ACTUALITES SCIENTIFIQUES ET INDUSTRIELLES
1337
ELEMENTS DE MATHEMAT1QUE
par
N. BOURBAKI
Fascicule XXXIV
DEUXIEME PARTIE
OROUPES
ET ALGEBRES DE LIE
CHAPITRE IV
GROUPES DE COXETER ET SYSTEMES DE TITS
CHAPITRE V
CROUPES ENGENDRES PAR DES REFLEXIONS
CHAPITRE VI
SYSTEMES DE RACINES
HERMANN
115, Boulevard Saint-Germain, Paris VI
1968

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИКИ
Н. БУРБАКИ
ГРУППЫ
И АЛГЕБРЫ ЛИ
ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА
ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ
СИСТЕМЫ КОРНЕЙ
ПЕРЕВОД С ФРАНЦУЗСКОГО
А. И. КОСТРИКИНА и А. Н. ТЮРИНА
под редакцией
А. И. КОСТРИКИНА
ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР"
МОСКВА 1972

УДК 512; 519.46
2-2-3
Б-72
Книга входит в завоевавшую мировое при-
признание энциклопедию современной математики
„Элементы математики", созданную группой фран-
французских ученых, выступающих под коллективным
псевдонимом Н. Бурбаки. Ряд томов этой энци-
энциклопедии уже вышел в русском переводе и по-
получил заслуженно высокую оценку читателей.
Эта книга посвящена преимущественно груп-
группам, порожденным отражениями. Она содержит
обширный материал по теории групп Ли, их ди-
дискретных подгрупп, алгебраических н конечных
групп, алгебр Ли, теории представлений.
Книга предназначена для самого широкого
круга математиков различных специальностей, от
студентов до научных работников.
Редакция литературы по математическим наукам

ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Новая книга Н. Бурбаки „Группы и алгебры Ли",
относящаяся ко второй части его известного трактата „Эле-
„Элементы математики", выходит в свет разрозненными выпу-
выпусками. В 1960 г. была издана (а десять лет спустя переиздана)
глава I „Алгебры Ли", в которой изложены основы теории,
не касающиеся вопросов классификации простых алгебр Ли;
в русском переводе эта глава еще не появлялась. Главы II
и III пока не опубликованы.
При этих обстоятельствах перевод на русский язык изо-
изолированных глав IV—VI мог бы показаться несколько преж-
преждевременным. Все сомнения, однако, рассеиваются при самом
беглом ознакомлении с содержанием настоящего выпуска,
к которому вполне подошло бы общее название „Дискретные
группы, порожденные отражениями". В мировой математи-
математической литературе до сих пор не было связного и столь
исчерпывающего изложения этой увлекательной темы, пред-
представляющей значительный интерес для весьма широкого круга
математиков, да и не только математиков. Авторское введе-
введение и поучительный (хотя и неполный) исторический очерк
помогут даже неспециалисту воссоздать тот естественный
фон, на котором проходило становление и совершенствование
теории кристаллографических групп, систем корней, групп
Вейля, групп Кокстера, систем Титса (ВЛ/'-пар).
Насыщенная конкретными результатами, в том числе спра-
справочного характера, книга рассчитана на достаточно квали-
квалифицированного читателя. Но она целиком базируется на
материале ранее изданных (и имеющихся в русском переводе)
книг „Элементов математики". Во всяком случае, щепетиль-
щепетильность автора в соблюдении схемы логической зависимости
отдельных книг и глав трактата нашла здесь свое дополни-
дополнительное подтверждение.
А. Кострикин

ВВЕДЕНИЕ
Изучение полупростых групп (аналитических или алге-
алгебраических) и их алгебр Ли приводит к рассмотрению
структур систем корней, групп Кокстера и систем Титса.
Настоящие главы IV, V и VI как раз и посвящены этим
структурам.
Чтобы было понятно, о чем идет речь, приведем несколько
примеров.
I. Пусть (J — комплексная полупростая алгебра Ли и
I) — ее подалгебра Картана '). Корнем алгебры g относи-
относительно ^ называется ненулевая линейная форма а на Ij,
такая, что выполнено соотношение [h, x] = a(h)x для неко-
некоторого элемента х алгебры (\, отличного от нуля, и для
любого /ie|. Корни образуют в векторном пространстве §*,
дуальном к %, приведенную систему корней R. Задание R
определяет алгебру g с точностью до изоморфизма, и всякая
приведенная система корней изоморфна системе корней, полу-
полученной описанным способом. Автоморфизм алгебры д, оста-
оставляющий устойчивой подалгебру Ij, определяет автоморфизм
на §*, оставляющий инвариантной систему R, и таким образом
получается каждый автоморфизм этой системы. Группа Вейля
системы R состоит из автоморфизмов пространства $*, которые
определены внутренними автоморфизмами алгебры д, оста-
оставляющими устойчивой подалгебру lj. Эта группа является
группой Кокстера.
Пусть G—связная комплексная группа Ли с алгеброй Ли а,,
и пусть Г — подгруппа в I), состоящая из таких элементов h,
что ехроBш7г) = 1. Пусть Rv — система корней в f), дуальная
к R, Q(RV) — подгруппа в §, порожденная системой Rv,
и пусть P(RV) — подгруппа, которая ассоциирована с под-
подгруппой Q{R) в %*, порожденной R (т. е. множество h e f) та-
таких, что i(h) — целое число для каждого k<= Q{R)). Тогда
P{Ry)zD Г zd Q(RV). Далее, центр группы G канонически
') В этом Введении мы будем свободно пользоваться как тради-
традиционной терминологией, так и понятиями, определения которых появятся
только в настоящем выпуске.

ВВЕДЕНИЕ
изоморфен P(Rv)jr, а ее фундаментальная группа изо-
изоморфна T/Q(/?v). В частности, Г совпадает с />(/?v), если
G — присоединенная группа, и Г равна Q(/?v), если G одно-
связна. Наконец, веса конечномерных линейных представле-
представлений группы G суть элементы подгруппы $*, ассоциирован-
ассоциированной с Г.
II. Пусть G — вещественная связная компактная полу-
полупростая группа Ли и я — ее алгебра Ли. Пусть Г—максималь-
Г—максимальный тор в G с алгеброй Ли t и X — его группа характеров.
Пусть, далее, R—множество ненулевых элементов а группы X
таких, что (Ad t). x = a (t) х для какого-нибудь отличного от
нуля элемента х алгебры с( и любого (еГ. Отождествим X
с решеткой в вещественном векторном пространстве l/=X<g)z R.
Тогда R будет приведенной системой корней в V. Пусть
N — нормализатор тора Т в G. Действие N на Т определяет
изоморфизм группы N/T с группой Вейля системы /?. Имеем
P(R) гэ X :э Q(R), причем Х = Р(/?), когда G односвязна,
и X = Q(/?), когда центр G сводится к единичному элементу.
Комплексификация алгебры # есть полупростая алгебра
Ли д . и f(C) — ее подалгебра Картана. Существует канони-
канонический изоморфизм пространства 1/(С) на пространство, дуаль-
дуальное к t( , который переводит R в систему корней алгебры \\{С)
относительно t(c).
III. Пусть G—связная полупростая алгебраическая группа
над коммутативным полем к. Пусть Г—максимальный элемент
множества торов в G, разложимых над k, и X — группа
характеров Т (гомоморфизмов Т в мультипликативную группу).
Отождествим X с решеткой в вещественном векторном про-
пространстве l/ = X(g)zR. Корнями группы G относительно Т
являются ненулевые элементы а группы X, для каждого из
которых существует отличный от нуля элемент х алгебры
Лн я группы G такой, что (Ad t). x = a (t) x, какова бы ни
была точка t из Г. Таким образом мы получаем систему
корней R в V, которая, однако, не обязана быть приведенной.
Пусть W — нормализатор и Z — централизатор тора Т в G,
и пусть N (k) и Z{k) — их группы рациональных точек над k.
Действие N (к) на Т определяет изоморфизм группы N(k)/Z{k)
на группу Вейля системы R.
Пусть U — максимальный элемент множества унипотент-
ных подгрупп в G, определенных над k и нормализуемых Z.
Положим, P = Z.U. Имеем Р {k)=Z (k). U (k) и Р {k) |"| N (k) ==
= Z(k). Далее, существует базис (щ, ..., а„) системы R
такой, что весами тора Т в U будут положительные для этого
базиса корни системы R. Пусть S — множество элементов

ВВЕДЕНИЕ
группы N(k)jZ{k), которые соответствуют при определенном
выше изоморфизме симметриям sa.e W(R), ассоциированным
с корнями а,-. Тогда четверка (G (k), P(k), N(k), S) есть си-
система Титса.
IV. В теории алгебраических полупростых групп над ло-
локальным полем встречаются системы Титса, у которых группа W
есть аффинная группа Вейля системы корней. Пусть, напри-
например G = SL(n-(-l, Qp)(n^l). Пусть В — группа матриц
(a,-;)<= SL(n-f I, Zp), у которых au^pZp для i < j, и N —
подгруппа G, состоящая из матриц, у которых в каждом
столбце и каждой строке не более одного отличного от нуля
элемента. Тогда существует такое подмножество S группы
N.I(Bf)N), что четверка (G, В, N, S) будет системой Титса.
Группа W = Nj{B{\N) есть аффинная группа Вейля системы
корней типа Ап. Это — бесконечная группа Кокстера.
При написании этих трех глав неоценимую помощь ока-
оказали нам многочисленные беседы с Ж- Титсом. Мы друже-
дружески его благодарим.

Г Л А В А IV
ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА
§ 1. Группы Кокстера
Всюду в этом параграфе через W обозначается группа,
записываемая мультипликативно, с единичным элементом 1, и
через 5 — подмножество образующих группы W, такое, что
S = S~' и 1 ф. 5. Каждый элемент в W есть произведение
конечного числа элементов из 5. Начиная с п°3, предпола-
предполагается, что каждый элемент множества 5 имеет порядок 2..
/. Длина и приведенные разложения
Определение 1. Пусть w<=W. Наименьшее целое число
<7^0, такое, что w есть произведение q элементов из S,
называется длиной элемента w {относительно множества об-
образующих S) и обозначается через ls (w) или просто I (w).
Приведенным разложением элемента w {относительно S) на-
называется всякая последовательность s = (si, ..., sq)элементов
из S, для которой w = st ... sq и q — [(w).
Таким образом, 1 — единственный элемент длины 0, а 5
состоит из элементов длины 1.
Предложение 1. Для любых двух элементов w и w' из W
имеют место соотношения
A)
B)
C)
Пусть Ei> •••> sp) и (s'v •••' ^ — приведенные разложе-
разложения w и w' соответственно. Тогда l{w) = p, l(w') = q, и по-
поскольку ww' = si ... s^ ... 5^, то / (wwr) s^ p + q, что дает
неравенство A). Так как 5 = S~' и w~l = s^ ... вГ'> то
l(l)l() З l
р () ^
l(w~l)^p = l(w). Заменяя w на w~l, получаем обратное
неравенство, откуда следует
и B), получаем соотношения
обр
неравенство, откуда следует B). Заменяя w на ww'~ в A)
B)
D)
E)

§ 1. ГРУППЫ КОКСТЕРА
меняя местами w и w' в D) и применяя E), получаем l(w') —
— l(w)^.l(wwf~ ). Отсюда вытекает неравенство C).
Следствие. Пусть s = (s,, ..., s ) и s' = (s{, ..., s') —
¦две последовательности элементов из S, w = Sj ... sp и ш' =
= s[ ... s'. ?сли последовательность (sp ..., s , s,, ..., s')
является приведенным разложением элемента ww', то s будет
приведенным разложением w и s' — приведенным разложе-
разложением w[.
По предположению l(w)^.p, l(w')^q и l(ww') = p -\~ q,
поэтому в силу A) l(w) = p и l{w') = q, откуда и вытекает
утверждение следствия.
Замечание. Формула d(w, wf) = l(ww'~}) определяет рас-
расстояние d на W. Соотношения A) и B) показывают, что оно
инвариантно относительно правых переносов.
2. Диэдральные группы
Определение 2. Диэдральной группой (или группой ди-
диэдра) называется всякая группа с двумя различными обра-
образующими порядка 2.
Пример. Пусть М — мультипликативная группа {1,-1} и
и m — целое число ^2 (соотв. т=оо). Заставим М дей-
действовать на Z/mZ (соотв. на Z), полагая (— 1). х = — х, и
обозначим через Dm связанное с этим действием полу-
полупрямое произведение М на Z/mZ (соотв. М на Z). Элемен-
Элементами Dm будут пары (е, х), где 8= ± 1 и xeZ/mZ (соотв.
igZ). Групповой закон в Dm задается формулой
(е, х).(е', *') = («$', г'х + xf). F)
Обозначим через i класс 1 по модулю m (соотв. i = 1) и
положим
р = (-1, 0), р' = (-1, О, я = A, i); G)
тогда р2 = р' =1 и я —рр'. Формулы
я" = A, т), ряга==(—1, т) (8)
показывают, что Dm — группа диэдра, порожденная мно-
множеством {р, р'}.
Предложение 2. Предположим, что S состоит из двух
различных элементов s и s' порядка 2.
({} Подгруппа PczW с образующей р — ss' нормальна
в W и W является полупрямым произведением подгрупп
r = {l,s} и Р, причем (W:P) = 2.
(ii) Пусть m — порядок (конечный или бесконечный) эле-
элемента р. Тогда ш^2 и W имеет порядок 2пг. Существует

12 ГЛ. IV. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА 2
единственный изоморфизм ф группы Dm на W, такой, что
Ф (р) = s и ф (рО = s'.
(i) Имеем sps~1 =sssrs — s's = p~\ откуда
sp«s-I=p-rt (9)
для любого целого числа п. Группа W порождается парой
{s, s'}, а также парой {s, р), так что Р—нормальная под-
подгруппа в W. Следовательно, ТР — подгруппа в W, a так как
она содержит s и s' — sp, то W = ТР = Р \j sP. Поэт.ому для
доказательства (i) достаточно убедиться в том, что W Ф Р.
Если бы W—P, то W была бы коммутативна, откуда
p2 = s2s' =1. Группа W = P содержала бы только два эле-
элемента 1 и р, вопреки предположению, что в W имеются по
крайней мере три элемента 1, s и s'.
(ii) Так как Бфз', то рф\, откуда т^2. Поскольку Р
имеет порядок m и {W '. Р) = 2, порядок W равен 2т. Если
т конечно (соотв. бесконечно), то существует изоморфизм ф'
группы Z/mZ (соотв. Z) на Р, переводящий л в р. Далее
существует изоморфизм ф' группы /И = {1, —1} на Т, пере-
переводящий — 1 в s. Группа W является полупрямым произве-
произведением Т и Р. Формула (9) и соотношение pjinp-'= я-"
позволяют построить из ф' и ф" такой изоморфизм ф группы
Dm на W, что ф(р) = я и ф(л) = р, откуда ф(р') = 5'. Един-
Единственность ф следует из того, что Dm порождается {р, р'}_
Замечание. Рассмотрим диэдральную группу W порядка 2т,
порожденную двумя различными элементами s и s' по-
порядка 2. Обозначим через sq (соотв. s'q) последовательность
длины q, четными (соотв. нечетными) членами которой
являются s', а нечетными (соотв. четными) — s. Пусть wq
(соотв. w'q) — произведение элементов последовательности sq
(соотв. s'q). Имеем
w2k = (ss')k, w2k+l = (ss')k s,
w'2k = {s's)k = (ssTk, w'2k+l = (s'sf s' = (ssTk~l s.
Если s = (S),..., sq) — приведенное разложение (относительно
{s, s'}) элемента aief, то, очевидно, 31фз{+1 для 1^/^
^9—!• Следовательно, s = sq или s = s'q.
В случае т=оо элементы (ss')n и (ss')ns для neZ все
различны. Следовательно, элементы wq(q^0) и w'q(q>0)
все различны, и если «—приведенное разложение wq (соотв. w'q),
то с необходимостью будет s = sq (соотв. s = s'q). Отсюда
следует, что l(wq) = l{wq) = q и что множество приведенных
разложений элементов группы W совпадает с множеством
последовательностей sq и s'q. Кроме того, каждый элемент
из W допускает единственное приведенное разложение.

§, 1. ГРУППЫ КОКСТЕРА 13
Пусть теперь т конечно. Если q~^2m, то wq = wq-.2m. и
w'q = w'q-2m. Если т < q < 2т, то ш<, = w'2m-q, w'q = ау2т-?.
Следовательно, при q > m ни s^, ни s'q не являются приве-
приведенными разложениями. Отсюда вытекает, что все 2т эле-
элементов группы W содержатся среди элементов шо = w'q, wq,
и w'q для 1 < g < m —- 1 и wm — w'm. Таким образом, эти
2т элементов различны и из вышесказанного следует, что
l(wq) — l(w'q) — q для q^.m и что множество приведенных
разложений элементов группы W совпадает с множеством
последовательностей sq и sq для O^q ^.m. Каждый элемент
группы W, отличный от wm, допускает единственное приве-
приведенное разложение. Элемент wm допускает два таких разло-
разложения.
3. Основные свойства групп Кокстера
Напомним, что начиная с этого места мы предполагаем,
что все элементы из S имеют порядок 2.
Определение 3. Пара (W, S) называется системой Кок-
Кокстера, если выполнено следующее условие:
(К) Для любых двух элементов s и s' из S обозначим
через m (s, s') порядок элемента ss'. Пусть I — множество
пар (s, s'), для которых m (s, s') конечно. Тогда система
образующих S вместе с соотношениями (ss')m (s' s' = 1 для
(s, s')e/ будет заданием группы W образующими и опре-
определяющими соотношениями ').
В случае когда (W, S) — система Кокстера, то, допуская
вольность речи, говорят также, что W — группа Кокстера.
Примеры. 1) Пусть m — целое число ^ 2 или оо и
W — группа, определенная множеством образующих S=(s, s')
и определяющими соотношениями s2 = s/2 = l, когда т = оо,
или же s2 = s' =(ss')m = l, когда m конечно. Далее, рас-
рассмотрим группу диэдра Dn (n°2, пример) и элементы р и р'
в Dm, определенные равенством G). Поскольку р? = р' =1
и (рр')т = 1, когда т конечно, то существует однозначно
!) Это означает, что пара (W, S) удовлетворяет следующему условию
универсальности: каковы бы ни были группа О и вложение f множества 5
в G, такое, что (f (s), f (s'))m's> s '= 1 для (s, s') из /, найдется гомо-
гомоморфизм g группы W в О, продолжающий f. Этот гомоморфизм единствен,
поскольку 5 порождает W. Эквивалентная форма нашего определения
заключается в следующем. Пусть W — группа, f — гомоморфизм W на W
и h — отображение S в W, такое, что f(h(s)) = s, {h(s) h(s'))m{Sl s'} = 1
для (s, s') кз I и образы h(s) (для seS) порождают W. Тогда / —
ииъективное отображение (и тем самым изоморфизм W на W).

14 ГЛ. IV. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСЛ 3
определенный гомоморфизм f группы W на Dm, такой, что
f(s) = p и f(s') = P'- Так как рр' имеет порядок т, то ss'
тоже имеет порядок т. Следовательно, {W, S) — система
Кокстера, W — диэдральная группа порядка 2т и / — изо-
изоморфизм (предложение 2).
Путем перенесения структуры получается, что каждая
группа диэдра является группой Кокстера.
2) Пусть <Зге — симметрическая группа степении п, п^,
si — транспозиция i и / + 1 для 1 <[/< я, HnycTbS = {Sb ••¦> sn— J.
Можно показать (§ 2, п° 4, пример и § 1, упр. 4), что Eга, 5) — си-
система Кокстера.
3) Классификация конечных групп Кокстера приведена в § 4
гл. VI.
Замечание. Пусть (W, S) — система Кокстера. Существует гомо-
гомоморфизм е группы W в группу {I, —1}, характеризующийся тем, что
е (s) = — 1 для всех s e S. Число е (w) называется сигнатурой эле-
элемента ш; оно равно (—1)''ш\ Следовательно, формула е (»»') =
= е (w). e (до') выражается сравнением / (ww')=l (w) + I (w ) mod 2.
Предложение 3. Предположим, что (W, S) — система Кок-
Кокстера. Для того чтобы два элемента s и sr из S были сопря-
сопряжены ') в W, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
следующее условие:
{{) Существует такая конечная последовательность (s1; ..., sq)
элементов из S, что sl=s, sq=s' и SjS!+l имеет конечный
нечетный порядок для 1 ^ / < q.
Пусть s и s' из S таковы, что порядок р = ss' равен
2п-\-\. В силу равенства (9) имеем sp~n = pns, откуда
pnSp-n=zpnpis = p-ls = s'ss = s', A0)
и s' сопряжен с s.
Для любого s из S пусть As—множество элементов s' e S,
удовлетворяющих условию (I). Согласно этому условию и
только что сделанному замечанию, элементы s;- и s/+i,
\ ^ / < q, сопряжены, откуда следует, что все элементы s'
яз As сопряжены с s. Пусть / — отображение S в М={1, —1},
равное 1 на As и — 1 на S — As. Пусть элементы s' и s" из 5
таковы, что s's" имеет конечный порядок т. В случае когда
s' и s" оба лежат в As или в S — As, имеем f (s') f {s") = 1.
В противном случае f (s') f (s") = — 1; но m четно, так что
во всех случаях (f (s') f (s"))m = 1. Поскольку (W, S) — система
Кокстера, существует гомоморфизм g группы W в М, инду-
') Напомним, что два элемента (соотв. два подмножества) группы W
называются сопряженными, если существует внутренний автоморфизм W,
переводящий один элемент в другой (соотв. одно подмножество
в другое).

§ 'I. ГРУППЫ КОКСТЕРА 15
цирующий / на S. Если s' сопряжен с s, то принадлеж-
принадлежность s ядру g влечет принадлежность s' этому же ядру.
Значит, / (s') = g (sr) = 1 и тем самым s' <= As. Ч. Т. Д.
4. Приведенные разложения в группе Кокстера
Пусть (W', S) — система Кокстера и Г — множество сопря-
сопряженных с элементами из S элементов группы W. Для любой
конечной последовательности s = (sl, ..., sq) элементов из S
обозначим через Ф(«) последовательность {tx, ..,, tq) элемен-
элементов из Т, определенных формулой
t{ = (sl ... s/_I)«/(si ••• s/-,)"', l</<?. A1)
Тогда tl=si я s{ ... s9 = tqtq-x ... tt. Для каждого элемента
/еГ обозначим через n(s, t) число индексов /, таких, что
^ и tj=t в <P(s). Наконец, положим
Лемма 1. (i) Пусть w<=W и t^T. Функция (s, t)>—>
i—>(—i)ra(Si" имеет одно и то же значение r\(w, t) для всех
последовательностей s — (s, sq) элементов из S, таких,
что w = sl ... sq.
(ii) Для w^W пусть Uw — отображение R в себя, опре-
определенное формулой
Uw(e, t) = (B.r\(w-1, t), wtw~l) (е=±1,/еГ). A2)
Отображение w *—>¦ Uw является гомоморфизмом группы W
в группу перестановок множества R.
Для sgS определим отображение Us множества R
в себя формулой
U.(в, 0 = (е.(-1)в».*, sts-1) (в=±1,<еГ), A3)
где 6Stt — символ Кронекера. Легко видеть, что и2э =
а это показывает, что Us является перестановкой на R.
Пусть s = (su ..., sq) — последовательность элементов
из S. Положим w =:sq ... s, и Us = Us ...Us. Индукцией
no q мы хотим показать, что
U.{s, 0 = (e.(—lf(s> °, wtw-1). A4)
Это очевидно для ^==0, 1. Если q>\, то положим
«' = ($„ .... s,_,) и

ГЛ. IV. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА
Используя предположение индукции, получаем
Us{e, t) = Usq{z- (—l)n<*' t] w'tw'~l) =
==^e.(—1) V , wtw l).
Однако Ф(«) —(Ф(«')> w'^SqW') nn(s, t) = n{s', t) + 6w,-is w, t,
откуда и следует формула A4).
Пусть s, s'sS таковы, что p = ss' имеет конечный по-
порядок т. Пусть s = (su .... s2m) — последовательность эле-
элементов из S, в которой Sj = s для нечетных / и Sj = s' для
четных /. Тогда S2m...s, = p~m= 1, и формула A1) дает
tl = pi-is, 1</<2т. A5)
Поскольку р имеет порядок т, все элементы tlt ..., tm раз-
различны и tl+n = t/ для 1</<т. Для каждого /еГ целое
число n(s, t) равно поэтому 0 или 2, и равенство A4) пока-
показывает, что t/s = Idj?. Иначе говоря, (UsUS')m = IdR. По са-
самому определению системы Кокстера существует, следова-
следовательно, гомоморфизм w 1—5- Uw группы W в группу переста-
перестановок на R, при котором Us задается правой частью
формулы A3). Тогда Uw — Us для любой последовательности
s = (su .... sq), такой, что w = sq ... s,, и утверждения
леммы 1 сразу следуют из равенства A4).
Лемма 2. Пусть s = (s1, ..., sq), Ф(«) = (?,, ..., tq) и
w = Si ... sq. Пусть Tw — множество элементов te^T, для
которых r\(w, t) = — 1. Для того чтобы s было приведенным
разложением ш, необходимо и достаточно, чтобы все tt были
различны. Тогда Tw — {tx tq) и Card (Tw) — l(w).
Как легко видеть, Twcz{tl, ..., tq). Взяв s приведенным,
находим сначала, что Card Tw^.l(w). Далее, если tt все
различны, то n(s, t)=l в случае, когда t принадлежит по-
последовательности {tu ..., tq) и n(s, t) — 0 в противном случае.
Отсюда Tw — {tu ..., tq) и q = Card (Г^Х / (ш), что влечет
приведенность s. Предположим, наконец, что ti-=ti при
i < /. Представляя s,- в виде s,-= ««/«"', где u = si+i ... s;-_lf
получаем
а это означает, что * не является приведенным разложе-
разложением элемента ш.
Лемма 3. Пусть w^W и sgS, причем t(sw)^l(w).
Для любой последовательности s = (su ..., sq) элементов
из S с w = S[ ... sq существует /, 1 ^ / ^ q, для которого
SSj . . . Sj — i == S[ . . • Sj — iSj.

§ Г. ГРУППЫ КОКСТЕРА 17
Пусть р — длина w и w' — sw. Ввиду замечания в п°3
l(w')^l{w) + Imod2. Из условия l{wf)^.l(w) и соотношения
| / (w) -1 {w') К / (шда/Ч) = / (s) = 1
следует тогда, что l{w') = p— 1. Выберем приведенное раз-
разложение
(si, .... s,-i)
элемента w' и положим s' = (s, s', ..., s'p-\) и Ф(«') =
= (<!, ..., tp). Ясно, что «' — приведенное разложение w и
что <i = s. В силу леммы 2 элементы t\, . .., t'p все различны,
и мы имеем n(s', s)= 1. Так как w — произведение элементов
последовательности s, то из леммы 1 вытекает, что n{s, s)s3
==n(s', s) mod 2, откуда n(s, s)=?0. Следовательно, s равно
одному из элементов tj последовательности Ф(«), откуда и
следует утверждение леммы.
Замечание. Множество Tw, определенное в лемме 2, со-
состоит из элементов w"sw"~l, соответствующих тройкам
¦(a/, w", s) e= W X W X 5, таким, что w = w"sw' и l{w') +
+ l{w")+l=l(w).
5. Условие замены
Под „условием замены" понимается следующее утвер-
утверждение о (W, S):
C) Пусть w^W, s^S и I(sw)</(ш). Для всякого при-
приведенного разложения (sj, ..., sq) элемента w существует
такой индекс /, 1 <! / ^ q, что
SS, ... Sj^^Si ... Sj^Sj. A6)
В этом пункте предполагается, что {W, S) удовлетворяет
условию C); таковыми являются по лемме 3 системы Кок-
стера, к которым применимы, следовательно, все наши ре-
результаты.
Предложение 4. Пусть se5, w^.W и s — (su ..., sq) —
приведенное разложение для w. Возможны только два случая:
а) l(sw=l(w)+l и (s, su ..., sq) — приведенное разло-
разложение элемента sw.
б) /(sw) = /(ш) — 1 и существует индекс j, l^j^q,
такой, что
(Sj, . . ., Sj-i, Sj+U . . ., Sq)
будет приведенным разложением элемента sw, а последова-
последовательность (s, s, S/_j, sj+u ..., sq)— приведенным раз-
разложением w.
Положим w' = sw. Согласно формуле C) п° 1,

18
ГЛ. IV. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА
Рассмотрим отдельно два случая:
а) l{w') > l{w). Стало быть, I (да') = q + 1 и w'— s$\... sq,
так что
(s, slt ..., sq)
— приведенное разложение w''.
б) l(w')^l(w). По свойству C) тогда найдется индекс /,
l?, для которого выполнено равенство A6). Имеем
.. sq, откуда
Sq.
Так как q
Sf+i, ..., sv)
Лемма 4
жество его
в некоторое
КОЛЬ СКОрО
множества
условий:
а) si = Si
б) для j
в S, ЧТО Sj
Тогда F
— 1
то l(w') = q— 1 и (s,,
/
о/
— приведенное разложение для
Пусть w^W — элемент длины q^l, D — мно-
мноприведенных разложений и F — отображение D
множество Е. Предположим, что F{s) = F (s'),
S = (Slt . . ., Sq) U в' = (s\, ..., Sq) — ЭЛвМвНТЫ
D, удовлетворяющие одному из следующих
или sq — s'q;
нечетного и k четного существуют такие s и sr
= Sk = S U Sk = s'j = S'.
постоянно.
= (s'u su ..., s^-i). Покажем,
и F {t) ф F (s). В самом деле,.
... s'q имеет длину < q. Со-
Со1 ^ й
А) Для s, s'efl положим t
что если F(s)^ F(s'), то <еД
w = s'i ... s'q, значит, s\w = s'2 q у
гласно предложению 4, существует индекс /, 1 ^/^<7> такой,
что последовательность u = (s'v sv ..., s,v s/+1, .... sqy
принадлежит D. Условие а) дает тогда F (и) = F (s'). Если бы
j?^q, то по тем же соображениям F(s) = F(u), откуда
F(s) = F(s'), вопреки предположению. Значит, } = q, откуда
t = u^-.D и F(/) = F(s')?=/'(s).
Б) Пусть s и s' — элементы в D. Для любого целого
числа /, 0<[/<;<7, определим последовательность Sj из q
элементов множества 5 следующим образом:
S0 = (Sp
«1 = (Si,
-fe=(sl
для q
i-* = K
для о —
....•,).
•... s,),
Л j, . • ¦ , Op
— k четного
с с
• si sv
k нечетного
Sp S,
и 1 s=
s[, s,
и Is
s2, .
s2, .
«7
sk)

§ 1. ГРУППЫ КОКСТЕРЛ 19
Обозначим символом (Ну) утверждение „s; e D, s/+,ei)
и F(si)?=F(8i+i)u. Из (А) следует, что (Н,) => (Н/+1) для
О ^ / < q; но условие б) противоречит утверждению (Н?).
Следовательно, утверждение (Но) несправедливо, и так как
s0 = s' и s, == s, то F(s) = F («').
Предложение 5. Пусть М — моноид (с единичным эле-
элементом 1) и f — отображение S в М. Пусть m(s, s') — поря-
порядок произведения ss' для любых двух элементов s и s' из S.
Положим
a{s, s') =
(f (s) f (s')I, когда m (s, s') = 2/, / конечно,
(f{s)f(s'))lf(s), когда m(s, s') = 21 + 1, l конечно, A8)
1, когда m(s, s/)=oo.
Если a(s, sr) = a(s', s) для всех s^s' из S, то существует
отображение g группы W в М, такое, что
g{w) = f(Sl)...f(S<l) A9)
для любого элемента tuef и любого его приведенного
разложения (si sq).
Пусть Dw—множество приведенных разложений произ-
произвольного элемента w е W и Fw — отображение Dw в М,
определенное соотношением
Fw(su ..., sq) = f(sl) ... f(sq).
Докажем индукцией по длине элемента w, что Fw постоянно,
откуда будет следовать утверждение предложения 5. Случаи
l(w) — 0, 1 тривиальны, и мы предположим, что ^2и что
утверждение доказано для всех элементов w с l(w)<.q.
Пусть длина w равна q и s, sf — элементы из Dw. Согласно
лемме 4, достаточно доказать, что Fw (s) = Fw (sf) при усло-
условиях а) и б), сформулированных в этой лемме.
а) Из формулы
FW{S] S(,) = /(Sl)/7a,''(S2l ..-, Sq)=Fw'(si, ..., Sq-i)f(sq)
для wf-=Si ...sQ-1 и w" — s2..-sq и из предположения
индукции следует, что Fw (s) = Fw (s'O если sl=s'1 или
s, = <-
б) Пусть существуют такие два элемента s, s' e S, что
Si = s'k = s, sk — s'i = s' для нечетного / и четного k. Доста-
Достаточно обсудить только случай s ф s'. В этом случае после-
последовательности s и s' будут двумя различными приведенными

20 ГЛ. IV ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА в
разложениями w в диэдральной группе, порожденной s и s'.
В соответствии с замечанием из п° 2 порядок т элемента ssr
обязательно конечен и в обозначениях этого замечания s — sm
и s' = s^. Следовательно, Fw(s) = a(s, s') и F (s') = a(s' s,),.
откуда
6. Характеризация групп Кокстера
Теорема 1. Для того чтобы пара (W, S) была системой
Кокстера, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
условие замены C) из п° 5.
Лемма 3 из п° 4 показывает, что системы Кокстера удо-
удовлетворяют условию C).
Обратно, предположим, что условие C) выполнено.
Пусть G — группа и f — отображение S в G, для которого
(/ (s) f (s'))m = 1 всякий раз, когда s, s' e 5 и ss' имеет
конечный порядок ш. Из предложения 5 следует существо-
существование отображения g группы W в G, такого, что
g(w) = f(Sl) ...f(sq), B0)
каков бы ни был элемент w = s, ... sq длины q. Для того
чтобы доказать, что пара (W, S) является системой Кокстера,
достаточно убедиться в том, что g — гомоморфизм, а это
следует из формулы
g(sw) = f(s)g(w) seS, w<=W, B1)
поскольку 5 порождает W. Предложение 4 из п°5 оставляет
только две возможности:
а) l{sw) = l(w)+\; если (su ..., 5„) — приведенное раз-
разложение w, то (s, s,, .... sq) — приведенное разложение
элемента sw, откуда и следует B1).
б) l{sw) = l(w)—1; положим w' = sw. Тогда w=sw' и
l{sw') = l{w') + 1. Поэтому из а) следует, что g(w) —
= f(s)g(sw), откуда f{s)g(w) = g{sw), ибо (f(s)J=l.
7. Семейства разбиений
Пусть (W, S) — система Кокстера. Для любого s из S
обозначим через Ps множество элементов w e W, таких, что
l(sw)> l(w). Тогда имеют место следующие утверждения:
(А) Л ^ = {1)-

1.- ГРУППЫ КОКСТЕРА 21
Действительно, пусть w ф 1 в W и (s,, .... sq) — при-
приведенное разложение. Тогда i?>t и (s2, ..., sq) — приведен-
приведенное разложение элемента stw. Поэтому l(w) = q, /(S[K>) =
= q—1 и тем самым w ф PSt.
(Б) Для любого s из S множества Ps и sPs образуют
разбиение группы W.
Пусть itielf и s <= S. Ввиду предложения 4 из п°5
следует различать только два случая:
а) l(sw) = l(w) + 1. Тогда w ^ Ps.
б) / (его) = / (ш)—1. Положим го'= его или, что то же
самое, w==sw'. Имеем
поэтому ai'ePs и тем самым w e sPs.
(В) Пусть s и s' — два элемента из S и w elf'.
aiG^a tos' ^ Ps, го его = шв'.
Пусть q — длина да. Так как w^P, то /(sk)) = <7 + 1;
так как ws' ф Ps, то / (sws') = / (jos') — 1 ^ q, а поскольку
l(swsr) = l(sw)±\, мы приходим к заключению, что l(ws') —
— q + 1 и / (soys') = q.
Пусть (si, ..., s9) — приведенное разложение w и s9+I = s'.
Тогда (s,, ..., sq, sq+l) — приведенное разложение эле-
элемента ays' длины q-\-\. Согласно условию замены, суще-
существует индекс /, 1 ^ / ^ <7 + 1. для которого
ss^ ... sl^l = s] ... s,. B2)
Если бы 1^/^<7, то равенство sw = Sx ... Sj-^Sj+l ... sq
противоречило бы соотношению l(sw) = q-\-l. Значит^
/" = G + 1 и формула B2) принимает вид sw = ws'.
Обратно, имеет место следующий результат:
Предложение 6. Пусть (PS)SE.S — семейство подмножеств
группы W, удовлетворяющих (В) и двум следующим усло-
условиям:
(А') 1 е Ps для всякого sgS.
(Б') При всех seS множества Ps и sPs не пересекаются.
Тогда (W, S) является системой Кокстера и Ps состоит
из элементов w e W, для которых I (sw) > / (w).
Пусть s e S и w e W. Возможны два случая:
a) w ф Ps. Пусть тогда (s,, ..., sq) — приведенное раз-
разложение W И

22 ГЛ. IV. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА
для 1^/^G. Положим, кроме того, wo=l. Так как woe=Ps
по условию (А') и w = wq не принадлежит Ps, то существует
индекс /, 1^/^<7, такой, что w;-_sев Ps, a Wj — Wj^S] не
принадлежит Ps. Из условия (В) получаем тогда
Таким образом, мы доказали формулу
откуда следует, что sw = s1 ... S/-iS/+i ... sq и l{sw)<l{w).
б) aiePj. Пусть w' = sw и тем самым ввиду условия (Б')
т'фР8. Тогда, согласно (a), l{sw')<.l{w'), или, что равно-
равносильно, l{w) < /(say).
Сравнение случаев а) и б) показывает, что Ps состоит
из тех w ен W, для которых l(sw)> I (w). Условие замены
следует из рассуждений, использованных в случае а), поэтому
{'У, S) — система Кокстера (теорема 1 из п° 6).
8. Подгруппы групп Кокстера
В этом пункте предполагается, что {W, S) — система
Кокстера. Для любого подмножества X множества 5 обо-
обозначим через Wx подгруппу в W, порожденную X.
Предложение 7. Пусть w — элемент из W. Существует
подмножество Sm cz S, такое, что {su ..., sq} = Sw для
любого приведенного разложения (s{, ..., s^) элемента w.
Обозначим через М моноид, составленный из под-
подмножеств множества S, с законом композиции (А, В)*—> А{] В.
Единичным элементом в М будет 0. Положим f(s) = {s}
для seS. Применим к М и f предложение 5 из п°5. Тогда
a(s, s') = {s, s'}, если s, sf ен 5 и m(s, s') конечно. Значит,
существует отображение g: w>-^Sw группы W в М, такое,
что g (w) = f (s{) U ... Uf(sq). Иначе говоря, Sw = {slt...,sq}
для w e W и любого приведенного разложения (su ..., sq)
элемента w.
Следствие 1. Для любого подмножества X cz S под-
подгруппа Wx группы W состоит из элементов w таких, что
Если w = s{ ... sq, где su ..., sq — элементы из 5, то
w~l = sq ... s, и, значит,
S»-' = Sw. B3)

8 § 1. ГРУППЫ КОКСТЕРА 23'
Предложение 4 из п°5 показывает, что SSW' cr {s} \j Sw' для
s ^ S и w' e W. Отсюда индукцией по длине w получаем
Оэдщ/ CZ Ода U Ощ/.
Из соотношений B3) и B4) следует, что множество U тех
w e= W, для которых Sw cz X, является подгруппой в W..
Итак, XczUc=.Wx, откуда G = W х.
Следствие 2. Для любого подмножества X <zzS
WX[\S = X.
Это вытекает из следствия 1 и формулы 5S = {s} для s ^ S.
Следствие 3. Множество S является минимальным мно-
множеством образующих группы W.
Если X cr S порождает W, то W = Wх и в силу след-
следствия 2 X = Sr\Wx = S.
Следствие 4. Для всякого подмножества X cr 5 длина
любого элемента w e 1FX относительно системы образую-
образующих X группы Wx равна ls(w).
Пусть (sb ..., sq) — приведенное разложение w как эле-
элемента из W. Тогда w = Sj ... sq H.s(eJ[ для 1^/^<7
(следствие 1). Кроме того, по определению q = ls(w) эле-
элемент w не может быть произведением qr <q элементов
из XaS.
Теорема 2. (i) Для любого подмножества X czS пара
{Wx, X) является системой Кокстера.
(И) Пусть (Xt)t e; — семейство подмножеств в S. Если
X = f]X{, то Wx=()Wxr
(iii) Пусть X и Xf — два подмножества в S. Тогда
Wx^-Wx' (соотв. Wx = WX') в том и только том случае,
если ХаХ' (соотв. X = X').
Каждый элемент множества X имеет порядок 2, и
X порождает Wх. Пусть xgI, w^Wx и lx(xw)^lx(w) = q.
Тогда из следствия 4 предложения 7 вытекает, что
ls (хш) < ls (w) — q.
Пусть хи ..., xq — элементы из X, такие, что w = x{ ... xq.
Так как {W, S) удовлетворяет условию замены (тео-
(теорема 1 п°6), то существует индекс /, 1^/^д, для которого
ххх ... Xj-l — xl ...xj-iXj. Следовательно, пара (Wx, X)

24 ГЛ. IV. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА 9
удовлетворяет условию замены и является системой Кокстера
(теорема 1 п°6). Тем самым доказано (i).
Утверждения (и) и (ш) получаются непосредственно при
помощи следствия 1 предложения 7.
9. Матрицы и графы Кокстера
Определение 4. Пусть I — некоторое множество. Матри-
Матрицей Кокстера типа I называется всякая симметрическая
квадратная матрица M = (mtt){ js], элементы которой —
целые числа или же символ + оо, удовлетворяющие соотно-
соотношениям
гпп = 1 для всех i e /; B5)
т.ц > 2 для i, j е= /, 1Ф /. B6)
Назовем (допуская вольность речи) графом Кокстера
типа I пару, состоящую из графа') Г, у которого I — мно-
множество вершин, и отображения f множества ребер этого
графа в множество, состоящее из символа -\- оо и целых
чисел ^3. Будем говорить, что Г — граф, подчиненный графу
Кокстера (Г, /).
Каждой матрице Кокстера М типа / следующим образом
сопоставляется граф Кокстера (Г, f):
граф Г имеет в качестве множества вершин /, а в качестве
ребер — пары {г, /} из /, для которых mtj ^ 3. Отображение f
сопоставляет ребру {i, /} элемент пг^ матрицы М.
Очевидно, что таким образом устанавливается биективное
соответствие между множеством матриц Кокстера типа / и
множеством графов Кокстера типа /.
Для простоты восприятия граф Кокстера типа / зачастую пред-
представляют схемой, изображающей подчиненный граф, приписывая
еще над каждым (или рядом с каждым) ребром {/, /} число / ({/, ;}).
Обычно опускают приписывание тех из этих чисел, которые равны 3.
Если {W, S) — система Кокстера, то матрица М —
= (m(s, s'))s>s/eS, где m(s, s') — порядок элемента ss',
является матрицей Кокстера типа S, называемой матрицей
системы (W, S). Действительно, m(s, s)—l, поскольку s2=l
для всех s e S, и m(s, s') = m (s', s) ^ 2 в случае s Ф sr,
поскольку ss' = (s's)~i Ф 1. Граф Кокстера (Г, f), ассоции-
ассоциированный с матрицей М, называется графом Кокстера си-
системы (W, S). Заметим, что две вершины s и s' графа Г
') Определение и используемые здесь свойства графов даны в До-
Дополнении.

ГРУППЫ КОКСТЕРА 25
соединены тогда и только тогда, когда 5 и s' не коммути-
коммутируют. Например, матрицей Кокстера диэдральной группы
/1 т\
порядка 2т является I ( 1, а ее граф Кокстера изобра-
изображается схемой
т.
о—*—
когда т ^ 3 (или
когда т = 3), и
когда т = 2.
* Граф Кокстера симметрической группы Sn изобра-
изображается схемой
(п — 1 вершин). *
Позже (гл. V, § 4) мы покажем, что, обратно, каждая матрица
Кокстера является матрицей некоторой системы Кокстера.
Говорят, что система Кокстера (W, S) неприводима, если
граф Г, который подчинен графу Кокстера, ассоциирован-
ассоциированному с (W, S), связен (дополнение, п°2) и непуст. Это соот-
соответствует тому, что 5 непусто и не существует разбиения 5
на два множества S' и S", отличные от 5 и такие, что
каждый элемент из S' коммутирует с каждым элементом
из S". Более общо, пусть (Гг).е=/ — семейство связных ком-
компонент графа Г (дополнение, п°2) и St — множество вершин
компоненты Гг. Пусть Wt = Ws. — подгруппа в W, порожден-
порожденная Si (см. п°8). Тогда все {Wt, Si) суть неприводимые си-
системы Кокстера (см. п°8, теорема 2), называемые неприво-
неприводимыми компонентами системы {W, S). Кроме того, W
является ограниченным прямым произведением ') подгрупп Wt
!) Группа G называется ограниченным прямым произведением се-
семейства (G/)IS| своих подгрупп, если для любого конечного подмноже-
подмножества / с= / группа Gj, порожденная Gt, i e /, будет прямым произведе-
произведением групп Gt, i e /, и если G — объединение Gj. Это означает, что
каждый элемент из С,- коммутирует с каждым элементом из G/ длх
i ?= ! и любой элемент группы G однозначно записывается в виде про-
произведения ]J fij> гДе Si eGjHg.^l для всех индексов, кроме конечного

26 ГЛ. IV. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА /
для / е /. Это вытекает из следующего более общего утвер-
утверждения:
Предложение 8. Пусть {Si)i(^l —такое разбиение S, что
каждый элемент из St коммутирует с каждым элементом из
S] при i ф /. Для всякого i е / пусть Wc — подгруппа, по-
порожденная Si. Тогда W является ограниченным прямым
произведением семейства (W)
Ясно, что для /е/ подгруппа W't, порожденная объеди-
объединением всех Wj, где ]Ф1, порождается также множеством
S\ = (J 5/. По теореме 2п°8 имеем тогда
»=/¦/
WW'
Поскольку W порождается объединением подгрупп Wt, пред-
предложение доказано.
§ 2. Системы Титса
На протяжении всего этого параграфа символы G, В, N,
S, T, W имеют один и тот же смысл, определяемый ниже
в п°1.
1. Определение и основные свойства
Пусть G — группа и В — ее подгруппа. Тогда группа
В У, В действует на G по правилу (b, b'). g — bgb'~x, где Ь,
Ь'^В и g^G. Орбитами группы ВХВ в G будут множе-
множества BgB, geG, которые называются двойными смежными
классами (или просто двойными классами) G по В. Классы
образуют разбиение группы G. Соответствующее фактормно-
фактормножество обозначается символом B\G/B. Если С и С — два
двойных класса, то множество СС будет объединением двой-
двойных классов.
Определение 1. Пусть G — группа, В и N — ее подгруппы
и S — подмножество в N/(B(]N). Системой Титса называется
четверка (G, В, N, S), удовлетворяющая следующим аксио-
аксиомам:
(Т1) Множество B{JN порождает G и B()N является
нормальной подгруппой группы N.
числа. Это последнее условие эквивалентно следующему: G поро-
порождается объединением Gf н G.[\Gj = {\) для всех ie/ и любого ко-
конечного подмножества /с/, такого, что i ф J.

§ 2. СИСТЕМЫ ТИТСА 27
(Т2) Множество S порождает группу W = N/(B (]N) и
состоит из элементов порядка 2.
(ТЗ) sBw cz BwB U BswB для s <= S и да е= IF').
(Т4) sBs ф В для любого s e S.
Группу W = Nj(B П N) иногда называют группой Вейля системы
Титса (G, 5, N, S).
Замечания. 1) В п°5 (следствие теоремы 3) будет пока-
показано, что при заданных (G, В, N) существует не более одного
подмножества S в (N/(B f] N), для которого четверка (G, В, N, S)
образует систему Титса.
2) Пусть (G, В, N, S) — система Титса и Z — нормальная
подгруппа группы G, содержащаяся в В. Пусть G' = G/Z,
B' = B/Z, N' = NI(Z[\N), и пусть S'— образ S в Nf/(Bf(]Nf).
Тогда легко видеть, что (С, В', N', S') будет системой Титса.
Далее всюду в этом параграфе четверка (G, В, N, S)
обозначает систему Титса. Положим, кроме того, T = B{\N
и W = N/T. Под двойным классом мы будем подразумевать
двойной смежный класс группы G по подгруппе В. Для
каждого w e W положим С {w) — BwB. Это двойной класс.
Выведем несколько элементарных следствий из аксиом
)()
Пусть w, w', ... — элементы из W и s, s', ... — элементы
из S. Очевидны соотношения
C(l) = B, C(ww')czC{w).C{w'), С(да-') = С(ш). A)
Аксиома (ТЗ) записывается также в виде
C{s).C(w)czC{w)\JC{sw). B)
Из A) следует, что С (sw) czC(s). O(w). Кроме того, C(s).C (ay)—
объединение двойных классов. Поэтому имеются только две
возможности:
Г( ч_(СМ. если C(w)<?C(s).C(w),
{W)~\C(w)UC(sw), если C(w)c=C(s).C(w). {d)
В силу аксиомы (Т4) B=?^C(s) .С(s). Подставляя w = s в C)
и используя соотношение s2=l, получаем
C(s).C(s) = BUC(s). D)
') Каждый элемент группы W есть смежный класс по подгруппе
В Г) N, т. е. подмножество группы G. Это придает смысл произведениям
вида BwB. Вообще дня каждого подмножества А группы W обозначим
через ВАВ подмножество М BwB.

28 ГЛ. IV. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА 2
Эта формула показывает, что B[)C(s) — подгруппа в G.
Умножая оба члена в D) справа на C(w) и используя фор-
формулу C) и соотношение
B.C(w) = C(w),
получаем
C(s).C(s).C{w) = C(w)UC{sw). E)
Заменяя все множества, входящие в соотношения B), C)
и E), на обратные, а затем w на w~l, мы получим формулы
C{w).C{s)czC{w)\)C(ws)\ B')
(C{ws), если C(w)(?C{w).C(s),
C(te))'C(s)=4C(ay)liC(ays), если С (w) а С {w). С {s). {У)
C{w).C{s).C(s) = C(w)\JC{ws). E')
Лемма 1. Пусть su ..., sq e S ы да г= W. Тогда
СE, ... s,).C(a»)c: (J C(S/[ ... s, a»),
Ci *р)
где (г,, ..., гр) пробегает множество строго возрастающих
последовательностей целых чисел из интервала A, д).
Случай <7 = 0 тривиален, и мы проведем индукцию по q.
Если <7>!> то СE, ... s,).C(ay)crC(s1).C(s2 ... s,).C(a>).
По предположению индукиии C(s, ... s?).C(tiy) содержится
в объединении классов C(Sj ... Sj w), где
2</,< ... </„<</.
Согласно (ТЗ), множество C{s\) .C(ss ... Sj w\ содержится
в объединении СE15/1 ... ss w) и СE/] ... s,- w). Отсюда
следует утверждение леммы.
2. Пример
Пусть k — поле, п — целое число >0 и (е() — канониче-
канонический базис в kn. Пусть G = GL(n, k), В — верхняя треуголь-
треугольная подгруппа в G (состоящая из матриц с нулями ниже
главной диагонали), и пусть N — подгруппа в G, состоящая
из матриц, у которых в каждом столбце и каждой строке
только один элемент отличен от 0. Элементы группы N пере-
переставляют прямые keh поэтому существует сюръективный
гомоморфизм N-*<Bn, ядром которого служит подгруппа
T — Bf\N диагональных матриц. Тем самым мы можем
отождествить W = N/T и<5„. Обозначим через s,- (Kjs^/г— 1)
элемент из W, соответствующий транспозиции / и j -\- 1.

§ 2. СИСТЕМЫ ТИТСА 29
Пусть S — множество всех s,-. Тогда четверка (G, В, N, S)
будет системой Титса.
Действительно, справедливость аксиом (Т1) и (Т4) доста-
достаточно очевидна.
Аксиома (Т2) доказана в Алг,, гл. I, упр. к § 7.
Остается проверить, что имеет место (ТЗ), т. е. что
SjBwczBwBIJBsjwB, 1</<« —1, wceW,
или, что то же самое, что
BsjB', где B' =
Пусть G) — подгруппа в G, оставляющая неподвижными все
eh 1ф\, /+1, и оставляющая устойчивой плоскость, натя-
натянутую на е/ и ei+1. Эта группа изоморфна GLB, k). Ясно,
что GjB — BGj. Так как S/eG/, то SjBcBGj, и достаточно
доказать формулу
G, с (В П G,) (В' П G,) U (В П G;) s, (В' П G,).
Отождествим Gt с GLB, k). Тогда группа Bf\Gj отождест-
отождествится с верхней треугольной подгруппой В2 группы GL B, k).
Группа В' П G/ отождествляется с В2, когда w (j) < w (j-\-\),
а в других случаях — с нижней треугольной подгруппой В<Г
(матриц с нулями выше диагонали). В первом случае фор-
формула, которую надо доказать, принимает вид
GL B, k) = B2UB2sB2, где s =
Она следует, например, из того, что В2 — стационарная под-
подгруппа точки при действии GLB, k) на проективной прямой
Р[ (k), транзитивная на дополнении к этой точке. Во втором
случае подлежащая доказательству формула
GL B, k) = B2B2 U B2sB2
получается из предыдущей формулы умножением справа
на s, поскольку ВЧ = sB2s.
3. Разложение G на двойные классы
Теорема 1. Имеет место равенство G = BWB. Соответст-
Соответствие w ь-> С (w) является биективным отображением W на
множество B\G/B двойных классов G по В.
Ясно, что BWB устойчиво относительно операции х*—*-х~1,
а лемма 1 показывает, что' оно устойчиво и относительно

30 ГЛ. IV. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА 4
произведения. Так как BWB содержит В и N, то оно со-
совпадает с G.
Нам остается проверить, что С(ш)ФС(т'), если тфт'.
Для этого мы докажем индукцией по q следующее утвер-
утверждение:
(Aq) Пусть даны два различных элемента w и w' из W,
причем ts(w)^ts(w') = q. Тогда С(w) Ф С(wr) (определение
ls(w) см. в § 1, п°1).
Это утверждение очевидно при q = 0, поскольку в этом
случае ц/=1 и w^\, откуда C{w') — B и С(w) Ф В.
Пусть теперь q~^ 1, a w и w' удовлетворяют предположе-
предположениям (Ад). Существует элемент s ge 5, такой, что say' имеет
длину q—1. Тогда
ls(w)>ls{Sw'), F)
поэтому w ф sw''. Далее, sw Ф sw', и по формуле C) из § 1,
п° 1, имеем
q-\. G)
По предположению индукции C{sw') отличен от C{w) и
C{sw). Из формулы B) получаем
C(sw')nC(s).C(w) = 0. (8)
Но так как, кроме того, С {sw') czC(s) .С (wf), то окончательно
С{хю)фС{хю').
Замечание. Аксиома (Т4) в предыдущем доказательстве
не использовалась.
4. Связь с системами Кокстера
Теорема 2. Пара {W, S) является системой Кокстера.
Далее, для seS и we^W соотношения С (sw) = С (s). С \w)
и ls(sw)> ls(w) эквивалентны.
Для каждого se5 пусть Ps — множество элементов
w e W, таких, что
C{s).C(w) — C(sw).
Мы сейчас проверим, что множества Ps удовлетворяют усло-
условиям (А'), (Б') и (В) из § 1, п°7. Оба утверждения теоремы
будут следовать тогда из предложения 6 § 1, п°7.
Условие (А'), очевидно, выполнено.
Проверим (Б7)- Если бы Ps и sPs обладали общим эле-
элементом w, то w e Ps и sw e Ps, откуда
С E) .C(w) = C (sw), C(s).C (sw) = С (w).

§,2. СИСТЕМЫ ТИТСА 31
Следовательно, C{s) .C(s) .С(ш) = С(ау), и из формулы E)
вытекало бы С (до) = С (saw), что противоречит теореме 1.
Проверим условие (В). Пусть s,s'^S и до, w'^W, при-
причем w' = ws'. По предположению w e Ps, a до' ф. Ps, откуда
C(sw) = C(s).C(w), (9)
и ввиду C)
C(w')czC{s).C(w'). A0)
Из формулы (9) и соотношения w = w's' получаем
C(s)w's'B = C(sw). A1)
По формуле B') C(w')C(s')czC(w')\JC(w's'), откуда сразу
следует
C(w')s'BczC(ws')\JC(w). A2)
Так как С(ш') — объединение левых смежных классов gB и
так как
С (s) С (и/) = С (s) ш'Б,
то формула A0) показывает, что C(s)ay' пересекается с C(wf)
и тем более C(s)w's'B пересекается с C(w')s'B. Из фор-
формул A1) и A2) тогда следует, что двойной класс C(sw)
совпадает либо с C{ws'), либо с С (w). Поскольку sw=^=w,
теорема 1 позволяет сделать заключение, что say = ws'.
Следствие 1. Пусть wu ..., wq^W и w = w1 ... wq.
Если
то
C{w) = C(w1) ... C{wq).
Рассматривая приведенные разложения элементов wt, мы
сводим все к случаю приведенного разложения
w = S] sr с Si e 5.
Если ы = 52 ... sr, то w = slu и ls{siu) > ls(u). Отсюда и из
теоремы 2 следует, что С(w) = 0E^ .С(и). Требуемая фор-
формула получается теперь индукцией по г.
Следствие 2. Пусть w^W, и пусть Tw — подмножество
в W, ассоциированное с w описанным, в лемме 2 из § 1, п°4,
способом. Если t e Tw, то
Если / е Tw, то по определению существуют элементы ш',
¦ш" е W и seS, для которых
w^w'sw", ls{w) = ls(w') + ls(w")+l, t = w'sw'~l.

32 ГЛ. IV. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА 5
Ввиду следствия 1
C(w).C (w~l) = С (w'). С (s). C{w"). С (a/') .C(s).C (w'-1).
Отсюда
C(w).C (w1) => С {w') .C(s).C(s).C {w'-%
В соответствии с формулой D) С (s) czC (s) .C(s), так что
C{w).C (ш-1) => С (да'). С (s). С (ш'-1) => С (/).
Следствие 3. Пусть w<=W, и пусть Ню — подгруппа в G,
порожденная множеством C(w) .C(w~l). Тогда
а) для каждого приведенного разложения (su ..., sq) эле-
элемента w имеем
б) группа Hw содержит класс C(w) и порождается им.
Доказываем а) индукцией по /. Пусть C(sk) содержится
в Hw для k < /. Положим
Элемент t принадлежит подмножеству Tw с: W, определен-
определенному в лемме 2, § 1, п°4. Следствие 2 дает C(t)czHw,
откуда C(Sj)cz Hw.
Согласно следствию 1, C(ffi») = C(s1) ... C(sq), поэтому
C{w)cz.Hw, откуда вытекает б).
Пример. Теорема 2, примененная к системе Титса из
п°2, показывает, что симметрическая группа ©„ с описанным
там множеством образующих (транспозиции рядом стоящих
символов) является группой Кокстера.
5. Подгруппы группы G, содержащие В
Для любого подмножества XczS обозначим через Wx
подгруппу в W, порожденную X (ср. § 1, п° 8), и через Gx
объединение BWХВ двойных классов С(ю), w^Wx. По
определению G& — В и Gs — G.
Теорема 3. а) Для любого подмножества X a S множе-
множество Gx есть подгруппа в G, порожденная (J C(s).
se=X
б) Отображение X •—¦> Gx является биекцией % (S) на мно-
множество подгрупп в G, содержащих В.
в) Пусть (Xi)ieEj — семейство подмножеств в S. Если
*=(")*<• то Л GXl = Gx.
iI i/

§ 2. СИСТЕМЫ ТИТСА 33
г) Пусть X и Y — два подмножества в S. Включение
Gх с GY (соотв. равенство Gx = GY) имеет место тогда и
только тогда, когда X a Y (соотв. X = Y).
Ясно, что GX = (GX)~ . Лемма 1 п° 1 показывает, что
Gx • Gx с Gx. Отсюда и из следствия 1 теоремы 2 получаем
утверждение а).
Инъективность отображения X >—>¦ Gx следует из инъектив-
ности отображения X >—* Wх (§ 1, п° 8, теорема 2). Далее, пусть
Я — подгруппа в G, содержащая В, и пусть U — множество
w^W, таких, что C(w)czH. Тогда H = BUB, поскольку
// — объединение двойных классов. Пусть X = U[)S. Пока-
Покажем, что H—Gx. Очевидно, что GxcH. С другой стороны,
пусть u^U и (su ..., sq) — его приведенное разложение.
Следствие 3 теоремы 2 влечет C(sj)czH, откуда Sj e X для
1 ^/^<7- Мы имеем теперь и е Wx, и так как Я есть объе-
объединение С (и), u^U, то H<^GX, чем завершается доказа-
доказательство утверждения б).
Утверждения в) и г) следуют из аналогичных свойств
групп Wх (§ 1 п° 8, теорема 2).
Следствие. Множество S состоит из элементов aief,
ш =И= 1, для которых B\]C(w) является подгруппой в G.
Элементы w e W, для которых В (J С (до) — подгруппа в G,
характеризуются тем, что для каждого из них существует
X cz S с Wx = {1, w}. Если, кроме того, до Ф 1, то необходимо
Card(J)=l, т. е. w e S.
Замечание 1). Предыдущее следствие показывает, что
множество S определяется тройкой (G, В, N). По этой при-
причине иногда системой Титса называют тройку (G, В, N);
говорят еще, что (В, N) — система Титса в G.
Предложение 1. Пусть X — подмножество в S и N'—под-
N'—подгруппа в N, образ которой в W совпадает с Wx. Тогда
(Gx, В, N', X) является системой Титса.
Имеем Gx — BWХВ = BN'B. Отсюда следует, что Gx по-
порождается множеством BUN'. Выполнение аксиом (Т1)—(Т4)
легко проверить.
Предложение 2. Пусть X, Y czS и w e IF. Тогда
GxwGY = BWxwWYB.
Пусть s,, ..., s(el и /,, ...,(,еУ, Лемма 1 показы-
показывает, что
...gc bwxwwyb,
2 Зак. 61. H. Бурбакн

34 ГЛ. IV. ГРУППЫ КОКСТЕРА II СИСТЕМЫ ТИТСА б
откуда
GxwGY cz BWxwWYB.
Обратное включение очевидно.
Замечание 2). Обозначим через GX\G/GY множество под-
подмножеств в G вида GxgGY, geG. Аналогичным образом
определим WX\W/WY. Предыдущее предложение показывает,
что каноническая биекция w—>С(ш) группы W на B\G/B
определяет посредством факторизации биективное отображе-
отображение Wx\W/Wy-*Gx\G/Gr.
Предложение 3. Пусть X cz S и geG. Тогда из соотно-
соотношения gBg~l cz Gх следует g e Gx.
Пусть g e C(w) для какого-то w e W. Поскольку В — под-
подгруппа в Gх, условие gBg~l a Gx влечет C(w).C{w~l) aGx.
Теперь следствие 3 теоремы 2 дает C(w)cz Gx, и g принад-
принадлежит подгруппе Gx.
6. Параболические подгруппы
Определение 2. Подгруппа группы G называется пара-
параболической, если она содержит подгруппу, сопряженную с В.
Ясно, что всякая подгруппа, содержащая параболическую
подгруппу, сама является параболической.
Предложение 4. Пусть Р — подгруппа группы G.
а) Для того чтобы Р была параболической, необходимо
и достаточно, чтобы Р была сопряжена с подгруппой Gх,
где X — некоторое подмножество в S (определение Gx в п° 5).
б) Пусть X, X' aS и g, g' eG таковы, что Р = gbxg~l =»
= g'G.vg'~\ Тогда X = X' и g'g-le=P.
Утверждение а) следует из теоремы 3,6).
В условиях пункта 6) нашего предложения имеем
g-lg*Bg'-lg cz g-lg'Gx-g'~lg = Gx,
и предложение 3 показывает, что g~lg' e Gх. Поэтому, со-
согласно теореме 3,6), Gx'—Gx и Х' = Х. Наконец,
g'g~l = g • g~'g' • ёГ1 s gGxg-\
откуда следует утверждение 6).
Если параболическая подгруппа Р сопряжена с Gx, где
X cz S, то Р называется подгруппой типа X.
Теорема 4. (i) Пусть Рг и Р2 — две параболические под-
подгруппы в G, пересечение которых тоже является параболи-

§ 2. СИСТЕМЫ ТИТСА 35
ческой подгруппой, и пусть gP\g~l cz Р2 для некоторого эле-
элемента g e G. Тогда g е Р2 и Р, с= Р2.
(и) Две различные параболические подгруппы, пересече-
пересечение которых — параболическая подгруппа, не сопряжены.
(iii) Пусть Q[ и Q2 — две параболические подгруппы, со-
содержащиеся в подгруппе QczG. Тогда все элементы gc:Gt
для которых gQ\g~] = Q2, принадлежат Q.
(iv) Каждая параболическая подгруппа совпадает со своим
нормализатором ').
Утверждение (i) следует из предложений 3 и 4 и влечет
утверждение (и). В условиях (iii) gQ1g~i cr Q. Отсюда и из утвер-
утверждения (i) следует теперь, что geQ.
Наконец, утверждение (iv) вытекает из (iii), если поло-
положить Qi = Q2 = Q.
Предложение 5. Пусть Р, и Р2 — две параболические
подгруппы в G. Тогда Р\{]Р2 содержит подгруппу, сопря-
сопряженную с Т.
Применяя в случае надобности некоторый внутренний
автоморфизм группы G к Р\ и Р2, можно предполагать, что
В cz Р{. Пусть g e G — тот элемент, для которого gBg~l cz P2.
По теореме 1 существуют гее N и b, b' e В, такие, что
g = bnb'. Поскольку подгруппа Т нормальна в N, имеем
l = bnBn~lb~l zd bnTn~xb~x = ЬТЬ
']
откуда и следует предложение.
7. Теорема простоты
Лемма 2. Пусть Н — нормальная подгруппа группы G.
Существует такое подмножество X в S, что BH = GX и каж-
каждый элемент из X коммутирует с каждым элементом из S — X.
Так как ВН — подгруппа в G, содержащая В, то суще-
существует единственное подмножество X в S, для которого
BH=GX (теорема 3).
Пусть S) е I и 52 g S — X, а щ и п2 — представители s{
и s2 в N. Имеем щ е GX = BH, и существует элемент Ь^В,
') Нормализатором в G подгруппы HcG называется подгруппа
91 (Я), состоящая из элементов geG, для которых gHg~l =H. Говорят,
что подгруппа Н' нормализует Н, если Н' cz У1 (Я); тогда НН' = Н Н
будет подгруппой в G с нормальной подгруппой Я.

36 ГЛ. IV. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА 7
такой, что bnx e Я. Так как подгруппа Я нормальна в G,
то элемент h = n2bnxn2l принадлежит Я. С другой стороны,
he=C(s2).C(Sl).C(s2).
Если длина элемента s2SiS2 равна 3, то следствие 1 тео-
теоремы 2 влечет
C(s2).C(sl).C(s2) = C(s2sls2),
и, значит, h e Н [\C{s2sxs2). Поскольку WnC(s2s,s2) непусто,
то s2SiS2^Wx. Последовательность (s2, su s2) является при-
приведенным разложением и потому (§ 1, п° 8, следствие 1
предложения 7) s2 e X, что противоречит предположению.
Пусть теперь /s(s2S!S2)^2. Если /s(sIs2)=l, то s{s2^S
и (sjS2J == 1, откуда SiS2 = s2Si. Если же /s(s1s2) = 2, то из
свойства C) § 1 следует, что s2s{ = s^, поскольку s{ ф s2.
ч. т. д.
В теореме 5, которая будет доказана ниже, фигурирует
следующее свойство группы U.
(Р) Для любой нормальной подгруппы V cz U, отличной
от U, коммутант (см. Алг., гл. I, § 6, п° 8) группы U/V
отличен от UIV.
Каждая разрешимая группа удовлетворяет свойству (Р).
В частности, коммутативные группы удовлетворяют (Р). То же
относится и ко всякой некоммутативной простой группе U,
если исключить случай К = {1}. Можно показать, что (Р)
выполнено для симметрической группы <5„ при любом п
(см. упр. 29).
Теорема 5. Пусть Z — пересечение подгрупп, сопряжен-
сопряженных с В, U — подгруппа в В и G{—подгруппа, порожден-
порожденная сопряженными с U подгруппами в G. Предполагаются
выполненными следующие условия:
A) U нормальна в В и B = UT;
B) U удовлетворяет условию (Р);
C) G{ совпадает со своим коммутантом;
D) Система Кокстера (W, S) неприводима (см. § 1, п° 9).
Тогда любая подгруппа Н группы G, нормализуемая
подгруппой G{, содержится в Z или содержит G{.
Докажем сначала, что G = GXT. Группа GXT содержит В
и поэтому совпадает со своим нормализатором (теорема 4).
Так как N нормализует Gx и Т, то она нормализует GXT,
откуда NczG{T. Поскольку G порождается В и N, имеет
место равенство G = GiT.

§ 2. СИСТЕМЫ ТИТСА 37
Положим теперь
' = N'ITf.
Так как G' содержит Gb то G = G'T и поэтому N = N'T.
Таким образом, вложение N' в N определяет посредством
факторизации изоморфизм a: W'->W. Пусть S' = a~1(S).
Покажем, что {G', Br, N', S') является системой Титса.
Так как G = BNB и B = TU = UT, то G = UNU, а поскольку
U — подгруппа в G', приходим к заключению, что G''= UN'U.
Это дает (Т1), поскольку UaB'. Аксиома (Т2) выполнена
ввиду того, что а — изоморфизм. Пусть w e W и w' = а {w) —
соответствующий элемент в W. Тогда
= BwB' = Bw'B', поскольку В = В'Т.
Отсюда мы заключаем, что G' []BwB = B'w'B'. Другими
словами, вложение G' в G определяет посредством факто-
факторизации биективное отображение B'\GrIB' на B\G/B. Это
сразу дает аксиому (ТЗ). Аксиома (Т4) следует из равен-
равенства В = В'Т.
Подгруппа Н нормальна в G'. Лемма 2, примененная
к ((?', В', N', S'), утверждает существование подмножества
X' cr S', такого, что B'H=Gxr, причем каждый элемент
в S' — X' коммутирует с каждым элементом в X'. Условие D)
оставляет только две возможности:
а) Х'=0, т. е. В'Н = В' и На В'с: В. Если ge=G, то
g = git, где gi^Gu t<=T и Hczg^g-1, ибо G, нормали-
нормализует Н. Поэтому Н cr gBg~l. Так как Z есть пересечение
gBg~\ то HaZ.
б) X' = S', т. е. B'H = G'. В силу равенства G = G'T
имеем
Так как В нормализует U, то всякая группа, сопряженная
•с U, имеет вид hUh~\ где h^H. Такие подгруппы содер-
содержатся в группе UH, откуда (по определению Gx) Gx с: UH.
Получаем изоморфизмы
?//(?/ П Н) ~ UH/H = GXH\H ~ Gxl{Gx П #)•
По условию C) G|/(G, f| H) совпадает со своим коммутантом.
Условие B) показывает тогда, что группа U/(U f| H), изо-
изоморфная Gi/(G] П ^). состоит только из единичного элемента.
Следовательно, G1fl^ = G1, т. е. GlczH, и доказательство
закончено.

38 ГЛ. IV. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА Г
Следствие. В предположениях теоремы 5 группа GJ{Gy f] Z)
либо является некоммутативной простой, либо сводится
к единичному элементу.
Согласно теореме 5, группа Gll(Gx{\Z) либо проста, либо
состоит только из единицы. Но условие C) требует, чтобы
она совпадала со своим коммутантом. Отсюда вытекает
утверждение следствия.
Замечания. 1) Условия B)—D) не использовались при
доказательстве того, что ((?', В', N', S') является системой
Титса.
2) Предположим, что Z f\ U = {1}. Так как Z и U нор-
нормальны в В, то каждый элемент из Z коммутирует с любым
элементом из U, а тем самым и с любым элементом из G{.
Ввиду предыдущего следствия это означает, что G\ Л Z —
центр группы (?,.
3) Предположение C) вытекает из следующего условия:
C') U порождается коммутаторами b~lu~ Ьи, где це(/
и bs=B[\Gx.
Примеры. 1) Пусть k — поле, п — целое число ^ О»
G = GL(n, k) н (G, В, N, S) — система Титса, описанная
в п° 2. Пусть U — верхняя строго треугольная группа, т. е.
подгруппа в В, состоящая из матриц с единицами на глав-
главной диагонали. Условие A) теоремы 5 проверяется немед-
немедленно. То же относится к условию B), так как U разрешима.
Условие D) выполнено, если п^2. Можно доказать (см.
Алг., гл. II, 3-е изд., § 10, упр. 13), что условие C) выпол-
выполняется, если я ^ 3 или п = 2 и Card F) ^4. При этих усло-
условиях заключаем, что группа Gt/(Gj f) Z) простая и что G, f] Z —
центр группы Gi (см. замечание 2).
Когда k коммутативно, то G1 = SL(«, k), см. Алг., гл. III,
3-е изд., § 8, п°9.
*2) Пусть g — простая алгебра Ли над С и G—группа
ее внутренних автоморфизмов (см. гл. III). Используя тео-
теорему 5, можно показать, что G — неабелева простая группа..

Дополнение
ГРАФЫ
1. Определения
Определение 1. Комбинаторным графом (или просто гра-
графом, когда исключены какие-либо недоразумения) назы-
называется пара Г —(A, S), где S — множество и А — подмно-
подмножество в Щ (S), образованное множествами из двух элементов.
Пусть Г (Л, S) — граф. Элементы из А называются реб-
ребрами, а элементы из S — вершинами графа Г. Говорят, что
две вершины х и у соединены, если [х, у} есть ребро. Вер-
Вершина называется концевой, если она соединена не более
чем с одной вершиной, и точкой ветвления, если она соеди-
соединена по крайней мере с тремя вершинами.
Согласно общим определениям (Теор. множ., Сводка рез.,
§ 8), изоморфизм графа Г на граф Г" —(Л', S') есть биек-
биективное отображение f множества S на S', которое перево-
переводит А в А'. Граф Т' = {А', S') называется подграфом в Г,
если S' a S и А' а А. Говорят, что Г' — целый подграф в Г,
если S'cS и A' = Afl^(S'). Ясно, что любое подмножество
множества S совпадает с множеством вершин одного и только
одного целого подграфа графа Г.
Для наглядности граф изображают фигурой, которая со-
состоит из точек, соответствующих вершинам, и из отрезков,
связывающих две точки тогда и только тогда, когда пред-
представляемые ими вершины соединены в графе.
Например, фигура
изображает граф с вершинами а, Ь, с, d, е и ребрами {а, Ь},
{Ь, с), {с, d) и {с, е}.
2. Связные компоненты графа
Пусть Т = (А, S) — граф. Если а и Ъ — две его вершины,
то путем, связывающим а и Ь, называется всякая последо-
последовательность (х0, ..., хп) вершин графа Г с хо = а, хп = Ь,

40 ГЛ. IV. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА 2
в которой вершины Xt и Xi+l соединены при 0^i<n. Це-
Целое число п^О называется длиной рассматриваемого пути.
Путь называется инъективньш, если х{ ф Xj для i Ф ]. Путь
(х0 хп), связывающий а с Ъ и обладающий минималь-
минимальной длиной, обязательно инъективен: в противном случае
нашлись бы i и / с 0<л</ s^n и xt = Xj, так что последо-
последовательность
(Хо, ..., Х{, Xj + \ Хп)
была бы путем длины < п, связывающим а с Ъ.
Отношение „существует путь, связывающий а с Ь" между
двумя вершинами а и Ь графа Г определяет отношение
эквивалентности /?^в множестве вершин 5. Классы эквива-
эквивалентности по R называются связными компонентами графа Г.
Говорят, что граф Г связен, если он состоит из одной связ-
связной компоненты, т. е. если любые две вершины в Г могут
быть соединены по меньшей мере одним путем.
Предложение 1. Пусть Г = (Л, S)— граф и (Sa)aeEt — се-
семейство его связных компонент. Обозначим через Га целый
подграф в Г с множеством Sa в качестве множества вер-
вершин.
(i) Для каждого ае! граф Га связен.
(и) Если Г" = (A', S') — связный подграф в Г, то найдется
такое а из L, что S' с: Sa.
(Hi) При аф& никакой элемент из Sa не соединен ни
с каким элементом из So (иначе говоря, каждое ребро графа Г
является ребром в одном из Га).
(iv) Пусть (S?) — такое разбиение множества S, что
при Я, ф \i никакой элемент из S'K не соединен в Г ни с од-
одним элементом из S'. Тогда каждое множество S[ есть
объединение связных компонент графа Г.
(i) Пусть ael и a, fee 5а. Существует, следовательно,
путь с = (jc0) ..., хп) в Г, связывающий а с Ь. Для любого i>
0 ^ i ^ п, путь (л:0 х{) связывает а с л:,- в Г, откуда
х{ е 5а. Таким образом, с является путем в Г„, связываю-
связывающим а с Ь. Значит, граф Га связен.
(И) Пусть Г" = (Л/, 5') — непустой связный подграф в Г,
а — элемент из 5' и Sa — связная компонента в Г, содер-
содержащая а. Для любого b из 5' существует путь с, связы-
связывающий а с Ь в Г' и тем более в Г. Следовательно, S'aSa.
(Hi) При заданных различных а и 0 из L и вершинах
а е Sa и &g5» не существует пути, связывающего а с Ь,
и, в частности, не существует ребра, соединяющего а и Ь.

ДОПОЛНЕНИЕ. ГРАФЫ 41
(iv) Пусть а е S[ и Sa — связная компонента в Г, содер-
содержащая а. Для любого b из Sa существует путь (*0. ..., хп)>
связывающий а с b в Г. Если 0^i<n и xt<^S'K, то
д:(+1 е S'x, поскольку xt соединяется с х(+1. Следовательно,
по индукции х{ е S[ для 0^/^га и, в частности, Ь = хп
принадлежит S'v Отсюда SaczS[.
Следствие 1. Для того чтобы граф Г (Л, S) был связным,
необходимо и достаточно, чтобы не существовало разбиения
(S', S") множества S на два непустых подмножества, таких,
что никакой элемент из S' не соединен ни с каким элемен-
элементом из S".
Пусть Г не связен и 5' — одна из его связных компо-
компонент. По предложению 1 (i) S" = S — 5' непусто и никакой
элемент из 5' не соединен в Г ни с одним элементом из S",
как это утверждает предложение 1 (ш).
Предположим теперь, что Г связен и что (S', S") — раз-
разбиение с упомянутыми свойствами. В силу предложения 1
(iv) множество 5' содержит по крайней мере одну связную
компоненту. Значит, S' = S и 5"=0, вопреки предполо-
предположению.
Следствие 2. Для того чтобы подмножество S' мно-
множества S было объединением связных компонент, необходимо
и достаточно, чтобы никакая вершина из S' не соединялась
ни с какой вершиной из S — 5'.
Это условие достаточно по предложению 1 (iv) и необхо-
необходимо в силу утверждения (Hi) последнего предложения.
3. Леса и деревья
Пусть Г = (А, S)—граф. Циклом в Г называется всякая
последовательность
(хи .... хп)
различных вершин графа Г, в которой «^3, вершина xt
соединена с х1+х при 1 ^г<м и вершина хп соединена с хх.
Граф Г называется лесом, если он не содержит циклов.
Любой подграф в Г тогда тоже будет лесом. Связный лес
называется деревом. Таким образом, связные компоненты
леса являются деревьями.
Предложение 2. Пусть Г = (A, S) — лес с конечным чи-
числом вершин.
(i) Если Г обладает хотя бы одной вершиной, то у него
есть концевая вершина.

42 ГЛ. IV. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА *
(И) Если Г имеет по крайней мере две вершины, то су-
существует разбиение (S', S") множества вершин на два не-
непустых подмножества, таких, что две различные вершины,
принадлежащие одновременно к 5' или к S", не будут со-
соединены.
Предположим, что Г имеет по крайней мере одну вер-
вершину. Пусть (х0, ..., хп) — инъективный путь максимальной
длины в Г. Вершину х0 нельзя соединить ни с какой вер-
вершиной у, отличной от х0, хи ..., хп, ибо тогда в Г существо-
существовал бы путь длины п-\- 1, а именно (у, х0, ..., хп). Вер-
Вершина х0 не соединена ни с какой вершиной xt, 2^.i^n,
в противном случае (х0, хх, ..., xt) был бы циклом в лесу Г.
Значит, вершина х0 — концевая.
Докажем (и) индукцией по числу m вершин в Г. Случай
пг — 2 тривиален. Пусть т>3и утверждение (И) доказано
для графов с пг— 1 вершинами. Пусть а — концевая вер-
вершина в Г (см. (i)). Применим предположение индукции к це-
целому подграфу, получающемуся из Г выбрасыванием вер-
вершины а. Существуют, следовательно, два непустых подмно-
подмножества S\ и S'( в S с Si U 57 = 5 — {а}, причем никакая пара
вершин из S] (соотв. S'{) не соединена. Так как а соединена
не более чем с одной вершиной в Г, то она не соединена
ни с какой вершиной одного из множеств, например S'{.
Тогда разбиение (Sj, S"\J{a}) множества S обладает требуе-
требуемыми свойствами. Ч. Т. Д.
Для любого целого числа п^\ обозначим через Ап граф
с вершинами 1, 2, ..., п и ребрами {/, /}. где i — j=± 1:
Говорят, что граф Г есть цепь длины пг^О, если он изо-
изоморфен Лт+1. Это эквивалентно существованию в Г инъек-
тивного пути (х0, ..., хт), содержащего все вершины, при-
причем вершины Xi и X] не соединены при |/ —/|> 1.
Предложение 3. Для того чтобы граф был цепьюу
необходимо и достаточно, чтобы он имел конечное ненуле-
ненулевое число вершин и был деревом без точек ветвления.
Предположим, что граф Г — цепь (х0, ..., хт) с пере-
перечисленными свойствами. Каждая вершина соединена не более
чем с двумя другими. Для /</ кусок пути (xit ..., Xj)
является путем, связывающим х{ с Xj. Значит, Г связен.
Наконец, пусть (jcP[ , .. ., жР/г) — цикл. Пусть pk — наименьшее
среди различных целых чисел ри ..., рп. Должны существо-

ДОПОЛНЕНИЕ. ГРАФЫ 43
вать различные i и / такие, что вершина xPk будет соеди-
соединена с хр. и с xPj. Это следует из определения цикла. Так
как pk<Pi и pk<ph то обязательно pt = Pj = Pk+ I, что
противоречит тому, что все ри ..., рп различны. Значит,
в Г нет циклов.
Обратно, пусть Г — дерево без точек ветвления с нену-
ненулевым конечным числом вершин. Пусть (х0, ..., хт) — инъек-
тивный путь максимальной длины в Г и Г — множество
вершин, отличных от Хо, ..., хт. Вершина Ь е T не может
быть соединена ни с какой вершиной хг. Действительно,
имеются три возможности:
a) i = 0, но тогда (Ь, х0, ..., хт) был бы инъективным
путем длины т + 1 в Г;
b) i — m, но тогда (х0, ..., хт, Ь) был бы инъективным
путем длины т + 1 в Г;
c) 0 < / < т, но тогда вершина xt была бы соединена
с тремя вершинами xt-u xi+i и Ь.
Так как Г связен, то Т пусто в силу следствия 1 пред-
предложения 1. Далее, если бы существовали / и / такие, что
j — />1 и хг и Xj соединены, то путь {хг, xi+x. ..., Xj)
был бы циклом в Г. Следовательно, Г — цепь. Ч. Т. Д.

УПРАЖНЕНИЯ
§ 1.
1) а) Пусть (W, S) — система Кокстера и sit ..., sr — элементы мно-
множества S. Положим w = Sj ... sr. Показать, что если ls(w)<.r, то су-
существуют два таких целых числа р и q, 1 <Гр<G<Г/-, что w =
= S] ... Sp—iSp+i ... s^-iS^^, ... sr. Показать, что существует строго воз-
возрастающая последовательность чисел ;'A) }(k), заключенная между 1
и г, и такая, что (s;A), .... s;- (ftj) является приведенным разложением
элемента w.
б) Пусть (W, S) — система Кокстера и X, У, Z — три подмножества
в S. Показать, что
(показать, что любой элемент w e Wy. W- допускает приведенное разло-
разложение
(s,, .... sh, /,,..., tk),
где si s У, <. s Z, и воспользоваться следствием 1 предложения 7, п° 8).
Показать, что
Wx . (Wy П Wz) = (^ . 1Гу) П (Wx . Wz). t
2) Пусть (W, S) — система Кокстера и X — подмножество в S. По-
Показать, что для того чтобы подгруппа Wх была нормальной в W, необ-
необходимо и достаточно, чтобы любой элемент множества X коммутировал
с любым элементом множества S — X.
3) Пусть (W, S) — система Кокстера и X, Y — два подмножества
в S. Пусть ое1Г. Показать, что существует, и притом единственный,
элемент w e WvaWv минимальной длины и такой, что всякий элемент
w' e WxaWY
записывается в виде w' = xwy, где х е Wх, у е Wy и / (w') = / (х) -\-
-\-1 (w) + / (у) (выбрать в WxaWy элемент минимальной длины и вос-
воспользоваться упражнением 1). Элемент w e "W называется (X, Y)-npuee-
денным, если он является элементом минимальной длины в двойном
смежном классе WxwWy. Показать, что если элемент w (X, 0)-приведен,.
то l(xw) = l (х) + / (w) для всех xelF^, и что любой элемент из W
однозначно записывается в виде xw, где х е W„, a w есть (X, 0)-при-
веденный элемент. Показать, что элемент w s W является (X, 0)-при-
веденным в том и только том случае, когда l(xw)>i(w) для всех
х е X (записать w в виде yw', где у s Wх и w' является (X, 0)-при-
веденным). Показать, что для (X, К)-приведенности элемента w s W
необходимо и достаточно, чтобы w был одновременно и (X, 0)-приве-
денным, и @, У)-приведенным.

УПРАЖНЕНИЯ 45
4) Пусть п — целое число ^2. Обозначим через st, l^
транспозицию i и i + 1 в последовательности {1, 2, ...,«} и через Н. мно-
множество а> е ©„, для которых а>-' (/)<а>-' (/ + 1). Пусть 5={s,, . ...s^-,}.
Показать, что (<2>п, S) — система Кокстера и что Hi совпадает с мно-
множеством элементов w е ©п, для которых / (ai)</(s.a>) (использовать
предложение 6 из п° 7).
И 5) Пусть X — непустое множество и Ц7 — некоторое множество
перестановок на X Пусть заданы множество ^ отношений эквивалент-
эквивалентности в X, элемент х0 е X и отображение <р: Я i—*¦ s^ множества & в W.
Обозначим через ^0 множество тех Яе?, для которых 5я(;с0) =
= xQ mod Я' при всех Я' ф Я из ^, и через SQ множество всех s,,
с Я, принадлежащими #V Предположим, что выполнены следующие
условия:
(i) Для любого ffs# существуют два класса эквивалентности по
модулю Я, которые переставляются элементом sH н 5^=1.
(Н) Для любого Я е & и любого а> е Ц7 отношение эквивалентности
w (Я), получающееся из Я при перестановке w, принадлежит мно-
множеству З8 и sw<H) = wsHw~K
(iii) Для любого w ф 1 из Ц7 множество ffs# таких, что а> (х0) ^
^ х0 mod Я, конечно и пересекается с #V
а) Доказать, что (W, So) является системой Кокстера (использовать
предложение 6 из пс 7).
б) Доказать, что длина ls (w) равна числу элементов йе^1, для
которых
ч» (*о) Ф Хо mod Я.
в) Пусть Е — конечное множество н X — множество отношений со-
совершенного порядка на Е. Обозначим через W группу перестановок мно-
множества Е, очевидным образом действуюшую на X. Пусть I и ) — различ-
различные элементы из Е. Назовем два элемента R и /?' множества X эквива-
эквивалентными по модулю Hij, если имеют место одновременно либо R (/, у)
и /?'(/, у), либо R(i, i) и /?'(,', /). Обозначим через s^ транспозицию i
и /. Пусть ^ — множество отношений эквивалентности вида Я*/ и ф —
отображение множества # в f по формуле ф^Я^Л = 5,/-. Наконец,
пусть лг0 — какой-нибудь элемент множества X. Показать, что эти данные
удовлетворяют предположениям (i)—(iii), и заново получить результаты
упражнения 4.
6) Пусть Е — множество из шести элементов и F — множество
структур проективной прямой в множестве Е относительно поля F6.
Обозначим через <&- группу перестановок множества Е. Для любого
элемента а е ©„ обозначим через 5 перестановку на F, полученную из а
посредством перенесения структуры. Показать, что существует биекция и
множества Е на F и что отображение а \—> и~1ди является внешним
автоморфизмом группы @? (если s — транспозиция, то u~lsu имеет три
орбиты по два элемента).
7) Построить группу W с двумя подмножествами S в Sg такими,
что (W, S) н (W, S') являются изоморфными системами Кокстера, но W
не обладает внутренним автоморфизмом, переводящим S в S' (использо-
(использовать упражнения 4 и 6).
8) Построить группу W и два подмножества S и S' в W такие, что
(W, S) и (W, S') будут неизоморфными системами Кокстера, одна из

4E ГЛ. IV. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА § I
которых неприводима, а другая — нет (взять в качестве W диэдральную
группу порядка 12, порожденную множеством {s, s'}, где s и s' — элементы
порядка 2 и s ф s', и положить S = {s, s'}, а У = fas'K, s', s' (ss'J})-
9) Пусть (IF, S) — система Кокстера с матрицей (т (s, s')) и W+ —
подгруппа в IF, состоящая из элементов четной длины. Пусть s0 e S.
Положим gs = ss0. Показать, что семейство (gs)sf=s — {s^ соотношения
gj»(».«.)=, дЛя m (s, s0) ^ oo и (^-')т<*-*'>=1 для ss'^S-{s0)
и m (s, s') 7b 00 образуют задание (или непредставление) группы W+ .
{Пусть Н — группа, заданная описанной выше системой образующих и
определяющих соотношений. Показать, что существует автоморфизм а
группы Я+ с квадратом, равным 1, который переводит gs в g~l для
всех s е S — {s0}. Определить взаимно обратные гомоморфизмы На ~> W
и W-> На, где На — полунрямое произведение групп {!, —1} и Н отно-
относительно а. Показать, что если элементы множества S сопряжены (см.
предложение 3), то W является коммутантом группы W (заметить, что
в этом случае элементы gs будут коммутаторами).
10) Пусть Wn — знакопеременная группа степени п, состоящая из
перестановок w е ®п с сигнатурой 1. Показать, что Wn — коммутант
группы ©я (использовать упражнения 4 и 9). Для любого целого /,
lssjj<ln — 2, положим ui~sisi+i (B обозначениях упражнения 4).
Показать, что семейство [hJ и соотношения и} = 1, и\ = 1 для » ^ 2,
("Л+1K = ! для •<'<« — 3 и u{ti[ = u-ut для 3<( + 2 < / < п — 2
образуют задание группы 2trt (использовать упражнение 9).
*11) Пусть {W, S) — система Кокстера. Пусть Г^—граф с множе-
множеством вершин S; две вершины s и s' связаны ребром тогда и только
тогда, когда m (.9, s') ф оо. Пусть Sa — связные компоненты графа Гм.
Показать, что W можно отождествить со свободным произведением
групп W' . В частности, любой элемент -j> s W однозначно записывается
в виде произведения w$ ... te>A, w^ Ф 1, где wt е Ц7„ и. а(. ф а{ , |
для !^г'^А—1. Показать, что длина элемента w равна сумме длин
элементов w^ ,f.
12) Пусть (W, S) — система Кокстера с четными m (s, s') для зф$',
и пусть X — подмножество в S. Показать, что существует, причем только
один, гомоморфизм fy группы W на Wx такой, что fx{s) = s для sgX
и /\^ (s) = 1 для s ^ S — X. Вывести отсюда, что W есть полупрямое
произведение группы №„ и ядра гомоморфизма f~. Показать, что если
X с Y с S, то существует единствекиый гомоморфизм fx y группы Wy
«a Wх, для которого fx~fxY°^Y' и что ^ °Т0ЖДествляется с под-
подгруппой проективной системы, составленной из Wх, когда X пробегает
фильтрующееся множество конечных подмножеств в S.
Ц 13) Пусть (W, S) — система Кокстера. Для я, s' e S определим
последовательность a (s, s'), руководствуясь правилами:
(i) если ss' имеет бесконечный порядок, то a (s, s') — пустая после-
последовательность;
(ii) если ss' имеет бесконечный порядок пг, то последовательность
a (s, s') имеет длину m и ее четные члены равны s', а нечетные s.

УПРАЖНЕНИЯ 47
Обозначим через a (s, s') произведение элементов последователь-
последовательности a (s, .s').
а) Показать, что множество образующих S и определяющие соотно-
соотношения s2 = 1 и a (s, s') = а (s', s) образуют задание группы W.
б) Пусть q— целое число ^1, 2^ — множество последовательностей
из q элементов в S, и пусть Rq — наиболее тонкое отношение эквива-
эквивалентности в 2q, при котором последовательности вида (A, a(s, s'), В) и
(A, a(s', s). В) (где s, s' e S, а Ли В — последовательности элементов
нз S) эквивалентны. Пусть 2^—множество последовательностей s =
= (si, ¦•¦, sq), таких, что w (s) = s{ ... sq имеет длину q. Показать, что
последовательности s, s eX' эквивалентны по модулю Rq в том и только
том случае, когда w (s) = w (sr) (провести индукцию по q н применить
предложение 5 нз п°5).
в) Показать, что, для того чтобы последовательность s e ^ не принад-
принадлежала 2^, необходимо и достаточно, чтобы s была эквивалентна по
модулю Rg последовательности с двумя равными рядом стоящими чле-
членами. (Рассуждая по индукции относительно <?, сводим все к случаю
последовательности (sp .... s^), не принадлежащей Хг но такой, что
(Sj, ..., sq—\) и (А" ••¦• sq) принадлежат 2^_]. Воспользовавшись упра-
упражнением I, показываем, что s{, ..., sq—i = S2 ... sq, и применяем упра-
упражнение б).)
* 14) Пусть (W, S) — система Кокстера, (Г, f) — ее граф Кокстера,
и пусть k — целое число ^3, а а — ребро графа Г. Положим fk (a) =
— f(a), если f (а) ф оо, и fk(a) = k, если {(а) = то. Пусть (W k, S) —
система Кокстера, определяемая графом Кокстера (Г, fk) (гл. V, § 4, п°3,
следствие предложения 4). Показать, что существует единственный1
гомоморфизм <pfe группы W на Wk, индуцирующий тождественное ото-
отображение на S. Показать, что если k делит k', то существует един-
единственный гомоморфизм <fk k, группы Wk, на Wk, для которого ф^ =
~ ffe ft' ° fk'- Показать, что гомоморфизм (q)fe) группы W в проективный
предел групп Wk является ннъективным (использовать упражнение 13,
в)), но, вообще говоря, не сюръективным (как, например, в случае бес-
бесконечной диэдральной группы). *
15) ') Пусть А — множество и @ — подмножество в >|5 (А). Элементы
из (S называются камерами множества А, а подмножество F камеры С
называется ячейкой. Коразмерность ячейки F в С есть мощность допол-
дополнения С — F. Ячейка F называется перегородкой камеры С, если Р
имеет в С коразмерность 1. Две камеры С и С называются смежными,
если они имеют общую перегородку F. Галереей длины п называется
последовательность Г = (Со, С,, ..., С„) из п + 1 камер, такая, что С;
и Q+i смежны для 0<!/^гс — 1. Камеры СО и Сп называются концами
галереи Г. Галерея Г называется инъективной, если С,- Ф С(+] для
0^(^п— 1; она называется минимальной, если нет гялереи меньшей
длины с теми же концами.
') Упражнения с 15 по 24 в этом параграфе, а также с 3 по 17
в § 2, большей частью нигде не опубликованные, были сообщены нам
Ж. Титсом.

