/
Author: Качанов Л.М.
Tags: свойства и структура молекулярных систем физика механика деформируемых тел деформация
Year: 1969
Text
Л. М. КАЧАНОВ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
ПЛАСТИЧНОСТИ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для университетов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1969
к зо
75.8)
Лазарь Маркович Качанов
Основы теории пластичности
М., 1969 г., 420 стр. с илл.
Редактор В, Л. Добровольский
Техи. редактор К. Ф- Брудно Корректор Т. А. Панькова
Сдаио в набор 16/Х 1968 г. Подписано к печати 16/Ш 1969 г. Бумага 60x90/16.
Физ. печ. л. 26,25. Услови. печ. л. 26,25. Уч.-изд. л. 23,79. Тираж 24000 экз. Т-04818.
Цена книги 1 р. 03 к. Заказ Ш 2122
Издательство «Наука».
Главная редакция физико-математической литературы
Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова
Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР.
Москва Ж-54, Валовая, 28
2-4-2
30-68
Отпечатано во 2-й типографии изд-ва «Наука». Шубииский пер., 10
ОГЛАВЛЕНИЕ
Основные обозначения 6
Предисловие ко второму изданию 7
Введение 9
Глава I. Основные положения механики сплошных тел 12
§ 1. Напряженное состояние ; 12
§ 2. Деформация 22
§ 3. Скорость деформации 26
§ 4. Дифференциальные уравнения движения. Граничные и началь-
начальные условия 30
§ 5. О механических уравнениях состояния тела 31
Задачи к главе I 33
Глава II. Уравнения пластического состояния 34
§ 6. О механических свойствах твердых тел 34
§ 7. Об экспериментальном изучении пластических деформаций при
сложном напряженном состоянии. Простое и сложное нагру-
жение 38
§ 8. Об условиях текучести. Поверхность и кривая текучести . . 40
§ 9. Условие постоянства максимального касательного напряжения
(условие Треска—Сен-Венана) 42
§ 10. Условие постоянства интенсивности касательных напряжений
(условие Мизеса) 43
§ 11. Об условиях упрочнения. Поверхность нагружения 44
§ 12. Условия изотропного упрочнения 46
§ 13. Теория пластического течения 49
§ 14. Деформационная теория пластичности 54
§ 15. Связь между теорией течения и деформационной теорией . . 61
§ 16. Обобщения в случае идеальной пластичности. Ассоциирован-
Ассоциированный закон течения 69
§ 17. Обобщения. Случай упрочняющейся среды 75
§ 18. Постулат Друкера. Выпуклость поверхности нагружения.
Обоснование ассоциированного закона течения 83
§ 19. Об уравнениях термопластичности 87
Задачи к главе II 90
Глава III. Уравнения упруго-пластического равновесия. Простейшие
задачи 91
§ 20. Система уравнений пластического равновесия 91
§ 21. Условия непрерывности на границе упругой и пластической
областей 93
§ 22. Остаточные деформации и напряжения 95
§ 23. Жестко-пластическое тело 97
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 24. Упруго-пластический изгиб балок 99
§ 25. Полый шар под действием давления 103
§ 26. Цилиндрическая труба под действием давления 110
Задачи к главе III 114
Глава IV. Кручение '. 115
§ 27. Кручение призматических стержней. Основные уравнения . . 115
§ 28. Пластическое кручение 118
§ 29. Упруго-пластическое кручение 122
§ 30. Кручение упрочняющихся стержней 127
Задачи к главе IV 130
Глава V. Плоская деформация 132
§ 31. Основные уравнения 132
§ 32. Линии скольжения, их свойства 136
§ 33. Линеаризация. Простые напряженные состояния 144
§ 34. Осесимметричное поле 149
§ 35. Граничные условия для напряжений 151
§ 36. Основные краевые задачи 152
§ 37. Численные методы решения 156
§ 38. Определение поля скоростей 160
§ 39. Линии разрыва напряжений и скоростей 164
§ 40. Неединственность поля скоростей. Критерий выбора. Полное
решение . , 168
§ 41. Растяжение полосы, ослабленной вырезами 173
§ 42. Изгиб полосы, ослабленной вырезами 177
§ 43. Изгиб короткой консоли силой 184
§ 44. Срез прямоугольного перешейка 189
§ 45. Вдавливание плоского штампа 192
§ 46. Клин под действием одностороннего давления 194
§ 47. Сжатие слоя между жесткими плитами 197
§ 48. Упруго-пластическая задача о растяжении плоскости с круго-
круговым отверстием 206
§ 49. Установившееся пластическое течение. Волочение полосы . . 211
§ 50. Неустановившееся пластическое течение с геометрическим по-
подобием. Внедрение клина 216
§ 51. О построении согласованных полей напряжений и скоростей 222
Задачи к главе V 225
Глава VI. Плоское напряженное состояние 226
§ 52. Уравнения плоского напряженного состояния 226
§ 53. Построение решений при условии текучести Мизеса. Разрыв-
Разрывные решения 231
§ 54. Построение решений при условии текучести Треска — Сен-
Венана. Разрывные решения 244
§ 55. Упруго-пластическое равновесие пластины с круговым выре-
вырезом под действием равномерного давления 249
§ 56. Растяжение полосы, ослабленной вырезами 252
§ 57. Изгиб полосы с односторонним вырезом 255
Задачи к главе VI 257
Глава VII. Осесимметричная деформация 258
§ 58. Уравнения осесимметричной деформации при условии текуче-
текучести Мизеса 258
§ 59. Уравнения осесимметричной деформации при условии текуче-
текучести Треска — Сен-Венана 261
ОГЛАВЛЕНИЕ О
§ 60. Напряженное состояние тонкой пластичной прослойки при
растяжении (сжатии) 268
§ 61. Напряженное состояние в шейке растягиваемого образца . . 274
§ 62. Пластический изгиб круглых пластин 276
Задачи к главе VII 283
Глава VIII. Экстремальные принципы и энергетические методы ре-
решения 284
§ 63. Об экстремальных принципах 284
§ 64. Экстремальные принципы для жестко-пластического тела . . 285
§ 65. Теоремы о коэффициенте предельной нагрузки 295
§ 66. Примеры нахождения предельной нагрузки энергетическим ме-
методом 300
§ 67. Минимальные принципы в деформационной теории пластич-
пластичности 312
§ 68. Метод Ритца. Пример — упруго-пластическое кручение . . . 323
§ 69. Экстремальные принципы в теории пластического течения . . 329
Задачи к главе VIII 331
Глава IX. Теория приспособляемости 333
§ 70. О поведении упруго-пластических тел при переменных нагруз-
нагрузках 333
§ 71. Теоремы приспособляемости упруго-пластических тел .... 336
§ 72. Приближенный способ решения. Пример 343
Задачи к главе IX 346
Глава X. Устойчивость упруго-пластического равновесия 347
§ 73. О критериях устойчивости 347
§ 74. Устойчивость сжатого стержня. Приведенно-модульная и каса-
тельно-модульная нагрузки 350
§ 75. Устойчивость полосы, изгибаемой парами 358
§ 76. Устойчивость сжатых пластин 361
Задачи к главе X 367
Глава XI. Динамические задачи 368
§ 77. Распространение упруго-пластических волн в стержне . . . 368
§ 78. О схеме жестко-пластического тела в динамических задачах.
