Text
                    8«ми—иа
*ж|ихйЕша1М
ЖЖЖ1»Ж
ТЕОРИЯ „
ДИСЛОКАЦИИ
etaefaees^g
НИН
to)
Ц)А0МХ(0л0Ж(((^Ж
вСИЙЙж®мИжИ»Иж
'И ЖИЖЖЖЖЯЖИЯЙХ
ижшжммшжжжв

)ШМ)))))Ж^^
A»AOJAVAttoA0)M0))W
жжжжжжжжвжжйк
жжжжйжжжжжмж
))))))iW»)mtoWfflWffltoA®)!»
шаш
HlWl'l
р’Л’А’
to)
AMAV
Ж
ж
ж
VI
НН HI
нпн
НН H I
ннн
ГГГ1’ГГ1
HHHI
в.
Y.vftVi^vmv.WAVww
□ЖЖЖЖЖЖЖЖ^
♦'♦'♦'♦)'♦ ннннн^	ннн
Л'ЛШ, ,, Д^
iamav
уЛ’Л’г
too
’pWA’
HI)'»))
уЛ’гЛ’
to)
))))))
)))))).


THEORY OF CRYSTAL DISLOCATION A. H. COTTRELL, F. R. S. Goldsmith’s Professor of Metallurgy University of Cambridge, England' BLACKIE AND SON LTD, LONDON, GLASGOW 1964
А. КОТТРЕЛ Теория дислокаций ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО Т. С. ПЛАКСИНОЙ ' ПОД РЕДАКЦИЕЙ А. Л. РОЙТБУРДА ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» Москва 1969
УДК 539.2+537.2 В книге кратко излагаются основы теории дислокаций — линейных дефектов структуры кристаллов, которыми опре- деляются механические, а также многие физические и хи- мические свойства твердых тел. Книга рассчитана на широкий круг специалистов в раз- ных областях науки и техники, желающих получить пред- ставление о дислокациях в кристаллах или приступить к изучению этой области физики. Как труд одного из создателей теории дислокаций, кни- га представляет интерес также и для специалистов по фи- зике твердого тела. Редакция литературы по физике Инд. 2-3-2
ОТ РЕДАКЦИИ В этой книге изложены основные положения тео- рии дислокаций в кристаллах, являющейся сейчас большой и важной областью физики твердого тела. Ценной чертой книги является ее краткость и про- стота, что отличает ее от имеющихся фундаменталь- ных монографий на эту тему и делает доступной читателям, нё занимавшимся ранее подобными вопро- сами, но желающим познакомиться с данной об- ластью физики или приступить к ее изучению. Это качество книги существенно потому, что в настоящее время теория дислокаций широко используется не только в физике прочности материалов, но и в проб- лемах изучения и применений магнитных, электриче- ских, сверхпроводящих, полупроводниковых и * др. фи- зических свойств твердых тел, в физике жидкостей, физике полимеров и т. д. Автор книги, выдающийся английский физик А. Коттрел, известен нашим читателям по его двум вышедшим в переводе книгам: «Дислокации и пласти- ческое течение в кристаллах» (М., 1958), «Строение металлов и сплавов» (М., 1961). Специалисты знако- мы с его интересными оригинальными работами по теории дислокаций и физическому металловедейию. В основе книги лежат лекции, прочитанные авто- ром для слушателей Летней школы физики в Лезуше (Франция). Русский перевод книги несколько отли-
6 От редакции . чается от английского оригинала. Учитывая главную цель книги — краткое освещение физических идей тео- рии дислокаций, составляющих, так сказать, «ядро» современной физики дислокаций, было сочтено воз- можным вернуться к тексту лекций автора, освобо- див ее от последующих наслоений. Поэтому опущены гл. 9 и дополнения, которые, нарушая лекционный стиль книги, не могут при этом дать сколько-нибудь полное представление о разнообразных и многочис- ленных современных приложениях теории. Опущены также ссылки, на оригинальные работы, но ниже мы даем список основной монографической и учебной ли- тературы по теории дислокаций, который будет поле- зен тем, кто пожелает продолжить изучение данной области физики. Рид В. Т., Дислокации в кристаллах, М., 1957. К о т т р е л А. X., Дислокации и пластическое течение в кри- сталлах, М., 1958. Ван Бюрен, Дефекты в кристаллах, ИЛ, 1962. Инденбом В. Л., Орлов А. Н., УФН, 76, 557 (1962). Дислокации в кристаллах, сборник «Проблемы современной фи- зики», т, 9, М., 1957. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Теория упругости, At, 1965, гл. 4. Фридель Ж., Дислокации, изд-во «Мир», 1967. Э ш е л б и Дж., Континуальная теория дислокаций, ИЛ, 1963. Амелинкс А., Методы прямого наблюдения дислокаций, изд-во «Мир», 1968. К р е н е р Э., Общая теория дислокаций и собственных напряже- ний, изд-во «Мир», 1965. Weertman J., Weertman J. R., Elementary Dislocation Theory, New York — London, 1965. Hirth J. P., Lothe J., Theory of Dislocations, New York, 1967. N a b а г г о F. R. N., Theory of Crystal Dislocations, Oxford, 1967.
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА В настоящих лекциях, прочитанных мной в Лет- ней школе физики в Лезуше, я ставил себе целью( кратко изложить основы теории дислокаций в кри- сталлах. К моему глубокому удовлетворению, эта тео-. рия успешно выдержала и испытание временем, и мощный поток данных о микроструктуре кристаллов, хлынувший благодаря появлению новых методов экс- перимента, таких, как просвечивающая электронная микроскопия тонких пленок. Поэтому в настоящее из- дание внесен лишь ряд небольших изменений редак- ционного характера и добавлены немногочисленные замечания о новейших достижениях. Я рад возможности выразить свою признатель- ность миссис ’С. Де Витт, горячий энтузиазм и не- обычайная распорядительность которой столь способ- ствовали успеху Летней школы. А. Коттрел
ГЛАВА 1 Дислокации и скольжение § 1. О теории дислокаций Теория дислокаций — это отрасль физики твердого тела, в которой рассматривается связь пластических свойств кристаллов с атомной структурой. В настоя- щее время она находится еще на довольно ранней стадии развития — отчасти из-за отсутствия полной ясности в экспериментальных данных о пластич- ности кристаллов, а отчасти из-за того, что дислока- ции значительнЬ сложнее других дефектов решётки. Хотя в основном теория дислокаций- занимается механическими свойствами, она способствует более" глубокому пониманию и некоторых других свойств твердых тел, например, таких химических явлений^ как рост кристаллов, поверхностный катализ, диффу- зия и химические реакции в кристаллах, или таких физических характеристик, как время жизни носите- лей в полупроводниках, коэрцитивная сила в магне- тиках и электрическая прочность диэлектриков. В теории дислокаций рассматривается более ре- альная картина кристаллической структуры, нежели в большинстве других областей физики твердого тела, поскольку полностью учитываются все дефекты - ре- шетки. Но зато картина оказывается столь сложной, что приходится прибегать к большим упрощениям в ее математическом описании. Вместо того чтобы поль- зоваться реальными законами межатомных сил, вы- веденными с помощью квантовой механики, мы в ос- новном оперируем с моделями кристаллов, ’ в кото- рых силы представляются простой аналитической функцией. Нас выручает то обстоятельство (которое, правда, приводит к трудностям в других отноше- ниях), что поле напряжений дислокации носит
10 Глава 1 дальнодействующий характер и поэтому его можно строго рассматривать в рамках обычной теории упру- гости. Это дает возможность уверенно вычислять не- которые важные характеристики дислокаций, напри- мер собственную энергию и силы дальнодействия. § 2. Пластическое скольжение в кристаллах к Теория дислокаций в кристаллах начала разви- ваться с 1934 г., когда Тейлор, Орован и Полаци по- пытались объяснить атомный механизм скольжения в кристаллах. Основные данные о скольжении таковы. а) Одна часть кристалла целиком сдвигается от- носительно другой в определенном направлении (на- зываемом направлением скольжения) по поверхности скольжения. Линия пересечения этой поверхности с поверхностью кристалла называется' полосой сколь- жения или линией скольжения. Иногда полосой сколь- жения называют тонкую пачку линий скольжения, расположенных так тесно, что в микроскопе с не- большим увеличением они кажутся одной линией. Поверхность скольжения часто представляет собой плоскость (или почти плоскость) и называется тогда плоскостью скольжения. б) Расстояние между полосами скольжения, так же как и величина скольжения в отдельной полосе, колеблется в широких пределах: обычно оно лежит в пределах от 10*6 до 10~4 см, а величина скольже- ния— от 10“7 до 10‘5 см. в) Направление скольжения практически всегда совпадает с направлением вектора решетки в плотно упакованной плоскости, т. е. с направлением [ПО] в г. ц. к. металлах, [111] в о. ц. к. металлах и [2110] в гексагональных металлах. В ионных кристаллах на- правление скольжения всегда совпадает с направле- нием, ъдоль которого лежат заряды одного знака, т. е. с направлением [НО] в структурах типа NaCl и [100] в кристаллах типа CsCl. В интерметаллических же соединениях (со слабо выраженным ионным ха- рактером связи) это правило в одних случаях выпол-
Дислокации и скольжение 11 няется, а в других нет. Ряд примеров приведен в табл. 1. Таблица I Направление скольжения в кристаллах типа CsCl ~ Кристалл Направление скольжения Т1 (Вг, I), Т1 (С1, Вг) | LiTl, MgTl, AuZn, AuCd / ' [100] CuZn, AgMg [111] Другой пример: в РЬТ1 скольжение происходит в направлении [100], хотя структура nina.NaCl. / г) Чаще всего (но не всегда) плоскостью сколь- жения оказывается плотно упакованная плоскость, т. е. плоскость (111) в г. ц. к. металлах, (0001) в гек- сагональных. В о. ц. к. металлах обычно нет четко выраженной плоскости скольжения; наблюдается скольжение по плоскостям (100), (112) и (123). В NaCl скольжение происходит по плоскости (110), в кристаллах со структурой CsCl — также обычно по плоскости (110). В то же время наблюдается неболь- шое скольжение и по другим плоскостям, например при высоких температурах в алюминии по плоскости (100),_в гексагональных металлах по плоскостям (1011) и (1012). Когда базисное скольжение по плоскости (0001) в цинке затруднено, при высоких напряжениях обнаруживается система скольжения (1122), [1123]. д) Скольжение в данной системе (плоскость и на- правление) начинается тогда, когда касательное на- пряжение в плоскости скольжения достигает опреде- ленной критической величины (закон Шмида). При этом нормальная к плоскости скольжения составляю- щая напряжения оказывает незначительное влияние на начало скольжения в интервале обычных исследуе- мых значений (до 10~2 |л, где |л — модуль сдвига).
12 Глава 1 Величина критического приведенного касательного на- пряжения меняется в широких пределах и зависит от условий эксперимента и чистоты кристалла, а так- же от температуры и скорости деформирования. Для хорошо отожженных мягких металлов высокой чи- стоты, например Си, Al, Zn, эта величина лежит в интервале от 10 до 100Г/л<л<2 (10~5 р—10“4р). Если достигается критическое напряжение для двух или нескольких систем скольжения, то происхо- дит двойное или многократное скольжение. § 3. Кристаллографический характер скольжения В процессе скольжения материал в плоскости скольжения остается кристаллическим. Это видно из того, что скольжение всегда происходит вдоль кри- сталлографического направления плотной упаковки в плоскости скольжения, даже если напряжение при- кладывается не точно в таком направлении. Если бы, например, материал плавился в плоскости Скольже- ния, то тогда скольжение происходило бы вдоль на- правления наибольшего напряжения. Следовательно, задача состоит в том, чтобы объ- яснить, каким образом большие деформации сдвига могут происходить при полном сохранении кристал- лической структуры. § 4. Постепенно распространяющееся скольжение и дислокации Мы не можем исходить из того, что все атомы в плоскости скольжения одновременно испытывают сдвиг, поскольку: а) распределение напряжений сдвига в плоско- сти никогда не может быть однородным, особенно при наличии тепловых колебаний; б) атомы связаны между собой не абсолютно жестко, так что обладают некоторой независимостью перемещений. Поэтому нам остается принять, что скольжение начинается в каком-то одном месте (или нескольких
Дислокации и скольжение 13 местах) плоскости скольжения и постепенно распро- страняется на остальную часть плоскости. Граничная линия, ртделяющая область, в которой произошло скольжение, от области, в которой скольжения не произошло, называется дислокационной линией. Та- ким образом, термин дислокация относится к конфи- гурации атомов на подобной границе, которая про- двигается через кристалл по мере того, как область кристалла, претерпевшая скольжение, растет за счет остальной части кристалла. Из данного определения следует, что дислокационная ,линия не может обор- ваться внутри кристалла — она должна либо обра- зовать замкнутое кольцо, либо выйти на свободную поверхность, либо соединиться с другими дислока- ционными линиями'. § 5. Напряжения, необходимые для образования дислокации в совершенном кристалле Чтобы образовать дислокацию в совершенном кристалле, необходимо произвестй скольжение в не- которой части плоскости скольжения. Следовательно, -----:б б^----;-------------------- Фиг. L мы должны вычислить величину ат — прочность сдви- га в совершенном кристалле. Френкель предложил следующий простой способ вычисления от. Рассмот- рим простую прямоугольную решетку (фиг. 1) и обозначим через и смещение, соответствующее при- ложенному напряжению сдвига о. В силу симметрии
14 Глава 1 решетки мы имеем о=0 при u — nb/2, где п = 0, 1, 2, о > 0 (т. е. решетка оказывает сопротивление прило- женному напряжению) при 0<и<(6/2) и о<0 при (Ь/2) <и<Ь. Простейшая функция, удовлетворяющая "таким условиям, есть o=6sin (2ли/6). Постоянная k определяется из закона Гука. При малых и имеем e=k(2nu/b и (5—\kula (закон Гука), так что k = = [ib/2na. Таким образом, предельное напряжение сдвига совершенной решетки определяется соотно- шением ' т. е. это величина порядка ц/10. Более строгие рас- четы с использованием лучших приближений для ме- жатомных взаимодействий в плоскости скольжения дают меньшее значение от«ц/30. Величину от мы будем называть верхним пределом прочности решет- ки или теоретической прочностью на сдвиг. § 6. Несовершенства в реальных кристаллах Наблюдаемые значения предела прочности наибо- лее' мягких кристаллов лежат в интервале от 10*5ц до 10”4ц, т. е. на несколько порядков ниже величины от. Для очень твердых сплавов предел прочности до- ходит примерно до 10-2р. Предельная прочность до- стигается, по-видимому, лишь в двух случаях: а) В случае «пузырьковой» модели кристалла. Если такая модель не содержит видимых дефектов, то она начинает пластически деформироваться с об- разованием дислокаций при напряжении порядка ц/30. б) В случае нитевидных кристаллов («усов») чрезвычайно малого диаметра, например 3*10-4 см'. Различные кристаллы такого типа изгибаются до де- формации порядка 0,1 без течения или разрушения; кристаллы железа выдерживают растягивающие на- пряжения до Е/20 (Е — модуль Юнга). По-видимому, в подобных кристаллах-волокнах реализуются пре- дельные сильГсцепления атомов.
