ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИКИ
Н. БУРБАКИ
АЛГЕБРА
МНОГОЧЛЕНЫ И ПОЛЯ
УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ
ПЕРЕВОД С ФРАНЦУЗСКОГО
В. Е. ГОВОРОВА, Ю. И. МАНИНА,
А. В. МИХАЛЕВА, А. Л. ШМЕЛЬКИНА
под редакцией Ю. И. МАНИНА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1 9 6 5

517
Б 91
УДК 512.8/519.4
АННОТАЦИЯ
Группа французских математиков, объеди-
объединенных под псевдонимом «Бурбаки», поставила
перед собой цель — написать под общим загла-
заглавием «Элементы математики» полный трактат
по современной математике. Многие выпуски
этого трактата уже вышли во Франции, вызвав
большой интерес математиков всего мира.
В русском переводе вышли «Топологические
векторные пространства» (ИЛ, 1959), «Очерки
по истории математики» (ИЛ, 1963), два выпус-
выпуска «Общей топологии» (Физматгиз, 1958, 1959),
один выпуск «Алгебры» (Физматгиз, 1962). На-
Настоящая книга является вторым выпуском
«Алгебры», содержащим перевод IV—VI глав.
Книга рассчитана на математиков — научных
работников, аспирантов и студентов старших
курсов университетов и пединститутов.
Я. Бурбаки
Алгебра (Многочлены и поля. Упорядоченные группы)
М., 1965 г., 300 стр.
Редактор А. Н. Копылова
Техн. редактор Л. Ю. Плакше Корректор О. А. Сигал
Сдано в набор 16/JII 1965 г. Подписано к печати 1/VII 1965 г. Бумага 60x90/ie.
Фи8. печ. л. 18,75+3 вкл. Условн. печ. л. 18,75. Уч.-изд. л. 16,65. Тираж 19 500 экз.
Цена книги 1 р. 41 к. Заказ JN6 882.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математичесной литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Московская типография JMS 16 Главполиграфпрома Государственного комитета
Совета Министров СССР по печати. Москва, Трехпрудный пер., д. 9.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава IV. Многочлены и рациональные дроби 9
§ 1. Многочлены 9
1. Определение многочленов 9
2. Свойства алгебр многочленов И
3. Понитие степени 14
4. Многочлены над кольцом целостности 18
5. Евклидово деление многочленов одной переменной .... 19
§ 2. Полиномиальные функции 26
1. Полиномиальные операторы 26
2. Подстановка многочленов в многочлен 30
3. Полиномиальные функции на алгебре 31
4. Корни многочлена от одной переменной 32
5. Полиномиальные функции на кольце целостности с беско-
бесконечным числом элементов 36
§ 3. Рациональные дроби и рациональные функции 42
1. Рациональные дроби над полем 42
2. Рациональные дроби, рассматриваемые как операторы ... 44
3. Подстановка рациональной дроби в рациональную дробь . . 45
4. Рациональные функции 46
§ 4. Дифференциалы и дифференцирования 48
1. Дифференциалы и производные многочленов 48
2. Приложение: характеризация простых корней многочлена 51
3. Дифференцирования алгебры 52
4. Продолжение дифференцирования; производные рациональ-
рациональных дробей 56
5. Дифференциальные формы 58
6. Приложение к многочленам и рациональным дробям ... 60
§ 5. Формальные ряды 64
1. Определение формальных рядов 64
2. Порядок формального ряда 66
3. Формальные ряды над областью целостности 68
4. Бесконечные суммы формальных рядов 68
5. Подстановка формальных рядов в формальный ряд .... 70
6. Обратимые формальные ряды 71

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
7. Поле дробей кольца формальных рядов от одной переменной
над полем 72
8. Дифференцирования в алгебре формальных рядов 73
9. Разрешимость уравнений в кольце формальных рядов ... 76
10. Топологические интерпретации 77
Глава V. Поля 82
§ 1. Простые поля. Характеристика 82
1. Простые поля 82
2. Характеристическая экспонента 83
3. Характеризация многочленов с нулевой производной ... 85
§ 2. Расширения 86
1. Структура расширения 87
2. Присоединение 89
3. Линейно разделенные расширения 90
§ 3. Алгебраические расширения 94
1. Алгебраические элементы 94
2. Алгебраические расширения 97
3. Транзитивность алгебраических расширений. Поля, алге-
алгебраически замкнутые внутри своего расширения 99
§ 4. Алгебраически замкнутые расширения 101
1. Алгебраически замкнутое поле 101
2. Алгебраически замкнутые расширения 102
§ 5. Трансцендентные расширения 107
1. Алгебраически свободные семейства. Чистые расширения 107
2. Базнсы трансцендентности 109
3. Степень трансцендентности расширения ИЗ
4. Алгебраически разделенные расширения 115
§ 6. Продолжения изоморфизмов. Сопряженные элементы. Нормаль-
Нормальные расширения 123
1. Продолжения изоморфизмов 123
2. Сопряженные поля. Сопряженные элементы 125
3. Нормальные расширения 127
§ 7. Сепарабельные расширения 132
1. Теорема Артина 132
2. Сепарабельные расширения 135
3. Примеры сепарабельных расширений. Совершенные поля 137
4. Свойства сепарабельных расширений 138
5. Теорема Дедекинда 139
6. Сепарабельные алгебраические элементы • . . . 141
7. Примитивные элементы 143
§ 8. Радикальные элементы. Критерий сепарабельности 145
1. Радикальные элементы 145
2. Критерий Маклейна 146
3. Приложение к сепарабельным алгебраическим расширениям 147
4. Радикальные расширения 149

ОГЛАВЛЕНИЕ 7
§ 9. Дифференцирования в полях 155
1. Продолжение дифференцирования 156
2. Дифференцирования сепарабельных расширений 160
3. Сопарабелыше базисы трансцендентности 161
§ 10. Расширения Галуа 165
1. Определение расширений Галуа 165
2. Подрасширевгия расширения Галуа 166
3. Семейства расширений Галуа 168
4. Композит расширения Галуа и произвольного расширения 170
5. Теория Галуа 172
6. Норма и след в алгебраических сепарабельных расширениях 174
7. Алгебраическая независимость автоморфизмов 178
8. Нормальный базис расширения Галуа 179
9. Нормальные несепарабельные расширения 181
§11. Корни из единицы. Конечные поля. Циклические расширения 185
1. Корни из единицы 185
2. Поле корней n-й степени из единицы . 188
3. Конечные поля 191
4. Алгебраические расширения конечной степени конечного поля 192
5. Циклические расширения 193
6. Циклические расширения и двучленные уравнения .... 196
Приложение. I к главе V. Симметрические рациональные дроби . . . 204
1. Симметрические функции • 204
2. Симметрические многочлены 206
3. Формула Ньютона 208
Приложение II к главе V. Расширения Галуа бесконечной степени . . 213
1. Топологическая группа Галуа 213
2. Свойства топологических групп Галуа . 214
Исторический очерк к главам IV и V 219
Библиография 236
Глава VI. Упорядоченные группы и поля 238
§ 1. Упорядоченные группы. Делимость 238
1. Определение упорядоченных моноидов и групп 238
2. Предупорядочеиные и моноиды группы 240
3. Положительные элементы 241
4. Фильтрующиеся группы 242
5. Отношение делимости в поле 243
6. Элементарные операции над упорядоченными группами . . . 246
7. Возрастающие представления упорядоченных групп .... 247
8. Верхняя и нижняя грани в упорядоченной группе 248
9. Решеточно-упорядоченные группы 250
10. Теорема о разложении 252

8 ОГЛАВЛЕНИЕ
11. Положительная и отрицательная части 253
12. Независимые элементы 255
13. Экстремальные элементы 258
§ 2. Упорядоченные поля 271
1. Упорядоченные кольца 271
2. Упорядоченные поля . 273
3. Расширение упорядоченных полей 274
4. Алгебраические расширения упорядоченных полей .... 276
5. Максимальные упорядоченные поля 278
6. Характеризация максимальных упорядоченных полей. Тео-
Теорема Эйлера — Лагранжа 280
Указатель обозначений 291
Указатель терминов 293
Определения главы IV Вклейка 1
Определения главы V Вклейка 2
Определения и аксиомы главы VI Вклейка 3

Г Л А В А IV
МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ
Там, где не оговорено противное, все кольца операторов,
рассматриваемые в этой главе, предполагаются коммутативными
и имеющими единицу.
§ 1. Многочлены
1. Определение многочленов
Пусть / — произвольное непустое множество индексов, N1 —
произведение (гл. I, § 4, п° 5) семейства моноидов, имеющее /
в качестве множества индексов, причем все моноиды тождест-
тождественны аддитивному моноиду IV целых положительных чисел.
Пусть IV —-устойчивое подмножество в IV1, состоящее из
последовательностей (ret), у которых rat = 0 для всех индексов i,
кроме конечного числа. Если /конечно, то IV и IV1 совпадают.
Пусть Л —некоторое коммутативное кольцо с единицей. Рассмо-
Рассмотрим алгебру моноида IV(J) относительно кольца А (гл. II, § 7,
п° 9). Эта алгебра обладает каноническим базисом (e(nt))(n )c&(i) со
следующей таблицей умножения: e(mi)-e(ni) = e(mi+ni)- Она ком-
коммутативна. Роль единицы играет элемент еа канонического
базиса, где со есть элемент из 2V(J\ все координаты которого
равны нулю. Поскольку элемент еш является свободным, можно
отождествить кольцо А с подалгеброй Аеа, установив соответ-
соответствие X—»^еи, которое отождествляет еи с единицей кольца А
(мы будем обозначать ее через 1, если это не приведет к путанице).
Для каждого индекса и ? / рассмотрим элемент (ret) ? JV
такой, что пк — 1 и щ = 0 при i Фх. Элемент e(ni) канонического

10 МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ. IV, § 1
базиса, соответствующий элементу (relN^»'(J), обозначим симво-
символом Хх. Из приведенной выше таблицы умножения (с помощью
индукции по ret) легко усмотреть, что каждый элемент е(П1) кано-
канонического базиса можно записать единственным образом в виде
е,п л= ПХ (выражение имеет смысл, поскольку все щ, заИсклю-
чением конечного числа из них, равны нулю).
Таким образом, алгебра моноида JV(/) порождается элемен-
элементами 1 и Ii (где i пробегает /).
Определение 1. Алгебра моноида N ' относительно кольца А
(коммутативного и обладающего единицей) называется алгеброй
многочленов относительно переменных Xt (i?/) с коэффициен-
коэффициентами из кольца А и обозначается символом A [XJ,,^. Элементы
этой алгебры называются многочленами относительно перемен-
переменных Хь (i?/) с коэффициентами из кольца А.
Пусть / — конечное подмножество в N. Вместо AIX,]^ мы
пишем A [Xi±, Xi2, ..., Xi ], где (tft)iiSft^p— последовательность
элементов из /, расположенная в порядке возрастания.
Каждый многочлен и?Л[Х,,]|,е1 записывается единственным
образом в виде и = 2 a<ni> П -Х» гДе индекс (щ) пробегает
(nt) ь?/
множество j!V(J). Элементы a(,,L), из которых только конечное
число отлично от нуля, называются коэффициентами многочлена и,
а элементы щп ) П^ называются его членами (элемент
a("i)Il -^Г1 бУДет часто называться «членом при {} X™1»; когда
все пь равны нулю, его называют также «свободным членом» мно-
многочлена (ср. § 2)). Элементы П X канонического базиса алгебры
A [Xt]t?/ называются одночленами: каждый многочлен, таким
образом, является линейной комбинацией одночленов с коэффи-
коэффициентами из А, причем одночлены линейно независимы.
Если коэффициент а^п ^ многочлена и равен нулю, то говорят
(для краткости), что ц не содержит члена при П Х™1. В частности,
i?i 1
если «свободный член» многочлена и равен нулю, то говорят, что
и—многочлен «без свободного члена».

2 МНОГОЧЛЕНЫ 11
2. Свойства алгебр многочленов
Пусть / и /' — два множества одинаковой мощности, и пусть
<р — взаимно однозначное отображение / на /'. Линейное отобра-
отображение алгебры A[X,]l?I на алгебру А[ХЯ]П?1>, которое каждому
элементу П X?1 канонического базиса алгебры A [X^i ставит
в соответствие элемент Д ^От канонического базиса алгебры
А [ХХ]Я?2', есть изоморфизм первой из этих алгебр многочленов
на вторую.
В частности, алгебры многочленов с коэффициентами из
кольца А, соответствующие всевозможным конечным множествам
индексов с одним и тем же числом элементов п, изоморфны
между собой. Их отождествляют обычно с алгеброй многочленов,
-соответствующей множеству индексов /=[1, п] и называют алгеб-
алгебрами многочленов от п переменных с коэффициентами из кольца А.
Естественно, для обозначения переменных можно пользоваться
любыми другими буквами вместо букв Хг A<;г<л). Например, в мно-
многочленах от трех переменных переменные можно обозначать симво-
символами Yj, Y2, Y3 или X, Y, Z. Каковы бы ни были принятые обозна-
обозначения, будем иметь в виду, что речь идет всегда об одной и той же
алгебре, структура 4-модуля которой совпадает со структурой модуля
л* \ и что три переменные-—это три элемента ei00, е010, е001 кано-
канонического базиса этого модуля.
В частности, когда мы будем говорить о многочленах от одной
переменной, эта переменная будет чаще всего обозначаться через X,
а алгебра мпогочленов от одной переменной—символом 4[Х]. Таким
образом, каждый многочлен и ? А [X] записывается единственным
образом в виде ^ апХп. Сумма и произведение двух многочле-
нов от X, и=2«;Д'\ v='^]finXn, задаются формулами
uv=^vXn, где Р= 2 аррп_р. B)
п р=0
Пусть / — произвольное непустое подмножество множества /.
Моноид JV можно отождествить с устойчивым подмноже-
подмножеством в JV , состоящим из элементов (щ), у которых rat = 0

12 МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ. IV, § 1
при всех i?CJ. Следовательно (гл. II, § 7, п° 9), алгебру
A [Xi]tqj можно отождествить с подалгеброй A [X^i, имеющей
в качестве базиса одночлены Д X, где щ = О для всех i ? CJ.
Эта подалгебра порождена элементами 1 и Xt, i?/. Иногда гово-
говорят, что она состоит из многочленов, не содержащих Хи где i ? С/.
При J = 0 подалгебра алгебры A[X^x^It порожденная элемен-
элементами 1 и Xt, i ? J, сводится к А. Мы условимся применять обозна-
обозначение A [XJb?0 и в этом случае.
Осуществленное отождествление позволяет говорить о том,
что алгебра A[Xb]^i является объединением подалгебр A [Xt]igj,
где / пробегает множество всех конечных подмножеств множе-
множества /. Действительно, каждый многочлен и является суммой
конечного числа ненулевых членов вида <Х(„) Д X. В каждом
из этих членов число индексов i, для которых nt ф 0, конечно.
Обозначим буквой / конечную часть /, состоящую из всех таких
индексов (соответствующих всем ненулевым членам многочлена и).
Тогда, очевидно, и принадлежит алгебре A [
Для любых двух равномощных подмножеств У и У множества /
подалгебры i4[XJtgj и 4[Zt]ieJ, алгебры i4[Xt]l?I изоморфны.
Например, в алгебре А[Х, Y, Z] многочленов от трех переменных над
кольцом А алгебры ^[Х], ^1[У], A [Z] изоморфны, но, разумеется,
не тождественны. Заметим по этому поводу, что пока в некотором
рассуждении участвуют только многочлены от одной переменной,
нет смысла различать алгебры 4[Х], A[Y], A[Z] и т. д., как мы
об этом говорили выше. Напротив, во всех рассуждениях, где уча-
участвуют многочлены от нескольких переменных X, Y, Z и т. д., эти
обозначения применяются к различным алгебрам.
Пусть / — непустое подмножество множества /, отличное от/,
K — CJ—дополнение / в /. Моноид JV(J) изоморфен произведению
моноидов N(J)xN(K) (гл. I, § 4, п° 5). Отсюда следует (гл. III,
§ 3, п° 2), что алгебра А [Х^^ изоморфна тензорному произ-
произведению подалгебр A[Xt]t?j и А[
Этот результат можно получить другим способом, заметив, что
алгебра A [¦X'Jjcj изоморфна тензорному произведению алгебр А [ХД
многочленов от одной переменной, что тотчас следует из вида кано-
канонического базиса алгебры A[X^^ (гл. III, Приложение 1).

3 МНОГОЧЛЕНЫ 13
Пусть В = A [Xt]t?j. Кольцо А[Х^1, рассматриваемое как
алгебра относительно своего подкольца В, есть не что иное, как
алгебра, полученная путем расширения кольца операторов А
алгебры А[Х^К до кольца В (гл. III, § 3, п° 4). Другими сло-
словами, каждый многочлен относительно переменных Xt, i?l,
с коэффициентами из кольца А можно однозначно подставить
в виде многочлена относительно переменных X,,, i ? /, с коэффи-
коэффициентами из крльца В многочленов относительно Xt1 i?/ (с коэф-
коэффициентами из кольца А). Алгебра A [XJig/, как алгебра над
кольцом В, отождествляется, таким образом, с алгеброй много-
многочленов BIX^k.
Предложение 1. Пусть <р — представление кольца А в кольцо В,
переводящее единичный элемент кольца А в единичный элемент
кольца В. При этих условиях существует единственное пред-
представление ф кольца A [XJtgj в кольцо В [Xt]tgi, которое продол-
продолжает ф и для любого i?/ отображает многочлен Xt кольца
A [Xi]t?/ в многочлен Хг кольца J5[Xt]ie/. При этом, если ф —
изоморфизм кольца А на кольцо В, то ф — изоморфизм A [X^i
на В [Xt]l?I.
Это частный случай общего предложения о моноидных алгеб-
алгебрах (гл. II, § 7, п° 9). Точнее говоря, образом относительно
отображения ф многочлена 2 &(nj П %™1 является многочлен
(nt) I
2 Ф (а(п,)) П ^С4- Говорят, что последний многочлен получен
применением ф к коэффициентам многочлена 2а(«)П^П1-
В формулировке предложения 1 нам надо было подчеркнуть
разницу между многочленом XL кольца А [Хь\?1 и многочленом Хь
кольца В [XJ^j (эти многочлены различаются в силу их определе-
определения (п°1)). Однако, допуская вольность речи, их обычно отожде-
отождествляют и говорят, что представление ф оставляет инвариантным
каждый многочлен Х^.
В частности, если А' есть подкольцо кольца А, _ имеющее тот
же самый единичный элемент, то каноническое вложение А' в А
продолжается до канонического вложения подкольца A' [Xt]l?j
в кольцо A [Xtltgj. Сужая кольцо операторов алгебры A [Xt]t6/

14 МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ. IV, § I
до А', мы можем рассматривать алгебру A [Xt]tg/ как алгебру
над А'. Алгебра A' lXt]tei является в этом случае подалгеброй
алгебры ^[Xt]iei (см. гл. II, § 7, п° 9).
3. Понятие степени
Определение 2. Членами полной степени р в многочлене
u^AlX^i называются члены а(„ > П^™1' У которых ^щ — р.
Сумма всех членов полной степени р многочлена и назы-
называется однородной составляющей (полной) степени р много-
многочлена и. Говорят, что и является однородным многочленом
полной степени р, если он равен своей однородной составляю-
составляющей полной степени р.
Предложение 2. Если и и v — два однородных многочлена
степеней р и q соответственно, то uv есть однородный много-
многочлен степени p-\-q- Предложение вытекает, очевидно, из опре-
определения 2.
Ясно, что множество однородных многочленов полной сте-
степени р является подмодулем Нр в кольце А [Xj^j (рассматри-
(рассматриваемом как 4-модуль) с базой, состоящей из одночленов [J X,
у которых 2rai = .P (Р — произвольное неотрицательное целое
i
число). Отсюда следует, что Л-модуль A [Xt]iel есть прямая
сумма подмодулей Hp(p?N). Поэтому произвольный много-
со
член и однозначно представляется в виде и= 2 ир, ир?Нр, где
р=0
ир—однородная составляющая степени р многочлена и (ир — 0
для всех индексов р, за исключением конечного числа).
Пусть / — конечное множество из q элементов, например
/=[1, q]. Число одночленов полной степени р равно числу
9
элементов (nft)i<cfe<cg из IV9, у которых ^ nk~p, т. е. fq ~ J
(Теор. мн., гл. III). Таким образом, подмодуль Нр допускает базис
из ( q~rP~ Л элементов (см. гл. III, § 5, следствие 2 к теореме 2).
Пересечение двух различных модулей Ир равно нулю. Следо-
Следовательно, каждый ненулевой однородный многочлен и может

3 МНОГОЧЛЕНЫ 15
принадлежать только одному из Нр. Число р, для которого
и?Нр, называется (полной) степенью многочлена и. Более общо
введем следующее определение:
Определение 3. Назовем (полной) степенью ненулевого мно-
многочлена и и обозначим символом deg и наибольшее из целых
чисел р > О, для которых однородная составляющая степени р
многочлена и отлична от нуля.
Замечания. 1) Стоит отметить, что, согласно определениям 2
и 3, степень нулевого многочлена не определена, но что для всякого
целого числа р > О мы тем не менее имеем право сказать, что «нуль
нвляется однородным многочленом степени р». В этом заключается
традиционная вольность речи, так как вторую фразу надо понимать
как синоним «О ? Нр». Иначе говоря, в этой фразе слово «степень»
не следует отделять от выражения «однородный многочлен степени р»,
которое должно рассматриваться как единый термин.
Точно так же удобно говорить, что «/ есть многочлен степени
< р (соответственно < р)», если однородная часть степени п много-
многочлена / равна нулю при всех п^>р (соответственно ге!>р). Это выра-
выражение означает, таким образом, что многочлен / равен нулю или
степень его <;, р (соответственно < р) и выражение «многочлен сте-
степени <^ р» (соответственно «многочлен степени < р») должно также
рассматриваться как единый термин.
2) Однородные многочлены степени р называют также (допуская
вольность речи; см § 2) формами степени р относительно перемен-
их Хг В частности, каждая форма степени 1 (соответственно 2, 3, 4)
называется линейной формой (соответственно квадратичной, кубичной,
биквадратичной). Формы относительно п переменных называются
парными формами (бинарными, тернарными, кватернарными—длн
п=2, 3, 4 соответственно).
3) Однородные многочлены нулевой степени являются не чем
иным, как элементами кольца А. Говорит еще, что они являются
константами в кольце A [XJ^j (см. § 2).
Предложение 3. Пусть и и v — два многочлена, не равные
нулю одновременно.
1° Если deg и Ф deg v, то
и-\-ьф§ и deg (м-f и) = Max (deg и, deg и).
Если deg м = degv и, кроме того, и + ифО, то
deg(w-)-y)<Max(degM, deg и). C)
2° Если uv Ф 0, то
deg (uv) <deg м-)- deg v. D)

16 МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ. IV, § 1
Доказательства очевидны.
Из формул C) и D) (вторая применима в случае, когда
deg и = 0) вытекает, что многочлены полной степени <; р обра-
образуют подмодуль в AlX^^i, база которого состоит из одночленов
[] ХГ\ у которых 2ni<P-
i i
Пусть теперь / — некоторое непустое подмножество множе-
множества /. Мы видели, что каждый многочлены из кольца .A[Xt]ie/
можно рассматривать как многочлен относительно переменных
Xlt i?J, с коэффициентами из кольца многочленов В — A [Xt]t?cj.
Определения 2 и 3 применимы, естественно, к кольцу В [Xt]t?jr.
Им соответствуют новые определения для многочленов ы? A [Xt]l?j:
мы будем говорить, что член a(ni) Д-Х"/ имеет степень р отно-
относительно переменных Хи i?j, если 2 ni= Р- Многочлен и назы-
вается однородным, причем степени р, относительно перемен-
переменных Хь, 16 /, если все ненулевые члены многочлена имеют отно-
относительно этих неизвестных степень р. Множество таких много-
многочленов образует подмодуль в кольце A [X^j, a A [X^i является
прямой суммой подмодулей такого типа (pgJV). Степенью нену-
ненулевого многочлена и относительно переменных X,,, i?J, назовем
наибольшее из целых чисел р, для которого существует нену-
ненулевой член а(п ) [] Xt l с 2 п\ = Р- В частности, когда J состоит
1 i i
из одного элемента и, степень многочлена и относительно Хк мы
будем обозначать символом degKu. Мы оставляем читателю
возможность сформулировать с этими определениями предложения
2 и 3 для кольца В [X^j.
В кольце многочленов А [X] от одной переменной имеется,
естественно, только одно понятие степени. Однородные многочлены
имеют вид ХХР (%?А). Ненулевой многочлен степени п запи-
запита
сывается, как м= У) адХк. Коэффициент ап, который, по пред-
положению, отличен от нуля, называется старшим коэффициен-
коэффициентом многочлена и. Ненулевой многочлен, старший коэффициент
окторого равен 1, называется унитарным многочленом.
Градуированные алгебры и модули. Понятие степени в алгебре
многочленов есть частный случай более общего понятия, многочис-
многочисленные примеры которого мы встретим позже.

МНОГОЧЛЕНЫ 17
Пусть Л—коммутативное кольцо с единицей, Е — алгебра над
д ?__ аддитивно записанный коммутативный моноид. Градуи-
Градуировкой алгебры Е со значениями в моноиде L (или по моноиду L)
называется семейство (H},)X?L А-подмодулей алгебры Е, удовлетво-
удовлетворяющее следующим условиям:
(AG\) E есть прямая сумма Н%;
(AGn) #а#ц С Нк+]1.
Множество Е, наделенное структурой алгебры и градуировкой
(Hi) назовем градуированной алгеброй (по L). Обычно мы будем
говорить, что элементы из Н% являются однородными элементами
степени % (или веса %). Каждый элемент х g Е, в силу свойства
однозначно записывается в виде х= 2 *ъ где х\?Нх. Эле-
мент х% называется однородной составляющей степени X элемента х.
Ненулевой однородный элемент х может принадлежать лишь к од-
одному из модулей Н%. Элемент X ё L, для которого х g H^, называется
степенью (или весом) элемента х. Степень нулевого элемента не оп-
определяется. В большинстве случаев алгебра Е будет обладать
единицей, так что А можно отождествить с подалгеброй Ае
алгебры Е, моноид L будет обладать нейтральным элементом (мы
обозначим его 0), и модуль Hq отождествляется с А.
Градуировкой левого JS-модуля М со значениями в L (или по L)
называется семейство (Ух)\?1, ^-подмодулей модуля М, удовлетво-
удовлетворяющее условиям:
(MGi) M есть прямая сумма подмодулей Л1"^,;
(MGn) НхЯ^аж^.
Говорят, что М, наделенный своей структурой ?-модуля и гра-
градуировкой (N%), является градуированным Е-модулем (по L). Поня-
Понятия «однородный элемент модуля Af» и «однородная составляющая
элемента из М» определяются, как выше.
Примеры. 1) В алгебре многочленов A [XJ^j подмодули
однородных многочленов (соответственно однородных многочленов
относительно переменных Xv t ? /) определяют градуировку этой
алгебры по аддитивному моноиду У. Степень в этой градуировке
совпадает с полной степенью многочлена (соответственно степенью
относительно переменных Xv i g J), определенной выше.
2) Пусть теперь J и У —два непересекающихся подмножества
множества /. Для каждой пары натуральных чисел (р, д) определим
Нр, q как множество многочленов, однородных степени р относи-
относительно переменных Хь, i ?/, и в то же время однородных степени q
относительно переменных Xv i?J'. Немедленно проверяется, что
модули Яр, g определяют градуировку алгебры A [.Xj^j по моноиду
NxN. Таким же образом определим градуировку A [XJ^j по про-
произведению произвольного числа (не превосходящего мощности мно-
множества /) моноидов, изоморфных У.
Н. Бурбаки

18 МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ. IV, § 1
3) Пусть М — произвольный коммутативный моноид, записанный
аддитивно, с нейтральным элементом (обозначаемым символом 0).
Пусть (wt)lgj — произвольное семейство элементов из М. Назовем
членами веса <о (<о € М) в многочлене ug^4[Xt|teJ члены а(п |ПХ^ ,
у которых 2л1с°1 = й)- Пусть Нш — множество многочленов, у кото-
i
рых все ненулевые члены имеют вес ш. Немедленно проверяется,
что Нф определяют градуировку алгебры .4 [X'Jjgr по моноиду М.
Градуировку в примере 1 можно получить как частный случай этой
общей градуировки.
4) В тензорной алгебре Т (Е) (соответственно внешней алгебре
/\Е) произвольного ^-модуля Е обозначим для каждого р>0
через Нр подмодуль, образованный контравариантными тензорами
порядка р (соответственно р-векторами). Подмодули Нр определяют
градуировку по моноиду 2V.
5) Пусть L—коммутативный моноид (записанный аддитивно),
Е — алгебра моноида L относительно А (гл. II, § 7, п° 9) (ex)^pL —ка'
ионический базис Е. В этом случае подмодули Ае^ алгебры Е
(где X пробегает L) образуют градуировку Е по моноиду L.
4. Многочлены над кольцом целостности
Теорема 1. Кольцо многочленов A lXt]tgj над кольцом целост-
целостности А (с единицей) является кольцом целостности.
Пусть и, у —два многочлена из A [Xt]i?/. Три многочлена и, v
и uv принадлежат одному и тому же кольцу A [Xt]teT, где / —
некоторое конечное подмножество множества /. Надо доказать,
что если и Ф 0 и v Ф 0, то uv Ф 0. Таким образом, можно огра-
ограничиться рассмотрением случая, когда множество / конечно.
С другой стороны, кольцо А [Хи Х2, ¦.., Хр] изоморфно кольцу
многочленов от Хр с коэффициентами в кольце A[Xi, ...,XP_1].
Следовательно, применением индукции по р задача сводится
к доказательству теоремы для случая jo=1, т. е. для кольца
многочленов А [X] от одной переменной над А.
Пусть u = a0JraiX-\-. ..-\--атХт — многочлен степени т, v =
= Po + Pi-X"+ • • • + РгД" — многочлен степени п над А; тогда коэф-
коэффициент при Xm+n в произведении uv равен ampn. Так как
ат ф 0 и р„ Ф 0, по предположению, то ввиду того, что А —
кольцо целостности, очевидно, имеем атр„ Ф 0. Следовательно,
ииф 0.

3 МНОГОЧЛЕНЫ 19
В общем случае, когда А содержит делители 0, предыдущее
рассуждение показывает, что если старший коэффициент ctm мно-
многочлена и не является делителем 0 в Л, то сам многочлен и
не является делителем 0 в Л [X]. В частности, это всегда имеет
место в тех случаях, когда и—унитарный многочлен.
Следствие 1. Пусть А — кольцо целостности, и и v — два
ненулевых многочлена из кольца A [Xt]ie/. В этом случае
deg (uv) = deg и 4- deg v. E)
Действительно, если deg w =/и, degv = n, то можно написать
где ин (соответственно v^) являются однородными составляющими
степени h (соответственно к) многочлена и (соответственно v) для
0</г<»г (соответственно 0<&<п). Так как ит Ф 0 и vn Ф 0
по предположению, то umvn Ф 0 по теореме 1. Следствие доказано
ввиду того, что vmvn является однородной составляющей степени
т -\- п многочлена uv.
Следствие 2. Пусть А —кольцо целостности, и и v — два
ненулевых многочлена из кольца A [Xt]|,ej. Для каждого х?/
имеет место
v. F)
5. Евклидово деление многочленов одной переменной
Предложение 4. Пусть f — унитарный многочлен степени
га>1 в кольце А [X]. В факторалгебре А [Х]/(/) обозначим сим-
символом | класс, содержащий X. Тогда элементы 1, |, |2, ..., I"
образуют базис алгебры A [X]/(f).
Докажем сначала, что элементы |fe @</с<га — 1) линейно
п-1
независимы. Действительно, соотношение У}к/Лк = О означает,
й=0
п-1
что 2 hkXh = 0 (mod /) или, иначе, что существует многочлен
ft=0
п-1
g?A[X], для которого 2 KXli = fg- В силу унитарности мно-
ft=0 .....
гочлена / имеем
, если g Ф 0;
2*

20 МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ. IV, § 1
так как степень многочлена / равна га, то предположение g Ф0
n-i
приводит нас к противоречию. Следовательно, У\ Я^Х* = 0. Таким
образом, Яй = 0 для 0<А<и — 1.
Чтобы доказать, что элементы |ft порождают кольцо A [X]/(f),
достаточно показать для любого р > 0 сравнимость по модулю /
многочлена Хр с нулевым многочленом или с многочленом сте-
степени <га — 1. Проведем индукцию по р. Предложение очевидно
для р<и —1. Если
Хр = "Ё |i*Xk (mod /), то X*>+1 з  nfeX*+i + ц^Х" (mod /).
ft=0 • ft=0
Все сводится, таким образом, к доказательству предложения для
р = п. Пусть / = ХП+ 2 алХ"-"; тогда Хп=з — 2 aftXn-ft (mod /),
n=i Л=1
чем и заканчивается доказательство.
Предложение 4 можно сформулировать и следующим образом:
Предложение 5. Пусть f — унитарный многочлен степени п
в кольце -4[Х]. Для любого многочлена g?A[X] существуют
два многочлена и и v из А [X] такие, что deg v < n и
g = uf + v. G)
Кроме того, этими условиями многочлены и и v определяются
однозначно.
Действительно, существование и и у и единственность v
вытекают из предложения 4. С другой стороны, так как мно-
многочлен / не является делителем 0, то и однозначно определяется
равенством G).
Образование многочленов и и у, исходя из многочленов / и g,
называется евклидовым делением многочлена g на / (по анало-
аналогии с евклидовым делением целых чисел (см. Теор. множ.,
гл. III и Алг., гл. I, § 4, п°3). Многочлен и называется
евклидовым частным от деления g на /, а многочлен v —остат-
—остатком при евклидовом делении g на /.
Следствие. Для того чтобы многочлен g?A[X] делился на
унитарный многочлен f?A[X], необходимо и достаточно, чтобы
остаток при евклидовом делении g на f был нулевым много-
многочленом.

5 МНОГОЧЛЕНЫ 21
Если А — поле, то предложение 5 справедливо и для произволь-
произвольного ненулевого многочлена /. Действительно, пусть а0—стар-
а0—старший коэффициент многочлена /; тогда идеалы (/) и (а/) совпада-
совпадают, причем а/—унитарный многочлен. Следовательно, имеем
Предложение 6. Пусть К — поле, f и g—два многочлена
из кольца К [X], причем f Ф 0. В этом случае существуют два
многочлена и и v из К[Х] такие, что degv<Cdegf и имеет
место соотношение G). Кроме того, этими условиями мно-
многочлены и и v определяются единственным образом.
Многочлены и и v называются также частным и остатком
евклидового деления многочлена g на многочлен /.
Следствие. Пусть А — кольцо целостности, К — его поле
отношений, f и g—два многочлена из А[Х] степеней пит
соответственно. Пусть и и v—два многочлена из К[Х], удов-
удовлетворяющие равенству G), причем degv<in. Положим
|Д, = Мах(тге — п-\-1,0). Пусть а0 — старший коэффициент мно-
многочлена /; тогда многочлены а^и и aftv принадлежат кольцу
А[Х).
Предложение очевидно для тге<п — 1, так как в этом случае
ц = 0 и v = g. Для тге>п доказательство проведем индукцией
по т. Достаточно рассмотреть случай g=$Xm. Пусть
п
/= Y akXn-h\ имеем BXm = l~Xm-nf+ — gu где многочлен
ft=0
CLq
gi= — 2 $akXm~h принадлежит кольцу .4[Х], причем
<m — 1. По индуктивнбму предположению, gi = uif-\-vu где
deg i>i < n, а многочлены ^""Mj и a™~"nyi принадлежат кольцу
A [X]. Итак, имеем
откуда тотчас вытекает следствие (ср. упражнение 12).
Предложение 7. Пусть К — произвольное поле. Каждый идеал
кольца многочленов одной переменной К [X] над полем К является
главным идеалом.
Действительно, пусть a—некоторый идеал в кольце К[Х]. Если
а Ф @), то пусть / — ненулевой элемент из а наименьшей степени.

22 МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ. IV, § 1
Пусть g— любой другой элемент из а. Можно написать: g = uf-\-v,
где и и v — многочлены из К [К], причем v = 0 или degf <deg/
(предложение 6). Так как v — g—«/, то v?a. Итак, в случае
v ФО мы получим degp>deg/, что невозможно. Следовательно,
у = 0. Это доказывает, что « = (/).
Пусть / и /j — два ненулевых многочлена кольца К[Х], при-
причем (/) = (/i). Тогда существуют два многочлена и и v такие,
что f = ufi и /1 = у/. Из этих соотношений получается равенство
f = uvf, откуда следует, что uv = 1. Таким образом (формула E)),
и и v являются константами. Для любого ненулевого идеала а
в кольце К [X] многочлены /, такие, что a = (f), определяются
с точностью до постоянного множителя. В частности, существует
единственный унитарный многочлен /0 такой, что а = (/0).
Пусть / и g — два многочлена из К[Х]. Сумма (f)-\-(g) главных
идеалов, порожденных fag, является главным идеалом (h) в силу
предложении 7. Для того чтобы многочлен и делил и /, и g, необ-
необходимо и достаточно, чтобы имели место включения (и) Z3 (/)
и (u)zj(g), то есть (и) U(f)-\-(g)=(h). Это означает, что и делит h.
В случае h ф 0 многочлен h, определяемый с точностью до постоян-
постоянного множителя, является общим делителем многочленов / и g
наибольшей степени. Мы назовем его также наибольшим общим дели-
делителем (сокращенно н. о. д.) многочленов fug. Существуют два
многочлена и и v из К [X] такие, что выполняется равенство
h^uf-\-vg. Говорят, что многочлены / и g взаимно просты, если
(Л) = A), т. е. если единственными общими делителями многочле-
многочленов / и g являются константы, или, иначе, если существуют два
многочлена и и v из К(Х), для которых uf-\-vg = \. Пусть / и g—
два произвольных многочлена из кольца К [а], Л—их н. о. д. Если
h Ф 0, то многочлены f/h и g/h взаимно просты. Обратно, это свой-
свойство характеризует н. о. д. многочленов / и g среди общих делите-
делителей этих многочленов. Эти замечания показывают, в частности, что,
если h — н. о. д. многочленов / и g в кольце К[Х], то h является
также н. о. д. многочленов / и g в кольце К'[X], где К' — любое
поле, содержащее К в качестве подполн.
Пересечение (/)["!(#) есть также главный идеал (г), где г?К[Х].
Аналогичные рассуждения показывают, что любое общее кратное
многочленов / и g является кратным многочлена г. Если г Ф О,
то г является общим кратным наименьшей степени среди ненулевых
общих кратных многочленов fag. Мы назовем его наименьшим
общим кратным (или кратко — н. о. к.) многочленов / и g.
Легко обобщить эти рассуждения на случай нескольких много-
многочленов из кольца К[Х] (см. гл. VI, § 1, п° 8 и гл. VII, § 1, п°2).

5 МНОГОЧЛЕНЫ 23.
Определение 4. Пусть К — поле. Назовем многочлен /
ненулевой степени из кольца К [X] неприводимым в К [X] (или
неприводимым над полем К), если он не делится ни на какой
многочлен g^K [X], у которого 0< degg<<deg /.
Равносильное условие (формула E)) состоит в том, что един-
единственными делителями многочлена / в кольце К [X] являются
константы и произведения / на константы. Так как соотноше-
соотношение (/) d (g) означает, что g делит /, мы видим, что неприво-
неприводимый многочлен можно определить как такой многочлен /,
для которого идеал (/) максимален.
Известно (гл. I, § 8, теорема 2), что каждый идеал кольца
К\Х], отличный от A)-, содержится в некотором максимальном
идеале. Исходя из предложения 7, можно сформулировать то же
самое следующим образом.
Предложение 8. Каждый многочлен, отличный от константы,
в кольце К [Х\ делится на некоторый неприводимый многочлен.
Доказательство-этого предложения можно провести, впро-
впрочем, и так: пусть / — произвольный ненулевой многочлен, отлич-
отличный от константы, пусть g — делитель /, отличный от константы,
причем наименьшей возможной степени. Немедленно получается,
что g — неприводимый многочлен.
Следствие. Каждый многочлен f положительной степени из
кольца К [X] равен произведению неприводимых многочленов (не
обязательно различных).
Достаточно провести индукцию по степени многочлена /.
Утверждение следствия очевидно, если многочлен / неприводим.
В противном случае существует неприводимый делитель g мно-
многочлена /, у которого 0<d«gg-<deg/. Имеем тогда f = gh, где
О •< deg h < deg /. Поэтому многочлен h является произведением
.неприводимых многочленов. То же самое имеет место для много-
многочлена / (мы уточним этот результат в гл. VI, § 1, п° 13
и в гл. VII, § 1, п°3).
Упражнения. 1) Пусть А—коммутативное кольцо с едини-
единицей, Е—некоторый Л-модуль. Пусть Sn(E) (или, проще, .Уд) —под"
п
модуль ге-й тензорной степени (g) E, порожденный тензорами вида
п
z — сг, где z пробегает (§) Е, а а—симметрическую группу Оп (см.
гл. III, § 5). Назовем п-й симметрической степенью модуля Е

24 МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ. IV, § 1
п п
и обозначим символом V Е фактормодуль (® E)/Sn (E). Для того
чтобы полилинейное отображение модуля Еп в Л-модуль F было
симметрическим, необходимо и достаточно, чтобы оно имело вид:
(хи ..., хп) —> / (Ф (^i ® • ¦ • <8> *п)). где ф—каноническое отображе-
ние модуля (?)? на \/ Е, /—некоторое линейное отображение модуля
\/ Е в F.
Пусть Е обладает базисом (el)lgj. Доказать, что различные эле-
п
менты ф (etl ® et2 (g)... (g) eln) образуют базис модуля V -# и что
п
линейное отображение модуля \/Е в Л-модуль Л [.Xt]t,r, которое
каждому элементу ф (etl <8> et2 <8> • • • ® etn) ставит в соответствие
одночлен Xt Xv ... Xln, является изоморфизмом модуля V Е на
подмодуль Нп однородных многочленов степени п относительно Хг
п
Доказать, что в этом случае модуль \/ Е также изоморфен
модулю симметрических контравариантных тензоров порядка п на Е
(установить взаимно однозначное соответствие между базисами этих
двух модулей).
m n
2) Доказать, что отображение (z, z') —> zz' модуля (®Е)Х-((8)Е)
т+п
в модуль ® Е согласуется с соотношениями эквивалентности по
m
модулю <Ут, по модулю Sn и по модулю ^т+п в модулях <g)E, <g>E
и (§) Е соответственно. Переходя к фактормодулям, мы получим
билинейное отображение, которое называется симметрическим про-
m n т+п
изведеяием модуля (\/Е)х(УЕ) в модуль V Е. Предположим,
что Е обладает базисом (et)t?j и отождествим в этом случае модули
п т т+п
V Е, V Е и V Ее подмодулями Нт, Нп, Нт+п кольца A [XJ^j
(посредством изоморфизма, определенного в упражнении 1). Дока-
Доказать, что симметрическое произведение отождествляется с произве-
произведением в кольце
п
3) Пусть S — оператор симметрии 2 а в тензорной степени ® Е
оаоп
(гл. III, § 5, п° 1; имеем, тем самым, Sz= ^ azy для каждого
тензора z?^E элемент Sz симметричен и называется симметриза-
симметризацией тензора z. Доказать, что если в модуле Е уравнение п\ х=а
для каждого а С Е допускает решение, и притом единственное, то
каждый симметрический тензор и-го порядка на Е является сим-
симметризацией некоторого тензора л-го порядка на Е. Кроме того,
взаимно однозначное представление, ассоциированное с линейным

МНОГОЧЛЕНЫ 25
n
отображением z—> Sz модуля §§E в себя, является изоморфизмом.
п
модуля \/Е ва подмодуль симметрических тензоров.
Дать пример модуля Е, у которого подмодуль симметрических
тензоров и подмодуль симметризации тензоров порядка п не сов-
совпадают (см. гл. III, § 4, упражнение 5).
4) Доказать, что если модуль Е есть прямая сумма двух под-
71
модулей Ei и Е2, то симметрическая степень у^и30М0РФна прямой
р п—р
сумме Gn-\-l модулей (\/Ei)<g)( V ^2). где 0<р<га (методом,
упражнения 7 гл. III, § 5). Обобщить на случай, когда Е являете»
прямой суммой некоторого конечного числа подмодулей.
5) Пусть и — линейное отображение модуля Е в модуль F,
ип — п-я тензорная степень отображения м. Имеет место включение
м„ (Sn (Е)) с Sn (F). Переходя к фактормодулнм, получим из ип линей-
п п п
ное отображение V и модуля \/ Е в V Е> называемое га-й симме-
симметрической степенью отображения и. Доказать, что если Е и F—два
векторных пространства над полем К и если м — линейное отобра-
п
жение конечного ранга г, то Vм является линейным отображением
ранга ( ) (используя упражнение 11, гл. III, § 5).
6) Пусть Е — алгебра над кольцом A, (Hx)^L — некоторая градуи-
градуировка Е по моноиду L. Пусть ф—некоторое представление моноида L
в моноид М. Для каждого [J, g M обозначим символом Н'^ (прямую)»
сумму модулей Н^, для которых ф(Х) = [Х. Доказать, что подмодули1
Н' образуют некоторую градуировку алгебры Е по моноиду М.
7) Пусть Е, F—две алгебры над кольцом A, {H%f^L—некоторая
градуировка алгебры Е по моноиду L, (Н'^)—градуировка алгебры F
по моноиду М. Доказать, что подмодули Н% (g) H' образуют градуи-
градуировку тензорного произведения E@F по моноиду LxM.
8) Пусть Е—некоторая алгебра над кольцом A, (H^)^L—гра-
(H^)^L—градуировка алгебры Е по моноиду L. Пусть а —левый идеал (соответ-
(соответственно правый двусторонний) алгебры Е, порожденный семейством
однородных элементов (Ut). Пусть С%—однородная составляющая"
идеала а в Н^. Доказать, что а является прямой суммой подмоду..
лей Сх- Когда а — двусторонний идеал, вывести отсюда, что кано-
канонические образы модулей Н^ в факторалгебре Е/a образуют градуи-
градуировку этой алгебры по L.
*9) а) Пусть М—моноид, наделенный отношением порядка х^уу
которое вполне упорядочивает М и для которого соотношения х<у,
х'<«/' влекут хТх'<СуТу' (где Т—обозначает закон композиции
в М). Доказать, что если А кольцо целостности (с единицей), то»
алгебра моноида М относительно А является кольцом целостности.

26 МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ. IV, § 2
°Ь) Обобщить евклидово деление многочленов одной переменной
на случай алгебры группы М, где М является подгруппой адди-
аддитивной группы R действительных чисел.0
10) Пусть А— кольцо целостности, /и g—два многочлена кольца
^ I^JiE/ такие! что fg—ненулевой однородный многочлен. Доказать,
что / и g — однородные многочлены. В частности, доказать, что
обратимые элементы кольца A [XJte/ являются обратимыми эле-
элементами кольца А.
*11) Пусть А—произвольное коммутативное кольцо с единицей,
«= 2 ciftXft—делитель нуля в кольце А[Х]. Доказать, что если
й=0
п
v= 2 PfcXft—ненулевой элемент кольца А [X] степени А >0, причем
ft=0
му = 0, то существует ненулевой многочлен w степени л —1 такой,
что uw=0 (свести задачу к случаю, когда (Зо ф 0; если а^у=0 для
0<;fc-<m —1, то доказать, что можно положить со = ро; если же
«fcP=0 ^ля 0<;&<р<!т.—1 и apv Ф 0, то доказать, что арро = 0,
п—1
и, следовательно, можно положить w= ^] o.pPk+i^k)- Вывести отсю-
fe=0
да, что в кольце А существует такой ненулевой элемент у, что уи=0_
12) Пусть А—коммутативное кольцо с единицей, /—ненулевой
многочлен из кольца А [X] степени п со старшим коэффициентом а0.
Пусть М—подмодуль в кольце А [X] (рассматриваемом как Л-модуль),
образованный многочленами, у которых коэффициенты при члене
степени т (т.—произвольное натуральное число) делятся на а^, где
ц = Мах(т—п + 1, 0). Доказать, что для любого многочлена g ? М
найдутся два многочлена и и v из А [X] такие, что g=u/ + y, при-
причем либо у=0, либо degy<n.
13) Пусть А— коммутативное кольцо с единицей, п— такое поло-
положительное целое число, что для всякого элемента a^i в кольце А
разрешимо уравнение n|=a. Пусть т — некоторое целое положитель-
положительное число и и—унитарный многочлен кольца А [X] степени тп.
Доказать, что в кольце А[Х\ существует унитарный многочлен v
степени т такой, что и-—vn является либо нулевым многочленом,
либо многочленом, степень которого < тп — т (положить v = Xm-{-w).
§ 2. Полиномиальные функции
Л. Полиномиальные операторы
Пусть А —коммутативное кольцо с единицей, Е — алгебра
¦с единицей над кольцом А, не обязательно коммутативная. Для
каждого многочлена f = ao + aiX-)-...-\-anXn из кольца А [X]

1 ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 27
многочленов одной переменной над кольцом А и каждого эле-
элемента х ? Е положим / (х) = аое + а^х + ... + апхп.
Более общо. Пусть x = (xl)l&1— некоторое семейство попарно
перестановочных элементов алгебры Е. Для каждого многочлена
/ = 2 а(п ) \\ X из кольца А[Х^1&1 положим /(ас) = /((zt)) =
(nt) i e i
= 2 а(п ) П я- Будем говорить, что элемент fix) получен
подстановкой для каждого i?/ элемента хь вместо переменной
Хь в многочлен /.
Предложение 1. Для всякого семейства х = (xl)l g j попарно
перестановочных элементов алгебры Е отображение /—>-/(ж)
алгебры многочленов A]Xi]t?i в алгебру Е является представ-
представлением. Образом алгебры 4[Xt]igi ^рм этом представлении
является (коммутативная) подалгебра алгебры Е, порожденная
множеством, состоящим из единичного элемента е и элементов
х, A6/).
Пусть / и g — два элемента из ^[Xt]iej, а —элемент из А.
Положим h1 = fJrg, hz — aj и h3 = jg. Надо доказать, что
g(x), h2(x)=:af(x) и /г3(ас) = /(ас) g(ac).
Первые два соотношения очевидны. В силу формулы дистрибу-
дистрибутивности в алгебре Е достаточно доказать третью формулу
в случае, когда / и g — одночлены. В этом случае формула
следует из определения произведения двух одночленов и пред-
предположения о попарной перестановочности элементов х1. Образ
алгебры A [XJiei при представлении /->-/(ас) является подалгеб-
подалгеброй алгебры Е, содержащей е и jct. С другой стороны, любая
подалгебра алгебры Е, содержащая эти элементы, содержит
также и все элементы вида / (ас). Следовательно, множество эле-
элементов вида /(ас), когда / пробегает A[Xl]l?I, является, очевид-
очевидно, подалгеброй алгебры Е, порожденной множеством, являю-
являющимся объединением {е} и множества М элементов х1.
Будем обозначать эту подалгебру символом А [ас] или A [x^^i,
или еще А[М].
Если /—конечное подмножество из ^Г (наиболее часто встречаю-
встречающийся случай) и (JA)t ^ й^ р—элементы из /, расположенные в строго
возрастающей последовательности, то чаще всего вместо / ((а^))

28 МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ. IV, § 2
и А \х\\ е / пишут
/K'*i! %) И А К' ХЧ' ••' *ipb
Из предложения 1 вытекает следующая
Теорема 1. Пусть Е — алгебра с единицей е над А, и пусть
х = (xl)l g i — некоторое множество попарно перестановочных эле-
элементов из Е. Подалгебра А [х] алгебры Е, порожденная эле-
элементом е и хи изоморфна факторалгебре A[Xl]l?j/a, где а —
идеал алгебры ^4[Xt]l?j, образованный многочленами /, для
которых / (ас) = 0.
Идеал а назовем (для краткости) идеалом алгебраических
соотношений с коэффициентами из кольца А между элементами
хь (или алгебраических соотношений, которым удовлетворяет
элемент х, когда множество (a;t) состоит из единственного эле-
элемента х). Он совпадает с модулем линейных соотношений
с коэффициентами из кольца А между элементами J] ж (где
i e i
(nCj пробегает JV*7') (гл. И, § 1, п° 8). Вообще говоря, этот
идеал состоит не только из нуля. Следовательно, представление
/->-/(*;) не является изоморфизмом алгебры yl[Xt]ier на алгебру
А [х].
° Например, в кольце С [X] многочленов одной переменной над
полем С комплексных чисел многочлен / = Х2-|-1 отличен от нуля,
но /(i)=0.o
Предложение 2. Пусть А, А' — изоморфные коммутативные
кольца, обладающие единицей, ф—изоморфизм кольца А на
кольцо А'. Пусть Е (соответственно Е') — алгебра с единицей е
(соответственно е') над кольцом А (соответственно А'), и пусть
x = (xl)l^I (соответственно х' — {x[\^i) — семейство попарно пере-
перестановочных элементов алгебры Е (соответственно Е'), & (соответ-
(соответственно а')—идеал алгебраических соотношений между хь (соответ-
(соответственно х[). Для того чтобы существовал изоморфизм г|) алгебры
А[х] на алгебру А' [х']такой, что ty(xl)=x[ для любого i?l uty(ae) =
= ф(а)е' для всякого а из А, необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось соотношение ф(а) = а', где ф означает изоморфизм
алгебры AlX^^i на ^'[Xt]iej, который продолжает ф и остав-
оставляет инвариантными Хь (§1, предложение 1). Изоморфизм г|),
удовлетворяющий предыдущим условиям, при этом единственный.

/ ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 29
Действительно, если существует такой изоморфизм г|), то для
каждого многочлена /?а, имеем /(ж) = 0, откуда, положив / =
= ф (/), получим / (as') = 0, то есть / ? а'. Следовательно, должно
выполняться включение <р (а) С л'. Применяя те же рассуждения
-1
к изоморфизму, обратному к г|), получим включение <р (a') CZ Л,
откуда ф(а) = а'. Обратно, если это условие выполнено, то суще-
существует изоморфизм кольца AlX^^i/a на кольцо A' [X^^i/a',
который смежному классу по идеалу а, порожденному элементом
и кольца ^[Zt]iej, ставит в соответствие смежный класс по
идеалу а', порожденный элементом ф(и). В частности, классу
(по идеалу а), порожденному элементом а ? А, соответствует
класс (по идеалу а'), порожденный элементом ф(а), а классу
(по идеалу а), порожденному элементом Хи соответствует класс
(по идеалу а'), порожденный элементом Xt. Существование изо-
изоморфизма г|) вытекает из теоремы 1. Его единственность следует
немедленно из вида элементов в А' [х'].
Замечания. 1) Известно, что любое кольцо Е можно рас-
рассматривать как алгебру над кольцом Z целых рациональных чисел
(с законом композиции (га, х) ->¦ пх; см. гл. II, § 7, п° 1).
Теорема 1 описывает, следовательно, структуру подколец коль-
кольца Е (без операторов, или, что то же самое, рассматриваемых как
алгебра над Z), порожденных единичным элементом в Е и каким-
нибудь семейством попарно перестановочных элементов кольца Е.
2) Отметим, что длн применения теоремы 1 не обязательно,
чтобы отображение а -> ае кольца А в алгебру Е было изоморфизмом.
Например, пусть Е—алгебра над Z; может оказаться, что пх=0
для всех х ? Е и некоторого ненулевого целого числа п (в случае,
если характеристика алгебры Е отлична от нуля и делит п).
3) Отображение (/, яг) -> / (х) из А [X] X Е в Е является внешним -
законом композиции на алгебре Е с кольцом А [X] в качестве кольца
операторов. Предложение 1 доказывает, что этот закон дистрибути-
дистрибутивен, с одной стороны, по отношению к двум аддитивным законам
на А [X] и ? и, с другой стороны, по отношению к двум мульти-
мультипликативным законам на этих же кольцах (см. гл. I, § 5, п° 1).
Многочлен X нвлнется нейтральным оператором при этом внешнем
законе. Накояец, если ограничиться множеством операторов из под-
кольца А кольца А [X], мы опять получим внешний закон компози-
композиции в алгебре Е.
4) Если в алгебре Е отсутствует единичный элемент, то можно
определить f (х) для любого семейства ж=(з;1) -^ попарно переста-

30 МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ. IV, § 2
неточных элементов из Е и любого многочлена / g А [X ] ст беа сво-
свободного члена. Пусть В—подалгебра алгебры A [-STl]lpj, образованная
такими многочленами; тогда отображение f ~* f (X) алгебры В
в алгебру Е является представлением и образ алгебры В при этом
представлении является подалгеброй в алгебре Е, порожденной
2. Подстановка многочленов в многочлен
Если алгебра Е коммутативна, то можно, очевидно, под-
подставлять в многочлен f ?.A [X^^^i вместо всякого Xt произволь-
произвольный элемент х^ из Е. Рассмотрим, в частности, случай, когда Е
является алгеброй многочленов A\Yx\x^l- Для любого семейства
(gi)igi многочленов этой алгебры можно тогда определить мно-
многочлен /2 = /((gt)) (принадлежащий к A[Y^\x^l), полученный
подстановкой gt вместо Х^ Пусть F — алгебра с единичным эле-
элементом над Л, у=(у%)%?ь—семейство попарно перестановочных
элементов из F. Легко видеть, что имеет место тождество h(y) =
— f{(gi(y))) в случае, когда / — одночлен (предложение 1).
Более частный случай: можно взять в качестве Е ту же
алгебру A [Xl]l?i. Это позволяет, в частности, пользоваться
записью f = f((Xl)) (или f = f(Xi, X2, ..., Хп) для многочле-
многочленов от п переменных), подставляя Xt вместо самих себя для
всех I.
Предложение 3. Для всякого многочлена f?A [Xt]te/ и любого
семейства (а,,),^/ элементов кольца А свободный член многочле-
многочлена h = f((Xl + al)) равен /((at)).
Действительно, подставив 0 вместо каждого из Х1 в много-
многочлене h, в силу предыдущих замечаний мы получим требуемое
утверждение.
Следствие. Каждый многочлен f?A[X, У], для которого
f(X, X) = 0, делится на X—Y.
Действительно, в многочлене от Z вида g(X, Z)~f(X, X-\-Z}
с коэффициентами в кольце А [X] свободный член равен / (X, X) —
= 0. Поэтому существует многочлен h (X, Z)?A [X, Z] такой,
что g(X, Z) = Zh(X, Z), откуда, подставляя Y—X вместо Z,
получим /(X, Y) = (Y-X)h(X, Y—X).
Предложение 4. Для всякого многочлена f^A [XJigj его
однородная часть fk степени к равна коэффициенту при члене

<5 ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 31
Zh в многочлене /((XtZ)) (рассматриваемом как многочлен от Z
с коэффициентами в кольце A\X^^i).
Достаточно доказать это для одночлена. В этом случае пред-
предложение следует немедленно.
Следствие. Для того чтобы некоторый многочлен f ?А [Xl\l g t
был однородным многочленом степени к, необходимо и доста-
достаточно, чтобы имело место равенство
3. Полииомиалъпые функции на алгебре
Пусть А — коммутативное кольцо с единицей, Е — алгебра
над А с единичным элементом е (не предполагаем, что представ-
представление а->ае из А в Е является изоморфизмом). Для каждого'
многочлена f?A[X] и для любого элемента х?Е определено
выражение / (х). Отображение x->f(x) является отображением
из Е в Е. Мы назовем его полиномиальной функцией, ассоции-
ассоциированной с многочленом /.
. Предположим теперь, что алгебра Е, кроме того, коммута-
коммутативна. Пусть /—произвольное множество индексов, / — некото-
некоторый многочлен из алгебры A [Xjt g/; значение / (х) определено
тогда для каждого семейства х = (xt)i е / элементов из Е, име-
имеющего / в качестве множества индексов. Отображение ас —»/ (ас)
является, следовательно, отображением из Е1 в Е, которое мы
также называем полиномиальной функцией, ассоциированной,
с многочленом /. Полиномиальная функция, определенная на Е1,
является, следовательно, отображением вида (яч) —> 2 «(п^П^ч1'
(*ч)
где {щ) пробегает 2V(/\ a 'u(rii) равны нулю всюду, за исключе-
исключением конечного числа элементов из 2V(I).
Например, любая линейная форма на Л-модуле Ап (гл. II, § 4,
п° 1) записывается в виде (хь ..., хп) -^-aix1 + a2X2+ • • ¦ ~\-апхп>
где а,- принадлежат кольцу А. Она является, следовательно, поли-
полиномиальной функцией, ассоциированной с однородным многочленом
первой степени a,Xi+ ... -\-апХп (откуда название «линейная форма»,
которое для краткости применяетсй к однородным одночленам пер-
первой степени; см. § 1, п° 3).
Таким же образом, если каждой «двойной последовательности»
(хи) A < i < "'• 1 <С / < п) элементов произвольного коммутативного

32 МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ. IV, § 2
кольца Е (без операторов) поставить в соответствие определитель
det (xij) квадратной матрицы (хц), то мы определим полиномиаль-
полиномиальную функцию, ассоциированную с многочленом 2 ea^i o(i)x
X Х2) 0B) •• • Хп, а(пу то есть с многочленом det (Xij) в кольце
Z[Xilt ..., Хпп] многочленов над кольцом Z относительно я2 пере-
переменных Xij.
Для любого многочлена / из алгебры A [XJt e i обозначим
символом / полиномиальную функцию х—>f(x), которая ему
соответствует (отображение из Е1 в Е). По предложению 1 ото-
отображение /—>/ является представлением алгебры ^[Xt]iei
в алгебру отображений из Е1 в ?. Мы вскоре увидим в по4и5,
что это представление не всегда является изоморфизмом (иначе
говоря, одна и та же полиномиальная функция может быть ассо-
ассоциирована с несколькими различными многочленами, то есть
может существовать такой ненулевой многочлен /, что /(х) = 0
для каждого х^Е1). Попутно мы получим достаточные условия
для того, чтобы отображение /—>f являлось изоморфизмом.
Даже когда представление /—»-/ не является изоморфизмом,
отображение а> —»-/ (ж) часто обозначают символом /, допуская воль-
вольность речи. Никакой путаницы не произойдет в том случае, если
при введении элемента / уточнять, идет ли речь о многочлене f или
о полиномиальной функции /.
4. Корни многочлена от одной переменной
Пусть даны многочлен f?A [XL]i g i и коммутативная алгебра Е
(с единицей) над А. Говорят, что элемент х = (х1) множества Е
является нулем многочлена f в Е1, если /(х) = 0. Если /—мно-
/—многочлен относительно одной переменной X, то нуль х многочлена /
в Е называют также корнем многочлена / в Е.
Мы сначала рассмотрим корни многочлена f?A[X], которые
принадлежат кольцу А (рассматриваемому как алгебра над самим
собой).
Предложение 5. Для того чтобы элемент а?А был корнем
многочлена f?A[X], необходимо и достаточно, чтобы X—а был
делителем многочлена f в кольце А [X].

4 ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 33
Действительно, свободный член многочлена /(a-f-F) равен
/(а) (предложение 3). Для справедливости равенства /(а) = 0
необходимо и достаточно, очевидно, чтобы многочлен / (a -j- Y)
делился на Y. Отсюда следует предложение, так как достаточно
подставить X— а вместо У.
Если элемент a ? А является корнем ненулевого многочлена
f?A[X], то / может делиться на степень (X — a)h многочлена
(X — а) с показателем степени А>1. Так как (X — a)h—уни-
a)h—унитарный многочлен, то он не является делителем нуля в кольце
А [X]. Поэтому соотношение f = (X — a)h g однозначно определяет
многочлен g и deg / = h -f- deg g. Тем самым можно ввести сле-
следующее определение:
Определение 1. Назовем порядком кратности корня а?А
ненулевого многочлена j?A [X] наибольшее из чисел h таких,
что (X — a)h делит /. Корень, порядок кратности которого
равен к, называется кратным корнем порядка к.
Кратный корень порядка 1 называется простым корнем. Кратный
корень порядка 2 (соответственно 3, 4, ...) называется двойным
(соответственно тройным, четырехкратным, ...).
Для того чтобы элемент a ? А являлся корнем порядка к
многочлена /, необходимо и достаточно, чтобы имело место равен-
равенство / = (Х—a)h g, где g не делится на X—а. Действительно,
это условие, очевидно, необходимо. Оно и достаточно, так как,
если бы элемент а был корнем порядка h^>k, то многочлен g
делился бы на (X — a)h~h, ибо многочлен (X—аL не является
делителем нуля в кольце А [X]. По предложению 5, это условие
равносильно неравенству g(a)фO. Так как deg / = к -f- deg g,
имеет место соотношение к <^. deg /.
Замечания. 1) Для всякого ненулевого многочлена / ? А [X]
распространим определение 1 на все элементы а,?А, условясь счи-
считать нулем порядок кратности элемента а относительно многочлена /,
если а не нвляется корнем этого многочлена.
2) Утверждение, что лорндок кратности элемента a 6 А отно-
относительно ненулевого многочлена / не меньше h, означает, что много-
многочлен (X — a)h делит f. Для нулевого многочлена 0 порьдок крат-
кратности какого бы то ни было элемента кольца А не определен. Но,
допуская вольность речи, условимся говорить, сверх того, что поря-
порядок кратности элемента a ? А относительно произвольного много-
многочлена / не меньше h в том случае, когда многочлен (X—a)h делит /.
3 н. Бурбаки

34 МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ. IV, § 2
3) Пусть В—некоторое подкольцо кольца A, f — многочлен
кольца В [X]CZA[X], а —элемент из В, который является кор-
корнем многочлена /. Тогда порядок кратности элемента а отно-
относительно многочлена / не зависит от того, рассматривать много-
многочлен / как элемент кольца В[Х] или как элемент кольца -4[Х).
Действительно, соотношения (X — a)'lg(X) = (Х — a)k gt (X), где
g?A[X], gi?B[X] и g(a)Ф0, gi(ct)=?O, возможны лишь в слу-
случае h = k, так как многочлен X — а не является делителем нуля
в кольце А [X].
Предложение 6. Пусть f и g — dea ненулевых многочлена
из кольца А[Х\, а—произвольный элемент кольца А, р и # —
порядки кратности а относительно fug соответственно.
1° Порядок кратности а относительно многочлена f-{-g
не меньше Min (p, q). Если р ф q, то он равен Min (p, q).
2° Порядок кратности а относительно многочлена fg не меньше
p-\-q. Если А—кольцо целостности, то этот порядок равен p + q
Действительно, имеем/(Х)=(Х—а)р fi(X), g(X)=(X—afg^X)
с /i(a)=?0 и gi(a)^0. Пусть, скажем, p^.q. Тогда /(X)-f
+ g(X) = (X-a)p(MX) + (X-a)«-pg1(X)), и если p<q, то a
не является корнем многочлена /i(X) + (X — a)q~p gt(X), что
доказывает первую часть предложения. Вторая вытекает таким же
образом из формулы /(X) g(X) = (X — a)p+q /i(X) gi(X) и из того,
что /t (a) gi (a) ф 0, если А — кольцо целостности.
Предложение 7. Пусть А — кольцо целостности (с единицей),
/ — ненулевой многочлен из Л[Х]. Пусть cti(l^i^p) — р раз-
различных корней многочлена f в А, порядки кратностей которых
суть ki(l^.i^.p). В этом случае многочлен f делится на
(Х-а^ЧХ-а^ ... (Х-ар)кр.
Будем вести индукцию по р. В силу определения 1 предло-
предложение очевидно для случая, когда jo = 1. Пусть имеет место
соотношение
/(X) = (X-a1)ft4^-a2)^...(X-ap-1)Vi^(X), B)
где g?.4[X]. Элемент ар является корнем порядка кр много-
р-1
члена / и не является корнем многочлена [] (X — аг)й'(таккак,
по предположению, а;—арф0 для!<?<р—1 и А есть кольцо

4 ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 35
целостности). Из предложения 6 вытекает, что ар является кор-
корнем порядка кр многочлена g. Следовательно, многочлен g
делится на (X — ap)kP. Отсюда следует предложение.
Теорема 2. Пусть А—кольцо целостности (с единицей),
/ — многочлен из А [X] степени < h. Если f Ф О, то сумма
порядков кратностей всех корней многочлена f в А не превос-
превосходит п. В частности, если полиномиальная функция /, опре-
определенная в А, аннулируется n-\-i различными значениями пере-
переменной, то / = 0.
Это непосредственное следствие предложения 7.
Следствие. Пусть А —кольцо целостности, f и g — два мно-
многочлена из А[Х\, степень которых <п. Если значения полино-
полиномиальных функций fug, определенных на А, совпадают при п-\-1
различных значениях переменной, то f = g.
Достаточно применить теорему 2 к многочлену /—g.
Замечания. 1) Теорема 2 неверна в случае, когда кольцо А
обладает делителями нуля. Например, в кольце Z/ A6) многочлен Х^
имеет четыре различных корня, а именно смежные классы (по моду-
модулю 16), порожденные элементами 0, 4, 8, 12.
2) Пусть А—поле с бесконечным числом элементов, Е—алгебра
над А с единицей, которую можно отождествить с единичным эле-
элементом поля А (так что поле А отождествляется с подполем центра
алгебры Е). В этом случае ненулевой многочлен из А [X] может
иметь только конечное число корней в А (по теореме 1). Но он может
иметь бесконечное число их в алгебре Е. Например, если а и Ь—два
элемента алгебры Е, линейно независимые относительно А и такие,
что a2 — ab = ba = b2=0, то все элементы вида a-j-Xb, где К пробе-
пробегает А, являются нулями в Е многочлена* Xs (упражнение 7
и гл. VIII, § И, упражнение 7).
Приложение. ИнтерпЬляционная формула Лагранжа. Пусть
К—некоторое поле, агA<г<п)—п различных элементов из поля К,
Pi A<?<га)—га каких-либо (различных или нет) элементов
поля К. Зададимся целью определить многочлены f?K[X] такие,
что / (а*) = ^ для 1 < i < п. Речь идет о системе линейных ска-
скалярных уравнений в векторном пространстве К [X] (гл. II, § 4, п° 7).
Соответствующая линейная однородная система фг = О для
1<!г^ге) имеет в качестве решения, в силу предложения 7,
многочлен
= (X-ai)(X-a2)...(Z-an)g(Z),

36 МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ. IV, § 2
где g—произвольный многочлен из К [X]. Нам достаточно, сле-
следовательно, иметь одно решение системы, чтобы получить все
решения (гл. II, § 4, предложение 11). Предположим сначала,
что рь = 1 и р; = 0 для i Ф к. Любой искомый многочлен делится
тогда, согласно предложению 7, на произведение (X—сц) .. .
.. .(X—аи) (X — <Xfc+1) ... (X — ап). Докажем, что можно найти
такой скаляр h?K, что многочлен Uh(X) = 'k(X — a1).. .
.. .{X—cifc-i) (X — ak+i)..,(X— <х„) является решением нашей
задачи. Действительно, условие uh (a^) = 1 дает
— a,).. .(aft — aft_4) (ah— aft+1).. .(aft — an) = l,
откуда можно онределить X потому, что разность а^ — а,,
по предположению, отлична от нуля для i Ф к. Определив таким
образом многочлены uft для 1<&<гс, вернемся к общему слу-
случаю, где Р; произвольные. Непосредственно видно, что много-
п
член /= 2 PiM* отвечает нашей задаче, причем либо / = 0, либо
степень / не превосходит п—1. Очевидно, что это единственное
решение, обладающее этим свойством (следствие теоремы 2).
Найденное выражение
i(X\= Y R (*-«i) • • .(-У-a
м ; Zj нг(а._а1) . (а._а
называется интерполяционной формулой Лагранока.
5. Полиномиальные функции на кольце целостности
с бесконечным числом элементов
Предложение 8. Пусть А — кольцо целостности (с единицей)
с бесконечным множеством элементов. Пусть Ht A<?<гс)—
п бесконечных частей кольца А. Для любого ненулевого многочлена
f ?A [Xi, Х2, . .., Хп] cyv^ecmeyem бесконечно много элементов
Х = {хи х2, ..., хп) множества [| Hi, для которых {(Х)фО.
Ввиду теоремы 2 предложение справедливо при п = 1. Будем
вести доказательство индукцией по п. Многочлен / можно рас-
рассматривать как многочлен относительно Хп с коэффициентами

5 ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 37
т
в кольце A[Xlt Xz, ..., Xn_i\. Пусть /= 2 gkXn- Так как / Ф О,
то по крайней мере один из коэффициентов gt^A[Xi, . ..,Xn_il
отличен от нуля. В силу предположения индукции существует
п-1
система {хи хг, ..., zn-iK П ни Для которой gt (хи ..., xn-t) Ф 0.
т
Из этого следует, что многочлен h(Xn)= 2 gk{xu •••, ^n-i) -Xn
ft=0
кольца Л [Х„] отличен от нуля. По теореме 2 существует бес-
бесконечно много элементов хп ? Нп таких, что h (хп) Ф 0. Так как
h(xn) = f(xu ...,xn-u хп), то предложение доказано.
Предложение 9. Пусть А—кольцо целостности с бесконеч-
бесконечным множеством элементов; тогда отображение /—-»/ алгебры
многочленов A [X,,]iej в алгебру отображений из А1 в А является
изоморфизмом.
Действительно, пусть / — ненулевой многочлен из A[Xl]l^I.
Существует конечная часть / множества / такая, что / принад-
принадлежит кольцу A[Xi\l^j. По предложению 8 существует такой
элемент l/ = (j/l)lgj множества AJ, что для любого элемента
x — (xl)l^I из А1, проекция которого на А3 есть у, имеет место
неравенство / (х) Ф 0. Отсюда следует предложение.
Другими словами, если для любого элемента a> = (xl)?AI имеет
место тождество 2 а(п )Ц *ч'= 0> т0 а(п )= ^ Дли каждого (ret) ё N
(«i) l i
Когда А — кольцо целостности с бесконечным множеством
элементов (случай, наиболее часто встречающийся в приложениях),
изоморфизм /—>/ позволяет отождествить кольцо 4[Xi],,gi
. с кольцом соответствующих полиномиальных функций.
Допуская обычную вольность речи, которая заключается в сме-
смешении функции и ее значения на общем элементе области опреде-
определения (Теор. § 2, п° 2), мы будем говорить в таких случаях о «мно-
«многочлене / (х)» или о «многочлене ao+aia;+...+а„а;п». Пока и по-
поскольку сформулированные ранее условии выполнены, этот язык не
представляет никаких неудобств.
Замечания. 1) Пусть Е — такая коммутативная алгебра
с единицей над А, что А можно отождествить с подалгеброй Ае

38 МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ. IV, § 2
алгебры Е. Если А — бесконечное кольцо целостности, то отобра-
отображение /—>f из A[Xi\i?i в алгебру отображений множества Е1
в Е по-прежнему является изоморфизмом, так как для любого
ненулевого многочлена / ? А [Х^ е / существует элемент х ? А1 С •?',
для которого / (а?) ^ 0. Когда речь идет о многочленах от одной
переменной, можно не предполагать коммутативности алгебры Е
(см. упражнение 13).
2) В формулировке предложения 8 на кольцо А были наложены
два условия:
1° целостность, 2° бесконечность. Результат перестает быть вер-
верным, если предположить, что А удовлетворяет лишь одному из этих
условий (упражнения 8 и 9). Однако эти два условия не являются
необходимыми для того, чтобы отображение / —*-"J из А [Х^ ? j
в алгебру отображений множества А1 в А было изоморфизмом
(упражнение 6).
Теорема 3 (принцип продолжения алгебраических тождеств).
Пусть А — бесконечное кольцо целостности с единицей, (gt)
(i^.i^m) — конечная последовательность ненулевых многочленов
из A [Xi, Х2, ...,Хп]. Пусть f — такой многочлен из A[Xit
Хг, ...,ХП], что f(Xi, x2, ...,хп) = 0 для любого элемента
(xj)?An, для которого gi(Xi, x2, ...,хп)ф0 при всех 1<г'<ти
тогда / = 0.
Действительно, если /=/=0, то многочлен & = /g1g2 ... gn отли-
отличен от нуля (§ 1, теорема 1), следовательно (предложение 8),
существует элемент (xj)? Ап, для которого h(хи х2, ..., хп)Ф0,
что противоречит предположению.
Схолия. Теорема 3 дает очень удобное средство для доказа-
доказательства того, что некоторый многочлен / относительно п пере-
переменных над кольцом целостности А (с единицей) равен нулю.
Достаточно рассмотреть бесконечное кольцо целостности Е,. со дер-
держащее подкольцо, изоморфное кольцу А и имеющее тот же
самый единичный элемент, что и Е. Если мы докажем, что
/ (хи х2, .. ., хп) = 0 для всех элементов (хг) ?Еп (или только для
тех элементов из Еп, которые не аннулируют некоторое конеч-
конечное число фиксированных ненулевых полиномиальных функций),
то отсюда будет следовать, что /=0. Если кольцо А само
бесконечно, то можно взять в качестве Е само кольцо А или
поле частных кольца А. В противном случае можно, например,

5 ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 39
взять в качестве Е кольцо А [X] многочленов от одной пере-
переменной над А (или его поле частных).
Доказав соотношение /==0, очевидно, из него можно вывести
равенства f(yu y2, ...,г/п) = 0 для любого элемента (yt)^.Fn,
где F — произвольная коммутативная алгебра над А (с едини-
единицей е). Алгебра F может иметь, в частности, лишь конечное
число элементов или иметь делители 0. При этом отображение
а —> ае из А в F может не быть взаимно однозначным.
Другими словами, доказательство тождеств f(xux2, ..., хп) = 0,
когда х\ пробегают бесконечное кольцо целостности, содержа-
содержащее А, и с той же самой единицей, что у А (возможно, с огра-
ограничением типа gi(xu ...,хп)ф0 для l<i<m, где g, — некото-
некоторые ненулевые многочлены), влечет те же тождества, когда x-t
пробегают произвольную коммутативную алгебру (с единицей)
над А.
В частности, если многочлен / относительно п переменных
с целыми рациональными коэффициентами таков, что / (*i, х2, .. •
.. .,хп)=0, когда xi пробегают поле рациональных чисел Q (возмож-
(возможно, с ограничением типа gi (х^, х%, ..., хп) ф 0, где gi—ненулевые
многочлены с целыми коэффициентами), то имеет место то же самое
тождество, когда х; пробегают какое бы то ни было коммутативное
кольцо с единицей (даже когда это кольцо имеет характеристику
>0), так как принцип продолжения алгебраических тождеств пока-
показывает, что / = 0 в кольце Z [Х±, Х^, ..., Хп].
У п р а ж н е н и я. *1) а) В алгебре А [X] многочленов от одной
переменной над кольцом А отображение {и, v) —»- и (у) является
внутренним законом композиции. Доказать, что этот закон ассо-
ассоциативен и дистрибутивен слева относительно сложения и умноже-
умножения в алгебре А [X].
б) Доказать, что если А—кольцо целостности, то из соотноше
ния иA>) = 0 следует, что либо и=0, либо v является константой.
Кроме того, если и Ф 0 и deg v > 0, то степень многочлена и (v)
равна произведению степеней многочленов и и v.
в) Будем предполагать в дальнейшем, что А поле. Пусть и
и v—многочлены из кольца А [X], степень которых >0, /—много-
/—многочлен степени > 0. Доказать, что если q и г — соответственно част-
частное и остаток при евклидовом делении многочлена и на v, то q (/)
и г (/) являются частным и остатком при евклидовом делении мно-
многочлена и (/) на v (/).
г) Для любого многочлена / из кольца А [X] обозначим симво-
символом /(/) множество многочленов вида м(/), где и пробегает А [X].
Это—подкольцо кольца А [X]. Для того чтобы кольца /(/) и I (g)

40 МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ. IV, § 2
совпадали, необходимо и достаточно, чтобы имело место тождество
вида ?=Я/ + ц, где X Ф О и ц — элементы кольца А.
д) Пусть / и g—два многочлена положительной степени
в кольце .4[Z]. Доказать, что пересечение I(f)[)I{g) либо совпа-
совпадает с А, либо имеет вид /(Л), где h—некоторый многочлен поло-
положительной степени (исключая первую возможность, рассмотреть
в кольце I (f)f\I (g) многочлен h наименьшей положительной сте-
степени; заметить затем, что любой многочлен и ? А [X] однозначно
записывается в виде ^vkhh, где vk = 0 или degvh<degh, и что
если «?/(/), то иь также принадлежат /(/); использовать в)).
*2) Пусть К—поле, К [X] — кольцо многочленов над К от одной
переменной. Доказать, что любой автоморфизм s кольца (без опера-
операторов) К[Х] оставляет инвариантным поле К (см. § 1, упражне-
упражнение 10) и индуцирует на К некоторый автоморфизм о8 этого поля.
Кроме того, доказать, что s(X)=XX-\-\i, где ХфО a \i—элементы
полн К (использовать упражнение 16)). Обратно, доказать, что зада-
задание произвольного автоморфизма а поля К и двух элементов X и ц
из полн К (X Ф 0) однозначно определяет автоморфизм S кольца
К[Х], для которого o"s = ff и s(Х)=ХХ-\-\1. Пусть G — группа всех
автоморфизмов кольца К[Х] без операторов, Н—подгруппа груп-
группы G, состоящая из автоморфизмов структуры алгебры К [X] над
полем К; доказать, что подгруппа Н отлична от G и группа G/H
изоморфна группе автоморфизмов поля К. Группа Я изоморфна
группе, определенной на множестве К* х -К законом композиции
3) Пусть А—кольцо целостности, /—многочлен из кольца
А [Хи Х2, ¦ ¦., %п\ степени <; кг относительно Xt (для l<j<«).
Для любого значения индекса i (l^i ^п) пусть Я; — множество из
&j + l элементов кольца А. Доказать, что если f(xb x2, ...,#„) =0
и
при всех (xi) € Д Hi, то / = 0.
4) Пусть А—кольцо целостности с бесконечным числом элемен-
элементов, Ф—множество непулевых многочленов из кольца A [Xlt Х2, ¦ ¦ ¦
...,Хп]. Доказать, что если мощность множества Ф строго-меньше
мощности кольца А, то существует часть Н в Ап, равпомощная
с Л и такая, что для любых Х=(х{) ?Н и /?Ф имеет место нера-
неравенство / (X) ф 0.
5) Пусть А—бесконечное кольцо целостности, В—бесконечная
часть кольца А. Доказать, что если многочлен f ?А [X] имеет поло-
положительную степень, то образ В относительно полиномиального
отображения x—*-f(x) имеет одинаковую мощность с В.
6) Пусть А—коммутативное кольцо с единицей, у которого
существует бесконечная подгруппа G аддитивной группы А, все

ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 41
элементы которой не являются делителями нуля в А. Доказать, что
отображение /—>-/ из A [Xit ...,Xp] в алгебру отображений мно-
множества АР в А является изоморфизмом. (Заметить, что многочлен
степени п относительно одной переменной не может иметь более
чем п различных корней, принадлежащих G.) Так обстоит дело,
в частности, когда в кольце А существует элемент х0, не являющийся
делителем нуля, порядок которого в аддитивной группе А бесконечен.
7) Пусть К—бесконечное поле, характеристика которого отлична
от двух. Пусть Q—алгебра кватернионов над К, соответствующая
паре ( —1, —1) (гл. II, § 7, п° 8). Доказать, что многочлен X^-f-l
имеет бесконечно много нулей в Q.
*8) Пусть К—конечное поле из д элементов.
а) Пусть а—идеал в кольце K[Xit X2, ...,Хп], порожденный п
многочленами Xf—Х-г A <:?<>). Доказать, что если / ? О, то имеет
место равенство /(*i, хг, ..., хп) = 0 для всех (х{) ? Кп (заметить,
что мультипликативная группа К* имеет порядок q—-1).
б) Пусть /—произвольный многочлен из кольца K[Xi, X2, ¦¦ ¦
..., Хп]. Доказать, что существует единственный многочлен /, либо
равный нулю, либо такой, что degi7<!<Z — 1 Для всех 1<О'<га,
причем / = 7(moda). Имеет место неравенство deg/-<deg/. Пусть
/—многочлен, длн которого / (х^, Х2, ...,а;п)=:0 при всех (xi) ? Кп\
тогда / принадлежит идеалу о, который является, таким образом,
прообразом яуля при представлении /—»¦/ (использовать упражне-
упражнение 3).
в) Пусть /1? /г fm— ненулевые многочлены из кольца
К[Хи Х2,...,Хп], причем /j@, 0, ...,0) = 0 (l<t<m) и сумма
полных степеней многочленов /; строго меньше п. Доказать, что
существует такой элемент (xi, xz, ..., хп) ? Кп, отличный от (О
О, ...,0), что
fl(xu X2, . .., хп) = 0 для l<t<m. ¦
Т/1
(Заметить, что если бы это было не так, то многочлен] ГТ A—/f)
находился бы в одном смежном классе по модулю о с многочленом
п
Д A-Х?). Использовать б).)
3=1
9) Пусть К—конечное поле, имеющее д элементов, А — кольцо
К1, являющееся произведением / экземпляров поля К, где / — беско-
бесконечное множество. Привести пример ненулевого многочлена / из
А [X] такого, что / (х) = 0 для любого х ? А.
10) Обобщить упразднения 10—14 гл. III, § 8 на случай,, когда
квадратные матрицы, рассматриваемые в этих упражнениях, не
имеют обратных.