Некоторые энергетические теоремы 379
§ 79. Продольный удар жестко-пластического стержня о неподвиж-
неподвижную преграду 383
§ 80. Изгиб жестко-пластической балки под действием импульсив-
импульсивной нагрузки 385
Задачи к главе XI 392
Глава XII. Сложные среды. Вязко-пластичиость 393
§ 81. О сложных средах 393
§ 82. Вязко-пластическая среда . . 398
§ 83. Ползуче-пластическая среда 401
Задачи к главе XII 403
Добавление 405
Литература 409
Предметный указатель 417
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
ах, ау, az, txy, xyz, xxz; atj- — компоненты тензора на-
напряжения.
sx> sy sz> хху, xyz> xxz> si/ —компоненты девиатора
напряжения.
1 1 1
ех, ву, ez, -^Уху, -jVyzi Y^xz' e'J —компоненты тензора де-
деформации.
1 1 1
ех< еу> ez> Y^xy Т^г' Y^xz' еЧ —компоненты Девиатора
деформации.
Ъх> 1У, Ъг> \ч\ху> ^;4yz> -2^xz> I// —компоненты тензора
скорости деформации.
их, и , uz, ti[ — компоненты перемещения.
vx, vy, vz\ roi — компоненты скорости.
б,-.—символ Кронекера.
Т, Г, Н, — интенсивности соответственно касательных напряжений,
деформаций сдвига, скоростей деформаций сдвига.
as, xs —пределы текучести соответственно при растяжении и
чистом сдвиге.
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Эта книга написана на основе лекций по теории пластичности,
читаемых автором на математико-механическом факультете Ленинград-
Ленинградского университета.
Автор не стремился к полному охвату всех вопросов теории плас-
пластичности. В книге рассматриваются главным образом пластические
деформации металлов при нормальной температуре применительно к
вопросам прочности машин и сооружений. Основное внимание уделено
простому изложению исходных уравнений теории пластичности и наи-
наиболее разработанных методов их решения, а также задачам, выяв-
выявляющим особенности пластического состояния и разнообразие решае-
решаемых механических нопросов.
Во втором издании книга выходит в дополненном и существенно
переработанном виде. В книге отражены достижения теории за по-
последние годы и наиболее важные тенденции в ее развитии. Так, боль-
большее внимание уделено поверхностям текучести и ассоциированному
закону течения, расширены главы, посвященные плоскому напряжен-
напряженному состоянию и осесимметричной задаче. Заново по существу на-
написан раздел экстремальных принципов и энергетических методов
решения. Включена новая глава по теории приспособляемости, при-
приобретающей большое значение в связи с ролью переменных нагрузок
в возникновении разрушений. В последнем десятилетии достигнут
заметный прогресс в использовании схемы жестко-пластического
тела в динамических задачах; в гл. XI внесены соответствующие
дополнения.
С целью избежать загромождения курса излишними деталями во
втором издании исключены некоторые задачи, затруднительные для
изложения, и сокращены главы по устойчивости равновесия и слож-
сложным пластическим средам.
Как и прежде, предполагается, что читатель знаком с основами
сопротивления материалов и теории упругости. С целью облегчить
8 ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
изучение книги более трудные места, которые могут быть пропущены
в первом чтении, выделены мелким шрифтом или отмечены звездочкой.
Список литературы не претендует на полноту. Для облегчения
ориентировки в огромной литературе по теории пластичности в
списке выделены книги и обзорные работы, в которых можно найти
дополнительные ссылки.
Автор признателен читателям, сообщившим ему о недочетах пер-
первого издания, и приносит глубокую благодарность А. А. Вакуленко,
А. И. Кузнецову, В. И. Розенблюму и Г. С. Шапиро, сделавшим
ценные замечания по рукописи. А. И. Кузнецов прочитал также и
корректуру; автор выражает ему искреннюю признательность за
ряд важных исправлений.
Л. М. Качанов
ВВЕДЕНИЕ
1. Теория пластичности. Хорошо известно, что твердые тела яв-
являются упругими лишь при малых нагрузках. При воздействии более
или менее значительных сил тела испытывают неупругие, пластические
деформации. Пластические свойства весьма разнообразны и зависят
от рассматриваемых материалов и внешних условий (температура,
длительность процесса и т. д.). Так, пластические деформации
прочных металлов (сталь, различные прочные сплавы и т. п.) в ус-
условиях нормальной температуры практически не зависят от времени;
те же металлы, работающие в условиях высокой температуры (детали
котлов, паровых и газовых турбин), испытывают пластическую
деформацию, нарастающую со временем (ползучесть), т. е., грубо
говоря, текут подобно вязкой жидкости.
Сейчас, говоря о теории пластичности, обычно имеют в виду
теорию пластических деформаций, не зависящих от времени (атер-
мическая пластичность). Именно такие пластические деформации
рассматриваются в настоящей книге; лишь в последней главе обсуж-
обсуждаются эффекты вязкости. Пластическое течение, связанное с вли-
влиянием времени, изучается в теории ползучести, теории вязко-пластич-
ности, реологии.
Теория пластичности ставит своей целью математическое из-
изучение напряжений и смещений в пластически деформируемых (в ука-
указанном смысле) телах.
Теория пластичности является частью механики деформируемых тел
и близко примыкает к теории упругости, изучающей напряжения и де-
деформации в идеально упругих телах; большая часть основных пред-
представлений теории упругости используется и в теории пластичности.
Поставленная проблема решается в теории пластичности методом,
обычным для механики деформируемых сред. Прежде всего на основе
экспериментальных данных (и, если это возможно, некоторых со-
соображений, заимствованных из теоретической физики) необходимо
устанозить основные законы пластической деформации. С помощью
этих законов, имеющих феноменологический характер, составляется
система уравнений теории пластичности. Решение этих уравнений,
позволяющее получить картину пластической деформации тела в
различных случаях,—другая важнейшая задача теории пластичности.
10 ВВЕДЕНИЕ
Остановимся на некоторых характерных чертах теории пластич-
пластичности. Во-первых, в теории пластичности большое.место (в отличие
от теории упругости) занимают вопросы установления законов
пластического деформирования при сложном напряженном состоянии.
Вопросы эти трудны, и следует заметить, что законы, удовлетвори-
удовлетворительно согласующиеся (при известных ограничениях) с эксперименталь-
экспериментальными данными, установлены главным образом для металлов, хотя,
вероятно, они сохраняют значение и для многих других материалов.
Другой особенностью теории пластичности является нелинейность
основных законов, а следовательно, и основных уравнений теории
пластичности. Решение этих уравнений представляет большие
математические трудности; классические методы математической
физики здесь непригодны. В теории пластичности важное значение
приобретает развитие таких путей исследования, которые, используя
специфичность задач теории пластичности, позволяют в той или
иной мере преодолеть эти трудности. В этих условиях весьма
перспективным также является использование новой вычислительной
техники.
Следует, наконец, подчеркнуть большую роль экспериментальных
исследований в развитии теории пластичности.
2. Прикладное значение теории пластичности. Теория пластич-
пластичности имеет важные приложения в технике и физике.
Решение многих вопросов прочности разнообразных машин и со-
сооружений опирается на выводы теории пластичности. Теория пластич-
пластичности открывает перспективы более полного использования ресурсон
прочности тел и приводит к прогрессивному методу расчета деталей
машин и сооружений по их несущей способности. Этот метод отли-
отличается простотой и нередко позволяет также подойти к вопросу
прямого определения наилучшей формы конструкции (теория оптималь-
оптимального проектирования, см. [73]).
Общеизвестно народнохозяйственное значение использования про-
процессов пластического деформирования металлов в горячем и холод-
холодном состояниях (прокатка, волочение, ковка, штамповка, резание
металлов и т. д.); анализ необходимых усилий для осуществления
этих процессов и соответствующего распределения деформаций со-
составляет другую очень важную область применения теории пластич-
пластичности.