Дислокации и скольжение 15 Во всех же остальных случаях пластические кри- сталлы текут при напряжениях, значительно меньших о™. Следовательно, кристаллы либо с самого своего возникновения содерж.ат дислокации, либо содержат дефекты, из которых дислокации могут образовы- ваться при низких напряжениях. Здесь нет необхо- димости в окончательном решении этого вопроса, мы вернемся j< нему позднее и увидим, что дислокации обычно присутствуют в кристаллах с момента воз- никновения последних. Сейчас важно рассмотреть возможную связь низкого предела текучести кристал- лов со скольжением дислокаций через решетку при небольших напряжениях. Таким образом, мы должны рассмотреть два основных фактора, определяющих поведение дислокаций: а) силы, действующие на дислокацию при при- ложении напряжения к кристаллу; б) подвижность дислокации. § 7. Сила, действующая на дислокацию Понятие силы, дёйствующей на дислокацию, ввели Кёлер и Мотт и Набарро, чтобы упрощенно выразить тот факт, что, поскольку движущаяся дислокация производит деформацию, приложенное напряжение действует на дислокацию и под действием напряже- ния кристалл пластически деформируется за счет движения дислокаций. Сила F, действующая на дис- локацию, определяется как производная работы W, совершаемой приложенным напряжением при движе- нии дислокаций, по координате дислокации х: F = = —dW/dx. Заметим, что эта сила действует на дис- локацию в целом, т. е. на конфигурацию атомов на границе области, претерпевшей скольжение, и ее не следует путать с силами, действующими на весь кри- сталл или на отдельный атом кристалла. В случае однородного распределения приложенного напряже- ния о силу, действующую на дислокацию, очень про- сто вычислить. Пусть толщина кристалла в направ- лении, перпендикулярном, направлению скольжения (фиг. 2), равна единице. На верхнюю грань кристаллу
16 Глава 1 действует сила о£ь Предположим, что прямолинейная дислокация единичной длины, перпендикулярная на- правлению скольжения (на фиг. 2 она обозначена символом ±), продвигается в плоскости скольжения на расстояние Lj и в результате вызывает пласти- ческий сдвиг Ь. Если силу, действующую на единицу длины дцслокации, обозначить через F, то работа, совершаемая этой силой, равна^ FL\. Работа же, совершаемая силой oLb равна и если сила F вызывается напряжением о, то эти работы должны быть равны, т. е. F = a6< х (1.2) • Мы допустили здесь, что величина пластического сдвига пропорциональна расстоянию, проходимому дислокацией. Справедливость этого предположения будет доказана в гл. 6, § 2. На основе данного допу- щения очень легко найти скорость пластической де-, формации. Предположим, что вместо одной дислока- ции имеем таких дислокаций, распределенных по площади L\L2 (фиг. 2); р — плотность дисло- каций. Пусть v — средняя скорость дислокации в на- правлении скольжения. Тогда суммарное перемеще- ние pL\L2vdt всех дислокаций за время dt эквива- лентно прохождению $L2vdt дислокациями всего
Дислокации и скольжение 17 расстояния Ц в плоскости скольжения. Эти pL2vdt дислокаций смещают верхнюю грани кристалла отно- сительно нижней на расстояние bpL2vdt. Следова- тельно, деформация de равна bpvdt, а скорость де- формации ё = 6ро. (1.3) § 8. Подвижность дислокаций Подвижность дислокации очень трудно удовлетво- рительно рассчитать, поскольку она зависит от атом- ной структуры в центре дислокации. В общем виде решение невозможно, так как атомная структура в цецтре дислокации определяется законом изменения Р Р' •О ео «о ео «о «о «о «о • • • • • • • • < Ф и г. 3. межатомных сил. В то же время считается, что раз- личие между мягкими и непластичными кристал- лами обусловлено главным образом разной подвиж* ностью их дислокаций. Физическая основа для расчета подвижности дис- локаций такова. Рассмотрим дислокацию с центром в точке Р (фиг. 3). Прежде всего заметим, что для перемещения дислокации на одно межатомное' рас- стояние, из точки Р в точку Р', требуется лишь незначительное смещение атомов из положений, обо- значенных темными кружками, в положения, обозна- ченные светлыми кружками. Кроме того, очевидно, что если сделать дислокацию очень широкой, т. е. сильно увеличить ширину дислоцированной области в направлении скольжения, то: а) смещение атомов, связанное с перемещением дислокации из точки Р в точку Р', становится очень малым, а в пределе—бесконечно малым; б) каждому атому впереди дислокации, претерпе- вающему данное смещение, соответствует другой 2 А. Коттрел
18 Глава 1 атом, симметрично расположенный позади дислока- ции, который испытывает компенсирующее смещение. Таким образом, при движении дислокации из точки Р в точку Р' работа, совершаемая над первым ато- мом, компенсируется работой, совершаемой вторым. В предельном случае бесконечно широкой дислокации эти работы в точности взаимно уничтожаются для всех пар атомов, находящихся впереди и позади дис- локации. Тем самым мы качественно показали, что сила, необходимая для смещения дислокации, уменьшается при увеличении ширины дислокации. Поэтому кри- сталлы, содержащие широкие дислокации, должны быть мягкими и вязкими, а кристаллы, содержащие узкие дислокации, — твердыми и хрупкими. Более полно данный вопрос будет рассмотрен в гл. 7. § 9. Наблюдение дислокаций В последние годы разработано много эксперимен- тальных методов (травление, декорирование дислока- ций осаждающейся на них прймесью, электронная микроскопия, рентгенография, метод ионного проек- тора), благодаря чему наблюдение дислокаций стало несложным делом. Особое место среди этих методов занимают электронно-микроскопические методы тон- ких пленок и картин муара. При методе тонких пле- нок (в его обычной форме) электронный пучок в электронном микроскопе пропускают через тонкий об- разец. Там, где ориентация кристаллических плоско- стей отвечает условию брэгговской дифракции элек- тронов, интенсивность проходящего пучка значитель- но уменьшается вследствие рассеяния электронов. При правильной ориентировке образца дислокация оказывается видимой в силу того, что ее поле дефор- маций поворачивает соседние области кристалла и интенсивность электронного пучка, проходящего че- рез такие области, уменьшается или увеличивается в зависимости от того, приближаются кристаллические плоскости в них к брэгговской ориентировке или уда- ляются от нее.
ГЛАВА 2 Геометрические свойства дислокаций § 1. Вектор Бюргерса Это — самая важная характеристика дислокаци- онной линии. Вектор Бюргерса постоянен вдоль всей линии и не меняется при движении дислокации. Мы дадим три определения вектора Бюргерса. \ - 1. Определение через понятие скольжения. Пред- ставим себе, что мы ч смотрим сквозь кристалл на плоскость скольжения и видим, что в области X (фиг. 4) произошло скольжение, а в области Y — нет. Тогда граница ABCD представляет собой дислока- ционную линию, охватывающую область X. Обозна- чим через b вектор смещения части кристалла, лежа- щей непосредственно над поверхностью X, относитель- но той части кристалла, которая расположена непо- средственно под областью X, Тогда b и будет векто- 2*
20 Глава 2 ром Бюргерса дислокации. Заметим, что b — постоян- ный вектор (всюду, кроме сильно деформированной области вблизи центра дислокации, где нельзя пре- небрегать атомной структурой). Он не зависит от по- ложения того или иного отрезка линии дислокации, поскольку b — характеристика области X, претерпев- шей скольжение. Стало быть, b — константа для всех участков дислокационной линии и остается констан- той при движении дислокации. Недостаток данного определения в том, что оно связано с конкретным способом образования дисло- кации в кристалле. Мы должны дать определение вектора Бюргерса вне зависимости от способа обра- зований дислокации. 2. Определение через упругое поле. Это определе- ние применимо к дислокациям в упругом континууме (дислокациям Вольтерры). Выберем произвольным образом положительное направление вдоль дислока- ционной линии АВС (фиг. 5) и проведем вокруг нее большой замкнутый контур PQR с обходом по часо- вой стрелке. Пусть ds— элемент этого контура (назы- ваемого контуром Бюргерса) и u( = u, a, w)— вектор смещения в материале. Тогда приращение смещения на элементе ds равно (ди)ds)ds, а полное смещение при одном обходе контура b = <£ d s J os (2.1)
Геометрические свойства дислокаций 21 есть вектор Бюргерса дислокации. Такое определение полезно при описании упругих свойств дислокаций, но имеет тот недостаток, что не учитывает структуры кристалла и требует знания упругого поля. § 2. Классификация дислокаций Прежде чем перейти к третьему определению век- тора Бюргерса, целесообразно ввести классификацию дефектов, пользуясь первым определением. Механи- чески устойчивая дислокация в кристалле должна иметь такой вектор Бюргерса, чтобы все атомы нахо- дились в механически устойчивых положениях. Это условие огранйчивает допустимые векторы Бюргерса, так что возможным оказывается лишь дискретный набор таких векторов, которые переводят атомы из одних механически устойчивых положений в другие. Дислокации с такими векторами Бюргерса назы- ваются характеристическими дислокациями кристал- ла. Все допустимые векторы могут быть разделены на две группы: 1) Векторы Бюргерса, которые можно разложить по базисным векторам решетки: b == Zi + mj + nk, (2.2) где i, j, k—- базисные векторы, a Z, m, n = 0, 1, 2, ... . Соответствующие дислокации называются совершен- ными или полными. 2) Векторы Бюргерса, которые нельзя разложить по базисным векторам решетки; соответствующие дислокации называются несовершенными или непол- ными-, примером могут служить дислокации, участ- вующие в образовании деформационных двойников или сдвиговых превращений. ' Дальнейшая классификация производится следую- щим образом: 1) Большие (или кратные, или супер-) дислока- ции. Их векторы Бюргерса больше вектора решетки. Они могут быть, как совершенными, так и несовер- шенными. Примером служит дислокация, которая об- разует внутри кристалла границу макроскопической
22 Глава 2 полосы скольжения, охватывающей лишь часть кри- сталла. 2) Единичные дислокации. Их векторы Бюргерса равны вектору решетки; такие дислокации обяза- тельно совершенные. 3) Частичные (или полу-) дислокации. Их векто- рв! Бюргерса меньше вектора решетки; такие дисло- кации всегда несовершенные. § 3. Определение Бюргерса — Франка Теперь дадим более строгое определение вектора Бюргерса совершенной дислокации. Несовершенные дислокации будут рассмотрены позднее (гл. 8). Сно- ва проведем контур Бюргерса, но теперь будем сле- дить за тем, чтобы контур (т. е. путь перехода от узла к узлу решетки) лежал в хорошем кристалле, т. е. в таком кристалле, где можно установить ло- кальное однозначное соответствие с идеальным кри- сталлом. Практически имеются в виду такие области кристалла, где структуру можно превратить в иде- альную посредством достаточно малых деформаций, при которых справедлива линейная теория упругости. Метод заключается в следующем: 1) Выберем произвольную точку О за начало от- счета на дислокационной линии и направление ОА будем считать положительным. Пусть I — положи- тельный единичный вектор вдоль интересующего нас элемента линии (фиг. 6). 2) Глядя в направлении I, проведем в хорошем , кристалле вокруг дислокационной линии замкнутый контур по часовой стрелке — от М' к N'. Затем про- ведем соответственный контур в идеальном кристал- ле, проходя точно такую же последовательность век- торов решетки в том же направлении. Второй контур оказывается незамкнутым, и необходимый для его замыкания вектор MN является вектором Бюргерса b дислокации. Преимущества такого определения за- ключаются в том, что мы исходим непосредственно из искажений решетки и потому нам не требуется знать поле напряжений дислокации и что вектор b опреде- _
Геометрические свойства дислокаций 23 ляется как вектор идеальной решетки, а следователь- но, искажения, существующие в кристаллах с дисло- кациями, не приводят к неоднозначности в его опре-. делении. Можно дать и другое, эквивалентное определение. Образуем замкнутый контур M-^N в идеальной ре- шетке; тогда соответственный контур охва- тывающий дислокацию, окажется незамкнутым и Идеальный кристалл Кристалл с дислокацией Фиг. 7. вектором Бюргерса будет вектор b идеальной решет- ки, соответствующий разрыву контура в де- фектном кристалле. Преимущество такого определе- ния .состоит в том, что вектор M'NZ наглядно пока- зывает, в каком направлении смещается материал при движении дислокации (фиг. 7).
24 Глава 2 § 4. Консервативное й неконсервативное движение Предположим, что элемент длиньГ дислокационной линии с единичным вектором I и вектором Бюргерса b перемещается^ плоскости с нормалью п (положи- тельное направление п выбирается произвольно). Тогда п*1=0. Пусть m — единичный вектор направ- ления движения дислокации (фиг. 8), определяемый соотношением ш = пХ1. (2.3) Ту сторону плоскости скольжения, в которую направ- лен вектор п, назовем положительной, а другую — отрицательной. Когда дислокация проходит по пло- скости в направлении ш, часть кристалла, нахо- дящаяся с положительной стороны от плоскости, сдвигается на вектор b относительно кристалла с от- рицательной стороны. Мы различаем два случая: 1. Вектор b лежит в плоскости перемещения дио локации, т. е. п-Ь = 0. (2.4) В этом случае смещение b есть простой сдвиг или скольжение вдоль плоскости и. Такое перемещение дислокации называется консервативным, поскольку при ее движении сохраняется плотность вещества в плоскости п (т. е. расстояние между частями кри-
Геометрические свойства дислокаций 25 сталла, прилегающими к плоскости, не меняется). Пример консервативного движения дислокации — низ- котемпературная пластическая деформация в кри- сталлах. Такое перемещение дислокаций мы называем скольжением, а плоскости их движения — плоскостям ми скольжения, 2. Вектор b не лежит в плоскости перемещения дислокации, т. е. п-Ь=#0. (2.5) В этом случае движение неконсервативное, и дви- жущаяся дислокация оставляет за собой либо вакан- сии, либо межузельные атомы в зависимости от зна- ка компоненты Ь, параллельной вектору п. Если же плотность материала в плоскости перемещения долж- на сохраняться, то движение дислокации обязательно сопровождается переносом вещества к этой пло- скости (или от нее) за счет диффузии атомов. Не- консервативную составляющую движения в отличие от скольжения называют переползанием, так как при движении дислокация «выползает» из своей истинной плоскости скольжения (определяемой условием П‘Ь=0). Переползание дислокаций играет важную роль при высоких температурах. § 5. Винтовые и краевые дислокации Если вектор b параллелен вектору 1 (т. е. Ьх1 = 0), то любой вектор п, для которого п*1=0, также удов- летворяет уравнению (2.4), т. е. всякое движение консервативно. Дислокация такого типа называется чисто винтовой, поскольку ее контур Бюргерса обра- зует виток винтовой линии (фиг. 9) Г Всякая цилин- дрическая поверхность, для которой 1 служит обра- зующей, может быть поверхностью скольжения. Таким образом, винтовая дислокация геометрически может образовывать характерные поверхности сколь- жения, наблюдаемые на опыте. Переход движущейся винтовой дислокации из одной плоскости скольжения в другую, который происходит всякий раз, когда она
26 Глава 2 меняет направление скольжения, называется попереч- ным скольжением. Если вектор b не параллелен вектору 1. (ъ е. ЬХ1=/=0), дислокация называется частично краевой, когда угол между b и 1 меньше 90°, и чисто краевой, когда этот угол равен 90°. В первом случае мы име- ем дислокацию смешанного типа, которую можно рассматривать как сумму двух дислокаций — чисто винтовой с вектором Бюргерса bs и чисто краевой с вектором Бюргерса Ье, т. е. b=bs + be. Контур, проведенный вокруг краевой дислокации (фиг. 10), сразу позволяет обнаружить ее наиболее характерную особенность, обусловившую ее название, а именно наличие по одну сторону дислокации полу- плоскости ABCD, край которой ВС проходит вдоль линии центра дислокации. Заметим, что эта полу- плоскость расположена с той стороны дислокации, куда направлен вектор IXb. Поскольку 1ХЬ=£0, консервативное движение воз- можно только в тех направлениях, в которых вектор m перпендикулярен вектору IXb. Таким образом, на- правление скольжения дислокации фиксировано. В то же время в отличие от вектора 1 винтовой дислока- ции вектор 1 краевой дислокации не ограничен одним направлением, ибо дислокация остается чисто крае- вой при любом 1, лежащем в плоскости, перпендику- лярной вектору Ь. Поэтому полуплоскость может
Геометрические свойства дислокаций 27 иметь «ломаный» край и скольжение может происхо- дить по любой поверхности, для которой вектор b служит образующей (карандашное скольжение). Та- ким образом, и краевая дислокация обладает теомет- Z7 в О О О О О О О О Фиг. 10. рическими свойствами, необходимыми для образова- ния наблюдаемых на опыте поверхностей скольжения. § 6. Произвольное движение дислокации Теперь рассмотрим произвольное движение эле- мента 1 дислокации с вектором Бюргерса b в плоско- сти п со скоростью v. Можем записать v = aam, где v — абсолютная величина скорости, а а=±1 соответ- ственно движению в направлении ±т Будем .рас- сматривать дислокацию как суперпозицию трех дис- локаций: 1) чисто винтовой с вектором Бюргерса bs== = (1 b)l; 2) чисто краевой с вектором Бюргерса beg= = (ni’b)m, совершающей скольжение; 3) чисто краевой с вектором Бюргерса Ьес = = (n-b)n, совершающей переползание.
