сторонам другого треугольника и если третья спю-
угол Первого тРеугольника больше третьей стороны второго, то
уголь Заключенный между указанными сторонами первого
трестаnc)UKa> ^ольхт угла, заключенного между соответствующими
зонами второго треугольника.
225

Другая формулировка. Даны /\АВС и ADEF, прц
чемАВ = ОЕ и AC = DF. Если BOEF, то £ А> ^ D.
Чтобы вывести эту теорему из теоремы о шарнире, поступим
так же, как тогда, когда мы выводили теорему 7.6 из теоремы 7.5.
Иными словами, покажем, что неравенство L А < Z. D и конгру!
энтность Ζ Α = Ζ D невозможны, так что остается лишь
единственная возможность: Δ А> £ D. Для первой части
доказательства нужна теорема о шарнире, а для второй части — СУ С,
Подробное доказательство проведите сами.
Задачи к § 8
1. На этом рисунке
AD = CD и L ADB> L CDB.
Докажите, что АВ > ВС.
0Л
А
2. 5-—точка основания равнобедренного APQR, отличная от середины.
Докажите, что луч PS не является биссектрисой L RPQ-
3. Дано. Д ABM с медианой MKt причем L МКВ> Ζ ΜΚΑ
Требуется доказать. AM > MB. q
4. Δ ABC и Δ ABD имеют общую
сторону АВ и AC = AD. Докажите, что если
точка С лежит внутри L DABy то BD > ВС.
5. В ARST точка Μ является серединой
стороны RS h,RT>ST. Тогда /.TMR —
тупой или острый? Объясните.
6. Докажите, что на рисунке (обратите
внимание на пометки!) /, W > Z. V*
226^

7 На рисунке слева FH = AQ и AH>FQ. Докажите, что AB>FB.
8* На рисунке справа AD = BC. Докажите, что AODB.
q* В Л ABC имеем A — F — C и A — D — В) причем FC = DB. Докажите, что
'если АВ> АС, то FB>CDs
§ 9. ВЫСОТЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
На каждом из этих рисунков отрезок ВО является высотой
&АВС:
В
В каждом случае отрезок BD принадлежит перпендикуляру,
опущенному из В на прямую АС, называется высотой,
проведенной из вершины В к стороне АС. Заметим, что основание
этого перпендикуляра не обязано принадлежать отрезку АС. Но
все случаи учитываются в следующем определении.
Определение
Высота треугольника есть отрезок, принадлежащий перпен-
оикуляру, опущенному из какой-либо вершины треугольника на
прямую, содержащую
противоположную сторону, и заключен-
пыи между этими вершиной и
стороной.
(Вопрос. Может ли высота
требника быть стороной этого -
какГ^НИКа? ЕСЛИ Аа' то ПРИ
*£Х Условиях это возможно?)
^f^^TT*треуголь-
ной г, ри ВЬ1С«ты: по од-
*4тТ*Ттой т каждой
ДУюТ™, Это показано на сле:
Аующем рисунке:
227

Здесь BD — высота, проведенная из вершины В; АЕ — высота,
проведенная из вершины А и CF — высо/ra, проведенная из
вершины С. Заметим, что ^хотя в этом конкретном случае никакие
два из отрезков BD, AE и CF не имеют общей точки, все три
содержащие их прямые, как видно из рисунка, пересекаются
в одной точке G.
К сожалению, то же слово «высота» употребляется еще в двух
смыслах:
(1) Иногда длина высоты также называется высотой. Так, если
расстояние BD равно 6, то можно сказать, что высота,
проведенная из вершины β, равна 6.
(2) Прямая, содержащая высоту, также называется высотой.
Так, на последнем рисунке прямые BD, АЕ и CF можно
называть высотами. Именно в этом смысле мы употребляем словс^
«высота» в гл. 15, где мы докажем, что три «высоты» треуголь-~
ника всегда пересекаются в одной точке. Если бы высота непременно'
была отрезком, то, как показывает последний рисунок, эта теорема
была бы, конечно, неверна.
Такое тройное значение одного и того же слова легко могло бьГ
приводить к недоразумению. Но обычно этого не бывает, потому
что в большинстве случаев из контекста видно, какое из этих
значений имеется в виду.
Задачи к § 9
1. Перерисуйте Δ ЛВС. Обратите внимание на то,
что он разносторонний. Проведите биссектрису
треугольника из вершины С. Затем проведите
из вершины С медиану. Наконец, проведите
из С высоту. Если вы начертили аккуратно,
то вы должны увидеть, что эти три отрезка
различны. В каком треугольнике биссектриса,
медиана и высота совпадают?
2. Перерисуйте этот тупоугольный треугольник и
проведите три его высоты.
3. Докажите, что высота, проведенная из
вершины, противоположной основанию
равнобедренного треугольника, одновременно является
также и медианой.
228

Докажите следующую теорему:
Высоты, проведенные из вершин,
противоположных конгруэнтным сторонам
равнобедренного треугольника, сами конгруэнтны.
Ша рисунке изображен случай, когда т<С <
^ 90 Рассмотрите также случаи, когда
mZC = 90 и т ZC>90.)
5 Докажите. Высоты равностороннего треугольника конгруэнтны.
6 докажите теорему, обратную теореме задачи 4:
Если две высоты треугольника конгруэнтны^ то этот треугольник-
равнобедренный.
7 Докажите следующую теорему:
Дано соответствие ЛВС *-*■ DEF. Если
AB = DE, BC — EF и высота, проведенная из
вершины С, конгруэнтна высоте, проведенной
из вершины F, то это соответствие является
конгруэнтностью.
JUho^ AB = DE
ты CG и FH. CG=FH.
BC = EF. Высо-
Требуется доказать. /\ЛВС ^
^ Δ DEF.
8. Докажите, что периметр треугольника больше, чем сумма трех его высот.
Вопросы и задачи для повторения
1. Для каждого из этих примеров укажите, какое свойство отношения
порядка он иллюстрирует.
а) Если г > б и б > t9 то t < л
Ь)ЕслиМЯ = 3 и Я5 = 7, то MP + RS = 10.
с) Если DK^U и DK^ 11, то D/C=ll.
Объясните, почему если D — точка, лежащая внутри Δ ЛВС, то L АВС>
*> Z. DBC·
3· Если « = 20, то * ....
Если 6 = 65, то* ....
Ес*и с = Ю0? то* ....
fb° c°
229

4. Определите расстояние между точкой и
прямой- Определите высоту треуголь-
5. Докажите, что если медиана,
проведенная к какой-либо стороне треугольника,
не перпендикулярна этой стороне, то
хотя бы две стороны треугольника не
конгруэнтны,
6. Три проволочные растяжки равной длины поддерживают недавно
посаженное на горизонтальной площадке дерево. Будут ли закрепляющие их в земле
колышки находиться на равном расстоянии от основания дерева, если все
три растяжки прикреплены к дереву на одной высоте? Почему?
7. Из различных вершин равностороннего треугольника проведены медиана,
биссектриса и высота. Что можно ска*
зать об их длинах?
8. Докажите, что на рисунке L AD В > L С.
9. В Д ЛВС имеем АС > АВ. Докажите,
что если D — любая точка между В к С,
то AD<AC.
10. Докажите следующую теорему:
Любая точка .биссектрисы угла
равноудалена от сторон этого угла.
Дано. Луч АР делит пополам L ВАС.
ТЁ±АВ.
PF ±АС.
Требуется доказать. PE = PF.
П. Какой отрезок является наименьшим,
если меры углов указаны на рисунке?
Объясните свое рассуждение.
'62 <
{55°
i?4°
230

l2 Плоскости Ε и F пересекаются по ч
прямой ΑΊ3. Точка С лежит в
плоскости F, а точка D — в плоскости Е.
Кроме jroro, CB = AD, C~A ±Тв и
DBX.AB. Докажите, что CA = DB.
13. Отрезки, соединяющие
с тремя его вершинами
-\-s-\-t больше,
некоторую точку, лежащую внутри треугольника,
имеют длины г, s и t. Докажите, что сумма r-f-
чем половина периметра этого треугольника.
-медиана Δ ABC,
и С отрезки, пер-
14. Доказать. Если AM
то проведенные из В
пендикулярные прямой AM, конгруэнтны.
15. На этом рисунке PT~TR = RQ.
Докажите, что
PR>RQ.
16*.,Докажите следующую теорему:
Если из любой точки перпендикуляра к некоторой прямой проведены
к этой прямой два наклонных (не перпендикулярных) отрезка, то тот
отрезок, конец которого, лежащий на данной прямой t дальше отстоит от
основания перпендикуляра, имеет большую длину.
17*. Дано, что АС^ВС, АВ < АС и
A — C — D. Доказать, что Δ ABD — °
разносторонний треугольник.
• Доказать, что сумма расстояний от
любой точки, лежащей внутри
треугольника, до концов одной из его сторон
меньше суммы длин других двух сторон,
^ными словами, доказать, что а + Ь>
19:
Если
т У η ~~\РРям°й угол в Д ЛВС.
(У^-2т/Л, то АВ = 2ВС.
Δ #^3ание- Проведите биссектрису
231

20*. а) Дан Δ ABC, где БС = а, АС^Ь и АВ~с. Докажите, что |а —6|<Ct
b) Сформулируйте словами теорему, обобщающую предложение из задачи а)!
21 *+. Сумма мер углов треугольника меньше, чем 270»
22+. На оснований сформулированных в этой книге ранее аксиом и уже
доказанных теорем нельзя доказать, что сумма мер трех углов треугольника
равна 180 (факт, с которым вы через некоторое время познакомитесь).
Однако мы легко можем построить треугольник специального вида и дока-
зать, что сумма мер его углов меньше, чем 181.
Пусть Ζ ВАС имеет меру 1 (аксиома построения углов). На лучах А В
—>
и АС возьмем точки К и Μ так, что АК = АМ. Сумма мер углов Δ А КМ
меньше, чем 181. Почему? Если мы сделаем mZ Л = -г-} то что мы сможем
сказать о сумме углов полученного треугольника?
Конкурсная задача
Пусть прямая BD пересекает прямую АС в точке В> лежащей между
А и С. Перпендикуляры, проведенные из точек Л и С к прямой BD,
пересекают эту прямую соответственно в точках Ρ и Q. Докажите! что точки Ρ
и Q не лежат по одну сторону от АС.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ
И ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ
^-' * /Г> ч. ^
: s P\*v .

1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМЫХ
И ПЛОСКОСТЕЙ
В этой главе нас будут интересовать фигуры, не лежащие
одной плоскости, поэтому прежде, чем вы приступите к чтению
Втой главы, вам стоит просмотреть гл. 3, в которой введены
основные понятия пространственной геометрии.
Перпендикулярность прямой и плоскости определяется
следующим образом:
Определение
Прямая и плоскость называются перпендикулярными,
если они пересекаются и если каждая прямая, лежащая в данной
плоскости и проходящая через точку их пересечения,
перпендикулярна данной прямой. Если прямая I и плоскость Ε
перпендикулярны, то мы пишем I ±,Е или ΕΆ.Ι.
Если Р —точка их пересечения, то мы говорим, что 1±_Е
в точке Р.
~ж
На этом рисунке показаны три прямые, лежащие в £ и
проходящие через точку Р. В соответствии с нашим определением
все они должны быть перпендикулярны прямой / в точке Р,
хотя может показаться, что это и не так. (На чертеже,
выполненном с учетом законов перспективы, перпендикулярные прямые
не всегда выглядят перпендикулярными.) Заметим, что если бы
мы потребовали только, чтобы одна прямая плоскости Ε была
перпендикулярна прямой /, то это ничего бы не дало: вы легко
можете убедиться, что каждая плоскость, проходящая через Р,
содержит такую прямую. С другой стороны, если бы оказалось,
мгГ 1/Л°СК0СТЬ ^ С0ДеРжит Две прямые, перпендикулярные пря-
_ и в точке Р, то 1±.Е в точке Р. Эта идея будет раскрыта
слеДУющих параграфах. >'
Задачи
к § 1
1· На
рисунке изображена плоскость L·.
ая Ли точка, не принадлежащая изображенной фигуре, лежит в £?
235

Ъ) Подразумевает ли наш рисунок,
точку вне нарисованной фигуры?
что плоскость Ε включает каждую
2. а) Изобразите плоскость, перпендикулярную вертикальной прямой.
b) Изобразите плоскость, перпендикулярную горизонтальной прямой.
c) В каждой из плоскостей п. а) и Ь) нарисуйте по три прямые,
проходящие через точку пересечения с исходной прямой. В каждом случае
скажите, в каком отношении находится каждая из этих трех прямых с
исходной прямой.
3. Перечитайте определение перпендикулярности прямой и плоскости и на
основании этого определения решите, вер"но или нет следующее утверждение:
Если прямая перпендикулярна некоторой плоскости, то она
перпендикулярна каждой прямой этой плоскости^ проходящей через точку пересечения.
4. Можете ли вы заключить, что плоскость Ε перпендикулярна прямой Я/С,
·<—>·
если Ζ КРМ — прямой и прямая РМ принадлежит £?
< ■>
5. Дано, что точки G, //, S и Ρ лежат в плоскости Ε и А В JL Ε в точке Р.
Какие из следующих углов должны быть прямыми:
Ζ APS, Ζ HPS, L GPU, Ζ GPB, L НРБ, L ΗΡΑ}
6. Точки Я, К и R на этом рисунке
принадлежат плоскости Ε, а точка F ей не
.принадлежит.
а) Назовите плоскости, определяемые
точками этого рисунка.
Ь) Какие углы на этом рисунке должны быть прямыми, если луч HR
перпендикулярен плоскости HKFt
Точки Л, Ву С, D и G принадлежат
вертикальной плоскости Ε и АР _[_ E. Назовите
все углы, которые должны быть прямыми.
236

-г ,и А В и С на рисунке слева принадлежат плоскости Ε, РА ]_ Ε и
*' РС^РВ. Докажите, лто ЛС = Л£.
о Точки Л, С и С на рисунке справа лежат в вертикальной плоскости £,
а точка Р —«перед» нею. Докажите, что если РА _[_ Ε и ЛО = ЛС, то PG =
10. Точки А, В и X лежат в плоскости Я,
а точки Ρ и Q—по одну сторону от Е.
Докажите, что если PB^QB и PA = QA,
то PX — QX. Сохранит ли ваше
доказательство силу, если Ρ и Q будут лежать
по разные стороны от £? если Ρ и Q
будут принадлежать £?
§ 2. ЛЕММА
В конце предыдущего параграфа мы упомянули о том, что
если плоскость Ε содержит две прямые, перпендикулярные
прямой / в точке Р, то Ε _J_ / в точке Р. Доказательство этой
теоремы является довольно длинным. Чтобы оно выглядело немножко
более легким, мы докажем сначала одну подготовительную
теорему, которая поможет нам в главном доказательстве. Такие
«вспомогательные теоремы» называются леммами. Этот термин
происходит от греческого слова-, означающего ветвь. Таким обра-
сом, лемма— это ветвь длинного до- р
казательства.
Нашу лемму доказать нетрудно.
Теорема 8.1
Если точки В и С равноудалены В
от точек Ρ и Q, щ0 и каждая точка,
мжащая между В и С, равноудалена
°т точек Ρ и Q.
Другую формулировку этой тео-
точк1 Прредает РИСУН°К· Заметим, что
в и ν ^' % и С дол'жны лежать
^и плоскости, потому что точка X принадлежит
прямой В Г **~**
^» и существует плоскость, содержащая прямую ВС и
237

t04Ky P. Но легко может случиться, что /\ВРС и /\BQC будут
лежать в различных плоскостях, и именно этот случай
понадобится нам в доказательстве основной теоремы.
Доказательство. 1°. Как указано на рисунке, нам дано, что
BP — BQ и CP = CQ. На основании ССС отсюда следует, что
ABPCg^ABQC.
2°. Следовательно, Ζ РВСд^ Ζ QBC.
3°. На основании СУ С отсюда следует, что Δ РВХ оё Δ QBX.
4°. Из 3° вытекает, что РХ = QX, т. е. что точка X
равноудалена от Ρ и Q, а это нам и требовалось доказать.
Нам будет нужно также следствие 6.2.1 (стр. 182).
Следствие 6.2.1
Даны отрезок А В и прямая I,
лежащие β одной плоскости. Если
каждая из каких-либо двух точек
прямой I равноудалена от А и В,
то I является медиатрисой отрез- -*·
ка ΑΪ3.
Это следствие нам потребуется
лишь в одном частном случае,
который передается следующим
рисунком:
§ 3. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ
Теорема 8.2
Если какая-либо прямая перпендикулярна каждой из двух
пересекающихся прямых в точке их пересечения, то она
перпендикулярна плоскости, содержащей эти прямые.
Другая формулировка. Пусть 1г и /2 — две прямые в
плоскости Е, пересекающиеся в точке Л, а I — прямая, перпендику^
лярная и /χ и /2 в точке А. Тогда прямая I перпендикулярна каждой
прямой 13, проходящей через А и принадлежащей Е.
Доказательство. 1°. Пусть Ρ и Q—две точки прямой /,
равноудаленные от А. Тогда /χ и /2 являются медиатрисами
отрезка PQ (разумеется, лежащими в двух различных плоскостях)·
В
<л
<vj
-ι~- -.
/
А
238

2° Каждая из прямых 1г и /3 содержит, точки, лежащие
лоскости'Я по разные стороны от прямой /3. Пусть В и С —точки
В ^мых /ι и ^2> лежащие в £ по противоположные стороны от /3.
Т^гда прямая /3 содержит точку X, заключенную между В и С.
3° В силу 1° и теоремы 6.2 каждая из точек В и С равно-
удалена от точек Ρ и Q.
4° По теореме 8.1 точка X равноудалена от Ρ и Q.
5°. Таким образом, прямая /3 содержит середину отрезка PQ
и другую точку X, равноудаленную от Ρ и Q.
По следствию 6.2.1 /8J_/, что и требовалось доказать.
Задачи к § 3
1. Даны точки Л, (3, #', /С, У и Λί в
плоскости £. Точки Л, 6 и «/ неколлинеарны
и АР 1 AG и ЛР 1 Л/. Докажите, что
прямая АР перпендикулярна прямым АК
иМ
2. В каком отношении находятся прямая /,
линия пересечения двух стен в вашем
классе, и плоскость F пола? Объясните.
Перпендикулярна ли прямая / каждой
прямой, лежащей в F? Сколько прямых в
плоскости F перпендикулярны прямой /?
3. На этом рисунке ~АВ ± "SC, Ζλβ 1 SC и
AB = BD. Докажите, что Д ЛЯС ^ Δ #£С.
Будет ли А В J_ £? Почему да или почему
нет?
4. Квадрат ABCD находится в плоскости Е.
Р —не лежащая в плоскости Ε точка, для
которой РА 1 ~АВ.
a) Назовите все плоскости, определяемые
парами отрезков. ;
b) По крайней мере один из отрезков
перпендикулярен одной из плоскостей, о
которых шла речь в а). Какой отрезок?
Какой плоскости? Помогает ли вам
отвечать на поставленный вопрос теорема 8.2?
• Какой отрезок в задаче 3 перпендикулярен
какой плоскости?
грч1°' ЧД^ точка К является серединой
ότι-жа OG и что, кроме того, AD =AG и
к°сти Апг причем точка Ρ не лежит в плос-
Дикул - ^сли 3Десь есть отрезок, перпен-
вите%ЯРНЫЙ НекотоР°й плоскости, то назо-
тот отрезок и эту плоскость.
239

7. На этом' рисунке PQ 1 MP, PQ 1 TQ
и MP _L MT. Перпендикулярен ли какой^
нибудь отрезок на этом рисунке какой-
либо плоскости? Назовите все такие пары
«отрезок — плоскость», если они
существуют.
8. АВ и CD —конгруэнтные отрезки, делящие друг друга пополам в точке _Λί.
Прямая / перпендикулярна каждому из этих отрезков в точке Μ. Ρ— любая
точка прямой /. Сделайте рисунок и докажите, что точка Ρ равноудалена
от точек Л, В, С и D.
. На этом рисунке изображен куб,
причем ВК = ВМ. Докажите, что точка Η
равноудалена от точек К и М. (В
доказательстве вы можете пользоваться
следующими свойствами куба: а) Все
двенадцать ребер куба конгруэнтны.
Ь) Любые два его пересекающиеся ребра
перпендикулярны.)
10*. Если точки Л, В, С и D
некомпланарны, AD = DC, ВС = ВА и /.DBA —
прямой угол, то по крайней мере один
из изображенных на рисунке отрезков
перпендикулярен одной из плоскостей.
Какой отрезок и какой плоскости?
Докажите, что ваш ответ правилен.
11*. Плоскости Ε и F на этом рисунке
пересекаются по прямой АВ. Прямая RQ
лежит в плоскости F, а прямая WX — в
плоскости Е. Кроме того, RQ ±. АВ и
WX I F. Докажите, что RQl_ E.
240

4 СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ
Доказательством теоремы 8.2 закончилась трудная часть этой
out Все остальное, что нам нужно узнать, получается совсем
просто.
Теорема 8.3
Через каждую точку данной прямой проходит плоскость,
перпендикулярная данной прямой.
Доказательство.- Пусть / — данная прямая, Р
—произвольная точка на ней.
1°. Возьмем две любые различные плоскости Μ и Νχ,
содержащие /.
(Вопрос. Откуда мы' знаем, что существуют две различные
плоскости, содержащие /? Вспомните аксиому б и теорему 3.3)
2°. В плоскости Μ существует прямая /х, перпендикулярная
прямой / в точке Ρ (теорема 6.1).
3°. В плоскости N существует прямая /2, перпендикулярная
прямой / в точке Ρ (теорема 6.1).
4°. Существует плоскость Е, содержащая прямые /, и L
(теорема 3.4).
5°. Е±1 в точке Ρ (в силу 2°, 3° и теоремы 8.2).
Теорема 8.4
col Ш пРямая и плоскость перпендикулярны, то эта плоскость
в £Ржит каждую прямую, перпендикулярную данной прямой
точке ее пересечения с плоскостью.
плоек ^гая Формулировка. Если прямая I перпендикулярна
в Tc^°CtntL ^ в т°чк<е Ρ и если прямая L перпендикулярна прямой I
точке Ρ
прямая ίχ перпендикулярна прямой
то 1Х лежит в плоскости Е.
241

Доказательство
Утверждения
1. / и /χ лежат в некоторой
плоскости F.
2. Пересечение плоскостей F и Ε
есть некоторая прямая /2.
3. /2 _1_ / в точке Р.
4. Ιχ J_ / в точке Р.
5. /χ и /2 —одна и та же прямая.
6. Ιχ лежит в плоскости Е.
Аргументы
?
?
Определение перпендикулярности
прямой и плоскости.
Дано.
По теореме 6.1 в плоскости F
существует только одна прямая,
перпендикулярная / в точке Р.
В силу шага 2 прямая /2 лежит в Е,
а в силу шага 5 /1 = /2.
Теорема 8.4 позволяет установить, что перпендикулярная плоскость,
о которой говорится в теореме 8.3, единственна.
Теорема 8.5
Через данную точку данной прямой проходит только одна
плоскость, перпендикулярная данной прямой.
Доказательство. Если бы нашлись две различные
перпендикулярные плоскости, то их пересечение представляло бы собой
единственную прямую. Но это невозможно, потому что каждая
из них содержит все прямые, перпендикулярные данной прямой
в данной точке.
Напомним, что медиатриса отрезка в данной плоскости была
охарактеризована как множество всех точек этой плоскости,
равноудаленных от концов отрезка. Для медиатрисы-плоскости в
пространстве мы имеем характеризационную теорему точно такого же
рода.
242

Определенно
диатрисой-плоскостью данного отрезка в пространстве
мается плоскость, перпендикулярная отрезку и проходящая
На3ез его середину. (Из теоремы 8.5 вытекает единственность меди-
атрисы-плоскости данного отрезка.)
Теорема 8.6 (теорема о медиатрисе-плоскости)
Медиатриса-плоскость любого отрезка есть множество всех
почек, равноудаленных от концов этого отрезка.
Другая формулировка. Пусть Ε—медиатриса-плоскость
отрезка АВ. Тогда:
1°. Если точка Ρ принадлежит Е, то РА = РВ.
2°. Если РА=РВУ то точка Ρ принадлежит Е.
На рисунке точка С является серединой отрезка АВ. Заметим,
что формулировка нашей теоремы, как и формулировка любой
другой характеризационной теоремы, распадается на две части.
Чтобы доказать 1°, нужно знать определение
перпендикулярности прямой и плоскости и условие, характеризующее медиат-
рису отрезка в плоскости. Для доказательства 2° нужна также
теорема 8.5. Детали этих двух доказательств представляются вам.
Задачи к § 4
* ^ Сколько прямых перпендикулярны данной прямой в данной ее точке?
о) Сколько плоскостей перпендикулярны данной прямой в данной ее точке?
• Дано, что луч АР перпендикулярен каж-
ДОму из лучей АК, AM, AS, AR и
^τ,τΐ Сколько плоскостей определяется
^тими лучами? Есть ли на этом рисунке '
да тШе трех компланарных точек? Если
каки ПочемУ? (Предполагается, что ни-
неарньТИ И3 заданных точек не колли"
Рк
243

3. Плоскости Е и F пересекаются по пря-
мой #Q. Имеем: Л£ J. Е, где точка β
_ принадлежит прямой KQ. Точка R
принадлежит плоскости £, а точка С —
плоскости F.
Будет ли Л Л J. BR? Почему?
Будет ли АВ ± /CQ? Почему?
Будет ли АВ J_ £С? Почему?
На этом рисунке GH ±_ E, MG = MH
и PQ _L G# в точке М. Содержит ли
плоскость Ε отрезок PQ? Почему? Какой
термин описывает отношение между
плоскостью Ε и отрезком GH?
5. Два отрезка АВ и CD перпендикулярны и делят друг друга пополам в точке
/С. Плоскость Ζ содержит отрезок АВ, но не содержит отрезок CD.
Является ли Ζ медиатрисой-плоскостью отрезка CD? Сделайте рисунок,
иллюстрирующий ваше заключение.
Ρ
6. Как показано на рисунке, плоскость Ε
является медиатрисой-плоскостью
отрезка PQ.
а) />/? = ....
TQ=....
PS = ....
ί'ΡΤΜ^...,
ΔΡΓΛί^....
b) Будет ли MR-
■-MS = MT? Объясните.
7. Не все точки этого рисунка
компланарны. Докажите, что если AW — BW,
АХ = ВХ, AY = BY и AZ^BZ, то
точки W,.X, Υ и Ζ компланарны.
8. Докажите теорему 8.6.
9*. Сформулируйте теоремы 8.3 и 8.5 в виде
одной теоремы, используя выражение
«ровно одна».
244

η* Сформулируйте теорему 8.-6, используя выражение «в том и только в том
случае».
tt* Можно ли было теорему 8.5 доказать до теоремы 8.3? Объясните.
12*+. Докажите следующую теорему.
" Если I — прямая, пересекающая плоскость Ε в точке М, то в плоскости
Ε существует хотя бы одна такая прямая V, что I 1_1.
Ι3*4". Верно ли следующее утверждение (докажите, что ваш ответ правилен).
Четыре точки, каждая из которых равноудалена от двух данных точек,
компланарны с двумя данными точками в том и только в том случае, если
эти четыре точки коллинеарны?
14*+. Плоскость Ε на этом рисунке
является медиатрисой-плоскостью
отрезка А В в точке С« Точка Η
лежит по ту же сторону от £, что
и точка В, а точка К — по ту же
сторону от £, что и точка А. Кроме
того, J<r-C~H> HBLAB и
ΤζΑ 1 АВ. Докажите, что
a) отрезки АК и ВН компланарны;
b) АН^ВК,
§ 5. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ
(СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ)
Следующие теоремы представляют сводку некоторых из
основных фактов о перпендикулярных прямых и плоскостях. Одни
доказательства являются простыми, а другие—довольно длинными,
и мы не будем здесь каждое из них проводить. Но мы
продемонстрируем встречающиеся здесь рассуждения, сопроводив
подробными указаниями доказательство следующей теоремы.
Теорема 8.7
Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости,
компланарны.
Чтобы понять, как нужно
проводить доказательство,
рассмотрим сначала ситуацию, к
которой мы приходим в том
случае, если наша теорема верна.
^ными словами, допустим, что
5*е Рассматриваемые прямые
Действительно лежат в одной
плоскости, и спросим: в какой
носкости должны они лежать?
i
/
/
/
it t ι
—j—r-jL—+—
xh
F
Ε/
245

Нам дано, что /ι_1_£ в точке А и /2_1_£ в точке-β. Кроме
того, мы допустили, что /х и /2 лежат в некоторой плоскости: F
На рисунке мы изобразили середину Μ отрезка АВ и, кроме
того, такой отрезок PQ плоскости £, что АВ и PQ пересекаются
под прямым углом и делят друг друга пополам.
Определенно видно, что PQ ±_F в точке М. Если это так
то плоскость F является медиатрисой-плоскостью отрезка pQ,
До сих пор, разумеется, мы ничего не доказали, так как
заранее предположили, что наша теорема верна. Но теперь мы
понимаем, как стоит ее доказывать: сначала нужно провести
в плоскости Ε такой отрезок PQ, что PQ и АВ будут
пересекаться под прямыми углами и делить друг Друга пополам,
а затем показать, что прямые 1± и /2 принадлежат медиатрисе-
плоскости отрезка PQ.
Эта идея проходит. Вот главные шаги доказательства:
1°. AP = AQ (как указано на рисунке).
2°. ACAPg^ACAQ.
3°. CP^CQ.
4°. Точка С принадлежит медиатрисе-плоскости отрезка PQ.
Обозначим ее буквой F.
5°. Прямая /i принадлежит F.
Точно таким же образом заключаем, что и
6°. Прямая /2 принадлежит F.
Итак, плоскость, которую мы разыскивали, действительно
является медиатрисой-плоскостью отрезка PQ; эта плоскость
содержит обе прямые 1Х и /2, откуда и следует, что эти прямые
компланарны.
Вы можете счесть, что обсуждение, предшествовавшее
доказательству, было для вас ценнее, чем само доказательство.
Доказательство, если оно уже получено, является логическим, но
процесс придумывания доказательства бывает логическим очень
редко. Вам нужно изо всех сил стараться найти способ
доказательства. И одним из лучших приемов для этого является
метод «принимать желаемое за действительное», именно его мы
проиллюстрировали в начале этого параграфа.
246

Теоремы этой главы пока еще дают неполную - информацию
еопендикулярных прямых и плоскостях. Следующие теоремы
восполняют пробелы.
Теорема 8.8
Через данную точку проходит одна и только одна плоскость,
перпендикулярная данной прямой.
Теорема 8.9
Через данную точку проходит одна и только одна прямая,
перпендикулярная данной плоскостей.
Эти краткие по формулировке теоремы содержат очень много
информации. Каждая из них распадается на два случая в соот-
вегствии с тем, что данная точка может принадлежать или не
принадлежать данной прямой или плоскости. Теоремы говорят
нам, что в каждом из этих четырех случаев мы имеем и
существование и единственность. Это, значит, что всего нам требуется
восемь доказательств. Два из них уже были даны — см. выше,
-теоремы 8.3 и 8.5.
Теорема 8.9 гарантирует нам существование единственного
перпендикуляра к данной плоскости, проведенного из данной точки,
не лежащей в этой плоскости. Поэтому оправдано следующее
определение, аналогичное определению, которое мы дали после
теоремы 7.7.
Определение
Расстояние от точки до не содержащей ее плоскости есть
длина перпендикулярного отрезка, проведенного из этой точки
до этой плоскости.
Теорема 8.10 (вторая теорема о минимуме)
Кратчайший отрезок,
соединяющий данную точку с данной
не содержащей ее плоскостью, есть
перпендикулярный отрезок.
Доказательство очень похоже
^а Доказательство теоремы 7.7.
Усть заданы перпендикулярный
трезок^Р<2 и любой другой от-
ок PR, соединяющий точку Ρ с плоскостью Е\ начнем
Кост^ат^ЛЬство с того, что проведем через прямые PR и PQ плос-
• Довести доказательство до конца предоставляется вам.
247

Задачи к § 5
1. Из точки Л, не лежащей на плоскости Et
проведен к этой плоскости кратчайший
отрезок, пересек*а*ющий ее в точке В.
-Прямые / и /' лежат в плоскости Et
причем / содержит точку В и /' JL Λ
Покажите, что если /"—такая прямая,
что Г ± I и /" j_ /', то прямые /" и ЛВ
компланарны.
2. Докажите следующий частный случай теоремы 8.9.
Существует не более одной прямой, перпендикулярной данной плоскости
и проходящей через данную точку, не принадлежащую данной плоскости.
3*+. Точки Ρ и Q лежат по
противоположные стороны от плоскости Ε и
равноудалены от этой плоскости.
Перпендикуляры из Ρ и Q на плоскость Ε
пересекают Ε соответственно в точках R и S.
Докажите, что
a) отрезок PQ пересекает отрезок SR
в некоторой точке Т;
b) точка Τ является серединой
отрезка SR.
Вопросы и задачи для повторения
1. Если нужно, сделайте рисунок, который поможет вам решить, верно или
нет каждое из следующих утверждений:
a) Если две плоскости пересекаются,' то их пересечение есть прямая.
b) Три прямые могут пересекаться в одной точке так Г что каждая из них
будет перпендикулярна двум другим.
c) Если прямая перпендикулярна каждой из двух других прямых, то она
перпендикулярна плоскости, содержащей эти две прямые.
d) Пересечение двух плоскостей может оказаться отрезком.
e) Существует ровно одна . прямая, перпендикулярная данной плоскости
в данной ее точке.
f) Для любых четырех точек существует плоскость, их содержащая.
g) Если какая-либо прямая пересекает некоторую плоскость только в одной
точке, то в этой плоскости существуют по' крайней мере две прямые,
перпендикулярные этой прямой.
h) Через данную точку можно провести только одну прямую,
перпендикулярную данной прямой.
i) Если три прямые попарно пересекаются, но нет точки, принадлежащей
всем-трем прямым, то эти три прямые компланарны.
j) Три плоскости могут разбивать пространство на восемь областей.
248

полните Множество всех точек, равноудаленных от концов отрезка, есть.
2* этого отрезка.
Пополните. Расстояние от точки до не содержащей ее плоскости есть ....
Пополните. Если какая-либо прямая перпендикулярна каждой из двух .
4* прямых в'..., то она перпендикулярна ..., содержащей эти прямые.
к На этом рисунке Δ ЛВС — равносторон-
ний треугольник, лежащий в
плоскости Е, и луч CD делит пополам L ВС А.
Если 'отрезок HD перпендикулярен
отрезку CD у то по крайней мере один
отрезок на этом рисунке перпендикулярен
одной из плоскостей. Какой отрезок?
Какой плоскости?
Плоскость__£ содержит точки А и К\
ТА 1 Е, С К 1 Е, но Α Φ К- Сколько
плоскостей определяется точками Л, К, С
и У? Объясните.
Если боковые штанги ворот в одном конце футбольного поля
перпендикулярны этому полю, то они компланарны, даже если их не соединяет
верхняя штанга. Какая теорема подкрепляет это заключение? Могут ли они
остаться компланарными, не будучи больше перпендикулярными полю? Если
их соединить верхней штангой, то будет ли это гарантировать, что они
всегда будут компланарны? ~
Луч АВ перпендикулярен вертикальной
плоскости £, а точки Л, В, С, D, G и Η
лежат в этой плоскости. Чему равна
сумма
т L DAP + m L САР?
Если /. CAB — прямой угол, то по
крайней мере один луч, отличный от Л?, и
одна плоскость, отличная от Е,
перпендикулярны. Назовите все такие пары луч —
плоскость.
&АВС лежит в плоскости Ε. Ρ — точка,
^лежащая_в_£ и_такая, что РА 1_ АВ,
А 1 АС и PD ι ВС, _где D - точка, при-
адлежащая отрезку ВС. Какое из усло-
**«*&£%' P* = PD> PA<PD
249

10. &HMT лежит в плоскости Ε. Кроме
того, НМ — ТМ, ΊζΜ 1 Е. Что верно:
L КНТ > L КТН,
L КНТ ^ L КТН,
или
L КНТ < L КТН?
Почему?
11. Дано. Плоскость Ε содержит ДАВС.
Прямая / J_ Ε в точке Т. Точка Τ
равноудалена от точек А, В и С. X — любая
точка прямой А.
Требуется доказать. Точка X
равноудалена от точек А, В и С.
12. Докажите, что если каждая из точек А
и Л равноудалена от точек Ρ и Q, то и
<->
каждая точка прямой Л£ равноудалена
от Ρ и Q.
13. Дан о. Прямые ВС и BD лежат в плос-
кости Е\ плоскость F J_ BD в точке β;
плоскость G _L £C в точке В; плоскости
G и F пересекаются по прямой А В.
Требуется доказать. АВ J_ £. ,
Η. Δ #SQ на рисунке лежит в плоскости Ε
и Р^ 1_ £· Докажите, что если
L POR ^ L PSR, то z PQS ^ Z POS.
15. Докажите, что если на том же рисунке
'PR 1 £, Р# > /?S, SQ 1 Щ и SQ J. PQ,
то PQ>QS.
16*. Дан куб, изображенный , на рисунке,
причем ВК — ВМ и Р —середина
отрезка КМ. Докажите, что плоскость HDP
является медиатрисой-плоскостью
отрезка КМ. (Вы можете пользоваться
свойствами куба, указанными в задаче 9 к
§ 3 этой главы.)
250

Π*. Докажите, что каждый из четырех лучей АВ9 AC, AD и Л? не может
быть перпендикулярен трем другим. nJZ не может
Конкурсная задача
Дано. АР 1 PQ, АР~± РС~У д
PQ±*BC, Q — B — C.
Требуется доказать. AQ _[_ ВС
(Указание. Возьмите на прямой !?С
такую точку /?, что QR^QB.)

9
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
НА ПЛОСКОСТИ
*-Л. ;С1
" **\. U>
■■- , ^&&W
-■'" - - ■ ,v Vv

§ ι. УСЛОВИЯ, ГАРАНТИРУЮЩИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ
Существуют три способа расположения двух прямых в
пространстве.
1°. Они могут пересекаться в некоторой точке. Теорема 3.4
утверждает, что в этом случае они должны быть компланарны.
2°. 0*ш могут не пересекаться и не быть компланарными.
В этом случае они называются скрещивающимися прямыми.
Рассмотрим, например, прямую /ь идущую по полу вашей комнаты
вдоль одной из стен, и прямую /2, идущую по потолку
перпендикулярно этой стене. Эти две прямые будут скрещивающимися.
3°. Наконец, эти две прямые могут лежать в одной плоскости
й не пересекаться. В этом случае мы будем говорить, что наши
две прямые параллельны.
Определение
Две некомпланарные прямые называются
скрещивающимися.
Определение
Две прямые называются параллельными, если они
1°. компланарны;
2°. не пересекаются.
Следующая теорема позволяет нам говорить о (единственной!)
плоскости, содержащей две параллельные прямые.
Теорема 9.1
Две параллельные прямые принадлежат одной и только одной
плоскости.
Доказательство. Если прямые 1Х я /2 параллельны, то
из определения следует, что они лежат в некоторой плоскости Е.
Нам остается только показать, что они лежат только в одной
плоскости.
Пусть Ρ — любая точка прямой /2. По теореме 3.3 существует
единственная плоскость, содержащая 1г и Р. Поэтому существует
°лько °Дна плоскость, содержащая прямые 1{ и /2, так как каж-
дая плоскость, содержащая прямую /2, содержит и точку Р.
253

Чтобы указать, что прямые 1г и /2 параллельны, мы будем писать
к II /..
Если два отрезка АВ и CD принадлежат параллельным прямым,
то для краткости мы будем говорить, что сами эти отрезки
параллельны, и писать AB\\CD.
<* · · ■■ в»
А В
«* ' » · *
С D
Точно так же мы будем поступать с двумя лучами, лучом и
отрезком и т. д. Например, если дано, что АВ \\ CD, то мы
можем также написать:
АВ || CD, AB\\CD, AB\\CD
и т. д. еще для двенадцати подобных же случаев.
На основании определения может показаться, что решить,
будут ли две прямые параллельны, вовсе не легко. Каждая из этих
прямых неограниченно простирается в двух направлениях;
поэтому, казалось бы, чтобы решить, пересекутся ли эти прямые или
нет, нужно видеть каждую из (бесконечных!) прямых целиком.
Однако в некоторых случаях мы можем заключить, что две
прямые параллельны, взглянув на малые отрезки этих прямых.
Так, например, справедлива следующая
Теорема 9.2
Если две прямые на плоскости
перпендикулярны одной и той же
прямой, то они параллельны.
Доказательство. Дано,
что /i J_ / в точке Ρ и /2 _|_ /
в точке Q. Кроме того, дано, что
1Х и /2 компланарны. Нужно
доказать, что они не пересекаются.
Допустим, что /ι и /2
пересекаются в точке R. Тогда имеется
два перпендикуляра, опущенные
из точки R на /. Но по теореме
6.4 это невозможно.
Следовательно, /ι||/2. (Вопрос. Каким
методом доказательства мы здесь
воспользовались?)
254

Теорема 9.2 позволяет показать, что параллельные прямые
существуют.
I
ι
Ρ
h
-J i
Ml
Теорема 9.3
Пусть I — прямая и Ρ не
принадлежащая ей точка. Тогда
существует по крайней мере одна
прямая, проходящая через Ρ и
параллельная I.
Доказательство. Пусть /х —
перпендикуляр, опущенный из Ρ на
/, а /а — перпендикуляр (в плоскости, содержащей / и Р) к
прямой 1г в точке Р. По теореме 9.2 /2||/.
Может показаться естественным попытаться после этого
доказать, что параллельная прямая, существование которой вытекает
из теоремы 9.3, единственна. Иными словами, можно было бы
попытаться доказать следующее утверждение:
Существует"только одна прямая, проходящая через данную
точку, не принадлежащую данной прямой, и параллельная данной
прямой.
Дело, однако, обстоит так, что это утверждение нельзя
доказать как теорему на основании имеющихся у нас к этому моменту
аксиом. Его нужно принять в качестве новой аксиомы. Эта
аксиома имеет длинную и интересную историю. Более двух тысяч
лет общепринятым учебником геометрии были «Начала» Евклида,
написанные приблизительно за 300 лет до нашей эры. В «Началах»
Евклид пользовался аксиомой, утверждающей единственность
параллельной прямой. Обычно математики любят принимать на веру
как можно меньше — лишь то, без чего нельзя обойтись, а
доказывать как можно больше —все то, что удается доказать. По этой
причине многие из них пытались превратить евклидовскую
аксиому параллельности в теорему. Но у них ничего не вышло.
Наконец, в девятнадцатом веке было обнаружено, что аксиома
параллельности на основании остальных аксиом доказана быть
не может.
Позже мы вернемся к этому вопросу. А пока исследуем усло-
Вия, при которых можно утверждать, что две прямые параллель-
Ны> несколько глубже, чем раньше.
Прямая t на левом рисунке является секущей компланарных
255

■г > 12 .
Прямая t на правом рисунке не является секущей.
Точнее, имеет место
Определение
Секущей двух компланарных прямых называется прямая,
пересекающая их в двух различных точках.
На каждом из следующих рисунков Ζ 1 и Ζ 2 являются
внутренними накрест лежащими.
ί2 /Q В iz в /Q
tr , t
Заметим, что прямые, пересекаемые секущей, могут как быть,
так и не быть параллельными. Пометки на этих рисунках
подсказывают, как нужно описать внутренние накрест лежащие углы.
Определение
Даны две прямые 1г и 12 и секущая t, пересекающая их в точках
Ρ и Q. Пусть А и В — соответственно точки прямых 1г и 72>
лежащие по разные стороны от t. Тогда £ APQ и £ PQB
называются анутренни ми накрест лежащи ми углами.
Теорема 9.4
Даны две прямые и секущая. Если какие-либо два внутренних
накрест лежащих угла конгруэнтны, то и другие два внутренних
накрест лежащих угла конгруэнтны.
256

Иными словами, если Ζ^^Ζ^'» то и Ζ.^=Ζ&'> а если
/b^Lb'y то и Ζ α= Ζ я'· Доказательство этой теоремы вам
предоставляется провести самостоятельно.
Следующая теорема является обобщением теоремы 9.2; другими
словами, она включает теорему 9.2 как частный случай. Так как
она применима в большем числе случаев, чем теорема 9.2, то она
и более полезна. Буквы ВНП в ее названии заменяют слова
«внутренние, накрест лежащие, параллельные». Теорему 9.8, обратную
теореме 9.5, мы назовем #2?#-теоремой.
Теорема 9.5 (ЯЯ/7-теорема)
Даны две прямые и секущая. Если какие-либо два внутренних
накрест лежащих угла конгруэнтны, то эти две прямые
параллельны.
Ί
Ρ Л
Ί
Доказательство. Пусть секущая t пересекает прямые 1Х
и /2 в точках Ρ и Q. Нам дано, что какие-то два внутренних
накрест лежащих угла конгруэнтны. Из предыдущей теоремы
следует, что
обе пары внутренних накрест лежащих углов конгруэнтны. (1)
Допустим теперь, что прямая 1Х пересекает прямую /2 в точке /?·
Мы покажем, что это приводит к противоречию с (1).
<г
257

Пусть S—-точка прямой /ь такая, что S и R лежат по
противоположные стороны от t. Тогда Z. SPQ — внешний угол APQR,
a L PQR — один из внутренних не смежных с ним углов этого
треугольника. По теореме о внешнем угле
LSPQ> LPQR· (2)
Поскольку эти углы являются внутренними накрест лежащими,
неравенство (2) противоречит условию (1). Следовательно, прямая 1Х
не пересекает прямой /2 и /i||/a, что и требовалось доказать.
Задачи к § 1
(Замечание. Когда задачи в этой главе формулируются с помощью
рисунков, предполагается, если только не указано противное, что эти рисунки
являются плоскими.)
1. Какие из следующих утверждений являются верными:
a) Если две прямые не лежат в одной плоскости, то они могут оказаться
параллельнььми.
b) В определении параллельных прямых утверждается, что эти прямые на
всем своем протяжении сохраняют одно и то же расстояние друг от друга.
c) Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой в двух
различных ее точках, то они параллельны.
d) Если две прямые на плоскости пересечены секущей, то внутренние
накрест лежащие углы конгруэнтны.
2. Дано. Луч AD делит пополам LCAB и
CA = CD.
Требуется доказать. CD \\ АВ.
3. Будут ли прямые 1г
a) mZ<7=100,
т L г =100,
с) mZs=120,
т Ζ ρ = 60,
и /2 параллельны, если
b) mZp = 80,
т L г=100,
d) mZr = 90,
т L р = 90?
4. Можно ли найти в пространстве две
прямые, которые и не параллельны, и и не
пересекаются?
5. Докажите следующую теорему:
Даны две прямые и секущая. Если два
внутренних угла, содержащих тонки, лежащие
по одну сторону от секущей, пополните
льны, то эти две прямые параллельны.
258

Ζ г являются пополнительными.
дано. Прямые lit /2 и t. L ρ и Ζ
Требуется доказать. /t ||/8.
6 Даны прямая / и не лежащая на ней точка Р. Покажите, как с помощью
транспортира и линейки провести через точку Ρ прямую, параллельную /.
7 Р, Q и ^ на этом рисунке —три не-
' коллинеарные точки в плоскости Я.
Кроме того, ~РК 1 Ε и ^М 1 Я.
Докажите, что Р/С || RM.
8. Отрезки Л В и CD делят друг друга
'пополам в точке Е. Докажите, что
AD || СВ.
9. Дан D ABCD, у которого Ζ Λ и
Ζ β — прямые, a AD = BC. Докажите,
ЧТо ζ Ο ^ Ζ С.
(У к а з а н и е. Проведите отрезки АС
и Ш).) Можете ли ъы также доказать,
что Ζ D и Ζ С —прямые?
10. Точки Л, Б и С на этом рисунке
коллинеарны, AP = AQ, BP = BQ и
BX^BY. Докажите, что ~PQ || ХК.
И*. Дано, g ABCD, где Я—середина
стороны Л Б, G —середина стороны
DC, AD = BC и LA^ LB.
Требуется доказать, GH _L pC,
СЯ 1 Μ и Л£ || DC.
12*. Дано. Is ABC, где
ЛР = Р£ = /?<Э,
BQ^QC^PR,
AR=RC~*PQ.
Требуется док аз а τ ь. т L Л+
О С
А Н
259

Почему тем самым не доказано, что сумма мер углов любого треугольника
равна 180?
Конкурсная задача
Допустим, что мы приняли следующие два определения:^
Вертикальной прямой называется прямая, содержащая центр Земли.
Горизонтальной прямой называется прямая, перпендикулярная какой-либо
вертикальной прямой.
a) Могут ли две горизонтальные прямые быть параллельны?
b) Могут ли две вертикальные прямые быть параллельны?
c) Могут ли две вертикальные прямые быть перпендикулярны?
d) Могут ли две горизонтальные прямые быть перпендикулярны?
e) Будет ли каждая вертикальная прямая горизонтальной?
f) Будет ли каждая горизонтальная прямая вертикальной?
g) Может ли горизонтальная прямая быть параллельна некоторой
вертикальной прямой?
h) Будет ли каждая прямая горизонтальной?
§ 2. СООТВЕТСТВЕННЫЕ УГЛЫ
Углы на нашем рисунке, помеченные буквами а и а',
называются соответственными.
о/а
с/а'
ь/а
7/d
Точно так же соответственными являются. углы Ъ и Ь\ углы
с и c'f углы d и d'. Точнее, имеет место
Определение
Даны две прямые и секущая.
Если ^ χ и £у — внутренние
накрест лежащие углы, а £у и
Ζ ζ — вертикальные углы, то ^х
и Ζ ζ называются
соответственными углами.
Мы предлагаем вам доказать
следующие две теоремы.
260

Теорема 9.6
Даны две прямые и секущая. Если какие-либо два соответет-
венных угла конгруэнтны, то и два внутренних накрест лежащих
игла конгруэнтны. (Вспомните теорему о вертикальных углах!)
Теорема 9.7
Даны две прямые и секущая. Если какие-либо два
соответственных угла конгруэнтны, то эти две прямые параллельны.
Похоже на то, что должны быть верны и теоремы, обратные
теоремам 9.5 и 9.7. Иными словами, если даны две параллельные
прямые и секущая, то должны быть конгруэнтны внутренние
накрест лежащие углы и должны быть конгруэнтны
соответственные' углы. Однако доказательство этих обратных теорем не может
быть дано без использования аксиомы параллельности. Мы
сформулируем эту аксиому в следующем параграфе, а затем ею
воспользуемся.
Задачи к § 2
1. На этом рисунке АС = ВС и Ζ DCE ^ L В. Докажите, что ~СЕ || АВ>
2. Дано. Д KMJ, где KJ-MJ, GJ^HJ и L HGJ Q^ L НМК.
Требуется доказать. GH\\ КМ.
Μ
Η
3· На этом рисунке Ζ. В и ζ D — прямые углы и DC = AB.
Докажите, что AD\\BC.
4· Дан рисунок с пометками. Почему PQ\\AB7 AC \\QR7 PS \\~BC?
С
261

§ 3. АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ
Аксиома 18 (аксиома параллельности)
Существует только одна прямая, проходящая через данную
точку, не принадлежащую данной прямой, и параллельная данной
прямой.
Заметим, что поскольку мы доказали, что параллельная
прямая существует, аксиома должна только утверждать, что она
единственна. Именно единственность параллельной прямой
позволяет доказать теоремы, обратные теоремам из предыдущего
параграфа. Мы начнем с теоремы, обратной теореме 9.5.
Теорема 9.8 (ЯБЯ-теорема)
Если даны две параллельные
прямые и секущая, то
внутренние накрест лежащие углы
конгруэнтны.
Доказательство. Нам
даны параллельные прямые 1г и /2
и секущая t, пересекающая их в
точках Ρ и Q.
Допустим, что £а и £ b не конгруэнтны. Пусть / — прямая,
проходящая через Р, для которой внутренние накрест лежащие
углы конгруэнтны, т. е. пусть на нижнем рисунке Ζ.β=Ζ.£·
По аксиоме построения углов существует ровно одна такая
прямая /, откуда также следует, что 1ф1г.
у
Тогда по теореме 9.5 /||/2. Так как 1ф1ъ отсюда вытекает,
что существуют две прямые, проходящие через Ρ и
параллельные прямой /2. Но это противоречит аксиоме параллельности.
Следовательно,
что и требовалось доказать.
Доказательства следующих четырех теорем являются
короткими и совсем простыми, потому мы предоставляем вам провести
их самостоятельно.
262

Теорема 9.9
Если даны две параллельные прямые и секущая, то каждые
два соответственных угла конгруэнтны.
Теорема 9.10
Если даны две параллельные
прямые и секущая, то
внутренние углы по одну сторону от
секущей пополнительны.
Другая формулировка. Даны 1г||/2 и секущая t. Тогда
£b и Z. d пополнительны и £а и /^с также пополнительны.
Теорема 9.11
Если на плоскости каждая из двух данных прямых
параллельна некоторой третьей, то эти две прямые параллельны.
Аналогичная теорема верна и для случая, когда наши три
прямые не компланарны (см. следствие 10.4.2), однако в общем
случае она не может быть доказана методами этой главы.
^Т7
Теорема 9.12
Если на плоскости какая-либо прямая перпендикулярна одной
из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой
прямой.
Очень простое доказатель- д
ство этой теоремы предлагается
На рисунке. (Угол является
пРямьщ в том и только в том
случае, если он конгруэнтен -«——
смежному с ним углу.) f /
Заключительное за-
ечание. Если теорему 9.9 вы доказывали методом от против-
Го, то вы выбрали слишком трудный путь. Нужно воспользо-
Ться определением соответственных углов и вспомнит^ теорему
υ ВеРтикальных углах.
263

Задачи к § 3
1. Дан рисунок, где Δ CDE ^ Δ А и / J. Л£.
Докажите, что / J_ DE.
2. Д а н о. D EASY, у которого Δ Ε, Δ А я
Δ β — прямые.
Требуется доказать. EY L SY.
υ ι "
ЛА г
Р\ 1 ' г
1
\1
ί
3. Докажите, что прямая, параллельная основанию равнобедренного
треугольника и пересекающая две его другие стороны в различных точках,
образует новый равнобедренный треугольник.
4. Чему равна мера т Δ ADC, если АВ II DC и
т Δ £4D = 115?
Чему равна мера т Δ BCD, если, кроме
того, Л£||£С?
5. Дано. Рисунок, где RT = RS й*Р<2 ||#s\
Требуется доказать. PQ = PT.
6· На этом рисунке Δ χ ^ Δ у и 1г || /2-
Докажите, что /ill/з·
264

7 Дан рисунок, где !^1й и ^||4· Докажите,
что Ζ х ^ /■ #·
8. Дано, что отрезки ЛС и Ό В пересекаются в точке £, причем А — Е — С,
[) — Е—В, AD = BC и AD||£C. Докажите, что отрезки ЛС и D£ делят
друг друга пополам в точке Я. р
9. Дан Δ ΡΜ.Ν. Луч Λ1Υ делит пополам Ζ М,
луч /VX делит пополам Ζ N и отрезок Qi?,
проходящий через точку Х, параллелен
отрезку MN. Докажите, что Δ QMX и
Δ RXN — равнобедренные треугольники.
Ю4*. Докажите методом от противного
следующую теорему:
Даны две параллельные прямые 1г и /2.
Если третья прямая /3, лежащая в той же
плоскости, пересекает одну из параллельных
прямых, скажем /2, то она пересекает и ^
другую прямую lv *- иж
11. Даны две параллельные прямые и секущай. Докажите, что биссектрисы
любых двух соответственных углов параллельны.
(а)а=ь
12. Докажите следующую теорему
Если на плоскости стороны одного угла параллельны сторонам другого
угла, то эти два угла либо
a) конгруэнтны, либо
b) пополнительны.
Замечание. На рисунке показано только два случая, но подобные же
легкие доказательства можно дать и для всех остальных случаев. В
качестве указания см. выше задачу 7.
13*. Биссектриса Ζ Л в Δ Л£С пересекает сторону ВС в точке D. Медиат-
риса отрезка AD пересекает сторону АС в точке G. Докажите, что GD \\ А В-
14*. Биссектрисы Ζ F и Ζ G Δ FGH пересекаются в точке С. Прямая,
проведенная через С параллельно стороне FG, пересекает сторону FH в точке А
и сторону GH в точке В. Докажите, что периметр Δ ΑΒΗ равен сумме
/я+оя.
10 · Дан Δ ABC. Докажите, что если А лежит на прямой, параллельной
стороне ВС, то т Ζ А + т Ζ В + т Ζ С = 180.
265

16+. Если вместо аксиомы параллельности
принять за аксиому теорему 9.8, то аксиому
параллельности можно доказать как теорему.
Даны прямая I и не принадлежащая ей
точка Р. Тогда существует не более одноЦ,
прямой lv содержащей точку Ρ и
параллельной прямой I.
(Указание. Будет ли а = Ь=с?)
174". Покажите, что если принять за аксиому
теорему 9.12, то аксиому параллельности
можно доказать как теорему.
i
к*
^-Г
}
§ 4. ТРЕУГОЛЬНИКИ
Теорема i. IJ
Сумма мер углов каждого треугольника равна 180.
В
Доказательство. Дан /\АВС. Пусть / — прямая,
проходящая через вершину В параллельно стороне АС, а /_ х, £ х',
Δ У, Δ у' и Δ ζ — углы, указанные на рисунке.
Утверждения
1. т L х-=т L xf *
2. т L y=*m L у'·
3. т L ABD=m L z + m L у'.
4. т L х + т L ABD = 180.
5. т L х' + т Ζ z + m L у' = 180.
6. т Ζ x + m L z+m L y= 180.
Аргументы
Это —внутренние накрест лежащие
углы.
То же, что.и в шаге 1. |
Аксиома сложения углов.
Аксиома пополнения.
Шаги 3 и 4.
Шаги 1, 2 и 5.
Из этой теоремы вытекает несколько очень важных следствий,
2§6

Следствие 9.13.1
Дано соответствие между двумя треугольниками. Если два
игла одного треугольника конгруэнтны двум соответствующим
углам другого треугольника, то и третий угол первого
треугольника конгруэнтен третьему углу второго треугольника.
Следствие 9.13.2
Острые углы прямоугольного треугольника являются
дополнительными.
Следствие 9.13.3
Мера· внешнего угла любого треугольника равна сумме мер
двух внутренних углов, не смежных с ним.
В доказательстве теоремы 9.13 мы воспользовались аксиомой
параллельности. Мы поступили так не просто ради удобства;
в действительности без аксиомы параллельности эту теорему
доказать нельзя. В девятнадцатом веке было открыто, что
возможна и отличная от изучаемой в школе геометрия (называемая
теперь гиперболической геометрией, или геометрией Лобачевского),
в которой аксиома параллельности не выполняется.
Гиперболическая геометрия —не только большая и серьезная ветвь математики;
она очень полезна и в физике. В гиперболической геометрии
теорема 9.13 не только недоказуема — она фактически неверна. В этой
геометрии имеют место и многие другие странные вещи.
Например, в гиперболической геометрии невозможно точно изобразить
на листе бумаги большую фигуру, так как в ней никакие две
фигуры разных размеров не имеют в точности одной и той же формы.
Евклидова геометрия, однако, превосходно передает свойства
окружающего нас физического пространства. И конечно, именно
эту (самую простую) систему нужно изучить прежде всего.
Задачи к § 4
■· Какую меру имеет третий угол треугольника, если два первых его угла
имеют следующие меры:
а) 64 и 59; Ь) 26 и 134; с) k и 2k; *
d) « и υ е) 90 и η; ί) 60 + α и 60-α?
267

2. Меры углов треугольника находятся в отношении 1:2:3. Найдите меру
каждого угла.
3. Мера первого угла треугольника на 25 больше меры второго угла, а мера
третьего угла на 9 меньше, чем удвоенная мера второго. Найдите меру
каждого угла.
4. Определите меру каждого угла на
этом рисунке.
. Дано, что L А^£ ζ D и Ζδ^
^ L Е. Объясните, почему мы
можем или же почему не можем
заключить, что
a) ZC^Z/7;
b) АВ ξ* DE.
6. Мера первого угла треугольника в 5 раз больше меры второго угла, а мера
внешнего угла при третьей вершине равна 120. Найдите меру каждого угла
этого треугольника. «
7. На этом рисунке PR J_ RQ,
ST±lRQ и SQ±PS. Докажите,
что ZP^ZQ.
8. Ζ АСВ _в_ Д ABC является
прямым и CD _L АВ. Докажите, что
L А ^ L BCD.
9. Докажите: Если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна
стороне этого треугольника, то этот треугольник —равнобедренный.
10. Докажите. Если прямая, содержащая вершину равнобедренного
треугольника, параллельна его основанию, то она делит пополам каждый внешний
угол при вершине.
11. Почему аксиома параллельности играет существенную роль в
доказательстве теоремы 9.13?
268

12. Дано. Рисунок.
Требуется доказать. а + Ь = х-{-у.
(Указание. Проведите отрезок МН.)
Μ
\ь*
G Η
13*. Δ С в Δ ЛВС— прямой, а М —такая точка гипотенузы, что AM —СМ.
Докажите, что точка Μ равноудалена от вершин Л, В и С.
14*. Дано. B&PQR L # —прямой, QT^QV
и PS = PV.
Требуется доказать. # = 45.
(Указание. Пусть т ζ Ρ=α. Напишите
формулы для мер остальных углов.)
С С
15*. Рассмотрите три нарисованных здесь треугольника. Какое наблюдение
относительно DE и АС можно в каждом случае сделать? Как DE
относится к АС? Что это за точки D и £? Не подводят ли ваши ответы
к какому-то важному свойству треугольников? Сформулируйте гипотезу об
отрезках DE и АС и их длинах DE и АС. Можете ли вы найти пример,
показывающий, что ваша гипотеза ошибочна? Можете ли вы доказать, что
она верна?
16*. В Δ ABC имеем: АС = ВС. Точка D лежит на прямой ВС, а точка Ε —
на прямой АВ так, что C — B — D, А — Е — В и BD — BE. Прямая DE
пересекает сторону АС в точке F. Докажите, что т L CFE — 90.
§ 5. ПЛОСКИЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
Напомним определение четырехугольника из § 8 п. 5.
В
У69

Определение
Пусть А, В, С и D —четыре точки, принадлежащие одной
плоскости. Если никакие три из них не коллинеарны и отрезки
АВ, ВС, CD и DA пересекаются только β точках А, В, С и D,
то объединение этих четырех отрезков называется
четырехугольником. Рассматриваемые четыре отрезка называются
сторонами четырехугольника, а точки А, В, С и D —его
вершинами. Ζ DAB, Ζ ABC, Ζ BCD и Ζ CD А называются углами
четырехугольника.
Сам четырехугольник обозначается
углы можно для краткости обозначать
*С ^
символом \^]ABCD. Его
Δ Α, Ζ Β, Ζ С и ZD.
Левый четырехугольник на рисунке сверху называется
выпуклым, а правый — нет. Чтобы понять, в чем состоит различие
между этими четырехугольниками, проведем прямые, содержащие
стороны каждого из них. Следующее определение описывает это
свойство выпуклости.
Определение
Плоский четырехугольник называется выпуклым, если ни-
какие две из его вершин не лежат по разные стороны от какой-
либо прямой, содержащей сторону этого четырехугольника.
Левый четырехугольник на последнем рисунке удовлетворяет
этому условию, а правый — нет. (Почему? Что вам нужно заметить,
чтобы удостовериться, что четырехугольник не является
выпуклым?)
270

ОпрсДелеШ1Я
Две стороны четырехугольника называются
противоположными, если они не пересекаются. Два его угла называются
противоположными, если их пересечение не содержит
никакой его стороны. Две стороны четырехугольника называются
смежными, если они имеют общий конец. Два его угла
называются соседними, если их пересечение содержит какую-либо
сторону четырехугольника. Диагональю четырехугольника
называется отрезок, соединяющий две его противоположные вершины.
Так, в □ ABCD следующие пары сторон и углов являются
противоположными: АВ и CD, ВС и Ж), £ А и ^ С, Z. В и
l_ D. А вот несколько пар· смежных сторон и соседних углов: АВ
и ВС, ВС и CD,__L D и_£ Л, Ζ. А и Ζ В. Диагоналями [JABCD
служат отрезки AC n BD.
·/ 7*
ι—\ ι /
AL \о
Определение
Трапецией называется четырехугольник, имеющий две
параллельные стороны.
Заметим, что это определение не исключает возможности,
что обе пары противоположных сторон будут параллельными.
Если это случится, то мы получим параллелограмм.
Определение
Параллелограммом называется четырехугольник, у
которого обе пары противоположных сторон параллельны.
Следующие теоремы доказываются непосредственно.
Теорема 9.14
Каждая диагональ разбивает параллелограмм на два
конгруэнтных треугольника.
Другими словами, если Π ABCD — параллелограмм, то Λ ABC ^
^ACDA.
Теорема 9.15
^ параллелограмма любые две противоположные стороны кон-
гРуэнтны.
271

Следствие 9.15.1
Если две прямые параллельны, то все точки каждой из них
разноудалены от другой.
Как мы помним из § 7 гл. 7, расстояние от точки до прямой
есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную
прямую. Следствие 9.15.1 иногда ρ q
коротко формулируют так: «расстоя- ** Ι —η—-—**
ние между параллельными прямыми _]_, ' ,
есть величина постоянная». В этой
формулировке используется следую- ·+
щее
Определение
4"h h
Расстояние между двумя параллельными прямыми есть
расстояние от любой точки одной из этих прямых до другой.
Теорема 9.16
У параллелограмма любые два противоположные угла
конгруэнтны.
Теорема 9.17
У параллелограмма любые два соседние угла пополнительны.
Теорема 9.18
Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.
Если дано, что ЦЛВСО—< параллелограмм, то предыдущие
теоремы позволяют установить различные его свойства. Теперь
рассмотрим обратную задачу: что нам нужно знать о \^}ABCDt чтобы
установить, что он является параллелограммом?
Теорема 9.19
Если обе пары противоположных сторон четырехугольника
конгруэнтны, то этот четырехугольник —параллелограмм.
Теорема 9.20
Если две стороны четырехугольника параллельны и
конгруэнтны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
272

Теорема 9.21
Если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам,
#10 этот четырехугольник — параллелограмм.
Ни сама следующая теорема, ни ее доказательство не являются
очевидными. Мы приведем это доказательство полностью.
Теорема 9.22
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника,
параллелен третьей его стороне и имеет вдвое меньшую длину.
В
Др"угая формулировка. Дан /\АВС. Если D и Ε—
середины сторон А В и ВС, то DE || АС и DE = у АС.
Доказательство. Пусть F — точка луча,
противоположного лучу ED, для которой EF — DE. Теперь мы имеем ситуацию,
описываемую пометками на нашем рисунке. В нижеследующем
доказательстве мы пользуемся обозначениями, заимствованными из
этого рисунка.
Утверждения
1. EF^DE.
2. ЕВ = ЕС.
3· Ζ^^Ζί/.
4. AEFC^AEDB.
5. £ υ ^ Ζ w.
6. AB\\CF.
7. DB^FC.
8. AD = DB.
9. AD = FC.
10· QADFC—параллелограмм.
U· DE\\AC
12. DE~±2 DF.
13. DE^AC.
Аргументы
Определение точки F.
Определение середины.
Теорема о вертикальных углах.
CYC.
Соответствующие углы.
ВНП (теорема 9.5).
Соответствующие стороны.
Определение середины.
Шаги 7 и 8.
Теорема 9.20.
Определение параллелограмма.
Шаг 1.
Шаг 12 и теорема 9.15.
3аДачи к § 5
ера одного угла параллелограмма равна 45. Чему равны меры остальных
273

Два соседних угла параллелограмма имеют соответственно меры дг-f 30 ц
2л: —60. Найдите меру каждого угла параллелограмма.
□ ABCD и Π AKRS на левом рисунке являются параллелограммами Как
связаны Δ D и Δ R? £ R к £ С? Докажите, что ваш ответ правилен.
4. Π A.KMJ и Π KBMJ на правом рисунке являются параллелограммами.
Покажите, что если К J= /Ш, то Δ ABC — равнобедренный треугольник!
5. Даны параллелограмм и одна его
диагональ. Докажите, что если отрезки,
проведенные из противоположных
вершин до диагонали, перпендикулярны
диагонали, то они параллельны и
конгруэнтны.
6. Π PQRS — параллелограмм,
PW = PS и RU = RQ.
Докажите, что □ SWQU —
параллелограмм.
7. Даны равнобедренный треугольник и точка Ρ на его основании, отличная
от вершины. Докажите, что если через точку Ρ провести параллель, к
каждой из конгруэнтных сторон, то
1°. получится параллелограмм;
2°. периметр этого параллелограмма будет равен сумме длин
конгруэнтных сторон треугольника.
8. Верно ли следующее утверждение.
Трапеция является параллелограммом в том и только в том случае,
если ее диагонали делят друг друга пополам.
Объясните.
9. Π ABCD и □ BEFC в этой плоской
фигуре являются параллелограммами.
Докажите, что □ AEFD — параллелограмм.
10. Точки А и В соответственно являются
серединами сторон PQ и RQ Δ PQRW
Чему равны АВ и т L ABR, если
#Р=16, т L Р = 58 и т L Q = 38?
274

Даны произвольный Δ ЛВС и точки Р, Q и # — середины его сторон.
Докажите, что периметр Δ PQR равен половине периметра A ABC.
to а) Всегда ли диагонали четырехугольника пересекаются?
Ь) Нарисуйте \Z\ABCD, у которого вершины В и D лежат по одну сторону
от диагонали АС-
13 Диагонали АС и BD
параллелограмма D A BCD пересекаются в точке М.
Докажите, что, если точки X и Υ
принадлежат противоположным
сторонам параллелограмма и отрезок ΧΥ
содержит точку Λί, то эта точка делит
отрезок ΧΥ пополам.
Α Ρ 8
14. Сформулируйте и докажите теорему, подсказываемую этими рисунками, где
Р, Q, R и 5 —середины соответствующих сторон Q ABCD. (Указание.
Проведите диагональ □ ABCD.)
15. Доказать. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон
любого четырехугольника, делят друг друга пополам. (Указание. См.
задачу 14.)
16. □ ABCD на этом рисунке является
трапецией. Докажите, что если AD—BC,
то ζ Α ^ ι. В. (У к а з а н и е. См.
следствие 9.15.1.)
17. Трапеция, имеющая хотя бы одну пару конгруэнтных противоположных
сторон, называется равнобедренной трапецией. Докажите, что каждый
параллелограмм является равнобедренной трапецией. Верно ли обратное?
18· Доказать. Если два соседних угла трапеции конгруэнтны, но не
пополнительны, то эта трапеция —равнобедренная.
19 · Докажите, что если Π ABCD — параллелограмм, то точка D лежит
внутри L ABC.
• Докажите, что диагонали параллелограмма пересекаются. (Указание.
воспользуйтесь задачей 19 и задачей 7 к § 8 гл. 6.)
§ 6. РОМБ, ПРЯМОУГОЛЬНИК И КВАДРАТ
0пРеделения
Ко р°мбом называется параллелограмм, все стороны которого
275

Прямоугольником называется параллелограмм, все углы
которого прямые.
К в ад ρ а том называется прямоугольник, все стороны кощ.
рого конгруэнтны.
Доказательства следующих теорем мы предоставляем вам.
Теорема 9.23
Если параллелограмм имеет один прямой угол, то он имеет
четыре прямых угла и является прямоугольником.
Теорема 9.24
Диагонали ромба перпендикулярны друг другу.
(Указание. См. следствие 6.2.1.)
Теорема 9.25
Если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам
и перпендикулярны, то этот четырехугольник — ромб.
Задачи к § 6
1. Для каждого из следующих утверждений укажите, верно оно или нет.
a) Прямоугольник является трапецией.
b) Квадрат является параллелограммом.
c) Ромб является квадратом.
d) Прямоугольник является квадратом.
e) Квадрат является прямоугольником.
f) Квадрат является ромбом.
g) Диагонали ромба делят друг друга пополам.
i) Диагонали прямоугольника перпендикулярны друг другу.
j) Если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то этот
четырехугольник есть ромб.
2. Доказать. Диагонали прямоугольника конгруэнтны.
3. Доказать. Диагонали ромба делят его углы пополам.
4. Дано. Δ ЛВС, где АС = ВС; Р> Q и Я— середины сторон.
Требуется доказать. Q PQCR — ромб.
276

Дано. Ромб MPQS; точки G, H, J и /(—середины его сторон.
Требуется доказать, π GHJК — прямоугольник.
Для каких из четырех фигур —параллелограмм, прямоугольник, ромб,
квадрат —можно доказать каждое из следующих свойств?
a) Диагонали делят друг друга пополам,
b) Диагонали конгруэнтны.
c) Соседние углы конгруэнтны.
d) Диагонали делят пополам углы данного четырехугольника.
e) Диагонали перпендикулярны.
f) Противоположные углы конгруэнтны.
g) Диагонали конгруэнтны и перпендикулярны.
Достаточны ли следующие условия для доказательства, что данный
четырехугольник является параллелограммом? прямоугольником? ромбом?
квадратом? Каждую из этих возможностей нужно рассмотреть отдельно.
a) Он имеет две пары параллельных сторон.
b) Три его угла являются прямыми.
c) Он является равносторонним.
d) Его диагонали конгруэнтны и перпендикулярны.
e) Каждые два его соседних угла пополнительны,
ί) Две его стороны параллельны.
g) Его диагонали делят друг друга пополам.
h) Его диагонали конгруэнтны, перпендикулярны и делят друг друга
пополам.
'· Доказать. Если в D ABCD имеем: £ А^ £ Си £ В ^ £ D, то D ABCD —
параллелограмм. (Указание. Проведите диагональ и воспользуйтесь
теоремой 9.13 и задачей 7 к- § 1.)
• Дан параллелограмм D ABCD, у которого AD > АВ. Биссектриса £ А
пересекает сторону ВС в точке G, а биссектриса £ В — сторону AD в точке Н.
Докажите, что α ABGH является ромбом.
Ю.
Дано. Квадрат PQRS. Точки /Д, L и М,
ак Указано на рисунке, разбивают стороны этого
квадрата на отрезки длины а и Ь.
ребуется доказать, α JKLM является
квадратом.
277

11*. Четырехугольник, одна и только одна диагональ которого является меди.
атрисой другой диагонали, будем называть ромбоидом. Докажите, что р0м*
боид имеет две пары конгруэнтных сторон, но что противоположные его
стороны не обязательно конгруэнтны.
12*+. Сторона AD выпуклого π ABCD является наименьшей, а сторона ^С -^
наибольшей. Докажите, что ζ D ^ L В.
(Указание. Проведите диагональ.) Будет ли эта теорема верна, если не
требовать, чтобы D ABCD был выпуклым?
§ 7. НЕСКОЛЬКО ТЕОРЕМ О ПРЯМОУГОЛЬНЫХ
ТРЕУГОЛЬНИКАХ
Наше знание четырехугольников дает нам некоторую
информацию о прямоугольных треугольниках.
Теорема 9.26
Длина медианы,
проведенной к гипотенузе
прямоугольного треугольника, вдвое
меньше длины его гипотенузы.
Доказательство. Дан /\АВС с прямым углом при
вершине С. Выберем точку D так, чтобы Π ADBC был
прямоугольником. (Как найти такую точку?) По теореме 8.18 диагонали АВ
и CD делят друг друга пополам в некоторой точке М.
Следовательно, СМ есть медиана, проведенная к гипотенузе /\АВС и
СМ = \ CD. Но CD = АВ. (Почему?) Таким образом, СМ = у Α В,
что и требовалось доказать.
Следующая теорема кое-что говорит нам о форме некоторых
треугольников.
Теорема 9.27 (теорема о треугольниках 30-60-90)
Если мера одного из острых
углов прямоугольного
треугольника равна 30, то длина
противоположного этому углу
катета вдвое меньше длины
гипотенузы.
'60°,
м^
\
гзо°
г
I/
278

доказательство. Дан /\АВС с прямым углом при
вершине С и, кроме того, дано, что т Z. Л =30. Пусть Λ1 —
середина гипотенузы АВ. Из теоремы 9.26 мы знаем, что
АМ = МВ = МС,
как это указано на рисунке. Так как т £ В = 60 (почему?), то
по теореме о равнобедренном треугольнике г = 60. Но
r + s + 60=180.
Следовательно, s = 60 -и Δ МВС — равноугольный треугольник.
Значит, он — равносторонний треугольник, поэтому
BC = MC = ±ABf
что и требовалось доказать.
Иногда мы будем ссылаться на теорему, говоря, что «в
треугольнике 30-60-90 гипотенуза вдвое длиннее меньшего катета».
Верна и обратная
Теорема 9.28
Если длина одного ,из
катетов прямоугольного
треугольника вдвое меньше длины
гипотенузы, то мера угла,
противолежащего этому катету, равна
30.
Доказательство. Дан Д ABC с прямым углом при
вершине С и, дано, что ВС = -с>АВ. Пусть Μ — середина
гипотенузы АВ. Тогда АМ = МВ = ВС. По теореме 9.26 МС = МВ.
(Теперь все пометки на нашем рисунке обоснованы.)
Так как Д МВС — равносторонний треугольник, он является
и равноугольным. Поэтому т£В = 60. По следствию 9.13.2
т^.Л = 30, что и требовалось доказать.
8
Задачи к § 7
1. / с_
Ке А прямой угол в треугольни-
_АоС, АС = 6 и длина медиа-
ы СП равна 5. Чему равна АВ?