Изучение прочностных свойств материалов опирается на выводы
теории пластичности, так как разрушению, как правило, предшествует
пластическая деформация.
Анализ поведения конструкций при ударных, взрывных нагрузках
требует развития динамической теории пластичности.
В последние годы теория пластичности успешно применяется в
исследовании закономерностей горного давления, представляющих
большой интерес для горнорудной промышленности.
ВВЕДЕНИЕ 11
Следует, наконец, упомянуть о намеченных в ряде работ пер-
перспективах использования методов теории пластичности в задачах
геофизики и геологии.
3. Краткая историческая справка. Первые работы по математиче-
математической теории пластичности относятся к семидесятым годам прошлого
столетия и связаны с именами Сен-Венана, рассмотревшего уравнения
плоской деформации [1Бв'1Б7], и М. Леви, составившего, следуя идеям
Сен-Венана, уравнения в трехмерном случае [129]; ему же принадле-
принадлежит способ линеаризации уравнений плоской задачи [130].
В последующие годы развитие теории пластичности протекало
вяло. Некоторое оживление наступило в начале этого столетия, когда
были опубликованы работы Хаара и Кармана ([162], 1909 г.) и Р. Ми-
зеса ([13в], 1913 г.). В первой из них сделана попытка получить
уравнения теории пластичности исходя из некоторого вариационного
принципа. В работе Мизеса четко сформулировано новое условие
текучести1) (условие постоянства интенсивности касательных напря-
напряжений).
Начиная с двадцатых годов теория пластичности интенсивно раз-
развивается, вначале — преимущественно в Германии. В работах Г. Генки
[94'96], jj Прандтля [144], Р. Мизеса [13в] и других авторов были
получены важные результаты как по основным уравнениям теории
пластичности, так и по методам решения плоской задачи. К этому
времени относятся и первые систематические экспериментальные
исследования законов пластической деформации при сложном напряжен-
напряженном состоянии, а также первые успешные приложения теории пла-
пластичности к техническим вопросам. Уже с тридцатых годов теория
пластичности привлекает внимание широкого круга ученых и инжене-
инженеров; развертываются интенсивные теоретические и экспериментальные
исследования во многих странах, в том числе и в СССР. Теория плас-
пластичности наряду с газовой динамикой становится наиболее энергично
развивающимся разделом механики сплошных тел.
г) Заметим, что аналогичное условие высказывалось и ранее, однако не
в столь ясной форме и не в связи с построением математической теории
пластичности.
Глава t
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕХАНИКИ
СПЛОШНЫХ ТЕЛ
В этой главе кратко приводятся основные формулы теории напря-
напряжений и деформаций; при этом выделяются сведения, наиболее важ-
важные для построения теории пластичности.
§ 1. Напряженное состояние
1. Напряженное состояние. В данной- точке сплошной среды
напряженное состояние характеризуется симметричным тензором на-
напряжения
Т„ = т.
ху
"ху
"уг
A.1)
где ах, ау,
a2 — нормальные, a xxy, x 2, xx2 — касательные напряже-
напряжения на площадках, перпендикулярных к координатным осям х, у, z.
Вектор напряжения р на
произвольно ориентирован-
ориентированной площадке с единичной
нормалью п (рис. 1) опре-
определяется формулами Коши:
%г2
+Xyznz>
Pz =
A.2)
где nx, ny, n2 — составляю-
составляющие единичного вектора
нормали », равные направ-
Рис. 1. ляющим косинусам cos (n, х),
cos(n,y), cos (л, z).
Проектируя вектор р на направление нормали, получаем нор-
нормальное напряжение стп, действующее на рассматриваемой площадке
+ 2xxznxnz. A.3):
§ lj НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
Величина касательного напряжения хп равна
13
В каждой точке среды существуют такие три взаимно перпенди-
перпендикулярные площадки, на которых касательные напряжения равны нулю.
Направления нормалей к этим площадкам образуют главные направ- \
ления тензора напряжения и не зависят от исходной системы координат
лг, у, z. Это означает, что любое напряженное состояние в рассмат-
рассматриваемой точке может быть вызвано растяжением окрестности точки
в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Соответствующие
напряжения называются главными нормальными напряжениями; будем
обозначать их через ах, ст2> аз> пРичем ус-
условимся нумеровать главные оси так, что
Тензор напряжения, отнесенный к глав-
главным осям, имеет вид
\3
К
0
0
0
0
0
стз
Рис. 2.
Нетрудно найти по формулам A.2) — A.4), /У
что в сечениях, делящих пополам углы
между главными плоскостями и проходя-
проходящих соответственно через главные оси /, 2, 3 (рис. 2), касатель-
касательные напряжения по абсолютной величине равны
1
ст, —ст„
Касательные напряжения в этих сечениях достигают экстремаль-
экстремальных значений и называются главными касательными напряжениями.
Определим последние формулами:
li = -
A.6)
С изменением ориентации площадки изменяется и величина дей-
действующего на площадке касательного напряжения т„. Наибольшее
значение хп в данной точке называется максимальным касательным
напряжением ттах. Если условие A.5) выполняется, то
Нетрудно определить по формуле A.3), что нормальные напряже-
напряжения на площадках, на которых действуют главные касательные
14 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ТЕЛ [гЛ. t
напряжения A.6), равны соответственно полусуммам
Тензор напряжения можно задать, указав главные напряжения
оъ а2, ст3 и главные направления 1, 2, 3. Такое задание отличается
механической ясностью. Главные напряжения ст,- (/= 1, 2, 3) являются
корнями кубического уравнения
ax — X
V
т — 7
или
= 0
+ fsCr.) = O. ' A.8)
Нормальное напряжение оп на заданной площадке не зависит, оче-
очевидно, от выбора координатной системы и изменяется лишь при по-
повороте площадки. Главные напряжения аъ ст2, ст3 являются экстре-
экстремальными значениями нормального напряжения ап и также не зави-
зависят от выбора координатной системы. Уравнение A.8) может быть
получено как условие экстремума ап. Следовательно, коэффициенты
кубического уравнения A.8) не изменяются при переходе от одной
прямоугольной системы координат к другой, т. е. инвариантны. Эти
коэффициенты
A-9)
записанные, для краткости, в главных осях, называются соответствен-
соответственно линейным, квадратичным и кубическим инвариантами тензора; ими
удобно оперировать, так как они являются целыми рациональными
и притом симметрическими (т. е. не изменяющимися при перестановке
аргументов) функциями компонент напряжения.
Величина
°1
называется средним (или гидростатическим) давлением в точке.
Смысл остальных инвариантов выяснится ниже.
2. Девиатор напряжения. Так как материалы обладают, как
правило, различными механическими свойствами по отношению к сдви-
сдвигу и равномерному всестороннему сжатию, выгодно представить
§ 1]
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
15
тензор напряжения в виде суммы*)
где
or 0 'О
О а О
О О а
давлению в точке, а
T^o^ + D., A.10)
— шаровой тензор, соответствующий среднему
Д.=
"ху
ау-а
A.11)
— тензор, характеризующий касательные напряжения в данной точке
и называемый девиатором напряжения.
Нормальные составляющие последнего (т. е. ах — а, ау— а, аг — а)
будем иногда обозначать через sx, sy, s2. Главные направления де-
виатора напряжения Da и тензора напряжения Та совпадают, а глав-
главные значения st отличаются от ст,- на величину среднего давления
и определяются, очевидно, кубическим уравнением
-K> + f2(Da)k + ra(D.) = 0, A.12)
все корни которого также вещественны.