28 Глава 2 При перемещении дислокации в направлении ат на положительной стороне от плоскости, в которой движется эта дислокация, происходит сдвиг на вели- чину bs + beg, а также смещение в направлении п на величину Ьес. Единичный вектор, направленный к полуплоско- сти, содержащей дислокацию Ьес, есть (1ХЬес)/|1Х Xbec|. Следовательно, полость, возникающая при переползании, положительна или отрицательна (со- стоит из вакансий или межузельных атомов) в зави- симости от того, положительно или отрицательно про- изведение ат • (b^ X 1). (2.6) Объем полости V, образующейся в единицу вре- мени при движении отрезка дислокации 1, равен v*(becXl). Подставляя сюда значение Ьес, получаем У-ау(п-Ь). (2.7) J Этот объем состоит из вакансий или межузельных атомов в зависимости от его знака (плюс в первом 5 случае и минус во втором). ’ Обычно движение краевой дислокации неконсер- вативно лишь при таких температурах, при которых объем V может образоваться за счет процессов атом- ной диффузии. Но в одном случае неконсервативное движение оказывается возможным и при низких тем- i пературах. Рассмотрим его. | § 7. Ступеньки Назовем ступенькой АВ (фиг. 11) на дислока- ционной линии ОАВС векторное смещение j, которое j мы претерпеваем в каком-либо месте дислокационной | линии при движении вдоль нее в положительном на- | правлении 1. Как и раньше, при jXb=£O у ступеньки | имеется краевая компонента. Представляет интерес | случай, когда 1 имеет отчасти винтовой характер, а * ступенька обладает компонентой, параллельной п, и вынуждена перемещаться со всей остальной дислока- : цией в направлении т. Сначала определим нормаль
Геометрические свойства дислокаций 29 п' к плоскости, в которой движется ступенька, сле- дующим образом: так что n' -> п при j 1. Если скорость движения дислокации со ступень- кой равна v(=aum), то, согласно (2.7), объем поло- сти, образуемой ступенькой в единицу времени, ра* вен V = v-(n'X j)(n'-b). (2.9) В качестве примера рассмотрим единичную чисто винтовую дислокацию в простой кубической решетке с постоянной решетки а. Пусть b = al и j = an. Тогда V _ [(an X m) X ап] [(апХт)»д1] _ _ 2 а а I Таким образом, при а=1 образуются межузельные атомы, а при а =— 1 — вакансии. Ступеньки могут возникать при взаимном пересе- чении двух непараллельных дислокаций с непарал- лельными векторами Бюргерса. Тип ступеньки, обра- зующейся при таком пересечении, можно определить,
30 Глава 2 установив, в каком направлении (с отрицательной стороны в положительную или наоборот) вектор 1 одной из дислокаций пересекает плоскость скольже- ния другой дислокации. Зная это, а также векторы Бюргерса и направления движения, можно опреде- лить векторы j образующихся ступенек. Отметим следующее: 1. Ступенька на краевой дислокации при сколь- жении всей дислокации скользит консервативно. 2. Ступенька на краевой дислокации, для кото- рой j имеет компоненту, перпендикулярную плоско- сти скольжения, может обеспечить возможность переползания, создавая или поглощая точечные де- фекты. 3. Ступенька на винтовой дислокации может кон- сервативно скользить вдоль дислокации. Поэтому, двигаясь вместе с дислокацией, она может порождать точечные дефекты лишь до тех пор, пока не добежит до конца данной винтовой дислокации. 4. Единичная ступенька, перпендикулярная пло- - скости скольжения единичной винтовой дислокации, при каждом единичном перемещении дислокации об- разует один точечный дефект. Если дислокация лишь частично винтовая, то точечные дефекты образуются с соответственно меньшей скоростью, т. е. образуется цепочка изолированных точечных дефектов. Точно так же скорость образования точечных дефектов уменьшается в тех случаях, когда ступенька не пер- пендикулярна линии винтовой дислокации или когда она движется в направлении, отличном от направле- ния вектора v. § '8. Спирали Рассмотрим плоскость кристалла (с нормалью п"), которая пересекает вектор 1 и вектор b дислока- ции, т. е. п"-1#=0, п"-Ь =/= 0. (2.10) Положительным направлением вектора п" счи- таем направление, отвечающее обходу по часовой стрелке контура Бюргерса, проведенного вокруг дис-
Геометрические свойства дислокаций 31 локации в плоскости и". Такой контур не только оказывается незамкнутым, но и имеет компоненту (п"‘Ь)п,/, нормальную к этой плоскости, т. е. пло- скость деформируется в лист винтовой поверхности с шагом п" -Ь. Если дислокация совершенная, то? вследствие того, что кристалл остается хорошим всю- ду, за исключением центра дислокации, шаг спирали должен быть равным целому числу межплоскостных расстояний в направлении п", т. е. кристалл образует геликоид. В случае винтовых дислокаций это очевид- но, но и в случае краевых все сказанное также спра- ведливо. Можно даже, пользуясь этим обстоятель- ством, дать еще одно определение дислокации. Имен- но, совершенная решетка — это совокупность точек пересечения трех семейств равноудаленных плоско- стей. Кристалл содержит дислокацию, если хотя бы одно из таких семейств превращается в геликоид. Важнейшие практические следствия геликоидаль- ной структуры (открытой Франком) обнаруживаются в процессах роста кристаллов и химического ката- лиза на кристаллических гранях. У кристаллов, со- держащих дислокации, которые выходят на внешние грани, на гранях имеются незарастающие уступы — края спиральных поверхностей, закрученных .вокруг дислокаций. На таких уступах происходит абсорбция, осаждение и испарение атомов на поверхности, т. е. они являются химически активными центрами. Спи- рали роста, обнаруженные на многих кристаллах, вы- ращенных из паров или разбавленных растворов, служат блестящим доказательством такой особен^ ности дислокаций. § 9. Дислокационные сетки Дислокационная линия может разветвляться (фиг. 12). Очевидно, что величина разрыва контура Бюргерса Вх не должна меняться при перемещении контура вдоль дислокационной линии и мимо узла N, пока контур не пересекает ни одной дислокации. Стало быть, разрыв контуров В} и В2 должен быть одинаковым по величине, т. е. b^b^+b^.
32 Глава 2 В подобных случаях при определении векторов Бюргерса в узле принято обходить контуры Бюргерса по часовой стрелке, если смотреть из узла наружу (фиг. 13), так что Sbz = 0. (2.Ц) Поскольку все дислокации в кристалле должны быть характеристическими, решетка налагает опре- деленные ограничения на допустимые типы узлов.
Геометрические свойства дислокации 33 . - § 10. Векторы решетки Для примера рассмотрим г. ц. к решетку. Вектор, отвечающий перемещению из вершины куба в центр грани (т..,е. единичный вектор решетки) , имеет ком- поненты а/2, а/2, 0. Его Можно записать в виде (а/2) [НО], где а — постоянная кубической решеткй, [НО] — направление скольжения. Таким образом, век- тор Бюргерса подобной дислокации равен Ь = (а/2)[110]. Это общепринятое обозначение дислокации в кри- сталле. Заметим, что мощность (т. е. абсолютная ве- личина вектора Ь) дислокации с вектором. Ь = — a/n[uvw} равна a(u2+v2 + w2yi*ln. §11. Сетки в г. ц. к. решетке В плоскости (1'11) возможны три различных еди- ничных вектора Бюргерса, направленных вдоль осей Фиг. 14. [101], [011] и [110]. Поэтому, как показано на фиг. 14, а, возможны симметричные’тройные узлы типа , f [101]+ f[011]+1 [1Ю] = 0. (2.12) Такие узлы часто образуют гексагональные сетки дислокаций в плоскости (111) (фиг. '14,6). Анализ упругой устойчивости подобных сеток был проведен 3 А. Коттрел
34 Глава 2 Франком; имеются прямые экспериментальные дока- зательства их существования, особенно в ионных кри- сталлах. § 12. Дислокационные реакции Интересно взглянуть на уравнение (2.12) с иной точки зрения. Предположим, что у нас имеются две параллельные дислокационные линии с векторами Бюргерса а/2 [10Т] и afr [011] и что мы позволяем им слиться. Это значит, что происходит дислокационная «реакция» с образованием новой дислокации: у [ЮТ] + у [ОП]—[ПО]. (2.13) Дислокационные реакции играют особенно важную роль в теории частичных дислокаций. Направление протекания такой реакции зависит от сопутствующего ей изменения энергии. В приведенной выше реакции мы получаем одну дислокацию вместо двух, и, по- скольку все три обладают одинаковой мощностью, естественно ожидать, что реакция должна протекать именно в указанном направлении. Это подтверж- дается вычислением упругой энергии дислокаций. § 13. Источник Франка —Рида Хотя дислокационная линия не может обрываться внутри кристалла, она может окончиться в некоторой плоскости кристалла, повернув в другом направле- нии или соединившись в узле с другими дислокация- ми, проходящими через данную плоскость (фиг. 15). Отрезок дислокации такого типа АВ, лежащий в плоскости скольжения, обладает замечательным то- пологическим свойством, которое обнаружили Франк и Рид: он может действовать как источник неограни- ченного в принципе скольжения в данной плоскости. Предположим, что узлы А и В закреплены, и попы- таемся производить скольжение, выгибая отрезок ди- слокации (называемый источником Франка—Рида) в плоскости скольжения, как это показано последова- тельными стадиями на фиг. 16. Всякий раз, когда по данной области плоскости проходит единичная дисло- кация, в ней происходит скольжение на единицу. За-
1 Фиг. 16.
36 Глава 2 тем, смыкаясь позади источника, ветви расширяю- щейся петли образуют замкнутую дислокационную петлю, которая может расходиться дальше по пло- скости скольжения; в то же время источник восста- навливается и процесс может снова повториться. Та- кой механизм часто используется для объяснения ми- кроскопически видимых полос скольжения, наблю- дающихся в пластически деформированных кристал- лах. Прямое наблюдение дислокаций» особенно в ионных, ковалентных и о. ц. к. металлических кри- сталлах, показало, что большое число источников типа Франка—Рида образуется в активных полосах скольжения и поблизости от них в результате повто- ряющегося' поперечного скольжения отрезков винто- вых дислокаций, которые, переходя в соседние па- раллельные плоскости, могут расти, как это показано на фиг. 16; таким путем возникают широкие полосы скольжения, содержащие дислокационные петли. § 14. Двойникующие узлы Билби и Коттрел воспользовались понятием ис- точника Франка—Рида для объяснения роста дефор- мационных двойников. В данном случае предпола- гается,. что у векторов Бюргерса дислокационных звеньев ЕАС и FBD на фиг. 15 (называемые полюс- ными дислокациями) имеются компоненты, нормаль- ные к плоскости, содержащей дислокацию-источник. Поэтому всякий раз, когда последняя делает полный оборот, она переходит в следующий слой спиральной поверхности. Таким образом, в каждом слое обра- зуется по одной дислокационной петле, и в результа- те однородная пластическая деформация охватывает, большое число слоев в кристалле. Дислокация-источ- ник в схеме Билби—Коттрела является несовершен- ной: ее вектор Бюргерса обеспечивает смещения в кристалле, необходимые для двойникования. В принципе подобный спиральный источник спо- собен дать также.и однородное скольжение. Но пока еще не ясно, могут ли такие узлы быть устойчивыми и происходит ли вообще однородное скольжение в кристаллах.
ГЛАВА 3 Геометрия кристаллов, содержащих дислокации § 1. Неоднородная деформация Пластический кристалл без особого труда можно сильно изогнуть, например так, что радиус кривизны будет порядка его толщины. Такой процесс аналоги- чен изгибанию толстой пачки бумаги, когда на кон- цах каждой активной плоскости скольжения проис- ходит сдвиг в противоположных направлениях. Но, согласно определению дислокации, данному через по- нятие скольжения (гл. 2, § 1), это означает накопление дислокаций в активных плоскостях скольжения. Та- кие плоскости разбивают кристалл на упруго дефор- мированные слоила, поскольку подобные слои могут быть очень тонкими (ибо плоскости скольжения рас- положены близко одна к другой), радиус кривизны, до которого их можно изогнуть, соответственно мень- ше, чем это было бы возможно при изгибе всего кри- сталла как цельного упругого бруска. Следовательно, упругая энергия сильно и неравномерно деформиро- ванных кристаллов может снижаться при наличии оп- ределенного распределения дислокаций. Тогда возникают вопросы: а) Какое расположение дислокаций отвечает наи- меньшей упругой энергии деформированных кристал- лов? б) Какую геометрическую форму могут принимать плоскости скольжения? Эти вопросы эквивалентны следующей краевой за- даче: для кристалла с данной решеткой во всех точ- ках некоторой замкнутой границы задана ориентация решетки; как должна быть деформирована решетка для заполнения объема, заключенного внутри грани- цы, чтобы .граничное условие удовлетворялось ^при
38 Глава 3 наименьшей затрате энергии? Интересно, что для от- вета на эти вопросы не нужно знать поле деформации отдельной дислокации, по крайней мере пока речь идет о минимуме энергии дальнодействующих полей деформации. В силу того, что вектор Бюргерса конечен, мы вы- нуждены для удовлетворения граничных условий вво- дить конечное число дислокаций, так что в области между каждой отдельной дислокацией и окружаю- щими ее другими дислокациями существует неском- пенсированное упругое поле данной дислокации. Тем самым накладывается предел на возможное умень- шение упругой энергии за счет введения дислокации. Но можно найти такое распределение дислокаций, при котором поля скомпенсированы на больших рас- стояниях, т. е. при котором на расстояниях, больших по сравнению со средним расстоянием между дисло- кациями d, внутренние напряжения в среднем равны нулю. ' Поскольку для активации системы скольжения в кристалле требуется конечное внешнее напряжение, в деформированном кристалле могут поддерживаться дальнодействующие поля порядка критических касаг тельных напряжений. Для простоты мы положим их равными нулю, что внесет лишь незначительные огра- ничения в наше рассуждение. Тогда, как отметил Най, условие отсутствия дальнодействующих напряжений можно сформулировать следующим образом: если в «хорошем» материале кристалла с дислокациями по- строить из последовательности векторов трансляции решетки произвольную линию, то длина I любого от- резка этой линии равна его длине в неискаженном кристалле при условии, что l^d. § 2. Изгиб при скольжении в одной плоскости Рассмотрим сначала частный случай: пластиче- ский изгиб при действии одной системы скольжения, например при скольжении в базисной плоскости гек- сагонального кристалла (фиг. 17). ’ Условия неизменности длины (/ = const) в данном случае означают, что расстояние между двумя любы-
Геометрия кристаллов, содержащих дислокации 39 ми поверхностями скольжения, измеренное по ортого- нальным траекториям к ним, во всех точках одина- ково. Най указал, что это можно видеть из следующе- го простого геометрического рассуждения (фиг. 18). Пусть Si— след поверхности скольжения, С—центр кривизны в точке Р, С' — центр кривизны в точке Р'. Тогда кривая СС', прочерчиваемая при переходе Р->Р', представляет собой отрезок эволюты S для кривой Si, т. е. Si можно построить как траекторию точки Р на конце туго натянутой нити, разматываю- щейся по S. Всякая другая точка Q на нити опишет при этом след другой поверхности скольжения S2, а поскольку PQ = const, то и 1=const. Таким образом, можно видеть следующее: а) поверхности скольжения представляют собой' эвольвенты (для поверхности S); б) ортогональные траектории поверхностей сколь- жения, прямолинейные до скольжения, остаются
40 Глава 3 прямолинейными и после скольжения. В гексагональ- ных кристаллах, где скольжение происходит по ба- зисным плоскостям (нормальным к оси с), такие траектории параллельны оси с. Эти выводы подтверждаются экспериментами на изогнутых кристаллах. § 3. Образование полос сброса при сжатии Другое явление, которое можно объяснить на ос- нове такого геометрического построения, — образова- ние полос сброса, наблюдающихся при сжатии гекса- гонального кристалла вдоль оси в его базисной пло- скости (фиг. 19). Построив эволюту, можно найти Фиг. 19. семейство поверхностей скольжения, таких, как Si. В конце концов на одной из поверхностей дойдем до точки /?, равноудаленной от двух (или нескольких) точек поверхности Si (на фиг. 19 это точки Р и Р'). Тогда все искривления решетки от Р до Р' сконцент- рируются в остром изломе в точке /?. И все поверх- ности скольжения ниже точки R имеют, таким обра- зом, скачок в ориентации на линии излома RL. § 4. Распределение дислокаций в изогнутом кристалле В только что рассмотренных примерах мы, приме- няя правило /=const к расстоянию между плоскостя- ми скольжения, определяли форму этих плоскостей.
