АКАДЕМИЯ НАУК СССР
4 '
волноводов
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
Б. М. МАШКОВЦЕВ, К. Н. ЦИБИЗОВ,
Б. Ф. ЕМЕЛИН
ТЕОРИЯ
ВОЛНОВОДОВ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА • ЛЕНИНГРАД
1966
3-4-2
469-66
ПРЕДИСЛОВИЕ
Общая теория волноводов и резонаторов (особенно нерегу-
лярных, которые широко применяются в современной технике
СВЧ) должна охватывать как анализ электромагнитного поля
в них, так и определение внешних параметров элементов
устройств СВЧ и методов расчета схем по внешним параметрам
элементов.
Одна из попыток построения такой теории была сделана
в книге Н. Л. Когана, Б. М. Машковцева и К. Н. Цибизова
«Сложные волноводные системы» [29]. Само название и цель
книги обязывали не ограничиваться только теорией. Книга
включала большое число решений для частных инженерных
устройств, таких, как плоско-поперечные стыки волноводов,
сочленения через боковую поверхность, антенные переключа-
тели, возбудители волны Яо1, секторно-винтовые волноводы,
модель детектора в волноводе и др.
В связи с тем что к настоящему времени получены новые
результаты в области теории, расширяющие круг решаемых
задач, возникла необходимость обобщения и изложения в по-
следовательной форме общих методов расчета нерегулярных
волноводов и резонаторов. Эту цель и преследует предлагае-
мая монография «Теория волноводов». Вышеперечисленные част-
ные вопросы, содержащиеся в книге «Сложные волноводные
системы», интересные сами по себе, выпадают из общего плана
и замысла данной монографии и поэтому в нее не включены.
Вместо них развиты следующие новые вопросы теории:
расчет волноводов сложного поперечного сечения (гл. 2);
связь волн за счет потерь и деформации поверхности (гл. 4);
Диффракция электромагнитного поля малыми отверстиями
(гл. 4);
определение внешних параметров устройств с проводнико-
выми элементами внутри (гл. 6);
матричные методы расчета соединений многополюсников
(гл. 7);
1*
3
рупорные сочленения (гл. 8);
методы анализа и синтеза направленных фильтров (гл. 9).
Естественно, что для последовательности и ясности изложе-
ния необходимо было сохранить часть материала предыдущей
книги (к ним относятся главы 1, 3, 5, часть глав 6 и 7 дан-
ной монографии).
Книга начинается (гл. 1) с анализа поля в волноводах
с переменным сечением вдоль продольной координаты, по кото-
рой происходит распространение волны. Для этой цели обоб-
щается метод собственных функций и волноводных уравнений,
предложенный впервые для цилиндрических волноводов
чл.-корр. АН СССР Г. В. Кисунько.
Главная особенность предлагаемого метода заключается
в том, что при поперечном сечении, не ортогональном к боко-
вой поверхности волновода, решение электродинамической за-
дачи проводится в косоугольных криволинейных координатах.
В отличие от известного метода «плоских поперечных сече-
ний» поле представляется здесь с помощью собственных век-
торных функций, которые в отдельности удовлетворяют гранич-
ным условиям. В конечном результате для амплитуд поля при
этих функциях получена бесконечная система волноводных диф-
ференциальных уравнений первого порядка с переменными
коэффициентами, в которой взаимосвязано все бесчисленное
множество типов волн.
Далее этот же метод впервые (гл. 2) применен для прибли-
женного определения собственных функций и собственных зна-
чений цилиндрических волноводов сложного поперечного сече-
ния. Суть метода заключается в определении режима стоячих
волн вдоль одной из поперечных координат, рассматриваемой
как координата, по которой происходит распространение волны;
при этом поле принимается независимым от продольной коор-
динаты.
Решение системы дифференциальных уравнений (гл. 3)
дается в диагональном приближении методом присоединенных
уравнений. Как частные случаи из него вытекают методы функ-
ций Эйри и Бриллюэна—Вентцеля—Крамерса. В силу особен-
ностей сформулированных собственных функций решение полу-
чается достаточно точным даже при не очень медленных изме-
нениях параметров волноводов. В качестве примера исследуются
резонансные явления в междуволноводных резонаторах с пере-
менным сечением, примечательных тем, что оптически они про-
зрачны, а электрически имеют отражающие сечения для волн
высших типов.
Главы 1, 2 и 3 написаны К. Н. Цибизовым.
Из общих уравнений сделан переход к цилиндрическим вол-
новодам и резонаторам (гл. 4). В этой главе, написанной
Б. Ф. Емелиным, систематизированы и развиты основные поло-
4
женин теории возбуждения поля сосредоточенными источниками,
характеризуемыми дипольными моментами электрического и
магнитного типа. Кроме того, рассмотрен вопрос о потерях
в стенках и о связи волн через эти потери. Показывается, что
связь проявляется особенно заметно для вырожденных типов
волн.
В гл. 5 сформулированы общие принципы для определения
внешних параметров электродинамических устройств. Они бази-
руются на представлении электромагнитного поля на внешних
границах устройств по собственным векторным функциям, ко-
торые могут быть построены на основе решения мембранных
уравнений для геометрических поверхностей границ. Укороче-
ние рядов позволяет получить решение по Галеркину. Таким
образом, вычисление этих параметров можно производить с за-
данной или контролируемой степенью точности.
Приведенная интегральная формулировка внешних парамет-
ров охватывает как электродинамические, так и квазистацио-
нарные системы, что создает необходимую предпосылку для
обобщения соответствующих методов расчета электрических
схем.
Конкретно определение внешних параметров произведено
в гл. 6 для цилиндрических волноводов и резонаторов, содер-
жащих отверстия в своей металлической оболочке и провод-
ники внутри нее (произвольные по форме и расположению).
Процесс вычисления этих параметров в максимальной степени
подготовлен для реализации с помощью машин. Здесь же уста-
новлено преобразование параметров электродинамических
устройств к амплитудам распространяющихся волн в волново-
дах и получено в каноническом виде уравнение волноводного
многополюсника как части цепи.
На основе этого в гл. 7 развита теория схем СВЧ с исполь-
зованием волновых матриц, наиболее естественно характеризую-
щих поведение волноводного многополюсника в цепи. Детально
рассматривается вид волновых матриц часто встречающихся
многополюсников СВЧ, обосновываются новые матричные ме-
тоды расчета соединений многополюсников с согласованными и
несогласованными нагрузками.
Гл. 5 и §§ 1, 4 и 5 гл. 6 написаны Б. Ф. Емелиным и
Б. М. Машковцевым совместно; §§ 2, 3 и 6 гл. 6 и гл. 7
написаны Б. М. Машковцевым.
В гл. 8 общие методы косоугольных координат применяются
к исследованию рупорных сочленений; рассчитываются элементы
матрицы рассеяния сочленения рупора с волноводом. Для срав-
нения задача о поле в рупоре решается различными методами.
Глава написана К. Н. Цибизовым.
Теория схем СВЧ используется в гл. 9 для исследования
широкого класса направленных фильтров СВЧ, сочетающих
5
свойства полосового пропускающего (или заграждающего)
фильтра и направленного ответвителя. Разработан метод син-
теза таких фильтров, позволяющий определить их параметры
исходя из требований к многоканальной системе в целом.
Глава написана Б. М. Машковцевым.
Книга представляет собой изложение результатов исследо-
ваний авторов в области теории и техники волноводно-резона-
торных устройств, выполненных ими в течение ряда лет.
ГЛАВА 1
ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
ДЛЯ ВОЛНОВОДНЫХ СИСТЕМ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ
§ 1. ВОЛНОВОДЫ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ И СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Рис. 1. Общий вид сложного вол-
новода продольного профиля.
Понятие о волноводах сложной формы
и постановка задачи
Систему, предназначенную для передачи электромагнитной
энергии и представляющую собой диэлектрический канал, огра-
ниченный боковой поверхностью произвольной формы, будем
называть волноводной или просто волноводом. Боковая поверх-
ность волновода — это поверхность раздела между двумя сре-
дами, при переходе через ко-
торую один из параметров сре-
ды: диэлектрическая проницае-
мость е, магнитная проницае-
мость р, или проводимостью —
резко меняется. В зависимости
от этого параметра различают
металлические, диэлектриче-
ские и другие виды волново-
дов.
Простейший волновод пред-
ставляет собой металлическую
цилиндрическую трубку, целиком заполненную воздухом или
другим диэлектриком.
В настоящей работе рассматриваются сложные волноводы,
ограниченные металлической поверхностью, которая в боль-
шинстве случаев будет полагаться идеально проводящей. Схема
волновода сложной формы изображена на рис. 1.
Поперечное сечение волновода может быть переменным,
а его продольная ось — какой-то пространственной кривой;
комплексные проницаемости s (их, zz2, u3) и рь (u1? u2, u3) мо-
гут быть в общем случае** функциями всех трех координат.
Систему координат их, п2, и3 выбираем так, чтобы и3 была
координатой, вдоль которой распространяется электромагнит-
ное поле. Две другие координаты и и2 назовем попе-
7
речными. Все три координаты un п2, н3 выбираются так, чтобы
они образовывали правовинтовую систему.
Боковая поверхность волновода 5бок (рис. 1) описывается
наиболее просто в системе координат, в которой поперечные
координаты и и2 выбраны так, чтобы координатные по-
верхности их = const и u2 = const совпадали с боковой поверх-
ностью.
Может оказаться, что боковая поверхность волновода по-
требует для своего описания не ортогональных, а косоугольных
поперечных координат; например, для треугольного волновода
Рис. 2. Поперечное сече-
ние треугольного волно-
вода.
(рис. 2) и1 = х и ц2 = ср.
Из рис. 1 видно, что боковая поверх-
ность волновода «вырезает» на коорди-
натной поверхности w3 = const некоторую
двухмерную область 5, ограниченную
замкнутым контуром Область S бу-
дем называть поперечным сечением, а ее
границу X— контуром поперечного сече-
ния.
Необходимо обратить внимание на сле-
дующее. Если выбор поперечных коорди-
нат определяется формой реальной боковой
поверхности волновода, то продольная
координата и3 может выбираться произ-
вольно, так как под поперечным сечением волновода можно
понимать двухмерную область 5, лежащую на поверхности
произвольной пространственной формы.
Например, пусть волноводная система имеет форму сектори-
ального рупора (рис. 3). Боковая поверхность его наиболее
просто описывается в поперечных координатах wx = cp, u2 = z.
Что же касается продольной координаты и3, то ее можно взять
как в виде цилиндрической координаты п3 = г, так и в виде
декартовой координаты и3 — х. Из рис. 3 видно, что попереч-
ное сечение рупора будет представляться при этом либо в виде
части цилиндрической поверхности г = const, либо в виде части
плоскости х = const; окончательный выбор формы поперечного
сечения определяется удобством решения задачи в каждом
конкретном случае. Например, при решении задачи о сочлене-
нии секториального рупора с прямоугольным волноводом
(рис. 3) удобно взять в качестве поперечного сечения рупора
именно плоское сечение и3 = ж.
В зависимости от выбора продольной координаты попереч-
ное сечение в одних случаях может быть ортогональным к бо-
ковой поверхности (например, r=Tconst на рис. 3), а в дру-
гих— неортогональным к ней (например, х = const на рис. 3).
Если поперечные координаты ил и и2 выбраны для наиболее
простого описания 5б0К, то поперечное сечение будет ортого-
8
нальным к 5б0К только в том случае, когда продольная коорди-
ната и3 выбрана ортогональной к обеим поперечным координа-
там и и2.
В связи с этим если при расчете сложных волноводных
систем ставить требование о выборе обязательно ортогонального
поперечного сечения к 5б0к, то придется решать задачу о вы-
боре третьей координаты и3, ортогональной к двум заданным
координатам и а2. Эта задача в теории поверхностей полу-
чила имя ее автора Кэли [21]. Решение задачи Кэли оказывается
Рис. 3. Сочленение векториального рупора с прямоуголь-
ным волноводом.
сложным, так как приводит к дифференциальному уравнению
третьего порядка. Практически она решается только для сравни-
тельно простых случаев, поэтому при расчете волноводов
сложной формы часто выбранная продольная координата не бу-
дет ортогональной к поперечным координатам ur и н2, которые
в свою очередь могут быть также неортогональными.
Таким образом, в очень большом числе практических слу-
чаев системы координат для описания волноводов сложной
формы будут косоугольными (в некоторых случаях, однако,
они могут быть и ортогональными).
Косоугольность системы координат обусловливает необходи-
мость применения методов решения задач, существенно отлич-
ных от методов для ортогональных координат.
Задача распространения электромагнитного поля в волно-
иоде сводится к интегрированию уравнений Максвелла при
заданных возбудителях и граничных условиях на границах
Раздела. Если рассматривать отрезок волновода между сече-
ниями u3 = u31 и u3 = u32 (рис. 1), то граничные условия
9
должны быть заданы на боковой поверхности между этими
сечениями и на самих сечениях и S2.
Возбуждение волновода осуществляется объемными токами,
распределенными в диэлектрической полости, и электрическими
полями на отверстиях в металлической боковой поверхности.
В настоящей работе рассматриваются установившиеся про-
цессы в волноводе при гармонической временной зависимости
по закону
После таких предварительных замечаний задачу о поле
в волноводе сложной формы математически можно сформули-
ровать следующим образом.
Необходимо проинтегрировать уравнения Максвелла
rotH = fo)eE + j,	(1. la)
rot Е = —/о)|лН	(1.16)
в косоугольной системе координат и2, и3 при заданных ис-
точниках: токах j, распределенных в полости волновода, и ка-
сательных составляющих поля на отверстиях в боковой по-
верхности £бок и поперечных сечениях и S2 (рис. 1).
На идеально проводящей металлической поверхности волно-
вода граничные условия для электрического Е и магнитного Н
полей имеют вид
[Еп] = 0,	(1.2а)
Нп = 0,	(1.26)
где п — орт внешней нормали к боковой поверхности (рис. 1).
Среда, заполняющая полость волновода, предполагается
изотропной с диэлектрической и магнитной проницаемостями
e(zzp u2, w3) и p(zzp и2, а3), в общем случае зависящими от
всех трех координат.
Если возбудители поля в виде токов j и отверстий в боко-
вой стенке с возбуждающими полями на них отсутствуют,
то волновод назовем регулярным. Задача о поле в регулярном
волноводе сведется к интегрированию однородных уравнений
Максвелла.
Волновод с возбудителями будем называть нерегулярным.
Поле в нерегулярном волноводе может быть определено только
в результате решения задачи возбуждения, которая заключается
в интегрировании неоднородных уравнений Максвелла.
Решение неоднородных уравнений Максвелла для волново-
дов сложной формы мы будем проводить по методу Г. В. Ки-
сунько для цилиндрических волноводов, которая заключается
в следующем:
10
а) поле в волноводе представляется в виде векторных рядов
по собственным векторным функциям Sa и
® — 2
(а)
Н = 2
(6)
где Ua и!ь— амплитудные коэффициенты разложения; ра и аь —
весовые функции;
б) собственные векторные функции £а и образуются на
основе скалярных собственных функций и фА некоторого
двухмерного самосопряженного оператора на поверхности по-
перечного сечения;
в) амплитудные коэффициенты Uа и 1Ь находятся из волно-
водных уравнений (или системы таких уравнений).
Прежде чем перейти к интегрированию уравнений Максвелла
для волноводов сложной формы по изложенной методике, рас-
смотрим некоторые соотношения в косоугольных координатах
и докажем ряд интегральных выражений.
Некоторые соотношения в косоугольных координатах
Пусть косоугольные координаты
наиболее удобными для данного
Hi, w2> цз» которые являются
волновода сложной формы
(рис. 4), заданы в виде одно-
значных функций от декарто-
вых ортогональных координат
=	(х,	у,	Z),
и2 — и2(х, у, Z),
u3 = u3 (х, у, Z), .
из которых можно получить и
обратные зависимости
х = х(их, п2, и3),
У — У^ и2, и3),
Z = Z (lip u2, u3).
(1.4)
Тогда ux = const, u2 = const, Рис. 4. Косоугольная криволиней-
u3~ const будут уравнениями ная система координат для волно-
координатных поверхностей. вода сложного °Р°ФИЛЯ-
Эти три координатные поверх-
ности пересекутся по трем координатным линиям. Любая точка
в пространстве Р и2, и3) определяется пересечением трех ко-
ординатных поверхностей или трех координатных линий.
11
В каждой такой точке Р, как это видно из рис. 4, имеют
место две тройки характерных направлений или две тройки
векторов. Одну тройку составляют векторы, обозначаемые Rp
R2, R3 (с индексами внизу), каждый из которых будет каса-
тельным к соответствующей координатной линии и, следова-
тельно, к двум другим координатным поверхностям. Например,
вектор R3 будет касательным к координатной линии и3 и двум
координатным поверхностям ux=: const и и2 = const. Чтобы ука-
занные векторы были касательными к координатным линиям,
необходимо взять их в виде производной радиус-вектора точки
R (и1? и2, и3) по соответствующей координате, т. е.
R1 = ^., Rj=^, R3=^.	(1.5а)
1 ди,} ’ z да2 ’	3 ou^	v 1
Если радиус-вектор записать в декартовых ортогональных
координатах
R = a:e4.4-i/e2,-(-ze„	(1.56)
где еЛ, — координатные орты декартовой ортогональной
системы координат, то для любого из векторов Rt (f = l, 2, 3)
получаем выражение
R/ = ^eir-)-^-e„ + ^-ex.	(1.6)
* dui х 1 ди,} У 1 dtti е	'	'
Например, для вектора R3 имеем
Н3 = ^еЛ + ^-е„4-^-ег.	(1.7)
3 ди§ х 1 ди§ у 1 ди% 2	'	'
В выражениях (1.6) и (1.7) декартовы координаты как
функции новых координат и2, и3 должны быть взяты из (1.4).
Векторы Rp R2, R3, определенные согласно (1.5) или (1.6),
называются координатными векторами, а их модули — метри-
ческими коэффициентами, или коэффициентами Ламе. Любой
из трех координатных векторов можно представить в виде
R< = *A,	(1.8)
»
где Ri — метрический коэффициент; е£ — координатный орт.
В косоугольных координатах общего вида координатные
векторы Rp R2 и R3 не будут ортогональными между собой и
поэтому скалярные произведения от разноименных векторов не
будут равны нулю
gv = R(Ry^O при	(1.9)
где i = l, 2, 3 и /=1, 2, 3.
12
Отсюда следует, что условием ортогональности системы ко-
ординат должно быть равенство нулю скалярных произведений
разноименных координатных векторов
gv = 0 при j=^=i.	(1.10)
Другую тройку в точке Р составляют векторы R1, R2, R3
(с индексами вверху), нормальные к каждой из трех коорди-
натных поверхностей. Они называются взаимными. Чтобы ука-
занные векторы были нормальными к координатным поверхно-
стям, необходимо взять их пропорциональными векторным про-
изведениям двух соответствующих координатных векторов
г» 1_ [R2R3I т>2_ [^3^1]	Т>3_ №11*2]	/4 4 4 \
n — [R^Ri ’ n — [R3RJR2 ’	— [R1R2JR3 ’ k 4
В общем виде эти выражения можно записать следующим
образом:
г» а_	/4 л п\
R -(1Л2)
где индексы а, р и у должны быть взяты в соответствии с пра-
вой круговой перестановкой.
Из формул (1. И) видно, что векторы R1, R2 и R3 будут
нормальными к координатным поверхностям = const, и2 =
= const и u3 = const соответственно. Коэффициент пропорцио-
нальности в соотношениях (1.11) в виде смешанного произве-
дения координатных векторов, которое имеет специальное обо-
значение
V? = lRaR₽]RY = lRA]R₽=[WR«’	(!•13)
взят для того, чтобы скалярные произведения одноименных ко-
ординатного и взаимного векторов были бы равными единице
R1R1 = 1, R2R2 = 1, R3R3 = 1,	(1.14)
или в общем виде
RJV=1.	(1.15)
Равенства (1.14) и (1.15) непосредственно следуют из (1.11)
и (1.12). Из соотношений (1.11) и (1.12) видно, далее, что
скалярные произведения разноименных координатного и взаим-
ного векторов будут всегда равны нулю
RJV = 0 при j=£i.	(1.16)
Соотношения (1.15) и (1.16) можно записать в виде одной
формулы
R<R/=8fy,	(1.17)
13
где (здесь и везде далее) ..будет означать:
§	/1 при J = f,
(0 при J =7^=1.
Если известны взаимные векторы, то координатные можно
получить из соотношения, аналогичного (1.12), т. е.
R = [R3RT}
а [R0RT]Ra ’
(1.18)
Перемножая (1.12) и (1.18) и учитывая (1.17), а также
векторное тождество
[ab] [cd] = (ас) (bd) — (be) (ad),	(1.19)
получим соотношение между смешанными произведениями ко-
ординатных векторов из (1.13) и взаимных векторов из (1.18)
[R“R3] RT =--------=4= •	(1 • 20)
L J [R«RP]Rr <g
Связь между координатными и взаимными векторами можно
записать, согласно (1.12), (1.18) и (1.20), в виде
R'=-L[RR], Re=^[R₽RT].	(1-21)
Vg р 1
где а, (3, у означают три индекса 1, 2, 3, взятых в любой по-
следовательности в соответствии с правой круговой перестанов-
кой. Например, если а = 3, то для Ra = R3 получим
R^tRAJ.	(1-22)
Vg
В косоугольных координатах u2, и3 выявилось шесть ха-
рактерных направлений: три координатных вектора R1? R2, R3
и три взаимных R1, R2, R3. Особенно нужно подчеркнуть то,
что в косоугольных координатах общего вида направления
одноименных координатного (например, R3) и взаимного (в дан-
ном случае R3) векторов не совпадают (рис. 4).
Это показано, в частности, и на рис. 3 для случая, когда
в качестве продольной координаты взята и3 — х. Только в орто-
гональных координатах вышеуказанные направления совпадают,
и тогда имеем дело лишь с координатными векторами: их ор-
тами ех, е2, е3 и модулями (метрическими коэффициентами) /?1,
/?2, 7?3. При этом модули взаимных векторов являются величи-
нами, обратными метрическим коэффициентам =
14
В косоугольных координатах необходимо иметь дело с обеими
тройками векторов, так как для описания касательных состав-
ляющих поля на поверхностях удобны координатные векторы
(они касательны к координатным поверхностям), а для описа-
ния нормальных составляющих к поверхностям удобны взаим-
ные векторы (они нормальны к координатным поверхностям).
Любой вектор в пространстве можно теперь представить
в виде разложений как по координатным векторам
A = ^1R1-|-^2R2 + 43R3=S^%i	(1.23а)
(О
так и по взаимным
А = AR1 + 42R2 + A3R3 = 2 Aft.	(1. 236)
(У)
Величины А* называются контрвариантными, a Aj — кова-
риантными компонентами вектора А. С учетом (1.17) они на-
ходятся следующим образом:
A‘ = AR\ Ay = ARy,	(1.24)
например
A2 = AR2, A3 = AR3.
При необходимости вектор А можно представить в виде
смешанного разложения, например
А = AiR1 + A2R2 + A3'R3.	(1.25)
Тогда компоненты будут определяться более сложным об-
разом
А[ = А,—— А3,
1 ?зз 3
Д'— Д _Оз л
2- 2 gss3’
А3' = — А3,
gss 3
(1.26)
где Aj (j=l, 2, 3) определяются согласно (1. 24), a g^-R^j.
Введенные в рассмотрение векторы R, и R*7 примечательны
также тем, что через них выражаются все элементы интегриро-
вания dl, dS, dV, операции пространственного дифференциро-
вания: grad, div, rot и др.
Действительно, квадрат элемента длины (dZ)2 есть не что
иное, как (dR)2, где приращение dR, согласно (1.5а) и (1.56),
равно
dR — R1du1 4- R2du2 4- R3du3.
15
Отсюда получаем
(dZ)2 = gn (dutf 4- g22 (du2)2 + g33 (du3)2 +
-J- 2gV2du1du2 -|- 2g23diz2dK3 -J- 2g31d«3du1.	(1.27)
В частности, элементы длины вдоль координатных линий
(необходимые, например, при вычислении линейного интеграла
по контуру поперечного сечения) будут равны
dlr = Rrduv dl2 = T?2du2, dl3 — R3du3.	(1. 28)
Элемент координатной поверхности zza = const (a = l, 2, 3)
можно получить как модуль векторного произведения из двух
соответствующих векторов элементов длин
dsa==|[dViT]|,
где векторы dip и dly, согласно (1.28), имеют вид
dip Rpdup, dly Rydu^.
Подставляя эти значения векторов в выражение d5a, получим
d5a=|[RpRYl|dapdur	(1.29)
Модуль векторного произведения в (1.29), который будем
обозначать через Z>a, возьмем из (1.21)
Pe=|[R3Ry]| = ^.	(1.30)
G учетом этого для элемента поверхности получим
dS* = D*-du^dur	(1.S1)
Например, для элемента поверхности и3 = const, т. е. эле-
мента поверхности на поперечном сечении волновода,
dS3z=D3du1du2.	(1.32)
В дальнейшем у этого элемента поверхности, как наиболее
часто встречающегося, индекс 3 будем опускать, т. е.
dS = Ddujdug,	(1. 33)
где величина D — D3, согласно (1.30), будет равна:
D = \lgR\	(1.34)
Отсюда для смешанного произведения получим
(1-35)
16
Известно, что элемент объема получается как модуль сме-
шанного произведения из векторов элементов длин по всем трем
координатным линиям:
dV == |	dl3|,
или, согласно (1.28) и (1.13),
dV -==-\!gdti-^du^du^.	(1. 36)
Подставляя в это выражение значение \Jg из (1.35) и при-
нимая во внимание выражение (1.33) для элемента поперечного
сечения dS, получим, в частности, следующее значение элемента
объема:
dV = ±-3dSdu3.	(1.37)
Для элемента поверхности на поверхностях = const и
и2 = const, т. е. на боковой поверхности волновода, в соответ-
ствии с (1. 29) имеем
dS1 = | [е2е3] | 7?2</&2./?3б/1£3
или с учетом (1.28)
dSr = | [е2е3] | R3dl2du3	(1. 38 а)
и аналогично
dS2 = | [e3ej | R3dlrdu3.	(1. 386)
В обобщенном виде элемент боковой поверхности волновода
можно записать
dS^ = ^l}R3dldu3,	(1.39)
где dl — элемент длины контура поперечного сечения (рис. 4),
а ср (Z) — функция, равная модулю векторного произведения
в (1.38).
Формулы для операций пространственного дифференцирова-
ния приведем без доказательства (подробно эти вопросы изло-
жены в работах [18] и [21]):
gradF = VF =	7=1, 2, 3,	(1.40)
divA = -^2^/^ i = l, 2, 3,	(1.41)
ё (О
* (*’) (/) 3
2 Теория волноводов
17
где gv' = R*R7,
rot A = Rj rot1 + R2r°t2 + R3 rot,S’
rot1 —
~ Vg\<^2	du3)'
.	1	/^л1_d43\
10 Ь —	y'g	\ ди3	диг)	’
3	1	(dAi___MA
rot ~	<Jg	1 dui	dtw	’
(1.43)
§ 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
МАКСВЕЛЛА
Докажем сначала интегральное соотношение, которое пона-
добится нам в дальнейшем. Если S — поперечное сечение вол-
новода, ограниченное контуром и А — любой вектор, задан-
ный на этом сечении, то имеет место следующее интегральное
соотношение:
{ ± div AdS =^- J -1ARMS + f An? (Z) R3dl,	(1.44)
s	3 8	se
Рис. 5. Отрезок волновода сложного
продольного профиля.
где п — орт внешней норма-
ли к боковой поверхности,
а функция ср (Z) взята из
(1.39).
Действительно, выделив
объем элементарного слоя
волновода, заключенный*
между поперечными сечения-
ми 531 и 532, взятыми при
значениях продольной коор-
динаты и31 и и32 соответственно (рис. 5), и проинтегрировав
по нему выражение div А, получим
J div AdV = f AdS31+ J AdS32-f- J AdS60K.
У	^32	S6oK
(1.45)
Учитывая, что элемент объема dV и элементы поверхностей
в (1.45) выражаются в данном случае, согласно (1.37) и (1.39),
следующим образом:
dV = -дз dSdu3, dS6oK = nep (Z) R3dldu31
dS3l = — RMS, dS32 = ±R3dS,
18
получим
d«8f Ijdiv kdS = J ^ARW- j ±3AR3dS +
&	^32	S31
(1.46)
Поскольку сечения 531 и 532 расположены на расстоянии
элементарного приращения продольной координаты du3, то раз-
ность первых двух интегралов в правой части (1.46) можно
записать в виде
. Г -^AR3d5— f -iAR3d5 = du3/-fiAR3d5. (1.47)
> J Я3	J 7?3	d du3 J 7?3	'	1
8зг	83l	8
Если подставить значение разности интегралов из (1.47)
в (1.46), то после сокращения на du3 получим доказываемое
соотношение (1.44). На основании полученного соотноше-
ния (1.44) выведем два важных интегральных соотношения для
уравнений Максвелла (1.1).
Если векторы электрического и магнитного полей Е и Н
удовлетворяют уравнениям Максвелла, то при любых векторах
£а и 3^ удовлетворяющих граничным условиям
[<gan] = 0, ^п = 0	(1.48)
на боковой поверхности волновода [т. е. как в (1.2)], будут
справедливы следующие интегральные соотношения:
J н ± rot s.ds -	f н ± (П’а.1 ds =
8	8
= i<»eop J	dS + { jSa ±3 dS,	(1. 49a)
8 Cp	8
-jE-Lrot^6dS-^-(E^iR»]dS =
8	8
= i^ep J НЖ dS + £ E. [^n] T (Z) R3dl,	(1. 496)
где через ecp и p-cp обозначены усредненные на поперечном сече-
нии S диэлектрическая и магнитная проницаемости:
e«p=4’fed'5, HcP=4‘fiAd'5,
8	8
2*
19
Чтобы получить соотношения (1.49), умножим уравнение
1 * 1
Максвелла (1.1а) на а уравнение (1.16) — на
^3 Sa ro^ Н ==	Е£а 4" дз
-р Н4 rot Е = —1(0(1,	Н^.
Воспользовавшись соотношением из векторного анализа
a rot b = b rot а — div [ab],
получим
н ^3 rot Sa — div [£eH] = j(oeE<Je -f- -L j£a,
— E rot	— -^з div [E^j] =	.
Проинтегрируем эти равенства по поперечному сечению вол-
новода:
J Нrot — j	d iv [£аНW ==
8	8
— ^8ср J	+ J 3&а дз
8	<₽	8
- J Е rot &gbdS — j* £3 div [ЕЖ J dS — ia)|icp j	dS.
8	8	8	CP
Применим ко вторым интегралам в левых частях этих урав-
нений полученное ранее соотношение (1.44)
div[&H]dS = ^J-^[«VI]R3dS+ (f[<VI]n?(W^ (1.50а)
8	3 8	se
J ± div [ЕЖ.1 ds = A J -L [EMb] R3dS +
+ f [E^] n<p (Z) R3dl.	(1. 506)
Если учесть теперь, что вектор Sa на контуре удовле-
творяет граничному условию (1.48), то контурный интеграл
в (1.50а) обратится в нуль.
Подставляя полученные значения интегралов из (1.50)
в написанные выше уравнения, получим интегральные соотно-
шения (1.49).
Векторы Sa и удовлетворяющие, согласно (1.48), тем же
граничным условиям, что и векторы электрического и магнит-
20
но г о полей Е и Н на идеально проводящей боковой поверхности
волновода [согласно (1.2)], и имеющие сходные с ними обозна-
чения, сами по себе не являются какими-либо полями, удовле-
творяющими уравнениям Максвелла. Векторы Sa и 3%>ь— пока
просто произвольные векторы, удовлетворяющие граничным
условиям (1.48) на боковой поверхности волновода.
§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА МЕТОДОМ
СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРНЫХ ФУНКЦИЙ
На основании теоремы о единственности представления
пространственного вектора в виде суммы трех и только трех
некомпланарных векторов, векторы электрического и магнит-
ного полей Е и Н можно представить в виде
E = E3e-|-Ege-]-ЕдА, 1
h=h3A+h^+h,J
где составляющие векторы Ед и НА должны удовлетворять
условиям некомпланарности, т. е.
[Е3вЕ?е] Е?4 0,	(1.52а)
[НЛН,*]Н,.^О.	(1.526)
Если найти шесть некоторых полных и ортогональных на
поперечном сечении волновода S систем собственных векторных
функций, то шесть составляющих полей в (1.51) можно было бы
представить в виде рядов по этим собственным векторным
функциям:
Е3е = 2 изер3её^е1 ®ge = 2^ qePqe&qei ^qh:==2^l^qhP qh&qh>	(1.53a)
(*) («) (*)
=	HgA = 2 IqlPqhffiqh)	— 2 Iqe^qe^qe^ (1 • ^36)
(А)	(A)	(e)
где <£й(а = 3е, qe, qti) и 3^b(b — 3h, qh, qe)— собственные век-
торные электрические и магнитные функции соответственно;
Ua и 1а — амплитудные коэффициенты разложения при собствен-
ных векторных функциях; ра и аь— весовые положительные
функции на поперечном сечении (смысл индексов в обозначе-
ниях будет раскрыт ниже).
Собственными векторными функциями волновода мы назы-
ваем векторы, образующие полные и ортогональные системы на
поперечном сечении 5, удовлетворяющие определенным гранич-
ным условиям (1.48) на боковой поверхности и предназначен-
ные для разложения полей Е и Н в волноводе в ряды. Как
будет показано ниже, собственные функции образуются на
основе полных систем собственных скалярных функций.
21
(1.55)
Поля Е и Н, согласно (1.51) и (1.53), можно представить
в виде следующих разложений в ряды.:
Е = 2	+ 2 qePqe^qe +2 qh9qh&qh = 2 Uа9а$м	(1- 54а)
(е)	(в)	(Л)	(а)
Н = 2 зйЛ + 2 qhQqh&fiqe°qe&fiqe = 2 Ц^ьЗ^Ъ- (1-546)
(А)	(Л)	(*)	(&)
На основании условий некомпланарности (1.52) и разложе-
ний (1.53) и (1.54) можно предъявить следующие наиболее
жесткие условия некомпланарности для собственных векторных
функций:
[<?3e<?gJ £qh	0>
[Ж злЖ 3$qe 7^ 0.
Эти условия говорят о том, что любая тройка различных
собственных векторных функций §а и 3^ь в (1. 55) не должна
оказаться в одной плоскости в любой точке волновода. В неко-
торых точках эти тройки векторов могут оказаться и компла-
нарными, т. е. лежащими в одной плоскости. Однако в данном
случае важно, чтобы они не были компланарными в любой
точке волновода.
На идеально проводящей боковой поверхности волновода
касательная составляющая электрического поля Е_ и нормаль-
ная составляющая магнитного поля Н„ должны быть равны
нулю. Из разложений (1.54) видно, что эти граничные условия
будут выполнены наиболее просто, если потребовать, чтобы
каждый вектор Sa и З^ь удовлетворял соответственно тем же
граничным условиям на идеально проводящей боковой поверх-
ности, что и поля Е и Н, т. е. условиям (1.48), которые иден-
тичны (1.2).
Заметим, что при этом поля Е и Н будут удовлетворять
граничным условиям (1.2) на всей идеально проводящей боко-
вой поверхности регулярного волновода, т. е. волновода без
возбудителей в виде отверстий.
Следовательно, разложения (1.54) есть не что иное, как
разложение полей Е и Н в нерегулярном волноводе в ряды
по векторам §а и 3№ь, удовлетворяющим граничным условиям
для регулярного волновода. Такие векторы (но не поля) Sa и
образующие полные системы и удовлетворяющие гранич-
ным условиям регулярного волновода, мы и называем собствен-
ными векторными электрическими и магнитными функциями
волновода.
Поскольку системы собственных векторных функций и
3f$b должны быть полными, то разложения (1.54) будут пред-
ставлять поля Е и Н в любой точке неоднородного волновода,
за исключением, может быть,, точек, в которых имеются воз-
22
будители. Что же касается точек с возбудителями, например
на отверстиях в боковой поверхности волновода, на которых
касательное поле Ет не равно нулю то ряды (1.54) будут
представлять это поле Et так, как разложение какой-либо
функции в ряд Фурье, только, например, по синусам.
Поясним это положение подробнее. Из теории рядов Фурье
известно, что всякую функцию /(х), удовлетворяющую на от-
Рис. 6. График функции, разлагаемой в ряд
Фурье.
резке 0<^#^Z условиям Дирихле, можно разложить на этом
отрезке в ряд Фурье вида
Iх) = S ът sin	(!• 56)
т=1	ь
т. е. в ряд только по синусам.
При этом, несмотря на то что синусоидальные функции, по
которым производится разложение, равны нулю на концах
рассматриваемого отрезка Z, а разлагаемая функция/(я?) может
иметь не нулевые значения на концах этого отрезка (рис. 6, а),
ряд Д (х) в (1.56) будет совпадать с функцией f(x) в любой
точке промежутка 0<^х<^1, т. е. в любой точке, за исключе-
нием концов.
На концах отрезка при х = 0 и х = 1 функция /а (х) в виде
ряда (1.56) претерпевает разрыв, так как /s (х) является перио-
дической с периодом Т = 2Z и обладает симметрией второго
рода, т. е. Д(—х) — —/а(^) (рис. 6,5).
Разложение полей Е и Н по собственным векторным функ-
циям в виде (1. 54) будет возможно только в том случае,
если векторные функции &а и будут образовывать полные
и ортогональные системы на поперечном сечении волновода.
Условия ортогональности должны заключаться в выполнении
соотношений
J S aSa'PadS	J btfSb'GbdS =	(1. 57)
S	S
23
Условие ортогональности, таким образом, заключается в том,
чтобы интеграл по поперечному сечению от скалярного про-
изведения любых двух разных собственных векторных функ-
ций, взятый с определенным весом ра или был бы равен
нулю.
Если необходимые условия ортонормировки (1.57) будут
выполнены, то, умножая (1.54а) на а (1.546) на и ин-
тегрируя по поперечному сечению, получим следующие выраже-
ния для амплитудных коэффициентов разложения Ua и 1Ъ\
Ua=^K§adS, =	(1.58)
5	s
После получения выражений для амплитудных коэффициен-
тов разложения Ua и Ц в виде (1.58) обратимся к интеграль-
ным соотношениям для уравнений Максвелла (1.49), куда вхо-
дят как поля Е и Н, так и векторы 8а и которые теперь
будем считать собственными векторными функциями.
Сравнивая интегралы (1.58) с интегралами в соотношениях
(1.49), видим, что если бы векторные величины при Е и Н во
всех интегралах (1.49) непосредственно выражались через соб-
ственные векторные функции Sa и а именно были бы про-
порциональны им, то на основании выражений (1.58) из
соотношений (1.49) можно было бы сразу получить дифферен-
циальные уравнения для определения амплитудных коэффициен-
тов Ua и Ц. Такие уравнения для волноводов с пропорционально
меняющимся сечением впервые были получены Г. В. Кисунько [26]
и называются волноводными.
§ 4. ВОЛНОВОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВОЛНОВОДОВ
СЛОЖНОЙ ФОРМЫ
О собственных векторных функциях и по которым
производится разложение полей Е и Н в нерегулярном волно-
воде в виде рядов (1.54), мы знаем пока только то, что они
должны быть полными, ортогональными на поперечном сечении
в смысле (1.57) и должны удовлетворять граничным условиям
(1.48) на идеально проводящей боковой поверхности.
Явного вида этих векторных функций мы пока не знаем.
Однако уже этих имеющихся сведений о собственных вектор-
ных функциях достаточно, чтобы получить волноводные урав-
нения для определения амплитудных коэффициентов разложе-
ния Ua и 1Ь.
4^ Для этого предположим, что собственные векторные функ-
ции Sa и ЗНэь нам известны, и воспользуемся интегральными
соотношениями (1.49) и выражениями (1.58) для Ua и 1Ь:
24
j H i rot gjlS -	j H -L [RVJ dS =
8	8
— *®ecp j;” дз dS 4- ja,	(1.59a)
s cp
- f E ± rot MbdS -	J E А- [^R3] dS =
S	3 8
= J НЖ	dS + fb,	(1. 596)
8	C₽
где через и /6 обозначены известные коэффициенты возбужде-
ния, определяемые через известные возбуждающие токи j, каса-
тельные электрические поля на отверстиях в боковой стенке
волновода и известные собственные векторные функции волно-
вода &а И
/«={ №«T$dS,	(1.60а)
8
/4=^ET[^n]?(Z)7?3dZ.	(1.606)
&
Амплитудные коэффициенты разложения Ua и Ц опреде-
ляются через поля Е и Н, согласно (1.58), в виде
77Й=|Е£^5,	(1.61а)
8
7b=jH^bdS.	(1.616)
8
Для получения уравнений, определяющих Ua и 1Ь, разложим
все векторные величины при Е и Н в интегралах (1.59) в ряды
по соответствующим векторным собственным функциям.
Рассмотрим интеграл в правой части (1.59а). Векторную
величину —£а в нем разложим в ряд по собственным электри-
£ср-“
ческим функциям
7^з<?а = 2®аа'^а'; (а = 3е’ 4е' 4h).	(1-62)
<₽ (<»')
Умножая обе части этого равенства на 8а'Ра' и интегрируя
по поперечному сечению волновода S, в силу ортогональности,
согласно (1.57), получим следующие выражения для коэффи-
циентов разложения еааг через известные £а, Sa,, е, /?3, Ра<
еай, = f	(1.63)
25
Поскольку коэффициенты еаа/ от поперечных координат не
зависят, то, подставляя (1.62) в интеграл правой части (1.59а)
и учитывая выражение (1.61а) для Ua, получим его в виде
jE<?a^3-^ = 2wf/e'-	(1.64)
8 С₽	(«')
Таким образом, рассматриваемый интеграл (и, как будет
видно, все другие) выражается не через один какой-то ампли-
тудный коэффициент Ua, а в виде ряда по всем амплитудным
коэффициентам разложения электрического поля. Только для
частных видов волноводных систем, в которых е и Я3 не будут
зависеть от поперечных координат, этот ряд равен лишь одному
члену, так как в этом случае, согласно (1.63) и условиям орто-
гональности (1.57), коэффициенты равны 8^ и, следова-
тельно, все коэффициенты ряда за исключением одного еаа,
будут равны нулю. Например, для цилиндрических волноводов
при е = const или e = e(zz3) это обстоятельство как раз и имеет
место.
Рассмотрев аналогично все остальные интегралы в соотно-
шениях (1.59), запишем
для интеграла в правой части (1.596)
(нж ;я, = 2 „л, 8	(6')
где
[Чб'—(1.65)
для первого интеграла в левой части (1.59а)

8	(6)
где
Wafj = f ± rot MS,	(1. 66) s
для первого интеграла в левой части (1.596)
—f Е ± rot W5 =
S	(а)
где
(1.67)
8
для второго интеграла в левой части (1.59а)
|H-^[R3<?a]dS=2F^’
s	(»)
26
где
FeJ=J^3^[R2 3^]^,	(1.68)
8
для второго интеграла в левой части (1.596)
Je-^i^rw = 2 ^baUa'
8	(а)
где
У6а={^з<5а[да3]р^5.	(1.69)
5
Подставляя полученные значения всех интегралов (1.64) —
(1.69) в соотношения (1.59), получим в общем виде следующую
систему уравнений для определения амплитудных коэффициен-
тов Ua и Ц:
У	—57 У Vabh — У ^'U°' + /а, G- W
(6)	3 (»)	(«')
5 i У ^ьаиа=5 ^ьъ,1ь’+fi- (1 •70б)
(а)	3 (а)	(^')
Система уравнений (1.70) записана в самом общем виде.
Поскольку, однако, индексы а в (1.70а) и Ъ в (1.706) могут
принимать по три класса значений каждый: п = 3е, ge, qh и
b — 3h, qh, qe, то целесообразно расписать ее в следующем более
развернутом виде:
2j ^3e’ ь^ь Ju2 ^Зе> ь^ь — ^Sc₽ 2 е3е’ °Ра’ 4“ he,
3 W	(*')
qetbIb ^2 b^b ~ ^8cp Sgg’ a'^a' +
(b)	(6)	(«')
qe, P a	Vqe, Pa = ^P'cp	P'je, b' I bf	f qe<>
(a)	’	(a)	&')
ЗА, aPa	V3J1, aPa “ ^P'cp	b'^b' "F/ЗЛ’
(a)	(a)	(«9
qh, Pa	Vqh, aPa = ^Pcp	Ь'Ц' f qh>
(a)	(a)	(&')
2 P du^ Vqh> b^b = ^£°p 2 Qqh’ a'Ua' qh'
(A)	(A)	(«')
27
Поскольку Зе, де, 37г, qh сами по себе являются индексами
членов бесконечных рядов (1.54), то фактически система урав-
нений (1.71) представляет собой бесконечную систему обыкно-
венных дифференциальных уравнений первого порядка незави-
симой переменной и3. Только в некоторых сравнительно простых
случаях суммы в уравнениях (1.71) могут быть сведены к одному
члену, и тогда система (1.71) распадается на шесть уравнений
без сумм, т. е. для каждой шестерки указанных в (1.71) индек-
сов система (1.71) становится конечной.
Система уравнений (1.71), как будет показано ниже, может
быть получена конечной, например для волноводов обобщенно
цилиндрической формы (прямоугольного, круглого и других
форм сечений), в которых е и заполняющей среды являются
величинами либо постоянными, либо зависящими только от
продольной координаты п3.
Итак, если собственные векторные функции регулярного
волновода известны, то можно считать известными и волновод-
ные уравнения (1.71) для определения амплитудных коэффи-
циентов в разложениях (1.54) для полей Е и Н в нерегуляр-
ном волноводе.
В частном случае, когда возбудители в волноводе отсут-
ствуют, коэффициенты возбуждения и fb в системе (1. 71)
равны нулю, и тогда она определяет амплитудные коэффициенты
разложений (1. 54) для регулярного волновода.
§ 5. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ ВОЛНОВОДОВ
СЛОЖНОЙ ФОРМЫ
Выше было установлено, что пространственные векторы
поля Е и Н в волноводе однозначно можно разложить в виде
рядов по электрическим векторным собственным функциям
трех видов £3е, gqe, Sqh и магнитным — также трех видов ^зй,
и ffl!qe. Найдем теперь явный вид этих векторных функций.
Продольные собственные векторные функции
Поскольку векторы Е и Н в волноводе могут иметь как
продольную, так и поперечную составляющие, возьмем в ка-
честве продольных одну из электрических и одну из магнит-
ных собственных векторных функций. В волноводе сложной
формы, который описывается в косоугольных координатах,
например пирамидальном рупоре (рис. 7), будет два продоль-
ных направления: координатного вектора R3, который в точках
на боковой поверхности касателен к этой поверхности, и взаим-
ного вектора R3, который будет перпендикулярным к попереч-
ному сечению, но не касателен к боковой поверхности.
28
В соответствии с этим граничные условия для продольных
составляющих электрического и магнитного полей будут удов-
летворены наиболее просто, если продольную электрическую
и магнитную собственные функции взять по направлению
именно координатного вектора R3, который в точках на боко-
вой поверхности будет всегда касателен к этой поверхности.
Выберем поэтому в качестве продольных собственных функ-
ций £3е и и возьмем их в виде
<^3е--Фее3»	(1.72а)
<%зд—Флез’	(1.726)
Рис. 7. Пирамидальный рупор с плоским
сечением.
где е? — единичный вектор продольного координатного направ-
ления R3; ф (zzp u2, и3) — скалярные функции в общем случае
всех трех координат, которые будут определены ниже (заме-
тим, что системы векторных функций S3e и 3$2h будут полными,
если будут полными системы скалярных функций фб и фА).
Индекс 3 при векторах §2е и 3$2h указывает на то, что эти
векторы продольные*
Из граничного условия для электрической собственной век-
торной функции (1.48), т. е.
[<ад = 0,	(1.73)
на идеально проводящей боковой поверхности 5б0К можно
получить, согласно (1.72а), граничное условие для скалярной
функции ф/.
фе = 0	(1.74)
при u1 = u11, w12 и u2 = u2p zz22, которые являются уравнениями,
описывающими боковую поверхность волновода (рис. 4).
Выполнение условия (1.74) для фв необходимо потому, что
при подстановке S2e из (1.72а) в (1.73) получаем требование
равенства нулю произведения фе [езпЪ
29
Из рис. 7 видно, что векторы R3 и п на боковой поверх-
ности никогда не могут быть коллиниарны, и поэтому необ-
ходимо потребовать равенства нулю на боковой поверхности
скалярной функции фв.
Граничное условие для магнитной продольной векторной
функции на идеально проводящей боковой поверхности
(1.48), т. е. когда
ЖздП=:0,	(1.75)
никаких граничных условий на скалярную функцию фА пока
не накладывает, так как при подстановке из (1. 726) в (1. 75)
на 56ов должно быть
Ф*(«3П)=°-
Скалярное произведение (u3n) тождественно равно нулю
в любой точке боковой поверхности, так как и3 — вектор, каса-
тельный к 5бок, а п — нормальный к 5б0К, и, следовательно,
условие (1.75) будет выполняться при любом значении функ-
ции <}>А на S6m.
Рассматривая условия ортонормировки для продольных соб-
ственных функций, запишем их, согласно (1.57), в виде
j S3eS3e'p3edS = V,	(1. 76а)
8
J <Жзд(Жзл'^з^5	(1.766)
8
Если подставить в (1.76) значения <£3е и из (1.72), то
получим условия ортонормировки для скалярных функций фв
И фА
j ФЛ'РзЛ$ = V,	(1.77а)
8
j Mh’<33hdS = bhh'.	(1.776)
s
Из данных условий ортогональности для скалярных функ-
ций фе и фА следует: чтобы системы скалярных функций ф* и фА
были полными и ортогональными в смысле (1.77), их нужно
взять как собственные функции некоторых самосопряженных
на поперечном сечении S операторов 5?(фе) и <2?(фА). При этом
какой бы вид ни имели эти операторы, функции фе и фА, со-
гласно (1.77), должны удовлетворять уравнениям:
для функции фв
^(фл=*:рзЖ	(i-78a)
30
при граничном условии
фе = 0 при пх = ип, и12 и и2 — и21, и22;
ДЛЯ функции фд
^(фА)=ФзЖ	(1-786)
при пока неизвестных граничных условиях для фд.
Величины *2 и называются собственными значениями опе-
раторов. Собственные значения не зависят от поперечных коор-
динат и и2 и могут быть функциями только продольной
координаты п3 или, в частных случаях, величинами, постоян-
ными относительно всех трех координат.
Поперечные электрические и магнитные векторные
собственные функции
Для разложений поперечной составляющей электрического
поля нужно иметь два вида поперечных электрических собствен-
ных векторных функций. В соответствии с этим в качестве
поперечных векторов возьмем два оставшихся вектора вида Sqh
и Sqe (индекс q указывает на принадлежность их к попереч-
ным векторам).
Необходимо теперь решить, как наиболее рационально вы-
брать поперечные векторы Sqh и &qe. Поскольку продольный
вектор, согласно (1.72а), выбран по направлению координат-
ного вектора R3, то поперечные векторы удобнее взять перпен-
дикулярными к этому продольному, т. е. в виде
sth = [BsAR3],	= [B?eR3],	(1. 79)
где В9д и Bge — пока произвольные векторы.
Целесообразность именно такого выбора указанных попереч-
ных векторов обусловлена следующим.
Во-первых, поперечные векторы оказываются перпендику-
лярными продольному вектору S2e и, следовательно, два усло-
вия ортогональности
• 8
8
из необходимых шести вида (1.57) удовлетворяются автомати-
чески при произвольной весовой функции р3е, не зависящей от
двух других весовых функций рдй и р^.
31
Во-вторых, из граничных условий вида
[£гЛп] = 0, [<^п] = 0
следуют граничные условия для векторов В?Л и Bge
BgAn = 0; В?еп = 0.
Сравнивая последние для векторов В с граничными усло-
виями (1.48) для и видим, что они, получились совер-
шенно одинаковыми. На основании этого делаем вывод, что
целесообразно выбрать векторы Bge и ВдА пропорциональными
магнитным собственным векторным функциям 3Sqe и 3$qh соот-
ветственно, т. е.
ВгА = -^^,	=	(1.80)
Тогда после подстановки (1.80) в (1. 79) получим следующую
связь между электрическими и магнитными векторными функ-
циями с одинаковыми индексами qh и qe*.
=	=	(1-81)
симметрич-
1
Коэффициент пропорциональности в виде -=- введен для
**3
того, чтобы обратные соотношения для векторов и 3S,
выраженные через Sqh и Sqe соответственно, имели
ный с (1.81) вид
— ^'[^З^длЬ 3Sq9 — ~р~ [^З^двЬ
(1-82)
Соотношения (1.82) получаются из (1.81) путем умножения
(1.81) векторно на
Из выражений (1.82) видно, что магнитные собственные век-
торы 3tfqh и 3tfqe получились также перпендикулярными к своему
продольному собственному вектору 3&3h из (1.726). Это обстоя-
тельство обусловит автоматическое выполнение двух условий
ортогональности
J	--0, J qeQ3hdS------------0	(1. 83)
8	8
из шести (1.57) при произвольной весовой функции оЗЛ, не зави-
сящей от двух других весовых функций и oqe.
Из уравнений (1.81) и (1.82) вытекают следующие соотно-
шения для скалярных произведений:
SqhSqh' = ЖддЖдЛ',
Sqe^qe’	3Sqe3$qe',
SqhSqe= 3Sqh3^ qe*
(1.84)
32
Докажем, например, второе соотношение (1. 84). Подставляя
вместо Sqe и Sge' их выражения через и 3%qe’ из (1.81),
получим
<?qe^qe' =	2в'®з1 •
Воспользуемся векторным тождеством
[ab] [cd] = — (ad) (Ьс) (ас) (bd).
Если положить в этом тождестве а = Ж5в, b = R3, с = Ж^',
d = R3 и учесть, что ffiqeR3 — 0, то получим необходимое ра-
венство из (1.84). Аналогично доказываются и остальные ра-
венства (1. 84).
Если выполняются все равенства (1.84), то из необходимых
условий ортогональности (1.57) следует, что все четыре весовые
функции при поперечных векторах pffA, cqk, aqe должны быть
равны между собой, т. е.
Рд-Л-Pge-°qh-&де*	(1.85)
Будем обозначать в дальнейшем эти весовые функции через рд.
Покажем справедливость этого положения для двух случаев.
Согласно (1.57), должны, в частности, выполняться следующие
условия ортонормировки:
J SqfSqe'9qe^^-----^ee't
S
j ЯИэ qefflqe'VqedS =5^' .
8
(1.86)
Поскольку, однако, имеют место равенства (1.84), то усло-
вия (1.86) могут выполняться лишь при oge = pffe. Кроме того,
согласно (1.57), должны выполняться условия ортогональности
^&qe&qh?qedS = О, J qhffi qe^qlAS = 0.	(1.87)
S	8
Из сравнения (1.84) и (1.87) видно, что условия (1.87) вы-
полняются только при <3qA = pqe.
Рассмотрев аналогичным образом все условия ортогональ-
ности (1.57) для поперечных электрических и магнитных векто-
ров, придем к необходимости выполнения равенства (1.85).
Выявим далее явный вид поперечных собственных векторов.
Поскольку поперечные электрические и магнитные собственные
векторы с одинаковыми индексами жестко связаны между собой
соотношениями (1.81) и (1.82), то достаточно выявить вид
одной пары векторов, например <Sqe и 3^qh. Запишем векторы
3 Теория волноводов
33
&qe и 3$qh в виде компонент по поперечным взаимным векто-
рам R1 и R2, т. е.
=	+	(1.88а)
ЖдЛ =	+ Ж?А2Н2.	(1. 886)
Это необходимо для того, чтобы 1) поперечные векторы были
перпендикулярными к продольным векторам S3e и <%>ЗЛ и
2) каждая составляющая была перпендикулярной к соответ-
ствующей части боковой поверхности. Например, составляющая
£ffelRx будет перпендикулярна к части боковой поверхности
n1 = un, iz12. В этом случае граничные условия для составляю-
щих на этой части боковой поверхности имеют наиболее простой
. вид.
Из вида векторов gqe и согласно (1. 88) и граничных
условий для них на идеально проводящей боковой поверхности
[&^п] = 0, Ж^п = 0,
определяем граничные условия для компонент
<?де2 = ° ПРИ ^1 = ^11» W12> Sqel = o при a2 = zz21, u22, (1. 89)
§пЖ2А1+?12^2 = 0 пРи =	И12»	(1.90а)
^12Ж01 + ?22Ж2Л2 = ° ПРИ B2 = zz21, и22.	(1.906)
Отметим, что на основании (1.81) и (1.82) выполнение ука-
занных граничных условий для £qe и fyqk приведет к выпол-
нению необходимых граничных условий и для и
Рассмотрим вопрос об ортогональности поперечных собствен-
ных векторных функций. При этом в соответствии с равенст-
вам^!. 57), (1.84) и условием (1.85) необходимо доказать
лишь три условия ортонормировок
=	(1.91а)
8
^ffllqhffl)gh'PqdS = §hh')	(1. 916)
J<MAd5 = 0-	С1-91в)
8
Рассмотрим сначала условие ортонормировки (1.91а). Под-
ставляя значения Sqe и Sqer из (1.88а) и (1.91а), получим
Иее'— ^SqeSqe’PqdS — j J	Pg?12^') & qel +
+ (p^22<S>' + P2£12<M 8qe 2} Dduxdu2,
34
где величина D, согласно (1.34), равна:
D = R^g*
Интеграл Иее' будем брать следующим образом:
Нее1— j du2 j (PqDgU<Sqe'l ?q^g^Sqe'2) Sqe
W21	W11
+ J du, J (pDg^2 + P.Dg^n) stt 2du2.	(1.92)
«11	U21
Для дальнейшего вычисления интеграла (1.92) остановимся
на некоторых необходимых нам сведениях из теории операто-
ров. В математической литературе, например [50], дифференци-
альное выражение второго порядка в частных производных вида
*«=-£ 2 £ 5 А.Д (1-93)
а= «о иг P=«i, «2
называется самосопряженным оператором. Коэффициенты
Лар(«1, w2) могут быть произвольными функциями двух коор-
динат их и и2, по которым производится дифференцирование
в операторе, и, кроме того, могут зависеть от некоторого па-
раметра и3 (например, продольной координаты в нашем случае).
Предполагается, однако, что коэффициенты и 4ра должны
быть равны.
Самосопряженный оператор вида (1.93) удовлетворяет сле-
дующему интегральному соотношению:
f {F,K (F2) - F2K (F,)} dS = Q	(1. 94)
8
для любых двух функций с граничными условиями
либо
F = Q при u1 = w11, и12 и u2 = u21, u22,	(1. 95)
либо
.	dF .	л	dF	п
А1^+А2^ = <> ПР» =	«12-
.	dF .	.	dF	n	(1.96)
Л22№‘2 + Л12^7 = 0 ПРИ U2 = “21> В22-
Далее, в литературе [41] указывается, что если оператор,
самосопряженный в смысле (1.93), и функции F удовлетворяют
граничным условиям (1.95) или (1.96), то число функций Fa,
найденных из уравнения
К (Fa) = *?apFa (в области S)	(1.97)
3*
35
при указанных граничных условиях, будет в случае ограничен-
ной области S бесконечным. Система всех этих функций Fa
будет обязательно полной и ортогональной в смысле
fFeFe*P^ = V.	(1-98)
Функции Fa называются скалярными собственными функ-
циями оператора К (F). Отметим, что функции Fa можно нор-
мировать не обязательно к единице, как это сделано в (1.98),
а к любой функции, постоянной относительно координат иг
и и2, по которым производится интегрирование.
Величины х‘; в уравнении (1. 97), как и функции Fa1 являются
неизвестными, т. е. искомыми. Они называются собственными
значениями и не должны зависеть от тех координат, по которым
производятся операции дифференцирования в операторе К (Fa),
т. е. в нашем случае от поперечных координат и п2. Соб-
ственные функции Fa и собственные значения должны быть
найдены в результате решения уравнения (1.97) при указанных
граничных условиях. При этом может оказаться, что у несколь-
ких различных собственных функций, например Fa, Fa^ Fa„, . . .,
собственные значения равны —	— Если таких функций
получается п, то говорят, что данное собственное значение имеет
кратность п. Собственные функции с равными собственными зна-
чениями называются при этом n-кратно вырожденными. Соб-
ственные значения х2(а = 1, 2, 3,.. .) возрастают с увеличением
номера.
Из всего сказанного об операторах можно сделать вывод,
что при отыскании системы функций для разложения в ряды
некоторой функции нужно стремиться свести задачу к задаче
о собственных функциях самосопряженного оператора, удовлет-
воряющего дифференциальному выражению (1. 93) и обязательно
интегральному соотношению (1.94). Если граничные условия
решаемой физической задачи совпадут с граничными условиями
(1.95) и (1.96) для функций оператора, которые являются необ-
ходимыми и достаточными для выполнения интегрального соот-
ношения (1.94), то в качестве нужной нам полной системы функ-
ций можно взять систему собственных функций данного само-
сопряженного оператора.
Может оказаться, что граничные условия в решаемой задаче
не совпадают с граничными условиями некоторого оператора.
Тогда этот оператор будет непригодным для данной за-
дачи.
Обращаясь теперь к вычислению необходимого нам инте-
грала (1.92), заметим, что если его брать по частям, то к ра-
венству (1.94), необходимому и достаточному для того, чтобы
36
оператор был самосопряженным, можно прийти только в том
случае, если положить
о _____ dFe г. _______dFe
6s’i	б«е2	^е2ди2’
dFe, ff	dF°'
ёде'1 — ?o'l , 0г,'2 — ?«'2	,
(1. 99)
где c? — пока произвольные функции от uv и2 и и3.
Тогда, обозначая в интегралах (1.92) с учетом (1.99)
^dul = dV1, ^du2=dV2,	(1.100)
дит 1	1 ди2 2	1	v 7
а все оставшиеся выражения в первом и втором интегралах (1. 92)
через иг и U2 соответственно, после интегрирования по частям
получим
Vi /	dF ,	dF ,\ ?2
Иее = J |F4p’?‘1<Pe'17?g11 №r+p«'f’el<Pe'2Dgl2a4’/ I d“2 +
«21	«11
W12	,	^p	j}p v U22
+ j|^4p«?e2Te'2D^2i^+p«cpe'i!pe2£>gl2'^f) I dMi+
«Ц	«21
4- \F'K(Ft')dS,	(1.101)
s
где через К (Fe>) обозначено следующее дифференциальное вы-
ражение:
к (Л0 = -4^(р<м,'1Дг‘‘ ^+?>м,',йг‘!^) +
+ (l.wW + P.W^Os11 }•	(1.102)
Сравнивая полученное дифференциальное выражение (1. 102)
с выражением* (1. 93), видим, что оно будет самосопряженным
только в том случае, если коэффициенты
Л12 =	А21 = ?q<?e'l<?e2Dg12
dF , dFe,
при производных и в (1.102) будут равны между со-
бой или отличаться множителем, зависящим только от продоль-
ной координаты и3.
Чтобы обеспечить это условие, положим функции ср в (1.99)
равными
t?ei = Ne^3)fa(u1, u2, u3);	<?e2 = Ne(u3')fe2(u1, и2, и3),
<peQ = /Ve, (и3)Уе1; ср.'2=^.'(цз)Л2-	(1.103)
37
Отличие функций ср со штрихом от функций без штриха за-
ключается в разных функциях Ne (u3) и Nef (и3), зависящих
только от продольной координаты и3.
С учетом значений функций ср из (1.103) дифференциальное
выражение (1.102) примет вид
K(Fef) = NeNefL(Fef),	(1.104)
где через L(Fer) обозначен оператор
L = - F	137 +	+
л /	dF ,	dF ,\1
+ Д WW2	, (1.105)
Если функции Fe удовлетворяют граничным условиям
Fe = 0 при и1 = и11, и12 и zz2 = w21, и22,	(1, 106)
то первые два интеграла в (1.101) будут равны нулю. Тогда,
подставляя значение выражения К из (1.104) в (1. 101),
получим
= N,N,, f F,L (Fe.) dS.	(1.107)
s.
Поскольку искомый интеграл Иее<, равный
Sqe'Sqe^qdS = Иее^
8
можно равноценно представить в виде
$е'е J Ёде'Ё qefiqdS --И ее',
8
то, взяв интеграл Ие’е так же как и ЯО', найдем
=	^F,>L(Ft) dS.	(1.108)
Из сравнения (1.107) и (1.108) получаем равенство
вида (1.94)
\{FeL(Fe,)-FeL(Fe)}dS==0	(1.109)
для функций Fe и Fer, удовлетворяющих граничным усло-
виям (1.106).
38
Полученное равенство (1.109) доказывает, что оператор
вида (1.105) является действительно самосопряженным для
функций, удовлетворяющих граничным условиям (1.106),
Поскольку функции в продольных собственных векто-
рах (1.72а) должны удовлетворять, согласно (1.74), тем же
граничным условиям, что и функции Fef в самосопряженном
операторе (1.103), то эти функции Fe> можно взять как соб-
ственные функции оператора (1.105). Другими словами, функ-
ции должны удовлетворять уравнению
,	Ш) = ^РзЖ-	(1.110а)
где оператор £(фв) имеет вид (1.105) при замене Fe, на фе,
и граничным условиям
фе = 0 при и1 = и11, п12 и u2 = u21, u22.	(1.1106)
Так как вместо функций Fe взяты теперь функции фв, то
поперечный собственный вектор Sqe, согласно (1.88а), (1.99) и
(1. 103), принимает вид
«..пфг;в‘+(«;М	<1л11>
Убедимся далее в том, что при граничных условиях (1.1106)
для необходимых для самосопряженности оператора, вы-
полняются граничные условия для вектора Sqe
l£ffen] = 0 ПРИ Щ —	и12 и и2 = п21, и22.	(1.112)
Если они выполняются, то полную систему собственных
функций можно взять для образования полной системы и по-
перечных собственных векторов класса Sqe. Если эти условия
не выполняются, то собственные функции фв оператора L
из (1.105) не будут пригодными для образования векторов Sqe
И
Рассмотрим граничные условия (1.112) отдельно на двух
частях боковой поверхности.
1. На части боковой поверхности и1 = и11, и12 направление
нормали п будет совпадать с направлением взаимного вектора R1.
Тогда, подставляя Sqe из (1.111) в (1.112), получим
^X2^[R2R1] = ° ПРИ »1 = «Ш «12-
Поскольку произведение Nefe2 [IVR1] в этом равенстве не
может быть равно нулю, то должно выполняться условие
= О при I?! = ин, п12.
39
На основании равенства
^(»i. »2) I	^(»ii,i,2»2)	(1.113а)
ди% |м1==г/11, м12	ди,2	'	'
заключаем, что если функция фв удовлетворяет граничному
условию (1.1106), т. е. фе(ип, i,2^2) — 0, то, согласно (1.113а),
будет автоматически удовлетворено и необходимое для Sqe гра-
ничное условие (1. 112).
2. Рассматривая совершенно аналогично граничное усло-
вие (1.112) на другой части боковой поверхности н2 = н21, н22,
на которой направление нормали п совпадает с направлением
взаимного вектора R2, придем к требованию равенства
^ = 0 при и2 = к21, и22.
Так как
»2) I	И21>	4 4
то заключаем, что поскольку функция фе удовлетворяет гра-
ничному условию w2l 22) = 0, то необходимое для Sqe усло-
вие (1.114) при такой функции будет выполнено автоматически.
Таким образом, приходим к выводу, что если функции удов-
летворяют нулевым граничным условиям вида (1.1106) на кон-
туре поперечного сечения, то поперечные векторы gqe в (1.111)
будут удовлетворять необходимым для них условиям (1.112).
Следовательно, полную систему собственных функций фе само-
сопряженного оператора £(фв) (1.105), найденных из уравне-
ния (1.110а), можно взять также и для образования полной
системы собственных векторов класса Sqe в виде (1.111).
Возвратимся к вопросу об ортонормировке векторных соб-
ственных функций Sqe в виде
И„ =	= V.	(1.114)
8
Этот интеграл, согласно (1.107), при замене Fe на фе за-
пишется
He,~ = NeNe, J	(1.115)
8
где оператор £(Фе/), согласно (1.110а), равен
£(М = х!'РзЛ'*
(1.116а)
40
Подставляя отсюда значение оператора £(фе,) в (1.115),
получим
H^ = NeNe,^, J<Me,p3edS.	(1.1166)
Функции фе и как собственные функции оператора (1. 116)
будут всегда удовлетворять условию
f ФЖ'РзЛ5 = ° при е'=/= е>	(1.117)
В
т. е. интеграл (1. 117) всегда будет равен нулю для двух раз-
ных функций ф, и фе/. Этот же интеграл, взятый для двух оди-
наковых функций фДе' = е), равен не нулю, а какой-то посто-
янной величине (постоянной относительно координат иг и н2,
по которым производится интегрирование).
Эта постоянная величина будет зависеть от произвольных
постоянных интегрирования, которые обязательно появятся
в функциях при решении уравнения (1. 116). Будем их выбирать
таким образом, чтобы интеграл (1.117) для двух одинаковых
функций был равен единице:
}<ММ>3^ = 1.	О-В»)
В
Условие (1.118) называется условием нормировки для функ-
ции фе. В соответствии с этим условие ортогональности (1.117)
и условие нормировки (1. 118) можно записать в виде единого
выражения ортонормировки
J^<|>.,p3,dS = V.	(1-119)
Учитывая его, получим интеграл Иее', согласно (1.1166),
в виде
Из этого равенства видно, что для обеспечения ортонорми-
ровки векторов Sq€ (1.114) необходимо функцию Afe(iz3), зави-
сящую в общем случае только от продольной координаты н3>
взять равной
=	(1.120)
Необходимо теперь рассмотреть второе условие ортонорми-
ровки (1.916)
Hhhf — Sffiqhffiqh'PqdS =
8
41
где поперечные магнитные собственные векторы должны
быть взяты в виде (1.886). Для доказательства этого условия
удобно воспользоваться результатами, полученными при рас-
смотрении интеграла Иеег- Если, начиная с соотношений (1.99)
и кончая (1.120), произвести следующую перестановку:
е-»Л,
то получим соответствующие соотношения для величин
№qh', Фдм Hhh' И Т. Д.
Существенное отличие при доказательстве последнего усло-
вия заключается в том, что функции фд должны удовлетворять
граничным условиям
W1 ^ + /teg'12^L = 0 при «1 = «Ц, «12-
а,2	(1-121)
^22Й; + /Л1^12^ = ° ПР“ «2 = «21- «22- .
которые следуют из граничного условия для вектора на идеально
проводящей боковой поверхности J^qhn — 0.
После указанных выше перестановок поперечный магнитный
собственный вектор 3^qh получается равным
=	(1.122)
где функции фд должны быть взяты как собственные функции
самосопряженного оператора L (фд), т. е. удовлетворяющие урав-
нению
Ь(<Ы = ФмфА	(1.123)
на поперечном сечении S и граничным условиям на контуре
поперечного сечения вида (1.121).
Самосопряженный оператор £(фд) имеет вид
+ (» 1М>
Функции /Л1 и /д2 в (1. 122) и (1.124), а также весовая функ-
ция р3д в уравнении (1.123) остаются пока произвольными.
Если собственные функции фЛ оператора L($h) ортонормиро-
вать к виду
{ Ф*ФА^==^'	(1.125)
S
42
и функцию Nh(u3) в (1.122) взять равной
=	(1-126)
то для собственных функций 3№qh и Sqk будут выполняться
следующие условия ортонормировок:
j <^зд<%зл'Рз/1^5 — bhhr,	(1- 127)
<f$qh$>qh'PqdS — &qh@ghrPqdS = ?>hh'»	(!• 128)
8	8
Рассмотрим последнее условие ортогональности (1.91в), т. е.
Heh = \SieSik?qdS = 0.	(1.129)
s
Подставляя в этот интеграл значение из (1.111) в виде
вяе = N, (u.) (/, R1 +	R2)
де ex d/ et ди^ 1 ' ди% I
и значение &qh, которое, согласно (1.82), равно
где имеет вид (1. 122), получим
= <VA^ {/Л	 (1-130)
С учетом равенства (1.130) интеграл (1.129) будет иметь вид
U21 ип 3
,	«12	«22	, г	п
- <ч (du\.	(1.131)
J	J V	R^^Js ди1) ^2	v
«11	«21
Возьмем этот интеграл по частям. Обозначив для этого
^du^dV,, ^du2 = dK2,
дих 1 п ди2 2	2
VqfelJhggW®	VqfezfhlSttD	.л л
43
получим
^2= Фе.
Интеграл (1.131), взятый по частям с учетом (1. 132) и (1.133),
будет равен
{W22	«12 W12	М22
J	| du2- J	| du.-
«21	«и «н	«21
Поскольку функция ф, равна нулю на контуре поперечного
сечения, т. е.
фе = 0 при	и12 и и2 = и21, и22,
то первые два интеграла в (1.134) обратятся в нуль, и тогда
интеграл Heh будет равен
ил=«Л. f4. Г	(>  «•»
В
Из уравнения (1. 135) видно, что интеграл Heh будет тожде-
ственно равен нулю, если функции и <?2 равны между собой
и не будут зависеть от поперечных координат. Другими сло-
вами, функции и <р2 должны быть либо постоянными равными
величинами, либо одинаковыми функциями только продольной
координаты п3. В соответствии с этим и согласно значениям
и ф2 из (1. 132) необходимо положить
Рг/е1/л2#33^ Р^ЛиГзЗ# , ч
= (1'136>
где ?(и3) — некоторая произвольная функция только продольной
координаты.
Из равенства (1.136) получаем два уравнения для пяти
функций /е1, /е2, /А1, fh2 и рд, которые до сих пор оставались
совершенно произвольными,
=	(1.137а)
РгЛ1/*2=	•	(1.1376)
44
Равенство (1. 137а) наиболее просто можно выполнить, по-
ложив
fel=fkl=h, t*=h,=h.	(1-138)
При этом из (1. 1376) получим
р,/л=н“:’о,''г 	(1.139)
Поскольку функция <р(п3) зависит только от продольной ко-
ординаты, а функции А и /2 входят в двухмерный оператор
от поперечных координат, то без ущерба для общности ср (и3)
можно взять равной единице. С учетом этого обстоятельства,
а также соотношений
£зз=«
из (1.139) найдем
Рг/1/2=Д^З«
Таким образом, условие ортогональности (1. 91в) или (1.129)
будет выполнено, если три функции рд, А и /2 удовлетворят
этому соотношению. В остальном они могут выбираться совер-
шенно произвольно, поэтому удобно положить и весовую функ-
цию рд при поперечных векторах Sq и равной единице, со-
хранив произвольность выбора только двух функций А и /2.
Тогда для оставшихся двух функций А и А получим следующее
связывающее их соотношение:
(1.140)
§ 6.	ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Основные результаты, полученные выше, целесообразно при-
вести в окончательной форме.
1.	Электрическое и магнитное поля в волноводе сложной
формы ищутся в виде рядов по полной системе собственных
векторов Sa и соответственно
Е = 2 ^ЗеР<?3« + 2	Н“2	— & аРа&а*
(36)	(qe)	(qh)
Н = 2 bh?3^3h 4 2 ^<Z^g^ + 2 ^q^qe = 2 АРбЖ*,
(ЗА)	(qh)	(qe)	(b)
где Uа и Ц — амплитудные коэффициенты разложения; ра и р6 —
произвольные положительные весовые функции; индекс 3 ука-
зывает на принадлежность величин к классу продольных,
(1.141)
45
q — к классу поперечных, а а и ft являются обобщающими
индексами.
Весовые функции рЛ и рй при поперечных векторах равны
единице. Отличными от единицы положительные весовые функции
(зависящие от всех трех координат) могут быть взяты только
при продольных векторах £3е и Обозначение весовых функ-
ций в виде различных ра и р^ в последних суммах в (1.141)
сделано лишь для единообразия записи.
2.	Электрические £а и магнитные 3$ь собственные векторы
образуются на основе двух полных систем скалярных функций
ф, и фд следующим образом:
#зе = Ф.,из = ^ФЛр ^зд='}'/>из = ^Флкз> (1.142а)
1 / S	\	(1.1426)
«„=41Ж.Л1,	=	(1.142b)
l3	l3
где /х и /2—произвольные функции всех трех координат, ко-
торые, однако, должны быть связаны соотношением (1.139), т. е.
(1.143)
Собственные векторы должны удовлетворять граничным усло-
виям вида
[<ЗД = 0, Ж6п = 0	(1.144)
на боковой поверхности волновода.
3.	Полные системы скалярных функций фв и фА находятся
как системы собственных функций самосопряженных операто-
ров L (фе) и L (фА), т. е. функции фв находятся из уравнения
£(фв) = х2рфв	(1.145)
при граничных условиях
фв = 0 При W-j —	^12 И- ^2--^21’ ^22»	^-^6)
а функции фд — из уравнения
£(фд) = х2дрфд	(1.147)
при граничных условиях
^n^ + /lgl2^=0 П₽И И1=ИИ’Ц12, ।	(1 148)
Й* = 0 П₽И “2 = “21- “22-
46
Величины х? и /Д называются собственными значениями. Они
всегда положительны и могут зависеть только от продольной
координаты и3 или быть постоянными относительно координат.
Положительная весовая функция р в уравнениях (1.145) и
(1. 147) может выбираться произвольно. Самосопряженные опе-
раторы и £(фй) имеют одинаковый вид, поэтому целесо-
образно записать их в единой форме, опустив индексы при
функциях
£ W=-В-{-Я?	i+
Если поперечные координаты будут ортогональными, так что
g12 = 0, то вид оператора (1.149) и граничных условий (1.148)
существенно упростится.
4.	Функции Д и Д могут выбираться произвольно, един-
ственное ограничение: они должны удовлетворять соотноше-
нию (1.143).
Их можно взять одинаковыми
f —f — 1
разными, например
/1— дз » /2— ДЗ»
или в каком-либо другом виде.
Наличие в операторе (1.149) двух произвольных функций Д
и Д, а в уравнениях (1.145) и (1.147) — трех (р также произволь-
ная положительная функция) имеет существенное положительное
значение. Как видно из выражения оператора (1.149), уравнения
(1.145) и (1.147) для определения собственных функций и
будут иметь в общем случае косоугольных координат довольно
сложный вид. Может оказаться, что величины g11, g12 и D в опе-
раторе (1.149) будут такими, что уравнения (1.145) и (1.147)
невозможно решить методом разделения переменных, если функ-
ции Д, Д и р в них имеют какое-то определенное значение.
Наличие же произвольных функций в этих уравнениях позво-
ляет в некоторых конкретных случаях подобрать их так, чтобы
эти уравнения можно было решить методом разделения пере-
менных.
Кроме того, уравнения (1.145) и; (1.147) с тремя произволь-
ными функциями во многих случаях можно привести к такому
виду, решения для которого известны. Дело в том, что, решая
эти уравнения методом разделения переменных, мы обязательно
придем к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям
47
второго порядка с переменными коэффициентами. Известно, что
решения дифференциальных уравнений второго порядка с пере-
менными коэффициентами выражаются через табулированные
функции только для некоторых частных видов переменных коэф-
фициентов [24]. В связи с этим наличие трех произвольных
функций в уравнениях позволит путем их подбора привести
уравнения к такому виду, решения для которого можно найти
в математической литературе.
Произвольные функции Д, /2 и р в уравнениях (1.145) и
(1.147) можно выбирать исходя и из других соображений.
5.	Если собственные векторы 8а и Мь выбраны так, как
указано в (1.142 а), (1.142 6) и (1.142 в), а функции и
найдены из уравнений (1. 145) и (1. 147) и ортонормированы
к виду
j W/pdS = V, j h>pdS =	(1.150)
8	8
то будут выполняться следующие условия ортонормировок:
8	8
^SqSq'dS = bqqr, । tffiq&fiq’dS — §qq',
8	8
j (?3e<?qdS = 0,	J 3^qdS = 0
8	8
(1.151)
(под индексом q здесь нужно понимать q — qe, qh).
6.	В соответствии с этим амплитудные коэффициенты Ua и Ц
в разложениях (1.141) будут определяться через известные
поля Е и Н следующим образом:
Ua = j V§adS, Ib = J	(1.152)
S	8
7.	Амплитудные коэффициенты Ua и Ib определяются систе-
мой волноводных уравнений (1.71), в которой все коэффи-
циенты Wab,.Wba, V^, Vba, vbb’ выражаются через интегралы
от известных собственных векторов Sa и ЗНэъ согласно форму-
лам (1.63)—(1.69), а коэффициенты возбуждения ja и fb— через
известные возбудители и собственные векторы согласно (1. 60).
Если возбудители в виде токов j в полости волновода и
касательного поля Е. на отверстиях в металлической боковой
поверхности волновода отсутствуют, то коэффициенты возбу-
ждения ]а и Д будут равны нулю и система уравнений (1.71)
будет определять амплитудные коэффициенты U0j и Ц в регу-
лярном волноводе.
48
8.	Решение уравнений Максвелла в виде рядов (1.141) можно
трактовать как представление общего поля в волноводе в виде
суммы бесконечного множества векторов двух классов
— U3ep<?3e "Г qeSqe, |	]
„ ___	_	У векторы класса Е
-- * qevv qet	J	|
Ед = Uqhgqh,	|
Н^ УзрЯзд + Z^*. J ВеКТ°рЫ
(1.153)
класса Н |
J
Вектор Ев имеет как продольную, так и поперечную состав-
ляющие; вектор Не имеет только поперечную составляющую.
Индекс е указывает на принадлежность той или иной вели-
чины к решению класса Е.
У векторов класса Н, наоборот, вектор НЛ имеет и продоль-
ную и поперечную составляющие, вектор же ЕА — только попе-
речную. На принадлежность величин к решению класса Н ука-
зывает индекс h.
Для сложных волноводных систем векторы Ее, Не, ЕЛ и НЛ
не являются какими-то физическими электрическими и магнит-
ными полями. Они будут просто отдельными членами в разло-
жениях (1.141), т. е. чисто математическими величинами.
Только в тех отдельных случаях, когда пары векторов Ев
и Н, класса Е или векторов ЕА и НЛ класса Н удовлетворяют
однородным уравнениям Максвелла
rot Нв = /соеЕе,
rot Ее =—$<орЯ„
rot НА = io>sEA,
rot Еа = — uop.HA,
(1.154 а)
(1.154 б)
можно говорить о том, что они являются физическими электри-
ческими и магнитными полями. В этих случаях существует
понятие о Я-волнах (или ТМ-волнах) как о волнах с электри-
ческим вектором Ее и магнитным Не и Я-волнах (или ТЯ-вол-
нах) как о волнах с электрическим вектором ЕА и магнит-
ным НА.
При этом можно говорить, что общее поле в волноводе пред-
ставляет собой суперпозицию полей всех отдельных Е- и Я-волн.
Однако это положение относится только к волноводам двух
форм: с боковой поверхностью в виде поверхности обобщенного
цилиндра и в виде поверхности конуса (причем s и jx не должны
зависеть от поперечных координат). Бесконечная система урав-
нений (1.71) для таких волноводов разделяется на уравнения
для каждой пары векторов вида (1.153) в отдельности. Во всех
других случаях векторы класса Е и Я в виде (1.153) не будут
4 Теория волноводов
49
физическими полями каких-то отдельных Е~ и Я-волн. Поэтому
для сложных волноводов целесообразно говорить о Е- и Я-векто-
рах, а не о Я- и Я-волнах.
Если Е- и Я-векторы вида (1.153) будут и Я- и Я-волнами,
то собственные векторы и Ж& в (1.153) будут характеризовать
пространственную структуру поля Я- и Я-волн.
В этом случае структуры Я- и Я-векторов, построенные ана-
литическим путем по известным собственньш векторам, совпадут
со структурами поля, снятыми экспериментально. Если Я- и Я-
векторы не будут Я- и Я-волнами, то их структуры не совпадут
со структурами поля, снятыми экспериментально, так как экспе-
риментально снятая структура поля будет представляться струк-
турой не какого-либо одного Я- или Я-вектора, а совокупностью
структур, строго говоря, бесконечного множества Я- и Я-векторов.
§ 7. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНОВОДЫ КАК ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ
ВОЛНОВОДОВ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ
Одним из наиболее простых классов волноводов являются
цилиндрические волноводы, целиком заполненные однородным
изотропным диэлектриком.
Наиболее широко применяются прямоугольный, круглый
и коаксиальный волноводы. Однако по мере развития техники
СВЧ в специальных устройствах находят все большее применение
цилиндрические волноводы и со сложным поперечным сечением
(см. § 1 гл. 2).
Общие положения теории цилиндрических волноводов разра-
ботаны достаточно полно и излагаются в известной литературе.
В настоящем параграфемы приводим основные сведения из теории
цилиндрических волноводов с двумя целями:
1) показать, что все положения и соотношения для цилиндри-
ческих волноводов, полученные при решении задачи методом
вектора Герца или другими методами ([8], [26], [57]), автомати-
чески вытекают из общего метода, изложенного в предыдущих
параграфах этой главы;
2) привести основные соотношения для цилиндрических волно-
водов, которые понадобятся в дальнейшем, в удобном для наших
целей виде и в принятых в настоящей работе обозначениях.
При решении задачи о цилиндрических волноводах, целиком
заполненных изотропным диэлектриком, имеют место три упро-
щающих обстоятельства.
1.	Продольная координата щ является декартовой (обозна-
чим ее в дальнейшем через z). В силу этого взаимный коэффи-
циент R3, входящий во все коэффициенты волноводных уравне-
ний (1.71), получается равным единице и, следовательно, не
зависящим от всех трех координат.
50
2.	Поперечное сечение S ортогонально к боковой поверх-
ности волновода и не меняется вдоль волновода, т. е. не зави-
сит от продольной координаты u3 — z. Это приводит к тому,
что, во-первых, координатный R3 и взаимный R3 продольные
векторы оказываются одинаковыми и равными орту z° и, во-вто-
рых, собственные скалярные функции ф и собственные значе-
ния х2 не зависят от продольной координаты и3.
3.	При заполнении полости волновода целиком однородным
изотропным диэлектриком проницаемости в и [i не зависят от
всех трех координат и поэтому могут быть сокращены с еср
। и рср в выражениях для коэффициентов волноводных уравне-
ний Вддг и ^bb' в (1.63) и (1.65). Это приводит к тому, что ука-
занные коэффициенты получаются равными
eaar
Pbb' — ^bb'
и,	следовательно, суммы в правых частях уравнений (1.71)
будут равны лишь одному соответствующему члену.
В силу этих упрощающих обстоятельств функции и /2,
связанные соотношением (1.143), в которых в данном случае
Д3 = Д3 = 1, можно взять равными единице. Тогда собственные
) векторные функции, согласно (1.142), будут определяться сле-
дующими выражениями:
£3. = 'М°-
жяв=№яе],
&qh~ |WgfcZ°]-
(1.155)
Через Vx в этих выражениях обозначен поперечный гра-
диент, так как функции ф не зависят от продольной коорди-
наты u3 = z.
Скалярные собственные функции фв и фА будут определяться
теперь согласно (1.145)—(1.149) при /1 = /2 = р = 1 из уравне-
ния Гельмгольца
Д±ф4-х2ф = 0,	(1.156)
где через Дх обозначен поперечный лапласиан, в который пре-
вращается оператор из (1.169) при f1 = f2 = R3 = i. Урав-
нение (1.156) должно быть решено, согласно (1.146) и (1.148),
при следующих граничных условиях на контуре поперечного
сечения
ф‘ = 0’ -йг- = 0’	(1.157)
4*
51
где — — производная по нормали к 5б0К (или в данном случае
к контуру <2?), подробно написанная в (1. 148). Функции фе и фЛ,
найденные из уравнения (1. 156) при граничных условиях (1. 157),
должны быть нормированы, согласно (1.150), при весовой функ-
ции р=1 следующим образом:
(1.158)
Отметим здесь еще одно обстоятельство. Поскольку в слу-
чае обобщенно цилиндрических координат все коэффициенты
в операторе Лапласа в уравнении (1.156), а также граничные
условия (1.157) не зависят от продольной координаты u3 = z,
то собственные функции ф и собственные значения х2 также не
будут зависеть от z. В силу этого, в частности, будет иметь
место равенство
* Ш * Ш = 0.	(1.159)
du3 \ % ) дъ \ х /	v '
Покажем теперь кратко, что бесконечная система волновод-
ных уравнений (1.71) разделяется в цилиндрических волново-
дах для каждого Е- и Я-решения вида (1. 153) в отдельности.
Рассмотрим для этого все коэффициенты этих уравнений:
Р'бб'» Pftflp Web М
Разделение для коэффициентов £аа' и pbb' доказывается наи-
более просто, так как при й3=1, р = 1, е = const и |i = const
из (1.63) и (1.64) с учетом условий ортонормировок (1.151)
имеем
ваа' — J SaSa'dS 8^,
В
в
(1.160)
Для коэффициентов Vab и Vba, согласно (1.68) и (1.69), при
—— R3 —z° получим
^3
Га4.=
В
В
(1.161)
Если учесть, что, согласно (1.155),