Инварианты девиатора легко получить из A.9), если заменить
°i> °2> °з соответственно на slt s2, ss:
h (Da) = -g-
A.13)
Очевидно, что девиатор напряжения характеризуется лишь пятью
независимыми величинами.
Неотрицательную величину
A.14)
называют интенсивностью касательных напряжений
J) Tj—так называемый единичный тензор
7\ =
1
0
0
0
1
0
0
0
1
для которого любое направление является главным, а диагональные элементы
в произвольной прямоугольной системе координат х, у, г равны единицам.
2) Иногда рассматривают приведенное напряжение (или интенсивность на-
напряжений), равное 1^3 Т; в случае простого растяжения (сжатия) приведен-
приведенное напряжение равно | ах |.
16 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ТЕЛ [гЛ. I
Интенсивность касательных напряжений обращается в нуль только
в том случае, когда напряженное состояние является состоянием
гидростатического давления.
Для чистого сдвига
оч = Т, а2=0, а3=— т,
где т—напряжение сдвига. Следовательно,
Т=т.
В случае простого растяжевия (сжатия) в направлении оси х
тогда
т==ут' • A15)
Поскольку кубическое уравнение A.12) имеет вещественные кор-
корни, решение его находится в тригонометрическом виде. Используя
известные формулы алгебры, можно выразить главные компоненты
девиатора через инварианты [43> 44]:
s2 = -~ T cos/^oo, +y'),
2 „
5Я = =- Т COS СО,.
Угол соа определяется из уравнения
Нетрудно найти, исходя из A.6), A.16), главные касательные на-
напряжения:
Угол оза, как известно, изменяется в пределах
0<юа<-|. A.19)
Действительно, так как «^ ^ <т2 ^ ст3, то тх ^0, т2 ^ 0, t3 ^ 0,
"?¦
V
дует A.19).
т. е. sinfco,—-)^0, sin ( се +"?¦) ^ 0> sinGoa^0, откуда сле-
V о J \ о I
§ 1] НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ 17
Как уже указывалось, ттах= —т2. Отсюда вследствие A.19)
вытекает неравенство, установленное иным путем А. А. Ильюшиным:
1 ^- т ^- 2
1<^ <^7f О-20)
Таким образом, интенсивность касательных напряжений Т и мак-
макмальное касательн
друг от друга. Так,
Г«1,08тш„ A.21)
с наибольшей погрешностью около 7%.
Интенсивность касательных напряжений Т пропорциональна, как
показал В. В. Новожилов [ш], среднему квадратичному значению
касательных напряжений, вычисленному по поверхности малой сферы,
окружающей рассматриваемую точку тела.
3. Тензорные обозначения. При рассмотрении общих вопросов
теории пластичности использование тензорных обозначений упрощает
изложение и делает его более ясным. Тензорные обозначения находят
все более широкое распространение в современной научной литера-
литературе по теории пластичности. По отмеченным причинам тензорные
обозначения используются ив ряде разделов этой книги.
Декартовы координаты х, у, z будем обозначать через xv x2, хъ
и записывать их как x!t где индекс / принимает значения 1, 2, 3.
Разумеется, вместо / можно взять другую букву (например, /, j =
= 1, 2, 3; обычно используются латинские буквы). Через л,- (или,
скажем, nj) обозначим составляющие единичного вектора нормали
к площадке; очевидно, что п{ равны направляющим косинусам нормали.
Компоненты тензора напряжения можно теперь обозначить через
a(j, /,/=1,2,3. Вследствие закона взаимности касательных напря-/
жений (г1-/. = Оу,-. Соотношения между тензорными обозначениями и
использованными выше «техническими» обозначениями очевидны:
аи==ах> ai2 = xxy и т- д- Условимся, далее, говорить о тензоре
напряжения как о тензоре с,- ..
Формулы Коши A.2) можно теперь представить в форме
з
Pj='?o1Jnh /=1,2,3.
Широкое распространение получило правило суммирования, введен-
введенное А. Эйнштейном. Опустим знак суммы, принимая, что по всякому
дважды повторяющемуся в одночлене латинскому индексу проводится
суммирование по значениям 1, 2, 3. Тогда предыдущие формулы пере-
переписываются в виде
Pj = atJnt. A.22)
18 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ТЕЛ [ГЛ. I
Повторяющийся индекс i называется немым (или индексом сум-
суммирования); он может быть заменен любой другой (обычно латинской)
буквой. В каждом одночлене один и тот же немой индекс не должен
встречаться более двух раз. Индекс j иногда называется свободным.
Легко видеть, что нормальное напряжение оп A.3) равно
ff» = W*y. 0-23)
здесь два немых индекса i, j, и, следовательно, проводится двойное
суммирование; свободных индексов нет.
Среднее давление равно
Символ Кронекера (дельта-символ) определяется соотношениями
6-.=Л ] при i=h
tJ \ О при i=?].
Тензор с такими составляющими в системе координат лг,- называется
единичным тензором (см. 7\).
Девиатор напряжения имеет составляющие
Sij^aij — abij. A.24)
Линейный инвариант девиатора равен нулю, т. е. s/7 = 0. Нетруд-
Нетрудно убедиться в том, что интенсивность касательных напряжений в
новых обозначениях равна
1 V/.
T5'A/J • A-25)
Среднее давление можно также записать в форме
1
4. Геометрическаяинтерпретация. Вернемся теперь к рассмотрению
величин а, Т, юа, через которые вычисляются главные напряжения.
Величинам о, Т, со, можно дать несложную геометрическую интер-
интерпретацию. С этой целью введем пространство главных напряжений
ot, o2, о3. Тогда напряженное состояние в данной точке можно в рас-
рассматриваемом пространстве напряжений представить вектором ОР,
компоненты которого соответственно равны ог, ст2, ст3 (рис. 3).
Плоскость
°1 + °* + °г = 0 A-26)
проходит через начало координат и одинаково наклонена к осям.
Так как сумма квадратов косинусов нормали п с осями равна единице,
напряженное состояние
то cos (л, ст,') =-7= ¦ Следовательно, единичный вектор нормали к рас-
V з
сматриваемой плоскости равен
где 1г, /2, /3 —единичные векторы по осям av ст2, ст3. Прямая линия
проходит через начало координат и перпендикулярна к рассматривае-
рассматриваемой плоскости. Точки этой линии, называемой гидростатической осью,
отвечают гидростатическим напря-
напряженным состояниям.
Представим вектор ОР в форме
Проекция ОР на нормаль про-
пропорциональна среднему давлению
(OP, n) =
Введем теперь вектор
Рис. 3.
изображающий девиатор Ц,. Легко видеть, что OP=
Заметим, что
(Щ я) = 0,
т. е. вектор OQ лежит в плоскости A.26); условимся называть по-
последнюю девиаторной плоскостью.
Длина вектора OQ пропорциональна интенсивности касательных
напряжений
\~6Q\=V2 Т. A.27)
Угол (оп определяет положение вектора OQ на девиаторной плос-
плоскости. Действительно, пусть оси Г, 2', 3' суть проекции осей ог,
ст2, ст3 на плоскость D (рис. 4). Вычислим проекцию вектора OQ на
ось 3'. Так как
cos (ст3> 3')= j/|, cos (ov 3') = cos (ст2) 3')= у= ,
OCHOEHbtfi ПОЛОЖЕНИЙ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ТЕЛ
(ГЛ. 1
ТО
пр.
3 _
= 2 *,- cos О*,-. 3>) = — V*2f
cos coo.