42 МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ. IV, § 3
11) В кольце многочленов от 8 переменных Xi, У; A <[!?<; 4)
над кольцом Z целых рациональных чисел. Установить соотношение
-Х2У2-
(использовать тот факт, что в алгебре кватернионов над полем Q
рациональных чисел, соответствующей паре (— 1, —1) (гл. II, § 7,
п° 8), норма произведения равна произведению норм сомножителей).
12) Доказать, что в кольце многочленов от 6 переменных Х\,
Yi (I <sj ?<3) над Z не существуют соотношения вида (XJ-J-X|-f-X|) X
X (У? + У|+ У§) = и2+1>2+и>2, где u, v, w — три многочлена отно-
относительно Xi и Yi с целыми коэффициентами. (Заметить, что число
15 = 3-5 нельзя представить в виде т2+»2+р2, где т, п, р—целые.)
13) Пусть Е—кольцо целостности с бесконечным числом эле-
элементов, с единицей е, наделенное структурой алгебры относительно
кольца целостности А (с единицей). Пусть а—идеал кольца А,
являющийся аннулятором е (для структуры Е как Л-модуля).
Доказать, что если А^ — А/а, то образ кольца А [Xi, X2, ...,Хп]
при отображении /—v/ в кольцо отображений множества Еп в Е
изоморфен кольцу A^\Xi, Х2, ..., Хп].
§ 3. Рациональные дроби и рациональные функции
1. Рациональные дроби над полем
Определение 1. Пусть К — поле. Рациональными дробями
с коэффициентами из К относительно переменных Xl (i g I) назы-
называются элементы поля отношений (гл. I, § 9, п° 4) кольца цело-
целостности KlX^^i многочленов с коэффициентами из К относи-
относительно переменных Хь.
Поле рациональных дробей с коэффициентами из К относи-
относительно Хь обозначается символом -ff(X,,)ie/, когда /—интервал
[1, п] из Ж, поле K(Xi)i?i обозначают также символом К(Хи
Хп, ..., Хп) и называют полем рациональных дробей от п пере-
переменных с коэффициентами из К.
По определению поля отношений кольца целостности, каждая
рациональная дробь поля K(Xi)i?i может быть представлена
бесконечным множеством способов в виде — , где и и v—два
многочлена из кольца -K[Xt]te/, причем v Ф 0. Соотношение

/ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 43
— = — (v ф О, vi Ф 0) означает, что ui)i = vui. Таким образом, если
ифО, то и Mj Ф 0. В этом случае (§ 1, формула E)) degu-f
+ deg vi = iegv-\- degM4 или еще degUj — degi;1 = deg к — deg у.
Целое число (положительное или отрицательное) degu—deg у
не зависит, тем самым, от представления ненулевой рациональ-
рациональной дроби в виде частного — двух многочленов. Это число назы-
называется (полной) степенью этой дроби. Таким же образом опре-
определяют степень ненулевой рациональной дроби относительно
переменной Хх. Тотчас же проверяется, что для многочленов
с коэффициентами из К эти понятия совпадают с одноименными
понятиями, определенными в § 1, и что формулы C), E) и F)
§ 1 остаются справедливыми для степеней рациональных дробей.
Замечание. Если А—кольцо целостности с единицей, то, как
известно (§ 1, теорема 1), кольцо AlXJ^j также является кольцом
целостности. Пусть К — поле отношений кольца А. Можно отожде-
отождествить К с подколем отношений кольца A [^l]lc/i состоящим из дро-
дробей —, где и и у —многочлены нулевой степени (у^О), отожде-
отождествленные с элементами кольца А. При этом соглашении поле отно-
отношений кольца A [-XJiej отождествляется с полем рациональных
дробей К(Х1\^1. Действительно, каждый многочлен из К [XJ^j
можно записать в виде —, где и—многочлен с коэффициентами из А,
а —элемент кольца А (достаточно привести к общему знаменателю
все коэффициенты рассматриваемого многочлена). Каждая рацио-
рациональная дробь из К (Xjjgj записывается, следовательно, в виде
(и/а)/(у/Р) = (Ри)/(ау), где а г р принадлежат А, X и и v—кольцу
A [XJ^j. Тем самым эта дробь является элементом поля отношений
кольца A[XJl5I.
Пусть теперь К—произвольное поле, J — непустая часть мно-
множества индексов /. Мы видели (§ 1, п° 2), что кольцо многочленов
К [^1]1р/ можно отождествить с кольцом многочленов относительно
переменных Х^ (индекс i g CJ) с коэффициентами из кольца целост-
целостности В = К [XJ^cj. Предыдущее замечание доказывает, что можно
отождествить поле рациональных дробей К (Xl)lgj с полем рацио-
рациональных дробей относительно Xv i б CJ, с коэффициентами из поля
рациональных дробей
Предложение 1 из § 1 вместе с предложением 4 из гл. I,
§ 9 показывает, что имеет место

44 МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ. IV, S 3
Предложение 1. Пусть К, К'—два изоморфных поля, ф— изо-
изоморфизм К на К'. В этом случае существует изоморфизм ф,
и притом единственный, поля K(Xl)l^I «я К'(X^^j, который
продолжает ф и оставляет инвариантным каждую перемен-
переменную Xi.
2. Рациональные дроби, рассматриваемые
как операторы
Пусть А — коммутативная алгебра с единицей над полем К,
причем единица алгебры отождествлена с единицей поля К.
Пусть /== —— элемент поля AT (Xt)tej. Пусть ас = (xt)teJ — элемент
множества А1, для которого значение v (х) обратимо в кольце А;
тогда элемент —|—г определен в кольце А. Кроме того, если и\
и i?! — другие многочлены, для которых / = — , причем значение
/ \ /- U (Я?) U* (х) г\
vi{x) также обратимо, то —~-(- = ото следует из того,
что uvi — uiv, и, значит, и (х) v^ (х) = и± (х) v (x) (§ 2, предложе-
предложение 1). Если существует по крайней мере одно представление
дроби / в виде —, где v (x) — обратимый элемент, то мы будем
говорить, что семейство х = (х1) допускает подстановку в рацио-
рациональную дробь /. Мы только что видели, что для всех пред-
представлений дроби / в виде частного — двух многочленов, для
. . _. и (х) Л
которых v (ас) — обратимый элемент, элемент ; : кольца А ока-
V (X)
зывается одним и тем же. Мы будем обозначать его символом
f(x) или /((жО).
Предложение 2. Пусть x = (xl)l^I — произвольное семейство
элементов коммутативной алгебры А над полем К. Множество
рациональных дробей f^.K(Xl)l^i, для которых х допускает под-
подстановку, образует подалгебру U поля К (XiJ^j. Отображение
f —> f (x) является представлением алгебры U в А. Образ подал-
подалгебры U при этом отображении совпадает со множеством эле-
элементов вида yz~x, где у пробегает кольцо К[х], a z—множество
обратимых элементов этого кольца.

3 РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 45
В самом деле, пусть /i = —, /2 = — две рациональные
дроби, для которых Vi (ас) и v2{x) являются обратимыми элемен-
элементами. В этом случае имеют место тождества ft + /2 = Ml 2l>i
У1У2
и /i/2 = —^-- Положим y = y1y2; тогда у (ас) = yj (ас) у2 (ж)—обра-
тимый элемент. Таким образом, U является подалгеброй. Учиты-
Учитывая предложение 1 из § 2, мы немедленно убеждаемся, что
отображение /—>f(x) является представлением алгебры U в А.
Заключительное утверждение предложения очевидно.
Следствие. Пусть Ко—поле, являющееся расширением поля К,
U — подколъцо кольца K(Xl)l^j, образованное рациональными
дробями /, для которых семейство х = (xt) ? К[ допускает под-
подстановку в /; тогда образ кольца U при отображении j—>f(x)
является подполем поля Ко, порожденным объединением К и мно-
множества М элементов Zi(i?l)..
Действительно, из вышесказанного и предложения 6 гл. I, § 9
следует, что этот образ изоморфен полю отношений кольца К[х].
Мы будем обозначать это подполе символом К (ас) или К (ж,,)^/
(или еще К(xi, х2, ..., хп), когда / = [1, h]), а иногда также
символом К(М).
3. Подстановка рациональной дроби
в рациональную дробь
Рассмотрим, в частности, следствие предложения 2 для случая,
когда поле Ко есть поле рациональных дробей К (•Уя.Кег,- Пусть
(gi)\.?i — семейство элементов этого поля, допускающих подста-
подстановку в рациональную дробь f^K(Xl)l^; тогда значение /((gt)) = /z
является рациональной дробью относительно У\. Кроме того,
справедливо
Предложение 3. Пусть /—рациональная дробь из поля К (X^^i,
(gi)i?7—семейство элементов поля рациональных дробей К (У\)^?ь,
у = (уb)b?L—семейство элементов поля К. Предположим, что
семейство у допускает подстановку в каждую из дробей gu
а семейство элементов (g\.{y)\zj — подстановку в дробь /. В этом
случае семейство элементов (gt) допускает подстановку в /. Если
положить h = j((gt)), то семейство у = (уз,) допускает подста-
подстановку в 1г, причем h(y) = f{(gl{y))).

46 МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ. IV, § 3
Очевидно, можно предположить, что множества / и L конечны.
В силу предположении можно представить gt в виде —, где pt
и qt — многочлены из кольца K[Yx\%^i., причем qi(y)=f=O для
всех i?/. Таким же образом можно написать: / = —, где и,
у —такие многочлены из кольца ^[Xt]tez, что v ((gt (у))) ф 0.
Пусть т — наивысшая из степеней многочленов и и v относи-
относительно каждой переменной Хь. Пусть w — многочлен из К [Y^hqL,
являющийся произведением многочленов ql(i?l). В этом случае
щ = wmu ((gi)) mvi = wmv ((gt)) являются многочленами из К [Fxlxet.
причем Vi {у) = (w (y))mv ((gh (у))) Ф 0. Следовательно, v^O
и v ((gi)) ^ 0. Таким образом, семейство (gt) допускает подста-
подстановку в / и имеет место равенство h = f((gl)) = —. Тем самым у
допускает подстановку в h и h(y) = f ((gt (у))).
В частности, семейство (Xt)l?j допускает подстановку в любую
рациональную дробь /б-^С-ХДег- Поэтому можно писать / = /((Xt))
(или—для рациональных дробей от п переменных — / =
4. Рациональные функции
Пусть К — поле, Ко—расширение поля К, причем с бесконеч-
бесконечным множеством элементов. Для любой рациональной дроби
/?^T(Xt)t?j обозначим символом Sf часть множества К*, образо-
образованную семействами ac = (art)tej, допускающими подстановку в /.
В силу предложения 8 из § 2 множество Sf бесконечно. Рацио-
Рациональной функцией, ассоциированной с рациональной дробью /
(со значениями в расширении Ко поля К) назовем отображение
x—>f (х) из множества Sf в поле Ко. Мы будем обозначать это
отображение символом / (или просто /, если исключена возмож-
возможность путаницы). Пусть / и g—две рациональные дроби из K(Xt)i^i;
тогда множество Sff]Sg непусто (§ 2, теорема 3). Если для
любого элемента х этого множества имеет место равенство / (ас) =
= g(x), то f = g Действительно, пусть f = ^-, g=-^~- В силу
принципа продолжения алгебраических тождеств (§ 2, теорема 3)
из равенства u(x)vi(x) = u1(x)v(x), справедливого для всех

4 РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 47
X = (ач), для которых v (х) Ф 0 vl vt (x) Ф 0, следует, что uvx = up.
Другими словами, отображение f—>f взаимно однозначно.
Заметим теперь, что любой элемент множества Sf f) Sg
(f и g—произвольные рациональные дроби из K(Xl)l^i) допускает
подстановку в дробь j-\-g (fg соответственно). Таким образом,
рациональная функция, ассоциированная с f + g (fg соответ-
соответственно), определена и принимает те же значения, что и функ-
функция f-\-g (соответственно f g) на множестве Sj(~}Sg. Аналогично
для ненулевой рациональной функции / образуем часть Sf в KJa
из элементов х, допускающих подстановку в /, причем }(х)фО.
Множество S} непусто (§ 2, теорема 3). Рациональная дробь 1//
определена и принимает те же значения, что и функция 1//
на каждом элементе х множества S}.
Замечания. 1) Позднее мы увидим, что для любой ненуле-
ненулевой рациональной дроби / существуют два таких многочлена щ и v0,
что / = —— и множество элементов Sf, допускающих подстановку
"о
в /, совпадает с множеством элементов ж, для которых »о(а>)?=О.
2) Принцип продолжения алгебраических тождеств (§ 2, теорема 3)
можно распространить на рациональные дроби. Пусть / г jj
A < i < т) — рациональные дроби из K(Xl)l^I, причем 8\фО. Пред-
Предположим, что для любого семейства ж ? Kl, допускающего одновре-
одновременно подстановку в / и во все gi и такого, что gi (ж) ф 0 для
l<;i<m, имеет место равенство /(ж) = 0. В этом случае /=0
(поле Ко всегда предполагается бесконечным). Это предложение
немедленно вытекает из теоремы 3 § 2.
Упражнения. 1) Пусть А—коммутативная алгебра с едини-
единицей над полем К, x = (xl)l^[—элемент множества А1. Пусть U — под-
кольцо в К (XJ^j, состоящее из тех элементов f?K (•^l)lep для
которых ж допускает подстановку в /. Доказать, что если в алгебре А
необратимые элементы образуют идеал, то этот факт имеет место
и в кольце U. Доказать, что в случае, когда Л —поле, являющееся
расширением поля К, необратимые элементы в кольце U образуют
максимальный идеал.
2) а) Пусть и=атХт + ат+1Хт+1-{- ... +апХп — многочлен из
К[Х], у которого пгпфО и апф0 (О^т^п). Доказать, что для
венкой рациональной дроби g ненулевой степени d поля К (X) дробь
и (g) отлична от нули и имеет степень nd, если d ]> 0, и степень md,
если d<0.
б) Вывести, что рациональная дробь g из К (X), отличная от кон-
константы, допускает подстановку в любую рациональную дробь из

48 МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ. IV, § 4
К (X). (Заметить, что если степень дроби g равна нулю, то суще-
существует такой элемент а^, что g — а уже имеет степень строго
меньшую нуля.)
3) Рациональная дробь f?K(Xi, Х2, ..., Хп) называется одно-
однородной, если она равна частному двух однородных многочленов
(с ненулевым знаменателем). Доказать, что рациональная дробь /
однородна в том и только в том случае, когда
f{ZXu ZX2, ..., ZXn)=Z*f[Xu ..., Хп),
где d— степень /.
§ 4. Дифференциалы и дифференцирования
1. Дифференциалы и производные многочленов
Мы ограничимся в этом параграфе рассмотрением многочле-
многочленов и рациональных дробей от конечного числа переменных над
произвольным коммутативным кольцом А (с единицей).
Пусть /—некоторый многочлен из кольца A [Xit X2, ..., ХР]=В.
Рассмотрим многочлен f(Xi-\-Yi, X2-\-Y2, ..., Xp~\-Yp) в кольце
многочленов A[Xi4 ..., Хр, У4, ..., Yp] от Ър переменных Xt,
У; A<л<^р). Этот многочлен можно рассматривать как много-
многочлен относительно У, с коэффициентами в кольце В. Как тако-
таковой, он имеет свободный член, равный f(Xu X2, ..., Хр) (§ 2,
предложение 3). Полошим
А/ = /(Х1 + У1, ..., Xp + Yp)-f(Xu ..., Хр).
Таким образом, многочлен А/ (который иногда обозначают симво-
символом Af(Xi, ..., Хр; Yu ..., Yp)) является многочленом без
свободного члена из кольца B\Yi, У2, ..., Ур].
Определение 1. Назовем дифференциалом многочлена f и обо-
обозначим символом df или df(X1, ..., Хр; У4, ..., Ур) однородную
часть первой степени многочлена А/, рассматриваемого как
многочлен относительно переменных Yt с коэффициентами
в кольце В — А[Хи Х2, ..., Хр].
Согласно этому определению можно написать
df = ^giYu A)
гДе gii #2> •••, gn — элементы кольца В, то есть многочлены из
кольца A[XU Xz, ..., Хр].

/ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 49
Определение 2. Назовем частной производной многочлена f
относительно переменной Xt (I ~<i<p) и обозначим символом Dtf
( или Dx.fi или ~sv 1 или f'x. ) многочлен из кольца В = А\Хи
Х2, ..., Хр\, являющийся коэффициентом при Yt в дифферен-
дифференциале df многочлена /.
Таким образом, формула A) запишется в виде
v
г=1 г=1 1
В частном случае, когда / = Xj имеем df = Yi. Это позволяет,
допуская некоторую вольность, пользоваться записью перемен-
переменных У; в виде dXi A < t < р) и приводит к формуле
г=1 г=1
Если /—многочлен относительно одной переменной, то df =
— Df-dX. Многочлен Df (который обозначают также символом
~ или /' ) в этом случае называют просто производной от /.
Если/ — константа, то, очевидно, Д/ = 0. Следовательно, df = O.
Обращение этого предложения неверно: если А — кольцо харак-
характеристики 5>0, то производная многочлена Xi равна qX9~1 = 0
(следствие 3 предложения 1).
Предложение 1. Пусть / и g — два многочлена из кольца
В = А[Хи Х2, ..., Хр].
Тогда
D)
dg. E)
Формула D) немедленно следует из определения 1. Для
доказательства соотношения E) заметим, что
Но однородная часть первой степени многочлена A/-g равна df-g,
для многочлена /-Ag она равна f-dg, а для многочлена A/-Ag —
нулю. Отсюда следует формула E).
4 Н. Бурбаки

50 МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ. IV, § 4
Следствие 1. Отображение f—>df является линейным ото-
отображением А-модуля А [Хи Х2, ..., Хр] в А-модуль однородных
многочленов первой степени в кольце B[Yit У2, ..., Ур].
Следствие 2. Каждое из отображений f —> Dtf является эндо-
эндоморфизмом А-модуля A[Xi, X2, ..., Хр], для которого выпол-
выполнено тождество
Di(fg) = Dif.g + f.Dig. F)
Следствие 3. Для любого целого положительного п имеют
место соотношения
' <i) G)
(8)
Действительно, G) вытекает из формулы F) индукцией по п.
С другой стороны, многочлен Л (Xf) не содержит Yj, откуда
следует (8).
Предложение 2. Пусть f — многочлен из кольца
А[Хи Х2, ...,ХР],
и4A<г<р) — р многочленов из кольца A[Zif Z2, ..., Zq]. Поло-
Положим A = /(Mj, u2, . . ., Up), тогда
dh (Zu ..., Zq; dZu ..., dZq) = df (uu ...,up; duu ..., dup). (9)
Действительно, в силу определения
up) — f(uu ..., ир).
Так как Ли; — многочлены без свободного члена (по отно-
отношению к dZj), то однородная часть первой степени многочлена
Л/г такова же, как и у многочлена
v
df (ui7 ...,up; Auj, ..., Лыр) = 2 Dd ("i. ••¦¦.Up) Лиь
t=i
откуда следует формула (9).
Следствие. В тех же обозначениях имеет место формула
v
Djh = 2 Dif {Щ, , • • •, Ир) Djut A< / < д). A0)
г=1

2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 51
2. Приложение: характериаация
простых корней многочлена
Предложение 3. Для того чтобы корень а?А многочлена
f?A[X] был простым, необходимо и достаточно, чтобы а не
являлся корнем многочлена Df.
Действительно, в силу предположения f — (X — a)g, где
g—многочлен. При этом а является простым корнем в том
и только в том случае, когда g(a)фO. По формуле F)
Df = g-\-(X — a)Dg. Из этого вытекает, что g(a) = Z>/(a), откуда
следует предложение.
Более общо:
Предложение 4. Если элемент а ? А является корнем порядка
А;>1 многочлена f?A[X], то он является корнем порядка
> к — 1 многочлена Df. Если в кольце А из соотношения к% = О
следует, что | = 0, то а является корнем порядка к—1 много-
многочлена Df.
Действительно, по предположению, f = (X—o.)hg, где g уже
не делится на X — а. Из этого следует, что Df = k(X—a)ft~1g-j-
+ (Х — a)hDg. Это доказывает первую часть предложения. С дру-
другой стороны, из предыдущего соотношения вытекает, что если
(X — а)к делит Df, то (X — а) делит многочлен kg (поскольку
X — а не является делителем нуля в кольце Л[Х]), т. е. (§ 2,
предложение 5), что &g(a) = 0. Если в кольце А иэ соотношения
/cg = 0 следует, что ? = 0, мы получим, таким образом, что
g (a) = 0, а это противоречит предположению.
Если, напротив, в кольце А существует такой ненулевой элемент ?,
что /с? = 0, то а может быть корнем произвольного порядка ~^>к—1
многочлена Df. Например, пусть fc?=0 для всех Ь,?А\ положим
g = (X—a)h+p с р=^=0; тогда а является корнем порядка к много-
многочлена /, но корнем порядка !>fc-j-A—1 многочлена Df.
Следствие. Если элемент а?А является корнем многочлена f
и корнем порядка р многочлена Df, и если из соотношения р\ ? = 0
в кольце А следует, что ? = 0, то порядок корня а многочлена f
равен p + i.
В самом деле, по предложению 4 а является корнем много-
многочлена /, порядок кратности которого удовлетворяет неравенству

52 МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ. IV, § 4
Допустим, что А</> + 1. Так как из /с| = 0 сле-
следует, что р!? = 0, то в силу предположения ? = 0. Таким
образом, а будет корнем порядка к—1 многочлена Df, что про-
противоречит предположению.
3. Дифференцирования алгебры
Следствие 2 предложения 1 приводит к обобщению понятия
производной на случай произвольной алгебры:
Определение 3. Пусть Е— алгебра над коммутативным коль-
кольцом (с единицей) А. Назовем дифференцированием алгебры Е любой
эндоморфизм D А-модуля Е, для которого D (ху) = D {x)y-\-xD (у).
Из этого определения индукцией по целым положительным р
немедленно получается формула Лейбница
{y) (И)
( используется соотношение между биномиальными коэффициен-
(О-('г')+
?:!
Примеры. 1)В алгебре многочленов А [Хь Х2, .. ., Хп] п ото.
бражений Di (n° 1) являются дифференцированиями, которые назы-
называют п частными дифференцированиями этой алгебры.
2. Для любого элемента а?Е отображение х —>¦ ах — ха является
дифференцированием в алгебре Е, так как а (ху) — (ху) а = (ах — ха) у-\-
-\-х(ау — уа). Такое дифференцирование называется внутренним диф-
дифференцированием алгебры Е, задаваемым элементом а. Оно равно
нулю только в том случае, когда элемент а принадлежит центру
алгебры Е.
Замечания. 1) Вместо D(x) значение дифференцирования!)
на элементе х?Е часто обозначается символом Dx.
2) Множество Е может быть наделено несколькими структурами
алгебры, которые все имеют одну и ту же^ структуру кольца. Если
речь идет о дифференцировании кольца Е, то необходимо уточнить,
какая структура алгебры на Е (имеющая в качестве структуры
кольца структуру заданного кольца) рассматривается в этом случае.
В частности, любое кольцо Е можно рассматривать как алгебру над
кольцом Z. Если говорят о дифференцировании кольца Е, не уточняя
его структуру как алгебры, то подразумевается, что речь идет
о структуре алгебры над кольцом Z. Если Е наделено структурой
алгебры, структура кольца которой такова же, как и структура задан-

3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 53
ного кольца, то любое дифференцирование этой алгебры является
также и дифференцированием Е, рассматриваемой как алгебра над
кольцом Z.
Если Е — алгебра с единицей е, то для любого дифференци-
дифференцирования D алгебры Е имеем D(e) = D (e2) = D(e)e + eD (e) = 2D (е).
Отсюда следует, что D (е) = 0. Из этого вытекает, что D (пе) =
= nD (е) = 0 для любого целого числа п и D (ае) = aD (e) = 0 для
любого элемента а ? А.
В частности, в кольце Z и в факторкольцах Z/(re) всякое диф-
дифференцирование нулевое.
Если z— элемент из центра С алгебры Е, то Dz принад-
принадлежит С для любого дифференцирования D алгебры Е. Действи-
Действительно, для любого х ? Е выполнено равенство zx = xz. Отсюда
D(zx) = D(xz), т. е. Dz-x-\-z-Dx = Dx-z-\-x-Dz. Ввиду того, что
z-Dx~Dx.z, получаем Dz-x = x-Dz, что доказывает требуемое.
Пусть Di и D2 — дифференцирования алгебры Е. Немедленно
проверяется, что операторы Dt — D2 и aD^ (где а — произвольный
элемент из А) также являются дифференцированиями алгебры Ег
Другими словами, множество дифференцирований алгебры Е, кото-
'рое мы будем обозначать символом 3(Е), является подмодулем
.4-модуля X (Е) всех эндоморфизмов Л-модуля Е. Напротив, про-
произведение Dfii (= Di о D2) дифференцирований Dx и D2 в кольце
X (Е), вообще говоря, не является дифференцированием.
Например, в алгебре Е = А[Х\ выполнено равенство D2(X2) = 2.
Но D2(X) = 0 и, следовательно, D2(X) X+XD*(X)—0. Это доказы-
доказывает, что D2 уже не является дифференцированием алгебры Е, если
характеристика алгебры Е отлична от двух.
Предложение 5. Пусть D± и D2 — произвольные два дифферен-
дифференцирования алгебры Е; тогда эндоморфизм D = D2DX — DJ)%
А-модуля Е является дифференцированием алгебры Е.
Действительно, для любой пары элементов х, у из Е имеет
место тождество
D (ху) = D2 (Z>i (х) у + xD} (у)) - Di (D2 (х) у + xD2 (у)) =
= D2(Dt (x))y + Dt (x) D2(y) + D2(x)Dt(y) +
+ xD2 (A (y)) - Dv (D2 (x)) y-D2 (x) D± (y) -
- Di. (x) D2 (y) - xDx (D2 (y)) = D(x)y + xD (y).

54 МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ. IV, § 4
Дифференцирование D2Dt— D±D2 обозначается обычно симво-
символом \DU D2].
Предложение 6. Для любого дифференцирования D алгебры Е
и любого элемента а из центра алгебры Е эндоморфизм х —» aD (ж)
(обозначаемый aD) А-модуля Е является дифференцированием
алгебры Е.
Действительно, пусть х и у — произвольные элементы алгебры Е;
тогда aD(xy) = aD(x)y + axD(y) = aD(x)y + x(aD(y)) (в силу
перестановочности элемента а со всеми элементами алгебры Е).
Заметим, что, напротив, отображение x-*-D (ax) уже не является
дифференцированием.
Следствие. Множество 3 (Е) дифференцирований алгебры Е,
наделенное сложением и внешним законом композиции (a, D) —» aD,
где а принадлежит центру С алгебры Е, превращается в С-модулъ.
Из определения 3 тотчас вытекает, что для произвольного
дифференцирования D алгебры Е множество элементов х?Е, для
которых D (х) — О, является подалгеброй алгебры Е (которую
называют иногда подалгеброй констант относительно D). Из
этого замечания вытекает следующее предложение:
Предложение 7. Пусть S — система образующих алгебры Е.
Если значения двух дифференцирований Di и D2 алгебры Е одина-
одинаковы на всех элементах системы S, то эти дифференцирования
совпадают.
Действительно, оператор D = DX — Dz является дифференциро-
дифференцированием. Подалгебра алгебры Е, образованная элементами х, для
которых D (х) = 0, содержит S и, следовательно, совпадает с Е.
Предложение 8. Пусть Е — алгебра А[Хи Х2, ...,Хп] много-
многочленов от п переменных над кольцом А. Частные дифференци-
дифференцирования Dt A<?<п) образуют базис Е-модуля 3 (Е) диффе-
дифференцирований алгебры Е, причем DiDj — DjDi для любых индексов
i и /.
Пусть D — произвольное дифференцирование алгебры Е. Поло-
Положим D(Xt) = Ui для 1<}<п (Mi —элементы алгебры Е = Ах
п
X [Хи Х2, ..., Хп]), Ввиду предложения б оператор D' = 2 uiDt
является дифференцированием алгебры Е, для которого D' (Xt) =
=Mj(l < i < п). Дифференцирования DuD' принимают одни и те же

3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 55
значения на единичном элементе алгебры Е и на каждом из X*. Эти
элементы порождают алгебру Е. Таким образом (предложение 7),
D = D'. С другой стороны, предположим, что vt A<?<п) — п
п
элементов алгебры Е, для которых 2 vi^i — 0 в 3 (Е). Тогда,
в частности, для любого индекса / справедливо равенство
п
2 ViDi(Xj) = 0, то есть Vj = 0. Таким образом, дифференцирова-
ния Di образуют базис модуля 3) (Е) относительно Е. Наконец,
отображения Z)^ = [Dt, Dj] являются дифференцированиями алгеб-
алгебры Е (предложение 5), причем Dij (Xk) = 0 для 1 < к < п. Сле-
Следовательно, (предложение 7) Dtj = 0, чем заканчивается доказа-
доказательство.
Отметим, что два произвольных дифференцирования алгебры
A [Xit Х%, ..., Хп], вообще говоря, не перестановочны друг с другом.
Предложение 9. Пусть Е — коммутативная алгебра с едини-
единицей над кольцом A, D — дифференцирование алгебры Е. Для любого
семейства (^Oi^i^n из п элементов алгебры Е и любого много-
многочлена f?A[Xt, X2)..., Хп] имеем
п
D(f(xu х2, ..., яп)) = J] Dtf(xlt x2 xn)Dxt. A2)
Действительно, для любого многочлена f?A [Xlt ..., Хп]
положим
Ф (/) = /> (/(Si, ...,xn))- ^Drfixu ...,xn)Dxt.
i=l
Немедленно проверяется, что <р — линейное отображение А-ио-
дуля A [Xt, Х2, ..., Хп] в 4-модуль Е и что
Множество элементов f?A[X1,X2, ..., Х„], для которых ф (/) = 0,
образует подалгебру алгебры А[Хи ..., Х„]. Она содержит, оче-
очевидно, единицу и элементы Xt (I <i <ге). Таким образом, эта под-
подалгебра совпадает с алгеброй А [Х1; Х2, ..., Х„], что доказывает
предложение. (Можно было также установить этот факт непосред-
непосредственно для любого одночлена, проведя индукцию по его степени.)
Отметим, что следствие предложения 2 является частным слу-
случаем предложения 9.

56 МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ. IV, § 4
4. П родолжепие дифференцирования', производные
рациональных дробей
Предложение 10. Пусть S — моноид, А — коммутативное коль-
кольцо с единицей, Е — алгебра моноида S относительно кольца А.
Для всякого дифференцирования D кольца А существует диффе-
дифференцирование D, притом единственное, кольца (без операторов) Е,
для которого D (as) = D (a) s при любом а ? А и любом s?S.
Действительно, из сформулированного условия ясно, что если
дифференцирование D существует, то D (z) = X D (as) S для
любого элемента z=^\asS кольца Е. Обратно, легко проверить,
что отображение D, определенное этой формулой, является диф-
дифференцированием алгебры Е.
В частности, если Е — алгебра многочленов A [Xt, . . ., Хп] над
кольцом А, то для любого многочлена / = 2 aDin2 прХ^Х . . . ХрР
обозначим символом fD многочлен ^] D (anini,. ,Пр)Х™1Х . . . Х"р.
Из предложения 10 видно, что отображение/—> fD является диф-
дифференцированием кольца Е, которое продолжает заданное диф-
дифференцирование D кольца А. Говорят, что многочлен fD получен
применением дифференцирования D к коэффициентам много-
многочлена /.
Предложение 11. Пусть А —кольцо целостности, К—его
поле дробей. Любое дифференцирование D кольца А можно одним
и только одним способом продолжить до дифференцирования D
поля К. Если и, v — два произвольных элемента кольца А, причем
v Ф 0, то справедлива формула
D ( иЛ _D(u)vuD(u) '
\ v J
v J v2
Если существует дифференцирование D поля К, продолжаю-
продолжающее дифференцирование D, то его единственность и формула A3)
следуют немедленно. Действительно, пусть w = — (u?A, v?A, сфО);
тогда u = vw. Следовательно, D (u)= D (v) w+ vD(w), откуда
вытекает выражение A3) для D(w). Остается доказать существо-

4 ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 57
вание D. Для этого докажем, что из тождества— = —(u, v,uu
л , с\\ d(u)v — uD (v)
vx из A, Wi Ф 0) следует, что ———^ ^-=
Действительно, это соотношение записывается в виде v (uivD x
X (v\)-\-vlD(u)) = у, (uViD(v) + v2D (uj)).'Пользуясь тем, что uvt =
= щи, получим Wi (uD (v^ + vj) (u)) = fi'j (wjD (y) + yD (iii)). Это
эквивалентно соотношению mZ) (г^) -f- f 4Z) (и) = u^D {v) + yZ) (uj), ко-
которое получается дифференцированием равенства uvi = u^v. Таким
образом, для любого элемента го=— поля К можно определить
элемент D{w) формулой A3) независимо от представления w
в виде дроби. Немедленно проверяется, что D является диффе-
дифференцированием, чем заканчивается доказательство.
Пусть К — произвольное поле. Каждое из дифференцирований
Z)j(l<f<ra) алгебры К[Хи Х2,. ..., Хп] многочленов от п пере-
переменных над К можно в силу предложения 11 продолжить един-
единственным способом до дифференцирования алгебры Е—К (Хи
Х2, ..., Хп) рациональных дробей от п переменных над К. Это
дифференцирование называют также частным дифференцирова-
дифференцированием по Хг и обозначают символом Dt. Для произольной
рациональной дроби / элемент Dtf обозначается также символом
у или j'x. и называется частной производной многочлена /
относительно X*. Если два дифференцирования алгебры Е совла-
совладают на каждом многочлене, то они равны в силу формулы A3).
Рассуждая, как в предложении 8, мы можем заключить из этого,
что п частных дифференцирований Di образуют базис векторного
пространства 3 (Е) (над полем Е) дифференцирований алгебры Е;
при этом Dt перестановочны друг с другом.
Пусть F — коммутативная алгебра над полем К, f — рацио-
рациональная дробь из поля К(Хи ...,Хп). Если семейство («j)i^i^n
элементов из F допускает подстановку (§ 3, п°2)~в /, то в силу
формулы A3) оно допускает подстановку и в каждую из частных
производных Dtf. Немедленно проверяется, что для любого диффе-
дифференцирования D алгебры F формула A2) все еще имеет место.
а/
Если исключена возможность путаницы, то часто пишут ~^—
вместо Dij (x4, x2, .. ., хп).

58 МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ. IV, § 4
Замечание. Понятие дифференцирования алгебры Е над
коммутативным кольцом А можно обобщить следующим образом:
пусть Е — подалгебра алгебры F над А; назовем дифферен-
дифференцированием Е в F любое линейное отображение D ^-модуля
Е в ^-модуль F, для которого D (ху) = D (х) у + xD (у). Немед-
Немедленно проверяется, что предложение 6 и его следствие, а также
предложение 7 обобщаются на случай дифференцирований из Е
в F. Если предположить, что алгебра F коммутативна, то пере-
переносится и предложение 9. Предложение 11 остается справед-
справедливым, если предположить, что F — поле, содержащее кольцо
целостности А. Наконец, предложение 10 распространяется также
на случай, когда D — дифференцирование из А в некоторое
коммутативное кольцо В, содержащее А и имеющее тот же
единичный элемент. В этом случае D является дифференциро-
дифференцированием алгебры Е в алгебру F моноида S относительно кольца В.
Напротив, формула Лейбница A1) и предложение 5, вообще
говоря, не имеют смысла для дифференцирования из алгебры Е
в алгебру F, ее содержащую. Кроме того, для дифференцирования D
алгебры Е в алгебру F образ Dz элемента z из центра алгебры Е
не обязательно принадлежит центру алгебры Е.
Отметим, что ограничение любого дифференцирования алгебры F
над кольцом А на подалгебру Е является дифференцированием
алгебры Е в алгебру F.
5. Дифференциальные формы
Пусть Е — коммутативная алгебра с единицей над кольцом А.
Мы видели (предложение 6), что множество 3 (Е) дифференци-
дифференцирований алгебры Е наделено структурой унитарного Е-модуля.
Определение 4. Назовем дифференциальной формой на
алгебре Е любую линейную форму на Е-модуле 3 (Е) дифферен-
дифференцирований алгебры Е.
Таким образом, дифференциальные формы на Е образуют
^-модуль 3) (Е) двойственный или сопряженный с 3 (Е) в соот-
соответствии с общими обозначениями (гл. II, § 4); для любой
дифференциальной формы со и любого дифференцирования D

•5 ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 59
алгебры Е будем применять символ (D, со) для значения со
на элементе D (основная билинейная форма). Если модуль 3 (Е)
имеет базис (Dt) из п элементов, то, как известно (loc. cit.),
модуль 3*(Е) имеет базис (со;) из п элементов, называемый
действительным базисом к базису (Di), для которого (Dit ©,•) =
= Ьу (символ Кронекера). Любое дифференцирование представ-
п
ляется тогда в виде D= 2 ^iA, а любая дифференциальная
i
п
форма— в виде со = 2 (-Чюг> причем (D, ю) =
i=i
Пусть х — произвольный элемент алгебры Е. Очевидно, отобра-
отображение D —> Dx модуля 3 {Е) в А является линейной формой.
Эта дифференциальная форма называется полным дифферен-
дифференциалом элемента х и обозначается символом dx. Другими сло-
словами, для любого элемента х 6 Е и любого дифференцирования
D?3> (E) имеет место равенство
(D, dx) = Dx. A4)
Отметим, что, вообще говоря, существуют дифференциальные
формы, которые не являются полными дифференциалами элементов
из Е (см. упражнение 14).
Предложение 12. Для любой пары элементов х, у алгебры Е
и любого элемента а кольца А имеют место равенства
d(x-\-y) = dx + dy, d(ax) = adx, d(xy) = xdy-\-ydx. A5)
Докажем, например, третье из этих соотношений. Для любого
дифференцирования D, в силу A4) и определения 3, справед-
справедлива цепочка равенств
{D, d(xy)) = D{xy) = Dx-y + x-Dy =
= (D, y-dx) + (D, x-dy) = (D, ydx + x-dy).
В силу определения дифференциальной формы это доказывает
наше утверждение.
Для единичного элемента е алгебры Е 'справедливо тожде-
тождество (D, de) = De~0 для любого дифференцирования D. Таким
образом, de = 0, следовательно, d (ae) = ade = 0 для любого a g A.
Если модуль 3 (Е) имеет базис (Di), а (а>г) — соответст-
соответствующий двойственный базис модуля 3* (Е) дифференциальных

60 МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ. IV, § 4
форм, то для любого элемента х?Е верно тождество
п
% A6)
г=1
6. Приложение к многочленам
и рациональным дробям
Рассмотрим, в частности, случай, когда Е является алгеброй
многочленов А[Х\, Х2, ...,Хп]. Формула A4) показывает при
X = Xj и D = Di, что (Dt, dXj) = DiXj = bij. Таким образом,
полные дифференциалы dX;(l<t<rc) образуют в модуле 3*(Е)
двойственный базис к базису (А), состоящему из п частных
дифференцирований. Для любого многочлена f ?Е из формулы A6)
вытекает следующее выражение для полного дифференциала:
df=j]DifdXi. A7)
Это доказывает, что если отождествить ^-модуль однородных
многочленов первой степени в кольце Е [Yit У2, . . ., Yn] с
^-модулем 3)*(Е), поставив в соответствие каждому элементу Yt
дифференциал dXu то полный дифференциал df совпадет
с дифференциалом, определенным в п° 1 (этим оправдается
совпадение использованных обозначений).
Пусть теперь Е — поле K(Xit Х2, ..., Хп) рациональных
дробей от п переменных над полем К. Дифференциалы dXt
по-прежнему образуют базис модуля 3*(Е), двойственный к ба-
базису (Dt), а формула A7) применима к произвольной рациональ-
рациональной дроби /. Отметим, что если f = u/v, где и и v — два много-
многочлена (или рациональные дроби), то df = —:—-г ¦ .
Заметим, наконец, что для произвольной коммутативной
алгебры Е над кольцом А с единицей, для любого семейства
(^OisSi^n элементов алгебры Е и для всякого многочлена /
из кольца А \Хи Х2, ..., Хп] формулы A2) и A4) доказывают
тождество
п
d(f(хи хъ ..., хп)) = 2 А/(жь • • •, хп)dxi- (I8)
t=i

6 ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 61
Эту формулу можно было бы также без труда вывести из фор-
формул A5). Тождество A8) справедливо и в том случае, когда Е
является алгеброй над полем К, f — рациональная дробь из поля
К(Xi, ..., Xn), a (xi) — семейство элементов алгебры Е, допускаю-
допускающее подстановку в дробь /.
Упражнения. 1) Доказать, что для любого однородного
многочлена степени т в кольце A [Xt, ...,Xn] справедливо
«тождество Эйлера»:
п
2 Хг m~=mf(Xi' *2' ¦¦' Хп)'
Обратно, доказать, что если в кольце А из соотношения т\ ?=0
следует, что |=0, то любой многочлен /, степень которого
не превосходит т и который удовлетворяет предыдущему тожде-
тождеству, является однородным многочленом степени т.
2) Доказать, что интерполяционную формулу Лагранжа (§ 2, п° 4)
можно записать в виде
п
/(*) = «(*) g
где ®(Х) = (Х — а1)(Х — а2) ... (Х — ап). Вывести отсюда для любого
многочлена g?K [X], степень которого не превосходит п—2,
равенство
(рассмотреть многочлен / (X)=Xg(X)).
3) Пусть а; A < i < п) — п различных элементов поля К, рг A ^
<; i <; п) и у; A <i<»—2л произвольных элементов поля К.
Доказать, что существует, и притом только один, многочлен
f?K[X] степени <;2л —1, для которого /(а;) = Р; и /'(a;)=Yi ПРИ
1 < i < n (интерполяционная формула Эрмита). (Начать с рассмо-
рассмотрения случая, когда 2л-— 1 из 2и элементов |Зг, yt равны нулю.)
4) Пусть К—поле характеристики нуль. Доказать, что всякая
рациональная дробь и?ЩХ), для которой Du—О, равна константе.
5) Обобщить результаты упражнения 1 на случай однородных
рациональных дробей (§ 3, упражнение 3) над полем характе-
/¦ 1
ристики нуль. ( Рассмотреть рациональную дробь -^ f(ZXit ZX2, ...
..., ZXn) относительно Z и использовать результат упражнения 4.)
*6) а) Пусть А — коммутативное кольцо с единицей, в котором
для любого ненулевого целого числа n?Z из соотношения л|=0

МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ. IV, § 4
следует, что ? = 0. Доказать, что отображение / —>• / CSU ...,ЯпУ
является изоморфизмом алгебры многочленов A [Xt, ..., Хп]=Е
в алгебру (над .4) эндоморфизмов .4-модуля Е (провести индук-
индукцию по л).
6) Пусть А—коммутативное кольцо с единицей характеристики
то>0. Доказать, что 3)™=0 для любого частного дифференциро-
дифференцирования 3)i A < i < п) в кольце А [Xit ..., Хп].
7) Пусть Л —поле нулевой характеристики. Доказать, что для
любого многочлена / ? К [JTj, X2, ...,Хп] справедливо равенство1
2, ...,Xn+Yn) =
p=0
(«формула Тейлора для многочленов»). (Доказать сначала формулу
для л=1, затем рассмотреть многочлен /(Xi-\-ZYlt ..., Xn-\-ZYn).)
8) Пусть jD1? D2, D3—произвольные дифференцирования алгеб-
алгебры А. Доказать, что имеют место тождества [Яц 3)\]=0, \352, 35^-\-
(«тождество Якоби», см. гл. I, § 5, упражнение 6).
9) Пусть Л —алгебра над полем К нулевой характеристики,
D—дифференцирование алгебры А, для которого Dn=0 при неко-
некотором целом положительном л. В алгебре X {А) эндоморфизмов
п-1
векторного пространства А положим щ = ? —р 2)р (ПРИ любом t g К).
р=0
Доказать, что для любых двух элементов tut' поля К спра-
справедливо соотношение и{^, — щщ,. Вывести из этого, что отобра-
отображения щ являются автоморфизмами алгебры А, причем образуют
абелеву группу, изоморфную факторгруппе аддитивной группы
поля К.
*10) Пусть А—коммутативное кольцо с единицей, Е=Мп(А) —
алгебра квадратных матриц порядка п над кольцом А, 35—дифферен-
35—дифференцирование алгебры Е, (Е^) — канонический базис (гл. II, § 6, п° 2)
алгебры Е над кольцом А. Доказать, что
где (POi^i^n~HeKOTOPoe семейство элементов кольца А, (аи) —
некоторое семейство элементов кольца А, определенное при i ф- f
(продифференцировать таблицу умножения элементов Ец). Вывести
отсюда, что любое дифференцирование Я алгебры Е является вну-
внутренним дифференцированием (п° 3).
11) Пусть Е — алгебра, а—двусторонний идеал в алгебре Е,
3}—дифференцирование алгебры Е, для которого й(»)со. Докэ-

ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 63
зать, что отображение Е/а в себя, полученное из 2) переходом
к факторам, является дифференцированием алгебры Е/а.
12) Пусть алгебра Е является произведением конечного числа
алгебр Ei пад кольцом А A ^ i <; п), для которых EfEi=Et (в част-
частности, это всегда выполнено, если Е обладает единичным элемен-
элементом). Доказать, что для произвольного дифференцирования 2)
алгебры Е его ограничение 2)i на Et является дифференцированием
алгебры Ei. Множество 23 (Е) дифференцирований алгебры Е, рас-
рассматриваемое как ^-модуль, является прямой суммой .А-модулей
2) (Е{). Так же верно, если алгебра Е коммутативна, а 2) (Е)
рассматривается как ^-модуль. Кроме того, каждый из модулей
2> (Ei) аннулируется всеми Ej с /' Ф i. •
13) Пусть Е^ Ez—две алгебры над A, 2>i— дифференцирование
алгебры Еь а <ZJ2—дифференцирование алгебры Ег. Доказать, что
существует дифференцирование D тензорного произведения ?"=
= Ei(g)E2, для которого D (a:(g) y) — (Dix) (g> у-\-х ®(Dzy) при любых
х € Ei и у б Ег.
*14) Пусть Е — коммутативная алгебра с единицей над коль-
кольцом А. Обозначим символом 2!р (Е) р-ю внешнюю степень (гл. III,
§ 5, п° 5) ^-модуля Z) (Е) дифференцирований модуля Е. Каждая
линейная форма Q на 3)v (E), которую можно отождествить со знако-
знакопеременной полилинейной формой на (Sj (Efp (loc. cit.), называется
внешней дифференциальной формой степени р на алгебре Е. Обоз-
Обозначим символом 2i* (E) модуль, образованный этими формами.
а) Доказать, что для любой внешней дифференциальной формы
Q 6 2)р (Е) отображение
р+1
Л Di+l Л • • • Л D3_i л DJ+i л ...
является знакопеременной полилинейной формой на B) (E))v+1, или,
что то же, линейной формой на 2>p+i (E), которую обозначают сим-
символом dQ (внешний дифференциал от Q).
б) Доказать, что d(dQ) = O длн любой внешней дифференциальной
формы Q ^ &р (Е) (использовать упражнение 8).
в) Предположим, что 35 (Е) имеет конечный базис фгI^{гсп;
пусть (<O;)i^i-gn—двойственный базис модуля 2)*(Е). Для любой
конечной части Н из р элементов интервала [1, п] внешние диф-
дифференциальные формы степени р вида <он = °>{1 Л <°^ А ¦ ¦ ¦ Л<°{ (ГДе
(ih)i<k<p — строго возрастающая последовательность элементов из Н)
образуют базис модуля 2)р(Е) (гл. III, § 8). Доказать, что длн двух

64 МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ. IV, § 5
дифференциальных форм Q, Q' степеней р и q соответственно выпол-
выполнено равенство
d(Q/\Q') = (dQ) Д й' + (- 1)" Q Л №')•
г) Предположим, что Е — алгебра многочленов А[Х\, ..., Хп]
причем в кольце А уравнение р\ \ = Ц имеет некоторое решение | g A
длн любого т| ? А. Доказать, что внешняя дифференциальная форма Q
степени р имеет вид dat в том случае, если dQ = O (провести индук-
индукцию по числу переменных).
§ 5. Формальные ряды
1. Определение формальных рядов
Пусть / — конечное множество индексов. Аддитивный моноид
N удовлетворяет условию (D) главы II, § 7, п° 10, т. е. для
каждого элемента (nt) моноида N1 существует только конечное
число пар ((pi), (qt)) элементов из N1 таких, что (Рг)+ (<?*) = ("*)•
Действительно, это равенство означает, что /?;-f~9i = rai Для любого
i?I, но для каждого i?l существует только щ-\-\ пара натураль-
натуральных чисел (ри <7i)i удовлетворяющих этому условию. Отсюда
следует утверждение, так как множество / конечно.
Тем самым, мы можем рассматривать расширенную алгебру
(гл. II, § 7, п° 10) моноида JV относительно коммутативного
кольца А с единицей. Эта алгебра коммутативна и содержит
в качестве подалгебры (с той же единицей) алгебру многочленов
(с коэффициентами из А) от переменных х-ь (i ? /), которая является
узкой алгеброй моноида iV над кольцом А.
Определение 1. Для произвольного конечного множества индек-
индексов I расширенная алгебра моноида N1 над кольцом А (коммута-
(коммутативным и обладающим единицей) называется алгеброй формаль-
формальных степенных рядов от переменных X; (i ? /) с коэффициентами
в А и обозначается A [[Xi]]i?j. Всякий элемент этой алгебры
называется формальным рядом от переменных Xt(i?I) с коэф-
коэффициентами из А.
Если / — конечная часть множества N, пишут A [[Xiv . .., Xip]]
вместо ^4. l[^Lj]]igr» где D)i^ft^p — последовательность элементов
из /, расположенных в порядке возрастания.

1 ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ 65
Как принято для расширенных алгебр моноидов (гл. II, § 7,
п° 10), формальный ряд (а(П.))(?) )gAr/ обозначается символом
2 а(п.)Ц-^Г* (подразумевается, что речь идет не о сумме много-
многочленов в смысле главы I). Элементы «(?!.) И X™' называются чле-
членами формального ряда, а(„.) — их коэффициентами. Многочлен
от Xt (i ? /) отождествляется с формальным рядом, имеющим
только конечное число отличных от нуля коэффициентов.
Если / и /' — два конечных множества из р элементов, ф>—
взаимно однозначное отображение / на /', то линейное отображе-
отображение алгебры A [[Xj]]igj в A [[Xj]]j?i', которое каждому элементу
2а(„.)цХ™г первой из этих алгебр ставит в соответствие эле-
1 i
мент 2 a(nt) II -ХПA) второй алгебры, является изоморфизмом пер-
i
вой алгебры на вторую. В частности, алгебры формальных рядов,
соответствующие всевозможным множествам индексов из р эле-
элементов, изоморфны; их называют алгебрами формальных рядов
от р переменных с коэффициентами из А.
По определению главы II, § 7, п° 10 произведение двух фор-
формальных рядов алгебры А[[Х±, Х2, ..., Хр]]
уп\ -у-к% TTnV
А.х Л% . . . -A-fti
¦Пр
-2
есть формальный ряд
, _ у v х?ххУ*
Zj 1П1П2...Пр 1 ¦"-?> ¦
где
2. . .Tip Zj •
• . . Лрг k\k% ... ftp
п суммирование производится по таким парам ((Лг), (йг)), для кото-
которых hi-1rki = ni при l<t<p.
Пусть / — непустая часть множества /. Алгебру A
можно отождествить с подалгеброй алгебры А [[Х*]]^;, состоящей
пз формальных рядов 2 а(прЦ-Х"'» гДе Я(„) = 0 для каждого.
элемента (пг) g N1 такого, что щ Ф 0 по крайней мере для одного
индекса i?CJ. Далее, пусть В — эта подалгебра, а К — (непустое)
5 Н. Бурбаки

66 МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ. IV, § 5
дополнение к / в /. Определим изоморфизм кольца A
рассматриваемого как алгебра над В с алгеброй В [[Хг]]гек фор-
формальных рядов от переменных Х{ с индексами i?K и коэф-
коэффициентами из В следующим образом: формальному ряду
2 а(п.) Ц X™' поставим в соответствие формальный ряд 2 Р(ть) X
где
и у(р.) = а(„.), причем последовательность (щ) определится усло-
условиями nt = pi при i ? /, иг = mj при ? g /?. Наконец, пусть ф —
некоторое представление кольца А в кольце В. Определим пред-
представление ф кольца A [[Xj]]i?/ в кольце В [[Хг]]г?/, которое про-
продолжает ф, ставя в соответствие каждому формальному ряду
2а(«г)П^"г формальный ряд 2 ф(а(п4))ПДГ?- Говорят, что этот
последний ряд получается применением ф к коэффициентам фор-
формального ряда 2 а(пг)ПДГ*-
В частности, пусть А' — подкольцо кольца А, обладающее
той же единицей. Тогда тождественное отображение А' в А про-
продолжается до тождественного отображения подкольца A' [[Xt]]i?i
в кольцо A [[Xj]]i?i. Ограничивая кольцо операторов алгебры
^ [№]]i?i кольцом А', эту алгебру можно рассматривать как
алгебру над А'. Кольцо A' [[Xi]]i?i тогда является подалгеброй
алгебры A
2. Порядок формального ряда
Пусть дан формальный ряд и — 2 а(п-)П^Сг- Назовем членами
1 i
полной степени р ряда и те члены a(n.)Qx"j, для которых
2 nt = р. Сумма членов полной степени р ряда и является одно-
родным многочленом ир степени р, который еще называют одно-
однородной частью степени р формального ряда и (щ называют
также свободным членом формального ряда и). Пусть и и v — два

2 ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ 67
формальных ряда, w — uv; тогда
р
Wp — 2 urvp-r
r=0
для всех целых чисел р > 0.
Полным порядком (или просто порядком) произвольного фор-
формального ряда и Ф 0 называется наименьшее из чисел /> такое,
что однородная часть степени р формального ряда и не равна
нулю. Пусть со(м) — этот порядок. Для любой пары ненулевых
формальных рядов и и v имеем
(D(u-|-y)>Min(cu(w), со (у)) при и-{-ифО, A)
со (иу) > со (и) -f со (у) при wu Ф 0. B)
Кроме того, если <й(и)Ф<о(и), то b-J-р^Ои в A) имеет
место равенство.
Понятие порядка, в частности, применимо к многочленам от пере-
переменных Xt (i ? I); его не следует смешивать со степенью много-
многочлена (§ 1, п° 3). Порядок нуля не определен. Допуская вольность
речи, иногда удобно говорить, что «формальный ряд / имеет поря-
порядок^* р (соответственно >р)», если однородная часть степени п
формального ряда / равна нулю для всех п<^р (соответственно
п^р). Таким образом, 0 оказывается «формальным рядом порядка
>р» для любого р>0 (см. § 1, п° 2).
Мы видели, что для непустой части / множества /, отличной
от /, формальный ряд и из кольца А [[Хг]]{?я можно рассматри-
рассматривать как формальный ряд от переменных Xt, i?J, с коэффициен-
коэффициентами в кольце В = А [[Х{]]{?к (где К = CJ). Таким образом, введен-
введенным выше определениям соответствуют новые определения для
формальных рядов и?А [[Хг]]{?1. Член a(n.)]jx"* имеет степень р
относительно переменных Xt, i?J, если ^т = р. Сумма чле-
нов формального ряда и степени р относительно Хи i ? J, является
однородным многочленом степени р относительно этих перемен-
переменных, называемым однородной частью степени р относительно
Хи i ? /, ряда и (или при р = 0 свободным членом относительно
переменных Xj, i?J). Порядок g)j(w) формального ряда и отно-
относительно переменных Xi, i ? /, есть наименьшее из чисел р > 0,
для которых однородная часть степени р ряда и относительно
этих переменных не равна нулю. Неравенства A) и B) сохра-
сохраняются при замене со на coj.
5*

68 МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ. IV, § 5
3. Формальные ряды над областью целостности
Теорема 1. Пусть А — область целостности (обладающая
единицей). Тогда всякое кольцо формальных рядов А [[Xj]]jej над
кольцом А является областью целостности.
Действительно, пусть и и v — формальные ряды, отличные
от нуля; тогда однородная часть / (соответственно g) ряда и
(соответственно v) степени со (и) (соответственно со (v)) представляет
собой ненулевой многочлен. Однородной частью степени со (и) +
-f- со (f) формального ряда uv будет многочлен fg, который
не равен нулю (§ 1, теорема 1). Следовательно, uv Ф 0.
Следствие. Пусть А — область целостности, и и v — два
ненулевых формальных ряда из кольца А [[Хг]];е1; тогда
со (uv) = со (и) 4- со (v). C)
Отсюда немедленно следует подобное же равенство для любой
непустой части / множества /:
). D)
4. Бесконечные суммы формальных рядов
Пусть А — коммутативное кольцо с единицей, L — некоторое
множество индексов, (u\)x^l—семейство формальных рядов кольца
A [[Xi\]i?i. Предположим, что порядок co(wx) стремится к -{• со
по фильтру дополнений к конечным частям множества L, то есть
(Общ. топол. гл. IV, § 4) для любого целого числа т существует
такая конечная часть / множества L, что при всех %$J либо
ця = 0, либо со(мх)>^- В этих условиях для каждого (nfi^JV1
существует только конечное число индексов К, для которых коэф-
коэффициенты при Д-^7г в U}- не Равны нулю, так как это возможно
г
лишь в случае со(ид,)<2га1- ^аким образом, можно определить
формальный ряд s, коэффициент при Ц X™1 в котором для любого
i
(щ) равен сумме коэффициентов при Д X"* в формальных рядах мл
г
(это — сумма конечного числа ненулевых членов). Говорят, что
семейство (их) суммируемо и что формальный ряд s является
суммой этого семейства, и пишут 5=2мя- В случае, когда

4 ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ 69
L — некоторая часть множества N, пишут также 5 = иь1 + иь2 + .. .
... + Wfcn+. .., где (fcn) — последовательность элементов множе-
множества L, расположенная в порядке возрастания. Из определения
следует, что при s Ф О
юB и*,)>Мтй)(мА). E)
Это определение оправдывает запись формального ряда в виде
2 а(п.)П-^Г'- Действительно, этот ряд, в силу сказанного,
<V ' i
является суммой счетного семейства многочленов а„. [J Х"г (здесь
множество индексов L совпадает с lSr). Подобным же образом
семейство un(n?N), где ип — однородная часть степени п фор-
формального ряда и, суммируемо и u = uu-\-ui-\- .. . +мп+ • • •
Предложение 1. Пусть L — некоторое множество индексов,
(u\)i?L — суммируемое семейство формальных рядов кольца
A [[-Xj]]i?/. Для любого разбиения (L^^m множества L каждое
из подсемейств (ui)^l суммируемо. Если S^, — сумма этого семей-
семейства, то семейство формальных рядов (^ц)цем суммируемо
и имеет ту же сумму, что и семейство {и%)%^ь-
Первая часть предложения является непосредственным след-
следствием определения суммируемого семейства. Далее, для каждого
(n^^N1 пусть Н — конечная часть множества L, состоящая
из тех X, для которых коэффициент при Ц^"' в и^ не равен
нулю, и пусть / — конечная часть множества М, состоящая
из таких индексов ц, что L^ содержит по крайней мере один
элемент из И. Очевидно, что коэффициент при Ц-Х™' в Sy. равен
г
нулю для (г$/, а коэффициент при Пх"' в 2 иь тот же> чт0
г Z.?L
в 2 Зрн откуда и следует предложение.
Предложение 2. Пусть (wj^el к (уц)ием — два суммируемых
семейства формальных рядов кольца А [[Х?]]^/. Тогда семейство
суммируемо и
^)- (б)

70 МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ. IV, § 5
Действительно, для любого целого числа т существует конеч-
конечная часть Н множества L и конечная часть J множества М
такие, что для любого К (? Н и любого \i (? / справедливы нера-
неравенства (x>(u}l)>m и (о(Уц)>7?г. Из неравенства B) следует, что
<° (uiPn) > т Для каждого (к, \i) $ И X /. Применяя предложе-
предложение 1, получим
2 "Хун = 2B
О,, \1)?LXM b?L ?
5. Подстановка формальных рядов
в формальный ряд
Определения § 2 п° 1, в частности, позволяют определить выра-
выражение f(ui, м2, ..., ир), где / — многочлен кольца A[Xt, ..., Хр],
а щ A < i < р) — формальные ряды, принадлежащие кольцу
А[\Уи "^2) • ¦ •> Yq\]. f (mi, m2> • ¦ ч ир) — снова формальный ряд,
принадлежащий тому же кольцу. Мы увидим, что это опре-
определение можно распространить на случай, когда / — формальный
ряд, принадлежащий кольцу A[[Xt, Х2, ...,ХР]], наложив неко-
некоторые ограничения на формальные ряды щ.
Итак, пусть /= 2 а(")П^"г — формальный ряд от р перемен-
(n?) l i
ных Xt A<г'<р). Предположим, что р рядов Mj(l<i<p) имеют
строго положительный порядок (или, как еще говорят, не содержит
свободных членов). По формуле B) порядок ряда m™im?* ... м?р
не менее чем nt + щ + ... -j- np. Следовательно, семейство
(аП1П2.. .прИ?1- • ¦ Mpp)(n.)?*J суммируемо. По определению его сумма
обозначается символом f(uit к2, •••. ир)- Говорят, что этот фор-
формальный ряд получается подстановкой в ряд f рядов и, от пере-
переменных Xt (l<i<p).
Заметим, что зто определение позволяет, в частности, пользо-
пользоваться записью / = / (Хи Х2, ..., Хр).
Предложение 3. Пусть щ (l<i<p) — p формальных рядов
без свободных членов, принадлежащих кольцу A [[Yu У2, ..., У,]].
Отображение /—>f(ui7 к2, ..., ир) алгебры A [[Xt, Х2, ..., Хр]]
в алгебру А [[У^ У2, ..., Yg]] является представлением.

6 ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ 71
Все сводится к доказательству того, что если / и g — два фор-
формальных ряда от переменных X* и h = fg, то
к(щ,и2, ..., ир) = /(ии щ, ...,up)g(uu и2, ..., ир).
' Это вытекает из предложений 1 и 2 и определения произведения
двух формальных рядов.
6. Обратимые формальные ряды
Предложение 4. Для того чтобы формальный ряд и кольца
A [[Xi, Х2, .. •, Хр]] был обратим в этом кольце, необходимо
и достаточно, чтобы его свободный член был обратим в коль-
кольце А.
Условие необходимо, так как если v — формальный ряд коль-
кольца А[[Хи Хг, ..., Хр]] и uv = l, то для свободных членов а0
и Ро рядов и a v выполняется соотношение аоРо=1- Обратно,
пусть и — формальный ряд с обратимым свободным членом, тогда
и = а0 — г = аоA — а^1^), где v — ряд без свободного члена. Учи-
Учитывая предложение 3, получаем предложение 4 как следствие
следующего результата, проверка которого проводится непо-
непосредственно.
Предложение 5. В кольце А [[Т]] формальных рядов от одно-
одного переменного многочлен 1—Т обратим и
п=0
Тп. G)
В обозначениях предложения 4 элемент, обратный к и, сов-
совпадает, тем самым, с формальным рядом 2а^(п+%™.
В частности, из предложения 4 вытекает, что многочлен и
кольца A [Xlt X2, ..., Хр], имеющий обратимый в А свободный
член, обратим в кольце степенных рядов A [[Xt, X2, ..., Хр]].
Пусть К — поле. В поле К(Хи Х2, ..., Хр) рациональных
дробей от р переменных над К рассмотрим множество рацио-
рациональных дробей—, у которых и — произвольный многочлен,
a v — многочлен с ненулевым свободным членом. Ясно, что это
множество является подкольцом (но не подполем) поля
К (Xi, Х2, ..., Хр) и что отображение > uv'1 определяет

72 МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ. IV, § О
изоморфизм этого кольца в кольцо формальных рядов
..., Хр]]. Формальный ряд шГх называют разложением рацио-
рациональной дроби — и чаще всего отождествляют с этой дробью.
7. Поле дробей кольца формальных рядов
от одной переменной над полем
Пусть К — поле; обозначим символом К({Хи Х2, ..., Хр))
поле дробей области целостности isT[[X1? X2, ..., Хр]]. Мы уви-
увидим, что элементы поля дробей К ((X)) кольца формальных рядов
от одной переменной над К могут быть представлены в особен-
особенно простой форме. Всякий формальный ряд и Ф О порядка h в
кольце isT[[X]] однозначно записывается в виде u = Xhv, где v—
формальный ряд порядка 0, и, следовательно (предложение 4),
обратимый в кольце .ЙГ[[Х]]. Пусть X — элемент поля К((Х)),
обратный к элементу X Ф 0. Положим, как обычно, X"'1 = (Х)'1 =
= (Xh)~1 для всех натуральных h > 0.
Мы покажем, что всякий ненулевой элемент поля дробен
К ((X)) может быть записан единственным образом в виде Xkw,
где w — формальный ряд порядка 0, а К — целое число (положи-
(положительное или отрицательное). Действительно, частное (X'"u)!(Xnv)
двух формальных рядов кольца К [[X]] (т>0, п>0, и, v — ряды
порядка 0) записывается в виде Xm~nuv~1. С другой стороны,
если XrWi=Xsw2, где w^ и w2 имеют нулевой порядок, то r = s,
так как, если, например, r>s, то Xr~s = w2w[l, и правая часть
равенства имеет порядок 0, что невозможно. Произвольный эле-
элемент и кольца К((Х)), представимый в виде u = Xhw — Xk (ao-f
+ atX +...), a0 Ф 0, записывают также в виде и — a0Xk -f
-f- щХк+1 + ... + anX'<+1J + . .. Элементы кольца К ((X)) называют
обобщенными формальными рядами относительно X или просто
формальными рядами, если это не может привести к недоразу-
недоразумению (в этом случае элементы кольца К [[X]] называют формаль-
формальными рядами с положительными степенями). Целое число А;
(которое, если оно неотрицательно, является порядком ряда и)
тоже называется порядком обобщенного формального ряда и.
Непосредственно проверяется, что отношения A) и C) остаются
верными для обобщенных формальных рядов. В частности, если
и Ф 0, то а(и~1)=—(о(м).

8 ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ 73
Кольцо К [X] многочленов от X является подкольцоы кольца
.ЙГ[[Х]]. Поэтому всякая рациональная дробь — (и и у —много-
—многочлены, v Ф 0) может быть отождествлена с (обобщенным) фор-
- мальным рядом uv~l поля К((Х)), который называется ее раз-
разложением. Таким образом, поле К (X) рациональных дробей от
одной переменной отождествляется с подполем поля К((Х)).
Эти результаты не распространяются на поля дробей формаль-
формальных рядов более одной переменной: не для всякого формального
ряда и кольца К\[Хи Х2, ..., Хр]] существует формальный ряд
i, Х2, ..., Хр]] и целое число т такие, что
(см. упражнение 7).
8. Дифференцирования в алгебре
формальных рядов
Предложение 6. Пусть А—коммутативное кольцо с едини-
единицей, В—его подколъцо, обладающее той же единицей, что и А.
Всякое дифференцирование D кольца многочленов A [Xi, Х2, ...
. .., Хр] (рассматриваемого как алгебра над В) со значениями
в кольце формальных рядов A[[Xi, X2, ..., Хр\] однозначно про-
продолжается до дифференцирования D кольца А[[Хи Х2, ..., Хр]]
(рассматриваемого как алгебра над В).
Действительно, для левого (п{) ? N1 можно написать равенство
/)Щх?') = 2 гагх? •.. хпда-ед? ... xy>Dxt,
i i=l
из которого непосредственно вытекает следующая лемма.
Лемма. Для любого многочлена и^А[Х^, Х2, ..., Хр] имеет
место неравенство со (Du) > со (и) — 1, если
Пусть теперь м= 2 ип — формальный ряд кольца
п=0
Х2, ..., Хр]], где ип — однородные части степени п ряда и.
Если БипфО, то по лемме со(/)м„)>ге—1. Следовательно, семей-
семейство (Dun)n?jf суммируемо. Покажем, что отображение D, опре-
со
деленное формулой Z)u= 2 ^ип, представляет собой дифферен-
п=0
цирование кольца А [[Хи Х2, ..., Хр]], которое продолжает D.

74 МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ТП.\ I, § 4
Достаточно доказать, что D (uv) = Du-v-j-u-Dv для любых двух
формальных рядов и и v, а это непосредственно вытекает из
предложения 2 и выражения однородной части степени п ряда
uv через однородные части степеней < п рядов и и v.
Остается доказать, что D — единственное дифференцирование
кольца A[[Xi, Х2, ..., Хр]], которое продолжает D. Для этого
достаточно установить, что дифференцирование Do алгебры
A [[Хи Х2, ..., Хр\], отображающее в нуль любой многочлен,
тождественно равно нулю. Итак, пусть и — произвольный фор-
формальный ряд, wT — многочлен, являющийся суммой однородных
частей ряда и степени <г. Формальный ряд u — wT можно запи-
записать в виде 2 ^...прХ™1 ... Хрр, где (щ) пробегает конечное
подмножество множества JVJ, состоящее из элементов, для кото-
v
рых 2 ii = r,ai)nm п„—формальные ряды. По лемме D0(u—wT)
i=l
равно нулю или имеет порядок, не меньший г — 1. С другой
стороны, по предположению, D0(u) = D0(u — wr). Если О0иф0,
то порядок ряда Dou должен быть не меньше г — 1 для любого
целого числа г, что невозможно.
В частности, каждое частное дифференцирование Di (I ^?<! р)
кольца A [Xt, X2, ..., Хр] продолжается до дифференцирования
кольца A [[Xi, Х2, ..., Хр]], которое мы будем обозначать одним
из символов Di или ду . Таким образом,
... Xpv.
Из предложения 6 этого параграфа и предложения 8 § 4 сле-
следует, что DtDj = DjDt для любых i и j.
Предложение 7. Частные дифференцирования Dt A<г^р)
образуют базис Е-модуля 3 (Е) дифференцирований кольца Е,
рассматриваемого как алгебра над кольцом А.
Действительно, пусть D—произвольное дифференцирование
алгебры Е, D{Xi) = ut (щ?Е). Тогда D — 'ZulDl — тоже диффе-
дифференцирование кольца Е, которое, по предположению, равно нулю
для элементов кольца А и всех X,. Следовательно (§ 4, предло-
предложение 7), оно равно нулю для всех многочленов и, наконец
(предложение 6), для всех элементов кольца Е.

S ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ 75
Из этого предложения следует, что р дифференциалов dXt
A<?<р) образуют базис (дуальный к базису (Dt)) модуля 3 (Е)
дифференциальных форм на Е (§ 4, п° 5). Таким образом, пол-
полный дифференциал произвольного формального ряда и задается
формулой
v v
ам= У, JJiUuA-i= У, у ад,. (о)
i= I i=l
Формальный ряд u(Xi-\-Yi, Х24-Уг. ••-, Хр + Ур), являю-
являющийся вполне определенным элементом кольца А [[Х4 ... Хр,
У4 ... Ур]] (п° 5), можно также рассматривать как элемент коль-
кольца формальных рядов E[[YU У2, ..., Ур]] (п° 1). Легко прове-
v
ряется, что многочлен 2 DtuYi является однородной частью
первой степени относительно Yt ряда и(
или, что сводится к тому же, ряда
Ав = и(Х1 + У1, ..., Xp + Yp)-u(Xi, ..., Хр).
Ввиду этого результата и формулы (8) многочлен 2/)гиУг
относительно Yt часто обозначается символом
du(Xu ..., Хр; Уь .... Yp).
Предложение 8. Пусть f — формальный ряд кольца A[[Xi,
Х2, ..., Хр]], Mj(l<?<p) — р формальных рядов без свободных
членов кольца A [\ZU Z2, ..., Zq]]. Положим h — f (uu u2, .. ., ир);
тогда
р
dh= 2 Dif(uu в2, ..., up)dui. (9)
i=l
Действительно, положим Дм; = щ (Z4-f-Tif ..., Zq-\-Tq) —
— Ui(Zu ..., Zq); тогда однородная часть первой степени фор-
формального ряда (относительно Tj) Ah = f (ы4 + Лмь ..., ир -f Амр) —
— / (bi, ..., ыр) совпадает с однородной частью первой степени
ряда df (щ ... ир; Ащ, .. ., Аир), так как ряды Ли; не имеют
свободных членов. Отсюда тотчас следует предложение.
Предложение 9. Пусть и — формальный ряд кольца
A[[Xi, ... , Хр]]. Положим
У1 Уг • • • Yp ;

76 МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ. IV, § 5
тогда
..!i»p!^1...np(X1, .... Хр) A0)
(«формула Тейлора»).
Действительно, из определений непосредственно следует, что
свободный член формального ряда относительно Yt
есть ni\n2l ... !«p!gTlin2...np(Xi, X2, ..., Хр). Из предложения 8
вытекает, что ряд A1) получается подстановкой Xi-\-Yi вместо
X* A<г<га) в формальный ряд
Предложение доказано.
9. Разрешимость уравнений в кольце
формальных рядов
Предложение 10. Пусть ft(YuY2l •••> Уд- Xi, X2, ..., Хр)
(l<i<g) — д формальных рядов без свободных членов кольца
A[[Yi, У2, ..., Уд, Хи Х2, ..., Хр]]. Если свободный член от-
относительно всех Yt формального ряда A = det ( -~~- ) обратим
ч °х j У
в кольце АЦХ^, Хг, ..., Хр]], то в этом кольце существует
единственная система q формальных рядов без свободных членов
щ (Xj, . . ., Хр) такая, что
fi(Ui, U2, ..., Uq, Xi, Х2, ..., Хр) = 0
для l<i<g.
Действительно, пусть
U = U-f 2 /и^ + S П: ш...««П1 • • • у? A < i<я), A2)
•1 (л
где во второй сумме все члены имеют степень больше единицы
относительно Yy, fi0, ftj и fini...nq — элементы кольца E = A[[Xi,
Хг, ..., Хр]], причем /;0 не имеют свободных членов. По пред-

10 ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ 77
положению, матрица F = (fij) обратима (гл. III, § 6, теорема 2);
q
пусть G = (gij) — ее обратная. Пусть g; = 2 8ijfj> тогда
3=1
где hi0 и hi-m...nq — элементы кольца Е, и hi0 не содержат сво-
бодных членов. Так как /i= 2 1aSh достаточно доказать пред-
3=1
ложение для рядов gt. Предположим, что задача решена, тогда
Щ = hi0+ 2 Ы. П1...„аи^ ... unq* (l<i<g). A3)
Пусть щт — однородная часть степени т ряда щ и vim= 2jUih--
сумма тех членов ряда Uj, полная степень которых не превосхо-
превосходит т. В формальном ряду h^ Ul .щЩ1 ... и"9, где 2 ге.?^>2,
3=1
однородная часть степени т та же, что в ряду hi; ni_ .ng^m-i- • •
• •• i>g,9m-i. так как мг — ряды без свободного члена. Из равен-
равенства A3) вытекает, что иц = иц совпадает с однородной частью
первой степени ряда ht0 и что для любого т > 1 щт определя-
определяется рекуррентно, как однородная часть степени т ряда
?0 I ^hJ IJ 71-1 . • ,Ti(j"l, ?Tl—i • • • "§, 771 — 1 •
Этим одновременно доказывается существование и единственность
рядов Mj, так как ясно, что если ряды щт определяются рекур-
рекуррентно указанным выше способом, то ряды «; = 2wim удовлетво-
удовлетворяют системе A3).
10. Топологические интерпретации
Большую часть результатов этого параграфа удобно форму-
формулировать в топологических терминах, которые подсказывают воз-
возможность дальнейших обобщений. Рассмотрим кольцо формаль-
формальных рядов E = A[[Xt, X2, ..., Хр]] и для каждого числа ге>0
символом ап обозначим множество рядов и?Е порядка, не мень-
меньшего п. Неравенства A) и B) показывают, что йп — идеал кольца

78 МНОГОЧЛКНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫК ДРОБИ ГЛ. IV, § 5
Е. Так как апС2йт при т^.п, эти идеалы образуют базис неко-
некоторого фильтра, и их пересечение равно нулю. Следовательно,
они образуют фундаментальную систему окрестностей нуля
в некоторой топологии кольца Е, которая согласована со струк-
структурой аддитивной группы Е (Общ. топол., гл. III, § 1, п° 2),
а также, что легко проверяется, со структурой кольца Е (акси-
(аксиомы (AVi) и (AVu) из Общ. топол., гл. III, § 5, п° 1 проверяются
тривиально). Так как нуль допускает счетную фундаментальную
систему окрестностей, определенное таким образом топологичес-
топологическое кольцо Е метризуемо (Общ. топол., гл. IX, § 3, предложе-
предложение 1). Кроме того, оно полное, так как для всякой последова-
последовательности Коши (ип) в кольце Е и для любого числа q сущест-
существует такое число гао(<7), что при m>n0 и га>га0 ряд Щп — ип имеет
порядок, больший q. Иначе говоря, члены, степень которых не
превосходит q, одни и те же во всех формальных рядах ип при
ra>no(<?). Пусть и — формальный ряд, у которого однородная
часть степени q совпадает с однородной частью степени q всех
рядов ип с re>rao(<?) (для всех <7>0). Очевидно, и является пре-
пределом последовательности (ип).
Кольцо многочленов А [Хи Х2, ..., Хр] всюду плотно в коль-
кольце Е, которое, следовательно, можно рассматривать как замыка-
замыкание этого кольца многочленов. Понятие суммируемого семейства,
определенное гв кольце Е в п° 4, совпадает в топологическом
кольце Е с понятием суммируемого семейства, определенного
в произвольной абелевой топологической группе (Общ. топол.,
гл. III, § 4), а предложение 1 является частным случаем ассо-
ассоциативности суммы (Общ. топол., гл. III, § 4, теорема 2). Лемма,
следующая за предложением 6, показывает, что всякое диффе-
дифференцирование кольца A [Xi, Xz, ¦ ¦ ¦, Хр] со значениями в кольце
Е равномерно непрерывно. Это позволяет передоказать предло-
предложение 6 топологически (см. Общ. топол., гл. II, § 3, теорема 1).
Упражнения. 1) Пусть 1 — произвольное множество индек-
индексов. Доказать, что аддитивный моноид 2У' ' (§ 1, п° 1) удовлетворяет
условию (D) главы II, § 7, п° 10. Расширенная алгебра этого моно-
моноида над коммутативным кольцом А, обладающим единицей, обозна-
обозначается символом A [[XiWici и называется также алгеброй формаль-
формальных рядов с коэффициентами в А относительно переменных Хг.
Порядок ненулевого формального ряда определяется как наимень-

ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ 79
шая из полных степеней его ненулевых членов. Доказать, что если
А — область целостности, то A [lX]]i?r—тоже область целостности,
и выполняется соотношение C).
2) Пусть К—поле, /= рациональная дробь, принадлежа-
принадлежащая полю К (Xit Х2 Хр), и у @, 0 0)^=0. Доказать, что
систему рядов @, 0, ..., 0) можно подставить в любую производ-
производную D ... ?>рР/ и что если 2аП1 п X ... Хрр—разложение /
в формальный ряд, то
, 0 0)=n,! па! ...! np! аП1П2...„р
(«формула Тейлора»). Вывести отсюда разложение в формальный
ряд рациональной дроби 1/A—X)v.
оэ
*3) Пусть и(Х)= 2 атДп—формальный ряд яад полем К.
п=о
а) Для того чтобы и был рациональной дробью в кольце К(Х),
необходимо и достаточно, чтобы существовала конечная последова-
последовательность (A,j)j<5i<g элементов поля К, не все из которых равны
нулю, и такое число d!>0, что для всех n~^d
б) Пусть
ап ап+1 ¦ • • an+k—1
°п+1 ап+2 — <*n+ft
ап+2 ап+3 • ¦ ¦ an+k+l
«n+ft-1 Щг+k ¦ ¦ ¦ Un+2k-2
(«определитель Ханкеля»). Доказать, что если Я^у=0 и ^
для всех /]>0, то и(Х)—рациональная дробь (использовать а)),
в) Доказать тождество
(см. гл. III, § 8, упражнение И). Вывести отсюда, что если
Ит+Р=® ПРИ 0</<г—1> т0 определители H<fy_j, 1</<г, либо
все равны нулю, либо все яе равяы нулю.
г) Вывести из б) и в) следующее утверждение. Для того чтобы
ряд и(Х) был рациональной дробью, необходимо и достаточно,
чтобы существовали два целых числа d и q такие, что H^7j^=0
для всех />0.
4) Пусть аи a2i •••> ар—Целые числа, большие нуля, ап—число
конечных последовательностей (Xi)j^i^p неотрицательных целых

МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ ГЛ. IV, § 5
чисел, удовлетворяющих уравнению
+ • • • + ЯрХр = П.
со
Доказать, что формальный ряд 2 ап,Хп (над полем Q) являет-
п=0 •
ся разложением рациональной дроби
1
A—Xй1) A— Ха*) ... A— ХаР)
5) Пусть F—конечное множество положительных чисел, $п —
число конечных последбвательностей (а?;), состоящих из <J n членов
множества F и удовлетворяющих условию 2жг = 'г- Доказать, что
г
со
формальный ряд 2 ?>пХп наД Q является разложением рацио-
п=0
пальной дроби
1
1—xai—ха*—...— xV
где (ai)i<ci«jp—последовательность элементов из F, расположенных
в порядке возрастания.
6) Пусть К—поле. Доказать, что в кольце формальных рядов
Ii[[Xit X2> •••! Хр\] существует только один максимальный идеал
и он совпадает с множеством всех необратимых элементов. Дока-
Доказать, что в кольце многочленов K[Xi, X%, .... Хр], напротив,
существует несколько различных максимальных идеалов.
7) Пусть К—поле. Доказать, что не существует формального
рнда и(Х, Y)?K[[X, У]], для которого {XY)~m (X-\-Y) и (X, У)=1,
т — любое положительное целое число.
8) Пусть К—поле, к—целое число, не кратное характеристике
полн К. Доказать, что для любого формального ряда и?К[[Х]],
свободный член которого равен единице, существует формальный
ряд г> ? if [[X]] такой, что vh = u (положить у = 1+ш).
*9) Пусть Е — векторное пространство, имеющее бесконечный
базис, над полем К характеристики 2. Пусть А — внешняя 'алгебра
/\Е этого пространства, являющаяся коммутативным кольцом с еди-
единицей. Привести пример формального ряда и g A [[X]] такого, что
м2=0, но не существует элемента Y^Oi У € А, для которого уи=О
(см. § 1, упражнение 11).
10) Пусть А — не обязательно коммутативное кольцо с едини-
единицей и а — эндоморфизм А такой, что аA) = 1. На аддитивной группе
произведения E = AN определим внутренний закон композиции,
положив (oR)(Pn) = (Yn)., ^e Yn= 2 <V*P (Pe) (o° (?) = !)•

ФОРМАЛЬНЫЕ РЯДЫ 81
а) Доказать, что этот закон композиции ассоциативен и дист-
дистрибутивен с обеих сторон по отношению к сложению в ? и, следо-
следовательно, определяет на Е структуру кольца, имеющего в качестве
единицы е последовательность (а„), где ао = 1, а„=0 при я > 1.
Отображение, ставящее в соответствие всякому g ? А элемент
(а„) ? Е такой, что ао = ?, ап=0 для я!>1, является изоморфизмом
А на подкольцо кольца Е, с которым мы отождествим А. Будем
со
писать 2 ап.Хп вместо (а„); тогда A>>P=0P (Р) XV для любого
п=1
эле-
мента Р ?А. Если ряд и= ^ агДи отличен от нуля, то наименьшее
п=о
число к, для которого а^фО, называется порядком и и обозначается
символом со (и).
б) Пусть А — кольцо без делителей нуля, а—некоторый изомор-
изоморфизм кольца А на свое подкольцо. Доказать, что Е — кольцо без
делителей нуля и что <в (uv)=e> (и)-\-а>(и), если ифО и
в) Для того чтобы ряд и= 2 апХп был обратим, необходимо
п=0
я достаточно, чтобы элемент Oq был обратим в кольце А.
г) Предположим, что А—поле, а—его автоморфизм. Доказать,
что для кольца Е существует тело левых частных (гл. I, § 3,
упражнение 8) и что всякий ненулевой элемент этого тела F может
быть однозначно записан в виде uX~h, где и—элемент нулевого
порядка кольца Е.
°*11) а) Пусть А и В—две вполне упорядоченные части мно-
множества R (они обязательно счетны: см. Общ. топол., гл. IV, § 2,
упражнение 1). Доказать, «то множество А-\-В вполне упорядо-
упорядочено и что для любого элемента с?А-\-В существует только конеч-
конечное число пар (а, Ъ) с условиями а ? А, Ъ?В и с=а-\-Ь. (Для того
чтобы доказать, что вснкан непустая часть множества А-\-В имеет
наименьший элемент, следует рассмотреть его нижнюю грань в Л.)
б) Пусть К—поле. В некотором пространстве KR рассмотрим
векторное подпространство Е, образованное элементами (ах) такими,
что множество х ? R, для которых ахф0, вполне упорядочено. Для
двух произвольных элементов (ах), фх) пространства Е положим
(a*)(P*) = (Yx), где ух= 2 а»Р* (сумма имеет смысл ввиду
у+г=х
а) ). Доказать, что этот закон композиции определяет вместе со
сложением в Е структуру поля на Е. Элементы кольца Е записы-
записывают также в виде 'S] atX1 и называют формальными рядами
с вполне упорядоченными экспонентами и коэффициентами в К.о
Н. Бурбаки

ГЛАВА V
ПОЛЯ *)
§ 1. Простые поля. Характеристика
1. Простые поля
Известно (гл. I, § 9, п°2), что пересечение произвольного
семейства подполей поля К является подполем поля К. В част-
частности, пересечение Р всех подполей поля К есть наименьшее
подполе поля К; оно не содержит никаких подполей, отличных
от него самого.
Определение 1. Поле называется простым, если оно не содер-
содержит никаких подполей, отличных от него самого.
Итак, всякое поле К содержит единственное простое поле Р.
Определим его структуру. Для этого заметим, что Р, как всякое
подполе поля К, содержит единицу е поля К (потому что из
равенства х2 = х и хфО следует, что х = е в К, см. гл. I, § 9,
п°2). Таким образом, Р — подполе К, порожденное элементом е
(можно сказать также, что Р — подполе К, порожденное пустой
частью ф поля К). Сначала рассмотрим подколъцо А поля К,
порожденное единицей е. А содержит все элементы п-е, где
ra?Z, и так как эти элементы образуют кольцо, А совпадает
с множеством их. С другой стороны, отображение п —» п-е
является представлением кольца Z целых чисел на А (гл. I,
§ 8 п° 8). Множество чисел n?Z, для которых ге-е = 0, является
*) За исключением предложений 11 и 14 § 10, результаты, приводи-
приводимые в §§ 10 и 11 и обоих приложениях, не используют результатов
§§ 8 и 9. Читатель, интересующийся главным образом теорией Галуа и ее
приложениями, может прямо перейти от § 7 к § 10.