Геометрия кристаллов, содержащих дислокации 41 Чтобы определить плотность дислокаций в изогнутом кристалле, применим это правило к длине плоскостей скольжения. Рассмотрим контур Бюргерса ABCD (фиг. 20), где АВ и CD — отрезки следов плоскостей скольжения. Пусть 1АВ, 1вс и т. д. — длины сторон контура АВ, ВС и т. д. и предположим, что 1АВ, 1вс, «Сх-1, где х — кривизна; таким образом, пред- полагается, что кривизна примерно одинакова во всей Фиг. 20. области, охватываемой контуром. Тогда Ibc = Ida и Icd=Iab(A+kIbc)- Согласно нашему предположению, значения 1ав (и т. д.) в изогнутом кристалле те же, что и в неискаженном. Если b — постоянная решетки в направлении скольжения (вектор Бюргерса дисло- кации), то 1АВ, ... содержит 1авЬ~х постоянных ре- шетки. При обходе по контуру вклад от ВС компен-. сируется вкладом от DA. Следовательно, разрыв кон- тура в единицах постоянной решетки равен b ^cd~ Iab) = 1АВ1Вс* Если р — плотность дислокаций с вектором Бюр- герса b в данной части кристалла (т. е. полная длина дислокационных линий в единице объема), то, по- скольку площадь ABCD равна IabIbc* р = хЬч. (3.1) Эта формула, конечно, дает только плотность из- быточных дислокаций одного знака. Но она под- тверждается экспериментами в изогнутых кристал- лах, радиус кривизны которых измерялся, например,
42 Глава 3 с помощью рентгеноструктурного анализа. Рассчи- танная плотность дислокаций сравнивалась с экспе- риментальной, определенной по плотности ямок трав- ления. Типичные результаты для серебра приведены в таблице. Радиус изгиба, см Наблюдаемая плотность ямок травления, см~г Рассчитан- ная плотность дислокаций, см~2 4 7,3 • 10е 8,7 • 10е 1,3 8,4 • 107 2,7 • 107 . 0,25 1.8-108 1,4-10» § 5. Анализ Ная Теперь рассмотрим общий трехмерный случай при условии, что повороты решетки малы. В какой-нибудь точке О кристалла тремя ортогональными осями -хь х2, *з определим локальную ориентацию решетки. Пусть dcpi — малый поворот решетки относительно этих осей при малом изменении положения точки в кристалле dXj. Определим тензор кривизны соот- ношением d(pi=%ijdxji (3.2) где производится суммирование по повторяющимся индексам. Рассмотрим небольшой прямоугольный кон- тур Бюргерса единичной площади, нормальный к оси Ох/ (фиг. 21). Разрыв контура определяется отрез- ком Ci -> С2. Чтобы найти его, считаем точку А фик- сированной и перемещаемся по АВ параллельно Ох2. Тогда %12, х22 и х32 — повороты решетки в точке В от- носительно точки.А. Они приводят к смещению точки Ci на величину х22 —ух32 в направлении xt, — х12 в направлении х2, в направлении х3. 4
Геометрия кристаллов, содержащих дислокации 43 Точно так же при перемещении вдоль ВС\ повороты решетки (от В до Ci) вызывают смещение точки С\ на величины V2X23, —V2X13, 0. Аналогичные рассужде- ния можно провести и для точки С2. Просуммировав все такие смещения точек Ci и С2, найдем компонен- ты разрыва контура вдоль осей х2 и л3: “ («22 + «Зз). «12. «13- Если контур Бюргерса единичной площади, нор^ мальный к единичному вектору rij, дает вектор Бюр- герса Bit то можно написать Bl = aiJnJ, где aij — тензор плотности дислокаций. В данном слу- чае у нас п,= 1, 0, 0, г. е. (Хц = («22 + «зз)> а21 ~ «12’ а31=«13'' Аналогичные результаты можно получить для кон- туров, нормальных к двум другим осям. Запишем в
44 Глава 3 общем виде ^ij^kk (h h ^el> 2, 3), (3.3) где (1 при 1=/, - I 0 при и, как обычно, производится суммирование по повто- ряющимся индексам. Исследуя эту формулу, Най получил следующие результаты: 1. Проводя контуры Бюргерса на всех шести гра- нях единичного куба, можно установить «закон со- хранения» векторов Бюргерса 2. Сравнивая соотношение (3.3) с выражением 0i} = 2peiy + связывающим изотропные упругие напряжения с де- формацией, и полагая при этом 2р,= 1, Х=—1, видим, что тензор %ij аналогичен тензору упругих деформа- ций &ij, но только несимметричен. В этом случае мо- дуль Юнга равен 2, модуль сдвига ‘/г, коэффициент Пуассона 1, модуль объемного сжатия —2/з- 3. По аналогии с энергией деформации в теории упругости мы можем ввести функцию W = ~a{Jn{J, (3.5) так что 2 2 2 (3.6) Таким образом, функция W представляет собой «дис- локационный потенциал». Она зависит от компонент тензора кривизны решетки в каждой точке, а ее про- изводные по тензору кривизны равны соответствую- щим компонентам тензора плотности дислокаций.
ГЛАВА 4 Упругое поле дислокации § 1. Введение Выделим в среде тонкое круглое кольцо радиусом г и образуем вдоль его оси прямолинейную дислока- цию мощностью 6, разрезав кольцо и сместив один край разреза относительно другого на расстояние Ь. Тогда в кольце возникнет такая упругая деформация, что при обходе контура длиной 2лг полное упругое смещение окажется равным Ь. Таким образом, сред- няя упругая деформация в кольце будет равна Ь12тсг, а среднее напряжение — ц&/2лг. Столь простые рассуждения позволяют сделать ряд выводов об упругих свойствах дислокаций: 1. Поле напряжений прямолинейной дислокации имеет дальнодействующий характер, спадая как с1. На расстоянии 104 b напряжения — порядка 10“5 ц, т. е. порядка предела текучести мягких кристаллов. Сле- довательно, между дислокациями существует сильное упругое взаимодействие. 2. Поскольку напряжения спадают как г-1, произ- ведение напряжения на периметр оказывается не за- висящим от г, т/е. сила, с которой одно кольцо дей- ствует на соседнее внутри него, не зависит от г. Сле- довательно, при описании упругого поля дислокаций нельзя пренебрегать условиями на внешней границе. Пренебрежение внешними граничными условиями при- вело к недоразумениям и ошибкам на ранней стадии развития теории дислокаций. 3. В центре дислокации напряжения стремятся к бесконечности, т. е. там не выполняется закон Гука, и для определения поля напряжений нужно пользо- ваться дискретной атомной моделью. Это означает, что вокруг дислокации существует область, называемая
46 Глава 4 «ядром» дислокации, к которой не применима линей- ная теория упругости (радиус ядра rQ^b). 4. Рассмотрим дислокацию, расположенную вдоль оси цилиндра высотой, равной единице, и радиу- сом Энергия деформации в кольце радиусом и толщиной 6г, соосном с дислокацией, порядка 1/2ц(Ь/2лг)22лг6г. Следовательно, полная энергия в цилиндре равна £ = J^fA = J^.InZ£ (4.1) 4л J г 4л r0 v ' Го плюс поправочные члены для внешней границы и яд- ра, которые малы при ri^>r0 и r\^b. Обычно г\^ «1 см, Го~1О-8 см, 1п(Г1/г0)— 18.' Тогда £=1,5цЬ2 на единицу длины дислокации и E^l,5[ib3 на длину Ь. Если b равно одному межатомному расстоянию, то для многих металлов ц&3«5 эв. Следовательно, £«7,5 эв в расчете на одно межатомное расстояние вдоль дис- локационной линии. 5. Таким образом, длинная дислокация, например длиной 1 см, обладает энергией ~108эв. Она термо- динамически неустойчива и должна исчезать при от- жиге. По-сравнению со столь большой энергией из- менениями энтропии в кристалле можно пренебречь. Но в случае дислокации в жидкости, где поле дефор- маций не релаксирует лишь на расстояниях порядка межатомных, этот вывод может оказаться неверным. Можно построить дислокационную теорию жидкости, считая в этом ,случае «кристаллическую структуру» разбитой множеством дислокаций на малые объемы. Преимущество такой модели в том, что она учитыва- ет ближний порядок в жидкости при отсутствии даль- него. 6. Хотя плотность энергии деформаций наиболь- шая в области дислокации, полная энергия деформа- ции даже в отдельных областях поля все еще велика. Например, поскольку энергия области вне радиуса г2 пропорциональна In fri/r2), а внутри него пропорцио- нальна 1п(г2Ло), ПрИ Г1 ~ 1 см, г2~Ю*4 см и г0~ «10-8 см энергии вне г2 и внутри одинаковы. Таким
Упругое поле дислокации 47 образом, изменения конфигурации ядра дислокации незначительно влияют на полную энергию деформа- ции. Значительно больше уменьшение энергии в том случае, когда свободная (от напряжений) поверх- ность кристалла (например, внешняя поверхность, трещина, активная полоса скольжения) подходит Т близко к дислокационной линии. Тогда область поля значительно сокращается от и до rs, где rs — расстоя- ние от дислокации до данной поверхности. 7. Формула (4.1) показывает, что энергия дефор- ч • мации пропорциональна Ь2. Поэтому большая дисло- кация с вектором Бюргерса nb неустойчива, ибо, рас- щепляясь на п отдельных дислокаций (каждая мощ- ! ностью Ь), она может снизить свою энергию от п2Ь2 ! до пЬ2. ! 8. Рассмотрим две антипараллелъные дислокации одинаковой мощности на расстоянии d друг от друга. На расстоянии r^d от пары их упругие поля взаим- но уничтожаются. Дислокации образуют диполь, и их совместное поле распространяется на меньшую об- ! ласть, чем поле отдельной дислокации. Таким обра- ! зом, полная энергия деформации уменьшается, т. е. ! они взаимно притягиваются. i § 2. Дислокации Вольтерры Вольтерра разработал теорию внутренних напря- жений в упругих телах, образующихся в результате вырезания части тела и соединения краев разреза. Вообще говоря, при такой операции возникают син- ? гулярности, в которых поле напряжений возрастает до бесконечности. Поэтому необходимо предусматри- вать зазоры. Вольтерра показал, что для образова- ния однозначных непрерывных полей напряжения без сингулярностей должны выполняться два условия: а) разрез должен пересекать «рукав» многосвяз- ного тела (например, кольца); б) края разреза должны быть жестко смещены один относительно другого. Состояния внутреннего напряжения, образованные таким образом, называются дислокациями Вольтерры
48 Глава 4 и характеризуются тем, что интеграл по замкнутому контуру от 'градиента смещений имеет конечное при- ращение b (это и есть вектор Бюргерса). Рассмот- рим, например, прямолинейную дислокацию, распо- ложенную на оси z. Три простейшие дислокации соответствуют следующим значениям интеграла по контуру: §^ds = b, 0, 0; 0,6,0; 0,0,6. (4.2) Две первые из них — краевые дислокации, третья — винтовая. Чтобы найти поле деформации краевой и винтовой дислокации, мы должны отыскать простейшие реше- ния уравнений теории упругости, удовлетворяющие выражению (4.2). § 3. Упругое поле краевой дислокации в изотропной среде Рассмотрим длинную краевую дислокацию, про- ходящую вдоль оси z. Разрыв смещений 6 перпенди- кулярен линииддислокации. Поэтому мы ищем такие решения u ( = u, v,w), для которых w=0 и ди!дг= — dv/dz=0, т. е. решение в виде поля плоской дефор- мации. В случае плоской деформации нам нужно оп- ределить только нормальные компоненты напряжений охх, Оуу [заметим, что огг(охх+оуу), где v — коэффи- циент Пуассона] и сдвиговую компоненту оху( = оух) или в полярных координатах г, 0, г — компоненты Oj*r> ^00 И Ог0* Уравнению теории упругости для плоской дефор- мации удовлетворяет любое решение бигармониче- ского уравнения У4Х = 0, (4.3) где _ ' _ _ д2х _ д2х °хх — ду2 ’ УУ дх2 ' х» дх ду ’ „ 1 , 1 g2X п - ^2Х ______________д (1 дх\ агг~ г дг + г2 <ЭЭ2 ’ °ее - дг2 ' гв~ дг \г дв)'
Упругое поле дислокации 49 Простые решения можно найти, полагая Х = Я(г)®(6), подбирая разные функции 0(0) и решая обычное дифференциальное уравнение для г. Таким путем для краевой положительной дислокации получаем реше: ние в виде %о = — Dr In г sin 0 = — Dy In (x2 + y2)'/2, (4.4) где p, — модуль сдвига, v — коэффициент Пуассона. Ha- - пряжения же р авны агг — 000 — ~ D sin 0 D cos 0 г > 0ГВ г ’ __ п у (Зх2 + у2) и (х2 + у2)2 ’ = Dy^-y2) °уу и (х2 + у2)2 ’ „ х(х2 — У2) -К — и (х2 + ^2)2 • V*’0/ Таким образом, поле имеет вид f (0)lr и не обладает радиальной симметрией. Поэтому силы взаимодейст- вия краевых дислокаций не являются центральными. Теперь рассмотрим граничные условия. Пусть ди- слокация проходит по оси цилиндра с внешним ра- диусом Г]. Если мы хотим, чтобы внешняя поверх- ность цилиндра была свободной от внешних сил, то к решению %0 нужно добавить функцию напряжения Xi, которая должна обладать следующими свойст- вами: а) компенсировать %0 на поверхности г=гг, б) создавать однозначное поле смещений; в) создавать напряжения, убывающие при умень- шении г. Этим условиям удовлетворяет функция %! = Ar3 sin 0, (4.6) где А определяется из условия %1 + %о=О на поверх- ности г=гь Напряжения, создаваемые порядка Dr/г*, ив случае больших образцов (и » 6) ими можно пренебречь по сравнению с напряжениями, 4 А. Коттред
50 Глава 4 создаваемыми хо, везде, кроме области вблизи по- верхности г = г}. Граничные условия в центре дислокации значи- тельно сложнее. Напряжения, создаваемые хо, стре- мятся к бесконечности при г->0, чего не должно быть на самом деле. Теории атомной структуры в ядре дислокации мы рассмотрим в гл. 7 и 8. Здесь же мы только исследуем влияние изменения граничных условий на внутренней границе r0<^z*i. Предположим, что внутренняя граница у нас — свободная поверх- ность полости. Тогда к функциям Xo+Xi мы должны добавить еще функцию напряжения хг, которая дол- жна обладать следующими свойствами: а) компенсировать поле напряжений Xo+Xi на по- верхности г0; б) создавать однозначное поле смещений; в) создавать напряжения, убывающие при увели- чении г. Этим условиям удовлетворяет функция хг = = В sin 0/г, где В определяется условием Хо+Х1 + %2 = О на поверхности г0. Напряжения, создаваемые хг,— по- рядка Dr^r3 и, следовательно, велики только вблизи центра дислокации. § 4. Упругое поле винтовой дислокации в изотропной среде Такое поле нельзя найти, решая бигармоническое уравнение, поскольку оно не является полем плоской деформации. Положение облегчается тем, что разрыв величины w ф ^-ds = 0, 0, b постоянен вдоль оси z. Поэтому попытаемся найти решение, в котором w зависит только от 0 и не зави- сит от г и z. Единственная компонента деформации, зависящая от ш=/(0), есть e0z = 8z0, и
Упругое поле дислокации 51 Тогда компонента напряжения п ц dw a0z — GzQ “ ~~ r dQ (где doQz/dz=0) определенно не равна нулю. Теперь уравнениям равновесия может удовлетворить реше- ние, в котором все напряжения, кроме o0z, равны нулю. Эти уравнения в данном случае сводятся к урав- нениям ^ = 0, т.е. ^-0. (4.7) Мы ищем решение, обладающее тем свойством, что при увеличении 0 на 2л величина w возрастает на Ь. Очевидно, что такому требованию удовлетворяет ре- шение да = ^=2^аГС^Т ’ М при котором смещение b равномерно распределено вокруг дислокационной линии. Напряжения опреде- ляются выражениями pb °Qz — &zQ 2лг * °xz = Ozx = - хг + у2 , (4.9) _ _ цЬ х х2 + у2 и описывают поле винтовой дислокации, в котором векторы b и 1 направлены вдоль положительной оси z. Поле обладает радиальной симметрией, и поэтому силы взаимодействия параллельных винтовых дисло- каций являются центральными. Теперь рассмотрим граничные условия. Через ци- линдрическую границу r=ri напряжения не действу- ют, и, следовательно, полученное решение уже удов- летворяет условию, что эта граница должна быть 4* 4
52 Глава 4 свободной от внешних сил. Но на торцах (z=const) действует пара сил, создавая момент j (гаге)2лг dr = Т Н& (г? “ ^), Го который можно уравновесить, наложив поле gzq = =—цтг, которое создает однозначные смещения. При т = й/л^ + г^) пара уравновешивается, дополнитель- ные напряжения — порядка цйг/г^. Следует заметить, что уравновешивающая пара скручивает цилиндр. Уравновешивающий момент равен Л4 = уН&(^-г|), . так что угол скручивания между двумя поперечными сечениями цилиндра на единичном расстоянии друг от друга дается выражением 2М b / rl 7 2" I 1 2 цлг| лгу \ q Ь Таким образом, в длинных тонких кристаллах длиной /, такой, что lb rf, должны, по-видимому, наблю- даться измеримые углы скручивания. (В нитевидных кристаллах, содержащих винтовую дислокацию вдоль своей оси, такое скручивание действительно можно наблюдать.)