48 ГЛ. IV. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА $ I
Множество А (снабженное ©) называется ансамблем '), если каждый
элемент из А принадлежит какой-нибудь камере и если любые две ка-
камеры являются концами некоторой галереи. Расстоянием между двумя
камерами С и С называется длина d (С, С) минимальной галереи с кон-
концами С и С.
Секцией ансамбля А называется подмножество D с А, такое, что
если D снабдить системой (S(]^(D), то получится ансамбль.
а) Показать, что в ансамбле А любая ячейка имеет одну и ту же
коразмерность во всех камерах, в которых она содержится. Это дает
возможность говорить о коразмерности ячейки или перегородки в А без
указания частной камеры. Морфизмом ансамбля В в А называется ото-
отображение f: В -> А, такое, что сужение f на любую камеру С ансамбля В
есть биекция С на камеру f (С) ансамбля А. Показать, ч^го образом
ячейки ансамбля В при отображении f является ячейка ансамбля А
той же коразмерности.
б) Ансамбль называется апартаментом (илн плоским ансамблем), если
каждая его перегородка содержится точно в двух камерах. Показать,
что любой автоморфизм апартамента А (т. е. любая перестановка множе-
множества А, сохраняющая G), оставляющий неподвижными все точки какой-
нибудь камеры, тождествен. Более общо, пусть ф — эндоморфизм мно-
множества А и С — камера в А, такая, что ф (а) = а для всех а^С.
Пусть (С, Ch ..., Сп) — галерея в А. Показать, что либо галерея
(С, ф(С]) ф (Сп)) ие инъективна, либо ф(а) = а для любой точки а
из объединения всех С».
16) Пусть (W, S) — система Кокстера. Для любого элемента s e S
обозначим через W<s> подгруппу Ws_^ группы W, через А —• множе-
множество подмножеств группы W вида wW^s, где w e W и seS, и через
& — множество подмножеств в А вида Cw = [wW^ IssS}, nelC, кото-
которые будут называться камерами в А (упражнение 15).
а) Показать, что w i—> Cw есть биекция множества W на 6.
б) Показать, что для того чтобы две различные камеры Cw и Cw,
были смежными, необходимо и достаточно, чтобы существовал элемент
sgS, для которого w' = ws. Вывести отсюда, что А (со структурой @)
является апарта.ментом (упражнение 15), называемым апартаментом си-
системы (W, S). Показать, что длина минимальной галереи с концами Сш
н Сш, равна ls(w~lw').
в) Пусть % — множество ячеек ансамбля А н Fe§. Показать, что
существуют однозначно определенное множество X в 5 и элемент w e W,
такие, что wW х = || L Говорят тогда, что F — ячейка типа X. Пока-
F
зать, что коразмерность ячейки F равна мощности множества X. Пока-
Показать, что отображение /: F t—=> j | есть строго убывающая (по включе-
нию) биекция % на множество подмножеств в W вида wWх для w e W
и X a S. Показать, что для любого множества Y, такого, что X cz Y cz S,
каждая ячейка типа X содержит ячейку типа Y, и притом только одну.
') Имеется в виду архитектурный ансамбль (система зданий или
дом — immeuble), что находится в соответствии с наглядно геометри-
геометрической терминологией, принятой в упражнениях этой книги. Иногда
ансамбль, ассоциированный с парой (G, В), где В — подгруппа Титса в G
(см. упражнения к § 2), называется также основой соответствующей
системы Титса. — Прим. ред.

УПРАЖНЕНИЯ 49
г1 Группа W действует на А посредством левых переносов. Пусть
С = Се. Показать, что W действует на © просто транзитивно ')• Пусть
С],..., Сп — камеры в А. Установить эквивалентность следующих
условий:
(i) последовательность Г = (Со = С, Сь ..., Сп) является инъектив-
ной галереей;
(ii) существует последовательность s=(s,, ..., sn) элементов из S,
такая, что Cj = tj(Cj—l) для 1=С/<[я, где t/ — элементы последова-
последовательности ФE), определенные формулой (II) в п°4.
Показать, что если эти условия выполнены, то последовательность s
единственна и Сп = S\ ... sn(C). Показать, что галерея Г минимальна
в том и только том случае, когда последовательность s (Г) = s есть при-
приведенное разложение элемента w — S\ ... sn
д) Пусть Т — объединение множеств, сопряженных с S. Для / е Т
•обозначим через L; н назовем стенкой, определенной элементом /, мно-
множество точек из А, инвариантных относительно t. Показать, что Ц есть
объединение перегородок и что необходимое и достаточное условие при-
принадлежности перегородки F стенке Lt заключается в том, что ; (F) имеет
вяд wW^sy где / = wsw~'. Вывести отсюда, что для любой перего-
перегородки F существует, и притом единственный, элемент t — t(F)e T такой,
что F с: Lt. При этом Lt называется носителем перегородки F.
Показать, что если w(Lt) = Lt (для »s?), то w = 1 или w = t.
е) Для w\ w"eW положим С'=а/(С), С" = w" (С). Пусть Г =
= (С0 = С/, Сь .... Сп = С") — инъективная галерея с концами С п С".
Пусть t/ — элемент из Т, определяющий стенку, — носитель перегородки
Cj(]Cj-t, 1^/=Сга. Показать. что последовательность Ч (Г) =
= (w'~ltjw')] ^/<jre совпадает с последовательностью Ф (s (ву'~'(Г))).
Для t е?1 обозначим символом п (Г, t) число вхождений элемента
w'~ltw' в W (Г). Вывести из леммы 1, п°4, что число (—1)ге<г-" зависит
только от С и С", а не от Г. Обозначим его через Т) (С', С", I). Пока-
Показать, что соотношение г\ (С, С", t) = I определяет отношение эквива-
эквивалентности между С и С" и что соответствующие классы эквивалент-
эквивалентности переставляются элементом t. Обозначим через G+ (t) тот из этих
двух классов, который содержит С, а через @~~ (/) — другой.
Показать, что для w e W и s e 5 камера w (С) принадлежит G+ (s)
в том и только том случае, когда l(sw) >l(w).
ё) Пусть А+ @ (соотв. А~ (I)) — объединение камер, принадлежа-
принадлежащих E+ @ (соотв. G" @) (для t е Т). Показать, что А+ @ П А~ (t)=Lt.
(Для доказательства включения А+ (t) {] А~ (t) c^. Lf сведем все к слу-
случаю, когда fsS. При ое/ (l)f)A~{t) полол<им a=wW(s) cseSii
с @, S — {s} )-приведенным элементом w (упражнение 3). Если w (С) е
е (S~ (t), то / (tw) < / (w), и w = ts{ ... s , где s. s S, так что / (w) =
= q+ 1. Поскольку оеГ(/), существует элемент xeW18' такой, что
wx (C)e (S+ (t). Имеем тогда
/(twx) = 1 + I (wx) =l+l(w) + l (х).
') Пусть Н — группа, действующая на непустом множестве Е. Дей
ствие Н называется просто транзитивным на Е, если при любом х е Е
отображение h I—> h. х есть биекция Н на Е. Множество Е называется
еще главным однородным множеством для Н.

50 ГЛ. IV ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА * (
Но twx = S] ... sgx, что приводит к противоречию. Таким образом,
ш (С) е 6+ @ и / (tw) = 1 + / (w). Если х — элемент из W(s), для кото-
которого l(tmx)<l (тх), то при помощи упражнения 1 выводим, что twx = wx\
где х' е W(si. Отсюда ta = a и а е L^.)
Подмножества Л (/) и Л~ (^) называются половинами множества А,
определенными стенкой L(. Мы скажем, что две точки множества .4
лежат по одну сторону (соотв. строго по разные стороны) от Lf, если
они обе принадлежат одной из этих половин (соотв. не принадлежат
обе ин одной из них). Каждая ячейка лежит в одной из половин, опре-
определенных стенкой Lf. Если две ячейки содержатся в разных половинах,
то мы скажем, что они лежат по разные стороны от /.< или что стенка Lf
их разделяет.
ж) Пусть w e W. Показать, что / (ш) равно числу стенок, разделяю-
разделяющих камеры С и w (С).
з) Показать, что отображение ф, которое половине Ar (t) (соотв.
А~ (t)) сопоставляет пару A, /) (соотв. (—1, t)), есть биекция множе-
множества ?Л половин множества А на множество R — {\, —О^Т" (ср. п°4).
Заимствуя понятия леммы 1 из п° 4, показать, что <p(w (М)) = Uw (ф {М))>
каковы бы ни были melT и М е Ш.
17) Сохраним обозначения упражнения 16 и предположим, что
группа W конечна. Пусть §) — множество стенок в А. Каждой стенке
Н е .& сопоставим половину И+, определенную Н и содержащую ка-
камеру С. Показать, что элементы из & можно пронумеровать так, что
отображение / -> | | fjf будет строго убывающим на интервале
1.1, Card FI. (Рассмотрим семейство ^ пересечений множеств Н , упо-
упорядоченных по включению, и строго убывающую последовательность
(Fo, ..., F4) максимальной длины элементов из ?$?¦ Для любого Ws§
существует i такое, что Н+Z2 F/ при j^i и Н ф Ft-\- Показать, что
Fi = H+f] /=-,_,.)
18) Пусть А — апартамент (упражнение 15). Перегибом апартамента А
назовем такой его эндоморфизм я, что я2 = я и каждая камера в А
является образом при п либо 0, либо 2 камер.
а) Пусть я — перегиб апартамента А и С — камера в А такая, что
п(С) = С. Для любой смежной с С камеры С мы имеем либо я(С') = С',
либо п{С') = С. Если as С, то п(а) = а. Пусть (СВ = С, С,, ..., Сп) —
галерея. Показать, что либо л(С,-) = С,- для всех i, либо (Со, я(С(), ...
.-., я (Сп)) неминимальна (и имеются две одинаковые последовательные
камеры). Получить отсюда, что минимальная галерея с концами, инва-
инвариантными относительно я, сама инвариантна относительно я. Если
(С = СВ, С],..., Сп) — минимальная галерея и я (Сп) ф Сп, то сущест-
существует такой индекс /, 0 <; i < п, что я (С/) = С;- при 0 <;'^ i и я (Cj) Ф С/
при i <j 5g! «.
б) Пусть С], С2 — две различные смежные камеры и я, я' — два
перегиба апартамента А. Предположим, что я(С2)==С| и п (C^) — Ci.
Пусть С — камера. Рассмотрим три следующих условия:
(О я (С)-С;
B) diC^iXdiC^i);
C) п'(С)ФС
Показать, что A) ==^ B) =^ C), и получить отсюда, что эти три условия
эквивалентны. Показать, что я (соотв. я') — единственный перегиб мно-

§ 1 УПРАЖНЕНИЯ 51
жества Л, переводящий С2 (соотв. С{) в С, (соотв. С2). (Пусть усло-
условие B) выполнено, и пусть (с(, с'2,.-., С'п = С) — минимальная галерея.
Показать, что я (С/+])— единственная камера, отличная от я'(с',) и
содержащая перегородку я (С;- П C;+i)-) Показать, что я (й) и я' ((?)
образуют разбиение множества G камер в Л и что п(а) = л(а) = а для
всех a s я (Л)Пя'(Л). Показать, что отображение А в себя, совпадаю-
совпадающее с я' на я (Л) и с я на я'(Л), является инволютивным автоморфиз-
автоморфизмом множества А. Он называется отражением относительно перегородки
С, П С2. Показать, что это — единственный нетривиальный автоморфизм
множества А, оставляющий неподвижным все точки Cif]C2 (использо-
(использовать упражнение 5,6)).
в) Пусть А — апартамент, ассоциированный с системой Кокстера
{W, S). Вернемся к обозначениям упражнения 16. Пусть С! и С2 — две
смежные камеры и t — такой элемент из Т, что стенка Lf является носи-
носителем перегородки Cjf|C2. Пусть М/ — половина А, определенная Lt и
содержащая С./ (для /=1, 2). Показать, что отображение я, определен-
определенное равенством я (а) = а, если aeAf,, н n(a) = t(a), если а <= Af2, есть
перегиб апартамента Л, для которого я(С2) = С1, и что отражение отно-
относительно перегородки С,ПС2 есть отображение а\—> t (a).
19) Пусть Л — апартамент. Предположим, что для произвольных раз-
различных смежных камер С! и С2 существует перегиб (упражнение 18)
множества Л, переводищий С, в С2.
Пусть С — камера в Л и (С;)? е/ — семейство камер, смежных с С
и отличных от С. Обозначим через sf отражение относительно перего-
перегородки CfjC,- (упражнение 18,6)). Положим S = {sj | / s /} и обозначим
через W группу автоморфизмов апартамента Л, порожденную элемен-
элементами Si.
а) Показать, что для любой камеры С найдется такой элемент w<~W,
ЧТо С = w (С) (провести индукцию по длине d(C, С')).
б) Показать, что (W', S) является системой Кокстера. (Для is/
положить
Р = {w е= W\ w (С) <= щ (Л)},
где п{ — перегиб, переводящий С. в С, п показать, что условия предло-
предложения 6 выполнены. Для доказательства выполнимости условия (С) сле-
следует заметить, что если w^Ps и wS/ф Ps , то
w(C)f\wsl(C)c:n{(A)nsini(A).
Так как камеры w (С) и wsj (С) — смежные, то мы получаем отсюда,
что s; = wsjW~l (упражнение 18,6).)
в) Пусть F—ячейка камеры С. Показать, что стабилизатор Wp
ячейки F в W порождается элементами si^S, для которых FUC(]C{.
(Пусть w e W р с ls (w) > 1, и пусть /е/ таково, что w = s(w' с l(w')=
= l(w)—\. В силу предложения 6 имеем w'^Ps, откуда ю (С) с:
<=. sini (Л), F<=ni (Л) П s{n{ (А) и st e Wp.) В частности, w (С) = С тогда
и только тогда, когда w = 1.
г) Показать, что отображение а\—> ^{а} является изоморфизмом
апартамента А на апартамент, ассоциированный с (W, S) (упражнение 16),
и что этот изоморфизм совместим с действием группы W.
20) Пусть А — ансамбль и S — множество. Мы скажем, что Л про,
нумерован множеством S, если задано отображение f множества Л в S

52 ГЛ. IV. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА § 1
такое, что для любой камеры С ансамбля А сужение f на С есть биек-
ция камеры С на S. Если F—ячейка в А, то f (F) называется ее типом.
Пусть А — пронумерованный ансамбль. Эндоморфизм <р ансамбля А на-
называется допустимым, если а и <р (а) имеют один и тот же тип при
всех аеА
а) Пусть ф — эндоморфизм ансамбля А. Показать, что если в А есть
камера С, такая, что аи <р(а) имеют одинаковый тип при всех asC,
то ф — допустимый эндоморфизм. Показать, что если А — апартамент н
я —его перегиб (упражнение 18), то я — допустимый эндоморфизм.
б) Подмножество D cz А называется выпуклым, если для любого
ое^-0 существует допустимый эндоморфизм ф ансамбля бФ, такой, что
ф (х) = х при всех х s D и ф (а) Ф а. Показать, что пересечение вы-
выпуклых подмножеств всегда выпукло и что для любого подмножества
D а А существует наименьшее выпуклое множество, его содержащее.
Это выпуклое множество называется выпуклой оболочкой множества D
и обозначается символом Г (?>).
21) Пусть (W, S) — система Кокстера и А — ассоциированный с ней
апартамент (см. упражнение 16, обозначений которого «мы придержи-
придерживаемся).
а) Показать, что существует, и притом единственная, нумерация
(называемая канонической) множества А, для которой тип ячейки F со-
совпадает с типом, определенным в упражнении 16, в). Мы будем всегда
рассматривать А с этой нумерацией.
б) Показать, что допустимыми автоморфизмами апартамента А
являются действия элементов группы W.
в) Пусть D — подмножество в А, содержащее хотя бы одну камеру.
Установить эквивалентность следующих условий:
(i) D есть пересечение половин множества А (упражнение 16, ё)),
содержащих D;
' (ii) D выпукло;
(Hi) каковы бы ни были ячейки F{ и F2, содержащиеся в D, вы-
выпуклая оболочка множества Fi \j F2 содержится в D;
(iv) каковы бы ни были камера С] и ячейка F, содержащиеся -в D,
и какова бы ни была галерея (Сь ..., С„)> обладающая наименьшей воз-
возможной длиной и такая, что F cz С„, имеют место включения С,- cz D,
К (< п.
(Для доказательства импликации (Hi) => (iv) использовать упражне-
упражнение 15,6).) При доказательстве импликации (iv) => (i) провести рассу-
рассуждение от противного. Пусть D'— пересечение половин апартамента А,
содержащих D. Пусть оеС-Д Со — камера в D и (Со, С, Сп) —
галерея наименьшей длины, для которой а е С„. Тогда Су cz D' для всех /.
Показать, что существует такое целое число /, 0 < / < п, что С,- cr D и
C/+1gtD. Пусть М (соотв. М') — половина А, определенная стенкой —
носителем перегородки Cjf\Cj+i и содержащая С/ (соотв. С/+!). По-
Показать, что D ф М. Пусть 6 <= ?> Г) (Л — М) и Г = (с;, С[ С'р) — гале-
галерея минимальной возможной длины, для которой Ь е Ср. Тогда c'k cz D,
\^.k^.p, и CfpczM . Пусть п — перегиб апартамента А с образом ЛГ
(упражнение 18, в)). Тогда п(С/) = Cj + U н галерея л (Г) неинъективна
(упражнение 18, а)). Если Г' =(С;.+], с" Ср'-2> Ср) — галерея, кото-
которая получается из л (Г) удалением одной из двух последовательных
одинаковых камер, то галерея (Су, С/+1, С", ..., С"р_2, C'^j будет уже
минимальной, согласно определению галереи Г. Из условия (iv) вытекает
тогда, что Cy-(-i с: D. Противоречие.)

$ 1 УПРАЖНЕНИЯ 53'
?2) Сохраним обозначения упражнений 16 и 21.
а) Пусть (еГ и ад е= W. Показать, что камеры С н w (С) разделены
стеикой Li в том и только том случае, когда / (/ад) < / (ад) (воспользо-
(воспользоваться перегибом на половину А+ (t)).
б) Пусть ад0 е W. Установить эквивалентность следующих условий:
(i) /(адад0) =/(адо) —/(ад) для всех w e W;
(ii) / (<ад0) < / (ад0) для всех (si;
(Hi) каков бы ни был элемент /еГ, камеры С и ад0 (С) разделяются
стенкой /,<.
Для доказательства импликации (iii)=^>(i) воспользоваться упраж-
упражнением 16, ж)).
Показать, что элемент w0 с описанными свойствами определен одно-
однозначно и существует в том и только том случае, когда группа W конечна..
Тогда им является элемент наибольшей длины в W, характеризуемый
тем, что
(iv) l(swa) < l(wa) для всех seS.
Кроме того, ffi>Q=l, w0Sw0 = S и / (ю0) = Card (Г).
в) Пусть группа W конечна. Показать, что для любой камеры Со-
существует, и притом единственная, камера — Со, такая, что Са\}(— Со)
не содержится целиком ни в какой половине апартамента А. Показать,
что существует единственный инволютивный автоморфизм (не обязательно
допустимый) <р, такой, что <р (Со) = — Со для любой камеры Со и
<p(L) = L для любой стенки L из А. Для а е А положим <р(а)=— а.
Если F — ячейка, то — F = <р (F) называется противоположной к ней
ячейкой.
г) Пусть Со — камеры в А и F — ее перегородка. Показать, что
выпуклой оболочкой C0(J( — F) является половина апартамента А, опре-
определенная стенкой L с носителем F и содержащая Со.
23) Снова используем обозначения упражнения 16. Пусть Aut {A) —
группа автоморфизмов апартамента А. Показать, что автоморфизм
<р <= Aut (А) переставляет стенки апартамента А и что <р/<р-1 е Т для
всех /еГ (воспользоваться упражнением 16). Получить отсюда, что W
(отождествленная с подгруппой в Aut (Л)) является нормальной подгруп-
подгруппой и что Aut (А) — полупрямое произведение подгруппы Е автомор-
автоморфизмов, сохраняющих камеру С, на W. Доказать, что действие Aut (A\
на W определяет изоморфизм группы Е на группу автоморфизмов си-
системы Кокстера (W, S) или, что то же самое, графа Кокстера системы
{W, S) (см. также упражнение 19).
24) Мы назовем структурным ансамблем ансамбль / с системой Я
секций, удовлетворяющей следующим условиям:
(СА 1) Секции А е= 91 являются апартаментами.
(СА 2) Две камеры в / содержатся по крайней мере в одном из-
апартаментов системы Я.
(СА 3) Каковы бы ии были Аи Л2 е= Щ, такие, что пересечение Л, Л А2
содержит камеру, существует изоморфизм А\ на А^, оставляющий не-
неподвижными точки из А\ П Л2.
Пусть (/, Щ — структурный ансамбль. Элементы системы Ж назы-
называются апартаментами пары (/, Щ или просто ансамбля /.
а) Показать, что апартаменты ансамбля / попарно изоморфны. Пусть
С — камера в / и А — апартамент ансамбля /, содержащий С. Показать,
что существует, и только один, эндоморфизм р ансамбля / (называемый
ретракцией I на А с центром С), такой, что р (а) = а дли всех а е= А
» для всякого апартамента А', содержащего С, сужение р на А' есть
изоморфизм А' на А. (Используя условие (СА 2) и упражнение 15, б),
отметить то обстоятельство, что для любого апартамента А', содержа-

54 ГЛ. FV. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА § I.
щего С, существует единственный изоморфизм рл,, оставляющий непо-
неподвижными все точки камеры С.) Показать, что р! = р и р~'(С) = С.
б) Пусть Л — апартамент в /, Со — камера и F — ячейка, содержа-
содержащаяся в Л. Пусть (Со, С,, ..., Сп) — галерея наименьшей возможной
длины, такая, что FczCn. Показать, что С; а А для 1 ^ i ^ n (рассу-
(рассуждение от противного: если С; с: Л и С(+1 ф. А, рассмотреть ретракцию
ансамбля / на А, центром которой является камера в А, отличная от С(
и содержащая C,-f|C(+,).
в) Пусть А — апартамент в /, С — камера в A, F — перегородка
в С, С —какая-то другая камера в / и Г = (С0,..., С„ = С) — галерея
наименьшей возможной длины и такая, что F с Со. Показать, что ретрак-
ретракция р ансамбля / на А с центром в С переводит Г в галерею
такую, что длина ее минимальна и FcCj (рассмотреть апартамент А',
содержащий С и F, и использовать б) и тот факт, что сужение р на А'
является изоморфизмом).
г) Пусть А — апартамент, С, и С2 — две различные смежные камеры,
содержащиеся в А, С"— камера, содержащая <?if|C2 и отличная от С{
и С2, А\ — апартамент, содержащий С( и С (для ( = 1, 2). Пусть ф(
(соотв. ф,) — ретракция / на А (соотв. Л^) с центром С{ (соотв. С'), и
пусть рг — сужение ФгО1фг на А. Пусть С — камера в А. Показать, что
¦если
, С2),
то р, (а) —а для всех а^С и d (С, C\)<d(C, C2) (рассмотреть мнни?
мальную галерею Г с концами С и С, и применить в) для доказатель-
доказательства минимальности р, (Г); использовать затем упражнение 15, б)). По-
Показать, что если d(C, С2) < d{C, С,), то р, (С) Ф С ир^(С) = р,(С)
<взять минимальную галерею Г с концами С и С2 и использовать в) для
доказательства того, что Р) (Г) — галерея минимальной возможной длины
и такая, что одним ее концом служит Р) (С), а другим — камера, содер-
содержащая С1(]С2; вывести отсюда, что d(C,, pi (Ci)) s^ d (C2, pi (C,))).
Показать, что р( — перегиб (упражнение 19) апартамента А (показать,
что А = р, (ЛI)рг (А)> р определить инволютивный автоморфизм а апар-
апартамента А, положив а(А) = рг(а) при а ер, (Л) и a(a) = pi(a) при
аер2(Л); показать, что если С — камера, содержащаяся в р, (А), то
1
{}
д) Пусть / — пространственный (или вместительный) структурный ан-
ансамбль, т. е. такой ансамбль, что любая перегородка содержится по крайней
мере в трех камерах. Показать, что существует, и с точностью до изомор-
изоморфизма только одна, система Кокстера (W, S) такая, что апартаменты в /
изоморфны апартаменту Ао, ассоциированному с системой (W, S) (исполь-
(использовать г) и упражнение 19). Пусть А — апартамент в / и ф — изомор-
изоморфизм Ао на А. Показать, что существует однозначно определенная
нумерация ансамбля / со значениями в S, такая, что типы а н ф (а)
совпадают для всех а е Ао (выбрать камеру С в Л и показать, исполь-
используя б), что если Л' и А" — два апартамента в /, содержащие С, то ну-
нумерации А' и А", продолжающие нумерацию на С, совпадают на Л'("|Л").
Мы скажем, что система Кокстера (W, S) и нумерация, полученные
таким образом, приспособлены к I.
Показ ать, что введенные в а) ретракции являются допустимыми
эндоморфизмами. Показать, что подмножество в /, содержащееся

§ 1 • УПРАЖНЕНИЯ 55
в апартаменте А ансамбля /, является выпуклым в / тогда и только тогда,
когда оно выпукло в А (упражнение 20).
е) В обозначениях д) пусть ^ — множество допустимых изоморфиз-
изоморфизмов Ао на различные апартаменты из /. Показать, что если ф, ф cr 3 и
С — камера, a F — ячейка из /, содержащаяся в <р {Ао) Г) ф (Ао), то суще-
существует элемент w e W, для которого ф~' (С) = о>ф~' (С) и ф~'(/г) =
= о><р-' (F) (рассмотреть изоморфизм?,, апартамента ф(Л0) на г}> (Ао), оста-
оставляющий неподвижными точки в ф (Ао) П ф {Ао), и применить упражне-
упражнение 21, б) к изоморфизму i|j~ °Л°ф~ апартамента Ао).
25) Пусть / — множество и ?5 — множество конечных подмножеств
в /. Для любого A eg положим е (А) = (— 1) Card (А). Пусть G — ком-
коммутативная группа, записываемая аддитипно, а ф и ф — два отображе-
отображения ?$• в G. Показать, что следующие два свойства эквивалентны:
(i) ф (.4) = 2 Ф (^) для любого A е g;
(ii) г|5(Л)= 2 е(Л—В)ф(В) для любого ^sg.
ВаА
26) Пусть (U7, 5) — система Кокстера с конечным множеством 5.
Для любого подмножества Н группы W обозначим через Н (t) формаль-
формальный ряд с целыми коэффициентами
а) Пусть CardS = 2. Показать, что в этом случае
t I j ftn y
%W(t) — — , если W имеет конечный порядок 2т;
W {t) = —j — , если W бесконечна.
б) Предположим, что группа W конечна. Пусть w0 — элемент наи-
наибольшей длины в W (упражнение 22) и m = l(w0). Показать, что тогда-
(воспользоваться упражнением 22).
в) Пусть X — подмножество в S. Обозначим через Ах множество-
(Я. 0)-приведенных элементов в W (упражнение 3) и через Wх под-
подгруппу в W, порожденную множеством X. Мы знаем (упражнение 3)*
что элемент w e W принадлежит А „ в том и только том случае, когда
/ (xw) = I (w) -\-1 для всех х е X, что любой элемент w e W однозначно запи-
записывается в виде w = uw с и е Wx, v s Ах и что тогда / (w) = / (и) + / (v).
Вывести отсюда формулу
W(t) = Wx(t).Ax(t).
г) Сохраним предыдущие обозначения и обозначим через Вх множе-
множество w s Ах, таких, что I (sw) == / (w) — 1 для любого s e S — X. Пока-
Показать, что
А @= 2 BY{t).

55 ГЛ. IV. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА § 2
Получить отсюда, что
Bx(t)= 2 *{Y-X)AY(t), где e(Z) = (-l)Card(Z)
X<=Y<=S
(использовать упражнение 25).
д) Предположим, что группа W конечна, и определим т и w0, как
в б). Показать, что В0 = {а>0} и что
Y<=S
(использовать в) и г)).
е) Пусть W бесконечна. Показать, что В0 =0 и что
0^ ^' е(К>-
ё) Показать, что формальный ряд W (t) является рациональной
функцией от / (использовать е) и провести индукцию по Card (S)). Пока-
Показать, что эта рациональная функция обращается в нуль только при t,
. I
являющихся корнями из единицы; показать, что -^-.—г целое число.
W (оо)
Показать, что — _t e Z [[<]].
§ 2.
1) Пусть О — группа, В и <V — две подгруппы в G и S — подмноже-
подмножество в W = NI(B(\N). Для любого w e IF положим С (о») = BwB. Пред-
Предположим, что выполнены условия (Т1) и (Т2) определения 1 п° 1, что
при любых ss S и w e W справедливо по крайней мере одно из двух
соотношений С (s). С (w) — С (sw) ила С (s). С (sw) = С (ш) н что
в BUC(s) является подгруппой группы О при всех seS. Показать, что
тогда выполнено условие (ТЗ). Если, кроме того, индекс подгруппы В
в BL)C(s) будет >3, то (G, В, JV, S) — система Титса.
2) Пусть G — группа, В и N — две подгруппы в G и S — подмноже-
подмножество в W = N1 (В fl N). Пусть Z — нормальная подгруппа группы G, со-
содержащаяся в В. Пусть В' и ЛГ — канонические образы В и N в G' = G/Z.
Показать что каноническое отображение N на Ы' определяет изомор-
изоморфизм W на W = Ы'/(В' П Ы'). Пусть S' — образ множества S при этом
изоморфизме. Показать, что (G', В', ЛГ, S') будет системой Титса тогда и
только тогда, когда (G, В, Ы, S) — система Титса.
3) Пусть О — группа, В — подгруппа в О и (С {w))w e w — семейство
двойных смежных классов G по В. Говорят, что В — подгруппа Титса
группы О, если существует подмножество S czW, такое, что выполнены
следующие условия:
A) объединение классов С (s), se S, порождает G;
. B) при всяком seS множество В[}С (s) является подгруппой в G
и индекс подгруппы В в В U С (s) не меньше 3;
C) для любого ssSe любого w е Й7 существует элемент о»' s W»
такой, что С Is). С (w) а С (w) U С (в»')-
Впредь будет предполагаться, что В — подгруппа Титса группы G и
-S — подмножество в U^, удовлетворяющее условиям A)—C).
а) Показать, что C(s)~l = C(s) и что С (s). С (s) = BLJC (s) для

УПРАЖНЕНИЯ 57
всех s e S. Показать, что для любого seS и любого w e W суще-
существует элемент w" e W, такой, что С (w) .C{s)czC (ш) (J С (w").
б) Назовем длиной элемента w e W и обозначим через l(w) нижнюю-
границу целых чисел л^О, таких, что существует последовательность
Si, ..., sn e 5, для которой С (w) с: С (si) ... С (sn). Показать, что / (w)
конечна для любого w e W.
Пусть и,5еУ, /(и) </(»), и пусть s e S. Показать, что если
С (а) с: С (и). С (s) (соотв. С (о) с: С (s). С (и)), то С (v) = С (и) .С (s}
(соотв. С (о) = С (s) .С (и)). (Провести индукцию по длине элемента и.
Если С (у) ф С (и). С (s), то С (и).С (s) = С (u) U С (о). Используя пред-
предположение индукции, показать, что существуют /е5 и шеУ, такие,
что
С(и) = С(<).С(и>) с /(и>) = /(«)- 1.
Из соотношений С (о) с= С (и). С (s) = С (/). С (аи). С (s) н С @ . С (ш) =
= С (и) ф С (о) вывести существование элемента w' ф w, для которого
C(w')c=C (w).C(s) и С (о) cz С (t). С (w~), так что / (ш') > / (о) — 1 >
> 1(и) — \ = I (w). Предположение индукции дает тогда
С (w1) = С (w). С (S).
Кроме того,
С @ . С (и). С (я) = С @ . С @ . С (в,). С (s) =
= С @ . С (w). С (s) U С (ю). С E) = С (и). С E) U С (w') =
= С (и) U С (t>) U С (а/),
а также
С {t). С (и) .С E) = С (/). (С (и) U С (о)) =эС (/). С @ . С (ю)сг С (w),
что приводит к противоречию, поскольку w ф и, v, w'.)
в) Показать, что для любого w e W и любого seS существует
один и только один элемент, обозначаемый через s. w (соотв. w * s),
отличный от w и такой, что
С (s . w) cz С {s). С (w) с С (w) U С (s . ш)
(соотв. C(»ts)cC (ш). С (s) с: С (ш) U С (ш * s)). (Показать индукцией
по l(w), что С (s) .С (w) ф С (w). Для этого записать
С (в») = С (и). С (О,
где /eS, лей? н / (ш) = / (и) + 1. Если С (s). С (w) == С (ш), то
С (я). С (и). С @ = С (и). С @.
и, умножая это равенство справа на С (/), сделать заключение С (и) [} С (о>)=
= С (s). С (и) {] С (w). Так как по предположению индукции С (и) ф
Ф С (s) .С (и), то в соответствии с б)
C(s).C{u) = C(w),
о:куда
С (и) с= С (s) .C(s).C{u) = C (s). С (он) = С (w),
а это невозможно.)
г) Пусть s <= S. Показать, что отображение р$: ш i—> s . w (соотв.
^s: w i—> w * s) является перестановкой на W н что ps = Id (соотв.
<?s = Id). Показать, что при s, t e S будет ps"Qi = qt°ps. (Исследовать
произведение С (s) .С (w) .С (t) с w <= UP и показать, что (s.a>)*?e
<= {га, s . w, w • /, s :{w * t)}; показать, что (s . w) * t ф. {s . w, w * t] н что если
{s .w) * t = w, то s.w = w*t и w = s .(w *t).)
д) Показать, что порожденная элементами ps (соотв. qs), seS,
группа перестановок Р (соотв. Q) действует просто транзитивно на W*

58 ГЛ. IV. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА § 2
(Для доказательства транзитивности Р использовать условие B) и рас-
рассуждать, как в лемме 1 из п° 1. Для доказательства однократной тран-
транзитивности использовать г).) Вывести отсюда, что на W существует
однозначно определенная структура группы, такая, что отображение
р\—>р(е) (где е — элемент из W, для которого В = С(е)) есть изомор-
изоморфизм Р на W). Отображение q I—> q (e) тогда тоже изоморфизм. При
этом s. w = w * s = sw для всех s^S и всех w e W, а С (w) =
= с(и.-1).
е) Показать, что пара (W, S) является системой Кокстера, и обоб-
обобщить результаты п° 4.
ё) Пусть X — подмножество в S и Wх — подгруппа в W, порожден-
порожденная множеством X. Показать, что множество G х — объединение клас-
классов С (w) для w e W у — есть подгруппа в О и что еще справедлива
теорема 3 из п°5. Показать, что В является подгруппой Титса группы G х.
Обобщить предложения 2 и 3 из п°5, определение 2, предложение 4
и теорему 4 из п° 6. Показать, что S совпадает с множеством элемен-
элементов w e W, таких, что В (J С (w) есть подгруппа в О, отличная от В.
Система Кокстера (W, S) и группа W (которая называется группой Вейля
пары (С, В)) зависят, следовательно, только от пары (О, В).
ж) Пусть N — подгруппа в С, такая, что B[]N нормальна в JV и что
всякий двойной смежный класс С (а») относителйю В пересекается с ./V
по смежному классу относительно BflN. Показать, что группа N/(Bf\N)
отождествляется с W и что (С, В, N, S) является системой Титса.
4) Пусть (О, В, N, S) и (С, В, N', S') — две системы Титса с G=G'<
В = В' и группами Вейля W и W. Пусть j — биекция W на W', опреде-
определенная соотношением
BwB = Bj(w)B.
Показать, что / является изоморфизмом группы W на W и что / (S)=S'.
5) Пусть 2 = (G, В, N, S) — система Титса. Положим T=Bf\N
и обозначим через N нормализатор группы N.
а) Пусть beb[]N. Показать, что ЬпЬ~хп~х е В[\ N при всех n^N
(положить bn — n'b и использовать теорему 1) и что Ь принадлежит пе-
пересечению Г сопряженных подгрупп пВп~1 для я е N. Показать, что
Система 2 называется насыщенной, когда Т = Т.
б) Положим N = N .Т. Показать, что N — подгруппа в G, содер-
содержащая Т в качестве нормальной подгруппы, и что N[\B = Т. Показать,
что вложение N в N определяет изоморфизм / группы Вейля W системы 2
на N/T.
в) Показать, что (О, В, N, j (S)) — насыщенная система Титса, назы-
называемая системой, ассоциированной с 2.
6) Вновь используем обозначения из п°2. Пусть No — подгруппа в N,
состоящая нз матриц, все элементы которых равны 0 или 1. Показать,
что BC\No = T{]No = {l} и что каноническое отображение / группы Л/о
в W = N/T является изоморфизмом. Положим So == i~l (S). Показать, что
(G, В, No, So) — система Тнтса и что (G, В, N, S) — ассоциированная
с пен насыщенная система Титса.
7) Пусть G — группа, действующая на множестве Е. По определению
-группа G действует иа Е дважды транзитивно, если дли любых двух

§ 2 _ УПРАЖНЕНИЯ 59'
пар элементов х, у, х', у е Е с х Ф у, х' ф у' существует такой эле-
элемент g e G, что g . х — х' и g. у— у'.
а) Пусть (С, В, N, S) — система Титса, группа Вейля которой имеет
порядок 2. Показать, что С дважды транзитивна на О/В.
б) Пусть С — дважды транзитивная группа на множестве Е. Пред-
Предположим, что Card?^3. Обозначим через В стабилизатор какой-нибудь
точки ее?. Пусть х е Е, х Ф е, и пусть п — элемент из С, для кото-
которого п (е) = х и п (х) — е. Пусть, далее, N — подгруппа группы G, поро-
порожденная элементом и, a s — канонический образ элемента и в N/T. По-
Показать, что (G, В, W, {s}) — система Тнтса с группой Вейля порядка 2.
8) Пусть (С, В, N, S) — система Титса. Положим T = B[\N и W =¦
= N/T. Пусть С — группа, содержащая О в качестве нормальной под-
подгруппы. Предположим, что для любого 4е(! существует элемент geC,
такой, что hBh~~= gBg~^ и hNh~^ =gNg~~\ Пусть В (соотв. АО—нор-
АО—нормализатор подгруппы 8 (соотв. N) в О. Положим Г = S^f] A^, A^=r..V
и f = N П В-
а) Показать, что П = Г . О, В = Г . В, Г f| В = Г f| G и f= (ГЦ В).Т.
Группы ?2= Г/(Г П В), С/О и B/S, следовательно, канонически изоморфны.
Если Ф сг Я и // — подгруппа в О, содержащая Г |"| В, то обозначим
через ФН объединение множеств ц>Н для ф е Ф.
б) Показать, что Т — нормальная подгруппа в А' (для доказательства
включения пуп~ е Т при BeiVnvsPflB использовать упражнение 5, а)),
что N(]f=Tn что Г {]f=T(] В. Вложение .V (соотв. Г) в А7 позво-
позволяет, следовательно, отождествить W (соотв. Q) с некоторой подгруппой
группы W = N/T. Показать, что Q нормализует S н что W есть полу-
полупрямое произведение Q. н W.
в) Показать, что
BsBuBci{BuB)\J{BsuB)
при всех s s S и всех и е U7.
г) Показать, что и I—=>- ВиВ есть биективное отображение группы W
на B\G/B (использовать теорему 1 и тот факт, что Г нормализует В).
д) Пусть 9J — множество пар (Ф, X), где Ф — подгруппа группы Q
и X — подмножество в S, нормализуемое группой Ф. Положим G(<j>ijc) =
— Q>GX = ВФ№ХВ (в обозначениях п°5). Показать, что отображение
(Ф, X) I—э- О'(ф_ Х) есть бнекция множества чр на множество подгрупп
в G, содержащих В. Обобщить утверждения б) и в) теоремы 3 н пред-
предложения 2 нз п°5.
Показать, что нормализатор подгруппы С(ф ^ в G является под-
подгруппой вида С(ф, Х), где Ф' — множество элементов в Q, нормализую-
нормализующее как Ф, так и X.
е) Показать, что 0(ф Х) будет максимальной подгруппой в G в том-
и только том случае, когда выполнено одно из следующих двух условий:
(i) X — S и Ф — максимальная подгруппа в Q;
(И) Ф = Q и Ф действует транзнтивно на S — X (которое не пусто).
Показать, что (?,ф %. будет максимальной в множестве подгрупп
группы G, не содержащих G, в том и только том случае, когда
(Hi) X ф S и Ф — нормализатор множества I н Q, транзнтивно дей-
действующий на S — X.
ё) Пусть Ф — нормальная подгруппа в Q. Положим G' = ФО, В' =
= ФВ, N' = ON h Г = В'ПА7'. Показать, что Г = ФГ и что Г является

¦60 ГЛ. IV. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА § 2
нормальной подгруппой в N' тогда и только тогда, когда любой элемент
группы Ф коммутирует с любым элементом из W. Показать, что тогда
G' — нормальная подгруппа в G, что вложение N в N' определяет изо-
изоморфизм j группы W на W' = N'/T' и что (О', В', N', S') (где S' = / (S))
¦является системой Титса.
9) Пусть (G, В, N, S) — система Титса и X, Y, Z — три подмножества
в S. Показать, что
¦(воспользоваться упражнением 1 к § 1 и предложением 2 из п°5).
10) Пусть G — группа и В — ее подгруппа Титса. Вернемся к обо-
обозначениям упражнения 3. Для seS обозначим через G'*' подгруппу
<?s_{Sj (упражнение 3, ё)). Пусть / — множество подмножеств в G вида
(для jeG hssS), (? — множество подмножеств в / вида Cg =
{g I se Sj для jeO, Множества Сг называются камерами в-/ (§ 1.
упражнение 15). Группа G действует на / при помощи левых переносов.
а) Пусть 5 — множество ячеек в / (т. е. частей камер; см. § 1, уп-
упражнение 15). Пусть f s§- Показать, что существуют однозначно опре-
определенное подмножество X с S н элемент geC, такие, что gGx = (*\a.
В этом случае говорят, что F — ячейка типа X. Показать, что тогда F
•состоит нз gG's) для s е5 — X и имеет коразмерность Card X в любой
содержащей ее камере. Показать, что отображение /: F \—> JJ а есть
a <=F
строго убывающая биекция, совместимая с левыми переносами, мно-
множества fy иа множество подмножеств группы G вида gGx для g s G
и X cr S. Показать, что при X cY cz S ячейка типа X содержит един-
единственную ячейку типа Y.
б) Показать, что G транзитивно действует на множестве камер (?
и что стабилизатор камеры Cg (g e G) равен gBg~l. Таким образом,
отображение g i—> Cg определяет биекцию G/B на @.
в) Показать, что две камеры Cg и Сg, (g, g' e G) смежны (§ 1, упра-
упражнение 15) в том и только том случае, когда существует s e S, для ко-
которого g'eg(SLJSsS).
г) Пусть С , Сп — камеры в /. Положим С0 = Се. Установить
эквивалентность следующих условий:
(i) последовательность Г = (С0, С\, ..., Сп) является инъективной
галереей;
(И) существуют последовательность s = (s,, ..., sn) элементов из S
и последовательность F,,..., Ьп) элементов из В, такие, что С/ =
= blslb2s2 ¦¦¦ */*/(^о) (где «/ — данный элемент двойного класса Bs^B)
для 1 </ sSCrc.
Показать, что если эти условии выполнены, то последовательность s
единственна. Назовем ее типом галереи Г и обозначим через s (Г). По-
Показать, что инъективнаи галерея минимальна в том и только том случае,
когда ее тип является приведенным разложением. Показать, что выпол-
выполнены следующие условия:
(WI 1) каковы бы ни были камеры С и С в I, существует одно-
однозначно определенный элемент t (С, С) группы W, такой, что множество
типов минимальных галерей с концами С и С будет множеством при-
приведенных разложений для t (С, С);

§ 2 УПРАЖНЕНИЯ 61
(WI 2) для любой камеры С отображение С 1—> t (С, С) множества
камер из I в W сюръективно.
д) Показать, что две минимальные галереи одного и того же типа
с одинаковыми концами совпадают. (Это сводится к доказательству того,
что если (s(, ..., sn) — приведенное разложение и если 6Ь ..., Ьп,
Ь\,..., Ъ'п — элементы из В, для которых blsi ... bnsn ^blsi ... bnsnB, то
6,1, e b'lslB. Заметить, что если бы s~xbjxb[ sl ф. В, то этот элемент при-
принадлежал бы Bs\B, откуда 62% • • • bnsn e bs{b'b^2 ... b'nsnB с b, b' e В,
вопреки следствию 1 теоремы 2 п° 4.)
е) Показать, что /, снабженное множеством (S, образует ансамбль,
называемый ансамблем, ассоциированным с парой (G, В). Показать, что
существует единственная нумерация (§ 1, упражнение 20) ансамбля /,
при которой тнп ячейки совпадает с типом, определенным в а).
ё) Показать, что / — пространственный ансамбль, т. е. что каждая его
перегородка содержится но крайней мере в трех камерах (см. § 1, упра-
упражнение 24). Показать, что выполнено следующее условие:
(G) каковы бы ни были перегородка F, камера Со, галерея Г =
= (С0, ..., Сп) минимальной возможной длины и такая, что F<=Cn,
а также камеры С и С", содержащие F и отличные от Сп, существует
элемент g e G, для которого g(C{) = Ci при 0</^и и g(C') = C".
(Все сводится к случаю, когда Со = С. Пусть и е S — такой элемент,
что F будет ячейкой типа S — [и}, и пусть s — тип галереи Г. Показать,
что (s, u) — приведенное разложение. Взять элемент АеС, для которого
Cn = h(С).Существуют 6'к6"еВ,такие, что С = hb'u (С) и C"=hb"u (С).
Использовать, далее, следствие 1 теоремы 2 п° 4, обобщенное иа случай
подгруппы Титса (см. упражнение 3, е)), для доказательства существо-
существования 6е=В, такого, чтоbhb'uB=hb"uB. Тогда b<=hBuBu~xBh~x <={hBh~l)\J
[}(hBuBh-1). Если b<=hBuBh-1, то BhB cr BhBuB = BhuB (там же),
а это невозможно. Следовательно, Ь (Сп) = Сп, и из д) следует, что
b (Cj) = Ci для любого i.)
11) Пусть (W, S) — система Кокстера и / — ансамбль, пронумерованный
множеством S (§ 1, упражнение 20). Назовем типом инъективной галереи
Г = (Со, ..., Сп) и обозначим через s (Г) такую последовательность
(sb ..., sn) элементов из S, что перегородка C{-if\Ci имеет тип S — {sj
(для 1<J <<;«). Говорят, что / есть (W, 8)-ансамбль, если выполнены
условия (WI 1) и (WI 2) упражнения 10.
Пусть / — пространственный (W, 5)-ансамбль (см. упражнение 10, ё)),
и пусть Q — группа его допустимых автоморфизмов, удовлетворяющая
следующему условию:
(Go) для любых трех различных камер С, С и С", содержащих одну
и ту же перегородку, сцществует такой элемент в е О, что g (С) == С и
S (С) = С".
Выберем камеру С ансамбля / н обозначим через В ее стабили-
стабилизатор в G.
а) Показать, что G действует транзитивно на множестве камер
ансамбля /.
б) Пусть С и С" — две камеры. Показать, что / (С, С) = t (С, С")
в том и только том случае, когда существует элемент b e В, для ко-
которого С" = Ь (С). (Если t (С, С) = t(C, C") = w, то рассмотреть при-
приведенное разложение s элемента w н минимальную галерею Г' (соотв. Г")
с концами С, С (соотв. С") и типа s. Провести индукцию по / (да), ис-
используя условие (Go) н а).) Получить теперь биекцню Ш1—>B(w) группы W
на B\G/B.

62 ГЛ. IV. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА § 2
в) Пусть F - перегородка камеры С типа 5 - Ы. Показать, что ста-
стабилизатор ячейки F в и равен В [} В (s) (если g(F) = F, то t (С, g (С)) = 1
или s). Показать, что В cz В (s) В (s) (использовать (Go))-
г) Показать, что В — подгруппа Титса группы G и что система Кок-
стера пары (G, В) канонически изоморфна системе (W S) (Пусть w e W
и seS таковы, что ls (sw) = l$ (w) + 1. Пусть g<=B(w) и ue=B(s).
Пусть « = (s,, ..., sra) — приведенное разложение элемента ш и (С = Со>
С„.... Cn = g (С)) —минимальная галерея типа s Выбрать элемент
s. е= В (s?). Используя (Go), показать, что существуют элементы 6. е= В,
для которых С(. = 6,s, ... blsi (С). Положить С^ = u (C,_,). и показать,
что галерея (С, и (С), и (С,), ...,и (Сп)) имеет тип (s, s) и, следовательно, ми-
минимальна. Вывести отсюда, что ug е В (sw) и Чт0 В (s) В (в>) = В (sa>)
Если теперь / (sw) = / (ш) — 1, положить и>' = Sw. Тогда В (s) В ( w') =
= В(ш), откуда
В (s) В (ш) = В (s) В (s) B(w')czB(w')\JB (s) В (w') = В (sw) U В (w).
Наконец, поскольку В с: В (s) В (s), выполнено также включение В(ш') =
= В (sw) с= В (s) В (w).) v '
д) Показать, что существует однозначно определенный изоморфизм
ансамбля, ассоциированного с (G, В) (упражнение 10) на /, совместимый
с действием группы G и переводящий каноническую камеру Се в С.
12) Пусть (G, В, N, S) - система Титса, Г = #/(? П ЛГ) - ее группа
Вейля, / — (W, 5)-ансамбль, ассоциированный с (G, В) (упражнение 10),
и С = Се — каноническая камера ансамбля /. Пусть *М0 апартамент,'
ассоциированный с системой Кокстера (W, S) (§ ^ упражнение 16). Для
любого geG пусть q^ — отображение Ао в /, которое точке wW{s) из Ао
(w s W, s s S) ставит в соответствие точку gwG^ ансамбля /.
Показать, что при всех geG отображение yg есть изоморфизм про-
пронумерованных ансамблей Ао на секцию ансамбля /, состоящую из объеди-
объединения камер gn (Се), п е N. Показать, что / с множеством 81 всех
Ф(Л) для g<= G есть структурный ансамбль (§ \у упражнение 24). (Для
й (СА 2)
у ур
доказательства свойства (СА 2) заметить, что если е-' в" s G, то суще-
существуют Ъ\ Ь"^В и nt=N, такие, что g'~lg" ^ь'пЬ". Положив тогда
g = g'bn, показать, что g1 (С) и g' (С) содержится в <рг (Ао). Для дока-
доказательства свойства (СА 3) свести все к случаю двух апартаментов А' —
= Ч>ЛЛ>) и Л"==(Р&(Ло) с бе В и, используя предложение 2 п° 5, по-
показать, что отображение а \—> Ъ (а) оставляет неподвижными точки пере-
пересечения А' П А"). Показать, что система Кокстера (W, S) и нумерация
ансамбляt/ приспособлены к (/, Ж) (§ 1, упражнение 24, д)) и что мно-
множество 3 допустимых изоморфизмов апартамента .40 на различные эле-
элементы в Ш совпадает с множеством ф^. для ggg
13) Вернемся к обозначениям упражнения 24 из § 1: (/, Я) простран-
пространственный структурный ансамбль, снабженный системой Кокстера (W, S)
и приспособленной нумерацией; й — множество допустимых изомор-
изоморфизмов апартамента Ао, ассоциированного с (W, 5), на различные апар-
апартаменты ансамбля (/, 91). Пусть, кроме того, G — группа допустимых
автоморфизмов ансамбля /, сохраняющих Е. Группа G действует тогда
на $, и мы предположим, что она действует там транзитивно.
Пусть, наконец, С — камера в /, А — апартамент в Ш, содержащий С,
ф — допустимый изоморфизм Ао на А, переводящий каноническую ка-
камеру Се апартамента Ао в С, В — стабилизатор камеры С в О и N — ста-
стабилизатор апартамента А в О.
а) Показать, что если А' и А" — два апартамента из %, содержащие
одну и ту же камеру, то существует geC, для которого g(А') = А"

УПРАЖНЕНИЯ 63
и g (a) = а при всех аеА'ОА". Показать, что О транзнтивно действует
на множество пар (А, С), где А е 91 н С — камера в А.
б) Показать, что отображение и\—5-ф~'°я°ф есть сюръективный
гомоморфизм /V на W с ядром B[)N. Отождествить затем N/(B[)N) и W.
в) Показать, что условия (WI I) и (WI 2) упражнения 10, г) вы-
выполнены (использовать следующий факт: если апартамент в / содержит
две камеры С" и С", то он содержит и всю минимальную галерею с кон-
концами С, С" (§ 1, упражнение 24, б))).
г) Показать, что условие (Q) упражнения 10, ё) (а тем самым н
н условие (Go) упражнения II) выполнены. (В обозначениях условия (G)
рассмотреть апартамент А' (соотв. А") в /, содержащий Со и С
(соотв. С"). Используя упражнение 24, б) из § I, показать, что Г с: А' П А",
и применить а).)
д) Показать, что (G, В, N, S) — система Титса и что (/, 91) канони-
канонически изоморфен ассоциированному с ней пронумерованному структур-
структурному ансамблю (упражнение 12).
14) Пусть (О, В, N, S) — система Титса, (/, 91) — ассоциированный
<; ней пронумерованный структурный ансамбль (упражнение 12). Пока-
Показать, что G, рассматриваемая как группа автоморфизмов ансамбля /,
удовлетворяет условиям упражнения 13. В обозначениях упражнения 12
положим А = (fe(A0) и С = (fe (Ce). Показать, что В— стабилизатор ка-
камеры С в G. Пусть N— стабилизатор А в G. Показать, что Ы/(В(]Ы)
отождествляется с W и что (G, В, /V, S) — насыщенная система Титса,
ассоциированная с (О, В, Ы, S) (упражнение 5).
15) Вернемся к условиям и обозначениям упражнения 10. Предполо-
Предположим дополнительно, что группа Вейля W пары (О, В) конечна, и обо-
обозначим через а.1 о элемент максимальной длины в W (§ 1, упражнение 22).
Говорят, что две камеры С и С противоположны, если / (С, С) = и>„-
а) Показать, что если С и С" противоположны, то камеры С и С
также противоположны. Показать, что любая камера С имеет противопо-
противоположную камеру. Показать, что стабилизатор камеры С в G действует
транзитивно на множестве камер, противоположных С.
б) Пусть С и С — две противоположные камеры, Показать, что для
любого w eW существует, и притом единственная, камера Cw, обладаю-
обладающая следующим свойством: если (Sj, ...,sk) (соотв. (s{ sjj)) — при-
приведенное разложение элемента w (соотв. w' = wow~l), то существует ми-
минимальная галерея (Со = С, Ср ..., Сп — С") типа (Sj, ..., sk, s{, ... , s^)
(где n = /! + ?), такая, что Cw = Ck (использовать упражнение 22 из § 1
и упражнение 10, г) и д)). Показать, что Cw я CWWo противоположны.
в) Пусть 9R — множество пар противоположных камер. При ш =
¦= (С, С) е Ш обозначим через А1П объединение камер Cw, построенных
выше. Показать, что /, снабженное множеством 91 всех Ат для т е Ш,
есть структурный ансамбль (§ I, упражнение 24) и что система Кокстера
(W, S) и нумерация ансамбля / приспособлены к (/, Ш). Определить кано-
каноническую биекцию Ш на множество, обозначаемое в упражнении 24 к §1
символом Q. Отождествить эти два множества.
г) Пусть т = (С, С) е Ш с С = Се, н пусть N — стабилизатор Ат
в G. Показать, что N/(B(]1V) отождествляется с W н что (G, В, N, S)
является насыщенной системой Титса (воспользоваться упражнением 13).
16) Сохраним предположения и обозначения упражнения 15.
а) Пусть С к С — две камеры. Показать, что существует камера С",
противоположная как С, так н С. (Взять С", противоположную С н такую,
чтобы элемент t (С, С") имел наибольшую возможную длину. Если
t {С, С") Ф г»0, то существует камера С,, смежная с С" н такая, что

64 ГЛ. IV. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА § 2
l(t(C, Cl))>l(t(C, С")). Испольчуя условие (G) упражнения 10, пока-
показать, что можно предполагать Сх ф Л(с с„, и что тогда С^ будет проти-
противоположна к С.)
б) Пусть А е 21. Показать, что существует однозначно определенный
инволютивный автоморфизм (не обязательно допустимый) jA, который
переводит каждую камеру из Л в противоположную камеру (использо-
(использовать упражнение 22, в) к § 1). Пусть F н f" — две ячейки в /. Показать,
что если F' = \А (F) для некоторого Лей, содержащего F и F', то
то же самое верно и для каждого А е 31, содержащего F и F. (Если F
F' е А П А' и А, 4'е1, рассмотреть камеру С (соотв. С) в А (соотв. А'),
содержащую F (соотв. /•"); рассмотреть А" е Ж, содержащий С и С и
использовать условие (СА 3).) Мы скажем тогда, что ячейки F и F' про-
противоположны. Показать, что для того чтобы две ячейки имейи общую
противоположную, необходимо и достаточно, чтобы они были одного и
того же типа 7", и что ячейка, противоположная к ячейке типа 7\ есть
ячейка типа w0Tw^~l.
в) Пусть Ао — апартамент, ассоциированный с системой Кокстера
(№, S) (§ 1, упражнение 16), и пусть Q — множество допустимых изо-
изоморфизмов апартамента Ло на различные элементы в Щ. Если а — какая-
то половина Ав, определенная стенкой L (§ 1, упражнение 16), и если
Ф е ^з, то мы скажем, что ф (а) — полуапартамент ансамбля / со стенкой
<р (L). Показать, что <р (L) зависит только от ср (а), ио не от пары (ср, а).
Пусть D, и ZJ — Два различных полуапартамента с однрй и той же стен-
Koii L. Показать, что существуют ipefj и стенка Lo B ^о. такие, что
L = ф (Ц), a Dt будут образами относительно ср двух половин апарта-
апартамента Ло, определенных стенкой Lo. (Выбрать перегородку F, лежащую
в L, и две камеры Ci и С2, одна из которых лежит в D\, а другая —
в ZJ. такие, что Ct содержит F, а С2 — перегородку, противоположную
к F в /)[ (которая также противоположна F в Ь2); рассмотреть апарта-
апартамент в /, содержащий С, и С2.)
17) Сохраним условия и обозначения упражнений 15 и 16. Выберем
элемент ф?^ переводящий каноническую камеру С апартамента Ао
(§ 1, упражнение 16) в каноническую камеру Се ансамбля /, и обозначим
через N, как в упражнении 15, г), стабилизатор апартамента <р (Ао) е Я
в группе G. Для любого подмножества D апартамента Л„ обозначим
через В_ подгруппу в G, оставляющую неподвижными все точки нз ф (D).
Имеем В = ВС и B(]N = BM
а) Пусть а — половина апартамента Ло, содержащая С. Показать, что
Ва действует транзитивно на полуапартаментах ансамбля /, имеющих
в качестве стенки стенку L в ф (а) и отличных от ф (а). (Пусть X —
такой полуапартамент, F — перегородка, содержащаяся в L, н С —
камера в ф (а), содержащая F. Используя упражнение 16, в) и упражне-
упражнение 13, а), показать, что ^существует элемент geG, для которого
g (^11ф (а)) ==ф('4о) н g(C') = C. Показать, что g(F) = F, и нз упраж-
упражнения 22, в) к § 1 вывести, что g e Ва.) Получить отсюда, что В дей-
действует дважды транзитивно на полуапартаментах со стенкой L и что
(В?, Ва, BLflN) является системой Титса с группой Вейля порядка 2
(см. упражнение 7).
б) Пусть Di н D2 — два выпуклых подмножества в Ао, таких, что
С с ?>i с Di, причем существует однозначно определенная половина а
в Ао, для которой В,са и ?J <? «• Тогда Di=D2fla (§ 1, упражне-
упражнение 21, в)). Показать, что ВД1 = ВаВОг и ВаГ\ВОг = B{\N. (Рассмотрев
галерею минимальной возможной длины с одним концом в С, а другим,
содержащим точку aefl2- D\, показать, что существуют две смежные

§ 2 • УПРАЖНЕНИЯ 65
камеры С] и С2 в Ао, такие, что С[ с: ?),, C2 cr D2, Cr2 <? Dx и С[(]С'2
содержится в стенке U половины а. Положим С^ = <р(С^), F = <f (с[ (] С'2)
и L = q> (?')• Показать, что выпуклая оболочка множества Dt [) С2
равна D2. Пусть Ъ <= ВД|. Тогда Ъ (Cj) = С,, откуда b(F) = F и 6 (С2)=И=С,.
Получить отсюда, что выпуклая оболочка множества b (C2) U L является
полуапартаментом X со стенкой L, отличным от <р (а), и что существует
элемент V е Ва, дли которого
Показать, что b'b(a) = a для всех oeip^y^) и что b'beBDi.)
в) Пусть (С;).^ —половины апартамента Ло> содержащие С и
пронумерованные таким образом, что отображение
/•-> Г) ai
является строго убывающим (§ 1, упражнение 17). Показать, что В =
= -Bai---Ba? и что если 6,, 6jeBo_, причем 6, ... 6, = 6j ... b'q, то
18) Вернемся к обозначениям и понятиям из п°2. Пусть Vi — векторное
подпространство в k", порожденное элементами е{, ..., е{ A<«<и — 1).
а) Показать, что для любого подмножества X множества S подгруппа
Gх (п° 5) состоит из элементов geG, таких, что g {V^ = V{ при всех /,
которым отвечают s{ ф. X.
б) Пусть / — ансамбль, ассоциированный с системой Титса (G, В, N, S}
(упражнения 10 и 12). Показать, что отображение у, которое точке gG^1'
ансамбля / (здесь G' обозначает подгруппу Gs_,s , группы G, т. е. стаби-
стабилизатор подпространства Vi) ставит в соответствие векторное подпрост-
подпространство g(Vi), является биекцией ансамбля / на множество 33 векторных
подпространств в k" (Ф {0} и Ф kn), согласованной с действием группы G.
в) Назовем флагом векторного пространства Е совершенно упорядо-
упорядоченное по включению множество векторных подпространств в Е. Пока-
Показать, что элементы Oj, ..., ak ансамбли / принадлежат одной и той же
ячейке в том и только том случае, когда {/ (Oj), ..., У(«й)} — флаг в k".
г) Показать, что G действует дважды транзитивно на множестве век-
векторных подпространств размерности 1 в kn. Пусть п ^ 2, и пусть Nx —
подгруппа в G, порожденная элементом, который переставляет ех и е2,
оставляя неподвижными другие е.. Показать, что (G, G' , N\) — система
Титса с группой Вейли порядка 2.
д) Предположим, что поле k коммутативно. Положим
G'=SL(», k), B'=G'(]B, N' = G'(]N и Г = N'[\B' = Щ G'.
Показать, что ff'/T' отождествлиется с @я и что (G', В', N', S) является
системой Титса (рассуждать, как в п° 2).
19) Пусть k — коммутативное поле характеристики ф 2 и Q — квад-
квадратичная форма х1х3 + х\ на А3. Показать, что группа SO (Q) дважды
траизитивио действует иа множестве изотропных прямых в k3. Сравнить
соответствующую систему Титса (упражнение 7) с системой, построен-
построенной в п°2 для га = 2 (ср. Алг., гл. IX, § 9, упр. 15).
3 Зак. 61. Н. Бурбаки

66 ГЛ. IV. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА § 2
20) Вновь используем обозначения из п° 2, предполагая дополнительно
поле k коммутативным. Имеем один из следующих случаев:
(В;) га = 2/+ 1, где /^ 1, характеристика поля k отлична от 2, а на
kn задана квадратичная форма B = лг,л;п + ... + х1х1+2 + х21+^,
(С;) /i = 2/ (/^ 1), а на kn задана знакопеременная форма Ф, такая,
что Ф (ег, е Л = 0 для 1 ^ I ^ п, 1 <! /' ^ п н i ^ /, исключая случай
i < /, / = /i + 1 — /, когда Ф (е{, е})=\;
(Di) /i = 2/ (/!>2), характеристика поля 6 ф 2, а иа 6" задана ква-
квадратичная форма Q = х{хп+ ... + *г*; + г
Обозначим через G, специальную ортогональную группу SO (Q) в слу-
случаях (В;) и (Di) н через Sp (Ф) симплектнческую группу в случае (С;). По-
Положим
В, = О, П В, N, = О, П ЛГ и Г, = G, П Г = В, П Nt.
а) Показать, что действие группы Л/, на множестве прямых ke{
определяет гомоморфизм группы Nt с ядром Т\ на подгруппу W\ группы @„,
позволяющий отождествить Wt и Ni/Tj. Показать, что Wj — подгруппа
группы @я, порожденная:
в случае (В;) элементами о. = s.sn_., l-sJ/</, и ст; = s;_jSjSj_j ;
в случае (С.) элементами o", = s,s_ ,, 1^/</, и а, = s,;
в случае (D;) элементами Oj = SjSn_j, l<j/ </, и ff; =^i_]siSj_]si+Isi.
б) Пусть S, — множество элементов о^ для 1 <;/<[/. Показать, что
(О\, В,, jVj, Si) является системой Титса. (Доказательство того факта,
что подгруппа Н группы Сь порожденная подгруппами В, и Mh совпа-
совпадает с С], проводится так же, как в Alg., chap. II, 3е ed., § 10, п° 13,
и основывается на двух замечаниях:
1) Н содержит большую нижнюю треугольную подгруппу группы С?,;
2) для любого набора |,- е k B^ i<^ti) существует матрица 6 = F,-у)еВ,,
в которой Ьп = 1, 6i( = ?i для 2<ji'</i—I, a 6in = ira B случае (С?),
uin = 0 в случаях (В;) н (D;). Затем рассуждать так же, как в п°2, вводя
подгруппы G,, / = G, П(О/- Gn-j) для 1<;</ и подгруппу G,, ; эле-
элементов в С], которые оставляют неподвижными:
в случае (В;) векторы et для i ф I, /+1, / + 2 и подпространство,
порожденное векторами е^ е[+1 и е1+2;
в случае (С;) векторы е{ для i'#/, /+ 1 и плоскость, порожденную
векторами е; и ег+1;
в случае (D;) векторы et для /</— 1 или />/ + 2 и две плоскости,
порожденные соответственно векторами ег_]; е;+1 и ev el+r
Показать, что GXj отождествляется нлн с GLB, k), или с SL B, fe),
или со специальной ортогональной группой из упражнения 19.)
* в) Показать, что граф Кокстера группы W\ принадлежит соответ-
соответственно типу (В;). (Q) илн (D;) (гл. VI, § 4, п° 1).»
г) Показать, что для всякого подмножества XczSi подгруппа й^„
состоит из элементов ge G,, таких, что g(Vt) = V{ при всех /, которым
отвечают а{ ф. X, за исключением случая (D;), когда то же самое утвер-
утверждение остается верным, если под Vr—l понимать подпространство, по-
порожденное векторами еи ..., ет—х и er+i. Получить отсюда, как и
в упражнении 18, б), биекцию j ассоциированного с системой (G,, Bt)

5 2 • УПРАЖНЕНИЯ 67
ансамбля на множество вполне изотропных подпространств фО в слу-
случаях (Bf), (С/) и на множество вполне изотропных подпространств раз-
размерности ФО и фт— 1 в случае (D/). Показать, что точки а(, ..., ак
в / принадлежат одной и той же ячейке в том и только том случае,
когда {/ (а,), ..., / (aft)} — флаг.
21) Пусть А — дискретно нормированное кольцо (Ком. алг., гл. VI,
§ 3, п° 6), m — максимальный идеал, у — его образующая и К — поле
отношений кольца А. Пусть G — группа SL B, k), В — подгруппа в G,
la b\
состоящая из матриц , таких, что a, b, d e А н с е m (причем
\с d 1
ad — 6с=1), и N — подгруппа группы G, состоящая из матриц, у кото-
которых в каждом столбце н каждой строке имеется только один отличный
от нуля элемент.
а) Показать, что Т = В (] N — нормальная подгруппа в N и что
W = N/T ¦— бесконечная диэдральная группа, порожденная классами s
/О 1\ / О у
и* матриц^ 0]и( _, 0
соответственно.
¦ Y"
б) Показать, что (G, В, N,S) (где 5 = {s, s'}) является системой Титса.
в) Пусть #=SLB, A) — подгруппа группы G, состоящая из матриц
с коэффициентами в А. Показать, что (Я, В[\Н, N, {s}) — система Титса.
Сравнить ее с системой в упражнении 18, д).
г) Пусть А — пополнение кольца А, и пусть G, В, N, Т — группы,
определенные, как выше, но с заменой кольца А на А. Показать, что
вложение G в G определяет изоморфизм / ассоциированного с (G, В)
ансамбля / (упражнение 10) на ассоциированный с (G, В) ансамбль /.
Пусть (/, Я) (соотв. (/, Я) — структурный ансамбль, ассоциированный
с (G, В, N) (соотв. (G, В, N) (упражнение 12). Показать, что ;(й)с§,
но что / (Щ ф Ж, если А ф А. (Заметить, что апартаменты из Й (соотв. Ж)
взаимно однозначно соответствуют подгруппам, сопряженным при помощи
элементов из G (соотв. G) с Т (соотв. Т).
22) Пусть G — группа и В — ее подгруппа,
а) Установить эквивалентность следующих условий:
(i) BflgBg-1 имеет конечный индекс в В для всех g e G;
(п) любой двойной смежный класс BgB относительно В является
конечным объединением левых смежных классов относительно В.
Более точно, показать, что для любого g e G индекс q подгруппы
gg—1 в В равен числу левых классов относительно В, содержащихся
в двойном классе BgB. Показать, что q ft <! q . qh для всех g, h e G.
Мы будем предполагать в дальнейшем, что условия (i) и (п) вы-
выполнены, и обозначим чеоез k некоторое коммутативное кольцо. Для
t e G/B (соотв. t e B\G/B) обозначим через а{ отображение G в k,
определенное следующим образом: at(g)=0, если g?t, и at(g) = \,
если get. Пусть L (соотв. Н) — fe-модуль, порожденный at для всех
t <= G/B (соотв. t e B\G/B).
б) Показать, что существует, и притом единственная, линейная форма ц
на L, такая, что ц (а() = 1 для всех t e G/B.
в) Пусть ipei и г|) е Н. Показать, что при всех х е G отображение
принадлежит к L и что отображение ф * oji: лг I—> \i (9X) тоже принад-
принадлежит к L. Если, кроме того, ср е If, то <р * ¦ф е Н. Показать, что

68 ГЛ. IV. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА § 2
отображение (ф, ф) I—> ф • ф наделяет Н структурой алгебры над k, до-
допускающей ав в качестве единичного элемента, и определяет на L
структуру правого //-модуля.
Алгебра Н называется алгеброй Гекке группы G относительно под-
подгруппы В и обозначается через Нъ. (G, В).
г) Показать, что при t, t' e B\G/B имеет место соотношение
Н * at, = 2 т С '': П «<*>
где m (f, t'\ t") — число смежных классов относительно В, содержащихся
в^П g?~ для любого g e /".
д) Группа G действует на L левыми переносами. Показать, что
действие Н на L определяет изоморфизм алгебры Н на коммутант полу-
получающегося прн этом линейного представления G в L.
* е) Предположим, что G — конечная группа и что характеристика
кольца k не делит порядок группы G. Показать, что кольцо ///>. (G, В)
абсолютно полупросто над k (Алг., гл. VIII, § 7, п°5) (воспользоваться
теоремой Машке (гл. V, Дополнение) и предложением 3 из Алг., гл. VIII,
¦§ 5, п° 1).%
ё) Предположим, что G — топологическая группа и В — ее открытая
компактная подгруппа. Показать, что условия (i) и (ii) выполнены и что,
когда k = R или С, произведение ф * ф совпадает со сверткой относи-
относительно правой меры Хаара на G, нормированной условием ц (В) = 1 (см.
Интегр. гл. VIII, § 4, п° 5).
23) Пусть (W, S) — система Кокстера и k — коммутативное кольцо.
Предположим, что при всех s (= S заданы два элемента Xs и цх кольца 6,
такие, что Xs = Л5/ и \is — ц$,, когда s и s' сопряжены в W. Положим
? = ^'w'' и обозначим через (ew) канонический базис в Е.
а) Показать, что на Е существует однозначно определенная струк-
структура алгебры над k, такая, что для любых s e S и w e W
( esw, если l(sw)>l(w);
es • ew = <
I Л$еда + Psesw если / (sw) <l(w).
(Ввести при помощи этих формул эндоморфизм Ps пространства Е,
полагая esew = Ps (w), и эндоморфизм Qs = jPsi~l, где / обозначает
автоморфизм пространства Е, определенный соотношением j (е \ — е _,.
\ w/ w
Показать, что PsQt = QtPs Для s< 'eS, заметив при этом, что условия
l(swt) = l(w) и l(sw)=l(wt) влекут равенство sw = wt. Далее рас-
рассуждать, как в упражнении 3, д).) Модуль Е, снабженный этой струк-
структурой алгебры, будем обозначать через Ek ((hs), ((•<¦$))• Показать, что
?(@), A)) есть групповая алгебра k [W] группы W (Alg., chap. Ill, 3- ed.,
§ 2, п°6).
б) Показать, что семейство образующих (es)ssg и соотношений
е^ = hses + \is для ssS;
(esetY = (etesY для s> ' s ^ c пРонзвеДением st
конечного четного порядка 2г;
(esetY es ~ (etesY et для s' * e "^ c пРоизвеДением s'
конечного нечетного порядка 2r + 1
образует задание алгебры Е (рассуждения аналогичны доказательству
теоремы 1, п° 6, § 1).

§ 2 , УПРАЖНЕНИЯ 69
24) Пусть G — группа, В — ее подгруппа Титса (упражнение 3, от-
откуда мы берем обозначения). Предположим, что для каждого ssS двой-
двойной класс С (s) есть объединение конечного числа qs левых смежных
классов относительно В. Используй обозначения из упражнения 22, поло-
положим aw = ас (да) при всех ibsF.
а) Показать, что условия (i) и (и) упражнении 22 удовлетворяются.
Следовательно, можно говорить об алгебре Гекке Hk (G, В) (k — коммута-
коммутативное кольцо), в которой (ада)и^(= w образуют базис.
б) Пусть ssS и w e W. Показать, что as*as = (qs— l)as-{-qs. По-
Показать, что если l(sw)>l (w), то as*am = asw.
в) Показать, что линейное отображение алгебры Ek((qs—1). (?s))>
ассоциированной с системой Кокстера (W, S) (упражнение 23), effj (G, В),
которое переводит ещ в аш для всех w e W, является изоморфизмом
алгебр.
25) Вернемся к обозначениям упражнения 8. Предположим дополни-
дополнительно, что при всех seS индекс qs подгруппы ВПgBg~l в В конечен
для любого g e BsB. _
а) Показать, что пара (G, В) удовлетворяет условиям (i) и (и) упра-
упражнения 22.
б) Показать, что при любом у е Г отображение х I—> уху-1 опре-
определяет автоморфизм 0 алгебры Гекке #& (G, В) и что 0 зависит только
от класса со элемента у в Q = Г/(Г A В). Обозначим его через аа.
в) Пусть k [Si] — групповая алгебра группы Q, (еа) — канонический
базис. Показать, что линейное отображение / тензорного произведения
кЩ <8>kHk(G, В) в Hk(G, В), определенное формулой / (е& ® aBwB) =
= aBawB (в обозначениях упражнения 22) для со е Q и w s W, есть биек-
ция и что имеет место соотношение
/-1 (/ (еа ® х) j {еа, ® у)) = е^, ® о& (х) у
для (о, в'ей и х, y^Uk{G, В).
Ц 26) Пусть Е — абсолютно полупростая алгебра конечного ранга иад
коммутативным полем k. Назовем численным инвариантом алгебры Е
такую последовательность целых чисел (nit ..., пт), что «i ^ ... ^ 0
и алгебра k ®& E изоморфна алгебре JjMn (k) для любого алгебраиче-
алгебраического замыкания k поля k.
Пусть V — кольцо целостности, К — его поле отношений, <р — гомо-
гомоморфизм кольца V в коммутативное поле k и Е — некоторая К-алгебра.
Предположим, что Е — свободный У-модуль конечного ранга. Пусть
?0=?®к? и ?|=?®К/С.
а) Предположим, что билинейная форма (х, у) I—> ^тЕи1к (ХУ) на ^о
невырождена. Показать, что Ео и Е\ абсолютно полупросты (см. Алг.,
гл. IX, § 2, упр. 1).
б) Предположим, что Ео и Е\ абсолютно полупросты над k и К. соот-
соответственно. Показать, что Ео и Е{ имеют один и тот же численный инва-
инвариант. (Достаточно рассмотреть случай, когда k и К алгебраически зам-
замкнуты. Пусть (е;) — базис алгебры Е над V и (X,-) — переменные. Нужно
Доказать, что характеристический многочлен элемента 2 -^^ из
I
(соотв. E0<8>kk[(Xi)]) имеет вид Я = JJ р"'(соотв. Q =
где («1 пг) (соотв. m,\ ms) есть численный инвариант

70 ГЛ. IV. ГРУППЫ КОКСТЕРА И СИСТЕМЫ ТИТСА « 2
алгебры Et (соотв. Ео), причем deg Р/ = /х/ (соотв. deg Qk = т^). Далее,
нужно показать, что Р/ е V [(Xi)] и что Q = <р (Р). Получить отсюда,
что существуют целые числа с ,k ^ 0, такие, что
тк = 2 cikni и ni = 2 с/л->
*27) Пусть (G, В, N, S) — система Титса и k — коммутативное поле.
Предположим, что группа G конечна и что характеристика поля ? не
делит порядки групп G н W. Показать, что алгебры Н^ (G, В) (упражне-
(упражнение 22) и k [W] абсолютно полупросты и имеют одинаковые численные
инварианты, будучи тем самым изоморфными в случае, когда поле k алге-
алгебраически замкнуто. (Пусть qs — индекс подгруппы В П gBg~l в В для
g^BsB, seS. Нужно рассмотреть алгебру Ek ^ ((X (<7S— 1), A +Х (<7S— 1)),
построенную по образцу упражнения 23 по системе Кокстера (W, S) и
кольцу многочленов k [X]. Далее воспользоваться упражнением 26, а) и
б), заметив, что по теореме Машке (гл. V, Дополнение) билинейная форма
7rk [Wilk (xy) невырождена.)*
28) Пусть G — группа, М — максимальная подгруппа в G и U — нор-
нормальная подгруппа в М, удовлетворяющая условию (Р) нз п° 7. Пред-
Предположим, что группа G совпадает со своим коммутантом, что она поро-
порождена объединением сопряженных с U подгрупп и что пересечение под-
подгрупп, сопряженных с М, состоит только из единичного элемента. Пока-
Показать, что G — простая группа. (Рассмотреть нормальную подгруппу ЛГ
в G, отличную от единичной. Показать, что G —N. М и затем что-
G = N . U.)
29) Пусть Н — простая некоммутативная группа, 8 — ее автоморфизм
простого порядка р, и пусть U — полупрямое произведение 2/pZ на Ht
соответствующее в. Показать, что если в не является внутренним авто-
автоморфизмом, то единственными нормальными подгруппами в U будут
{1}, Н и U. Вывести отсюда, что U неразрешима, но удовлетворяет усло-
условию (Р) нз п° 7. Применить все это к симметрической группе <Вп.

ГЛАВА V
ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ
§ 1. Гиперплоскости, камеры и ячейки
В этом параграфе мы будем обозначать символом Е
вещественное аффинное пространство конечной размерности d
и символом Т пространство переносов пространства Е (см.
Alg., chap. II, 3е ed., § 9, и Топ. вект. простр., гл. II, § 2).
Для любых двух точек а и 6 из ? обозначим символом [ab]
(соотв. ]ab[, ]ab]) замкнутый (соотв. открытый, открытый в а
и замкнутый в Ь) отрезок с концами а и Ъ. На Т однозначно
вводится топология отделимого топологического векторного
пространства (Топ. вект. простр., гл. I, § 2, п° 3), и в этой
топологии оно изоморфно R**. На Е однозначно вводится
топология такая, что для любого ев? отображение tи-> е + t
пространства Г на ? является гомеоморфизмом.
Обозначим через •§> локально конечное множество гипер-
гиперплоскостей в Е (Общ. топ., гл. I, § 10, п° 12).
/. Основные понятия и обозначения
Пусть Я — гиперплоскость в Е. Напомним, что Е— Н
распадается на две связные компоненты, которые назы--
ваются открытыми полупространствами, ограниченными
гиперплоскостью Я. Их замыкания называются замкнутыми
полупространствами, ограниченными гиперплоскостью Я.
Пусть х, у е Е. Говорят, что х и у лежат строго по одну
сторону от Я, если они содержатся в одном и том же от-
открытом полупространстве, ограниченном Я, или, что то же
самое, если замкнутый открытый отрезок с концами х и у
не пересекается с Н. Говорят, что х и у лежат по разные
стороны от Я, если х принадлежит одному открытому полу-
полупространству, ограниченному Я, а у — другому. Говорят
также, что х е Е и t e T лежат строго по одну сторону от Я,
если это верно для х и h +1, какова бы ни была точка АеЯ.
Пусть А — связное непустое подмножество в Е. Для лю-
любой гиперплоскости Я в Е, не пересекающей А, обозначим
через DH(A) ограниченное гиперплоскостью Я единственное
открытое полупространство, содержащее А. Положим
D*{A)= () DU(A), A)

72 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 2
где 3? — любое множество гиперплоскостей в Е, не пересе-
пересекающих А. Если А состоит из одной точки а, то мы будем
писать DH(a) и Dm{a) вместо DH({a}) и D^({a}).
2. Ячейки
Множество точек в Е, не принадлежащих никакой гипер-
гиперплоскости Н из множества v, открыто в Е, поскольку &
локально конечно. Более точно, мы имеем следующее утвер-
утверждение:
Предложение 1. Пусть а —точка в Е. Существует вы-
выпуклая открытая окрестность точки а, которая не пересе-
пересекает никакой гиперплоскости Н из $, не проходящей через
точку а. Далее, существует только конечное число гипер-
гиперплоскостей из ф, проходящих через а.
Множество 3f гиперплоскостей Н, таких, что Яе§ и
а ф. Н, локально конечно, ибо оно содержится в ф. Следова-
Следовательно, множество U точек в Е, не принадлежащих никакой
гиперплоскости из множества VI, открыто. Так как ае(/,
то существует выпуклая открытая окрестность а, содержа-
содержащаяся в U. Конец предложения очевиден.
Пусть даны две точки х и у в Е. Обозначим через/? |х, у\
отношение: ¦
„Для любой гиперплоскости Яб§ либо х е Н и у е Н, либо хну
лежат строго по одну сторону от Н".
Ясно, что R — отношение эквивалентности в Е.
Определение 1. Ячейкой в пространстве Е относительно
множества гиперплоскостей $ называется класс эквивалент-
эквивалентности по определенному выше отношению R.
Предложение 2. Множество ячеек локально конечно.
Это очевидное следствие локальной конечности $.
Пусть F — ячейка и а — принадлежащая ей точка. Для
того чтобы гиперплоскость йе§ содержала F, необходимо
и достаточно, чтобы а е Н. Поэтому множество 8 таких
гиперплоскостей конечно. Их пересечение есть аффинное
подпространство L пространства Е, которое мы будем назы-
называть аффинным носителем ячейки F. Размерность простран-
пространства L называется размерностью ячейки F.
Если Э? — множество гиперплоскостей Н е $, не содер-
содержащих F, то
F = L[\ Г) DH{a). B)

2 § I. ГИПЕРПЛОСКОСТИ, КАМЕРЫ И ЯЧЕЙКИ 73
Мы хотим доказать, что замыкание ячейки F задается фор-
формулой _
F = L{] Г\ ~&М- C)
Htsm
Ясно, что левая часть равенства содержится в правой.
Обратно, пусть *eLf| f] DH(a). Открытый отрезок с кон-
цами а и х содержится в L и в каждом DH(a) для Яе!1,
а тем самым и в F. Значит, х принадлежит замыканию F,
откуда и следует справедливость формулы.
Предложение 3. Пусть F — ячейка и L — ее аффинный
носитель.
i) Множество F является открытой и выпуклой частью
аффинного подпространства L в Е.
и) Замыкание ячейки F есть объединение F и ячеек раз-
размерности, строго меньшей, чем размерность F.
ш) В топологическом пространстве L множество F яв-
является внутренностью своего замыкания.
Так как открытое полупространство и любая гиперпло-
гиперплоскость выпуклы в Е, то формула B) показывает, что F
является пересечением некоторого семейства выпуклых мно-
множеств и тем самым само выпукло. Сверх того, пусть а —
точка в F и U — ее связная открытая окрестность в Е, не
пересекающая никакой гиперплоскости из семейства ЭТ таких
//е§, что афН. Для любой гиперплоскости Яе!1! имеем
тогда U cz DH(a), откуда L[)UczF и, следовательно, F от-
открыто в топологическом пространстве L.
Пусть Ъ — точка из F — F, принадлежащая ячейке F',
и W — множество гиперплоскостей ЯеЭ1, проходящих
через Ъ. Положим Ш" = Ш — W. Для любой гиперплоско-
гиперплоскости Н из Щ." имеем ЪфН и b^DH(a), откуда b^DH(a)
и, следовательно, DH{b) = DH{a). Поэтому по определению
ячейки
F' = L[\ fj И Л ^„(а), D)
ffe)!'
а из равенства C) следует, что
F = L{\ fj ЩМп П &М, ' E)
откуда F' = F. Случай ЭТ'=0 невозможен, ибо тогда из
равенств B) и D) следовало бы, что F = F', вопреки пред-
предположению b ф. F и b e F'. Носителем ячейки F' является

74 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 2
множество L' = Lfl f] Я. Но aei и а^Я для Я из 9J',
Я <= 9Г
откуда следует, что L' ф L и, наконец, dim// < dimL;
иначе говоря, dim/7' < dim/7. Этим доказано утвержде-
утверждение (П).
Пусть Я — гиперплоскость из W ц D — открытое полу-
полупространство, ограниченное Н и отличное от DH{a). Тогда
b^H(]L и D Г) L — полупространство в L, ограниченное
гиперплоскостью Н (] L в L. Следовательно, любая окрест-
окрестность точки Ъ в L пересекает D f| L, а поскольку D П ? не
пересекается с Z7, как видно из C), то мы получаем, что
точка Ь из F — F не может быть внутренней точкой Т7 в то-
топологическом пространстве L. Так как F открыто в L, то
мы получаем утверждение (iii). Ч. Т. Д.
Следствие. Пусть F и F' — две ячейки. Если F = F', то
F и F' совпадают.
Это вытекает из утверждения (iii).
Предложение 4. Пусть F — ячейка и L — аффинное под-
подпространство пространства Е — пересечение некоторого
множества гиперплоскостей из |>. Обозначим через У1 множе-
множество гиперплоскостей Яе§, не содержащих L. Тогда
следующие условия эквивалентны:
(i) существует ячейка F' с носителем L, пересекающая F;
(и) существует ячейка F' с носителем L, содержа-
содержащаяся в F;
(iii) существует точка х в L(] F, не принадлежащая ни-
никакой гиперплоскости из !Я.
Если эти условия выполнены, то L[\D^{F) — единственная
ячейка с носителем L, содержащаяся в F.
(i)=#>(ii). Так как F — объединение ячеек (предложение 3,.
(п)), то любая ячейка, пересекающая F, пересекает некото-
некоторую ячейку, содержащуюся в F, и, значит, с ней совпадает.
(и)=Ф(Ш). Для любой точки х из F' утверждение (iii)
выполнено, ибо гиперплоскость из §, содержащая х, со-
содержит F' и, следовательно, L.
(Ш)=фA). Пусть х — точка, удовлетворяющая (iii), jt
пусть F' — ячейка, содержащая х. Ясно, что F' пересекает F.
Пусть Яе§. Тогда х<?Н, если И е W, и очевидно, что
х е Я, если Я ф. Щ. Следовательно, носитель ячейки F'
есть пересечение гиперплоскостей из |> — Ш и совпадает с L.
Наконец, пусть F' — ячейка с носителем L, содержащаяся
в F, и пусть х — точка в F'. Так как никакая гиперплоскость

3 § 1. ГИПЕРПЛОСКОСТИ, КАМЕРЫ И ЯЧЕЙКИ 75
из ?!с|> не проходит через х, то предложение 1 показы-
показывает, что существует выпуклая открытая окрестность U
точки х, которая не пересекается ни с одной из гиперпло-
гиперплоскостей семейства tfi. Поскольку х принадлежит замыканию
ячейки F, U (] F ф 0. Далее, *Л суть множество гиперпло-
гиперплоскостей Яе§, не содержащих F', и для любой Я из 31
имеем DIi(x) = Dfi(U) = DH{UplF) = DIi{F). Теперь фор-
формула B) дает равенство
F' = L[]Dii(F). Ч. Т. Д.
3. Камеры
Определение 2. Камерой пространства Е относительно •?>
(или просто камерой, если ясно, что за § имеется-в виду)
называется любая ячейка в Е относительно ф, которая не
принадлежит никакой гиперплоскости из ф.
Пусть U — открытое множество в Е, состоящее из точек,
которые не лежат ни на какой гиперплоскости из ф. Так
как гиперплоскость из ?> не может пересекать ячейку и ее
не содержать, то камерами будут ячейки, содержащиеся
в U. Любая камера является открытым и выпуклым (а сле-
следовательно, и связным) подмножеством Е по предложе-
предложению 3, (i). Поскольку камеры образуют разбиение множе-
множества U, они совпадают с связными компонентами в U.
Любое выпуклое подмножество А в U связно и, следова-
следовательно, содержится в какой-нибудь камере, вполне опреде-
определенной, если А непусто. Ясно, что камеры — это ячейки
с носителем Е, и предложение 3, (iii) показывает, что каждая
камера является внутренностью своего замыкания. Наконец,
пусть С — камеры а А — непустое подмножество в С. Из
формул B) и C) получаем
С= П DH{A) = Ds(A), С= Г) адЛ), F)
поскольку DH(A) = DH{а) для любой точки аеА
Предложение 5. Пусть С — непустое подмножество в Е.
Предположим, что существует подмножество С*' множества §>,
обладающее следующими двумя свойствами:
а) каждой гиперплоскости Н из С*' можно сопоставить
открытое полупространство DH, ограниченное гиперпло-
гиперплоскостью Н и такое, что С== Р) DH;
Неф'
б) множество С не пересекается с гиперплоскостями из

76 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 3
При этих условиях С является камерой в Е относи-
относительно $> и DH = DH (С) для любой гиперплоскости Яе§.
Свойства а) и б) показывают, что С выпукло в U. Стало
быть, существует камера С с СсС. Так как С cr DH, то
DH = DH(C) для любой гиперплоскости И из $'. Отсюда
получаем С = D§> (C):z> D§(C), поскольку Ф' с: ф. По фор-
формуле F) D§{C) = C и С=>С, так что С = С.
Предложение 6. Любая точка пространства Е принад-
принадлежит замыканию хотя бы одной камеры.
Если Е состоит из одной точки, утверждение очевидно.
В противном случае пусть ае? и Ни ..., Нт — гиперпло-
гиперплоскости из ф, содержащие а. Так как ф локально конечно,
то существует окрестность V точки а, которую не пересекают
гиперплоскости из ф, отличные от Нъ ..., Нт. Пусть D —
прямая, проходящая через а и не содержащаяся ни в какой
из гиперплоскостей Нг. Если хеД хФа, и х принадлежит
достаточно малой окрестности точки а, то открытый отре-
отрезок ]ах[ содержится в V и не пересекает никакой Нь.
В таком случае ] ах [ a U. Ввиду связности ] ах [ содер-
содержится в некоторой камере С, откуда а^С.
Предложение 7. Пусть L — аффинное подпространство
в Е и Q — открытое непустое подмножество в L.
(i) Существует точка а в Q, через которую не проходит
ни одна гиперплоскость из ф, не содержащая L.
(ii) Если L — гиперплоскость и L ф §, то существует ка-
камера, пересекающая Q.
(iii) Если L — гиперплоскость и L е= ф, то существует
точка а в Q, не принадлежащая никакой гиперплоскости
И Ф L из ф.
Обозначим через 91 множество гиперплоскостей //сЯе§
и L ф Н и через й — множество гиперплоскостей в аффин-
аффинном пространстве L вида Lf]H, где И е= Ш. Ясно, что 8 —
локально конечное множество гиперплоскостей в L, и пред-
предложение 6 показывает, что Q пересекает некоторую камеру Г
в L относительно й. Если а — точка в ГПQ, то афН для
всех Н, откуда следует утверждение (i).
Предположим, что L — гиперплоскость. Всякая гиперпло-
гиперплоскость, содержащая L, с ней совпадает. Таким образом, мы
должны различать два случая:
а) L <? #. Тогда № = Ф и а ф Н для всех Яе§. Следо-
Следовательно, а принадлежит некоторой камере в Е относи-
относительно §. Отсюда следует утверждение (ii).
б) Le§. Тогда Ш. = # — {L}, откуда следует (iii).