52
и принять во внимание условия ортонормировки (1.151), то
приходим к разделению и для коэффициентов Vab и Vba:
г	( 1 при Ь = а.
К4я= \SaSbdS = ^.
8
(1.162)
Несколько более громоздким получается доказательство раз-
деления для коэффициентов Wab и Wba. Для этих коэффициен-
тов, согласно (1.66) и (1.67), при 7?3 = 1 имеем
Wai = \$>b r°t 8adS,
8
Wba = — j 8a rot ffii dS.
8
(1.163)
Покажем теперь, что для цилиндрических волноводов при
u^ = z° справедливы следующие соотношения:
rot	(1.164a)
rot 8qe = 0,	(1.1646)
rot	= хЛ<^зА,	(1.164b)
rot	(1.164г)
rot = 0,	(1.164д)
rot ffiqe — xe<g3e.	(1.164e)
Действительно, согласно (1.155) и (1.164а), имеем
[1	1
z° —7±фе =—xj^
Ле	J
Здесь были использованы векторное тождество
rot (сра) = ср rot а -|- [Vcpa]
и выражения для <£3е и из (1.155).
Совершенно аналогично получается соотношение (1.164г).
Соотношение (1. 1646) находится следующим образом. Под-
ставляя значение Sqe из (1.155) в (1.1646), получаем
rot<?je = rot(-i-Vj.<}>,j .	(1.165)
53
Поскольку для любых волноводов величина хе зависит только
от продольной координаты, то хе можно внести в выраже-
ние (1.165) под знак поперечного градиента Vx, т. е.

(1.166)
Тогда, подставляя это значение из (1.166) в (1.165) с уче-
том rot (Vcp) = 0, имеем
Из этого равенства видно, что если отношение не будет
зависеть от продольной координаты [а это, как было показано
в (1.159), имеет место для цилиндрических волноводов], то
rot<£ge = 0.
Аналогично доказываются и оставшиеся соотношения (1.164).
G учетом всех соотношений (1.164) коэффициенты Wab и Wba
получаются в следующем виде:
Ь --	6’
Wsefb = 0f
а — * *h$qh, bf
Wae fl = x.S3e
(1. 168)
Подставляя значения всех коэффициентов из (1. 160), (1. 162)
и (1.168) в волноводные уравнения (1.71), получим их для
цилиндрических волноводов в следующем наипростейшем виде:
гт dU '
*eUЗе fa ---------qe "T" fqe>
TM- или Я-волны (1.169)
--*hUqh--	+ /зЛ»
--fa^ — ^^qh+fq^
ЧЦк---qh + jqh'
ТЕ- или Я-волны (1.170)
Видно, что для цилиндрических волноводов общая беско-
нечная система волноводных уравнений (1.71) разделилась для
каждой Е- и Я-волны в отдельности.
Приведем здесь еще раз выражения для коэффициентов воз-
буждения ]а и /6, которые находятся в правых частях уравне-
ний (1.169) и (1.170),
54
Ja— j ]SadS,
s
1ь=§Ех[Жьп] dl,
&
a=ze, qe, qh,
b = zh, qh, qe.
(1.171)
Для регулярных (или однородных) цилиндрических волново-
дов эти коэффициенты возбуждения будут равны нулю.
Поля Е- и Я-волн в соответствии с (1.153) и (1.155) (при
весовой функции р = 1) можно записать следующим образом:
Т М- или Я-волны (1. 172)
Ел=
Н* = /здфлг0 Iqh — ?хфА.
ТЕ- или Я-волны (1.173)
Запишем эти выражения полей для однородных волноводов,
т. е. при коэффициентах возбуждения ja и fb в (1.169) и (1.170),
равных нулю. При этом поперечные амплитудные коэффициенты
U qe и Iqe из (1.169) выразим через USe9 a Uqh и Iqh из (1.170) —
через /ЗА. В соответствии с (1.169) и (1.170) имеем:
V	г-г
_ 1 ди3е
qe	* dz '
тт ___	т
т   1 . dhh
1	хА dz *
(1.174)
Подставляя эти значения в (1. 173), получим следующие вы-
ражения для полей в однородных цилиндрических волноводах:
Е, = С73^’ + ^-.^?хф,
H.=^io>st7s.[Vx<}>y],
ТМ- или Я-волны (1.175)
Е* = — -A- i<o^3h Гх <|»Az°],	]
А .	, z	j ТМ- или Я-волны (1. 176)
I
В таком виде эти выражения для полей и приводятся
в известных работах по волноводам, например в [26] и [27].
Амплитудные коэффициенты U3e и /зА (обозначим их для
однообразия через qe и дА), как это следует из однородных
55
уравнений (1.169) и (1.170), удовлетворяют следующему одно-
родному дифференциальному уравнению второго порядка:
	+ = (1Л77)
где	Ке h = \!k2 — h — фазовая постоянная, /	/-	2к’	(1.178) = уеа =-г	волновое число, Л	/
а штрих означает производную по z.
Решение уравнения (1.177) имеет вид
qe>h=CJJ-i&’ + C2UiK‘.	(1.179)
Более подробные сведения из теории цилиндрических волно-
водов изложены, в частности, в работах [8], [26], [57].
ГЛАВА 2
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ И СОБСТВЕННЫЕ
ЗНАЧЕНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ
СЛОЖНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
§ L ПРАКТИЧЕСКАЯ ВАЖНОСТЬ ЗАДАЧИ О ВОЛНОВОДАХ
СЛОЖНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Общий вид цилиндрического волновода с поперечным сечением
произвольной формы изображен на рис. 8. Именно такое распо-
ложение координатных линий, когда поперечное сечение описы-
вается в координатах и3 и uv взято для удобства непосред-
ственного использования соотноше-
ний из гл. 1 и работы [29].
Как известно из теории цилиндри-
ческих волноводов [26], [29] и § 7
гл. 1, поле в однородном цилиндри-
ческом волноводе полностью опре-
деляется собственными функциями
ф31 = ф31 (u3, uj и собственными зна-
чениями х2 уравнения Гельмгольца
[см. формулы (1.156)—(1.158)]
Мз1 + *2Фз1 = 0	(2-1)
Рис. 8. Общий вид цилиндри-
ческого волновода сложного
поперечного сечения и систе-
ма координат.
и функцией g2 = g2(z/2), зависящей
только от продольной координа-
ты z (или, согласно рис. 8, от координаты и2). В уравне-
нии (2.1) через Д31 обозначен оператор Лапласа, включающий
в себя операции дифференцирования только по координатам и3
и Эти координаты выбираются таким образом, чтобы с их
помощью наиболее просто описывалась форма контура попереч-
ного сечения волновода, а именно уравнением u3 —const на одной
части контура и иг = const — на другой его части.
Если найдены собственные функции и собственные значения
Двух классов: ф31е, х^ и фзи, х| как решения уравнения (2. 1)
с граничными условиями на контуре X вида
--О’
__п
дп — ’
(2-2)
57
где — производная по нормали к контуру то поля попе-
речно-магнитных ТМ = Е-волн и поперечно-электрических
ГЕ^Н-волн (поперечных относительно направления оси волно-
вода uj> = z°) определяются выражениями (1.175) и (1.176).
В этих выражениях в соответствии с рис. 8 нужно только сде-
лать следующие перестановки в обозначениях:
U3e^Uie = q2e,
Фл -* Фз1А >	^ЗЬ -*	=
(2-3)
Цифровые индексы при функциях (или операторах) означают
здесь, что данная функция (оператор) зависит от тех коорди-
нат uv н3, номера которых имеются в индексе.
С учетом перестановок (2.3) формулы (1.175) и (1. 176) пере-
пишутся в виде
--#2^31eU2 + "7Г *	^31Фз1е»
Н.=^[?31ф31Х1>
Е*=-^Г31ф31*иО],
Н* = Мз1»и? + -^- • ^-7з1Фз1Л-
ТМ = Е-волны
ТМ = Я-волны
(2.4)
(2-5)
Функции q2e и q2h, согласно (1.179), имеют вид
(2.6)
где фазовая постоянная равна
=	А =	(2.7)
Известно далее, что с помощью собственных функций и соб-
ственных значений уравнения Гельмгольца (2.1) при граничных
условиях (2. 2) решаются задачи о колебаниях плоских мембран
и о распространении звука в цилиндрических трубах. Таким
образом, задача по определению этих собственных функций
и собственных значений имеет большое прикладное значение.
Однако методами непосредственного интегрирования уравне-
ния (2. 1) эта задача решается сравнительно просто лишь для
небольшого числа областей с контурами простой формы: прямо-
угольника, сектора круга (кольца), эллипса и некоторых других
(буквально считанных единиц) областей [48, ч. I].
Имеющиеся в математической литературе методы интегри-
рования уравнения (2.1) оказываются для инженерной практики
не всегда приемлемыми, так как получение результата с удов-
58
Рис. 9. Поперечное
сечение Я-во лновода.
летворительной точностью (порядка единиц процентов) этими
методами сопряжено либо со значительными трудностями мате-
матического характера, либо с громоздкими вычислениями.
Первое приближение этих методов довольно часто дает резуль-
тат с большой погрешностью. В качестве таких общих методов
можно привести методы, изложенные в кни-
ге [23].
В начальный период развития техники
СВЧ, когда применялись цилиндрические
волноводы и резонаторы простейших форм
поперечного сечения, математически слож-
ная задача по достаточно точному опреде-
лению собственных функций и значений
для сечений сложной формы не была прак-
тически столь необходимой.
Однако в последнее время на практике
применение цилиндрические волноводно-резонаторные системы
со все более сложными поперечными сечениями. В качестве
примера
(рис. 9).
начинают находить
можно назвать давно уже применяемый //-волновод
Примечательное свойство этого волновода заключается
Рис. 10. Поперечное сече-
ние системы из двух волно-
водов, связанных продоль-
ной щелью.
Рис. И. Поперечное сечение
щелевого возбудителя вол-
ны Я01.
в том, что критическая длина волны для основного типа у него
получается больше, чем у прямоугольного волновода с таким же
размером широкой стенки. Это позволяет уменьшить размеры
поперечного сечения при заданной рабочей длине волны.
Другим практически важным классом волноводных систем
со сложным поперечным сечением являются различного рода
направленные ответвители и преобразователи типов волн, осно-
ванные на двух цилиндрических волноводах I и 77, связанных
между собой узкой и длинной щелью, прорезанной в их смежных
боковых стенках (рис. 10).
В частности, к этому классу относится щелевой возбудитель
волны Я01 в круглом волноводе (рис. И). Оказывается, в ука-
занных системах с узкой продольной щелью имеют место новые,
59
недостаточно подробно пока исследованные явления. Например,
при решении задачи методом сшивания полей на щели полу-
чается следующий интересный результат. Если выбрать попе-
речные размеры одиночных прямоугольного и круглого волно-
водов так, чтобы критические волновые числа х в них для
волны Я10 в прямоугольном волноводе и волны Я01 в круглом
волноводе были бы равны, то в волноводе общего сложного
сечения (рис. И) будут иметь место два типа волн с критиче-
скими числами, очень близкими к указанным выше равным кри-
тическим числам. Примерные структуры электрического поля
для атих двух типов волн изображены на рис. 12.
Рис. 12. Структура поля противофазного (а)
и синфазного (б) типов волн.
Из рис. 12 видно, что эти структуры представляют собой
в основном совокупность структур волн Я10 и //01 в прямоуголь-
ном и круглом волноводах соответственно. Волну, обладающую
структурой, изображенной на рис. 12, а называют противофазной,
так как фаза электрического поля при переходе через щель
связи изменяется на 180°. Волну со структурой, изображенной
на рис. 12, б называют синфазной. Критическое волновое число
противофазной волны точно равно, а синфазной — несколько
отлично от равных критических волновых чисел для волн Я10
и Я01 в одиночных прямоугольном и круглом волноводах. Нали-
чие синфазности и противофазности в похожих двух структу-
рах используется при построении направленного возбудителя
волны Я01 в круглом волноводе.
Все это показывает, какие интересные вопросы с теорети-
ческой и практической точек зрения возникают при рассмотрении
цилиндрических волноводных систем со сложным поперечным
сечением. Изучение этих вопросов находится в самой начальной
стадии, и результаты получены пока только одним методом —
сшиванием полей на отверстии связи между волноводами. Важно
поэтому получение и подтверждение этих результатов какими-то
Другими методами, в которых сложное поперечное сечение рас-
сматривалось бы как единое целое, а не разбивалось на отдель-
ные частичные области.

60
Сложность поперечного сечения волноводных систем типа
Я-волновода и двух волноводов, связанных между собой щелью,
заключается в значительной изрезанности его контура. Однако
сложность контура может определяться не только степенью его
Рис. 13. Сложные поперечные сечения некоторых
цилиндрических волноводов.
изрезанности. Например, контуры в виде треугольника, парал-
лелограмма, ромба, трапеции и т. п. (рис. 13) не являются
изрезанными, и все-таки сечения с такими контурами будут
Рис. 14. Сочленение прямоугольного волновода
с круглым (а) и Y-образный делитель мощности (б).
сложными. Сложность этих сечений заключается в том, что для
них уравнение Гельмгольца (2. 1) при граничных условиях (2. 2)
невозможно проинтегрировать методом разделения переменных.
Это будет проиллюстрировано в следующем параграфе.
Решение задачи о собственных функциях и значениях для
сложных сечений типа представленных на рис. 13 также имеет
61
большое значение. Это определяется, в частности, следующими
двумя обстоятельствами.
Во-первых, исследование волноводов с сечением в виде парал-
лелограмма, трапеции, ромба и других имеет непосредственное
практическое значение с точки зрения допусков на отклонение
формы поперечного сечения прямоугольного, квадратного и дру-
гих волноводов от идеальной.
Во-вторых, цилиндрические полые области со сложным сече-
нием типа изображенных на рис. 13 образуются при решении
практических задач о сложных волноводных устройствах мето-
дом частичных областей. Этот метод основан, как известно,
на том, что в сложном устройстве условными границами раздела
выделяются простейшие области, решение для которых известно.
Однако между этими простейшими областями весьма часто
оказываются области сложного сечения. В качестве примера
таких устройств можно привести сочленение прямоугольного
волновода с круглым (рис. 14, а). и Y-образный волноводный
делитель мощности (рис. 14,6). Из рис. 14 видно, что промежу-
точные области II получились со сложным (неправильным) сече-
нием. В более сложных устройствах таких областей окажется
не одна, а несколько, причем их сечения будут иметь самую
разнообразную форму.
Из всего изложенного следует, что разработка достаточно
общих методов определения собственных функций и значений
уравнения Гельмгольца
для
областей сложной формы имеет
большое практическое и теорети-
ческое значение. Разработанный
нами метод излагается в §^3 этой
главы.
Рис. 15. Область сложной фор-
мы в виде треугольника.
§ 2. ТРУДНОСТИ НЕПОСРЕДСТ- *
ВЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
С математической точки зре-
ния плоской областью (попереч-
ным сечением — для цилиндриче-
ских волноводов) сложной формы
будем считать такую, контур
которой не может быть описан
уравнениями вида и3 = const и
и± — const в какой-либо широко
известной ортогональной системе
координат. Другими словами, контур области сложной формы
(рис. 8) будет совпадать с координатными линиями и3 — const и
и т = const только в какой-то косоугольной или специально обра-
зованной ортогональной системе координат.
62
В качестве простейшего примера такого сечения, на котором
будем иллюстрировать все общие положения, возьмем треуголь-
ник (рис. 15). Из рис. 15 видно, что контур треугольной области
состоит из отрезков двух лучей, выходящих из начала коорди-
нат под какими-то углами и <р2, и отрезка линии x~xQ,
параллельной оси OY. Прямые линии, выходящие из начала
координат под каким-то углом ср, можно описать следующими
ф = const,
y = Uix’
U1 = tg = const.
Прямые, параллельные оси OY, описываются уравнением
способами:
либо
либо
где
х = const.	Отсюда следует, что	контур треугольника	опишется
наиболее	просто в следующих	системах координат:	
либо	и3 = х,	X = U31	
	*	< у u1 = ? = arctg-,		(2. 8a)
	u2 = z,	z=u2,	
либо			
	и3 = х,	z = u3,	
		У = и3^Р	(2. 86)
	u2 = z,	z = u2.	
В дальнейшем будет взята система координат (2. 86). В соот-
ветствии с таким выбором и содержанием § 1 гл. 1 получаем
следующие характеристики этой системы координат (с учетом
еще, что u2 = z):
R3 = x04-tt1y0, ?зз = 1+»?.
В1 = «зУ0.	=
Щ — Z°,	g22 == 1 >
II II II J3 +	uv g3l=«3Ul> g12=o, g23 — 0’	co	co	co a	a	a II	II	II cf	Q	'-s?	(2. 9)
R3 = x°,	g33=l, R3	_ 1; g3i _ _ Hl	
№ = —21х° + -у°, gii==l+^ = ^j.	£12 = 0
«3 и3 У ’	8	М2	И2 > ё
R2 = z°,	g22=l,	7?2=1, g23 = 0.
63
Направления векторов R3, Rx и R3, R1 показаны на рис. 15.
Неравенство нулю коэффициентов g31 и g31 указывает на тот
факт, что координаты и3 и их являются не ортогональными,
а косоугольными.
Перейдем теперь к общему анализу уравнения Гельмгольца
дз1Фз1 + х2Фэ1 = О-
Двухмерный оператор Лапласа Д31 в произвольных коорди-
натах и3 и имеет следующий общий вид:
Д — — J-lL {d «зз ^Рз1 I п „31 I
a3i — р2 |au3 \ & ди3 Л- ЭИ1) -t-
+ (b2gn	D^31	(2.10)
1 диг \ 2& диг 1	26 du3	'
Tfifi D2 = Ri'/g.
Отсюда видно, что при косоугольных координатах и3 и
когда g317^0, в уравнении (2.1) обязательно будет присутство-
«Арот А
вать смешанная вторая производная . А если это так, то
проинтегрировать уравнение (2. 1) методом разделения перемен-
ных становится невозможно (если бы даже коэффициенты в урав-
нении и позволяли сделать это в отсутствие смешанной произ-
водной).
Проиллюстрируем это на примере треугольника. Если под-
ставить значения коэффициентов gv и D2 из (2. 9) в (2. 10), то
уравнение (2.1) получится в виде
2^31 |
'3 du3 "Г
(1 I	I 2и
— 2^3 Л31- + (хн3)2 ф31 = 0.
1 3 ди3диг 1 v ‘31
(2.11),
Если пытаться все же решать это уравнение методом разде-
ления переменных, т. е. искать ф31 в виде произведения двух
функций
Фз1^з (из) 1 (Wl)>
то из (2. И) получим
+ W2 + (1 + «?)	% - 2и3«! • rj = °- (2-12)
где штрих означает производную по соответствующей коорди-
нате, например
7 7' _ TJ' _____ dU
3 du3 ’	1 du± ’
Из (2. 12) видно, что осуществить разделение переменных
точно никак не удается. Делать же какие-то предположения
64
о способах приближенного разделения переменных весьма за-
труднительно, так как неизвестны сами решения С73 и Uv
Аналогичные затруднения будут возникать в любой другой
области сложной формы. При этом степень затруднений будет
возрастать по мере усложнения формы области.
§ 3. ПРЕДЛАГАЕМЫЙ ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ
СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ ВОЛНОВОДОВ СЛОЖНОГО
ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Как было показано в § 1 настоящей главы, поле в одно-
родном цилиндрическом волноводе представляется в виде суммы
полей Т М- и Г£-волн относительно направления оси волновода
u® = z°, которые выражаются в виде (2.4) и (2.5) через функ-
ции ф31, q2 и собственные значения х2.
Если волновое число среды & = заполняющей волно-
вод, положить равным критическому волновому числу волно-
вода х, то фазовая постоянная 2? в (2.7) будет равна нулю и
тогда функция д2(и2), согласно (2.6), будет постоянной
q2 = const.	(2.13)
В этом случае ТМ~ и Т^-поля, согласно (2.4), (2. 5) и (2.13),
запишутся в виде
Ее = Фз1Х>
н.=^[М31Х], ’
Е* = -'
(2.14)
(2.15)
Щ = Фз1Х-
Обратим внимание в этих выражениях для полей на следую-
щие два обстоятельства:
1) искомые собственные функции ф31е и ф31Л для поперечного
сечения сложной формы 531 (рис. 8) в своем непосредственном
виде находятся в составляющих поля ТМ- и ГЕ-волн по на-
правлению и°;
2) при равенстве а)\/ер. = £ = х поле в волноводе не зависит
от координаты и2.
Исходя из этих обстоятельств и на основании теоремы един-
ственности решений уравнений Максвелла можно сформулировать
следующие обратные положения:
1) если найти поле в цилиндрическохм волноводе любым
другим методом, то собственные функции ф31 поперечного сече-
ния 531 будут заложены в составляющих полей Е и Н по напра-
влению u!* = z0;
5 Теория волноводов
65
2) при решении задачи о поле другими методами нужно
исходить из предпосылки, что поле не должно зависеть от коор-
динаты z/2, и тогда волновое число & = определенное
из граничных условий на боковой поверхности цилиндрического
волновода, будет равно критическому волновому числу.
В качестве такого другого метода предлагается метод опре-
деления поля в волноводах сложного продольного профиля,
развитый в гл. 1 и [29]. В соответствии с этим методом цилиндри-
ческий волновод (см. рис. 8) сложного поперечного сечения 531
можно рассматривать как волно-
водную систему сложного про-
дольного профиля, если в ка-
честве продольной координаты
взять координату п3. При таком
подходе сложность поперечного
сечения переходит в сложность
продольного профиля, новое же
поперечное сечение S12 будет срав-
нительно простым.
На рис. 16 новый подход ил-
люстрируется на треугольном
волноводе. Конечно, при этом
трудности в решении задачи,
которые раньше обусловливались
Рис. 16. Треугольный волновод
как система, в которой в каче-
стве продольной координаты взя-
та поперечная координата и3.
сложностью поперечного сече-
ния, теперь будут связаны со сложностью продольного профиля.
Однако общий метод, развитый в гл. 1, позволяет преодолеть
эти трудности по крайней мере на пути приближенного реше-
ния задачи и дает возможность получать все более точные ре-
зультаты, в то время как непосредственный метод не дает таких
возможностей.
При реализации предлагаемого метода все производные по
координате и2 необходимо положить равными нулю, так как
в соответствии с вышеприведенным положением мы ищем поле,
не зависящее от координаты и2. Кроме того, во всех соотноше-
ниях необходимо учесть следующие особенности обобщенно ци-
линдрической системы координат uv и2, и3 относительно декар-
товой координаты u2 = z, в которой будет решаться задача:
g82 = gM=l» ^12 = g23 = S,12 = ^23 = 0,
R2 = R2 = u® = z°,
[R»RJ = g31 \/g R2 = -	R2, g31 Vg = -	,
vg	vg
[R2R2] = 0,
(2.16)
[R%]=-g3iVgR2 = >R21
66
[R1R2] = ^2\/iR3,
[R^J^Vgte^-g31!*3),
[R3R1| = g11\^R2 = -^-R2.
(2.16)
Приведем теперь те основные моменты метода из гл. 1 на-
стоящей работы, которые будут здесь непосредственно исполь-
зоваться.
Поле в волноводе сложного продольного профиля представ-
ляется в виде суммы ТМ = Е- и ТЕ еее Я-решений теперь уже
относительно новой продольной (привилегированной) коорди-
наты н3 следующим образом:
Е = U 4- UQeSQei )
и _7 J	I ТЛ/= ^-решения (2.17)
=	I УЯ = Я-решения (2.18)
--4h<rVSh~V 1 qh<7V qh- )
В этих выражениях амплитудные коэффициенты Ua и 1Ь за-
висят только от продольной координаты н3, а векторы 8а и $)е
выражаются через собственные функции ф12 и значения /22 но-
вого поперечного сечения S12:
<?зе —	Ф12е^3’	Жзл =	д^Ф12/»К3>	
Sqe =	f 1 ф дф12<? д1 Х12« ди1	<%>qh	/1	, дф12Л Д! Xm <*»i	• (2. 19)
&qh =		3^qe ==	[^3<£г J•	*
Выражения (2.19) записаны на основе общих соотношений
(1.142) гл. 1 с учетом того, что все производные по коорди-
нате н2 в нашем случае равны нулю.
Для решения поставленной задачи нам необходимо знать
лишь составляющие электрического и магнитного полей по на-
правлению u!* = R2=R2. Поскольку векторы R3 и R1 в нашем
случае всегда лежат в плоскости, перпендикулярной направле-
нию и2 (см., например, рис. 15), то составляющие поля по этому
направлению и® будут содержаться лишь в ЕЛ- и Н^-решениях
выражений (2. 18) и (2. 17) с учетом (2. 19). Используя значение
векторного произведения (R3R1) из (2.16), получим следующие
значения векторов Sqh и в (2.19):
S = yiv/g .	R2,	% =	R2,	(2. 20)
^ЗХ12Л ^и1	9	* ^ЗХ12е
5*
67
или в другой записи


/1Д3
Х12Й
^•=^-^гв>- <2 *-21>

В соответствии с этим и значениями ЕЛ и Нб из (2.18) и
(2.17) получаем следующие выражения для составляющих ре-
шений ЕЛ и Не по направлению u£=R2 = R2:
____тт fiS11 8 .	_________jj fiRs
ih Я3Х12Л <4	“Х1Й^ ‘	’
и ____ т flS11 difae __________ J fxRs <fyl2e
2e~	*3X12.	“ ”x12ev7‘ <4 •
(2. 22)
(2. 23)
Функция ф12 и величины x22, согласно (1.145)—(1.149), являются
собственными функциями и собственными значениями уравнения
+	(2-24
на поперечном сечении 512 при следующих граничных условиях:
Ф12, = °» ^=о при »1=Вц. ив. (2.25)
Величина D3 в уравнении (2. 24) в выбранной системе коор-
динат равна
D3 = 7?3^ = ^ = jRi)	(2.2б)
а функция Д может быть выбрана произвольной [например,
исходя из стремления получить наиболее простое уравнение
(2. 24) или из других соображений].
Амплитудные коэффициенты Uqk и Iqe в (2.22) и (2.23), за-
висящие от координаты п3, определяются из системы уравне-
ний (1.71)
• 2 ’*'»•. i <F>-.	2б-. -г7-''
(9)	(ft)	(«9
2 iv,л - 2 я? <г-. ‘'‘1=2	-
(ft)	(ft)	(«9
2 аиа-У (1%,. аиа) = й»е У Иг„
(2.27)
2 ^зл, aUа,	У ~faT	аРа) = ^<0® У Изд, Ъ'Ц',
(а)	(а)	(3')
5	2	=Zws 2	ь'1ь,
(а)	(а)	(ft9
2 w^> Ыь - 2 -t bh)=2 a'Ua' ’
(ft)	(ft)	(«9
68
где коэффициенты И7, V, Й7, V и т. д. в уравнениях находятся
как интегралы (1.63)—(1.69).
Если теперь Е^ в (2. 22) с коэффициентом Uqh, найденным
из системы уравнений (2.27), подчинить граничному условию
Я2л = 0 при н3 = и31, и32,	(2.28)
то E2h приближенно будет равна собственной функции ф31е для
поперечного сечения 531, которую мы ищем, а значение /с2 =
= (o2s[x — собственному значению этого сечения х2, т. е.
^-uqh
Мз
Х12А^
диг
с условием ф31е = 0 при u3 = u31u32,
Хе
(2. 29)
(2. 30)

при котором ф31б = 0 если u3 = zz31, u32.
Убедимся, что ф31, в виде (2.29) удовлетворяет нулевым гра-
ничным условиям на контуре поперечного сечения 531. Дей-
ствительно, на части контура —	и12 функция ф31в = 0за
счет того, что, согласно (2.25), производная =0 при
и1 = иш и12, а на части контура н3 = н31, и32— за счет равен-
ства ф31е = 0 при u3 = w31, u32 согласно (2.28) или (2.29).
Приближенные равенства в (2.29) и (2.30) будут во всех
случаях, когда система уравнений (2. 27) полностью не разде-
ляется для каждого Е- и Я-решения в отдельности. Если же
такое разделение будет иметь место, то приближенные равен-
ства в (2. 29) и (2. 30) превращаются в равенства точные.
Для того чтобы решение Н2е в (2.23) приближенно было
равно искомой собственной функции ф31А, необходимо подчинить
его граничному условию
-^-=0 при в3 = и31, и8,	(2.31)
д
где — производная по нормали к поверхности iz3= const.
Поскольку производная по нормали равна
= ?Я2е • п° при u3 = wsl, и32,
то условие (2. 31) можно записать в виде
= 0 при Ц3 = U31> “32	(2.32)
69
или с учетом (2. 23)
/1Нз
Х12е

р31	( /1*3 . д(р12е \_________
Хш ’ dtti \ v'g ‘	)~
(2. 33)
при а3 = н31, а32.
Таким образом, приближенно можно считать, что искомые
собственные функции ф31Д будут равны:
<2-34)
с условием = 0 при a3 = w31, iz32, а критические волновые
числа хЛ будут равны волновому числу й = а)^е[х, при котором
выполняется вышеуказанное граничное условие*
хЛ«/с.
(2. 35)
§ 4. АНАЛИЗ СИСТЕМЫ ВОЛНОВОДНЫХ УРАВНЕНИЙ
Проведем более подробный анализ системы волноводных
уравнений (2. 27) с целью:
1) показать, что в данном случае эта система разделяется
на две независимые системы: одна для ^-решений, а другая
для Я-решений;
2) получить в более подробном виде некоторые необходимые
соотношения.
Для решения этих задач нам понадобятся прежде всего вы-
ражения роторов от векторов £а и 3%ь из (2. 19). Если произ-
вести все необходимые операции, то получим роторы в следую-
щем виде:
rot S3e = — x12„ -j-	+ -j=-ф12в) <|>12e	r2,
r°t^- h	<4 j +
*12ЛГ	\flRSD3/ 3’
rot	= *121 -ц-	ti») ’ tm -^4 R2’
70
r ot Sik—x124 -j-	4-	f 3_
*1	Vg 0us \ Xj24 Vg
flD^ . <412* . M Vg
%12Л	d111	^1 \ /1Л3Р3 /
R3.
Исходя из (2.19)—(2.21), а также (2.36), получим следую-
щие более конкретные выражения для всех коэффициентов Waur
и Wba’ в уравнениях (2.27), определяемые в нашем случае,
согласно (1.66) и (1.67), как
«12
Wai' ~ I 7Г3 ^ь' 101
и\\
«12
= — j -^/rot^jZ^dUp
«It
(2. 37)
Подробное вычисление дает
«12	«12
W3e, qe’ = —*12. f	34qe<№qe’D^dtt^	j J '
«11 «11
_ Л дДз! <tyl2e J„
T12« ЭВ1 J dllq
^12«L .	. 2£12<l') duv
^tt3 \%12e dul /
ди±
til2
Wqe, qe' == J	F' e34qe' 34qe^3^Ult
«11
J«4~ j R3RZ34 qe34 qe'	' du3
«11
«12
qe', 3e' == X12e J fqRS ^3e^3e'^3^’U'l Ч”
ttlt
fiR3
42e
(2. 38)
J 2?зд3	1
р /2Д3^и
. <412. \	___
dU1 j™!
<b , ^12‘ duv
‘ 12*'	()U1	11
71
и\2
qh' —----Х12Л j &qh&9h' D^du± -j-
wu
«12
I f /1д3^8 Г д ( ё31 л. \____________________X dR31 _jtyl2*£
+ J Я3*	(v7)2 L ди3 к Rs ™2A)	^12ft dui J <?»1 p
2^	1Z« ' о '
Ttr __ f /1Д3Д3	. J^12V . д I fi . <ty12<, \ Л
qh,'jh' J J?3X (V^)2 dU! du3 U12, dU1 ! p
«п АлЛ '
«12
ffigh, qh,=- j ^3" qh^qh'D^du^
«П
<
Wgh, qh' = ffiqh’, qh 4~ j R3fy &qh&qh' ‘	(yf~) ^3^ai>
WH
(2.38)
«12
Wqh, 3h' = X12h j -ддз^ЗЛ^ЗЛ'^з^!+
«и
M12
1 f ?310з ,i.	( fi^s d|12t \ , _____
+ J WR3 <g Ф12й ^з I x12i <g )	1
И11
_ г12 /2ДзОз^ц . д /	\	дфщ л
J ЯЗх12Л^ (hl! \/jBgDs / Т12Л' dUj р
Обращает на себя внимание в (2. 38) то обстоятельство, что
все коэффициенты со смешанными индексами е и h (например,
^зе, qh и т- п-) равны нулю. Это говорит о том, что связь между,
Е- и Я-решениями в этих коэффициентах отсутствует.
Вычисление коэффициентов Уа.ъ' и Vba' по формулам
«|2
V«4'=f
«11
-^Sa, [^R’jDgdll!
«11
дает следующие их значения:
I/ ________т/ ________Г /1^31^3 л.	^Ф12 ег т -
И3е, qe' — Vqe, Зе' — J	ф12е dU±,
(2. 39)
(2.40)
72
Vqe, qe'-- Vqe, qe'
qetffi qe'D^du,-.
Vqh, qh'  Vqh, qh'  J	& qh^qh'
un
V3h, qh’ = Vql., ЗЛ' = J д3^’(^)2	dU1'
(2.40)
Видно, что и эти коэффициенты со смешанными индексами
равны нулю.
На основе интегрального соотношения (1.44) гл. 1 можно
показать, что коэффициенты Й7, W и V удовлетворяют следую-
щему условию:
dV
=	+	(2.41)
Осталось проанализировать коэффициенты eaaf и р.66,. В от-
ношении них можно сказать следующее: поскольку электри-
ческие векторы £3е, Sqe и Sgk, как это видно из (2Л9), взаимно
перпендикулярны между собой (как и магнитные векторы), то
все коэффициенты со смешанными индексами (например, e3e,qh
и т. п.), согласно (1.63) и (1.65), будут равны нулю. Если же
все коэффициенты со смешанными индексами в уравнениях (2.27),
как было показано, равны нулю, то система (2. 27) разделяется
на две самостоятельные системы. Одна система будет отно-
ситься к ^-решениям
5 W3edq.- 2	(V3^) = toe 2 ^'U3e4
(?')	(в')	(И
2 W^'Iqe' — 2	= f(Oe 2 See'U^
2 ^3e'U3e' - 2 ^ee'Uge> - 2	-
(«') (*') («')
2 ^“3	=2 ^ее,^еч
(И	(И
а другая — к /Z-решениям
2 ^зл, 2h' — 2 dF ^ЗЛ>qh’^qh^ =	2 ^3A’ ЗЛ'^ЗА'’
(ЛЭ	(ЛЭ	(Л')
2	?Л'£^Л'	2>	(И2Л, qh'Uqh') =	P'qh, qh'Iqh' i
(ЛЭ	(лэ	(лэ
(2.42)
(2.43)
73
Wqh, wish' 4“ 2 Wqh, qh'Iqh'  	(V qb, ЗЛ'Лл')  
(Л')	(Л')	(Л')	^2 4.3)
qh'Iqh'} = ^ше Bqh, qh'Ugh' •
(*')
Часто бывают случаи, когда коэффициенты V и V не зави-
сят от координаты и3. Тогда, согласно (2. 41), становятся спра-
ведливыми равенства
W. , —__w п
rr ba'- a'b
и в диагональном приближении на основании (2.42) и (2.43)
можно записать следующие уравнения для Iqe и Uqh\
(*г+пк+
+ [*2-^-^,-	= 0,	(2. 426)
(^А + П)^ +
+ [*2-^-^-	?Л1 Uih = 0, (2. 436)
где штрих означает производную по и3 и для краткости обо-
значено
ее ^qefqef Зе  ^Зе, де.» "^3® Зе»	ее ^^де, де»
Vhh — ^дЛ, дЛ» ^Зд ^ЗЛ, дЛ, ^ЗЛ ^^ЗЛ, дЛ»	qb, qbr
Коэффициенты w и рььг, согласно (1.63) и (1.65), при по-
стоянных е и |i среды определяются следующим образом:
«12	«12
®ва' •— J ^з"	P*bb' — J "^з"	(2.44)
«и	«и	*
Если конкретная система координат окажется такой, что
в ней /?3 не зависит от uv то евв, и phh' при е'=^е и h! =^=h
будут равны нулю и тогда суммы в правых частях уравне-
ний (2.42) и (2.43) будут равны лишь одному соответствующему
члену.
§ 5. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ, ИЛЛЮСТРИРУЮЩИЕ
ПРЕДЛАГАЕМЫЙ МЕТОД
В этом параграфе предлагаемым методом будет решена
задача о некоторых таких сечениях, для которых имеется точ-
ное решение, полученное непосредственным методом в ортого-
нальных системах координат. При этом будут даны иллюстра-
ция метода и сравнение полученного результата с точным
решением.
74
Прямоугольник (рис. 17)
Этот пример является наипростейшим. Ясно заранее, что
новый метод должен дать здесь точный результат. Однако, мы
рассмотрим все же этот случай с целью проследить основные
моменты нового метода в простейшем случае.
Как известно, точное решение для фзь?, хе, ф31Л и хА в этом
случае имеет вид
,	ГУ	.	.	44
Фз1« = £31.sin ~х Sln — у’
(2-45)
,	тп пп
Фз1Л — £з1Лс°8— х C’OS-^y, m__Q^	2, 3, ...
2 /тп\% , (птЛ2	п = 0, 1. 2, 3, . . .
\ а /	\ b ) ‘
Найдем этот результат новым
в данном случае будет декартова
методом. Система координат
u2 = z,
И3 = Х,
х = и%,
y = uv
z = и2.
(2.47)
“гУ
В силу этого все одноименные
коэффициенты gii4 g", а также та-
кие величины, как Z)3, yjg, R3, R3,
будут равны единице, а все раз-
ноименные коэффициенты g^- и gv
при j=^i — равны нулю.
Уравнение (2. 24) при /х = 1 при-
Рис. 17. Поперечное сечение
прямоугольного волновода.
нимает вид

(2.48)
Решениями этого уравнения при граничных условиях (2. 25)
будут
Ф12е = л, sin x12eup
пк	n = 0, 1, 2, 3, ...
Х12«	"У" >
Ф12Л = Л COS Z12*U1>
пк	га = 0, 1, 2, 3 ...
Ф12Л = —»
(2.49)
(2. 50)
где Ае и Ah — постоянные.
75
Коэффициенты уравнений (2.42) и (2.43), согласно (2.34),
(2. 40) и (2. 44), получаются равными
W3$, qe'	 де, а' = X12e^e, a't ^ЗЛ, ghf —	’Хл2$Мг,	Vде, qe'	^ee't vqe, a' == ^ge, a'? V gh, gh' = ^hh4	^aa' — ^aa'f ^bb'=^bbf-	(2.51)
Wqh,bf== Х12ДЛ, b'i	Vgh, b' — §gh, b',		
Видно, что при таких значениях коэффициентов бесконечные
системы уравнений (2. 42) и (2. 43) полностью разделяются для
каждого Е- и Я-решения в отдельности. Такое полное разделе-
ние и говорит о том, что результат будет получен точным.
Волноводные уравнения для Iqe и U q1l из (2. 426) и (2.436)
получаются в виде
^ + (£2-Х?> = 0,	(2.52)
где через v обозначены либо Iqe, либо Uqh. Введя обозначение
«?2=^-Х?2.	(2-53)
решение уравнения (2. 52) запишем в виде
v = Р cos (а12и3) 4- Q sin (а12н3).
Коэффициент Uqh = v, -согласно (2. 29), должен удовлетворять
в данном случае граничному условию
Uqh — 0 при и3 = 0, а
и поэтому
Ugh = Qsixi (а12еи3),
=	т = 0, 1, 2, 3, ...
(2-54)
Коэффициент Iqe = v, согласно (2.34), должен в данном слу-
чае удовлетворять граничному условию
д1де _0 ПрИ — а
<^3
и поэтому
Iqe = P cos (ашн3),
= Т	т = 0, 1, 2, 3, ...
(2. 55)
Подставляя значения всех величин и функций в (2.29),
(2.30) и (2.34), (2. 35), получаем выражения для искомых функ-
ций ф31е, ф31Л и чисел х* и х|, полностью совпадающие с их точ-
76
ними значениями (2.45) и (2.46). Выражения для х2 и х| полу-
чены исходя из равенства
х2 = к2,
где к2, согласно (2. 53), равно
*!=(7),+(т)!=“»+й
с учетом значений а12 и /12 из (2.49), (2.50), (2.54) и (2.55).
Таким образом, в данном случае новый метод дает точный
результат.
Сектор круга (кольца)
Поперечное сечение секторного волновода изображено на
рис. 18. В данном случае должна быть выбрана цилиндрическая
система координат
	. У И1 = ср = arc tg ,		x = ll3 COS Up	
	u2 = z,		y = u3 sin uv	
и3 — г = Характеристики этой дующие: Ri = u3u® = гф°, R2 = u® = z», R3 = u® = r®, Ri = — uo “3	1 R2 = u®, R3 = u®,		Orq Oq	OfQ Qrq OQ Oq	H OS	tO	1—*	CO	tO	*5	to CO to	co to H*	1-3	. II II ll ll ll II 3 + |_i.	£ 1	hk S3	д	to „ cotol	~	•* Wto	ф - bo !эд 2?	b	on II	II II	II	® * И-	о	S' • ' _ «и S i	и	£ ®	я	S II ’	~	я g 			инат сле-  (2.56)
Как известно [29], точное решение для сектора круга имеет
вид
Фз1» = С31Л М Sin V (? — ?1)>
„  „ ”!Д т — 0, 1, 2, 3, ...
Л ’ Фо т = 1, 2, 3, ....
Фз1Л = ^з1лЛ(хлг)СО8>(? —?i)>	(2’57)
где svn — п-й корень функции Бесселя индекса v; s[n — n-й ко-
рень производной функции Бесселя J'.
77
Покажем теперь, что этот результат может быть получен и
новым методом, когда секторный волновод будет рассматри-
Рис. 18. Поперечное се-
чение секторного волно-
вода.
ваться как волновод с переменным сече-
нием 512, если в качестве продольной ко-
ординаты взять и3--г (рис. 18).
Уравнение (2. 24) с учетом (2.56) и
при ^ = 1 принимает вид
^ + (ХЛ)Ч12 = 0.	(2-58)
1
Обозначив
v = Xi2M3’	(2.59)
получаем следующие решения уравнения
(2.58) при граничных условиях (2. 25) и
условиях нормировки (1.150) при р = 1:
= 2£ тп = 0,1, 2, 3,
Фо ’
(2. 60)

Фш = -^-С08У(н1 —“11)>
Ф12Л 
(2.61)
Видно, что для сектора мы имеем случай, когда зависимость
функций ф12 от и3 проявляется только в некоторой функции ср(н3),
равной в данном случае
?(кз) = ^.	(2-62)’
Vu3
которая выступает в качестве нормирующего множителя. Коэф-
фициенты Wqe qe' и Wqh, ghr для этого случая даются в виде
(2.386).
Проследим теперь вычисление всех коэффициентов для сек-
тора несколько подробнее, чем это было сделано для прямо-
угольника в предыдущем пункте.
Коэффициенты W3e, qe' и qh' в (2.38) будут равны
WЗе, qe' ==-	Х12е^««'» ЗЛ, qh' ==:	Х12Л^Л'>	(2. 63)
так как в данном случае Д3=1, Д=1, g31 = 0, ^^ = 0.
78
Коэффициенты Wqe,qe' *Wqb9qh', согласно (2. 386), получаются
равными
Wqe,qe' — 2u3S^> ^qhtqhr — 2^hh4
так как Я3 = 1, а функции Fe и Fh при
ср(к3) = -—,	/12 = — , Я3 =	= l
Vtto	мз
(2.Ы)
(2. 65)
(2. 66)
оказываются равными
1
F =Ри — —
е h 2и3*
Для коэффициентов Wqe, qe', Wqh^e'iW^qh' и Ж^,зл', согласно
(2. 41), имеем
де, qe'	И^q6i qe' =	2и^	2е’ $е' —’	$е> Vе' Х12е^'*
1
И7*qh, qh'  И^qh, qh' 	2и3	’
Wqh, Ы =----ЗЛ, qh' = Xi2$hh',
так как в данном случае, согласно (2. 36),
ГО1<Я^е = Х12е<*3в 4~^e<?ge, Г0^ 8qh = XlZhffi3h	Рhffl> qh- (2. 67)
Поскольку далее для сектора R3 = R3, то коэффициенты Vab'
и Vba' получаются равными
К Зе, Ь' =— О, V qe, Ь' = ^qe, qe'» К qe, а' —= ^qe, qe'>
Кзл, а'-0, Vgh, а!-$qh, qh', V qh, Ъ'-—^qh, qhf •
И наконец, равенство	определит то обстоятельство,
что каждая сумма в правых частях уравнений (2.42) и (2.43)
будет равна лишь одному соответствующему члену при е^. = 1
и руу = 1.
Из полученных значений всех коэффициентов видно, что
системы уравнений (2. 42) и (2.43) и для данного случая сек-
торного сечения полностью разделяются для каждого Е- и
Я-решения в отдельности и, следовательно, для сектора мы
также получим точное решение.
Система уравнений (2. 42) для каждого Я-решения принимает
вид
(2.68)
—Zi2JSe = iu)sf73«’
d/oe
FI
* ел qe
Р е^ qe
——— i^Uoe,
^з	q
dUoe
(2.69)
79
a (2. 43) для каждого //-решения
—7.nhUqh = i^hh,
VTT dU<*_. г
qh dUs	.	(2.70)
df h
T.12h^3h FkIi^~~d^ = its>&Ui^ I
где, согласно (2. 61) и (2. 65),
ZU. = Z,» = ^. > =	=	(2.71)
Понимая под функцией и либо Iqe, либо Uqh из систем (2. 69)
и (2.70), с учетом (2.71) получим следующее уравнение для и:
(	»2 — -7“ А
44 + U2--------г-р = °-	(2.72)
dlft 1 \	й2 /	' 7
3	\	3 /
Решение этого уравнения, как известно, выражается через
функции Бесселя Zv:
v = ku3Z^ (ки3).	(2.73)
Если сечение будет сектором круга и точка и3 = 0, следова-
тельно, будет принадлежать сечению, то в (2. 73) вместо Zv мы
должны взять функции Бесселя только первого рода 7V,
v = \jku3Jv (ка3).	(2. 74)
Если сечение будет сектором кольца и точка w3 = 0, следо-
вательно, не будет принадлежать сечению, то в (2.73) мы
должны взять функции Бесселя первого и второго рода и J_v:
v = \/кщ (Р • 7, (ка3) + QJ-, (kus)).
Отметим здесь то интересное обстоятельство, что Uqh и lqe
в виде функции v получились равными не самой функции Бес-
селя, а произведению этой функции Бесселя на множитель \Jku3,
зависящий также от и3. В точном же решении ф31в и ф31Л в виде
(2.57) входят только сами функции Бесселя без каких-либо
множителей, зависящих от и3. Следовательно, в решениях ф31е
и ф31А в виде (2.29) и (2.34) этот сомножитель \/ки3 должен
сократиться.
Проследим это на получении окончательных выражений для
Фз1в и Фз1Л- Формулу (2.29) для ф31в в случае сектора круга
мы должны подставить:
согласно (2. 74),
Ъ\к — \/кй^Л,еиз')’
80
согласно (2. 61),
.	—----— vsinv(tt1 — Un), У12А =----,
(?tti	Vu3 v 1	117 Л12 »з
согласно (2. 56),
ft3=1» Vi==«3
и Д = 1, как это было принято при решении. После этих под
становок получим
Фз1е = £з1еЛ W S*n V (U1 Wll)’
где C31e— постоянная.
Если теперь ф31е подчинить граничному условию
Фзи = ° при н3 = Я,
где R — радиус сектора круга, то получим окончательное выра-
жение для ф31в и хв
Фзхе = (xeW3) Sin V (12, — Wn),
Ze	’ v ф	л
Л	^0	22=1.
1, 2, 3,...
2, 3,...
(2.75)
V =
Совершенно аналогично из общих формул (2.34) и (2.35)
получаем
Фзи — £*31йЛ (^^з) C0S V (Ц1 Wll)»
Y --J. ----
--Khyn — r •
(2. 76)
Сравнение (2. 75) и (2.76) с (2. 57) показывает, что новый
метод и для сектора круга (кольца) дает точный результат.
При реализации нового метода для сектора круга было
видно, что окончательный результат получается лишь после
значительных трансформаций промежуточных соотношений, и
если эти различные трансформации все же приводят к точному
решению, то это говорит о внутренней последовательности и
строгости метода. Для простейших сечений, когда непосред-
ственный метод применим, новый метод отличается, может
быть, несколько большей громоздкостью различного рода вы-
числений. Однако преимущества нового метода проявятся при
решении задач для сложных поперечных сечений, когда непо-
средственный метод в строгой своей постановке становится
неприменимым.
6 Теория волноводов
ГЛАВА 3
РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОДНЫХ УРАВНЕНИЙ
В ДИАГОНАЛЬНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
§ 1. ВОЛНОВОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ДИАГОНАЛЬНОМ
ПРИБЛИЖЕНИИ
В строгой постановке задачи о поле в волноводе сложной
формы мы пришли к необходимости решения бесконечных систем
дифференциальных волноводных уравнений либо вида (1.71),
либо вида (2.42) и (2.43). Ясно, однако, что строгое реше-
ние бесконечной системы дифференциальных уравнений сопря-
жено с большими трудностями математического характера,
которые на практике не всегда могут быть преодолены. С другой
стброны, как было показано в § 7 гл. 1, для цилиндрических
и конических волноводов при постоянных е и бесконечная
система (1.71) полностью разделяется как по классам Е- и Я-реше-
ний, так и для каждого частного Е- и Я-решения в отдельности.
Это обстоятельство говорит о том, что если поперечное сечение
волновода сложной формы будет изменяться достаточно плавно
и е и рь будут постоянными, то связь между отдельными Е-
и Я-решениями в системе уравнений (1.71) будет не очень
большой. В этом случае систему уравнений (1. 71) можно решить
приближенно, учтя в ней только по одному главному члену *
в каждой сумме. Главным членом в сумме будем считать тот,
который относится к решению только одного класса (Е или Я)
и только одинакового номера.
Например, коэффициенты первой суммы уравнения (1.71а),
согласно (1.66), имеют вид
W3eb =	b = 3h, qh, qe. (3.1)
s
В силу того что индекс b может принимать три указанных
значения, коэффициенты W2ef6 могут быть четырех видов
3h= j го^ <£зАл^>	(3* 2а)
S'
w3e> lh = Ja^rot S3edS,	(3.26)
в
82
Wse, qe' =	3%qe	&3e'dS,	(3. 2b)
8
а также
W3t, qe = J gT ^qe S^dS При в' =6.	(3. 3)
8
Для цилиндрических и конических волноводов все три коэф-
фициента в (3. 2) равны нулю, так как они обусловлены либо
собственными векторами из решений разных классов, на что
указывают индексы е и h при векторах, либо векторами реше-
ний одного класса Е в (3. 2), но различных номеров этих ре-
шений, на что указывает неравенство е'=Ле. Только один
коэффициент (3.3) получается неравным нулю, так как он
обусловлен собственными векторами одинакового класса и оди-
накового номера решения. Коэффициенты типа (3.3) будем на-
зывать главными коэффициентами в суммах и только их и бу-
дем учитывать на пути приближенного решения задачи. Такое
приближенное решение называют иногда диагональным прибли-
жением.
IT-волны
Здесь и в дальнейшем более подробно будут рассматриваться
только решения типа Я, которые для краткости будут назы-
ваться Я-волнами. Изложенная методика для Я-волн может
быть применена при необходимости и для Я-волн.
Рассмотрим последние три уравнения системы (1. 71) в диаго-
нальном приближении при s и р., не зависящих от координат
W3qUqH -	^3qUqh) =f + М» (3.4а)
^^Uqlt-^uUqk) = i^hhI,h + fqh,	(3.46)
Wq3I3k + WhkIqh-(7^*) = i^ShhUqh + jqk. (3. 4b)
Поскольку амплитуды I3h и Iqh в уравнениях (3. 4a), (3. 46)
выражаются через амплитуду Uqh, то целесообразно получить
для нее одно уравнение. Для этого выразим I3h и Iqh из урав-
нений (3.4а), (3.46) через Uqh и подставим их в уравнение
(3.4в).
Из (3.4а), (3.46) имеем
<3-5а>
” I «Э«Э	* I «5«5
(3'5б)
где штрих означает производную по и3.
6*
83
Если подставить значения 1зк и /ik из (3.5) в уравнение (3.4в),
то получим следующее дифференциальное уравнение второго
порядка для U к:
U"th + bU'h + cUqk=-Fh,	(3.6)
где
4 "U “* \	/ Phk "r \	(’-33 / ’’
.	Vq3V3g___УдЗ^Зд___ WkkPkk ____^дЗ^Зд 1	,3 7,
‘	P-33	P-33	P-33 J	’
„ —1L 7.2 I	Wkkfrkk
a [hh '	p.33 Р-зз №
[yAY ,	/Vi.kWkh у , / Wu yl ,3 76)
\ P-33 /	\ P-33	/	\ f-hh ) ' \ Phh / J ’	'
Pk= -^[.igKA-W^+W^^-kV^y-iV^y], (3.7b)
а=2ъ£м,Мз1_	(37r)
Phh 1	P*33	v
Таким образом, видно, что амплитудный коэффициент Uqh
должен быть найден из линейного неоднородного дифферен-
циального уравнения второго порядка общего вида.
Известно (см., например, [24]), что решение уравнения (3. 6)
имеет вид
Ugtl(u3) = A1y1(u3)^-A2y2(u3)-]-yr(ii3),	(3.8)
где у± и у2— два линейно независимых решения однородного
уравнения (3.6), а уг — частное решение неоднородного уравне-
ния по виду правой части.
При этом, если найдено решение yv то решение у2 может
быть найдено из соотношения
С e~^bdU3
Уз = вУ1] dus>
(3. 9)
где В — произвольная постоянная.
Имея два решения однородного уравнения у± и i/2, можно
найти частное решение неоднородного уравнения в виде
Us
у*=тг f {yMy^)-yi^3)yd^}di,	(3.10)
«30
где а3 — сечение наблюдения; I — сечение источника, а и30 —
произвольное постоянное сечение.
84
Окончательный вид частного решения находится исходя из
граничных условий на торцах волновода.
Проиллюстрируем изложенный путь решения на простейшем
примере. Пусть в уравнении (3.6) 6 = 0, a c(u3) = 7£2 = const.
Тогда решением однородного уравнения, как известно, будет
UqhQ= + Л2е*^з,	(3. И)
т. е.
уг — у2 =	(3.12)
Убедимся, что формула (3. 9) действительно дает значение у2
в (3.12), если в нее подставить значение уг из (3.12),
у2 = Ве~^и^ j ei2^du,s —	(3.13)
Видно, что если взять
B = i2K,	(3.14)
то получим =
Подставляя теперь уг и у2 из (3. 12) и В из (3. 14) в формулу
3. 10), получим частное решение неоднородного уравнения в виде
«з
Уг =	[ Fh (5)	} <%.	(3.15)
iZK J
«зо
Таким образом, мы приходим к выводу, что неоднородное
уравнение (3.6) для Uqk будет решено, если найти решения
однородного уравнения
U"h + bU'h+cUqh = 0,
(3. 16)
где коэффициенты & и с есть функции от и3.
§ 2. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Как известно (см., например, [24]), уравнение (3.16), содер-
жащее первую производную, можно преобразовать к уравнению
без первой производной. Для этого нужно искать решение Uqh
в виде
где z(w3) — новая искомая функция.
Если подставить значение Uqh из (3.17) в (3.16), то полу-
чим уравнение для збез первой производной
2"_|_ф2 = 0,	(3.18)
85