Таким образом, угол между вектором OQ неотрицательной осью 3'
равен ю„. Вектор OQ не может отклониться от отрицательной оси 3'
больше чем на 60°.
Рассмотрим теперь в данной точке среды площадку, одинаково наклонен-
наклоненную к главным осям. Условимся такую площадку называть октаэдрической
3'
Рис. 4.
Рис. 5.
(так как она является гранью правильного октаэдра, рис. 5). Проекции век-
вектора напряжения р (см. рис. 3), действующего иа октаэдрической площадке,
по формулам Коши A.2) соответственно равны L , L , JL . Следо-
Следовательно, нормальное напряжение иа этой площадке
т. е. равно среднему давлению; касательное же напряжение т„ пропорционально Т
т„= I/ —
б. Круги Мора. Наглядное представление о напряжениях в раз-
различных сечгниях, проходящих через данную точку, дает диаграмма
Мора. Пусть в этой точке направления координатных осей совпадают
с главными направлениями; тогда согласно формулам A.3) и A.2) имеем:
a3nl,
п\ + a\nl
причем
¦Tit.
§ И
НАПРЯЖЁННОЕ СОСТОЯНИЕ
21
Из этой системы уравнений находим квадраты направляющих
косинусов:
Тп + @П —02)@П —03)
2
1
(а2—
3
A.28)
Так как а12&о'22>о'3, а левые части этих равенств неотрицательны,
то должно быть:
т. е. напряжения ап, т„ лежат внутри области, ограниченной полу-
полуокружностями и заштрихованной на рис. 6; точкам какой-либо
окружности отвечают площадки, содержащие соответствующую глав-
главную ось. Направляющие косинусы площадки с заданными ап, т„
вычисляются по формулам A.28). При наложении на тело дополни-
дополнительного всестороннего давления
радиусы окружностей, очевидно,
не меняются, и вся фигура лишь
смещается вдоль горизонтальной
оси ап.
Взаимоотношение главных зна-
значений тензора напряжения можно
оценить введенным Лоде и На-
даи коэффициентом
A.29)
i—a3
Рис. 6.
характеризующим положение точ-
точки а2 на диаграмме Мора и теряющим смысл только в случае гидро-
гидростатического давления.
Для одних и тех же величин ца диаграммы Мора подобны. Очевидно,
что при фиксированном ца характер напряженного состояния опре-
определен с точностью до общего множителя и аддитивного гидроста-
гидростатического давления. В этом смысле о [ха можно говорить как о фор-
форме тензора (или девиатора) напряжения, как о характеристике
«вида напряженного состояния». Общий же множитель, характери-
характеризующий «масштаб» построения, пропорционален, как это видно
из A.16), интенсивности Т.
22
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЙ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ТЕЛ
[гл. 1
Параметр \ia изменяется в пределах от —1 до -J- 1; так, для
чистого растяжения (ffj^O, о'2 = о'3 = 0)
для чистого сжатия (о'1 = сг2 = 0, о<0)
для чистого сдвига (а1>0, а2 = 0, о*3 =—о"х)
Параметр (j,a является функцией инвариантов /2 (D,), /3 (DJ и
просто связан с углом со0. В самом деле, из A.29) и A.16) следует:
A.30)
Угол оэ0 иногда называют углом вида напряженного состояния.
Заметим, что для растяжения со„= -^-, для сдвига соа= -^-, для сжа-
сжатия со, = 0.
§ 2. Деформация
1. Тензор деформации. Пусть при деформации среды точки по-
последней получили смещение в, составляющие которого обозначим
через их, иу, иг. Деформация среды характеризуется симметричным
тензором деформации
1 1
1
1
ТУ"
2
1
2
уху
еу
Ууг
2
1
2
У XI
Ууг
Вг
составляющие которого равны
дих , 1
du* du*
dUy
]
х ду \ '
B-1)
'ХУ ду ~ дх ~ [ &х ду * дх ду
Тензор деформации, как и всякий симметричный тензор, приво-
приводится к главным осям:
б! О О
О еа О
О 0 бч
§ 2] ДЕФОРМАЦИЯ 23
причем еъ е2, е3 называются главными удлинениями. Это означает,
что всякая деформация может быть осуществлена простыми растя-
растяжениями в трех взаимно перпендикулярных направлениях (главных
направлениях).
Разности
71 = е2 —е3, Y2 = e3 —е^ 73 = 6! —е2 B.2)
называются главными сдвигами. Наибольший по величине сдвиг в
данной точке будем называть максимальным сдвигом утт.
2. Малая деформация. В случае малой деформации компоненты
е^, еу, . . ., yxz малы по сравнению с единицей; если, кроме того, до-
достаточно малы углы поворота (анализ этого вопроса дан в курсе
теории упругости В. В. Новожилова [27]), то в формулах B.1) можно
. ( дих \2 дих дих
пренебрегать произведениями 1-^-*- ) , -^г5- -^-, ... , следовательно,
дх ' У ду dz \ B 3)
*xy ду ' дх 'yz dz ' ду 'xz dz ' дх
Здесь е^, By, ez представляют собой относительные удлинения соот-
соответственно в направлениях осей х, у, z, а ухУ, ууг, ухг — относительные
сдвиги (у —изменение угла между осями х, у и т. д.); относитель-
относительное изменение объема равно
B.4)
Эти просты* формулы непригодны, если необходимо описать зна-
значительные формоизменения массивных тел; тогда компоненты дефор-
деформации сравнимы по величине с единицей, и нужно исходить из общих
зависимостей B.1). Подчеркнем также, что даже при малых удлине-
удлинениях и сдвигах линейные соотношения B.3) часто оказываются не-
недостаточными в вопросах деформации и устойчивости гибких тел
(стержни, пластины, оболочки) вследствие того, что элементы тела
испытывают значительные перемещения и повороты. В дальнейшем,
говоря о малой деформации, мы будем подразумевать такую дефор-
деформацию, когда формулы B.3) применимы.
Ниже нередко используются тензорные обозначения компонент
деформации
1 /d«i , di
где X; — декартовы координаты, и,-—составляющие вектора переме-
перемещения. Легко видеть, что
е = е,76,7.
24
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ТЕЛ
[ГЛ. I
к (Т.)=— (е
3. Инварианты. Инварианты тензора деформации образуются
так же, как для тензора напряжения, и в главных осях имеют вид:
B.6)
Удобно пользоваться представлением тензора деформации в виде
суммы
T* = Y sTi+Dz, B.7)
1
где -o-eTj — шаровой тензор, соответствующий объемному расшире-
расширению, а девиатор деформации
1 1 1
у Уху
1
у "з Y
1
~2 Ууг ez
1
характеризует изменение формы элемента среды, обусловливаемое
сдвигами. Инварианты девиатора деформации равны
/2.(/).)=I [(в1 - 62J+(вя - 63J+F
2+F3 -
B.8)
3
В теории пластичности важную роль играет квадратичный инвариант
/2 (DE), который можно рассматривать как суммарную характеристику
искажения формы элемента среды. Неотрицательная величина
Г = + 2
B-9)
называется интенсивностью деформаций сдвигаг).
В случае чистого сдвига
Внося эти значения в B.1), находим:
*) Иногда рассматривают приведенную деформацию (или интенсивность
;еформаций), равную -^=Г. В случае простого растяжения (сжатия) стержня
13 несжимаемого материала приведенная деформация равна | ъг |.
§ 2] деформация 25
Численный множитель перед корнем в B.9) выбран так, чтобы
при чистом сдвиге интенсивность Г равнялась величине сдвига у.