2. На левом рисунке RQ = 2RP. Тогда mZ/?=?
3. На правом рисунке 15 ± ~АВ, AD ± ~ВС. Найдите DBt если £С=12.
4. Высота (Ш равностороннего треугольника GHK имеет длину 9. Из точки Μ
на две другие стороны опущены перпендикуляры. Докажите, что эти два
отрезка конгруэнтны, и найдите их длину.
5. Докажите теорему, обратную теореме 9.26.
Если длина медианы какого-либо треугольника вдвое меньше длины
стороны, к которой эта медиана проведена, то этот треугольник является
прямоугольным, а данная сторона —его гипотенузой.
Дано. Д ЛВС, медиана AD, AD = -^ ВС.
Требуется доказать. Δ ЛВС —
прямоугольный треугольник и ВС — его гипотенуза.
(Указание. Докажите, что # + (/ = 90.)
Точка F на этом рисунке является серединой
отрезка АЕУ a Z ABE, L АСЕ и L ADE —
прямые углы. Докажите, что точка F
равноудалена от точек Л, В, С, D и £.
7. Δ PQR — равнобедренный треугольник, причем PR=QR=a. Докажите,
что если / — любая прямая, проходящая через /?, но не содержащая ни Р.
ни Q^a X и У —две точки прямой /, находящиеся на расстоянии а от R,
то ХР 1 Υ Ρ и Щ 1 YQ.
8. В любом прямоугольном треугольнике высота,
опущенная на гипотенузу, делит ее на два
отрезка. Докажите, что в треугольнике 30-60-90
длины этих отрезков относятся как 1:3.
280

Пан равносторонний Δ ЛВС. На луче, противоположном лучу
тякая точка D, что BD = AC. Докажите, что т L BCD = 30.
БЛ, взята
Ю На этом рисунке Δ ■ЛВС —
равносторонний треугольник, ЛЪ J_ E и точки
Jp и q — соответственно середины
сторон ЛС и ЛЯ. Докажите, что Δ PDQ —
равносторонний треугольник.
§ 8. СЕКУЩИЕ КО МНОГИМ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ ПРЯМЫМ
Определения
Если секущая t пересекает прямые 1г и /2 в точках А и В, то
мы будем говорить, что прямые 1г и /2 высекают на t
отрезок АВ.
*
6/
А/
ч
^
h
Допустим теперь, что нам даны три прямые 1г, /2 и /3 и
секущая t, пересекающая их β точках А, В и С. Если АВ = ВС,
то мы будем говорить, что прямые llf /2 и /3 высекают на t
конгруэнтные отрезки.
А f
Мы покажем, что если три параллельные прямые высекают
к°нгруэнтные отрезки на какой-нибудь одной секущей, то они
высекают конгруэнтные отрезки и на любой другой секущей. Нашим
Первым шагом явится доказательство следующей теоремы:
281

Теорема 9.29
Если три параллельные прямые высекают конгруэнтные отрезки
на какой-нибудь одной секущей t, то они высекают конгруэнтные
отрезки и на всякой секущей V, параллельной t.
о
L2
F
Доказательство. Заметим сначала, что Π AGED и Π GHFE
являются параллелограммами. (Почему?) Нам дано, что AG = GH.
По теореме 9.15 AG = DE и G# = £/\ Следовательно, DE = EF.
Теперь мы можем доказать теорему в общем случае.
Теорема 9.30
Если три параллельные прямые высекают конгруэнтные
отрезки на, какой-нибудь одной секущей, то они высекают
конгруэнтные отрезки и на любой другой секущей.
Доказательство. Пусть /х, /2 и /3 — три параллельные
прямые, а /х и t2 — две секущие. В указанных на рисунке
обозначениях нам дано, что АВ = ВС, и мы хотим доказать, что DE = EF.\
Мы уже знаем, что это имеет место, если t1\\t2B Поэтому
предположим, что прямые tx и /2 не параллельны.
Пусть t3 — прямая, параллельная t2 и проходящая через Л, а
/4_ прямая, параллельная t2 и проходящая через β. (Вспомните!
теорему 9.11.)
282

Утверждения
^АВ^ВС.
2. ix9i ^ У-
3. LV^Lw.
4. д ABG 9* Δ ВС/.
5. AG^BJ.
6. 0/=*<?Я.
7> AG^GH.
8. DE^EF.
Аргументы
Дано.
Теорема 9.9.
Теорема 9.9.
УСУ.
Соответствующие стороны.
Противоположные стороны
параллелограмма конгруэнтны.
Шаги 5 и 6.
Теорема 9.29.
То же самое заключение справедливо и для любого числа
параллельных прямых.
Следствие 9.30.1
Если три или более параллельных прямых отсекают
конгруэнтные отрезки от какой-нибудь одной секущей, то они
отсекают конгруэнтные отрезки и от любой другой секущей.
Иными словами, дано, что
Л1Л2 = Л2Лз==ЛзЛ4==... .
отсюда следует, что
ВХВ2 = В2В3 = В3В4 —...
т· Д. Это получается, если несколько раз применить только что
Доказанную теорему.
283

Задачи к § 8
1. Дано^ AB==BCt AP\\BQ\\CR,
px\\qy\\rz.
Требуется доказать. XY =
= YZ.
Для того чтобы доказательство было
справедливо, должны ли прямые АС
и XZ быть компланарными?
2. Докажите следующую теорему:
Если прямая делит пополам одну сторону треугольника и параллельна
второй стороне, то она делит пополам третью его сторону.
3. На этом рисунке
de\\ab, W\\ ас
и D—-середина отрезка АС.
Докажите, что
Δ CDE ^ Δ EFB.
Если одна секущая пересекает
параллельные прямые 1г и /2 в точках D и Л,
а другая-—в точках С и В, то
Π ABCD является трапецией. Если
известно, что /3 || lv то почему прямая
/3 параллельна также и /2? Почему
если прямая /3 содержит середину Ε
отрезка ADt то она содержит и
середину F отрезка ВС? Содержит ли
прямая /3 и весь отрезок EF? Почему?
Отрезок EF называется средней линией трапеции ABCD, а параллельные
стороны А В и CD —основаниями этой трапеции,
a) Докажите, что средняя линия
трапеции делит пополам обе ее диаго- q с
налив
b) Докажите, что длина средней
линии трапеции равна полусумме ΕΙ
длин ее оснований, т. е. что
EF = ~(AB + CD).
(Указание. Проведите одну диагональ и воспользуйтесь теоремой
5. D ABCD — трапеция, у которой
AB\\CD, EF —средняя линия этой
трапеции (см. задачу 4).
a) Если АВ=\2 и DC=* 7, то EF = ?
b) Если АВ= 14 и DC== 14, то EF = ?
c) Если DC = 6 и £f=14, то АВ = 7
d) Если АВ = 27 и EF^\bt то DC = ?
9.22.)
284

Докажите, что два отрезка, соединяющие
6· ^е противоположные вершины
параллелограмма с серединами двух
противоположных сторон делят диагональ
параллелограмма на три равные части. Дано.
η A BCD — параллелограмм, Ρ и Q —
середины сторон.
Требуется доказать. AR = RS = SC.
(У к а з а н и е. Параллельны ли отрезки
DQ и РВ7) _
7+ Если в задаче 6 К—середина стороны DC,
а М —середина стороны АВ,
то будут ли отрезки ВК и DM содержать соответственно точки S и R?
Почему?
сг Докажите, что если в задаче 6 диагонали DB и АС пересекаются в точке
£, то£5 = уЛС.
9*-1". Параллельные прямые на этом рисунке
делят отрезок АС на семь конгруэнтных
отрезков. Если дано, что АВ — 2 и ВС =
__ 1 _ то 7 —это наименьшее число кон-
2 '
грузнтных отрезков, на которые
множество параллельных прямых, включающее
прямые AG, В Η и СК> может разделить
отрезок АС Каким будет при том же
условии наименьшее число конгруэнтных
♦ Я
К
отрезков, если
а) Л£ = 4,
с) АВ = 15,
е) Л£ = 1,414,
g) AB = V3,
ВС=\;
£С = 3;
£С=1;
£C = 2)/3;
b) Л£ = 3,5,
d) Л£==1,3,
f) ЛБ = ]/2,
h) AB = Y2,
ВС = \\
ВС = 0,8;
ЯС = 1;
ВС = 1/3?
Конкурсная задача
Этот рисунок должен помочь вам
доказать следующую теорему:
Все медианы треугольника пере- ж
секаются β одной точке, расстояние >
которой от любой вершины равно
двум третям длины медианы, про- _
веденной из этой вершины. ^^"
§ 9. КАК ЭРАТОСФЕН ИЗМЕРИЛ ЗЕМЛЮ
Окружность Земли по экватору равна приблизительно 40000 км.
В пятнадцатом веке считалось, что она намного меньше. Поэтому
когда Колумб отправился в Индию и пристал к одному из
Багамских островов, он думал, что уже находится в Индии. Таким
образом, его ошибка превосходила ширину Соединенных Штатов
njn°c ширину Тихого океана.
Однако в третьем веке до нашей эры греки знали эту величину
v Учще. В то время греческий математик Эратосфен измерил ок-
285

ружность Земли, и погрешность его результата составляла только
один или два процента. Он придумал следующий метод.
Было замечено, что в Ассуане (тогда называвшемся Сиеной)
на Ниле в полдень в день летнего солнцестояния солнце нах0.
дится точно над головой, т. е. в полдень этого особого дня
вертикальный столб совсем не отбрасывает тени, а дно глубокого
колодца полностью освещено.
На нашем рисунке С —это центр Земли. В полдень в день
летнего солнцестояния Эратосфен измерил в Александрии угол
обозначенный на рисунке буквой а, т. е. угол между
вертикальным столбом и лучом, исходящим из вершины этого столба и про-
Солнце)
Александрия \ ι
ходящим через конец его тени. Он нашел, что этот угол
приблизительно равен 7° 12', или 1/50 всей окружности.
Лучи Солнца, .наблюдаемые на Земле, почти параллельны.
Если считать, что они действительно параллельны, то внутренние
накрест лежащие углы, образуемые на нашем рисунке секущей
с прямыми /х и /2, конгруэнтны. Значит, Ζ я = 2. 6. Поэтому
расстояние от Ассуана до Александрии должно приблизительно
равняться 1/50 окружности Земли.
Было известно, что расстояние от Ассуана до Александрии
составляет приблизительно 5000 греческих стадий. {Стадия —
единица расстояния в древней Греции.) Исходя из этого, Эратосфен
пришел к заключению, что окружность Земли должна быть равна
250 000 стадий. Переводя их в километры в соответствии с тем,
что говорят нам античные источники о длине стадии, мы
получаем 39 675 км. Таким образом, ошибка Эратосфена ке
составляла и одного процента. Позднее он изменил свою оценку даже
на еще более точную — 252 000 стадий; однако никто, по-видимому,
не знает, чем он при этом руководствовался. Основываясь на
этом соображении, некоторые историки полагают, что Эратосфен
был не только великим ученым и тщательным вычислителем, но
что он был еще и очень удачливым человеком (что в науке не
менее важно, чем в жизни).
С самых далеких времен геометрия играла в прикладной
математике ведущую роль. Египтянам она была чрезвычайно нужна,
потому что ежегодные разливы Нила смывали маленькие межевые
286

наки, которые приходилось восстанавливать заново —и при этом
3 иикали трудные землемерные задачи. И потому слово геометрия
воОНсходит от двух греческих слов, означающих земля и мерить.
Позднее оказалось, что «геометрию» можно применить не только
П1Я измерения земельных участков, но и в буквальном смысле
Лова «землемерие» —для измерения самой Земли. Это
обстоятельство иллюстрирует общее правило: если математические
результаты хороши и пригодны для какой-нибудь одной цели, то они
обычно оказываются полезными и для других, часто совершенно
неожиданных целей, не имевшихся в виду при получении этих
результатов.
ЭРАТОСФЕН (276—194 гг. до нашей эры)
О трудах Эратосфена известно лишь очень немногое.
Отдельные отрывки из его книг сохранились в виде цитат в книгах
других античных авторов, но ни одна из его собственных книг до
наших дней на дошла. Однако есть указания, что он занимался
почти всем: геометрией, астрономией, теорией чисел*, историей
и драматургией. Кроме того, он был поэтом. Греки дали ему
прозвище Бета (вторая буква греческого алфавита), считая, что
буквально в любой области знания он был вторым, но ни в одной
из них не был первым. Однако это прозвище было, возможно, и
не совсем справедливым: произведенное Эратосфеном измерение
Земли бесспорно было выдающимся достижением, что понимали,
видимо, и его современники: это открытие в изложении многих
других авторов полностью дошло до нас, причем все авторы
ссылаются здесь на Эратосфена.
Вопросы и задачи для повторения
Часть 1
1. Укажите, верно или нет каждое из следующих утверждений.
a) Если на плоскости прямая параллельна одной из двух параллельных
прямых, то она параллельна и другой.
b) Диагонали ромба делят углы ромба пополам.
c) Если длина медианы гипотенузы прямоугольного треугольника равна
7 см, то длина гипотенузы равна 14 см,
d) Параллелограмм является трапецией.
ч Трапеция является параллелограммом.
ι) Если даны две прямые и секущая, то, естественно, углы конгруэнтны.
Ю Любая диагональ параллелограмма образует вместе с его сторонами два
конгруэнтных треугольника.
\ ρ Иагонали Ромба конгруэнтны.
Ч Если длина одного катета треугольника 30-60-90 равна 8 см, то
Длина гипотенузы равна 16 см.
пРост Р°шо известен принадлежащий Эратосфену способ составления таблиц
в Тео!?1х чисел («зратосфеново решето»), уже в нашем столетии получивший
рии чисел глубокое развитие.
287

j) Две прямые или параллельны или пересекаются.
к) Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных пря
мых, то она пересекает и другую.
2. Дополните следующие утверждения:
a) Если даны две параллельные прямые и секущая, то внутренние углы
по одну сторону от секущей называются
b) Если два угла одного треугольника конгруэнтны двум углам другого
треугольника, то ....
c) Острые углы прямоугольного треугольника являются ....
d) Длина гипотенузы треугольника 30-60-90 равна 13; катет
противоположный углу, мера которого равна ..., конгруэнтен ... гипотенузы
и длина его равна
e) Если три или более параллельных прямых отсекают ... отрезки от
какой-нибудь одной секущей, то ....
f) Аксиома параллельности устанавливает ... прямой, содержащей данную
точку и ... прямой, эту точку не содержащей.
3. В каждом случае выберите тот ответ, при котором утверждение становится
верным.
a) Если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам, то
этот четырехугольник есть
(i) ромб, (И) квадрат, (iii) параллелограмм, (iv) прямоугольник.
b) Фигура, получающаяся если соединить середины смежных сторон
произвольного четырехугольника, есть (i) прямоугольник, (и) параллелограмм,
(iii) ромб, (iv) ни первое, ни второе, ни третье.
c) Биссектрисы противоположных углов параллелограмма, не являющегося
ромбом, (i) параллельны, (и) коллинеарны, (iii) перпендикулярны,
(iv) скрещиваются.
d) Биссектрисы внутренних углов по одну сторону от секущей к двум
параллельным прямым (i) параллельны, (И) перпендикулярны, (iii)
пересекаются, но не перпендикулярны, (iv) скрещиваются.
4. Достаточны ли следующие условия для доказательства, что данный
четырехугольник является трапецией? параллелограммом? прямоугольником?
ромбрм? квадратом? (Каждую из этих возможностей нужно рассмотреть
отдельно.)
a) Все четыре его стороны конгруэнтны.
b) Две его стороны параллельны.
c) Две его стороны конгруэнтны.
d) Его диагонали делят друг друга пополам.
e) Его диагонали конгруэнтны и делят друг друга пополам.
f) Он является равноугольным.
g) Его диагонали конгруэнтны и перпендикулярны,
h) Он является равносторонним и равноугольным.
i) Каждые два его противоположных угла конгруэнтны.
j) Каждая диагональ делит пополам два его угла.
5. Какие из следующих утверждений верны во всех случаях? верны в неко-^
торых случаях? не верны ни в одном случае?
a) Прямолинейные отрезки, лежащие в одной плоскости и не
пересекающиеся, параллельны.
b) Если даны две прямые и секущая, то биссектрисы двух внутренних
накрест лежащих углов параллельны.
c) Диагонали ромба делят друг друга пополам.
d) Диагонали четырехугольника параллельны.
e) Противоположные углы параллелограмма пополнительны.
f) Квадрат является прямоугольником.
g) Если диагональ четырехугольника образует с его сторонами два
конгруэнтных треугольника1 то этот четырехугольник является параллело*
граммом.
288

ч Рели длина медианы какой-либо стороны треугольника вдвое меньше
h) „пины этой стороны, то этот треугольник —прямоугольный.
, ρί пи две противоположные стороны четырехугольника параллельны,
]) а другие две стороны конгруэнтны, то этот четырехугольник является
^лТ^вТпртквоположных угла четырехугольника являются прямыми,
то этот четырехугольник есть прямоугольник.
Часть 2
Дан рисунок,_где D и Е — середины
отрезков АВ и АС*
я> Чему равны т L CBF и т L CED,
] если /η Ζ Л = 33 и т L С = 45?
b) Если ВС = 6, то £>£ = ?
c) D ##££ является
с) \JDBCt является ... . г
о Чему равен периметр Δ PQtf, если Ρ, Q и Я-середины сторон Δ ЛЯС,
2> γ которого ЛЯ ==12, ЯС = 9 и ЛС=13?
3 Дано. Π GHKM — параллелограмм и
щ^НР. Требуется доказать.
Отрезки G7C и PQ делят друг друга по-
полам.
На этом рисунке Π DEBF —
параллелограмм и AE = CF. Докажите, что и
□ ABCD— параллелограмм.
5. Докажите, что если биссектрисы двух
пересекаются, то они перпендикулярны.
6. Дано, что Л?||^В, биссектрисы L CAB
и L DBA пересекаются в точке Ρ и
АВ = 2РВ.
Найдите χ и у. — В\ D
7. Почему следующее рассуждение несостоятельно?
Из теоремы 9.11 мы знаем, что на плоскости две прямые,
параллельные третьей прямой, параллельны; поэтому если AP\\U ВР \\1 и АР'» ВР
и I компланарны, то АР \\ ВР. (Тем самым доказывается, что две
пересекающиеся прямые могут оказаться
параллельными!)
8· Определите на этом рисунке меру
каждого угла.
• Докажите, что если на плоскости
какая-либо прямая перпендикулярна одной из двух
пересекающихся прямых, то она не
перпендикулярна другой,
289

10. Д а н ο. Ζα^Ζδ, L P^ Δ q*
Требуется доказать.
Ζ.*—-прямой угол.
11. L К—прямой угол в Д MP К и т L Р=
= 30. ^Найдите AIQ, если КИ ±МР9
HR 1 Л1/С, /?Q _L ΛίΡ и МР = 80.
12
13.
Докажите, что если обе непараллельные стороны трапеции конгруэнтны одной
из параллельных сторон, то диагонали этой трапеции делят пополам углы
при другой параллельной стороне.
При отражении луча света от
поверхностью и падающим лучом,
ностью и отраженным лучом. На
ке т L Л£С = 90, т L BCD = 75'n луч
света образует с ТТЛ угол 359.
Скопируйте этот рисунок и дополните путь
светового луча после того, как он
отразится от АВ, от ВС, от DC и снова от
АВ. Под каким углом он отразится от
А В во второй раз?
гладкой поверхности угол, образованный
конгруэнтен углу, образованному поверх-
рисун-
А
R
/
/
35*
/
*
\
\
\
\
\
эо° \_
\°
\
\
\
75°\
14. Докажите, что следующее утверждение верно, или же, что оно неверно.
Если какой-либо четырехугольник имеет две параллельные стороны
и две конгруэнтные стороны, то это —параллелограмм.
15. На этом рисунке ED \\ ВС, ED = BC ги
точки Р, Q и R являются серединами
соответствующих отрезков. Докажите,
что отрезок PR делится пополам
отрезком^). (Указание. Проведите
отрезки PQ и ~ЁВ.)
16*. Докажите, что следующее утверждение верно, или же, что оно неверно.
Если диагонали четырехугольника конгруэнтны и перпендикулярна'
то этот четырехугольник является квадратом.
290

* Докажите, что следующее утверждение верно, или же, что оно
^ ' Если диагонали четырехугольника конгруэнтны и делят друг
пополам, то этот четырехугольник является прямоугольником.
неверно.
друга
,о* На этом рисунке АС ± АЕ биссектрисы
*° \ рев и Ζ ЕВС пересекаются в точке
~ Найдите т L Ρ и объясните свое рас-
Р.
суждение.
01
С
19*. Докажите, что если каждая диагональ четырехугольника делит пополам
два его угла, то этот четырехугольник является ромбом.
20*. Диагонали Π ABCD пересекаются в
точке Μ и перпендикулярны, а Я, Q, R
и S —середины сторон. Докажите, что
удвоенная сумма MP+MQ + MR+MS
равна периметру □ ABCD.
р У
X
м^
>5
Z^R
21*. Докажите, что сумма длин перпендикуляров, опущенных из любой точки
основания равнобедренного треугольника на его конгруэнтные стороны,
равна высоте, опущенной на любую из ^
конгруэнтных сторон. (Указание.
Пусть прямая, параллельная стороне
ЛС и проходящая через точку Р, пере-
Сг?£ает ВТ в точке О. Покажите, что
RP + PS = BT.) Т>
22* π
пусть д MPQ — равнобедренный треугольник, причем MP = MQ. Через
' юоую точку А, лежащую между Μ и Q, проведем прямую, перпендику-
ЛяРную PQ и пересекающую PQ в точке В и Ρ Μ в точке С. Докажите
Что Д МСА — равнобедренный треугольник.
291

23*. В произвольном Д ЛВС проведем через вершину А прямую, перпецДи
кулярную биссектрисе L В в точке К· Через К проведем прямую, парал.
лельную ВС и пересекающую ЛВ в точке М. Докажите, что точка м
является серединой стороны ЛВ, Можете ли вы, кроме того, доказать, Что
прямая МК делит пополам сторону АС?
S С R
Δ β
24*. ДЛВС — любой треугольник, a G и Н — середины сторон ~ЛС и ~ВС. На
луче, противоположном лучу ЯЛ, возьмем точку R так, что HR — HA
точно так же на луче, противоположном лучу GB, возьмем точку S, для
которой GS — GB. Докажите, что точки R, С и S коллинеарны и
CR = CS.

10
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
И ПЛОСКОСТИ

* 1 ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
прямых и плоскостях
Определение
Две плоскости или плоскость и прямая называются
параллельными, если они не пересекаются.
Если плоскости Ег и Е2 параллельны, то мы пишем Е1\\Е2. Если
прямая / и плоскость Ε параллельны, то мы пишем 1\\Е или Е\\1.
Как мы увидим, параллельные прямые и плоскости в
пространстве ведут себя во многих отношениях так же, как
параллельные прямые на плоскости. Однако имеются и важные различия.
Одно из различий между прямыми и плоскостями состоит в том,
что такой вещи, как скрещивающиеся плоскости не существует:
каждые две плоскости в пространстве или пересекаются, или
параллельны. Из того, что две прямые лежат в параллельных
плоскостях, не следует, что эти прямые параллельны (см. левый
рисунок). Если две прямые параллельны, то всегда можно найти две
непараллельные плоскости, их содержащие (см. правый рисунок).
Следующая теорема описывает обычную ситуацию,
встречающуюся, когда параллельные плоскости и параллельные прямые входят
в одну фигуру.
Теорема 10.1
Если какая-либо плоскость
пересекает две параллельные плоско-
Сти, то она пересекает их по двум
ПаРаллельным прямым.
Доказательство. Данапло-
кость Е, пересекающая две
параллельные плоскости Ег и £2. В
ИлУ аксиомы 8 (стр. 66) имеем:
295

1°. Плоскости Ε и Ег пересекаются по некоторой прямой /£.
2°. Плоскости Ε и Е2 пересекаются по некоторой прямой /
Очевидно, Ν 2*
3°. Прямые /х и /2 компланарны
(так как обе они лежат в Е).
4°. /х и /2 не имеют общих
точек (поскольку общих точек не
имеют плоскости Ег и Е2).
Утверждения 3° и 4° означают,
что
5°. /ι||/2, а это нам и
требовалось доказать.
/
, V
А
1 г-
у
А
\
Ει/Ι
El
£ιΛ
/ с
h
Теорема 10.2
Если какая-либо прямая перпендикулярна одной из двух
параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой.
Доказательство. Нам дано, чтоЕ2\\Е1 и/_1_ Ег. Пусть Л —
произвольная точка, принадлежащая E2i но не принадлежащая /.
Тогда
1°. / и А принадлежат
некоторой плоскости Е. (Почему?)
2°. Плоскость Ε пересекает
плоскости Е1 и Е2 по некоторым.
прямым.
3°. 1г\\12 (по теореме 10. 1).
4°. ΙΑ-Ιχ (так как 1±Е1).
5°. / JL /2 (по теореме 9. 12).
Таким образом, мы нашли в плоскости Е2 прямую,
перпендикулярную прямой /. Взяз другую точку В и повторив для нее это
рассуждение, мы найдем в плоскости Е2 другую прямую, перпен-
дикуляную прямой /. В силу теоремы 8.2 мы тогда получим,
что /J_£V
Следующая теорема аналогична теореме 9.2.
Теорема 10.3
Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой,
параллельны.
296

Доказательство. Нам дано, что Е{ J_ I в точке Ри£21'
в точке Q. Мы хотим доказать, что ЕХ\\Е2. Если это не так, то
пересечение плоскостей Ег и Е2 содержит хотя бы одну точку R.
Очевидно, что RP _[_ / и RQj_lt потому что прямая /
перпендикулярна каждой прямой, проходящей в плоскости Е± через точку
р, а также каждой прямой, проходящей в плоскости Е2 через
точку Q. Тем самым мы нашли два перпендикуляра к прямой /,
проведенные из точки /?, что невозможно (см. теорему 6.4.)
Следовательно, плоскости Ег и Е2 параллельны.
Следствие 10.3.1
Если каждая из двух плоскостей параллельна третьей
плоскости, то эти две плоскости параллельны.
(Вы должны разобрать доказательство без рисунка. Попытайтесь!)
Доказательство. Дано, что Ех\Ег и Е2\\Е3. Пусть / —
какая-нибудь прямая, перпендикулярная плоскости Е3. Тогда
1°. / _L£i (по теореме 10.2).
2°. 1А_Е2 (по теореме 10.2).
3°. Ελ\\Ε2 (по теореме 10.3).
lLi
kL2
Теорема 10.4
Две прямые, перпендикуляр-
ные одной и той же плоскости,
параллельны.
Доказательство. Дано, что 1г±. Ε в точке А и l2J_E
в точке В. По теореме 8.7 прямые /х и /2 компланарны.
Так как 1г 1 £, то 1г J AB. Так как /2 _]_£, то 12Α_Ύβ.
u° теореме 9.2 Ц12.
297

Следствие 10.4.1
Плоскость, перпендикулярная
одной из двух параллельных прямых,
перпендикулярна и другой.
Доказательство. Дано, что /ι||/2 и 1г_[_Е. Пусть /3
—прямая, проходящая через произвольную точку А прямой /2 и
перпендикулярная плоскости Е\ она существует в силу теоремы 8.9.
Тогда по теореме 10.4 /х || /3. На основании аксиомы параллельности
/8 = /2, т.е. /3 и /2 — это одна и та же прямая. Так как 13А_Е, то
и 12±_Е.
Следствие 10.4.2
Если каждая из двух прямых параллельна третьей прямой, то
эти две прямые параллельны.
Доказательство. Дано, что /х ||/3 и /21|/8. Мы хотим
показать, что /χ||/2.
Пусть Е — какая-либо плоскость, перпендикулярная прямой /3.
По предыдущему следствию 1ХА-Е и 12А_Е. По теореме 10.4 /J^.
Теорема 10.5
Параллельные плоскости во всех
точках равноудалены друг от друга.
/
/
/_
/
/ f
D
Q Ει/
I
~|
?
Г
ς
/
-/
ч
J
Другая формулировка. Если Ег\\Е2, то все точки
плоскости Ег равноудалены от плоскости Е2.
Напомним, что расстояние от точки Ρ до плоскости Ε есть
длина перпендикулярного отрезка, проведенного из Ρ κ Ε.
Доказательство. Пусть Ρ и Q —любые две точки
плоскости Е1 и PR и QS — перпендикулярные отрезки, проведенные из
точек Ρ и Q к плоскости Е2. Тогда
1°. PR\\1jS (по теореме 10.4).
2°. Точки Р, Q, R и S компланарны, так как они принадлежат
двум параллельным прямым.
298

30. PQ || RS (по теореме 10.1).
4°. D PQRS — параллелограм (это следует из 1°, 2° и 3°\
5<\ pft = QS, потому что противоположные стороны
параллелограмма конгруэнтны.
Из теоремы 10.2 мы знаем, что отрезки, проведенные из точек
плоскости £Ί перпендикулярно плоскости Еъ в точности
совпадают с отрезками, проведенными из точек Е2 перпендикулярно
плоскости Ег. Таким образом, мы знаем больше, чем сказано во
второй формулировке нашей теоремы, а именно следующее:
Если две плоскости параллельны, то все перпендикулярные
отрезки, проведенные из точек одной из этих плоскостей к
другой, имеют одну и ту же длину. Далее мы будем считать, что
теорема 10.5 выражает именно этот факт.
Заметим, что в действительности Π PQSR является
прямоугольником. Но в доказательстве это нам не потребовалось.
Задачи к § 1
Дано. Плоскости Ε и F параллельны;
плоскость Ε содержит прямую А В;
плоскость F содержит прямую CD\ AC J_ F
и Ш J. F.
Требуется доказать. Отрезки
AD и ВС делят друг друга пополам.
/ 1 v^
—у
/ -*·πΓ
_JL^
^^^D
~/
/
** F/
/
/
2. Что можно сказать о плоскостях К и М,
если плоскость Μ перпендикулярна
прямой / в точке Τ, а плоскость К
перпендикулярна прямой / в точке Р? Чем вы
можете обосновать ваш вывод?
3· Докажите, что следующее утверждение верно, или же, что оно неверно.
Если Ε и F — параллельные плоскости и Ε содержит прямую lly a F
^одержит прямую /2, то 1Х\\ /2.
Плоскость G содержит точки Л, В и С,
а плоскость Η содержит точки D, Ε и
£. причем ~AD I G, AD 1 Я и AB = DF-
*\акие из следующих утверждений
должны быть верны:
• В
• Г
299

5.
a) AF = BD; Ъ) BC\\EF±_c) AABC^L&DFE;
d) G || #; e) ACj_ ~AD; f) L AFD ^ L DBA;
g) отрезки AF и BD делят друг друга пополам;
h) ~АС || DF?
D ЛЯСО, Π ADEK и D ВСЯК на этом
рисунке являются параллелограммами.
Докажите, что
a) Я/< || AD |
b) Z /СЛБс
ВС\
ί L EDC.
А В
6. Дана плоскость М, параллельная плоскости /(. Точки А и С лежат в
плоскости М, а точки В и D — в плоскости /С; при этом ЛО J. К и БС J_ M.
Докажите, что А В —CD.
7. Докажите следующее утверждение.
Если две параллельные прямые пересекаются двумя параллельными пло·
. скостями, то эти плоскости отсекают от данных прямых конгруэнтные
отрезки
8. На этом рисунке скрещивающиеся
прямые 1г и /2 пересекаются параллельными
плоскостями Е, F и- G и отрезок AR
пересекает плоскость F в точке К-
Докажите, что если АВ = ВС, то PQ = QR.
9. В условиях задачи 8 докажите также, что
BQ<±(AP + CR).
10. На этом рисунке плоскости Μ и N пе-
ресекаются по прямой АВ и пересекают
параллельные плоскости Ε и F по прямым
ЛО, Z?C, АН и BG. Докажите, что если
AD = BC и AH^BG, то
Ζ ОЛЯ 9^ L CBG.
И. Укажите, верно или нет каждое из следующих утверждений; если данное
утверждение верно, то сделайте маленький рисунок, его иллюстрирующий,
а если оно неверно, то приведите рисунок, иллюстрирующий контрпример.
a) Если какая-либо прямая лежит в данной плоскости, то любая прямая,
параллельная этой прямой, параллельна и данной плоскости.
b) Если прямая и плоскость параллельны, то всякая прямая, лежащая
в этой плоскости, параллельна данной прямой.
300

c) Две прямые, параллельные одной и той же плоскости, могут быть
перпендикулярны друг другу.
d) Если две прямые параллельны, то каждая плоскость, содержащая только
одну из них, параллельна другой.
e) Если какая-либо плоскость пересекается двумя параллельными
плоскостями, то прямые, являющиеся линиями их пересечения, параллельны.
f) Если какая-либо плоскость пересекается двумя параллельными
плоскостями, то прямые, являющиеся линиями их пересечения, могут оказаться
параллельными.
12. Покажите, как найти плоскость, содержащую одну из двух данных скре-
' щивающихся прямых и параллельную другой. Докажите, что ваше
построение правильно.
13*. Дано. Отрезки РМ и PS лежат в
плоскости Е. Точки J\ Μ и S не колли-
неарны. Ш ± РМУ QS ± PS *Ш \\ QS-
Требуется доказать. КМ Α. Ε и
QS ±Е.
(Указание. Проведите еще одну
параллельную прямую.)
14*. F и Е — параллельные плоскости.
Точки Л, В и С лежат в плоскости £, а
точка Р —в плоскости F, причем Ρ Λ _L F.
Точки R, Τ и V являются
соответственно серединами отрезков РВ, РА и PC.
Докажите, что плоскость RTV
параллельна плоскости F.
/ Р F/
/к /
/ /!\ /
У
/\
/ V
Т~\
\ ε/
А С/
15*+. Докажите следующую теорему:
Существует одна и только одна
прямая, перпендикулярная каждой из двух
данных скрещивающихся прямых.
(Указание. На рисунке показано,
как найти общий перпендикуляр.
Пунктирные прямые и отрезки изображают
вспомогательные множества.)
§ 2. ДВУГРАННЫЕ УГЛЫ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ
плоскости
Мы знаем, что если две прямые на плоскости пересекаются,
°ни образуют четыре угла:
301

Рассмотрим теперь1 две плоскости в пространстве,
пересекающиеся по некоторой прямой, как на рисунке слева.
Они образуют четыре фигуры, каждая из которых выглядит,
как фигура на рисунке справа. Такая фигура называется двугран-
ным углом, а изображенная на этом рисунке прямая PQ—ребром
двугранного угла.
Определение
Если две полуплоскости имеют одно и то же ребро, но не
лежат в одной плоскости, то объединение этих двух
полуплоскостей и их общего ребра называется двугранным углом.
Прямая, являющаяся общим ребром полуплоскостей, называется
ребром двугранного угла. Объединение ребра и любой из двух
данных полуплоскостей называется стороной или гранью
двугранного угла.
Чтобы задать конкретный двугранный угол, нужно сказать,
какая прямая служит его ребром и каковы его грани. Обычно
это делают, обозначив какие-либо две точки Ρ и Q на ребре и
по одной точке Л и β на каждой из граней (см. рисунок выше).
Двугранный угол с выбранными указанным образом четырьмя
точками мы будем обозначать символом £ A—PQ — В.
Можно говорить о внутренности и внешности двугранного
угла и о вертикальных двугранных углах. Вводятся эти понятия
совершенно аналогично соответствующим понятиям для углов на
плоскости, и вы сумеете дать точные определения сами.
Хотелось бы сказать, что вертикальные двугранные углы
конгруэнтны. Но сначала нужно объяснить, что понимается под мерой
двугранного угла. Мы сделаем это немножко ниже, а пока введем
следующее понятие:
Определение
Пусть даны двугранный угол и какая-либо плоскость,
перпендикулярная его ребру. Пересечение этой плоскости с двугранным
углом называется плоским углом данного двугранного угла-
302

Пометки на рисунке указывают,
что L РУС\\ Ζ Ρ Υ D — прямые углы.
Эхо значит, что плоскость,
содержащая L CYD, перпендикулярна
прямой PQ в точке У. Согласно только
что данному определению это
означает, что 2 CYD действительно
является плоским углом двугранного
угла LA-PQ-B.
Кажется естественным
определить меру двугранного угла
2. А — PQ — В как меру угла £ С YD.
Но это едва ли имело бы смысл, если бы различные плоские
углы одного двугранного угла могли иметь разные меры. Поэтому
нам нужно доказать следующую теорему:
Теорема 10.6
Все плоские углы одного и того же двугранного угла
конгруэнтны.
f<A
Доказательство. Даны два плоских угла (с вершинами Υ
и Ζ) двугранного L A — PQ — B. На сторонах этих плоских углов
возьмем точки С, D, F и G так, что YC = ZF и YD = ZGt как
Указано на правом рисунке. Теперь мы имеем:
1°. D YCFZ является параллелограммом. (Стороны YC и FZ
конгруэнтны. Они и параллельны, так как лежат в одной
плоскости и перпендикулярны одной и той же прямой; см. тео-
Рему 9.20.)
Точно так же получаем:
2°. Π YDGZ является параллелограммом. Следовательно,
3°. DG || GF. (Оба эти отрезка параллельны отрезку ΥΖ.)
303

4°. DG^CF (так как DG=YZ = CF).
5°. Π DGFC — паралделограмм (поскольку его стороны DG и Ср\
конгруэнтны и параллельны).
6°. DC=CF. (Почему?)
7°. ACYD^/\FZG (в силу ССС).
8°. LCYDc^LFZG.
Разумеется, п. 8° —именно то, что и требовалось доказать.
Мы можем теперь дать следующие определения:
Определения
Мерой двугранного угла называется действительное число,
равное мере каждого его плоского угла. Двугранный угол
называется прямым, если его плоские углы — прямые. Две плоскости
называются перпендикулярными, если они образуют
прямой двугранный угол.
Следующие теоремы легко доказать на основании определений.
Теорема 10.7
Если какая-либо прямая перпендикулярна данной плоскости,
то и каждая плоскость, содержащая эту прямую, перпендикулярна
данной плоскости.
Другая формулировка. Пусть I — прямая,
перпендикулярная плоскости Ε в точке Л, и F—любая плоскость,
содержащая прямую L Тогда F _]_ Е.
(Указание для доказательства. Пусть PQ — прямая,
по которой пересекаются плоскости Ε и F. Возьмем в плоскости Ε
прямую АВ, перпендикулярную PQ. Теперь нужно вспомнить,
как определяется перпендикулярность / и Ε и
перпендикулярность F и £, и показать, что плоскости F и Ε действительно
перпендикулярны.)
304

Тгорема 10.8
Если две плоскости перпендикулярны, то любая прямая,
лежащая в одной из них и перпендикулярная линии их пересечения,
перпендикулярна другой плоскости.
Можно воспользоваться тем же рисунком, что и для
предыдущей теоремы. Пусть /-—данная прямая, перпендикулярная прямой PQ
в точке Л; возьмем, как и раньше, прямую АВ,
перпендикулярную PQ- На этот раз дано, что Ε ±_F, а требуется доказать,
что / _L E.
Задачи к § 2
1. Назовите все двугранные углы на левом рисунке.
т
е
С
f
Q
) ^г
s'·
\β
• A
^
2. Назовите двугранные углы на правом рисунке. (Их больше, чем три.
Заметим, что буквой Ε обозначена плоскость, а не точка.)
3. Назовите шесть двугранных углов в этом
тетраэдре.
4. Докажите следующую теорему:
Вертикальные -^двугранные углы
конгруэнтны.
5. Докажите следующую теорему:
Если две1 параллельные плоскости
пересечены третьей плоскостью, то
внутренние накрест лежащие двугранные углы
конгруэнтны.
(оказание. Проведите еще одну пло-
305

6. На этом рисунке AM || В К и ВК 1 Е.
Точка D является серединой отрезка
'ВС и AC^AD.
Найдите меру каждого угла на этом
рисунке.
7. Если на рисунке к задаче 2 точки Τ и R лежат в медиатрисе-плоскости
отрезка МК> точка S является серединой отрезка МК и т Ζ RST =По
то чему равна мера Ζ Т — МК—Ю Чему равна сумма
m Ζ Г —М/С—Я + m Ζ R-MK—P?
8. Каждый из отрезков АР, ВР и С Ρ
перпендикулярен двум другим, АС = ВС и
точки D, Ε η F являются серединами
соответствующих отрезков. Докажите,
что
Ζ DEF ^ Ζ /Μ£,
и найдите меру этих углов.
9. Дайте определение внутренности двугранного угла.
10. Укажите, верно или нет каждое из следующих утверждений. Если данное
утверждение верно, то проиллюстрируйте его маленьким рисунком; если же
оно неверно, то проиллюстрируйте рисунком противоречащий утверждению
пример.
a) Каждая грань двугранного угла содержит общее ребро.
b) Если плоский угол одного двугранного угла конгруэнтен плоскому углу
другого двугранного угла, то эти два двугранных угла конгруэнтны.
c) Если плоскость и прямая перпендикулярны, то каждая плоскость,
содержащая данную прямую, перпендикулярна данной плоскости.
d) Две плоскости, перпендикулярные одной и той же плоскости,
параллельны.
11. Для куба, изображенного на этом
рисунке, найдите:
m Z DHEy m Z DEH,
m Ζ HGDy m Ζ EGD.
(Можно пользоваться следующими
свойствами куба:
1°. Все его двенадцать ребер конгруэнтны.
2°. Любые два пересекающиеся ребра
куба перпендикулярны.)
\ I /
\ 1 /
V--
/
/
/
//
V
7
306

12 Если Af В, С и D — четыре некомп-
ланарные точки, никакие три из
которых не коллинеарны, то объединение
отрезков Л£, ВС, CD и DA
называется косым четырехугольником.
Докажите, что фигура, получающаяся,
если соединить середины смежных
сторон косого четырехугольника, есть
параллелограмм.
13*. Докажите следующее утверждение:
Если каждая из двух пересесекаю-
щихся плоскостей перпендикулярна
третьей плоскости, то и линия
пересечения этих двух плоскостей
перпендикулярна третьей плоскости.
(Указание. Проведите в плоскости
QA _L RS; воспользуйтесь теоремами 10.8
Ε прямую PA J_ MK и прямую
и 8.2.)
14*+. Докажите следующее утверждение:
Если три плоскости Ег, Е2 и £3
пересекаются по трем прямым 112, /23
и /13, то либо эти три прямые
проходят через одну точку, либо каждая
из них параллельна двум другим.
(Указание. На рисунке изображены плоскости Ег и £2, пересекающиеся
по прямой /12. Рассмотрите для плоскости Е3 две возможности:
1°. £з|]/12;
2°. Е3 пересекает прямую /12.)
Конкурсная задача
Теорема Дезарга
Даны два треугольника, лежащие в непараллельных плоскостях и такие,
что прямые, соединяющие соответствующие вершины треугольников, проходят
через одну точку. Если прямые, содержащие соответствующие стороны этих
треугольников, пересекаются, то точки их пересечения коллинеарны.
307

Другая формулировка. Даны Δ ABC и Δ АВС, лежащие в
непараллельных плоскостях и такие, что прямые АА, ВВ' и СС пересекаются
β некоторой точке D. Если прямые АВ и А В' пересекаются β точке X, прямые
ВС и В'С — в точке Υ и прямые АС и АС — в точке Ζ, то точки Χ, γ и χ
коллинеарны.
§ 3. ПРОЕКЦИИ
Определение
Проекцией точки на плоскость называется основание
перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.
или
ρ ··
ΖΥ
р=р'
—р
В силу теоремы 8.9 существует один и только один
перпендикуляр, опущенный из данной точки на данную плоскость. На
каждом из рисунков точка F служит проекцией точки Ρ на
плоскость Е. Мы не исключаем возможности, что точка Ρ лежит в
в плоскости Ε— в таком случае проекцией точки Ρ будет она сама.
Определение
Проекцией прямой на плоскость называется множество
точек, являющихся проекциями точек этой прямой. '
На этом рисунке точка Ρ служит проекцией точки Я, точка
Q'— проекцией точки Q,точка 5' —проекцией точки 5 и т. д. Рисунок
наводит на мысль, что проекция прямой всегда есть прямая, и
308

действительно, так всегда и бывает, исключая лишь случай, когда
прямая и плоскость перпендикулярны, как на этом рисунке:
Р?
>Р?
Здесь точка А является проекцией каждой точки Ρ прямой /,
и, следовательно, А есть проекция всей этой прямой. Чтобы получить
верную теорему, нужно исключить эту возможность.
Теорема 10.9.
Если прямая и плоскость не перпендикулярны, то проекция
этой прямой на данную плоскость есть прямая.
Доказательство. Дано, что прямая I не перпендикулярна
плоскости Е.
Пусть Ρ и Q —любые две точки прямой /, a F и Q'—-их
проекции. Тогда Р'фф. (Почему?) Кроме того, прямые PF и QQ'
компланарны, потому что обе они перпендикулярны одной и той же
^оскости (теорема 8.7). Пусть F — плоскость, содержащая прямые
Ρ и QQ\ а Г —прямая, по которой пересекаются плоскости F и Е.
огДа прямая / лежит в плоскости Fy так как F содержит две
чки прямой /. Покажем, что /' есть проекция прямой / на пло-
ость Е. Поскольку /' есть прямая, то тем самым доказательство
е°ремы будет закончено.
ЗЭ9

Очевидно, F _[_ Ε. Это верно сразу по двум причинам: кажда
плоскость, содержащая прямую РР\ перпендикулярна плоскоец
£\ и это же справедливо для каждой плоскости, содержащей пря!
мую QQ (теорема 10.7).
Мы докажем два утверждения:
1°. Еслд R— точка прямой /, то ее проекция R' принадлежит/'
2°. Если Τ—точка прямой /', то Τ является проекцией
некоторой точки прямой /.
Доказательство 1°. Пусть Τ—основание перпендикуляра
опущенного из точки R на /' в плоскости F. По теореме 10.8 RT ι
J_ E. Ввиду единственности перпендикуляра отсюда следует, что
Т = R'. Поэтому точка R' принадлежит Г.
Доказательство 2°. Пусть Г —точка прямой Ϊ и пусть
TW — перпендикуляр к прямой /' в точке Г, проведенный в
плоскости F. По теореме 10.8 TW ±_Е. Следовательно, прямые TW и
/ не параллельны. (Почему?) Пусть R — точка, в которой прямая
TW пересекает /. Тогда Τ = R'.
Мы показали, что каждая точка проекции прямой /
принадлежит прямой /' и что каждая точка прямой Г принадлежит этой
проекции. Следовательно, /' и проекция —это одно и то же
множество точек. Таким образом, проекция есть прямая, что и
требовалось доказать.
Понятие проекции можно обобщить и определить его для
любого множества точек.
Определение
Если А — произвольное множество точек в пространстве и Ε — плоскость,
то проекцией м ноже с те а Л на плоское ть Ε называется
множество всех точек, являющихся проекциями точек множества А на плоскость В.
Заметим, что проекция отрезка обычно является отрезком, х°тЯ
в некоторых случаях она может оказаться точкой. Аналогично,
310

,екция треугольника обычно является треугольником, хотя
пр°(
иногда
она может оказаться и отрезком.
Вторая возможность осуществляется в том случае, когда плоскость
треугольника, как на рисунке справа, перпендикулярна плоскости Е.
Задачи к § 3
1. На этом рисунке плоскости F и Ε
перпендикулярны и пересекаются по прямой
АВ. Точка С лежит в плоскости F и
CD 1 А В. Какова проекция на плоскость
Ε отрезка Л С? отрезка ВС? &АВС}
2. Если одна диагональ ромба
перпендикулярна некоторой плоскости в одном из
своих концов, то какова проекция ромба
на эту плоскость?
3. На этом рисунке плоскости Ε и F пере-
секаются по прямой PQ. Отрезок А В
лежит в плоскости F и его длина вдвое
больше длины его проекции ВС. Прямая
PQ перпендикулярна плоскости ABC,
Найдите т £ A—PQ — C.
4* Λ Q, R и S —проекции точек Л, В, С и D
на плоскость £. Почему если точки £, С
Делят отрезок AD на три равные части,
_5_и точки Q, R должны делить отрезок
5 на три равные части.
311

5. Приготовьтесь обосновать свои ответы на следующие вопросы: -
a) Всегда ли проекция точки является точкой?
b) Всегда ли проекция отрезка является отрезком?
c) Может ли проекция угла быть лучом? прямой? отрезком? углом?
d) Может ли проекция острого угла быть тупым углом?
e) Всегда ли проекция прямого угла является прямым углом?
f) Может ли проекция отрезка быть длиннее самого отрезка? короче само-
отрезка? ' 1о
6. Ответьте, как и в задаче 5, на следующие вопросы:
a) Могут ли две параллельные прямые оказаться проекцией двух Пересе
кающихся прямых?
b) Могут ли две параллельные прямые оказаться проекцией йвух
скрещивающихся прямых?
c) Могут ли две пересекающиеся прямые оказаться проекцией двух
скрещивающихся прямых?
d) Всегда ли проекцией двух параллельных прямых являются две
параллельные прямые?
7. Одна грань острого двугранного угла содержит квадрат. Какого рода
фигурой будет проекция этого квадрата на другую грань?
8. Даны две параллельные плоскости
Ε и F. &ABC лежит в плоскости F.
Докажите, что проекция Д ЛВС на
плоскость Ε есть треугольник,
конгруэнтный Д ABC.
UZ>*/
9+. На левом рисунке изображен тетраэдр, а на правом —проекция этого
тетраэдра на плоскость BCD. Нарисуйте его проекции на плоскости ЛВС
и Л CD.
β В
10"1". Дано, что диагональ куба перпендикулярна некоторой плоскости.
Нарисуйте проекцию на эту плоскость всех ребер куба.
И*. Точка Μ является серединой отрезка
А В, лежащего в плоскости Е.
Точка С не принадлежит плоскости Е,
а ее проекция D принадлежит ме-
диатрисе "отрезка АВ в плоскости Е.
Докажите, что Δ
ЛЯС-—равнобедренный треугольник.
12+. В технических чертежах вид сверху (или «план») какого-либо тела можно
рассматривать как проекцию различных отрезков этого тела на
горизонтальную плоскость, расположенную над телом (см. левый рисунок). Вид
312

сверху"» как он ^ыл ^ы вычеРчен фактически, показан справа. (Здесь не
было сделано ни малейшей попытки сохранить истинный масштаб.)
Вид сверху
Вид сверху
a) Начертите вид спереди этого тела, т. е. начертите проекцию
этого тела на плоскость, параллельную передней грани.
b) Начертите вид справа этого тела.
13*. Дано. Луч RS лежиг в
плоскости Е.
Ζ PRS — прямой угол.
Q—-проекция точки Р.
Требуется доказать. L QRS —
— прямой.
(Указание. Проведите луч RT,
перпендикулярный плоскости Ε в
точке R.)
отрезков
14+. Дано. Луч AQ является проекцией
луча AR на плоскость Е.
АР — некоторый другой луч из точки
А в плоскости Е.
Требуется доказать.
т L.QAR<m L PAR. _^
(Указание. На луче АР
возьмите точку К, для которой AK — AR'.
Проведите отрезки KR' и KR-)
Вопросы и задачи для повторения
1· Назовите все двугранные углы на
этом рисунке, считая, что никакие два
из изображенных на нем треугольника
ие компланарны.
313

2. Дано. £ 1 AC, F ± AC, £ ± £Ζλ_ _ _
Требуется доказать. £ J_ £D и ЛС || £D.
3. Дан рисунок (наверху справа) с пометками. Δ ABC лежит в плоскости f,
а Δ PQR — в плоскости £. Π ABQP — прямоугольник и АР J_ £. Какие из
следующих утверждений верны?
а) £Q1 £; b) AQ = BP; __с) £ || £ ;
d) PQ есть проекция отрезка А В на £;
e) AABCQ^APQR; f) PC=QC; g) ВС \\RQ;
h) APAC^ARBC.
4. Укажите буквами £, Я и Я, будет ли каждое из следующих утверждений
верно во всех случаях (т. е. всегда, £), верно в некоторых случаях
(т. е. иногда, Я) или неверно ни в одном случае (т. е. никогда, Я).
a) Если две прямые параллельны одной и той же плоскости, то они
перпендикулярны.
b) Если какая-либо плоскость пересекает две параллельные плоскости, то
линии пересечения плоскостей являются скрещивающимися.
c) Если две плоскости параллельны одной и той же прямой, то они парал
лел ьны.
d) Пересечение какой угодно плоскости с гранями двугранного угла есть
плоский угол этого двугранного угла.
e) Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они
параллельны.
f) Если две прямые параллельны одной и той же плоскости, то они
параллельны.
g) Если какая-либо прямая перпендикулярна плоскости, то и каждая
плоскость, содержащая эту прямую, перпендикулярна этой плоскости.
h) Проекция угла может оказаться точкой.
i) Если каждая из двух прямых перпендикулярна одной и той же прямой,
то эти две прямые параллельны.
j) Если каждая из двух пересекающихся плоскостей перпендикулярна
третьей плоскости, то и линия их перечисления перпендикулярна третьей
плоскости.
5. Прямая А В служит ребром двугранного
Ζ 5 — АВ— Г, точка Ρ принадлежит
отрезку АВ. Является ли A S — AB — T
прямым двугранным углом, еслит L SPT—
= 90? Объясните.
314

Плоскости Ε и F пересекаются по
прямойТ(М· Лучи АВ nJPQ лежат
в плоскости £, а лучи АС и Р# —
_в плоскости/7. Является ли Ζ ВАС
плоским углом двугранного Δ В —
_КМ—С, если т £ МАВ = 90 и
,w/WC = 90? Будет ли PQ\\AB,
если m Z #PQ = 90?
HP AM
7. На этом рисунке PQ = у PC = γРЛ,
ЛЯ = £С и PQ A.E.
Какое из следующих соотношений
справедливо?
т L Р —ЛС —Q<30;
m Ζ Ρ —ЛС—Q = 30;
m Ζ Ρ —ЛС — <?> 30.
8. Дано. Параллельные плоскости £, Т7
и G, точка Q, которая принадлежит
плоскости G\ Δ /СРМ, который
принадлежит плоскости F; A ABC,
который принадлежит плоскости £, при
этом AK = KQ.
Требуется доказать. Периметр
Δ ABC вдвое больше периметра Δ /CMP.
9*. Параллелограмм A BCD на этом
рисунке не параллелен плоскости Е.
Точки К> L> Μ и N являются
проекциями на плоскость Ε его вершин Л,
#> С и D. Докажите, что
(Указание. Пусть Q—проекция
точки Я_на плоскость £. Проведите
отрезок PQ.)
• Сделайте рисунок, изображающий пересечение некоторой плоскости со
семи шестью гранями куба. Затем мысленно представьте себе проекцию
того пересечения на плоскость, параллельную первой плоскости, но не
еРесекающую куб, и нарисуйте то, что получится.
315

НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ ЛОБАЧЕВСКИЙ (1793—1856)
Неевклидова геометрИя
была открыта в начале IL
вятнадцатого века ipeV,
людьми, работавшими }к
зависимо в трех разных
странах. Вот эти люди:
Карл Фридрих Гаусс ;i
Германии, Янош Бойаи I
Венгрии и Николай
Иванович Лобачевский в
России.
До этого времени все
были уверены, что
единственность параллельной
прямой — это просто фак г.
принадлежащий как
геометрии, так и физике.
Гаусс, Бойаи и Лобачевский
попытались допустить
противное: они предположили
что через данную точку
не принадлежащую данкои
прямой, проходит более
одной прямой
параллельной данной прямой.
Это привело к геометрии
нового типа, которая с точки зрения математики нисколько не
хуже привычной геометрии Евклида, причем полученная таким
путем геометрия оказалась применимой к физике — это выяснилось
после открытия Альбертом Эйнштейном теории относительности
Обычно считают, что в создании неевклидовой геометрии наи
большую роль сыграл Лобачевский. Он развил ее дальше, чем
Бойаи, и, в отличие от Гаусса, имел смелость опубликовать свои
работы. Похоже на то, что Гаусс опасался непонимания и
насмешек. Он почитался крупнейшим математиком своего времени —
а кто высоко стоит, тому больнее падать,

И МНОГОУГОЛЬНЫЕ ОБЛАСТИ
И ИХ ПЛОЩАДИ

§ ι. МНОГОУГОЛЬНЫЕ ОБЛАСТИ
Определение
Треугольной областью называется объединение
треугольника и его внутренности.
Многоугольная область —это плоская фигура, получающаяся
в результате приложения друг к другу нескольких треугольных
областей:
Начиная с этого момента, мы не будем на наших рисунках
затушевывать область, если ясно, о какой области идет речь.
Определение
Многоугольной областью называется объединение
конечного числа треугольных областей, расположенных ни одной
плоскости так, что если две из них пересекаются, то их
пересечение есть либо точка, либо отрезок.
Пунктирные линии на приведенных выше рисунках показывают,
как можно каждую из двух данных многоугольных областей
представить в виде такого объединения. Вот еще несколько примеров:
зи

В двух последних примерах в областях имеются <<дырКП)>
Определение это допускает, и наши две фигуры являются вполне
«хорошими» многоугольными областями.
Заштрихованная область, изображенная ниже, фактически
также является многоугольной областью.
Однако этого нельзя доказать, упомянув лишь треугольные
области, определяемые треугольниками ABC и DEF. Трудность
состоит'в том, что пересечение этих двух треугольных областей —
не точка и не отрезок, как должно быть согласно определению.
Это пересечение — маленькая ромбовидная область в центре
рисунка.
С другой стороны, эту область легко разбить иначе, так что
станет видно, что она является многоугольном
Если какую-либо фигуру можно разбить на треугольные
области, то это можно сделать многими способами. Например,
параллелограмм вместе с его внутренностью можно разбить во всяко>
случае тремя способами, показанными ниже.
320

Однако легко видеть, что существует еще бесконечно много
способов разбиения параллелограмма на треугольники,
удовлетворяющего нашим условиям.
^ В этой главе мы будем изучать площади многоугольных
облачи и научимся их вычислять. Для этой цели мы введем четыре
новые аксиомы.
\ксяома 19 (аксиома площади)
Каждой многоугольной области соответствует некоторое
определенное положительное число.
Определение
Π лощадью многоугольной области называется число, которое
ставит ей в соответствие аксиома 19.
Площадь области обозначается символом 5^. Этот символ
читается так: площадь области /?.
Когда мы в этой главе будем употреблять теперь слово
область, мы будем всегда подразумевать, что речь идет о
многоугольной области.
Конечно, площадь области должна зависеть только от ее
размеров и формы: площадь не должна зависеть от случайного места
расположения области в пространстве. Мы сформулируем этот
факт в виде аксиомы, относящейся к треугольным областям.
Аксиома 20 (аксиома конгруэнтности)
Если два треугольника конгруэнтны, то определяемые ими
треугольные области имеют одну и ту же площадь.
Если мы разобьем область на две части, то площадь области
должна быть равна сумме площадей этих двух частей.
«г
"'
ΓΙ *'
''V
Sfi-Sfi. *<$β
На каждом из этих рисунков вся область R, «дырявая» на пра-
ом рисунке, является объединением двух областей R1 и R2.
каждом случае области R1 и R2 пересекаются не более чем по
^°нечному числу отрезков и точек. При этих условиях площадь
я °оласти R мы можем найти с помощью сложения.
321

Аксиома 21 (аксиома сложения площадей)
Если область R является объединением двух областей R и
R2, причем области /?х и R2 пересекаются не более чем по
конечному числу отрезков и точек, то S/?=S/?1 + S^2.
Имеются простые случаи, когда одна область является
объединением двух других, но написанное выше равенство не
выполняется. Если )?! и /?2 —две треугольные области, изображенные
на следующем рисунке, а /? —их объединение, то S# меньше, чем
Stfi + S^,· (При сложении площадь ромбовидной области в центре
рисунка войдет в сумму дважды.) Поэтому оговорка «причем»
в формулировке аксиомы сложения является необходимой.
Напомним, что в гл. 2 оговаривалась возможность
произвольного выбора единицы длины. Это же верно и для единицы
площади. Но при выборе наших единиц нужно быть
последовательным: если расстояния мы измеряем в сантиметрах, то площади
следует измерять в квадратных сантиметрах; если же мы
пользуемся метрами, то мы должны пользоваться и квадратными
метрами и т. д. Эта идея лежит в основании следующей аксиомы.
Аксиома 22 (аксиома единицы площади)
Площадь квадратной области равна квадрату длины ее стороны
Начиная с этого момента, мы
будем для краткости говорить о
площади квадрата, площади треугольника
и т. д. В каждом случае мы будем,
конечно, иметь в виду площадь
соответствующей многоугольной области.
Мы будем также говорить об
основании и высоте прямоугольника,
подразумевая длину основания и длину
высоты. Это удобно, и в каждом
случае из контекста легко понять, идет
ли речь об отрезке или о числе, изме- е
ряющем его длину. ******
ρ
ь
я
ч
322

Теорема И·*
Площадь прямоугольника равна
произведению его основания на его
высоту-
ь___
/?
ч
—d
SA*ah
Доказательство.
Рассмотрим рисунок:
Здесь S обозначает неизвестную
площадь нашего прямоугольника.
Площади двух наших квадратов
согласно аксиоме 22 равны а2 и Л2,
а площадь всей фигуры равна
(а_|_й)2в Поэтому, несколько раз
применяя аксиому сложения
площадей, получаем
a2 + 2S + h2 =
= (a + h)2 = a2 + 2ah + h2
S = aht
что и требовалось доказать.
Если вы интересуетесь, как мы
из наших аксиом вывели, что два
прямоугольника на рисунке имеют
одну и ту же площадь, то
посмотрите на этот рисунок:
Все четыре изображенных на
нем треугольника конгруэнтны, и
потому имеют одну и ту же
площадь. А площадь любого из
прямоугольников равна удвоенной
площади треугольника.
Лф
Σ1
ф/7
Задачи к § 1
• Покажите, что каждая из изображенных ниже областей является
многоугольной, разбив ее в соответствии с определением на треугольные области.
^пытайтесь в каждом случае найти наименьшее число треугольных обла-
теи> на которые разбивается многоугольная область.
323

«)
6)
г) д) е)
2. Чему на левом нижнем рисунке равна площадь Sp, если область R
является объединением областей R1 и R2 н если SR = 50 и S# = 25?
Укажите аксиому или теорему, подкрепляющие ваше заключение.
*2
*, \ \ "г
3. Будет ли на правом рисунке S^ —60, если S^ =30, S% =30 и область/?
является объединением областей R1 и #2? Укажите аксиому или теорему,
подкрепляющие ваше заключение.
4. Найдите площадь прямоугольника длиной 16 см и высотой 10,25 см.
5. Квадрат и прямоугольник имеют равные площади. Чему равна сторона
квадрата, если прямоугольник имеет размеры 25 см на 16 см?
6. Как изменится площадь квадрата, если сторона его удвоится? утроится?
сделается вдвое меньше?
7. а) Как изменится площадь прямоугольника, если высота его удвоится,
а основание останется прежним?
b) Как изменится площадь прямоугольника, если основание его удвоится,
а высота останется прежней?
c) Как изменится площадь прямоугольника, если удвоятся и его высота и
его основание?
8. Сколько нужно квадратных кафельных плиток размером 10 см на 10 см,
чтобы выложить ими прямоугольную стену 4 м 70 см на 2 м 10 см}
9. Докажите, что если два прямоугольника имеют одно и то же основание Ь,
то их площади относятся, как их высоты.
^
К,
Sn
Доказать. -*А'=тг
dR2 h2
324

tn ПрямоУгольпый участок земли засевают травой. Размеры участка 22 м на
'28 м- Сколько потребуется килограммовых пакетов семян, если содержимого
одного пакета достаточно для того, чтобы засеять 70 кв. м?
22
tl На рисунке изображена поверхность
детали какой-то машины. Чтобы
подсчитать стоимость окраски большого
числа таких деталей, нужно знать
площадь этой поверхности.
Затушеванные области не закрашиваются.
Найдите площадь области, которую
нужно окрасить. Какие аксиомы и
теоремы позволяют вам вычислить эту
площадь?
1
τ
——
lyyyy л
ш
—г
Ί*
τ
Ί
Ϊ
шш
W/y////A
8
* *
Г
9
JU
19
-^
4
"* ^
—^
i
У
ί
Η
|t
12. Вычислите площадь прямоугольника с основанием а и высотой h, где
а)а=17 и /г = 12; Ь) а = 1 ~ и Л = 5-|-;
γ)ί = 3 и Λ = /5; d) а = Уй) и /ι = ]/Ϊ5.
13. Ппчпслпте площадь квадрата со стороной а, если дано, что
а)а = 24; Ъ)а = 3-~; с) а = УЬ d)a = 4]/6.
И. Укажите, верно или нет каждое утверждение; свои ответы подкрепите
соответствующими доводами.
a) Квадрат является многоугольной областью.
b) Каждому положительному числу соответствует единственная
многоугольная область.
c) Если два треугольника конгруэнтны, то соответствующие треугольные
области имеют равные площади.
d) Треугольная область не включает в себя сам треугольник.
e) Площадь объединения двух многоугольных областей равна сумме их
площадей.
О Треугольная область является многоугольной областью.
g) Существует квадрат с площадью У П.
п) Существует прямоугольник с площадью 4 УЬ, основание которого есть
рациональное число.
!5+. Точки А, В, С, D, Е, F и G на
этом рисунке_ называются вершинами,
отрезки АВ, ВСг CD, Ш, EG, GA,
£^\ FD и FB — ребрами и
многоугольные области ABE, FED и BCDF—
гранями,. Внешность всей фигуры
также рассматривается как грань. Пусть
/ число граней, υ — число вершин и
е — число ребер. В теореме,
принадлежащей знаменитому математику Эй-
ПемУ' рассматРивается алгебраическая сумма / — e + υ чисел /, υ и е. Тео-
г\'пя 0ТН0СИТСЯ к большому классу фигур, к которому принадлежит и фи-
.;! "а нашем рисунке. Вычислим /—e + υ для этой фигуры: / = 4, е = 9
и J:=7, так что 4 — 9 + 7 = 2.
325

а) Вычислите f—e+v для каждой из фигур на следующих рисунках, (з-
метим, что ребра не обязательно должны быть отрезками. Правый рису
нок мог бы быть куском географической карты какой-то страны, -разби*
той на области.)
b) К какому наблюдению пришли вы в результате трех вычислений?
c) Возьмите на левом рисунке произвольную точку внутри
четырехугольника и соедините ее отрезками с каждой из его вершин. Как это
скажется на сумме \ — e-\-v> Можете ли вы объяснить, почему?
d) Возьмите точку вне одной из наших фигур и соедините ее с двумя
ближайшими к ней вершинами. Как это скажется на сумме f — e-\-vl
e) Если эта задача вас заинтересовала и вам захотелось узнать о ней
больше, вы можете прочесть о ней в книге «Числа и фигуры» Г. Раде-
махера и О. Теплица1).
§ 2. ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКОВ И ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ
Выведем теперь, пользуясь нашими аксиомами, еще несколько
формул для площадей.
Теорема 11.2
Площадь прямоугольного треугольника
равна половине произведения его катетов.
Доказательство. Дан прямоугольный треугольник с кате-
тами а и Ь. Пусть S — его площадь. Построим прямоугольник
UVWX (как на нижнем рисунке), две стороны которого являются
катетами нашего прямоугольного треугольника. Тогда
1°. &VUX9*AXWVt
2°. S&xwv = S,
3°. S + S = abt
ι
4°. S-
ab.
Sfi=ab=2S
1 «Наука», 1966, тема 13, п.2. См. также: Р. Курант и Г. Роббинс.
Что такое математика? М.^ «Просвещение», 1967t гл. V, § 1.
326

Аргументы? (Для некоторых из этих шагов вам может
потрепаться не один аргумент.)
Цз этой теоремы мы можем вывести формулу для площади
пюбого треугольника. Когда мы это сделаем, теорема 11.2 нам
больше не будет нужна, так как общая теорема будет включать
ее в качестве частного случая.
Теорема 11.3
Площадь треугольника равна половине произведения любого его
основания на соответствующую высоту
Доказательство. Пусть а и А-—основание и высота
треугольника и S — его площадь. Нужно рассмотреть три случая.
R R
1°. Если нижний конец высоты лежит между концами основания,
то высота разбивает наш треугольник на два прямоугольных
треугольника с основаниями аг и а2> причем аг + а2 = а. По
предыдущей теореме площади этих треугольников равны -~ axh и ^ a2h.
Согласно аксиоме сложения площадей
Следовательно,
S = Taili + Ta2li.
-^(a1 + a2)h^Yah.
что и требовалось доказать.
2°. Если нижним концом высоты служит один из концов
основания» то наш треугольник является прямоугольным и по
предыдущей теореме S = ~ ah.
3°. Если нижний конец высоты лежит вне основания, как на
Чутьем рисунке, то
и' к*к и прежде,
аргументы?)
_α1Λ + 5=γ(α1 + α)Λ,
S = ±ah.
327

Заметим, что теорему 11.3 можно применить к любому тре.
угольнику тремя способами: любую из трех сторон мы можем
выбрать в качестве
основания, умножить ее на
соответствующую высоту и разделить
на два. Каждое из
произведений
*9" #i"i > "о" ^2":
2"2
И
уЯз^З
должно давать одно и то же
число, потому что все они
равны площади треугольника.
Теперь, когда мы знаем, как находить площадь любого тре-
угольника, остается немногое: чтобы найти площадь
многоугольной области, нужно разбить эту область на треугольники и
сложить площади этих треугольников. Этот прием особенно прост
для трапеций.
Теорема 11.4
Площадь трапеции равна половине произведения высоты на
сумму оснований.
Доказательство.
Пусть S — площадь трапеции.
Любая диагональ делит
трапецию на два треугольника с
основаниями ах и а$ и одной
и той же высотой h.
(Почему AP = CQ?) В силу
аксиомы сложения площадей
Ρ D о2 С
Л п. П
\
β
S = jh(a1+a2)
S==yfl1ft + ya2ft=2-ft(a1 + a2),
что и требовалось доказать.
Отсюда мы сразу же получаем формулу для площади
параллелограмма.
Теорема 11.5
Площадь параллелограмма
равна произведению любого его
основания на
соответствующую высоту.
V а
S=at?
328

Доказательство. Пусть S — площадь параллелограмма.
Каждый параллелограмм являежя трапецией, у которой аг = а2 = а.
Следовательно,
S = ±;h(a + a) = ah.
Из формулы для площади треугольника вытекают два простых,
н0 полезных следствия.
Теорема 11.6
Если два треугольника имеют одно и то же основание а и
0дну и ту же высоту h, то они имеют и одну и ту же
площадь.
&PQR s&p'q'r'
Это очевидно, потому что площадь каждого из них равна
\ah.
Теорема 11.7
Если два треугольника имеют одну и ту же высоту h, то
их площади относятся, как их основания.
Доказательство. Пусть ах и я2 —основания наших
треугольников. Тогда
ι
*>APQR
1^1
-ή αφ.
а2'
329

Задачи к § 2
1. В А АВС основание АС = 8 и высота из вершины В равна 3. В ADpp
основание EF — 6. Найдите высоту из вершины D, если SAAar = S
Л ляс АйЕр,
2. L Р — прямой угол в Δ PQR, Pi? =16, PQ=12 и #Q = 20.
a) Найдите площадь Δ PQR.
b) Найдите высоту, опущенную из вершины Р.
3. На этом рисунке В — середина
отрезка АС и ED\\ AC. Докажите, что
SAABE~SABCD-
4. Π KM PR — параллелограмм. Дано,
что mz/( = 30, /Ш=11 и /С# = 8.
Найдите SQKMPR.
К
^30°
и
5. Длина стороны ромба равна 12 и мера одного из его углов равна 150.
Найдите площадь ромба.
6. Один прямоугольный треугольник имеет катеты в 18 см и 14 см, а
другой—в 12 см и 24 см. Как относятся площади этих двух треугольников?
7. Две стороны треугольника имеют длину 15 см и 20 см, а высота,
проведенная к первой стороне, равна 8 см. Чему равна высота, проведенная ко
второй стороне?
8. В Δ ABC отрезок CD является
высотой, проведенной к стороне АВ,
а ЛЯ —высотой, проведенной к
стороне ВС.
a) Найдите ВС, если Л β = 8, CD = 9 и АЕ = 6.
b) Найдите CD, если Л£=11, ЛЯ = 5 и ВС =15.
c) Найдите АЕ, если CD=A, AB=c и £С = а.
d) Найдите АЕ, если Л£ = 15, CD =14 и ВС = 21.
330

1 айна гипотенузы прямоугольного треугольника равна 50 см, длина одного
катета —14 см, и площадь треугольника равна 336 кз см. Чему равна
высота, проведенная к гипотенузе? Чему равна высота, проведенная к
данному катету?
Ю Треугольник и параллелограмм имеют равные площади и равные основа-
' пия. Как относятся их высоты?
11. D ^BCD—параллелограмм, EH J_DC,
а) Чему равно AD, если АВ=\8,
£# = 10 и £С=15?
м Чему равно DC, если AD — 22,
BG = 7 и ЕН = 14?
с) Если CF =12, ВО=1Ъ и ЯС=17,
= 28 и ЛЯ = 32,
то АВ = ?
d) Если BG = 2A, AD
то £# = ?
e) Если ^4θ = Κ50, С/7 = 6 и
= у 18, то БС==?
G5
12. Π A BCD на этом рисунке является
квадратом и все отрезки, образующие
границу звезды, конгруэнтны.
Найдите площадь звезды, если заданы Sub.
13. Докажите, что две области, на которые медиана треугольника разбивает
определяемую им треугольную область, имеют равные площади.
Доказать: $д =sA
14. На правом рисунке Π MPRT является параллелограммом и TS = SR=RQ.
Чему равно отношение
J SAPRS и 5AP*Q?
С' ΑΡΜΟ и SAPOS*
b) SAPMQ и SΠ MPRT*
d) SAPQR И SDMPST}
15· D ABCD — трапеция с
параллельными сторонами АВ и CD.
а) Если ЛЯ=18, DC=12, А = 9, то
,==?
□ ABCD'-
= Π, то /2 = ?
: 17, CD =
= 38, то CD = ?
33i

d) Если ЛЯ=15, DC = 8, ЯС=10 и
т L Я = 30, то SDABCD = }
e) Если ЛЯ =13, А = 5, 5а'л^с/) = 65, то
CD = ?
16. Чему равна площадь трапеции, если ее
высота равна 6, а средняя линия 12?
(Указание. См. задачу 4 к § 8 гл. 9.)
17. Землемер должен был найти площадь
участка земли ABCDE: Он провел
линию север —юг через точку £, а также
и линии восток —запад через точки
Л, 5, С, D и установил, что ЛО = 37 ж,
£# = 47 ж, CQ = 42 ж, DP = 28 ж,
PQ=13 ж, Q£ = 7 ж, £# = 19 ж и
#0=18 ж. Затем он вычислил искомую
площадь. Найдите эту площадь.
18. Докажите следующую теорему:
Если диагонали выпуклого
четырехугольника перпендикулярны, то его площадь
равна половине произведения длин диаго-А
налей.
Останется ли эта теорема верной,
если не требовать, чтобы
четырехугольник был выпуклым?
Доказать
ΊΓ SOA3CJ)=j(AC)(BD)
19. D PQRS — выпуклый четырехугольник и
PR ± QS.
a) Чему равна площадь SQ Ρ0χ$> если
PR = \2 и Q5 = 16?
b) Чему равно QS, если 5аРо/?5= 153 и
Р#=17?
20. Длина диагоналей ромба равна 15 и 20. Чему равна его площадь? Если
высота этого ромба равна 12, то чему равна длина стороны? (Указание.
Применима ли здесь задача 18?)
21. Докажите, что если d nd' — диагонали ромба, то площадь ромба равна άά'β.
22. Площадь ромба равна 348, а одна из диагоналей —24. Найдите другу10
диагональ.
332

23. В D ABCD имеем AC J_ BD Можете ли вы найти SQABCD, если ЛС = 13
и ££> = 8?
24*. В Π ABCD диагональ BD делится пополам диагональю АС. Докажите,
ЧТ0 SAABC==SAADCt
25*. Дано» что D ABCD — параллелограмм и что точки Р, Q, R и 5
—середины его сторон. Докажите, что SQPQRS = -^ 5адж:/)·
26*. Дан произвольный Δ MQR с двумя
медианами #S и МТ,
пересекающимися в точке Р. Докажите, что
S^pMS==zSAPRr
27*. Π ABCD — трапеция^ DC \\ AB, £ —
середина основания Л5, ^ — середина
отрезка DE и G —середина отрезка
СЁ. Докажите, что 5дЛ/;/) = SAMC.
28*. Пусть Л5 —данный отрезок в плоскости Е. Для любого положительного
числа k существует по крайней мере одна такая точка Р, что ^AABp — k.
Существует ли больше одной такой точки? Сколько? Опишите множество
всех точек Ρ в плоскости £, для которых S,ABp — k. Опишите множество
таких точек в пространстве.
29*. □ PQRS — параллелограмм У—точка стороны RS, для которой RJ <
<-^RSy /С —точка стороны RQ, для которой RK<-к- RQ- Прямая,
проходящая через 5 и параллельная Р/С, пересекает прямую, проходящую
через К и параллельную Ρ J в точке М. Прямая Ρ J пересекает отрезок SM
в точке L. Докажите, что SQP RS = SQRKLM. (Указание.
Пересекаются ли прямые RQ и 5Αί?)
30*+. Докажите, что если прямая /
разбивает область, определяемую
некоторым параллелограммом, на две части
равной площади, то / содержит точку
пересечения диагоналей этого
параллелограмма.
333

§ 3. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
Теперь, когда мы знаем, как вычисляются площади, теорему
Пифагора доказать довольно легко.
Теорема 11.8 (теорема Пифагора)
Квадрат гипотенузы любого
прямоугольного треугольника равен
сумме квадратов его катетов.
Доказательство. Возьмем квадрат, длина стороны
которого равна а + 6. В этом квадрате мы построим четыре
прямоугольных треугольника с катетами а и 6.
1°. На основании СУ С каждый
из этих четырех треугольников
конгруэнтен любому другому.
Поэтому, как указано на рисунке,
у всех этих треугольников
гипотенуза равна с.
2°. Четырехугольник,
образованный четырьмя гипотенузами,
является квадратом. В
обозначениях, указанных на рисунке, имеем
r + s = 90,
потому что острые углы
прямоугольного треугольника
дополнительны. Так как
r + s + t = 180,
то / = 90. Точно так же доказывается, что и остальные углы
нашего четырехугольника — прямые.
3°. Согласно аксиоме сложения площадей площадь большого
квадрата равна площади маленького квадрата плюс сумма
площадей четырех конгруэнтных треугольников. Таким образов,
(a + b)2 = c2 + 4-^ab.
Следовательно,
a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab и а2 + Ь2 = с2,
что и требовалось доказать.
Верна и теорема, обратная теореме Пифагора.
334

Теорема il.9
Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме
квадратов двух других его сторон, то этот треугольник — прямо-
игольный, причем прямой угол лежит против наибольшей
стороны.
в в'
a2+b2=d2
Доказательство. Дан ДАВС9 у которого, как на рисунке,
а2_^ь2 = с2. Пусть £±А'В'С — прямоугольный треугольник
с катетами а и b и гипотенузой d. Тогда c = d, поскольку d2 =
-:а2 + Ь2 = (*. В силу ССС £\АВСд^/\А'В'С. Следовательно,
Z,C=Z.C'. Так как Z. С' —прямой угол, то прямым является
и Ζ С.
ПИФАГОР
Пифагора обычно
рассматривают как первого из
великих греческих
математиков, но о нем как о
человеке известно лишь
очень немногое. Он родился
около 582 года до нашей
эры и жил сначала на
острове Самос в Эгейском
море, а позднее на юге
Италии.
Пифагор и его ученики
посвятили себя
математике, астрономии и
философии. Считается, что они
превратили геометрию в
науку; они доказали
теорему Пифагора и открыли
существование
иррациональных чисел. Больших
успехов достигли они и
в астрономии: в шестом
335

веке до нашей эры они знали, что Земля круглая и что она дви-
жется вокруг Солнца. Пифагор и его ученики не оставив
никаких письменных свидетельств о своей работе, и поэтому никто
не знает, как они это установили и какие из сделанных ими
открытий принадлежат лично Пифагору.
Задачи к § 3
1. с—длина гипотенузы прямоугольного Δ ABC, а и Ь — длины его катетов.
a) Если а=12 и 6=16, то с = ?
b) Если а = 24 и с = 25, то 6 = ?
c) Если а=1 и 6 = 2, то с = ?
d) Если 6=18 и с = 20, то а = ?
e) Если а = 7 и 6 = 7, то с = ?
f) Если а = 6 и с =12, то 6 = ?
2. Человек прошел 8 км на север, затем 3 км на восток и затем 3 км на юг.
Насколько далеко находится он от начальной точки своего пути?
h G
3.
10
Человек прошел 1 км на север, 2 км на
восток, 3 км на север и 4 км на восток.
Насколько далеко находится он от
начальной точки своего пути?
Каждые два пересекающиеся ребра этого
прямоугольного тела перпендикулярны.
Дано, что Л£ = 3, Л£ = 4 и ВС =12.
Найдите длину диагонали BE;
диагонали ВН.
5. Гипотенуза прямоугольного треугольника имеет длину 17, а один из
катетов—15. Найдите площадь треугольника.
6. Длины сторон треугольника равны 6 см, 9 см и 11 см. Является ли он
прямоугольным? Если да, то какая сторона является гипотенузой?
7. а) Доказать. Если т и п — положительные целые числа, удовлетворяющие
условию т>/2, то т2-\-п2 — длина гипотенузы некоторого
прямоугольного треугольника, а т2 — п2 и 2тп — длины его катетов. Какой теоремой
вы воспользовались?
Ь) Сделайте таблицу, озаглавив ее столбцы следующим образом:
\m\n\ т2 — п2\2тп\ т2 + п2\
Пользуясь методом задачи а), запишите в этой таблице целочисленные
длины сторон прямоугольных треугольников с длиной гипотенузы, не
превосходящей 25. Имеется шесть таких «пифагоровых троек».
8. Покажите, что если ρ и q — длины катетов некоторого прямоугольного
треугольника, а г —длина его гипотенузы, то каково бы ни было
положительное число k, числа kp, kq и kr также являются длинами сторон некоторого
прямоугольного треугольника.
9. Какие из следующих троек чисел могут быть длинами сторон
прямоугольного треугольника:
а) 30; 40; 60;
' 4 4
b) 16; 30; 34;
е) 1,4; 4,8; 5,0;
с) 10; 24; 26;
0 1
L С-
ψ
3 ' 3
-прямой угол в Δ ABC, AC
и БС= 15. Найдите
a) SAABC; Ъ) АВ;
с) высоту, опущенную на гипотенузу,
20
336