2 ПРОСТЫЕ ПОЛЯ. ХАРАКТЕРИСТИКА 83
идеалом (р) кольца Z, где р>0—характеристика (гл. I,
§ 8, п° 8) поля К, и кольцо А изоморфно факторкольцу Zl(p):
Возможны-два случая:
Iе р = 0. Тогда А изоморфно Z. Так как AdP, Р содержит
поле отношений кольца А (гл. I, § 9, п° 4), которое изоморфно
полю Q рациональных чисел. Так как Р — простое поле, оно совпа-
совпадает с полем отношений кольца А и, следовательно, изоморфно Q.
2° р > 0. Так как А содержится в поле, то оно не может
содержать делителей нуля, следовательно, Z/(p) не имеет дели-
делителей нуля. Это значит, что равенство р = тп (т>0, га>0)
влечет m s 0 (mod р) или nssO(modp), т. е. т = р или п — р,
следовательно, р—простое число (гл. I, § 8, в° 7).
Однако известно (гл. I, § 9, теорема 2), что для любого
простого числа р кольцо Z/(p) является полем. Следовательно,
Р совпадает с i и изоморфно Z/ (р). В итоге получаем:
Теорема 1. Характеристика поля К равна нулю или про-
простому числу. Если характеристика поля К равна нулю, то
простое подполе поля К изоморфно полю Q рациональных чисел.
Если характеристика поля К равна р>0, то простое подполе
поля К изоморфно полю Z/(p) целых чисел по модулю р.
Замечания. 1) При доказательстве теоремы 1 мы не поль-
пользовались коммутативностью поля К, следовательно, теорема 1 при-
применима и к некоммутативным телам.
2) Всякое подтело тела К (не обязательно коммутативного)
содержит простое подполе тела К и, следовательно, имеет ту же
характеристику, что и тело К. Таким образом, всякое тело, содер-
содержащее тело К, имеет ту же характеристику, что и тело К.
3) Поле Q бесконечно, следовательно, все поля характеристики
нуль бесконечны, а все конечные поля имеют ненулевую характе-
характеристику.
2. Характеристическая экспонента
Пусть дано поле К характеристики р. Характеристической
экспонентой поля К мы будем называть число р, если р>0,
и число 1, если р = 0.
Предложение 1. Если р — характеристическая экспонента
поля К, то отображение х —> хр является изоморфизмом поля
К на некоторое его подполе.
6*

84 поля гл. v, § 1
Очевидно, что (ху)р = хрур. Докажем, что
(X-j-y) =Х -J- у . A)
При р = 1 равенство очевидно. При />>1 имеем
Остается доказать, что ( р, je = O при l<ik<ip.
Так как A! f ? Л = р(р — 1) ... (p — yfc+l), то
Но к\ е= еBе)Cе) ... (ке) и he Ф О для 1</г</>, следова-
тельно, к\ефО, откуда ( , Je = O. Таким образом, отображе-
отображение х —> хр является представлением поля К в себя; так как
оно ненулевое, оно является изоморфизмом К на свое подполе
(гл. I, § 9, теорема 1).
Следствие. Для любого целого числа / > 0 отображение х —>
—>хр является изоморфизмом поля К на свое подполе.
Это утверждение получается /-кратным последовательным
применением предложения 1. Тем самым имеем тождество
Замечания. 1) Формула B) показывает, что для любого
простого числа р и любого целого числа / > 0 число —j—;—'—.—: ,
гДе Qi—неотрицательные числа, отличные от pf, и 2?; = /)(, де-
делится на р.
2) Заметим, что предложение 1 и формула A) перестают быть
верными, если К—некоммутативное тело характеристики р > 0.
Для любой части А поля К символом Ар мы будем обозна-
обозначать в этой главе образ А при изоморфизме х —> хр. В частно-
частности, Кр означает подполе поля К, являющееся образом К при
этом изоморфизме *).
*) Разумеется, нельзя смешивать множество Ар ни с произведением
р множеств, совпадающих с Л, ни с множеством произведений x^x<i ... хр
по р элементов, принадлежащих А.

3 ПРОСТЫВ ПОЛЯ. ХАРАКТЕРИСТИКА 85
Заметим, что при р=1 Кр = К (см. § 7, п° 3).
Предложение 2. Пусть Е—поле, содержащее подполе К
с характеристической экспонентой р. Для произвольной части
А множества Е имеем: {К [А])р = Кр [Ар\ и {К{А))Р = КР {Ар).
Это предложение является непосредственным следствием
определений кольца К [А] (гл. IV, § 2, п° 1) и поля К (А)
(гл. IV, § 3, п° 2). Действительно, если кольцо В содержит
KP\JAP и содержится в (К [А])р, то оно является образом при
изоморфизме х —» хр кольца С, содержащего1 K\JA и содержа-
содержащегося в Х[Л], следовательно, совпадающего с К [А], т. е.
Кр[Ар}= {К[А])Р. Так же доказывается, что Кр {Ар) = {К{А))р.
Предложение 3. Пусть Е — поле, содержащее подполе К
с характеристической экспонентой р. Если В— базис векторного
пространства К [А] над К, то Вр — система образующих век-
векторного пространства К [Ар] над К.
Действительно, Вр — базис пространства Кр [Ар] над полем
Кр, Кр [Ар] — система образующих пространства К[АР] над
полем К. Так как КРСК, то Вр — система образующих прост-
пространства К [Ар] над К.
3. Характеризация многочленов с нулевой
производной
Предложение 4. Пусть К — поле характеристики р. Для
того чтобы имели место тождества ~- = 0, 1<?<п, f?KX
X [Xi, X2, ..., Хп], необходимо и достаточно, чтобы многочлен
f принадлежал подколъцу К [Хр, Х%, ..., Хр] кольца К X
X [A4, Х2, . .., Хп].
При р=0 это означает, что многочлен / сводится к константе
а?К.
Предложение очевидно при п = 0 (по определению К [А~г]{?ф;
см. гл. IV, § 1, п° 2). Доказательство будем вести индукцией
по га. Пусть f?K[Xu X2, ..., Хп]; тогда f = ^ghX^, где
h
, X2, ..., Хп_1]. Из равенства j~r- = 0 для 1^?<>г — 1
вытекает, что~? = 0 для всех k и для 1^?<ге—1. Следова-

86 поля гл. v, § 2
тельно, по предположению индукции, gh?K[X*, Х%, ..., Хр_1].
С другой стороны, 2 kghX'fr1 = -xJ- = 0, следовательно, kgh = O
для всех к и, значит, #ь = 0 для всех к, не кратных р, что
и требовалось доказать.
Упражнения. 1) Пусть А—кольцо без делителей нуля, не
обязательно коммутативное и не обнзательно с единицей. Доказать,
что характеристика А (определяемая как число то > 0, для которого
идеал (т) является анулятором А) равна нулю или простому числу.
Если А содержит единицу, то А содержит подкольцо, изоморфное
Z/(m).
2) Пусть А—область целостности, $ — простой идеал (гл. I,
§ 8, упражнение 13) кольца А. Если характеристика кольца А—
простое число р > 0, то характеристика кольца А1% тоже равна
р. Если характеристика кольца А равна нулю, то характеристика
кольца Л/$ равна нулю в том случае, когда не существует такого
простого числа р, что рА С $. В противном случае существует толь-
только одно простое число р, обладающее этим свойством; оно и являет-
является характеристикой кольца А/Щ. Доказать, что когда А/% — ко-
конечное кольцо, имеет место второй случай. Дать примеры обоих
случаев (взять A=Z и А = К [X], К — поле характеристики нуль).
§ 2. Расширения
Пусть К — поле, содержащееся в поле L. Единицы полей К
и L совпадают, следовательно, L может быть снабжено струк-
структурой алгебры над К (гл. II, § 7, п° 1). Назовем поле L,
снабженное структурой алгебры над К, расширением К, остав-
оставляя термин надполе для L снабженного структурой поля без
операторов*). Заметим, что всякое поле можно рассматривать
как расширение его простого подполя.
Всякий раз, когда без уточнений мы будем говорить, что
поле К, содержится в кольце L, мы будем подразумевать; что
К есть подполе кольца L (иначе говоря, что структура поля
индуцируется структурой кольца в L).
Пусть L и М — два надполя поля К такие, что K(Z.LdM.
Назовем L промежуточным полем между К и М. Снабженное
структурой расширения поля К, L являются подалгеброй М,
*) Таким образом, мы изменим смысл слова «расширение», которое
мы определили в гл. I. § 9, п° 2 как синоним надполя.

1 РАСШИРЕНИЯ 87
которую мы будем также называть подрасширеиием расшире-
расширения М поля К.
Замечание. Для того чтобы сделать более ясной ситуа-
ситуацию, в которой фигурируют несколько полей, мы будем исполь-
использовать иногда диаграммы приведенного ниже вида (рис. 1).
М^Р
t t
К -^L^N
Рис. 1.
Стрелка, идущая от одной буквы к другой, означает, что
поле, обозначенное первой буквой, является подполем поля
обозначенного второй буквой (таким образом, стрелка заменяет
знак включения). Например, в диаграмме мы имеем KCZL,
и LdNdP.
1. Структура расширения
Расширение Е поля К, будучи алгеброй над К, в частности
снабжено структурой векторного пространства над К, размер-
размерность которого называется степенью расширения Е (или еще
степенью надполя Е относительно поля К; см. гл. II, § 7, п° 2).
Напомним (см. там же), что эту степень, когда она конечна,
обозначают [Е: К]. Символ [Е: К] определен только в этом
случае.
Пусть Е — расширение поля К, F — расширение поля Е,
(«л)я,?1. — базис Е над К, (Ь^)^м—базис F над Е. Тогда семей-
семейство {Ъуп}.)^ %)?мхъ составляет базис F над полем К (гл. И, § 5,
предложение 1). В частности (гл. II, § 5, следствие из предло-
предложения 1), получаем следующий результат:
Теорема 1. Пусть Е — расширение поля К, F — расширение
поля Е. Если хотя бы одно из чисел [F : К], [F: Е]-{Е : К] опре-
определено, то определено и другое, и
[F:K] = [F:E]-[E:K].
Следствие 1. Если F — расширение поля К конечной степени,
Е — промежуточное поле между К и F, то степени [Е : К] и
[F : Е] являются делителями [F : К].

88 поля гл. v, § 2
Тем самым, если степень [F : К] — простое число, тоне суще-
существует никаких подрасширений F, кроме К и F. Однако заметим,
что если число [F: К\ не простое, то не обязательно существует
подрасширение F, отличное от К и F (см. § 10, упражнение 7).
Следствие 2. Если F—расширение конечной степени поля К, Е—
промежуточное поле между К и F, то равенство [Е : К] = [F : К]
равносильно совпадению E — F, а равенство [F : Е\ = [F: К] равно-
равносильно совпадению Е = К.
Действительно, если степень расширения поля К равна 1,
то это расширение совпадает с К.
Предложение 1. Пусть А — коммутативная алгебра с едини-
единицей е над полем К, имеющая конечный ранг над К. Если элемент
а?А не является делителем нуля в А, то он обратим в А.
Действительно, отображение х—>ах является взаимно одно-
однозначным эндоморфизмом структуры векторного пространства на А,
следовательно, оно — автоморфизм А с той же структурой (гл. III,
следствие предложения И), поэтому существует такой элемент
b?A, что ab = e.
Следствие. Всякая область целостности А (гл. I, § 8, п° 3),
содержащая поле К, имеет ту же единицу, что К. Если А,
как алгебра над К, имеет конечный ранг над К, то А — поле.
Действительно, пусть е — единица К, тогда ег — е, откуда
е(х — ех) — 0 для всех х?А, и так как е Ф 0, имеем х = ех, что
доказывает первую часть следствия. Вторая часть непосредственно
получается из предложения 1.
Пусть Е и F — два расширения одного и того же поля К.
В соответствии с общими определениями (см. гл. II, § 7, п° 4)
представление расширения Е в расширение F есть представле-
представление / структуры поля Е в структуру поля F такое, что / (zx) =
= zf (х) для х ? Е и z ? К (мы рассматриваем только ненулевые
представления, для которых /A) = 1). Это равносильно утверж-
утверждению, что f(z) = z (иначе говоря, z инвариантно относительно /)
для всех z?K. Так как представление / непулевое, оно является
изоморфизмом структуры поля Е на структуру поля некоторого
подполя поля F (содержащего К). Назовем / К-изоморфизмом
поля Е в поле F. Поля Е и F будут называться К-изоморфными,
если существует К-изоморфизм Е на F. А-изоморфизм расшире-
расширения Е поля К на подрасширение поля Е называется К-эндо-

2 РАСШИРЕНИЯ 89
морфизмом поля Е и К-автоморфизмом поля Е, если он отобра-
отображает Е на себя. Заметим, что для произвольного эндоморфизма и
поля К мнбжество элементов этого поля, инвариантных отно-
относительно и, является подполем К поля L (гл. II, § 5, п° 6), следо-
следовательно, и есть К-эндоморфизм поля L.
В частности, если Р — простое подполе поля L, все эндомор-
эндоморфизмы поля L являются Р-эндоморфизмами. Простое поле обладает
только одним эндоморфизмом—тождественным.
2. Присоединение
Пусть Е — надполе поля К. Напомним, что для заданного
семейства x — {xl)^I элементов поля Е (гл. IV, § 3, п° 2) симво-
символом К(зчХе/ (или К(х), или еще К(хи . .., хп), когда /—интер-
/—интервал [1, п] множества N) мы обозначаем наименьшее подполе
поля Е, содержащее К и элементы семейства (жь). Будем гово-
говорить, что поле К (^i)tg/ получается присоединением к К элементов
семейства (Zi)i?i и что семейство (a;t) (или множество его элементов)
является системой образующих поля К (^t)tej относительно К
(или над К). Поле К (a^Xg/ зависит только от множества А эле-
элементов семейства (хь); напомним, что оно обозначается также
символом К (А). В частности, К(Е) = Е и К (ф) —К.
Предложение 2. Пусть М и N—две произвольные части
надполя Е поля К; тогда К (М (J N) = K (M) (N) = K (N)(M).
Действительно, поле К (М [j N) содержит поле К (М) и мно-
множество^, а следовательно, и поле К (М) (N). Так как поле K(M)(N)
содержит множество K[jM[jN, то оно содержит также К (М |J iV),
откуда следует требуемое.
Иногда пишут К (М, N) вместо К (М [j N).
Замечание. Если Р—простое подполе поля Е (§ 1), то для
любой части А поля Е Р (А) — наименьшее подполе, содержащее А.
В частности, если К — подполе поля Е, то Р (К [J А)=К (А). Если
К и К'— подполя поля Е, то Р (К (J К') = К (К') = К' (К). Это поле
является наименьшим подполем поля Е, содержащим К и К', или
верхней гранью полей К и К' в множестве подполей поля Е, упоря-
упорядоченных по включению.
Предложение 3. Пусть §—множество подполей поля Е,
фильтрующееся по отношению CZ; тогда объединение L полей
множества § есть поле.

90 поля гл. v, § 2
Действительно, если х, у— элементы множества L, то суще-
существуют поля R, S, принадлежащие множеству g и такие, что
X?R, y€.S- Пусть Г —поле из множества %, содержащее поля
R nS; Тогда х?Т, у?Т, следовательно х-\-у, ху и х (если х Ф 0)
принадлежат Т и, следовательно, L *).
Следствие. Пусть К — подполе поля Е. Поле К {А), получаю-
получающееся присоединением к К некоторой части А поля Е, является
объединением полей K{F), где F пробегает множество конечных
частей множества А.
Действительно, множество полей К (F) на основании предло-
предложения 2 фильтруется по отношению CZ. Следовательно, объеди-
объединение L этих полей является полем, содержащим К \J А и содер-
содержащимся в поле К (А) и, следовательно, совпадающим с К (А).
Определение 1. Расширение Е поля К называется расшире-
расширением конечного типа, если оно обладает конечной системой обра-
образующих. Оно называется простым, если оно обладает системой
образующих, сводящейся к одному элементу.
Следствие к предложению 3 показывает, что всякое расши-
расширение Е поля К является объединением расширений конечного
типа, содержащихся в Е. Ясно, что всякое расширение Е поля/l
конечной степени является расширением конечного типа, так как
база Е (рассматриваемого как векторное пространство над К)
является системой образующих поля Е над К. Позже мы увидим,
что обратное утверждение неверно.
3. Линейно разделенные расширения
Пусть Q — расширение поля К, А ж В — подкольца поля Q,
содержащие К; тогда их можно рассматривать как подалгебры
алгебры Q (над полем К). Пусть С—подкольцо поля Q, порож-
*) Принцип этого доказательства приложим к более общему случаю,
когда Е обладает алгебраической структурой Ъ\ Ъ — множество, фильтрую-
фильтрующееся по отношению с частей Е, на которых "§ индуцирует ту же струк-
структуру, и в аксиомах структуры % участвуют только конечные части мно-
множества, на котором она определена. На объединении L множеств из %
¦структура 2/ индуцирует ту же структуру 2/. Например, можно брать
в качестве g структуру группы с операторами, или кольца с операторами,
лли алгебраически замкнутого поля, или совершенного поля и т. д.

3 РАСШИРЕНИЯ 91
денное множеством A (J В. Напомним, что существует представ-
представление <р тензорного произведения А® В алгебр АжВ над полем К
на алгебру С, ставящее в соответствие каждому тензорному про-
произведению х ® у(х?А, у?В) произведение ху, лежащее в С
(гл. III, § 3, п° 3). Иначе говоря, если (Ьц)—базис алгебры В над
полем К, (ах)— базис алгебры А над полем К, то алгебра С
отождествляется с множеством линейных комбинаций 2 ац^ц1
где а^^А, множеством 2 Ря^ь где $^?В, а также множеством
2 У1^ где ухц^К. Напомним еще, что алгебры А и В
я, ц
называются линейно разделенными над К, если представление ср
является изоморфизмом А® В на С. В этом случае А [} В = К
и всякая независимая над К часть алгебры Б (соответственно А)
является независимой над А (соответственно В). Обратно, для
того чтобы А и В были линейно разделены над К, достаточно
существования базиса алгебры В над К (например), который
независим над А (гл. III, § 3, теорема 1).
Разберем в частности случай, когда А ж В являются подрас-
гиирениями поля Q.
Предложение 4. Пусть Е и F — расширения поля К, содер-
содержащиеся в расширении Q.
а) Пусть F — расширение конечной степени поля К; тогда
подколъцо расширения Q, порожденное множеством Е (J F,
является полем, совпадающим с E(F), степень которого отно-
относительно Е конечна. Далее, [E(F): E)<^.[F :К), и равенство
[E{F):E) = \F: К] имеет место в том и только в том случае,
когда поля Е и F линейно разделены над К.
б) Если, кроме того, Е имеет конечную степень над К, то
E(F) = K(E [j F), и это поле имеет конечную степень над К.
Тогда [К (Е \J F): К] < [Е : К] [F : К], и равенство [K(E[JF):K] =
= [Е: К] [F : К] выполняется в том и только в том случае,
когда Е и F линейно разделены над К.
Действительно, пусть С—подкольцо расширения Q, порож-
порожденное множеством Е \J F. Пусть, далее, (bj)i<^j<:n — базис F над К;
тогда С отождествляется с векторным пространством над Е,
порожденным элементами bj, следовательно, С — алгебра конеч-
конечного ранга, не превосходящего п, над полем Е. Так как С

92 поля гл. v, § 2
содержится в некотором поле и, следовательно, является областью
целостности, то С—поле (следствие предложения 1). Отсюда
следует, что C = E(F)m [E(F):E]<[F :K]. Равенство [E(F):E] =
= [F: К] означает, что элементы bj линейно независимы над Е,
и следовательно, поля Е и F линейно разделены над К. Часть
а) предложения доказана. Часть б) тотчас следует из части
а), так как [E(F):K] = [E(F): Е][Е: К].
Если Е и F — расширения поля К бесконечной степени, содер-
содержащиеся в Q, то подкольцо С, порожденное множеством Е \J F,
не обязано быть полем (упражнение 1), однако поле частных
кольца С совпадает с K(E\JF). В более общем случае, когда
А — такое подкольцо Е, что Е совпадает с полем частных кольца А,
а В — такое подкольцо F, что F совпадает с полем частных
кольца В, наконец, С — подкольцо поля Q, порожденное мно-
множеством A U В, тогда поле К (Е [j F) совпадает с полем частных
кольца С, так как оно является наименьшим подполем поля Q,
содержащим С, Е и F. Кроме того, мы имеем
Предложение 5. Пусть Е и F—расширения поля К, содер-
содержащиеся в Q. А и В — подколъца кольца Q, содержащие К
и такие, что Е—поле частных кольца A, a F — поле частных
кольца В. Для того чтобы поля Е и F были линейно разделены
над К, необходимо и достаточно, чтобы кольца А и В были
линейно разделены над К.
Условие, очевидно, необходимо. Обратно, если А ж В линейно
разделены над К, то линейно разделены кольца А и F, так как,
если семейство элементов поля Q независимо, относительно В,
то оно независимо относительно поля частных F кольца В
(гл. III, § 2, предложение 5). То же рассуждение показывает
затем, что поля Е и F линейно разделены над К.
Предложение 6. Пусть Е и F—расширения поля К, содер-
содержащиеся в Q. Если Е и F линейно разделены над К, то всякое
подрасширение расширения Е и всякое под расширение расшире-
расширения F линейно разделены над К. Обратно, если всякая пара
подрасширений конечного типа Е' и F' расширений Е и F соот-
соответственно линейно разделена над К, то Е и F линейно раз-
разделены над К.
Действительно, условие линейной разделенности расширений
Е и F можно выразить следующим образом: если (аа)—произ-

3 РАСШИРЕНИЯ 93
вольное независимое семейство элементов расширения Е и FР) —
произвольное независимое семейство элементов расширения F,
то из соотношения 2 ^араа^р = 0. где Яар ? К, должны вытекать
а, Р
равенства Яар = О (для всех пар индексов сф). Но это условие
выполняется для любой пары независимых семейств, если
оно выполняется для любой пары конечных независимых се-
семейств.
Образно говоря, линейная разделенность является свойством
«конечного характера».
Предложение 7. Пусть E,F, G— расширения поля К, содер-
содержащиеся в расширении Q поля К, и пусть FczG. Для того
чтобы поля Е и G были линейно разделены над К, необходимо
и достаточно, чтобы поля Е и F были линейно разделены над К,
а поля Е (F) и G были линейно разделены над F.
Условие необходимо, так как, если Е и G линейно разделены
над К, то Е и F линейно разделены над К (предложения 6).
С другой стороны, всякий базис (аа) поля Е над К является
одновременно базисом алгебры F [Е] над полем F. Так как, по
предположению, семейство (аа) независимо относительно G, то ал-
алгебры F [Е] и G линейно разделены над F, а следовательно, ли-
линейно разделены и поля E(F) = F(E) и G (предложение 5).
Условие достаточно, так как при тех же обозначениях оно
влечет независимость семейства (яа) над полем F; следовательно,
(аа) составляет базис алгебры F(E) над F. По предположению,
F (Е) и G линейно разделены над F, следовательно, семейство (аа)
независимо над G. Отсюда следует линейная разделенность полей
Е и G над К.
Упражнения. 1)В поле К (X, У) рациональных дробей от
двух переменных над полем К доказать, что К (X) и К (У) — линейно
разделенные расширения поля К, но подпольно поля К (X, У),
порожденное множеством К (X) \J К (У), отлично от К (X, У) (см. § 9,
упражнение 4).
2) Пусть А-—произвольная алгебра над полем К, имеющая конеч-
конечный ранг над К, и пусть элемент а ? А не является делителем нуля
слева. Доказать, что существует такой элемент е ? А, что ех = х для
всех х? А, и такой элемент b ? А, что ab=e (см. гл. I, § 2, упраж-
упражнение 9). Вывести отсюда, что если А имеет конечный ранг над К
и не содержит делителей нуля, то А — тело (не обязательно ком-
коммутативное).

94 поля гл. v, § 3
§ 3. Алгебраические расширения
1. Алгебраические элементы
Пусть К—поле, Е—расширение поля К, х?Е. Мы будем
изучать подкольцо К [х] поля Е, порожденное х и К (гл. IV,
§ 2, п° 1). Это кольцо является областью целостности, изоморф-
изоморфной К [Х]/а, где й— идеал алгебраических соотношений с коэф-
коэффициентами из К, которым удовлетворяет элемент х (или модуль
линейных соотношений с коэффициентами из К между одночле-
одночленами xn(n?N): см. гл. IV, § 2, теорема 1). В зависимости от
того, равен @) идеал а или нет, могут представиться два случая.
Определение 1. Элемент х расширения Е поля К называется
трансцендентным над К, если идеал й алгебраических соотно-
соотношений с коэффициентами из К, которым удовлетворяет эле-
элемент х, есть @) (или, что то же, если одночлены xn(n?N)
линейно независимы над К). В противном случае элемент х
называется алгебраическим над К.
Утверждение, что х алгебраичен над К, означает таким
образом, что существуют элементы а,, принадлежащие полю К
и не все равные нулю @< i<п) такие, что ао+сця-)- ... +апхп = 0.
Если идеал й ненулевой, то, как известно (гл. IV, § 1, пред-
предложение 7), он является главным идеалом (/) в кольце К[Х];
многочлен /, если считать его унитарным, определяется одно-
однозначно. Пусть п — степепь /; тогда классы по модулю (/) элементов
Xh @<&<7i — 1) образуют базис алгебры K[X]/(f) над полем
К (гл. IV, § 1, предложение 4). Так как кольцо К [X]/(f), изоморф-
изоморфное кольцу К [х], является областью целостности и имеет конечный
ранг над К, то оно—поле (§ 2, следствие из предложения 1).
Следовательно, (/) — максимальный идеал и / — неприводимый
многочлен; кроме того, так как •?[?]•—поле, то оно совпадает,
по определению, с К(х) п имеет конечную степень над К.
Определение 2. Пусть х—алгебраический над К элемент
расширения Е поля К; число [К (х): К] называется степенью
элемента х над К.
В частности, для того чтобы алгебраический над К элемент
принадлежал К, необходимо и достаточно, чтобы его степень
над К была равна 1.

i АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ 95
Таким образом мы доказали следующую теорему:
Теорема 1. а) Для того чтобы элемент х расширения Е поля К
был алгебраическим над К, необходимо и достаточно, чтобы
кольцо К [х] было алгеброй конечного ранга над К; тогда это
кольцо совпадает с полем К (х).
б) Если х имеет степень п над К, то существует единствен-
единственный унитарный многочлен f ?К [Х[ степени п такой, что f (х) = 0.
в) Многочлен f неприводимый. Множество многочленов
g?K[X] таких, что g(x) = 0, является главным идеалом (/).
г) Отображение g—>g (x) является гомоморфизмом кольца К [Х\
на поле К(х). Поле К (х) изоморфно полю К [X]/(f), и элементы
1-х0, х, х2, ..., хп~г образуют базис К(х) над К.
Определение 3. Пусть х — алгебраический над К элемент рас-
расширения Е поля К; минимальным многочленом элемента х над К
будем называть единственный унитарный неприводимый много-
многочлен f?K[X], для которого f(x) = O.
Это равносильно утверждению, что/ —унитарный многочлен
кольца К [X] степени, равной степени элемента х над /Читакой,
что / (х) = 0.
Таким образом, всякий неприводимый унитарный многочлен
кольца К[Х] является минимальным многочленом каждого из
своих корней во всяком расширении Е поля К (если у него вообще
есть корни в расширении Е).
Корни неприводимого многочлена / ? К [X] в расширении Е
поля К не обязаны быть простыми. Точнее, справедливо следую-
следующее утверждение:
Предложение 1. Пусть К — поле характеристики р, х —
алгебраический над К элемент расширения Е поля К. Для того
чтобы х был простым корнем своего минимального многочлена /
над К, необходимо и достаточно, чтобы f не принадлежал
кольцу К [xv].
Действительно, для того чтобы х был кратным корнем много-
многочлена /, необходимо и достаточно, чтобы /' (х) = 0 (гл. IV, § 4,
предложение 3). Следовательно, многочлен /' должен делиться
на / (теорема 1). Это возможно только при /' = 0, так как в про-
противном случае мы имеем cleg /' <; deg / и /' не может быть крат-
кратным /. Так как условие /' = 0 эквивалентно включению / ? К [х^]
(§ 1, предложение 4), предложение доказано.

96 поля гл. v, § 3
Следствие 1. Пусть К — поле характеристики нуль, Е — про-
произвольное расширение поля К, f — неприводимый многочлен
кольца К [X]; тогда все корни многочлена f в Е простые.
Примеры.0 1) В поле комплексных чисел С число i алгебраи-
алгебраическое и имеет степень 2 над простым полем Q. Действительно, если
f (x) — x2J\-\, то /(i) = 0, но х2-\-1ф0 ни для одного числа х G Q,
следовательно, i $ Q. Поле Q (i) является расширением степени 2
поля Q, оно состоит из чисел а-\-Ы, где а и Ь — рациональные. о 96
2) Пусть К—поле, F—поле К(X) рациональных дробей от одной
переменной над К. Пусть Е — подполе К (X3) поля F; тогда F = E (X)
н элемент X — алгебраичен над Е, так как он является корнем
многочлена У3— X3 кольца ?[У]. Этот многочлен неприводим
в кольце Е [У], ибо в противном случае он имеет по крайней мере
один множитель первой степени, и, следовательно, существуют два
ненулевых многочлена и и ь кольца К[Х] такие, что (м(Х)K =
= Х3 (у (X3)K. Это невозможно, потому что, обозначая буквами тип
степени многочленов миг;, соответственно получаем 9m. = 9n + 3 или
3>п — Зп-\-1. Следовательно, поле F является расширением степени
3 поля Е, и всякий элемент поля F можно записать единственным
образом в виде / (Х3) + Х^(Х3) + Х2А (X3), где /, g, А —рациональные
дроби, принадлежащие К(Х).
Если К имеет характеристику 3, то неприводимый многочлен
У3 — X3 принадлежит кольцу ?[У3| и, следовательно (предложе-
(предложение 1), его корни в F кратные. Впрочем легко видеть, что X —
единственный корень этого многочлена в поле F, так как в поле
характеристики р равенство хР = уР влечет х — у (§ 1, предложе-
предложение 1).
°3) В поле R действительных чисел .можно доказать *), что число л
трансцендентно над простым полем Q (см. упражнение 1).о
Предложение 2. Пусть Е — расширение поля К, х — эле-
элемент Е, алгебраический над К. Для любого поля F, промежу-
промежуточного между К и Е, элемент х алгебраичен над F, его мини-
минимальный многочлен над F делит минимальный многочлен х над К,
а степень х над F не превосходит степени х над К.
Действительно, пусть / — минимальный многочлен элемента а;
над К. Поскольку /(ж) = 0 и f^F[X], x алгебраичен над F и,
следовательно, / кратен минимальному многочлену элемента х
над полем F (теорема 1 в)).
*) См., например, D. Hilbert, Gesammelte Abhandlungen, Berlin
(Springer), 1932, t. I, p. 1

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ 97
Замечание. Пусть А — коммутативная алгебра над полем К,
обладающая той же единицей, что и К (которая, следовательно, со-
содержится, в А). Определение 1 применимо без изменений к произ-
произвольному элементу х алгебры А. Если элемент х алгебраичен над К,
то идеал а алгебраических соотношений с коэффициентами в К, ,ко-
торым удовлетворяет элемент х, является главным идеалом (/), где
/^-унитарный многочлен кольца К[Х], который, вообще говоря,
не обязан быть неприводимым. Подалгебра К [х] алгебры А изоморфна
кольцу К [Х}1 (/), и если / имеет степень п, то элементы 1, х, х2, ...
..., хп~1 образуют базис алгебры К [х] ^над К. Заметим, что если
п. п
/= 2 akXk и если а0 ф О, то — 1=2 J1 aolahxh> следовательно,
fe=0 k=i
п
х обратим в К[х] и г~1=— ^j aolahxk-
2. Алгебраические расширения
Определение 4. Расширение Е поля К называется алгебраи-
алгебраическим (или надполе Е поля К называется алгебраическим над К;
или еще, что то же, расширение Е является алгебраическим
над К), если всякий элемент расширения Е является алгебраи-
алгебраическим над К. Расширение Е поля К, не являющееся алгебраи-
алгебраическим, называется трансцендентным (над К).
Предлон1ениб 3. Для того чтобы расширение Е поля К было
алгебраическим, необходимо и достаточно, чтобы всякое кольцо А,
для которого KdAdE, было полем.
Условие необходимо, так как если Е — алгебраическое расши-
расширение поля К и х Ф 0 — элемент кольца А, то подкольцо К [х\
кольца А совпадает с полем К(х) (теорема 1а)), следовательно,
элемент х обратим в А, т. е. А—-поле. Условие достаточно;
если оно выполнено и х — произвольный ненулевой элемент рас-
расширения Е, то кольцо К [х] представляет собой поле, следова-
следовательно, х'1 ? К \х\, т. е. (гл. IV, § 2, предложение 1) существует
многочлен g ? К [X] такой, что х~х = g(x). Тем самым xg (х) — 1 = О,
что означает алгебраичность х над полем К; следовательно,
Е — алгебраическое расширение поля К.
Предложение 4. Если расширение Е поля К имеет конечную
степень п, то оно алгебраическое, и степень над К произволь-
произвольного элемента расширения Е делит п.
^ Н. Бурбаки

S8 поля гл. v, § $
Действительно, для любого х?Е число [К(х):К] конечно
и делит п (§ 2, следствие 1 из теоремы 1), и следовательно,
элемент х алгебраичен над К.
Утверждение, обратное этому предложению, неверно; позже-
(§ 4, п° 2) мы дадим пример алгебраического расширения бесконечной
степени.
Предложение 5. Пусть Е = К{а[, аг, .. ., ат)— расширение
поля К конечного типа и пусть все элементы агA<г<яг) алгеб-
раичны над К. Тогда Е — расширение поля К конечной степени.
Пусть nt —степень элемента at над полем К (аи а2, ..., а^у);
тогда степень поля Е над К равна п{п2 . .. пт, и элементы
а^а|2 ... а*™ @<v* <ftj_i) образуют базис расширения Е поля К.
Действительно, элементы а?А (О<vi<«j_1) образуют базис по-
поля К (аи а2, ..., а;) над К (аь а2, ... ,at_i) (теорема 1г)). Предло-
Предложение непосредственно получается индукцией по т из предло-
предложения I гл. II, § 5 (см. § 2, п° 1).
Замечания. 1) Мы имеем E=K[ai, «2, ...,ат], и, следова-
следовательно, поле Е изоморфно факторкольцу K[Xi, Х2, ..., Хт]/а, где
а —идеал алгебраических соотношений между элементами я; с коэф-
коэффициентами из К (гл. IV, § 2, теорема 1); так как Е—поле, то а —
максимальный идеал кольца К [Х±, ...,Хт].
2) Пусть Е — алгебраическое расширение поля К бесконочной
степени. Из предложения 5 следует существование бесконечной после-
последовательности (я„) элементов Е таких, что яга $/i (at, «2> • • •? ап-\)-
Кроме того, предложение 5 показывает, что степень поля
К(в4, а2, ..., ап) над К может принимать как угодно большие зна-
значения. Иначе говоря, если Е — такое алгебраическое расширение
поля К, что степени [F : К] подрасширепий конечной степени поля Е
ограничены, то Е — расширение конечной степени поля К.
Предложение 6. Пусть Е — расширение поля К, А—часть Е,
состоящая из алгебраических над К элементов; тогда К(А) —
алгебраическое расширение поля К.
Действительно, всякий элемент х, принадлежащий К {А), при-
принадлежит полю K(F), где F—конечная часть А (§ 2, следст-
следствие из предложения 3); расширение К (F) алгебраично над К
(предложение 5), следовательно, элемент х алгебраический над К.
Предложение 7. Пусть Q — некоторое расширение поля К,
Е и F — расширения К, содержащиеся в Q. Если расширение F

3 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ 99
алгебраично над К, то псдкольцо С, порожденное множеством
Е U F, является полем, ксторсе atnudaem с E(F) и алгебраично
над Е.
Действительно, всякий элемент расширения F, будучи алгеб-
раичным над К, алгебраичен над F (предложение 2), следова-
следовательно (предложение 6), Е (F)—алгебраическоерасширениеполя.Е1.
Так как С — кольцо, содержащееся в Е (F) и содержащее Е, то
С — поле (предложение 3), следовательно, оно совпадает с Е (F)
ввиду определения последнего.
3. Транзитивность алгебраических расширений.
Поля, алгебраически замкнутые внутри своего
расширения
Предложение 8. Пусть Е и F — два надполя поля К и К d
ClECZF. Для того чтобы поле F было алгебраическим над К,
необходимо и достаточно, чтобы Е было алгебраическим над К,
a F алгебраическим над Е.
Условие необходимо ввиду предложения 2. Докажем, что оно
достаточно. Пусть х — произвольный элемент расширения F; он
алгебраичен над Е; пусть g ? Е [X] — минимальный многочлен
элемента х над Е. Обозначим символом А множество (конеч-
(конечное) коэффициентов многочлена g; элемент х алгебраичен над
полем К (А). Так как расширение К (А) имеет конечную степень
над К (предложение 5), а расширение К (А [] [х}) = К (А) (х)
имеет конечную степень над К (А), то (§ 2, теорема 1) расшире-
расширение К (Л U {х}) имеет конечную степень над К и, значит, элемент
х алгебраичен над К (предложение 4).
Определение 5. Подполе К поля Е называется алгебраически-
замкнутым в Е, если всякий элемент расширения Е, алгебраи-
алгебраический над К, принадлежит К.
Это равносильно утверждению, что К — единственное алге-
алгебраическое расширение поля Е,. содержащееся в Е. Всякое поле
является алгебраически замкнутым в себе. В § 4 мы изучим
поля, алгебраически замкнутые в любом надполе.
Предложение 9. Пусть i? — произвольное надполе поля К. Мно-
Множество L тех элементов поля Е, которые алгебраичны над К,
составляет поле, алгебраически замкнутое в Е.
7*

100 поля гл. v, § 3
Действительно (предложение 6), поле К (L) алгебраично над К,
следовательно, К (L) CZ L, и, значит, К (L) = L и L—поле. С дру-
другой стороны, если элемент х?Е алгебраичен над L, то он алге-
браичен над К (предложение 8) и, следовательно, принадлежит L.
Расширение L поля К, состоящее из элементов Е, алгебраич-
ных над К, называют алгебраическим замыканием поля К в Е.
Оно является наибольшим алгебраическим расширением поля К,
содержащимся в Е.
Упражнения. 1) Доказать, что всякое алгебраическое рас-
расширение Е поля К равномощно части множества KxN (рассмотреть
отображение, ставящее в соответствие каждому элементу из Е его
минимальный многочлен над К; [использовать тот факт, что мно-
множество копечных частей бесконечного мпожества А равномощно А).
В частности, всякое алгебраическое расширение конечпого поля
счетпо и всякое алгебраическое расширение бесконечного поля К
равномощно К. "Вывести отсюда, что в поле R действительных чисел
существуют трансцендентные нал простым полем Q числа и что мно-
множество их имеет мощность континуума. о
2) Пусть Е — расширение поля К, х и у— два различных кор-
корня одного и того же неприводимогомногочленакольцаАГ[Х], х, у ?Е.
Доказать, что расширения К (х) и К(у) не являются линейпо разде-
разделенными пад К (использовать предложение 4 а), § 2). "Если в ка-
качестве К взять Q, в качестве Е поле С комплексных чисел, в ка-
качестве х действительный корень и в качестве у комплексный корень
многочлена а;3 —2, то доказать, что К (х) [}К(у)=К.о
3) Пусть (EJ — семейство расширений поля К, содержащихся
в расширении G поля К. Пусть F% — алгебраическое замыкание по-
поля К в Е; доказать, что алгебраическое замыкание поля К в E—f] Et
i
есть F= П Fv
i
* 4) Пусть К—поле, А — подкольцо поля K,LczK—поле частных
кольца А.
а) Доказать, что если К есть Л-модуль, допускающий нонеч-
п
ную систему образующих, то L = A. (Полагая К = 2 А.°Ь Доказать,
i=l
что L есть Л-модуль с конечным числом образующих, разлагая К,
рассматриваемое как векторное пространство над L, в прямую сум-
сумму L и некоторого дополнительного подпространства.)
б) Доказать, что если существует конечное число элементов я*
поля К алгебраичных над L и таких, что К=А[х1, ...,хп], то
существует отличный от дуля элемент Ь?А такой, что L=A -у I

/ АЛГЕБРАИЧЕСКИ ЗАМКНУТЫЕ РАСШИРЕНИЯ 101
(доказать существование элемента Ь ? А такого, что К нвляет-
ся а\ -j- -модулем с конечным числом образующих). Вывести
отсюда, что Ь принадлежит всем максимальным идеалам кольца А.
§ 4. Алгебраически замкнутые расширения
1. Алгебраически замкнутое поле
Предложение 1. Для любого поля К следующие четыре свойст-
свойства эквивалентны.
(АС) Всякий непостоянный многочлен кольца К \Х] разла-
разлагается в этом кольце в произведение многочленов первой степени.
{АС) Всякий непостоянный многочлен кольца К [X] имеет
хотя бы один корень в К.
{АС") Всякий неприводимый многочлен кольца К [X] является
многочленом первой степени.
{АС") Всякое алгебраическое расширение поля К совпадает с К
(иначе говоря, поле К алгебраически замкнуто во всех своих
надполях).
Докажем сначала, что свойства {АС), {АС) и {АС") эквива-
эквивалентны. Ясно, что (АС) влечет (АС); {АС) влечет (АС), так
как всякий непостоянный многочлен кольца К [X] делится на
некоторый неприводимый многочлен (гл. IV, § 1, предложение 8),
который, являясь многочленом первой степени, имеет корень в К.
Наконец, {АС) влечет {АС), так как из (АС) индукцией по п
выводится, что всякий многочлен степени п в К [X] является
произведением п многочленов первой степени (гл. IV, § 2, пред-
предложение 5).
Остается показать, что свойства (АС") и (АС") эквивалентны.
Если К обладает свойством (АС"), то всякий алгебраичный над К
элемент имеет степень 1 над К (§ 3, теорема 1 в)). Следовательно,
он принадлежит К, т. е. выполнено условие (АС"'). Наоборот,
предположим, что К обладает свойством (АС")\ пусть/ — непри-
неприводимый многочлен кольца К[Х\; тогда идеал / максимален
в кольце К[Х], и поле K[X)l(f) имеет конечную степень над К
(гл. IV, §. 1, предложение 4), следовательно, оно алгебраично
над К (§ 3, предложение 4). Так как оно должно совпадать с К,
то / имеет степень 1, и условие (АС") доказано.

102 поля гл. v, § 4
Определение 1. Поле К называется алгебраически замкнутым,
если оно обладает (эквивалентными) свойствами (АС), (АС),
(АС"), (АС").
Заметим, что, разумеется, поле К, алгебраически замкнутое
в данном расширении Е поля К, не обязано быть алгебраически
замкнутым. Это последнее понятие имеет внутренний характер, т. е.
зависит только от структуры поля К, в то время как первое сущест-
существенно зависит от рассматриваемого расширения Е.
Из предложения 1 вытекает следующее следствие.
Следствие. Пусть К — подполе алгебраически замкнутого по-
поля Е; тогда алгебраическое замыкание F поля К в Е является
алгебраически замкнутым полем.
Действительно, всякий непостоянный многочлен кольца F [X]
обладает по крайней мере одним корнем в Е; этот корень,
будучи алгебраичным над F, алгебраичен над К (§ 3, предло-
предложение 8), следовательно, принадлежит F.
Примеры. * 1) Поле С комплексных чисел является алгебраи-
алгебраически замкнутым (Общ. топол., гл. VIII, § 1, теорема 1).
2) Конечное поле К не может бить алгебраически замкнутым;
действительно, пусть (xiI^{<n —конечная последовательность, со-
составленная из всех элементов поля К. Многочлен
те
= 1+ П
X (X—х,) поля К[Х\ не может иметь корня в поле К, следова-
следовательно (предложение 1), К не является алгебраически замкнутым.
2. Алгебраически замкнутые расширения
Теперь мы собираемся доказать существование алгебраически
замкнутого поля, содержащего произвольное данное поле. Вве-
Введем следующее определение.
Определение 2. Расширение поля К будем называть алге-
алгебраическим замыканием поля К, если оно алгебраично над К
и алгебраически замкнуто.
При доказательстве существования алгебраического замыка-
замыкания мы будем пользоваться следующим важным предложением:
Предложение 2. Пусть К—поле, (Еа)а?А — произвольное се-
семейство расширений поля К; тогда существует расширение Е

2 АЛГЕБРАИЧЕСКИ ЗАМКНУТЫЕ РАСШИРЕНИЯ 103
поля К и для каждого а ? А К-изоморфизм иа расширения Еа
¦в Е такие, что Е порождается объединением иа (Еа).
В самом деле, рассмотрим тензорное произведение F=(%)Ea
(А)
расширений Еа, рассматриваемых как алгебры над К (гл. III,
приложение 1, п° 2). F — коммутативная алгебра над К, обла-
обладающая единицей, которую можно отождествить с единицей
поля К, и для каждого а ? А существует канонический К-изо-
морфизм va расширения Еа на подполе Е'а алгебры F, содержа-
содержащее К. Пусть а — некоторый максимальный идеал алгебры F
{гл. I, § 8, теорема 1); тогда факторалгебра F/a является полем
(гл. I, § 9, теорема 2). Так как единица расширения Е'а совпадает
с единицей алгебры F, то пересечение Еа[)а, являющееся идеалом
в Е'а, содержит лишь нуль (гл. I, § 9, предложение 2). Следова-
Следовательно, канонический гомоморфизм ф алгебры F на F/a, ограни-
ограниченный на Е'а, является if-изоморфизмом Е'а на ц>(Е'а). Так как
объединение расширений Е'а порождает F (гл. III, приложение 1,
п° 2), то объединение полей ц>(Е'а) порождает F/a. Таким образом,
условия предложения 2 выполняются, если взять Е = F/a ии„ =
= ф°^а для всех а?А.
Чаще всего мы будем отождествлять Еа с иа(Еа) с помощью
изоморфизма иа и рассматривать поля Еа как погруженные в рас-
расширение Е.
Теорема 1 (Штейниц). Пусть К —поле, Q — алгебраическое
замыкание поля К, Е — произвольное алгебраическое расширение
поля К; тогда существует К-изоморфизм Е в Q.
Действительно, ввиду предложения 2 существует расширение N
поля К, содержащее Q и if-изоморфизм и расширения Е в N
такие, что N порождается множеством QIJm^). Так как расши-
расширения Q и и(Е) алгебраичны над К, то N — алгебраическое рас-
расширение поля К (§ 3, предложение 6) и тем более N алгебраично
над Q, а так как Q—поле, алгебраически замкнутое, то N = Q
(предложение 1). Теорема доказана.
Следствие. Пусть Е и Е' — два поля, и — изоморфизм Е на Е'',
F — алгебраическое расширение поля Е, Q — алгебраическое замыка-
замыкание поля Е'\ тогда существует изоморфизм расширения F в Q,
продолжающий и.
Пусть /" — «сумма» (Теор. мн., Рез., § 4, п° 5) множеств Е'
и F[\CE; Ui — взаимно однозначное отображение F на F',

104 поля гл. v, § 4
продолжающее и. Перенося на F' структуру поля F с помощью
отображения uit мы снабжаем F' структурой поля, изоморфного F,
и превращаем ut в изоморфизм F на F', продолжающий и. По-
Поскольку F' — алгебраическое расширение поля Е', то по теореме 1
существует ?"-изоморфизм v поля F' в Q. Изоморфизм уом, поля F
в Q является искомым изоморфизмом.
Возможность «продолжать» всякое алгебраическое расширение
поля К в алгебраическое замыкание поля К характеризует алге-
алгебраическое замыкание поля К. Именно:
Предложение 3. Пусть Е — алгебраическое расширение поля К.
Если для всякого расширения F конечной степени поля К суще-
существует К-изоморфизм F в Е, то расширение Е алгебраически
замкнуто.
Будем рассуждать от противного и предположим, что суще-
существует алгебраическое расширение Е' поля Е, отличное от Е.
Пусть а; — элемент расширения Е' и х ^ Е. Так как х алгебраичен
над Е, он алгебраичен и над К (§ 3, предложение 8). Пусть/ —
минимальный многочлен элемента х над К, т — число различных
корней многочлена /, содержащихся в поле Е (т не может быть
нулем), и уи у2, .. ., ут—все эти корни. Подполе К (х, уи у2, ..., ут)
является расширением поля К, содержащимся в Е' и имеющим
конечную степень над К (§ 3, предложение 5), и многочлен /
имеет в нем не менее чем т + 1 различных корней. Следовательно,
не может существовать if-изоморфизм поля К(х,уи ..., ут)
в Е, так как в Е многочлен / обладает только т различны-
различными корнями.
Таким образом, мы пришли к противоречию, которое доказы-
доказывает предложение.
Теперь мы обладаем всем необходимым, чтобы доказать суще-
существование и единственность (с точностью до изоморфизма) алге-
алгебраического замыкания произвольного поля.
Теорема 2 (Штейниц). Всякое поле К обладает некоторым
алгебраическим замыканием. Кроме того, для любых двух алге-
алгебраических замыканий Q и Q' поля К существует К-изоморфизм
й на й'.
Рассмотрим алгебру многочленов А = К[Хп]п^ и семейство
полей К[Х0, Xit ..., Хт]/л, где /п принимает все целые положи-
положительные значения и где для каждого т, й пробегает множество

2 АЛГЕБРАИЧЕСКИ ЗАМКНУТЫЕ РАСШИРЕНИЯ 105
всех максимальных идеалов алгебры К [Хо, Хь ..., Хт] *). Обозна-
Обозначим это семейство через (E\)x^L. Для всякого алгебраического рас-
расширения F конечной степени поля К существует К -изоморфизм
F на (по крайней мере) одно поле Е\ (§ 3, замечание 1 к пред-
предложению 5). Ввиду предложения 2 существует расширение Е
поля К такое, что для каждого %?L существует ^-изоморфизм
U}. поля Е% в Е. Пусть Q — алгебраическое замыкание поля К
в Е (§ 3, п° 3); тогда Q содержит все расширения их(Ех), являю-
являющиеся алгебраическими над К. Следовательно, для всякого рас-
расширения F конечной степени поля К существует .ЙГ-изоморфизм
расширения F в Q. В силу предложения 3 Q является алгебраи-
алгебраическим замыканием поля К. Если Q' — другое алгебраическое-
замыкание поля К, то по теореме 1 существует /^-изоморфизм
v расширения Q' в Q, а так как поле y(Q') алгебраически замк-
замкнуто, a Q алгебраично над К и, следовательно, над v(Q'), to
v(Q') — Q, чем и завершается доказательство.
Замечание. В частности, всякое конечное поле К допускает
алгебраическое замыкание Q, которое должно быть бесконечный
полем (п° 1, пример 2). Так как всякое алгебраическое расширение
конечной степени поля К является конечным полем, то Q является
алгебраическим расширением бесконечной степени над К.
Пусть Q — алгебраическое замыкание поля К; тогда всякий
отличный от константы многочлен / кольца К[Х] принадлежит
кольцу Q [Х\ и, следовательно (предложение 1), равен произведе-
произведению множителей первой степени из Q[X]. Пусть х% (l^Ci^Cm) —
различные корни многочлена / в й; тогда сумма порядков крат-
кратности Xi равна степени многочлена f (см. гл. IV, § 2, теорема 2).
Поле E — K(xi, ...,xm), порожденное элементами хи называется
полем корней (над К) многочлена / в расширении Q. Оно алге-
алгебраично, имеет конечную степень над К (§ 3, предложение 5)
и определено (независимо от Q) с точностью до изоморфизма.
Действительно, пусть F — произвольное расширение поля К такое,
что многочлен / равен произведению множителей первой степени
*) Множества К[Х0, Хи ..., Хт]/а являются частями множества $ (А).
(мы отождествляем К[Х0, ..., Хт] с подалгебрами алгебры А). Укажем
явно, что когда одно из этих множеств содержится в другом, мы не пред-
предполагаем, что первое является подполем второго (хотя можно доказать,,
что это действительно имеет место).

106 поля гл. v, § 4
¦(не обязательно различных) в кольце F \Х]. Пусть yj A</<д) —
различные корни многочлена / в поле F. По теореме 1 существует
isT-изоморфизм и подполя К{у!, ..., yq) поля F на подполе Е'
поля Q, а так как / равен произведению множителей первой
¦степени в кольце Е [X], то элементы х] = и (yj) (I < j < q) являются
единственными корнями многочлена / в поле Q. Этим доказано,
что q = m и x'j — xj для 1</<»г (с точностью до перестановки),
•откуда Е' = Е. Допуская вольность речи, мы будем иногда гово-
говорить о поле корней многочлена / без указания расширения поля К,
содержащего это поле.
Заметим, что поле корней K(xit ..., хт) многочлена / отли-
отличается, вообще говоря, от поля К(х{), порожденного одним из кор-
корней xi многочлена / в Q (см. § 6, упражиение 7). В частности,
степень K(xf, ..., хт) над К в общем случае строго больше степени
многочлена /. Заметим также, что поле К(xit ..., хт), вообще говоря,
не изоморфно факторкольцу K[X]l(f), даже если многочлен / непри-
неприводим (если / не является неприводимым, то это факторкольцо
содержит делители нуля).
Упражнения. *1) а) Пусть Е — такое алгебраическое расши-
расширение поля К, что всякий многочлен, отличный от константы, кольца
К[Х\ разлагается в произведение множителей первой степени в Е[Х].
Доказать, что Е является алгебраическим замыканием поля К (если
элемент х алгебраичен над Е, то он алгебраичен и над К; рассмо-
рассмотреть минимальный многочлен элемента х над К).
б) Пусть К—бесконечное поле, Е — такое алгебраическое расши-
расширение поля К, что всякий многочлен, отличный от константы, кольца
К[Х\ обладает хотя бы одним корнем в Е. Доказать, что Е — алгеб-
алгебраическое замыкание поля К (пусть Q — некоторое алгебраическое
замыкание поля Е, / — многочлен кольца К [X], xi (I < i < m) — его
т
различные корни в Q; рассмотреть т элементов \ц = 2 ^iixh гДе ziJ
суть иг2 произвольных элементов поля К и доказать, что можно
выбрать такие гц, что det (гц) ф 0 и все щ принадлежат полю Е;
использовать предложение 8 гл. IV, § 2).
2) Доказать существование алгебраического замыкания поля К,
не пользуясь результатами § 4, следующим образом: рассмотреть
в множестве A = K[X]xN часть К, состоящую из элементов
х=(Х — х, 0), где х пробегает К, и перенести на К структуру поля К
с помощью отображения х-+-х. Пусть © — множество структур по-
поля 2,-определенных на частях множества А, которое упорядочено
«по продолжению», т. е. положим 2^2', если 2 определено

1 ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 107
на ?сА и 2' на Е' С А и если поле Я, снабженное структурой 2,
является подполем поля Е', снабженного структурой 2'. Доказать,
что S — йндуктивпое множество; то же верно для части 20 множе-
множества ©, состоящей из структур 2, продолжающих структуру К
и таких, что для всякого элемента z—(f(X), то) части множества А,
на которой 2 определена, имеем /(z) = 0 (в смысле структуры 2).
Наконец, доказать, что всякий максимальный элемент направленного
множества <ё0 является структурой алгебраически замкнутого поля,
продолжающей структуру К.
3) Пусть К — лоле, / — многочлен кольца К [X, У]. Предположим,
что имеется соотношение вида (f(X)f(X, Y) = g(X, Y)h(X, Y), где g
и h — многочлены кольца К [X, Y] такие, что коэффициенты много-
многочлена g, рассматриваемого как многочлен от Y, взаимно просты
ж где ф — многочлен кольца К\Х]. Доказать, что тогда все коэффи-
коэффициенты многочлена h, рассматриваемого как многочлен от Y, делятся
на ф(Х). (Рассмотреть ф, /, g, h как многочлены от X над полем К (У)
и разложить их в произведение многочленов первой степени в алге-
алгебраическом замыкании Q поля K(Y), Заметить наконец, что если К' —
алгебраическое замыкание поля К, то о. н, д, в кольце К' [х] много-
многочленов кольца К [X] принадлежит К[Х\.)
4) Пусть К—поле, и и и — рациональные дроби, отличные от кон-
констант, поля К (X). Для того чтобы дробь и (и) была многочленом,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из двух условий:
а) либо и и v — многочлены, б) либо u=f/(X—a)n, v—а=—, где /
О
и g являются многочленами, а а — элемент поля К и степень / не пре-
превосходит п (рассмотреть алгебраическое замыкание поля К, в котором
разложить на множители числитель и знаменатель рациопальных
дробей и и и).
§ 5. Трансцендентные расширения
1. Алгебраически свободные семейства.
Чистые расширения
Мы собираемся обобщить определение трансцендентных эле-
элементов над полем К, данное в § 3 (определение 1).
Определение 1. В расширении Е поля К семейство {xCf^i
элементов расширения Е называется алгебраически свободным
над К, если идеал алгебраических соотношений между xt с коэф-
коэффициентами в К равен @) (или, что то же, если одночлены
jjx относительно xt линейно независимы над К).

108 поля гл. v, § Ь
Если семейство (х,) элементов расширения Е не является
алгебраически свободным над К, мы будем его называть алгебраи-
алгебраически связанным над К.
Определение 1 может быть выражено еще так:
Предложение 1. Для того чтобы семейство (х,)^ элементов
расширения Е поля К было алгебраически свободным над К, необ-
необходимо и достаточно, чтобы из равенства f((xl)) = O, где f —
многочлен кольца if [Xj^j, вытекало равенство / = 0.
Определение 2. Расширение Е поля К называется чистым
расширением поля К, если существует семейство (я^ег элемен-
элементов расширения Е, алгебраически свободное над К и такое, что
E = K(xl)i?i. Такое семейство называется чистым базисом поля Е
над К.
Пустое семейство является алгебраически свободным (гл. IVr
§ 1, п° 2), следовательно, К является своим собственным чистым
расширением. Если множество / не пусто, и (xjiti — чистый
базис чистого расширения Е поля К, то всякий элемент этого
базиса х1 трансцендентен над К. В этом случае мы называем
Е — чисто трансцендентным расширением поля К. Отображение
/ —> f ((хь)) кольца К [XJ,,ej в поле Е является изоморфизмом
этого кольца на кольцо К [x^^i, порожденное объединением К
и множества xv (гл. IV, § 2, теорема 1). Поле частных E = K(xli)l^j
области целостности К[х^\^1, следовательно, изоморфно полю
рациональных дробей К (Xt)iej. Итак:
Предложение 2." Для того чтобы расширение Е поля К было
чисто трансцендентным расширением поля К, необходимо
и достаточно, чтобы Е было изоморфно полю рациональных дро-
дробей над К. Если (x^^i — чистый базис расширения Е, то поле Е
изоморфно К
Замечание. Ясно, что в произвольном расширении Е поля К
всякое семейство, алгебраически свободное над К, является линейно
независимым над К. Иначе говоря, это семейство свободно для
структуры векторного пространства расширения Е (относительно К).
Но обратное неверно, так как, если Е — алгебраическое расширение
поля К, то произвольное непустое семейство элементов из Е (и тем
более семейство линейно независимых элементов над К) не может
быть алгебраически свободным над К. При необходимости избежать
путаницы мы будем говорить, что часть расширении Е поля К,
свободная для структуры векторного пространства расширения Е

2 ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 109
относительно К (соответственно базис Е над К для этой структуры),
является линейно свободной над К (соответственно линейным ^басисом
Е над К).
Заметим, что если семейство (xb)brj элементов расширения Е
алгебраически свободно, то любые два его элемента с различными
индексами различны, поскольку семейство (xj линейно свободно
(гл. II, § 1, п° 6).
Часть S расширения Е поля К называется алгебраически
свободной частью (или алгебраически свободной системой), если
семейство, определяемое тождественным отображением S на
себя, является алгебраически свободным (в этом случае всякое
семейство, определяемое взаимно однозначным отображением
множества индексов на S, является также алгебраически сво-
свободным). Элементы алгебраически свободной части расширения Е
называются также алгебраически независимыми. Если часть рас-
расширения Е не является алгебраически свободной, то говорят,
что она алгебраически связана (или является алгебраически свя-
связанной системой) и что ее элементы алгебраически зависимы.
Если семейство элементов расширения Е является чистым бази-
базисом расширения Е, то множество его элементов тоже называется
чистым базисом расширения Е.
Всякая часть алгебраически свободной части является алге-
алгебраически свободной. Кроме того:
Предложение 3. Для того чтсбы семейство {xi)i^i элементов
расширения Е поля К было алгебраически свободным над К,
необходимо и достаточно, чтобы всякое конечное подсемейство
семейства (x^i было алгебраически свободным над К.
Предложение следует непосредственно из предложения 1.
2. Базисы трансцендентности
Предложение 4. Пусть Е — некоторое расширение поля К,
М и N — части поля Е. Следующие свойства эквивалентны:
а) множество M[JN алгебраически свободно над К uMf]N = ф,
б) множество М алгебраически свободно над К, а множе-
множество N алгебраически свободно над К(М),
в) множество N алгебраически свободно над К, а множество М
алгебраически свободно над K(N).

110 ПОЛЯ ГЛ. V, § J>
Очевидно, достаточно доказать, что а) и б) эквива-
эквивалентны.
1° а) влечет б). Действительно, множество М, будучи частью-
объединения M\JN, алгебраически свободно над полем К.
Если N не является алгебраически свободным над полем K(M)t
то существует (предложение 3) конечное семейство (yj)i^j^n
различных элементов расширения N, алгебраически связанных
над К(М). Следовательно (гл. III, § 2, предложение 5), суще-
существует ненулевой многочлен / кольца К [М] [Yt, ..., Yn\ такой,
что / {Уи • ¦ • > Уп) = 0. Коэффициентами многочлена / являются
многочлены относительно конечного числа различных элементов
?;(l<i<m) расширения М с коэффициентами из поля К.
Соотношение /(j/i, ..., г/га) = 0 можно записать в виде g (xt, ...
..., хт, г/i, ..., уп) = 0, где g— ненулевой многочлен кольца
К[Хи ..., Хт, Yit ..., Yn], но это соотношение противоречит
предположению.
2° б) влечет а). Ясно, что N (~) К (М) = ф и тем боле©
M[]N = ф. Достаточно доказать, что если хгA<{<т) — конеч-
конечное число различных элементов расширения М, J/j(l</<re) —
конечное число различных элементов расширения N, то мно-
множество элементов х% и yj алгебраически свободно над К (пред-
(предложение 3). Если это не так, то существует ненулевой много-
многочлен f?K[Xu ...,Xm,Yu ...,Yn] такой, что f(xu ...,xm>
У и ¦¦¦, Уп) = 0. Пусть g = f(xu . .., xm, Yt, .. ., Yn) — многочлен
кольца К (М) [У|, ..., Уп]; тогда соотношение /(хь ..., хтг
У и ••¦> Уп) = ® можно записать в виде g{yu •••, Уп) = 0. Так
как множество Л" алгебраически свободно над полем К(М), то
каждый коэффициент многочлена g равен нулю, но эти коэф-
коэффициенты имеют вид <р(хи ..., хт), где ц> — многочлен кольца
К[Хи ..., Хт]. Так как эти многочлены не могут быть, все-
равными нулю и поле М алгебраически свободно над К, мы
снова приходим к противоречию.
Следствие. Пусть Е—расширение поля К, В — часть расши-
расширения Е, алгебраически свободная над К. Если элемент х?Е
трансцендентен над К (В), то множество В[]{х} алгебраически
свободно над К.
Предложение 5. Пусть Е — расширение поля К. Для того
чтобы часть L расширения Е была алгебраически свободной над Kt,

2 ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 111
необходимо и достаточно, чтобы любой элемент x^L был транс-
трансцендентным над полем K(L[]C {x}).
Условие необходимо ввиду предложения 4. Для того чтобы
доказать, что оно достаточно, предположим, что оно выполнено,
и будем рассуждать от противного. Если множество L алгебраи-
алгебраически связано над К, то существует конечная часть М множе-
множества L, алгебраически связанная над К (предложение 3). Пусть
N — максимальная алгебраически свободная часть множества М
и Р = Mf]CN. По предположению, Р не пусто, и всякий эле-
элемент х ? Р алгебраичен над полем К (N) ввиду следствия из
предложения 4; тем более элемент х алгебраичен над полем
К (Lf]C {х}) (§ 3, предложение 2), в противоречии с предполо-
предположением.
Предложение 6. Пусть Е — расширение поля К, L —часть
расширения Е, алгебраически свободная над К. Если K'czE —
алгебраическое расширение поля К, то множество L алгебраи-
алгебраически свободно над К'.
Действительно, в противном случае существовал бы (пред-
(предложение 5) элемент x^L, алгебраический над полем К'(М),
где M = Lf)tC{x]. Так как К' (М) = К (М) (К') и всякий элемент
из К' алгебраичен над К и, следовательно, над К(М) (§ 3, пред-
предложение 2), то К' (М) является алгебраическим расширением
поля К (М) и, следовательно, х алгебраичен над К (М)
(§ 3, предложение 8) в противоречии с предположением.
Определение 3. Часть В расширения Е поля К называется
базисом трансцендентности расширения Е, если множество В
алгебраически свободно над К, а поле Е алгебраично над полем К (В).
Чистый базис чистого расширения поля К (определение 2)
является базисом трансцендентности такого расширения. Однако
необходимо заметить, что вообще трансцендентное расширение поля К
не обязано быть чистым (упражнения 3 и 4).
Предложение 7. Пусть Е—расширение поля К. Всякий базис
трансцендентности расширения Е является максимальным эле-
элементом множества (упорядоченного по включению) частей рас-
расширения Е, алгебраически свободных над К. Обратно, если S —
часть расширения Е такая, что поле Е алгебраично над К (S),
то всякая максимальная алгебраически свободная часть множе-
множества S является базизом трансцендентности расширения Е.

112 поля гл. v, § 5
Первая часть утверждения немедленно вытекает из предло-
предложения 5, поскольку, если В— базис трансцендентности расши-
расширения Е над К, то всякий элемент х ? Е алгебраичен над полем
К {В). С другой стороны, если Е — алгебраическое расширение
поля K(S), а В — максимальная алгебраически свободная часть
множества S, то ввиду следствия из предложения 4 всякий эле-
элемент х ? S является алгебраическим над К (В). Следовательно
(§ 3, предложение 8), расширение Е — алгебраическое над К (В).
Теорема 1 (Штейниц). Всякое расширение Е поля К допускает
базис трансцендентности над К. Иными словами, всякое расши-
расширение поля К является алгебраическим расширением некоторого
чистого расширения.
Эта теорема является следствием следующей более точной
теоремы:
Теорема 2. Пусть Е — расширение поля К, S — часть Е такая,
что поле Е алгебраично над K(S), L — часть множества S,
алгебраически свободная над К. Тогда существует такой базис
трансцендентности В расширения Е над К, что LCZ BaS.
Действительно, множество $ алгебраически свободных частей
множества S, упорядоченное по включению, является множе-
множеством конечного характера (Теор. мн., Рез., § 7, п° 11) ввиду
предложения 3. Следовательно, оно индуктивно (Теор. мн., Рез.,
§ 7, п° 9), а тогда индуктивно и множество & алгебраически
свободных частей множества S, содержащих L. По теореме
Цорна © допускает максимальный элемент В, который является
базисом трансцендентности расширения Е над К ввиду предло-
предложения 7.
Заметим, что если S — конечное множество, то доказательство
теоремы 2 проводится без использования аксиомы выбора.
Следствие («Теорема замены»). Пусть Е—расширение поля К,
S— такая часть расширения Е, что Е алгебраично над К (S),
L — алгебраически свободная над К часть расширения Е. Тогда
существует такая часть S' множества S, что объединение L{JS'
является базисом трансцендентности расширения Е над К
и LnS' = ^>-
Действительно, Е — алгебраическое расширение поля K(L[jS)
{§ 3, предложение 2) и LCZ L\JS.

¦3 ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ РАСШИРЕНИИ 113
Замечание. Если Е— чисто трансцендентное расширение
поля К, F—алгебраическое расширение поля Е, отличное от Е, то
F вполне может быть чисто трансцендентным расширением К (см. § 3,
п° 1, пример 2).
3. Степень трансцендентности расширения
Теорема 3. Если расширение Е поля К имеет конечный базис
трансцендентности над К, состоящий из п элементов, то всякий
другой базис трансцендентности расширения Е над К состоит
из п элементов.
Достаточно доказать, что если Б —базис трансцендентности
поля Е над К, состоящий из п элементов, то всякий другой
базис трансцендентности В' расширения Е над К обладает не
более чем п элементами. Доказывать будем индукцией по п; при
п = 0 расширение Е является алгебраическим над К, следова-
следовательно, всякий базис трансцендентности расширения Е над К
пуст по определению. Пусть х— некоторый элемент множества В';
тогда существует часть С множества В такая, что объединение
[х\ у С составляет базис трансцендентности поля Е над К и х$С
(теорема замены). Поскольку В — базис трансцендентности рас-
расширения Е, то С не может совпадать с В (предложение 7), сле-
следовательно, С состоит из не более чем п—1 элементов. Пусть
К' = К(х) и С = B'f]C {x}, тогда множества С и С алгебраи-
алгебраически свободны над полем К' (предложение 4), и так как К' (С) —
= К(В) и К' (С) — К (В'), то расширение Е алгебраично над
К'(С) и К'(С); иначе говоря, С и С — два базиса трансцен-
трансцендентности расширения Е над К'. Так как С состоит из не более
чем п — 1 элементов, то, по предположению индукции, С тоже
состоит из не более чем п — 1 элементов, следовательно, В'
состоит из не более чем п элементов.
Определение 4. Пусть Е — расширение поля К, обладающее
конечным базисом трансцендентности над К. Число элементов
базиса трансцендентности расширения Е над К называется
степенью трансцендентности или алгебраической размерностью
расширения Е {над К) и обозначается А\т.д1кЕ (или AimKE, если
не может возникнуть недоразумение).
Смешение, которое может произойти между этим понятием
и понятием размерности расширения Е, рассматриваемого как
8 Н. Бурбаки

114 поля гл. v, § 5
векторное пространство над К (т. е. (§ 2) степенью Е над К), можно
избежать, если помнить, что когда Е имеет конечную и отличную
от нуля алгебраическую размерность над полем К, тогда оно имеет
бесконечную размерность над К как векторное пространство (§ 3,
предложение 4).
Расширение Е поля К, которое обладает бесконечным бази-
базисом трансцендентности над К, не может обладать другим конеч-
конечным базисом трансцендентности над К (теорема 3); о таком
расширении говорят, что оно имеет бесконечную степень транс-
трансцендентности (или бесконечную алгебраическую размерность)
над К.
Когда говорят, что расширение поля К имеет алгебраическую
размерность !> п над К, это значит, что оно имеет конечную алгеб-
алгебраическую размерность ^ п, или бесконечную алгебраическую раз-
размерность.
Из теорем 2 и 3 и определения 4 вытекают следующие след-
следствия:
Следствие 1. В расширении Е поля К алгебраической раз-
размерности п всякая система образующих состоит из не менее
чем п элементов; если существует система из п образующих, то
она является чистым базисом расширения Е (которое, таким
образом, является чистым расширением поля К).
В частности, расширение конечного типа поля К (§ 2, опре-
определение 1) имеет конечную алгебраическую размерность над К.
Обратное не верно, как показывает алгебраическое расширение
бесконечной степени.
Следствие 2. В расширении Е поля К, алгебраической раз-
размерности п, всякая часть, алгебраически свободная над К, имеет
не более чем п элементов; алгебраически свободная часть, состоя-
состоящая из п элементов, является базисом трансцендентности-рас-
трансцендентности-расширения Е над К.
Замечании. 1) Теорема 3 утверждает, что два базиса транс-
трансцендентности одного и того же расширения Е поля К являются
равномощными, если один из них конечен; в действительности
утверждение верно и без этого ограничения (см. упражнение 1).
2) Читатель уже заметил аналогию между свойствами алгебраи-
алгебраически свободных частей (соответственно базисов трансцендентности)
некоторого расширения' и свойствами свободных частей (соответ-
(соответственно базисов) векторных пространств, доказанных в гл. II, § 3.

4 ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 115
Мы подчеркивали эту аналогию, копируя там, где было возможно,
одно изложение с другого. Впрочем, оба изложения можно вывести
из одной общей теории (упражнение 14).
Теорема 4. Пусть Е—расширение поля К, F — расширение Е.
Если одно из чисел diva.KF, iimKE -f- dim^F определено, то опре-
определено и другое, и
dimKF = dimKE + iimEF. (I)
Ввиду определения \ эта теорема вытекает из следующего
более общего предложения:
Предложение 8. Пусть Е — расширение поля К, F — расши-
расширение Е. Если М — базис трансцендентности расширения Е
над К, N — базис трансцендентности расширения F над Е,
то пересечение М(~}N — пусто, а объединение M\JN составляет
базис трансцендентности поля F над К.
Действительно, поле E(N) алгебраично над K(M\JN) —
= K(M){N), так как E(N) = K(M\JN)(E), и всякий элемент
расширения Е алгебраичен над К(М), следовательно, и над
K(M\JN) (§ 3, предложение 2). Тем самым (§3, предложение 8)
поле F алгебраично над K(M[]N). С другой стороны, множе-
множество N, будучи алгебраически свободным над Е, тем более алге-
алгебраически свободно над К(М), следовательно (предложение 4)
множество M[jN алгебраически свободно над К и Mf\N = ф.
4. Алгебраически разделенные растирения
Определение 5. Пусть Q — расширение поля К, Е и F — под-
расширения расширения Я. Подрасширения Е и F называются
алгебраически разделенными (над К), если, каковы бы ни были
части А расширения Е и В расширения F, алгебраически свобод-
свободные над К, пересечение А[}В пусто, а объединение А[]В алге-
алгебраически свободно над К.
Замечания. 1) Ввиду предложения 3 достаточно, чтобы
условие определения 5 выполнялось для конечных и алгебраически
свободных над К частей А и В; расширения Е и F будут тогда
алгебраически разделенными. Иначе говоря, достаточно, чтобы
всякая пара расширений конечного типа Е' и F' поля К, содержа-
содержащихся соответственно в Е и F, была алгебраически разделена.
Выражаясь образно, можно сказать, что алгебраическая разделен-
ность является свойством «конечного характера».
8*

116 поля гл. v, § 5
2) Понятие алгебраически разделенных расширений существенно
зависит от поля К: два расширении Е и F поля К, алгебраически
разделенные над К, не обязаны быть алгебраически разделенными
над подполем Ко поля К.
3) Ясно, что если расширения Е и F алгебраически разделены
над К, когда их рассматривают как подрасширения Q, то они
¦алгебраически разделены, когда их рассматривают как подрасшире-
еия полн К (E\JF), и обратно.
Из определения 5 вытекает, что если по крайней мере одно
из расширений Е и F алгебраическое над К, то Е и F алгебраи-
алгебраически разделены над К. В частности, всякое алгебраическое
расширение поля К является алгебраически разделенным с самим
собой.
Определение 5 показывает, что если расширения Е и F алге-
алгебраически разделены над К, то поле E[)F алгебраично над К,
так как если элемент x?E[)F является трансцендентным над
Ж, то множество {х} оставляет непустую часть расширений Е и F,
•алгебраически свободную над К, что противоречит определению 5.
Предложение 9. Пусть Q — расширение поля К, Е и F—под-
F—подрасширения Q. Если поля Е и F алгебраически разделены над К,
то всякая часть М (соответственно N) расширения Е (соответ-
-ственно F), алгебраически свободная над К, является алгебраически
•свободной над F (соответственно Е). Обратно, если существует ба-
базис трансцендентности А расширения Е, алгебраически свободный
над F, то расширения Е и F алгебраически разделены над К.
Действительно, предположим, что поля Е и F алгебраически
разделены над К и В — некоторый базис трансцендентности рас-
расширения F. Ввиду определения 5 и предложения 4 множество
М алгебраически свободно над К (В), следовательно, и над F,
так как поле F алгебраично над К (В) (предложение 6). Для
того чтобы доказать вторую часть предложения, заметим, что
если N — часть расширения F, алгебраически свободная над К,
то множество А алгебраически свободно над полем K(N), сле-
следовательно (предложение 4), множество N алгебраически сво-
свободно над полем К (А) (предложение 6). Наконец, если М — часть
расширения Е, алгебраически свободная над К, то множество N
алгебраически свободно над полем К(М), следовательно (пред-
(предложение 4), M[\N = j> и множество M\JN алгебраически сво-
свободно над К.

4 ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 117
Следствие 1. Пусть Е и F — под расширения расширения Q,
А — базис трансцендентности Е над К, В — базис трансцендент-
трансцендентности F над К; тогда поле K(E[jF) алгебраично над K(A[jB).
Для того чтобы поля Е и F были алгебраически разделены над К,
необходимо и достаточно, чтобы пересечение A f]B было пустым,
а объединение A\JB — алгебраически свободным над К; тогда
множество A\JB образует базис трансцендентности расшире-
расширения K(E{JF) над К.
Поскольку K(E[jF) = K(A[jB)(E\JF), а всякий элемент рас-
расширения Е (соответственно F) алгебраичен над К (А) (соответ-
(соответственно К (В)) и тем более над K(A\JB) (§ 3, предложение 2),
то расширение K(E\JF) алгебраично над K(A\JB) (§3, пред-
предложение 6). Если множество -4П-Е пусто, a. A[JB алгебраически
свободно над К, то А алгебраически свободно над полем К (В)
(предложение 4), следовательно, и над полем F, которое алгеб-
алгебраично над if (В) (предложение 6); поэтому поля Е и F алгебраи-
алгебраически разделены над К ввиду предложения 9.
Следствие 2. Если поля Е и F алгебраически разделены
над К, то алгебраические замыкания Е' и F' расширений Е и F
в поле Q (§3, п° 3) алгебраически разделены над К.
Действительно, всякий баэис трансцендентности расширения Е
(соответственно F) над К является базисом трансцендентности
расширения Е' (соответственно F') над К.
Предложение 10. Пусть Q — расширение поля К, Е и F — под-
расширения Q.
а) Если алгебраическая размерность поля F над К конечна,
то dimEE (F) < dimKF. Для того чтобы поля Е и F были алге-
алгебраически разделены над К, необходимо и достаточно, чтобы
б) Если, кроме того, алгебраическая размерность Е над К
конечна, то AimKK(E{JF)*cd\mKE + dimKF. Для того чтобы
поля Е и F были алгебраически разделены над К, необходимо
и достаточно, чтобы
dimKK (E\JF) = dimKE + dimKF.
Действительно, пусть В — некоторый базис трансцендентности
поля F над К. Тогда всякий элемент поля F алгебраичен над

118 поля гл. v, § 5
полем К (В) и, следовательно, над полем Е{В). Таким образом,
расширение E{F) алгебраично над полем Е(В) (§ 3, предложе-
предложение 8); отсюда следует (теорема 2), что В содержит базис транс-
трансцендентности поля E(F) над Е. Кроме того, если множе-
множество В составляет базис трансцендентности расширения E(F)
над Е, то поля Е и F алгебраически разделены над К,
и обратно (предложение 9), что доказывает а). Утверждение б)
является непосредственно вытекающим из следствия 1 предложе-
предложения 9.
Читатель заметит аналогию между этим предложением и пред-
предложением 4 § 2 относительно линейно разделенных расширений
(см. упражнение 14).
Понятие алгебраически разделенного расширения можно свя-
связать с понятием линейно разделенного расширения (§ 2, п° 3).
Действительно, пусть расширения Е и F алгебраически разде-
разделены над К, и пусть А (соответственно В) — базис трансцендент-
трансцендентности расширения Е (соответственно F) над К. Тогда определе-
определения 1 и 5 показывают, что алгебры К[А\ и К [В] линейно
разделены над К, и обратно, ввиду следствия 1 из предложения 9.
Это равносильно (§ 2, предложение 5) утверждению, что чистые
расширения К (А) и К (В) линейно разделены над К.
Из приведенных рассуждений легко выводится, что линейно
разделенные расширения Е и F поля К тем более алгебраически
разделены, однако обратное не верно, как показывает пример
двух алгебраических расширений, совпадающих с К. Однако
имеет место следующий результат:
Предложение 11. ПустъО. — расширение поля К, Е и F — под-
расширения расширения Q, алгебраически разделенные над К.
Если Е—чистое расширение поля К, то поля Е и F линейно
разделены над К.
Действительно, пусть В — чистый базис расширения Е. Так
как Е—поле частных кольца К [В], достаточно доказать, что
кольца F и К [В] линейно разделены над К(§ 2, предложение 5).
Множество В алгебраически свободно над F (предложение 9),
следовательно, одночлены относительно элементов из В линейно
независимы над F. Так как эти одночлены образуют базис
(линейный) кольца К [В] над полем К, то кольца К [В] и F
линейно разделены над К (§ 2, п° 3).