Соотношение B.7) может быть записано также в форме
*и = ТвЬч + еЧ' BЛ0)
где е,у— компоненты девиатора деформации. Первое равенство B.8)
в этих обозначениях имеет вид еG = 0, а интенсивность деформаций
сдвига равна
Т = Bеиеиу/\ B.11)
4. Геометрические интерпретации. Геометрические интерпрета-
интерпретации, аналогичные рассмотренным выше интерпретациям тензора на-
напряжения, могут быть развиты для любого симметричного тензора,
в частности, и для тензора деформации.
Подобно предыдущему получим:
B.12)
причем
— cos3coe = — Гз *'. B-13)
Так же, как и ранее,
= Д=Г сое («,.+ *). \
и существует приближенное соотношение
Г«1,О8.уш„. B.14)
Сохраняет смысл и диаграмма Мора; при этом по оси абсцисс над-
надлежит откладывать относительное удлинение е„ по заданному на-
направлению п, а по оси ординат — половину абсолютной велич-ины
сдвига уп в плоскости, перпендикулярной к п.
Подобно параметру ца, вводится параметр
J
связанный с углом вида деформации сое соотношением
B.15)
26
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ТЕЛ
[ГЛ. 1
5. Условия совместности деформаций. Компоненты деформации
должны удовлетворять шести тождественным соотношениям Сен-
Венана:
ду*
¦ дхду ' ••• '
q I/ Cjx I I ' XZ
dy dz dx V йж ' dy
B.16)
Остальные соотношения получаются из выписанных круговой
заменой индексов.
6. Компоненты деформации в цилиндрических и сферических координа-
координатах. В дальнейшем нам понадобятся выражения компонент деформации в
цилиндрических и сферических координатах; приводим их без вывода [30>48].
Цилиндрические координаты г, ф, г. Пусть компоненты вектора смещения
иг, «ф, uz не зависят от q>; тогда относительные удлинения и сдвиги имеют вид:
е,=
dur
W
е -^
дг
ди2
дг
B.17)
Сферические координаты г, ф, %. В интересующем нас случае центральной
симметрии компоненты вектора смещения «^ = ^ = 0, а
диг
B.18)
§ 3. Скорость деформации
1. Тензор скорости деформации. Пусть частицы среды движутся
:о скоростью v, составляющие которой равны
у, z, t), vz =
у, z, t).
В течение бесконечно малого промежутка времени dt среда испы-
-ывает бесконечно малую деформацию, определяемую перемещениями
ixdt, vydt, vzdt. Компоненты этой деформации, вычисленные по B.3),
шеют общий множитель dt, разделив на который, получаем компо-
композиты симметричного тензора скорости деформации
-о-П
о ^л:
IT^
V
§ 3] СКОРОСТЬ ДЕФОРМАЦИИ 27
где
^ = ~дх ' *У~'~ду ' ^z==~dz
= dvx,^vt =dvl "¦ " "" "
*W ~ ду ' дх ' ^Уг ~~ дг
Величины ?ж, ? , ?г определяют скорости относительных удлинений
элементарного объема в направлениях координатных осей; т) т]^г, г\Х2
определяют угловые скорости скашивания первоначально прямых
углов. Скорость относительного объемного расширения равна
? = ?ж + ?j, + ?г = div «>. ' C.2)
4
Кроме скорости чистой деформации, характеризуемой тензором 7"„
элементарный объем испытывает жесткое смещение, определяемое
поступательной скоростью v и вращением с угловой скоростью
Ускорение движущейся частицы сре,цы определяется полной (суб-
(субстанциональной) производной скорости
dvx dvx . dvx dvx _ .„ „.
x dt x дх У ду z dz
Здесь первый член характеризует локальные изменения, остальные —
представляют трансляционную часть, учитывающую изменения вслед-
вследствие переноса частицы в соседнюю точку пространства.
В тензорных обозначениях компоненты скорости деформации равны
где Vi — компоненты вектора скорости.
2. Инварианты тензора скорости деформации. Инварианты тен-
тензора Т и девиатора D можно получить из формул B.6), B.8)
заменойгх, ... , ух2 на ?дг, . .. , цх2. Выпишем лишь выражение интен-
интенсивности скоростей деформации сдвига:
н =• + 2\ГГЩ=
/ "!//?* с. .л | /? Р \ 2 I / Р С \2 I / 2 I 2 I 2\ /OyJ\
Диаграмма Мора и коэффициент ц сохраняют смысл и в приме-
применении к скоростям деформации.
Подобным же путем вводятся величина со. и соответствующие
формулы для главных значений девиатора D{.
28 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ТЕЛ [ГЛ. I
3. Деформация и скорость деформации. Так как скорости суть
полные производные по времени от перемещений
_dll;
то
2 — — (— ^ 4- — — ^ C 5)
Очевидно, что
1 В случае малой деформации существуют простые соотношения
между компонентами деформации и компонентами скорости деформа-
деформации, именно, так как теперь
_д_
то
Ускорения определяются формулами
Трансляционная часть в выражении полной производной отбрасы-
отбрасывается на (том основании, что при малой деформации производные
по координатам от смещения и скоростей обычно можно считать
малыми.
Следует, наконец, отметить, что \{ф-^ъь так как главные оси
тензора деформации и скоростей деформации, вообще говоря, не
совпадают.
4. Приращения компонент деформации. Механические свойства
металлов в условиях сравнительно медленной пластической дефор-
деформации при не слишком высокой температуре практически не зависят,
<ак будет выяснено ниже, от скорости деформирования. В этом случае
тредставляют интерес, по сути дела, не скорости деформации, а бес-
сонечно малые приращения \ijdt (условно обозначаем их через de,-j,
юмня, что эти величины не являются, вообще говоря, дифферен-
шалами компонент деформации), которые определяются согласно
3.5) формулами
C.8)
§ 3] СКОРОСТЬ ДЕФОРМАЦИИ 29
образуют тензор Tdi и имеют простой физический смысл. Соотно-
Соотношения C.8) применимы для описания больших деформаций, которые
можно получить суммированием бесконечно малых изменений C.8).
В формулах C.8) приращения компонент деформации вычисляются
по отношению к текущему (мгновенному) состоянию; система коор-
координат X; предполагается «вмороженной» в данный элементарный объем.
Рассмотрим, например, однородное растяжение цилиндра вдоль
его оси, совпадающей с осью хг; тогда
dl
d
где /—текущая длина цилиндра, dl—бесконечно малое ее изменение.
Суммирование приводит к так называемому натуральному удлинению
I
i
dl , I
7" = 1пГ'
и
где 10 — начальная длина.
Если главные оси при деформации не поворачиваются, интегралы
V de/ имеют простой физический смысл, равняясь соответствующим
натуральным удлинениям In -A-. Очевидно, что при этом справедлив
Чо
простой закон сложения деформаций: сумма последовательных нату-
натуральных удлинений равна суммарному натуральному удлинению.
В общем случае интегралы \ de!;- не вычисляются и не имеют
определенного физического смысла; эти интегралы можно найти, если
известен путь деформации, т. е. известны компоненты dei;- в функции
некоторого параметра (например, нагрузки). Это ограничивает область
применения натуральных удлинений как меры деформации случаем
фиксированных главных направлений.
Инварианты тензора Tds (девиатора Ddi), которые получаются
из соответствующих инвариантов тензора Ть переходом к компонентам
dBjj, будем обозначать через
de, dT, [xrfe, corfe.
Подчеркнем еще раз, что величины rfe;/- не следует рассматривать
как дифференциалы компонент деформации е,у. Это будет верно
только для малой деформации, когда справедливы формулы B.3);
тогда имеет место простая суперпозиция деформаций, и интегралы
\ dztj суть компоненты деформации.