где коэффициент Ф равен:
Ф(«з)= -	тЬ' + с-	(3-19)
В математической литературе нет решения уравнения (3.18)
в общем виде, т. е. для любого вида функции Ф (и3). Поэтому
решение этого уравнения на практике производят приближенно
с учетом характера изменения Ф(н3).
Рассмотрим некоторые приближенные методы решения урав-
нения (3. 18).
Метод В. W. К. (Бриллюэна—Вентцеля—Крамерса)
Решение уравнения (3.18) ищется в виде
z = fe^vdUs9	(3.20)
где / и v — две новые искомые функции. Подставляя z из (3.20)
в уравнение (3.18), получаем уравнение для функций / и и:
-^ + 2р^-4-р/4-£;24-Ф = 0.	(3.21)
Поскольку функции / и v взяты произвольно, то функцию V
можно выбрать из равенства р2-[-Ф = 0, откуда получаем
v(u3)~ ±i\/® (из)*	(3- 22)
Таким образом, одна из функций полностью определена.
Необходимо теперь определить функцию /. Подставляя значе-
ние v из (3. 22) в уравнение (3. 21), получим теперь уравнение
только для /:
^4-2р-^4-1?/ = 0,	(3.23)
где функция v считается уже известной, согласно (3. 22).
Если бы удалось решить уравнение (3. 23), то задача была бы
полностью решена. Ясно, однако, что сделать это в общем
виде не удастся, так как было бы найдено решение линейного
дифференциального уравнения второго порядка общего вида,
которого, как было уже сказано, в математической литера-
туре нет.
В связи с этим уравнение (3. 23) решается приближенно для
некоторых частных случаев.
Если функция / меняется достаточно медленно, так, что чле-
ном со второй производной в (3. 23) можно пренебречь, то урав-
нение для f примет вид
2рХ. 4-^ = 0,	(3.24)
86
откуда
1
1
Ж)
^(«з)	у/±4 Уф (Из) *
(3. 25)
Подставляя в (3.20) значения функций и и / из (3.22) и
(3. 25), получаем приближенное решение для функции z в виде
(3.26)
У ф (»з)
Если функция Ф положительна, то решение (3.26) отобра-
жает две волны, распространяющиеся в положительном и отри-
цательном направлениях п3.
При положительном значении Ф ее можно представить в виде
Ф(и3)==К*(и3),	(3.27)
где К (и)— вещественная величина.
Тогда решение (3. 26) будет иметь вид
--	(3.28)
VK (и3)
Если же функция Ф отрицательна, то решение (3. 26) будет
представляться в виде одной возрастающей и другой убываю-
щей экспонент.
Из решений (3.26) и (3.28) видно, что они непригодны для
области, в которой Ф(п3) (или К (и3) стремятся к нулю, так
как при этом решения стремятся к бесконечности, то в действи-
тельности не имеет места.
Сечение п30, в котором функция Ф(и30) равна нулю, назовем
критическим сечением волновода. Получаем, таким образом, что
в области критического сечения уравнение (3.18) требует осо-
бого рассмотрения.
В этой области уравнение (3.18) интегрируется методом
присоединенных уравнений.
Интегрирование уравнения (3.18) методом присоединенных
уравнений
В работе [45] предложен сравнительно общий подход к при-
ближенному интегрированию уравнения (3.18). В свете этой
работы рассмотренный метод В. W. К. выступает как частный
случай общего метода.
Основные идеи общего метода, предложенного в [45], заклю-
чаются в следующем. Решение z (и3) уравнения (3.18), т. е.
z"-f-®(u3)z = 0,	(3.29)
87
приближенно ищется через решение другого уравнения
04-G(e)O = O,	(3.30)
которое интегрируется в известных функциях. Другими словами,
решение уравнения (3. 30) нам должно быть известно. При этом
функция G(B) в уравнении (3.30) должна быть в определенном
смысле сходной с функцией Ф(и3) в исходном уравнении (3. 29).
Например, если исходная функция Ф(и3) в своей области
н31 из из2 не изменяет знака (рис. 19), то и функция G (I)
в своей области Вг В В2 не должна менять знак [в частности,
G(l) при этом можно взять величиной постоянной]; если Ф(и3)
имеет только один простой корень и301, то и G(B) должна иметь
также только один простой корень В01 (рис. 20); если Ф(а3)
имеет два простых корня и301 и и302, то и G(B) должна иметь
также два простых корня В01 и В02 (рис. 22).
Уравнение (3.30) для функции 6(B) с переменным коэффи-
циентом G(B), выбранным согласно изложенным соображениям,
называется присоединенным уравнением [присоединенным для
исходного уравнения (3. 29)].
После выбора присоединенного уравнения (3. 30) зависимость
между переменными и3 и В выбирается следующим образом:
z(us)=Ae(S)	(3.31)
или
О (|) = Z	(3.32)
Подставляя значение 9 из (3. 32) в присоединенное уравнение
(3. 30), получим его в виде
2" + [(^)2 G (I) +1z = 0,	(3. 33)
где через у {Ва} обозначено дифференциальное выражение
1 ft 4	3 Н"\2	/9 9/4
2 {W— 2?'	4 \ В' ) ’	(3* 34)
называемое в литературе половиной производной Шварца.
Штрихи в (3. 31)—(3. 34) означают производную от переменной В
по и3, т. е., например
t/=
du3 ’
Зависимости (3. 31) или (3. 32) выбраны именно такими для
того, чтобы получить уравнение (3. 33) для z без первой произ-
водной.
8S
Если в уравнении (3.33) производная Шварца будет мала
по сравнению с первым членом в квадратных скобках, то это
уравнение можно записать в виде
z" + (?')2G(?)z = 0.	(3.35)
Сравнивая это уравнение с исходным (3. 29), видим, что они
будут одинаковыми только в том случае, если положить
(^С(?) = Ф(и3),
?	«3
J VG(?)d|=J \/Ф(и3)^3,
$0
или
(3. 36)
ИЛИ
«30
А— 1/ф (цз)
du3 “ Г G (?) •
(3. 37)
Равенство (3.36) как раз и является соотношением связи
между новой переменной ? и старой и3.
Проиллюстрируем изложенный метод на нескольких при-
мерах.
Волноводы с медленным изменением поперечного сечения
Функция Ф (и3) в исходном уравнении (3. 29) во всем инте-
положительна и изменяется
Это соответствует волновод-
ресующем интервале гг31^^3^и32
достаточно медленно (рис. 19, а).
ной системе с плавно изме-
няющимся поперечным сече-
нием, причем торцы п31 и и32
находятся вдали от крити-
ческих сечений, в которых
Ф(п3) обращается в нуль.
В этом случае коэффи-
циент G (?) в присоединен-
ном уравнении (3. 30) мож-
но взять равным постоян-
ной величине а2 (рис. 19, б):
О4-а20 = О.	(3.38)
Решение уравнения (3. 38),
как известно, имеет вид
О^Л^ + Л^, (3.39)
а
G(^)=az=const
'зг
б
5


Рис. 19. Графики исходной функции
Ф (и3) и присоединенной G (?) для вол-
новода с плавным изменением попереч-
ного сечения.
где переменная ?, согласно (3. 36), должна быть выбрана сле-
дующим образом:
«з
j adz = j \/Ф (и3) da3
«30
89
или
5 = 1 J <®(u3)d«3.	(3.40)
«30
При этом, согласно (3. 37), имеем
1 /Ф (»з)
du3 ~ — V а?
и, следовательно,
=	(3.41)
G учетом результатов в (3. 39), (3. 40) и (3. 41) получаем ре-
шение для z(u3), согласно (3.31), в виде
|«3 ________ «3 __________ |
УФ («з) du3
-	+А»‘"	I.	(3.42)
у ч?
т. е. точно такое же, какое было получено выше методом В. W. К.
Волноводные системы с одним критическим сечением
В качестве второго важного примера применения метода
присоединенных уравнений рассмотрим случай, когда функция
Ф (н3) в интервале и31 и3 а32
имеет только один простой корень
и301 (рис. 20, а). Сечение а301 будет
критическим сечением. К этому
случаю будут относиться, в част-
ности, все монотонно расширяю-
щиеся волноводные системы.
При этом коэффициент G (В)
в присоединенном уравнении (3. 30)
можно взять в виде линейной
функции (рис. 20, б)
G(B) = L (3.43)
Тогда присоединенное уравне-
ние получим в виде
6 4- £0 = 0.	(3.44)
Это уравнение называют уравнением Эйри, а его решения —
функциями Эйри.
Переменная I, согласно (3. 36), должна быть выбрана в виде
«з
pVid5=j \/®du3
«30
Рис. 20. Графики исходной функ-
ции Ф (и3) и присоединенной
G (?) для расширяющегося вол-
новода с критическим сечением.
90
или
“з
f^2 = J \/$du3.	(3.45)
«30
Для удобства выберем постоянное сечение а30 = гг301. Тогда
значение соответствующее критическому сечению будет
равно нулю. С учетом этого из (3.45) имеем
«з _
Т^/2== f	при “з>и301-	(3.46)
М301
Поскольку при и3>и301 правая часть в (3.45) будет поло-
жительна, то соотношение (3.45) будет определять положитель-
ные значения В. Для того чтобы получить отрицательные зна-
чения соответствующие отрицательным значениям Ф(гг3)
(рис. 20, а), необходимо | определить следующим образом:
у(—?)%= J	при iis<w301.	(3.47)
«3
Решение присоединенного уравнения (3. 44) возьмем в виде
комплексных функций Эйри w1 и м2
О (£) = Cw1 (-&) + Dw2 (-1).	(3.48)
Тогда для решения исходного уравнения z (zz3) получим
z =	(3.49)
где в нашем случае, согласно (3.46) и (3.47),
5'=	.	(3.50)
Подставляя в (3. 49) значение 0 (£) из (3. 48) и из (3. 50),
получим решение для z (u3) в следующем окончательном виде:
z = Z Ф^г	(-9 + Ри,2 м» •	(3-51)
Акад. В. А. Фок, подробно рассматривая свойства функций
Эйри, в качестве переменной пользуется
t = — L	(3.52)
91
В новой переменной t решения 6(0 и z(u3), согласно (3.51)
и (3. 52), запишутся в виде
0 (t) = Си\ (t) + Dw2 (0,	(3. 53)
2 (“з) =	ф^)- {Cw. (О + Dw2 (0),	(3. 54)
где переменная t будет выражаться через исходную перемен-
ную и3 следующим образом:
при u3>u301,
М301
w30i
у(0% f \l^du3 при u3<u301.
"з
(3. 55а)
(3. 556)
Из соотношений (3.55) видно, что при iz3>w301, т. е. в об-
ласти распространения (рис. 20, а), переменная t будет величи-
ной отрицательной, а при и3 < а301, т. е. в области нераспро-
странения, — величиной положительной.
Комплексные функции Эйри w1 и и?2 выражаются через две
вещественные функции Эйри или следующим образом:
(0 = и (0 — tv (0,
(3. 56а)
ip2 (0 = и(04-ш (0.
(3. 566)
В. А. Фок приводит таблицы именно для функций и и v*
Переменная t при этом взята в пределах —9^i<^9. Таблицы
для функций и и v приводятся в приложении. На рис. 21
изображены графики этих функций, построенные по этим таб-
лицам. Из графиков видно, что при отрицательных t функции и
и v имеют колебательный характер, что как раз и соответствует
области распространения. При положительных t функция и
очень быстро возрастает, стремясь к бесконечности, а функция и
быстро убывает, стремясь к нулю.
При сравнительно больших значениях t имеют место следую-
щие асимптотические выражения для функций Эйри:
При больших положительных значениях t
=	(3.57а)
=	(3.576)
92
при больших отрицательных значениях t
и (/) = (-О-'А cos [I (-O’/s + I] ,	(3. 58а)
Отсюда можно получить асимптотические выражения при
больших отрицательных t для комплексных функций Эйри (3. 56)
w1(0 = (—L3	4J,	(3.59a)
<ГЬ-о’/2+”'1
—	t)'^e z	4J.	(3.596)
Таким образом, в заключение можно сделать вывод, что для
волноводных систем, имеющих только одно критическое сече-
ние, решение можно найти через табулированные функции Эйри
в виде выражений (3. 54) и (3. 56). Это решение остается спра-
ведливым как для областей вдали от критического сечения, так
и в области критического сечения.
В самом критическом сечении решение (3. 54) никакого раз-
рыва не претерпевает, так как в этом случае будут стремиться
к нулю как Ф(?г3), так и переменная определенная согласно
(3. 55).
93
Волноводные системы с расширением и сужением
поперечного сечения
Если волноводная система имеет как область расширения
поперечного сечения, так и область сужения (рис. 22, а), то
функция Ф(и8) в уравнении (3.29) будет сначала возрастать,
а затем убывать. При этом Ф(и3) имеет максимум в сечении а3с
и два простых корня н301 и и302, соответствующих двум крити-
ческим сечениям (рис. 22, б).
Решая уравнение (3. 29) методом присоединенных уравнений,
коэффициент G(l) необходимо было бы взять в данном случае
в виде параболы
G($ = a2 — I2.
Однако получение решения на этом пути затруднительно,
так как оно выражается через сравнительно редко представлен-
ные в литературе функции Вебера.
В силу указанного затруднения получим решение уравне-
ния (3.18) с помощью функций Эйри методом сшивания.
Для этого введем две переменные и t2, каждая из кото-
рых будет определена в области расширения и сужения соот-
ветственно следующим образом:
М301
у4,!= j V—Фй«3	при 1г3^гг301,	(3.60а)
«з 
«3
у(— *1)’/г= | ^du3 при u301<u3<u3c,	(3.606)
М301
у(—j \/Ф du3 при и3о<и3<и302,	(3.61а)
«3
Щ _____
Y йг = f du3 при и3 и302.	(3. 616)
“^302
Тогда, согласно (3.54), решения гД^) и z2(J2) для областей
расширения и сужения соответственно получим в виде
(<о=(4)'Л	&)+О’ (3-62а)
ч &)=(4)1/4	•	<3- 62б>
94
a

U3K
б
О
U. I
Постоянные Cv С2, D± и Z)2 в (3.62) должны быть опреде-
ленным образом связаны между собой, так как решение z (u3),
если бы оно было найдено
каким-то образом как еди-
ная функция от zz3, должно
непрерывно переходить
вместе со своей первой про-
изводной из и3 из области
расширения в область суже-
ния. Другими словами, для
решений zr и z2 из (3.62)
должны выполняться следую-
щие условия непрерывности
в граничном сечении и3с:
Z1 («зе) = г2 (“зо)> (3.63а)
(3.636)
du3 du3 4	'

Рис. 22. Графики исходной функции
Ф (и3) и присоединенной G (|) для вол-
новода с расширением и сужением с
двумя критическими сечениями.
при а3 = а3с.
Равенство (3. 636) можно
записать в виде
=	при и3 — и^
=	^2 = ^2с» (3.64)
где штрих означает произ-
водную по и3, а точка — по t.
После вычисления производных и t'2 из (3.60а) и (3.61а),
равенство (3. 64) получим в виде
*2	—£зс
(3. 65)
К—^1С’
где £1с и t2c— значения переменных и взятые при и3 = м3с,
т. е.
/ МЗС	\ 2/з	/	М302	\2^3
i10 = —1-2 j	, t2e = — ly J VCMuaj . (3.66)
\	M301	’	\ M3C	J
Если при вычислении производных z не учитывать произ-
водной от множителей (^)Z< в (3.62), то равенство (3.65) при-
мет вид
(^) +	(i2o)« - (М7* \С^ (Q + Dxw2 (Q], (3. 67)
С учетом условий непрерывности (3.63) и (3.67), а также
граничных условий в сечениях торцов и3н и п3к получаем сле-
95
дующую систему уравнений для определения четырех постоян-
ных Cv Dv С2 и D2:
		| W22k + 0 + 0	Z2B,				
^2^12 с	+ ^220	-сг	uj 110	-a	V2e>	1 ^21c	 0.
^2^12с	+ D2w22a	+ C\|		+ A	/^2c^ Vle>	1 ^21c =
0	+ о	4-^1	Й)/Ъ11н	+A(		1 ^21h	^1h
(3.68)
Для краткости записи здесь введены следующие обозначения:
w12K— значение функции Эйри первого рода в сечении н3в и т. д.;
гР12с — значение производной по t от функции Эйри первого рода
при t = t2G и т. д.;
t2c —значение переменной t2 в сечении и3с и т. д.;
Ф2в—значение функции Ф (и3) в сечении а3в и т. д.;
z2K —значение функции z2(w3) в сечении и3к и т. д.
§ 3. РЕЗОНАНСНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В РЕЗОНАТОРАХ С ПЕРЕМЕННЫМ
ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ
Качественное рассмотрение вопроса о резонансах
Вопрос о резонансах в резонаторах с переменным попереч-
ным сечением имеет теоретическое и практическое значения.
Практическое значение этого вопроса обусловливается тем, что
в ряде сложных волноводных устройств могут оказаться такие
части, в которых возбуждается и может распространяться не
один, а несколько типов волн.
Пусть, например, в силу каких-то обстоятельств между
двумя цилиндрическими волноводами I и III (рис. 23), по ко-
торым распространяется только один тип волны (основной для
работы), помещен отрезок волновода с переменным сечением II.
Пусть этот отрезок II имеет сначала расширение попереч-
ного сечения, а затем сужение. Тогда основная волна Bv на
которой производится передача энергии в волноводном тракте,
будет возбуждать в объеме II другие типы волн. Например,
одна из этих волн — В2 может оказаться такой, что для нее
будет выполняться условие распространения в некоторой об-
ласти	W3 &зо2*
Тогда волна В2, возникнув в области ZZ, будет испытывать
почти полное отражение от сечений и302 и и301, так как в силу
уменьшения поперечного сечения на участках н3с и3 н302 и
изо1^цз^кзс условия распространения для нее не будут вы-
полняться.
96
Для волны В2 создается своеобразный проходной резонатор —
колебательный объем без металлических торцов.
Как показывают теоретические и экспериментальные иссле-
дования, резонансы на возникшей высшей волне В2 оказывают
существенное влияние на прохождение основной волны Bv
а именно на резонансных волнах для В2 имеет место резкое
возрастание КСВ в волноводе I для основной волны Вг (рис. 24).
Если в переходной области II основной волной Вх будет
возбуждаться не одна, а несколько распространяющихся дру-
гих типов волн В2, В3, . . ., Вп1 то каждый из этих типов волн
будет иметь свои резонансные длины волн.
Рис. 23. Схема сочленения цилиндрических волноводов с отрезком
волновода сложного профиля, в котором распространяются и ре-
зонируют высшие типы волн.
Строгое решение задачи о резонансах в описанном случае
должно было бы производиться на основе строгого решения
бесконечной системы волноводных уравнений (1.71). Поскольку,
однако, такое решение для общего случая вряд ли может быть
практически осуществлено, то при сравнительно плавном изме-
нении поперечного сечения в области II приближенное реше-
ние можно получить в диагональном приближении.
В настоящем параграфе резонансные длины волн будут рас-
считаны в диагональном приближении.
Задачу о резонансах в резонаторе с переменным сечением
поставим следующим образом.
Пусть имеется резонатор с переменным сечением (рис. 25)
такой, что в нем поперечное сечение сначала увеличивается
(область расширения), а затем уменьшается (область сужения).
В сечениях п3н и п3к имеются идеально проводящие металли-
ческие торцы (боковая поверхность резонатора считается также
идеально проводящей). Необходимо найти собственные длины
волн такого резонатора для различных типов колебаний. По-
скольку, согласно § 2 этой главы, амплитуды Uqk и Iqe в диа-
гональном приближении удовлетворяют уравнению:
z" + $(u3)z = 0,	(3.69)
где z(u3) = Uqh, Iqe\ Ф(гг3) = Фв>А(п3), то в резонаторе будут
сечения н301 и и302 (рис. 25), в которых Ф(и3) = 0 и условия
распространения для данного типа волны резко нарушаются.
7 Теория волноводов
97
Рис. 24. График зависимости КСВ от длины волны при наличии резонансов
на высших типах волн.
Отражающие сечения п3н и п3к (рис. 25) могут быть как внутри
области и301 zz3 м302, так и вне ее.
Электрическое поле волн типа Н и Е можно записать в виде
Ед Uqh^qh)	| /3 . уф)
Ее= Uqe£qe-^~ иJ
На идеально проводящих
торцах п3н и п3к необходимо
потребовать равенства нулю
касательной составляющей
электрического поля
Рис. 25. Общий вид резонатора
с переменным сечением.
^'гЛ^«*К3] = 0 при «з = изн> “з« Для Я-волн, (3.71а)
^(!е[^4вВ3]4-^зЛ^ЗеК3] = 0 ПРИ U3=M3h, U3k ДЛЯ Я-ВОЛН. (3. 716)
/f-волны
Поскольку [<?ддК3]=И=0 при п3 = и3н, п3к, то, согласно (3.71а),
Uqh = z — 0 при «3 = и3н, и3к.	(3.72)
Решение для Uqh — z ищем через функции Эйри методом
сшивания, описанным в § 2 этой главы.
Система уравнений (3. 68) при граничных условиях на тор-
цах (3.72) изменится только в том, что все правые части в ней
будут равны нулю.
Как известно, такая система уравнений для неизвестных
Ср Dv С2 и D2 будет иметь нетривиальное решение лишь в том
случае, если определитель системы равен нулю
	^12K	«’гг»	0		0		
	^120	w22c	V2c '			 V2c >		
д=							= 0
		-			(t2^		
	u>i2o	«’гго	\*lc>	)	^110		) и’гю	
	0	0	W	11H		21н	
(3.73)
Если этот определитель четвертого порядка разложить по
элементам третьей строки, то уравнение (3. 73) получим в виде
«>120 [^ЦП^21с№22к —	4" ^220 [W12KWlleW21B —
—	+ »11е (^) IViA. ~ VlAil +
+ П’гю (^)/г	= 0.	(3.74)
7»
99
(3. 78)
Запишем функции так
। №«₽Т । е<^’	(3-75)
тогда
^о = |^е|в‘'^.	(3.76)
Предполагаем, что сечение и3с находится достаточно далеко
от критических сечений и301 и и302, так что модуль |	| ме-
няется уже достаточно медленно. G учетом этого можно записать
j<f> |	|	(3. 77).
где фазу <р«вс можно вычислять по асимптотической формуле
из (3. 59), т. е.
?i₽o= [у ( ^₽с)4~ т] ’
?2₽с = [у ( ^₽с)11 4“ 4-] •
Отсюда получим
?1₽о = ^> ?2₽0 = —(3-79)
и тогда, согласно (3. 77), имеем
»12е « H'h | «’Ио I
w22o«—
w210«—i^|wuo|e-’^.
Подставляя полученные значения w из (3.80) в уравне-
ние (3.74), заменяя в этом уравнении значения wa^, со-
гласно (3. 75), после сокращения всех членов уравнения на оди-
наковое произведение из четырех модулей |и\ру| и некоторых
преобразований получим
g—*(<Р12с+‘Р11С“Т11Н_?Х2в) == £»(<Р12с+?11С~?1Ш~?12к)	(3. 81)
или
?12о + Т По — ?Пн — ?12« = ?11в + ?12Ю — ?12« ~ ?Цо “	(3.82).
где п = 0, 1, 2, 3, ...
Отсюда окончательная формула для резонансов
(?11 + ?12о) ~ (?11н + ?12«) =—И*-
Фазы cpa₽Y в формуле (3.82), согласно (3.59), равны
(3. 83)
(3.84)
100
где
«ЗС	«302
у(~М3/1= f	-f-(—«2c)S/l == f '/®du3.
«301	-•	«зс
Фаза <рПи равна
?iiB = argw1(f1H),-	(3.85)
где i1B определяется из соотношений .
j V—фй«3 при u3BO301,	(3. 86aj
«зн
«ЗН
y(-AB)’/,= f №du3 при w3B>u301.	(3.866)
«301
И, наконец,
?i»=argiMU..>	(3.87)
где t2K определяется выражениями
г .•
«зк
|-^к= j V—9du3 при ' u'3K> й3о2,	(3.88a)
«302
«302	,	.
y(—t2Sl2 j \/$du3 при uSK<u302.	(3. 886)
«ЗК
Рассмотрим частные случаи формулы (3.83).
1)	Отражающие торцы &3н и гг3в находятся внутри области
»зо1 из иж (Рис- 25) и достаточно далеко от критических
сечений, далеко настолько, что для <р11н и <?12в также справед-
ливы асимптотические соотношения
**зн
?пи~-[|(-*1-)’'’+т]’ -h-A=)S/’= J
«301
(3. 89)
Тогда, согласно (3. 83), (3. 84) и (3. 89), получим
«ЗС	«зн	«302	«302
j \/Фа!«3— j \/Ф^и3-|- j ^$du3— j \/&du3 = nn
«301	«30*.	«ЗС	«ЗВ
101
или окончательно
“зк
j ^ФЛи3 = пп.	(3.90)
«зн
Точно такой же результат получается на основе решения
задачи по методу B.W.K.
2)	Одно отражающее сечение (например, и3в), находится
внутри области и301 и3 и302 и достаточно далеко от сечений
и301 и а302, а другое (и3н) находится вне указанной области и
также достаточно далеко от иж.
Тогда с учетом (3. 85) и соотношения и<^.и при t > 1 (рис. 21)
получим <р11к -> 0, после чего формула (3.83) дает
«ЗС	«302	«30?
f + f + f \/Фй«3 = пте
«301	«зс	«зк
или окончательно
изк __
j №du3 = \n-------(3.91)
«301
3)	Оба отражающих сечения и3н и и3в находятся вне области
изо1^и^изо2 и достаточно далеко от критических сечений и301
и zz302.
Тогда ср11н -> 0, <р12в->0, и мы получаем формулу для резо-
нансов в виде
«302
j ^Фс1и3 = (п — у) п п = 1, 2, 3, ...	(3.92)
«301	*
ГЛАВА 4
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНОВОДЫ И РЕЗОНАТОРЫ
§ 1. ВОЛНОВОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ФОРМЕ ТЕЛЕГРАФНЫХ
УРАВНЕНИЙ
В гл. 1 для цилиндрических волноводов были получены
системы волноводных уравнений (1.169) и (1.170). Перепишем
их, опуская индекс q,
= —i^Uh	хлЛл — /*»
х^а	ж* = —/»*>
“Д’ = —i^U, — j„
dz	' ‘ *’
х.Л Ч-	= —j...
Я-волны (4.1)
Я-волны
(4.2)
Свойства волновода, описываемые волноводными уравнениями
(4.1) и (4. 2), могут быть представлены графически в виде схем
замещения. Схема замещения участка волновода длиной Az для
Я-волны изображена на рис. 26, а для Я-волны — на рис. 27.
Элементами схем замещения являются индуктивности рЛз,
емкости eAz, идеальные трансформаторы с коэффициентом транс-
формации по напряжению xa<Az, источники напряжения /6Az и
источники тока ja&z.
Составляя для схем замещения уравнения по законам Кирх7
гофа, нетрудно убедиться, что при Az->0 получаются волно-
водные уравнения (4.1) и (4.2). Схемы замещения наглядно
описывают на языке теории электрических цепей характер вол-
новых процессов в волноводе для регулярной его части
(при отсутствии источников возбуждения), а также способ
включения сторонних источников (последовательный или па-
раллельный).
103
Для Н- и #-волн волновод представляется как цепь с рас-
тределенными параметрами, имеющая для элементарного участка
при реактивных элемента в отличие от схемы замещения эле-
Рис. 26. Схема замещения элементарного
отрезка волновода для Я-волны.
ментарного участка обычной длинной линии с волной ТЕМ.
Третий реактивный элемент определяется продольными состав-
ляющими поля, которые отображаются для Я-волн поперечной
Рис. 27. Схема замещения элементарного
отрезка волновода для Я-волны.
индуктивностью, а для Я-волн продольной емкостью. Исключая
из волноводных уравнений (4.1) и (4. 2) амплитудные множи-
тели при продольных составляющих поля
	I,h=--^Uh-	1 f t(i)[L ! zh	(4.3)
и	и =	^-7 - -ы е		1 .	(4.4)
.104
получим уравнения для поперечных амплитудных множителей,
аналогичные телеграфным уравнениям для длинных линий.
Объединяя оба класса волн одним значком а —Л, е, запишем
а __ >7 J I Ь
— "М^вТЧв»
где коэффициенты
(Zlt=ia>p.,
=	X2
^=^[1 + -^,
У1а=
X?
У1А=1о)в4--Д-
1Я	1 кор.
У1в = гсое
(4.5)
(4.6)
(4.7)
играют роль погонных сопротивлений и проводимостей эквива-
лентных длинных линий для Н- и Е-ъолн, а величины
ЧЛ —/л>
6 —__f___h- У
___	.	Хд е
— lh Jzltf 0. gj
Vie = "h
имеют смысл плотностей комп- Рис. 28. Схема замещения элемен-
лексных амплитуд источников тарного отрезка волновода для а-й
напряжения и тока, вводимых	волны.
в эквивалентные линии. Схема
замещения участка волновода длиной Az для a-й волны в соот-
ветствии с уравнениями (4.5) изображена на рис. 28.
Схемой замещения всего волновода для a-й волны в соот-
ветствии с телеграфными уравнениями (4.5) будет некоторая
длинная линия с постоянной распространения
.__ ( Kh=Vх?—
^а=\/ада=	*—
{Ке = \/^ — <02sp.
и волновым сопротивлением
Ке .
(4.10)
(4.11)
105
В линию включены распределенные источники возбуждения
в виде источников напряжения (?1аАг), вводимых последова-
тельно, и источников тока, вводимых параллельно (рис. 29).
Из анализа формул, определяющих плотности возбуждаю-
щего напряжения |1а и возбуждающего тока легко сделать
следующие выводы.
1. Поперечный электрический ток возбуждает волны подобно
источнику тока, включенному в линию параллельно. Анало-
Рис. 29. Волновод со сторонними источ-
никами и его схема замещения для а-й
волны.'
гично действуют продольной магнитный ток и поперечное
касательное электрическое поле, заданное в отверстии на боко-
вой поверхности.
2. Поперечный магнитный ток (продольное электрическое
поле, заданное в отверстии боковой поверхности) возбуждает
волны подобно источнику напряжения, включенному в линию
последовательно. Аналогично действует продольный электри-
ческий ток.
К этим же выводам нетрудно прийти непосредственно из
рассмотрения схем замещения (рис. 26 и 27), на которых отра-
жен характер включения источников различного типа. Переход
от схем рис. 26 и 27 к схеме рис. 28 осуществляется приме-
нением теоремы об эквивалентном генераторе к ветви, в кото-
рой действуют амплитуды продольных полей.
§ 2. РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОДНЫХ УРАВНЕНИЙ
Общее решение волноводных уравнений (4.5) имеет вид
Ua=A+ae~^ + A-ae^+LZ
1	(4-12)
1а = -2- (А'ег^ - А-еЪ’) + 7»,
"а
106
где первые слагаемые являются решениями однородной системы
уравнений, a UQa и есть частные решения неоднородной
системы уравнений.
Частное решение может быть определено при различных
граничных условиях. Определим его для волновода с неотра-
жающими торцами или волновода, бесконечного в обе стороны
от зоны возбуждения. Это решение называется основным, или
фундаментальным [26].
В физическом отношении основное решение описывает волны,
расходящиеся от зоны источников (zx z z2) в обе стороны,
так что в области вне зоны воз-
буждения оно имеет вид	, *	ь
(C+e-K** z > z2,	+
Мех- М, <ОЗ) Ф’« "
0_(	°'	2>Z2,
а ~ I—YaC~ex»* z < zv
£</ г'
Рис. 30. Схема сосредоточенного
Здесь zx и z2— границы	зоны	возбуждения	волновода,
возбуждения по оси z,	С* и
— постоянные числа [внутри зоны возбуждения (zx^z^z2)
С* и С; будут функциями z].
Найдем вначале основное решение волноводных уравнений
при токах возбуждения, сосредоточенных в бесконечно тонком
слое, примыкающем к поперечному сечению, координату кото-
рого обозначим через z' (рис. 30).
Интегрируя волноводные уравнения (4.5) от zx до z2, по-
лучим
(4.15)
где
гг
^а = ]
ж,
*2
•Па — f ’lladZ-
(4. 16)
Полагая в формулах (4.15) UQa и Ра определенными равен-
ствами (4.13) и (4.14) и устремляя zx->z' и z2->z', найдем
следующие соотношения:
107

(4.17)
Интегралы (4.16), определяющие 1а и т]а, будут неравными
нулю, если возбуждающие токи имеют характер 8-функций,
Решение системы уравнений (4Л7) дает искомые постоянные
интегрирования
с: = 4(^ + аде^', |
!	.1	(4-18)
Таким образом, основное решение волноводных уравнений
при сосредоточенном возбуждении определяется следующими
равенствами:				
		Z	>z',	
и»=-	!	z <	^z',	
				(4.19)
			>z',	
		z <		
Полученные формулы могут быть использованы при прибли-
жённом расчете возбуждения волновода тонкими поперечными
проводниками, узкими поперечными щелями и малыми отвер-
стиями. Однако основное значение этих формул состоит в том,
что они позволяют легко перейти
к случаю распределенного возбуж-
дения* так как по существу опре-
деляют функции Грина решаемой
задачи.
При возбуждении поля источни-
ками, распределенными в отрезке
Рис. 31. Распределенное воз- волновода между сечениями zx и z2
Суждение волновода. (рис. 31), для расчета амплитуд волн
вону возбуждения разобьем на эле-
ментарные плоские слои толщиной dzf. Волны, возбужденные
каждым слоем, определяются формулами (4. 19), если в них НО’
дожить la — lladz\ r[a = ^ladzf. Полные амплитуды поля от рас-
пределенных источников будут найдены в результате интегри-
рования.
Поскольку амплитуды волн от элементарных слоев выра-
жаются различным образом, в зависимости от взаимного рас-
положения сечения наблюдения (z) и сечения источника (z'), то
при интегрировании будем различать три случая (рис. 31).
108
Первый случай: точка наблюдения находится вне зоны воз-
буждения при z z2. В этой области всегда z > z', поэтому
^=4 f (Ble + ^le)e-^-W, z\ Z2	(4.20)
	
Второй случай: z^zP При этом всегда z<z' и, следова-
тельно,
Z2 ^“ = 11 (^«-W e’^dz', Z2	(4. 21)
J°a	j (Y^—qJe^-^dz'. zl	
В третьем случае, когда точка наблюдения может лежать
в области возбуждения, амплитуды волн будут определяться
суммой двух интегралов: первый интеграл берется от zx до z
по всем источникам левее сечения наблюдения (z' < z), второй —
от z до z2 по всем источникам правее сечения (z < z')
U*a=IJ (1М+гЛа)	+
Z
П =41	+
+ 41<Га?1й-711в)е^-^У.
(4.22)
Выражения (4. 22) вне зоны возбуждения переходят в (4. 20)
и (4. 21), поэтому они пригодны для любого сечения.
Плотности амплитуд эквивалентных источников напряжения
Sle и тока т]1а определяются формулами (4. 8) и (4.9), которые
показывают, что зависит и от магнитного, и от электриче-
ского тока, так же как и ?]1а. Представляется целесообразным
ввести величины, которые будут передавать действие только
электрического или только магнитного тока. Выражения (4. 22)
109
для основного решения волноводных уравнений тогда можно
записать в следующей форме:
я
и*а = - 4 J (F- + ZaJ-)	+
z\
+ 4 J
z
я
7°«=- H	+
*1
Z2
+4f (/:-
(4.23)
Здесь
где
+ f да-5,
«X
п=/.т^д*= рда*.
«X
S* = £a+8ae^<^,
—Ж, + ^тАЖгк'
h
(4.24)
(4.25)
Векторные функции (4.25) описывают распределение соот-
ветствующих напряженностей поля прямых (-}-) и обратных (—)
волн единичной амплитуды.
Эквивалентные источники
Действительные источники возбуждения, распределенные
в отрезке волновода между сечениями zr и z2, могут быть заме-
нены эквивалентными сосредоточенными источниками, располо-
женными в некотором сечении с координатой z0 (рис. 32). Экви-
валентность распределенных и сосредоточенных источников за-
ключается в том, что вне зоны возбуждения они создают оди-
наковые амплитуды поля [57].
При сосредоточенном возбуждении амплитуды определяются
выражениями (4.19), а при распределенном — формулами (4.20)
и (4.21). Таким образом, условия эквивалентности состоят
в выполнении равенств:
110
в области z > z2
^2
т f	Zafila) e-^-^dz'=-^-(^аэх~Ь
#1
в области z <^zr
f (ZaVla-|1й) e^-^dz' = I(ИЛвак-U) е^\
Разрешая эти равенства относительно |аэк и т]аэк, получим
^2
^аэк== J [^ia ch Ка (z Zq) “j~ Zai]la sh (z 20)] dz\
*2
^аэк = f hia ch Ka (z' — z0) + Y£la sh (z' — z0)] dz'.
zv
(4-26)
Переход к сосредоточен-
ным эквивалентным источни-
кам дает возможность удоб-
ного построения схем заме-
щения волновода с распре-
деленными элементами связи
или сочленений волноводов.
При этом внутренняя прово-
димость эквивалентных гене-
раторов должна быть опре-
делена по мощности дейст-
вительных распределенных
источников.
§ 3. СОСРЕДОТОЧЕННОЕ	========= 0=========
ВОЗБУЖДЕНИЕ ВОЛНОВОДА	Т
ТТ	О Уазн
При возбуждении волно-
вода сторонними источника-	ц	-— ——	=>
ми с плотностями j электри-
ческого и f магнитного то- Рис. 32. Замена распределенных ис-
ков, сосредоточенными в ма- точников эквивалентными сосредото-
лом объеме, можно исполь-	ченными.
зовать формулы (4.19), ко-
торые будут давать тем более точный результат, чем тоньше
зона возбуждения.
Амплитуды расходящихся волн электрического поля запи-
шем в следующей форме:
Ш
z >
z <
A+ae-Xakz-z' >
2',
2',
(4. 27)
где 4+ и 4“— значения амплитуд расходящихся волн в сече-
нии возбуждения, вычисляемые в соответствии с формулами
(4.19) и (4.16),
^ = T.f (^ + ^le)dz = t/«(Z' + O),
Л« = т1 (Zartla-^a)dz = U^^-0).
*1
Выражая эти амплитуды непосредственно через плотности
токов j и f и векторные функции распределения прямых и обрат-
ных волн (4. 25), получим
С/о (z' + 0) = -1 f Ш-dV - Ц f дак,
F	F
t7O(z'_O)=4 f m\dV-}даУ.
F	F
В формулах (4. 28) интегрирование по поперечному сечению
и по оси z объединено в один интеграл по объему волновода,
занятому токами возбуждения. При сосредоточении токов в ма-
лом объеме векторные функции мало меняются в пределах
объема по крайней мере для основной волны, поэтому для
амплитуд поля расходящихся волн запишем следующие прибли-
женные выражения:
С7«Дг' + 0) = -1^; jfd7-lze<g; JjdF,
F	F
{jdv.
F	F
Входящие в формулы (4. 29) интегралы от плотностей токов
по малому объему (моменты тока) связаны с дипольными момен-
тами объема токов соотношениями
f jdv = i<op, jfd7 = i«>m.	(4.30)
к	г
112
Используя эти связи, получим окончательную форму выра-
жений для амплитуд расходящихся волн, возбуждаемых токами
с заданными моментами,
(z' + 0) = — У	— у Zu)ZaP£a>
i	!	(4-31)
£70 (2/-0)-=17штЖ:-| ^Zep<?:.
Выражения (4. 31) определяют амплитуды расходящихся воля
в бесконечном волноводе. Если волновод будет по л у бесконечным
то амплитуды поля в нем могут быть записаны следующим об-
разом (начало оси z совместим с торцом волновода):

[/о	_ о) ек^2^ + Аегх*2
UQa (z' + 0)	+ Ае-К<*’
0 z <Z z\
z > z’.
Постоянная А определяется из граничного условия
Ua (0) = £/« (zf — 0) в-**2' + А = 0.
Таким образом, найдем
гт/\ (2С/0(У —0)e-^'shA> 0<z<z',
([UQa (zf -f- 0) eKa2t — UQa(z' — 0) e-V] er*»2 z > z'.
При расположении возбуждающих диполей непосредственно
на торце (z' = 0) для амплитуды возбужденного поля будем
иметь
Ua^)^Ua(-]-0)e-^,
где амплитуда волны в сечении z = 0, согласно (4.32) и (4.31),
равна
иа (+0) = и* (2' + 0) - иоа & - 0) =
= - 4 iom + ад +1	(£+ - S~).'	(4. 33}
Используя для векторных функций прямых и обратных волн
единичной амплитуды выражения (4. 25), получим
иа (4-0) = -	- 8вв |	(3. 34)
Для волновода, возбуждаемого диполями на торце и распо-
ложенного на отрицательной полуоси z, решение для ампли-
туды поля будет иметь вид
t/«(2) = C7a(-0)e^ z<0,
ИЗ
§ Теория волноводов
где
Ua (-0) = С/о (z' - 0) - C/o (z' + 0) =
=	YZe^e-	(4. 35)
Выражения (4. 31), (4. 34) и (4. 35) дают общее решение за-
дачи сосредоточенного возбуждения бесконечного и полубеско-
нечного волноводов. Данные формулы позволяют провести рас-
чет связи волноводов через малое отверстие в боковых стенках
или торцах. Они могут быть также применены для расчета
возмущений поля, вызванных помещением в волновод малых
тел, дипольные моменты которых могут быть вычислены.
§ 4. СВЯЗЬ ВОЛНОВОДОВ ЧЕРЕЗ МАЛОЕ ОТВЕРСТИЕ
Коэффициенты поляризации малых отверстий
Формулы (4.31), (4.34) и (4.35) дают выражения для ампли-
туд поля, возбужденного в бесконечном или полубесконечном
волноводе сосредоточенным возбудителем с известными диполь-
ными моментами.
Если возбудителем является некоторое малое изотропное
тело, которое в свою очередь возбуждается первичным, или
сторонним, полем Ео, Но, то составляющие момента диполя про-
порциональны соответствующим составляющим индукции сто-
роннего поля:
p = P1(sE0q1)q1 + P2(eE0q2)q2 + P3(eE0q3)q3,	|	36)
m = J/i(pH0q1)q1 + J/2(fi.H0q2)q2 + M3(|iH0q3)q3. J
Здесь qt, q2 и q3 — единичные векторы направления осер
тела; Pv Р2, Р3 — коэффициенты электрической поляризации;
Mv М2, М3 — коэффициенты магнитной поляризации.
Коэффициенты поляризации являются интегральными элек-
тромагнитными характеристиками тела (возбудителями вторич-
ного поля) и зависят как от и тела, так и его формы и
размеров. Числовые значения коэффициентов поляризации могут
быть получены экспериментально или вычислены методами
электро- и магнитостатики.
В аналитической форме выражения для коэффициентов поля-
ризации получены только для эллипсоидного тела в однород-
ном поле [32]. Однако эллипсоид с полуосями Ь^с является
довольно общей формой тела: он превращается в шар при
одинаковых полуосях (а = & —с), близок к цилиндру при вы-
тянутой форме (а^>Ь = с), к эллиптической пластинке при
сплюснутой форме (а^Ь>*с), которая в свою очередь близка
к полоске (а Ъ с) и становится круглым диском при а = b с.
114
При вычислении моментов эллиптического отверстия в бес-
конечном экране можно использовать, основываясь на принципе
двойственности и методе зеркальных изображений, коэффициенты
поляризации соответствующей пластинки.
Для эллипсоида с проницаемостями ех и помещенного
в среду с проницаемостями вир., основываясь на выражении
для потенциала электрического поля, приведенном в [52], можно
получить следующие формулы для коэффициентов электрической
поляризации:
i=1- 2’ 3- <4'37>
Здесь V = -^-abc— объем эллипсоида,
о
ОО	00
__abc [ds	w ___аЪс f ds
1 — “J (s + a2)/?,’ /V2 —“J (s + &2)	>
о	0
(4-38>
0
где
Я, = у/(в + а2)(в-|-Ь2)(в + с2).
Коэффициенты магнитной поляризации вычисляются анало-
гично или могут быть получены по принципу двойственности
заменой —р:
i = i, 2, 3.	(4.39)
p + (Pi —
Коэффициенты электрической и магнитной поляризации за-
висят от определенных интегралов Nb называемых коэффици-
ентами деполяризации [32]. Они могут быть выражены через
эллиптические интегралы по формулам (3.134), приведенным в [49],
«1= “Х . |f(T.	*)],
ЛТ abc	Гг»/ 7 \	Т> /	7 \
^2	(а2 _ 62) (62 _ с2)	(?’	а2_	*)
с а2 —
ab — с2
дг =-----------abc LL — Е (<р, Л)1.
>	(62 _ с2) Va2 _ с2 Lac	VT’ 'J
(4. 40)
8*
115
Здесь ^(ср, к) и Е (ср, к) — эллиптические интегралы первого
и второго рода,
? = arc sin ]/1—
Как показал Л. И. Мандельштам [36], дифракционное поле
отверстия аналогично полю, рассеиваемому тонкой пластинкой
той же формы, что и отверстие, с диэлектрической проница-
емостью е1==0 и магнитной ^=00.
Для эллипсоида с параметрами ех = 0 и р.т=оо общие фор-
мулы (4. 37) и (4. 39) дают
=	«.=-£ *=1,2,3.	(4.41)
Если эллипсоид превращается в плоскую пластинку (с->0), то
7->0, А\->0, TV2^0, 7V3-^1.
В этом случае коэффициенты поляризации будут равны
р1 = о, Р2 = 0, Р3 = -^ • —-^2-
%- к)
мг=А. ------------,
1	•	3	/ tz \ /к \ ’
F (, к} — Е (*2", к )
»» _ab2k2
2	3 /к \	/тс \ ’
Я (у ,	— k2)F\~2 , kj
M3 = Q,
(4.42)
В этих формулах F , kj и к)— полные эллиптиче-
ские интегралы = от модуля к= ~j/~ 1 —,
Для сильно вытянутой пластинки	&->!), используя
разложение эллиптических интегралов, с точностью до малых
b
второго порядка по —, получим
Р3 = — ^аЬ\ М1 = ^-------£-----, М2 = ^аЪ\ (4.43)
6	3	’	1	3	, 4а ’	2	3	47
Ь—
Формулы (4.42) и (4.43) выражают коэффициенты поляри-
зации пластинки, эквивалентной отверстию. Коэффициенты по-
ляризации отверстия в металлическом экране определяют ди-
польные моменты источников по одну сторону экрана. По срав-
нению с пластинкой объем диполей должен быть уменьшен вдвое.
116
Кроме того, стороннее поле возбуждает отверстие с одной сто-
роны, тогда как пластинка питается по всему объему. Поэтому
коэффициенты поляризации отверстия в экране будут в четыре
раза меньше коэффициентов поляризации эквивалентной пла-
стинки (е1 = 0, [i1=oo).
При определении дипольных моментов отверстия необходимо
также иметь в виду, что дифракционное поле по разные сто-
роны экрана имеет противоположные знаки у нормальной со-
ставляющей электрического поля и касательной составляющей
магнитного поля.
Таким образом, дипольные момейты отверстия могут быть
найдены по формулам
Р= +-PS(Мз)Чз= +Ре(Еоп)п> )	(4 44)
m = ± [Мlf* (НоЧ1) qi + М2р. (Hoq2) q2] J
где верхний знак—для той стороны экрана, на которую па-
дает стороннее поле, а нижний знак для другой его стороны,
Р =—Р3 и n = q3 — нормаль к экрану.
Формулы для коэффициентов поляризации эллиптического
отверстия, вытекающие из изложенного выше и хорошо извест-
ные из литературы по технике сверхвысоких частот, где они
приводятся без вывода, сведены в табл. 1.
Таблица 1
Формы отверстия	Р	Aft	м2
Эллипс с эксцентриси- тетом &=	1 _ (”~)2	тс ab2	и: cfik2	тс	ab2k2
	з”"Г	3 F — Е	3 Е — (1— k2)F
Сильно вытянутый эл-	тс	тс	а3	тс
липс (а^>Ь) . . . . .	у ab2	3 . 4а .	"Т йЪ2
Круг радиуса г — а . .	4 г’	1п-г — 1 Ъ |гЗ	,	|<Х
Дипольные моменты малого отверстия
в боковой стенке волновода
Пусть в бесконечном волноводе с малым отверстием в боко-
вой стенке, расположенным в сечении с координатой z = z0,
распространяется волна в положительном направлении оси z
Ео=^-А’а(^о)^) )	4 45
Но = 4Уае-^-о)^. J
117
Эта волна возбудит поле в отверстии, которое будет источ-
ником, характеризуемым дипольными моментами
Pi 2=	(£+п)п,
mi, 2 = ± ApYa [Мг (<%>ь) qx + М2 <^+q2) q2].
(4. 46)
Индекс 1 и верхний знак в выражениях для моментов ис-
пользуются для расчета вторичных волн, возбужденных в вол-
новоде с заданным сторонним полем (4.45).
Индекс 2 и нижний знак относятся к моментам, возбуждаю-
щим поле вне волновода.
При расчете амплитуд вторичного поля в волноводе восполь-
зуемся формулами (4. 31)
(*о- 0) = 4 ^Y« IмГ (ЖЧ1)2 +	(^q2)2] +
+ 4i<»eZaP(<?en)2,
U°a (*о + °) = - 4	+
+ ^2(Ж%) (2Ш1 + l(£>eZaP (W-
(4.47)
Из-за малости отверстия эти амплитуды не зависят от того
устройства, которое подсоединяется к волноводу через малое
отверстие. Поэтому элементы матрицы рассеяния волноводного
сочленения, характеризующие коэффициент отражения и коэф-
фициент передачи в данном волноводе, будут определяться
только им и отверстием
= СГО(^-О) =	(^:qj2 +	(^)2] +
+ -^Р(£вп)2,
S21 = << + ^о + О) = J	+
+	(^q2) (^;q2)l + Р (&п)2.
Если к волноводу 1—2 (рис. 33, а) через общее отверстие
подсоединяется другой волновод, 3—4 (толщину стенок не учи-
тываем), то волны во втором волноводе вычисляются по момен-
там р2 и т2 (4. 46) из формул (4. 31). Будем отличать собствен-
ные величины второго волновода индексом Ь, тогда получим
следующие выражения для элементов матрицы рассеяния:
118
s31 =	(#i41) (^qt) +
+ ^2 (Жч2) (Жч2)] —1^г~p	(^n)’
w, (^:41) (#;qi)+
+ Щ (Жч2) (Жч2)] —P (M (ЗД-
Если же второй волновод подсоединяется к первому торцом
(рис. 33, б), то амплитуда поля, возбужденного отверстием, на-
fl
3	*ь,*ь	|	<
1 2
__________________I__________________
Рис. 33. Связь волноводов через малое отверстие при его возбуждении
с боковой поверхности.
а — в боковых стенках; б — в Т-образном сочленении.
ходится по формуле (4. 34) и моментам р2 и ш2 из (4. 46). Соот-
ветствующий элемент матрицы рассеяния будет равен
531=-^Щ- = т (З^ьЧ.) +
+	(^q2) (Жч2)] + РКь (*» (^п),	(4.50)
где орт внешней нормали к боковой поверхности первого вол-
новода п совпадает с направлением оси z второго волновода.
Так как
то электрическая связь будет существовать только для 2?-волн
в боковом волноводе.
Дипольные моменты отверстия в боковой стенке р2 и т2
(4.46) могут быть использованы и при расчете возбуждения
через это отверстие объемного резонатора.
119
Дипольные моменты малого отверстия в торце волновода
Пусть в полубесконечном волноводе (z^O) с малым отвер-
стием в торцовой стенке, расположенной в сечении с коорди-
натой z = 0, имеется стороннее поле в виде волны одного типа
Но = AYa[e-^m + ^^. /	(4‘ 51)
Так как n = z° и
(<?:-^)п=2<?х,
то электрический момент будет существовать только для волны
типа Е. Имея в виду также, что
ж:+^;=2жа,
получим следующие выражения для дипольных моментов:
Р1,2 = +2 Лг7> (Сп) п>	!	(4.52)
т1,2 = ±2ЛрУй[^1(<^Л1)Ч1 + ^2(Хд2)Ч2]. J
где, как и прежде, индекс 1 и верхний знак относятся к момен-
там, возбуждающим вторичное поле в данном волноводе, а ин-
декс 2 и нижний знак определяют моменты, возбуждающие
поле вне волновода.
Амплитуда вторичного поля в данном волноводе находится
по формуле (4. 35)
иа (-0) = 2Ai^Ya [Mt + М2 (Жд2)2] + 2АРКЬ (8^.
Коэффициент отражения
+ Ля (~0) =-1 + (М,ъ)г+
+ >2 (Ял2)2] + 2РК«	(4. 53)
не зависит от устройства, подсоединяемого к торцу волновода,
и определяется только данным волноводом и отверстием.
Если к первому волноводу торцом же подсоединяется второй
(рис. 34, а), то амплитуда поля, возбужденного в последнем
отверстием, рассчитывается по формуле (4.34) и моментам р2
и ш2 из (4. 52). Коэффициент передачи будет равен
s21== 2i^ [М, (ЖаЧд (ЯЛ1) + М, (Жч2) (^л2)] +
+ 2P^(<?X)(<^zO).	(4.54)
120
Если второй волновод подсоединяется к торцу первого через
отверстие в своей боковой поверхности (рис. 34, б), то ампли-
туды волн, расходящиеся от сечения с отверстием (z = z0),
будут рассчитываться по формулам (4.31) и тем же момен-
там (4. 52)
*21==-i^Ya [М х (Xqx) (ЖЧ1)+
+ М2 (Жл2) (Жч2)1 - ^ZbP (<?» (^п),
5з1 = t№+ 0) = .^Ya [М^ (ЖЧ1) (^_qi) +
+ М2 (<%,q2) (Жчг)] — i™ZbP (#» (#?»)•
Формулы, приведенные в этом параграфе, позволяют рас-
считать все элементы ненормированной матрицы рассеяния как
Рис. 34. Связь волноводов через малое от-
верстие при его возбуждении с торца.
а — поперечное сочленение; б — Т-образное сочле-
нение.
соединения двух волноводов через общее отверстие в боковых
или торцовых стенках, так и Т-образного сочленения волно-
водов.
При этом следует иметь в виду, что выше индексом 1 всюду
отмечался волновод со сторонним полем. Поэтому при записи
выражений для элементов матрицы рассеяния сочленения в целом
необходимо изменить индексы так, чтобы была выдержана еди-
ная нумерация ветвей конкретного типа сочленения.
121
Связь двух прямоугольных волноводов через отверстие
в широкой стенке
Используем для примера общие формулы расчета связи двух
прямоугольных волноводов через отверстие в широкой стенке
при работе на основной волне Я10. Векторные функции полей
волны H1Q определяются выражениями

ЖЁ — — 1/Д- /sin — хх° + —Д- cos — х z°
Л V ab \ а ~ iKba а
(4.56)
Пусть направления осей отверстия связаны с координатными
ортами соотношениями (рис. 35)
qt = z° cos S -]- x° sin
q2 = —z° sin &	x°cos
q3 = y° = n.
(4.57)
Таким образом, проекции векторных функций полей будут
равны
^п=У481птжо’
Xfa=—VI (sin т ж<>sin а ±	cos т х»cos *
sin— #ncos & +	cos — #nsin&|,
k «	0	iKha a 0	/’
(4.58)

f
Рис. 35. Оси отверстия
на стенке волновода.
где xQ — координата центра отверстия.
Если формулы (4.58) определяют проекции полей первого
волновода, то аналогично вычисляются соответствующие состав-
ляющие и для второго волновода.
При этом, конечно, следует иметь в
виду, что оси отверстия относи-
тельно координатных направлений
второго волновода будут ориентиро-
ваны по-своему и волновод может
иметь другие размеры. После вы-
числения проекций векторных функ-
ций полей обоих волноводов даль-
нейший расчет элементов матрицы
рассеяния не составляет труда.
Приведем для примера развернутые выражения коэффициен-
тов передачи во второй волновод для простого частного случая
одинаковых волноводов, оси которых идут под углом &, при
122
круглой форме отверстия, расположенного посередине широкой
стенки каждого волновода при яо = О.5а (ответвитель Бэте).
Выбирая оси отверстия совпадающими с координатными на-
правлениями первого волновода (qx = z°, q2 = x°), получим
Qi — <^^4i — О»
(4. 59)
4г — <Я^г42 —	•
Так как координатные направления второго волновода по-
вернуты на угол &, то проекции векторных функций магнит-
ного поля на оси диполя будут равны
Mhi=ЖЧ1= — У isin &-
Жчг=Ж»д8=— Уcos &-
(4.60)
Подставляя (4. 59) и (4. 60) в (4. 49) и учитывая, что
будем иметь
i^Yh = Kk=i^-,
.	W2£U . 2u Л
^ = --^=4—.-,
s»=-^-(4?+4-*'">s8) •
541 = —	— ±Mcos 6k
41	ab \ Л2 A	/
(4.61)
(4.62)
Так как для круглого отверстия
D 2 , d» ..	4 з d3
P = Tr=12' M=~r=^'
то окончательно получим
(4.63)
§ 5. СВЯЗАННЫЕ ВОЛНЫ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ
Волноводные уравнения для волновода
с потерями в стенках
Волноводные уравнения (4.1) и (4. 2) определяют амплитуд-
ные коэффициенты поля при его разложении по собственным
функциям волновода с идеально проводящими стенками. Для
123
такого идеального волновода уравнения каждого типа волны
существуют раздельно. Собственные волны не связаны между
собой и возбуждение их сторонними источниками происходит
независимо.
Однако эти же уравнения могут быть использованы и для
расчета поля в более сложном волноводе, например с неодно-
родной средой, потерями в стенках, деформацией стенок и т. п.
Любое усложнение волновода приводит к связи между соб-
ственными волнами идеального волновода. Так, например, при
учете потерь в стенках волновода касательная составляющая
напряженности электрического поля на поверхности волновода
уже не будет равна нулю. Поэтому и для участка волновода
без сторонних источников коэффициенты возбуждения ДД тоже
не будут обращаться в нуль:
= § [nE]»Z^0.	(4.64)
&
Согласно приближенным граничным условиям Леонтовича,
на поверхности хорошо проводящего металла
E = Z0[Hn],	(4.65)
где	__ _________
=	+	(4-66)
— поверхностное сопротивление стенок волновода.
Подставляя (4.65) в (4.64), найдем
ДД = Ze $ [п [Ни]] Mbdl = Ze (j) (Н — пНп) Mbdl.
Z	Z
Так как п<Ж6 = 0 на контуре X, то
Д/4=Ив^Н^.	(4.67)
SS
Представляя ,магнитное поле рядом
&' = &', el, zh',
V
для добавочных коэффициентов возбуждения, возникающих за
счет потерь, получим
(4.68).
bf	Ь'
Здесь введены обозначения
Hbb>=$MbMb’dl, Zbb’ — ZeHbb>.	(4.69)
124:
Подставляя (4. 68) в волноводные уравнения (4.1) и (4. 2) и
учитывая, что
ЖгЖгл —	Ha2h — 0 а = Л, е,
получим
=	2 Zha,Ia,-h,
a'=dir, е'
= — ivueUh 4- хд/Л — Д,
h 1®|17zhzh’^zhf fzhl
zhr
dUe
dz
dle
dz
—|- xeL e	ZearIaf ft
a'=h', er
-iuzU e jei
(4.70)
(4.71)
* I — —iwsll — jze.
Как видно, в систему уравнений (4. 70) для Я-волн входят
амплитудные множители Я-волн, и наоборот. Таким образом,
волноводные уравнения (4.70) и (4.71) оказываются сцеплен-
ными в общую систему уравнений, связывающую все волны, для
которых взаимные сопротивления Zbb' отличны от нуля.
Учет потерь в диагональном приближении
Рассмотрим решение системы волноводных уравнений в диа-
гональном приближении, пренебрегая связью между различными
типами волн.
В этом случае волноводные уравнения преобразуются к форме
телеграфных уравнений вида
ииа___ у г | &
~~dz~ — ^la^a “Г Че»
—____У U 4-Т)
dz — 11аиа~Г Ъа*
^.12)
где погонные плотности сторонних источников такие же, как
в волноводе без потерь (4. 8) и (4. 9), а погонные сопротивления
и проводимости определяются выражениями:
для Я-волн
%ih =
х2	х2 /	\2	(^‘ 73)
У1Л= г<ое 4“ ”—~ го)е +
1А ’	+ Zghzh ' la)P \	/ h h
125
для 2?-волн
х2
%1е = ™>? + 7^r+z ее,
Yu=i<s>e.