ГЛАВА 5 Динамика движущихся дислокаций § 1. Релятивистское поведение При движении дислокации к силам, действующим на любой элемент среды в ее поле, добавляется сила, связанная с ускорением элемента в момент прохож- дения мимо него дислокации. В результате этого ско- рость упругих волн в среде играет роль, аналогичную скорости света в теории относительности. Рассмотрим винтовую дислокацию, для которой отлична от нуля только компонента смещения w (в направлении оси z). Уравнение равновесия для такой дислокации имеет вид дх2 "г ду2 - с2 dt2 ’ ' где t — время, с = (р/р),/2—поперечная скорость звука, р—модуль сдвига, р — плотность вещества кристал- ла. Нам нужно найти решение, которое описывало бы движение винтовой дислокации вдоль оси х со скоростью v и удовлетворяло условиям a) w = f (х —- ct)t б) $ids=b- ~ По аналогии с электродинамикой, пользуясь преобра- зованием Лоренца, перейдем к новой переменной' г x~vt ('--Я' Тогда уравнение (5.1) можно переписать в виде d2w d2w _ q t дх2 ду2
54 Глава 5 Решение этого уравнения при и->0 должно сводиться к решению уравнения (4.7). Оно имеет вид ® = (б-2) и поле дислокации точно такое же, как поле стацио- нарной винтовой дислокации, за исключением того, что, двигаясь по оси х со скоростью и, дислокация сокращается в направлении оси х в (1 — v2/c2)^ раз. Подобные же рассуждения можно провести и для краевых дислокаций, хотя положение здесь более сложное, поскольку поле напряжений имеет как гид- ростатическую, так и сдвиговую компоненту. В этом случае вводятся две скорости звука — поперечная (волны сдвига) и продольная (волны сжатия). А если учитывать атомную структуру в плоскости скольже- ния, то нужно ввести также скорость поверхностных волн Релея («0,9 с). > § 2. Энергия и импульс движущейся дислокации Пусть Ео — упругая энергия покоящейся винтовой дислокации, а Е\ — винтовой дислокации, движущей- ся со скоростью v. Величины Ео и Е{ даются выра- жением мшчоь ™ где dr —элемент объема. Обозначим через £2=тр/ <5-4) кинетическую энергию среды. Подставляя выражение (5.2) для w, запишем полную энергию среды в виде £ = £, + £2=р (5.5) \1-^) т. е. энергия релятивистски возрастает, когда ско- рость движения дислокации приближается к скорости звука с. Заметим, что £,=2£,0 при и = 0,867с.
Динамика движущихся дислокаций 55 Кинетическая энергия дислокации равна Е — Ео и не равна кинетической энергии среды Е2, поскольку Ei=£=Eq. При небольших скоростях мы можем опреде- лить эффективную массу т0 соотношением Е — £,0== = 1/2^о^2-Тогда имеем Eq = mQc2, (5.6) и, поскольку In-«цЬ2, а с2 = —, и 4л Го р мы получаем т0 ~ рЬ2, т. е. когда b равно одному межатомному расстоянию, масса дислокации, приходящаяся на одно межатом- ное расстояние вдоль дислокации, приблизительно равна массе одного атома. Импульс дислокации труднее представить себе на- глядно, поскольку материал выше и ниже плоскости скольжения движется в противоположных направле- ниях. Но мы можем определить эквивалентный им- пульс соотношением dp d(E — Ео) п “ = Сила, действующая на дислокацию. Записывая y/c = sin0, получаем dp _ dE dE d0 _ Eo sin 0 d0 __ Eq dQ dt ~ dx . d0 dx cos2 0 dx c cos2 0 dt Следовательно, P2c2 = £2tg2e = £2-^- 1 c2" E2 = E2 + p2c2. (5.7) § 3. Сверхзвуковые дислокации В чисто упругой среде такие дислокации невоз- можны, поскольку радиус действия сил поля дисло^ кации сокращается до нуля при v->c. Но в реальных кристаллах они возможны, по крайней мере в прин-
56 Глава 5 ципе, так как дискретность атомной структуры обес- печивает существование поля на расстояниях поряд- ка атомных. Следовательно, в реальном кристалле вполне допустимо, что дислокация может проводить через звуковой барьер в области сверхзвуковых ско- ростей. Но в этой области дислокация должна излу- чать энергию (аналогично излучению Черенкова), даже если ее скорость постоянна. Сила излучения на единицу длины дислокации — порядка \ с2 ) 2ла ’ . где а — расстояние ме^кду плоскостями скольжения. Действительно, головные элементы дислокации оттал- кивают задние, а задние не оказывают соответствую- щего действия на головные, так как перемещаются быстрее звука и создают упругие возмущения только позади себя. / § 4. Радиационное затухание Для дислокаций, движущихся ускоренно с дозву- ковыми скоростями, уравнения теории упругости мо- гут выполняться только в том случае, если к полю дислокации добавляется член вида W = р (J, 0) Q* который описывает упругие волны, бегущие от дис- локации. Таким образом, имеется отток энергии от ускоренно движущихся дислокаций. Это и есть ра- диационное затухание. § 5. Уравнение движения Дислокация, движущаяся с ускорением, не подчи- няется дифференциальному уравнению движения, если не считать случая низких скоростей, поскольку она движется в своем собственном поле напряжений, излучаемом ею. Это поле действует‘на дислокацию, так что сила, под действием которой движется дисло- кация, оказывается интегральной функцией ее пред- шествующего движения,
Динамика движущихся дислокаций §7 § 6. Влияние трения Известен целый ряд попыток вычислить энер- гию, теряемую движущейся дислокацией из-за тре- ния, обусловленного дискретностью атомной структу- ры и взаимодействием с фононами. Эшелби рассуж- дал следующим образом. .Разложим поле смещений в плоскости скольжения в ряд Фурье, каждый член которого описывает бегущую волну. Все волны дви- жутся с одинаковой скоростью и, но длины волн раз- ные. Хорошо известно, что скорость упругих волн ст— порядка 2с/3 при длин^е волны'порядка атомных размеров. Таким образом, если дислокация движется СО СКОРОСТЬЮ Сщ < < С, то коротковолновые фурье- компоненты являются сверхзвуковыми и, следователь- но, должны излучать. По расчетам Эшелби, для поддержания движения дислокации . со скоростью cm+&v необходимо внешнее напряжение порядка 0,lp,(Av/cw)3/2. Это означает, что скорости, при кото? рых становятся заметными релятивистские эффекты, могут достигаться только при очень больших внеш- них напряжениях. Поэтому почти все теории пласти- ческого течения кристаллов — «квазистатические», в них не рассматривается динамика быстрых дисло- каций. Виртман показал, что если краевые дислокации движутся со скоростями, превышающими скорости волн Релея, то их поля напряжений в плоскостях скольжения могут^ менять знаю при столь большой скорости, и тогда дислокации одного знака не притя- гиваются друг к другу, а взаимно отталкиваются.
ГЛАВА 6 Силы, действующие на дислокации § 1. Работа деформации Рассмотрим два поля напряжений oi(r) и о2(г). Плотность энергии деформации, создаваемой ими в каждой точке, равна (01 + а2)2/2ц, что, вообще говоря, не равно +о2)/2р». Поля взаимодействуют друг с другом, и в результате возникают силы, действующие на источники полей. Часто оказывается неудобным выражать эту энергию деформации в виде объемного интеграла, так как в подынтегральное выражение мо- гут войти сингулярности на источниках. Удобнее поль- зоваться интегралом по поверхности, учитывая, что энергия деформации, накопленная в упругом теле, численно равиа^работе, совершаемой над телом внеш- ними силами, создающими эту деформацию. Для примера рассчитаем собственную энергию ди- слокации. Разрежем тело, не содержащее дислока- ций, по произвольной поверхности, опирающейся на линию предполагаемой дислокации. К поверхности разреза приложим такие силы TJr) на единицу пло- щади, которые вызвали бы жесткое смещение обеих" сторон разреза одной относительно другой на вели- чину u( = b). Тогда энергия деформации дислокации равна работе, совершаемой силами Ti на пути и,_т. е. ^-/(TriOdS, (6.1) S ** где через S обозначена поверхность разреза, а мно- жителем !/2 учитывается то обстоятельство, что и воз- растает линейно с Ть Будем считать, что тело — ци- линдр радиусом Г\ и высотой, равной единице (вдоль оси z), с полостью радиусом rQi расположенной вдоль
Силы, действующие на дислокации 59 линии дислокации- (для простоты полагаем, что дис- локация проходит вдоль оси цилиндра). Предполо- жим, что Ti = 0 на поверхностях г0 и Гр Тогда каса- тельная сила, действующая на элемент dr поверхно- сти одной стороны разреза, равна odr, где а = о0г в случае краевой дислокации и о=о02 в случае винто: вой дислокации (выражения для о0г и о0г даны в гл. 4). Если одна сторона поверхности разреза за- креплена, то.другая смещается на расстояние b в на- правлении ст. Следовательно, энергия деформации равна Г\ | oft dr. Го Если пользоваться (что не вполне строго) функцией напряжения %0, то энергия краевой дислокации равна __1ПП 4л(1—v) r0 • Более строго, с учетом %] и fa, энергия равна gZ>2 6г г' г'“г° 1 I 1П - —X--Z" 4ji(1-v) \ r0 rf + r0 (6.2) Эта же формула дает энергию винтовой дислокации, если только (1—v) заменить на 1. § 2. Действие однородного внешнего касательного напряжения на прямолинейную дислокацию Разберем случай, изображенный на фиг. 22. Нач- нем с недеформированного тела, не содержащего ди- слокаций. Пусть S—внешняя поверхность, А—поверх- ность разреза (который мы еще не произвели). При- ложим к единице площади поверхности S силу Ti(S), которая создает однозначное поле смещений uj. Энер- гия деформации, соответствующая этому полю, равна
60 Глава 6 Далее, не снимая внешней силы T^S), создадим в теле дислокацию путем следующих операций: а) Сделаем разрез вдоль А до линии предполагае- мой дислокации,t но не дадим сторонам разреза пе- ремещаться под действием силы Ti(S), для чего в каждой точке по обе стороны поверхности разреза приложим силу Т1(Я), равную силе, с которой перво- начально на каждую точку одной стороны разреза Фиг. 22. действовала другая сторона. Тогда поле смещений Ui и энергия деформации останутся прежними. б) Приложим к плоскости А еще и силы Т2(Л), создающие поле смещений дислокации и2. Как и рань- ше, собственная энергия дислокации определяется вы- ражением E2 = |f (Т2-и2)<М. А Записывая полную энергию деформации тела, мы должны помнить, что при смещении и2 сила Т совер- шает работу и на S, и на А. Стало быть, полная энер- гия деформации равна Е = Et + Е2 + J (Tj • u2) dS + j (T, • u2) dA (6.3a) S A (заметим, что в перекрестных интегралах нет множи- теля */г) •
Силы, действующие на дислокации 61 Повторим расчет полной энергии, но теперь при образовании дислокации сначала приложим силу Т2 к плоскости Л, а затем подействуем силовым полем Ti на S и А. Мы получим £ = £1 + Е2 +J'(T2-u1)dS+рТг-и,)^. (6.36) ’ S А Интеграл по поверхности S равен нулю, поскольку Т2=0 на S. Интеграл по А также обращается в нуль, поскольку смещение иь будучи однозначным, прини- мает одно и то же значение на обеих сторонах раз- реза, тогда как силы Т2 равны по величине и проти- воположны по знаку на этих сторонах. Следовательно, Е = + £2. (6.4) Это означает, что упругие свойства твердого тела не изменяются из-за наличия в нем стационарной ди- слокации (мы, конечно, пренебрегли незначительным нелинейным вкладом сильно напряженного ядра ди- слокации). Из уравнений (6.3а) и (6.4) заключаем следую- щее: , ' а) работа, совершаемая на поверхности разреза (плоскости скольжения) дислокации, равна работе внешних сил; б) сила, действующая на дислокацию, полностью обусловлена работой внешних сил' при движении ди- слокации. Эта работа дается выражением W = J (T1-u2)dS= — J (Tru2)tM. s д Чаще всего используется интеграл по поверхности А. Пусть х — координата положения дислокационной линии (единичной длины) в плоскости скольжения. Определим силу, действующую на единицу длины ди- слокации, как F ~ дх ~ дА ~ *».