н Гипотенуза треугольника имеет длину
"51, а один из катетов—-24. Найдите
площадь треугольника.
12. На этом рисунке QR = 5, RP = 12,
' #Г = Л, причем QR±RP и RT ± PQ.
Найдите /г.
13 Выразите длину /г высоты,
опущенной на гипотенузу прямоугольного
треугольника, через длины а и b его
катетов.
14. Катеты прямоугольного треугольника имеют длину 24 и 32. Найдите
высоту, опущенную на гипотенузу.
15. Каждая сторона ромба имеет длину 10 см, а одна из диагоналей—12 см.
Найдите площадь ромба. Найдите его высоту, проведенную к любой
стороне.
16. Один угол ромба имеет меру 60, а длина его стороны равна 5. Найдите
длину каждой диагонали.
17. Π Л BCD—· трапеция, причем АВ \\ DC.
Найдите площадь этой трапеции,
если отрезки имеют длины,
указанные на рисунке.
18т. а) На рисунке указаны прямые
углы и длины некоторых отрезков.
Найдите РВ, PC и PD.
Ъ) Если вы продолжите то, что
сделано на рисунке, взяв т Ζ PDE =
= 90 и DE—\, то чему будет
равно РЕ? Чему будет равна длина
шестого отрезка, выходящего из
точки Р? Вы должны обнаружить
интересную закономерность.
19 \ Одно доказательство теоремы
Пифагора, в котором используется этот
рисунок, было найдено генералом
Д· Э. Гарфильдом за несколько лет до
того, как он стал президентом
Соединенных Штатов. Оно было
опубликовано приблизительно в 1875 г. в New
England journal of Education.
Локауте, что а2 + &2 = с2, алгебраически
ыразив тот факт, что площадь трапе-
ии равна сумме площадей трех на-
''X треугольников. При этом нужно
сказать, что ζ ЕВ Л — прямой угол.
D а Е
8
а
/
/
Π
\
\
\
Х\
С b A
337

20*!_Дана трапеция A BCD, причем АВ\\ DC,
~АС±'ВС и Ш)1 AD. Чему равна
площадь этой трапеции, если А В = 25,
ЛО=15 и ЯС=15?
21*. В левом Δ ABC имеем ЛС = 13, Л£= 14
и £C =15.
a) Найдите высоту /ic.
b) Найдите высоту Нь, проведенную к стороне АС,
D С
22*. В правом Δ PQR L Q — тупой, PQ=11, Q/? = 25 и Р# = 30. Найдите
высоту, проведенную к стороне PQ\ найдите 5дРо/?.
23*. В AMOQ имеем: ΛίΟ J_ OQ, МО =
^ОР=\ и MP = PQ. Найдите MQ.
Найдите т L Q и т л QMO.
24*+. A BCD есть тетраэдр, все ребра
которого конгруэнтны и имеют длину 2.
Точки # и S — соответственно середины
ребер DC и А В.
a) Докажите, что RS — общий
перпендикуляр ребер АВ и DC.
b) Найдите RS.
25*+. Теорема Пифагора была известна древним грекам в следующей Ф°Р,К
Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треуг°-
ника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах·
338

sfi=sAf+s*2
^OAC3P^QAMQP
Левый рисунок иллюстрирует теорему; правый используется в
доказательстве. Следующие вопросы и ваши ответы на них приводят к
доказательству теоремы Пифагора:
a) Почему L RAB ^ L САМ?
b) Почему Δ RAB S£ Δ CAM?
c) Почему SARAB = SACAM?
d) Равна ли одна из высот Δ RAB длине АС?
e) Почему SqACSR = 2Sarab?
f) Верно ли, что SQ ЛждР = 25ΔСЛЖ?
g) Почему 5аЛс^ = 5пЛЖ0р?
h) Верно ли, что SDBHGC = SQPoKB?
i) Верно ли, что SQAmB = SDPoKB + SD AMqP? Почему?
Конкурсная задача
Π A BCD — квадрат; Н, /, У и /С
—середины его сторон, как показано на
рисунке, и Q PQRS — квадрат. Найдите
отношение
Sqpqrs
Sqabcd
Η В
§ 4. ТРЕУГОЛЬНИКИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
Теорема Пифагора дает нам информацию о некоторых
треугольниках специального вида.
еорема НЛО (теорема о равнобедренном прямоугольном треугольнике)
Длина гипотенузы равнобедренного
прямоугольного треугольника равна дли-
Не любого из его катетов, умноженной
на \^2
Доказательство вы должны провести
самостоятельно.
Верна ли и обратная теорема?
339

Теорема 11.11
Если длина основания
равнобедренного треугольника равна длине любой из
его конгруэнтных сторон, умноженной
на У~2, то угол, противоположный
основанию, является прямым.
αϊ/2
Доказательство начинается с замечания, что a2 + a2=(a]/r2)2t
В § 7 гл. 9 мы выяснили, что в треугольнике 30-60-90
сторона, противоположная углу в 30°, имеет длину вдвое меньшую
длины гипотенузы; мы знаем также, что верна и обратная теорема:
С помощью теоремы Пифагора мы получим теперь
соотношение между гипотенузой и большим из двух катетов в
треугольнике 30-60-90.
Теорема 11.12
В треугольнике 30-60-90 длина
большего катета равна длине гипотенузы,
умноженной на У~312.
Доказательство. Пусть с—длина гипотенузы, а Ь—длина
большего катета. Тогда длина меньшего катета равна с/2. По
теореме Пифагора
откуда находим
i)2+b>=c\
и КЗ
340

опрос. Верно ли, что в треугольнике 30-60-90 длина
больно катета равна длине меньшего катета, умноженной на }/3?)
Задачи к § 4
1. Какова длина диагонали квадрата со стороной 6? 9? 78? ]/2 ? j/б ?
2. Найдите больший катет в треугольнике 30-60-90, гипотенуза которого
равна 4; 18; 89; 21/*3~; 13.
3. Δ А ВС-— равносторонний треугольник,
каждая из сторон которого имеет длину 8 см.
Какую длину имеет высота, проведенная из
вершины С? Чему равна площадь Δ ABC?
А в В
4. Острые углы прямоугольного треугольника конгруэнтны, и одна из
конгруэнтных сторон имеет длину 15. Какую длину имеет третья сторона?
5. В Δ PQR имеем т L Р = 30, Я/? = 8 и R
PQ= II. Найдите высоту, проведенную из
вершины R, и площадь Δ PQR.
Ρ 11 Q
6. Мера каждого из углов при основании равнобедренного треугольника
равна 30, а каждая из двух конгруэнтных сторон имеет длину 14. Какую
длину имеет основание? Чему равна площадь треугольника?
7. Две стороны параллелограмма имеют длину 18 и 8, а мера одного из его
углов равна 30. Найдите площадь параллелограмма.
8. Какую площадь имеет равнобедренный треугольник, конгруэнтные стороны
которого имеют длину по 20, а мера каждого из углов при основании
которого равна 30? 45? 60?
9· Δ Л —прямой угол в Δ АВС> а т L В = т Ζ С=45. Найдите А В, если
дано, что £С = 6.
10· Докажите, что если гипотенуза равно- С
бедренного прямоугольного треугольника
имеет длину т, то длина каждого из его
катетов равна -^ т Ϋ2.
А ? В
Чему равна площадь равнобедренного треугольника, каждая из
конгруэнтных сторон которого имеет длину 12 см, а углы при основании имеют меру
а) 45; Ь) 30; с) 60?
341

12. Чему равна площадь равнобедренного треугольника, основание которого
имеет длину 12 см, а углы при основании имеют меру
а) 45; Ь) 30; с) 60?
13. Меры углов при основании трапеции
ABCD равны, как показано, 45 и 30.
Кроме того, ВС = 16 и DC ==5.
Найдите
SQABCD'
14. Высота равностороннего треугольника
равна 12. Найдите длину стороны и
площадь треугольника.
15. Докажите, что площадь равностороннего треугольника, сторона которого
я2 1/5-
имеет длину а, равна — у 3 .
16. Сторона одного равностороннего треугольника равна высоте второго. Чему
равно отношение их площадей?
17. Площадь равностороннего треугольника равна 25 Уъ . Определите длину
его стороны и высоты.
18. Квадрат, площадь которого равна 81, имеет периметр, равный периметру
некоторого равностороннего треугольника. Чему равна площадь этого
треугольника?
19. Δ ABC на этом рисунке лежит в
плоскости Ε и PA _j_ E.
PB = BC = 8t
РС = 4]/1Г,
т L ВРА =30.
Найдите меры как можно большего числ-а других углов и длины как можно
большего числа отрезков. Найдите также 5дР£С
242

20. Ребра куба конгруэнтны, и если они
' пересекаются, то перпендикулярны
друг Другу. Найдите SD ACQFn 5дДС/?,
если ребро куба имеет длину 6.
21*. В Δ ABC имеем т L Л = 30, ЛС = 4,
ЛЯ = 3)/3.
Найдите ВС. Является ли Ζ С
прямым? Откуда вы это знаете?
22*. Δ Q —тупой угол в Δ PQR* т Δ Я=
= 45, PQ=10, PR = 3. Найдите RQ и
SAPQR-
23+. На этом рисунке т L /С — PQ—М =
= 60. Квадрат Л£С# лежит в одной
из граней данного двугранного угла,
причем Л В || PQ и проекцией этого
квадрата на другую грань служит
D EFGH.
ЛЯ = 26.
Найдите SQEFGH, если
Η Q
^1
24*+. На этом рисунке т Ζ K — PQ —
— Μ ==45. Квадрат ABCD лежит в
одной из граней этого двугранного
Угла, причем £Ю ± Р<2 и проекцией
этого квадрата на другую грань
служит UEFGH. Найдите S EFGH,
если АВ = 8.
Μ
343

25*^". Плоскости Ε и F пересекаются по
< >
прямой ЛВ и образуют двугранный
угол. Прямая CD в плоскости F
является медиатрисой отрезка ЛВ. Найдите
т L С — АВ — К и 5дЛБ/^, если дано,
что АС ±~ВС, ~СК±Е, т/.СВК = Ъ0
и £С = 6.
Вопросы и задачи для повторения
1. Дополните: Многоугольной областью называется
на плоскости при условии, что если две из них ...,
либо
2. На этом рисунке AC J_ DB. Чему равно
отношение S^ACD к S^ABC, если DE = 8
иЯ£=12?
... некоторого числа ,
то их ... есть либо ,.
3. Во сколько раз площадь одного квадрата больше площади другого квадрата,
если длина стороны первого квадрата втрое больше длины стороны второго?
(Постарайтесь ответить на этот вопрос, не пользуясь никакими формулами
для площади.)
R
4. РТ и RS — высоты в Δ PQR- Найдите
РТ, если дано, что Р#=13, Р5 = 5 и
m Z.Q = 45.
5. Какую длину имеет сторона квадрата, если длина диагонали равна 18 ж?
Чему равна площадь квадрата?
6. Длины сторон треугольника равны 25, 25 и 48. Найдите его площадь
7. Медиана равностороннего треугольника имеет длину 15 еж.
Чему равна его площадь?
8. Π ABCD — параллелограмм, С К _L AB и
L М — прямой угол.
a) Найдите DC и СМ, если £С=12,
£Ш=15 и /(С = 9. _
b) Найдите _AD и DM, если /CC==j/24,
341

д Сторона ромба равна 13, а одна из его диагоналей —24. Найдите площадь
ромба.
10. Длина медианы CD Δ ABC равна 8, АВ = 14 и т L ADC = 60. Найдите
Saabc-
ц„ Выведите формулу, выражающую
площадь этой фигуры через а, Ь и с.
ΤΊ
1
45^
ь
г**
\
ь
L
Г,
^~
к
о
Τ
12. Параллельные стороны трапеции имеют длину 13 см и 21 см. Длина
большей из непараллельных сторон равна 17 сму а меньшая перпендикулярна
параллельной стороне. Чему равна площадь трапеции?
13. М—-середина стороны AD, а К — середина стороны АВ
параллелограмма ABCD. Докажите, что
5 О АКСМ — γ SD ABCD ·
14. AG и ЕС—диагонали этого
прямоугольного тела. Найдите AG и ЕС, если
Л£ = 9, BF = \2 и AD = 8.
15. Чему равна длина диагонали куба с ребром 6?
16. Биссектрисы Ζ Л и Ζ С
параллелограмма пересекают диагональ DB
соответственно в точках Ε и F. Докажите,
что области ABCFE и AEFCD имеют
одну и ту же площадь. /
17. Данный отрезок является стороной квадрата и, кроме того, гипотенузой
некоторого прямоугольного треугольника. Докажите, что площадь квадрата
в 4 раза больше площади этого треугольника. (Постарайтесь сделать это,
совершенно не пользуясь никакими формулами для площади.)
!8. Площадь равностороннего треугольника равна 100^3. Какую длину имеют
его сторона и высота?
!9· О ABCD—трапеция, причем AB\\CD, J
™ Ζ Л = т Ζ Я = 60 и ЛЯ = 12, ВС=8.
Найдите SQABCD.
345

20*. Π Λ BCD — квадрат. Точка Ε лежит на
AD, а точка F — на DC; при этом
EB±.FB. Найдите CF, если SQABCD =
= 256 и 5д£Б/; = 200.
21*. α PQFS—трапеция, причем PQ || SF,
т L Я = 45 и т LQ^ 120. Чему равна
SUPQRS> если ^S=12 K2 и PQ = 27?
22*+. Две стороны треугольника имеют длины а и Ь. Высота, проведенная
к третьей стороне, разбивает эту сторону на отрезки соответственно длин
cud. Докажите, что
(a+4>)(a-b) = (c+d)(c-d).
23*+. Дано: π Λ BCD — трапеция, причем
АВ || CD. Точки Μ и К соответственно
являются серединами сторон AD и ВС.
Кроме того, PK\\AD.
Требуется доказать. S.ApD~
= SDPBCD ^~ΐ SQABCD*
24*+. Даны два произвольных параллелограмма на плоскости. Объясните, как
можно провести прямую, одновременно делящую каждую из ограничиваемых
этими параллелограммами областей на две области равной площади.
Конкурсная задача
Фигура на рисунке состоит из
четырех прямоугольных
треугольников, четырех прямоугольников и
квадратной «дыры» со стороной 1.
a) Найдите сумму площадей восьми
областей. (Площадь дыры не
считать!)
b) Найдите основание DE и высоту,
проведенную из вершины А на DE»
Вычислите половину произведения
этих двух чисел.
c) Можете ли вы объяснить, почему
результаты вычислений в пунктах
а) и Ь) совпадают, хотя в а)
площадь дыры не учитывается?

12
ПОДОБИЕ

§ ι. ИДЕЯ ПОДОБИЯ. ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ
Грубо говоря, две геометрические фигуры подобны, если они
имеют точно одну и ту же форму, но не обязательно одни и те
и<е размеры. Например, любые две окружности подобны, любые
два квадрата подобны, любые два равносторонних треугольника
подобны и любые два отрезка подобны.
δΔ
Иначе это же можно выразить так: две фигуры подобны, если
одна из них является неискаженным изображением другой.
Пометки на следующем рисунке указывают, что изображенные
здесь два треугольника подобны.
Первый из них можно «растянуть», удвоив его размеры, но
не меняя формы, так, что получится второй. Эту схему
«растяжения» можно записать как соответствие
АВС^А'В'С.
Конечно, это соответствие не является конгруэнтностью, потому
что каждая сторона второго треугольника вдвое длиннее
соответствующей стороны первого. Такого рода соответствие называется
подобием. Точное определение подобия будет дано в этой главе
позже.
Подобие может не растягивать фигуры, а сжимать их. Напри-
МеР, соответствие
А'В'С'^АВС
с>кимает второй треугольник в первый.
34Э

Заметим, что длины сторон наших двух треугольников обра
зуют две последовательности положительных чисел: я, Ьу с и а'"
Ь', с'. Между этими последовательностями существует особог'
рода связь: каждое число из второй последовательности ровно
вдвое больше соответствующего числа из первой последователь-
ности. Таким образом,
а' = 2а, b'=2b, c' = 2c.
Можно и наоборот сказать, что каждое число из первой
последовательности вдвое меньше соответствующего числа из второй:
Таким образом,
2L == ь'- = °L
а ~~ Ь ~~ с '
так как каждое из этих отношений равно 2, и
поскольку каждое из этих отношений равно у.
Последовательности, связанные таким образом, называются пропорциональными.
Определение
Пусть даны две последовательности а, Ь, с9 ... и pf q, r,
... положительных чисел. Если
а __ Ь _ с
~р ~"q ~ 7"'
то последовательности а, Ь, с, ... и р, q, г, ... называются
пропорциональными.
Очевидно, это определение не зависит от порядка, в котором
перечисляются две данные последовательности: если
то и
ϋ. = А = — =
а Ь с
и наоборот.
К пропорциональным последовательностям мы будем применять
обычные методы алгебры. Проще всего иметь дело с
пропорциональными последовательностями, содержащими лишь две пары
чисел. Такие последовательности мы будем часто называть
пропорциями. Вот несколько примеров, показывающих, какие можно
360

лделать заключения, если дано, что числа а, Ь и р, q
пропорциональны. Дано:
7-Ί- «>
по определению пропорции. Умножая обе части равенства на pq,
получаем
aq = bp. (2)
Деля обе части на bq, находим
τ-f· 0)
Поскольку все числа в пропорции должны быть положительными,
никакой опасности, что придется делить на нуль, здесь нет.
Прибавляя затем к обеим частям по 1 и упрощая, получаем
а + Ь _ р + д ш
Ь ~ q ' W
А вычитая из обеих частей равенства (3) по 1, имеем
Й-^ = £?· (5)
Это только наиболее полезные из соотношений, которые можно
вывести из (1); существует и много других. Запоминать эти
соотношения не стоит. Если вы попытаетесь такого рода вещи выучить
наизусть, то в тот момент, когда они вам будут больше всего
нужны, в половине случаев вы вспомните их с ошибками. Что нужно
запомнить — это (алгебраический) прием, с помощью которого мы
выводим одно соотношение из другого.
Определение
Если ау Ь, с — положительные числа и
- = —
ъ "" с '
то число Ъ называется средним геометрическим чисел
а и с.
Легко вычислить, что b — ~\fac*
Задачи к § 1
1. Подберите числа, при которых каждая цепочка равенств становится
пропорциональной последовательностью:
a) iai-1-?*^ L 792 ^ 198 ^ ? _ 9 1
3 6 15 "~ ?" 1,5 ' ' 3960 ? 495 ~ ? ? ;
с) 1 ^ 6? __ ?4 _ ? . 5 _ 10 -> _ 5У'2 ?_
3 ? Ю ~ б V 3; 4 ~~ ? "" 28 " ? ~~ 0,04 *
351

2, Дополните каждое утверждение.
5 15
a) Если -Q- = — то 9 · 15 = 5·?
b) Если — = у , то Та = ?
c) Если f2 = -8 , то 8* = ?
3. Разрешите каждую пропорцию относительно х.
. χ 3 .. 5 4 . 5
а) ¥ = Т: Ь) 7-У С)Т
Дополните каждое утверждение.
а) Если у = у, тод:=?.=-.
un π 5 10 5 ?
Ь)Если -g-jg, то ϊο— Ϊ8-
ч „ 3 12 16 12
с) Если -5-—jg, то Т=у.
d) Если -г = -г. то — = ?
2х
" 13
d) τ=χΤ3-
5. Найдите среднее геометрическое чисел 4 и 9; чисел 7 и 14; чисел 15 и 60.
6. Дополните каждое утверждение.
а) Если За = 2&, то -£- = ? и -£- = ?
' 6 2
Ь) Если 4т =15,
с) Если 6л; = 5· 9,
,. D 2α 7с
d> Если 36 = 53·
X ~ Э ~
то—= ?и — = ?
5 χ
α _ 6 .
то — ==? и — = ?
о а
7. Для любых двух положительных чисел а и с их среднее геометрическое
равно b — Yас, а среднее арифметическое d = y(a-(-c).
Составьте таблицу средних геометрических и средних арифметических для
следующих пар:
а) 2 и 8; Ь) 3 и 12; с) 5 и 45;
d) 4 и 9; е) 9 и 16; f) 12 и 15.
8. Дополните каждое утверждение.
5 15 5+12 15-Ь?
а) Если Го = ад, то -
12 36» 12 36 *
ич п 7 28 7 28
b) Если -^ = 36, то γ = 36=Γ?· ,
ν ϋ α 6 a + b . α —6 ^
c) Если — =-- то —^— = ? и —г— = ?
6 5' b b
J4 „ α + c 11 α _ с
d) Если —ί— = -=-, το — = ? и — = ->
с 7 ' с α
Посмотрите на эти три последовательности. Сколько здесь пар
пропорциональных последовательностей:
а) 3, 8, 12, 17; Ь) 9, 24, 36, 51; с) у, у, 15, -^-? Легко видеть, что
последовательности а) и Ь) пропорциональны, так как каждое число после
довательности Ь) в три раза больше соответствующего числа
последовательности а). Но сравнить а) и с) или Ь) и с) уже не так просто. Один из
эффективных способов, позволяющих это сделать, состоит в том, чтобы
352

каждую последовательность заменить пропорциональной ей
последовательностью, начинающейся с единицы. В нашем случае мы получим:
, 8 А Ε
a) 1, -J, *. з '
, 24 . 51 ,8
b) 1, -д", 4> -д"» или Ь -J, ...ι ....
, 8
c) i, -g", ···» ····
Теперь ответьте на наш вопрос.
10. Какие пары следующих последовательностей пропорциональны (решить
это вам может помочь метод задачи 9):
а) 5, 7, 9; Ь) 1, 2, 3; с) 2-1, 3-1, 4~; d) 8, 15, 17; е) 15, 30, 45;
0 16, 30, 34; g) lf -|, l; h) 1,25;· 1,75; 2,25?
χ у 30
И. Найдите χ и у, если ξο^δδ^^Ο*
3 5 г я
12. Найдите pt q и г, если — = — = _ = ^.
13+. Какие из следующих пропорций верны для всех значений переменных,
исключая, конечно, те значения, которые обращают какой-либо член
пропорции в нуль:
ϋϊ — А м ul — A
а) 6*"""" 6 ; ' 86 8а;
с) -лв«-77: d>
г2 rs tr y ' a2 — b* a — b'
е) fl+6 = 2!±^; о ! + ±_ί±*?
' 1 α + 6 ' x у х У
iA, 4 n . 2 4 6 8 18
14+. а) Рассмотрим ряд пропорции: — = -g- == -^ = — = g=.
Проверьте, что
2 + 4 + 6 + 8+18 2
3+6 + 9+12 + 27"" 3 *
Можно ли такую же операцию проделать с какой-нибудь другой
пропорциональной последовательностью? Попробуйте!
Ь) Доказать. Если
а _ с —. е — £
то
a + c+e + g а
b+d+f+h b *
(Указание. Пусть a/b = k. Тогда a=-kb> а также с=Ы, e=//z, g=
= &/2. Будет ли
a+c + g + rf ,
Конкурсная задача
Докажите следующую теорему:
Среднее геометрическое двух различных положительных чисел всегда меньше,
нем их среднее арифметическое.
(Указание. Пусть а > b > 0. Нужно показать4 что У ab < -^-(а + 6).
353

Попытайтесь допустить, что это неравенство справедливо, и выведите из него
неравенство, справедливость которого вам известна. Это покажет
с чего начать доказательство.)
вам,
§ 2. ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Теперь мы дадим определение подобия треугольников.
Допустим, что нам дано соответствие ABC ~» А'В'С между /\АВС
и Д А'В'С. Как обычно, а—это
длина стороны, противополож- **
ной вершине Л, Ъ—длина сто- /^ч.
роны, противоположной β, и т. д. у ^Ччч.
Если соответствующие углы £_ ^ч^
треугольников конгруэнтны и А b C
а
IP'
ь_
то мы говорим, что
соответствие ABC <-> А'В'С является
подобием и пишем
/\ ABC ~/\ А'В'С.
Определение
Дано соответствие между двумя треугольниками. Если
соответствующие углы треугольников конгруэнтны, а
соответствующие стороны пропорциональны, то это соответствие называется
подобием, а треугольники — подобными треугольниками.
Здесь, как и в случае конгруэнтности, запись Д ABC ~ Д А'В'С
означает не только, что данные треугольники подобны, но и что
именно соответствие А ВС ·*-*» А 'В 'С является подобием. Таким
образом, если дано, что Д ABC ~ Д А'В'С', то мы можем, даже
не глядя на рисунок, немедленно написать пропорциональность
а
Если стороны не обозначены, то эти соотношения принимают вид
ВС
В'С
АС
' А'С
АВ
А'В'
Определение подобия содержит два требования:
1°. Соответствующие углы должны быть конгруэнтны.
2°. Соответствующие стороны должны быть пропорциональны.
Оказывается, что если для треугольников выполняется одно из
этих условий, то выполняется и другое. Иными словами, если
354

соответствующие углы конгруэнтны, то соответствующие стороны
пропорциональны, и наоборот. Эти факты содержатся в УУУ-
теореме подобия и в ССС-теореме подобия, которые будут
доказаны в этой главе позже.
Мы сохраняем оба эти условия, одновременно требуя
выполнения 1° и 2°. И это правильно, потому что треугольники
—единственные фигуры, для которых идея подобия так проста.
Рассмотрим, например, квадрат и прямоугольник:
О.
XI
В соответствии ABCD «^ А'В'СD' соответствующие углы
конгруэнтны, так как все они прямые. Но соответствующие стороны
не пропорциональны и, конечно, ни одна из этих двух фигур не
является моделью другой. Для других четырехугольников может
встретиться иного рода ситуация. Рассмотрим квадрат и ромб:
В соответствии ABCD<-* A'B'C'D' соответствующие стороны
пропорциональны, но фигуры имеют разную форму.
Задачи к § 2
1. Дано, что Δ ABC ~ ADEFt причем длины сторон указаны на рисунке.
Найдите хну.
В 0 λ Ε
355

2. Вырезан кусок картона, как на рисунке, где внутренняя и внешняя гпа
ницы области являются подобными четырехугольниками. Чему равны г
и t, если длины сторон указаны на рисунке. ' s
3. На этом рисунке Δ ЛВС^ Δ ΑΏΕ. "Чему равны
АС и DE, если Л£ = 5, Л£ = 6, ВС = 12 и АВ =
= 15?
4. Из того, что Δ ABC ^ Δ Л'В'С, следует ли, что Δ ABC ^ Δ А'В'С'}
Почему?
5. С одной и той же пластинки отпечатаны две фотографические карточки:
одна без увеличения, а другая с увеличением. На первой карточке
некоторый объект имеет ширину 2 см и высоту 2,3 см. На второй карточке
тот же объект имеет ширину 7,5 см. Какую он имеет высоту?
6. Джон может получить хорошее приближенное значение высоты большого
дерева с помощью следующего приема. Сначала он подходит к дереву
и отмечает на нем точку, находящуюся приблизительно в 1,5 м от земли.
Затем он отходит от дерева на 40 шагов (или на 30 м). Повернувшись
к дереву, он отодвигает от себя маленькую линейку длиной в 15 см,
держа ее вертикально против своих глаз, до тех пор, пока она не будет
точно закрывать от него дерево над полутораметровой отметкой. Пользуясь
веревкой, привязанной к одному из концов линейки, он измеряет в
сантиметрах расстояние АВ от своего глаза до линейки. Затем он легко
вычисляет высоту дерева по формуле
A=30i| + 1.5.
a) Объясните, почему эта формула дает высоту дерева. В каких единицах?
b) Какой будет высота дерева, если расстояние, измеренное веревкой»
равно 20 см?
7. Докажите, что если D и Ε—соответственно середины сторон АС и ВС
Δ ABC, то Δ CDE ~ Δ CAB.
8. Докажите, что треугольник, вершины которого являются серединами
сторон данного треугольника, подобен данному треугольнику.
356

Ρ Μ Q A θ
9. Дан рисунок, где Δ ΡΜΚ^ Δ KLR. Докажите, что L Q= Z MAX.
10. Д а н о: Трапеция ABCDy где ЛЯ || CD и Δ A£D ~ Δ ВЕС. Требуется
доказать: AD = ВС. (Указание. Какие еще треугольники подобны?)
§ 3. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ
И ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА
Рассмотрим Д ABC с поперечной полоской DE, параллельной
основанию ВС. Похоже на то, что соответствие ABC <^> ADE
является подобием. И действи- А
тельно, довольно легко доказать, /ν
что соответствующие углы конгру- / \,
энтны. (Доказательство?) Пока- / \^
зать, что соответствующие стороны / N.
пропорциональны, несколько труд- / \.
нее. Мы начнем со следующей тео- я/ -\^
ремы, утверждающей, что на- / N.
к лонные стороны на нашем ри- / \.
сунке пропорциональны. В*· ^с
Теорема 12.1 (основная теорема о пропорциональности)
А
Если прямая, параллельная
одной стороне треугольника,
пересекает две другие его стороны в
различных точках, то она отсекает
°т этих сторон отрезки,
пропорциональные самим сторонам.
_ Др_у£ая формулировка. Пусть D и Е —точки сторон
А& и АС Д ABC такие, что Ш || ~ВС. Тогда
АВ _АС
AD ~~ АЁ'
357

Доказательство. Будем
рассматривать AD и BD как основания
Δ ADE и Д BDE. Тогда эти
треугольники имеют одну и ту же
высоту. (Почему?) Следовательно, по
теореме 11.7 отношение их площадей
равно отношению их оснований, т. е.
>ABDE
BD
(1)
>AADE
Точно так же будем
рассматривать АЕ и СЕ как основания Δ ADE
и Δ CDE. Так как эти треугольники
имеют одну и ту же высоту, то, как
и выше, заключаем, что
3ДСРЕ
$AADE
СЕ
~АЁЩ
(2)
Δ BDE и Δ CDE имеют одно и то же основание DE (см.
< ■> <-*■
первый из наших трех рисунков). Поскольку прямые DE и ВС
параллельны, эти треугольники имеют и одну и ту же высоту.
Следовательно, по теореме 11.6
S &BDE = 5д CDE·
Сопоставляя равенства (1), (2) и (3), получаем
BD_CE^
AD~~ AE'
Прибавляя к обеим частям равенства (4) по 1, имеем
(3)
(4)
BD + AD СЕ + АЕ
АВ
ИЛИ w =
АС^
АЕ9
(5)
AD ~ АЕ
что и требовалось доказать.
Обратную теорему доказать гораздо легче.
Теорема 12.2
Если прямая, пересекающая две стороны треугольника,
отсекает от них отрезки, пропорциональные этим двум сторонам,
то она параллельна третьей сто- А
роне.
Другая формулировка.
Дан /\АВС. Пусть D —точка
между А и В, а Е — точка между А
и С. Если
AS.
—ACAD ~~ АЕ'
то DE || ВС.
358

Доказательство. Пусть прямая ВС, 'проходящая через
d и параллельная DE, пересекает прямую АС ь точке С*. По
предыдущей теореме
/ιΰ /1С/
~AD = Ж*
Так как по предположению
то
АВ
AD
АС
АЕ
=
АС
'АЕ'
АС
1 АЕ
и АС = ЛС. Следовательно, С = С и D£1| ВС.
Задачи к § 3
1. В Δ ABC имеем D£ || ЛЯ.
a) Найдите СЕ, если дано, что АС =12,
CD = 4 и £С = 24.
b) Найдите BE, если дано, что АС— 15,
AD = 3 и £С = 25.
c) Найдите ВС, если дано, что А£> = 6,
CD = 4 и С£ = 7.
d) Найдите СЯ, если дано, что CD = 8,
АС=18 и β£ = 6.
e) Найдите АС, если дано, что AD — CEy
CD = 4 и £5 = 9.
2. Дано, что ST || PQ в Δ PQR. Дополните
следующие утверждения:
а>Rp ?
а) FS=T:
с) 1-^.
' ? ЯР'
е) ^=1.
кл № ?
b) sp = 7
., RT f
d) щ = т
0 ^=1
' ЯР ?
• В каждом из изображенных здесь треугольников проведен отрезок,
параллельный основанию, и указана длина некоторых отрезков. Во всех
случаях найдите ху считая остальные буквы известными.
359

4. В AJMK имеем т £ М = т L HGK=x.
a) Дано, что /# = 7, У/С = 21 и G/C=10.
Найдите MG.
b) Дано, что HK = MGt Λί/( = 6 и JH =8.
Найдите GK.
c) Дано, что G/C—7f HK = 2MG и УЯ = 14.
Найдите У/С.
d) Дано, что /СУ = 24, НК = МК и /CG==4.
Найдите М/С.
5. Будет ли ΡξΓ|| Л5, если отрезки на рисунке
имеют указанные длины? Объясните, почему
ваш ответ правилен.
6. Будет ли UV \\ RT, если отрезки на
рисунке имеют указанные длины? Объясните,
почему ваш ответ правилен.
7. Для каких из следующих наборов длин
будет FG\\BC:
а)ЛЯ = 14, Л/7 = 6, ЛС = 7, Л<? = 3;
Ь)ЛЯ = 12, FB = 3, АС = 8, Л<? = 65
c) AF = 6, FB = b, Л(? = 9, GC=8;
d) ЛС = 21, GC = 9, ЛЯ = 24, Л/7 «5?
8. Дан рисунок (внизу слева) с пометками.
Найдите все значения xf при которых DE\\AB.
9. Докажите следующую теорему:
Биссектриса угла треугольника делит
противоположную сторону на отрезки, длины
которых пропорциональны длинам смежных
с ними сторон.
Другая формулировка. Если AD—
биссектриса L A A ABC и точка D лежит
на стороне ВС, то (рис. внизу справа)
BD __ВА
CD~~"CA'
(Указание. Проведите прямую СЕ,
параллельную стороне AD. Покажите, что
АС^АЕ.)
А В
360

10 С помощью теоремы задачи 9 ответьте на
следующие вопросы:
a) Стороны треугольника имеют длину 15,
20 и 28. Какую длину имеют отрезки, на
которые делит противоположную сторону
биссектриса наибольшего угла?
биссектриса наименьшего угла?
b) Стороны треугольника имеют длину 12,
18 и 24. Найдите длину отрезков, на
которые биссектриса каждого угла делит
противоположную сторону.
11. На этом рисунке ASJ ЛР, SR \\ DC,
RQW'BC. Докажите, что PQ\\ АВ.
12. Докажите следующую теорему:
Если три или более параллельных
прямых пересекаются двумя секущими, то
отсекаемые на этих двух секущих отрезки
пропорциональны.
Другая формулировка. Если
секущие tx и t2 пересекают параллельные
прямые lv /2 и 1в соответственно в точках
А, ВЛ С и D, Е, F, то
AJ*_DE
ВС ~~ EF*
(Указание. Проведите DC или AF.)
13. Как показано на схеме, три участка земли
простираются от Мэйн-стрит до Бродвея.
Боковые части их границ перпендикулярны
Мэйн-стрит. Найдите длину границы
каждого участка по Бродвею, если общая длина
границы всех этих трех участков по
Бродвею составляет 108 м.
14 · Дано. Параллельные плоскости £, F и G
и секущие Тг и Г2, как на рисунке.
τ АВ РО
требуется доказать. ή£=η7>~·
(Указание. Проведите отрезок AR.)
• Доказать. Диагонали трапеции
пересекаются в такой точке, что длины отрезков
-зной диагонали пропорциональны длинам
0тРезков другой.
ι *<+·
Мэйн cmpum
ti t2
*а
Ak- \р ^
/ \ 1
361

16+. Типограф хочет сделать пригласительный
билет длиной 12 см и такой ширины, чтобы,
когда он сложит этот билет пополам, как
показано на рисунке, билет имел ту же форму,
что и в начале. Какой должна быть ширина?
17*+. Докажите следующую теорему:
Дан произвольный Δ ABC. Если биссектрисы внутреннего и внешнего
углов с вершиной А пересекают прямую ВС соответственно в точках D и
D', то
BD CD
BD'~CD'·
В D С θ'
(Указание. Проведите прямую СЕ, параллельную AD', и
воспользуйтесь теоремой 12.1 и задачей 9.)
18*+. а) Чему в задаче 17 равны BD, DC и CD', если АС = 9, Л£ = 15
и ЯС=16?
Ь) Чему в задаче 17 равны BD, DC и CD', если т L ВАС = 90; ЛС = 6
и Л£ = 8?
19*+. Остается ли теорема из задачи 17 в силе, если АВ < АС?
Проиллюстрируйте и объясните. Как изменится теорема, если АВ = АС?
20*+. Треугольник имеет стороны б, 12 и 16. Биссектрисы наибольшего
внутреннего угла и наименьшего внешнего угла пересекают прямую,
содержащую противоположную сторону, соответственно в точках X и F. Найдите
расстояния точек X и Υ от вершины наименьшего угла треугольника.
Конкурсная задача
Дан Δ ABC, у которого А В > АС. Биссектрисы внутреннего и внешнего
углов с вершиной А пересекают прямую ВС соответственно в точках D и Е.
Докажите, что
У'АР* + А £2 V АР* + АЕ2_п
CD BD
§ 4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПОДОБИИ
Теорема 12.3 (УУУ-теорема о подобии)
Дано соответствие между двумя треугольниками. Если
соответствующие углы треугольников конгруэнтны, то это
соответствие является подобием.
362

Другая формулировка. Дано соответствие ABC<-*► DEF
между двумя треугольниками. Если /_ Л = Ζ Α Ζ. β = Ζ £ ^
'lC9*LF> то /\ABC~&DEF.
Доказательство. Так как соответствующие углы
треугольников конгруэнтны по предположению, то нам остается лишь
доказать, что соответствующие стороны пропорциональны, т. е. что
АВ _АС___ ВС
DE ~ DF ~ EF '
д\ы покажем, что выполняется первое из этих соотношений.
Точно такое же рассуждение, в котором нужно только изменить
обозначения, показывает, что выполняется и второе соотношение.
Перейдем к доказательству того, что
АВ_ _ АС_
~DE ~ DF '
Пусть Е' и Т7' —такие точки лучей АВ и АС, что АЕ' =DE и
AF'^DF. На основании СУ С имеем
AAE'F'c^ADEF.
Следовательно, L AE'F' ^ /_Е. Так как Z£=Zj8, to
Рассмотрим два случая.
1°. Если Е' = В, то /\AE'F' и /\АВС совпадают. В этом
^Учае Δ А ВС ^ Д DEF и
АВ АС
DE ~~ DF >
и&> каждое из этих отношений равно единице. (Почему?)
2°. Если точка Е' отлична от В, то прямые E'F' и ВС
параллельны. (Почему?) По основной теореме о пропорциональности
АВ _ АС_
АЕ' " AF' '
363

Так как АЕ' = DE и AF' = DFy то отсюда следует, что
АВ
DE
АС
DF
а это нам и требовалось доказать.
Напомним, что в силу следствия 9.13.1 конгруэнтность двух
углов одного треугольника соответствующим углам другого
треугольника влечет и конгруэнтность третьего угла первого
треугольника третьему углу второго треугольника. (Разумеется, это
связано с тем фактом, что сумма мер углов любого треугольника
равна 180.) Отсюда вытекает
Следствие 12.3.1 (У У-следствие)
Дано соответствие между двумя треугольниками. Если два
угла одного треугольника конгруэнтны двум соответствующим
углам другого треугольника, то это соответствие является подо-
бием.
Теперь мы можем доказать более сильный вариант основной
теоремы о пропорциональности, оправдывающий замечание,
сделанное в начале предыдущего параграфа (на стр. 373).
Следствие 12.3.2
Если прямая, параллельная одной стороне треугольника,
пересекает две другие его стороны в различных точках, то она отсекает
треугольник, подобный данному треугольнику.
Доказательство. Z. ADE
и Z. В являются соответственными а
углами, образованными секущей
АВ с параллельными прямыми DE
и ВС\ потому они конгруэнтны.
Итак, Z, ADE ^ Z. В. Поскольку
L Л= L А, то из УУ-следствия
вытекает, что
/\ADE~/\ABC.
Задачи к § 4 (часть 1)
1. Дано: Рисунок, где AC || BD.
Требуется доказать. 1°.
Δ АСЕ ~ Δ BDE.
2". AE-ED = CE-EB.
364

2. Дано: Трапеция PQRS, где SR\\ PQ;
середины (/ и V сторон SR и PQ;
диагональ SQ,
Требуется доказать, US · MQ =
= KQ · MS.
3 Дан рисунок, где /4D=14, £D=12,
£С=15 и £Я = 4. Найдите ЛС, Л£ и
АВ.
4. B_&GHK имеем QK = HK, PR ± GK и
~PQ ± НК- Докажите, что
GR-PQ = PR-HQ.
5. Докажите следующую теорему:
Любые две соответствующие высоты
подобных треугольников относятся как
соответствующие стороны.
6. L С — прямой угол в Δ ЛВС и CD-
высота, проведенная к гипотенузе.
a) Назовите хотя бы один угол,
конгруэнтный Ζ АСВ.
b) Назовите угол, конгруэнтный L ζ.
c) Назовите треугольник, подобный
Δ ABC.
Запишите подобие между ними.
7· На этом рисунке RQ ± PQ, PQ 1 РТ
ST I PR. Докажите, что
ST-RQ = PS.PQ.

8. Дан рисунок. Выразите χ через ctt
b и с.
9. На этом рисунке Π DEFG — квадрат
и Ζ. С —прямой угол.
Докажите: R д ЛШ ~ Δ ^С/7.
2о. &ADG~ &FEB.
3°. ad-eb = dg-fe.
40. de=Vad-eb.
10. Докажите следующую теорему:
Любые две соответствующие
биссектрисы подобных треугольников от-
носятся как соответствующие сто-
роны.
И*. Дан рисунок, где Ιχ\\12 и отрезки
АР, BQ, CR пересекаются в точке К.
a) Назовите три пары подобных
треугольников и запишите три
соответствия подобия.
b) Докажите, что
АВ АС ВС
PQ ~~ PR ~~ RQ·
12*. Дан рисунок с помеченными на нем
перпендикулярами.
a) Докажите, что Δ BFC ~ Δ ADC.
b) Докажите, что
BF =
AD* ВС
AC
с) Докажите, что
АС
BE
АВ
CD
АС
AD_ _ВС_
АВ^ АС ' АВ
Ε " 0
13*. Дан параллелограмм ABCD с диагональю АС. Прямая, проходящая
через 5, пересекает диагональ АС в точке Е, сторону DC в точке G и
прямую AD в точке F. Докажите, что
1°. AAEF~/\CEB-,
2°. ЕВ есть среднее геометрическое EG и EF.
366

<4*+. На этом рисунке каждый из отрезков РА>
QB и RC перпендикулярен отрезку АС.
а) Дополните.
дялс~д... и
AABQ>
b) Что правильно:
'Δ.
= — или — =
c) Что правильно:
d) Покажите, что
т-\-п'
т
η
т
т-\-п
1 + 1 = 1
χ у ζ
15*+. «Первый человек может выполнить работу за 6 часов, а второй ту же
работу может выполнить за 3 часа. За сколько часов они выполнят работу,
если будут работать вместе?» На этот вопрос можно ответить, решив
уравнение
± + 1 = ±
Решите это уравнение геометрически. (Указание. См. задачу 14.)
Конкурсная задача
Вот часто встречающаяся задача об электрических цепях. Цепь состоит
из двух проводов с сопротивлениями R1 и R2, соединенных параллельно. Чему
равно общее сопротивление цепи?
*1
<
Ч h
Сопротивление R цепи определяется из равенства
= 1 + 1.
Ri /?2
Пользуясь этим равенством, выразите R через Rt и R2.
Для нахождения R по известным Rt и R2 пользуются следующей схемой 1).
j~fa трех лучах, проведенных, как показано ниже, нанесены числовые шкалы.
*\ значениям Rt и R2 на двух внешних шкалах прикладывают линейку,
и в точке пересечения этой линейки с третьей шкалой читают значение R.
) Геометрические схемы такого рода, позволяющие геометрически опреде-
ять значение неизвестной величины по данным, известным нам, называются
^мограммами.
367

О 2 4 6 δ 10 ^12
Например, если Rl==\2 и #2 = 6, то # = 4; если ^=10 и Я2=10, то /? = 5.
a) Найдите R, если дано, что R1 = 4 и /?2= 12; /?х —6 и R2~3'> /?ι = 7 и /?2 = 7.
b) Пользуясь следующим рисунком, объясните, почему описанная выше схема
дает правильный результат.
Следующая теорема удобна и легко доказывается·
Теорема 12.4
Если Д ЛВС ~ Δ DEF и Δ DEF ^ Δ GHJ, то Δ ABC — Δ GHJ.
b e e
Это сразу вытекает из определений конгруэнтности и подобия.
Теорема 12.5 (СУС-теорема о подобии)
Дано соответствие между двумя треугольниками. Если две стороны одного
треугольника пропорциональны соответствующим двум сторонам другого
треугольника и заключенные между ними углы конгруэнтны, то это соответствие
является подобием.
363

Другая формулировка. Даны Δ ABC и Δ DEF и соответствие
ABC*-* DEF.
Если
и
то
АВ
АС
DE DF
LA^LO%
Δ ABC ~ Δ DEF.
Доказательство. 1°. Пусть Е' и Τ7' —такие точки лучей АВ и АС,
что AE'^DE и AF' = DF.
На основании СУС имеем
Δ AE'F' ^ Δ DEF.
Следовательно,
АВ АС
АЕ' AF' *
2°. По теореме 12.2 (обратной к основной теореме о пропорциональности)
ffi'wUc.
3°. Следовательно, Δ Β^ Δ AE'F'. (Почему?)
4°. Так как L A Q^ L Л, то из УУ-следствия вытекает, что
Δ АВС~ A AE'F'.
5°. Так как Δ AE'F с^± Δ DEF, из теоремы 12.4 вытекает, что
Δ ABC ~ Δ DEF,
а это нам и требовалось доказать.
В заключение мы докажем теорему, в известном смысле обратную УУУ-
теореме о подобии.
Теорема 12.6 (ССС-теорема о подобии)
Дано соответствие между двумя треугольниками. Если соответствующие
стороны треугольников пропорциональны, то это соответствие является
подобием.
Другая формулировка. Даны /\АВС и /\DEF и соответствие
Если
ABC*r->DEF.
АВ
DE
АС
DF
ВС
EF
Δ ABC ~ Δ DEF.
369

Доказательство. Пусть, как обычно в этой главе, £' и F'— такие
точки лучей АВ и АС, что AE' = DE и AF'~DF.
Утверждения
Аргументы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
ЛБ
ЛС
ВС
DE
АЕ'--
АВ
АЕ'
~ DF ~ EF *
:D£; AF' = QF.
AC
" AF'·
Δ Л^
Δ ЛБС
E'F'
ВС
E'F
LA.
~ Δ Л£'£\
АЕ'
--ВС
АВ *
ЛЯ'
ЛБ
Р£
ЛБ *
E'F'^EF.
Δ АЕ'Р ^ Δ D££
AABC~ADEF.
ВС
DE
АВ
8. EF = BC
9.
10.
11.
Дано.
Дано.
Подстановка.
Тождество.
СУС-теорема о подобии.
Определение подобия.
Утверждения 2 и 6.
Утверждение 1.
Утверждения 7 и 8.
Утверждения 2, 9 и CQC.
Утверждения 5, 10 и
теорема 12.4.
Задачи к § 4 (2 часть)
1. Для каждых двух треугольников (см. рис. а) — з)) укажите, подобны ли
они, и если подобны, то на основании какой теоремы или определения.
7 i)
370

з)
2 Для каких из следующих теорем о подобии нет аналогичных теорем о
конгруэнтности: СУС, ССС, УУУ, УУ?
3. Докажите следующую теорему:
Любые две соответствующие медианы подобных треугольников относятся
как соответствующие стороны.
4. Дан рисунок, где
АЕ _ BE
ЕС ED '
Докажите: К Δ^ΑΕΒ^ A CED.
2о. АЕ || DC.
5. Докажите, что если два равнобедренных
треугольника имеют конгруэнтные углы при
вершине, то они подобны.
6. Могут ли два треугольника быть подобны,
если
a) два угла одного из них имеют меры 60
и 70, а два угла другого имеют меры 50
и 80;
b) два угла одного из них имеют меры 45
и 75, а два угла другого имеют меры 45
и 60;
c) один из них имеет угол с мерой 40 и две
стороны длины 5, а другой имеет угол
с мерой 70 и две стороны длины 8;
d) один из них имеет стороны длины 5, 6
и 9, а другой —периметр 8 420 000?
'< Докажите, что PQ \\ АВ (рис. второй снизу).
• На рисунке х, у и г—длины отрезков
^β> ΜΑ и МС.
a) Какой должна быть длина отрезка MD,
чтобы треугольники были подобны?
b) Если г = 2*, то будет ли т L D = 2m L A7
ό7\

9. На_этом рисунке Δ ADC ~ Δ PSR, CD
и RS — медианы. Докажите, что Δ ЛВС ~
— Δ PQR.
10. Три прямые, имеющие общую точку Р,
пересекают параллельные плоскости Ε
и F соответственно в точках R и /<\ S
и Μ, Τ и Н. Докажите, что Δ ΗΜΚ~
— Δ TSR, если К Ρ = 4, MP = 6, ЯР = 7,
#Р=10, SP==15 и 77>=17,5.
11+. Если следующее утверждение верно,
то докажите его; если оно неверно, то
приведите контрпример.
Дано соответствие между двумя
треугольниками. Если длины двух сторон
одного треугольника пропорциональны
длинам соответствующих сторон другого
треугольника, а угол, противоположный
одной из этих сторон, конгруэнтен
соответствующему углу, то треугольники
подобны.
12+. На этом рисунке PQ = PR и PQ \\ АС.
Какие из следующих утверждений верны:
а)
с)
ВР
PQ
АС
PQ
Ь)
ВР
ВС
PR
АС
L PBQ g* L СВА
ВС
ВР
ВС ~ АС
и Δ PBQ ~ Δ СВА;
ВР PR
-ВС=Ж> LPB^^LCBA
и Δ PBR ~ Δ СВА7
Конкурсная задача
О — середина стороны АВ в Δ ABC, a E — такая точка стороны АС, что
\Е > ЕС. Прямые DE и ВС пересекаются в точке F. Докажите, что FB · СЕ ==
== FC · Ε А. (У к а з а н и е. Пусть прямая, проходящая через С и параллельная
АВ у пересекает отрезок EF в точке Р.)
372

§ 5. ПОДОБИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Теорема 12.7
Высота, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного
треугольника, делит этот треугольник на два ' треугольника,
подобных друг другу и исходному треугольнику.
Другая формулировка.
Пусть Δ ABC — прямоугольный
треугольник с прямым углом С и
пусть CD — высота, опущенная из
С на А В'. Тогда
Д ACD ~ Δ ABC ~ Δ CBD.
(Заметим, что в данном случае вторая формулировка является более
полной, чем исходная формулировка теоремы, так как здесь
объясняется, какие именно соответствия между треугольниками
являются подобиями. Заметим также, что из рисунка легко усмотреть
(и запомнить), какими должны быть эти соответствия. В
соответствии между /\ACD и /\АВС мы должны иметь А*-+А,
поскольку £ А — общий угол этих двух треугольников. Мы должны
также иметь D<r+Cy потому что D и С — вершины прямых углов
этих треугольников. Наконец, мы должны иметь C^-^β, так как
вершине С больше не во что переходить. Таким образом, мы
получаем соответствие ACD^^ABC. Аналогично и для второго coqt-
ветствия ABC*r+CBD.)
Доказательство. Очевидно, Ζ d = Ζ ^, так как оба эти
угла —прямые. Кроме того, Ζ А = Ζ А. Таким образом, в
соответствии ACD++ABC два угла одного треугольника конгруэнтны
соответствующим углам другого. На основании УУ-следствия имеем
AACD~^ABC.
Вторая половина теоремы доказывается точно так же: поскольку
^ ^ = Ζ с и Ζ β = Ζ β> то УУ-следствие дает
ААВС~ ACBD.
Теорема 12.8
Даны прямоугольный треугольник и высота, проведенная из
вершины его прямога угла.
1 · Высота есть среднее геометрическое отрезков, на которые
0на делит гипотенузу1).
тов г 3Умеется> здесь речь идет о длине этих отрезков, как и о длине кате-
> ипотенузы и высоты (см. замечание перед теоремой 11.1).
АО В
373

2°. Каждый катет есть среднее, геометрическое гипотенузы
и отрезка гипотенузы, смежного с этим катетом.
Другая формулировка. Пусть Д ABC — прямоугольный
треугольник с прямым углом С и пусть CD — высота, проведенная
из вершины С. Тогда
с
(1)
АР
CD
CD
BD '
AD
AC
BD
ВС
AC
AB
ВС
ΒΑ
Доказательство. На основании теоремы 12.7 имеем
AACD~ACBDy (1)
&ACD~&ABC, (2a)
/\CBD^/\ABC. (26)
Соотношения, выписанные выше,— это просто
пропорциональности пар соответствующих сторон подобных треугольников.
Задачи к § 5
(Замечание. Выражения, содержащие радикалы, следует приводить к
наиболее простому виду.)
На этом рисунке CD _]_ АВ и Π CFDE —
прямоугольник. Выпишите все подобия
для треугольников, подобных ААВС. (Не
забудьте, что соответствие между
треугольниками должно правильно
указывать пары соответствующих вершин.)
2. На этом рисунке CD — высота,
проведенная к гипотенузе Δ ABC.
a) Дано, что г = 4 и s = 9. Найдите h.
b) Дано, что г = 7 и s = 28. Найдите h.
c) Дано, что г = 9 и s = 3. Найдите а.
а) Дано, что г = 7 и s = 21. Найдите Ь.
е) Дано, что г?=-У?> и s= 12. Найдите
//, а и Ь.
374

3. На этом рисунке RS — высота, проведенная
к гипотенузе PQ в A PQR.
a) Дано, что т = 27 и /г = 3. Найдите
α, ρ и q.
b) Дано, что т = 24 и /г = 6. Найдите
а, р к q. __ __
c) Дано, что т = У\8 и /г = К8. Найдите
α, ρ и <7-
d) Дано, что р=15 и /г=9. Найдите т
и <7-
e) Дано, что а = 8 и т = 16. Найдите
пу ρ я q.
4*. На этом рисунке АК — высота,
проведенная к гипотенузе Δ ЛВС.
a) Дано, что ё = 5 и /г=15. Найдите
/, Ъ и с.
b) Дано, что 6 = 41/3" и 5=4. Найдите
/, /г и с. __
c) Дано, что с = 6)/2 и б = 4. Найдите
/, Ъ и /г. _
d) Дано, что 6 = 3 ]Λθ и /=13. Найдите
е, h и с.
e) Дано, что Ъ=/ = 8. Найдите е, h и с.
5. Высота, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного
треугольника, делит гипотенузу на два отрезка длин г и s. Докажите, что площадь
треугольника равна произведению среднего геометрического чисел г и s на
их среднее арифметическое.
6. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если дано, что высота,
проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки длин 9 и
16; длин 7 и 21.
7. Теорема Пифагора. В § 3 гл. 11 мы доказали теорему Пифагора,
опираясь на формулы для площадей. Теорема 12.7 наводит на мысль о
другом доказательстве этого важного соотношения.
На этом рисунке L АС В —-прямой угол и CD— высота. По теореме 12.7
a = Ycs и b = Ycr. Считая это первым пунктом доказательства того, что
а2 + 62=с2, доведите доказательство до конца.
8. Дан Δ ABC, у которого CD есть высота, проведенная к гипотенузе ~АВ.
Докажите, что
ВС* — A&=BD* — Д£)2ф
9*.
10.
Q р к
Пусть Q P##Q —прямоугольник и HP _]__ GK* Докажите, что
suprhq=Vgq-qh.hr.rk.
Δ ABC — прямоугольный треугольник,__причем С — вершина прямого угла.
иссектриса ζ В пересекает катет АС в точке D, а биссектриса внешнего
гт^а с веРшиной В пересекает прямую АС в точке Е, Чему равны длины
Ст<>рон А ЛВС, если £?D = 15 и Я£ = 20?
375

§ 6. ПЛОЩАДИ ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Если даны квадрат со стороной а и квадрат со стороной 2а, то
легко видеть, что площадь второго квадрата в четыре раза больше
площади первого: (2а)2 = 4а2. (Это легко усмотреть также и
геометрически, не пользуясь никакими формулами для площадей.) Вообще
если первый квадрат имеет сторону а, а второй — сторону ka, то
отношение их площадей равно k2, так как
(kaf __ k*a* _ , 2
а* — Φ —R ·
Для подобных треугольников имеет место аналогичный результат.
Теорема 12.9
Если два треугольника подобны, то отношение их площадей
равно квадрату отношения любых двух соответствующих сторон.
Доказательство. Дано» что ДАВС^Д А'В'С'. Пусть
площади этих треугольников равны Sx и 52. В обычных обозначениях
имеем
Пусть k — общее значение этих трех отношений. Мы хотим
показать, что
-2 — Ь2
Пусть BD и B'D' — высоты этих двух треугольников,
проведенные из вершин В и В', a h и ti — их длины. Поскольку Δ АВС^
~&А'В'С, то Ζ Α^ Ζ А'. Кроме того, Z. ADBg* L A'D'B',
так как оба эти угла —прямые. Поэтому из УУ-следствия
вытекает, что
AABD~&A'B'D'.
Из последнего подобия имеем
hL — *1_ ь
376

(ведь соответствующие стороны подобных треугольников
пропорциональны). Отсюда следует
Но
Поэтому
b' = kb, h'^kh.
S^-bh, S2 = \b'h'.
~brhr^\(kb){kh)^~k2bh
что и требовалось доказать.
^2 __ А2
Si""* ·
Задачи к § 6
1. Чему равно отношение площадей двух подобных треугольников,
шие стороны которых имеют соответственно длины 3 см и 4 см?
2. На этом рисунке £А^ Δ А' и Ζΰ^
^Zi5'. Чему равно отношение
площадей изображенных треугольников, если
Х = Ь и *' = 7? если у = 4 и у' = ъУЪ?
если * = 6, ί/ = 2|Λ) и */' = *?
3. Сторона одного из двух подобных тре- д
угольников в 5 раз больше
соответствующей стороны другого. Чему равна"
площадь большего треугольника, если
площадь меньшего равна 6 кв. см?
4. G — середина стороны PR, а Я —середина
стороны QR в APQR. Чему равно
отношение 5
?Q PQHG'
AGHR
S&PQR?
*AGHR
5. Площади двух подобных треугольников равны 16 и 25. Чему равно
отношение длин любых двух соответствующих сторон?
6· Площадь большего из двух подобных треугольников в 9 раз больше
площади меньшего. Чему равна длина стороны большего треугольника, если
соответствующая сторона меньшего имеет длину 5 см?
7. Площади двух подобных треугольников равны 144 и 81. Чему равно
основание меньшего треугольника, если соответствующее основание большего
равно 30?
8. О —такая точка стороны^ЛС в Δ ABC, что AD = 2CD, a E — такая точка
стороны ВС, что DE\\AB. Сравните площади Δ CDE и Δ ABC. Чему равна
*&авс> если SDABED = №
377

9. Δ ЛВС и Δ Λ 'В'С —
равносторонние треугольники. Высота
Δ Л'В'С имеет ту же длину,
что и сторона Δ ЛВС.
Докажите, что
^Δ А'В'С — ~3*Α ABC·
10. Какую длину должна иметь
сторона равностороннего тре·
угольника, для того чтобы его
площадь была вдвое больше
площади равностороннего
треугольника со стороной дли- р
ны 10?
Q Q
11. Дано: Π PQRS и D P'Q'R'S' с изображенными на рисунке пометками.
Δχ^Δχ', Ly^=±Ly\
a b с
Требуется доказать.
5D P'Q'R'S'
=k*.
5D PQRS
12*. Два куска проволоки равной длины согнуты, один в форме квадрата, а
другой в форме равностороннего треугольника. Чему равно отношение
площадей областей, ограниченных этими кусками проволоки?
13*. CD —высота Δ ЛВС, проведенная из вершины В. Требуется найти
прямую /, параллельную Л В и отсекающую треугольник, подобный Δ ЛВС,
площадь которого составляет половину площади Δ ЛВС. Какой должна
быть длина отрезка СМ, если Λί —точка пересечения / и CD и если CD=1?
14+. Теорема Пифагора. Теорема 12.8 позволяет доказать теорему
Пифагора еще одним способом. Вам нужно привести обооснования всех
утверждений этого доказательства.
На рисунке Δ ЛСВ —
прямой и CD— высота, проведенная
из вершины С.
1. S
Δ ABCZ
2. 1 =
>AACD
5Δ ACD+SACBD<
^Δ CBD
3Δ ABC
>Δ ABC
3. AACD*
4. 1
Δ ЛВС~
5С\2
АВ)
АВ* = ЛС2-\-ВС\
(Ш+
Δ CBD.
или с2= а2 + Ь\
378

ι с* Дан тетраэдр ABCD с основанием Δ ЛВС.
Плоскость, параллельная основанию,
пересекает грани тетраэдра по Δ RST. DQ —
перпендикуляр, опущенный из D на плоскость
Δ АВС,к DQ пересекает данную плоскость
(параллельную плоскости Δ ABC) в точке Р.
Доказать, что
bARST
5Δ ЛВС
DP\2
DQ
Конкурсная задача
Треугольный участок земли, как указано
на рисунке, имеет стороны длиной 39 ж, 42 м
и 45 м. Длина перпендикуляра, опущенного из
вершины С на 42-метровую сторону ~АВ, равна
36 м. Забор, построенный перпендикулярно
42-метровой стороне, делит площадь участка на
две равные части. На каком расстоянии от
вершины А должен находиться принадлежащий
~АВ конец забора?
§ 7. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ОТНОШЕНИЯ
Рассмотрим два прямоугольных
треугольника, имеющих по конгруэнтному
острому углу. Из УУ-следствия мы
знаем, что Д ABC ~ А'В'С.
Следовательно,
а
а7
V
с
с' *
Из этих равенств легко вывести, что
ъ ν
с'
Таким образом, отношения а/с, Ыс и α/b не зависят от размеров
треугольника; они определены, как только известна мера £ Л.
Эти отношения называются тригонометрическими отношениями.
(Тригонометрия—греческое слово; тригон — значит «треугольник»,
так что тригонометрия—это измерение треугольников).
Отношение а/с называется синусом £ А, что записывается так:
sin £ А = -.
379

Если т Ζ. A — rt то можно также писать
с
Эти записи имеют смысл, поскольку отношение а/с определено]
если мы знаем £ А или г. Ί
Аналогично, отношение Ь/с называется косинусом £ А, и мы!
пишем
cos Л А = ·
или cos г = —.
с
Отношение а/Ь называется тангенсом Z. А, что записывается так·
Итак,
tgZ^ = f, или tgr°
sin / Л= sinr° = —,
cos £ A = cosr° = —,
tgZ~4 = tgr° =
fc ·
Для некоторых углов и некоторых
чисел г тригонометрические отношения
легко подсчитать. Пусть, например,
г = 45. Так как тригонометрические
отношения от размеров треугольника не
зависят, то мы можем взять любой
прямоугольный Д ABC с углом в 45°
при вершине Л. Этот треугольник будет
равнобедренным, причем а = Ь. Если мы
примем, что α = 6=1, то по теореме
Пифагора £ = ]/"2, как это показано на
рисунке. Теперь мы имеем
sinZ4 = sin45° = £=^ = ^f,
cos £ А = cos 45°
с
Ь
1
1
V2
• V2 2
tgZA = tg45°=£ = !=l.
b = 1
(Вопрос. Изменились ли бы тригонометрические отношения, если
бы мы взяли а = 6 = 3? Почему да или почему нет?;
Случай /* = 30 почти столь же прост.
380

Из теоремы 9.27 мы знаем, что # = -|-. Так как размеры тре-
гольника роли не играют, мы можем, как показано на рисунке,
^читать, чтос = 2 иа=1. Тогда по теор'еме Пифагора fc2 = c2 — α2=
^ 4 1=3. Мы можем теперь выписать значения:
1
sin 30° = — ==-2",
COs30 = у = —
^30° = | = РТ
»
Кз-
— 3
\а«1
(Предостережение. В выражениях sinr°, cosr°, tgr° мы
пользуемся знаком ° градуса. Мы это делаем по той причине, что
позднее вы будете пользоваться другой единицей измерения углов,
называемой радианом. Чтобы знать, чему равен синус данного
числа, надо знать, в каких единицах измеряется угол.)
Задачи к § 7
А 9 С
Ρ в R
Даны прямоугольные треугольники с указанными на рисунке длинами
сторон. Найдите следующие тригонометрические отношения:
a) sin ζ A; b) cos Ζ А\ с) tg Ζ A\ d) sin Ζ Ό\
e) sin ζ Ν) f) cos Ζ D; g) tg Ζ N\ h) tg Ζ P\
0 cos ζ Ρ; j) cos Ζ N\ k) tg Ζ D\ 1) sin Ζ E.
• Даны треугольники с пометками. Найдите следующие тригонометрические
•отношения·
а) cos ζ G) b) sin Ζ H\ с) tg Ζ Τ; ά) sin Ζ W\
e) cos ζ Γ; f) tg ζ G; g) sin Ζ X; h) cos Ζ К.
381

3. Гипотенуза АВ прямоугольного Δ ABC имеет длину 25 см.
— 4
a) Какую длину имеет катет ВС, если sin Ζ Л = -=-?
о
b) Чему равен tg Z Л, выраженный в десятичной дроби, если cos Ζ A = 0,60?
c) Какую длину имеют катеты АС и ВС, если tg Ζ Л = 3^=-?
4. В Δ GKM имеем Ш = 30, G/C = 50 и cos Z 0 = 0,80. Найдите высоту, про.
веденную из вершины М, и площадь Δ GKM.
20,
JB
5. В трапеции ABCD сторона DC \\ АВ, AD = 20 и 5С = 26. Чему равна высота
трапеции и чему равен sin Z В, если sin Z A = 0,5?
6. Найдите sin 60°-, cos 60^ и tg60s.
7. Покажите, что sin 30ζ = cos 60^,
8. Как связаны tg 60^ и tg 30°?
9. В Δ PQR имеем sin Ζ Ρ = у V^2" и cos Z Q = -g-l/3". Найдите m Z R.
10. Β Δ Л£С имеем tg Ζ Л = КЗ~ и tg Ζ С = УТ/3. Найдите т L В.
И. В Δ GHK имеем tg Z tf = 2cos Z G = l. Найдите m Ζ /Ο
12. Диагональ 5D параллелограмма ABCD
перпендикулярна стороне АВ. Чему равна So abcd,
если Л£ = 5 и tgZ Л = 1?
13. Докажите следующую теорему:
Синус острого угла равен косинусу его
дополнения.
14. Докажите следующую теорему:
Произведение тангенса острого угла на
тангенс его дополнения равно 1.
15+. покажите, что tg Z A — —? для любого острого Ζ А.
COS Ζ π
16+. Покажите, что (sin Z /4)2 + (cos Ζ Л)2=1 для любого острого Ζ Л.
17+. Покажите, что площадь равностороннего треугольника со стороной длины 1
равна (sin60^)(cos60^).
Конкурсная задача
Докажите следующую теорему:
Дан Δ ABC с острым Ζ Л. Тогда а2 = о2 + с2 — 2bc cos Z Л.
382

§ 8. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ.
ПРИМЕНЕНИЕ ТАБЛИЦ
В предыдущем параграфе мы вычислили синус, косинус и
тангенс углов в 30°, 45° и 60°. Они были выражены через j/*2 и
i/З. Разложения в десятичную дробь (с тремя верными
десятичными знаками) этих чисел и чисел, им обратных, имеют вид:
1 = уТ
Уз з
1/2 = 1,414;
/3 = 1,732;
: 0,707;
= 0,577.
Поэтому
sin 30° = у = 0,500,
с05зо*=^=Цр
: 0,866,
tg 30° = р^ = ?^- = 0,577.
Подобным же образом можно подсчитать тригонометрические
отношения для углов в 45° и в 60°. Так мы получаем следующую
таблицу:
Угол
30
45
60
Синус
0,500
0,707
0,866
Косинус
0,866
0,707
0,500
Тангенс
0,577
1,000
1,732
Это— все тригонометрические отношения, которые мы пока
умеем вычислять. С помощью более сложных методов можно
вычислить синус, косинус и тангенс любого угла с какой-угодно
точностью. (Фактически такие таблицы составляли еще древние
греки, которые использовали эти таблицы в астрономии.) На
стр. 411 вы найдете таблицу значений тригонометрических
отношений для углов, мера которых составляет целое число
градусов. В этой таблице значения приведены с точностью до трех
десятичных знаков, что вполне достаточно для наших целей.
Такие таблицы имеют много важных приложений. Допустим,
например, что землемер хочет определить расстояние между двумя
гочками, лежащими на противоположных сторонах пруда.
Измерь расстояние ВС непосредственно он не может. Но он может
измерить расстояние АВ и меру угла г. Предположим, он нашел,
что АВ = 305м и г = 32.
383

Так как
то
ВС = АВ sin Л
Землемер смотрит в таблицу и
находит, что sin 32° = 0,530. Поэтому А
ВС = 305-0,530= 161,65 м.
Землемеры, которым приходится решать такого рода задачи,
решают их описанном методом.
Эти таблицы можно применять и для других типов косвенных
измерений. Один способ, позволяющий измерить, высоту флагштока,
не влезая на него, состоит в том, чтобы отмерить какое-либо
расстояние, скажем 30 м, от основания флагштока, а затем измерить
угол, обозначенный на рисунке буквой Л. На нашем рисунке
отрезок ВС изображает флагшток, а т /_ А = 22.
Так как
\а 92° = —
lgzz AC
то
BC = 4Ctg22° = 30.0,404= 12,12 м. ~ 30 „
Заметим, что в такого рода задачах мы всегда можем быть
уверены, -что арифметические действия, которые потребуется
произвести, будут очень простыми. От основания флагштока мы
можем отмерить какое угодно расстояние, и таким образом выбрать
точку Л, для которой расстояние АС будет равно целому числу
метров.
Задачи к § 8
1. Пользуясь таблицей тригонометрических отношений, запишите следующие
числа в виде десятичных дробей:
a) sin 12* b) cos 35?; с) tg 20е?; d) cos 66°;
e) sin 50е?; f) cos 40°; g) tg 82?; h) sin 3s;
i) tg 3s; j) cos 60°-.
2. Найдите т L А, если дано, что
a) sin Ζ Α =0,309; b) cos L A =0,208;
c) tg L A =0,306; d) cos L Л = 0,961;
e) tg Ζ A = 2,904; f) sin L A =0,961;
g) sin Ζ A =0,454; h) cos L A = 0,731;
i) tg L A =8,144: j) tg L A =0,554.
384

Дано что гипотенуза Л В в Δ ABC имеет
длину 20'ж и что m Ζ Л=38. Найдите ВС и АС.
. ζ С —прямой угол в Δ Л БС, т L А = 42 и
ЛС = 7· Найдите длину катета 5С.
5. В APQ# имеем: т L Р = 54, Я/? = 15 и PQ =
' = 18. Найдите длину высоты, проведенной из
вершины R; высоты, проведенной из
вершины Q.
6. В AGHK имеем: т L G = 70, G/C=12 и
' GH = 20. Найдите высоту, проведенную из
вершины К, и площадь Δ GHK.
7 Вычислите площадь А А ВС, если дано, что
*ЛБ = 30, БС=16 и m Z Б = 47.
8. Найдите с точностью до градуса меру острых
углов треугольника 3—4—5.
9. Найдите с точностью до градуса меру острых
углов треугольника 8—15—17.
10. Основание равнобедренного треугольника имеет
длину 8 ж, а угол, противоположный
основанию,—меру 30. Вычислите длины трех высот
этого треугольника.
И. Ζ С —прямой угол в
дите ВС и АС, если,
tgZ Л = 1,111.
Δ ABC и АВ = 9. Най-
кроме того, дано, что
12х. Внимательно посмотрите в таблице тригонометрических отношений на
значения sin 53°, sin 54°, sin 55° и sin 56°. Объясните, почему хорошим
приближенным значением sin 54°30' служит 0,814. Каким было бы хорошее
приближенное значение sin 55°30'? Хорошим приближенным значением sin 54°12'
является 0,811. Почему? Найдите приближенное значение sin 54°6'.
Объясните, почему каждое из следующих чисел дает хорошее приближенное
значение:
sin 30°30' = 0,508·
sin 30?20' = 0,505;
sin 76°30'= 0,972;
sin 76°45' = 0,973.
Этот метод нахождения приближенных значений, в явном виде не
содержащихся в таблице, называется интерполяцией.
• ^ помощью интерполяции определите из таблицы приближенные значения
следующих тригонометрических отношений (см. задачу 12):
a) sin 37^30'; b) sin 65°30';
е) sin 4^20';· f) sin 45°40';
0 sm 17°30'; j) sin 41°15'.
c) sin 63,5°;
g) sin 73,4?;
d) sin 56^;
h) sin 20,5°;
385

14+. С помощью интерполяции определите из
таблицы приближенные значения
следующих тригонометрических отношений (см.
задачу 12):
a) cos33°30'; b) cos 36,6°:
с) cosl8°24'; d) tg 31°30';
e) tg42°20'; f) cos61°40'; g) tg 58,5°;
h) cos 67° 15';
i) tg66°30'; j) tg63°45'.
15. При прокладке нового шоссе инженер вбил на противоположных берегах
реки два столба А и В, чтобы отметить место, где будут расположены
береговые опоры моста. Затем, исходя из точки О, находящейся на расстоянии
30 м от точки В и такой, что OB J_ АВ, он измерил L А ОБ. Чему равно
расстояние от А до В, если т L ЛОБ = 73?
16. Лестница на пожарной машине может быть выдвинута до максимальной
длины 20 ж, а максимальный угол ее наклона может составлять 70°.
Основание лестницы находится на грузовике на высоте 2 м над землей. Какой
высоты над землей достигнет лестница?
17. Лесничий следит за пожарами с наблюдательной вышки, построенной на
высоком холме. Основание вышки расположено в 726 м над большей частью
окружающей территории, а высота самой вышки равна 24 м. Если
лесничий заметил огонь под углом 7° к горизонту, то на каком (с точностью до
1 км) расстоянии от вышки возник пожар?
18. Самолет приближается к аэропорту на высоте 7000 м. (Предполагается,
что аэропорт находится почти на уровне моря.) Пилот имеет предписание
производить снижение для посадки под постоянным углом 6°. На каком
(с точностью до 1 км) расстоянии от посадочной полосы должен он начать
снижение?
19*. Высокая радиомачта укрепляется
длинными тросами, как трос АВ на рисунке.
Какую длину имеет трос, если точка А
находится на расстоянии 75 м от
основания мачты и если т £ ВАС — 59? На
каком расстоянии от земли трос
прикреплен к мачте? Какова высота мачты
DC, если т L DAC=7\?
386

Конкурсная задача
qq — высота Δ А ВС, проведенная из
вершины С, и АВ = с.
а) Покажите, что высота η определяется из
формулы
П-С \ga° + tgb° '
м Вычислите h, если дано, что с=68, α = 35 ^
и 6 = 45.
§ 9. ФОРМУЛЫ, СВЯЗЫВАЮЩИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ОТНОШЕНИЯ
В прямоугольном треугольнике
(см. рисунок) имеем:
а* + Ь* = (*.
Деля на с2, получаем
Так как
*)·+$■-'·
sin Ζ. Α = — и cos Z Λ = —
*~ С С
то мы приходим к следующей теореме:
Теорема 12Л0
Для любого Ζ. А имеет место формула (sin £ А)2 + (cos ^ Л)2= 1.
Обычно квадрат синуса мы обозначаем символом sin2 £ А,
поскольку так писать легче, чем (sin Л)2, и подобным же образом
поступаем в случае косинуса. В этих обозначениях последняя
формула принимает вид
sin2 Z.A+ cos2 £A = l или sin2 г° + cos2 r° = 1,
если т /_ А ==г. Это три различные записи одной и той же
формулы.
В нашем треугольнике мы имеем
Так
tgLA
как
а

Τα/ο
Ь/с*
мы приходим к следующей теореме:
387

Таблица тригонометрических отношений
г°
1°
2°
3°
4°
5°
6°
7°
8°
9°
10°
11°
12°
13Θ
14°
15°
16°
17°
18°
19°
20°
21°
22°
23°
24°
25°
26°
27°
28°
29°
30°
31е
32°
33°
34°
35°
36°
37э
38°
39е
40°
41°
42°
| 43е
44е
45°
sinr°
0,017
0,035
0,052
0,070
0,087
0,105
0,122
0,139
0,156
0,174
0,191
0,208
0,225
0,242
0,259
0,276
0,292
0,309
0,326
0,342
0,358
0,375
0,391
0,407
0,423
0,438
0,454
0,469
0,485
0,5
0,515
0,530
0,545
0,559
0,474
0,588
0,602
0,616
0,629
0,643
0,656
0,669
0,682
0,695
0,707
cos r°
1,000
0,999
0,999
0,998
0,996
0,995
0,993
0,990
0,988
0,985
0,982
0,978
0,974
0,970
0,966
0,961
0,956
0,951
0,946
0,940
0,934
0,927
0,921
0,914
0,906
0,899
0,891
0,883
0,875
0,866
0,857
0,848
0,839
0,829
0,819
0,809
0,799
0,788
0,777
0,766
0,755
0,743
0,731
0,719
0,707
tgr°
0,017
0,035
0,052
0,070
0,087
0,105
0,123
0,141
0,158
0,176
0,194
0,213
0,231
0,249
0,268
0,287
0,306
0,325
0,344
0,364
0,384
0,404
0,424
0,445
0,466
0,488
0,510
0,532
0,554
0,577
0,601
0,625
0,649
0,675
0,700
0,727
0,754
0,781
0,810
0,839
0,869
0,900
0,933
0,966
1,000
r°
46°
47°
48°
49°
50°
51°
| 52°
53°
54°
55°
56°
57°
58°
59°
60°
61°
62°
63°
64°
65°
66°
67°
68°
69°
70°
71°
72°
73°
74°
75°
76°
77°
78°
79°
80е
81°
82°
83°
84°
85°
86°
87°
88°
89°
sin r°
0,719
0,731
0,743
0,755
0,766
0,777
0,788
0,799
0,809
0,819
0,829
0,839
0,848
0,866
0,866
0,875
0,883
0,891
0,899
0,906
0,914
0,921
0,927
0,934
0,940
0,946
0,951
0,956
0,961
0,966
0,970
0,974
0,978
0,982
0,985
0,988
0,990
0,993
0,995
0,996
0,998
0,999
0,999
1,000
cos r°
0,695
0,682
0,669
0,656
0,643
0,629
0,616
0,602
0,588
0,574
0,559
0,545^
0,530X
0,515
0,500
0,485
0,469
0,454
0,438
0,423
0,407
0,391
0,375
0,358
0,342
0,326
0,309
0,292
0,276
0,259
0,242
0,225
0,208
0,191
0,174
0,156
0,139
0,122
0,105
0,087
0,070
0,052
0,035
0,017
tg/
ι,ο:
1,0"
1,1
1, If
1,H
1,2^
1,2*
1,3S
1,3"
l,4r.
1,4*
1,5<
1,6(
1,6(
i,7:
1,8(
1,8*
1,8(
2,0c
%v
2,Ъ
2,3i
2,4'
2,6(
2,7'
2,9(
3,0'
3,2'
3,4*
3,7c
4,01
4,3c
4,7(
5,1'
5,6'
6,31
7,П
8,1'
9,51
11,4:
14,3(
19,0*
28,6c
57,2£
383

Теорема 12.11
Для любого Ζ А имеет место формула tg Ζ А =sin . .
В обозначениях с градусной мерой теорема утверждает, что
для любого г
tgr° =
sin Г
Наконец, рассматривая наш прямоугольный треугольник с
другой точки зрения, мы замечаем, что
sin Z B = y = cos Z A
cos Ζ. β = у = sin Ζ Л.
Так как острые углы
прямоугольного треугольника дополнительны,
то
s = m£ B = 90-r.
Теорема 12.12
Если Ζ А и Ζ. В — дополнительные углы, то
sin Z £ = cos Z Л
cos Z. B = sin Ζ. Л.
В градусной мере эти соотношения принимают вид
sin(90-r)° = cosr°,
cos(90-r)° = sinr°.
Слово косинус объясняется этими соотношениями: оно является
сокращением латинских слов complementi sinus, означающих синус
дополнения. Фактически косинус угла есть синус дополнения этого
угла.
Задачи к § 9
ίο 1с? П0М01Дью основных формул, установленных в теоремах 12.10, 12.11 и
**·Ι2, докажите следующие тождества:
1. III! __sinr°coss°
*δ «° sin s° cos r° '
2· tgr°+tgs° =
. sin r° cos s°+cos r° sin s°
cos r° cos s°

}/l-sin2r0
4. 1 —(cosr°—sin r°)2==2sin r0cosr°.
5. Котангенс угла есть единица, деленная на тангенс этого угла, т. е.
ctg L А = τ——τ.
tg Ζ Л
a) Докажите, что tg (90 — r)°=ctg r°.
b) Докажите, что ctg (90 — rf = tg r°.
1 — sin гэ _ cos r°
cos r° ~~ 1 + sin r° *
2 sin r° cos r° __ 2 tg r°
cos2 r° — sin2 r° ~ 1 — tg2r°'
я sin r° — * "t"cos r°
1 — cos r° ~~ sin r°
9. Секанс угла есть единица, деленная на косинус этого угла, т. е.
1
6.
sec L А ■■
'cos А А*
Докажите, что tg г° = sin г° · sear0.
10. l + tg2/-°==sec2r° (см. задачу 9).
11. sec г° — cos r° = tg r° sin r° (см. задачу 9).
13*.
1 — tg r° tg s° cos r° cos s° — sin r° sin s9
tg r° + tg s° sin r° cos s° + cos r° sin s* *
„. * sec r° 2 cos r° , 0 . 0
14*. -^ 5- : ~=igr° — Ctgr°.
sin r° sin r° ь *
Конкурсные задачи
a) Покажите, что
b) Покажите, что
(cos2 r° — sin2 r°)2 1 — tg2 /·°
cos4 r° — sin4 r° "" 1 + tg2 r°'
1 —ctg/° ' 1 —tg
Вопросы и задачи для повторения
1. Дополните каждое утверждение:
а) Если 5* = 8ί/, то— ==?
3 21 7 ?
Ь)Если т = 28,то т = ^.
. _ ά + b 15 Ь .
c) Если —!— = ts, то — = ?
a 12' a
d) Если 48=16£, то -| = ?
390

2. Последовательности 2, а, 6, 5, Ь и 5, 10, с, d, 9 пропорциональны.
Наймите а, Ь, с и d.
3. Найдите среднее геометрическое и среднее арифметическое каждой из
следующих пар чисел:
а) 6 и 24: Ь) 12 и 20;
с) 7,3 и 21,3; d) 4^ и 6 —.
4. Нарисуйте две фигуры, соответствующие стороны которых пропорциональны
и которые тем не менее не являются подобными.
5. Нарисуйте две фигуры, соответствующие углы которых конгруэнтны и
которые тем не менее не являются подобными.
6. В Δ ЛВС имеем НК\\ АВ.
a) Если ЛЯ = 3, В/С = 5 и С/С = 12, то С# = ?
b) Если Ж7 = 14, ЛЯ = 6 и С/С=12, то ВС = ?
c) Если СЯ=9, ЛЯ = 4 и Я/С = 3, то ЛЯ = ?
d) Если ЛЯ = 4, СН = ВК и ЯС = 48, то С# = ?
7. Стороны треугольника имеют длину 5, 8 и 11.
Подобный треугольник имеет периметр 60.
Какую длину имеют его стороны?
8. Отрезки АС и BD пересекаются в точке Я,
причем ~АВ \\~CD и ЛЯ = ЗС£. Чему равны АЕ
и ЕС, если ЛС = 21?
9. Стороны треугольника имеют длину 7, 9 и 14.
Чему равен периметр подобного треугольника,
наибольшая сторона которого имеет длину 21?
Ю. В APQR имеем AB\\QR и ВС \\ PR.
a) Если РЛ = 4, AR = 6 и PQ = 25, то BQ = 0
b) Если RC = 3y CQ = 5 и PQ = 24, то РЯ = ?
c) Если РЛ = 2, Л/? = 8 и ЯС = 3, то CQ = ?
d) Если ЯЯ = 4, 5Q = 5, Ρ/? =15 и /?Q=18,
то ЯЛ = ? и CQ = }
П. На этом рисунке □ AEFD — параллелограмм.
Перечислите все подобия между имеющимися
на рисунке треугольниками и покажите, что
AE-AD
BE-CD
= 1.