Полученные результаты могут быть иллюстрированы рис. 36,
на котором показаны схемы замещения короткого участка вол-
новода без источников длиной дающие в пределе приДз->0
такие же уравнения, как (4. 72). Характерной особенностью схем
7.4г	4Дг К.Дг	Л.Дг ^Дг r&i
id	*7	I	•	Z
Н-болна.	Е-Волна.
Рис. 36. Схема замещения элементарного отрезка волновода
с потерями.
замещения является то, что все индуктивности оказались
с потерями.
Постоянная распространения а-й волны в диагональном при-
ближении может быть рассчитана обычным образом из уравне-
ний (4. 72). Опуская индекс волны а, найдем

(4. 75)
здесь Zx и — погонные параметры рассматриваемой волны,
определяемые формулами (4. 73) и (4. 74).
Сравним постоянную распространения (4.75) с постоянной
распространения той же волны в волноводе без потерь
^0 = ^2-а>^=АоГ10.
(4.76)
где Zlo и У10—погонные параметры волны без потерь энергии.
Погонные параметры с учетом потерь разобьем на два сла-
гаемых
Z1 = Z10-|-4Z1,	+	(4.77)
Здесь добавки к погонным параметрам за счет потерь легко
усматриваются из (4. 73) и (4. 74):
=	+	(4. 78)
С\ 2
+	(4.79)
126
Подставляя (4.77) в (4.75) и пренебрегая произведением
малых величин AZjAFj, найдем
KttxlKl+Y^ + Z^Y,.	(4.80)
Если частота достаточно далека от критической, так что
\кй\^\у^ + г^\,
то приближенное извлечение корня квадратного дает
+ iF>)-
Имея в виду, что волновое сопротивление и волновая про-
водимость для волны без потерь равны
у  _j_  ^10   *0
°~Уо	*0	У]о’
окончательно получим
К =	+	+ при	(4.81)
Вблизи критической частоты, полагая ЛГо«О, будем иметь
приближенное выражение
K^Y^Z^Z^Y, •	(4.82)
Формулы (4.81) и (4.82) позволяют сделать следующие
выводы.
1. В результате влияния потерь в стенках постоянная рас-
пространения получает добавку, которая вдали от о)кр будет
первого порядка малости по величине поверхностного сопротив-
ления Zc, а на критической частоте определится корнем квад-
ратным из малой величины и, следовательно, по абсолютной
величине будет много больше, чем в (4. 81).
2. Вдали от о)кр добавка имеет как вещественную, так и
мнимую составляющие одинаковой абсолютной величины. Однако
на частотах о)><окр, где KQ — мнимая величина, небольшая
мнимая добавка несущественна и обычно не учитывается. Основ-
ное значение здесь имеет вещественная добавка, определяющая
затухание волны.
На частотах со <^о)кр (ЛГ0—вещественная величина), наоборот,
основное значение имеет мнимая добавка, характеризующая
небольшое распространение волны, энергия которой тратится
на потери в стенках.
127
Развернутое выражение для добавки к постоянной распро-
странения легко записать, используя формулы (4. 78), (4.79) и
частотные зависимости волновых сопротивлений.
Так, для Я-волн
будем иметь
где коэффициенты Ньъ определяются формулами (4.69) и от
частоты не зависят, а поверхностное сопротивление Zo в соот-
ветствии с (4.66) пропорционально \/о>-
Из (4.83) заключаем, что с ростом частоты ДЯд увеличи-
вается по абсолютной величине пропорционально Vю, если
Особые свойства имеет волна HQn в круглом волноводе,
для которой поперечное магнитное поле равно нулю на стенках
волновода (^А = 0 на 5?) и, следовательно, ЯАЙ = 0, 1^ — 0.
Затухание такой волны непрерывно убывает с частотой.
Для Я-волн (zo =	j/" 1 —= развернутое
выражение добавки будет
(4. 84)
Связь между волнами за счет потерь в стенках
Построим при решении волноводных уравнений с учетом
потерь следующее приближение, которое состоит в том, что
в расчет будет взята связь между двумя волнами. Мы ограни-
чимся рассмотрением связи между Н- и Я-волнами. Этот случай
имеет особый интерес, так как Н- и Я-волны могут иметь оди-
наковую критическую частоту.
Волноводные уравнения при учете попарной связи между
Н- и Я-волнами образуют систему
Я-волна
^ = -ZhhIh-Zhele-\-^h, '
~ТГ==-
Я-волна
^ = -ZeeIe-ZehIk + lle,
d-^ = -YeeUe + ^,
(4.85)
128
В которой диагональные коэффициенты как в (4. 72), а взаим-
ное погонное сопротивление Zhe = Zeh определяется форму-
лой (4. 69):
Zhe = ZQHhe = ZC£ ^h^edl-	(4. 86)
Будем решать систему (4.85) для регулярного участка волно-
вода, где ?1а = 0 и ?]1а = 0. Дифференцируя первые уравнения
для Н- и Я-волн и исключая амплитуды магнитного поля,
получим	^ = KlUk + ZheYeeUe, ' ^ = K*Ue + ZehYhhUh,	(4.87)
где	K^Z^Y», Ke=^ZeeYte	(4.88)	
— постоянные распространения Я- и Я-волн в диагональном
приближении.
Дальнейшее решение можно вести либо исключением одной
из неизвестных функций и сведением системы уравнений к диф-
ференциальному уравнению четвертого порядка, либо сразу
отыскивая решение, как это обычно делается в теории обыкно-
венных дифференциальных уравнений с постоянными коэффи-
циентами, в виде
Uh = A<rv, Ue = Be~v.	(4.89)
Постоянные величины Л, В и у должны быть такими, чтобы
(4. 89) удовлетворяли уравнениям (4. 87). Делая эту подстановку
и сокращая на ненулевой множитель получим
?A = K*A + Zh'Y„B, 1 fB=K*A^ZehYhhA. J	(4.90)
Из 1-го уравнения (4.90) отношение постоянных	А и В
должно быть равно: Л   ^he^ee В	—	(4.91)
а из 2-го уравнения	
В 	 Zeh^hh	(4.921
А 72 — ^2 •
’ е
Из (4.91) и (4.92) вытекает необходимое равенство
72 — ^2 е 		^he^ee	(4.93)
ZA		\ • /
129
9 Теория волноводов
(f -	(T2 -	- Z^Y^Y» = 0.	(4. 94)
Равенство (4.94) означает обращение в нуль определителя
системы (4. 90). Корни уравнения (4. 94) дают такие значения у,
при которых решения (4. 89) отличны от нуля.
Для сокращения записи введем обозначение
Безразмерный коэффициент т характеризует относительную
величину связи между волнами. Используя (4.95) и (4.88),
перепишем характеристическое уравнение (4. 94) в виде
Т4 _ (£2	К2} f + (1 _т2} К1К2 = 0>	(4. 96)
Общее решение биквадратного уравнения дается формулой
Т2=1(^ +	± |х/(^-^)2 + ^ВД. (4.97)
При анализе решения (4. 97) выделим два частных случая.
1. Постоянные распространения связываемых волн в диаго-
нальном приближении (Kh и Ке) настолько различны, что вы-
полняется неравенство
\К1-К^2\тКкКе\.
Извлекая приближенно корень квадратный, для двух его
знаков получим
т?=*Н™2
= +
Таким образом, в рассматриваемом случае добавки к постоян-
ным распространения связываемых волн будут пропорциональны
квадрату малой величины относительно коэффициента связи т.
2. Постоянные распространения Kh и Ке имеют близкие
значения
ЛГЛ = ^0 + Д^, ке=к^ьке>
где &Kh и &Ке— малые величины, пропорциональные поверх-
ностному сопротивлению Zc.
Квадраты постоянных распространения Kh и Ке приближенно
равны:
Я*«Я* + 2Я0ДЯЛ, £*«£* +2ЯоДЯ„
п е
К^-К* ’
h е
h е
К2—К2 •
(4.98)
130
что для постоянных распространения связанных волн дает вы-
ражение
^ = К1 + Кй(ЬКн + ЬКе ±	(4.99)
Формула (4. 99) показывает, что в этом случае добавки за
счет связи к постоянным распространения диагонального при-
ближения будут первого порядка малости по величине поверх-
ностного сопротивления Zc.
Итак, корни характеристического уравнения (4.96) опреде-
ляются общей формулой (4.97) и имеют четыре значения ±ft
и ±ft, причем ft близко к Kh, a ft к Ке.
Таким образом, общее решение для Uh и Uе будет суммой
четырех частных решений:
Uh = А^'+	+ Ate~^ + A^, |
Соотношение между амплитудами определяется формулами
(4. 91) или (4. 92), которые теперь конкретизируются так:
-B1.L		 ^he^hh	71	(4. 101)
•^1		^he^ee	
в2 _		.72	
^2	ll-Kl		
Подставляя сюда и из (4. 98) для случая существенно
различных постоянных распространения Kh и Ке, найдем
Bl    ^he^hh
А ~ к*-к* ’
^2	^he^ ее
к*е-к* •
(4.102)
В том же случае, когда Kh и Ке близки, отношение ампли-
туд получается равным
В1 — К	+ У<ДЛГ* - Д*‘>2 + w2/Co
0	ZAeyee
Wh - ЬК, - y/^Kh - Д£6)2 +~^Kl
в2 °	ZheYhh
(4.103)
и не зависит от поверхностного сопротивления Zc, так как
оно входит в одинаковой степени в числитель и знаменатель
и сокращается.
/Проведем краткое обсуждение полученных результатов.
9*
131
Решение (4.100) для амплитуд связанных волн состоит из
двух частей. Одна характеризует изменение поля с постоянной
распространения, близкой к постоянной распространения волн
в диагональном приближении. Так, для Я-волны это часть
с амплитудными коэффициентами Аг и постоянной у1, а для
Я-волны — с коэффициентами Я2 и постоянной у2. Указанную
часть амплитуд поля можно назвать основной, или собственной.
Вторая часть описывает изменение амплитуд поля с «чужой»
постоянной распространения. Для Я-волны это часть с постоян-
ной у2 и коэффициентами Л2, для Я-волны — с постоянной
и коэффициентами Bv Данную часть поля можно назвать по-
бочной, или навязанной.
Формулы (4.101) — (4.103) показывают, что при распростра-
нении Я-волны с амплитудой 4^=0 и при Zh0=^=O обязательно
возникает связанная с ней Я-волна с амплитудой В1у=0, и
наоборот, при В2=7^=0 А2 также отлична от нуля.
Таким образом, в результате связи в волноводе невозмо-
жно распространение только одной структуры поля, одновре-
менно распространяется связанная с ней другая структура.
Одна структура как бы волочит за собой другую, и обе они
движутся с одинаковой постоянной распространения, близкой
к собственной для одной структуры и «чужой», или навязан-
ной, для другой структуры.
Отношение навязанной амплитуды одной структуры к соб-
ственной амплитуде другой зависит от различия в постоянных
распространения связываемых волн в диагональном приближе-
нии. При существенно различных Kh и К0 отношение ампли-
туд будет малой величиной, примерно пропорциональной по-
верхностному сопротивлению Zo и тем меньшей, чем больше
разнятся Kh и К0 (4. 102). Если постоянные распространения
Kh и К0 близки, то отношение амплитуд связанных волн не
будет зависеть от Zc и, вообще говоря, не будет малой вели-
чиной.
Сопротивление связи Zhe (4.86) в развернутом виде через
скалярные функции и записывается в форме
ZAe = Z0	=	(4.104)
&
В круглом волноводе одинаковые постоянные распростране-
ния имеют волны Ноп и но так как для симметричных
волн -^ = 0 на то Zk0 = O и эти волны за счет потерь не свя-
зываются.
В прямоугольном волноводе одинаковые постоянные рас-
пространения будут иметь все Втп- и Е'^-волны с одинаковыми
132
ненулевыми индексами, т. е. волны Нп и Еп, Н12 и /?12 и т. д.
Вычисление сопротивления связи (4.104) между этими волнами
дает

а — Ъ
аЪ
(4.105)
В квадратно!М волноводе ZAe = 0 и связь, как и в круг-
лом, отсутствует. Однако в общем случае Z^^O и, следова-
тельно, в прямоугольном волноводе с потерями невозможно
раздельное существование волн Нтп и Етп при тп^4 0 и п^=0.
В волноводе будет иметь место линейная комбинация Я-
и 1?-волн, отношение амплитудных коэффициентов которой мо-
жно найти из (4.103).
Некоторые общие свойства двух связанных волн
Выше было рассмотрено влияние связи, возникшей между
двумя волнами за счет потерь в стенках волновода. Однако
выявленные при этом свойства связанных волн имеют общий
характер независимо от причины связи. Поэтому мы сформу-
лируем их еще раз, выделив основное.
Изменение амплитуд поля каждой из связанных волн при
движении вдоль волновода будет определяться двумя посто-
янными распространения.
Если постоянные распространения связываемых волн в диа-
гональном приближении достаточно далеки друг от друга,- то
при малой величине связи они изменяются на малую величину
второго порядка малости. Отношение амплитуд связанных
волн при этом будет первого порядка малости.
Если постоянные распространения в диагональном прибли-
жении отличаются на величину первого порядка малости по
коэффициенту связи, то при учете связи (между волнами) они
изменяются также на величину первого порядка малости. При
этом отношение амплитуд связанных волн не зависит от вели-
чины связи.
При существовании в волноводе только прямых волн рас-
пространяющегося характера будет иметь место картина про-
странственных биений. Она определяется тем, что каждая
структура поля распространяется с двумя фазовыми постоян-
ными. И если при этом в одном из сечений обе части вол-
ны (собственная и навязанная) синфазвы, то по мере дви-
жения вдоль волновода их фазы расходятся и на определен-
ном расстоянии они оказываются противофазными. Поле
данной структуры будет иметь здесь минимум амплитуд. Про-
133
странственный период биений зависит от разности фазовых
I 2т:	2т: I
постоянных |-j----д—j и равен
L=-j,---х-р- =, ,A1A2. j.	(4.106)
2л 2л | — Л |	4	7
Амплитуда биений и, следовательно, глубина минимума оп-
ределяются соотношением между амплитудными коэффициен-
тами. При связи волн с далекими постоянными распростране-
ния амплитуда биений мала, при связи волн с одинаковыми
постоянными распространения величина минимума может па-
дать до нуля.
Физически пространственные биения объясняются тем, что
связанные волны при движении вдоль волновода обмениваются
энергиями. Наиболее полный обмен происходит при близких
постоянных распространения.
Из сказанного не следует, однако, делать вывод, что учет
малой связи необходим только при близких постоянных рас-
пространения. В реальном волноводе будет существовать
и обратная волна. Поэтому даже при далеких постоянных
распространения при определенных условиях на некотором
участке волновода могут возникнуть резонансные явления.
При резонансном возбуждении, несмотря на малость связи,
амплитуда неосновного (побочного) колебания может дости-
гать больших значений, что приведет к существенному влия-
нию на основное (рабочее) колебание.
Подобный случай может, например, иметь место во вра-
щающемся сочленении на волне 2?01, когда наряду с рабочей
структурой возбуждается волна Нп. Обычно стремятся свести
возбуждение волны Нп к минимуму, но при возникновении
резонансных условий между двумя переходами амплитуда
волны Нп может достигать больших значений, и это приведет
к нарушению нормальной работы сочленения.
§ 6. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В РЕЗОНАТОРЕ
Пусть в объеме резонатора заданы плотности стороннего
электрического тока j и стороннего магнитного тока f, возбу-
ждающих колебания с частотой о). Касательные составляющие
полей на стенках резонатора будем учитывать как поверхност-
ные токи с плотностями
J = [Hn] и F = [nE],	(4.107)
рассматривая их как частный случай объемных токов с рас-
пределением типа 8-функций.
134
Задача определения электромагнитного поля в резонаторе
состоит в решении неоднородных уравнений Максвелла
rotH= Z(dsE +j,
rot E = —— f
(4.108)
для части пространства внутри резонатора.
Комплексные векторы напряженностей поля будем искать
в виде суммы двух частей
Е = ЕГ + Еу, |
H = Hr + H,, J
(4.109)
где Ег и Нг — вихревые или соленоидальные векторы, а и
Нг/— градиентные или потенциальные части. Как известно, вихре-
вой вектор не имеет расходимости:
divEr = 0, divHr = 0,	(4.110)
а градиентный — вихря:
rotE^ = 0, rotH^ = 0.	(4.111)
Если взять дивергенцию от левой и правой частей уравне-
ний Максвелла (4. 108), то для случая однородной среды обна-
ружим
1	)
div Е = div Е, —---:— div i,
i	I	(4.112)
divH = divH. =-----:—divf.
у	iwp,	)
Эти формулы показывают, что напряженности поля не могут
быть сведены только к вихревым векторам, если дивергенции
соответствующих токов не равны нулю.
Градиентную часть решения для напряженности поля Н
иногда ошибочно отбрасывают на том основании, что магнит-
ные силовые линии всегда замкнуты. Утверждение о замкну-
тости магнитных силовых линий, конечно, правильно, но оно
относится к полю во всем пространстве в целом. Когда же ре-
шается задача для части пространства, какой является, напри-
мер, полость резонатора с отверстием в стенке, то очевидно,
что не все силовые линии Н будут замыкаться внутри резона-
тора, часть их может выходить наружу. Для области простран-
ства внутри резонатора раскрыв отверстия будет источником
и стоком магнитных силовых линий. Эта часть поля и описы-
вается градиентным вектором Н^. В соответствии со свойством
135
(4. ИЗ)
градиентных частей поля (4. 111) они могут быть выражены
чёрез скалярные функции (потенциалы)
Е,=-¥Фу,
Н,= -?Ф/.
Уравнения для электрического Фу и магнитного Фу потен-
циалов получаются при подстановке искомых решений (4.113)
в (4. 112).
Р2Ф • = -Д- div j — — —
J iwe *	e
V2®, =-Д-div f = — —
J 1ыр.	p.
(4.114)
Соотношения (4.114) являются уравнениями Пуассона. Таким
образом, распределение градиентных частей поля имеет стати-
ческий характер, хотя сами поля и будут быстропеременными.
Распределение градиентных частей поля может быть опре-
делено методами электростатики и магнитостатики, например,
с помощью метода зеркальных отражений или рядов по полным
ортогональным системам функций.
Полная система скалярных функций для оператора Лапласа
порождается решением скалярного волнового уравнения
?2Ф-]-Л2Ф = 0	(4.115)
в объеме V при граничных условиях
фу=о. ^г=°	.	(4-116)
на поверхности резонатора.
Граничные условия (4.116) выбраны так, чтобы они соответ-
ствовали граничным условиям для напряженностей поля
[пЕ] = 0 и Нп = 0	(4.117)
на идеально проводящей стенке резонатора. Полная система
скалярных функций уравнения (4.115) позволяет на ее основе
образовать полную систему векторных градиентных функций
^ = V®yT, ^Т = 7Ф.
(4.118)
Как известно, векторные функции
различным собственным числам и
ортогональности
(4.118), соответствующие
ку. обладают свойством
У
 т¥=т'
(4.119)
136
Условимся норму собственных функций обозначать следую-
щим образом:
J^r=c,, ]
V
\^dV = Lr
(4.120)
Полная система ортогональных градиентных функций позво-
ляет записать потенциальные части поля в виде рядов
=	(4.121)
7	7
Для построения полной системы вихревых функций можно
взять решения уравнения Максвелла для резонатора того же
объема при идеальных граничных условиях (4.117)
rot Hv = io)yeEv, 1
rotEy = —ia)^Hy. /
(4.122)
Собственные поля резонатора Еу и Ну являются вихревыми
и, как известно, образуют полную систему ортогональных функ-
ций, а следовательно, могут быть использованы для разложе-
ния вихревой части поля Ег и Нг при решении уравнений (4.108).
Однако удобнее вместо комплексных векторов поля собствен-
ных колебаний Еу и Ну вести разложение по вещественным соб-
ственным функциям (Jv и определив их равенствами
Еу=С7Д, Ну = /уЖ„	(4.123)
где U и Д— комплексные числа.
Уравнения для собственных функций и <%>у, согласно (4.122)
и (4.123), имеют вид
rot^, = i<o,e 7^<?v,	]
\	}	(4.124)
rot <?v = —I
о V	)
Условимся обозначать норму собственных функций следую-
щим образом:
^dV = C4,
V
\^dV=L4.
У
(4.125)
137
Значения норм собственных функций можно выбирать про-
извольно, однако от их выбора зависит отношение и Д,
вытекающее из уравнений (4. 124), Умножая первое из уравне-
ний (4. 124) скалярно на а второе на и интегрируя по
объему резонатора, получим
f rot ^7 = ч т; I = Ч Сч,
У	V У
j	rot g,dV = ~Ч £ f	Lr
V	V У	v
(4. 126)
Так как из граничных
поверхности резонатора
условий на идеально проводящей
J (<?v rot Ж, — Ж, rot	dV = J div [Ж Al dV =
У	У
= {l^A]nd5 = 0,	(4.127)
8
TO
Ч^+Ч^,=о.
Отсюда
(4. 128)
Таким образом, уравнения, определяющие собственные век-
торные функции при заданной их норме в соответствии с (4.124)
и (4.128), примут вид
rot Ж, =	А, ’
rot<?v = (О,	р-Ж,.
(4.129)
Вихревые (4.129) и градиентные (4.118) функции ортого-
нальны между собой:
|Wy = 0, j^^Td7 = 0,
У	У
что нетрудно показать, выражая и через вихри (4. 129)
и используя известные векторные тождества для преобразова-
ния объемного интеграла к поверхностному и граничные усло-
вия.
138
Полагая известными полные системы вихревых функций,
получим возможность искать вихревые части поля в виде рядов
Ег=£с/д, нг=2Л^,.	0. 130)
Полные напряженности поля будут суммой (4.130) и (4.121):
’ т	(4.131)
н=2ля+2Л<^г
7	7	.
Коэффициенты этих рядов надлежит подобрать так, чтобы
удовлетворить уравнения Максвелла (4.108)
rot J2 /ж+2 ДЖ1=i(0S IS А+S и т&| 4- J,
ь т J ь т J (4 132)
rot (2 v&+2 мт|=-И* (S /Ж+2- f •
( v ’	7	* ’J	I v	7 ‘ ‘J
Полагая временно, что источники поля имеют непрерывное
распределение и, следовательно, поле определяется только
объемным ротором (без добавления поверхностных роторов RotE
и RotH), выполним почленное дифференцирование рядов в ле-
вых частях уравнений (4.132).
При взятии операции ротора примем во внимание, что
и являются градиентными функциями, ротор которых равен
нулю, а ротор и определяется формулами (4.129). В ре-
зультате получим
zA]/bs<gv=toe|2t7A+S
S А Vд №. =	+ S *Ж} — f.
Для определения амплитудных коэффициентов используем
теперь ортогональность собственных векторных функций и обо-
значения для их нормы согласно (4. 120) и (4.125). Умножая
уравнение (4. 133) на соответствующую векторную функцию и
интегрируя по объему резонатора, найдем
в
VAA = teCJJv + Л» |
(4.134)
= — jr J
i<s>LJy = —fr J
(4.135)
139
Здесь
ja=l^adVr fa=jf^adV,
V	У
(4.136)
где индекс а обобщает значки вихревых и градиентных функ-
ций (а = у, v).
Уравнения (4.134) и (4.135), определяющие амплитуды поля
вынужденных колебаний, принято называть колебательными.
Рис. 37. Схема за-
мещения резона-
тора для а-го ко-
лебания.
Рис. 38. Схема замещения
резонатора для градиент-
ных колебаний электриче-
ского и магнитного типов.
Решение уравнений (4.134) и (4.135) дает следующие вы-
ражения для амплитудных коэффициентов искомых разложений
поля по собственным функциям с заданной нормой Са и La:
гт 	o>v	rj 
т ___ iwCyjy -j- <ov Vj- _________________ fy
(w2 — 0)2)	»	iu)Ly*
(4.137)
Отметим, что формулы для амплитудных коэффициентов ,
градиентных функций могут рассматриваться как частный слу-*
чай выражений для вихревых коэффициентов, если в последних
положить о\ = 0.
При выводе соотношений (4.137) небыли наложены никакие
требования на нормы собственных функций La и Са. Если по-
требовать, чтобы нормы собственных функций были связаны
условием
(4'138)'
то Ua можно истолковать как амплитуду напряжения на ем-
кости а 1а — как амплитуду тока в индуктивности La.
Схема замещения резонатора для вихревого колебания пред-
ставлена на рис. 37 колебательным контуром с емкостью Са и
индуктивностью La, и источниками напряжения и тока /а.
При La->oo контур вырождается в одиночную емкость, питае-
140
мую источником тока, а при Са~> со—в индуктивность, пи-
таемую источником напряжения (рис. 38). Вырожденные схемы
описывают градиентные поля. При нормировании собственных
функций согласно условиям
J^dK=l,	(4.139)
У	У
т. е. при Са = е и Ла = [л, решения для амплитудных множите-
лей можно записать в виде, часто встречающемся в литера-
туре,
тт _—kgfa
и а—	— №
а
г __—+ ^cJa
а №—№ ’
а
(4. 140)
где Л = со\/в|1,	—
При сосредоточенном возбуждении, когда в формулах (4.140)
собственные функции могут быть вынесены за знак интеграла,
имеем
/« = f &ttdV = §a | \dV = i^a,	(4.141)
У	У
/а = [ tffiadV = Ма f tdV = й»т^а,
У	У
(4. 142)
га— магнитный мо-
коэффициентов при
вид
(4. 143)
где р — электрический момент источника;
мент источника.
Расчетные формулы для амплитудных
сосредоточенном возбуждении будут иметь
р
к2 — Sa — iu>kam^a
и —_______________________-____________
°	к2 — к2 '
а
m
7 —____L____________
1 а № — №
а
Полученные выражения могут быть использованы для при-
ближенного расчета поля, возбуждаемого источниками, зани-
мающими конечный объем. Наибольшую точность формулы будут
иметь для низших типов колебаний, по мере роста собственных
частот колебаний точность формул будет падать, так как соб-
ственные функции ёа и 3%а будут все заметнее изменяться
в пределах объема возбудителя.
Колебательные уравнения (4.134) и (4.135) были получены
при объемном распределении источников. Поверхностное и ли-
141
нейное распределения являются частными случаями объемного.
Поэтому найденные выше колебательные уравнения и их реше-
ния сохраняют силу и для случая, когда источники заданы на
поверхности резонатора. При этом вместо объемных плотностей
токов j и f поверхностные источники характеризуются поверх-
ностными плотностями J и F, связанными с напряженностями
поля известными соотношениями
J = [Hn], F = [nE],	(4.144)
где п — орт внешней нормали.
§ 7. СВЯЗАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В РЕЗОНАТОРЕ
При решении задачи о вынужденных колебаниях в резона-
торе была использована полная система собственных функций
резонатора с идеально проводящими стенками. В таком резо-
наторе каждый тип колебаний не связан с другим. Однако ко-
лебательные уравнения (4.134) могут быть использованы и для
определения поля в резонаторе с потерями. В этом случае ко-
лебательные уравнения образуют связанную бесконечную си-
стему уравнений. Рассмотрим ее, основываясь на приближенных
граничных условиях Леонтовича
E = Zc[Hn]	(4.145)
на поверхности резонатора, где ZG — -\/ —-----поверхностное
г s т-
1 1(0
сопротивление стенок резонатора.
Поверхностная плотность магнитного тока, согласно (4.144)
и (4.145), будет равна
F = [пЕ] = Zc [п [Нп]] = Zc [Н-п (Нп)] = ZCHT. (4.146)
В колебательных уравнениях наряду с объемным интегралом
от стороннего магнитного тока f появится интеграл по поверх-
ности стенок, обусловленный плотностью F,
Д/в = j F^adS = Zc f HJfadS.	(4.147)
JS	8
Касательная составляющая магнитного поля Нт является
полным полем всех типов колебаний:
142
Таким образом, колебательные уравнения (4. 134) при связи
между нормами (4.138) образуют систему
иа -(- l^LaIa— —2 %ьНаа'1а' fa’
af
U$CaUa Ia— ja.
(4.148)
(4.149)
Здесь
HM'= \%aMa,dS.
s
Так как интегрирование в (4.149) ведется по поверхности
стенок, а не по объему, то интегралы от произведения различ-
ных собственных функций не обязательно равны нулю. Те струк-
туры поля, для которых	оказываются связанными
между собой. Наряду с системой (4. 148) может быть полезна
другая ее форма, которая получается при исключении ампли-
туды иа,
^аа^а~\~ 2 %аа'1а' —
а’фа
Здесь
— Z<flaa 4"	4"	>
%аа'	aa’i
(4.150)
(4.151)
Система уравнений (4.150) полностью аналогична системе
уравнений для контурных токов. Величина Zaa играет роль
собственного сопротивления а-го контура; Z^— взаимное со-
противление или сопротивление связи между а-м и а'-м конту-
рами; — полное стороннее напряжение, вводимое в а-й кон-
тур. Индексы а и а' принимают все возможные значения, так
что система уравнений, вообще говоря, бесконечна.
Построение решения таких систем может быть выполнено
приближенными методами.
Первым приближением в решении является диагональное
приближение, при котором пренебрегается связями между раз-
личными структурами поля. При этом
Л = > =----------.	(4.152)
Собственная частота колебаний а-го типа в резонаторе с по-
терями со' и их затухание определяются характеристическим
уравнением
z9a = (Я. w + iXe (ш)] Наа + i®La +	= 0.
143
Приближенное решение этого уравнения,
лость поверхностного сопротивления Zc и
использующее ма-
его нерезонансный
характер, дает
^а = ^а
f XUS
__^c_(wa) 77 _Хс (о)й)	8
2La а«» — ^	2р.	* tjgyV
F
\<№dS
_ Ш) тт	i
2 Az	аа 2{Л	’	’
Добротность колебания, связанная
нием
(4.153)
с затуханием соотноше-
О =^-
2S«
будет равна
r	$X%dV
q  шаАа * У
8
(4.154)
Наличие связи между колебаниями приводит к тому, что
при возбуждении некоторой структуры поля возбуждаются все
связанные с ней структуры. Структуру поля, которую жела-
тельно возбудить и использовать как рабочую, назовем основ-
ной. Остальные типы структур, возбуждаемые при этом, назо-
вем побочными.
В качестве второго приближения рассмотрим решение при
учете связи основной структуры со всеми побочными. Послед-
ние связаны также и между собой, но этой связью мы пре-
небрежем, считая, что побочные структуры колебания возбу-*
ждаются только за счет непосредственной связи с основным
колебанием. Система уравнений при этом будет иметь вид
ZacJa 4“ 2
а'фа
Za'a'I а’ 4" %a,'ala = 0	в! Л,
(4.155)
Здесь а фиксировано и отличает рабочую, или основную,
структуру, а индекс а' соответствует всем побочным струк-
турам.
Амплитуды побочных колебаний выражаются через ампли-
туду основного колебания формулой
Z	Z F7
1а'=	(4. 156)
а'а'	а'аг
144
Исключая la' из первого уравнения (4. 155), получим
=	(4.157)
Пусть частота возбуждения <о близка к собственной частоте
основной структуры колебания о)д»(оа, а собственные частоты
побочных структур gv далеки отша. При этих условиях Za^(o))
будет велико и, следовательно, амплитуда побочного колеба-
ния Iaf будет мала по сравнению с амплитудой основной струк-
туры /а, так как коэффициент в (4. 156)— малая величина пер-
вого порядка малости по Zo. Сумма в скобках (4.157), опреде-
ляющая так называемое вносимое сопротивление, будет малой
величиной второго порядка малости по Zc. Таким образом, при
диагональное приближение достаточно хорошо учиты-
вает влияние конечной проводимости стенок резонатора.
Если же собственная частота одного из побочных колебаний
близка к рабочей частоте (о = о)а«а)а<, то сопротивление Zav
мало и приближенно равно:
%а'а' %сНа'а'.
В этом случае соответствующее слагаемое в сумме вносимых
сопротивлений будет первого порядка малости по Zc, т. е.
таким же, как и при диагональном приближении. Амплитуда
побочного колебания при этом равна:
$Ma,XadS
1а>»----«------------------------1 .	(4.158)
ZtHa,a, а jjfydS а v !
8
Из этой формулы видно, что амплитуда побочного колеба-
ния будет такого же порядка, как амплитуда основного коле-
бания, независимо от малости поверхностного сопротивления.
Таким образом, при наличии в резонаторе двух слабо связан-
ных структур с одинаковыми собственными частотами невоз-
можно возбудить их раздельно. Поле возбужденных колебаний
будет линейной комбинацией структур колебаний а и а! неза-
висимо от малости связи.
Как показывают расчеты, подобное явление имеет место
в прямоугольном резонаторе, в котором структуры поля Hmnl
и Emni при отличных от нуля индексах имеют попарно одина-
ковые собственные частоты и взаимное сопротивление не рав-
ное нулю.
В круглом резонаторе структуры поля с одинаковыми соб-
ственными частотами (HQnl и Е1п1) за счет поверхностного со-
противления не связываются. Однако малая связь между ними
Ю Теория волноводов	145
может возникнуть при другого рода нерегулярностях в резона-
торе, например за счет малых отклонений формы резонатора от
правильного круглого цилиндра.
Связь колебаний за счет деформаций стенок резонатора
Анализ влияния деформаций стенок резонатора на колеба-
ния в нем проводится аналогично, .на основе колебательных
уравнений (4.134). Связь между колебаниями появляется за
счет поверхностных источников тока, которые, согласно (4. 144)
и (4.136), будут равны:
Д/в = j [Hn] SadS = J Н [n£J dS. (4.159)
S'	S'
Здесь интегрирование ведется по деформированной поверх-
ности, на которой касательная составляющая собственных век-
торных функций Sa не обязательно равна нулю.
Представляя магнитное поле в виде ряда по собственным
функциям ffia', для источника тока получим выражение
где
= [ [£,Ж] ndS = j div [SM dV =
S'	V'
= j (Ж'rot&a—SarotS^ar)dV.
r
Используя выражения для роторов собственных функций
при <l>aLeCa=l, получим
j ^a'dV — £- J SaSa'dV.	(4.161)
a V'	a V'
Так как Naa' — O для недеформированного объема резона-
тора V, то коэффициент связи (4.161), вычисляемый по дефор-
мированному объему резонатора, можно вычислить, интегрируя
по разностному объему AF = V — V',
= А { Sa<Sa,dV — f S^^dV.	(4.162)
146
Колебательные уравнения для деформированного резонатора
в результате подстановки (4.160) в (4.134) будут иметь вид
1а--i^CaUa— aa'I a'~V lai
ar
U а +	— —fa'
(4.163)
Исключив амплитуду электрического поля Ua, перейдем
к следующей форме системы уравнений:
^LaCa-Naa,Ia, = -Л + icoCX- (4-164)
а'фа
Системы уравнений (4. 163) и (4.164) в принципе формули-
руют задачу при любой деформации и не обязательно малой.
Однако вычисления с достаточной точностью при больших не-
регулярностях возможны лишь на счетных машинах.
При малых нерегулярностях | N аа, | << 1 для собственной ча-
стоты колебаний в деформированном резонаторе в диагональ-
ном приближении имеем характеристическое уравнение
1 + ^=0,
откуда получаем известное соотношение
1 л/	(	$S“dV
АЛ’а	\	^adV
X	V
J
-F------- • (4- 165)
V	/
Как и в случае потерь, диагональное приближение при ма-
лых нерегулярностях дает достаточную точность для колебаний
с изолированными собственными частотами (о>а достаточно далека
от остальных собственных частот).
Для связанных колебаний с близкими частотами
возбуждение основного колебания приводит к возникновению
побочной структуры с амплитудой такого же порядка, как и
у основной структуры.
В определенных условиях такое резонансное возбуждение
побочной структуры является нежелательным. В других усло-
виях оно может быть использовано для создания нужной частот-
ной характеристики резонатора аналогично тому, как это де-
лается в связанных квазистационарных контурах. В подобных
случаях в резонатор специально вводят элемент, регулирующий
связь между структурами.
10*
ГЛАВА б
ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВНЕШНИХ
ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ
Волноводный тракт представляет собой электродинамическую
цепь, включающую устройства СВЧ, которые служат для выпол-
нения определенных специфических функций. Эти устройства
соединяются в общий тракт с помощью отрезков регулярных
волноводов. Естественно стремление сформулировать внешние
электрические параметры подобных устройств и найти условия
их сопряжения между собой и регулярными волноводами. Опре-
деление внешних параметров устройств СВЧ является первой
частью теории электродинамических цепей. Вторую ее часть
составляют методы расчета схем по известным внешним пара-
метрам элементов. Предварительно остановимся на пояснении
некоторых терминов.
Под электрическими параметрами понимаются величины, с
помощью которых определяются оконечные переменные, возни-
кающие на внешних плоскостях отсчета под действием сторон-
них источников.
В квазистационарных цепях оконечными переменными
являются напряжения и токи на зажимах устройства, а электри-
ческими параметрами — сопротивления и проводимости, составлен-
ные из сосредоточенных элементов. В таких системах существуют
медленно меняющиеся электромагнитные явления, в которых
можно пренебречь запаздыванием потенциалов.
В волновых* (электродинамических) цепях подобное пренебре-
жение недопустимо. Напряжение и ток не могут быть определены
однозначно, и вместо них в качестве оконечных переменных
вводятся другие интегральные характеристики поля, такие, как
амплитудные коэффициенты электрического и магнитного полей
или амплитудные коэффициенты падающих и отраженных волн
в линиях, присоединенных к устройству.
Электрические параметры устройства СВЧ определяются
в виде электродинамических сопротивлений и проводимостей,
которые в отличие от квазистационарных параметров физически
реализуются не как сосредоточенные, а как распределенные
элементы. Они могут быть также представлены в виде коэффи-
циентов отражения и передачи.
148
Сущностью обобщения теории квазистационарных и волновых
цепей является определение их внешних параметров таким
образом, чтобы они имели одинаковый характер и являлись
следствием общего волнового метода.
Введение подобных внешних параметров является предпо-
сылкой использования теории схем для цепи любого вида,
поскольку теория схем не рассматривает конкретное содержание
элементов цепи, характеризуя их лишь внешними параметрами
устройств. При расчете электродинамических устройств, обладаю-
щих сложной граничной поверхностью, целесообразно разделить
их условными граничными поверхностями на отдельные части (ча-
стичные области) и получить выражение для поля заданных
источников в отдельных областях через касательные составляю-
щие электрического или магнитного вектора на геометрических
поверхностях границ. Сами составляющие касательного поля
на границах могут быть определены из условия непрерывности
электрического или магнитного полей при переходе через гра-
ницу между частичными областями.
Использование указанного принципа дает возможность полу-
чить интегральное уравнение для определения искомых каса-
тельных составляющих электрического или магнитного вектора
на условных границах.
Из теоремы о единственности решений уравнений Максвелла
следует, что для нахождения электромагнитного поля в областях
достаточно задать на границе частичных областей либо каса-
тельные составляющие вектора Ет, либо касательные составляю-
щие вектора Нт. Если на границе задается Ev то задача
называется первой, а еслиНт — второй задачей электродинамики.
Когда на одной части этой границы задается Ех, а на другой Ht,
задача называется смешанной.
Практически удобство метода частичных областей заклю-
чается в том, что условные границы, разбивая волноводный
тракт на регулярные и нерегулярные области, позволяют рас-
сматривать их в известной мере независимо и сформулировать
их внешние параметры. В конечном счете весь тракт можно
свести к волноводным многополюсникам, которые вставляются
между отрезками однородных волноводов. Это значительно упро-
щает исследование специальных устройств как по выполнению
ими своих специфических функций, так и по влиянию на рас-
пространение электромагнитной энергии в однородных участках
волноводного тракта.
§ 1. ПЕРВАЯ ЗАДАЧА ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Пусть некоторый сложный объем разбивается отверстием,
выбранным в . качестве условной границы, на два объема
(рис. 39).
149
Формально считая, что на отверстии связи S нам известно
касательное электрическое поле Ет, можно найти электромагнит-
ной поле в частичных областях I и II. Для того чтобы поле во
всем объеме представляло собой единое целое, необходимо со-
блюсти непрерывность для касательных составляющих магнит-
ного поля на границе, т. е. приравнять нулю поверхностную
плотность электрического тока:
[Н1 {Ет) п21] + [НИ {|И EJ п12] = о,	(5.1)
где Hr{jJT, Ех) и Hn{jJ*, Ет) — векторы магнитных полей на гра-
нице соответственно со стороны первой и второй областей, воз-
бужденные сторонними источниками jJT
и j11 и полем Е^; п21 — внешняя нормаль
для объема I; п12 — внешняя нормаль
для объема II.
Уравнение (5.1) является интеграль-
ным, им определяется искомая функ-
ция Ет. В этом уравнении Н {jCT, Ет} —
магнитное поле, для нахождения кото-
рого надо произвести над jCT и Ет опе-
рации, определяемые неоднородными урав-
нениями Максвелла при заданных гра-
нично-начальных условиях, т. е. знак
Н{...} можно рассматривать как линейный интегральный опе-
ратор.
Для линейной системы на основе принципа наложения пол-
ное магнитное поле в объеме можно представить в виде суммы
двух полей
H{jCI, Et) = H{0, Et} + H{jCT, 0},
где Н{0, Ех) — магнитное поле, возбужденное касательным элек-
трическим полем Ет, при условии, что сторонние источники из
объема удалены (jCT = 0); H{jCT, 0) — магнитное поле, возбужден-
ное сторонним источником jCT, при условии, что касательное
электрическое поле на границе равно нулю (Ет = 0).
Условие Ет = 0 на S означает, что магнитное поле для этого
случая надо вычислять, предполагая отверстие связи металли-
зированным.
В принятых обозначениях интегральное уравнение (5.1) при-
мет вид
[п21Нг{0, Ет}][п12Нп {0, Е,)1 =
= [Н1 {jje, 0} п21] + [НИ {jCI, 0} п12].	(5. 2)
Так как строгое решение уравнения (5.1) затруднительно,
то оно получено лишь для некоторых частных случаев. Между
тем для решений технических задач необходимы достаточно
150
простые приближенные методы расчета, правильно отображаю-
щие основные закономерности явлений. В работах [27], [31] пред-
ложены эффективные методы расчета применительно к внутрен-
ним задачам электродинамики.
Согласно методу, изложенному в [31], необходимо удовлетво-
рить интегральное уравнение (5. 2) с помощью подходящей функ-
ции, зависящей от произвольных параметров. Подходящая функ-
ция, аппроксимирующая касательное электрическое поле на
условной границе, должна учитывать по возможности основные
особенности аппроксимируемой функции. После подстановки
подходящей функции в интегральное уравнение можно потребо-
вать его выполнения в среднем с тем или иным весом и из этого
условия определить параметры подходящей функции.
В указанной работе развит принцип аппроксимирования пу-
тем усреднения к нулю скачков тока при переходе через границу.
Во втором методе [27] предлагается вариационный принцип
для краевых задач электродинамики.
Система уравнений, получаемая для варьируемых параметров
в подходящих функциях на основе принципа усреднения М. И. Кон-
торовича или Г. В. Кисунько, заменяет точное условие непрерыв-
ности поля другими, приближенными и, следовательно, играет
роль приближенных (усредненных) граничных условий.
Эти методы были применены различными авторами для реше-
ния значительного количества прикладных задач электродина-
мики и явились эффективным средством получения расчетных
результатов для достаточно сложных электродинамических
устройств.
Для решения интегрального уравнения (5.2) целесообразно
использовать приближенный метод, известный в математической
физике как метод Галеркина [41]. Этот метод обладает просто-
той, универсальностью и сходимостью решения для широкого
класса линейных операторов. Немаловажным преимуществом
усреднения граничных условий по Галеркину является выпол-
нение закона сохранения энергии, который, например, не вы-
полняется при усреднении скачков тока. Это свойство приводит
к общности результатов для элементов любого вида: электро-
динамических и квазистационарных.
Применим метод Галеркина к решению уравнения непрерыв-
ности (5.2). Согласно методу Галеркина, выбирается полная по-
следовательность координатных функций Э,, удовлетворяющая
краевым условиям на контуре X поверхности S. По условиям
задачи координатные функции считаются известными. Прибли-
женное решение ищется в виде
Е,= 2еЛ	(5.3)
i=i
151
где el — не зависящие от координат постоянные множители, под-
лежащие определению.
Эти множители определяются следующим образом: выраже-
ние (5.3) подставляют вместо Ет в уравнение (5.2) и выносят
параметры в/ за знак линейного интегрального оператора
[п21№{0,
/=1
[п12Нп (0, Et}]=f е/[п12НП{0, Э;}].
7_1	9
Обе части уравнения умножают на Э* [где т — одно из
чисел 1, 2, 3, ..., L, а звездочка (♦) указывает на комплексно-
сопряженное значение] и интегрируют по поверхности S.
Приравняв полученные результаты, приходим к алгебраиче-
ской системе линейных уравнений для амплитуд касательного
электрического поля на границе
n, = j3UnaH40, Э,)|<М,
8
^Мэ>»нл<0'
ст ^Ъст
=	0)n21]d5,
8
^, = j3;[H{jn 0}n12]d»S.
5
(5.’7)
При надлежащей нормировке координатных функций Эг
(такой, чтобы они имели размерность в единицах на метры)
амплитудные множители будут иметь размерность напряже-
ния, у т1 — размерность проводимости, а /гтст — размерность тока.
Полученная система по форме аналогична системе для ампли-
туд поля в щелевых антеннах [55]. Назовем величины et частич-
ными напряжениями, hinQT — частичными задающими точками,
a ymi — частичными проводимостями, причем при т = 1 прово-
димости называются собственными, а при т^1— взаимными.
При принятых направлениях нормалей вещественные части про-
водимостей получаются существенно неотрицательными.
152
В дальнейшем будет показано, что эти названия не являются
формальными: при определенных условиях введенные параметры
имеют прямую аналогию с параметрами обычных электрических
цепей.
Совокупность частичных задающих токов и совокупность
частичных проводимостей, принадлежащих рассматриваемому
объему (например, совокупность 7^ст и для объема 7), яв-
ляются внешними параметрами этого объема. Они определяются
физико-геометрическими данными объема, в которые включается
и его характеристика связи с внешним пространством. Харак-
теристика связи задается последовательностью координатных
функций которая в свою очередь определяется геометриче-
ской поверхностью отверстия связи и не зависит от того, какая
внешняя цепь подключается к объему. Следовательно, внешние
параметры сохраняются при присоединении этого объема к лю-
бой внешней цепи. Естественно, что при сшивании в системе
уравнений двух объемов поля необходимо обеспечить совпаде-
ние их поверхностей связи.
Точность решения электродинамической задачи определяется
количеством членов аппроксимирующего ряда (5.3). Наиболее
распространенной в задачах математической физики оценкой
точности решения методом Галеркина является вычисление
«внутренней» сходимости приближений, т. е. определение того,
насколько каждое последующее приближение близко к пред-
шествующему.
В качестве аппроксимирующих функций целесообразно вы-
бирать последовательность координатных функций, удовлетво-
ряющих краевым условиям на контуре отверстия. Такую си-
стему можно построить на основе решения мембранных уравне-
ний для геометрической поверхности отверстия 5:
удовлетворяющих на контуре X граничным условиям
—0 и фв = 0,
дп	те
где —производная по нормали к границе поверхности 5;
\h—характеристические постоянные задачи.
Касательное электрическое поле на отверстии может быть
представлено следующей последовательностью функций, при-
надлежащих к полной системе
Е = 2 eh^h 2 е^е = 2 е1^1 ?
(А)	(е)	(О
153
где
Координатные функции ортогональны и могут быть норми-
рованы так, чтобы
{эда5 = 5;т=
J 1 1 — щ^
(О I =£т,
причем они всегда могут быть выбраны вещественными.
В конкретных задачах может оказаться, что существуют £
условия возбуждения не для всего множества «пространствен- |
ных гармоник», даваемых решением мембранного уравнения, и j
поэтому для некоторых групп этих функций соответствующие j
им амплитудные коэффициенты et будут равны нулю. Часто t
это можно предсказать заранее, до решения задачи о возбу-
ждении поля, на основании сведений о поляризации, свойствах |
симметрии устройства и т. п.	!
В частности, если в неоднородной волноводной системе |
можно выделить координату разделения, то справедливы еле- |
дующие положения:	!
1) если падающая (питающая) волна относится к какому-
либо одному классу полей ТЕ или ТМ относительно данной
координаты, то этот класс сохраняется во всей волноводной \
системе, в том числе и на условных границах;
2) по направлению этой координаты не возникает новых
вариаций поля, не имеющихся в падающей волне.	*
Покажем некоторые свойства внешних параметров. При веще-
ственных координатных функциях проводимости удовлетворяют
принципу взаимности
=	(5.8)
Действительно, из (5. 6) можно записать
ymi= {ЭЛпЩО, Э;}И5, |/;т=|Э;[пН{0, 3m)]dS.
8	8	|
I
Из леммы Лоренца для устройств с изотропными средами <
S
. - 1
j IEjH^ nds = ] [E2HJ ndS	f
8	8	|
следует, что	i
9/ , =
154
Покажем также, что при вещественных координатных функ-
циях сумма мощностей, переносимая через границу действую-
щими в устройстве источниками, равна:
L
2 ел«т-	(5-9)
т=1
Действительно, подставляя (5.7) в (5.9), придем к равенству
L	L
0}n2t] dS+
т—1	8 т=1
L
+4 f 2 [НП* <*0) П121 ds=
8 т=1
= ± J [ЕД1* {jCT) 0)] n21dS +1 J[ЕТНП* {jn, 0}] n12 dS,
8	8
представляющему собой сумму потоков вектора Пойнтинга, про-
ходящих через границу и обусловливаемых сторонними источ-
никами.
Из приведенных выражений нетрудно увидеть, что равенство
«Зю»
т=1 1=1	т=1
при вещественных координатных функциях эквивалентно усло-
вию непрерывности потока вектора Пойнтинга при переходе
через границу.
Таким образом, выражение (5.10) представляет математиче-
скую формулировку закона сохранения энергии применительно
к введенным нами параметрам, характеризующим стык двух
объемов электромагнитного поля.
Для дальнейшего изложения удобно полученные результаты
записать в матричной форме.
Система уравнений (5. 5) в матричной записи имеет вид
^e = hCI1	(5.11)
где у,—квадратная матрица; е и hCT—матрицы-столбцы:
. hCT=h^ + hn,
155
тппп---пп“|
пппп---^п
_пппп • • • nnJ
(5-12)
При вещественных координатных функциях матрица прово-
димостей для устройств
Рис. 40. Схема граничных
поверхностей на стыках
волноводов с резонатором.
с изотропными средами является сим-
метрической:
(5.13)
где ^ — транспонированная матри-
Ца у.
Мощность сторонних источников,
переносимая через границу, равна
=	(5.14)
где h*T t — матрица-строка комплексно-
сопряженная с
^СТ, t lAlCT^CT • • •^ст]‘
(5.15)
♦
(5.16)
Закон сохранения энергии записывается в виде
ИЛИ, поскольку y~yt,
Таким образом, произвольный объем электромагнитного поля
можно характеризовать матрицей проводимостей (например, для
объема I матрицей у1) и матрицей задающего тока (например,
для того же объема hJT), которые остаются неизменными при
присоединении данного объема с заданной граничной поверх-
ностью к любой внешней цепи. По сравнению с квазистацио-
нарными цепями указанные матрицы аналогичны по смыслу
входной проводимости и генератору тока соответственно.
Изложенную теорию нетрудно обобщить применительно
к электродинамическому устройству^ имеющему Q отверстий
в своей металлической оболочке, к каждому из которых при-
соединяется передающая линия (рис. 40).
156
Зададим на каждом отверстии S2, . . ., Sp, . . ., Sq каса-
тельные электрические поля в виде рядов
I't
€l?lx Ha
G=i
LP
Етр —	p*
(5.17)
Иногда удобно дать общую нумерацию координатных функ-
ций от 1 до L на всех отверстиях. Тогда можно записать
(5-18)
Z—1
подразумевая, что координатные функции разделяются . нд
группы, имеющие разные области существования.
Алгебраическая система уравнении для определения ампли-
тудных коэффициентов поля сохраняет прежний вид
^e = heil	(5.19)
причем е и hCT можно записать как клеточные матрицы-столбцы
(5.19а)
(5.196)
причем h = hB-|-hp.
Клетки ер и’Ьрс1 матриц (5.19а) и (5.196) объединяют ча-
стичные напряжения и задающие точки,, принадлежащие дан-
ному (р-му) отверстию связи; ойй могут быть развернуты
157
в соответствии с выражениями (5.12) для каждого из отвер-
стий;	—образует квадратную клеточную матрицу:
	ГУп	у»‘	• • У и 	  У W	
			• • Ун •	 ’ Угч	
у=			Уп-	•У*	(5. 20)
	-У^	У?2 '	-К-	• • Ум-	
причем у = у* + у\
Индекс «р» указывает, что соответствующая матрица яв-
ляется внешним параметром объема электродинамического устрой-
ства (полого резонатора), а «в»—что матрица является внеш-
ним параметром присоединенной к нему линии (волновода).
Клетки матрицы проводимостей^^, характеризующие взаимо-
действие полей, принадлежащих различным границам (Рт^#),
будем называть взаимными между соответствующими границами,
клетки матрицы при p = q— собственными для этой границы.
Укажем, что собственные клетки состоят из частичных про-
водимостей (собственных и взаимных), характеризующих взаимо-
действие единичных полей, принадлежащих рассматриваемой
границе.
Собственные клетки матрицы проводимостей устройства, есте-
ственно, являются квадратными, тогда как взаимные клетки
могут быть и не квадратными:
’
У4plq У 2p2q ’ ‘ *
У-iplq ’ ’ * У1р^
У2plq ’ ’ ’ У2pLq
Урч
У Wplq У трЦ * ' У mpiq "У mpLq
где индексы тр и lq являются порядковыми номерами т и I
частичных полей на соответствующих отверстиях р и q.
Частичные проводимости, образующие клетку, состоят из
суммы проводимостей для двух смежных объемов
y.pi=y^q+yip^
158
причем
f^[npBHB(O, Э/4)]dSp,
8р
]э'_,[п.р№(0, Э,,)] dS„.
ч	8р
Соответственно для задающих токов
hmpw = Ь*Пр<я ~Ь
причем
^е1= }э*тд№{^, OJnpJd^,
Sp
&тр„ = }Э-ГОД№(Й„ 0)пвр]dSp.
8р
(5.21)
(5. 22)
В случае нескольких отверстий при вещественных коорди-
натных функциях матрица проводимостей является симметриче-
ской. Сохраняются также все энергети-
ческие соотношения (5.14)—(5.16).
При рассмотрении любого устройства
как элемента сложного фидерного тракта
наиболее целесообразно выбирать его гра-
ничные поверхности с передающими ли-
ниями (внешние граничные поверхности) в
плоскости поперечного сечения передающих
линий.
Граничные поверхности можно удалить
от фактических стыков с устройством на-
столько, что местные поля, возникающие
на стыках, не будут оказывать практиче-
ского влияния на характер распределения
поля на этих поверхностях. Например,
для устройства, схема которого изображе-
на на рис. 41, внешние граничные поверх-
Рис. 41. Внешние гра-
ничные поверхности,
проведенные вне зо-
ны местных волн.
ности проведены именно таким образом.
Очевидно, что аппроксимирующие поля (5.18) на внешних
границах в этом случае записываются в виде суммы по соб-
ственным функциям полей, которые могут распространяться
в линиях
Q
fi=l
где eq — амплитуды полей в передающих линиях, присоединен-
ных к устройству.
159
Энергетическое условие (5.16) тогда запишется так:
^=|е;у*е.	(5.23)
Из общей теории электрических цепей [20] известно анало-
гичное соотношение для квазистационарных цепей:
=	(5-24)
где UK0 — матрица напряжений; YKC — матрица квазистационар-
ных проводимостей.
Следовательно, на основе закона сохранения энергии можно
утверждать, что
= <5-25)
При одинаковой аппроксимации полей на зажимах много-
полюсника и одинаковой нормировке их будут одинаковыми и
оконечные переменные
е = ико.	(5.26)
Тогда из (5.25) следует
У = УЖ0.	(5.27)
Из формул (5.14) и ее аналога в квазистационарных цепях
^=4^ А.
следует очевидное равенство и для задающих токов
h0I = IM.	(5.28)
Таким образом, при выполнении условий квазистационар-
ности (5.26) параметры, которые получены на основе усредне-
ния граничных условий по методу Галеркина, будут совпадать
с полученными из квазистационарной теории.
Иными словами, приведенная интегральная формулировка
внешних параметров охватывает устройства любого вида: как
квазистационарные, так и электродинамические.
Систему уравнений (5.19) можно толковать как составлен-
ную для некоторой схемы по методу узловых напряжений.
Следовательно, для этой системы может быть составлена опре-
деленная схема замещения.
§ 2. ВТОРАЯ И СМЕШАННАЯ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Выше были определены электродинамические параметры
устройств, связь между которыми осуществлялась с помощью
отверстий.
160
В волноводной технике встречается и другая задача, свя-
занная с вопросом распространения электромагнитной энергии
при наличии в волноводах и резонаторах металлических неод-
нородностей, вызывающих нарушение регулярности устройства.
К такому виду неоднородностей относятся штырьки, витки и
другие проводники в волноводе или резонаторе. На рис. 42
изображена неоднородность в виде металлического штыря в пря-
моугольном волноводе.
Задача о влиянии металлических неоднородностей на рас-
пространение электромагнитных волн в волноводе относится
ко второй задаче электродинамики. Ее мож-
но было бы решить аналогично первой.
Считая формально известным касательное
магнитное поле на границе S раздела двух
сред, можно вычислить полное электромаг-4
нитное поле в объемах как функцию сто-
ронних источников и поля Нх.
Для того чтобы поле во всем объеме
представляло собой единое целое, необхо-
димо потребовать непрерывность для каса-
тельных составляющих электрического по-
Рис. 42. Схема шты-
ря в волноводе.
ля на границе, т. е.
[»,Ж Ht}] + [n21En{jH, Ht}]=0.	(5.29)
Уравнение (5.29) есть то интегральное уравнение, которым
будет определяться искомая функция Нх. Если проводник иде-
альный (о=оо), то в уравнении (5.29) остается только один
член, соответствующий полю со стороны диэлектрика. Для
линейного устройства уравнение (5.29) при идеальном провод-
нике можно записать в виде
[n21Ei{jc\, 0}] + [n21Ei {0, Нт}] = 0.	(5.30)
Как видно из (5.30), величина Е1 {jCT, 0} определяется при
граничном условии, что касательное магнитное поле Ht на
поверхности раздела равно нулю, т. е. поверхность S как бы
затянута идеальным магнетиком с магнитной проницаемостью,
равной оо.
Такая замена идеального металлического элемента идеаль-
ным магнетиком по существу не упрощает задачу о нахожде-
нии электромагнитного поля, возбуждаемого в объеме сторон-
ним источником jCT.
Поэтому при решении второй задачи электродинамики ис-
пользуют метод наведенных э.д.с., а именно считают формально
заданной плотность тока j в проводнике. Далее поступают
обычным образом. Вычисляют электромагнитное поле в устрой-
стве так, как если бы j был сторонним током. По принципу
И Теория волноводов
161
наложения записываю!* полное электрическое поле в виде су&гмы
двух полей:
E{jei, j} = E(jeT, 0)4-E{0,j},	(5.31)
где Е {j0T, 0} и Е {0, j) вычисляются в предположении, что соот-
ветствующие проводники с током из устройства удалены.
Например, для неоднородности (рис. 42) вычисление
Е {j0T, 0} Должно производиться в предположении однородного
волновода без штыря; для бесконечного волновода вычисляемая
величина — просто электрическое поле падающей волны в вол-
новоде.
Условие непрерывности теперь также изменится по сравне-
нию с (5.30) и будет состоять в том, чтобы полное электриче-
ское поле в объеме У идеального проводника было равно нулю:
E{jCI, 0) + Е{0, j} = 0.	(5.32)
Уравнение (5.32) — интегральное уравнение, которым будет
определяться искомая функция плотности тока j в проводнике.
Используя для решения уравнения (5.32) метод Галеркина,
аппроксимируем функцию плотности тока в виде ряда
р
)=^h^p,	(5.33)
где Мр—координатные функции распределения объемной плот-
ности тока в проводнике (по методу решения задачи они счи-
таются известными); hp—неопределенные амплитудные множи-
тели при них.
Подставим ряд (5. 33) в уравнение (5.32) и вынесем множи-
тели за знак линейного интегрального оператора Е{...} (факти-
чески для этого необходимо решить задачу о возбуждении элек-
тромагнитного поля сторонним током j). Далее умножим пору-
ченное выражение на М* (где q есть одно из чисел 1, 2, 3, ..., Р)
и проинтегрируем по объему проводника Vq. Окончательно полу-
чим следующую систему для определения амплитудных мно-
жителей:
р
2^Д?р=едст,	(5.34)
где введены обозначения
.	(5.35)
egcT= jM*gE{jCI) 0}dVr	(5.36)
162
Преобразуем выражения для Zqp и е?ст, учитывая, что воз-
буждающие токи распределены в идеальном проводнике. Ис-
пользуем представленные функции объемной плотности тока
через поверхностную плотность и 8-функцию Дирака
Мг = М;8ф,
где MJ — функция поверхностной плотности тока; 8(|)— функ-
ция Дирака; $ — координата, характеризующая расстояние
текущей точки внутри объема, занимаемого током, до поверх-
ности, ограничивающей этот объем.
Используя известное свойство 8-функции Дирака, можно
записать
Х.,р = -f М«*Е {0, М>} dSq,	(5.37)
от = jМ**Е{jCT, 0}dS„	(5.38)
где интегрирование проводится по поверхности ограничи-
вающей объем с током М*1
При надлежащей нормировке координатных функций распре-
деления плотности тока (такой, чтобы они имели размерность
амплитудные множители hp будут иметь размерность тока;
%qp— размерность сопротивлений и е?ст — размерность напря-
жений. В этом случае при q = p параметр Жрр имеет смысл
собственного частичного сопротивления или сопротивления излу-
чения р-й пространственной составляющей тока на проводнике.
При q=j^p параметр $qp является наведенным или взаимным
частичным сопротивлением. Величина едст имеет смысл задаю-
щего напряжения.
Полученный результат нетрудно распространить на совокуп-
ность нескольких проводников. Для этого будем полагать, что
значки р в ряду (5.33) представляют общую нумерацию коорди-
натных функций Мр на всех проводниках. Подразумевается, что
эти функции разделяются на группы, имеющие разные области
существования в соответствии с расположением проводников.
В таком случае в выражениях (5.35) и (5.36) интегрирование
должно производиться по объему того проводника, в котором
находится источник Мг
Покажем, что при вещественных координатных функциях
для устройств с изотропными средами сопротивления удовлетво-
ряют принципу взаимности
=	(5.39)
Действительно, поверхностную плотность тока на провод-
нике можно выразить так:
Jp = [Hpii] и М‘=[Н;п],	(5.40)
и*
163
где п — внешняя нормаль к поверхности проводника; Нр =
= hpH8p— магнитное поле на внутренней стороне этой поверх-
ности.
Тогда
Рис. 43. Схема связи коаксиаль-
ного и прямоугольного волново-
дов.
Xtt=- J [Е{0, М^}Нд]пй5г,
sp
Учитывая, что поле существует только на поверхности
а поле только на поверхности Sр и они равны нулю
на других поверхностях, можно формально распространить ин-
тегрирование в обоих интегралах по поверхности S = Sq -|-
и затем применить лемму Лорен-
ца. Отсюда непосредственно вы-
текает условие (5. 40).
После решения системы (5. 34)
относительно амплитудных коэф-
фициентов hp переход к оконеч-
ным переменным на внешних за-
жимах устройства производится
с помощью волноводных уравне-
ний.
Систему уравнений (5.34) мож-
но толковать как систему, со-
схемы по методу контурных токов,
быть составлена опре-
объемов
Рис. 44. Схема двух связанных
(к смешанной задаче).
только
е. как
ставленную для некоторой
Следовательно, для этой системы может
деленная схема замеще-
ния.
В ряде случаев устрой-
ство может содержать как
отверстия в своей метал-
лической оболочке, так и
проводники внутри нее.
Подобным примером яв-
ляется связь между коак-
сиальным I и прямоуголь-
ным II волноводами (рис.
43).
Решение можно было бы проводить, аппроксимируя
касательное электрическое поле на отверстии связи, т.
первую задачу электродинамики. Но тогда при вычислении элек-
тромагнитного поля в прямоугольном волноводе необходимо было
бы решить задачу о возбуждении неоднородного волновода со
штырем. Рассмотрение вопроса о возбуждении одного волновода
164
другим будет значительно облегчено, если отверстие связи пред-
ставить как дифракционную антенну, а выступающий конец
внутреннего проводника (объем V) — как металлическую антенну
в волноводе. Подобные задачи относятся к смешанной задаче
электродинамики.
Общий случай включает несколько отверстий и несколько
проводников внутри объемов (рис. 44). Для решения задачи
будем пока считать, что нам известно касательное электриче-
ское поле Ет на отверстиях и плотность тока j в проводниках.
По заданным сторонним токам в объемах (jjr и jJJ) и функциям
Е и j можно найти электромагнитное поле в частичных областях
I и II (Е1, Н1 и Е1Г, Нп).
Теперь полное электрическое и магнитное поля в частичных
областях для линейного устройства можно представить в виде
суммы трех слагаемых
j, ET} = H(iCI1 О, 0} -f-H {О, j, 0) + Н{0, О, Ет),	(5.41)
Е {U j, Ет) = Е {jeT, 0, 0} + Е (0, j, 0} + Е {0, 0, EJ.	(5.42)
Составляющие полей имеют следующий смысл: Н {jCT, 0, 0)
и Е {jCT, 0, 0) представляют собой соответственно магнитное и
электрическое поля, возбужденные в данном объеме (/ или II)
сторонним источником (j*T или jJJ) при условии, что отверстия
связи металлизированы (Ет = 0), а проводники удалены из
объемов (j = 0); Н (0, j, 0) и Е (0, j, 0) есть магнитное и элек-
трическое поля, возбужденные током j при условии, что отвер-
стия связи металлизированы (Ех = 0), а сторонние токи в устрой-
стве отсутствуют (j^ = jJJ = 0); наконец, Н {0, 0, Ех) и
Е {0, 0, Ет} — это магнитное и электрическое поля, возбужден-
ные в объеме касательным электрическим полем Ет при условии,
что сторонние токи и проводники удалены из объемов.
Для определения неизвестных функций j и Ет составим урав-
нения непрерывности электромагнитного поля, соответствующие
первой и второй задачам электродинамики. Они имеют вид:
на отверстиях связи S2, ..>
[п21№{0, 0, Ет}] + [п12Нп (0, 0, Ет)] + [п21№ {0, j, 0}] +
4- [п12Нп (0, F, 0)1=[W {&, О, 0} п21] +	'
+ [НП{]11, 0, 0}п12],	(5.43)
в объемах проводников V19 У2> • • •
—ЕЬ 11 (0, 0, EJ — ЕЬ п{0, и 0) = Ei> ngi, п 0, 0). (5.44)
В соответствии с рис. 44 индексы I II относятся к час-
тичным областям, связанным между собой отверстиями. Для
электрического поля Е в уравнении (5.44) индексы I is II
165
означают, что соответствующие величины нужно брать в зави-
симости от того, в какой области (Z или II) находится рас-
сматриваемый проводник (ибо электрическое поле, возбужденное
токовыми источниками, вычисляется при условии металлизации
отверстий связи).
Для решения системы интегральных уравнений (5. 43) и (5.44),
как и раньше, применим метод Галеркина. Для этого аппрок-
симируем касательные электрические поля на отверстиях связи
Ет и плотности тока в проводниках j в виде уже известных
нам рядов
L
на отверстиях 51? S2, ...,	(5.45)
i=i
р
i = 2 hpMp в проводниках Vx, V2, • • •	(5. 46)
р—1
Здесь дана общая нумерация координатных функций Э; от
1 до L на всех отверстиях и функций от 1 до Р на всех
проводниках при условии, что координатные функции каждого
вида разделяются на группы, имеющие разные области суще-
ствования.
Подставим ряды (5.45) и (5.46) в уравнения (5.43) и (5.44)
и умножим уравнение (5.43) на Э^, а уравнение (5.44) на М*.
Проинтегрируем первое произведение по области существова-
ния Эт, а второе — по объему того проводника, в котором на-
ходится источник Мг
В результате получим следующую систему уравнений для
определения амплитудных множителей et и hp\
L	Р
^4 &l^/ml 4“	тр ст,
(5.47)
В этой системе проводимость и задающий ток hm GT
определяются выражениями вида (5.21) и (5. 22), соответствую-
щими первой задаче электродинамики, а сопротивление %q„ и
задающее напряжение — выражениями вида (5.37) и (5.б8),
соответствующими второй задаче электродинамики.
Величины и o/fqi являются безразмерными коэффициен-
тами. Запишем пока коэффициент в виде, который выте-
кает непосредственно из уравнения (5. 43), а именно
тр— О^тр + ^тр
166
(5.48)
где
оПр = J Э: [n21Hi {0, Mi, 0}] dSm, (5.48)
= f э: К2НП {O, Mil, 0}] dSm. (5. 49)
Интегралы в (5. 48) и (5. 49) вычисляются по области суще-
ствования функции Эт. Магнитное поле Н {О, М^, 0} находится
при условии, что отверстия связи металлизированы, а все ис-
точники поля, за исключением М^, удалены из объемов.
Последнее означает, что одновременно может существовать
только один из коэффициентов: либо либо о№™р, в зави-
симости от того, в какой области определена данная функция Ма.
Следовательно, коэффициент нужно записать в виде
( off1 ,
(5-50)
Коэффициент o/fqi равен:	Р
=<#!/!=- Jm;ei.ii{0, О, 3z)dP?,	(5.51)
причем интеграл вычисляется по объему того проводника, в ко-
тором определена функция Мд.
При идеальных проводниках коэффициент o/fql можно пре-
образовать к поверхностному интегралу подобно тому, как это
было сделано для сопротивления j£qpn и записать
MfE{0, 0, Э,) dSt.	(5. 52)
Далее, применяя лемму Лоренца, нетрудно убедиться, что
при вещественных координатных функциях коэффициенты offmp
и offql для устройств с изотропными средами кососимметри-
ческие
offтр — — рт (р¥=^),
рр——1^
В схеме замещения, которая может быть составлена на осно-
вании системы уравнений (5.47), эти коэффициенты имеют смысл
коэффициентов трансформации.
В следующей главе на основе волноводных и резонаторных
уравнений будут определены внешние параметры (проводимости,
сопротивления, задающие токи и напряжения) для цилиндри-
ческих волноводов и резонаторов.
После решения системы уравнений (5.47) и определения Ет
и j переход к оконечным переменным осуществляется с помощью
тех же волноводных уравнений.
(5. 53)
ГЛАВА 6
ВНЕШНИЕ ПАРАМЕТРЫ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВОЛНОВОДОВ И РЕЗОНАТОРОВ
§ 1. ВНЕШНИЕ ПАРАМЕТРЫ СОГЛАСОВАННОГО ВОЛНОВОДА
С ОТВЕРСТИЯМИ В БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Основные определения
В диапазоне частот волновод, как правило, не согласован
идеально с обоих концов. Если оконечные устройства рассмат-
риваемого неоднородного отрезка волновода находятся вне зоны
Рис. 45. Волновод с отверстиями
в боковой поверхности.
возбуждаемых в нем местных
волн, то задачу по определе-
нию внешних параметров мож-
но решить в предположении,
что рассматриваемый волновод
согласован, а влияние оконеч-
ных устройств, проявляемое
посредством распространяю-
щихся волн, учитывается мето-
дами теории схем СВЧ, в ко-
торых участвуют внешние па^
раметры согласованных уст-
ройств. Внешние параметры
согласованного («бесконечного»)
волновода являются основны-
ми параметрами для построе-
ния схем СВЧ.
Рассмотрим вначале эти па-
а — схематическое изображение; б —про- раметры ДЛЯ ВОЛНОВОДа С ОТВвр-
дольное сечение волновода.	стиями в его боковой поверх-
ности. Поскольку конечной за-
дачей является определение оконечных переменных в волноводе,
т. е. амплитуд распространяющихся волн вне зоны возбуждения,
то наряду с формулами для проводимостей и задающих токов
будут получены формулы и для оконечных переменных волно-
водов.
168
Проводимости цилиндрического волновода с отверстиями
в боковой поверхности могут быть найдены на основе решения
волноводных уравнений при условии, что сторонние токи из вол-
новода удалены. Задающие токи, наоборот, находятся при усло-
вии, что все отверстия металлизированы.
Зададим на совокупности отверстий с поверхностями S1,
S2, ..., дополняющими боковую поверхность волновода до пра-
вильной формы, касательное электрическое поле Ет в виде ряда
Ет=2еЛ.	(6-1)
С?)
где р = 1, 2, 3, ..q, ... и соответствует обобщенному индексу
номера поля на отверстиях, т. е. поля Эр и 3q могут принад-
лежать одному и тому же (Sp=Sq) или разным (Sp=£Sq) от-
верстиям (рис. 45).
Векторные функции являются функциями координат боко-
вой поверхности волновода; для волновода с идеально прово-
дящей поверхностью они отличаются от нуля на отверстиях и
равны нулю на металле. Будем их выбирать вещественными.
Фундаментальное решение волноводных уравнений для ам-
плитуд единичных полей, возбуждаемых в волноводе касатель-
ным электрическим полем Ет на его боковой поверхности, удобно
записать в следующем виде, вытекающем из выражения (4. 23)
при jCT = 0:
для поперечного поля
Ua {Et} =	j F; (Z') er^-^dz' +1 j Ft (г') ^-^dz', (6. 2)
zv	z
Ia (EJ — j F~ (z')	j F+a (z') ^K^-^dz',	(6. 3)
zx	z
для продольного поля
г'..<ЕУ = 22Н-<1Ч-(6.4)
(6.5)
Здесь индекс а обобщает оба класса полей ТЕ (a = h) и
ТМ (а = е), Ya — характеристическая проводимость волновода для
данной волны,
у ___________________ Kh у ___
>>— tup.’	К„ >	(g g)
Ка=\/^1?
169
— постоянная распространения этой волны в волноводе,
Fl = fa±^Kh	(6.7)
“•л
— магнитные коэффициенты возбуждения, причем
/я=^[пЕт]Х^,
St
fzh = [ttE J	,
3?
(6.8)
где п — внешняя нормаль к поверхности отверстия (интегриро-
вание проводится по контуру поперечного сечения волновода);
8аЛ = 0 при a^h и §аА=1 при а = Л. Вектор [nEJ имеет смысл
поверхностного магнитного тока.
Удобно ввести обобщенную магнитную собственную функцию
волновода, включающую в себя поперечную и продольную
функции:
Ж = Ж +	(6.9)
где верхний знак соответствует собственной волне, движущейся
в положительном направлении оси z, а нижний — обратной волне.
Тогда
Г* = ^[пЕт]Ж<И.	(6.10)
Запишем соотношение, вытекающее из (6. 5) для регулярных
отрезков волновода, где /,А = 0,
<6-н>
В последующем будем также обращаться к амплитудам по-
лей в волноводе, которые возбуждаются выделенной из ряда (6.1)
Эуй составляющей аппроксимирующего поля при ер=1. При
этом коэффициент возбуждения
F^f[n9p]^dl	(6.12)
st
и соответственно амплитуды полей в волноводе обозначены
F IQzhp. По формулам (6. 2)—(6.4) определяются ампли-
туды полей в волноводе внутри зоны возбуждения, что необхо-
димо для вычисления проводимостей.
Вне зоны возбуждения амплитуды выражаются через инте-
гралы, пределы которых не зависят от координаты z:
170
а)	в области z z2 всегда z zf, поэтому
U* (Э,} = =^' f F% (z')e^dz',
Z£{3,) = Wp{3p),
^{Эр} = -^7^{Эр};
б)	в области z zr всегда z z', поэтому
и% <Эр> = т I F°«₽ e-Wdz',
^(3f) = -Wp{3p),
Магнитное поле единичной волны в волноводе, возбуждае-
мое составляющей аппроксимирующего поляна отверстии, равно
Щр (Эр) = /»врЖ + W«Apfc	(6.15)
причем при вычислении Pzhp внутри зоны возбуждения следует
пользоваться формулой (6. 5).
Полное магнитное поле в волноводе определяется суммой
всех единичных полей:
но{Эр}=2(/орж+адАрЖА). (6.16)
(а)
Таким образом, выражение для частичной проводимости (5. 21)
принимает следующий вид:
Lsq
^р=-2Г (^{эр}[пэ,]ж^ +
(а) L4
+ %ah j 7®Др {»М [пЭ?] XtttdSt ,
8q	J
(6.17)
причем интегрирование проводится по области существования
поля Эд.
Задающие токи вычисляются при металлизации отверстий и
согласованных нагрузках (для фундаментального решения).
Полное магнитное поле в волноводе в этом случае опреде-
ляется суммой падающих в волноводе волн от сторонних ис-
точников:
w
н {jCT) = s [ZJ {L)	+ KhIt„ {к)	(6.18)
U’=l
171
где индекс w ставится (когда это необходимо) для выделения из
всех полей, существующих в волноводе, распространяющихся
волн, причем W — общее число таких волн; 7+ {jCT) и 7+w {jCT}—
не зависящие от текущих координат амплитуды поперечного и
продольного полей w-ii распространяющейся волны в волноводе,
вычисляемые при металлизации отверстий.
Учитывая, что для падающей волны
I , —__т+
£h Kh h
и подставляя Н {jCT) в выражение (5. 22) для задающих токов,
имеем
h9 ет = 2 At {jcj ([пЭ,] №wer^dSg.	(6.19)
и'-1	4
Для дальнейшего изложения удобно ввести следующую си-
стему вспомогательных коэффициентов:
J /“«(z) e±K«*dz = щоа9 ± m*aq,
zx
zi
mtkq = Ki J (z) e±Ka*dz = m°hi ± т*к1.
^1
(6. 20)
Выражение для задающих токов приобретает вид
TF
hi ст = 2 1+ Ост) [m-q + (>ahm-w ].	(6.21)
ад—1
В реальной системе рассматриваемый волновод через отвер-*
стия сопрягается с каким-то внещним пространством, которым
может быть, например, другой волновод, объемный резонатор
или свободное пространство. После сшивания областей и реше-
ния системы уравнений для амплитуд поля на отверстиях можно
найти амплитуды распространяющихся волн в волноводе вне
зоны возбуждения. Выражения для амплитуд этих волн можно
записать следующим образом:
а)	при z z2
*2
Ut {EJ = — 4-егК”’1’	еР f (.z') e^'dz' =
"	\Р> J
=е~Гкг 2 еР lmtP+],
(р)
(6. 22)
^{Ег) = ^+{ЕТ};
172
б)	при z^zt
=	f F^(z')^dz' =
(p)
=4 еЕкг § eP imzP—w'^j-
I^} = ~YaU-{Ex}.
(6. 23)
Из выражений (6. 22) и (6. 23) видно, что выбором формы и
расположения отверстий, а такксе режимом питания можно
обеспечить направленное возбуждение, при котором либо
{EJ, либо U-{Ex} = 0.
По формулам (6. 22) и (6. 23) определяют только поля, кото-
рые возбуждаются отверстиями связи. Полное поле в волноводе
равно сумме полей, возбуждаемых отверстиями, и полей от сто-
ронних источников, вычисляемых в предположении металлиза-
ции отверстий.
В общем случае касательное электрическое поле на отвер-
стиях в боковой поверхности волновода имеет продольную и
поперечную составляющие и может быть представлено в виде
суммы двух взаимно перпендикулярных векторов
Et = ^(z, Z)z» + ^z(Z, Z)P,
где z° — продольный орт; 1° — орт по направлению к контуру
поперечного сечения.
В дальнейшем будут рассматриваться поля каждого из орто-
гональных векторов и взаимодействие этих полей.
Отверстия с продольным касательным полем
Пусть касательное электрическое поле в отверстиях 5\, 52, .. .
.. ., S# на боковой поверхности волновода направлено вдоль
его продольной координаты
Et = 2e^(z, Z)2«.
(р)
Магнитный ток, соответствующий продольному касательному
полю, равен
[nEJ = -ETP,
тогда магнитный коэффициент возбуждения будет поперечным
(ЛЛ = 0):
го+ =	= f0
ар ар J ар'
173
Так как [пЭр]<№^ = 0, то проводимости, задающие токи и
оконечные переменные, будут определяться только поперечными
собственными функциями волновода
^ = -2 (ftp Р,} [пЭ8]^5?,	(6.24)
w 4
hq ст = 2	{Jot} т-д,	(6.25)
(6.26)
(6-27)
(р)
Выражение для проводимости (6.24), учитывая (6.3), полу-
чим в виде
ziq	z
(a)	L	gxp
z2q	zip
+ f ft,	f ftp № er^’dz'
ziq L	*
dz=45ya?n“№+
(a)
z2q	zip
+ 2 Ya f f>ag (z) f /0 p (z') sh Ktt (z - z') dz'
(a) 4 L
dz 4“
dz.
(6. 28)
По формуле (6. 28) в самом общем виде определяются про-
водимости, характеризующие волновод с отверстиями в боковой
поверхности при возбуждении продольным касательным полем.
Если взаимная проводимость определяется между двумя
отверстиями, которые не перекрываются между собой по коор-
динате 2, ТО (при 21д	22р)
У<»=45у-т;.т:,-	<6-29>
(а)
Вещественная часть проводимости в любом случае равна:
W	W
Re уqp = Re 21 Ywm~am+p = у 2 Уда	~ ттт‘^ (6-30)
Ю=1	И=1
и определяется только распространяющимися волнами.
В общем случае имеем
^=Re^+iB’ <6-31)
где 1В — мнимая часть проводимости.
174
Рассмотрим случай, когда средние сечения отверстий имеют
одну и ту же координату по оси 2. Начало отсчета коорди-
наты 2 совместим со средними сечения отверстий. Тогда можно
положить
21g = Zg, Z2q =z Iq И 2^=	Z^, Z^p == Ip-
Запишем выражение для проводимости в виде
(6-32)
(«)
где
(6.33)
(6. 34)
Произведем в интегралах ga2 замену z' на —z' и 2 на —2,
а затем поменяем пределы Местами. Получим
tq	z
g<a = J f°at <~Z) J /ар (—Z') ^'dz'
~lQ L
dz.
(6.35)
Отметим свойства проводимости, учитывая, что аппроксими-
рующие функции разделяются на четные и нечетные относи-
тельно центра отверстий (zo = O).
Если Эр(—z) = 9p(z), то af°ap(—z)=f°ap (z), если Эр(—z) =
= ~Эр (z). то и Рар (—z) = —/»р (z).
Теперь легко видеть, что если обе функции либо четные,
либо нечетные, то gaz — gai и
У
= 2 Y« f /а? (2) I /ар (2') ^aZ'dz> dz-
(0) -lq L	-lp
(6. 36)
*-	~1P
Если же одна из аппроксимирующих функций четная,
гая нечетная, то ga2 — —gai и
^,=0.
a дру-
(6.37)
т. е. такие поля не взаимодействуют между собой.
На основании формул (6.25)—(6.31) и различных частных
случаев, вытекающих из них, можно построить соответствую-
щие схемы замещения волновода с отверстиями в боковой по-
верхности с продольным полем.
175
Для примера построим схему замещения волновода с оди-
ночным отверстием при наличии единственной распространяю-
щейся волны и аппроксимации поля одной подходящей четной
функцией ET = e<9(z, Z)z°. Аппроксимация на отверстии элек-
трического поля, направленного по продольной координате z
четной функцией относительно центра отверстия z0 = О, прибли-
женно соответствует режиму работы таких устройств, как вол-
новодные £-тройники и поперечная щель в волноводе.
Из группы формул (6. 25)—(6. 31) имеем
i
т^ = т- = т^ = j $ (z) ch Kazdz,	(6.38a)
-z
=	+	(6.386)
Ло ст----{Зет} ™0’
(6. 38b)
^о(Ет}=—U0 {EtI =	(6.38r)
iB
—-----------------------
I i^o
—..	I I_1	
Рис. 46. Схема замещения вол-
новода с продольным касатель-
ным полем на отверстии.
где индекс 0 указывает, что данный параметр вычисляется для
распространяющейся волны в * волноводе.
Отсчет фазы конечных переменных в формулах (6. 38г) £7+{Ет}
и t7~{Et) формально производится от центра отверстия z0, хотя
фактически эти выражения спра-
ведливы вне зоны возбуждения.
Выражения для оконечных
переменных С7+ и U~ показывают,
что схема замещения должна,
представлять последовательное
с источником возбуждения (элек-
трическим полем Ет) соединение
двух волноводов, поскольку вол-
ны по обе стороны от воз-
будителя имеют разные знаки.
Это заключение относится и
к выражению для проводимости. Учитывая, что тп0 — веществен-
ная величина, можно сделать вывод, что схема замещения
имеет вид длинной линии с включенной через идеальный транс-
форматор реактивной проводимостью iB (рис. 46).
Эквивалентная линия характеризуется волновой проводи-
мостью Уо и постоянной распространения KQ. Величина тп0
имеет смысл коэффициента трансформации, пересчитывающего
амплитуду поля на отверстии в оконечные переменные волно-
вода.
176
При узких щелях выражение для т0 упрощается, так как
ch Koz «1 (z2 z z2):
m0 = —f 3(z, l)dl dl = —
& Ц J &
*2
где UQ(l)= j Э (z, l)dz — функция распределения напряжения
вдоль щели.
При наличии нескольких распространяющихся волн схему
замещения можно развертывать и дальше, выделяя линии рас-
пространяющихся волн.
Как видно из формулы (6.31), даже после развертывания
линий для всех волн в схеме замещения должна остаться ре-
активная проводимость, соответствующая второму члену в (6.31).
Отверстия с поперечным касательным полем
Пусть электрическое поле в отверстиях SY, 52, . . ., S# на
боковой поверхности направлено по касательной к контуру по-
перечного сечения волновода:
Ет=2е^(г, /)1°.	(6.39)
(/>)
Магнитный ток, соответствующий такому полю, равен
[пЕт] = £>°,
и магнитный коэффициент возбуждения будет продольным (/а = 0):
П» =8- Г» j 1|,Э j	<6 • 4°)
Так как [пЭр]&а = 0, то проводимости, задающие токи и
оконечные переменные, определяются только продольными маг-
нитными собственными функциями волновода, которыми обла-
дают ТЕ (а = Л)-поля,
8Ч
W
ст	Ост} >
W=1
U* (Ет) = — T S
(p)
(6.41)
u« {ej=- 4 2 vw**-
(p)
12 Теория волноводов
177
Вычислим амплитуду продольного магнитного поля в зоне
возбуждения, для чего найдем из фундаментального решения
волноводных уравнений (6. 2) амплитуду поперечного электри-
ческого поля £^,{3^}, и затем используем формулу (6.4).
Поступая как и в предыдущем случае, получим