62 Глава 6 Тогда, если касательное напряжение в плоскости скольжения в направлении и2 равно о и |и2|=&, то F = (6.5) Это формула Мотта и Набарро. Мы можем также найти полный сдвиг, создавае- мый в теле при прохождении дислокацией элемента 6Л плоскости скольжения. Предположим, что такое перемещение дислокации приводит к взаимному сме- щению би двух половин кристалла, расположенных по разные стороны плоскости скольжения. Работа внешних сил равна оЛбн, где А — полная площадь плоскости скольжения.' Работа, совершаемая в этой плоскости, равна Гб4 = сг6бЛ. Приравнивая обе вели- чины, получаем би 6Д § 3. Взаимодействие дислокаций Воспользуемся далее тем же методом. Пусть в кристалле имеется одна дислокация. Найдем работу, совершаемую на поверхности разреза при образова- нии второй дислокации. Взаимодействие в этом слу- чае должно зависеть от энергии деформации, сосре- доточенной внутри тела. Энергия взаимодействия рав- на работе, совершаемой в плоскости А силой Ть . вызванной действием дислокации 2, на смещении и2 в этой плоскости, вызванном дислокацией /, т. е. £вз = J(T,-u2)dA (6.7) А Следовательно, в случае параллельных друг другу винтовой и краевой дислокаций Евз = 0, поскольку в этом случае сила Т, нормальна к смещению и2. Рассмотрим две параллельные краевые дислока- ции. Заметим, что и Tj и и2 меняют знак при перехо- де с одной стороны плоскости А на другую, т. е. знак произведения Ti*u2 остается одним и тем же по обе стороны. При конфигурации, изображенной на фиг. 23,
Силы, действующие на дислокации 63 энергия взаимодействия равна j oxybdA.a сила, дей- ствующая на единицу длины дислокации 2 в направ- лении оси х, равна - р „ ___ <^ВЗ _ г Fx~ дх ~ °Х»Ь' Имеется также и компонента Fy, т. е. р &ь2 х (х2 - у2) Гх 2л(1 —v) (х2 + у2)2 ’ р ' У(3х2 + у2) г» 2л (1- v) (х2 + у2)2 • Здесь мы пренебрегли поверхностными и нелинейны- ми эффектами. <• У ____________А__________ (1>У) 1 Фиг. 23. Важное значение имеет тот факт, что сила взаи- модействия в направлении скольжения двух краевых дислокаций одного знака Fx при х<у оказывается силой взаимного притяжения, т. е. она заставляет выстраиваться дислокации одна над другой. Этот уди- вительный результат теории упругого взаимодейст- вия дислокаций экспериментально подтверждается явлением полигонизаций, которая происходит при вы- сокотемпературном отжиге пластически деформиро- ванных кристаллов. Данное явление тесно связано с теорией малоугловых границ (гл. 6, § 5).
64 ' Глава 6 Поскольку поле напряжений винтовой дислокации в упругоизотропном кристалле обладает радиальной симметрией, между двумя параллельными винтовыми дислокациями действует центральная сила. Ее легко рассчитать, образуя вторую винтовую дислокацию пу- тем разреза вдоль радиальной плоскости первой дис- локации. Сила взаимодействия дислокаций (в расче- те на единицу длины) равна F' = - = ёг • <6-9> Она представляет собой силу притяжения в случае дислокаций разных знаков и силу отталкивания в слу- чае дислокаций одного знака. § 4. Эффекты обрезания упругого поля дислокаций Во многих задачах теории дислокаций поле на- пряжений данной дислокации как бы «обрезается» на определенном расстоянии гс из-за наличия других особенностей, например дислокации противоположно- го знака или свободной поверхности, на расстоянии гс от дислокации. Само собой разумеется, что обре- зание обычно неполное, но при г>гс напряжение бы- стро убывает с увеличением расстояния и соответст- вующий вклад в энергию деформации незначителен. Простейшее приближенное решение многих таких за- дач получают в предположении, что при г<гс поле дислокации такое же, как при отсутствии других осо- бенностей, а при г>гс оно равно нулю. Подобная ап- проксимация оказывается весьма полезной для каче- ственных оценок даже в тех случаях, когда, удается получить строгое решение. В § 5г-7 мы воспользуем- ся ею при решении различных задач. Для примера вычислим здесь силу взаимодейст- вия двух параллельных винтовых дислокаций разного знака, расположенных на расстоянии г друг от друга. В этокг. случае гс=г и полная энергия двух дислока- ций приблизительно равна £ = 2(^-1п— \ 4л г0 ) ’
Силы, действующие на дислокации 65 а сила р — _ цб2 т~~ dr ~~ 2лг * Этот результат в точности совпадает с выражением (6.9). § 5. Теория малоугловых границ Выстраивание одинаковых параллельных краевых дислокаций одного знака в вертикальную стенку одна над другой, о котором говорилось в § 3, приводит к Фиг. 24, образованию границ, разделяющих почти неискажен- ные кристаллы с разной ориентацией (фиг. 24). Ве- личина разориентировки 0 между кристаллами зави- сит от расстояния между дислокациями h и величины вектора Бюргерса Ь\ при малых 0 0 = |. (6.10) Правильность этой формулы подтверждена мето- дом определения положения дислокаций по ямкам травления. В отношении поля напряжений стенки ди- слокаций можно считать, что каждая половина кри- сталла имеет зубчатую поверхность и обе половины прижимаются друг к другу по всей границе. Таким 5 А. Коттрел
66 Глава 6 образом, на границу действует нормальная сила, ко- торая меняется периодически с периодом й, причем ее равнодействующая и момент равны нулю. Из тео- рии упругости известно, что ноле напряжений такой силы не распространяется заметно далее расстояния h от поверхности ее приложения. Следовательно, если гс=й, упругая энергия в расчете на одну дислокацию приблизительно равна -£^1п±. 4л(1—v) г0 Дислокации располагаются на расстоянии h друг от друга вдоль границы, так что упругая энергия на еди- ницу площади границы пропорциональна (1/Л) In Л, т. е. —0 In 0., Добавляя член, пропорциональный /г-1, т. е. пропорциональный 0, чтобы учесть энергию ядра дислокации, получаем полную энергию на единицу площади границы <6Л1) Более строгий расчет показывает, что Л=1 + 1п^-. 2лг0 Формула (6.11)—формула Рида и Шокли — хорошо подтверждается и в отношении зависимости от 0, и в отношении абсолютцого значения энергии. § 6. Линейное натяжение дислокации Рассмотрим теперь дислокационную линию зиг- загообразной формы (фиг. 25). Й этом случае смещение любой точки Р в поле зависит не только от координат х и у, но и от коор- динаты г. Следовательно, существуют дополнитель- ные деформации сдвига ди .ди dv . ди ** d z Y дх yz dz дх
Силы, действующие на дислокации 67 Плотность дополнительной энергии деформации, свя- занная с этими деформациями, определяется выра- жением Таким образом, она приблизительно равна плотности энергии деформаций в поле прямолинейной дислока- ции, умноженной на ф2. Дополнительные деформации и eyz должны об- резаться на расстоянии гс~Л от дислокации; стало4 т т Фиг. 26. быть, дополнительная упругая энергия, обусловлен- ная зигзагообразной формой дислокации, равна ДЕ~ф2-^1п —. 4я г0 Дополнительная длина дислокации ДА равна 1/гф2 в расчете на единицу длины, а, следовательно, линейное натяжение Т равно Г==-^ = ^.1п-=ajx& . (6.12) Д1 2л r0 ’ При Л=100 г© величина а~0,5. Это формула Мотта и Набарро. 5*
68 Глава б Теперь мы можем найти равновесный радиус ис- кривленной дислокационной линии (фиг. 26). Внеш- няя сила, действующая на элемент 6/, равна обб/, где о — приложенное напряжение. Сила, направленная в сторону вогнутости дуги, равна 2Т sin (60/2) =Тб//г. Следовательно, <* = £. (6.13) Таким образом, напряжение, необходимое для со- здания источника Франка — Рида длиной Z, т. е. для выгибания дислокационной линии до радиуса //§, равно § 7. Сила изображения, создаваемая свободной поверхностью Предположим, что дислокация параллельна сво- бодной поверхности и лежит на расстоянии г от нее. Тогда напряжения не могут существовать за предел лами этого расстояния, и свободная поверхность при- тягивает дислокацию с силой (вл6> Эффект такой же, как если бы по другую сто- рону от поверхности на расстоянии г была располо- жена дислокация противоположного знака (дислока- ция-изображение) . § 8. Взаимодействие дислокации с точечным дефектом Силу взаимодействия дислокации с инородным растворенным атомом нельзя • вычислить, пользуясь методом «обрезания», поскольку атом создает лишь локальное возмущение поля дислокации. Проще все- го считать атом центром дилатации, занимающим объем 6V, больший объема обычного атома (или вы- зывающим расширение 8V в случае межузельного
Силы, действующие на дислокации 69 атома)/В упруго-изотропной среде на этот атом не действует поле касательных напряжений, а действует только гидростатическое давление Р = 1/з(Охх+сг?/?/-1- + ozz). Таким образом, атом не взаимодействует с иде- альной винтовой дислокацией (хотя возможны раз- личные взаимодействия с реальными винтовыми ди- слокациями). В случае же краевой дислокации такое взаимодействие имеется. Подставляя вместо Р выра- жение для напряжений краевой дислокации, получаем энергию взаимодействия £вз = з" ^&8Го — (6.16) для атома в точке (/?, а) поля положительной краевой дислокации, если радиус атома равен (1 + е)го, а ра- диус атомов в кристалле — г0- Максимальное значе- ние £Вз найдем, полагая т = 1/з, sina=L Получим £вз=8/з£ц63. При 8=0,1 и цй3 = 5 эв это со- ставляет 1,33 эв. Поскольку формулы теории упруго- сти неточны вблизи центра дислокации, результат, вероятно, завышен примерно в 2 раза. Возможно так1 же дополнительное взаимодействие, обусловленное сдвиговыми напряжениями вокруг дислокации, когда инородный атом создает тетрагональные или другие несферические искажения.
ГЛАВА 7 Структура ядра дислокации § 1. Важное значение структуры ядра Изучая упругие поля дислокаций в кристаллах, можно лишь частично понять свойства дислокаций. Чтобы ответить на вопросы: 1) какая сила требуется для движения дислока- ции через совершенную решетку; 2) почему одни кристаллы пластичны, а другие хрупки; . 3) чем определяется выбор плоскости скольжения в данном кристалле, — нужно знать атомную структу- ру ядра дислокации. § 2. Полые дислокации Если дислокация полая (как дислокация Вольтер- ры в упругом континууме), она не может скользить, но может перемещаться только за счет переноса ато- мов с одной стороны полости на другую (путем ис- парения или диффузии). Имеется ли' полость вдоль оси дислокации? На этот вопрос ответил Франк, вычислив приближенно равновесный радиус такой полости, который опреде- ляется балансом двух конкурирующих факторов: 1) поверхностной энергии полости, увеличивающейся с ростом радиуса, и 2) энергии деформации, умень- шающейся с ростом радиуса. Пусть у — поверхност- ная энергия, приходящаяся на единицу площади. Тогда поверхностная энергия, приходящаяся на единицу дли- ны полости радиусом г, равна 2лгу, а энергия дефор- мации, высвобождаемая при образовании полости, равна (ц62/4гс)1п(г/го). Дифференцируя суммарную энергию и приравнивая производную нулю, находим равновесный радиус Ге~ 8я*7 (7.1)
Структура ядра дислокации 71 Если вспомнить, что для большинства материалов у/ц«0,25А, то оказывается, что re > b только при b > 20 А. Более точные расчеты дают для критической длины вектора Бюргерса величину 10 А. Таким обра- зом, в большинстве кристаллов дислокации не явля- ются полыми. Верма наблюдал полые дислокации в кристаллах карборунда (Ь= 15А). В то же время Доуссон и Ванд не обнаружили их в парафине, со- , стоящем из длинных цепочек (Ь = 47 А). Правда, здесь энергия ядра.мала, поскольку молекулы, состоящие из длинных цепочек, могут соединяться во многих других местах, аде их энергия ненамного выше, чем в обычных положениях; таким образом, в ядре мо- жет быть структура «расплава». Можно представить себе и другие типы структуры ядра, при которой энергия поверхности, отделяющей ядро от остального кристалла, меньше энергии сво- бодной поверхности. Например, ядро дислокации мож- но считать цилиндром, состоящим 1) из расплавленного материала; 2) из рекристаллизованного материала, отделен- ного от остального кристалла некогерентной грани- цей; 3) из переориентированного материала, отделен* ного от остального кристалла когерентной гра* ницей. Второй случай, по-видимому, предпочтительнее первого, поскольку не требует учета скрытой тепло- ты плавления. Но поверхностная энергия некогерент- ной кристаллической границы обычно довольно ве- лика (например, в меди — 500 эрг-смг2), и в большин- стве случаев это дает величину ге<1 А, т. е. дислока- ции с такой структурой ядра невозможны. Когерентные же границы, подобные поверхности дефекта упаковки или двойниковой границе, обла- дают значительно меньшей поверхностной энергией, и можно полагать, что дислокации с когерентной границей между центром и окружающим кристаллом существуют. На этом положении основана теория несовершенных дислокаций которую мы изложи^ в гл. 8,
72 Глава 7 § 3. Ширина дислокации Когда атомная структура дислокации когерентна до самого ее центра, важной характеристикой, опре- деляющей подвижность, оказывается ширина дислока- ции ш. Если смотреть на дислокацию как на область перехода от участка плоскости скольжения, на кото- ром скольжение произошло, к участку, на котором скольжение не произошло, то ширина дислокации служит мерой плавности перехода (фиг. 27). Когда переход происходит в интервале, скажем, одного или ч двух атомных расстояний, дислокация узкая\ когда же в интервале нескольких (например, пяти и боль- ше) атомных расстояний, дислокация — широкая. Бо- лее точно мы определим ширину дислокации w в гл. 7, § 4. Чтобы уяснить себе влияние факторов, которыми определяется w, рассмотрим обычную краевую дис- локацию (фиг. 27). Упругая энергия кристалла, кото- рая в данном случае представляет собой энергию сжатия атрмов верхнего ряда и растяжения атомов нижнего ряда,— это фактор, стремящийся увеличить w. Упругая энергия уменьшается, когда упругая дефор- мация распределяется равномерно вдоль рядов; Про- тивоположная 'тенденция связана с энергией несовпа- дения верхнего и нижнего рядов, обусловленной вза- имодействием атомов, находящихся по обе стороны
Структура ядра дислокации 73 плоскости скольжения. Чем меньше смещение атомов выше плоскости скольжения относительно положений атомов ниже этой плоскости, тем меньше энергия не- совпадения в этой плоскости. Вообще говоря, силы, стремящиеся устранить не- совпадение атомных положений в соседних плоско- стях, наиболее слабы между плотно упакованными плоскостями, поскольку расстояние между такими плоскостями больше, чем между любыми другими Смещение атомов по плоскости скольжения Фиг. 28. плоскостями решетки. Поэтому самые широкие дис- локации обычно лежат в плотно упакованных плоско- стях и нет ничего удивительного в том, что скольже- ние происходит преимущественно в таких плоскостях. Как мы увидим, подвижность дислокации возрастает при увеличении ее ширины, и в большинстве кристал- лических плоскостей (т. е. в плоскостях, отличных от плотно упакованных) скольжение оказывается невоз- можным, поскольку ширина дислокаций в них недо- статочна для того, чтобы дислокации обладали за- метной подвижностью при напряжении, соответствую- щем наблюдаемому пределу текучести. Упругая энергия дислокации (в расчете на один атом) пропорциональна упругим постоянным кристал- ла и, следовательно, кривизне кривой энергии меж- атомного взаимодействия в области ее минимумов А и В (фиг. 28). Энергия же несовпадения пропорцио-