12. На рисунке L MGN ^ L HGK,
GH = 8, GK = 12, GM=10 и /CW = 3.
Докажите, что jL Η KG ^Z Λί.
13. На рисунке (второй сверху) помечены
длины отрезков. Докажите, что луч АС
является биссектрисой L DAB.
14. Высота, проведенная из вершины
прямого угла прямоугольного
треугольника, делит гипотенузу на
отрезки длины 15 и 5. Найдите длину
этой высоты и катетов треугольника.
15. Дан рисунок с пометками (третий
сверху). Найдите υ, w, х, у и ζ.
16. Каким свойством обладает Δ DEF,
если Δ ABC ~ Δ DEF и Δ DEF ~
~ Δ ACB?
17. Теннисный мяч подан с высоты 2 м
10 см и пролетел над самой сеткой,
высота которой 90 см. На каком
расстоянии от сетки мяч ударится об
землю, если он был подан от черты,
находящейся в 12 м от сетки, и летит
по прямолинейному пути?
18. Даны Δ PQR и Δ STV,
изображенные на рисунке (второй снизу). Чему
равно отношение их площадей?
19. Δ ЛВС—равнобедренный
прямоугольный треугольник с прямым ζ. Α. Ε и
D — точки, лежащие по
противоположные стороны от прямой АС,
причем Ε лежит по ту же сторону от
АС, что и вершина В, и такие, что
Δ ACD и Δ BCD являются
равносторонними. Определите отношение
площадей Δ ACD и Δ ВСЕ.
20. Сторона равностороннего
треугольника конгруэнтна высоте другого
равностороннего треугольника. Чему
равно отношение площадей этих
треугольников?
21*. Дан рисунок, где отрезки AD, HG
и ВС перпендикулярны отрезку АВ.
Докажите:
a) AH-GB = HB-DG',
b) AH-GC = HB.AG;
c) AH-BC = HB-AD.
G м
Ρ 40 Q
С
АН В
392

22*. Дано, что никакие три из точек Р, Q, R и Xju~ коллинеарны и что X
лежит вне Δ PQR. Проведем отрезки ХР, XQ и XR. Пусть А —
произвольная точка отрезка XR и пусть прямая, проходящая через А и
параллельная PR, пересекает отрезок ХР в точке 5, а прямая, проходящая через В
и параллельная PQ, пересекает отрезок XQ в точке С. Проведем отрезок
АС. Докажите, что
Δ ABC ~ Δ RPQ.
23. В Δ ABC с прямым Ζ θ
т^Л = 54 и ЛС=11.
Найдите АВ и 5С.
А В
24. Найдите с точностью до градуса меру острых углов треугольника 7-24-25.
25. Реактивный самолет взлетел с аэродрома и поднимается под постоянным
углом в 8° до тех пор, пока не достигнет высоты 7500 м. На каком
расстоянии по земле от аэродрома он находится (с точностью до 1 км)?
Конкурсная задача
Объясните, каким образом два треугольника могут иметь по 5
конгруэнтных элементов (сторон и углов) и все же не быть конгруэнтными.

-J q АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Id НА ПЛОСКОСТИ
s

§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Математика в одном отношении совершенно не похожа на
другие науки: она является единственной наукой, в которой
практически ничего не выбрасывается. Конечно, математики — это люди,
и, будучи людьми, они делают ошибки. Но ошибки отдельных
людей обычно довольно быстро обнаруживаются. В результате,
когда одно поколение делает в математике какое-либо открытие,
следующее поколение может идти к дальнейшим открытиям, не
задерживаясь для исправления того, что уже было сделано ранее.
Один из удивительных примеров этого доставляет нам тот факт,
что в то время, как физические представления древних греков
кажутся нам детскими и мало кому известными, развитая теми же
древними греками геометрия сегодня представляется столь же
правильной, как и две тысячи лет назад.
Первым большим шагом вперед в геометрии после греков
явилось создание нового метода, называемого аналитической
{координатной) геометрией. Этот метод был открыт в семнадцатом веке
Рене Декартом (1596—1650)г). Что же сделал Декарт? Как мы
увидим, он исследовал связи между геометрией и алгеброй и
показал, что каждая из них может пролить дополнительный свет на
другую. Из этой главы, представляющей собой краткое введение
в аналитическую геометрию, вы сможете увидеть, что представляет
собой этот метод и как он работает.
§ 2. СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ
Из главы 2 мы уже знаем, как вводится система координат
на прямой. Если на прямой установлена система координат, то
каждой точке прямой соответствует некоторое число, а каждому
числу соответствует некоторая точка.
Ρ
-* 1 1 1 к 1 1- 1 т.
-2 -/ 0 χ 1 \П 2
Теперь подобную же конструкцию мы осуществим на
плоскости, где, однако, каждой точке будет соответствовать не одно
число, а пара чисел. Соответствие между точками и парами чисел
задается так. Выберем сначала на плоскости прямую, которую
обозначим через Ох (О —точка этой прямой, о которой будет ска-
л J Одновременно с Декартом (и независимо от него) методы аналитической
τη?ΜΐΐρΗΗ были разработаны современником Декарта и его научным оппонен-
10л* Пьером Ферма (1601—1665).
395

зано ниже; смысл буквы χ также станет ясным из дальнейшего)
и введем на ней систему координат. Эта прямая будет называться
осью х. На рисунке обычно на оси χ рисуют стрелку, чтобы
указать ее положительное направление.
Пусть теперь Оу — прямая, перпендикулярная оси χ и
проходящая через точку О прямой 0Xi имеющую координату 0.
Установим на Оу систему координат таким образом, чтобы точка
с координатой 0 совпала с точкой О. (В силу аксиомы
прикладывания линейки сделать это можно.) Прямая Оу будет
называться осью у. Как и прежде, положительное направление на ней
укажем стрелкой. Точка О пересечения прямых Ох и Оу {осей
координат) называется началом координат. Принята для
обозначения начала координат буква О для того, чтобы напомнить, что
эта точка служит нулевой точкой каждой из осей.
1
1
-2
у
J-
2-*
1-
-} о
-1-
-2-
I
1
7
Г"
2
...г-
3
Л
4
3
2
У
1
-4 -J -2 -/ О
-Ь
-2<
-4i
Ν Ρ
Ί
\м
1 2x3 4
Теперь следующим образом можно охарактеризовать каждую
точку плоскости некоторой парой чисел. Если дана точка Р, то
мы опустим из нее перпендикуляр на ось х. Пусть основанием
перпендикуляра будет точка Μ и х — координата точки Λί на
прямой Ох. Тогда число χ называется х-координатой, или
абсциссой, точки Р. (На нашем рисунке х = 2-^.)
Затем опустим из точки Ρ перпендикуляр на ось у. Пусть
основанием этого перпендикуляра будет точка N и пусть у —
координата точки N на прямой Оу. Тогда число у называется
у-координатой, или ординатой, точки Р. (На рисунке y—lj-j
Для краткости мы указываем, что точка Ρ имеет координаты х
и у таю Ρ (χ, у) (в нашем случае имеем Py^-*, 1 у
396

Рассмотрим еще
несколько примеров. На
рисунке мы можем
прочитать:
ЛО. 3),
Рг (-2, 4),
Р, (-4, 2),
Р4(-3, -2),
Р5(-1, -4),
/>в(3, -2),
Р,(3, 1).
г—
1 *
рз I 2
Г Г 1
I
I
-4-3? -* -ΐί О
Ι -ι
I
я4
1-2
-t-
-5
"Τ
! я7
-Г---Т
-Hr4
3 и 5
л
Заметим, что порядок, в котором записываются координаты,
очень существен. Координаты (1, 3) имеет точка Pv а
координаты (3, 1) —отличная от нее точка Р7. Итак, координаты
точки образуют упорядоченную пару действительных чисел, и вы
не можете сказать, где находится точка, если не знаете, какое
число в паре чисел {х, у) стоит первым.
Резюмируем сказанное в следующих определениях:
Определение
х-коо рди на той, или абсциссой, точки Ρ называется
координата основания перпендикуляра, опущенного из точки Ρ на
ось х. у-координатой, или ординатой, точки Ρ
называется координата основания перпендикуляра, опущенного из
точки Ρ на ось у.
Если точка Ρ имеет координаты χ и у, то мы пишем Ρ {χ, у).
Подобно тому как одна прямая разбивает плоскость на две
части (каждая из которых является полуплоскостью), две оси
координат разбивают плоскость на четыре части, называемые
четвертями. Четыре четверти нумеруются в таком порядке:
У)
У*
ι
0
Ν Ρ
ж *
III
IV
397

у*.
V
♦
I
4т-*
Мы показали, что описанная нами
схема сопоставляет каждой точке Ρ
плоскости некоторую упорядоченную
пару действительных чисел. Верно ли
и обратное? Другими словами, каждая
ли упорядоченная пара (я, Ь)
действительных чисел определяет некоторую
точку? Легко видеть, что ответ здесь
будет положительным.
Восставим перпендикуляр в точке оси х9 имеющей координату
х — а. Сделаем то же самое в точке оси у, имеющей координату
у = Ь. Тогда точка пересечения этих перпендикуляров будет иметь
координаты (я, Ь).
Таким образом, между точками плоскости и упорядоченными
парами действительных чисел мы имеем взаимно
однозначное соответствие. Такое соответствие называется системой
координат. Чтобы задать систему координат, мы должны выбрать
1°. прямую 0Х, которая будет играть роль оси χ (оси абсцисс),
2°. прямую 0У, которая будет играть роль оси у (оси ординат),
3°. положительное направление на каждой из этих осей.
Как только мы это сделаем, на обеих осях будут определены
системы координат, которые, в свою очередь, определят координаты
всех точек плоскости.
В этой книге мы никогда не будем одновременно говорить
о двух системах координат. Пока мы рассматриваем одну систему
координат, каждая точка Ρ определяет некоторую упорядоченную
пару (а, Ь), а каждая упорядоченная пара (я, Ь) определяет
некоторую точку. Поэтому не будет беды, если мы будем
игнорировать различие между точками и парами чисел. Это позволит нам
употреблять такие удобные выражения, как «точка (2, 3)» и
«точка Ρ = (3, 4)».
Задачи к § 2
1. а) Укажите координаты каждой точки на
этом рисунке.
b) Какие три точки коллинеарны? Какие
они имеют координаты?
c) Назовите точки, лежащие в четверти I;
в четверти IV. ρ ψ-
2. Какие координаты имеет начало коорди- |
нат?
3. Какую ординату имеет точка (3,—5)? точка
(5,-3)? точка (— 5, 3)?
4. Рассмотрим точку С (4, 7). Какие
координаты имеет ее проекция Л на ось х? Какие
координаты имеет ее проекция В на ось у?
5. Ответьте на вопросы, поставленные в
задаче 4, для точки D (— 4, 7).
1 рз
6-1
ЧЯ,
δ -Ч \-2
-2-1
Р8 4—-44
-04-
1р|
I
I
π—г
— 2
?!
I
398

V2y -~-);для точки Ρ (a, b), где а и Ъ-
- любые действительные числа.
0)
(1, 2)
6. Назовите точку, являющуюся проекцией точки (0, 6) на ось х.
7. Назовите точку, являющуюся проекцией точки (— 1, 0) на ось у.
8. Дополните: ^-координата каждой точки оси у равна ....
9. Дополните: ^/-координата каждой точки оси χ равна ....
10. Рассмотрим точки
Л (5, 2), 5(4, —3), С (—4, 4) и D(- 3, —5).
a) Запишите эти точки в том порядке, в котором идут (слева направо) их
проекции на ось х.
b) Расположите их в том порядке, в котором идут (снизу вверх) их
проекции на ось у.
11. Прямые, проходящие через точку Ρ (5, 7) и перпендикулярные оси χ и оси у,
образуют вместе с этими двумя осями прямоугольник. Найдите его периметр.
12. Найдите периметр прямоугольника, образованного осями координат и
перпендикулярами к ним, проходящими через точку (— 4, — 2).
13. Сделайте то же, что в задаче И для точки Р( — -^у 3); для точки
p(-V2, \
14. Расстояние между какими из следующих пар точек меньше: (3, 0) и (7
или (3, 0) и (—2, 9)?
15. Расстояние между какими из следующих пар точек больше: (2, 1) и
или (2, 1) и (2, 0)?
16*. Система координат в
пространстве. Если мы проведем
прямую, перпендикулярную оси χ и оси у
в точке их пересечения, то мы можем
ввести систему координат в
пространстве. Эта система устанавливает
взаимно однозначное соответствие между
точками пространства и
упорядоченными тройками
действительных чисел.
Стрелки на нашем рисунке
указывают положительное направление
каждой оси, а изображенные
пунктиром прямолинейные отрезки —это
перпендикуляры, проектирующие каждую
точку Ρ на соответствующую ось.
Проекция данной точки на ось задает ее
координату, соответствующую этой оси: х-координату, //-координату или
г-координату. Таким образом, точка полностью определяется своими тремя
координатами, и мы пишем Ρ (χ, у, г).
На нашем рисунке точка Ρ лежит в плоскости хОу, так что ее
проекция на ось ζ (на рисунке не указанная) есть 0. Ее проекция на ось χ
совпадает с точкой, имеющей координату 2, а на ось у —с точкой,
имеющей координату 3. Поэтому мы пишем Ρ (2, 3, 0).
a) Р1 — точка в плоскости yOz. Выпишите упорядоченную тройку чисел —
координат этой точки.
b) Точки Р2 и Р3 лежат в плоскости xOz. Напишите их координаты в виде
упорядоченных троек.
c) Какие две точки лежат в плоскости, параллельной плоскости хОу>
Можете ли вы это доказать? Что можно сказать об их координатах?
17 · Если любая точка Ρ записывается в виде Ρ (χ, у, ζ), то какой оси
принадлежит каждая из точек:
Л(0, 3^0), θ (-2, 0, 0), С(0, 0, 5)?
399

1Р(2ЛЧ
18^. Если любая точка Ρ записывается в
виде Ρ (λ-, ί/, 2), то какой плоскости
принадлежит каждая из следующих точек:
Я (4, 0, 2), 5(3, — 2, 0), 7(0, 1, 5)?
19*+. Когда хотят изобразить точку в
трехмерной системе координат, то обычно
сначала рассматривают ее проекцию на
плоскость хОу. На рисунке Р' есть
проекция точки Ρ (2, 3, 4) на плоскость хОу.
Какие координаты имеет точка Я'?
a) Чему равно расстояние точки Ρ от
плоскости хОу> от плоскости хОг> от
плоскости yOz>
b) Чему равно расстояние точки А от
плоскости хОу> от плоскости χΟζ? от
плоскости yOz?
20*+. а) Чему равно расстояние точки (3, 2,
скости xOz> от плоскости уОг>
Ь) Ответьте на вопрос для точки (х, у, ζ), где х, у, г —любые
действительные числа.
• 2) от плоскости хОу? от гj
ло-
РЕНЕ ДЕКАРТ (1596-1650)
Декарт знаменит в двух разных областях: среди философов он
известен как великий философ, а среди математиков — как
великий математик.
Самым большим его
вкладом в математику было
открытие системы
координат и аналитической
геометрии. Со времен Декарта
алгебра и геометрия стали
сотрудничать между собой
к выгоде обеих дисциплин.
До наших дней та система
координат, которой мы
пользуемся в этой книге,
называется декартовой
системой координат в честь ее
создателя. Понятие
координат было первым реальным
фундаментальным вкладом
в геометрию после древних
греков.
Честь открытия системы
координат с Декартом
делит Пьер Ферма (1601 —
1665), пришедший почти к
тем же самым идеям и
почти в то же время. Ферма
400

был одним из нескольких великих математиков-любителей. Он был
государственным служащим и занимался математикой в свободное
время. О своих открытиях он сообщал в письмах своим друзьям
/никогда не публиковал их в другой форме. Но многое из того,
0 чем сообщал в письмах Ферма, теперь включается во все
учебники теории чисел.
Введение системы координат послужило основой для создания
вскоре после этого Ньютоном и Лейбницем дифференциального
и интегрального исчисления. Таким образом, Декарт являлся
одним из тех, кого имел в виду Ньютон, когда он сказал, что
своими заслугами обязан гигантам, на плечах которых он стоял.
§ 3. КАК ИЗОБРАЗИТЬ СИСТЕМУ КООРДИНАТ
НА БУМАГЕ В КЛЕТКУ
Систему координат удобно изображать на бумаге в клетку.
На такой бумаге отпечатаны вертикальные и горизонтальные линии,
но все остальное нам нужно нарисовать самим.
На нашем рисунке воспроизведены те линии, которые обычно
печатают на клетчатой бумаге. Все остальные буквы и цифры
наносятся, как обычно, пером или карандашом. Символ χ у оси χ
никакого числа не обозначает; он только напоминает, что
координаты этой оси мы намерены обозначать буквой х. То же самое
относится к оси у.
-5
-и
-3
-2
-/
У>
3
2
1
0
-1
-2
-з
i
Ρ
1
2
3
4
5
^ Напомним, что мы вольны делать рисунки в каком угодно
ныСШТабе' ^апРимеР» каждая из следующих фигур является «точ-
м>> из°бражением квадрата со стороной 1.
401

/
π π
1
1
Ύ^
3—
^Ώ
_α
Точно так же и по той же причине мы можем выбрать на
клетчатой бумаге какой угодно масштаб. Например, тот же лист
бумаги мы можем пометить, скажем, так, как на этой странице.
Поскольку мы располагаем такой свободой выбора, абсолютно
необходимо указать, какой выбор мы сделали, выписав у осей
числовые пометки, показывающие масштаб. Если бы на последнем
рисунке мы этого не сделали, то никто не был бы в состоянии
сказать, имеется ли в виду, что Р — это точка (1, 1), или точка
(2, 2), или точка (π, π).
Повторяем. Чтобы изобразить на клетчатой бумаге систему
координат, нужно провести оси и указать масштаб.
Заметим, что мы можем провести оси на листе бумаги в любом
из тех (или других) положений, что указаны на следующей странице.
-J
-2
-1
У,
2
1
0
-1
-2
ι
Ρ
1
2
J
χ
Ни в одном из этих чертежей нет логической ошибки. Однако
гораздо легче привыкнуть «читать» графики, если с самого начала
условиться проводить ось χ горизонтально, так, чтобы координать
402

возрастали слева направо, а ось у—вертикально, так, чтобы
координаты возрастали снизу вверх.
W
х k
Заключительное предостережение. Вероятно, вы неоднократно
встречали графики, где масштабы в горизонтальном и
вертикальном направлении были выбраны независимо друг от друга.
Например, если мы захотим начертить график, показывающий
рост цены на сыр (в долларах за фунт) за период от 1900 до
1960 г., то ни в какой связи между масштабами на
горизонтальной и вертикальной осях нет необходимости. (Ведь здесь масштабы
служат для измерения совершенно разных вещей.)
Цена
1 Ч
1960 Время 1900
Цена
1920 1940 1960 Время
Но иногда мы применяем систему координат для решения
^метрических задач. В таких случаях, если масштабы на осях
I зличны, рисунок получается искаженным. Дело в том, что
и иС°Ь °^а масштаба используются для измерения ρ а с с τ о я -
403

Так, на этом рисунке цифры
указывают, что PQ = 2 и PR = 2.
Следовательно, Δ PQR должен
быть равнобедренным. Но он,
конечно, не выглядит
равнобедренным, a Z, Q и Z, R вовсе не
кажутся конгруэнтными. Это значит,
что рисунок мы исказили. Чтобы
избежать таких искажений, мы
будем на каждой оси брать один и
тот же масштаб.
Задачи к § 3
(Замечание. Для решения нижеследующих задач клетчатая бумага
полезна, но вовсе не необходима. Для каждой из задач 1 — 12 нужно
нарисовать свою систему координат.)
1. Выберите на осях подходящий масштаб и нанесите следующие точки А (2,
3), 5(3, 2), С (4, —3) D(— 3, -—4). В какой четверти лежит каждая точка?
2. Изобразите каждую из точек Л (0, 0), 5(5, 0), С (5, 3) и D (0, 3). Найдите
a) периметр □ A BCD;
b) Sqabcd-
3. Изобразите каждую из точек Ρ (0, 0), Q(3, 0) и R (0, 4). Найдите
a) периметр Δ PQR)
b) SAPQR ·
4. Изобразите каждую из точек F (0, 0), G (8, 0) и Η (8, —6).
a) Найдите SAFGH.
b) Какую длину имеет отрезок FH?
5. Дано, что вершинами А АВС служат точки (0, 1), (0, 6) и (12, 1). Найдите
5д АВС и периметр Δ ABC.
6. Изобразите каждую из точек Л(1, 0), θ (7, 0), С (10, 4) и D (4, 4).
Найдите периметр и площадь □ ABCD.
7. Чему равна площадь треугольника, вершинами которого служат точки
(0, 5), (4, 0) и (-4, 0)?
8. Изобразите каждую из точек К(—2, 5), М(—2, —3) и L (4, —3).
a) Найдите SAKML,
b) Какую длину имеет отрезок /CL?
9. Треугольник имеет вершины (0, 0), (0, 12) и (10, 0). Найдите длину медианы,
проведенной к наименьшей стороне.
10. Изобразите каждую из точек А (— 3, — 4), В (— 3, 6) и С (4, 6). Найдите
координаты такой точки D, что D ABCD — прямоугольник.
11. Вершинами треугольника ' служат точки (1, 8), (4, 1) и (7, 1). Найдите
его площадь.
12. Концами основания равнобедренного треугольника служат точки (3, )
и (— 3, 0). Найдите координаты третьей вершины этого треугольника, ее
известно, что площадь его равна 15.
404
Уь
4<
3<
2<
h
7
1
»
1
0
»
τ
Ί
4v4sJ?
2

У
ь-
Η
о
η г
1
Μ
α χ


ΙΟ
ι
Ι 1 Ι
Μ
г χ
13+ «Когда квадрат не является квадратом?» На этих рисунках масштабы вдоль
оси χ и вдоль оси у в каждом случае намеренно выбраны различными,
чтобы получился искаженный рисунок предполагаемой фигуры. Какую
фигуру предполагалось нарисовать в каждом случае?
14+. Найдите периметр Π ABCD, изображенного на левом нижнем рисунке.
15*+. Какую длину имеет проекция фигурирующего в задаче 14 отрезка АС
на плоскость хОу!
MOM fi) 8{0,12.6)
О(вМ.О) C(6tl2t0)
£(2А9)
,0(2 £fi)
•С (2,12,6)
!6*+. С помощью пометок на правом рисунке найдите BE.
!7*+. Нарисуйте систему координат в пространстве. На осях у и ζ возьмите
один и тот же масштаб. На оси χ (которая идет по направлению к вам)
возьмите масштаб, составляющий 0,7 масштаба на других двух осях.
Нанесите точки Л(1, 3, 2) и В(\, —3, 2). Проведите отрезок АВ. Чему равна
его длина?
(Указание. См. задачу 19 из § 2.)
18*+. Перерисуйте рисунок к задаче 19 на стр. 425, но вместо тогоа чтобы
проектировать точку Ρ на плоскость хОу, сначала
<0 спроектируйте точку Ρ на плоскость уОг\
ь) спроектируйте точку Ρ на плоскость χΟζ.
405

§ 4. ПОДЪЕМ (НЕВЕРТИКАЛЬНОЙ) ПРЯМОЙ
Ось χ и все параллельные ей прямые мы будем называть
горизонтальными; ось у и все прямые, ей параллельные, — верти-
кальными.
У1
а
0
,
л
А
17
ь
V*
Ч
X
Легко видеть, что на этом рисунке все точки горизонтальной
прямой /х имеют одну и ту же ^/-координату (т. е. ординату)
а, так как общим основанием перпендикуляров, опущенных из
точек этой прямой на ось у, является точка (0, а). Подобным же
образом все точки вертикальной прямой /2 имеют одну и ту же
х-координату (абсциссу) Ь. Разумеется, отрезок называется
горизонтальным, если горизонтальна содержащая его прямая,
и вертикальным, если эта прямая вертикальна.
Следующими рисунками подсказывается идея подъема 1 (или
углового коэффициента) отрезка.
Р2(2,3) p^(h3)1
р$м
\2 *^~ 1 .
Р5(б,2) 2 Р7(9,2) Рв(11,2)
blf.1)
5
10' 11
Подъем первого отрезка равен 2; подъем второго равен — 2;
подъем третьего равен -^, а подъем четвертого равен 0. Точнее:
1 Можно употреблять также термин наклон.
406

Определение
ECAU Ρι = (*!, Уг), Р% = {Х* У2) У2
отрезок РХР — не вертикален, то
подъемом (или угловым
коэффициентом) отрезка РгР2
называется число
Некоторые факты, касающиеся подъема отрезка, очевидны из
определения.
1°. Если поменять местами точки Рг и Р2, то подъем отрезка
останется прежним, так как
"(Ух —У г)
Ух —У г = У г~ Ух ^ т
Χχ — %2 х2 — Χχ — (*1 —' *2/
Иными словами, подъем отрезка не зависит от порядка, в
котором берутся концы отрезка.
2°. С другой стороны, важно координаты в числителе и в
знаменателе дроби брать в одном и том же порядке. Отношение
Ι/ι-*/2
Х% — Х\
не равно подъему отрезка с концами (л:£, уг) и (х29 у2).
3°. Для невертикальных отрезков знаменатель х2 — х1 не может
быть равен нулю, так что делить на него можно.
4°. Для вертикальных отрезков знаменатель х2 — хг
формулы подъема всегда равен нулю, так что эта формула никакого
числа не определяет. Такой вещи, как подъем вертикального
отрезка, не существует1.
5°. Если отрезок горизонтален, то его подъем равен нулю.
(В этом случае числитель у^ — Уг равен нулю, а знаменатель
*2—*ι нулю не равен.)
6°. Если отрезок не горизонтален (и не вертикален), то его
подъем не равен нулю.
7°. Если отрезок идет слева вверх направо, то его подъем
положителен; если отрезок идет слева вниз направо, то его
подъем отрицателен.
Иногда уславливаются считать подъем (угловой коэффициент) верти-
льнь1х отрезков (и прямых —см. ниже) «равным бесконечности» (что, впро-
ΐι имеет тот же смысл, поскольку символ со не изображает никакого числа);
бол С°ГЛашение М0ТИВИРУется тем, что чем ближе отрезок к вертикальному, тем
ьц*е (по абсолютной величине) его подъем.
407

m>0
У
0
i
/'".
4 ·"
m<\
m=0
\
X
Если отрезок имеет положительный подъем, то он равен
отношению двух расстояний, как на этом рисунке. Здесь хг<С.х2 и
#ι<#2> и мы имеем Р1# = л;2 —хг и ^Р2 = ^2—ί/ι- (Почему?)
Следовательно,
т==У2-У1 = Я?2^
Х2 — х1 *lR
Если подъем отрезка отрицателен, то он равен отношению двух
расстояний, взятому со знаком минус (см. нижний
рисунок). Здесь хх<х2 и у2>Уъ и мы имеем, как и прежде,
/χ*\ == #2 — Х±у
RP* = Уг-У2 = — (ί/2—ί/ι)·
т<0
Следовательно,
т-
Х2 — Х\
RPU
Эти соображения позволяют легко понять, почему верна
408

Теорема 13.1
Все отрезки, принадлежащие данной (невертикальной) прямой,
имеют один и тот же подъем.
Случай 1
Случай 2
Доказательство. Если прямая горизонтальна, то это
утверждение очевидно, потому что все принадлежащие ей отрезки
имеют нулевой подъем. Более содержательные случаи
изображены на рисунках.
В случае 1 мы имеем
ЬРхЯРг~ЬР\Я'Р'ъ
так что
RP2
WPl
RP2_
PXR~ P[R"
. PiR
' P[R"
R'Pi
Следовательно, отрезки РгР2 и Р\Р'ъ имеют один и тот же
подъем.
В случае 2 мы также имеем
Δ/ν?Ρ2~ΔΡί#Φ2.
Это дает, как и раньше,
RP2 _ R'P'2
/у? P[R''
Ήο отсюда сразу следует требуемое утверждение, так как подъемы
аших двух отрезков равны этим двум отношениям, взятым со
dHa^OM минус.
ри 0Сле Τ0Γ° как мы доказали теорему 13.1, мы можем гово-
ть не только о подъемах отрезков, но и о подъемах прямых.
409

Определение
Подъемом (или угловым коэффициентом)
невертикальной прямой называется число, равное подъему каждого
принадлежащего этой прямой отрезка.
У1
4-
3-
2-
1-
0
I
1
^2,3)
I I I
2 3 U
s^1)
5 6 ^S
к х
Так, угловой коэффициент прямой / на этом рисунке равен
5-2
2_
з '
Выбор любого другого отрезка этой прямой привел бы к тому
же самому ответу.
Задачи к § 4
12 3 4 5
6
5
и
3
2
1
0
ι
А
f ;
?
? L
С
В
/ I
χ
1. Для каждого из этих рисунков ответьте на следующие вопросы:
a) Какие координаты имеют точки Л, В и С?
b) Чему равно ВС} Чему равно АВ?
c) Чему равен подъем отрезка ЛС?
2. Нарисуйте систему координат. Изобразите четыре точки Л, В, С и D
плоскости, имеющие лжоординату 3. Изобразите четыре точки Р, Q, R и
плоскости, имеющие (/-координату — 2. Выпишите около каждой точки се
координаты.
410

1 12 13 14 15 16 17 18 19 Χ
3. Найдите подъем каждого из отрезков, изображенных на этом рисунке.
4 Какие из следующих пар точек определяют горизонтальные прямые; какие
из них определяют вертикальные прямые:
а) (5, 7) и (- 3, 7)
с) (5, 2) и (- 3, 5)
е) (3, 3) и (- 3, 3);
g) (0, 0) и (0, 5);
ί) (α, b) и (α, с)\
b) (2, 4) и (2, - 1);
d) (0, —1) и (4, —1);
f) (4, 7) и (- 2, 6);
h) (0, 6) и (3, 0);
j) (α, b) и (с, b)?
Найдите подъем прямой, содержащей данную пару точек:
а) (0, 0) и (8, 4);
с) (2, - 2) и (4, 2);
е) (- 2, 0) и (0, 6);
Ь) (10, 5) и (6, 9);
d) (0, 3) и (—2, 3);
f) (15, 6) и (—2, 23).
6. Найдите подъем прямой, содержащей данную пару точек:
a) (- 5, 7) и (3, — 8);
м /5 4\ / 13 16\
b) (у. у) H_l-T>_<3-J;_
c) (5|/"2, 6|/~3) и (V 8, /12);
d) (63, 49) и (— 7, 9);
e) (2а, ЪЬ) и (—а, Ь);
О (0, п) и (я, 0).
7. Вершинами треугольника служат точки А (— 2, 3), 5(5, —4) и С(1, 8).
Найдите подъем каждой из его сторон.
8· Вершинами параллелограмма служат точки /?(1, 4), S (3, 2), Г (4, 6)
и 1/(2, 8). Найдите подъем каждой из его сторон.
9· Определите подъем каждой стороны четырехугольника с вершинами А (5, 6),
β(13, 6), С (11, 2) и 0(1, 2). Можете ли вы сказать, что это за
четырехугольник?
Ю. Четырехугольник имеет вершинами точки Μ (α, b), N (с, b), 0(c + dt e)
и Р (a + d, с). Найдите подъем каждой из его сторон.
!1· Точка С является серединой отрезка АВУ А — это точка (—3, —2), а В —
точка (2, 8). Какой подъем имеет отрезок £С?
12· Даны__точки D(—4, 6), £(1, 1) и F (4, —6). Найдите подъемные
отрезков DE и EF. Коллинеарны ли точки D, Ε и F? Почему?
411

13. Нарисуйте систему координат и нанесите точку (2, 0). Теперь нанесите
еще три точки, ^-координаты которых больше 0 и меньше 8 и которые
лежат на прямой с подъемом 2, содержащей точку (2, 0).
14. Прямая, имеющая подъем —1, содержит точку (—2, 5). Какую #-коор.
динату имеет точка этой прямой с ^-координатой 8?
15. Нарисуйте систему координат. Проведите через начало координат прямую
которая пройдет через точку (93 000 000, 62 000 000). Назовите три точки
этой прямой, #-координаты которых меньше 10.
16*. Нарисуйте систему координат и нанесите точку (—-3, 1). Теперь нанесите
еще три точки, ^-координаты которых больше 0 и меньше 10 и которые
лежат на прямой с подъемом —о", содержащей точку ( — 3, 1).
§ 5. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ
Зная подъемы двух (невертикальных) прямых, можно довольно
легко сказать, будут ли эти прямые параллельны.
1°. Если две (невертикальные) прямые параллельны, то они
имеют один и тот же подъем.
Это следует из того, что
2°. Если две различ- У |
ные не вертикальные
прямые пересекаются, то их
подъемы различны.
Если две прямые, как
на нашем рисунке,
пересекаются в точке Ръ то
их подъемы равны
т··
У2 — У1
' *ъ-Ух
т
Уз—У\
412

Так как знаменатели здесь одинаковы, а числители различны, то

/присоединяя эти два утверждения, получаем следующую теорему:
Теорема 13.2
Две (не вертикальные) прямые параллельны в том и только
в том случае у когда они имеют один и тот же подъем.
У<
0
1
1 ^
L /
7р^
/ 1
< I
С
< χ
Допустим теперь, что мы имеем две перпендикулярные
прямые, пересекающиеся в точке Ρ (причем ни одна из них не
вертикальна).
На одной из этих прямых выше и правее точки Ρ возьмем
точку Q и построим прямоугольный Д PQR- Затем на другой
прямой выше и левее точки Ρ возьмем такую точку Q', что PQ =
= PQ, и построим прямоугольный AQ'R'P.
Проверьте, что пометки на нашем рисунке обоснованны! Они
говорят нам, что
APRQ^AQ'R'P.
Следовательно,
RQ _R'P
PR -Q'R' '
Но угловой коэффициент прямой / равен
RQ
PR'
RQ
m = —
а угловой коэффициент прямой ΐ
Значит,
т =
т'= —-
O'R'
'R'P '
1
413

Иными словами, подъемы перпендикулярных прямых обратны по ве-\
личине и противоположны по знаку. "'
Тот же рисунок годится и для обратного рассуждения.
Если дано, что т'= — 1/т, то, как и раньше, построим /\PRQ.
Затем возьмем точку Rr, для которой R'P = RQ, и достроим
прямоугольный Δ Q'R'P с вершиной Q', лежащей на прямой /. Тогда,
как и раньше, имеем
APRQ = AQ'R'P-
Следовательно, ^ 1 и ^2 дополнительны и / JL /'.
В результате этого обсуждения мы приходим к следующей
теореме:
Теорема 13.3
Две (не вертикальные) прямые перпендикулярны в том и
только в том случае, если их подъемы обратны по величине и
противоположны по знаку.
Обе последние теоремы не применимы к тому случаю, когда
одна из двух данных прямых вертикальна. Но для
вертикальных прямых все ясно. Если прямая / вертикальна, то
параллельными ей будут просто другие вертикальные прямые. А
перпендикулярны вертикальной прямой все горизонтальные
прямые.
Задачи к § 5
2 1 1
1. Прямые /ь /2, /3, U имеют соответственно подъемы ~ — 4, — 1у и -j-.
Какие из них перпендикулярны?
2. Рассмотрим точки Л (—1,5), В (5,1), С (6,-2) и D (0,2). Найдите подъемы
прямых ЛВ, ВС, CD и AD. Является ли четырехугольник α AdLu
пар аллелогр аммом?
414

о f-je рисуя точек, определите, какие из четырехугольников с заданными
вершинами являются параллелограммами:
a) Л (-2,-2), В (4,2), С (9,1), О (3, -3);
b) К (-5,-2), L (-4,2), tM (4,6), N (3,1);
c) Ρ (5,6), Q (7,-3), R (-2,-12),S (-4,-3).
л Вершинами треугольника служат точки А (16,0), В (9,2) и С (0,0).
a) Какие подъемы имеют его стороны?
b) Какие подъемы имеют его высоты?
5. Даны точки £ ( — 4,0), G (3,5) и Я" (8, —2.) Покажите, что произведение
подъемов прямых EG и GK равно —1.
5# Докажите, что четырехугольник с вершинами А ( — 2,2), В (2, —2), С (4,2) и
D (2,4) является трапецией с взаимно перпендикулярными диагоналями.
7. Рассмотрим точки W (0,3), X (6,4), К (12,-3) и Ζ ( — 2, — 12). Какие две
прямые, определяемые этими точками, перпендикулярны? Докажите, что
ваш ответ правилен.
8. Четыре точки, взятые попарно, определяют шесть отрезков. Для каждого
из указанных множеств из четырех точек определите, какие из этих
отрезков параллельны.
a) А (2,6), В (8,2), С (5,9), D (6,-1);
b) Ρ (0,-8), Q(3,-2), R (4,0), 5(7,6).
(Предостережение. Два отрезка, имеющие один и тот же угловой
коэффициент, могут быть и не параллельны.)
9. Докажите, что треугольник с вершинами #(—12,1), К (9,3) и Μ (11,-18)
является прямоугольным.
10. Покажите, что прямая, проходящая через точки (Зя, 0) и (0, 7п),
параллельна прямой, проходящей через точки (0,21/г) и (9/г, 0).
11. Чему равно число т, если прямая, проходящая через точки ( — 8, т) и
(2,1), параллельна прямой, проходящей через точки (11,-1) и (7, т+1)?
через точки (11, —1) и (7, т+1)?
12. При каком значении k прямая, содержащая точки (k, 3) и ( — 2,1), будет
параллельна прямой, проходящей через точки (5, k) и (1,0)?
13. При каком значении k прямые задачи 12 будут перпендикулярны?
14. Даны точки Ρ (1,2), 0(5,-6) и R (b, b). Определите значение Ъ так,
чтобы ^ PQR был прямым.
15. Найдите подъемы шести прямых, определяемых точками А ( — 5,4), #(2,5),
С (7, -2) и £>( — 1, — 3). Докажите, что Π A BCD — ромб.
16*. Луч PQ образует с осью χ угол в 30°. Кроме того, QR J_ PQ. Найдите
периметр и площадь Δ PQR, если Ρ, Q и R — точки Ρ (—4,0), Q (5, 3j/~3)
и R (*, 0).
§ 6. ФОРМУЛА РАССТОЯНИЙ
Если мы знаем координаты двух точек Рх и Р2, то эти точки
вполне определены. Следовательно, определено и расстояние между
ними (гл. 2, аксиома расстояния). Теперь мы установим способ,
Дозволяющий вычислить расстояние Р\Р^ по координатам
(*ь ух) и (хъ у2) этих точек.
415

pz(^z^z)
ρΛ*ιΆι)
Пусть, как указано на рисунке, основания перпендикуляров,
опущенных из точек Рх и Р2 на оси координат,—это точки Ми
Nu М2 и jV2, далее, R— точка, в которой пересекаются
горизонтальная прямая, проходящая через Ри и вертикальная прямая,
проходящая через Р2. Тогда по теореме Пифагора
(PiP*)* = (PiR)* + (RPtf.
Так как противоположные стороны прямоугольника конгруэнтны,
PiR = M1M2. По той же причине и Р#2 = Л^Л^.
Следовательно,
(PiP,Y = (MlM,f + (N,N,)\
Но из аксиомы линейки мы знаем, что
и
#i#9 = |i/a —ί/ι|.
Поэтому
Так как квадрат числа совпадает с квадратом его абсолютной
величины, это равенство можно переписать так:
{РхР# = (ь-хг)* + {у*-Ух)г.
Теперь уже почти все сделано. Поскольку ЛЛ^О, мы
получаем
ΡχΡ* = /(^-^i)9 + (ya-i/i)a.
Это и есть формула, которую мы хотели вывести. Таким
образом, мы доказали следующую теорему:
416

Теорема 13.4 (формула расстояний)
Расстояние между точками (хи ух) и (хъ у^ равно
Например, если Pi (3,4) и Я, ( — 2,1), то из этой формулы
следует, что
р1Р,2==/(-2-ЗГ + (1:::4?-/(-5)2 + (-3)-2 =
==/25 + 9 = /34.
Заметим, что этот
результат мы могли бы «вычитать»
из рисунка, не пользуясь
нашей формулой. Поскольку
а = э и fc = 3, то по теореме
Пифагора имеем
Plp2 = ya* + b* =
= /52 + 32 = ]/зТ.
Однако для того чтобы это увидеть, нам пришлось проделать
все то же, что нужно для вывода нашей формулы. Основное
достоинство вывода общих формул как раз и состоит в том, что
мы проводим некоторое рассуждение лишь один раз, а
применять результат можем много раз, всегда, когда это нам
понадобится, не повторяя каждый раз наше рассуждение снова и
снова.
Задачи к § 6
1. По формуле расстояний найдите расстояние между точками:
а) (0,0) и (3,4). Ь) (0,0) и (3,-4).
с) (1,2) и (6,14). d) (8,11) и (15,35).
е) (3,8) и (-5,-7) f) (-2,3) и (-1,4).
δ) (5,-1) и(-3,-8). h) (-6,3) и (4,-2).
2· Найдите периметр треугольника с вершинами Л (5,7), В (1,10) и С( — 3, —8).
3· Δ PQR ИМеет вершины Ρ (8,0), Q (-3,2) и R (10,2).
а) Найдите длину каждой его стороны. Ь) Найдите 5 д pqR.
**-&KLM имеет вершины AT (-5,18), L (10,-2) и Μ (-5,-10).
а) Найдите периметр Δ KLM.
b)HaU№^SAKLM.
5· Вершинами четырехугольника служат точки D (4, — 3), Е(7,\0),Р ( — 8,2)
и G ( —1,-5). Найдите длину его диагоналей.
417

6. Докажите, что треугольник с вершинами А (2,3), β Г — 1, — 1) и С (3,-4)
является равнобедренным.
7. Треугольник имеет вершины G (0,7), Я (5, —5) и ЛГ(10,7). Найдите длину
высоты, проведенной к кратчайшей стороне.
8. Треугольник имеет вершины Μ ( — 6,0), Ρ (0,6) и G(2,—2).
а) Найдите периметр Δ MPQ.
b)* Найдите длину высоты, проведенной к наибольшей стороне.
с)* Найдите площадь треугольника.
9*. Найдите значение Ь> при котором треугольник с вершинами ( — 6,0), (0,6)
и (by — b) является равносторонним.
10. Даны точки Л (—1,6), θ (1,4) и С (7, — 2). Найдите АВ и ВС. Докажите,
что точка В лежит между А и С.
П. Докажите, что точка Ε (— 1, — 2) не лежит между точками D ( — 4, — 6) и
12. Одной из вершин прямоугольного тела (оно называется параллелепипедом)
на левом рисунке является начало координат, а вершины А, В и С лежат
соответственно на осях ху у и г. Точка Р' является проекцией вершины Ρ
на плоскость ху.
а) Найдите OP'. b) Найдите OP. с) Найдите СР\
г,
с(о.о.5):
.
/
0"
ι
\ P(W
\-—
У
7
В(0,8
1 У
'А (6,0,0) Ρ'(6,β,0)
В(5,-4г2) J-Л
13*. Для правого рисунка
a) найдите АВ, ВС, ACt DC и AD\
b) покажите, что AD2 = (5 — О)2 + (8 + 4)2 + (4 + 2)2.
14+. Найдите расстояние от начала координат до точки Ρ (α,
Изменится ли полученная формула, если числа a, b и с
ными? (Указание. Воспользуйтесь рисунком к задаче
15*+. Покажите, что расстояние PQ между точками Ρ (хъ уг
-определяется по формуле
16+. Найдите расстояние PQ между точками Ρ и Q, если
a) Р (4, -1, -5) и Q(7, 3, 7);
b) Р(0, 4, 5) и Q(—6, 2, 3);
c) Р(3, 0,7) и Q(-l, 3, 7);
d) P(-3, 4, -5) и Q(6, -8, 3);
e) Р(1, 2, 3) и Q(2, 3, 4).
17+. Докажите, что треугольник с вершинами А (2, 0, 8),
С (—4, —2, 4) является равнобедренным.
18*+. Покажите, что Δ ΛБС —прямоугольный треугольник, если
Л (2, 4, 1), В (11, —8, 1) и С (2, 4, 21).
Ь, с).
будут отрицатель-
12.)
Ζι) и Q (*2, Уъ *д
В (8, -4, 6)
418

ιο*+ Фигура ABCD имеет вершины А (3, 2,
19 5)f B(\f 1, 1), С (4, О, 3) и D (6, 1,7).
a) Покажите, что противоположные
стороны конгруэнтны.
b) Обязательно ли фигура ABCD
являете^ параллелограммом?
20. В хорошо спланированном городе за-
' нумерованы широкие улицы («авеню»),
идущие с севера на юг, и более узкие
улицы («стриты»), идущие с востока на
запад, и притом так, что они образуют
конгруэнтные кварталы со стороной 500 м
(см рисунок) К Если вы сели в такси
на углу 6-й авеню и 2-й стрит и
просите шофера довезти вас по самому
короткому пути в угол на пересечение 12-й
авеню и 10-й стрит, то какое расстояние
вы проедете? Будет ли оно кратчайшим
расстоянием между двумя данными
точками? Объясните2.
+-*
4-»
4-*»
■{-*■
ν
5 5 ί ί $ ί ?
<U CO 5s CU $5 CO *l>
*5> *сэ чсэ «о «са «а <o
C3 ζ} б СЗ О О t3
<Ъ ГЧ. СО «55 ^ ^ £4
10 стрит
9 стрит
8 стрит
7 стрит
6 стрит
5стрит
острит
3 стрит
2 стрит
§ 7. ФОРМУЛА СЕРЕДИНЫ. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ
ОТНОШЕНИИ
Рассмотрим отрезок РгР2, принадлежащий оси х. Пусть Ρ —
середина этого отрезка и пусть наши три точки имеют координаты,
Pi
р
0 х1 χ хг *
указанные на рисунке. Будем считать, что х1<.х2- Тогда довольно
легко сообразить, как выразить χ через хг и х2. Мы хотим,
чтобы было
РХР = рр2.
Так как
Р1Р = \х — хх\ = х — хх и
л г 2 == I *^2 I == *^2 *^>
то наше первое равенство означает, что
х — х1 = х2 — х, или χ = Χι~^χ*..
Если
Эта формула годится и в случае, когда χ2<χν (Доказательство?
мы поменяем местами хг и х2, то не изменится ни задача,
ни ее ответ.)
2 Близкую к этой схеме планировку имеет Нью-Йорк (см. «карту» на стр. 394).
Чтп связи с содержанием этой задачи см. брошюру: Ю. А. Ш ρ ей дер.
υ такое расстояние? М., Физматгиз, 1963.
419

После того как мы нашли формулу для середины отрезка,
принадлежащего оси х9 легко перейти и к общему случаю.
II
Если точка Я является серединой отрезка Я^» то точка Μ
является серединой отрезка МХМ2. (Почему?) Следовательно,
х = «
Точно таким же образом мы получим, что
у 2 ·
Все это мы объединим в следующей теореме:
Теорема 13.5 (формула середины)
Даны точки Рг (х19 уг) и Я2 (х2, у2). Серединой отрезка РгР2
является точка
ρ /*ι + *2 Уг+У*\
ч
2 ;·
Рассмотрим теперь более общую задачу. Пусть даны
отрезок ΡχΡ2 оси χ и положительное число г. Мы хотим найти коор-
*ι
<**
динату точки Я, делящей отрезок РгР2 в отношении г к 1. Иными
словами, требуется, чтобы было
ΡιΡ
ЯЛ
= г, или РгР = гРР2.
Если л;1<л;2, как на наше'м рисунке, то это означает, чтох — *ι =
^=г(л;2 —х), или х-\ггх^хг + гхл. Отсюда
л; =
^1 + ^Я
1 + г ·
420

Заметим, что при г = 1 эта формула должна бы давать координату
середины отрезка. (Ну и как? Дает ли она ее?)
В случае х2<х1 мы получаем ту же формулу, но выводится
ока немножко иначе. (Мы пользуемся тем, что РХР = хх—х и
рр2~х — #2» и приходим к этому же результату.)
Как и в случае середины
отрезка, отсюда легко
перейти к общему случаю.
Если
РгР
РР<
= rt
то
мгм
мм2
г,
У,
~~0
?2
P<S?^__$\ Оц
n"t Η" Α"2 ι
Хл X л 2 Χ
поскольку /\РгРС1~ Δ^ЛРг· Поэтому мы получаем
„_xi + rx*
и точно так же
У =
\ + г
\ + г '
Итак, мы доказали следующую теорему:
Теорема 13.6
Если точка Ρ лежит между точками Рг и Р2 и
РгР
то
Р =
РР2~~Г'
Х1 + ГХ2 «Уг+О^Л
\ + Г
1 + г Г
Задачи к § 7
Ь Найдите координаты середины каждого из отрезков на этом рисунке:
Е[-в,5)
С(-5,3)
К(6ГЧ)
421

2. Пользуясь формулой середины, найдите координаты середины отрезка, соеди-
няющего следующие точки:
а) (6, 0) и (10, 2); Ь) (5, 7) и (11, 17);
с) (12, 3) и (3, 3); d) (-5, 6) и (6, —5);
е) (УТ, -V*) и (ViS. K75); 0 (|, - у) и (-J, 2>
g) (α, 0) и (0, b)\ h) (α, 6) и (с, d).
3. Найдите координаты точки В, лежащей на
отрезке АС, если Л = (3, 15), С = (13, 0) и
отношение АВ/ВС равно
а) 4; b) J-;
с)т; d)y.
4. Даны точки Ρ (5, 2) и R (20, 14). Найти
координаты точки Q, если она лежит между
Ρ и R и если отношение PQ/QR равно
а) γ; b)2;
с)
3 ;
d) 4.
/5-
ttb
5:
Τ
\A(3,15)
\β?
ι ι > ' I ' ' ' ' I '
5 /0
\C(13,0)
rVr-|—fc-
5. Какие координаты имеют две точки, делящие отрезок с концами (2, — 3) и
(8, 9) на три конгруэнтные части?
6. Вершинами треугольника служат точки А (5,-1), 5(1,5) иС(—3,1).
Какую длину имеют его медианы?
7. Четырехугольник имеет вершины А (0, 0), 5(5, 1), С (7, 4), D (2, 3).
Покажите, что его диагонали имеют общую середину. Является ли он
параллелограммом? Почему?
8. Даны точки Р(—3, —4), Μ (6,-1) и Q(7, b). Найдите такое значение Ь,
чтобы точка Μ была серединой отрезка PQ.
9. Даны точки G (—5, 8), /С (2, а) и Η (b, 1). Найдите а и b так, чтобы К
была серединой отрезка GH.
10. Прямолинейный отрезок имеет серединой точку Μ (3, — 5) и одним из своих
концов точку А (2, — 4). Какие координаты имеет другой его конец β?
11. Дан четырехугольник с вершинами А (3,-2), В (— 3, 4), С (1, 8) и DJ7H)
Точки W, Χ, Υ и Ζ являются соответственно серединами отрезков А В, ВС,
CD и DA.
a) Найдите координаты точек W, Χ, Υ, Ζ.
b) Найдите периметр Π WXYZ.
c) Найдите угловые коэффициенты отрезков WX и ΥΖ,
12. Вершинами D PQRS являются точки Ρ (2, 1), Q(7, 4), R (4, 9) и S (— 1. 6)·
Докажите, что диагонали этого четырехугольника имеют общую середннУ
и взаимно перпендикулярны.
422

С(0 3mj
А (6,0,0)
А(-т,0) Ο
13*. Пользуясь координатами, докажите, что две из медиан треугольника
с вершинами (т, 0), (—т, 0) и (0, Зт) взаимно перпендикулярны.
14*. Л(—3, 2) и 5(5, 12)—две вершины Д ABC. Прямая, проходящая
через середину G стороны АВ и параллельная стороне АС, пересекает
сторону ВС в точке Η (10, 2). Найдите координаты третьей вершины С.
15+. Дан рисунок. Определите координаты середины каждого из отрезков АО%
ВО, СО, АВ, ~ВС и ACl
0(19.9)
° (7г 3.3)
16+. Η
а этом рисунке P'Q' есть проекция отрезка PQ на плоскость хОу,
РК || P'Q'\ ΡΆ || оси у, AQf || оси ху точка Μ является серединой отрезка PQ>
точка М' есть проекция точки Му точка Η является серединой отрезка Q/C,
а о и С — соответствен но серединами отрезков АР' и AQ\
а) Почему РР' || дШ' || QQ'?
' г?°чемУ точка М' является серединой отрезка P'Q'?
с) Найдите координаты точек Р\ Q', А и К-
} Наидите координаты точек Б, С, Я и М'.
е) Найдите координаты середины Μ отрезка PQ.
423

17+· Установите общую формулу для координат середины Μ отрезка, соеди-
няющего точки Ρ (хъ уъ гг) и Q(x2, у2> z2)> опираясь на наблюдения,
сделанные вами при решении задачи 16.
18+. Найдите координаты середины отрезка, соединяющего точки
а) (3, 5, 0) и (1, 1, 8);
Ь)(8, 5, 3) и (0, 0,-5);
c) (-6, 2, 4) и (6, -Ъ_-*)\__
d) (3/27 2/15, -5J/T) и (-/27 0, /27).
19*ч Найдите координаты двух точек, делящих отрезок PQ задачи 16 на три
конгруэнтные части.
20*1". В условиях задачи 16 найдите периметры &ВММ' и /\AQQ'. Верно ли,
что /\ВММ'ъ A AQQ't
§ 8. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КООРДИНАТ
ДЛЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМ
В этом параграфе мы увидим, как можно использовать
координаты для доказательства геометрических теорем. Главная цель
параграфа состоит в том, чтобы проиллюстрировать один момент
доказательства теорем. Этот метод будет легче понять, если наши
первые примеры будут простыми. По этой причине вначале мы
применим его к нескольким уже известным нам теоремам.
С
Теорема А
Середина гипотенузы
прямоугольного треугольника
равноудалена от его вершин.
А
Первым шагом при применении метода координат является
такой выбор осей и начала координат, при котором
алгебраические выкладки становятся возможно более простыми. Для нашей
задачи удачный выбор системы координат показан на следующем
рисунке. Таким образом, начало координат мы помещаем в точку
Л, а оси проводим через точки В и С так, чтобы эти точки
лежали на положительных лучах осей. Следовательно, В = (а, 0)
и С = (0, Ь), как на нашем рисунке. Поэтому по формуле
середины £> = (а/2, Ь/2). Теперь
«_/(·.0)4(4-0)·
424

BD
-V(-i
■+o
Ь\2
"2\
B(-a90)
Поэтому AD — BD. А так как, по
определению середины отрезка
βΟ — CD, то теорема доказана.
Можно было выбрать систему
координат и по-другому. Не менее
простые схемы видны из
рисунков.
Если, однако, выбрать оси совсем
случайно, то легкую задачу можно
превратить в очень трудную.
Чтобы начать доказательство
исходя из этого рисунка, нужно
найти способ, позволяющий
выразить алгебраически, что Δ ABC
имеет при вершине А прямой угол.
Сделать это можно, но будет это
не очень-то просто и не особенно
приятно.
Пользуясь системой координат
для доказательства каких-либо
утверждений относительно
параллелограммов, мы почти всегда
выбираем оси так, как показано здесь.
Если дан параллелограмм ABCD,
то мы помещаем начало
координат в вершину А, а оси проводим так, чтобы вершина В
принадлежала положительному лучу оси х, а вершины С и D —
верхней полуплоскости. Тогда подъем отрезка АВ равен 0 nAB\\CD.
Поэтому и подъем отрезка CD равен 0, или
У1
β
1
(a b
0
)у/
г
А(
>с(а,Ь)
Ί,θ) X
е — с
d-b
= 0.
У1
с(с.а)
А(а,Ь)
425

у.
А
ι
D(b,c)
С(й,е)
L J
α χ
D(b,c)
C(d,c)
Следовательно, мы можем на
рисунке заменить е на с. (Почему?)
Мы также утверждаем, что
d = а + Ь.
Если стороны AD и ВС не
вертикальны, то они имеют подъемы и
эти подъемы одинаковы. Таким
образом,
с—О с—О
b — 0~~d — a*
То есть 6 = d—а и d = a-\-b.
Если стороны AD и ВС
вертикальны, то и
d = a + 0 = a + b, b = 0, d = a,
как и раньше.
Мы можем поэтому расставить
координаты, как показано на
рисунке.
Раз эта схема нам известна,
многие теоремы о
параллелограммах становятся очень легкими.
Теорема В
Если диагонали
параллелограмма конгруэнтны, то этот
параллелограмм является
прямоугольником.
Доказательство. В обозначениях, указанных на
последнем рисунке, нам дано, что AC = BD. По формуле расстояний
это означает, что
а л
У,
А
1
D(b,c)
C(a+b,c)
/ ./
Q Χ
или
У(а + Ь — 0)2 + (с — 0)2=У(а — b)2 + (0—c)\
(a + b)2 + c2 = (a—by + c2,
или, наконец, a2 + 2ab + b2-\-c2 = a2 — 2ab + b2-\-c2.
И значит, 4ab = Q.
Так как а>0, то отсюда следует, что Ь = 0, а это означает,
что точка D принадлежит оси у. Поэтому Z. DAB — прямой угол
и Π A BCD — прямоугольник.
426

Приведенные ниже задачи дадут вам возможность немножко
ПОпрактиковаться в применении метода координат. Поэтому,
решая эти задачи, вы должны стараться переложить большую часть
работы на алгебру, пользуясь иллюстративными примерами из
этого параграфа как моделями.
Задачи к § 8
Докажите следующие теоремы, пользуясь методом координат.
1. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам (иными
словами — имеют общую середину).
2, Диагонали прямоугольника на рисунке слева имеют равные длины.
У
0{0УЬ)
А (0,0)
С(а,Ь)
В(а90)
А(0,0)
С (2Ь, 2с)
\А
В(2а,0)
3. Отрезок, соединяющий на правом рисунке середины двух сторон
треугольника, параллелен третьей 'стороне, а его длина равна половине длины
третьей стороны. (Указание. Так как нам нужно будет находить
координаты середин двух сторон и половину длины основания треугольника,
то удобно (хотя и не необходимо) обозначить координаты точек Л, В и С
так, как показано на рисунке.)
4. Диагонали ромба перпендикулярны. (Указание. Пусть ромб имеет
вершины (0, 0), (а, 0), (а -\-Ь, с) и (Ь, с). Проверьте, что подъемы диагоналей
обратны по величине и противоположны по знаку.)
5. Средняя линия трапеции
параллельна ее основанию, а длина
средней линии равна полусумме длин У^
оснований.
Отрезок, соединяющий середины
Диагоналей трапеции, параллелен
основаниям, а его длина равна
полуразности длин оснований. ___
Отрезки, соединяющие по порядку Α(θ,θ)
середины смежных сторон
произвольного четырехугольника,
образуют параллелограмм.
(Замечание. Как бы ни был «наклонен»
четырехугольник, мы можем
выбрать наши оси так, чтобы одной
его вершиной была точка (0, 0),
а одна его сторона шла по оси х.) 0(d,e)
отрезки, соединяющие по порядку
середины смежных сторон
равнобедренной трапеции, образуют
D(b,c) C(d,c)
Μ
Ν
Β(α,Ο)
C(b,c)
Ш0,0)
*B{afl)
427

9β Если СМ —медиана
A ABC, то
стороны AB в
AC2 + ВС* = -~ АВ2 + 2СМ2.
(Указание. За точку (0, 0) примите
середину стороны ЛВ.)
0(0,0) Β(ό,0) χ
10. В любом треугольнике квадрат стороны, противоположной острому углу,
равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение
одной из этих сторон на проекцию второй стороны на эту сторону.
(Требуется доказать. АС2 = АВ2-\-ВС2 — 2АВ · DB. В каком месте
вычислений вам потребуется предположение, что Ζ В — острый?)
11. Сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов его дна-
гоналей.
12*. Сумма квадратов сторон любого четырехугольника равна сумме
квадратов его диагоналей плюс учетверенный квадрат длины отрезка,
соединяющего середины диагоналей.
13+. Докажите, что все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда1
конгруэнтны и имеют общую середину.
§ 9. УСЛОВИЕ И ЕГО ГРАФИК
Под графиком мы понимаем некоторую фигуру,
принадлежащую данной плоскости, т. е. некоторое множество точек.
Таким образом, углы, треугольники и полуплоскости являются
графиками; это же относится и к отрезкам, лучам и
прямым.
Термин «график» обычно употребляют, когда хотят описать
данную фигуру условием, которому удовлетворяют все точки этой
фигуры и только они 2. Вот несколько примеров.
Условие
1. у>0.
2. *>0.
3. * = 0.
4. *>0 и у>0.
5. х=1.
6. * = 3.
7. 1 < χ < 3.
График
Полуплоскость, лежащая над осью х.
Полуплоскость, лежащая справа от оси у.
Ось у.
Первая четверть.
Вертикальная прямая, проходящая через (1, 0).
Вертикальная прямая, проходящая через (3, 0).
Бесконечная полоса, заключенная между
прямыми, описанными условиями 5 и 6.
1 Определение прямоугольного параллелепипеда см. на стр, 555.
2 В нашей литературе вместо термина «график» часто употребляется
выражение «геометрическое место точек».
428

Вот эти семь графиков.
ш
я
У,
β
ш
0
ι
/////////
%ш..
л
у>0
I
о] *
I х=0
У\
0
ж
Х>0
и у;
>0
*
У\
0
J
I
,
1
f
λ=1
χ
yi
0
I
J
2
i
3 χ
x=3
1
429

В каждом из этих случаев мы говорим, что данная фигура
является графиком условия, которое ее описывает. Таким образом,
каждая из этих семи фигур является графиком соответствующего
условия.
Повторяем: график некоторого условия— это множество
всех точек, удовлетворяющих этому условию.
Чаще всего этим термином пользуются, когда данное условие,
как в наших примерах, выражено алгебраически, на языке системы
координат. Когда условие сформулировано в виде некоторого
уравнения, естественно говорить, что рассматриваемая фигура является
графиком этого уравнения. Например, вертикальная прямая,
проходящая через точку (1, 0), является графиком уравнения дг=1.
Подобным же образом первая из наших семи фигур служит
графиком неравенства у>0.
Задачи к § 9
2.
3.
В одной и toft же системе координат нарисуйте графики следующих условий:
а) * = 5; Ь)*< — 2; с) у^А\ d) # = 0.
В одной и той же системе координат нарисуйте множество точек,
описываемых следующими условиями:
а) |*| = 2; Ь) \у\<\\ с) |*|2*3.
Нарисуйте объединение графиков уравнений д: = Зиг/ = 2. Какое они имеют
пересечение?
4. Даны условия:
Is. χ—положительное число;
29. у— положительное число.
a) Нарисуйте объединение графиков условий 1°> и 29.
b) Нарисуйте пересечение графиков этих условий.
5. Нарисуйте пересечение графиков
следующих четырех условий:
х^О; х^б; у^О; у^А.
Опишите это пересечение словами.
6. Сформулируйте условия,
описывающие область, изображенную на
рисунке.
7. Нарисуйте график и найдите площадь
пересечения множеств всех точек,
удовлетворяющих условиям:
—1^*^3 и — 2^#^5.
8. Расстояние от точки Ρ (χ, у) до Л(1, 0) равно расстоянию от Ρ до В (7, 0).
Напишите уравнение, выражающее его условие. Сколько таких точек суше*
ствует? Нарисуйте множество всех таких точек Р.
9. Напишите уравнение для множества всех точек Ρ (χ, у), равноудаленных
от точек А (0, 6) и В (6, 0). Нарисуйте график.
10*. Нарисуйте график уравнения у = \х\.
11*. Нарисуйте график уравнения #= — \х\.
430

12+. Точка Р (дг, у) лежит между точками Л(1, 3) и 5(8, 6). Пользуясь фор
мулой расстояния и определением понятия «между», напишите уравнение,
выражающее это условие, наложенное на точку Р.
13*+. Пусть Р = (х, у), А = (а, с) и B = (b, d). Какое условие выражается
уравнением
У(х-а)* + (у-с)* + У(х-Ь)* + (у-с1)* =
= У(а-Ь)* + (с-а)Ч
14*+. В одной и той же системе координат нарисуйте множества всех точек
Ρ (х, У)у удовлетворяющих условиям:
a) V (х-3)* + (у^у!+У (х-1)* + (у-\)* = 5;
b) V(x-3)* + (y + 2f = V (х-1)* + (У-\)2.
15*+. На этом рисунке плоскость Ε
параллельна плоскости χΟζ, а плоскость
F — плоскости yOz. Плоскости Ε и F
пересекаются по прямой ЛВ. Прямая
CG лежит в плоскости £, а прямая
СН — в плоскости F, и обе они лежат
в плоскости хОу.
a) Какие координаты имеет точка С?
b) Графиком какого уравнения
является плоскость Е? плоскость F?
c) Графиком какого условия является
прямая АВ?
d) Графиком какого условия
является точка С?
16*+. Дана система координат в трехмерном пространстве. Какие множества
точек являются графиками следующих условий:
a) z = 0; b) * = 0; с) # = 0;
<3) # = 3; е) г = 5; f) \y\ = 2\
g) * = 0 и г/ = 0; h) * = 3 и г = 0;
i) \у\ = 2 и z = 0; j) * = 3 и г/ = 2?
§ Ю. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
Легко описать уравнением
вертикальную прямую.
Если эта прямая пересекает
0сь χ в точке (а, 0), то она
является графиком уравнения
х = а.
Для невертикальной прямой
нУЖно воспользоваться понятием
подъема. Допустим, что прямая /
^*
U
431

проходит через точку Ρλ — {χ{, уг)
и имеет подъем т.
Если Р = (л:, у)— любая другая
точка прямой /, то
У — У1.
-*1
= т,
так как все отрезки,
принадлежащие /, имеют подъем т.
Конечно, этому уравнению не
удовлетворяет точка Ри так как
при х = хг и у = Ух дробь превращается в бессмысленное
выражение 0/0, которое не равно т (и вообще ни чему в точности не
равно). Но это легко исправить. Умножая на χ — хъ мы получим
у—у1 = т(х—х1).
Эта операция добавляет к графику одну точку: любая точка
прямой /, отличная от Ръ удовлетворяет новому уравнению, потому
что она удовлетворяла старому. Но ему удовлетворяет и точка Ръ
так как при х = хг и у = уг мы получаем 0 = т-0, а это равенство,
конечно, верно. Запишем этот результат в виде теоремы:
Теорема 13.7
Пусть I — прямая с подъемом т, проходящая через точку (хъ
ί/χ). Тогда каждая точка (х, у) прямой I удовлетворяет уравнению
У—У1 = т{х — х^.
Заметим, что эта теорема не утверждает, что / есть график
выписанного выше уравнения. А последнее мы еще фактически и
не доказали: мы доказали лишь половину этого утверждения.
Когда мы говорим, что прямая / есть график уравнения, то мы
подразумеваем две вещи:
1°. Каждая точка прямой / удовлетворяет этому уравнению.
2°. Каждая точка, удовлетворяющая этому уравнению,
принадлежит /.
Пока мы доказали лишь утверждение 1°. Докажем теперь
утверждение 2°.
432

Допустим, что Ρ (χ, #)-—точка, для которой
у — у1=^т(х — х1).
Если х~Х{, то # = #! и точка Ρ принадлежит /. Если же х'фхъ
то отрезок РгР не вертикален и его подъем равен
У — У1:
X —Х±
т.
Следовательно, прямые ΡχΡ и / имеют один и тот же подъем, т. е.
они или параллельны, или совпадают. Но параллельными они
быть не могут, так как обе они содержат точку (хъ yj. Таким
образом, Р\Р и есть прямая /, а значит, точка Ρ принадлежит /.
Это дает нам теорему, которая звучит проще и утверждает
больше, чем предыдущая теорема.
Теорема 13.8
Графиком уравнения
y — yi = m(x — Xi)
является прямая, проходящая через точку (х{, уг) и имеющая
подъем т.
Уравнение, о котором говорится в этой теореме, называют
уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном
направлении.
Если мы знаем координаты двух точек какой-либо прямой,
то легко найти ее уравнение.
Допустим, например, что прямая проходит через точки
Рг(2Л) и Р2(5,3).
Тогда ее подъем равен
3-1 2
/л =
5-2
Подставляя в уравнение прямой,
проходящей через данную точку
в данном направлении, Рг (2,1)
2
и т = -^, получаем
у-\ = '(х-2).
(1)
У|
4-
3-
2-
1 -
>
ι
Р2{5,3)/
wis
—-^-у 1 1 1 |
' \ 2 3 4 5
i
X
433

Это уравнение можно упростить, заменив его эквивалентным
первоначальному уравнением
или
Зу — 3 = 2л; — 4,
2х — 3у=1.
(2)
Заметим, однако, что хотя уравнение (2) «проще» уравнения
(1), его не так легко истолковать. Пользуясь теоремой 13.8, мы
сразу можем сказать, что графиком уравнения (1) является пря-
2
мая, проходящая через точку (2,1) и имеющая подъем у. Для
упрощения уравнения (2) все это далеко не так очевидно.
Если дано уравнение в том
виде, как в теореме 13.8, то <м
легко нарисовать его график.
Возьмем, например, уравнение
у-3 = 2(х+1).
Сразу видно, что график
содержит точку (— 1,3). Чтобы
нарисовать прямую, остается только
узнать еще одну ее точку.
(Почему?) Полагая л; = 0,
находим
г/—3 = 2(0+1),
или
у = 5.
1 2 3 χ
Следовательно, точка (0,5) принадлежит нашему графику. Поскольку
мы с самого начала знаем, что графиком является прямая, мы
можем теперь ее провести с помощью линейки. Однако на
практике не плохо проверить себя, подсчитав координаты какой-либо
третьей точки. Полагая, например, у = 0, получаем
откуда
0 — 3 = 2(х+1),
J5
2 '
Следовательно, точка (—-о-, 0) лежит на нашем графике, что и
показывает рисунок.
Следующая теорема легко вытекает из теоремы 13.8.
434

Теорема 13.9
Графиком уравнения
у = тх + Ь
является прямая, проходящая
через точку (О, Ь) и имеющая
подъем т.
В самом деле наше уравнение
можно записать так:
у—Ь = т(х — 0).
Уравнение у = тх+Ь называют «уравнением прямой с подъемом»
(или «уравнением с угловым коэффициентом»). Для многих целей
оно наиболее удобно.
Мы можем теперь нарисовать график уравнения
пользуясь следующим методом. Сначала мы нарисуем (см. слева)
графики уравнений у —χ и у— — х.
у=\х\=-х,х<0 Т у=\х\=х>х>0
12:у=~Х
Вспомним теперь, что абсолютная величина
следующими условиями:
1°. при х^О
2°. при Ж 0
\Х\ определяется
\х\ = х\
|х| = — х.
Это значит, что правее оси у наш график принадлежит
прямой /ь но не прямой /2; левее же оси у наш график, напротив,
принадлежит прямой /2, но не /χ. Таким образом, график выглядит
Так, как изображено на правом рисунке.
Легко видеть, что два луча на этом рисунке перпендикулярны.
Следовательно, графиком уравнения у=\х\ является прямой угол.
435

Задачи к § 10
1. Ниже записаны уравнения прямой, проходящей через данную точку в дан-|
ном направлении. Для каждого уравнения определите подъем прямой и две
ее точки и нарисуйте прямую:
а) г,-3 = 2(*-4); Ь) у- 1—1(*-6);
с) # + 6 = — ±-(х-8); d) */ — 5 = 3*;
е) у = -2(х + 3).
2. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку Ρ и имеющей подъем
/я, если дано, что
а) Р = (4,1) и т = 3; Ь) Ρ = (γ, —А и т = —2;
с) Р = (8,2) и т=Д; d) Р = (— 4,0) и /и = -|-,·
е) Я = (—6,5) и т = 0.
3. Для каждой пары точек сначала найдите подъем содержащей эти точки
прямой, а затем напишите уравнение прямой:
a) (5,2) и (2,8);
b) (2,4) и (4,5);
c) (0,0) и (1,5);
d) (2,7) и (- 8,5);
e) ( — 6,0) и (0,4);
f) (9, -15) и (12, -18);
g) (-4, -13) и (19,33);
h) (K2, VS) и (-^8, -V2\
4. Джоан и Эл сравнили свои решения задач из домашней работы Была
задана такая задача:
<кНапишите уравнение прямой, проходящей через точки (2, — 5) и (8,7)».
Джоан получила уравнение # + 5 = 2 (х — 2), а у Эла получилось # — 7 =
= 2 (* — 8). Чей ответ был правильным? Объясните.
. 5. Для каждого из приведенных ниже уравнений прямой с подъемом найдите
подъем и точку пересечения прямой с осью у и нарисуйте прямую:
а) у = 2х + 6\ b) у=— 2* + 6;
2
с) У = -$х1 d) # = 2* —6;
2
е) у = ^х — 6.
6. Напишите уравнение прямой с подъемом —5, содержащей точку (0,4).
7. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку (7, —6) и
параллельной прямой с уравнением
1 , ,
# = у*+1.
8. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку ( — 2,0) и
перпендикулярной прямой с уравнением
436

о В одной системе координат нарисуйте графики уравнений
у = 3, */ = * + 3, 0_з=—1(*-8).
a) Какие координаты имеют три точки, в которых пересекаются эти
прямые?
b) Найдите плошадь треугольной области, ограниченной этими тремя
прямыми.
Ю*. В одной системе координат ^нарисуйте графики уравнений
1 3 4
#=——* + 4, # = —* + 4, у+\ ==_— (д;_-10).
a) Какие координаты имеют три точки, в которых пересекаются эти
прямые?
b) Найдите площадь треугольной области, ограниченной этими тремя
прямыми.
П*. Нарисуйте график уравнения х = \у\.
12*. Нарисуйте график уравнения !*| + |у| = 4.
13^. Пользуясь уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном
направлении, докажите, что уравнение прямой, проходящей через точки
(а, 0) и (0, Ь) можно записать в виде
1 + у-1 (α'6^°>·
Объясните, почему уравнение в такой форме называется «уравнением
прямой в отрезках на осях (координат)».
14+. Пользуясь задачей 13, напишите уравнение прямой, пересекающей ось χ
при л: = 5 и ось у при у = 3. Проверьте свое уравнение с помощью
уравнения прямой с подъемом или уравнения прямой, проходящей через данную
точку в данном направлении.
15*+. Уравнение
3*-|-6# + 2г=12
в системе координат в пространстве является уравнением некоторой
плоскости, пересекающей каждую из осей координат. Какие координаты имеют
точки пересечения этой плоскости с осями?
16*". На этом рисунке плоскость
/( пересекает оси в указанных
точках. Вот уравнение
плоскости К:
6* + 4у + 9г = 36.
a) Напишите уравнения
прямых,, по которым плоскость
К пересекается с каждой
координатной плоскостью.
b) Покажите, что уравнение
плоскости К можно
переписать в виде
6 ^ 9 + 4
437

17*+. Напишите уравнение плоскости, определяемой тремя точками:
a) (5, 0, 0), (0, 3, 0) и (0, 0, 4);
b) (12, 0, 0), (0, 4, 0) и (0, 0, -3);
c) (5, 0, 0), (0, -3, 0) и (0, 0, 10).
(Указание. См. задачи 13 и 16. Доказывать, что ваши уравнения
правильны, не требуется.)
18*+. Для каждого из следующих уравнений определите точки пересечения
соответствующей плоскости с осями и нарисуйте эти плоскости в
пространстве:
a) 4* + 3# + 2г=12;
b) 14*+ 35у+Юг = 70;
c) 9* —7# + 22г = 63;
d) 6* + 5z=:30.
19*+. На этом рисунке АВ, CD и EF — соответственно проекции прямой PQ на
плоскости хОу, уОг и хОг.
a) Найдите координаты точек А, В, С, D, Ε и F,
b) Найдите уравнение прямых АВ, CD и EF в координатных плоскостях,
в которых они лежат.
Конкурсная задача
Дан А АВС с вершинами Л (а, а'), В (b, b') и С (с, с'), причем 0<
<а<с<Ь и 0 <а' < Ь' <с'.
Докажите, что
SAABC^-2^a(b'~c') +
+ Ь(с,-а') + с(а' — Ь')\.
Что произойдет с правой частью
этой формулы, если поменять местами
точки А а В? точки Л и С? точки В
и С?
^*
С(с,с)
А(а,а) / |
Аз Ll
в(ь,ь'}
ь
χ
438

Вопросы и задачи для повторения
1. Какие координаты имеет проекция точки (5,2) на ось х> на ось у?
2. Выпишите координаты четвертой вершины прямоугольника тремя другими
вершинами которого являются точки ' НУ
(-1, -1), (3, -1) и (3,5)?
3 Найдите периметр и площадь треугольника с вершинами (3 2) (3 4) и
(9, — 4). * h к ' '
4. Дан Δ ЛВС с вершинами А ( — 3, —5), В (3, 3) и С (13, ^α\
a) Найдите координаты середины каждой из его сторон,
b) Найдите длину каждой его медианы.
c) Пользуясь уравнением прямой, проходящей через данную точку в
данном направлении, напишите уравнение прямой, содержащей каждую из
медиан.
5. Вершинами четырехугольника служат точки А( — 1, 1), β м 3) С (6 2)
и Ь (1, —4).
a) Докажите, что □ A BCD — параллелограмм.
b) Покажите, что его диагонали перпендикулярны.
c) Конгруэнтны ли его диагонали?
2
6. Прямая с подъемом -^ содержит точку (0, —6). Какую */-координату имеет
точка этой прямой с лжоординатой 12?
7. Пользуясь методом координат, докажите, что диагонали равнобедренной
трапеции, не являющейся параллелограммом, конгруэнтны.
8. Докажите, что треугольник с вершинами Л( —3, 7), В (2, —2) и С (11 3)
является равнобедренным и прямоугольным. ' ' '
9. Одним концом отрезка является точка (—1, 8), а его серединой —точка
(4, 2). Найдите координаты другого конца.
10. Треугольник имеет вершины А (5, 7), В (2, 0) и С (5, —3). Найдите длину
высоты, проведенйой к наибольшей стороне. Найдите Площадь
треугольника.
П. Отрезок имеет концы (4, —2) и (13, 13). Найдите координаты точек
делящих этот отрезок на три конгруэнтные части. '
12. Напишите уравнение множества всех точек Ρ (дс, у), равноудаленных от
точек А (0, 8) и В (12, —8). у
13. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку (0, 5) и
параллельной прямой у = 2х—13.
14. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку (6, _п и
перпендикулярной прямой # = 3#+1. У '
1э В одной системе координат нарисуйте графики уравнений х — 9 и —χ и
a) Найдите координаты точек пересечения этих прямых.
b) Найдите площадь треугольной области, ограниченной этими прямыми.