г\р
(z') e^’dz'
Z2p
+ e^f fthp (z') e~Kh*'dz'
(6Л2)
Подставляя в выражение для получим
V2
4%{Э,) = уд^
2
I /®ЛР (2') ^dz' 4-
z\p
J ^(2')e-^'dz' -^thp(zy.
(6.43)
Теперь для проводимости имеем
- s у4 Г (г)	(z/) ^dz'~\dz+
(h)	.	^ip
zvq	Zzp
+ J [/^,(z)^ [ /^(z'Je-^dz'Jdz —
*xq	z
a	I
-4-J	<6-44)
*iq	J
Суммирование должно проводиться по всем собственным зна-
чениям поля ТЕ (h) в волноводе, в том числе в сумму должен
быть включен член, соответствующий полю, для которого хЛ = 0
и 3^zh —  z z°, где 5j.—площадь поперечного сечения волно-
NS ±
вода.
Как и в предыдущем случае, если вычисляется взаимная
проводимость ^др между двумя отверстиями, которые не пере-
крываются по координате z, то (при z1?>z2p)
уп=—I-2	<6-45)
(»)
178
Вещественная часть проводимости в любом случае равна:
w
Re Учр=—Re 2	=
W=1
W
=4- Yk — me.h„mc.h„).	(6.46)
2	я ' ^hq zhp zfiq znpr	'	'
w—1
Установим некоторые особенности внешних параметров,
справедливые для группы отверстий, имеющих одну и ту же
координату центров zo = O.
1. Пусть одна из аппроксимирующих функций четная, а дру-
гая нечетная относительно zo = O. Используя преобразования,
аналогичные (6.35), убеждаемся, что
^„ = 0,	(6.47)
т. е. такие поля не взаимодействуют между собой.
2. Обе аппроксимирующие функции четные либо нечетные
относительно zo = O. В этом случае
z

(Л)
( f (z)	(г') e*hZ'dz' dz —
I * ~l9 L	~1р
л lq
-Th f fbwfbp^dz
~1<1
(6.48)
На основании формул (6.41) и (6.48), а также частных слу-
чаев, вытекающих из них, можно построить соответствующие
схемы замещения волновода с отверстиями в боковой поверх-
ности с поперечным касательным полем.
Рассмотрим для примера схему замещения волновода с оди-
ночным отверстием при аппроксимации поля на отверстии одной
четной относительно 2о = О координатной функцией (Е_ =
= e<9(z, I) 1°). Предположим, что в волноводе распространяется
одна основная волна, которая, как известно, принадлежит
к классу ТЕ (Л)-волн. Подобные условия близки к режиму
работы таких устройств, как волноводные Я-тройники и про-
дольная щель в волноводе.
Из формул (6.41) и (6.48) для рассматриваемых условий
имеем
i
=	=	= f^(z)ch^ezdz, (6.49а)
-I
y =	(6.496)
12*
179
^0 ст--- Iо {jci}
(6.49b)
(6. 49r)

Рис. 47. Схема замещения волно-
вода с поперечным касательным по-
лем на отверстии.
где индекс 0 при внешних параметрах указывает на принад-
лежность к распространяющейся волне. Реактивная проводимость
вычисляется как мнимая часть проводимости (6.48). Здесь
так же, как и в (6.38), отсчет фазы оконечных переменных
(формально) перенесен в центр
отверстия.
Выражения для оконечных
переменных показывают, что
схема замещения должна пред-
ставлять параллельное соедине-
ние двух волноводов, так как
волны по обе стороны от возбу-
ждающего отверстия имеют оди-
наковый знак. Однако величину
нельзя трактовать как коэф-
фициент трансформации идеаль-
ного трансформатора, так как
для распространяющейсяволны
т%0— мнимая величина. Кроме
того, при параллельном соеди-
нении проводимости складываются, что как будто противоречит
выражению (6. 496) для проводимости.
Противоречия могут быть устранены, если в схему замеще-
ния ввести четвертьволновый (на всех частотах) отрезок длин-
ной линии без потерь с волновой проводимостью Уо (рис. 47).
В этом случае амплитудные коэффициенты поля приобретают
. я
дополнительный сдвиг фазы е 2 .
Определяя в схеме замещения коэффициент трансформации как
mQ = — im°Q
и учитывая, что нагрузочная проводимость двух параллельно
соединенных волноводов с общей проводимостью 2У0 пересчи-
тывается через четвертьволновый отрезок линии с волновой
проводимостью Уо по закону
V —21—2а
н~ 2У0	2 ’
убеждаемся, что схема замещения (рис. 47) построена полностью
в соответствии с формулами (6.49), которые теперь могут быть
записаны в виде
180
= —*J0 <je»} m0’
^{E.) = ^o{Et) = -4wo- •
(6. 50)
m0=i
Выражение для тп0 при узких щелях можно упростить, вы-
нося за знак интегрирования значение собственной функции <Ж^0:
^Хл0{ сЬЛГАо2 Гр(г, l)dlldz —
40 L*
= ^7^U’»(2)ch^2,
ЛЛ0 J
где UQ (z) = §9 (z, l)dl — координатная функция распределения
- &
напряжения вдоль щели.
При наличии нескольких распространяющихся волн схему
замещения можно развернуть, выделяя линии распространяю-
щихся волн. Как видно из формулы (6.44), даже после развер-
тывания линий для всех волн в схеме замещения должна
остаться реактивная проводимость.
Общий случай распределения поля на отверстиях
В общем случае распределение поля на отверстиях *5^, 52, .. .
.. ., Sv имеет продольную и поперечную составляющие
Ет=^ + Ет;1»
или в виде рядов
Ех=2егэ,2»+2^/-	(6.51)
(?) (/>)
Внешние параметры, соответствующие функциям, которые
принадлежат к какой-либо одной системе векторов, были най-
дены выше. Теперь задача заключается в определении взаим-
ной проводимости, отражающей взаимодействие между перпен-
дикулярными полями. Магнитные токи, обусловленные этими
полями, равны
[nEtJ = -^l°;
[пЕт,] = 2?Х
Магнитный коэффициент возбуждения поперечного поля будет
равен
го- — го+ — § 2L /о
ар ар ah KfozflP
181
Для определения проводимости уqp необходимо вычислить
амплитуды поперечных полей I* , так как
У.Р = - 2 f	Р,} [пЭд] WSV	(6. 52)
(Л)4

причем взаимодействие между ортогональными полями на от-
верстиях осуществляется только через волны ТЕ (h) в волно-
воде.
Из (6.3) с учетом (6.12) запишем
4,(3,}
____ Y h
~	2 ' Kh
J fa, (.fields' —
z\p
z1p
—	(z') er^’dz' .
z
Теперь имеем
f°^(z)^ \ nbp(z')^'dz' dz-
Z1p
Г
— f /’j (z)j /’ap (z') dz' dz •
z\q _	z	-
(6. 54)

Для взаимной проводимости, соответствующей взаимодей-
ствию между ортогональными полями в дальней зоне (z13 > z2jt>),
получим
= <G-55)
(Л)
Вещественная часть проводимости определяется распростра-
няющимися волнами и может быть представлена следующим
образом:
ж
Re у ip=4 2 Ya	(6- 56>
'	W=1
Если центры отверстий находятся на одной координате zQ — О,
то, как и раньше, можно установить некоторые общие свойства
взаимной проводимости. Так, если координатные функции Эд (z)
и Эр(г), принадлежащие к разной системе векторов, одновре-
менно являются либо четными, либо нечетными функциями отно-
сительно z0, то
yiP = 0.	(6.57а)
182
Если одна из координатных аппроксимирующих функций
четная, а другая нечетная, то взаимная проводимость будет
отличаться от нуля:
*20 Г	»
2 г‘ -ft I «.(г> ' J“ fм ег*''‘,г'
dz. (6.576)
Таким образом, при взаимодействии перпендикулярных полей
наблюдается картина, обратная той, которая существует при
взаимодействии полей, принадлежащих к одной системе векторов.
К условиям работы при наличии полей, принадлежащих
к взаимно перпендикулярной системе векторов и четных функций
распределения этих полей на отверстиях, близок режим таких
устройств, как двойные волноводные тройники, а также Т-об-
разные и крестообразные щели в волноводе.
Для этих устройств при единственной распространяющейся
волне в волноводе и аппроксимации поля на отверстиях под-
ходящими четными функциями на основании (6.21)—(6. 25)
имеем
ст	{ Jot} ^р ^2 ст I {Jct} ^^2’
а проводимости и |/22 определяются соответственно форму-
лами (6.386) и (6.496).
Учитывая, что |/12 = 0, получим схему замещения устрой-
ства путем объединения схем (рис. 46 и 47), причем парал-
лельное подключение должно быть сделано в средней точке
последовательного идеального трансформатора.
В заключение параграфа приведем общее выражение для
частичной проводимости У пригодное при касательном поле,
имеющем как продольную, так и поперечную составляющие:
*20
(«)	*10
f F£(Z')eVdz'
L*ip
dz +
*20
J F^ (г) f F* (г') e~^dz' dz -f-
1 r®
*10
(6.58)
Подынтегральные функции здесь определяются форму-
лой (6. 12).
183
§ 2. ВНЕШНИЕ ПАРАМЕТРЫ ВОЛНОВОДА С ОТРАЖАЮЩИМ
ТОРЦОМ
Рассмотрим внешние параметры волновода, один из торцов
которого металлизирован, а другой включен на согласованную
нагрузку. Связь такого волновода с внешней нагрузкой может
Рис. 48. Схема полубеско-
нечного волновода с отвер-
стиями в боковой поверх-
ности.
осуществляться через отверстия как в
боковой, так и торцовой поверхностях.
Волновод с полностью металлизирован-
ным торцом часто называют полубес-
конечным (рис. 48).
Для волновода с отражающим тор-
цом общее решение для амплитуд по-
ля может быть записано как суперпо-
зиция падающей и отраженной волн:
иа (z) ==	+ А~ае.к^,
Ia(z) = Ya(A+ae-^-A-e^),
где А* и А~ определяются условиями
возбуждения и граничными условиями
на торце.
Полубесконечный волновод с отверстиями в боковой
поверхности
Для такого волновода (рис. 48) в области z > z2 имеем
Ui (z) = U*a {EJ е-^ + А-е^,	1
I* (2) = Ya (U+a (Et)	- A-e^), /
причем первые члены соответствуют фундаментальному решению
волноводных уравнений (для бесконечного волновода), а по-
стоянная А~ находится из условия, что поперечное электри-
ческое поле на металлическом торце равно нулю:
£%)=о.
Следовательно,
А~ = -и+ае-^,	(6.60)
где Qa = Kazk,
Теперь для области z^> z2 запишем
Ul(z)^U+a{E^}e-^-U-{Ex}e^a, |
а также
р (Z) = Ul (z) = {EJ е~^ +
4- 2* /+ (EJ e-2’*e^,	(6. 62)
184
так как
/ПЕт)=уа^(Ет}.
Поскольку проводимости являются линейными функциями
магнитного поля, то их выражение для случая полубесконеч-
ного волновода можно записать в виде
<6-63)
где учр—проводимости, вычисленные в бесконечном волноводе;
— проводимости, вызванные наличием отраженной волны,
Используя (6.17) с учетом (6.11) и (6.9), получим
=-2	e'29e f [пЭ*]	(6- 64)
(«)	8д
Но Ра+р {Э^} соответствует фундаментальному решению волно-
водных уравнений и на основании (6.13)
1%	= f F^(z)e^dz =
= ^-[ [пЭр]^е^р = ^(т+ар + ^т+ар).	(6.65)
Таким образом, для искомой проводимости ^~р окончательно
имеем
y-it=| 2 Y^a [<++8^- (6-66)
(а)
Задающие токи для полубесконечного волновода опреде-
ляются аналогичным образом:
^ = hqei + h-tCT.	(6.67)
Здесь hg ст — задающие токи в бесконечном волноводе;
Л“ст— задающие токи, вызванные наличием отражений от торца,
определяемые формулой
w
h- „ = 2 гю (jCT) е-^ {[пЭ,] M-e’WS, =
ю=1	4
ж
= 2х It {Jot} e-2^[m+s + bahm+at],
(6. 68)
где I* {j0T} — амплитуды падающих волн в согласованном волно-
воде.
185
Если направление координаты z изменить на обратное по
сравнению с рис. 48, то при использовании формул (6.66) и
(6. 68) необходимо заменить —на -|-0а и т+ на иг.
В конечном счете нас будут интересовать оконечные пере-
менные в области z^zlt Поля в этой области складываются
из полей сторонних источников Uw {jCT) или Iw {jCT} (которые
должны быть найдены при условии металлизации всех отвер-
стий) и полей, возбуждаемых через отверстия. Последние опре-
деляются теми же формулами (6.14), но при условии, что
амплитудные коэффициенты поля ер на отверстиях вычислены
из системы уравнений, составленных для полубесконечного вол-
новода, т. е. при параметрах у^р и №qp. В зависимости от чет-
ности и нечетности координатных функций определенные коэф-
фициенты тс и т8 равны нулю.
Однако развязки, определяемой формулами (6.37), (6.47) и
(6. 57а), уже не будет. Так, при продольных полях и условии,
что одна из функций, например Э^г0, четная относительно z°,
а другая, 9gz°,—нечетная, вместо выражения (6.37) справед-
ливого в бесконечном волноводе, имеем
<6-69)
(я)
Аналогично при поперечных полях и тех же условиях чет-
ности и нечетности функций вместо (6.47) получим
<е-70>
(Л)
Наконец, если ^p(z) и (z) принадлежат к разной системе
векторов и обе функции одновременно либо четные, либо по-
четные, то вместо (6. 57а) запишем:
если обе функции четные,
если обе функции нечетные,
<6-72>
(Л)
Если отражающая стенка достаточно удалена от отверстий
и влиянием отражений местных полей практически можно пре-
небречь, то проводимость у~р будет образована только за счет
распространяющихся волн, ибо для местных полей е~20«^О.
186
Этот случай может быть рассмотрен также и другим мето-
дом— методом схем СВЧ, в котором используются параметры
согласованных устройств, а влияние отражений учитывается
наложением граничных условий на внешние зажимы устройства.
Волновод с отверстиями в боковой и торцовой стенках
Усложним несколько предшествующий случай и будем пола-
гать, что в торцовой поверхности также
(рис. 49).
Проводимости и задающие токи на
отверстиях, прорезанных в боковой по-
верхности волновода, будут по-прежнему
определяться формулами (6. 63) и (6. 68),
поскольку в рассматриваемом случае при
вычислении этих параметров торцовые
отверстия должны быть металлизиро-
ваны.
Задача заключается в определении
прорезаны отверстия
Рис. 49. Схема волново-
да с отверстиями в бо-
ковой и торцовой по-
верхностях.
взаимной проводимости между полями
на боковых и торцовых поверхностях,
а также проводимостей и задающих то-
ков торцовых отверстий при металлиза-
ции боковых.
Пусть касательные электрические поля
заданы в виде рядов:
на отверстиях в торцовых поверхностях
=	.	(6.73)
(р)
на отверстиях в боковых поверхностях
(6.74)
(?)
Взаимная проводимость между полями на этих отверстиях
вычисляется по формуле (5. 21)
yiP = - f|n9f]№{9,)dSr	(6.75)
Найдем выражение для Н°{Эр). Определим вначале ампли-
туду поперечного электрического поля единичной волны в волно-
воде, возбужденной Э^-й составляющей поля на отверстии
в торце.
На основании формулы (1.58) в сечении торца имеем
Vap(^ = ep ^adSp.	(6.76)
sp
187
Для дальнейшего изложения удобно ввести следующий коэф-
фициент для полей на отверстиях в торцовой поверхности:
^=[3^5,.	(6.77)
sp
Тогда выражение (6. 76) можно записать в виде
Uap(zk)—epnap.	(6.78)
В соответствии с общим методом проводимость вычисляется
в предположении, что сторонние источники тока в волноводе
отсутствуют (jCT = 0); применительно к рассматриваемому случаю
это означает, что волны, падающие к отверстию, необходимо
полагать отсутствующими. Тогда в волноводе все волны, воз-
бужденные электрическим полем на торце в области z < zk
(рис. 49) будут отраженными. Следовательно,
Iap (z) = —YaUap (z.) № = -ер¥^опаре^, (6. 79)
где Qa = Kazk.
Полное магнитное поле в волноводе, обусловленное Э^-й со-
ставляющей аппроксимирующего поля на отверстии, равно
№(Э/)} = -2гл/-в<‘^^7,	(6.80)
(а)
где
Ж=Х4ЛА>Ж*.
h
Теперь для проводимости получим
fyiP=2 Yanap [m'aq 4- m‘aj 4- 3e71 (m°aq 4-	er*».	(6.81)
Следующим этапом решения задачи является определение
проводимостей, обусловливаемых только торцовыми отверстиями,
= J 3OT[ZoH»(3{)ldSm,
ат
(6.82)
где т и I принадлежат множеству р [см. (6.73)]. Подставляя
в (6.82) выражение для магнитного поля (6/80), в котором z
должно быть равно zk, и учитывая, что между поперечными
векторными функциями существует зависимость (1.81) (при
R3 = z° и R3 = 1)
[zo^J =	(6.83)
получим
yml^Yanamnal.	(6.84)
17	(а)
188
Вещественная часть проводимости (6. 84) определяется, как
обычно, распространяющимися волнами волновода:
W
(6.85)
° 1
а мнимая часть — только местными волнами
i Im утг = 2' УЛЛг•	(6- 86)
а («)
При вычислении задающего тока на торцовых отверстиях,
как и для полубесконечного волновода, имеем
Хс, = /гтот + ^о1,	(6-87)
причем в данном случае (отверстия в торце) на основании (6. 61)
при z — zk и (5. 22) запишем
w
= 2 It, {Jot) e"'>№ J [z°3 J 3^«,dSm =
W=1	J
°m
W
= lalt Oct}
W=1
(6.88)
^Ot = 2Awct,	(6.89)
где /+{jCT) — амплитуды падающих волн в согласованном волно-
воде.
Оконечные переменные, происхождение которых вызвано
полем Ет1, в отверстиях на торцовой поверхности (взятые
в плоскости торца), на основании (6. 78) запишутся так:
^в(2*)=2	(6-90)
(р)
Если отверстия в боковой поверхности достаточно удалены
от торца, то взаимодействие между полями на торцовых и бо-
ковых поверхностях существует только при распространяющихся
волнах в волноводе и может быть учтено методами теории
схем СВЧ.
Выражения (6.84)—(6.90) являются общей характеристикой
волновода, содержащего отверстия в торцовой стенке.
При единственной распространяющейся волне и аппрокси-
мации поля на отверстии в торце подходящей функцией Е, — еЭ
выражения для внешних параметров такого волновода приобре-
тают вид
=	+ (в = Im 2' УХ) ,	(6.91)
^ = 21+{з„}е-»т0,	(6.92)
С70 (zft) = епое~в»,	(6.93)
189
где индекс 0 относится к значениям распространяющейся
волны.
В соответствии с формулами (6.91)—(6. 93) волновод с отвер-
стием в торце может быть представлен схемой замещения
Рис. 50. Схема замещения вол-
новода с отверстием в торце.
(рис. 50). В этой схеме волновод за-
менен эквивалентной длинной ли-
нией с характеристической проводи-
мостью Уо и постоянной распрост-
ранения Величина п0 имеет смысл
коэффициента трансформации идеаль-
ного трансформатора.
При наличии нескольких распро-
страняющихся волн схему замеще-
ния можно развернуть, выделяя ли-
нии распространяющихся волн. В отличие от схем замещения
с отверстиями в 6okoboii поверхности в заданном случае после
развертывания линий для всех волн дополнительной реактивной
проводимости в схеме не остается. Это свойство является об-
щим, когда возбуждающий источник сосредоточен в бесконечно
малом слое Az.
§ 3. ВНЕШНИЕ ПАРАМЕТРЫ РЕЗОНАТОРА С ОТВЕРСТИЯМИ
В ЕГО ОБОЛОЧКЕ
Наиболее распространенные объемные резонаторы представ-
ляют собой отрезки волноводов, металлизированных с обоих
торцов. Наряду с этим встречаются резонаторы и других, более
сложных видов, которые будем называть резонаторами произ-
вольной формы.
Задачу о резонаторе, образованном из отрезка волновода,
можно решить либо волноводным методом, либо методом, осно-
ванным на использовании колебательных уравнений, пригодных
для резонаторов произвольной формы. Рассмотрим оба пути
решения задачи о внешних параметрах резонатора.
Цилиндрический резонатор с отверстиями в торцах
Пусть резонатор образован из отрезка цилиндрического
волновода, причем связь его с внешней цепью осуществляется
через отверстия и S2 в торцовых стенках, совпадающих
с поперечным сечением волновода (рис. 51).
Как обычно, аппроксимируем касательное поле на отверстиях
и S2 в виде ряда
^ = ^ерЭр на и S2.	(6.94)
190
В резонаторе установится Ноле, образованное 11ада1ощими
и отраженными волнами. Рассмотрим возбуждение единичной
волны в волноводе, из которого образован резонатор, выделен-
ный из ряда (6.94) Эгй составляющей аппроксимирующего
иai = А+,&-*** 4- 4- ека‘,	(6.95)
Ial = Ya	_ А-а1^).	(6. 96)
Постоянные и определяются следующим образом.
Пусть Эгя составляющая задана на отверстии SY, в сечении
которого помещено начало координат
z = 0. Она возбуждает в волноводе
поле, амплитуда которого на основа-
нии (6. 78) равна
^(0) = еЛ/. (6.97)
В соответствии с общим методом
поле в волноводе должно вычисляться
в предположении, что второе отвер-
стие металлизировано; тогда ампли-
туда электрического поля на втором
торце должна быть равна нулю:
C7eZ(L) = O, (6.98)
Рис. 51. Схема резонатора
из отрезка волновода с от-
верстиями в торцах.
где L — длина резонатора.
Из условий (6. 97) и (6. 98) определяются постоянные A+t и
Л + — elnal pK L
2shKaLe ’
~ 2 sh KaL
Следовательно,
j (z\_________________р V -п	(z ~
(2) — et Y апа1 -ь
(6.99)
(6.100)
Полное магнитное поле в волноводе, возбужденное Эгй со-
ставляющей аппроксимирующего поля на отверстии, равно
сумме всех единичных полей:
№ (Эг)=2 Улг	жа. (6.101)
(а)
Для взаимной частичной проводимости между полями, при-
надлежащими разным торцовым поверхностям (z = L), на осно-
вании (6.82) получим
ymi=- 2	-sir •	<6-102>
(«)
191
В то же время для проводимостей, которые учитывают
взаимодействие полей, принадлежащих одной и той же торцо-
вой поверхности, имеем
(6.103)
(а)
При пренебрежении взаимодействием по местным волнам
в сумме (6.102) останутся только члены, соответствующие
распространяющимся волнам, так как для местных целей
sh КaL-^ со. В формуле (6. 103) в этом случае для местных
Рис. 52. Схема замещения резонатора с отверстиями в торцах.
а — трансформаторная связь; б — бестрансформаторная связь.
полей можно принять cth Kaz да1, тогда для реактивной состав-
ляющей она приобретает вид (6.84).
Отметим также, что для волновода с идеально проводящими
стенками проводимости — чисто мнимые величины как для рас-
пространяющихся, так и местных полей.
Построим для примера схему замещения подобного резона-
тора в предположении, что касательное поле на отверстиях
выбрано в виде подходящих функций
Ет1 = е1Э1 на
и
Ет2 ^2^2
Пусть в волноводе, из которого образован резонатор, вы-
полняется условие распространения одной основной волны,
а торцовые стенки разнесены настолько далеко, что взаимодей-
ствием по местным волнам можно пренебречь. Тогда
f/n — у 0^1	^1»
f/22=y0^2cth^0L+^2,
^12 = ^21 = — ^0re0in02 sh KaL .
(6. 104)
192
где Yq и Kq — характеристическая проводимость и постоянная
распространения основной волны в волноводе,
^ = 2'^, jB2 = S'yan|2) (6.105)
(а)	(а)
пл = j ^ad Slt па2 = j ^^§adS 2.	(6.106)
Схема замещения при отсутствии сторонних токов внутри
резонатора для рассматриваемых условий приобретает вид, пока-
занный на рис. 52, а, В этой схеме в соответствии с формулами
(6.104) отрезок волновода, заключенный между торцовыми стен-
ками, заменен эквивалентной длинной линией для распростра-
няющейся волны с волновой проводимостью Уо. Этот отрезок
включается через идеальные трансформаторы п01 и п02.
На внешних зажимах устройство шунтируется реактивными
проводимостями 1В1 и создаваемыми местными волнами вблизи
торцов.
Если отверстия связи одинаковы, то п01 = тг02 = п0 и схеме за-
мещения может быть придан другой вид (рис. 52, б), в котором
идеальные трансформаторы исключены, но характеристическая
проводимость волновода изменена в раз.
Резонатор произвольной формы
По условиям задачи считаем, что собственные векторные
функции резонатора известны. Если резонатор достаточно слож-
ной формы, при которой определение собственных функций за-
труднено, то его можно разбить на ряд более простых объемов,
найти параметры этих объемов и затем методом сшивания гра-
ничных поверхностей определить внешние параметры сложного
резонатора как единого целого.
Пусть в металлической оболочке резонатора прорезан ряд
отверстий с поверхностями 52, . . ., S#, дополняющими ре-
зонатор до правильной формы, т. е. до такой формы, для ко-
торой определены собственные функции резонатора.
Зададим касательное электрическое поле на отверстиях
в виде ряда
Ег = 2бА	(6- 107)
на S2, • ’ •, Sn*
Из решения колебательных уравнений (4.140) имеем следую-
щее выражение для амплитудного коэффициента магнитного
поля v-го колебания в резонаторе при условии, что сторонние
источники поля jCT из объема удалены (jCT = 0):
<6-108)
13 Теория волноводов
193
Магнитный коэффициент возбуждения, входящий в формулу
(6.108), равен
f^=ep ЦпЭр]^(13р,	(6.109)
8Р
где п — внешняя нормаль к объему резонатора.
Интегрирование в (6.109) проводится по области существо-
вания поля Эг Аналогично тому, как это было сделано для
волноводных задач, введем вспомогательный коэффициент
(6.110)
sp
Полное магнитное поле в резонаторе от выбранной Эр-й со-
ставляющей поля на отверстии равно сумме всех единичных
полей:
(6.111)
00
Выражение для проводимости из (5. 21) получим в виде
У ?? ~
со
Как видим, проводимости резонатора с идеально проводя-
щими стенками при вещественных координатных функциях
всегда мнимые величины.
Отметим, что суммирование в (6.112) должно быть прове-
дено по всем частным решениям, которые могут существовать
в резонаторе. В соответствии с этим для цилиндрического ’ре-
зонатора с идеально проводящими стенками выражение (6.112)
может быть разбито в общем случае на четыре частные суммы:
по собственным значениям Т= и ТМ (v = е)-полей, соб-
ственным значениям градиентного магнитного поля	для
которого &v = 0, и, наконец, в многосвязных резонаторах также
по значениям поперечно-электромагнитного поля ТЁМ(у = \).
Задающий ток на отверстиях, создаваемый сторонними то-
ками jCT, которые существуют внутри полости резонатора, опре-
деляется из колебательных уравнений при условии, что отвер-
стия металлизированы. Для амплитуды единичного магнитного
поля в резонаторе, создаваемого сторонним током, имеем
=	" Н(М = 2Ч^Ж.. (б.из)
09
194
Подставляя Н {jCT} в формулу (5.22) для задающих токов,
получим
=	(6.114)
О)
Чисто магнитное поле класса ТЕМ и градиентное поле, уча-
ствующие в образовании проводимости, не создают задающих
токов (к^ для них равно нулю), и, следовательно, на основа-
нии (5. 9) заключаем, что эти поля непосредственно энергию из
объема не излучают.
Электрический коэффициент возбуждения, определяемый
объемным интегралом
h = \i^dV,	(6.115)
V
может быть преобразован к поверхностному интегралу, если
сторонние электрические поверхностные токи распределены
в идеальном проводнике. Действительно, функцию распределе-
ния объемной плотности тока в проводнике можно записать так:
Jct Js ст (^) >
где — функция распределения поверхностной плотности тока;
§(£) — функция Дирака; £ — координата, характеризующая рас-
стояние текущей точки внутри объема V, занимаемого током,
от поверхности ограничивающей этот объем.
Используя свойство S-функции Дирака, получим
/,= [кЖ-	(6.116)
8J
Рассмотрим построение схемы замещения резонатора с вход-
ным и выходным отверстиями связи при аппроксимации поля
на отверстиях подходящими функциями
Exi —'	на
Ех2 = е2Э2 на S2.
Система уравнений для этого случая имеет вид
е1У11+^12 = ^1 ст. 1	6 ...
е1^1 + е2у22 = ^ст. I	(	}
где проводимости |/п, У22 И У12 = ^21 определяются формулой
(6.112), а задающие токи — формулой (6.114).
13*
195
Соответствующая системе уравнений (6.117) схема замещения
представляет собой П-образный четырехполюсник и изображена
на рис. 53, где
У^Уп+У» у.-у.+у»-
Задающие токи Л1от и fe2cT представлены на схеме генерато-
рами тока.
Рис. 53. Схема замещения резонатора общего
вида.
§ 4. ВНЕШНИЕ ПАРАМЕТРЫ ВОЛНОВОДОВ И РЕЗОНАТОРОВ
ПРИ НАЛИЧИИ ПРОВОДНИКОВЫХ ИЗЛУЧАТЕЛЕЙ
Вторая задача электродинамики
Предположим, что возбуждение волновода или резонатора
осуществляется через систему токовых излучателей (штырей,
витков и т. д.).
Если отвлечься от влияния отверстий связи, то задача по
определению внешних параметров сводится к решению второй
задачи электродинамики, при этом плотность тока в объемах
проводников V19 V2, ... аппроксимируется в виде ряда
(р)
где hp — неопределенные амплитудные множители; —аппро-
ксимирующие векторные функции распределения объемной плот-
ности тока в проводниковых элементах, которые будем полагать
вещественными.
На основании (5. 34) алгебраическая система уравнений для
определения амплитуд hp имеет вид
где	2	qp	&q ст» (/0	(6.119)
	^ = -}м,Е{0, М,}ЙГг,	(6.120)
	егСт= f MjE(jCT, 0}й7г.	(6.121)

196
Сопротивления цилиндрического волновода с токовыми излу-
чателями могут быть найдены на основе фундаментального ре-
шения волноводных уравнений при условии, что сторонние токи
из волновода удалены. Наоборот, задающие напряжения нахо-
дятся при условии, что удалены все проводниковые элементы.
Фундаментальное решение волноводных уравнений для ам-
плитуд единичных полей, возбуждаемых в волноводе токовыми
элементами, определяется выражениями (4.23) при F± = 0:
Z	Z-L
Л = ЙГ J	(У) e~Ka(^dz' + 4 J (z')	(6.	122)
zt	z
иa (j) =	j~ (Zr) e-^-^dz' — - J- j J+ (z') e^-^dz' ,(6.123)
Zl	z
=	+	(6.124)
В соответствии с общим принципом будем рассматривать
(6.118) как заданный ток. Введем аналогично (6.12) частичные
коэффициенты возбуждения. На основании (4. 24) имеем

(6.125)
где
4"	&ze-
Соответствующие этим коэффициентам амплитуды полей
в волноводе будем обозначать lap, UQap, U^p. Полное электри-
ческое поле в зоне возбуждения волновода от Мр-й составляю-
щей аппроксимирующего поля определяется суммой всех еди-
ничных полей:
Е°ДМР} = 2(^Ж + ^Д«АЛ-	(6.126)
(а)
Поэтому выражение для частичного сопротивления (6. 120)
принимает вид
XtP=-2 Г { и°ар {М,) М, SadVt +
i«) Lv?
197
Электрическое поле, обусловленное сторонними источниками
(падающими волнами, распространяющимися в волноводе), вы-
числяется при условии, что j = 0, и равно
E{U=it7i{jOT}^«'.	(6.128)
W—1
Теперь задающее напряжение можно представить как
ег,е»=2 (	(6.129)
W-1 Vq
Здесь f7i{jCT) —не зависящая от текущих координат ампли-
туда поперечного электрического поля н?-й распространяющейся
волны в волноводе.
Введем систему вспомогательных параметров
V =	± keaq,	(6.130а)
, = -J- j M^^dV = V„t ±	(6.1306)
Выражение для задающих напряжений принимает вид
2	К3-(6.131)
W=1
После решения системы уравнений (6.119) амплитуды (око-
нечные переменные) распространяющихся волн в волноводе вне
регулярной зоны, возбужденные током j, будут определяться
следующими выражениями:
a)	z z2
/:и)= -1 2	+«.,],
(р)
(J) = ZyJw (j}>	(g J32)
6)	z zx
К (j} = T еКаг 2 h?	~	’
ади).
По формулам (6.132) можно найти поля, которые возбу-
ждаются аппроксимирующим током j. Полное поле в волноводе
198
равно сумме полей от тока j и сторонних источников, вычис-
ляемых в предположении j = 0.
Как и в случае первой задачи электродинамики, рассмотрим
раздельно поля от продольного и поперечного токов, а затем
их взаимодействие.
а)	Поперечный ток. Пусть вектор тока на проводниках не
имеет продольной составляющей, так что
Z)P.
(р)
В этом случае продольный коэффициент возбуждения равен
нулю (L = 0) и, следовательно,
Jap = Jap — Зар — j
Таким образом, сопротивления, задающие напряжения и
оконечные переменные, будут определяться только поперечными
собственными функциями волновода. Следовательно,
-%9Р= -2
(я) 4
Для определения UaP воспользуемся выражением (6.123)
U°ap (Мр) = —	1е-Ъ‘ j j°ap (z') eWdz' +
2\p
+ eK(tZ j jap e~Ko^dzf >.
Все дальнейшие рассуждения полностью аналогичны тем,
которые проводились в § 1 настоящей главы для случая отвер-
стия с продольным касательным электрическим полем. Поэтому,
опуская промежуточные выкладки, сразу запишем
2 ip
=4 2Za И (z) е~Каг Ifap (У) eKas'dz'dz+
(а)
2\р
2\.р
jap (z') e~K^dz' dz > .
(6.133)
2\q *-	2	J
При взаимодействии по дальней зоне при z2jt? получим
(6Л34)
199
Остаются в силе также и все выводы относительно суще-
ствования, четности и нечетности функций. Схемы замещения
устройств могут быть построены на основе использования ме-
тода контурных токов.
б)	Продольный ток. В этом случае имеем
3 = ^hpM(z, Г)г\
о»)
поэтому /а = 0 и
70+__ 70-____ *	*1 7*о
J ар-	* ар- иае ~к~ Jzep*
Аналогично случаю отверстия с поперечным касательным
электрическим полем для сопротивления имеем
(е)
ziq -
z\p
(6.135)
При взаимодействии по дальней зоне при z1? z2p получим
4- У
2 е Ze4 zeP
(0
(6. 136)
в) Общий случай распределения тока. В общем случае рас-
пределение тока в излучателях имеет поперечную и продоль-
ную составляющие:
(2)	W
Взаимное сопротивление, соответствующее взаимодействию
между ортогональными токами, равно
ztq Г	2
=4 5 z- тЖ	<> 1 Я- <2')
(*)	L	Z\P
z2q Г	z2p
— f	P,ep (И e~K°‘'dz'
z\q L	z
dz' —
(6.137)
200
При взаимодействии по Дальней зоне при zlq z2p имеем
(6. 138)
В том случае, когда поперечная и продольная составляющие
в распределении тока жестко связаны между собой (например,
тонкий проводник с током, помещенный в волноводе наклонно),
необходимо воспользоваться общим выражением для частичного
сопротивления ^qp, которое можно записать в следующей
форме:
(zzq	Г z
J	f I%(z')eK**’dz' dz-\-
(a) I zxq
_zip
7 r	f
+ T {	J J^W^dz' dz +
z2q
f i^(^nep^dz
(6.139)
Подынтегральные функции здесь определяются форму-
лой (6.125).
г) Взаимные сопротивления в полубесконечном волноводе.
Приведенные формулы относились к случаю бесконечного волно-
вода. В полубесконечном волноводе задающие напряжения и
сопротивления равны сумме величин, вычисленных в бесконеч-
ном волноводе, и величин, обязанных наличию отраженной
волны. Тогда
где е?ст определяется формулой (6.131) для бесконечного вол-
новода, а
= 2 и+а {Ы е~2в®	+ U^],	(6.140)
причем 0^ — электрическое расстояние от центра отверстия до
металлизированного торца волновода для w-й распространяю-
щейся волны.
Далее,
(6.141)
где $qp — сопротивление, вычисленное в бесконечном волно-
воде, а
=4- 5	+м:.ги*:Р+<6.149
201
д) Взаимные сопротивления в резонаторе. В случае резона-
тора, используя решение колебательных уравнений (4. 140),
получим при Д = 0
и
=	(6.143)
к — к
(V)	’
где
й,г={М^Г?.	(6.144)
А
Аналогично
и
(V) V
►
(6.145)
А Л
Л2_Л2
(v)	>
Смешанная задача электродинамики
При решении смешанной задачи электродинамики касатель-
ное электрическое поле Ех на отверстиях и плотности токов на
проводниках аппроксимируются в виде рядов
(i)	(р)
(6. 146)
Система уравнений для определения амплитудных множите-
лей и hp имеет вид
4^rt'pQ/y 11'тсг
U)	d (/>)
S ql “j-"	qp-------Cq CT,
U)	(P)
(6.147)
где m принадлежит множеству (Z), a q — множеству (p) в соот-
ветствии с (6.146).
В этой системе и AWCT находятся из решения первой
задачи электродинамики (при удалении из объемов металличе-
ских неоднородностей), a Хчр и едст — второй задачи электро-
динамики (при металлизации отверстий).
Безразмерные коэффициенты (о//;?0 учитывают взаимо-
действие между касательными электрическими полями на отвер-
стиях и токами на проводниках. Для их вычисления можно
202
воспользоваться любым из выражений (5.48) или (5.51). Исполь-
зуем последнее:
<#гг = - fM2E{3,}d7.	(6.148)
vq
Поле Е {ЭД вычисляется в предположении удаления из объема
всех проводников и сторонних токов (j —0). Для этой цели при
решении волноводной задачи применим выражения (6. 2) и (6. 4)
U', (Эг) = - 4- J (z') e^'dz' +
za
-|- 4" j (z') e-K**'dz',
г
U°,et (Эг}=:—^ЗД{Эг)=^Х
{z	za
e~K°z J F^eK^dzf	j F^er^dz^
Zil	Z	J
(6.149)
Полное электрическое поле в волноводе, возбужденное Эгй
составляющей касательного поля на отверстии, равно
e=S{^’A+ WM.	(6.150)
а
Подставляя требуемые величины и учитывая (6.125), в общем
случае для коэффициента o/fql получим
ziq

{z-iq	Г z
J J^(z)er^ \F*-W)eWdz' dz-
z^q	zxi
iff
— J	J F^e-^'dz'
Zig	|_z
(6. 151)
Из выражения (6.151) нетрудно получить все частные слу-
чаи. Так, если поле в отверстии и ток в проводнике взаимо-
действуют по дальней зоне, то (при zlq z2l) имеем
<#гг=4- S19 (z) e~Ka’dz ’ f(zf} eVdz'=
(a) ziq	Zii
=T 2	— (m“P + 8«*m**P •	(6.152)
203
Естественно, что в частных случаях распределения
ческих полей на отверстиях и токов в проводниках
ние (6.151) приобретает более простой вид.
В случае резонатора, используя колебательные
ния (4.140), имеем
электри-
выраже-.
уравне-
'"л”
(V) v
(6.153)
Отметим, что волноводные узлы имеют внешние граничные
поверхности, проведенные в плоскости поперечного сечения вол-
новодов. Поэтому целесообразно систему уравнений (6.147) пре-
образовать таким образом, чтобы исключить амплитуды токов
на проводниках. Указанное преобразование проведем матрич-
ным методом.
Учитывая, что матрица, составленная из коэффициентов off,
кососимметрическая, перепишем систему (6.147) в виде
^e + <#h = hCT,
—off е -J- Jfh = ест.
Из второго уравнения имеем
Ь = ^-1ест + ^-1<#е,
подставляя его в первое, получим
Ге=ь-
где
у =	Щт = Ьст-<#ДГест.
§ 5. МЕТОДИКА ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ К РАСЧЕТУ УСТРОЙСТВ СВЧ
Приведем несколько примеров, иллюстрирующих методику
определения внешних параметров сложных волноводных устройств.
Перпендикулярные сочленения двух прямоугольных волноводов
В качестве первого примера, раскрывающего процесс внутрен-
ней сходимости последовательных приближений, рассмотрим
задачу об изгибе прямоугольного волновода (рис. 54). Пусть
дан прямоугольный волновод, согнутый под прямым углом.
Размеры волновода до и после изгиба будем полагать одинако-
выми и выбранными так, что в волноводе может распространяться
основная волна ТЕУУ
Изгиб волновода может иметь место в обеих главных
плоскостях. Если в его плоскости лежит вектор магнитного
204
поля, то имеем изгиб Н (рис. 54, а), если же в плоскости изгиба
лежит вектор электрического поля — изгиб Е (рис. 54,6).
Для обоих случаев условной границей возьмем сечение
в плоскости z = 0, разбивающее волноводную систему на два
регулярных волновода 1
и /7.
При изгибе Н аппрок-
симируемое электрическое
поле несимметрично отно-
а
сительно плоскости х —
Интересно оценить влия-
ние этой несимметрии на
быстроту сходимости при-
ближений. Случай же из-
гиба Е интересен в том
отношении, что он позво-
ляет произвести эту оцен-
ку, когда аппроксимируе-
мое поле на линии у = Ь,
z = 0 стремится к беско-
нечности (как г”Чз, Где
г — расстояние от точки
наблюдения до вершины
угла).
Таким образом, случай
изгибов является доволь-
но показательным в смыс-
Рис. 54. Изгибы волноводов.
а — в плоскости Н; б — в плоскости Е.
ле оценки быстроты про-
цесса сходимости и может
служить известным ориен-
тиром при выборе подходящих функций, аппроксимирующих
электрическое поле на условной границе.
Будем полагать, что на условную границу из волновода II
падает волйа с известной амплитудой £7* , а волновод I окан-
чивается согласованной нагрузкой.
где
Е = 77*

Касательное электрическое поле на границе z — Q будем
представлять рядом по собственным векторным ортонормирован-
ным функциям геометрической поверхности границы
ЕТ = 2^ЭГ
(р)
205
Ввиду того что эта граница совпадает с поперечным сече-
нием волновода ZZ, функции в сущности есть собственные
векторные функции поперечного электрического поля в волно-
воде 1Ц т. е.
Задающий ток вычисляется при металлизации границы и
в данном случае в соответствии с формулой (6. 92) равен удвоен-
ному значению амплитуды поперечного магнитного поля падаю-
щей волны:
^ = 27^=2^У0.	(6.154)
Здесь Уо — характеристическая проводимость волны TEW
у.=УТтг’ *•=ШГ-4=т-
Дальнейшее рассмотрение необходимо вести раздельно для
изгибов Н и Е.
Изгиб Н. При изгибе Н у будет координатой разделения
волноводной системы в целом, поэтому вариаций поля по ней
не будет и аппроксимирующее электрическое поле на выбран-
ной условной границе может быть представлено в виде
где	___
-1/2 р^уО t 2, 3, q,
^hpo V ab a
т. e. поле является поперечным по отношению к волноводу Z.
Для определения проводимости со стороны волновода II вос-
пользуемся формулой (6.84).
В силу ортогональности аппроксимирующих и собственных
функций волновода II имеем
11 а = к,
пар = ^api naq	$ак== | Q д
Поэтому
9/п — у а а
у qp------------------ л hmo^mqmp,
т. е. проводимость определяется только диагональными членами
в сумме (6.84) при m = q — p (т — номер волны в волноводе).
Для ТЕ (Л)-волн имеем
У ___ ~|/^ s Khmo
*hmo— у р ik >
206
где
К ---------------------1/^2	х   miL
л hmo V Khmo	К ’ Ahmo а •
Введем относительную проводимость
,,	___ Ykmo__K-hmo _ \/тп
Укто— уй — Ко —	’
где
у	к а	2d
а	т:	\
Теперь можно написать
уп	§	(6.155)
vqp	qp	' J
Для вычисления проводимости со стороны волновода I вос-
пользуемся формулой (6. 63):
Рассмотрим вначале проводимость в бесконечном волно
воде, т. е. будем считать волновод I продолженным в обе сто-
роны и согласованным с обоих торцов (Я-тройник).
Относительно центра отверстия х=-^~ аппроксимирующие
функции разделяются на четные (р=1, 3, 5, . . .) и нечетные
(р = 2, 4, 6, . . .). В соответствии с (6.47) четные и нечетные
функции не взаимодействуют между собой,
^ = 0.
если q и р имеют разные виды четности. Если же обе аппрок-
симирующие функции четные либо нечетные, то проводимость
определяется формулой (6.48). Естественно, выбор начала от-
счета координат не скажется на окончательном результате.
В соответствии с принятыми обозначениями и системой коор-
динат (рис. 54) запишем
2 аГ	х
НН	KhP^^'dx'
(Л) I А О L	О
dx—
о
причем
Ъ	_____
f^P (*) = f [-^] Ж* L=o^> Ж* 1=0 = Vх°-
о
207
Следовательно,
уо =	(2- W .
' хпр \ /	а	а
Найдем интеграл
а	а
f f°xhi (*) Ллр И dx = 2-£=^т} { Sin sin ^-dx= 2-^l 8?i.
0	0
Следующим вычислим интеграл
И' (х) = J Pxkp (х') eK^'dx' = 5/2 (2 ~ 8°от) J е***’ sin dx' =-
О	о
_ ^2 (2-o0m)	1 fpit , рКкх\К 4in Р™ Р- РПЧ
О, iz2 I P™ V la	L	a a Я JI
/
Наконец, найдем последний интеграл
а
Hh = j fxhi (*)	(ж) dx
О
= 2(2-W
а2
а	а
— ( sin dx -j- Kh Г sin sin dx —
a J	а ' "J а	а
о	о
а
рп f . анх	рпх 7
---£— SIU-2	COS -- dx\.
а J а--------------а
о
Поскольку дир одновременно четные либо нечетные, то
а
(sin&cos-^d^O.
J а	а
о
Вычисление остальных интегралов дает
. црт^_ -----1-- Ц _
}
Так как значки q и р имеют одинаковый характер четности,
то полученное выражение фактически симметрично относительно
208
этих значков (т. е. его величина не изменяется при одновре-
менной замене q на р и р на q).
Таким образом, проводимость (6.48), определяющая взаимо-
действие между аппроксимирующими функциями одинаковой
четности, будет равна
со
У\р=
ш—О
_____Khmtf1____
(«ЛтО«)2+(Р")2
___1
^hmQa
\р
„2
zz2
2к2 V (2 — 8 )У
йт> ыо Х2то [(Лля10в)2 + И)2] [(tfAm0a)2 + (рк)2]
___/о_________* \ у _____________(рт:)2 — (ка)2______* ______п 4 у
—	Г*«-0 Кма [(ЯАи0а)2 + (р*)2]	Х
О
й >у	gpm2 [1 — (—1 )««**»>>>“]
1 **> (KhmaW	+ (gu)2] [(ЛЫ0в)2 + (рк)2] ’
Перейдем к нормированной проводимости у1
этом учтем, что
Khml)a = у'СМ2 —(Ь)2 = «\/m2 —>2.
Окончательно имеем
2	2
У1 =5о .Р
при
у о
2 Орт
ТС2 V1 —
т2[1 —(—1)2е'
\!т* - v2 (g2 + m2 - v2) (р2 + т2 - )
(6.156)
Полученные формулы имеют самостоятельное значение для
расчета Я-тройников. При расчете изгиба волновода необхо-
димо еще вычислить проводимость, вызванную наличием отра-
женной волны.
Из (6.66), учитывая условия задачи и изменения направле-
ния распространения волны, имеем
\р ~2~
(Л)
На основании (6. 20) запишем
f „ (х) e~Kkxdx.
xhP Kh J s xhp\ /
0
14 Теория волноводов
209
Используя ранее приведенную формулу, получим
 pit V2 (2 — 50и|)	(1 —cospit е~к»)
Таким образом,
^=^2 (2-W^n0x
qpm.2 [j _ (—1)? g-*W»] [j __ (~-l)P e'KhmQa]
X (W)2 [(*W)2 + (P")21 l(*W)2 + (M2J *
Переходя к нормированной проводимости
yi-_ Jdk
'y<ip~ у0
получим
I— _ 2др	m2 [1 — (—1 )д е~^ у/”,2~^] [1 _ (_j)p е~* ^2-4]
У‘‘Р	—	Vm2 — >а (в2 + m2 —	) (р2 + m2 — v|)
Если q и р разной четности, то для суммарной проводи-
мости имеем
„1Б	- • 2gp	т2[1-е-2^^2-^]
y9P 7t2v/l-v2	У/т*-У* (32 + TO2_v2) (P2-|_OT2_V2) ‘
Если q и р оба четные либо оба нечетные, то
7,is _3 р ~~	~~ врот_____
'•
2„	<
тс2 — \2 Vzn2 — v2 (д2 -|- w2 — v2) (р2	т2 — \2)
Теперь перейдем к системе уравнений для определения ампли-
туд аппроксимирующего поля на границе
^=1
Определив из этой системы амплитуды Up, можно построить
распределение поля на условной границе; но обычно нас инте-
ресует не само поле, а коэффициенты отражения и передачи.
Приведем пример числового расчета для наиболее употреби-
тельного параметра волновода v =^ = \/2, ограничиваясь Р = 3,
л
210
Элементы матрицы проводимостей имеют следующие значе-
ния:
'2 — i 0.87	i0.33	—i0.16‘
г 0.33	—12.71	—i0.10
—г 0.16	—i 0.10	—i 5.20_
Найдем из системы уравнений амплитуду поля основной
волны Ux. Заметим, что оно складывается из падающей и отра-
женной волн:
=	=	+17-
Коэффициент отражения в сечении условной границы равен
s ________________1
11
В табл. 2 дано значение коэффициентов отражения от
Я-изгиба, рассчитанного в одно-, двух- и трехпараметрическом
приближении.
Таблица 2
Число параметров Р
Модуль коэффициента от-
ражения ...............
Фаза коэффициента отра-
жения .................
1	2	3
0.40	0.39	0.39
113°30'	112°10'	U2°20'
Как видим, второе и третье приближения мало отличаются
от первого.
Интересно отметить, что полученные здесь результаты очень
хорошо совпадают с расчетом, приведенным в справочнике [51].
Для va = \/2	= имеем
S11 = 0.38eni2°30\
Однако параметры схем замещения в справочнике получены
сложным путем, при помощи конформного отображения и теории
функций комплексного переменного, тогда как по излагаемой
методике необходимо было провести вычисление элементарных
I интегралов и суммирование хорошо сходящихся рядов.
'	И з г и б Е. При изгибе в плоскости Е координатой разделе-
। ния всей волноводной системы в целом будет х. Поэтому вдоль
14*	211