74 Глава 7 нальна высоте кривой в области максимума смеще- ния С. Поэтому ширина дислокации в случае кривой 2 больше, чем в случае кривой 1. Следовательно, ши- рокие дислокации должны быть в простых металлах с простой кристаллической структурой, в -которых не- направленный характер металлической связи приво- дит к кривой типа 2, и узкие — в гомеополярных кри- сталлах, таких, как алмаз, направленный характер связи в которых приводит к кривой типа /. Этим и объясняется, почему простые металлы обычно мягкие и вязкие, а многие неметаллические кристаллы твер- дые и хрупкие. § 4. Теория Пайерлса— Набарро Рассмотрим краевую дислокацию с вектором Бюр- герса Ь,0,0, лежащую в направлении [001] в плоско- сти (010) простой кубической решетки. Выберем на- чало координат на дислокации и обозначим через и(х) компоненту смещения верхней стороны плоско- сти скольжения в направлении скольжения, а соот- ветствующее смещение нижней стороны—через й(х). Предположим, что й(х)=—н(х), и пренебрежем вер- тикальными смещениями. Тогда взаимное смещение двух атомов, расположенных один против другого по разные стороны от плоскости скольжения, дается вы- ражением ф(х) = •i- Ъ + 2и (х) при х > 0, — у b + 2и (х) при х < 0. (7.2) Поскольку на бесконечно большом расстоянии от ди- слокации атомы расположены правильно, можно на- писать ф(±оо) = 0, и(±оо)=й=у, (7.3) т. е. функция и(х), по-видимому, должна быть такой, как на фиг. 29. Относительно сил, с которыми верхняя половина упругого тела действует на атомы слоя, непосредст-
Структура ядра дислокации 75 венно прилегающего к плоскости скольжения сверху, заметим, что если рассматривать всю дислокацию как непрерывную полосу бесконечно малых дислокаций в плоскости скольжения, то касательное напряжение оху, действующее на рассматриваемый слой, можно выразить через смещение и(х) следующим образом: / ОО р. Г du (х') dxt °ХУ n(l-v) J dx' х'-х • — ОО В силу симметрии дислокация не создает касатель- ных напряжений в своем центре, так что данный ин- теграл вычисляется в смысле главного значения Коши, т. е. вычисляется Lim 8->0 х-е (7.5) х+е J Теперь нам нужно соотношение между взаимным смещением ф(х) атомов, лежащих по разные стороны плоскости скольжения, и силой их взаимодействия. При малых ф это соотношение должно сводиться к за- кону Гука. 0ху=р,ф/&, а при больших ф сила должна быть периодической функцией ф. Пайерлс пользовался соотношением а*У = - 2^Sln-T= 2^Sln~’ t7-6)
76 Глава 7 которое после подстановки в интегральное уравнение (7.4) приводит к решению “W=--STarctSV’' <7-7> где w = b/(\—v). Поскольку arctgl=jr/4, при x=w/2 величина и(х) = ±b/8, т. е. смещение достигает по- ловины своих предельных значений на бесконечно- сти ±bfb. Мы определяем w— ширину дислокации— как интервал значений х, в котором |и|<Ь/8. Заметим, что дислокация, соответствующая соот- ношению Пайерлса (7.6), очень узкая, порядка 1,5 атомных расстояний, и, следовательно, изложенный выше расчет вряд ли можно считать точным в дан- ном случае. Чтобы получить широкие дислокации, необходимы более общие решения, основанные на иных законах взаимодействия атомов, лежащих по разные стороны плоскости скольжения. Семейство таких решений най- дено Форменом, Джесуоном и Вудом. Они взяли функцию и(х), которая обладала требуемой перио- дичностью, обеспечивала необходимый предельный переход (т. е. при малых деформациях удовлетворя- ла закону Гука с правильным значением ц), а затем восстановили соответствующий закон взаимодействия. § 5. Более общие решения Прежде чем рассматривать такие решения, иссле- дуем подробнее интегральное уравнение (7.4). Это нелинейное уравнение нестандартного вида, обладаю- щее следующими свойствами: 1. Если и = и(х) удовлетворяет уравнению (7.4), то и = и(х+с), где с — произвольная постоянная, так- же является его решением. Это означает, что при приближенном переходе от суммирования сил по всем атомам в плоскости скольжения к интегрированию, куда бы мы не помещали центр дислокации в плоско- сти скольжения, мы всегда получим одно и то же ре- шение, отличающееся только положением начала ко- ординат. Следовательно, при такой аппроксимации
Структура ядра дислокации 77 сила, необходимая для движения дислокации, равна нулю, поскольку поле смещений (а стало быть, и пол- ная энергия) не зависит от положения дислокации в плоскости скольжения. Даже для того, чтобы лишь доказать существование такой силы, нужцо заменить интеграл суммой по всем атомам. 2. Если решение и = и(х) соответствует определен- ному виду силы <5ху(и), то решение м = и(Хх) ,-где X — положительная постоянная, соответствует силе квху(и). Это легко доказать, производя в интегральном урав- нении замену переменных х->Хх, х'-^Кх', Данным свойством решения можно воспользоваться, если мы хотим применить теорию Пайерлса к решетке более общего вида, например с вектором скольжения b и плоскостями скольжения, находящимися на расстоя- нии а друг от друга. При малых напряжениях выпол- няется закон Гука Оху = ЦфМ» и тогда сила Пайерлса примет вид * ц Ь . 2лср а*У “ 2л a Sln b * Соответствующее решение интегрального уравнения есть u=u(bx/a), т. е. то же самое, что и предыдущее решение (7.6), но вместо х стоит Ьх/а. Следователь- но, ширина дислокации в этом случае равна № = -i4v' ' (7.9) 3. Удивительный результат, полученный Форменом и Набарро: при замене суммы интегралом полная энергия несовпадения в плоскости скольжения не за- висит от закона, по которому изменяются силы в пло- скости. Доказательство таково. Пусть V—энергия не- совпадения; приходящаяся на единицу длины пло- скости скольжения при взаимном смещении атомов, расположенных по обе стороны плоскости скольже- ния, на величину ср. Полная энергия несовпадения Ет находится интегрированием по частям: оо оо Em= fVdx = [Vx]::- Jx-gdx. —оо —ео
78 Глава 7 - Первое слагаемое равно нулю, так как при х= = ±оо атомы, расположенные по обе стороны пло- скости скольжения, находятся точно друг против дру- га. Далее, dV _ dV_ d(p _ 9 du_ dx dtp dx dx Подставляя интегральное выражение для вху' во вто- рое слагаемое, получаем Ет------ац Гг -а- ^рр- dx'dx. т л (1 — v) J J х — х dx' dx — со Прибавив к нему эквивалентный интеграл, получен- ный заменой х на %', находим, что 4-оо 2Ет = 1 Г f ^гР- dx dx'- т л(1 — V) j J dx dx — со Учитывая предельные значения и(х), имеем [u(x)]tX= =—6/2 и, следовательно, £-=’етг^г р->»> независимо от вида силового закона ох?/(и). Если учесть атомную структуру, то при изменении поло- жения дислокации в периодическом поле решетки энергия несовпадения должна, очевидно, периодиче- ски изменяться с малой амплитудой, которая зависит от ширины дислокации. Задача нахождения более общих решений уравне- ния (7.4) заключается в нахождении такой функции и(х), которая удовлетворяла бы интегральному урав- нению, давала бы правильный наклон зависимости о(и) в начальной области (закон Гука) и обладала бы требуемой периодичностью. Формен, Джесуон и Вуд показали, что этим условиям удовлетворяет функ- ция “--^[1-<с-‘>тс]аге‘4' <7Л1>
Структура ядра дислокации 79 где £=2(1—v)xlb, а с — подгоночный параметр, ко- торым определяется ширина дислокации. Дислокация Пайерлса получается при с=1, более широким дис- локациям соответствует с>1. Подставляя* (7.11) вин- тегральное уравнение, можно найти соответствующий силовой закон °ХУ~ Л [с2 + ?2 (7.12) графически представленный на фиг. 30. Отсюда сле- дует, что ширина дислокаций w и амплитуда аху (т. е. теоретический предел прочности от решетки) связаны приближенным соотношением lib W ~ -X—тт2-—;------- 2ге (1 - v) ат (7.13) Выводы из изложенной теории сравнивались с рас- положением пузырьков вблизи дислокации в пузырь- ковой пленке, и в случае пузырьков диаметром 1,3 лети получено хорошее совпадение при с=4. Пузырьки та- кого размера по своему взаимодействию напоминают атомы в кристаллах меди.
80 Глава 7 § 6. Расщепление дислокаций Возможны и другие решения уравнения (7.4) вида ы= “ i(arctgJLp'+arctg (7Л4> где р=6/2(1—v), a d—подгоночный параметр' (d=0 соответствует дислокации Пайерлса). У таких реше- ний имеется интересная особенность—потенциальная энергия У(ф) обнаруживает дополнительный мини- мум при ф=6/2 (фиг. 31). Смещения (7.14) представ- ляют собой просто смещения пары дислокаций Пай- ерлса— Набарро, центры которых находятся в точ- ках x—+d и х=—d. Напряжение равно а*у = £ (sin TTJF + sinTT^) > <7Л5> где а+= (x+d)/fi и а’=(х — d)/0. Таким образом, появление «второй гармоники» в законе силы заставляет дислокацию расщепиться на пару «полудислокаций» (т. е. частичных дислокаций) с вектором Бюргерса Ь/2 каждая. Поскольку это па- раллельные дислокации одного знака, между двумя такими дислокациями действует упругая сила взаим- ного отталкивания, равная <716> где г—расстояние между полудислокациями. Рас- стояние г не может возрастать до бесконечности, по-
Структура ядра дислокации 81 скольку область плоскости скольжения между ними обладает энергией несовпадения Vo (на единицу дли- ны). Равновесие достигается при _ (7.17) при наличии . № 8л (1 — v) Vo Положение о расщеплении дислокаций дополнительного минимума у функции потенциаль- ной энергии (фиг. 31 в случае d=0,l) развивается далее в теории частичных дислокаций. § 7. Сила, необходимая для движения дислокации через решетку Мы видели, что в интегральной аппроксимации эта сила равна нулю. Чтобы получить ее значение, от- личное от нуля, нужно суммировать силы по диск- ретным положениям атомов в плоскости скольжения, но из-за трудностей вычисления точной суммы расче- ты пока что в основном показывают лишь, что эта сила отлична от нуля и что она должна быстро убы- вать при увеличении ширины дислокации. Метод вычисления заключается в следующем: а) пользуясь интегральным уравнением (7Л), на- ходим положение атомов в плоскости скольжения; б) зная положение атомов, а также закон силы взаимодействия через плоскость скольжения при про- извольном положении дислокации в этой плоскости, суммируем энергии взаимодействия всех пар атомов, разделенных плоскостью скольжения; в) при скольжении дислокации в плоскости эта сумма периодически осциллирует вокруг значения, даваемого уравнением (7.10); дифференцируя сумму по координате, находим силу, действующую на дис- локацию. Запишем для дислокации Пайерлса [см. (7.7)] , \ Ь . Г 2 (х + аЪ) Л «W = “2^arctgL—w--------J’ где параметр а определяет положение центра дисло- * кации. Тогда сумма по всем парам атомов имеет вид U = ^ S {! +cos[2arctg(2a+n)-|-]]-. - п=— ОО 6 А. К°ттре^
82 Глава 7 Ее можно вычислить приближенно, пользуясь разло- жением в ряд Фурье. В результате получаем силу, действующую на единицу длины дислокации: F = — = ' s^n b da 1 — v Пользуясь соотношением <3=Flb, найдем критическое напряжение для движения дислокации а=А.е-2я/1-\ (7.18) Оно довольно велико (например, 3,6 ♦ 10-4 ц при v = 0,3) по сравнению с критическим касательным на- пряжением для скольжения в мягких кристаллах (~10"5ц). Столь высокое значение обусловлено ма- лой шириной дислокации Пайерлса [w = b/(l—v)] и согласуется с хорошо известным фактом высокой твер- дости таких веществ, как алмаз, в которых предпо- лагаются узкие дислокации. Формен, Джесуон и Вуд, обобщив указанный метод, вычислили критическое напряжение для движения дислокации с использова- нием функции смещения (7.11). Они получили (ф) = а(1)[1+К + ~Кг]е-,г, (7.19) где о(1)—критическое напряжение дислокации Пай- ейрлса, соответствующее выражению (7.18) (т. е. с== = 1), а ^=2л;(c—1)/(1—v). При с=4 дислокация в два раза шире дислокации Пайерлса и величина g(c)~ 10~4о(1), т. е. подвижность дислокации, сильно возрастает. ( Полудислокации значительно более подвижны, чем полные, поскольку их векторы Бюргерса намно- го меньше межплоскостного расстояния. Например, если обобщить понятие дислокации Пайерлса на слу- чай, когда вектор Бюргерса b не равен, межплоскост- ному расстоянию а, выражение (7.18) примет вид а = е-2яа/ь (1-V). (7.20) Таким образом, подвижность дислокации резко воз- растает при увеличении отношения а/Ь.
ГЛАВА 8 Несовершенные дислокации § 1. Векторы Бюргерса Вектор Бюргерса несовершенной дислокации не равен вектору решетки. Следовательно, дислокацион-^ ная линия представляет собой границу дефектной поверхности в кристалле, т. е. такой поверхности, атом- ная конфигурация по обе стороны которой,' хотя и механически устойчива, определенным образом отли- чается от атомной конфигурации в остальном кри- сталле. Простейшие поверхности такого рода — дефекты упаковки. В дефекте упаковки кристалличе- ская структура не является «хорошей» (в том смыс- ле, в каком этот термин был введен в гл. 2, § 3), и по- этому, чтобы контур Бюргерса не проходил через об- ласть «плохого» кристалла, мы определяем вектор Бюргерса посредством контура, который начинается на одной, а заканчивается на другой стороне дефекта и проходит только через хороший кристалл. Может оказаться (см. § 4), что дислокация слу- жит'траницей между двумя разными дефектными по- верхностями (дислокация Р, разделяющая дефекты 1 и 2 на фиг. 32). В таком случае контур Бюргерса 6*
$4 Глава 8 проводится следующим образом. Пусть в одном из дефектов, скажем /, образована (например, в резуль- тате соответствующей обработки кристалла) внутрен- няя область QR, внутри которой кристалл безде- фектный. Само собой разумеется, что эта внутренняя область ограничена несовершенными дислокациями Q и R. Проводим два контура Бюргерса, проходящих через щель QR в дефекте /, один из которых охваты- вает Q, начинаясь и заканчиваясь на дефекте /, а другой охватывает P + Q, начинаясь и заканчиваясь на дефекте 2. Вектор Бюргерса' дислокации Р равен разности векторов разрыва этих контуров. § 2. Характеристические несовершенные дислокации Атомы в дефекте упаковки должны занимать ме- ханически устойчивые положения (см. гл. 2, § 2). Наши знания об устойчивости дефектов упаковки кристаллов очень ограничены, и поэтому в настоящее время теория несовершенных дислокаций может быть применена только к немногим кристаллам. (Дифрак- ция рентгеновских лучей прямо показала наличие де- фектов упаковки в некоторых кристаллах; существо- вание когерентных двойниковых поверхностей служит косвенным доказательством таких дефектов; границы антифазных доменов можно рассматривать как де- фекты упаковки сверхрешетки в упорядоченных спла- вах.) Поскольку силы сцепления в кристаллах недоста- точно изучены, мы можем с полной уверенностью го- ворить об устойчивости дефектов только в двух слу- чаях: а) в упорядоченных многокомпонентных кристал- лах (сплавах со сверхрешеткой), в которых энергия упорядочения мала по сравнению с энергией связи; б) в плотно упакованных, металлических кристал- лах (в этом случае имеется класс таких дефектов, для которых парное взаимодействие ближайших со- седних атомов полностью сохраняется).