И ОКРУЖНОСТИ
И СФЕРЫ

§ ι. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Грубо говоря, окружность—это граница круга на плоскости,
а сфера — это поверхность шара в пространстве. Следующие
определения выражают те же идеи на более точном языке.
Определение
Пусть Ρ — точка в данной плоскости иг — некоторое
положительное число. Окружностью с центром Ρ и радиусом г
называется множество всех точек этой плоскости, расстояние
которых от Ρ равно г.
Определение
Пусть Р —точка и г —некоторое положительное число.
Сферой с центром Ρ и радиусом г называется множество
всех точек пространства, расстояние которых от Ρ равно г.
Две или более сферы или окружности, имеющие один и тот
же центр, называются концентрическими.
На нашем рисунке Р — общий центр трех концентрических
окружностей.
441

Хордой данной окружности
называется отрезок, оба конца которого
принадлежат этой окружности.
На нашем рисунке отрезок АВ
является хордой.
Прямая, имеющая с окружностью
две общие точки, называется секущей
этой окружности.
Таким образом, каждая хорда
определяет некоторую секущую и
каждая секущая содержит хорду.
Точно так же хордой данной сферы
называется отрезок, оба конца
которого принадлежат этой сфере, а
секущей данной сферы называется прямая,
имеющая с ней две ©бщие точки.
Диаметром окружности или сферы
называется хорда, содержащая ее
центр.
Радиусом окружности называется
отрезок, соединяющий центр с
какой-либо точкой этой окружности.
(И аналогично для сферы.) Если
Ρ — центр окружности, то точка А
называется внешним концом
радиуса РА.
Заметим, что слово радиус мы
употребляем в двух смыслах,
понимая под ним или отрезок, или число;
но из контекста должно быть ясно,
что каждый раз имеется в виду.
Точно так же если окружность имеет
радиус г, то о числе 2г мы будем
говорить как о диаметре этой
окружности. Конечно, число 2г есть
длина каждой хорды, проходящей
через центр.
442

Повторяем. На рисунке число г
есть радиус окружности, но и отрезки Ρ В
и р~А— ее радиусы; число 2г есть диаметр
этой окружности, но и отрезок АВ — ее
диаметр. Отрезок PC является радиусом этой
окружности с внешним концом С.
Теорехма 14.1
Пересечение сферы с плоскостью, проходящей через ее центр,
есть окружность с тем же центром и тем же радиусом.
Чтобы понять, почему это так, нам нужно только вспомнить
определение сферы и определение окружности. Пусть даны сфера
S с центром Ρ и радиусом г и плоскость £, проходящая через Р.
Тогда S —это множество всех точек пространства, расстояние
которых от Ρ равно г. Пересечение S и £ является множеством всех
точек плоскости Еу расстояние которых от Ρ равно г. Но это и
есть окружность с центром Ρ и радиусом г.
Зная это, мы можем дать следующее определение.
Определение
Пересечение сферы с плоскостью, проходящей через ее центр,
называется большой окружностью1 этой сферы.
Для этого термина есть и другое основание: большие
окружности—это наибольшие окружности, лежащие на сфере.
Например, если мы проведем обычным образом, как на глобусе,
меридианы и параллели, то меридианы и экватор будут большими
окружностями, а остальные параллели — не будут. Все эти
параллели меньше экватора, а вблизи Северного и Южного полюсов
они становятся очень маленькими.
1 Более распространен традиционный (и, строго говоря! не вполне «гра-
ютный») термин «большой круп»
443

Задачи к § 1
1. Дополните. Множество всех точек ..., находящихся на данном расстоянии
от данной точки, называется
2. Дополните. Диаметром окружности называется ..., содержащая ... этой
окружности.
3. Следующее предложение содержит слово «диаметр» дважды; объясните, как
его в каждом случае нужно понимать.
Хотя окружность может иметь только один диаметр, она имеет и
бесконечно много диаметров.
4. Что понимается под словом «радиус» в формулировке теоремы 14.1?
5. Укажите, верно или нет каждое из следующих утверждений:
a) Диаметр окружности является ее секущей.
b) Все-радиусы данной сферы конгруэнтны.
c) Каждый диаметр сферы является диаметром и некоторой ее большой
окружности.
d) Радиус окружности является ее хордой.
e) Секущая сферы имеет с ней ровно одну общую точку.
f) Хорда окружности содержит ровно две ее точки.
g) Сфера и ее большая окружность имеют один и тот же центр и один и
тот же радиус.
6. Какие из следующих утверждений, по вашему мнению, верны?
a) Если радиус окружности делит пополам ее хорду, то он
перпендикулярен этой хорде.
b) Пересечение прямой с окружностью может быть пусто.
c) Две окружности могут пересекаться ровно в трех точках.
d) Прямая может иметь с окружностью ровно одну общую точку.
e) Две сферы могут пересекаться ровно в одной точке.
f) Две сферы могут пересекаться по окружности.
g) Секущая, являющаяся медиатрисой некоторой хорды данной
окружности, содержит центр этой окружности.
h) Если прямая имеет с окружностью одну общую точку, то она имеет
с этой окружностью еще одну общую точку.
D
7. Если А В и CD — два диаметра окружности, то
AC^BD и AC\\BD.
8. Докажите, что диаметры окружности являются ее
наибольшими хордами.
(Указание. Если с —длина какой-нибудь
другой хорды, то будет ли с < 2г?)
9. Если А В и CD — два диаметра сферы, то фигура
ACBD является прямоугольником.
10. Докажите, что если две конгруэнтные хорды
некоторой окружности имеют общий конец с ее
диаметром и пересекают ее по разные стороны от
этого диаметра1, то они определяют с этим
диаметром конгруэнтные углы.
1 То есть по разные стороны от прямой, содержащей этот диаметр. Это
же следует иметь в виду и ниже, например, при доказательстве теоремы 14.16.
444

§ 2. КАСАТЕЛЬНЫЕ К ОКРУЖНОСТИ
Во всем этом параграфе речь будет идти об окружностях,
принадлежащих некоторой фиксированной плоскости.
Внутренность\ Внешность
Определение
Внутренностью окружности
называется множество всех точек
плоскости, расстояние которых от центра
этой окружности меньше ее радиуса.
Внешностью окружности
называется множество всех точек плоскости,
расстояние которых от центра этой
окружности больше ее радиуса.
Таким образом, каждая точка плоскости лежит или внутри
окружности, или вне ее, или же она принадлежит данной
окружности. (Мы говорим, что точка лежит внутри окружности, если
она принадлежит внутренности этой окружности, и что точка
лежит вне окружности, если она принадлежит ее внешности.
Напомним также, что 0<г и, значит, центр окружности всегда
лежит внутри ее.)
Определение
Касательной к окружности
называется (принадлежащая той же
плоскости) прямая, имеющая с окружностью
одну и только одну общую точку. Эта
точка называется точкой касания.
Мы будем говорить, что прямая и окружность касаются в этой
точке.
Каждая окружность имеет касательную во всякой своей точке.
В этом можно убедиться из следующей теоремы:
Теорема 14.2
Прямая, перпендикулярная радиусу
окружности в его внешней точке,
является касательной к этой окружности.
Доказательство. Пусть / —
перпендикуляр к радиусу PQ в точке Q.
Нам
нужно показать, что никакая
другая точка прямой / не лежит на нашей
окРужности.
445

Пусть R — любая другая точка прямой /. По первой теореме
о минимуме (теорема 7.7) кратчайший отрезок, соединяющий
точку Ρ с прямой /, есть перпендикулярный отрезок. Поэтому PR^>Pq
Следовательно, PR > г и точка R не лежит на нашей окружности'
R лежит вне ее.
Верно и обратное:
Теорема 14. 3.
Каждая касательная к окружности перпендикулярна радиусу
этой окружности, проведенному в точку касания.
Левый рисунок показывает ситуацию в том виде, в котором
она встречается в действительности, а правый иллюстрирует
доказательство от противного, которое мы проводим ниже.
Доказательство. Дано, что прямая / касается
окружности С в точке Q. Допустим, что прямая / не перпендикулярна
радиусу PQ* Мы покажем, что это предположение приводит к
противоречию.
Пусть F—основание перпендикуляра, опущенного из центра
окружности Ρ на прямую /. Тогда Fy£Q. Пусть R — точка на
луче, противоположном лучу FQ, такая, что FR — FQ. Тогда
/\PFRq^/\PFQ. (Почему?) Следовательно, PR = PQ = r и точка
R лежит на нашей окружности. Таким образом, прямая /
пересекает окружность не в одной точке, а в двух. Но это невозможно,
так как / — касательная. Поэтому наше предположение было
ошибочно и / J_ PQ в точке Q, что и требовалось доказать.
Две окружности на левом рисунке касаются одна другой
внутренне, а на правом — внешне.
446

Определение
Говорят, что две окружности касаются, если они
касаются одной и той же прямой в одной и той же точке. Если две ка-
саЮщиеся окружности компланарны и их центры лежат по одну
сторону от их общей касательной, то говорят, что они каса-
ю тс я внутренне. Если две касающиеся окружности
компланарны и их центры лежат по разные стороны от их общей
касательной, то говорят, что они касаю тся внешне.
Задачи к § 2 (часть 1)
1. Нарисуйте окружность с центром Ρ и радиусом PQ = 3 см. Нанесите точку
А, для которой РЛ = 4 см, и точку 5, для которой Ρ В = 2 см. Теперь
дополните следующие утверждения.
a) Точка Л принадлежит... окружности, потому что... .
b) Точка В принадлежит... окружности, потому что... .
c) Окружности с радиусами PA, PQ и Ρ В называются... .
2. Расскажите, как сможете вы построить касательную к окружности в
данной ее точке, если вам известен центр этой окружности.
3. Е — точка, лежащая вне окружности. Сколько касательных к этой
окружности содержат точку £? Сделайте рисунок.
4. Доказать: если даны две концентрические
окружности, тогда каждая хорда большей
окружности, касающаяся меньшей окружности,
делится точкой касания пополам (см. рисунок).
(Указание. Проведите отрезки РАУ PQ и
ИЗ.)
5. Докажите, что касательные к окружности,
проведенные в концах ее произвольного диаметра,
параллельны.
6. На рисунке показано одно из возможных
расположений трех окружностей, имеющих
различные радиусы, при котором каждая из этих
окружностей касается двух других. Сделайте
рисунки, показывающие, по крайней мере, еще
три другие возможности.
'· Докажите следующую теорему:
Если две окружности касаются, то их центры коллинеарны с тонкой их
касания.
(Указание. Проведите их общую касательную.)
Случаи t
Случай 2
447

8. Докажите, что если две конгруэнтные окружности касаются внешне, То
любая точка, равноудаленная от их центров, принадлежит их общей
касательной.
9. Расстояние от точки Ε до центра А окружности равно 20. Радиус окру^.
ности равен 5. Прямая, проходящая через £, касается этой окружности
в точке В. Найдите ЕВ.
10. Каждая из окружностей с центрами Л, В и С на этом рисунке касается
двух других. Найдите радиусы всех этих окружностей, если /45 = 10, АС =^
== 14 и ВС = IS. (Указание. Радиус одной из окружностей обозначьте
буквой л:.)
11. Дан рисунок, на котором точки Ρ и Р' являются центрами касающихся
окружностей, а прямые РВ и Р'А — касательными соответственно в точках
В и А. Найдите РВ и Р'А, если дано, что радиусы этих окружностей
равны 9 и 6.
12. Две концентрические окружности имеют диаметры 10 и 26. К меньшей
окружности проведена касательная. Найдите длину отрезка этой
касательной от точки ее пересечения с большой окружностью до точки касания
с меньшей.
13*. Дано: Отрезок АВ на левом рисунке является диаметром окружности
с центром Р. Прямая / касается этой окружности в точке Т. Отрезки
AD и ВС перпендикулярны /.
Требуется доказать: PD = PC.
14*. На правом рисунке окружности с центрами Ρ и 5 касаются прямой
в точке Q. Секущая большей окружности проходит через Р, касается MCUjl'
шей окружности в точке Τ и пересекает прямую / в точке R. Найдите Qa·
если дано, что радиусы этих окружностей равны 8 и 3.
15*. Л Б —диаметр и АС — любая другая хорда окружности с центром Р.
Секущая, проведенная через Ρ параллельно АС, пересекает в точке D
касательную к окружности в точке С. Докажите, что прямая DB касается это
окружности в точке В. (Указание. Проведите радиус PC.)
448

Легко доказать следующие теоремы.
Теорема 14.4
Перпендикуляр, опущенный из центра
окружности на любую ее хорду, делит
эту хорду пополам.
Теорема 14.5
Отрезок, соединяющий центр
окружности с серединой любой ее хорды,
перпендикулярен этой хорде.
Теорема 14.6
Медиатриса любой хорды данной
окружности в плоскости этой окружности
проходит через центр окружности.
Доказательство? (Если вам не ясно, как
применить одну из предыдущих теорем,
то попытайтесь воспользоваться теоремой
6.2.)
Следствие 14.6.1
Никакая окружность не содержит трех коллинеарных точек
449

Доказательство. Если бы три точки Q, R и S были
коллинеарны, то медиатрисы хорд QR и RS были бы параллельны.
Но это невозможно, так как обе эти прямые проходят через центр
окружности.
Определение
Окружности с конгруэнтными радиусами называются
конгруэнтными.
Заметим, что это определение конгруэнтных окружностей
согласуется с употреблением слова конгруэнтные для отрезков, углов
и треугольников. Во всех случаях в основании лежит одна и та
же идея: две фигуры конгруэнтны, если они одинаковы и по форме
и по размерам.
Теорема 14.7
В одной окружности или же в конгруэнтных окружностях
хорды, равноудаленные от центра, конгруэнтны.
Доказательство? (Некоторые пометки на наших рисунках
основаны на теореме 14.4.)
Теорема 14.8
В одной окружности или же в конгруэнтных окружностях
любые две конгруэнтные хорды равноудалены от центра.
Доказательство?
450

В заключение отметим следующую
теорему:
Теорема 14.9
Если прямая содержит какую-нибудь-
точку, лежащую внутри окружности, то
она пересекает эту окружность в двух и
только в двух точках.
Доказательство. Пусть, как на
нашем рисунке, С —окружность радиуса г
и / — прямая. Допустим, что / содержит
точку R, лежащую внутри окружности С; тогда PR < г. Пусть
f — основание перпендикуляра, опущенного из точки Ρ на
прямую /, и пусть PF = s.
1°. Если точка X одновременно принадлежит и / и С, то /\PFX
имеет при вершине F прямой угол, и потому
Следовательно,
r2 = s* + FX*.
FX = yr*--s*.
2°. Если точка X принадлежит прямой / и если FX ■·
то точка X принадлежит также С. В самом деле,
РХ2 = RF2 + FX2 = s2 + (г2 - s2) = г\
Yr*-i
Но г2 —s2>0, так как г>0. Таким образом, по теореме
о нанесении точки существует ровно две точки X прямой /, для
которых FX = Yr2 — s2. Следовательно, окружности С
принадлежат две и только две точки прямой /, что и требовалось доказать.
Задачи к § 2 (часть 2)
1. Сформулируйте теорему или следствие, на
которые опирается каждое из следующих
заключений. Обозначения указаны на рисунке, где
Р — центр данной окружности.
a) Если TN 1 ~CD, то CN = ND.
b) Точки A, Q и В не коллинеарны.
c) Если PM = PN, РМ 1 АВ и ~PN I CD, то AB^CD.
d) Если AB^CD, РМ ± IS и ~PN ± CD, το ΡΜ = ΡΝ.
e) Если RT — касательная, το^Ι PQ.
О Если точка Μ лежит внутри окружности, то прямая MQ пересекает
окружность в одной к только одной точке, не считая точки Q.
451

2. Хорда окружности радиуса 10 см удалена на
расстояние 6 см от центра этой окружности.
Какую длину имеет хорда?
3. Диаметр окружности и хорда имеют общий
конец. Насколько отстоит хорда от центра
окружности, если длина диаметра равна 40, а
хорды 24?
4. Хорда длиной 16 см удалена на 15 см от
центра окружности. Чему равен радиус
окружности?
5. На этом рисунке Р — центр окружности,
P'D 1 АС, Р£ ± ЯС
и
PD = PE.
Докажите, что L DBA ^ L ЕАВ.
6. Докажите, что середины всех хорд произвольной
окружности, конгруэнтных некоторой данной
хорде, образуют окружность, концентрическую
с данной окружностью; радиус этой последней
окружности равен расстоянию любой из этих
хорд от центра.
7. Докажите, что если две хорды произвольной
окружности, имеющие общий конец, определяют
с диаметром, имеющим тот же конец,
конгруэнтные углы, то эти хорды конгруэнтны.
8. Дана дуга какой-то окружности, как на
рисунке справа. Объясните, как можно найти
центр и радиус этой окружности.
9. Хорда длиной 12 см параллельна касательной
к окружности и делит пополам радиус,
проведенный в точку касания. Какую длину имеет
радиус?
10. Хорда длиной 18 см перпендикулярна радиусу
окружности. Расстояние от точки пересечения
хорды с радиусом до внешнего конца радиуса
равно 3 см. Найдите длину радиуса.
11. Ответ на каждый из пунктов этой задачи
должен иметь следующий вид. Если в задаче
содержится больше информации, чем нужно для
получения числового ответа, то напишите
«излишне». Если вам не хватает данных, то
напишите «не достаточно». Если количество
информации ровно таково, какое нужно для
получения числового ответа^ то напишите
«правильно».
452

Если содержащаяся в условии информация
противоречива, то напишите «противоречиво». Точка Ρ
на рисунке является центром окружности, и
ABLCD.
(Замечание. Решать эти задачи нет
необходимости; вам нужно только выяснить, можете ли вы
их решить или нет.)
а) Л/г = 5,
с) ЛС=9,
d) CF = 3,
е) />Я=13,
f) Л£=16,
g) ГС = 7,
h) CD = 30,
i) P£ = 25,
j) />D=12,
ЛЯ = ?
РЯ = ?
FP = 2,
pf=5,
CD = 20,
РЯ=17,'
ЛЯ=24,
F£ = 20,
Cf = 6,
b) P5 = 7,
PD = 6,
Л£ = ?
CF = 4,
F5=10,
ЛС = ?
С/7 =10,
ЛЯ = ?
CD = ?
CD = ?
P£ = ?
CD = ?
ЛС=?
12*. Докажите, что если точка пересечения двух
конгруэнтных хорд (не диаметров) некоторой
окружности принадлежит некоторому диаметру, то эти
хорды образуют с рассматриваемым диаметром
конгруэнтные углы.
13*. Две окружности неравных радиусов пересекаются в точках R и S. Точка Μ
является, серединой отрезка РР\ соединяющего центры этих окружностей.
Прямая, проходящая через точку R и перпендикулярная отрезку MR,
пересекает эти окружности (не считая точки R) в точках А и В. Докажите,
что AR = BR.
14*. Докажите следующую теорему:
Любые три неколлинеарные точки принадлежат некоторой окружности.
§ 3. КАСАТЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ К СФЕРЕ
Если вы действительно проработали предыдущий ' параграф,
то вы не встретите трудностей и в этом параграфе. Дело в том,
что отношение между сферами и плоскостями в пространстве очень
похоже на отношение между окружностями и прямыми на
плоскости. Поэтому существует очень тесная аналогия между
определениями и теоремами из предыдущего параграфа и
определениями и теоремами этого параграфа.
Определения
Внутренностью сферы называется множество всех точек
пространства, расстояние которых от центра этой сферы меньше
ее радиуса. Внешностью сферы называется множество всех
почек пространства, расстояние которых от центра этой сферы
больше ее радиуса.
453

Таким образом, каждая
точка пространства или
принадлежит внутренности сферы, или
принадлежит ее внешности, или
же, наконец, принадлежит
данной сфере. (Мы говорим также,
что точка лежит внутри
сферы, если она принадлежит ее
внутренности, и что точка
лежит вне сферы, если она
принадлежит ее внешности.
Напомним также, что 0<У и,
значит, центр сферы всегда лежит
внутри ее.)
Определения
Касательной
плоскостью к сфере называется
плоскость, имеющая со сферой одну
и только одну общую точку.
Эта точка называется
точкой касания. Мы будем
говорить, что плоскость и сфера
касаются друг друга в этой
точке.
Внутренность\ Внешность
На нашем рисунке плоскость Ε касается сферы в некоторой точке.
Впечатление будто точка касания не принадлежит «контуру» сферы.
(Когда шар лежит на столе и мы смотрим на него сверху, мы не
можем видеть его точки опоры.)
Каждая сфера имеет касательную плоскость во всякой своей
точке. Это вытекает из следующей теоремы.
Теорема 14.10
Плоскость,
перпендикулярная радиусу сферы β его
внешнем конце, является
касательной к этой сфере.
Доказательство. Пусть
плоскость Ε перпендикулярна
радиусу PQ в точке Q. Нам
нужно показать, что никакая
другая точка плоскости Ε не
лежит на нашей сфере.
454

Пусть R — любая другая точка плоскости Е. По второй теореме
о минимуме (теорема 8.10) кратчайший отрезок, соединяющий
точку Ρ с плоскостью £, перпендикулярен плоскости. Поэтому
p#;>PQ. Следовательно, PR>r и точка R не принадлежит
нашей сфере — R лежит вне сферы.
Верно и обратное:
Теорема 14.11
Каждая касательная плоскость к сфере перпендикулярна
радиусу этой сферы, проведенному в точку касания.
Доказательство. Дано, что плоскость Ε касается сферы S
в точке Q. Допустим, что плоскость Ε не перпендикулярна
радиусу PQ. Мы покажем, что это предположение приводит к
противоречию. Наш рисунок иллюстрирует доказательство от
противного.
Пусть Ζ7-—основание перпендикуляра, опущенного из центра
сферы Ρ на плоскость Е. Тогда F^Q. Пусть, далее, R — такая
точка луча, противоположного лучу FQ, что FR = FQ. Тогда
Δ PFR ^ Д PFQ. (Почему?) Следовательно, PR = PQ = rw точка R
принадлежит нашей сфере. Таким образом, плоскость Ε
пересекает сферу еще в одной точке, отличной от Q. Но это
невозможно, так как Е — касательная плоскость.
На рисунке к этому доказательству и на нескольких
рисунках раньше пересечение плоскости и сферы выглядело как
окружность. Прежде чем продолжить исследование касательных
плоскостей, покажем, что эти рисунки были правильными.
Теорема 14.12
Если плоскость содержит какую-нибудь точку, лежащую внутри
суеРы, то пересечение этой плоскости и сферы есть окружность,
Центром этой окружности служит основание перпендикуляра,
тЩенного из центра сферы на данную плоскость.
455

ζ
Доказательство. Обозначения указаны на рисунке. Дано,
что плоскость Ε содержит точку /?, лежащую внутри сферы S.
Пусть F — основание перпендикуляра, опущенного из точки Ρ на
плоскость Е. Нам нужно показать, что пересечение Ε и S
является окружностью с центром F.
Ясно, что PR<Cr, так как R лежит внутри сферы. По
второй теореме о минимуме PF^PR. Следовательно, PF<г\
обозначим PF = s.
1°. Пусть X — любая точка, принадлежащая пересечению Ε и S.
Тогда /\PFX имеет при вершине F прямой угол, и потому
s2 + FX2 = r* и FX = }/ г2 — s2. Таким образом, точка X
принадлежит окружности с центром F и радиусом / = |/ г2 — s2.
Итак, пересечение Ε и S содержится в окружности с
центром F и радиусом / = |/r2 — s2.
Это еще вовсе не означает, что это пересечение есть
рассматривав мая окружность. Чтобы довести доказательство до конца,
нам нужно показать, что каждая точка нашей окружности
принадлежит этому пересечению.
2°. Пусть X — любая точка окружности в плоскости Ε с
центром F и радиусом t = Yr2 — s2. По теореме Пифагора
PX* = t* + s2 = (r2-s2) + s2 = r2.
Таким образом, РХ = г и точка X лежит на сфере.
Теорема 14.13
Перпендикуляр, опущенный из центра
сферы на любую ее хорду, делит эту хорду
пополам.
Доказательство? (Оно такое же, как и
у теоремы 14.4.)
456

Теорема 14.14
Отрезок, соединяющий центр
сферы с серединой любой ее хорды,
перпендикулярен этой хорде.
Доказательство сходно с
доказательством теоремы 14.5.
Задачи к § 3
10.
Дополните. Если плоскость
пересекает сферу, то их пересечение есть
или ..., или —
Дополните. Если прямая пересекает
сферу, то их пересечение есть или ...,
или —
Могут ли три точки сферы быть кол-
линеарны? Объясните.
Плоскость Ε касается сферы S в
точке А. Точка Ρ является центром сферы
S, а точки Ву С и D принадлежат
плоскости Е. В каком отношении
находится прямая РА к прямым АВ,
АС и AD? Объясните.
Хорда сферы радиуса 15 находится на расстоянии 9 от центра этой сферы.
Какую длину имеет хорда?
Хорда длиной 12 см отстоит от центра сферы на 6 см. Найдите радиус сферы.
Докажите, что если два диаметра сферы перпендикулярны, то фигура,
образованная отрезками, последовательно соединяющими их концы, является
квадратом.
Найдите радиус окружности, являющейся пересечением сферы диаметра 10 ел*
и плоскости, отстоящей от центра сферы на 4 см.
Даны сферы и три точки на ней. Объясните, как определить центр и радиус
окружности, содержащей эти три точки Объясните, как определить центр
и радиус сферы.
Объясните, почему любые две
большие окружности сферы пересекаются
в концах некоторого диаметра этой
сферы.
• Докажите следующую теорему
Если две плоскости пересекают
сферу и если их расстояния от цен-
тра сферы равны, то их пересечения
со сферой представляют собой либо
°в<? точки, либо две конгруэнтные
окружности.
Vol

12*. Дано. Плоскость Ε пересекает
сферу 5. Точка Ρ является центром
сферы 5, а точки Л, В, С и Μ
принадлежат плоскости Е, причем
точки А и В принадлежат также сфере S.
РМ±.Е, АМ1.МВ, АС = ВС,
АМ=РМ, АВ = 5.
Требуется найти. Радиус сферы,
т £ АРВ и PC.
13*+β Две большие окружности
называются перпендикулярными, если они
лежат в' двух перпендикулярных
плоскостях. Покажите, что для любых
двух больших окружностей
существует третья большая окружность,
перпендикулярная им обеим. Если две
данные большие окружности являются
меридианами на поверхности Земли
(проходящими через полюсы), то
какая большая окружность
перпендикулярна им обеим?
14*+. Точки Ρ и Р' на этом рисунке являются центрами сфер S и S'. Точки А
и В принадлежат пересечению этих двух сфер. Прямые АВ и РР'
пересекаются в точке М. Прямая РА касается 1 сферы 5' в точке А.
a) Объясните, какое множество является пересечением сфер S и 5'.
b) Найдите радиус сферы S' и расстояние между центрами сфер, если
радиус сферы S равен 12 и РА = АВ.
§ 4. ДУГИ ОКРУЖНОСТЕЙ
Мы начали эту главу с изучения окружностей, а затем
перешли к рассмотрению аналогичных вопросов для сфер. Однако
в оставшейся части этой главы мы ограничимся только
окружностями, потому что соответствующая теория для сфер слишком
трудна для того, чтобы ее можно было включить в
первоначальный курс геометрии.
На следующем рисунке /, АРВ является центральным углом
окружности С.
Определение
Центральным углом окружности называется угол,
вершиной которого является центр этой окружности.
1 То есть имеет со сферой S' лишь одну общую точку. — Прим. перев.
458

На следующем рисунке жирная
лйНия является меньшей дугой АВ,
а черная более тонкая часть
окружности—большей дугой АВ. В любом
Из этих случаев точки А я В
называются концами дуги.
Определения
Пусть С —окружность с
центром Р> А и В —точки,
принадлежащие С, но не являющиеся концами
одного диаметра. Тогда меньшей
дугой А В называется объединение
точек А и В и всех точек
окружности С, лежащих внутри 2 АРВ.
Большей дугой АВ называется
объединение точек А и В и всех
точек окружности С, лежащих вне
/.АРВ. В каждом из этих случаев
точки А и В называются концами
дуги АВ.
Если точки А я В служат
концами какого-либо диаметра, то мы
получаем две дуги, каждая из
которых называется полуокружностью.
Определение
Пусть С — окружность, А и В—
концы какого-либо одного ее диаметра.
Полуокружностью АЁ
называется объединение точек А и В и
есех точек окружности С, лежащих
8 данной полуплоскости, имеющей
своим ребром прямую АВ. Точки А
и В называются концами полу-
окРУжности.
Заметим, что обозначение дуг сим-
*10м АВ всегда недостаточно четко,
к как любые две точки А я В

30ΟΊ
<300
окружности служат концами двух различных дуг этой
окружности. Простейший способ, позволяющий избавиться от этой
неточности, состоит в том, чтобы выбрать еще одну точку X
данной дуги и обозначать дугу символом АХВ. Например, на нашем
рисунке АХВ есть меньшая дуга, изображенная жирно, a AYB —
большая дуга, изображенная более тонко. Когда из контекста
ясно, о какой дуге идет речь, можно писать просто АВ.
Теперь мы хотим определить градусную меру дуг в
соответствии с тем, как это подсказывается следующими рисунками.
Заметим, что градусная мера дуги не зависит от размера
окружности. Соответствующие дуги двух концентрических
окружностей на нашем рисунке имеют одну и ту же меру. Заметим
также, что когда дуга (на
фиксированной окружности) становится больше,
то увеличивается и ее мера. Таким
образом, большая дуга всегда имеет меру,
превосходящую 180.
Эти идеи выражаются следующими
определениями:
Оп|юделение
1°. Градусной мерой меньшей
дуги называется мера
соответствующего центрального угла.
2°. Градусная мера
полуокружности равна 180.
3°. Градусная мера большей
дуги равна 360 минус мера
соответствующей меньшей дуги.
тш=Г
r2L
т^п ^360-г
1АХд
460

Начиная с этого момента градусную меру дуги мы будем
называть просто «мерой» этой дуги. Мера дуги А В обозначается
символом тАВ.
Следующая теорема кажется вполне естественной, но ее
доказательство удивительно нудно.
Теорема 14.15 (теорема сложения дуг)
Если В —точка дуги АС, то
тАВС = тАВ + тВС.
Доказательство этого утверждения мы
опускаем; для практических целей мы
будем его рассматривать как аксиому.
Заметим, что когда ABC— меньшая дуга,
наша формула сразу следует из аксиомы
сложения углов. Существуют, однако, и
другие случаи, которые необходимо
рассмотреть в полном доказательстве.
Задачи к § 4
1. Точки А и В на этом рисунке являются
концами диаметра.
a) Назовите полуокружности.
b) Назовите меньшие дуги.
c) Назовите большие дуги.
2. Точка Ρ на левом рисунке является центром
окружности и RQ = PS. Найдите mRQ, mRS
и mR$Q.
Диаметры АВ и CD на правом рисунке
пересекаются в центре окружности Р. Найдите
меру каждой из меньших дуг этой окружности,
если т l ABC = 40.
4· Докажите,' что если GH и МК — два диаметра
окРУжности, TomGk=*mffM.
ABC
461

5. Какая дуга на этом рисунке имеет самую
большую меру?
6. Докажите, что биссектриса центрального угла
окружности делит пополам соответствующую
меньшую дугу.
7. Дано. АВ — полуокружность с центром С
PQ — полуокружность, концентрическая
с АВ.
'ЕС LAB и DC ±CF.
Требуется доказать.
т AD + mQT = mEF + mRS.
8. Две точки окружности определяют меньшую и
большую дуги. Найдите меру каждой из них,
если мера большей дуги на 40 меньше меры
меньшей дуги, умноженной на 4.
§ 5. ВПИСАННЫЕ УГЛЫ
И ВЫСЕКАЕМЫЕ ДУГИ
Говорят, что Z.X на каждом из
следующих рисунков вписан в изображенную
жирно дугу.
Эту идею легко выразить словами:
Определение
Угол вписан в некоторую дугу, если
1°. стороны угла содержат концы этой
дуги и
2°. вершина угла является точкой, но
не концом этой дуги.
Конечно, если D —любая точка дуги
ABC, отличная от А и С, то ABC^ADC,
так что и ^ ADC вписан в ABC. Все
углы, изображенные на рисунке справа,
вписаны в изображенную жирно дугу. Судя
по рисунку, все они должны быть
конгруэнтны и, как мы увидим ниже, так это
на самом деле и есть.
462

На каждом из этих рисунков данный угол высекает г дугу
или дуги> изображенные жирными линиями.
Но мы не считаем, что угол на этом рисунке высекает
жирную дугу.
Нет!
Определение, которое мы даем ниже, охватывает первые четыре
случая, но исключает пятый.
Определение
Угол высекает некоторую дугу, если
1°. концы этой дуги принадлежат углу,
2°. все остальные точки этой дуги лежат внутри угла и
3°. каждая сторона угла содержит какой-нибудь конец этой
дуги.
1 Чаще говорят, что данный угол опирается на соответствующую дугу.
463

Теорема 14.16
Мера вписанного угла равна поло-
вине меры высекаемой им дуги.
Другая формулировка. Пусть
Z. А вписан в дугу ВАС некоторой
окружности и высекает дугу ВС. Тогда
т L А = ^тВС.
Доказательство. Случай 1.
Рассмотрим сначала случай, когда Ζ А
содержит диаметр нашей окружности.
По следствию 9.13.3
В силу теоремы о равнобедренном
треугольнике t = s. Следовательно,
г
S= тт.
Поскольку s = m £ А и г = тВС,
случай 1 теоремы этим рассмотрен.
Итак, мы уже знаем, что в случае
1 теорема верна. При рассмотрении
каждого из следующих случаев мы
воспользуемся этим фактом.
Случай 2. Допустим, что точки В
и С лежат по разные стороны от
диаметра, проходящего через А, как на
рисунке.
Из случая 1 мы знаем, что
—\о
Поэтому
Но
ί =
U = j.
t + u = ±(r + s).
t + u = m L А и r + s = mBDC.
(Основание в каждом из этих случаев?) Следовательно, как и
раньше,
т С А^-^тВС.
464

Случай 3. Допустим, наконец,, что точки В я С лежат по
0дну сторону от диаметра, проходящего через А. Тогда
r + s = mBCD
И t + u = m£BAD.
\\о мы знаем (случай 1), что
t + u-
(' + «)
Поэтому
" = |S.
'=2'
1 rO,
и, как и раньше, т L А = 2 m ВС
(Основания для каждого шага?) Теорема 14.16
имеет два важных следствия.
Следствие 14.16.1
Любой угол, вписанный в
полуокружность, является прямым. Доказательство
очевидно: такой угол всегда высекает
полуокружность, а 90 = у· 180.
Следствие 14.16.2
Каждые два угла, вписанные в одну и ту же дугу, конгруэнтны.
Это снова очевидно: они высекают одну и ту же дугу.
Определения
Говорят, что четырехугольник вписан в некоторую
окружность, если все его вершины лежат на этой окружности Говорят,
чтя четырехугольник описан около окружности, если каждая его
сторона касается этой окружности 1.
То есть прямая, содержащая эту сторону, касается окружности и точка
асания лежит на этой стороне.
465

6 А В — диаметр окружности, а С и D —точки
этой окружности, лежащие по разные стороны
от А В и такие, что BC = BD. Докажите, что
&ABC^&ABD.
7, Дано. Я —центр полуокружности АВ; отрезок
АС делится пополам радиусом PR, а отрезок
g£ —радиусом PQ.
Требуется доказать. PR J_ PQ·
8. Докажите, что если две окружности внутренне
касаются и если меньшая окружность содержит
центр большей, то любая хорда большей
окружности, имеющая одним концом точку касания,
делится меньшей окружностью пополам.
9, Дан рисунок, где т AG = m BG. Докажите, что
/\MHB~AMAG.
10. Докажите, что параллельные хорды в любой
окружности высекают дуги, имеющие равные
меры.
1U Докажите следующую теорему: "
Диаметр окружности, перпендикулярный хорде,
делит пополам каждую дугу, определяемую
концами этой хорды.
12, Докажите, что если угол, вписанный в дугу
окружности, —прямой, то эта дуга является
полуокружностью.
13, АС В — полуокружность и CD _L А В в точке D.
Докажите, что CD есть среднее геометрическое
чисел AD и DB.
И, а) Дано, что ЛО = 9 и DB = 4. Найдите CD.
b) Дано, что А В = 25 и AD = 5. Найдите CD.
c) Дано, что ЛО = 32 и CD = 8. Найдите DB.
d) Дано, что ЛО = 3 и D£=l. Найдите CD. д
e) Дано, что А В = 25 и CD =12. Найдите AD
и DB.
15*. Докажите, что если диаметр А В окружности
перпендикулярен хорде CD в точке £, то
CD* = 4AE-BE.
*6· Докажите следующую теорему:
противоположные углы вписанного в
окружность четырехугольника пополнительны.
17· Чему равны т LQ, т £ R и т /. S на этом
Рисунке, если т L Р = 60 и mPSR— 128?

18*. Отрезок А В на этом рисунке является
диаметром меньшей из двух концентрических
окружностей. Отрезки АР и BQ касаются
меньшей окружности соответственно в точках А
и В. Докажите, что А В и PQ пересекаются
в центре окружностей.
19*. Если равнобедренный треугольник вписан
в окружность1, то мера дуги, высекаемой углом
при его вершине, равна удвоенной разности
мер внешнего угла при основании треугольника
и самого угла при основании.
20*. Д ЛВС вписан в окружность. Хорда АЕ ± ВС,
а хорда CD J_ AB. Докажите, что BD ^ BE2.
21*. Две конгруэнтные окружности внешне
касаются в точке Т. Диаметр PQ одной из них
параллелен диаметру SR другой, причем точки S
и Q лежат по противоположные стороны от
прямой PR. Докажите, что Q PQRS — ромб.
§ 6. КОНГРУЭНТНЫЕ ДУГИ
Определение
Две дуги одной и той же окружности или же конгруэнтных
окружностей называются конгруэнтными, если они имеют одну и
ту же меру.
Заметим, что и здесь, как всегда, интуитивный смысл слова
«конгруэнтные» состоит в том, что две данные фигуры имеют
одинаковые размеры; одну из них можно передвинуть так, что она
совпадет с другой.
Теорема 14.17
Если две хорды одной и той же окружности или же
конгруэнтных окружностей конгруэнтны, то и соответствующие меньшие
дуги конгруэнтны.
1 Определение см. на стр. 559.
2 Определение конгруэнтности дуг дано в следующем параграфе.
468

Доказательство. Обозначения указаны на рисунке. Нам
нужно показать, что r = s. В силу ССС Д АРВ^ /\А'РВ'. Поэтому
т iAPB = m £А'Р'В'. Так как тМ^т Ζ. АРВ и тАЧЗ'=
= Ζ А'Р'В\ то r = s и АВд^ Л7/}'.
Теорема 14.18
Если две дуги одной и той же окружности или же
конгруэнтных окружностей конгруэнтны, то и соответствующие хорды
конгруэнтны.
В доказательстве нужно рассмотреть три случая, так как две
данные конгруэнтные дуги могут быть меньшими дугами,
большими дугами или полуокружностями. На следующем рисунке
показано доказательство для второго из этих случаев.
Мы заключаем, что АВ=-А'В' на основании СУС.
Теорема 14.19
Дан угол с вершиной на окружности, образованный лучом
секущей и лучом касательной. Тогда мера этого угла равна поло-
вине меры высекаемой им дуги.
469

Доказательство. В
обозначениях, указанных на рисунке, имеем
х + у = 909 2y + z = \80;
мы хотим показать, что
Но это ясно, так как
х = 90-у
и
ζ=180-2ί/.
Задачи к § 6
1. На рисунке ABg^CD. Докажите, что
AC^BD.
2. На рисунке у окружности с центром
Ρ имеем РМ = Р/С, причем отрезки Ρ Μ
и Р/С соответственно
перпендикулярны хордам RS и QT. Докажите, что
RSQ^QT.
3. Лучи КН и KG касаются окружности в
точках Η и G. Найдите т ί. DGH
и т L GHK, если мера большей дуги
GH равна 242.
4. Почему на рисунке для задачи 3
LKHG^sLKGH?
5. Покажите, что если на рисунке для
задачи 3 т L /( = 60, то мера большей
дуги GH равна удвоенной мере меньшей
дуги GH.
6. Докажите, что если две касательные
к окружности пересекаются, то вместе
с хордой, соединяющей точки их касания,
они образуют равнобедренный
треугольник.
7. Докажите следующую теорему:
Если две дуги конгруэнтны, то любой
угол, вписанный в одну из них,
конгруэнтен любому углу, вписанному в другую.
8. На рисунке ADg^CB. Докажите, что
□ ADBC — равнобедренная трапеция.
470

9. Квадрат П ABCD на правом рисунке вписан
в окружность и Ρ— любая точка дуги А В,
отличная от Л и β Докажите, что лучи PC
и PD делят Ζ АР В на три конгруэнтные части.
10. Прямые РА и PD на этом рисунке касаются
окружности соответственно в точках А и D.
Найдите меру каждого угла и каждой меньшей
дуги на рисунке, если
mAD = 70, гпВС = 170
т L TAB = 40.
11. АВ — диаметр окружности, хорда DE которой
параллельна касательной СВ.
a) Дано, что mBD = 64. Найдите меру
каждого угла и каждой меньшей дуги на рисунке.
b) Дано, что АЕ = 16 и что радиус окружности
равен 10. Найдите длину каждого отрезка.
c) Пользуясь информацией, полученной в Ь),
найдите площадь Π ADBE.
12. Дан угол с вершиной на окружности,
образованный лучом секущей и лучом касательной.
Докажите, что середина высекаемой им дуги
равноудалена от сторон угла.
13*. Две неконгруэнтные окружности касаются
в точке Т. Секущая /, проходящая через Т,
пересекает большую окружность в точке А и
меньшую —в точке В. Докажите, что
касательные в точках А и В параллельны. (За меча-
н и е. Возможны два случая: а) окружности
касаются внутренне; Ь) окружности касаются
внешне.)
14. На этом рисунке PR и QS — касательные,
а PQ — диаметр. Найдите радиус окружности,
если дано, что
mMQ = 120 и /?Q = 8.
15. Докажите следующую теорему:
Мера угла, образованного двумя секущими
окружности, пересекающимися в точке, лежащей
внутри окружности, равна полусумме мер дуг,
высекаемых этим углом и углом, ему
вертикальным.
(Указание. Докажите, что т L DKB =
== г> \rnDB-\-mAC). Сначала проведите хор-
ДУ ВС.)

16. На рисунке к задаче 15 a) mDB = 40 и тАС = 90. Найдите т z. АКС.
b) mAD = 100 и тВС = 170. Найдите т L ВКС.
c) тАС = 130 и m Z DKB = 75. Найдите mDB
d) mACD = 310 и тБС = 200. Найдите т L АКС
e) тВАС = 180 и m Z DKB = 57. Найдите тЖ.
17. Докажите следующую теорему:
Мера угла, образованного двумя секущими окружности, пересекающимися
в точке, лежащей вне окружности, равна полуразности мер высекаемых этим
углом дуг.
(Указание Докажите, что т Z. К = -~ \tnBD —-тАС). Сначала
проведите хорду ВС.)
18. На рисунке к задаче 17
a) mBD = 70 и тАС = 30. Найдите т L К.
,Ъ) mBD = 126 и тАС = 18. Найдите т ί. К.
c) тЛС = 50 и т L К = 22. Найдите mBD.
d) тАВ = 80, mBD = 80 и тсВ=190. Найдите т LK
e) m Ζ /ΐ = 28, mABD = 166 и тАСВ = 290. Найдите /лсБ!
19. Проверьте, что теорема задачи 17 сохраняет силу, если слова «двумя
секущими» заменить словами «секущей и касательной» или же «двумя
касательными».
20. Две касательные к окружности образуют угол с мерой 72. Какую меР"
имеет каждая из высекаемых им дуг?
472

21. Дан0> что пРямая ^5 касается окружности в точке Г, а секущая KR
проходит через центр окружности Р. Найдите mQT и т Δ STR, если
22. Даны две касательные к окружности, пересекающиеся в точке /С. Чему
' равна мера £ К, если мера одной из высекаемых э*гим углом дуг в 4 раза
больше меры другой?
23*+. На этом рисунке mBD = 70 и т L DMB = 4m L К* Найдите т АС и
т L К.
24*+. Дан рисунок. Найдите отношение χ к у, при котором т Z. DMB — 2tn L К*
25*. Дана окружность и точка Р, лежащая вне ее. Прямая, проходящая
через Р, касается окружности в точке Т. Секущая, содержащая Р,
пересекает окружность в точках Q и R, причем точка Q лежит между R и Р.
Биссектриса L QTR пересекает хорду RQ в точке 5. Докажите, что PT = PS.
26*. Дано: AD и DB — диаметры конгруэнтных касающихся окружностей. ВС —
касательная в точке С.
Требуется доказать. тАС=-тDC + mDE.
§ 7. СЕКУЩИЕ И КАСАТЕЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ.
СТЕПЕНЬ ТОЧКИ ОТНОСИТЕЛЬНО ОКРУЖНОСТИ
ч
О'феделение
Если QA — касательная к окружно-
сти в точке А, то отрезок QA
называется касательным отрезком,
введенным к окружности из тон-
Ск
ч
473

Теорема 14.20
Два касательных отрезка,
проведенные к окружности из
точки, лежащей вне ее,
конгруэнтны и определяют
конгруэнтные углы с отрезком,
соединяющим эту точку с
центром окружности.
Другая формулировка. Даны окружность С с центром Ρ и
точка Q, лежащая вне С. Если отрезки QA и QB касаются
окружности С в точках А и В, то QA = QB и Ζ PQA^ Ζ PQB.
Доказательство. Так как точки А я В лежат на
окружности, то РА = РВ. Далее, конечно, PQ — PQ, а по теореме 14.3
Ζ А и Ζ В — прямые углы. На основании теоремы о гипотенузе
и катете (теорема 7.4) имеем
APQAg±APQB.
Следовательно, QA = QB и Ζ PQA^ Ζ PQB, что и требовалось
доказать.
Рассмотрим теперь случай двух секущих к окружности,
проходящих через точку, лежащую вне ее.
Отрезки QS и QT на этом рисунке называются секущими
отрезками данной окружности. Точнее:
Определение
Если отрезок пересекает окружность β двух точках и одна и
только одна из них является концом этого отрезка, то этот
отрезок называется секущим отрезком данной окружности.
Следующая теорема утверждает, что в обозначениях
последнего рисунка всегда имеет место равенство
QR.QS = QU-QT.
474

Иными словами, произведение «двух расстояний» от точки Q до
кружности вполне определяется данной окружностью и точкой Q,
но не зависит от выбора секущей.
Теорема 14.21 (теорема о степени)
Даны окружность С и точка Q вне ее. Пусть /χ —
какая-нибудь секущая, проходящая через Q и пересекающая окружность С
в точках R и S, /2 — другая секущая, проходящая через Q и
пересекающая окружность С в точках U и Т. Тогда
QR-QS = QU-QT.
Доказательство. Рассмотрим Д QSU и /\QTR. Они имеют
общий Z. Q· Кроме того, Z, QSU ^ £ QTR, так как эти углы
вписаны в одну и ту же дугу RSU = RTU. На основании У У
-следствия (следствие 12.3.1)
Поэтому
AQSU~&QTR.
QT~QR
QR-QS = QU-QT,
™ и требовалось доказать.
Таким образом, произведение QR-QS определено, как только
указаны окружность С и лежащая вне ее точка Q. Число QRQS
называется степенью точки Q относительно окружности С.
Теорема 14.22 утверждает, что в обозначениях следующего
рисунка, где QT — касательный отрезок,
QR-QS = QT\
Это равенство означает, что
QT = YQR.QS.
Таким образом, QT есть среднее
г е о метрическое расстояний
W и QS.
Эту теорему легче сформули-
Р°вать, чем предыдущую:
475

Теорема 14.22
Даны касательный отрезок QT к окружности С и секущая
проходящая через точку Q и пересекающая окружность в точках
R и Т. Тогда
QR-QS = QT\
Иными словами, квадрат длины касательного отрезка равен
степени его внешнего конца относительно данной окружности.
Доказательство. TR есть дуга, высекаемая углами Z.QST
и Z.QTR. Вот главные шаги доказательства:
mZ QST=^mfk;
т L QTR = \ mTR;
L QSTg* Z. QTR;
AQST~AQTR;
SQ_ QT
QT QR:
QR-QS = QT2. .
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
Каковы основания для каждого шага?
Теорема 14.23 устанавливает, что в обозначениях следующего
рисунка имеет место равенство
QR-QS = QU-QT.
Теорема 14.23
Пусть RS и TU — хорды одной и той же окружности,
пересекающиеся в точке Q. Тогда
QR-QS = QU-QT.
И на этот раз мы приведем только главные шаги доказательства.
LU^LR\
L SOU si L TQR;
/\SQU~/\TQR;
QS QU
QT ~ QR·
>RQS = QU-QT.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
5JL
V ·'
i/\
\^L!''j
V*/p
476

Эта теорема позволяет определить степень точки относительно
кружности в случае, когда точка лежит внутри этой окруж-
°ости. Мы установили, что произведение QROS определено, как
-опько указаны окружность С и точка Q; это число не зависит
Υ выбора хорды, содержащей точку Q. Поэтому мы можем
определить степень точки Q относительно С как число QR · QS1.
Задачи
к § 7
ι Докажите, что если мера угла, определяемого двумя касательными отрезками
к окружности, проведенными из точки, лежащей вне ее, равна 60, то эти
касательные отрезки вместе с хордой, соединяющей их точки касания,
образуют равноугольный треугольник.
2. Точка Ρ находится в 13 см от центра окружности диаметром 10 см. Какую
длину имеют касательные отрезки к этой окружности-, проведенные
из точки Р?
3. Сумма длин двух касательных отрезков, проведенных к окружности из
некоторой внешней точки, равна диаметру окружности. Найти меру угла,
определяемого касательными отрезками.
4. Дано. Окружности С и С касаются
прямой / в точке Т. Ρ — любая точка прямой /
(отличная от Т). РА и РВ — касательные
отрезки.
Требуется доказать. ΡΑ —Ρ В.
5. Стороны {JABCD касаются окружности,
как показано на рисунке.
Докажите, что AB + DC = AD + BC.
6· Два касательных отрезка к окружности,
проведенных из точки, лежащей вне ее,
определяют угол в 60°. Какую длину имеют
эти касательные отрезки, если диаметр
окружности равен 10?
'· Какую длину имеют касательные отрезки
задачи 6, если они определяют угол в 120°?
А Р д
сигсπ "*е СТепень точки Q, расположенной внутри окружности С, отно-
ЭНци^Н0 этои окружности определяют как число —QR-QS (ср., например,
1%Ί ^0ПсЛия элементарной математики, кн. IV (геометрия). М., Физматгиз,
J0^> стр. 454-455).
477

8. QR и QS на этом рисунке —касательные отрезки
к окружности с центром Р. Отрезок QP
пересекает окружность в точке М. Докажите, что
точка Μ равноудалена от этих касательных Q
отрезков!.
9. Две хорды некоторой окружности
пересекаются. Отрезки одной из хорд имеют длину 4 и 6,
а один из отрезков другой хорды — длину 3.
Найдите длину второго ее отрезка.
10. Найдите степень точки Q относительно
окружности С (см. рисунок), если дано, что
a) QS = 9 и Qtf = 5;
b) QS = 3 и Sfl = 12;
c) QU = 7 и Qr = 5;
d) QT=\ и П/=13;
e) Q/? = 4 и S/? = 14.
П. 37-сантиметровый диаметр окружности в одном
сантиметре от своего конца пересекает хорду
в четырех сантиметрах от одного из ее концов.
Найдите длину хорды.
12. На этом рисунке ЛЯ = 25, Л£=18 и DC = 27.
Найдите ЕВ, DE и ЕС.
13. Найдите степень точки Q относительно
окружности С (см. рисунок), если дано, что
a) QR = 4 и QS = 13;
b) Q# = 6 и /?S = 8; J
c) Qr=17 и £/Г = 9;
d) Q£y = ]/TT и QT^Vbb\
e) QS = 23 и /?S = 17.
14. Чему равно PD на этом рисунке, если РЛ = 6,
РЯ=15 и РС = 8?
15. Чему равно PC на том же рисунке, если
Л£=16, РЯ = 24 и PD = 16?
16. Чему равно Р5 на том же рисунке, если
PD = 20, CD = 12 и Л£ = 27? В
1 Под расстоянием от точки до отрезка
понимается наименьшее из расстояний
отданной точки до точек отрезка.
478

ОТ на этом рисунке —касательный
17, врезок. Найдите степень точки Q
относительно окружности С, если дано, что
а) Q# = 4, QS=9 и QT = 6;
b)QS = 13 и Я5 = 9;
c)Qf = 8 h_/?S = 12; _
d) Q/? = /j6 и QS = 1/54;
e) QS-/17 и Qr = Kl3.
ig PA на этом рисунке —касательный
'отрезок. Найдите РА, если дано, что
ρβ=5 и РС = 20.
ίο Чему равно PC на том же рисунке,
если РЛ = 8 и Р£ = 7?
on Найдите PC на том же рисунке, если
'дано, что РЛ = 16 и ВС = 24.
21. На рисунке обе окружности касаются
прямой / в точке Т> Р — любая точка
прямой /, отличная от Т. Докажите,
что PM-PR = PK- PS.
22. А на рисунке (второй снизу) —любая
точка прямой /, отличная от общей
точки касания Τ двух окружностей.
Докажите, что
А8 = ЛС
AD ~~ АЕ '
23. Если общая касательная двух
окружностей пересекает линию центров1
в точке, лежащей между центрами,
то она называется общей внутренней
касательной. Если она не пересекает
линии центров в точке, лежащей между
центрами, то она называется общей
внешней касательной.
На нашем рисунке прямая АВ
является общей внешней касательной, а
прямая CD — общей внутренней
касательной. Даны две окружности. Сколько
общих внешних касательных и
сколько общих внутренних касательных
°ни имеют, если
а) они, как на нашем рисунке, не
пересекаются;
") они касаются внешне;
с) они пересекаются в двух точках;
а) они касаются внутренне;
е) они являются концентрическими?
-тей нией центров двух окружно-
цент !'азывается прямая, содержащая их

24. Две окружности имеют радиусы 5 и 17 и общий внешний касательный
отрезок1 длины 16. Чему равно расстояние между их центрами?
25. Радиусы двух окружностей 3 и 8, а расстояние между их центрами— 1з
Найдите длину их общего внешнего касательного отрезка.
(Указание. Проведите через Q прямую, перпендикулярную радиусу АР.)
26. Расстояние между центрами двух окружностей, имеющих радиусы 3 и 6
равно 18. Какую длину имеет их общий внутренний касательный отрезок? '
27"1". Докажите, что общие внешние касательные отрезки двух окружностей
конгруэнтны.
28*. Докажите, что если две окружности и прямая пересекаются в одной и
той же точке (или точках), то эта прямая делит пополам каждый общий
внешний касательный отрезок данных окружностей.
29*+. Докажите, что общие внутренние касательные двух непересекающихся
окружностей и линия центров этих окружностей имеют общую точку. (Указа
н и е. Проведите доказательство от противного; нарисуйте радиусы;
воспользуйтесь подобием и пропорциями.)
30+. Докажите, что общие внутренние касательные отрезки двух непересе·
кающихся окружностей конгруэнтны.
31*. Л β —диаметр окружности. Касательная к окружности в точке Л и сек\
щая, проходящая через В, пересекаются в точке D. Кроме того, эта сек
щая пересекает окружность в точке С. Докажите, что AB2 = DB · ВС.
1 То есть отрезок общей внешней (аналогично внутренней) касательно··
заключенный между точками касания.
480

„ β£~диаметр окружности. Прямая/χ
касается окружности в точке R, а
прямая /г—"в точке S. Прямая,
проходящая через произвольную точку Q
прямой llt отличную от R, касается
окружности в точке Ρ и пересекает
прямую /2 в точке 7\ Докажите, что
SaQRST-ixs-QT.
33*+. На этом рисунке отрезок АВ
является диаметром окружности, а
прямая CD касается этой окружности в
точке В. Докажите, что АС - AG =
^AD-AH.
§ 8. ОКРУЖНОСТИ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ
Если на плоскости задана система координат, то легко
установить, какое уравнение имеет окружность. Рассмотрим сначала
случай, когда центр окружности находится в начале координат.
Окружность с центом О и радиусом г определяется условием
Пусть точка Ρ имеет координаты (х, у). Пользуясь формулой
расстояния, мы можем переписать наше условие так:
l/(*-0)2 + (i/-0)2 = r
или так:
Х* + у2 = Г2ш
Если центр окружности находится в точке Q(af b), то эта
окружность определяется условием
или в алгебраической форме
т. е
(х — a)2 + (y — b)2 = r2.
Р(*,У)
481

Теорема 14.24
Графиком уравнения
является окружность с центром (а, Ь) и радиусом г.
Эту теорему можно применять и в ту, и в другую сторону.
1°.
У\
з-
2-
/ -
0
1
;
1
Р(*,У)
/\
/ \
/ \
4
1 / ^
з У
Если известны центр и радиус окружности, то мы можем
написать ее уравнение. Например, окружность с центром (3, 1)
и радиусом 2 является графиком уравнения
(х-3)2 + (*/-1)а = 4.
Если дано уравнение такого типа, какой фигурирует в
теореме 14.24, то мы можем сказать, какими являются центр
и радиус окружности. Например, если дано уравнение
(*+1)2 + (</-2)2 = 9,
то центром окружности служит точка (— 1, 2), а радиус ее
равен 3.
Все это так. Но допустим, что наше второе уравнение окру*;"
ности попадется какому-нибудь любителю алгебраических преоо-
разований, который привык «упрощать» каждое уравнение, кото-
482

ое ему встретится. Тогда он «упростит» наше уравнение,
преобразовав его так:
х* + 2х+1+у*-4у + 4 = 9,
а затем приведет его к виду
х2 + у2 + 2х — 4г/ —4 = 0.
Иногда вам будут встречаться уравнения окружностей,
записанные в такой форме. Чтобы выяснить, как расположена эта
окружность, нам нужно вновь «усложнить» уравнение, восстано-
вив его стандартную форму
(х — а)2 + (у — b)2 = r2.
Делается это методом выделения полных квадратов.
Сначала переставим члены, чтобы объединить те из них, которые
содержат у, и те, которые содержат х, а свободный член
перенесем в другую часть равенства с обратным знаком. Тогда наше
уравнение примет вид
х2 + 2х + у2 — 4у = 4.
Теперь мы хотим прибавить к первым двум членам некоторое
число так, чтобы получить полный квадрат. Иными словами, нам
надо, чтобы
х2 + 2х + (?) = (х — а)2.
Поскольку
(х — а)2 = х2 — 2ах + а2,
мы должны иметь а = —1 и а2 = \. Таким образом, нам нужно
прибавить 1. (Правило очень простое: нам нужно взять половину
коэффициента при χ и возвести ее в квадрат.) Точно так же, для
преобразования членов, содержащих у (выделения полного
квадрата), к этим членам нужно прибавить 4.
Так как к левой части равенства мы прибавили число 5, то 5
мы должны прибавить и к правой части. Это дает
χ2 + 2χ+1+*/2-4ί/ + 4 = 4 + 5,
или
(х+1)2 + (у-2)2 = 9,
~-и мы получили уравнение в стандартной форме. Судя по этому
Уравнению мы можем сказать, что графиком его является
окружность с центром (—1, 2) и радиусом 3.
Если в уравнении, заданном в стандартной форме
(х-а)* + {у-Ь)2 = г\
Мы раскроем скобки и переставим члены, то мы получим
x2 + tf — 2ax — 2by + a2 + b2 — r2 = 0.
483

Это уравнение имеет вид
x2~ty2 + Ax+By + C = 0,
где
Л = —2α, β = — 2£>, С = а2 + 62-г2.
Таким образом, мы получили следующую теорему:
Теорема 14.25
Каждая окружность является графиком некоторого уравнения
вида
х2 + у24-Ах + Ву + С = 0.
Может показаться разумным предположить, что верно и
обратное. Иными словами, можно подумать, что графиком уравнения
этого вида всегда является некоторая окружность. Но это не
совсем так. Рассмотрим, например, уравнение
x* + tf = Q.
Здесь А = В = С — 0. Если хи у удовлетворяют этому уравнению,
то оба они должны быть равны нулю. Следовательно, график
нашего уравнения содержит лишь одну точку, именно начало
координат.
Рассмотрим теперь уравнение
*2 + #2+1=0.
Здесь А = В = 0 и С= 1. Так как при любых χ и у всегда х2^0
и y2^0t то для любых χ и у имеем х2 + у2+ 1 ^ 1. Таким образом,
сумма х2-\-у2-\-\ ни при каких χ и у нулю не равна.
Следовательно, график нашего уравнения вообще не содержит
точек: это — пустое множество.
Следующая теорема говорит нам, что в действительности для
графика уравнения рассматриваемого типа существуют лишь три
возможности: окружность, которую мы с самого начала и
ожидали, и две особые возможности, которые мы только что
рассмотрели.
Теорема 14.26
Графиком уравнения
х2 + у2 + Ах + Ву + С = 0
является либо (1°) окружность, либо (2°) точка, либо (3°) пустое
множество.
Доказательство. В нашем общем уравнении мы можем
выделить полные квадраты, содержащие члены, зависящие от х,
484

и члены, зависящие от у, подобно тому как мы это сделали
в рассмотренном выше примере. Мы получим:
х2 + Ах + у2 + Ву = -С;
Теперь имеется три возможности.
1°. Если дробь в правой части равенства положительна,
То из нее можно извлечь квадратный корень. График является
тогда окружностью с центром
(*, 6) = (-у, -|
и радиусом
г = ^У А2 + В2-4С.
2°. Если дробь в правой части равенства равна нулю, то
график состоит из одной точки ( — у, ~"2Г
3°. Если дробь в правой части равенства отрицательна,
то график есть пустое множество, так как левая часть не может
быть отрицательной.
Задачи к § 8
(Замечание. Нижеприведенные задачи следует решать методом координат
и в том случае, когда существует несколько методов их решения.)
1. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат и с радиусом:
а) 4; Ь) 7; с) -|;
d) 11; е) уТб; f) π.
2. Дана окружность с уравнением *2-)-#2 = 25. Какие из следующих точек
принадлежат этой окружности:
а) (0, -5); Ь) (3,-4); с) (3, 2); _
0 d) (24, 1); е) (/8, -УЩ f) (2/3, ]Лз)?
3. Дана окружность с уравнением #2 + #2 = 36. Какие из следующих точек
лежат внутри, какие вне и какие на этой окружности:
а) (3, З/з); Ь) (4, -5); с) (-6, 0); d) (5, -3);
e) (-4, -4); f) (2/2", 2/f); g) (-J-, 1) h) (-2/6, 4)?
Найдите радиус и напишите уравнение окружности с центром в начале
координат, которая содержит точку:
а) (0, -4); Ь) (3,5); с) (-2,7); d) (2, /Ϊ7)
Напишите уравнение окружности с данным центром и радиусом:
а) (2, 5) и 4; Ь) (-3, 0) и 6;
с) (-4, -6) и /21; d) (0,7) и 1.
485

6. Окружность с центром в точке (2, 3) содержит точку (6, 6). Напишите ее
уравнение.
7. Окружность с центром (—4, 0) проходит через точку (2, —1). Напишите
ее уравнение.
8. Точки (— 6, 2) и (6, — 2) служат концами диаметра некоторой окру^.
ности. Найдите ее центр и радиус и напишите ее уравнение.
9. Напишите уравнение окружности, имеющей диаметр с концами (5, 8) и
(-1,-4).
10. Определите центр и радиус каждой окружности:
а) *2 + у*=16; Ь) х2-\-у2 — 9 = 0;
с) (*_3)« + (у-7)« = 8; d) (* + 4)« + (y-5)« = 36;
е) (х — 2)2 + ^/2^13; f) 4*2 4 4у* = 36;
g) 9λ:2Η-9ί/2_25==0; h) 3*2 + 3 (у— 1)2 = 12;
i) 2 (x-f-5)2-f-2 (у —4)2—14 = 0; j) 5*2 + 5у*-7 = 0.
11. Найдите центр и радиус окружности, имеющей уравнение
X2_Qx + 9 +^2_ 8^+16 = 4.
12. Найдите центр и радиус окружности, имеющей уравнение
х2 + У2 + &х — 2# —8 = 0.
13. Нарисуйте график уравнения
х2 + У2 — 8х + 6у=П.
14. Нарисуйте график уравнения
х2 + У2 — 4л: + 8г/ + 4=0.
15. Нарисуйте график уравнения
х2 + У2 + 6х — 2у = —Ю.
16. Напишите уравнение окружности с центром (—3, 4), касающейся оси х.
17. Напишите уравнение окружности, касающейся ч оси χ и оси у, если дано,
что ее радиус равен 3 и что ее центр лежит в четвертой четверти.
18. Какие геометрические фигуры характеризуются следующими уравнениями:
a) *2+02=15;
b) *2 + ^2+14* — 16у+ 104 = 0;
c) *2 + 6* — 2у — *2 + 2 = 0;
d) *2 + ^2+ιο^_4ί/ + 33 = 0;
e) 2л:2 + 2г/2+12л: + 9 = 0;
0 *2Н-#2 + 4л:— 10ί/ + 29 = 0?
19. Хорда окружности, имеющей уравнение л:2+ ί/2_49, перпендикулярна
диаметру в точке (0, 4). Найдите длину этой хорды и определите координаты
ее концов.
20. Докажите, что медиатриса отрезка с концами (а, 0) и (0, а) содержит центр
окружности, имеющей уравнение х2-{-у2 — а2.
21. Даны окружность с уравнением х2 + у2 = 225 и точки А (— 15, 0) и 5(9, 12).
a) Покажите, что отрезок АВ является хордой этой окружности.
b) Найдите середину отрезка АВ.
c) Найдите уравнение медиатрисы отрезка АВ.
d) Покажите, что медиатриса отрезка АВ содержит центр окружности.
22*. Даны окружность с уравнением х2 + у2 — %х — 4у — 5 = 0 и точки D(—1, 2)
и Ε (8, 5).
a) Покажите, что отрезок DE является хордой этой окружности.
b) Покажите, что медиатриса отрезка DE содержит центр этой окружности.
c) Найдите расстояние от центра этой окружности до DE.
23. Найдите площадь квадрата, вписанного в окружность с уравнением х2 +
4 г/2= 144.
486

лд* Найдите площадь квадрата, вписанного в окружность с уравнением х2 +
* 4-ys + ac—10у + 5 = 0.
25. Х°РДа окружности х2-\-у2 — 72 касается окружности х2-\-у2 — \%. Найдите
'длину этой хорды.
2б*+, Найдите уравнение прямой, содержащей хорду задачи 25, и координаты
концов этой хорды, если дано, что она касается меньшей окружности
в точке (—3, —3).
27. Найдите длину касательных отрезков, проведенных из точки (13, 0) к окруж-
' ности, имеющей уравнение х2-{-у2 — 25.
28. Найдите длину касательных отрезков, проведенных из точки (16, 12)
к окружности, имеющей уравнение х2-\-у2 — 100.
29*. Найдите длину касательных отрезков, проведенных из точки (—8, 3) к
окружности, имеющей уравнение х2-\-у2 — 14х + 10*/-}- 10 = 0.
30+. Дана окружность с уравнением х2-{-у2 = 36. При каких значениях а точка
(а, а + 4) лежит внутри этой окружности?
31 *г. Покажите, что две окружности с уравнениями х2-{-у2—16 и х2 + у2 —
— 20л: -f-64 = 0 касаются внешне. Какие координаты имеет точка их касания?
32*ь. Покажите, что две окружности с уравнениями х2-\-у2-\-Ъх-\-Ъу = 0 и
а:2 + ί/2 — 1 6jc — 12ί/ = 0 касаются внешне. Найдите уравнение прямой,
проходящей через точку их касания и являющейся их общей касательной.
33*+. Дана окружность с уравнением х2-\-у2-\-\Ъх-\-\2у=\2Ь.
a) Найдите уравнение окружности радиуса 5, внутренне касающейся
данной окружности в точке (4, 3).
b) Найдите уравнение общей касательной этих двух окружностей.
34*+. Напишите уравнение окружности, касающейся всех четырех
окружностей, имеющих уравнения:
x2 + y2—Wx = 0;
х2 + у2+10у = 0;
х2 + у2 — Юу = 0.
35*+. Приняв за единицу масштаба 2 см} сделайте аккуратный чертеж,
изображающий окружности, имеющие следующие уравнения:
(*-ΐ)2+(</-ΐ)2=ΐ;
(^ + 1)2 + ^-1)2=1;
(x-i)2 + (y+i)2=i;
(x+l)2 + (y+l)2=h
a) Найдите уравнение окружности, касающейся внутренне каждой из
данных окружностей.
b) Найдите уравнение окружности, касающейся внешне каждой из данных
окружностей.
Вопросы и задачи для повторения
1. Удостоверьтесь, что вы знаете, как определить каждое из следующих
понятий:
Окружность. Большая окружность.
Сфера. Внешний конец.
Хорда. Точка касания.
Секущая. Внутренность окружности.
Касательная. Внутренне касающиеся
окружности.
Радиус. Внешне касающиеся окружности
Диаметр. Вписанный угол.
487
Высекаемая дуга.
Центральный угол.
Меньшая дуга.
Большая дуга.
Полуок ρ ужность.
Касательный отрезок.

2. Дополните: Две окружности или две сферы с общим центром называются ...
3. Дополните: Пересечение плоскости и сферы есть ..., или ..., или оно ..
4. Дополните: Пересечение прямой и окружности есть ..., или ..., или оно ...
5. Дополните: Точка лежит вне окружности, если она лежит в ... и если ее
расстояние от цедтра этой окружности ....
6. Дополните: Угол, вписанный в большую дугу, всегда является ..., а угол
вписанный в меньшую дугу, всегда является ...; угол же, вписанный
в полуокружность, является ....
7. Дополните: Если две хорды, некоторой окружности пересекаются в точке,
лежащей внутри окружности, то степень точки их пересечения относительно
этой окружности равна ....
8. Прямая АВ на левом рисунке является касательной к окружности. Какую
меру имеют все шесть углов, если m£D = 128, mDE=- 38 итС£=Ю4?
9. Чему равно АВ на том же рисунке, если АС — 9 и С£ = 7?
10. Чему равен радиус окружности на том же рисунке, если BD==CD = \S и
тВС= 120?
11. Чему равно KQ на правом рисунке, если jRP = 8, MP = 6 и PQ = 3?
12. Чему равна мера т LRPK на том же рисунке, если MR=MK, mMK —
= 140 и mMQ==26?
13. Укажите для каждого из следующих утверждений, верно оно или кет:
a) Мера центрального угла равна мере высекаемой им дуги.
b) Если две дуги конгруэнтны, то любой угол, вписанный в одну из них,
конгруэнтен любому углу, вписанному в другую.
c) Если два угла, каждый из которых вписан в некоторую дугу,
конгруэнтны, то и эти дуги конгруэнтны.
d) Точка, являющаяся серединой каких-нибудь двух хорд окружности, есть
центр этой окружности.
e) Если в одной и той же окружности тАВ = — тАСу то длина хорды,
стягивающей дугу АВ, вдвое меньше длины хорды, стягивающей дугу АС
f) Секущая, которая делит пополам две хорды какой-нибудь окружности,
перпендикулярна каждой из этих хорд.
g) Если прямая делит пополам некоторую хорду окружности, то она делит
пополам и меньшую дугу, стягиваемую этой хордой.
h) Если две хорды некоторой окружности не конгруэнтны, то меньшая из
них ближе к центру окружности,
i) Касательная к окружности в середине произвольной ее дуги параллельна
хорде, стягивающей эту дугу.
488

j) Центром окружности, содержащей некоторую дугу, является точка,
которая делит эту дугу пополам.
к) Две касательные к окружности в концах любого ее диаметра
параллельны.
1) Две касательные к одной и той же окружности могут быть
перпендикулярны.
14 Дана окружность с центром Р. Чему равны mBQ и mADt если СВ II PQ
'пт£ВСР = Б5?
15. АВ — диаметр окружности с центром Р, а X и К—такие точки этой
окружности, что луч XY является биссектрисой L АХВ. Докажите, что PY _L AB,
16. Докажите, что четыре последовательных целых числа не могут быть
длинами отрезков двух пересекающихся хорд окружности.
17. При тщательном обследовании древних развалин археологи нашли обломки
старинного колеса. Чтобы реставрировать это колесо, им нужно было узнать
его диаметр. Они отметили на ободе три точки А, В к С так, чтобы хорда
'АВ была конгруэнтна хорде АС. Какой диаметр имело колесо, если
оказалось, что АВ = 30 см и БС = 48 еж?
18. Напишите уравнение окружности с центром (0, 0) и радиусом 4.
19. Найдите центр и радиус окружности, имеющей уравнение х2-{-Юх-{-у2 +
+ 16 = 0.
20. В окружность вписан четырехугольник. Дано, что два его угла имеют
меры 68 и 143. Какую меру имеют два других его угла?
21. В горизонтальном листе фанеры вырезано круглое отверстие диаметром
в 80 см; в это отверстие вставлен шар диаметром в 1 м. На сколько
нижняя точка поверхности шара окажется ниже уровня листа фанеры?
22. Окружность, имеющая своим диаметром сторону АВ равностороннего
Δ ABC, пересекает две его стороны в точках D и Е. Найдите площадь
вписанного в окружность D ABED, если диаметр окружности равен 16.
23*. Отрезок А В на этом рисунке является диаметром окружности. Чему равны
РВ и PR, если ЛЯ = 8, Л<Э = 4 и PQ=12?
489

24. Докажите, что касательные отрезки ко всем окружностям, касающимся
данной прямой в данной ее точке, проведенные из любой другой
фиксированной точки этой прямой, конгруэнтны.
25*. Дано, что Л, В и С — точки некоторой окружности и что тЛВ^
= тАС = тВС = 120. Р — произвольная точка дуги А В. Докажите, что
РА + РВ^РС.
Проведите через точку А
прямую, параллельную
(Указание,
хорде РВ.)
26*. Луч РА на этом рисунке касается окружности в
точке А. Дано, что АР — РХ — ХВ. Чему равно АХ,
если PQ=1 и QR = 8?
Конкурсные задачи
а) Один из первых фактов, который узнают изучающие
астрономию, состоит в том, что широта данной точки
земной поверхности совпадает с углом над
горизонтом, под которым наблюдается в этой точке Полярная
звезда. Объясните, почему это так, доказав
соответствующую теорему. Математически ситуация описы-
вается здесь так: NS-— земная ось; окружность на
рисунке —это меридиан; С —центр Земли; точка Ε
находится на экваторе; точка О-—наблюдатель;
ОН — горизонтальная линия; т Ζ. ΡΟΗ — высота
Полярной звезды над горизонтом.
Дано. Окружность с центром С; радиус СЕ _L Λ/S;
ОН — касательная к окружности в точке 0\ OP \\NS.
Требуется доказать. тОЕ —tn L ΡΟΗ.
b) Две неконгруэнтные окружности пересекаются в двух точках X и Y.
Секущая, проходящая через X, пересекает большую окружность в точке Л,
а меньшую —в точке В. Секущая, проходящая через К, пересекает
большую окружность в точке С, а меньшую —в точке D. Докажите, что AC |l BD-
c) Капитан корабля попросил стоящего рядом с ним на капитанском
мостике молодого офицера определить расстояние до горизонта. Офицер взял
А н Ар
5LV 1
с
5У
А
0
^
карандаш и бумагу и через несколько минут принес ответ. На бумаге была
написана формула а = 3,бУ"А. Покажите, что эта формула дает хорошее
приближенное расстояние до горизонта в километрах, если высоту
наблюдателя над водой h вычислять в метрах. ,(При этом мы принимаем, что радиус
Земли равен 7000 км.) Чему было равно это расстояние, если капитанский
мостик находился в 25 м над водой?