этой координаты не будет возникать новых вариаций поля,
не имеющихся в падающей волне ТЕ^
^=^uK^r+^ue^t.
(р)	(р)
Кроме того, в любой точке границы х~я составляющая поля
Етх° должна быть равна нулю. Это условие накладывает опре-
деленные соотношения на амплитудные коэффициенты соответ-
ствующих пространственных гармоник различных классов волн
Uh и Ue, а именно
U elp	h\p*
а
где х = -отношение сторон волновода.
Таким образом, выражению для аппроксимирующего поля
можно придать вид
jt>=0
= /5sl” 2 I-',V(2-S„)(1+pV) cos у»,
р=0
т. е. аппроксимирующее поле является продольным по отноше-
нию к^ волноводу I. Проводимости со стороны волновода II
определяются формулой (6. 84)
гДв	_	_
v	v — l/s ik
h'?~ V р. ik ’ J«1P —.Г р, К1р ’
х»=/Л+(Л-4!-
Вводя проводимости, нормированные относительно распро-
страняющейся волны, и параметр
будем иметь следующее выражение для проводимости со сто-
роны волновода II:
<6-157>
Проводимость со стороны волновода /, бесконечно продол-
женного в обе стороны, определяется формулами (6.36) и (6.37).
212
Произведя вычисления для нормированной проводимости,
получим:
при q и р одинаковой четности
I = ivj. у (2 - 8о«) У(2 - Ч) (2 - М <* + <fo2) (1 + Р2*2)
(re2_i+p2)V^-72
{тс к/ п2 — \2	и2 — v2 Г	--к \/ «2_y2"l |
' ф <6.158)
при q и р разной четности
=о.
Полученные формулы имеют самостоятельное значение для
расчета Я-тройников. Для расчета изгиба волновода необходимо
добавить проводимость, вызванную наличием отраженной волны.
Проделав вычисления, аналогичные предыдущему случаю
изгиба Я, получим
У™ = V(2 - М (2 - §ор (1 + ?М) (1 + рМ) X
v	V 2~80»	_
Л 1(2 —8ов)и Zi +
г n=Q °
(_1)W у-ч (2 — 80й) у/п^ — \2 [1 — е 2	6]
2^2~	(n2_|_g2_v2) (n2_|_p2_v2)
Система уравнений для амплитуд поля на границе имеет
вид
f +	^=2[/п+аД-
Коэффициент отражения от изгиба определяется формулой
Проследим процесс сходимости последовательных приближе-
ний при типичных для практики значениях параметров v6 = 0.5
и т = 2 (табл. 3).
Как и в предыдущем случае, при изгибе Е однопараметри-
ческое приближение мало отличается от двух- и трехпарамет-
рического. Если (как и при изгибе Н) сравнить полученное
здесь достаточно элементарными средствами решение с расчетом
по данным справочника [51], найденное эквивалентным стати-
213
Таблица 3
	Число параметров Р		
	1	2	3
Модуль коэффициента от- ражения 		0.43	0.45	0.43
Фаза коэффициента отра- жения 		12°	4°	1.5°
стическим методом с применением теории конформных преобра-
зований, то снова обнаружим хорошее совпадение
Рис. 55. /7-сочленение прямоугольных волноводов
(а) и его схема замещения (б).
Таким образом, несмотря на явно выраженную асимметрию
поля, второе и третье приближения лишь незначительно отли-
чаются от результатов первого, основанного на аппроксимации
поля простейшей синусоидальной функцией. Это объясняется
214
тем, что обычно интересующие практику величины (проводи-
мости, коэффициенты отражения и передачи, собственные частоты
и т. п.) являются функционалами аппроксимирующих функций.
Аппроксимирующая функция может сравнительно сильно отли-
чаться от истинной в смысле «местных» искажений хода функции
на границе без заметного изменения функционала.
Итак, сравнительно несложное однопараметрическое при-
ближение дает не только правильную качественную картину
процесса, но и достаточно удовлетворительные для практики
количественные соотношения. Исключением из этого правила
может ; служить параллельное соединение двух волноводов,
Рис. 56. ^-сочленение прямоугольных волново-
дов (а) и его схема замещения (б).
связанных между собой через достаточно длинную щель. Такие
устройства обладают резко выраженными направленными свой-
ствами, для передачи которых необходима аппроксимация поля
суммой четной и нечетной (относительно средины отверстия)
функций. Примером может служить щелевой мост [29].
Н- и Я-тройники. Теперь кратко рассмотрим Г-образные
сочленения (тройники) в Я- и Я-плоскостях со связью волноводов
через щели.
На рис. 55 изображено такое сочленение двух прямоугольных
волноводов в плоскости Я. Связь между волноводами осу-
ществляется через продольную по отношению к первому волно-
воду щель. В обоих волноводах распространяется основная
волна ТЕ^. Пренебрегая толщиной стенки отверстия связи,
рассматриваемую систему можно разделить на две области
I и II. Первая из них представляет волновод с отверстием
в боковой поверхности, вторая — в торцовой поверхности.
Сторонними источниками являются падающие в волноводах
волны ТЯ10.
Из условий режима питания и симметрии устройства оче-
видно, что поле на отверстии может быть представлено попе-
215
речным по отношению к первому волноводу вектором. При
аппроксимации поля одной подходящей координатной функцией,
четной относительно центра отверстия, схема замещения сочле-
нения получается объединением схем рис. 47 и 50 так, как это
показано на рис. 55, б.
Аналогичное Z-образное сочленение в плоскости Е показано
на рис. 56. Поле на отверстии может быть представлено про-
дольным по отношению к первому волноводу вектором. При
аппроксимации поля одной подходящей функцией, четной
относительно центра отверстия, схема замещения сочленения
получается объединением схем рис. 46 и 50 так, как это показано
на рис. 56, б.
Для частного ,случая, когда отверстие «щели» совпадает
с поперечным сечением волновода II и аппроксимирующие
функции совпадают с электрическим полем основной волны Т2?10,
коэффициенты трансформации п становятся равными единице,
а реактивные проводимости Вп— равными нулю (n= 1, Вп = 0).
Что же касается коэффициентов трансформации т и реак-
тивных проводимостей В1, то формулы для них можно получить
из (6.156) и (6.158).
Для Я-сочленения, полагая р=1 и д=1, будем иметь
V1 2-_____________4	(1 +
У тс <4jm2+l — tc2v/1 — v2	(т% +1 — v2\2
Ш—0	а	V a w=l V	а\ 1 а)
Первый ряд здесь суммируется и выражается через котан-
генс тригонометрический при va>l (условия распространения
по крайней мере основной волны).
ц1 = —i ctg тс	— 1--------—=- > —  :------------------— .
/Тс2 1 ^1 Vm2 — Va(m2 + 1 ~V«)2
Полагая, что условия распространения выполняются только
для основной волны (l<va<2), и отделяя вещественную и
мнимую части проводимости, получим
- У0 - ТС2 • (v2 - 1) (2 - V2)2 - тс2 (>2 - 1) (2 - V2J2 >
ri	,--------4 sin к \M — 1
bl = Yq ~ —ctg n	1	—9 (2— v2)2
4	TO2 (1 +
Tt2 y%2 — 1	^/wi2 — V2 (7П2 4-1 — ^2)2
216
Активная нормированная проводимость g1 обусловлена рас-
ходящимися от места сочленения основными волнами в обоих
бесконечных ветвях волновода I. Эти две волны в месте под-
соединения ответвления (рис. 55, б) дают нормированную про-
водимость, равную 2. Четвертьволновый трансформатор преобра-
зует ее в у, а идеальный трансформатор с коэффициентом
трансформации т (по напряжению) преобразует ее в величину
2 1
ТП2у.
Таким образом,
g1 = т2 у ,
откуда
4С03ууМ-1
Г(2_,2)
Вычисление коэффициента трансформации и активной со-
ставляющей проводимости окна в бесконечном волноводе про-
изводится по элементарной формуле. Что же касается реактив-
ной проводимости, то ее значение определяется довольно быстро
Рис. 57. Кривые проводимостей.
а — для H-тройника; б — для ^-тройника.
сходящим рядом (при m2^>v2 члены убывают как т”3) и может
быть вычислено по нескольким его членам, а остаток найден
00
по известному ряду У~з“1.202. Результаты вычислений
т=1
представлены на рис. 57, а.
Как известно, результаты расчета Я-сочленения эквивалент-
ным статистическим методом приведены в справочнике по волно-
водам [51], где для характеристики схемы замещения исполь-
217
зуются четыре величины вместо двух в нашем случае. Если
провести вычисление входной проводимости окна в бесконечном
волноводе по данным справочника для -^-=1 (va = \/2), то по-
лучим
z/ = 0.5 —£0.80.
По графикам рис. 57, а имеем
у — 0.5 — £0.76.
Для Я-сочленения из формулы (6.158) при q = p = O полу-
чаем
Первая сумма выражается через котангенс:
у =—ictgmb—1-~ у ---------—е v М .
Ь ь u2	_ v2v3/2 \	/
п—0 \ Ь/
Снова полагая, что распространяется только основная волна
(TZ?10), т. е. v6<l, и разделяя вещественную и мнимую части
проводимости, придем к формулам
l-cos^b 2sin2|v,
7C-v2	7u2y2
Ъ	ь
Ь1 = — Ctg«cv* -4-
sin uvj
теМ"""
ь
2^ V
те2
п=1
Коэффициент трансформации по-прежнему связан с активной
проводимостью в бесконечном волноводе соотношением
m = \'2gI,
поэтому
т
те
2 sin
rev^
Ряд, определяющий
сходится как Х* .
реактивную проводимость,
при n2>>v|
218
Результаты вычислений представлены графиком на рис. 57, б.
Для v6 = 0.4 по данным справочника [51] имеем
1/1 = 0.43 + I 0.12.
По графикам рис. 57, б находим
г/1 = 0.44 +I0.17.
Плоско-поперечные стыки волноводов
Плоско-поперечный стык двух волноводов поперечного сечения,
связанных между собой через отверстие, изображен на рис. 58.
Рис. 58. Плоско-поперечный стык (А)
двух волноводов и варианты (а, б, в) схем
замещения.
Система уравнений для определения амплитуд аппроксими-
рующего поля записывается обычным образом (5.5), причем
и Лдст определяются формулами (6.84) и (6.89).
Переход к оконечным переменным в волноводах I и II осу-
ществляется по формуле (6.90), которая при выборе начала
координат и плоскости стыка (zfc = 0) примет вид: •
Ua^) = ^pnap.	(6.159)
(р)
219
При аппроксимации поля на отверстии одной подходящей
функцией (Ех = еЭ) и наличии в каждом из волноводов одной
распространяющейся волны уравнения для определения ампли-
туды е, используя (6.84)—(6.90), можно записать так:
е [Уог № + ^о11 К)2 +	+ ШЧ =
= 2/тКх + 2^п ШИ1, (6-160)
где значок 0 относится к распространяющейся волне. Оконеч-
ные переменные в волноводах по обе стороны от стыка на осно-
вании (6.159) равны
Ul = enl, U? = enli.	(6.161)
Схемы замещения, соответствующие уравнениям (6. 160) и
(6.161), представлены на рис. 58, а и б. В схеме 58, б реактив-
ные проходимости пересчитаны через идеальный трансформатор
к зажимам эквивалентных линий
В'п= * В»	(6.162)
(«о1)2	(и“)2	V ’
Часто встречающимся в практике частным случаем является
такой, когда коэффициенты трансформации идеальных транс-
форматоров численно равны (например, при одинаковых сече-
ниях обоих волноводов)
wJ = w" = rao-	- (6.163)
Тогда схема замещения приобретает вид рис. 58, в, на кото-
ром идеальный трансформатор отсутствует, а суммарная реак-
тивная проводимость В определяется как
Б = -^(В1 + БП).	(6.164).
О
Объемный резонатор
Междуволноводный объемный резонатор Р имеет два окна
связи: одно с входным (Вх), другое с выходным (В2) волноводами.
Окна связи прорезаны в торцовых стенках волноводов. Подобное
устройство может быть разделено на три частичные области
(рис. 59, а).
Система уравнений для определения коэффициентов аппрок-
симирующего ряда ер может быть записана так
(6-165)
(^)
где yj’p111 и определяются формулами (6.84) и (6.89),
У^Р и — формулами (6.112) и (6.114).
220
Переход к оконечным переменным осуществляется по фор-
муле (6.90). Поскольку проводимости и задающие токи вычис-
ляются при металлизации отверстий, то фактически эти пара-
метры (в зависимости от того, какому из отверстий и 52
принадлежат поля Ър и Э?) в системе уравнений (6.165) будут
встречаться в сочетании либо I—II, либо II—III, либо только II.
Это легко представить, когда поля на отверстиях аппроксими-
руются подходящими функциями
Рис. 59. Междуволноводный объемный резо-
натор (а) и его схема замещения (б).
Тогда развернутая система уравнений (6.165) записывается
следующим образом:
+ + 1 f6 167.
причем
Схема замещения, соответствующая системе (6.167), при
отсутствии сторонних токов внутри резонатора = Арст = 0
и одной распространяющейся волне в волноводах может быть
построена сочетанием схем рис. 50 и рис. 53 и изображена на
рис. 59, б.
В этой схеме
у2=Пп+^1+П1- J
(6.168)
Рассмотрим более детально расчет параметров на примере
нагруженного коаксиально-тороидального резонатора, связан-
221
ного с другими устройствами через отверстие в его наружной
оболочке.
Расчету таких резонаторов посвящено значительное коли-
чество работ. Это объясняется тем, что они широко исполь-
зуются в различных технических устройствах (фильтрах, узко-
полюсных антенных переключателях и т. д.).
Рис. 60. Варианты сопряжения коаксиально-тороидаль-
ного резонатора с волноводом.
На рис. 60 изображены три различных включения резона-
тора в волноводный тракт, используемые в антенных переклю-
чателях: по широкой (а) и узкой (б) стенкам и в торце (в)
волновода [1]. Для решения задачи о нагруженном резонаторе,
т. е. с отверстием в его наружной оболочке, проведем условно
две граничные поверхности (рис. 60, а). Внутренняя кольцевая
граничная поверхность 1 разбивает сложный объем резонатора
на два простых объема: коаксиальный А и цилиндрический В.
Граничная поверхность 2 проведена так, что дополняет наруж-
ную оболочку резонатора до правильной цилиндрической формы.
Будем полагать, что отверстие связи 2 прорезано вдоль всей
образующей цилиндрической поверхности резонатора.
222
Решение проведем приближенным методом, выбирая аппрок-
симирующие функции на границах 1 и 2 в следующем виде:
Ех = е1Э1» Э1 = Т^ на 51»
Ет2 = е2Э2,	5° на 52.
(6.169)
Здесь и в последующем d — зазор между центральными стер-
жнями; h — высота отверстия связи, равная высоте резонатора; г2
и т\— наружный и внутренний радиусы коаксиального объема А;
Ф — центральный угол, охватываемый отверстием; <р0 — коорди-
ната центра отверстия; £° — орт по образующей резонатора.
Нормировка координатной функции Э2 выбрана из условия
J | Э2 |М5 = 1,
8,
в то время как нормировка поля Эх выбрана такой, чтобы ам-
плитудный коэффициент е1 представлял собой напряжение в за-
зоре.
Задача заключается в определении проводимостей резонатора
Т™ И И =
а)	Расчет проводимости . Согласно общему методу, рас-
чет этой проводимости необходимо производить, когда услов-
ная граница 2 металлизирована. Поскольку граница 2 прове-
дена так, что она дополняет поверхность резонатора до пра-
вильной цилиндрической формы, то в этом случае мы имеем
ненагруженный коаксиально-тороидальный резонатор. При вы-
полнении условия такой резонатор представляет систему,
близкую к квазистационаряой.
Исходя из доказательства, приведенного в § 1 гл. 5 (фор-
мула 5.27), можно сразу воспользоваться квазистационарным
решением, а именно рассматривать ненагруженный резонатор
как коаксиальную линию с сосредоточенной в точке разрыва
внутренней жилы емкостью. Для такой линии, закороченной
с обоих торцов, имеем известное выражение для проводимости
П=—Чг+iu>C d + °)-	<6-17°)
i2p tg -у
где р = 601ир-—кабельное сопротивление коаксиальной линии;
к — (о \/ер. — волновое число; С — статическая емкость, образо-
ванная торцами стержней; а — коэффициент, учитывающий ем-
кость рассеяния.
223
Емкость рассеяния образуется за
торе, и ее расчет, произведенный на
счет волн ТМ в резона-
основе формулы (6.112),
дает
0*^0 (weon) 
1 1 . гх 6ХР [~Weon Т) _ rj_
iz;3 d	и>з	d
eon eon	eon
(6.171)
где x = jr> a wem = являются корнями уравнения
(^воя) /о (Х^eon)	(Х^еоя) о еоп) 
Здесь J0 (у) и Nq (у) — функции Бесселя первого и второго рода.
б)	Расчет проводимости ^/р . Расчет этой проводимости дол-
жен быть произведен при условии, что внутренняя граница 1
металлизирована. Поскольку отверстие связи 2 прорезано вдоль
всей образующей резонатора, то оказывается, что коэффициенты
возбуждения, соответствующие полям TE(h) резонатора, равны
нулю и в образовании проводимости будут участвовать поля
ТМ(е), градиентные магнитные поля (gh) и вырожденное (гра-
диентное) магнитное поле класса ТЕМ (Хо).
Из (6.112) для рассматриваемого случая имеем
i i 5 +/ше 2
W	GO e
что после соответствующих вычислений дает
4Ф
-	, Г2
7T3r2 In —
2 Г1
8тсг2о2
фЗ
(6.172)
где через и а2 обозначены следующие суммы:
^егппЛ - (^)2
___ m (xemnr2)\
m (x<?wwZl)
224
причем хд и хе являются корнями характеристического уравне-
ния коаксиального волновода.
в)	Расчет проводимости ^/₽2. Расчет коэффициента возбуж-
дения показывает, что взаимная проводимость образуется
за счет полей ТМ (е) и вырожденного градиентного поля класса
ТЕМ{\)-.	i
i ™XOimXO2 + У 2 Цг ^1^.2
(7	tWU.	у -- К
(*) 6
и равна
Ш = —----------— У—toe	1/^-а3,	(6.173)
У 12	—10)[к	1 Г2 * ’г1'2‘	ТС ' "Г2	'
где через а3 обозначена сумма:
2	1 JpoKo*) _ 11 [1
Я=1 l^eon — (кг1)2 (Х^оя) J
Z1 (Х^оя)
71 (^еоп) -
Таким образом, получены все внешние параметры наружного
коаксиально-тороидального резонатора.
При включении резонатора в цепь его сшивание с этой цепью
производится описанным выше способом. При этом, конечно,
необходимо обеспечить, чтобы при сопряжении резонатора
с волноводом их внешние граничные поверхности совпадали.
Во многих применениях коаксиально-тороидальных резонато-
ров имеет место такое соотношение размеров, при котором
центральный угол Ф, охватывающий отверстие связи, достаточно
мал, так что приближенно дуга равна стягивающей ее хорде, что
упрощает задачу сопряжения.
Конкретный расчет параметров и экспериментальное исследо-
вание подобного резонатора, используемого в схеме антенного
переключателя приемо-передачи, показали удовлетворительное
для целей практики совпадение расчетных (при однопараметри-
ческой аппроксимации) и экспериментальных данных.
§ 6. ВОЛНОВОДНЫЙ многополюсник
Под волноводным многополюсником понимается объемный
резонатор или вообще часть пространства, заключенная внутри
проводящей поверхности, замкнутой всюду, за исключением
нескольких отверстий, к каждому из которых подходит волно-
водная линия. Если общее число волн, распространяющихся
во всех Ж-волноводах, которые присоединены к многополюс-
нику, равно ДГ, то многополюсник может быть назван 27У-полюс-
ником.
15 Теория волноводов
225
Как было показано, внешние параметры многополюсника
можно сформулировать в виде коэффициентов матрицы про-
водимостей у и задающих токов hCT. Амплитуды е аппроксими-
рующего поля на отверстиях находятся из решений уравнений
ye = hCI.
Однако эти амплитуды не являются оконечными переменными
волноводных линий; переход к последним производится путем
линейных преобразований, осуществляемых с помощью выраже-
ний (6.22)—(6.23) и (6.90).
Желательно преобразовать систему уравнений для амплитуд
касательного электрического поля на отверстиях к оконечным
переменным волноводов до фактического решения этой системы
относительно амплитуд е. Тогда расчет устройства СВЧ можно
производить, широко применяя законы Кирхгофа и в полной
мере используя теорию квазистационарных схем.
Сложная волноводная система может быть расчленена на ряд
элементарных многополюсников, соединенных между собой
отрезками регулярных волноводов. Каждый из элементарных
многополюсников характеризуется своими электрическими внеш-
ними параметрами, которые определяются его физико-геометри-
ческими данными.
Как следует из вышеизложенного (гл. 6, § 3), в таком случае
не обязательно предполагать, что взаимодействием между
высшими типами волн, возникающими на входах и выходах
каждого элементарного устройства, нужно пренебрегать. Подоб-
ное пренебрежение упрощает решение, но не является обяза-
тельным. Когда оно недопустимо, соединительный отрезок
волновода нужно рассматривать как более сложное устройство,
чем эквивалентная простая длинная линия; параметры подобного
отрезка волновода определяются формулами (6.102) и (6.103).
Таким образом, влияние местных волн при той формулировке
параметров, которая предлагается в работе, не касается внешних
параметров элементарных многополюсников, а относится
к характеристике самого волновода.
Исследуем вопрос о включении электродинамического
устройства в цепь и преобразовании его параметров к оконечным
переменным присоединенных к нему волноводов.
Внешние граничные поверхности устройств СВЧ выбираются,
как правило, в плоскости поперечного сечения волноводов. Они
могут проводиться в сечениях волноводов, достаточно удаленных
от их стыка с резонатором (рис. 41), или же в плоскости самих
стыков (рис. 40).
Рассмотрим случай, когда внешние граничные поверхности,
которые соответствуют выходным зажимам многополюсника,
проведены в регулярных отрезках волноводов (рис. 41). Будем
226
считать, что граничные поверхности настолько удалены от стыков
волноводов с резонатором, что местные поля, возникающие
на стыках, не оказывают заметного влияния на характер рас-
пределения поля на этих поверхностях. Тогда аппроксимирующие
электрические поля на внешних границах можно записать в виде
суммы по векторным собственным функциям распространяющихся
волн в волноводах.
N
^=^UaSa,	(6.174)
W=1
где Uw — амплитуда полного поля, равного сумме падающих и
отраженных волн, т. е.
иа=и++и-.
В силу ортогональности собственных функций выраже-
ние (6. 84) для проводимостей волновода примет вид
^ = 0»',	(6.175)
где восстановлен индекс «в» как признак того, что проводи-
мость относится к волноводу
{1, если w = u/,
О, если w^wf.
Для задающих токов из (6.89) запишем
N
= 2	(6.176)
W=1
[амплитуда падающих, волн /+ {jfT} в выражении (6.176) опре-
деляется в сечениях граничных поверхностей и включает в себя
фазовый множитель a =
В матричной записи имеем
	О о (М о >< О 1		. . 0 - . . 0
	0 0 У3 .	. . 0	,
	• • • • •	• . •
	_0 0 0.	. -YN_
(6.177)
где Ух, У2, ..., У„, .. ., Yn — характеристические проводимости
волноводов для распространяющихся волн.
15*
227
Аналогично матрица задающих токов имеет вид
	“7+0 0 ... 0 “	
	0 7+ 0 ... 0	
ь:,=2	0 0 7+ ... 0	= 21+,	(6.178)	| •г
	_0 0 0 . . . 7£_	! * $
где 1+ {j®T) для простоты записано как I*.	।
Матричное уравнение для определения амплитуд поля на |
отверстиях	I
^e = hCT	(6.179)	|
теперь может быть	записано так:	|
(Y„ + YP)U„ = 2I+ + hP	j
ИЛИ	I
YW, = 2IJ-YwU, + hP.	:
Далее учтем,	что	i
U„ = U£+U-	(6.180а)	j
L = I+ + I-	(6.1806)	;
Y„U+ = I+ -Y.U- = I;,	(6.180b)
где значки «плюс» и «минус» означают падающие и отражен-
ные волны соответственно.
Окончательно получим преобразованную систему
. Y₽U. = L + hP,	(6.181)
в которой непосредственно связаны оконечные переменные
и волн, распространяющихся в волноводах.
В рассматриваемом случае мы имели дело с резонатором
сложной формы, включающим в себя примыкающие к нему от-
резки волноводов от фактических стыков волноводов с резона-
тором до внешних граничных поверхностей. Определение про-
водимостей и задающих токов подобного резонатора весьма
сложно. Сложность может быть преодолена, если разделить ре-
зонатор внутренними границами на несколько простых объемов
и затем (описанным в § 5 настоящей главы методом) произ-
вести сшивание этих объемов. Естественно возникает вопрос,
нельзя ли поместить внешние граничные поверхности в пло-
скости стыков волноводов с резонатором (рис. 40). Такое сов-
мещение возможно и целесообразно, поскольку делает процесс
решения менее громоздким. Однако в этом случае для того,
чтобы произвести непосредственное преобразование системы
228
уравнений (6.179) к оконечным переменным волноводов [подобно
системе (6.181)], необходимо, чтобы матрица-столбец амплитуд
поля е содержала бы столько же элементов, сколько распро-
страняющихся волн в волноводах (2V). Для этого можно на-
ложить ограничение на количество членов аппроксимирующего
ряда так, чтобы каждая из аппроксимирующих функций учи-
тывала влияние набегающей из волновода на стык волны. По-
добное решение будет соответствовать методу подходящих функ-
ций, обобщенному на случай произвольного волноводного мно-
гополюсника. Однако для получения заданной точности решения
может оказаться, что число аппроксимирующих функций Q
должно быть больше N. Тогда можно исключить лишние члены
и уравнение для оставшихся членов ряда снова записать в форме,
в которой матрицы имеют порядок, равный числу распростра-
няющихся волн в волноводах.
Для этого при Q^>N разобьем матрицы уравнения (6.179)
на клетки так, чтобы выделить в них первые N элементов.
Уравнение (6.179) запишем в виде клеточных матриц
Здесь и ^22 — квадратные матрицы порядка N и Q — N.
соответственно; ^12 и ^21 — прямоугольные матрицы; ег и h1CT —
матрицы-столбы из N элементов; е2 и h2cT — матрицы-столбцы
из (Q— N) элементов.
Запишем (6.182) в развернутом виде:
"F ^12е2 = ст,
^21е1	^22е2 = Ь2 ст	.
и исключим из первого уравнения е2.
Тогда получим систему уравнений
= <6- 183>
в которой матрицы имеют порядок, равный N.
Таким образом, во всех случаях можно привести систему
уравнений для амплитуд поля на отверстиях вида (6.179)
к порядку, равному числу распространяющихся волн в волно-
водах. Перепишем систему (6.179):
(y+F)e=h-+h--	<6-184>
229
Из (6. 85) и (6. 86) для рассматриваемого случая в матричной
записи имеем
^ = пД> + гВ,
(6.185)
где определяется матрицей (6.177),
*®11^12 • • • Biq
®21-®22 • • • B2Q
• • • BnQ
ПцП12 . . .nlp ... nlQ
П21^22 ’ * • П2р • • • n2Q
nwinw2 * ’ ‘ nwp * * ’ nwQ
.ЛА’2 * ’ * nNp * ’ ’ nNQ^.
(6. ,186)
(6. 187)
п* — матрица, транспонированная по отношению к п.
Если в каждом из волноводов, присоединенных к многопо-
люснику, распространяется только по одной основной волне,
то матрица реактивных проводимостей В и матрица коэффи-
циентов трансформации п будут диагональными.
Аналогично из (6. 89) для задающих токов получим
Ь® = 2пД+
СТ	I W
(6.188)
Отметим,	что	в	силу	введенного ограничения	N = Q ма-	|
трица	коэффициентов	трансформации п	квадратна;	следова-	|
тельно, будет возможным определить матрицу п-1, обратную n. t
На основании (6.90) запишем	|
U„ = ne	(6.189)
или	-
e = n-1Uw.	(6.190)	j
В выражениях (6.188) и (6.189)	фазовые множители вклю-	
чены в амплитудные t коэффициенты, которые, таким образом,
должны определяться в сечениях граничных поверхностей.
Подставляя (6.190), (6.188) и (6.185) в систему (6.184),
найдем	J
(пД, + /Вп"1 + l^ir1) U, = 2пД+ + h?T. (6.191)
П—
230
Умножая (6.191) слева на пу1, перенося матрицу Yw в пра-
вую часть матричного уравнения (6.191) и, наконец, учитывая
группу формул (6.180), придем к следующему уравнению:
(m/Bn-i + п^п1)	= 1ю + n7'hPT.	(6.192)
Вводя обозначения
Y = n7x 4- гВ)!!-1
1?т = п7хЬрт,
окончательно запишем
(6.193)
(1.194)
(6.195)
В отличие от (6.181) параметры системы (6.195) не только
включают реактивную проводимость, образованную местными
полями волноводов, но и подвергаются трансформации, осу-
ществляемой с помощью матрицы п.
Таким образом, для линейного волноводного многополюс-
ника всегда можно получить систему уравнений канонического
вида (6.195), аналогичную составленной по методу узловых на-
пряжений.
Точно так же может быть получена система, аналогичная
составленной по методу контурных токов,
ZI„ = UW + U>„	(6.196)
где и₽т = —ZI₽, и Z= Y"1 — квадратная матрица сопротивлений.
Системы (6.195) и (6.196) связывают амплитуды поперечных
составляющих электрических Uw и магнитных полей в вол-
новодах на отсчетных плоскостях многополюсника.
ГЛАВА 7
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СХЕМ
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА МАТРИЦЫ
РАССЕЯНИЯ
Влияние устройств СВЧ, включенных в волноводный тракт,
на распространение электромагнитных волн в нем может быть
охарактеризовано различными способами. Один из них заклю-
чается в определении характеристик пассивного волноводного
многополюсника в виде матрицы проводимостей (или сопротив-
лений), связывающей амплитуды поперечных составляющих
электрических U и магнитных I полей на отсчетных плоскостях
многополюсника:
YU = I,	(7.1)
ZI = U,	(7.2)
где U и I — матрицы-столбцы напряжений и токов, каждый из
которых равен сумме амплитуд падающих и отраженных волн
(индекс w при U и I опущен); Y = Z“] — квадратная матрица
проводимостей.
Уравнения (7.1) и (7.2) применимы и при наличии в каж-
дом из волноводов нескольких распространяющихся волн.
Математическая формулировка проводимостей, вытекающая
из решения уравнений электромагнитного поля, дана в гл. 6.
Уравнения (7.1) и (7.2) позволяют в полной мере использо-
вать для анализа схем СВЧ теорию низкочастотных электри-
ческих схем, в настоящее время достаточно хорошо разрабо-
танную [20].
Однако в технике СВЧ, как правило, непосредственными
объектами измерения являются не проводимости и сопротивле-
ния, а коэффициенты отражения и передачи. Поэтому для ана-
лиза и синтеза электродинамических устройств наряду с ис-
пользованием матриц проводимостей (сопротивлений) большое
применение нашли волновые матрицы: матрицы рассеяния и
матрицы передачи, которые устанавливают связи между падаю-
щими и отраженными волнами.
232
Приведем определение матрицы рассеяния и ее основные
свойства. Полное поле на зажимах многополюсника равно сумме
падающих (бегущих к многополюснику) и отраженных (бегущих
от многополюсника) волн:
(7.3)
(7.4)
где в индексе плюс
женным волнам.
относится к падающим, а минус
отра-
к
1

X(S)
г
г

1
Рис. 61. Схема четырехполюсника.
На рис. 61 изображена схема четырехполюсника в волно-
водном тракте с волновыми проводимостями волноводов Уг и
У2, для которого уравнение (7.1) имеет вид
U^Y^ + Y^,
где
иг = и- + и-, U2=U^U~,
Л=^о+^1» Л = +
Между амплитудами поперечных составляющих электриче-
ского и магнитного полей в волноводах, присоединенных к про-
извольному линейному многополюснику, существует следующая
связь:
I+=Y„U+, r=-YwU".	(7.5)
1 = YW(U+ — U-), U = Z„(I+ —I"),	(7.6)
где YW = Z“1 — диагональная матрица, составленная из волно-
вых проводимостей распространяющихся волн в волноводах.
Учитывая (7.3) и (7.6), уравнение (7. 1) можно переписать:
(YW + Y)U- = (Y„-Y)L+.	(7.7)
Умножая (7.7) слева на (YW4“Y)-1, получим
U- = (Y„ + Y)-1 (Y„ — Y) U+ = SeU+,	(7. 8)
233
где Sg— матрица рассеяния по электрическому полю (напряже-
нию): •
S. = (Y„+Y)-i(Y„-Y).	(7.9)
Аналогично из уравнения (7. 2) получим
I- = S*I+,	(7.10)
где SA — матрица рассеяния по магнитному полю (току):
S4 = (Z„ + Z)-1(ZW-Z).	(7.11)
В дальнейшем там, где возможно, индексы е и h будут опу-
скаться.
Диагональные элементы матрицы рассеяния S рр представ-
ляют собой коэффициенты отражения, а взаимные элементы
Spi— коэффициенты передачи из g-го в р-е плечо, когда все
плечи многополюсника нагружены на согласованные нагрузки.
Для четырехполюсника, схема которого изображена на рис. 61,
в развернутом виде имеем
ГТ = 5п^ + ад,
u~=s^+s22ut,
причем
а __ ^2
21 и+ 4=о’
0—^2
° 22- г,+	.
Ui ut=o
Установим соотношение между матрицами рассеяния по на-
пряжению и току. Из уравнения (7.2), используя (7.4) и (7.5)^
можно получить
U-= (ZY„ +1)-1 (ZY„ — 1) U+ = SeU+,	(7.12)
где 1 — единичная матрица.
Так как
Y„ = Z-\	(7.13)
то уравнение (7. 12) может быть переписано:
и-=—Z„ (Z„+Z)-1 (Z„ - Z) Z~lU+.
Таким образом,
Se = -ZAZ7*.,	. (7.14)
Относительно матриц рассеяния могут быть сформулированы
следующие общие свойства,
234
1.	Если активными потерями в устройстве пренебречь, то
SS* = 1,	(7.15)
где S* — матрица, комплексно сопряженная с S.
Действительно, при отсутствии потерь Yw содержит чисто
вещественные элементы, поэтому ¥* = ¥„, a Y — чисто мнимые
элементы, поэтому Y* = —Y,
SS* = (Yw + Y)-1 [(Y„ - Y) (Yw - Y)~4 (Yw + Y) = 1.
2.	Если YW=YO1, то матрица рассеяния является симме-
трической:
S = S„	(7.16)
где Sz— матрица, транспонированная по отношению к S.
Действительно, в этом случае матрицу (7.9) можно записать
как
8=(1+уГ(1-У),
где y = ^rY— матрица нормированных проводимостей.
Непосредственным умножением нетрудно доказать, что
(1+у)(1— у) = (1 — у)(1+у).
Умножая обе части последнего равенства слева и справа на
(1 —|-у)—\ получим
(i-yHi+yr^a+y^a-y).
Образуем матрицу Sp
8/ = [(1 + у)-1 (1 - у)Ъ = (1 - ft) (1 + у,)-1.
При вещественных координатных функциях поля на отсчет-
ных плоскостях многополюсника матрица проводимостей яв-
ляется симметрической:
У = Ур
Следовательно,
sf = (1 - у) (1 + у)-1 = (1 + У)-1 (1 - У) = S.
3.	Если многополюсник не обладает потерями и волновые
проводимости присоединенных к нему линий одинаковы, то мат-
рица рассеяния будет унитарной:
ss;= 1.	(7.17)
2 35
Из унитарности матрицы рассеяния следует, что
2|<W=i,
S .	(7-18)
(fe)
т. е. сумма квадратов модулей любого столбца (строки) мат-
рицы рассеяния равна единице, а сумма произведений коэффи-
циентов одного (любого) столбца на комплексно-сопряженное
значение другого равна нулю.
Первое условие (7.18) выражает закон сохранения энергии,
второе определяет фазовые соотношения между коэффициентами
этой матрицы. Унитарность матрицы рассеяния накладывает
ограничения на число независимых параметров S^.
Если волновые проводимости волноводов, присоединенных
к многополюснику, различны, то матрица рассеяния не будет
симметрической. Однако можно перейти к такой нормировке
поля в волноводах, при которой матрица рассеяния для новых
оконечных переменных вновь будет симметрической.
Пусть новыми, нормированными переменными на w-x зажи-
мах устройства будут величины U* и Za, которые пропорцио-
нальны прежним переменным на этих зажимах Uw и /w, причем
при изменении переменных выражение для мощности должно
сохраниться инвариантным:
и г ——и*1**
&	2 w w— 2 ww '
Тогда можно записать
£/а Г
(7.19)
Коэффициент пропорциональности nw можно выбрать таким
образом, чтобы это отношение было равно постоянной вели-
чине Уо для любого w (т. е. для любой волны в волноводах).
Тогда
4=±у„=±<%,
(У w
откуда для коэффициента пропорциональности имеем
<7Л°)
где Yw~волновая проводимость де-й волны в волноводе.
Величина п^, как это следует из (7.19), имеет смысл коэф-
фициента трансформации идеального трансформатора.
236
Для того чтобы найти закон преобразования внешних пара-
метров многополюсника, запишем преобразование оконечных
переменных в матричной форме:
UH = n'U,	(7.21)
где и'—диагональная матрица, составленная из коэффициен-
тов п'ю.
Подставим (7.21) в систему уравнений (7.1):
Уп'-Ч^пТ1
и умножим слева на п'"*1. Получим
YHUH = r,	(7.22)
где
Ya = n'~1Yn'.	(7.23)
Таким образом, преобразование к нормированной матрице
проводимостей производится аналогично (6.193). Если преобра-
зование касается коэффициентов матрицы рассеяния, то
(7-24)
ик niuk г h
Как видно из (7.24), преобразованию подлежат только
взаимные коэффициенты	коэффициенты отражения (i = k)
сохраняются неизменными. Нормированная матрица рассеяния
будет симметрической.
Часто нормировка параметров схемы производится к харак-
теристической проводимости, равной единице (F0 = l). Тогда
(7.25)
т. е, коэффициент пропорциональности равен корню квадрат-
ному из волновой проводимости волновода для данной волны.
Следует отметить, что при этих преобразованиях нормирован-
ные проводимости г/, эквивалентные неоднородностям в волно-
воде, сохраняют свои значения неизменными, поскольку пре-
образование в равной степени относится ко всем проводи-
мостям, и их отношение не изменяется.
§ 2. МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ СИММЕТРИЧНЫХ
МНОГОПОЛЮСНИКОВ
Многополюсник может обладать тем или иным видом сим-
метрии, которая накладывает дополнительные ограничения на
его электрические матрицы (матрицы проводимости, сопротив-
ления и рассеяния).
237
Электромагнитные поля на отсчетных плоскостях многопо-
люсника должны быть инвариантными относительно симметри-
ческой операции [16, 53]. Простейшими симметрическими опера-
циями являются отображение цепи относительно плоскости и
поворот относительно оси симметрии (плоскостная и осевая
симметрия). При этих операциях поле на одной из отсчетных
плоскостей должно быть инвариантным полю на другой сим-
метрической плоскости.
Пусть симметрическое преобразование относится к г-й и Л-й
отсчетным плоскостям (зажимам) многополюсника; преобразова-
ние, заключающееся в инвариантном изменении места поля на
зажимах
Uk-+U'k = Ut, 1к-+гк = ц,]
(7. 26)
удобно представить с помощью матрицы оператора симме-
трии РЛ:
Ра
иг
U*.
и\-
U'k_
где
i
р  * О
r ik — , .
к 1
к
Г.
О
(7. 27)
В целом для всех пар зажимов 2Лг-полюсника в матричной
форме имеем
PU = U',	(7.28)
где оператор симметрии Р представляет собой квадратную мат-
рицу порядка N, состоящую из нулей и единиц. Единица стоит
на пересечении строки и столбца, номера которых соответ-
ствуют симметричным плечам многополюсника; остальные эле-
менты ртой матрицы равны нулю.
Операцию преобразования (7. 28) можно записать раздельно
для отраженных и падающих волн:
PU- = U'-, PU+ = U'+.	(7.29)
Исходные и преобразованные напряжения должны удовле-
творять уравнениям
U- = SU+,	(7.30)
U'- = SU'+.	(7.31)
Из (7. 29) и (7.31) имеем
PU- = SPU+,
238
а подставляя сюда (7.30), получим
PSU+ = SPU+
или
(PS —SP) и+ = о.
Поскольку последнее уравнение справедливо для . любого
вектора U+, то
PS = SP.	(7.32)
Аналогичные уравнения могут быть получены и для других
электрических матриц многополюсника:
Р¥ = ¥Р, PZ = ZP.	(7.33)
Так как симметрия может иметь место относительно несколь-
ких плоскостей и осей, то в зависимости от вида и полноты
симметрии для данной цепи имеется группа операторов. Среди
этой группы могут быть выделены образователи, т. е. такие
операторы, из произведения которых получается любой оператор
группы. Коммутативность образователей с электрическими мат-
рицами автоматически обеспечивает коммутативность с любым
симметрическим оператором. Действительно, пусть имеются три
оператора Р1? Р2 и Р3, причем Рх и Р2 являются образовате-
лями, которые коммутируются с матрицей рассеяния:
P1S = SP1,	(7.34а)
P2S = SP2,	(7.346)
а оператор Р3 равен
Рз = Р2Рг	(7.34в)
Умножим (7.34а) сперва на Р2; учитывая (7. 346) и (7. 34в),
убеждаемся, что
P3S = SP3.
Многополюсник может также обладать антиметричными свой-
ствами, при которых изменение места поля на зажимах сопро-
вождается изменением знака:
и<=-ик, Ц = -1к.
При определенном виде симметрии многополюсника могут
быть заранее установлены операторы отображения и соответ-
ственно ограничения на коэффициенты матрицы рассеяния. До-*
полнительным условием физической реализуемости реактивного
многополюсника служит выполнение условий унитарности этой
матрицы.
Рассмотрим некоторые конкретные виды четырех-, шести- и
восьмиполюсников СВЧ.
239
Четырехполюсники (рис. 61) имеют единственный опе-
ратор симметрии
’ ГОП
Р=[ю]'	<7'35)
Матрица рассеяния симметричного четырехполюсника после
использования уравнения (7. 32) может быть записана так:
Рис. 62. Схема шестиполюсников с последовательным (а)
и параллельным (б) соединением линий.
причем из унитарности матрицы рассеяния четырехполюсника
без потерь имеем
| а |2 4-1 р |2 = 1;	+ ра* = 0 (Re ар* = 0).	(7. 37)
Из второго условия (7.37) следует, что коэффициенты аир
должны иметь постоянный фазовый сдвиг, равный ± у. Выра-
жения (7.36) и (7.37) позволяют записать матрицу рассеяния
«физически реализуемого симметричного четырехполюсника в виде
S =
’ cos	i sin	'
i sin	cos cpr**
(7. 38)
где ср и ф— независимые вещественные параметры,
240
Шестиполюсники. На рис. 62 изображены схемы шести-
полюсников с последовательным и параллельным включением
ответвляющей линии, отличающейся видом симметрии.
Оператор отображения первого шестиполюсника (рис. 62, а)
в плоскости Р3 имеет вид
р3=
'О 1
1 О
О О
О'
о
—1_
(7. 39)
Оператор (7.39) меняет местами поля на зажимах 1 и 2 без
влияния на зажимы 3; отображение собственных зажимов 3—3'
в данной плоскости антиметрично.
Матрица рассеяния шестиполюсника, коммутирующаяся
с оператором Р3, будет следующей:
(7.40)
Оператор отображения второго шестиполюсника в плоскости
Р3 (рис. 62, б) равен		
	'0 1 0'	
рз =	1 0 0	(7.41)
	-0 о	
и матрица рассеяния будет
	^11 *^12 j *^13		а ₽	т	
s=	*$21 *^22 j *$23		:	Р а	т	(7-42)
	^31	^32 ’j ^33 _		_т т	8_	
На шестиполюсник могут быть наложены и более полные
условия симметрии: симметричность относительно нескольких
плоскостей, а также относительно оси.
На рис. 63 схематически показан шестиполюсник, имеющий
три плоскости симметрии Рп Р2 и Р3, которые пересекаются
вдоль одной главной оси симметрии. При повороте на 120 и
240° относительно этой оси шестиполюсник параллельного вклю-
чения остается инвариантным. Оператор поворота Р4 на 120°
равен:
J)
0 1"
0 0
1 0
(7.43)
0
Теория волноводов
241
Операторы (7.41) и (7.43) являются образователями группы
данного соединения: любой другой оператор симметрии может
быть получен как произведение одного или большего числа
Рис. 63. Схема шести-
полюсника, обладаю-
щего полной симмет-
рией.
непосредственным умножением
Рис. 64. Схема восьми-
полюсника.
нетрудно убедиться, что операторы симметрии относительно
плоскостей и Р2 и поворота на 240° (Р5) равны: РХ = Р3Р4,
Р2=Р3Р1, Р5=Р3Р4Р3.
Используя уравнение (7.32), в которое S подставляется из
(7.42), получим матрицу рассеяния, коммутирующуюся с обоими
образователями группы, а следовательно, и с любым оператором
S =
(7.44)‘
а
Восьмиполюсники (рис. 64). Одним из широко из-
вестных восьмиполюсников СВЧ являются двойные Т-образные
соединения волноводов, которые имеют оператор симметрии
в виде
Р =
0 1 1 0	0 0 0 0
0 0 0 0	—1 0 0 \
(7.45)
242
и соответствующую матрицу рассеяния
(7.46)
Рассмотрим свойства, которые будут вытекать из того обстоя-
тельства, что коэффициенты у и 8 равны по модулю и нахо-
дятся в квадратуре:
5 =	а В = е.
Тогда из унитарности матрицы следует, что
а = 0, f ₽| = |e|==Vl —2|Т|2.
Матрице рассеяния устройства с подобными свойствами может
быть придан следующий общий вид:
S —	0	0	V2 -П1 e~*?i V2	-W’*i <2 V2	, (7.47)
о		V2	~г71 e-<?i V2- в		0	
	_ <2	<2	0		
где срр и — вещественные числа, причем

Более общим видом симметрии восьмиполюсников является
такой, который характеризуется операторами
p —	0 1 1 0	0 0“ 0 0	p —	0 0 0 0	1 0 0 1	p —	“0 0 0 0	0 1“ 1 0
rl —	0 0	0 1	,	r2		1 0	0 0	»	r3 —	0 1	0 0
	_0 0	1 °_		_0 1	0 °-		_1 0	0 °_
16*
243
Любые два из этих операторов можно принять за образова-
телей группы, так как Р3 = Р1Р2, Р1 = Р3Р2, Р2 = Р1Р3. Матрица
рассеяния, коммутирующая с операторами симметрии, имеет вид
s=	5П 512 $ 5]3 *5*21 *^22 i *^23		со Со Ю	I-* 4*.	4* 	—1	=	1 "СО $5 Я "ТО		1 <5©		(7.48)
	*^31	*$32 ; *$зз	5>34		т	3	а. р		
		*^42 : ^43	544_		3	т		а	
причем из унитарности матрицы рассеяния следует, что
1«|2 + 1№ + 1т12 + 1Ч2 = 1,	(7Л9а)
Re (ар* -|- т3*) = Re (аТ* + р8*) = Re (аЗ* -f- pf) = 0. (7.496)
Для удовлетворения условиям (7.496) необходимо, чтобы
коэффициенты матрицы рассеяния попарно были в квадратуре.
Положим, что
а = а1(Г/^, ₽ = Р1е"й?», =	Ъ=.1\ег^^
где ах, рр 8р срх— вещественные величины.
Тогда последние два условия цепочки равенств (7.496) вы-
полняются при любых значениях коэффициентов а, р, у, 8,
а первое условие этой цепочки накладывает следующую связь
между ними:
а1₽1 + Т1§1 = °.
Если восьмиполюсник согласован (а = 0), то с неизбежностью
следует, что два его плеча развязаны (либо у = 0, либо 8 = 0).
И наоборот, если в восьмиполюснике два плеча развязаны, то*
он не вызывает отражений на своих зажимах. Для таких восьми-
полюсников имеем
S = или S =	“ 0	Р^^ ; р^*»*	0	0 0	> (7.50)
	0 _ 0 ~ 0 Pjir^* 0	0	Р1е_<<р» 0 _ i 0 i\er(f~ i i81e_/<P> 0	
	0 Jtijer'vi 0	0	P1e_,,f,‘ \ Pje-*'?'	0	
244
§ 3. ВОЛНОВЫЕ МАТРИЦЫ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
Матрица передачи четырехполюсника. Кроме
матрицы рассеяния, для четырехполюсника удобно ввести ма-
трицу передачи, которая связывает амплитуды волн электри-
ческого или магнитного поля на входных зажимах с амплиту-
дами поля на выходных зажимах:
и1 = Тви2, |
Ii = TJ2, /
(7.51)
где
Удобство введения матрицы передачи заключается в том,
что матрица передачи каскадного соединения четырехполюсни-
Т
Рис. 65. Схема каскадного соединения четырех-
полюсников.
ков (рис. 65) равна произведению матриц передачи отдельных
каскадов:
Т=Т1Т2...Т„.	(7.52)
Связь между матрицами передачи по электрическому и маг-
нитному полям может быть установлена следующим образом.
Запишем первое уравнение (7.51) в развернутом виде:
j
Учитывая, что
U+ = ZWI\ u- = -zwr,
где Zw— волновые сопротивления линии, присоединенной к четы-
рехполюснику, перепишем систему уравнений (7. 53)
245
откуда следует, что
, ____Z2	^12
^21	^22_ е
(7.54)
Из системы (7. 53) видно, что коэффициенты матрицы пере-
дачи вычисляются в предположениях:
t = -^ t
11	#=о’	12 “ Ut
j
- I
поэтому при различных волновых сопротивлениях линий связь
между ненормированной и нормированной матрицами передачи
следующая:
Te=\ZzJZ2T«. (7.55)
Вносимое затухание четырехполюсника определяется коэф-
фициентом	j
L — 20 log | Ju| дб.	?
Произведем сравнение некоторых свойств матриц рассеяния
и гередачи. Связь между коэффициентами матриц Т и S опре- ;
деляется следующим образом:
1	~~^22
521	^21
^11 С  *^11^22
|_S21	12	*21 J
*21
*11
1
— *11
с *12*21
22
~*12
*11 ' —
(7.56)
Если волновые матрицы нормированы в соответствии с (7. 24)
и (7. 55), то условием обратимого четырехполюсника является
5i2---^l
или
det [Т] = ^ц^22	^12^21== 1»	(7 • 57)
где det[T]— определитель матрицы Т.
Если обратимый четырехполюсник симметричен, то
^11 = ^22 или *12 = — *21-	(7.58)
Наоборот, условием асимметрии является
5П = —522 или t12 = t21.	(7.59)
246
Изменение направления
коэффициентов в матрицах
передачи соответствует перестановке
следующим образом:
Г S.
Q ______
об₽ — S.
22 *^21
12 ^11 _
Т —	1
Аобр— det [Т]
/ ________/
«'ll	*21
.	^12	^22.
(7. 60)
Действительно, при изменении направления передачи нужно
было бы написать
т ГП
/7~] — обр C7+J ‘
Так как U^TUg, то U2 = T~1U1, или, используя (7.51) и
сделав соответствующие перестановки, имеем
= det [Т]	1	1^’
~ det [Т] ( ^12^1 + ^22^1)»
откуда и следует выражение для Тобр.
Ниже будут рассматриваться волновые матрицы по напря-
жению.
Матрицу рассеяния четырехполюсника общего вида, удовле-
творяющую условиям унитарности, можно записать в виде
S =
cos	i sin
i sin (ре-^Фн-Фг)/2 cos сре“*Ф«
(7.61)
где ср, и ф2 — независимые вещественные параметры.
Используя (7.56), найдем соответствующее выражение для
матрицы передачи:
Т
1
i sin ср
е*(Ф1+ф2)/2
cos
—cos	’
—е-»ЧФ1+ф2)/2
(7. 62)
Угол ср может быть назван мерой модуля, а углы фх и ф2 —
мерами фаз волновых матриц. Условием симметрии четырех-
полюсника является ф1 = ф2 = ф, а условием антиметрии =
= ф2 —|—тс- Следовательно, матрицы антиметричного четырех-
полюсника имеют вид
Т =
—cos сре~*Ф
sin сре~*Ф
sin сре~ *'Ф
cos сре~ *Ф
1
sin <р —cos
—cos ср
е-*Ф
(7.63)
е~^
247
Найдем волновые матрицы наиболее часто используемых
устройств СВЧ.
Отрезок однородной длинной линии (волно-
вода). Волновые матрицы однородной длинной линии (волно-
вода), электрическая длина которой для данной волны равна 6,
имеют вид
Г 0 е~*01	Ге**0 0 1
Т —
е~*’0 0 ’	о e-i6
(7.64)
Параллельная проводимость в линии. Отрезок
длинной линии с шунтирующей проводимостью у, нормирован-
12
1 г
। 1 ।
I —I_________
1	2
Рис. 66. Схема сосредоточенной нагрузки в линии.
а — параллельная; б — последовательная.
ной по отношению к волновой проводимости линии (г/0=1),
изображен на рис. 66, а. Коэффициенты отражения определяются
известным из теории длинных линий образом и равны
с __ с __ 1 — (1 + у) _
^11 — ^22— 1 + (1 + у) — 2 + у •
Для отыскания коэффициентов передачи запишем граничное
условие стыка однородной линии с шунтирующей проводи-
мостью, которое заключается в равенстве напряжений по обе
стороны от шунтирующей проводимости U1 = U2 или	=
= ut+u~.
Следовательно,
с ______________ ^1	_4 ; с ___ 2
12“^ ,f=o_ + 22-2 + ^’
Итак,
У_
2
(7.65)
248
Если шунтирующая проводимость чисто реактивна
то, вводя обозначение
ъ
ТС - тс
у,
(7. 66)
получим
S =	"— COS Ср	i sin ср	т-	1	cos cp	. (7.67)
	i sin ср	—COS ср		i sin <р	—cos cp —	
Последовательное сопротивление в линии.
Отрезок длинной линии с последовательно включенным норми-
рованным сопротивлением z изображен на рис. 66,6. Коэффи-
циенты отражения от сопротивления равны
Q _ Q _ (1 + Z) 1 _ Z
Оц_022— (1+z) + 1 — 2_i_2.
Граничным условием стыка является равенство нулю пол-
ного тока:
Д + /2 = 0 или + =	+
Поскольку волновые матрицы определяются по напряжению,
то перейдем от граничного условия по току к граничному усло-
вию по напряжению:
Следовательно,
Итак,
(7. 68)
Если последовательное сопротивление чисто реактивно (z = ix),
то, вводя обозначение
получим
cos ср
i sin f
i sin ср
COS ср
ctgcp = —у,
eif? —cos ср
l sin <? L cos cp .—
(7.69)
(7.70)
S = e-tc?
T
Для нахождения матрицы передачи, соответствующей четы-
рехполюснику общего вида, потребуется перемножить нужным
образом матрицы передачи его элементов. В качестве примера
рассмотрим Т-образный четырехполюсник.
249
Т-образньп! четырехполюсник (рис. -67). Матрица
передачи такого четырехполюсника, включенного в длинную
Рис. 67. Схема Т-образного четы-
рехполюсника.
линию, равна
TzZzTJJg,
где Тх и Т3 определяются мат-
рицами типа (7.68), Т2 опреде-
ляется матрицей (7. 65).
В результате перемножения
получим
Ai= 1 + у (1 + 2i + 22 + zih) + у (zi + 2г)>
^12=yJ/(1 + Zi —22 —V2) —y(Zl + Z2)> j
*21 = “ 4 У — Z1 + Z2 — г1гг) + 4 (Z1 + Z2>>
*22 = 1 — 7 У (1 — Z1 — Z2 + Z1Z2) — 4 (Z1 + Z2>-
(7- 71)
Как известно, к схеме Т-образного четырехполюсника сво-
дится и схема трансформатора (рис. 68). Для теории схем СВЧ
Рис. 68. Схема трансформаторов.
а и б — реального; в — идеального.
представляют интерес волновые матрицы идеального трансфор-
матора.
Идеальный трансформатор. Идеальным трансфор-
матором называют четырехполюсник без потерь, у которого
между напряжениями и токами на его зажимах существует
связь
и,= — и2, 1г=пк,	(7.72)
где п — вещественное число, называемое коэффициентом транс-
формации.
Идеальный трансформатор относится к трансформаторам
с полной связью
2a=v'v^'	<7-73)
250
Сопротивления его обмоток принимаются бесконечно боль-
шими, однако их отношение остается конечным:
(7.74)
Матрицу передачи идеального трансформатора можно полу-
чить из (7.71), полагая в них
--zn Zm------V^h^22--------%U (1	’
z2 = Z22 — zM = — znn (1 — n),
_ 1 _ 1 _ 1
^M Инг	\Г? 7	ИцП ’
M	V Z]jZ22	11
и затем устремляя zu-> co.
Окончательно запишем
(7.75)
Т =
s =
СР-----
rl - n2
1 + «2
2п
2 •
1 4-п2
1 — П2
(7. 76)
-14“
1 +«2j
Введя параметр
n = ctg-| ,
(7.77)
волновым матрицам идеального трансформатора можно придать
следующий вид:

1
sin
1	—COS Ср
— COS Ср 1
—cos ср sin ср
sin ср cos ф
Стык однородных длинных л и ний (рис. 69). Коэф-
фициенты отражения от стыка двух однородных длинных линий
с разными (Уг и У2) волновыми про-
водимостями равны	4 4
О __ 2 2	7 3 _ О	> 9
° 22 — Y2+Y1—	1?
Рис. 69. Схема замещения
Граничное условие на стыке опре- стыка- двух однородных
деляется равенством нулю полного то- длинных линий.
ка Z1-|-/2 = 0, которое с учетом того,
что волновые проводимости линий различны, можно переписать:
yi(rt-t7T) = y2(f7t-^)-
251
Следовательно,
- _ *7	_9 х— 2у2
12	— £7+ »Х=° ~ У1 ' . £/+ “У/	22' ~ Y1 + Y2
, _	_YT Ut-UT_Y1/.	2Yr
21	~ UX б+=о“ Г2' Ut ~Y^	°и;— у1 + у2
Переходя по формуле (7. 24)
там, получим
пН __ Г1Н _
012--^21 —
к нормированным коэффициен-
л+у2 ‘
Вводя обозначение
получим волновые матрицы стыка, аналогичные матрицам
идеального трансформатора,
ИЛИ
где
Г1 — Д2
1 +»2
2п
SH =
-2 д2
SH =
2п
1 +«2
1 -П2
1 +n2J
грн ___
1
sin Ср —COS Ср
—COS ср
• 1
(7. 80)
"—cos ср sin ср'
sin ср cos ср J ’
грн____	1
ctg у =77
(7.81)
Плоско-по перечный стык двух волноводов раз-
личного сечения. Схема замещения плоско-поперечного
стыка двух волноводов различного поперечного сечения была
получена в общем виде (см. рис. 58). Поскольку скачок волно-
вых проводимостей можно свести к включению в схему идеаль-
ного трансформатора, то обобщенный коэффициент трансформа-
ции рассматриваемого стыка может быть записан так:
nJ1
П = -^-
(7.82)
Нормированная матрица передачи сочленения будет равна
произведению ТН = Т!Т2Т3, причем матрицы Т\ и Т3 шунтирую-
щих проводимостей даются формулами (7.67) (ср — срг и <р3 соот-
ветственно); Т2 определяется матрицей идеального трансформа-
252
тора (7.78)	= где п берется из формулы (7.82^
Произведя вычисление, получим
Тн___ 1
1 — 1а	—cos ср2 — йх'
sin?2 [—cos ср2 -1- ia	1 -J- /а
(7. 83)
Здесь для сокращения записи введено обозначение
« = ctg ?з + ctg + cos ?2 (ctg cp3 — ctg <Pj).	(7. 84)
форму-
Переход к матрице рассеяния осуществляется по
лам (7.56), а к ненормированным волновым матрицам — по фор-
мулам (7.24) и (7.55).
Рис. 70. Схема ^Я-сочленений.
а — общего вида; б — вырожденного.
§ 4. МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ
Т-ОБРАЗНЫХ СОЧЛЕНЕНИЙ
ВОЛНОВОДОВ
Т-образные сочленения
волноводов с полной и не-
полной связью широко ис-
пользуются в технике СВЧ.
Получим матрицу рассеяния
последовательного и парал-
лельного ответвлений волно-
водов (Е- и Я-сочленений),
а затем и матрицу двойного
ЕН-сочленения (рис. 70).
При единственной распро-
страняющейся волне в вол-
новодах первые два сочлене-
ния относятся к шестиполюс-
ным устройствам, ЯЯ-сочле-
нение — к восьмиполюсному
устройству.
При аппроксимации по-
ля четными относительно
центра отверстия zQ подхо-
дящими функциями схемы
замещения Я- и Я-сочленений изображены на рис. 55 и 56. Для
определения амплитуды поля на отверстии при Я- и Я-сочлене-
ниях имеем
Аст + fe”
Г+Г1 
(7.85)
Внешние параметры волновода с отверстием в торце на осно-
вании (6.91)—(6.93) при zJx = O, учитывая, что

253
запишем в виде
^11=711^4-^11,
^ = 2/^{jn}n = 2ynn^,
U3—U+-\-U~ = en.
(7.86)
Внешние параметры волновода с отверстиями в боковой
поверхности для Е- и Я-тройников имеют различные значения,
поэтому рассмотрим их раздельно.
Сочленение в плоскости Е. На основании (6.38)
имеем

£P-{Et) = ^.
Для амплитуды поля (7. 85) на отверстии получим
"	_	"2yjTn£/+ + yJm£Z+
VB —	л	«
yj1»2 + ~2 Y*omz + (iBi + «В»)
(7. 87)
Будем искать нормированные матрицы рассеяния сочленений,
т. е. предположим, что волновые проводимости основного I и
ответвляющего II волноводов одинаковы (У£=У*1=У0). При
разных волновых проводимостях в случае необходимости пере-
ход к ненормированной матрице рассеяния может быть осуще-
ствлен по формуле (7.24). Следовательно,
+	(7.88)
—-------j--------,
п2 + -о- тп2 + ib
&
где
b=J_(Bi4-BH).
1 о
Матрица рассеяния Я-сочленения в силу симметрии имеет
вид (7. 40), т. е.
5ц = 522, 512 = 521, 513 = 531,
^гз= 32= ^хз*	(7.89)
Поскольку плоскости отсчета помещены в центр отверстия,
то для амплитуд отраженных волн на них можно записать
254

U~ = eEn — U+.
Отсюда для коэффициентов матрицы рассеяния получим
/ j	\ »
Г2=13=°	2 (И2 + Т т2 + 1Ь )
(7. 90)
uf ^+=0
1
п2 +~2 т2 + ib
2п2
^3
1
п2 + ~2~ w2 + lb
Формулы (7.89) и (7.90) полностью определяют нормиро-
ванную матрицу рассеяния ^-сочленения. На их основании
матрице рассеяния ^-сочленения можно придать следующий
вид:
где ар ft, <р' и срх — вещественные числа, причем
₽?+т!=1> ctg?i=
Сочленение в плоскости Н. На основании (6.49)
имеем

t/i+{ET) = C/n-{Ej = _z
255
Для амплитуды поля на отверстии //-сочленения получим
(при yj = yn=y0)
ед	.	(7.92)
п2 4" ~2	4"
Матрица рассеяния Я-сочленения имеет вид (7.42), т. е.
== 522,	*~Чз:==*^3i= $23 = *^з2*	(7.93)
Для амплитуд отраженных волн на отсчетных плоскостях
запишем
U-=U^{E4} = -i^,.
енпг
U-2 = Ut + U^{Ez} = Ut-i-^-t
и- = еип — и+.
Отсюда для коэффициентов матрицы	рассеяния получим	
с  	—ffl2 /	1	V 2г2+тто2+г6) ^21 = 1 + ^11> с  	—imn ^31	j	» n24~y m24~ ib 0 _	2n2 ° 33	1	-1,	(7.94)
n2 + •9“ тп2 +		
что вместе с формулами (7. 93) полностью определяет матрицу
рассеяния Я-сочленения.
На основании формул (7.93) и (7.94) матрице рассеяния
Я-сочленения может быть придан вид
S =	—,<P1 1 — iaie-(vi	1 — ia^71 —га^-’71	71 V2 6 71 VFe	(7.95)
	Ti _ <2	Ti fi-<n V2	—	
где ап ft, и <рг—вещественные числа, причем
4. г	Ъ
ctg fi =-----{-----.
n2 + *2" m2 .
256
Двойное EII- сочленение (рис. 70, а). При аппрокси-
мации поля на отверстиях подходящими функциями система
уравнений для определения амплитуд поля имеет вид
е1^11“Ье2^12---ст » )
“Ь е2^22 ~ ^2ст> J
I ^1ст ^ст + ^т, ^2 ст ^2ст ~F ^2ст*
Решение системы (7. 96) есть
__ ^1ст^22 ~ ^2стУ12
1 У11^22““ ^12	’ 	(7.97)
__ ^2ст^11 ~
в2~	У11У22-У212	’
Касательные электрические поля на отверстиях принадлежат
к системе	взаимно-перпендикулярных	векторов	и	могут быть
представлены четными функциями относительно центров отвер-
стий. Если при этом центры отверстий находятся на одной ко-
ординате z0, которую примем за нулевую (zo = O), то, как это
следует из (6.57), ^/12 = 0. Тогда
^ = 6^,	^2ст ”* ^Т/ст»	(/.98)
где ед, ед, Ьдст, Ьдст соответствуют параметрам Е- и Я-сочле-
нений.
ЕЯ-сочленение обладает плоскостью симметрии, проходящей
через координату z0 и поперечное сечение волновода I; при этом
в .соответствии с (7. 46) коэффициенты матрицы рассеяния имеют
следующие связи:
5ц = 522, 512 = *Sr21, 513 = 531 = S23 — 532,
514 = Е41 = 524 = 542, S34 = 543 = 0..	(7. 99)
Для определения коэффициентов матрицы рассеяния запишем
амплитуды отраженных волн в отсчетных плоскостях:
U~=	{Е^} + U1" {ЕтЯ) =	-
ентн
и-=их + Щ+ (Ет4 + и» {ЕхЯ} = их -	- ie^,
&	Ci
П Теория волноводов
257
U~ = сёпё — U*,
U 4 = е^пн. — U+.
В результате для коэффициентов матрицы рассеяния ЕН-со-
членения получим
5П = Sn$ 5цй =
т2

Ё
т2
”2+2
н
5<
т2
! (п2 ~|~ “2“ т2 -J- i
т2
п2 + -у т2 + ib
Ё
И
S3i — S31# —
54i — 831н —
^зз — S33E —
544 — 833н —
— 1,
— 1.
(7.100)
Формулы (7.99) и (7.100) полностью определяют все коэф-
фициенты матрицы рассеяния .ЕЯ-сочленения.
К той же схеме восьмиполюсника, обладающей коэффициен-
тами матрицы рассеяния (7. 99) и (7.100), сводится перпенди-
кулярное сочленение двух волноводов, изображенное на рис. 70, б.
В волноводе I распространяется основная волна TE1Q. Волно-
вод возбуждается двумя взаимно-перпендикулярными щелями
и имеет квадратное сечение.
Таким образом, в этом волноводе будут распространяться
две волны ТЯ10 и ТЯ01 с взаимно-ортогональной поляризацией,
каждая из которых в схеме замещения должна быть представ-
лена своей эквивалентной длинной линией.
В случае, если электрические параметры Е- и Я-сочленений
выбраны одинаковыми, матрица рассеяния Я- и Я-сочленений
имеет вид (7.47).
258
§ 5. СОЕДИНЕНИЯ МНОГОПОЛЮСНИКОВ
В том случае, когда сложное волноводное устройство может
быть расчленено условными границами на ряд элементарных
многополюсников, соединенных между собой отрезками регу-
лярных волноводов, и матрицы рассеяния этих многополюсни-
ков заранее известны, характеристики всего устройства отно-
сительно внешних цепей будут найдены, если окажется возмож-
ным вычислить волновую матрицу устройства по известным
волновым матрицам его частей.
Остановимся более подробно на вопросе вычисления матриц
рассеяния сложных устройств, состоящих из ряда более про-
стых областей, матрицы рассеяния которых известны.
Каскадное соединение
Рассмотрим многополюсники вместе с примыкающими к ним
отрезками передающих линий, соединенные между собой на
внешних зажимах каскадно частью входов. Для наглядности
выкладок будем полагать, что зажимы многополюсников,
обозначенные буквами, остаются несвязанными, а зажимы, обо-
значенные цифрами, попарно соединены между собой (рис. 71).
Задача заключается в определении матрицы рассеяния S, свя-
зывающей матрицы-столбцы амплитуд падающих U+ и отра-
женных U~ волн на свободных зажимах устройства, образо-
ванного связанными многополюсниками, по известным матри-
цам рассеяния исходных многополюсников S, S2, S3, ...
Составим из коэффициентов матриц Sp S2, S3, ... сводную
матрицу Sc. Как будет видно из дальнейшего, удобно ее со-
ставить так, чтобы разбить на клетки горизонтальной и вер-
тикальной прямыми, отделяющими зажимы, которые остаются
свободными от зажимов, подлежащих связи.
В соответствии со сказанным сводная матрица Sc может
быть представлена в виде клеточной матрицы
а Ъ с...	1	2 3...
&	$аа $ab ^ас
$Ьа $ЬЪ $Ъс
С	$са &со Sсс
•: $а1 *^«2 ^аЗ * ' "
• \ sbl Sb2 Sb3. . .
’ 5 $ Cl S c2 $c3 * * ’
1 $ia $ib
8 2a $2b $2c‘
%	$3a	^3c*
. :	512 513
. : 521 $22 ^23
•i ^31 *$32 ^33
(7.101)
17*
259
Здесь Saa, Sal3, S3a, Sp3 — соответствующие клетки матрицы Sc.
Для взаимных устройств нормированные матрицы рассеяния
являются симметрическими матрицами (5^ = 5^) и
--- (8а|з)/,
(7.102)
где (Sa3)z— матрица, транспонированная по отношению к Sa?.
Заметим, что в матрице Sc представлены все коэффициенты
"ь t
Рис. 71. Схема соединений многополюсников.
в соответствии с индексами зажимов а, Ь, с, . .., 1, 2, 3. Конечно,
те из коэффициентов, в которых встречается сочетание индексов,
принадлежащих различным многополюсникам (т. е. коэффи-
циенты, не входящие в состав матриц Sx, S2, S3), будут заве-
домо равны нулю вне зависимости от свойств самих коэффи-
циентов матриц Slt S2, S3. Так, например, для случая, изобра-
260
ценного на рис. 71, будут равны нулю следующие коэффи-
циенты первой строки матрицы So:
$ab — $ас----$ ad — $ ае — $ af —• $ а% — $ а± — $ aQ — $а8 — 0 •
В терминах клеточных матриц имеем следующее уравнение,
связывающее амплитуды падающих и отраженных волн на за-
жимах многополюсников:
откуда можно записать
U; = Saali+4-Sa₽U+,	(7.104а)
Up = 8^ + 8^.	(7.1046)
На матричные уравнения (7.104) не наложено никаких усло-
вий связи. Написанные в развернутой форме они в сущности
распадутся на системы, каждая из которых характеризует не-
связанный многополюсник, нагруженный на согласованные на-
грузки. Задача заключается в наложении на эти уравнения
условий связи и исключении из матричного уравнения (7.104а)
напряжений на связанных зажимах.
Условиями, налагаемыми непосредственной связью зажимов
многополюсников, являются
U~=U+, U~=U^ U~ = U*, u;=ut и т. д. (7.106)
Теперь матрицу-столбец отраженных волн на связанных за-
261
Здесь введена матрица вида
12 3 4		
2	-0100..."	
2	1 0 0 0...	
CQ II fe	0 0 0 1... 00 1 0...	(7.108)
т. е. матрица F есть квадратная матрица для связанных зажи-
мов, составленная из нулей и единиц; единицы относятся к за-
жимам, подлежащим связи между собой; остальные коэффи-
циенты равны нулю.
Конечно, порядок чередования нулей и единиц в матрице F
не единственно возможный. Он определяется чередованием за-
жимов в клетке сводной матрицы Sc; во всех случаях еди-
ница стоит на пересечении столбца и строки для тех номеров
зажимов, которые подлежат связи.
Подставляя (7.107) в (7. 1046), получим
(F-S3?)L| = S3aU:,
откуда	(7.109)
U+=(F —S^S^U*,
где (F — S^)’1— матрица, обратная матрице (F — Sp(3).
Подставляя (7.109) в (7.104а), найдем
u;=[saa+saP(F-s₽gr spju:. (7. ио)
Таким образом, искомая матрица рассеяния, составленная
для внешних зажимов нового устройства, представляющего
каскадно связанные между собой многополюсники, будет
иметь вид
S = Saa + Sa3(F-S3?)-iS3a.	(7.111)
Для взаимных устройств, учитывая свойство (7.102), можно
записать
S = Saa + Sa3(F-Sw)-1 (Sa3)z.	(7.112)
Матрица S имеет порядок, равный числу пар зажимов, ко-
торые будут иметь новое устройство, состоящее из связанных
многополюсников; связанные зажимы, естественно, исключены.
Однако иногда бывает необходимо знать напряжения, которые
развиваются на связанных зажимах. Выражения для них можно
получить, подставляя (7.109) в (7. 107):
Up=Fu;=F(F-s^se?u:
262
и учитывая, что полное напряжение на зажимах равно
и?=и++и₽-.
Окончательно получим
и₽=(1 +F) (F-SflT S₽au:,	(7. ИЗ)
где 1 — единичная матрица.
В качестве примера методики использования преобразования
(7.111) рассмотрим многоэлементный волноводный направленный
ответвитель, в котором переда-
ча энергии в ответвляющий волно-
вод происходит в направлении
распространения волны в глав-
ном волноводе (рис. 72). Такой
многоэлементный ответвитель мож-
но представить цепочкой одноэле-
ментных ответвителей (восьмипо-
люсников), каскадно соединенных
между собой двумя парами зажи-
мов (рис. 73).
Если элементы связи обладают
Рис. 72. Многоэлементный
направленный ответвитель.
идеальной направленностью,
то матрица любого из них (например, Л-го) вместе с примыкаю-
щими к элементу с обеих сторон отрезками волноводов элек-
трической длины ~ имеет вид (7. 50)
3fc 4fc
IfcTO qk
3fc 0 Pk
^k -Pk Ofc
o Pfc’
Pk 0
о qk
qk o_,
(7.114)
причем
<h = Рк?-^, Pk = ^*'4
Фк = + ?»>
где и — некоторые вещественные числа.
263
Из унитарности матрицы рассеяния следует, что для моду-
лей коэффициентов выполняется соотношение
|&|2 + |pfe|2=l.	(7.115)
Решение задачи произведем, последовательно присоединяя
один восьмиполюсник за другим. Рассмотрим сначала соедине-
ние двух восьмиполюсников с матрицами рассеяния St и S2
вида (7.114), для которых выполняется условие взаимности
(7. 102).
Прежде всего из коэффициентов матриц Sa и S2 составим
Sap, Spa и Spp, причем порядок следования свобод-
восьмиполюсников выберем следую-
таким же, как и одиночного восьми-
матрицы SM,
ных зажимов
щим: 1р 22, Зг
полюсника (lfe,
Найдем
связанных
и 42, т. е.
3fc, 4fe).
22
Saa = о
aa
4.
-о
о
о
о
2 1—
22
О
о
о
о
31
о
о
о
о
*2
0“
0
О
0_
— О,
(7. 116)
случае матрица Saa является нулевой матрицей
т. е. в данном
четвертого порядка.
Аналогично заполняется коэффициентами из матриц
матрица Sa|3:
Sj и S2
21
^1 #1
о
Р1
о
22
4,
21-
О
92
О
Р2
Pi
О
91
О
32
0~
р2
о
(7. 117)
Поскольку матрица Saj3, как
случае симметрическая, то
ЭТО видно из (7.117), в
данном
(7.118)
Наконец, последняя матрица является нулевой матрицей
(Spp = O) и, следовательно,
2i
12
(F-Sw) =
4
3.
21 12 \ 3.
“О 1
1 О
’2
О 0~
о о
'21—
о о
о о
О 1
1 О_
(7.119)
264
Вычисления, проводимые по формуле (7.112), окончательно
дают					
	- 11	22	31	42	-	
11	0	Я1<12 + Р1Р2	0	QP2 + ?2Р1	
22	ад2+Р1Р2	0	Q1P2+42P1	0	
Sr ч						(7.120)
°(2)						
31	0	?1Р2+<?2Р1	0	М2 + PiP2	
42	_?1Р2 + 32Р1	0	QIQ2+P1P2	0	
(7. 122)
Р(я)---- 7(я~1)Ря “j” QnPttt-l)
Сравнивая (7.120) и (7.114), видим, что матрица рассеяния
ответвителя из двух элементов сохраняет ту же структуру, что
и для одного элемента. Матрицу (7.120) можно переписать так:
0 Р(2)~
9(2) 0 \РЫ 0
®(2)=	......;.....
0 Р(2)р «(2)
-Pfe) 0 \ч® 0 _
Рассматривая выражения для коэффициентов в матрицах
(7.121), (7.120) и (7.114), нетрудно перейти к рекуррентным
формулам для ответвителя с п элементами связи, если известны
коэффициенты для ответвителя с п — 1 элементами:
------------------------- 7(w-l)7w Ч~ Р(я-1)Ря» ।
причем
|^Я)12+|р&.)Г=1-
При одинаковых элементах имеем
Р1 = Р2 = Рз = * * * = Ря = #* '
В этом случае применение рекуррентных соотношений (7.122)
дает
Рт = C^q^p + C™qN~^ +	., (7.124)
где N — число всех элементов;
rN-k_ . /У!	...(N-k + 1)
(N — к) I к ! —	1-2- 3-4... к
— число сочетаний из N элементов по (N — к).
• Как видно из (7.124), к может принимать только нечетные
значения, причем максимальное значение кт1а, которым ограни-
265
(7.123)
чивается ряд (7.124), равно N, если N — нечетное, или N — 1,
если N — четное число.
Учитывая соотношения (7.114) и (7.115) при малых пере-
ходных ослаблениях с точностью до величин у3, из (7.124) имеем