4 § 1. ГИПЕРПЛОСКОСТИ, КАМЕРЫ И ЯЧЕЙКИ 77
4. Стенки и грани
Определение 3. Пусть С — камера в Е. Назовем гранью
камеры С любую ячейку, содержащуюся в замыкании С и
имеющую в качестве носителя гиперплоскость. Назовем стен-
стенкой камеры С любую гиперплоскость, которая является но-
носителем грани камеры С.
Каждая стенка камеры С принадлежит ф. Предположе-
Предположение 4 показывает, что гиперплоскость Lg§ является стен-
стенкой камеры С в том и только том случае, когда СфО$-щ(С).
Далее, всякая стенка камеры С является носителем един-
единственной грани камеры С.
Предложение 8. Любая гиперплоскость Н из $ является
стенкой хотя бы одной камеры.
По предложению 7, (ш) существует точка а в Я, не
лежащая ни в какой гиперплоскости Н''ф Н из ¦§>. По пред-
предложению 6 существует камера С, такая, что а <=. С. Пред-
Предложение 4 показывает тогда, что Я является стенкой ка-
камеры С.
Предложение 9. Пусть С — камера а Ш — множество ее
стенок. Тогда C = Dm(C) и любое подмножество 2 мно-
множества $, для которого С = Ds (С), содержит Ш. Для того
чтобы подмножество F замыкания С было ячейкой, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы, оно было ячейкой в Е относительно
семейства Ш.
а) Пусть 8 — подмножество в $, такое, что С = Do (С),
Рассмотрим гиперплоскость L из ¦§>, но не из У. Пусть ?R —
множество гиперплоскостей НфЬ из ¦§>. Тогда йс?1, откуда
C = Dy(C), и L не пересекает Дк(С). По предложению 4
(импликация (i)=#(iii)) гиперплоскость L не является стенкой
камеры С. Следовательно, каждая стенка камеры С принад-
принадлежит S.
б) По-прежнему предполагаем С = D« (С). Пусть Я — ги-
гиперплоскость из й, которая не является стенкой камеры С;
положим Й' = 8 — {Я}. Согласно предложению 4 (имплика-
(импликация (iii)#>(i)), выпуклое множество D«'(C) не пересекает Я,
значит, D$'(C)cz DH(C) и С = А?'(С). Проведя индукцию
по числу элементов множества %, получим, что если § — ко-
конечное подмножество в 2, не содержащее ни одной стенки
камеры С, то C = D«-S(C).
в) Пусть а—точка в С. Тогда очевидно, что CczD^a). Пусть
а' — точка в Dw(a). Поскольку замкнутый отрезок [аа'] ком-
компактен, множество § гиперплоскостей Яе§, пересекающих

78 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 5
\аа'\, конечно. Так как а и а' лежат строго по одну
сторону от каждой стенки камеры С, то никакая стенка ка-
камеры С не принадлежит g. Поэтому из б) следует, что
С==/)ф_5(С). Так как а'е/)ф_8(а), то а'^С. Таким обра-
образом, мы убедились, что Ds(a)cC, а это доказывает первую
часть предложения.
г) Для доказательства последнего утверждения предло-
предложения достаточно, очевидно, показать, что подмножество F
из С, являющееся ячейкой в Е относительно 3№, будет также
ячейкой в Е относительно -§> или что любая гиперплоскость
Яе§, пересекающая F, содержит F. Пусть, таким образом,
Я— гиперплоскость, пересекающая F, но не содержащая/7.
Будучи открытым в своем аффинном носителе, F не лежит
целиком по одну сторону от Я. Значит, и С не лежит це-
целиком по одну сторону от Я, и, следовательно, гиперпло-
гиперплоскость Я не принадлежит #. Этим заканчивается доказа-
доказательство.
Замечания. 1) Формула F) и предложение 9 показывают,
что замыканием камеры С служит пересечение замкнутых
полупространств, ограниченных стенками камеры С и содер-
содержащих С.
2) Пусть F — ячейка с гиперплоскостью L в качестве носи-
носителя. Мы хотим показать, что существуют две камеры, для
которых F — грань. Пусть %1 — множество гиперплоскостей
НФЬ из §. Положим A = D<r(F) и обозначим через D+
и D~ открытые полупространства, ограниченные L. Множе-
Множество А открыто и содержит F с: L, а поскольку любая точка
из L принадлежит замыканию полупространств D+ и D~,
множества С+ = A f] D+ и С~ = A f] D~ непусты. Они являются
камерами. Далее, гиперплоскость L пересекает D^iF) —
= Z)<r(C+). Предложение 4 показывает, что L — стенка ка-
камеры С+, а ячейка F, пересекающая Lf]D^(F), является
гранью С+. По тем же соображениям F — грань камеры С.
Наконец, пусть С — камеры с гранью F, и предположим,
например, что D+ — DL(C). Согласно предложению 4, мно-
множество Dm{C) пересекает F и, следовательно, совпадает
с Dm(F). Имеем
С = Dt,(C) = DL (С) П D* (С) = D+ П D* (П = С+.
5. Двугранные углы
Напомним (Alg., chap. II, 3е ed., § 9, п°3), что два
аффинных подпространства Р и F" пространства Е назы-
называются параллельными, если существует вектор t в Т, такой,

5 § 1. ГИПЕРПЛОСКОСТИ, КАМЕРЫ И ЯЧЕЙКИ 79
что Р' — t + Р- Ясно, что отношение „Р и Р' параллельны"
является отношением эквивалентности на множестве аффин-
аффинных подпространств пространства Е.
Лемма 1. Две непараллельные гиперплоскости имеют не-
непустое пересечение.
Пусть Я и Я'— две непараллельные гиперплоскости и
а(^ Н, а' е Я'. Тогда найдутся две гиперплоскости М и М'
векторного пространства Т, для которых Я = М + а и Я' =
= ЛГ + а'. Поскольку Я и Я' непараллельны, Л4 =? ЛГ,
откуда Jr = .M-f-M/- в таком случае существуют иеМ и
и' е ЛГ, такие, что а' — а = и — и', и точка и -\- а = и' -\- а'
принадлежит Н(]Н'.
Лемма 2. Пусть Я и Я' — две различные гиперплоскости
в Е и f, f — две аффинные функции на Е, такие, что Я
(соотв. Я') состоит из точек ае Е, в которых f (a) = 0 (соотв.
р (а) = 0). Наконец, пусть L — гиперплоскость в Е. Предпо-
Предположим, что выполнено одно из следующих условий:
а) гиперплоскости Я, Я' и L параллельны;
б) гиперплоскости Я и Н' не параллельны и Н (] Н' a L.
Тогда существуют два вещественных числа X, X', не рав-
равные одновременно нулю и такие, что L состоит из а е Е,
в которых обращается в нуль аффинная функция g = X . f -f-
+ l'.f'.
Утверждение леммы тривиально, если L== Я, и мы можем
предположить, что существует точка а на L, а ф Я. Поло-
Положим k = f'(a), k' = — f(a) и
Тогда X' Ф 0, поскольку аф. Я. Далее, ввиду Я Ф Н' суще-
существует точка 1>еЯ, не лежащая на Я', и, значит, f(b) = O,
1'(Ь)Ф0, так что g (b) = — f{a).f'(b) отлично от нуля. Мно-
Множество L\ точек, в которых обращается в нуль аффинная
функция g ф 0, будет гиперплоскостью в Е, причем а е L,,
ибо g(a) = 0.
а) Предположим, что Я и Я' параллельны. В любой
точке пересечения LX[\H обращаются в нуль функции g и f,
а следовательно, и f, поскольку X' Ф 0. Значит, эта точка
принадлежит и Я'. Но так как Я и Я' параллельны и раз-
различны, то они не пересекаются и, стало быть, /^("^=0.
Лемма 1 показывает, что L, параллельна Я. Но а е L и.
del,, поэтому L = LX.
б) Предположим, что Я и Я' не параллельны. По лемме 1
существует точка с в Я |~| Я'. Снабдим ? структурой вектор-
векторного пространства, выбрав в качестве начала точку с. Тогда

gO ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 6
ЯП Я' будет векторным подпространством коразмерности 2
в ? и, поскольку аф.Н, векторное подпространство М в Е,
порожденное Я Л Я' и а, будет гиперплоскостью. Так как
Я П Я' с: L П L, и а <= IЛ ^i, то М a L Л Li, откуда М = L = I,.
Предложение 10. Пусть С — камера, Н и Н' — две ее
стенки и L— гиперплоскость, пересекающая DH(C)[) DH>(C).
Предположим, что Я отлична от Н' и что выполнено одно
из следующих условий:
а) гиперплоскости Н, Н' и L параллельны;
б) гиперплоскости Я и Н' не параллельны и Н [)Hr cz L.
Тогда L пересекает С.
Пусть Ь (соотв. Ъ') — точка на грани камеры С с носи-
носителем Я (соотв. Я'). Совершенно очевидно, что любая точка
отрезка [bbf], отличная от b и Ь', принадлежит камере С.
Рассмотрим аффинную функцию f, обращающуюся в нуль
на Я и такую, что f(x)>0 для х из DH{C). Введем анало-
аналогичную аффинную функцию f для гиперплоскости Я'. При-
Применяя лемму 2, мы можем найти числа X, %.' и аффинную
функцию g, обладающие указанными там свойствами. Тогда
{X, X') ф @, 0) и для любой точки х из Lf]DH (С) Л DH' (С)
будет f(je)>0, f'{x)>0, a X.f(x) + X'.f'(x) = 0, откуда
М'<0. Сверх того g (Ь) = X'. f (Ь) и g(b') = X .f(b'), а так
как f (bf) > 0, f (b) > 0, то g (b). g (b') < 0. Точки b и b' ле-
лежат строго по разные стороны от гиперплоскости L, и су-
существует точка с из L, лежащая на [bb'\ и отличная от Ь,
Ь', а потому принадлежащая С.
6. Примеры: симплициальные конусы и симплексы
а) Пусть а — точка пространства Е и (еи ..., ed) — базис
в Т. Любая точка из Е записывается тогда однозначно
в виде
х = а + \1.е1+ ... +\d.ea, G)
где |,, ..., \d — вещественные числа. Обозначим через е\
аффинную функцию на Е, которая при любом х^Е, запи-
записанном в виде G), принимает значение !*. Обозначим, далее,
через Ht гиперплоскость, состоящую из тех х, для которых
еЦдг) = 0, а через § множество гиперплоскостей Я,, ..., Hd.
Для любого подмножества / множества / = {1, 2, ..., d}
положим Hj= P) Ht, Для любой последовательности
(е,, ..., га) чисел, равных 0, 1 или —1, обозначим через
F(eit ..., ed) множество тех х е Е, для которых е\{х) имеет
тот же знак (Общ. топ., гл. IV, § 3, п°2), что и eit при

6 § I. ГИПЕРПЛОСКОСТИ, КАМЕРЫ И ЯЧЕЙКИ 81
всех i из /. Ясно, что ячейками в Е относительно ф будут
множества F(e,, ..., ed) и что эти множества попарно раз-
различны. Носителем ячейки F(e{, ..., ed) служит HJt где J —
множество i е /, таких, что et = 0. В частности, камерами
будут множества вида F(elt ..., ed), где каждое из чисел ег
равно 1 или —1.
Множество C = FA, ..., 1), состоящее из х с e'i(x)>0
при любом i e /, является камерой, которая называется
открытым симплициальным конусом с вершиной а, опреде-
определенным базисом (еи ..., ed). Его замыкание при d~^\ со-
состоит из точек х, таких, что е\ {х) ^ 0 для любого I с= /.
В противном случае замыкание пусто. Для любого подмно-
подмножества /с/ обозначим через Cj множество точек х про-
пространства Е, для которых е\{х) = 0 при ie/ и e't(x)> 0 при
("е/-/. Тогда Су — ячейка с носителем Я/, являющаяся
открытым симплициальным конусом с вершиной а в аффин-
аффинном пространстве Hj. Далее, С = (J С/. В частности, стен-
/•с=/
ками камеры С служат гиперплоскости Hi для ie/, а ее
грань, содержащаяся в Hit совпадает с Q,j.
Ни одно из множеств Н{, Hj, С, Cj и F(e,, ..., ed) не
изменится, если перейти от базиса (elt ..., ed) к базису
(Я^!, ..., Kded) с Я; > 0 при всех г.
б) Пусть теперь в Е задана аффинно свободная система
точек, скажем (а0, а{, .... ad). Известно, что каждая точка
в Е однозначно записывается в виде х = ?,0.а0-\- ... + |d . ad,
где |о. •••> ^ — вещественные числа и |0+ ... + |d= 1
(Л/g., chap. II, 3е ed., § 9, п°3). Определим аффинные функ-
функции f0, ..., fd, полагая, что функция /,• ставит в соответствие
каждой точке х число li из предыдущей формулы. Обозна-
Обозначим через Ht гиперплоскость в Е, определенную уравне-
уравнением /,• (х) = 0, а через § множество гиперплоскостей Яо,
Я,, ..., Hd. Наконец, положим / = {0, 1, .... d). Назовем
открытым симплексом с вершинами а0, ..., ad множество С
точек х из Е, таких, что ft (x) > 0 для любого_ге/. Это
одна из камер в Е относительно Ф. Замыкание С камеры С
состоит из точек х е Е, таких, что ft {х) ^ 0 для любого i e /.
Это выпуклая оболочка конечного множества {ао,_..., ad),
и легко видеть, что экстремальными точками С будут
аа, ..., ad.
Для любого подмножества / с /, отличного от /, поло-
положим Hj= Р| Hi и обозначим через Cj множество точек х
из Е, таких, что fi (х) > 0 при I e К и ft (x) < 0 при is/-/.
Множество Cj является открытым симплексом в аффинном

82 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ /
пространстве Hj с вершинами a-t для /е/ —/. Имеем
С0 = С, С= (J Cj и С}ФСУ для ]ф]'. Далее, Су—
/ ф i
ячейка с носителем Я7. В частности, стенками камеры С
служат гиперплоскости Но, ..., Иа, a Сдо— грань, лежащая
в #,.
Для всякого непустого подмножества К cz / обозначим
через Вк множество точек х из Е, таких, что /,- (х) > 0 при
iei( и /,-(лс) < 0 при i ge / — /С. Множества б д. будут каме-
камерами в Е относительно •§>, причем В, = С. Легко видеть,
что С компактно. Напротив, если К — отличное от / под-
подмножество в / мощности р, то камера Вк содержит после-
последовательность точек хп, определенную при п~^1 условиями
\п для ШК,
lt[Xn) \(lpn)/(d+l-p) для i<=l-K.
Этим доказано, что Вк не является относительно компактным.
§ 2. Отражения
В этом параграфе символом К обозначается коммутатив-
коммутативное поле, характеристика которого начиная с п°2 будет пред-
предполагаться отличной от 2. Обозначим через V векторное
пространство над К-
i
1. Псевдоотражения
Определение 1. Эндоморфизм s векторного простран-
пространства V называется псевдоотражением, если эндоморфизм
\ — s имеет ранг 1.
Пусть s — псевдоотражение в К и D — образ 1—s. По
определению размерность D равна 1. Поэтому при заданном
векторе а ф 0 из D существует ненулевая линейная форма а*
на V, такая, что х — s(x) = (x, а*), а для любого х из V.
Обратно, пусть заданы вектор а ф 0 в V и линейная
форма а*Ф 0 на V; формула
sa,a>(x) = x-(x,a*).a (x<=V) A)
определяет псевдоотражение sa.a*. Образ эндоморфизма
1—sa, о* порождается вектором а, а ядром служит гипер-
гиперплоскость в V, состоящая из х, таких, что (х, а*) = 0. Если
V* — дуальное к V пространство, то ясно, что эндомор-
эндоморфизм sa*,a пространства V*, сопряженный с sa, a*, является
псевдоотражением, определенным по формуле
sa*t а (я*) = х* - (х*, а). а' (*' еП B)

•§ 2. ОТРАЖЕНИЯ 83
Назовем псевдоотражением (вдоль) ненулевого вектора а
любое псевдоотражение s, для которого а принадлежит образу
1 — s. Гиперплоскостью псевдоотражения s назовем ядро
эндоморфизма 1—s, т. е. множество векторов х, таких,
что s (х) = х.
Предложение 1. Пусть G — группа и р — ее линейное
неприводимое представление в векторном пространстве V.
Предположим, что существует элемент g группы G, такой,
что р (g) — псевдоотражение.
(i) Любой эндоморфизм пространства V, коммутирующий
с p(G), есть гомотетия, и р абсолютно неприводимо.
(И) Предположим, что V имеет конечную размерность.
Пусть В — ненулевая билинейная форма на V, инвариант-
инвариантная относительно p(G). Тогда форма В невырождена, сим-
симметрична или оке антисимметрична и любая билинейная
форма на V, инвариантная- относительно p(G), пропорцио-
пропорциональна форме В.
Пусть и—эндоморфизм пространства V, коммутирующий
с p(G). Пусть, сверх того, g — элемент группы G, такой,'
что p(g) — псевдоотражение, и D — образ эндоморфизма
1—p(g). Поскольку D имеет размерность 1 и и (D)| с= D,
в К существует такой элемент а, что и — а.1 равно нулю
на D. Ядро N эндоморфизма и—а.1 будет тогда вектор-
векторным подпространством пространства V, устойчивым отно-
относительно p(G) и ненулевым, поскольку оно содержит D.
А так как представление р неприводимо, tojV = Vhm = ci.1.
Вторая часть утверждения (i) вытекает из первой в силу
следствия предложения 5 из Алг., гл. VIII, § 13, п° 4.
Пусть N (соотв. ./V')— подпространство в V, состоящее
из х, таких, что В (х, у) = 0 (соотв. В (у, х) = 0) для любого
вектора у из V. Ввиду инвариантности В 'относительно p(G)
оба подпространства N и N' устойчивы относительно p(G)
и отличны от V, поскольку Б ф 0. Но р неприводимо, по-
поэтому N = N' = 0, и, таким образом, форма В невырождена.
Так как V имеет конечную размерность, то всякая били-
билинейная форма на нем имеет вид
В'{х,у) = В{и{х),у), C)
где и — надлежащий эндоморфизм пространства V. Если
форма В' инвариантна относительно p(G), то эндоморфизм и
коммутирует с p(G). Действительно, пусть х, у — элементы
из V и g — элемент группы G. Инвариантность форм В и В'

84 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 2
относительно p(G) влечет равенства
В (и (р (g) (*)), У) = В' (р (g (х)), у) = В' (х, р (g~') (у)) =
= В (и (х), р (g~l) (у)) = В (р (g) (u (x)), у).
откуда ввиду невырожденности В получаем и (р (g) (x)) =
— Р (&) (ы (*))• Согласно (i), в /С найдется элемент а, для ко-
которого и = а.\, т. е. В' = а.В.
Применяя этот результат, в частности, к билинейной
форме В' (х, у) — В (у, х), получаем В (у, х) = а. В(х, у) =
= а2. В (х, у) для любых двух векторов х, у из V, г по-
поскольку форма В ненулевая, а2=1, откуда а=1 или же
а = —1. Таким образом, форма В либо симметрична, либо
антисимметрична.
2. Отражения
Напомним, что впредь, если специально не оговорено
противное, характеристика поля К предполагается отличной
от 2. Отражением в пространстве К мы называем любое
псевдоотражение s, для которого s2=l. Если s — какое-ни-
какое-нибудь отражение, то обозначим через Vf ядро эндоморфизма
s — 1, а через КГ ядро эндоморфизма s+ 1.
Предложение 2. Пусть s — эндоморфизм пространства V.
(i) Если s — отражение, то V — прямая сумма гиперпло-
гиперплоскости Vt и прямой VT-
(и) Обратно, пусть V — прямая сумма гиперплоскости Н
и прямой D, причем s(x) — x и s(y) = — у для х^Н и
у gh D. Тогда s — отражение и H = Vt, а ?> = V7¦ Наконец, D
совпадает с образом эндоморфизма 1 — s.
(i) Если s — отражение, то Vt—гиперплоскость. Если х
принадлежит Vtf\V7, то x = s(x) = — х, откуда х = 0, ибо
характеристика поля К отлична от 2. Наконец, для любого х
из V вектор x' = s(x)-{-x (соотв. х" = s (x) — х) принадле-
принадлежит Vt (соотв. КГ), поскольку s2=l, и мы имеем 2х =
= х' — х". Поэтому V есть прямая сумма подпространств Vt
и КГ, причем КГ имеет обязательно размерность 1, ибо
Vf — гиперплоскость.
(и) В соответствии с сделанными предположениями каж-
каждый элемент пространства К единственным образом записы-
записывается в виде у = * + //, где х€вН, y^D и s(v) = x — у.
Отсюда немедленно вытекает утверждение (ii).

§ 2. ОТРАЖЕНИЯ 85
Следствие. Если пространство V конечномерно, то опре-
определитель всякого отражения равен —1.
Пусть s — отражение в пространстве V. Согласно предло-
предложению 2, (i), существует базис (е,, ..., еп) пространства V,
для которого s(e,)==e,, ..., s(en_,) = en_, и s{en) = — en,
откуда следует, что dets = — 1.
Предложение 3. Пусть s — отражение в V.
(ii) Для того чтобы подпространство V пространства V
было устойчиво относительно s, необходимо и достаточноу
чтобы либо V7 <=-V, либо V czVt-
(Hi) Для того чтобы эндоморфизм и пространства V
коммутировал с s, необходимо и достаточно, чтобы под-
подпространства Vf и V7 были устойчивы относительно и.
(i) Если V'aVf, то s(x) = x для всех х из V, откуда
s {V) с: V. Предположив, что V7 cz V, для любого х из V
будем иметь s(x)-j;eFs"c!/', откуда s{x)^V и снова
s(V')czV. Обратно, предположим, что s (г/) cz V. Если
V ф Vt, то существует х в V, для которого s (л:) ф х. От-
Отличный от нуля вектор a==s(x) — х принадлежит прямой V7
и, следовательно, ее порождает. Так как aeF, то V7 cz V.
(ii) Предположим сначала, что и коммутирует с s. Если
х — вектор, такой, что s(x) = s.x (где е=± 1), то s(u(x)) =
u{s(x)) = e.u(x) и, следовательно, подпространства V7 и V7
устойчивы относительно и. Обратно, предположим, что V7
и V7 устойчивы относительно и. Ясно, что тогда эндомор-
эндоморфизм us — su равен нулю на Vf и V7, а так как V — пря-
прямая сумма Vt и V7, то us — su = 0.
Следствие. Для того чтобы два различных отражения s
и и были перестановочны, необходимо и достаточно, чтобы
V7czVt и VZ<=Vt.
Действительно, если V7 cz Vt и VZ cr Vf, то предло-
предложение 3, (i) показывает, что Vt и V7 устойчивы относи-
относительно s, и тем самым su = us в силу утверждения (ii)
предложения 3.
Обратно, если su^=us, то в силу (ii) подпространство V7
устойчиво относительно и; утверждение же (i) показывает,
что здесь возможны только два случая:
a) Vu<=-V7- Оба эти пространства, имея размерность 1,
совпадают, и поэтому V7 Ф Vt. Так как Vt устойчиво отно-

86 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 3
сительно s, то Vt a Vf, и эти гиперплоскости совпадают.
Но тогда s = u, а это по условию исключено.
б) V7 <=Vu- Образ эндоморфизма 1 — s тогда содержится
в ядре эндоморфизма 1-й, откуда A — и) . A — s) = 0. Так
как и, s коммутируют, то и A — s). A — и) = 0, т. е. Vu c= Vf.
Замечание. Пусть а Ф 0 в V и а* — ненулевая линейная
форма на V. Из формулы A) получаем
и, следовательно, sa, „• является отражением в том и только
s том случае, если (а, а*) = 2. При этом sa, a» (a) = — a.
5. Ортогональные отражения
Предположим, что V конечномерно. Пусть В — невыро-
невырожденная билинейная форма на V. Согласно предложению 4
из Алг., гл. IX, § 6, п° 3, для того чтобы отражение s в V
оставляло форму В инвариантной, необходимо и достаточно,
чтобы подпространства Vf и V7 пространства V были
взаимно ортогональны относительно В. В этом случае они
будут неизотропны. Далее, для любой неизотропной гипер-
гиперплоскости Н в V существует, и притом единственное, отра-
отражение s, сохраняющее В и тождественное на Я. Это не что
иное, как симметрия относительно Н {Алг., гл. IX, § 6,
п° 3). Если а — ненулевой вектор, ортогональный к Я, то
В {а, а) Ф 0, и отражение s задается формулой
s (х) — х — 2 в ,*' " • а для любого jteF, D)
что следует из формулы F) в Алг., гл. IX, § 6, п° 4. Пре-
Преобразование s называют также ортогональным отображе-
отображением относительно гиперплоскости Я.
Предложение 4. Пусть V — конечномерное пространство,
В — невырожденная симметрическая билинейная форма на V,
X — подпространство в V и Х° — ортогональное дополнение
к X относительно формы В. Пусть, наконец, s — ортого-
ортогональное отражение относительно неизотропной гиперпло-
гиперплоскости Я в V. Тогда следующие условия эквивалентны:
([) X устойчиво относительно s;
(ii) Х° устойчиво относительно s;
(iii) Я содержит X или Х°.
Имеем Vf = Н, а по упомянутым выше соображениям V7
совпадает с ортогональным дополнением Я0 к Я относи-

• § 2. ОТРАЖЕНИЯ 87
тельно В. Для устойчивости X относительно s в силу пред-
предложения 3, (i) необходимо и достаточно, чтобы X cz H или
H°czX. Но, согласно следствию 1 предложения 4 из Алг.,
гл. IX, § 1, п° 6, включение H°czX эквивалентно вклю-
включению X°czH. Тем самым доказана эквивалентность (i)
и (iii). Эквивалентность (И) и (Hi) получается, если поменять
местами X и Х°, поскольку (Х°)° = Х.
4. Ортогональные отражения в аффинном евклидовом
пространстве
Сохраним обозначения предыдущего пункта. Пусть Е —
аффинное пространство, для которого V — пространство
переносов. Задание формы В на V наделяет Е структурой
евклидова пространства {Алг., гл. IX, § 6, п° 6).
Пусть Н — неизотропная гиперплоскость в Е. Симметрия
относительно Н {Алг., гл. IX, § 6, п° 6) называется также
ортогональным отражением относительно Н. Мы будем
обозначать его через sH. Тогда s!H=l и sH— единственное
перемещение {там оке, определение 3) пространства Е, от-
отличное от тождественного и оставляющее на месте все эле-
элементы гиперплоскости Н. Автоморфизм пространства V,
ассоциированный с s^, есть ортогональное отражение отно-
относительно направляющей гиперплоскости для Н (которая
является неизотропной гиперплоскостью в V).
Любой элемент х е Е однозначно записывается в виде
х = h -\- v с ЛеЯ и эеУ, ортогональным к Н. Имеем
sH{h + v) = h — v.
Предложение 5. Пусть Н и Н' — две параллельные и
неизотропные гиперплоскости в Е. Тогда существует един-
единственный вектор hgK, ортогональный к Н и такой, что
Н' = Н -\- v. Перемещение sHsH' есть перенос на вектор 2v~
Существование и единственность вектора v очевидны.
Автоморфизм пространства V, ассоциированный с sH,sH,
тождествен, поэтому sH, ¦ sH — перенос. С другой стороны,,
если йей', то а — v e H и
sH,sH {а — v) = sH, {а — v) = а + v = {а — v) + 2v,
а это показывает, что sH,sH — перенос на вектор 2v.
Следствие. Пусть Н и Н' — две параллельные гипер-
гиперплоскости, отличные друг от друга и неизотропные. Если
характеристика поля К равна нулю (соотв. р > 0, р ф 2),
то группа перемещений пространства Е, порожденная sn

gg ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 5
и sH,, является бесконечной (соотв. порядка 2р) диэдраль-
ной группой.
В самом деле, согласно предложению 2 из п°2, § 1
гл. IV, достаточно проверить, что sH,sH имеет бесконечный
порядок (соотв. порядок р), а это очевидно.
Замечание. Вернемся к обозначениям предложения 5 и
предположим вдобавок, что К = R- Пусть s = sH и sr = sH,.
Пусть, далее, Нп — гиперплоскость Н -\-n.v и Сп — множе-
множество точек из Е вида a-\-\.v, где а<=# и п <1<п + 1.
Тогда Сп — открытые связные множества, образующие раз-
разбиение множества Е — (J Нп. Следовательно, это камеры,
п
определенные системой Н = (Hn)n(-Z в Е. Перенос (s's)n пере-
переводит камеру С = С0 в камеру С2п, а так как s(C0) = Cu то
(s's)" s(C) = C2n-i- Таким образом, диэдральная группа W,
порожденная элементами s и s', действует просто транзи-
транзитивным образом на камерах Сп. Покажем, далее, что если
камеры Си w (С) лежат по разные стороны от гиперпло-
гиперплоскости Я (для w e W), то l(sw) — l(w)—l (длина рассма-
рассматривается относительно системы образующих S = {s, s'}
(гл. IV, § 1, п°1). Действительно, тогда w{C) = Cn с п < 0.
Если п =—2&, то w = {ss'f и sw — (s'sf~$ s', откуда / (ay) = 2k
и l(sw) = 2k — 1 (гл. IV, § 1, п°2, замечание). Если п =
¦== — 2k— 1, то w — (ss')ks и sw — {s's)k, откуда l(w) = 2k+ 1,
a l(sw) = 2k.
S. Дополнения о вращениях на плоскости
В этом п° через V будет обозначаться вещественное век-
векторное пространство размерности 2, снабженное скалярным
произведением (т. е. невырожденной положительной симме-
симметрической билинейной формой) и ориентацией. Меры углов
будут браться относительно основания 2л; поэтому главной
мерой угла между полупрямыми (соотв. прямыми) является
вещественное число 0, такое, что 0 ^ 0 < 2л (соотв. 0^0 < л)
(Общ. топ., гл. VIII, § 2, п°3 и 6). Для любого веществен-
вещественного числа 0 назовем, допуская вольность речи, углом 9
угол, мера которого равна 0, и обозначим через ре враще-
вращение на угол Э (Алг., гл. IX, § 10, п°3).
Предложение 6. Пусть s — ортогональное отражение отно-
относительно прямой D в V. Если А и А' — две полупрямые
с началом 0 (соотв. две прямые, проходящие через 0) про-
пространства V, то
(slA), s (A')) = — (ДГДО (mod 2л) (соотв. (mod л)).

§ 2. ОТРАЖЕНИЯ 89
Пусть и—вращение, переводящее Л и А'. Так как su—орто-
su—ортогональное преобразование в V с определителем —1, то оно
будет отражением и поэтому (suJ = 1. Следовательно, и~' =
= хих~' переводит s(A) в s (Л'), откуда и следует пред-
предложение.
Следствие. Пусть D и D' — две прямые в V и 6 — мера
угла (D, D'). Тогда sD,sD = p2e.
Известно, что sD,sD — вращение, поскольку его опреде-
определитель равен 1. Пусть А и Л' — полупрямые с началом О,
содержащиеся в D и D'. Тогда
(AT sd,sd (Л» ^ (aTv5)) - (О) + (Л^
= (О') - (AVA) = 2 (д'Гд') (mod 2я),
что и дает следствие.
Пусть теперь Л и А' — две полупрямые в V, такие, что
А Ф А' иА^-А',
и пусть s и s' — ортогональные отражения относительно
прямых D и D', содержащих А и Л'. Пусть 9 —главная
мера угла (D, D'). Если 6 е nQ, то обозначим через m наи-
наименьшее целое число ^1, для которого m8 e nZ. Если
6 9= nQ, то положим m = оо. Пусть IF — группа, порожденная
отражениями s и s'.
Предложение 7. Группа W — диэдральная группа (гл. IV,
§ 1, п°2) порядка 2т. Она состоит из вращений р2п6 и
произведений p2n6s для neZ, Образы прямых D и D' отно-
относительно группы W совпадают с образами прямой D отно-
относительно вращений р„е для neZ.
Следствие предложения 6 показывает, что порядок s's
равен пг, откуда вытекает первое утверждение. Значит, эле-
элементы группы W имеют вид (s's)" = р2п6 или (s's)" s = p2n6s.
Отсюда получается последнее утверждение, поскольку ?)'«=-
-РеФ)-
Следствие. Пусть С — открытый угловой сектор — объеди-
объединение открытых полупрямых А( с началом 0, для которых
О < (Л, А,) < 6. Для того чтобы образы прямых D и D' отно-

¦gO ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ В
сительно W не пересекали С, необходимо и достаточно,
чтобы m было конечным и чтобы
9 = л/т.
Если т = оо, то образ множества чисел я9 (/igZ) плотен
в R/2:rtZ (Общ. топ., гл. VII, следствие предложения 11).
Поэтому объединение образов D относительно W плотно в V
и пересекает С Если m конечно и 0 = knjm, I < k < m, где
целые k и m взаимно просты, то существует целое число h,
такое, что /г&=1 mod т. Тогда (D, рлп (D)) е= я/т (mod л) и
рЛ9(?>) пересекает С. Это показывает, что условия следствия
необходимы. Обратное утверждение очевидно.
Замечание. Пусть m конечно и Э = л/m. При neZ обо-
обозначим через Сп объединение открытых полупрямых S{
с началом 0, таких, что
пВ <(Oi) <(п+1) 9.
Тогда С„ для — m^Ln< m суть связные открытые множе-
множества, образующие разбиение множества ?" —(jDrt (мы пола-
п
гаем Dn = prt0 (Z))). Значит, это камеры, определенные в Е
системой m прямых Dn (l^n^m). Имеем С2й = р2ье(С) и
¦C2k-\ = p2kss(C)- Кроме того, Сп — С тогда и только тогда,
когда п е 2mZ. Следовательно, группа W действует на ка-
камеры Сп просто транзитивным образом.
Докажем, наконец, что если элемент w e W таков, что
камеры С и w (С) лежат по разные стороны от прямой D,
то l(sw)—l{w)—1 (длина берется относительно системы
5 = {s, s'}). Действительно, тогда w (С) = С„, где —m О < 0.
Если п = — 2k, то w = (s5')ft и sw=s'(ss')fc~', откуда I (ш)==2&
и J(sz2>) = 2& — 1 (гл. IV, § 1, п°2, замечание). Если « =
= -2fc+ 1, то
w = (ss')k~ls и say = (s'.s)ft~l,
откуда l(w) = 2k — l и / (so;) = 2k — 2. Ч. Т. Д.
§ 3. Группы перемещений, порожденные отражениями
В этом параграфе через Е обозначается вещественное
аффинное пространство конечной размерности d и через
Т — его пространство переносов. Предполагается, что Т снаб-
снабжено скалярным произведением (т. е. невырожденной поло-
положительной симметрической билинейной формой), обозна-

/ § 3. ГРУППЫ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 91
чаемым через (t\tr). Для любого вектора ?е Г положим
\\t\\ = (t\t)'12. Функция d(x, у) = \\х — у\\ есть расстояние на Е,
определяющее топологию пространства Е (§ 1).
Обозначим через •?> некоторое множество гиперплоскостей
в Е и через W группу перемещения евклидова простран-
пространства Е, порожденную ортогональными отражениями sH отно-
относительно гиперплоскостей //g§ (§ 2, п°4). Предположим,
что выполнены следующие условия:
(П1) для любого w^W и любой гиперплоскости Н -з ?>
гиперплоскость w(H) принадлежит множеству §;
(П2) группа W, снабженная дискретной топологией, дей-
действует в Е собственно разрывно.
Поскольку Е локально компактно, замечание в § 4, п°5
книги Общ. топ., 3-е изд., гл. III, показывает, что условие (П2)
эквивалентно следующему:
(П'2) каковы бы ни были компактные подмножества К
и L пространства Е, множество элементов w ^W, для кото-
которых w (К) пересекается с L, конечно.
1. Предварительные результаты
Лемма 1. Множество гиперплоскостей f> локально конечно.
Действительно, пусть К — компактное подмножество в Е~
Если гиперплоскость Яе§ пересекает К, то множество sH(K)
тоже пересекает К,, поскольку любая точка из К, f] H остается
на месте при действии sH. Поэтому множество Яе§, пере-
пересекающих К> должно быть конечно в силу условия (П'2).
Таким образом, к?и§ можно применять определения и
результаты § 1. Мы будем называть просто камерами, ячей-
ячейками, стенками и т. д. относительно W камеры, ячейки,
стенки и т. д., определенные в Е множеством f>. Переме-
Перемещение w e W переставляет между собой камеры, ячейки,
стенки и т. д.
Лемма 2. Пусть С — камера.
(i) Для любого х^Е существует элемент ©eW, такой*
что w {х) е С.
(И) Для любой камеры С существует элемент w e W,
такой, что w{C') = C.
(Hi) Группа W порождена множеством ортогональных
отражений относительно стенок камеры С.
Пусть Ж — множество стенок камеры С и Wm — группа,
порожденная отражениями относительно стенок камеры С.

'92
ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ
Докажем утверждение (i). Пусть х е Е и / — орбита точки к
относительно группы Wm. Достаточно доказать, что / пере-
пересекает С.
Пусть а — точка камеры С. Существует замкнутый шар В
с центром а, пересекающий орбиту /. Так как шар В ком-
компактен, то условие (П'2) из п° 1 показывает, что множе-
множество В П / конечно. Поэтому существует точка уе/, такая, что
d(a, y)^.d(a, у') для всех у' из /. (I)
Мы хотим доказать, что уеС, Для этого достаточно пока-
показать, что если Я — стенка камеры С, то y^.DH(C) (см. § 1,
п°4, предложение 9). Так как ^ett^, то sH(y)^J, откуда
(рис. 1)
d(a, yf^dia, sH(y)f B)
в силу неравенства A). Существуют точка беЯи два век-
вектора t и и, такие, что a = b-\-t, t/ = b-\-u и вектор ы орта-
sH(v)
Рис. 1.
тонален к Н. Тогда sH(y) = b — и и неравенство B) экви-
эквивалентно неравенству (t — u\t — и) ^.(t + и \t -\- и), или, что
равносильно, неравенству (t\u)~^O. Из этого неравенства
следует включение у е DH(C).
(ii) Пусть С — какая-то камера и ar e С. По только что
доказанному существует aief,,, для которого ^"'(а')^^-
Следовательно, камера С пересекается с w(C). Но так
как w (С) есть объединение камеры w (С) и ячеек с пустой
внутренностью (§ 1, п°2, предложение 3), то C' = w(C).
(iii) Чтобы доказать равенство W = W^, достаточно дока-
дока) р
зать включение sH, e W для всех Н'
Но Н' — стенка
по крайней мере одной камеры С (§ I, п°4, предложение 8),
и существует w e Ww, для которого С = w (С). Следова-
Следовательно, существует стенка Н камеры С, такая, что H'—w (H),
¦откуда sH, = w. l IF
w
~l

2 § 3. ГРУППЫ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 93
2. Связь с системами Кокстера
Теорема 1. Пусть С — камера и S — множество отраже-
отражений относительно ее стенок.
(i) Пара (W, S) есть система Кокстера.
(И) Пусть w ef и Н — стенка камеры С. Соотношение
I (sHw) > / (w) означает, что камеры С и w (С) находятся
по одну и ту же сторону от гиперплоскости Я.
(ш) Для любой камеры С существует единственный эле-
элемент ше1Г, такой, что w (С) = С.
(iv) Множество гиперплоскостей Я, для которых sH e W,
совпадает с ф.
Каждый элемент множества S имеет порядок 2, а по
лемме 2 группа W множеством S порождается. Для любой
стенки Я камеры С обозначим через Рн множество w ^W,
таких, что камера С и камера w{C) (которая не пересе-
пересекает Я) лежат по одну сторону от Я. Мы должны про-
проверить условия (А'), (Б') и (В) из гл. IV, § 1, п°7.
(А') 1 е Рн. Это очевидно.
(Б') Рн не имеет общих элементов с sH.PH. В самом
деле, w{C) и sHw(C) находятся по разные стороны от Н,
и, значит, если w (С) лежит по ту же сторону от Я, что и С,
то sHw (С) — по другую.
(В) Пусть w е Рн и Н' — стенка камеры С, для которой
wsH,^.PH. Нам нужно доказать, что wsH, = sHw. По пред-
предположению w (С) лежит по ту же сторону от Я, что и С,
a wsH,{C) — по другую сторону. Значит, wsH,{C) и w(C)
будут по разные стороны от Я и соответственно камеры sH,(C)
и С лежат по разные стороны гиперплоскости w~[(H). Пусть
а — точка грани камеры С с носителем Я'. Точка a—sH,(a)
принадлежит замыканиям двух камер С и sH,(C), которые
соответственно содержатся в двух открытых полупростран-
полупространствах, ограниченных ш~'(Я). Поэтому a<^w~l(H) и, значит,
H'=w~[(H). Приходим к заключению, что sH, = w~lsHw,
откуда wsH, = sHw.
Коль скоро это установлено, утверждения (i) и (И) сле-
следуют из предложения 6 гл. IV, § 1, п° 7. Кроме того (там же,
условие (А)),
Л ^я = {1}- C)
Лемма 2 показывает, что W действует на множестве
камер транзитивно. Если, далее, элемент w e W таков, что
w (С) = С, то w еРй для любой стенки Я камеры С, откуда

^94 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ S
в соответствии с C) ш = 1. Тем самым доказано утвержде-
утверждение (ш).
Пусть, наконец, Я — гиперплоскость, для которой sH<^W.
Если бы Я ф. §, то существовала бы по крайней мере одна
камера С", пересекающая Я (§1, п° 3, предложение 7).
Каждая точка пересечения Я (]С инвариантна относительно sH
и тем самым принадлежит камерам С" и sH(C). Значит,
С = sH(C), что противоречит (ш), поскольку sH^ 1.
Следствие. Пусть 2 — множество отражений, поро-
порождающее группу W. Тогда всякое отражение, принадле-
принадлежащее W, сопряжено с каким-нибудь элементом множества 2.
Пусть -?>' — множество гиперплоскостей вида ву (Я) с wzeW
и Яе§, такими, что shgI Поскольку ИР порождается
семейством (s//)H(=r, и множество ?'устойчиво относительно W,
мы можем применить к ?' вместо Ф все результаты этого п°.
Но теорема 1, (iv) показывает, что всякое отражение группы W
имеет вид sH с Яе§', откуда и вытекает утверждение
следствия.
3. Фундаментальная область. Стабилизаторы
Напомним (Интегр., гл. VII, § 2, п° 10, определение 2),
что множество D пространства Е называется фундаменталь-
фундаментальной областью для группы W, если любая орбита в Е отно-
относительно W пересекает D в одной и только одной точке.
Это эквивалентно следующим двум условиям:
а) для любого х е; Е существует элемент w &W, такой,
что w (x) e D;
б) если х, у е= D и aief таковы, что у = w (х), то у = х
•{но возможно, w Ф 1).
Докажем три следующих утверждения.
Теорема 2. Какова бы ни была камера С, ее замыкание С
является фундаментальной областью для группы W, дейст-
действующей на Е.
Предложение 1. Пусть F — ячейка, С — камера, такая,
что FczC, и пусть w^W. Следующие условия эквивалентны'-
(i) w (F) пересекает F;
(ii) w(F) = Fj
(in) w (F) = F;
(iv) w оставляет неподвижной хотя бы одну точку из F;
(v) w оставляет неподвижной каждую точку F ячейки F;
(vi) w оставляет неподвижными все точки замыкания F;

3 § 3. ГРУППЫ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 95
(vii) w принадлежит подгруппе в W, порожденной отра-
отражениями относительно стенок камеры С, содержащих F.
Для любого подмножества АаЕ обозначим через W(А)
подгруппу в W, состоящую из элементов, которые оставляют
неподвижными все точки множества А.
Предложение 2. Пусть А — непустое подмножество в Е,
-р4 — множество гиперплоскостей Яеф, содержащих А,
А' — пересечение гиперплоскостей йе§л и F — ячейка в Е,
открытая s Л' (§ 1, п° 3, предложение 7). Тогда W{A) =
= W (A') = W{F) и W (Л) порождается отражениями относи-
относительно гиперплоскостей из $>А.
Прежде всего докажем следующее утверждение:
(I) Пусть С — камера, х и у — две точки из С и w — эле-
элемент группы W, для которого w (х) = у. Тогда х — у, a w при-
принадлежит подгруппе W®, где ЭД — множество стенок камеры С,
содержащих х.
Проведем индукцию по длине q элемента w (по отноше-
отношению к множеству S отражений относительно стенок камеры С).
Случай q = 0 тривиален. Если q~^ 1, то существуют стенка Н
камеры С и элемент w'^W, такие, что w = sHw' и /(ш') =
= q—\. Поскольку l{sHw)<l{w), камеры С и ш(С) по тео-
теореме 1 из п° 2 лежат по разные стороны от Н. Поэтому
С{\ w (С) а Н, откуда у^Н. Тогда y = w'(x) и по предпо-
предположению индукции х — у, a w' e Wm. Так как у е Н, то
получаем Н е !Ч и w = sHw' e Wm, чем и заканчивается
доказательство утверждения (I).
Доказательство теоремы 2. Это утверждение следует
из (I) и из леммы 2.
Доказательство предложения 1. Мы знаем, что две раз-
различные ячейки не пересекаются и их замыкания не совпа-
совпадают (§ 1, п° 2, следствие предложения 3). Это приводит
к эквивалентности (i), (ii) и (Hi). С другой стороны, ясно, что
а утверждение (I) показывает, что (i)#(vii).
Доказательство предложения 2. Пусть А" — аффинное
подпространство пространства Е, порожденное множеством Л.
Очевидно, что W (А) = W (Л"). По предложению 7 из § 1,
п° 3, существует точка х е А", не лежащая ни в какой гипер-
гиперплоскости Яе||- $>а. Пусть Fx — ячейка, содержащая х;
«на открыта в А", и предложение 1 показывает, что
W {Fx) cz W (Л') <=W{A) = W (A") cz W ({х}) = W (Fx),

96 ГЛ. V. ГРУППЫ. ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 4
откуда W(A) = W(A')=W(FX). Заменив А на F, получаем
откуда и следует наше предложение.
Замечания. 1) Из теоремы 2 следует, что если С — камера,
a F— ячейка, то существует, и только одна, содержащаяся
в С ячейка F', которая переводится в F элементом из W.
2) Из предложений 1 и 2 следует, что для всякого не-
непустого подмножества А в Е существует точка ае Е, такая,
что W (А) = W ({а}). Сверх того, группа W (А) является груп-
группой Кокстера (теорема 1).
3) Пусть С — камера в Е и S — множество отражений
относительно ее стенок. Пусть до e W и (slt ..., sq) — при-
приведенное разложение элемента до относительно S. Если х^С
инвариантно относительно до, то s;(x) = x для всех /. Это
вытекает из предложения 1 и из следствия 1 предложения 7
гл. IV, § 1.
4. Матрица и граф Кокстера группы W
Пусть С — камера, S = S{C) — множество ортогональных
отражений относительно стенок С и M — (tn(s, s')) — матрица
Кокстера системы Кокстера (W, S) (гл. IV, § 1, п° 9); на-
напомним, что tn(s, s') есть порядок (конечный или бесконеч-
бесконечный) элемента ss' группы W (для s, s' e 5). Если С — другая
камера, то единственный элемент w e W, для которого
w{C) = C, определяет биекцию
множества 5 на S' = S(С), причем m(f(s), f(s')) = tn(s, s').
Отсюда следует, что если задать действие W на множестве X
пар (С, s), где С—-камера и s^S(C), положив до.(С, s) =
= (до(С), wsw~l), то каждая орбита i группы W в X будет
пересекаться с каждым из множеств {C}X«S(C) в одной и
только одной точке, которую мы обозначим через (С, Sj (С)).
Пусть в таком случае / — множество этих орбит. Для i,
/е/ число тц = tn(Si(C), Sj(C)) не зависит от выбора ка-
камеры С. Матрица M{W) — {niij)u /e/ является матрицей
Кокстера и называется матрицей Кокстера группы W. Граф
Кокстера, ассоциированный с М (W) (гл. IV, § 1, п° 9), на-
называется графом Кокстера группы W.
Пусть С — камера. Для любого ie/ обозначим через
Н{(С) стенку камеры С, такую, что st{C) будет отражением
относительно Ht{C), а через et(С) — единичный вектор, орто-

4 § 3. ГРУППЫ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 97
тональный к Ht (С) и лежащий по ту же сторону от Я,- (С),
что и С. Отображение />—>Яг(С) называется канонической
индексацией стенок камеры С.
Предложение 3. Пусть С — камера и i, /е/, 1ф]. По-
Положим Si = Si{C), Ht = Ht(C), el = el(C) и аналогично опре-
определим Sj, H/, в/.
(i) Если Hi и Н] параллельны, то triij = оо и et = — в/.
(и) Если Hi и Ну не параллельны, то triij конечно и
(ei\el) = — cos{n/mil). D)
(iii) fale/KO.
Если Н{ и Н/ параллельны, то SjS,- — перенос (§ 2, п° 4,
предложение 5), откуда triij = оо. Далее, либо ег = еу, либо
et = — ej. Между тем существует точка а (соотв. а') в за-
замыкании С, лежащая в Н{ (соотв. Hf), но не лежащая в Hf
(соотв. Ht). Тогда (а' — а \е{) > 0 и (а — а' \ еу) > 0, чем ис-
исключен случай et = в; и доказано (i).
Предположим теперь, что Ht и Н} не параллельны. Вы-
Выберем в качестве начальной точку a^.Hi{\Hj и отожде-
отождествим Т и Е при помощи биекции t>—>a-\-t. Пусть V — пло-
плоскость, ортогональная к Я,- Л Н/ и проходящая через а.
Положим Г == V Л Dh( (С) Л DHj (С) (где DH (С) — открытое полу-
полупространство, ограниченное гиперплоскостью Я и содержащее
камеру С (§ 1, п° 1)). Пусть D (соотв. D') — полупрямая в V,
лежащая на Ht[\V (соотв. H/f\V) и содержащаяся в замы-
замыкании Г. При выборе подходящей ориентации на V множе-
множество Г будет объединением открытых полупрямых А в V,
таких, что
О < (/ГД) < (D?Dr).
Пусть W — подгруппа в W, порожденная яг и Sj. Для
всех w^W гиперплоскости w{Hi) и w(Hj) принадлежат ¦§>,
содержат Я,- Л Нj и не пересекают С. Поэтому они не пере-
пересекают Г (§ 1, п°5, предложение 10). Следствие предложе-
предложения 7 из § 2, п°5, влечет тогда (п).
Наконец, утверждение (iii) сразу получается из (i) и (и),
поскольку Шц ^ 2 для i ф ).
Замечание. Формула D) имеет смысл на самом деле при
любых i, j e /. Действительно, n/mi} = 0, есть тц = оо,
а если / = /, то Шц = 1 и (e{\ei)=l.
4 Зак. 61, Н. Бурбаки

98 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 5
5. Системы векторов с отрицательными скалярными
произведениями
Лемма 3. Пусть q — положительная квадратичная форма
на вещественном векторном пространстве V и В — ассоци-
ассоциированная с ней симметрическая билинейная форма. Пусть
аи ..., ап — векторы из V, такие, что Б(а{, а/)^0 при 1ф\.
(i) Если С[ сп — вещественные числа, для которых
SJ 0, то
(ii) Если q невырождена и если существует линейная
форма f на V, такая, что f{ai)>0 при всех i, то векторы
ах, ..., ап линейно независимы.
Соотношение B{ah a;)^0 при 1ф\ тотчас дает нера-
неравенство
откуда следует утверждение (i). Поэтому в случае невыро-
невырожденной формы q равенство 2ед = 0 влечет
2 \Ci I • Щ = 0.
i
Отсюда для любой линейной формы / на V получаем
2l ci U/(fli) = 0> a еСли сверх того f(ai)>0 при всех i, то
с,- = 0 для любого i. Этим доказано утверждение (ii).
Лемма 4. Пусть Q = (<7»/) — симметрическая квадратная
матрица порядка п с вещественными коэффициентами, такая,
что
а) ?G<0 при 1ф\;
б) не существует разбиения множества {1, 2, ..., п) на
два непустых подмножества I и I таких, что если (i, j) s
е/Х/, то <7,/ = 0;
в) квадратичная форма q{xu ..., хп) = 2 ЧцХ{Х1 на R™
положительна.
Тогда
(i) Ядро N формы q имеет размерность 0 или 1. Если
dim^V=l, то N порождено вектором, у которого все коор-
координаты > 0.
(ii) Наименьшее собственное значение матрицы Q обла-
обладает кратностью 1, а соответствующий собственный вектор

5 § 3. ГРУППЫ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 99
имеет либо все положительные координаты, либо все отри-
отрицательные.
Ввиду положительности квадратичной формы q ее ядром N
является множество изотропных относительно q векторов
(Алг., гл. IX, § 7, п°1, следствие предложения 2). Пусть
а{, .... ап — канонический базис в R". Если 2cAG^ то
i
i
по лемме 3 и 2| ct\.ai^ N, откуда 2<7/t •! et | = 0 для лю-
i i
бого /. Пусть теперь / — множество тех i, для которых с^О.
Если \ф1, то <7/(lcil^0 при i'g/ и qn\d\ = § при г ф. I,
откуда qji = O для \ф1 и /е/, Условие б) дает тогда, что
либо 1=0, либо / = {1, ..., я}. Следовательно, у любого
ненулевого вектора из N ни одна из координат не равна
нулю. Если бы dim N^2, то пересечение ядра N с гипер-
гиперплоскостью, задаваемой уравнением Xi = 0, имело бы раз-
размерность ^1 вопреки тому, что мы только что получили.
Кроме того, из предыдущих рассуждений следует, что если
dim Л/" = 1, то N содержит вектор с положительными коор-
координатами. Этим доказано утверждение (i).
С другой стороны, известно, что собственные значения
матрицы Q вещественны (Алг., гл. IX, § 7, п°3, предло-
предложение 5) и положительны, поскольку форма q положительна.
Пусть Я — наименьшее среди них. Тогда матрица Q' = Q—XIn
будет матрицей вырожденной положительной формы q',
у которой недиагональные элементы такие же, как и у Q.
Следовательно, Q' тоже удовлетворяет условиям а) — в).
Так как ядро N' формы q' — собственное подпространство
матрицы Q, соответствующее собственному значению К, то
утверждение (ц) вытекает из (i).
Лемма 5. Пусть векторы еи ..., еп, порождающие Т,
таковы, что
а) (<?» 1<?/)<0 при 1ф\;
б) не существует разбиения множества {1 п} на два
непустых подмножества I и J с (е{, е/) = 0 при i^I и /е/.
Тогда возможны только два случая:
1) (в[, ..., еп) — базис пространства Т;
2) rt = dimr+ 1; существует семейство (ci)j<i<n вещест-
вещественных чисел > 0, таких, что 2 с{е{ = 0, и всякое семейство
i
(с'\ вещественных чисел, для которых 2 c\ei = 0. tipo-
порционально (ct)i<i<n.
Положим qii = {et\ej). Матрица Q = (<7(/) удовлетворяет
всем предположениям леммы 4: условия а) и б) леммы 4

100 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ в
совпадают с условиями а) и б) нашей леммы, а в) выпол-
выполнено по той причине, что 2 <7(/*»*/ = 2 II х&ь II2- Ядро N
квадратичной формы q на R" с матрицей Q есть множество
всех (Ср ..., с„) е R", для которых 2с,е< = 0. Когда jV == {0},
t
векторы et линейно независимы, и имеет место случай 1).
Когда же dim./V>0, лемма 4, (i) показывает, что имеет
место случай 2).
Лемма 6. Пусть {еи ..., еп) —базис в Т такой, что
(ei I еу) ^ 0 при i Ф /.
(i) Если х = 2 c^i — элемент из Т, для которого (х |е»)^0
i
при всех i, то с{^0 при всех L
(ii) Если х и у — два элемента пространства Т, для кото-
которых {х | et) ^ 0 и (у | ег) ^ 0 при всех i, то (х\у)^ 0. Если
(х \et) > 0 м (// |ег) > 0 при всех i, то (х \у) > 0.
В условиях утверждения (i) предположим, что сущест-
существует i, для которого с{<0. Пусть f —линейная форма на Т,
определенная равенствами f(e;)=l и
f (ey) = — ci (Д ' Cft ') прИ 7'^ '•
Векторы — л:, е^ ..., еп удовлетворяют всем предположениям
леммы 3, (ii) (в качестве q взять метрическую форму на Г).
Однако вытекающее отсюда заключение об их линейной
независимости абсурдно, что и приводит к утверждению (i).
Далее, если х = 2 ciei ^Т и уеГ, то {х \ у) = 2 Ci (e, I у),
i i
так что (ii) сразу следует из (i).
6. Теоремы конечности
Лемма 7. Пусть А — множество единичных векторов в Т.
Если существует такое вещественное число X < 1, что {а |')^^
для любых а, а' ^ А и а ф а', то множество А конечно.
Для а, а' <= А и аф а' имеем
|| а - а' ||2 = 2 - 2 (а | а') > 2 - 2Х.
Однако, будучи компактной, единичная сфера S в Т допу-
допускает конечное покрытие множествами диаметром < B — 2Х) '.
В каждом таком множестве содержится не более одного
вектора из А. Отсюда следует утверждение леммы. Обо-
Обозначим через U (w) автоморфизм пространства 7", ассоцииро-

в § 3. ГРУППЫ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ Ю1
ванный с аффинным отображением шеУ пространства Е
в себя. Имеем
w (х + 0 = w(х) + U{w).t для /еГ и х<= ?.
Определен, таким образом, гомоморфизм (У группы W
в ортогональную группу пространства Т. Ядром гомомор-
гомоморфизма U является множество переносов, принадлежащих
группе W.
Теорема 3. (i) Множество стенок одной камеры конечно.
(ii) Множество направлений гиперплоскостей из ¦§> конечно.
(Hi) Группа U (W) конечна.
Утверждение (i) сразу следует из предложения 3, (Hi) и
из леммы 7. Докажем (ii). Пусть С — камера и Ш — множе-
множество ее стенок. Множество ячеек в замыкании С (относи-
(относительно $) совпадает с множеством ячеек относительно Ш
(§ 1, п°4, предложение 9). Так как Ш конечно, то число
ячеек конечно. Поскольку каждая ячейка пересекается не
более чем с конечным числом гиперплоскостей из f>, множе-
множество гиперплоскостей, принадлежащих ф и пересекающих С,
конечно, так же как и множество Л(С) единичных векторов
в Т, ортогональных этим гиперповерхностям. Следовательно,
существует вещественное число % < 1, такое, что (а|а')^А,
для а, а' е А(С) и а ф а'.
Пусть теперь А — множество единичных векторов в Т,
ортогональных гиперплоскостям из •?>. Пусть а, й'еД, а фа'.
Если ana' параллельны, то а = — а' и (а\а') = — 1. В про-
противном случае пусть вектор а (соотв. а') ортогонален к Н
(соотв. к Я'). Тогда Н[\Н'Ф0, и если х^Н[\Н', то
существует элемент w e W, для которого х s w (С). Векторы
U (w). а и U[w).a' принадлежат тогда А(С), и
(a \a') = (U{w).a\U(w).a')<tK
так что множество А конечно по лемме 7. Этим доказано (ii).
Пусть теперь элемент w e W таков, что U(w).а — а для
всех неА Тогда U{w).t — t для любого t цчз подпростран-
подпространства в Т, порожденного векторами из А. С другой стороны,
если 1еГ ортогонален к А, то U(sH).t = t для всех Яе§,
откуда U(w),t=t, и, наконец, U(w)=\. Так как U(w)(A) = A
для любого элемента w e W, то группа U (W) изоморфна
группе перестановок конечного множества А, откуда следует
утверждение (ш).
Предложение 4. Пусть С — камера и (У1) — множество ее
стенок. Пусть Wx — подгруппа группы W, порожденная

102 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 6
ортогональными отражениями относительно гиперплоскостей
из У1. Для Н е *Л обозначим через ен единичный вектор,
ортогональный к Н и лежащий по ту же сторону от Н, что
и С. Следующие условия эквивалентны:
(i) группа Wm конечна;
(и) существует точка пространства Е, инвариантная отно-
относительно всех элементов группы W%;
(Hi) гиперплоскости из Ш имеют непустое пересечение;
(iv) семейство векторов (ен)н<=т свободно в Т.
Предположим, что группа Wm конечна и имеет порядок d.
Тогда для любой точки а из Е точка Ь = 2 d~x . w (a)
w ss W4
инвариантна относительно W-я, поэтому из (i) следует (и).
Согласно свойству (П2) (см. начало § 3), стабилизатор
в W всякой точки из Е конечен. Следовательно, (И) влечет (i).
Ввиду того что группа W^ порождена множеством отра-
отражений относительно гиперплоскостей из Щ, неподвижные
точки относительно Wg; — это точки пространства Е, принад-
принадлежащие каждой гиперплоскости ЯеЙ, откуда следует
эквивалентность (И) и (ш).
Предположим, что существует точка а в Е, принадлежа-
принадлежащая всем гиперплоскостям Яё?1. Пусть /е Г —вектор, для
которого a + t^C. Так как (ен\ен>)^10 для Н, Н'е=Ш,
НфН' (предложение 3), а (^|ен)>0 для всех ЯеШ, то
лемма 3, (И) влечет линейную независимость векторов ен,
Н е Щ. Поэтому из (Ш) следует (iv).
Предположим, наконец, что семейство (ен)н<=ч свободно.
Пусть а — точка в Е. Для любой гиперплоскости //е?1
существует вещественное число сн, такое, что И состоит из
точек а +1 в Е с (t\eH) = cH. Так как семейство {ен) сво-
свободно, существует вектор ieT, такой, что (t\eH) = cH для
всех Яе?1, и точка а +1 из Е принадлежит любой гипер-
гиперплоскости Яей. Следовательно, (iv) влечет (ш).
Замечания. 1) Поскольку W порождена отражениями
относительно стенок камеры С, предыдущее предложение
дает критерий конечности этой группы. Мы вернемся к этому
вопросу в п°9.
2) Пусть F — вещественное аффинное пространство конеч-
конечной размерности и G — его группа автоморфизмов. Для
любого g e G обозначим через U (g) ассоциированный с g-
автоморфизм пространства переносов V пространства F.
Предположим, что образ U(G) — конечная подгруппа в GL(F).
Тогда на V существует скалярное произведение, инвариант-
инвариантное относительно U (G) (Интегр., гл. VII, § 3, п°1, пред-

7 § 3. ГРУППЫ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ ЮЗ
ложение 1). Если сверх того G порождена отражениями и,
снабженная дискретной топологией, действует на F собст-
собственно разрывно, то мы можем применить к G все резуль-
результаты предыдущего параграфа.
7. Разложение линейного представления группы W в Т
Пусть / — множество вершин графа Кокстера группы W
(п°4), и пусть / — подмножество в /, такое, что вершины
из / и / — / не связаны между собой. Пусть С — камера,
5 — каноническая биекция множества / на множество отра-
отражений относительно стенок камеры С и WJf с — подгруппа,
порожденная образом s(J). Тогда из предложения 8, п°9, § 1,
гл. IV, следует, что W — прямое произведение двух своих
подгрупп Wj,c и Wj-]n с. Пусть С — другая камера и s' — соот-
соответствующее инъективное отображение /в W. Мы видели (п°4),
что если aielf переводит С в С, то s'(r) = ws(i) w~i при /е/.
Так как WJiC — нормальная подгруппа в W, то s'(i)eHPyiC
для всех i'g/. Отсюда следует, что подгруппа WJlC не
зависит от выбора С. Поэтому везде в дальнейшем мы будем
обозначать ее просто через Wj.
Определение группы Wj „ годится для любого подмножества
/ с /. Но если какая-нибудь вершина из / соединена с вершиной
из / — /, то Wj c не будет нормальной подгруппой и будет зависеть
от выбора камеры С.
Пусть Т° — подпространство в Т, состоящее из векторов,
инвариантных относительно всех элементов группы U(Wj),
и пусть Tj — подпространство, ортогональное к Tj. Так как
Wj — нормальная подгруппа в W, то ясно, что Tj, а следо-
следовательно, и Tj инвариантны относительно U (W).
Предложение 5. Пусть Jlt ..., Js — множества вершин
связных компонент графа Кокстера группы W. Для
^ ^ Р ^ s положим
WP = W} Tp = Tj Т'Р=Т°} Го= Л Т'р-
v v v
(i) Группа W — прямое произведение подгрупп Wp(^p^)
(И) Пространство Т — прямая сумма ортогональных под-
подпространств Тй, Тх, ..., Ts, устойчивых относительно U(W).
(ш) Для любого q, l^q^s, подпространство Tq про-
пространства Т состоит из векторов, инвариантных относи-
относительно U(Wq). Оно разлагается в прямую сумму тех Тр, для
которых O^p^s и р ф q.

104 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 7
(iv) Пусть С — камера. Подпространство Тр A ^ р <^ s)
порождено векторами et(C) для /е/р (в обозначениях п°4).
(v) Представления группы W в подпространствах Тр
(l^p^s) абсолютно неприводимы, нетривиальны и попарно
неэквивалентны.
Утверждение (i) следует из результатов гл. IV, § 1, п° 9.
С другой стороны, как мы уже видели, подпространства Тр
инвариантны относительно U (W) и то же верно для То.
Пусть С — камера. Так как Wр порождена отражениями st (С),
/е/р, то ясно, что Тр — подпространство, ортогональное
к ei (С) для I е /р, откуда следует (iv). Сверх того при i <= J p,
} е Jq и р ф q будет Шц = 2, поскольку {/, /} не является
ребром графа Кокстера, т. е. (е,|е/) = 0. Отсюда непосред-
непосредственно получаем (п), а затем и (iii), ибо Tq ортогонально к Tq.
Наконец, пусть V — инвариантное относительно U(Wp)
подпространство в Тр. Для любого i<=.Jp вектор et либо
принадлежит V, либо ортогонален к V (§ 2, п°2, предложе-
предложение 3). Пусть А (соотв. В) — множество тех i e Jр, для которых
е(Е^ (соотв. et ортогонален к V). Очевидно, что (el\e{) = 0
при /еЛ и/ей, а поскольку Jp связно, приходим к заклю-
заключению, что либо Л=0 и V = {0}, либо A — Jp и V = Тр.
Следовательно, представление группы Wр в Тр неприводимо,
а потому и абсолютно неприводимо в § 2, п°1, предложе"
ние 1. Оно нетривиально по самому определению простран-
пространства Тр. Наконец, последнее утверждение в (v) сразу сле-
следует из (iii).
Группа W называется существенной, если подпростран-
подпространство То векторов из Т, инвариантных относительно U {W),
сводится к {0}. Группа W называется неприводимой, если
неприводимо ее представление U в Т.
Следствие. Пусть W ф {1}. Для того чтобы группа W
была неприводимой, необходимо и достаточно, чтобы она
была существенной и чтобы ее граф Кокстера был связен.
Замечание. В условиях предложения 5 подпространства Тр
для O^p^s являются изотипными компонентами линейного
представления U группы W в Т (Алг., гл. VIII, § 3, п°4).
Отсюда следует (там же, предложение 11), что всякое век-
векторное подпространство V в Т, устойчивое относительно W,
есть прямая сумма подпространств V Л Тр для 0^/><s.
Кроме того (там же, предложение 10), любой эндоморфизм,
коммутирующий со всеми операторами U (ш), w e W, оста-

§ 3. ГРУППЫ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ. ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ Ю5
вляет устойчивыми все Тр, O^p^s, и индуцирует на каждом
из них гомотетию. В частности, всякая билинейная форма Ф
на Г, инвариантная относительно W, задается равенством
где Фо — билинейная форма на То и ар (l^p^s) — веще-
вещественные числа. Действительно, такая форма Ф однозначно
записывается в виде {t,t')^>-(A{t)\t'), где Л— эндоморфизм
пространства Т, коммутирующий с U (ш) для ие^.
8. Разложение аффинного пространства Е в произведение
Сохраним обозначения предложения 5. Пусть Ер с 0 ^
^p^s— множество орбит группы Т'р в Е, и пусть фр— ка-
каноническое отображение пространства Е на Ер. Действие Т
в Е переносится на фактор. В частности, Тр действует на Ер,
и непосредственно проверяется (например, путем выбора на-
начальной точки в Е), что Ер будет аффинным пространством,
допускающим Тр в качестве пространства переносов. Поло-
Положим ?'== ?0Х • • • X Es. Это есть аффинное пространство
с 7'= Гоф ... ©7\, в качестве пространства переносов. Пусть
<р: Е-*Е' — произведение отображений срр. Так как ср ком-
коммутирует с действием Т, то это отображение будет биек-
цией и изоморфизмом аффинных пространств. В дальней-
дальнейшем мы отождествим Е и Е' посредством ф. Отображение <рр
отождествляется тогда с канонической проекцией Е' на Ео.
Поскольку W оставляет устойчивым Т'р, действие W на Е
переносится на фактор и определяет закон действия W на Ер
(O^p^s), а при сужении — закон действия Wp rfa Ep.
Далее, пусть С —камера, is/, и р — такое целое число,
что i е /р. При всех х е Е имеем
s[(C)(x) = x — l.el(C), где Я, е= R.
Так как et e Т'„ при q ф р, то
Ф,(w(х)) = (fq(х) для te?, w<=Wp, 0<q<s, q ф p.
Следовательно, если w = w{ ... ws e IF, с шреЦ^р, 1^
^p^s, то
да ((*o, .... xs)) = (*0> Wi (x{), ..., ws (xs)), E)
каковы бы ни были хр<^Ер, O^p^s. Другими словами,
за/сом действия группы W на Е = Е' есть не что иное, как

106 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 8
произведение законов действий групп W р на Ер (мы пола-
полагаем tt^0 = {1}). Таким образом, Wp действует точно на Ер,
и Wp можно отождествить с группой перемещений евкли-
евклидова пространства Ер (пространство переносов Тр простран-
пространства Ер снабжено, естественно, скалярным произведением,
индуцированным скалярным произведением на Т).
Предложение 6. (i) Группа Wp есть группа перемещений
евклидова аффинного пространства Ер; она порождена от-
отражениями; снабженная дискретной топологией, она дей-
действует в Ер собственно разрывно; она неприводима.
(и) Пусть Фр — множество гиперплоскостей Н в Ер, для
которых sH e Wp. Множество § состоит из гиперплоскостей
вида
Н = Е0ХЕ1Х-..Х ?„-1 X Нр X Ep+i X..-XES,
где р = 1, ..., s и Яре§р.
(ш) Каждая камера С имеет вид EQXC\X ••• X Cs, где
для всякого р множество Ср — камера в Ер относительно
множества гиперплоскостей Фр. Кроме того, стенками ка-
камеры Ср служат гиперплоскости q>p(H{(C)), /е/р.
Пусть С — камера. Положим Н{ — Н{(С), ег = ег(С) и s,- =
= s{(C) для i'e/ (обозначения из п°4).
(i) Пусть ie/r Так как е{ е Тр и Т — прямая сумма
попарно ортогональных подпространств То, 71,, ..., Ts, то
гиперплоскость в Т, ортогональная к еь имеет вид L{-\-Tp,
где Lt — гиперплоскость в Тр, ортогональная к е{. Аффинная
гиперплоскость Hi в Е имеет вид Lt + Тр + х, с х^Еу
и поэтому
Ht^EoXEiX ¦•¦ XEp-iXH'tXEp+iX ••• XES, F)
где H'i = Li-\- фр(*) = фр(#г). В таком случае ясно, что St
действует в Ер как отражение относительно гиперплоскости
Н\ с Ер. Следовательно, группа Wр есть группа перемеще-
перемещений, порожденная отражениями в Ер. Легко проверить кри-
критерий (П'2) собственной разрывности. Наконец, предложе-
предложение 5, (v) показывает, что W'р неприводима. Тем самым
(i) доказано.
(И) В силу следствия теоремы 1 множество ?>р состоит
из гиперплоскостей вида wp (H'i) с / из Jp и с wn из Wp. Далее,
если w = W\ ... ws, где wp е Wр для всех р, то в соответ-

p § 3. ГРУППЫ ПЕРЕМЕЩЕНИИ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ Ю7
ствии с формулами E) и F)
*('7)
откуда сразу следует (И).
(ш) Пусть / е= /р. По формуле F) открытое полупро-
полупространство Dh ограниченное Ht и содержащее С, имеет вид
D, = E0XEiX ••¦ XEp-iXmXEp+iX •¦¦ XES,
где D'i — открытое полупространство, ограниченное Н\ в Ер.
Положим Ср= Р) D'i. Так как С = f] Dit то немедленно
получаем
Стало быть, каждое из множеств Ср непусто, а поскольку С
не пересекается с гиперплоскостями из |>, множество Ср не
пересекается с гиперплоскостями из фр. Предложение 5
из § 1, п°3, показывает, что Ср — одна из камер в Ер отно-
относительно $>р. Воспользовавшись предложением 4 из § 1, п° 2,
без труда увидим, что стенками камеры Ср являются гипер-
гиперплоскости Н\ = фр (Hi), i e= /p.
9. Строение камер
Пусть С — камера, Ш — множество ее стенок и ен для
Н^Ш — ортогональный к Н единичный вектор, располо-
расположенный с той же стороны от гиперплоскости Я, что и С.-
Предложение 7. Предположим, что группа W сущест-
существенна и конечна. Тогда
(i) Существует единственная точка а е Е, инвариантная
относительно W.
(и) Семейство (ея)н служит базисом в Т.
(ш) Камера С является открытым симплициальным ко-
конусом с вершиной а, определенным базисом (ея)я в Т,
для которого (ен/е'н) = Ьнн1-
(i) Согласно предложению 4 из п°6, существует точка
а. <= Е, инвариантная относительно W. Пусть вектор t <= t
таков, что точка t + а инвариантна относительно W. Тогда
для любого w e= W имеем
U (ш) J -f a = w (t -f a) = t + a,

108 ГЛ. v- ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 9
откуда U (w) J — t. Ввиду существенности W это влечет
^ = 0, чем доказана единственность точки а.
(п) Так как W — существенная группа, то в обозначе-
обозначениях п°7 Т=Т, и предложение 5, (iv) показывает, что се-
семейство (%)Яс=ш! порождает векторное пространство Т. Су-
Существование точки в Е, инвариантной относительно W,
показывает, что семейство (eH)Hsm свободно (п°6, предло-
предложение 4).
(iii) Пусть а — единственная инвариантная относительно W
точка в Е. Так как (ея)я —базис в Г и скалярное про-
произведение есть невырожденная билинейная форма на Т, то
существует, и притом только один, базис {е'н)н^ в Т, такой,
что (ен/е'н) — &нн, для Н, И' из ЗЙ. Каждая точка х из Е
единственным образом записывается в виде x = tJra, где
/= 2 1н-е'н и \н — вещественные числа. Для того чтобы
точка х принадлежала С, необходимо и достаточно, чтобы
эта точка лежала по ту же сторону от любой гиперплоскости
ЯеЗЙ, что и ен, т. е. чтобы число (t\eH) — %,H было строго
положительным. Отсюда следует (iii).
Предложение 8. Предположим, что группа W — суще-
существенная, неприводимая и бесконечная. Тогда
(i) В Е нет инвариантных относительно W точек.
(И) Card Ш — dim T + 1 и существуют вещественные числа
сн > 0, для которых 2 Сн .ен — 0. Если 2 с'н • еИ = О
Яезд Н <? Ш
с какими-то вещественными числами с'н, то найдется веще-
вещественное число |, такое, что с# = Ь,сц для всех Н из ffi.
(Hi) Камера С является открытым симплексом.
Утверждение (i) следует из предложения 4. Далее, ввиду
существенности W векторы {eH)Hf=m порождают Т. Имеем
(ен |ед')<0 для Н, //'el и Яф Н' (предложение 3),
а поскольку W неприводима, ЗЙ нельзя разбить на два не-
непустых множества Ш' и Ш", таких, что если Н' <= Ш.'
и" Я"б1", то {ен1 kw) = 0. Поэтому можно применить
лемму 5 из п°5. Случай 1) этой леммы исключен, ибо W не
имеет неподвижной точки и векторы ен линейно зависимы.
Отсюда следует утверждение (ii).
Докажем (ш). Пронумеруем стенки камеры С, скажем
так: #о> Ни •• •> Hd, и положим tm — eHfn. В силу (ii) векторы
t}, ..., td образуют базис пространства Т, поэтому гиперпло-
гиперплоскости Ни ..., Hd имеют общую точку а0 и существует ба-
базис {t[,.... Q пространства Т, для которого (*m | Q = бтп.

9 § 3. ГРУППЫ ПЕРЕМЕЩЕНИИ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 109
Далее, согласно (ii), всегда найдутся такие вещественные
числа С] > 0 cd > 0, что
/о=-(с,./,+ ... +cd.td).
Так как вектор t0 ортогонален гиперплоскости Яо, то суще-
существует вещественное число с, такое, что Яо состоит из точек
x = t + a0 в Е с (t\t(t) = -c.
Каждая точка пространства Е однозначно записывается
в виде x = t-\-aQ с t = \i.t\-\- ... Jr\d>i'd и вещественными
?,, ..., \d. Для того чтобы х принадлежала С, необходимо и до-
достаточно, чтобы она лежала по ту же сторону от Нт, что и tm,
O^m^d. Это выражается неравенствами (t\tl)>0,...
• ... {t Itd) > 0 n (t\to)> — с или, что равносильно, ?, > 0, . . .
..., ?d>0, Cj^i + ... +cdld<c. Здесь с>0, поскольку С
непусто. Положим о== а0-{•-^—• f для l^m^rf. Ка-
Камера С состоит тогда из точек пространства Е вида а0 +
d
+ liK-(am- fl0), где Я, > 0, ..., Яй > 0 и Я, + ... + ).d< 1.
Поэтому С — открытый симплекс с вершинами а0, ..., ad.
Ч. Т. Д.
Замечания. 1)-Отождествим Е с ?0 X Е\ X • • • X ^i. a IF —
с UP, X • • • X^it как это сделано в п°8. Тогда по предло-
предложению 6 камера С отождествляется с
EoXCiX ... XCS,
где Ср — камера в Ер относительно множества гиперплоско-
гиперплоскостей Фр. По предложениям 7 и 8 каждая из камер С] Cs
есть либо открытый симплициальный конус, либо открытый
симплекс.
2) Предположим, что группа W неприводима и суще-
существенна. Если Я и Я' — две стенки камеры С, то тяя' = + °°
в том и только в том случае, когда ен = — еН' (предложе-
(предложение 3). В силу предложений 7 и 8 это возможно только
тогда, когда Я и Я' — единственные стенки камеры С и Е
одномерно. Таким образом, единственный случай, когда одно
из тнн' бесконечно, — это тот, когда Е одномерно, а группа W
порождена отражениями относительно двух различных точек
(см. § 2, п°4).
В общем случае у матрицы Кокстера группы W будут
конечные элементы, исключая ситуацию, когда по крайней
мере одно из Ех Es имеет описанный выше тип.

ПО ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 1О
10. Специальные точки
Пусть L — множество переносов, содержащихся в W, и
Л — множество fe?1, таких, что перенос х*—>t-\-x принад-
принадлежит L. Очевидно, что Л устойчиво относительно U (W) и
что L — нормальная подгруппа в W. Поскольку W действует
в Е собственно разрывно, то же верно и для L, и отсюда
ясно, что Л — дискретная подгруппа в Т. Обозначим через Wx
стабилизатор точки х е Е в W'.
Предложение 9. Пусть а е ?. Следующие условия экви-
эквивалентны:
(О W = Wa.L;
(И) сужение гомоморфизма U на W а есть изоморфизм
группы Wa на U (W);
(iii) для любой гиперплоскости Яеф существует гипер-
гиперплоскость #'«=•&, параллельная Я и такая, что а^Н'.
Ясно что (i) Ф^ (и), поскольку L—ядро гомоморфизма U
и Lf\Wa = {l}.
Пусть выполнено (i), и пусть Яе§, Тогда sH^Wa.L,
так что существует вектор ieA, для которого а = sH(a)-\-1.
Вектор t ортогонален к Н, и если Нг = Н -\--~-t, то sH'(x) =
= sH(x)-\-1 для всех х^Е (см. § 2, п°4, предложение 5).
Так как t е Л и sH e W, то Sh' e W, откуда Н' е ¦&. К тому же
a — sn'{a) и, значит, а^Н'. Таким образом, из (i) сле-
следует (iii).
Предположим, что выполнено (iii) и что гиперплоскости Я,
Я'е§ такие же, как в (iii). Тогда sH>(a) = a, откуда sH'^
е Wa. Поскольку Я параллельна Я', элемент w = sH'.Sh
группы W есть перенос (§ 2, п°4, предложение 5), откуда
w^L. Тогда sH = sH' ,w^Wa. L. Так как IF порождена се-
семейством (sH)H^, то W = Wa.L, и из (iii) следует (i).
Определение 1. Точка а из Е называется специальной
точкой для W, если она удовлетворяет эквивалентным усло-
условиям предложения 9.
Ясно, что множество специальных точек в Е устойчиво от-
относительно W.
Предложение 10. Существует точка, специальная для W.
Предложение 6 из п°8 дает нам возможность ограни-
ограничиться случаем, когда W — существенная группа.
Группа U (W) автоморфизмов пространства Т конечна
(п°6, теорема 3) и U (sH) — ортогональное отражение отно-
относительно гиперплоскости Я. Кроме того, U (W) порождена

10 § 3. ГРУППЫ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ [ [\
семейством (U ($//))#<=§¦ По предложению 7 из п°9 суще-
существует базис (еЛ*ег в ^> такои> что группа U (W) будет по-
порождена множеством отражений (s»)ie/ вида
si{t) = t-2{t\el).ei.
Следствие теоремы 1 из п°2 показывает, что всякое отра-
отражение se(/(f) имеет вид s — U{sH) с #<=?>. Поэтому
в ф можно найти семейство гиперплоскостей (#4)/s/, для
которых Si — U(sH^ при всех /. Ввиду линейной независи-
независимости векторов et существует точка а^Е, такая, что ае//г
для всех I e /. Имеем sH. <= Wa, откуда ?/ A1^) — U (Wa), т. е.
IF = Wа. L, поскольку L — ядро гомоморфизма U. Следова-
Следовательно, а — специальная точка.
В случае когда W — существенная конечная группа, имеется
только одна специальная для W точка, а именно единственная
точка, инвариантная относительно W. Поэтому рассмотрение спе-
специальных точек интересно главным образом в случае бесконечной
группы W.
Предложение 11. Предположим, что группа W суще-
существенна. Пусть а — специальная для W точка. Камерами
относительно Wa будут открытые симплициальные конусы
с вершиной а. Для всякой камеры С относительно Wа су-
существует, и притом единственная, камера С относительно W,
содержащаяся в С и такая, что а^С. Объединение w'(С)
для w' e Wа будет замкнутой окрестностью точки а в Е.
Каждая стенка камеры С есть стенка камеры С. Если W
бесконечна и неприводима, то стенками С будут стенки С и.
аффинная гиперплоскость, не параллельная стенкам ка-
камеры С.
Пусть Ф' — множество гиперплоскостей Яе§, содержа-
содержащих а. Группа Wa порождена отражениями sH для Яе§'
(п°3, предложение 2). Камерами относительно Wa будут
открытые симплициальные конусы с вершиной а (п°9, пред-
предложение 7). Пусть С — такая камера и U — непустой от-
открытый шар с центром а, не пересекающий гиперплоскостей
из ?> — ?>'. Так как аеС, то существует !»е U f\C. При
этом в Ъф. Н для всех Яе§, так что Ъ принадлежит неко-
некоторой камере С относительно ?>. Поскольку ¦§>' а •?>, верна
включение СаС. Множество О (]С не пересекает никакой
гиперплоскости Яе§ и выпукло, поэтому U(]Сс:С. Стала
быть, яеС, Обратно, пусть Ct — камера относительно W,
содержащаяся в С и такая, что а е=С,. Тогда С( пересе-
пересекает U и U(]Clc:U(]Cf=U(]C. Камеры С и Си имея

112 ГЛ. V. ГРУППЫ. ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 10
общую точку, совпадают. Для любого элемента w' e Wа
будет и/(U)—U, и, следовательно,
U П w'{C) = wf{U(]C) = w'(U (]Cr)=Uf\ w'{C).
Поскольку объединение w'(C) с w'^Wa плотно в Е,
объединение U П хюг (С) = U П w' (С) является плотным в U,
и поэтому объединение w'{C) с w'^Wa содержит U. На-
Наконец, если Н — стенка камеры С", то существуют точка
c^U f]H и открытая окрестность V с= U точки с, такие,
что V П С' есть пересечение V и открытого полупространства,
ограниченного Н и содержащего С Поскольку УПС" =
= КП U[)C' = V (}U[}C = VflC, мы видим, что Я —стенка
камеры С. Если W бесконечна и неприводима, то С —от-
—открытый симплекс (п°9, предложение 8) и поэтому имеет
одной стенкой больше, чем открытый симплициальный ко-
конус С.
Следствие. Пусть W — существенная группа.
(\) Если а^Е — специальная точка, то существует ка-
камера С, такая, что а будет экстремальной точкой замыка-
замыкания С.
(и) Если С—камера, то в С существует экстремальная
точка, специальная для W.
Первое утверждение следует из предложения 11, а вто-
второе — из первого и из того факта, что W действует на мно-
множестве камер транзитивно.
Напротив, не всякая экстремальная точка замыкания С является
специальной точкой для W (см. гл. VI, таблица X, системы В2 и G2).
Замечание 1). Предположим, что группа W — существен-
существенная, неприводимая и бесконечная, и вернемся к обозначе-
обозначениям предложения 11. Так как U — изоморфизм группы Wa
на U (W), то мы видим, что граф Кокстера группы переме-
перемещений О (W) (порожденной отражениями U (sH) для Яе§)
получается из графа Кокстера группы W зачеркиванием вер-
вершины /, соответствующей единственной стенке камеры С,
которая не является стенкой камеры С.
Предложение 12. Предположим, что группа W суще-
существенна. Пусть а — специальная точка, L(a) — множество ее
образов относительно группы переносов L и С — некоторая
камера. Тогда С пересекает L(a) в одной и только одной
точке. Эта точка будет экстремальной в замыкании С.
Существует камера С,, такая, что а будет экстремальной
точкой ее замыкания С, (следствие предложения 11). Каждая

/ § 4. ГЕОМЕТРИЧЕСкбЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУППЫ КОКСТЕРА ЦЗ
камера имеет вид C = tw'(Cl) с w'^Wa и feL, поскольку
W = Wa. L. В таком случае С имеет экстремальную точку
/»'(а) = /(а)е1D С другой стброны, С не может содер-
содержать двух различных точек из L(a), так как С — фундамен-
фундаментальная область для W (п°3, теорема 2).
Замечание 2). Множество L{a) содержится в множестве
специальных точек, но, вообще говоря, с ним не совпадает
(см. гл. VI, § 2, п°2, и таблицы I—VI).
§ 4. Геометрическое представление группы Кокстера
В этом параграфе будут рассматриваться только веще-
вещественные векторные пространства.
/. Форма, ассоциированная с матрицей Кокстера
Пусть 5 —некоторое множество и M = (m(s, s')'s s.es —
матрица Кокстера (гл. IV, § 1, п°9) типа 5. Напомним, что
все это означает следующее:
1) элементы матрицы М суть целые числа или -j- °°">
2) матрица М — Симметрическая;
3) m (s, s) = 1 для всех s;
4) m (s, s') ^ 2 для s ф s''.
Пусть ? = R(S), (es)JsS— канонический базис в Е и Вм —
билинейная форма на Е, такая, что
s, es>) = — cos
Форма Вм — симметрическая. Говорят, что эта форма
ассоциирована с матрицей М. Имеем
Вм (es> es) = \ и Вм (es, es>) < 0, если s Ф s'.
Пусть sgS, и пусть /s — линейная форма х>—>2ВМ(es, x).
Обозначим через as псевдоотражение, определенное парой
(es, fs) (см. § 2, n°I). Поскольку (es, fs) = 2, это будет отра-
отражение (§ 2, п°2). Имеем
as {х) = х — 2ВМ (es, х). es
и, в частности,
*.(*.')=«• +2 cos-^^ipp в..

114 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 2
Так как es неизотропен относительно Вм, то пространство Е
есть прямая сумма прямой Res и гиперплоскости #s, орто-
ортогональной к es. Ввиду того что as равно —1 на Res и I
на Hst псевдоотражение a's сохраняет форму Вм. Понятно
поэтому, что, когда S конечно, а форма Вм невырождена
(к этому случаю мы вернемся в n°8), as будет ортогональ-
ортогональным отражением (§ 2, п° 3).
2. Плоскость Es,s' и группа, порожденная отражениями as
и oS'
В этом пункте через s и s' обозначаются два элемента
множества S, s=?s'. Положим m = m(s, s') и обозначим
символом ES,S' плоскость Res®ReS'.
Предложение -1. Сужение Вм на ESiS' является положи-
положительной формой. Она невырождена тогда и только тогда,
когда пг конечно.
Пусть 2 = xes-\- yes' с х, i/gR — элемент плоскости Es,s>.
Тогда
Вм {z, z) = х2 - 2ху cos -? + f = [х - у. cos ^-J + ф sin2 -?¦.
откуда следует, что Вм положительна на Es, S' и что она
невырождена тогда и только тогда, когда sin— Ф 0. Пред-
Предложение доказано.
Отражения as и as' оставляют устойчивой плоскость ESi s>.
Определим порядок сужения элемента osos- на ?,iS. Здесь
различаются два случая:
а) т — + оо.
Пусть и = es + es>. Тогда Вм (и, es) = Вм(«, es>) = 0 и, сле-
следовательно, вектор и инвариантен относительно as и as\
Далее,
<*s (аУ (es)) = os (es — 2es>) = 3es + 2es- = 2и + es,
откуда
(osos>)"(es) = 2nu + es для всех neZ,
Таким образом, сужение элемента osas> на Ess> имеет бес-
бесконечный порядок.
б) пг конечно.
Форма Вм наделяет Ess' структурой евклидовой пло-
плоскости. Поскольку скалярное произведение векторов es и е^
равно — cos-^- = cos (л — -^Ч, мы можем ориентировать Ess>
так, что угол между полупрямыми R+es и R+es> будет равен

3 § 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУППЫ КОКСТЕРА Ц5
я——. Если D и D' — полупрямые, ортогональные к es
и es', то
Однако сужения 5S и <v элементов as и as' на ESiS' являются
ортогональными отражениями относительно D и D'. По-
Поэтому, согласно следствию предложения 6 из § 2, п°5,
asas' есть вращение на угол —. В частности, его порядок
равен т.
Вернемся теперь к случаю всего пространства Е.
Предложение 2. Подгруппа в GL (Е), порожденная as
и es>, есть диэдральная группа порядка 2m (s, s').
Так как элементы as и as' порядка 2 и различны, то
достаточно убедиться в том, что порядок их произведения
esGs< равен т (s, s'). Когда т (s, s') бесконечно, это следует
из рассмотренного выше случая а). Если же m(s, s') конечно,
то из предложения 1 вытекает, что пространство Е будет
прямой суммой плоскости EStS' и ортогонального к ней до-
дополнения Vs,,'. Поскольку as и а/ действуют на Vs,s' тожде-
тождественным образом, а сужение gsgs> на EStS' ввиду б) имеет
порядок m(s, s'), то порядок су5|сг/ тоже равен m(s, s').
¦3. Группа и представление, ассоциированные с матрицей
Кокстера
Мы сохраняем обозначения предыдущих пунктов. Пусть
W = W (М) — группа, определенная семейством образующих
(8s)s<=s и соотношениями1)
{gs>gs')m(S'S)=1' s.s'e-S, m(.s, s')?= + oo.
Предложение 3. Существует, и только один, гомоморфизм
a: W*-*-QL{E),
для которого a(gs) = as при всех se5. Элементы группы
<y{W) сохраняют билинейную форму Вм.
Для доказательства существования и единственности а
достаточно убедиться в том, что (osos>)m(s = 1 при m(s,sr) =
= + 00. Но для s — s' это следует из того, что as имеет
') Это означает, что если Ls — свободная группа с образующими из S,
то W есть факторгруппа Ls по наименьшей нормальной подгруппе, со-
содержащей (ss')m (s> s'* для m (s, s') ф + °°-

116 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 4
порядок 2, а для s=/=s' — из результатов п° 2. Наконец,
поскольку отражения as сохраняют Вм, то же самое верно
и для любого элемента группы a(W).
Замечание 1). В п° 4 мы докажем, что отображение а
инъективно. Таким образом, группа W может быть отожде-
отождествлена с подгруппой в GL(?), порожденной отражениями as.
Предложение 4. а) Отображение s >—> gs множества S в W
инъективно.
б) Каждый элемент gs имеет порядок 2.
в) Если s, s' e S, то gsgs, имеет порядок m (s, s').
Утверждение а) следует из того, что сложное отображение
множества S в GL (Е) инъективно.
Для доказательства б) (соотв. в)) заметим, что порядок
элемента gs (соотв. произведения gsgs,) не больше 2 (соотв.
не больше m (s, s')). Но как видно из п° 2, порядок as (соотв.
0saS') равен 2 (соотв. m(s,s')), так что мы получаем нужные
равенства.
Ввиду а) можно отождествить S с подмножеством
группы W при помощи отображения Sh-^gs.
Следствие. Пара (W, S) является системой Кокстера с ма-
матрицей М.
Это не что иное, как перефразировка свойств б) и в)
с учетом определения группы W.
Замечание 2). Итак, мы показали, что всякая матрица
Кокстера .соответствует некоторой группе Кокстера.
4. Контрагредиентов представление
Пусть Е* — пространство, дуальное к Е. Поскольку W
действует на Е посредством гомоморфизма а, она действует
также с помощью перенесения структуры на Е*. Соответ-
Соответствующее представление
a': W-*GL{ET)
называется контрагредиентным представлением для а. Имеем
a" (w) = *а (w~l) для всех »eF.
Аналогично обозначим через w(x*) образ элемента х*^Е*
относительно a*{w) с w^W. Символом As при s^S обо-
обозначим множество тех д;*е Е*, для которых x*(es) > 0. Пусть

4 § 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУППЫ КОКСТЕРА 117"
С — пересечение всех As, seS. В случае когда S конечно,.
С — открытый симплициальный конус в Е* (§ 1, п° 6).
Теорема 1 (Тите). Если w<=W и С{\ш(С)ф 0, то да = к
Укажем сразу несколько следствий этой теоремы.
Следствие 1. Группа W действует просто транзитивным
образом на множестве всех w (С), да е W.
Это очевидно.
Следствие 2. Представления а и а* инъективны.
Действительно, если а*(да)=1, то w(C) = C, откуда по-
теореме 1 да=1. Инъективность представления а вытекает
из инъективности представления а*.
Следствие 3. Если S конечно, то o(W) — дискретная под-
подгруппа группы GL (Е) (с канонической структурой группы Ли).
Это же справедливо и для a*{W) как подгруппы в GL(E').
Пусть х'еС. Множество U тех geGL(?*), для которых
g(j')sC, есть окрестность единичного элемента в GL (?*)..
По теореме имеем
Следовательно, a* (W) — дискретная подгруппа группы GL (?").
С помощью перенесения структуры получаем, что o(W) ди-
дискретна в GL(?).
Доказательство теоремы 1.
Обозначим через /(да) длину элемента w^W относи-
относительно S (гл. IV, § 1, п° 1).
Мы начнем с доказательства следующих утверждений,.
в которых п — целое число ^ 0.
(Р„) Пусть да — элемент из W длины l(w) = n и s eS.
Тогда
либо да (С) cr As;
либо да (С) с sAs и I (sw) = I (да) — 1.
(Qn) Пусть w<=W, l(w) — n и s,s'<=S, s=?s'. Пусть,
далее, Ws, s— подгруппа в W, порожденная s и s'. Тогда
существует элемент и е= Ws, s'> для которого
w (С) с и {As (} AS') и l(w) = l(u) + l(u-]w).
Эти утверждения тривиальны при « = 0. Мы будем вести,
доказательство индукцией по п, следуя схеме
((Р«) и (Q»))=#(P»+i) и ((Рп+1) и (Q«))=#(Q«+1).
Доказательство импликации ((Р„) и (Qn))=HPn+i)-

118 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 4
Пусть w e W, I(до) = п + 1 hsgS. Мы можем записать w
в виде w = s'w', где s'e=S и l(w') = n. При s' = s утвер-
утверждение (Р„), примененное к w', показывает, что w'(C)czAs,
откуда w (С) cz s (As), и мы имеем l(sw) = l(w') = l(w)—I.
В случае s' ф s утверждение (Qn), примененное к w\ пока-
показывает, что существует и е Ws, sr> для которого
w'(C)czu(Asr\AS') и l(w') = l(u) + l(u~lw').
Тогда w (С) = s'o;' (С) с: s'u (As П Л8').
Лемма 1. Пусть s, s'e5, s ф s',u пусть v^WS:S\ Тогда
v (As П AS') содержится либо в As, либо в s (As) и во втором
случае I (sv) = l(v) — 1.
Доказательство леммы будет дано в п° 5.
Применяя эту лемму к элементу v = s'u, мы получаем
.две возможности:
либо
s'u {As П AS') с As и тем более до (С) с: As,
либо
s'u (As П As>) с: s (As) и тем более w (С) a s (As).
Кроме того, во втором случае I (ss'u) — l (s'u) — 1, откуда
/ (say) = /(ss'w') = / (ss'u . u~lwf) < / (ss'u) -f / (u~lw') =
= / (s'u) + I (u~lwr) - 1 = / (w) - 1,
а как известно, отсюда следует, что l(sw) = l(w) — 1.
Доказательство импликации ((Pn+i) и (+i)
Пусть w e W, I (w) = п + 1 и s, s' e 5, s Ф s'. Если w (С)
содержится в Asf\AS', то утверждение (Qn+i) справедливо
при и—\. В противном случае предположим, например, что
w(C) не содержится в As. Согласно (Pn+i), w (С) a s (As) и
l(sw) = n. Согласно (Qn), примененному к sw, существует
элемент v <= Ws, S'> для которого
sw(C)czv(Asf\AS') и l(sw)
Тогда
w (С) с sv (As П AS')
и
/ (ш) = I + / (say) = 1 +7 (v) + / (vhw
так что все неравенства здесь будут равенствами. Мы видим,
¦что (Qn+i) справедливо, например, при u — sv.