+ w НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ
А£> УСЛОВИЯ; ПОСТРОЕНИЯ

§ 1. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Вы помните, что в гл. 6 мы доказали
теорему, характеризующую медиатрису
отрезка на плоскости как некоторое
множество точек.
Теорема 6.2
Медиатриса любого отрезка в дан-
В
Ь
ной плоскости есть множество всех
точек этой плоскости, равноудаленных
от концов этого отрезка.
Кратко мы говорим, что точки медиатрисы /
характеризую тс я условием РА = РВ или (более распространенная
формулировка), что условие РА = РВ необходимо и достаточно для
принадлежности точки Ρ прямой /. Под этим мы подразумеваем,
что 1°. каждая точка прямой I удовлетворяет условию РА = РВ;
2°. каждая точка плоскости, удовлетворяющая условию РЛ =
= РВ, принадлежит прямой /.
Подобным же образом в гл. 8 мы показали, что медиатриса-
плоскость отрезка АВ характеризуется условием РА = РВ. (Здесь,
разумеется, Ρ может быть любой точкой пространства.)
Необходимые и достаточные условия (характеризации) встречаются
не только в теоремах, но и в определениях. Например, сфера
с центром Ρ и радиусом г по определению есть множество всех
точек Q, для которых PQ = r. Таким образом, мы можем сказать,
что сфера характеризуется условием
PQ = r
или что условие PQ = г необходимо и достаточно для
принадлежности точки Q сфере с центром Ρ и радиусом г.
Предостережение. На рисунке каждая точка отрезка CD
равноудалена от точек А и В. Но отрезок CD не
характеризуется условием РА = РВ, потому что этому условию
удовлетворяет также и много точек, не принадлежащих от-
EL
\
-о
,Л
s
3
s
493

резку CD, а именно, все точки самой
прямой CD. Точно так же каждая точка
дуги АВ на следующем рисунке находится
на рассмотрении 1 от точки Р. Но дуга
АВ не характеризуется условием
PQ=l, потому что этому условию
удовлетворяют и все остальные точки
окружности. Таким образом, условия РА = РВ
uPQ=\ необходимы для
принадлежности точки Q отрезку CD или дуге АВ, но не достаточны для
этого.
По этой причине характеризационные теоремы обычно форму-
лируют в виде д в у χ утверждений:
1°. Каждая точка данного множества удовлетворяет данному
условию.
2°. Напротив, каждая точка, удовлетворяющая данному условию,
принадлежит данному множеству.
(См., например, вторые формулировки теорем 6.2 и 8.6.)
Задачи к § 1
В задачах 1.8 характеризационные утверждения сопровождаются
символическими рисунками. Вам нужно решить, является ли каждое из этих утвержде*
ний действительно характеризационным. Если это так, то напишите «верно».
Если это не так, то сформулируйте правильное утверждение и сделайте
правильный рисунок. На наших рисунках искомое множество точек изображается
сплошными линиями, а пунктиром изображены фигуры, о которых говорится
в данных условиях или же которые нужны для объяснения.
1. Множество всех точек плоскости Е, равноудаленных от каждой из двух
принадлежащих Ε параллельных прямых, есть медиатриса в плоскости £
любого отрезка, перпендикулярного двум данным прямым, имеющего по
концу на каждой из них.
"Г
„—ь.
2. Множество всех середин радиусов данной окружности есть концентрическая
с данной окружность, радиус которой равен половине радиуса данной
окружности.
3. Множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние 1 см от данной
прямой, есть прямая, параллельная данной прямой и удаленная от нее па
расстояние 1 см.
494

4, Множество всех точек, удаленных на расстояние 1 см от данной прямой,
есть цилиндрическая поверхность радиуса \ см, осью которой служит
данная прямая.
5. Множество всех центров окружностей, касающихся данной прямой в данной
ее точке, есть луч, перпендикулярный этой прямой в данной точке.
6. Множество всех центров сфер радиуса г, касающихся данной плоскости,
есть плоскость, параллельная данной плоскости и удаленная от нее на
расстояние л
7. Множество всех вершин прямых углов прямоугольных треугольников,
лежащих в данной плоскости и имеющих данный отрезок своей гипотенузой,
есть лежащая в этой плоскости окружность, имеющая данный отрезок своим
диаметром, из которой исключены концы данного отрезка.
8. Множество всех точек плоскости, расстояние которых от данной точки
меньше Ьсм, есть объединение окружности с центром в данной точке и радиусом
Ъсм и внутренности этой окружности.
В задачах 9 — 20 сделайте рисунок и охарактеризуйте данное множество
точек.
9. Множество всех точек, равноудаленных от двух данных точек.
1(J. Множество середин всех хорд окружности, имеющих данную длину.
*· Множество середин всех хорд окружности, имеющих данную точку этой
окружности одним из своих концов.
*· Множество всех точек, удаленных на 1 см от данного отрезка1 длины 4 см
и на расстояние 2 см от его середины.
См. подстрочное примечание на стр. 478.
495

13. Множество всех точек А плоскости, для которых Д ABC, основанием кото
рого служит данный отрезок ВС> имеет данную площадь.
14. Множество всех центров окружностей на плоскости, касающихся данно·*
окружности в данной ее точке. л
15. Множество всех точек, лежащих вне данной окружности диаметра 6
являющихся концами касательных отрезков этой окружности длины 4. *
16. Множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние 1слсот данного
отрезка1 АВ длины Б см.
17. Множество всех точек, удаленных на расстояние 1 см от данного отрезка
А В длины 5 см.
18. Множество всех центров окружностей на плоскости, имеющих данный ра.
диус и содержащих данную точку.
19. Множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние 8 см от каждой
из двух точек А и В, где АВ= 12см.
20. Множество всех точек, удаленных на расстояние 8 см от данной плоскости
и на расстояние 12 см от данной точки этой плоскости.
21. Даны окружность С с центром Ρ и
точка Л, лежащая в плоскости
окружности С. Пусть В — точка пересечения
прямой АР и окружности С такая, что
Ρ не лежит между А и В. Тогда число
А В называется расстоянием точки А
от окружности С. Охарактеризуйте
множество всех точек плоскоети,
расстояние которых от данной
окружности равно радиусу этой окружности.,
22. ©характеризуйте множество всех
точек плоскости, расстояние которых от
данной окружности есть данное число,
меньшее радиуса данной окружности.
23. Охарактеризуйте множество всех
точек плоскости, расстояние которых от
данной окружности равно известному
числу, большему радиуса этой
окружности,
24+. Иногда решение характеризационной
задачи требует разбора различных
случаев2. Рассмотрим, например,
следующую задачу и ее решение, в
котором вам нужно заполнить пропуски.
Охарактеризовать множество всех точек плоскости, удаленных на
данное расстояние от данной точки и равноудаленных от двух данных
параллельных прямых.
Решение.
1°. Множество всех точек, удаленных на расстояние г от точки Р, есть ...С с·
...Р и ...г.
2°. Множество всех точек, равноудаленных от параллельных прямых h и ^»
есть ...АВ отрезка, соединяющего точки прямых 1г и /а и
перпендикулярного им обеим.
3°. Искомое множество является пересечением С u AB.
(i) Если С и А В не пересекаются, то искомое множество ...
J12
В
*
ι См.
2 Ср.
подстрочное примечание на стр.
с задачами 21—-23.
478.
496

(ϋ) Если С и ЛВ ... , то искомое множество состоит из одной точки.
(Ш) Если АВ содержит точку, лежащую ...С, то искомое множество состоит
Из ... точек.
95+, Охарактеризуйте множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух
данных точек и в то же время равноудаленных от двух данных параллельных
прямых.
2б+. Охарактеризуйте множество всех точек плоскости, находящихся на данном
расстоянии от данной точки и на данном расстоянии от данной прямой.
27+. Охарактеризуйте множество всех точек на плоскости, являющихся
центрами окружностей, касающихся данной прямой в данной* ее точке, и в то
же время центрами окружностей данного радиуса, касающихся той же
данной прямой.
28+. Охарактеризуйте множество всех точек, находящихся на данном
расстоянии от данной плоскости и в то же время на данном расстоянии от
данной точки этой плоскости.
§ 2. РОЛЬ НЕОБХОДИМЫХ И ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЙ
В АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
В аналитической геометрии мы постоянно пользуемся
необходимыми и достаточными условиями (характеризационными
теоремами). Например, прямая / на нашем рисунке является
графикам уравнения
х + У=1.
(Почему?) Это значит, что прямая / характеризуется условием
х + У = 1 или что условие х + у=1 необходимо и достаточно для
принадлежности точки (х, у) прямой /. Каждая точка (х, у) прямой I
Удовлетворяет этому условию, никакие другие точки (х, у) ему
не удовлетворяют.
Точно так же окружность на следующем рисунке
характеризуется условием
(χ-1)2 + ί/2=1.
(Почему?) Фактически каждый раз, когда мы говорим, что какая-
Ни^УДь фигура является графиком некоторого уравнения, это
означает, что это уравнение характеризует данный график. По боль-
еи части успешное решение задач в аналитической геометрии
ависит от того факта, что фигуры, с которыми мы имеем дело,
арактеризуются простыми уравнениями.
497

Задачи к § 2
(Замечание. Для описания множеств в аналитической геометрии часто
используются обозначения следующего типа:
{(*> У)\х + У=1 и х=\}
Последняя запись означает: «Множество всех упорядоченных пар (ху у), таких
что х-\-у~\ и х—\». Конечно, это множество состоит из одной точки (1, q\*
Таким образом, мы можем написать: {(#, у) \х-\-у=\ и #=1} = {(1, 0)}.) '
1. Изобразите каждое из следующих множеств (т. е. нарисуйте
соответствующие графики):
a) {(*, у)\х = 3}\
b) Цх.у)\у = -2\;
c) {(*, у)\у = х-2}\
d) {(х>У)\х + У = 0\.
2. Изобразите каждое из следующих множеств:
a) {(х,у)\х>-1}\
b) 1(х.У)\У^0};
c) {(*, у)\х<у}\
d) {(х*у)\х+у7*\).
3. Сделайте рисунок и опишите уравнением множество всех точек Ρ (χ, у),
равноудаленных от точек Л(5, 0) и В(\, 0).
4. Сделайте рисунок и опишите уравнением множество всех точек Ρ (χ, у),
равноудаленных от точек С(2, 2) и D(2, —8).
5. Сделайте рисунок и опишите уравнением множество всех точек Ρ (χ, у),
равноудаленных от прямых, задаваемых уравнениями х — —3 и # = 7.
6. Изобразите каждое из следующих множеств:
а) 1(х,у)\х* + !/* = 25}; Ь) {(*, у) | *» + 0° = 8};
с) {(х,У)\(х-1)2 + У2 = 4\; а) {(*, у)| ** + (*+1)* = 9}.
7. Изобразите и опишите множество всех точек Р(х, у)у равноудаленных от
точек Л(0, 5) и В(5, 0).
8. Изобразите каждое из следующих множеств и опишите его самым коротким
возможным способом:
a) {(*, У) |* = 3 и у = 6};
b) \(х> У) \х = У и * = 5};
c) {(х, у)\х* + у2=\е> и * = -4};
d) {(х,у)\х2 + у* = 25 и у = 3};
e) {(х,у)\у = -2 и |*| = 7};
f) {(*,у)||*|=3 и|у | = 5>-
Э4". Чем отличаются следующие два множества:
a) {(х, У)\х = 4 и # = 5};
b) {(*, У)\ *=4 или 0 = 5}?
10*+. Сделайте рисунок и опишите уравнением множество всех точек Р(*> У*'
расстояние от которых до точки (8, 0) вдвое больше расстояния до
точки (2, 0).
11*+. Изобразите следующее множество:
{(Ху у)\ — 1^х^Ь и О^0-с4}.
12*+. Изобразите следующее множество:
{(X, У)\ (Х- 3)2 + 0* = 25 ИЛИ (* + 6)2+02 = 52}.
498

§ 3. ТЕОРЕМЫ О КОНКУРРЕНТНОСТЙ
Определение
Две или более прямые называются конкур рентными,
если существует единственная точка, принадлежащая всем этим
прямым. Эта общая точка прямых называется точкой кон-
ку ррентности.
Конечно, двум прямым, лежащим в одной плоскости,
«легко» быть конкуррентными. Именно этого мы и ждем, когда
рисуем две прямые случайно: если они окажутся параллельными, то
достаточно лишь чуть-чуть повернуть одну из них, чтобы они уже
стали конкуррентными.
Но совсем иное дело —конкуррентность трех прямых. В
нормальных условиях мы «ждем», что три прямые на плоскости будут
содержать стороны некоторого треугольника.
Если же они случайно окажутся конкуррентными, то
достаточно лишь чуть-чуть пошевелить одну из них, чтобы они
передали быть конкуррентными (если, конечно, наше «шевеление» не
ееть поворот вокруг точки конкуррентности).
Однако можно показать, что при некоторых условиях три
прямые всегда будут конкуррентными. Вот первая из наших теорем
Так°го рода.
499

Теорема 15.1 (теорема о конкуррентности медиатрис)
Медиатрисы сторон тре- 1 г
угольника конкуррентны. в А
Их точка конкуррентности
равноудалена от всех вершин
треугольника.
Доказательство. Дан
/\АВС. Пусть /χ, _/g_ и _/з_— _ме-
диатрисы сторон АВ, АСиВС.
Если бы прямые 1г и /2 были
параллельны, то были бы
параллельны и прямые АВ
и АС. (Почему?) Но АВ и АС пересекаются в точке А.
Следовательно, прямые 1Х и /2 пересекаются в некоторой точке р.
По характеризационной теореме для медиатрис (теорема 6. 2)
РА=РВ, так как точка Ρ принадлежит прямой 1г. По той же
теореме и РА=РС, так как точка Ρ принадлежит /2.
Следовательно, РВ = РС. Но в силу той же теоремы это означает, что
точка Ρ принадлежит /3.
Таким образом, медиатрисы сторон треугольника
конкуррентны и их точка пересечения равноудалена от вершин треугольника.
Следствие 15. 1.1
Каждые три неколлинеарные точки принадлежат одной и
только одной окружности.
(Они принадлежат окружности с центром Ρ и радиусом
РА=РВ = РС.)
Следствие 15. 1. 2
Две различные окружности могут пересекаться не более чем
в двух точках.
(Это вытекает из следствий 14.6.1 и 15.1.1.) До сих пор мы
употребляли термин высота (треугольника) в двух смыслах: он
мог означать
1°. перпендикулярный отрезок, проведенный из вершины
треугольника к противоположной стороне;
2°. д л и н у такого перпендикулярного отрезка.
В следующей теореме мы будем понимать этот термин еще в
одном, третьем смысле: здесь он означает
3°. прямую, проходящую через вершину треугольника и
перпендикулярную противоположной стороне.
500

Теорема 15.2 (теорема о конкуррентности высот)
fpu высоты треугольника
всегда конкуррентны.
Если воспользоваться
приемом, который виден из нашего
рисунка, то доказательство
будет простым.
Доказательство. Через
каждую вершину данного Δ ABC
проведем прямую,
параллельную противоположной стороне.
Никакие две из этих трех
прямых не параллельны. (Почему?)
Поэтому они определяют
некоторый ADEF.
Мы знаем, что
противоположные стороны
параллелограмма конгруэнтны. Дважды
применяя эту теорему, получаем,
что
AD = BC = AE.
Следовательно, высота,
проведенная в Д ABC из
вершины, является медиатрисой
отрезка DE. По той же причине
и две другие высоты /\АВС
служат медиатрисами двух других сторон /\JDEF. В силу
теоремы 15.1 эти три прямые конкуррентны.
Заметим, что если понимать слово высота в старом смысле,
как отрезок, то эта теорема станет неверной (см. последний
рисунок). Перпендикулярные отрезки, проведенные из вершин
треугольника к противоположным сторонам, вообще не обязаны
пересекаться. Именно соответствующие прямые всегда конкуррентны.
Задачи к § 3
1· Перерисуйте эти три треугольника и постройте три медиатрисы их сторон
и три высоты для каждого из них, указав точки конкуррентности.
501

2. Точка конкуррентности высот треугольника называется его ортоцентром
a) Ортоцентр каких треугольников является их вершиной?
b) Ортоцентр каких треугольников совпадает с точкой пересечения медиа
трис сторон?
3. Три точки лежат на окружности. Они соединены отрезками, образующим]
треугольник. Где будет находиться точка конкуррентности медиатрис этих
отрезков?
4. Даны три неколлинеарные точки. Где находится точка, принадлежащая их
плоскости и равноудаленная от всех этих трех точек? Почему эти точки
должны быть неколлинеарны?
5. Изобразите и опишите множество всех точек, равноудаленных от каждой
из трех данных неколлинеарных точек.
6. Дан прямоугольный треугольник. Где находится точка, лежащая в его
плоскости и равноудаленная от его вершин?
Высота, проведенная из вершины прямого угла равнобедренного
прямоугольного треугольника, имеет длину 7. Чему равна площадь треугольника?
Дан произвольный Ζ ВАС. Опишите множество всех точек, лежащих внутри
этого угла и равноудаленных от его сторон. Вы должны суметь доказать
что ваш ответ правилен. (Предостережение: Это множество не
является ни лучом, ни прямой.)
Докажите, что медиатрисы четырех сторон четырехугольника, вписанного
в окружность, и медиатрисы двух его диагоналей конкуррентны.
10*+. Напишите уравнения медиатрис сторон Δ ABC (см. левый рисунок) и
покажите, что они конкуррентны, если А ==(3,4), В = (5,8) и С = ( — 1,10).
7.
9.
11*+. Для правого рисунка напишите уравнения высот, проведенных из
вершин А и В Δ ABC, и покажите, что эти высоты пересекаются на оси у
Конкурсная задача
На одной старинной карте были обнаружены следующие указания:
«От места, где пересекаются дорога * короля и дорога королевы, идите на
север по дороге Короля. Сначала вы увидите большую сосну, а затем — клен.
Вернитесь к пересечению дорог. У дороги Королевы, если идти на запад,
стоит вяз, а если идти на восток —ель. Первая памятная точка находится на
пересечении прямой вяз —сосна и прямой клен —ель. Вторая памятная точка
находится на пересечении прямой ель —сосна и прямой вяз —клен. Клад
зарыт там, где прямая, проведенная через эти две памятные точки, пересекает
дорогу Королевы».
Отправившаяся на поиски группа нашла вяз в четырех километрах от
пересечения дорог, ель —в двух километрах от этого пересечения и сосну—в трех
километрах от этого пересечения, но никаких следов клена ей обнаружить не
удалось. Тем не менее она сумела отыскать клад в соответствии с указаниями.
Один из участников поисков сказал: «Какая удача, что сосна сохранилась
до сих пор!» Руководитель группы рассмеялся и ответил: «Мы могли бы
обойтись и без сосны!» Покажите, что он был прав.
502

§ 4. БИССЕКТРИСЫ УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
Теперь мы хотим доказать, что
й биссектрисы углов треугольника
всегда конкуррентны.
Однако, чтобы получить этот
результат, нам нужно сначала еще
кое-что узнать о биссектрисах
углов: нам нужно их
охарактеризовать. Такая характеризация
содержится в следующей теореме.
Теорема 15.3
Биссектриса угла, из которой
удален ее конец, есть множество
всех точек, лежащих внутри этого
угла и равноудаленных от его
сторон. А
Другая формулировка.
1°. Если точка Ρ лежит внутри
£ ВАС и равноудалена от прямых
АВ и АС, то она принадлежит
биссектрисе /_ ВАС.
2°. Если точка Ρ принадлежит
биссектрисе Ζ ВАС и если Ρ φ А,
то точка Ρ лежит внутри
А ВАС и равноудалена от прямых А
АВ и АС.
Рисунки иллюстрируют две части формулировки. В
доказательствах мы пользуемся обозначениями, указанными на рисунках.
Доказательство 1°
Утверждения
1. Точка Ρ лежит внутри Ζ. ВАС.
! 2. РМ 1 АВ и ΡΝ 1 АС.
: 3. ζ. Μ и L Ν — прямые углы.
4. Ζ.Μ^ Δ N.
5. ρμ^ΡΝ.
6. Δ AMP с* Δ ΑΝΡ.
7· L PAM^± L PAN.
8. Луч АР является биссектрисой
L ВАС.
Аргументы
Дано.
Определение расстояния от точки до
прямой.
Дано.
Прямые углы конгруэнтны.
Дано.
Теорема о гипотенузе и катете.
Соответствующие углы.
Шаги 1 и 7 и определение
биссектрисы угла.
W"
503

Доказательство 2°
Утверждения
Аргументы
1. Ρ лежит на биссектрисе Ζ. ВАС
и Ρ φ А.
2. Ρ лежит внутри L ВАС.
3. L РАМ ^ L PAN.
4. L Μ ^ L N.
5. PA = PA.
6. Δ AMP ς^ Δ AWP.
7. MP = NP.
Дано.
Шаг 1 и определение биссектрисы
угла.
Определение биссектрисы угла.
Прямые углы конгруэнтны.
Тождество.
СУУ.
Соответствующие стороны
Утверждения 2 и 7 нам и требовалось доказать
Теперь мы можем доказать β
нашу теорему о конкуррентности:
Теорема 15.4
Биссектрисы углов
треугольника конкуррентны. Их точка
конкуррентности равноудалена от
всех трех сторон треугольника.
Доказательство. Дан Δ ABC. Пусть Ρ —точка
пересечения биссектрис Л А и Ζ В. Тогда точка Ρ лежит внутри £ А
и внутри Ζ, В, а значит, и внутри ,/ С. Поэтому
1°. точка Ρ равноудалена от прямых АС и АВ;
2°. точка Ρ равноудалена от прямых АВ и ВС;
3°. точка Ρ равноудалена от прямых АС и ВС;
4°. точка Ρ принадлежит биссектрисе £ С.
Аргументы?
Задачи к § 4
1. Прямая пересекает стороны L ВАС в точках Ρ и Q. Укажите точку
прямой PQ, равноудаленную от лучей АВ и АС
2. □ ABCD — выпуклый четырехугольник. ^_^ ,*-*
a) Объясните, как найти точку, равноудаленную от прямых AD и АВ и
вместе с тем равноудаленную от вершин D и С <__*» <_> -*-£
b) Объясните, как найти точку, равноудаленную от прямых АВ, AD и DC*
c) Совпадают ли точки, найденные в а) и Ь)?
504

о Охарактеризуйте множество всех центров окружностей, касающихся обеих
°' сторон данного угла.
4 Охарактеризуйте множество всех точек на плоскости, равноудаленных от
двух пересекающихся прямых.
5 Охарактеризуйте множество всех точек на плоскости, равноудаленных от
двух пересекающихся прямых и удаленных на расстояние 5 см от точки их
пересечения.
g-# Охарактеризуйте множество всех точек, равноудаленных от двух
пересекающихся плоскостей.
7+. Охарактеризуйте множество всех точек плоскости, лежащих внутри
данного угла, равноудаленных от сторон этого угла и в то же время
находящихся на данном расстоянии от данной прямой.
8. Докажите, что биссектрисы двух смежных углов параллелограмма
пересекаются в точке, равноудаленной от двух противоположных сторон этЪго
параллелограмма.
9. Докажите следующую теорему:
Дан L DAE и дано, что А —С—Ε
и что A — B — D. Тогда биссектрисы *~/ р?
/. DAE, z DBC и L ЕС В конкур- Q '
рентны.
4
ι
10*. Охарактеризуйте множество всех точек, равноудаленных от зсех трех
прямых, определяемых сторонами треугольника.
11+. Сделайте рисунки нескольких разных выпуклых четырехугольников и
аккуратно проведите биссектрисы углов. Будут ли все четыре биссектрисы
каждого из четырехугольников конкуррентны? Для какого специального
типа четырехугольников биссектрисы углов конкуррентны? Можно ли каким-
нибудь общим образом описать все четырехугольники, биссектрисы углов
которых конкуррентны?
12*\ Даны оси. Покажите, что множеством всех точек, равноудаленных οι
двух осей координат, является следующее множество:
{(*» У) \У=х или у = — х}.
§ 5. ТЕОРЕМА О КОНКУРРЕНТНОСТИ МЕДИАН
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий его
вершину с серединой противоположной стороны. На нашем
рисунке точка D является серединой
стороны ВС, а отрезок AD есть
медиана, проведенная из А к
стороне ВС.
Из аккуратно выполненного ри-
сУнка видно, что три медианы
треугольника конкуррентны. Это и в
самом деле верно для всех треуголь- &*
н*ков. Однако доказательство нам
505

дается легче, если с помощью
рисунка мы сумеем догадаться о том,
где должна находиться точка
пересечения медиан. Похоже на то, что
на рисунке AP = 2PD, BP = 2PE и
CP = 2PF. Оказывается, что это
тоже всегда верно.
Теорема 15.5
Медианы треугольника всегда конкуррентны. Расстояние их
точки конкуррентности от каждой вершины треугольника равно
двум третьим длины медианы, проведенной из этой вершины.
Нам будет удобно при доказательстве теоремы использовать
систему координат.
У* Α(6α,6ύ)
:ФЕ(За+Зс,ЗЬ)
С(6с,0) χ
Доказательство. Выберем оси координат так, как
указано на рисунке. Мы приняли за координаты вершин числа 6а,
6fc и 6с для того, чтобы позднее избежать дробей. Точка Ε
является серединой стороны АС. Ее координаты мы нашли по
формуле середины (теорема 13.5).
Пусть Р — такая точка медианы BE, что ВР = 2РЕ. По
теореме 13.6 (посмотрите ее!), получаем
р=/0 + 2(За + 3С)> 0 + 2-ЗН (2q + 2c> щ
У,
β
Α(6α,6ύ)
V у
Зс
^\С
6с
X
Пусть теперь Q —такая точка медианы AD, что AQ^^Q^'
Так как D = (Зс, 0), то мы имеем
«-■
f6a + 2-3c
^±'r(2a + 2c,2b).
506

Поскольку точка полностью опреде-
пяется своими координатами, то это
значит, что P = Q.
Точно так же убеждаемся, что и
соответствующая точка третьей медианы,
пройденной из вершины С, совпадает с
точкой Р- Теорема доказана.
Определение
Точка конкуррентности медиан
называется центром тяжести
треугольника \
Задачи к § 5
1. Медианы АЕ, BF и CD на верхнем рисунке
пересекаются в точке Q.
a) Чему равно AQ, если Л£ = 9?
b) Чему равно CD, если QD = 5?
c) Чему равно QF, если BQ = 12?
d) Чему равно AQ, если Q£ = 4?
2. Дано. Рисунок с медианой CD и центром
тяжести Q A ABC.
Требуется доказать. Высота Δ AQB,
опущенная из вершины Q на АВ, равна одной
трети высоты Δ ABC, опущенной из С на АВ-
3. Докажите, что на рисунке к задаче 1
SA AQB:==SD CEQF-
4. На рисунке Q есть центр тяжести Δ GKM
(он лежит на медиане GR)\ GH — высота
треугольника. Чему равно СЯ,если(3^ = 4и HR = 6?
5~. Дан Δ ABC с вершинами А (6, 0), В (0, 10) и
С(0, 0).
a) Найдите координаты точки конкуррентности
медиатрис сторон треугольника.
b) Найдите координаты ортоцентра.
c) Найдите расстояние от ортоцентра до точки
конкуррентности медиатрис.
6т. Найдите координаты центра тяжести Δ ABC
задачи 5 и расстояние от центра тяжести до
ортоцентра.
7~. Дан д PQR с вершинами Ρ ( — 6,0), Q(2,0) и
^ (0,6). Найдите расстояние между центром
тяжести и точкой конкуррентности медиатрис
сторон этого треугольника.
т· Найдите координаты ортоцентра Δ PQR задачи
-^И]Расстояние от ортоцентра до центра тяжести.
. Она и в. самом деле является центром тя-
Ной™ ^В °^ычном механическом смысле) однород-
треугольной пластины.

§ 6. ПОСТРОЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКй
До сих пор мы строили геометрические фигуры, пользуяс
масштабной линейкой и транспортиром. Наши аксиомы утверждают"
что у нас есть «бесконечная» линейка со шкалой на ней. С помо'
щью этой «линейки» мы проводим прямые и измеряем расстояния
Кроме того, у нас есть транспортир. С его помощью мы можем изме!
рять углы, а также откладывать от данного луча углы данной меры
Вероятно, это — простейший способ построения геометрически-
фигур. Однако существует и другой очень важный способ. Это-
геометрические построения циркулем и линейкойг. При таких
построениях мы отказываемся от масштабной линейки и допускаем
употребление лишь линейки без делений (разумеется, по-прежнем\
«бесконечно длинной»), так что, хоть мы можем с помощью нашей
линейки проводить прямые, измерять расстояния мы уже не в
состоянии. Кроме того, у нас есть циркуль. Мы можем с его
помощью проводить окружности с центром в любой точке, проходящие
через любую другую данную точку. Но с углами дело обстоит,
как и с расстояниями: измерять их мы не можем.
Именно эта схема была развита греческими геометрами
древности. (В сущности, расстояния и угловая мера совсем не
упоминаются в «Началах» Евклида.) Эта схема и сегодня считается
математически весьма интересной, она приводит к любопытным и
важным задачам, возникающим, когда мы пытаемся выяснить,
можно ли фигуру какого-либо определенного вида построить
с помощью циркуля и линейки или нельзя. Решение некоторых
из этих задач, кроме чисто теоретического значения, имеет и
определенный (хоть и небольшой!) практический интерес в силу
связи с вопросами технического черчения; поэтому
профессиональные чертежники про эти задачи знают.
Как бы мы ни строили геометрические фигуры, мы обязательно
должны иметь определенный набор чертежных инструментов и
соответствующую построениям с помощью этих инструментов
математическую теорию2. В любом случае теория является строгой,
а результаты, реально получаемые с помощью наших инструментов,
только приближенными.
Чтобы оправдать наши построения с циркулем и линейкой,
нам нужна теорема, описывающая пересечение двух окружностей.
Допустим, что нам даны две окружности радиусов а и b и что
расстояние между их центрами равно с.
1 Русскому слову «линейка» соответствует два английских слова: ruler -j
масштабная линейка и straightedge — линейка без делений. До сих пор в это.ι
книге слово «линейка» всегда понималось в первом смысле, а в оставшеис
части этой главы будет пониматься во втором. Путаницы здесь возникнуть у
может, так как из контекста всегда ясно, о какой линейке идет речь.
2 По поводу содержания этого и следующих параграфов см. брошюру·
Д. И. Перепелки и. Геометрические построения в средней школе. М-,
педгиз, 1953.
508

a+b<c
a+c<b
b+c<a
Если окружности пересекаются в двух точках, как на верхнем
левом рисунке, то каждое из чисел я, b и с должно быть меньше,
чем сумма двух других. Мы получаем эти три неравенства, трижды
применяя к Д PQR неравенство треугольника (теорема 7.8).
С другой стороны, если любое из этих трех неравенств
заменить противоположным, то, как показано на остальных трех
рисунках, окружности вообще не будут пересекаться. А если сумма
каких-нибудь двух из наших чисел равна третьему, то
окружности касаются.
а+Ь=с
а+с=Ь
Эту ситуацию описывает следующая
Теорема 15.6 (теорема о двух окружностях)
Пусть даны две окружности
Радиусов а и Ь, расстояние между
Центрами которых равно с.
Если каждое из чисел a, b и с
меньше суммы двух других, то
Эти окружности пересекаются
6 двух точках, лежащих по раз-
НЬ1е стороны от прямой, про-
х°дящей через их центры.
£>+с=а
509

Это-—теорема, потому что ее можно доказать, если только
достаточно потрудиться. Но мы опустим доказательство и будем
здесь рассматривать это утверждение как аксиому.
§ 7. ПРОСТЕЙШИЕ ПОСТРОЕНИЯ
В этом и следующем параграфах мы расскажем о простейших
построениях. Все они, конечно, производятся в данной плоскости
Позднее эти построения будут играть роль отдельных шагов в более
сложных построениях.
Построение 1. Разделить данный угол пополам. Дан £ Л.
Шаг 1. Проводим произвольную окружность с центром А. Она
пересечет стороны Z, А в точках В и С. Очевидно, АВ = АС, как
и показывают пометки на нашем рисунке.
Шаг 2. Проводим окружность с центром В и радиусом г = ВС.
Ш а г 3. Проводим окружность с центром Сие тем же радиусом
г = ВС.
По теореме о двух окружностях эти окружности пересекаются
·<—>
в двух точках, лежащих по разные стороны от прямой ВС.
(Условия теоремы о двух окружностях выполняются, так как каждое
из чисел г, г и г меньше, чем сумма двух других.) Пусть Р —
та из точек пересечения, которая лежит по другую сторону от ВС,
чем точка А.
Шаг 4. Проводим луч АР.
В силу ССС мы имеем /\РАВ^/\РАС. Следовательно,
Ζ. ΡΑΒ^ί Ζ РАС и луч АР является биссектрисой Ζ. А.
(Окружности в шагах 2 и 3 можно провести любым радиусом,
большим, чем у ВС. Мы не встретим никаких неприятностей,
если только не возьмем радиус столь малым, что окружности
вообще не пересекутся.)
Построение 2. По данную сторону от данного луча1 отложить
угол, конгруэнтный данному углу.
1 То есть по данную сторону от содержащей наш луч прямой.
510

Η
^ 1 ^ ___ «^ 1 9m.
A 0
Даны £ А, луч с началом D и полуплоскость Н, ребру
которой принадлежит данный луч. Мы хотим построить луч ZJJF, где F
принадлежит полуплоскости Я, причем так, чтобы получился угол,
конгруэнтный первому углу.
Шаг 1. Проводим окружность с центром А и произвольным
радиусом г. Она пересечет стороны Z, А в каких-то точках В и С.
Шаг 2. Проводим окружность с центром D и радиусом
г = АВ=АС. Она пересечет данный луч в некоторой точке Е.
Шаг 3. Проводим окружность с центром Ε и радиусом
s=BC.
Последние две окружности пересекутся в двух точках: F и G,
лежащих по разные стороны от прямой DE. (Вопрос. Откуда
вы знаете, что каждое из чисел г, s и г меньше суммы двух
других? Это условие необходимо для того, чтобы можно было
применить теорему о двух окружностях.) Пусть F — точка пересечения,
лежащая, как на нашем рисунке, в полуплоскости Н.
Шаг 4. Проводим луч DF.
Это и есть искомый луч. В силу ССС /\FDE^/\BAC.
Следовательно, ^FDE^ Z. ВАС, как и требовалось.
Построение 3. По данную сторону от данного луна построить
тРеугольник, конгруэнтный данному треугольнику.
511

в
Ε
Дан Д ABC. Кроме того, даны луч с началом D и
полуплоскость Я, ребру которой принадлежит этот луч. Мы хотим
построить /\DEFy где F принадлежит данному лучу, а £
—полуплоскости Ну причем так, чтобы /\DEF^/\ABC.
(1)
Шаг 1. Сначала проводим окружность с центром D и радиусом
6 = ЛС. Эта окружность пересечет наш луч в некоторой точке/7,
такой, что DF = AC.
Шаг 2. Проводим окружность с центром D и радиусом с.
Шаг 3. Проводим окружность с центром F и радиусом а.
Последние две окружности, как это и изображено на рисунке, до л ж^1
пересечься в двух точках, лежащих по разные стороны от прямой Dr-
В самом деле, каждое из чисел a, b и с меньше суммы двух ДР>"
гих (почему?), и, таким образом, условия теоремы о двух окру*"
ностях выполняются. Пусть, как указано на рисунке, £ —та из точек
пересечения этих окружностей, которая лежит в полуплоскости п-
Шаг 4. Проводим отрезки DE и EF. На основании ССь
/\,DEF^/\,ABC, как нам и требовалось.
512

Если вы еще раз просмотрите § 7 гл. 6, то увидите, что при
доказательстве ССС мы столкнулись, по существу, с той же задачей,
qTo и в построении 3 —нам нужно было построить данный
треугольник по данную сторону от данного луча. Полезно сравнить
два метода. (В § 7 гл. 6 мы пользовались масштабной линейкой
и транспортиром, а не линейкой без делений и циркулем. И чтобы
показать, что наше построение приводит к нужному результату,
мЫ пользовались не CCCt а СУС.)
Задачи к § 7
(Замечание. Предлагаемые ниже построения нужно выполнять с помощью
циркуля и линейки.)
1. Проведите вверху листа бумаги, на котором вы выполняете эту домашнюю
работу, горизонтальную прямую. Взяв в качестве единицы масштаба длину
отрезка ЛБ, изображенного ниже, нанесите (с помощью циркуля) на эту
прямую шкалу, содержащую не менее 10 единиц. При решении следующих
задач, когда это будет вам необходимо, пользуйтесь этой шкалой.
А- -в
Постройте треугольники с данными длинами сторон:
а) 5, 6, 8; Ь) 3, 5, 7; с) 4, 4, 5; d) 6, 10, 8.
2. Нарисуйте какой-нибудь тупоугольный треугольник и постройте биссектрисы
каждого из его углов.
3. Нарисуйте какой-нибудь разносторонний Δ ЛВС. Теперь по данную сторону
данного луча постройте конгруэнтный ему треугольник, пользуясь методом,
опирающимся на УСУ-аксиому.
4. Постройте равносторонний треугольник со стороной· длины 5.
о. Постройте равнобедренный треугольник с основанием длины 8 и с двумя
конгруэнтными сторонами длины 5.
6. Докажите, что всегда можно построить равносторонний треугольник, имеющий
данный отрезок одной из своих сторон1.
7. Даны два числа а и Ь, первое из которых должно быть длиной каждой из
конгруэнтных сторон равнобедренного треугольника, а второе —длиной его
основания Какие условия нужно наложить на а и Ь, чтобы можно было
построить такой равнобедренный треугольник?
*· Нарисуйте какой-нибудь выпуклый четырехугольник. По данную сторону
данного луча постройте конгруэнтный ему четырехугольник.
§ 8. ПРОСТЕЙШИЕ ПОСТРОЕНИЯ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
Построение 4. Построить прямую, параллельную данной
прямой и проходящую через данную точку, не лежащую на этой
прямой.
1 С равносильного этой задаче предложения начинает систематический
УР£ геометрии Евклид (ср. «Начала» Евклида, кн. I —VI. М. — Л., Гостех-
ИзДат, 1948, стр. 15-16).
513

Даны прямая / и не принадлежащая ей точка Р. Пусть Q и R _
две любые точки прямой /.
Шаг 1. Проводим прямую PQ.
Ш а г 2. Согласно построению 2 строим £ QPS, конгруэнтный
/, PQR так, чтобы точки S и R лежали по разные стороны от
прямой PQ. Тогда £ QPS и £ PQR будут внутренними накрест
лежащими углами. Поэтому PS\\QR, как нам и требовалось.
Построение 5. Разделить отрезок на данное число
конгруэнтных отрезков.
Дан отрезок АВ. Мы хотим разделить его на η конгруэнтных
отрезков. (На рисунке изображен случай, когда η = 5.)
Шаг 1. Проводим какой-нибудь луч с началом Л, не
имеющий с прямой АВ отличных от А общих точек.
Шаг 2. Последовательно откладываем на этом луче η
конгруэнтных отрезков АРЪ Р\Р^ ···> Рп-\Рп так, как это
изображено на рисунке. (Длина этих отрезков не имеет значения; нужно
только, чтобы они были одной длины. Таким образом, точку Р\
мы можем выбрать на луче совершенно произвольно, а
остальные отрезки отложить циркулем один за другим.)
Шаг 3. Проводим отрезок РпВ.
Шаг 4. Через остальные точки Рь Р2, ..., Рп-\ проводим
лучи, параллельные отрезку РпВ. Они пересекут отрезок АВ
в точках Qx, Q2, ..., Qn-\.
Так как наши параллельные прямые высекают конгруэнтные
отрезки на секущей АРп> то они высекут конгруэнтные отрезки
514

и на секущей АВ. (Это — следствие 9.30.1.)
Таким образом, точки Ql9 Q2, ..., Qn-\ делят
отрезок АВ на η конгруэнтных отрезков, как
нам и требовалось.
Построение 6. Построить медиатрису
данного отрезка.
Дан отрезок АВ.
Шаг 1. Проводим окружность с центром А
и радиусом г = АВ.
Ш а г 2. Проводим окружность с центром В
и радиусом г = АВ.
Здесь применима теорема о двух
окружностях, поскольку каждое из чисел г, г и г
меньше суммы двух других. Поэтому наши окружности
пересекутся в двух точках Ρ и Q.
Ш а г 3. Проводим прямую PQ.
Так как точка Ρ равноудалена от точек А и S, то она
принадлежит медиатрисе отрезка АВ. По той же причине этой меди-
атрисе принадлежит и точка Q. Но две точки полностью опреде-
ляют прямую. Следовательно, прямая PQ и есть медиатриса
отрезка АВ.
Конечно, не обязательно было проводить окружности радиуса
г = АВ. Можно было взять и любой больший радиус. В
действительности, годился бы любой радиус, больший, чем у А В. (Почему?
Очевидно, если мы умеем строить медиатрису данного отрезка,
то мы сможем построить и точку, делящую этот отрезок пополам.
(Это-—точка R предыдущего рисунка.) Отметим это как своего
рода «построение-следствие».
Построение 7. Найти середину данного отрезка.
Медиатриса этого отрезка автоматически доставляет нам и его
середину.
* Построение 8. Построить перпендикуляр к данной прямой,
проходящий через данную точку.
Случай 1. Даны прямая / и точка Р. Предположим сначала,
что точка Ρ не принадлежит прямой /. Пусть Q —любая
точка этой прямой.
Шаг 1. Проводим окружность с центром Ρ и радиусом r>PQ.
Так как точка Q лежит внутри этой окружности, то из теоремы
14.9 следует, что / пересекает ее в двух точках: R и S.
Шаг 2. Строим медиатрису отрезка RS. Эта прямая пройдет
через Р9 так как точка Ρ равноудалена от R и S.
515

+r
/
г/
/
/
\
\
Л
\
ν
(2)
"*—
/
/Г
/
ц
Заметим, что для построения медиатрисы не нужно проделывать
все, что требуется в построении 6; достаточно провести по такой
дуге каждой из наших двух окружностей, чтобы получить точку
пересечения 7\ отличную от Р. Тогда прямая Ρ Τ будет содержать
две точки, равноудаленные от R и S, и, значит, она должна быть
медиатрисой отрезка RS.
Случай 2. Если точка Ρ принадлежит прямой /, то
построение проще.
(2)
А
О)
тЧг
14
-fe-
Шаг 1. Проводим любую окружность с центром Р. Она
пересечет прямую / в двух точках — R и S.
Шаг 2. Проводим медиатрису отрезка RS. Эта медиатриса
нам и была нужна.
Задачи к § 8.
(Замечание. Здесь тоже все построения нужно производить с помощью
циркуля и линейки.)
1. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник
2. Постройте ромб с диагоналями данной длины.
3. Постройте параллелограмм, если даны один из его углов, длина меньшей
стороны и длина большей диагонали.
4. Постройте угол в 60°.
5. Постройте угол в 30°.
6. Постройте угол в 15°.
7. Постройте угол в 75°.
8. Постройте равнобедренный треугольник, если даны его основание и высота,
опущенная на это основание.
9. Постройте равносторонний треугольник с данной высотой.
516

jO. Дан угол при вершине равнобедренного треугольника. Постройте угол при
его основании.
Ц. Постройте равнобедренный треугольник, если даны угол при основании и
высота, опущенная на основание.
12. Разделите данный отрезок на три конгруэнтные части.
13.Дан отрезок длины а. Постройте отрезок длины αΥ<Σ.
14. Дан отрезок длины а. Постройте отрезок длины a Y~% .
15. Даны два отрезка длины а и Ъ. Постройте отрезок, длина которого равна
среднему арифметическому чисел а и Ь. (Указание. См. задачу 13 к § 5
гл. 14.) __
16. Дан отрезок длины а. Постройте отрезок длины а 1^6.
17. Постройте прямоугольный треугольник, если даны один его острый угол и
длина гипотенузы.
18. Постройте прямоугольный ' треугольник, если даны один его острый угол и
высота, проведенная из вершины прямого угла.
19. Постройте треугольник, если даны длина двух его сторон и длина медианы,
проведенной к более длинной из них.
20. Постройте параллелограмм, если даны один его угол, одна сторона и высота,
опущенная на эту сторону.
21. Постройте две внутренние касающиеся окружности, если даны радиусы
каждой из них.
22. Постройте окружность данного радиуса, касающуюся обеих сторон
данного угла.
23. Постройте три конгруэнтные окружности данного радиуса, каждая из
которых касается двух других.
24. Постройте равносторонний треугольник, если дан отрезок, длина которого
равна периметру этого треугольника.
25*. Постройте касательную, проведенную к окружности из данной точки,
лежащей вне ее. (Указание. Воспользуйтесь следствием 14.16.1.)
26*. Постройте равнобедренную трапецию, если даны ее основания и диагональ.
27. Постройте равнобедренный треугольник, если даны его основание и высота,
опущенная на одну из конгруэнтных сторон. (Указание. Вам должна
помочь задача 25.)
28*. Постройте прямоугольный треугольник, если даны один его острый угол
и отрезок, длина которого равна сумме длин катетов.
(Указание. Как вам может пригодиться
угол в 45°.)
29*. Даны две точки Л и В прямой /.
Окружность С в точке Л касается
прямой /. Постройте окружность,
касающуюся прямой / в точке В и, кроме
того, касающуюся окружности С.
(Указание. Рассмотрите
внимательней наш рисунок, на котором точка Q ^
является центром искомой окруж- Α Μ β ί
ности.)
30. Постройте треугольник, если даны длины двух его сторон и длина
медианы, проведенной к третьей стороне.
Конкурсная задача
Даны отрезок ЛВ и Ζ С. Пос!ройте множество всех точек Ρ плоскости,
для которых L АР В = L С.
517

§ 9. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ
В
Окружность С1 на этом рисунке впи- >^С—*\
сана в /\АВС, а. окружность С2 описана //"^*\. >^г
около /\АРВ. / / Λν \
1/\ УсХл
AV ^-^ Цс
Определения
Если некоторая окружность касается всего трех сторон
треугольника, то говорят у что эта окружность вписана в данный
треугольник и что данный треугольник описан около этой
окружности. Если некоторая окружность содержит все три
вершины треугольника, то говорят, что эта окружность описана
около данного треугольника и что данный треугольник
вписан в эту окружность.
Каждый треугольник описан около одной окружности и
вписан в другую. Вот нестрогое рассуждение, позволяющее понять,
почему это должно быть так. Представим себе маленькую
окружность, лежащую внутри треугольника и постепенно
расширяющуюся, как расширяется выдуваемый мыльный пузырь
(являющийся, конечно, сферой, а не окружностью). В тот момент, когда
эта окружность больше не сможет расширяться, она окажется
вписанной в треугольник. Точно так же представим себе обод,
охватывающий треугольник и постепенно сжимающийся. В тот
момент, когда он больше не сможет сжиматься, он должен
оказаться описанным около треугольника х.
Теперь мы докажем не только, что описанная и, вписанная
окружности существуют, но и что их можно построить с помощью
циркуля и линейки.
Построение 9. Описать окружность
около данного треугольника.
Шаг 1. Строим медиатрисы сторон А В
и АС. Они пересекаются в некоторой
точке Р. По теореме 15.1 точка Ρ
равноудалена от вершин Л, В и С.
1 Как это ни может показаться странным,
подобные простые рассуждения находят серьезное
применение в современной математике (они даже
получили специальное название—«метод пустого шара»).
518

Шаг 2. Проводим окружность с центром Ρ и радиусом г = РА.
Так как РВ = РС = РА = г, то эта окружность будет содержать
не только точку Л, но и вершины В и С треугольника.
Определение
Точка конкуррентности медиатрис сторон треугольника
называется центром описанной окружности этого
треугольника.
Построение 10. Вписать окружность в данный треугольник.
Дан Д ABC.
Шаг 1. Проводим биссектрису £ А.
Шаг 2. Проводим биссектрису £ В.
По теореме 15.4 эти биссектрисы пересекаются в точке,
равноудаленной от всех трех сторон треугольника.
Шаг 3. Опускаем из точки перпендикуляр Ρ на АС. Пусть D —
основание этого перпендикуляра.
Ш а г 4. Проводим окружность с центром Ρ и радиусом г = PD.
Эта окружность касается стороны АС в точке D, потому что
прямая АС перпендикулярна радиусу PD. По той же причине
эта окружность касается и двух других сторон. Таким образом, мы
построили требуемую окружность.
Определение
Точка конкуррентности биссектрис углов треугольника
называется центром вписанной окружности этого
треугольника.
Задачи к § 9
^мечание. И здесь все построения нужно выполнять о помощью циркуля
_- постройте равносторонний треугольник. Затем постройте описанную около
него и вписанную в него окружности.
519

2. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник. Затем постройте
вписанную в него окружность.
3. Дан произвольный разносторонний треугольник. Постройте описанную около
него окружность.
4. Дан произвольный разносторонний треугольник. Постройте вписанную
в него окружность.
5. Опишите окружность около данного квадрата.
6. Дан ромб. Постройте вписанную в него окружность.
7. Ответьте на следующий вопрос, сделав соответствующее построение; затем
докажите, что ваш ответ правилен.
Сколько смыкающихся концами хорд можно провести в данной окружности,
если каждая из хорд конгруэнтна радиусу окружности?
8. Постройте прямоугольный треугольник, если даны один его острый угол и
радиус описанной окружности.
9. Постройте равнобедренный треугольник, если даны его основание и радиус
вписанной окружности.
10. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник, если дан радиус
описанной около него окружности.
11. Постройте равносторонний треугольник, если дан радиус вписанной в него
окружности.
12*. Постройте прямоугольный треугольник, если, даны его катет и радиус
вписанной окружности.
13*. Постройте равнобедренный треугольник, если даны угол при его вершине
и радиус вписанной окружности.
14*. Докажите, что периметр прямоугольного треугольника равен сумме
диаметра вписанной в него окружности и удвоенного диаметра окружности,
описанной около него.
§ 10. НЕРАЗРЕШИМОСТЬ НЕКОТОРЫХ КЛАССИЧЕСКИХ
ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ1
Древние греки придумали все те построения, которые вы до
сих пор изучили, вместе со многими другими, более трудными.
Было, однако, несколько задач, над решением которых
безуспешно бились многие годы лучшие математики древней Греции.
Чтобы стало понятно, насколько трудными могут быть
задачи на построение, возьмем задачу деления окружности
с помощью циркуля и линейки на 17 конгруэнтных дуг.
Когда мы проведем соответствующие
хорды, мы получим фигуру, называемую
правильным многоугольником с
семнадцатью сторонами или, короче,
правильным семнадцатиугольником. Задача
построения правильного семнадцати -
угольника была хорошо известна, но
1 По поводу содержания этого параграфа
см., например: Ю. И. Μ а н и н. О
разрешимости задач на построение с помощью циркуля
и линейки. Энциклопедия элементарной
математики, кн. IV (геометрия). М., Физматгиз, 1963,
стр. 205—227.
520

оставалась нерешенной в течение более
двух тысяч лет. Наконец, требуемое
построение было придумано в прошлом
веке К. Ф. Гауссом.
Но некоторые из придуманных
древнегреческими математиками задач
оказались не просто сверхтрудными: они д
были вообще неразрешимы.
1°. Трисекция угла. Дан
произвольный Ζ ВАС. Мы хотим построить
такие лучи AD и АЕ (где точки D и Ε
лежат внутри Ζ ВАС), чтобы было
Ζ BAD ^ Ζ DAE ς^ Ζ Ε AC.
При этом мы имеем право пользоваться
в нашем построении лишь циркулем и
линейкой.
Первое, что пытается делать почти А
всякий,— это взять АВ=АС, провести
отрезок ВС и затем разделить отрезок
ВС на три конгруэнтные части, как
показано справа. Но все это
бесполезно. Как можно показать, Ζ BAD и
Ζ Ε АС будут конгруэнтны, но ни один
из них не будет конгруэнтен Ζ DAE.
В действительности никто так и не
нашел метода решения этой задачи.
2°. Удвоение куба. Куб с ребром а
имеет объем а3. Дан отрезок длины а.
Мы хотим построить отрезок такой
длины Ь, чтобы объем куба с ребром b
был вдвое больше объема куба с ребром
конечно, означает, что
Ь3 = 2а3, или Ь = а^2.
Никому не удалось решить и эту задачу. Есть любопытный
миф, связанный с нею. Рассказывают, что в одном греческом
городе началась эпидемия чумы, от которой умирало много людей.
Жители этого города отправились к оракулу в Дельфы, чтобы
выяснить, какой бог наслал на них это бедствие и за что.
Оракул сказал им, что на них разгневался Аполлон. Алтарь
Аполлону в этом городе представлял собой куб из чистого золота, и
Аполлон хотел, чтобы этот алтарь стал вдвое больше.
Когда посланцы вернулись из Дельф, они построили новый
алтарь, ребра которого были вдвое больше ребер старого. Но
Ж
V=aJ
а. Алгебраически это,
521

эпидемия не утихала, а стала свирепствовать еще. больше, и
жители города поняли, что Аполлон имел в виду объем своего
алтаря. (Конечно, когда ребро куба было удвоено, объем его
увеличился не в два раза, а в восемь раз.) Так возникла задача об
удвоении куба, но местные математики были не в состоянии ее
решить г. Таким образом, первая попытка применения математики
к задачам здравоохранения потерпела полную неудачу.
3°. Квадратура круга. Дан круг. Мы хотим построить
квадрат, имеющий ту же площадь.
Алгебраически это означает, что ί? = α|/"π.
Более двух тысяч лет лучшие математики пытались найти
способы, позволяющие осуществить эти построения с помощью
циркуля и линейки. Наконец, уже в XIX в. было установлено,
что все эти три задачи неразрешимы, т. е. что решить их
невозможно.
Невозможность в математике означает не совсем то же самое,
что и в повседневной жизни; поэтому наше утверждение нуждается
в некотором пояснении.
Обычно когда мы говорим, что что-то невозможно, мы имеем
в виду только то, что это очень трудно, подобно тому как
«невозможно» найти иголку в стоге сена. Часто мы подразумеваем,
что мы не знаем, как это сделать, и сомневаемся, можно ли это
сделать вообще. Именно в этом смысле люди говорили, что
летать по воздуху невозможно, и, утверждая это, они были правы,
пока не был построен первый аэроплан и он не поднялся в
воздух. Математическая невозможность — это нечто иное. В математике
есть вещи, которые действительно невозможно сделать, и можно
доказать, что сделать их нельзя.
1°. Как бы вы ни были умны, вы не сумеете найти целого
числа, заключенного между числами 2 и 3, потому что такого
числа нет.
2°. Если этот пример показался вам слишком плоским, чтобы
отнестись к нему серьезно, то рассмотрим следующую ситуацию.
Мы исходим из целых чисел: положительных, отрицательных и
нуля. Мы позволяем их складывать, вычитать, умножать и
делить. Назовем число «допускающим построение», если мы можем
получить его, отправляясь от целых чисел, за конечное число
таких действий. Например, следующее число «допускает
построение»:
(1 + 1)^1(1^1)
\7 ^ Ъ) 13 V 9 7 )
1(1 + 1)^1(1^1)'
3 \4 7/ 3 \5 2)
1 Рассказывают также, что, когда жители города обратились с просьбой
о помощи к знаменитому Платону, он сказал, что Аполлон карает их за
незнание математики, но, впрочем, сам не сумел решить предложенную задачу.
522

Предположим теперь, что перед нами стоит задача
«построить» число ]/2 с помощью такого рода операций. Решить эту
задачу невозможно, т. е. она неразрешима. Дело в том, что
числа^ «допускающие построение» по этим правилам, рациональны,
а ]/2 к этой категории чисел не принадлежит. Бесполезно
отыскивать его среди чисел, «допускающих построение», потому что
искать его нужно не там.
Задачи построения с помощью циркуля и линейки очень
близки к этому второму примеру. Мы находим, что существуют
такие отрезки, которые можно построить с помощью циркуля и
линейки исходя из данного отрезка АВ. Например, существуют
допускающие построение отрезка длины 2АВ, -к АВ, У2 АВ и
YqAB. Но не существует допускающего построение отрезка CD,
такого, что
CD3 = 2AS3.
Именно это мы и имеем в виду, когда говорим, что удвоение
куба с помощью циркуля и линейки невозможно.
Задача о трисекции угла заслуживает дополнительного
обсуждения.
a) Некоторые углы можно легко разделить на три
конгруэнтные части с помощью циркуля и линейки. Например, это
можно сделать для прямого угла, откуда вытекает, что трисек-
Ция возможна и для угла в 45°, для угла в 22-^ и для многих
Других. Когда мы говорим, что задача о трисекции угла
неразрешима, мы подразумеваем, что существуют и такие углы (хоть
один такой угол!), для которых лучи, делящие угол на три
конгруэнтные части, построить нельзя.
b) Задача о трисекцией угла становится разрешимой, если мы
ослабим правила построений, разрешив сделать хотя бы две
пометки на линейке, которой мы пользуемся.
523

Дан Ζ. В. Пусть г —расстояние между пометками на нашей
линейке. Сначала проведем окружность с центром В и
радиусом г. Она пересечет стороны угла в точках А и С.
Наложим теперь линейку так, чтобы
1°. она проходила через точку С. Затем будем ее передвигать
и поворачивать до тех пор, пока
2°. одна из пометок окажется в некоторой точке Q
окружности,
3°. другая пометка совместится с некоторой точкой Ρ луча,
противоположного лучу ВА.
Тогда мы получим ситуацию, изображенную на нашем
рисунке. Так как /\QBP- равнобедренный треугольник и QB=QP=ry
то углы при основании треугольника имеют одну и ту же меру а,
как это указано на нашем рисунке, и по той же причине углы
при основании /\BCQ имеют одну и туже меру Ь.
Мера внешнего угла треугольника равна сумме мер
внутренних углов, с ним не смежных. Применяя эту теорему к /\QBP,
получаем, что Ь = а-\-а = 2а.
Применяя ту же теорему к /\ВСР, находим, что с = Ь + а и,
следовательно, с = 3а. Таким образом, т £ Ρ = -^т /_ ABC.
Теперь внутри £ ABC мы дважды построим угол,
конгруэнтный /, Р.
Мы разделили £ ABC на три конгруэнтные части!
Конечно, эта процедура не разрешалась идущими от Евклида
правилами построения циркулем и линейкой.
524

Задачи к § 10
I а) Какое число, прибавленное к 5, равно само себе, умноженному на 5?
Докажите, что ваш ответ правилен.
Ь) Какое число, умноженное на 4 и затем деленное на себя же, равно 5?
Докажите, что ваш ответ правилен.
2. Объясните, как с помощью циркуля и линейки разделить угол в 135° на
три конгруэнтные части.
3. Докажите, что нельзя построить треугольник, две
стороны которого имеют длину 2 см и 3 см, а высота,
проведенная к третьей стороне, равна 4 см.
4. Дан квадрат □ ABCD. Точки Μ и N являются соот-
ветственно серединами сторон DC и ВС. Отрезки
AM и AN пересекают диагональ BD в точках R и S.
Докажите, что отрезки AM и AN делят BD на три
конгруэнтных отрезка, но не осуществляют
трисекции Z. DAB.
5. Плотник может разделить любой угол на три конгруэнтных угла,
пользуясь инструментом, называемым плотницким квадратом и изображенным
на рисунке. Все углы здесь прямые и EF = CD = -7y AB. Чтобы разделить
~PRQ с помощью этого «квадрата», плотник сначала, пользуясь длинной его
стороной, проводит луч S7\ параллельный лучу RP и удаленный от него
на расстояние EF. Затем он помещает плотницкий квадрат так, чтобы
отрезок DE содержал точку R, точка А лежала на ST и точка В —на RQ
Плотник знает, что в этом случае лучи RD и RA осуществляют трисекцию
Δ PRQ. Докажите, что это так.
525

Вопросы и задачи для повторения
1. Охарактеризуйте множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух
данных параллельных прямых.
2. Охарактеризуйте множества всех центров окружностей, лежащих в данной
плоскости и касающихся данной окружности в данной ее точке.
3. Охарактеризуйте множество всех точек пространства, находящихся на данном
расстоянии от данной точки.
4. В плоскости Ε даны прямая и не принадлежащая ей точка. Охарактеризуйте
множество всех точек плоскости £, удаленных на расстояние d от данной
прямой и на расстояние г от данной точки.
5. Охарактеризуйте множество всех точек, находящихся на данном расстоянии
от данной точки Ρ и равноудаленных от Ρ и от другой точки Q.
6. Нарисуйте каждое из следующих множеств:
a) {(х,у)\х= — 1\;
b) {(х,У)\у = х))
c) {(х,у)\у=2\;
d) {(x,y)\y<x\.
7. Изобразите и опишите уравнением множество всех точек, равноудаленных
от точек А{ — 5, 0) и £(3, 0).
8. Изобразите и опишите уравнением множество всех точек, находящихся на
расстоянии 3 от графика уравнения _у=0. (Пользоваться знаком ± не
разрешается.)
9. Нарисуйте довольно большой разносторонний треугольник.
Затем с помощью циркуля и линейки найдите его ортоцентр, центр тяжести,
центр вписанной и центр описанной окружностей.
10. Постройте ромб, если даны один его угол и отрезок, длина которого равна
периметру ромба.
11+. Дан Is ЛВС с вершинами Л( —4, 6),
Я(0, —3) и С (4, 6).
a) Докажите, что Δ ЛВС — равнобедренный
треугольник.
b) Определите координаты его центра
тяжести.
12+. Дан Д PQR с вершинами Ρ ( — 4, 7), Q(8, 7) и Я (8, 2). Найдите
координаты его ортоцентра.
13+. Дан &EFG с вершинами Ε(—2, 0), F(4, 6) и G(10, 0).
a) Найдите координаты центра описанной окружности треугольника.
b) Выпишите уравнение описанной окружности.
14*+. Найдите координаты центра тяжести треугольника, имеющего вершины
А (-5, 0), 5(9,0) и С (5, 8).
626

15. Пусть А — центр окружности радиуса а и В — центр окружности радиуса Ь,
причем обе окружности лежат в одной плоскости. Должны ли эти
окружности пересекаться, если а-\-Ь > А В? Почему?
16. D ABCD-— трапеция с основаниями АВ и DC. При каких условиях в
плоскости трапеции существует точка Р, равноудаленная от А, В, С и D?
17. Даны две параллельные прямые 1г и /2 и секущая U Охарактеризуйте
множество всех точекг равноудаленных от /х, /2 и t.
18*. Постройте параллелограмм, если даны его сторона, острый угол и большая
диагональ.
19*. Постройте прямоугольный треугольник, если даны один его острый угол
и радиус вписанной окружности.
20*. Дан отрезок, длина которого равна сумме длин диагонали и стороны
квадрата. Постройте квадрат.
21*. Дан отрезок, длина которого равна разности длин диагонали и стороны
квадрата. Постройте квадрат.

* л ПЛОЩАДЬ КРУГА
АО И СЕКТОРА

§ ι. МНОГОУГОЛЬНИКИ
Многоугольник — это фигура, получающаяся, когда мы последо-
вательно соединяем несколько точек (последнюю точку мы
соединяем с первой!), например, такая:
но не такая:
χ χ
Понятие, идею которого иллюстрируют эти рисунки,
формально вводится следующим образом:
Определения
Пусть Ръ Р2, ..., Ρп — последовательность η различных точек
на плоскости, где п^З. Предположим, что η отрезков РгР2,
Р2Р3, ..., Рп^Рп, РпР\ обладают следующими свойствами:
1°. Никакие два из этих
отрезков не имеют общих
точек, отличных от этих общих
концов. (Рг для отрезков Р\Р2
и РпР^, Р2 для отрезков ΡχΡ2
и Р2Р3 и т. д.)
2°. Никакие два отрезка,
имеющие общий конец, не кол-
линеарны.
529

Тогда объединение этих η отрезков называется многоуголы
ή и ком. Точки Ръ Р2, ..., Рп называются вершинами
многоугольника, а отрезки ΡχΡ2, Р2Рз> ···» Ρη-\Ρη> РпР\ — его
сторонами. LPnP\P^ ^.РгРчРзит.д.называютсяуглами
многоугольника. (Для краткости мы их часто будем обозначать
так: £ Ръ LP<l и т. д.) Сумма длин сторон многоугольника
называется его периметром.
Теперь вам стоит снова взглянуть на семь фигур в начале этого
параграфа и убедиться, что вы понимаете, почему первые четыре
фигуры подпадают под наше определение многоугольника, а три
последние им исключаются. (Не забудьте, что требуется, чтобы
все точки Р19 Р2, ..., Рп были различны.)
Многоугольник с η сторонами называется η-угольником. Мы
уже встречались с треугольниками и четырехугольниками. Точно
так же можно определить пятиугольники, шестиугольники и т. д.
Каждая сторона многоугольника принадлежит некоторой
прямой, и всякая такая прямая, конечно, разбивает плоскость на
\ / \
две полуплоскости. Легко может случиться, что (как на левом
рисунке) каждая из этих двух полуплоскостей содержит точки
многоугольника. Если же для любой стороны многоугольника
этого не происходит (как на правом рисунке), то многоугольник
называется выпуклым. Повторим это кратко в виде определения.
Определение
Многоугольник называется выпуклым, если никакие его две
точки не лежат по разные стороны от прямой, содержащей
какую-либо его сторону.
Такое употребление слова «выпуклый» вполне естественно:
если многоугольник является выпуклым, то вместе со своей
внутренностью он образует выпуклое множество в смысле гл. 3. Когда
мы говорим о площади выпуклого многоугольника, мы имеем
в виду площадь соответствующей выпуклой многоугольной области.
530

Задачи к § 1
1. Никакие два из отрезков, образующих
1 * эту фигуру, не имеют общих точек,
не являющихся их концами, и никакие
два отрезка, имеющие общий конец,
не коллинеарны. Тем не менее эта
фигура не является многоугольником.
Почему?
2. Какие из фигур, изображенных на
этом рисунке, являются
шестиугольниками? Какие из них являются
выпуклыми шестиугольниками?
3. Объясните, почему эта фигура не
является выпуклым многоугольником.
4. Назовите углы каждого
многоугольника.
О

Каждый ли многоугольник, все стороны которого конгруэнтны и все углы
которого прямые, является квадратом?
Отрезок, концами которого служат две несмежные вершины
многоугольника, называется диагональю этого многоугольника.
a) Назовите все диагонали каждого из следующих многоугольников.
b) Сколько диагоналей имеет многоугольник с тремя сторонами? четырьмя
сторонами? пятью сторонами? шестью сторонами? семью сторонами?
c) Сколько диагоналей имеет многоугольник с 103 сторонами? с η сторонами^
Вычислите сумму мер всех углов выпуклого пятиугольника; выпуклого
шестиугольника. (Указание. Проведите все диагонали из одной вершины )
8. В выпуклом многоугольнике проведены все диагонали, соединяющие одну
(фиксированную) его вершину со всеми остальными вершинами. Сколько
получилось треугольников, если многоугольник имеет 4 стороны? 5 сторон^
6 сторон? 11 сторон? 35 сторон? η сторон?
9. Проверьте следующее обобщение:
Сумма мер всех углов выпуклого п-уголь-
ника равна (п — 2)-180.
10. Найдите сумму мер всех углов выпуклого
восьмиугольника; десятиугольника;
двенадцатиугольника; пятнадцатиуголышка; двад-
цатиугольника.
11. Сколько сторон имеет выпуклый
многоугольник, если сумма мер всех его углов
равна 900? 1260? 1980? 2700? 4140?
12+. Проверьте утверждение задачи 9,
пользуясь рисунком.
532

j3. Определите сумму мер внешних углов выпуклого пятиугольника;
выпуклого шестиугольника.
14. Проверьте следующее обобщение:
Сумма мер внешних углов выпуклого η-угольника равна 360.
15+. Сформулируйте определение внутренности выпуклого многоугольника.
(См. определение внутренности треугольника.)
16+. Обсудите, верны или нет следующие утверждения:
a) Объединение выпуклого многоугольника и его внутренности есть
многоугольная область.
b) Граница каждой многоугольной области есть многоугольник.
17*+. Дано соответствие РхРгРъ ... Ρη~0.-£ίΆζ ··· Qn между двумя
многоугольниками. Если соответствующие стороны и соответствующие углы
конгруэнтны, то должны ли эти два многоугольника быть подобными? Должны
ли быть равны их периметры? Должны ли они ограничивать области,
имеющие равные площади?
Подкрепите свой ответ логическим рассуждением и примерами.
Конкурсная задача
То, что многоугольник разбивает точки плоскости на два множества,
называемые внутренностью и внешностью многоугольника, кажется довольно
очевидным фактом. Однако, хотя этот факт и можно доказать на основании наших
аксиом, доказательство его является весьма трудным 1. Покажите, что эта
теорема играет существенную роль в решении следующей популярной
головоломки. Каждый из трех домов Л, В и С нужно соединить с магазинами G,
Ψ и Е.
ABC
a w ε
Предлагается провести пути, ведущие из каждого дома к каждому магазину
так, чтобы никакие два из этих путей не пересекались. (Разумеется, все пути
Должны лежать в одной плоскости.)
1 См., например: Р. Курант и Г. Ρ о б б и н с. Что такое математика?
М., «Просвещение», 1967, стр. 275—276 и 296—299.
533

§ 2. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
Определение
Многоугольник называется правильным, если
1°. он является выпуклым;
2°. все его стороны конгруэнтны;
3°. все его углы конгруэнтны1.
Например, равносторонний
треугольник— это правильный
треугольник, а квадрат—это правильный
четырехугольник.
Правильный η-угольник с
произвольным числом сторон можно
построить следующим образом.
Рассмотрим окружность с центром Q и
радиусом г. Сначала разделим ее на
η конгруэнтных дуг. Каждая из
таких дуг будет тогда иметь меру
360/я. (На рисунке изображен случай,
когда η = 8.) Для каждой маленькой
дуги проведем соответствующую ей хорду. Это даст нам
многоугольник с вершинами Ръ P2i ..., Рп. Легко видеть, что эгот
многоугольник — выпуклый. Все его стороны конгруэнтны, так
как были конгруэнтны маленькие дуги.
Если мы проведем радиусы из центра Q к вершинам
многоугольника, то мы получим η равнобедренных треугольников.
В силу ССС все эти треугольники конгруэнтны. Поэтому все
углы нашего многоугольника также конгруэнтны. (Мера каждого
из них равна удвоенной мере угла при основании каждого из
наших равнобедренных треугольников.) Таким образом, наш
многоугольник является правильным.
Фактически каждый правильный многоугольник можно
построить таким методом. Иными словами, каждый правильный
многоугольник вписан в некоторую окружность. Мы не будем
останавливаться на доказательстве этого утверждения, потому
что оно нам не понадобится. Мы будем пользоваться правильными
многоугольниками только при изучении свойств окружности, и
все правильные многоугольники, о которых ниже будет идти
речь, будут построены только что описанным способом.
Центр Q окружности, в которую вписан многоугольник,
называется центром правильного многоугольника. Так как все
маленькие равнобедренные треугольники на нашем рисунке
конгруэнтны, то они имеют одно и то же основание е и одну и ту же
высоту а. Число а есть расстояние от центра многоугольника
до каждой его стороны.
1 Можно доказать, что условие 1° вытекает из условия 3°.
534

Определение
Расстояние а от центра правильного
многоугольника до каждой его стороны
называется апофемой многоугольника.
Периметр многоугольника мы будем
обозначать буквой р. Очевидно,
р = пе.
Легко вычислить площадь области,
состоящей из правильного многоугольника
и его внутренности. Каждый из
равнобедренных треугольников имеет площадь -^ае.
Всего имеется η
таких треугольникоб. Следовательно, площадь Sn многоугольника
равна Sn^n'-^ae^-cj-ap.
Задачи к § 2
1. Какой четырехугольник (если такие существуют) является равносторонним
но не правильным? равноугольным, но не правильным?
2. Нарисуйте многоугольник, все стороны которого конгруэнтны, а все углы
прямые, но который не является правильным.
3. На рисунке изображена часть правильного
/г-угольника, вписанного в окружность с
центром Q.
a) Чему равна мера т L Рь0Рь*
b) Чему равна сумма т L QPbPB + m L QPqP^
c) Почему L QP6P5 £ё L QPbPA7
d) Почему т L Р^РьРь^т L *W?+
+ т L QPbPJ
о/г л
e) Покажите, что m Ζ P±PbPe~\80 .
η
4. Определите меру каждого угла правильного многоугольника с пятью
сторонами; с девятью сторонами; с двенадцатью сторонами; с пятнадцатью
сторонами; с семнадцатью сторонами; с двадцатью четырьмя сторонами. (См.
задачу 3.)
5. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если мера его внешнего
угла равна 72? 45? 36? 24? 17у?
6. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если мера одного из его
углов равна 128—? 140? 144? 160?
7. Как построить правильный восьмиугольник с помощью только циркуля
и линейки (без делений)?
8. Как построить правильный шестиугольник с помощью циркуля и линейки?
9. Периметр правильного многоугольника равен 48, а апофема равна 6. Чему
равна площадь многоугольника?
10. Найдите площадь правильного шестиугольника, сторона которого имеет
длину 10 см.
535

11. Сторона правильного шестиугольника, вписанного
в окружность, равна 4. Чему равны радиус
окружности и апофема шестиугольника?
12. Докажите, что площадь правильного
шестиугольника со стороной а определяется по формуле
13. D A BCD — произвольный четырехугольник,
каждая из сторон которого касается окружности
диаметра 9. Чему равна SQAJiCD, если периметр
D ABCD равен 56?
14+. Определить площадь правильного девятиуголь-
ника, если дано, что его сторона имеет длину 8.
(Вспомните тригонометрические отношения!)
15+. Определите площадь правильного пятнадцати-
угольника, если известно, что его сторона имеет
длину 8.
16*. Докажите, что каждая сторона правильного
восьмиугольника, вписанного в окружность
радиуса 1, имеет длину 1/2-/2.
Конкурсная задача
В архитектурных проектах обычно встречается
задача покрытия некоторой поверхности правильными
многоугольными областями. Например (это показано
на нашем рисунке), плоскость можно покрыть
конгруэнтными квадратными областями, сходящими по
четыре в каждой вершине.
a) Сколько равносторонних треугольных
областей должно примыкать к каждой вершине, чтобы
все они покрывали плоскость?
b) Правильными многоугольными областями еще
какого типа можно покрыть плоскость? Сколько их
должно примыкать к каждой вершине?
c) Два правильных многоугольника и один квадрат, если их расположить,
как показано на рисунке, полностью покрывают часть плоскости вблизи
данной точки. Какие еще комбинации трех правильных многоугольных областей
(две из которых одинаковы) обладают тем же свойством? (Нужно найти еще
две комбинации.)
d) Исследуйте, существуют ли другие возможности покрытия плоскости
правильными многоугольными областями. При отыскании удачных комби нации
вам была бы полезна таблица мер углов правильных многоугольников.
§ 3. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ. ЧИСЛО π
В этом и следующем параграфах мы будем рассматривать
правильные /2-угольники при различных значениях п. Как обычно,
сторону, апофему и периметр правильного /г-угольника,
вписанного в окружность радиуса г, мы будем обозначать буквами ?>
а и /?.
536

Пусть С —длина некоторой окружности. Кажется разумным
допустить, что если мы захотим измерить длину С, то мы сможем
3-го сделать, вписав в нашу окружность правильный многоуголь-
иик с большим числом сторон и затем измерив периметр этого
многоугольника. Другими словами, мы предполагаем, что этот
периметр ρ при большом η должен давать хорошее приближенное
значение числа С. Если это так, то, решив насколько близким
к С нам хотелось бы иметь число /?, мы должны быть в состоянии
получить такое р, взяв η достаточно большим. Символически мы
выразим эту ситуацию с помощью записи
р->С
и будем говорить, что ρ имеет своим пределом число С.
Однако доказать этого мы не можем; и причина, по которой
мы не можем этого доказать, довольно неожиданна. Дело в том,
что до сих пор у нас нет математического определения понятия
длины окружности. (Мы не можем получить длину окружности
путем сложения каких-либо отрезков — способ, которым мы находим
периметр многоугольника, потому что окружность не содержит
никакого, даже очень маленького отрезка. В самом деле,
следствие 14.16.1 утверждает, что ни одна окружность не содержит
даже трех коллинеарных точек.)
Но выход совсем прост: утверждение
р->С
мы примем за определение длины окружности С.
Определение
Длиной окружности называется предел периметров
правильных многоугольников, вписанных в эту окружность.
Теперь мы хотим определить число π обычным образом, как
отношение длины окружности к диаметру. Но чтобы иметь
уверенность, что это определение имеет смысл, сначала нужно знать,
что отношение С/2г одинаково для всех окружностей, независимо
°т их размера. И в самом деле, это верно.
Теорема 16.1
Отношение длины окружности к диаметру одинаково для всех
окружностей.
Доказательство. Даны окружность с центром Q и
радиусом г и окружность с центром Q' и радиусом /*'. Впишем
в каждую из них по правильному п-угольнику.
537

Мы изображаем на рисунке только по одной стороне каждого
из η-угольников вместе с соответствующим равнобедренным
треугольником. Как видно из пометок, два центральных угла
конгруэнтны, потому что мера каждого из них равна 360/п. Кроме
того, заключающие этот угол стороны пропорциональны: r'/r = r'/r.
По СУС-теореме подобия
&BQA~AB'Q'A'.
Следовательно,
е' е пе* пе р' ρ
7" ~~ 7' 7" ~~ 7 и 7 ""7"»
где ρ и р* — периметры наших двух я-угольников. Теперь
ρ -> С и р' -> С
по определению длины окружности. Поэтому
Ρ С р' С
г г г' г'
Так как отношения у и у равны, то равны и их пределы:
£. — 91 £ — £1
г ~~ г' И 2г ~" 2г' '
что и требовалось доказать.
Отношение С/2г обозначается буквой π. Так как оно для всех
окружностей одинаково, то для всех окружностей справедлива
формула
С = 2пг.
Число π не рационально. Фактически его нельзя точно
вычислить никакими обычными методами алгебры. С другой
стороны, его можно с любой степенью точности приблизить
рациональными числами. Вот некоторые из хороших
приближенных значений этого числа:
3; 3,14; Зу; 3,1416; -щ-; 3,14159265358979.
538

Путем простых измерений нетрудно убедиться, что π немного
больше, чем 3. Но очень хорошее приближение можно получить
только с помощью достаточно глубоких методов математики.
Задачи к § 3
1. В окружность радиуса 1 вписан правильный многоугольник. Затем в эту
же окружность вписан другой правильный многоугольник, имеющий на
одну сторону больше, чем первый, и т. д. Этот процесс продолжается
бесконечно, причем каждый новый многоугольник имеет на одну сторону
больше, чем предыдущий.
a) Какой предел имеет апофема многоугольника?
b) Какой предел имеет длина стороны?
c) Какой предел имеет мера угла многоугольника?
d) Какой предел имеет периметр многоугольника?
2. Диаметр велосипедного колеса равен 70 см. На сколько продвигается
велосипед с каждым оборотом колеса? (Какое приближенное значение числа π
приводит к самым простым вычислениям?)
3. Какое из чисел 3,14 или 3-=- лучше
приближает число π?
4. Длина окружности бревна равна 157 см. Какую
длину имеет сторона поперечного сечения
наибольшей квадратной балки, которую можно
вытесать из этого бревна? (Считайте, что π
равно 3,14.)
5. Какой радиус имеет окружность с длиной π?
6. Круглый плавательный бассейн диаметра 10,5 м обнесен оградой в форме
квадрата. Общая длина ограды вдвое больше длины окружности бассейна.
Какую длину имеет одна сторона этой квадратной ограды?
7. Сторона квадрата имеет длину 8 см. Найдите длину вписанной в него
окружности; окружности, описанной около него.
8. Длина стороны равностороннего треугольника равна 12. Чему равна длина
вписанной в него окружности? окружности, описанной около него?
9. Земля находится приблизительно в 150 млн. км от Солнца. Путь ее вокруг
Солнца является почти круговым. Подсчитайте теперь, какой путь вокруг
Солнца делаем мы ежегодно «по орбите». Приближенно оцените скорость
(в километрах в час) нашего движения по этой орбите.
10. Радиус Земли приблизительно равен 6 400 км.
Когда Земля вращается вокруг своей оси,
объекты, находящиеся на ее поверхности,
движутся с различной скоростью по отношению
к земной оси, причем их скорость зависит от
широты каждого объекта. Какую
приблизительно скорость в километрах в час имеет
объект, находящийся на экваторе? С какой
скоростью движется объект на 45° северной
широты?
11. Сторона правильного шестиугольника равна 6.
Чему равна длина вписанной в него
окружности? окружности, описанной около него?
12. Радиусы трех окружностей равны 1 ж, 10 ж и 10 000 м. Радиус каждой
окружности увеличен на 1 м, так что новые радиусы соответственно равны
2 ж, 11 ж и 10 001 м. Определите, на сколько при этом увеличилась длина
каждой окружности.
539

13*. Дан рисунок, где □ A BCD — квадрат,
описанный около окружности, Π WXYZ —
квадрат, вписанный в эту окружность,
и прямые АС и BD содержат диагонали
обоих квадратов. Вершинами квадрата
Π PQRS служат середины отрезков
МГ, ВХ~, CY и DZ. Определите, будет
ли периметр PQRS меньше, чем длина
данной окружности, равен ей или больше
ее. Оправдайте свой ответ вычислением,
приняв радиус этой окружности за 1.
§ 4. ПЛОЩАДЬ КРУГА
Определение
Кругом называется объединение
окружности и ее внутренности.
В этом параграфе мы получим
формулу для вычисления площади
круга.
Дана окружность радиуса г.
Впишем в нее правильный
η-угольник. Как обычно, площадь этого
/г-угольника будем обозначать
символом Sn, периметр — буквой ρ и
апофему — буквой а. В § 2 (стр. 535)
мы нашли, что
Sn = -J аР·
Сложившаяся ситуация характеризуется тремя величинами,
а именно /?, а и Sn, каждая из которых зависит от п. Чтобы
получить искомую формулу, нам нужно выяснить, к каким они
стремятся пределам, когда η неограниченна возрастает.
а) Что происходит с S„? Площадь Sn всегда немножко меньше
площади S круга, потому что всегда имеются какие-то точки,
лежащие внутри окружности, но вне правильного я-угольника.
Однако когда η очень велико, разность между Sn и S очень
мала, потому что при большом η многоугольная область почти
заполняет круг. Таким образом, можно ожидать, что
Sn-+S. (1)
Однако доказать это невозможно, так как мы пока не дали
определения площади круга. (См. обсуждение, относящееся к
вычислению длины окружности.) И здесь, как и раньше, выход
совсем прост.
540

Определение
Площадью круга, ограниченного окружностью С,
называется предел площадей вписанных в С правильных
многоугольников.
Таким образом, по определению Sn-*S.
b) Что происходит с я? Апофема а всегда немножко меньше,
чем г, поскольку катет прямоугольного треугольника меньше
гипотенузы. Но когда η очень велико, разность между а и г
очень мала. Итак,
а-» г. (2)
c) Что происходит с р? По определению длины окружности С,
имеем
ρ-С. (3)
Объединяя (2) и (3), получаем
1 1 п
^ар-+^гС.
Поэтому ввиду того что Sn = -^-ap, имеем
Sn -> γ rC.
Но из (1) мы знаем, что Sn-+S. Следовательно,
S-±rC.
Так как С = 2дг, то
А = -н- г · 2яг = лг2.
Таким образом, эту, конечно известную вам, формулу можно,
наконец, считать доказанной.
Теорема 16.2
Площадь круга радиуса г равна дг2.
Задачи к § 4
1. Найдите длину окружности и площадь круга радиуса 3; 5; Ϋ2\ π.
2. Найдите площадь круга и длину окружности диаметра 6; 9, 2; л γ\2.
3 Чему равен радиус круга, площадь которого равна 49π? 20д? 25? 16? 18л3?
4. Чему равна площадь круга, если длина окружности равна 6π? 16π?
12? 2π?
541