Формула (7.111) применима не только к каскадному соеди-
нению многополюсников, а и к другим видам, таким, как коль-
цевое, последовательное, параллельное и т. д. Ниже будет рас-
Рис. 74. Схема кольцевого
резонатора.
смотрена методика применения этого
преобразования к наиболее употреби-
тельным видам соединений.
а)	Кольцевые соединения. Рассмо-
трим использование преобразования
(7. 111) в случае, когда часть зажи-
мов одного и того же многополюсни-
ка соединяется между собой так,
что новое устройство будет содержать
кольцевую схему. Поясним это простым
примером.
Обратимся снова к направленному ответвителю, обладаю-
щему матрицей рассеяния вида (7.114), и представим, что его
зажимы 3 и 4 нужно взаимно соединить (рис. 74). Получим так
называемый кольцевой резонатор [33], используемый для испы-
тания волноводных элементов при повышенной напряженности
поля по сравнению с напряженностью в основном волноводе.
Найдем напряжение, которое будет развиваться на связанных
зажимах, и матрицу рассеяния четырехполюсника, образовав-
шегося из восьмиполюсника при соединении двух пар его зажи-
мов между собой.
Для рассматриваемого случая сводная матрица будет просто
повторять матрицу направленного ответвителя:
12 3 4
(7.126)
Следовательно,
’266
Применяя формулу (7.113), получим
и3=
'Us-
ы
1-9
1 1] ГО 11 ГО 11 ГС7+‘
11 10 10 о
р
1—9
-t/+-
Ut.’
р
Так как	(где угол 6 равен электрической длине
резонансного кольца), то при 6 = наступает резонанс, при
котором напряжение на связанных зажимах достигает значи-
тельной величины:

(7.127)
Рис. 75. Схема последователь- Рис. 76. Схема параллельного сб-
ного соединения многополюсни- единения многополюсников,
ков.
Матрица рассеяния четырехполюсника, образовавшегося из
восьмиполюсника при замыкании его зажимов 3 и 4 между
собой, определяется по формуле (7.111)
0
1 - 8е”*9
_1 - 6e“i9
(7. 128)
Поскольку данный пример служил только иллюстрацией
использования преобразований (7.111) и (7.113), здесь не рас-
сматриваются побочные явления, снижающие качество кольце-
вых резонаторов.
б)	Последовательное и параллельное соединения. На рис. 75
и 76 изображены последовательное и параллельное соединения
двух многополюсников, обладающих матрицами рассеяния
и S2. Для того чтобы найти матрицу рассеяния многополюсника,
получившегося в результате их соединения, необходимо устрой-
ство рассматривать состоящим из трех элементов. Третьим эле-
267
ментом является узел последовательного или параллельного
сопряжения волноводов, обладающий соответственно матрицами
рассеяния и S# [матрицы (7.40) и (7.42)],
Конкретные выражения для коэффициентов матриц S# и S#
даются формулами (7.90) и (7.94) и вытекающими из них раз-
личными частными случаями. Так, для простых ответвлений
длинных линий (т = тг—1, 6 = 0) имеем
Sz =	-1/3 2/3 2/3 1/3	2/3“ —2/3	, 8Я =	-—1/3	2/3 2/3 —1/3	—«2/3- —«2/3
	_2/3 —2/3	1/3 J		_—«2/3 —«2/3	1/3_
Применяя к рассматриваемой трехэлементной схеме преобра-
зование (7.111), соответственно получим матрицу рассеяния для
последовательного или параллельного соединения многополюс-
ников.
Аналогичным образом могут быть получены другие, более
сложные соединения.
Необходимость введения третьего элемента, характеризую-
щего собой ответвление волноводов (или длинных линий) при
последовательном или параллельном соединении многополюсни-
ков СВЧ, является принципиальной особенностью этих соеди-
нений.
Многополюсник, нагруженный четырехполюсниками
Преобразование (7.111) позволяет определить также матрицу
рассеяния 27У-полюсника, нагруженного на своих внешних зажи-
мах произвольными четырехполюсниками (рис. 77). Применение
его в этом случае не требует каких-либо особых пояснений.
Для полноты картины приведем еще другое преобразование,
специализированное и более удобное в ряде случаев для дан-
ного вида соединения [29].
Будем характеризовать четырехполюсники их матрицами
передачи Т, так что для г-го четырехполюсника запишем
^=(^^+(^.•^-1	,7
268
Здесь 1 и 2 относятся соответственно к входным и выход-
ным зажимам t-го четырехполюсника. G учетом условий связи
u^=ui, U^=u-ia,
где 0 относится к зажимам многополюсника, перепишем урав-
нение (7. 129):
 то
Рис. 77. Схема многополюсника, к плечам которого
присоединены четырехполюсники.
В матричной форме для всех 2/V полюсов можно записать
где
иг=тии:+т12и;, 1
иг=т21и:+т22и0-, /
-fex 0... о... о -
0 (^г)г • • • 0 ... 0
0	0	• • • 0
ООО (tu)N
(7.130)
Принимая во внимание, что
Uo=sou+,
(7.131)
269
где So — матрица рассеяния исходного многополюсника до нало-
жения условия связи, имеем
U: = (Tu + T12S0)U0+,	(7.132а)
Ur=(T21 + T22S0)U:,	(7.1326)
откуда
и;=(т21+t22s0) (тп+t12s0)-i ut.
Следовательно, преобразованная матрица рассеяния 22V-no-
люсника с включенными на его внешних зажимах четырехпо-
люсниками будет иметь вид
s = (T21 + T22S0) (Tu + T12S0)-\	(7.133)
Отметим, что преобразование (7.133) получено в соответ-
ствии с обозначениями рис. 77, когда к зажимам многополюс-
ника подключаются выходные (2—2) зажимы четырехполюсни-
ков; таким образом, входные зажимы (1—1) четырехполюсников
будут и входными зажимами нового устройства.
Когда четырехполюсники подключаются не ко всем, а только
к части входов исходного многополюсника, тогда при исполь-
зовании преобразования (7.133) необходимо оставшимся свобод-
ными входам формально приписать матрицу передачи неиска-
жающего четырехполюсника
Рассмотрим частный случай,
являются отрезки длинных линий,
когда четырехполюсниками
для которых
Т =
хп---
е*9» О
О
где 0я — электрическая длина линии, присоединенной к n-м за-
жимам многополюсника.
Подобное преобразование, означающее смещение плоскостей
зажимов многополюсника, будет иметь вид
где
S — T22S0T111,
(7.134)
т — т-i —
*22 -- Г11 --
О e~i9> О
(7.135)
0	0 -
О 0 ei9jf
270
Напряжение, которое развивается на связанных зажимах
многополюсника (под действием напряжений на входе четырех-
полюсника), равно
и0=и;+и;.
Из (7.132) и (7.131) найдем
Uo = S(Tn + T12So)-i U+.
Следовательно,
Uo=(l + So)(Tn + T12So)-iUt.	(7.136)
Многополюсник с несогласованными нагрузками
В схеме с согласованными нагрузками многополюсник харак-
теризуется матрицей рассеяния (7.131).
Найдем матрицу рассеяния S, когда часть зажимов много-
полюсника включена на несогласованные нагрузки (рис. 78),
причем исключим из нее эти нагруженные зажимы.
Представим коэффициенты в матрицах уравнения (7.131)
таким образом, чтобы их можно было разбить на клетки гори-
зонтальной и вертикальной прямыми, отделяющими зажимы
с генераторами от зажимов
с нагрузками. Запишем
Рис. 78. Схема многополюсника с не-
согласованными нагрузками.
где а принадлежит зажимам с генераторами (или согласован-
ными нагрузками), а р— зажимам с несогласованными нагруз-
ками.
Тогда уравнение (7.131) можно переписать в виде системы
u;=saau:+sa2u+,
= 8^ + 8^.
(7.138а)
(7.1386)
271
При наличии несогласованных нагрузок амплитуды волн,
падающих от нагрузок к зажимам многополюсника, равны
U;=R₽17,	(7.139)
Здесь Rp — диагональная матрица, составленная из коэффи-
циентов отражения нагрузок,
R₽=	0	0... Z?p2 • • •	1 о о •	(1.140)
	_ 0	0...	Rpc-	
Для определения матрицы рассеяния многополюсника с исклю-
ченными нагруженными зажимами подставим (7.139) в (7.1386).
Произведя простые преобразования, получим
^=(1-8^8^,	(7.141)
где 1 — единичная матрица; (1—SB8R)-1— матрица, обратная
(1-S№R).
Используя (7.139) и (7.141), запишем
U^R^l-W^W	(7.142)
Далее подставим (7.142) в (7.138а) и найдем
и; = [Saa + SapRp (1 - SppRp)-* S0a] и:.	(7.143)
Следовательно, искомая матрица будет определяться выра-
жением
S = Saa + Sa3R3 (1 - SppR3r Spa.	(7.144)
Полное напряжение, развиваемое на несогласованных нагруз-
ках, с учетом (7.141) и (7.142) равно
и3=и++Up = (1 + R₽) (1 - SpA)-1 Spau:.	(7.145)
Формула (7.145) может быть распространена для определе-
ния напряжений на всех зажимах 22У-полюсника, если во вхо-
дящие в нее матрицы включить коэффициенты для всех 2N пар
зажимов; при этом в матрице (7.140) согласованным зажимам
приписываются нули. Тогда получим
U = (l + R)(l-S0R)-iS0U+4-U+,	(7.146)
где U*T — матрица-столбец падающих волн сторонних источ-
ников.
272 а
Выражения (7.145) и (7.146) позволяют определить полные
напряжения на зажимах несогласованного многополюсника, воз-
никающие под действием падающих от генераторов волн.
В качестве примера найдем напряжение в ответвляющей
линии 3 и 4 (рис. 78) направленного
матрицей рассеяния
ответвителя, обладающего
	“Sh	*^12	*^13	
So =	*^21 *^31	*^22 *^32	*5 23 *5 зз	*^24 *^34
	-^41	*$42	*^43	*^44-
и нагруженного на несогласованные нагрузки на зажимах 2,
3 и 4
-0	0	0	0	“
0	т?2	о	о
1{= О	0	2?з	0	•
_о	о	о	я4_
Матрицы-столбы напряжений соответственно равны
Используя (7.146), получим
и,=(1+л.»	<7- ,47>
+д.)	<7-’48)
где До-— алгебраические дополнения определителя матрицы
(1- S0R),
Д23 = S32R2 (1 ----4-^4) + ^34*^42^2^4»
^зз=	*^22^2) (1	^44^4)	S2±S ±2R2R^
Д43 — 5347?4 (1	^22^2) “F *^24^32*^2^4»	/у
Д24 = ^32*^43^2^3 “F *^42^2 G	*^33^з) »
^34 33:3 *543^3 (1	*^22^) 4“ *^23*^42^2^3»
Д44 = (1	*^22^2)	*^33^з)	*^32*^23^2^3- .
1g Теория врлноводрв
273
Определитель матрицы (1 — S0R) выражается следующим об-
разом:
det (1 - S0R) = (1 - SM (1 - S33R3) (1 - SURJ -
^24*^42^2^4 (1 ЗД) *^34*^43^3^4 G *^22^2)	*^23*^32^2^3 G--
*^44^4) ^2^3^4 (8 23$ 34$ 42 4“ *^24*^32*^4з) •	(^’150)
Формулы (7.147)—(7.150) определяют в самом общем виде
напряжения в ответвляющей линии ответвителя, включенного
в схему с несогласованными нагрузками, но они сложны. Можно
конкретизировать и упростить выражения для элементов матрицы
рассеяния направленного ответвителя, так как матрица рассея-
ния большинства направленных ответвителей имеет вид (7.48)
(7.151)
причем при работе их в измерительных приборах параметры
матрицы рассеяния выбираются так, что
|а|<1, |т|<1 и 13|< 1.	(7. 152)
При условиях (7.152) с точностью до величин второго по-
рядка малости получим следующие выражения для напряжений
на нагрузках ответвляющей линии направленного ответвителя:
и3=[Т (1+ад)+ад+ял /ДХ	(7-153)
Ut = [Т № + 2?з) + 8 (1 + ад)] тДХ	(7 • 154)’
ГЛАВА 8
СЕКТОРИАЛЬНЫЙ РУПОР
В настоящей главе задача о поле в векториальном рупоре
решается для иллюстрации общего метода гл. 1 на простейшей
волноводной системе с переменным сечением.
Секториальный рупор является простейшей волноводной
системой с переменным сечением, так как
Рис. 79. Сочленение секториального рупора с волноводом
и система координат.
а)	он имеет декартову координату разделения z (рис. 79),
кроме того поле в нем можно найти совершенно строго методом
вектора Герца;
б)	его боковая поверхность описывается в ортогональной
цилиндрической системе координат u1 = cp, u2 = z, и3 = р, и по-
этому метод гл. 1 может быть проведен в этой системе коорди-
нат, что упрощает задачу;
18*
275
в)	решение задачи приводит к использованию сравнительно
простых тригонометрических функций и функций Бесселя, что
позволяет доводить расчеты до конца;
г)	задачу о секториальном рупоре можно решать и в косо-
угольных координатах, выбрав поперечное сечение плоским:
х = const (рис. 79).
Решив задачу различными методами, можно будет провести
их сравнение. Сравнение здесь наиболее удобно еще и потому,
что, как было указано выше, для секториального рупора
имеется точное решение.
Секториальный рупор находит широкое применение как
самостоятельный элемент в технике СВЧ: рупорный переход
между прямоугольными волноводами разных сечений, рупорные
антенны и облучатели и др. Поэтому задача будет иметь и
самостоятельное практическое значение.
§ 1. СТРОГОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ ВЕКТОРА ГЕРЦА
Секториальный рупор и система координат изображены на
рис. 79 и 80. Как видно из рисунков, в цилиндрической си-
стеме координат u1 = <p, a2 = z, м3 = р одна координата (iz2 = z)
Рис. 80. Сочленение рупора с волноводом и различный вид
поперечных сечений.
А — плоско-поперечное сечение, неортогональное к £бок; В — цилиндрическое
поперечное сечение, ортогональное к ^бок«
является декартовой, и в соответствии с методом вектора
Герца [26] она может быть взята в качестве координаты разде-
ления. Полное поле в рупоре при этом может быть представ-
лено в виде суммы поперечно-магнитных ТМ = Е и поперечно-
электрических ТЕ=Н полей относительно направления z0.
276
Электрический Пе и Магнитный ПА векторы Герца выбираем
направленными по z0, т. е.
Пв = Щя0, ПЛ — Щг0.	(8.1)
Составляющие векторов Герца П, и ПА по оси z удовлетво-
ряют трехмерному волновому уравнению
ДП4-Л2П = 0, Л = а>у^=-у-.	(8.2)
Электрические и магнитные поля выражаются через вектор
Герца следующим образом [26]:
Ee=(^4-A:2ne)z04-V31(^ ,] ZW-поля
е \ dz* 1 е) 0 1	31 \ dz J 9	/д 3)
__7- m п 1	относительно zft k '
. = го>е LV31lle, z0],	о
Ед= i«>HV3inA> zoL ] ТЕ-поля
и (дЩк . ,,,г\	। „ /<Ш4\ }	(8.4)
На = (1^ + Л П*Го + М1Г/относительно z0
д  1. д	о
где v31 =—р0 + у •	Фо — поперечный градиент относительно z0.
Уравнение (8.2) будем решать методом разделения пере-
менных
П(р. ?, Z) = 7?(p)®(?)-Z(z).
(8.5)
Тогда, расписывая оператор Лапласа Д из (8. 2) в цилиндри-
ческой системе координат р, ср, z и деля на П, имеем
^н44'+^4+?+*2==0’	<8-6>
где штрихи обозначают производную по соответствующей коор-
динате.
Обозначая отношения
через постоянные величины—v2 и—р2, из уравнения (8. 6) получим
три обыкновенных дифференциальных уравнения и их общие
решения
Ф"-|- >2Ф = 0,	Ф (?) — At cos v? -f" Bi sin v?>
Z" -{- p2Z = 0,	Z (z) = A2 cos pz -j- B2 sin pz,
B" 4-1R' + (T2 - 5) R = 0, R (P) = A,H^ (TP) + В3НЫ (T),
Г	'	г <
(8-7)
277
где 72 = F — р2,	(2) (TP)— функции Ганкеля первого и второго
рода.
Уточним теперь полученные решения для Ф, Z и Л, исходя
из граничных условий на идеально проводящей боковой стенке
рупора
Ех — 0	при <р= +9, z = 0, Ъ
или
Ez — 0, E^ — G при <р=+0,	(8.8а)
Яр = 0, E^ — Q при z = 0, Ъ.	(8.86)
Подставляя П из (8. 5) в выражение (8. 3) для Ее, найдем
• Е« = ДОД2» 4- £'/?;Фер0 4- -1 2'2?еФ'?0.	(8. 9)
Отсюда видно, что для удовлетворения граничному условию
(8.8а) необходимо, чтобы Фе = 0 при ср= ±6.
Подчиняя этому условию функцию Ф из (8. 7), получаем
Фв = М sinv(? + 0), v =	m = 0, 1,2,...,	(8.10)
где М — постоянный множитель.
Из (8.9) видно, что для удовлетворения граничному усло-
вию (8. 86) необходимо:
Z' = 0 при z = 0, Ь.	(8.11)
В соответствии с этим и (8. 7) уточняется и окончательный
вид функции
Z,~ А2 cospz, р = n = 0, 1, 2,...	(8.12)
Вид функции Re уточним из предпосылки, что дальше мы
будем рассматривать бесконечный рупор, и тогда
R, =	(ТР), т =	(8.13)
В дальнейшем для удобства записи индекс(2) у функции Ган-
келя второго рода опустим, восстанавливая его только там, где
потребуется.
Таким образом, для составляющей электрического вектора
Герца Пв, согласно (8.5), а также (8.10)—(8.13), окончательно
имеем
Пв = Ре sin v (ср 4- 6) cos pzH^ (ур),	(8.14)
v = lr> P = T’ 7 = 0^7-	(8-15)

278
(8.17а)
Совершенно аналогично можно показать, что
Щ = Ph cos V (ср + 6) sin pzH.t (yp) .	(8.16)
Подставляя эти значения Щ и ПА в выражения для полей
(8.3) и (8.4), получим
Ег = Рд2 sin v (ср -|- 9) cos pzHt,
Ef = sin v (ср -j- 9) sin pz (Qh у Hv — PepH'^ ,
= cos V (cp 4- 9) sin pz (QhH;—p,y Я,),
H,=Prf cos v (cp 4* 9) sin pzH.t,
H? = cos у (cp + 9) cos pz (Q, у Я, 4- PhpH'^ ,
= —sin v (cp 4- 9) cos pz	+ Phj	.
v=10-’ p=->
В частности, для случаев:
1) тп=Д0, n = 0, v=40, р —0, ^ — к
E,=PJ?3in^ + b)H4(kp),
^ = Cefcosv(cp4-9)^(*p),
^ = -<?esinv(=p4-9)H;(A:p),
2) т = 0, п=И=0, v = 0, Рт^О
Др = —<4Tsinpz#i(TP), '
H, = Pk^ sin pzH0 (у?),
Н( — —РьР! cos pzH, (ур).,
(8.176)
(8.17в)
§ 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ ГЛ. 1 В ОРТОГОНАЛЬНОЙ
СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
Задачу будем решать в той последовательности, как она
изложена в § 6 гл. 1.
Выбор системы координат
Система координат выбирается такая, чтобы поперечные
координаты и и2 наиболее удобно описывали боковую по-
верхность волноводной системы. Продольная координата выби-
рается исходя из конкретных условий задачи.
279
В данном случае, когда волноводной системой является
секториальный рупор (рис. 80), наиболее удобными поперечными
координатами будут ux = <p, u2 = z. В качестве продольной
координаты в данном параграфе возьмем цилиндрическую коор-
динату и3 = р, чтобы она была ортогональной к выбранным
двум поперечным. Выбор именно такой продольной координаты
определяется здесь стремлением решить сначала задачу в орто-
гональной системе координат, соответствующей наиболее про-
стому случаю для подобного рода задач.
Таким образом, имеем
^1 = ?, tt2 = z, П3 = р,
tfzzzUgCOSttp у	Z — U2.
(8.18)
Координатные векторы R, и связанные с ними величины
Координатные векторы определяем согласно общей формуле
(1.6) § 1 гл. 1
R1 = u3y0, Щ= zo»	^з~1’
£и—	g22 — 1, g33—1, g12 — 0,
D — u^ \fg=uz.
(8.19)
Взаимные векторы R^ и связанные с ними величины
В соответствии с соотношениями (1.11) § 1 гл. 1 имеем
R1=-^?0’ R2 = Z<” R3 = ?<” Д3==1’
=	g22-l, Г3 = 1, g12 = 0, h
»3
= D^ = u3.
(8. 20) *
Из (8.19) и (8.20), в частности, видно, что модули третьих
координатного R3 и взаимного R3 векторов равны единице, и
поэтому произведение двух функций /г/2, которое должно под-
чиняться условию (1.140), т. е.
/1/2 — Лздз»
должно быть равно в нашем случае единице.
Поэтому каждую из этих функций берем равной единице, т. е,
А=/з=1’
280
Тогда с учетом (8. 20) имеем
/^1=_L) №22 = из.
(8.21)
Определение собственных скалярных функции ф
Собственные функции ф определяются в общем случае из
уравнений (1.145)—(1.149) гл. 1, которые в нашем конкретном
случае при g12 = 0 и весовой функции р = 1 (возьмем ее такой)
имеют вид
1- {A(/2pgii	lf2DgM Д')! _|_ х2ф = о	(8. 22а)
D [днД'1 ° дих ) { du2v2 ь ди2Ц it	\	/
с граничными условиями
фе = 0 при ^=±0, и2 = 0, &, \
^- — 0 прии:=+0,	I (8.226)
—О при п2 = О, Ь.
ди2	F 2	,
С учетом значения D из (8.19) и (8.21) имеем
Уравнение решаем методом разделения переменных
Ф (иг, и2) = Ф (uj Z (н2).	(8. 23)
Тогда получаем
где штрихи означают производную по соответствующей пере-
менной.
Обозначая отношения
Ф"
Ф~ =
-А
Z"__
Z ~~
—р2
через постоянные —v2 и —р2, получаем два обыкновенных диф-
ференциальных уравнения и одно равенство для постоянных
величин
®,z-j-v2O = 0, Ф (uj = Аг cos 4- Br sin	(8.24a)
Z" -f- P2Z = 0. Z (u2) = A2 cos pu2 4- в2 sin pu2,	(8. 246)
x2 = 2^_|_p2.	(8.24b)
281
Подчиняя функции ф из (8.23) с учетом (8.24) граничным
условиям (8. 226) и определяя постоянные (относительно попе-
речных координат и гг2) множители из условия нормировки
|*ф2б/£ = 1, dS — Dd^d^, D = u3,
8
окончательно получаем:
а)	для Я-решений
фв = -^=г sin v
Vu3
из
б)	для Я-решений
<l’* = V=^cosv(ui + e)со'
(^4-0) sin pz, 4. = ^,
________nv, w = 1 2, 3, ...
p — ~b’ n = l, 2, 3, .. .
pz,
ran m — 0, 1, 2, . . .
(8. 25а)
(8. 256)
Отметим здесь то важное обстоятельство для дальнейших
вычислений, что функции фе и фА можно записать в виде
Ф = / (и3), V (un u2), /=	.	(8. 26)
Собственные векторные функции Sa и ffl!b
В соответствии с общими
при Д = /2 = 1 имеем
соотношениями (1.142) § 6 гл. 1 *
<^зв = Фв₽о>
£4.=4-м<,
---ФлРо»
4
^qh~~~ ~ [Д-кфяРо],
Л
(8. 27а)
тк
где Д± =-^-К14-з^- R2—«поперечный» градиент относительно
р0. В частности:
а)	для Яоя-решений (тп = 0, хЛ = р)
Р=Т’ <8-276)
282
J
б)	для Я^-решений (п = 0, хЛ —
«.* = /S »!"’(? + «) ’ = %	(8- 27»)
Для дальнейшего нам понадобятся роторы векторов из (8. 27а)
rot <§Se = rot (фер0) = [Д±<|>ер0] = —	(8. 28а)
rot = xhSst,	(8. 286)
rot Sqe = rot (1 Д^| = - [дх A	p0] .	(8. 28b)
Поскольку, согласно (8.26) и (8.27),
Ф.=Л(«з)^(“1> иг), =
ТО
_ д {Фе\  1 / fe \ л.   хе / fe \   Г» X»
^Хд1г3\х / fe \ х 7 Vj-Фе / \ % )	®
Тогда из (8. 28в) и (8. 27а) получаем
rot$ge = <«£je, <^'е = 4£(^-)',	(8.28г)
где штрих означает производную по и3 = р.
Аналогично имеем
ГОЬ^^^Д = л = &е*	(8. 28д)
В нашем случае
х= /4+р2. /=7=
Г	Vu3
и поэтому функция & равна
V2
1 ^”Р2
=	-----	(8. 28е)
тг+р2
Вычисление rot <?г4 и rot Ж,е производится по общей формуле
(1.43) § 1 гл. 1, оно получается более громоздким, нежели
в предыдущих случаях, и здесь подробно не приводится. Окон-
чательный результат получается следующим:
rot<J?A---
rot ^gqe = — хД3„ —
1 1 (
Т \ диг
_____
х,и3 \ диг
Ri4-^R2),)
1 ди2 )
(8. 28ж)
283
Вычисление коэффициентов волноводных уравнении
а)	Коэффициенты Wab и Wba. При 2?3 = 1, согласно (1.66) и
(1.67) § 4 гл. 1, имеем
Wab=\^bTolSadS, Wba = ~\§awl?gbdS. (8.29а)
S -	8
Отсюда и в соответствии с (5.28а), (5. 286) получаем
W3e,b~~хДе,4. ^r3h,a = —^gk,a-	(8.296)
Далее в соответствии с (8. 28г), (8. 28д) следует
wtt> ь = А», 6, Wgh> а = а. (8. 29в)
И, наконец, согласно (8. 28ж), будет
И7qh, 3h — *Ah, Ы Wqh,qh— &£qh, Ь, Wqh, qe~ —&ejfiqe, й>
Зе	a> ^^qe, qa	G^e^qe, a, ^^qe, qh e$qh,a,	(8. 29r)
er __
& eh rfuZ *
3
б)	Коэффициенты Vab и Vba. Поскольку R3==R3 = p0, to,
исходя из общих формул (1.68) и (1.69) § 4 гл. 1, а также
выражений для собственных векторных функций (8. 27), имеем
^зм = 0, 73M = 0, V qb — \b, Vqa = \a.	(8. 29д)
в)	Коэффициенты и В нашем случае е = еср = const,
р, = р,ср = const, R3 — 1, и поэтому из общих формул (1.63) и
(1.65) § 4 гл. 1 следует
&аа' —— ^аа' > Р'&Ь'—^bb' *	(8. 29е) *
Система волноводных уравнений и ее решение
Подставляя конкретные значения коэффициентов из (8. 29а)—
(8.29е) в общую систему волноводных уравнений (1.71) §4
гл. 1, получим ее в следующем виде:
—хЛ* = /<оег7з*
qe ' qe^^W^Uqe9
*eUse G^eUqe	qe=^^qe	ehUqh,	/Q
-4U,h= 1^1Л,	1	<8'30>
' tPqh	qh	qh>
Kh^3h--------I'qh — ^^qh-\~<^'ehJqt^
284	j
J
где еще раз запишем
V2
хе = хЛ= ]/^ + р2, <^« = <^л=2^з • “hs—>
3
=	(8.31)
3
Видно, что общая бесконечная система уравнений (1.71),
получившая в данном конкретном случае вид (8.30), не разде-
лилась для индексов е и h отдельно только из-за двух членов,
содержащих коэффициент &eh [см. (8.31)]. Система уравнений
(8. 30) разделится полностью только для случаев, когда ^А = 0,
а именно:
1) у = 0, т. е. для Я0и-волн,
2) р = 0, т. е. для Ят0-волн.
Все же другие Нтп- и Ятя-решения одинаковых номеров при
т =£ 0 (v 0) и п =^= 0 (р 0) получаются попарно взаимосвязан-
ными друг с другом.
Как видно из (8.30), амплитуды U3e и Uqe полностью опре-
деляются через Zge, a I3h и Iqh— через Uqh. Поэтому получим
систему дифференциальных уравнений только для Iqe и Uqh
4 + Р -	= -i^e„Uqh,
L з
и'^+к - 5 -
L 3
(8. 32)
где
^ — \!к2 — р2, к = ю \/е|х = ^-.
Видно, что для Iqe и Uqh получилась система из двух диф-
ференциальных уравнений второго порядка с переменными коэф-
фициентами.
Рассмотрим сначала простейшие случаи, когда системы урав-
нений (8. 30) или (8.32) полностью разделяются.
1. Ят0-волны (тп=7^0, п = 0 или у0, р = 0, у —к). В этом
случае, согласно (8.31) и замене н3 = р, имеем
=	=	<^л = — 2^2»	=
р 4	р	(8.33)
<^h + &'h = — 4^,
и тогда уравнение (8. 32) для Uqh примет вид
285

Решением этого уравнения для прямой волны будет
=	=	(8.35а)	*
В сечении (см. рис. 79 и 80) полное поле, согласно (8. 35)
и (8.27в), равно
Е‘ = М /Д^Я,(*р)8т^ (Т + 9).	(8.356)
Если радиус р взять равным Pi = 2^ПГб (РаДиУсУ на краях се-
чения), то для этого цилиндрического поперечного сечения
р1= const получим
Е-=м /5	(? + «). Р=гет- (8.35п)
Отсюда следует, что:
а) если 0~>О, р~>оо, то
sin (<р + 0) -> sin (у +1)
и тогда
£' = Ме^ /А /1 sin^(y+|),
т. е. как в прямоугольном волноводе с сечением а X Ь;
б) если 0 -> у , то sin 0 -> 1 и тогда
£, = Л//5я.(^)}/Х')/28,пт(т+^). (8.35д)
Если же перейти на плоское сечение = ± yj, то ра-
диус р будет меньше у (он будет равен текущей координате у)
и из (8.35а) получим
= М 1/^5 W (М sin тп (? + у).	(8.35е)
Отсюда видно, что при всех z/=^=0 составляющая Eg = 0,
так как для точек угол ? = + у .
Амплитуды 7зД и Iqh определим из (8. 30г) и (8. ЗОд) по
известной Uqh в (8.35) ихА = у:
М=—
286
(8. 36)
Поле этой волны, согласно (1.153) гл. 1, будет равно
1
Щ= ^ЗЛ^ЗЛ-!-	/
В соответствии с (8.256) при п = 0
Ф—4=c°s
Vp
и тогда из (8.27) имеем
^3a = 4^cosv(? + 6)Po,
*Р
^«А = — ^SinV('P + 0)?°’
^A = ^Sinv(<p + 6)z°.
(8.37)
(8.38)
После этого, согласно (8.35)—(8.38), получим
Ег = MAh sin v (<р 4- 9) Я, (Zcp),
ЯР = —cos v (? + °)Н> (М.
sin v (? + °) Я' (М-
(8. 39)
Сравнивая (8.39) с (8.176),
и Qe взять равными
п __МАь
9~ к* ’
видим, что если постоянные Ре
(8.40)
п  MAh
то решение (5.39) полностью совпадает с точным решением
(8.17а).
2. Яоп-волны (тп = О, п^Оили v = 0, р=И=О). В этом случае,
согласно (8.31), имеем
хд — Р & >	— 2р ’ ь — 2р2 ’ eh — 0’
Уравнение (8. 32) принимает вид
(8.41)
287
и его решением будет
uih= N (TP) = Wp Я® (ТР).	(8.42)
Амплитуды I3h и Iqh в соответствии с (8.30г) и (8. ЗОд) полу-
чатся равными	Ла—	У Vp^(tp), j	(8.43)
	I qh	4я°(тр)- !	
Поскольку, далее, в данном случае
то
<МзА = -^с°8 PzPo>
Vp
= — & sin pzz0, S4h — — ~ sinpzcp0
Полное поле Я0я-волн, согласно (8.37), (5.42), (8. 43) и (5.44),
получим равным
Я? = — NAk sin pzHt (yp),
= C0SPz#i(YP)- .
(8.44)
(8.45)
Из сравнения (8.45) и (8.17в) видно, что если постоянные Ph
и Qk взять равными
<8-46)
то выражения (8.45) полностью совпадут с точным решением
(8.17в).
Таким образом, для HmQ- и Я0„~волн метод гл. 1 дает точное
решение.
Можно показать, что и в общем случае, когда т=^=0 и п=^=0
и когда между Етп- и Я^-решениями имеется связь, поле, полу-
ченное по методу гл. 1, полностью совпадает с точным реше-
нием. Ввиду громоздкости выкладок это доказательство приво-
дить здесь не будем%
288
§ 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ ГЛ. 1 В КОСОУГОЛЬНОЙ
СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
Как видно из рис. 80, продольная цилиндрическая коорди-
ната р при решении задачи о сочленении рупора с прямо-
угольным волноводом является неудобной, так как при этом
цилиндрическое поперечное сечение p-const (5р на рис. 80) не
стыкуется с поперечным сечением волновода (51 и 52 на рис. 80).
В данной конкретной задаче более удобной продольной коор-
динатой будет декартова координата х (согласно рис. 80). При
этом поперечное сечение рупора re-const будет плоским и будет
естественно стыковаться с сечениями прямоугольных волново-
дов. Однако плоское поперечное сечение рупора Sa, будучи
удобным с вышеизложенной точки зрения, оказывается неорто-
гональным к боковой поверхности рупора. Это приводит к не-
обходимости решения задачи методом гл. 1 в косоугольной
системе координат.
Система координат
»i = tg? = 7> u2 = z, и3 = х,
X — U^ y — U3U±, z = u2.
Координатные векторы и связанные с ними величины
Координатные векторы, определенные
(1.6) § 1 гл. 1, получаются равными
по общей формуле
Ri~ нзУо> R2 = zo> Кз = хо + м1Уо> Лз = ^14-“?.
=	£22=!, g33=^'l+ub	£12 = °,
^ = Vgllg22 —g?2 = U3>
(8.47)
(8. 48)
Взаимные векторы IV и связанные с ними величины
В соответствии с соотношениями (1.11) § 1 гл. 1 имеем
R1 = ^(-“А + Уо), r2 = zo> r3 = *o- Я3 = 1. 1
1 + и2
gu=-5H, g22=i, g33=i, gi2=°,
3
1 +
Dgn = -^, Dg^ = u3.
(8. 49)
19 Теория волноводов
289
' 1 1
Из	(8. 48)	и	(8.49)	видно, что произведение — и равно
’	(«“>
Поэтому функции /х и /2 выбираем равными:
/>=^Т=рв=“8’’'/==1-	<8-51>
При	этом	с	учетом	(8.49) имеем
=	^^ = из-	(8-52)
**3
Определение скалярных собственных функций
Сравнивая (8. 52) с (8. 21) и учитывая, что как в предыду-
щем, так и в настоящем случае P = u3, g12 = 0, заключаем,
что дальнейшие моменты по определению функций ф будут
совершенно такими же, как в § 2. Поэтому здесь приводятся
лишь окончательные результаты без промежуточных вычислений:
для ^-решений
1 '
ф. —	sin v (Mi — мп) sin	А = 77= > из =
mit	< л nit
у==2ПГ2’ U12 = tg0, p = T,
m — 1, 2, 3, ..
n — 1, 2, 3, ...
у 2 — 21 д_ d2
3
А — 2
е )/2и12Ь ’
для Я-решений
1
фл = /Ил cos V (ux — uxx) cos pz, fh = -=
(8. 53а)
)
хЗ = хЗ, Ah= |/
В частности:
а) для ЯОя-решений
12<
тп = О, 1, 2
n = 0, 1, 2
Фл = fhAh cos pz, Ah = j/ 2^-,
nit,
x* — P ~ь~ ’
(8. 536)
(8.54а)
б) для Ят0-решений	_____
Фл = fhAh cos v (Й1 — un), Ah = ]/,
V
u3
(8.546)
290
Собственные векторные функции 8а и $!ь
В соответствии с общими соотношениями (1.142) § 6 гл. 1,
а также значениями Rf и Ry из (8.48) и (8.49) и Д, Д из
(8. 51) имеем
&3е ---ФеРо’
— [₽о^г J»
R2) = [<?MoL
(8.55а)
(8. 556)
— ФяРо»
~= [3$ «лРо!»
а)	для Я^-решений (тп = 0, п=И=0, v = 0, хь — р)
%зк=!кАк cos ргр0)
Mqh = —fkAb sinpzz0,
<£gi = —MiSin pz?0,
(8. 55b)
б)	для Я^-решений \m=£0, n — 0, p = 0, xft =
3%3k = fkAk cos V (M14- u12) p0,	V=,
^tk = —fkAk sin v (Uj + w12) ?0, u12 = tg 9,
Sqi,=fkAk sin v (Ui + »12) z0.
(8. 55r)
Системы волноводных уравнений в диагональном приближении
для 1ГОй- и Н^-решений
Отрезок векториального рупора практически часто приме-
няется либо как переходный элемент между прямоугольными
волноводами с разными узкими (или широкими) стенками, либо
как рупорная антенна, возбуждаемая полем из прямоугольного
волновода. В таких случаях основными волнами в рупоре будут
Я01 или Я10-волны. В связи с этим рассмотрим ЯОй- и Ят0-реше-
ния более подробно и в диагональном приближении, чтобы
выяснить, что дают такие решения по сравнению с точным ре-
шением и решениями по другим методам.
19*
291
1. Л0?грешения. Вычисление диагональных коэффициентов
волноводных уравнений для Яок-решений дает следующие их
значения:
^3h,h------xh-- Pi Vsh,h-----^h,3h---
тл __тл ___т,г ___ Arsh u12
vh — V hh — У hh —---------9
a12
hh— Whh = Q^hVh, of h — •
(8. 56a)
Система уравнений в диагональном приближении будет иметь
вид
—XhUqh=i^hh9
&hV hU qh	V hU'qh—	qh,
Xhlzh	& hVhlqh	Vhl'qh — qh'
Для амплитуды Uqh получаем следующее уравнение:
/	i _ —\
u;.+ г!—
\	3	/
r = T A
1 Arsh ^12
(8. 566)
(8. 57)
Решением этого уравнения для падающей волны будет
Uqh = N\Zru3H^(ru3).
(8. 58)
Амплитуда поля этого //^-решения в соответствии с (8. 58)
(8. 57) и (8. 55в) будет
l£j=/v.3 = г“з- (8-59)
1	*	т
Если теперь рассматривать практический случай, а именно
сочленение рупора с прямоугольным волноводом в сечении S1
(см. рис. 80), то значение координаты хг = и31 в этом сечении
будет равно и31 = ^— , и тогда произведение и312и12 = а в (8. 59)
будет оставаться постоянным при любом угле раскрыва рупора.
Если это так, то (8. 59) можно записать:
II = N VIIн>®!• ₽ = т-'	<8'60>
Отсюда получаем
292
а)	при u12 = tgO->0 угол раскрыва рупора 29->0, Arsh и12-> О,
j3->oo, произведение	_
и тогда

(8.61а)
что совпадает с точным решением (8. 45), если его рассмотреть
для данного случая;
б)	при u12 = tg 6 -> оо угол раскрыва рупора 26-> тс,
Arsh zz12-> оо, р->0, произведение
и тогда	,
(S.616)
Точное решение при 6->у, согласно (8.45), дает

Оценим, при каких углах раскрыва рупора полученное ре-
шение (8. 616) начинает сильно расходиться с точным (8.61в).
При использовании волны Я01 в рупоре через а обозначен раз-
мер узкой стенки прямоугольного волновода. На средней ра-
бочей волне выбирается	и тогда с учетом у =

2 ~ 4 ’
В силу этого отношение полученного решения (8. 616) к точ-
ному (8. 61в) —
I ср 1точя.
Это отношение будет равно £ = 1.5 при Arsh п12 = 2. 25, что
соответствует zz12 = tg0 = 4.7, или 0 = 78°, и оно будет не больше
двух при 0	88"°.
Таким образом, можно сделать вывод, что полученное диаго-
нальное решение для Я^-волн дает результат с удовлетвори-
тельной инженерной точностью для рупоров с углом раскрыва 26
от 0 до 120°, что является достаточным для практики.
293
2. ^-решения (т^О, п — 0, р = 0, xfc = ^L ,	. Диа-
тональные коэффициенты для этого случая получаются равными
^з*,Л=-^,з*=-ад. 7i=-"1^1-+ t"rsh“12'
^ = -WM=^AVA,	7Л=^1.
“12
С учетом этого и системы (1.71) получаем следующее урав-
нение для амплитуды Uqh:
(8. 62)
U"qh =	к2-	1	1 ’•’р | а" СО И	Uth=0,	(8. 63)
к—-.	к _		^ц12		
1		Arsh н12 ’	РЛ-	
Решением этого уравнения для падающей волны будет
Uqh = M	Я™ (Ки3).	(8.64)
Амплитуда поля этого //^-решения, согласно (8. 64), (8.63)
и (8.55г), равна
(8-65>
В сечении Sp где н312гг12 = а, имеем
и.1=«/5^|Я.(?,>1, ₽1=Т-Лйкг- <8-66>
Рассуждая так же, как и в предыдущем пункте (для ^„-ре-
шений), в данном случае получаем при 9->0
И тогда
<8-67>
что совпадает с точным решением.
§ 4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ ПЛОСКИХ ПОПЕРЕЧНЫХ
СЕЧЕНИЙ (ПО РАБОТЕ [19])
Система координат
В соответствии с положениями работы [19] система коорди-
нат выбирается в данном случае декартова (рис. 79 и 80):
l = y, iq = z, С = х.	(8.68)
294
Координатные и взаимные векторы
R. = lV = y0, RJ)=R4=ze, Rc = R' = x0.	(8.69)
Собственные скалярные функции
Для плоского поперечного сечения эти функции определяются
из уравнения Гельмгольца
Д,ф + х2ф = 0	(8.70а)
при граничных условиях
Ф. = 0, ^=0»	(8.706)
где v — нормаль к контуру, лежащая в плоскости попереч-
ного сечения. В нашем случае это будет либо у0, либо z0.
«•Определяя функции ф из уравнения (8.70а) при граничных
условиях (8. 706) и подчиняя их условию нормировки
= dS = dydz,
s
(8.71)
получаем их в следующем виде:
а) для ^-решений
Ф,= sin т {у — уг) sin pz, С, =	,
р=т» а=2х№,
б) для Я-решений
Ф»—cos X (у — yj cos pz, Ch = ]/ (2 ~ 5о^ь(2~5оя) ,
xA = xe, m = 0, 1, 2, .. ., n = 0, 1, 2, ...
(8. 72a)
(8. 726)
Величина xA имеет такое же выражение, что в (8. 72а), только
с учетом значений индексов т и п из (8.726).
Если теперь учесть, что, согласно рис. 80, имеют место
следующие соотношения:
y = a:tg^ = »su1, уг — — х tg 9 = u3uu
А — х2 tg 9 = h32u12,
то из сравнения (8.72а), (8.726) с (8.53а), (8.536) видно, что
собственные значения х2 полностью совпадают, а функции ф от-
личаются от ф только множителем » получившимся здесь
(8. 73)
295
из-за другой нормировки согласно (8. 71), т. е. имеет место со-
отношение
ф = —
1	У.
Собственные векторные функции еа и hA
Согласно работе [191, эти функции имеют вид
ес« = хЛ«хо = Ф«хо» Ьсл = Флхо-
е, =	= Гv Ле, И = 7- Мь
he = [xoej, eA = [hAx0],
(8.74)
В частности:
а)	для //„„-решений (т = 0, п^=0, х = 0, р=40,_ хА = р)
еА = —l/~sinpzy0,	(8.75а)
б)	для Я ^-решений (т ^=0, п = 0, т=^=0, р = 0,	—
е*= К'ТГ sin х zo-	(8- 75б>
Волноводные уравнения
Волноводные уравнения по работе [19] являются следующими
(<?')
—	—IT	w^h'=
(г')	’ (СИ
-	2 т°>	2Те’ *,и*г ~	=/<о!хЛ *
«е'»	(«')	zg	yg)
- 2 Га, ^идГ - 2 Т^’ Ь'и^' =
(«')	(Се')
~27’Л’	^Th;^u^=i^ik,
(qf)	№')
-	2 wiw - 2 ih' -d-^=
(U')	(/)
Коэффициенты волноводных уравнений выражаются через
собственные векторные функции при функции и = 1 следующим
образом:
296
КаЬ' = —j ей rot hb’dS,
8
Tti' — j \ rot eq’d,S + ср егег- tg WZ — —Kq1>',
s	&
Tba' = jhArotes-<Z5, b — Ui, a' — ^e’,
s
причем во всех случаях
имеет место соотношение
(8.77)
Т^-Км.	(8.78)
Вычисление роторов ев и hA дает следующие их значения
rotec< = — xehe,	. rot h,A = *heh,
rot ee = [xowe],	rot hA = — [wAx J,
roteA = xAh?A4-wA,	rot h, = —x,e?, — we, .
где векторы we и wA имеют вид
'e
cos T (y — Vl) sin pzy0 +
___'"PVtyn ,
x^e °’
wA = #AhA 4- sin T (p—Pi) cos pzy0 +
I	„
"T~ Xs* b	x^xk °'
(Я. 79)
(8. 80)
Если подставить значение roteA из (8.79) в выражение
из (8. 77), то получим
rAA,=fhAwA^ + £eAeA,tgMZ.	(8.81)
8
G другой стороны, с учетом значения rothA из (8. 79) для Khrh
и соотношения (8. 78) имеем
Kk'k = j еА [wA,x0] dS = j hA-wA<25 = —T hV. (8.82)
S	8
Из сравнения (8. 82) и (8. 81) получаем
Tkh' — jhAwA,dS4-(j) eAeA< tg bdl = — J hA'WAdS.
S	&	8
(8. 83)
Из этого равенства следует, что если контурный интеграл
будет равен нулю (либо tgo = 0, либо еА = 0 на либо на
297
одной части контура одно, а на другой — другое), то диаго-
нальный коэффициент ГАЛ будет равен нулю.
Для Яоя- и Ят-решений векторы w равны
а)	для Яоя-решений (тп = 0, v = 0, т = 0, хА=:р)
WA---^4)Л, <^Л—
rot hA = —ЛеА, Кньг — & ^пп9 = —Т b'h',
б)	для Я,п0-решений (n = 0, р = 0, xA = ~j
WA = сТAh* + v sin t (У—У1) Уо +	Уо >
k~5x'
(8. 84а)
(8.846)
Для этих решений на основании равенства (8.83) диаго-
нальные коэффициенты ТАА и Khh равны нулю, т. е.

(8. 85)
В соответствии с выражениями для rot h6 из (8. 79) получаем
следующие значения для коэффициентов волноводных уравнений:
К&, е'		Tt, Ce' = X,8„r,	
Kh, Ць' =	*h^hh',	Tk’ — У-к^кк',	
Kee> — Je.w^dS,	Kkk’ = j hAw/(tZS,	(8.86)
a	s	
Kek’= JbeW^dS,	Kke> = jeAwe'd5.	
s	s	
Остальные коэффициенты равны нулю.
Проведем подробный анализ волноводных уравнений для
и Яот0-решений.
1. Для Я0Л-решений в диагональном приближении имеем
—*hUh=
<^'i,Uk — U'h = i<o^Ih,
— &kh—Ik=i®eUh.
(8.87)
Отсюда для Uk получаем уравнение
-^1
Uk = 0, -f = k2 — p\
298
решение которого имеет вид
Uk = N^H?(yx),	(8.88)
т. е. точно такой же, какой оно имело в случае точного реше-
ния в § 2 этой главы [сравни с (8.42)], с тем лишь отличием,
что вместо цилиндрической координаты р теперь в (8.88) стоит
декартова координата х.
Электрическое поле для этого решения, согласно (8.75а),
имеет только ^-составляющую, и;*его амплитуда в соответствии
с (8.88) и (8. 75а) получается равной
|Я,| = *	U12 = tg0. (8.89)
В сечении сочленения волновода с рупором (рис. 80) имеет
место = или хх2и]2 = а, и тогда амплитуда нормальной
(ср-й) составляющей к расширяющимся стенкам рупора на
краях будет
l^| = 2V^=2^.	(8.90)
Отсюда следует, что:
а)	если 0 —> 0, ux2 = tg0->O, cos0->l, рх->оо, то |ЯХ(РХ)|
можно заменить его асимптотическими значениями
I Ях (WI -* /5г п₽и
и тогда	__
т. е. стремится к точному решению;
б)	если	^12^00, cos 0 —> О, рх -> 0, то модуль функ-
ции Ганкеля первого порядка
1ЯДР01
пРи₽х->0
и тогда
|Я_| —2V 1/Ц--1/— 1/4- sin 20 -> °.
1 ?1	г ab те V уа г 2
(8. 916)
Нормальная составляющая электрического поля на расши-
ряющихся стенках рупора при его полном раскрыве (20 ->те)
299
стремится к нулю. Как было указано в (8.61в), точное решение я
при 0-> дает	I
z	jf.
I	(8.91b)	,1
I
На средней рабочей волне	г^1(т)р и тогда I
отношение точного результата (8. 91 в) к приближенному (8.916)	1
будет равно
__ I 1точн.	1
|Я<р1приб.т. l/’l .
У ~2 Sin 26
При угле 0 = 78° это отношение получается равным £«2.25.
Для сравнения отметим, что аналогичное отношение в преды-
дущем параграфе при этом угле было равно В = 1.5. При угле
0 = 88° отношение £ = 5 (в предыдущем параграфе В = 2). В пре-
деле, при 0->у, в общем виде можно показать, что | растет |
гораздо быстрее, нежели В, так что у-> оо при 0->у .	?
Касательная p-составляющая на расширяющихся стенках,
согласно (8.89), будет равна
l^l==7V/-^<t^(Wlsin9> ^ = 2^-	<8-92> j
Отсюда следует, что:	{
а)	если 0->О, H12 = tg0-> 0, sin0->O, рх->оо, то	5
тогда |Ер|->0, что и должно быть;
б)	однако по мере роста утла раскрыва рупора 0 касатель-
ная составляющая, как это видно из (8.92), начинает расти и
в пределе при 0у, u12 = tg0->oo, sin 0->1, рх->0 произве-
дение
и тогда
IZ? I -> оо при G ->	.
Г	&	i
Заметим, что в приближенном результате предыдущего пара- |
графа касательная составляющая равна нулю в любом случае, I
так как это заложено в самом методе.	I
300
2. Для Ят0-решений в диагональном приближении система
волноводных уравнений имеет вид
—U'k = wp.Ih,
4bh~I'h = ^Uh,	(8i93)
v	тъ
7'h~~T ’ 7	2^ ’
Отсюда уравнение для Uh получается следующим:
и". = (к2 — 41) Uh~0,
а его решение
Uh = M	(кх), а = ]Д2 4- , к = ^.	(8.94)
В данном случае, согласно (8.756), поле имеет только z-co-
ставляющую (параллельную расширяющимся стенкам и перпен-
дикулярную— нерасширяющимся) и его амплитуда равна
\Е*\=м?=**• <8-95)
В сечении *Sf1 будет хг2и12 = а, ^1 = кх1—-^~ . Тогда из (8. 95)
имеем:
а)	если 9->0, гг12->0, р1-^оо, то
<8-96»)
что совпадает с точным решением;
7U	1
б)	если 9-^ у, u12 = tg9~> оо, 312->0, а->у, то
<1^,0-/4
и тогда

(8. 966)
т. е. \Е2\ стремится не к нулю, а к конечной величине, равной
амплитуде при малых углах раскрыва (8.96а). Этот результат
нельзя считать нормальным, так как z-составляющая является
касательной к боковым расширяющимся стенкам; при полном
раскрыве рупора сечение становится полностью заметаллизиро-
ванным и касательное поле на 5^ должно быть равно нулю
301
в любой его точке. В соответствии же с (8. 966) и (8. 756) это
касательное поле в любой точке получится равным
Е, = Е, = М j/J /151„ = (» + !) при е = у, (8.97)
что не соответствует точному решению (8.35).
§ 5. СОЧЛЕНЕНИЕ СЕКТОРИАЛЬНОГО РУПОРА
С ВОЛНОВОДОМ
Е- и Zf-задачи при сочленении двух волноводных систем
Прежде чем решить конкретную задачу о сочленении рупора
с волноводом, напомним сначала общую методику решения
подобного рода задач в соответствии с гл. 5.
Пусть имеются две какие-либо волноводные системы I и II,
например волновод и рупор на рис. 80, сочленяющиеся между
собой через некоторую условную поверхность раздела
Обозначим орты нормалей к этой поверхности через пх = х0
и п2 = — х0 так, чтобы пх был внешним к области Z, а п2 — к обла-
сти II. Положим для конкретности, что сторонний источник
jJT- расположен только в области I. Задача состоит в том,
чтобы найти поле в обеих областях I и II и параметры сочле-
нения: коэффициенты отражения, передачи и т. д.
Эта задача решается двумя способами, которые различаются
видом касательного поля, задаваемого на границе. Если на
задается электрическое касательное Ех, то имеет место
Я-задача, если же задается магнитное касательное поле Нт, то
имеет место Я-задача.
Пусть в Я-(Я-)задаче на условной границе задано каса-
тельное электрическое (магнитное) поле
Ех = 2 для Я-задачи,
(fc)
Н	для Я-задачи	(8.98),
(*)
где Эл и М& — полные системы векторных функций отверстия
сочленения, удовлетворяющих тем же граничным условиям на
контуре отверстия, что и электрическое (магнитное) поле.
Тогда для касательного магнитного (электрического) поля
необходимо выполнить следующее граничное условие:
[№п2] 4- [HnnJ = 0 (Я-задача), 1
[Е1^] 4- [Еппх] = 0 (Я-задача). J
(8.99)
302
Поскольку, как было условлено выше, сторонний источник jf*
находится только в области Z, то поля ЕР и ЕР1 можно пред-
ставить в следующем виде:
Н1 = HJ + № (Ет), Нп = Нп (Ех),	(8.100)
где HJ — магнитное поле на со стороны области I в пред-
положении, что — идеально проводящая и Ех на ней равна
нулю; — магнитное поле на S1 при возбуждении области I
полем Ет; НП(ЕТ)— магнитное поле на *5^ при возбуждении
области 11 полем Е . С учетом значения Ех из (8.98) поля
№(ЕТ) и Нп (Ет) можно записать:
№(ET) = Sefc№(Э*), НИЕт = 5е,Нп(Э,).	(8.101)
(fc)
Подставляя значения ЕР и ЕР1 в первое уравнение (8.99),
умножая равенство на Э* и интегрируя по границе раздела 5^,
получаем
+	=	<г-з«Лач.).	(8.102)
(к)
Это и есть система уравнений для определения амплитуд
напряжения ек. Смысл проводимостей ук1 и задающего тока Л]ст
подробно раскрывается в гл. 5, и мы подробно описывать их не
будем. Укажем только, что в том частном случае, когда область I
является цилиндрическим волноводом, в котором к сочленению
падает какая-то g-я волна, и поверхность раздела совпадает
с поперечным сечением волновода, проводимость и задаю-
щий ток Л}ст равны
Ф/I при Л = Ы _J2f7«yo« при /я 1ПЧ'
| 0 при к=£1, ,ю |	0 при
где Уод — волновая проводимость g-го типа волны, a U+— ампли-
туда поперечного поля падающей волны g-го типа.
Рассуждая совершенно аналогично для Я-задачи, из второго
уравнения (8.99) с учетом Нт из (8.98) получим следующую
систему уравнений для определения амплитуд тока hk:
+ ед = (Я-задача). (8.104)
(fc)
В этой системе уравнений сопротивления и э. д. с. е}ст
равны
= f Mz [п2Е* (М»)] dS, = JМ, [П1ЕП(М,)] dS,
8t	81
eJCI= j Mz [nxEit] dS.
8i
(8.105)
303
Поле Е*т в выражении eJCT представляет собой касательное
электрическое поле на в предположении, что на выпол-
няется граничное условие Нх — 0. Если, например, область I —
цилиндрический волновод, то ЕОт будет полем падающего типа
волны в предположении, что коэффициент отражения по напря-
жению на равен единице. В этом случае и при равной
поперечному сечению, получим
{217+ при l = q,	f Znz при к = 1,
П	1-L.	Л	7/7 (8Л06)
О при l=^q,	(0 при к^1.	7
Поля Е*(МЛ) и EJI(Mfc) в (8.105) — касательные поля в обла-
стях I и II при возбуждении этих областей магнитным по-
лем Нт.
Сочленение рупора с волноводом
В соответствии с рис. 80 областью I в нашем случае будет
прямоугольный волновод с падающей на сочленение основной
волной Я01 (это обычная волна Я]о; индексы изменились из-за
принятой системы координат). Поверхность 51 совпадает с попе-
речным сечением волновода, и поэтому в нашем случае выпол-
няются соотношения (8.106). Задачу о сочленении будем решать
методом 77-задачи.
Касательное магнитное поле Нт на зададим в виде
(8. 107)
где М1 = [х0<£*1]— поперечная магнитная векторная функция вол-
новода для основной волны 7701.
Тогда в соответствии с (8.104) и (8. 106) получаем следую-*
щее уравнение для
+	=	(8.108)
где сопротивление согласно (8.105), равно
^п=	(8.109)
Электрическое поле Е*1 (MJ в рупоре возьмем в виде поля
только Я01-решения
=	(8-И0)
[<£“ см. в (8. 55в)].
Отсюда для из (8.109) имеем
#11 =	= A-gf12 •	(8.111)
304
Амплитуду UQ1 найдем из системы волноводных уравнений
(8.566), а именно
=	=	(8.112)
где, согласно (8. 58),
Uol = N\/^-Hp(rx), T =	(8.113)
' h
Если подставить С701 из (8.113) .в (8.112), то получим
U —у+—iY1	(Гд:-- — У1 F +	(% ш\
°1~ у+ ’	°Р—	01 ^(Гж)	01 Ор’ (0.114)
где Уо* — волновая проводимость рупора при распространении
волны в положительном направлении х0 (заметим, что для
обратной волны, распространяющейся в противоположном на-
правлении, волновая проводимость будет равна У"р=(У0+)*, где
звездочка означает комплексную сопряженность). График для
относительной волновой проводимости приводится на рис. 81.
Амплитуда тока 701 определяется, согласно общему соотно-
шению из гл. 1 (1.61),
То1=	=	(8-115)
8
так как Мх = Ж°ДП =	*
Из (8.111), (8.114) и (8.115) следует, что
J^II    Vh
^11   v+ ,
1 Op
и тогда из (8. 108) и (8.105) имеем
МА + ;4) = 2С^-	<8Л16)
\ 1 01	1 Ор /
Поскольку амплитуда тока h± в сечении равна сумме
амплитуд падающей и отраженной волн в этом сечении, то ее
можно записать через амплитуду напряжения падающей
волны в следующем виде:
К = к (1 - Sn) = U^Yl01 (1 - 5nj.	(8.117)
Подставляя это значение в (8.116), получим следующее
выражение для коэффициента отражения по напряжению:
=	<8.118)
20 Теория волноводов
305
где f41 — относительная проводимость нагрузки волновода в се-
чении сочленения Slt равная
-р-н — _L ?+
~ vh z °Р’ ,
R — Y — 2ж Т7 — Arsha12
V„ ’ Л ’	wi2 >Mi2 — tg4-
(8.119)
a P’Jp — относительная волновая проводимость рупора.
Выражение для коэффициента передачи из волновода в ру-
пор 521, равного отношению амплитуды напряжения волны Я01
Рис. 81. Зависимость относительной волновой про-
водимости рупора для волны Я01 от электрической
длины.
в рупоре в положительном направлении С7*1р к амплитуде падаю-
щей волны Нй1 в волноводе U^,
с _^Р
А 21 —
UQ1
(8.120)
получим через амплитуду тока hx в (8.117). Действительно,
поскольку амплитуда тока равна
81
то, подставляя это значение hx в (8.117) и учитывая (8.120)
и (8.118), для коэффициента передачи 521, получихм
с _1-5ц _ 2УП
21“
(8.121)
306
Проводимость которая входит в формулу (8.119), а сле-
довательно, и в (8.118) и (8.121), является относительной вол-
новой проводимостью рупора. Эта проводимость — комплексная
и, согласно (8.114), равна
(8'122)
।	।_____|____1-----1____।__л
О 30	00	90	120 150	100 О
Рис. 82. Зависимость КБВ от угла
раскрыва рупора.
Графики для g0 и приведены на рис. 81.
Формулы (8.118), (8.121) для коэффициентов отражения и
передачи и (8.119), (8.123)
ляются окончательными ре-
зультатами по вычислению
параметров сочленения.
Рассмотрим зависимость
параметров сочленения от
угла раскрыва рупора при
-—- = 0.25, т. е. на средней
рабочей волне \ — у/2Ь, а =
— 0.5b (b — размер широкой
стенки волновода).
Если угол раскрыва ру-
пора 20->0, т. е. рупор вы-
рождается в волновод (рис. 82), то имеют место следующие дан-
ные:
6 —=► 0, u12 = tg0-->O, Arshu12->0, ^->00, УА->1,
для проводимостей как раз и яв-
относительная волновая проводимость рупора (как это следует
из рис. 81) P'Jp->g0->l, и тогда из (8.119), (8.118), (8.121)
имеем
5п->0, S21->1, КБВ~>1,
что и должно быть.
Результаты расчета параметров при увеличении угла рас-
крыва рупора приведены в табл. 4.
Зависимость КБВ сочленения от угла раскрыва изображена
на рис. 82.
Обсудим полученные результаты. В известной нам специаль-
ной литературе нет решения задачи о сочленении прямоуголь-
ного волновода с секториальным рупором, и поэтому сравнить
полученные результаты для произвольного угла раскрыва не
с чем. Имеются данные лишь для единственного случая — пре-
дельного, когда 0 — 90°, а следовательно, угол раскрыва 20 =
= 180° [51]. В силу того что этот случай предельный, когда
рупора уже не существует, формула (8.119) для проводимости,
полученная в нулевом приближении, непосредственно для угла
20*
307
е“	u12 = tg 9	Arsh u12	1 _			yir = </
			Vh — Arsh ui2		bo	
0	0	0	1	1	0	1
15	0.268	0.265	1.01	0.950	0.150	0.960
30	0.577	0.549	1.05	0.850	0.300	0.895
41'	0.969	0.786	1.10	0.790	0.333	0.874
60	1.730	1.320	1.31	0.640	0.390	0.840
80	5.670	2.360	2.40	0.430	0.380	1.060
						0.210
90		—	—	—	—	0.700
180	—	—		—	—	0.520
						
Таблица 4
	Sn = 1 S,				
			КБВ	Примечание	
ь"	1 su |	<?S			
0	0	0	1		
0.152	0.080	85	0.87		
0.316	0.167	83	0.73		Метод
					косоугольных
0.370	0.207	82	0.67		координат
0.510	0.286	90	0.56		
0.910	0.412	47	0.42		
0.290	0.680	35	0.19	Метод плоско-по-	
				перечного сече-	
				ния по работе	
				[19]	
0.520	0.346	79	0.46	По работе [51]	
0.550 *	0.450	70	0.38	По работе [8]	
6 = 90° недействительна и дает проводимость, равную бесконеч-
ности. Поэтому сравнение с результатом работы [51] можно
произвести, вычислив параметры сочленения при углах 9, близ-
ких к 90°, поскольку ясно, что никакого скачка в значениях
параметров при изменении угла 0, например, от 80 до 90°,
быть не должно. Такой расчет был сделан для угла 9 = 80°,
и данные приведены в табл. 4. Там же приведены данные для
предельного случая 9 = 90° из работы [51]. Выпишем эти дан-
ные здесь отдельно:
Fn = 1.06-j-i0.91,
КБВ = 0.42 для 6 = 80°,
fn = 0.70 + i0.52, 511 = 0.345^7»°, '	(8.123)
КБВ = 0.49 для 0 = 90°.
Видно, что формулы, полученные нами в нулевом прибли-
жении, дают удовлетворительный результат даже при углах
раскрыва рупора, близких к предельному 9 = 90°, когда соб-
ственно рупора уже не существует.
Если бы провести решение задачи о сочленении рупора с вол-
новодом методом плоских поперечных сечений по работе [19],
используя результаты § 4 настоящей главы, то мы получили бы
следующие формулы для параметров сочленения:
_.1
Я7С
а, = -г--,
1 Аи12
е ____2__
21	1+^рМ '
(8.124)
В предельном случае 9 = 90° эти формулы, как и следовало
ожидать, также не действуют.
Для вышерассмотренного же случая 9 = 80°, близкого к пре-
дельному, эти формулы дают
=0.21 4-i0.29,	= 0.68е_/35°, КБВ = 0.19. (8.125)
Из сравнения (8.125) с (8. 123) видно, что результат, полу-
ченный по методу плоских поперечных сечений, гораздо силь-
нее отличается от точного из [51], нежели полученный по ме-
тоду косоугольных координат.
ГЛАВА 9
НАПРАВЛЕННЫЕ ФИЛЬТРЫ ДЛЯ МНОГОКАНАЛЬНЫХ
СИСТЕМ
В последнее время при построении многоканальных радио-
систем используются направленные фильтры, в которых соче-
таются свойства полосового фильтра и направленного ответви-
Рис. 83. Варианты направленных фильтров первой
группы.
1—4 — номера плеч фильтров.
теля [28, 30]. Они обладают такими достоинствами, как
постоянство входного сопротивления и достаточно малые отра-
жения на входе, фильтра в широком диапазоне частот. При
сопряжении в многоканальную систему направленные фильтры
310
сравнительно просто обеспечивают высокую развязку между
каналами и малые вносимые потери.
Направленные фильтры удобно разделить на две группы:
1) фильтры, построенные на основе восьмиполюсных сочле-
нений волноводов (рис. 83);
Рис. 84. Варианты направленных фильтров второй
группы.
1—4 — номера плеч фильтров, вс — винты связи»
2) фильтры, построенные на основе шестиполюсных сочленений
волноводов (рис. 84).
К первой группе относятся фильтры, в которых используются
направленные ответвители (рисл 83, а) и двойные Т-образные
сочленения волноводов (рис. 83, б). Фильтры с вращающейся
311
поляризацией поля (рис. 83, в, г) являются частным, вырожденным
случаем фильтров, построенных на основе двойных Т-образных
сочленений волноводов.
Во вторую группу входят фильтры, в которых применяются
одинарные Я-сочленения волноводов (рис. 84, а, б) и одинарные Я-
и Я-сочленения (рис. 84, в). В последней разновидности фильтров
также используются вырожденные колебания, но совершенно
иначе, чем в фильтрах с вращающейся поляризацией поля.
Задачами исследования являются установление зависимостей
между электрическими параметрами и частотными характеристи-
ками фильтров и анализ свойств многоканальной системы,
образуемой из направленных фильтров. Предварительно необ-
ходимо определить волновые матрицы фильтров по волновым
матрицам его элементов.
§ 1. НАПРАВЛЕННЫЕ ФИЛЬТРЫ НА ОСНОВЕ ВОСЬМИПОЛЮСНЫХ
СОЧЛЕНЕНИЙ ВОЛНОВОДОВ
Рассмотрим группу направленных фильтров, основанных на
использовании в качестве исходных элементов направленных
ответвителей и двойных Т-образных сочленений волноводов.
Пусть матрица рассеяния ответвителей, из которых образован
фильтр, вместе с примыкающими к каждому плечу отрезками
передающих линий имеет вид, определяемый (7.50).
Здесь
3fc 4fc
Wk 0~
0^0 pk
0^0 qk
Pk\Qk 0
Pk—^k^k-
(9.1)
(9.2)
Коэффициенты p* и	— некоторые вещественные числа, свя-
занные в силу унитарности матрицы рассеяния зависимостью
₽1+т1 = 1-
Угол фд. = <pjA.-j-представляет собой фазу коэффициентов
волновой матрицы ответвителя, причем 0fc — электрическая длина
ответвителя, a — мера фазы коэффициентов связи ответви-
теля.
Однопетлевой направленный фильтр получается соединением
двух направленных ответвителей зажимами Зх—32 и 4г—42. Для
определения его матрицы рассеяния воспользуемся преобразо-
312
ванием (7.111). Сводная матрица для рассматриваемого случая
имеет вид
32 4Х 42
О О О’!
S =
О Pi О
р2 о о
о о р2
6 q, 6
О О g2
ООО
Л,

32 0 0-
Соответствующая матрица связи
^1 32 4г 42
3,-0 qo о-
з2 1 ено о
Вычисляя матрицу рассеяния S(2) однопетлевого фильтра по
матричной формуле (7. 111)
получим
S(2) — Saa -j- Sap (F Spp) Spa,
ii 2X q 22
	0 ^(2)	P(2) O'
	?(2) 0	0 P(2)
		