б §4. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУППЫ КОКСТЕРА Ц9>
Доказательство теоремы.
Пусть w^W и гиФ1. Можно записать w в виде sw'
cseSh 1{w') = l{w) — 1. Согласно (Р„) при n — l(w), при-
примененному к w', имеем w'(C)czAs, так как случай w'(C)cz
czs(As) исключается равенствами / (sw') = I (w) = / (wr) -j- 1.
Итак, w (С) = sw' (С) cz s (As), а поскольку As и s (As) не пере-
пересекаются, C(]w(C)=0. Ч. Т. Д.
5. Доказательство леммы 1
Пусть E*s, s' — дуальная к Es, S' = Res© ReS' плоскость (п° 2).
Отображение, сопряженное к инъекции ES,S'-*E, является
сюръективньш отображением
р: Е*-+е1,з>,
которое коммутирует с действием группы Ws, s'. Ясно, что
As, As' и Л50 As' — прообразы относительно р соответствую-
соответствующих подмножеств на плоскости ES,S' (рассматриваемой как
пространство контрагредиентного представления группы Кок-
стера Ws, s'). Так как длина элемента группы Ws, s' относи-
относительно {s, s'} совпадает с его длиной относительно S (гл. IV,
§ 1, п° 8), то все сводится в конце концов к случаю, когда
S — {s,s'j. Если m = m{s,s'), то W — диэдральная группа.
порядка 2т.
Будем различать два случая:
а) т = + оо.
Пусть (е, е') — базис, дуальный к (es, es). Тогда
S . 8 — — 8 + 2s', S' . 8 = 8,
s . s = г' , s'. s' = 2e — e'.
Пусть D — аффинная прямая в Е*, содержащая е и г'.
Приведенные выше формулы показывают, что D устойчива
относительно s и s' и что сужение s (соотв. s') на D есть
отражение относительно точки е' (соотв. е). Пусть
6: K-+D
— аффинная биекция /¦—>Q(t) — te-\- (I—t)e'. Пусть /„—образ
относительно 8 открытого интервала )«, n+Ц» и пусть
Сп — объединение XIп, К > 0. Тогда Со—С. Далее, согласно
замечанию из § 2, п°4, примененному к аффинному про-
пространству D, интервалы /„ переставляются просто транзи-
транзитивным образом группой W. Стало быть, то же самое отно-
относится и к Сп. Если v e W, то v (С) совпадает с одним из Сп
и, следовательно, содержится в As при «^0 и в s(As) при

120 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 6
п < 0. Во втором случае /0 и /„ лежат по разные стороны
от точки е', откуда / (sv) = / (у) — 1 (там же).
б) m конечно.
В этом случае форма Вм невырождена (п°2) и позво-
позволяет отождествить ?" с Е. Мы видели, что плоскость Е
можно ориентировать так, что угол между полупрямыми
R+e3 и R+es' будет равен я — -^-. Пусть D (соотв. D') —
полупрямая, получающаяся из R+e5 (соотв. R+e5') вращением
на угол я/2 (соотв. — я/2), как это показано на рис. 2.
Камера С есть множество тех х е Е, для которых скалярное
произведение с es и es< будет > 0. Это открытый угловой
сектор с началом D' и концом D. Согласно замечанию
из § 2, п°5, любой элемент v из № переводит С в угловой
сектор, расположенный от D либо по ту же сторону, что
и С (т. е. содержащийся в As), либо по другую сторону
(т. е. содержащийся в sAs), и в последнем случае
Тем самым доказательство леммы закончено.
6. Ф унданентальная область группы W в объединении канер
Мы сохраняем обозначения п°4. Обозначим через Hs,
se5, гиперплоскость в Е*, ортогональную к es; через
As — множество тех х* е Е*, для которых {x't es) ^ 0, и через
С — пересечение всех Д5 с s e S. В слабой топологии а(Е', Е),
определяемой двойственностью между Е* и Е (Топ. вект.
простр., гл. II, § 4, п°2), множества As будут замкнутыми
полупространствами, а С — замкнутым выпуклым конусом^
Далее, С будет замыканием С. В самом деле, если jc'eC
и у* е С, то х* -\-tif еС для любого вещественного числа
i > 0 и х* = lim (x* + ty*).

§ 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУППЫ КОКСТЕРА 12Г
Для X cz S положим
Л ал
sf=S-X /
Имеем СхаС, С0 = Си Cs = {0}. Множества Схс X
образуют разбиение С.
С другой стороны, напомним (гл. IV, § 1, п°8), что
символом Wх мы обозначали подгруппу в W, порожденную
множеством X. Очевидно, что w (х*)=х* для we.Wx и х'^Сх.
Предложение 5. Пусть X, X' cr S и w, w' e W. Если
w (Сх) П W(СХ') Ф 0, то X = X',wWx = w'Wx' и w (Cx) =•
{C)
Все немедленно сводится к случаю, когда w'=l. Дока-
Доказательство проведем индукцией по длине п элемента w. При
п = 0 утверждение очевидно. Если / (w) > 0, то существует
s e S, для которого l(sw) = l(w)— 1, а тогда (см. конец п°4)
w (С) с= s (As), откуда w (С) с: s (As). Так как С cr As, то
Поэтому s(x*) = x* для всех x*^Cf\w(C) и тем более
для всех
х* (==Cx'()w (Сх).
Таким образом, из соотношения Сх> П w (Cx) Ф 0 следует,.
с одной стороны, что Сх'[)Н8Ф 0, откуда s e X', и, с другой
стороны, что Cx'(]sw (Сх) Ф 0. По предположению индукции
тогда имеем X = X' и swWx= Wxr = Wx, откуда sw e Wx
и дае Wх, поскольку s e Wx. Значит, wWx — Wxr и w(Cx) =
= Сх = Сх'.
Следствие. Пусть X — подмножество множества S и
х* — элемент из Сх. Тогда стабилизатором х* в W является
группа Wх.
Пусть теперь U — объединение всех w (С) для w e W,
и пусть $ — множество подмножеств в U вида w (Cx) cXcnS
и w e= W. Из сказанного выше следует, что % является.
разбиением U.
Предложение 6. (i) Конус U выпукл.
(И) Каждый замкнутый отрезок в U пересекает лишь
конечное число элементов множества 3-
(ш) Конус С есть фундаментальная область для группы Wt.
действующей в U.
Для доказательства утверждения (ш) достаточно показать,
что если w(x*) = y' для х*, у'^С и w <=; W, то х* = у*. Но

122 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 7
в S существуют два таких подмножества X и Y, что х* <= С„
и i/^Су. Имеем w (Ск) П Су ф 0 и по предложению 5 X = Y
и w e Wх, откуда следует, что х* = у*.
Пусть теперь х*, у* е U. Покажем, что замкнутый отре-
отрезок [х*у*] пересекает только конечное число элементов из g,
доказав тем самым сразу и (i), и (п). С точностью до преобра-
преобразования х* и у* при помощи одного и того же элемента
группы W можно предполагать, что х* е С. Пусть w — эле-
элемент из W, для которого г/*ещ>(С). Проведем индукцию
по длине элемента w. Для s e S соотношение w (С) ф. As
эквивалентно соотношению w (С) ф As и, следовательно, не-
неравенству l(sw)<l(w) (см. п°4). Поэтому из предложения 7
гл. IV, § 1, п°8, вытекает, что существует лишь конечное
число seS, для которых w(C) gt As. Стало быть, мно-
множество Т таких s е 5, что (у*, es) < 0, конечно. С другой
стороны, пересечение С П [х*у*\ есть замкнутый отрезок [x'z*].
Если z* — y*, т. е. если у* е С, то существуют подмножества X
и Y в 5, для которых х'еС^иу'Е Ск. Тогда открытый отре-
отрезок ]х*у*[ содержится в Схпу, откуда [x*y*]czCx[}CY.[}CxnY-
Если z* Ф у*, то найдется такой элемент seT, что z* e Hs.
Тогда w (С) ф As и / (say) < / (w). Следовательно, по пред-
предположению индукции отрезок [z*y*] = s([z*(sw {у*))]) покры-
покрывается конечным числом элементов из §\ Поэтому и
[хУ] = [х'г']\ЛгУ\,
ибо [*V]czC.
7. Неприводимость геометрического представления
группы Кокет ера
Сохраним обозначения предыдущих п° и предположим,
что S конечно.
Предложение 7. Предположим, что система (W, S) не
приводима (гл. IV, § 1, п° 9). Пусть Е° — подпространство
в Е, ортогональное к Е по отношению к форме Вм. Группа W
действует на Е° тривиально, и любое отличное от Е под-
подпространство, устойчивое относительно W, содержится в Е°.
Если х е Е°, то as (х) = х — 2ВМ (es, x)es^=x для всех
se5. Поэтому группа W, порожденная множеством 5, три-
тривиально действует на Е°.
Пусть Е' — подпространство в Е, устойчивое относи-
относительно W. Пусть s, s'eS'-два элемента, соединенные
в графе Кокстера Г пары (W, S) (гл. IV, § 1, п°9). На-
ломним, что это означает выполнение неравенства m(s,s')^3

8 § 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУППЫ КОКСТЕРА 125
Предположим, что es e ?'. Тогда os> (es) e Е', а так как
коэффициент при es> в os> (es) отличен от нуля, то es> e E'.
Ввиду связности Г из этого следует, что подпространство Е',
содержащее хотя бы один вектор es, содержит их все и
совпадает с Е. Этот случай исключен условием, и поэтому
по предложению 3 из § 2, п°2, для всех seS простран-
пространство Е' должно содержаться в гиперплоскости Hs, ортого-
ортогональной к es. Так как пересечение гиперплоскостей Hs
совпадает с Е°, то тем самым предложение доказано.
Следствие. Предположим, что система (W, S) неприво-
дима. Тогда
а) если Вм невырождена, то W-модуль Е абсолютно прост;
б) если Вм вырождена, то W-модуль Е является полу-
полупростым.
В случае а) предложение 7 показывает, что модуль Е
прост, а тем самым и абсолютно прост (§ 2, п°1, пред-
предложение 1).
В случае б) имеем Е°фО, Е Ф Е° (поскольку Вм Ф 0)
и предложение 7 показывает, что Е° не допускает устойчивого
относительно W дополнения. Следовательно, W-модуль Е°
не является полупростым.
8. Критерий конечности
Сохраним обозначения предыдущих п° и предположим,
что S конечно.
Теорема 2. Следующие утверждения эквивалентны:
A) W — конечная группа;
B) Вм — невырожденная положительная форма.
A)=фB). Пусть S = (JS,- — разложение множества 5
на связные компоненты (гл. IV, § 1, п°9), и пусть W = Ц Wi—
i
соответствующее ему разложение группы W. Пространство Е
отождествляется с прямой суммой пространств Е{ = RS(',
а Вм — с прямой суммой соответствующих форм Вм- Таким
образом, мы приходим к случаю, когда система (W, S) не-
приводима. Поскольку W предполагается конечной, Е будет
полупростым ЦР-модулем (дополнение, предложение 2). Ввиду
следствия предложения 5 отсюда вытекает, что модуль Е
абсолютно прост. Пусть тогда В' — невырожденная положи-
положительная форма на Е, и пусть В" — сумма ее образов отно-
относительно W. Поскольку эта сумма инвариантна относи-

124 гл- v- ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 8
тельно W, она пропорциональна форме Вм (§ 2, п°1,
предложение 1). Так как BM(es, es)=l для всех s^S, то
коэффициент пропорциональности >0, а так как форма В"
положительна, то и Вм обладает этим свойством, откуда
следует утверждение B).
). Если Вм—невырожденная положительная форма,
то ортогональная группа О (Вм) компактна (Интегр., гл. VII,
§ 3, п°1). Поскольку a (W) — дискретная подгруппа в О (Вм)
(следствие 3 теоремы 1), отсюда следует, что a(W) конечна,
а значит, и группа W конечна. Ч. Т. Д.
В процессе доказательства был получен следующий ре-
результат:
Следствие. Если система (W, S) неприводима и конечна,
то Е — абсолютно простой W-модуль.
Критерий, доставляемый теоремой 2, позволяет класси-
классифицировать все конечные группы Кокстера (см. гл. VI, § 4).
Мы ограничимся здесь одним предварительным результатом.
Предложение 8. Если группа W конечна, то граф си-
системы (W, S) является лесом (гл. IV, Дополнение).
Действительно, в противном случае этот граф содержал бы
цикл (si, ..., sn), ге^З. Если положить m{ = m(si, s{+l),
l^.i<n, и mn = m(sn, s^, то это означает, что тг^3 для
всех L Пусть
х = р 4- 4-е
Тогда Вм(х, х) = я + 2 ^ BH(es., eSj). Однако1)
Вм (eSj, es ) = — cos ~ < — cos ^ < — v.
I + ( У<1
') Корнями уравнения г3 — I = 0 являются I и -—^— . Поэтому
2я I я I „
cos—— = — — и, следовательно, cos —= —• Заметим по этому поводу,
о Z о Z
2я /3"
= —-—
2
V3 п 5я УЗ . я 5л 1
^^ insin
. 2я /3
что sin —— = —-—, откуда
о 2
у
Аналогично корнями уравнения г2 — i = 0 являются ±—т^"' 0ТКУДа
я . it УТ . Зя Зя У%
= sin зна sn co
я . it УТ . Зя
cos -j- = sin -,- =—— и, значит, sin —j- = — cos —j~

S § 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ- ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУППЫ КОКСТЕРА 125
и то же самое верно для BM(eSn, es). Поскольку остальные
члены рассматриваемой суммы будут ^0, получаем
Вм(х>
в противоречие с тем, что форма Вм положительна и не-
невырождена.
Следствие. Если система (W, S) неприводима и конечна,
то ее граф является деревом.
Действительно, связный лес — это дерево.
Сравнение с результатами § 3.
Пусть сначала (W, S) — конечная группа Кокстера. Обо-
Обозначим через (х{у) форму Вм(х, у). По теореме 2 оиа
определяет скалярное произведение на Е. При всяком sg5
пусть Hs — гиперплоскость, ассоциированная с ортогональ-
ортогональным отражением as, и пусть §— семейство гиперплоскостей
w{Hs) для s e S, w^W. Пусть Со — множество х е Е, для
которых (x\es)>0 при всех s^S. Наконец, отождествим W
(при помощи о) с подгруппой ортогональной группы О (?)
евклидова пространства Е.
Предложение 9. В предыдущих обозначениях W есть
подгруппа в О (Я), порожденная отражениями относительно
гиперплоскостей из |>. Это существенная группа (§ 3, п° 7)
и Со — камера в Е относительно системы §.
Первое утверждение тривиально. С другой стороны, если
вектор х е Е инвариантен относительно W, то он ортогона-
ортогонален всем es и, следовательно, нулевой. Поэтому группа W
существенна. Наконец, изоморфизм Е-+Е*, определяемый
формой Вм, переводит Со в множество С из п°4. Доказан-
Доказанное там свойство (Р„) показывает, что для любого »ef
и любого sgS множество w (Со) не пересекается с Hs.
Приходим к заключению, что Со содержится в дополнении U
объединения гиперплоскостей из §, а поскольку Со связно,
открыто и замкнуто в U, то это есть камера в Е относи-
относительно ?>. Ч. Т. Д.
К W и Со можно, следовательно, применить все утвер-
утверждения, доказанные в § 3. В частности, Со — фундаменталь-
фундаментальная область для действия группы W на Е (иначе говоря,
конус U, определенный в п°6, совпадает со всем Е).
Обратно, пусть Е—вещественное векторное пространство
конечной размерности со скалярным произведением {х\у),
и пусть W — существенная группа перемещений в Е, оста-
оставляющая 0 .неподвижным. Предположим, что W порождена

126 гл- v- ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ ¦ 9
отражениями. Пусть Со—камера в Е относительно W (см. §3),
а 5 — множество ортогональных отражений относительно ее
стенок. Тогда (W, S) — конечная система Кокстера (§ 3, п°2,
теорема 1). Далее, обозначим через Hs, seS, стенку
камеры Со, соответствующую образующей s, и через es — еди-
единичный вектор, ортогональный к Hs и лежащий по ту же
сторону от Hs, что и Со. Если (m(s, s'» — матрица Кокстера
системы (W, S), то предложения 3 и 7 из § 3 показывают, что
= _ C0S
и что es образуют базис в Е. Таким образом, естественное
представление W в Е отождествляется с представлением а
из п°3.
9. Случай, когда форма Вм положительна и вырождена
В этом пункте мы предполагаем, что множество S конечно,
система (W, S) неприводима, а форма Вм положительна и
вырождена.
Лемма 2. Ортогональное ко всему Е по отношению к Вм
пространство Е° имеет размерность 1. Оно порождено векто-
вектором v = 2 vses с vs> 0 для всех s.
S
Это следует из леммы 4, § 3, п°5, примененной к матрице
формы Вм {es, eS').
Пусть v = 2 vses — вектор, удовлетворяющий условиям
s
леммы 2 и такой, что 2 у«=:1- Пусть А — аффинная гипер-
плоскость в ?*, состоящая из тех у* е ?"*, для которых
(у, у*)= 1. Если через Т обозначить ортогональное дополне-
дополнение к у в ?*, то А наделяется естественным образом струк-
структурой аффинного пространства с пространством переносов Т.
Далее, форма Вм при переходе к факторпространству опре-
определяет невырожденное скалярное произведение на Е/Е°, а
значит, и на дуальном к нему пространстве Т. Тем самым
получаем структуру евклидова пространства на аффинном
пространстве А (Алг., гл. IX, § 6, п°6).
Пусть G — подгруппа группы GL (?), состоящая из авто-
автоморфизмов, которые оставляют инвариантными вектор v и
форму Вм. Контрагредиентный к geG элемент *g~l оста-
оставляет устойчивыми Л и Г и определяет при сужении на А
перемещение i(g) пространства А (см. § 3). Совершенно
очевидно, что таким образом получается изоморфизм
группы G на группу перемещений пространства А. Далее,

9 § 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУППЫ КОКСТЕРА 127
стабилизатор Ga точки а е А отождествляется с ортогональ-
ортогональной группой гильбертова пространства / и является, следо-
следовательно, компактным. В то же время G — локально ком-
компактная группа, счетная в бесконечности, и А—простран-
А—пространство Бэра, поэтому (Интегр., гл. VII, приложение I, лемма 2)
отображение ф: g*-^g{a) определяет гомеоморфизм GjGa
на А. Следовательно, G действует на А собственно разрывно
(Общ. топ., гл. III, 3-е изд., § 4, п°2, следствие предложе-
предложения 5). Поскольку W — подгруппа в G, она отождествляется
с группой перемещений пространства А. Докажем теперь,
что эта группа удовлетворяет предположениям § 3. Более
точно:
Предложение 10. Группа W с дискретной топологией
действует на А собственно разрывно. Она порождена орто-
ортогональными отражениями. Она бесконечна, неприводима и
существенна (§ 3, п°7). Пересечение С(]А есть камера в А
относительно W. Если обозначить через Ls гиперплоскость
в А, высекаемую на А гиперплоскостью в Е*, ортогональной
к es, то все Ls с s e= S образуют семейство стенок для С Л А.
Если es—единичный вектор в Т, ортогональный к Ls
и лежащий по ту же сторону от Ls, что и С Л А, то
(г3\е() = — cos (—," , ) (для s, t^S) и матрица Кокстера
\ fTl \S, I) I
группы W (§ 3, п°4) совпадает с М.
Согласно следствию 3 теоремы 1, группа W дискретна
в GL(E), а следовательно, и в G и собственно разрывно
действует в А. Пусть seS. Так как Card 5 ^2, то гипер-
гиперплоскость в Е*, ортогональная к es, не ортогональна кии
ее пересечение Ls с А тоже будет гиперплоскостью. Таким
образом, перемещение, соответствующее s, есть преобразо-
преобразование порядка 2, оставляющее неподвижными все точки
гиперплоскости Ls; это не что иное, как ортогональное
отражение, ассоциированное с Ls. Тем самым W порождена
ортогональными отражениями. Теорема 2 показывает тогда,
что W бесконечна, а предложение 7 — что она существенна
и неприводима.
Так как С — открытый симплициальныи конус, стенками
которого являются гиперплоскости с уравнениями (х*, es) = 0
(для s<=S), то пересечение С П А выпукло и, значит, связно,
открыто и замкнуто в дополнении объединения гипер-
гиперплоскостей Ls в А. Далее, СП А непусто, потому что i"eC
влечет {х*, v) — 2 vs (**> es) > ° и (х*> v)~* х* <= с Л Л. Отсюда
S
следует, что СП А является камерой в А относительно си-
системы гиперплоскостей Ls. Кроме того, до (С Л Л) П ^s= 0

128 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 9
для всех шеУ (см. п°4, свойство (Р„)), и поэтому СQ А—
камера в А относительно системы, полученной при действии
на гиперплоскости Ls всеми элементами группы W. Согласно
следствию теоремы 1 из § 3, п°2, отсюда следует, что
С (]А будет камерой в А относительно W.
Пусть теперь а*—вершина симплекса С[\А, не лежащая
на Ls. Тогда
для s, t <= S, s=?t, и
<а;.е,>в=ог1(а;.°>=о71-
Пусть es — вектор в Т, определенный соотношениями
(&s\as— aj)= v-1 для /gS, t ф s.
Вектор es ортогонален к Ls и лежит по ту же сторону от Ls,
что и С П А. Кроме того,
(е \а*— а,\ = (е , а*— а*,), каковы бы ни были s, t^S.
Это показывает, что es — образ класса элемента es при изо-
изоморфизме Е/Е° на Т, определенном квадратичной формой Вм.
Отсюда следует, что
(zs\zt) = BM{es, et).
Таким образом, г3 является на самом деле единичным векто-
вектором, и последнее утверждение предложения 10 доказано.
Мы скажем, что евклидово аффинное пространство А,
снабженное группой W, есть пространство, ассоциированное
с матрицей Кокстера М, и обозначим его символом Ам.
Предложение 10 допускает обращение:
Предложение 11. Пусть W — группа перемещений евкли-
евклидова аффинного пространства А, удовлетворяющая усло-
условиям § 3. Предположим, что W бесконечна, существенна и
неприводима. Тогда форма Вм, сопоставленная матрице
Кокстера М группы W, вырождена и положительна и суще-
существует единственный изоморфизм ассоциированного с М
аффинного пространства Ам на А, коммутирующий с дей-
действием группы W. Этот изоморфизм переводит скалярное
произведение на Ам в некоторое кратное скалярного произ-
произведения на А.
Пусть Со — камера в Л и 5 — множество ортогональных
отражений относительно стенок Со. Если rjs обозначает еди-
единичный вектор, который ортогонален гиперплоскости Ns,
ассоциированной с s, и лежит по ту же сторону от iVs, что
и Со (§ 3, предложение 3), то форма Вм обладает тем свой-

/ § 5. ИНВАРИАНТЫ В СИММЕТРИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЕ 129
ством, что BM(e,,, et) = (y\s \y\t) для s,t^S. Следовательно,
она положительна. Так как % линейно зависимы (§ 3, п°9,
предложение 8), то она вырождена.
Таким образом, мы можем применить к М предыдущие
построения. В тех же обозначениях, что и ранее, имеем
(es |e() = (t]s |t](), и существует, причем единственный, изо-
изоморфизм ф гильбертовых пространств, отображающий Т на
пространство переносов в Л, так что ф(е5) = т]5. Пусть
а и b — две различные вершины камеры Со и s0 — отраже-
отражение из S, для которого а ф. Nsa. Пусть, далее, Я = (д,о | а — 6)
и г|з— аффинная биекция пространства Ам на А, определен-
определенная формулой
1|э (ast + х) = а + Vs№ (х) для х е= Г.
Отсюда сразу видно, что г)?(Z,s) = jVs при всех ssS и что
¦ф переводит скалярное произведение на Ам в некоторое
кратное скалярного произведения на А. Тотчас приходим
к выводу что, ij) коммутирует с действием И?. Наконец,
единственность ф очевидна, потому что as, например, есть
единственная точка в Ам, инвариантная относительно отра-
отражений /gS, t =Ф s.
§ 5. Инварианты в симметрической алгебре
/. Ряд Пуанкаре градуированной алгебры
Пусть К — коммутативное кольцо с единицей, отличное
от 0. Пусть М — градуированный ^-модуль типа Z и
Мп — множество однородных элементов из М степени п.
Предположим, что М„ для каждого п есть свободный модуль
конечного типа. Тогда ранг rgK(Mn) определен при всех п
(Ком. алг., гл. II, § 5, п°3).
Определение 1. Если существует п0 е Z, такое, что Мп = 0
при п^п0, то формальный ряд 2 rgK (Mn) T", являющийся
элементом кольца Q((T)), называется рядом Пуанкаре
модуля М и обозначается символом Рм (^)-
Пусть М' — другой градуированный ./(-Модуль типа Z и
(M'n)n^z—его градуировка. Предположим, что М'„ равно нулю
для всех п, меньших некоторого числа. Тогда
Т) = Рм(Т) + РМ'(Т), A)
и если снабдить М®КМГ полной градуировкой {Алг., гл. II,
3-е изд., § 11, п°5), то
Рм9М'(Т) = Рм(Т)Рм(Т). B)
5 Зак, 61. Н, Бурбаки

130 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ /
Предложение 1. Пусть S-— © Sn — коммутативная гра-
л>0
дуированная К-алгебра, которая допускает систему образую-
образующих {хх, х2, .-., хт), состоящую из однородных алгебраи-
алгебраически независимых элементов, и пусть dt — степень xt.
Предположим, что dj>0 для всех i. Тогда Sn будут сво-
свободными модулями конечного ранга над К и
ps(T) = Jl(i~Td'r. C)
Действительно, S отождествляется с тензорным произве-
произведением К [Х\] ® К [х2] ® ... ® К [хт], снабженным полной гра-
градуировкой. Ряд Пуанкаре модуля К[х{] совпадает с
и остается применить B).
В условиях предложения 1 будем говорить, что S — гра-
градуированная К-алгебра многочленов.
Следствие. Степени dt с точностью до порядка определены
алгеброй S.
Действительно, обратным рядом к PS{T) является мно-
гочлен N{T) = И A — T'i), который тем самым однозначно
определен. Если q — целое число^1 и ^еС — примитивный
корень q-я степени из 1, то кратность корня ? в N{T) равна
числу тех dh которые кратны q. Это число равно нулю для
достаточно больших q. Число dt равных q тоже однозначно
определяется последовательным спуском.
Целые числа dt называются характеристическими степе-
степенями алгебры S. Их число равно степени трансцендентности
алгебры 5 над К, в случае, когда К — поле. Его же мы на-
назовем степенью трансцендентности S над /Сив общем слу-
случае. Это кратность корня 1 многочлена N(T).
Пусть S = © Sn — коммутативная градуированная /С-ал-
гебра и R = © Rn — ее градуированная подалгебра. Пред-
положим, что каждая компонента Rn — свободный модуль
конечного типа и что R-модуль S допускает конечный ба-
базис, состоящий из однородных элементов z{, z2, ...,zN сте-
степеней flt f2 fN. Тогда, обозначив через М градуирован-
N
ный /(-модуль 2 К Zj, мы придем к выводу, что градуиро-

2 § 5. ИНВАРИАНТЫ В СИММЕТРИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЕ 131
ванный /(-модуль S будет изоморфен R ®КМ, следовательно,
каждая компонента Sn — свободный модуль конечного типа и
Ps (Т) = Рм (Т) • PR (Т) = ( 2 Т") PR (T). D)
Предложение 2. Сохраним предыдущие обозначения и
предположим, что S и R — градуированные К-алгебры мно-
многочленов.
(О R и S имеют одну и ту же степень трансцендентности
г над К.
(и) Пусть р{, ..., рг (соотв. q{, ... , qr) — характеристи-
характеристические степени алгебры S (соотв. R). Тогда
(iii) Npip2 ... pr qxq2 q
Во-первых, формула D) показывает, что кратность корня
1 в многочленах Ps(T)~l и PR(T)~1 одинакова. Воспользо-
Воспользовавшись равенством C), получаем (i), а затем (П).
Из (и) следует, что
/=i
Положив Г=1 в этом равенстве, мы получаем ^п).
Замечание. Пусть S — К [Х{ Хп] — градуированная
/G-алгебра многочленов, dt — степень Xt и F(Хи ..., Хп) —
однородный элемент степени m в S. Тогда
'E)
Действительно, очевидно, что /(-линейное отображение D
алгебры S в себя, переводящее каждый однородный элемент z
степени р в pz, есть дифференцирование алгебры 5.
Следовательно,
ml
i=l 1=1
2. Инварианты конечной линейной группы: свойства модуля
Пусть /( — коммутативное кольцо с единицей, V — неко-
некоторый /(-модуль; G — группа, действующая на V. Известно,
что любой автоморфизм модуля V однозначно продолжается

132 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 2
до автоморфизма симметрической алгебры S = S(V) и, стало
быть, G действует на этой алгебре. Обозначим через gs.x,
где j:eS,geG, образ элемента к относительно g. Пусть
R — подалгебра S? алгебры S, состоящая из инвариантных
относительно G элементов.
Предположим, что G конечна, V — конечного типа и
К — нётерово. Тогда 5 есть R-модуль конечного типа, a R
есть /С-алгебра конечного типа (Ком. алг., гл. V, § 1,п°9,
теорема 2). Предположим, что S — область целостности и
N — ее поле отношений. Поле отношений L алгебры R
является множеством элементов из N, инвариантных отно-
относительно группы G (там же, следствие предложения 23). Сле-
Следовательно, N — расширение Галуа поля L. Всякий элемент
из N записывается в виде z/t с z ^ S я t e R (там же, пред-
предложение 23). Согласно следствию 3 предложения 26 из Alg.,
chap. II, 3е ed., § 7, п° 10, ранг ^-модуля S равен [N: L].
Предположим, что G действует на V свободно. Тогда группа
Галуа поля N над L отождествляется с G и [N: L] — Card G.
Итак,
(S) = [N:L} = Card (G). F)
Для любой градуированной алгебры А = Ао © Л, © ...
. ..©Лг©... обозначим через А+ идеал © Ап.
га>0
Теорема 1. Пусть К — коммутативное поле, V — вектор-
векторное пространство конечной размерности над К, S = S (V) —
симметрическая алгебра пространства V,G — конечная группа
автоморфизмов V и R — градуированная подалгебра в S,
состоящая из инвариантных относительно G элементов. Пред-
Предположим, что G порождена псевдоотражениями (§ 2, п°1)
и что q-Card(G) взаимно просто с характеристическим
показателем поля К. Тогда R-модуль S имеет базис, состо-
состоящий из q однородных элементов.
а) Так как каждый подмодуль модуля S/(R+S) свободен
над Rq — K, to достаточно показать (ввиду предложения 7
из Alg., chap. II, 3eed., § 11, п°4), что канонический гомо-
гомоморфизм R+<g>RS в 5 инъективен. Для любого ^-модуля Е
символом Т (Е) обозначим ^-модуль Ker(#+ <8>RE-> E) (*иначе
говоря, T(E) = lor*(RjR+, Е)^). Если Е, Е' — два ^-модуля
и если « — гомоморфизм Ев ?', то гомоморфизм 1®и
модуля R+ ® Е в R+ ® Е' при сужении на Т (Е) определяет
гомоморфизм модуля Т(Е) в Т(Е'), который мы обозначим
через Т (и). Если «' — гомоморфизм Е' в ^-модуль Е", то
Т (и' о и) = Т (и') о Т (и). Следовательно, при /^-линейном дей-
действии Q на Е группа G действует и в Т (Е).

2 §5. ИНВАРИАНТЫ В СИММЕТРИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЕ 133
б) Действуя /?-линейно в S, группа G, следовательно,
действует также в T(S). Далее, T(S) естественным образом
снабжается структурой градуированного S-модуля. Покажем
сначала, что g^G переводит каждый элемент х из Т(S)
в элемент, сравнимый с х по модулю S{T{S). Достаточно
проверить это для псевдоотражения g. В этом случае суще-
существует ненулевой вектор ogF, такой, что g(x)— х е Kv при
всех хеК. Поскольку V порождает S, приходим к заключе-
заключению, что gs действует на S/Sv тривиально. Следовательно,
для любого j/gS существует элемент h(y) в S, такой, что
Этот элемент определяется по у однозначным образом, по-
поскольку S — область целостности и вектор v — ненулевой.
Очевидно, что h — эндоморфизм степени —1 ^-модуля S.
Итак, gs— \s=mv о h, где mv—гомотетия в S относительно v.
Следовательно,
Т (gs) -W(S) = T(gs- ls) = Т (mv) о Т (h),
и образ этого эндоморфизма содержится в vT(S), откуда
следует наше утверждение.
в) Покажем теперь, что каждый элемент из Т (S), инва-
инвариантный относительно G, равен нулю. Действительно, пусть
Q — эндоморфизм ^-модуля S, определенный соотношением
Q(y) = q-1 2 gs(y)
при всех у е S. Тогда Q(S) = R, и мы можем записать Q
в виде Q = i°Q', где Q' —гомоморфизм /?-модуля 5 на R-
модуль R, a i — каноническое инъективное отображение R
в S. Поэтому T(Q) = T(i)°T(Q)' и T(Q') = 0, так как T(R) =
= Ker (R+ ® R ь-»- R) = 0. Следовательно,
O = T(Q) = q~l 2 T(gs).
Но q-1 2 Т(gs) оставляет неподвижными элементы из Т (S),
инвариантные относительно G. Следовательно, каждый из
них равен нулю.
г) Предположим, что Т (S) ф 0. Тогда в Г (S) существует
однородный элемент и ф 0 минимальной степени. Согласно б),
и инвариантен относительно G. Согласно в), и — О. Полу-
Полученное противоречие показывает, что 7"(S) = 0. Ч. Т. Д.
Замечания. 1) Известно (Alg., chap. II, 3е ed., § 11, n°4,
предложение 7), что если {zu z2 zq) — семейство

134 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 2
однородных элементов из S, канонические образы которых
в S/(R+S) образуют базис модуля S/(R+S) над К, то (г,,
г2, ..., zq) есть базис S над R.
2) Пусть g — псевдоотражение в V конечного порядка
п^2, взаимно простого с характеристической экспонентой
поля К- По теореме Машке (дополнение, предложение 2) V
можно разложить в сумму ?)©#, где Н — гиперплоскость,
состоящая из векторов в V, инвариантных относительно g,
a D — прямая, на которой g действует умножением на при-
примитивный корень п-й степени из 1. В случае когда /C = R,
это возможно только при п = 2, и тогда g — отражение.
В этом случае группами, к которым применима теорема 1,
будут конечные группы Кокетера. (Напротив, при /С=С тео-
теорема 1 применима к некоторым группам, которые не являются
группами Кокстера ').)
Теорема 2. Предположения и обозначения те же, что
и в теореме 1.
(i) Существует градуированное векторное подпространство
в S, дополнительное к R+S и устойчивое относительно G.
(ii) Пусть U— такое дополнение. Тогда канонический
гомоморфизм U®KR в S является изоморфизмом G-моду-
лей и представление группы G в U {соотв. S) изоморфно
регулярному представлению группы G над К (соотв. R).
Действительно, для любого целого п^О векторные
/С-пространства Sn и (R+S) П Sn устойчивы относительно G и
из теоремы Машке (дополнение, предложение 2) следует,
что существует дополнение Un к (R+S)f\Sn в Sn, устойчи-
устойчивое относительно G. Тогда 2 Un будет дополнением к R+S
в S, устойчивым относительно G. Отсюда следует утвержде-
утверждение (i).
Пусть U — градуированное векторное подпространство
в S, дополнительное к R+S в 5 и устойчивое относительное
Согласно замечанию 1, любой базис векторного /(-простран-
/(-пространства U будет также базисом /?-модуля 5 и, следовательно,
базисом поля отношений Af алгебры 5 над полем отношений L
алгебры R. Таким образом, векторное L-пространство Af
отождествляется с U®KL. Ввиду устойчивости U относи-
относительно G это отождествление совместимо с действием G.
Алгебра L[G] группы G над L отождествляется с алгеброй
K[G]®KL. Расширение Галуа Af над L допускает нормаль-
') Классификацию этих групп можно найти в статье: G. С. S h e р-
hard, J. A. Todd, Finite unitary reflection groups, Canad. I. Maths.,
в A954), 274-304.

3 § 5. ИНВАРИАНТЫ В СИММЕТРИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЕ 135
ный базис (Алг., гл. V, § 10, теорема 5, и Алг., гл. VII,
§ 5, п°7) —факт, который можно выразить, сказав, что N
как Л[О]-модуль изоморфно модулю регулярного предста-
представления группы G над L. Так как пространство U конечно-
конечномерно над К, то из предложения 1 дополнения вытекает,
что /([Gj-модуль U изоморфен модулю регулярного предста-
представления группы G над К- Отсюда и следуют наши утвер-
утверждения.
3. Инварианты конечной линейной группы:
свойства кольца
Теорема 3. Сохраняются предположения и обозначения
теоремы 1. В множестве систем образующих идеала R+czR,
состоящих из однородных элементов, выберем минимальный
элемент {аь ..., щ). Пусть kt —степень щ. Предположим,
что kt взаимно просты с характеристической экспонентой
поля К- Тогда / = dimK, а,- порождают К-алгебру R и
являются алгебраически независимыми над К- В частности,
R — градуированная К-алгебра многочленов степени транс-
трансцендентности I над К-
Условие, наложенное на kt, излишне, но оно и не является сте-
стеснительным при применении к конечным группам Кокстера, по-
поскольку тогда К = R. См. к тому же п° 5, где будет дано другое
доказательство теоремы 3.
Теорема 3 следует из предложения 2, (i) теоремы 1 и сле-
следующей леммы:
Лемма 1. Пусть К — коммутативное поле, S — градуиро-
градуированная К-алгебра многочленов и R — градуированная под-
подалгебра конечного типа в S, такая, что R-модуль S допу-
допускает базис Bk)leA, состоящий из однородных элементов.
В множестве систем образующих идеала R+ в R, состоящих
из однородных элементов, выберем минимальный элемент
(а,, ..., as). Предположим, что при всех i степень kt элемента
а,- взаимно проста с характеристической экспонентой р
поля К. Тогда аг порождают К-алгебру R и являются алге-
алгебраически независимыми над /(.
Согласно предложению 7 из Алг., гл. II, § 11, п° 4, усло-
условие, наложенное на ait эквивалентно тому, что они одно-
однородны и их образы в векторном ^-пространстве R+/(R+J
образуют базис этого пространства. Это условие инва-
инвариантно относительно расширений основного поля. Поэтому
мы можем свести все к случаю, когда поле совершенно.
Семейство (ct] as) порождает алгебру R по предло-
предложению 1 из Ком. алг., гл. III, § 1, п°2. Будем рассуждать

136 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ ¦ 3
от противного и предположим, что это семейство алгебраи-
алгебраически зависимо над К.
1) Мы хотим показать сначала, что существуют семейства
однородных элементов из S, обладающие следующими свой-
свойствами:
р,- е R для любого i, и не все рг равны нулю; G)
deg*/fe>0 для любого k; (8)
г
Oj = 2 dikyk для любого /; (9)
s
2i?>tdik:=O для любого k. A0)
Пусть Xit ...,XS — переменные. Рассмотрим на К[Х\, ...
..., Xs] структуру градуированной алгебры, полагая сте-
степень Х{ равной k{. В K[Xlt .... Xs\ существуют однородные
ненулевые элементы Н{ХХ, ..., Xs), для которых И(аи ...
. .., as) = 0. Выберем Я так, чтобы его степень была мини-
минимальной. Следовательно, если дН/дХ{ ф 0, то многочлен
dH/dXt(alt ..., as) является ненулевым однородным элемен-
элементом в R. Если рф 1, то Н не может быть формой Я?
с Нг е К[Хи ..., Xs]. Положим тогда
_ , дН . ч
Р< — ki~ax7 vai. • • •. «*)•
Так как К совершенно, то многочлены -^-^I^i» •••> Xs]
не все равны нулю (Алг., гл. V, § 1, п°3, предложение 4).
Условия, наложенные на kt, наделяют теми же свойствами
элементы р,-.
Далее, S отождествляется с градуированной алгеброй
многочленов
К[хи ..., хг],
где переменным хи .... хг приписываются надлежащие сте-
степени mi > 0. Пусть Dk — частное дифференцирование по хк
в S. Положим rflft = k~xDh(a^. Тогда равенство A0) спра-
справедливо, ибо его левая часть равна Dk(H(au ..., ak)). С дру-
другой стороны, положив у] — т1хи ..., yr — mrxr, мы при по-
помощи равенства E) из п° 1 получим (9).
2) Пусть b — идеал в R, порожденный элементами Pj.
Существует подмножество / в
/=={1.2 s)t

3 % 5. ИНВАРИАНТЫ В СИММЕТРИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЕ 137
такое, что (&)<<=/ будет минимальной системой образующих
идеала Ь. При этом 1Ф0, поскольку b Ф 0. Мы хотим по-
получить из равенств (9) и A0), что если (е/, то <хг есть
/?-линейная комбинация элементов <ху для / ф i. А это проти-
противоречило бы минимальности системы (аи ..., <xs) и заканчи-
заканчивало бы доказательство.
Существуют однородные элементы у,{ в R (i е /, / е / — /),
такие, что
P/=Sy/iPi (i^i-J). (li)
is/
С учетом A1) формула A0) переписывается в виде
Положим
"ift = rf<ft+ S Y/jd/ft- A3)
Тогда
2 0. (И)
Запишем «ife= S ^>ikiz\> где 6ife^ принадлежат /?. Соотно-
Я.е=Л
шение A4) влечет равенство 2 РАан^О Для любых k и Я.
Если бы один из элементов 6^ имел ненулевую однород-
однородную компоненту степени 0, то предыдущее равенство озна-
означало бы, что какой-то элемент р((г'^/) есть линейная ком-
комбинация других, что противоречит минимальности (P(),-sr
Поэтому 6iUe R+ и, следовательно, uik e R+S при всех i
и k. Таким образом, найдутся ulkh^S, для которых uik =
s
= S uikhah> или с учетом A3)
/1=1
S
dik+ 2 \iidjk = ^jUihkah. {\Ъ)(к
Умножим обе части равенства A5)ife на yfe и при фикси-
фиксированном i из / проведем суммирование по k (k = 1, 2, .. ., г).
Ввиду (9) находим
Г
а, + 2 Y/<a/ = 22
/el-J A=l fc=l
Возьмем однородные компоненты степени kt обеих частей
равенства. Поскольку degz/fe>0, щ является 5-линейной
комбинацией at с j ф i. Так как модуль 5 свободен над R
и а1г .... ase^, то на самом деле at будет ^-линейной

138 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 3
комбинацией а,- с / ф i. (Ком. алг., гл. I, § 3, п°5, предло-
предложение 9, d)).
Следствие. В предположениях и обозначениях теоремы 3,
произведение характеристических степеней алгебры R равно
Card(G).
Действительно, rgR(S) = Card (G) (формула F), n°2).
Характеристические степени алгебры 5 равны 1. Поэтому
следствие вытекает из предложения 2, (ш) в п°1.
Лемма 2. Пусть К — коммутативное поле, V — конечно-
конечномерное векторное пространство над К, S = © Sn — симме-
>0
трическая алгебра пространства V, s — эндоморфизм V и
s<n) — каноническое продолжение s на Sn. Тогда в кольце
К [[71] степенных рядов от одной переменной Т выполнено
соотношение
Расширяя основное поле, мы можем предполагать, что К
алгебраически замкнуто. Пусть (е1; ..., ег) — базис в V, отно-
относительно которого матрица эндоморфизма s является нижней
треугольной, и пусть А,, ..., Аг — диагональные элементы этой
матрицы. Относительно базиса (е'A) ... е'<гЛ
г V 1 г /(A)+ ... +цг) = ц
в Sn, упорядоченного лексикографически, матрица эндомор-
эндоморфизма s(n) будет нижней треугольной с диагональными эле-
элементами Х\ ... к'г(г\ Поэтому
т I (п)\ V1 л «A) л < (<¦)
IГ \S ) = ^j Ai . . . Kr ,
1A)+ ••¦ +»(r) = n
и, значит,
CX5 /CX5 \/cX5 \ /CX5
n=0 \n=0 / \n=0 / \n=0
= (det(l — s^)).
Лемма 3. Пусть К, V и S — объекты из леммы 2, G —
конечная группа автоморфизмов пространства V, q — ее по-
порядок, R — градуированная подалгебра в S, состоящая из
инвариантных относительно G элементов. Предположим,
что /( имеет характеристику 0. Тогда рядом Пуанкаре ал-
алгебры R будет
q~] 2 (det(l1
geG

§ 5. ИНВАРИАНТЫ В СИММЕТРИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЕ 139
Действительно, эндоморфизм f = q~l 2 ём является
G
проектированием 5„ на Rn, так что Тг (/) = dim^ S°. Поэтому
рядом Пуанкаре алгебры R будет
\я=0
и достаточно применить лемму 2.
Предложение 3. В предположениях и обозначениях тео-
теоремы 3 пусть Н — множество псевдоотражений в G, отлич-
отличных от 1. Пусть К — поле характеристики 0. Тогда Card (#) =
Согласно предложению 3 дополнения, мы можем пред-
предполагать поле К алгебраически замкнутым. Пусть kx (g), ...
, Xt(g) — собственные значения произвольного элемента
g^G. Так как все g^G диагонализуемы (дополнение,
предложение 2), то g=l в том и только в том случае,
когда все k{(g) равны 1, a gef/ в том и только в том
случае, когда число X,(g), равных 1, есть / — 1 (мы обозна-
обозначим тогда через X(g) собственное значение, отличное от 1).
Согласно предложению 1 из п° 1 и лемме 3, справедливо
соотнои ение
qTMl-Th'Tl= 2 (det(l-gr))-1 A6)
в /([[7"]], а значит, и в К(Т). Следовательно, в К'(Т) имеем
A-7-)'-' 1 у 1 у A-7-)'-
Х~Т *Л \-X(g)T "Г" Ь det(l-gT)'
фн
что переписывается в Риде
<=1
_ у
| v
\-X(g)T T" ^J det(l-gr) '
г=н Ф\ фн
i
П
Видно, что q — ПA + 7'+ ••• + Г*(~') равно нулю при
7=1, поэтому q = kxk2 ... &/, что мы уже знаем из следствия

140 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 3
теоремы 3. Заметив это, обозначим, далее, через Q{T)
многочлен A — Г) U — Ц (l + Г + ... + 71*')). Диффе-
Ц
ренцируя равенство (l-T)Q(T) = q—J[(l + T+...+ Tk'~l)
J
и полагая T—l, мы видим, что —Q(l) равно значению
при Г= 1 ряда
(=1
1 + Г+ ... +ТкГ1),
откуда
Возвращаясь к равенству A7), имеем, далее,
Следовательно,
Но элементы из G, оставляющие неподвижными точки дан-
данной гиперплоскости, оставляют устойчивой прямую, допол-
дополнительную к этой гиперплоскости (дополнение, предложе-
предложение 2), и, следовательно, образуют циклическую подгруппу С
в О (см. Алг., гл. V, § 11, п°1, теорема 1). Пусть t — поря-
порядок подгруппы G'. Значения X(g) для g^G' равны 6,
В2, ..., 6*~', где 6 — примитивный корень ?-й степени из 1.
Имеем 1_е,- + l_Qi-i =1- Значит,
ge О',
Из равенства A8) следует поэтому предложение.
Замечание. В случае когда /C = R, G — группа Кокстера,
а Я — множество отражений, принадлежащих G, элементы

4 § 5. ИНВАРИАНТЫ В СИММЕТРИЧЕСКОЙ АЛГЕ&РЕ 141
множества И находятся, как известно (§ 3), во взаимно
однозначном соответствии со стенками в V.
Предложение 4. В предположениях и обозначениях тео-
теоремы 3 пусть К — поле характеристики ф 2. Для того
чтобы — IgC, необходимо и достаточно, чтобы характе-
характеристические степени ku ..., kt алгебры R были четными.
Пусть f — автоморфизм алгебры S, продолжающий авто-
автоморфизм — 1 на V. Тогда f (z) = (—\)des г z для любого одно-
однородного элемента z из S. Поэтому в случае — leG всякий
однородный элемент нечетной степени в R равен нулю и,
значит, kt четны. Обратно, если kt четны, то любой эле-
элемент из R инвариантен относительно f и по теории Галуа
-1еС.
4. Антиинвариантные элементы
Сохраняя предположения и обозначения теоремы 3, будем
считать, что К — поле характеристики 0. Элемент z из S
называется антиинвариантным относительно G, если
для всех get?.
Пусть Я — множество псевдоотражений из G, отличных
от 1. Для любого §еЯ существуют eg^V и fg^V*,
такие, что
g(х) = х + fg(x)eg, каков бы ни был x^V.
Предложение 5. (i) Обозначим через D элемент Ц е_
в S. Антиинвариантными относительно G элементами в S
будут в точности элементы модуля RD.
(и) Предположим, что мы выбрали базис (Хи ..., Xt)
в V и тем самым отождествили S с алгеброй многочленов
К[Х\, ..., Х{\. Пусть (Ри ..., Р[) — алгебраически независи-
независимые однородные элементы в S, порождающие алгебру R
(теорема 3). Тогда якобиан / = detf-^-j имеет вид XD,
где Aef.
а) В обозначениях утверждения (и) имеем
AdX2A ... Л dXt,

142 гл- v- ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 4
откуда при всех g e G
g(J)(detg)dXlA ... AdX, = g{J)d(gX,)A ... Ad(gX,) =
= /dtf, A ¦¦¦ AdX,.
Следовательно, / антиинвариантен относительно G. Далее,
поле отношений N алгебры 5 есть расширение Галуа поля
отношений Е ее подалгебры R (п°2). Всякое дифференци-
дифференцирование А поля Е со значениями в некотором подполе QcAf
продолжается до дифференцирования поля N со значениями
в Q (Алг., гл. V, § 9, предложение 5). Так как у нас Pt
алгебраически независимы, то dPl А ¦ ¦ • Л dPt ф 0 и, сле-
следовательно, / Ф 0.
б) Пусть z — антиинвариантный относительно G элемент
из S. Докажем, что z делится в S на D. Пусть а — нену-
ненулевой вектор в V. Элементы группы G, оставляющие устой-
устойчивой прямую Ка, оставляют устойчивой и дополнительную
гиперплоскость L (дополнение, предложение 2). Для того
чтобы элемент из G, оставляющий устойчивой Ка, был
либо 1, либо псевдоотражением вектора а, необходимо и
достаточно, чтобы он индуцировал 1 на L. Стало быть,
псевдоотражения вектора а, принадлежащие группе G, об-
образуют вместе с 1 циклическую подгруппу G' группы G.
Пусть t — ее порядок. Существует базис (Хи ..., Xt) в V,
такой, что а = Хи X2<^L, ..., Xt^L и можно отождествить
с многочленом P{Xlt ..., Xt) с коэффициентами из К-
Равенство g(z) = (det g)~l z для g^G' показывает, что Xt
входит в Р(Хи ..., Xt) с показателем, сравнимым с —1
по модулю t. Значит, Р{Хи ..., Xt) делится на Х\~1 — а*~].
Но с точностью до скалярного множителя D является про-
произведением элементов а'~' для ael/, таких, что ^> 1, и
эти элементы алгебры S попарно взаимно просты. Так как
5 — факториальное кольцо, то z делится на D.
в) Согласно а) и б) якобиан / делится в S на D. Но
i
deg / = _2 (k, - 1) = Card (Я)
{предложение 3), следовательно, deg/ = degZ) и J = XD
с 1еК, Так как J ф 0, то Яе/(". Тем самым (и) доказано.
г) В а) и в) мы убедились в антиинвариантности D отно-
относительно G. Значит, при всех у е R элемент yD будет анти-
антиинвариантен относительно G. Наконец, если zeS антиин-
антиинвариантен относительно G, то, как мы видели в б), суще-
существует y^S, для которого z = yD. Поскольку кольцо S
целостно, у е R. Этим завершается доказательство утвер-
утверждения (i).

5 § 5. ИНВАРИАНТЙ В СИММЕТРИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЕ 143
5. Дополнения ')
Лемма 4. Пусть К — коммутативное поле, V — конечно-
конечномерное векторное пространство над /(, G — конечная группа
автоморфизмов V порядка q, обратимого в К, S — симме-
симметрическая алгебра пространства V, R — подалгебра в S, со-
состоящая из инвариантных относительно G элементов. Для
того чтобы простой идеал $ высоты 1 в S был разветвлен
над р = ty П R (Ком. алг.), необходимо и достаточно, чтобы
существовали отличные от нуля элементы а е= V и f e= V*,
такие, что ^ = Sa и псевдоотражение sa_f принадлежит G.
Группа разложения @z (Щ тогда совпадает с подгруппой
элементов в G, оставляющих устойчивым Ка, а группа инер-
инерции ®т (Щ— с циклической подгруппой HacG, состоящей
из псевдоотражений в G вектора а. Поле классов вычетов S (Щ
алгебры S по модулю Щ сепарабельно над полем классов
вычетов R (р) алгебры R по модулю р, и индекс ветвления
е(^/р), на 1 больший показателя идеала^ в дивизоре div(T>sjR)
дифференты, равен Card(Ha).
Разветвленность Щ над R означает, что его группа инер-
ции ©г(^) не сводится к единичному элементу. Иначе говоря,
в G существует элемент g ф 1, для которого g(z) = z (mod Щ
при всех 2eS. Так как S — факториальное кольцо, то ^? —
главный идеал Sa и а делит все элементы g{z) — z (z^S).
Но для ге|/ эти элементы однородны степени 1 и не все
равны нулю (потому, что g ф- 1). Следовательно, а должен
быть однородным элементом степени 1, т. е. аеК, поэтому
существует линейная форма f на V, такая, что g — sa, f.
Обратно, если g — псевдоотражение sa, f, отличное от 1, то
g (z) = z (mod Sa) для всех z e S, и поэтому g принадлежит
группе инерции простого идеала ^ = Sa. Тем самым дока-
доказано первое утверждение леммы и описаны ©z($) и ©гСр).
Известно, что степень поля классов вычетов [S (ф) ^ /? (РI
делит Card (G) = G {Ком. алг., гл. V, § 2, п° 2). Так как q
взаимно просто с характеристической экспонентой р поля К
(а также поля S(^P)), то расширение S(^5) над R{p) сепара-
сепарабельно. Установлено и равенство е(Щ/р) = Card (Ha) (Ком.
алг.) Поскольку индекс ветвления e(WP) взаимно прост с р,
показатель дивизора ^5 в divEDs/«) равен е(Щ/р)— 1 (Ком.
алг.), чем и завершается доказательство леммы.
Лемма 5. Пусть К — коммутативное поле, S — градуи-
градуированная К-алгебра многочленов и R — градуированная
') В этом пункте используются результаты из находящихся в под-
подготовке глав книги Коммутативная алгебра. Мы отсылаем к ним сокра-
сокращенным символом „Ком. алг."

144 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 5
подалгебра в S. Для того чтобы S была градуированным сво-
свободным R-модулем (Alg., chap. II, 3е ed., § 11, п° 2), необхо-
необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие два
условия:
а) R — градуированная К-алгебра многочленов;
б) если (а,, ..., as) — система образующих К-алгебры R,
состоящая из однородных алгебраически независимых эле-
элементов, то эта система является S-регулярной последова-
последовательностью ').
В случае когда S есть R-модуль конечного типа, б) сле-
следует из а).
Доказательство см. в Ком. алг.
Теорема 4. Пусть К — коммутативное поле, V — конечно-
конечномерное векторное пространство над К, 5 — симметрическая
алгебра пространства V, G — конечная группа автоморфиз-
автоморфизмов V и R — подалгебра в S, состоящая из инвариантных отно-
относительно G элементов. Предположим, что порядок <? = Card О
обратим в К. Следующие условия эквивалентны:
(О G порождается псевдоотражениями;
(ii) 5 — градуированный свободный R-модуль;
(iii) R — градуированная {{-алгебра многочленов.
Эквивалентность (ii) и (iii) вытекает из п° 2 и из леммы 5.
Импликация (i)=^(ii) следует из теоремы 1.
Покажем, что (iii)=^(i). Пусть G'— подгруппа в G, по-
порожденная псевдоотражениями, принадлежащими G, и пусть
R' — подалгебра в S, состоящая из инвариантных относи-
относительно G' элементов. Тогда R cz R' czS. По лемме 4
div(?>s/«) = div(Ds/K')> откуда d'w(T)R'/R) = 0. Предположим
затем, что # —градуированная алгебра многочленов. Так
как это в равной мере относится и к R' (поскольку G' по-
порождена псевдоотражениями), то по лемме 5 /?-модуль R'
допускает однородный базис (Q , Qm). Пусть q{ = deg (Qt).
Положим
d = det(TvR'/R(QiQ1)) (Алг., гл. IX, § 2).
Равенство divCV/fl) = 0 показывает, что div(d) = 0 (Ком.
алг.), а это означает, что d принадлежит К*- Но, с другой
') Это означает, что для любого <е{1, 2, ..., s} канонический образ
элемента аг в кольце
не является делителем нуля в этом кольце.

5 § 5. ИНВАРИАНТЫ В СИММЕТРИЧЕСКОЙ АЛГЕБРЕ 145
стороны, Тгц'/niQiQj) является однородным элементом сте-
степени q{ + qi, a d — однородным элементом степени 2'%iql.
i
Таким образом, 2<7г=0. т. е. qi = 0 для всех i, откуда
следует, что R'' = R, а значит, по теории Галуа G' = G. Тем
самым доказано, что G порождена псевдоотражениями.
ч. т. д.
Замечания. 1) В предположениях теоремы 4 произведе-
произведение характеристических степеней алгебры R равно q '(фор-
'(формула F), предложение 2, (ш)), и, значит, они взаимно
просты с характеристической экспонентой поля К- Это дает
утверждение, аннонсированное в п° 3.
2) Если не предполагать более, что порядок Card ((?)
обратим в К, то все еще (И) ФФ (Hi) (лемма 5) и (ii)=^(i)
(упражнение 8). Однако импликация (i)=^(ii) перестает быть
верной (упражнение 9).
Предложение 6. Предположения и обозначения те же,
что в теореме 4. Пусть Н — множество псевдоотражений
в G, отличных от 1. Допустим, что Н порождает G. Для
любого g е Н положим g (х) = к -\- fg (x) eg, где eg e V, fg e V*.
Положим
(i) Дифферента алгебры S над R является главным идеа-
идеалом SD.
(п) Пусть в V выбран базис (Xt, ..., Х() и S отожде-
отождествлена с алгеброй К[Х\, ¦¦-, Xi]- Пусть Ри ..., Pi — одно-
однородные алгебраически независимые образующие алгебры R.
Тогда якобиан / = det(-5-51-) имеет вид %D, где J,g/(".
\ "Л11
(ПО S(
(iv) Множество антиинвариантных элементов в S совпа-
совпадает с RD.
Утверждение (i) следует из леммы 4. Утверждение (и)
следует из того, что SJ является дифферентой алгебры S
над R (Ком. алг.). Утверждение (iii) вытекает из того, что
однородные многочлены D и / имеют одинаковую степень.
Доказательство (iv) таково же, как в п° 4 (доказательство
предложения 5, этапы б) и г)).

146 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ /
§ 6. Преобразование Кокстера
В этом параграфе через V будет обозначаться веще-
вещественное векторное пространство конечной размерности / и
через IF —конечная подгруппа в GL(V), порожденная отра-
отражениями и являющаяся существенной (§ 3, п° 7). На V
имеется скалярное произведение {х\у), инвариантное отно-
относительно W. Обозначим через •?> множество гиперплоско-
гиперплоскостей Я в К, таких, что соответствующее ортогональное от-
отражение sH принадлежит группе W.
1. Определение преобразований Кокстера
Назовем упорядоченной камерой относительно W пару,
состоящую из камеры С, определенной системой ф, и биек-
ции i>—*-Ht множества {1, 2, ...,/} на множество стенок
камеры С (§ 3, п° 9, предложение 7).
Определение 1. Преобразованием Кокстера, определенным
упорядоченной камерой (С, (Ht)i<i<l), называется элемент
с = sH sH ... sH группы W.
H
Предложение 1. Все преобразования Кокстера сопря-
окены в W.
Так как W переставляет камеры относительно f> транзи-
тивно (§ 3, п° 2, теорема 1), то нам остается доказать, что
если (С, (Hl)]<i<l) — упорядоченная камера и я е <3Z, то
V"t • • • Ч И 5ял(]MяяB) • • • 5нм1) сопряжены в W. Ввиду
предложения 8 из § 4, п° 8, это непосредственно вытекает
из следующей леммы:
Лемма 1. Пусть X — конечный лес, x*—>gx — такое ото-
отображение X в группу Г, что gx и gy коммутируют всякий
раз, когда х и у не соединены в X. Пусть 0" — множество
структур совершенных порядков на X. Для любого ^еУ
обозначим символом р\ произведение в Г последовательно-
последовательности элементов (gx)xeX, определенной порядком ?. Тогда
элементы pi сопряжены в Г.
1) Проведем индукцию по n = CardX. Ввиду тривиаль-
тривиальности случая п= 1 предположим, что п^2. В X существует
конечная вершина а (гл. IV, дополнение, п° 3, предложе-
предложение 2). Пусть Ъ е X — {а} — вершина, соединенная с а, если
таковая существует; если же а не соединена ни с какой
вершиной из X — {а}, то возьмем в качестве Ъ произвольную
вершину в X — {а}. В любом случае ga коммутирует с gx

2 § 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОКСТЕРА [47
для хф Ь. Пусть порядок т] е Т таков, что а — наиболь-
наибольший элемент в X и Ъ — наибольший элемент в X — {а}.
Пусть l^ST. Докажем, что р5 и р^ сопряжены.
2) Предположим сначала, что для порядка с, а — наиболь-
наибольший элемент в X, а Ь — наибольший элемент X — {а}. Пусть
X' — целый подграф в X — {а}, являющийся лесом. Опре-
Определим отображение х*—> g'x подграфа X' в Г, полагая gfx — gx
при хфЪ и g[ = gbga. Пусть ?', т)' — сужения I, г) на X'.
По предположению индукции р?, и р^ сопряжены. Но ясно,
что p^, = pv р^, = р^, откуда в этом случае и следует утвер-
утверждение леммы.
3) Предположим, что а — наибольший элемент в X для ?.
Пусть J, (соотв. Х2) — множество элементов в X — {а} строго
мажорированных (соотв. минорированных) элементом Ь.
Пусть ?(• — сужение | на Xt. Тогда
а этот элемент сопряжен с P^Pitgbga- Тем самым мы при-
пришли к случаю 2).
4) В общем случае пусть Х3 (соотв. Х4) — множество
элементов в X строго мажорированных (соотв. минориро-
минорированных) элементом а. Пусть |/ — сужение ? на Xt. Тогда
р== р gap —элемент, сопряженный с p%p%ga, и мы при-
приходим к случаю 3).
Из предложения 1 следует, что все преобразования
Кокстера имеют одинаковый порядок h = h(W). Это число
называется числом Кокстера группы W.
Замечание. Пусть Wu ..., Wn — конечные существенные
группы, порожденные отражениями в пространствах V и ..., V т\
Cj — камера относительно W,; W — Wx X • • • X Wm — группа,
действующая на Vx X • • • X Vm. Тогда Сх X • • ¦ X Ст будет
камерой относительно W. Преобразования Кокстера группы W,
определенные камерой С, записываются в виде произведе-
произведений схс2 ... ст, где Cj — преобразование Кокстера группы W/,
определенное камерой С/.
2. Собственные значения преобразования Кокстера.
Показатели
Так как все преобразования Кокстера сопряжены (п° 1,
предложение 1), то у них будет один и тот же характери-
характеристический многочлен Р(Т). Пусть h — число Кокстера

148 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ
группы W. Тогда
где m,, m2, ..., тг —целые числа, такие, что
О <I nti ^ т2 ^ ... ^ mt < Л.
Определение 2. Целые числа ти т2 mt называются
показателями группы W.
Пусть С — камера относительно Ф, Ни .. ., Ht — ее стенки.
Положим Si = Sh- Обозначим через et единичный вектор,
ортогональный к Я( и лежащий по ту же сторону от Н',-,
что и С. Согласно предложению 2 дополнения гл. IV, можно
предполагать Hi пронумерованными так, что еи е2, ..., ег
и er+i, ег+2, ..., et будут попарно ортогональны. Тогдл s'=
^s^-.-S, — ортогональная симметрия относительно под-
подпространства
s" = sr+isr+2 ... S[ — ортогональная симметрия относительно
и с = s's" — преобразование Кокстера. Так как (е,, ..., et) —
базис V, то V —прямая сумма V и V".
Отсюда следует, во-первых, что 1 не является собствен-
собственным значением преобразования с. В самом деле, если с(х) = х
для какого-то x^V, то s'(x) — s"(x). Значит, вектор
х — s'{x) — x — s"(x) ортогонален к V и V" и поэтому равен
нулю, откуда x — s'(x) = s"(x)^V'()V" = {Q}. Таким обра-
образом,
0< m,<m2< ... <т, </г. A)
Характеристический многочлен преобразования с имеет
вещественные коэффициенты. Поэтому для любого / множи-
2/ят,
тель Г —ехр—^—'- входит в Р(Т) с той же кратностью, что
2/я(А — т,)
и Г — ехр *-7 . Стало быть,
mj + mt+i-j^h A </</). B)
Складывая почленно равенства B), получаем
ш, + пг2 + ... -f mt = -j lh. C)
Лемма 2. Сохраним предыдущие обозначения и пред-
предположим, что группа W неприводима. Существуют два ли-
линейно независимых вектора z', z", такие, что

2 § 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОКСТЕРА 149
(i) плоскость Р, натянутая на г' и г"', устойчива относи-
относительно s' и s";
(ii) s'\P и s"\P будут ортогональными отражениями
относительно Rz/ и Rz";
(iii) z', z"eC, и Pf]C — множество линейных комбина-
комбинаций векторов z' и z" с коэффициентами >0.
Пусть (е\ ..., е1) — базис в V, такой, что (ei\el) = du.
Тогда С является открытым симплициальным конусом, опре-
определенным базисом {е1) (§ 3, п° 9, предложение 7). Ясно, что V
порождено элементами ег+\ ..., е\ а V" — элементами
е\ ..., е''. Пусть q — эндоморфизм пространства V, для кото-
которого <7(eI)==ei» •••> q(el) = ei- Его матрица относительно
(е1 е1) равна Q = ((в, | е,)). Имеем (<?,|е,)<0 1ф\ (§ 3,
п° 4, предложение 3). Поскольку W неприводима, не суще-
существует такого разбиения {1, 2, ..., /} = /il)/2> чт0 (ег|?/) —О
для (G/, и /е/2. Поэтому (§ 3, п° 5, лемма 4) Q имеет
собственный вектор (а,, . .., аг), все координаты которого ^0.
Пусть а — соответствующее собственное значение. Положим
и возьмем за Р плоскость, порожденную г' и z". Тогда Р[\С
будет множеством линейных комбинаций г' и г" с коэффи-
коэффициентами >0. Соотношение q{z) — az дает 2 й/е/= 2 аа,е!.
Умножив его скалярно на ek (для k^.r), получим ак +
2 = aflft- Поэтому
(а-1J"=2B a/^le^e»» 2
= 2 ^( + 2
2 2 I
= —2 сце1 + 2 a,e, — — zf + 2
/+I /+l /=r+l
Значит, вектор (a— 1J"-\-z' ортогонален к е\ ..., er, т. е.
к пространству V". Поэтому s" оставляет устойчивой пло-
плоскость, порожденную z" и (a — 1J"+ 2', т. е. Р. Анало-
Аналогично s' оставляет Р устойчивой. Так как z'^P()V' и
г"еРП V", то s'\P и s" |P будут отражениями относительно-
Яг' и Кг".

150 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 2
Теорема 1. Пусть группа W неприводима. Тогда
(i) m1 = l, nit — h— 1.
(ii)Card($) = y/A.
Сохраним предыдущие обозначения. Сужение c = s's"
на Р есть вращение на угол 2 (г", г') (§ 2, п° 5, следствие
предложения 6). Так как порядок с равен А, то h элементов
1, с, ..., ch~x группы W попарно различны. Элементы s',
s'c, ..., s'ch~l тоже попарно различны и отличны от преды-
предыдущих, поскольку с11 Р — вращение, a s'c'\P— отражение.
Множество
{1, с, ..., с"-1, s', s'c, ..., s'ch-1}
является подгруппой W cz W, порожденной элементами s'
и s" и индуцирующей на Р группу W", порожденную орто-
ортогональными отражениями относительно Rz' и Rz". Образ
камеры С относительно элемента из W либо не пересекается
¦с —С, либо совпадает с —С. То же самое, следовательно,
можно сказать по поводу пересечений Р(]С и —(Р(]С).
Поэтому при подходящей ориентации плоскости Р найдется
целое число пг > 0, такое, что (г", г') = — (§2, п° 5, след->
ствие предложения 7). Сверх того множества g' (С) для
g' с. W попарно не пересекаются. Поэтому попарно не пере-
пересекаются множества g"(Pf\C) для g"eF', и, значит, по-
порядок W" равен 2/г, откуда т = /г. По определению, с\Р —
вращение на угол —г- и допускает, следовательно, в каче-
качестве собственных значений ехр-^- и ехр . —. Этим
доказано, что т{ = \, mt — h—1.
Образами прямых Rz' и Rz" относительно W будут h
прямых Dy Dh плоскости Р, а точки множества Р — (Dl [} ...
... UDh) будут В^'-образами точек из Р{]С. Следовательно,
гиперплоскости семейства ф пересекают Р только по пря-
прямым Dt и каждая из них действием W может быть пере-
переведена в гиперплоскость из ?>, содержащую либо Rz',
либо Rz".
Но любая гиперплоскость //g§, которая содержит Rz',
совпадает с одной из гиперплоскостей Ни ..., Нг. Действи-
Действительно, пусть ен — единичный ортогональный к Я вектор,
лежащий по ту же сторону от Н, что и С. Тогда ен = Я,^ + ...
... +Xteh где все Яг>0 (§.3, п° 5, лемма 6, (i)). Но
0 ) + ... + %tah поэтому
== ... =Яг = 0 и ея =

2 § б. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОКСТЕРА 15f
Предположим, что какие-то два А,- не равны нулю, напри-
например Л] и Я2. Так как еи ..., ег попарно ортогональны, то
и координаты вектора s,?w не могут быть все одного знака,
а это невозможно (там оке). Поэтому вектор еи пропорцио-
пропорционален одному из векторов еи ..., ег, и наше утверждение
доказано. Точно так же любая гиперплоскость Яе§, со-
содержащая Rz", совпадает с одной из гиперплоскостей
Нг+], . . ., #;.
Итак, число гиперплоскостей в €>, содержащих либо Rz',
либо Rz", равно /. Следовательно, если h четно, то Card (¦§>)
равно ~к1. Если h нечетно, то Card(§) равно —^—/ + г,
а также ~ I -\-A — г). Отсюда имеем г = 1 — г, так что
= | и
Замечание. Сохраним обозначения предыдущего доказа-
доказательства. Пусть с' — Олинейное продолжение преобразова-
преобразования с на F®rC и с" — сужение с' на P®rC. Из свойств
с\Р следует, что с" допускает собственный вектор х, соот-
ветствующии собственному значению ехр —,—, и этот вектор
не принадлежит никакому множеству D[]C, где D означает
прямую в Р (поскольку D не является устойчивой относи-
относительно с). Но ясно, что Н fi P — прямая для любой гипер-
гиперплоскости Яе$, Значит, jk^=#®rC.
Следствие. Пусть Ro — множество единичных векторов
в V, ортогональных элементам из $. Если группа W непри-
водима, то
2 (x\uf = h{x\x)
для всех xeF,
Положим f(x)= 2 (х\иJ. Очевидно, / — положитель-
ная квадратичная форма, инвариантная относительно W и
невырожденная, поскольку е{ образуют базис в V. Так как
группа W неприводима, то существует константа (}, для
которой f(x) = $(x\x) (§ 2, п° 1, предложение 1). Если
(х;I<г</ —ортонормальныи базис в V относительно скаляр-
скалярного произведения (х\у), то
= 2 1 = Card (Ro) = 2 Card (?) =

152 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ 2
Отсюда р = h, чем и доказано равенство D).
Предложение 2. Если h четно, то единственным элемен-
элементом группы W, переводящим С в — С, является снп.
Вернемся к обозначениям доказательства теоремы 1.
Поскольку с | Р — вращение на угол -у-, то ch/2 переводит г'
в — г', г" в — г" и, значит, z = z' + z" в —г. Так как геС,
то камера сн/2(С) совпадает с —С
Предложение 3. Предположим, что группа W неприво-
дима. Пусть щ, ..., щ — однородные элементы симметриче-
симметрической алгебры S = S(V), алгебраически независимые над R и
порождающие алгебру инвариантных относительно W элемен-
элементов в S (§ 5, п° 3, теорема 3). Если р} — степень элемента «/,
то показателями группы W будут р{ — \ р/ — 1.
Положим K' = F®RC, S' = S(F') = S ®rC и продолжим
¦скалярное произведение на V до эрмитовой формы на V.
Если с — преобразование Кокстера группы W, то существует
ортонормальный базис (^()|<(</ в V', состоящий из соб-
собственных векторов преобразования с ® I (Алг., гл. IX, § 7,
п° 3, предложение 4). Сверх того можно предполагать, что Xt
2in.nij
для ls^/^f соответствует собственному значению ехр—т—•
преобразования с® 1. Ясно, что S' отождествляется с алге-
алгеброй С[Я",, ..., Х[] и можно записать «/ ® 1 =fj(Xl, ..., Xt),
где fj — однородный многочлен степени pf в 0>[Х\, ..., Xt\.
Положим ^>/ = ^у и ]{Хи .... Х[) = det(Dkfj). Напомним
(§ 5, п° 4, предложение 5), что J(XU ..., Xj) пропорцио-
пропорционален произведению в Sr Card (С) векторов yk из V, каж-
каждый из которых ортогонален некоторой гиперплоскости из ?>•
Так как можно предполагать, что Х{ ф. Н ® С для всех
Яе§ {замечание), то Х,-компоненты векторов yk будут =^=0.
Следовательно, /A, 0, 0, .... 0)^=0. Правило разложе-
разложения определителя показывает в таком случае, что суще-
существует перестановка а множества {1, 2, ...,1), такая, что
(Da (/)/,-) A,0, 0, .... 0) ф 0 для всех /.Так как многочлен Da </>//
однороден степени ps - 1, то коэффициент при Хрх1~1Хаф
в M-^i. •••> Xt) не равен нулю. Но//(Х,, ..., Xt) инвариан-
инвариантен относительно с® 1, а
(с в» 1) (*;/-*„ (/)) - (ехр Jj* (Р/ _
Это показывает, что р,- — 1 + ma(/)^0(mod Л). Однако Л—//
является показателем (формула B)). Переставляя «у, можно,

2 § 6. ПРЕрБРАЗОВАНИЕ КОКСТЕРА 153
следовательно, предполагать, что ps — 1 = nij (mod h) для
всех /. Так как pj — 1^0- и nij<h, то р/ —¦ 1 = mi + (ХуЛ
с целыми Hj^O. Далее, согласно предложению 3 из § 5,
/ / i
Card @) = 2 (/>, - 1) = 2 m, + А 2 ц,.
Учитывая формулу C) и теорему 1, (ii), мы получаем
i
^2и/ —0; следовательно, Ц/ = 0 для всех / и, наконец,
/=i
р; — \ = nij для всех /.
Следствие 1. Порядок группы W равен произведению
(ш, + 1) (т2 + 1) ... (/П/ + 1), где (т,-), <г</ — возрастающая
последовательность ее показателей.
Это вытекает из соотношений tnl + 1 ==р/ и из следствия
теоремы 3, § 5, п° 3.
Следствие 2. ?сли с — преобразование Кокстера группы Wt
то
ехр(—) ы ехр( Г)
являются его собственными значениями кратности 1.
В противном случае существовали бы два однородных
инварианта степени 2 в 5, а значит, и две непропорцио-
непропорциональные квадратичные формы на V*, инвариантные относи-
относительно W, что противоречит предложению 1 из § 2, п° 1.
Следствие 3. Для того чтобы гомотетия относительна
— 1 в V принадлежала группе W, необходимо и достаточно,
чтобы все показатели группы W были нечетны. В случае
когда это так, h четно и сш = — \ для любого преобразо-
преобразования Кокстера с группы W.
Первое утверждение вытекает из предложения 4, § 5Г
п° 3. Предположим, что показатели W нечетны. Тогда к
четно, как это показывает формула B), и
/ 2inm,\m
lexp—^—I =ехр(/я/Л/) = —1.
Значит, ch/2 = — 1, поскольку с — полупростой автоморфизм
пространства V (Алг., гл., IX, § 7, п° 3, предложение 4).

Дополнение
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
О ЛИНЕЙНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ
Следующее предложение служит обобщением предложе-
предложения 13 из гл. I, § 3, п°8:
Предложение 1. Пусть К.—коммутативное поле, А— не-
некоторая К-алгебра, V и W — два левых А-модуля, которые
являются векторными пространствами конечной размерности
над К- Если существует расширение L поля К, такое, что
(А <8> к Ц-модули V <8> к L и W ® K L изоморфны, то и А-мо-
дули V и W изоморфны.
а) Предположим сначала, что L — расширение поля К.
конечной степени п. Будучи изоморфными как (А ® к ^-мо-
^-модули, V ® к L и W <8>K L изоморфны и как Л-модули. Но как
Л-модули они изоморфны Vn и W11 соответственно. Далее,
V и W суть Л-модули конечной длины. Следовательно, V
(соотв. W) — прямая сумма некоторого семейства {МГА
(соотв. \NА 1 подмодулей, причем М{ (соотв. N.\ уже
не разложимы, а два М{ (coot. Nj) с различными индексами
не изоморфны (Алг., гл. III, § 2, теорема 1). В таком слу-
случае V11 (соотв. Wn) — прямая сумма подмодулей М"г«
(соотв. N^1)- Приходим к заключению (там же), что p — q
и что с точностью до возможной перестановки Nf модули М(
изоморфны N{, a nrt равны nst для l^t^p. Следова-
Следовательно, V изоморфен W.
б) Пусть теперь К — бесконечное поле. По условию V \\W
имеют одинаковую размерность над К- Пусть (е,-I<г<т,
(еО1<(<т —базисы в V и W над К, (aj — базис алгебры А
над К. Изоморфизм и: V <g>KL-+W ®KL есть /,-линейное
биективное отображение, которое в то же время является
(Л ® а-^-гомоморфизмом; иначе говоря, выполнено следую-
следующее условие:
i) = u(akei) для любых X и /. A)

ДОПОЛНЕНИЕ. О ЛИНЕЙНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ 155
Положим aKet = 2yUjer ake'. = 2Y« .«;> где yUj и yI,7 при-
принадлежат К, и и (е.) = 2 ^(/е/> гДе Ij/ принадлежат полю L.
i
Условие A) принимает вид
с произвольными Я, t, /г. По предположению система линей-
линейных однородных уравнений B) имеет решение (?i;) e Lm\
такое, что det(h/) ?. Поскольку коэффициенты системы B)
принадлежат полю К, то, как мы знаем (Alg., chap II, 3е ed.,
§ 8, п°5, предложение 6), эта система допускает нетривиаль-
нетривиальные решения и в К,. Пусть Е—векторное подпространство
в Mm(/() —/<m, не сводящееся к 0 и состоящее из указан-
указанных решений. Пусть (cj)!sS(<p — базис в Е. Положим (?;/) =
= 2'П/ег Для любой матрицы (?,-,•) е Е. Тогда det (?,-/)
является многочленом Р(ц\, ц2 Лр) с коэффициентами
в К- Кроме того, известно (там же), что решения системы B)
в Lm имеют вид 2?jCj> на этот раз с ^ei, Для одного
такого решения det(?,-y) равен P(t,\, ¦¦-, ?р)- Коль скоро это
так, то в случае P(ti, т)Р) = 0 при произвольных
т),, ..., Лр е/С коэффициенты многочлена Р ' были бы
равны 0, поскольку К бесконечно. Мы имели бы тогда
Р (Si. ¦ • •. Sp) = 0 для любых Si ?Р е L, что противоречит
предположению. Таким образом, мы можем найти матрицу
(g;/) e E, для которой det(S(-y) ф 0, и соответствующее ото-
отображение V-+W будет изоморфизмом.
в) Общий случай. Пусть О — алгебраически замкнутое
расширение поля L и /Со — алгебраическое замыкание поля К
в п. Тогда по предположению V<g>KQ и W®#Q будут изо-
изоморфными (А <8>к О)-модулями. Так как /Со бесконечно, то,
согласно б), изоморфны также (А ® д-/Со)"моДУли ^®л-Ко и
W®/r^0' В обозначениях из б) система B) обладает реше-
решением Aц) <= /Со. Для которого det (g//) =#= 0. Но ?(/ принад-
принадлежат одному и тому же алгебраическому расширению Ki
конечной степени над К. Значит, (Л ®^/С])-модули V ®КК\
и W <8>д- /Ci изоморфны, и мы получаем из а) то, что нужно.
Предложение 2 (Машке). Пусть А — кольцо с единицей,
Е — левый А-модуль, F — его прямое слагаемое, G — конеч-
конечная группа порядка q, р — линейное представление G в Е.

156 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ
Предположим, что элемент q. 1 обратим в А и что модуль F
устойчив относительно G. Тогда в Е существует дополнение
модуля F, устойчивое относительно G.
Пусть р — проектирование Е на F. Для любого х е Е
доложим
f(x) = <rl S P(s)-lp(p(s)x).
se й
Имеем f(x)^F и f(y) — y для всех у е F, поэтому f тоже
является проектированием Е на F. С другой стороны, если
ie G, то
р (t) f (д) = q-1 Ц Р (*Г'Г /> (р (s) x) =
S?= G
Значит, f коммутирует с p(G), так что Кег/, дополни-
дополнительное к F в Е, устойчиво относительно G.
Следствие. Пусть G — конечная группа порядка q,
К — коммутативное поле, характеристика которого не де-
делит q. Тогда групповая алгебра группы G над К является
полупростой.
Действительно, по предложению 2 любой модуль над
этой алгеброй полупрост.
Предложение 3. Пусть А — коммутативное кольцо, М —
А-модуль, G — конечная группа, действующая на М, и
А' — А-модуль. Предположим, что порядок q группы G обра-
обратим в А. Пусть Ма — множество инвариантных относи-
относительно G элементов модуля М. Тогда канонический гомомор-
гомоморфизм Ма <8> а А' в М<8>АА' определяет изоморфизм Мв<8>ДА'
на модуль (М<&АА')а инвариантных относительно G элемен-
элементов в М <8)АА'.
В самом деле, пусть Q — проектирование М на М°, опре-
определенное равенством Q(x) = q~i 2 ё(х) Для всех х (= М-
gefi
Если / — каноническое вложение М° в М, то Q°i — тожде-
тождественное отображение Ма на себя. Следовательно,
(Q <8) IД') ° (i <8) IА') — тождественное отображение модуля
MG<g)AA'. Так как Q<^\A. = q-' 2 (g ® 1а). то образом
G

ДОПОЛНЕНИЕ. О'ЛИНЕЙНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ 157
i <8> 1,4' является (М ® А'H. С другой стороны, по сказанному
выше i <S> IA' инъективно.
Замечание. Предыдущее предложение применяется осо-
особенно часто тогда, когда А' есть А-алгебра. В этом случае
Ma<S>AAf будет Л'-подмодулем модуля М ®АЛ'.

УПРАЖНЕНИЯ
§ 2.
1) Пусть К— коммутативное кольцо с единицей, Е—Л-модуль и
Е* — дуальный к нему модуль. Обозначим через <р канонический гомо-
гомоморфизм модуля Е ® Е* в End (E).
а) Назовем псевдоотражением в Е любой отличный от 1 элемент
из End (E) вида
sx у,= 1 — <р(х®у'),
где х е Е и у" е ?"". Такой элемент s называется отражением, если
можно выбрать х и г/*, связанные соотношением (х, у*) = 2. Показать,
что тогда s2 = 1 и s (х) = — х.
б) Пусть х е Е, у* е ? таковы, что (дг, #*) = 1, н пусть s — отра-
отражение, соответствующее паре Bх, у"). Показать, что Е является прямой
суммой подмодуля Кх> порожденного элементом х, и ортогонального
дополнения Н к у". Показать, что Кх — свободный модуль с базисом х
н что s равно 1 на Я и —1 на Кх.
2) В тех же обозначениях, что и в упражнении 1, показать, что
det (sxy*) = 1 — (х, у*), если Е— свободный /С-модуль конечного типа.
Ц 3) Пусть V — комплексное гильбертово пространство с базисом
eit ..., ег. Для 1^г^/ пусть st — унитарное псевдоотражение век-
вектора е{ (§ 2, п" 1), такое, что s, (е.) = c.et, где et ф 1. Элемент простран-
пространства V инвариантен относительно st в том н только том случае, когда
он ортогонален к ег Пусть W — подгруппа группы GL(V), порожденная
всеми s{.
а) Пусть / — целое число 2^1. Показать, что любой элемент про-
i
странства Л V, инвариантный относительно W, равен нулю. (Провести
индукцию по е. Если У' — векторное подпространство в V, порожденное
ву .... et_., и если е — ненулевой вектор, ортогональный к V, записать
I i
каждый элемент пространства Л V в виде а + (Ь Л е) с а е Л V и
бе Л V. Если а + (Ь Л е) инвариантен относительно W, то а и Ъ будут
инвариантны относительно группы W, порожденной s^..., st_y к кото-
которой можно применить предположение индукции.)
б) Предположим, что группа W конечна. Показать, используя а),
что для всякого эндоморфизма А пространства V имеют место соотно-
соотношения
^ det (I - Aw) = Card (W).
w e W

§3 УПРАЖНЕНИЯ 159
Вывести отсюда, что для любого А е End (К) существует элемент w e W,
такой, что Aw не имеет ненулевых неподвижных точек.
в) Пусть Г — граф с множеством вершин A, I) и с ребрами {i, /},
где (, j таковы, что е{ и е, неортогональны. Показать, что V является
простым 1У-модулем тогда и только тогда, когда Г связен и непуст.
г) Пусть V — простой lF-модуль. Показать, что lF-модули Л V
(^^O будут простыми. (Показать, что существует такое целое
число /, что граф Г — {/} связен. Провести индукцию по / и применить
предположение индукции к подпространству V", порожденному векто-
векторами е-и i ф у.) Показать, что эти модули попарно неизоморфны ').
§3.
1) При введенных в п° 1 обозначениях и условиях показать, что ка-
камеры относительно W являются открытыми симплексами в том и только
том случае, когда W бесконечна и неприводима. Показать, что E/W ком-
компактно тогда и только тогда, когда W — произведение бесконечных не-
неприводимых групп.
2) Пусть V — вещественное векторное пространство конечной раз-
размерности со скалярным произведением, F — конечная подгруппа ортого-
ортогональной группы пространства V, порожденная отражениями, Л—дискретная
подгруппа в V, устойчивая относительно F, W — группа перемещений
пространства V, порожденная подгруппой F и переносами на векторы
из Л. Пусть § — множество гиперплоскостей Н в V, таких, что sH e F,
Пусть R — множество элементов из Л, ортогональных элементам из ?).
а) Для того чтобы W была порождена отражениями, необходимо
и достаточно, чтобы R порождало Л.
б) В R2 со скалярным произведением ({х, у), (х', у')) I—> хх' + уу'
пусть
в, = 0.0), в.
F — диэдральная группа, порожденная 5Д , Л — дискретная подгруппа
в R2, порожденная е,-, — подгруппа, которая устойчива относительно F.
Показать, что W не порождена отражениями.
3) Пусть V — вещественное векторное пространство конечной размер-
размерности и W — конечная подгруппа в GL (К), порожденная отражениями.
Показать, что любой элемент порядка 2 в W есть произведение отраже-
отражений, принадлежащих W и коммутирующих между собой. (Провести ин-
индукцию по dim V, воспользовавшись предложением 2.)
4) Пусть V — вещественное векторное пространство конечной раз-
размерности, W — конечная подгруппа в GL (К), порожденная отражениями,
w — элемент из W, V — устойчивое относительно w векторное подпро-
подпространство в V и k — порядок сужения w \ V элемента w на V. Пока-
Показать, что существует элемент х е W порядка k, оставляющий V устой-
устойчивым и такой, что х | V = w | V. (Пусть W — множество элементов
группы W, оставляющих неподвижными точки в V. Эта группа поро-
порождена отражениями, и w переставляет камеры относительно W'. Вывести
¦отсюда, что существует элемент h e W, такой, что wh оставляет устой-
устойчивой некоторую камеру относительно W. Показать, что можно поло-
положить х — wh.)
') Это упражнение, нигде не опубликованное, нам сообщил Р. Стейи-
берг.

|50 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ §3
•fl 5) Пусть V—конечномерное вещественное векторное пространство,
117 — конечная подгруппа в GL(V), порожденная отражениями, С — ка-
камера относительно W и S — множество ее стенок. Для JczS пусть
Wj—подгруппа в W. порожденная sH с Н s /, н пусть е (/)=(—l)Card(l".
Показать, что тогда
Card (Г) 1Л Card(ry) ' '
(Пусть (х | у) — скалярное произведение на V, инвариантное относи-
относительно W, Е — единичная сфера в V, ц — положительная мера на 2, ин-
инвариантная относительно W и общей массы 1. Пусть Dн — открытое
полупространство, определенное стенкой Н е S и содержащее С, и пусть
Еи = DwfJ. Справедливо соотношение
HS
откуда
= J Д A -Ф?н^= ^ е(/) ц/ Л Е„\
Сделать вывод, заметив, что (| Ен есть пересечение некоторой каме-
камень/
ры группы Wj с S и, значит, соответствующая мера равна I/Card (WД
Снова найтн формулу (*) при помощи упражнения 26, g) гл. IV, § 1
(положить / = 1 в тождестве, доказанном в этом упражнении).
6) а) Пусть К — коммутативное поле, V — векторное пространство
конечной размерности п над К, Ф — симметрическая билинейная форма
па V, N — ее ядро. Предположим, что dim jV = 1. Показать, что ядро
га—1
продолжения ф на Л V имеет размерность п — 1.
6) Пусть, далее, К = R и форма ф положительно определена. Пусть
{ev ..., еп) — базис в V и а/.- = ф(е^. еД Предположим, что о^, <! О при
i ?= i и что {1, 2 п} не допускает разбиения /UA для которого
а{. = 0 при / s /, j е Л Пусть А{. — алгебраическое дополнение эле-
элемента djj в матрице (of/). Показать, что Аи>0, каковы бы ни были i
и j. (Пусть ?,е, + ... + ?„е„ — вектор, порождающий N н имеющий все
координаты > 0. Показать, что каждая строка и каждый столбец ма-
матрицы {Atj) пропорциональны (?[? ..., ?„)¦ Вывести отсюда, что Aij=\it,iZ,jt
где ц — некоторая константа. Рассмотрев Ац, показать, что ц> 0.)
в) Показать, что ?lt ..., t,n пропорциональны у Ап, ..., у Апп.
7) Пусть q(lv ..., !„)= 2 "tjh^i (aij = aii) ~~ вырожденная поло-
жнтельная квадратичная форма на R" с а^^О при I Ф j. Предположим,
что множество {1, 2 п] не допускает разбиения /UA. для которого
aij ~ ® ПРН ' s '• J' s '•
а) Показать, что если g. = 0, то получается невырожденная поло-
положительная форма относительно g, If-p ^+i> •••• ?„•
б) Показать, что а{1>0 для любого /. (Пусть g]( .... ^ — элемент
ядра формы q с I, > 0 ?п>0. Воспользоваться равенством

. УПРАЖНЕНИЯ
в) Показать, что если мы заменим один из элементов а^ на a'i-<.ai ¦,
то новая форма не будет положительной. (Воспользоваться равенством
2«!/Е,Е,=р.)
i.i
8) Пусть (пц} — вещественная симметрическая матрица с п строками
и п столбцами.
п
а) Пслож;;м sk = ^j ajft- Каковы бы ни были ?t L eR, вы-
1=1
полняется соотношение
k& - y
i, ft ft i,k
б) Пусть ti ?„ s R*. Положим 2 ^ад ='*• Тогда
«.ft ft
(заменить в а) I. v.s %i/t,i и aik на St-Sfertf4).
в) Если сущегтзуют числа ?,, ..., С,, > 0, для которых 2 ^Лб = ^
г
(/г=1, 2, ..., п), и если ац^О пг-.'л I ф у, то квадратичная форма
2 aifelj5fe положительна и вырождена (использовать б)).
г, ft
г) Пусть ^ ^н!;!/ — квадратичная форма на R" с q{,^.0 при г=И=/.
i, /
Предположим, что множество {1, 2, ..., га} не допускает разбиения /UA
для которого qi, = Q при ie/ и у е= /. Для того чтобы форма была
невырожденной и положительной, необходимо н достаточно, чтобы не
существовало ?, > 0, ..., ?п > 0, таких, что ^ ^ffc = ° (* — '¦ •••• п)~
i
§ 4.
В упражнениях ниже (W, S) обозначается система Кокстера. Пред-
Предположим, что множество S конечно. Его мощность называется рангом
системы (W, S). Отождествим W с подгруппой в GL (?) при помощи сг
(см. п°3 и 4).
1) Пусть Е° — подпространство, ортогональное к Е относительно
формы Вм. Показать, что Е° — радикал W-модуля Е {Алг., гл. VIII, § 6,
п° 2) и что Е/Е° — прямая сумма абсолютно простых попарно неизоморф-
неизоморфных модулей в количестве, равном числу связных компонент графа си-
системы (W, S).
2) а) Пусть Го, — множество экстремальных образующих конуса w (С)
и А — объединение Tw w e W. Показать, что А с множеством Q =
= {Гго| w e= W) образует ансамбль (гл. IV, § 1, упражнение 15). Показать,,
что отображение у апартамента Ао, ассоциированного с системой Кокстера
(№, С) (гл. IV, § 1, упражнение 16), на А, которое переводит точку
wW{s) е= Ао (для w s W, s e S) в образующую w (Res), есть изоморфизм
6 Зак. 61. Н. Бурбаки

162 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ § 4
Ао на А, совместимый с действием группы W. Показать, что если
t = wsw~', где w e W, s e 5, то образ относительно / стенки Lt, опре-
определенной элементом t (соотв. половиной апартамента Ао, определенной
стенкой Lt) {там же), есть множество элементов из А, содержащихся
в гиперплоскости (соотв. замкнутом полупространстве), которая является
образом при о* (w) гиперплоскости es =0 (соотв. замкнутого полупро-
полупространства es^0 или es^0).
б) Показать, что группа W конечна в том и только том случае,
когда существует элемент w0 s W, такой, что w0 (С) = — С. Этот эле-
элемент а>0 тогда однозначно определен и имеет наибольшую длину в W
{воспользоваться упражнением 22 гл. IV, § 1). Доказать, что тогда
у(— а) = — }(а) для всех а е Ао (упражнение 22, в), гл. IV, § I).
в) Показать, что группа W конечна в том и только том случае, когда
конус U, являющийся объединением замыканий конусов w (С) для а>еЦ7,
совпадает со всем пространством Е*. (Когда W конечна, воспользоваться
Ь) н выпуклостью U. Когда U = ?"*, рассмотреть элемент w s W, для
которого w (С) Л (— С) Ф 0, и показать, что w (С) = — С.)
г) Пусть Н — конечная подгруппа в W. Показать, что существует
подмножество IcS, такое, что W „ конечна и содержит подгруппу,
сопряженную с Я. (Провести индукцию по Card (S). Пусть х е С и
х= 2 h(x). Используя в), показать, что W конечна, если х — 0. Пря
х ф 0 существуют itisF и Y cz S, Y Ф S, такие, что w (x) принад-
принадлежит Су (обозначения из п°6), откуда Н czw-1WYw. Применить пред-
предположение индукции к Y.)
3) Предположим, что система (W, S) неприводима.
а) Показать, что коммутант №-модуля Е сводится к гомотетиям.
б) Показать, что центр группы W равен {1}, когда W бесконечна или
когда W конечна, а ее элемент дао наибольшей длины (упражнение 2)
Ф — I. Если W конечна и шо = — 1, то центром группы W будет {1, w0}.
в) Показать, что любой элемент хшф\ группы W, для которого
wSw-1 =S, переводит С в —С (показать, что w (es) = — е ^i сна-
WSW
чала для какого-нибудь одного seS, а потом для любого s e S). Полу-
Получить отсюда (упражнение 2), что такой элемент существует, только
«ели W конечна, и что тогда он совпадает с w0. ,
4) Допустим, что Card E) = 3. При s^S положим a (s) = m (и, v),
где {и, а} = S — {s}. Пусть А = ^ '/а (s). Показать, что
seS
а) если А > 0, то форма В^ невырождена и положительна (в како-
каковом случае W конечна);
б) если А = 1, то форма В положительна и вырождена;
в) если А < 1, то форма Вм невырождена и имеет сигнатуру B, 1)
{Алг., гл. IX, § 7, п°2).
Показать, что в случае а) порядок q группы W задается формулой
q = 4/(A — 1) (воспользоваться упражнением 5 к § 3).
5) Пусть А — подкольцо в R, порожденное числами 2 cos (n/m (s, s')).
Показать, что А является свободным Z-модулем конечного типа н что
матрицы преобразований a (w) для w e W имеют в качестве коэффи-
коэффициентов элементы из А. Получить отсюда, что коэффициенты характери-
характеристических многочленов преобразований a(w) являются целыми алгебраи-
алгебраическими числами.