4 ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 119
Следствие. Всякое чистое расширение поля К линейно раз-
разделено со всяким алгебраическим расширением поля К и, в част-
частности, не содержит алгебраических над К элементов и не сов-
совпадает с К.
Иначе говоря, поле К алгебраически замкнуто во всяком
своем чистом расширении.
Упражнения. 1) Пусть Е—расширение поля К, В — беско-
бесконечный базис трансцендентности расширения Е над К. Доказать,
что всякая часть С расширения Е такая, что Е алгебраично над
К (С), имеет мощность не меньшую, чем мощность базиса В (для
каждого элемента х ? С рассмотреть его минимальный многочлен
над К (В) и наименьшую конечную часть Fx базиса В такую, что
коэффициенты этого многочлена принадлежат К (Fx); доказать, что В
является объединением частей Fx). Вывести отсюда, что два про-
произвольных базиса трансцендентности расширения Е поля К равно-
мощны. Мощность базиса называется также степенью трансцен-
трансцендентности (или алгебраической размерностью) расширения Е поля К.
2) Пусть Е—расширение поля А, В —базис трансцендент-
трансцендентности Е над К. Доказать, что множество Е равномощно К X В,
если хотя бы одно из множеств К, В бесконечно и счетно в про-
противном случае (см. § 3, упражнение 1 и гл. II, § 1, упражнение 14).
"Вывести отсюда, в частности, что всякий базис трансцендентности
полн В. действительных чисел над полем Q рациональных чисел
имеет мощность континуума.о
3) Пусть К — поле Q {X) рациональных дробей от одяой пере-
переменной X над полем Q рациональных чисел. Доказать, что
в кольце K[Y\ многочлен У2+ЛГ2 + 1 неприводим и что если
Е—расширение поля К, порожденное корнем этого многочлена
(в алгебраическом замыкании поля К), то всякий элемент расшире
ния Е, не принадлежащий Q, трансцендентен над Q, но Е
не является чистым расширением Q (чтобы доказать отсутствие
в Е элементов, алгебраических над Q, заметить, что ввиду предло-
предложения 11 E = Q (а) (X), a (J Q, а?Е, и обратить внимание на то,
что элемент —(Х2 + 1) не является квадратом в поле А{Х), где
А — алгебраическое замыкание поля Q). Доказать, что если
i — корень многочлепа х2-\-1, то Е (i)—чисто трансцендентное рас-
расширение поля Q (г) («параметрическое представление кривой вто-
второго порядка»).
*°4) Пусть К — поле С (X) рациональных дробей от одяой пере-
переменной X над полем (алгебраически замкнутым) С комплексных
чисел. Доказать, что в кольце К [Y] многочлен Y3-\-Xs-\-l нецри-
еодим. Пусть Е—расширение поля К, порожденное корнем этого
многочлена (в алгебраическом замыкании поля К). Доказать, что
всякий элемент расширения Е, не принадлежащий С, трансцендентен

120 поля гл. v. § 5
над С, но что Е не является чистым расширением С (чтобы устано-
установить это, доказать невозможность равенства u3+i;3 + ">3 = 0, где
попарно простые и не все постоянные и, v, w—многочлены кольца
С[Х]. Длн этого рассуждаем от противного. Если г—наибольшая
из степеней многочленов и, v, w и, скажем, deg w=r, то из соот-
соотношения
w*=-(u + v) (u + jv) (и + ЛО,
где / и /2—корни третьей степени из единицы, вывести, что суще-
существуют три многочлена uit vit wi попарно простые и не все постоян-
постоянные, имеющие степени меньше г и такие, что и\-\-i>\-\-w\=()).a
*5) Пусть Е—трансцендентное расширение поля к, х —трансцен-
—трансцендентный над К элемент поля Е\ всякий элемент у ?К (х) можно
записать в виде / (x) = g (x)jh (х), где g и h—взаимно простые много-
многочлены кольца К [X], однозначно определенные с точностью до мно-
множителя из полн К. Назовем высотой элемента у относительно х
наибольшую из степеней многочленов g и h.
а) Доказать, что в кольце К (у) [X] многочлен g (X) — yh (X)
неприводим (использовать упражнение 3 из § 4). Вывести отсюда,
что если элемент у имеет высоту п относительно х, то поле К (х)
является алгебраическим расширением степени п поля К (у).
б) Вывести из а), что всякий элемент у?К(х), для которого
К (у) = К(х), имеет вид (ax+b)/(cx-{-d), где a, b, e, d—элементы
поля К, подчиненные условию ad—be ф 0; доказать обратное утвер-
утверждение. Найти все К — автоморфизмы поля К (ж).
в) Доказать, что если элемент у ? К (х) имеет высоту п относи-
относительно х, а элемент z g К (у) имеет высоту т относительно у, то
элемент z имеет высоту тп относительно х.
г) Пусть F—такое расширение поля К, что KcFcK(x)
и F ф К; пусть у—элемент расширения F, высота которого т отно-
относительно х принимает наименьшее возможное значение; доказать,
что F=K(y) («теорема Люрота»). (Пусть <р—минимальный многочлен
элемента х над полем F; доказать, что <р = м (X, y)/w (у), где и—много-
и—многочлен кольца К [X, У] степени не меньше т относительно У и не
делящийся ни на какой непостоянный многочлен кольца К [У]; если
y = g(x)/h(x), где g и h взаимно просты, заметить, что ввиду
а) многочлен g (X) h (У) — g (У) h (X) не делится ни на какой непо-
непостоянный многочлен кольца К [X] или К [У]; вывести отсюда, что
? (X) h (Y)-g(Y) h (X) = Ku (X, У),
используя упражнение 3 § 4).
6) Вывести из упражнения 5 в) другое доказательство упражне-
упражнения 4 § 4 (заметить, что в случае, когда степень v больше нуля,
степень многочлена м (v) равна его высоте).
7) Пусть F—расширение конечного типа поля К. Доказать, что
всякое поле Е, промежуточное между К и F, является расширением

ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 124
конечного типа поля К (пусть В—базис трансцендентности расши-
расширения Е поля К, С—базис трансцендентности поля F над Е; дока
зать, чтЪ Е имеет конечную степень над К (В), используя, что Р
имеет конечную степень над К (В \J С) и что расширение Е
и Я (В у С) линейно разделены над К (В) (предложение 11).
*8) Пусть Q—расширение поля К, Е и F—расширения поля Ку
содержащиеся в Q и алгебраически разделенные над К. Доказать*
что для того, чтобы Е и F были линейно разделены над К, необ-
необходимо и достаточно, чтобы тензорное произведение E<?)F (отно-
(относительно К) было областью целостности (чтобы доказать достаточ-
достаточность, рассмотреть базис трансцендентности А расширения Е над
К и базис трансцендентности В расширения F над К. Доказать,,
что поле частных Н кольца E@F алгебраично над полем частных L
кольца К (A)<g)K (В). Пусть ср—канонический изоморфизм кольца
E<g)F в поле K(E[JF), z некоторый элемент кольца
2 V(Xn~}-—минимальный многочлен элемента z над L, умножен-
i=0
ный на некоторый ненулевой элемент кольца К (А) 0 К (В), так, что.
коэффициенты Vi принадлежат кольцу К (А) <?)К(В). Доказать, что-
равенство cp(z)=O влечет ср(уп) = О и. следовательно, z=0).
9) Пусть Q—расширение поля К, Е и F—подрасширения Q,.
линейно разделенные над К. Пусть а и т—АТ-изоморфизмы полей
Е и F соответственно в поле Q. Доказать, что если поля а (Е)
и т (F) алгебраически разделены над К, то они линейно разделены
над К и существует единственный -К-изоморфизм в1 расширения
К (Е U F) на К (а (Е) [] т (F)), который совпадает с а на Е и т на F.
10) В алгебраическом замыкании Q поля Q (X) рассматриваются
два чисто трансцендентных расширении E=Q(X) и F=Q(X-]-i)
(где i2=—1) поля Q. Доказать, что Е и F не являются алгебраи-
алгебраически разделенными над Q, но Е П F=Q (пусть р и q—взаимно-
простые многочлены кольца Q [X], а также г и s взаимно просты
в Q [X]; доказать невозможность равенства р (X -f i) s (X) =
= g(X + i)r(JT), заметив, что взаимно простые многочлены в кольце-
Q [X] остаются взаимно простыми в кольце Q [X]).
11) Пусть Е, F, G—расширения поля К, содержащиеся в рас-
расширении Q поля К, и пусть F CZG. Длн того чтобы поля Е и G
были алгебраически разделены над К, необходимо и достаточно,
чтобы полн Е и F были алгебраически разделены яад К и чтобы
поля Е (F) и G были алгебраически разделены над F.
¦12) а) Пусть К—поле, L — подполе поля К; предположим, что-
существует конечное число элементов а$ A <J! i ^ и) поля К таких,
что K=L [aj, 02, ...,ап]- Доказать, что элементы а; алгебраичны-
над L (рассуждая от противного, предположить, что aj, ...,ero(m> 1>
образуют максимальное алгебраически свободное подсемейство семей-
семейства (oi)i<j<;n> заметить, что в кольце Л = Ь[г?1, .... ат] пересечение

i22 поля гл. v. § 5
всех максимальных идеалов равно @), применить упражнение 46),
из | 3).
б) Вывести из а), что в алгебре многочленов К[Хи ,%.,Хп]
всякий максимальный идеал имеет конечную коразмерность над К.
Вывести отсюда, что если А—коммутативная алгебра над полем К,
обладающая единицей и если существует конечное число элементов
bj?A A <!/<;?) таких, что А = К [64, Ь2, •••> ^дЬ т0 всякое подполе
алгебры А, содержащее К, имеет конечный ранг над К.
13) Пусть К—поле, К ((X))—поле формальных рядов от одной
переменной над К (гл. IV, § 5, п° 7). Доказать, что всякий базис
трансцендентности поля К ((X)) над К равномощен множеству К'у•
Будем различать два случая:
а) Если мощность множества К строго меньше мощности KN,
то заметить, что множество К ((X)) равномощно К , и использовать
упражнение 2.
б) Если множества К и KN равномощны, то пусть Р — простое
подполе поля К, S—некоторое бесконечное множество элементов
поля К((Х)), алгебраически независимых над К, Г —множество
^равномощное S) коэффициентов всех формальных рядов, принадле-
принадлежащих S. Пусть L—алгебраическое замыкание в К ((X)) поля К (S);
пусть и — элемент поля L и /—его минимальный многочлен над
К (S). Умножая / на ненулевой элемент поля K{S), можно считать,
что и удовлетворяет уравнению вида g(sb ...,sm, u) = 0, где
# —многочлен кольца K[Xit ..., Хт, Xm+i], a sj, ..., sm —элементы
множества S. Пусть А—множество коэффициентов многочлена g,
¦С (и) —множество коэффициентов формального ряда и. Доказать, что
поле Р (Т) (A U С (и)) алгебраично над Р (Т \J А), показать, что
в противном случае должно существовать бесконечное множество
степенных рядов v, принадлежащих полю п((Х)), где п—алгебраи-
п—алгебраическое замыкание поля К, удовлетворяющих уравнению g (slt ...
..., sm, v)=0. Используй упражнение 2, доказать, что если множе-
множество S имеет строго меньшую мощность, чем мощность К, то сте-
степень трансцендентности поля К над Р (Т) бесконечна, и вывести
отсюда, что в этом случае поле L отлично от К ((X)).
*14). Пусть Е — некоторое множество, <р—отображение множества
Ц5 (Е) в ?$ (Е), удовлетворяющее следующим условиям: 1° Xd<p(X)
для всех XczE; 2° ср(ф(Х)) = ф(Х) для всех XczE; 3° для всякого
ХсЕ ф (X) является объединением множеств ф(У), где У про-
пробегает множество конечных частей X; 4° если у (J ф (X) и y?y{X\J
{J{x}), то x?<f(X{J{y}) («аксиома замены»). Часть X множества Е
назовем системой ^-образующих части Z, если 2=ф(Х). Назовем X
^-свободной частью множества Е, если X—минимальная система
<р-образующих ф (X). Назовем <р-базисом множества Z систему
<р-образующих этого множества, являющуюся ф-свободной.
а) Доказать, что если множество X ф-свободно и х (J ф (X),
то множество XjJ{a;} ф-свободно Вывести отсюда, что всякая

ПРОДОЛЖЕНИЯ ИЗОМОРФИЗМОВ 123
максимальная го-свободная часть части У множества Е является
ф-базисом множества ф (У).
б) Лусть А—некоторая часть множества Е, У—система ф-обра-
зующих множества А, X — ф-свободная часть У. Доказать сущест-
существование такого ф-базиса В части А, что X а В (Z.Y.
в) Если А — произвольная часть множества Е, то отображение
Фа $ (Е) в $(?), определяемое соотношением фд (Х) = ф (A[jX),
удовлетворяет тем же уравнениям, что и ф.
г) Если А—часть множества Е, обладающая ф-базисом из п
элементов, то всякий другой ф-базис части А состоит из п элемен-
элементов (рассуждать индукцией по п: пусть В есть ф-базис из п эле-
элементов части А, В'—другой ф-базис; рассмотреть элемент а?В'.
Доказать, с помощью б) существование части С базиса В такой,
что {а}[]С—ф-базис части Аи«|С; наконец, применить предпо-
предположение ИНДУКЦИИ К фуНКЦИИ ф/а})-
д) Две части А и В множества Е назовем ф-разделенными, если
пересечение всякой ф-свободной части множества А с ф-свободной
частью множества В пусто и если объединение всякой ф-свободной
части множества А и всякой ф-свободной части множества В ф-сво
бодно. Доказать, что для того, чтобы части А и В были ф разде-
разделены, необходимо п достаточно, чтобы всякая ф-свободная часть А
была фд-свободной.
§ 6. Продолжения изоморфизмов. Сопряженные элементы
Нормальные расширения.
1. Продолжения изоморфизмов
Теорема 1 § 4, устанавливающая возможность «погрузить»
всякое алгебраическое расширение поля К в алгебраическое
замыкание поля К, следующим образом обобщается на транс-
трансцендентные расширения.
Предложение 1. Пусть Е — расширение поля К, (a,)l?I— базис
трансцендентности расширения Е над К. Лусть К'—поле, изо-
изоморфное полю К, и Q—алгебраически замкнутое расширение
поля К'. Для всякого изоморфизма и0 поля К на К' и всякого
семейства Ft)igj элементов расширения Q, алгебраически свобод-
свободного над К' и имеющего то же множество индексов, что (а,,),
существует изоморфизм и расширения Е в Q, продолжающий щ
и такой, что u(al) = bl для всех i?/.
Действительно, существует изоморфизм /—>/ поля К(Х1I?Т
на К' (X^ig/, который продолжает щ и оставляет инвариантными

124 поля гл. v, I &•
переменные Xt (гл. IV, § 3, предложение 1). Следовательно,,
определен изоморфизм иу чистого расширения K(al)^i на чистое-
расширение К' (bb)i&i, продолжающий щ и ставящий в соответ-
соответствие каждому элементу /((at)) (где / ? К (X^i) элемент / ((Ъ^)У
(§ 5, предложение 2). Пусть F — алгебраическое замыкание поля
К' (Mie/ в Ф тогда поле F алгебраически замкнуто (§ 4, след-
следствие из предложения 1), следовательно, поскольку расшире-
расширение Е алгебраично над KfaJ^i, существует изоморфизм и рас-
расширения Е на F, продолжающий щ (§ 4, следствие из теоремы 1).
Заметим, что существование семейства (&i)i?i элементов рас-
расширения Q, алгебраически свободного над К', обеспечивается,
в частности, когда К'=К и алгебраическая размерность Е
конечна и не превосходит алгебраической размерности Q (над К)*
Всякое расширение поля К, имеющее конечную алгебраическую-
размерность над К, может быть, таким образом, погружено,
например, в единственное алгебраическое замыкание Qo расши-
расширения К(Хп)П?к поля К. Такое расширение называется универ-
универсальным расширением для расширений поля К конечной алгеб-
алгебраической размерности.
Следствие. Пусть Q—алгебраически замкнутое расширение
поля К бесконечной алгебраической размерности над К. Пусть Et
A<г<«) — п расширений поля К конечной алгебраической раз-
размерности над К. Можно найти для каждого индекса i A<?<п)
такой К-изоморфизм щ расширения Et в Q, что поле щ (Ег) будет
алгебраически разделено (над К) с подполем расширения Q, поро-
порожденным п—1 подполем uj(Ej) с индексами j ф г.
Действительно, пусть В — базис трансцендентности (бесконеч-
(бесконечный) расширения Q над полем К. Для каждого индекса i опре-
определим множество Bt как часть базиса В, состоящего из такого
числа элементов, какова алгебраическая размерность поля ~ЕЬ
над К; выберем Bt так, чтобы они попарно не пересекались.
Ввиду предложения 1 существует iiT-изоморфизм и% расширения Е%
в Q такой, что Bt—базис трансцендентности поля Ui(Ej) над К.
Следствие вытекает теперь из § 5, следствия 1 из предложе-
предложения 9.
Предложение 2. Пусть Q — алгебраически замкнутое расши-
расширение поля К, Е — под расширение Я, и — некоторый К-изомор-
К-изоморфизм Е в Q. Если существуют два равномощных базиса транс-

Я ПРОДОЛЖЕНИЯ ИЗОМОРФЙЗМОЬ 125
цендентности расширения Q над Е и над и (Е) соответственно,
то и продолжается до К-автоморфизма поля Q.
Действительно, пусть В — базис трансцендентности поля Q
над Е, С — базис трансцендентности поля Q над F = u(E), рав-
яомощный В. Ввиду предложения 1 существует изоморфизм v
поля Е(В) на F (С), продолжающий и. Так как Q — алгебраиче-
алгебраическое замыкание полей Е(В) и F (С), то (§ 4, следствие из тео-
теоремы 1) существует изоморфизм w расширения Q в себя, про-
продолжающий v. Поскольку w (Q) — алгебраическое замыкание поля
F (С), содержащееся в Q, то m>(Q) = Q; это показывает, что w —
.К-автоморфизм поля Q.
Следствие 1. Пусть й — алгебраически замкнутое расширение
поля К, Е — подрасширение Q. Всякий К-автоморфизм поля Е
продолжается до К-автоморфизма поля Q.
Следствие 2. Пусть Q—алгебраически замкнутое расширение
поля К, Е — подрасширение Q конечной алгебраической размер-
размерности над К; тогда всякий К-изоморфизм и расширения Е в Q
продолжается до К-автоморфизма поля Q.
Действительно, пусть п — алгебраическая размерность поля Е
над К; она совпадает с алгебраической размерностью поля
u(E) = F над К. Следовательно, поле G = K(E\JF) имеет конеч-
конечную алгебраическую размерность m<2n над К (§ 5, предложе-
предложение 10). Поле G имеет одинаковую алгебраическую размерность
т — п над Е и над F (§ 5, теорема 4). Пусть А — базис транс-
трансцендентности поля G над Е, а В — базис трансцендентности
поля G над F. Для всякого базиса трансцендентности С поля Q
над G множества A \J С и В \J С будут базисами трансцендентности
поля Q над Е и F соответственно (§ 5, предложение 8), притом
равномощными, так как базисы А и В равномощны. Следствие
вытекает теперь из предложения 2.
Это следствие перестает быть верным в случае произвольного
подрасширеяия Е расширения Q (упражнение 2).
И. Сопряженные поля. Сопряженные элементы
Определение 1. Пусть Q — алгебраически замкнутое расши-
расширение поля К, Е и F — подрасширения расширения Q. Подрас-
ширения Е и F называются сопряженными {над К) в поле й,
если существует такой К-автоморфизм и расширения Q, что

126 поля гл. v, § 6
u(E) = F. Два элемента х и у расширения Q называются сопря-
сопряженными над К, если существует такой К-автоморфизм и рас-
расширения Q, что и(х) = у.
Пусть и — некоторый /f-автоморфизм поля Q, А — произвольная
часть Q и Е = К(А)\ тогда значения и в Е полностью опреде-
определяются значениями и в А и и (Е) = К (и (А)) (гл. IV, § 3, след-
следствие из предложения 2). В частности, если х и у — элементы
поля Q, сопряженные над К, то К (х) и К (у) — расширения поля Kf
сопряженные в Q.
Разумеется, значения, которые может принимать Л"-автоморфизм
и расширения Q длн элементов части А поля Е, не являются в общем
случае произвольными (см. предложение 3). Заметим, что отношение-
«я и у сопряжены» является отношением эквивалентности в Q, классы,
соответствующие этому отношению, являются классами интранзитив-
ности группы йГ-автоморфизмов расширения Q (гл. I, § 7, п° 5).
Предложение 3. Для того чтобы элементы х и у расшире-
расширения Q были сопряжены над К, необходимо и достаточно, чтобы
либо оба они были трансцендентными над К, либо оба алгебраи-
алгебраическими над К с одним и тем же минимальным многочленом-
над К.
Условие необходимо, так как, если и — произвольный /?-авто-
морфизм расширения Q и если х — трансцендентный элемент (соот-
ветствевно алгебраический) над К, то и элемент у = и(х) транс-
цендентен (соответственно алгебраичен) над К, поскольку для
любого многочлена f?K[X] выполняется тождество u(f(x)) =
— f(u (х))- Это же соотношение показывает, что если элемент х
алгебраичен над К и / — его минимальный многочлен над К,
то f(u(x)) = 0. Следовательно, поскольку многочлен / неприводим
в кольце К{Х], то он является минимальным для элемента г/ = и(х)
(§ 3, определение 1).
Условие достаточно. Предположим сначала, что элементы х
и у — трансцендентны над К (а в остальном произвольные). По-
Поскольку отображение f—>f(x) (соответственно / —> / (у)) поля
К (X) на К (х) (соответственно на К (у)) является /f-изоморфизмом,
существует /f-изоморфизм и расширения К(х) на К {у) такой,
что и (х) = у и этот ^-изоморфизм продолжается до некоторого
А"-автоморфизма поля й (следствие 2 из предложения 2). Следо-
Следовательно, элементы х и у сопряжены над К.

3 ПРОДОЛЖЕНИЯ ИЗОМОРФИЗМОВJ"J 127
Если же элементы хну алгебраичны над К и имеют один-
it тот же минимальный многочлен /, то существует некоторый
^-изоморфизм поля К \X]l(j) на К (х) (соответственно на К (у)),
переводящий класс X по модулю (/) в элемент х (соответственна
в У) (§ 3, теорема 1); следовательно, существует Х-изоморфизм
и расширения К(х) на К (у) такой, что и(х) = у. Окончание рас-
рассуждения проводится, как выше.
Этот результат показывает, что понятие сопряженных элементов-
в данном расширении Е поля К является внутренним, т. е. зависит
только от структуры расширения Е, но не от алгебраически замкну-
замкнутого поля Q, в которое вкладывается Е.
Следствие. Для того чтобы элемент x?Q был алгебраическим
над К, необходимо и достаточно, чтобы число элементов, сопря-
сопряженных с х над К, было конечным; это число не превосходит
степени х над К.
Действительно, если элемент х трансцендентен над К, то вс&
элементы хп (п — целое число, большее нуля) трансцендентны
над К и, следовательно, сопряжены с х. С другой стороны, если
элемент х алгебраичен над К, то число сопряженных с ним равно
числу различных корней в поле Q его минимального многочлена /
(над К), т. е. не превосходит степени многочлена / (гл. IV, § 2,
теорема 2).
Замечание. Пусть G—некоторое подрасширение расширения
Q; два элемента х и у поля G могут быть сопряжены над К, но может
не существовать ЛГ-автоморфизма поля G, переводящего х в у. "Напри-
"Например, в поле действительных чисел R элементы V2 и —1^2 сопря-
сопряжены над полем Q рациональных чисел, однако не существует авто-
автоморфизмов поля R, отличных от тождественного (Общ. топол., гл. I
§ 3, упражнение 3).о
3. Нормальные расширения
Предложение 4. Пусть Е — алгебраическое расширение поля К.
Тогда всякий К-эндоморфизм и расширения Е является авто-
автоморфизмом поля Е.
Достаточно доказать, что и (Е) = Е. Для каждого элемента
х ? Е обозначим символом Fx множество элементов поля Е, сопря-
сопряженных с х над К. Множество Fx конечно для любого х?Е,
и Е является объединением всех множеств Fx, когда х пробегает Е.

128 поля гл. v, § б
Для каждого y?Fx элемент и (у) сопряжен с у (следствие 2
из предложения 2), следовательно с х, откуда и (Fx) CZ Fx, а так
как множество Fx конечно, то отображение и взаимно однозначно,
так что u(Fx) = Fx, следовательно, и(Е) = Е.
Предложение 5. Пусть Q — алгебраически замкнутое расши-
расширение поля К, Е— алгебраическое расширение К, содержащееся
в Q. Для того чтобы всякий К-изоморфизм поля Е в Q был
автоморфизмом Е, необходимо и достаточно, чтобы для любого
х?Е все элементы, сопряженные с х над К, принадлежали Е.
Так как всякий .йГ-изоморфизм поля Е в Q продолжается
до Я-автоморфизма поля Q (следствие 2 из предложения 2), это
условие необходимо. Оно является достаточным, так как для
каждого Х-автоморфизма и расширения Q из этого условия
вытекает включение u(E)dE (определение 1), следовательно,
и (Е) = Е (предложение 4).
Определение 2. Алгебраическое расширение Е поля К назы-
называется нормальным {над К), если всякий неприводимый многочлен
кольца К[Х], обладающий хотя бы одним корнем в Е, разла-
разлагается в произведение множителей первой степени (не обяза-
обязательно различных) в кольце Е [X].
После того как введено это определение, из характеризации
сопряженных элементов (предложение 3) следует, что предложе-
предложение 5 можно сформулировать в следующей эквивалентной форме:
Предложение 6. Пусть Q — алгебраически замкнутое расшире-
расширение поля К, Е — алгебраическое расширение К, содержащееся в Q.
Для того чтобы всякий К-изоморфизм поля Е в Q был автомор-
автоморфизмом расширения Е, необходимо и достаточно, чтобы Е было
нормальным над К.
Можно сказать еще, что нормальное расширение EdU поля К
характеризуется тем, что совпадает со всеми своими сопряженными
над К (определение 1).
На протяжении всего этого п° расширение Q будет (произ-
(произвольным) алгебраически замкнутым расширением поля К и все
расширения поля К, которые мы будем рассматривать, будут
под расширениями поля й.
Так как алгебраическое замыкание поля К в Q является полем
алгебраически замкнутым (§ 4, следствие из предложения 1), то оно
будет нормальным расширением поля К.

3 ПРОДОЛЖЕНИЯ ИЗОМОРФИЗМОВ 129
Предложение 7. Пусть N— нормальное расширение поля К,
Е — под расширение N. Всякий К-изоморфизм поля Е в Q отобра-
жаетЕeN и может быть продолжен до К-автоморфизма поля N.
Действительно, всякий /sT-изоморфизм и расширения Е в Q
можно продолжить до /^-автоморфизма поля Q (следствие 2 из пред-
предложения 2), следовательно, ограничение его на поле N является
if-автоморфизмом этого поля (предложение 6).
Предложение 8. Пусть (N,) — некоторое семейство нормаль-
нормальных расширений поля К. Пересечение f\Nt и поле K(\JNi),
порожденное объединением полей N,,, являются нормальными
расширениями поля К.
Действительно, пусть и — некоторый if-автоморфизм поля Q.
По предположению, u(Nl) = Nl для всех I, следовательно, полагая
N=f]Ni, имеем u(N) = N, т. е. расширение N нормально над К
i
(предложение 6). Аналогично, пусть М — KdJN,); тогда и(М)
i
порождается объединением полей u(Nl) = Nl, следовательно, сов-
совпадает с М, так что М нормально над К.
Из предложения 8, в частности, следует, что для произвольного
алгебраического расширения Е поля К существует наименьшее
нормальное расширение N поля К, содержащее Е, а именно
пересечение всех нормальных расширений поля К, содержащих Е
(они заведомо существуют, например, алгебраическое замыкание
поля К в Q). Будем называть N нормальным расширением,
порожденным расширением Е.
Предложение 9. Пусть А — некоторое множество алгебраиче-
алгебраических над К элементов расширения Q, и пусть В — множество
сопряженных (над К) с элементами А элементов множества Q.
Тогда поле К (В) является нормальным расширением поля К,
порожденным К (А).
Действительно, всякое нормальное расширение поля К, содер-
содержащее А, должно содержать В (предложение 5); кроме того,
расширение К (В) нормально над К, так как для любого if-авто-
морфизма и расширения Q, имеет место включение и (В) CZ В
(определение 1), следовательно, и (К (В)) = К (и (В)) CZ К (В).
Следствие 1. Пусть Е — алгебраическое расширение поля К
конечной степени; тогда нормальное расширение N поля К,
порожденное Е, тоже имеет конечную степень.
9 Н. Бурбаки

130 поля гл. v, § 6
Действительно, Е=К (А), где 'А—некоторое конечное множество
(§ 2, п° 2), следовательно, множество В элементов, сопряженных
с элементами А, конечно, и следствие доказано (§ 3, предложе-
предложение 5).
Следствие 2. Всякое нормальное расширение N поля К являет-
является объединением нормальных подрасширений расширения N конеч-
конечной степени над К.
Действительно, N — объединение расширений К (А), где А
пробегает множество всех конечных частей расширения N (§ 2,
следствие из предложения 3). Тем более N является объедине-
объединением нормальных расширений, порожденных этими расширениями.
Следствие 3. Пусть (/4) — некоторое семейство многочленов
кольца К[Х], А —множество их корней в поле Q; тогда К (А) —
нормальное расширение поля К.
Действительно, множество элементов, сопряженных с элемен-
элементами А, совпадает с А (предложение 3).
В частности, поле корней (§ 4, п° 2) многочлена / ? К [X]
есть нормальное расширение поля К.
Мы уже отмечали (§ 4, п° 2), что поле А'(ж4, х2, ..., хп), поро-
порожденное корнями Xi A <. i <; п) многочлена /, вообще говоря, отлично
от поля К{х{), порожденного только одним из корней (упражнение 7).
Если / неприводим и K(xi) совпадает с К(xt, x%, ..., хп) для некото-
некоторого индекса i, то K(xj) = K (xj) для всех остальных индексов /, так
как поле K(xj) сопряжено с К(х{). В этом случае уравнение / (х) = 0
называют нормальным уравнением над К.
Замечание. Если Е—нормальное расширение поля К,
a F—нормальное расширение поля Е, то F не обязательно
является нормальным расширением К. Действительно, isT-авто-
морфизм и расширения Q переводит в общем случае минималь-
минимальный многочлен над Е элемента х ? F в другой многочлен кольца
Е [X] и, следовательно, не переводит х в сопряженный с х над Е.
Таким образом, элемент и (х) не обязан принадлежать полю F
(упражнение 7); в этом случае F и u{F) — различные нормальные
расширения поля Е, которые К-изоморфны, но не являются
Е-изоморфными.
Упражнения. 1) Пусть Q —алгебраически замкнутое рас-
расширение поля К, имеющее бесконечную алгебраическую размер-
размерность яад К. Доказать существование бесконечного множества

ПРОДОЛЖЕНИЯ ИЗОМОРФИЗМОВ 131
АГ-эндоморфизмов Q на подполя Q, отличные от Q, и по отношению
к которым поле Q имеет произвольную алгебраическую размерность,
не превосходящую его размерности над К (§ 5, упражнение 1).
°В частности, существует бесконечное множество различных изо-
изоморфизмов поля С комплексных чисел на подполя С, отличные от С.о
2) Пусть Q—алгебраически замкнутое расширение поля К
и Е—подрасширение Q. Доказать, что если Е имеет бесконечную
алгебраическую размерность над К, строго меньшую алгебраиче-
алгебраической размерности поля Q над К (§ 5, упражнение 1), то всякий
АГ-изоморфизм поля Е в Q можно продолжить до АГ-автоморфизма
поля Q. Дать пример расширения Е, имеющего ту же алгебраиче-
алгебраическую размерность, что Q, и АГ-изоморфизма поля Е в Q, который
нельзя продолжить до АГ-изоморфизма (в Q) никакого расширеяия
поля Е, содержащегося в Q и отличного от Е (см. упражнение 1).
3) Пусть Q—алгебраически замкнутое расширение поля К
конечной алгебраической размерпости пад К. Доказать, что всякий
АГ-эндоморфизм поля Q является ЛГ-автоморфизмом.
4) Пусть Q—алгебраически замкнутое расширение поля К,
Е — подрасширение поля Q, трансцендентное над К. Доказать суще-
существование бесконечного множества АГ-изоморфизмов поля Е в Q
(пусть элемент х ? Е трансцендентен над К; рассмотреть подрасши-
подрасширение F расширения Е такое, что х трансцендентен над F, а Е
алгебраично над F (х), доказать существование бесконечного мно-
множества /"-изоморфизмов полн Е в Q).
*5) Пусть Q — алгебраически замкнутое расширение поля К,
N—подрасширение полн Q. Доказать, что если N нормально над К
и если Е и Е' — сопряженные расширения поля К, содержащиеся
в Q, то поля N (Е) и N (Е') сопряжены над К. Обратно, если If
обладает этим свойством и имеет конечную алгебраическую раз-
размерность, строго меньшую алгебраической размерности поля Q
над А', то N—нормальное алгебраическое расширение поля К.
6) Всякое алгебраическое расширение N поля К, порожденное
множеством элементов, каждый из которых имеет степень 2 над К,
явлнетсн нормальным над К.
°7) Многочлеп Xz — 2 неприводим в кольце Q [X]. Пусть а—
один из его корней. Доказать, что многочлен X2 — а неприводии*
над полем E=Q(a); пусть р — один из корней этого многочлена,
и пусть F^E (P)=Q($). Доказать, что F не является нормальным
расширением поля Q (доказать что многочлен Х2-|-1 неприводим
над F). Каково нормальное расширение полн Q, порожденное F?o
*8) а) Доказать, что если рациональная дробь h ? К (X) удовле-
удовлетворяет уравнению вида Ап+2 /;Ьп~{=0, где /г— многочлены
кольца К [X], то h?K[X] (записать й.=и/у, где и и v — взаимно
простые многочлены; если v не постоянный многочлен, то рас-
рассмотреть корень v в Q).
9*

132 поля гл. у, § 7
б) Пусть F —такое расширение поля А", что ЛГ алгебраически
замкнуто в F. Доказать, что поле К (X) алгебраически замкнуто
в F (X). (Если элемент w ? F (X) алгебраичен над К (X), то сначала
доказать с помощью а) существование многочлена g?K[X] такого,
что элемент h = gw является многочленом кольца F[X]. Пусть
т
F—алгебраическое замыкание поля F в Q, и пусть А=У] ajXi,
3=0
где a.j g F. Для каждого ЛГ-автоморфизма и расширения F доказать,
m
что элемент 2 и (,ai) ^ сопряжен с h над К (X) и, используя
j=0
предложение 3, вывести отсюда, что коэффициенты aj принадлежат
полю К.)
в) Пусть Е и F—расширения поля К, алгебраически разделен-
разделенные над К, и L—алгебраическое замыкание полн К в F. Вывести
из б), что если Е — чисто трансцендентное расширение поля К,
то Е (L) — алгебраическое замыкание поля Е в E(F). (Свести к слу-
случаю, когда K—L и Е имеет конечную алгебраическую размерность
над К (см. § 5, упражнение 10 и § 9, упражнения 2 и 3).)
§ 7. Сепарабельные расширения
1. Теорема Артина
Пусть Q — поле. Для всякой части V поля Q множество
ЛР (V, Q) = Qv отображений V в Q снабжено структурой вектор-
векторного пространства над Q, относительно которой произведение аи
элемента а?й и отображения и части V в Q является отобра-
отображением х—>аи{х) (гл. II, § 1, п° 4). Рангом над Q части мно-
множества Jp (V, Q) является, таким образом, размерность вектор-
векторного подпространства в ?F(V,Q), порожденного этой частью
(гл. II, § 3, п° 2).
Поле Q обладает структурой векторного пространства над К.
Мы будем обозначать символом Q^ множество Q, снабженное
только этой структурой векторного пространства. Когда мы
будем говорить об автоморфизмах Q, то речь будет идти всегда
об автоморфизмах структуры поля Q.
Предложение 1. Пусть К —некоторое подполе поля Q,
V—векторное подпространство пространства QK размерности п
(над К). Тогда совокупность X (V, QK) всевозможных К-линейных

1 СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 133
отображений пространства V в QK является векторным про-
пространством размерности п (над Q).
Прежде всего, ясно, что если и — /Г-линейное отображение
пространства V в QK, то аи для любого agQ также будет
/f-линейным отображением пространства V в QK и, следовательно,
X (V, ?1К) является векторным подпространством пространства
jf(V, Q). Пусть (ai)i=s«S«~ базис пространства V над полем К,
и пусть щ A<1<тг) — линейные отображения V в ?1К, опреде-
определяемые условиями мг(а;) = б,у (символ Кронекера). Эти отобра-
п
жения линейно независимы, так как соотношение У ahuh (х) = О
ft=i
для всех x?V, примененное к x = aj, влечет а,- = 0. С другой
стороны, пусть и — произвольное линейное отображение про-
пространства V в QK; полагая м(аг) = рг A<?<тг), получаем, что
отображение и — 2 Рй^ь равно нулю для всех а,-, следовательно,
fti
п
равно нулю на V, т. е. м= 2 PftMft- Таким образом, отображе-
й=1
ния Ui A<г<тг) образуют базис пространства -%(V, QK) над
полем й.
Следствие. Ранг (над Q) множества ограничений на V всех
К-автоморфизмов поля Q не превосходит размерности прост-
пространства V над полем К.
Действительно, ограничение на V любого /Г-автоморфизма
поля Q является /^-линейным отображением пространства V в QK.
Напомним, что для всякого множества автоморфизмов &
поля Q множество элементов этого поля, инвариантных при всех
автоморфизмах m?$% является подполем й и называется полем
инвариантов относительно & (гл. II, § 5, п° 6).
Теорема 1 (Артин). Пусть Q — поле, S—множество его авто-
автоморфизмов, обладающее следующими свойствами: 1° если и?&
и v?&, то uov?&; 2° тождественный автоморфизм принад-
принадлежит . Пусть К —поле, инвариантов относительно §.
Для того чтобы часть V поля Q имела конечный ранг п над
полем К, необходимо и достаточно, чтобы множество &у огра-
ограничений на V элементов множества & имело ранг п над полем Q.
Можно ограничиться случаем, когда V — векторное подпрост-
подпространство пространства QK. В самом деле, пусть Vo—векторное

134 поля гл. v, § 7
подпространство QK, порожденное множеством V; тогда, для
того чтобы некоторое .йГ-линейное отображение и части V в поле
Q было нулевым, необходимо и достаточно, чтобы и(х) = 0 для
всех х ? V. Следовательно, ранг множества "§v над полем К
равен рангу множества &v0 наД К.
Пусть теперь V — векторное подпространство пространства QK
конечной размерности т над К. Ввиду следствия из предложе-
предложения 1 множество &у имеет ранг, не превосходящий т. Остается
доказать, что если V — векторное подпространство простран-
пространства Qic, для которого множество &v имеет конечный ранг п
над ?2, то V имеет размерность над К, не меньшую п. Пусть (bt)
(l<t<rc+l) — семейство из гс + 1 произвольных элементов про-
пространства V. Мы покажем, что зто семейство связано в QK, что
и будет доказательством нашего утверждения. Пусть & —
векторное пространство на QK, порожденное множеством &v.
Рассмотрим линейное отображение и —> (и (bt)) пространства &
в векторное пространство Qn+1. Ранг этого отображения не пре-
превосходит п, так как размерность & равна п; образ W прост-
пространства & при этом отображении, следовательно, является под-
подпространством пространства Qn+1, отличным от Qn+1. Для любого
автоморфизма v ? & обозначим символом v отображение прост-
пространства Q'+1 в себя, определяемое соотношением v((жг)) = (v(xt)).
Для всякого элемента и?А имеем тогда v((u(bi))) = (v(u(bi))).
Но vou?&, ибо и есть ограничение на V отображения
2 ,, где ux?&, следовательно, vо и совпадает с ограничением
на V отображения 2 v (ах) (v ° их) и> по предположению, v о и^ G '§•
Таким образом, по определению W, мы имеем v (W) CZ W для
всех v?§. Отсюда следует, что подполе Q, связанное с W (для
канонического базиса пространства Q"+1) содержится в поле К
инвариантов относительно § (гл. И, § 5, предложение 10).
Итак, существует система уравнений, определяющих W с коэф-
коэффициентами в поле К (гл. II, § 5, теорема 2), и так как
W ф й"+1, то существует семейство (Р()к»==п+1 элементов из К,
п+1
из которых не все равны нулю и таких, что
для всех и?&. Взяв в качестве и ограничение на V тождест-

2 СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 135
венного автоморфизма (который, по предположению, принадле-
жит S), мы'получим 2 P;frj —0, что и завершает доказательство.
г=1
Эту теорему легко распространить на произвольные некомму-
некоммутативные тела (упражнение 2); тогда она оказывается обобщением
теоремы 36) гл. II, § 5, откуда мы скопировали доказательство.
2. Сепарабельные расширения
Пусть Е — некоторое расширение поля К, Q — алгебраически
замкнутое расширение поля Е. Следствие из предложения 1
показывает, что для любого подпространства V пространства QK,
содержащегося в Е и имеющего конечную размерность, множе-
множество ограничений на V всех ^-автоморфизмов поля Q имеет
ранг (над Q), не превосходящий размерности пространства V
(над К).
Определение 1. Расширение Е поля К называется сепарабелъ-
ным (над К), если существует алгебраически замкнутое расши-
расширение Q поля Е, обладающее следующим свойством:
(S) Для всякого векторного подпространства V простран-
пространства QK, содержащегося в Е и имеющего конечную размерность,
множество ограничений на V всех К-автоморфизмов поля Q
имеет ране (над Q), равный размерности V (над К).
Ввиду предложения 1 это равносильно утверждению, что для
всякого векторного подпространства VdE конечной размерности
над К любое /^-линейное отображение пространства V в QK
является линейной комбинацией (с коэффициентами в Q) огра-
ограничений на V jfiT-автоморфизмов поля Q.
Замечание. Условие сепарабельности Е над К выражается
еще следующим образом: для произвольной свободной над К си-
системы, состоящей из конечного числа п элементов at расширения
Е A ^ i <; п), существует л ЛГ-автоморфизмов и, расширения Q A<^
< i <; п) таких, что определитель det (и; (а/)) не равен нулю. Дейст-
Действительно, пусть V—векторное подпространство поля Е, порожден-
порожденное элементами а;. Размерность пространства V над полем К рав-
равна л, и предыдущее свойство означает, что система уравнений
п
2j ii"i(aj) = 0 A<С/<ге) имеет только тривиальное решение в Q,
i=l
1. е. что ограничения и, на V линейно независимы над Q.

136 поля гл. v, § 7
Теорема 2. Для того чтобы расширение Е поля К было
сепарабелъным над К, необходимо и достаточно, чтобы в алге-
алгебраическом замыкании О0 поля Е поле Е было линейно разде-
разделено {над К) с полем инвариантов относительно группы К-авто-
морфизмов поля Яо- Если это условие выполнено, то всякое
алгебраически замкнутое расширение й поля Е обладает свой-
свойством (S).
Действительно, пусть Q — алгебраически замкнутое расшире-
расширение поля Е, L (Q)—поле элементов, инвариантных относительно
группы /f-автоморфизмов поля Я. В силу теоремы 1 свойство (S)
означает, что для любой конечной части расширения Е ранг
этой части над К равен рангу ее над L(Q), иначе говоря, вся-
всякая часть расширения Е, свободная над К, является свободной
над L(Q). Это в свою очередь означает, что поля Е п L(Q)
линейно разделены над К (§ 2, п° 3). Пусть Qo —алгебраическое
замыкание расширения Е в поле Q; теорема будет доказана,
если мы докажем, что L(Q) — L (Яо). Но это вытекает из следую-
следующего более точного результата:
Предложение 2. Пусть Я— алгебраически замкнутое расши-
расширение поля К, и пусть К — алгебраическое замыкание поля К в Q;
тогда L(U) = L(K).
Действительно, всякий элемент х^ЦО.) алгебраичен над
полем К (§ 5, следствие из предложения 3), следовательно,
принадлежит К. G другой стороны, всякий .ff-автоморфизм
поля К продолжается до некоторого /^-автоморфизма поля Q
(§ 6, следствие 1 из предложения 2), следовательно, х должен
быть инвариантным при всех /^-автоморфизмах поля К, так что
L (Q) CZ L {К). Обратно, поскольку К— алгебраическое замыкание
поля К (§ 4, следствие из предложения 1), оно является нор-
нормальным расширением К, следовательно, ограничение на К
всякого .ff-автоморфизма поля Q есть автоморфизм К (§ 6, пред-
предложение 6). Поэтому всякий элемент поля L (К) инвариантен
при всех ^-автоморфизмах поля Q, чем завершается доказатель-
доказательство тождества L(K) = L (Q).
Мы уточним этот результат в § 8, п° 1, полностью описав
поле L(K). Сейчас мы можем сказать, что поле L{K) состоит

3 СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 137"
из тех алгебраических над К элементов, которые совпадают со-
всеми своими сопряженными (т. е. из алгебраических элементов,
минимальный многочлен которых над полем К имеет толъко-
один корень).
3. Примеры еепарабельиих расгииреиий.
Совершенные поля
Предложение 3. Всякое чисто трансцендентное расширение
поля К является сепарабелъным над К.
Действительно, известно (§ 5, следствие из предложения 11),
что такое расширение Е линейно разделено со всяким алгебраи-
алгебраическим расширением поля К, и в частности, с полем инвариант-
инвариантных элементов L (К) относительно группы /^-автоморфизмов
алгебраического замыкания К поля К в алгебраическом замы-
замыкании й0 поля Е. Следовательно, предложение вытекает из тео-
теоремы 2 и предложения 2.
Определение 2. Поле К называется совершенным, если оно-
совпадает с множеством элементов, инвариантных относительно
группы К-автоморфизмов алгебраического замыкания поля К.
Предложение 4. Если поле К совершенно, то всякое его рас-
расширение сепарабелъно (над К); обратно, если всякое алгебраи-
алгебраическое расширение поля К сепарабелъно, то К — совершенное поле.
Предложение является следствием теоремы 1 и предложения 2.
Предложение 5. Для того чтобы поле К, имеющее характе-
характеристическую экспоненту р, было совершенным, необходимо и доста-
достаточно, чтобы выполнялось условие Кр = К.
Условие необходимо: действительно, пусть Q—алгебраическое
замыкание поля К, а; —произвольный элемент поля К, у — такой
элемент поля Q, что ур = х. Для любого Ж-автоморфизма и рас-
расширения Q имеем (и(у))р=х и, следовательно, (и (у))р = ур v
откуда и(у) = у (§ 1, предложение 1). Поскольку поле К совер-
совершенно, у ?К, т. е. КР = К.
Условие достаточно: действительно, если оно выполнено,
то подкольцо К[ХР] кольца К[Х] равно Кр [Хр], следовательно,
совпадает с (К[Х])Р (§ 1, предложение 2). Пусть элемент x?Q:
инвариантен относительно всех /^-автоморфизмов поля Q, тогда х
алгебраичен над К, и его минимальный многочлен / над К

138 поля гл. v, § 7
не имеет других корней, кроме х. Если х $ К, то многочлен /
.должен иметь степень больше 1, следовательно, иметь кратный
корень. Это невозможно при р = 1, а при />>1 из этого выте-
вытекает включение f?K[Xp] (§ 3, предложение 1), но, как было
только что замечено, тогда f = gp, где g?K[X], что невозможно,
так как / неприводим.
Следствие. Если поле К конечно или алгебраически замкнуто
.или имеет характеристику нуль, то оно совершенно. В част-
.ности, всякое простое поле совершенно.
Следствие очевидно в случае, когда поле К имеет характе-
характеристику О, так как отображение х —>хр (р—характеристическая
экспонента поля К) является тождественным. Если К — конечное
поле, то х—>хр— взаимно однозначное отображение К в себя
<¦(§ 1, предложение 1), следовательно, отображает К на себя.
Наконец, если ноле К алгебраически замкнуто, то для любого
.элемента х?К уравнение ур = х имеет корень в К.
Если Ко—поле характеристики р>0, то поле К=К0(Х) рацио-
рациональных дробей от одной переменной над Ко не является совершен-
совершенным полем: в самом деле, не. существует элемента u(X)/v(X), при-
принадлежащего полю К (и ж v—многочлены кольца Ко [X]) и такого,
что (u(x)jv (х))р=Х. Действительно, последнее соотношение можно
записать в виде X(v(X))P—(u(X))P; обозначая через тип степени
многочленов и и v, соответственно получим /п/> = ир-(-11 что невоз-
невозможно. Кроме того, если Й—алгебраическое замыкание поля К,
z—корень многочлена Ур — X (кольца Л'[У]) в поле Й, то расшире-
расширение К (z) не сепарабельно над К, так как всякий сопряженный с г
над К элемент совпадает с z. Этим доказано, что единственным
АГ-изоморфизыом поля К (г) в поле Q является тождественный авто-
автоморфизм.
¦4. Свойства сепарабельных расширений
Предложение 6. Если расширение Е поля К сепарабелъно
.над К, то всякое подрасширение расширения Е сепарабельно
над К. Обратно, ес.ги Е —такое расширение поля К, что вся-
всякое его подрасширение конечного типа сепарабелъно над К, то Е
¦сепарабельно над К.
Предложение тотчас следует из определения 1, так как вся-
лое подрасширение расширения Е, порожденное векторным под-
подпространством конечной размерности, имеет конечный тип.

S СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 139
Таким образом, можно говорить, что сепарабельность является
свойством «конечного характера».
Предложение 7. Пусть F — расширение поля К, Е —под рас-
расширение поля F. Если Е сепарабелъно над К и F сепарабельно
над Е, то F сепарабельно над К.
Действительно, пусть Q — алгебраическое замыкание поля F,
L — поле элементов, инвариантных относительно всех jRT-авто-
морфизмов расширения Q, М — поле элементов, инвариантных
относительно ^-автоморфизмов поля Q. Так как всякий элемент
поля L инвариантен относительно всех ^-автоморфизмов поля Q,
имеет место включение E{L)dM (рис. 2). По предположению,
М
t
L->E(L)
t t
К >E-+F
Рис. 2.
поля F и М линейно разделены над Е, следовательно, F и Е (L)
линейно разделены над Е, и так как, кроме того, Е и L линейно
разделены над К, то F и L линейно разделены над К (§ 2,
предложение 7), откуда, применяя теорему 2, получим предло-
предложение.
Если поле F сепарабельно над К, то F не обязательно сепа-
* рабельно над любым под расширением поля F (см. § 8, предложе-
предложение 5). Например, если К—поле характеристики р>0, то поле
F = K(X) рациональных дробей от одной переменной над К сепа-
сепарабельно над К (предложение 3), но не сепарабельно над подрас-
ширеяием Е~К(ХГ) (см. п° 3).
5. Теорема Дедекинда
Теорема 3 (Дедекинд). Пусть Q — расширение поля К,
Е — под расширение Q. Любое семейство (ых)яеь попарно различ-
различных К-изоморфизмов поля Е в Q состоит из линейно независимых
(над Q) отображений.
Будем рассуждать от противного. Если отображения и^
линейно зависимы над Q, то между ними существует первичное

140 поля гл. v, § 7
соотношение 2 0^ = 0 (гл. II, § 5, п°4); иначе говоря,
я
2
я
2 (ж) = 0 для всех х?Е. Для любых элементов х?Е и
Л.
также ух?Е, так как Е—поле, откуда
и так как и-к — изоморфизмы поля Е, то
2 (у) их (х) = О
при любых хну, принадлежащих Е. Это означает, что для вся-
всякого элемента у ? Е элементы ajjii (у) являются коэффициентами
линейных соотношений между отображениями и^. Так как
2ct^u^ = 0—первичное соотношение, для любого элемента у?Е
существует такой элемент q(y)?E, что для всех K?L справед-
справедливы тождества
/) = Q (у) а\
(гл. II, § 5, предложение 2). Следовательно, если \i и v — раз-
различные индексы из L такие, что а^ ф О и av Ф 0, то и^, (у) =
= uv(y) для всех у?Е в противоречии с предположением. Сле-
Следовательно, существует только один индекс (J-gL такой, что
а^ Ф 0, но из рассмотренного соотношения между и% вытекает
гогда, что и^ = 0, что невозможно.
Замечание. Те же рассуждения применимы к более общему
случаю, когда их—представления мультипликативного моноида Е
в поле Q (снабженное только мультипликативным законом); если
отображения и^ попарно различны и отличны от пуля, то они
линейно независимы в векторном пространстве QE отображений Е в Q.
Предложение 8. Пусть Q — алгебраически замкнутое расши-
расширение поля К, Е — под расширение Q конечной степени над К.
Число К-изоморфизмов поля Е в Q не превосходит степени Е
над К. Для того чтобы оно было равно степени поля Е над К,
необходимо и достаточно, чтобы расширение Е было сепарабель-
ным над К.
Первая часть предложения тотчас следует из теоремы 3,
так как размерность над Q векторного пространства X (Е, QK)
равна [Е: К] (предложение 1). Если Е сепарабельно над К, то

€ СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 141
множество ограничений на Е .К-автоморфизмов поля Q имеет
ранг [Е:К] над Q, следовательно, состоит не менее чеы из [Е:К]
элементов. Обратно, если существует [Е:К] различных К-изо-
морфизмов поля ? в Q, то они являются ограничениями на Е
/^-автоморфизмов поля Q (§ 6, следствие 2 из предложения 2)
и линейно независимы над Q (теорема 3). Ввиду теоремы 1 поле Е
имеет ранг [Е: К) над полем L (Q) элементов, инвариантных
относительно группы /^-автоморфизмов поля Я. Этим доказано,
что поля Е и L (Q) линейно разделены над К (§ 2, п° 3), и сле-
следовательно (теорема 2), что расширение Е сепарабельно над К.
6. Сепа^абелъиые алгебраические элементы
Определение 3. Пусть Е — расширение поля К. Элемент х
расширения Е, алгебраический над К, называется сепарабелъным
над К, если алгебраическое расширение К(х) сепарабельно над К.
Предложение 9. Пусть Q — алгебраически замкнутое расши-
расширение поля К. Для того чтобы алгебраический элемент x?Q
степени п над К был сепарабелъным над К, необходимо и доста-
достаточно, чтобы он имел п различных сопряженных элементов
над К (или, что то же, ввиду предложения 3 § 6, чтобы все
корни в Q минимального многочлена элемента х над К были
простыми).
Действительно (§ 6, п° 2), число Х-изоморфизмов расшире-
расширения К (я)равно числу элементов, сопряженных с х, а степень поля
К(х) над К равна и.
Следствие 1. Если элемент a;?fi, алгебраический над К,
является сепарабелъным над К, то всякий сопряженный с ним
над К элемент тоже сепарабелен над К.
Следствие 2. Если элемент х ? Q является простым корнем
некоторого многочлена g?K[X], то х сепарабелен над К.
Действительно, минимальный многочлен / элемента х над
полем К делит g (§ 3, теорема 1), следовательно, х — простой
корень многочлена /, и то же верно для всех сопряженных с х
(§ 6, предложение 3).
Следствие 3. Если элемент x?Q алгебраичен и сепарабелен
над полем К, то он сепарабелен над любым расширением F
поля К, содержащемся в Q.

142 поля гл. v, § 7
Действительно, х— простой корень своего минимального мно-
многочлена над К, принадлежащего кольцу F [X].
Назовем многочлен кольца К [X] сепарабелъным, если все
его корни в алгебраическом замыкании поля К сепарабельны.
Ввиду предложения 1 § 3, для того чтобы неприводимый много-
многочлен f?_K[X\ был сепарабелъным, необходимо и достаточно,
чтобы f$K[Xp] (p — характеристика поля К). В частности, если
К—поле характеристики нуль, то всякий непостоянный много-
многочлен кольца К [X] сепарабелен.
Предложение 10. Пусть Q — алгебраически замкнутое расшире-
расширение поля К. Пусть А — часть Q, состоящая из сепарабельных
алгебраических элементов над К. Тогда К {А) — сепарабелъное
алгебраическое расширение поля К.
Достаточно доказать, что для всякой конечной части F
поля К {А) поле K{F) сепарабельно (предложение 6). Так как
каждый элемент части F содержится в некотором расширении
поля К, получаемом присоединением конечной части множества А>
то все поле K(F) содержится в поле К (В), где В— некоторая
конечная часть множества А и, следовательно, можно ограничить-
ограничиться случаем, когда множество А конечно. Итак, пусть (a;)i^i^n—
некоторая конечная последовательность сепарабельных алгебраи-
алгебраических элементов расширения Q поля К. Будем доказывать
индукцией по п, что поле К(а1, а2, ..., ап) сепарабельно над К*
Ввиду определения 3 предложение верно для и = 1. Так как
элемент а„ сепарабелен над полем К(яьо2, ..., an-i) (следствие 3
из предложения 9), расширение K(ai,az, ...,an) сепарабельно
над К{аи ..., an-i) (определение 3); но, по предположению индук-
индукции, поле K(ai, ...,an-i) сепарабельно над К, следовательно,
и поле К{аиа2, ...,ап) сепарабельно над К (предложение 7).
Следствие 1. Для того чтобы алгебраическое расширение Е
поля К было сепарабелъным, необходимо и достаточно, чтобы
все элементы поля Е были сепарабелъны над К.
Следствие 2. Всякое алгебраическое расширение совершенного
поля К совершенно.
Действительно, пусть Е—алгебраическое расширение поля К,
F — алгебраическое расширение поля Е; всякий элемент х рас-
расширения F алгебраичен над К (§ 3, предложение 8), следова-
следовательно, сепарабелен над К по предположению о совершенности.

7 СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 143-
(предложение 4). Отсюда вытекает, что х сепарабелен над Е
(следствие 3 из предложения 9) и, следовательно, F — сепара-
бельное расширение поля Е (следствие из предложения 10), но-
это значит, что Е совершенно (предложение 4).
Предложение 11. В любом алгебраическом расширении Е
поля К множество Ео элементов этого поля, сепарабелъных над К,
является сепарабелъным расширением поля К, которое совпа-
совпадает с объединением всех сепарабелъных расширений поля К,
содержащихся в Е. Действительно, поле К(Е) сепарабельно-
над К (предложение 10), следовательно, К°(Е0)С1 Ео и, значит,.
К(Е0) = Е0.
7. Примитивные элементы
Пусть дано алгебраическое расширение Е поля К конечной
степени п. Элемент х?Е называется примитивным элементом
расширения Е, если Е = К (х): существование примитивного эле-
элемента означает тем самым, что Е — простое расширение поля К.
Элемент х, следовательно, имеет степень п над К; обратно,
всякий элемент расширения Е, степень которого равна п, является
примитивным элементом расширения Е (§ 2, следствие 2 иа
теоремы 1).
Предложение 12. Пусть К — бесконечное поле, тогда всякое
сепарабелъное алгебраическое расширение Е поля К конечной сте-
степени является простым.
Пусть [Е:К] = п; по предположению, существует п различных
isT-изоморфизмов ы; A <; г <1 п) расширения Е в поле Q (предложе-
(предложение 8). Пусть Vtj (i Ф ]') — множество тех элементов у?Е, для
которых Ui(y) — uj{y); тогда Fy—подполе поля Е, содержащее К
и, следовательно, являющееся векторным подпространством про-
пространства Е (над ./?). По предположению, множество V^ отлично
от Е, и так как поле К бесконечно, то существует элемент х ?Е,
не принадлежащий ни к одному из п(п—1)/2 векторных под-
подпространств Vij (гл. IV, § 2, предложение 8); это значит, что
все элементы ut(x) различны A<?<гс), следовательно, х имеет
по крайней мере п различных сопряженных в Q, т. е. степень х
над К не меньше п, и так как х ?Е, то степень х равна п, т. е.
Е = К(х).

144 поля гл. v, § 7
Мы увидим в § 11, что предложение 12 распространяется на
случай конечного поля К (§ 11, предложение 4).
Упражнения. 1) Пусть /—неприводимый многочлен кольца
К [X], сепарабельный над К, и пусть а; A ¦<?<! п) — его корни
в алгебраическом замыкании й поля К. Пусть g— произвольный
многочлен кольца К\Х], h—некоторый неприводимый множитель
(в К[Х\) многочлена f(g(X)). Доказать, что степень многочлена h
является целым кратным тп числа п и что h имеет точно г общих
корней с каждым из многочленов g{X) — сц кольца Я [X] (рассмо-
(рассмотреть сопряженные произвольного корня многочлена К).
*2) Пусть Я— тело (не обязательно коммутативное), К—подтело
тела Я, ?2к—множество fi, снабженное структурой правого вектор-
векторного пространства над К. Для любого векторного подпространства V
пространства Q% рассмотрим множество X (V, ?2к) линейных ото-
отображений пространства V в Q, снабженное структурой левого вектор-
векторного пространства над Я, индуцированной структурой fig (см. гл. II,
§ 5, п° 6).
а) Доказать, что если V имеет размерность п над К, то размер-
размерность пространства X (V, QK) над Я равна п.
б) Пусть G— некоторое множество автоморфизмов тела Я, со-
содержащее тождественный автоморфизм и такое, что если и ? G, v ? G,
то и о v ? G. Пусть L—тело элементов, инвариантных относительно G.
Для того чтобы векторное подпространство V пространства Ql, имело
конечную размерность п над L, необходимо и достаточно, 'чтобы
множество Gy ограничений на V элементов G имело ранг п над Я
{то же доказательство, что для теоремы 1).
в) Пусть К—некоторое подтело тела fi; назовем векторное подпро-
подпространство V пространства fig конечной размерности п сепарабель-
ным над К, если любое линейное отображение пространства V в fig
является линейной комбинацией (с .коэффициентами из fi) ограниче-
ограничений на V Z-автоморфизмов тела fi. Для того чтобы V было сепара-
бельным, необходимо и достаточно, чтобы его ранг (справа) над
полем инвариантных элементов относительно .йГ-автоморфизмов тела Я
был равен п; вывести отсюда, что всякое векторное подпространство
пространства V сепарабельно.
г) Пусть ? —подтело тела fi, содержащее К. Будем говорить,
что Е сепарабельно над К, если всякое векторное подпространство
пространства Е конечной (правой) размердости над К сепарабельно
над К. Доказать, что если в цепочке К С Е С F С fi тело Е сепа-
сепарабельно над К, a F сепарабельно над Е, то F сепарабельно
над К.
д) Пусть Е—подтело тела fi, содержащее К, и пусть (мсI?1 —
некоторое семейство ЛГ-изоморфизмов тела Е в fi. Для того чтобы
отображении uL были линейно зависимы (над fi), необходимо и до-
достаточно, чтобы существовали К-изоморфизм v пространства Е в Я,

1 РАДИКАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 145
конечная непустая часть J множества / и семейство ((ijWj не рав-
равных нулю элементов тела Q такие, что ^ V-i — ® и Mi (*) = Pi" (*) [Чг
для всех if У и всех х g E.
§ 8. Радикальные элементы. Критерий сепарабельности
В этом параграфе Q — алгебраически замкнутое поле харак-
характеристической экспоненты р\ все предложения, доказываемые
в этом параграфе, тривиальны для p — i.
1. Радикальные элементы
Предложение 1. Пусть К — некоторое подполе поля Q. Для
того чтобы элемент x?Q был инвариантен при всех К-автомор-
физмах поля Q, необходимо и достаточно, чтобы существовало
целое число яг>0 такое, что xvm?K. Пусть е —наименьшее
из этих чисел; тогда минимальный многочлен элемента х над К
имеет вид Хре — хр .
Условие достаточно; в самом деле, пусть и — произвольный
X-автоморфизм поля Q. Если хрт?К, то (и (х))рт = и (хрт) — хрт,
следовательно (§ 1, следствие из предложения 1), и (х) = х. Обратно,
если элемент х инвариантен относительно всех К -автоморфизмов
поля Q, то х алгебраичен над К, и его минимальный много-
многочлен / над К имеет только один корень (§ 6, предложение 3).
При р — 1, как мы уже видели х?К (§ 3, предложение 1); если
же р>1, то пусть е — наибольшее из чисел h, для которых
fdK[Xp ]. Имеем/(X) = g[Xpe], где многочлен g ? К [X], очевидно,
неприводим и g^K[Xp]. Так как g имеет только один корень хрв
в Q,to g(X) = X — хрв (§3, предложение 1). Предложение доказано.
Определение 1. Пусть дано подполе К поля Q; элемент x^Q
называется радикальным над К, если существует такое целое
число т>0, что хрт?К.
Множество радикальных над К элементов поля Q является,
таким образом, полем элементов, инвариантных относительно
всех Х-автоморфизмов поля Q (см. § 7, п° 2); ввиду предложе-
предложения 1 это поле можно определить как множество корней всех
многочленов вида XvS — а кольца К [Х\ (е —произвольное неот-
неотрицательное число).
Ю Н. Бурбаки

146 поля гл. v, § 8
Так как поле Q алгебраически замкнуто, то оно совершенно
(§ 7, следствие из предложения 5), следовательно, отображение
х —> xv является автоморфизмом Q. Мы будем обозначать сим-
символом х—> xv или x—>xi/v обратный автоморфизм, а симво-
символом К" или К1/ре — образ поля К при отображении х —> xv
поля К в Q. Поле Кр является множеством корней много-
многочленов X1* — а кольца К [X], следовательно, оно является алге-
алгебраическим расширением поля К, имеющим, возможно, веско-
печную степень. Если е < /, то Кр аКр . Подполе поля й,
состоящее из радикальных над К элементов, является объедине-
объединением полей Кр при е, пробегающем все неотрицательные числа.
— оо
Будем обозначать это поле символом К ; оно является алге-
алгебраическим расширением поля К (см. § 7, предложение 2).
—оо
Предложение 2. Поле Кр является наименьшим совершен-
совершенным подполем поля Q, содержащим К.
Действительно, пусть Е—произвольное совершенное подполе
поля Q, содержащее К; тогда Ер = Е для всех е > 0 (§ 7, пред-
—в —оо
ложение 5), следовательно, EzdKp и, значит, EZDKP . Обрат-
Обратное непосредственно следует из того, что всякий/^-автоморфизм
поля Q является Кр -автоморфизмом, следовательно, Кр яв-
является полем элементов, инвариантных относительно всех Kv°°-
автоморфизмов поля Q, т. е. поле Кр совершенно.
Замечание. Если поле К не совершенно, то все поля К
различны, так как тогда Кр ф К (§ 7, предложение 5) и изоморфизм
х —> хр поля К на Kv отображает Кр на Кр . Поле Кр
является, таким образом, алгебраическим расширением бесконечной
степени над К, когда К не совершенно.
2. Критерий Маилейна
Предложение 3 (Маклейн). Пусть К —некоторое подполе
поля Q, ECZ& — расширение поля К. Для того чтобы Е было
сепарабельным над К, необходимо, чтобы поля Е и Кр °° были
линейно разделены над К, и достаточно, чтобы, поля Е и Kv
были линейно разделены над К.

3 РАДИКАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 147
Критерий сепарабельности (§ 7, теорема 2) означает, что Е
и Кр °° линейно разделены над К. Следовательно, остается дока-
доказать, что если поля Е и Кр линейно разделены над К, то
линейно разделены поля Е и Кр °°. Действительно, всякое семей-
семейство (at) элементов поля Е, свободное над К, свободно над Кр~1,
следовательно, семейство (af) свободно над К и по индукции
семейство (af) свободно над К для всех неотрицательных чисел /.
Таким образом, соотношение вида 2fJ-iai = 0i гДе \li?KP°° в°е
равны нулю, кроме конечного числа, эквивалентно соотноше-
соотношению 2 M-f °\ ~ ^ Для всех положительных чисел /. Так как
существует число / такое, что цр ?К для всех i, то ц,, = 0 для
всех I, и предложение доказано.
Следствие. Пусть Е —некоторое расширение поля К. Если Е
сепарабелъно над К, то для любого линейно свободного над К
семейства (at) элементов расширения Е, семейство (aj3) линейно
свободно над К. Обратно, если существует линейный базис (Ь>)
расширения Е над К такой, что семейство bf линейно свободно
над К, то Е сепарабелъно над К.
Это утверждение непосредственно следует из критерия линей-
линейной разделенности (§ 2, п° 3).
Замечание. Если поле Е сепарабельно над К, то из пред-
предложения 3 вытекает, что Ef\K . Однако может существовать
алгебраическое расширение Е поля К, не сепарабельное над К
и такое, что ?(^ —-^ (см- упражнение 17 и § 10, предложе-
предложение 14).
3. Приложение к сепарабельным
алгебраическим, расширениям
Предложение 4. Пусть А —некоторое множество алгебраи-
алгебраических элементов над полем К, и пусть поле К {А) сепарабелъно
над К. Тогда K(AV) = K{A). Обратно, если А имеет конечный
ранг над К и К(АР) = К (А), то К (А) сепарабелъно над К.
10*

148 поля гл. v, § 8
Будем предполагать сначала, что А имеет конечный ранг
над полем К и (a^i^i^u— линейный базис пространства К (А)
над К. Тогда К (А) = К [А] и К(АР) = К [Ар] (§ 3, предло-
предложение 3), следовательно, элементы а? являются системой обра-
образующих векторного пространства К(АР) над полем К (§ 1, предло-
предложение 3). Если расширение К (А) сепарабельно над К, то эле-
элементы ар линейно независимы над К (следствие из предложе-
предложения 3), следовательно, [К (Ар): К] = [К (А): К] и К(АР) = К(А).
Обратно, если выполнено это условие, то элементы а? линейно
независимы над К (гл. И, § 3, следствие 2 из теоремы 3),
следовательно, расширение К {А) сепарабельно над К (следствие
из предложения 3). Если же множество А имеет бесконечный
ранг над полем К, то расширение К (А) является объединением
подполей K(F), где F пробегает множество конечных частей
множества А (§ 2, следствие из предложения 3). Если поле К {А)
сепарабельно над К, то любое подполе К (F) сепарабельно над К,
следовательно, K{FP)=K(F) и поле К(АР), являясь объедине-
объединением полей K(FP), совпадает с К {А).
Следствие. Пусть Е — некоторое сепарабелъное алгебраическое
расширение поля К; если система (Ь\) образует базис поля Е
над К, то система (&?) тоже образует базис Е над К.
Действительно, семейство (b?) линейно свободно над К (след-
(следствие из предложения 3), следовательно, оно является базисом
пространства К [Ер] над К (§ 1, предложение 3). Так как расши-
расширение Е алгебраично над К, имеем К(ЕР) =К [EV] = E (§ 3,
предложение 3).
Замечания. 1) Используя предложение 4, можно дать дру-
другое доказательство того, что всякий сепарабельный алгебраически]"!
над К элемент х будет сепарабельным над любым расширением F
поля К, содержащимся в Q (§ 7, следствие 3 из предложения 9):
действительно,
F (xP)=K (F) (xV) = K(xV) {F)=K (F) (x) = F (x).
2) Если Е—алгебраическое расширение бесконечной степени
поля К, то условие K(EV)=E не является достаточным для того,
чтобы .Е'было сепарабельным над К: например, поле Е — К
удовлетворяет этому условию.

4 РАДИКАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 149
Предложение 5. Пусть Е — произвольное сепарабелъное расши-
расширение поля К, F— некоторое алгебраическое расширение поля К,
содержащееся в Е. При этих условиях Е сепарабелъно над F
(см. § 7, п° 4).
Пусть (ах) — некоторый базис поля F над К, (Ь^) — некоторый
базис поля Е над F. Достаточно доказать, что семейство (Щ)
линейно свободно над F (следствие из предложения 3). Пусть
2Рц&? = 0—линейное соотношение между элементами Щ, с коэф-
фициентами Рц ? F. Так как элементы (а?) составляют базис поля F
над К (следствие из предложения 4), имеем Рц= 2 аяцаь гДе
К- Следовательно, 2 аЯц (а*.&ц)р = 0> и так как семейство
образует базис поля Е над К (§2, п° 1) (следствие из предло-
предложения 3), семейство (афц)р линейно свободно над К, откуда сле-
следует, что ахм = 0 для всех пар (К, ц), т. е. Рц = О для всех ц.
4. Радикальные расширения
Определение 2. Расширение Еа& поля К называется ради-
радикальным, если все его элементы радикальны над К.
Таким образом, радикальные расширения поля К суть
расширения поля К, содержащиеся в Kv ; все они алгебраичны
над К. Для любого множества А радикальных элементов над К
расширение К (А) радикально над К. Если Е — радикальное
расширение поля К, a F — радикальное расширение поля Е,
то F — радикальное расширение поля К, так как для всякого
элемента х ? F существует такое целое число т, что хр'п ? Е
и такое целое число п, что (хРт)рП ? К, т. е. хр"ч~п?К.
Предложение 6. Для всякого радикального расширения Е
поля К конечной степени число [Е: К] является степенью харак-
характеристической экспоненты р.
Действительно, пусть Е = К(а,ц, а2, ..., ап) и все элементы аг
радикальны над К; тогда тем более элемент at радикален над
полем К (аи .. ., a;-i) при 1 < i < п, а так как число [К (аи ..., at):
:К(аи . ..,aj_i)] является степенью р (предложение 1), число
[Е: К] также является степенью р (§ 3, предложение 5).

150 поля гл. v, § 8
Предложение 7. Для любого алгебраического над К элемента
х ? Q существует такое целое число т > 0, что элемент хр1М
сепарабелен над К.
Действительно, пусть / — минимальный многочлен элемента х;
если р = 1, то предложение очевидно — достаточно взять т = 0
(§ 7, предложение 9 и § 3, предложение 1). Если р>0, то пусть
т—наибольшее из чисел h, для которых fdK.[Xv], тогда
где g?K[X] и g$K[Xp]. Очевидно, что g — неприводимый мно-
многочлен. Так как g$K[Xp], то все корни многочлена g
простые (§ 3, предложение 1), следовательно, элемента^, яв-
являясь корнем многочлена g, сепарабелен над К (§ 7, предло-
предложение 9).
Следствие. Пусть Е — алгебраическое расширение поля К,
Ео— наибольшее сепарабелъное расширение поля К, содержащееся
в Е (§ 7, предложение 11); тогда Е — радикальное расширение
поля Ео.
Действительно, для любого элемента 'х?Е существует такое
целое число т > 0, что элемент хрт сепарабелен над К (предло-
(предложение 7), следовательно, хрт?Ео по определению.
Предложение 8. Пусть Е — алгебраическое расширение поля К,
Ео — наибольшее сепарабелъное расширение К, содержащееся в Е.
Для того чтобы число К-изоморфизмов поля Е в Q было конеч-
конечным, необходимо и достаточно, чтобы поле Ео имело конечную
степень над К', тогда это число равно [Е0\К].
Действительно, всякий ЛГ-иэоморфиэм и расширения Ео
в поле Q продолжается до некоторого /iT-автоморфиэма поля Q
(§ 6, следствие 2 из предложения 2). Пусть v и го — .йТ-автомор-
физмы поля Q, продолжающие и. Тогда отображение vw'1
является .Е'о-автоморфизмом поля Q, следовательно, его ограни-
ограничение на расширение Е (которое радикально над Ео) будет тож-
тождественным отображением. Иначе говоря, всякий ЛГ-изоморфизм
поля Ео однозначно продолжается до /f-изоморфиэма поля Е.
Предложение вытекает тогда из сепарабельности поля Eq (§ 7,
предложение 8).
Следствие. Если Е имеет конечную степень над К, то число
К-изоморфизмов поля Е в Q является делителем степени [Е:К].

4 . РАДИКАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 151
Определение 3. Пусть дано алгебраическое расширение Е
поля К конечной степени. Назовем сепарабелъным множителем
степени поля Е {над К) и будем обозначать символом [Е: К]а
степень над К наибольшего сепарабельного расширения Ео поля К,
содержащегося в Е (равную числу /^-изоморфизмов поля Е в й);
несепарабелъным множителем степени поля Е (над К) называем
степень поля Е над Ео и обозначаем ее [Е:К].
Таким образом, число [E:K]i является степенью р (предло-
(предложение 6 и следствие из предложения 7), и
[E:K] = [E:.K].[E:K]t.
Замечание. Заметим, что несепарабельный множитель сте-
степени поля Е не обязательно равен наибольшей степени р, на
которую делится число [Е : К], так как может существовать сепа-
рабельное расширение поля К степени р (§ 11, предложение 5
и упражнение 8).
Когда степень поля Eq над К (соответственно степень поля Е
над Eq) бесконечна, говорят еще для удобства речи, что сепара-
бельный множитель (соответственно несепарабельный множитель)
степени поля Е над К бесконечен.
Упражнения. *1) а) Пусть L—поле характеристики р > 0, х
и у— такие радикальные над L элементы, что х (| L, у $ L, xP?L,
ур ? L. Доказать эквивалентность условий у ?L{x) и х ? L (у).
б) Пусть Е — расширение поля К характеристики р >0. Часть М
расширения Е назовем р-независимой над К, если для любой части
М' множества М, отличной от М, поля К(Ер)(М') и К(Е®) (М)
различны. Для того чтобы семейство М было р-независимо над К,
необходимо и достаточно, чтобы любая ковечная часть семейства М
была р-независима над К.
в) Часть М расширения Е поля К назовем р-базисом (или бази-
базисом несовершенства), если семейство М р-независимо над К и если
Е = К(Е*>)(М). Пусть S—такая часть Е, что Е = Я (ЕР) (S), М—
часть множества 6", р-независимая над К; доказать существование
такого р-базиса В расширения Е над К, что М <~.BciS (см. § 5,
упражнение 14).
г) Для того чтобы конечное семейство (^L<^г различных Эле-
Элементов расширения Е было р-независимо над К, необходимо и доста-
достаточно, чтобы элементы zVlV2 v =zvia;V2 ... xvt @< vj <; p для
всех i) были линейно независимы над полем К (ЕР). В частности,
для того чтобы расширение Е имело р-базис из г элементов, необ-
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие [Е : К(ЕР)] = рг.
Назовем r-степенъю несовершенства поля Е над К. Если г = 0,

152 поля гл. v, § 8
то есть К (ЕР) — Е, то расширение Е называют относительно совер-
совершенным над К (например, алгебраическое и сепарабельное над К
расширение Е относительно совершенно над К).
*2) а) Пусть Е — некоторое расширение поля К характеристики
Р>0, В— р-базис поля Е над К (упражнение 1в)). Доказать, что
для любого неотрицательного целого числа к Е = К(ЕР ) (В).
б) Предположим, что Ес.Кр~п. Для того чтобы степень [Е : К]
была конечной, необходимо и достаточно, чтобы степень несовер-
несовершенства т0 расширения Е над К (упражнение 1 г) была конечной.
Таким образом, т0—минимальное число образующих поля ? над К.
Если т^— степень несовершенства поля К(ЕР ) над К, то »ift+i<! mk
для всех к; положим /=2mft» тогДа [Е: K] = pf.
k
в) Предположим, что ЕС.КР~1, и пусть Ко—такое подполе
поля К, что Е сепарабельно над Ко. Доказать р-независимость
семейства ВР над Ко. (Заметить, что если (ад,) — базис поля К над Ко,
то (а?) —базис поля К0(КР) над Kq.)
Пусть С—часть поля К без общих элементов с ВР ш такая,
что множество Вр{]С является р-базисом поля К над Kg. Доказать,
что объединение B\JC составляет р-базис поля Е над Ко.
г) Опять предположим, что Е а Кр~ и что поле Е сепарабельно
над подполем Kq поля К. Доказать, что если степень несовер-
несовершенства поля К над Ко конечна, то Е имеет ту же степень несовер-
несовершенства, что К над Ко (использовать в)).
*3) Пусть Е—расширение поля К характеристики р>0, F —
расширение поля Е.
а) Если В—р-базис поля Е над К, С—р-базис поля F над Е,
то существует р-базис поля F над К, содержащийся в В[}С.
б) Если F — сепарабельное расширение поля Е, то любые два
из следующих предложений влекут третье: а) семейство В образует
р-базис поля Е над К; Р) семейство С образует р-базис поля F
над Е; у) семейство В\}С образует р-базис поля /"надЯ пВС\С=ф
(воспользоваться тем, что если (с^) —базис поля F над Е, та
(сР) образует базис поля К (FP) над К (ЕР) и базис поля E'{F*>)
над Е).
*4) Пусть К—поле положительной характеристики р, Е—неко-
Е—некоторое расширение поля К и F—расширение конечного типа
поля Е. Доказать, что если степень несовершенства поля Е над К
конечна, то она не меньше степени несовершенства поля F над К
(свести к двум следующим случаям: 1° F сепарабельно над Е,
2° F = E(x), где хР?Е).
*5) Пусть К—несовершенное поле, Е — алгебраическое расшире-
расширение поля К конечной степени. Для того чтобы Е было простым

РАДИКАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 153
расширением поля К, необходимо и достаточно, чтобы его степень
несовершенства над К была равна 0 или 1 (для доказательства
достаточности заметить, что если Ео — наибольшее сепарабельное
расширение поля К, содержащееся в Е, то [Е=Е0(а) и Е0=;Кф),
и доказать, что можно найти элемент %?К такой, что Е=
поскольку поле К бесконечно).
6) Пусть Е—расширение конечной степени поля К. Пусть г
степень несовершенства поля Е над К; доказать, что г—наименьшее
число образующих полн Е над К (длн того чтобы доказать, что Е
порождается г элементами, заметить, что если Ео — наибольшее
сепарабельное расширение поля К, содержащееся в Е, то суще-
существует г элементов а; A ¦< i < г) таких, что Е = Е0(а1 ат),
и использовать упражнение 5).
Вывести отсюда, что для того чтобы всякое алгебраическое расши-
расширение конечной степени поля К характеристики р > 0 было про-
простым, необходимо и достаточно, чтобы степень несовершенства
поля К над КР была равна 0 или 1.
7) Пусть F—сепарабельное расширение поля К. Если поле
EciF является относительно совершенным расширением полн К,
то доказать, что F сепарабельно над Е.
8) Пусть К—поле положительной характеристики р>0. Если
Е—относительно совершенное расширение поля К или алгебраиче-
алгебраическое расширение поля К, то Ер =Е (Кр ) (во втором случае
использовать радикальность Е над наибольшим сепарабельным
расширением Ео поля К, содержащимся в Е).
9) Пусть К—поле положительной характеристики р, Е — сепа-
сепарабельное расширение поля К, В—р-базис поля Е над К.
а) Доказать, что семейство В алгебраически свободно над К (рас-
(рассмотреть алгебраическое соотношение наименьшей положительной
степени между элементами В и представить степени переменных,
которые в нем участвуют, в виде kp-\-h, где 0<Л<;р —1). Вывести
отсюда, что если Е имеет конечную алгебраическую размерность
над К, то степень несовершенства Е над К не превосходит алгебраи-
алгебраической размерности Е над К.
б) Доказать, что поле Е сепарабельно и относительно совершенно
пад полем К (В).
10) Назовем базис трансцендентности В расширения Е поля К
сепарабельным, если поле Е являетсн алгебраическим сепарабельным
расширением поля К (В) (см. § 9, п° 3). Для того чтобы расшире-
расширение Е полн К положительной характеристики р и конечной алгебраи-
алгебраической размерности над К допускало сепарантный базис трансцен-
трансцендентности над К, необходимо и достаточно, чтобы поле Е было
сепарабельно над К и его степень несовершенства над К была равна
его алгебраической размерности над К. Таким образом, всякий
р-базис полн Е над К является сепарабельным базисом трансцен-

154 поля гл. v, § 8
дентности поля Е над К (использовать упражнение 96) и упражне-
упражнение 36)).
11) Доказать, что относительно совершенное трансцендентное
расширение Е поля К положительной характеристики р не может
иметь конечный тип над К. (Доказать, используя предложение 4,
что в противном случае для любого базиса трансцендентности В
расширения Е яад К расширение Е сепарабельно над К (В).)
12) Пусть if—поле положительной характеристики р, Е — сепа-
рабельное расширение К конечной алгебраической размерности.
а) Если существует некоторый базис трансцендентности Tq рас-
расширения Е над К и неотрицательное число т такое, что К (Ер ) сепа-
сепарабельно над К(Т0), то доказать, что для любого базиса трансцен-
трансцендентности Т расширения Е над К существует такое неотрицатель-
неотрицательное число и>0, что поле К (Ер ) сепарабельно над К(Т).
б) Вывести отсюда, что если выполнено условие а), то Е допу-
допускает сепарантный базис трансцендентности над К (есть В есть
р-базис полн Е над К, S — базис трансцендентности полн Е над К,
содержащий В (упражнение 9а)), то, используя упражнение 96),
доказать, что S — сепарантный базис трансцендентности).
13. Пусть К—несовершенное поле характеристики р и х — эле-
элемент, трансцендентный над К. Доказать, что объединение Е расши-
расширений К (хр ) поля К является сепарабельным расширением К
алгебраической размерности 1, не допускающим сепарантного базиса
трансцендентности над К.
* 14) Пусть Е— расширение поля К, F — расширение поля Е,
а) Если поле Е допускает сепарантный базис трансцендентности
над К и если F допускает сепарантный базис трансцендентности
над К, то поле F допускает сепарантный базис трансцендентности
над К.
б) Если поле F допускает сепарантный базис трансцендентности
над К и если Е имеет конечную алгебраическую размерность над К,
to поле Е допускает сепарантный базис трансцендентяости над К
(свести к случаю, когда F имеет конечную алгебраическую размер-
размерность над К и применить упражнение 12).
в) Если F допускает сепарантный базис трансцендентности над К
и сепарабельно над Е, то поле F допускает сепарабельный базис
трансцендентности над Е (использовать упражнение 12).
15) Пусть К—поле положительной характеристики р и степени
несовершенства над К1*, равной 1. Для того чтобы расширение Е
поля К было сепарабельно над К, необходимо и достаточно, чтобы
поле Е не содержало никакого радикального над К элемента, не при-
принадлежащего К (если элемент а поля К образует базис поля К
яад Кр, то доказать, что поля К^1=К (а1^1) и Е линейно разделены
над К).