°(2)	 -		
I2	P(2) °	0 9(2)
22	Pte)	<?te)	0.
?(2)=дг 4
•2„	1
Р1У2
1 — £1^2
п" ____„ I Prfl
П _ P1P2
Pt2) 1 — 31?2
(9-3)
где
(9-4)
)
313
Здесь и в последующем индекс — цифра в скобках — указы-
вает число ответвителей, из которых составлен направленный
фильтр; число петель в фильтре будет на единицу меньше.
Двухпетлевой направленный фильтр (рис. 83, а) получается
соединением зажимов двух направленных ответвителей, матрица
рассеяния одного из которых определяется (9.3), а второго —
(9.1) (при к — 3).
В результате применения того же преобразования (7.111)
при соединении зажимов 72—73 и 22—23 для матрицы рассеяния
двухпетлевого фильтра имеем
где
11 1з 23
11Г 0 9('з) 0 р(з-
_2Х q'(3) 0 р(з) О
(3)~13 . О р(з) 0 fa
23ЦР(з) 0 fa 0 _
9(3) = 9(2)4-
1~^з
ff „ I
9(3) = 934
РЭ?(2)
Р(з)
Р(^Рз
причем g(2), и р(2) определяются формулами (9.4).
Продолжая указанный процесс дальше, убеждаемся, что
матрицы рассеяния направленных фильтров при нечетном и чет-
ном числе петель имеют различный вид, соответствующий изме-
нению направления передачи:
при нечетном числе петель (/ —1 = 1, 3, 5, 7, ...)
	-о	9(0	Р(0	о-	
с,,—	9(0	0	0	Р(О	
°(О—	Р(О	0	0	9(0	»
	_0	Р(.)	9(0	0_	
(9. 5а)
при четном числе петель (i —1 = 2, 4, 6, ...)
SW=	0 9(0 9(0 0	0 р«) Р(О 0	
	0 Р(О _Р(0 0	0 9(0 9(0 0_	•
(9.56)
314
Коэффициенты матриц в любом случае определяются следую-
щими рекуррентными соотношениями:
Q(.i) — 9(f-i) 4
1-?(,•_!)
9(f) = 9.- +
(9-6)
P(i) 1 _____„
1	?(f-l)«f
причем в силу унитарности матрицы рассеяния между модулями
коэффициентов имеется зависимость
|ЙГ=|ЙГ=1- |р«>|’-	(S-7)
Коэффициент р(<) имеет смысл коэффициента передачи из
одной линии в другую через цепь направленной связи, а коэф-
фициенты g(n — коэффициентов передачи линий в прямом на-
правлении.
Матрицы (9. 5) и свойство (9. 7) показывают, что при выпол-
нении исходных предпосылок относительно матриц рассеяния
ответвителей генератор, работающий на направленный фильтр,
будет всегда включен на постоянное сопротивление. Для опре-
деления условий, при которых коэффициент ри) передачи через
цепь направленной связи равен единице, необходимо предва-
рительно получить его выражение в явном виде через пара-
метры образующих фильтр направленных ответвителей. Для
этой цели, используя рекуррентные формулы (9.6), получим
п _____________Р1Р2Р3_________ /о п\
<s)	1 — ?1?2 — Я&з + Мзкг — р1)
Pm = Р1РгРзР4 {(! — 91?2) (1 — 9394) — адз + 919з (91—Pl) +
+ 9294(9|-р1)-ад*(91-Р1) (91-Р1))-1,	(9- Ю)
Р(5> — PiPtPsPtPs {1 — 9192 — 9г9з — 9з94 — 9«9S +
+ 9294 (919з + 9з9з + 9i93) + 9i9s (1 — 9495) (91—Pl) +
+ 9294 (91 — Pl) — 9i94 (91 — Pl) (9| — Pl) + (91—Pl) X
X [(1 —9192)9з95—адб(91 —P1) + 9i95(91 —Р1) (я1~ Pf)]}"1- (9. Н)
Дальнейшее исследование проведем для симметричных филь-
тров. 1) Однопетлевой фильтр. Полагая р2 — Pi (<72 — 71) и исполь-
зуя (9>2), из (9.8) получим
315
Устройство действует как одноконтурный полосовой фильтр;
резонансная частота, при которой модуль р равен 1, опреде-
ляется из условия
Ф1=<р1-ре1 = г^, г=1, 2, з, ...	(9.13)
2)	Двухпетлевой фильтр. Полагая p3 = pY (q3 = qr) и исполь-
зуя (9.2), из (9.9) получим
^(з)	1 — 231|32е"^1+ф2) +	’	(9.14)
Ниже будет показано, что в полосе пропускания устройство
ведет себя как двухконтурный полосовой фильтр; средняя ча-
стота полосы пропускания определяется из условия
= =	1 = 1, 2, 3, ...	(9.15)
3)	Трехпетлевой фильтр. Полагая pi = p1(qi = q1) и р3 — р2
(q3 = q2) и используя (7.2), из (9.10) получим
Pi = [1 - ₽1₽2е-<(Ф.+«]2 - [р1е~*<Ф1+2фг) _	'	(9 ’ 16)
Устройство ведет себя как трехконтурный фильтр.
Резонансная частота фильтра определяется из условия
ф1 = ф2 = /7с, 1 = 1, 2, 3, ...,	(9.17)
при этом р=1 при любом Yj И Т2.
4)	Четырехпетлевой фильтр. Полагая p5 = p1(q5 = q1) и
pi = p2(qi = q2) и используя (9.2), из (9.11) получим
Р(5) = —{[j —	_|_
е-»2(ф2+ф3) ц^е-^Ф^Ф-з) — р2]2	X
X [1 —	— jSJ}-1.	(9.18)
Устройство ведет себя как четырехконтурный полосовой
фильтр; средняя частота фильтра определяется из условия
= ф2 = ф3 — In, 1 = 1, 2, 3, ...	(9.19)
Таким образом, используя несколько петель, можно получить
частотную характеристику фильтра, отвечающую определенным
требованиям к ее форме.
Рассматриваемые направленные фильтры наиболее целесо-
образны при конструктивном выполнении на полосковых ли-
ниях. В то же время применение полосковых линий ограничено
диапазоном волн, уровнем мощности, сравнительно низкой раз-
вязкой между каналами и большими потерями.
В волноводном исполнении многопетлевые фильтры чрезмерно
громоздки. Для волноводных фильтров могут быть предложены
фильтры, построенные на использовании двойных Г-образных
316
сочленений волноводов с неполной связью (через щели, рис. 83, б).
В предельном случае при полной связи и согласованных трой-
1
никах коэффициенты связи могут достигать значений , что
позволяет просто получить широкополосные направленные
фильтры. Частотная характеристика такого фильтра может
быть улучшена помещением дополнительных диафрагм в боко-
вых ответвлениях, т. е. более компактными средствами по
сравнению с дополнительными петлями волноводов.
При узких полосах конструкция фильтра упрощается при-
менением связи двух волноводов через две взаимно-перпенди-
кулярные щели и использованием вырожденных колебаний
в резонаторе (рис. 83, в). При выполнении определенных условий
в резонаторе будет возбуждаться поле с круговой поляриза-
цией. В качестве волновода связи (резонатора) в фильтре, изо-
браженном на рис. 83, в, применяется волновод квадратного
сечения.
Если требуются еще более узкие полосы, то можно со-
вместить центры продольной и поперечной щелей, а вместо
квадратного волновода использовать круглый. В вырожденных
фильтрах с совмещением центров щелей отверстие связи может
иметь также форму круга (рис. 83, г). Последняя разновидность
фильтра известна в литературе под названием фильтра с вра-
щающейся поляризацией.
Возможны еще и некоторые другие разновидности фильтров
с вращающейся поляризацией [44].
Вращающееся поле в резонаторах вырожденных фильтров
удобно рассматривать как совокупность двух линейно поляри-
зованных полей, имеющих одинаковые критические числа, при-
чем эти поля не сцеплены между собой. В таком случае экви-
валентная схема резонатора с вырожденными колебаниями
представляется двумя одинаковыми параллельными длинными
линиями.
Матрица рассеяния исходных элементов (перпендикулярных
сочленений волноводов) этой группы фильтров дается матри-
цей (7.47). Вместе с примыкающими к зажимам 3—3 и 4—4
V	6]
передающими линиями электрической длины -у эта матрица за-
писывается следующим образом:
1, 2j
lx " 0
2х	О
S, = ......................
Зт
_ Л г\
Зх
1Гх г/
1\
О
О —
317
где
pi = Vl-rb I\ =e~’(9‘/2+<f>i),	(9.20а)
* V £
Л = ^-’ф1> ф1 = 61 + ?1.	(9.206)
Если теперь два сочленения 1 и 2, обладающие матрицами
рассеяния (9. 20), соединить между собой зажимами 3—3 и 4—4,
то новое устройство образует направленный фильтр, частотная
характеристика которого подобна
Рис. 85. Схема направленного
фильтра с четырехполюсни-
ками на двух парах зажимов.
одноконтурному фильтру.
Как уже указывалось, улучше-
ние частотной характеристики филь-
тра достигается применением до-
полнительных диафрагм в боковых
волноводах. На рис. 83, б для при-
мера представлен фильтр с двумя
такими диафрагмами, при этом в
цепи направленной связи образует-
ся три объемных резонатора. При
анализе многорезонаторных филь-
тров дополнительные диафрагмы
вместе с примыкающими к ним от-
резками волноводов удобно выделить
в отдельные четырехполюсники и предварительно рассмотреть
восьмиполюсник, нагруженный на своих внешних зажимах 3
и 4 произвольными, но одинаковыми четырехполюсниками
(рис. 85). Поскольку в многорезонаторных фильтрах будем
иметь дело с каскадным включением четырехполюсников, то
дополнительные четырехполюсники будем характеризовать не
матрицей рассеяния, а матрицей передачи
(9.21)
Матрица передачи диафрагмы с примыкающими к ней с обеих
сторон отрезками линий электрической длины может быть
записана в виде (7. 67)
1 Г р9
Т=~ п м ,	(9.22)
где
Ф2 = °2-Ь ?2> ₽2 = C0S ?2> T2=Sm?2,
причем <р2 определяется нормированной проводимостью диа-
фрагмы Ь2 в волноводе связи (при использовании вырожденных
колебаний — для любой из ортогональных составляющих поля)
4.	^2
ctg?2= — -f.
818
Матрица передачи двух каскадно соединенных через отрезки
волноводов диафрагм с нормированными реактивными проводи-
мостями Ь2 и Ь3 равна
Т—т т — — Г е’№2+Фз)—^е<Фз ~ ^е”<ф2
— Мг — 727з [р^фа—р^Ф. е-«(ф2+фз)_р2р3_
где
Фз = 0з + !Рз> ₽3 = cos ?з» Тз = sin Тз,
причем
<	&з
ctg?3= — f .
Аналогично для трех диафрагм имеем
^12
^21
^22
= FT7T [е,(ф’+*з+4’‘) —	— Рз?4«"ф’Ь
=	+ Ш* - ^-,(фз+ф‘) + ₽8е‘«”-П
= 7^- [Р4е-« - ₽2Рз₽4 +
г727з74
=	[-е-^+Фз+Ф.) + У3^‘ - ₽2^*з + рзр4<г‘Н
(9. 23)
(9-24)
где
'?4 = 64 + <?4> ?4 = COS?4> Т4 = 81П?4>
причем
ctg?4= — у.
Найдем матрицу рассеяния восьмиполюсника с включенными
на его внешних зажимах 3 и 4 четырехполюсниками. Для этого
удобно воспользоваться преобразованием (7.133)
s;=(t21+t22s1)(tu+t12s1)-\
где для рассматриваемого случая
	“10 0	0 		”0 0 0	0 
гп 		0 1 0	0	гр 		0 0 0	0
*11—	0 0 tn	0	, 112 —	о 0 f12	0
	_0 0 0	^11-		_0 0 0	^12 —
	ООО	0 		"10 0	0 -
	ООО	0		0 1 0	0
Т21 =	0 0 121	0	, Т22 =	0 0 *22	0
	_0 0 0	^22 _		_0 0 0	^22 _
319
Учитывая, что определитель матрицы передачи четырехпо-
люсника Т равен 1, получим следующую матрицу рассеяния
восьмиполюсника с включенными на его зажимах 3 и 4 оди-
наковыми между собой четырехполюсниками:
и
и О
iv —iv
V V
iv V
—iv v
—w О
О —w
(9. 25)
где введены такие обозначения:
и =
Гх
*11	#1^12
2^1*12
*11 — ^1*12 ’
___ ^1*22 — *21
*11 “ ^1*12
причем 1\ и Вг определяются формулами (9.206).
Направленный фильтр получается соединением двух
полюсников, один из которых
Рис. 86. Схема связи двух восьми-
полюсников двумя парами зажи-
мов.
(9. 26)
восьми--
(9. 25),
вида
описывается матрицей
а другой — матрицей
(9.20) (рис. 86). Полагая ис-
ходные Т-образные сочленения
волноводов одинаковыми (ST =
— S2) и применяя преобразова-
ние (7.111), получим
О qf i 0 р
q1 0 \ р О
О р Ю q"
_ р О \q" 0 _
, (9.27)
где
2J?2
*11 ~ ^1*12 + ^1*21 + -#1*22 ’
27?гУ2	„ Q	21>
—rrV’ q=^e
(9.28)
Матрица рассеяния фильтра имеет вид матрицы направлен-
ного ответвителя. При симметричных четырехполюсниках, вклю-
ченных в боковые волноводы, £21 =—^12 и, как можно показать,
4 = q" = g =	- р (t12 + В^),	(9. 29)
2Г?	_
*11	2^1112	-#1*22	— *22?le"~t2^1
(9. 30)
q' = и
S =
320
f Подставляя коэффициенты матриц дополнительных четырех-
полюсников (9. 22)—(9. 24) в выражение для коэффициента р пере-
дачи через цепь направленной связи (9.30), нетрудно убедиться,
что эти выражения с точностью до фазового множителя совпа-
дают с соответствующими выражениями для аналогичного коэф-
фициента фильтров первого вида [формулы (9.12), (9.14), (9.16)
и (9.18)].
Таким образом, несмотря на заметное различие конструкций
и протекающих электромагнитных процессов, внешние параметры
этих двух видов фильтров будут одинаковыми.
§ 2. НАПРАВЛЕННЫЕ ФИЛЬТРЫ НА ОСНОВЕ ШЕСТИПОЛЮСНЫХ
СОЧЛЕНЕНИЙ ВОЛНОВОДОВ
В данной группе фильтров также образуется петля, но
в отличие от рассмотренных выше она замыкается через отрезки
основных волноводов. Это существенно меняет начальные усло-
вия и не позволяет без специального исследования провести
прямую аналогию с первой группой. Два вида направленных
волноводных фильтров, построенных на основе Я-сочленений
прямоугольных волноводов, изображены на рис. 84, а и б. Эти
фильтры состоят из двух волноводов, связанных с помощью
продольных или наклонных щелей с двумя объемными резона-
торами. Щели возбуждаются поперечными токами волноводов
и находятся друг от друга на расстоянии нечетного числа
четвертей длины волны. Для обеспечения свойств направлен-
ного фильтра необходимо, чтобы возбуждение щелей одного
резонатора было синфазным, а другого противофазным. Подоб-
ное возбуждение обеспечивается соответствующим расположе-
нием или наклоном щелей. Форма частотной характеристики
этих фильтров улучшается помещением дополнительных диа-
фрагм в боковых ответвлениях волноводов.
Другой вид направленного фильтра изображен на рис. 84, в.
В нем используются одновременно одинарные Я- и Я-сочлене-
ния волноводов, соединенных так, что непосредственная связь
между входом и выходом резонаторов по одному типу колеба-
ния отсутствует. Связь появляется только благодаря преобра-
зованию одного типа колебаний в другой. Такое преобразова-
ние может быть осуществлено с помощью деформации оболочки
резонатора, например введением винтов связи (ве на рис. 84, в).
Для обеспечения формы частотной характеристики полосовых
фильтров колебания в резонаторах должны выбираться выро-
жденными, т. е. имеющими одинаковые критические числа. Су-
щественно отметить разницу в использовании вырожденных
колебаний резонаторов данной группы фильтров и фильтров,
построенных на основе вырожденных двойных Т-образных
сочленений волноводов.
21 Теория волноводов
321
В рассматриваемом сейчас фильтре деформация оболочки
резонаторов обеспечивает взаимное сцепление колебаний, что
меняет характер его структурной схемы: в данном случае
в одном объемном резонаторе совмещается многоконтурная цеп-
ная схема. Подобные фильтры, в которых реализуется цепная
схема за счет связи вырожденных колебаний между собой, назо-
вем многомодовыми.
Структурная схема направленных фильтров, использующих
одинарные Я-сочленения, изображена на рис. 87. Фильтр рас-
Рис. 87. Схема связи четырех Я-шестиполюс-
ников.
сматривается как соединение четырех Я-сочленений, к каждому
из которых присоединяются отрезки волноводов электрической
длины: — для боковых плеч и ----------для плеч основных
волноводов.
Четырехполюсники с матрицами передачи характеризуют
дополнительные диафрагмы, помещаемые для улучшения формы
частотной характеристики.
На основании (7.95) матрица рассеяния синфазного и про-
тивофазного включений имеет вид.
(9.31)
где
а =
6 = (1 — ia1e~<Ti) е-<®,
г — 71 -ф+е.+г^/г
С~ у/2
(9. 32)
322
d = pie_,’t!'1
₽?Н-т?=1,
(9.32)
Процесс отыскания матрицы рассеяния фильтра полностью
аналогичен тому процессу, который был применен к исследова-
нию фильтров на двойных Г-образных сочленениях волноводов.
Опуская громоздкие промежуточные выкладки, приведем окон-
чательные результаты;
Р о
о Р
Здесь
г q
q г
р о
- о р
(9.33)
8(1- 82 + /2)+2g2(8~/)
1 — е2 4~ g2
/2-g2
1 — е2 4“ g2 *
(9.34)
S =
г q
q г _
Г
4 =
P = g
i-(8-/)2
1 — e2 + g2
причем коэффициенты e, f и g при одинаковых й-сочленениях
и симметричных четырехполюсниках имеют вид
__п_____Д *12 + *22<*
*11 — 2/12Й — #22^2 ’
г.____2	*12 + *22<*
— ^22^2 *
__________С2__________
£ц — 2£12d — #22^2
(9.35)
Из матрицы (9.33) видим, что в данной группе фильтров
диагональные плечи развязаны, хотя коэффициенты отражения
не равны тождественно нулю, как это имеет место в фильтрах
первой группы и в направленных ответвителях. Но здесь нет
противоречия с матрицей (7.50), так как устройство не обла-
дает теми видами симметрии, при которых справедлива эта
матрица.
Выражения для коэффициентов матрицы рассеяния данного
вида фильтров получились более сложными, чем для фильтров
первой группы, Это соответствует более сложным электромаг-
нитным процессам, протекающим в устройстве.
Рассмотрим подробнее выражение для коэффициента передачи
через цепь направленной связи и установим условия фильтра-
21*
323
ции, т. е. условия, при которых коэффициент р близок к еди-
нице.
Прежде всего отметим, что
(е — /)2 = (а + &)2 =	(9. 36)
и
1 — (е ~ f)2 = i2 sin 0бг<0.	(9. 37)
Далее рассмотрим величину 1—e24-g2.
При симметричных четырехполюсниках (£12 = —121) она равна
1	e2-f-g2 = l— a2 (ii _ 2il2d _ z22<j2 [а ^12 + *22d)	~2 *22^] .
так как 1—^22 = ^iA2-
Ниже будет показано, что модуль
_________2с2__________ _ __________________т*_______________
*11 — 2f12d — £22^2	_ 2£12J31e~^i — t2$2e"i2'^
приближенно описывает частотную характеристику фильтра, не
превосходит единицы на резонансной частоте и резко убывает
вне полосы пропускания фильтра.
Далее* рассмотрим величину ^(^2 + ^22^)—у с2]. При уме-
ренно сильных связях	а<^1) вблизи от резонансной
частоты эта величина существенно меньше единицы. Поэтому
при умеренно сильных связях в выражениях для коэффициентов
матрицы рассеяния фильтра приближенно можно принять
|l-e2 + g2|«l.
(9. 38)
Используя (9.37) и (9.38), запишем
р — i2g sin Ое 10 =
i2c2 sin 0
— 2?12^ — *22^2
Подставляя значения с и d из (9.32), окончательно получим
п =	*УП(>	е-'	.
41 — 2f 12₽le	— ^22^1e
(9. 39)
Выражение (9. 39) для коэффициентов р фильтров, построенных
на основе одинарных Я-сочленений волноводов, совпадает с точ-
ностью до фазового множителя с подобными выражениями для
коэффициентов рассмотренной ранее первой группы фильтров,
если расстояние между центрами щелей в волноводах выбирать
из условия
9 =	—1), 1 = 1, 2, 3, ...
(9.40)
324
Рассмотрим теперь матрицу рассеяния многомодовых филь-
тров. Структурная схема многомодового направленного фильтра
изображена на рис. 88.
Шестиполюсники с матрицами рассеяния соответствуют
Z-образным сочленениям с поперечной щелью.
Эти матрицы на основании (7. 91) имеют вид
Рис. 88. Схема связи Я- и Я-шестиполюсников.
где при соответствующем выборе размеров и положения щелей
коэффициенты а, Ъ, с и d определяются формулами (9.32).
Четырехполюсники с матрицами передачи Т характеризуют вид
междутиповой связи.
Произведя необходимые вычисления, найдем, что матрица
рассеяния многомодового фильтра
	”—г	q	iP	о -
S —	q	—г	0	ip
kJ —-	tp	0	г	q
	0	iP	q	r _
(9.42)
причем коэффициенты г, q и р определяются теми же форму-
лами (9.34) и (9.35).
Остановимся на реализации междутиповой связи вырожден-
ных колебаний в многомодовых резонаторах. В многомодовых
направленных фильтрах можно использовать волноводы связи
(резонаторы) квадратного или круглого сечения, настроенные
на низшие типы колебаний. В двухмодовых фильтрах при резо-
325
#1
I
наторах квадратного сечения это будут колебания TE1Q1 и	*1
TEQlli а при резонаторах круглого сечения — колебания ТЕ1П |
со взаимно-перпендикулярной поляризацией. Коэффициент между-
типовой связи двух колебаний приблизительно определяется
выражением (4.162)
N12 = — j	dV,	(9.43) i
АГ
а нормированное сопротивление связи равно
— Z7V
Здесь 3^^ и	— собственные функции резонатора.
Интегрирование в (9.43) производится по объемам винтов
связи резонатора.
Введение винтов связи резонатора изменяет также резонанс-
ную длину волны каждого типа колебаний, так что
k7=M1—W’
где Хоу — резонансная длина волны /-го типа колебаний резо-
натора до введения винтов связи:
2Vy=J(^-^)d7.
AV
Чтобы изменение резонансной частоты для обоих типов коле-
баний было одинаковым, необходимо потребовать
n1 = n2.
Это выполняется, когда винты связи расположены под углом
45° по отношению к щелям. При расположении винтов связи
на торцах (рис. 84, в) связь
।		• — — । осуществляется по магнитному
•	n	I полю. Эквивалентная схема двух-
J	£ модового резонатора приобретает
I-----------1_____________□ вид рис. 89.
н-----$-----4------0,-----4 На ней резонатор представ-
лен двумя отрезками волноводов
Рис. 89. Схема двухмодового электрической длины —
резонатора.	где — постоянная распростра-
нения волны в волноводе, из
которого образован резонатор.
Эдс иг и U2 отражают возбуждение резонатора через щели,
., 1
а проводимость связи ib2 =------взаимодействие двух ортого-
2с
нальных колебаний резонатора. При отсутствии сцепления полей
326
эта проводимость равна бесконечности (так как тогда zc = 0);
тогда вход и выход остаются несвязанными.
Матрица передачи дополнительного четырехполюсника в этом
случае определяется (9. 22) ^половина электрической длины
резонатора учтена в формулах (9.32)]. В тех же приближе-
ниях, в которых получена формула (9.39), для коэффициента
передачи двухмодового фильтра имеем
п —______sin 9______/9 441
Р 1—2|31(32f-^1(''+^+*
что с точностью до фазового множителя совпадает с выраже-
нием для аналогичного коэффициента двухконтурных фильтров,
рассмотренных ранее.
Для получения трехмодового фильтра доста-
точно переместить винты связи (be) таким об-
разом, чтобы они находились на одной линии
с максимумами напряженности электрического
поля входной и выходной щелей резонатора (рис.
90). Размеры резонатора должны быть выбраны
такими, чтобы могли существовать три низших
вырожденных типа колебаний: в круглом резо-
наторе это будут два ортогональных колеба-
ния ТЕШ и колебание TMQ1Q. При указанном
расположении винтов связь между входом и вы-
Рис. 90. Поло-
жение винта
связи в трехмо-
довом резона-
торе.
ходом резонатора осуществляется только че-
рез переход от одного из колебаний ТЕШ к ГМ010 и от него —
к другому ортогональному колебанию ТЕШ. Таким образом,
объемный резонатор будет представлять цепь из трех резонанс-
ных контуров. Более подробно определение параметров много-
модовых фильтров можно найти в работе [67], посвященной
исследованию обычных ненаправленных фильтров, основанных
на селективном по частоте отражении электромагнитных волн.
§ 3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МНОГОКОНТУРНЫХ
ФИЛЬТРОВ
В §§ 1 и 2 были получены матрицы рассеяния направленных
фильтров различных видов, объединенных в две группы. Модули
коэффициентов матриц рассеяния для фильтров второй группы
записываются следующим образом:
коэффициент передачи через цепь направленной связи
72 sin 0
/ц — 2f1201e_,'l’‘ —	*
(9.45)
327
коэффициент передачи в прямом направлении
|g| = Vl - И2-
(9.46)
Зависимость этих коэффициентов от параметров устройств
частотной селекции в цепи направленной связи выражается
через матрицу передачи некоторого четырехполюсника
^11	^12
^12	^22_
(9.47)
представляющего собой каскадное соединение элементарных
четырехполюсников, каждый из которых состоит из реактивной
шунтирующей проводимости вместе с примыкающими к ней
отрезками передающих линий. Матрица передачи j-го элемен-
тарного четырехполюсника имеет вид
т =_lF
3	L—Ру —е-'Ч
причем
1
Фу = °у + Фу /
(9. 48)
(9. 49)
При большом числе элементарных четырехполюсников вы-
числение матрицы Т становится несколько громоздким.
Для упрощения расчетов четырехполюсник с матрицей пере-
дачи Т можно представить в виде каскадного соединения двух
несимметричных одинаковых четырехполюсников, но включен-
ных в противоположных направлениях (рис 91). Пусть матрица
передачи одного из них равна
^11	^12
_^21	^22 _
(9. 50)
Тогда матрицу передачи в обратном направлении запишем
в виде, вытекающем из (7.60)
^11	^21
^12	^22 _
Следовательно,
Т' —
1 обр
т=т;6рт'=
(#h)2-W
^11^12 4“ ^21^22
^11^12	^21^22
-w+w_ ’
(9.51)
(9. 52)

Подставляя коэффициенты матрицы (9. 51) в (9. 45), получим
1/4=
__________________sin 9_____________________
(fn — ^12Р1е *^)2 — (^21 — *22₽1е *V1)2
(9. 53)
328
Например, для того чтобы получить выражение для ча-
стотной характеристики пятиконтурного фильтра, достаточно
в формулу (9.53) подставить коэффициенты матрицы (9.23).
Таким образом, для пятиконтурного фильтра запишем
IР | = тЖ | sin 011 [e<(fe+w — Мз —	—
_ [_р2е-<ф3 — рге-<(Ф.+Ф.+Ф») _|_ р^^зв-’Ф-]21’1.	(9. 54)
Формально выражения (9.45)—(9.54) могут быть распро-
странены и на фильтры первой группы, если для них тожде-
ственно принять sin 0=1, а для фильтров, построенных на
основе направленных ответвите-
лей, под величинами Ру, уу и fy
фактически понимать параметры
ответвителя.
Наличие обобщенной трактов-
ки коэффициентов матриц рас-
сеяния фильтров самых различ-
ных видов очень удобно при ап-
проксимации частотных характе-
ристик. Оно позволяет отвлечься
от конкретного вида фильтра и
Рис. 91. Схема противополож-
ного включения четырехполюсни-
ков.
характеризовать его обобщенными параметрами контуров.
В многоконтурных фильтрах соответствующим выбором
коэффициентов связи уу можно получить полиномиальные ча-
стотные характеристики различного вида. Приведенный мате-
риал служит основой для создания метода синтеза направлен-
ных фильтров.
В качестве частотных характеристик направленных фильтров
принимается коэффициент вносимых потерь L, представляющий
отношение мощности Рвх на входе фильтра к мощности Рвых на
его выходе:
Рвых “ I Р I2 ’
(9. 55)
где |р|2— квадрат модуля коэффициента передачи через щепь
направленной связи.
Принимая, что эквивалентные электрические длины резона-
торов фу = 9у-|-<ру фильтра одинаковы, функцию | р |2 наиболее
просто можно представить в виде ряда по косинусам кратных
дуг 2ф (фу = ф = const).
Однако для аппроксимации частотных характеристик удобно
ее представить в виде ряда по степеням sin ф. Для этой цели
используем известные тригонометрические разложения
cos 2ф = 1 — 2 sin2 ф,
cos 4ф = 1 — 8 sin2 ф 4~ 8 sin4 ф,
329
cos 6ф = 1 —18 sin2 ф	48 sin4 ф — 32 sin6 ф,
cos 8ф = 1 —32 sin2 ф	160 sin4 ф — 256 sin6 ф 4- 128 sin8 ф,
cos 10ф = 1 — 50 sin2 ф 400 sin4 ф —1120 sin6 ф 4-
4“ 1280 sin8 ф — 512 зт10ф,
В результате вычислений для вносимых потерь направленных
фильтров получим следующие выражения:
1)	одноконтурный фильтр
£=-Лй(1+48П12<!>|;	(9.56)
sm20|	4 TJ	v 7
2)	двухконтурный фильтр
L = ет I1 + 4т [4Р1sin2 Ф - 2?! + ₽2 (1 + ₽2)]2!; (9.57)
3)	трехконтурный фильтр
Ь=4п>(1+ ~ГТ [8₽1 8Ш3ф —
sm2 е | 1 44	1
- (6^ - 2₽2р2- 2ЭД2 - 2р2) sin ф]2} ;	(9. 58)
4)	четырехконтурный фильтр
L=т 11 + ттт t1si“4 Ф -
sin в I тЬЬз
- 4(4₽х - ₽а - Р2₽2 - 2₽М) sin2 ф + 2 (1 - Ш (рх - р2) +
+ ₽з(1 - Ш2 + ₽з (₽1-т2};	(9.59)
5)	пятиконтурный фильтр
L = -4^ (1 + -4г 132?1 sin5 ф —
sm2fi|	ri Т
- 8 (5?х - ₽2 - Р2Р2 - ₽!₽2 -	sin3 ф +
+ 2 [8рх + ф! - 3) (1 + §2) + р2 (₽2 - 3) (1 + ₽2) +
+ ₽з (1 - ₽А)2 + ₽з (₽! - W2] sin ф]2j •	(9.60)
Как видим, функция вносимых потерь фильтров определяется
квадратом некоторого полинома <2(зшф) степени п, где п —
число контуров,
b=4n[l+^(sM)].	(9.61)
330
Для фильтров первой группы sin 6 тождественно равен 1,
для фильтров второй группы множитель sin 6 на участке аппрок-
симации может быть приближенно также принят равным еди-
нице. Таким образом, для всех групп направленных фильтров
задача сводится к аппроксимации полинома Qn от аргумента
sin ф.
В теории фильтров СВЧ исключительное применение, как
удовлетворяющая разнообразным требованиям практики, полу-
чила аппроксимация гладкой функцией и с помощью полиномов
Чебышева.
В первом случае характеристика фильтра будет пропорцио-
нальна 2п-й степени аргумента. Подобные фильтры носят назва-
ние максимально гладких.
Во втором случае частотная характеристика в пределах
отрезка аппроксимации имеет колебательный характер, обеспе-
чивающий наименьшее отклонение функции от заданного
уровня.
Аппроксимирующие функции удобно записать следующим
образом:
максимально гладкий фильтр
£ = 14-е2( sil!^-V”t	(9.62)
1 \sin <ршах/ ’	'	'
чебышевский фильтр
Z=l+e2T2(^L).	(9.63)
\ ьш ушах /
Здесь sin фтах — значение аргумента, соответствующее краю
полосы пропускания фильтра; Тп(х) — полиномы Чебышева пер-
вого рода тг-го порядка, причем
Тг(х) = х,
Т2(х) — 2х2 — 1,
Т3(х)	— Згг,
= —8я2 + 1,
Тъ(х) = 16я5 — 2(Ъ3 + 5х,
Коэффициенты е определяют неравномерность (выброс) час-
тотной характеристики фильтра в полосе пропускания, причем
при ф = фтах имеем
£ = 14-е2.
При выборе полосы пропускания по уровню половинной
мощности 8 равна единице.
331
В зависимости от вида аппроксимации необходимо наложить
определенные условия на коэффициенты аппроксимирующего
полинома и из этих условий определить параметры фильтра.
Для упрощения (в полосе по крайней мере 10—15%) можно
полагать, что имеет место линейная зависимость электрических
расстояний от расстройки, т. е.
Ф = +	(9-64)
где Фо — эквивалентная электрическая длина резонатора на
средней частоте полосы пропускания; £ — коэффициент частот-
ной избирательности, равный
Ло — длина волны в волноводе; Хо— длина волны в свободном
пространстве, соответствующая середине полосы пропускания;
т) = -у- — относительная расстройка; X — текущая длина волны.
На средней частоте полосы пропускания фильтров эквива-
лентная электрическая длина резонаторов Фо равняется 1к
(/ = 1, 2, 3, ...). В указанной полосе частот можно принять
sin ф = В?},	1
• ।	(9-66)
Фшах--^max> /
где дтах— половина относительной полосы пропускания фильтра.
При сделанных допущениях вносимые потери являются
функцией непосредственно расстройки от средней частоты фильтра
и выражение для них можно записать
Ь = 1+<2*Р-},	(9-67)
I '/max j
где Qn — максимально гладкая или чебышевская функция.
В подавляющем большинстве случаев в направленных фильт-
рах используются умеренно сильные связи (^. <^1). При уме-
ренно сильных связях решение уравнений для коэффициентов
связи в зависимости от требуемой полосы пропускания и до-,
пустимых выбросов частотной характеристики существенно
упрощается. Для этого используем разложение коэффициента
Ру в ряд по степеням
+	(9.68)
Отметим, что при различном числе контуров и различном
виде аппроксимации практически оправдано ограничение раз-
личным количеством членов ряда (9.68).
332
Результаты приближенных вычислений коэффициентов связи
фильтров с п = 1, 2, 3 сведены в табл. 5.
Таблица 5
Максимально гладкие
фильтры
Чебышевские фильтры
7
Т2— 2
71 —
72—	4 71 + 2 (5^тах)2
71 — ^2^тах X
§ 4. СОПРЯЖЕНИЕ НАПРАВЛЕННЫХ ФИЛЬТРОВ
В МНОГОКАНАЛЬНУЮ СИСТЕМУ
В многоканальных системах с разделением (или смешива-
нием) сигналов по высокой частоте с помощью фильтров возни-
кает необходимость определения влияний, которые вносятся
в какой-нибудь один канал другими каналами, входящими
в систему.
Число сопрягаемых фильтров и схема соединения их зажи-
мов определяются требованиями, предъявляемыми к системе.
На рис. 92 для примера приведена схема сопряжения 1—4 на-
правленных фильтров, обеспечивающая сложение в общий тракт
колебаний с пятью частотами (Д, Д, Д, fd и Д). Изолирован-
ные плечи направленных фильтров нагружены на согласован-
ные нагрузки (2 = 1). Так как направленный фильтр является
взаимным устройством, то представленная на рис. 92 схема
может быть использована также и для разделения колебаний.
Для этого необходимо только изменить направление стрелок
на рисунке.
Переходное ослабление между каналами определяется коэф-
фициентом направленности фильтров; оно не представляет при
сопряжении особой задачи. Дополнительные же потери, кото-
333
рые вносятся в каналы при сопряжении их в общую систему,
обусловливаются утечкой энергии в плечи с согласованными
нагрузками (z = l).
Основным предметом исследования многоканальной системы
является определение дополнительных потерь в каналах, а также
Рис. 92. Схема многоканальной системы из направленных
фильтров.
определение коэффициента отражения на входе системы. На-
правленные фильтры имеют небольшие коэффициенты отраже-
ния в широком диапазоне частот. Это позволяет раздельно
рассмотреть дополнительные потери в каналах, а затем оценить
значение коэффициента отражения на входе тракта.
Расчет дополнительных потерь
При определении потерь будем полагать, что матрица рас-
сеяния фильтров во всем рабочем диапазоне системы имеет вид
К
IfcTO &Р Рк~
з* о Pfc|0 qk
^к-Рк Q\Qk 0_
Здесь к — номер фильтра.
Вначале рассмотрим сопряжение двух направленных филь-
тров, обладающих матрицами рассеяния ST и S2 (рис. 93).
Рис. 93. Схема соединения двух направлен-
ных фильтров.
Используя преобразование (7.111) и проведя необходимые
вычисления, получим
334
8(2) —
1. 3, 4, 2, 3, 4,
1 XX & a A
Id	~ 0	0 р2	9192 ° 9iP2
	0 о q1	92Pi 0 p2Pi
	Pi Qi 0	ООО
22	9192 Pi92 °	0 р2 0
32	ООО	Р2 0 92
42	—9iP2 Р1Р2 9	0 9г ° -
(9. 70)
Рассматривая матрицу (9.70), можем отметить следующее:
1)	коэффициент передачи устройства из двух сопряженных
фильтров в прямом направлении (от плеча 1 в плечо 2) равен
произведению коэффициентов передачи в прямом направлении
каждого из фильтров:
д' = ад2;	(9.71)
2)	коэффициент передачи устройства через цепь направлен-
ной связи одного из соединенных фильтров в общий тракт равен
произведению коэффициента передачи через цепь направленной
связи этого фильтра и коэффициента передачи в прямом на-
правлении другого фильтра; так, коэффициент передачи между
зажимами Зг— 22 и коэффициент передачи между зажимами
^2 — А соответственно равны
Pi = PiQ2, Ръ = РМ	(9-72)
3)	коэффициент передачи устройства через цепи направлен-
ной связи между рабочим плечом одного фильтра и изолиро-
ванным другого (между зажимами — 42) равен произведению
коэффициентов передачи через цепь направленной связи каждого
из фильтров:
Р12 = Р1Р2-	(9.73)
Полученные результаты нетрудно обобщить на случай со-
пряжения произвольного числа т направленных фильтров, об-
разующих т-}-1 канал (рис. 92).
Для коэффициента передачи многоканальной системы в пря-
мом направлении имеем
т
д;=п&.	(9.74)
к—1
а для коэффициента передачи со входа Z-ro канала через цепь
направленной связи на выход системы
т
Pi=Pt П (?»•	(9-75)
'335
Величина
определяет дополнительные потери в Z-м канале, которые воз-
никают при сопряжении направленных фильтров. Наибольшие
дополнительные потери будут на частоте сигнала, распростра-
няющегося в прямом направлении со входа на выход системы
(на рис. 101 для сигнала с частотой /а). Величина этих потерь
определяется коэффициентом
^=ИтЬ- (Э-77>
Преобразуем выражение (9.77). Частотная характеристика
А-го канала имеет вид
£*=-1_=-А_|14-де (4Н1П.	(9.78)
й	| рк |2	sm2 6* I 1 YW’*\sin<pm/ J	v '
В зависимости от вида аппроксимации полином Qn k равен:
для максимально гладких фильтров
Qn, к =::
(9. 79)
к 9
для чебышевских фильтров
Qn, к =
фтах )к
(9.80)
то
Поскольку
Ы2+Ш2=1,
(9.81)
(9. 82)
cos20fc + C2,fc
и коэффициент дополнительных потерь равен
r_TT i + Qn.k
° fc=l COS2 0fc + Jc
При sin = 1, что выполняется тождественно для фильтров
первой группы и приближенно для второй, имеем
т /	л \
Lo—П Р •
к=1 \	Чп,к /
Зависимость величины дополнительных потерь от числа со-
прягаемых фильтров может быть приведена к более простому
виду, если сделать некоторые общие предположения относи-
тельно структуры многоканальной системы. Пусть в этой си-
336
стеме все каналы 1, 2, 3, ..., т имеют одинаковые относитель-
ные полосы (равные 2т]тах), непосредственно примыкающие одна
к другой (рис. 94). Будем интересоваться дополнительными по-
терями на средней частоте полосы пропускания канала. В таком

	
9
Рис. 94.
Схема расположения полос пропу-
скания каналов.
случае средние частоты полос пропускания увеличиваются про-
порционально номеру канала, так что
Тогда, если полосы пропускания всех фильтров отсчиты-
ваются на одном уровне, имеем
е (2к)п — максимально гладкие фильтры,
еТп (2к) — чебышевские фильтры
и для вносимых потерь (в децибеллах) соответственно получим
ZE I? в2 (2А:)2«] ’
fc=i
т
10 2 Iog [i + z2Tn (2&)] •
fc=l
(9.85)
Если полосы пропускания фильтров отсчитываются на уровне
3 дб, то в формулах (9.85) следует положить е=1. Фор-
мулы (9.85) сохраняют силу и тогда, когда полосы каналов не
примыкают непосредственно друг к другу, а имеют нерабочие
интервалы частот, кратные ширине полосы пропускания кана-
лов. В этом случае при расчете в суммах (9. 85) следует про-
пускать те номера, которые соответствуют интервалам между
рабочими полосами каналов.
Входной коэффициент отражения системы
Реальные направленные фильтры обладают хотя и малыми,
но конечными коэффициентами отражения. При сопряжении их
в общую систему эффект отражений может накапливаться. Как
22 Теория волноводов
337
правило, сопряжение фильтров в многоканальную систему про-
исходит при выборе длин соединительных линий, определяемом
удобством конструкций, а не стремлением получить минималь-
ный входной коэффициент отражения.
В этом смысле выбор длин соединительных линий можно
считать случайным и для оценки результирующего коэффи-
циента отражения на входе системы применить вероятностные
методы.
Предварительно необходимо установить зависимость резуль-
тирующего коэффициента отражения системы от параметров со-
ставляющих устройств. Эта зависимость в многоканальной си-
стеме очень сложна, однако ее можно упростить, считая, что
коэффициенты отражения элементов и системы в целом доста-
точно малы. Для установления указанной зависимости рассмо-
трим сопряжение фильтров, коэффициенты отражения от которых
не равны нулю. Положим, что матрицы рассеяния фильтров
имеют вид, определяемый выражением (9.33),
^к %к %к ^к
1*	Гк Як	Рк о
2.	Як гк	о Рк
%к	Рк о	Гк Як
^к	-0 Рк	Як гк_
(9. 86)
Матрица (9.86) по сравнению с матрицей (9.69) имеет дру-
гой тип направленности, но для последующего изложения это
обстоятельство не имеет никакого значения.
Как и ранее, рассмотрим вначале соединение двух фильтров
в соответствии с рис. 93. Используя преобразование (7.111),
получим
	1,	4,	3.	2.	42	3,	
4	г 1	WPz п	о	?1Р2	
	1 ' 1 — Г1Г2 1 — »v2	1 — rlr2	1 — г 1^2	
4	giPi^i _ । р1г2 п	л	Р1Рг	
	1 — Г1Г2	1 1 1 — г1т2 41	1 — rxr2	1 — Г1Г2	
ц 31	Р1	Я1	0	0	0	.(9.87)
»(2) =		
2	9192	Р192	0 r 1 qlri п	92Р2Г1	
"2	1 — ГХГ2	1 — ZV2	2 1 1 _ Г1?-2 Р2	1 _ Г1Г2	
*2	0	о 0	р2 r2 q2	
	<11Р2	Р1Р2 л	92P2ri п _ 1 plri	
°2	-	1 — г1г2	1 — г1г2	1 — г1г2	2 1 1 _ Г1г2_	
338
Для удобства сравнения с матрицей (9. 70) в матрице (9. 87)
восстановлено такое чередование зажимов, которое делает эти
матрицы однотипными.
Из сравнения прежде всего видим, что при расчете потерь
мы пренебрегали величиной ггг2 по сравнению с единицей.
В этом же приближении для входного коэффициента отра-
жения имеем
Г(2)^Г1+^Г2-
На частоте входного сигнала (частота fa рис. 92) модуль q*
близок к 1. Поэтому
Г(2)=Г1 + Г2е"’^>	(9-88)
где <р' — фаза коэффициента
При сопряжении произвольного числа т направленных филь-
тров результирующий коэффициент отражения на входе системы
оказывается приближенно равным сумме комплексных коэффи-
циентов отражения элементов с учетом пересчета их фаз на
вход системы
9П
г=^г'к,	(9.89)
fc=l
причем
г = ре-% rfk = р^^,
где pfe — модуль и — фаза пересчитанного на вход коэффи-
циента отражения к-го фильтра; р — модуль и ср — фаза резуль-
тирующего коэффициента отражения системы.
Таким образом, коэффициент отражения системы фильтров
при малых отражениях определяется так же, как коэффициент
отражения каскадно включенных четырехполюсников.
Произведем расчет последнего в предположении случайного
распределения модулей и фаз коэффициентов отражения элемен-
тов системы.
Первый шаг, который необходимо сделать при решении по-
ставленной задачи, — это принять некоторые законы распреде-
ления вероятностей модулей и фаз коэффициентов отражения
элементов. При выборе закона распределения модуля pfc следует
иметь в виду, что вероятность получения экстремальных его
значений 0 и 1 весьма мала.
По своему характеру распределение вероятностей модулей
коэффициентов отражения близко к рэлеевскому. Дифферен-
циальный закон рэлеевского распределения имеет вид
^(pfc) = -^e“W.	(9.90)
ак
22*
339
Соответственно интегральный закон запишется так:
W(?k<Rk)=^ lF(pfc)dpfc=l-e-4M. (9.91)
О
На рис. 95 приведены дифференциальный w (у) и интеграль-
ный W (у) законы распределения Рэлея (на рисунке соответ-
ственно а и Ь) в зависимости от параметра о, представляющего
Рис. 95. Кривые распределения Рэлея.
значение модуля (о=г/0), при котором дифференциальная кри-
вая достигает максимума
J/max = O-6O64-.
Кривая Рэлея лишь приближенно описывает плотность веро-
ятности модуля, поскольку она простирается в бесконечность,
в то время как пределы его возможных значений от 0 до 1.
Однако эта погрешность аппроксимации весьма невелика.
Действительно значение параметра о >0.3 для отдельных
элементов реально недопустимо.
При о = 0.3 вместо единицы имеем
Ж (г/ < 1) = 0.9959.
Для закона Рэлея среднее значение (математическое ожида-
ние) и дисперсия модуля выражаются следующим образом:
00
У = j yw(y)dy — a
О
(9.92)
(9.93)
340
Закон распределения фаз, как принято, можно считать
равновероятным. Подобное предположение является не только
простейшим, но и наименее обязывающим, поскольку оно пред-
полагает наименьшие предварительные сведения о свойствах
случайной величины, что в отношении фаз действительно и
имеет место.
Таким образом, для фазы коэффициента отражения имеем
ы—
при
при
—* < % <
?fc0 и
(9. 94)
Принятые законы распределения для фаз и модуля коэффи-
циента отражения элементов означают, что распределения коэф-
фициентов отражения элементов, рассматриваемых как векторы,
нормальны:
W (гк) = ------ е .	(9. 95)
Gfc У2п
Таким образом, параметр имеет смысл дисперсии нормаль-
ного закона распределения коэффициента отражения, рассматри-
ваемого как вектор.
Хорошо известно, что распределение вероятностей суммы
векторов, распределенных нормально, также нормально, а дис-
персия результирующего вектора равна
т
о2=£4.	(9.96)
к—1
В данном случае распределение вероятностей модуля резуль-
тирующего коэффициента отражения на входе системы выра-
жается тем же законом Рэлея, а фазы — законом равной вероят-
ности.
Таким образом, интегральный закон распределения вероят-
ностей модуля результирующего коэффициента отражения на
входе тракта получим в виде
W (р < Л) = 1 — е"й2/2’3.	(9.97)
В специальной литературе, содержащей экспериментальные
данные, обычно приводится не параметр а, а среднее значение
(математическое ожидание) модулей коэффициентов отражения.
Тогда, используя (9. 92), запишем
w (Р < R) = 1 — e~”K2/4f\	(9.98)
т
где р2 =	— сумма квадратов математических ожиданий мо-
к=1
дулей коэффициентов отражения элементов.
341
Полученная зависимость описывает явления, которые рас-
сматриваются на одной частоте. Так как тракт работает в по-
лосе частот, то фактически задача должна сводиться к исследо-
ванию случайного процесса, потому что случайная величина
является функцией частоты. Исследование этого процесса в об-
щем случае достаточно сложно и громоздко, однако для прак-
тики достаточно знания вероятностных характеристик не
в каждой точке диапазона, а только их нижних пределов в рас-
сматриваемой полосе частот. Тогда при некоторых дополнитель-
ных предположениях относительно структуры тракта могут
быть получены простые расчетные формулы. Наиболее простая
оценка вероятностных характеристик тракта основывается на
предположениях, что:
1)	неоднородности расположены через равные промежутки;
2)	изменение фазы коэффициента отражения определяется
только изменением электрической длины тракта и происходит
линейно от частоты;
3)	модули коэффициентов отражения неоднородностей одина-
ковы и в рассматриваемом диапазоне не зависят от частоты,
так что
f =	(9.99)
где р0 — среднее значение модуля коэффициента отражения лю-
бого из элементов, постоянное в рассматриваемом диапазоне.
В указанных предположениях функция корреляции процесса
на входе тракта будет периодической функцией частоты, а нули
этой функции отстоят по фазе на к.
На основании этого может быть определено количество то-
чек г;, в которых функция корреляции в заданной полосе частот
имеет значения, равные нулю,
р =	(9.100)
где Д<ртах — максимальное изменение электрического расстояния
на входе тракта.
Вероятность Wv того, что коэффициент отражения тракта
ни на одной из v -j- 1 (включая начальную) статистически неза-
висимых точек диапазона не выйдет за пределы допустимого
значения R, равна
W, (р < R) = WM (р < 7?) = [1 —	(9.101)
В случае волноводных трактов для изменения электриче-
ского расстояния на входе тракта имеем
<9102>
342
где 71 = А-----относительная расстройка от средней длины
*•0
волны (Хо) диапазона; 0о=-^------электрическая длина тракта;
L — расстояние между неоднородностями; Ло — длина волны в вол-
новоде.
Используя (9.100), получим
о =	(9'103)
где Втах = 2т]тах т — относительная ширина рассматриваемой
полосы частот. Отметим, что изменение фазы Дер' = — между со-
седними неоднородностями на « соответствует всем возможным
взаимным комбинациям векторов коэффициентов отражений эле-
ментов. Поэтому, когда используемый интервал относительных
частот т] таков, что Дер' больше к, в формуле (9.101) не сле-
дует принимать v больше т.
Среднее значение модулей р0 коэффициентов отражения эле-
ментов, при которых модуль коэффициента отражения на входе
тракта с заданной вероятностью Wv не превосходит некоторого
значения Я, получим равным
?«=—г	,	•	<9’ 104>
21/”1»
при этом дисперсии модулей коэффициентов отражения элемен-
тов не должны превосходить величины
Рро =------.	(9.105)
т 1п----
Формулы (9.104) и (9.105) позволяют предъявить требования
к качеству согласования и изготовления элементов тракта.
Указанные требования при допустимом с определенной ве-
роятностью Wv модуле коэффициента отражения на входе
тракта R зависят от количества элементов яг, длины тракта L
и от ширины полосы 2Втах.
При расчете вероятностных характеристик в одной точке
диапазона в приведенных формулах следует полагать и = 0.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ВОЛНОВОДОВ
jff-ВОЛНЫ
^=<мо.
J/7-ВОЛНЫ
&=4-Vtb	Ж=^-[г°^].
Ае
Для обоих классов волн выполняются соотношения
=	Жм = [г°(£м].
СКАЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ фА И
Прямоугольный волновод
,	1 Г 2 — &Ош 2 —	гпъх	ппи
ф — I/ -----. ---J22L cos --cos ,
1п	T a	b	a	b
ф—JLsinm7tz 4in
'e ~sin ~ ’
j /[ТИП \2	/nrc\2
XM=V (-) + (-) •
Начало координат совмещено с вершиной прямоугольного
сечения а X Ь. Здесь и в последующем
[ 1 / = 0
8о/ = ( о у 0 а = т,п).
Круглый волновод
*,= 1/2ESZ
т Г л ’я^я—m2	( Sin ОТф ’
т (Ртп) =—
-|/2^8Г 1	f C0S™?
Г	‘ а * /^(s^) I Sin тер
т (етп) — О-
Здесь а — радиус волновода.
344
СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
РЕЗОНАТОРОВ
Вихревые функции
ЛГ-колебания
= Vi rh cos Т z+x^z° sin 5 z).
/^-колебания
л   1 /~2	1 / 1 Г7 !	I П	\
s> = V —£smTz~M‘z COSTZ)’
Ж = j/2^1[zoVtW cos^z.
ТЕМ-колебания (xe — 0)
S^Vi^sm-^z,
Ж=/Ц^ [z°V<|»x]cos £z.
Здесь L — высота резонатора; 1 = 0, 1, 2, ...—целое число;
Фл и фв — скалярные функции, такие же, как у волновода соот-
ветствующего сечения; к^ = j/"х? -]- = <dv \Zepu — собственное
волновое число резонатора (у = Л, е).
Градиентные функции
вд = 1^4^(V^sin?z + ^z°Tcos?z) ’
Ж = V	гд <3*cos iz—^z° тsin iz) •
Здесь kg = у *1, e + ^)2 —собственное число трехмерного
волнового уравнения, а и фв — решения двухмерных волно-
вых уравнений, совпадающие со скалярными функциями волно-
вода того же сечения.
Вихревые и градиентные функции нормированы к 1:
jsw=i, |жж=1.
У	V
345
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ТАБЛИЦА ФУНКЦИЙ ЭЙРИ
t	u(O	v(O	t	u(O	d(O
-9.00	0.5760	-0.0392	—2.76	-0.6018	—0.4856
—8.76	0.4118	-0.4101	—2.50	-0.7664	-0.1991
—8.50	0.0137	-0.5854	—2.26	-0.8053	—0.0969
—8.26	-0.3669	-0.4618	—2.00	—0.7308	0.4031
*—8.00	—0.5871	—0.0934	—1.76	—0.5743	0.6393
-7.76	-0.5210	0.2956	—1.50	0.3399	0.8229
—7.50	-0.1993	0.5703	-1.26	-0.0919	0.9192
—7.26	0.1893	0.5789	—1.00	0.1843	0.9493
-7.00	0.5207	0.3266	• —0.76	0.4293	0.9199
—6.76	0.6185	—0.0431	-0.50	0.6742	0.8432
—6.50	0.4626	—0.4219	—0.26	0.8805	0.7465
—6.26	0.1409	—0.6161	0.00	1.0899	0.6293
—6.00	—0.2600	—0.5834	0.26	1.3000	0.5117
—5.76	-0.5435	—0.3477	0.50	1.5142	0.4107
—5.50	—0.6519	0.0315	0.76	1.7970	0.3145
—5.26	—0.5426	0.3756	1.00	2.140	0.2398
—5.00	-0.2453	0.6217	1.26	2.654	0.17439
—4.76	0.1045	0.6684	1.50	3.330	0.12717
—4.50	0.4500	0.5178	1.76	4.396	0.08835
—4.26	0.6527	0.2399	2.00	5.846	0.06190
—4.26	0.6527	0.2399	2.00	5.846	0.06190
-4.00	0.6952	—0.1245	2.26	8.198	0.04126
—3.76	0.5704	—0.4347	2.50	11.488	0.02787
—3.50	0.2994	—0.6656	2.76	16.979	0.017888
—3.26	—0.0149	—0.7425	3.00	24.88	0.011683
—3.00	—0.3515	—0.6714			
ЛИТЕРАТУРА
1.	Антенные переключатели. Изд. «Советское радио», М., 1949.
2.	Багавантам С., Т. Венкатараиду. Теория групп и ее при-
менение к физическим проблемам. Изд. иностр, лит., М., 1959.
3.	Белецкий А. Ф. Теоретические основы электропроводной связи,
ч. III. Связьиздат, М., 1959.
4.	БененсонЛ. С. К расчету возбуждения волноводов. ЖТФ, т. XXII,
вып. 4, 1952.
5.	Бененсон Л. С. Наведенные сопротивления вибратора в волноводе.
Радиотехника и электроника, вып. 6, 1961.
6.	Де-Бройль Л. Электромагнитные волны в волноводах и полых
резонаторах. Изд. иностр, лит., М., 1948.
7.	Вайсфлох А. Теория цепей и техника измерений в дециметровом
и сантиметровом диапазонах. Изд. «Советское радио», М.» 1961.
8.	Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны Изд. «Советское
радио», М., 1957.
9.	Введенский Б. А., А. Г. Аренберг. Радиоволноводы. Гостех-
издат, М., 1946.
10.	Венцель Е. С. Теория вероятностей. Физматгиз, М., 1962.
И. Волноводные линии передачи с малыми потерями. Сб. статей. Изд.
иностр, лит., М.. 1960.
12.	Гарновский Н. Н. Теоретические основы электропроводной связи,
чч. I и II. Связьиздат, М., 1956.
13.	Гольдштейн Л. Д., Н. В. Зернов. Электромагнитные поля и
волны. Изд. «Советское радио», М., 1956.
14.	Гутман А. Л. К расчету волноводов с постепенно изменяющимся
сечением. Радиотехника, т. 12, Кг 9, 1957.
15.	Гутман А. Л. Внешние параметры плавного волноводного перехода.
Радиотехника, т. 12, Кг 9, 1957.
16.	Дорфман Л. Г. О собственных значениях матриц симметричных
двухполюсников. Электросвязь, № 10, 1963.
17.	Драбкин А. Л., В. Л. Зузенко. Антенно-фидерные устройства.
Изд. «Советское радио», М., 1961.
18.	Дубнов Я. С. Основы векторного исчисления. ГИТТЛ, М., 1952.
19.	Емелин Б. Ф. Волноводные уравнения для нерегулярных волново-
дов. Радиотехника и электроника, вып. 5, 1958.
20.	Зелях. Э. В. Основы общей теории линейных электрических схем.
Изд. АН СССР, М., 1951.
21.	Каган В. Ф. Основы теории поверхностей. ГИТТЛ, М., 1947.
22.	Казначеев Ю. И. Широкополосная дальняя связь но волноводам.
Изд. АН СССР, М., 1959.
347
23.	Канторович Л. В., В. И. Крылов. Приближенные методы
высшего анализа. ГИТТЛ, М., 1945.
24.	Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным урав-
нениям. Физматгиз, М., 1961.
25.	Кацелененбаум Б. 3. Теория нерегулярных волноводов с мед-
ленно меняющимися параметрами. Изд. АН СССР, М., 1961.
26.	Кисунько Г. В. К теории возбуждения радиоволноводов. ДАН
СССР, т. 51, № 3, 1946; Изв. АН СССР, сер. физ., т. 10, № 2,
1946; ЖТФ, т. XVI, вып. 5, 1946.
27.	Кисунько Г. В. Вариационные принципы для краевых (диф-
фракционных) задач электродинамики. ДАН СССР, т. 66, № 5, 1949.
28.	Коал Ф. Направленный фильтр бегущей волны. Вопросы радиоло-
кационной техники, № 3 (39), 1957.
29.	Коган Н. Л., Б. М. Машковцев, К. Н. Ц и б и з о в. Слож-
ные волноводные системы. Судпромгиз, Л., 1963.
30.	Кон С., Ф. Коал. Направленные фильтры для разделения ка-
налов. Вопросы радиолокационной техники, № 2 (38), 1958.
31.	К он т о р о в и ч М. И. О проникновении электромагнитного поля
через диафрагму в волноводе. ЖТФ, т. XVII, вып. 3, 1947.
32.	Ландау Л. Д., Е. М. Лифшиц. Электродинамика сплошных
сред. Гостехиздат, М., 1957.
33.	Лаговьер Б. Б. Некоторые вопросы технического использования
кольцевых резонаторов. Электроника, № 2, 1959.
34.	Линии передачи сантиметровых волн. Изд. «Советское радио», М., 1951.
35.	Мальцев И. И. Основы линейной алгебры. ОГИЗ, М., 1948.
36.	Мандельштам Л. И. Излучение через отверстие в резонаторе.
Собр. соч., т. II, Изд. АН СССР, М., 1955.
37.	Машковцев Б. М. Метод анализа многоконтурных направленных
фильтров с вращающейся поляризацией поля. Радиотехника, т. 17,
№ 6, 1962.
38.	Машковцев Б. М., Л. 3. Бенсман, А. А. X о х р е в.
Широкополосный волноводный направленный ответвитель. Радио-
техника, т. 15, № 4, 1960.
39.	Машковцев Б. М., Л. 3. Бенсман. Рефлектометры с нераздель-
ной индикацией падающей и отраженной волн. Радиотехника, т. 18,
№ 3, 1963.
40.	Михлин С. Г. Интегральные уравнения. ОГИЗ, М., 1949.
41.	Михлин С. Г. Прямые методы в математической физике. ГИТТЛ,
М., 1950.
42.	М о р з Ф. Колебания и звук. ГИТТЛ, М., 1949.
43.	Нейман М. С. Обобщение теории цепей на волновые системы.
Госэнергоиэдат, М., 1955.
44.	Нельсон К., В. Вирри. СВЧ-резонаторные фильтры круговой
поляризации. Сб. «Антенны эллептической поляризации», Изд.
иностр, лит., М., 1961.
45.	Петрашень М. И. О полуклассических методах решения волнового
уравнения. Уч. зап. ЛГУ, сер. физ., вып. 7, 1949.
46.	П и с т о л ь к о р с А. А. Антенны. Связьиздат, М., 1947.
47.	П и с т о л ь к о р с А. А. Общая теория диффракционных антенн.
ЖТФ, т. XIV, вып. 12, 1944.
48.	Рэлей Дж. В. Теория звука. ГИТТЛ, М., 1955.
49.	Рыжик И. М., И. С. Гр ад штейн. Таблицы сумм, рядов и про-
изведений. Гостехиздат, М., 1951.
50.	Соболев С. Л. Уравнения математической физики. ГИТТЛ, М.,
1954.
51.	Справочник по волноводам. Изд. «Советское радио», М., 1952.
52.	Стр этой Дж. Теория электромагнетизма. ГИТТЛ, М., 1948.
53.	Теория линий передачи сверхвысоких частот. Изд. «Советское радио»,
М., 1951.
348
54.	Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры.
ГЙТТЛ, М., 19150.
55.	Фельд Я. Н. Основы теории щелевых антенн. Изд. «Советское
радио», М., 1948.
56.	Фельд Я. И. О вариационных методах расчета параметров, являю-
щихся линейными функционалами интегралов уравнений электро-
динамики. Радиотехника и электроника, вып. 1, 1962.
57.	П1и рман Я. Д. Радиоволноводы и объемные резонаторы. Связьиздат,
М., 1959.
58.	Штейншлейгер В. Б. Явления взаимодействия в электромагнит-
ных резонаторах. Оборонгиз, М., 1955.
59.	Юров Ю. Я. Электродинамика клистронов. Л., 1956.
60.	Ю р о в Ю. Я. Связь нормальных волн в волноводах с ферритами.
Изв. ВУЗов, Радиотехника, № 1, 1961.
61.	Abel е Т. A. Uber die streumatrix allgemein zusammengeshalteter
mehrpole. Atchiv der elektrischen Ubertragung, № 6, 1960.
62.	Be the H. A. Theory of Diffraction by Small Holes. The Physical
Review, Second Series, v. 66, №№ 7—8, October, 1944.
63.	Karbowiak A. E. Theory of Imperfect Waveguides the Effect of
Wall Impedance. PIEE, v. 102, part B, N 5, September, 1955.
64.	Mullen J., W. Pritchard. The Statistical Prediction of Voltage
Standing Wave Ratio. IRE Trans, on MTT-5, № 2, 1957.
65.	Papadopoulos V. M. Propagation of Electromagnetic Waves in
Cylindrical Wave Guides with Imperfectly Conducting Walls. The
Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, v. VII,
part 3, September, 1954.
66.	Pascher H. A. Langschlitz-Richtungskoppler fur H-wellen. AEU,
Heft 2, 1959.
67.	Wei Guan Lin. Micro wave Filters Employing a Single Cavity Excited
in More than One Mode. Journal of Applied Physics, v. 22, № 8,
August, 1951.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие .................................................. 3
Глава 1. Интегрирование уравнений Максвелла для волноводных
систем сложной формы..................................... 7
§ 1.	Волноводы сложной формы и системы координат.............. 7
§ 2.	Интегральные соотношения для уравнений Максвелла......	18
§ 3.	Интегрирование уравнений Максвелла методом собственных
векторных функций............................................. 21
§ 4.	Волноводные уравнения для волноводов сложной формы ...	24
§ 5.	Собственные векторные функции волноводов сложной формы . . ✓ 28
§ 6.	Основные результаты..................................... 45
§ 7.	Цилиндрические волноводы как частный случай волноводов
сложной формы................................................. 50
Глава 2. Собственные функции и собственные значения цилин-
дрических волноводов	сложного поперечного сечения ...	57
§ 1.	Практическая важность задачи о волноводах сложного попе-
речного сечения............................................... 57
§ 2.	Трудности непосредственного интегрирования уравнения
Гельмгольца................................................... 62
§ 3.	Предлагаемый приближенный метод определения собственных
функций для волноводов	сложного поперечного сечения . .	65
§ 4.	Анализ системы волноводных уравнений.................... 70
§ 5.	Простейшие примеры, иллюстрирующие предлагаемый метод . .	74
Глава 3. Решение волноводных уравнений в диагональном при-
ближении ............................................... 82
§ 1.	Волноводные уравнения в диагональном приближении ....	82
§ 2.	Приближенные методы решения линейного дифференциального
уравнения второго порядка..................................... 85
§ 3.	Резонансные явления в резонаторах с переменным поперечным
сечением...................................................... 96
Глава 4. Цилиндрические волноводы и	резонаторы............ 103
§ 1.	Волноводные уравнения в форме телеграфных уравнений . . .	103
§ 2.	Решение волноводных уравнений............................ 106
§ 3.	Сосредоточенное возбуждение волновода.................. 111
§ 4.	Связь волноводов через малое отверстие................  114
§ 5.	Связанные волны в цилиндрическом волноводе . . ........ 123
§ 6.	Вынужденные колебания в резонаторе..................... 134
§ 7.	Связанные колебания в резонаторе....................... 142
350
Глава 5. Общие принципы определения внешних параметров
электродинамических устройств........................ 148
§ 1.	Первая задача электродинамики........................ 149
§ 2.	Вторая и смешанная задачи электродинамики............ 160
Глава 6. Внешние параметры цилиндрических волноводов и
резонаторов.......................................... 168
§ 1.	Внешние параметры согласованного	волновода	с	отверстиями
в боковой поверхности................................ 168
§ 2.	Внешние параметры волновода	с	отражающим	торцом...... 184
§ 3.	Внешние параметры резонатора с отверстиями в его обо-
лочке .................................................... 190
§ 4.	Внешние параметры волноводов и резонаторов при наличии
проводниковых излучателей................................. 196
§ 5.	Методика применения теории к расчету устройств СВЧ . . .	204
§ 6.	Волноводный многополюсник............................ 225
Глава 7. Основы теории электродинамических схем........... 232
§ 1.	Определение и основные свойства матрицы рассеяния ....	232
§ 2.	Матрицы рассеяния симметричных многополюсников....... 237
§ 3.	Волновые матрицы четырехполюсников................... 245
§ 4.	Матрицы рассеяния Т-образных сочленений волноводов . . .	253
§ 5.	Соединения многополюсников........................... 259
Глава 8. Векториальный рупор.............................. 275
§ 1.	Строгое решение задачи методом вектора Герца......... 276
§ 2.	Решение задачи методом гл. 1 в ортогональной системе коор-
динат .................................................... 279
§ 3.	Решение задачи методом гл. 1 в косоугольной системе коор-
динат ........................................... .	... •	289
§ 4.	Решение задачи методом плоских поперечных сечений (по ра-
боте [19])........................................... . .	294
§ 5.	Сочленение векториального рупора с волноводом........ 302
Глава 9. Направленные фильтры для многоканальных систем . .	310
§ 1.	Направленные фильтры на основе восьмиполюсных сочленений
волноводов...............................................•	312
§ 2.	Направленные фильтры на основе шестиполюсных сочленений
волноводов................................................ 321
§ 3.	Частотные характеристики	многоконтурных	фильтров ....	327
§ 4.	Сопряжение направленных фильтров в многоканальную си-
стему .................................................... 333
Приложение 1 .................... ........................ 344
Приложение 2.............................................. 346
Литература................................................ 347
Борис Михаилович Машковцев,
Константин Николаевич Цибизов,
Борис Федорович Емелин
ТЕОРИЯ ВОЛНОВОДОВ
Утверждено к печати
Институтом радиотехники
и электроники АН СССР
Редактор издательства Н. К. Зайчик
Художник. Я. В, Таубвурцель
Технический редактор М. Н. Кондратьева
Корректоры О. И. Иващенкова, В. А. Пузиков
и Г. И, Шер
Сдано в набор 2/II 1966 г. Подписано
к печати 20/V 1966 г. РИСО АН СССР
№ 5-27В. Формат бумаги 60 х 901/16. Бум. л. 11.
Печ. л. 22=22 усл. печ. л. Уч.-изд. л. 23,45.
Изд. № 2762. Тип. зак. 760. М-06839.
Тираж 4100. Бумага типографская № 1.
Цена 1 р, 64 к, 4* переплет 10 коп.
Ленинградское отделение издательства «Наука»
Ленинград, В-164, Менделеевская лин., д. 1
1-я тип. издательства «Наука». Ленинград,
В-34, 9 линия, д. 12
1 р. 74 к.
ц