§ 4 . УПРАЖНЕНИЯ 163
*\| 6) а) Пусть т — целое число ^ 2 или + оо. Показать, что утвер-
утверждение «4 cos2— е Z» эквивалентно утверждению «ms{2,3,4, 6, + оо}».
6) Пусть Г — решетка в Е, т. е. дискретная подгруппа в Е ранга,
равного dim E. Показать, что если Г устойчива относительно W, та
целые числа m (s, s') при s ф s' принадлежат множеству {2, 3, 4, 6, + оо}.
(Заметить, что тогда Тг (а (ш)) е Z для всех aisll?. Применить этот
результат к w = ss' и использовать а).)
в) Предположим, что m(s, t) e {2, 3, 4, 6, + оо} для s Ф t. Семейство-
s положительных вещественных чисел называется радикальным*
если оно удовлетворяет следующим условиям:
m(s, 0 = 3 =^>xs = xt\
m(s,t) = 4 =$>xs = V? ¦ xf или xf
m(s, 0 = 6 =±>xs = V3-xt или xt s
m(s, t) = + oo=^>xs = et или xs = 2xt, илн xf = 2xs.
Если (xs) — такое семейство, то положим as = xses. Показать, что
as (at) = at~n (s> 0 as- rAe n (s> 0 e Z-
Получить отсюда, что решетка Г с базисом (cis)seS устойчива относи-
относительно W.
г) В условиях упражнения в) предположим, что граф системы (W, S)
является лесом. Показать, что тогда существует по крайней мере одно
радикальное семейство (xs). (Провести индукцию по Card (S)). Приме-
Применить предположение индукции к S — {s0}, где s0 — концевая вершина
графа S.)
д) В условиях упражнения в) предположим, что граф системы (W, S)
является циклом. Пусть п4 (соотв. я6) — число ребер этого графа {s, t}
с коэффициентом m (s, i), равным 4 (соотв. 6). Показать, что для суще-
существования радикального семейства необходимо и достаточно, чтобы оба
числа п4 и «в были четными. Показать, что если это условие не выпол-
выполнено, то вообще не существует никакой решетки в Е, устойчивой
относительно W. (Если S = {si, ..., sn} и вершина s{ соединена с s(.+]
при 1^/^«—1, a sn соединена с slt то положим с = st ...sn и за-
заметим, что Тг (а (с)) не является целым числом).
7) Пусть система (W, S) неприводима, а форма В „ положительна.
а) Показать, что для всякого подмножества Т czS, отличного от S,
группа W является конечной (воспользоваться теоремой 2, а также лем-
леммой 4 из § 3, п° 5).
б) Показать, что если Card(S)^3, то все m(s, s') конечны.
в) Предположим, что W бесконечна. Показать, что при fcS, ТфБ
группа a (WT) оставляет устойчивой некоторую решетку в R . Получить
отсюда, что если Card(S)^3, то все m(s, s')> s ф s', принадлежат мно-
множеству {2, 3, 4, 6} (воспользоваться упражнением 6).
8) Пусть se5 и w e W. Показать, что при l(ws)>l(w) (соотв.
l(ws) </ (w)) элемент w (es) является линейной комбинацией с коэффи-
коэффициентами ^0 (соотв. ^0) векторов е{ для (eS. (Применить свойства
(Р„) из п" 4 к w~' и рассуждать от противного.)
9) Показать, что пересечение подгрупп конечного индекса в W со-
состоит только из 1 (использовать упражнение 5). Получить отсюда, что

164 гл- v- ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ § 4
существует подгруппа конечного индекса группы W, не содержащая
никакого элемента конечного порядка, кроме 1 (использовать упражне-
упражнение 2, г)).
^1 10) Пусть G— замкнутая подгруппа в GL(H), содержащая W.
Предположим, что G унимодулярна (Интегр., гл. VII, § 1, п° 3). Пусть
D — полупрямая в ?*, лежащая в С, и пусть Од — стабилизатор D в G.
а) Пусть А — множество элементов geff, для которых g (D) с С.
Показать, что А открыто, устойчиво относительно умножения справа
на GD и что композиция отображений Л -> G -> W\G инъективна, где
W\G — однородное пространство правых смежных классов G по W,
б) Пусть ц — мера Хаара на G. Показать, что если ц (Л) конечна,
то подгруппа GD компактна. (Пусть К — компактная окрестность еди-
единицы, содержащаяся в Д. Показать, что существует конечное число таких
элементов h{ e G_, что любое множество вида Kh, где h e G , пересе-
пересекается с одним из Kht. Получить отсюда, что GD содержится в объеди-
объединении множеств К~ •K-hl и, следовательно, компактно.)
в) Пусть v — ненулевая положительная мера на W\G, инвариантная
относительно G. Показать, что если v(W\G) < оо, то подгруппа GD ком-
компактна.
Ц 11) Пусть Н — подмножество в Rn, состоящее из точек х =
= (*о> •••, Xn—i), в которых форма
строго отрицательна, и пусть РЯ — образ Н в проективном пространстве
Р„_, (R). Пусть G — ортогональная группа формы В.
а) Показать, что РЯ — однородное пространство группы G, что ста-
стабилизатор некоторой точки в РЯ компактен и что G действует на РН
собственно разрывно.
б) Пусть со н Q — дифференциальные формы на Н, заданные фор-
формулами
п—1
@=2 ("-')' xidxo Л ••• Л dxt_x Л dxi+l Л ... Л dxn_x,
i=0
Q= (-B(x))n'2'
Показать, что Q — прообраз относительно канонической проекции п: Н->РИ
некоторой дифференциальной формы Q на РН. Показать, что положитель-
положительная мера v, ассоциированная с формой О, \Var. diff., Res., 2е partie),
инвариантна относительно G и единственна с точностью до скалярного
множителя.
в) Пусть С — открытый симплициальный коиус в R" с вершиной 0
(§ 1, п° 6). Предположим, что С содержится в Я, и обозначим через PC
образ С относительно отображения я: //->РЯ. Показать, что если и.^3,
то v(PC)<oo. (Отождествить РЯ с подпространством в Rre~', состоящим
п—1
из векторов (*,, ..,, хп—^) с 2 ^г"^ '• и определить меру, соответствуга-
щую мере v иа этом подпространстве.) Показать, что PC относительно
компактно в РЯ в том и только том случае, когда С содержится в Н.
fl 12) Предположим, что форма х . у = Вм (х, у) невырождена и
что W бесконечна. Отождествим Е с дуальным пространством Е* при

УПРАЖНЕНИЯ 165
помощи Вм. В частности, обозначим через (в*) базис в Е, дуальный
базису (es), и через С — внутренность симплициальиого конуса С, поро-
порожденного всеми es. Пусть G — ортогональная группа формы Вм, и пусть
Ц — мера Хаара на G. Группа О является унимодулярной и содержит
группу W.
а) Показать, что если v (W\G) < 00 (где v — мера, инвариантная от-
относительно G), то форма Вм имеет сигнатуру (п — 1, 1), где
п = dim (Е) = Card (S),
и что х.х<0 для всех «еС.
(Пусть х е С — вектор, для которого х.х Ф 0, и пусть Lx — ги-
гиперплоскость, ортогональная к х. Используя упражнение 10, показать,
что сужение формы Вм на Lx либо положительно, либо отрицательно.
Во втором случае форма В„ имеет сигнатуру A, ft— 1); показать, что
это невозможно. Получить отсюда, что х. х ^ 0 для любого «sC, от-
откуда х.х<0, так как конус С открыт.)
б) Обратно, предположим, что Вм имеет сигнатуру (я — 1, 1) и
х.х<0 для всех *еС (в этом случае говорят, что группа W, равно
как и система (W, S) и соответствующий граф Кокстера, имеет гипербо-
гиперболический тип).
Пусть Я — множество *е Е, для которых х . я<0, и пусть Я+ — связ-
связная компонента множества Я, содержащая С. Показать, что Я — объеди-
объединение непересекающихся компонент Я+ и Я_ = — Н+ и что Я_ содер-
содержится в симплициальном конусе, порожденном [es)s^s (использовать
тот факт, что Н— обратно к #+)• Показать, что Н+ и #_ устойчивы
относительно W.
в) Сохраним обозначения и предположения упражнения б). Пусть
/ — линейная форма на Е, определенная равенствами f (es) = 1 для всех
5 е S. При х е Н положим <р (х) = / (хJ/(х. х). Если РЯ — образ конуса Н
в проективном пространстве Р (?), то функция ф определяет функцию ф
на РЯ. Показать, что отображеняе
ф: РЯ->) — оо, 01
является собственным. Получить отсюда, что для всех х е Я+ функции
им—>у(ш.х) и а; I—> f (w . х) имеют максимум прн некотором wx из IT
(использовать тот факт, что группа G действует собственно разрывно
на РЯ (см. упражнение II) и что группа W дискретна в G). Показать,
что эти свойства эквивалентны тому, что wt (x) e С. Вывести отсюда,
что С П Я+ является фундаментальной областью для действия W в Я+
и что образ этой фундаментальной области в РЯ имеет конечную меру
относительно инвариантной меры v в РЯ (воспользоваться упражне-
упражнением II). Заключить отсюда, что v (W\G)<°o. Показать, что W\G ком-
компактно в том и только том случае, когда С содержится в Я+, т. е. когда
es.es<0 для всех seS (мы скажем тогда, что группа W, равно как
система (W, S) и соответствующий граф Кокстера, имеет компактный
гиперболический тип).
Ц 13) Показать, что для того чтобы система (W, S) имела гипербо-
гиперболический тип (см. упражнение 12), необходимо и достаточно, чтобы были
выполнены следующие два условии:
(Hj) форма Вм неположительна;
(Н2) для любого подмножества Т cz S, отличного от 5, форма В
ассоциированная с системой Кокстера (WT, Г), положительна.

166
ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ
§ 4
(Если система (W, S) гиперболического типа, то, как мы видели,
(е*. es) <J 0 для любого s e 5 — в обозначениях упражнения 12. Суже-
Сужение Вм на гиперплоскость Е (s), ортогональную к е*, будет поэтому ^ 0.
Так как Е (s) порождена всеми ef, t ф s, то мы получаем (Н2). Обратно,
предположим, что (НО и (Н2) выполнены. Пусть х = 2 ases ~ элемент
s
из Е, для которого х.х<0, и пусть х+ (соотв. х-) — сумма тех ases,
для которых as>0 (соотв. <!0). Показать, что тогда либо х+ . х+<.0,
либо *_.л:_<0. Если V — открытый симплициальный конус, порожден-
порожденный всеми es, и Я — множество х е Е, таких, что х . х<0, то существует
связная компонента Но множества Н, пересекающая V. Используя (Н2),
показать, что Яо не пересекает стенок конуса V, т. е. Но с V. Получить
отсюда, что форма Вм(х, у) невырождена и имеет сигнатуру (« — 1, 1)
и что С содержится в — Но, откуда следует, что (W, S) имеет гипербо-
гиперболический тип.)
14) Показать, что для того чтобы (W, S) имела компактный гипербо-
гиперболический тнп (см. упражнение 12), необходимо и достаточно выполнение
следующих двух условий:
(Н,) форма Вм неположительна;
(НС) для любого подмножества Т cz S, отличного от 5, группа W-
конечна (т. е. форма Вм ^ положительна н невырождена).
(Использовать упражнения 12 и 13.)
В частности, система Кокстера гиперболического типа ранга 3 имеет
компактный гиперболический тип в том и только том случае, когда
все m (s, s') конечны (см. упражнение 4).
fl 15) * а) Показать, что следующие девять графов 1) имеют компакт-
компактный гиперболический тип и что с точностью до изоморфизма ими исчер-
исчерпываются все графы ранга 4, обладающие этим свойством (использовать
классификацию, данную в гл. VI, § 4):
5
4 _
5
5 ,
б) Тот же вопрос в случае ранга 5 приводит к следующим пяти
графам:
. Л
4
1) В этих графах каждое ребро, не снабженное числовой отметкой,
имеет на самом деле коэффициент 3 (см. гл. IV, § 1, п° 9).

УПРАЖНЕНИЯ
167
в) Показать, что не существует графов компактного гиперболического
типа и ранга ^ 6. „
16) * Показать, что любой граф Кокстера гиперболического типа и
ранга ^ 4, хотя бы одно ребро которого снабжено числовой отметкой 6,
изоморфен одному из следующих одиннадцати графов (некомпактных и
ранга 4):
¦ 6 „
- 6
6 J
4 „
_ 6
LU
5 _
17) * Показать, что гиперболическими графами Кокстера наивысщего
ранга будут следующие три (у них ранг равен 10):
Ц 18) Предположим, что система (W, S) гиперболического типа и
что W оставляет устойчивой решетку Г в ?. Пусть G — ортогональная
группа формы Вм и G (Г) — подгруппа элементов g e G, для которых
gT = Г. Показать, что G (Г) — дискретная подгруппа группы G. Показать,
что W — подгруппа конечного индекса в G (Г) (использовать тот факт,
что мера пространства W\G конечна).
* Показать, что если сверх того (W, S) — система компактного гипер-
гиперболического типа, то соответствующий граф Кокстера изоморфен одному
из следующих (использовать упражнения 4, 6 и 15):
Показать, что все группы, соответствующие графам в упражнении 16
(за исключением последних четырех), оставляют устойчивой некоторую
решетку (воспользоваться методом упражнения 6). „

168 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ § 4
19) Пусть (W, S) — система Кокстера, соответствующая графу
Это система компактного гиперболического типа (см. упражнение 15).
Коэффициенты формы В м относительно базнса (es) принадлежат под-
кольцу А поля /C = Q(V5), состоящему из элементов этого поля,
целых над Z.
а) Пусть а — погружение поля /С в R, которое отображает \г 5
в — У~5. Показать, что образ о(Вм) формы Вм прн погружение а
является невырожденной положительной формой.
б) Пусть G — ортогональная группа формы Вм, a Ga — такая же
группа формы ог(Вд,). Пусть Gfi — подгруппа группы G, состоящая из
элементов, у которых матрицы относительно (es) имеют коэффициенты
в А. Показать, что G . отождествляется с дискретной подгруппой в CX.G ,
а затем, используя а), показать, что G . является дискретной подгруппой
группы G.
в) Показать, что W — подгруппа конечного индекса в G ..
г) Доказать аналогичные результаты для других графов упражне-
упражнения 15 (поле Q(K5) заменяется полем Q {у2 )), за исключением графа
„ 4 „
6
в конце упражнения 18 и графа1)
0-2-0
о
5
U 20) Для любой пары {s, s'} из S с т (s, s') = с» пусть г (s, s') — ве-
вещественное число ^— 1. Введем на Е билинейную форму Вг, такую, что
Br ies- es>) = Вм (es'es') = - cos m (" /) ¦ еслн т (*• *') =* °°;
Br (es, eg,) = г (s, s'), еслн т (s, s') = оо.
Определим так же, как для 5„, отражение а$ вектора е$, оставляющее
инвариантной форму Вг.
а) Показать, что существует, и притом только один, гомоморфизм
о>: W ->GL(?), такой, что ar (gs) совпадает с определенным выше
отражением as-
б) Показать, что утверждения предложения 4 теоремы 1, ее следствий
и леммы 1 остаются справедливыми и для о>.
') Как показал Э. Винберг, группа W, соответствующая этому послед-
последнему графу, не является „арифметической" подгруппой группы G. То же
верно и для некоторых других графов гиперболического типа (иа этот
раз некомпактных), а именно для последней четверки из упражнения 16.
[Первый пример такого рода был построен В. С. Макаровым, ДАН, 167
A966), № 1, 30—33. — Ред.]

УПРАЖНЕНИЯ 169
§5.
1) Описать алгебру симметрических инвариантов конечной диэдральной
группы (для ее канонического представления размерности 2 см. § 4, п°2).
2) Пусть А — кольцо главных идеалов, Е — свободный Л-модуль
конечного ранга / и G —конечная подгруппа группы GL(?). Предположим,
что выполнены два следующих условия:
(О Если q = Card(G), то элемент q. 1 кольца А обратим;
(и) группа G порождена псевдоотражениями модуля Е (т. е. такими
элементами s, что (s— 1) (Е) будут моногенными подмодулями модуля Е,
см. § 2, упражнение 1).
Пусть S (Е) — симметрическая алгебра модуля Е, и пусть S (f) —
подалгебра этой алгебры, состоящая из инвариантных относительно
G элементов. Показать, что при всяком гомоморфизме А в поле k алгебра
S(?)°®fe отождествляется с S(?®i)G. Применяя теорему 4, получить
отсюда, что S (Е) является градуированной алгеброй многочлеиов над А.
Ц 3) Пусть К — поле характеристики нуль, V — векторное /С-про-
странство конечной размерности / и G— подгруппа группы GL(K),
порожденная псевдоотражениями. Положим q = Card (G). Обозначим
через 5 (соотв. L) симметрическую алгебру (соотв. внешнюю алгебру)
пространства V, а через х (соотв. х!) канонический образ элемента x^V
в S (соотв. в L).
а) Пусть Е = S ® L — тензорное произведение алгебр S и L. Пока-
Показать, что существует однозначно определенное дифференцирование d
алгебры Е, такое, что dx = х' и dx' = 0 для любого х е V.
б) Пусть S® — алгебра симметрических инвариантов группы G и
Pj Pi — однородные элементы в Sa, такие, что S° = K[Pu ...,Pi].
Для любого подмножества / = {/,, ..., ir} интервала A, /) при /j< ... <ir
положим
га, = dPt ... dPt .
Показать, что to, линейно независимы над S и что они принадлежат
подалгебре Е инвариантных относительно G элементов в Е. Получить
отсюда, что для любого w е Е° существуют a, ^eS0 с а Ф 0, такие,
что
ага = 2 ciar
1
в) Показать, что любой элемент из Е°, содержащийся в S ® Л V,
имеет вид с .dP^ ... dPt, где c^S°. (Применить предложение 5.)
г) Показать, что а>! образуют базис 5°-модуля Sa. (В обозначениях
упражнения б) умножить обе стороны соотношения ш» = 2с/в/ на °V
и применить в). Установить, что если множество / дополнительно к /, то
а делит сг Отсюда следует1) тот факт, что сй; порождают ?°.)
1) Подробности можно найти в статье: Solomon L., Invariants of
finite reflection groups, Nagoya Math. I. 22 A963), 57—64.

170 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ § 5
д) Пусть Sn (соотв. Lm)—однородные компоненты степени п (соотв. т)
алгебры S (соотв. L). Положим
Еп, m===Sn<8>Lm>En,m — E Л ?„, т, ап т = dim ?„_ т,
а (X, У) = 2 ап. mX"Ym.
Используя г), доказать формулу
1 + У . X"*"'
где р; = deg (Я/).
е) Пусть Тгп, т (g) — след автоморфизма пространства Еп> т, опреде-
определенного элементом g e G. Положим
Тг (X, Y) (g) = ^ Тг«- « (8) X"Ym-
п., т>0
Показать, что
ТгГХ П^ det(l+Kg)
ё) Пусть q — Card Q. Показать, что
т. е.
+YX"''1
S
det(l-Xg)
(Использовать следующий результат: если G действует .на конечномерном
векторном пространстве Е, то размерность пространства векторов в Е,
инвариантных относительно G, равна — V Тг„ (g). 1
Что дает эта формула прн У = 0?
ж) Для любого целого р ^0 пусть Нр — множество элементов g <= G,
допускающих I в качестве собственного значения кратности р. Пусть
hp = Card (Нр). Доказать формулу
l I
2 hpTP=Y[(Pi-\+T).
(В формуле упражнения ё) заменнть У на — 1 + Т A — X) и в полученном
выражении положить Х=1. Если gf=Hp, то Тг (X, У) (g) становится
равным Тр.)
Ц 4)* Пусть G, = SL3(F2).
а) Показать, что G] — простая неабелева группа порядка 168, содер-
содержащая 21 элемент порядка 2.
б) Показать, что степенями неприводимых комплексных представлений
группы G] являются 1, 3, 3, 6, 7, 8.

§ 5 . . УПРАЖНЕНИЯ 171
в) Пусть р: G} ->GL3 (С) — неприводимое представление степени 3
группы Gj '). Показать, что для элемента i/gG, порядка 2 имеет место
равенство Тг (р (у)) = — 1. Получить отсюда, что — р (у) — отражение.
г) Пусть G— подгруппа группы GL3(C), порожденная элементами
— р (у) для любого у порядка 2 из G]. Показать, что группа G изоморфна
G\ X{1. — 1} и, следовательно, имеет порядок 336.
д) Показать, что характеристические степени kit k2, k$ алгебры сим-
симметрических инвариантов группы G равны 4, 6 и 14. ( Воспользоваться со-
соотношениями Д hi = 336 и 2 (h — 0 = 21.\
е) Показать, что G не является группой Кокстера. *
5) * Пусть К — поле, и пусть S = K[XU ..., Хп] — градуированная
/(-алгебра многочленов, порожденная алгебраически независимыми одно-
однородными элементами Xi степени >0.
а) Пусть У'], ..., Yn — однородные элементы степени >0 в S, и
пусть R = К [К], ..., Yn]— подалгебра в S, порожденная этими элемен-
элементами. Доказать эквивалентность следующих свойств:
(i) (Ylt ..., Yn) есть 5-регулярная последовательность;
(И) S цело над R;
(iii) идеал в 5, порожденный (Ylt ..ч., Yn), имеет конечную коразмер-
коразмерность в S;
(iv) для любого расширения_/С поля К система уравнений Y',- (хи ...
..., хп) = 0 (l^i^rt, xi e К) имеет только тривиальное решение
@, ..., 0).
(Эквивалентность (i) фф (iii) следует из теоремы Маколея (Ком. алг.)\
(iii) <=^ (iv) — из теоремы о нулях (Ком. алг„ гл. V, § 3, п°3, предложе-
предложение 2); эквивалентность (И) ф^ (iii) тривиальна.)
Показать, что если эти свойства выполнены, то К,- алгебраически не-
независимы над К и 5 — свободный /?-модуль ранга ТТ deg (Yi) /TT deg (Xi).
i I i
Пусть G —конечная группа автоморфизмов градуированной алгебры 5,
S —подалгебра инвариантов относительно этой группы и Y\, ..., Yn —
элементы из SQ, удовлетворяющие вышеуказанным условиям (i) — (iv).
Показать, что S = К [Y\, ..., Yn] в том и только в том случае, когда
Card (G) = П deg (Yt) /Д deg №). *
t I i
Ц 6) *Пусть « — целое число !> 1, ^ — степень некоторого простого
числа /C=F?, V = Kn, G=GL(n, К) и G!=SL(ra, К). Отождествим G
с группой GL (У). Далее, обозначим через 5 алгебру S (V) = К [Xs Хп]
н через R (соотв. Я0 подалгебру в 5, состоящую из инвариантных отно-
относительно G (сор'ю. Gj) элементов.
а) Пусть e^^ipi е„) — последовательность чисел ^0. Положим
Le = det
Это элемент алгебры S.
Показать, что
g .Le = det (g) Le при всех g e G.
') Одно из таких представлений подробно изучено в книге: Weber H.,
Lehrbuch der Algebra, Bd. II, Abschn. 15.

172 ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ § 5
ности, Le. принадлежит подалгебре Ry
б) Пусть 1 е A, и). Положим
(Заметить, что если g .Xt = 2 aijXj< то ё • -К? = 2 аг/-*7 *)
\ / i I
>е /?,.
i
1ение берется по вс
из VC. Пусть
част-
где произведение берется по всем семействам (а,^). ,< элементов
Показать, что элемент Т делит все Le. Вывести отсюда, что Т = Le t
tn
где еп = @, 1, ..., га —1), и что Т инвариантен относительно G,.
в) Обозначим через е{ A </ ^ я— 1) последовательность @, 1 1—1
i + 1, ..., га) и положим Yi=—nr- (см. б)). Показать, что элементы Y[
принадлежат R и что deg (К») = qn — ql.
г) Пусть S = К (^i ^n-i)> и пусть Т , К,, ..., Yn_2 — элементы
в S', определяемые так же, как Т, К, Кя_, (с заменой га на га— 1)
Пусть /: S -> S' — гомоморфизм, определенный соотношениями
()
Показать, что
/ (Т) = 0, f (К,) = Г'" (""'), / (Yt) = YZi для 2 < j < га - 1.
д) Показать, что семейство (Г, Yly .... Kn_i) удовлетворяет усло-
условию (iv) упражнения 5. (Пусть х = (дс1;_..., хге) — нуль системы, (Г^
У, Уга-i) в некотором расширении К поля /С. Так как х аннули-
аннулирует Г, то xt удовлетворяют по крайней мере одному нетривиальному
линейному соотношению с коэффициентами в К. С точностью до пре-
преобразования х при помощи элемента из G] можно, следовательно, считать,
что хп = 0. Закончить доказательство, используя упражнение г) и про-
проводя индукцию по га.)
е) Показать, что Rt=K [T, Yu ..., Yn-A и что Т, К, Yn-i
алгебраически независимы („теорема Диксона"). (Применить д) и упраж-
упражнение 5, заметив, что порядок группы G, равен deg (Т) = ^ deg (Yi).)
ё) Показать, что R = K[Tq~\ Yu .... Кге_,]. *
Ц 7) *Пусть R — регулярное локальное кольцо (Ком. алг.) с макси-
максимальным идеалом ш и полем классов вычетов k. Пусть G — конечная
группа автоморфизмов кольца R и /^/ = /?" — подкольцо инвариантных
относительно G элементов. Это локальное кольцо с максимальным идеа-
идеалом ш' = ш Л R'. Выполнены следующие условия:
(i) кольцо R' нётерово, а кольцо R является ^'-модулем конеч-
конечного типа;
(И) сложное отображение /?'->/?->•* сюръективно.
Положим V = in/in2. Это векторное й-пространство. Действие группы
(i на R определяет гомоморфизм е: G -> GL (V).
а) Пусть р — простой идеал высоты 1 в R (Ком. алг., гл. VII,
§ 1, п° 6), и пусть элемент seG таков, что s (р) = р и s тривиально

§ 5 • • УПРАЖНЕНИЯ 173
действует в R/y>. Показать, что е (s) — псевдоотражение в V. (Заметить,
что образ идеала р в m/m2 имеет размерность 0 или 1.)
б) Показать, что если R' регулярно, то подгруппа е (G) в GL(K) поро-
порождена псевдоотраженнями. (Пусть Н—подгруппа группы G, порожденная
элементами, образы которых при е являются псевдоотражениями, и пусть
RH — подкольцо в R инвариантных относительно Н элементов. Показать
с помощью а), что никакой простой идеал высоты 1 в R' не разветвлен
в R . Используя тот факт, что кольцо R целозамкнуто, вывести с по-
помощью теоремы '), что /?'= R и тем самым H = G.)
в) Предположим теперь, что порядок группы G взаимно прост
с характеристикой поля k. Показать, что отображение е инъектнвно.
Пусть (fiinj — фильтрация в R', индуцированная m-адической филь-
фильтрацией (шге) кольца R, н пусть
V. gr (R') -> gr (R)
— канонический гомоморфизм градуированных колец, ассоциированных
с R' и R (Ком. алг., гл. III, § 2). Показать, что гомоморфизм / инъек-
тивен и что его образ совпадает с подкольцом gr (R) в gr (G), состоя-
состоящим из инвариантных относительно G элементов.
г) Сохраним обозначения и условия упражнения в) и предположим,
кроме того, что подгруппа e(G) порождена псевдоотражениями. При
l — &\mV пусть Рх, ..., Pi — однородные алгебраически независимые
образующие й-алгебры gr (R) (такие элементы существуют по теореме 4
ввиду того факта, что gr (R) отождествляется с симметрической алгеброй
пространства V). Пусть р); ..., рг — их степени. Согласно в), можно
найти ^jEiiy, для которых gr (хг) = Р{. Показать, что xt порождают
идеал ш' и вывести отсюда, что R' регулярно. »
Ц 8) * Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем К,
S — симметрическая алгебра пространства V и G — конечная подгруппа
в GL(K). Предположим, что алгебра S симметрических инвариантов
относительно G есть градуированная алгебра многочленов.
а) Пусть и — элемент дуального к V пространства V" и Gu — под-
подгруппа в G, состоящая из элементов, переводящих и в себя. Показать,
что Gu порождена псевдоотражениями. (Линейная форма и продолжается
до гомоморфизма fu: S -> К- Локализация Su кольца S относительно ядра
гомоморфизма fu является регулярным кольцом. Закончить рассуждение,
применив упражнение 7, б) к подгруппе Gu, рассматриваемой как группа
автоморфизмов кольца Sa.)
В частности, G порождена псевдоотражениями.
б) Пусть А — подмножество в V* и G . = (] Gu. Показать, что G,
порождена псевдоотражениями. (Расширяя, есаи нужно, основное поле,
можно считать К бесконечным. Показать, что тогда в линейной оболочке
множества А в V" существует элемент v, для которого Gv = G .. При-
Применить к v утверждение а).),.
9) Пусть V — векторное пространство размерности 4 над конечным
полем К характеристики, отличной от 2, и пусть Q — невырожденная
квадратичная форма на V индекса 2 (Алг., гл. IX, § 4, п°2). Пусть
!) Auslender M., On the purity of the branch locus, Amer. J. Math.,
84 A962), 116-125.

174 гл- v- ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ § 6
G = О (Q) — ортогональная группа формы Q. Эта группа конечна и по-
порождена отражениями (там же, § 6, п°4, предложение 5).
а) Пусть Е — максимальное вполне изотропное подпространство в V
и G „ — подгруппа в G, состоящая из элементов g, таких, что g (х) = х
для всех х<=Е. Показать, что G? изоморфна аддитивной группе поля К
и не содержит псевдоотражений.
б) Показать, что алгебра симметрических инвариантов группы G не
является градуированной алгеброй многочленов (воспользоваться преды-
предыдущим упражнением).
§ 6.
В следующих ниже упражнениях (за исключением упражнения 3)
обозначения и предположения такие же, как в § 6.
1) Предположим, что группа W неприводима. Пусть с — преобразо-
преобразование Кокстера группы W, Г — подгруппа в W, порожденная с, и
Д — множество единичных векторов, ортогональных элементам из §.
Показать, что Г обладает I орбитами в § и что каждая из этих орбит
содержит h элементов. (Рассуждать так же, как при доказательстве
предложения 33, гл. VI, § 1, п°11.)
Ц 2) Предположим, что группа W неприводима. Пусть С — камера
относительно W, (/f, /f;)— ее стенки, е. — ненулевой вектор, орто-
ортогональный к Н^. Предположим, что векторы е^ ..., ег (соотв. ег+1, . .., е^
попарно ортогональны (см. п°2). Для любого aeZ определим На и sa
¦следующими равенствами Hu = ffk, если ы = k (mod I), и su = sH .
а) Показать, что элементами множества $ служат SiS2 ... sa— \HU
для и = 1, 2 -jp.
б) Пусть s' = Sj...sr и s" = sr+l...st таковы, что c^s's" есть
преобразование Кокстера, ассоциированное с упорядоченной камерой С.
Пусть w0 —элемент из W, переводящий С в — С (см. § 4, упражнение 2).
Показать, что если h нечетно, то
ft-l h-\
wa = s's"s' ... s"J = s"s's" ... sY = s"c 2 =c % s'.
h раз h раз
в) Пусть S = |sr ..., sj. Пара (W, S) есть система Кокстера. Обо-
Обозначим через ls(w) длину элемента w e W относительно S (гл. IV, § 1,
п° 1). Показать, что
ls(s') = r, ls(s") = l-r, ls(c) = l.
Вывести отсюда, что в предположениях упражнения б)
Показать, с другой стороны, что ls (bzjq) = Card (ф) = -^- (воспользоваться
упражнением 22, гл. IV, § 1). Вывести отсюда, что г = — и что
{Sp s2, •••> sih/2) — приведенное разложение элемента wQ.
г) Показать, что если h четно, то (sj, ..., S;Ay2) является приведенным
разложением элемента wa = ch^2 (метод тот же).

УПРАЖНЕНИЯ 175
11 3) Пусть К — коммутативное кольцо, Е—свободный /(-модуль
с базисом (gj, ..., е^ и /j, ..., ft — элементы дуального к Е пространства.
Положим aij = fj(e.y При 1«^/^/ пусть st — псевдоотражение se «
(§ 2, упражнение 1). Тогда
Положим с = Sj ... s; и zt = с {e
а) Для 1 ^i, k^l положим
и ^ =
Далее, y\ = et и у'( = zt.
Показать, что
У*'1 ~ У* =
Получить формулы
б) Пусть С — матрица преобразования с относительно базиса (е^.
Пусть U = (и,-.-) и V = (О;,-) — матрицы, определенные соотношениями
Г а^,, если <</, Г 0, если «</,
Ui i — { V! i — I
'[Ов противном случае; *' { a(, в противном случае.
Матрица I + U обратима и имеет определитель 1. Показать, что
Вывести отсюда, что
det (Л/ - С) = det ((Л - 1) / + V + XU).
Иначе говоря,
(Я,— 1) + ап Я,а12 Я,а13 .
а2, (Л—1) + а22 Я,а23 .
а3] а32 (Я, — 1) + а33 .
det (Л/—С)=
в) Пусть Г == (/, S) — граф с множеством вершин /=A,/1 и мно-
множеством ребер S, состоящим из таких пар {«, /} элементов множества 7,
что либо аг. Ф 0, либо а -(- =?ь 0. В случае a = {i, s}^S обозначим через аа
транспозицию i и / (рассматриваемую как элемент симметрической
группы @^) и положим аа — — at,ajv
Пусть ^3 — множество подмножеств в 5, состоящих из ребер с раз-
различными концами. Обозначим череч С (X), Zets множество тех is/,
которые не являются концами ребер из X, и положим ст^ = JJ ста,
ах= П ««¦

176
ГЛ. V. ГРУППЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОТРАЖЕНИЯМИ
§ 6
Пусть o^&i, и пусть da — член, соответствующий а в разложении
определителя матрицы (к—\) I-\-V-\-XU. Показать, что если о имеет
вид ах с Хе^?, то
)
, то d — 0. Вывести
I e С (X)
Предположим теперь, что Г — лес (гл. IV, дополнение, п° 3). Пока-
Показать, что если ae@j не имеет вида ах с Xty 0 В
отсюда формулу
г) Рассмотрим многочлен
X a12...
К предположениям упражнения в) добавим требование, чтобы а([ = 1
для всех I. Показать, что тогда
4) В обозначениях и предположениях п° 1 обозначим через п.. по-
порядок произведения sH sH и положим а.^ = — 2 cos ¦.
^0 i ф\ ( § 3) П
Имеем а
н
а..
, если i ф\ (см. § 3). Показать с помощью предыдущего упраж-
упражнения, что
п\2 • • • п\1
X ... a2i
П
X - 2 cos ¦
где my ..., mi — показатели группы W ').
') Подробности можно найти в статье: Coxeter H. S. M., The pro-
product of the generators of a finite group generated by reflexions, Duke
Math. ]., 43 A951), 765—782.

ГЛАВА VI
СИСТЕМЫ КОРНЕЙ
§ 1. Системы корней
В этом параграфе k — поле нулевой характеристики.
Начиная с п°3, предполагается, что & = R.
1. Определение системы корней
Лемма 1. Пусть V — векторное пространство над k,
R — конечное подмножество в V, порождающее V. Для лю-
любого aE/J, о^О, существует самое большее одно отраже-
отражение s пространства V, такое, что s(a)== — а и s(R) — R.
Пусть G—группа автоморфизмов пространства V. остав-
оставляющая R устойчивым. Поскольку R порождает V, группа G
изоморфна подгруппе симметрической группы множества R
и поэтому является конечной. Пусть s, s' — два отражения
пространства V, для которых s(a) = s'(a) = — a, s(R) = R,
s'(./?) = 7?. Тогда t = ss' принадлежит G и имеет, следова-
следовательно, конечный порядок пг. С другой стороны, имеем
/(a) = a и / (х) = х mod ka для всех х е V.
Поэтому на V существует линейная форма f, такая, что
t(х) = х + f(x)a для всех x^V и f(a) = 0.
Индукцией по п получаем, что
tn(х) = х + nf(x)а для всех JteK.
Полагая п равным пг, видим, что mf{x) = 0 для всех jgF,
откуда f = 0, t=\ и s = s'.
Определение 1. Пусть V—векторное пространство над k
и R — некоторое его подмножество. Будем, говорить, что R
есть система корней (или корневая система) в простран-
пространстве V, если выполнены следующие условия:
(CKi) R — конечное множество, не содержащее нулевого
вектора и порождающее пространство V;
(СКп) для любого а е= R существует элемент av дуаль-
дуального к V пространства V", удовлетворяющий равенству

178 ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ Т
(a, av) = 2 и такой, что отражение sa aV (гл. V, § 2) пере-
переводит R в себя;
(СКш) av (R) cz Z для всех а е R.
Ввиду леммы 1 отражение sa aV (а значит, и линейная
форма av) однозначно определяется элементом а, что при-
придает смысл условию (СКш). Положим saay = sa, так что
sa (х) = х — (х, av) a для всех х е V. Элементы множества R
называются корнями (рассматриваемой системы). Размер-
Размерность пространства V называется рангом системы.
Автоморфизмы пространства V, переводящие R в себя,
называются автоморфизмами системы R. Они образуют
конечную группу, обозначаемую символом A (R). Подгруппа
в A (R), порожденная отражениями sa, называется группой
Вейля системы R и обозначается символом W{R) или
просто W.
Замечание 1). Пусть k'—расширение поля k. Отождествим
канонически V с подмножеством пространства V ® k' и V*
с подмножеством пространства V* ® k' = (V ® k')*. Тогда R
будет системой корней в V ® k', а av будут теми же, что
и ранее.
Лемма 2. Пусть R — система корней в V, и пусть
(х\у) — невырожденная симметрическая билинейная форма
на V, инвариантная относительно W (R). Отождествим V
с V* при помощи этой формы. Тогда любой корень aE/f
будет неизотропным и
v__2a_
~~ (а | а) •
Это следует из формулы D) гл. V, § 2, п°3.
Предложение 1. Пусть Vq (соотв. V*q) — векторное Q-nod-
пространство в V (соотв. в V*), порожденное векторами а
(соотв. av). Тогда- VQ (соотв. V*Q) является Q-структурой
на V (соотв. на V*) (Алг. гл. I, § 8, п° 1). Сужение на VQ X^q
канонической билинейной формы произведения V X V* по-
позволяет отождествить каждое из пространств Vq, Vq с дуаль-
дуальным к другому. Множество R является системой корней в VQ.
Если k = R, то существует скалярное произведение на V*
инвариантное относительно W (R) (Интегр., гл. VII, § 3.
п° 1, предл. 1); лемма 2 утверждает тогда, что элементы av
порождают V*. Согласно замечанию 1), av порождают V*
и в случае k = Q. Переходим к общему случаю. Положим
E = VQ. Ввиду (СКш) каждый элемент av отображает Е
в Q, определяя тем самым элемент a e E*. Ясно, что

I. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 179
R— система корней в ? и что в Е* элементу а соответ-
соответствует а. Как отмечалось выше, а порождают векторное
пространство Е*. Рассмотрим канонический гомоморфизм
i: E<8>Qk-*V и сопряженный к нему Ч: V*-*Е*®Qfe. Так
как R порождает V, то / сюръективен и, следовательно,
Ч ииъективен; но образ гомоморфизма Ч содержит эле-
элементы а, поэтому Ч сюръективен. Мы приходим к заключе-
заключению, что i и Ч — изоморфизмы. При их посредстве отожде-
отождествим V с E®k, V* с E'<g)k, ctv с а и V*Q с Е'. Таким
образом, Vq (соотв. V*q) становится Q-структурой на V
(соотв. на V*). Сужение на FqXVq канонической билиней-
билинейной формы произведения V XV* отождествляется с канони-
канонической билинейной формой на Еу^Е*, чем и доказано пред-
предложение.
Замечания. 2) Благодаря предложению 1 изучение систем
корней можно свести к случаю, когда k = Q. Замечание 1
обеспечивает, далее, возможность сведения к системе корней
вещественного векторного пространства Vr = VQ ®R R. Ассо-
Ассоциированные с этими различными системами группы Вейля
отождествляются канонически.
3) Так как av порождают V", то группа W (R), рассматри-
рассматриваемая как подгруппа группы GL(FR), является существен-
существенной (гл. V, § 3, п°7). Кроме того, следствие теоремы1 1
гл. V, § 3, п°2, показывает, что единственными отраже-
отражениями, содержащимися в W (R), будут sa.
Предложение 2. Элементы av образуют систему корней
в V* и av v = а для всех ae/J.
Согласно предложению 1, av удовлетворяют условию (CKi).
Так как sa aV — автоморфизм векторного пространства V,
наделенного системой R, то *(sa av)~' оставляет устойчивым
множество Rv дуальных элементов av; но *(sa av)~1==sav a>
а это и доказывает, что ^?v удовлетворяет (СКц) и что
«vv = a. Наконец, (av, P)gZ, каковы бы ни были avG^v
и Р е R, поэтому ^?v удовлетворяет (СКш).
Система корней Rv называется дуальной (или обратной)
к R. Видно, что отображение a^av является биекцией R
на ^?v, называемой канонической биекцией R на Rv. Следует,
однако, иметь в виду, что если а, р — элементы из R, такие,
что a + ре^, то, вообще говоря, (а + P)v =^=av + pv.
Так как sa(a) = — а, то в соответствии с аксиомой (СКц)
— R = R. Очевидно, что (— a)v = — av и -1еЛ{R) (хотя
не всегда -IgH?{R)).

180 ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ /
Из равенства '(sa av)~I = sav a вытекает, что отображе-
отображение ан^-'к является изоморфизмом группы W (R) на
группу W (Rv). Отождествим обе группы при помощи этого
изоморфизма; иначе говоря, будем считать W {R) действую-
действующей как в V, так и в V*. То же самое относится к A(R).
Предложение 3. Для х, у е V положим
(х\у)= 2 (av, *)<av, у).
Тогда (х\у) — невырожденная симметрическая билинейная
форма на V, инвариантная относительно A (R). Если х, у е VQ,
то (*|z/)eQ. Каноническое продолжение формы (х\у) на
будет снова невырожденной положительной формой.
Ясно, что {х \у) — симметрическая билинейная форма
на V. Если g^A(R), то
(g to I g (У)) = 2 {*g (av), x) <*g (av), y) = (x\ y),
поскольку {tg){Rv) = Rv. Если х, yeVQ, то, согласно (СКш),
(x\y)<=Q. Если ге^, то (z\z)= 2 («v. 2>2>0, и ввиду
предложения 1 (z|z)>0 для гфО, поэтому каноническое
продолжение формы (х\у) на VR будет положительным
и невырожденным. Будет невырожденным и сужение (х | у)
на VQ. Следовательно, форма {х\у) на V является невы-
невырожденной.
Предложение 4. (i) Пусть X — подмножество в R, Vх — по-
порожденное им векторное подпространство в V, и пусть
Vx — векторное подпространство в W порожденное элемен-
элементами av, где ael Тогда V будет прямой суммой Vx и
подпространства, ортогонального к Vx, a V* будет прямой
суммой Vx и подпространства, ортогонального к Vх, причем
Vx отождествляется с подпространством, дуальным к Vх.
(п) Пересечение R П Vх является системой корней в Vх,
и каноническое биективное отображение R f] Vx на дуальную
систему отождествляется с отображением a^—^av, суженным
на RuVx.
Благодаря замечанию 2 можно предполагать, что k = R.
Отождествим V с V* при помощи симметрической билиней-
билинейной формы из предложения 3. Согласно лемме 2, av =

§ 1. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 18Г
для всех а е R. Любое векторное подпространство в V
является неизотропным, и предложение становится очевидным.
Следствие. Пусть VY — векторное подпространство в V
и V2 — векторное подпространство, порожденное пересечением
R?[V\. Тогда R[\VX будет системой корней в V2.
Это непосредственно вытекает из утверждения (И), при-
примененного к X = R(]Vl.
Для a^R и Ре/? положим
<а, pv> = n(a. р). A)
В частности, имеем
п(а,а) = 2, B)
л (-а, р) = л(а, -р) = -л(а, Р). C)
В соответствии с (СКш)
n(a,p)e=Z. D)
По самому определению п(а, Р)
sp(a) = a-n(a, р)р. E)
Из формулы A) и предложения 2 следует, что
л (a, P) = n(Pv, aV). F)
Пусть (х\у) — симметрическая билинейная форма на V,
невырожденная и инвариантная относительно W (R) (пред-
(предложение 3). Тогда ввиду леммы 2
^a>p)=-w- G>
Легко видеть, что
д (а, Р) = 00 ft (Р> а) — QO (а IР) — О О sa и s« перестановочны.
(8)
Если
(а |р) Ф 0, то ^Ч? = -^ГТ- (9)
\ \г/ -г- > га (а, Р) (а | а) у '
2. Прямая сумма систем корней
Пусть векторное пространство V над k является прямой
суммой семейства (^(I<(<г векторных подпространств. Ото-
Отождествим V* с прямой суммой подпространств V*. Для
любого / пусть Rt — система корней в Vt. Тогда R = [jRi —
i
система корней в К, а дуальной к ней системой будет
/?v = (J/?iV; каноническое биективное отображение R на Rv

182 гл- VI- СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 2
служит продолжением, при любом i, канонической биекции Rt
на rY. Система корней R называется прямой суммой си-
систем Rt. Пусть а е Rt. Если / Ф i, то V/ содержится в ядре
линейной формы av, так что sa действует тождественным
образом в V f, с другой стороны, ka с= Vt, поэтому sa оставляет
устойчивым Vt. Эти замечания показывают, что W (R) отож-
г
дествляется с Ц W {Rt).
i=i
Система корней R называется неприводимой, если R=^=0
и R не является прямой суммой двух непустых систем
корней.
Предложение 5. Пусть векторное пространство V над k
является прямой суммой векторных подпространств V\, ..., Vr,
и пусть R — система корней в V. Положим /?г = Rf\ Vi- Тогда
следующие три условия эквивалентны:
(i) компоненты Vi устойчивы относительно W(R);
(И) RczVxl)V2U ... UVr;
(iii) Ri при любом i — система корней в V\ и R — прямая
сумма систем Rt.
(iii)=#>(i). Это вытекает из сказанного в начале п°.
(i)=^(ii). Предполагая Vt устойчивыми относительно W (R),
возьмем произвольный элемент a?/J и ядро Н формы av.
Согласно предложению 3 гл. V, § 2, п°2, каждая компо-
компонента Vi является суммой некоторого подпространства в Н
и подпространства в ka. Поэтому Vi при некотором i со-
содержит ka, откуда а е V, U V2 U • • • U Уг-
(ii)^(iii). Если условие (И) выполнено, то Rt порождает Vt
при любом /, следовательно, Rt — система корней в Vt
(предложение 4). Ясно, что R будет прямой суммой систем Rt.
Следствие. Пусть R — система корней в V. Следующие
условия эквивалентны:
(i) система R неприводима;
(ii) W {R)-мод у ль V прост;
(iii) W (к)-модуль V абсолютно прост.
(ii)O(i). Это вытекает непосредственно из предложе-
предложения 5 и теоремы Машке (гл. V, дополнение, предложение 2).
(iii)O(ii). Достаточно применить предложение 1 гл. V,
§ 2, п° 1.
Предложение 6. Всякая система корней R в V является
прямой суммой некоторого семейства {Ri)t s / неприводимых
систем корней, однозначно определенного с точностью до
биекции множества индексов.

§ 1. "СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 183
Существование Rt доказывается индукцией относительно
Card R: если R не пусто и не неприводимо, то R — прямая
сумма двух систем корней R', R", таких, что Card R' <
< Card R, Card R" < Card R, причем к R' и R" применимы
предположения индукции. Для доказательства единствен-
единственности достаточно установить, что если R — прямая сумма Rr
и R", то любая система Rt обязательно содержится в R'
или в R". Пусть V, V", V'i, V'i — векторные подпростран-
подпространства в V, порожденные системами R', R", R'QRi, R"f]Ri.
Так как сумма V + V" —- прямая, то и сумма V\ + V" — пря-
прямая. Но RidR'UR", поэтому R{ — прямая сумма систем
корней /?' П Ri и R" П Ri, откуда R' П Ri = 0 или R" Л Rt• == 0,
чем и доказано требуемое утверждение.
Системы 7?j называются неприводимыми компонентами
системы R. Каковы бы ни были ненулевые скаляры Xh
объединение систем XiRt является системой корней в V, для
которой дуальной системой будет объединение систем ЯГ1/?/>
а группой Вейля — W (R).
Предложение 7. Пусть R — система корней в V, (Ri) —
семейство ее неприводимых компонент, I/, — векторное под-
подпространство в V, порожденное компонентой Ri, В — сим-
симметрическая билинейная форма, определенная в предло-
предложении 3, В' — некоторая другая симметрическая билинейная
форма на V, инвариантная относительно W(R). Тогда под-
подпространства V i будут попарно ортогональны относительно В',
а сужения В и В' на V\ при всех i будут пропорциональны.
Если BjgFj, Vj^Vj, гф'}, и если ш е W (Rj), то
B'(vh w{vj)) = B'{vi, v,),
откуда видно, что векторы w (Vj) — V/ и v{ ортогональны
относительно В'. Так как подпространство V/ неприводимо
относительно W {Rj), то оно порождается векторами w(vt)—Vj
и, следовательно, ортогонально подпространству V{.
То, что сужения В и В' на каждое из подпространств V\
будут пропорциональны, следует из предложения 1 гл. V,
§2, п°1.
Замечание. Выберем скалярное произведение на l/R, инва-
инвариантное относительно W (R). Оно позволит нам говорить
о длине каждого корня и об угле между двумя корнями.
Согласно предложению 7, этот угол не зависит от выбора
скалярного произведения; то же самое верно и для отно-
отношения длин двух корней, коль скоро они принадлежат одной
и той же неприводимой компоненте системы R.

184 ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 3
3. Связи между двумя корнями
Напомним, что впредь предполагается k = R (мы возла-
возлагаем на читателя заботу о распространении определений
и результатов на общий случай методом, указанным в за-
замечании 2 п° 1).
В дальнейшем R обозначает систему корней в векторном
пространстве V, на котором определено скалярное произве-
произведение (х, у) t—»(х | у), инвариантное относительно W (R) (см.
предложение 3).
Пусть а, Ре/?. По формуле G) п° 1 имеем
п(а, р) п (р, а) = 4 cos2 (аТр) <4. A0)
Следовательно, целое число /г (а, Р)/г(р, а) может принимать
лишь значения 0, 1, 2, 3, 4. Принимая во внимание след-
следствие предложения 6 из гл. V, § 2, п°5, и подстрочное при-
примечание в гл. V, § 4, п°8, мы приходим к заключению, что
с точностью до перемены мест аир имеются лишь следую-
следующие возможности:
1) /г (а, р) =/г (р, а) = 0;
(а, р) = 4r saSp — порядка 2;
2) п(а,р) = п(р,а)=1;
(а, р) = -5_; || а || = ||р ц. sas& — порядка 3;
3) л (а, Р) = /г(р, а) = - 1;
(а, р) = -д-; || а || = ||р ||; sasp — порядка 3;
4)n(a,p)=l, n(p,a) = 2;
(aTp) = -J-; HP || =/2"II a ||; sas^ - порядка 4;
5) n(a,p) = -l, n(p,a) = -2;
(a7p) = 4r; HPII=/2"l|a||; sass - порядка 4;
6) /г(a, p)=l, n(p, a) = 3;
(aTp) = -^-; IIP 11=/^11 a II; sasp - порядка 6;
7) n(a,p) = -l, n(p,a) = -3;
(аТр) = х; !IPH=^3"llall; sasp - порядка 6;
8) /г (a, P) = n(p, a) = 2; a = p;
9) n(a,p) = .i(P, a) = -2; a=-p;
10) n(a,p)=l, «(p, a) = 4; p = 2a;
11) n(a,p) = -l, n(p,a) = -4; p = -2a.

§ 1/ СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 185
В частности, справедливо
Предложение 8. (i) Если два корня пропорциональны, то
множитель пропорциональности может равняться лишь ±1,
=4, ±2.
(ii) Если а, р —два непропорциональных корня и если
II а II ^ IIРII > то п (а, р) принимает одно из значений О, 1, — 1.
Корень ае^, для которого уо^/?, называется неде-
неделимым.
Теорема 1. Пусть а, C — два корня.
(i) Если п(а, Р) > 0, то а — р — корень, кроме случая
а = р.
(И) Если л (а, C) < 0, то а + Р— корень, кроме случая
а = -р.
В соответствии с приведенным выше списком в случае
я (а, Р) > О имеются лишь следующие возможности:
1) л(а, Р)=1; тогда а — р —sp(a) e Я;
2) п (р, а) = 1; тогда р — a = sa (P) е /? и, следовательно,
а-Ре/?;
3)р = а.
Тем самым доказано утверждение (i), а (И) получается
из него заменой р на — р.
Следствие. Пусть а и р — два корня.
(i) Если (а |р) > 0, то а — р — корень, кроме случая а = р.
(ii) ?сли (а|р)<0, го а + Р — корень, кроме случая
р
р
(Ш) ?сли a-p<?#U{0} u a + P<?/?U{0}, го (а|р) = О.
Утверждения (i) и (ii) вытекают из теоремы 1 и фор-
формулы G) п° 1. В свою очередь (in) получается при помощи
(i) и (ii).
Может случиться, что a + Р^-/?. (а|Р) = О (табл. X; си-
система В2). Корни аир называются строго ортогональными,
если a - Р ф R U {0} и a + Р <? R U {0}.
Предложение 9. Пусть а и р — два непропорциональных
корня.
(i) Множество I целых рациональных чисел }, таких,
что p-f-y'a — корень, является интервалом (—q, p) в Z, со-
содержащим 0.
(ii) Пусть S — множество корней р + /а для / е /. Тогда
sa(S) = S и

186
ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ
(iii) Имеет место соотношение р— q =— п(р, а).
Ясно, что Ое/. Пусть р (соотв. — q) — наибольший (со-
(соотв. наименьший) элемент из /. Если бы не все целые числа
из интервала (— q, p) принадлежали множеству /, то
в (— q, р] нашлись бы два числа г, s, обладающие следую-
следующими свойствами: s >/¦+]., se/, re/, r-\-k<?I для
1^/js^s — г—1. В обозначениях следствия теоремы 1 это
давало бы (а| р +scO^O, (a|P + ra)^0, что невозможно,
поскольку
(a|p + sa)>(a|p + ra).
Утверждение (i) доказано.
Очевидно, что sa (р + /а) = р — п (Р, а) а — /а = Р + /'а
с /'= —/ — п(р, а). Поэтому saE)crS и, следовательно,
sa(S) = S. Кроме того, получаем, что ун-> — j — м(р, а) будет
убывающим биективным отображением I па. I. В частности,
jr = — q для ] = р, так что — q = — p — «(P. a). Тем самым
доказаны утверждения (ii) и (iii).
Множество S называется a-серией корней, содержащей Р;
Р — qa называется началом серии, р + ра — ее концом,
а р + q — длиной.
Следствие. Пусть S — а-серия корней с началом у. Дли-
Длиной S будет —п{у, а); она равна 0, 1, 2 или 3.
Первое утверждение вытекает из предложения 9, (iii),
примененного к p = v, если принять во внимание, что <7 = 0.
Далее, поскольку у не пропорционален корню а, из
списка, приведенного в начале этого п°, видно, что| п(у, а) КЗ.
Следствие доказано.
Замечание. Сохраним обозначения приведенного выше
следствия. Тогда
1) Если длина серии S равна 0, то (а|у) = 0.
2) Если длина серии S равна 1, то п(у, а) = — 1, так что
возможны три случая:
rt(a,<Y) = — I. (a |a)==(vlY). (a |Y) = —-^-(a |a), (aTv) = -|lt.
[a) = 2(YlY), (a Iy) = - y(a I a),
n(a, Y) = -
(a |Y) = - y(a |

§ 1.'СИСТЕМЫ КОРНЕЙ
3) Если длина серии S равна 2, то п(у, <х) = — 2, откуда
л (о, Y) = —1. (o|a) = -g-(YlY). (a|Y) = -(a|o), (<Cv) = 4f :
4) Если длина серии S равна 3, то п{у, а) = —3, откуда
n(a, Y) = — I, (a|a) = -^-(YlY). (a Iy) = — j(a la)> (<*, V) = -?-'•
*• a
-y-|-3a
Мы убеждаемся (табл. X, системы А2, В2, G2), что все эти
случаи действительно реализуются.
Предложение 10. Пусть а, р — два непропорциональных
корня, такие, что Р + а тоже будет корнем. Пусть р, q —
целые числа из предложения 9. Тогда
(PIP) P '
Пусть 5 — a-серия, содержащая р, и у-ее начало; ее
длина / будет !> 1, поскольку р +а —корень. Можно выде-
выделить следующие случаи:
1) / = 1; тогда p = Y. 9 = 0. Р= 1, (Р +«IP +a) = (p |p);
2) 1 = 2, P = y; тогда ^ = 0, р = 2, (р +a |p +a) = y (р |р);
3) / = 2,p = Y+a; тогда</=1,р=1,(р+а|Р+о) = 2
4) l = S, P = y; тогда q = 0, р = 3, (р + а |р + о) = у
5) / = 3, p = Y + a; тогда q*= I, p = 2, (р+о|р+о) = (Р1р);
6) / = 3, р = Y+2a; тогда q = 2, p=l, (Р+a | р+а) = 3 (р |р).
Во всех этих случаях нужная нам формула подтвер-
подтверждается.
Предложение 11. Предположим, что система R непри-
водима. Пусть а и $ — два корня, такие, что ||а|| = ||р||.
Тогда найдется элемент g^W(R), для которого g(a) = p.
Образы корня а относительно W(R) порождают V (п°2,
следствие предложения 5), поэтому существует g e W {R)>
для которого (g (a) | р) ф 0. Можно, таким образом, предпо-

188 гл- VI- СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 4
лагать в дальнейшем, что (а|Р)=И=0. Согласно формуле (9)
п°1, п(а, р) = /г(р, а). Заменяя в случае необходимости р на
,sp(P) = —P, можно считать /г (а, Р) > 0. Тогда в соответствии
со списком, приведенным в начале этого п°, будет либо а = р
(когда предложение очевидно), либо га(а, р) = /г(Р, а) = 1;
в последнем случае
(s<,Va) (Р) = saS(i (P - a) = sa (- Р - а + р) = а.
4. Приведенные системы корней
Система корней называется приведенной, если любой
корень системы неделим (п°3).
Предложение 12. Предположим, что R — неприводимая
и приведенная система корней.
(i) Отношение ^ ^ для ое^, ре R может принимать
¦только значения 1, 2, -=-, 3,-5-.
(ii) Множество значений (a[a) для aei? состоит не более
чем из двух элементов.
Поскольку система R неприводима, образы любого корня
относительно W{R) порождают V (п°2, следствие предложе-
предложения 5). Поэтому, каковы бы ни были корни a, P, найдется
корень р', такой, что (а\ф)Ф0 и (Р'1Р') = (Р1Р). В соответ-
/л/ I п'\
ствии с формулой (9) п° 1 и списком из п° 3, р. .Ра1 прини-
принимает одно из значений 1, 2, -^, 3,-5- (напомним, что си-
«тема предполагается приведенной). Умножая (х\ у) на под-
подходящий скаляр, можно предполагать, что (a(a)=l для
некоторых корней и что другими возможными значениями
Ф1Р) для ре# будут 2 и 3. Значения 2 и 3 не могут до-
достигаться оба, поскольку тогда существовали бы ре R, у е R,
для которых ,д в| = —, в противоречии с тем, что было
сказано выше.
Предложение 13. Предположим, что система R — непри-
неприводимая, неприведенная и ранга ^2.
(i) Множество Ro неделимых корней является системой
корней в V; эта система — неприводимая и приведенная,
причем W(R0) = W(R).
(ii) Пусть А —множество корней а, для которых (a|a)
принимает наименьшее значение X. Тогда любые два непро-
непропорциональных элемента из А будут ортогональны.

§ 1/СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 189
(Hi) Пусть В — множество корней ре/?, таких, что (Р 1Р) =
= 2Л. Тогда ВФ0, R0 = A[jB, R = A\]B\j2A.
Если a^R — R0, то у as/?, но ylyaj^fl (предложе-
(предложение 8), поэтому уае/?0. Отсюда следует, что Ro удовлетво-
удовлетворяет условию (CKi). Ясно, далее, что sa av(#0) = Ro Для лю-
любого as/?, поэтому Ro удовлетворяет условиям (СКп) и (СКш).
Так как а ее R — Ro влечет -ое Ro, а sa = sa/2, то W (R) =
= №(/?(,). Следовательно, система Ro — неприводимая (след-
(следствие предложения 5) и, очевидно, приведенная.
Поскольку R не является приведенной, существует корень
a <= Ro, такой, что 2a ее R. Поскольку система R — неприво-
неприводимая, а dim V ^2, невозможно, чтобы корень а был про-
пропорционален или ортогонален всякому корню. Пусть корень
Р ее Ro таков, что /г(р, а) ф О, причем р не пропорционален
корню а. Заменяя в случае необходимости Р на — р, можно
считать га(Р, а) > 0. Так как у«(р, a)=n(P, 2a) ее Z, to
n(P, a) ee 2Z. Из списка в п°3 видно, что га(Р, a) = 2,
(Р IP) = 2 (а |а). Ввиду приведенности Ro применимо предло-
предложение 12, показывающее, что (у1у)=(а1а) или (vlY)=2(a|a)
для всех уЕ^0, Предыдущие рассуждения показывают, что
при любом у е R — Ro вектор у у будет элементом из Ro,
таким, что (-j y у YJ = (а 1а)- Следовательно, Я = (а|а),
Вф 0, ^0 = ЛиВи ^ с= Л U В U 2Л. С другой стороны, если
уеЛ, то найдется g^W(R), для которого Y = ^(a) (пред-
(предложение 11), откуда 2у = g Ba) e /?. Следовательно, 2.4 с= /?
и R = A U В U 2Л. Наконец, пусть, Yi y' — Два непропорцио-
непропорциональных элемента из Л. Поскольку у и у' одной и той же
длины, имеем
п By, Y') = 2« (y, Y') = 4/г (Y> 2Y') ее 47 и I n (Y, vO I < 1.
откуда «(y, y') = 0 и (yIy') = O-
Предложение 14. Предположим, что система R — непри-
неприводимая и приведенная и что (a|a) принимает значения X
и 2Х для а ее R. Пусть А — множество корней а, таких, что
(a|a) = A,. Предположим, далее, что любые два непропорцио-
непропорциональных элемента из А ортогональны. Тогда Rl — R\}2A
является неприведенной неприводимой системой корней,
a R — множеством неделимых корней в Ri.

190 гл. vr. системы корней s
Очевидно, что Rx удовлетворяет условиям (CKi) и (СКн).
Докажем, что (av, p)eZ для всех а, р е= /?,. Это очевидно,
если а, р е R. Утверждение верно и в случае о, ре 2А,
поскольку Ba)v = -5- av для оеЛ. Возьмем, наконец, р е= /?
и а==2у с Vе Л.
1) Если Y=±P, то <av, p)=±l<Yv, Y) = ± 1.
2) Если у не пропорционален корню р и если реЛ, то
в соответствии с условиями, определяющими Л, (yv, Р) = 0,
откуда (av, Р> —0.
3) Если р е= R — А, то (р | р) = 2Я = 2 (у I у), поэтому ф, yV)
равно либо 0, либо 2, либо —2 в соответствии со списком
из п°3. Следовательно, и <р, av> = y<p, yV) e Z.
Таким образом, i?,—система корней в V. Остальные
утверждения очевидны.
5. Камеры и базисы системы корней
При любом aei? пусть La — гиперплоскость простран-
пространства V, состоящая из точек, инвариантных относительно sa.
Камеры, определенные в V множеством гиперплоскостей La
(гл. 5, § 1, п°3), называются камерами системы R. Биек-
Биективное отображение V-+V*, определенное скалярным про-
2а v
изведением (х\у), переводит ае/? в . ... и, следова-
(av |av)
тельно, La в LaV, а камеры системы /? в камеры дуальной
системы 7?v. Если С — камера системы R, то соответствую-
соответствующая камера системы Rv будет обозначаться символом Cv.
Согласно предложению 7 n°2, Cv однозначно определяется
камерой С и не зависит от выбора (х\у).
Теорема 2. (i) Группа W(R) действует на множестве
камер просто транзитивным образом.
(и) Пусть С — камера. Тогда С будет фундаментальной
областью для W(R).
(iii) С является открытым симплициальным конусом
(гл. V, § 1, п°6).
(iv) Пусть LM L2, ..., Lt — стенки камеры С. Для лю-
любого i существует единственный неделимый корень а(, такой,
что Li = Lai, причем at будет с той же стороны от Lit что
и С.

§ 1. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 191
(v) Множество В(С) = {щ, ..., а;} является базисом про-
пространства V.
(vi) С совпадает с множеством тех xgF, для которых
/аУ, .v) > 0 при всех i (или, что равносильно, с множеством
x^V, таких, что (л:|аг)>0 при всех i).
(vii) Пусть S — множество отражений sa.. Пара (W(R), S)
является системой Кокстера (гл. IV, § 1, п°3).
Утверждения (i) и (vii) следуют из теоремы 1 гл. V, § 3,
п°2, а утверждение (ii) — из теоремы 2 гл. V, § 3, п°3. Ут-
Утверждение (iv) очевидно. Корень щ ортогонален к гиперпло-
гиперплоскости Lt, а аУ отождествляется с 2alj(al | аг). Так как группа
W (R) существенна (п°1, замечание 3, то утверждения (iii),
(v) и (vi) вытекают из предложения 7 гл. V, § 3, п°9.
Замечания. 1) Утверждение (vii) показывает, в частности,
что W (R) порождается отражениями sa{.
2) Если х, у<=С, то (х\у)>0 (гл. V, § 3, п°5, лемма 6);
другими словами, угол (д:, у) острый.
3) Пусть m (а, р) — порядок элемента sas^ (a, p e В (С)).
Матрица (m(a, P)) совпадает с матрицей Кокстера (гл. IV.
•§ 1, п°9) системы (W, S). Если а-ф Р, то, как показывает
предложение 3 гл. V, § 3, п°4, угол (а, Р) равен я — m, „.,
так что этот угол тупой или прямой, и (а|Р)^0. Просма-
Просматривая список из п°3, мы видим, что порядок пг(а, Р) равен
2, 3, 4 или 6.
Определение 2. Подмножество В системы корней R на-
называется базисом в R, если существует камера С системы R,
такая, что В = В(С). Если С — камера, то В (С) называется
базисом системы R, определенным посредством С.
Замечания. 4) Утверждение (vi) теоремы 2 показывает,
что С*—>В(С) является биективным отображением множества
камер на множество базисов. Следовательно, W (R) действует
просто транзитивно на множестве базисов.
5) Пусть С —камера системы R и В — соответствующий
•базис. Если aefi, то положим <р(a) = av при 2аф. R и
<p(a)=7j-av в случае 2a e/?. Тогда <р(В) будет базисом
дуальной системы Rv, определенным посредством Cv; это
следует из того, что стенками камеры Cv будут Z.oV, где оеВ,
Определение 3. Пусть В — базис системы R. Матрицей
Картана системы R (относительно В) называется матрица

]92 ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ S
Мы знаем, что га (а, а) = 2 для всех а е В. Для а, f5e.fi
имеем
где, как и прежде, m(a, Р) — порядок элемента sas^. Если
а Ф$, то га (а, Р) = 0, — 1, — 2, —3 (см. п°3).
1 Замечания. 6) Не следует смешивать матрицу Картана
-(га(а, Р)) с матрицей Кокстера (т(а, р)). Отметим вдобавок,
что матрица Картана не обязана быть симметрической.
7) Канонические индексации. Если В и В' — два базиса
системы R, то существует единственный элемент w c=W,
такой, что w (В) = В'. По определению,
га (да (а), да (Р)) = га (а, р) и m (да (а), да (р)) = т (а, р)
для а, Ре В. Следовательно, матрицы Картана и Кокстера,
ассоциированные с В, получаются из соответствующих ма-
матриц, ассоциированных с В', композицией с биективным
отображением
а и-> w (а)
В на В'.
Впрочем можно определить матрицы Картана и Кок-
Кокстера канонически следующим образом. Пусть X — мно-
множество пар (В, а), где В — базис системы 1?иаеВ, Группа W
действует очевидным образом на X, и ее орбита в X пере-
пересекает каждое из множеств {В} X В в точности в одной
точке. Если, таким образом, / — множество указанных орбит,
то каждый базис В допускает каноническую индексацию
(ai)isl- Далее, существует единственная матрица N = (ntl)
(соотв. М = (т.ц)) типа /ХЛ такая, что матрица Картана
(соотв. Кокстера), ассоциированная с произвольным базисом В,
будет получаться из ./V (соотв. М) композицией с канони-
канонической индексацией В; будем называть эту матрицу кано-
канонической матрицей Картана (соотв. Кокстера) системы R.
Предложение 15. Пусть В —базис системы R и а —не-
—неделимый корень. Существуют Ре В и да е W{R), такие, что
a = w (P).
Допустим, что базис В = В(С) определяется камерой С.
Гиперплоскость La является стенкой некоторой камеры С
системы R, и существует элемент группы W (R), переводя-
переводящий С в С. Можно, следовательно, ограничиться случаем,
когда La — стенка камеры С. Тогда а пропорционален неко-
некоторому элементу р из В. Так как аир неделимы, то а =
= ± р. Если а= —р, то et = Sp(P), что и доказывает пред-
предложение.

§ Г. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ [Q3
Следствие. Пусть Я, и R2 — две приведенные системы
корней в векторных пространствах Vt и V,,, а В\ и В2 — их
базисы. Пусть, далее, /: В\->В2— биективное отображение,
переводящее матрицу Картана системы R{ в матрицу Кар-
тана системы R2. Тогда существует изоморфизм F: Vl-*V2,
переводящий R{ в R2 и а в /(а) для всякого а?=В,.
Пусть F — изоморфизм V{ на V2, который переводит а
в /(а) для всякого аей,. Тогда F переводит sa в Sf(a>
и, следовательно, W (R\) в W (R2) (теорема 2), а значит, R\
в R2 (предложение 15).
Предложение 16. Пусть В — базис системы R и G — под-
подгруппа в A(R), состоящая из элементов, которые оставляют В
устойчивым. Тогда W {R) — нормальная подгруппа в A (R) и
группа A (R) — полупрямое произведение своих подгрупп G
и W (/?).
Если as/? и t^A(R), то tsj'1 =St{ay, поскольку W (R)
порождена всеми отражениями sa, ясно, что W (R) — нор-
нормальная подгруппа в A(R). С помощью перенесения стру-
структуры Л (Я) переводит один базис системы R в некоторый
другой базис той же системы. Но W (R) действует просто
транзитивным образом на множестве базисов, поэтому про-
произвольный элемент из A{R) однозначно записывается в виде
g,g2, где gj^W(R) и g2EG.
Замечание 8). Пусть Ru ..., Rp — системы корней ввек-
торных пространствах Vu ..., Vр, R — прямая сумма Rc
в V = П Vi, Ct — камера системы Rit B{ = B(Ct). Очевидно,
i
что С = Ц С| будет камерой системы R и что В (С) = 11 В:.
1 . i
Как следует из теоремы 2, все камеры и базисы системы R
получаются указанным способом.
6. Положительные корни
Пусть С — камера системы R, а В(С) — {щ, ..., щ} — со-
соответствующий базис. Отношением порядка, определенным
камерой С в V (соотв. V*), называется согласованное со струк-
структурой векторного пространства на V (соотв. V*) отношение по-
порядка, при котором элементами ^3=0 будут линейные комбина-
комбинации корней at (соотв. а/) с коэффициентами ^0. Элемент,
положительный относительно одного из указанных отношений
порядка, называется еще положительным относительно С или
положительным относительно базиса В (С). Эти отношения
порядка будут также определяться дуальной камерой Cv, что
7 Зак. 61. Н. Бурбакв

194 ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 6
вполне понятно, если отождествить V с V* при помощи скаляр-
скалярного произведения, инвариантного относительно W (R). По тео-
теореме 2 п° 5 элемент из V будет ^ 0 тогда и только тогда, когда
его значения на С будут ~^0. Элемент х пространства V
будет ^0 тогда и только тогда, когда его значения на Cv
будут ^0, или, что то же самое, когда {х\у)^0 для всех
// е= С. _
Элементы из С будут ^0 относительно С, как это сле-
'дует из леммы 6 гл. V, § 3, п°5. Но, вообще говоря, мно-
множество элементов, которые ^0 относительно С, отлично от С
(табл. X, системы А2, В2, G2).
Теорема 3. Любой корень является линейной комбина-
комбинацией с целыми коэффициентами одного и того же знака
элементов базиса В (С). В частности, любой корень либо
положителен, либо отрицателен относительно С.
Ядро Lav элемента абУ? не пересекает Cv, поэтому a
на Cv будет либо > 0, либо всюду < 0, откуда и следует
второе утверждение. Остается доказать, что а содержится
в подгруппе PaV, порожденной множеством В (С); при
этом а можно предполагать неделимым. Но группа Р, оче-
очевидно, устойчива относительно sy при всех у ^ В (С), а по
теореме 2 она должна быть устойчивой и относительно W (R).
Так как а имеет вид w(Р), где w e W (R) и ре В (С)
{предложение 15), то аеА Тем самым теорема доказана.
Обозначим символом R+ (С) множество положительных
относительно С корней. Таким образом,
R = R+(Q\J(-R+(Q)
— разбиение системы R.
Следствие. Пусть у — линейная комбинация корней с це-
целыми коэффициентами и а — неделимый корень. Если у про-
пропорциональна корню а, то у е Za.
Ввиду предложения 15 п°5 можно выбрать такую ка-
камеру С, что оеВ(С). По теореме 3 имеем
Если теперь комбинация у пропорциональна а, то у — паа,
чем и доказано следствие.
Пусть, далее, S — множество отражений sa для аей(С),
и пусть Т — объединение множеств, сопряженных с S в W.
При произвольных оеВ(С) и w e W элемент t — wsaw~l
будет ортогональным отражением sp, ассоциированным
с корнем р=ш(а); обратно, каков бы ни был неделимый

§ I. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 195
корень р, найдется элемент w e W, такой, что а = ьу~1(|3)е
(=В(С) (предложение 15), и s^ == шхащ)"' е Г. В результате
мы получаем биективное отображение ф множества недели-
неделимых корней на произведение {±1}Х?\ сопоставляя недели-
неделимому корню р пару (е, sp), где 8=4-1, если корень р поло-
положительный, и е = —1, если он отрицательный.
С другой стороны, (W, S) является системой Кокстера
(теорема 2) и к ней можно применить результаты гл. IV,
§ 1, п°4. Мы видим в данном случае, что для любого эле-
элемента w e W длины q (относительно S) в Т существует под-
подмножество Tw из q элементов, такое, что если w = S\ . .. sq
с SjeS и если положить
(для 1^г^^), то Tw — {tlt..., tq). Напомним, что в п°4
§ 1 гл. IV определено также число r\(w, t) (для w^.W и
teT), равное -f-1, если t0T, и —1, если /е Т. Напомним,
наконец, что если определить отображение Uw множества
{± 1} X 7" в себя формулой
U„{г, 0 = (ел(а»-1, t), wtw~l),
то отображение w >—> Uw будет гомоморфизмом W в группу
перестановок множества {±1}Х7"(гл. IV, § 1, п°4, лемма 1).
Предложение 17. Пусть weW и ае/?, где R — приве-
приведенная система.
(i) Справедливо равенство -ф (w (а)) = Uw (ф (а)).
(ii) Предположим, что а — положительный корень. Корень
w (а) будет отрицательным тогда и только тогда, когда
или, другими словами, когда sa e Tw-\.
(iii) r\(w, sa) = —1 в том и только том случае, когда ка-
камеры С и w(C) находятся по разные стороны от гиперпло-
гиперплоскости La. Другими словами, множество Tw состоит из от-
отражений относительно стенок, разделяющих С и w (С).
Пусть peS(С); положим s == sp. Очевидно, что Ts = {s}
и, следовательно,
f (e, sts'1), если t Ф s,
U, (в, *)= / A2)
( (— е, s), если t — s.

193 ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ б
Далее, пусть р= 2 wy(P)Y— положительный корень.
Положим
s (р) = 2 «v (s (Р)) Y-
Если р ф р, то найдется элемент у^В(С), у Ф р, такой, что
nY(p)>0. Тогда и nY(s(p)) = «Y(p)>0 (п° 1, формула E)).
Следовательно, s (о)— положительный корень. Сразу же
получаем
(е, ssos~l), если р^=р,
р ' о A3)
(_e>s)t если р = р. v
Сравнение A2) с A3) показывает тогда, что Us (tp (у)) = г|) (s (у))
для любого корня у и любого ss5. Отсюда получается (i),
поскольку S порождает W.
С другой стороны, сказать, что w (а) отрицателен, экви-
эквивалентно'тому, чтобы сказать, что ^{w (а)) = (— 1, wsaw~l),
или же ввиду (i) что Uw (ty (а)) = (—1, wsaw~1). Если, кроме
того, а — положительный корень, то ip(a) = (+l, sa) и
Uw{ty (a)) = (r)(tiz)~1, sa), a)saa)~'), откуда вытекает (ii).
Наконец, согласно (ii), r\(w, sa) = — 1 в том и только том
случае, когда один из корней а, хю~[(а) положительный,
а другой отрицательный. Это равносильно тому, что
(а\х) ¦ (w~l {а)\х) = {а\х) ¦ (a\w (х)) <0 для всех х <= С, откуда
следует первое утверждение в (ш). Второе утверждение
в (iii) получается непосредственно.
Следствие 1. Пусть р е В (С). Отражение s^ переставляет
между собой положительные корни, не пропорциональные р.
Тотчас же получается сведение к случаю, когда R — при-
приведенная система, а тогда наше утверждение следует из (ii)
и из того, что Ts ={sA.
Следствие 2. Предположим, что система R — приведен-
приведенная. Пусть w — элемент из W длины q относительно S
(гл. IV, § 1, п°1) и w = s{ ... Sq — некоторое его приведен-
приведенное разложение. Пусть, далее, аи ..., а,, — элементы из В (С),
соответствующие отражениям su ..., sq. Положим
Корни 0j все > 0 и попарно различны, причем w (Qt) < 0,
и всякий корень а > 0, для которого w (а) < 0, равен одному
U3 0j.

§ 1. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 197
Пусть X — множество корней а > 0, таких, что w (а) < 0.
В соответствии с (ii) имеем
Card (X) = Card (Tw-i) = /(w~l) = l{w) = q.
С другой стороны, для любого а е X найдется индекс
/gA, q), такой, что
st+l ... sq (a) > 0 и SiSi+l ... sq(a)< 0.
По следствию 1 это влечет si+l ... sG(a) = ab откуда
<х = Вг. Таким образом, множество X содержится в множе-
множестве корней 0j. Так как Card(X) = q, то X совпадаете этим
множеством, а 0? обязаны быть попарно различными, что и
требовалось установить.
Следствие 3. Предположим, что система R — приведен-
приведенная. В W существует единственный элемент w0 наибольшей
длины. Его длина равна числу положительных корней; эле-
элемент w0 переводит камеру С в— С. Далее, w2Q=\ и /(шдао) =
— l{wu) — l(w) для всех w e W.
Ясно, что —С — камера. Найдется поэтому единствен-
единственный элемент w0 e W, переводящий С в —С. Тогда шо(а) <0
для всякого положительного корня а, и первые два утвер-
утверждения следствия 3 непосредственно вытекают из следствия 2.
Далее, wl(C) = C, откуда ^=1. Наконец, если w^W, то
длина l(w) (соответственно l{ww0)) равна ввиду предложе-
предложения 17 (Hi) числу стенок, разделяющих С и w(C) (соотв.
wwQ{C) = — w (С)). Так как w(C) и —w(C) находятся по
разные стороны от какой бы то ни было стенки, то сумма
l{w) -j- l(ww0) равна общему числу стенок, т. е. длине l(wQ).
Предложение 18. Пусть jgF. Три следующих свойства
эквивалентны:
(i) jeC.
(ii) x^sa(x) для всех оеВ(С) (в смысле отношения по-
порядка, определенного посредством С).
(Hi) x^w(x) для всех w^W.
Поскольку sa{x) = x — (x, av)a, а С является множеством
элементов x^V, таких, что (х, av).^0 для всех оеВ(С),
эквивалентность утверждений (i) и (ii) очевидна. С другой
стороны, ясно, что (Ш)=Ф(и). Покажем, что (i)=#(iii). Пусть
х е С, и пусть w e W. Проведем индукцию по длине l(w)
элемента w. Случай l(w) = 0 тривиален. Если l(w)~^l, то w

198 ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ ff
можно записать в виде w = w'sa, где аеВ(С) и l(w') =
= l(w) — l. Тогда
X — W(;X) = X — W' (X) + W' (X — Sa (x)).
Из предположения индукции следует, что элемент х — а/ (л:)
положительный. С другой стороны,
w' (х — sa (х)) = w (sa (х) — х) = — (х, av> w (a).
Но 5аеГв-1, и предложение 17, (ii) гарантирует нам, что
ву(а)<0. Это дает нужный результат.
Следствие. Для того чтобы х^С, необходимо и доста-
достаточно, чтобы было x>w(x) для всех неединичных элемен-
элементов w e W.
Предложение 19. Пусть {$i){<i<n— последовательность
корней, положительных относительно некоторой камеры С и
таких, что Pi + Р2 + • • • + Р« — корень. Тогда существует
такая перестановка п <= <Вп, что РяA) + РяB) + • • • + Ря@ будет
корнем для всех /е{1, 2, ..., и}.
Учитывая, что предложение очевидно при и <J2, рассуждаем
по индукции относительно п. Положим P = Pi+ ... + Р«.
п
Имеем 2 (Р!Р() = (Р1Р) > 0, поэтому найдется индекс k, для
которого (PlPfc)>0. Если Р = Рй, то п=\, поскольку Р,-> О
для всех i. Если же это не так, то Р — pfe является корнем
(п°3, следствие теоремы 1); в таком случае достаточно при-
применить к р — pfe = 2 Рг предположение индукции.
Следствие 1. Пусть a <= R+ (С). Для того чтобы афВ(С),
необходимо и достаточно, чтобы корень а был суммой двух
положительных корней.
Если a — сумма двух положительных корней, то по тео-
теореме 3 аеб(С). Если афВ{С), то снова по теореме 3
а = 2 Р/г с р4ей(С) для всех k и п>2, Переставляя pfe>
А=1
rt-1
можно добиться того, что 2 Р* будет корнем (предложе-
ние 19) и, следовательно, а будет суммой положительных
л-1
корней 2 Рй и р„.
Следствие 2. Пусть <р — отображение R в коммутативную
группу Г, обладающее следующими свойствами:

§ .1. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 199
1) ф(— а)= — ф (а) для a<=R;
2) если а е R, р e R таковы, что а + ре/?, то ф (а+Р) =
- Ф (а) + Ф (Р).
Пусть Q — подгруппа в V, порожденная системой R. Тогда
Ф можно продолжить до гомоморфизма Q в Т.
Пусть В — какой-нибудь базис системы R, и пусть
ф — единственный гомоморфизм Q в Г, совпадающий с ф
на В. Достаточно доказать, что г|э (а) = ф (а) для любого
корня а, положительного относительно В. Имеем а =
= Pi + ... -f Pm с р, е В для всех / и р, + ... + Рл е= R для
любого Л (предложение 19). Индукцией по m докажем, что
ф(а) = ф(а). Это очевидно, если т—1. Предположение
индукции дает
и Ф (Рт) = Ф (Рт). откуда г|э (а) = ф (а), чем и доказано след-
следствие.
Для любого корня а= 2 "RP системы /? обозначим
Э(С) Р
через У (а) множество тех peS(C), для которых пр ф 0.
Заметим, далее, что В (С) отождествляется со множеством
вершин графа системы Кокстера, состоящей из W (R) и
образующих sa. (гл. IV, § 1, п°9, и гл. V, § 3, п°2).
Следствие 3. а) Пусть a^R. Тогда У (а) является связ-
связным подмножеством в В (С) (гл. IV, Дополнение).
б) Пусть Y — непустое связное подмножество в В (С).
Тогда 2 Р принадлежит R.
При доказательстве а) можно предполагать а положи-
положительным. Утверждение тривиально, если Card (У (а)) = 1,
поэтому далее рассуждаем по индукции относительно
Card (У (а)). Ввиду предложения 19 существует ре В (С), для
которого а — ре/?. Пусть р — наибольшее целое число ^0,
для которого у = а—pfi^R. Так как у—р ф R, а у+рР^Я.
то (у IP) Ф0 (предложение 9); следовательно, р соединено
по крайней мере с одним элементом множества У (у). Но
У (а) = У (у) U {Р} и Y(y) связно по предположению индукции.
Поэтому У (а) связно, чем и доказано а).
Пусть теперь У — непустое связное подмножество в В (С);
докажем индукцией по Card (У), что S Р — корень. Случай,
реу
когда Card (У) ^ I, тривиален. Предположим, что Card(y)^2.
Так как (W (R), S) — лес (гл. V, § 4, п°8, предложение 8), то
У — дерево, обладающее концевой вершиной р (гл. IV, До-

200 гл- VI- СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 7
полнение). Множество Y — {В} связно, и его элементы со-
соединены с В. По предположению индукции а = 2 \ ^ R,
и так как (а|В)<0, то имеем а + реУ? (теорема 1). Ч. Т. Д.
7. Замкнутые множества корней
Определение 4. Пусть Р — подмножество в R.
(i) Р называется замкнутым, если условия пёР, реР,
о + ре/? влекут а + реЯ
(ii) Р называется параболическим, если Р замкнуто и
P[](-P) = R.
(Hi) P называется симметричным, если Р= — Р.
Лемма 3. Пусть С — камера системы R и Р — замкнутое
подмножество в R, содержащее R+ (С) (обозначения п° 6).
Пусть, далее, Е = В(С)Л(—Р) и Q — множество корней,
записываемых в виде линейных комбинаций с целыми коэф-
коэффициентами <: 0 элементов из Е. Тогда Р = R+ (С) U Q.
Нужно доказать, что Р П (— R+ (С)) = Q. Пусть —а е Q.
Тогда а будет суммой п элементов из 2. Индукцией по п
убедимся в том, что —аеР. Это очевидно, если п=\.
При п> 1, пользуясь предложением 19, п°6, можно записать
a = p + Y> гДе Vе 2 и р — сумма п—1 элементов из S.
По предположению индукции —р е Р; так как —у еРи
Р замкнуто, то и —оеР. Поэтому Q a Pf\(—R+(C)).
Обратно, пусть — a e P\J (— /?+ (С)). Тогда а —сумма р эле-
элементов из S(C). Индукцией по р убедимся в том, что —aeQ.
Это очевидно при р=1, а при р> 1, пользуясь предложе-
предложением 19, можно записать а = В-}-у> где у е В (С) и р — корень,
являющийся суммой р—\ элементов из В (С). Так как
—Y==P + (—a) и jP замкнуто, то —у^Р и, следовательно,
уе! С другой стороны, —P = Y~f~(—«), следовательно,
—В <= Я, поскольку Р замкнуто. По предположению индукции
—Р <= Q, поэтому -a = -p-yeQ, так что Р П {—R+ (Q) с: Q.
Предложение 20. Пусть Р — подмножество в R. Следую-
Следующие условия эквивалентны:
(i) P параболично;
(ii) P замкнуто, и Р^> R+ (С) для некоторой камеры С
системы R;
(iii) существуют камера С системы R и подмножество
2сб(С), такие, что Р будет объединением R+ (С) и мно-
множества Q корней, являющихся линейными комбинациями
с целыми коэффициентами <1О элементов из 2.
(iii). По лемме 3.