5. Условия совместности скоростей деформации. Компоненты
скорости деформации, как и компоненты деформации (§ 2), не мо-
могут быть заданы произвольно. Они должны удовлетворять шести
30 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ТЕЛ [ГЛ. I
условиям совместности, вполне аналогичным условиям совместности
Сен-Венана B.16):
дф + дх2 дхду ' ' ' ' '
о
дудг дх\ дх ' ду ~>~ дг
6. Случай несжимаемой среды. Для несжимаемой среды g = 0, т. е.
При этом условии компоненты |,-у являются компонентами девиа-
тора скорости деформации и интенсивность скоростей деформаций
сдвига равна
Я= B5^I/». C.11)
§ 4. Дифференциальные уравнения движения.
Граничные и начальные условия
1. Дифференциальные уравнения движения. Обозначим через р
плотность среды, через Fx, Fy, Fz — компоненты массовой силы, через
wx, wy, wz — компоненты ускорения частицы среды. Движение эле-
элемента среды определяется приложенными к нему силами; подсчитав
эти силы, получаем дифференциальные уравнения движения сплошной
среды, впервые установленные Коши:
-<>. \
5д: ' ду ' dz ' ^ v z zl
Подчеркнем, что эти уравнения описывают движение элемента
среды, уподобляемого твердой частице.
В тензорных обозначениях эти уравнения записываются в форме
да if
^ + 9(FWj) = 0. D.2)
В дальнейшем нам понадобятся дифференциальные уравнения равно-
равновесия в цилиндрических и сферических координатах; приводим эти
уравнения без вывода (см. [зь48]). .;
§ 5] О МЕХАНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ СОСТОЯНИЯ ТЕЛА 31
2. Уравнения равновесия в цилиндрических координатах. В цилиндри-
цилиндрических координатах г, ф, z уравнения равновесия имеют вид:
дг ' г 5ф ^ dz
3. Уравнения равновесия в сферических координатах. В сферических
координатах г (радиус), ф (долгота), % (широта) в случае центральной сим-
симметрии уравнение равновесия имеет вид
= 0, D.4)
причем
4. Граничные условия. Кроме приведенных выше уравнений, мы
располагаем еще граничными условиями, которые могут иметь разно-
разнообразный характер.
На границе 5 тела могут быть заданы нагрузки рх, ру, р2. В этом
случае на 5 должны выполняться уравнения A.2), которые будут
условиями равновесия элементарного тетраэдра, примыкающего к гра-
границе, под действием внутренних и внешних сил.
Могут быть заданы смещения (или скорости) точек границы тела.
Наконец, встречаются смешанные граничные условия, когда
на границе частично заданы нагрузки, частично — смещения (или
скорости).
5. Начальные условия. Если процесс деформации является не-
нестационарным и описывается уравнениями, содержащими производные
по времени (или по параметру нагрузки), необходимо задать состоя-
состояние тела в начальный момент времени.
§ 5. О механических уравнениях состояния тела
1. Механические уравнения состояния. Расмотренные выше вели-
величины (силы, напряжения, перенос, вращение, деформация, скорость
деформации и т. п.) необходимы для описания динамического и
кинематического состояний элементарной частицы среды и могут
быть названы механическими переменными. Они связаны, как мы
знаем, только тремя уравнениями движения D.1) Для построения
замкнутой феноменологической теории движения сплошной среды
должна быть также известна связь между динамическим и кинемати-
кинематическим состояниями частицы. Совокупность таких соотношений можно
назвать «механическими уравнениями состояния»; их необходимо
отличать от уравнений движения D.1), являющихся следствием
32 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ ТЕЛ [ГЛ. I
принципа Даламбера и описывающих не существенную для состоя-
состояния вещества механику переноса и вращения частицы среды.
Механические свойства реальных тел весьма сложны. Не следует,
однако, стремиться к формулировке уравнений состояния, описы-
описывающих все детали механического поведения тела при воздействии
нагрузок. Наоборот, целесообразно выбрать простейшую механическую
модель, которая отражала бы лишь самые существенные свойства.
Тогда возможно развить достаточно общую и обозримую математи-
математическую теорию. Такие простые модели составляют основу и для
последующих уточнений. Этим объясняется большое значение,
которое заняли в механике и ее приложениях модели идеально
упругого тела и идеальной жидкости.
2. Упругое тело, идеальная и вязкая жидкости. Механика конти-
континуума издавна изучает движение идеальной и вязкой жидкостей, а
также деформацию идеального упругого тела. Для последнего в каче-
качестве уравнения состояния принимается обобщенный закон Гука:
е = ЗАсг, E.1)
Da = 2GDit E.2)
где k, G—константы материала1).
В приведенной записи закона подчеркнуто различие в сопротивле-
сопротивлениях упругого тела изменению объема и изменению формы (сдвигу).
Постоянные k, G можно считать независимыми.
Для идеальной жидкости имеем характеристическое уравнение
/(а, р) = 0 E.3)
и условие отсутствия внутреннего трения
Для вязкой жидкости, кроме характеристического уравнения E.3),
принимается обобщенный закон Ньютона
D. = 2p'Dv E.4)
где ц'= const — коэффициент трения.
3. Заключительные замечания. Приведенные примеры характери-
характеризуют простейшие механические свойства реальных тел. В частности,
интересующим нас твердым телам здесь приписывается лишь свойство
идеальной упругости. Между тем твердые тела можно считать упру-
упругими лишь в более или менее узких пределах, и нужно рассмотреть
j 2v
х) Коэффициент объемного сжатия k=—=—, где Е—модуль Юнга,
?
v — коэффициент Пуассона; модуль сдвига G = .^ . .
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I 33
важный вопрос о пластических деформациях твердых тел. Для этого
прежде всего необходимо установить уравнения пластического состоя-
состояния. В принципе можно поставить вопрос о выводе таких уравнений
на основе теоретических представлений физики твердого тела. Однако
процесс пластической деформации весьма сложен, будучи связан
прежде всего с различными дефектами кристаллической решетки.
Если при этом учесть и сложность структуры современных метал-
металлических сплавов, становится ясной трудность поставленной задачи.
Остается второй путь — установление уравнений пластичности на
основе опытных данных. Именно таким путем были введены рас-
рассмотренные в предыдущем разделе модели упругого тела, идеальной
и вязкой жидкости. Лишь много позднее удалось вывести те же
уравнения, исходя из физических представлений.
Наконец, заметим, что при обосновании уравнений пластического
состояния'большое значение имеет использование термодинамического
анализа, в частности успешно развиваемой в последние годы тер-
термодинамики необратимых процессов [42'57' 69>89].
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I
1. Показать, что главные направления тензора и девиатора совпадают.
2. Показать, что из соотношения
где гр — скаляр, вытекает, что девиаторы De, Dq имеют одинаковые главные
направления, а Цв = Ц„..
3. Показать непосредственным переходом от системы координат х, у, г
к другой прямоугольной системе |, ч\, ?, что среднее давление и интенсив-
интенсивность касательных напряжений инвариантны:
4. Найти радиальное перемещение в случае деформации с центральной
симметрией при условии несжимаемости среды. Вычислить натуральные
деформации.
5. Найти радиальное перемещение в случае малой осесимметричной дефор-
деформации несжимаемой среды; перемещение и2 в направлении оси г считать
равным нулю.
Как изменятся результаты, если uz постоянно?
Л. М. Качанов
Глава II
УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ
§ 6. О механических свойствах твердых тел
1. Изменение плотности и изменение формы твердого тела.