Несовершенные дислокации 85 § 3. Дефекты упаковки плотно упакованных ч плоскостей Рассмотрим последовательность плотно упакован- ных слоев идентичных сферических атомов в плоско- стях (111) г. ц. к. кристаллов или базисных плоско- стях г. п. у. кристаллов. Обозначим положения ато- мов в нижнем слое буквой А, и пусть последователь- ность будет такой, что каждый атом следующего слоя лежит симметрично в треугольной впадине над тремя атомами нижнего слоя (фиг. 33). Слой А допускает две возможные системы поло- жений для атомов следующего слоя — В и С; то же самсе относится к каждому следующему слою. Г. ц. к. структура образуется при последовательности АВСАВС..., г. п. у. структура образуется при последо- вательности АВАВАВ..., Возможны также дефектные последовательности, при которых плотная упаковка соседних слоев полностью сохраняется (т. е. отсутствует расположение типа ... АА ...). Простейший пример — _ двойниковая последовательность в г. ц. к. структуре .. .АВСАВСВАСВА... . Здесь, если не считать обрат- ной симметрии в двойнике, последовательность со- седних слоев не меняется. Единственная аномальная область — граница когерентного двойника ВСВ, на
86 Глава в которой нарушается последовательность укладки, если рассматривать не ближайшие, а следующие со- седние слои. Эту границу можно считать либо про- стым дефектом упаковки, либо тонким слоем г. п. у. кристалла между кристаллами двойника и матрицы. При описании дефектов упаковки можно пользо- ваться обозначениями, введенными Франком. Пусть V означает любой из переходов Д->В >С—>Л, а Д— любой из .переходов Тогда . ...VVVV ... 1 = г. ц. к. кристалл, ...ДАДД... J ... 7??ДДД .. . == двойник в г. ц. к. кристалле, . . . \7Д7Д7Д . . . == г. п. у. кристалл. В г. ц. к. решетке дефекты можно образовать несколь- кими способами: а. Путем удаления плотно упакованного слоя, на- пример в результате диффузии вакансий на этот слой, и затем смыкания соседних слоев для заполне- ния пустоты между ними; так, после удаления слоя В последовательность станет .. АВСАСАВС... или ... VVVAVVV .... Это дефект упаковки вычитания. Его можно считать слоем САСА гексагональной струк- туры или двумя перекрывающимися двойниковыми границами САС и АСА. б. Путем введения лишнего слоя, например в ре- зультате диффузии межузельных атомов в промежу- ток меэйду двумя слоями. Если, скажем, вводится слой типа В, т. е. упаковка — вида .. АВСВАВС..., то образуется дефект типа ... VVVAAVVV ... , который называется дефектом упаковки внедрения. Его можно рассматривать как две смежные двойниковые грани- цы ВСВ и ВАВ. в. В результате скольжения в плотно упакованной плоскости, так чтобы все атомы над плоскостью пе- реместились на вектор типа Ve ^[121]. Пусть, напри- мер, нижний слой плоскости скольжения представля- ет собой плоскость типа С и при скольжении первый верхний слой испытывает превращение А->В. Тогда
Несовершенные дислокации 87 каждый верхний слой испытывает превращение V: С->А В->С А->В п ------Плоскость скольжения С В А ' и образуется дефект упаковки вычитания ... VVVAVVV ... о. Аналогично классифицируются дефекты в г. п. у. кристаллах. Заметим, что для того, чтобы энергия дефекта упаковки была низкой, он должен лежать парал- лельно определенной кристаллографической пло- скости, с правильной укладкой относительно соседних к нему слоев. В противном случае он представлял бы собой поверхность с высокой энергией, по обе сто- роны которой сильно нарушается взаимное положе- ние ближайших соседних атомов. § 4. Частичные дислокации в г. ц. к. решетке Рассмотрим единичную_ дислокацию скольжения с вектором Бюргерса 7г а[110] в плоскости (111) г. ц. к. кристалла. Представим себе, что атомы А на фиг. 33 лежат непосредственно под плоскостью скольжения, а атомы, лежащие над этой плоскостью, сместились на расстояние Ь3 в результате прохождения по дан- ной плоскости указанной дислокации. Если предпо- ложить, что переход атомов В~>С-^В описывается векторами bi и Ь2, то на половине их пути имеется до- вольно выгодное с энергетической точки зрения поло- жение С, Учитывая сказанное в гл. 7, § 6, мы можем 9 Именно потому, что дефект^ упаковки вычитания могут легко образовываться в г. ц. к. кристаллах в результате скольже- ния, их в английской литературе называют intrinsic, т. е. внутренне присущими, в противоположность дефектам упаковки внедрения (extrinsic — привнесенным извне)Прим. pedt
88 Глава 8 заключить, что в этом случае дислокация расщепля- ется на две: b3->bi+b2, так что |а[1Г0]^1а[121] + |а[2П]. (8.1) Если взять за единицу длины а/6, то реакцию можно переписать в более простом виде: [330] -> [121] + [2ТГ]. (8.2) Дислокации [121] и [211] — это так называемые ча- стичные дислокации Шокли; между ними в плоско- сти скольжения лежит дефект упаковки. При рас- стоянии г между частичными дислокациями сила их взаимного упругого отталкивания (в расчете на еди- ницу длины) порядка Ц (Ь1 • Ь2) = а2ц 2лг 24лг Она уравновешивается поверхностным натяжением дефекта упаковки. Обозначив удельную поверхност- ную энергию решетки через у, запишем равновесное расстояние между дислокациями Для меди величина г, вероятно, порядка 10а, для алюминия порядка 2а. Расщепленная дислокация, которая представляет собой пару таких частичных дислокаций, может сколь- зить как одно целое в плоскости своего расщепления. На несовершенные дислокации накладываются до- полнительные кинематические условия связи, кото- рых не существует для совершенных дислокаций: при малых напряжениях они могут двигаться только в плоскости своего низкоэнергетического" дефекта упа- ковки (ибо в противном случае образовалась бы по- верхность несовпадения, обладающая высокой энер- гией). Таким образом,^ если вектор Бюргерса несо- вершенной дислокации не лежит в плоскости дефекта упаковки, она не может скользить, т. е. оказывается сидячей, а если лежит, она не может переползать,
Несовершенные дислокации 89 Частичные дислокации, описанные выше, не един- ственные возможные в г. ц. к. решетке. Франк указал на другой тип частичных дислокаций, которые обра- зуются при введении (или удалении) части атомной плоскости в упаковку плоскостей (111). На фиг. 34, а изображена частичная дислокация Франка, образо- ванная путем введения части плоскости (дефект упа- ковки внедрения); на фиг. 34,6 показан противопо- ложный случай — дефект упаковки вычитания, со- зданный путем удаления части плоскости. И в том, и Фиг. 34. в другом случае вектор Бюргерса — типа (а/6)[111]. Поскольку направление [111] перпендикулярно пло- скостям дефектов (111), такие дислокации оказыва- ются сидячими, т. е. они не могут скользить (но мо- гут переползать). Подобные дислокации возникают при образовании скоплений вакансий или межузель- ных атомов в плоскостях (111). В результате более сложных дислокационных реакций могут образовать- ся и другие типы частичных дислокаций. Предполо- жим, что в плоскости (111) скользит дислокация [303], расщепленная на две: [303] —> [211] + [112], и вдоль линии- пересечения [НО] двух плоскостей скольжения она встречает дислокацию [033], которая также расщеплена, [033]->[121]+ [112], и скользит в плоскости (111). Первые частичные ди- слокации обеих пар взаимно притягиваются и объ-
90 Глава 8 единяются в одну в соответствии с уравнением реак- ции [211] + [121] -> [110]. (8.4) Новая частичная дислокация, называемая вершинной дислокацией, обладает некоторыми интересными свой- ствами. У нее очень малый вектор Бюргерса аК2/б, она разделяет два разных дефекта упаковки (дисло- кация Р на фиг. 32) и не может ни скользить, ни пе- реползать. Вместе со_своими спаренными частичными дислокациями х^а [112] и 7б а [112] она образует непо- движную дислокационную линию вдоль линии пере- сечения двух плоскостей скольжения. Тройные дис- локации такого типа, иногда называемые барьерами Ломера—Коттрела, вероятно, играют большую роль в явлении упрочнения в г. ц. к. кристаллах, поскольку они образуются при скольжении в пересекающихся плоскостях, неподвижны и располагаются в важных местах в кристалле — местах пересечения активных плоскостей скольжения. С этим согласуется тот хоро- шо известный факт, что в случае скольжения по пе- ресекающимся плоскостям упрочнение происходит бо- лее интенсивно, чем при скольжении только по парал- лельным. Свойства скользящих частичных дислокаций важ- ны для понимания различных особенностей скольже- ния в кристаллах. 1. Поскольку частичные дислокации характеризу- ются малыми векторами Бюргерса, для нихч сила Пай- ерлса—Набарро особенно мала. 2. Расщепление на частичные дислокации проис- ходит только в плоскостях с низкой энергией. В г. ц. к. металлах — это плоскости (111), т. е. наблюдающиеся фактически плоскости скольжения. В о. ц. к. железе нет плоскостей, в которых могли бы образовы- ваться дефекты с низкой энергией; этому соответст- вует то, что в железе нет и особо предпочтительных плоскостей скольжения. 3. В алюминии расстояние между частичными ди- слокациями мало, и для перехода скольжения рас-
Несовершенные дислокации 91 щепленной винтовой дислокации из одной плоскости скольжения в другую, пересекающуюся с первой, например из плоскости (111) в плоскость (111), тре- буется лишь малая энергия активации. Это согла- суется с тем фактом, что полосы скольжения в. алю- минии очень часто отклоняются из одной такой пло- скости скольжения в другую с тем же самым направ- лением скольжения (поперечное скольжение). В меди же расстояние между частичными дислокациями ве- ликц и поперечное скольжение встречается реже. Точ- но так же можно показать, что в А1 ступеньки на дислокациях образуются легче, чем в Си, так что процессы отжига, в которых важную роль играет переползание дислокаций, в А1 могут происходить несколько легче, чем в Си. Наблюдаемую дислокационную структуру в г. ц. к. кристаллах удобно описывать с помощью тетраэдра Томпсона (фиг. 35). Этот тетраэдр образован плоско- стями (111), его ребра проходят в направлениях [НО]. Вершины обозначены буквами А, В, С и D (точка D лежит позади плоскости АВС), а центры четырех граней — буквами а, р, у и 6. Так, б — центр грани АВС, Векторы Бюргерса единичных дислокаций пред- ставляются отрезками АВ, ВС и т. д., а частичных дислокаций Шокли — отрезками, соединяющими цен- тры граней с вершинами, например, аВ, <хС и др. Рассмотрим некоторые примеры:
92 Глава 8 1. Реакцию (8.1) можно представить, например, как расщепление дислокации с вектором Бюргерса AD в плоскости у на две частичные, т. е. AD->Ay + 4-yZ). 2. Поперечное скольжение расщепленной винтовой дислокации, скажем Ay+yD из плоскости у в пло- скость р, представляется стягиванием части дислока- ционной линии в единичную дислокацию с вектором Бюргерса AD и последующим расщеплением на ча- стичные дислокации Лр и pD в плоскости 0, т. е. Лу + yD -> AD -> Ар + PD. В силу того, что для стягивания частичных дислока- ций необходима дополнительная энергия, поперечное скольжение оказывается таким процессом, который протекает с трудом, требует термической активации и высоких напряжений в кристаллах с широко рас- щепленными дислокациями. 3. Частичная дислокация Франка имеет вектор Бюргерса, перпендикулярный плоскости (111), типа аА или 6D, т. е. соединяющий центр грани с проти- воположной вершиной. В результате реакции такой дислокации с частичной дислокацией Шокли обра- зуется единичная дислокация, причем дефект упа- ковки устраняется: Аа + аВ АВ. В закаленных г. ц. к. металлах, таких, как А1 и его сплавы, нередко наблюдаются петли краевой дисло- кации, образующиеся на плоскостях (111) вследствие конденсации вакансий. Энергия дефекта упаковки ча- сто оказывается слишком большой для того, чтобы могла существовать частичная дислокация Франка, и дефект исчезает в соответствии с только что описан- ной реакцией, а вокруг петли образуется единичная полная дислокация. 4. В закаленном золоте, которое характеризуется низкой энергией дефекта упаковки, скопления вакан- сий образуют тетраэдрические дефекты. Пусть, на* пример, на плоскости 6 сконденсировался треуголь- ный слой вакансий с краями, параллельными ребрам
Несовершенные дислокации 93 АВ, ВС и СА. Тогда три частичные дислокации Фран- ка с векторами Бюргерса д£>, лежащими вдоль этих краев, могут расщепиться следующим образом: Вдоль АВ Вдоль ВС Вдоль С А dD -> ду + уВ, dBj->da + aD, дВ->др + ₽В. Дислокации'с векторами Бюргерса 6a, др и бу—вер- шинные дислокации. Частичная же дислокация Шок- ли уО может скользить в плоскости у. Она скользит от линии АВ к вершине D, создавая дефект упаковки в этой плоскости. Точно так же в плоскостях аир скользят дислокации aD и pD. Дислокации aD и у/) объединяются вдоль линии BD, и образуется вершин- ная дислокация aD — Dy-> ay. Аналогичные реакции происходят вдоль AD и CD. Таким образом, тетраэдрический дефект представля- ет собой тетраэдр с дефектами упаковки на всех гра- нях и с вершинными дислокациями вдоль ребер. Это вершинные дислокации типа ду Ру АВ ’ AD ’ да ya ВС ’ BD ’ ар ар С А ’ СВ ’ где символ frylAB означает, что дислокация с векто- ром Бюргерса бу лежит вдоль АВ. Такой тетраэдри- ческий дефект очень устойчив и выдерживает отжиг, исчезая лишь при высоких температурах. 5. Барьер Ломена — Коттрела образуется при.со- единении, например вдоль линии AD, двух единичных дислокаций:^ одной, скажем, с вектором Бюргерса BD, скользящей в плоскости у, а другой с вектором Бюр- герса DC, скользящей в плоскости р, так что ВР + 2)С->ВС->Ву + уР + ВС,
94 Глава 8 причем частичные дислокации Шокли By и рС сколь- зят в плоскостях у и р. Или же (By + yD) + (Dp + PC) -> By + (\D + Dp) + pC = = By + yp + pC, поскольку BD расщепляется на By+yD, a DC — на Dp-BpC. Барьеры Ломера—Коттрела и гексагональ- ные дислокационные сетки, образующиеся в результа- те других взаимодействий дислокаций, часто наблю- даются в пластически деформированных нержавею- щих сталях и прочих г. ц. к. металлах и сплавах. 6. Длинные ступеньки на дислокациях могут рас- щепляться на различные комплексы дефектов упаков- ки и частичных дислокаций, причем некоторые из них неподвижны при низких температурах. Их структура и свойства были проанализированы Хиршем. В на- стоящее время считают, что расщепленные ступеньки на винтовых дислокациях могут давать большой вклад в упрочнение. В частности, полагают, что вака^нсион- ные ступеньки (см. гл. 2, § 7) неконсервативно дви- жутся под действием напряжений, образуя цепочки вакансий, и что при высоких температурах такие сту- пеньки легче перемещаются за счет термического
Несовершенные дислокации 95 испарения вакансий, в связи с чем кристалл размяг- чается. 7. Наблюдение сеток дислокаций в плоскостях (111) в г. ц. к. кристаллах показало, что в сетках че- редуются узлы двух разных типов: растянутые и сжа- тые (фиг. 36). Каждая из трех единичных дислока- ций, соединенных в такой узел, расщепляется на две частичные дислокации Шокли, вектор Бюргерса каж- дой из которых совпадает с вектором Бюргерса одной из двух других расщепленных дислокаций в узле. По- скольку зигзагообразное скольжение на фиг. 33 долж- но происходить в определенной последовательности, векторы Бюргерса двух частичных дислокаций в рас- щепленной единичной дислокации также обнаружи- вают определенную последовательность. Когда оди- наковые частичные дислокации двух расщепленных единичных дислокаций лежат по одну сторону узла, образуется растянутый.узел; когда же они находятся по разные стороны, образуется сжатый узел. Электронный микроскоп обычно позволяет наблю- дать четко сформированные узлы в кристаллах с низ- кой энергией дефекта упаковки. Измерив радиус кри- визны R растянутого узла, можно вычислить энергию дефекта упаковки:
ОГЛАВЛЕНИЕ От редакции . . . . '................................... 5 Предисловие автора •..................................... 7 Глава 1. Дислокации и скольжение <....................... 9 Глава 2. Геометрические свойства дислокаций............. 19 Глава 3. Геометрия кристаллов, содержащих дислокации 37 Глава 4. Упругое поле дислокации........................ 45 Глава 5. Динамика движущихся дислокаций^................ 53 Глава 6. Силы, действующие на дислокации................ 58 Глава 7. Структура ядра дислокации...................... 70 Глава 8. Несовершенные дислокации....................... 83 А. КОТТРЕЛ Теория дислокаций Редактор Е. С. Куранский Художник Л. Г. Ларский Художественный редактор П. Ф. Некундэ Технический редактор А. Г. Резоухова Корректор А. Ф. Рыбальченко Сдано в производство 17/IX 1968 г. Подписано к печати 26/11 1969 г. Бумага № 3 84Х 1081/32== 1,5 бум. л. Печ. усл. л. 5,04 Уч.-изд. л. 3,9 Изд. № 2/4038. Цена 27 коп. Зак. 1440. (Темплан 1968 г. изд-ва «Мир», пор. № 55) ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» ~ Москва, 1-й Рижский пер., 2 Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР Измайловский проспект, 29