§ 1. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 201
Примем условия и обозначения условия (Ш).
Ясно, что Р[)(—P) — R. Пусть а, Р— элементы из Р, для
которых a + pe=i?; докажем, что a-ff5e=P. Это очевидно,
если корень a + р положительный. Предполагая теперь а + р
отрицательным, мы запишем а + р = 2 ПуУ с nv^0. Но
В(С)
в а и р коэффициент при любом элементе у е В{С) — 2
будет ^0; если, следовательно, у^.В{С) — 2, то пу = 0,
откуда a + р е Q с: Р.
(i)=#(ii). Предполагая множество Р параболическим, вы-
выберем камеру С, для которой Card (Pf\ R+ (С)) принимает
наибольшее возможное значение. Пусть аей(С) и а^ЁР,
так что —а е Р. Никакой элемент $^ Pf\ R+(C) не пропор-
пропорционален а (ибо из Р = 2а в силу замкнутости Р следовало бы
а = 2а + (—а) <= Р). Поэтому sa(P) <ее #+(С) (п°6, следствие 1
предложения 17). Стало быть, положив C' = sa(C), полу-
получаем р = se(sa(P))Gsa№+(C)) = /?+(С). Таким образом,
P{]R+(C)c:PflR+(C'). Кроме того, -a = sa(a) esaW+(C))=
= R+(C'), следовательно, —a<^Pf}R+(C) и поэтому
Card (Р П R+ (С')) > Card (P f) R+ (С)). Так как это исключено,
то а«=Р, т. е. й(С)с:Р и, значит, R+{C)czP согласно
предложению 19 и тому факту, что Р замкнуто.
Следствие 1. Пусть Р — подмножество в R. Следующие
условия эквивалентны:
(i) существует камера С, для которой Р = R+(C);
(и) Р замкнуто, и {Р, —Р} есть разбиение системы R.
При этом камера С, для которой Р = R+{C), единственна.
(i)=#(ii). По теореме 3 (п°6).
(ii)=#(i). Это следствие импликации (i)=^(ii) предложе-
предложения 20.
Если Р = R+(C), то Cv — это множество таких элементов
х'еУ, что {х*, х) > 0 для всех х е= Р, откуда и вытекает
единственность С.
Следствие 2. Предположим, что V снабжено такой струк-
структурой упорядоченного векторного пространства, что всякий
элемент из R будет положительным или отрицательным.
Пусть Р — множество корней, положительных относительно
этой структуры. Тогда существует, и притом единственная,
камера С системы R, для которой Р = R+(C).
В самом деле, Р удовлетворяет условию (И) следствия 1.
Это следствие применимо, в частности, тогда, когда рас-
рассматриваемый порядок — совершенный; условие на R будет
тогда выполняться автоматически. Напомним, что можно

202 ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ Г
получить пример такого порядка, выбрав какой-нибудь
базис (ejI<?<n в V и взяв на V лексикографический порядок:
;c=2eieiS*0> если все %t = Q, или же lt>0 для наимень-
t
шего индекса /, такого, что ?г =^= 0.
Следствие 3. Для того чтобы подмножество В системы R
было базисом в R, необходимо и достаточно, чтобы выпол-
выполнялись следующие условия:
(i) элементы множества В линейно независимы;
(и) любой корень из R записывается в виде линейной
комбинации элементов из В с коэффициентами, которые все
^ 0 или все <! 0;
(in) все корни из В неделимы.
Уже известно, что эти условия необходимы (п°5, тео-
теорема 2, и п°6, теорема 3). Предположим теперь, что усло-
условия @, (ii), (Hi) выполняются. Пусть Р— множество корней,,
которые являются линейными комбинациями с коэффициен-
коэффициентами ^0 элементов из В. Поскольку Р удовлетворяет
условию (п) следствия 1, существует камера С, для которой
P = R+{C)\ пусть В' = В(С), и пусть X и X' — выпуклые
конусы, порожденные множествами В и В'. Очевидно,
BczPczX и В' czPaX',
а это означает, что как X, так и X' порождаются множе-
множеством Р и, следовательно, совпадают. Но полупрямые, поро-
порожденные элементами из В (соотв. В'), будут экстремаль-
экстремальными образующими конуса X (соотв. X'); так как такая
полупрямая содержит не более одного неделимого корня, то
В = В'.
Следствие 4. Пусть В — базис системы R, В' — подмно-
подмножество в В, V — векторное подпространство в V, порожден-
порожденное В', и R' = R[) V'. Тогда В' будет базисом системы
корней R'.
Это прямо вытекает из следствия 3 и из следствия пред-
предложения 4.
Говорят, что R' — система корней, порожденная под-
подмножеством В'.
Следствие 5. Пусть В—базис системы R, Аи А2, ..., Аг —
попарно ортогональные подмножества в В«Л = Л1и^2и--.
... U Аг. Тогда любой корень а, являющийся линейной ком-
комбинацией элементов из А, будет на самом деле линейной
комбинацией элементов одного из множеств At. В частности,

§ 1. СИСТЕМЫ КОРНЕП 203
если система R неприводима, то не существует разбиения В (С)
на два ортогональных множества.
Пусть Еи ..., Er, Е— векторные подпространства в V,
порожденные соответственно множествами Л,, ..., Аг, А.
Ввиду следствия 4 можно предполагать, что E = V. Тогда
по теореме 2, (vii), n°5, Et будут устойчивы относи-
относительно W (R), так что У?— объединение систем R П Et (n°2,
предложение 5).
Следствие 6. В условиях и обозначениях предложения 20
пусть V] — векторное подпространство в V, порожденное мно-
множеством 2. Тогда Р{] (— Р) = Q\J (—Q) = Vх П R будет систе-
системой корней в V] с базисом 2.
Имеем Р[\(-Р) = (R+ (С)U Q) П((- R+ (Q) U(- Q)) = QU
IJ(—Q). Теорема 3 показывает, что QU(— Q) = V{ fl R. На-
Наконец, согласно следствию 4, 2 — базис системы корней
и, л я.
Предложение 21. Пусть С {соотв. С) — камера системы 7?, 2
(соотв. 2') — подмножество в-В (С) (соотв. В (С)), Q (соотв. Q') —
множество корней, являющихся линейными комбинациями
с целыми отрицательными коэффициентами элементов из 2
(соотв. 2'), и Р = Q U Я"+ (С) (соогв. Р' = Q' U Я+ (С)). Если су-
существует элемент группы Вейля, переводящий Р в Рг, то су-
существует и элемент группы Вейля, переводящий С в С' и 2
в 2'.
Тотчас же получается редукция к случаю, когда Р = Р'.
Пусть Vу — векторное подпространство в V, порожденное
Р[\(—Р). Тогда 2 и 2' будут двумя базисами системы кор-
корней Ri = Р П (— Р) в Vx (следствие 6 предложения 20). По-
Поэтому найдется g, e W (Ri), для которого g{ B) = 2'. Ясно,
что gi индуцируется элементом g^W(R), который является
произведением отражений sa с а е 2. Пусть у = 2 cJ3 —
РеВ(С) '
элемент множества Р — Rt. Хотя бы для одного Р е В (С) — 2
будет ср > 0. С другой стороны, если treS.TO sct(y) -yst'i,
поэтому у sa(y) по крайней мере одна координата относи-
относительно В (С) будет >0 (п° 1, формула E)), откуда sct(y)s
^R+(C) и в конечном счете sa(y)^P — Rt. Получается, что
Р — Ri устойчиво относительно sCT, usS, а поэтому и отно-
относительно g, и g(P) = P. Таким образом, остается доказать
предложение при Р = Р' и 2 = 2'. В этом случае Q — Q',
следовательно, R+(C) = Р — Q = Р — Q' = R+(C) и поэтому
С ~С (следствие 1 предложения 20).

204 ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 7
Следствие. Пусть Р, Р' — два параболических подмно-
подмножества системы R, переводящиеся друг в друга некоторым
элементом группы Вейля. Если существует камера С си-
системы R, такая, что R+(C)czP и R+(C)czP', то Р = Р'.
Это вытекает из леммы 3 и предложения 21, поскольку
единственным элементом в W (R), переводящим С в С,
является 1 (см. п° 5, теорема 2).
Предложение 22. Пусть Р — замкнутое подмножество в R,
такое, что Р[\(—Р) = 0. Тогда существует камера С си-
системы R, для которой Р cr R+ (С).
1) Согласно следствию теоремы 1 п° 3, условия реР,
ре=Р, (<х|р)<0 влекут а + 0 е= Р.
2) Докажем, что никакая сумма а, + ... -\-aq (q~^X)
элементов множества Р не равна нулю. Утверждение оче-
очевидно для q=\, поэтому, рассуждая по индукции относи-
относительно q, считаем q^-2. Если а) + . . . + aq = 0, то
— а, = а2 + ... + а,,
поэтому (— а, | а2 + ... + aq) > 0, откуда заключаем о суще-
существовании такого / е B, q), что (at | a/) < 0. Ввиду части 1) до-
доказательства а, + а/е=Р, и соотношение (а, + а») + 2 Щ = 0
i Ф 1. /
противоречит предположению индукции.
3) Докажем, что в V найдется такой отличный от нуля
элемент у, что (у[сх)^О для всех иеА В противном случае
результат части 1) обеспечивал бы существование бесконеч-
бесконечной последовательности таких элементов с^, а2, ... множе-
множества Р, что
для всех i; найдутся, однако, два различных целых числа i, j,
для которых Рг = Р/, что противоречит выводам части 2)."
4) Чтобы закончить доказательство предложения, доста-
достаточно (следствие 2 предложения 20) убедиться в существо-
существовании базиса («аI<4</ пространства V, такого, что относи-
относительно лексикографического порядка, определенного этим
базисом, всякий элемент из Р будет > 0. Применим индук-
индукцию по 1 — dimV, считая предложение установленным для
размерностей < /. Пусть y^V, у ^ 0 и (у | а) 1^0 для лю-
любого аеР (см. 3)). Пусть, далее, L — гиперплоскость, орто-
ортогональная к у. и V — подпространство в V, порожденное
R(]L. Тогда R[}L будет системой корней в V с замкнутым
подмножеством P[)L. По предположению индукции суще-

§ ,1. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 205
ствует такой базис (р,, ..., р,,) пространства V, что отно-
относительно определенного им лексикографического порядка эле-
элементы из Pf[L будут > 0. В таком случае любой базис
пространства V, первыми /'+1 элементами в котором слу-
служат у, р,, ..., рг, а остальные элементы лежат в L, будет
обладать требуемым свойством.
Предложение 23. Пусть Р— подмножество в R и V\
(соотв. Г) — векторное подпространство (соотв. подгруппа)
в V, порожденное Р. Следующие условия эквивалентны:
(i) P замкнуто и симметрично;
(п) Р замкнуто и является системой корней в V{\
()
Предположим, что эти условия выполнены. Для любого
а е= Р пусть а.у — сужение ctv на Vv Тогда си—><хУ" будет
каноническим биективным отображением системы корней Р
на Р\
(iii)=#(i). Очевидно.
(i)=^(H). Предположим, что Р замкнуто и симметрично.
Прежде всего Р удовлетворяет условию (СК0 в Vх. Докажем,
что sa (р) е Р, каковы бы ни были а, реР. Это очевидно,
если аир пропорциональны. Если же это не так, то sa(p)=
= Р — я(Р, a) a и р — pa^R для любого целого рациональ-
рационального числа р, заключенного между 0 и /г (р, а) (предложе-
(предложение 9, п° 3); следовательно,
р — п (р, а) а е Р,
поскольку Р замкнуто и симметрично. Таким образом,
sa v (Р) = Р. и Р удовлетворяет (СКп). Ясно, что Р удовле-
удовлетворяет (СКш). Поэтому Р удовлетворяет (п), и одновре-
одновременно доказано последнее утверждение предложения.
(ii)=>(iii). Считая выполненным условие (п), докажем, что
Г|-|/? = р. Ясно, что PczTfiR. Пусть р <= Г П R. Поскольку
р<=ГиР= — Р, имеем f3 = a, + a2 + ... + ak с a,, . . ., ake=P.
Докажем, что ре Р. Это очевидно при k = l. Применим
индукцию по k. Так как
то (р| ctj) > 0 для некоторого индекса i. Если р = щ, то р е Р.
В противном случае р — a,-ej? (следствие теоремы 1, п° 3),
поэтому по предположению индукции р — щ&.Р, откуда
реР, поскольку Р замкнуто.

206 ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 8
Условия предложения 23 могут реализоваться и тогда, когда
Vi = V, но тем не менее Р Ф R. Этого можно добиться, например,
взяв за R систему типа G2) а за Р систему типа Л2; см табл. X.
Предложение 24. Пусть пересечение R' системы R с не-
некоторым векторным подпространством пространства V таково,
что R' является системой корней в порожденном им вектор-
векторном подпространстве V (см. следствие предложения 4, п° 1).
Пусть В' — базис системы R''.
(i) Существует базис системы R, содержащий В'.
(ii) R' есть множество элементов из R, которые являются
линейными комбинациями элементов базиса В'.
Утверждение (ii) очевидно. Докажем (i). Пусть (е,, е2, ...
.. ., ег) — такой базис пространства V, что В' = (ер+1, ер+2, . . .
..., ег). Лексикографический порядок на V, соответствующий
этому базису, определяет некоторую камеру С системы R.
Ясно, что всякий элемент из В' минимален в R+ (С). Следо-
Следовательно, В' с: В (С).
5. Максимальный корень
Предложение 25. Предположим, что система R неприво-
дима. Пусть С — камера системы R и В{С) — {щ, .... at) —
соответствующий базис.
i
(i) Существует такой корень а = 2 ^а(, что для любого
i
корня 2 Piai будут выполняться неравенства пх~^р\,
(=1
/г2^р2, ..., nt~^pi. Другими словами, R обладает наиболь-
наибольшим элементом а относительно порядка, определенного ка-
камерой С.
(ii) ае=С.
(iii) (а | а) ^ (а'| а') для произвольного корня а',
(iv) Для любого положительного корня а', не пропор-
пропорционального а, будет п{а', а) = 0 или 1.
1) Пусть a=^iniai, Р=2лаг — два максимальных
i=i «=i
корня относительно порядка, определенного С. Докажем,
что а = р, чем и будет установлено утверждение (i).
2) Если бы оказалось, что (а|а,-)<0 для какого-то
индекса /, то мы получили бы, что либо а + а,- е R, либо
а = — аг (следствие теоремы 1, п° 3), но обе эти возмож-
возможности исключены ввиду максимальности а. Поэтому (а| а,)^0
для всех i.

§• I. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 207
3) Из а<0 следовало бы а<—а, что невозможно.
Поэтому tii 2> 0 для всех /. Пусть / — множество /, для ко-
которых tii > 0, и /' — дополнение к / в {1, 2 /}. Имеем
/ Ф 0. Если бы /' было непустым, то существовали бы i <= /
и ir <= /', такие, что (a* | аг) < 0 (следствие 5 предложения 20
п° 7); в таком случае
(а|аг)= 2 я,(аг|аг) < 0,
поскольку (a/|aft)^0, каковы бы ни были различные / и k.
Но это противоречит 2), так что /' = 0 и щ > 0 для всех /.
4) Согласно 2), (Р|аг)^0 для всех i. He может быть
(Р|аг) = 0 для всех i, поскольку р Ф 0. В соответствии с 3)
заключаем, что
Если Y = ct — Ре/?, то а>р или р > а (теорема 3 п° 6), что
противоречит максимальности аир. Стало быть, а = р (след-
(следствие теоремы 1 п° 3).
5) Ввиду 2) оеС. Пусть а' е R. Докажем, что (а'|а')^
<1(а| а). Поскольку С — фундаментальная область для W (R),
можно предполагать, что о'еС. По условию а — а'^0, по-
поэтому (а — а'| х)~^0 для всех xgC. В частности, (а — а'\ й)^0
и (а — а'| а')^0, откуда (й| а)^(а'| й)^(а'| а'). Значит, п{а', а)
может равняться либо 0, либо 1, либо —1 (предложение 8
п° 3), если а' не пропорционален а. Если а'^0, то, со-
согласно 2), (й| а')^0, стало быть, га (а', о)>0и потому га (а', а)
равно 0 или 1. Ч. Т. Д.
Замечание. Корень
И = 2 niai
i
из утверждения (i) называется максимальным (или наиболь-
наибольшим) корнем системы R (по отношению к С). Заметим, что,
согласно (i), /г* 2^1 для всех г.
9. Веса, радикальные веса
Пусть / = dimK. Обозначим через Q(R) подгруппу в V,
порожденную R; элементы Q(R) называются радикальными
весами системы R. По теореме 3 п° 6 Q{R) является ди-
дискретной подгруппой ранга / в V, и любой базис системы R
суть базис группы Q (R).

208 ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 9
Аналогично группа Q(RV) является дискретной подгруп-
подгруппой ранга / в V*.
Предложение 26. Множество элементов х е V, таких, что
{i,j')eZ для всех y*^Q(Rv) (или, что то же самое, для
всех t/ e Rv), составляет дискретную подгруппу GaV, со-
содержащую Q{R). Если В' — базис системы Rv, то дуальный
к В' базис в V будет базисом группы G.
Пусть х е V. Следующие три свойства эквивалентны:
@ (x,t/)^Z для всех y'<=Q(Rv);
(ii) {х, у*) е Z для всех у* е= В';
(ш) координаты элемента х относительно базиса, дуаль-
дуального к В', принадлежат Z.
Мы делаем вывод, что дуальный к В' базис служит ба-
базисом G. С другой стороны, (СКш) показывает, что R a G,
откуда Q{R)cz G.
Группу G из предложения 26 мы обозначим символом Р (R);
ее элементы называются весами системы R. Можно также
рассмотреть группу P{RV) весов системы Rv.
Согласно Алг., гл. VII, 2-е изд., § 4, п° 8, группы
P(R)/Q(R),
суть конечные группы, находящиеся в двойственности над
Q/Z, и потому изоморфные. Общий порядок этих двух групп
называется индексом связности системы R (или системы Rv).
Если R есть прямая сумма систем корней Rh то группа
Q(R) (соотв. P{R)) канонически отождествляется с прямой
суммой групп Q{Ri) (соотв. P(R{)).
Предложение 27. Пусть R{ — подмножество в R, Qi — под-
подгруппа в Q(R), порожденная Ru и W\ —подгруппа в W(R),
порожденная отражениями sa (аЕ^,). Если' p^P(R) и
w<=Wu то p — w{p)^Q,.
Если w — sa с аЕ/!,, то
sa
р — w (p) = (p, av) a es Za с Q,.
Индукция по г показывает, что также р — w(p)^Qu если
W = SajSa2 . . . Sar С a,, . . ., ar S /?,.
Группа A (R) оставляет инвариантными P(R) и Q{R), дей-
действуя, следовательно, на факторгруппе Р (R)/Q(R). Ввиду пред-
предложения 27 группа W(R) действует тривиально на P{R)/Q(R).
Факторизуя, мы видим, что факторгруппа A {R)/W {R) (пред-
(предложение 16, п°5) действует канонически на P(R)/Q(R).

10 § К СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 209
10. Фундаментальные веса, старшие веса
Предположим, что система R— приведенная. Пусть С —
камера системы R и В — соответствующий базис. Поскольку
система R— приведенная, Sv = {av}asB будет базисом Rv.
Дуальный к Bv базис (wa)a6_B будет, следовательно, базисом
группы весов; его элементы называются фундаментальными
весами (относительно В или С); в случае когда элементы
базиса В занумерованы (а,, ..., а(), соответствующие фунда-
фундаментальные веса обозначим через (ш1( ..., ш;).
Пусть хеК. Элемент х принадлежит С тогда и только
тогда, когда (х, av) > 0 для всех аЕВ. Отсюда следует,
что С есть множество линейных комбинаций с коэффициен-
коэффициентами >0 весов ши, а С — множество линейных комбина-
комбинаций ша с коэффициентами ^0.
При фиксированном а элементы п(а, C) = (a, CV) матрицы
Картана будут координатами а относительно базиса (юи)реВ:
а= 2 гс (а, р)й3. A4)
рев '
Таким образом, относительно базисов В и (wa)asB Z-моду-
лей Q(R) и P(R) матрица Картана является транспониро-
транспонированной к матрице канонического вложения
Q(R)-*P(R).
Вес ш называется старшим (или доминатным), если он при-
принадлежит С, т. е. если его координаты относительно (wa)a65B
являются целыми числами >0, или, еще, если g(a)^.a для всех
g<=W(R) (n°6, предложение 18). Поскольку С — фундамен-
фундаментальная область для W (R) (теорема 2), для любого веса ш
существует, и притом только один, старший вес ш', являю-
являющийся образом веса ш относительно W (R).
Каковы бы ни были элементы а, реВ, имеет место
¦соотношение
(бар обозначает символ Кронекера), откуда
sp(ша) = ©„-барр и (ша|р)=»у(Р1Р)в«3. A5)
Другими словами, ша ортогонален к E для C =j= а, и его орто-
ортогональной проекцией на Ra является -^а. Так как аа<=С,
то (ш01 cog) ^ 0 для а, р е 5, т. е. угол (ша, ш 3) — либо острый,

210 ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ Ю
либо прямой. Старшими весами являются элементы со se I/,
для которых 2(со |а)/(а |а) при всех аеВ суть целые числа
Предложение 28. Пусть В — базис системы R, В' — под-
подмножество в В, V — векторное подпространство в V, поро-
порожденное В', Rr=R(]V (это система корней в V), R'v —
дуальная система корней (отождествляемая с каноническим
образом R' в Rv), V, — подпространство в V, ортогональное
к R'v, и р — проектирование V на V параллельно I/,. Тогда
Q(R') = Q (R) П I/', p(R') = p(p (R)). Множество старших весов
системы. R' является образом при проектировании р множе-
множества старших весов системы R.
В самом деле, Q(R) есть подгруппа в V с базисом В,
Q(R') — подгруппа в V с базисом В' (п°7, следствие 4 пред-
предложения 20), откуда немедленно получаем Q (R') = Q (R) П V'.
Если ае=Р(/?) и а е Rr, то (р(й), av) = (co, a') e Z, следо-
следовательно, р (со) еР(Р/) и потому p(P(R))a P(Rr). Если
й'еР(/?'), то й' продолжается до некоторой линейной
формы й на V*, обращающейся в нуль на (В — B')v\ при этом
(й, av) ge Z для всех аеВ, стало быть, йеР(]?)и й' = р(со);
поэтому P(R')ap(P(R)). Таким образом, P(R') = p(P(R)),
а утверждение относительно старших весов доказывается
аналогичным образом.
Предложение 29. Пусть р — полусумма корней > 0.
(i) р = 2 «а есть элемент из С.
(и) sa(р) = р — а для всех аеВ.
(Ш) Bр |а) = (а |а) для всех a?i
Так как система R — приведенная, то sa(R+ (С) — {a}) =
= R+ (С) — fa} и sn(a) = — а для aefi (n°6, следствие I
предложения 17), откуда saBp) = 2р — 2a. Далее,
= I =( 2л ^R. a
поскольку sa(p) = p —(p, av)a. Отсюда р = 2йр и, следо-
вательно, реС. Наконец, (ш) эквивалентно равенству
(р, av)=l.
Следствие. Пусть а — полусумма элементов > 0 системы RV
(относительно Bv). Сумма координат любого элемента a el/
относительно базиса В равна (а, а). Если a e/?, то эта
сумма равна также у Л. /г (a, P).

// § I. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 211
Поменяв ролями R я Rv в предыдущих рассуждениях,
получим при любом аей соотношение (а, <г)=1, эквива-
эквивалентное нашему следствию.
//. Преобразование Кокстера
Пусть С — камера системы R, {ah .. ., щ) — соответствую-
соответствующий базис в R, и пусть c — sa^ ... sa. Элемент сеУ назы-
называется преобразованием Кокстера группы W, определенным
камерой С и биективным отображением /i—^ щ (гл. V, § 6,
п° 1). Его порядок h называется числом Кокстера группы W
(или системы R).
Предложение 30. Предположим, что система R неприво-
дима. Пусть пг — целое число, заключенное между \ и h — 1
, ™ -. / 2inm \ ,
и взаимно простое с п. Тогда expl—т— является собствен-
собственным значением преобразования с кратности 1.
(В частности, m — один из показателей группы W; ср.
гл. V, § 6, п°2.)
Докажем сначала одну лемму.
Лемма 4. Характеристический многочлен любого элемента
w e W имеет целые рациональные коэффициенты.
Известно (п°6, теорема 3), что подгруппа Q(R)czV по-
порождена базисными элементами {с^, ..., щ) системы R. Так
как w оставляет устойчивой Q(R), то его матрица относи-
относительно {а,, ..., аг} будет иметь целые коэффициенты; стало
быть, тем же свойством обладает и характеристический
многочлен.
Пусть Р — характеристический многочлен элемента с.
Только что приведенная лемма показывает, что коэффи-
коэффициенты Р целые. В соответствии с следствием 2 предложе-
предложения 3, гл. V, § 6, п°2 примитивный корень /г-й степени из
единицы 2 = expl—т— будет простым корнем многочлена Р.
Все сопряженные с z над Q будут также простыми кор-
корнями Р. Но известно '), что все примитивные корни /г-й сте-
степени из единицы сопряжены над Q. Поэтому они все являются
простыми корнями многочлена Р, чем и доказано предложение.
Предложение 31. Предположим, что система R — непри-
неприводимая и приведенная, и пусть р = л1а1+ ... + лгог — ее
максимальный корень (см. п°8). Тогда щ + ... + nt = h — l.
') См., например, С. Лен г, Алгебра, „Мир", 1968, гл. VIII, § 3. —
Прим. ред.

212 ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ It
Пусть R+ — множество корней, положительных относи-
относительно С. Имеем (п° 10, следствие предложения 29)
= 14. V <g IP)
"f" —J (a | a)*
neS+1 a ?*= E
Ввиду предложения 25, (iv), n°8, /г (a, p) = 0 или 1 для a<=/?+
и a =7^= В, поэтому n(a, pJ = n(a, P), т. e. и . „,, = " й . .
Отсюда
л,+ ... +n,+ l=2+2 V _fa_LPii_ =
ae=#+.a ч& В
= 2 У <aIPJ _(Q|Q\-1 У I «
Согласно следствию теоремы 1 из гл. V, § 6, п°2,
откуда Л] + ... + nt + 1 = h.
Предложение 32. Предположим, что система R непривп-
дима и что все корни имеют одну и ту же длину. Пусть
a e R. Тогда число элементов системы /?, не ортогональ-
ортогональных а, равно Ah — 6.
Пусть R' — множество корней, не пропорциональных и
не ортогональных а. Согласно следствию теоремы I из гл. V,
§ 6, п°2,
(а|а)-+(а|-а)*+ ^ (а | рJ = h (a | of,
т. е.
S (а|рJ = (/г-2)(а|аJ.
Как показывает список из п°3, (а |Р) = ± у (а |а) для ре/?'.
Следовательно,
jCard /?' = h -2, Card R' = 4/г - 8,
и число корней, не ортогональных а, равно Card /?' + 2=4А—6.

II § 1. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 213
Предложение 33. Допустим, что система R — неприводи-
неприводимая и приаеденная. Положим sa = sl и обозначим через Г
подгруппу в W, порожденную элементом c — s{ ... st.
(i) Пусть %i = stst-i ... si+l (a,) (i = 1, ..., /). Тогда Qt > 0,
c(9f)<0.
(ii) Если а — корень > 0, для которого c(a)<0, то a
совпадает с одним из 0,-.
(Hi) Семейство {Qi)l<i<l есть базис группы Q(R).
(iv) Пусть Q,- — орбита элемента 8,- относительно Г. ЛГно-
жества &i попарно не пересекаются и исчерпывают все
орбиты Г в R; в каждой из них h элементов.
Заметим сначала, что (su ..., s;) — приведенное разло-
разложение элемента с (гл. 4, § 1, п° 1) относительно множества 5
отражений s{. Действительно, в противном случае нашлось бы
подмножество X = S — {j) из /—I элементов, такое, что
с <ее Wx; но тогда было бы S]€=WX, что противоречит след-
следствию 2 предложения 7 из гл. IV, § 1, п°8.
Применяя к с = Sj ... st следствие 2 предложения 17,
п°6, получаем утверждения (i) и (ii).
Пусть Qi — подгруппа в Q(R), порожденная корнями а/,
j>i. Немедленно проверяется, что Q,- инвариантна относи-
относительно Sj, j > i, и что Sj (a;) = aj mod Qi Для / > i. Следова-
Следовательно,
8,- = S; ... si+1 (at) = a< mod Qt.
Другими словами, существуют целые числа с{/, такие, что
а это не что иное, как утверждение (ш).
Наконец, пусть a — корень. Элемент 2 с*(а) инвариан-
ft=0
тен относительно с и, следовательно, равен нулю (гл. V,
§ 6, п° 2). Значит с*(а) не могут быть все одного и того же
знака, и найдется такой индекс k, что ck (а) > 0, а ck+l (a) < 0.
Согласно (ii), с* (а) совпадает с одним из 8г. Стало быть,
любая орбита подгруппы Г в R будет одной из Ц{. Про-
Продолжим, далее, {х\у) до эрмитовой формы на V ® С. В соот-
соответствии с замечанием из гл. V, § 6, п° 2, существует такой
элемент ге V® С, чтосB)==ехр(-^-|2, причем (y \г) ф 0 для
всех у ^ R. Если ср (а) = а, то
(z |а) = (z | с" (а)) = (с-" (г)| а) = ехр (^|^) (г, а),

214 ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ /2 .
откуда ехр (—/Г/"'» и.р = 0 mod h. Это показывает, что
орбита элемента а содержит h элементов. По теореме 1, (ii)
гл. V, § 6, п° 2, общее число орбит Г в R будет, таким
образом, равно -г- = 1. В итоге получаем, что Qt попарно
не пересекаются. Тем самым доказательство (iv) закончено.
12. Каноническая билинейная форма
Как мы уже знаем (п° 1, предложение 3), симметрическая билиней-
билинейная форма
(*, у) |->ВЛ (*,»)= 2 <av, x) (aV;y)
на V является невырожденной и инвариантной относительно A (R).
Поменяв ролями R и Rv, мы видим, что симметрическая билинейная
форма (х*, у") i—> Ву (х*, у*) — ^ (а, х") (а, у*) на V* тоже является
невырожденной и инвариантной относительно A (R).
Обратная форма для By (соотв. В„) на V (соотв. V*) называется
канонической, билинейной формой на V (соотв. V) и обозначается че-
через Фд (соотв. Ф уу Она невырождена н инвариантна относительно A {R).
Пусть 0 — изоморфизм V на V*, определенный формой В v. Для t, jeK
справедливо соотношение
®R(x,y) = Bv(o(x),o (y))= 2 (а, а (х)) {а, а (у)).
к скнД
Но {а, 0 (х)) =В v (о (а), 0(*)) = Ф^ (а, х) Отсюда
Фд (х, у)= 2 фк (<»• х) фк ("• »>• A6)
as/?
Учитывая предложение 7, п° 2, мы приходим к заключению, что Фд —
единственная ненулевая симметрическая билинейная форма, инвариант-
инвариантная относительно W (R) и удовлетворяющая тождеству A6). Для р е R
формула A6) дает
% (Р. Р) = 2 |
откуда
' 2
В то же время по лемме 2, п° 1, для х, у ^ V имеем
= 4
ФЛ(а, дг)Фд(а,

§ 2. АФФИННАЯ ГРУППА ВЕИЛЯ 215-
Стало быть, если система R неприводима, то найдется такая константа
y(R)>0, что
2 RRR R(x,y). A8).
По определению Y (R) имеем BR (х, у) = 4у (/?) Ф^ (х, у), поэтому
". у') = DY
для х*, у* е V*. Этим доказано прежде всего, что v(^)==v(^V)- Далее,
для Р <= /? получается
ж
или ввиду A6)
ф*у (pv, Pv) = v W~l фл (Р. Р)~2фл (Р. Р);
окончательно
(РУ. PV) = Y (Л). A9)-
Если сверх того все корни системы R одной и той же длины Я отно-
относительно <DR, то формулы A6) и A8) показывают, что
y(R) = X~i. B0).
Если, далее, h — число Кокстера группы W, то, как утверждает след-
следствие теоремы 1 из гл. V, § 6, п° 2,
hOR (х, х)= V Фд (х, -J-] для ucex x e V.
Сравнивая это с формулой A6), видим, что
Х==Н~'/г и y(R) = h2. B1)
Наконец, из формулы A9) следует, что корни системы #v будут также
длины X относительно Ф у.
§ 2. Аффинная группа Вейля
В этом параграфе (за исключением п° 5) через R обо-
обозначается приведенная система корней в вещественном век-
векторном пространстве V. Группу Вейля системы R обозначим
символом W; отождествим ее с некоторой группой автомор-
автоморфизмов дуального к V пространства V (§ 1, п° 1) и снабдим V*
скалярным произведением, инвариантным относительно W.
Пусть Е— аффинное пространство, ассоциированное с V*; обо-
обозначим через t(v), v е V*, перенос пространства Е на вектор v.
Наконец, через Р (соотв. Q) обозначим группу переносов,
векторы которых принадлежат группе весов P(RV) (соотв.
группе радикальных весов Q(RV)) системы корней Rv, дуаль-
дуальной к R.

¦216 ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ
1. Аффинная группа Вейля
Для ае/( и AeZ пусть Luik—гиперплоскость в Е:
и пусть sa, k — ортогональное отражение относительно La, k.
По определению,
Vk(x) = x — «а, д:> — k)av = sa,0(*) + ?av
для всех j;g? Иными словами,
sa,, = *(?aV)oSa) A)
где sa — ортогональное отражение относительно гиперпло-
гиперплоскости La = Lai0, т. е. отражение, ассоциированное с кор-
корнем а.
Формула A) показывает, что sa>k не зависит от выбран-
выбранного скалярного произведения.
Определение 1. Назовем аффинной группой Вейля системы
корней R и обозначим символом W a(R) (или просто Wa)
группу аффинных преобразований пространства Е, порож-
порожденную отражениями sa, k для a e R и fceZ.
Предложение 1. Группа Wa является полупрямым произ-
произведением W на Q.
Поскольку группа W порождается отражениями sa, она
содержится в Wa. Далее, t (av) = sa,, о sa, если a e R, а это
и доказывает, что Q с Wa.
Поскольку W оставляет устойчивой Q(RV) (§1, п° 9),
группа аффинных преобразований G, порожденная W и Q,
является полупрямым произведением W на Q. По только
что сказанному G с: W а и согласно A) saAeG, каковы бы
ни были a e R и k e Z. Приходим к выводу; что lFa = С
Предложение 2. Группа Wа, снабженная дискретной то-
топологией, действует собственно разрывно на Е и переста-
переставляет между собой гиперплоскости LOik (для aEl?a 4eZ).
Поскольку Q(RV) есть дискретная подгруппа в V,
группа Q действует собственно разрывно на Е. Стало быть,
то же самое относится и к Wа = W • Q, поскольку W конечна.
Далее, при a, p e 7? и AeZ имеем
«и (К, k) = Ly,k с y = s3 (а) ^ #,
^ (PV) С-а, *) == ^а, ft+я (а. р)>
где п(а, Р) = (|3V, а) — целое, откуда следует второе утвер-
утверждение.

2 § 2. АФФИННАЯ ГРУППА ВЕПЛЯ 217
Итак, к Wa как к группе, действующей на ?, можно
применять результаты гл. V, § 3. Чтобы избежать смешения
с камерами группы Вейля W в V, мы будем называть аль-
альковами камеры, определенные системой гиперплоскостей Lu, k
(для aEi?H^eZ)B?. Значит, группа Wа действует просто
транзитивным образом на множестве альковов и замыкание
любого алькова является фундаментальной областью для Wа
в Е (гл. V, § 3, п° 2, теорема 1; п° 3, теорема 2). Ясно, что
группа Вейля отождествляется с каноническим образом U (Wa)
группы Wa в ортогональной группе пространства V* (гл. V,
§ 3, п° 6). Получаем в итоге, что группа Wа существенна
(гл. V, § 3, п° 7) и что Wа неприводима тогда и только
тогда, когда таковой является система корней /? (§ 1, п° 2,
следствие предложения 5). Если R неприводима, то каждый
альков будет открытым симплексом (гл. V, § 3, п° 9, пред-
предложение 8). В общем случае каноническое разложение
аффинного пространства Е в произведение (гл. V, § 3, п° 8)
соответствует разложению R на неприводимые компоненты.
В частности, альков будет произведением открытых сим-
симплексов.
Заметим еще, что, как показывает следствие теоремы 1
из гл. V, § 3, п° 2, sa,k будут единственными отражениями,
содержащимися в Wа.
2. Веса и специальные тонки
Предложение 3. Специальными точками (гл. V, § 3, п° 10,
определение 1) для Wa являются веса системы Rv.
Пусть хое? и a^R. Гиперплоскость L, параллельная
ядру Кегсе и проходящая через х0, задается уравнением
(а, х) = (а, х0). Чтобы она совпадала с L^fk, нужно, с одной
стороны, чтобы аир были пропорциональны, или ввиду
приведенности R чтобы Р=±се, и, с другой стороны, чтобы
(а, х0) было целым. Тотчас получаем, что х0 является спе-
специальной точкой для Wa тогда и только тогда, когда
(а, х0) еZ при всех aeft т. е. в точности тогда, когда
(§ 1, п° 9).
Следствие, (i) Если <5 е Р (/?v), то существует такой
альков С, что (» будет экстремальной точкой замыкания С.
(ii) Если С — какой-нибудь альков, то пересечение С |"| Q(RV)
состоит из одной точки, которая является экстремальной
точкой замыкания С.

218 ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 2
Это вытекает из предложения 3, если принять во внима-
внимание следствие предложения 11 из гл. V, § 3, п° 10, и предло-
предложение 12 оттуда же.
Предложение 4. Пусть С — камера система Rv.
(i) Существует, и притом только один, альков С, содер-
содержащийся в С и такой, что ОеС.
(И) Объединение w (С) по w ef есть окрестность нуля в Е.
(iii) Любая стенка камеры С является стенкой алькова С.
Это непосредственное следствие предложения 1Ь из гл. V,
§ 3, п° 10.
Предположим теперь, что система R неприводима. Пусть
(а2)(е/ —ее базис (§ 1, п° 5, определение 2), и пусть {<i>t)ieB/ —
дуальный базис. Все шг будут фундаментальными весами
системы Rv относительно камеры С, соответствующей ба-
базису (<*;). Пусть а = 2 "«а* — максимальный корень системы R
(§ 1, п° 8), и пусть / — множество тех ;е/, для которых
л,= 1.
Предложение 5. Пусть С — альков, который содержится
в С и замыканию которого принадлежит 0 (предложение 4).
(i) С есть множество х е= Е, таких, что (а,-, х) > 0 для
всех ("е/, причем (а, х) < 1.
(и) Множество С Л P(RV) состоит из 0 и весов йг для i е= /.
Пусть D — множество х е Е, для которых (а, х) < 1; по-
положим С\ = С f\D. Так как ОеС, то CczD, откуда С с: С,.
Докажем теперь, что при всех ае R и 4eZ множества С
и С, будут лежать по одну сторону от гиперплоскости La, k.
Это покажет, что С, с С, и установит справедливость утвер-
утверждения (i). Если & = 0, то камера С целиком находится по
одну сторону от La, 0, что и дает нужное утверждение в этом
случае. Если же k=?0, то можно, заменив, если нужно, а
на — а, считать, что k > 0. Тогда (а, х) < k на С, поскольку
ОеС. С другой стороны, а — а положителен относительно С
(§ 1, п° 8, предложение 25). Стало быть, (а, г/)^(а, г/) <
< 1 ^fe для jgC,, a это и означает, что С и С, находятся
по одну и ту же сторону от La, k.
Пусть теперь ieP(f), Как мы_ знаем (§ 1, п° 10),
© = 2 Pi®i c Pi e Z. Включение ш е С имеет место тогда
i
и только тогда, когда целые числа pt все положительны.
Если йёС, то йёС в том и только том случае, когда
{а, ш) = 2 niPi будет <!1, а это и дает (п).

3 § 2. АФФИННАЯ ГРУППА ВЕИЛЯ 219
Следствие. Альков С является открытым симплексом
с вершинами 0 и a>i/nit i e /.
Это вытекает из утверждения (i).
3. Нормализатор группы Wa
В этом п° мы предположим, что на V выбрано скаляр-
скалярное произведение, инвариантное не только относительно W,
но и относительно всей группы A(R). Группы A(R) и A(RV)
мы отождествим.
Пусть G — нормализатор группы Wa в группе переме-
перемещений евклидова аффинного пространства Е. Если g— неко-
некоторое перемещение Ens — ортогональное отражение отно-
относительно гиперплоскости L, то перемещение gsg~[ будет
ортогональным отражением относительно гиперплоскости g (L).
В итоге получаем, что G является множеством перемещений
пространства Е, которые переставляют между собой гипер-
гиперплоскости La,k (для ае/? и 4eZ).
Но группа автоморфизмов пространства Е является полу-
полупрямым произведением ортогональной группы U простран-
пространства V и группы Г переносов. При действии g = u°t{v),
где и е U и оеГ, гиперплоскость La, k переходит в гипер-
гиперплоскость, определяемую уравнением
(tu-1(a),x) = k + (a, v).
Следовательно, geG тогда и только тогда, когда, во-пер-
во-первых, 1и переставляет между собой корни, т. е. принадлежит
A (R), и, во-вторых, (a, o)eZ для всех а е R, т. е. и е P(RV).
Иными словами, группа G является полупрямым произ-
произведением A (R) на Р. Поскольку Q cz P и W cz A (R), фактор-
факторгруппа G/Wa является полупрямым произведением A (R)/W
на P{RV)/Q(RV); соответствующее действие A (R)/W на
P(RV)/Q{RV) будет каноническим (§ 1, п° 9), в чем легко
убедиться непосредственно.
Обозначим символом W'a подгруппу в G, являющуюся
полупрямым произведением W на Р. Она будет нормальной
подгруппой в G, и G/W'a канонически изоморфна группе
A (R)/W; кроме того, каноническое отображение P(RV) в W'a/Wa
дает при факторизации изоморфизм группы P(RV)/Q(RV)
на W'JWa.
Пусть теперь С — альков в Е, и пусть Gc — подгруппа,
состоящая из элементов g^G, для которых g(C) = C. Так
как Wа просто транзитивна на альковах, то группа G есть
полупрямое произведение подгрупп Gc и Wа. Соответствую-
Соответствующий изоморфизм факторгруппы G/Wa на Gc доставляет,

¦250 ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 3
в частности, канонический изоморфизм P(RV)/Q(RV) иа
группу ГС = ОСПГ;.
Предположим, что система R неприводима, и восполь-
воспользуемся обозначениями предложения 5 из п° 2. Положим
Ro = R, а через Ri (te/) обозначим систему корней, поро-
порожденную корнями а/ для / ф i. При / = 0 (соотв. ie/) пусть
wt — единственный элемент группы W(Ri) (отождествляемой
с некоторой подгруппой в W), который переводит корни си-
системы Rit положительные относительно базиса (ау). , ., в отри-
отрицательные корни (§ 1, п° 6, следствие 3 предложения 17).
Предложение 6. При любом ie/ элемент yi = t(a>i)WiW0
принадлежит Гс и отображение i н-э yt является биекцией J
на Гс - {1}.
С самого начала отметим, что корень Wi{a) имеет вид
nta+ 2 btjuj
и является, следовательно, положительным.
Докажем, что если i es /, то Y< ^= Гс. В самом деле, пусть
леСи Ь = у((а). При 1^/^/ и j =Ф i справедливо соотно-
соотношение
(Ь, а,> = (щ + u>iwo {a), a,) = (w0 (a), w{ (а;)> > 0, B)
поскольку шо(а)е—С и корень wt (а/) отрицательный.
¦С другой стороны,
(b, at) = 1 + (о>о (a), wt Ы) >l+(w0 (а), а) > 0, C)
поскольку wo(d)€^—С", d — Wi(ai) принимает отрицательные
значения на —С и (wo(a), а) > — 1. Наконец,
(Ь, а) = щ + (ш0 (а), и;» (а)) = 1 + <йу0 (а)> ©г («)) < 1. D)
поскольку шо(а)е —Си i»( (а) —положительный корень. Из
соотношений B) — D) вытекает, что />еС, откуда \i e Гс.
Ясно, что отображение i *—^-yi инъективно, поскольку yt @) = й(.
Наконец, пусть у е Гс, Y^l; положим y — pw, где Р
ииеГ. ТаккакГсП^ = {1}, то рф\. Далее, р@)
еСП^(/?у), и предложение 5 влечет существование такого
ie/, что р@) = со,-. В таком случае Yr'Y(O) —0> откуда
Y = Yi. поскольку Гс П ^ = {1}- Этим завершается доказа-
доказательство.
Следствие. Веса (ш;)ге/ образуют систему представите-
представителей в P(RV) отличных от нуля элементов факторгруппы,
P(RV)JQ(RV).
В самом деле, если отождествить Гс с P(RV)/Q(RV), то
элемент Y; соответствует как раз классу со,- mod Q(RV).

§ 2. АФФИННАЯ ГРУППА ВЕЙЛЯ 221
Замечания. 1) Отображение Y1—*"VW является биек-
цией Гс на Cf]P(#v).
2) Группа G совпадает также с нормализатором группы Wa
в группе автоморфизмов пространства Е, наделенного лишь
аффинной структурой (упражнение 3).
4. Применение: порядок группы Вейля
Лемма 1. Пусть X — локально компактное пространство,
счетное в бесконечности, G — дискретная группа, действую-
действующая непрерывно и собственно разрывно в X, ц — мера ^ О
на X, инвариантная относительно G, G'— подгруппа в G,
U и U' — два открытых подмножества в X, каждое конеч-
конечной меры фО. Предположим, что множества sU при s^G
(соотв. s'U' при s' e G') попарно не пересекаются и что их
объединение обладает пренебрежимым дополнением. Тогда G'
будет конечного индекса в G и (G: G') = \\.(U')l\i(U).
Пусть {sx)ke=A — семейство представителей правых (смеж-
(смежных) классов G по G'. Пусть Ux — объединение множеств s%U.
Тогда множества s/Ul с s'<^G' попарно не пересекаются и
их объединением будет М = {J sU. Пусть М' — (J s'U'.
Sf=O s'sbO'
Объединение U' (соотв. Ux) и надлежащего подмножества
в X — М' (соотв. X — М) будет фундаментальной и, очевидно,
ц-измеримой областью для G'. Согласно следствию теоремы 4
из Интегр., гл. VII, § 2, п° 10, цF") = ц(У,). Этим дока-
доказано, что индекс Card A = (G : G') конечен и что ц (?/') =
= (Саг<1Л)ц((/).
Предложение 7. Предположим, что система R неприводима.
Пусть В = {011. • • •> щ) ~ базис системы R, f — ее индекс связ-
связности (§1, п° 9) и а==п1щ + ... + щщ — максимальный
корень (относительно порядка, определенного базисом В).
Тогда порядок группы W равен
(I!) щщ .. . ntf.
Пусть (и,, ..., сог) — базис системы P(RV), дуальный к В.
Ввиду следствия предложения 5 открытый симплекс С с вер-
вершинами 0, п~'ю,, ..., njx<hl является альковом в Е. Выбе-
Выберем меру Хаара jj. на аддитивной группе V*. Пусть А — мно-
множество элементов в V* вида g,©, + ... + ёг<»г с 0 < || < 1
для г = 1, ..., /. Согласно следствию 2 предложения 15 из
Интегр., гл. VII, § 1, п° 10,
(С) = (/!)л1л2...п,. E)

222 ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 5
Пусть, с другой стороны, А'— множество элеме.'гтв
из V* вида
с 0 < с{ < 1 для / = 1, ..., /. Поскольку (a,v, ..., a7v) — базис
Z-модуля Q (Rv), можно применить лемму 1 с X = V, G = Wa,.
G' = Q, U = C и U' = A'. Получим
')Дг (С) = (Wa: Q) = Card Г. F)
Наконец, можно еще раз применить лемму 1, полагая X = V*,
G = P, G' = Q, U = AkU' = А'. Получим
Q(/?v)) = f. G)
Предложение следует теперь из сравнения формул E),
F) и G).
5. Системы корней и группы, порожденные отражениячи
Предложение 8. Пусть F — вещественное гильбертово
пространство конечной размерности I, $ — множество аффин-
аффинных гиперплоскостей в F и G — группа, порожденная орто-
ортогональными отражениями sN относительно гиперплоскостей
Н €Е $. Предположим, что выполнены условия гл. V, § 3
(т. е. что g(H)^$> для всех #e?> и g^G и что G дей-
действует в F собственно разрывно). Предположим сверх того,
что 0 — специальная точка для G и что группа переносов Т,
содержащаяся в G, имеет ранг I. Тогда существует, и притом
только одна, приведенная система корней R в V == F*, такая,
что канонический изоморфизм F на V* отображает G в аф-
аффинную группу Вейля Wа системы R.
Заметим с самого начала, что условие, наложенное на Т,
влечет существенность группы G: в противном случае аффин-
аффинное пространство F разлагалось бы в произведение FQ X ^i
с dim/7! <l, группа G отождествлялась бы с группой пере-
перемещений, действующей собственно разрывно в F (гл. V, § 3,
п° 8, предложение 6), и Г не была бы группой ранга /.
Пусть ^0 — множество тех Яб§, для которых 0 е= Н.
Для //e|i0 пусть Фя — множество элементов в |>, парал-
параллельных Н. Поскольку 0 — специальная точка, |> будет объе-
объединением множеств Ън с Яе^0. Пусть И ge §о. Так как
Г-группа ранга /, найдется ое/7, для которого перенос на
вектор v принадлежит Т, ъ. v ф Н. Гиперплоскости Н + kv
для k e Z попарно различны и принадлежат множеству ?>н.
Пусть теперь а — унитарный вектор из F, ортогональный
к Н; тогда И -f- (у | а) а е $н, и, поскольку § локально ко-

S § 2. АФФИННАЯ ГРУППА ВЕЙЛЯ 223
нечно (гл. V, § 3, п° 1, лемма 1), существует наименьшее
вещественное число X > О, для которого Я -f- ke фя. Мы
докажем, что %>н есть множество гиперплоскостей Н-\-kXa,
где IjgZ. В самом деле,
Я' = Я + Ла е= #я>
и элемент sH,°sH группы G будет переносом на вектор 2Ха
(гл. V, § 2, п°4, предложение 5). Следовательно, Я + 2«Яа =
= {sH,sH)n{H) и ЯЧ-Bи+1)Я,а = Eя,5я)й(Я') принадлежат фя.
С другой стороны, если L е фя, то существует | е R, такое,
что L = Я + ?^#> и найдется целое число л, для которого
либо 2га<?<2га+ 1, либо 2м— 1<*<2га.
В первом случае {sHsH,)n (L) = Я + (g — 2п) Ал, где
О <(| —
и из определения числа X вытекает, что \ = 2п-\- 1. Во вто-
втором случае
sH(sHsH,)n(L) = H + Bп-Ъ)Ха с 0 <Bп- «Я. < X,
и из определения X следует, что | == 2п.
В итоге получаем, что если ан — линейная форма на F,
для которой
то множество фн есгб множество гиперплоскостей La k =
= {л: е F| (ая, л:) = ^} с iieZ, причем ан и —ая будут
единственными линейными формами, обладающими этим
свойством.
Таким образом, предложение будет доказано, коль скоро
мы установим, что множество R элементов из F вида ± ая
является приведенной системой корней в V.
а) Докажем, что выполнено условие (CKi). Ясно, что R
конечно (поскольку ф0 конечно) и не содержит 0. Далее,
R порождает V. В самом деле, если вектор xef ортого-
ортогонален к R, тохеЯ для всех Не§ои перенос на вектор х
коммутирует с произвольным элементом группы G. По-
Поскольку G существенна, это влечет х = 0.
б) Докажем (СКц). Как и ранее, для сеК и reR по-
положим LCir = {jcG/?|(o, jc) = r}; в случае ае/? положим
Яа = /-а, о и обозначим через sa отображение, сопряженное
к sHa. Существует однозначно определенный элемент avef,

224 гл- VI- СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 5
ортогональный к На и такой, что (av, a) = 2. Тогда sH =
= sv и s =s v. Для |3е/? имеем
sv и s s
av, a a a, a
и найдутся уе
Значит,
= R и /ief
4(Lv-
*Л , такие,
l) == 0, 1/ге
ЧТО
<в). i= ^v, «•
и, следовательно, I/beZ. Поэтому «=1 HSa|)tye/;,
Это доказывает (СКц).
в) Докажем (СКш). Для a^R положим Н'а = Са.\,
так что
Перенос ^(av) на вектор av, будучи произведением s 'S
Н а На
(гл. V, § 2, п°4, предложение 5), принадлежит подгруппе Г,
и av = ^(av)@) является специальной точкой для G. Итак,
для любого р е= R существует проходящая через av гипер-
гиперплоскость /„„ k с целым k, а это и доказывает, что (р, av) e Z,
т. е. условие (СКш) выполняется.
г) Наконец, очевидно, что R — приведенная система,
поскольку из Я, Я' е §0, НфН', вытекает непропорцио-
непропорциональность линейных форм ан и ан>.
Замечание 1). Условие, что подгруппа Т — ранга /, вы-
выполняется, в частности, когда G неприводима и бесконечна.
Действительно, векторное пространство, порожденное век-
векторами переносов из Т, инвариантно относительно канони-
канонического образа группы G в линейной группе пространства F.
Оно отлично от @), если G бесконечна, и, стало быть, сов-
совпадает со всем F, если G бесконечна и неприводима.
Конечная группа, порожденная отражениями, не всегда
будет группой Вейля какой-нибудь системы корней. Более
точно:
Предложение 9. Пусть V — вещественное векторное про-
пространство конечной размерности I, и пусть G — конечная
подгруппа в GL (V), порожденная отражениями и существен-
существенная. Снабдим V скалярным произведением, инвариантным
относительно G. Следующие условия эквивалентны:
(i) в V существует дискретная подгруппа ранга I, устой-
устойчивая относительно G;
(п) на V существует Q-структура (Alg., chap. II, 3е ed.,
§ 8, п°1, определение 1), инвариантная относительно G;

g § 2. АФФЛННАЯ ГРУППА ВЕЙЛЯ 225
ПН) в V существует система корней, группой Вейля ко-
которой является G;
(iv) существует дискретная группа G' перемещений про-
пространства V, действующая собственно разрывно в V, поро-
порожденная отражениями и такая, что G' будет полупря-
полупрямым произведением G и некоторой группы переносов
ранга I.
(ii)=#(i). Пусть V а V — некоторая Q-структура на V,
инвариантная относительно G, А — конечное подмножество
в V, порождающее векторное Q-пространство Vе. Заменяя А
на (J s(A), можно предполагать А устойчивым относи-
тельно G. Пусть В — подгруппа в V, порожденная А. Оче-
Очевидно, В устойчива относительно G, конечного типа и без
кручения; она допускает, следовательно, базис над Z, кото-
который будет одновременно базисом V над Q и, стало быть,
базисом V над R.
(Ш)=Ф(п). Это вытекает, скажем, из предложения 1, § 1, п° 1.
(iv)=>(iii). Пусть G'— группа, удовлетворяющая усло-
условию (iv). Подгруппа переносов в G' имеет ранг /, а О
является специальной точкой для G', как это следует из
предложения 9 гл. V, § 3, п°10. Предложение 8 утверждает,
что существует приведенная система корней Ro в V, такая,
что G' отождествляется с Wa(Ra); группа G будет тогда
группой Вейля системы корней, дуальной к ^0.
(i)=^(iv). Предположим, что G оставляет устойчивой
дискретную подгруппу М czV ранга /. Для любого отраже-
отражения s^G включение s(x) — х^.М справедливо, каково бы
ни было ieM, поэтому прямая Д., ортогональная к Hs,
пересекает М, Пусть as, —a, — образующие циклической
группы Ds П М. Множество А всех as и — as устойчиво отно-
относительно G и, следовательно, порождает подгруппу М' а М,
устойчивую относительно G; дискретная группа М' будет
ранга /, потому что G существенна. Пусть G' — группа
аффинных преобразований V, являющаяся полупрямым
произведением G и группы переносов на векторы, при-
принадлежащие М'. Обозначим через G[ подгруппу в С,
порожденную отражениями из G'. Доказательство будет
завершено, коль скоро мы установим, что Gj = G/. Прежде
всего G\ zd G, поскольку группа G порождена отражениями.
Далее, для любого отражения s cz G пусть ts — перенос на
вектор as. Преобразование s ° ts будет отражением и s - ^.sG';
стало быть, ts есть произведение двух отражений из G'.
Будучи справедливым для любого отражения s cz G, это
замечание показывает, что все переносы на векторы, при-
принадлежащие М', содержатся в G\.
8 Зак. 61. Н. Бурбаки

226 гл- VI- СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 1
Определение 2. Группа G, удовлетворяющая эквивалент-
эквивалентным условиям предложения 9, называется кристаллографи-
кристаллографической группой.
Замечание 2). Пусть G — конечная группа, порожденная
отражениями и существенная. Для того чтобы G была
кристаллографической группой, необходимо и достаточно,
чтобы любой элемент ее матрицы Кокстера был равен одному
из чисел 1, 2, 3, 4, 6. В самом деле, в соответствии с за-
замечанием 3) из § 1, п°5, это условие необходимо. Доста-
Достаточность условия вытекает из классификации конечных групп
Кокстера, которая будет приведена в § 4 (непосредствен-
(непосредственное доказательство см. в гл. V, § 4, упражнение 6).
§ 3. Экспоненциальные инварианты
В этом параграфе буквой Л обозначается коммутатив-
коммутативное кольцо, не сводящееся к 0 и обладающее единичным
элементом.
1. Алгебра свободной коммутативной группы
Пусть Р — свободный Z-модуль конечного ранга /, Обо-
Обозначим через А[Р] (групповую) алгебру над А аддитивной
группы Р {Alg., chap. Ill, 3е ed., §2, п°6). Для любого psP
обозначим символом е" соответствующий элемент алгебры
А[Р]. Тогда (ер)реР будет базисом Л-модуля А[Р] и при
любых р, р' е Р будут выполняться соотношения
= е~Р, е°=1.
Лемма 1. Допустим, что кольцо А факториально (Ком.
алг., гл. VII, § 3, п°1, определение 1).
(i) Кольцо А[Р] факториально.
(п) Если и, v — непропорциональные элементы из Р, то
элементы 1—е", 1—ev алгебры А[Р\ взаимно просты.
Пусть (p[t р2, ..., pi) — базис группы Р и Хи Х2, ..., Xt —
переменные. Тогда Л-линейное отображение кольца А[ХЬ ...
..., Xi, ХГ1, .... XT1} на А[Р], переводящее Хп^Хп2* ... *"'
{где пи п2, ..., /J(eZ) в e"'Pl+ '" +ntptt является изоморфиз-
изоморфизмом колец. Но Л [Хь , XL] — факториальное кольцо (Комм.
алг., гл. VII, § 3, п°5), а так как А [Хи ..., J,, А7\ • • •. Xf1] —
кольцо отношений (дробей) кольца А[Хи ..., Xt], то и оно
факториально.
Пусть Р/ (соотв. Р") — множество элементов из Р, крат-
кратные которых принадлежат Ъи -f Zv (соотв. Zu). Тогда PjP'

2 § 3. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ 227
и Р'\Р" будут группами без кручения, так что существуют
некоторое дополнение к Р" в Р' и некоторое дополнение
к Р' в Р. Существуют, следовательно, базис (zu z2, ..., zt)
Z-модуля Р и целые рациональные числа у, т, п, для кото-
которых u = jzlt v = mzi-\-nz2, у > 0, п > 0. Положив Xt = eZi
для l<i</, будем иметь 1 — е"=1 — Х{, 1 — е° = 1 — ^Г^г.
Пусть /С — алгебраическое замыкание поля частных кольца А,
так что А [Р] отождествляется с некоторым подкольцом
кольца В = К\Х\, ..., Xi, XZ , ..., XJ\. Для любого корня
у'-й степени из единицы z элемент 1—zXj экстремален
в К[Хи ..., Xi\; кроме того, идеал, порожденный 1— zXu
не содержит ни одного одночлена от переменных Xt. Мы
делаем заключение, что идеал A—zX{)B кольца В есть
простой идеал высоты 1 (Комм, алг., гл. VII, § 1, п°6),
значит, элемент 1—zXx экстремален в В. Поэтому экстре-
экстремальные множители в В элемента 1 — Х{ имеют вид 1 — zX{.
Но ни один из этих множителей не делит 1 — XfX" в В
(ибо гомоморфизм/: В—> В, для которого f(X,) = z~'
— Xi при 1^2, удовлетворяет соотношениям
-z*,) = O и
Итак, 1 — Х[ и 1 — X^X'i взаимно просты в В. Стало быть^
общий делитель в А[Р] элементов 1— Х[ и 1— Х?Х% обра-
обратим в В, т. е. с точностью до умножения на элемент вида
X^Xk22 ... Xtl равен некоторому элементу а^А; вдобавок
« — делитель 1 в Л и, значит, обратим в Л. В конечном
счете 1 — Х[ и 1— XfXz оказываются взаимно простыми
вА[Р].
2. Случай группы весов; максимальные члены
Сохраняя обозначения предыдущего пункта, мы рассмот-
рассмотрим приведенную систему корней R в вещественном вектор-
векторном пространстве V. В этом параграфе в качестве Р будет
взята группа весов системы R (§ 1, п° 9). Группа W = W(R)
действует на Р, а поэтому также и на алгебре А [Р]; именно,
w (еР) — ею(р) для w e W и р^Р.
Пусть С —какая-то камера системы R (§ 1, п° 5) и й =
~(аг)к;<г — соответствующий базис. Введем на V (а следо-
следовательно, и на Р) структуру порядка, определяемую камерой С.
Соотношение р^р' для элементов р, р'еР справедливо
тогда и только тогда, когда р — р' есть линейная комбинация.
с положительными коэффициентами корней а^.
8*

228 ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 3
Определение 1. Пусть х = 2 хре"—элемент алгебры А [Р].
ptzP
Множество S тех р е Р, для которых хр ф 0, называется но-
носителем элемента х, а множество X максимальных элементов
из S — его максимальным носителем. Говорят еще, что хре"
для ре! есть максимальный член элемента х.
Лемма 2. Пусть леЛ[Р], и пусть (Хрвр) х — семейство
максимальных членов элемента х. При данном q e= P пусть
у — элемент из А[Р], для которого еч — единственный макси-
максимальный член. Тогда семейством максимальных членов про-
произведения ху будет {xpev+)
Положим х = ^хрер, y — ^jyrer и ху = ^г{е'. По усло-
р г t
вию г ^ q для всех г е Р, таких, что уг ф 0, и zt= 2 х„уг.
P+t
Если t = p-\-q — pf -\- г с pel и хр>уг ф 0, то г ^.q, от-
откуда р'^р и, следовательно, р' = р. Поэтому zp+q = xpyq=
= хр Ф 0. Это показывает, что X -j- q содержится в носителе
произведения ху.
С другой стороны, если t = p' -\-г с хр-уг Ф 0, то найдется
элемент реХ, такой, что р'^р, и ^^р + <7- Значит, мак-
максимальный носитель произведения ху содержится в X -\- q.
Так как два элемента из X + q не сравнимы, то получается,
что X -\- q есть в точности максимальный носитель произве-
произведения ху. Но, как мы уже видели выше, zp+q = xp для реХ,
чем и завершается доказательство леммы.
Замечание. Так как максимальный носитель элемента
х ф 0 не пуст, то лемма 2 показывает, что х Ф 0 влечет
ху Ф 0 всякий раз, когда у обладает единственным макси-
максимальным членом вида еч.
3. Антиинвариантные элементы
Сохраняя обозначения предыдущего пункта, будем обо-
обозначать через е(ш) определитель элемента w e W. Имеем
где длина l(w) берется относительно семейства отражений sa..
Определение 2. Элемент х^ А[Р] называется антиинва-
антиинвариантным относительно W, если
W [Х) — 8 (W) ¦ X
для всех w e W.

3 § 3. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ 229
Антиинвариантные элементы алгебры А[Р] образуют Л"
подмодуль в А [Р]. Для любого хеЛ[Р] положим
/(*) = 2 е(ау)- w(x). П)
Каковы бы ни были хе А[Р] и w e W, имеем
w(J{x))— 2 e(ti) • wv(x) = e(w) 2 е (и) • v (x) — в (w) • / (х),
так что /(х) — антиинвариантный элемент. С другой стороны,
пусть q = Card(W). Для любого антиинвариантного элемента
хе.4[Р] справедливо соотношение J{x) = q-x. Отсюда сле-
следует, что при q, обратимом в Л, отображение q~4 является
проектированием А\Р\ на подмодуль антиинвариантных эле-
элементов.
Пусть ©], ..., со; — фундаментальные веса, соответству-
соответствующие камере С. Элементами из Р[\С (соотв. РПС) будут
веса вида «,©] + ... +«/»/. где щ^О (соотв. nt > 0) для
(§ 1, п°10). Далее,
есть полусумма положительных корней {там же), и элемен-
элементами пересечения Р[)С будут также веса вида р + р с р^Р Л С.
Наконец, если p^.Pf\C, то w (р) < р для всех w ф 1 (§ 1,
п° 6, следствие предложения 18) и, следовательно, ер — един-
единственный максимальный член элемента J(ep).
Предложение 1. Если 2 не является делителем нуля в А,
го элементы J (ер) для p^PftC образуют базис модуля
¦антиинвариантных элементов алгебры А [Р].
При w^W и р^Р(]С веса w(p) попарно различны.
Отсюда следует, что элементы /(ер) для p^Pf\C линейно
независимы.
Пусть теперь х = ^хрер — антиинвариантный элемент
р
алгебры А[Р]. Если вес р0 принадлежит какой-нибудь стенке,
то он инвариантен относительно некоторого отражения sef и
х = 2 хре" = — s (х) = — 2 xpes{PK
р р
Получаем 2д;Р|) = 0, откуда xPa = 0. Любой элемент, не при-
принадлежащий ни одной стенке, записывается однозначным
образом в виде w(p) с w ^W и ре Р(]С. Следовательно,
2 2 B)

230 гл- VI- СИСТЕМЫ КОРНЕП
Так как w{x) = 2j xpew(p) = &{w)ZiXpep, то хШ(Р) = e,(w) xp, и
из B) видно, что
тем самым доказательство завершено.
Рассмотрим теперь элемент d алгебры A \y^ • опреде-
определенный соотношением »
d = Ц (еа/2 — е~а/2) =
аевЯ, а>0
= вр • ТТ A —в~а) = HV
е
-Р.
Так как р?Р, то de/l[P].
Предложение 2. (i) Элемент d, определенный соотноше-
соотношением C), есть антиинвариантный элемент алгебры. А[Р]\ его
единственным максимальным членом (п° 2, определение 1)
является ер, и d — J (ер).
(ii) /7р« любом ре/1 элемент J(ер) однозначно делится
на d и дробь ]{ev)ld является элементом алгебры A\P\t
инвариантным относительно W.
(ш) Если 2 не является делителем нуля в А, то умноже-
умножение на d будет биективным отображением множества эле-
элементов из А [Р], инвариантных относительно W, на множество-
антиинвариантных элементов алгебры А[Р].
Известно, что при 1^/^/ отражение st = sa. оставляет
устойчивым множество положительных корней, отличных
от ссг, и что s,-(a,) = — а{ (§ 1, п° 6, следствие 1 предложе-
предложения 17). Поэтому
s. (d) = (e-V2 _ eV2) • 2 (eal2 - e'a'2) =
a<=fl, a>0, афа1
= — d = e (si) ¦ d.
Так как st порождают W, то этим доказано первое утвер-
утверждение в (i). Второе утверждение в (i) немедленно вытекает
из C) и леммы 2 с учетом того факта, что 1 — единственный
максимальный член элемента 1 — е~а при ое/?, a > 0.
Предположим на время, что А = Z. Ввиду предложения 1
имеем
d= 2 cpJ(eP) с c?eZ. D),

3 § 3. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ 231
С другой стороны, нетрудно видеть, что
q
2 cqeq. E)
Если р е Р(]С с р Ф р, то р > р, и коэффициент при ер в d
будет равен нулю,, как это явствует из E). Поэтому ср = 0.
Далее, сравнение коэффициентов при ер в D) и E) показы-
показывает, что ср=1 и, следовательно, d = J(ep).
По-прежнему мы предполагаем, что А = Z. Пусть реР,
а е /? и М—система представителей правых классов группы W
по подгруппе A, sa}. Имеем
J{e°)= 2 e(w)ewip)+ 2
Л1 Л1
Но saw (р) = ю (р) — (<zv, да (р)) а = w (р) + яша, где яш е Z.
Значит,
Ясно, что 1 —е1^ при /гш^0 делится на 1 — еа; то же самое
верно и при пш < 0, поскольку 1 — еп™а = — е"и>аA — е~Пи>а).
Следовательно, /(ер) делится в Z [Р] на 1 — еа.
По лемме 1 кольцо Z[P] факториально, а элементы 1 —еа
при oeJ?, a > 0, попарно взаимно просты. Отсюда следует,
что J (е) делится в Z[P] на произведение Ц A — еа) и,
а>0
стало быть, на d = e~v JJ (еа — 1).
а>0
Обратимся теперь к общему случаю. Расширяя кольцо
скаляров с Z до А, мы получаем из предыдущего, что d =
= /(ер) и что всякий элемент /(е9) делится на d. Поскольку d
допускает ер в качестве единственного максимального члена,
замечание из п° 2 показывает, что существует лишь один
элемент уе/1[Р], для которого J{e'1) = dy. Отсюда тотчас
получается, что у инвариантен относительно W, поскольку d
и J (ер) антиинвариантны. Этим доказаны (i) и (И).
Наконец, если 2 не является делителем нуля в А, то
замечание из п° 2 и предложение 1 влекут (ш).
Замечания. 1) Если 2 не является делителем нуля в А,
то, как легко проверить, d — единственный антиинвариантный
элемент кольца А[Р], допускающий ер в качестве максималь-
максимального члена.
2) Лемма 2, п° 2, показывает, что единственным макси-
максимальным Членом дроби J (e")/d (для ре ЯП О будет ер~р.

232 ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 4
4. Инвариантные элементы
Пусть Л173]117 — подалгебра в А[Р], состоящая из элемен-
элементов, инвариантных относительно W. Обозначим через W ¦ р
орбиту точки реР относительно W, а через S{e")= 2 еч
сумму различных образов элемента е при действии W; это
будет инвариантный элемент. Если ре.Р[\С, то w(p)-^.j>
для всех w e W (§ 1, п° 6, предложение 18) и е° — единст-
единственный максимальный член суммы S(eP).
Пусть х = 2 хрер е A [P]w; очевидно, xw <p) = хр при всех
р
реР и всех aielC. С другой стороны, любая орбита
группы W в Р пересекает Р[\С в одной и только одной
точке (§ 1, п° 5, теорема 2). Следовательно,
р
Получается
Лемма 3. А-модуль A[P]W допускает в качестве базиса
семейство сумм S (ер) для р е Р(]С.
Более общо, справедливо
Предложение 3. Для любого р s Pf[C обозначим через хр
элемент из A[P]W, обладающий единственным максимальным
членом ер. Семейство (хр)р(=рПс' будет базисом А-модуля
A [P]w.
Докажем сначала одну лемму.
Лемма 4. Пусть I — упорядоченное множество, удовле-
творяющее следующему условию:
(МИН) Всякое непустое подмножество в I содержит мини-
минимальный элемент.
Пусть Е — А-модуль, {ei)i^l — его некоторый базис и
(*t)i(=/ — такое семейство элементов из Е, что
Xi = е,- + 2 ацв]
для всех i s / (с ац е А и с ¦ конечным носителем семей'
ства (ац) при всех г). Тогда {xi)i(^I будет базисом А-модуля Е.
Для любого подмножества J а I пусть Ej будет под-
подмодулем в ? с базисом {ei)i(r]. Пусть, далее, <& — множе-
множество подмножеств /с/, обладающих двумя следующими
свойствами:

4 § 3. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ 233
(а) если /' ^ I и is/, то I' е /;
(б) (xi)i^J — базис подмодуля ?,.
Непосредственно проверяется, что to упорядочено по
включению, индуктивно и непусто. Следовательно, оно обла-
обладает максимальным элементом /. В случае J Ф I возьмем
за /0 минимальный элемент в / — /и положим /' = / U {г'оЬ
Всякий элемент i е /, такой, что / < г0, принадлежит тогда /;
отсюда заключаем, что /' удовлетворяет условию (а). Далее,
У удовлетворяет условию (б), ибо
Следовательно, /'е©, и мы получили противоречие. Значит,
/ = /, а это и доказывает лемму.
Докажем теперь предложение 3. Применим лемму 4
к множеству 1 = Р(]С. Пусть q е /, и пусть lq — множе-
множество ре/, таких, что p^q. Если p^Iq, то соотношения
<7 —р>0, р
влекут
(<7-р1р)>0 и
откуда
Следовательно, множество /, ограничено. Поскольку / ди-
дискретно, это значит, что Iq конечно, и ясно, что У удовле-
удовлетворяет условию (МИН). С другой стороны, при всех ре/
справедливо соотношение
хр = е»+ 2 cpqe",
q<p
откуда с учетом F) имеем также
2 cpqS(e").
c=!
Предложение вытекает теперь из лемм 3 и 4.
Теорема 1. Пусть <Ь1 ©г — фундаментальные веса,
соответствующие камере С, и при 1^г<1/ пусть xt — элемент
из A [P]w, допускающий еш' в качестве единственного макси-
максимального члена. Пусть
<р: А[Хи ..., Хг)^А{РГ
— гомоморфизм алгебры многочленов А [Хи ..., Xi\ в
переводящий Xt в х{. Отображение ср является изоморфизмом.

234 ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ /
Из леммы 2 следует, что образом одночлена Хп^ ... X
при отображении ф будет элемент, допускающий в качестве
единственного максимального члена e"iwi+"-+V)/- Поскольку
произвольный элемент из Р{]С однозначно записывается
в виде «]©,+ ••• + Щ®1, предложение 3 показывает, что
образы одночленов X ... X при отображении ф образуют
базис Л-модуля A [P]w, откуда и вытекает Теорема.
Примеры. 1) Можно взять Xi — Sie®1).
2) Ввиду замечания 2 в п°3 можно взять xt = j{ep+m')ld
(в обозначениях п°3).
§ 4. Классификация систем корней
1. Конечные группы Кокстера
В этом параграфе мы собираемся описать с точностью
до изоморфизма все системы корней и, следовательно, все
кристаллографические группы (§ 2, п°5). Более общим обра-
образом мы начнем сейчас с описания всех конечных групп,
порожденных отражениями в вещественных векторных про-
пространствах конечной размерности; оно сводится (гл. V,
§ 4, п°8) к описанию всех конечных групп Кокстера или же
{там же, теорема 2) всех матриц Кокстера конечного порядка,
с которыми ассоциирована невырожденная положительная
билинейная форма.
Пусть M = (niij)i •<=/ — матрица Кокстера конечного по-
порядка /. Положим
qu = — cos (л/тц).
Напомним, что qti = 1 и что qti = qit равно нулю или ^ — '/г
при 1ф\. Положим E = R' и выберем канонический базис
(ег)/е=/ в Е- Обозначим через (х\у) билинейную форму на Е,
ассоциированную с М (гл. V, § 4, п° 1), а через q квадра-
квадратичную форму х*—>(х\х) на Е. Для х= 2 ?;ег е ? имеем
Символом (X, f) обозначим граф Кокстера матрицы М (гл. IV,
§ 1, п°9). Если а — ребро графа X, то будем говорить, что
f(а) — порядок ребра а.
На всем протяжении этого пункта мы будем предпола-
предполагать, что группа Кокстера W(М), определенная матрицей М

1 § 4. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ КОРНЕЙ 235
(гл. V, § 4, п°3), конечна, так что форма q невырождена
и положительна, а X есть лес (гл. V, § 4, п°8, предложе-
предложение 8). Предположим сверх того, что граф X — связный
(другими словами, что группа Кокстера W (М) неприводима),
так что X есть дерево.
Выражая тот факт, что форма q невырождена и поло-
положительна, мы получим условия на гпц, которые позволяют
составить список возможностей для соответствующих графов
Кокстера; затем остается лишь убедиться в том, что эти
возможности действительно реализуются, т. е. что соответ-
соответствующие группы W (М) будут конечны.
Лемма 1. При всех i справедливо неравенство 2 <??/ < !•
Пусть / — множество тех / е /, отличных от I, для кото-
которых qtl Ф 0, т. е. для которых {i, /} будет ребром графа X.
Если /, /' е / и \ ф ']', то {/, /'} не будет ребром (в против-
противном случае /, /, /' составляли бы цикл), поэтому (ej | е^ = 0.
Пусть F= 2 Re/- Тогда (^/)/е/ будет ортонормальным бази-
базисом подпространства F. Расстояние d от et до F выра-
выражается формулой С?2= 1 — 2 (е{ | ejf= I ~~ 21 Я\; = 1 — 2 <7;;>
из которой и следует утверждение леммы.
Лемма 2. Вершина графа X не может принадлежать
более чем трем ребрам.
В самом деле, если вершина I соединена с h другими
вершинами, то соотношения q\,^-r для этих других вершин
влекут по лемме 1 неравенство -т < 1, поэтому /г^З.
Лемма 3. Если i принадлежит трем ребрам, то это будут
ребра порядка 3. _
В противном случае, учитывая соотношение cos-^- = —^—,
мы имели бы
что невозможно (лемма 1).
Лемма 4. Если существует ребро порядка ^6, то 1 = 2.
В самом деле, пусть таким ребром является {г", /}. В слу-
случае / > 2 одна из вершин i, j (например, i) была бы соеди-

236 ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ /
нена с какой-нибудь третьей вершиной /', поскольку граф
X—связный. Учитывая соотношение cos " , мы имели бы
кф1
что невозможно (лемма 1).
Лемма 5. Никакая вершина графа X не может принадле-
принадлежать двум различным ребрам порядка ^4.
Если бы i была такой вершиной, то выполнялось бы
соотношение
а это невозможно (лемма 1).
Пусть {/, /} — ребро графа X. Мы определим новый граф
Кокстера, о котором говорят, что он получается из графа
матрицы М отождествлением i и /. Множеством /' его
вершин будет фактормножество множества /, получающееся
при отождествлении I и /. Пара р=={/, /'} является элемен-
элементом в /'; отождествим элементы множества /, отличные от
/ и /, с их каноническими образами в /'. Пусть k, k' — два
различных элемента из /'. Тогда {k, k'} будет ребром нового
графа в следующих случаях:
1) k и k' отличны от р, и {k, k'} является ребром X;
в этом случае порядок нового ребра полагаем равным ть,.,\
2) k = р, и одно из множеств {/, k'}, {/, k') является
ребром графа X; полагаем порядок ребра \р, k'} равным mjk;r
если {i, k'} — ребро X, и тjk,, если ребром X является {/, k'\
(обе возможности не могут встретиться одновременно, по-
поскольку X — дерево).
Пусть Mr=(m'ij)i .г—определенная таким образом новая
матрица Кокстера; положим q',= — cos—;—. При кфр
mi~! ,.
имеем q'pk = qik + qjk. Следовательно, если {lt) eR , то
h S /kkU, = k kJ_{L .qkk,lkl« + 2 m Д n(g
Полагая \i = \l = %>i>> получаем
q'kkkklk. = S
= 2
ft, Д
2 ^^-A+2^N». A)

/ § 4. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ КОРНЕЙ 237
Лемма 6. Если ребро {г, /} порядка 3, то W (М'} — ко-
конечная группа Кокстера.
В самом деле, Яц = — -^, поэтому соотношение A) при-
принимает вид
I!,- А|\ ЯиАыЪ B)
и, стало быть, (|Д ь-> 2 <?fefc'?ft?ft' ~ невырожденная
fes/ k.k'^1'
положительная квадратичная форма. Поэтому достаточно
применить теорему 2 из гл. V, § 4, п°8.
Лемма 7. Имеет место следующая альтернатива:
а) X обладает точкой ветвления (гл. IV, Дополнение, п° 1),
причем только одной, и все ребра X имеют порядок 3.
б) X является цепью и обладает не более чем одним
ребром порядка
Рассуждаем по индукции относительно /.
а) Предположим, что X обладает точкой ветвления L
Тогда i принадлежит трем ребрам порядка 3: {/, kx}, {/, k2},
{i, k3} (леммы 2 и 3). Если 1 = 4, то лемма доказана. Если же
/>4, то одна из вершин, например ku принадлежит ребру,
отличному от предыдущих, поскольку граф X — связный.
Отождествим i и kx в графе Кокстера матрицы М. Получим
новый граф, к которому по лемме 6 можно применить пред-
предположение индукции. Но образ р точки / будет точкой вет-
ветвления нового графа X'. Поэтому у графа X' нет других
точек ветвления, а все его ребра имеют порядок 3. Значит,
и у X все ребра будут порядка 3, и никакая точка, отлич-
отличная от i и k\, не будет точкой ветвления. Если бы kx была
точкой ветвления в X, то р принадлежала бы по крайней
мере четырем ребрам в X'', вопреки лемме 2.
б) Предположим, что X не обладает ни одной точкой
ветвления. Тогда X является цепью (гл. IV, Дополнение, п°3,
предложение 3). Пусть {г, /} — ребро порядка ^ 4. Если 1 = 2,
то лемма тривиальна. Если же это не так, то, скажем, вер-
вершина i принадлежит ребру {/, k) с k Ф- j (из-за связности X).
Это ребро будет порядка 3 (лемма 5). Отождествим i и k
в графе Кокстера матрицы М. Ввиду леммы 6 можно при-
применить предположение индукции. Пусть р — образ точки I
в новом графе X'. Ребро {р, /} в X' имеет порядок ^4,
поэтому в X' нет другие ребер порядка ^4 и, стало быть>
{i,}} — единственное ребро порядка >4 в I

238 ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ /
Лемма 8. Пусть вершины iu i2, ..., ip графа X таковы,
что {/,, i2}, {i2, i3}, ..., {ip-iip} будут ребрами порядка 3. Тогда
Имеем [eir\eir)=\, (eif\eif+i) = — -j и (e(Je4-J=.-0 при
5 > г + 1. Следовательно,
Согласно следствию предложения 14 из Теор. множ., гл. III,
§ 5, п°8, это равно
Лемма 9. Предположим, что X — цепь с вершинами 1,
2, ..., I и с ребрами {1, 2}, {2, 3} {/ — 1, /}.
(i) Если одно из ребер {2, 3}, {3, 4}, ..., {/ — 2, / — 1} имеет
порядок ^ 4, то это ребро будет на самом деле порядка 4,
а граф будет следующим:
(ii) Если ребро {1,2} имеет порядок 5, то граф, будет
¦одним из следующих:
Можно считать / > 2 (лемма 4). Допустим, что ребро
'{/,/+1} с 1<л<[/ — 1 имеет порядок 1^4. Положим
х = е, + 2е2 + • • • + ielt
y = et-\-2et-i+ ... +(/ — i)ei+i и 1 = 1 —i.
По лемме 8 будет IUIP = }«(/ + 1), || yf = jj(j + I), С дру-
другой стороны, (x\y) = ij(e{ \ei+l) = — //cos— с /п = 4 или 5
(лемма 4). Имеем
(x\yf<\\x\f\\y\f,

§ 4. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ КОРНЕЙ 239
т. е.
откуда
(/ + 1) (i + 1) > Щ cos2 -? > 2i\. C)
Это дает // — г — / — 1 < 0, или (г — 1) (/ — 1) < 2. Если
то и 1 </</— 1, поэтому i = j = 2 и, кроме того,
9>16cos2 —, следовательно, cos2 — <cos2-?- ',
ftl ttl О
так что т = 4. Этим доказано (i). Если /=1 и т = 5, то,
согласно C), 2/+2> 4/ 3+8^5 , или / ^-f-1 < 2, j < УЪ + К 4
и, стало быть, / = /+1^4. Тем самым доказано утвержде-
утверждение (ii).
Лемма 10. Если X допускает точку ветвления i, то целый
подграф X — {i} является одъединением трех цепей, и если
р—1, q—U г—I—длины этих цепей, то тройка {p,q,r)
с точностью до перестановки совпадает с одной из троек
A, 2, 2), A, 2, 3), A, 2, 4), A, 1, т) {для какого-нибудь т> 1).
Вершина / принадлежит трем ребрам (лемма 2) и не
существует никакой другой точки ветвления (лемма 7), по-
поэтому целый подграф X — {/} состоит из трех цепей Хх, Х2, Х3,
концевые вершины которых (по одной в каждом Хг) соеди-
соединены с i в X. Пусть {ii,i2}, {i2,i3},..., {rp_,, ip} — ребра
цепи Хи {/,, /2}, ..., {/,_,, /„}—ребра в Х2, {ku k2}, ..., {fer_,, kr}—
') Корни 5-й степени из 1, отличные от 1, являются решениями1
уравнения г4 + г3 + г2 + z + 1 =0. При подстановке л- = —(г-) j это
уравнение принимает вид BхJ — 2 + 2х + 1 = 0, или 4ж2 + 2х — 1 = 0,
р
- 1 ± Уь .
или ж = т . Отсюда
4
- 1
COS-=- :
5
я 1 + /5

240 гл- VI- СИСТЕМЫ КОРНЕЙ /
ребра в Х3, где /,, /,, k{ соединены с i в X. Можно пред-
предполагать p^q^r^l. Положим
z =
Поскольку все ребра в X порядка 3 (лемма 7), лемма 8
дает ||*|р = 1р(р+1), || у |р = - q (<7+l), ||z|f = i-r(r + 1).
Далее, в; ортогонален к в;2, вг3> •••. е,- , откуда (е?|л:) =
= р(е,- |е/,) = — ур. Аналогично (ег |г/)==— у ^, (e,|z) = — у г.
Векторы || л: ||~' х, || г/ Ц г/, || z If1 г являются единичными и
попарно ортогональными, и е,- не принадлежит порожденному
этими единичными векторами подпространству F. Квадрат
расстояния от е,- до F равен
1 V1 11*11) Г' щ) ~
я
2 р+1 2 q+1 2 г+1
!_4-—— 1.1 1 1.1 1*
Выражая тот факт, что эта величина > 0, приходим к нера-
неравенству
(р + 1)~ + (q + 1)~ + (г + 1)~ >• 1. D)
Таким образом, 3(г+1)~'>1, откуда г<2 и, наконец,
г=1. Поэтому D) дает
(р + 1)~' + (^+ I) >у, E)
так что 2(<7 + 1)~' > —, откуда q^2. Наконец, если q = 2,
то E) приводит к
(р -+- 1) > -7Г-, откуда /?^4.

I § 4. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ КОРНЕЙ 241
Теорема 1. Если (W, S) — неприводимая конечная система
Кокстера, то ее граф Кокстера изоморфен одному из сле-
следующих графов:
вершин)
: вершин)
{1>4 вершин)
= 5 или р > 7%
Зги графы Кокстера попарно неизоморфны.
В самом деле, пусть М = (тц) — матрица Кокстера
системы (W,S), и пусть / = Card(S). Если одно из чисел Шц
будет ^6, то 1 = 2 (лемма 4), и граф Кокстера системы (W, S)
должен иметь тип G2 или /2(р) с р~^7. Предположим теперь,
что все Шц ^ 5.
а) Если не все Шц равны 3, то графом X системы (W, S)
будет цепь, и лишь одно из Шц будет равно 4 или 5 (лемма 7).
Если одно из гпц равно 5, то, как показывает лемма 9, воз-
возможны лишь типы Я3, Я4 или /2E). Если одно из чисел Шц
равно 4, то снова по лемме 9 возможен лишь один из
типов Bh F4.
б) Предположим, что все гпц равны 3. Если X является
цепью, то наш граф Кокстера имеет тип Аг. В противном
случае на основании леммы 10 заключаем, что он имеет
тип ?6, Е7, Es или Di.
Попарная неизоморфность перечисленных графов Кок-
Кокстера очевидна.
Обратно, имеет место
Теорема 2. Группы Кокстера, определенные графами
Кокстера Аи Bt 12{р) из теоремы 1, конечны.

242 гл- VI- СИСТЕМЫ КОРНЕЙ ?
Это очевидно в случае 12(р), когда соответствующая группа
будет диэдральной группой порядка 2р (гл. IV, § 1, п°9).
Для НА соответствующей квадратичной формой является
5:2 i |2 I ?2 I Е2 t t Eg О foDS — ^ Р ? —
==?2 1?2 1р2 1р2_ЕЕ _ЕЕ _ * + * 5 ЕЕ —
= 1 1 fc2 ' =3 ' =4 =1=2 -2=3 2 °3=4
3 / 1 \2 7 - 3
Т1ё1-Уёз) Н
24 6^
Так как 7 — 3 ]/5 > 0, то эта форма невырождена и
положительна, а соответствующая группа Кокстера конечна.
То же самое относится и к группе Я3, поскольку она изо-
изоморфна некоторой подгруппе предыдущей группы (гл. IV,
§ 1, п°8).
Для типов Ah Bt, ..., G2 мы построим в п° 5—13 системы
корней, группы Вейля которых будут как раз искомыми
группами. Тем самым будет установлено, что эти группы
являются не просто конечными, но и кристаллографическими
(§ 2, п°5).
2. Графы Дынкина
Допуская вольность речи, мы назовем нормированным
графом пару (Г, f), обладающую следующими свойствами:
1) Г является графом (именуемым графом, подчиненным
паре (Г, /));
2) если Е обозначает множество пар (i, j), таких, что {г, /}
будет ребром графа Г, то f является отображением ?bR, для:
которого f(i,j)f{j,i)=l, какова бы ни была пара (i,j)^E.
Очевидным образом определяется изоморфизм нормиро-
нормированных графов.
Пусть R — приведенная система корней в вещественном
векторном пространстве V. Сопоставим ей некий нормиро-
нормированный граф (X, f), называемый графом Дынкина системы R.
Вершинами в X будут элементы множества / орбит группы
№ (R) в объединении множеств {В} X В (с В, пробегающим
множество базисов системы R). Если N = (nij)i .s/ (соотв.
M = (mij)i /s/) — каноническая матрица Картана (соотв. ма-
матрица Кокстера) системы R (§ 1, п°5, замечание 7), то две
вершины i и / в X будут соединены тогда и только тогда,
когда tiij Ф 0. В таком случае положим

2 § 4. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ КОРНЕП 243
Поскольку nij = 0 влечет Пц = 0, тем самым вполне опре-
определен нормированный граф (X, f).
Пусть {х\у) — скалярное произведение на V, инвариант-
инвариантное относительно W(R), и В = (аг)(. е у — базис в R с кано-
канонической индексацией. Формулы G) и (9) из § 1, п° 1, пока-
показывают, что вершины i и / графа X будут соединены тогда
и только тогда, когда
(а, К) Ф О,
и в таком случае
Принимая во внимание результаты § 1, п°3 и 5, мы видим,
что с, точностью до перестановки / и j имеются лишь сле-
следующие ' возможности:
1) / и у не соединены; пц — п,{ = 0; Шц = 2;
о\ f (i j\ О f (i f\ 1/ ¦ ti —— 9 ti 1 * rn ¦ A.*
4) / (i, j) = 3, f (j, i) = y3; nt, = - 3, nn = -\\ m,} = 6.
Это означает, следовательно, что знание графа Дынкина
системы R определяет ее матрицу Картана и матрицу Кок-
стера, а стало быть, определяет с точностью до изомор-
изоморфизма и саму систему R. Более точным образом из след-
следствия предложения 15 § 1, п°5, вытекает следующий
результат:
Предложение 1. Пусть Rt и R2 — две приведенные си-
системы корней в вещественных векторных пространствах Vi
и К2; #1=(аг)г«=/, и B2 = (a.i)ii_h — базисы в Rx и R2 с кано-
каноническими индексациями; X — изоморфизм графа Дынкина
системы Ri на граф Дынкина системы R2. Тогда существует
единственный изоморфизм Vx на V2, переводящий Rx в R2
и щ в ах(п для всех ie/,,
Ясно, что автоморфизм системы R определяет автомор-
автоморфизм графа Дынкина системы R, что приводит к гомомор-
гомоморфизму ф группы A(R) в группу автоморфизмов соответст-
соответствующего графа Дынкина.
Следствие. Гомоморфизм ф определяет при факторизации
изоморфизм группы Л {R)/W {R) на группу автоморфизмов
графа Дынкина системы R.
Очевидно, что ф (g-) = Id для всех g-€=U7(#). С другой
стороны, предложение 1 показывает, что существует изомор-

244 гл- VI- СИСТЕМЫ КОРНЕП 2
физм \р группы автоморфизмов графа Дынкина системы R
на подгруппу Е элементов в A(R), оставляющих неподвиж-
неподвижным данный базис В системы R, причем <p°i|) = Id. След-
Следствие вытекает теперь из того факта, что A(R) является
полупрямым произведением Е и W(R) (§ 1, п°5, предложе-
предложение 16).
На практике граф Дынкина (X, f) изображают схемой
(или диаграммой), составленной из точек и отрезков сле-
следующим образом. Точки соответствуют вершинам графа X;
две точки, соответствующие двум различным вершинам i
и /, соединяются 0, 1, 2 или 3 отрезками сообразна
тому, какой из указанных выше случаев: 1), 2), 3) или 4)—
имеет место (с точностью до перестановки / и у). Кроме того,
в случаях 3) и 4), т. е. в случае, когда /(/, у) > 1, или, что
эквивалентно, когда корни а,- и а,- не ортогональны и не
одной и той же длины, поместим на двух или трех отрезках,
которые связывают точки, соответствующие вершинам / и /,
знак неравенства >, ориентированный в сторону точки, со-
соответствующей вершине / (т. е. корню меньшей длины):
> (при f(i, у) = 2),
3
? (при
Ясно, что задание этой схемы позволяет восстановить граф
Дынкина {X, f).
Заметим, что схема, ассоциированная с графом Кокстера
группы W (R), получается из схемы, ассоциированной с гра-
графом Дынкина системы R, путем сохранения точек и про-
простых отрезков при одновременной замене двойных отрезков
(соотв. тройных отрезков) отрезками с приписанным к ним
числом 4 (соотв. 6). Обратно, если знать граф Кокстера
группы W(R), то противоположная операция позволяет вос-
восстановить схему, ассоциированную с графом Дынкина си-
системы R, за исключением знаков неравенства на двойных
и тройных отрезках. Коль скоро это так, теорема 1 непо-
непосредственно приводит к списку возможных графов Дынкина.
А именно имеет место
Теорема 3. Если R — приведенная и неприводимая си-
система корней, то ее граф Дынкина изоморфен одному из

§ 4. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ КОРНЕЙ 245
графов, представленных следующими схемами:
(I г 1 вершин)
(I г 2 вершин)
(/ г 3 вершин)
(/5 4 вершин)
F,
Сг ¦'»"¦''¦
графы Дынкина попарно неизоморфны, и для каждого
из них существует приведенная и неприводимая система
корней, допускающая его (с точностью до изоморфизма)
в качестве графа Дынкина.
С учетом предыдущих замечаний первое утверждение
немедленно вытекает из теоремы 1, из того факта, что
группы Кокстера с графами #3, Я4 и /2(р) (для р = 5 или
р^7) не являются кристаллографическими, и, наконец,
из того, что два возможных знака неравенства при двойном
(соотв. тройном) отрезке графа Дынкина, ассоциированного
с графом Кокстера F4 (соотв. G2), приводят к изоморфным
графам Дынкина. Второе утверждение очевидно, а третье
вытекает из явного построения приведенной и неприводимой
системы корней для каждого типа в отдельности — построе-
построения, которое будет осуществлено в п°5—13.
Замечания. 1) Граф Ах сводится к единственной вершине;
его обозначают также символом В\ или С,. Граф В2 а=^°
обозначается и символом С2, а для графа А3 ° °—° исполь-
используется также обозначение D3. Наконец, обозначим через D2
граф, составленный из двух несоединенных вершин. (Эти
соглашения приняты с учетом свойств соответствующих си-
систем корней; см. п°5—8.)
2) Если (X, f) — граф Дынкина приведенной системы
корней R, то граф Дынкина дуальной системы отождест-
отождествляется с (Х, f~l). Иными словами, схема, ассоциированная
с графом Дынкина системы ^v, получается из схемы, ассо-
ассоциированной с графом Дынкина системы R, обращением
знаков неравенства. Если система R неприводима, то, оче-
очевидно, она изоморфна ^v, за исключением систем R типа Bt
или Ct, когда Rv будет соответственно типа Q или Bi.