1 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В ПОЛЯХ 155
16) Пусть /—унитарный неприводимый многочлен кольца К[Х],
К—поле положительной характеристики р. Доказать, что в кольце
К [X] многочлен / (Хр) неприводим или является р степенью непри-
неприводимого многочлена в зависимости от того, существует или нет коэф-
коэффициент многочлена /, не принадлежащий полю Kv.
*17) Пусть Ко—поле характеристики р>2, и'пусть К—поле
рациональных функций Ко (X, У). Рассмотрим алгебраическое рас-
расширение Е=К (д) поля К, порожденное корнем д многочлена / (Z) =
= Z2p-f-XZp-|-Y в кольце K[Z]. Доказать, что поле Е не сепара-
бельяо над К, но не содержит радикальных над К элементов, не при-
принадлежащих К (см. упражнение 15). (Заметить сначала, что много-
многочлен / неприводим в кольце K[Z]\ если существует такой элемент
Р6?, что $Р?К, р ^ АГ, то / приводим в кольце К ф) (Z); используя
упражнение 16, доказать, что тогда элементы Х'/р и У^р при-
принадлежат Е и что [Е : К] !>.р2.)
18) Пусть Q—алгебраически замкнутое расширение поля К, Е
и F—расширения поля К конечной алгебраической размерности,
содержащиеся в Q, и EczF. Пусть (ма) — семейство .ЙГ-автомор-
.ЙГ-автоморфизмов поля Q таких, что ограничения иа на Е попарно различны
и составляют множество if-изоморфизмов поля Е в Q. Пусть (г>р) —
семейство различных ^-изоморфизмов. Доказать, что всякий АГ-изо-
морфизм поля F может быть однозначно записан в виде uaov$.
Вывести отсюда, что если Е и F—алгебраические расширения
поля К конечной степени и ?с^, то [F : K]S=[F : E]S[E : K]s.
§ 9. Дифференцирования в полях
1. Продолжение дифференцирования
Пусть Q — некоторое поле, Е—подполе в Q. Мы уже опре-
определили в главе IV, § 4, п° 3 и 4 понятие дифференцирования
подполя Е в поле Q (где поле Е рассматривалось как алгебра
над кольцом Z целых рациональных чисел).
Предложение 1. Для каждого дифференцирования D под-
подполя Е в поле Q множество N тех элементов х ? Е, для кото-
которых Dx = 0, является подполем поля Е.
В самом деле, известно, что N является подкольцом поля Е,
содержащим единицу (гл. IV, § 4, п° 3 и 4). С другой стороны,
так как всякре дифференцирование в поле Q любой области
целостности, содержащейся в Q, однозначно продолжается до
дифференцирования ее поля дробей (гл. IV, § 4, предложение 11),
множество N совпадает с этим полем дробей.

156 поля гл. v, § 9
Отсюда следует, что D(ax) = aDx для всех a?N, х?Е; дру-
другими словами, D является дифференцированием подполя Е
поля Q, если поле Е рассматривать как алгебру над полем N.
Вообще пусть К — произвольное подполе поля Е; всякое диффе-
дифференцирование подполя Е в Q, рассматриваемого как алгебра
над К, называется К-дифференцированием. Эти дифференциро-
дифференцирования D характеризуются тем свойством, что Dx = 0 для всех
хек.
Из предыдущего вытекает, в частности, что всякое дифференци-
дифференцирование простого полн в любом его расширении является нулевым.
Предложение 2. Пусть Е—некоторое подполе поля Q, D —
дифференцирование поля Е в Q, F = E(xl)^I— расширение поля Е,
содержащееся в Q, и (wt)t?j — семейство элементов из Q. Для
того чтобы существовало дифференцирование D поля F, являю-
являющееся продолжением дифференцирования D и такое, что
D (xi) — »i для всех 16 /, необходимо и достаточно, чтобы для
каждого конечного подмножества Н ? / существовало 'дифферен-
'дифференцирование DH поля Е(х1I^н, являющееся продолжением
дифференцирования D и такое, что DH(xl) = ui для каж-
каждого i6#- Дифференцирование D в этом случае является
единственным.
Единственность D следует из того, что множество тех эле-
элементов x?F, которые аннулируются некоторым дифференциро-
дифференцированием, является подполем в F: если оно содержит Е и хь, то
оно совпадает с F. Если продолжение DH существует для каж-
каждого конечного подмножества Н?1, то для двух таких подмно-
подмножеств Н d L дифференцирование DL является продолжением DH
в силу единственности DL.
Для каждого элемента х ? F существует такое конечное мно-
множество Н, что х^Е{х1I^н (§ 2, следствие предложения 3),и зна-
значение DH (x) в силу сказанного выше не зависит от выбора
конечного множества И, удовлетворяющего этому условию; обо-
обозначив это значение через Dx, мы определим, таким образом,
D на всем поле F. Остается убедиться в том, что D является
дифференцированием, но это немедленно следует из того, что
для всяких двух элементов х и у, принадлежащих F, существует
такое конечное множество i/g/, что х и у? Е(

1 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В ПОЛЯХ 157
В частности, нулевое дифференцирование является единст-
единственным дифференцированием поля F, аннулирующим все поле Е
и каждый из элементов хь.
Предложение 3. Пусть Е—некоторое подполе поля Q, D —
дифференцирование подполя Е в Q. Пусть F — E(xu ..., хп) —
расширение конечного типа поля Е, лежащее в Q, л — идеал
алгебраических соотношений между элементами xt с коэффи-
коэффициентами из Е (множество таких многочленов f?E[Xlt ..., Хп],
что /(жь ..., хп) = 0). Для данного семейства игA<?<п) эле-
элементов поля Q необходимым и достаточным условием существо-
существования дифференцирования D поля F в Q, являющегося продол-
продолжением дифференцирования D и такого, что Dxt = Ui для всех
l', является выполнение равенств
^71^ = 0, A)
где fD — многочлен (кольца Q[Xi, ..., Хп]), полученный приме-
применением дифференцирования D к каждому коэффициенту много-
многочлена / (гл. IV, § 4, п° 4).
Покажем сначала, что условия A) необходимы и достаточны
для того, чтобы можно было продолжить дифференцирование D
до дифференцирования D кольца Е[хи х2, ..., х„], удовлетво-
удовлетворяющего условиям Dxt — щ A < i <м). Каждый элемент из
Е[хи ..., хп] имеет вид g(xu ..., хп), где g?E[Xu Хг, ..., Хп].
В силу правила вычисления производной для каждого диф-
дифференцирования D, являющегося продолжением D, имеет место
тождество
п
D(g(xu ..., xn)) = g°(Xi, ..., *»)+2^ь B)
откуда сразу же следует необходимость условий A). Обратно,
если эти условия выполнены, то для каждого элемента
y = g(xi, ..., хп) из E[xt, ..., хп\ мы можем определить By
с помощью правой части равенства B), так как условие A)
показывает, что определенное таким образом значение By будет
одним и тем же для каждого многочлена g такого, что
V = g(xu • • -. хп)- Нетрудно убедиться, что описанное отобра-

158 поля гл. v, § *
жение D является дифференцированием кольца Е[хи ...,хп],
удовлетворяющим нужным условиям; оно однозначно продол-
продолжается на поле дробей Е(хи . .., хп) кольца E[xt,...,xnl
(гл. IV, § 4, предложение 11), чем и завершается доказательство.
Замечание. Пусть (Д)— некоторая система образующих
идеала й; для того чтобы условие A) выполнялось для каждого
многочлена / ? й, достаточно, чтобы оно выполнялось для всех Д.
В самом деле, каждый многочлен /?й записывается, по пред-
предположению, в виде /=2фя/я1 гДе Фа. — некоторые многочлены;
следовательно,
Л л Л
Так как, согласно предположению, Д {хл, ..., хп) = 0 для всех X,
имеем
Л
откуда следует наше утверждение.
Применим критерий предложения 3 к различным типам рас-
расширений полей.
Предложение 4. Пусть FCZQ — чисто трансцендентное рас-
расширение поля Е, (хь) чистый базис поля F над Е.
Для каждого дифференцирования D поля Е в Q и каждого
семейства (иь) элементов из Q существует дифференцирование
D поля F в Q, причем единственное, продолжающее D и такое,
что Dxl = ul для каждого i.
В самом деле, идеал й алгебраических соотношений между
элементами хь с коэффициентами из поля Е сводится к нулю,
следовательно, условия A) выполняются.
Предложение 5. Если FdQ — сепарабелъное алгебраическое
расширение поля Е, то каждое дифференцирование D поля Е
в Q однозначно продолжается до дифференцирования D поля Е в Q.
Сначала покажем, что если продолжение возможно, то оно
единственно. В самом деле, пусть f?E[X] — минимальный

1 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В ПОЛЯХ 159
многочлен некоторого элемента х ? F над полем Е; в силу фор-
формулы A) должно выполняться равенство fD (х) + /' (х) Dx = 0;
поскольку элемент х сепарабелен над Е, /' (х) Ф 0 (§ 7, предло-
предложение 9), так что элемент Dx определен однозначно.
Для доказательства существования D достаточно рассмотреть
тот случай, когда поле F = E(xi, ..., хп) является конечным
расширением над Е (предложение 2). Проведем индукцию по п;
при п = 0 утверждение очевидно. Положим L = E(xu х2, ..., zn_i);
тогда F = L(xn) и элемент хп сепарабелен над L (§ 7, след-
следствие 3 предложения 9). По предположению, дифференцирование Dx
поля L является продолжением D. Пусть g — минимальный
многочлен элемента хп над L; для существования дифференци-
дифференцирования D поля F, продолжающего Du в силу замечания к пред-
предложению 3, необходимо и достаточно, чтобы можно было так
определить значение Dxn в Q, чтобы оно удовлетворяло урав-
уравнению
а это всегда возможно, поскольку g'(xn)=?0.
Следствие 1. Пусть D — такое дифференцирование поля Ег
что D{E)dE\ тогда D(F)dF.
Следствие 2. Любое К-дифференцирование расширения Е
поля К является нулевым в каждом алгебраическом сепарабель-
ном расширении поля К, содержащемся в Е.
В частности, так как каждое дифференцирование простого
поля Р является нулевым и так как Р совершенно (§ 7, след-
следствие предложения 5), каждое дифференцирование алгебраиче-
алгебраического расширения поля Р нулевое.
Предложение 6. Пусть .Ed ?2 — радикальное расширение
поля К конечной степени, большей 1; тогда существует нену-
ненулевое К-дифференцирование поля Е в Q.
В самом деле, пусть (г;)!<с{^п — система образующих поля Е
над К такая, что xn^K(xt, ...,xn_i), элемент хп радикален
над L; пусть / (X) = ХР — а — его минимальный над L многочлен
(где р — характеристика Q). Для того чтобы ЛГ-дифференцирова-
ние D поля L продолжалось до дифференцирования D поля Е,
необходимо и достаточно, чтобы Dxn можно было определить

460 поля гл. v, § 9
из соотношения fD (хп) + /' (хп) D (хп) = 0. Это означает, что
jD(xn) = O, что, вообще говоря, не всегда верно; но для В = 0,
очевидно, /р(хп) = 0 и, следовательно, существует такое
if-дифференцирование D поля Е, что Dxn — произвольный
элемент из Q.
2. Дифференцирования сепарабельных расширений
Теорема 1. Для того чтобы конечное расширение
поля К было алгебраическим и сепарабелъным над К, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы единственным К-дифференцирова-
нием поля Е в Q было нулевое дифференцирование.
Условие необходимо в силу следствия 2 предложения 5.
Обратно, пусть Е = К{хх, х%, ..., хп) — конечное расширение
поля К; положим Ео — К, Et = K(xu х2, ...,?,) для 1<г'<га.
Пусть h — наименьшее целое i, для которого поле Е = Еп алге-
браично и сепарабельно над Ег; мы хотим доказать, что число h
не может быть положительным. В противном случае поле
Eh = Eh~i(xh) не было бы алгебраическим и сепарабельным над
Eh-\ (§ 7, предложение 7). Если элемент xh трансцендентен над
Eh-i, то существует ненулевое на Eh К-дифференцирование D
(предложение 4). Если же элемент xh алгебраичен над Ен-и то он
не сепарабелен над Е^-\. Пусть F — наибольшее алгебраическое
¦сепарабельное расширение поля Eh-U содержащееся в Eh; по пред-
предположению, F ф Eh и Eh — радикальное расширение поля F
(§ 8, предложение 7); следовательно, существует Я-дифференци-
рование D, ненулевое на Eh (предложение 6). В обоих случаях
дифференцирование D продолжается на E=Eh (предложение 5),
что завершает доказательство.
Если Е яе является расширением конечного типа поля К, .может
случиться, что нз'левое дифференцирование по-прежнему является
единственным АТ-дифференцироваиием, но поле Е уже не сепара-
сепарабельно над К. Например, пусть К—несовершенное поле характери-
характеристики р; тогда каждое .ЙТ-дифференцирование D поля ?=ЛГР~СО
является нулевым, так как для каждого элемента х ? Е существует
элемент у?К такой, что i=j/p, следовательно, Dx = pyp~1Dy = 0.
Следствие. Пусть /j A <! i <! п) суть п многочленов из
К\хи ..., хп]; xt A<?<га) — такие п элементов поля Q,

И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В ПОЛЯХ 161
что fi(xu . . ., хп) = 0 для всех 1<г'<га. Если определитель
det (-^г) не равен нулю, то поле К(х^, ..., хп) является
алгебраическим и сепарабельным расширением поля К.
В самом деле, пусть D — какое-нибудь К-дифференцирование
поля К(х4, . .., хп)\ из п соотношений /г(х4, . . ., хп) = 0 следует
(гл. IV, § 4, предложение 9), что
3=1
откуда, в силу предположения, Dxj=0 для 1</<п, а это
означает, что D = 0 (предложение 2).
S. Сепарабельные базисы трансцендентности
Пусть Q—некоторое расширение поля К, Е—подрасширение
поля Q; обозначим символом QK множество Q, наделенное струк-
структурой векторного пространства над полем К. АГ-дифференцирова-
ния поля Е в Q являются частичными линейными отображениями
поля Е в QK', отсюда немедленно следует, что они образуют
векторное подпространство над Q векторного пространства X (Е,
QK) (см. § 7, п° 1).
Теорема 2. Пусть Е = К(хг, х2, ..., х„)С1Й — сепарабелъное
расширение конечного типа поля К. Пусть г — алгебраическая
размерность поля Е над полем К; тогда векторное простран-
пространство 3) (над О) К-дифференцирований поля Е в Q имеет ту же
размерность г, существует часть В множества элементов х%
такая, что В является базисом трансцендентности поля Е
над К и Е является алгебраическим сепарабельным расширением
поля К (В).
Пространство 3 имеет конечную размерность < п. В самом
деле, пусть DK A<АГ<ге+1) — система (re-fl) АТ-дифференци-
рований поля Е в Q; существует и + 1 элементов ах (l<i<n-fl)
поля Q, среди которых не все равны нулю, с условием
п+1 п+1
2 aiDix3 = Q при 1</<ге; поэтому 2 «j-Di=O (предложение 2).
il il
Пусть теперь s<re — размерность пространства 3 и
базис пространства 3 (над Q). Матрица (DtXj) из s строк и п
11 Н. Бурбаки

162 поля гл. v, § 9
столбцов имеет ранг s, ибо иначе предыдущие рассуждения
показали бы, что дифференцирования Dt над Q линейно зависимы.
Сделав, если нужно, перестановку xj, можно, следовательно,
считать, что определитель det(DiXj), где l<i<s, 1</<яне
равен нулю (гл. III, § 7, предложение 1). Покажем в первую
очередь, что поле Е алгебраично и сепарабельно над полем
F(xi, х2, ..., xs); в самом деле, если D — F-дифференцирование
поля Е, то D является тем более ^-дифференцированием поля Е;
8
следовательно, fl= ^яД, где аг?&; а так как Dxj = 0 для
i=i
S
1</<s, иными словами, ^aiDiXj — O для 1</'<s, то аг = 0,
1=1
1<}<5, т. е. D = 0, что в силу теоремы 1 доказывает наше
утверждение.
Остается установить алгебраическую независимость над К
элементов хь х2, ..-, xs. Пусть а — идеал алгебраических соот-
соотношений между элементами Xi, х2, . .., х8 над полем К, и пусть
а Ф 0. Пусть / Ф 0 — многочлен наименьшей (общей) степени в а;
тогда / (хи . . ., xs) = 0, следовательно (гл. IV, § 4, предложение 9),
8
2 -farD&J — ® Для 1 <^<5 и, значит, ^-.~0 для 1 </<s; иначе
э=1
говоря, ^.?л для всех 1</<s; в силу выбора / отсюда следует,
OXj
что ^ = 0 для 1</<s. Если поле К имеет характеристику
нуль, то / необходимо является константой Ф 0, что невозможно,
следовательно, а = @).
Если поле К имеет характеристику р > 0, / принадлежит
кольцу К [X?, ..., Xf] (§ 1, предложение 4); другими словами,
f^Zl, где ci?K и где Z%—многочлены от Xi A<
Поскольку поле Е сепарабельно над К, в силу критерия Маклейна
(§ 8, следствие предложения 3) существуют элементы dx?K, не
все равные нулю, такие, что многочлен g=^dxZ\ также при-
надлежит идеалу а, а это противоречит выбору /. Следовательно,
мы снова приходим к абсурдному заключению, и в этом случае
также показано, что а = @). Доказательство закончено.

3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В ПОЛЯХ 163
Базис трансцендентности В поля Е над полем К, для которого
поле Е является (алгебраическим) сепарабельяым расширением поля
К (В), называется еепарабельным базисом трансцендентности поля Е
над К. Заметим, что если Е обладает еепарабельным базисом транс-
трансцендентности В над К, то другой базис трансцендентности В' поля
Е над К яе обязан быть еепарабельным: например, если поле К имеет
характеристику р>0 и поле Е—К(Х) сепарабельно над К (§ 7,
предложение 3), то X образует сепарабельный базис трансцендентности
поля Е яад К, но X? также образует базис трансцендентности
поля Е яад К, а поле Е является радикальным расширением поля
К (XV). Отметим также, что сепарабельное расширение Е поля К,
яе являющееся конечным яад К, может яе иметь ни одного сепа-
рантного базиса трансцендентности (§ 8, упражнение 13).
Предложение 7. Пусть Е и F — два расширения поля К,
алгебраически разделенные над К, и пусть F сепарабельно над К;
тогда поле Е (F) сепарабелъно над Е.
Достаточно показать, что для каждой конечной части MdF
поле Е (М) сепарабельно над Е (§ 7, предложение 6). Положим
L = K(M), тогда E(M) = E(L), следовательно, можно ограни-
ограничиться случаем, когда поле F конечного типа над К.
Пусть В — сепарабельный базис трансцендентности поля F над К
(теорема 2); так как, по предположению, семейство В алгебраи-
алгебраически свободно над Е (§ 5, предложение 9), поле Е(В) является
чистым расширением поля Е, и следовательно, сепарабельно
над Е (§ 7, предложение 3). Поскольку каждый элемент поля F
алгебраичен и сепарабелен над К (В), он тем более алгебраичен
и сепарабелен над Е (В) (§ 7, следствие 3 предложения 9); зна-
значит, расширение Е (F) сепарабельно над Е (В) и, следовательно
(§ 7, предложение 7), над Е.
Напротив, если не предполагать, что расширения Е и F алгеб-
алгебраически разделены над К, поле Е (F) может не быть еепарабельным
над Е даже в случае, когда F сепарабельно над К.
Например, пусть х—трансцендентный над К элемент, а —ради-
—радикальный над К элемент, не принадлежащий полю К; тогда элемент
(я + а) трансцендентен над К, поэтому поля Е=К(х) и F=K (х+а)
являются чистыми трансцендентными расширениями поля К и,
следовательно, сепарабельны над К.
Но поле [Е (F) содержит элемент а — х-\-а—х, радикальный над
? i не принадлежащий Е, поскольку поле К (а) яе сепарабельно
над К.
11*

164 поля гл. v, § 9
Следствие. Пусть Е и F — два сепарабелъных расширения
поля К, алгебраически разделенные над К, тогда поле K(E\J F)
сепарабелъно над К.
В самом деле, в силу предложения 7 поле K(E\J F) сепара-
бельно над Е, откуда следует утверждение, так как поле Е
сепарабельно над К (§ 7, предложение 7).
Упражнения. 1) Пусть К—поле характеристики р^>0, Q—
некоторое расширение поля К, Е—подрасширеяие поля Q. Показать,
что каждое ^-дифференцирование поля Е в Q. является нулевым
в поле К(ЕТ). Пусть В—любой р-базис поля Е над К (§ 8, упраж-
упражнение 1); для каждого элемента х ? В существует такое ЛГ-дифферея-
цирование D поля Е, что Dx = i и Dy = 0 для всех у ? В, у ф х;
в частности, если степень несовершенства поля Е над К (§ 8, упраж-
упражнение 1) конечна, то размерность (над Q) пространства АГ-дифферен-
цирований поля Е равна этой степени.
Вывести из этих результатов, что если F—сепарабельное рас-
расширение поля Е, то каждое .^-дифференцирование поля Е можно
продолжить до некоторого АГ-дифференцирования всего поля F
(использовать упражнение 36) из § 8).
* 2) Пусть К—поле характеристики р>0, Q — расширение поля
К, Е и F—подрасширения поля й, алгебраически разделенные над К.
Пусть L—наибольшее алгебраическое и сепарабельное расширение
поля К, содержащееся в F; показать, что Е (L) — наибольшее алгеб-
алгебраическое и сепарабельное расширение полн Е, содержащееся в Е (F).
(Свести к случаю, когда L = K; пусть В—базис трансцендентности
поля Е над К и Н—алгебраическое замыкание полн К в F; исполь-
используя упражнение 8д) § 6, показать, что Н (В) — алгебраическое замы-
замыкание поля К (В) в поле F (В), радикальное над К (В). Показать
затем, что для всякого алгебраического над Е элемента х ? Е (F)
существует целое число г ;> 0 и конечное число элементов щ?Е
A <!?<>) таких, что элемент хРТ=у принадлежит алгебраическому
сепарабельному расширению М=Р(В)(щ, ..., ип) поля F (В), при-
причем и; образуют базис поля М над F {В)п; показать, наконец, исполь-
п
зуя предложение 3 § 6, что если у= 2 biUU где Ь; g F (b), то 6; g
г=1
^Н(В), и вывести отсюда, что существует такое целое число «;>0,
что yPs ?Е.)
*3) Пусть Ко—поле характеристики р>0, К=К0(Х, Y)—поле
рациональных дробей от двух переменных над Kq.
а) Пусть E=K(U, и), где U—независимая переменная над К,
а и—алгебраический над К (U) элемент, определенный равенством
iiP=X-\-YUP. Показать, что поле Е не сепарабельно над К, но поле
К алгебраически замкнуто в поле Е. (Показать, что для любого

РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА 165
алгебраического над К элемента х ? Е, xv ? К; если бы х <$ К, то
ЛГ(U, x)=K(U, и); вывести отсюда, используя теорему 1, что эле-
элементы Xlfp и У4/р принадлежали бы полю К(х).)
б). Пусть F=K(V, v), где V—другая независимая над К пере-
переменная и \P=X-\-YVp. Показать, что поля Е и F линейно разде-
разделены над К, но что поле К не является алгебраически замкяутым
в поле К(Е у F). (Показать, что Х1//р ?К(Е (J F), вывести из этого,
что элемент v не может принадлежать полю Е (V), заключить на
основании этого, что поля Е и F линейно разделены над полем К.)
4) Пусть Е и F — два трансцендентных расширения поля К,
линейно разделенных над К. Показать, что поле К (Е (J F) отлично
от кольца С (изоморфного произведению Е ® F), порожденного мно-
множеством Е (J F. (Свести к случаю, когда поля Е и F имеют алгеб-
алгебраическую размерность единица над полем К; если х?Е и y?F —
трансцендентные над К элементы, показать, что элемент 1/х-\-у яе
может принадлежать кольцу С; методом от противного показать,
что иначе существует такое целое число г^О, что элемент
1/(я+ у)рТ принадлежит подкольцу кольца С (изоморфному К(х)®
(%)К(у)), порожденному множеством К (х) (J К(у), причем р — харак-
характеристическая экспонента поля К.)
§ 10. Расширения Галуа
1. Определение расгиирении Галуа
Определение 1. Расширение Е поля К называется расшире-
расширением Галуа (над К), если оно алгебраично и если К совпадает
с полем инвариантов группы всех К-автоморфизмов поля Е;
эта группа тогда называется группой Галуа поля Е (над К).
Пусть Е — произвольное алгебраическое расширение поля К
и FiD К — поле инвариантов группы всех /?-автоморфизмов
поля Е. Поскольку каждый .Я-автоморфизм поля Е является
также F-автоморфизмом, Е является расширением Галуа поля F.
Предложение 1. Для того чтобы алгебраическое расшире-
расширение Е поля К было расширением Галуа, необходимо и доста-
достаточно, чтобы оно было нормальным и сепарабельным.
Это все равно, что сказать, что все корни минимального
многочлена над К для каждого элемента х?Е должны быть
простыми и содержаться в Е (§ 6, определение 2 и § 7, пред-
предложения 9 и 10).

166 ПОЛЯ ГЛ. V, § Ю
Условие необходимо. В самом деле, пусть х принадлежит
расширению Галуа Е поля К, и пусть хг A<г<и) — все различ-
различные сопряженные с х элементы, лежащие в Е\ каждый .йГ-авто-
морфизм и поля Е переставляет между собой элементы xt (§ 6,
п п
определение 1), поэтому [] (X— ж,) — JJ (X— и (ж,)); это доказы-
п
вает, что коэффициенты многочлена g{X) = \J (X—xt) ? E [X] ин-
инвариантны при всех .йГ-автоморфизмах поля Е, а тогда, согласно
предположению, они принадлежат полю К. Поскольку g(X) = O,
многочлен g кратен минимальному многочлену / элемента х над
К (§ 3, теорема 1), а так как его степень не больше степени /,
то g = /; зто показывает, что все корни многочлена / просты
и содержатся в Е.
Условие достаточно. В самом деле, предположим, что оно
выполнено, и пусть элемент х?Е не принадлежит К; так как
степень минимального многочлена / элемента х над К больше
единицы и все его корни простые в Е, то существует по крайней
мере один элемент у?Е, сопряженный ежи отличный от него,
следовательно (§ 6, предложение 7), существует такой .АГ-авто-
морфизм и поля Е, что и(х) = у; тем самым все доказано.
Следствие. Каждое расширение Галуа N поля К является
объединением всех подрасгиирений Галуа расширения N конечной
степени над К.
В самом деле, каждое нормальное подрасширение расширения
.<V сепарабельно над К (§ 7, предложение 6), т. е. является рас-
расширением Галуа поля К, и утверждение следует из аналогичного
результата (§ 6, следствие 2 предложения 9), относящегося
к нормальным расширениям.
2. Подрасгаиреиия расширения Галуа
Предложение 2. Пусть N — расширение Галуа поля К. Для
каждого промежуточного поля Е, лежащего между К и N,
N является расширением Галуа поля Е, и группа Галуа поля
N над полем Е является подгруппой группы Галуа поля N над
полем К.

2 . РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА 167
В самом деле, все корни минимального многочлена / над К
для каждого элемента x?N просты и содержатся в N, следова-
следовательно, то же самое справедливо для корней минимального над
Е многочлена элемента х, делящего многочлен / (§ 3, предло-
предложение 2), что доказывает первое утверждение предложения 2.
Второе же утверждение очевидно, поскольку группу Галуа поля
N над Е можно отождествить с группой автоморфизмов поля Л',
оставляющих инвариантными элементы из Е.
Предложение 3. Пусть N — расширение Галуа поля К,
и пусть Г — его группа Галуа. Для каждого промежуточного
поля Е, лежащего между К и N, и каждого К-автоморфизма
а ?Г поля N поле о(Е), сопряженное с полем Е (над К),
содержится в N, и группа Галуа поля N над о(Е) совпа-
совпадает с групой а Да, сопряженной с группой Галуа А по-
поля N над Е.
В самом деле, для всякого т?Г соотношение та (ж) = а (х)
эквивалентно равенству а~На{х) = х.
Предложение 4. Пуст,ъ N—расширение Галуа поля К,
и пусть Г — его группа Галуа. Для того чтобы промежуточное
поле Е, лежащее между К и N, являлось расширением Галуа
поля К, необходимо и достаточно, чтобы группа Галуа А поля
N над Е была отличной от Г подгруппой в Г; тогда группа Галуа
поля Е над К изоморфна Г/Д.
Для того чтобы поле Е было расширением Галуа над К,
необходимо и достаточно, чтобы оно было нормальным, поскольку
оно сепарабельно над К (§ 7, предложение 6). Другими словами,
необходимо и достаточно, чтобы в(Е) = Е для любого автомор-
автоморфизма сг?Г (§ 6, предложение 7). В силу предложения 3 из этого
условия следует, что аАа-1 = Д для любого автоморфизма сг?Г.
Обратно, так как поле а (Е) является полем инвариантов группы
а Да, из равенства аДа-1 = Д следует, что а(Е) = Е, что дока-
доказывает первую часть предложения 4.
Если Е — расширение Галуа над К, то для каждого а?Г
ограничение аЕ автоморфизма а на поле Е является .ЙГ-автомор-
физмом поля Е; отображение о —>оЕ будет представлением груп-
группы Г на группу Галуа поля Е (над К), поскольку каждый К-
автоморфизм поля Е продолжается до некоторого ,ЙГ-автоморфизма
поля N (§ 6, предложение 7); для того чтобы аЕ было тождест-

168 поля гл. v, § Ю
венным отображением, необходимо и достаточно, по определению,
чтобы ст^А. Тем самым утверждение доказано.
Расширение N поля К называется абелевым, если оно яв-
является расширением Галуа и если его группа Галуа абелева. Из
предложения 4, в частности, вытекает следующее утверждение:
Следствие. Если N — абелево расширение поля К, то каж-
каждое промежуточное поле, лежащее между К и N, является
абелевым расширением поля К.
3. Семейства расширений Галуа
В этом и следующих пунктах Q означает алгебраически
замкнутое расширение поля К, и все расширения поля К, кото-
которые здесь рассматриваются, являются под расширениями рас-
расширения Q.
Предложение 5. Пусть (N,,) — некоторое семейство расшире-
расширений Галуа поля К. Пересечение |~) NL и поле K(\J Nb), порож-
i i
денное объединением полей N^ являются расширениями Галуа
поля К.
Действительно, каждое подрасширение сепарабельного расши-
расширения сепарабельно (§ 7, предложение 6), поэтому каждое рас-
расширение, порожденное алгебраическими элементами, сепарабельно
(§ 7, предложение 10). Тогда предложение 5 является следствием
аналогичного предложения для нормальных расширений (§ 6,
предложение 8), если принять во внимание характеризацию рас-
расширений Галуа, данную в предложении 1.
Следствие. Пусть (N^ —семейство абелевых расширений поля
К; тогда поле N = К (\J Nb), порожденное объединением полей
i
Nh, также является' абелевым расширением поля К.
В самом деле, N — расширение Галуа поля К; пусть ст и т —
какие-нибудь .ЙГ-автоморфизмы поля N. Для каждого i ограниче-
ограничения автоморфизмов а и т на 7Vt являются .ЙГ-автоморфизмами поля
TVi (§ 6, предложение 7), а так как Nt абелево над К, то огра-
ограничение автоморфизма 0тст"т на 7Vt является тождественным
отображением. Отсюда следует (§ 6, п° 1), что сттст^т — тожде-
тождественное отображение на всем поле N = K(\J Nt), а это означает,
i
что N — абелево расширение поля К.

3 . РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА 169
В частности, поле, порожденное объединением всех абелевых
расширений поля К, содержащихся в Q, является наибольшим
абелевым расширением, содержащимся в Q; это поле называется
абелевым замыканием поля К. Ясно, что это расширение не за-
зависит (с точностью до if-изоморфизма) от рассматриваемого алге-
алгебраически замкнутого расширения Q поля К.
Предложение 6. Пусть А — множество алгебраических над
К элементов поля Q. Для того чтобы нормальное расширение
поля К, порожденное множеством К (А), было расширением
Галуа, необходимо и достаточно, чтобы все элементы в А были
сепарабельны над К.
Условие, очевидно, необходимо (предложение 1). Оно доста-
достаточно, поскольку элемент, сопряженный с алгебраическим сепа-
рабельным элементом, сепарабелен (§ 7, следствие 1 предложения
9), а нормальное расширение, порожденное множеством К (А),
порождается множеством элементов, сопряженных с элементами
из А (§ 6, предложение 9) и поскольку, наконец, каждое рас-
расширение, порожденное множеством алгебраических сепарабельных
элементов, сепарабельно (§ 7, предложение 10).
Следствие. Пусть (Д) — некоторое семейство сепарабельных
многочленов кольца К[Х], А—множество их корней в Q; тогда
К (А) — расширение Галуа поля К.
В частности, поле корней сепарабелъного многочлена / ? К [X]
есть расширение Галуа поля К. Группа Галуа Г этого расши-
расширения называется группой Галуа многочлена /. Пусть xt A <
<i<n) — различные корни многочлена / в Q, и N = K(xu ...
..., хп) — поле корней многочлена /; ограничение каждого
Х-автоморфизма и поля N на множество {хи х2, ..., хп} является
перестановкой этого множества, и обратно, если известны зна-
значения и(хг) (l<i<n), то значение и(х) определено для каждого
элемента x?N (§ 6, п° 2). Следовательно, группа Галуа Г поля
N над К канонически изоморфна группе перестановок элементов
Xi, порожденной ограничениями автоморфизмов и?Т на множе-
множество элементов xt; следовательно, Г изоморфна подгруппе сим-
симметрической группы @п (но, вообще говоря, не изоморфна всей
группе @п; другими словами, произвольная подстановка элемен-
элементов Xi не является, вообще говоря, ограничением какого-нибудь
/if-автоморфизма поля N).

170 поля гл. v, § Ю
Если /—неприводимый сепарабелышй многочлен, а поле К (zj,
Х2, ..., хп) многочлена / совпадает с каким-либо из полей К(х{),
уравнение /(z) = 0 называется уравнением Галуа (см. § 6, п° 3). Это,
в частности, будет тогда, когда поле корней К(х1, х2, ..., хп) мно-
многочлена / является абелевым расширением поля К: действительно,
из следствия предложения 4 вытекает тогда, что К (х{) — абелево
расширение поля К; оно содержит поэтому каждый сопряженный
с xi элемент и, следовательно, совпадает с K(xiy xi, ¦¦., хп). В этом
случае уравнение f(x) = O называют абелевым.
4. Композит расширения Галуа
и произвольного расширения
Теорема 1. Пусть N — расширение Галуа поля К, Е —какое-
либо расширение поля К (содержащееся в Q), и /> = E(~)N. Поля
Е и N линейно разделены над L; E(N) — некоторое расширение
Галуа поля Е, и каждый L-автоморфизм поля N единственным
образом продолжается до ^-автоморфизма поля E(N); если Г —
группа Галуа поля N над L, Г' — группа Галуа поля E(N)nad
Е, то отображение, ставящее в соответствие каждому Ь-авто-
морфизму поля N единственный Е-автоморфизм поля E(N),
являющийся его продолжением, есть изоморфизм групп Т и Г'.
Пусть и есть ^-изоморфизм поля E(N) в й, имеем
поскольку u(N) = N,
t t
K-+L-+E
Рис. 3.
следовательно, E(N) — нормальное расширение поля Е. С другой
стороны, каждый элемент поля N алгебраичен и сепарабелен над
К, а значит и над Е (§ 7, следствие 3 предложения 9); отсюда
следует, что поле E(N) сепарабельно над Е (§ 7, предложение
10) и поэтому является расширением Галуа поля Е (предложе-
(предложение 1). Чтобы показать, что Е и N линейно разделены над L,
рассмотрим (линейный) базис (Ь^) поля Е над L и покажем, что
он (линейно) свободен над N (§ 2, пс 3). Рассуждаем от про-
противного: если бы семейство (&^) не было свободным над N, то

4 РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА 171
существовало бы первичное соотношение 2 о,Фг. = 0 между эле-
ментами Ь^' с коэффициентами a^^N (гл. II, § 5, п° 4). Для
любого /^-автоморфизма и поля #(iV) тогда 2 и(аь) и (&*.) = О»
т. е. 2 и (ая.) &л — 0. Но и (ах) ? iV, следовательно, существует
такой элемент Q^N, что м(ая) = дая Для BC^x А, (гл. II, § 5,
предложение 2), а так как существует такой индекс (х, чтоад =
= 1, то q = 1. Это означает, что все коэффициенты а^ инвари-
инвариантны при каждом i^-автоморфизме поля Е (N) и поэтому (опре-
(определение 1) принадлежат Е, что противоречит предположению.
Заметим теперь, что поле Е (N) как расширение L изоморфно
тензорному произведению E&N (§ 3, предложение 7 и § 2, п° 3);
поле Е (N), рассматриваемое как расширение поля Е, совпадает
тогда с алгеброй, полученной при помощи расширения до Е
поля операторов L алгебры N (гл. III, § 3, п° 4). Следовательно,
каждый Z-автоморфизм поля Лг однозначно продолжается до неко-
некоторого ^-эндоморфизма поля .E(iV) (гл. III, § 3, предложение 5),
а каждый ^-эндоморфизм поля E(N) является автоморфизмом
(§ 6, предложение 4). Тем самым теорема доказана.
Следствие 1. Для каждого поля F, промежуточного между
Е и Е(м), справедливо равенство F = 2?(Ff)N).
Действительно, Е (N) — расширение Галуа над F (предложе-
(предложение 2). Пусть Д' — группа Галуа поля E(N) над F; в силу тео-
теоремы 1 она изоморфна группе А ограничений на N автоморфиз-
автоморфизмов о?А'. Но поле инвариантов группы А совпадает с Ff]N;
описание группы А' при помощи группы А (теорема 1) немед-
немедленно показывает (если рассмотреть базис поля Е над Ef)N,
являющийся одновременно базисом поля Е (N) над N), что для
инвариантности элемента из Е (N) при отображениях из А' необ-
необходимо и достаточно, чтобы этот элемент принадлежал полю
E(Ff]N); из этого следует, что F = Е (F[~]N) (определение 1)-
Это следствие не обобщается на случай, когда ? viN—два рас-
расширения поля К, линейно разделенные над К, но такие, что N не
является расширением Галуа над К (упражнение 7).
Следствие 2. Пусть Et и Ег — два таких расширения Галуа
поля К, что Ei[~}E2 = К. Тогда поля Е^ и Е2 линейно разделены
над К, причем поле K(Ei\JE2) является расширением Галуа

172 поля гл. v, § lft
поля К, группа Галуа которого изоморфна произведению 1\ X Г2
групп Галуа полей Е^ и Ez над К.
Мы уже видели (предложение 5), что поле K(E±\JEZ) явля-
является расширением Галуа поля К. Для каждого ^-автоморфизма
(Tj (соответственно сг2) поля Е^ (соответственно Ez) пусть а4 (соот-
(соответственно сг2) — единственное продолжение сг4 (соответственно а2)
до .Е2-автоморфизма (соответственно ^^автоморфизма) поля
K(Ei\JEz) (теорема 1). Если сг — ^-автоморфизм поля Kk(Ei\JE2)r
то его ограничение на Е^ является /^-автоморфизмом а^
поля Е±; следовательно, aYi°a есть ?гавтоморфизм о2 поля
K(E1\JEZ). Это показывает, что а = сг±осг2 и при данном сг, сг4
и а2 определяются однозначно, так как они являются ограни-
ограничениями автоморфизма а на поля Et и Ег соответственно. Иными
словами, отображение (аи сг2) —> ах о сг2 является взаимно одно-
однозначным отображением группы 1\ X Г2 на группу Галуа Г поля
K(Ei{]E2) над К; это отображение является представлением,
так как автоморфизм (о4 о сг2) ° (т4 о т2) совпадает с aixi на й( и с
сг2т2 на Е2, и поэтому равен (сг1т1)о(сг2т2).
5. Теория Галуа
Теорема 2. Пусть L — поле, А — группа автоморфизмов поля
L, К — поле инвариантов группы А. Для того чтобы L было
расширением конечной степени поля К, необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы группа А была конечной. Поле L тогда будет рас-
расширением Галуа поля К, а А — группой Галуа поля L над К,
и степень поля L над полем К равна порядку группы Д.
В самом деле, в силу теоремы Дедекинда (§ 7, теорема 3)
элементы группы А линейно независимы над L. Поэтому первое
утверждение теоремы является немедленным следствием теоремы
Артина (§ 7, теорема 1), в которой, кроме того, доказывается,
что если порядок группы А равен h, то [L : К] — п. Следовательно,
элементы группы А являются единственными if-автоморфизмами
поля L (§ 7, предложение 8), откуда следует (определение 1), что
L — расширение Галуа поля К, и что А — группа Галуа поля L.
Следующая теорема сводит изучение подрасширений конечного
расширения Галуа к изучению подгрупп его группы Галуа.

•5 РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА 173
Теорема 3 (фундаментальная теорема о расширениях Галуа).
Пусть N — расширение Галуа конечной степени поля К, Г —
его группа Галуа; пусть Ж—множество полей, лежащих между
К и N, и ф — множество подгрупп группы Г. Для каждой под-
подгруппы AgJ^ обозначим через к (А) поле инвариантов группы А,
а для каждого подполя Е^'Ж через g (E) — группу Галуа поля
N над полем Е. Соответствие Е —-> g (E) является взаимно одно-
однозначным отображением множества Ж на множество 'f-, причем
обратным к нему является отображение А—>к(А). Для каждого
Е^Ж порядок группы g(E) равен [N:E], а индекс (Г: g(E))
равен [Е:К].
Первое утверждение является непосредственным следствием
предложения 2 и теоремы 2, а второе следует из формулы
[N:K] = [N:E][E:K].
Следствие 1. Отображение Е—>g(E) является убывающим
отображением множества Ж на f- (упорядоченность по вклю-
включению). Пусть (Ei)—семейство полей, принадлежащих множе-
множеству ЗС, Е — их пересечение, F — подполе К (\J Ei). Тогда g(E) —
подгруппа в группе Г, порожденная объединением подгрупп
g(Et), a g(F) совпадает с пересечением подгрупп g(Ft).
Следствие 2. Пусть А — нормальный делитель группы Г;
тогда поле инвариантов к (А) группы А является расширением
Галуа поля К.
Этот результат сразу следует из предложения 4.
Следствие 3. Для того чтобы промежуточные поля Et и Ег
были линейно разделены над К, необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось равенство
(Г : (g (Е,) П g (Ег))) = (T:g (EJ) (Г : g (Ег)).
Действительно, если положить Е = К(Е^Е2), то это равенство
эквивалентно следующему:
[Е:К} = [Е,:К][Е2:К],
являющемуся критерием линейной разделенности (§ 2, предложе-
предложение 4).
Следствие 2 из теоремы 1, кроме того, допускает для расши-
расширений Галуа конечной степени следующее обращение:

174 поля гл. v, § 1
Предложение 7. Пусть N — конечное расширение Галуа поля К.
Если группа Галуа Г поля N является прямым произведением
двух своих подгрупп 1^ и Г2, то поля инвариантов Е± и Ег
групп Г2 и Fj соответственно являются расширениями Галуа
поля К, линейно разделенными над К и K(Ei\JE2) = N.
В самом деле, так как подгруппы Г4 и Г2 являются нормаль-
нормальными делителями в Г (гл. I, § 6, предложение 6), поля Ег и Е^
являются расширениями Галуа поля К (следствие 2 теоремы 3),
группы Галуа которых соответственно изоморфны группам Г2
и Tj (предложение 4); поскольку группа Г порождается груп-
группами 1\ и Г2, а пересечение Г± ПГ2 сводится к единице, то
Eif)E2 = K и N = K(El\JE2) (следствие 1 теоремы 3); следова-
следовательно, Z?! и Е2 линейно разделены над К (теорема 1).
Предложение 8. Если Е—конечное алгебраическое сепарабель-
ное расширение конечной степени поля К, то существует лишь
конечное число полей, лежащих между К и Е.
В самом деле, нормальное расширение N поля К, порожден-
порожденное множеством Е, является расширением Галуа (предложение 6)
конечной степени над К (§ 6, следствие 1 предложения 9); из
теоремы 3 следует, что существует лишь конечное число полей,
лежащих между К и N, а значит, между К и Е.
Обращение этого предложения неверно (упражнение 6).
6. Норма и след в алгебраических
сепарабельных расширениях
Определение 2. Пусть Е—алгебраическое сепарабелъное рас-
расширение поля К, имеющее конечную степень п над К; пусть Ot
A<?<ге) различных К-изоморфизмов поля Е в алгебраическое
замыкание поля К (§ 7, предложение 8). Для каждого элемента
х?Е назовем нормой и следом элемента х относительно полей Е
и К и обозначим соответственно через NE/x (ж) и ТтЕ/к (х) (или
просто NE(a;) и ТтЕ(х), или даже через N(a;) и Тг(гг), если
не будет возникать недоразумений) элементы
N?/K (x) = 01 (ж) вг (х) ... ап(х), A)
Тг?/К (х) = <г4 (а:) + сг2 (х) + .. . + 0П (х). B)

РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА 175
Из этого определения немедленно следует, что
), C)
Тг?/К (х + у) = ТтЕ/к (ж) + ТтЕ/к (у). D)
Элементы NE/K(x) и ТтЕ/к(у) принадлежат полю К: в самом
деле, нормальное расширение G поля К, порожденное множест-
множеством Е, является расширением Галуа (предложение 6) и имеет
конечную степень над К (§ 6, следствие 1 предложения 9), и для
каждого К-аътоь орфизма т поля G все /Г-изоморфизмы хаг поля Е
различны, поэтому с точностью до порядка совпадают с изомор-
изоморфизмами <тг; отсюда т (NE/K (ж)) = NE/Jr (ж) и т (Тгд/К (аг)) = ТгЕ/к (ж),
что доказывает наше утверждение (определение 1). Можно, сле-
следовательно, говорить, что отображение х —±ТтЕ/к(х) является
представлением аддитивной группы поля Е в аддитивную группу
поля К, а отображение х—>NE/K(x), рассматриваемое на муль-
мультипликативной группе Е* отличных от нуля элементов поля Е,
является представлением этой группы в мультипликативную
группу К* поля К. В частности, Тг( — х)= — Тг(аг), и если
ж#=0, то Щ;г)=^0 и N(l/ar) = l/N(a:). Для каждого х?К
Т{) = пх и NE/K(x) = x'\
Замечание. Если Е — расширение Галуа поля К, то а;
являются элементами группы Галуа Г поля Е, и можно считать,
что отображение х—*-Тг(а:) есть умножение на оператор aj + a2 + ...
...-)- ап из групповой алгебры А группы Г над кольцом Z целых
п
рациональных чисел. Более общо, для каждого элемента А,= 2'ЧСТ;
п
из этой алгебры и для каждого х ? Е положим X-x = ^i
i=l
непосредственно видно, что этот внешний закон композиции (вместе
со сложением в Е) определяет на Е структуру левого А-модуля.
В том же случае, когда рассматриваются нормы элементов из Е,
предпочтительнее записывать ха вместо а~1(х) для каждого ст?Г.
п
Положим для каждого элемента X = ^ ^i°i из А и каждого х ? Е*
Следовательно, можно писать Щж) = ж ? 2 ". Легко убедиться,
что {ху)%=х%у%, xx+il = Л:1* и (аЛ)№ = а;'*; другими словами, закон

176 поля гл. v, § Ю
умножения мультипликативной (абелевой) группы Е* и внешний
закон (%, х) —v х определяют на Е* структуру правого Д-модуля.
Предложение 9. Пусть Е — сепарабелъное расширение конеч-
конечной степени п поля К, F — сепарабелъное расширение поля Е
конечной степени т. Для каждого x?F справедливы равенства
(x) = XE/K(NF/E{x)), E)
{x) = TrE/K(TrF/E(x)). F)
Действительно, пусть G— расширение Галуа поля К, поро-
порожденное множеством F; /^-изоморфизмы произвольного подрас-
ширения L расширения G в алгебраическое замыкание поля К
отображают L в G и могут быть продолжены до /^-автоморфиз-
/^-автоморфизмов поля G (§ 6, предложение 7). Пусть a, (l<t<re) —все /^-изо-
/^-изоморфизмы поля Е в G; предположим, что каждый из них про-
продолжен до некоторого /ir-автоморфизма поля G, который мы обо-
обозначим через О;. Пусть, с другой стороны, %j A</<т) — все
^-изоморфизмы поля F в G. Если q> — произвольный /?-изомор-
физм поля F в G, то его ограничение на Е является АГ-изомор-
физмом поля Е и, следовательно, совпадает с одним из Gt.
Отображение а^оф является тогда ^-изоморфизмом поля F и,
значит, совпадает с некоторым ту, другими словами, ф = а;°т.ь
и ясно, что каждый /^-изоморфизм поля F единственным образом
записывается в таком виде; следовательно, для каждого x^F
= 2 5,B *j№)= 2 oi
i=l j=l i=l
поскольку элемент TrF/E(%) принадлежит полю Е. Аналогично
доказывается формула E).
Следствие 1. Для каждого элемента х?Е справедливы
равенства
N^/я(х) = (NE/K(х)Г, Ttf/k(х) = т.ТгЕ/к(х).
Следствие 2. Пусть Е — сепарабелъное расширение конечной
степени п поля К. Пусть еще х —элемент поля Е степени т
т
над К, и f(Z) = Zm-\- 2 dhZm~h — его минимальный многочлен
fti

в РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА 177
над К. Тогда
п
TV /i-\ п п /Я\
1Ге/К\х)— ' ~т~ l' \ r
В самом деле, применим следствие 1 к расширениям К (х) и Е
и к элементу х ?К (х); пусть xt (I < t<m) — все сопряженные
с элементом х над К, тогда
2 ()/ () П
{=1 г=1
т ¦
поскольку /(Z)= Д (Z — яг), отсюда следуют формулы G) и (8).
Предложение 10. Для всякого сепарабелъного расширения Е
конечной степени поля К существует такой элемент х?Е, что
В самом деле, в противном случае между различными К-кзо-
морфизмами о"г A<г<«) поля Е существовало бы линейное
п
соотношение 2 °"г = 0. что противоречит теореме Дедекинда
(§ 7, теорема 3).
Предложение 11. -Пусть Е — сепарабелъное расширение конеч-
конечной степени поля К; для каждого дифференцирования D поля Е
такого, что D(E)dE и для всех х?Е имеем Tte/k(Dx) =
= D(Tte/k(z)).
В самом деле, пусть N—расширение Галуа поля К, поро-
порожденное множеством Е. Дифференцирование D однозначно про-
продолжается на N и D(N)dN (§ 9, предложение 5 и следствие 1
предложения 5). Пусть bt A<?</г) — различные .ЙГ-изоморфизмы
поля Е в N, продолженные до .ЙГ-автоморфизмов поля Лт.
Нетрудно проверить, что п отображений х —> atDal1 (x), опре-
определенные в N, являются дифференцированиями, совпадающими
с D на поле К. В силу предложения 5, § 9, aiDai1 = D, откуда
atD(x) = DGi(x) для каждого х?Е A<?</г). Сложив почленно
эти п равенств, получим требуемое утверждение.
Предложение 12. Пусть Е — сепарабелъное расширение сте-
степени п поля К, (at)l^i^n — некоторый базис поля Е над К,
12 Н. Бурбаки

178 поля гл. v, § Ю
Oj A-<?<гс) — п различных К-изоморфизмов поля Е в алгебраи-
алгебраическое замыкание поля К. Тогда
)))». (9)
В самом деле, пусть А — матрица (о* (aj)). Положим *А-А =
п п
тогда Ьц= 2 °h {o-i) Oft (a;) = 2 ffft(aia/) = Tr(aia/). Тем самым
ft=l ft=l
все доказано.
Определитель det (Тг {агп])) называется дискриминантом
базиса (at) поля Е. Он является ненулевым элементом поля К
(§ 7, замечание, следующее за определением 1).
В главе VIII мы снова вернемся к понятиям следа и нормы как
к частным случаям более общих понятий, приложимых к любой
алгебре конечного ранга над коммутативным кольцом К и, в частно-
частности, к несепарабелъным расширениям поля К; мы увидим также,
каким образом эти понятия содержат в себе как частный случай
понятия следа и определителя квадратной матрицы (гл. III,
§§ 4 и 6).
7. Алгебраическая независимость автоморфизмов
Теорема 4. Пусть К — бесконечное ноле, N — расширение
Галуа конечной степени поля К, и пусть о, A < i<n) — все
К-автоморфизмы поля N. Пусть Q — некоторое расширение
поля N; если многочлен /, принадлежащий кольцуй [Х4, Х2,..., Хп],
удовлетворяет условиям f (а^ (х), . .., ап (х)) = 0 для каждого
x?N, то / = 0.
Пусть (aj)i<?j<sn — базис поля N над К. Каждый элемент x?N
п
однозначно записывается в виде х= 2 VjO-j, где yj?K, сле-
ii
довательно, Ci(i)=Ij№(»/) (l<t<n). Обозначим через
g (Уь У2! • • •. ^п) многочлен
n
..., 2
кольца Q [Уь ..., Yn]. По предположению, g (г/ь . .., уп) = 0 для
всех векторов (у})?Кг'; следовательно, g = 0, так как поле К

8 РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА 179
бесконечно (гл. IV, § 2, предложение 8). Но матрица (ст, (aj))
обратима (§ 7, замечание, следующее за определением 1), и если
— обратная для нее матрица, то
х2, ..., xn) g(S ijj, , 2
3=1 j=l
следовательно, также / = 0.
Теорема неверна, когда поле К конечно. В качестве примера
возьмем N = K=Z/(p) (р простое); тогда xf>—ж = 0 для каждого
х?К, так как изоморфизм х —>¦ х$ является тождественным авто-
автоморфизмом поля К, а многочлен ХР—Х?К[Х] не равен нулю.
8. Нормальный базис расширения Галуа
Определение 3. Нормальным базисом расширения Галуа N
конечной степени над полем К называется базис, в котором
любые два элемента сопряжены.
Другими словами, если [N: К] = п и если стг (l<t<n) —
if-автоморфизмы поля N, нормальный базис составляют все
сопряженные элементы сгг (х) A<г<и) элемента x?N. Для
того чтобы сопряженные с х элементы составляли нормальный
базис, необходимо и достаточно, чтобы стг (х) были линейно неза-
независимы над К. Это условие можно перефразировать так:
Предложение 13. Для того чтобы сопряженные с x?N
элементы Oi (x) составляли нормальный базис поля N над К,
необходимо и достаточно, чтобы det (о"г (о,- (х))) Ф 0.
Условие достаточно. Действительно, если оно выполнено,
п
то из соотношения .-2 kjOj(x) = 0, T%ekj?K, следует для 1<г<га,
3=1
п
что 2 ^сг? (а_/ (ж)) = 0, поскольку cr* (kj) = kj, откуда kj = O для
г=1
1 <;<и.
Условие необходимо. Предположим, действительно, что
det (Oi (oj (x))) = 0. Тогда существуют п элементов, не все равные
нулю, '\ij ?N такие, что
п
(aJ (x)) = ° для 1 < i < п. A0)
12*

180 поля гл. v, § 10
Так как существует элемент a?7V такой, что Тг^/К(а) Ф 0 (пред-
(предложение 10), можно считать, что существует по крайней мере
один индекс / такой, что TrWK (jjj) Ф 0 (умножая в случае
необходимости уравнения A0) на a^J1 для такого индекса /,
что [ij Ф 0). Иначе уравнения A0) можно записать
S ar1 (hj)oj(z) = 0 (l<i<rc), (И)
3=1
откуда, сложив эти п уравнений A1), получим
23
3=1
Так как элементы Tr(j^) принадлежат К и поскольку по край-
крайней мере один из них не равен нулю, то at (x) линейно зави-
зависимы над полем К, чем доказательство завершается.
Теорема 5. Если К—бесконечное поле, то каждое расширение
Галуа конечной степени обладает нормальным базисом над
полем К.
Согласно прежним обозначениям положим OiOj = о"р({>?-), где
p(i, /) — одно из целых чисел 1, 2, ..., п. Рассмотрим многочлен
/ №. Х2, ..., Хп) = det (Xp(i, j)),
Принадлежащий кольцу K[Xt, X2, ..., Хп], и покажем, что /=? 0.
В самом деле, ясно, что из соотношения p(i, j) = p{h, j) следует,
что h = i, и аналогично из p(i, /) = p(i, k) следует, что /'==&.
Следовательно, значение f A, 0, ..., 0) является определителем
матрицы, имеющей единственный не равный нулю элемент (рав-
(равный 1) в каждой строке и каждом столбце, другими словами,
матрицы подстановки (гл. II, § 6, п° 5); следовательно,
/A, 0, ..., 0)— ±1, что доказывает наше утверждение. Так как
Aet(Ot(aj(x))) —f(a1(x), ..., ап(х)), теорема 4 показывает, что
существует такой элемент x?N, что at (Oj(х)) Ф 0, следовательно
(предложение 13), сопряженные с х элементы образуют нормаль-
нормальный базис поля 7V над К.
Можно показать, что теорема 5 распространяется на случай,
когда К конечное поле (гл. VII, § 5, п° 7).

9 РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА 181
9. Нормальные несепарабельиые раегиирения
Предложение 14. Пусть К — поле характеристической экспо-
экспоненты р, Q— алгебраическое замыкание поля К, N — нормальное
расширение поля К, содержащееся в Q, N— поле инвариантов,,
группы К-автоморфизмов поля N, No— наибольшее сепарабелъное
расширение поля К, содержащееся в N. Тогда: a) N—наиболь-
N—наибольшее радикальное расширение, содержащееся в N, другими ело-
вами, N = Nf]Kv ; б) .No — расширение Галуа поля К, линей-
линейно разделенное с N над К, и каждый К-автоморфизм поля No
единственным образом продолжается до К-автоморфизма поля N;
в) N = K(N0\JN) (рис. 4).
N —>7V
t I
#—> No
Рис. 4.
Каждый элемент поля N, радикальный над К", можно пере-
перевести в другой элемент некоторым iiT-автоморфизмом поля" Q,
ограничение которого .на поле 7V является .ЙТ-автоморфизмом
поля 7V; следовательно, N = N(~]Kli:'
Если x?N сепарабелен над К, то все сопряженные с ним
над полем К элементы также сепарабельны (§ 7, следствие 1,
предложение 9) и, следовательно, принадлежат полю 7V0. Это
показывает, что 7V0 нормально, и поэтому (предложение 1) является
расширением Галуа поля К. Поскольку 7V0 линейно разделено
с полем Кр (§ 8, предложение 3), оно тем более разделено
с полем N. С другой стороны, N является радикальным расши-
расширением поля /Vq (§ 8, следствие предложения 7), и следовательно
(§ 6, предложение 7), каждый Z-автоморфизм поля iV0 однозначно
продолжается до .ЙГ-автоморфизма поля N. Но поле N является
расширением Галуа поля N по определению (определение 1)
и каждый .ЙГ-автоморфизм поля 7V является TV-автоморфизмом.
Покажем, наконец, что N = K(N0 \J N). Можно ограничиться
случаем, когда N имеет конечную степень над К. В самом деле,

182 поля гл. v, § Ю
пусть х — какой-нибудь элемент из N; тогда нормальное расши-
расширение М, порожденное множеством К (х), имеет конечную сте-
степень над К (§ G, следствие 1, предложение 9). Пусть Мо (соот-
(соответственно М) — наибольшее сепарабельное (соответственно ради-
радикальное) расширение поля К, содержащееся в М; если мы
докажем, что х?К(М0 \J М), тогда х?К (No (J TV), поскольку
ModNo и MaN.
Мы можем считать поэтому, что степень [N: К] конечна.
В силу б) группы Галуа полей No над К и N над N изоморфны,
поэтому [No: K] — [N: N] (теорема 3) и следовательно, N—K(N0\JN)
(§ 2, предложение 4).
Упражнения. *1) Пусть Q — некоторое тело (не обязательно
коммутативное), S§—группа автоморфизмов тела й, L — поле инва-
инвариантов группы S- Пусть N — такое подтело в Q, что a(N)=N для
каждого автоморфизма a g Ъ. Показать, что расширение N сепара-
бельно (§ 8, упражнение 2) над полем K=N fj L; пусть (а^) — семей-
семейство элементов из L, линейно независимых (слева) над К; показать,
что они также линейно независимы над N, рассматривая первичное
соотношение между элементами а^ с коэффициентами из N; вывести
отсюда, что каждое линейно независимое (справа) семейство эле-
элементов (Ьц) из N линейно независимо (справа) над L).
2) Пусть Ni и N2—два расширения Галуа поля К, No—их пере-
пересечение, Я —поле K(Ni \JN2). Обозначим через Ти Г2 и Г группы
полей Nt, N2 и N, соответственно над полем К, а через Д4 и А2—
группы полей iVt и N над полем No. Каждому классу а4 по модулю
А4 в Fj соответствует класс а2 по модулю Д2 в группе Г2, состоящий
из автоморфизмов из Г2, ограничение которых на поле No совпадает
с ограничением на NQ всех автоморфизмов, принадлежащих классу Oj.
Определенное таким образом соответствие является изоморфизмом <р
групп Fj/Aj и Гз/Аг- Показать, что группа Г изоморфна подгруппе 6
произведения групп Ti х Г2, состоящей из таких пар (alt 02), что
ст4 и а2 являются соответствующими при изоморфизме <р классами
в Г) и Г2, т. е. ст2=ф @t) (используйте теорему 1).
3) Пусть / — многочлен кольца К[Х], имеющий лишь простые
корни в алгебраическом замыкании поля К. Для того чтобы группа
Галуа поля корней многочлена / была транзитивной (когда она рас-
рассматривается как группа подстановок корней многочлена /), необ-
необходимо и достаточно, чтобы многочлен / был неприводим.
4) Пусть / — неприводимый сепарабельный многочлен из К[Х]
и Г—группа Галуа над К поля корней многочлена /, рассматри-
рассматриваемая как транзитивная группа перестановок корней многочлена /•

РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА 183
Показать, что для того, чтобы поле K(xi), получаемое присоедине-
присоединением к полю К одного из корней многочлена /, содержало подполе
EZDK, йтличное от К и K(xt), необходимо и достаточно, чтобы
группа Г была импрпмитивной (гл. I, § 7, п° 7).
-5) Пусть / — неприводимый и сепарабельный многочлен из К (х)
степени п, al (l<i<")— его корни, N=K(al, а2, ..., ал) —его поле
корней. Пусть F—поле рациональных дробей N (Xlt ..., Хп),
Е—подполе К (Хи ..., Хп) a F. Поле F является расширением Галуа
поля Е, группа Галуа которого изоморфна группе Галуа Г поля N
над К. Показать, что если Q=a1Xl^-a2X2+ ... -\-апХп, то F = E(%),
и что минимальный над Е многочлен элемента] Э является некото-
некоторым неприводимым множителем gi многочлена
/ (X)=[J (X—аДд, d — а2Хя B> — ... — апХя ш),
где it пробегает симметрическую группу 2„. Каждая подстановка it
определяет if-автоморфизм полн Е, который мы также обозначим
через it, такой, что it (Х{) — Хям A < i<. «)• Показать, что группа Г
изоморфна подгруппе группы €>„, образованной такими подстанов-
подстановками я, что я(^1) = ^1.5 Далее, пусть f=g\g% ... gr—разложение /
на неприводимые множители в кольце ? [X];'показать, что для
каждого индекса к существует такая подстановка it& С ©> что
*6) Пусть К—несовершенное поле характеристики р^>0, и пусть
Е—алгебраическое расширение конечной степени поля К.
а) Показать, что если степень несовершенности поля Е над К
(§ 8, упражнение 1) больше 1, то ^существует бесконечно много
различных полей F, лежащих между Е и К (свести к случаю, когда
К(ЕР)=К; пусть а и Ъ — два р-независимых над К элементов поля Е,
тогда все поля К(а-\-'кЬ) различны, когда X пробегает К).'\ ""*
б) Обратно, показать,] что если степень несовершенности поля Е
над К равна 1, то существует лишь конечное число полей, лежащих
между Ё и К (использовать упражнение 4, § 8 и предложения 8, 10).
7) Пусть N — расширение Галуа поля^К, группа Галуа] Г кото-
которого изоморфна симметрической группе Зп,5 с которой^она и ото-
отождествляется (см. Приложение 1, предложение 2). Пусть п—целое
непростое число. Обозначим через Aj подгруппу группы <&п порядка
(п—1)!, оставляющую на месте число 1, а через А2—циклическую
подгруппу порядка п в @„, порожденную циклом] A, 2, 3, ...)
(гл. I, § 7, упражнение 6).
Пусть Е\ и Е2—поля инвариантов подгрупп At и Д2 группы Г.
Показать, что Е1 и Е2 линейно"] разделены над К и что не суще-
существует поля, лежащего между Е^ и К, отличного от этих двух
полей, хотя существуют поля, лежащие между N и f2, отличные
от N и Е2.

184 поля гл. v, § Ю
8) Пусть Е — сепарабельное расширение поля К, имеющее над К
конечную степень, N—расширение Галуа поля К, порожденное
множеством Е, о—элемент из N, все сопряженные элементы которого
составляют нормальный базис поля N над К. Пусть {$= TTN,E(a);
показать, что Е=К($).
9) Пусть Е и F —два расширения Галуа полн К, имеющие
над К конечную степень и такие, что Е [) F=K; пусть а (соответ-
(соответственно Р) — элемент из Е (соответственно F), все сопряженные
над К элементы которого образуют нормальный базис поля Е (соот-
(соответственно F) над К. Показать, что в поле К [Е (J F) все сопря-
сопряженные с сф над К элементы образуют над К нормальный
базис.
*10) Пусть К—поле характеристики рф2 и Е=К(х)—поле
рациональных дробей от одного переменного над К. Пусть о
и т — инволютивные Я-автоморфизмы поля Е, которые каждой рацио-
рациональной дроби / (X) ставят в соответствие /(— X) и /A-Х) соот-
соответственно.
а) Показать, что полями инвариантов этих автоморфизмов о
и т являются соответственно К(Х2) и К(Х2—X) (см. теорему 3
и | 5, упражнение 5);
б) если р = 0, то группа, порожденная а и т, бесконечна. Отсюда
следует, что К(X*) П К(Х^—Х)=К. Если же р>2, то К(X2) [)
П К(Х1 — Х) = К(Х2{ХР~1 — IJ) (тем же методом, что и в случае а)).
11) Пусть Е — алгебраическое расширение поля К характери-
характеристики р>0, Eq—наибольшее сепарабельное расширение поля К,
содержащееся в Е, Е=Е П Я? —наибольшее радикальное рас-
расширение поля К, содержащееся в Е. Если N—нормальное расши-
расширение поля К, порожденное множеством Е, то наибольшее сепа-
сепарабельное расширение полн К, содержащееся в N, совпадает с рас-
расширением Галуа No поля К, порожденное полем Ео. Для того чтобы
поле N = N Г) Кр совпадало с Е, необходимо и достаточно, что-
чтобы Е было сепарабельно над Е.
12) Пусть Е—некоторое алгебраическое расширение поля Kt
Г—группа if-автоморфизмов поля Е, S—поле инвариантов груп-
группы Г.
а) Чтобы Е было нормальным над К, необходимо и достаточно,
чтобы S было радикально над К;
б) пусть So—наибольшее сепарабельное расширение полн К,
содержащееся в S. Показать, что iS—наименьшее среди полей F,
лежащих между К и Е, таких, что Е является нормальным рас-
расширением под? F;
в) пусть Ео—наибольшее сепарабельное расширение поля К,
содержащееся в Е. Показать, что E=S(Eo) (заметить, что ника-
никакой /f-автоморфизм поля Е, отличный от тождественного, не остав-
оставляет инвариантными все элементы из S (Ео)).

1 КОРНИ ИЗ ЕДИНИЦЫ. КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ 185
§ 11. Корни из единицы. Конечные поля.
Циклические расширения
1. Корни из единицы
Определение 1. Элемент х поля К называется корнем из
единицы, если существует целое положительное число п, для
которого хп=1. Всякий элемент х, для которого ж" = 1, назы-
называется корнем п-й степени из единицы.
То-же можно выразить, сказав, что корни из единицы — эта
элементы конечного порядка мультипликативной группы К*
ненулевых элементов поля К (гл. I, § 6, п° 7). Корни из еди-
единицы образуют подгруппу S (К) группы К*, а корни п-й сте-
степени из единицы—подгруппу группы S (К). Пусть задан неко-
некоторый корень п-й степени х из единицы, тогда множество целых
рациональных чисел т, для которых хт = 1, является прообразом
единичного элемента 1 при представлении h—>xh аддитивной
группы Z в мультипликативную группу К*. Следовательно, эта
множество является подгруппой nZ группы Z, где п — наимень-
наименьшее из положительных целых чисел т, для которых хт = 1,
то есть порядок (гл. I, § 6, п° 7) элемента х в группе К*.
Пусть р — характеристика поля К. Если элемент х?К являет-
является корнем из единицы, то его порядок не делится на р.
В самом деле, если рФО, то из соотношения хтр = 1, которое
можно записать в виде (хт— 1)р = 0 (§ 1, предложение 1)г
вытекает, что ж"'=1, причем т<Стр.
Всякий корень п-й степени из единицы в поле К алгебраичен
над простым подполем р поля К, так как он является корнем
многочлена Хп—1. В этом параграфе все встречающиеся поля
мы будем рассматривать как подполя одного и того же алгебраи-
алгебраически замкнутого расширения Q поля Р. Если п—целое поло-
положительное число, которое не делится на характеристику р
поля Р, то любой корень многочлена Хп — 1 прост. Действи-
Действительно, производная иХ" этого многочлена обращается в нуль
только при нулевом значении х, которое не является корнем
многочлена X" — 1. Таким образом, существует п корней п-й
степени из единицы в поле Q. Любой корень из единицы, будучи
алгебраичным над полем Р, к тому же сепарабелен над Р,
потому что Р — совершенное поле.

186 поля л. v, § И
Отметим, что поле К может не содержать никакого корня п-й
степени из единицы, кроме самой единицы. Например, это имеет
место в случае простого поля Q при любом нечетном целом п.
Теорема 1. Пусть Р— простое поле характеристики р,
п — целое положительное число, которое не делится на р. Группа
корней п-й степени из единицы (во всяком алгебраически замкну-
замкнутом расширении Q поля Р) является циклической группой п-го
порядка.
Мы используем несколько предварительных лемм.
Напомним, что наибольший общий делитель (н. о. д.) d двух
положительных целых рациональных чисел т и п выделяется
. из множества всех положительных общих делений чисел тип
тем, что существуют целые рациональные числа h, к, для кото-
которых d = hm + kn (гл. I, § 8, п° 6). Из этого следует, что для
любого положительного целого числа г н. о. д. чисел гт и гп
равен rd. Числа т и п называются взаимно простыми (а каж-
каждое из чисел — простым относительно другого), если их н. о. д.
равен единице.
Лемма 1. Для того чтобы смежный класс по модулю п поло-
положительного целого числа х порождал циклическую группу Zl(ri),
необходимо и достаточно, чтобы числа х, п были взаимно просты.
Действительно, необходимо и достаточно, чтобы класс эле-
элемента х имел порядок п в группе Z/(n), то есть чтобы из соот-
соотношения xy = 0(modn) (где у—целое) вытекало сравнение
у = 0 (mod n). Но это означает, что в кольце Z/(n) класс и эле-
элемента -х не является делителем нуль. В этом случае отображе-
отображение v —> uv кольца Z/(n) в себя взаимно однозначно. Ввиду
конечности кольца Zj(n) оно является отображением кольца Z (п)
на себя. Таким образом, элемент и обратим в кольце Z/ (и).
Обратное утверждение получается немедленно. Но это и озна-
означает, что существует два целых числа h, k, для которых hx =
= 1-\-кп. Следовательно, числа х и п взаимно просты.
Количество целых положительных чисел х, взаимно простых
с п и не превосходящих п, обозначается символом <р (п) и назы-
называется функцией Эйлера от п. Таким образом, ее значения
являются числом образующих в циклической группе порядка п
(гл. I, § 6, предложение 8), а также числом обратимых эле-
элементов в кольце Z/ (п).

1 КОРНИ ИЗ ЕДИНИЦЫ. КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ 187
Лемма 2. Для любого целого положительного числа п спра-
справедливо равенство
Еф№=«, A)
d/n
в котором целое число d пробегает множество положительных
делителей п*).
Действительно, найдем количество целых х, 1<ж</г, для
которых н. о. д. х и п равен, заданному делителю б числа п.
В этом случае b = hx-\-kn для некоторых целых рациональных
чисел /г, к, откуда следует, что 1 = /г -j- -f- к -т-. Это доказывает
взаимную простоту чисел х/8 и ге/б = d; обратное получается
немедленно. Ввиду того, что -v < d, искомое количество равно
ср (d). Когда б пробегает множество положительных делителей
числа п, то же множество пробегает и d = n/8. Из этого выте-
вытекает формула A).
Лемма 3. Пусть G — конечная группа порядка п. Если для
любого целого положительного делителя d числа п числен эле-
элементов группы G, порядок которых делит d, не больше чем d,
то группа G циклическая.
В самом деле, пусть d—положительный делитель п. Если
в группе G существует элемент х порядка d, то порядки всех d
различных элементов хТ @<r<d—1) делят d. Таким образом»
это единственные элементы группы G, порядки которых делят d.
Следовательно, число элементов группы G порядка d в зтом слу-
случае равно числу образующих циклической группы, порожденной
элементом х, т. е. ф (d) (лемма 1). Порядок любого элемента
группы G делит п (гл. I, § 6, п° 7). Из соотношения A) выте-
вытекает, что для любого положительного делителя d числа п суще-
существует ф (d) элементов группы G порядка d. В частности, суще-
существует ф (п) элементов группы G порядка п, каждый из которых,
следовательно, порождает группу G. <j *
Доказав эти леммы, покажем, что лемму 3 можно применить
к группе корней n-й степени из единицы в поле й. Действи-
Действительно, при любом положительном делителе d числа п для корня
из единицы х, порядок которого делит d, справедливо соотноше-
*) Соотношение d/n между положительными целыми числами означает
что d делит га (см. гл. V, § 1, п° 5).

188 ¦ поля гл. v, § 11
ние ^ = 1 и обратно. Таким образом, имеется точно d корней
из единицы, порядок которых делит d, что доказывает требуемое.
Корень п-й степени из единицы называется примитивным,
если его порядок равен п, то есть если он порождает группу
корней п-й степени из единицы. При доказательстве теоремы 1
мы показали, что:
Следствие. Для любого целого положительного числа п, кото-
которое не делится на р, число примитивных корней п-й степени
из единицы равно ф (п).
Предложение 1. Пусть Q — алгебраически замкнутое поле
характеристики р. Группа S(Q) корней из единицы в Q изо-
изоморфна группе Sp/Z, где Sp— подгруппа аддитивной группы Q,
образованная дробями r/s, у которых s не делится на р.
Заметим сначала, что из соотношения st = 0 (mod p) следует,
что либо s = 0 (modp), либо f = 0 (modp), поскольку кольцо
Z/(p) — кольцо целостности. Таким образом, множество Sp дей-
действительно является подгруппой группы Q. Пусть (vn) — строго
возрастающая последовательность всех целых чисел, которые
не делятся на р. Положим Хп = v1V2 ... vn. Обозначим через //>,
группу корней Хп-й степени из единицы. При этом Hn+iZDHn
и iS(Q)= U^n- Поскольку группа Нп — циклическая порядка Я„,
то существует последовательность (ап) корней из единицы, где
ап — примитивный корень ?in-i степени из единицы и а„ = а^""^1.
Далее, любой элемент x?Sp можно записать в виде г/Хп (и при-
притом бесконечным множеством способов). В силу определения а„
элемент аТп не зависит от записи r/kn элемента х. Мы обозначим
элемент атп в группе S(Q) символом f(x). Очевидно, что / — пред-
представление Sp в ^(й), отображающее Sp на S (Q)= \JHn. С дру-
п
гой стороны, соотношение /(гД„) = 1 означает, что а?=,
то есть что г/кп — щлое число. Таким образом, группа S (Q)
изоморфна группе Sp/Z.
2. Поле корней п-й степени из единицы
Пусть К — поле характеристики р, п — целое число, которое
не делится на р. Назовем полем корней п-й степени из единицы
над полем К и обозначим символом Rn(K) поле корней много-

КОРНИ ИЗ ЕДИНИЦЫ. КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ 189
члена Xй — 1 над полем К (§ 4, п° 2). Так #ак этот многочлен
сепарабелен, то поле Вп(К) является расширением Галуа конеч-
конечной степени поля К (см. § 10, следствие предложения 6).
Если ?— некоторый примитивный корень n-й степени из еди-
единицы, то любой корень и-й степени из единицы является сте-
степенью ?.
Таким образом, Вп (К) = К (?).
Пусть Г — группа Галуа поля Вп(К) относительно поля К.
Для любого элемента а?Г элемент а(?) должен быть прими-
примитивным корнем и-й степени из единицы. Следовательно, 0"(?) = ?г,
где г — целое число, смежный класс которого по модулю п
является вполне определенным элементом мультипликативной
группы обратимых элементов в кольце Z/(n) (следствие из тео-
теоремы 1). Этот элемент мы обозначим символом %(а). Пусть
т — второй автоморфизм из группы Г, причем t(?) = ?s; тогда
о (т (?))=<* (?*) = (<* (?))" = Г8• Отсюда следует, что % (ах) = % (о) % (т).
Другими словами, отображение а —> % (а) является представле-
представлением группы Г на подгруппу мультипликативной группы обра-
обратимых элементов в кольце Z/(n). Более того, представление
о—>%(о) является изоморфизмом, поскольку два /Г-автомор-
физма поля Rn (К) совпадают, если они имеют одинаковые зна-
значения на элементе ? (§ 6, п° 2). В итоге:
Предложение 2. Пусть К — поле характеристики р, п —
целое положительное число, которое не делится на р. Поле
Rn(K) корней п-й степени из единицы над полем К является
абелевым расширением конечной степени поля К, группа Галуа
которого изоморфна подгруппе мультипликативной группы
обратимых элементов кольца Z/(n).
Отсюда вытекает, что степень [Rn (К) : К] является делителем
числа (р(п).
Отметим, что Rn (К) = К (Rn (P)). Таким образом, группа
Галуа поля Rn (К) над полем К изоморфна группе Галуа поля
Rn(P) над Kf]Rn(P) (§ 10, теорема 1), т. е. подгруппе группы
Галуа Го поля Rn(P) над полем Р.
Мы увидим далее, что при р — 0 группа Галуа Го поля Rn(Q)
над Q изоморфна группе всех обратимых 'элементов кольца Z/(n)
и, следовательно, имеет порядок ф(«). Но это уже не так,
если р >> 0.

190 поля гл. v, § ii
Положим Л^гф(га). Пусть ?j (l<^i<Jn)— А примитивных корней
h
из единицы. Многочлен Ф„ (Х) = П (X— t,i) принадлежит кольцу
i=l
Р [X], ибо он инвариантен при любом автоморфизме из группы Го-
Уравнение фп(х):=0 называется уравнением деления круга на га
равных частей или циклотомическим уравнением индекса га. Много-
Многочлен Фп называют циклотомическим многочленом индекса га. Много-
Многочлен Фп неприводим в кольце Р [X] в том и только в том случае,
если группа Гр имеет порядок, равный ср (п).
Если число п задано явно, можно явно вычислить многочлен Ф„
с помощью следующего рекуррентного процесса. Если корень га-й
степени из единицы имеет порядок d, то d делит га (п° 1) и х
является примитивным корнем ^степени d. Обратно, любой прими-
примитивный корень степени d является корнем га-й степени из единицы,
если d делит га. Таким образом, имеем
Пф.
d/n
а(Х). B)
Это определяет Фп(Х), если известны Фп (X) для всех делителей d
(строго меньших га) числа га. Так как ®i(X) = X — 1, то имеем, таким
образом, рекуррентный процесс, определяющий Фп. Например, если
h=q — простое число, то
Х9-1 = (Х-1)Фд(Х),
откуда
Фд (X) = XQ-1 + Х9-2 + ... + X +1.
В качестве другого примера вычислим Ф12 (X). Имеем
откуда
Но
Х4— 1 = ф4ф2ф1.
Так как Ф1(Х) = Х-\, а Ф2(Х) = Х + 1, то Ф4(Х) = Х2 + 1. Отсюда,
окончательно,
Отметим, что многочлен Ф12 (X) приводим над полем характерис-
характеристики 5, поскольку
(см. упражнение 1).
Замечания. 1) Сравнивая степени двух членов в равенстве B),
найдем соотношение A). Отсюда можно вывести аналогичный рекур-

3 КОРНИ ИЗ ЕДИНИЦЫ. КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ 191
рентный процесс для вычисления у(п). Позднее мы дадим другие
выражения для <р (я) и многочлена Фп.
2) М^тод вычисления Ф„, указанный выше, дает для Фп мно-
многочлен с целыми рациональными коэффициентами, которые опреде-
определены однозначно (как это легко доказать индукцией) и не зависят
от характеристики поля Р.
3. Конечные поля
Мы докажем в главе VIII, §11, п° 1, что любое конечное
тело обязательно коммутативно (см. упражнение 14). В этом п° мы
изучим структуру^конечных тел, предполагая их коммутативными.
Мы уже заметили (§ 1, п° 1), что конечное поле К необхо-
необходимо имеет характеристику/?> О (которая, следовательно, совпа-
совпадает с характеристической экспонентой поля К). Оно является
расширением своего простого подполя Р (изоморфного полю
Z/(p)), причем, очевидно, конечной степени п над Р. Напом-
Напомним, что любое некоторое пространство Е размерности п над
полем L изоморфно пространству Ln (гл. II, § 3, следствие 1
к теореме 3). Если поле L состоит из г элементов, то векторное
пространство Е содержит гп элементов. Это доказывает, что рас-
рассматриваемое поле К имеет pr' — q элементов.
Мультипликативная группа К* ненулевых элементов поля К
является группой порядка q — 1. Следовательно, для любого
элемента х из К* имеем xq~1 = l (гл. I, § 6, следствие к предло-
предложению 8), и тем более х" = х. Это последнее соотношение спра-
справедливо и*[при х = 0. Поэтому мы видим, что q элементов |;
(l<i<<7) поля К являются корнями многочлена Xq—X, отку-
g
да следует тождество Xq — X= [[ (X — ?4). Таким образом, мож-
но сказать, что поле К совпадает одновременно с полем корней
и с множеством корней многочлена X9 — X. Это доказывает изо-
изоморфизм двух конечных полей с одним и тем же числом эле-
элементов *).
*) В самом деле, пусть р( и р2—два различных простых числа; тогда
рТ Ф Рг Для любых целых положительных чисел т и п. Иначе из ра-
равенства р2=рТ вытекало бы, что р" з 0 (mod pt). Ввиду того, что Z/(pi) —
поле, в нем отсутствуют делители 0. Отсюда получим, что pz = 0 (mod pi),
что невозможно (см. гл. VII, § 1, п° 3).