5. Вычислите площадь металлической шайбы
(мы ее считаем плоской), если дано, что
диаметр шайбы равен 3 см, а диаметр
отверстия равен 1 см.
(Считайте, что π равно 3 =-.)
6. Докажите следующую теорему:
Отношение площадей двух кругов равно
квадрату отношения их радиусов.
7. Два круга имеют соответственно радиусы 3 и 12. Чему равно отношение их
площадей?
8. Две окружности имеют длину 7 и 4л. Чему равно отношение площадей
соответствующих кругов?
9. И длина окружности и периметр квадрата равны 20 см. Какая площадь
больше —круга или^квадрата? На сколько больше?
10. Дан квадрат с длиной стороны 10. Найдите площадь области,
заключенной между вписанной в него и описанной около него окружностями.
П. Диаметр каждой из маленьких полуокружностей равен радиусу большой.
*Чему равна площадь заштрихованной на нашем рисунке области, если
радиус большой полуокружности равен 2?
12. D Л BCD — квадрат со стороной α, Χ и Z —соответственно середины
сторон AD и ВС. DY и BY—дуги окружностей с центрами соответственно X
и Z. Определите площадь заштрихованной области.
13. Шар радиуса 10 см пересечен плоскостями, находящимися на расстоянии
4 см и 5 см от его центра. Какое сечение имеет большую площадь?
Вычислите отношение площадей этих двух сечений.
14. Кольцом называется область, ограниченная двумя концентрическими
окружностями. Найдите площадь кольца ограниченного окружностью, вписанной
в равносторонний треугольник со стороной 6, и окружностью, описанной
около этого треугольника.
15. Даны две концентрические окружности и хорда большей окружности,
касательная к меньшей. Докажите, что площадь кольца, образованного
данными окружностями, равна площади
круга, диаметром которого служит эта
хорда.
16*. Полуокружности, изображенные на этом
рисунке, имеют своими диаметрами стороны
прямоугольного Δ ABC. Буквы χ, у, ζ,
т и п — это площади указанных на
рисунке областей. Докажите, что x-\-y=.z
(теорема о «луночках Гиппократа»).
542

jH
ι
цдцд^
ik
17*. Все стороны изображенного здесь
двенадцатиугольника, восемь вершин которого лежат на
окружности, конгруэнтны, а все его углы
—прямые. Найдите площадь той части круга,
которая лежит вне многоугольника, если дано, что
длина каждой стороны многоугольника равна 4.
18+. Окружность длины 4π вписана в ромб с
периметром 20. Вычислите общую площадь всех
областей, ограниченных окружностью и ромбом.
19х. Около окружности описана равнобедренная
трапеция с основаниями 2 см и 6 см.
Определите площадь той части трапециональной
области, которая лежит вне окружности,
20*+. Мишень, при стрельбе по которой любитель
имеет равные шансы попасть как в яблочко,
так и в любое из колец, можно построить
следующим образом. Пусть расстояние между
двумя параллельными лучами РМ и AN есть
РА =г — радиус яблочка. Окружность с
центром Ρ и радиусом г пересекает луч РМ
в точке Q. Пусть перпендикуляр к РМ в
точке Q пересекает луч AN в точке В. Тогда
проведем окружность радиуса РВ = гх с
центром Р. Затем повторим этот процесс, проводя
перпендикуляры к лучу РМ в точках R и S
и концентрические окружности радиусов PC = r2
и PD = rs. Разумеется, можно построить и еще
несколько колец.
a) Выразите ru r2 и г8 через г.
b) Покажите, что площади яблочка и трех
колец (т. е. а, Ь, с и d) равны.
§ 5. ДЛИНА ДУГИ И ПЛОЩАДЬ
СЕКТОРА
При определении длины дуги окружно- \
сти мы пользуемся той же схемой, что и при \
определении длины всей окружности. Сна- v^
чала разобьем данную дугу АВ на η
конгруэнтных дуг. Затем проведем соответствующие хорды. Совсем,
как и раньше, устанавливается, что все эти хорды имеют одну
и ту же длину /, а сумма их длин равна
p = nl.
Длина дуги А В по определению есть предел, к которому
стремится р, когда η становится все больше и больше.
В следующем обсуждении полную окружность удобно
рассматривать как дугу с мерой 360. Тогда длину окружности можно считать
Алиной дуги с мерой 360.
543

Теорема 16.3
Если две дуги имеют равные радиусы, то их длины
пропорциональны их мерам.
Длина АВ Длина Л7?'
В простых случаях легко понять, почему это верно. Если вы
удвоите меру дуги, то и длина ее удвоится; если вы разделите
меру дуги на 7, то и длина ее разделится на 7 и г. д. Но полное
доказательство этой теоремы слишком трудно для нашего курса.
Поэтому мы будем ее рассматривать как новую аксиому.
На основании этой теоремы (или аксиомы) мы можем вычислять
длины дуг.
Теорема 16.4
Если дуга окружности радиуса г
дуги равна
имеет меру q, то длина
1 =
я
180
пг.
Доказательство. Пусть С —длина окружности радиуса г.
По теореме 16.3
А_ с
360*
Но С = 2пг. Следовательно,
я
я
2яг
360
L = m-nr.
Сектор — это область, похожая на одну из следующих.
544

Определения
Пусть А В —дуга окружности с центром Q и радиусом г.
Объединение всех отрезков QP. где Р —любая точка АВУ
называется сектором. Луга АВ называется дугой этого сектора,
а г — его радиусом.
Мы определяем площадь сектора по той же схеме, которой
мы пользовались при определении площади круга. С помощью
такого же рода доказательства получаем следующую теорему:
Теорема 16.5
Площадь сектора равна половине произведения его радиуса
на длину его дуги.
Коротко:
S=\rL.
Существует простой способ, позволяющий запомнить эту
формулу. Площадь сектора круга фиксированного радиуса г должна
быть пропорциональна длине его дуги. (И это действительно верно.)
Когда данная дуга есть полная окружность, то площадь равна
л7-2 = уО, где С = 2лт. Следовательно, для сектора с дугой
длины L и с площадью S мы должны иметь
Пользуясь формулой для длины дуги L (см. теорему 16.4),
получаем:
Теорема 16.6
Если сектор имеет радиус г, а дуга его имеет меру q, то
площадь сектора равна
ύ " 360 ПГ ·
Заметим, что при ^ = 360 из теоремы следует, что S = nr2,
как и должно быть.
Задачи к § 5
1· Радиус окружности равен 18. Какую длину
имеет дуга в 60е? 90°? 120°? 150°? 180е? 270°? *
2. Чему равен радиус окружности, если ее дуга
в 45° имеет длину 3π?
3. Чему равен радиус окружности, если ее дуга
в 72° имеет длину 4π?
4. АВ и CD — дуги в 60°, но длины их не равны.
Ρ— центр обеих дуг. Какую длину имеют дуги
АВ и CD, если РА = 6 и ЛС = 3?
545

5. Длина дуги в 60ф равна 1 см. Найдите радиус дуги и длину хорды,
соединяющей ее концы.
6. Объясните различие между мерой ду1 и и длиной дуги.
7. Радиус круга равен 10. Какую площадь имеет сектор с дугой в 90с"> 79°э
180°? 216°? 324°? ' ·
8. Сектор круга радиуса 2 имеет площадь п. Какую меру имеет дуга этого
сектора?
9. Сектор круга радиуса 6 имеет площадь Ι5π. Какую длину имеет дуга этого
сектора?
10. Минутная стрелка больших часов на башне общественного здания имеет
длину 180 см. Какое расстояние проходит конец минутной стрелки за 5
минут? Какое расстояние проходит он за одну минуту?
11. При проектировании очень высоких зданий инженеры должны допускать
их колебательные движения, типичные для небоскребов. Высота Импайп
Стейт Билдинг, имеющего 102 этажа, составляет 380 м. Если здание такой
высоты описывает дугу в -~ , то на какое расстояние перемещается взад и
вперед его верхний этаж?
12. Сегмент круга есть область, ограниченная дугой
окружности и хордой этой дуги. Укажите метод
вычисления площади сегмента круга.
13. Найдите площадь сегмента круга, если дано, что
радиус круга г и мера т ЛВ дуги равны: f \ ^^\
а) г =12; тЛВ = Ъ0; b)r = 6; тЛВ=\20.
14*. Найдите площадь сегмента круга, если дано,
что радиус круга г и мера т ЛВ дуги равны:
а) г = 8; тЛБ==45; Ь) г= 10; тЛВ = 30.
15*. В окружность радиуса 6 вписан правильный
восьмиугольник. Найдите площадь той части круга,
которая лежит вне восьмиугольника.
16*. Радиус каждой из дуг окружностей,
образующих шестилепестковый цветок, равен радиусу
окружности, содержащей внешние концы всех
лепестков. Чему равна площадь фигуры, если этот
радиус равен 1?
17. Приводной ремень обегает два шкива, как
показано. Шкивы имеют радиусы 6 еж и 30 см, а
расстояние между их центрами равно 48 см. Найдите
длину ремня.
18*. Приводной ремень обегает два шкива так, что
они вращаются в противоположных направлениях.
Шкивы имеют радиусы 6 см и 18 еж, а
расстояние между их центрами равно 48 см. Найдите
длину ремня.
L.
546

Конкурсная задача
Выведите формулу для площади овала. Овал мы
строим следующим образом. Пусть АВ и CD—
перпендикулярные диаметры окружности радиуса г. Проведем
полуокружность ADB. Затем из точки А как из центра
опишем ду'^у радиуса АВ, ведущую от точки В до точки
G пересечения с прямой АС. Точно так же из В как из
центра опишем дугу радиуса АВ, ведущую от точки А
до точки Η пересечения с прямой ВС. Наконец,
проведем дугу GH радиуса CG с центром С. Найдите площадь
овала ADBGH.
Вопросы и задачи для повторения
1. Является ли выпуклый многоугольник выпуклым множеством^
2. Определите правильный многоугольник.
3. Около окружности диаметра 10 описан шестиугольник. Чему равна площадь
шестиугольника, если его периметр равен 28?
4. Сравните апофему правильного многоугольника и радиус вписанной в нею
окружности.
5. Сравните апофему правильного многоугольника и радиус описанной около
него окружности. (При ваших вычислениях вы можете считать, что сторона
многоугольника имеет данную длину /.)
6. Выпуклый многоугольник имеет 13 сторон. Чему равна сумма мер его 13
внешних углов?
7. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, сумма мер углов которого
равна 1080?
8. Какую меру имеет каждый угол правильного пятиугольника?
шестиугольника? восьмиугольника^ десятиугольника?
9. Чему равна апофема правильного многоугольника с площадью 225 и
периметром 60?
10. Длина окружности равна С, а радиус г. Чему равно отношение С/г?
П. Какой радиус имеет окружность, если ее длина равна площади
ограниченного ею круга?
12. Площадь круга в 6 раз больше длины ограничивающей его окружности.
Чему равен радиус круга?
13. Две концентрические окружности имеют радиусы 5 и 13. Найдите радиус
круга, площадь которого равна площади кольца, ограниченного двумя
данными окружностями.
14. Радиус одной окружности в 4 раза больше радиуса другой. Чему равно
отношение их диаметров? их длин? площадей ограниченных ими кругов?
15. Длины двух окружностей равны 6π и 10π. Чему равно отношение
площадей ограниченных ими кругов?
16. Сравните площади равностороннего треугольника, описанного около
окружности, и равностороннего треугольника, в нее вписанного.
17. Покажите, что площадь круга диаметра d равна — nd2.
18. Что может пропустить больше воды: три односантиметровые трубы или
одна трехсантиметровая? (Труба измеряется своим внутренним диаметром.)
О
547

19. Дано, что длина стороны равностороннего Д ЛВС
равна 6 и что Р, Q и R — середины его сторон.
Дуги PQ, PR и QR имеют своими центрами
вершины треугольника. Найдите площадь и длину
границы области PQR.
20. Площадь квадрата равна площади круга
диаметра 2. Какую длину имеет сторона квадрата?
21*. Периметр квадрата равен длине некоторой
окружности. Какая площадь больше: квадрата или
круга? Найдите отношение площади квадрата к
площади круга.
22*. Квадрат вписан в девяностоградусный сектор
радиуса г. Выведите формулу для площади
заштрихованной области.
23*. Каждая вершина фигуры ЛВС является центром
противоположной дуги. Эта фигура обладает тем
интересным свойством, что если вращать ее между
двумя параллельными прямыми, которые в какой-то
момент с ней соприкасаются, то, совсем как
окружность, она будет все время
соприкасаться с этими двумя прямыми. Пусть радиус каждой
дуги равен г. Выведите формулу для площади
фигуры ЛВС и формулу для ее периметра.
Конкурсная задача
Видели ли вы когда-нибудь сверло для
высверливания квадратных отверстий? Такое сверло было
изобретено в 1914 г. Для того чтобы его сделать,
нужно просто воспользоваться треугольной фигурой,
о которой говорилось выше в задаче 23. Эту фигуру
называют треугольником Рело, по имени Франца Рело
(1829 —1905), впервые установившего ее свойство как
кривой постоянной ширины.
Вы можете совсем легко сконструировать сверло
для высверливания квадратных отверстий. Приступите
к этому так. Из куска толстого картона вырежьте
квадрат со стороной 10 см. Получившееся отверстие
понадобится вам для проверки. Затем на отдельном
куске картона постройте равносторонний треуголь-
548

ник с той же стороной. Проведите циркулем нужные дуги с центрами в
вершинах треугольника. Вырежьте построенный вами треугольник Рело. Нужно
проверить, что он будет вращаться в квадратном отверстии и что при этом
он всегда соприкасается с каждой стороной отверстия. Теперь вам остается
сконструировать сверло.
Если вы хотите узнать побольше о кривых постоянной ширины и о других
задачах, связанных с ними, то вы можете обратиться к книге Г. Радемахсра
и О. Теплица «Числа и фигуры»1).
1) М., «Наука», 1966, тема 24. (См. также § 7 книги: И. М. Я г лом
и В. Г. Болтянский. Выпуклые фигуры. М. — Л., Гостехиздат, 1951.)

17
ТЕЛА И ИХ ОБЪЕМЫ

§ 1. ПРИЗМЫ
Допустим, что нам даны две параллельные плоскости и
многоугольная область в одной из них.
На наших рисунках данная область обозначена буквой R', она
лежит в плоскости Ev
В каждой точке Ρ области R восставим отрезок РР\
перпендикулярный плоскости Е1 и соединяющий Ρ с некоторой
точкой Р' второй плоскости Е. Объединение всех таких отрезков
называется прямой призмой. Область R называется нижним
основанием, или просто основанием, призмы. Если (как это обычно
и считают) плоскости Ег и Е2 горизонтальны и Е2 лежит над Еъ
то мы можем представить себе прямую призму как тело,
которое заполняется по мере того, как основание движется вверх
от Ег к £2·
Описанное тело называется прямой призмой потому, что
восставленные нами отрезки были перпендикулярны к плоскости
основания (образовывали с ней прямой угол *). Мы можем по-
1 Углом между прямой I и (пересекающей эту прямую) плоскостью Ε
называется наименьший из углов между прямой / и принадлежащими Ε
(и пересекающими /) прямыми (подобно тому как расстоянием от тонки Л до
плоскости Ε называется наименьшее из расстояний между точкой А и
принадлежащими Ξ точками). (По этому поводу см. задачу 14 к § 3 гл. 10.)
551

строить призму другого вида, проведя наши отрезки в любом
олределенном направлении, не обязательно перпендикулярном
плоскости основания. Эта возможность допускается следующим
определением:
Определение
Пусть Е1 и Е2— две параллельные плоскости, R
—многоугольная область в плоскости Ег и I — прямая, пересекающая
плоскости Ег и E2i но не область R. Для каждой точки Ρ области R
обозначим через РР'—отрезок, параллельный прямой I и
соединяющий точку Ρ с некоторой точкой Р' плоскости Е2.
Объединение всех таких отрезков РР' называется призмой.
(Заметим, что мы не разрешили в нашем определении прямой /
пересекать область R потому, что если бы / пересекала R, то ни
один отрезок, проходящий через точку пересечения / и R не был
бы параллелен /.)
Определения
Многоугольная область R называется нижним основанием
или просто основанием призмы. Часть призмы, лежащая
в плоскости Е2, называется верхним основанием (или
вторым основанием). Расстояние между плоскостями Ег и
Е2 называется высотой призмы. Если прямая I перпендикулярна
плоскостям Ех и Е2, то призма называется прямой.
Заметим, что для прямой призмы высота равна расстоянию РР',
но для наклонной призмы высота всегда меньше РР'.
Призмы различаются по их основанию: призма, основанием
которой служит треугольная область, называется треугольной
призмой и т. д.
Определение
Поперечным сечением призмы называется пересечение
призмы с плоскостью, параллельной плоскости ее основания. (Мы
предполагаем, что это пересечение не пусто.)
Теорема 17Л
Все поперечные сечения треугольной призмы конгруэнтны ее
основанию.
552

Конечно, все эти поперечные сечения и основание являются
в действительности треугольными областями, а не
треугольниками. Когда мы говорим, что они конгруэнтны, мы имеем в виду,
что конгруэнтны соответствующие треугольники.
Доказательство. Пусть, как на нашем рисунке,
основанием призмы служит Д ABC вместе со своей внутренностью и
пусть D, Ε и /" — точки, в которых поперечное сечение
пересекает отрезки А А'', ВВ' и СС. Тогда AD\\FC, так как оба эти
отрезка параллельны прямой /. Кроме того, DF\\AC по
теореме 10.1. Следовательно, D ADFC — параллелограмм. Поэтому
DF=AC.
(Вопрос. Теорема 10.1 говорит нам о том, что происходит,
когда две параллельные плоскости пересекаются какой-нибудь
третьей плоскостью. Здесь наши две параллельные плоскости —
это плоскости, содержащие /\АВС и /\DEF. А о какой третьей
плоскости идет тут речь?)
Точно таким же образом мы показываем, что и DE = AB и
EF = BC. Поэтому в силу ССС /\DEF д^/\АВС, что нам и
требовалось доказать.
Следствие 17.1.1
Два основания треугольной призмы конгруэнтны.
Это очевидно, так как верхнее основание является одним из
поперечных сечений.
Теорема 17. 2 (теорема о поперечных сечениях призмы)
Все поперечные сечения призмы имеют одну и ту же площадь.
553

Доказательство. Пусть R — основание (не обязательно
треугольной!) призмы и S —ее поперечное сечение. Площадь R
есть сумма площадей конечного числа треугольных областей
(одной области, если призма треугольная). Площадь S есть сумма
площадей соответствующих треугольных областей, входящих в S.
Так как конгруэнтные треугольники имеют одну и ту же
площадь, то эти суммы для R и S будут одинаковы.
Следствие 17.2.1
Основания призмы имеют одну и ту же площадь.
Это следует из того, что верхнее основание является одним
из поперечных сечений.
Мы будем по большей части рассматривать призмы,
основаниями которых служат выпуклые многоугольные области. Под
выпуклой многоугольной областью мы понимаем выпуклый
многоугольник вместе с его внутренностью. В таких случаях мы можем
говорить о ребре и о вершине основания.
Этот рисунок напоминает нам определение призмы. Точки А
и β на этом рисунке являются вершинами основания, а
отрезок АВ — ребром основания. Отрезки АА' и ВВ' называются
боковыми ребрами призмы. Область, определяемая
параллелограммом А А В'В, называется боковой гранью призмы. Теперь мы
повторим все сказанное, несколько уточнив его.
554

Определение
Если « А — вершина основания призмы и
А' — соответствующая точка верхнего
основания, то отрезок А А' называется боковым
ребром призмы. Если АВ—ребро основания
и F — объединение всех отрезков РР', для
которых точка Ρ принадлежит ребру АВ, то F
называется боковой гранью призмы.
Теорема 17.3
Боковые грани призмы являются «параллелограммными
областями» 1.
Чтобы это доказать, нам нужно убедиться, что АА'\\ВВ' и
ΑΒ\\ΑΊ3'. Аргументы?
Следствие 17.3.1
Боковые грани прямой призмы являются прямоугольными
областями.
Доказательство? (Мы знаем, что I А_ЕХ и что ЛЛ'Ц/.)
Определения
Объединение боковых граней призмы называется ее боковой
поверхностью. Объединение боковых граней призмы и двух ее
оснований называется ее полной поверхностью.
Определения
Параллелепипедом называется призма,
которой служит параллелограммная область.
основанием
>~
Прямоугольным параллелепипедом называется призма,
основанием которой служит прямоугольная область.
1 То есть параллелограммами, взятыми вместе с их внутренностями.
556

Таким образом, все грани параллелепипеда (боковые, нижняя
и верхняя) являются параллелограммными областями. А все грани
прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольными
областями.
Определение
Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все ребра
которого конгруэнтны.
2.
5.
6.
призма называется
назы-
Задачи к § 1
1. а) Изображенная здесь
призмой.
b) Область ABCD называется ... .
c) Отрезок АА' называется ....
d) Расстояние НИ' называется ....
e) Если бы отрезок АА' был перпендикулярен
плоскости основания, то призма
называлась бы ... .
f) Параллелограммиая область ВВ'С'С
вается ....
g) Объединение боковых граней называется ....
h) Если бы π ABCD был параллелограммом,
то призма называлась бы ... .
На левом рисунке изображена прямая призма, лежащая на боковой грани.
Ее основаниями служат «трапецеидальные области». Параллельные ребра
основания имеют длину 4 и 9, непараллельные ребра —5 и 6; кроме того,
BF= 12. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Высота прямой пятиугольной призмы, изображенной на правом рисунке,
равна 8, а ребра основания имеют длину 2, 5, 7,7 и8у. Найти площадь
боковой поверхности призмы.
Прямая призма имеет боковое ребро длины 3, а периметр ее основания
равен 34. Чему равна площадь ее боковой поверхности?
Докажите, что площадь S боковой поверхности прямой призмы
определяется по формуле S — hp, где h~высота призмы и ρ— периметр основания.
Найдите высоту прямой призмы, площадь боковой поверхности которой равна
143, а периметр основания равен 13.
Т'
556

7. Одна из боковых граней призмы является
прямоугольником.
Следует ли из этого, что и все ее боковые
грани являются прямоугольниками?
8. Основания этой призмы являются
равносторонними треугольниками, а боковые
грани—прямоугольными областями. Дано, что
длина ребра основания равна 6, а высота
призмы 10. Вычислите площадь полной
поверхности призмы.
9. Докажите, что любые два несмежных
боковых ребра призмы компланарны и что
пересечение их плоскости с призмой является
параллелограммной областью. (Сначала
сформулируйте это по-другому, пользуясь
обозначениями, указанными на рисунке.)
10. Какую площадь имеет боковая поверхность
куба с ребром 5? Чему равна площадь
полной его поверхности?
П. Одно из поперечных сечений треугольной
призмы имеет ребра 3, 6 и 3 У 3. Какую
длину будут иметь ребра любого другого
поперечного сечения? Что это будет за
геометрическая фигура? Какую меру имеют
его углы? Вычислите площадь поперечного
сечения данной призмы.
12. Диагональ куба равна 16|^3. Найдите
площадь его полной поверхности.
13. Прямоугольный параллелепипед имеет
измерения 4, 7 и 12. Вычислите площадь его
полной поверхности.
14.* Основание прямоугольного
параллелепипеда имеет измерения 5 и 8, а высота
параллелепипеда равна 12. Отверстие, идущее
от верхнего основания до нижнего, имеет
форму прямой треугольной призмы,
основаниями которой служат равносторонние
треугольники, со стороной 3. Определите
площадь полной поверхности тела.
15.* Основанием параллелепипеда служит
прямоугольная область размера 6χ15.
Левая и правая грани —это квадратные
области, наклоненные к основанию под углом
в 60°. Плоскость, перпендикулярная большему
ребру основания, пересекает параллелепипед
по прямоугольной области. Найдите площадь
полной поверхности.

§ 2. ПИРАМИДЫ
Тело, изображенное ниже, является пирамидой с основанием
R и вершиной V.
Пирамида есть объединение всех отрезков VQ, где Q — любая
точка основания. Итак:
Определения
Даны многоугольная область R в плоскости Ε и точка V,
этой плоскости не принадлежащая. Пирамидой с
основание м R и вершиной V называется объединение всех
отрезков VQ, конец Q которых принадлежит области R. Высотой
пирамиды называется расстояние (измеренное по перпендикуляру)
от вершины V до плоскости Е.
Пирамиды, как и призмы, различаются по их основаниям:
если /? —треугольная область, то и пирамида называется
треугольной и т. д.
Горизонтальные поперечные сечения определяются для
пирамиды так же, как и для призмы. Иными словами
(горизонтальным) поперечным сечением пирамиды называется ее пересечение
с плоскостью, параллельной основанию (как и прежде, в
предположении, что эта плоскость действительно пересекает пирамиду).
Очевидно, что по мере того, как горизонтальная плоскость
движется от основания пирамиды к ее вершине, площадь
поперечного сечения все время убывает, до тех пор, пока она не
станет равной нулю (это произойдет, когда плоскость сечения
пройдет через вершину пирамиды). В следующей теореме мы
выведем формулу, точно показывающую, как изменяется
площадь поперечного сечения в случае треугольного основания
пирамиды:
558

Теорема 17.4
Каждое поперечное сечение треугольной пирамиды,
заключенное между основанием и вершиной, является треугольной
областью, подобной основанию. Если h —высота пирамиды и k
—расстояние от вершины до плоскости поперечного сечения, то
площадь поперечного сечения равна площади основания, умнооюенной
на число k2/h2.
ν ι/
Обозначения, которыми мы пользуемся в доказательстве,
указаны на рисунке. Основанием служит область, определяемая
треугольником ABC; Δ А'В'С —это соответствующий треугольник,
представляющий собой поперечное сечение пирамиды. Отрезок
есть перпендикуляр, опущенный из вершины V на плоскость
основания, причем VP = h, а отрезок VP' — перпендикуляр,
опущенный из V на плоскость поперечного сечения, причем VP' = k.
На правом рисунке показана плоскость, в которой лежат /\VАР
и /\уА'Р\ Заметим, что LP и £Р' (т. е. £VP'A') являются
прямыми, так как прямая VP перпендикулярна обеим нашим
горизонтальным плоскостям.
Доказательство. Вот главные его шаги:
Поскольку L Ρ и L Р' — прямые углы и £ V^ Z, V, из УУ-
следствия вытекает подобие треугольников
AVAP~ &VA'P'\ (l)
VA h ' w
потому что это длины соответствующих сторон подобных
треугольников.
Точно так же, рассматривая /\VP'B' и Д VPB, мы можем
показать, что
™1 - * (3)
559

На основании СУС-теоремы подобия получаем:
&VA'B'~ AVAB.
Следовательно,
А'В1 _ VA' _k
АВ ~ VA ~ h%
Но отрезки АВ и А'В* ничем не выделяются: отрезки ВС и
В'С связаны точно таким же образом. Поэтому
В'С _ k_
ВС ~ h
И
А'С jfe_
AC h
В силу ССС-теоремы подобия 12.6 имеем
АА'В'С'~ААВС. (8)
Это доказывает первую половину нашей теоремы. Вторая ее
половина следует теперь из теоремы 12.9, так как отношение
каждой пары соответствующих сторон треугольников А'В'С и ABC
равно k/h.
Площади поперечных сечений ведут себя так не только для
треугольных пирамид; независимо от того, какую форму имеет
основание пирамиды, отношение площадей всегда равно k2/h2.
Теорема 17.5
Отношение площади поперечного сечения к площади пирамиды
равно k2/h2, где h—высота пирамиды, a k—расстояние от
вершины пирамиды до плоскости поперечного сечения.
Доказательство. Как в
определении многоугольной области, разобьем
основание на маленькие треугольные
области 7\, Τ29 · · ·, Тп; площади их
обозначим через Su S2, ..., Sn.
На нашем рисунке показан случай,
когда п = 3. Пусть площади
соответствующих треугольных областей,
образующих поперечное сечение, равны S\9
02, · · · , *Ь,г.
560
(4)
(5)
(6)
(7)

Тогда площадь основания равна
а площадь поперечного сечения
S' = Si + Si + ...+S'n.
Но в силу предыдущей теоремы
S' *v О О' к О О' Л О
1—Д2"*->1> ^2—р-02, ...» On —ψ Опо
Следовательно,
S' = Й2 («Si + S2 +... + Sn j — ρ S,
что нам и требовалось доказать.
Эта теорема в свою очередь позволяет нам доказать, что
справедлива
Теорема 17.6 (теорема о поперечных сечениях пирамиды)
Если две пирамиды имеют одну и ту же площадь основания
и одну и ту же высоту, то их поперечные сечения,
равноудаленные от вершин, имеют одну и ту же площадь.
На рисунке изображены треугольные пирамиды только для
простоты. Но доказательство, как и сама теорема, не
ограничивается этим случаем.
Доказательство. Пусть, как указано на рисунке,
S — площадь основания каждой из наших пирамид, h — высота
и k — расстояние от плоскости каждого из поперечных сечений
до соответствующей вершины. Тогда площадь каждого из
поперечных сечений равна (k2/h2)S, и потому эти площади одинаковы.
561

Задачи к § 2
1. Наименование пирамиды, как и наименование
призмы, соответствует форме ее основания.
Это —изображение прямоугольной пирамиды.
Нарисуйге «параллелограммную пирамиду» и
«квадратную пирамиду».
2. Как по-другому называют треугольную
пирамиду? (См. гл. 3.)
3. Дайте определение бокового ребра и боковой
грани пирамиды.
4. Дана пирамида V—ЛВС, где Δ ЛВС яваяется
равносторонним. Плоскость, параллельная
основанию, пересекает боковые ребра в точках
D, Ε и F, причем VE^-^EB.
а) Чему равно отношение -^?
Ь) Что можно сказать о
о Δ ЛВС и Δ DEF?
ADEV и &ABV>
c) Чему равно отношение Δ=?
d) Чему равна S^DEF, если ВС = 6?
5. Высота квадратной пирамиды равна 10, а сторона основания 15. Найдите
площадь поперечного сечения, плоскость которого удалена от вершин
на расстояние 6.
6. Площадь основания пятиугольной пирамиды равна 72 кв. см, а высота 12 см.
Чему равна площадь поперечного сечения, отстоящего от основания на 4 см?
7. Плоскость поперечного сечения пирамиды, имеющего площадь 108 кв. см,
удалена от вершины на 9 см. Основание пирамиды имеет площадь 180 кв. см.
Найдите высоту пирамиды.
8. Две изображенные здесь пирамиды (слева —квадратная пирамида) имеют
равные высоты. Их основания и поперечные сечения соответственно
компланарны. Дано, что ЛВ = 2\^6, Л'В' = 3\/Г2 и что площадь
многоугольной области SUVWXYZ равна 24. Найдите площадь поперечного сечения
- правой пирамиды.
V W
562

9. Пирамида, основанием которой служит правильный многоугольник, а
вершина которой равноудалена от каждой вершины основания, называется
правильной пирамидой.
Докажите, что высота, опущенная из вершины правильной пирамиды на ее
основание, пересекает основание в центре описанной окружности (т. е. в
точке, равноудаленной от всех вершин основания).
10. Ребро основания правильной четырехугольной пирамиды имеет длину 10 см,
а высота пирамиды равна 12 еж. Найдите площадь боковой поверхности
пирамиды.
11. Докажите, что боковые грани правильной пирамиды ограничены
конгруэнтными равнобедренными треугольниками.
12. Высота каждой боковой грани правильной пирамиды называется апофемой
пирамиды. Покажите, что площадь боковой поверхности правильной
пирамиды равна половине произведения апофемы пирамиды на периметр ее
основания.
13. Найдите площадь полной поверхности правильной пирамиды, высота
которой равна 15, а основанием которой служит квадрат со стороной 16.
14*. Найдите площадь полной поверхности правильной шестиугольной пи, а
миды, если дано, что ребро ее основания равно 8, а ее высота равна 1Л
15"*. Дана произвольная треугольная пирамида ABCD. Какая плоскость
пересекает эту пирамиду по параллелограммной области?
Конкурсная задача
Дан правильный тетраэдр (треугольная пирамида), все ребра которого
равны 8. Найдите площадь поперечного сечения, содержащего точку кон-
куррентности четырех высот пирамиды.
§ 3. ОБЪЕМЫ ПРИЗМ И ПИРАМИД.
ПРИНЦИП КАВАЛЬЕ^И
Теперь мы перейдем к задачам определения объемов
различных тел. При решении этих задач мы вновь встречаемся со
многими из тех идей, исходя из которых мы находили площади
многоугольных областей. Наше обсуждение будет, однако, менее
формальным, чем в гл. 11, и не будет включать полного набора
аксиом, позволяющих шаг за шагом оправдать все, что мы делаем.
563

Тем не менее мы сформулируем две главные аксиомы, которые
нужны для получения ответов на стоящие перед нами вопросы.
Вы помните, что в гл. 11 мы приняли в качестве аксиомы
формулу S = l2 для площади квадрата со стороной /, а затем
с помощью одного специального приема вывели формулу S = Ш
для площади прямоугольника. Для объемов тел аналогичный
прием не проходит, и потому нам приходится принять более
сильную аксиому.
Аксиома 23 (аксиома единицы объема)
Объем прямоугольного
параллелепипеда равен произведению площади его
основания на высоту.
V=Sh=abh
Конечно, любую грань параллелепипеда можно рассматривать
как его основание. Но мы всегда получим одно и то же число, потому
что в каждом случае произведение Sh площади основания на
высоту равно, произведению любых трех ребер, , имеющих общий
конец (ибо в обозначениях нашего рисунка S = ab).
Чтобы понять, о чем идет речь в следующей аксиоме,
представим себе сначала физическую модель. Мы можем получить
тело, очень похожее на квадратную пирамиду, сложив кучку
тонких (скажем, картонных) квадратиков последовательно убывающих
размеров. На левом рисунке изображена точная пирамида, а на
правом —приближенная ее модель из квадратных карточек.
Теперь допустим, что мы просверлили в нашей модели узкое
отверстие, ведущее от вершины к некоторой точке основания, и
вставили в него стержень так, чтобы он пробивал каждую
квадратную 'пластинку. Мы можем тогда, не меняя положения
нижнего конца стержня на основании «пирамиды», наклонить стер-
564

жень. Форма модели тогда изменится, но ее объем останется
прежним. Дело в том, что объем нашей «пирамиды» —это просто
общий объем всех квадратных пластинок, а этот общий объем
не меняется, когда пластинки скользят одна по другой.
Тот же принцип применим и в более общей ситуации.
Допустим, что мы имеем два тела, основания которых лежат в одной
плоскости. Можно считать, что эта плоскость горизонтальна.
Если все горизонтальные поперечные сечения двух наших тел,
находящиеся на одном и том же уровне, имеют одну и ту же площадь,
то два наших тела имеют один и тот же объем.
Это верно по следующей причине. Снова сделаем модель
каждого из наших тел, сложив его из плоских (например,
вырезанных из картона) пластинок (разумеется, теперь уже не
квадратных). Мы будем считать, что все пластинки имеют одну и ту же
(весьма малую!) толщину. Тогда каждая пластинка, входящая
в модель первого тела, имеет в точности тот же объем, что и
соответствующая пластинка во второй модели. Так как пластинки
мы условились брать очень тонкие, то наши модели будут очень
близки к данным телам. Фактически, взяв достаточно тонкие
пластинки, мы можем сделать и модели * сколько угодно близкими
к этим телам. Следовательно, объемы этих тел совпадают.
Принцип, который иллюстрируется последним рисунком,
называется принципом Кавальери. Разумеется, доказать его мы не
в состоянии (например, потому, что не определили рисунком, что
такое объем тела); мы можем только объяснить, почему его
следует считать достаточно правдоподобным. Поэтому мы выскажем
этот принцип в виде аксиомы:
Аксиома 24 (принцип Кавальери)
Пусть даны два тела и плоскость. Если каждая
плоскость, параллельная данной плоскости и пересекающая одно из
данных тел, пересекает также и другое, причем образованные при
пересечении обоих тел поперечные сечения имеют одну и ту же
площадь, то эти два тела имеют один и тот же объем.
565

Как мы увидим очень скоро, принцип Кавальери является
ключом к вычислению объемов многих тел.
Теорема 17.7
Объем призмы равен произведению площади ее основания на
высоту.
Доказательство. Пусть h и S —высота и площадь
основания данной призмы. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед
с той же высотой h и той же площадью основания S, основание
которого лежит в той же плоскости, что и основание данной
призмы. Из теоремы о поперечных сечениях призмы мы знаем, что
все поперечные сечения обеих призм имеют ту же площадь S.
В силу принципа Кавальери отсюда следует, что обе призмы
имеют один и тот же объем. Так как в силу аксиомы 23
прямоугольный параллелепипед имеет объем Sht теорема доказана.
Теорема 17.8
Если две пирамиды имеют одну и ту же площадь основания
и одну и ту же высоту, то они имеют один и тот же объем.
Доказательство. Расположим наши призмы так, чтобы
их основания лежали в одной и той же плоскости, а сами призмы
566

располагались по одну сторону от этой плоскости. По теореме о
поперечных сечениях пирамиды соответствующие поперечные сечения
наших двух пирамид имеют одну и ту же площадь. В силу
принципа Кавальери это означает, что объемы пирамид одинаковы.
Теорема 17.9
Объем треугольной пирамиды равен одной трети произведения
площади ее основания на высоту.
Доказательство. Так как в условии теоремы говорится
о треугольной пирамиде, то мы возьмем треугольную
призму с тем же основанием и с той же высотой.
(Мы имеем право взять прямую треугольную призму, как
на нашем рисунке. Выбор призмы не имеет значения; важно лишь,
чтобы точки Ρ и Ε находились на одинаковом расстоянии от
плоскости ABC.)
Теперь разобьем нашу призму на три пирамиды, как показано
на правом рисунке. Обозначим эти пирамиды, перечислив их
вершины в каком угодно порядке. Таким образом, мы имеем три
новые пирамиды ADEF, ABEF и AFBC. Если их нарисовать
отдельно, то они будут выглядеть примерно так:
567

1°. Пирамиды ADEF и ABEF имеют один и тот же объем.
Доказательство. Мы можем рассматривать F как
вершину каждой из наших пирамид. Тогда их основаниями служат
треугольные области, определяемые Δ ADE и Δ ABE. Так как
эти треугольники конгруэнтны, то пирамиды ADEF и ABEF
имеют одну и ту же площадь основания. Кроме того, они
имеют одну и ту же высоту, так как высота каждой из них
равна расстоянию от F до плоскости, содержащей их основания.
Следовательно, рассматриваемые две пирамиды имеют один и тот
же объем.
2°. Пирамиды ABEF и AFBC имеют един и тот же объем.
Доказательство. Мы можем рассматривать А как
вершину каждой из наших пирамид. Тогда их основаниями служат
треугольные области, определяемые /\BEF и /\FBC. Так как
эти треугольники конгруэнтны, то пирамиды ABEF и AFBC
имеют одну и ту же площадь основания. Кроме того, они имеют- и
одну и ту же высоту, так как высота каждой из них равна
расстоянию от А до плоскости, содержащей их основания.
Следовательно, они имеют один и тот же объем.
3°. Пирамида AFBC и первоначальная пирамида Ρ А ВС имеют
один и тот же объем.
(Доказательство очевидно: эти пирамиды имеют одно и то же
основание и одну и ту же высоту.)
Теперь почти все уже сделано. Пусть S — площадь Δ ABC и
h — высота пирамиды Ρ ABC. Тогда объем нашей призмы равен
Sh (теорема 17.7). Если У —объем каждой из рассматриваемых
пирамид, то 3V = Sh. Следовательно,
что нам и требовалось доказать.
Тот же результат сохраняется и для всех вообще пирамид.
Теорема 17.10
Объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее
основания на высоту.
568

Доказательство. Дана пирамида с площадью основания
S и высотой h. Возьмем треугольную пирамиду с той же
площадью основания и с той же высотой так, чтобы основание ее
лежало в той же плоскости, в которой лежит основание данной
пирамиды. В силу теоремы о поперечных сечениях пирамиды,
поперечные сечения этих двух пирамид, лежащие на одинаковом
уровне, имеют одинаковую площадь. Следовательно, на основании
принципа Кавальери эти две пирамиды имеют один и тот же
объем. Поэтому объем каждой из них равен -^ Sh, что и требовалось
доказать.
Задачи к § 3
1. Высота прямоугольного параллелепипеда равна 7, а его основание имеет 4 и
5. Найдите его объем.
2. Прямоугольный металлический бак 30 см χ
X 30 см χ 30 см наполнен водой. Сколько
литров воды он содержит?
3. Некоторые слитки серебра отливают в форме
прямой призмы, основанием которой (концом
слитка) служит трапеция. Основания этой
трапеции равны 7,5 см и 10 см, а высота
слитка—5 см. Длина слитка равна 30 см. Сколько
весит один слиток, если удельный вес серебра
равен 10,5 г/см*?
4. При погружении куска металла в прямоугольный бак с водой, имеющий
основание 50 см X 40 см, уровень воды поднялся на 0,75 см. Какой объем
имеет этот кусок металла?
5. Чтобы подсчитать стоимость устройства для кондиционирования воздуха в
проектируемом здании, подрядчик должен вычислить объем воздуха,
заключенного в прямоугольном здании, изображенном на рисунке. Здание имеет
в длину 36 м и в ширину 12 м. Карнизы крыши по обе стороны строения
находятся на высоте 3 м, а наиболее высокая точка крыши —на высоте
4,5 м. Найдите объем здания.
6. Прямая прямоугольная призма имеет высоту 18 см и основание размером
б см X 8 см. Плоскость, определяемая диагональю основания и одной из
вершин верхнего основания, отсекает от призмы пирамиду. Найдите объем
пирамиды.
569

7. Найдите объем правильной четырехугольной
пирамиды, высота которой, как и ребро основания,
равна 12. Найдите также площадь ее боковой
поверхности.
8. Выведите формулу для объема правильной
четырехугольной пирамиды, боковые грани которой
являются равносторонними треугольниками со
стороной а.
9. Если сложить две правильные четырехугольные
пирамиды, боковые грани которых являются
равносторонними треугольниками, их основаниями,
то получится восьмигранное тело, называемое
правильным октаэдром. Докажите, что объем V
правильного октаэдра с ребром / вычисляется по
формуле 1/ = -1)/2~/з.
10. Вычислите объем и площадь полной поверхности
правильного октаэдра с ребром 3.
11+. Докажите, что объем правильного октаэдра
определяется по формуле y = -fi- άλ d2d3, где rflf d2 и
d3 — длины его диагоналей.
12. Поперечное сечение пирамиды отсекает маленькую
пирамиду с объемом 2 и высотой 1. Объем
большой пирамиды равен 54. Чему равна высота этой
пирамиды?
13. P — ABCDE — пятиугольная пирамида, площадь
основания которой равна 64, а высота PF равна 12.
Точки V, W, Χ, Υ и Ζ, как показано на
рисунке, являются серединами боковых ребер. Найдите
площадь поперечного сечения VWXYZ. (Почему
это — поперечное сечение?) Найдите объем
меньшей пирамиды. Чему равно отношение объемов
двух пирамид?
14. Часть пирамиды, ограниченная основанием,
поперечным сечением и трапецеидальными областями
боковых граней, называется усеченной пирамидой.
Вершинами усеченной пирамиды, которую можно
усмотреть на рисунке к задаче 13, являются точ- А
ки А, В, С, D, Е, V, W, Χ, Υ и Ζ. Найдите
объем этой усеченной пирамиды.
15*. Площадь поперечного сечения пирамиды равна 20,
а площадь основания 45. На каком расстоянии
от вершины находится плоскость поперечного
сечения, если высота пирамиды равна б? Чему равно
отношение объемов двух пирамид?
16*. Плоскость, параллельная основанию правильной
четырехугольной пирамиды, пересекает ее высоту
в точке, расстояние которой от вершины равно
-г- расстояния от вершины до основания. Высота
пирамиды равна 16, а ребро основания 24.
Найдите площадь боковой поверхности и объем
усеченной пирамиды.
570

Конкурсная задача
Покажите, что объем усеченной
пирамиды можно вычислять по формуле
V = ±h(S + S' + VSS),
где S и S' — площади оснований и ft —
высота усеченной пирамиды.
Указание. Пусть И — высота
маленькой пирамиды. Найдите объемы
двух пирамид. Примите во внимание,
что
h + h' \f~S
так что
h'
V s1
V s -V s
V~S'
=^- и h' =
h V S'
Vs - V s1
АРХИМЕД (287 — 212 до нашей эры)
Архимед бесспорно
считается величайшим
математиком древности
и одним из трех или
четырех величайших
математиков всех времен.
Он первым определил
объем шара. Он очень
точно вычислил число я.
А методы, которые он
придумал для решения
задач о площадях и
объемах, на много веков
опередили его время.
Он умел вычислять
площади областей,
ограниченных очень сложными
кривыми; и его
достижения в этих областях
геометрии оставались
почти единственными на
протяжении
восемнадцати столетий. Следующим
важным шагом в вы-
571

числении площадей и объемов явилась формулировка итальянцем
Бонавентурой Кавальери его знаменитого принципа и особенно
создание Исааком Ньютоном и Готтфридом Вильгельмом
Лейбницем дифференциального и интегрального исчисления — но все эти
дальнейшие успехи относятся к семнадцатому столетию!
В отличие от большинства греческих математиков Архимед
.интересовался и приложениями математики. Согласно легенде,
когда римляне напали на его родной город Сиракузы в Сицилии,
Архимед сыграл ведущую роль в защите города, применяя
против захватчиков свои многочисленные изобретения. Рассказывают,
что он бомбардировал римские суда огромными камнями, стреляя
в них из таких больших катапульт, каких никто до тех пор не
видел. Рассказывают также, что он поджег римский флот,
направив с помощью специально сконструированных зеркал
солнечные лучи на корабли противника. Но когда атака городских
стен окончилась неудачей и римляне перешли к длительной
осаде Сиракуз, Архимед, который больше не мог ничем помочь
родному городу, вернулся к своей науке и продолжил занятие
математикой. Согласно преданию, он умер за работой. Когда
римляне в конце концов захватили Сиракузы, один солдат застал
Архимеда рисующим на полу своего дома геометрические фигуры на
песке. «Не испорть мои чертежи!» — сказал Архимед. Эти слова
оказались его последними словами. Командующий войсками Рима
генерал отдал приказ, которым запретил причинять вред
Архимеду. Но никому неизвестно, знал ли об этом приказе тот солдат
и позаботился ли кто-нибудь из римлян о том, чтобы этот
приказ не был нарушен.
§ 4. ЦИЛИНДРЫ И КОНУСЫ
Если вы помните, как мы получали призму, основанием
которой является данная многоугольная область, то вы поймете, что
этот процесс в такой же мере годится и для основания любой
/ι
572

другой формы. Допустим, например, что мы, как и прежде,
будем исходить из двух параллельных плоскостей Ег и Еъ нр в
качестве основания возьмем расположенный в плоскости Ег круг.
Совсем как и раньше, рассмотрим прямую /, пересекающую
плоскости Ег и E2i но не пересекающую основания, и образуем
объединение всех отрезков QQ', где точка Q принадлежит
основанию, точка Q' — плоскости Е2 и QQ' \\ I. Получившееся при этом
тело называется круговым цилиндром. Нет необходимости
повторять определения высоты, поперечных сечений и т. д., потому
что все они в точности совпадают с соответствующими
определениями для призм. Если /_1_£Ί, то цилиндр называется прямым
цилиндром.
Конечно, взяв в качестве оснований другие фигуры, мы
можем получить другие типы цилиндров. Но в этой книге мы
будем рассматривать только круговые цилиндры.
Точно так же и схемой, с помощью которой мы получили
пирамиду, можно воспользоваться в случае, когда основание
уже не является многоугольной областью. Если в качестве
основания мы возьмем круг, то получим тело, называемое круговым
конусом.
Пользуясь как образцом определением пирамиды, вы без
труда напишете определение кругового конуса. Если прямая VP J_ F
(где V — вершина конуса, Ρ — центр основания и Ε — плоскость
основания), то конус называется прямым.
Следующие теоремы о цилиндрах и конусах аналогичны
соответствующим теоремам о призмах и пирамидах. Их
доказательства также очень похожи; дело в том, что здесь нигде форма
основания не играет никакой особой роли. (Ср. с формулировкой
принципа Кавальери и с иллюстрирующим этот принцип
рисунком.) Поэтому мы опускаем детали доказательств.
573

Теорема 17.11
Каждое поперечное сечение кругового цилиндра
есть круг, конгруэнтный основанию.
Доказательство опирается на тот факт, что
PiQi= PQ = г\ это верно, потому что отрезки
PQ и Р&! являются противоположными
сторонами параллелограмма QQxPiP.
Следствие 17.11.1
Каждое поперечное сечение кругового
цилиндра имеет ту же площадь, что и основание.
Следующая теорема немножко труднее.
А
TL
tf
Q,
/
/
Q
I
Теорема 17.12
Даны конус высоты h и его поперечное сечение, высекаемое пло^
скостью, удаленной от его вершины на расстояние k. Тогда пло-\
щадь поперечного сечения равна площади основания, умноженное
на k2/h\
Вот главные шаги доказательства (обозначения указаны на!
рисунке):
AVPT~&VP'T'9
VP'
VP
VT
VT
AVP'Q'-AVPQ,
-pQ-Tp-Ίϊ и FQ ~7TPQ·
(D|
(2)!
(3)
(4)
574

Таким образом, если точка Q основания принадлежит
окружности с центром Ρ и радиусом г, то точка Q поперечного сечения
принадлежит окружности с центром Р' и радиусом
k
г.
Следовательно, поперечное сечение есть круг радиуса /·', а его
площадь равна
откуда и следует утверждение теоремы.
Мы можем теперь, пользуясь принципом Кавальери,
вычислить объемы цилиндров и конусов так же, как мы это раньше
сделали для призм и пирамид.
Теорема 17.14
Объем кругового цилиндра равен произведению площади его
основания на высоту.
Доказательство похоже на доказательство теоремы 17.7: нам
достаточно сравнить цилиндр с прямоугольным параллелепипедом
(или с произвольной призмой!) с теми же площадью основания
и высотой.
Теорема 17.15
Объем кругового конуса равен одной трети произведения
площади его основания на высоту.
Доказательство похоже на доказательство теоремы 17.10:
надо сравнить конус с треугольной (или с произвольной!)
пирамидой с теми же площадью основания и высотой.
Задачи к § 4
1. Основанием цилиндра служит круг диаметра 8. Высота цилиндра также
равна 8. Чему равен объем цилиндра?
2. Дренажная труба представляет собой цилиндр длиной 52 см. Внутренний
и внешний диаметры равны 11,3 см и 12,7 см. Найдите объем глины,
необходимой для изготовления трубы. [Считайте, что π равно Зу.
575

3. Два цилиндра на этом рисунке
тождественны. Сравните объемы конуса,
вписанного в левый цилиндр, и двух
конусов, вписанных в правый («песочные
часы»).
4. Какую длину должна иметь труба
диаметром 2,5 см (внутренний диаметр), чтобы
она могла вместить 4 литра воды?
5. Найдите объем кругового конуса с
высотой 12 и радиусом основания 3,2.
6. Найдите высоту прямого кругового
конуса, если его объем равен 48π, а диаметр
основания равен 8.
7. Конический бак имеет глубину 3 м,
а его круглый верх имеет радиус 1,5 м.
Сколько литров жидкости он вмещает?
8. Высота конуса равна 9. Конус
пересекает плоскость, параллельная плоскости
основания, отрезая от него маленький
конус с той же вершиной. Расстояние
между плоскостями равно 5.
a) Чему равно отношение высот двух
конусов?
b) Чему равно отношение радиусов
оснований конусов?
c) Чему равно отношение площадей
оснований?
d) Чему равно отношение объемов двух
конусов?
9. Высота конусов равна 5 см. На
расстоянии 2 см от вершины конуса его
пересекает плоскость, параллельная
основанию. Чему равен объем большого
конуса, если объем меньшего конуса равен
24 куб. см?
10. В круговой конус вписана квадратная
пирамида так, что они имеют общую
вершину и основание пирамиды вписано
в основание конуса. Общая их высота
равна 18, а сторона квадрата 15. Найдите
объемы конуса и пирамиды.
576

П. Бункер для хранения зерна имеет форму,
показанную на рисунке. Радиус
цилиндрической верхней части равен 2,1 м. Общая
высота бункера равна 8,4 м, а высота ко·
нической части 3,6 и. Найдите вместимость
бункера.
12. В цилиндре содержится конус Основание
конуса совпадает с основанием цилиндра,
а вершина конуса лежит на верхнем
основании цилиндра. Напишите формулу,
выражающую (через радиус основания г и
высоту цилиндра h) объем части пространства,
ограниченной поверхностями конуса и
цилиндра и верхним основанием цилиндра.
13*. Тело из задачи 12 пересечено
плоскостью, параллельной основаниям цилиндра
и равноудаленной от их плоскостей.
Нарисуйте вид сверху пересечения этого тела
и плоскости. Чему равна площадь этого
пересечения, если радиус цилиндра равен 4?
14. В прямой круговой цилиндр (см. рисунок)
вписан прямой круговой конус. Плоскость
Ε параллельна основанию цилиндра и
удалена на 14 см от его основания. Высота
конуса равна 21 см, а радиус основания —
6 см. Найдите площадь пересечения
плоскости Ε с частью пространства, заключенной
между двумя поверхностями.
15+. Усеченный конус имеет высоту 8, а
радиусы его верхнего и нижнего оснований
равны 4 и 6. Чему равен его объем?
(См. задачу 14 к § 3.)

§ 5. ОБЪЕМ ШАРА И ПЛОЩАДЬ ЕГО ПОВЕРХНОСТИ
Шаром называется сфера вместе с ее внутренностью. Сфера,
ограничивающая шар, называется поверхностью шара.
До сих пор лучшим средством для вычисления объемов для
нас служил принцип Кавальери. Чтобы применить этот принцип
к задачам, связанным с шаром, нам нужно подыскать другое
тело, имеющее на каждом уровне поперечные сечения той же
площади, что и шар. Поэтому первое, чем нам нужно сейчас
заняться,—это найти площади поперечных сечений шара. Сделать это
совсем не трудно. Горизонтальные поперечные сечения шара
радиусом г являются кругами. Если поперечное сечение удалено на
расстояние а от центра шара и радиус его равен t, то из
теоремы Пифагора следует, что
/2 = r2 _ a2t
S = 77r2-7Fa2
Следовательно, площадь поперечного сечения, удаленного от
центра на расстояние а, равна
Sa = π/2 = я(г2 — α2) = яг2 — πα2.
Эта последняя формула имеет прозрачный геометрический
смысл: Sa есть площадь кольцеобразной области, заключенной
внутри окружности радиуса г и вне окружности радиуса а, как
это показано на рисунке. Такая область называется кольцом.
Теперь мы построим тело, имеющее своими поперечными
сечениями такого рода области.
578

Возьмем горизонтальную плоскость £, касательную к сфере.
В этой плоскости возьмем круг радиуса г. На нем как на
основании построим прямой круговой цилиндр высоты 2г. Пусть Q —
середина оси цилиндра, т. е. вертикального отрезка,
соединяющего центры его оснований. Построим' два конуса с вершиной Q,
основаниями которых служат верхнее и нижнее основания
цилиндра.
Тело, лежащее внутри цилиндра и вне конусов, обладает
нужным нам свойством: каждое из его поперечных сечений является
кольцом, и поперечные сечения, удаленные на расстояние а от Q,
имеют площадь π (г2а2). Следовательно, объем этого тела равен
объему нашего шара.
Но объем этого нового тела легко вычислить: он равен
разности объема цилиндра и объемов двух конусов. Это дает;
яг2 · 2г — 2 · у яг2 = 2яг3 — у яг3 = -j яг3.
Итак, мы доказали следующее:
Теорема 17.16
Объем шара радиуса г равен γ яг3.
Существует способ, позволяющий с помощью этого результата
найти площадь поверхности шара. Рассмотрим шар радиуса г.
Возьмем немножко больший шар радиуса r-\-h. Тело,
заключенное внутри большого шара и вне меньшего, называется шаровым
слоем\ как оно выглядит, можно понять из рисунка. Пусть
площадь поверхности шара равна S и объем шарового слоя
равен V. Тогда V приближенно равно Sh,
и если h мало, то это приближение
является хорошим. (Например, если у вас имеется
круглый мяч радиуса 20 см и вы
покрасите его очень тонким слоем краски
толщиной, скажем, в 0,01 см, то общий объем
нужной вам краски будет примерно равен
0,01S куб. см.) Таким образом,
отношение V/h приближенно равно S. А при
/г->0 мы имеем
Но отношение V/h мы можем точно подсчитать и увидеть
к чему оно стремится, когда h -> 0. Объем V есть разность
объемов двух шаров. Следовательно,
1/ = Ая(г + п)3--уЯГ3=|-я[(г + /1)3~г3] =
= } π [г3 + Ъг1Н + ЗгА2 + Л3 - ή\ = | я [3r2h + Zrh2 + Л3].
579

Поэтому
j = ~n (3r2 + 3rh + h2) = 4nr2 + h(4nr+ | π/ζ).
Когда /ι->0, то второй член стремится, очевидно, к нулю. Таким
образом,
h
Так как, кроме того, мы знаем, что
то получаем:
S = 4яг2.
Итак, мы доказали, что справедлива
Теорема 17.17
Площадь поверхности шара радиуса г равна
S = 4яг2.
Отметим следующий довольно любопытный факт: площадь
поверхности шара ровно в четыре раза больше площади его
поперечного сечения, проходящего через центр шара.
Задачи к § 5
1. Найдите площадь поверхности и объем шара радиуса 4.
2. Что больше: площадь поверхности или объем шара диаметра 4?
3. Что больше: площадь поверхности или объем шара диаметра 10?
4. Какой диаметр имеет шар, объем которого равен площади его поверхности?
5. Сферический бак имеет радиус 2,1 м. Сколько литров он вмещает? (Считайте,
что π равно 3 -=-. ]
6. Стаканчик для мороженого конической формы имеет 12 см в глубину и 5 см
по диаметру верхней части. На него сверху положили две ложки
мороженого в виде полушарий диаметра 5 см.
Переполнит ли мороженое стаканчик, если
позволить ему расстаять?
7. Большой склад имеет форму полушария.
Сколько литров краски требуется, чтобы
покрасить его снаружи, если на окраску его
пола ушло 50 л краски?
580

8. Шар и круговой цилиндр имеют равные объемы, а диаметр шара равен
диаметру основания цилиндра. Выразите высоту цилиндра через диаметр
шара.
9. Диаметр первого шара равен радиусу второго.
a) Чему равно отношение радиусов этих шаров?
b) Чему равно отношение площади их поверхностей?
c) Чему равно отношение их объемов?
10. Диаметр первого шара равен одной трети радиуса второго. Ответьте на
вопросы задачи 9 для этих шаров.
11. Архимед показал, что объем шара равен двум третям объема наименьшего
прямого кругового цилиндра, содержащего этот шар1. Проверьте, так ли это.
12. Диаметр Луны приблизительно составляет четвертую часть диаметра Земли.
Сравните объемы Луны и Земли.
13. Вода покрывает примерно три четверти земной поверхности. Сколько
миллионов километров земной поверхности занимает суша? (Считайте, что
диаметр Земли равен 12 750 км и что π равно 3,14.)
J4. На этом рисунке шар вписан в прямой круговой конус. АВ— диаметр
основания и С — вершина конуса. Δ ЛВС — равносторонний. Найдите объем
конуса, если дано, что радиус шара равен г.
15*. Объем первого шара равен половине объема второго. Чему равно
отношение их радиусов?
16*. Инженер, рост которого равен 180 см, пришел осмотреть новую
сферическую цистерну для хранения воды. Он забрался в пустую цистерну, и,
когда он поднялся на место, находящееся в 5 ж 40 еж над точкой, в
которой цистерна опирается на землю, его голова
коснулась верхнего края цистерны. Зная, что город
потребляет в час 40 000 л воды, он немедленно
рассчитал, на сколько часов может хватить
полной цистерны. Как он это сделал и какой он по
лучил результат?
17*+. С помощью метода, которым мы вывели площадь
поверхности шара (теорема 17.17), покажите, что
площадь боковой поверхности прямого кругового
цилиндра равна 2пга, где г — радиус основания
цилиндра и а —его высота.
1 По преданию, Архимед просил изобразить соответствующий чертеж на
своей могиле.
581

Конкурсная задача
Шар и прямой круговой цилиндр имеют равные объемы. Радиус шара равен
радиусу основания цилиндра. Сравните площадь поверхности шара с
площадью полной поверхности цилиндра.
Вопросы и задачи для повторения
1. Постарайтесь, не заглядывая назад, выписать все формулы для площадей и
объемов, встретившиеся вам в этой главе, и указать, что эти формулы
выражают.
2. Дополните каждое предложение соответствующими терминами.
a) У каждой призмы имеются ... и ... основание.
b) Боковые грани призмы являются ... областями.
c) Боковая поверхность призмы есть ... ее ....
d) Если основание призмы является параллелограммом, то призма
называется ....
e) Если две треугольные пирамиды имеют конгруэнтные основания, то их
объемы пропорциональны их ....
3. Дополните каждое предложение соответствующими терминами.
a) Каждое боковое ребро прямой призмы ... основанию.
b) Поперечное сечение пирамиды есть ... пирамиды и плоскости, ...
основанию.
c) Площади двух поперечных сечений пирамиды пропорциональны ... их ...
от вершины ....
d) Если конус и цилиндр имеют конгруэнтные основания и равные высоты,
то объем цилиндра в ... больше объема конуса.
e) Объемы двух шаров пропорциональны ... их радиусов, а площади их
поверхности пропорциональны ... их радиусов.
4. Основанием прямой призмы служит правильная шестиугольная область.
Ребро основания имеет длину 2 см, а боковое ребро —7 еж. Найдите
площадь боковой поверхности призмы. Найдите площадь поперечного сечения,
удаленную на 5 см от основания.
5. На полке в магазине стоят две банки земляничного варенья одного 'и того
же сорта. Одна банка в 2 раза выше другой, но зато ее диаметр в 2 раза
меньше. Высокая банка стоит 23 цента, а низкая 43 цента. Какую купить
выгоднее?
582

6. Чему равен объем конуса, если его высота равна 6, а диаметр основания 10?
7. Объем квадратной пирамиды равен 384 куб. см, а высота 8 см. Какую
длину имеет ребро ее основания? Чему равна площадь боковой поверхности
пирамиды? (Предполагается, что вершина пирамиды проектируется в центр
основания.)
8. Основаниями полушария и конуса служат конгруэнтные круги, лежащие
в одной плоскости. Плоскость, проходящая через вершину конуса и
параллельная плоскости оснований, касается полусферы. Чему равно отношение
объема конуса к объему полушария?
е^ь
9. Основанием тетраэдра служит треугольник, стороны которого имеют длину
10, 24 и 26. Высота тетраэдра 20. Найдите площадь поперечного сечения,
удаленного от основания на расстояние 15.
10. Найдите объем и площадь поверхности шара, если дано, что диаметр шара
равен 18.
11. Объем конуса равен 400 куб. см, а радиус основания Ъсм. Найдите высоту
конуса.
12. Шар радиуса Зсм имеет в середине пустоту радиуса 2 см. Чему равен объем
шарового слоя?
13. Докажите, что объем шара диаметра d равен тг nd3.
14. Объем пирамиды с высотой \2см равен 432 куб. см. Найдите площадь
поперечного сечения, поднятого на 3 см над основанием.
15. Даны два конуса. Высота первого вдвое меньше высоты второго, а радиус
основания первого вдвое меньше радиуса основания второго. Сравните их объемы.
16. В прямой круговой цилиндр вписан шар так, что он касается обоих
оснований. Чему равно отношение объема шара к объему цилиндра?
поверхности шара к боковой поверхности цилиндра?
17. В цилиндрический бидон радиуса 12 см и высоты 25 см погрузили шар
диаметра 20 см, после чего бидон заполнили водой. Найдите объем,
занимаемый водой, оставшейся в бидоне, после того как шар вынули. Какова
будет высота воды в бидоне?
18*. В шар диаметра 25 вписан прямоугольный параллелепипед с основанием
12 X 20. Найдите объем части шара, лежащей вне параллелепипеда.
19*. Основание прямого кругового конуса имеет диаметр 12 см, а высота конуса
равна 12 см. Конус наполнили водой. Затем в конус опустили шар так,
что он оперся на стенки конуса. Над водой при этом оказалась ровно
половина шара. Сколько „воды осталось в конусе после того, как шар был
вынут?
Ρ
583

20*. Высота прямого кругового конуса равна 15, а радиус основания 8. В ко
нусе просверлили цилиндрическое отверстие диаметра 4, ось которого
совпадает с осью конуса, В результате осталось тело, изображенное на рисунке
справа. Чему равен объем этого тела?
Конкурсная задача
Дан прямоугольник □ ABCD. Отрезок PQ параллелен отрезку ЛВ и не
принадлежит плоскости прямоугольника Π ABCD. Проведем отрезки PA, PD, QB
и QC. Длина перпендикуляра, опущенного из любой точки отрезка PQ на
плоскость прямоугольника □ ABCD, равна h. Пусть AD = a, АВ = Ь и PQ — c. Дока
жите, что объем тела ABCDPQ равен — ah (2b -f-с).

ДОПОЛНЕНИЯ1
К § 2 гл. 6: Доказательства от противного
A. Рассуждения от противного в повседневной жизни. Примеры 1 и 2
§ 6 гл. 2 и задачи 3 и 4 на стр. 173 служат хорошими иллюстрациями
рассуждений от противного в повседневной жизни. Если вы сначала
разберете эти подготовительные примеры, то увидите, что нетрудно натренировать
учащихся в применении доказательств от противного в геометрии. Это
станет первым важным шагом к пониманию сущности метода рассуждения
от противного и осознанию естественной роли этого метода в
доказательствах теорем.
Заметим, что утверждения в примерах 1 и 2 (стр. 172) являются
отрицательными. Это не случайно: основная идея метода доказательства от
противного как раз и состоит в том, чтобы установить ложность некоторого
утверждения, показав, что оно приводит к противоречию. Поэтому и следовало
ожидать, что элементарные примеры на применение этого метода имеют вид
отрицательных (негативных) высказываний.
B. Теорема 3.2 как образец доказательства от противного. При
обсуждении с учащимися метода доказательства от противного мы рекомендуем
пользоваться как образцом теоремой 3.2. Сначала докажите в классе эту теорему,
а затем, вернувшись назад, вновь разберите доказательство, выделяя
существенные шаги, характеризующие доказательства от противного. Полное
доказательство со вставленными «наименованиями» этих шагов выглядит
примерно так:
Теорема 3.2. Если прямая пересекает не содержащую ее плоскость, то их
пересечение содержит одну точку."
Дано. 1°. Прямая / пересекает плоскость Ε по крайней мере в одной
точке Р.
2°. Плоскость Ε не содержит прямой /.
Требуется доказать. Прямая / пересекает плоскость Ε только в точке Р.
Быть может, вам прежде всего захочется отметить, что утверждение,
которое вы собираетесь доказать, либо верно, либо неверно.
«Утверждение: прямая I пересекает плоскость Ε в единственной точке Ρ —
либо верно, либо неверно».
1° Допустим, что утверждение, которое мы хотим доказать, неверно.
«Пусть рассматриваемая теорема неверна; иными словами, пусть данная
прямая /, пересекающая не содержащую ее плоскость Ε в точке Р,
пересекает эту плоскость и в некоторой другой точке Q».
2°. Построим цепь рассуждений, приводящую к какому-либо утверждению,
которое должно быть неверным, поскольку оно противоречит чему-то уже
нам известному.
«Точки Ρ и Q лежат в плоскости £, а прямая / содержит Ρ и Q.
Следовательно, в силу аксиомы 6 прямая / принадлежит плоскости Е. Это
—неверное утверждение, так как оно противоречит предположению о том, что
плоскость £ не содержит прямой /».
3°. Заметим, что правильные рассуждения привели нас к неверному
заключению. Следовательно, мы исходили из неверного допущения, Мы допустили,
что теорема неверна. Значит, она верна.
1 Дополнения эти выборочно заимствованы из «учительского издания»
книги Моиза — Даупса, чтобы продемонстрировать читателю-учителю общий
стиль методических установок авторов.
585

Итак, допущение «прямая / пересекает плоскость Ε еще и в некоторой
другой точке Q неверно. Таким образом, прямая / пересекает плоскость £
только в точке Р».
Св Логический принцип, используемый в доказательстве от
противного. Доказательство от противного начинается с допущения,
которое может показаться учащимся неестественным. Именно, допускается, что
утверждение, которое мы собираемся доказать, неверно. Ученик может не
понять причину этого шага подобно тому, как шахматист-любитель может не
увидеть смысла первого хода шахматного мастера: любитель видит лишь один
данный ход, а мастер предвидит его дальнейшие последствия. Мы начинаем
доказательство от противного с допущения о ложности нашей теоремы для
того, чтобы появилась возможность применить один фундаментальный
логический принцип. Этот принцип состоит в следующем:
«Если из утверждения А вытекает заведомо ложное утверждение
{противоречащее известному нам факту), то и само утверждение А ложно».
Этот принцип дает нам метод, позволяющий установить, что утверждение А
ложно, но каким образом его можно употребить для доказательства того,
что рассматриваемая теорема верна? Здесь необходимо использовать одну
элементарную общелогическую идею, на которой базируется весь этот метод
доказательства. Доказываемое - утверждение либо верно, либо неверно.
До тех пор пока мы не сумеем исключить одну из этих альтернатив, каждую
из них следует считать возможной. Допустим теперь, что утверждение,
которое мы хотим установить, неверно, и покажем, что это допущение влечет
за собой заведомо ложное утверждение, т. е. утверждение, противоречащее
чему-то известному нам. По указанному выше фундаментальному логическому
принципу это означает, что наше первоначальное допущение (о том, что
устанавливаемое утверждение неверно) само ложно. Таким образом,
возможность того, что теорема неверна, исключается, и, значит, наша теорема
верна.
De Доказательство от противного с точки зрения дедуктивной логики.
Рассуждение от противного является практическим инструментом для
доказательства математических утверждений. Разъясним вкратце связь между этим
методом и тавтологиями дедуктивной логики. Достаточно сделать два замечания:
одно краткое, а другое — более пространное.
1°. Фундаментальный логический принцип, неявно подразумеваемый в
доказательстве от противного, гласит: «Если из утверждения А вытекает южное
утверждение, то и само утверждение А ложно»{
2°. Отношение метода доказательства от противного к понятию
противоположного утверждения. При объяснении логических основ метода доказательства
от противного часто говорят, что доказательство от противного опирается на
тот факт, что импликация и ее контрапозиция эквивалентны, т. е. что
высказывание «если р, то q» эквивалентно высказыванию «если не q, το не ρ». Хотя
такое рассуждение и нельзя счесть неправильным, в нем упускается из вида
одно существенное обстоятельство. В доказательстве от противного мы
показываем, что допущение о ложности некоторого умозаключения приводит к
ложному утверждению, причем это последнее обычно является ложным не потому,
что противоречит условию нашей теоремы, а потому, что оно противоречит
какой-либо предыдущей аксиоме или теореме. Например, в доказательстве
теоремы 9.8 (стр. 269) мы останавливаемся, установив, что /||/а. Поскольку
/ φ /2ϊ то это означает, что существуют две прямые, параллельные
прямой /2 и проходящие через одну точку, что противоречит аксиоме
параллельности.
Можно закончить доказательство этой теоремы, в самом деле установив,
что из не q следует не р:
«... Тогда по теореме 9.5 прямая / содержит точку Ρ и параллельна
прямой /2. По аксиоме построения углов ΙχΦΐ, и так как в силу аксиомы
параллельности существует только одна прямая, проходящая через точку Ρ и
параллельная прямой /2, то это означает, что прямая 1г не параллельна /2. Но это
противоречит предложению, что /j || /2».
586

Однако такое окончание доказательства не так естественно, как
приведенное в основном тексте.
Дело в том, что в доказательстве от противного мы просто показываем,
что наше допущение приводит к неверному утверждению, все равно к какому
именно. Поэтому мы берем то, которое появляется раньше и естественнее всего.
Мы редко утруждаем себя доказательством того, что из нашего допущения
действительно вытекает отрицание предположения теоремы. Именно поэтому
доказательство от противного основано скорее на принципе «Если из
утверждения А вытекает ложное утверждение, то и само утверждение А ложно», чем
на том, что импликация и ее контрапозиция логически эквивалентны.
Здесь и в других местах многое можно упростить, употребляя логический
символ =>- для отношения «следует». В этих обозначениях мы можем сказать:
«Если Ρ =>- Q и Q ложно, то Ρ ложно».
К § 5 гл. 7. Неравенства в треугольнике
Другое доказательство теоремы 7.5. Теорему 7.5 часто
доказывают так:
Дано. Д ЛВС, в котором АВ>АС.
Требуется доказать, т LC>m LB.
Возьмем на АВ такую точку Z), что AD — AC. Проведем биссектрису L А;
пусть Е — точка пересечения этой биссектрисы с ВС. По аксиоме СУ С Δ ADE =
^ Δ АСЕ. Следовательно, т L ADE — m L АСЕ. В силу теоремы о внешнем
угле т L ADE > m L DBE. Поэтому т Ζ С > т Ζ В, что и требовалось
доказать.
В этом доказательстве молчаливо подразумевается, что биссектриса L А
действительно пересекает ВС в точке, лежащей между В и С. «Теорема о
загородке» (из задачи 7 на стр. 201) гарантирует, что это на самом деле так.
Рис. 1
Тем не менее мы считаем, что доказательство на стр. 218—219 во всяком
случае проще.
К § 6 гл. 7. Обратные теоремы
Утверждение, обратное какому-нибудь простому утверждению, образуется
путем перестановки предположения и заключения. Но утверждение может
иметь несколько предположений. В таком случае мы можем построить и
несколько обратных утверждений; каждое из них получается, если поменять местами
заключение и какое-либо одно предположение. Рассмотрим, например,
следующую теорему:
587

«Если луч АЕ делит пополам внешний L DAC
Δ ABC и ЛВ = АС, то АЕ \\ ВС. Эта теорема имеет
две обратные, каждая из которых верна.
1°. «Если АЕ делит пополам внешний Ζ DAC
Δ ABC и JE\\ ВС το АВ=_АС». __
2ο. Дан Δ ABC. Если АЕ j| ВС и ЛЯ = ЛС, то Л£
делит пополам внешний Ζ DAC».
Рис. 2
Теорема о шарнире (теорема 7.9) имеет на самом деле три обратные ie-
оремы, из которых верна лишь одна. Для τοτό чтобы о том, что следует
понимать под обратной теоремой о шарнире, не возникало никаких сомнений, мы
умышленно приняли условия AB — DE и АС = DF как заданные до
формулировки теоремы и «изолировали» тем самым импликацию: «если ZL А > ζ D, то
BOEF*.
Обратная теорема о шарнире. Даны треугольники ABC и DEFt у
которых AB = DE и AC = DF. Если BC>EFy то ZЛ>Z D.
К § 8 гл. 7. Теорема о шарнире и обратная теорема
Другое доказательство теоремы о шарнире. Теорема о шарнире и обратная
ей теорема очень напоминают две основные теоремы о неравенствах
связывающих элементы одного треугольника. Эта аналогия наводит на мысль, что
в доказательстве теоремы о шарнире можно было бы воспользоваться теоремой
7.6 (а не неравенством треугольника). Доказать теорему о шарнире, пользуясь
теоремой 7.6, можно, но это доказательство существенно опирается на теоремы
о промежуточной точке и отделении из § 6 гл. 8.
Дано. Δ АВСи A DEF, причем AC = DF, AB = D£, mZ.BAC<m lEDF%
Рис. 3
Требуется доказать. ВС > EF.
1°. Построим Δ А КС с вершиной /С, лежащей по ту же сторону от АС,
что и 5, так, чтобы Δ АКС^А DEF.
Проведем ВК. Если мы сумеем показать, что т Δ СВК < т L В КС, то
на основании теоремы 7.6 мы сможем заключить, что СК < ВС, а потому и
EF < ВС. __
2°. Проведем биссектрису AR Δ ВАК', пусть М— точка, в которой
AR пересекает ВС, a N — точка, в которой AR пересекает ВК. Проведем далее
588

Так как AR является медиатрисой отрезка ВК, а точка Μ
принадлежит этой прямой, то точка Μ равноудалена от В и К. Следовательно
МВ = МК, и потому по теореме о равнобедренном треугольнике т
Ζ МВК = т Δ ΜΚΒ.
3°. Так как точка Μ лежит между точками В и С, то в силу теоремы 6.6
она находится внутри L ВКС. Следовательно, т L МКВ < т L ВКС.
Поэтому т L МВК<т L ВКС, откуда и вытекает, что СК< ВС.
К § 4 гл 8. Существование и единственность
Доказательство теоремы о медиатрисе-плоскости. Теорема 8.6 утверждает,
что пространственная медиатриса отрезка является множеством всех точек
пространства равноудаленных от концов этого отрезка.
Другая формулировка. Пусть £ — медиатриса-плоскость отрезка
А В (С — середина АВ). Тогда
1°. Если точка Ρ принадлежит плоскости £, то РА—РВ.
2°. Если РА = РВ, то точка Ρ принадлежит плоскости Е.
Мы приведем два доказательства. В первом из них используются
конгруэнтные треугольники; оно рассчитано на среднего ученика:
Доказательство. 1°. Если Р — С, то РА = РВ по условию. Если
Ρ Φ С, то в силу аксиомы 6 СР принадлежит плоскости £, и по определению
прямой, перпендикулярной плоскости, АВ J_ СР. Отсюда следует, что Ζ АСР ^
= Ζ. ВСР, и так как СА=СВ и СР — СР, то на основании СУ С мы имеем
А АСР = АВСР. Поэтому РА = РВ — как соответствующие стороны этих
треугольников.
2°. Если Ρ = С, то точка Р, конечно, принадлежит плоскости Е. Если
Ρ Φ С, то Δ АСР ^ ВСР в силу ССС. Таким образом, Z.ACP ^ L ВСР и
СР ±_ АВ. По теореме 8.5 плоскость Ε содержит СР, и точка Ρ принадлежит
плоскости Е.
Во втором доказательстве мы пользуемся аналогичной теоремой о медиа-
трисе (теорема 6.2) и следствием 6.2.1. Это доказательство рассчитано на
лучших учеников:
Д р,у гое доказательство. 1°: Если Р = С, то, очевидно, РА ==РБ.
Если Ρ Φ Су το СР является медиатрисой А В в плоскости, содержащей точки
Л, В и Р, и потому по теореме 6.2 РА — РВ.
2°: Если Р=^С, то точка Р, очевидно, принадлежит плоскости Е. Если
Ρ Φ С, το СР является медиатрисой АВ в плоскости, содержащей точки
Л, В и Р. Так как по теореме 8.4 плоскость Ε содержит СР, το точка Ρ
принадлежит этой плоскости.
К § 5 гл. 8. Перпендикулярные прямые и плоскости: резюме
Доказательство теоремы 8.8
Теорема 8.8. Через данную точку проходит одна и только одна плоскость,
перпендикулярная данной прямой.
Часть I Через данную точку данной прямой проходит по крайней
мере одна плоскость, перпендикулярная этой прямой.
Зто —теорема 8.3, доказанная в основном тексте.
589

Часть II. Через данную точку данной
прямой проходит не более чем одна
плоскость, перпендикулярная этой прямой.
Это —теорема 8.5, доказанная в основном тексте.
Часть III. Через данную точку, не
лежащую на данной прямой, проходит по
крайней мере одна плоскость, перпендикуляр-
пая этой прямой.
Дано: Прямая / и точка Р, не
принадлежащая /.
Требуется доказать: Существует
плоскость £, проходящая через точку Ρ и
перпендикулярная прямой /.
Доказательство: Г. Существует
прямая т, проходящая через точку Ρ и
перпендикулярная прямой /. Пусть Q — точка пересечения
a F — плоскость, определяемая точкой Ρ и прямой /.
2°. Существует точка R, не лежащая в плоскости F. Пусть G — плоскость,
определяемая прямой / и точкой R. В плоскости G существует прямая nt
перпендикулярная прямой / в точке Q.
3°. По аксиоме 8 существует плоскость £, содержащая прямые тип.
Тогда Ε 1.1 по основной теореме о перпендикулярах.
Часть IV. Через данную точку, не лежащую на данной прямой,
проходит не б о лее немодна плоскость, перпендикулярная этой прямой.
Доказательство: Допустим, что существуют две плоскости Ег и £2>
каждая из которых перпендикулярна прямой / и содержит точку Р. Если
плоскости Ег и Е2 пересекают прямую / в одной и той же точке Q, то мы
получаем две плоскости, перпендикулярные прямой / в точке Q, что противо-
Рис. 4
прямых т и /,
Рис. 5
речит части II теоремы 8.8. Если же плоскости Ег и £2 пересекают прямую /
в разных точках А и 5, то РА и РВ являются разными прямыми,
проходящими через точку Ρ и перпендикулярными /, что противоречит теореме 6.3.
К § 2 гл. 11. Площади треугольников и четырехугольников
Порядок вывода формул для площади. Заметим, что мы выводили формулы
для площади в следующем порядке: для прямоугольника, для прямоугольного
треугольника, для треугольника,' для трапеции, и, наконец, для
параллелограмма. Этот порядок отличается от общераспространенного. В большинстве
590