246 ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 3
3. Аффинная группа Вейля и пополненный граф Дынкина
Пусть R— приведенная и неприводимая система корней
с графом Дынкина (X, /). Мы собираемся определить дру-
другой нормированный граф (X, f), который назовем пополнен-
пополненным (или аффинным) графом Дынкина системы R. Множе-
Множество Т вершин графа X состоит из множества / вершин
графа X и одной вершины, обозначаемой символом 0, кото-
которая не принадлежит к /. Чтобы определить f, выберем базис
B = {ai)i^I системы R и скалярное произведение (х | у), инва-
инвариантное относительно W (R). Пусть а0 — корень, противо-
противоположный максимальному корню по отношению порядка,
определенному базисом В. Две различные вершины /, /е/
соединяются тогда и только тогда, когда (аг ] ау)=т^=0. В этом
случае положим
'<'•"-(а, | а/Г
Тотчас проверяется, что граф X и отображение /, опреде-
определенные таким образом, не зависят ни от выбора В, ни от
выбора скалярного произведения.
Если ранг I системы R равен 1, то / = {/} и ао±= — а(-,
так что /@, /)=1. При />2 корень а0 не пропорционален
ни одному из щ и (ao|aj) будет ^0 (§ 1, п°8, предложе-
предложение 25). Для произвольной пары (i, j) различных элементов
из I все допустимые возможности — это 1), 2), 3), 4) из пре-
предыдущего пункта (например, при всех «<=/, пы = п (а0, а,-)
и moi — порядок произведения Sa0Sat.)-
В случае 1^2 мы изображаем пополненный граф Дын-
Дынкина схемой с теми же соглашениями, что и в предыдущем
пункте, используя иногда пунктир для отрезков, связываю-
связывающих вершину 0 с другими вершинами. Заметим, что знак
неравенства >, помещенный на таком отрезке, если он
имеется, всегда направлен в сторону вершины, отличной
от 0, поскольку а0 — корень наибольшей возможной длины
(§ 1, п°8, предложение 25). Отождествим (X, f) с подграфом
графа (X, f), получающимся удалением вершины 0.
Действие группы A (R) на (X, f) продолжается до дейст-
действия на (X, f), оставляющего вершину 0 неподвижной; W (R)
действует на (X, f) тривиально.
Вернемся к обозначениям § 2. Предложение 5 § 2, п°2,
вместе с теоремой 1 гл. V, § 3, п°2, показывают, что граф
Кокстера 2 аффинной группы Вейля Wa{R) получается из

3 § 4. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ КОРНЕЙ 247
(X, f) по тем же правилам, что использовались при пере-
переходе от (X, f) к графу Кокстера группы W(R). Далее, пусть
G — нормализатор группы Wa(R) (§ 2, п°3). Всякому эле-
элементу geG соответствует автоморфизм q>(g) системы 2 и
Ф (g) = Id, когда g^.Wa(R). Обратно, всякому автоморфизму Я
системы 2 по предложению 11 гл. V, § 4, п°9, соответствует
однозначно определенный элемент g = ty(X), сохраняющий
данный альков С и такой, что ф(#) = Я. Так как G является
полупрямым произведением подгруппы Gc элементов, сохра-
сохраняющих С, и группы Wa(R) (§ 2, п°3), то мы приходим
к заключению, что при факторизации ср дает изоморфизм
группы GIWa (или Gc) на Aut(S). Немедленно проверяется,
что композиция этого изоморфизма с каноническим отобра-
отображением A(R)/W(R) в G/Wa совпадает с гомоморфизмом
A (R)/W (R) в Aut B), порождаемым гомоморфизмом A {R)/W (R)
в Aut(Z, f), определенным выше. В соответствии с § 2, п°3,
группа Aut (E) изоморфна полупрямому произведению
A(R)/W{R) на P(/?v)/Q(/?v)> a p(^v)/Q(^v) изоморфна группе
Гс = GcflW'a (в обозначениях § 2, п°3); элемент группы
Aut(E), соответствующий элементу yi e Гс, переводит вер-
вершину 0 в вершину / системы 2.
Замечание. Можно показать, что каноническое отобра-
отображение
Aut (X, f)-*AutB)
является изоморфизмом.
Теорема 4. Пусть (W, S) — неприводимая система Кок-
Кокстера с конечным множеством S. Для того чтобы ассоци-
ассоциированная квадратичная форма (гл. V, § 4, п° 1) была поло-
положительной и вырожденной, необходимо и достаточно, чтобы
граф Кокстера системы (W, S) был изоморфен одному и&
следующих графов:
{цикл
с 1 + 1
вершинами)
A+1
вершин)
вершин)
A+1
вершин)

248 ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ
Эти графы, Кокстера попарно неизоморфны.
Согласно сказанному в гл. V, § 4, п°9, и предложению 8
из § 2, п°5, системами Кокстера, квадратичная форма ко-
которых положительна и вырождена, будут те системы, кото-
которые соответствуют аффинным группам Вейля приведенных
и неприводимых систем корней. Поэтому теорема вытекает
из описания пополненных графов Дынкина, приводимого
в п°5- 13.
4. Предварительная подготовка к построению систем корней
Пусть V — вещественное векторное пространство размер-
размерности /^1, снабженное скалярным произведением (х\у),
L — дискретная подгруппа в V, А — конечное множество
чисел > 0 и R — множество таких ае[, для которых
(а|а)еЛ. Предположим, что R порождает V и что для
любой пары (а, Р) точек из R число 2 1" ^у будет целым.
Тогда R — система корней в V. В самом деле, R, очевидно,
удовлетворяет условию (CKi). Пусть ае^, и пусть sa —
ортогональное отражение х ¦—> х — 2 *. " а. Тогда при р е R
имеем 2 ^ ". е Z, так что sa(P) e L; в то же время || sa(P)||=
= ИР11, поэтому sa(P)e;A?. Стало быть, система R удовлет-
удовлетворяет условиям (СКп) и (СКш). Она является приведенной,
если Л не содержит двух чисел вида % и 4Я.
Возьмем за V подпространство в ? = R". Пусть (еь ...
..., е„) — канонический базис пространства Е. Снабдим Е
скалярным произведением, для которого этот базис будет
ортонормальным, и отождествим Е* с Е (соотв. V* с V) при
помощи выбранного скалярного произведения. Определим
в Е подгруппы Lo, L\, L2, L3 следующим образом:

i §4. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ КОРНЕЙ 249
1) Lo есть-Z-модуль с базисом (ег). Имеем (a||S)eZ при
a, pei0. Векторы ае!0, для которых (а|а)= 1, совпадают
с ±&i A<л<[/г), а те векторы, 'для которых (a|a) = 2, со-
совпадают с ±ег±е,- при /</ (оба знака ± в ± е? ± е/ вы-
выбираются независимо друг от друга; примем аналогичное
соглашение вплоть до конца этого параграфа).
2) Ц есть Z-подмодуль модуля Lo, состоящий из л; =
п
= 2 Ifii e ^-о. для которых сумма 2 I* будет четной; по-
скольку1 lt и 1^ одинаковой четности, то это сводится к тре-
требованию, чтобы {х | х) было четным. Пусть L\ — подмодуль
п
в Z-], порожденный векторами г{ ± е/. Имеем 2?<е* =
(gj), а поскольку 2еп = (е1+е„)-(е]-еп)е LJ,
видно, что L^ = Z-i. Так как Ц и ei порождают Lo, то фак-
тормодуль L0/Li изоморфен Z/2Z.
3) L, = Lo + Z I у ^ ег I. Ясно, что элемент х = V g.e.
\ г=1 ' i = l
пространства 1/ содержится в L2 тогда и только тогда, когда
2?,- gZ, Ёг —1;- е Z, каковы бы ни были I и /. F)
(п \ I л ||2
гк -т- V ег = -г- при всех й и так как U- V, еЛ =4".
i-l ' II 1=1 ||
то (a|P)eyZ для a, pei2, когда п четно. Группа L2/La
изоморфна Z/2Z.
( п \
4) L3 = Lx + Z I у ^] ef I. Если п кратно 4, то L3 будет мно-
у
\ i=i /
n
жеством элементов 2 ?;8;, которые удовлетворяют усло-
n
вию F) и, кроме того, условию 2 Е« е 2Z. В этом случае
(a|p)eZ, каковы бы ни были a, peL3.
Совершенно очевидно, что подгруппа в Е, ассоцииро-
ассоциированная с Lo (соотв. L\, L2), есть Lo (соотв. L2, Lx). Подгруп-
Подгруппой в Е, ассоциированной с L3> будет множество элементов
п
x—2j %fli e L2,

250 1"Л. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 4
(п \ п
х -%¦ т. Zi е Z, т. е. таких, что j ?,- s 2Z.
Следовательно, при га = 0 (mod 4) эта ассоциированная под-
подгруппа совпадает с L3.
Коммутативная группа L2/Li имеет порядок 4 и поэтому
изоморфна Z/4Z или (Z/2Z) X (Z/2Z) {Алг., гл. VII, § 4, п°6,
теорема 3). Если п нечетно, то
р|-^-]У]ег е/^ффр^О (mod 4),
поэтому группа Ь2/Ь} будет циклической порядка 4. Если же п
четно, то
/ п \
= 0 (mod 2),
и поэтому группа L2/Lu содержащая два различных эле-
элемента порядка 2, изоморфна (Z/2Z) X (Z/2Z).
Мы используем эти обозначения в девяти следующих.
пунктах и в таблицах. Для каждого типа графа Дынкина
из теоремы 3 будут явно указаны:
(I) Система корней R и число корней.
(II) Базис В системы R и соответствующие положитель-
положительные корни. Базис В будет нумероваться целыми числами
1 /•
(III) Число Кокстера h (§ 1, п°11).
(IV) Максимальный корень а (относительно порядка,
определенного базисом В) и пополненный граф Дынкина
(п°3). Под каждой вершиной будет выписан соответствую-
соответствующий корень из В.
(V) Дуальная система Ry, каноническая билинейная форма
и постоянная y(R) (§ 1, п° 12).
(VI) Фундаментальные веса относительно В (§ 1, п° 10).
(VII) Сумма положительных корней.
(VIII) Группы P{R), Q(R), P{R)/Q{R) и индекс связности
(§ 1, п°9).
(IX) Показатели группы W{R) (гл. V, § 6, п°2, опреде-
определение 2). В случаях Аь Вь Ct и Dt будут указаны симмет-
симметрические инварианты.
(X) Порядок группы №(./?) (а иногда и ее строение).
(XI) Группа A(R)/W(R), ее действие на граф Дынкина
и элемент wo^W{R), переводящий В в —В.

S § 4. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ КОРНЕЙ 251
(XII) Действие P(RV)JQ{RV) на пополненный граф Дын-
кина и действие A(R)/W(R) на P(Rv)/q(Rv). Для каждого
графа Дынкина из теоремы 3 все эти данные объединены
в таблицы I — IX и упорядочены единым образом по ука-
указанному выше образцу. Кроме того, там добавлен еще пункт
(XIII) Матрица Картана, способ получения которой из
графа Дынкина был разъяснен в п°2.
5. Системы типа В, (Z>2)
(I) Рассмотрим в F = R' группу Lo (п°4). Пусть R — мно-
множество всех ае/,0, для которых (а|а)=1 или (а|а) = 2,
т. е. множество векторов ± ег A<л<!/) и ± ег ± в/ (l^i<
</<[/). Ясно, что R порождает V и что 2 (а | Р)/(а I а) е Z,
каковы бы ни были а, ре/?. Стало быть, R — приведенная
система корней в V (п°4). Число корней п = 2/ + 4 ~ —
= 212.
(II) Положим
«1 = ei — е2> «2 = 62 — 63 ct/_i =ez_, — Е/, а/ = ег.
Тогда
... + а,) + (а, + а/+1 + ... + щ)
A <*</</),
е/ — в/ = а, + щ+1 + ... + а/_, A < i < /< /).
Следовательно, (а,, а2, ..., az) является базисом в R (§ 1,
п°7, следствие 3 предложения 20). Сверх того ||аг|р = 2 при
*"</, 1|а,|Р=1, (аг|а,.+1) = -1 при 1<г</-1, (аг|«/) = 0
при />/-}- I. Граф Дынкина системы /? имеет, следова-
следовательно, тип Ви а это показывает, что R неприводима. По-
Положительными корнями будут ег и ег ± е;- (/</).
(III) По теореме 1, (ii) гл. V, § 6, п°2,
/г = „// = 2?.
(IV) Пусть a = е, + е2 = а, + 2а2 + 2а3 + ... + 2az; это,
очевидно, — корень. Сумма его координат относительно ба-
базиса (аг) равна 2/ —1=А—1. Ввиду предложения 31 из
§ I, n°ll, a является максимальным корнем системы R.
Имеем (а|аг) = 0 при i ф 2 и (а|а2)=1. Так как о, имеет
длину 1 (соотв. 1/2), когда 1 = 1 (соотв. /^3), то приходим

252 гл vl СИСТЕМЫ КОРНЕП 5
к заключению, что пополненным графом Дынкина системы R
будет
«2
при 1 = 2
при
(V) Формула av=-p—:—г- дает для Rv множество векто-
ров ± 2е{ A<л<Ю, ± 8г ± е/ A <Tz < j^l). Граф Дынкина
дуальной системы Rv получается из графа Дынкина си-
системы R способом, изложенным в п°2, и сразу видно, что
Rv имеет тип Ct.
Корнями, не ортогональными к 13 = 8!, будут ± гх и
± б! ± Е/ при 2 <1 / <1 /; их общее количество равно 41 — 2.
Для каждого из этих корней а имеем п(а, Р) = ± 2. Фор-
Формула A7) из § 1, п° 12, показывает, что по отношению к Фя
квадратом длины корня Р является D1 — 2)~'. Стало быть,
Фр(х, t/) = (x\y)/Dl — 2). Применим формулу-A8) из § 1, п°12,
с х = г/ = |3. Получим
2 + i(«4) v(/?)
откуда у (R) = A+1) D1- 2).
(VI) Без труда вычисляются фундаментальные веса
A<л^/), для которых (к I У) 6
ю,- = е, + е2 + ... + е,- =
(VII) Суммой положительных корней будет
2р = B/ — 1)е, + B/ — 3)е2 + ... +38г_, + 8г =
= B? — 1) а, Ч- 2 B/ — 2) а2 + ... +iBl — i)at+ ... + 12щ.
(VIII) Q(R) = L0 (n°4), а группа P(R) порождена под-
подгруппой Q(R) и весом ш, и совпадает поэтому с Ц (п°4).
Следовательно, факторгруппа P(R)/Q{R) изоморфна Z/2Z,
а индекс связности равен 2.

5 § 4. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ КОРНЕЙ 253
(IX) и (X) Ортогональное отражение s, _R (i ф j) пере-
переставляет е, и е, и оставляет инвариантными ек с индек-
индексами k, отличными от / и /. Отражения se.-F,. порождают
группу G], изоморфную симметрической группе Sz. Ортого-
Ортогональное отражение sg( переводит ег в — в{ и оставляет ин-
инвариантными ек с индексами k, отличными от i. Отраже-
Отражения s,. порождают группу G2, изоморфную (Z/2Z)'. Группа
Вейля W {R) пЪрождается Gx и G2, причем группа G2 нор-
нормальна в W(R), так что группа W (R) изоморфна полупря-
полупрямому произведению Зг на (Z/2Z)'. Ее порядок, следовательно,
равен 21 ¦ Л.
Симметрическая алгебра S(R') канонически отождест-
отождествляется с алгеброй полиномиальных функций P(?i, ..., |;)
на R1. Для того чтобы такой многочлен был инвариантен
относительно W (R), надо прежде всего, чтобы
каковы бы ни были I знаков в правой части, т. е. чтобы
P(SP .... lt) = Q(l\ If),
где Q — многочлен; затем необходимо, чтобы Q задавал
симметрическую полиномиальную функцию; эти условия
являются уже достаточными. Следовательно (Алг., гл. V,
приложение 1), S(R')^(;?I есть алгебра, порожденная I поли-
полиномиальными функциями
Кроме того, степень трансцендентности над R поля отноше-
отношений алгебры S(ROW'(W равна /, поэтому t{ алгебраически
независимы. Так как t-t — многочлены степеней 2, 4, ..., 2/,
то мы приходим к заключению, что показателями группы W (/?)
будут (гл. V, § 6, п°2, предложение 3)
1, 3, 5, .... 21 — 1.
(XI) Единственным автоморфизмом графа Дынкина
является тождественное отображение. Поэтому A(R) = W(R)
и -lsl!7(^). Поскольку —1 переводит В в —В, мы при-
приходим к выводу, что шо=— 1.
(XII) Группа P(/?v)/Q(^v) дуальна к P(R)/Q{R) и, стало
быть, изоморфна Z/2Z. Ее нетривиальный элемент перестав-
переставляет вершины, соответствующие <х0 и аи и оставляет не-
неподвижными другие вершины.

254 ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ б
6. Системы типа С, A^2)
(I) Существование систем корней типа Сг было доказано
в п°5, поскольку, как мы видели, система, дуальная к си-
системе типа Ви имеет тип С/. Система корней R типа Ct
получается, таким образом, при выборе в R' векторов ±2ес
A <«</) и ±8^ + 8; A < г </</)• Число корней равно 2/2.
(II) Построим базис в R, взяв образ при отображении
2а
базиса системы, рассмотренной в п°5. Получим
aI=8j—e2, а2 = е2 — е3, ..., аг_1=8(_1— еь щ = 2ги
Положительными корнями являются 2et и et ± ef (i < /).
(III) Число Кокстера то же самое, что и у дуальной
системы: h = 2l.
(IV) Пусть a = 2е, = 2а, + 2а2 + ... + 2аг_, + at — линей-
линейная комбинация, являющаяся корнем. Сумма координат
этого корня относительно (аг) равна 21— 1 =h— 1. Поэтому
й — максимальный корень. Имеем (а|аг) = 0 при 1ф\,
(a Id) = 2. Отсюда получается пополненный граф Дынкина:
(V) Система Rv, имеющая тип Bh уже определена.
По формуле A9) из § 1, п° 12, и в соответствии с п°5, (V)
квадрат длины корня 2г{ относительно Фд равен
((/ + 1) D1 - 2)) (D/ - 2)-1)-' = (/ + I);
поэтому Фд (х, у) = (х\ цI А A+1).
Получаем y(R) = y (#v) = (/ + 1) D/ — 2).
(VI) Без труда находятся фундаментальные веса:
/(а,+ аг
— 1) аг_, +/(а,+ аг+! + ... + -^ щ
(VII) Суммой положительных корней будет
2р = 2/е, + B1 - 2)е2 + ... + 4е,_, + 2ег =
= 2/а,+2B;-1)а2+ ... + Ц21 - 1 + 1) а, + ••• +
(VIII) В соответствии с п°4 и п°5, (VIII) Q(R) = LU
P(R) — Lo; факторгруппа P(R)/Q{R) изоморфна Z/2Z, а индекс
связности равен 2.

7 § 4. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ КОРНЕЙ 255
(IX) и (X) Эти вопросы относятся только к W(R), поэтому
результаты будут теми же, что и для типа BL.
(XI) Такое же рассуждение, как в п°5, показывает, что
A(R) = W(R) и wo=-l.
(XII) Единственным неединичным элементом . группы
P(RV)/Q(RV) задается однозначно определенный нетривиаль-
нетривиальный автоморфизм пополненного графа Дынкина; этот авто-
автоморфизм переставляет вершины, соответствующие корням а/
и а;_/ при 0 ^/ ^/
7. Системы типа At
(I) и (II) Пусть V — гиперплоскость в ? = R'+1, опреде-
i+i
ляемая уравнением 2 ^ = 0. Заменяя I на /+I в п°5,
получаем систему R' типа Bi+l в Е, допускающую базис
а,=е,— е2, а> = е2 — е3, ..., а; = е; — е;+1, аг+1=ег+|.
Так как с^, ..., at порождают V, то R — R'f}V будет систе-
системой корней в К с базисом (а,, ..., at) (§ I, n°7, следствие 4
предложения 20). Из проведенных в п°5 вычислений ска-
скалярных произведений непосредственно следует, что R имеет
тип А[. Элементами системы R будут е; — б/ {1ф\, 1<г<
^/+1, 1^/</+1). Их общее число равно « = /(/+ 1).
Положительными корнями будут е{ — е;-, где i < /.
(III) Имеем h = ~ = l+\.
(IV) Линейная комбинация a = sl—el+l =aj + a2 + ... + at
является корнем. Сумма координат относительно (аг) равна
l = h—l. Поэтому a — максимальный корень.
При 1 = 1 имеем а = аь откуда (a | а1) = 2; графом Кок-
стера группы Wa(R) будет
При / ^ 2 выполнены соотношения (а | а?) = 0 для 0 < / < /
и (а |а,) = (а |аг)= 1, так что пополненным графом Дынкина
будет
(V) Отождествив пространство V с дуальным к нему при
помощи скалярного произведения, получим av = , . , = a
для всех aei!, так что Rv == R.

256 ГЛ VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 7
Относительно формы Фя длина корней равна h~'l2=(t+1)~''2
(§ 1,п°12); стало быть, Фя(х, у) = (х \у)/2A + 1).
Получаем y(R) = {l+\f (§ 1, п° 12, формула B0)).
(VI) Пусть (<огI<г<г—семейство фундаментальных весов.
Положим
<bi = 2 ?</6/> где It, j e R.
Выражая тот факт, что (йг|а^) = бг/ и й.е^, получаем
?« — |л*+1 = 1, h.i — k/+i = 0 ПРИ
а это непосредственно дает
7ТТ
(VII) Сумма положительных корней такова:
2р = /в1 + (/-2)е2+(/-4)е,+ ... — (/— 2)8| —/в|+1 = •
= 14 + 2A-1L2+ ... +i{l-i+l)at+ ... +/а,.
(VIII) Введем в ? = R;+1 подгруппу Lo из п°4. Пусть
р — ортогональное проектирование Е на V. В соответствии
с предложением 28 § 1, п° 10,
принимая во внимание тот факт, что последний фундамен-
фундаментальный вес в R' ортогонален к V, получаем P(R)=p(Q{R'))=
= p(L0). Таким образом, P(R) есть группа, порожденная
г+i
корнями ег—8; и весом /? (&i) == s, — (/ + 1)"' 2 е,-, т. е.
-A+ If* %
Но / + 1 является наименьшим целым числом т > 0, для
которого mpls^^QiR). Поэтому факторгруппа P(R)/Q(R)
изоморфна 2/(/ + 1)Z, а индекс связности равен /+ 1.
(IX) и (X) Для всякого автоморфизма g гиперплоскости V
обозначим через (p(g) автоморфизм пространства Е, который
продолжает g и оставляет инвариантным 8,4-е2+ ... + е,.
Если взять в качестве g ортогональное отражение St.-e V,
то ф (g) будет равно se._fc. и, следовательно, будет пере-

7 § 4. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ КОРНЕЙ 257
ставлять ег и е,, оставляя неподвижными ек с индексами k,
отличными от i и /. Пусть
Тогда отображение gi—xp(g) \Х будет изоморфизмом группы
W (R) на симметрическую группу множества X. Таким обра-
образом, W (R) изоморфна симметрической группе Зг+1 и, стало
быть, имеет порядок (/ + 1)!.
Симметрическая алгебра S(E) канонически отождест-
отождествляется с алгеброй полиномиальных функций Р(gj, |2,..., lt+\)
на Е. Пусть G — y(W (R)). Из сказанного выше следует,
что множество S (Е)а инвариантных относительно G эле-
элементов в S (Е) является множеством симметрических много-
многочленов (Алг., гл. V, приложение I) и, следовательно (там же),
S (?)° есть алгебра, порожденная функциями
Алгебра S(V) отождествляется с алгеброй сужений на V
полиномиальных функций на Е. Сужение функции PeS(?)°
на V, очевидно, инвариантно относительно W (R). Обратно,
если Q<^S(V)W(R), то существует функция P^S(E), про-
продолжающая Q; заменяя Р функцией ((/+1)!)"' 2 g(P)
G
g
с тем же сужением на V, что и у Р, мы видим, что можно
предполагать PgS(?)c. Таким образом, S(V)VW) порож-
порождается функциями s. = s' V. Но s, = 0. Сверх того степень
трансцендентности над R поля отношений алгебры S(V)W(R)
равна /. Стало быть, st B^г^/+1) алгебраически неза-
независимы, а поскольку их степени суть 2, 3, ..., / + 1, пока-
показателями группы W (R) будут
1, 2, 3 /.
(XI) При 1=\ имеем A (R) = W (R) = Z/2Z и шо=—1.
При /^2 обозначим через е автоморфизм из A (R), который
переводит аг в а/+1_/. Ясно, что автоморфизм графа Дынкина,
индуцированный е, является единственным нетривиальным
автоморфизмом этого графа. Группа A(R)/W(R) изоморфна
Z/2Z. Так как —1 есть элемент группы A (R), который
в соответствии с (IX) и (X) не принадлежит W (R), то мы
видим, что группа A (R) изоморфна прямому произведению
W(R)X2/2Z. Получаем wo= — e.
(XII) Группа Р(RV)/Q(RV), будучи циклической порядка
/+I, действует на пополненном графе Дынкина дикличе-
9 Зак. 61. Н. Бурбаки

258 ГЛ VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ
скими перестановками. При /i>2 единственный неединичный
элемент группы A(R)/W{R) действует на P{RV)/Q{RV) как
автоморфизм jc i—з»- — х.
8. Системы типа Dt (?>3)
(I) Рассмотрим в V = R' группу Lo (n° 4). Множество
тех aeij, для которых (а|а) = 2, состоит из векторов
± &i ± В/ A^/</^/). Ясно, что R порождает V и что
2 (а 1Р)/(а |а) <= Z, каковы бы ни были а, ре^. Поэтому R
является приведенной системой корней в V (п°4). Число
корней п = 21{1— 1).
(II) Положим
а, =8, — е2, а2 = 82 — s3, ..., аг_! =8;_, — еь аг = ег_, + е;.
Немедленно приходим к формулам
е* — ej = at + ai+1 + ... + ay_i (г < /),
.. + a,-_, + 2a; + 2a/ + i + ...
... + 2аг_2 + а<_, + аг (/</</_ 2), ¦
• • ¦ + Щ (/< / — 1),
... + аг_2 + а, (г </—!),
которые показывают, что (щ, ..., щ) есть базис системы R
(§ 1, п°7, следствие 3 предложения 20). Кроме того ||<хг|р=2
при всех i;(aj|a/) = 0 при / + 1 </, за исключением слу-
случая i = l — 2,l = l, когда (аг_2 |аг) = — 1; (а{\а1+1)=— 1 при
/'^/ — 2 и, наконец, (а;_! |а;) = 0; граф Дынкина системы R
имеет, следовательно, тип Dt. Положительными корнями
будут Ei ± &i для i < /.
(III) Имеем h = j = 2A-1).
(IV) Линейная комбинация a = 8! + е2 = aj + 2ct2 + ...
. . . + 2а;_г + а;_, -f- aL является корнем. Сумма координат
относительно (щ) равна
21 — 2> = h— I.
Стало быть, a — максимальный корень.
При /==3 имеем
(o|a,) = 0, (o|ai) = (o|aJ)=l.

8 ^4. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ КОРНЕЙ 259
При 1^А имеем (а|аг) = 0 для 1ф2 и (а|а2)=1, так что
пополненным графом Дынкина будет
а,
(V) Так как (а|а) = 2 для всех a^.R, то Rv = R. Длина
корней по отношению к Фй равна /г''1'= B1—2)~'/2. Полу-
Получаем отсюда
Фд (jc, у) = (х | //)/D/ - 4) и y (Я) = 4 (/ - 1 У-
(VI) Вычисления, аналогичные проведенным в п°7, дают
фундаментальные веса:
ш; = е, + е2 + ... + s{ =
+ / (а, + ai+1 + ... + а/_2 + у i (щ-i + а,)
при i < I — 1;
-1 = у (е, + е2 + ... + ег_2 + ег_, — е,) =
е2 + ... + ег_2 + е^ + ег) =
(VII) Сумма положительных корней равна
2р = 2(/ — 1) е j + 2 (/ — 2)е2-}- ... -}- 2е;_] ==
1-2
So /., i (/ + l) \ , /(/ — 1) , | >
(VIII) Корни ±Bi±Bt порождают Lx (п° 4), поэтому
Q(R) = LU Значит, Q(/?V) = L[ и, следовательно, P(R) — L2
(п°4). Согласно п°4, группа P(R)/Q(R) изоморфна группе Z/4Z
при нечетном / и группе (Z/2Z) X (Z/2Z) при четном /. В пер-
первом случае P(R)/Q(R) порождена каноническим образом
веса шг (а также образом веса шг_,). Во втором случае
P(R)/Q(R) порождена каноническими образами весов шг_]
и шг. В обоих случаях индекс связности равен 4.
(IX) и (X) Ортогональное отражение sef-8/ (»" Ф /) в R'
переставляет местами ег и еу- и оставляет инвариантными zk

260 ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 8
с индексами k, отличными от i и /. Отражения Se(.-e, по-
порождают группу G\, изоморфную симметрической группе ©f.
С другой стороны, su = Se.-c^e.+e. переводит &i в — еь е;
в —еу и оставляет инвариантными гк с индексами к, отличны-
отличными от i и /. Элементы stf порождают группу G2 — множество
автоморфизмов и векторного пространства R*, для которых
«(e*) = (—l)v'ej с XT (— 1 )Vf = 1. Группа G2 изоморфна
(Z/2Z)' и нормальна в W {R), так что группа W (R) изо-
изоморфна полупрямому произведению <S; на (Z/2Z)'. Ее по-
порядок, следовательно, равен 2 "'./!.
Полиномиальные функции tt из п°5 инвариантны отно-
относительно W(R), так же как и функция t = \x%2 ••• 1ь кроме
того, tt = t2. Пусть, далее, P(g,, ..., |г) — полиномиальная
функция, инвариантная относительно W(R). Пусть S^'s^2 •••
... cj' — входящий в Р одночлен, для которого V/ нечетно;
тогда v/ нечетно при всех /, потому что в s{j (P) входит
одночлен (-l)v'+v/^422 ••• l7> откуда v^ + v^O (mod 2),
и_ v/^1 (mod 2). Стало быть, Р = Р\-\- tP2, где все одно-
одночлены, входящие в Р, и Р2, обладают только четными пока-
показателями. Так как Р инвариантен относительно перестановок
переменных |г, то Р, и Р2 обладают тем же свойством и,
значит, записываются в виде многочленов от tu t2, ..., tt.
Тем самым доказано, что алгебра S(Rl) порождена функ-
функциями tu t2, ..., /г_,, t. Кроме того, степень трансцендент-
трансцендентности поля отношений алгебры S(Rl)w есть /, так что
tu t.2, ..., tt_lt t алгебраически независимы. Приходим к за-
заключению, что последовательностью показателей, надлежа-
надлежащим образом упорядоченной, будет
1, 3, 5, .... 2/-5, 21-3, I- 1.
Заметим, что / — 1 появляется здесь дважды, когда / четно,
и один раз, когда I нечетно.
(XI) Автоморфизмы графа Дынкина будут автоморфиз-
автоморфизмами подчиненного ему графа. Поэтому
1) Если 1 = 3, то группа A{R)/W{R) изоморфна Z/2Z.
2) Если / = 4, то всякая перестановка концевых вершин
определяет некоторый автоморфизм графа, так что группа
A(R)/W{R) изоморфна <53.
3) Если /^5, то цепи, выходящие из точки ветвления аг_2,
будут иметь длины 1, 1 и I — 3^2. Следовательно, един-
единственный автоморфизм графа, отличный от тождественного,

§ 4. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ КОРНЕЙ 261
соответствует автоморфизму ееЛ(#), который переставляет
аг_! и аг, оставляя неподвижными аг при 1 ^/^/ —2. Стало
быть, группа A(R)/W(R) изоморфна Z/2Z; более того, группа
A(R) является полупрямым произведением группы Gx^<5i,
определенной в (IX), на группу G3, состоящую из автомор-
автоморфизмов и пространства R*, таких, что и (е() = ± ег при всех /.
Если I четно, то —l^W(R), откуда wo = —1. Если же
/ нечетно, то —1<?W(R), откуда A(R) = W(R)X{1, —1} и
wo = — e.
(XII) При четном / в P(RV)/Q(RV) имеется три элемента
порядка 2: щ, ю^ и а>{. Поскольку (ог (соотв. <o/_i) пере-
переставляет вершины, отвечающие корням а0 и а; (соотв. a^),
он переставляет вершины, отвечающие корням О[ и a;_[
(соотв. аг), а также вершины, отвечающие корням а/ и
«/_/ ДЛЯ
Получаем о», = <ozco/_1.
При нечетном / в P(RV)/Q(RV) имеется два элемента %_,
и о»; порядка 4 и один элемент порядка 2, а именно щ.
В самом деле, о», меняет местами вершины, отвечающие
корням а0 и аь поэтому он оставляет неподвижными вер-
вершины, отвечающие корням а/ для 2^/=^? — 2, и необхо-
необходимым образом имеет порядок 2. Следовательно, <ог имеет
порядок 4 и переводит вершину, отвечающую корню а0
(соотв. a/, cti, аг_[), в вершину, отвечающую корню аг (соотв.
«!, аг_,, а0), а вершины, отвечающие корням а/ и а;_/ для
2^/^f — 2, меняет местами. Получаем <о,=ш^ и ы1_1=а$.
При /=7^=4 неединичный элемент группы A(R)/W(R) ме-
меняет местами вершины, отвечающие корням аг_[ и щ, и,
следовательно, переставляет элементы <b;_i и <в; группы
P(RV)IQ(RW)- При нечетном / получающийся таким образом
автоморфизм группы P{RW)/Q(RW) совпадает с отображе-
отображением X'—> — X.
При 1 = 4 группа A(R)fly(R) отождествляется с группой
перестановок множества A, 2, 3} и действует перестановкой
индексов на {(й1( (о2, ©4}.
9. Система типа F4
(I) Рассмотрим в R4 группу L2 (n°4). Пусть R — множе-
множество тех a e L2, для которых (а | а) == 1 или (а | а) = 2; оно
содержит векторы
±е() ±е,±е; (»</), ¦^-(±е1±е2±е3±е4).

262 ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 9
Обратно, если aefi, то координаты вектора а принимают
лишь значения 0, iy. ±1 (потому что (у) > 2); эти
координаты будут либо все целыми, что приводит к векто-
векторам ± &i, ±ei±&j, либо все равными ±-к-• что пРиводит
к векторам у(± ei ± е2 ± е3 ± е4).
Покажем, что 2(a IP)/(a |a)eZ для любых а, ре/?. Если
а = ± et или -х- (± е, ± е2 ± е3 ± е4), то (а | а) = 1, а в п° 4 мы
видели, что (a|p)e —Z, поскольку a, peL2. Если же а =
= ±е,-±е/, то (а|а) = 2, и опять-таки на основании п°4
мы заключаем, что (a|p)eZ, поскольку asL, и PgL2.
Стало быть, R является приведенной системой корней в R4
(п° 4). Число корней п = 8 + ( \ ) 4 + 24 = 48.
(II) Снабдим R4 лексикографическим порядком, опреде-
определенным при помощи базиса (еи е2, е3, е4) (§ 1, п°7). В част-
частности, ei > е2 > 8j > e4. Положительными корнями будут
е,-, е? ± 8/ (/ < /), — (е, ± е2 ± е3 ± г4).
Наименьшим является корень а3 —е4. Среди положительных
корней, содержащихся в Re3+Re4> но не в ^е4> наименьшим
будет а2 = е3 — е4- Среди положительных корней, содержа-
содержащихся в Re2 + Re3 + Re4. но не в Re3 + Re4, наименьшим
будет а,=е2 —е3. Наконец, среди положительных корней,
не содержащихся в Re2 + Re3 + Re4, наименьшим будет
а4 = ^(е1—е2 — ез — в4). Ни один из at не является суммой
двух положительных корней. Поэтому (аи a2, at, a4) есть
базис системы R (§ 1, п°6, следствие 1 предложения 19).
Имеем || a, |fHI a2 If=2, II а3 |f=|| a41|2= 1, (а, |а2)=(а2 |а3) = -Ц
(а3|а4) = — у- (а, |а3) = (а, |а4) = (а2|а4) = 0. Мы видим, что
система R соответствует графу Дынкина типа F4 и, стало
быть, является неприводимой.
(III) Имеет место равенство А = -у-=12.
(IV) Пусть d = e, -j- e2 = 2a, -f 3a2 + 4a3+'2a4. Сумма ко-
координат вектора a относительно (a;j равна 11 = h—1, по-
поэтому d — максимальный кореяь. Так как (a |a,)= 1, (a | a2)=
=(a | a3) = (a | a4) = О, то пополненным грт Ьом Дынкина будет
«2

9 § 4. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ КОРНЕЙ 2fi3
(V) Как видно из формулы av = . /?v совпадает
с множеством векторов ± 2&h ±et± zh ± е, ± е2 ± е3 ± е4.
Граф Дынкина системы Rv получается из графа Дынкина
системы способом, описанным в п°2, и непосредственно
видно, что Rv имеет тип F4.
Корнями, не ортогональными к Р = е,, будут ± е, ± е, ±e;-
(/>2) и у(±е, ±е2±е3± е4); число /г (а, р) = 2 (а | р) равно
± 2 для первых 14 этих корней и ± 1 для 16 остальных;
значит, квадрат длины корня Р относительно Фк равен
4A4 ¦ 4+ 16- 1)~' = -1. и поэтому
Фц(х, у) = (х\у)ЦВ.
Применяя теперь формулу A8) из § 1, п° 12, с х = у = $,
получаем
2+12.|+16-i(i = Y(*).-if-.
откуда
(VI) Вычисление фундаментальных весов здесь дает
©1 = ^1 + в2 = 2а, + За2 + 4а3 + 2а4 = а,
ш2 = 28[ + е2.+ е3 = За, + 6а2 + 8а3 + 4а4,
©з = j (Зе, + е2 + е3 + е4) = 2а, + 4а2 + 6а3 + За4,
©4 — &у = а! + 2а, + За3 + 2а4.
(VII) Сумма положительных корней равна
2р = 11е, + 5еГ; + Зе3 + е4 = 16а, + 30а2 + 42а3 + 22а4.
(VIII) Справедливо равенство Q(/?) = L2 (n° 4), и, со-
согласно (VI), P{R) = Q(R). Поэтому индекс связности равен 1.
(IX) Семейство показателей состоит из 4 членов, а поскольку
Л = 12, целые числа 1, 5, 7, 11, взаимно простые с 12, дол-
должны входить в это семейство (§ 1, п° 11, предложение 30);
ими исчерпываются, следовательно, все показатели группы
W(R).
(X) и (XI) Единственным автоморфизмом графа Дынкина
является тождественное отображение, поэтому A(R) = W(R)
и шо=—1. Пусть R' — множество элементов в R наиболь-
наибольшей длины, т. е. ± &i ± Zj\ R' есть система корней типа D4,
построенная в п° 8. Всякий элемент группы A(R) будет,
очевидно, элементом группы А (/?')• Обратно, элемент из A(R')

264 гл- VI- СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 1№
оставляет устойчивым модуль L, (который порождается си-
системой /?')» а также ассоциированный с ним модуль L2 и,
следовательно, R. Получаем отсюда W (R) = A (R) = А (/?')•
Поэтому, согласно п° 8, W (R) является полупрямым произ-
произведением ©з и W (R'), a W {R') в свою очередь является полу-
полупрямым произведением ©4 и (Z/2ZK. Порядок группы W (R)
равен 3!4!23=^27-32.
10. Система типа Es
(I) Рассмотрим в R8 группу L3 (n° 4). Пусть R — множе-
множество тех ое^з, для которых (а|а) = 2; оно содержит век-
векторы
8 , ц
±ei±Ej (i < j), ~ ^ (— l)v A> ег I сумма ^ v (г) — четная .
Обратно, если (а|а) = 2 для какого-то элемента a<=L3, то
его координаты могут принимать лишь значения 0, ± —,
±1; согласно п° 4, эти координаты будут либо все целыми,*
что приводит к векторам ± et ± в/, либо все равными ± —
и с четной суммой, что приводит к векторам
8
с четной суммой 2v(i).
'='
Мы видели (п° 4), что (<z|P)eZ, каковы бы ни были
о, реL3. Поэтому R является приведенной системой кор-
корней. Число корней n = (J
(II) Пусть р —вектор @, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 23) из Ц. Ни
один элемент в R не ортогонален к р (это ясно для ±ег-±е/-;
8
8
если бы вектор у'V(—l)v(:)ef был ортогонален к р, то имело
в
бы место равенство 2 *(—l)v(/+l) + 23(-l)v<8) = 0, что не-
«=1
возможно, поскольку 2*<23). Значит (§ 1, п° 7, след-
ствие 2 предложения20), векторы ае /?, для которых (а|р)>0,

tO § 4. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ КОРНЕЙ 265
будут положительными корнями относительно некоторой
камеры. К этим корням относятся ± е,- + st (I < /) и
с
(n
7
четной суммой 2v@- Имеем (a|p)eZ
° 4),
a,
a2
a6
причем
I
= T(8,-
= e, + e.
== 85 — 8
для всех
(a|p) равно 1 для следующих корней:
1
Т" ев) J 'Ё2 Т8ЗТ84Т 85
,, а3 = е2-е„ а4 = е3-
4, «7 = е6 — е5, а8 = е7 -
+ 4
-82,
"е6.
+ 87),
«5 = 84-
а
¦83.
и эти восемь корней образуют базис в R8. В соответствии
с следствием 1 предложения 19 § 1, nD 6, (a1( a2, ..., a8) —
базис системы R, для которого положительными корнями
будут как раз определенные выше корни. Так как
(а,! а5) = (а51 а6) = (аб | а7) = (а71 а3) = (а41 а2) =
и (ai|a/) = 0 для других пар индексов, то граф Дынкина
системы R имеет тип Es, а система R является неприводи-
неприводимой.
(III) Имеем Л = |- = 30.
(IV) Линейная комбинация
a = е7 + е8 = 2а, + За2 + 4а3 + 6а4 + 5% + 4а6 + За7 + 2а8
является корнем. Сумма координат относительно (щ) равна
29 = h—1, так что а есть максимальный корень. Он орто-
ортогонален ко всем аь за исключением а8, причем (а|а8)=1.
Отсюда заключаем, что пополненным графом Дынкина будет
«2
(V) Так как (a|a) = 2 для всех a<=R, то Rv = R.
По отношению к Фд квадрат длины корней равен -^
(§ 1, п° 12). Поэтому Фл{х,у) = {х\у)/Ы и Y(/?) = 900 (§ 1,
п° 12, формула B0)).

266 ГЛ VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 10
(VI) Вычисление фундаментальных весов дает
й, == 2е8 = 4с*! + 5а2 + 7а3 + 10а4 + 8а3 + 6а6 + 4а7 + 2а8>
62 = у (е, + е2 + е3 + е4 + е5 + е6 + е7 + 5s8) ==
= 5а, + 8а2 + 10а3 + 15а4 + 12а- + 9а6 + 6а7 + За8>
ю, = у (— е, + е2 + е3 + е4 + е5 + е6 + е7 + 7е8) =
= 7а, + 10а2 + 14а3 + 20а4 + 16а, + 12ад + 8а7 + 4а8,
»4 = е3 + е4 + е5 + е6 + е7 + 5е8 =
= 10а, + 15о2 + 20а3 + 30а4 + 24ал 4- 18аб + 12а7 + 6а8,
й, = е4 + е5 + е6 + е7 + 4е8 =
= 8а, + 12а2 + 16а3 + 24а4 + 20а5 + 15аа + 10а7 + 5а8,
й6 = е5 + еб + е7 + Зе8 =
= 6а, + 9а2 + 12а3 + 18а4 + \Ъщ + 12а6 + 8а7 + 4а8,
Щ = е6 + е7 + 2е8 =
4а, + 6а2 + 8а3 + 12а4 + 10а3 + 8а6 + 6а7 + За^
ш, = в7 + е8 =
= 2а, + За2 + 4а3 + 6а4 + 5а, + 4а„ + За7 + 2а8 = а.
(VII) Полусумма положительных корней совпадает с сум-
суммой фундаментальных весов (§ 1, п° 10, предложение 29) и,
следовательно, равна
р = е2 + 2е3 + Зе4 + 4е5 + 5е6 + 6е7 + 23е8 =
= 46а, + 68а2 + 91а3 + 135а4 + 110а., + 84а6 + 57а7 -|- 29а8.
(VIII) Группа Q(R) порождается корнями ег ± et и у \ е,-
i—l
и совпадает с Ц (п° 4). Поэтому группа Р(R), которая ас-
ассоциирована с Q(RV) = Q(R) = L3, тоже есть L3 (п° 4). Ин-
Индекс связности равен 1.
(IX) Семейство показателей состоит из восьми членов,
а поскольку h = 30, целые числа 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
взаимно простые с 30, должны входить в это семейство; это
будет, следовательно, полная совокупность показателей
группы W{R).
(X) Из (IX) и из следствия 1 предложения о гл. V, § б,
п° 2, выводим, что порядок группы W(R) равен
2.8.12.14.18.20.24.30 = 2й. 3.5. 7.

11 § 4. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ КОРИЕП ?">7
(XI) Единственным автоморфизмом графа Дынкина
является тождественный, поскольку три цепи, исходящие из
точки ветвления, имеют различные длины. Стало быть, A (R)=
= W(R) и шо = -1.
s
11. Система типа Е7
(I) и (II) Пусть ? = R8, и пусть RH— система корней в Е,
построенная в п° 10. Пусть V — гиперплоскость в Е, порож-
порожденная корнями аь ..., а7 системы /?й; она ортогональна
к восьмому фундаментальному весу со = е7 + е8 системы /?8.
Пусть R = Ra(]V. Тогда R будет приведенной системой
корней с базисом (щ, ..., а7) (см. следствие 4 предложе-
предложения 20 § 1, п° 7); значит, эта система имеет тип Е7. Ее
элементами являются'
±e,±e, A<i</<6), ±(е7 — е8),
б
± y\ е7 — ев + 2j
\ б
l)V('>e« I с нечетной суммой Vv(/).
г1
Число корней га = 2 + ( „ J.4 + 26= 126. Положительными
корнями являются
/ 0 \ 6
у I — 87 + е8 + V (— l)v(t)8,- J с нечетной суммой T]v(i).
(III) Имеем h = j = 18.
(IV) Линейная комбинация а — е8 — е7 = 2а, + 2^ + За3 +
+ 4а4 + За5 + 2а6 + а7 является корнем. Сумма координат
относительно (а{) равна 17 = h—1, так что а есть макси-
максимальный корень. Он ортогонален к щ при 2<г<7, а (а|а,)=1,
поэтому пополненным графом Дынкина будет
«3
(V) Так как (а|а) = 2 для всех ае#, то Rv = R.
По отношению к Фл квадрат длины корней равен 1/18,
поэтому
% (х, у) = (х | */)/36 и Y (R) = 22.34
(§ 1, п° 12 формула B0)).

268 ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ //
(VI) Вычисление фундаментальных весов дает
ю, = е8 — е7 = 2а, + 2^ + За3 + 4а4 + За5 + 2а6 + ат = а,
ю2 = у (ei + е2 + е3 + е4 + е5 + е6 — 2е7 + 2е8) ==
= i- Dа, + 7а2 + 8а3 + 12а4 + 9а5 + 8а6 + За7),
ш3 = у (— в| + е2 + е3 + е4 + е5 + е6 — Зе7 + Зе8) =
= За, + 4а2 + 6а3 + 8а4 + 6а5 + 4а6 + 2а7,
«4 — ез + е4 + е5 + е6 + 2 (е8 — е7) =
= 4а, + 6а2 + 8а3 + 12а4 + 9а5 + 6аб + За7,
«5 = е4 + е5 + е6 + у (е8 — е7) =
==-!¦ Fа, + 9а2 + 12а3 + 18а4 + 15а5 + КЦ, + 5а7),
Щ = Ч + еб — е7 + е8 =
= 2а, + Заг + 4а3 + 6а4 + 5а5 + 4а6 + 2а7,
, 1 , .
«7 = ее + Y (е* ~ е')=
= 1 Bа, + За2 + 4а3 + 6а4 + 5а5 + 4а6 + За7).
7
(VII) Сумма 2р положительных корней равна 22 <»,•(§ I,
п° 10, предложение 29), откуда
2р = 2е2 + 4е3 + 6е4 + 8е5 + 10е6 - 17е7 + 17е8 =
= 34а, + 49а2 + 66а3 + 96а4 + 75а5 + 52а6 + 27а7.
(VIII) Согласно п° 10, (VIII) и предложению 28 § 1, п° 10,
Q(R) = Q(Rs)(]V = L3nV и P(R)=p(P(Rs)) = p(L3),
где р обозначает ортогональное проектирование Е на V.
Группа Q(R) обладает базисом (а, а7); группа P(R}
порождается группой Q(R) и элементом
р(а8) = а8 — |(о.
Имеем соеР(/?8), ~a^P{Rs), поэтому 2р(а8) е Q(R)r
a p(as)^.Q(R). Получаем, таким образом, что группа
P(R)/Q(R) изоморфна Z/2Z и порождена, например, образом
веса ш7.
Индекс связности равен 2.

12 § 4. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ КОРНЕЙ 269
(IX) Последовательность показателей группы W (R) состоит
из семи членов. Числа 1, 5, 7, II, 13, 17, взаимно простые
с h =18, входят в эту последовательность. Последний по-
показатель т, следовательно, должен быть таким, чтобы
т + т = 18 (гл. V, § 6, п° 2, формула (B)). Стало быть,
полная последовательность показателей та'кова:
1, 5, 7, 9, 11, 13, 17.
(X) Из (IX) и из следствия 1 предложения 3 гл. V, § 6,
п° 2, выводим, что порядок группы W (R) равен
2 - 6 • 8 - 10 - 12 - 14- 14 = 210-34-5-7.
(XI) Единственным автоморфизмом графа Дынкина
является тождественное отображение, поэтому A {R) = W (R)
и wo = —1-
(XII) Группа P(RV)/Q(RV) обладает единственным нееди-
неединичным элементом. Он переставляет вершины, отвечающие
корням а0 и а7, а1 и а6, а3 и а5, оставляя неподвижными
а2 и а4.
12. Система типа Е6
(I) и (II) Пусть ? = R8, и пусть #8 —система корней в Е,
построенная в п° 10. Пусть V — векторное подпространство
в Е, порожденное корнями а), ..., a6 системы R8; оно орто-
ортогонально к плоскости, порожденной двумя последними фун-
фундаментальными весами со = е7 + е8 и я = е6 + е7 + 2е8 си-
системы R8.
Пусть R = R6f]V. Это приведенная система корней с ба-
базисом (аь ..., а6), имеющая, следовательно, тип Е6. Ее эле-
элементами являются
5
± у е8 — е7 — е6 + ^ (— l)v (<)e(- с четной суммой V v (/).
Число корней « = B ) * 4 + 25 = 72. Положительными кор-
корнями будут
5
(
е8 — е7 — е6 + ^(— l)v(oej с четной суммой
(III) Имеем Л = -у=12.

270
ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ
12
(IV) Линейная комбинация
а = у (е, + е2 + е3 4- е4 4- е5 — е6 — е7 4- е8) =
= а, 4- 2а2 + 2а3 + За4 + 2а5 + а6
является корнем. Сумма координат относительно (а,) равна
11 = h—1, поэтому б — максимальный корень. Он ортого-
ортогонален к a,, <Xj, а4, а5, а6, а (а|а2)=1. Пополненный граф
Дынкина имеет вид
«•4
«2
«•6
(V) Так как (а|а) = 2 для всех ск=#, то Rv = R. По
отношению к Фд квадрат длины корней равен '/12, так что
ФАх, у) = (х\у)/24 и y(/?)=H4.
(VI) Вычисление фундаментальных весов дает
2 1
©I = "з (е8 — е7 — е6) = у Dа! + За2 + 5а3 + 6а4 + 4а5 + 2ац),
«2 = y
ез
е6 — е7 + е8) =
= а, + 2а2 + 2а3 + За4 + 2а5 + а6 = а,
й3 = -g-(e8 — е7 — е6) + у (— е, + е2 + е, + е, 4- еГ|) =
= у Eа, 4- 6а2 + 10а3 + 12а, + 8а;, + 4ай),
«4 = ез + е4 + е5 — Е6 — е7 4- е- ==
= 2а, 4- За2 + 4а3 4- 6щ + 4а, 4- 2а„,
2
©5 = у (е8 — е7 — e,j) 4- е4 4- е-, =
= у Dа, 4- 6а, + 8а, 4- 12а4 + 10а-, + 5а„),
«6 = у (е8 ~ е7 — es) -t- е-, =
= -Т7 Bа, 4- За2 4- 4а3 -г 6а, 4- 5а-, 4 '1(гн).

12 % 4. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ КОРНЕЙ 271
(VII) Полусумма р положительных корней совпадает
с ^]с5ь откуда
i—\
р == е2 + 2е3 + Зе4 + 4е5 Ч- 4 (е8 — е, — еб) =
= 8а, + 11а2+ 15а., + 21а4 + 15а5'+8а6.
(VIII) Согласно п° 10, (VIII) и предложению 28 § 1,
п° 10,
где р обозначает ортогональное проектирование Е на V.
Имеем
2
р (а7) = а7 — j л + со, р (а8) == а8 + л — 2со.
Группа Q(i?) обладает базисом (аь ..., а6). Группа P(R)
порождена группой Q(R) и элементом р{а7), потому что
р (а8) е= Р (/?8) П V = Q {R&) ()V = Q (R). Так как Зр (ct7) e Q (/?),
a p(a7)^Q{R), то группа P(R)/Q{R) изоморфна Z/3Z; она
порождается, например, образом веса со6.
Индекс связности равен 3.
(IX) и (X) В соответствии с предложением 7 § 2, п° 4,
порядок группы Вейля равен 6! 1.2.2.3.2.1.3 = 27. З4. 5. По-
Последовательность показателей из шести членов заключена
между 1 и 11 и имеет в своем составе целые числа 1, 5,
7, 11, взаимно простые с 12. Другими показателями т, т'
будут целые числа, такие, что
m + m'= 12,
0E+0G+ 0(П + 1) = 27.3«.5,
как это утверждают формула B) и следствие 1 предложе-
предложения 3 гл. V, § 6, п°2. Второе соотношение дает (/га + 1) X
X (/"'+ 0 = 45, а так как ш + /га' + 2=14, то получаем
т = 4, /га' = 8. Стало быть, полная последовательность пока-
показателей есть
1, 4, 5, 7, 8, 11.
(XI) и (XII) Поскольку все корни одной и той же длины,
автоморфизмами графа Дынкина будут автоморфизмы под-
подчиненного графа. Кроме тождественного, имеется еще один
автоморфизм е, который переводит а,, а-,, а4, сц, а6, а2 соот-
соответственно в а6, а5, а4, а3, а,, га.,. Следовательно, группа
A(R)/W(R) изоморфна Z/2Z; так как — l(?W(R) (гл. V, § 6,
п°2, следствие 3 предложения 3), то группа A {R) изомор-
изоморфна U^(^)X{1> —!}• a wQ отождествляется с —е. Отсюда

272 ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ 13
следует, что неединичный элемент из A (R)/W (R) определяет
автоморфизм JC—* — х группы P(RV)/Q(RV).
Далее, в P(RV)/Q(RV) имеется два неединичных элемента
порядка 3. Оба они определяют по одному автоморфизму
порядка 3 пополненного графа Дынкина.
13. Система типа G2
(I) Пусть V — гиперплоскость в ? = R3, определенная
уравнением
Пусть R — множество тех а е Lo f] V, для которых (а | а) = 2
или (а|а) = 6. Элементами множества R являются
± (е, — е2), ± (е, — е3), ± (е2 — е3), ± Bе, — е2 — е3),
± Bе2 — е, — е3), ± Bе3 — е, — е2).
Поэтому R порождает V и ."^ е Z, каковы бы ни были
а, Р е R; это очевидно, когда C = ± (ег — 8/) с i ф /; если же,
например, р = 2е, — е2 — е3, то (a|p)eE3Z для всех a^R,
что, конечно, влечет наше утверждение. Поэтому R есть
приведенная система корней в V. Число корней п=12.
(II) Положим а, = et — е2, а2 = —2et + е2 + е3. Корни то-
тогда принимают вид
±щ, ± (а, + а2), ± Bat + а2), ± а2,
± (За, + а2), ± (За, + 2а2).
Следовательно, (а,, о») — базис системы R. Так как ||а,|р = 2,
Ца2||2 = 6, (а, |а2) = —3, то R — система типа G2. Положи-
Положительными корнями являются а,, а, + а2, 2а, + а,, а2, За, + а2,
За, + 2а2.
(III) Имеем А = у = 6.
(IV) Максимальным корнем будет a = За, + 2а2 =
= — е, — е2 + 2ej. Поскольку (й | а,) = 0, (а | а2) = 3, пополнен-
пополненным графом Дынкина будет
(V) Дуальная система Rv совпадает с множеством сле-
следующих векторов:
± а,, ±(а, + а2), ± Bа, + а2), ±уа2,
4 ±| (За, + 2а2).

14 % 4. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ КОРНЕЙ 273
Существует 10 корней, не ортогональных к а,; имеем
п(р, аО = ± 1 для 4 из этих корней, п($, dj)=±3 для 4
других и п(р, а,) = ±2 для р= ± а,. Поэтому квадрат длины
корня а, относительно Фк равен 4D. 1 +4.9 + 2. 4) = '/i2.
и Фд(*. У) = (х\у)/24. Применяя теперь формулу A8) из § 1,
п° 12, с х — у = а{, получаем
2 + 4. j + 4.| = Y(tf).-^-.
откуда \(R) — 48.
(VI) и (VII) Полусумма положительных корней равна
р = 5о[ + За2.
Фундаментальные веса, ю, и ю2, ортогональные к а2 и а,,
пропорциональны соответственно 2а, + а2 и За, + 2а2. Имеем
й, + й2 == р = 5а, + За2 = Bа, + а2) + (За, + 2а2).
Следовательно,
ш] = 2а, + а2, щ = За, + 2ct2 = а.
(VIII) Q(R) порождается, например, корнями е, — е2 и
е,—е3. В силу (VI) и (VII) P(R) = Q(R). Индекс связности
равен 1.
(IX) Семейство показателей состоит из двух членов; так
как 1 и /г — 1 — показатели, то ими все и исчерпывается.
(X) Поскольку (а,, а2) = -^-, группа W {R) изоморфна ди-
эдральной группе порядка 12.
(XI) Единственным автоморфизмом графа Дынкина
является тождественное отображение, так что A(R) = W(R)
и к>0=—1.
14. Неприводимые системы корней, не являющиеся приве-
приведенными
Неприводимые системы корней, не являющиеся приведен-
приведенными, получаются из неприводимых приведенных систем по
образцу, описанному в предложениях 13 и 14 § 1, п°4. Для
каждого целого числа / ^ 1 существует с точностью до изо-
изоморфизма единственная неприводимая и неприведенная си-
система корней ранга /. Именно пусть R — система корней
типа Bi, A — множество корней наименьшей длины в R;
возьмем объединение множеств R и 2А. Получим, в обозна-
обозначениях п°5, векторы
± ги ±28;, ± е, ± е, {i < j)
в количестве 2/ (/ +¦ 1).

УПРАЖНЕНИЯ
§ I-
Все рассматриваемые ниже системы корней связаны с веществен-
ными векторными пространствами. Через (х \ у) обозначается скалярное
произведение, инвариантное относительно группы Вейля (пс 3)
1) Пусть R— система корней, /? = /?, U /?2 — ее разбиение. Предпо-
Предположим, что если х, у — два элемента из Ri и х + у (соотв. х — у) — ко-
корень, то и i + je/Jj (соотв. х— }G Rj), причем это верно для i = 1, 2.
Тогда R будет прямой суммой систем /?, и R2. (Показать, используя
следствие теоремы I, п° 3, что если *е=/?,, а у е Rb то (лг|г/)=О.)
2) Пусть R — система корней, а и 3 — два корня. Если t — такой
скаляр, что р + /ае=/?, то 2/sZ. (Ибо га (Р + *а, а) =п (Р, а) + 2Л)
Если корень а неделим, то /eZ. (В противном случае, используя пред-
предложение 9, показать, что найдется ортогональный к а корень у. для ко-
которого у + — a s= R; тогда I у + — а | а) >0, откуда -
3) Пусть R — система корней в V, неприводимая и неприведенная.
Существует невырожденная симметрическая билинейная форма Ф на I7,
такая, что если отождествить V с V* при помощи Ф, то R = Rv. (Ис-
(Использовать предложение 13.)
4) Пусть Г — свободный Z-модуль конечного ранга /, Г* — дуальный
Z-модуль, / — конечное множество индексов, [xit x^. —семейство эле-
элементов нз Г X Г*, для которых (xt, х^ = 2 при всех (ef, s = s ,.
i' i
Пусть V — вещественное векторное пространство, дуальное к которому
пространство V* отождествляется с Г* (g)z R. Обозначим также через s{
отражение s; (g) 1 в V. Пусть R (соотв. R') — множество элементов х(
(соотв. *(-). Пусть Е (соотв. Е') — подпространство в V (соотв. V), по-
порожденное множеством R (соотв. R'). Предположим, что s{ (R) = R при
всех I. Тогда R является системой корней в Е, Е канонически отожде-
отождествляется с дуальным к Е пространством, a xi — с хУ при всех /. Если F
(соотв. /•") — подпространство в V (соотв. V*), состоящее из инвариант-
инвариантных относительно всех s{ (соотв. (st) точек, то Т (] F (соотв. Г* П F) по-
порождает F (соотв. F'). Положив Г, = (Г П Е) © (Г (] F) (соотв. Г] =
— (Г* Г) ?")© (Г"П F')), придем к изоморфным конечным группам Г/Г, и
г7г*.
5) Пусть R — неприводимая система корней. При любом р е R спра-
справедливо соотношение
(а,
2«(P. °>2)

УПРАЖНЕНИЯ 275
и, следовательно, \ (Я/?) = у (R) Для произвольного ненулевого скаляра Я.
{Использовать формулы A7) и A9) п° 12.)
6) а) Пусть А — коммутативная группа конечного типа и Т — конечное
подмножество в А, не содержащее 0. Существует подгруппа Н коиечного
индекса в Л, такая, что Н{]Т = 0. (Пусть t<=T. Используя строение
коммутативных групп конечного типа, построить подгруппу конечного
индекса в А, не содержащую /. Затем применить индукцию по Card 7".)
6) Пусть R — система корней, Р — замкнутое симметричное подмно-
подмножество в R. Существует такая подгруппа Н конечного индекса в Q (R),
что P = H()R. (Перейти к факторгруппе по подгруппе в Q (R), порожден-
порожденной множеством Р, а затем использовать а) и предложение 23.)
7) Индекс связности системы корней равен определителю ее матрицы
Картана. (Использовать формулу A4), п° 10. Показать, с другой стороны,
что в вещественном векторном пространстве, снабженным скалярным
произведением, два базиса (е,, .... е„), (ер...,е^), для которых
{г(| ву) = Ьц, удовлетворяют условию debe E Ле[, ..., е^)>0.)
8) Пусть R — приведенная система корней. С — камера, 2а — сумма
элементов >0 в /?V, P'(R) — множество x^P(R), для которых (i,o)eZ.
Справедливы включения Q (R) <= Р' (R) с: Р (R), причем Р (R)/P' (R) будет
порядка 1 или 2. Пусть ({$! рг) — базис в /?v, соответствующий ка-
камере С. Положим 2а = /г,81+ ... + nfi(, где п{ — целые числа > 0.
Для того чтобы Р' (R) = Р (R), необходимо и достаточно, чтобы все п1
были четными.
Ц 9) Пусть R — система корней, С — камера. Положим В (С) =
{Л
{все а. попарно различны) и a = a[+ ... + as.
а) Пусть а* = 8^+ ... + esas, где е. = ± 1 при /=1, 2,..., а.
Если (а* I а^)>0 при /= 1, ...,/, то а* = а и е. = 1 при всех /. (Пусть у
(соотв. б) —сумма а., для которых е? = 1 (соотв. —1). Имеем (Y I a,-) ~
- F | а,) > 0, (у | а{) + (б | а,) = (а, | а,), откуда
так как2(у|а.)Да,| a;)eZ, то (у\ аг)>(а(| а;) = (а |аг), откуда у-аеС,
*у> a, Y = a и S = 0.)
б) Для ( = 1, 2, ..., s пусть е; = ± 1. Для того чтобы множество
всех елх( было множеством корней > 0 относительно какой-нибудь ка-
камеры, необходимо и достаточно, чтобы вектор a* = ^e.a( принадлежал
i
некоторой камере. (Что касается достаточности, то следует взять ц1 = ± 1,
такие, что (а*|и4а()>0. Существует элемент w e W (/?), который пере-
переводит множество векторов Ц;аг в множество векторов а,, и, стало быть,
а* — в а** = 2 e/fijaa(O> где а s ®s- Применяя а), показать, что а** = а,
i
откуда ц1е1 = 1.)
10) Пусть a — максимальный корень приведенной неприводимой си-
системы R относительно некоторого базиса. Для максимальности корня av
необходимо и достаточно, чтобы все корни были одной и топ >kj длины.

276 ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ § 1
11) В обозначениях предложения 33 из п° 11 показать, что 6; + 9/
не является корнем ни для одной пары пары (i, /).
12) Пусть R — система корней в V ранга ^3, (о, о,) — базис
в R, V (соотв. V") — подпространство в V, порожденное корнями а{
для i >2 (соотв. i >3), R' = R Л V, R" = R!) V". Пусть d (соотв. d', d") -
определитель матрицы Картана системы R (соотв. R', R"). Предположим,
что а! ортогонален ко всем о;, за исключением о,, и что || al || = || а2 ||.
Показать, что d = W — d".
13) Пусть R — приведенная система корней, (о,,..., а{) — базис в R
с, (а. о.)
и а = с,а, + ... + с[а[ — некоторый корень. Тогда —±-—' -¦ е Z для
всех /. (Рассмотреть дуальную систему.)
14) Пусть R — неприводимая система корней, А, — наибольшая из длин
корней, S — множество подмножеств в R, состоящих из попарно орто-
ортогональных корней длины X. Тогда два максимальных элемента в S будут
переводиться друг в друга группой W (/?). (Использовать предложение 11
и предложение 1 из гл. V, § 3, п°3.)
Ц 15) Пусть R — система корней ранга /.
а) Для справедливости включения — 1 е W (R) необходимо и доста-
достаточно, чтобы система R содержала I строго попарно ортогональных
корней. (Для доказательства необходимости провести индукцию по /,
используя предложение 1 гл. V, § 3, п°3.)
б) Для каждого элемента w e W (R) порядка 2 существует такое
множество S строго попарно ортогональных корней, что w будет произ-
произведением отражений sa (a e S).
16) Пусть R — система корней, В — базис в R, R+ — множество
положительных относительно этого базиса корней. Для w e W (R) поло-
положим Fw = R+(]w (—/?+). Показать, что отображение w i—> Fw является
биекцией W (R) на множество подмножеств FcR+, таких, что F и
R+ — F замкнуты. (Применить к подмножеству Р = {R+ — F) [} (— F)
следствие 1 предложения 20.)
Ц 17) Пусть R — приведенная система корней и В — ее базис. Для
любого подмножества J а В пусть W , — подгруппа в W (R), порожден-
порожденная отражениями s с о е /, и w . — элемент наибольшей длины в W ..
Пусть Ф — множество всех Wj.
а) Показать, что для того чтобы элемент w e W (R) принадлежал Ф,
необходимо и достаточно, чтобы
w(B)czR+(B)U(-B).
(Для доказательства достаточности этого условия обозначим через /|
множество а е В, для которых w (а) е — В, и положим J = — w (It).
Если ое/р то w (а) е — / и щ;го (а) е В; если же аеВ —/,, то
Sj»(a)e^+; в противном случае w (а) был бы положительным,
а WjW (a) — отрицательным, нз чего следовало бы, что w (a) принад-
принадлежит подсистеме, порожденной корнями ре/, и что о принадлежит
подсистеме, порожденной корнями ре/„ а это не так. Вывести отсюда,
ЧТО W.W = 1.)
б) Показать, что элемент w e W (R) имеет порядок 2 тогда и только
тогда, когда он сопряжен с одним из Wj. (Для доказательства необхо-
необходимости этого условия заметить, что элемент т порядка 2 в W (R)

УПРАЖНЕНИЯ 277
является отражением относительно подпространства, порожденного
некоторой ячейкой F. С точностью до замены w на сопряженный эле-
элемент можно предполагать, что F cz С, где С — камера, определенная
базисом В. Ячейка F в таком случае будет пересечением гиперпло-
гиперплоскостей La с а, пробегающим некоторое подмножество / с: В, и w = т.. \
18) Пусть R — система корней, и пусть Р — параболическое подмно-
подмножество в R. Показать, что дополнение к Р в R замкнуто.
19) Пусть R — система корней, и пусть х — ненулевой элемент в Q (R)
минимальной длины. Показать, что х е= R.
Ц 20) Пусть {с^, ..., a J — базис приведенной и' неприводимой
системы корней R. Пусть rap — два целых числа р ^з= 2, таких, что
(alla,) = ••¦ =(arlar) = P .(ar+lK+l)= ••• = Ma/K)-
а) Пусть a = c,a, + ... + clal — корень. Показать, что (a|a) =
= (а! | a^ (иными словами, что а есть длинный корень) тогда и только
тогда, когда р делит cf + l, ..., с;.
б) Пусть h — число Кокстера группы W (R). Показать, что число
корней в R наибольшей (соотв. наименьшей) длины равно hr (соотв.
h (I - г)).
21) Пусть R — система корней и В — ее базис. Пусть а, Рей и
w e= W (R) таковы, что Р = w (a). Показать, что существуют последо-
последовательность а,, ..., ап элементов системы R и последовательность
W\ wn— i элементов группы W (R), такие, что
(i) a, =а, а„ = Р;
(и) w = и>„_1 ... ш,;
(Hi) wl (аг) = ai + l прн 1^/^я—1;
(iv) для любого / е A, п — 1) существует такой корень E/ е В,
что wi будет принадлежать подгруппе в W, порожденной отражениями
\ и %¦
fl 22) При тех же условиях и обозначениях, что и в предложении 33
из п°11, обозначим еще через й., ..., ы[ фундаментальные веса си-
системы R.
а) Показать, что с—1 (со.) = йг — 6^. Вывести отсюда, что 1 — с ото-
отображает Р (R) на Q (R).
б) Пусть / — индекс связности системы R, и пусть /п,, ..., т[ —
показатели группы W (R). Показать, что
f = det (I - с) = JJ (l - wmi) = 2lf[ sin (m,nlh),
где w = е2лг7Л.
в) Пусть р — простое число. Запишем h в виде h= раН с Я, не
делящимся на р. Показать, что для того чтобы р делило f, необходимо
и достаточно, чтобы Н делило одно из чисел nij.')
23) Пусть R — приведенная система корней, и пусть X — подмно-
подмножество группы Р (R). Говорят, что X насыщено, если выполнено сле-
следующее условие:
') Этот результат, пока нигде не опубликованный, был сообщен нам.
Р. Стемыбергом.

278 ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ § 2
(Н) Каковы бы ни были р es X, aeJ( и ieZ, такие, что / заклю-
заключено между 0 и (р, аУ\ справедливо включение р — i'ae X.
а) Показать, что всякое насыщенное подмножество устойчиво отно-
относительно группы Вейля W системы R.
б) Показать, что для любого подмножества A cz P (R) существует
наименьшее насыщенное подмножество S (A) cz P (R), содержащее А.
в) Пусть С — камера в R, и пусть р <= Р (R) (] С — старший вес.
Пусть S (р) — наименьшее насыщенное подмножество в Р (R), содержа-
содержащее р. Пусть, наконец, 2(р)— множество таких элементов p'^P(R), что
(О р hs pmod Q (/?);
(ii) лля любого toeF выполнено неравенство w(p')<^p (в смысле
отношения порядка, определенного камерой С).
Показать, что 2 (р) конечно, содержит р и насыщено. Сделать вывод,
что S (р) содержится в 2 (р).
г) Показать, что если a — элемент из R максимальной длины, то
S() }
24) Сохраняются обозначения и условия предыдущего упражнения.
а) Пусть реР (/?), и пусть W. р — орбита р относительно W. Пока-
Показать, что эквивалентны следующие условия:
(i) S(p) = W.p;
(ii) (p, av) = 0, 1 или —1 при всех as/?.
(Если (ii) не выполнено, то строится элемент q e S (р), такой, что
(q | q)< (р | р), откуда q ф. W . р.)
б) Пусть X — непустое насыщенное подмножество в Р (R). Показать,
что X содержит элемент р, удовлетворяющий указанным выше услр-
виям (i) и (ii). (Взять в качестве р элемент из X минимальной длины.)
в) Система R предполагается здесь неприводимой. Пусть С — ка-
камера в R, В = |а^|. —соответствующий базис и
— максимальный корень дуальной системы /?V. Пусть / — множество
тех i <= /, для которых п{ = 1. Пусть р — старший вес ф 0. Показать,
что условия (i) и (ii) из а) эквивалентны каждому из следующих условий:
(Hi) (p, y*> = 1;
(iv) существует такой индекс ( е /, что р равен соответствующему
фундаментальному весу ш..
Вес р, удовлетворяющий этим условиям, называется микровесом.
Показать, что всякое непустое насыщенное подмножество в Р (R) со-
содержит либо 0, либо микровес.
§ 2.
Через R обозначается приведенная система корней в вещественном
векторном пространстве 1'.
1) Пусть х е V, и пусть W (х) — подгруппа в W (R), состоящая из
элементов w, для которых
в» (*)-*(=<? (Я).
Показать, что W (х) порожлается отражениями. (Использовать аффинную
группу Вейля дуальном системы /?v.)
2) Предположим, что система R неприводима. Пусть {с^, ..., aj —
¦базис, 0 = ^™^, — максимальный корень и f — индекс связности си-

УПРАЖНЕНИЯ 279'
стемы R. Показать, что f — 1 равно числу индексов i, для которых
п{ = 1.
3) При тех же обозначениях и условиях, что и в пс3, пусть и — авто-
автоморфизм аффинного пространства Е, который переставляет между собой
гиперплоскости Z.a> ^ (ae((, й е Z). Показать, что и является переме-
перемещением. (Показывается, что отображение, сопряженное к линейному ото-
отображению и0, ассоциированному с ц, оставляет устойчивой i? и, стало
быть, принадлежит группе А (/?).) Вывести отсюда, что G—нормализатор-
группы IF,, в группе автоморфизмов аффинного пространства Е.
4) Пусть С — камера относительно W (R) в V, и пусть С — альков
с вершиной 0, содержащийся в С. Пусть Sa (соотв. 5) — множество
отражений относительно стенок алькова С (соотв. камеры С). Пары
(Wa, Sa) и (W, 5) являются системами Кокстера, и S ci Sa. Показать,
что для (S, 0)-приведениости (гл. IV, § I, упражнение З) элемента
w е Wa необходимо и достаточно, чтобы w (С) а С.
"Ц 5) Предположим, что система R неприводима, и выберем какую-
нибудь камеру С системы R в V; обозначим через В соответствующий
базис в R.
а) Показать, что микровеса (§ 1, упражнение 24) системы R обра-
образуют систему представителей в Р (R) ненулевых элементов фактор-
факторгруппы Р {R)/Q (R). (Применить к R^ следствие предложения 6.)
б) Пусть X — насыщенное подмножество (§ 1, упражнение 23)
группы Q (R). Предположим, что X непусто и не сводится к {0}. Пусть
р — отличный от нуля элемент из X минимальной длины. Показать, что
ре/?. (Ввиду а) р не удовлетворяет условию (п) упражнения 24 к § 1;
поэтому существует oeft для которого (р, av) ^2, откуда р — ое!
Так как р — а имеет строго меньшую длину, чем р, то р — a = 0, откуда
ре/?.)
в) Пусть р — старший вес, ие принадлежащий Q (/?). Показать, что
насыщение S (р) веса р (см. § 1, упражнение 23) содержит мвкровес, и
притом только один. (Заметить, что 5 (р) содержится в нетривиальном
классе по модулю Q (R); сделать нужный вывод, применив а) и упраж-
упражнение 24, в) к § 1.)
г) Пусть р — старший вес, не принадлежащий Q (R). Доказать экви-
эквивалентность двух следующих свойств:
(i) p есть микровес;
(v) ие существует старшего веса q ф р, такого, что р—q было бы
линейвой комбинацией с целыми коэффициентами ^0 элементов базиса В.
(Если q удовлетворяет условиям свойства (v), то рассмотрим микро-
вес р\, принадлежащий S(q). Имеем р, = р mod Q(R), p\<p, и а) пока-
показывает, что р не является микровесом. Следовательно, (i) ==> (v). Обратно,,
если р не является микровесом, то рассмотрим q <= 5 (р) — W. р; с точ-
точностью до преобразования q при помощи W можно предполагать, что-
?еС; в соответствии с упражнением 23 к § 1, q<p, q фр и q =
= р mod Q {R). Поэтому (v) ==> (i).)
§3.
Обозначения и условия те же, что и в п° 2—4.
1) а) Показать, что для любого I, заключенного между 1 и /, суще-
существует, и притом только одно, дифференцирование Dt кольца А [Р], удо-
удовлетворяющее следующим условиям:
ai) ?>j у4-линейно;
а2) Di (eW'J = bije^l (bij — символ Кронекера).

280 ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ § 4
б) Пусть (х \ ^ —семейство элементов из A[P]W, удовлетво-
ряющее условиям теоремы 1. Показать, что
(Доказать, что det(D2(x^)) является антиинвариантным элементом с мак-
максимальным членом ер, откуда н вытекает нужный результат, в случае,
когда 2 — не делитель нуля в Л. В общем случае воспользоваться прин-
принципом продолжения алгебраических тождеств.) ')
2) Пусть Р' — подгруппа в Р (R), содержащая Q (/?). Показать, что
Р" устойчива относительно W. Построить пример, когда алгебра A [P']w
не изоморфна алгебре многочленов (взять в качестве R произведение
двух систем ранга 1).
§4.
Символом W (/?), где R — система корней, обозначается множество
элементов в W (R) с определителем 1.
Ц 1) Пусть R — система корней типа Еа.
а) Показать, что если а, ре/? сравнимы' по модулю 2Q (/?), то
0= ± а.
б) Вывести из а), что если w e= W (R) действует в Q (R)/2Q (/?), то
w — ± 1.
в) В обозначениях п° 10 показать, что квадратичная форма —(x\jc)
на Q (R) определяет при факторизации невырожденную квадратичную
форму q3 на векторном Р2-пространстве Q (R)/2Q (/?). Показать, что
псевдодискриминант формы <?8 (Але., гл. IX, § 9, упражнение 9) равен
нулю и что qs имеет индекс 4.
г) Пусть О (<?8) — ортогональная группа на Q (R)/2Q (R) относительно
этой формы. Определить при помощи факторизации гомоморфизм
h: W (/?)-* О (?„).
Показать (сравнив порядки), что последовательность
точная.
д) Показать, что образом прн h группы W+ (/?) является подгруппа
О+ (q8) группы О (<78), определенная в Алг., гл. IX, § 9, п° 5. Вывести
отсюда, что W+ (R)/{\, —1} является некоммутативной простой группой.
51 2) Пусть R — система корней типа Е6.
а) Положим Е= Q (R)/3P (R). Это — векторное Р3-пространство раз-
размерности 5. В обозначениях п° 12 показать, что скалярное произведение
(х\ у) определяет на Е невырожденную симметрическую билинейную
форму ф. Показать, что образы в Е двух различных элементов системы R
различны.
б) Пусть О (ф) — ортогональная группа формы ф. Справедливо ра-
равенство О(ф)=={1, —1} X SO (ф). Спннорная форма определяет сюръек-
тивный гомоморфизм группы SO (ф) на {1, —1}, ядро которого обозна-
обозначается символом SO+ (ф). Группа SO+ (ф) — простая, порядка 25920
') Этот результат, пока нигде не опубликованный, был сообщен иам
Р. Стейнбергом.

§ 4 УПРАЖНЕНИЯ 281
Факторгруппа О (ф) /SO (ф) имеет тип B, 2). Вывести отсюда, что О (ф)
содержит единственную подгруппу Q (<р) индекса 2, отличную от SO (<p)
и не содержащую —1.
в) Всякий элемент группы A (R) определяет при факторизации эле-
элемент группы О (ф). Показать (сравнив порядки), что при этом получается
изоморфизм A (R) на О (гр). Образом группы W (R) при этом изоморфизме
будет ?2(ф), а образом группы W+(R)—SO+(<p). Следовательно, W (R)
является расширением Z/2Z при помощи простой группы порядка 25920.
г) Пусть F=Q (R)/2Q(R). Это—векторное Р2-простраиство размерно-
размерности 6. Показать, что квадратичная форма -^ (х\х) определяет при фак-
факторизации невырожденную квадратичную форму qg на F с псевдодискри-
псевдодискриминантом, равным 1. Пусть О (qs) обозначает соответствующую ортого-
ортогональную группу. Определить при помощи факторизации гомоморфизм
к. W(R)->O(q6).
Показать, что гомоморфизм h ннъективен (обратить внимание, что
— l^W(R)), а затем, что он является изоморфизмом (сравнить по-
порядки). Получить отсюда изоморфизм W+ (R) на О+ (<?б) (ср. Алг., гл.
IX, § 9, п°5).
д) Сравнив в) с г), показать '), что группа SO+ (ф) изоморфна группе
О+ Ы-
Ц 3) Пусть R — система корней типа Е7.
а) Положим Е = Q {R)/2P (R), Это—векторное Р2-простраиство раз-
размерности 6. В обозначениях п°11 показать, что скалярное произведение
(х|г/) определяет' на Е невырожденную знакопеременную билинейную
форму.
б) Вывести из а) существование точной последовательности
1->{1, ~\}-+W(R)— ->SpF, F2)->1.
(Использовать тот факт, что Sp F, F2) имеет порядок 29.34.5.7.)
в) Показать, что сужение h на W (R) является изоморфизмом W (R)
на SpF, F2).
г) Используя квадратичную форму q7 на векторном Р2-пространстве
Q (R)/2Q (R), получающуюся из — (х | х) при факторизации, дать другое
доказательство утверждения б), а также установить изоморфизм
O(<?7)->SpF, F2).
U 4) Пусть R — приведенная и неприводимая система корней в V,
(а,, ..., а;) — базис в R, а—максимальный корень. Положим а = п1а1 +...
... + /ijCij. Предлагается дать описание симметричных и замкнутых
подмножеств в R, отличных от R и максимальных относительно этих
свойств.
а) Пусть i е{1, 2, ...,/}, и пусть /?,- —множество корней asft
являющихся линейными комбинациями а, для / =^= i. Показать, что R^
максимально тогда и только тогда, когда я. = 1.
') М. Киезер показал, что аналогичный метод позволяет получить
все „исключительные" изоморфизмы между классическими группами ко-
конечного порядка; см. М. К п е s e r, Ober die Ausnahme-Isomorphismen zwi-
schen endlichen klassischen Gruppen, Hamburger Abh., 31 A967), 136—140.

282 гл- VI- СИСТЕМЫ КОРНЕЙ § 4
б) Пусть ie(l,2 /}; предположим, что п(>1. Пусть S. — мно-
жество корней 2 т]&] с т(. = О (mod rc;). Показать, что S. максимально
тогда н только тогда, когда «? — простое число. (Если «(. = аб, где а> 1,
6> 1, то рассмотреть подмножество S' a R, состоящее нз корней У, т .а
с т? = 0 (mod а), и показать, что S' строго содержит S..) Показать, что
корни — й, a.j (j?=i) образуют базис в St (ранга /). Получить отсюда
граф Дынкина системы S^
в) Всякое замкнутое, симметричное и максимальное в R подмноже-
подмножество переводится каким-нибудь элементом группы W (R) в одно из под-
подмножеств, описанных в а) или б). (Пусть 2 — такое подмножество. Тогда
Y, = R[\H, где // — подгруппа конечного индекса в Q (R) (§ 1, упражне-
упражнение 6, б)); можно предполагать, что Q (/?)/// — циклическая группа. Суще-
Существует, следовательно, такой вектор и* е V", что 2 будет множеством
корней а <s R, для которых (и*, a)eZ. Множество 2 не изменится, если
добавить к и* элемент из Q (/?v). Используя Wa (R), показать, что и"
можно взять таким, чтобы (и*, а(.^^0, (и*, а}^1. Пусть и{ = (и*,аЛ.
Если два из и{ будут фО, то 2 не максимально.)
г) Перечислить максимальные симметричные замкнутые подмножества
в R для различных типов приведенных неприводимых систем корней.
5) Пусть R — система корней и Р (R) — подгруппа в Р (R), введен-
введенная в упражнении 8 к § 1. Показать, что Р' (R) = Р (R), если R имеет тип
А[ с четным /, или тип В; с / = 0, 3 (mod 4), или ?>; с / = 0, 1 (mod 4), или
С2, или F,,, илн Ец, или Еь. Показать, что Р' (R) = Q (R), если R имеет
тип Си или Bi с /=1, 2 (mod 4), или /?7, или Ах. Если /? имеет тип Л;
•с нечетным />1, то Р' (R)IQ (R) является единственной подгруппой ин-
индекса 2 циклической группы Р (R)/Q (R). Если, наконец, R имеет тип Di
с / = 2, 3 (mod 4), то Р' (R)/Q (R) является единственной подгруппой по-
порядка 2 в Р (R)/Q (/?), устойчивой относительно A (R).
fl 6) Пусть R — приведенная и неприводимая система корней,
(dp ..., a;)—базис в R, /jj ctj-f- ... -\-р[а[—максимальный корень, a(a( -j- ...
... + а[а[ — сумма положительных корней, т1 т1 — показатели
группы W (R), g — ее порядок, f — индекс связности системы R.
а) Проверить в каждом случае, что
б) Показать, что
g-mlm2 ... m[ = f-ala2 ... a,.
(Использовать а) и предложение 7 из § 2, п° 4.)
в) Для любого положительного корня a = 2 ciai пусть в (о) =
l
-= ^ Cj. Вычислить в каждом случае многочлен
а>0

§ 4 УПРАЖНЕНИЯ 283
Проверить, что Р (/) = / 2 (• + ! + ¦¦¦ + *"*' ') ')-
i=i
7) Пусть Я — приведенная и неприводимая система корней.
а) Проверить, что канонический гомоморфизм A (R)/W (R) в группу
автоморфизмов группы Р (R)/Q (R) инъективен.
б) Вывести отсюда, что —1 принадлежит W (R) тогда и только тогда,
когда Q (R) =з IP (R).
8) Пусть R, и R2 — две приведенные и неприводимые системы кор-
корней. Показать, что если группы W (./?,) и W (R,) одного и того же по-
порядка, то система R^ изоморфна R2 или R}?. (Использовать классифика-
классификацию.) Продолжает ли этот результат оставаться верным, если не пред-
предполагать, что система /?i неприводима?
9) Пусть R — система корней ранга /, и пусть р — простое число,.
делящее порядок группы A (R). Показать, что /><!/+1. (Свести к не-
неприводимому случаю н использовать классификацию.) '
10) а) Пусть (W, S) — неприводимая конечная система Кокстера. По-
Положим
W(t)= 2 tHw) (гл. IV, § 1, упражнение 26).
Пусть /И], ..., /и/ — показатели группы W (гл. V, § 6, п°2). Проверить
для небольших значений / формулу
(использовать теорему 1 и упражнение 26 к гл. IV, § I).2)
б) Пусть R — приведенная неприводимая система корней и W (соотв.
Wa) — группа Вейля (соотв. аффинная группа Вейля) системы R, наделен-
наделенная структурой группы Кокстера (соответствующей выбору некоторого
алькова). Как и выше, определяются W (/) и показатели т,-; положим.
также
Проверить при небольших значениях / формулу
; i
п
W It) — W (
') Доказательство, не использующее классификацию, см. в статье:
В. Kostant, The principal three-dimensional subgroup and the Betti
numbers of a complex simple Lie group, Ame.r. J. Math., 81 A959),
973-1032.
2) Доказательство этой формулы, не использующее классификацию и
верное при всех значениях /. см в статье:
L. Solomon, The orders of the finite Chevalley groups, /. o/ Al-
Algebra, 3 A966), 376 — 393.

284 ГЛ. VI. СИСТЕМЫ КОРНЕЙ § 4
{использовать теорему 2 и упражнение 26 к гл. IV, § 1). ')
Ц 11) Пусть (W, S) — система Кокстера типа Hz (см. теорему I).
а) В тех же обозначениях, что и при доказательстве леммы 2
в гл. V, § 6, п°2, показать, что (z, z") = n/5; вывести отсюда, что число
Кокстера h группы W равно 10 и что показателями группы W будут 1, 5 и 9.
б) Используя а), показать, что Card (W) = 120 и что число отражений
группы W равно 15.
в) Вновь установить формулу Card (W) = 120, применив упражнение 5
к гл. V, § 3.
г) Пусть St5 — знакопеременная группа множества {1, ..., 5}; для раз-
различных а, Ь, с, d из множества {1, ..., 5} обозначим через (ab) транспо-
транспозицию элементов а и Ь, а через (ab) (cd) произведение транспозиций (ab)
и (cd). Пусть
г, = A4) B3), г2 = A2) D5), г3 = A2) C4).
Показать, что (rir2M = (гг^зK = (г\ГгУ = !• Вывести отсюда сущест-
существование гомоморфизма f: W -> Й5, отображающего S на {/•], г2, г3}; пока-
показать, что f сюрьективен.
д) Пусть е: W ->{± 1} — гомоморфизм w I—> (— 1)'(ш\ Показать, что
(/, е): Г->Щ5Х{±1}
«сть изоморфизм. (Использовать тот факт, что обе рассматриваемые
группы имеют один и тот же порядок.)
fl 12) Пусть A, /, /, k) — канонический базис тела кватернионов.Н,
при помощи которого отождествляются Н и R4. На Н вводится скалярное
произведение — (ху + ух). Пусть Г — мультипликативная группа кватер-
кватернионов с нормой 1.
а) Если аеГ, то ортогональное отражение sa в Н, которое перево-
переводит а в —а, совпадает с отображением х i—=> —аха.
б) Пусть ?_ cos-JJ.-у * + (со8^/еГиг = 1A + *-Н + *)еГ.
Пусть Q — множество кватернионов, получающихся из 1, q, r четными
перестановками координат и изменением знаков некоторых координат.
Тогда Q является подгруппой в Г порядка 120.
в) Пусть W — подгруппа в GL(H), порожденная отражениями sa
с а<= Q. Показать, что W оставляет устойчивой Q, является конечной,
неприводимой, но не является кристаллографической; вывести отсюда,
что W имеет тип Я4 (см. теорему 1).
г) Показать, что W действует на Q транзитивно. (Использовать пред-
предложение 3 гл. IV, § 1.)
д) Пусть йо е Q, V — векторное подпространство в Н, ортогональное
к а0, и пусть Wo — стабилизатор вектора а0 в W. Показать, что сужение
Wo на V есть неприводимая группа, порожденная отражениями (гл. V,
§ 3, п°3), но не являющаяся кристаллографической. Вывести отсюда, что
Wo — группа Кокстера типа Н3.
') Доказательство этой формулы, не использующее классификацию и
верное при всех значениях /, см. в статьях:
R. Bott, An application of the Morse theory to the topology of Lie
groups, Bull. Soc. Math. France, 84 A956), 251 —281;
N. Iwahori, H. Matsumoto, On some Bruhat decomposition
and the structure of the Hecke rings of p-adic Chevalley groups, Publ.
Math. Inst. Hautes Et. Sci., № 25 A965), 5 — 48.