192 поля гл. v, § 11
Обратно, пусть q = pn—любая степень некоторого простого
числа р. Рассмотрим в алгебраическом замыкании Qp простого
поля Zip корни многочлена Xе — X, или, что то же самое, эле-
элементы поля Qp, инвариантные при автоморфизме x—>xq совер-
совершенного поля Qp (§ 1, предложение 1 и § 7, следствие предло-
предложения 5). Эти элементы образуют поле, которое мы обозначим
{для удобства) символом Fq. Это поле является расширением
конечной степени поля Z/(p) = Fp. Так как производная много-
многочлена Xq— X равна —1, то все корни многочлена Xй — X в Qp
простые (глава IV, § 4, предложение 3). Следовательно, поле Fq
содержит q = pn элементов и является расширением Галуа поля
Fp (§ 10, следствие предложения 6) степени п. Мультиплика-
Мультипликативная группа F* ненулевых элементов поля Fq совпадает с груп-
группой корней (q— 1)-й степени из единицы в поле Qp. В итоге:
Теорема 2. а) Число элементов q конечного поля необходимо
является степенью рп некоторого простого числа р.
б) Для любого простого числа р и любого целого числа п >^0
существует поле Fq, состоящее из q= pn элементов: поле кор-
корней многочлена Xя-—X над простым полем Fp = Z/(p). Любой
элемент поля Fa является корнем этого многочлена.
в) Fq есть поле инвариантов относительно автоморфизма х—>xq
{произвольного) алгебраически замкнутого расширения поля Fq.
г) Любое поле из q элементов изоморфно полю Fg.
д) Аддитивная группа поля Fq является прямой суммой п
циклических групп порядка р. Мультипликативная группа Fq
является циклической группой порядка q — 1.
4. Алгебраические расгиирения конечной степени
конечного поля
Предложение 3. а) Для любого целого те>0 поле Fgm являет-
является расширением степени т поля Fq. Для любого образующего ?
циклической группы F^™. имеем Fqm = Fq(Q.
б) В произвольном алгебраически замкнутом расширении Q
поля Fq существует единственное расширение степени т поля Fq,
изоморфное полю Fqm.
Первая часть предложения получается немедленно. С другой
стороны, всякое расширение степени т поля Fq, содержащееся

5 КОРНИ ИЗ ЕДИНИЦЫ. КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ 193
в Q, состоит из qm элементов. Следовательно (теорема 2 в)) оно
является полем инвариантов автоморфизма х—>xq7n в поле Q,
чем и заканчивается доказательство.
Следствие. Каждый ненулевой элемент алгебраического замы-
замыкания конечного поля является корнем из единицы.
Действительно, если элемент х алгебраичен над полем Fq, то
Fq(x) есть алгебраическое расширение конечной степени поля Fq,
следовательно, конечное поле.
Первая часть- предложения 3 позволяет сформулировать тео-
теорему о примитивных злементах (§ 7, предложение 12) во всей
ее общности:
Предложение 4. Каждое сепарабельное алгебраическое расши-
расширение Е конечной степени над полем К является простым.
Предложение 5. Поле Fqm является абелевым расширением
поля^Рд. Его группа Галуа над полем Fq является циклической
группой порядка т и состоит, из автоморфизмов х—>х
— 1).
Действительно, пусть а — автоморфизм x—>xq поля F т(§7,
следствие к предложению 5). Полем инвариантов для автомор-
автоморфизма а служит поле Fg (теорема 2). Следовательно, оно являет-
является и полем инвариантов для циклической группы Г, порожден-
порожденной о. Из этого вытекает (§ 10, теорема 2), что Г является груп-
группой Галуа поля F т над полем Fq и имеет, таким • образом,
порядок, равный т.
5. Циклические расширения
Определение 2. Расширение Е поля К называется цикли-
циклическим, если оно является расширением Галуа, а его группа
Галуа над полем К циклическая.
Примеры. 1) Каждое сепарабельное квадратичное расшире-
расширение Е поля К циклично над полем К. В самом деле (§ 7, предложе-
предложение 12), имеем Е = К(а>), где со—корень некоторого неприводимого
многочлена ХЗ + аХ + р" из кольца К[Х]. Второй корень со' этого
многочлена равен а—со и, значит, также принадлежит полю Е.
Поле Е является расширением Галуа поля К, его группа Галуа
над К имеет порядок, равный двум, и, значит, циклична.
2) Предложение 5 показывает, что поле F т является цикли-
циклическим расширением степени т поля Fq.
13 н. Вурбаки

194 поля гл. v, § 11
3) Пусть К—произвольное поле, а —автоморфизм конечного по-
порядка л поля К (то есть л—это наименьшее из целых чисел h, для
которых ah есть тождественный автоморфизм). Поле L инвариантов
автоморфизма а в то же время есть и поле инвариантов циклической
группы л-го порядка, порожденной а. Следовательно (§ 10, теоре-
теорема 2), поле К является циклическим расширением степени п поля L.
Известно (гл. I, § 6, предложение 8), что каждая цикличе-
циклическая группа гс-го порядка изоморфна группе Z/ (nZ). Подгруппы
группы Z, содержащие nZ, имеют вид dZ, где d пробегает мно-
множество делителей числа п. Поэтому подгруппы группы ZlnZ
являются факторгруппами вида dZ/nZ (гл. I, § 6, теорема 6).
Но если n — db, то изоморфизм x—>dx группы Z на dZ отобра-
отображает подгруппу bZ группы Z на подгруппу nZ группы dZ.
Таким образом, группа dZjnZ изоморфна группе Z/6Z. С дру-
другой стороны, факторгруппа группы ZlnZ по подгруппе dZInZ
изоморфна группе Z/dZ (гл. I, § 6, теорема 6). Тем самым,
мы видим, что каждая подгруппа и каждая факторгруппа
циклической группы опять являются циклической группой.
Таким образом (§ 10, теорема 3 и предложение 4), если Е —
циклическое расширение степени п поля К, то любое поле F,
промежуточное между К и Е, циклично над К, а поле Е цик-
циклично над F. Точнее, имеется взаимно однозначное соответствие
между делителями числа п и промежуточными полями между
К vs. E: каждому делителю d числа п соответствует промежу-
промежуточное циклическое поле F степени n/d над полем К, для кото-
которого Е—циклическое поле степени d над полем F.
В произвольном циклическом расширении 2?поля К норма и след
элемента поля Е обладают следующим фундаментальным свойством:
Теорема 3 (Гильберт). П устъЕ — циклическое расширение поля
К, G—образующий элемент группы Галуа поля Е над полем К.
а) Для элемента х?Е равенство NE/K (x) = 1 имеет место
в том и только в том случае, когда существует ненуле-
ненулевой элемент у?Е, для которого х = у1~°( = ylo(y)). Каждый
элемент yi^E, для которого х = у[-°, имеет вид hy, где h?K*;
б) для элемента х?Е равенство Тте/к (х) = 0 имеет место
в том и только в том случае, когда существует элемент z?E,
для которого x = z — o(z). Каждый элемент zt^E, для которо-
которого x = zi — 0B^, имеет вид z4-(x, где \ь?К.

5 КОРНИ ИЗ ЕДИНИЦЫ. КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ 195
а) Пусть п — степень Е над К. Для всякого элемента t?E
построим элемент вида
u(t) = t + xta + х*+Ч°2 + х1+а+а*р" + ...+ х{+а+-+аП~21аП~{
поля Е (резольвента Лагранжа—Гильберта). Поскольку п К-&ъ-
томорфизмов aft@<&<rc — 1) поля Е линейно независимы (§ 10,
теорема 3), существует элемент t ? Е, для которого у = и (t) Ф 0.
Для этого значения t, в силу соотношения ^е/к{х) =
= xi+a+...+an-2+an-i = j
откуда ху° — у, х = у{~а. Наоборот, очевидно, что из х = у{~а сле-
Д5гет, что Ne/kC;) = 1. Наконец, из соотношения yl~a = y[~a
вытекает У\У~Х = (у^'1)". Следовательно, элемент ум'1 инвариан-
инвариантен при всех А-автоморфизмах поля Е, так что у^у~х^К (§ 10,
определение 1).
б) Известно (§ 10, предложение 10), что существует элемент
v 6 Е, для которого Tie/k (v) ф 0. Рассмотрим элемент
Е/К
Е/К \ '
... 4- (х + о (х) + ... + а"-2 (х)) ап~А (и)).
п-1
Если Tie/k (z) = S от" (ж) = 0, то
h0
h=0
11 Е/К <-V
...+ап~2 (х)) вп~1 (v) — xv),
откуда следует, что z — o{z) = x. Обратно: очевидно, что из
равенства x = z — a(z) следует, что ТгЕ/к(х) = 0. Наконец, из соот-
соотношения z — a(z) = zi — о" (z4) вытекает z4 — z = a(zi — z). Таким
образом, элемент (zt — z) инвариантен при всех ^-автоморфизмах
поля Е, следовательно, принадлежит полю К.
Следствие. Пусть р — простое число, т ип—два произволь-
произвольных целых положительных числа, q = pn. Каждый ненулевой
элемент конечного поля Fq является нормой некоторого эле-
элемента расширения F т поля Fq. Каждый элемент поля Fq
является следом некоторого элемента поля F m>
13*

196 поля гл. v, § 11
Действительно, поле FдГП является циклическим расширением
поля Fq, группа Галуа которого порождается автоморфизмом
x—>xq (предложение 5). Найдем порядок подгруппы G (муль-
(мультипликативной) группы F%, являющейся образом F*m при пред-
представлении х—>N(x). G изоморфна факторгруппе группы F*mno
подгруппе U, состоящей из элементов х, для которых N(a;) = l.
Но по теореме 3 подгруппа U является образом группы F*m
при представлении у —> у9'1. Таким образом, группа U изоморф-
изоморфна факторгруппе группы F*m по подгруппе, образованной теми
элементами у, для которых у = 1. Но эти элементы у являются
в точности элементами группы Fq(n° 3). Поэтому группа U
имеет порядок, равный (дт — 1)/ (д—1). Следовательно, группа G
имеет порядок q — 1, а потому совпадает с F*.
Подобным же образом найдем порядок подгруппы Н адди-
аддитивной группы Fq, являющейся образом группы F т при отоб-
отображении х—>Тт(х). Она изоморфна факторгруппе группы F m
по подгруппе V, состоящей из элементов х, для которых Тг (х) = 0.
По теореме 3 группа V является образом группы F m при ото-
отображении (§ 1, предложение 1) z~^z — zq. Таким образом, она
изоморфна факторгруппе группы F m по подгруппе, состоящей
из элементов z, для которых z = z*, то есть (п° 3) по подгруп-
подгруппе Fq. Порядок группы V равен, таким образом, qmlq, следо-
следовательно, порядок группы Н равен q, что доказывает совпаде-
совпадение Н с Fq.
6. Циклические раегиирения
и двучленные уравнения
Первая часть теоремы 3 позволяет описать простой способ
образования некоторых циклических расширений поля К.
Предложение 6. Пусть К —поле характеристики р, Е—
циклическое расширение поля К, степень п которого не делит-
делится на р, и пусть поле К содержит поле корней п-й степени
из единицы. В этом случае существует неприводимый много-
многочлен из кольца К [X] вида Хп—а такой, что поле Е поро-
порождается произвольным корнем 0 этого многочлена. Кроме того,

в КОРНИ ИЗ ЕДИНИЦЫ. КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ 197
ненулевой элемент \^Е является корнем многочлена из кольца
К [X] вида Хп—Ъ в том и только в том случае, если ^ = Я9Й,
где к— целое число, а Х?К. Более сильное условие Е = К(В,)
имеет место в том и только в том случае, если числа кип
взаимно просты и к Ф 0.
Действительно, пусть ?,?К— примитивный корень п-й сте-
степени из единицы. Имеем NE/k (?) = ?"= 1- Таким образом, су-
существует элемент Q?E, для которого ? = 01 или, иначе, а @) =
= ?0. Из этого видно, что ок @) = ?h0. Следовательно, 0 имеет п
различных сопряженных, другими словами, имеет степень п над
полем К, откуда E = K(Q). С другой стороны, имеем 1 = ?п =
= @?iI-°, то есть о@п) = 0п. Это доказывает, что Qn?K. Если
ЦЕ и 1п = Ъ?К, то имеем а(Г) = Г, откуда (?t-°)n=l. Таким
образом, а (?) = (о?, где со — какой-то корень из единицы. Если
co=?-h= (В0-1)", то получим a (?0~h) = lQ~h, откуда Wrh?K.
Обратно, если g = X0ft, где k?K и k — целое число, то имеем
ln = ln (Qn)k = Хпак 6 К. Если, кроме того, Е = К{\), то п сопря-
сопряженных о^1 (?) = coh? @</?.<n —1) элемента | должны быть раз-
различными элементами (§ 7, п° 7). Но это и означает, что со яв-
является примитивным корнем n-й степени из единицы. Следова-
Следовательно (лемма 1), числа к и п взаимно просты.
Алгебраическое уравнение вида хп—а = 0 называется «двучлен-
«двучленным уравнением».
Предложение 6 допускает следующее обращение:
Предложение 7. Пусть К —поле характеристики р, п — целое
число, не кратное р, для которого поле К содержит поле кор-
корней п-й степени из единицы в поле Q. Для любого элемента а^К*
поле корней Е многочлена Хп — а является циклическим расши-
расширением поля К, и порождается произвольным корнем многочлена
Хг'— а. Степень [E:K]=d является делителем числа п и равна
наименьшему целому числу г > 0, для которого аТ является п-й
степенью элемента поля К.
Действительно, пусть 0 —корень многочлена Хп — а. Для лю-
любого другого корня 0'этого многочлена имеем @'/0)п = 1. Отсюда
0' = со0, где со — корень ге-й степени из единицы, который при-
принадлежит полю К по предположению. Таким образом, 0'?i?@),
что доказывает равенство ?' = ^@). Поскольку производная пХп~г

198 поля гл. v. § 11
многочлена Хп—а обращается в нуль лишь при х = 0, все корни
многочлена Хп—а просты (за исключением случая а = 0. Этот
тривиальный случай мы оставляем в стороне). Таким образом
(§ 10, следствие предложения 6), поле Е является расширением
Галуа поля К. Пусть Г — группа Галуа поля Е над К, сг — про-
произвольный элемент группы Г. Поскольку Е = Кф), задание а (9)
определяет а (§ 6, п°2). Но а (в) является корнем многочлена
Хп—а. Следовательно, 0(9) = ?а9, где ?а—корень п-п степени
из единицы, вполне определяемый заданием о. Отображение
сг—»¦?<, осуществляет взаимно однозначное соответствие между
группой Г и подгруппой мультипликативной группы G корней
ге-й степени из единицы. Кроме того, оно является представле-
представлением группы Г в группу G, так как при т ? Г имеем
ах (в) = а(х (Э)) = о (ZXQ) = 1%а (в) = UXQ,
где
tot = butt-
Итак, видим, что группа Г изоморфна подгруппе группы G.
Поскольку G — циклическая группа порядка п (теорема 1), то
Г — циклическая группа, порядок d которой делит п. Положим
п — dh. Из соотношений сг @) = ?„9 для сг ? Г вытекает, что
Nb/я (Э) = цва, где ц 6 К, откуда Qd = Ъ ? К. Следовательно, имеем
a = Qn = bh, откуда ad=bdh = bn. Если бы существовало число
r<C.d, для которого аг = сп, где с?К, то из соотношения Qn = a
следовало бы, что Qrn — cn, откуда 6г = сос, где со — корень ге-й
степени из единицы. Таким образом, элемент 6 был бы корнем
многочлена Хг — сое из кольца К[Х], в противоречии с тем, чтоб
имеет степень d над полем К.
Если поле К не содержит поле корней л-й степени из единицы,
то предложения 6 и 7 перестают быть верными (см. упражнение 7
и § 6, упражнение 7).
Упражнении. 1)а) Доказать, что поле Rn (Fq) корней п-й
степени из единицы в алгебраическом замыкании конечного поля Fq
(п не кратно характеристике р поля Fq) совпадает с полем F'т,
где т — наименьшее из целых чисел, для которых дт—1 кратно п.
Вывести из этого, что многочлен Ф„ неприводим в кольце Fq [X\
в том и только в том случае, если класс, содержащий q, в группе
обратимых элементов кольца Z/(ra) имеет порядок, равный ф (п).

КОРНИ ИЗ ЕДИНИЦЫ. КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ 199
б) Вывести из а), что для каждого простого числа р, . не~явля-
ющегося делителем 12, многочлен Ф^ (X) приводим в каждом из колец
Fp [X]. В этом случае Fp содержит всегда корни 12-й степени
из единицы, отличные от нее самой.
в) Доказать, что поле F3 не содержит ни одного корня 13-й
степени из единицы, отличного от 1. Но степень поля Я^^з)
над F3 равна 3, что меньше, чем <р A3) = 12.
п
г) Пусть д=рт; доказать, что в кольце Fq[X] многочлен Xq —X
равен произведению всех унитарных неприводимых многочленов,
степени которых делнт п (использовать предложение 3). Пусть
hi (l<^i^r)—различные простые делители числа п. Доказать, что
число элементов Z,?F n, для которых F n^FqiQi равно
(Заметить, что такой элемент характеризуется свойством не принад-
принадлежать ни к какому из полей вида F п.) Доказать, что
Разобрать случай, где п—степень некоторого простого числа.
Вывести из этого подсчета значение числа унитарных непри-
неприводимых многочленов степени п в кольце Fq [X].
3) Пусть ?—примитивный корень (д — 1)-й степени из единицы
в поле Fq, так что любой элемент группы F^ представляется
в виде t,k @ ^. k^q — l). Доказать, что m-ми степенями элементов
группы Fq являются элементы (в количестве (д—i)/d) вида
?,м @ <; А < (q—l)/rf), где d—наибольший ' общий делитель чисел
q — 1 и т. Каждый из этих элементов является т-й степенью d
различных элементов поля Fq.
4) В поле Fq(q=pn, р ф 2) число v решений (хг, х? уравнения
а^х\-\-а2х% = Ь(аха2 ф 0) задается следующими формулами:
1° если 6 = 0, а —аха2 не является квадратом элемента вполе/'9,
то v=l;
2° если b Ф 0, а — а^а^ не является квадратом элемента в поле Fq,
то v=g-f-l;
3° если 6=0, а —ataz—квадрат некоторого элемента в поле Fg,
то v=2g —1;
4° если 6 Ф 0, а — а±а2 — квадрат некоторого элемента 3noneFq,
то v=tf—1.

ПОЛЯ ГЛ. V, § И
(Если —0^2—квадрат, свести уравнение к виду yz = c.
Если —а1а2 не является квадратом, присоединить к полю Fq
корень многочлена JT2-fa1a2 и привести уравнение к виду ti+1—d
в поле Fqi, где d?Fq. При этом использовать упражнение 3.)
5) а) В поле Fq (q=pn, р Ф 2) число v решений (л:,, х2, ..., х^т)
уравнения
... + а2тх%т=Ь (а^аг ... fl2m ф 0)
задается следующими формулами:
1° если й=0, а(—\)та1а2 ... a2m не является квадратом,"^то
V = q2m-i __ qm ^_ ?m-l;
2° если b Ф 0, а(—l)m aj«2 ¦ • • а2т не является квадратом, то
3° если 6=0, а( — \)та1а2...п2т—квадрат, то
4° если b ф 0, a (—-1)т а^з ... а2т—квадрат, то
(Провести индукцию по т, использовав упражнение 4.)
б) Число v решений уравнения
... а2т+1 =? 0)
задается следующими формулами:
10 если 6=0, то
2° если Ь ф 0 и (—((""а^ . .. ^2т+Ф пе является квадратом, то
v==g2m_gm.
3° если 6 ф 0, а (—l)ma1a2 .. . а^т+Ф—квадрат, то
(Свести к случаю а).)
6) Пусть Е—некоторое циклическое расширение поля К. Дйка-
зать, что Е изоморфно тензорному произведению циклических
расширений поля К, степени которых равны степеням некоторых
простых чисел (использовать теорему 1 из § 10).
7) Пусть К—поле характеристики р, q—ненулевое простое
число, для которого поле К содержит корни q-й степени из еди-
единицы. Пусть ?—примитивный корень g-й степени из единицы.
а) Пусть Е—циклическое расширение поля К степени qe, О—
Я-автоморфизм поля Е, порождающий группу Галуа поля Е над
полем К. Пусть Fe-i—промежуточное поле между полями К и Е
степени q над полем К. В этом случае существует элемент Q?E,

КОРНИ ИЗ ЕДИНИЦЫ. КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ 201
являющийся корнем неприводимого многочлена XI—ат из кольца
F[X], для которого E=F(Q) и 9°=?9 (где m=g(J-1). Доказать,
что Е=К(в), 9° = Р9, где р ? F, причем аа~1 = р и NF/K(P) = ?.
(Заметить, что по предложению 6 9°=P9ft при 0<А<д и Р €-F-
Вычислив 9° , доказать, что kmi—1=0 (modg). Отсюда вывести,
что А = 1.)
б) Обратно, пусть F—циклическое расширение поля К сте-
степени ge-1. Пусть а — АГ-автоморфизм поля F, порождающий группу
Галуа поля F над полем К. Пусть существует элемент $ ?F, для
которого NF^(P) = ?, и пусть элемент а ? .F таков, что а(Т~1=Р<3;
доказать, что для любого элемента \?К* многочлен XQ—Ха непри-
неприводим в кольце F [X]. (Использовать при этом предложение 7.)
Пусть 9—один из корней этого многочлена. Доказать существова-
существование Я-изоморфизма а поля E = F(Q) в поле Q, продолжающего а,
причем 9° = Р9. Вывести отсюда, что Е является циклическим рас-
расширением поля К степени qe, причем а порождает группу Галуа
поля Е над К и E=K(Q). Доказать, наконец, что каждое цикли-
циклическое расширение полн К степени qe, содержащее поле F, является
полем корней многочлена XI—Ха из кольца F [X] при соответствую-
соответствующем выборе элемента %?К* (применить теорему 3).
в) Рассмотреть в качестве поля К поле Q рациональных чисел.
Многочлен Х2 + 1 яеприводим в кольце Q[X]. Если i — один из его
корней, то F = Q (i) является циклическим расширением поля Q сте-
степени 2, но при этом не существует никакого циклического расши-
расширения поля Q степени 4, содержащего F.
*8) Пусть К — поле характеристики р>0.
а) Пусть Е — циклическое расширение степени р поля К. Дока-
Доказать существование такого неприводимого многочлена в кольце
К [X] вида Хр — X— а, что поле Е порождается произвольным кор-
корнем 9 этого многочлена. (Заметить, что Тг?;/К A) = 0.) Элемент &
порождает поле Е и является корнем многочлена вида Х&—X—Ь
из кольца К [X] в том и только в том случае, если | = &9 + ?ц где
к—некоторое ненулевое целое число, а Я ? К.
б) Обратно, доказать, что при любом а ?К многочлен Хр — X—а
либо неприврдим в кольце К [X], либо все его корни принадлежат
полю К. В первом случае доказать, что поле корней Е этого мно-
многочлена является циклическим расширением полн К степени р-
и порождено произвольным корнем многочлена Хр — X—а. (Рассу-
(Рассуждать, как в предложении 7.)
*9) Пусть К—поле характеристики р>0.
а) Пусть Е—циклическое расширение поля К степени ре, о —
.йТ-автоморфизм поля Е, порождающий группу Галуа поля Е над
полем К. Пусть F—промежуточное поле между полями Е и К,
степень которого над полем К равна ре-1. Если т = ре~1, то-

202 поля гл. v, § И
существует корень Q?E неприводимого многочлена X?—X—а из
кольца F[X], для которого E=F F) и от(8) = 6 + 1 (упражнение 8а)).
Доказать, что при этом также E = K(Q) и а(в) = 6 + р, где элемент
Pg/1 таков, что о(а)—а = рР—Р и Тг?/к(Р) = 1.
б) Обратно, пусть F—циклическое расширение поля К сте-
степени j3e~1(e>l), о—Х-автоморфизм поля F, порождающий группу
Галуа поля F над полем К. Доказать существование двух элемен-
элементов а, р из поля F, для которых Ттр/Кф) = 1 и о (а)— а = рр—р.
(Использовать предложение 10 из § 10 и теорему 3 из § И.) Выве-
Вывести отсюда, что при любом Х?К многочлен ХР—X—а—X непри-
неприводим в кольце F[X] (см. упражнение 86)). Пусть 8—корень этого
многочлена. Доказать существование ЛГ-изоморфизма о полн J5 — F(Q)
в поле Q, продолжающего а, длн которого аF) = 6-|-Р. Заклю-
Заключить отсюда, что поле? нвляетсн циклическим расширением поля А'
степени ре, а порождает группу Галуа поля Е яад полем К
и E = K(Q). Доказать, наконец, что каждое циклическое расшире-
расширение поля К степени ре, содержащее поле F, является полем кор-
корней многочлена X?—X—а—X из кольца F [X] при подходящем X
из поля К.
10) Пусть К—поле характеристики р, п—некоторое целое число
(не делящееся на р), для которого поле К содержит все корни
ге-й степени из единицы. Пусть Kq—подполе поля К, для которого
К—расширение Галуа поля Ко. Пусть а—элемент поля К, для
которого поле корней Е многочлена Хп—а имеет степень, рав-
равную п, над полем К. Поле Е является расширением Галуа поля
Ка в том и только в том случае, если для любого Яо-автомор-
физма х поля К существуют целое число г > 0 и элемент Ь?К,
для которых х(а) = Ъпаг. (Использовать предложение 6.)
* И) Пусть К—поле характеристики р, п—целое число, кото-
которое не делится на р и для которого поле К содержит все корни
re-степени из единицы. Пусть Рп—подгруппа мультипликативной
группы К* ненулевых элементов поля К, состоящая из п-х степе"
ней элементов группы К*. Пусть G — подгруппа группы К*, содер-
содержащая Рп. Доказать, что из конечности индекса (G : Рп) вытекает,
что поле W (полученное присоединением к полю К всех корней
многочленов Хп—о, где о пробегает группу G) является абелевым
расширением поля К, степень которого конечна и равна (G : Рп).
Группа Галуа поля W над полем К изоморфна группе G/Pn (разло-
(разложить группу G/Pn в прямое произведение циклических групп, про-
провести индукцию по числу групповых сомножителей, используя
предложение 7, предложение 6, упражнение 10, как и теорему 1
из § 10).
* 12) Пусть К—поле характеристики р, п—целое число, некрат-
некратное р. Многочлен вида Хп—а из кольца АТ[Х] ноприводим в том
и только в том случае, если для любого простого делителя q

КОРНИ ИЗ ЕДИНИЦЫ. КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ 203
числа » элемент а не равен д-й степени какого-либо элемента поля К
я, кроме того, при леО (mod 4), если а непредставим в виде—4с4,
где с ? К. (Доказательство достаточности условия пря помощи
упражнения 1, § 7 свести к случаю, когда n=qe (q простое); затем,
определив с помощью упражнения 1 из § 7 вид свободного члена
е
каждого неприводимого сомножителя многочлена Xq ¦—а, провести
индукцию по е.)
13) Пусть N—расширение Галуа конечной степени поля К,
Г—его группа Галуа над полем К. Пусть (жс)сег— семейство нену-
ненулевых элементов из поля N. Для того чтобы выполнялись соотно-
соотношения хох = хах^ для произвольных элементов а и т группы Г,
необходимо и достаточно существование ненулевого элемента г ? N,
для которого xa = z ° при любых о ? Г. (Образовать элемент
г= 2 xotO> гДе '6-W-) Доказать, что этот результат содержится
как частный случай теоремы 3, если группа Г циклическая.
14) Пусть К—конечное тело, не обязательно коммутативное, Z —
его центр, q—число элементов поля Z, п—ранг тела К над полем Z.
а) Доказать, что для любого подполя Е поля К, содержащего
поле z, ранг Е над полем Z является делителем п.
б) Пусть х?К—элемент, не лежащий .в центре Z. Доказать,
что число различных сопряженных элементов уху-1 для элемента х
в группе К* равно {qn — l)/(<?d— 1), где d делит п и отлично от п.
(Рассмотреть в К множество элементов, перестановочных с х,
и использовать а).)
в) Вывести из б), что q — 1 делится на целое число Фп(<7)
(разложить группу К* на классы сопряженных элементов и исполь-
использовать тождество B).)
г) Доказать, что при ге>1 имеем Фп (q) > (q—1)Ф(«) (разложить
многочлен Фп (X) в поле комплексных чисел С). Вывести отсюда
что K=Z, другими словами, что тело К коммутативно.

ПРИЛОЖЕНИЕ I
К ГЛАВЕ V
СИММЕТРИЧЕСКИЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ
1. Симметрические функции
Пусть К—поле, N = K(Xi, Xz, ..., Хп) — поле рациональ-
рациональных дробей от п переменных над полем К. Для любой рацио-
рациональной дроби / ? N и любой перестановки о из симметри-
симметрической группы <3Л определим рациональную дробь of следующим
образом:
i, Х2, ..., Хп) = /(ХаA), ХаB), ...
(см. гл. III, § 5, п" 1). Очевидно, отображение / —> of является
автоморфизмом поля N (гл. IV, § 3, предложение 2). Обозначим
его символом фа; отображение о —> фа является изоморфизмом
группы <Вп в группу автоморфизмов поля N. Впредь мы будем
отождествлять группу <Вп с ее образом при этом изоморфизме.
Симметрической рациональной дробью или, допуская воль-
вольность речи, симметрической функцией от Хг A<?<п) назовем
рациональную дробь f?N, которая инвариантна относительно
группы <3П (т. е. о/ = / для всех о?<5п) (см. гл. III, § 5, опре-
определение 2). Совокупность симметрических функций Е является
полем инвариантов группы @„. Таким образом (§ 10, теорема 2),
N является расширением Галуа поля Е степени п\, группа
Галуа которого совпадает с <Зп. Очевидно, N = E(Xi, Х2, . . ., Хп).
Рассмотрим в кольце N (Z) многочлен
h{Z)= [J(Z-Xf)=Z'4- 2(-
i=l k=l
n

1 СИММЕТРИЧЕСКИЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ 205
где
u Х2, .-., Хп)= 2 Хч^ч ... Xik
для 1^/с<и. Так как h(Z)= U(Z — Xa^)), любой перестанов-
г=1
кой о16 ©п многочлен h не меняется при применении о к его
коэффициентам. Иначе говоря, коэффициенты Sk являются сим-
симметрическими функциями от Xt. Симметрическую функцию sft
называют элементарной симметрической функцией степени к
от Хг A^С?<гс, \^.к^п). Таким образом, sh?E для 1^/с^гс.
Сейчас мы увидим, что Е совпадает с полем Е' = К (st, s2, ..., sn).
Действительно, N является полем корней многочлена h?E'[Z].
Так как корни этого многочлена простые, то N является рас-
расширением Галуа поля Е\ его группа Галуа над полем Е' явля-
является подгруппой группы ©„ (§ 10, п° 3). Из включений Е'd
CZEciN вытекает, что Е — Е'.
Заметим еще, что так как поле N алгебраично над полем Е,
Е и N имеют одну и ту же алгебраическую размерность над
полем К (§ 5, теорема 4). Следовательно (§ 5, следствие 1
к теореме 1), элементы su s2, ..., sn образуют чистый базис
поля Е над полем К. Итак:
Предложение 1. Для каждой симметрической рациональной
дроби g из поля K(Xi, X2l ..., Хп) существует, и притом
единственная рациональная дробь ф из поля K(Zt, Z2, ...,Zn),
для которой
g(Xu X2, ..., Xn) = q>(su s2, ..., Sp).
n
Пусть f(Z) = Zn-\- ~S\ (— l)h а^п~к — произвольный унитарный
fe=t
многочлен из кольца К [Z] степени п, Q—алгебраическое замыка-
замыкание поля К. Многочлен / разлагается в кольце Q [Z] в произведе-
произведете
ние T\(Z — <Xj) многочленов первой степени, не обязательно раз-
г=1
личных. В этом случае имеем a/l = sli(ai, ..., ап) для 1 < к <; п.
Если семейство элементов (ah)i<h<n допускает подстановку в раци-
рациональную дробь ф (Zt, ..., Zn), то семейство элементов (й)гI<й<п
допускает подстановку в дробь g(Xit ..., Хп), причем g (ait ...
,.., ап) = ф(<г1, ..., ап) (гл. IV, § 3, предложение 3).

206 ПРИЛОЖЕНИЕ I К ГЛАВЕ V
Ввиду алгебраической независимости над полем К элементов"
«и из доказательства предложения 1 вытекает
Предложение 2. Пусть К — произвольное поле, Uh A^/c^n)
п-переменных. Многочлен h (Z) = Z™ + UiZn~'1 -f- • •. + Un-iZ + Un.
неприводим и сепарабелен над полем E = K(Ui, Uz, ..., Un).
Поле N корней многочлена h(Z) является расширением Галуа
поля Е, группа Галуа которого изоморфна симметрической
группе <Вп- Кроме того, поле N является чисто трансцендент-
трансцендентным расширением поля К.
2. Симметрические многочлены
Любую симметрическую рациональную дробь g ? К (Xj, ..., Хп}
можно записать в виде частного двух симметрических много-
многочленов. Действительно, пусть g = u/v (и, у —многочлены); поло-
положим w— П (ov); w является симметрическим многочленом,
дробь w/vi есть некоторый многочлен vu причем g — (uvi)/w. Иэ
соотношения uvi = gw вытекает, что uv^—симметрический мно-
многочлен, поскольку g и w — симметрические дроби.
Таким образом, симметрические многочлены образуют под-
кольцо Р в поле Е симметрических рациональных дробей; для
этого кольца Е является полем отношений. Мы сейчас уточним
предложение 1 для симметрических многочленов.
Рассмотрим симметрический многочлен
№, -.., хп) =
м
где М пробегает множество оМ одночленов от Xit ..., Хп. Из
соотношений а/ = / при каждой перестановке 0б@п вытекает,
что равенство со^М)-=см имеет место для любого одночлена -М
и любой перестановки а?<Зп. В любом классе интранзитивности
группы ©„, рассматриваемой как группа операторов на мно-
множестве одночленов вМ, выберем некоторый (в остальном произ-
произвольный) одночлен. Пусть & — множество этих одночленов. Для
каждого одночлена М ? & пусть Тм — подгруппа групп <&п, остав-
оставляющая инвариантным одночлен М. Пусть q — ее индекс в группе
<Э„. В каждом левом смежном классе группы <Вп по подгруппе

2 СИММЕТРИЧЕСКИЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ 207
q
Гм возьмем по перестановке Oj(l^.j^q). Пусть х(М) = ~VojM.
3=1
Таким образом, х(М) можно определить и как сумму всех раз-
различных, одночленов в семействе п\ одночленов вида аМ (о ? @„).
Из этого вытекает тотчас, что х(М) является симметрическим
многочленом и что /= 2 смх (^0- Кроме того, ясно, что мно-
гочлены х(М) линейно независимы над полем К, когда М про-
пробегает множество оГ1. Таким образом, они образуют базис
алгебры Р симметрических многочленов (над полем К).
Предложение 3. Для любого одночлена М (относительно Хи
Х2, ..., Хп) существует многочлен ф(Уь У2, . . ¦, Yn) с целыми
рациональными коэффициентами, для которого
Рассмотрим градуировку (гл. IV, § 1, п° 3) кольца Z [Yu
У2,. . .., Yn], в которой вес одночлена Y^Y^2.. .У^" по определе-
определению примем равным ^! + 2^2+ • • • -\-п%п. При этом соглашении
мы сейчас уточним результат, сформулированный в предложе-
предложении 3, доказав существование многочлена ф, вес которого равен
полной степени к одночлена М и такого, что т(Л/) = фE!, s2, ...
..., sn). Сначала проведем индукцию по п. Предложение оче-
очевидно при и = 1. С другой стороны, для фиксированного «пред-
«предложение очевидно при к = 0. Мы проведем также индукцию по к.
Положим x(M) = f(X1, Х2, . . ., Хп). Многочлен f(Xu Х2, ...
¦ ¦¦, Xn_i,0) симметрический, причем все его ненулевые коэф-
коэффициенты равны 1.
В силу предположения индукции существует многочлен ф! х
X (Yu ..., Уп_1) с целыми рациональными коэффициентами, вес
которого не превосходит к и для которого
Здесь s'h{Xu ..., Xn_i) = sh(Xi, ..., Хп_и 0) является элемен-
элементарной симметрической функцией степени h от Хг с i^.n — 1
— 1). Рассмотрим симметрический многочлен
, Хп_и Х„) = /(Х1, ..., Хп_и Хп) —
коэффициенты которого целые рациональные числа. Поскольку
вес ф1 не превосходит к, полная степень многочлена /j также

208 ПРИЛОЖЕНИЕ I К ГЛАВЕ V
не превосходит к. С другой стороны, f1(X1, ..., Хп^, 0) = 0.
Следовательно, все члены многочлена /4 содержат в качестве
множителя Хп. Но так как ft — симметрический многочлен, то
переменные Xt, ..., Xn_i также являются множителями в каж-
каждом из членов многочлена /4. Поэтому можем написать f1(Xl, ...
..., Xn) — sng(Xt, ..., Хп), где g—симметрический многочлен
с целыми рациональными коэффициентами, а его полная сте-
степень ^ к — п <С к. В силу индуктивного предположения существует
многочлен фг(^1, •¦•, Yn), веса ^/с — п, с целыми коэффициен-
коэффициентами, для которого g(Xu ..., Xn) = q>2(si, ..., sn), откуда
и ..., Хп) = ф! (SU ..., Sn_i) -f- Sny2 (SU . . . , Sn) — ф (SU . . . , Sn).
Вес многочлена ф не превосходит к. Пусть его вес <ik; тогда
полная степень многочлена / также будет < к. Следовательно,
вес многочлена ф равен к, что заканчивает доказательство.
Заметим, что предыдущие рассмотрения позволяют определить
симметрические многочлены в любой алгебре 'многочленов Д [Xit
Х4, ...,Хп] над произвольным коммутативным кольцом с единицей.
3. Формула Ньютона
Мы поставим себе целью получить рекуррентные формулы
(«формулы Ньютона»), позволяющие вычислять выражения сим-
симметрических многочленов
ph(Xu Хг, .... Хп) = Х\ + Х\+ . ., +Х*(к>0)
ввиде многочленов от st, s2, ..., sn.
Предложение 4. Имеем
pk-pk-iSi + Ph-2S2+ ¦ ¦ ¦ +(-1)'~1 PisA-i+ (-1)'' ksh = O A)
для 1 < к < п и
Ph-Pk-ist +...+(-1I1 pfc_n+1sn_, + (-I)'1 pk-nsn = 0 " B)
для к>п.
Первое доказательство. Пусть f(Z) = (Z — Xt) (Z—Х2) ...
...(Z-Xn) (в кольце N\Z\, где N = K(Xt, ..., Х„)); тогда
W-2J z-Xt- { >
г=1

3 СИММЕТРИЧЕСКИЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ 209
Но разложение 1/(Z—Xt) в формальный степенной ряд по 1/Z
(гл. IV, § 5, предложение 5) имеет вид -^ + ~zh + -%$- + ...+
+ -—^—... Следовательно, уравнение C) записывается в виде
Г (Z) _ п pt p2 Pk
f(Z) ~ Z ~т~ Z* ^ Z3 "Т- • ¦ • ~Г zft+l -I- ...
или, умножая обе части на f(Z)/Zn,
1) + (п_2)^-+...
D)
Достаточно теперь сравнить коэффициенты при 1/Zh в двух час-
частях равенства D), чтобы получить формулы A) и B).
Второе доказательство. Из соотношений
для 1 ^ i ^ n следует при к > n
Складывая эти re соотношений, мы получим тождество B). Для
доказательства соотношения A) мы используем следующую
лемму:
Лемма. Пусть К —поле, / — однородный многочлен степени
q<.n из кольца К [Xit X2, ..., Хп\. Если многочлен f обраща-
обращается в нуль при подстановке нуля в произвольные п — q из п
переменных ХгA<г<и), то / = 0.
Действительно, если / Ф 0, то / является суммой ненулевых
V
V
членов вида аХ^1... Х{*, где vft> 1 при 1<А<ти 2vfc = 2-
Это доказывает, что m^.q. Подставив нуль вместо тех элемен-
элементов Xj, индексы которых отличны от индексов Ik, элементов,
входящих в один из этих членов, мы получим, таким образом,
ненулевой многочлен, что противоречит предположению.
14 Н. Бурбаки

210 ПРИЛОЖЕНИЕ I К ГЛАВЕ V
Доказав лемму, рассмотрим симметрический многочлен
f(Xu ..., Х„) =
= Ph—Ph-iSi + Рн-гЪ +...+( — 1 У' PiSh-i + ( — l)kksh
для некоторого индекса k<in. Это однородный многочлен сте-
степени к. Далее
f(Xit ..., Xh, О, ..., 0) =
= Ph-Ph-isi+ ... +(-1)к~1 p[s'k_i + (-l)h ks'k,
где
s'j = Sj(Xu ..., Xh, 0, ..., 0)
и
P'i = Pi{Xu .... Xh, 0, .... 0)=2*1
Поскольку s'j — элементарная симметрическая функция сте-
степени / от Хи Х2, ..., Xh, из формулы A) (доказанной выше)
для п = к вытекает, что /(Х4, ..., Xh, 0, ..., 0) = 0. Так как
/ — симметрический многочлен, он обращается в нуль при под-
подстановке нуля в произвольные п — к из п переменных Xt (I < i ^ га),
откуда, применяя лемму, получим /=0.
Следствие. Пусть К — поле характеристики нуль, (cij)i<g,^n
и (Pi)i=si^" — два семейства из п элементов поля К, для кото-
рых Vaj = 2 Pi' г®е l^A^re. При этих условиях существует
i=l i=i
перестановка о множества [1, п], для которой p*i = aO(i), где
Действительно, формулы A) доказывают индукцией по к, что
sh(ai, ..., an) = sft(pb ..., рп) (деление на произвольное целое
число возможно в силу предположений относительно поля-К).
п п
Следовательно, многочлены [](Х —аг) и |](Х — р*г) совпадают.
1=1 4=1
Упражнения. 1) Пусть К—произвольное поле, N=K (Xit ...
..., Хп) — поле рациональных дробей от п переменных над полем
К, Е—подполе поля К, образованное симметрическими рациональ-
рациональными дробями. Доказать, что элемент Х^ A <; fc <; п) имеет степень
п—&+1 над полем Е (A'j, ..., Xft_j). Какой многочлен играет роль
его минимального многочлена над этим полем? Вывести отсюда|

СИММЕТРИЧЕСКИЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ 211
что многочлен / из кольца E[Zit Z2> . ••> Z/J степени < га—к отно-
относительно каждого из Zj, длн которого /(Xlt Х2, ..., Хь)=О, явля-
етсн нулевым.
2) Пусть /—симметрический многочлен из кольца К \ХЬ ..., Хп]г
Ф—единственный многочлен из кольца K[YV .... Yn], для кото-
которого f(Xu ..., Х„)=ф(«1, ..., «„). Доказать, что полная степень
многочлена ф равна степени многочлена / относительно произволь-
произвольной из переменных Xj.
3) В обозначениях предложения 4 положим uj=( — i
и). Доказать, что
где суммирование ведется по всем системам (A,j, ..., А,п) неотрица-
неотрицательных целых чисел, для которых A,j-j-2A,2 +•¦• +пХп = к. Коэф-
Коэффициент ахгхг \ равен
я—1I
(Разложить /' (Z)// (Z) в формальный рнд по степеням IJZ, запи-
записав f(Z) = Zn—g(Z) и разложив сначала 1// в ряд по степе-
степеням g/Zn.)
4) Пусть К—поле характеристики нуль. Пусть a* (l^i^ra)—п
элементов из полн К, для которых aj+a|~b ¦ •• +ап = 0 при п
последовательных значениях h, Л + 1, ..., Л+га — 1 индекса А.
Доказать, что в этом случае 04 = 012= ... =an = 0. Показать на при-
примере, что это уже на так, если п значений индекса к не является
последовательными числами или если поле К имеет характерис-
характеристику, отличную от нули.
*5) Пусть К—произвольное поле, /—рациональная дробь из
поля К(ХХ, .... Хп, У4, .... Yn)- Обозначим символом а/ (а —лю-
—любая перестановка из 6„) рациональную дробь
Xn, Yt У„) =
•••' Ха(пу Ya(l)> •••» Ya(n))-
Говорят, что / — симметрическая рациональная дробь относи-
относительно пар (X;, Уг), если о/=/ при любых a g @n.
а) Для любого элемента v = (A,4, ..., Я,п, Hi, ..., цп) из N2n
и любой перестановки а б ©п положим
Группу ©„, тем самым, можно рассматривать в качестве группы
операторов в N2n (гл. I, § 7, п° 3). Пусть у—произвольный класс
14*

212 ПРИЛОЖЕНИЕ I К ГЛАВЕ V
интранзитивности группы ©„ в N*n. Обозначим символом му сим-
симметрический многочлен
где (Я.Ц ..., Хп, щ, ..., ц„) пробегает множество у.
Доказать, что [многочлены uv образуют базис (над полем К)
векторного пространства симметрических многочленов относительно
пар {Хг, У{).
б) Предположим, что характеристика поля К равна нулю.
Доказать, что любой многочлен Uy равен некоторому многочлену
с рациональными коэффициентами относительно симметрических
функций
(Вести доказательство индукцией по числу mi (А,г, ц4), отличных
от @, 0) в строке v=(A,j, ..., Л.„, |i.i, ..., ц„). гассмотреть произ-
произведения uvv^.)
в) Элементарными симметрическими функциями от (Xj, Y;) будем
называть ге(ге+3)/2 многочленов вида и>л& = иу> соответствующих
•классам интранзитивности у элементов (>ч, ..., А.„, щ, ..., fin),
отличных от @, ..., 0) и для которых h пар имеют вид (A,j, fi;) (I, 0),
к других пар — @, 1), а п—h—А; остальных — @, 0). Доказать (при
условии, что характеристика поля К равна нулю), что любой сим-
симметрический многочлен относительно (X), У;) равен некоторому мно-
многочлену с коэффициентами в поле К относительно элементарных
п
симметрических функций. (Рассмотреть суммы вида 2 (UXi-\-VYi)k,
i = l
где U и V—две переменные. Использовать б).)
г) Пусть К— поле характеристики 3 и п > 4, доказать, что
п
многочлен 2 xlYi не равен никакому многочлену с коэффициен-
i=l
тами из поля К относительно симметрических функций

ПРИЛОЖЕНИЕ II
К ГЛАВЕ V
РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА БЕСКОНЕЧНОЙ СТЕПЕНИ
1, Топологическая группа Галуа
Пусть К—поле, N — расширение Галуа поля К, Г—группа
Галуа поля N над полем К. Если N — расширение бесконечной
степени над полем К, то уже не существует взаимно однознач-
однозначного соответствия между подгруппами группы Г и промежуточ-
промежуточными полями между полями К и N. Точнее говоря, может
существовать подгруппа А группы Г, отличная от Г, но имею-
имеющая в качестве поля инвариантов то же, что и у Г поле К
(упражнение 1). Все же следующее предложение справедливо.
Предложение 1. Пусть N—расширение Галуа поля К, Г—
группа Галуа поля N над К, А — подгруппа группы Г, поле
инвариантов которой совпадает с полем К. Для любого под-
расширения L поля N, являющегося расширением Галуа поля К
и имеющего над ним конечную степень, любой К-автоморфизм
поля L является ограничением автоморфизма, принадлежащего
группе А.
Действительно, ограничения на L автоморфизмов а?А обра-
образуют некоторую группу ^-автоморфизмов поля L (§ 6, предло-
предложение 6), поле инвариантов которой совпадает с полем К.
Поскольку поле L имеет конечную степень над полем К, зта
группа совпадает с группой Галуа поля L над полем К (§ 10,
теорема 2).
Мы сейчас переформулируем результат предложения 1 на
топологическом языке. Для любого подрасширения L поля N,
являющегося расширением Галуа и имеющего конечную степень

214 ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ V
вад полем К, пусть g(L) — группа Галуа поля N над полем L
(подгруппа группы Г, образованная из автоморфизмов а?Г, остав-
оставляющих инвариантным каждый элемент поля L). Множества g (L)
образуют базис фильтра на Г, ибо для двух расширений Галуа
L и М поля К, содержащихся в N и имеющих конечные сте-
степени, K(L\JM) является расширением Галуа конечной степени
над полем К (§ 10, предложение 5).
С другой стороны, подгруппы g (L) являются нормальными
делителями в группе Г (§ 10, предложение 4). Таким образом,
они определяют на Г топологию, согласованную со структурой
группы Г. В этой топологии они образуют фундаментальную
систему окрестностей единичного элемента е (Общ. топол., гл. III,
§ 1, п° 2). В дальнейшем, рассматривая группу Галуа некото-
некоторого расширения Галуа произвольного поля К, мы всегда будем
подразумевать (если не оговорено противное), что эта группа
наделена выше определенной топологией.
Тогда предложение 1 можно выразить в следующей эквива-
эквивалентной форме:
Предложение 2. Пусть N — расширение Галуа поля К,
Г — группа Галуа поля N над полем К. Подгруппа А группы Г,
поле инвариантов которой совпадает с полем К, всюду плотна
в группе Г.
Действительно, для любого элемента а ? Г и любого расши-
расширения Галуа LdN поля К конечной степени над полем К
существует элемент т?Д, для которого ограничения элементов
<т и х на L, в силу предложения 1, совпадают. Следовательно,
a'H^g^L), откуда следует предложение.
И. Свойства топологических групп Галуа
Пусть N—расширение Галуа поля К, Г — его группа Галуа,
LdN — расширение Галуа конечной степени поля К. Для двух
элементов т, а группы Г имеем a~H ? g (L) в том и только в том
случае, если о(х)=%(х) для всех элементов а; некоторой системы
образующих поля L над полем К, которую, в силу предполо-
предположения, можно выбрать конечной. Наоборот, поскольку всякое
расширение Галуа поля К, порожденное конечною частью поля N,
имеет конечную степень над полем К (§ 6, следствие 1 к пред-

2 РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА БЕСКОНЕЧНОЙ СТЕПЕНИ 215
ложению 9), мы видим, что топология группы Г является
в точности топологией простой сходимости. Предполагается при
этом, что поле N наделено дискретной топологией (Общ. топол.,
гл. X, § 1, п° 3). Можно добавить, что при рассмотрении группы Г
в качестве части множества NN отображений из N в N ее топо-
топология индуцируется топологией произведения дискретных топо-
топологий на сомножителях в NN.
Если Л' наделить равномерной дискретной топологией, то
группа Г является equicontinu. Это заново доказывает, что тополо-
топология простой сходимости согласуется со структурой группы Г
(Общ. топол., гл. X, § 3, предложение И).
Предложение 3. Группа Галуа Г расширения Галуа поля К
является вполне несвязной компактной группой.
Действительно, Г как подпространство пространства NN
отделимо и вполне несвязно, как все пространство N (Общ.
топол., гл. I, § 11, предложение 9). Для любого элемента х ? N
множество элементов вида а(х), где а пробегает группу Г,
конечно, поскольку оно является множеством сопряженных над
полем К к алгебраическому над полем К элементу х. Все про-
проекции группы Г на пространства сомножителей произведения NN
являются конечными множествами. Это доказывает относитель-
относительную компактность группы Г в NN (Общ. топол., гл. I, § 10,
следствие к теореме 2). Остается лишь доказать замкнутость Г
в N . Но если и принадлежит к замыканию Г в N , то для
любой пары (х, у) точек из N существует элемент а ? Г, для
которого о(х) = и(х), а(у) = и(у), а(х + у) = и(х + у) и а(ху) =
= п (ху). Отсюда следует, что и (х + у) = и (х) + и (у) и и(ху) =
= и(х)и(у). Это доказывает, что и является эндоморфизмом
поля N. Для всякого элемента х?К подобными же рассужде-
рассуждениями покажем, что и(х) = х. Таким образом, и является Z-эндо-
морфизмом поля N, а в силу алгебраичности поля tV над К
и является, следовательно, и /^-автоморфизмом поля N (§ 6, пред-
предложение 4).
То обстоятельство, что группа Г вполне несвязна, вытекает
также и из того, что для любого подрасширения L поля N,
являющегося расширением Галуа конечной степени над полем К,
подгруппа g (L) группы Г, которая, по определению, есть

216 ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ V
окрестность нуля, открыта в Г. Следовательно, она также и замк-
замкнута (Общ. топол., гл. III, § 2, предложение 4). Более общо:
Предложение 4. Пусть N — расширение Галуа поля К, Г — его
группа Галуа. Если F — под расширение поля N конечной сте-
степени над полем К, то группа Галуа g (F) поля N над полем F
является подгруппой, одновременно открытой и замкнутой
в группе Г.
Действительно, пусть L — расширение Галуа, порожденное F;
L имеет конечную степень над полем К (§ 6, следствие 1 к пред-
предложению 9), причем g(L)CZg(F). Следовательно, единичный
элемент группы Г является внутренней точкой подгруппы g(F),
что и доказывает предложение (Общ. топол., гл. III, § 2, пред-
предложение 4).
Рассмотрим теперь произвольное подрасширение Е поля N.
Группа Галуа g (Е) поля N над полем Е является множеством
элементов а?Г, для которых а(х) = х для любого х?Е. По-
Поскольку любая из проекций а-у а (х) группы Г на пространства
сомножителей в NN непрерывна, g(E) является замкнутой под-
подгруппой группы Г (Общ. топол., гл. I, § 8, следствие предло-
предложения 6). Топология группы Г индуцирует на g(E) топологию
простой сходимости в N. Таким образом, индуцированная топо-
топология совпадает с топологией, определенной на группе Галуа
g (E) методом п° 1.
Обратно, рассмотрим произвольную подгруппу А группы Г.
Пусть Е = к(А)— поле инвариантов группы А. В силу предло-
предложения 2 подгруппа Д всюду плотна в группе Галуа g(E), кото-
которая является, следовательно, замыканием подгруппы А в группе Г.
В итоге основная теорема о расширениях Галуа конечной степени
( § 10, теорема 3) обобщается следующим образом:
Теорема 1. Пусть N — расширение Галуа поля К, Г — его
(топологическая) группа Галуа. Пусть 3?—множество про-
промежуточных полей между полями К и N, пусть 'З—множество
замкнутых подгрупп группы Г. Для любой подгруппы Е ? "§
пусть к (А) — поле инвариантов группы А. Для любого подполя
пусть g (E)— группа Галуа поля N над Е. Отображение
является взаимно однозначным отображением из Ж
на &, для которого А—у к (А) является обратным отобра-
отображением.

2 РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА БЕСКОНЕЧНОЙ СТЕПЕНИ 217
Предложение 5. Пусть N — расширение Галуа поля К,
Е— расширение Галуа поля К, содержащееся в поле N. Пусть
Г — группа Галуа поля N над полем К, Л — группа Галуа поля N
над полем Е. Группа Галуа поля Е над полем К изоморфна
(топологической) группе Г/Л.
Поскольку группы Галуа полей N и Е относительно поля К
компактны, все сводится к доказательству того, что отображение-
а —> аЕ (которое каждому автоморфизму а ? Г ставит в соответ-
соответствие его ограничение на Е) является непрерывным на Г (§ 10,
предложение 4 и Общ. топол., гл. I, § 10, теорема 1). Но если
L — некоторое подрасширение поля Е, являющееся расширением
Галуа конечной степени относительно поля К, то из включения
а ? g (L) следует, что аЕ содержится в группе Галуа поля Е
относительно поля L. Отсюда следует предложение.
Упражнения. 1) а) Пусть N—расширение Галуа поля К
бесконечной степени над К. Доказать, что группа Галуа Г поля N
над К не является счетной (использун упражнение 18 из § 8, по-
построить множество АТ-автоморфизмов поля ЛГ мощности континуум).
б) Вывести из этого, что в этом случае в группе Г существуют
незамкнутые подгруппы (рассмотреть счетные подгруппы группы Г).
2) Пусть Q—расширение поля К, N—подрасширение поля Q,
являющееся расширением Галуа поля Ж, Е—произвольное
подрасширение поля Q. Доказать, что (топологическая) группа
Галуа поля N над Ef]N изоморфна (топологической) группе Галуа
поля Е (N) над Е (использовать следствие 1 теоремы 1 из § 10).
3) Пусть iV—расширение Галуа поля К, (E^^j — семейство под-
расширений поля iV, каждое из которых является расширением
Галуа над К и для которых:
1° для любого индекса и, обозначай символом Е'у_ поле, порож-
порожденное объединением Ev с i Ф х, имеем ЕК[]Е'К = К;
2° поле iV порождено объединением Еь.
а) Доказать, что поле N изоморфно тензорному произведению-
02?t расширений 2?t поля К (гл. III, Приложение I, п° 2) (опре-
(определить изоморфизм этого произведения на iV, использовав теорему 1
из § 10).
б) Пусть Гь — группа Галуа поля Et относительно К; доказать,
что (топологическая) группа Галуа поля iV относительно К изо-
изоморфна произведению (топологических) групп Ть.
4) Пусть iV—расширение Галуа полн К, А — наибольшее абелево
расширение поля К, содержащееся в N ( § 10, следствие предложе-
предложения 5). Пусть Г—группа Галуа полн N яад К; доказать, что

218 ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ V
группа Галуа поля N над А является замыканием коммутанта
группы Г.
* 5) Пусть Qp—алгебраическое замыкание простого поля Fp.
Для любого простого числа I пусть Ni — объединение расширений
поля Fp, содержащихся в Qp, степени которых являются степенями
числа I.
а) Доказать, что Ni является абелевым расширением поля Fp,
группа Галуа Гг которого изоморфна (топологической) аддитивной
группе Zt целых /-адических чисел (определить изоморфизм
из Zi ua Ti, используя при этом предложение 5 из § И).
б) Доказать, что поле Qp является абелевым расширением
поля Fp, что его группа Галуа Г изоморфна произведению топо-
топологических групп Zi, где I пробегает множество простых чисел
(см. упражнение 3). Доказать, что счетная подгруппа группы Г,
порожденная автоморфизмом х —*~ хр всюду плотна в Г.

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
К ГЛАВАМ IV И V
(Римские цифры относятся к библиографии, помещенной
в конце этих замечаний.)
Теория полей, а также тесно связанная с ней теория многочленов —
прямой продукт деятельности, составлявшей до середины XIX века основ-
основное содержание классической алгебры. Эта деятельность была направлена
на решение алгебраических уравнений и сводящихся к ним задач о геометри-
геометрических построениях.
Пытаясь решить алгебраическое уравнение выше перкой степени, мы
оказываемся перед совершенно новыми вычислительными трудностями, ибо
становится невозможным определить значение неизвестной, пользуясь лишь
«рациональными» действиями над данными задачами. Это затруднение, види-
видимо, было обнаружено чрезвычайно давно. Одним из важнейших математи-
математических вкладов вавилонян следует считать то обстоятельство, что им удалось
свести решение квадратных и биквадратных уравнений к единственной новой
алгебраической операции: извлечению квадратных корней. (Это устанавли-
устанавливается дошедшими до нас текстами ((I), стр. 183—193), в которых таким
способом решены многочисленные уравнения с числовыми коэффициента-
коэффициентами.) Что касается разработки формального нечисления, античной науке так
и не удалось продвинуться в задаче решения .алгебраических уравнений
дальше этого. В самом деле, греки классической эпохи лишь переоткрыли
вавилонские формулы в геометрических терминах; использование этих ре-
результатов в алгебраическом виде засвидетельствовано не раньше Герона
A00 г. н. э.) и Диофанта.
Решительный прогресс был достигнут греками в совершенно ином направ-
направлении. Мы почти не знаем, как вавилоняне представляли себе корни
квадратные из целых чисел, не являющихся квадратами, и как они их
вычисляли *). В немногочисленных дошедших до нас текстах по этому
вопросу авторы, по-видимому, довольствуются довольно грубыми прибли-
*) Во всех примерах квадратных и биквадратных уравнений в вавилон-
вавилонских текстах данные подобраны так, что корни приходится извлекать из
точных квадратов.

220 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ IV и V
женными методами ((I), стр. 33—38). Пифагорейская школа, строго определив-
определившая понятие соизмеримых величин и придававшая этому понятию поч-
почти религиозный характер, не могла оставаться на этой точке зрения. Воз-
Возможно, что именно безуспешность последовательных попыток рационально
выразить число У~2 привела к доказательству иррациональности это-
этого числа *).
В другом месте (см. Исторические замечания к гл. IV Книги III) мы уже-
указывали, что это открытие, знаменующее решительный поворот в истории
математических наук, оказало глубокое влияние на понятие «числа» у гре-
греков и привело их к созданию алгебры исключительно геометрического харак-
характера. Цель этого состояла в отыскании способа представления (или, быть
может, доказательства «существования») несоизмеримых отношений, кото-
которые греки отказывались считать числами. Чаще всего они сводили алгебраи-
алгебраическую задачу к нахождению пересечения двух вспомогательных плоских
кривых, выбранных подходящим образом, или же к последовательному разыс-
разысканию нескольких таких пересечений. Поздняя и не заслуживающая боль-
большого доверия традиция приписывает Платону первую классификацию этих
конструкций, которой суждена долгая и блистательная история. По-види-
По-видимому, по причинам скорее философского, чем математического, характера
Платон специально выделил так называемые «построения циркулем и линей-
линейкой», т. е. те, в которых лишь прямые линии и окружности используются
в качестве вспомогательных кривых **).
Во всяком случае, Евклид в своих «Началах» (II) ограничивается только
задачами, разрешимыми этим способом (не называя их, впрочем, особым
термином).
Это обстоятельство, безусловно, немало способствовало привлечению
внимания к таким задачам математиков последующих веков. Теперь, одна-
*) Один современный автор высказал остроумное замечание о том, что
построение правильного звездчатого пятиугольника, известное пифагорейцам
(пятиугольник был у них одним из мистических символов), немедленно дает
иррациональность числа ]Л>. Он же предложил гипотезу (к сожалению,
не подтвержденную никакими текстами) о том, что именно на этом пути пифа-
пифагорейцы открыли иррациональные числа (К. von Fritz, Ann. of Math.,
t. XLVI, 242 A945)).
**) В связи с этим Платону приписывается также разделение плоских
кривых на «плоские» (прямая и окружность), «телесные» (конические сече-
сечения, получаемые как пересечение плоскости с твердым телом-конусом) и все
остальные, объединенные общим названием «toiioi YQajxjxixoi». Любопытно,
что влияние этой классификации прослеживается еще у Декарта, который
в своей «Геометрии» относит к одному и тому же «роду» уравнения степени
2га — 1 и 2га: без сомнения потому, что уравнения первой и второй степени
решаются перечислением «плоских» кривых, а уравнения третьей и четвертой
степени — перечислением «телесных» кривых.

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ IV и V 221
ко, мы знаем *), что алгебраические уравнения, которые можно решить
«циркулем и линейкой», относятся к весьма специальному виду: в частности,
неприводимое уравнение третьей степени (над полем рациональных чисел)
нельзя решить таким способом. Между тем, греки уже давно встретились
« подобными задачами, которым суждено было стать знаменитыми: удвоение
куба (решение уравнения ж3 = 2) и трисекция угла. С другой стороны, квадра-
квадратура круга поставила древних математиков перед лицом трансцендент-
трансцендентной проблемы. Мы обнаруживаем, что для решения этих задач вводились мно-
многочисленные алгебраические кривые (конические сечения, циссоида Диокле-
«а, конхоида Никомеда) и трансцендентные кривые (квадратриса Динострата,
спираль Архимеда). Это обстоятельство не могло не привести к изучению
таких кривых самих по себе, что подготовило почву для будущего развития
аналитической геометрии, алгебраической геометрии и исчисления бесконечно
малых. Подобные методы, однако, не способствовали никакому прогрессу
в решении алгебраических уравнений **).
Единственным трудом античности, содержащим значительный вклад
в этот вопрос и долгое время влиявшим на алгебраистов средневековья и Воз-
Возрождения, осталась книга X «Начал» Евклида (II). В этой книге (основные
результаты которой некоторые историки склонны приписывать Теэтету)
Евклид рассматривает выражения, получающиеся в результате комбинации
нескольких радикалов, например У Ya ± V^> (« и Ь — рациональные числа).
Он дает условия, при которых такие выражения иррациональны, разделяет
*) Отыскание точек пересечения прямой и окружности (или двух окруж-
окружностей) равносильно решению уравнения второй степени, коэффициенты кото-
которого являются рациональными функциями от коэффициентов рассматрива-
рассматриваемой прямой и окружности (или двух окружностей). Отсюда легко вывести,
что координаты точки, которую можно построить «циркулем и линейкой»,
исходя из данных точек, принадлежат некоторому расширению L поля
рациональных чисел Q, описываемому следующим образом. Пусть К — поле,
полученное присоединением к Q координат заданных точек. Тогда существует
возрастающая последовательность полей (LjH<i<n, промежуточных между К
и L и удовлетворяющих условиям К = Lo, L~=Ln, [Lt : Li_l] = 2 при 1 <;
<; i <J! п. Индукция по п показывает, что степень над полем К расшире-
расширения Галуа N, порожденного расширением L, является степенью двойки.
Можно доказать, что и наоборот, при выполнении последнего условия сущест-
существует последовательность полей (Ьь), промежуточных между К и L с описан-
описанными выше свойствами. Тогда поставленная задача решается циркулем
и линейкой (ср. Н. Г. Чеботарев, Основы теории Галуа, Гостехиздат
A934), ч. I).
**) Из-за отсутствия удобного алгебраического исчисления у греков мы
не находим каких-либо попыток классифицировать задачи, которые не уда-
удавалось решить «циркулем и линейкой». Арабы первыми свели многочисленные
задачи этого рода (например, построение правильных семи- и девятиуголь-
ников) к решению кубических уравнений.

222 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ IV и V
их на многочисленные категории (и доказывает, что эти категории не совпа-
совпадают), а также изучает алгебраические соотношении между этими ирра-
циональностяыи типа (в современной записи)
VVp+Yi= j/y
Все это выражено обычным геометрическим языком «начал», что делает
изложение особенно тяжеловесным и неудобным.
После упадка классической греческой математики концепции, относя-
относящиеся к алгебраическим уравнениям, претерпевают изменения. Несом-
Несомненно, что на протяжении всего классического периода греки владели мето-
методами сколь угодно точного вычисления квадратных корней. К сожалению,
мы мало осведомлены об этом *).
У индусов, затем у арабов и их западных соперников средних веков из-
извлечение корней любых порядков становится постепенно одной из основных
операций наряду с рациональными операциями алгебры и, как эти послед-
последние, обозначается все более удобными для вычислений символами **). Теория
уравнений второй степени, непрерывно совершенствуемая в продолжение
всего средневековья (число корней, отрицательные корни, неразрешимый
случай, двойные корни), а также теория биквадратных уравнений дают те
образцы формул решения «в радикалах», которые алгебраисты нескольких
веков будут пытаться перенести на уравнения высших степеней, в первую
очередь кубические. Леонардо Пизанский, главный проводник арабской
науки в Европе XIII века, во всяком случае, уже сознает, что иррациональ-
иррациональности, расклассифицированные Евклидом в его десятой книге, не годятся
для этой цели (новое доказательство невозможности в теории, которая изо-
*) Например, принадлежащий Архимеду метод приближенного вычисле-
вычисления числа я требует знания ряда квадратных корней с довольно большой
точностью. Мы не знаем, однако, каким способом Архпмед вычислял эти
корни. Метод вычисления ]/^2, доставляющий разложение этого числа в «непре-
«непрерывную дробь», известен нам (в геометрической форме) пз текста Теона Смир-
нейского (II в. н. э.); возможно, что он восходит к ранним пифагорейцам.
Тот способ отыскания приближений к квадратным корням, который и в наши
дни преподается в средней школе, засвидетельствован впервые у Теона Алек-
Александрийского (IV в. н. э.), хотя, несомненно, он был известен уже Птоломею.
Отметим, наконец, что у Герона (около 100 г. н. э.) можно найти приближен-
приближенное вычисление одного кубического корня (ср. G. Encstrom, Bibl.
Math. C), t. VIII, 412 A907)).
**) Иррациональность числа У а, где а — целое число, не являющееся
точной n-й степенью, впервые отмечена и доказана Штифелем (XVI век).
Впрочем, его доказательство скопировано с доказательства Евклида при п =
= 2, и представляется довольно маловероятным, чтобы такое нетрудное
обобщение не было замечено раньше.

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ IV и V 223
билует ими). Он пытается провести аналогичные вычисления с кубическими
корнями и получает соотношения типа
/16+ /54 = /250,
подобные формулам Евклида для квадратных корней (впрочем, более ранние
примеры таких тождеств засвидетельствованы у арабов). Все же пройдут
еще три века бесплодных попыток, пока Сципион дель Ферро в начале XVI ве-
века не придет, наконец, к формуле решения уравнения х3 + ах = Ь:
Не нам описывать здесь красочную историю этого сенсационного откры-
открытия— ссоры, вызванные им между Тартальей с одной стороны и Кардано
и его школой с другой, или набрасывать портреты, порой весьма притягатель-
притягательные, ученых, оказавшихся в этом споре противниками. Но мы должны отме-
отметить решительные продвижения в теории уравнений, достигнутые Кардана
и его учениками вследствие этого открытия.
Так, Кардано, пользовавшийся отрицательными числами охотнее, чем
большинство его современников, замечает, что у кубических многочленов мо-
может быть три корня, а у биквадратных — четыре ((III), т. IV, стр. 259).
Он отмечает, кроме того, что сумма трех корней уравнения х3 + Ьх = ах2 + с
(у которого, впрочем, член с ж2 уже умели уничтожать) всегда равна о (там
же). Несомненно, руководствуясь этим соотношением и своей общей интуи-
интуицией, он приходит к первоначальной идее о кратности корня. Он осмеливает-
осмеливается даже (не без ораторских предостережений) производить формальные вык-
выкладки с выражениями, в которые входят квадратные корни из отрицатель-
отрицательных чисел. Кажется правдоподобным, что к этому его привело естественно©
(Ъ ~\2 /" а \3
-p-J+(-q-J <0 (так
называемый «случай неприводимости», в котором, как понял Кардано,
уравнение имеет три вещественных корня). Это обстоятельство, во всяком
случае, с очевидностью проявляется у его ученика Р. Бомбелли, который
в своей «Алгебре» ((IV), стр. 293) доказывает соотношение
\/ 2 + Y"zrl21 = 2 + /^I
и заботится о том, чтобы дать правила действий над комплексными числами
в явном виде, уже весьма близком к современным изложениям *).
*) Бомбелли ((IV), стр. 169 и 190) рассматривает комплексные числа
как «линейные комбинации» с вещественными коэффициентами четырех
базисных элементов: «piu» (+1), «meno» (—1), «piu de meno» (+i) и «meno
di meno» (—i)- В частности, он формулирует аксиому, согласно которой «piu»
и «piu de meno» «не складываются»— первое появление понятия линейной
независимости.

224 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ IV и V
Наконец, в 1545 году другому ученику Кардано, Л. Феррари, удается
решить общее уравнение четвертой степени с помощью вспомогательного
кубического уравнения *).
Период, последовавший за эпохой столь быстрого прогресса и продлив-
продлившийся вплоть до середины XVIII века, отмечен лишь развитием новых идей,
введенных итальянской школой. Благодаря существенным усовершенство-
усовершенствованиям, внесенным в систему алгебраических обозначений, Виета смог уста-
установить общие соотношения между коэффициентами и корнями любого
алгебраического уравнения по крайней мере в случае, когда все корни поло-
положительны **) ((V), стр. 158). Более решительный А. Жирар, не колеблясь,
утверждает (разумеется, без доказательства), что у всякого уравнения сте-
степени п имеется в точности п корней, если считать также «невозможные корни»,
каждый со своей кратностью и что эти корни удовлетворяют соотношениям,
данным Виета. Он же впервые получает формулы для сумм одинаковых степе-
степеней корней вплоть до четвертой степени.
Но творческий дух XVII века обращен к иным целям, и Алгебре лишь
перепадает кое-что из новейших открытий Аналитической геометрии и Исчис-
Исчисления бесконечно малых. Так, с методом Декарта проведения касательных
к алгебраическим кривым (ср. Исторические замечания к Книге IV, гл. I,
II, III) связан критерий кратности корня алгебраического уравнения,
сформулированный учеником Декарта Гудде ((VIII), стр. 433 и 507—509).
Несомненно, что также под влиянием Декарта начинается различение между
алгебраическими и трансцендентными функциями, параллельное введенно-
введенному в его «Геометрии» делению кривых на «геометрические» и «механические»
(ср. Исторические замечания к Книге IV, гл. I, II, III). Это различение, во
всяком случае, становится совершенно явным у Грегори, который в 1667 году
пытается даже доказать, что площадь кругового сектора не может быть
алгебраической функцией его хорды и радиуса ***).
Слово «трансцендентный» принадлежит Лейбницу, который всю жизнь
интересовался подобными классификационными вопросами и который
*) Приведя первоначальное уравнение к виду ж4 = ах2 + Ъх + с,
стараются затем определить число z таким образом, чтобы правая часть урав-
уравнения
(ж2 + zJ = (a -f 2z) ж2 + Ъх + (с + z2)
была полным квадратом, что дает для z уравнение третьей степени.
**) Виета, страстный поклонник античности, систематически избегает
использования отрицательных чисел в своих рассуждениях. Это не мешает
ему при случае выражать на своем языке соотношения между коэффициента-
коэффициентами и корнями, когда некоторые из последних отрицательны. Например, если
у уравнения ж3 + Ъ = ах есть два положительных корня х^, х% (о ]> 0,
Ъ > 0), Виета показывает, что х\ + х\ + xlx2t = а и sc4a;2 (х^ -\- x^j — b
((V), стр. 106).
***) J. Gregory, Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura..., Pataviae,
1667; cp.G.Heinrich, Bibl. Math. C), t. II, 77-85 A901).

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ IV и V 225
в 1682 году открыл простое доказательство результата, не дававшегося Гре-
Грегори, установив, что sin х не является алгебраической функцией от х ((VIII),
т. V, стр. 97—98) *). Лейбниц и его друг Чирнгаузен, кроме того, были един-
единственными математиками своего времени, еще интересовавшимися проблемой
решения алгебраических уравнений «в радикалах». Мы видим, как в начале
своей деятельности Лейбниц изучает «случай неприводимости» уравнения
третьей степени и убеждается (впрочем, без достаточного доказательства),
что в этом случае нельзя избавиться от мнимых величин в формулах для реше-
решений ((IX), стр. 547—564). Тогда же он безуспешно пытается решить в ради-
радикалах уравнение пятой степени. Когда позже Чирнгаузен утверждает, что
он решил эту проблему, избавившись от всех членов уравнения, кроме двух
крайних, с помощью преобразования вида у = Р (х), где Р — подходящий
многочлен четвертой степени, Лейбниц немедленно обнаруживает, что
уравнения, определяющие коэффициенты многочлена Р (х), имеют степень >5,
и оценивает этот метод как безнадежный ((IX), стр. 402—403).
По-видимому, именно нужды нового Анализа понемногу восстановили
интерес к алгебре. Интегрирование рациональных дробей, осуществленное
Лейбницем и Иоганном Бернулли, а также тесно связанный с этим вопрос
о мнимых логарифмах, дают повод для углубления расчетов с комплексны-
комплексными числами и приводят к новой постановке вопроса о разложении много-
многочлена на множители первой степени («основная теорема алгебры») **).
В начале XVIII века Котес и Муавр сводят решение двучленного уравне-
уравнения хп — 1 к делению окружности на п равных частей. Для выражения кор-
корней «в радикалах» поэтому оказывается достаточным найти соответствующие
формулы для нечетного простого числа п. Муавр замечает, что в этом случае
подстановка у = х-\— сводит задачу к решению «в радикалах» некоторого
*) Определение «трансцендентных величин» у Лейбница ((VIII), т. V,
стр. 228; см. также стр. 120) применимо скорее к функциям, чем к числам (то,
что он делает, на современном языке сводится к определению трансцендент-
трансцендентных элементов над полем, полученным в результате присоединения данных
задачи к полю рациональных чисел). Представляется правдоподобным, одна-
однако, что Лейбниц имел довольно четкое понятие о трансцендентных числах
(хотя их точное определение, как будто, было дано ие раньше конца XVIII ве-
века). Во всяком случае, Лейбниц в явном виде замечает, что трансцендентная
функция может принимать рациональные значения при рациональных зна-
значениях аргумента и, следовательно, что его доказательство трансцендентности
функции sin х еще недостаточно для доказательства иррациональности числа я
((VIII), т. V, стр. 97 и 124—126).
**) О зачаточном состоянии, в котором в то время находилось еще
исчисление комплексных величин, можно составить себе отчетливое пред-
представление, читая Лейбница (одного из наиболее опытных в этом исчислении
математиков той эпохи), который выражается так, как будто считает невоз-
невозможным разложить многочлен ж* + 1 на два вещественных множителя второй
степени ((VIII), т. V, стр. 359—360).
15 Н. Бурбаки

22(? ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ IV и V
уравнения степени —^— . Что до «основной теоремы», то после многократных
неудач с общим решением «в радикалах» (включая несколько попыток Эйлера
(X)) начинаются поиски априорных доказательств, не использующих явных
формул для решений. Не входя в детали предлагавшихся методов (которые
в конце концов привели к доказательствам Лагранжа и Гаусса; ср. Истори-
Исторические замечания к Книге II, гл. VI, VII и Книге III, гл. VIII), отметим здесь
точку зрения, с которой эта проблема рассматривается в середине XVIII века.
Допускается (без какого бы то ни было оправдания, кроме смутного ощу-
ощущения «общего случая», несомненно обязанного своим возникновением, как
у А, Жирара, наличию соотношений между коэффициентами и корнями),
что у всякого уравнения степени п есть п «идеальных» корней, с которыми
можно вычислять, как с числами, не зная, являются ли они числами (вещест-
(вещественными или комплексными). Предполагается доказать (пользуясь правилами
действий с этими идеальными корнями), что по крайней мере один из корней
является обычным комплексным числом *).
В этом несовершенном виде можно различить уже первый росток общей
идеи «формального присоединения», которой, несмотря на возражения Гаус-
Гаусса ((XIII), т. III, стр. 1), суждено было стать основой современной теории
коммутативных полей.
С основоположными работами Лагранжа (Х1а) и Вандермонда (XII)
.1770 год открывает новый и решающий период в истории теории алгебраиче-
алгебраических уравнений. Безраздельно царившему до той поры эмпиризму более или
менее удачных попыток найти формулы для решений приходит на смену систе-
систематический анализ поставленных проблем и методов, способных с ними спра-
справиться, — анализ, который через шестьдесят лет привел к окончательным
результатам Галуа. Как Лагранж, так и Вандермонд исходят из неопределен-
неопределенности, к которой приводят разные значения радикалов в формулах для реше-
решения уравнений степени <; 4. Это обстоятельство уже привлекало внимание
Эйлера, который среди прочего показал, как следует согласовывать значения
•корней в формуле дель Ферро, чтобы получить 3 корня, а не 9. Лагранж заме-
замечает, что каждый из кубических радикалов в формуле дель Ферро можно запи-
записать в виде -^- (ajj-f- @^2 -f- а>2хз), где (о — некоторый кубический корень из
о
единицы, xi, х2, х3 — ТРИ корня рассматриваемого уравнения, взятые в опре-
определенном порядке. Лагранж затем делает фундаментальное наблюдение, что
функция (xt + а>х2-!г а>гх3K от трех корней может принимать лишь два
разных значения при всевозможных перестановках корней, что априорно
объясняет успех методов решения кубического уравнения. Подобный же
анализ методов решения уравнения четвертой степени приводит к функции
xtx2 -Ь x3xi четырех корней, принимающей только три разных значения
при всевозможных перестановках корней и являющейся, стало быть, корнем
*) Следует отметить, что «мнимые (imaginaires) корни» математикоэ
XVIII века — это часто именно «идеальные» корни, относительно которых
и пытаются доказать, что они имеют вид а -f- Ъ Y—1 (см., например, (XI6)).

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК „К ГЛАВАМ IV И У 227
некоторого кубического уравнения, коэффициенты которого1 суть рациональ-
рациональные функции от коэффициентов первоначального уравнения *). Лаграиж
говорит, что эти факты «составляют истинные принципы и, так сказать,
саму метафизику **) разрешения в радикалах уравнений третьей и четвертой
степени» ((XI), стр. 357). Опираясь на эти примеры, Лагранж намеревается
изучить в общем случае для уравнений степени п, какое количество v
разных значений.***) может принимать при произвольных перестановках
-корней рациональная функция V от этих корней. По существу, он заклады-
закладывает тем самым (на языке, еще тесно связанном с теорией уравнений) основы
теории групп и полей и получает несколько фундаментальных результа-
результатов этих теорий, используя те же принципы, которыми мы пользуемся сегодня,
Например, он доказывает, что число v делит п\, тем же рассуждением, кото-
которое служит сейчас для доказательства того факта, что порядок подгруппы
конечной группы делит порядок всей группы. Еще более замечательная теоре-
теорема, в которой он показывает, что если две рациональные функции от корней
¦ Vi и V2 остаются инвариантными при Одних и тех же перестановках, то каж-
каждая из них является рациональной функцией от другой и от коэффициентов
уравнения (частный случай теоремы Галуа, характеризующей всякое подрас-
ширение расширения Галуа как поле инвариантов его группы Галуа). «Эта
проблема,— говорит Лагранж,— представляется мне одной из важнейших
в теории уравнений, и ее общее решение, которое мы даем ниже, должно пока-
показать в новом свете эту часть Алгебры» ((XI), стр. 374).
Все эти изыскания, естественно, в духе Лагранжа являются лишь подго-
подготовкой к анализу возможных методов решения алгебраических уравнений
их последовательным сведением к уравнениям меньшей степени, ибо всякий
такой метод, как показывает Лагранж, связан с образованием рациональных
функций от корней, принимающих меньше п значений при всевозможных пере-
перестановках корней. Руководствуясь, несомненно, своими результатами
о кубическом уравнении, он вводит в общем случае «резольвенты Лагранжа»
п
2 гДе ®h — корень л-й степени из единицы A < A; <J A)v
*) В этом слове, столь часто выходящем из-под пера авторов XVIIF
века, допустимо усматривать первый, еще довольно смутный зачаток совре-
современного понятия структуры.
**) Варинг также заметил-это обстоятельство "в своих «Алгебраических
размышлениях», которые вышли в свет в том же 1770 году, но был не в состо-
состоянии извлечь из этого наблюдения те следствия, которые извлек из него
Лагранж.
***) Лагранж уже проводит различие между различными рациональ-
рациональными дробями, которые получаются из V перестановками переменных xt A <
< i < п) и различными значениями, которые принимают эти дроби, когда х%
являются корнями некоторого алгебраического уравнения с данными числен-
численными коэффициентами. Все же его изложение не лишено колебаний по этому
поводу, и лишь у Галуа это различие становится более явным.
15*

228 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ IV и V
с очевидностью показывает, как знание этих п чисел позволяет найти кор-
корни г/ft, и вычисляет в общем случае степень уравнения, которому удовлетво-
удовлетворяют числа уд. Он показывает, например, что если л — простое число, то
2/д являются корнями некоторого уравнения степени л — 1, коэффициенты
которого представляют собой рациональные функции одного корня уравнения
степени (и — 2)!; коэффициенты последнего рационально выражаются че-
через коэффициенты первоначального уравнения. «Если я не обманываюсь,—
заключает он,— таковы истинные принципы разрешения уравнений и надле-
надлежащий анализ, который к ним приводит; как видно, все сводится к комбина-
комбинаторному исчислению специального рода, которое позволяет априори находить
ожидаемые результаты» ((Х1а), стр. 403).
Что касается мемуара Вандермонда, написанного независимо от работы
Лагранжа, в нем имеются многочисленные точки соприкосновения с этой
работой, в частности идея отыскивать рациональные функции от корней,
принимающие по возможности мало разных значений при перестановках
корней *), и изучение «резольвент Лагранжа», также введенных Вандермон-
Вандермондом по этому поводу. Хотя его мемуар далеко не имеет ясности и общности,
которые присущи труду Лагранжа, в одном пункте Вандермонд явно идет
дальше Лагранжа, применяя все эти идеи к уравнению деления крута хп — 1
при простых нечетных га. В то время как Лагранж ограничивается напоми-
га—1
нанием о сведении этого уравнения к уравнению степени т = _ с рациональ-
рациональными коэффициентами и не пытается решить его при п >• И, Вандермонд
утверждает, что то-е степени резольвент Лагранжа этого уравнения ра-
рациональны из-за соотношений между различными корнями уравнения хп —
—1; но основательность этого утверждения он проверяет лишь при п = 11,
не доказывая его в общем случае.
Только тридцать лет спустя сформулированный Вандермондом резуль-
результат был полностью доказан К. Ф. Гауссом **). Его окончательные результаты
об уравнении хп — 1 = 0 (п — простое нечетное число) находят свое место
в общей программе его знаменитых арифметических исследований ((XIII),
т. I, стр. 413 и далее) и особенно ярко иллюстрирует его мастерство в обра-
обращении с тем, что мы сегодня называем теорией циклических групп. Дока-
Ф„ (х) = (х™ — 1)
зав, что многочлен ¦ —г: • неприводим при всех нечетных
{X 1)
*) В этом исследовании (развитом в действительности лишь для уравне-
уравнений пятой степени) впервые появляется понятие импримитивности ((XII),
стр. 390—391). Кроме того, методы Лагранжа и Вандермонда естественно сбли-
сближаются и с их работами того времени об определителях, благодаря которым
идея перестановки и все, что с ней связано, должно было стать привычным
этим ученым.
**) Гаусс не ссылается на Вандермонда в своих «Арифметических иссле-
исследованиях», но правдоподобно, что он читал мемуар этого автора (ср. XIII,
т. X, Abh. 4, стр. 58).