в ь с
h
А Е OF
Рис. 6
учебников сначала выводят формулу, для площади параллелограмма, а затем
из нее —общую формулу для площади треугольника. При таком способе
изложения доказательство формулы для площади параллелограмма выглядит
примерно так:
1°. SQ abcd==S.abe-{-SdBCDE по аксиоме сложения площадей.
2°- saabe = sadcf> "б0 AABEc^ADCF.
3°· SQABCD==:SnBCDE + SADCF.
4°. S п BCDE + 5д DCF = Sπ Β£ρ-β по аксиоме сложения площадей.
5°. ^QBCFE^bh, ибо π BCFE прямоугольник.
Это «доказательство» проходит лишь в случае, указанном на
иллюстрирующем его рисунке. Если же параллелограмм выглядит, скажем, так, как
Рис. 7
на этом рисунке, то проведенное рассуждение теряет смысл уже в первом
своем шаге, ибо «{JBCDE» просто не существует — если мы даже допустим
«самопересекающиеся четырехугольники», то все равно равенство SQABCD =
= Saabe + SdBCDE бУДет неверно.
К § 3 гл. 12. Основная теорема о пропорциональности
и обратная теорема
А. Теорема 12.1. Основная теорема о пропорциональности.
Довольно часто доказательство основной теоремы о пропорциональности
проводят следующим образом. Допустим, что существуют такие натуральные
числа tnt η и kt что т-f-η = kt AD = m(AB/k), DB = n(AB/k). Проведем семей-
691

ство прямых, параллельных' ВС и делящих А В на k конгруэнтных отрезков.
Из следствия 9.30.1 вытекает, что эти прямые делят и АС на к конгруэнтных
отрезков. Таким образом:
AD m АЕ'
Сама форма последнего равенства указывает на ограниченность такого
доказательства: оно утверждает, что АВ : AD = АС : АЕ, если оба отношения
рациональны, т. е. в случае «соизмеримости отрезков». Это доказательство
можно обобщить, чтобы охватить все случаи, но полученное таким путем
доказательство неизбежно будет не простым. По-видимому, использующее площади
доказательство теоремы 12.1 является единственным полным доказательством,
приемлемым для целей преподавания.
В. Теорема, обратная основной теореме о пропорциональности.
Обратная теорема легка, и ее доказательство можно предоставить
учащимся. Здесь есть, однако, одна тонкая чисто техническая деталь: в
доказательстве мы молчаливо предполагаем, что точка Ε лежит между точками А'
и С. Из чертежа очевидно, что параллельная проекция сохраняет отношение
«между», но это следовало бы доказать.
-(,
Рис. 8
Теорема о параллельной проекции. Пусть две секущие tx и /2
пересекают три параллельные прямые llt /2 и /3 соответственно в точках А, В, С
и А', В', С'. Если точка В лежит между А и С, то точка В' лежит
между А' и С.
Доказательство: Так как Ιχ\\ί2* то А А' не может пересекать
прямую /2, потому точки А я А' лежат по одну сторону от прямой /2.
Аналогично, поскольку /3 || /2, то СС не может пересекать /2, и точки С и С лежат
по одну сторону от /2. Так как по условию точка В лежит между А и С,
то АС пересекает прямую /2 в точке В; поэтому А и С лежат по разные
стороны от /2. Поскольку точки А' к А лежат в одной и той же
полуплоскости, определяемой прямой /2, точки С и С также лежат в одной
полуплоскости, а точки А и С лежат в разных полуплоскостях, то точки
А' и С лежат в разных полуплоскостях, определяемых прямой /2. Поэтому
А'С пересекает прямую /2 в некоторой точке, которой должна быть точка B't
так как В' есть точка пересечения прямых /2 и А'С'. Таким образом, точка
В' лежит между А' и С'. Мы предположили, что АфА' и СфС'\ но наше
рассуждение легко изменить так, чтобы оно годилось и для случаев А—А'
или С = С
Заметим, что доказанный только что результат в теореме 12.2 мы
применяем в случае А=А'.
592

СПИСОК АКСИОМ
Аксиома 1 (аксиома расстояния)
Каждой паре различных точек соответствует некоторое
определенное положительное число.
Аксиома 2 (аксиома масштабной линейки)
Точкам прямой можно поставить в соответствие
действительные числа так, что
1°. каждой точке прямой будет соответствовать одно и только
одно действительное число;
2°. каждому действительному числу будет соответствовать одна
и только одна точка прямой;
3°. расстояние между любыми двумя точками будет равно
абсолютной величине разности соответствующих чисел.
Аксиома 3 (аксиома прикладывания линейки)
Каковы бы ни были две точки Ρ и Q на произвольной прямой,
система координат на этой прямой может быть выбрана так, что
точка Ρ будет иметь координату нуль, а координата точки Q
будет положительна.
Аксиома 4 (аксиома прямой)
Для каждых двух различных точек существует одна и только
одна прямая, содержащая обе эти точки.
Аксиома 5
a) Каждая плоскость содержит по крайней мере три неколли-
неарные точки.
b) Пространство содержит по крайней мере четыре
некомпланарные точки.
А к сиома 6
Если две точки какой-либо прямой принадлежат некоторой
плоскости, то и вся эта прямая принадлежит той же плоскости.
Аксиома 7 (аксиома плоскости)
Любые три точки принадлежат по крайней мере одной
плоскости; любые три неколлинеарные точки принадлежат только
одной плоскости.
Аксиома 8 (аксиома пересечения плоскостей)
Если две плоскости пересекаются, то их пересечение есть
прямая.
Аксиома 9 (аксиома разбиения плоскости)
Даны прямая и содержащая ее плоскость. Тогда точки этой
плоскости, не принадлежащие данной прямой, образуют два таких
множества, что
1°. каждое из этих множеств выпукло;
2°. если точка Ρ принадлежит одному из этих множеств, а точка
Q — другому, то отрезок PQ пересекает данную прямую.
А к си ом а 10
Точки пространства, не принадлежащие данной плоскости,
образуют два таких множества, что
593

1°. каждое из этих множеств выпукло;
2°. если точка Ρ принадлежит одному из этих множеств, а точка
Q—другому, то отрезок PQ пересекает данную плоскость.
Аксиома 11 (аксиома измерения углов)
Каждому углу £ ВАС соответствует некоторое действительное
число, заключенное между 0 и 180.
Аксиома 12 (аксиома построения углов)
Пусть АВ — луч, принадлежащий ребру полуплоскости Я. Тогда
для каждого действительного числа г, заключенного между 0 и
180, существует ровно один такой луч АР, что точка Ρ
принадлежит полуплоскости Η и т Ζ. РАВ = г.
Аксиома 13 (аксиома сложения углов)
Если точка D лежит внутри угла Ζ. ВАС, то т /_ ВАС =
= т Ζ BAD + m L DAC.
Аксиома 14 (аксиома пополнения)
Если два угла являются смежными, то они пополнительны.
Аксиома 15 (СУС-аксиома)
Каждое СУС-соответствие является конгруэнтностью.
Аксиома 16 (УСУ-аксиома)
Каждое УСУ-соответствие является конгруэнтностью.
Аксиома 17 (ССС-аксиома)
Каждое ССС-соответствие является конгруэнтностью.
Аксиома 18 (аксиома параллельности)
Существует только одна прямая, проходящая через данную точку,
не принадлежащую данной прямой, и параллельная данной прямой.
Аксиома 19 (аксиома площади)
Каждой многоугольной области соответствует некоторое
определенное положительное число.
Аксиома 20 (аксиома конгруэнтности)
Если два треугольника конгруэнтны, то определяемые ими
треугольные области имеют одну и ту же площадь.
Аксиома 21 (аксиома сложения площадей)
Если область R является объединением двух областей R{ и R2i
причем области R1 и R2 пересекаются не более чем по
конечному числу отрезков и точек, то Sr = Srx + S/?2-
Аксиома 22 (аксиома единицы площади)
Площадь квадратной области равна квадрату длины ее стороны.
Аксиома 23 (аксиома единицы объема)
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению
площади его основания на высоту.
Аксиома 24 (принцип Кавальери)
Пусть даны два тела и плоскость. Если каждая плоскость,
параллельная данной плоскости и пересекающая одно из данных
тел, пересекает также и другое, причем образованные при
пересечении обоих тел поперечные сечения имеют одну и ту же
площадь, то эти два тела имеют один и тот же объем.
594

И. М. Яглом
«МЕТРИЧЕСКИЕ» СИСТЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ
И КНИГА МОИЗА-ДАУНСА
В ряде'тех задач, которые стоят сегодня перед нашей средней школой, одной
из самых трудных является задача перестройки курса геометрии. В самом деле,
основное направление модернизации курса алгебры представляется достаточно
ясным: ^необходимость включения в школьный курс математики разделов,
посвященных понятиям производной и интеграла, сегодня, в 70-х годах XX
века, ни у кого уже, кажется, не вызывает сомнения; это обстоятельство
определяет и общую линию перестройки начальных частей курса алгебры,
призванных обеспечить интересы вновь вводимых тем, связанных с элементами
математического анализа. По-иному обстоит дело с курсом геометрии. Если
неудовлетворительность традиционного курса Евклида —Киселева —Никитина
признается ныне чуть ли не всеми математиками и методистами,
участвующими в обсуждении предстоящей реформы, то в вопросе об основах
обновленного курса геометрии нет никакого единодушия: одни лица предлагают
целиком базировать курс геометрии на идее геометрического преобразования,
доходя до предложения о классификации геометрических фактов не на основе
последовательного усложнения изучаемых объектов, а на основе используемых
в доказательствах преобразований (ср., например, «планиметрическую» часть
учебника [38]х); другие стоят на точке зрения максимальной алгебраизащш
и «координатизации» геометрии; третьи настаивают на «последовательно векторной»
трактовке геометрии (ср. [77]); многие считают необходимым повысить роль
строгой дедукции в геометрии, положив в основу курса ту или иную
(избыточную) систему аксиом, достаточную для строго формального обоснования всей
геометрии (ср. [42] или [43]), в то время как некоторые участники широко
развернувшихся дискуссий призывают вовсе отказаться от курса геометрии
в старших классах средней школы (см., например, [82]). Все это заставляет
с особым вниманием отнестись к зарубежному опыту, кстати сказать,
достаточно разнообразному и не дающему оснований судить о решительном торжестве
какой-либо одной из указанных выше основных концепций. Однако прежде
чем говорить о разных системах построения школьного курса геометрии и о
месте, какое занимает в учебной и методической литературе книга,
предлагаемая ныне вниманию читателя, следует сказать несколько слов об истории
науки об основаниях геометрии, без чего некоторые основные особенности этой
книги могут оказаться недостаточно понятными.
1. Три пути обоснования геометрии: М. Пиери, Д. Гильберт, В. Ф. Каган.
Известно, что задача строго аксиоматического обоснования всей геометрии
была впервые поставлена и решена на рубеже XIX и XX столетий; до этого
сама постановка вопроса оставалась здесь глубоко неясной2. Парадоксальным
1 Числа в квадратных скобках отсылают читателя к списку литературы
на стр. 609 — 613.
2 Отметим в частности, что создатели неевклидовой системы
Лобачевского (Н. И. Лобачевский, Я. Бопаи и К. Ф. Гаусс) совсем, видимо, не
воспринимали свои исследования как аксиоматические (ближе других к этой точке
зрения был Я. Бойаи).
595

образом то обстоятельство, что первая серьезная попытка аксиоматического
обоснования науки была предпринята Евклидом именно на примере геометрии,
сильно задержало дальнейшее движение вперед в этом направлении:
колоссальный авторитет Евклида и многовековая привычка видеть в его книге
образец «истинно дедуктивной» математической системы затрудняли понимание
принципиальных пороков принятой Евклидом схемы (чуждой, как известно,
представлениям о «первоначальных» или «неопределяемых» объектах и
отношениях). Другой причиной задержки учения'об основаниях геометрии явилась,
очевидно, сложность подлежащей аксиоматизации математической системы:
в то время как, например, известная аксиоматика арифметики по Дж. Пеано
[22] (предложенная, кстати сказать, ранее всех вариантов аксиоматического
описания пространства Евклида) содержала всего 4 аксиомы, описывающие
один род неопределяемых понятий («числа») и одно отношение между этими
понятиями («предшествовать»), гильбертова аксиоматика, даже в одном из
последних ее вариантов (см. [9]), содержит 40 аксиом, описывающих четыре основных
отношения (принадлежать, между и конгруэнтность для отрезков и для углов),
связывающие неопределяемые элементы трех родов—точки, прямые и плоскости
(первоначально число аксиом было еще большим). Неудивительно поэтому, что
первым попыткам серьезного обоснования всей геометрии Евклида
предшествовали работы, в которых обсуждались отдельные фрагменты будущей
аксиоматики; из числа этих работ особо должны быть отмечены исследования
Дж. Пеано [7] по аксиоматизации понятия движения (в частности, Пеано
принадлежит вошедшее в многие последующие исследования описание «степени
Рис. 1 Рис. 2
подвижности» плоскости: существует единственное движение, переводящее
данный «репер» (А, АВ, а) в другой «репер» (Л', А'В\ а') —см. рис. 1)
и исследования М. Паша [5] (ср. также Пеано [6]) по аксиоматическому
описанию «порядка» точек на прямой (включающему широко известную аксиому
Паша: если прямая I пересекает одну сторону треугольника ABC, то она
обязательно пересекает и одну из двух других сторону см. рис. 2).
История науки свидетельствует, что великие открытия делаются, как правило,
в тот период, когда к тому существуют какие-то объективные факторы
общекультурного порядка; это обстоятельство подчеркивается тем, что
существенный шаг вперед часто делается независимо несколькими учеными в разных
странах. «Для идей, — писал венгерский математик Фаркаш Бойаи сыну,
настаивая на скорейшем опубликовании последним его исследований по
неевклидовой геометрии, — наступает время, когда они созревают в различных местах,
подобно тому, как весной фиалки появляются всюду, где светит солнце».
596

В качестве примеров здесь можно указать на независимое открытие
аналитической геометрии Р. Декартом и П. Ферма, математического анализа Г. В. Лепб-
ницехМ и И. Ньютоном, неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевским, Я. Бойаи
и К. Ф. Гауссом, векторного исчисления Г. Грассманом и* У. Р. Гамильтоном,
статистической физики Л. Больцманом и Д. У. Гиббсом, квантовой механики
Л. де Бройлем, Э. Шрёдингером и В. Гейзенбергом и т. д. и т. п. Не
составляет здесь исключения и аксиоматическое обоснование (евклидовой) геометрии —
разные системы обоснования геометрии, формально эквивалентные и равно
достаточные для вывода из предложенных аксиом всех без исключения
геометрических теорем, были предложены несколькими учеными, из числа которых особо
заслуживают быть отмеченными итальянский математик Марио Пиери [8],
профессор прославленного Гёттингенского университета Давид Гильберт [9]
и приват-доцент Новороссийского (Одесского) университета Вениамин
Федорович Каган [10] *.
Указанные три системы обоснования геометрии были независимо
разработаны почти в одно и то же время, однако дальнейшая их судьба оказалась
совсем разной: в то время как работы Пиери и Кагана сразу же оказались
весьма основательно забытыми (так что сегодня их знают лишь специалисты по
истории математики или по основаниям геометрии), сочинение Гильберта [9],
впервые увидевшее свет в выпущенном в 1899 г. Гёттингенским университетом
обширном томе, посвященном открытию памятника К. Ф. Гауссу и Г. Веберу,
почти сразу же приобрело весьма почетную известность. Впоследствии оно
десятки раз издавалось на языке подлинника и в переводах и послужило
основой деятельности многочисленных исследователей буквально во всех
странах мира, стараниями которых аксиоматика Гильберта многократно
упрощалась и усовершенствовалась. Хорошей иллюстрацией популярности
предложенной Гильбертом системы построения геометрии может служить, например,
включение заимствованного из книги [9] списка аксиом в последние
издания 2-й части учебника [37] (где этот список, впрочем, никак не связанный
с остальной частью книги, естественно, «не работал» и производил поэтому
довольно странное впечатление) или попытка построения на базе гильбертовой
аксиоматики школьного курса геометрии, предпринятая авторитетной группой
американских математиков и педагогов (так называемый «Болл-колледж-проект»
перестройки школьного курса математики): выпущенный этой группой весьма
тщательный по исполнению учебник [52} лучше всего, кажется, демонстрирует
полную неприемлемость гильбертовой аксиоматики для средней школы.
В чем же коренятся причины столь широкого увлечения аксиоматикой
Гильберта? Прежде всего —в высоких научных и методических достоинствах
книги [9]; в частности, большое значение имело тщательное членение всей
1 Намечаемые работами [8], [9] и [10] пути обоснования (евклидовой)
геометрии, разумеется, не являются единственно возможными: так, например, тому
же Пиери [14] принадлежит (несколько более поздняя чем работа [8], где,
впрочем, уже можно найти соответствующие идеи; ср. также Б. Леви [12])
аксиоматика геометрии, базирующаяся на единственном неопределяемом понятии
«точка» и единственном основном отношении «равноудалены от»; эта
аксиоматика в последние годы приобрела популярность у специалистов по
математической логике. (О еще одной системе обоснования евклидовой геометрии мы
скажем ниже.)
597

системы аксиом на ряд групп, анализирующих отдельные категории свойств
евклидова пространства. Очень большую роль сыграл также огромный научный
авторитет автора этой книги, бесспорно, первого математика своего времени,
внесшего выдающийся вклад и в алгебру, и в геометрию, и в (математический)
анализ. Наконец, очень существенной была близость основных установок
Гильберта к классическим «Началам» Евклида, позволяющая рассматривать книгу
Гильберта как завершение растянувшегося на несколько тысячелетий пути раз-
ви1ия геометрии: от древних египтян и вавилонян —к «Началам» Евклида и
от «Начал» — к «Основаниям геометрии» Гильберта (именно так, например,
трактует историю оснований геометрии известный математик, педагог и
историк науки Ханс Фрейденталь [80]).
Между тем, анализируя сегодня три первоначально предложенных пути
обоснования геометрии, можно сказать, что наименее удачным из них был
именно путь Гильберта: книга [9J сыграла выдающуюся роль в формировании
наших представлений о месте аксиоматического метода в математике и
послужила трамплином для создания «гильбертова формализма», явившегося одним
из важнейших направлений в области оснований (в частности —философских
оснований) математики; однако собственно геометрию она (в определенном
смысле!) завела в тупик и здесь принесла, быть может, больше вреда, чем
пользы. Для пояснения этой точки зрения нам придется более подробно
остановиться на основных установках М. Пиери, Д. Гильберта и В. Φ Кагана.
В чисто математическом отношении предложенные этими тремя авторами
системы аксиом равносильны: приняв за основу любую из них, можно на этой
базе доказать все предложения, рассматриваемые как аксиомы в двух других
системах. Однако с точки зрения методической (и методологической) различие
между аксиоматическими системами Пиери, Гильберта и Кагана было довольно
значительным —и эти три системы наметили три основных пути обоснования
евклидовой геометрии.
Главное различие между тремя рассматриваемыми аксиоматиками
заключалось в путях реализации «метрической» структуры евклидова пространства,
отличающей его от лишенного расстояний между точками и углов между прямыми
«аффинного» пространства (относительно которого см. [64] или [66]). Д. Гильберт
учитывал эту структуру, аксиоматизируя понятие равенства (или конгруэнтности)
отрезков и углов (причем в число аксиом им вводилась, например, аксиома,
равносильная аксиоме СУ С настоящей книги); М. Пиери, вслед за
своим учителем Дж. Пеано, считал основным (неопределяемым) понятием
движение, а В. Ф. Каган исходил из понятия расстояния между точками.
Разумеется, эти три подхода приводят к
одному и тому же понятию евклидова
пространства—ведь владея любым из этих
понятий, мы можем определить оба другие
и доказать все их свойства. Так, например,
исходя из понятия конгруэнтности
отрезков мы можем определить движение
(или перемещение) как преобразование,
которое переводит любые две точки А и В в
такие точки А' и В\ что АВ ^А'В' (рис. 3);
598

мы можем также определить на базе основного понятия конгруэнтности
отрезков понятие длины отрезка или «расстояния между точками» 1.
Аналогично этому, если считать основным понятием движение, то
конгруэнтность АВд^А'В' отрезков определяется существованием движения,
переводящего АВ в А'В\ а расстояние между точками возникает как «инвариант
движений». Наконец, если исходить из понятия расстояния (или длины
отрезка), то отношение АВ^А'В' определяется условием равенства длин
отрезков АВ и А'В', а движение — как преобразование, переводящее каждые
две точки А и В в такие точки А' и В\ что АВ — А' В' (см. тот"же рис. 3).
Таким образом, эквивалентность трех систем обоснования геометрии
устанавливается без труда; различие же между ними заключается в том, какое
именно из трех понятий: конгруэнтность — движение —расстояние считается
«самым главным». Само по себе представление о сравнительной «важности»
того или иного понятия, разумеется, не имеет никакого -отношения к
математической науке; в методологии же (и в методике) математики оно, напротив,
заслуживает серьезного внимания.
2. «Конгруэнтность», «движение» и «расстояние» в системе геометрии
Евклида. Основные установки, которыми руководствовался Д. Гильберт в своих
исследованиях по основаниям геометрии, тесно связаны с построениями
Евклида; в частности, основополагающая роль понятия конгруэнтности (или
равенства) фигур в системе Гильберта имеет своими истоками «Начала» Евклида,
в которых ведь · тоже понятие равенства фигур является «самым первым» —
недаром «типичное доказательство» по Евклиду всегда сводится к
рассмотрению цепочек из пар конгруэнтных треугольников: «Д ABC ^ &DEF,
поскольку ...; следовательно, Д UVW ^ Д XYZ, ибо ...» и т. д. Эту систему
изложения геометрии можно считать «отражением» (в рамках
рассматривавшихся Евклидом задач) метафизических воззрений Аристотеля. С точки же
зрения диалектики основной интерес для науки представляют не «состояния»,
а процессы, — и отражение этой% диалектики легко усмотреть в трудах
великих ученых XVII века: Декарта и Ферма, Ньютона и Лейбница. И с этой
точки зрения подход Пеано и Пиери обладает определенными преимуществами
перед подходом Д. Гильберта, ибо он с самого начала вводит в геометрию
понятие движения, прокладывающее мостик между математикой и физикой (хотя
и имеющее в этих науках различный смысл) и являющееся фундаментом весьма
общих теоретико-групповых концепций, по-новому освещающих саму сущность
геометрической науки ([3]—[4]; см. также [66] и Введения к трем частям книги
[62]). Понятие движения тесно связано с так называемой «группой симметрии»
фигуры или тела Ζ7 —совокупностью всех движений, переводящих F в себя; по-
1 Длина АВ отрезка АВ определяется следующими четырьмя «постулатами»:
Длх. Каждому отрезку АВ отвечает единственное положительное число АВ,
Дл2. Если С —точка отрезка АВ, то АС + СВ = АВ;
Дл3. Если ЖЖ^ё А'В\ то_ЛЯ = Л'Я';
Дл4. Существует отрезок 0ЕУ такой, что ОЕ — 1;
по поводу того, как из этих постулатов выводится существование и
единственность длины отрезка, см., например, [65J.
599

нятие же группы симметрии в свою очередь играет важнейшую роль в
современной физике (см., например, книги [80, 81], а также вводную статью
к книге [81]).
Книга [9] в некотором смысле «закрыла» определенный раздел
геометрии, поскольку все последующие работы в этом направлении имели довольно
частный характер (именно эту область геометрии сегодня чаще всего связывают
с наименованием «Основания геометрии»). Работы же [7] и [8] по существу
открыли новые направления геометрических исследований. На первом месте
среди продолжающих эту линию работ надо упомянуть книгу Ф. Шура [16],
модифицировавшего схему Гильберта с тем, чтобы заменить в ней
конгруэнтность движениями; в нашей стране аксиоматика Шура широко известна (см.,
например, книги [61] или [63]). В педагогическом плане эти же идеи реализо-
вывали авторы многочисленных школьных учебников, в основу которых
клались (не доказываемые, т. е. принимаемые за аксиомы!) свойства движений; из
французских авторов здесь надо в первую очередь упомянуть знаменитого Эмиля
Бореля, учебник [55] которого был некогда весьма популярен (его влияние
чувствовалось и в дореволюционных изданиях книги [37]), а из немецких
математиков— рано умершего Г. Томсена [85], пошедшего в этом направлении еще
заметно дальше Бореля. Дальнейшим развитием линии Пиери —Шура —Томсена
можно считать аксиоматику современного немецкого геометра Фридриха Бахма-
на [19], в системе которого (осевые и центральные) симметрии являются даже
не основными «отношениями», связывающими служащие главным «строительным
материалом» геометрии точки и прямые, а принимаются за основные
(неопределяемые) объекты геометрии, заменяя тем самым точки и прямые! При этом даже
«экстремистская» система Ф. Бахмана почти сразу по ее появлении вызвала
попытки ее применения непосредственно в преподавании, чему посвящены,
например, учебное пособие [86] или статья [87] (по этому поводу см. вводную
статью к книге [19]).
Столь же многообещающим оказался и третий путь обоснования геометрии,
принимающий за основу понятие расстояния. В начале нашего века,
когда В. Ф. Каган предложил систему обоснования геометрии, это понятие
казалось довольно второстепенным, а идея привлечения в геометрию понятия
числа —спорной; эго и определило невнимание к исследованиям Кагана. Так,
в подытожившем первый период исследований по основаниям геометрии обзоре
[17], принадлежащем видному представителю итальянской школы Пеано
Ф. Энрикесу и напечатанном в выпускаемой под общим руководством
Феликса Клейна многотомной «Энциклопедии математических наук», весьма
обстоятельно проанализировавшей все имевшиеся к началу XX века
достижения математики, о работе [10] сказано: «Дедукция Кагана прозрачна и
постулаты просты, но простота эта достигается благодаря допущению, что
расстояние может быть выражено некоторым числом...» — т. е. Энрикес склонен видеть
недостаток в том, что мы сейчас восприншаем как достоинство! Однако в наше
время положение здесь коренным образом изменилось. Создание французским
математиком М. Фреше [25] общего понятия метрического пространства1 —
1 Сам термин «метрическое пространство» впервые был использован Ф. Хаус
дорфом в его известной книге «Теория множеств» [26J.
600

такого множества Μ «точек», что каждым двум точкам а и Ь отвечает число
ра£, называемое расстоянием между а и Ь, причем
Pi Pab>0 при α Φ Ь\ Ραα^0;
Рг Pab = Pba>
Рз 9ас + 9сЬ^9аЬ
(ср. [68], [79] или [42]); оцененные лишь после появления (общей) теории
относительности А. Эйнштейна глубокие исследования Бернгарда Римана [2],
явившиеся «математическим фундаментом» теории относительности (эти
исследования также исходили из своеобразно обобщенной концепции расстояния);
выросшие из идей Фреше и построений Римана новые направления геометрии
(см., например [27] — [32J) — все это продемонстрировало важность понятия
расстояния и перспективность теорий, базирующихся на этом понятии. Поэтому,
подобно тому как работа [8] явилась лишь «первой ласточкой» в длинном ряду
исследований, так и работа [10] открыла цепочку книг и статей, одним из
звеньев которой является книга Моиза—-Даунса.
3. Дж. Д. Биркгоф и «американская система» построения школьного курса
геометрии. При обращении к зарубежному опыту в области преподавания
геометрии нам естественно прежде всего обратиться к опыту США —страны,
ранее других ставшей на путь преодоления в школьном преподавании евкли-
довских традиций. В американской средней школе —в противоположность,
скажем, Англии, Франции или России —эти традиции никогда не были особенно
устойчивыми, что связано, быть может, с тем, что самостоятельные
педагогические и научные установки сложились в США много позже, чем в развитых
европейских странах Американская математика с гордостью называет своим
прародителем знаменитого Джеймса Сильвестра (1814 — 1897), который ряд лет
состоял профессором старейшего университета США — университета имени Джона
Гопкинса в Балтиморе, и основал первый на американском континенте
научный математический журнал «American Journal of Mathematics». Между тем
причиной переселения Сильвестра в США в значительной степени явилась
резкая критика, которой он подверг традиционный школьный курс геометрии
«по Евклиду»: эта критика встретила сильное противодействие английской
профессуры во главе с маститым Артуром Кэли, вследствие чего отношения
Сильвестра с большинством английских математиков обострились до такой
степени, что он счел уместным покинуть Англию.
Возможно, что с влиянием Дж. Сильвестра связан интерес американских
геометров к «не евклидовским» системам обоснования геометрии. Уже в 1904 г.—
в год выхода в свет первой части обширной (более 800 стр.) монографии
В. Ф. Кагана [11], посвященной развернутому изложению его системы,—появилась
работа [13] одного из классиков американской математики Освальда Веблена,
содержащая оригинальный вариант «метрического» (т. е. основанного на
понятии расстояния) обоснования евклидовой геометрии; эта работа была затем
продолжена другим американским математиком Р. Л. Муром [15]г. Но наибольшее
значение имела опубликованная в 1932 г. в ведущем американском математи-
1 Истории попыток метрического обоснования геометрии уделено много
места в обстоятельной монографин [27] американского математика Л. М. Блю-
менталя.
601

ческом журнале «Annals of Mathematics» статья «Система аксиом планиметрии,
базирующаяся на использовании масштабной линейки и транспортира» [18],
принадлежащая перу одного из виднейших американских математиков и педагогов
Джорджа Дзвида Биркгофа (о нем см. стр. 602—604 настоящей книги). В этой
статье, развивающей идеи его же более ранней книги [78], автор исходил
из существования «меры длины» для отрезков прямой и «меры угла» для
углов с фиксированной вершиной, т. е. из аксиом 2—3 (стр. 45—48) и 12—14
(стр. 91—92) настоящей книги. Подобная система изложения геометрии
в чисто педагогическом отношении имеет ряд преимуществ перед системой
Гильберта [9]: в то время, как переход от понятий конгруэнтности
отрезков и углов к «мере» отрезков и углов является довольно сложным1,
обратный переход от длин отрезков и величин углов к понятию конгруэнтности
отрезков и углов не представляет ни малейших затруднений;
представляющая собой один из сложнейших разделов «Геометрии по Гильберту» теория
порядка точек на прямой (см. стр. 58—66 и 404—419 книги [9]) в системе
Биркгофа сводится к одному элементарному определению и его простейшим
следствиям и т. д. Правда, это упрощение в построении геометрии достигается
недаром: основную роль здесь играет апелляция к (предполагаемым известными!)
свойствам вещественных (действительных) чисел, каковыми являются меры
отрезков и углов, так что трудности оказываются не столько исключенными, сколько
перенесенными в другую область —в область учения о (вещественных) числах,
относящегося к компетенции не геометрии, а (математического) анализа2.
Однако в школьном преподавании мы все равно вынуждены считать свойства
чисел известными, так что здесь такое построение геометрии оказывается явно
более простым, чем традиционное.
Эти соображения побудили Дж. Д. Биркгофа весьма активно включиться
в обсуждение вопроса о наиболее целесообразном построении курса
геометрии в средней школе. Уже в 1933 г., всего через год после опубликования
статьи [18], вышло в свет первое издание написанного им совместно с
методистом Ральфом Бейтли учебника «Основ геометрии» [49], рассчитанного на
средние классы американской школы (ранее они же опубликовали
совместную статью [57]); в последующие годы этот учебник, равно как и вышедшее
отдельным изданием «Руководство» (Manual) для учителей, ведущих по нему
преподавание, неоднократно переиздавались. Книги [49] оказали огромное
влияние на всю систему изложения геометрии в американской школе (под
их влиянием «метрическая» система обоснования геометрии, базирующаяся на
аксиомах 2—3 и 12—14, приобрела здесь господствующее положение); поэтому
о них здесь стоит сказать подробнее. Начинался учебник [49] с краткого
Введения: «Рассуждения; природа доказательств», за которым следовали две основ-
1 См. примечание на стр. 599.
2 Наиболее откровенно декларируют это обстоятельство авторы тщательно
составленного учебника [53], также придерживающиеся установок Дж. Д.
Биркгофа: список аксиом они начинают следующей Аксиомой 1: справедливы
все (перечисленные в вводной главе книги) основные свойства вещественных
чисел и свойства, которые можно вывести из этих основных свойств; в полном
же списке аксиом, вынесенном в Приложение к книге, эту единственную
Аксиому 1 детально расшифровывают аксиомы 1.1—1.62 (шестьдесятдве
аксиомы вещественного числа!).
002

ные главы: «Пять Основных Принципов» (т. е. аксиом) и «Семь Основных
Теорем» (т. е. непосредственных выводов из принятых аксиом), на которых
строился весь последующий курс геометрии, не имевший, впрочем, столь подчеркнуто
дедуктивного характера, как это принято в настоящей книге. В число
Основных Принципов (аксиом) авторы включали предложения о мерах отрезков и
углов, родственные аксиомам 2 — 3 и 12—14 настоящей книги; при этом, в
параллель к аксиомам 2 — 3, связанный с мерой углов Принцип имел в книге [47)
форму утверждения о возможности такого сопоставления исходящих из одной
точки лучей (вещественным) числам, что величина образуемого двумя лучами
угла равна разности чисел, отвечающих этим лучам (см. заимствованный из
книги [49] рис. 4). Завершался учебник родственным Введению, но теперь уже
аргументированным с использованием
всего материала книги Заключением:
«Рассуждения; абстрактная логическая,
система» и кратким перечнем
используемых в доказательствах геометрических
теорем «свойств (вещественных) чисел».
Из числа использующих биркгофов-
скую аксиоматику американских
учебников геометрии, в противоположность
книге [49], рассчитанных уже на старшие
классы средней школы, следует, в
первую очередь, упомянуть книги [50], [53]
и [54]. Особо заслуживает внимания
упоминаемое в предисловии к
настоящему учебнику коллективное
сочинение в двух частях [50]L, изданное под
эгидой высокоавторитетной
«Исследовательской группы по школьной
математике» (School Mathematics Study Group,
сокращенно—SMSG), а также книга [54], входящая в серию изданных при
поддержке SMSG учебников, составленных большим коллективом авторов,
возглавляемым видным математиком и педагогом Эдвином Беккенбахом, хорошо
известным русскому читателю по переводу ряда его книг и статей (сам Беккен-
бах участвовал в написании входящих в эту серию учебников алгебры и
анализа). Однако при всем различии названных книг в деталях общая система
изложения в них совпадает с книгой [49] и с настоящей книгой.
Укажем, наконец, что издаваемая в США литература по геометрии,
обращенная к (настоящим или будущим) учителям математики, также чаще
всего базируется на идеях Дж Д. Биркгофа. Из книг и статей этого рода в
первую очередь заслуживает внимания выдержавшее несколько изданий
сочинение первого из авторов настоящего учебника «Элементарная геометрия с
высшей точки зрения» [60] — обстоятельное изложение школьного курса геометрии,
Рис. 4
1 При этом каждый из учебников выпускаемой SMSG серии пособий
издается в двух одновременно выходящих в свет вариантах: Students' Text (текст для
учащихся; книги в желтых обложках) и Teachers' Commentary (пояснения для
учителей; книги в красных обложках).
603

рассматриваемого с позиций учителя, а не ученика, и в определенном смысле
ориентированное на преподавателя, ведущего занятия по настоящей книге.
Удачным является и учебник «Оснований геометрии» [59], выпущенный по инициативе
SMSG и рассчитанный на студентов, готовящихся к карьере учителя
математики. Укажем еще напечатанные в рассчитанном на широкий круг читателей
(в том числе на настоящих и будущих учителей) журнале American
Mathematical Monthly статьи [20] и [21]; первая из них (принадлежащая перу
известного американского алгебраиста Сандерса Маклейна) имеет довольно общий
характер, а вторая более конкретна: в основной своей части она посвящена
выводу из биркгофовской аксиоматики так называемой теоремы Жордана,
утверждающей, что всякий (простой) многоугольник делит плоскость на две
части —внутреннюю и внешнюю (ср. выше; приведенный в комментариях
к русскому переводу гильбертовых «Оснований геометрии» краткий (!)
набросок доказательства этого факта, опирающийся на систему аксиом Гильберта,
занимает 10 страниц «текста, напечатанного мелким шрифтом — см. стр. 409 — 419
книги [9]).
В заключение заметим, что и в нашей учебной и методической литературе
«метрические» системы обоснования геометрии приобрели за последнее время
большую популярность. К установкам Дж. Биркгофа весьма близок учебник
видного советского геометра А. В. Птэгорелова, выпущенный в двух вариантах
[43] и [48]—для учащихся и для учителей; при этом книга [43] будет,
видимо, более доступной для школьников, чем настоящий учебник (хотя бы в силу
своего меньшего объема). Иной вариант аксиоматического построения геометрии
выбрал коллектив, возглавляемый А. Н. Колмогоровым (см. [42]); однако и
принятая ими система аксиом, базирующаяся на неопределяемых понятиях точки
и расстояния, имеет «метрический» характер (так, например, в число аксиом
здесь включаются предложения Рг — Р3, стр. 601).
4. О книге Моиза—Даунса. Наиболее полное воплощение общие
установки Дж. Биркгофа получили в книге, русский перевод которой сейчас
лежит перед Вами, —и эта книга пользуется наибольшей известностью из всех
школьных учебников геометрии, выпущенных в США за последние 10 лет.
Американские коллеги рассказывали автору настоящих строк, что при
обсуждении в SMSG желательной структуры школьного курса математики многими
учеными и педагогами высказывалось мнение о нецелесообразности сохранения
в старших классах средней школы раздела, посвященного геометрии, —и
только энергии влиятельного члена SMSG Эдвина Э. Моиза, известного математика
и педагога, члена Американской Академии искусств и наук и профессора
Гарвардского Университета в Кембридже близ Бостона, в котором преподавал
в свое время и Дж. Д. Биркгоф, они приписывали то, что это предложение
не было принято.
Э. Моиз не ограничился лишь агитацией за сохранение курса геометрии в
старших классах школы. Вместе с Флойдом Л. Даунсом-младшим,
преподавателем средней школы имени Ньютона, расположенной в городке Ньютон
недалеко от Бостона, он написал учебник для учащихся старших классов (High
School) американских средних школ. При составлении настоящей книги ее
авторы исходили из того, что учащиеся уже знакомы с курсом наглядной
(интуитивной) геометрии, проходимым в средних классах школы; таким образом, мы
604

имеем здесь «повторительный» курс, преследующий своей целью не столько
сообщение новых фактов, сколько раскрытие структуры геометрии как
последовательно-дедуктивной математической системы. Следует также иметь в виду,
что в старших классах американских средних школ все учебные предметы
являются в какой-то степени необязательными: каждый курс оценивается в опре
деленное число очков, и выбранные учащимся предметы должны быть лишь
таковы, чтобы общее число очков оказалось не меньшим фиксированной заранее
нормы. При этом математические курсы оцениваются сравнительно большим
числом очков, так что полностью игнорировать математику учащиеся не могут;
однако тот «повышенный» курс геометрии, учебником которого является эта
книга, отдельные школьники вполне могут и пропустить. Но даже и в этих
условиях книга Моиза—Даунса оказалась слишком трудной для большинства
школьников, так что процент тех школ, в которых ее изучают, сравнительно
невелик; впрочем, лучшими являются как раз те школы, в которых этот учебник
используется.
Популярность книги Моиза—Даунса в США связана не только с ее
большими научными и педагогическими достоинствами, о которых мы еще скажем
ниже, но и с той высокой ответственностью, с которой отнеслись авторы к
стоящей перед ними задаче. Выше уже упоминалось о составленной Э. Моизом для
учителей математики и для будущих учителей книге [60], овладение которой
очень облегчает использование настоящего учебника. Наряду с этим авторы,
в сотрудничестве с преподавателем средней школы Герхардом Вичурой,
имевшим опыт работы по этой книге, выпустили в помощь учителям
математики еще два (1) пособия: одним из них являлся «решебник»,
содержащий решения всех имеющихся в тексте задач, а вторым —«учительское
издание» (Teachers* Edition) настоящей книги, о котором стоит сказать несколько
более подробно. Внешне это издание мало отличается от основного варианта
учебника: оно имеет точно такой же красочный переплет, на котором слова
«Teachers* Edition» совсем не бросаются в глаза, и полностью воспроизводит
весь .текст книги, напечатанный на превосходной бумаге в два цвета — черный
и красный (красный цвет используется в чертежах и в печатном тексте для
выделения тех или иных деталей). Однако в «учительском издании» весь текст
испещрен рукописными заметками, сделанными весьма разборчивым почерком
синими чернилами внутри (или'между) строк и на полях книги —похоже, что
это издание воспроизводилось фотографическим способом с исписанного
комментатором основного издания учебника. Во многих случаях заметки
комментатора не умещаются на полях книги; эти места отмечены буквами ТМ и
(дробным) номером, которые отсылают читателя к приложенному в конце
«Руководству для учителя» (Teachers' Manual), содержащему 137 стр. и напечатанному
на бумаге синего цвета (того же, каким сделаны пометки в основном тексте);
в конце «Руководства» имеются еще несколько чистых синих листков, которые
учитель может использовать для самостоятельных заметок. «Руководство для
учителя» содержит общие указания к пользованию книгой, включая детальный
«поурочный план», данный в двух вариантах —для более сильного и более
слабого класса; при этом некоторые параграфы книги («Семь кёнигсбергских
мостов», «Как Эратосфен измерил землю», «Классические неразрешимые задачи
на построение» и др.), рассчитанные лишь на более сильных учеников, кото-
605

рые прочтут их самостоятельно, опущены в обоих вариантах планов. (Вопросу
об использовании книги в сильном классе, где ее можно изучить с заметно
большей полнотой, чем в других случаях, посвящен отдельный параграф
«Руководства».) Наряду с этим в «Руководство для учителя» включен
распространенный комментарий ко всем параграфам учебника (из них заимствованы
Дополнения к русскому переводу книги, стр. 585—592), полный список аксиом и
теорем, отсутствующий в основном издании, а также обстоятельный список
литературы, разбитый на две самостоятельные части: «Литература только для
учителей» и «Литература для учащихся и для учителей».
Переходя к содержанию настоящей книги, нельзя не отметить необычную
для привычных нам школьных учебников полноту дедукции и тщательность
в деталях, быть может даже кое-где и излишних —так, например, вряд ли
математическая зрелость американских школьников такова, что у них возникает
потребность в доказательстве теорем вроде следующих: «каждый отрезок
имеет середину и притом только одну» или «каждый угол имеет
биссектрису и притом только одну»1. Впрочем, надо заметить, что уровень
строгости в последних главах книги заметно снижается — чтобы убедиться в
этом, достаточно сравнить, скажем, разделы, посвященные теории площадей
плоских фигур и теории объемов пространственных тел. Последнее
частично связано с тем, что в соответствии с традициями американской
школы стереометрический материал отобран здесь крайне экономно (так,
например, даже занимающая в нашей системе изложения стереометрии чуть
ли не центральное место «теорема о трех перпендикулярах» фигурирует в
настоящем учебнике лишь в роли рядовой задачи —см. задачу 13 на стр. 250),
в соответствии с чем при переходе к стереометрическим главам несколько
меняется и сам стиль книги. Планиметрический же материал по объему близок
к излагаемому в нашей школе; в частности, он содержит и фигурирующие
в большинстве наших учебников теоремы о степени точки относительно
окружности (теоремы 14.21 —14.23), уместность включения которых в школьный курс
геометрии в последние годы неоднократно оспаривалась. При этом в ряде
случаев авторы излагают стереометрический и планиметрический материал слитно
(см., например, гл. 3, 8 или 10), что иногда дает заметный выигрыш
времени по сравнению с традиционной (раздельной) системой изложения. Укажем
еще, что в книгу включен также некоторый минимальный материал по
аналитической геометрии на плоскости, а в задачах возникают также основные
представления аналитической геометрии в пространстве; однако —и это очень
характерно для американской школы! —в учебнике отсутствует само понятие
вектора и полностью игнорируются все геометрические преобразования, в том
числе даже такие простые, как осевая или центральная симметрия (в этом
1 Ср., например, со сказанным на стр. 321—322 интересной книги Дж. Пойа
«Математическое открытие» (М., «Наука», 1970), в значительной части
посвященной обсуждению методических вопросов. [Заметим, впрочем, что и в ряде наших
учебников геометрии — как старых,- так и более свежих (см., например, [44],
[40]) —можно было встретить теорему «В данной точке к данной прямой можно
восставить перпендикуляр и притом только один», представляющую собой
частный случай второй из названных теорем (к нему мы приходим,
предположив, что рассматриваемый угол —развернутый)].
606

последнем пункте школьные традиции США резко противоречат тем, какие
существуют в педагогической практике, скажем, Франции или Германии).
Хорошей школой дедукции могут служить широко практикуемые
авторами «доказательства теорем в два столбца»; при этом частый пропуск
мотивировок в правом столбце, заполнение пробелов в котором предоставляется
учащимся, кажется нам заслуживающим серьезного внимания методическим
приемом. Весьма продумана система обозначений, позволяющая, например,
различать прямую ЛВ, луч ЛВ, отрезок ЛВ и расстояние АВ, в нашей учебной
литературе всегда обозначаемые одним и тем же символом (а именно,
ЛВ). Целесообразной является и новая для нашей школы разметка чертежей,
облегчающая наглядное восприятие доказательства. Учитель найдет в этой
книге и много других удачных методических находок, некоторые из которых
вполне заслуживают того, чтобы быть использованными и в нашей школе.
5. «Векторное» обоснование геометрии. Наш обзор основных путей
построения школьного курса геометрии будет не полон, если наряду с идущими от
Д. Гильберта, М. Пиери и В. Ф. Кагана построениями мы не упомянем еще
одну резко отличную от них систему изложения, которая в последние годы
приобрела большую популярность.
Известно, что (общая) теория относительности возникла в 1916 г.—в этом
году вышел в свет основополагающий мемуар Альберта Эйнштейна «Основы общей
теории относительности»1, содержащий развернутое изложение его идей.
Первый же в мире учебный курс теории относительности был прочитан в 1917 г.
коллегой А. Эйнштейна по работе в Цюрихском Политехническом Институте
Германом Вейлем — бесспорно, одним из самых выдающихся математиков
нашего века. В 1918 г. курс Г. Вейля был издан 01делыюй книгой, получившей
название «Пространство, время, материя» [ЗЗ]2. Здесь неуместно подробно говорить
о содержании обширной книги [33]; мы скажем лишь о том, как она
начинается. Г. Вейль начинает с анализа понятия (евклидова) пространства; при
этом на первых страницах своей книги он излагает аксиоматику геометрии,
коренным образом отличную от системы Гильберта и всех близких к ней
по времени построений. А именно, Г. Вейль кладет в основу понятие
векторного пространства, т. е. множества элементов, называемых векторами, для
которых определены операции сложения и умножения на (вещественное) число.
Лишь после этого появляется понятие точки, связанное с понятием вектора
тем, что каждым двум точкам А и В отвечает единственный вектор А В —а
(вектор с началом А и концом В; рис. 5, а), причем это сопоставление
векторов и точек удовлетворяет двум аксиомам: для каждого вектора а и точки А
существует единственная точка В, такая, что АВ — а, и для каждых трех
точек А, В и С имеет место равенство АВ-{-ВС — АС (рис. 5, б). Наконец,
чтобы обратить полученное таким путем аффинное пространство (или
аффинную плоскость; различие между этими двумя геометрическими образами
определяется двумя разными формами «аксиомы размерности») в евклидово прост-
1 Он неоднократно издавался и на русском языке (см., например, А. Эй н-
штейн, Собрание научных трудов, т. I, M., «Наука», 1965, стр. 452—504).
2 Характерным для книги [33] чисто математическим построениям
посвящена также вышедшая в свет в 1923 г. книга Вейля «Математический анализ
проблемы пространства» [34].
607

ранство (евклидову плоскость) остается только ввести скалярное произведение
векторов — новую операцию, сопоставляющую каждым двум векторам а и Ь
некоторое число (его обозначают символом ab) и подчиняющуюся простым
аксиомам скалярного произведения (утверждающим, например, что ab — ba
для всех векторов a, b или что a (b + c) = ab + ac для всех а, Ь и с).
а) . δ) '
Рис. 5
Большое значение, которое имеет понятие векторного пространства в
современной чистой и прикладной математике, определило возрастающий интерес
к предложенной Г. Вейлем системе обоснования евклидовой геометрии (эта
система изложена, например, в статьях [35] и [77], а также во всех без
исключения учебниках линейной алгебры); эти же обстоятельства породили и
предложения о применении этой схемы в школьном преподавании. Одним из
первых сторонников использования этого пути обоснования геометрии в курсе
средней школы явился известный французский математик и педагог Г. Шоке,
книга [47] которого непосредственно связана с идеями Г. Вейля,
открывающими, по выражению автора, «царский путь в геометрию» 1: усилия Г. Шоке
направлены на то, чтобы как-то адаптировать схему Вейля, сделав ее более
приемлемой для школьных учителей. Однако и этот путь отвергает один
из авторитетнейших французских математиков Жан Дьедонне: в своей
темпераментно написанной книге «Линейная алгебра и элементарная геометрия» [36]
он объявляет попытку Г. Шоке вредной, призывая не «спускать» аксиоматику
Вейля до уровня математической культуры учителей средних школ, а
напротив, поднимать уровень учительства до понимания векторной системы
обоснования геометрии. Вся книга [36] целиком посвящена пропаганде следующей
методической идеи: элементарная (т. е. школьная) геометрия —это и есть
линейная алгебра; никакой другой геометрии в старших классах средней школы
быть не должно.
Книги Г. Шоке и Ж. Дьедонне были рассчитаны на учителя средней
школы; однако сегодня имеются и изложения геометрии в духе Вейля
—Дьедонне, рассчитанные на учащихся. Так, например, горячим сторонником
«векторного пути» построения школьного курса геометрии является известный
бельгийский математик и педагог Жорж Папи (см. его доклад [72]). С 1963 г.
1 Это выражение связано с известным историческим анекдотом: говорят,
что, когда властитель Египта Птолемей обратился к Евклиду с просьбой
обучить его геометрии самым быстрым способом, поскольку царские обязанности
не оставляли ему много времени, Евклид ответил на это: «в геометрию нет
царского пути».
/
608

началась публикация многотомного курса «Современной математики» Ж. Папи
[56]; при этом, если в первом томе своей книги автор принял довольно
своеобразную систему изложения геометрии, базирующуюся на
теоретико-множественных концепциях, то в дальнейшем он уже откровенно пошел по векторному
пути: т. 2 «Вещественные числа и векторная плоскость» (442 стр.), т. 3 «Вот
Евклид» (452 стр.) и т. 6 «Планиметрия» (277 стр.) книги [56] содержат
развернутое (быть может —даже чересчур подробное) построение плоской евклидовой
геометрии по схеме Г. Вейля. В нашей литературе мы имеем пока лишь
«умеренно векторный» учебник [41]; однако и у нас мнение о желательности «чисто
векторного» построения геометрии в старших классах средней школы
высказывалось многими учеными и педагогами.
ЛИТЕРАТУРА
А. Евклид
1. «Начала» Евклида I —III, М. — Л., Гостехиздат, 1948—1950.
Б. Сочинения по основаниям геометрии
2. Риман Б., О гипотезах, лежащих в основании геометрии, см.
Сочинения, М. — Л., Гостехиздат, 1948, стр. 279—293 и 509—526 или сборник
«Об основаниях геометрии», М., Гостехиздат, 1956, стр. 309—341.
3. Гельмгольц Г., О фактах, лежащих в основании геометрии,
сборник «Об основаниях геометрии», стр. 366—387.
4. Клейн Ф., Сравнительное обозрение новейших геометрических
исследований («Эрлангенская программа»), сборник «Об основаниях геометрии»,
стр. 399—434.
5. Π а ш М. (Pasch M.), Vorlesungen uber neuere Geometrie, Leipzig, 1882;
см. также Паш М., Ден Μ. (Dehn M.), Vorlesungen uber neuere Geometrie,
Berlin,' 1926.
6. Пеан о Д ж. (Peano G.), I principii di geometria logicamente esposti,
Torino, 1889.
7. Пеано Дж., Sui fondamenti della geometria, Rivista di Matematica
4, 1894.
8. Пиери Μ. (Pieri Μ.), Della geometria elementare come sistema impo-
tetico deduttivo, Mem. Acad. Sci. Torino (2), 49, 1899, стр. 173—221.
9. Гильберт Д., Основания геометрии, Μ.—Л., Гостехиздат, 1948.
10. Каган В. Ф., Система посылок, определяющих евклидову геометрию,
Записки мат. отдел, о-ва естествозн., Одесса, 20, 1902, стр. 67-^105 (немецкий
перевод: Kagan В., Ein System von Postulaten, welche die euklidische Ceomet-
rie definieren, Jahresbericht Deutsch. Math. Vereinigung, 11, 1902, стр.
403-424).
11. Каган В. Ф., Основания геометрии, т. I, Записки Новороссийского
Ун-тета, Одесса, 97, 1904, стр. 1—480; 101, 1905, стр. 481—804; отд. издание,
Одесса, 1905, 793 стр. (см. также Каган В. Ф., Очерки по геометрии, М.,
изд. МГУ, 1963, стр. 519—563; сборник «Об основаниях геометрии»,
стр. 479-484).
609

12. Лев и Б. (Levi В.), Mem. Acad. Sci. Torino, 1904, стр. 283.
13. Веблен О. (Veblen О.), A system of axioms for geometry. Trans. Amer.
Math. Soc. 5, 1904, стр. 343-384.
14. Π и ер и М., La geometria elementare institute sulla nozionidil «puto»
e «sfera». Mem. Mat. Fis. Soc. Ital. Schieze (3), 15, 1908, стр. 345—350.
15. Μ у ρ Ρ. Л. (Moor R. L.), Sets of metrical hypothesis for geometry,
Trans. Amer. Math. Soc. 9, 1908, стр. 487—512.
16. Шур Ф. (Schur F.), Grundlagen der Geometrie, Leipzig, 1909.
17. Энрикес Ф., Начала геометрии, СПб., «Образование», 1914
(сборники «Новые идеи в математике», сб. 9).
18. Биркгоф Д ж. Д. (Birkhoff G. D.), A set of postulates for plane
geometry based on scale and protractor, Ann. of Math. 33, 1932, стр. 329—345.
19. Б a χ μ a η Φ., Построение геометрии на основе понятия движения,
М., «Наука», 1969.
20. Мак лей н С. (MacLane S.), Metric postulates for plane geometry,
Amer. Math. Monthly, 66, 1959.
21. Джексон С. Б. (Jackson S. В.), A development of the Jordan curve
theorem and the Schonflies theorem for polygons. Amer. Math. Monthly, 75,
№ 9, 1968, стр. 989-998.
В. Сочинения по основаниям арифметики
22. Пеано Дж., Rivista di Matematica, 1, 1891.
23. АрнольдуИ. В., Теоретическая арифметика, М., Учпедгиз, 1939.
24. Генкин Л., О математической индукции, М., Физматгиз, 1962.
Г. Научные сочинения по геометрии,
основанные на «метрических» соображениях
25. Фреше М. (Frechet Μ.), Sur quelques points du Calcul Fonctionnel,
Rendiconti del Circ. Mat. di Palermo, 22, 1906, стр. 1—74.
26. Хаусдорф Ф. (Hausdorff F.), Grundzuge der Mengenlehre, Leipzig,
1914; см. также русский перевод: Ф. Хаусдорф, Теория множеств, Μ.—Л.,
ОНТИ, 1937, объединяющий текст 1-го и 2-го (1927) немецких изданий и
дополнения, написанные редакторами русского издания П. С. Александровым
и А. Н. Колмогоровым.
27. Б л ю м е нт а л ь Л. М. (Blumenthal L. Μ.), Distance geometries
(A study of development of abstract methods) Univ. of Missouri Studies. 13,
1938.
28. Александров А. Д., Внутренняя геометрия выпуклых
поверхностей, Μ.—Л., Гостехиздат, 1948.
29. Блюменталь Л. М., Theory and application of distance geometry,
New York, 1953.
30. Буземан Г., Геометрия геодезических, М., Физматгиз, 1962.
31. Александров А. Д., Залгаллер В. Α., Внутренняя геометрия
выпуклых поверхностей, Труды мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР,
13, 1962.
32. Буземан Г. (Busemann H.), Recent synthetic differential geometry,
Heidelberg, 1970.
610

Д. Векторное обоснование геометрии
33. Вей ль Г. (Weyl Η.), Raum, Zeit, Materie, Berlin, 1918.
34. В ей ль Г., Mathematische Analyse des Raumproblems, Berlin, 1923.
35. Болтянский В. Г., Я г лом И. М., Векторы и их применения
в геометрии, Энциклопедия элементарной математики (ЭЭМ), кн. IV (геометрия),
М., Физматгиз, 1963, стр. 369—380.
36. Дьедонне Ж. (Diedonne J.), Algebre lineaire et geometrie elemen-
taire, Paris, 1964. (Русский перевод книги готовится к печати издательством
«Наука».)
Е. Русские школьные учебники геометрии
37. Киселев А. П., Геометрия (планиметрия), М., Учпедгиз, 1962;
Геометрия (стереометрия), М., «Просвещение», 1972.
38. Фетисов А. И., Геометрия, М., Изд. АПН РСФСР, 1963.
39. Болтянский В. Г., Я г лом И. М., Геометрия 9 класс, М.,
«Просвещение», 1964.
40. Барыбин К. С, Геометрия (6—8 классы), М., «Просвещение», 1966.
41. Клопский В. М., С к о π ец 3. Α., Я г о до в с к и й Μ. И.,
Геометрия (9 класс), М., «Просвещение», 1967; Геометрия (10 класс), 1970.
42. Колмогоров А. Н., Семенович А. Ф., Нагибин Φ. Φ.,
Черкасов Р. С, Геометрия (6 класс), М., «Просвещение», 1970, 1972;
Геометрия (7 класс), 1971. Колмогоров А. Н., Семенович Α. Φ., Γ у-
севВ. Α., Черкасов Р. С, Геометрия (8 класс), 1972.
43. Погорелов А. В., Элементарная геометрия, М., «Наука», 1971.
43а. Болтянский В. Г., ВоловичМ. Б., Семушин А. Д.,
Геометрия 6, М., «Педагогика», 1972.
Ж. Учебники геометрии,
рассчитанные на (настоящих и будущих) учителей
44. Беек и н Н. М., Методика геометрии, М., Учпедгиз, 1947.
45. Π е ρ е π е л к и н Д. И., Курс элементарной геометрии, ч. 1—2,
М.—Л., Грстехиздат, 1948—1949.
46. Болтянский В. Г., Яглом И. М., Преобразования. Векторы,
М., «Просвещение», 1964.
47. Шоке Г., Геометрия, М., «Мир», 1970.
48. Погорелов А. В., Элементарная геометрия (планиметрия), М.,
«Наука», 1969; Элементарная геометрия (стереометрия), 1970.
48а. Геометрия в 6 классе (под ред. А. Н. Колмогорова). М.,
«Просвещение», 1972.
И. Американские школьные учебники геометрии1
49. Биркгоф Дж. Д., Бейт л и P. (Beatley R.), Basic Geometry,
New York, 1933; Manual to basic geometry, New York, 1941.
1 См. рецензию на некоторые из этих учебников — «Математика в школе»,
1967, № 2, стр. 93-96.
611

50. School Mathematics Study Group, Geometry I, II, Yale University Press,
1960-1961.
51. School Mathematics Study Group, Geometry with Coordinates, I, II,
Yale University Press, 1962.
52. Брамфиль Ч. Ф., Эйхольц Р. Э., Шенкс М. Э. (Brum-
fiel С. F., Eicholz R. E., Shanks M. E.), Geometry, Reading (Mass.), 1960.
53. Гендерсон К. Б., Пингри Р. Э., Робинсон Дж. A.
(Henderson К. В., Pingry R. Ε., Robinson G. Α.), Modern Geometry, Its Structure
and Function, New York, 1962.
54. Юр ген сен Р. К., Донелли А. Дж., Дольциани Μ. Π.
(Jurgennsen R. С., Dannelly A. J., Dolciani M. P.), Modern Geometry, Structure
and Method, Boston, 1963.
К. Некоторые другие школьные учебники
55. Б ope ль Э. (Borel E.), Geometrie, Paris, 1905 (Русский перевод этой
книги был осуществлен с переработанного П. Штеккелем немецкого издания,
заметно отличавшегося от французского оригинала: Э. Бор'ель, Геометрия,
Одесса, ГИЗ Украины, 1922).
56. Па пи Ж- (Рару G.), Mathematique moderne l; 2 (Nombres reels et
vectoriel plane); 3 (Voici Euclide); 6 (Geometrie plane), Bruxelles, 1965—68.
Л. Американские пособия по геометрии,
рассчитанные на учителей и студентов
57. Биркгоф Дж. Д., Бейт л и P., A new approach to elementary
geometry, Yearbook of the National Association of Mathematics Teachers,
Washington, 1929.
58. Веб лен О., The foundations of geometry, New York, 1955.
59. Уайли К. P. (Wylie C. R.), Foundations of geometry, New York,
1964.
60. Моиз Э. Э. (Moise Ε. Ε.), Elementary geometry from advanced
Standpoint, Reading (Mass), 1964.
M. Русские пособия для учителей и студентов
61. Костин В. И., Основания геометрии, М. —Л., Учпедгиз, 1946.
62. Я г лом И. М., Геометрические преобразования I —II, М., Гостехиз-
дат, 1955—1956.
63. Делоне Б. Н., Элементарное доказательство непротиворечивости
планиметрии Лобачевского, М., Гостехиздат, 1956.
64. Я г л о м И. М., А ш к и н у з е В. Г., Идеи и методы аффинной и
проективной геометрии, ч. I, Аффинная геометрия, М., Учпедгиз, 1962.
65. Дубнов Я. С., Измерение отрезков, М., Физматгиз, 1962.
66. Я г л о м И. М., Атанасян Л. С., Геометрические преобразования,
ЭЭМ, кн. IV, стр. 50-159.
67. Π о го ре лов А. В., Основания геометрии, М., «Наука», 1968.
68. Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и
функционального анализа, М., «Наука», 1971.
612

Η Статьи в журнале «Математика в школе»
69. Колмогоров А. Н., Геометрические преобразования в школьном
курсе геометрии, 1965, № 2, стр. 24—29.
70. Колмогоров А. Н., Я г лом И. М., О содержании школьного
курса математики, 1965, № 4, стр. 53—62.
71. Яглом И. М., О некоторых тенденциях в зарубежной'методике
математики, 1965, № 4, 82—89.
72. Π а п и Ж., Геометрия в современном преподавании математики, 1967,
№ 1, стр. 39—42.
73. Колмогоров А. Н., Новые программы и некоторые основные
вопросы усовершенствования курса математики в средней школе, 1967, № 2>
стр. 4—13.
74. Се рве В., Аксиоматика и элементарная геометрия, 1967, № 6,
стр. 45—55.
75. Колмогоров А. Н., К новым программам по математике, 1968,
№ 2, стр. 21—22.
76. Яглом И. М., О школьном курсе геометрии, 1968, № 2, стр. 53—58.
77. Болтянский В. Г., Яглом И. М., Геометрия в старших классах
средней школы, 1969, № 4, стр. 9—21. Об изучении геометрии в восьмилетней
школе но новой программе, 1972, № 2, стр. 21—26.
П. Дальнейшая литература
78. Биркгоф Дж. Д., The Origin, Nature and Influence of Relativity,
London, 1926.
79. Ш ρ ей дер Ю. Α., Что такое расстояние? М., Физматгиз, 1963.
80. Гарднер М., Этот правый, левый мир, М., «Мир», 1967.
81. Вей ль Г., Симметрия, М., «Наука», 1968.
82. Зельдович Я. Б., Мышки с А. Д., Новую науку вместо
древней схоластики, «Известия», 18/Ш, 1964.
83. Колмогоров А. Н., Новое в школьной математике, «Наука и
жизнь», 1969, № 3, стр. 62-66.
84. Фрейденталь X. (Freudenthal Η.) Zur Geschichte der Grundlagen
der Geometrie, Nieuw Arch. Wiskunde, (4), 5, 1957, стр. 105—142.
85. Τ ом сен Г. (Thomsen G.) Grundlagen der Elementargeometrie in grup-
penalgebraischer Behandlung, Leipzig, 1933.
.86. Дел ьсерт A. (Delessert A.) Une construction de la geometrie elemen-
taire fondee sur la notion de reflexion, Geneve, 1963.
87. Ш ней дер Ε. (Schneider Ε.) Spiegelungsgeometrie auf der Oberstufe
I—II, Math, und Naturwiss. Unterricht, 16, 1964, стр. 388—395, 442—447.

УКАЗАТЕЛЬ СИМВОЛОВ
{а, Ь, с} Множество, состоящее из (элементов) а, Ь и с 30
Φ Пустое множество 30
= Равно; совпадает с 27
< Меньше (чем) 34
=^ Меньше или равно; не больше (чем) 34
> Больше (чем) 34
для чисел
^ Больше или равно; не меньше (чем) 36
У а Положительный квадратный корень из
(числа) а 35
| а | Абсолютная величина (числа) а 37
А В Расстояние между (точками) А и В 42
ДВ Прямая, проходящая через (точки) А и В 51
~ДВ Отрезок с концами А и В 51
~АВ Луч, выходящий из (точки) А и проходящий
через (точку) В 52
Δ А ВС Угол со сторонами В А и ВС 83
т^АВС Мера угла Δ ABC 91
Δ ABC Треугольник с вершинами А, В и С 84
UABCD Четырехугольник с вершинами Л, В, С и D 160
LABC^ I.OEF Углы ζ А ВС и Z.DEF конгруэнтны 97, 124
~AB^~CD Отрезки А В и CD конгруэнтны 124
ABC++DEF (Взаимно-однозначное) соответствие,
сопоставляющее (точки) А и D, В и £, С и F 117
AABC^ADEF Соответствие ABC+-+DEF есть конгруэнтность 126
AABC~ADEF Соответствие ABC+-+DEF есть подобие 354
ι Перпендикулярно 96—97,235,
304
11 Параллельно 254, 295
S Площадь области R 321, 541
R _^
jLA—BC — D Двугранный угол с ребром ВС и сторонами,
проходящими через (точки) А и D . 302
mLA — BC — D Мера двугранного угла LA—BC — D 304
А В Дуга с концами А и В 459
614

тАВ Градусная мера дуги АВ 460—461
sin г° Синус такого угла с А, что тАЛ—г 379
cos г® Косинус такого угла /.А, что т£А=г 380
igr9 Тангенс такого угла ^Л, что т£А—г 380
Использование и значение пометок и восклицательных знаков на чертежах
поясняется на стр. 141—142.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
абсолютная величина 37
абсцисса 397
аналитическая геометрия 395
аксиома 20
аксиома единицы объема 564
аксиома единицы площади 322
аксиома измерения углов 90
аксиома конгруэнтности 321
аксиома масштабной линейки 45
аксиома параллельности 262
аксиома пополнения 92
аксиома пересечения плоскостей 68
аксиома плоскости 68
аксиома площади 321
аксиома построения углов 91
аксиома прикладывания линейки 48
аксиома прямой 51
аксиома разбиения плоскости 73
аксиома разбиения пространства 74
аксиома расстояния 48
аксиома сложения площадей 322
аксиома сложения углов 91
аксиомы конгруэнтности
треугольников 131
апофема 535
биссектриса треугольника 161
биссектриса угла 146
боковая сторона равнобедренного
треугольника 149
большая дуга 459
большая окружность 443
большой круг 443
боковая грань 555
боковая поверхность 555
боковое ребро 555
вертикальная прямая 260
вертикальные двугранные углы 302
вертикальные углы 101
вершина многоугольника 530
вершина пирамиды 558
вершина треугольника 85
вершина угла 83
вершина четырехугольника 160
внешний угол треугольника 207
внешность двугранного угла 302
внешность окружности 445
внешность треугольника 86
внешность угла 85
внешняя касательная 447
£#Я-теорема 257
внутренняя касательная 447
внутренние накрест лежащие углы 256
внутренний угол треугольника 208
внутренность окружности 445
внутренность двугранного угла 302
внутренность треугольника 84
внутренность угла 85
вписанная окружность 518
вписанный угол 462
вписанный четырехугольник 465
вторая теорема о минимуме 247
выпуклое множество 71
выпуклый многоугольник 530
выпуклый четырехугольник 270
высота пирамиды 558
высота призмы 552
высота треугольника 227
вычитания равенств правило 36
геометрические построения 510
гиперболическая геометрия 267
градусная мера дуги 460
грань двугранного угла 302
грань пирамиды 562
грань полупространства 74
грань призмы 555
график уравнения 430
график условия 428
двугранные углы вертикальные 302
двугранный угол 302
Дезарга теорема 307
616

действительное число
диагональ многоугольника
диагональ четырехугольника
диаметр
длина дуги окружности
длина окружности
длина отрезка
доказательство
доказательство от противного
дополнение
дополнительные углы
дуга большая
дуга, высекаемая углом
дуга меньшая
дуга окружности
дуга сектора
единицы объема аксиома
единицы площади аксиома
единственность
33
532
271
442
543
537
51
51
171
97
97
459
463
459
459
545
564
322
176
закон сложения
закон умножения
г/-координата
измерения углов аксиома
х-координата
интерполяция
Кавальери принцип
касательная внешняя
касательная внутренняя
касательная к окружности
касательная плоскость
касательный отрезок
катет
квадрат
квадратный корень
квадратура круга
кёнигсбергские мосты
коллинеарные
кольцо круговое
компланарные
конгруэнтности аксиома
конгруэнтность
конгруэнтность дуг
35
35
397
90
397
385
565
447
447
445
454
473
185
160
35
522
76
65
578
65
321
117
468
конгруэнтность окружностей 450
конгруэнтность отрезков 124
конгруэнтность тождественная 119
конгруэнтность треугольников 126
конгруэнтность углов 97
конкуррентные 499
концентрические 441
концы дуги 459
концы отрезка 51
координата 45
косинус 380
косой четырехугольник 307
котангенс 390
круг 540
круговое кольцо 578
круговой конус 573
круговой цилиндр 573
куб 556
лемма 237
масштабной линейки аксиома 45
медиана 161
медиатриса 180
медиатриса-плоскость 243
между 49
меньшая дуга ' 459
меньше (чем) 34
мера двугранного угла 304
мера угла 91
многоугольная область 319
многоугольник 529
многоугольника угол 530
многоугольник выпуклый 530
множество 27
наклон 406
натуральное число 32
начало координат 396
начало луча 52
неопределяемые понятия 20
неравенство 34
неравенство треугольника 222
неразрешимость классических задач па
построение 520
617

обратная теорема 219
обратная теорема о шарнире 225
общая внешняя касательная 479
общая внутренняя касательная 479
объединение множеств 29
объем кругового конуса 575
объем кругового цилиндра 575
объем параллелепипеда 564
объем пирамиды 568
объем,призмы 566
объем шара 579
окружность 441
окружность вписанная 518
окружность описанная 518
описанный четырехугольник 465
ордината 397
ортоцентр 502
основание пирамиды 558
основание призмы 552
основание равнобедренного
треугольника 149
основание треугольника 327
основания трапеции 284
острый угол 97
ось у 396
ось χ 396
отношение порядка 35
отношение эквивалентности 130
отношения тригонометрические 379
отрезок 51
отрицательное число 33
параллелепипед
параллелограмм
параллельности аксиома
параллельные плоскости
555
271
262
295
параллельные плоскости и прямые 295
параллельные прямые 253
пара упорядоченная 397
ПВН-теорема 262
первая· теорема о минимуме 221
пересекающиеся множества 27
пересечение множеств 27
периметр 530
перпендикуляр 96
перпендикулярность плоскостей 304
перпендикулярность прямой и
плоскости 235
перпендикулярность прямых 96
π 538
пирамида 558
Пифагора теорема 334
плоский угол двугранного угла 302
плоскость 20
площади аксиома 321
площадь круга 541
площадь многоугольной области 321
площадь сектора 545
площадь треугольника 327
подмножество 27
подобие 349
подъем отрезка 407
подъем (невертикальной) прямой 410
полуокружность 459
полуплоскость 72
полупространство 74
поперечное сечение 552
пополнения аксиома 92
пополнительные углы 92
построения геометрические 510
построения углов аксиома 91
построения циркулем и линейкой 508
правило вычитания равенств 36
правило сложения равенств 36
правило умножения равенств 36
правильная пирамида 563
правильный многоугольник 534
правильный октаэдр 570
призма 552
прикладывания линейки аксиома 48
принцип Кавальери 565
проекция прямой на плоскость 308
проекция множества на плоскость 310
проекция точки на· плоскость 308
пропорциональность 350
пропорция 350
пространство 63
противоположные лучи 52
противоположные стороны
четырехугольника 271
противоположные углы
четырехугольника 271
прямая 20
618

прямая вертикальная
прямая горизонтальная
прямая призма
прямой круговой конус
прямой круговой цилиндр
прямой угол
прямоугольник
прямоугольный треугольник
пустое множество
равенство
равнобедренный треугольник
равносторонний треугольник
равноугольный треугольник
радиус окружности
радиус сектора
радиус сферы
разбиения плоскости аксиома
разбиения пространства аксиома
разносторонний треугольник
расстояние
расстояние между параллельными
мыми
расстояние между плоскостью и
кой
расстояние между прямой и
кой
расстояния аксиома
расстояний формула
рациональное число
ребро двугранного угла
ребро полуплоскости
ребро призмы
Рело треугольник
ромб
сегмент
секанс
сектор
секущая окружности
секущая пары прямых
секущая сферы
секущий отрезок
середина отрезка
синус
260
260
552
573
573
96
160
185
29
27
149
149
150
441
545.
441
73
74
150
42
пря-
272
точ-
247
точ-
221
42
417
33
302
73
555
548
275
546
390
545
442
256
442
474
55
379
система координат в пространстве
система координат на плоскости
система координат на прямой
скрещивающиеся прямые
сложения дуг теорема
сложения площадей аксиома
сложения равенств правило
сложения углов аксиома
смежные углы
соответственные углы
399
398
45
253
461
322
36
92
92
260
соответствие между треугольниками 126
среднее арифметическое
среднее геометрическое
средняя линия трапеции
средняя линия треугольника
ССС-аксиом а
ССС-соответств ие
ССС-теорема о подобии
степень точки относительно окруж
ности
сторона двугранного угла
353
351
284
284
132
132
369
475
302
сторона, заключенная между углами 127
сторона многоугольника
сторона плоскости
сторона прямой
сторона треугольника
сторона угла
сторона четырехугольника
СУС-аксиома
СУ С-соответствие
СУС-теорема о подобии
СУУ-теорема
существование
сфера
тангенс
теорема
теорема Дезарга
теорема о вертикальных углах
теорема о внешнем угле
теорема о гипотенузе и катете
теорема о двух окружностях
530
73
72
84
83
160
132
131
368
212
176
441
380
20
307
102
208
213
509
теорема о конкуррентности
биссектрис
теорема о конкуррентности высот
теорема о конкуррентности медиан
504
501
[ 5С6
619

теорема
трис
теорема о
теорема о
теорема о
теорема о
МИДЫ
теорема о
мы
о конкуррентности
медиа -
500
медиатрисе 181
медиатрисе-плоскости 243
накрест лежащих углах 553
поперечных сечениях пира-
561
поперечных сечениях приз-
553
теорема о равнобедренном
прямоугольном треугольнике 339
теорема о равнобедренном
треугольнике 148
теорема о шарнире 225
теорема Пифагора 334
теорема сложения дуг 461
тетраэдр 70
тождественная конгруэнтность 119
топология 78
точка 20
точка касания 445
точка конкур рентности 499
транзитивность 35
трапеция 271
треугольная область 319
треугольная пирамида 70
треугольник 84
треугольник вписанный 518
треугольник описанный 518
треугольник прямоугольный 185
треугольник равнобедренный 149
треугольник равносторонний 149
треугольник равноугольный 150
треугольник разносторонний 150
треугольник Рело 548
тригонометрические отношения 379
тригонометрия 379
30—60—90-теорема 278
трисекция угла 521
тупой угол 97
угла биссектриса 146
угла вершина 83
угла внешность 85
угла внутренность 85
угла стороны 83
углов конгруэнтность 97
97
равнобедренного
угловой коэффициент прямой 410
углы вертикальные 101
углы дополнительные 97
углы накрест лежащие внутренние 256
углы при основании равнобедренного
треугольника 149
углы смежные 95
углы соответственные 260
угол 83
угол внешний 207
угол внутренний 208
угол вписанный 462
угол двугранный 302
угол, заключенный между
сторонами 127
угол многоугольника 530
угол, опирающийся на дугу 463
угол острый
угол при вершине
треугольника 149
угол прямой 96
угол треугольника 84
угол тупой . 97
угол центральный 458
удвоение куба 521
умножения закон 35
упорядоченная пара 397
уравнение прямой 432
уравнение прямой с подъемом 435
уравнение прямой с угловым
коэффициентом 435
усеченная пирамида 570
УСУ-аксиома 132
УСУ-соответствие 131
УУ-следствие 364
УУУ-теорема о подобии 362
формула расстояний 417
формула середины отрезка 420
характеризациопные теоремы 242
хорда окружности 442
хорда сферы 442
центральный угол 458
центр вписанной окружности 519
центр окружности 441
620

центр описанной окружности 519
центр сферы 441
центр тяжести треугольника 507
четверть (координатная) 397
четырехугольник 160
четырехугольник вписанный 465
четырехугольник косой 307
четырехугольник описанный 465
эквивалентности отношение 130
элехмент множества 27

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аристотель 599
Архимед 571
Бахман Ф. 600
Бейтли Р. 602
Беккенбах Э. 603
Биркгоф Дж. Д. 103, 602, 603, 604
Больцман Л. 597
Бойаи Ф. 596
Бойаи Я. 316, 597
Борель Э. 600
де Бройль Л. 597
Вебер Г. 597
Веблен О. 601
Вейль Г. 607—609
Вичура Г. 605
Гамильтон У. Р. 597
Гаусс К. Ф. 316, 597
Гейзенберг В. 597
Гиббс Дж. У. 597
Гильберт Д. 597—599, 607
Грассман Г. 597*
Декарт Р. 395, 400, 597, 599
Дьедонне Ж. 608
Евклид 22, 596
Кавальери Б. 565
Каган В. Ф. 597
Клейн Ф. 597, 598, 600, 601, 607
Колмогоров А. Н. 604
Кэли А. 604
Лейбниц Г. В. 597, 599
Лобачевский Н. И. 316, 597
Маклейн С. 604
Мур Р. Л. 601
Ньютон И. 597, 599
Папи Ж. 608, 609
Паш М. 596
Пеано Дж. 596, 598—600
Пиери М. 597—600, 607
Пифагор 335
Погорелов А. В. 604
Рело Ф. 548
Риман Б. 601
Сильвестр Дж. 601
Томсен Г. 600
Ферма П. 395, 400, 597, 599
Фрейденталь X. 598
Фреше М. 600, 601
Шоке Г. 608
Шрёдингер Э. 597
Шур Ф. 600
Эйлер Л. 77, 78
Эйнштейн А. 601, 607
Энрикес Ф. 600
Эратосфен 285—287

Эдвин Э. Моиз
Флойд Л. Дау«с
ГЕОМЕТРИЯ
Редактор Ю. А. Гастев
Художественный редактор Е. И. Карасик
Технический редактор Л Я. Медведев
Корректоры К. А. Иванова, Р. Б. Штутман

Сдано в набор 9/VI 1972 г. Подписано к печати
17/XI 1972 г. 60X907,6. Бумага дипографская № 2.
Печ. л. 39. Уч.-изд. л. 35,70. Тираж 40 000 экз.
Издательство «Просвещение» Государственного
комитета Совета Министров РСФСР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва,
3-й проезд Марьиной рощи. 41.
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская
типография № 1 «Печатный Двор» имени А. М.
Горького «Союзполиграфпрома» при Государственном
комитете Совета Министров СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли, Ленинград,
Гатчинская ул . 26.
Заказ № 23 Цена без переплета 96 к., переплет 21 к.