§ 4 УПРАЖНЕНИЯ 285
е) Показать, что Card (W) = 2б .З2 . 52 (использовать г), д) и упраж-
упражнение 11).
ё) Показать, что число Кокстера группы W равно 30 и что ее пока-
показателями будут 1, 11, 19, 29.
13) Пусть V — гиперплоскость в R9, определенная уравнением хх + ...
... +*9=0, и R — подмножество в V, состоящее из точек
B, 2, 2, -1, -1, -1, -1, -1, -1), (-2, -2, -2, 1, 1, 1, 1, 1, 1),
C, —3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
и из точек, которые получаются перестановками координат этих трех
точек. Показать, что R является системой корней в V типа Е8.
14) В обозначениях п°7 показать, что автоморфизм пространства R'+l,
который переводит е; в е2, е2 в е3, ..., е; в е;+1 и е/+[ в е,, индуцирует
преобразование Кокстера системы R типа Л;.
15) Дать описание микровесов (§ 1, упражнение 24) д*ля каждого
типа неприводимой приведенной системы корней. (Находятся фундамен-
фундаментальные веса ш[, ..., п>1 для А^ вес ш^ для Bt, вес c5j для С^ веса ш(,
<Bj_j, п>[ для Dv веса <й[ и й6 для /?6, вес ы'7 для ??; для Е&, F^ и G2
ничего находить не нужно.)
41 16) Пусть (W, S) — конечная неприводимая система Кокстера, и
пусть и = Card (S).
а) Показать, что если (W, S) — не типа F4. то существует подмно-
подмножество X cz S из и— 1 элементов, такое, что (^у, -^) будет tuna An_l.
б) При помощи ¦ канонического представления (гл. V, § 4) W ото-
отождествляется с подгруппой группы GL (R ). Показать, что существует
такой базис (еь ..., еп) в R , что при любой перестановке яе 5Л
автоморфизм пространства R , переводящий е( в еоп\, 1^г^и, при-
принадлежит группе W („теорема Бернсайда"). (В случае когда тип системы
(W, S) отличен от ^ использовать а); в случае же типа F4 заметить,
что W содержит подгруппу типа D, (см. п° 9), а это сводит задачу
к предыдущей.)
в) Пусть Е—какая-то подгруппа группы автоморфизмов системы
(W, S). Показать, что полупрямое произведение E-W группы Е на W
погружается каноническим образом в GL(R ). Показать, что определен-
определенная таким образом подгруппа в GL (R ) порождается отражениями, за
исключением следующих четырех случаев:
(i) (W, S) — типа Ап, п^А; группа Е — порядка 2;
(ii) (W, S) — типа D4; группа Е — порядка 3;
(Hi) (W, S) — типа Ft; группа Е — порядка 2;
(iv) {W, S) — типа ?6; группа Е — порядка 2.
Показать, что в случаях (i) и (iv) будет Е- W = {±1}Х W. Показать,
что в случае (Hi) группа Е • W не оставляет устойчивой никакой решет-
решетки в R5.
г) Пусть W\ — конечная подгруппа в GLrt(R), порожденная отраже-
отражениями, неприводимая и существенная, и пусть G — конечная подгруппа
в GLra (R), содержащая W\. Показать, что G либо порождается отраже-
отражениями, либо имеет вид Е • W, где Е и W принадлежат к одному
из типов (i) — (iv) упражнения в). (Пусть W — группа, порожденная
отражениями, которые содержатся в G. Группа G переставляет между
собой камеры относительно W. Как и в § 2, п° 3, вывести, что О имеет
указанный вид Е • W.)

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
К ГЛАВАМ IV-V1
(N. В. Римские цифры в скобках отсылают к библиографии, помещен-
помещенной в конце настоящего очерка.)
Группы, изучавшиеся в этих главах, возникали в связи
с различными вопросами геометрии, анализа и теории групп
Ли то в виде групп перестановок, то в виде групп переме-
перемещений в евклидовой или гиперболической геометрии, но
вплоть до недавнего времени эти разные подходы не были
согласованы друг с другом.
Исторически возникновение теории намного предшество-
предшествовало введению понятия группы: фактически она берет начало
в исследовании свойств „регулярности" или „симметрии"
геометрических фигур и особенно в описании правильных
многоугольников и многогранников (восходящем, без сомне-
сомнения, к пифагорейцам), которое увенчивает „Начала" Евклида
и является одним из наиболее блистательных творений гре-
греческого гения. Позднее, а именно у арабских авторов конца
средних веков и затем у Кеплера, появились зачатки мате-
математической теории правильных „покрытий" плоскости или
сферы попарно конгруэнтными (но не обязательно правиль-
правильными) многоугольниками; происхождение этой теории, не-
несомненно, связано с различными типами орнаментов, изо-
изобретенными античной и арабской цивилизациями (что можно
с полным правом рассматривать как подлинную часть мате-
математики, созданной этими цивилизациями [XII]).
В 1830—1840 г. исследования по кристаллографии (Гес-
сель, Бравэ, Мёбиус) привели к изучению проблемы, которая
в точности совпадает с проблемой описания конечных групп
перемещений в евклидовом пространстве трех измерений,
хотя упомянутые авторы и не пользовались еще языком
теории групп; последний входит в употребление лишь около
1860 г., и именно занимаясь классификацией групп, Жордан
в 1869 г. [VI] описал дискретные подгруппы сохраняющих
ориентацию перемещений пространства R3 (и, более общим
образом, все замкнутые подгруппы групп перемещений,
сохраняющих ориентацию).
Этот цикл идей развивался в XIX веке в нескольких
направлениях, из которых отметим наиболее яркие.

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ IV—VI 287
Г В соответствии с тенденцией, проявившейся в теории
конечных групп с самых ранних пор, старались „задавать"
конечные группы перемещений образующими и соотноше-
соотношениями возможно более простого типа. Так, в 1856 г. Гамиль-
Гамильтон [V] доказал, что конечные группы вращений в евклидо-
евклидовом пространстве R3 порождаются двумя образующими 5, Т,
связанными соотношениями Sp = Тч = (SPf = j!, при надле-
надлежащих значениях р и q.
2° Дискретные группы перемещений могут содержать и
могут не содержать отражений. Начиная с 1852 г. Мёбиус
описал, по существу, порожденные отражениями конечные
группы перемещений в сферической геометрии (что экви-
эквивалентно той же задаче для конечных групп евклидовых
перемещений в R3); он нашел [III], что, за исключением
циклических групп, фундаментальной областью такой группы
служит сферический треугольник с углами вида nip, n/q, я/г,
где р, q, г — три целых числа >1, для которых 1 1 > 1
(см. гл. V, § 4, упражнение 4). Он установил также, что эти
группы содержат в качестве подгрупп все конечные группы
перемещений.
3° Этот последний круг идей получил новый стимул
к развитию, когда вслед за работами Римана и Шварца по
гипергеометрическим функциям и конформным представле-
представлениям началось изучение „покрытий" комплексной плоскости
или полуплоскости фигурами, которые ограничены дугами
окружностей; Клейн и Пуанкаре заложили здесь основы
теории „автоморфных функций" и рассмотрели (для случая
дуг окружностей, ортогональных к фиксированной прямой)
проблему, эквивалентную проблеме нахождения дискретных
подгрупп группы перемещений гиперболической неевклидо-
неевклидовой плоскости (отождествляемой с „полуплоскостью Пуан-
каре") [X].
4° В работе, которая восходит приблизительно к 1850 г.,
но была опубликована много позднее и оставалась долгое
время в забвении, Шлефли [IV] распространил понятия пра-
правильного многогранника и покрытия пространства R3 такими
многогранниками на все евклидовы пространства R". Он
полностью описал правильные „политопы" в каждом R",
группу перемещений, оставляющих инвариантным один из
таких политопов, и фундаментальную область этой группы;
как и в случае п = 3, изученном Мёбиусом, эта область явля-
является „камерой", след которой на сфере Sre_, представляет со-
собой сферический симплекс. Однако он не стал заниматься
обратной задачей нахождения конечных групп перемещений,
порожденных отражениями в R"; эта задача была решена

2g8 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ IV-VI
лишь много позднее Гурса [VII] для п = 4, а для произ-
произвольного п ее решение должно было ждать работ Э. Кар-
тана [IX, f)] и Кокстера [XIV], на которых мы остановимся
ниже.
*
* *
Примерно к 1890 г., с первыми работами Киллинга и
Э. Картана по группам Ли, оформился новый цикл идей,
который долгое время развивался без связи с предыдущим.
При изучении строения комплексных полупростых алгебр Ли
Киллинг [VIII] и Картан [IX, а)] сразу же осознали перво-
первостепенную роль некоторых линейных форм соа на „подалгебре
Картана" $ такой алгебры Ли <\; это не что иное как
„корни" относительно §, названные так потому, что у Кил-
Киллинга они появились как корни характеристического урав-
уравнения det(adfl(x)—Г) = 0, левая часть которого рассматри-
рассматривается как функция от хе|. Свойства этих „корней",
установленные Киллингом и Картаном, можно выразить
на геометрическом языке гл. VI, сказав, что они образуют
„приведенную систему корней" (см. гл. VI, § 1, п°4); далее,
ими было показано, что классификация комплексных полу-
полупростых алгебр Ли сводится к классификации ассоциирован-
ассоциированных „систем корней", которая в свою очередь сводится
к описанию некоторых матриц с целыми коэффициентами
(названных впоследствии „матрицами Картана"; см. гл. VI,
§ 1, п°5). Киллинг и Картан доказали также существование
для любого корня соа инволютивной перестановки Sa мно-
множества корней'); они использовали существенным образом
преобразование C = Sa]Sa2 ... Sa[ — произведение перестано-
перестановок, ассоциированных с / корнями фундаментальной системы
(ныне оно называется „преобразованием Кокстера"); они же
продолжили указанную перестановку до линейного преобра-
преобразования векторного пространства, порожденного фундамен-
фундаментальными корнями coa. A^г^/), и изучили его собствен-
собственные значения ([VIII, II)], стр. 20; [IX, а)], стр. 58). Но ни
Киллинг, ни (на первых порах) Картан не догадывались
рассмотреть группу 'S'', порожденную всеми Sa; и когда
1 несколько позднее Картан [IX, Ь)] описывал группу Галуа 8?
характеристического уравнения
с „общим элементом" Jtelj, отображения Sa им сначала
не вводились в игру; 30 лет спустя, уже под влиянием работ
') Обозначения ша и Sa соответствуют нашим обозначениям а и sa
из гл. VI, § 1.

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ IV—VI 289
Г. Вейля, он показал [IX, с)], что S' есть нормальная под-
подгруппа группы S, и описал во всех случаях строение фак-
факторгруппы 'SI'S', которая (для простой алгебры я) имеет поря-
порядок 1 или 2, за исключением случая D4, когда она
изоморфна группе ©3! именно в этой связи он интерпрети-
интерпретировал также S' как группу, индуцируемую внутренними
автоморфизмами комплексной полупростой алгебры Ли,
оставляющими устойчивой подалгебру Картана').
В работах Г. Вейля, о которых мы только что упомя-
упомянули, была впервые введена геометрическая интерпрета-
интерпретация группы S' (названной впоследствии „группой Вейля"
алгебры fl); в то время как Киллинг и Картан работали
с преобразованием С, он высказал идею рассматривать все Sa
как отражения в векторном пространстве линейных форм
на I). В мемуаре Г. Вейля [XIII] впервые появилась также
фундаментальная область „аффинной группы Вейля" (впро-
(впрочем, связь ее с „группой Вейля" S' не была ясно указана);
Вейль использовал ее для того, чтобы установить конеч-
конечность фундаментальной группы полупростой компактной
группы, что было, в свою очередь, основным моментом в его
доказательстве полной приводимости линейных представлений
комплексной полупростой алгебры Ли. Вскоре Э. Картан осу-
осуществил синтез глобальной точки зрения Г. Вейля, своей соб-
собственной теории вещественных или комплексных полупрсстых
алгебр Ли и теории симметрических римановых пространств,
которую он в то время строил. В мемуаре [IX, d)] он за-
завершил описание фундаментальных политопов группы Вейля,
обычной и аффинной, и ввел решетки весов и радикальных
весов (гл. VI, § 1, п°9); в [IX, е)] он распространил этот
подход на симметрические пространства и таким именно
образом столкнулся с первыми примерами неприведенных
систем корней (гл. VI, § 4, п° 1). Наконец, в статье [IX,/)]
дано первое доказательство того факта, что всякая конечная
группа, порожденная отражениями в R* и являющаяся не-
неприводимой, обладает фундаментальной областью со сфери-
сферическим симплексом в качестве следа на Sn_,; в этой работе
Картан установил также геометрическими средствами един-
единственность максимального корня (относительно произволь-
произвольного лексикографического порядка на системе корней).
Спустя некоторое время Ван дер Варден [XVI], опираясь
на результаты мемуара Г. Вейля, показал, что клас-
классификация комплексных полупростых алгебр Ли эквивалентна
классификации приведенных систем корней, каковую он и
') Обозначения ?? и У соответствуют нашим обозначениям A (R) и
W (Л) из гл. VI, § 1, п° 1.
10 Зак. 61. Н. Бурбахи

290 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ ГУ—VI
осуществил при помощи элементарных геометрических сообра-
соображений (тогда как у Киллинга и Картана эта классификация
следовала из сложных вычислений определителей). Почти
в то же время Кокстер описал в явном виде все неприво-
неприводимые конечные группы евклидовых перемещений, которые
порождаются отражениями [XIV, с)]; он дополнил тем самым
результаты Э. Картана [IX, d)], который описал лишь „кри-
„кристаллографические" группы (т. е. группы, ассоциированные
с системами корней, или, еще, допускающие вложения в бес-
бесконечную дискретную группу перемещений). В следующем
году Кокстер показал [XIV, а)], что конечные группы, поро-
порожденные отражениями, суть единственные (с точностью до
изоморфизма) конечные группы, допускающие задание инво-
лютивными образующими Rt и определяющими соотноше-
соотношениями вида (RiRiI"'1 — 1 {Щ1—целые числа); отсюда и назва-
название „группы Кокстера", присвоенное потом группам (конеч-
(конечным или бесконечным), допускающим такое задание.
Первые связи между двумя циклами исследований, опи-
описанными нами выше, были отмечены впервые, по-видимому,
Кокстером [XIV bis], а затем — Виттом [XVJI]. Они устано-
установили, что бесконечные неприводимые группы евклидовых
перемещений, порожденные отражениями, взаимно одно-
однозначно (с точностью до изоморфизма) соответствуют ком-
комплексным простым алгебрам Ли. Витт дал новое описание
дискретных групп этого типа и, кроме того, обобщил упомя-
упомянутую выше теорему Кокстера из [XIV, d)], охарактеризовав
подобным образом группы Кокстера, изоморфные беско-
бесконечным дискретным группам евклидовых перемещений. Этот
результат и тот факт, что аналогичные группы в гиперболиче-
гиперболической геометрии также являются группами Кокстера '), привели
к тому, что стали самостоятельно изучать эти последние
группы, сначала (ср. гл. V, § 4) с упором на геометриче-
геометрическую реализацию ([XV], [XXV]), а затем, вслед за Ж. Тит-
сом [XXV], в чисто алгебраическом аспекте, принятом и
в настоящем трактате (гл. IV, § 1).
Начиная с работ Витта, теория полупростых групп Ли
и теория дискретных групп, порожденных отражениями, не
прекращают воздействовать друг на друга исключительно
плодотворным образом. В 1941 г. Штифель [XVIII] заметил,
что группы Вейля суть в точности конечные группы, поро-
') Эти группы, досконально изученные в случае размерности 2,
не рассматривались, между прочим, в размерностях ^ 3 вплоть до послед-
.них лет.

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ IV—V! 291
жденные отражениями и оставляющие инвариантной неко-
некоторую решетку. Шевалле [XIX, а)] и Хариш—Чандра [XX, а)]
дали в 1948—1951 г. априорные доказательства взаимно
однозначного соответствия между „кристаллографическими"
группами и комплексными полупростыми алгебрами Ли; да
тех пор могли только проверять наличие этого соответствия
отдельно для каждого типа простых алгебр Ли.
Далее, к 1950 г. было замечено, что многочлены, инва-
инвариантные относительно группы Вейля, играют важную роль
в теории линейных представлений бесконечной размер-
размерности [XX, а)] и в топологии групп Ли. Со своей стороны,
Кокстер [XIV, f)], возобновив изучение преобразования
С — произведения фундаментальных отражений конечной
группы W, порожденной отражениями, — устанбвил (проводя
отдельное исследование для каждого типа), что алгебра
многочленов, инвариантных относительно W, порождается
алгебраически независимыми элементами, степени которых
простым образом связаны с собственными значениями пре-
преобразования С (см. гл. V, § 5 и 6). Априорные доказатель-
доказательства этих результатов были впоследствии даны сначала
Шевалле [XIX, Ъ)], а затем Колеманом [XXIII] и Стейнбер-
гом [XXIV].
*
* *
С работы А. Бореля по линейным алгебраическим груп-
группам [XXII] начался новый этап в развитии теории групп Ли,
который должен был привести к значительному ее расши-
расширению. А. Борель продемонстрировал важность максималь-
максимальных связных разрешимых подгрупп (названных потом „под-
„подгруппами Бореля") в группе Ли и сделал их основным
рабочим инструментом, позволяющим перенести обширную
часть классической теории на случай алгебраических групп
над произвольным алгебраически замкнутым полем (но не
позволяющим, однако, получить классификацию простых
алгебраических групп ')). Подгруппы Бореля (в случае ком-
комплексных или вещественных классических групп) встречались
уже несколькими годами раньше в работах Гельфанда и
Наймарка по представлениям бесконечной размерности;
а в 1954 г. Ф. Брюа открыл тот замечательный факт, что
в случае классических простых групп разложение группы на
') Алгебраическая группа размерности > 0 называется простой
(в смысле алгебраической геометрии), если она не содержит алгебраи-
алгебраической нормальной подгруппы размерности > 0, отлячиой от самой себя.
Группа называется полупростой, если она изогенна произведению неком-
некоммутативных простых групп.
¦10*

292 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ IV-VI
двойные смежные классы по подгруппе Бореля каноническим
образом параметризуется группой Вейля [XXI]. Хариш-
Чандра [XX, Ь)] перенес затем этот результат на все ком-
комплексные и вещественные полупростые группы.
С другой стороны, в 1955 г. Шевалле [XIX, с)] удалось
сопоставить каждой комплексной полупростой алгебре Ли д
и каждому коммутативному полю k матричную группу
с коэффициентами в k, обладающую разложением Брюа;
этот факт он использовал для доказательства того, что, за
небольшим числом исключительных случаев, определенная
таким образом группа будет простой (в смысле теории
абстрактных групп). Тем самым он „объяснил" совпадение,
замеченное еще во времена Жордана и Ли, простых групп Ли
(в смысле теории групп Ли) типов А, В, С, D и классических
простых групп, определенных чисто алгебраическим способом
над произвольным полем (совпадение, которое до той поры
удалось распространить лишь на исключительные типы G2
и ?6 Диксону [XI, Ь) и с)]. В частности, для всех типов
комплексных простых алгебр Ли в случае конечного поля k
конструкция Шевалле приводит к семействам конечных про-
простых групп, содержащим большую часть известных тогда
конечных простых групп, а также к четырем новым сериям
(соответствующим простым алгебрам Ли типов t\, ?6, Е7
и ?8). Чуть позднее, используя различные модификации
методов Шевалле, ряд авторов (Херциг, Судзуки, Ри, Стейн-
берг и Тите), с одной стороны, показали, что аналогичным
образом можно получить остальные конечные простые группы,
известные к тому времени, за исключением знакопеременных
групп и групп Матье, а с другой стороны, построили новые
серии конечных простых групп (см. [XXIX]).
Почти в то же самое время Шевалле [XIX, d)], применяя
по-прежнему технику разложений Брюа, в сочетании с одним
ключевым результатом о нормализаторе подгруппы Бореля,
продолжил изучение алгебраических линейных групп и при-
пришел к результату, что над алгебраически замкнутым полем k
произвольной характеристики теория полупростых алге-
алгебраических линейных групп ') приводит по существу к тем же
типам, что и в классификации Киллинга—Картана для k—C.
Впоследствии Ж- Тите [XXV, а) и Ь)], анализируя методы
Шевалле, нашел аксиоматический вариант разложений Брюа
(„ВМ-пары"), в замечательно гибкой форме, с привлечением
одной лишь структуры группы; именно это понятие под
') Существование большого числа „патологических" простых алгебр
Ли над полями характеристики р>0 могло бы вызвать сомнение в уни-
универсальном характере классификации Киллинга — Каргана.

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ IV-VI 293
названием „системы Титса" было изложено в гл. IV, § 2.
Все простые группы (в различных смыслах слова), о которых
шла речь выше, канонически наделены системами Титса,
и Тите сам [XXV, с)] доказал, что наличие такой системы
в абстрактной группе G, вместе с некоторыми дополнитель-
дополнительными чисто теоретико-групповыми свойствами, позволяет
утверждать простоту группы G. Эта теорема покрыла боль-
большинство доказательств простоты, данных ранее для рассма-
рассматриваемых групп (ср. гл. IV, § 2, п°6). Далее, в сотрудни-
сотрудничестве с А. Борелем он обобщил результаты Шевалле
[XIX, d)], установив существование систем Титса в группе
рациональных точек полупростой линейной алгебраической
группы над произвольным полем [XXVII].
Все системы Титса, встречавшиеся в этих вопросах, обла-
обладали конечной группой Вейля. Другая категория примеров
была открыта Ивахори и Мацумотой [XXVI]; они показали,
что если в конструкции Шевалле [XIX, с)] в качестве k
взять р-адическое поле, то получаемая группа обладает
системой Титса, группой Вейля которой будет аффинная
группа Вейля исходной комплексной полупростой алгебры
Ли. Совсем недавно Брюа и Тите [XXVIII] перенесли этот
результат на все полупростые алгебраические группы над
локальным полем.

БИБЛИОГРАФИЯ
(I) J. Hesse 1, KrystallometHe oder Krystallonomie und Krystallo-
graphie A830, repr. dans Ostwald's Klassiker, № 88 et 89, Leip-
Leipzig (Teubner), 1897).
(II) A. Bravais, Memoires sur les polyedres de forme symetrique.
Journal de Math., A), 14 A849), 141—180.
(III) A. Mobius: a) Ueber das Gesetz der Symmetrie der Krystalle
und die Anwendung dieses Gesetze auf die Eintheilung der Krys-
Krystalle in Systeme, J. de Grelle, 43 A852), 365—374 ( = Gesammel-
te Werke, t. II, Leipzig (Hirzel), 1886, p. 349—360); b) Theorie
der symmetrischen Figuren, Gesammelte Werke, t. II, Leipzig
(Hirzel), 1886, 561—708.
(IV) L. S с h 1 a f 1 j, Theorie der vielfachen Kontinuitat, Denkschr. der
Schweiz. naturforsch. Gesellschaft, 38 A901), 1—237 ( = Ges.
math. Abhandlungen, t. I, Basel (Birkhauser), i960, 167—387).
(V) W. R. Hamilton, Memorandum respecting a new system of
roots of unity, Phil. Mag. D) 12 A856), 446.
(VI) С Jordan, Memoire sur les groupes de mouvements, Ann. dl
Mat, 2 A868—1869), 167—215 et 322—345 ( = CEuvres, t. IV,
Paris (Gauthier-Villars), 1964, 231—302).
(VII) E. Goursat, Sur les substitutions orthogonales et les divisions
regulieres de l'espace, Ann. Ec. Norm. Sup. C) 6 A889), 9—102.
(VIII) W. Killing, Die Zusammensetzung der stetigen endlicherv
Transformationsgruppen: 1) Math. Ann., 31 A888), 252—290;
II) там же, 33 A889), 1—48; III) там же, 34 A889), 57—122;
IV) там же, 36 A890), 161—189.
(IX) Е. Cartan: a) Sur la structure des groupes de transforma-
transformations finis et continus (These), Paris (Nony), 1894 (=QEuvres
completes, Paris (Gauthier-Villars), 1952. t. I,, 137—287); b) Sur
la reduction a sa forme canonique de la structure d'un groupe
de transformations fini et continu, Amer. J. Math., 18 A896),
1—46 (=QEuvres completes, t. Ii, 293—353); c) Le principe de
dualite et la theorie des groupes simples et semi-simples, Bull.
Sci. Math., 49 A925), 361—374 ( = GEuvres completes, t. I,,
555—568); d) La geometrie des groupes simples, Ann. di Math.
D), 4 A927), 209—256 ( = QEuvres completes, t. I2, 793—840);
e) Sur certaines formes riemanniennes remarquables des geomet-
geometries a groupe fondamental simple, Ann. Ec. Norm. Sup. C), 44
A927), 345—467 ( = CEuvres completes, t. I2, 867—989); f) Comple-
Complement au memoire «Sur la geometrie des groupes simples», Ann.
di Math. D) 5 A928), 253—260 ( = QEuvres completes, t. I2f
1003—1010).
(X) R. F г i с к e und F. Klein, Theorie der automorphen Funktionen,
Leipzig (Teubner), 1897.
(XI) L. E. Dickson: a) Theory of linear groups in an arbitrary
field, Trans. Amer. Math. Soc, 2 A901), 363—394; b) A new
system of simple groups, Math. Ann., 40 A905), 137—150; с) А

Ьиблиография 295
class oi groups in an arbitrary realm connected with the confi-
configuration of the 27 lines on a cubic surface, Quarte J. Math.,
33 A901), 145—173; 39 A908), 205—209.
(XII) A. Speiser, Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, Ber-
Berlin (Springer), 1924.
(XIII) H. W e у 1, Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher
Gruppen durch lineare Transformationen, Math. Zeitschr., 23
A925), 271—309, 24 A926), 328—395, 789—791 ( = Selecta, Ba-
Basel-Stuttgart (Birkhauser), 1956, 262—366).
(XIV) H. S. M. С о x e t e r: a) Groups whose fundamental regions are
simplexes, /. Load. Math. Soc, 6 A931), 132—136; b) The poly-
topes with regular prismatic figures, Proc. Land. Math. Soc. B),
34 A932), 126—189; c) Discrete groups generated by reflections,
Ann. Math. B), 35 A934), 588—621; d) The complete enumera-
enumeration of finite groups of the form r] = (R(-Rj)'!tJ= 1, /. Lond.
Math. Soc, 10 A935), 21—25; e) Regular polytopes, New York
(Macmillan), 1948 Be ed., 1963); f) The product of generators
of a finite group generated by reflections, Duke Math. J., 18
A951), 765—782.
<XIV bis) H. S. M. Coxeter in H. Weyl, The structure and represen-
representations of continuous groups (Inst. for Adv. Study, notes mimeo-
graphiees par N. Jacobson et R. Brauer, 1934—1935): Appendix.
(XV) H. S. M. Coxeter and W. O. J. Moser, Generators and rela-
relations for discrete groups, Ergeb. der Math., Neue Folge, Bd. 14,
Berlin (Springer), 1957 Be ed., 1965).
(XVI) B. L. van der Waerden, Die Klassification der einfachen Lie-
schen Gruppen, Math. Zeitschr., 37 A933), 446—462.
(XVII) E. Witt, Spiegelungsgruppen und Aufzahlung halbeinfacher
Liescher Ringe, Abh. Math. Sem. Hamb. Univ., 14 A941),
289—322.
(XVIII) E. S t i e f e 1, Ueber eine Beziehung zwischen geschlossenen
Lie'sche Gruppen und diskontinuierlichen Bewegungsgruppen
euklidischer Raume und ihre Anwendung auf die Aufzahlung der
einfachen Lie'schen Gruppen, Comm. Math. Helv., 14 A941—
1942), 350—380.
•(XIX) С Chevalley: a) Sur la classification des algebres de Lie
simples et de leurs representations, С R., 227 A948), 1136—1138;
b) Invariants of finite groups generated by reflections, Amer.
J. Math., 77 A955), 778—782; c) Sur certains groups simples,
Tohdku Math. J. B), 7 A955), 14—66. [Есть русский перевод:
К. Шевалле, О некоторых простых группах, Математика,
2:1 A958), 3—57]; d) Classification des groupes de Lie algebri-
ques, 2 vol., Paris (Inst. H. Poincare), 1956—1958.
(XX) Harish Chandra: a) On some applications of the universal
enveloping algebra of a semi-simple Lie algebra, Trans. Amer.
Math. Soc, 70 A951), 28—96; b) On a lemma of Bruhat, /. de
Math. (9), 35 A956), 203—210.
(XXI) F. Bruhat, Representations induites des groupes de Lie semi-
simples complexes, C. fl.,238 A954), 437—439.
{XXII) A. Borel, Groupes lineaires algebriques, Ann. Math. B), 64
A956), 20—80. [Есть русский перевод: А. Боре ль, Линейные
алгебраические группы, «Мир», 1972.]
- (XXIII) A. J. Coleman, The Betti numbers of the simple groups, Can.
J. Math., 10 A958), 349—356.
<XXIV) R. Steinberg, Finite reflection groups, Trans. Amer. Math.
Soc, 91 A959), 493—504.

296
БИБЛИОГРАФИЯ
(XXV) J. Tits: a) Groupes simples et geometries associees, Proc Int.
Congress Math., Stockholm, 1962, 197—221; b) Theoreme de
Bruhat et sous-groupes paraboliques, C.R.. 254 A962), 2910—
2912; c) Algebraic and abstract simple groups, Ann. Math. B),
80 A964), 313—329.
(XXVI) N. Iwahori and H. M a t s u m о t o, On some Bruhat decom-
decomposition and the structure of the Hecke rings of p-adic Chevalley
groupb, Publ. Math. 1. H. E. S., № 25 A965), 5—48.
(XXVII) A. Borel et J. Tits, Groups reductifs, Publ. Math. I.H.E.S.,
№ 27 A965), 55—150. [Есть русский перевод: А. Б о р е л ь,
Ж. Тите, Редуктивные группы, Математика, 11:1 A967),
43—111; 11 :2 A967), 3—31.]
(XXVIII) F. Bruhat et J. Tits, Groupes algebriques simples sur un
corps local, Proc. Conf. on Local Fields, p. 23—36, Berlin (Sprin-
(Springer), 1967.
(XXIX) R. Carter, Simple groups and simple Lie algebras, /. Lond.
Math. Soc, 40 A965), 193—240. [Есть русский перевод: Р. Кар-
Картер, Простые группы и простые алгебры Ли, Математика, 10:5
A966), 5—47.]
(XXXI) I. G. Macdonald, Affine root systems and Dedekind's T|-func-
tion, Inventiones Math., 15 A972), 91—143. [Есть русский пере-
перевод: И. Г. Макдональд, Аффинные системы корней и
Л-функция Дедекинда, Математика, 16:4 A972), 3—49.]
') Добавлено при переводе.—Прим. ред.

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНЧЧ
Цифры в ссылках указывают последовательно главу, параграф и пункт
Ai (система корней типа) VI, 4, 1; VI, 4, 7 и табл. I.
А, VI, 4, 3.
А [Я] VI, 3, 1.
A(R) VI, 1, 1.
•й (максимальный корень) VI, 1, 8; VI, 4, 3.
а0 = - а VI, 4, 3.
(а,, ..., а,) VI, !, 5.
В IV, 2, 1.
В (С) (базис, определенный камерой С) VI, 1, 5.
В^ (система корней типа) VI, 4, I; VI, 4, 5 и табл. II.
Bt VI, 4, 3.
Вм (билинейная форма, ассоциированная с матрицей Кокстера М) V, 4, 1.
С (камера) V, 1, 3; VI. 1, 5.
с (преобразование Кокстера) V, 6, 1; VI, I, П.
С; (система корней типа) VI, 4, 1; VI, 4, 6 и табл. Ш.
Ci VI, 4, 3.
-у,-, Гс VI, 2, 3.
¦у (Я) VI, 1, 12.
а= Д (еа/2 - е-*'2) VI, 3, 3.
а>0
Di (система корней типа) VI, 4, 1; VI, 4, 8 и тгбл. IV.
Dt VI, 4, 3.
Е VI. 4, 4.
Е6, Е\, ?8 (система корней типа) VI, 4, 1; VI, 4, 10; VI, 4, И; VI, 4, 12 и
табл. V, VI, VII.
Ё6, Ё7, ?s VI, 4, 3/
е, е„ VI, 4, 4.
f, (система корней типа) VI, 4, 1; VI, 4, 9 и табл. VIII.
/4 VI, 4, 3.
С VI, 2, 3.
<32 (система корней типа) VI, 4, 1; VI, 4, 13 и табл. IX.
<32 VI, 4, 3.
Ь V, 3, 1.
А (число Кокстера) V, 6, 1; VI, 1, 11.
//з. #4 (системы Кокстера типа) VI, 4, 1.
/2 (р) (система Кокстера типа) VI, 4, 1.
/ (еР) = 2 det (w) ew (p) VI, 3, 3.
Lo, L,, lTl3 (решетки в R") VI, 4, 4.
l(w), <s(w) (длина элемента w) IV, 1, 1.
m (s, s') IV, 1, 9.
JV IV, 2, 1.

298 УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЯ
P(R) VI, 1, 9.
Q(R) VI, 1, 9.
R (система корней) VI, 1, 1.
Rv VI, 1, 1.
p = -j ^ a VI, 1, 10; VI, 3, 3.
a>0
S IV, 1, 1.
S (eP) = ^ e" VI, 3, 4.
Sw IV, 1, 8.
T = B(]N IV, 2, 1.
V VI, 1. 1; VI, 4, 4.
W = N/T IV, 2, 1.
IT V, 3, 1.
w0 VI, 1, 6.
W{R) VI, 1, 1.
UP+(#) VI, 4, упражнения.
Гх IV, 1, 8.
Фд VI, 1, 12.
(to,, .... w,) VI, 1, 10.

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Цифры в ссылках указывают последовательно главу, параграф и пункт
(или упражнение)
алгебра Гекке IV, 2, упр. 22
альков VI, 2, 1
ансамбль IV, 1, упр. 15
— ассоциированный IV, 2, упр. 10
— вместительный IV, 1, упр. 24
— плоский IV, 1, упр. 15
— пронумерованный IV, 1, упр. 20
— структурный IV, 1, упр. 24
антиинвариант V, 5, 4; VI, 3, 3
апартамент IV, 1, упр. 15; IV, 1,
упр. 24
ассоциированная система Тнтса IV,
2, упр. 5
— с системой Кокстера билиней-
билинейная форма V, 4, 1
ассоциированный ансамбль IV, 2,
упр. 10
аффинная группа Вейля VI, 2, 1
аффинный граф Дынкнна VI, 4, 3
базис системы корней VI, 1, 5
вектор псевдоотражения V, 2, 1
вершина графа IV, Доп., 1
— концевая IV, Доп., 1
вес VI, 1, 9
— доминантный VI, 1, 10
— радикальный VI, 1, 9
— старший VI, 1, 10
— фундаментальный VI, 1, 10
ветвления точка графа IV, Доп., 1
вместительный ансамбль IV, 1,
упр. 24
выпуклая оболочка подмножества
ансамбля IV, 1, упр. 20
выпуклое подмножество ансамбля
IV, 1, упр. 20
галерея IV, 1, упр. 15
— инъектнвная IV, 1, упр. 15
— минимальная IV, 1, упр. 15
Гекке алгебра V, 2, упр. 22
гиперболического типа группа Кок-
Кокстера V, 4, упр. 12
гиперплоскость псевдоотражения V
2, 1
главное однородное множество IV,
1, упр. 16
градуированная алгебра многочле-
многочленов V, 5, 1
грань камеры V, 1, 4 *
граф IV, Доп., 1
— Дынкина VI, 4, 2
аффинный VI, 4, 3
пополненный VI, 4, 3
— Кокстера IV, 1, 9
группы V, 3, 4
— нормированный VI, 4, 2
— подчиненный графу Кокстера
VI, 1, 9
— связный IV, Доп., 2
группа Вейля аффинная VI, 2, 1
системы корней VI, 1, 1
Тйтса IV, 2, 1; IV, 2,
упр. 3
— диэдра IV, 1, 2
— Кокстера IV, 1,3
гиперболического типа V, 4,
упр. 12
Дважды транзитивное действие IV,
2, упр. 7
Двойной класс IV, 2, 1
дерево IV, Доп., 3
диэдральная группа IV, 1, 2
длина корня VI, 1,2
— пути в графе IV, Доп., 2
— серии корней VI, 1, 3
— элемента группы IV, 1, 1; IV, 2,
упр. 3
доминантный вес VI, 1, 9
допустимый эндоморфизм ансамбля
IV, 1, упр. 20
дуальная система корней VI, 1, 1
Дынкнна граф VI, 4, 2
задание группы IV, 1,3
замены условие IV, 1, 5

300
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
замкнутое множество корней VI,
1,7
изоморфизм графов IV, Доп., 1
инвариантный элемент VI, 3, 4
индекс связности VI, 1, 9
инъективная галерея IV, 1, упр. 15
инъектнвный путь IV, Доп., 2
камера V, 1, 3; V, 3, 1
— ансамбля IV, 1, упр. 15
— системы корней VI, 1, 5
— упорядоченная V, 6, 1
камеры смежные IV, 1, упр. 15
каноническая билннейная форма VI,
1, 12
— индексация VI, 1, 5
стенок камеры V, 3, 4
— матрица Картана VI, 1, 5
Кокстера IV, 1, 9
Картана матрица VI, 1, 5
Класс двойной IV, 2, 1
Кокстера граф IV, 1, 9
— группа IV, 1, 3
— матрица IV, 1, 9
— преобразование V, 6, 1; VI, 1,
11
— система IV, 1, 3
— число V, 6, 1; VI, 1, 11
комбинаторный граф IV, Доп., 1
компактный гиперболический тип V,
4, упр. 12
конец серии корней VI, 1, 3
контрагредиентное представление V,
4,4
концевая вершина графа IV, Доп., 1
концы галереи IV, 1, упр. 15
коразмерность ячейки IV, 1, упр. 15
корень максимальный VI, 1, 8
— наибольший VI, 1, 8
— неделимый VI, 1, 3
— положительный VI, 1, 6
— системы VI, 1, 1
корневая система VI, 1, 1
корни строго ортогональные VI, 1, 3
кристаллографическая группа VI,
2,5
лес IV, Доп., 3
максимальный корень VI, 1, 8
— носитель VI, 3, 2
— член VI, 3, 2
матрица Кокстера IV, 1,9
группы V, 3, 4
микровес VI, 1, упр. 24
минимальная галерея IV, 1, упр. 15
морфизм ансамблей IV, 1, упр. 15
наибольший корень VI, 1, 8
насыщенная система Титса IV, 2,
упр. 5
насыщенное множество весов VI, 1,
упр. 23
начало серии корней VI, 1, 3
неделимый корень VI, 1, 3
неприводимая группа, порожденная
отражениями V, 3, 7
— система Кокстера IV, 1, 9
корней VI, 1, 2
неприводимые компоненты системы
Кокстера IV, 1,9
корней VI, 1, 2
нормализатор IV, 2, 6
нормированный граф VI, 4, 2
носитель VI, 3, 2
— максимальный VI, 3, 2
— перегородки IV, 1, упр. 16
— ячейки V, 1,2
нумерация IV, 1, упр. 20
обратная система корней VI, 1, 1
ограниченное прямое произведение
IV, 1, 9
ортогональное отражение V, 2, 3
открытый симплекс V, 1, 6
— симплнциальный конус V, 1, 6
отношение порядка, определенное
камерой VI, 1, 6
отражение V, 2, упр. 1; V, 2, 2
— ортогональное V, 2, 3
— относительно перегородки IV,
1, упр. 18
параболическая подгруппа IV, 2, 6
параболическое множество корней
VI, 1, 7
перегиб апартамента IV, 1, упр. 18
перегородка камеры IV, 1, упр. 15
плоский ансамбль IV, 1, упр. 15
псевдоотражение V, 2, упр. 1
подграф IV, Доп., 1
— целый IV, Доп., 1
подгруппа Титса IV, 2, упр. 3
подчиненный (о графе) VI, 4, 2
показатели конечной группы Кок-
Кокстера V, 6, 2
половина апартамента IV, 1, упр. 16
положительный корень VI, 1, 6
полуапартамент IV, 2, упр. 16
полупространство V, 1,1
пополненный граф Дынкина VI. 4, 3
параболическая подгруппа IV, 2, 6

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
301
порядок ребра VI, 4, 1
представление, ассоциированное с
матрицей Кокстера V, 4, 3
преобразование Кокстера V, 6, 1;
VI, 1, 11
приведенная система корней VI, 1, 4
приведенное разложение IV, 1, 1
приспособлены (о системе Кокстера
и нумерации) IV, 1, упр. 24
пронумерованный ансамбль IV, 1,
упр. 20
просто транзитивное действие груп-
группы IV, 1, упр. 16
пространственный ансамбль IV, 1,
упр. 24
пространство, ассоциированное с
матрицей Кокстера V, 5, 9
противоположные камеры IV, 2,
упр. 15
— ячейки IV, 1, упр. 22; IV, 2,
упр. 16
прямая сумма систем корней VI,
1,2
псевдоотражение V, 2, 1; V, 2,
упр. 1
— вдоль ненулевого вектора V,
2, 1
Пуанкаре ряд V, 5, 1
путь IV, Доп., 2
— ннъективный IV, Доп., 2
радикальное семейство чисел V, 4,
упр. 6
радикальный вес VI, 1, 9
размерность ячейки V, 1, 2
ранг системы корней VI, 1, 1
расстояние между камерами IV, 1,
упр. 15
ребро IV, Доп., 1
ретракция / на А с центром С IV, 1,
упр. 24
ряд Пуанкаре V, 5, 1
связности индекс VI, 1, 9
связные компоненты ¦ графа IV,
Доп., 2
связный граф IV, Доп., 2
секция IV, 1, упр. 15
серия корней VI, 1, 3
сигнатура элемента группы Коксте-
Кокстера IV, 1, 3
симметричное множество корней VI,
1,7
симплекс V, 1, 6
симплициальный конус V, 1, 6
система Кокстера IV, 1, 3
неприводимая IV, 1, 9
— корней VI, 1, 1
дуальная VI, 1, 1
неприводимая VI, 1, 2
обратная VI, 1, 1
приведенная VI, 1, 4
— Титса IV, 2, 1
ассоциированная IV, 2, упр. 5
— — насыщенная IV, 2, упр. 5
смежные камеры IV, 1, упр. 15
соединенные (о вершинах графа)
IV, Доп., 1
сопряженные элементы группы IV,
1,3
специальная точка V, 3, 10
стабилизатор V, 3, 3
старший вес VI, 1, 10
стенка IV, 1, упр. 15; V, 1, 4
строго ортогональные корни VI, 1, 3
структурный ансамбль IV, 1, упр. 24
существенная группа, порожденная
отражениями V, 3, 7
теорема Бернсайда VI, 4, упр. 16
— Машке V, Доп.
— Титса V, 4, 4
— простоты IV, 2, 7
тип галереи IV, 2, упр. 1
— ячейки IV, 1, упр. 20
Титса подгруппа IV, 2, упр. 3
— система IV, 2, 1
— теорема V, 4, 4
точка ветвления графа IV, Доп., 1
угол между двумя корнями VI, 1, 2
упорядоченная камера V, 6, 1
условие замены IV, 1, 5
флаг IV, 2, упр. 18
форма, ассоциированная с матрицей
Кокстера V, 4, 1
фундаментальная область группы V,
3, 3
фундаментальный вес VI, 1, 10
характеристические степени V, 5, 1
целый подграф IV, Доп., 1
цепь IV, Доп., 3
цикл IV, Доп., 3
численный инвариант алгебры IV,.
2, упр. 25
число Кокстера V, 6, 1; VI, 1, 11
ячейка IV, 1, упр. 15; V, 1, 2
— противоположная IV, 1, упр. 22

ТАБЛИЦА Г
Системы типа Al (I ^ 1)
(I) V — гиперплоскость пространства ?=R , состоящая из точек,
сумма координат которых равна нулю.
Корни: г1-г1 (i Ф\, 1</</+ 1, 1 </</+ 1).
Число корней: « = /(/ + 1).
(II) Базис: а, = е, — е2, а2 = е2 — е3, .... а, = ez — е/+,.
Положительные корни: е.{ — е, = 2 «^ О <'</<'+О-
("<ft</
(III) Число Кокстера: Л = /+ 1.
(IV) Максимальный корень: й = ej — е^ ( = Oj + а2 +
Пополненный граф Дынкина (/ ^ 2):
Н
При / = 1 графом Кокстера аффинной группы Вейля будет
00
(V) Rv = R,
\у Y («)-
{VI) Фундаментальные веса:
7ТТ S e/
(VII) Сумма положительных корней:
2р = /в, + (/ - 2) е2 + (/ - 4) е3 + ...-(/- 2) 8/ - /в/+1 =
-ta,+2(/-l)o2+ ... +/(/-/+1)о,+ ... +/«г
(VIII) Q (/?): множество векторов с нулевой суммой целочисленных ко-
координат.
Р (R): порождена группой Q (R) и вектором 6j —(/ + 1)~'Х
(, 2 1+!)
P(R)/Q {R) изоморфна группе 2/A + 1)Z.
Индекс связности: / + 1.
(IX) Показатели: 1, 2, ...,/.

ТАБЛИЦА Г. СИСТЕМЫ ТИПА AfU>\)
303
(X)
(XI)
(XII)
W (R) = ©/+,, отождествляется с группой
ров е,. Порядок группы W (R): (I + 1)!.
A(R) W(R) 1
перестановок векто-
векто/1 (R) (); 0
/ >2: A(R) = W(R) X{1, — 1} и ш0 переводит а, в — а/+,_г
Группа P{Rv)/Q{Rv) есть циклическая группа порядка /+I; на
пополненном графе Дынкина она действует циклическими переста-
перестановками. При /1> 2 единственный неединичный элемент группы
Л (Я)/И7 (Л) действует на Р (R)/Q (R) как автоморфизм х н-> — х.
(XIII) Матрица Картана (/ X D-
1 2
-1
0
0
-1
2
-1
0
0
-1
2
-1
0 ...
0 ...
1
2 ...
0
0
0
0
0
0
0
0
0 ... -1 2

ТАБЛИЦА II
Системы типа В, (/ > 2)
(I) K = ?=R'.
Корни: ±е, A <»</), ±ef ±е; A <*
Число корней: я = 2Я.
(II) Базис:
Положительные корни:
2
«•<*</
(III) Число Кокстера: h = 11.
(IV) Максимальный корень:
й = гг + г2 = а, + 2а2 + 2а3 + ... -f 2аГ
а = 2й2 при 1 = 2, а — а>2 при / > 3.
Пополненный граф Дынкина:
при I ¦¦
II 1м Ц
си а.
при
(V) i?v — множество векторов:
±2ег A<
(VI) Фундаментальные веса:

ТАБЛИЦА П. СИСТЕМЫ ТИПА
305
{VII) Сумма положительных корней:
{VIII) Q
.. +l*at.
.©
P G?)/Q (/?) изоморфна группе Z/2Z н порождена образом веса шг.
Индекс связности: 2.
(IX) Показатели: 1, 3, 5, ..., 21— 1.
(X) W (R) есть полупрямое произведение группы ©;, действующей
перестановками на корнях ег, н группы (Z/2Z)' отображений
ef i—э-(±1),. ег Ее порядок равен 21-1\.
{XI) Л (Я) = №(?)• а>о=-1-
{XII) Единственный неединичнын элемент группы Р (/?V)/Q (Rv) опре-
определяет единственный нетривиальный автоморфизм пополненного
графа Дынкина.
<ХШ) Матрица Картана (/ XI)-
2
-1
0
0
0
0
_!
2
— 1
0
0
0
0
—1
2
-1
0
0
0 ...
0 ...
-1 ...
2 ...
0 ...
0 ...
С!
0
0
0
2
0
0
0
0
—2
2

ТАБЛИЦА III
Системы типа Ct (t ^ 2)
(I) v = ? = R'.
Корин: ± 2e, (l<t</), ±e{±e1 A </</</).
Число корней: п = 2/2.
(II) Базис:
«I = 81 - 82> «2 = 82 - 83 «/-1 = el-l ~ eP al °" 2е
2 «*
Положительные корни:
(III) Число Кокстера: А = 2/.
(IV) Максимальный корень: a = 2e, = 2o, + 2a2 + -.. + 2az_, +
Пополненный граф Дынкииа:
(V) /?v есть множество векторов ± е^, ± ь{ ±
(VI) Фундаментальные веса:
D/-2).
(VII) Сумма положительных корней:
2р = 2/8, + B/-2)е2+ ... +4е/_,+2е/=.
= 2/а, + 2 B/ - 1) о2 + ... + / B/ - / + 0 а, + ...
(VIII) Q (/?): множество точек с четной суммоЛ целочисленных коор-
координат.

ТАБЛИЦА ИГ. СИСТЕМА ТИПА С, </>2)
307
P(R).
®
P(R)/Q(R) изоморфна группе Z/2Z и порождена образом веса й,.
Индекс связности: 2.
(IX) Показатели: 1, 3, 5, ..., 2/— 1.
(X) W (R) есть полупрямое произведение группы S/, действующей
перестановками на векторах е^, н группы (Z/2Z)' отображений
8j i—>(±1Iе{. Ее порядок равен 21 • П.
(XI) A(R) = W(R); в»в=--1.
(XII) Единственный нееднннчный элемент группы P(RV)/Q (/?v) опре-
определяет единственный нетривиальный автоморфизм пополненного
графа Дынкина.
(XIII) Матрица Картана (/ X '):
2
— 1
0
0
0
0
—1
2
1
0
0
0
0
—1
2
1
0
0
0 ...
0 ...
—1 ...
2 ...
0 ...
0 ...
0
0
0
0
2
п
0
0
0
0
-1
2

ТАБЛИЦА IV
Системы типа Dl
(I)
V R.
Корни: ± et ± ef (l<j</</: (е;) — канонический базис в R;).
Число корней; п = 21 (! — 1).
(И) Базис:
Положительные корни:
e. + e, =
(III) Число Кокстера: h = 2/ — 2.
(IV) Максимальный корень:
a = в! + e2 — a( + 2a2 + ... + 2az_2 + аг_( + а,.
a = ш2 + й3 при / = 3 и а = ш2 при /^4. Пополненный- граф
Дыикина (/^4)
otj-t
(V) /?v = /?.
(VI) Фундаментальные веса:
ш^ = е, + е2 + ... +
= a,+2a2+ ...
 (8i+e2+

ТАБЛИЦА IV. СИСТЕМЫ ТИПА D{ «>3)
309-
(VII) Сумма положительных корней:
2р
2(/-l)e,+2(Z-2)e2 + ..
= 2(/-l)a,+2B/-3)a2 + ..
_i '(/-1)
(VIII) Q (R): множество точек с четной суммой целочисленных координат
.©
-j j е
(IX)
(X)
(XI)
I нечетно: Р (R)IQ (R) изоморфна группе Z/4Z и порождена обра-
образом веса &{; при этом <в, = 2йг и а>г_, = 3<вг mod Q (/?).
/ четно: Р (R)/Q (R) изоморфна группе (Z/2Z) X (Z/2Z): три элемента
порядка 2 являются образами весов ©,, ©z_j и ©j.
Индекс связности: 4.
Показателя: 1, 3, 5, ... 21 — 5, 2/ — 3, / — 1 (последний показатель
появляется дважды при четном I и один раз при нечетном 0-
W (R) есть полупрямое произведение группы @/, действующей
перестановками на векторах е,, и группы (Z/2Z) отображений
(±1),в, с
1. Ее порядок равен 2
,1-1
II.
/ ф 4: Л (R)/W (R) ?ё Z/2Z, действует на графе Дынкина транспо-
транспозицией вершин а[_1 и а{.
1 = 4: A {R)/W (R) es @s, действует на графе Дынкина перестанов-
перестановками вершин ai, a3 и a4.
ш0 = — 1, если I четно; хю0 — — г, если / нечетно; здесь е — авто-
автоморфизм, который переставляет а(_г и av оставляя неподвижными
все другие а{.
(XII) Действие P(RV)/Q(RV) = P (R)/Q{R) на пополненный граф
Дынкина:
/ нечетно:
при
Z четно:
ш{ переводит aQ в a[t at в a(, a{ в az_j н а[_1 в
2
— 2 он переставляет местами а, и al_,
(соотв. (>>i_i) переставляет а0 и а^ (соотв. а0 и аг_1)>
а, и О;, (соотв. af и о^), а при
— 2 переставляет а.
и а
,_у.
(XIII) Матрица Картана (/ XI)-
2
-1
0
0
0
0
-1 ...
2 ...
0 ...
0 ...
0 ...
0 ...
0
0
2
— 1
0
0
0
0
J
2
— 1
J
0
0
0
1
2
0
0
0
0
-1
0
2

ТАБЛИЦА V
Система типа ?g
(I) V — подпространство в Е = R8, состоящее из точек, координаты
{It) которых таковы, что |8 = h = — ?$•
Корни: ±e.i±ej (К i < j < 5),
/ \ 5
± -2 I е8 — е7 — е6 + J^ (~ 1)V<° е* I c четной суммой V v (i).
\ i=i / г=1
Число корней: /г = 72.
(П) Базис:
а, = у (ej + е8) — у (е2 + е3 + е4 + е5 + еа + е7), а2 == ei + e2,
«8 = ег — в), а4 = е3 — е2, а5 = е4 — е3, ав = ев — е4.
Положительные корни:
±ei + e,j (l<i</<5),
/ 5 \ 5
~2 I es — е7 — ев + V (-1)V(I) ег I с четной суммой ^ v (i).
\ «=1 / «=1
Положительные корни, обладающие хотя бы одним коэффициентом
>2') (символом acdef обозначается корень aa1 + ba2 + cai +
Ь
+ dat + eas + faB):
01210 11210 01211 12210 11211 01221 12211,
1111112
11221 12221 12321 12321.
1 11 2
¦(III) Число Кокстера: h = 12.
(IV) Максимальный корень:
а = у (е, + е2 + е3 + е4 + е5 — еб — е7 + е„) =
= а, + 2а2 + 2а3 + За, + 2а5 + ав = Щ.
Пополненный граф Дынкина:
о о о о о
«1 «*3
«5
') Остальные положительные корни получатся, если применить след-
следствие 3 предложения 19 гл. VI, § 1, п°6.

ТАБЛИЦА V. СИСТЕМЫ ТИПА Е,
ЗП
(V) R = RV.
ф (x У) = МА
(VI) Фундаментальные веса:
2
«в, = -о- (е8 — е7 — е6) =
= — Dа, + За2 + 5а3 + 6а4
Y (R) = 144.
4а5
2а6),
2 = — (е,
= ai+ 2а2
е2 + е3
е,
2а3 + За,
е5 — е6 — е7
2а5 + а6,
в„) =
= -g- (в„ — е7 •
е5) =
— Eа,
6а2 + 10а3 + 12а4 + 8а5 + 4а,),
е3 + е4 + е5 — е6 — е7 + е8 =
2а, + За2 + 4а3 + 6а4 + 4а5 + 2а6,
2
-д" (е8 — е7 — ее) + е4 +
= ~ Dа,
6а2 + 8а3
е5 =
12а4 + 10а5
5а6),
©в = y (ее — е7 — е6) + е5 =
= -д- Bа, + За2 + 4а3 + 6а4 + 5а5 + 4ав).
(VII) Сумма положительных корней:
2р = 2 (е2 + 2е3 + Зе, + 4е5 + 4 (е„ — е7 — е,)) =
= 2 (8а, + Па2+15а3 + 21а4 + 15а5 + 8ав).
(VIII) Р (R)/Q(R) изоморфна группе Z/3Z.
Индекс связности: 3.
(IX) Показатели: 1, 4, 5, 7, 8, 11.
(X) Порядок группы W (R): 27 • З4 ¦ 5.
(XI) ;4(/?) = W (R) X{1, — 1); w0 переводит а,, аг, а3, а4, а5, а6 соот-
соответственно в — а,, — аг, — а5, — а4, — а3, — а,.
(XII) Неединичный элемент группы A (R)/W (R) определяет автоморфизм
х ь-> - х группы Р (R)/Q (R).
Группа автоморфизмов пополненного графа Дыикииа изоморфна S3;.
ее элементы порядка 3 индуцируются двумя неедииичиыми элемен-
элементами группы Р (Rv)/Q {Rw).
(XIII) Матрица Картаиа:
2 0—100
2 0—1 0
0
-1 0 2—1 0
0—1—1 2 —1
0 0 0—12
0 0 0 0—1
0
0
0
0
-1
2

ТАБЛИЦА VI
Система типа Е7
{I) V — гиперплоскость пространства ?=R8, ортогональная к е7 + 88.
Корни: ±ei±ej A</</<6), ± (е7 — е8), ±-—(е7 —е84-
6 \ 6
+ 2 (~~*l)v<!)eJ с нечетной суммой 2 v (')•
i=i / i=i
Число корней: /г = 126.
<И) Базис:
°i = Y (8' ¦*" е^ ~ У ^82 + 8^ + е« + е» + es + е?)> а2 = 8[ + 8г,
Из = 8г — 8[, СЦ = 8з — 8г> С5 = 84 — 8з. Об = 85 — 64, dj = бе — 8s^
Положительные корни:
/< 6), е8 —е7,
/ 6 \ 6
7Г е8 — е7 + * . (—l)v(l) е,- I с нечетной суммой ? v (/).
2 1 j*4 t / ши
• /=i / i=i
Положительные корни, содержащие а7 и обладающие хотя бы одним
коэффициентом 5*2 !) (символом acdefg обозначается корень Ь
+ Ьа2 + еа3 + da4 + еаь + /а6 + ga7):
012111 112111 012211 122111 112211 012221
111111
122211 112221 122221 123211 123221 123211
111112
123321 123221 123321 124321 134321 234321
12 2 2 2 2
<III) Число Кокстера: h == 18.
<IV) Максимальный корень:
а = е8 — е7 = 2а, + 2а, + За3 + 4а4 + За5 + 2а6 + а7 = <»i-
Пополненный граф Дынкина:
»1 »3 1*4
«5 «6
') Положительные кории, не содержащие а7, принадлежат Ев. Поло-
Положительные корни, все коэффициенты которых ^ 1, получатся, если при-
применить следствие 3 предложения 19 гл. VI, § 1, п° 6.

ТАБЛИЦА VI. СИСТЕМА ТИПА Е,
313
(V)
(VI) Фундаментальные веса:
u>i = е8 — е7 =
= 2а, + 2а2 + За3 + 4а4 + За5 + 2а6 + а7,
_ _]_
2
1
2 (е8 — е,))
4" Dа, + 7а2 + 8а3 + 12а4 + 9а5 + 6а6 + За,),
4
ю3 = -к (— 8,
= За, + 4а
2 + е3 + е4 + е5 + е6 + 3 (е8 — е7)) =
6а3 + 8а4 + 6а5 + 4ав + 2а7>
«4 = е3 + е4 + 85 + е6 + 2 (е8 — е7) =
= 4а, + 6а2 + 8а3 + 12а4 + 9а5 + 6а6 + За7,
из = y Bе4 + 2е5 + 2е6 + 3 (е8 - е7)) =
= Y Fа, + 9а2 + 12а3 + 18а4 + 15а5 + 10а6 + 5а7),
6 — е7 + е8 =
За2 + 4а3 + 6а4
5а5 + 4а6 + 2а7;
«7 = в6 + у (е8 — 87)
= ^ Bа, + За2 + 4а3 + 6а4 + 5а5 + 4а6 + За7).
(VII) Сумма положительных корней:
2р = 2е2 + 4е3 + 6е4 + 8е5 + 10s6 - 17е7 + 17е8 =
= 34а, + 49а2 + 66а3 + 96а4 + 75а5 + 52а6 + 27а7.
(VIII) Р (R)/Q {R) изоморфна группе Z/2Z.
Индекс связности: 2.
(IX) Показатели: 1, 5, 7 9, 11, 13, 17.
(X) Порядок группы W (R): 210. 3*. 5.7.
(XI) A(R) = W(R), дао = -1.
(XII) P(Rv)/Q(Rv) обладает одним нееднннчным элементом; он опре-
определяет единственный нетривиальный автоморфизм пополненного
графа Дынкина.
(XIII) Матрица Картаиа:
2
О
—1
0—1 О
2 0-1
О 2—1
о
о
о
О —1 —1
2 —1
О
о
о
о
О
О
О
О
0
0
О —1
2 —1
О -1
2 —1
О -1

ТАБЛИЦА VII
<D
Система типа Е8
Корни: ± е{ ± et ((</), у^Д —
с четной суммой
2 v (i). Число корней: и = 240.
Базис:
а3 = 82 — е,, а, = е3 — е2, а5 = е4 — 83,
а6 = е5 — е4, а7 = вв — 8s> а8 = е7 — вв.
Положительные корни:
± е
(г"</),
/ 7 \ 7
у I 8g + V ( —l)v@ ег I с четной суммой V v (г).
Положительные корни, содержащие
хотя бы одним коэффициентом ^2')
обозначается корень aai +
_|. ga7 + ha~v
0121111
1
1222111
1
1232111
2
1233211
2
1343211
2
2343221
2
2344321
2
2464321
3
0122111
1
1122211
1
1232211
1
1232221
2
1243221
2
1343321
2
1354321
3
2465321
3
1121111
1
0122221
1
1222221
1
1233221
1
1233321
2
1244321
2
2354321
2
2465421
3
6а2 + са,
0122211
1
1232111
1
1232211
2
1243211
2
2343211
2
2343321
2
2354321
3
2465431
3
а8 н
обладающие
(символом acdefgh
и
1221111
1
1222211
1
1233211
1
1233221
2
1343221
2
1344321
2
2454321
2
2465432
3
IV
¦ еа5 + fa6 +
1122111
1
1122221
1
1232221
1
1233321
I
1243321
2
1354321
2
2454321
3
¦) Положительные корнн, не содержащие а8, принадлежат Е7. Поло-
Положительные корни, все коэффициенты которых ^ 1, получатся, если при-
применить следствие 3 предложения 19 гл. VI, § 1, п°6.

ТАБЛИЦА VII. СИСТЕМА ТИПА Е, 315
(III) Число Кокстера: h = 30
(IV) Максимальный корень:
а = е7 + е8 = 2а, + За2 + 4а3 + 6а4 + 5а6 + 4ав +
+ 3а7 + 2а8 = а1».
Пополненный граф Дынкина:
«3 а4 «5 ае «7 «8
о
«2
(V) RV=R.
(VI) Фундаментальные веса:
й, =2е8 =
= 4а, + 5а2 + 7а3 4- 10а4 + 8а6 + 6ав + 4а, + 2а8,
й2 = у (е, + е2 + е3 + е4 + е5 + ев + е7 + 5е8) =
= 5а, + 8а2 + Юа3 + 15а4 + 12а6 + 9ав + 6а7 + За8,
ш3 = -j (— е, + е2 + е3 + е4 + е5 + е6 + е, + 7е8) =
= 7а, + 10а2 + 14а3 + 20а4 + 16а5 + 12а„ + 8а7 + 4а8,
<й4 = е3 + е, + е5 + ев + е, + 5е8 =
= 10а, + 15а2 + 20а3 + 30а, + 24а5 + 18ав + 12а7 + 6а8,
ш5 = е4 + е5 + е6 + 87 + 4е8 =
==8а, + 12а2 + 16а3 + 24а4 + ?0с5 -4- 15а« 4- Ша, 4- 5а8,
шб = е5 + ев 4- е7 4- Зе8 =
= 6а, + 9а2 + 12а3 + 18а4 + 15а5 + 12а6 + 8а7 + 4а8,
ш7 = ев + е7 4-2е8 =
= 4а, + 6а2 + 8а3 + 12а, + 10ай + 8ав + 6а, 4- За8,
ш8 = е7 4- е8 =
= 2а, + За2 + 4а3 4- 6а4 + 5а5 + 4а6 + За7 4- 2а8.
(VII) Сумма положительных корней:
2р¦= 2 (е2 4- 2е3 + Зе4 4- 4е, 4- 5ев + 6е7 + 23е8 =
= 2 D6а, 4- 68а2 + 91а3 + 135а4 + 110а5 + 84а6 +
+ 57а7 + 29а8)
(VIII) Q (/?): множество точек с такими координатами %{, что
s
2|, е Z, %t - %t e Z, 2 6* s 2Z-
P(R)=*Q (/?).
Индекс связности: 1.
(IX) Показатели: 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
(X) Порядок группы W (/?): 2й. З6. 52. 7.
(XI) и (XII) A(R) = W{R), a»o = -l
(XIII) Матрица Картана:

316
ТАБЛИЦА VII. СИСТЕМА ТИПА Е,
2
0
1
0
0
0
0
0
2
0
— 1
0
0
0
— 1
0
2
— 1
0
0
0
0
_ 1
— 1
0
— 1
0
0
0
0
0
—1
2
1
0
0
0
0
0
—1
2
— 1
0
0
0
0
0
—I
2
0
0
0
0
0
0
—1
0 0 0 0 0 0—1

ТАБЛИЦА VIII
Система типа
(I) Vs=E==R4
Корни:
±е,±8/
— (± е, ± е2 ± 83± е,).
Число корней: п = 48.
(II) Базис:
е2 — е3, аз = е3 — е.,, а3 = е4, а4 = — (е, — е2 — е3 — g4).
Положительные корни:
, -^ (е, ± е2 ± е3 ± е4).
Положительные корни, обладающие хотя бы одним коэффи-
коэффициентом ^2') (символом abed обозначается корень aa,i +
+ ba2 + ca3 + rfa4):
0120 1120 0121 1220 1121 0122 1221
1122 1231 1222 1232 1242 1342 2342.
(III) Число Кокетера: h = 12.
(IV) Максимальный корень: a = е, + 82=2a1+3a2+4a3+2a4=aI.
Пополненный граф Дынкина:
" > " —о
«2 «3 «4
(V) /?v есть множество векторов ±2е., ±ei±el, ±
(VI) Фундаментальные веса:
Й1 = ei + е2 — 2а! + За2 + 4а3 + 2а4,
') Остальные положительные корни получатся, если применить след»
ствие 3 предложения 19 гл. VI, § 1, п°6.

318
ТАБЛИЦА VIII. СИСТЕМА ТИПА F4
= 2е, + е2 + 83 = За, + 6а2
8а3
4а4,
у (Зе, + е2 + 83 + е4) = 2а, + 4а2 + 6а3 + За4,
o>4 = в, = a, + 2a2 + 3a3 + 2a4.
(VII) Сумма положительных корней:
2p = 1 le, + 5e2 + 3e3 + e4 = 16a,
(VIII) Q (*) = _© Ze, + Z I -5- У e,
30а2 + 42а3 + 22а4.
P(R) = Q (R).
Индекс связности: 1.
(IX) Показатели: 1, 5, 7, 11.
(X) W (R) есть полупрямое произведение ©3 на группу, которая
в свою очередь является полупрямым произведением @4 на
(Z/2ZK.
Порядок группы W (R): 27. З2.
(XI) и (XII) A (R) = W (/?), шо = -1.
(XIII) Матрица Картана:
2
1
0
0
—1
2
— 1
0
0
о
2
•—1
0
0
— 1
2

ТАБЛИЦА IX
Система типа G2
(I) V — гиперплоскость пространства Е = R3, определенная урав-
уравнением \х + ?2 + h — 0.
Корни:
± (е, — е2), ± (е, — 83), ± (е2 — е3),
± Bе, — е2 — е3), ± Bе2 — е, — е3), ± Bе3 — е, — е2).
Число корней: 12.
(II) Базис: а, — ei — е2> а2 = —2е, + е2 + 83.
Положительные корни: а,, а2, а, + а2, 2а, + а2, За, + а2
За,+2а2.
(III) Число Кокстера: Л = 6.
(IV) Максимальный корень: а = — е, — е2 + 2е3 = За, + 2а2 = ш2.
Пополненный граф Дынкина:
(V) J?v есть мнонсество векторов ± а,, ± (а, + а2), ± Bai + a2),
± у о2, ± у (За, + а2), ± у (За, + 2а2).
(VI) Фундаментальные веса:
ш, — 2ai + a2, ш2 = 3a, + 2a2.
(VII) Сумма положительных корней:
2р = 2 Ea, + 3a2).
(VIII) P(/?) = Q(/?).
Индекс связности: 1.
(IX) Показатели: 1, 5.
(X) W (/?): диэдральная группа порядка 12.
(XI) и (XII) А (/?) = W (R), wo = -1-
(XIII) Матрица Картана:
-3 2/'

ТАБЛИЦА X
Неприводимые системы ранга 2
На первых трех рисунках представлены системы корней R типа А2,
В2 и G2. Заштрихованная область изображает камеру С, соответствующую
базису (<*!, а2). Штриховая линия — это прямая (ж |Р) = 1, где р — макси-
максимальный корень дуальной системы Rv; дважды заштрихованная область
изображает альков системы Rv с вершиной 0, содержащийся в С.
На последнем рисунке представлена единственная неприводимая си-
система корней ранга 2, не являющаяся приведенной.

СВОДКА ОСНОВНЫХ СВОЙСТВ СИСТЕМ КОРНЕЙ
(В этой сводке мы ограничимся случаем поля веществен-
нь-х чисел и приведенными системами корней.)
1) Пусть V — вещественное векторное пространство. При-
Приведенной системой корней (или корневой системой) в V на-
называется подмножество R с= V, которое обладает следую-
следующими свойствами:
(i) R конечно и порождает V;
(и) для любого ае# существует вектор <xv e V*, такой,
что (a, <xv) = 2 и эндоморфизм
Sa: x^x- {х, аУ)а
пространства V переводит R в R;
(iii) <xv (R) cz Z при всех ое^;
(iv) если ае^, то 2а^^.
С учетом (i) элемент <xv, существование которого утверж-
утверждается свойством (н), единствен; это придает смысл свой-
свойству (Hi). Отображение sa является отражением, оставляющим
неподвижными точки гиперплоскости La = Ker(av) и перево-
переводящим а в — а.
Элементы системы R называются корнями. Размерность
пространства V называется рангом системы корней.
2) Группа автоморфизмов пространства V, оставляющая
устойчивой R, обозначается символом A(R). Отражения sa
(aej?) порождают подгруппу W{R) в A(R), называемую
группой Вейля системы R; эта подгруппа нормальна в A(R).
Единственными отражениями, принадлежащими W (R), бу-
будут sa, a e R.
3) Множество Rv векторов av (для a e R) является при-
приведенной системой корней в V, называемой системой, дуаль-
дуальной (или обратной) к R. Отображение ai—^av есть биекция R
на Rv, которую называют канонической. Поскольку (Rv) — R>
канонические биекции R—>Ry, Rv —> R взаимно обратны.
Отображение m-Vm~' определяет изоморфизм W (R) на
W(RV), при помощи которого эти группы отождествляются.
П Зак. 6!. И. Бурбаки

322 СВОДКА ОСНОВНЫХ СВОЙСТВ СИСТЕМ КОРНЕП
4) Пусть вещественное векторное пространство V есть пря-
прямая сумма векторных подпространств V , Vr. Для лю-
любого i пусть Ri — приведенная система корней в Vt. Тогда
объединение R всех /?,- будет системой корней в V, назы-
называемой прямой суммой систем /?,-. Группа W{R) отождест-
отождествляется с произведением групп W (Rt). Система R называется
неприводимой, если R ?= 0 и если R не разложима в пря-
прямую сумму двух непустых систем корней. Это эквивалентно
тому, что W (R) является неприводимой группой. Всякая
приведенная система корней R разлагается в прямую сумму
приведенных неприводимых систем корней, определенных
однозначно с точностью до перестановки и называемых не-
неприводимыми компонентами системы R.
5) Пусть R — приведенная система корней в V. В V су-
существуют скалярные произведения, инвариантные относи-
относительно W(R). Всюду в дальнейшем символом (х\у) обозна-
обозначается какое-нибудь одно такое фиксированное скалярное
произведение. Если отождествить V* с V при помощи (х\у),
то ctv = . ? у Отражение sa есть ортогональное отражение,
которое переводит а в — а. Группа Вейля транзитивна на
множестве корней одной и той же длины. Если система R
неприводима, то с точностью до умножения на константу
скалярное произведение (х\у) определено однозначно.
6) Пусть R — приведенная система корней. Для а,Ре/{
вводится обозначение
(a, pv) = n(a>p)ez.
Справедливы соотношения
гс (а, а) = 2,
sp(а) = а — п(а,
С точностью до перемены местами а и Р все возможности
исчерпываются следующими:
п (а, Р) = п О, а) = 0; (а, Р) = у; s«se — порядка 2;
я (а, Р) = л(р, а)=1; (Q) = f; II а || = || р ||;
sas^ — порядка 3;
п{а, р) = я(Р, а) = -1; (а,р) = ±^; ||а|| = ||р||;
saSp — порядка 3;

СВОДКА ОСНОВНЫХ СВОЙСТВ СИСТЕМ КОРНЕЙ 323
/ца,Р)=1, п(Р, а) = 2; (Cp) = j', ИРН=/2 ||а||;
sasg — порядка 4;
n(a, Р) = -1, пф, a) = -2; (Q) =--^ ; IIРII =/2~ || а ||;
sasp — порядка 4;
n(a, p)=l. n(P, a) = 3; (Cp) = f; НР||= /3 ||а||;
sasp — порядка 6;
n(a, p) = -l, n(p, a) = -3; (Ср) = -^; НРИ=* /3"||а||;
sase — порядка 6;
п (а, Р) = п (Р, а) = 2; а = Р;
п (а, р) = п (р, а) = -2; а = — р.
7) Пусть а, Р е /?, При (а|р) > 0 разность a—p будет
корнем, за исключением случая а = р. Если (а|Р)<0, то
а + Р будет корнем, за исключением случая а = — р.
8) Пусть а, р — два непропорциональных корня. Множе-
Множество / тех |'eZ, для которых р + /ае=/?, есть интервал
(— q, р) в Z, содержащий 0. Имеют место соотношения
p — q— п ф, а), - щ^
Пусть 5 — множество корней Р + /а с /е/. Тогда sa(S) — S
и sa(P + pa) = P — qa. Говорят, что 5 есть а-серия корней,
содержащая Р; р — qa называется началом серии, p + pct —
ее концом, а р + q — длиной.
Если Т — a-серия с началом у, то длиной Т будет — п(у, а).
9) Пусть X — объединение гиперплоскостей Ker av (a e /?).
Связные компоненты множества V — X называются каме-
камерами системы R в V. Они представляют собой открытые
симплициальные конусы. Группа Вейля действует просто
транзитивным образом на множестве камер. Замыкание С
камеры С является фундаментальной областью для W(R).
Имеем (х\у)>0 для х, у^С. Биекция V на V, соответ-
соответствующая (х\у), определяет биекцию множества камер си-
системы R в V на множество камер дуальной системы Rv
в V*. Символом Су обозначается образ камеры С при этой
биекции.
10) Пусть С — камера системы R и L,, L2, ..., Lt — стенки
камеры С. Для любого i существует, и притом только один,
корень щ, такой, что Li = La/, причем а{ лежит по ту же
сторону от L{, что и С. Семейство (щ, ..., ar) есть базис
пространства V, а С совпадает с множеством тех x^V,

324 СВОДКА ОСНОВНЫХ СВОЙСТВ СИСТЕМ КОРНЕЙ
для которых (аУ, х) > О при всех /, или, что равносильно,
(а(|л:)>0 при всех L Говорят еще, что (а1( ..., а,) есть ба-
базис В (С) системы R, определенный камерой С. Имеем
(аг|а/)^0 при 1ф}. Группа W (R) действует просто транзи-
транзитивным образом на множестве базисов. Всякий корень пере-
переводится каким-нибудь элементом группы W (R) в элемент
базиса В (С). Далее, {аУ, .... a,v} = B(Cv).
11) Полагая sa =s,., обозначим через 5 множество
всех sh а через тц порядок произведения stSj. Пара (W {R), S)
есть система Кокстера с матрицей (т(/); другими словами,
группа W(R) определена семейством образующих (si)i<;<
и соотношениями (sfsy)m</ = 1. Для того чтобы s{ и S/ были
сопряжены в W (R), необходимо и достаточно, чтобы суще-
существовала последовательность индексов (j,, i2, ..., /,) с ii = i,
iq = j, а каждое из чисел tnitit+l было равно 3.
12) Пусть П(/ = п(а(, a;). Матрица (пцI<( ,<t называется
матрицей Картана системы R. Она не зависит (с точностью
до перестановки индексов 1, 2, ...,/) от выбора С. Спра-
Справедливы соотношения nl{ — 2, л(/е {0, —1, —2, —3} для
i ф ]'. Две системы корней с одинаковыми матрицами Кар-
Картана изоморфны.
13) Пусть G — подгруппа в A(R), оставляющая устойчи-
устойчивым В (С). Тогда A(R) является полупрямым произведе-
произведением G и W(R).
14) Отношением порядка, определенным камерой С в V
(соотв. в V*), называется согласованное со структурой век-
векторного пространства на V (соотв. V) отношение порядка,
при котором элементами ^0 будут линейные комбинации
корней at (соотв. аУ) с коэффициентами ^0. Эти элементы
называются положительными относительно С или относи-
относительно В (С). Указанные отношения порядка определяются
также дуальной камерой Cv. Элемент из V будет !>0 тогда
и только тогда, когда его значения на Cv будут ^ 0. Мно-
Множество элементов ^0 относительно С содержит С, но, вообще
говоря, отлично от С. Пусть x^V. Для того чтобы хеС,
необходимо и достаточно, чтобы было x^w{x) при всех
w ^W (R). Для того чтобы х е С, необходимо и достаточно,
чтобы было x>w(x) при всех w e W(R), отличных от 1.
15) Любой корень либо положителен, либо отрицателен
относительно С. Символом R+(C) обозначается множество
положительных относительно С корней, так что R — R+(C)\J

СВОДКА ОСНОВНЫХ СВОЙСТВ СИСТЕМ КОРНЕЙ 325
U(—/?+(С)) есть разбиение системы R. Отражение st пере-
переводит а,- в — аг и переставляет между собой элементы из
R+ (С), отличные от at.
16) Пусть В — базис системы R. Любой положительный
(соотв. отрицательный) относительно В корень является линей-
линейной комбинацией элементов из В с целыми коэффициентами
>0 (соотв. <0).
17) Пусть (Р1; Р2> • • •> Ря) — такая последовательность поло-
положительных относительно С корней, что р, +Р2+ • • • + Ря будет
корнем. Существует перестановка яе ©„, для которой ря A) +
+ Ря B) + ••• +Ря (О будет корнем при любом ;е{1,2, ..., п).
18) Пусть oe/J+(C). Для того чтобы аеВ(С), необхо-
необходимо и достаточно, чтобы а нельзя было записать в виде
суммы двух положительных корней.
19) Пусть С — камера, (а1; а2, ..., а() — соответствующий
базис. Для любого подмножества /cz/ = {l, 2, ..., 1} обо-
обозначим символом Wj подгруппу в W (/?), порожденную отра-
отражениями S{ с i ^ J. Пусть С/ — множество линейных комби-
комбинаций с коэффициентами > 0 корней а/ для / ф. J, так что
С/—ячейка камеры С.
Пусть / с: /, g eE W (R). Следующие условия эквивалентны:
а) g оставляет инвариантной некоторую точку ячейки Су,
б) g оставляет инвариантной любую точку ячейки С/,
в) g оставляет инвариантной любую точку замыкания Су,
г) ( C
д)
Пусть /, /'с={1, 2, ...,/} и g, g'€=W{R). Следующие
условия эквивалентны:
а) g{Cj) = g'(Cr);
б) g(Cj)(]g'(Cr)?=0;
в) gWj^g'Wy,
г) / = /' и g'^gWj.
Пусть /,, /2> ..., /rcz/ и / = /] П ... П/г- Тогда Wj =
= Wjt П ... П Wjr. Для любого gelti'^) существует / cz /,
такое, что C(]g(C) — Cj и g^Wj.
20) Пусть Р — подмножество системы R. Говорят, что Р
замкнуто, если условия aef, PgP, a + f$e/? влекут
a + Р е R Подмножество Р называется параболическим,
если Р замкнуто и Р U (— Р) = /?. Следующие условия экви-
эквивалентны:
а) Р параболично;

326 СВОДКА ОСНОВНЫХ СВОЙСТВ СИСТЕМ КОРНЕЙ
б) Р замкнуто, и существует такая камера С, что Рэ
= R+ (С);
в) существуют камера С и подмножество 2,czB{C), такие,
что Р будет объединением R+ (С) и множества Q корней,
являющихся линейными комбинациями с целыми коэффи-
коэффициентами ^0 элементов из 2.
Предположим, что эти условия выполнены, и рассмотрим
векторное подпространство VtczV, порожденное множе-
множеством 2. Имеем
и Pf|(—Р) есть система корней в К] с базисом 2.
Пусть Р', С, 2' обладают аналогичными свойствами.
Если существует элемент из W (R), переводящий Р в Р', то
в W (R) существует элемент, переводящий С в С", 2 в 2' и Р
в Р'.
21) Пусть Р — подмножество в R. Следующие условия
эквивалентны:
а) существует камера С, для которой P = R+(C);
б) Р замкнуто, и {Р, — Р} есть разбиение системы R.
Камера С определена тогда однозначно.
Предположим, что V наделено такой структурой упоря-
упорядоченного векторного пространства, что каждый корень будет
либо положительным, либо отрицательным. Пусть R+ — мно-
множество положительных корней относительно этой структуры.
Существует однозначно определенная камера С, для кото-
которой R+ = R+(C).
22) Для того чтобы подмножество В cz R было базисом
системы R, необходимо и достаточно, чтобы элементы из В
были линейно независимы и чтобы любой корень был линей-
линейной комбинацией элементов из В с коэффициентами, кото-
которые одновременно ^0 или ^0.
23) Пусть Р — замкнутое подмножество в R, для кото-
которого />Л(—Р) = 0- Существует такая камера С, что Рс
с R+ (С).
24) Подмножество Рс R называется симметричным, если
Р = — Р. Пусть Р — какое-то подмножество в R и Ki
(соотв. Г) — векторное подпространство (соотв. аддитивная
подгруппа) в V, порожденное Р. Следующие условия экви-
эквивалентны:
а) Р замкнуто и симметрично;
б) Р замкнуто и является системой корней в Vt;
в) ГПЯ = Р.

СВОДКА ОСНОВНЫХ СВОЙСТВ СИСТЕМ КОРНЕЙ 327
25) Предположим, что система R неприводима. Пусть
С — камера; положим
В(С) = {а, аг}.
В R существует максимальный (или наибольший) элемент
(относительно порядка, определенного посредством С), т. е.
такой элемент а = /^а, + ... + щщ, что для любого корня
справедливы неравенства щ ~^ри ..., n{^pi. При этом пеС
и II й || ^|| а || для любого корня а.
26) Символом Q(R) обозначается подгруппа в V, поро-
порожденная системой R; элементы группы Q(R) называются
радикальными весами системы R. Группа Q(R) есть дискрет-
дискретная подгруппа в V ранга Z = dimK. Всякий базис в R является
базисом в Q{R).
Символом P(R) обозначается подгруппа в V, ассоцииро-
ассоциированная с Q(RV); элементы из P(R) называются весами
системы R. Группа P(R) является дискретной подгруппой в V
ранга /, содержащей Q(R). Группы P(R)/Q(R), P(RV)/Q(RV)
конечны и изоморфны; их порядок / называется индексом
связности системы R. В обозначениях 25) порядок группы W (R)
равен /! м,/г2 ... nj.
Группа A (R) оставляет устойчивыми P(R), Q(R) и поэтому
действует в P(R)/Q(R). Группа W (R) действует тривиально-
в P(R)/Q(R), так что A(R)/W(R) действует в P(R)/Q(R).
27) Пусть С — камера, В = (а,, ..., а,) — соответствующий
базис системы R. Базис (©,, ..., й>г), дуальный к (а^, ..., а/\
есть базис группы Р (R). Элементы со,- называются фундамен-
фундаментальными весами (относительно С или относительно В). Множе-
Множество линейных комбинаций весов ш{ с коэффициентами > О
(соотв. ^0) совпадает с С (соотв. С). Линейные комбинации
весов ш{ с целыми коэффициентами ^0 называются старшими
(или доминантными) весами. Любой элемент из P(R) пере-
переводится группой W (R) в один, и только один, из старших
весов. Старшими весами являются элементы йеК, для
2(»|а,)
которых ' будет целым ^3*0 при всех i.
28) Пусть Р — -* 2j a- Имеет место равенство р =
a s R+ (С)
•= ш| + ... -\- юг е= С.
29) Пусть Т — группа переносов пространства V*, векторы
которой принадлежат Q(RV). Группа аффинных преобрази-

328 СВОДКА ОСНОВНЫХ СВОЙСТВ СИСТЕМ КОРНЕЙ
ваний пространства V, порожденная группами Т и W(R),
есть полупрямое произведение W(R) и Т. Эта группа назы-
называется аффинной группой Вейля системы R и обозначается
символом Wa(R). Она действует в V* собственно разрывно.
Для аЕ^ и ^eZ пусть sa, ^ — отображение х* >—> х* —
— (х*, a) av + A,av; это — аффинное отражение, и множе-
множество La,x его инвариантных точек определяется уравнением
(х\ а) = Я,; имеем La,x = La + ¦»-A,av. Аффинными отраже-
отражениями, принадлежащими Wa(R) и порождающими группу
Wa(R), будут как раз sa,x.
30) Пусть Е — объединение гиперплоскостей La,x для aei?
и Я е= Z. Связные компоненты множества V* — Е называются
альковами системы R. В случае неприводимой системы R
каждый альков является открытым симплексом; в общем
случае альков является произведением открытых симплексов.
Группа Wa(R) действует просто транзитивным образом на
множестве альковов. Если С — альков, то С будет фунда-
фундаментальной областью для Wa(R). Пусть аи а2, ..., aq — от-
отражения группы Wa(R), соответствующие стенкам алькова С;
пусть \Иц — порядок произведения а,(Т/. Тогда Wa(R) опреде-
определяется образующими af и соотношениями (сг<сг/) г/=1.
31) Если р е P(RV), то существует такой альков С, что р
будет экстремальной точкой замыкания С. Для каждого аль-
алькова С существует, и притом только один, радикальный вес,
являющийся экстремальной точкой его замыкания С.
Пусть /еГ; следующие условия эквивалентны:
а) **€=Р(/?Ч);
б) при любом a e R гиперплоскостью, параллельной La
и проходящей через х*, является La,x-
Пусть С — камера в /?v. Существует, и только один,
альков С, содержащийся в С и такой, что ОеС. Пусть
система R неприводима, и пусть р — ее максимальный корень
(относительно С'); тогда С совпадает с множеством тех /еС,
для которых (х*,$}<1.
32) Пусть S — симметрическая алгебра пространства V,
Sw — ее подалгебра, состоящая из инвариантных относи-
относительно W = W (R) элементов, g—порядок группы W, /=dimK.
Существуют однородные алгебраически независимые эле-
элементы /[, /2, ..., 1,^SW, которые порождают Sw; S^-mo-
дуль S допускает базис, состоящий из g однородных эле-
элементов. Пусть a — идеал в S, порожденный однородными
элементами подалгебры Sw степени > 0; представление

СВОДКА ОСНОВНЫХ СВОЙСТВ СИСТЕМ КОРНЕЙ 329
группы W в Sja, получающееся при факторизации предста-
представления W в 5, изоморфно регулярному представлению
группы W (над R).
33) Пусть /|, /2, •¦•. /( — элементы подалгебры Sw, одно-
однородные, алгебраически независимые и порождающие Sw. Их
степени ku k2, ¦¦-, kt определяются единственным обргзом
(с точностью до порядка) системой R. При этом g- = ?,fe2 ¦ ¦. kt.
Число корней равно 2 2 (^i - !)•
2
34) Элемент А алгебры S называется антиинвариантным
относительно W, если до (.4) = det (до) • Л при всех w^W.
Пусть R = R\ U (— Ri) — разбиение R. Положим п= Ц а',
элемент ieS антиинвариантен; антиинвариантными элемен-
элементами алгебры 5 будут элементы вида я/, где /е5г.
35) Пусть Е — (групповая) алгебра Z[P] группы весов Р
системы R. При реР символом ер обозначается соответ-
соответствующий элемент из Е. По определению ере°' = ер+р' и е°
образуют базис алгебры Е. Группа W действует в Е таким
образом, что w {е") = е'-° ("> (ш е=. W, р е Р). Элемент ге?
называется антиинвариантным, если до (z) = det (ш) • 2 при
всех w^W. Для ге? положим У(г)= 2 det (до)-до (г).
Пусть С—какая-то камера. Элементы J (ер), где p
образуют базис группы антиинвариантных элементов в Е.
Если р — полусумма положительных корней, то
/(е?) = еР П A -е~а) = П (е^'2~е-а'2),
а>0 а>0
где произведения берутся по множеству корней > 0.
36) В обозначениях 35) положим
zp = J (eD+P)/7 (е?) для р е= Р.
Элементы 2Р для реРрС образуют базис группы Ew эле-
элементов алгебры Е, инвариантных относительно W. Если
©!, ..., й, — фундаментальные веса системы 7?, то эле-
элементы 2й, 1^г^/, алгебраически независимы и поро-
порождают кольцо Ew.
37) Пусть С —камера системы R, (а,, ..., а,) —соответ-
—соответствующий базис. Элемент 0 = 8^2 ... st группы W называется
преобразованием Кокстера системы R. Класс сопряженности
элемента с в W не зависит ни от С, ни от нумерации кор-
корней а;. Порядок h элемента с называется числом Кокстера

330 СВОДКА ОСНОВНЫХ СВОПСТВ СИСТЕМ КОРНЕЙ
системы R. Собственные значения преобразования с имеют
2Ыт,
вид ехр—¦?-*-, где целые числа ти т2, ..., т1 (называемые
показателями системы R или группы W) таковы, что
ГЛ 1
2
Предположим, что система R неприводима. Тогда
/Л] = 1, mi — h — 1;
ni\ + Щ+ ••¦ + тг = -J lh = ~ Card (R).
Любое шеA, 2,..., h — 1}, взаимно простое с h, равно
одному, и только одному, из ntj. Целые числа m,-j- 1,
/n2-fl, ..., /пг+1 с точностью до порядка совпадают
с целыми числами ku k2, ..., kt из 33). В обозначениях 25)
«!+•¦• +«/==А—1. В У? имеется / орбит множества
{1, с, с2, ..., сл-1}, и все они состоят из А элементов.
Если h четно, то сш переводит С в - С. Для того чтобы
— 1 е W, необходимо и достаточно, чтобы все показатели
группы W были нечетными; в случае когда это так, h четно
и ch'2=- 1.

ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора переволя 5
Введение 7
Глава IV. Группы Кокстера и системы Титса 10
§ /. Группы Кокстера 10
1. Длина и приведенные разложения 10
2. Диэдральные группы 11
3. Основные свойства групп Кокстера 13
4. Приведенные разложения в группе Кокстера 15-
5. Условие замены ... 17
6. Характеризация групп Кокстера 20
7. Семейства разбиений 20
8. Подгруппы групп Кокстера 22
9. Матрицы и графы Кокстера 24
§ 2. Системы Титса 26
1. Определение и основные свойства 26
2. Пример 28
3. Разложение G на двойные классы 29'
4. Связь с системами Кокстера 30
5. Подгруппы группы G, содержащие И 32
6. Параболические подгруппы 34
7. Теорема простоты 35
Дополнение. Графы 39
1. Определения 39'
2. Связные компоненты графа 39
3. Леса н деревья 41
Упражнения к § 1 44
Упражнения к § 2 56
Глава V. Группы, порожденные отражениями 71
§ /. Гиперплоскости, камеры и ячейки 71
1. Основные понятия и обозначения 71
2. Ячейки 72
3. Камеры 75
4. Стенки и грани 77
5. Двугранные углы 78
6. Примеры: симплициальные конусы и симплексы 80'

ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 2. Отражения 82
1. Псевдоотражения 82
2. Отражения 84
3. Ортогональные отражения 86
4. Ортогональные отражения в аффинном евклидовом про-
пространстве 87
5. Дополнения о вращениях на плоскости 83
§ 3. Группы перемещений, порожденные отражениями 90
1. Предварительные результаты • . . . . 91
2. Связь с системами Кокстера 93
3. Фундаментальная область. Стабилизаторы 91
4. Матрица и граф Кокстера группы W 98
5. Системы векторов с отрицательными скалярными про-
произведениями 98
6. Теоремы конечности 100
7. Разложение линейного представления группы W в Т . . . 103
8. Разложение аффинного пространства Е в произведение . . 105
9. Строение камер 107
10. Специальные точки ПО
¦§ 4. Геометрическое представление группы Кокстгра 113
1. Форма, ассоциированная с матрицей Кокстера 113
2. Плоскость Es s, и группа, порожденная отражениями
as и 0S/ 114
3. Группа и представление, ассоциированные с матрицей
Кокстера 115
4. Контрагредиентов представление 116
5. Доказательство леммы 1 119
6. Фундаментальная область группы W в объединении
камер 120
7. Неприводимость геометрического представления группы
Кокстера 122
8. Критерий конечности 123
9. Случай, когда форма Вм положительна и вырождена . . 126
§ 5. Инварианты в симметрической алгебре 129
1. Рид Пуанкаре градуированной алгебры 129
2. Инварианты конечной линейной группы: свойства модуля . 131
3. Инварианты конечной линейной группы: свойства кольца . 135
4. Антииивариантные элементы • 141
5. Дополнения 143
§ 6. 'Преобразование Кокстера 146
1. Определение преобразований Кокстера 146
2. Собственные значения преобразования Кокстера. Пока-
Показатели 147
Дополнение. Дополнительные сведения о линейных представ-
представлениях 154
Упражнения к§2 158
Упражнения к § 3 159
Упражнения к § 4 161
Упражнения к § 5 169
Упражнения к § 6 174

ОГЛАВЛЕНИЕ 333'
Глава VI. Системы корней 177
§ /. Системы корней 177
1. Определение системы корней 177
2. Прямая сумма систем корней 181
3. Связи между двумя корнями 184
4. Приведенные системы корней 188
5. Камеры и базисы системы корней 190
6. Положительные корни 193
7. Замкнутые множества корней 200
8. Максимальный корень 206
9. Веса, радикальные веса 207
10. Фундаментальные веса, старшие веса 209
11. Преобразование Кокстера 211
12. Каноническая билинейная форма 214
§ 2. Аффинная группа Вейля 215
1. Аффинная группа Вейля 216
2. Веса и специальные точки 217
3. Нормализатор группы Wa ¦ 219
4. Применение: порядок группы Вейля 221
5. Системы корней и группы, порожденные отражениями . . 222
§ 3. Экспоненциальные инварианты 226
1. Алгебра свободной коммутативной групггы 226
2. Случай группы весов; максимальные члены 227
3. Антиинвариантные элементы 228
4. Инвариантные элементы 232
§ 4. Классификация систем корней . . • 234
1. Конечные группы Кокстера 234
2. Графы Дынкина 242
3. Аффинная группа Вейля и пополненный граф Дынкина . 24&
4. Предварительная подготовка к построению систем
корней 248
5. Системы типа Вг(/>2) 251
6. Системы типа Q (/ > 2) 254
7. Системы типа Л((/>1) 255
8. Системы типа Dt (I > 3) 258
9. Система типа F4 261
10. Система типа ?„ 264
11. Система типа Е7 267
12. Система типа Е6 269
13. Система типа G2 272
14. Неприводимые системы корней, не являющиеся при-
приведенными 273
Упражнения к § 1 274
Упражнения к§2 278
Упражнения к § 3 279
Упражнения к§4 280
Исторический очерк к главам IV—VI 286
Библиография 294
Указатель обозначений 297

331 ОГЛАВЛЕНИЕ
¦Указатель терминов 299
Таблица I. Системы типа Л; (/^ I) 302
Таблица II. Системы типа В/ (/ ^ 2) 304
Таблица III. Системы типа С,(/>2) 305
Таблица IV. Системы типа ?>;(/>3) 308
Тлблица V. Система типа ?8 310
Таблица VI. Система типа Е7 312
Таблица VII. Система типа ?8 314
Таблица VIII. Система типа F4 317
Таблица IX. Система типа G2 319
Таблица X. Неприводимые системы ранга 2 320
¦Сводка основных свойств систем корней 321

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее
оформлении, качестве перевода и другие про-
просим сообщать по адресу: 129820, Москва, И-110
ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2, издательство <Мир».