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ IV и V 229
простых п *), Гаусс затем высказывает идею записать п — 1 корней этого
многочлена в виде Z& = Х>и Ф ^ ^ *С п — 2), где g — примитивный корень
сравнения z71 = 1 mod n (что на современном языке сводится к выяснению
цикличности группы Г уравнения Ф„ (ее) = 0). Всякому делителю е числа
п — 1 Гаусс ставит в соответствие / = (и — 1)/е «периодов»
и показывает, по существу, что линейные комбинации с рациональными коэф-
коэффициентами чисел T)v образуют поле, порожденное любым из / периодов t)v
и имеющее степень / над полем рациональных чисел (это поле, естественно,
соответствует подгруппе порядка е группы Г). Здесь не место входить в дета-
детали этого анализа и важные арифметические следствия, из него происходящие.
Укажем лишь, что он приводит, в частности, к знаменитой теореме о воз-
возможности строить «линейкой и циркулем» правильные многоугольники,
число сторон которых — простое вида 22k + 1 **).
Что до решения в радикалах уравнения Фп (х) = 0, то оно легко полу-
получается из теории периодов в применении к /-й степени резольвенты Лаграшка
f-i
2 u)Vt1v (гДе и/ = 1) ***)¦
v=0
Непосредственно с работами Лагранжа связаны изыскания его сооте-
соотечественника Руффини, одновременные с «Арифметическими исследованиями».
Начиная с того, чем Лагранж кончил, Руффини провозглашает своей целью
доказательство неразрешимости в «радикалах» «общего» ****) уравнения
*) Понятие неприводимого многочлена (с рациональными коэффициен-
коэффициентами) восходит к XVII веку. Ньютон и Лейбниц уже описали способы, поз-
позволяющие (по крайней мере теоретически) определить неприводимые множи-
множители многочлена с данными рациональными коэффициентами ((VIII), т. IV,
стр. 329 и 325), но результат Гаусса ¦— первое доказательство неприводи-
неприводимости, применимое к целому множеству многочленов сколь угодно больших
степеней.
**) Гаусс явно утверждает, что он может доказать, что это ¦— единствен-
единственный возможный случай построения циркулем и линейкой многоугольника
с нечетным простым числом сторон ((XIII), т. I, стр. 462). Однако это дока-
доказательство никогда не было опубликовано и не найдено в его бумагах.
***) На самом деле, если хотеть доказать только разрешимость в ради-
радикалах, достаточно положить е = 1 и провести индукцию по п.
****) Математики XIX века понимают под этим, по существу, уравне-
уравнение, коэффициентами которого являются переменные (indeterminees) над
полем рациональных чнсел. Но современное понятие переменной появляется
не раньше последних лет XIX столетия. До тех пор под «многочленом» или
«рациональной дробью» всегда понимали функцию комплексных переменных.
«Общее» алгебраическое уравнение рассматривается как уравнение с неза-
независимыми комплексными переменными (variables) в качестве коэффициентов,
корни которого суть «алгебраические функции» от этих переменных,—

230: исторический очерк к главам iv и v
пятой степени. Многословное и неясное доказательство Руффини осталось
неполным, хотя и переделывалось несколько раз. Все же оно было уже очень
близко к (в принципе верному) доказательству, позднее полученному Абе-
Абелем *). Его главный интерес заключался во введении исчисления подстановок
и первых понятий теории групп, которые Руффини развивает для доказатель-
доказательства несуществования функции от 5 корней уравнения, принимающей больше
2, но меньше 5 значений при всевозможных перестановках корней.
Мы уже описывали (Исторические замечания к гл. I), как несколько лет
спустя Коши развил и систематизировал этот первый набросок теории групп
перестановок. Но если в том, что касалось подстановок, понятия, необходи-
необходимые для развития идей Лагранжа, постепенно прояснялись, основные прин-
принципы теории полей еще оставалось представить в столь же явном виде. Имен-
Именно этого недоставало Руффини и именно это предстояло сделать Абелю
и Галуа в последней фазе развития задачи о решении алгебраических урав-
уравнений.
Всю свою недолгую жизнь Абель не прекращает заниматься этой проб-
проблемой. Будучи еще почти ребенком, он думает, что получил формулу решения
в радикалах уравнений пятой степени. Обнаружив позже свою ошибку, он
не успокаивается, пока не находит доказательства того, что такой формулы
не существует ((XIV), т. I, стр. 66). Но и на этом он не останавливается. Тогда
как его соперник Якоби развивает теорию эллиптических функций как ана-
аналитик, в трудах Абеля на эту тему, посвященных теории уравнений деления
эллиптических функций ((XIV), т. I, стр. 265, 377 et passim) доминирует
алгебраическая точка зрения. Так, он получает новые типы разрешимых
в радикалах уравнений методом, скопированным с метода Гаусса для урав-
уравнений деления круга ((XIV), т. I, стр. 310 и 358) **).
Исходя из этого, он поднимается до общего понятия «абелевых уравне-
уравнений», разрешимость в радикалах которых доказывает в знаменитом мемуаре
((XIV), т. I, стр. 478). Именно в этой связи он вводит точное определение
понятие, лишенное поистине какого бы то ни было точного смысла, если слову
«функция» придавать его современное значение. Разумеется, рассуждения,
в которых фигурируют эти «алгебраические функции», в общем по существу
верны, в чем можно убедиться, переводя их на современный алгебраический
язык.
*) См. P. R u f f i n i, Opere Matematiche, v. 3, Roma (Ed. Gremonese),
1953—1954, а также Н. Burkhardt, Zeitschr. fur Math, und Phys.,
XXXVII suppl., 121—129 A892).
**) Гаусс в своих «Исследованиях» уже отмечал возможность обобщения
его методов на уравнения деления лемнискаты ((XIV), т. I, стр. 413), и в де-
делении на 5 ((XIII), т. X, стр. 161, 162 и 517). Как многие другие краткие
и загадочные указания, которыми Гаусс по своей излюбленной привычке
усеивал свои работы, соответствующая фраза из «Исследований» возбуждала
воображение современников. Мы знаем, что она играла немалую побудитель-
побудительную роль для Абеля и Якоби в их исследованиях на эту тему.

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ IV и V 231
неприводимости многочлена над данным полем (порожденным коэффициентами
изучаемого уравнения *).
Смерть настигла его в 1829 году, когда он занимался общей проблемой
описания всех уравнений, разрешимых в радикалах, и только что сообщил
Креллю и Лежандру о своих результатах, уже весьма близких к будущим
достижениям Галуа ((XIV), т. II, стр. 219—243, 269—270 и 279).
Именно Галуа довелось три года спустя завершить всю постройку (XV).
Как и Абель, но с еще большей отчетливостью, он начинает с определений
(с точностью до терминологии) принадлежности величины к полю, порож-
порожденному данными величинами; понятия присоединения; понятия многочле-
многочленов, неприводимого над данным полем. Задавшись уравнением F (х) = 0
без кратных корней, с коэффициентами в данном поле К, Галуа последова-
последовательно показывает, что «всегда мбжно образовать такую функцию V от кор-
корней, что все значения, принимаемые ею при всевозможных перестановках кор-
корней, будут разными», что эта функция «обладает тем свойством, что все кор-
корни первоначального уравнения рационально выражаются через V», и наконец,
обозначая через V, V, V",... все корни неприводимого уравнения, которому
удовлетворяет V, что «если а = f (V) — один из корней первоначального урав-
уравнения, то / (V) также будет его корнем» ((XV), стр. 36—37). Выражаясь
современным языком, Галуа доказывает тем самым, что V, как и любая сопря-
сопряженная к V величина, порождает поле N корней многочлена F. Затем он
определяет группу Г уравнения F = 0 как множество тех перестановок кор-
корней xi, которые получаются подстановкой всевозможных сопряженных к V
в рациональные выражения корней xi через V. После этого он немедленно
устанавливает то фундаментальное обстоятельство, что элементы поля К
характеризуются их инвариантностью при всех подстановках группы Г
((XV), стр. 38—39). Затем он доказывает, что если поле N содержит поле
корней/, другого многочлена, то группа поля N над/, является нормальным
делителем группы Г (понятие, специально введенное по этому поводу) ((XV),
стр. 41 и 25—26). Отсюда он выводит, наконец, критерий разрешимости
в радикалах с помощью рассуждения, существенные этапы которого состоят
в следующем. Принимается, что основное поле К содержит все корни из еди-
единицы. Тогда, по предположению, должна существовать возрастающая после-
последовательность полей (KiH<i<m, промежуточных между Кш N, где мы поло-
положили Ко = К, Кт = N и где поле Zi+1 получается присоединением к Kj
всех корней двучленного уравнения х ' — at = 0 (at €.Kt). Следовательно,
в группе Г существует такая убывающая последовательность (Г;) подгрупп,
для которой Го = Г, Гт = {е} (единичный элемент), Гг+1 является нор-
нормальным делителем в Гг, а факторгруппы Гг/Гг+! цикличны (в этом случае
*) Само понятие поля (как и более общее понятие множества) остается
почти чуждым математической мысли до Кантора и Дедекинда. Абель и Галуа
определяют элементы своих «основных полей» как величины, рационально
выражающиеся через заданные величины, но и не помышляют о рассмотре.
нии в явном виде всего множества этих элементов.

232 исторический;очбрк к главам rv и v
группа Г называется разрешимой). Обратно, если это условие выполнено,
использование подходящей резольвенты Лагранжа показывает, что поле
АГ,-+1 получается присоединением к K-t всех корней некоторого двучленного
уравнения (ср. § 11, теорема 3) и, стало быть, уравнение F (х) = 0 разре-
разрешимо в радикалах *).
Невозможность решить в радикалах «общее» уравнение степени п > 4
следует тогда из того обстоятельства, что группа Г такого уравнения, изо-
изоморфная симметрической группе <Вп (Приложение I, п° 1), не является разре-
разрешимой (ср. гл. I, § 7, упражнение 11).
Как мы уже отмечали (ср. Исторические замечания к гл. I), начиная
с середины XIX века, алгебраисты значительно расширили область своих
исследований, до тех пор почти исключительно посвященных изучению урав-
уравнений. В свете открытий Галуа становится ясным, что задача решения «в ра-
радикалах»— всего лишь частный случай, и притом довольно искусственный,
общей проблемы классификации иррациональностей. Именно ее будут ата-
атаковать с разных сторон в последние десятилетия века, и многочисленные раз-
разрозненные результаты будут накапливаться, подготавливая почву для
синтетической работы Штейница.
В отношении прежде всего алгебраических иррациональностей фунда-
фундаментальный принцип классификации доставила теорема Галуа, сводившая
изучение алгебраического уравнения к изучению его группы. В самом деле,
основным объектом изучения в чистой Алгебре в то время становится теория
групп перестановок, о которой нет нужды говорить здесь подробнее (ср.
Исторические замечания к гл. I). Другие достижения теории алгебраических
полей связаны с развитием в тот же период Теории чисел и Алгебраической
геометрии. Эти достижения, впрочем, относятся главным образом к способу
изложения и по большей части принадлежат Дедекинду (XVIII), который
ввел понятия поля и кольца **), а также (в связи со своими исследованиями
*) Если К не содержит всех корней из единицы, пусть Е — поле, полу-
полученное присоединением к К всех таких корней. Поле Е f\ N является абеле-
вым расширением поля К, откуда (пользуясь теоремой о строении конечных
абелевых групп) без труда выводится, что для разрешимости группы поля, N
над К необходимо и достаточно, чтобы была разрешима группа поля Е (TV)
над Е. Учитывая, что корни из единицы выражаются «в радикалах», мы ви-
видим, что критерий Галуа не зависит от каких бы то ни было предположений
о числовом поле К (и, более общо, остается справедливым для всякого поля
характеристики нуль). В действительности Галуа не накладывает на К ника-
никаких упрощающих ограничений, а проводит индукцию по порядку радикалов,
последовательно присоединяемых к полю К ((XV), стр. 43).
**) Слово «поле» («Когрег».— Прим. перее.) принадлежит самому Деде-
Дедекинду; слово «кольцо» было введено Гильбертом (Дедекинд называл кольца
«порядками»).

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ IV И V 233
по гиперкомплексным системам) систематически развил линейный аспект
теории расширений ((XVIII), т. 3, стр. 33 и далее). Ему также принадлежит
мысль рассматривать группу Галуа как состоящую уже из автоморфизмов-
соответствующего расширения, а не только как группу перестановок корней
уравнения. Он доказывает (для числовых полей) фундаментальнуютеорему
о линейной независимости автоморфизмов ((XVIII), т. 3, стр. 29) и устанавли-
устанавливает существование нормального базиса у всякого расширения Галуа ((XVIII),
т. 2, стр. 433). Наконец, он приступает к задаче описания алгебраических
расширений бесконечной степени, констатирует, что теория Галуа в ее обыч-
обычном виде здесь неприменима (ибо не всякая подгруппа группы Галуа совпа-
совпадает с группой расширения относительно какого-нибудь подрасширения)
и дерзким взлетом интуиции уже предугадывает необходимость рассматри-
рассматривать группу Галуа как топологическую группу *) — идея, которая дости-
достигнет зрелости лишь в 1928 году, когда Крулль разовьет теорию расширений
Галуа бесконечной степени (XXIV),
Параллельно с этим развитием уточняется понятие элемента, трансцен-
трансцендентного над полем. Существование трансцендентных чисел впервые уста-
устанавливает Лиувилль в 1844 году с помощью явной конструкции, основанной
на теории диофантовых приближений (XVIII). В 1874 году Кантор предлагает
новое, «неконструктивное» доказательство, использующее простые соображе-
соображения о мощности множеств (ср. § 3, упражнение 1). Наконец, в 1873 году Эрмит
доказывает трансцендентность числа е, а в 1882 году Линдеманн аналогич-
аналогичным методом устанавливает трансцендентность я, положив конец старинной
задаче о квадратуре круга **).
Что касается роли трансцендентных чисел в алгебраических выкладках,
Кронекер в 1882 году замечает, что если число х трансцендентно над полем К,
то поле К (х) изоморфно полю рациональных дробей К (X) ((Х1Ха), стр. 7).
Впрочем, присоединение переменных к полю становится краеугольным кам-
камнем его изложения теории алгебраических чисел (Х1Ха). С другой стороны,
Дедекинд и Вебер в том же году ((XVIII), т. 1, стр. 238) показывают, как
арифметические методы могут служить для обоснования теории алгебраи-
алгебраических кривых. Так в разных направлениях проявляются аналогии между
Арифметикой и Алгебраической геометрией, которым суждено оказаться
исключительно плодотворными для развития обеих наук.
Во всех этих исследованиях изучаемые поля состоят из «конкретных»
элементов в смысле классической математики — чисел (комплексных) или
функций от комплексных переменных ***). Но уже Кронекер в 1882 году вполне-
*) «Совокупность этих перестановок образует в некотором смысле
непрерывное многообразие —• вопрос, который мы не будем углублять далее».
**) Простые доказательства этих теорем можно найти, например,
в книге: D. Hilbert, Gesammelte Abhandlungen, Berlin (Springer),
1932, v. I, s. 1.
***) Ни Кронекер, ни Дедекинд и Вебер, как н их предшественники, на
самом деле не определяют понятия «алгебраической функции» одной или

234 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ IV и V
•отдает себе отчет в том, что (как неясно предчувствовали Гаусс и Галуа) в его
¦теории «переменные» (indeterminees) играют всего лишь роль базисных эле-
элементов некоторой алгебры, а не переменных (variables) в смысле Анализа
<(Х1Ха), стр. 93—95). В 1887 году он развивает эту идею в связи с обширной
программой, направленной не более и не менее как на преобразование всей
математики в целом с отбрасыванием всего, что нельзя свести к алгебраичес-
алгебраическим операциям над целыми числами (ср. Исторические замечания к Книге I,
гл. IV). Именно по этому поводу, следуя идее Коши (XVI), который опреде-
определил поле С комплексных чисел как поле вычетов R [Х]/(Х2 4- l)i Кронекер
показывает, что теория алгебраических чисел совершенно не зависит от
¦«основной теоремы алгебры» и даже от теории вещественных чисел, ибо всякое
поле алгебраических чисел (конечной степени) изоморфно полю вычетов
¦Q [X]/(f) (/ — неприводимый над Q многочлен) (XIX6). Как замечает Вебер
{XX) через несколько лет, развивая первый набросок аксиоматической теории
полей, этот метод Кронекера в действительности применим к любому основ-
основному полю К. Вебер указывает, в частности, что в качестве К можно взять
поле Z/(p) (p — простое число), вводя тем самым в теорию полей исчисление
сравнений «по модулю р». Последнее зародилось во второй половине XVIII
века в работах Эйлера, Лагранжа, Лежандра и Гаусса, и его аналогия с тео-
теорией алгебраических уравнений неоднократно отмечалась. Развивая эту ана-
аналогию, Галуа (в своих исследованиях по теории групп), не колеблясь, ввел
-«идеальные корнн» сравнения, неприводимого по модулю р *), и указал
их важнейшие свойства ((XV), стр. 15—23) **). Впрочем, применение метода
Кронекера к полю Z/(p) приводит (с точностью до терминологии) к представ-
нескольких комплексных переменных. В действительности правильно опре-
определить «алгебраическую функцию» одной комплексной переменной (в ана-
аналитическом смысле) можно, лишь определив предварительно соответствую-
соответствующую риманову поверхность, тогда как именно введение римановой поверх-
поверхности (чисто алгебраическими средствами) и было целью Дедекинда и Вебера.
¦Этот мнимый порочный круг, разумеется, исчезает, коль скоро поле «алгеб-
«алгебраических функций» определяется как абстрактное алгебраическое расши-
расширение поля рациональных функций. В действительности, только этим опре-
определением и пользуются Дедекинд и Вебер, что вполне узаконивает их
результаты.
*) В рукописи, предположительно датируемой 1799 годом, но опублико-
опубликованной лишь посмертно, Гаусс уже изложил идею введения таких «мни-
«мнимостей» и получил значительную часть результатов Галуа ((XIII), т. II,
стр. 212—240, в особенности стр. 217).
**) Галуа отчетливо сознает формальный характер алгебраических вычис-
вычислений, не колеблясь, например, брать производную от левой части сравнения,
чтобы доказать, что последнее не имеет кратных «мнимых» корней ((XV),
стр. 18). Он подчеркивает, в частности, что теорема о примитивном элементе
справедлива для конечных полей так же, как и для числовых ((XV),
стр. 17, примечание 2), впрочем, не доказывая этого.

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ IV и V 235
лению теории «мнимостей Галуа», уже данному Серре и Дедекиндом ((XVIII),
т. 1, стр. 40).
Ко всем этим примерам «абстрактных полей» в самом конце века приба-
прибавились 'поля нового и совершенно иного типа — поля формальных сте-
степенных рядов, введенные Веронезе (XXI) и особенно />-адические поля Ген-
зеля (XXII). Именно это последнее открытие привело Штейница (по его
собственному свидетельству) к выделению абстрактных понятий, общих всем
этим теориям, в фундаментальном труде (XXIII), который можно рассматри-
рассматривать как зарождение современной концепции Алгебры. Систематически разви-
развивая следствия из аксиом коммутативного поля, Штейниц вводит понятия крат-
кратного поля, сепарабельных (алгебраических) элементов, совершенного поля,
определяет степень трансцендентности расширения и, наконец, доказывает
существование алгебраически замкнутых расширений любого поля.
' В самое последнее время теория Штейница была дополнена в нескольких
важных отношениях. С одной стороны, работы Артина с очевидностью вы-
выявили линейный характер теории Галуа (XXV). С другой стороны, общее
понятие дифференцирования (скопированное с формальных свойств класси-
классического дифференциального исчисления), предвосхищенное Дедекиндом
((XVIII), т. 2, стр. 412) и введенное Штейницем в частном случае поля ра-
рациональных дробей ((XXIII), стр. 209—212), было с успехом использовано
в (важном для современной Алгебраической геометрии) изучении трансцен-
трансцендентных расширений, в частности в обобщении на эти последние понятия
сепарабельности (XXVI).

БИБЛИОГРАФИЯ
(I) О. Neugebauer, Vorlesungen fiber Geschichte der antiken
Mathematik, т. I: Vorgriechische Mathematik, Berlin (Springer),
1934. [Русск. перевод: О. Нейгебауэр, Лекции по истории
античных математических наук, т. I: Догреческая математика,
ОНТИ, М.— Л., 1937.]
(II) Euclidis Elementa, 5 тт., изд. J. L. Heiberg, Lipsiae (Teubner),
1883—1888.
(II bis) T. L. Heath, The thirteen books of Euclid's Elements.., 3 тт.,
Cambridge, 1908.
(III) H. С a r d a n o, Opera, Lyon, 1663.
(IV) R. Bom belli, L'Algebra, Bologne (G. Rossi), 1572.
(V) Francisci Vietae, Opera mathematica..., Lugduni Bata-
vorum (Elzevir), 1646.
(VI) A. G i r a r d, Invention nouvelle en Algebre, Amsterdam, 1629.
(VII) R. Descartes, Geometria, trad, latine de Fr. van Schooten,
2-е изд., 2 тт., Amsterdam (Elzevir), 1659—1661.
(VIII) G. W. Leibniz, Mathematische Schriften, изд. С. I. Gerhardt,
7 тт., Berlin — Halle (Asher — Schmidt), 1849—1863.
(IX) Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathemati-
kern, herausg. von C. I. Gerhardt, т. I, Berlin (Mayer und Mflller),
1899.
(X) L. E u 1 e r, Opera Omnia A), т. VI, Berlin — Leipzig (Teubner),
1921: a) De Formis Radicum Aequationum..., стр. 1 — 19; -6) De
Resolutione Aequationum cujusvis gradus, стр. 170—196.
(XI) J.-L. Lagrange, CEuvres, т. Ill, Paris (Gauthier-Villars) 1869:
a) Reflexiones sur la resolution algebrique des equations, p. 205—
421; 6) Sur la forme des racines imaginaires des equations, стр. 479.
(XII) A. Vandermonde, Memoire sur la resolution des equations,
Hist, de l'Acad. royale des sciences, arm ее 1771, Paris A774),
стр. 365—416.
(XIII) С. F. Gauss, Werke, 1-Х, Gottingen, 1863—1923.
(XIV) N. H. A b e 1, CEuvres, 2 тт., изд. Sylow et Lie, Christiania, 1881.
(XV) E. Galois, CEuvres mathematiques, Paris (Gauthier-Villars),
1897.

БИБЛИОГРАФИЯ
237
(XVI) A.-L. G a u с h у, (Euvres completes A), т. X, Paris (Gauthier-
Villars), 1897, стр. 312 и 351.
(XVII) J. Liouville, Sur des classes tres etendues de quantites dont
la valeurn'est ni algebrique, ni meme reductible a des irrationelles
algebriques, Journ. de Math. A), т. XVI A851), стр. 133.
(XVIII) R. Dedekind, Gesammelte mathematische Werke, 3 тт., Braun-
Braunschweig (Vieweg), 1932.
(XIX) L. К г о n e с к е г: a) Grundziige einer arithmetischen Theorie
der algebraischen Grossen, J. de Crelle, т. XCII A882), стр. 1—122
(-Werke, т. II, Leipzig (Teubner), 1897, стр. 245—387); 6) Ein
Fundamentalsatz der allgemeinen Arithmetik, J. de Crelle, т. С
A887), стр. 490—510 (-Werke, т. III, Leipzig (Teubner), 1899,
стр. 211—240).
(XX) H. Weber, Untersuchungen uber die allgemeinen Grundlagen
der Galois'schen Gleichungstheorie, Math. Ann., т. XLIII A893),
стр. 521—544.
(XXI) G. Veronese, Fondamenti di geometria, Padova, 1891.
(XXII) К. Н e n s e 1, Theorie der algebraischen Zahlen, Leipzig — Berlin
(Teubner), 1908.
(XXIII) E. S t e i n i t z, Algebraische Theorie der Korpern, J. de Crelle,
т. CXXXVII A910), стр. 167-309.
(XXIV) W. К r u 11, Galoische Theorie der unendlichen algebraischen
Erweiterungen, Math. Ann., т. С A928), стр. 687.
(XXV) A. A r t i n, Galois Theory..., Ann. Arbor, 1946.
(XXVI) A. Weil, Foundations of algebraic geometry, Amer. Math. Soc.
Coll. Public, т. XXIX, New York, 1946.

ГЛАВА VI
УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ
§ 1. Упорядоченные группы. Делимость
Понятия и результаты, изложенные в этом параграфе, касаются
изучения отношения порядка в коммутативных моноидах (гл. I,
§ 1, п° 3), важным примером которых являются абелевы группы.
Кроме специально оговариваемых случаев, закон композиции
в изучаемых группах будет записываться аддитивно, как, напри-
например, в применениях к теории интегрирования. С другой стороны,
попутно мы изложим некоторые важные алгебраические прило-
приложения теории упорядоченных моноидов и групп и будем пере-
переводить по мере надобности часть результатов на используемый
в этих приложениях мультипликативный язык.
1. Определение упорядоченных моноидов и групп
Определение 1. Говорят, что на множестве М структура
коммутативного моноида (в аддитивных обозначениях) и струк-
структура порядка (обозначаемая знаком <) согласованы, если они,
удовлетворяют следующей аксиоме:
(УМ) Для любого z?M отношение я<г/ влечет х +z<
< у + г. Множество М, снабженное согласованными структурами
коммутативного моноида и порядка, называется упорядоченным
моноидом; если структура коммутативного моноида яляется
структурой абелевой группы, то М называется упорядоченной
группой.
Аналогично можно определить понятие некоммутативного упоря-
упорядоченного моноида (упражнение 1).

/ УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ. ДЕЛИМОСТЬ 239
Если структура порядка согласована со структурой моноида,
то та же согласованность имеет место и для структуры противо-
противоположного порядка.
Примеры. 1) Аддитивные группы целых рациональных и всех:
рациональных чисел являются упорядоченными группами, если они
снабжены структурами порядка, определенными в гл. I, § 2, п°5
и § 9, п°5. *То же справедливо и для аддитивной группы действитель-
действительных чисел (Общ. топол., гл. IV, § 1, по3).,,.
2) *Аддитивная группа конечных числовых функций, определен-
определенных на множестве Е, является упорядоченной группой со структурой
порядка, определенной отношением «для любого х ? Е, / (х) <; g (г)»,
которое записывается «/ ^ go. Это отношение означает, что график
функции / лежит под графиком функции g; в некоторых случаях чита-
читатель может найти эту графическую интерпретацию удобной.»
Замечание. В главе, посвященной нормированиям, мы уви-
увидим, каким образом некоторые структуры упорядоченной группы,
используемые в алгебре, допускают такую функциональную интер-
интерпретацию.
Согласно общим определениям (Теор., мн. Рез., § 8) взаимна
однозначное отображение / упорядоченного моноида М на упо-
упорядоченный моноид М' называется изоморфизмом М на М', если
структура М' получена переносом структуры М с помощью кано-
канонических продолжений отображения /. Равносильное требование:
/—такое отображение М на М', что / (х + у) = / (х) +/(г/>
(т. е. представление моноида М на моноид М') и что соотноше-
соотношения х < у и / (х) < / (у) эквивалентны (отсюда следует, в частности,
что из / (х) = f (у) вытекает х = у, т. е. / взаимно однозначно).
Предложение 1 («сложение неравенств»). Пусть (xt) и (г/,)
A < i < п) — две последовательности из п элементов, принад-
принадлежащих упорядоченному моноиду М, такие, что для всякого
i хг<г/г; тогда
Если, сверх того, все элементы х,-, yt регулярны (гл. I, § 2, опреде-
определение 4) (в частности, если М — группа) и если существует такое i,
что xt <yi, то xt + ... + хп <у± + ... +уп.
Случай произвольного п получается индукцией из случая
п = 2; в индуктивном доказательстве второго утверждения исполь-
используется тот факт, что сумма регулярных элементов является регу-
регулярным элементом (гл. I, § 2, п° 2, предложение 2). Первое

240 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ ГЛ. VI, § 1
утверждение является следствием соотношений х± -f- х2 < xt -f- у2
и xi +2/2^2/1 +2/2» вытекающих из предположений теоремы
и определения (УМ). Если даже х^ +^2 = 2/t + У2, то xt -f-я2 =
= xi + 7/2 = у 1 + 2/2, откуда при регулярных xt и у2 х2 = Уг
я ii = 2/i' чт0 доказывает второе утверждение.
Предложение 2. Б упорядоченной группе G неравенства
л: < 2/ и я + z < г/ -f z эквивалентны.
В самом деле, от одного к другому можно перейти прибавлением
к обеим частям z или (—z).
Этот факт означает, что в упорядоченной группе структура
лорядка инвариантна относительно сдвигов. Другими словами,
в упорядоченной группе сдвиг является автоморфизмом струк-
структуры порядка.
Следствие. В упорядоченной группе G отношения я<г/, 0<
<г/ — х, х — т/<0и —т/<—х эквивалентны.
Действительно, достаточно применить предложение 2, беря
последовательно z = —х, z = —у и z = — (х -f- У)-
Из этого следствия вытекает, в частности, что если G — упоря-
упорядоченная группа, то отображение х -> —х группы G на себя пре-
преобразует структуру порядка в структуру противоположного
порядка.
2. Предупорядоченпые моноиды и группы
Если отношение х ^ между элементами множества Е рефлек-
рефлексивно и транзитивно, но оно называется отношением предпорядка
на Е (Теор. мн., ч. III). Отношение и^1/иу^я является
отношением эквивалентности S в Е (Теор. мн., Рез., § 6, п° 1),
согласованным с отношением х ^ у. Отношение ^ определяет
на фактормножестве EIS отношение порядка, называемое ассо-
ассоциированным с =^.
Определение 2. Говорят, что на множестве М отношение
предпорядка (обозначаемое ^) и структура коммутативного
моноида согласованы, если они удовлетворяют следующей аксиоме:
(ПУМ) Для любого z ?М, х =^ у влечет х -f- z ^ у -\- z. Мно-
Множество М, снабженное структурой коммутативного моноида
и согласованным с ней отношением предпорядка, называется
предупорядоченным моноидом.

3 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ. ДЕЛИМОСТЬ 241
Пусть М — предупорядоченный моноид и «У — отношение
эквивалентности «х =^ у и у =^ х» . В силу свойства (ПУМ)
отношение х = ж' (mod S) влечет для каждого у ?М отношения
х+У^х' + ув.х' + у4.х+у, т. е. х +у = х' + у (mod S).
Другими словами, отношение эквивалентности S согласовано
со сложением в М (гл. I, § 4, п° 3, определение 4). Тогда MIS
с индуцированным законом сложения и структурой порядка,
ассоциированной с =^, становится упорядоченным моноидом.
В случае, когда М — предупорядоченная группа, MIS является
факторгруппой М по подгруппе М', элементы х которой удовлет-
удовлетворяют соотношениям х =^ t0 и 0 =^ х.
3. Положительные элементы
Пусть G — предупорядоченная группа с отношением предпо-
рядка =4; из отношений 0 =^ ж и 0 =^ у вытекают отношения у =4
=^ х -f- У (с помощью свойства (ПУМ) и 0 =^ х -f- у (по транзи-
транзитивности); это означает, что множество Р тех элементов x?G,
для которых 0 =^ х, замкнуто относительно сложения; кроме
того, отношение х =^ у эквивалентно 0 =^ у — х, т. е. тому, что
у-хер.
Обратно:
Предложение 3. Пусть Р — часть абелевой группы G, содер-
содержащая 0 и такая, что Р -f- Р С Р; тогда отношение у — х ? Р
есть отношение предпорядка, согласованное со структурой груп-
группы G. Для того чтобы это отношение определяло на G структуру
упорядоченной группы, необходимо и достаточно, чтобы Р [")
[") (—Р) = {0}; для того чтобы группа G при этой структуре
была совершенно упорядоченной группой, необходимо и достаточно,
чтобы, кроме того, P\J (-P) = G.
Непосредственно убеждаемся, что отношение у — х ? Р реф-
рефлексивно и транзитивно и (если записать его как ж =^ у) удовлет-
удовлетворяет аксиоме (ПУМ). Чтобы доказать второе утверждение,
достаточно заметить, что множество Р |~) (—Р) является такой
подгруппой G', что для всех ж ? С ж ^ 0 и 0=^ж. Наконец,
совершенная упорядоченность группы G означает, что для любых
элементов х, у ? G один из элементов ж — у, у — ж принадлежит
Р, чем доказательство заканчивается.
16 Н. Бурбаки

242 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ ГЛ. VI, § 1
Определение 3. В упорядоченной группе положительным
(соответственно отрицательным) элементом называют всякий
элемент х, такой что О^х (соответственно
Отметим, что нуль — единственный одновременно положительный
и отрицательный элемент; всякий элемент х, для которого 0 < х
(соответственно х < 0), называется строго положительным (соответ-
(соответственно строго отрицательным).
Пример. Пусть в аддитивной группе Z X Z Р — множество
элементов (х, у), удовлетворяющих двум неравенствам ах -)- by ^ 0,
сх -f- dy !> 0, где а, Ь, с и d — некоторые фиксированные целые числа
(*или действительные числа*) такие, что ad — ЬсфО; «конус» Р удо-
удовлетворяет двум первым условиям предложения 3. Таким образом,
на Z X Z определяются различные структуры порядка, согласован-
согласованные со структурой группы. При любой из этих структур группа
не является совершенно упорядоченной.
Замечание. Используя условие Р+РСР, из отношения
х ~^> 0 можно вывести отношение пх ~^> 0 для каждого целого натураль-
натурального п в упорядоченной группе G. Если к тому же положительный
элемент х группы G имеет конечный порядок п, то и элемент — х =
= (п — 1) х положителен, так как Р |~1 (— Р) = {0}, то х — 0. В част-
частности, если все элементы группы G имеют конечный порядок, то
Р = {0}; отношение х ^ у тогда эквивалентно х = у (дискретная
структура порядка).
4. Фильтрующиеся группы
Говорят, что упорядоченное множество G фильтруется вправо
(соответственно влево) (Теор. мн., Рез., § 6), если для каждой пары
элементов (х, у) множества G существует такой элемент z ? Gt
что ж<ги у<z (соответственно z<a;, z<?/). Каждая упоря-
упорядоченная группа, фильтрующаяся вправо, фильтруется также
влево и обратно: в самом деле, так как существует элемент z ? G,
для которого —?<z и —2/<z, имеем —z<a; и —я<г/ (след-
(следствие предложения 2). Поэтому мы будем говорить просто фильт-
фильтрующаяся группа.
Предложение 4. Для того чтобы упорядоченная группа G
была фильтрующейся, необходимо и достаточно, чтобы она
порождалась своими положительными элементами, другими
словами, чтобы всякий элемент из G был разностью двух положи-
положительных элементов.

5 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ. ДЕЛИМОСТЬ 243
В самом деле, если группа G фильтруется, то для каждого
х ? G существует такой положительный элемент z, что a;<z,
и х есть разность положительных элементов гиг — х. Если,
обратно, х = и — v и у = w — t, где и, v, w, t положительны,
то элемент и -j- w больше хну.
Предложение 5. Пусть (xt) — конечное семейство элементов
фильтрующейся группы G; тогда существует такой элемент z,
что %х A- z положительны для всех i.
Пусть xi = ut — vt, где ut и vt положительны; достаточно
взять в качестве г сумму всех г;г.
5.' Отношения делимости в поле
Мы собираемся определить здесь некоторые упорядоченные
группы, играющие важную роль в Алгебре. В этих группах обычно
используются мультипликативные обозначения; для того чтобы
применить к ним полученные ранее результаты, необходимо,
следовательно, перевести все с аддитивного языка на мультиплика-
мультипликативный, что не составит никакой трудности для читателя. Всюду
ниже А обозначает область целостности с единицей, записывае-
записываемой 1 (т. е. ненулевое коммутативное кольцо с единицей и беэ
делителей нуля; см. гл. I, § 8, п°3); через К обозначается поле
отношений кольца А (гл. I, § 9, п° 4).
В мультипликативной группе К* всех ненулевых элементов
поля К множество Р = А* ненулевых элементов кольца А замкну-
замкнуто относительно умножения, поскольку А не имеет делителей
нуля. Поэтому множество А* определяет на К* отношение пред-
порядка х'1 у ? Р, т. е. «существует элемент z ? А*, для которого
у = zx», превращающее К* в предупорядоченную группу (кото-
(которая записывается мультипликативно) (предложение 3). Распро-
Распространяя на случай, когда х, у ? К*, терминологию, относящуюся
к элементам кольца А (гл. I, § 8, п° 3), отношение х'1 у ? Р можно
прочесть также так: х делит у, или х есть делитель у, или у кратно
х (относительно кольца А); мы будем говорить, что отношение
х~г у ?-Р есть отношение делимости в К* относительно кольца А.
Отношение «а; делит у» мы записываем х \ у, а его отрицание как
х\у. Элементы из А* и только они являются кратными еди-
единицы; они называются иногда целыми элементами в К.
16*

244 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ ГЛ. VI, § i
Замечания. 1) Отношение делимости в К* существенно
зависит от выбора кольца А. Если А — К, то получаем «тривиальное»
отношение, где х | у для каждой пары (х, у) элементов из К. Пусть
р (соответственно q) — простое число; рациональные числа r/s, зна-
знаменатель которых делится на р (соответственно д), образуют под-
кольцо Zp (соответственно Zq) кольца Q; отношения делимости в Q*,
¦соответствующие этим двум кольцам, различны, если рфд; число pjq
кратно 1 для одного кольца, но не для другого.
2) Мы распространяем иногда определение отношения х \ у на пару
элементов из К (а не только из К*); понимая его как синоним утверж-
утверждения «существует такой элемент z ? А, что у = zx»; следовательно,
а; | 0 для каждого х ? К. Это позволяет сформулировать без ограниче-
ограничений следующий результат: если х | у и х \ z, то х | {у — г); если х \ у
и х \ г, то х \ {у — г). Расширим таким же образом соответствующую
терминологию; в частности, будем говорить, что элемент 0 —
целый в К.
Чтобы вывести из отношения делимости отношение порядка
¦(п° 2), нужно перейти к факторгруппе группы К* по подгруппе U
элементов х ? К* таких, что х 11 и 1 | х. Эти элементы являются
в .4* делителями 1, т. е. они обратимы в А; их называют часто
для краткости единицами кольца А. Факторгруппа K*IU будет
тогда упорядоченной группой. Два элемента х и у из К, при-
принадлежащие одному классу по модулю U, называются ассоцииро-
ассоциированными; это означает, что х \ у и у \ х. Если, напротив, х делит у,
но у не делит х, то говорят, что х строго делит у, или что х есть
строгий делитель у, или у строго кратен х.
Отметим, что K*IU является фильтрующейся группой, по-
поскольку К — поле отношений для А (предложение 4).
Утверждение, что два элемента х и у поля К ассоциированы,
в силу транзитивности отношения делимости, означает, что х
и у имеют одно и то же множество кратных в К. В соответствии
с общими определениями (гл. I, § 1, п° 1) для каждого * ? К
символом Ах обозначается множество элементов вида zx, где
2 ? А; множество Ах является подмодулем кольца К, рассматри-
рассматриваемого как .4-модуль. Расширяя терминологию, относящуюся
к случаю, когда х ? А, мы будем называть Ах главным дробным
идеалом поля К относительно кольца А.
Отметим, что если АфК, то главный дробный идеал=?@)
не является идеалом в поле К, рассматриваемом как кольцо.

УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ. ДЕЛИМОСТЬ 245
Главный дробный идеал Ах обозначается также через (ж).
Для противопоставления идеалы кольца А будут называться
целыми. Мы пишем х = О (mod у), если ж ? Ау, и х = х' (mod у),
если 'ж — х'?Ау; если ж ?г ж' (mod у), то za; = zx' (mod гг/),
каков бы ни был элемент z ? К.
Отметим, что из сравнения ж = ж' (mod г/) не следует сравнение
гж = zx' (mod у), по крайней мере если г не целый. Так, в поле Q
относительно Z имеем 4 = 2 (mod 2), но не 2 = 1 (mod 2).
Отношение ж | у, очевидно, эквивалентно включению (ж) ZD (у)-
Отображение ж -> (х) группы К* на множество сГ* ненулевых
главных дробных идеалов поля К определяет, следовательно,
взаимно однозначное отображение факторгруппы K*IU на &*.
Перенося на сР* посредствол! этого отображения структуру груп-
группы К*/U, приходим к определению произведения главных дроб-
дробных идеалов (ж) и (у). Этим произведением является идеал (ху),
зависящий только от (х) и (у). Наделенное таким законом компо-
композиции и отношением порядка (ж) ZD (у) множество сГ* становится
упорядоченной группой, изоморфной K*/U, которую удобно
отождествить с К*IU посредством вышеупомянутого отобра-
отображения.
Отметим, что отношение «ж делит у», которое в случае целых поло-
положительных чисел влечет неравенство х^у, соответствует включению
(ж) 3 (у), то есть идеал (ж) «больше» идеала (у). Чтобы это «обращение
порядка» запомнилось, укажем, например, что 7 имеет «больше»
кратных, чем 91.
Отношение х \ у, распространенное на все элементы поля К,
также эквивалентно включению (х) ID (у) в множестве 3° всех главных
дробных идеалов поля К (в котором @) — наименьший элемент отно-
относительно включения).
Мы вернемся теперь к аддитивной терминологии как в пред-
предшествующих пунктах. Однако после введения аддитивной терми-
терминологии в абзацах, отмеченных знаком (ДЕЛ), будут введены
соответствующие термины, связанные с делимостью. (В этих
абзацах мы сохраняем обозначения этого пункта.)
Для облегчения работы читателя на язык Делимости будут
переведены также некоторые важные результаты. Перевод пред-
предложения 7, например, будет обозначаться так: «Предложение 7
(ДЕЛ)».

246 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ ГЛ. VI, § 1
€. Элементарные операции над упорядоченными
группами
Пусть Н — подгруппа упорядоченной группы G; ясно, что
структура порядка, индуцированная на Н структурой порядка
группы G, согласована с групповой структурой на Н. Всегда
будет предполагаться, что подгруппа Н снабжена этой структурой
порядка, за исключением тех случаев, когда будет оговорено
противное. Если Р — множество положительных элементов
группы G, то множеством положительных элементов подгруппы Н
служит Я(~| Р.
Пусть (Ga) — семейство упорядоченных групп; согласно опре-
определению произведения упорядоченных множеств (Теор. мн.,
гл. III) произведение групп G = HGa снабжено структурой
а
порядка, в которой отношение «(ха) < (уа)>> между двумя элемен-
элементами из G по определению есть синоним выражения «ха <: уа
для любого а». Непосредственно видно, что эта структура порядка
согласована с групповой структурой в G. Наделенная этой струк-
структурой группа G становится упорядоченной группой, которая назы-
называется произведением упорядоченных групп Ga. Положительные
элементы в G — это те элементы, все компоненты которых поло-
положительны. В случае, когда все множители Ga совпадают с одной
и той же упорядоченной группой Н, G является группой Н1
отображений множества индексов I в Н, причем отношение
<</<g» между двумя отображениями множества I в Н означает,
что «/ (а) < g (а) для любого а ? /»; положительные отображения —
это те, которые принимают только положительные значения.
Прямую сумму семейства (Ga) упорядоченных групп определим
как подгруппу их произведения (гл. II, § 1, п° 7).
Пусть (GJtgj — семейство упорядоченных групп, в котором
множество индексов / вполне упорядочено отношением порядка ¦< ;
напомним (Теор. мн., гл. III), что на множестве произведения
6=11^ оно определяет отношение порядка, называемое «лек-
i
сикографическим», при котором отношение «(хь) < (уь) » между
двумя элементами из G по определению является синонимом
выражения «если р — наименьший из таких индексов i, что
xi Ф Уь: то хв <с у,,». Напомним, что произведение вполне упоря-

7 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ. ДЕЛИМОСТЬ 247
доченного семейства совершенно упорядоченных множеств само
совершенно упорядочено посредством лексикографического
порядка. В общем случае отношение лексикографического поряд-
порядка на G согласовано со структурой группы (это проверяется
непосредственно); наделенная этой структурой группа G является
упорядоченной группой, которая называется лексикографическим
произведением вполне упорядоченного семейства упорядоченных
групп (Gt).
Замечания. 1)В случае, встречающемся наиболее часто,
вполне упорядоченным множеством индексов служит конечный интер-
интервал [1, в] множества N.
2) Множество положительных элементов лексикографического
произведения G состоит из 0 и элементов, у которых ненулевая ком-
компонента с наименьшим индексом положительна.
7. Возрастающие представления
упорядоченным групп
Пусть G и G' — две упорядоченные группы; среди предста-
представлений / структуры аддитивной группы G в структуру адцитив-
ной группы G' можно рассматривать возрастающие отображения,
то есть такие, для которых из ж<г/ следует, что /(#)</(#)•
8 силу соотношения f (у — х) = / (у) — / (х) возрастающие
представления группы G в группу G' характеризуются тем, что
при таком представлении образ положительного элемента из G
является положительным элементом в G'. Пусть Р (соответствен-
(соответственно Р') — множество положительных элементов в G (соответствен-
(соответственно в G'); условие возрастания записывается так:
f(P)dP'.
Ясно, что каноническое отображение любой подгруппы группы G
в упорядоченную группу G' и проекция произведения упорядо-
упорядоченных групп на его множители являются возрастающими пред-
представлениями.
Изоморфизм (п° 1) / упорядоченной группы G на упорядочен-
упорядоченную группу G' — это взаимно однозначное представление группы
G на G' такое, что / и представление, обратное к нему, являются
возрастающими. Это записывается так:

248 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ ГЛ. VI, § i
Может случиться, что изоморфизм групповой структуры группы G
па групповую структуру группы G' является возрастающим, в то время
как обратный изоморфизм не является таковым. Так будет, например,
если G = G', / — тождественное отображение группы G на себя и если
Р d Р', но РфР'. В частности, в Z в качестве Р' можно взять множе-
множество (обычных) целых положительных чисел, а в качестве Р — множе-
множество четных положительных чисел.
(ДЕЛ) Пусть К — поле F% (X) рациональных дробей над полем F%
из двух элементов. Отношения делимости относительно колец
^2 [X] ~ А' и Fz [X2, Xs] = А определяют на К* две различные
структуры упорядоченной группы такие, что А С А' (это структуры
упорядоченной группы, поскольку 1 является единственной единицей
как в А, так и в А').
8. Верхняя и нижняя грани
в упорядоченной группе
Напомним (Теор. мн., Рез., § 6, п° 7), что если множество
мажорант части А упорядоченного множества Е (иными словами,
множество таких элементов z ? Е, что ж < z для всех х ? А) допу-
допускает наименьший элемент а, то этот элемент (являющийся тогда
единственным) называется верхней гранью части А. Если А — мно-
множество элементов некоторого семейства (xt)te/ элементов из Е,
его верхняя грань, если она существует, обозначается символом
sup Xi (или sup xt, или просто sup xt). Если речь идет о конечном
семействе (xt) (I <j<n), эта грань обозначается также симво-
символом sup (xi, ..., хп). Нижняя грань определяется аналогичным
образом и обозначается inf. Операции sup и inf ассоциативны
и коммутативны.
Напомним (Теор. мн., гл. III), что если F — часть упорядочен-
упорядоченного множества Е, a (xj — семейство элементов из F, то из существо-
существования верхней грани sup (xj в Е (которую можно обозначать через
sup? (xt)) не следует существование верхней грани семейства xt в F
(которую, если она существует, можно обозначить через supp (xt).
Если каждая из них существует, то sup^; (xj <; supj^); однако
если supE (хь) существует и принадлежит F, то верхняя грань
supp (xt) существует п равна sup^O^). Например, в кольце многочле-
многочленов А — К [X, Y] над полем К главные идеалы АХ и AY относи-
относительно включения имеют верхней гранью идеал АХ + AY во множе-
множестве всех идеалов и кольцо А во множестве главных идеалов кольца А ¦

8 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ. ДЕЛИМОСТЬ 249
(ДЕЛ) Элемент d группы К* называется наибольшим общим
делителем или, короче, н. о. д. семейства (xL) элементов из К*,
если главный дробный идеал (d) является в сР* верхней гранью
(относительно включения) семейства идеалов ((хС)) или, иначе
говоря, если для элемента z ? К* отношение z \ d эквивалентно
тому, что «z | xt для каждого i». Аналогично, элемент т ? К*
называется наименьшим общим кратным, или н. о. к. семейства
(xt), если предел (т) является нижней гранью семейства идеалов
((хь)) в сР*, то есть если соотношение т \ z эквивалентно тому,
что «Xi | z для каждого i». H. о. д. и н. о. к., если они существуют,
определены по модулю подгруппы U единиц К*, то есть всякие
два н. о. д. (или два н. о. к.) данного семейства ассоциированы;
для краткости часто обозначают через н. о. д. (xt) и н. о. к. (xv}
любой н. о. д. из н. о. д. или н. о. к. семейства (х,,), если такие
элементы существуют.
(ДЕЛ) Иногда понятие н. о. д. распространяют и на семейства
(it) таких элементов из К, некоторые из которых могут быть равны
нулю; в этом случае н. о. д. определяется как такой элемент d из К,
что z | d эквивалентно выражению «z \ xL для любого i».
Очевидно, d = 0, если каждый из xt равен нулю; в остальных
случаях d совпадает с н. о. д. ненулевых элементов данного семей-
семейства. Аналогично, н. о. к. семейства, некоторые элементы кото-
которого равны нулю, есть нуль.
В упорядоченной группе G из инвариантности порядка отно-
относительно сдвигов (предложение 2) немедленно следует равенство
sup(z + xl) = z+suv(xl) A)
в том смысле, что каждый раз, когда одна из частей этого равен-
равенства существует, то другая, также существует и равна первой.
Точно так же, поскольку отображение х -*¦ —х преобразует
порядок группы G в противоположный (согласно предложению 2),
получаем
inf (— ач) = — sup Bч) B)
— соотношение, имеющее тот же смысл, что и предыдущее.
Предложение 6. Пусть {ха)а?А, B/в)вев — ^ва семейства
элементов упорядоченной группы G, каждое из которых обладает
верхней гранью. Тогда семейство (ха -\- г/р) (а,р)€^хв также имеет.

250 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ ГЛ. VI, § 1
верхнюю грань, и
sup (ха + г/р) = sup xa + sup г/р.
(а, Р)?АХВ а?А Р?В
Действительно, из неравенств ха -)- г/6<г для любого а и любого
ф следует, что sup (ха) + г/е< z для любого р\ а отсюда sup (жа) +
+ SUP (г/е)<г-
^. Решеточпо-упорядоченные группы
Напомним, что упорядоченное множество, в котором каждая
конечная непустая часть обладает верхней и нижней гранями,
называется решеткой (Теор. мн., Рез., § 6, п° 8). Ясно, что про-
произведение решеточно-упорядоченных групп, в частности, произве-
произведение совершенно упорядоченных групп, является решеточно-упо-
рядоченной группой. В противоположность этому подгруппа реше-
решеточно-упорядоченной группы не обязана быть решеточно-упоря-
решеточно-упорядоченной группой.
Так, в упорядоченной группе Z X Z «вторая биссектриса» (мно-
(множество пар (ге, га') таких, что га + п' = 0) упорядочена дискретно
и, следовательно, не является решеточно-упорядоченной группой.
Аддитивная группа многочленов от одной действительной пере-
переменной (упражнение 2, п° 1) является фильтрующейся группой
(поскольку р (х) и q (х) мажорируются многочленом (р (х)J +
+ (? (х))* + 1)> которая, можно показать, не является решеточно-
упорядоченной группой.
В оставшейся части этого параграфа упорядоченные моноиды
группы, если не оговорено противное, будут предполагаться
¦ешеточ но-упорядоченными.
Читатель заметит, что предложения 7, 10 и 11 справедливы
в любой упорядоченной группе в том смысле, что если одна из верхних
или нижних граней, фигурирующих в формулировке этих предложе-
предложений, существуют, то существует и другая, и высказанные соотношения
имеют место.
Предложение 7. Пусть х и у — элементы решеточно-упоря-
решеточно-упорядоченной группы G; тогда х + у = inf (ж, у) -\- sup (ж, у).
Действительно, согласно соотношениям A) и B), (п° 8),
sup (а —ж, а — i/) = a + sup( — x, —у) = а—'тЦх, у);
«достаточно взять а = х + у.

9 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ. ДЕЛИМОСТЬ 251
Предложение 7 (ДЕЛ). Если оР* — решеточно-упорядоченная
группа, то для любой пары элементов а и Ь из К произведение
наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного
элементов а и Ъ ассоциировано с их произведением аЪ.
Предложение 8. Пусть Р — множество положительных эле-
элементов упорядоченной группы G. Для того чтобы G была
решеточно-упорядочена, необходимо и достаточно, чтобы G =
= Р — Р и, кроме того, чтобы множество Р, наделенное инду-
индуцированным порядком, удовлетворяло одному из следующих
условий:
а) каждая пара элементов из Р имеет в Р верхнюю грань.
б) каждая пара элементов из Р имеет в Р нижнюю грань.
Необходимость этих условий очевидна: действительно, соот-
соотношения G — P—P означают, что G фильтруется (предложение 4);
с другой стороны, поскольку нижняя и верхняя грани в G двух
элементов из Р положительны, то они также лежат в Р.
Обратно, заметим сначала, что в предложении а) (соответ-
(соответственно б)) каждая пара элементов х, у из Р имеет верхнюю
(соответственно нижнюю) грань в G, равную своей верхней
грани а (соответственно своей нижней грани Ъ) в Р. Это оче-
очевидно для а, поскольку каждая мажоранта элементов х и
у положительна.
Пусть теперь z?G — миноранта для х ж у\ тогда существует
такой элемент и^Р, что z-^-u^P, поскольку G = P — Р; однако
элемент т1Р(х-\-и, у-{-и) мажорирует Ъ-{-и и, значит, имеет
вид Ь + с + м(с>0); так как b + с меньше, чем х и у, то с = 0;
значит, iniP(x + u, у + и) = Ъ + и, откуда z + M<b + ", так что
z<b и, следовательно, Ъ является нижней гранью для х и у в G.
Пусть теперь х и у — произвольные элементы из G; мы сдвинем
их в Р: пусть элемент v?P таков, что x-\-v и y-\-v положи-
положительны (предложение 5); по предположению а) (соответственно Ь))
x-\-v и y-\-v допускают верхнюю (соответственно нижнюю) грань
в Р, а значит, и в G, что мы только что проверили. Обратный
сдвиг показывает, что хну допускают верхнюю (соответственно
нижнюю) грань в G; существование одного из двух родов граней
для каждой пары {х, у) влечет существование другого в силу
соотношения B) (п° 8), это доказывает достаточность условий
теоремы.

252 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ ГЛ. VI, § t
10. Теорема о разложении
Теорема 1 (теорема о разложении). Пусть (^j)i^i^p.
и (i/j)i^j^q — две конечные последовательности положительных'
элементов решеточно-упорядоченной группы G такие, что-
р q
2 xi= 2 У}\ тогда существует двойная последовательность-
г=1 j=l
(zu)i^i^v, t^i^q положительных элементов из G такая, что xt~
q v
— 2 zu для каждого i и г/; =2 ZU для каждого /.
1° Докажем сначала теорему при p = q — 2. Пусть х, х', у, у' —
такие положительные элементы из G, что х-\-х' = у-\-у'. Положим:
a = snp@, х — у'). Так как элемент х — у' = у — х' меньше чем х
и у, элементы Ъ = х — а и с = у—а положительны; то же верно-
и для d = a — (ж — у'). Имеем х — а-\-Ь, x' = c-\-d, y = a-\-c,
y' = b + d.
2° Покажем теперь, что если теорема справедлива дляр<С.т
и q = n(m>2, n>2), то она верна и для p = m, q — n. Согласно-
т— 1 п
предположению имеем хт-\- 2 xi= 2 Vj- Поскольку теорема,
верна при р = 2, q = n, существуют две такие конечные последо-
пг-1
вательности (zj), (z)) из п положительных членов, что 2 xi —
п п
— 2 z'h хт= 2 z"i и Vi = 4 + A для 1</<п. С другой стороны,.
поскольку теорема справедлива для р = т — 1 и q = n, сущест-
существует двойная последовательность {uij)i^i^m-i, i^j^n такая, что-
п т—1
Xi~ 2 Щ} для l<i<m— 1 и z'j= 2 ии Для 1</<п. Полагая
3=1 i=l
zV = Uij при l<i</n —1 и zmJ = z'j A </<п), получаем двойную
последовательность, удовлетворяющую условиям теоремы.
3° Меняя роли элементов xt и у\, видим точно так же, что-
если теорема верна для р = т и q<in(m^z, n > 2), то она
справедлива для р = т, q = n. Таким образом, теорема до-
доказывается двойной индукцией, отправляясь от случая

11 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ. ДЕЛИМОСТЬ 253
Следствие. Пусть у, Xi, хг, ...,хп — набор п-{-1 таких по ло-
п
жителъных элементов группы G, что у < 2 хи тогда сущест-
существуют п положительных элементов j/j(l<t<n) таких, что
п
и у= 2 Уг-
il
Достаточно применить теорему 1 к последовательности Xi
и последовательности, состоящей из двух элементов у и z =
П. Положительная и отрицательная части
Определение 4. В решеточно-упорядоченной группе G поло-
положительной частью (соответственно отрицательной частью,
абсолютным значением) элемента x?G называется и обозна-
обозначается через х+ (соответственно х~, \х\) элемент sup (ж, 0)
(соответственно sup (— х, 0), sup (ж, —х)).
Несмотря на свое название, отрицательная часть х~ элемента х
явлнется положительным элементом.
Ясно, что х~ — ( — х)+ и |—ж] = |ж|. Отметим также сле-
следующие формулы, первая из которых есть непосредственное
следствие определений и инвариантности порядка относительно
сдвигов, а вторая выводится из первой при помощи предло-
предложения 7:
sup(a;, y) = x-\-(y — ж)+, inf (x, y) = y — (y — xf. C)
Предложение 9. а) Для каждого элемента х решеточно-
упорядоченной группы G имеют место соотношения: х = х+ — х~
и Ы(х+, х~) = 0.
б) Для каждого представления элемента х в виде разности
двух положительных элементов х = и — v имеют место равен-
равенства: u = x+->rw, v = x~-\-w, где w = mi(u, у). Если, в частности,
inf (и, у) = 0, то и = х+, v = x~.
в) отношение «х < у» эквивалентно «х+ < у+ и х~ > г/~»
г) \х\ =

254 . УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ ГЛ. VI, § 1
д) Каковы бы ни были элементы х и у из G, справедливо
неравенство |# + у|<|#| + |2/| и более общее неравенсто
п п
I 2 xt I 2 \ХЛ ®ля любого конечного семейства (xt) элементов
группы G.
е) Каковы бы ни были элементы х и у из G, справедливо
неравенство \\х\— |y||<|#—у\-
Мы докажем одновременно а) и б). Если х=и — v, где и
и v положительны, то и>ж, значит, и > sup (x, 0) = х+, и элемент
w = u — x+ положителен. С другой стороны,
х+ — a; = sup(a;, 0) — a; = sup(a;—х, —х) = х~,
откуда следует, что х = х+ — х~ и v — x~ = w. Из z ¦< ж" вытекает,
что z<a;+ — х и ж<а:+—z; если, кроме того, z<x+, то элемент
х+ — z положителен, откуда х+*Сх+—z в силу определения ж+.
Итак, z<0, поэтому inf(a;+, x~) = 0, откуда, применяя сдвиг,
inf (и, v) = w.
в) Из соотношения х < у следует, что sup (у, 0) > х
и sup(j/, 0)>0, откуда ж+<г/+; из —у^—х выводим точно
так же х~ > у~. Обратная импликация тотчас же получается
из равенств х = х+ — х~ и у = у+ — у~.
г) Так как ж<ж+ и —аг<ж~, ясно, что
ja;| = sup(a;, —х)^.х+-\-х~.
Обратно, из неравенств а>ж и а>—х в силу в) следует,
что а+>ж+, а+>ж", а~<ж", а~<ж+. Так как элемент а~ поло-
положителен и inf (x+, х~) = 0, два последних неравенства показы-
показывают, что а~ = 0 и а — а+; два первых дают тогда а > sup (ж+, от),
т. е. а больше элемента, равного х+-\-х~, в силу а) и предло-
предложения 7.
д) Из неравенств ж<|а;| и г/<|г/| получаем ж + г/<|а;| + |г/|;
из неравенств —a;<ja:| и —У<|2/| вытекает, что —х — г/<
<|ж| + |г/|, откуда следует первое неравенство. Второе выводится
индукцией по п.
е) Заменяя в д) х и у на у и х—у, приходим к нера-
неравенству
\х\—\у\<\х—у\'>
точно так же \у\ — ]ж|<|г/ — ж | == j гс — у\, откуда получаем
сформулированный результат.

12 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ. ДЕЛИМОСТЬ 255
Замечание. Из в) следует, что соотношение | х [ = 0 влечет
х = 0 (ибо ж+ и х~ положительны); следовательно, неравенство
х ф 0 означает, что | а; | > 0.
Предложение 9 (ДЕЛ). Если группа 9>* главных дробных
идеалов в К решеточно-упорядочена, то каждый элемент х
из К* можно представить в виде x = uv~1, где и uv — некоторые
целые такие, что н. о. д. (и, v) = l. Для любого другого пред-
представления x=u'v'~1 элемента х в виде частного двух целых
имеют место соотношения u' = uw, v' = vw, где w — целый
элемент, равный н. о. д. элементов и' и v'\ в' частностиу
если н. о. д. (и', у') = 1, то и' и v' ассоциированы соответ-
соответственно с и и v.
Такое представление uv~l элемента х из К* часто называете»
несократимой дробью.
12. Независимые элементы
Определение 5. Элементы х и у решеточно-упорядоченной.
группы называются независимыми, если inf(a;, y) = 0.
В некоторых случаях независимыми следует называть два таких
элемента х и у, для которых inf(|a;|, \y\) = 0 (см. Интегр.,
ч. II, § 1) или ввести соответствующую терминологию в теорию-
Делимости. Мы этого здесь не будем делать.
Два независимых элемента обязательно положительны. Поло-
Положительная и отрицательная части элемента х, т. е. элементы
х+ и х~ независимы (предложение 9а)). Говорят, что элементы ж,
семейства (ачХе/ независимы в совокупности, если inf (хь) = 0;
для этого достаточно, чтобы существовала такая конечная часть /
множества /, что соответствующие элементы независимы в сово-
совокупности. Элементы семейства (xt) называются попарно незави-
независимыми, если inf(xt, хк) = 0 для каждой пары (i, к) различных
индексов.
Элементы х^ могут быть независимы в совокупности, но не быть
попарно независимыми.
Если х и у независимы, то говорят также, что х не зависит
от у, или что у не зависит от х.
(ДЕЛ) Элементы х и у в К называются независимыми, если
главные идеалы (х) и (у) независимы в ?Р. Это означает, что

256 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ ГЛ. VI, § 1
единица является н. о. д. элементов жиг/, откуда следует.
что х и у—целые.
Например, числитель и знаменатель несократимой дроби неза-
независимы. Понятия попарно независимых целых элементов и целых
элементов, независимых в совокупности, определяются аналогично.
(ДЕЛ) Независимые элементы х и у часто называют «взаимно
простыми»; условимся избегать этой терминологии, которая при-
приводит к путанице с понятием целого простого элемента (гл. VII,
§ 1, п° 3).
Предложение 10. Пусть х, у, z— три элемента решеточно-
упорядоченной группы; для того чтобы х— z и у — z были неза-
независимы, необходимо и достаточно, чтобы z = inf(;r, у).
Действительно, соотношения z = inf (х, у) и O = inf (х— z,
у— z) эквивалентны.
Предложение 10 (ДЕЛ). Предположим, что множество З3*
решеточно-упорядочено, и пусть а, Ь, с — тройка элементов
из К, причем с Ф 0; для того чтобы ас~~х и be'1 были неза-
независимы, необходимо и достаточно, чтобы элемент с был
наибольшим общим делителем элементов а и Ъ.
Предложение 11. Если х и у — независимые элементы
в решеточно-упорядоченной группе и z > 0, то inf (x, z) =
= inf(a;, y + z).
Действительно, 0 = inf(;r, у), так что z = ini(x-\-z, y-\-z).
Следовательно, отношение «?<ж и ?<z» совпадает с отноше-
отношением «?<ж и ?<ж-} z», а значит, также (поскольку x*Cx-\-z)
с отношением «t^Cx и t^y-{-z».
Следствие 1. Если х и у независимы и ж< y + z (z>0), то
Следствие 2. Если х не зависит от у и z, то х не зависит
также и от y-\-z.
Следствие 3. Пусть xi и (yj) — такие два конечных семей-
семейства элементов решеточно-упорядоченной группы G, что ни
один хг не зависит ни от одного из yt. Тогда а^4-...+?„
не зависит от yt -\-... -\- ут.
Это выводится из следствия 2 индукцией по т и п.
СледствиЕ 4. Каково бы ни было целое га>0, справедливы
равенства (пх)+ = пх+ и (пх)~ — пх~; для каждого n?Z, кроме
того, \пх\ = \п\-\х\.

12 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ. ДЕЛИМОСТЬ 257
Действительно, пх = пх+— пх~, так как элементы х+ и х~
независимы, то независимы также пх+ и пх~ при всех п>0
(следствие 3); первое утверждение следует отсюда в силу пред-
предложения 9а). Второе следует в силу предложения 9а) в случае
п>0; случай п<0 вытекает отсюда с помощью соотношения
—х
— \х I
I
Предложение 11 (ДЕЛ). Предположим, что множество &*
решеточно-упорядочено, и пусть а, Ъ, с— тройка таких целых
элементов в К, что а не зависит от Ъ; тогда всякий н. о. д.
элементов а и с является также и н. о. д. для а и be.
Следствие 1 (ДЕЛ) («лемма Евклида»). Пусть а, Ъ, с —
три целых элемента из К. Если а не зависит от Ъ и делит be,
то а делит с.
Следствие 2 (ДЕЛ). Если х не зависит от у и г, то х
не зависит от yz.
Следствие 3 (ДЕЛ). Пусть (xt) и (у^ — два конечных семей-
семейства целых элементов из К такие, что каждый элемент х-%
не зависит от каждого yj. Тогда произведение элементов х*
не зависит от произведения элементов yj.
Следствие 4 (ДЕЛ). Если d — н. о. д. элементов х и у, то dn —
н. о. д. элементов хп и уп для всякого целого п.
В самом деле, xd'1 и yd'1 — независимые элементы (предложе-
(предложение 10 (ДЕЛ)) и то же самое верно для xnd~n и ynd~n (след-
(следствие 3).
Предложение 12. Пусть хг A < г < п) — п попарно независимых
элементов решеточно-упорядоченной группы. Тогда
... +хп.
Так как элемент ж,- независим от xt -f-. .. +жг-1 при всех
п (следствие 3 предложения 11), это равенство выводится
из формулы u + y = sup(u, o)-j-mf(u, v) (предложение 7) индук-
индукцией по п.
Замечание. Предложение 7 показывает также, что для того,
чтобы х и у были независимы, необходимо и достаточно, чтобы
a;+i/ = sup(a;, у).
Предложение 12 (ДЕЛ). Пусть аг суть п попарно независимых
целых элементов из К. Тогда их произведение а^ ... ап является
н. о. к. элементов аи ..., ап.
17 н. Бурбаки

258 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ ГЛ. VI, § 1
Предложение 13. Пусть в решеточно-упорядоченной группе G
дано множество (ха), допускающее нижнюю (соответственно верх-
верхнюю) грань у и произвольный элемент z?G; тогда множество
(sup (z, ха)) (соответственно (inf (z, xa))) обладает нижней (соот-
(соответственно верхней) гранью, причем имеем соответственно
inf (sup (г, ?a))=sup(z, infa;a), )
\ D)
sup (inf (г, xa)) = int(z, supa;a). '
a a J
В самом деле, sup (z, xa) = z-j-(xa— z)+, поэтому при помощи
сдвига мы можем свести все к случаю z = 0. Другими словами,
достаточно показать, что множество (ж?) обладает нижней гранью,
равной у+. Так как г/<жа, то г/+<ж^ для каждого а (предложе-
(предложение 9в)). Если, обратно, а<ж„ для каждого а, то а<жа + жй
(предложение 9а)); но из ?/<жа следует, что г/~>жп; поэтому
«<Яа + У~ Для каждого а; другими словами, а < у + у~ = у+.
Вторая формула выводится аналогично с заменой sup на inf.
Следствие. Если элемент z решеточно-упорядоченной группы G
не зависит от каждого из элементов ха, образующих семейство
с верхней гранью у, то z не зависит от у.
Это непосредственно вытекает из второй формулы D).
Замечание. Применяя формулы предложения 13 к множеству
из двух элементов х, у, получим следующие формулы, выражающие,
что в решеточно-упорядоченной группе каждая из двух операций
sup и inf дистрибутивна относительно другой:
sup(z, inf (ж, у)) = inf (sup (z, x), sup(x, у)),
inf(z, sup(x, y)) = sup(inf(z, x), inf(z, y)).
Это свойство дистрибутивности является специальным свойством
решеточно-упорядоченных групп; оно не распространяется ни на мно-
множества, ни даже на решеточно-упорядоченные моноиды (см. упраж-
упражнение 24).
13. Экстремальные элементы
Определение 6. Элемент х упорядоченной группы G называет-
называется экстремальным, если он является минимальным в множестве
строго положительных элементов группы G.
Пусть х — экстремальный элемент упорядоченной группы G.
Для всякого положительного элемента у ?G элемент inf (ж, у),

13 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ. ДЕЛИМОСТЬ 259
если он существует, может быть равен только либо х, либо 0.
Таким образом, в решеточно-упорядоченнои группе каждый поло-
положительный элемент либо больше, либо независим с экстремальным
элементом х; в частности, разные экстремальные элементы не-
независимы.
(ДЕЛ) Целый элемент р в К называется экстремальным, если
идеал (р) является экстремальным элементом упорядоченной
группы аГ*. Это означает, что каждый целый элемент, делящий р,
ассоциирован либо с р, либо с 1. Если группа &>* решеточно-
упорядочена, то всякий целый элемент а либо независим с р,
либо кратен р.
Замечание. 1) Тот факт, что целый элемент р является
экстремальным, не означает, что (р)—максимальный идеал кольца А
(см. упражнение 26). 2) В некоторых случаях употребляют вместо
слова экстремальный слово простой (например, для целых рацио-
рациональных чисел см. гл. VII, § 1, п° 4) или слово неприводимый для
полиномов (см. гл. VII, § 1, п° 5).
Предложение 14. Для того чтобы элемент х^>0 структурно-
упорядоченной группы был экстремальным, необходимо и доста-
достаточно, чтобы из отношений «x<y + z, 0<y, 0<z» следовало
отношение «ж <^ у или х <! z».
Если х экстремален, то, как мы только что видели, у либо
больше х, либо не зависит от х; в последнем случае следствие 1
из предложения 11 показывает, что z больше х. Обратно, пред-
предположим, что условие теоремы выполнено: из 0<2/<# выводим,
полагая x=y-\-z (z>0), что либо ж<г/, либо #<z. В первом
случае х = у, во втором #<ж — у, следовательно, j/<0, а значит,
у = 0; это показывает, что х действительно экстремальный.
Отметим, что мы не пользовались решеточной упорядоченностью
группы G при доказательстве достаточности условия.
Предложение 14 (ДЕЛ). Пусть &* — решеточно-упорядочен-
ная группа. Необходимое и достаточное условие экстремальности
целого элемента р^К заключается в том, что р должен быть
отличен от единицы, и если р делит произведение двух целых
элементов, то р делит хотя бы один из них.
Предложение 15. Пусть С — подгруппа решеточно-упорядо-
решеточно-упорядоченнои группы G, порожденная множеством (j5t)iej попарно раз-
различных экстремальных элементов группы G. Каждый элемент
17*

260 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ ГЛ. VI, § 1
х ? G' можно однозначно представить в виде х = 2 ЩРп где щ —
i
целые рациональные числа, отличные от нуля только для конеч-
конечного числа индексов. Для того чтобы элемент х был положи-
положительным, необходимо и достаточно, чтобы все щ были положи-
положительными.
Ясно, что G' — множество элементов из G, представленных
в виде 2 niPi- Предположим, что 2niA>0- Перенося в правую
i
часть все члены с коэффициентами щ -< 0, получаем соотношение
вида
miPi + • •. + тТрТ > nfl! + ... + nsqs,
где г>0, s>0 и pi, qj составляют множество из г + s различных
экстремальных элементов; следствие 3 предложения 11 показывает
тогда, что правая и левая части неравенства независимы, и сле-
следовательно, s = 0. Отсюда видно, что из соотношения 2niA>0
следует положительность пь для всех i. Поэтому из равенства
2ntpt = 0 вытекает одновременно, что nt>0 и nt<0 для всех i,
т. е. щ = 0, и это завершает доказательство.
Этот результат означает, что упорядоченная группа G' изо-
изоморфна группе ZW — прямой сумме упорядоченных групп Z (п° 6).
Упорядоченные группы ZW можно охарактеризовать следующим
способом:
Теорема 2. Для того чтобы упорядоченная группа G была
изоморфна прямой сумме групп Z (упорядоченных обычным обра-
образом) необходимо и достаточно, чтобы она была решеточно-упо-
рядочена и удовлетворяла следующему условию:
(МИН) Каждое непустое множество положительных элемен-
элементов группы G, наделенное отношением порядка, индуцированным
отношением порядка в группе G, содержит минимальный элемент.
Покажем сначала, что группа ZW решеточно-упорядочена
и удовлетворяет условию (МИН). Она является решеточно-упоря-
доченной группой, поскольку это прямая сумма совершенно упо-
упорядоченных групп. С другой стороны, пусть Е— непустое множе-
множество положительных элементов из ZW; пусть x=2niei — любой
элемент множества Е [(et) — канонический базис группы
Число положительных элементов у ? Z№, которые меньше х, конеч-

13 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ. ДЕЛИМОСТЬ 261
но и равно n(«t + l) (лишь конечное число множителей в этом
i
произведении отлично от единицы). Следовательно, множество F
элеме'нтов из Е, меньших х, и подавно конечно; так как оно
непусто, оно содержит минимальный элемент у (Теор. мн., гл. III),
который является, очевидно, минимальным элементом в Е.
Предположим наоборот, что условие (МИН) удовлетворено.
Сначала докажем следующую лемму:
Лемма. Пусть G — упорядоченная группа, удовлетворяющая
условию (МИН). Для каждого элемента х >0 из G существует
экстремальный элемент р ? G такой, что р < х.
В самом деле, множество положительных элементов группы G,
меньших х, непусто и обладает минимальным элементом р, кото-
который, очевидно, будет экстремальным в группе G.
Приняв это во внимание, вернемся к доказательству теоре-
теоремы 2. Чтобы применить предложение 15, нам достаточно показать,
что группа G порождается своими экстремальными элементами.
Так как G — фильтрующаяся группа, то достаточно показать
(предложение 4), что каждый элемент х >0 в группе G является
суммой экстремальных элементов. Для этого рассмотрим мно-
множество Е тех положительных элементов у ? G, которые предста-
вимы в форме у = х— (р4 + . . . -f- pn), где pt — экстремальные
элементы группы G, не обязательно различные. Так как х >0,
то в силу леммы множество Е не пусто. Следовательно, Е содер-
содержит некоторый минимальный элемент q в силу свойства (МИН).
В случае q Ф О, элемент q в силу леммы был бы больше некоторого
экстремального элемента р' группы G и элемент q — р' принадле-
принадлежал бы Е, что противоречит минимальности q в Е. Следователь-
Следовательно, q = 0 и х = pi +... -\- рп, что и требовалось доказать.
Теорема 2 найдет в дальнейшем применение в теории Делимости
в кольцах главных идеалов (гл. VII, § 1, п° 2) и в кольцах частных
(Вторая часть, глава, относящаяся к нормированиям) и в изучении
идеалов дедекиндовых колец (там же).
Упражнения. 1) Упорядоченный некоммутативный моноид
М есть моноид (записываемый мультипликативно), снабженный такой
структурой порядка, что отношение х <; у влечет zx <; zy и xz < yz
для каждого z ? М. Пусть G — упорядоченная некоммутативная
группа. Доказать следующие утверждения:
а) Пусть Р — множество элементов, больших чем нейтральный
элемент е ? G, тогда Р-Р — Р, Р f) Р'1 = {<>}, и аРаГ1 = Р для

262 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ ГЛ. VI, § 1
каждого а ? G. Обратить утверждение. Найти условие для совершен-
совершенной упорядоченности группы G.
б) Если один из элементов sup (х, у), inf (ж, у) существует, то дру-
другой также существует и sup (x, у) = х (inf (x, у))-х = у (inf (x, у)) х.
в) Элементы sup (x, е) и sup (зг1, е) перестановочны. Два незави-
независимых элемента перестановочны.
г) Подгруппа G', порожденная экстремальными элементами груп-
группы G, коммутативна. Отсюда следует, что если выполнены условия
теоремы 2, то G — коммутативная группа.
2) Пусть Е — решетка, на которой задан закон композиции
(х, у) -* ху (не обязательно ассоциативный) такой, что для каждого
а ? Е отображения х ->• ах и х -* ха являются изоморфизмами упорядо-
упорядоченного множества Е на себя. Обозначим через ха (соответственно ах)
элемент из Е, определенный равенством (ха) а = х (соответственно
а (ах) ~ х)< и предположим, что отображения х -* ахп х -+ ха являют-
являются изоморфизмами упорядоченного множества Е на множество Е,
снабженное противоположным порядком. Показать, что при этих
условиях для любых х, у, z имеет место равенство
' У)-
3) Пусть G — упорядоченная группа, множество Р положитель-
положительных элементов которой не сводится к нулю. Показать, что G беско-
бесконечна и не может обладать ни наибольшим, ни наименьшим элементами.
4) Пусть G — упорядоченная группа, Р — множество положи-
положительных элементов группы G, f — каноническое отображение группы G
на факторгруппу G/H. Для того чтобы множество / (Р) определяло
на G/H структуру упорядоченной группы, необходимо и достаточно,
чтобы из условий 0<j<nifff следовало, что у ? Н. Тогда Я
называется изолированной подгруппой группы G, и G/H рассматри-
рассматривается как упорядоченная группа. Если G к тому же решеточно-
упорядочена, то для того, чтобы G/H была группой-решеткой, необ-
необходимо и достаточно, чтобы из соотношений | у | < | х | и х ? Н
вытекало, что у ? Н. Показать, что этот факт равносилен тому, что
Я — изолированная и фильтрующаяся подгруппа. Показать, что
упорядоченная группа G, не имеющая других изолированных под-
подгрупп, кроме себя и {0}, является совершенно упорядоченной (рас-
(рассмотреть изолированные подгруппы, порожденные двумя положи-
положительными элементами из G); *вывести отсюда (Общ. топол., гл. V,
§ 3, упражнение 1), что G изоморфна тогда подгруппе аддитивной
группы действительных чисел.
5) Дать пример упорядоченной группы с недискретным отноше-
отношением порядка, обладающей ненулевыми элементами конечного поряд-
порядка (взять факторгруппу подходящей упорядоченной группы G по такой
подгруппе Н, что Р П В = {О}).
6) Пусть G — упорядоченная группа, Р — множество ее положи-
положительных элементов. Показать, что Р — Р является наибольшей

УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ. ДЕЛИМОСТЬ 263
фильтрующейся подгруппой группы G и что это изолированная под-
подгруппа. Каково отношение порядка в факторгруппе?
7) Если в группе Z в качестве множества положительных эле-
элементов взять множество, состоящее из нуля и целых чисел ]> 2,
то полученная упорядоченная группа будет фильтрующейся, но не
решеточно-упорядоченной. (Показать, что множество тех х, для кото-
которых х ~^> О и х ^. 1, обладает двумя разными минимальными эле-
элементами.)
8) Пусть х — такой элемент упорядоченной группы, что суще-
существует у = inf (х, 0); тогда для любого целого числа п > 0 из пх ^ CL
вытекает, что х ;> 0 (имеем пу = inf (пх, (п — 1) х, . . . , 0) >
> inf ((« — 1) х, . . . , 0) = (re — 1) у); следовательно, равенство
пх = 0 влечет х = 0.
9) Показать, что в решеточно-упорядоченной группе сумма вся-
всякого семейства (На) изолированных и фильтрующихся подгрупп
является изолированной и фильтрующейся подгруппой. (Использо-
(Использовать следствие теоремы 1.)
10) Показать, что в решеточно-упорядоченной группе G для каж-
каждой конечной последовательности элементов (ж;) A -^ I ^ ге) из G спра-
справедливо соотношение
X 2 inf^, ..., Ж{ )+... + (-l)n+1 inf(Ж1, ..., Ж„).
il<i2<---<*p
^Рассуждать по индукции, отправляясь от предложения 7 и исполь-
используя дистрибутивность операции sup относительно операции inf.)
11) Пусть (xi) — семейство из п элементов в решеточно-упорядо-
решеточно-упорядоченной группе G; для каждого целого к A <! А; < ге) через d^ (соот-
(соответственно /Kfc) обозначим нижнюю (соответственно верхнюю) грань
Г п\
-сумм к различных элементов xt; число таких сумм равно ( , 1 .
Показать, что
h:=Xi + Xz+ ... +Хп.
12) Подгруппа Н решеточно-упорядоченяой группы G называется
ко решеточно-упорядоченной, если для каждой пары элементов х, у?Н,
также sup (ж, у)?Н (эта верхняя грань, следовательно, совпадает
G
с sup (ж, у)),
н
а) Если G = QxQxQ (группа Q упорядочена обычным образом),
то подгруппа Н тех элементов (х, у, г), для которых z=x-\-y реше-
точно-упорядочена, но не корешеточно упорядочена.
б) Каждая изолированная (упражнение 4) фильтрующаяся под-
подгруппа решеточяо-упорядочеяяой группы является корешеточяо-
упорядоченяой.

264 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ ГЛ. VI, § t
в) Пусть G—решеточно-упорядоченная группа, Н—некоторая
подгруппа в G, Н'—множество нижних граней конечных частей
из Н и Н"—множество верхних граней конечных частей из Я'.
Показать, что Н" — наименьшая корешеточно-упорядоченная под-
подгруппа, содержащая Н (использун замечание к предложению 3).
13) Говорят, что моноид М полурешеточно-упорядочен снизу (или,
для краткости, полурешеточно-упорядочен), если М—упорядоченный
моноид, inf (х, у) существует для любой пары ж, у элементов из М
и если inf (ж+z, j/-j-z)== inf (ж, */) + z для любых ж, y,z?M. Доказать,
что тогда справедливы тождества
inf (ж, z) + inf (у, z)=inf (ж+г/, z + inf(i, у, z)),
inf (ж, у, z) + inf (ж + г/, y + z, z+:E) = inf (ж, у) + Ш{у, z)+inf(z, ж).
С помощью первого тождества доказать, что из неравенств ж<^г
и г/<г следует, что ж + г/<г + inf (ж, у).
Показать, что предложение 11 и его следствие имеют место
в полурешеточно-упорядоченных моноидах, обладающих нейтраль-
нейтральным элементом.
14) Показать, что в полурешеточно-упорядоченных моноидах
имеет место неравенство
для любых конечных последовательностей (ж^) и (г//), состоящих
каждая из п элементов.
Вывести из этого, что в решеточно-упорядоченной группе выпол-
выполняются неравенства
(а; + г/)+<ж+ + г/+; | х+-у+ |< | х — у \.
15)-Показать, что в решеточно-упорядоченяой группе справед-
справедливо тождество
|х+-|гЧ + |х—-|Г|=|х-у|.
(Заметить, что ж — г/< | ж—у\ и | ж| — | у |< | ж — у |.)
16) Показать, что в полурешеточно-упорядоченном моноиде
выполняется соотношение
/г inf (ж, у) + inf (nx, ny) = 2niai (ж, у) (сравни упражнение 8).
Доказать, что in! (nx, ny) = n inf (x, у), если inf (x, у)— регулярный
элемент.
17) Пусть jlf — полурешеточно-упорядоченный моноид, облада-
обладающий нейтральным элементом нуль, и ж, у, z, t g M таковы, что
z > 0, t ;> 0. Доказать неравенство
тЦж + г, i/ + *) + inf (ж, y)>inf (ж + z, y) + ml(x, y + i).
18) Пусть (Gt)t?/ —семейство совершенно упорядоченных групп с
совершенно упорядоченным множеством индексов /; на группе G',
являющейся прямой суммой групп Gv определим структуру упоря-
упорядоченной группы, беря в качестве положительных элементов группы

УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ. ДЕЛИМОСТЬ 265
С множество таких (х,), что хь>0 для наименьшего индекса i
с ненулевым хь. Показать, что группа С, снабженная этой структу-
структурой, является совершенно упорядоченной группой.
19) Пусть G—аддитивная группа, (Ра)~ семейство частей в G
таких, что Ра+Р«сРа и Ра П (—ра) = {0}; пусть Ga —упорядо-
—упорядоченная группа, получающаяся, если в качестве положительных
элементов взято множество Ра. Положим Р=[\Ра. Показать, что
а
P-\-PdP я ?П (—Р) = {0}. Показать, что упорядоченная группа Я,
получающаяся наделением группы G отношением порядка с множе-
множеством Р положительных элементов, изоморфна диагонали произведе-
произведения групп Ga.
20) Пусть G — аддитивная группа, Р—часть в G, удовлетворяю-
удовлетворяющая условиям: i°P-\-P = P, 2°Pf\ (—Р) = {0}, 3° для каждого
целого п из включения пх?Р следует, что х ? Р (условие С)).
а) Показать, что для элемента a?G такого, что а?Р, существует
часть Р' в G, удовлетворяющая условию (С) в) и такая, что РаР'
и —а?Р' (в качестве Р' взять множество тех x?G, для которых
существуют два целых числа m > 0 и л > 0 и элемент у g P, удовле-
удовлетворяющие равенству тх=—па-{-у).
б) Вывести из а), что Р является пересечением тех частей TdG,
для которых выполняются равенства; Т + Т = Т, Т[)(—Т) = {0},
Т U (—T) = G (иными словами, тех частей, которые определяют на G
структуру совершенно упорядоченной группы) и которые содержат Р.
(Использовать теорему Цорна.)
в) В частности, если G — аддитивная группа, в которой все не-
ненулевые элементы имеют бесконечный порядок, то пересечение
всех таких частей Т, для которых Г + Г = Г, Tf|(—Г) = {0}
и Т U (—T) = G, сводится к 0.
*21) Упорядоченная группа называется решеточно-упорядочивае-
мой, если она изоморфна подгруппе решеточно-упорядоченной груп-
группы. Показать, что для решеточной упорядочиваемости группы G
необходимо и достаточно, чтобы для каждого целого п > 0 из не-
неравенства пх^-0 следовало бы, что ж!!>0 (для доказательства доста-
достаточности использовать упражнение 206) и 19). Показать, что каждая
решеточно-упорядочиваемая группа изоморфна подгруппе произведе-
произведения совершенно упорядоченных групп.
22) Пусть G — решеточно-упорядочиваемая группа (рассматривае-
(рассматриваемая как Z-модуль) и Е—векторное пространство G<q) (гл. III, § 2);
показать, что на аддитивной группе Е можно однозначно определить
структуру порядка, согласованную с групповой структурой на Е
и индуцирующую на G данную структуру порядка. Пространство Е,
наделенное этой структурой, является решеточно-упорядочиваемой
группой.
23) Пусть G — решеточно-упорядоченная группа Z x Z {Z наделена
обычной структурой порядка) и Н—изолированная подгруппа в G,

266 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ ГЛ. VI, § 1
порожденная элементом B, —3); показать, что упорядоченная груп-
группа G/U не является решеточно-упорядоченной (см. упражнение 4).
24) Пусть А—коммутативное кольцо, а / — множество всех его
идеалов; произведением об двух идеалов а и Б назовем идеал, образо-
образованный конечными суммами 2 аг&ь где at?a и 6jgb. Показать,
что а (Б + f) = ab + of; иначе говоря, множество /, наделенное отно-
отношением порядка а ГО Б и законом композиции (а, Б) —*¦ аБ, является
полурешеточно-упорядочепным моноидом (упражнение 13), причем
верхней гранью элементов а и Ъ является идеал а + Ь, а нижней
гранью — а р| Ь.
Пусть К— некоторое поле, А=К [X, Y] — кольцо многочленов
от двух переменных над К. В кольце А рассмотрим главные идеалы
¦а=(Х), Ь = (У) и f = (X+Y); показать, что
(а П b) + f ф (а + 0 П (Ь + f), (а+Ь) П f Ф (а П f) + (& П f).
(а П Б) (о + Ь) # (а (о + Ь)) П (Ь (а+Ь)).
*25) Пусть /—полурешеточно-упорядоченный моноид идеалов
коммутативного кольца А (упражнение 24). Для того чтобы конечная
система сравнений ж = а;(а;) имела решение каждый раз, когда
любые два из этих сравнений имеют общее решение (т. е. если
щ == a,j (ai-\-aj) для каждой пары индексов i, /'), необходимо и доста-
достаточно, чтобы в / каждая из двух операций (о, Б) —>¦ о f\ Б и (а, Ь) —*-
~»-а + Ь была дистрибутивна относительно другой («китайская тео-
теорема»). Доказательство можно провести следующим образом:
а) Если (aj П аг) + (а1 П °з) = а1 П (а2 + аз) и если каждые два
из трех сравнений ж = аг(ог) (? = 1, 2, 3) имеют общее решение,
тогда все три сравнения имеют общее решение (пусть Ж12—общее
решение сравнений x^ai(ai) и х = а2(а2), х^—общее решение
сравнений i s «i(a() и х=а3(а3); показать, что сравнения х =
= ж12(а1 П аг) и я = ?]з(а1 П аз) имеют общее решение).
б) Если каждая система трех сравнений, любые два из которых
имеют общее решение, сама обладает общим решением, то выпол-
выполняются законы дистрибутивности:
и « П (» + {) = (« ПЬ) + (а ПО-
(Для доказательства первого равенства заметить, что для каждого
элемента х g (a+T>) f] (a+f) существует такой у, что yCbflf.
у = х (о). Для доказательства второго соотношения заметить, что
для каждого элемента х?а{\(Ь-\-\) существует такой элемент
у ? а Г) Ь, что у = х (f).) Отметим, что в силу а) и б) вторая формула
дистрибутивности влечет первую.
в) Доказать «китайскую теорему» индукцией по числу рассма-
рассматриваемых сравнений методом, аналогичным методу доказательства
лредложеяия а).

УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ. ДЕЛИМОСТЬ 267
26) Показать, что в моноиде идеалов кольца многочленов К[Х, Y]
(где К—поле) идеал (Ж) удовлетворяет условию предложения 14,
но не является максимальным.
27) Пусть А—кольцо, являющееся квадратичным расширением
кольца Z с базисом A, е), где е2=—5.
Показать, что А является областью целостности; в этом кольце
9 = 3-3 = B + е) B — е); показать, что 3, 2 + е, 2-е являются экст-
экстремальными элементами кольца А, не удовлетворяющими условию
предложения 14 (ДЕЛ).
*28) Пусть G — решеточно-упорядоченная группа, Р— множество
ее положительных элементов. Два элемента х, у?Р называются
эквивалентными, если каждый элемент, независимый с первым, не
зависит и от второго; классы эквивалентности, соответствующие
этому отношению, называются нитями в Р; через х обозначим яить,
содержащую х.
а) Пусть а и Ъ—две нити; пусть х, х^—два элемента из а
и У> Vi—Два элемента из Ь; показать, что если каждый элемент,
не зависящий от х, не зависит от у, то каждый элемент, не зави-
зависящий от xi, не зависит от у^. Таким образом определяется отно-
отношение между а и Ъ, которое обозначается а > Ъ; показать, что оно
является отношением порядка на множестве F нитей.
б) Показать, что при так определенном отношении порядка F
является решеткой и что
inf (a, 6) = inf(a, 6), sup (a, fc) = sup(a, Ь) = а-\-Ь.
(Использовать следствие 2 предложения 11.) Показать, что наимень-
наименьшим элементом в F является нить 0={0}.
в) Две нити а и b называются независимыми, если inf (a, Ь)=0.
Показать, что если а и Ъ—две нити фО я если а<^_Ь, то сущест-
существует нить с Ф 0, независимая сей такая, что с< 6.
г) Нить т фО называется экстремальной, если она являет-
является минимальным элементом множества отличных от 0 нитей. Пока-
Показать, что экстремальная нить совершенно упорядочена (пусть а
и b—два элемента из т; рассмотреть яити, которым принадлежат
элементы a —inf (в, Ъ) и 6—inf (в, Ь) и использовать б)). Показать,
кроме того, что объединение нитей т, —т и {0} является совер-
совершенно упорядоченной подгруппой Н (т) в G.
д) Пусть дано семейство (mt) экстремальных нитей в G; пока-
показать, что подгруппа Н, порожденная объединением нитей »н, изо-
изоморфна прямой сумме (п° 6) групп Н (т{) (свести к случаю конечного
семейства, а затем провести индукцию).

;упорядоченные группы и поля гл. vi, § 1
е) Показать, что в произведении (соответственно в прямой сум-
сумме) совершенно упорядоченных групп элементами экстремальных
нитей являются в точности те, у которых все координаты, кроме-
одной (которая >0), равны нулю. Отсюда следует, что упорядо-
упорядоченная группа может быть только одним способом представлена
в виде произведения (соответственно прямой суммы) совершенно"
упорядоченных групп (иначе говоря, множители определены одно-
однозначно).
29) Упорядоченная группа G называется вполне решеточно-упо-
рядоченной, если она решеточно-упорядочена и если каждая мажо-
мажорируемая часть в G допускает в G верхнюю грань.
а) Показать, что для полной решеточной упорядоченности филь-
фильтрующейся группы G необходимо и достаточно, чтобы каждая часть
из множества положительных элементов Р группы G имела верхнюю-
грань в Р.
б) Произведение вполве решеточно-упорндоченных групп есть-
вполне решеточно-упорядоченная группа.
в) Каждая изолированная подгруппа вполне решеточно-упоря-
доченяой группы вполне решеточно-упорядочена.
30) В упорядоченной группе G для каждой части А в G обозна-
обозначим символом т (А) (соответственно М (А)) множество минорант
(соответственно мажорант) части А в G; тогда т(А)=—М(—А).
а) Отношение А с В влечет т (В) dm (А) и М (т (А)) аМ(т (В)).
б) Имеют место включения Ас: М (т (А)) и М (т(М {А)))=М (А).
в) Пусть А1 — семейство частей из G; тогда
г) Каждое множество М (В), где В—мажорируемая непустая
часть в G, называется высшим множеством в G. Для каждой мино-
рируемой непустой части А в множество GM(m(A)) является наи-
наименьшим высшим множеством, содержащим А; его обозначают через
(-4), если Ad В, то {А) а (В); если А имеет верхнюю грань а в G,
то (Л)=М(а); последнее множество обозначает также {а).'
д) Если А и В — две непустые минорируемые части в G, то
(А-\-В) — {(А)-{-(В)). Отсюда следует, что в множестве 332 (G) выс-
высших множеств из G отображение (А, В)-> (А-\-В) является ассо-
ассоциативным и коммутативным законом композиции, для которого
@>=Р—нейтральный элемент, причем отношение порядка 4э5
согласовано с этим законом композиции. Множество 5W (G), наделен-
наделенное этой структурой, является полурешеточно-упорядоченным
моноидом, если G—фильтрующаяся группа. Кроме того, отображе-
отображение х -*¦ (х) группы G в ЭК (G) является изоморфизмом упорядочен-
упорядоченной группы G на некоторую подгруппу моноида ЭИ (G).
е) Если элемент А из моноида ЭК (G) симметризуем относительно
закона композиции в этом моноиде, то симметричным к нему служит

УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ. ДЕЛИМОСТЬ 269
М(—Л)=—т(А). (Заметить, что если В симметричен с А, то
B(ZM(—A) a A+M(~A)d{0), откуда (А+В) = (А+М (—А)).)
* 31) Упорядоченная группа G называется архимедовой, если
единственными элементами x?G, для которых множество кратных
пх (л —целые >0) является минорируемым, будут положительные
элементы в G.
а) Для того чтобы моноид 9J! (G) высших множеств упорядочен-
упорядоченной группы G был группой, необходимо и достаточно, чтобы группа
G была архимедовой (использовать упражнение ЗОг)); Ш (G) тогда
вполне решеточно-упорядочена.
б) Вывести отсюда, что для того, чтобы упорядоченная группа G
была изоморфна подгруппе вполне решеточно-упорядоченной группы,
необходимо и достаточно, чтобы- G была архимедовой.
* 32) а) Пусть G — вполне решеточно-упорндоченная группа
и Я—подгруппа в G. Для каждого высшего множества А в группе
Я через хд обозначим нижнюю грань А в G. Показать, что отобра-
отображение А -* хд множества Ш (Я) в группу G взаимно однозначно.
(Установить, что Л—множество тех элементов у ? H, для которых
3) > *А-)
б) Обозначим через (В), где В—минорируемая часть в Я, выс-
высшее множество, порожденное частью В в Я (элемент множества
9Л (Я)). Пусть для каждой части В в Н, минорируемой в Н, спра-
справедливо соотношение inlB = ini(B) (нижние грани берутся в G);
показать, что в этом случае отображение А -* хд является изомор-
изоморфизмом вполне решеточно-упорядоченной группы 50? (Я) на некото-
некоторую подгруппу группы G (см. упражнение ЗОд)).
в) Пусть каждый элемент группы G является нижней гранью
некоторой части в Я; показать, что в этом случае для каждой
минорирующей в Я части В СГ Я выполняется равенство \а1В =
= inf {В) (нижние грани берутся в G). (Заметить, что это равенство
справедливо при условии inf В ? Н; в общем случае рассмотреть
такой элемент х g G, что z+inf .6 € ТУ. т. е. являющийся нижней
гранью некоторой части в Н, а дальше использовать упражне-
упражнение ЗОд).)
г) Пусть G — вполне решоточно-упорядоченнаягруппа Z X Z x R,
6>0—иррациональное число, и пусть Н—подгруппа, состоящая
из таких элементов (х, у, z), что 9 (z— x)-\-y = 0. Показать, что не
существует никакого изоморфизма вполне решеточно-упорядоченной
группы §№ (Я) на подгруппу группы G, сводящегося к "тождествен-
"тождественному отображению на Я. (Показать, что группа ЗК (Я) изоморфна
К= ZX.R; рассмотреть в К подгруппу, состоящую из тех и, для
которых для каждого целого п>0 существует элемент v ? ? с nv =
= м, и аналогичную подгруппу в G.)
33) а) Для того чтобы совершенно упорядоченная группа была
архимедовой, необходимо и достаточно, чтобы для каждой пары

УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ ГЛ. VI, § 1
элементов х^>0, у^>0, принадлежащих G, существовало целое
п > 0 такое, что у ^ пх.
б) Всякая совершенно упорядоченная п вполне решеточно-упо-
решеточно-упорядоченная группа G изоморфна либо {0}, либо Z, либо R (отбросив
два первых случая, возьмем а>0 в С и поставим в соответствие
каждому элементу х ? G нижнюю грань тех рациояальных чисел
р/д, для которых дх^.ра).
в) Вывести отсюда, что каждая совершенно упорядоченная архи-
архимедова группа изоморфна подгруппе группы R. (Заметить, что мно-
множество ЭК (G) совершенно упорядочено.)
г) Лексикографическое произведение Z x Z не является архи-
архимедовой группой.
34) Пусть G = ZN—произведение несчетного семейства совершен-
совершенно упорядоченных групп Z, H = 2^ — изолированная и фильтрую-
фильтрующаяся подгруппа в G — прямая сумма множителей группы С.
Показать, что решеточно-упорядоченная группа G/H (упражнение 4)
не может быть архимедовой, хотя G и Н вполне решеточно-упоря-
дочены. (Доказать, что для всякого элемента г ? G/H последователь-
последовательность пг (п—целые >0) является минорируемой в GjH.)
*35) Высшее множество А в упорядоченной группе G называется
множеством конечного типа, если существует такое конечное мно-
множество F, что A = {F). Группа G называется полуархимедовой,
если каждое высшее множество конечного типа симметризуемо
в моноиде 9Я (G). Каждая решеточно-упорядоченная (соответственно
архимедова) группа является полуархимедовой (упражнение 31а)).
а) Показать, что каждая полуархимедова группа решеточно-
упорядочиваема. (Если пх !> 0, рассмотреть высшее множество (F),
где F—{0, х, . .., (n — i) x], и показать, что оно симметризуемо.}
°б) Пусть К — лексикографическое произведение RxR, G — обыч-
обычное произведение Ky.R. Пусть 6 — иррациональное число 0< 6 < 1,
Я—подгруппа в G, порожденная элементами (A, 0), 0), (@, 0), 0)
п (@, х), 0), где х пробегает R. Показать, что подгруппа Н произ-
произведения двух совершепяо упорядоченных групп не является архиме-
архимедовой. (Рассмотреть высшее множество, порожденное элементами
(A, 0), 0) и (@, О),0) из Н, и показать, что оно не может быть сим
метризуемым.H
в) Пусть G—фильтрующаяся полуархимедова группа, 9Я/(G) —
устойчивое подмножество в SIR (G), порожденное высшими мно-
множествами конечного типа и симметричными к ним; показать, что
Ш?у (G)—решеточно-упорядоченная группа. (Использовать, что мно-
множество ЭК (G) полурешеточно упорядочено.)
г)° Пусть G—группа ZxZ, в которой в качестве множества Р
положительных элементов берется множество тех пар (ж, у), для
которых ж>0, г/>8х, где 6—некоторое иррациональное число.
Показать, что G — архимедова группа, но что симметричное множе-

/ УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛЯ 271
ство в ЯК (G) к высшему множеству конечного типа, не имеющему
вида (а), не является множеством конечного типа.о
36) Пусть G—упорядоченная группа и Р~ множество ее поло-
положительных элементов. Для того чтобы группа G была изоморфна
прямой сумме групп Z, необходимо и достаточно, чтобы существо-
существовало такое отображение х —>¦ d (х) множества Р в N, что если не
имеет места неравенство Ъ~^а, то в высшем множестве (а, Ь) суще-
существует такой элемент с, что d (с) < d (а). (Показать, что это спра-
справедливо для Z^l\ если положить d (x) = 2 xv обратно, показать, что ,
каждое высшее множество А имеет вид (а), для чего рассмотреть
такой элемент а ? А, что d (а) <; d (х) для каждого х ? А, затем при-
применить результат теоремы 2.)
37) Для того чтобы фильтрующаяся группа G была изоморфна
подгруппе прямой суммы Z^J\ необходимо и достаточно, чтобы:
1° G была архимедова; 2° каждое высшее множество в G явля-
являлось множеством конечного типа. (Показать, что условие 2° экви-
эквивалентно условию (МИН) (теор. 2) в упорядоченном моноиде Ш (G);
для доказательства необходимости использовать упражнение 32а).)
§ 2. Упорядоченные поля
1. Упорядоченные кольца
Определение 1. Пусть дано коммутативное кольцо А; говорят,
что структура порядка на А согласована с кольцевой структурой^
если она согласована со структурой аддитивной группы А и удов-
удовлетворяет следующей аксиоме:
(УК) Из неравенств х>0 и г/>0 вытекает, что яг/>0.
Кольцо А, снабженное такой структурой порядка, называется
упорядоченным кольцом.
Примеры. 1) Кольца Q и Z, упорядоченные обычным образом,
являются упорядоченными кольцами.
2) Произведение упорядоченных колец, снабженное структурой
порядка произведения, является упорядоченным кольцом. В частно-
частности, кольцо АЕ отображений множества Е в упорядоченное кольцо А
является упорядоченным кольцом.
В упорядоченном кольце из неравенств i>p z> 0 выте-
вытекает, что xz~^>yz. В самом деле, эти неравенства эквивалентны
соответственно неравенствам х — г/>0, z>0 и (х — у) z > 0.
Этот результат показывает, что множество положительных

272 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ ГЛ. VI, § 2
элементов упорядоченного кольца является мультипликативным
упорядоченным моноидом.
Можно аналогично показать, что неравенства ж<0 и г/>0
(соответственно г/<0) влекут неравенство яг/<0 (соответствен-
(соответственно жг/>0). Эти результаты обычно называют правилом знаков.
Из них следует, что если А — совершенно упорядоченное кольцо,
то всякий квадрат положителен, и, в частности, что всякий идем-
потент (и единица, если она существует) положителен.
Пример. В кольце 2 имеется единственная структура совер-
совершенно упорядоченного кольца, являющаяся обычной структурой:
в самом деле, 1 > 0, откуда по индукции п > 0 для каждого целого
натурального пфО. Кроме этой структуры, на Z существуют и другие
структуры упорядоченного кольца, но уже не совершенно упорядо-
упорядоченного (см. ниже).
Замечание. Не следует думать, что всегда квадрат ненуле-
ненулевого элемента строго положителен, как это показывает пример кольца
с нулевыми квадратами (гл. 1, § 8), заданного на аддитивной совер-
совершенно упорядоченной группе.
Пусть Р — множество положительных элементов упорядочен-
упорядоченного кольца А. Известно, что Р определяет структуру порядка sa.A
(§1, п° 3, предложение 3). Сказать, что А — упорядоченное коль-
кольцо — значит сказать, что Р обладает следующими свойствами:
(APJP+PdP, (APn)PPdP, (АРш)РП(-Р) = {0}.
В самом деле, условия (АР{) и (АРп) означают, что аддитивная
группа кольца является упорядоченной группой (§ 1, п° 3, пред-
предложение 3), а условие (АРи) совпадаете (УК). Напомним, что для
того, чтобы отношение порядка, заданное на А, было совершенным,
необходимо и достаточно следующее условие: (APi\) P\J (—Р) = А-
Пример. Если в Z в качестве Р взять множество положитель-
положительных (в обычном смысле) четных чисел, то мы получим структуру
не совершенно упорядоченного кольца.
Напомним еще, что в абелевой совершенно упорядоченной
группе из соотношения пх = 0 (для целого натурального п ф 0)
следует равенство х = 0 (§ 1, п° 3). Это дает нам следующий
результат:
Предложение 1. Всякое совершенно упорядоченное кольцо
имеет характеристику нуль.

2 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛЯ 273
2. Упорядоченные поля
Определение 2. Поле, наделенное совершенной структурой
порядка, называется упорядоченным полем, если структуры порядка
и поля согласованы.
Для полей мы ограничиваемся совершенным отношением порядка,
так как другие случаи слишком «патологичны» (см. упражнение 5).
Примеры. 1) Поле Q рациональных чисел есть упорядочен-
упорядоченное поле.
2) Подполе упорядоченного поля с индуцированной структурой
порядка есть упорядоченное поле.
3) Поле действительных чисел есть упорядоченное поле.
В упорядоченных полях правило знаков можно уточнить сле-
следующим образом: если х > 0 и у > 0, то ху >> 0 (в самом деле,
ху Ф 0). Это показывает, что неравенство х >> 0 эквивалентно
аГ1 >0, поскольку хх'1 = 1 >0. Строго положительные эле-
элементы поля образуют, следовательно, мультипликативную совер-
совершенно упорядоченную группу. С другой стороны, всякое упорядо-
упорядоченное поле имеет характеристику нуль (предложение 1).
Предложение 2. Пусть А — совершенно упорядоченная область
целостности, и пусть К — ее поле отношений. В К существует
единственная структура порядка, индуцирующая на А заданную
структуру и превращающая К в упорядоченное поле.
Каждый элемент х? К записывается в виде х = аЪ'1, где а
и Ъ ? А. Если х положителен, то а и Ъ одинакового знака, и обрат-
обратно. Следовательно, видно отсюда, что если на К существует отно-
отношение порядка, удовлетворяющее заданным условиям, то оно
единственно, и множество положительных элементов Р совпадает
с множеством тех отношений аЪ'1, у которых а и & — элементы
из А одинакового знака. Остается, следовательно, показать, что
Р удовлетворяет условиям (АРг), (АРц), (АРт) и (АРг\). Это
очевидно для (АРц) и (АР1У). Для проверки (-4.Pi) рассмотрим
элемент ab'1 -f cd'1, где а, Ъ, с, d мы можем считать положитель-
положительными. Эта сумма записывается в виде (ad -f- be) (bd)'1, и (ad -f be)
и bd положительны.
Для проверки (АРт) рассмотрим равенство вида ab'1— —cd'1,
из которого следует, что ad -f- be = 0. Если предположить, что
XU 18 Н. Бурбаки

274 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ ГЛ. VI, § 2
элементы а и Ъ одного знака и то же самое для с и d, то правило
знаков показывает, что ad и be одинакового знака; отсюда выте-
вытекает, что ad = be = 0 и а = с = 0; следовательно, множество Р
на самом деле удовлетворяет аксиоме (АРщ).
Пример . Поскольку Z допускает единственную структуру
совершенно упорядоченного кольца, то поле Q допускает единствен-
единственную структуру порядка, при которой Q — упорядоченное поле; это
обычная структура порядка поля Q.
3. Расширение упорядоченных полей
Определение 3. Пусть К — упорядоченное поле и Е — неко-
некоторое расширение К. Говорят, что структура порядка на Е опре-
определяет на Е структуру упорядоченного расширения поля К, если
она определяет на Е структуру упорядоченного поля и если она
индуцирует на К заданную структуру.
Примеры. 1) Каждое упорядоченное поле К является упоря-
упорядоченным расширением поля Q. В самом деле, так как К имеет харак-
характеристику нуль, оно является расширением поля Q. С другой стороны,
как мы только что убедились, Q может быть упорядочено единствен-
единственным образом.
2) Пусть К — упорядоченное поле, К (X) — поле рациональных
дробей от одной переменной над К. Определим структуру порядка
в кольце многочленов К [X], беря в качестве положительных эле-
элементов те многочлены, у которых старший коэффициент положителен.
Полученное таким образом кольцо совершенно упорядочено, причем
отношение порядка в нем является продолжением отношения поряд-
порядка в К. Применяя предложение 2, определим в К (X) структуру
упорядоченного расширения поля К. Для К = J|. можно показать,
что определенное таким образом на К (X) отношение порядка совпа-
совпадает с порядком роста в окрестности + оо (см. предложение 4, кни-
книга IV, гл. V).
Теорема 1. Для того чтобы расширение Е упорядоченного
поля К допускало структуру упорядоченного расширения поля К,
необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялось следующее
условие:
(УР) Из соот?1ошения ptx* -}-•¦•+ Рпхп = 0 следуют равен-
равенства PiXt = p2xz = . . . = рпхп = 0 для каждой конечной после-
последовательности (xt, pi) пар, состоящих из элементов xt ? Е и поло-
положительных элементов pi ? К.

3 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛЯ 275
Условие (УР), очевидно, эквивалентно условию (УР)' — 1
не является суммой элементов вида рх2, (х ? Е, р ? К, /?>0).
Условие является необходимым, поскольку элементы вида
Ptx\ положительны, а равенство Pix\ = 0 эквивалент-
эквивалентно ptXi = 0.
Чтобы доказать достаточность условия, мы определим сейчас
на Е отношение порядка, построив часть Р CZ Е, удовлетворяю-
удовлетворяющую условиям (APi), (APU), (АРщ) и (АР^), и содержащую
множество К+ положительных элементов поля К. Такая часть Р
действительно будет определять на Е структуру упорядоченного
расширения поля К, так как будет иметь место равенство К [~] Р =
= К+; в самом деле, если бы множество Р содержало элемент
—а <; 0 из К, то элемент а принадлежал бы множеству Р[*\ (—Р),
вопреки условию (АР1и).
Чтобы определить Р, рассмотрим множество Ж частей поля Е,
удовлетворяющих аксиомам {АРХ), (АРи) и (АР1П) и содержащих
объединение К+ с множеством С квадратов элементов поля Е.
Это множество ЭД1 не пусто, так как оно содержит множество Ро эле-
элементов вида 1tj>ix\ (то, что Ро удовлетворяет аксиоме (АРщ)
немедленно следует из условия (УР)). Кроме того, Ш является
индуктивным. Поэтому в силу теоремы Цорна существует мак-
максимальный элемент Р ? ЭД1, о котором нам остается доказать, что
он удовлетворяет условию (АР\\); а это вытекает из следующей
леммы:
Лемма. Пусть Р ? Ж и х ? Р; тогда существует такое мно-
множество Р' ? Ш, что Р а Р' и — х ? Р'.
Положим Р' = Р — хР и убедимся, что Р' обладает требуе-
требуемыми свойствами. Так как 0 ? С CZ Р, то Р CZ Р'. Отсюда С ? Р'
и К+ С Р'. Так как 1 ? С CZ Р, то —х б Р'. Имеем: Р' + Р' =
= Р — хР + Р — хР = Р .+ Р — х (Р + Р) а Р — хР = Р',
откуда следует условие {АР{). Имеем далее: Р'Р' = (Р — хР) X
X (Р — хР) = РР + з?РР — х (РР + РР) С Р + СР —
— хР d Р — хР = Р', откуда следует (АРи).
Проверим, наконец, . свойство (АРщ): пусть имеется ра-
равенство р — xq = —(г — xs), где р, q, r, s принадлежат р; от-
отсюда следует х (s + q) = p + г, если (s + q) Ф 0, то х =
= (s + Я)'2 (s + Я) (Р + г) С СРР CL Р в противоречии с
18*

276 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ ГЛ. VI, § 2
предположением; следовательно, s -f- q = 0, откуда /? + г = 0;
так как Р удовлетворяет (АРШ), то отсюда следует, что s =
= q = г — р = 0, чем доказательство заканчивается.
Следствие («теорема Артина — Шрайера»). Для того чтобы
в поле Е существовала структура порядка, превращающая Е в упо-
упорядоченное поле, необходимо и достаточно, чтобы из равенства
х\ + • • • + хп ~ 0 вытекало, что xi = х2 = ....= хп.
Необходимость очевидна. Обратно, из данного условия выте-
вытекает, что Е имеет характеристику нуль и, следовательно, может
рассматриваться как расширение поля Q; тогда имеет место усло-
условие (УР), и теорема 1 показывает, что в Е можно определить
структуру упорядоченного расширения поля Q, другими слова-
словами, структуру упорядоченного поля.
В поле Е не может существовать структура упорядоченного поля,
если —1 есть квадрат некоторого элемента. В частности, это справед-
справедливо для алгебраически замкнутого поля.
4. Алгебраические расширения
упорядоченных полей
В этом параграфе (за исключением предложения 8), мы будем
отождествлять для краткости многочлены и полиномиальные функции.
Это не представит неудобства, так как поля коэффициентов имеют
характеристику нуль и, следовательно, бесконечны (гл. IV, § 2,
п° 5, предложение 9).
Пусть К — упорядоченное поле и / многочлен над К. Мы ска-
скажем, что / меняет знак в К, если существуют два элемента
а, Ь^К такие, что / (а) / (Ъ) •< 0; говорят тогда, что / меняет
знак между а и Ъ.
Предложение 3. Пусть К — упорядоченное поле и f — непри-
неприводимый над К многочлен, меняющий знак в К между а и Ь.
Поле Е = К [X] I (/) допускает тогда структуру упорядоченного
расширения поля К.
Доказательство проведем индукцией по степени п много-
многочлена /. При га = 1 имеем Е — К, и утверждение тривиально.
Пусть наше утверждение справедливо для всех степеней <;га—1.
Методом от противного докажем, что оно справедливо для п.
В силу (УР)' мы можем предположить, что справедливо неко-

4 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛЯ 277
торое соотношение вида
l + 2^/!(X) = 0(mod/(X)), где ft?K[X] и ле*+.
Без ограничения общности можно считать, что степени много-
многочленов ft не превосходят п — 1 (гл. V, § 3, теорема 1). Имеем
тогда
где h Ф 0 — многочлен, степень которого не превосходит п — 2.
Заменяя в предыдущем равенстве X на а и Ъ, видим, что
h (b) f (b) >> 0 и h (a) f (а) >> 0. Так как, согласно предположению,
многочлен / меняет знак между а и Ъ, то h (а) h (b) < 0. Тогда
неравенство того же вида выполняется для одного из неприво-
неприводимых множителей g (X) многочлена h(X): g (a) g (Ь)<0. Но
1+2 Pifi (-X) = 0 (modg (X)), а это означает, что в поле К [X\/(g)
нельзя ввести структуру упорядоченного расширения поля К
(теорема 1), что противоречит предположению индукции.
Замечание. Над упорядоченным полем К могут существо-
существовать неприводимые многочлены /, не меняющие знака в К, яо та-
такие, что поле К [X]/(f) обладает структурой упорядоченного расши-
расширения поля К (см. упражнение 17в)).
Для применения предыдущего предложения нам понадобится
следующий результат:
Предложение 4. Пусть К — упорядоченное поле и f — много-
многочлен над К. Существует интервал в К, вне которого f имеет
тот же знак, что и его старший член.
Все легко сводится к случаю, когда /—унитарный многочлен;
тогда можно записать / (ж) = хп A -f- ахх~г + ... + апх~п). Пусть
M = sup(l,
При | х | > М имеем 1 -f- а^х'1 +...-(- апх~п >¦ 0. Отсюда следует
утверждение.
Следствие 1. Каждое алгебраическое расширение нечетной
степени упорядоченного поля допускает структуру упорядочен-
упорядоченного расширения.
Каждое такое расширение, будучи простым (гл. V, § 7, п° 7,
предложение 12), изоморфно полю вида K[X]/(f), где / — непри-
1/2 18 н. Бурбаки

278 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ ГЛ. VI, § 2
водимый многочлен нечетной степени. Достаточно показать, что
/ меняет знак (предложение 3), что немедленно следует из
предложения 4.
Следствие 2. Если а — положительный элемент упорядочен-
упорядоченного поля К, то поле корней многочлена х2 — а допускает струк-
структуру упорядоченного расширения поля К.
Утверждение тривиально, если а — квадрат в К. Если это не
так, то ж2 —а— неприводимый многочлен, меняющий знак,
поскольку он <0 при х = 0 и имеет знак я2, т. е. >0, вне
некоторого интервала из К. А тогда достаточно применить пред-
предложение 3.
Замечание. Если упорядоченное поле К содержит «квад-
«квадратные корни» из некоторого положительного элемента а (корни
многочлена х2—а), то в общем случае под У а понимается поло-
положительный корень. Если поле К не содержит квадратных корней
6 и —6 из элемента а, то поле корней многочлена ж2—а допускает
две структуры упорядоченного расширения поля К, причем одно
получается из другого if-автоморфизмом, определенным отображе-
отображением Ъ —>-—Ъ; выбор одной из этих структур порядка опреде-
определяет тогда У а; это будет тот из элементов Ь, — Ъ, который поло-
положителен.
Если а и а' — два положительных элемента из К, квадратные
корни которых лежат в К, то у аа' = {\ а) (V о.'), как это следует
из определения корня и правила знаков.
5. Максимальные упорядоченные поля
Определение 4. Упорядоченное поле К называется максималь-
максимальным, если каждое алгебраическое упорядоченное расширение поля К
совпадает с К.
Пример. Мы увидим дальше (Общ. топол., гл. VIII), что
поле R действительных чисел является максимальным упорядочен-
упорядоченным полем.
Существование максимальных упорядоченных полей выте-
вытекает из следующей теоремы:
Теорема 2. Каждое упорядоченное поле К обладает упорядочен-
упорядоченным алгебраическим расширением, которое является максималь-
максимальным упорядоченным полем.

5 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛЯ 279
Можно показать, что это последнее поле определяется с точ-
точностью до if-изоморфизма *).
Пусть й —алгебраическое замыкание поля К, и пусть У1 — мно-
множество упорядоченных расширений поля К, содержащихся в Q.
Упорядочим множество 91 g помощью отношения «L является
упорядоченным расширением поля М». Упорядоченное множе-
множество 91, снабженное этой структурой порядка, будет индуктив-
индуктивным: в самом деле, если (LL) вполне упорядоченное семейство
элементов из 9?, то поле L = [] Lv можно упорядочить, взяв
i
L+=\J (Lt)+, а тогда L — верхняя грань семейства Ll (см. гл. V,
i
§ 2, предложение 3). В силу теоремы Цорна У1 содержит
максимальный элемент Е, удовлетворяющий требованию
теоремы.
Предложение 5. Пусть К— максимальное упорядоченное поле
и / — многочлен из К[Х], меняющий знак между двумя элемен-
элементами а и Ъ из К. Тогда f имеет в поле К такой корень х, что
По крайней мере один из неприводимых множителей много-
многочлена / меняет знак между аи Ъ; пусть это будет h. Поле К [X]/(h)
обладает тогда структурой упорядоченного расширения поля К.
Следовательно, оно совпадает с К и h имеет степень 1. Так как
h (a) h (b) <0, единственный ко.рень х многочлена h удовлетво-
удовлетворяет неравенству a <ix <Ъ, поскольку многочлен первой сте-
степени является монотонной функцией.
Предложение 5 дает, в частности,
Предложение 6. Каждый положительный элемент максималь-
максимального упорядоченного поля К имеет в К квадратный корень. Каждый
многочлен нечетной степени над К имеет по крайней мере один
корень в К.
Это непосредственно следует из следствий 2 и 1 предложения 4.
Следствие. Максимальное упорядоченное поле К не допускает
иных, кроме имеющейся, структур порядка, согласованных со струк-
структурой поля.
В самом деле, положительные элементы поля К определяются
его алгебраической структурой: они являются квадратами.
*) Смотри Ван-дер-Варден, Современная алгебра, 1-е изд., т. 1.
18*

280 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ ГЛ. VI, § 2
6. Характеризация максимальных
упорядоченных полей.
Теорема Эйлера—Лаграыжа
Свойство, установленное в предложении 6, характеризует
максимальные упорядоченные поля. Более точно:
Теорема 3 (Эйлер — Лагранж). Пусть К — упорядоченное
поле. Следующие три свойства эквивалентны:
а) Поле K(i) алгебраически замкнуто (i один из квадратных
корней из —1).
б) Поле К является максимальным упорядоченным полем.
в) Каждый положительный элемент в К является квадратом,
и каждый многочлен над К нечетной степени имеет корень в К.
Ясно, что а) влечет б): в самом деле, К обладает, с точностью
до изоморфизма, двумя алгебраическими расширениями: самим К
и К (i) . Последнее не может быть упорядоченным, так как —1
является в нем квадратом.
Для доказательства импликации б) -* в) нужно лишь при-
применить предложение 6. Остается показать, что из в) вытекает а).
Это является результатом двух следующих предложений:
Предложение 7. Пусть К—упорядоченное поле, каждый поло-
положительный элемент которого есть квадрат. Тогда каждый эле-
элемент поля K(i) есть квадрат и каждый многочлен над К (i) второй
степени имеет корень в К (L).
Покажем сначала, что второе утверждение следует из первого.
Многочлен второй степени ах2 -\- Ъх -\- с можно записать в сле-
следующей форме, которая часто называется канонической формой
трехчлена:
Если d — квадратный корень из (б2 — 4ас)/4а2, то d — (Ъ/2а)
есть корень заданного многочлена второй степени.
Покажем теперь, что каждый элемент a -j- bt(a ? К, Ъ ? К)
является квадратом. Найдем такой элемента; + yt, что (х + ytJ =
= а -\- bi\ это равенство можно записать в виде двух таких ра-
равенств: х2 — у" = а и 2ху = Ъ. Отсюда получаем

6 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛЯ 281
Обозначая через с положительный квадратный корень из а2 + Ь2,
получаем с > \а\, с > | Ъ| и х2 + у2 = с. Отсюда ж2 = ( с -|- а)/2
и у2 = (с— а)/2. Так как с >\а\, то эти уравнения разрешимы
в К, и если х0 и г/о— одно из решений, то х\ — у% = 0 и 2жог/о—
= ± Ъ. Взяв а; = #о и у = Ь/2х0, получим искомый квадратный
корень.
Предложение 8. Пусть К — поле (произвольной характери-
характеристики). Пусть К и К'= K(i) таковы, что:
а) каждый многочлен нечетной степени над К имеет ко-
корень в К,
б) каждый многочлен второй степени над К' имеет корень
в К'. Тогда К' алгебраически замкнуто.
Обозначим через а элемент, сопряженный с элементом а ? К',
другими словами, образ а при .йГ-автоморфизме поля К', опре-
определенном отображением i -> —i. Для каждого многочлена / над
К' обозначим через / многочлен, все коэффициенты которого
сопряжены с коэффициентами многочлена /. Достаточно показать,
что каждый многочлен над К имеет корень в К'. В самом деле,
пусть / — многочлен над К'; тогда многочлен над К g = // имеет
корень в К', который будет корнем либо для /, либо для /. В этом
последнем случае элемент, сопряженный с этим корнем, будет
корнем для /.
Пусть теперь / — многочлен над К степени 2пр, где р не-
нечетно. При п = 0, в силу условия а), / имеет корень в К.
Проведем доказательство индукцией по п. Пусть Е — расши-
расширение поля К, в котором / разлагается на линейные множители:
/ (X) = П (X — at). Пусть b ? К; образуем многочлен h,
корнями которого являются элементы
У И = <h + aJ + bataj (г> /).
Коэффициентами этого многочлена будут симметрические функ-
функции от переменных а, с коэффициентами из К; следовательно,
h — многочлен над К (гл. V, Приложение 1); так как он имеет
степень 2прBпр — 1)/2 = 2п~1р' (р нечетно), то он имеет корень
ytj, лежащий в К', в силу предположения индукции. Если при-
принять во внимание, что это верно для каждого Ъ ? К и что
К — бесконечное поле (в самом деле, конечное поле, имеющее

282 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ ГЛ. VI, § 2
произвольно большие простые расширения нечетной степени (гл. Vr
§ 11, предложение 3), не может удовлетворить условию а)), то
отсюда следует существование по крайней мере одной пары (ij)
такой, что аг -j-as -f bataj ? К' и at + а/ + b'ataj ? К', где b Ф V.
Тогда элементы а, -\- а-3 и а%а^ лежат в К', и, следовательно,
at и а;— элементы из К', поскольку они являются корнями урав-
уравнения второй степени х2 — (аг + aj) x ~\- ataj— 0. Это доказывает
требуемое.
Пусть К — упорядоченное поле, и пусть К' — К (г); для каждого
элемента z = а + bt ? К' норма zz = а2+ Ь2 элемента z над полем К
(гл. V, § 10, п° 6) является положительным элементом поля К, кото-
который равен нулю лишь при z = 0. Если в К каждый положительный
элемент является квадратом (если, в частности, К — максимальное
упорядоченное поле), назовем .абсолютным значением элемента z
и обозначим через | z | положительный квадратный корень из нормы zz.
Так как | zz' |2 = | г |2 | г' |2, то | zz' \ = | z \ \ z' \.
Кроме того, имеет место неравенство треугольника
для каждой пары элементов z, z' ^ К'. В самом деле, если z = а + Ы,
z' = а' + b'i, это неравенство .эквивалентно следующему:
или еще:
(аа'+
которое записывается в виде (ab' — Ъа')ъ ^ 0.
Теорема 3 позволяет нам найти все неприводимые многочлены
над максимальным упорядоченным полем.
Предложение 9. Если К — максимальное упорядоченное поле,
то единственными неприводимыми над К многочленами являются
многочлены первой степени и многочлены второй степени ах2 +
-\- Ъх -\- с, у которых Ь2 — 4ас<0.
Так как поле К (i) алгебраически замкнуто, каждое алгебраи-
алгебраическое расширение поля К имеет либо первую, либо вторую сте-
степень, и следовательно, лишь многочлены первой или второй сте-
степени могут быть неприводимыми над К. Чтобы увидеть, какие
из многочленов второй степени неприводимы, достаточно написать
каноническую форму трехчлена а ((х + F/2а)J — (Ь2 — 4ас)/4а2)
(ср. предложение 7).

упорядЬченныб поля 283
3 амечание. Рассмотрение канонической формы трехчленов
дает более сильный результат: пусть К — упорядоченное поле; для
того чтобы многочлен второй степени над К ахг -\- Ъх + с имел в К
постоянный знак, необходимо и достаточно, чтобы Ъ2 — Аас < О,
и знак многочлена в этом случае совпадет со знаком а.
Упражнения. 1) Пусть А — совершенно упорядоченное
кольцо и В — подкольцо в А.
а) Элемент х ? А называется бесконечно большим относительно В,
если | у | < | х | для каждого у ? В. Показать, что множество эле-
элементов из А, не являющихся бесконечно большими относительно В,
образуют подкольцо F (В) в А, содержащее В.
б) Элемент х ? А называется бесконечно малым относительно В,
«ели | х | < у для каждого у ? В, у > 0. Если кольцо А обладает
¦единицей, принадлежащей В, и если для каждого у ? В такого, что
О < у, существует такой элемент г ? В, что 0 < z < у, то множество
элементов из А, бесконечно малых относительно В, образует под-
подкольцо / (В) в А. Если, кроме того, для каждой пары таких элементов
у, z из В, что 0 < у < z, существует такой элемент х ? В, что 0 < xz < у,
то / (В) является идеалом в F (В).
2) Пусть А — совершенно упорядоченное кольцо. Пусть п —
множество нильпотентных элементов из А (являющееся идеалом в А);
каждый элемент кольца А, не принадлежащий п, является бесконечно
большим относительно п. Фактор-кольцо А /п совершенно упоря-
упорядочено (§ 1, упражнение 4) и не имеет делителей нуля.
3) Пусть Р — множество элементов поля Q, образованное нулем
и рациональными числами, не меньшими (в обычном смысле) чем
•единица. Показать, что Р удовлетворяет аксиомам (АР{), {АРц)
и (АРП1).
*4) а) Пусть К — поле, Р — часть из К, удовлетворяющая
-условиям (APi) (АРц) и (i?ni) и такая, что К2 С Р (где К2 — мно-
множество квадратов элементов из К); показать, что если х^> 0 при
структуре порядка, определенной множеством Р,[то х~г > 0; вывести
отсюда, -что множество К% строго положительных элементов из К
является подгруппой мультипликативной группы поля К.
б) В поле Q единственным множеством Р, удовлетворяющим усло-
условию а), является множество тех рациональных чисел, которые |> 0
(при обычном порядке).
в) Пусть Р — часть в К, удовлетворяющая условиям (APi),
(АРц), (АРщ), такая, что 1 ? Р, и пусть при порядке, определенном
множеством Р, из первенства х ^> 0 следует, что х~г > 0. Показать,
что для положительных у и z из у2 !> z2 следует, что у !> г. Вывести
А
отсюда, что для любого у > 0 -х- (у + у'1) > 1 — rrl для каждого
щелого п > 0. (Заметить, что (у+г/Jт> ( ) для всякого целого

УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ ГЛ. VI, § 2
т > 0.) Вывести отсюда, что если структура порядка аддитивной
группы поля К, определенная множеством Р, архимедова (§ 1, упраж-
упражнение 31), то (у — zJ > 0 для каждой пары у, z элементов из Р; если
К' — подполе в К, порожденное множеством Р, то х2 J> 0 для каж-
каждого х € К'.
г) Пусть К = R (X) — поле рациональных дробей от одного
переменного над полем R; пусть Р — множество, образованное нулем
и теми рациональными дробями и ? К, для которых при каждом
действительном числе t значение и (t) определено и больше нуля.
Показать, что Р удовлетворяет условиям в) и порождает К, но что
существует такой элемент v (j К, что v2 (f P.
5) Пусть К — поле, Р — его часть, определяющая в К струк-
структуру решеточной упорядоченности, согласованную с кольцевой
структурой поля К.
а) Показать, что если хфО — такой элемент, что (г") > О,
то (г+а:)+ = (г+J.
6) Вывести отсюда, что если неравенство х > 0 влечет неравен-
неравенство г > 0, то К совершенно упорядочено.
б) Поле К = Q (X) рациональных дробей от одной переменной
над полем Q порождается множеством К2 своих квадратов. Показать,
что множество Р сумм квадратов элементов из К определяет не реше-
решеточную упорядоченность, согласованную с кольцевой структурой
поля К, при которой из и > 0 следует, что иг1 > 0.
7) Для того чтобы в поле К, имеющем характеристику ф2,
каждый элемент был равен сумме квадратов некоторых элементов,
необходимо и достаточно, чтобы —1 представлялась в виде суммы
квадратов. (Заметить, что каждый элемент из К есть разность двух
квадратов.)
*8) Пусть А — непустая часть поля К характеристики, отличной
от 2; поле К называется А-упорядочиваемым, если ни один элемент
из А не является суммой квадратов элементов из К. Поле К назы-
называется упорядочиваемым, если на К можно ввести совершенную струк-
структуру порядка, согласованную с кольцевой структурой поля К.
а) Показать, что если поле К ^-упорядочиваемое, то оно упоря-
упорядочиваемо и, следовательно, имеет характеристику нуль.
б) Показать, что всякое алгебраическое расширение и всякое
чистое расширение нечетных степеней А -упорядочиваемого поля К
сами являются .4-упорядочиваемыми полями (рассуждать как в пред-
предложении 3).
в) Пусть К — А -упорядочиваемое поле и пусть элемент Ъ g К
не может быть представлен в виде са — d, где а ? А, а. с ъ d — суммы
квадратов элементов из К. Показать, что поле К (|^Ь) .4-упорядо-
.4-упорядочиваемо.
г) Поле К называется максимальным А-упорядочиваемым, если
не существует отличного от К алгебраического расширения поля К,

УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛЯ 285
являющегося А -упорядочиваемым. Показать, что максимальное .А-упо-
.А-упорядочиваемое поле К обладает следующими свойствами: Is поле К
пифагорово, т. е. каждая сумма квадратов элементов из К есть квадрат;
2° ни один элемент из А не является квадратом; 3° каждый элемент
из К, не являющийся квадратом, представим в виде сга — йг, где
а ? А; 4° каждый многочлен из К [X] нечетной степени имеет в К
по крайней мере один корень (использовать б) и в)).
д) Показать, что если поле К удовлетворяет четырем условиям г),
to каждый алгебраический над К элемент является элементом 2«-й
степени над К. (Рассуждать, как в предложении 8 индукцией по экспо-
экспоненте 2 в степени рассматриваемого элемента.) Показать, с другой
стороны, что никакое квадратичное расширение поля К не является
А -упорядочиваемым. Вывести отсюда, что поле К является макси-
максимальным А -упорядочиваемым *).
е) Пусть К — А -упорядочиваемое поле, Q — алгебраически замк-
замкнутое расширение поля К. Показать, что существует максимальное
4-упорядочиваемое поле R, содержащееся b^Q и содержащее К.
(Использовать б), в) и д).)
9) Пусть q — целое натуральное число, не являющееся квадра-
квадратом; в поле K = Q (Уд) пусть А состоит из —1 из Y~q; показать, что
поле К Л-упорядочиваемо. Показать, что существует алгебраическое
расширение Е поля К, являющееся упорядочиваемым, пифагоровым
и таким, что каждый многочлен над Е нечетной степени имеет в поле Е
корень, но что в Е нельзя ввести структуру максимального упорядо-
упорядоченного поля. (Рассмотреть максимальное А -упорядочиваемое рас-
расширение поля К.)
*10) а) Пусть К — упорядочиваемое поле, Е — его расширение
Галуа. Показать, что либо Е упорядочиваемо, либо существует
упорядочиваемое алгебраическое расширение F поля К, содержащееся
в Е и такое, что Е является квадратичным расширением поля F.
(Использовать теорему 1, гл. V, § 10).
б) Показать, что многочлен Х4+ 2 неприводим под Q и что если
К — расширение 4-й степени поля Q, получаемое присоединением
к Q корня этого многочлена, то К не содержит никакого упорядочивае-
упорядочиваемого подполя, отличного от Q. (Определить подполя поля if с помощью
теории Галуа.)
11) Пусть К — упорядоченное поле и G — его подполе:
а) Показать, что для того, чтобы элемент хфО был бесконечно
большим относительно G (упражнение 1), необходимо и достаточно,
*) Использовать теорию Галуа'и следующий результат теории групп:
пусть дана конечная группа Г порядка pi, где р — простое число, и подгруп-
подгруппа АфГ группы Г; тогда существует подгруппа До группы Г порядка pi~l,
содержащая Д (см. Н. Zassenhaus, The theory of groups, New York,
Chelse Publ. Co., 1949, стр. 107"(см. также М. Холл, Теория групп, ИЛ,
Москва, 1962, стр. 59. (Прим. перев.)).
19 н. Бурбаки

286 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ ГЛ. VI, §2
чтобы х~х был бесконечно малым относительно G. Говорят, что поле К
сравнимо с G, если в К не существует бесконечно большого относи-
относительно G элемента (и, следовательно, не существует отличного от нуля
бесконечно малого относительно G элемента). Для того чтобы поле К
было сравнимо со своим простым подполем Q, необходимо и достаточно,
чтобы аддитивная группа поля К была архимедова (§ 1, упражнение 31)
и, следовательно, чтобы К было изоморфно подполю поля Л (§1,
упражнение 33 в)).
б) Показать, что в кольце F (G) элементов из К, не являющихся
бесконечно большими относительно G, множество / (С) бесконечно
малых относительно G элементов является максимальным идеалом;
кроме того, структура порядка в факторкольце К (G) = F (G)/I (G),
индуцированная структурой порядка кольца F (G) (§ 1, упражнение 4),
совершенна и согласована с кольцевой структурой.
в) Показать, что каждый класс по mod / (G) может содержать
лишь один элемент из G. Вывести отсюда, что каноническое отображе-
отображение поля G в К (<?) является изоморфизмом упорядоченного поля G
на подполе G' упорядоченного поля К (G) и что К ((?) сравнимо с G'.
12) Пусть К — максимальное упорядоченное поле, / — много-
многочлен над К, а и b — два корня многочлена / в К такие, что а < Ь
и / не имеет корней между а и Ъ. Показать, что если g — рациональ-
рациональная дробь над К, знаменатель которой не обращается в нуль при
а'<$; х « Ь, то уравнение / (х) g (х) + /' (х) = О имеет нечетное число
корней в (а, Ъ) (использовать предложение 5). Вывести отсюда, что
если h — рациональная дробь над К, обращающаяся в нуль между
а и Ь, знаменатель которой не равен нулю в (а, Ъ), то уравнение
К (х) = 0 имеет по крайней мере один корень в (а, Ъ) («теорема
Ролля»).
13) Пусть К — максимальное упорядоченное поле, h — рацио-
рациональная дробь над К, [а, Ъ] — замкнутый интервал, в котором h
всюду определена. Показать, что существует такой элемент с ? (а, Ь),
что h (Ь) —- h (а) = (Ь — а) Ы (с) («теорема о среднем»; использовать
«теорему Ролля», см. упражнение 12). Вывести отсюда, что для того,
чтобы h (х) был возрастающей функцией в [а, Ь], необходимо и доста-
достаточно, чтобы выполнялось неравенство h' (x) ^ 0 в этом интервале
(для доказательства необходимости разбить этот интервал корнями
уравнения Ь! (х) — 0).
*14) а) Пусть К — максимальное упорядоченное поле, Е —
подполе в К и / — многочлен над Е; показать, что все корни много-
многочлена /, лежащие в К, принадлежат F (Е) (упражнение 116)) (исполь-
(использовать предложение 4). Вывести отсюда, что если G — подполе в К
и Е С К — расширение поля G, сравнимое с G (упражнение И),
то множество элементов из К, алгебраических над Е, образует макси-
максимальное упорядоченное поле, сравнимое с G.
б) Вывести из а), что поле К (G) (упражнение И) при условиях
упражнения 14 а) является максимальным упорядоченным полем.

УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛЯ 287
в) Пусть / — многочлен над G степени > 1. Доказать, что для
того, чтобы элемент / (<) был бесконечно большим относительно G,
необходимо и достаточно, чтобы элемент t был бесконечно большим
относительно G; для того чтобы (t) был бесконечно малым относи-
относительно G, необходимо и достаточно, чтобы t было равно (mod / (G))
корню многочлена / в К. (Разбить К на интервалы корнями многочле-
многочленов / и /', лежащими в AT, и использовать упражнение 13; заметить,
что если х < t и элемент х € К несравним (mod / (G)) с t, то существует
такой у € К, что х < у < * и у — х ? G.)
*15) Пусть AT — максимальное упорядоченное поле. Рассмотрим
в поле рациональных дробей К (X) структуру порядка, при которой
К (X) является упорядоченным расширением поля К. Показать, что
эта структура определяется множеством А тех х ? К, которые мень-
меньше X (показать, что знак каждого многочлена / над К определяется
множеством А, используя предложение 9). Обратно, показать, что
каждому множеству А с. К такому, что ъз х Z А и у <; х вытекает,
что у ? А, соответствует на К (X) структура упорядоченного расшире-
расширения, при которой А совпадает с множеством тех х ? К, которые мень-
меньше X (тем же методом). Если А обладает наибольшим элементом, или
С А наименьшим элементом, либо если А = К или А = ф, то структура
порядка, определяеман на К (X) множеством А, такова, что К (X)
несравнимо с К. Если, наоборот, А и С А не пусты и если не существует
ни наибольшего элемента в А, ни наименьшего элемента в С А, то поле
К (X) сравнимо с К.
16) Используя упражнение 15, дать пример поля Е, наделенного
несколькими структурами упорядоченных полей, которые не могут
быть получены одна из другой с помощью автоморфизма поля Е.
Используя это, дать пример поля Е, наделенного структурой порядка,
согласованной с кольцевой структурой, но при которой Е не решеточ-
но-упорядочено (рассмотреть диагональ множества Е X Е и исполь-
использовать упражнение 5).
*17) а) Если К — архимедовски упорядоченное поле (упражне-
(упражнение 11а)), х и у — два элемента из К такие, что х < у, показать, что
существует такое число г б Q, что х < г < у. "Вывести отсюда, что
не существует других упорядоченных подполей поля R, изоморф-
изоморфных К.о
б) В поле К = Q (X) рассмотрим структуру порядка, при кото-
которой X > 0 и X бесконечно велик относительно Q (упражнение 15).
Показать, что поле К сравнимо со своим подполем Q (X2) и дать при-
пример двух элементов х, у из К таких, что х < у, и не существует эле-
элемента из Q (X2), лежащего между х и у.
в) Пусть К — упорядоченное поле, определенное в б); показать,
что многочлен.; / (У) = (У2 — X) (У2 — 4Х) — 1 над К неприводим,
но обладает корнями в каждом максимальном упорядоченном расши-
расширения поля К и что / (а) > 0 для всех а ? К.
19*

УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ ГЛ. VI, § 2
*18) Пусть К — упорядоченное поле, Е — чистое расширение
поля К, (XJ^j — чистый базис расширения Е (гл. V, § 5, опреде-
определение 1).
а) Если поле К архимедово, то для того, чтобы в Е можно было
ввести структуру упорядоченного расширения поля К, при которой Е
сравнимо с К, необходимо и достаточно, чтобы мощность множества /
была не больше мощности базиса трансцендентности поля R над К
¦(где К рассматривается как подполе поля R; см. упражнение 17а)).
Множество всех таких структур тогда эквивалентно множеству взаим-
взаимно однозначных отображений / множества / в R таких, что / (/) —
-алгебраически свободная система над К.
б) Если поле К не архимедово, то на Е всегда существует по край-
крайней мере одна такая структура упорядоченного расширения поля К,
что Е сравнимо с К. (Когда / состоит из одного элемента, использо-
использовать упражнение 15, замечая, что Q не может иметь верхнюю грань
в К; распространить на общий случай с помощью теоремы Цорна.)
19) "Пусть К — подполе в R, 9 — действительное число, алгебраи-
алгебраическое над К. Показать, что число структур упорядоченного расшире-
расширения в поле К (9) над К равно количеству действительных чисел, сопря-
сопряженных с 9 (использовать упражнение 14а) и 17а)). о
*20) Пусть К — максимальное упорядоченное поле, G — подполе»
в К. Показать, что множество расширений поля G, сравнимых с G
и содержащихся в К, индуктивно; если Ео — максимальный элемент
этого множества, показать, что Ео изоморфно полю К (G), определен-
определенному в упражнении 11 б) (доказать, что каноническое отображение
F (G) на К (G) отображает Ео на К (G), установив вначале при помощи
упражнения 14а), что Eq — максимальное упорядоченное поле, потом
с помощью упражнения 15, что в К (G) не существует элемента, транс-
трансцендентного над каноническим образом поля .Eg).
21) а) Пусть К — максимальное упорядоченное поле, т и М —
два элемента из К, причем т < М. Показать, что каждый многочлен
f ? К (X), положительный в интервале [т, М], представим в виде
суммы многочленов вида (аХ + |3) g2, где g ? К [X], а многочлен
аХ + Р положителен в [го, М]. (Для многочленов первой степени это
очевидно, а для многочленов второй степени можно воспользоваться
следующими формулами:
(X — а)(Х— Ь) = (Х — Ь)* + (Ь — а) (X —
(Х-а) (Ь-Х) = ((Х-а) (Ь-
при а < Ъ.)
б) Показать, что результат упражнения а) не всегда справедлив,
если К — произвольное упорядоченное поле. (Заметить, что много-
многочлен может быть положителен в К, но не в максимальном упорядочев-
ном расширении поля К; см. упражнение 17в).)

УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛЯ 289
*22) а) Пусть Е — алгебраическое замыкание поля К, являющееся
расширением поля К степени д ,где д — простое число. Показать, что
поле К совершенно (гл. V, § 8, п° 1).
б) Показать, что д не равно характеристике поля К (гл. V, § 11,
упражнение 96)).
в) Показать, что К содержит корни д-й степени из 1, и что Е являет-
является полем корней неприводимого над К многочлена Хч — о; вывести
отсюда, что q = 2 (в противном случае из упражнения 12, § 11, гл. V
следует, что Х«2 — о неприводим). Показать, кроме того, что — а
является квадратом в К (упражнение 12, § 11, гл. V), но что —1
не является квадратом в К и что Е = К (i) (i2 = — 1).
г) Предположим теперь, что К таково, что его алгебраическое
замыкание Е имеет конечную, отличную от 1 степень над К. Показать,
что t (J К и что Е = К (i) (если ЕфК (г), то из теории Галуа следо-
следовало бы, что существует такое поле F, что К (i) С F CZ Е и что Е
имеет простую степень над F; применить в)).
Вывести отсюда, что К максимальное упорядочиваемое поле
(следовательно, в нем можно ввести некоторую структуру максималь-
максимального упорядоченного поля) (показать индукцией по п, что каждая
сумма п квадратов элементов из К является квадратом элемента из К;
для доказательства того, что о2 + Ъ% является квадратом, рассмотреть
квадратные корни х -\- iy из элементов а + ib в поле К (?)).
*23) Пусть К — некоммутативное тело.
а) Показать, что если часть Р с К удовлетворяет условиям
(APi), (АРц), DРщ) и (APiy), то свойства упорядоченных полей,
изложенные в п° 1 и 2, распространяются на «некоммутативное упоря-
упорядоченное тело» К, и что Р содержит множество С сумм произведений
квадратов элементов из К.
б) Показать, что Р содержит коммутаторы хух~1у~1 элементов
из К (показать, что каждый коммутатор есть произведение квадратов;
заметить, что в факторгруппе G группы К* по подгруппе произведений
квадратов каждый элемент имеет порядок 2, и следовательно,
G абелева).
в) Показать, что если —1 не является суммой произведений квад-
квадратов, то в К существует часть Р, удовлетворяющая условиям
(APi), (АРц), (АРщ) и (АР\у) (следуя доказательству теоремы 1).
г) Пусть G — упорядоченное поле и а — отличный от тождествен-
тождественного автоморфизм поля G. Рассмотрим (некоммутативное) тело К
оо
«формальных левых рядов» ^ ацХ'п ("п € <*), где Хпа = а™ (а) Хп
(гл. IV, § 5, упражнение Юг)). Пусть а отображает каждый положи-
положительный элемент избв положительный элемент; показать, что множе-
множество Р тех элементов из К, ненулевые члены наименьшей степени
которых имеют положительный в G коэффициент, удовлетворяет усло-
условиям (APi), (АРц), (АРщ), (APi\) и определяет в К структуру

290 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ ГЛ. VI, § 2
упорядоченного некоммутативного тела. Показать, что в качестве по-
поля Смежно взять поле (обычных) формальных степенных рядов Q ((У)),
а в качестве положительных элементов этого поля — множество фор-
со
мальных рядов 2 rvXni ненулевые коэффициенты в членах нан-
меньшей степени которых положительны; автоморфизм а определим
с помощью равенства а (У) = 2У; тогда тело К называется «телом
формальных рядов Гильберта».
°д) Показать, что некоммутативное тело не может быть архиме-
архимедовски упорядоченным (применить предложение 1 Общ. топол.,
гл. V, § 2 к мультипликативной группе положительных элементов
тела).о

УКАЗАТЕЛЬ
Глава § п*
Jf(I) IV 1 1
Хь (переменная) .... IV 1 1
.... Хг ] . ! . ] . . IV 1 1
А [X], А [X, Y, Z],
А[Х^0 IV 1 2
deg м, degx и (и — нену-
ненулевой многочлен) . . IV 1 3
/ (х) (/ — многочлен од-
одной переменной) . . IV 2 1
...,а;{ ) (/—многочлен,
Xi—попарно перестановочные
элементы) IV 2 2
xu, ..., Xii\, A[M\ IV 2 1
(/—многочлен, Xt—
переменные) .... IV 2 2
' (/—многочлен) ... IV 2 3
..., Xn) IV 3 1
/(ж), /((^(/—рацио-
/((^(/—рациональная дробь, Х=
= (a;t) — семейство, до-
допускающее подста-
подстановку в /) IV 3 2
ж2, ...,Хп), К(М) . . IV 3 2
ОБОЗНАЧЕНИЙ
Глава § >*
(/ — рациональная
дробь, Xi—перемен-
Xi—переменные) IV 3 3
Yj, ...,YP) (/—много-
(/—многочлен) IV 4 1
df, df (Zj, ..., Xp', Y^,...
.... Yp) (/—много-
(/—многочлен) IV 4 1
i
(/—многочлен) ... IV 4 1
Df, -p?, f (/ — много-
многочлен одной перемен-
переменной) IV 4 1
[Di,D2] (?>!, ZJ—диффе-
ZJ—дифференцирования ал-
алгебры) IV 4 3
,2* (Я) (?—алгебра) . . IV 4 3
/в (/—многочлен с ко-
коэффициентами из А,
D — дифференцирова-
дифференцирование в Л) IV 4 4
ональнаидробь) ... IV 4 4
-*~~ (/ -~ рациональная
дробь, (х{)—семей-
(х{)—семейство, допускающее
подстановку в /) . . IV 4 4

292
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Глава7 § п°
A[[Xh,
Xi2,..., Xip]] ... IV 5 1
(,"¦), a>j (и) (и—фор-
(и—формальный ряд) .... IV 5 2
суммируемое семей-
семейство формальных ря-
рядов) IV 5 4
/(«1, «2. •••."*)(/—Фор-
•••."*)(/—Формальный ряд, ut —
формальные ряды без
свободного члена) . . IV 5 5
К {{Хи Х2, ..., Хр)),
К((Х)) IV 5 7
со (и) (к — формальный
ряд из К((Х))) ... IV 5 7
Z)jm, -^=- (к — формаль-
Ол. i
ный ряд) IV 5 8
du, du(Xu . . ., Хр;
Уь .... Ур) (и-фор-
мальпый ряд) .... IV 5 8
АР (А — часть поля, ха-
характеристическая экс-
экспонента которого р) V 1 2
расширение поля К) V 5 3
Глава § па
—подполе Q) . . V 7 1
xv~\ xVv* V 8 1
к»-\ кш, к?-"
(К—поле, характери-
характеристическая экспонента
которого р) .... V 8 1
[Е: K]s, [E:K\i.... V 8 4
N?/K(*), NE(x), N(z) V 10 6
ТгЕ/к(х),ТгЕ{х),Тт(х) V 10 6
ф(п) V И 1
Лп№ V И 2
Ф„ V И 2
Fq V 11 3
*|у, х\у VI 1 5
(ж) VI 1 5
xsx'{moAy) VI 1 5
suppKj (F — ча сть упо-
рндоченяого множе-
множества Е) VI 1 8
н. о. д (ж;), н. о. к (xi) VI 1 8
ж+, х~, | ж| (ж—элемент
решеточно-упорядо-
ченной группы) ... VI 1 11
Y~a. (а > 0 — элемент
упорядоченного поля) VI 2 4
| z | (г—элемент К (г),
где 1С—упорядочен-
1С—упорядоченное поле и !2=—1 VI 2 6

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Глава § п"
Абелево замыкание поля V, 10, 3
— расширение V, 10, 3
— уравнение V, 10, 3
Абсолютное значение
Z$K (г) (К — упоря-
упорядоченное поле) .... VI, 2, 6
— — в решеточно-упо-
рядоченной группе . VI, 1, И
Алгебра градуированная IV, 1, 3
— многочленов IV, 1, 1
— формальных степен-
степенных рядов IV, 5, 1
Алгебраически зависимые
элементы V, 5, 1
— замкнутое поле ... V, 4, 1
— — — в расширении V, 3, 3
— независимые элемен-
элементы V, 5, 1
— разделенные расшире-
расширения V, 5, 4
— свободная система . . V, 5, 1
— — часть V, 5, 1
— свободное семейство . V, 5, 1
— связанная система . . V, 5, 1
•— — часть V, 5, 1
— связанное семейство . V, 5, 1
Алгебраический элемент
над полем V, 3, 1
Алгебраическое замыка-
замыкание поля V, 4, 2
— — поля в расширении V, 3, 3
¦— расширение поля . . V, 3, 2
Артина теорема .... V, 7, 1
Глава § п"
Артина — Шрейера тео-
теорема VI, 2, 3
Ассоциированные элемен-
элементы VI, 1, 5
Базис линейный расшире-
расширения V, 5, 1
— сепарабельный транс-
трансцендентности расши-
расширения V, 9, 3
— трансцендентности
расширения V, 5, 2
Биквадратичная форма . IV, 1, 3
Бинарная форма .... IV, 1, 3
Вес однородного элемен-
элемента градуированной
алгебры IV, 1, 3
Взаимно простые много-
многочлены IV, 1, 5
— — элементы ... VI, 1, 12
Внутреннее дифферен-
дифференцирование IV, 4, 3
Градуированная алгебра IV, 1, 3
Градуированный модуль IV, 1, 3
Градуировка алгебры . IV, 1, 3
— модуля IV, 1, 3
Галуа группа многочлена V, 10, 3
— — расширения . . V, 10, 1
— расширение V, 10, 1
— уравнение V, 10, 3

294
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Глава § п°
Группа Галуа многочле-
многочлена V, 10, 3
— — расширения ... V, 10, 1
— предупорядоченная . . VI, 1, 2
— упорядоченная .... VI, 1, 1
Гильберта теорема . . V, 11, 5
Двойной корень много-
многочлена IV, 2, 4
Двучленное у равнение . . V, 11, 6
Дедекшсда теорема ... V, 7, 5
Деление евклидово много-
многочленов IV, 1, 5
Деления круга многочле-
многочлена V, 11, 2
— — уравнение .... V, 11, 2
Делимости отношение .VI, 1, 5
Делители единицы ... VI, 1, 5
Делитель строгий элемен-
элемента VI, 1, 5
— элемента VI, 1, 5
Дискретная структура
порядка VI, 1, 3
Дискриминант базиса
расширения V, 10, 6
Дифференциал многочлена^, 4, 1 и 6
— полный элемента ал-
алгебры IV, 4, 5
— рациональной дроби IV, 4, 6
Дифференциальная форма
над алгеброй IV, 4, 5
Дифференцирование ал-
алгебры IV, 4, 3
— внутреннее IV, 4, 3
— кольца IV, 4, 3
— подалгебры Е в алгеб-
peF IV, 4, 4
— частное в A [ajj, rj,...
»., *»] IV, 4, 3
в К (хи х2, ... ,хп) IV, 4, 4
в Л Цхи х2, ...
••.,*»]] IV, 5, 8
Допускающее подстанов-
подстановку семейство IV, 3, 2
Глава § п»
Дробный главный идеал . VI, 1, 5
Дробь несократимая . .VI, 1, 11
— рациональная .... IV, 3, 1
— — однородная . .IV, 3, упр. 3
симметрическая . . V, I, 1
Евклида лемма VI, 1, 12
Евклидово деление много-
многочленов IV, 1, 5
— частное IV, 1, 5
Единицы в кольце ... VI, 1, 5
Замыкание абелево поля V, 10, 3
Замыкание алгебраическое
поля V, 4, 2
— — — в расширении V, 3, 3
Идеал алгебраических со-
соотношений между хь IV, 2, 1
Идеал алгебраических со-
соотношений, которым
удовлетворяет х . . . IV, 2, 1
— главный дробный . . VI, 1, 5
Инвариантность поряд-
порядка при трансляции . . VI, 1, 1
Квадратичная форма . . IV, 1, 3
Кеатернарная форма . . IV, 1, 3
Кольцо упорядоченное . VI, 2, 1
Конечного типа расшире-
расширение V, 2, 2
Константы в A [Xl]lgj IV, 1, 3
Корень двойной много-
многочлена IV, 2, 4
— из единицы V, 11, 1
— квадратный в упоря-
упорядоченном поле .... VI, 2, 4
— кратный многочлена IV, 2, 4
— многочлена IV, 2, 4
— га-й степени из едини-
цы V, И, 1,
— первообразный п-й сте-
степени пз единицы ... V, 11, 1

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
295
Глава § п'
Корень простой многоч-
многочлена IV, 2, 4
— тройной многочле-
многочлена IV, 2, 4
— четырехкратный мно-
многочлена IV, 2, 4
Коэффициент старший
ненулевого многочле-
многочлена из Л [X] .... IV, 1, 3
Коэффициенты много-
многочлена IV, 1, 1
— формального ряда . . IV, 5, 1
Кратное единицы ... VI, 1, 5
— строгое элемента . . VI, 1, 5
— элемента VI, 1, 5
Кратность корня много-
многочлена IV, 2, 4
Кратный корень много-
многочлена IV, 2, 4
Критерий Маклейна . . V, 8, 2
Кубическая форма ... IV, 1, 5
К-автоморфизм расшире-
расширения поля К V, 2, 1
К-дифференцирование
расширения поля К V, 9, 1
К-иаоморфиам расшире-
расширения поля К V, 2, 1
К-изоморфные расшире-
расширения V, 2, 1
К-эндоморфизм расшире-
расширения поля К V, 2, 1
Лагранжа интерполя-
интерполяционная формула . . IV, 2, 4
Лейбница формула ... IV, 4, 3
Лексикографическое про-
произведение VI, 1, 6
Лемма Евклида .... VI, 1, 12
Линейная форма .... IV, 1, 3
Линейно разделенные рас-
расширения V, 2, 3
— свободное семейство V, 5, 1
Линейный базис расши-
расширения ........ V, 5, 1
Маклейна критерий . .
Максимальное упорядочен-
упорядоченное поле
Минимальный многочлен
алгебраического элемен-
элемента ...
Многочлен
— деления круга ....
— минимальный алгеб-
алгебраического элемента
—, меняющий знак в ин-
интервале
—, не содержащий сво-
свободного члена ....
xlt ie/ . . . .
— однородный полной
степени р
— — степени р относи-
относительно xv ig/ . . .
— от re переменных . .
—* сепарабельный . . .
— степени > р (> р) .
— унитарный. ....
Многочлены взаимно про-
простые . . ...
Множитель несепарабелъ-
ный степени алгеб-
алгебраического расширения
— сепарабельный степе-
степени алгебраического
расширения ....
Модуль градуированный
Моноид преду порядочен-
ный .... ....
— упорядоченный . . .
Глава
V,
VI,
V,
IV,
V,
V,
VI,
IV,
IV,
IV,
IV,
IV,
V,
IV,
IV,
IV,
V,
V,
IV,
VI,
I
VI,
8,
2,
3,
1
1,
11,
з,
2,
1,
1,
1,
1,
1,
7,
1,
1,
1,
8,
8,
1,
1,
1,
п"
2
5
1
1
2
1
4
1
2
3
3
2
6
3
3
5
4
4
3
2
1
Наибольший общий дели-
делитель двух многочленов
в К [X] IV, 1, 5
— — — (н. о. д.) эле-
элементов VI, 1, 8
Наименьшее общее крат-
кратное двух многочленов
в К [X] IV, 1, 5

296
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Глава § п°
Наименьшее общее крат-
кратное (н. о. к.) элемен-
элементов VI, 1, 8
Независимые элементы VI, 1, 12
Неприводимый многочлен IV, 1, 5
Неравенство треугольни-
треугольника в К (i) (К упорядо-
упорядочено) VI, 2, 6
Несократимая дробь . . VI, 1, 11
Норма элемента сепара-
бельного алгебраиче-
алгебраического расширения . . V, 10, 6
Нормальное расширение V, 6, 3
— уравнение V, 6, 3
Нормальный базис ... V, 10, 8
Нуль многочлена . . . IV, 2, 4
Ньютона формула ... V, I, 3
п-арная форма .... IV, 1, 3
Образующих система над-
надполя V, 2, 2
Однородная составляющая
степени р многочлена IV, 1, 3
— — — р формального
ряда IV, 5, 2
Однородная составляю-
составляющая элемента в градуи-
градуированной алгебре . . IV, 1, 3
— — — в градуирован-
градуированном модуле IV, 1, 3
Однородный многочлен . . IV, 1, 3
— элемент в градуиро-
градуированной алгебре ... IV, 1, 3
— — в градуированном
модуле IV, 1, 3
Одночлен IV, 1, 1
Остаток при евклидо-
евклидовом делении двух мно-
многочленов IV, 1, 5
Отношение делимости VI, 1, 5
— — тривиальное ... VI, 1, 5
Отрицательная часть
элемента VI, 1, 11
Отрицательный элемент VI, 1, 3
Глава § п"»
Первообразный корень
п-й степени из единицы V, И, t
Переменная IV, 1, t
Подрасширение .... V, 2
Подстановка формаль-
формальных рядов в формаль-
формальный ряд IV, 5, 5-
— х1 место Xt в много-
многочлен IV, 2, 1
Поле алгебраически замк-
замкнутое V, 4, 1
— — — в расширении V, 3, 3-
— корней многочлена . . V, 4, 2:
n-й степени из еди-
единицы V, И, 2.
— промежуточное ... V, 2
— простое V, 1, 1
— рациональных дробей IV, 3, 1
— совершенное V, 7, 3:
— упорядоченное .... IV, 2, 2
— — максимальное . . VI, 2, 2.
— формальных рядов . . IV, 5, 7
Положительный элемент VI, 1, 3-
Положительная часть
элемента VI, 1, 11
Порядок обобщенного
формального ряда . . IV, 5, Т
— полный формального
ряда IV, 5, 2
— формального ряда от-
относительно Xv i?/ .IV, 5, 2
Правило знаков . . . . VI, 2, 1 и 2
Преду по рядоченная груп-
группа VI, 1, 2
Предупорядоченный мо- .
ноид VI, 1, 2
Применение дифферен-
дифференцирования к коэффи-
коэффициентам многочлена IV, 5, 4
— представления к коэф-
коэффициентам многочлена IV, 1, 2
Примитивный элемент V, 7, 7
Принцип продолжения ал-
алгебраических тождеств IV, 2, 5

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
297
Глава § п°
Присоединение (поле, по-
полученное присоедине-
присоединением) V, 2, 2
Произведение лексикогра-
лексикографическое упорядочен-
упорядоченных групп . . . с . VI, 1, 6
Производная многочлена
в А [X] IV, 4, 1
— частная многочлена IV, 4, 1
— — рациональной дро-
дроби IV, 4, 4
Промежуточное поле . . V, 2
Простое поле V, 1, 1
— расширение V, 2, 2
Простой корень .... IV, 2, 4
Р-базис V, 8, упр.1
Радикальное расшире-
расширение V, 8, 4
Радикальный элемент . . V, 8, 1
Разложение в формаль-
формальный ряд рациональной
дроби IV, 5, 4 и 5
Разложения теоремы . VI, 1, 10
Размерность алгебраиче-
алгебраическая расширения V, 5, 2 и упр. 1
Расширение абелево . . V, 10, 3
— алгебраическое ... V, 3, 2
— Галуа V, 10, 1
— конечного типа ... V, 2, 2
— нормальное. V, 6, 3
— поля V, 2
— простое V, 2, 2
— радикальное V, 8, 4
— сепарабелъное .... V, 7, 2
— трансцендентное . . V, 3, 2
— универсальное .... V, 6, 1
— упорядоченное поля .VI, 2, 3
— циклическое V, 11, 5
— чисто трансцендент-
трансцендентное V, 5, 1
— чистое V, 5, 1
Расширения, алгебраи-
алгебраически разделенные . . V, 5, 4
Глава § п°
Расширения Галуа (ос-
(основная теорема) ... V, 10, 5
— линейно разделенные V, 2, 3
— сопряженные .... V, 6, 2
Рациональная дробь . . IV, 3, 1
— функция IV, 3, 4
Ряд обобщенный фор-
формальный IV, 5, 7
— формальный IV, 5, 1
Свободный член многочле-
многочлена IV, 1, 1
— — формального ряда IV, 5, 2
Семейство, алгебраиче-
алгебраически свободное .... V, 5, 1
—, — связанное .... V, 5, 1
—, допускающее подста-
подстановку в рациональную
дробь IV, 3, 2
Семейство линейно сво-
свободное V, 5, 1
— суммируемое фор-
формальных рядов . . . IV, 5, 4
Сепарабельное расшире-
расширение V, 7, 2
Сепарабелъный алгебраи-
алгебраический элемент .... V, 7," 6
— базис трансцендент-
трансцендентности V, 9, 3
— многочлен V, 7, 6
Симметрические функ- ¦
Ции 1,1
— рациональные дроби I, 1
Система, алгебраиче-
алгебраически свободная ... V, 5, 1
—, — связанная .... V, 5, 1
След элемента сепара-
бельного алгебраиче-
алгебраического расширения . . V, 10, 6
Сложение неравенств . . IV, 1, 1
Совершенное поле .... V, 7, 3
Сопряженные подрасши-
рения V, 6, 2
— элементы V, 6, 2

298
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Глава § п°
Составляющая однород-
однородная элемента градуи-
градуированной алгебры . . IV, 1, 3
Старший коэффициент
многочлена IV, 1, 3
Степень многочлена от-
относительно X, C.J ¦ IV, 1, 3
— полная многочлена IV, 1, 3
рациональной дроби IV, 3, 1
— рациональной дроби
относительно некото-
некоторой переменной . . . IV, 3, 1
— расширения V, 2, 1
— трансцендентности
расширения . . V, 5, 2 и упр. 1
— элемента градуиро-
градуированной алгебры .... IV, 1, 3
— — градуированного
модуля IV, 1, 3
Строго отрицательный
элемент VI, 1, 3
— положительный эле-
элемент VI, 1, 3
Структура дискретно-
дискретного порядка VI, 1, 3
— порядка, согласован-
согласованная со структурой
группы VI, 1, 1
— — согласованная
со структурой кольца VI, 2, 1
— — согласованная
со структурой монои-
да VI, 1, 1
— предпорядка, согласо-
согласованная со структурой
коммутативного моно-
ида VI, 1, 2
Сумма прямая упорядо-
упорядоченных групп .... VI, 1, 6
Суммируемое семейство
формальных рядов . . IV, 5, 4
Тейлора формула . .
Теорема Артина . .
. . IV, 5, 8
• • V, 7, 1
Глава § п"
Теорема Артина —
Шрейера VI, 2, 3
— Гильберта V, 11, 5
— Дедекинда V, 7, 5
— основная о расшире-
расширениях Галуа V, 10, 5
— разложения VI, 1, 10
— Штейница . . V, 4, 2 и V, 5,2
— Эйлера — Лагран-
жа VI, 2, 6
Тернарная форма . . . IV, 1, 3
Трансцендентное расши-
расширение V, 3, 2
Трансцендентный эле-
элемент V, 3, 1
Тривиальное отношение
делимости VI, 1, 5
Тройной корень много-
многочлена IV, 2, 4
Универсальное расшире-
расширение V, 6, 1
Унитарный многочлен IV, 1, 3
Упорядоченная группа VI, 1, 1
Упорядоченное кольцо VI, 2, 1
— поле VI, 2, 2
— расширение VI, 2, 3
Упорядоченный моноид VI, 1, 1
Уравнение абелево ... V, 10, 3
— Галуа V, 10, 3
— деления круга ... V, 11, 2
— двучленное V, 11, 6
— нормальное V, 6, 3
Форма бинарная . . . IV, 1, 3
— биквадратичная . . . IV, 1, 3
— внешняя дифференци-
дифференциальная над алгеброй IV, 4, упр. 14
— дифференциальная
над алгеброй .... IV, 4, 5
— квадратичная .... IV, 1, 3
— кватернарная .... IV, 1, 3
— кубическая IV, 1, 3

УКАЗАТЕЛЬ
Глава § п°
Форма линейная .... IV, 1, 3
— степени р IV, 1, 3
— тернарная IV, 1, 3
— п-арная IV, 1, 3
Формула интерполяцион-
интерполяционная Лагранжа .... IV, 2, 4
— Лейбница IV, 4, 3
— Ньютона V, I, 3
— Тейлора IV, 5, 8
Функция полиномиаль-
полиномиальная IV, 2, 3
— рациональная . . . IV, 3, 4
Функция симметриче-
симметрическая I, 1
— Эйлера . V, 11, 1
— элементарная симме-
симметрическая V , I, 1
Характеристическая экс-
экспонента V, 1, 2
Целый в поле VI, 1, 5
Частная проиаводная
многочлена IV, 4, 1
— — рациональной дро-
дроби IV, 4, 4
Частное дифференциро-
дифференцирование алгебры много-
многочленов IV, 4, 3
— — — формальных
рядов IV, 5, 8
— — поля рациональ-
рациональных дробей IV, 4, 4
— евклидово многочле-
многочлена при его делении на
унитарный многочлен IV, 1, 5
Часть, алгебраически
свободная V, 5, 1
—, — связанная .... V, 5, 1
— отрицательная эле-
элемента VI, 1, 11
— положительная эле-
элемента VI, 1, 11
терминов 299
Глава § п°
Четырехкратный корень
многочлена IV, 2, 4
Чисто трансцендентное
расширение V, 5, 1
Чистое расширение ... V, 5, 1
Чистый бавис V, 5, 1
Член многочлена .... IV, 1, 1
— полной степени р
в многочлене .... IV, 1, 3
— — — в формальном
ряде IV, 5, 2
— свободный многочле-
многочлена IV, 1, 1
— — формального ряда IV, 5, 2
— степени р относи-
относительно Xv i?/, в мно-
многочлене IV, 1, 3
— — — в фор-
формальном ряде .... IV, 5, 2
Член формального ряда IV, 5, 1
Штейница теорема V, 4, 2 и V, 5, 2
Эйлера — Лагранжа тео-
теорема VI, 2, &
Эйлера функция .... V, 11, 1
Экспонента характери-
характеристическая V, 1, 2
Экстремальный элемент VI, 1, 13
Элемент алгебраический
расширения V, 3, 1
— из А кратности
!> h относительно мно-
многочлена из А [X] . . IV, 2, 4
— отрицательный . . . VI, 1, 3
— положительный . . VI, 1, 3
— примитивный расши-
расширения V, 7, 7
— радикальный расши-
расширения V 8, 1
— сепарабелъный алгеб-
алгебраический расширения V, 7, 6
— строго отрицательный VI, 1, 3

300 УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Глава § п° Глава § п'
Элемент строго поло- Элементы ассоциирован-
жительный VI, 1, 3 ные VI, 1, 5
— трансцендентный — вааимно простые . . VI, 1, 12
расширения V, 3, 1 Элементы независимые VI, 1, 12
— экстремальный . . VI, 1, 13 — — в совокупности . .VI, 1, 12
Элементарные симме- ¦— — попарно ..... VI, 1, 12
трические функции V, I, 1 — однородные градуиро-
Элементы алгебраически ванного модуля .... IV, 1, 3
зависимые расшире- —¦ — градуированной ал-
ния V, 5, 1 гебры IV, 1, 3
— — независимые рас- ¦— сопряженные расши-
ширения V, 5, 1 рения V, 6, 2