Обычно принято различать твердые и жидкие тела, хотя с точки
зрения физики это деление в известной мере условно. Твердые и
капельно-жидкие тела различаются по действию, оказываемому на
них внешними силами, именно по неодинаковой сопротивляемости
изменению формы. Вода почти не сопротивляется изменению формы,
изменение же формы куска стали требует приложения огромных
усилий. Опыты Бриджмена и других исследователей показали, что
объемное сжатие твердых (не пористых) и жидких тел является
упругой деформацией, причем зависимость относительного измене-
изменения объема от давления очень близка к линейной [6'25]. Таким
образом, изменение плотности тела является упругой деформацией,
определяемой средним давлением. Незначительным изменением плот-
плотности, вызываемым пластической деформацией («разрыхлением»),
можно обычно пренебрегать.
Изменение формы тела вызывается деформациями сдвига. Для
изотропных материалов деформации сдвига мало зависят от давле-
давления при не очень высоких давлениях. По опытам Бриджмена увели-
увеличение модуля сдвига при давлении 105 атм в сравнении с его
значением при нулевом давлении составляет +2,2°/0 для пружин-
пружинной стали, +1,8°/0—для никеля и т. д. Влияние давления может
оказаться существенным в вопросах движения пород на больших
глубинах Земли.
Следует заметить, что для анизотропных материалов деформа-
деформации сдвига зависят, конечно, от давления; давление играет важную
роль и в вопросах предельного равновесия сыпучих сред.
2. Упругая и пластическая деформации. Представление о сопро-
сопротивлении твердого тела изменению формы дают опыты по растяже-
растяжению цилиндрических образцов под действием постепенно увеличи-
увеличивающейся силы Р. В верхней части рис. 7 нанесены диаграммы
растяжения мягкой стали и меди при комнатной температуре.
По вертикальной оси отложено напряжение P/Fo, где Fo — на-
начальная площадь сечения стержня, а цо горизонтальной — относитель-
относительное удлинение А///п. где /0 — начальная длина образца. Точка
§ 6]
О МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
35
А соответствует так называемому пределу пропорциональности и
лежит несколько ниже предела упругости В, после которого уже
появляются остаточные деформации и удлинения быстро увеличи-
увеличиваются; обнаруживается характерная площадка текучести ВС, за
-D.03
В'
¦
Em
f.m*
SO
20
-not о
4
"~ с' в' -
Cofcamus
• в
p
-to
-20
-30
Рааптвнив
DM/ 002 №
Л-Литов
жвлезо
Медб
M
Рис. 7.
которой напряжение вновь начинает возрастать. Участок CD отве-
отвечает состоянию упрочнения материала. Диаграмма сжатия таких
материалов в оВщем подобна р
диаграмме растяжения, хотя
напряжения, отвечающие точ-
точкам А', В', С, D', по вели-
величине обычно несколько боль-
больше напряжений, соответству-
соответствующих точкам А, В, С, D. Пе-
Переход к площадке текучести
иногда начинается с острого
пика. Напряжение, характер-
характерное для площадки ВС, усло-
условимся называть пределом те-
текучести1).
Для некоторых металлов
(например, отожженная медь,
алюминий, высоколегированные стали и др.) кривая растяжения
лишена площадки текучести и иногда практически не имеет прямо-
прямолинейного участка.
Если нагрузку уменьшать, то кривая разгрузки АоС (рис. о)
в общем близка к прямой линии; последняя имеет такой же наклон,
О
Рис. 8.
>) Заметим, что это определение не совпадает с распространенным в технике
понятием условного предела текучести как напряжения, соответствующего
остаточной деформацин 0,2%-
36
УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. II
как и линия упругого участка; величина остаточной деформации
измеряется отрезком ОС.
Опыты с чистым сдвигом (кручение трубы) приводят к кривым
деформации, вполне аналогичным кривым растяжения.
В теории'пластичности кривые деформации обычно схематизируют.
На рис. 9 показана подобная схема зависимости между деформа-
деформацией сдвига- , и касательным напряжением т в опытах с чистым
Рис. 9.
сдвигом. Вначале при x<xs материал подчиняется закону Гука
х = Оу. F.1)
Затем наступает фаза текучести АВ, характеризуемая нарастанием
деформации сдвига при неизменном касательном напряжении
т = const =xs. F.2)
Это состояние продолжается до тех пор, пока у не достигнет вели-
величины ys, которую мы условимся называть предельным сдвигом
текучести. С этого момента материал переходит в фазу упрочне-
упрочнения ВС, где зависимость между т и у можно представить в форме
Функция g(y) иногда называется модулем пластичности; по
опытным данным 0<^(v)<G. При отсутствии площадки текучести
фаза упрочнения ВС непосредственно примыкает к участку линейной
упругости ОА.
3. Упрочнение. Для металлов кривая разгрузки ABC (рис. 8)
в общем близка к прямой линии; если повторно нагрузить образец,
то кривая нагружения CDE будет мало отличаться от линии ABC.
Таким образом, металл вследствие первоначальной вытяжки как бы
приобретает упругие свойства и повышает предел упругости, теряя,
§ 6]
О МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
37
правда, в значительной мере способность к пластической деформации.
Это явление называется упрочнением (наклёпом).
С течением времени наблюдается частичное снятие упрочнения.
Это явление, называемое отдыхом материала, с увеличением темпе-
температуры становится все более заметным. При действии высокой
температуры приобретенное упрочнение исчезает (отжиг материала).
4. Деформационная анизотропия. Упрочнение имеет обычно
направленный характер. Поэтому в результате пластической дефор-
деформации материал приобретает так называемую деформационную ани-
анизотропию. Одним из проявлений деформационной анизотропии
является эффект Баушингера; последний заключается в том, что
предварительная пластическая деформация одного знака ухудшает
О 0,05 D.IO
Рис. 10.
сопротивляемость материала в отношении последующей пластичес-
пластической деформации обратного знака. Так, пластическое растяжение
стержня приводит к заметному снижению предела текучести при
последующем сжатии того же стержня.
5. Влияние скорости деформации. Если испытания происходят
в обычные промежутки времени прн комнатной температуре, то
механические свойства стали и вообще тугоплавких металлов почти
не зависят от скорости деформации. На рис. 10 приведены резуль-
результаты, опытов Зибеля и Помпа при следующих скоростях относитель-
относительного сжатия: А—¦ 1,25 , В—0,2 , С~ 0,025—, О~около
сек. ' ' сек. ' ' сек
нуля. Скорость испытаний, однако, имеет большое значение при
опытах над очень тягучими материалами (свинец, олово и т. п.),
при длительных испытаниях стали, меди и других металлов в усло-
условиях повышенной температуры и, наконец, при высоких скоростях
деформации. Влияние скорости сильно' зависит от температуры;
именно с понижением температуры оно уменьшается, а при доста-
достаточно низких температурах, по-видимому, вовсе исчезает. Само
38
УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. II
влияние скорости выражается в росте сопротивления деформации
с увеличением скорости деформации.
Эти данные свидетельствуют о том, что в «обычных» условиях
пластическая деформация «жестких» металлов практически не свя-
связана с тепловым движением атомов (атермическая пластичность).
6. Ползучесть. При достаточно высоких температурах наблю-
наблюдается растущая со временем пластическая деформация при самых
незначительных напряжениях. Это явление называется ползучестью
(крипом) и выражается в одних случаях в нарастании деформаций
с течением времени при неизменной нагрузке, в других —в непре-
непрерывном спадании напряжений при постоянной деформации (релаксация).
При высоких температурах ползучесть определяет прочность и
долговечность машин. В связи с этим следует отметить быстрое
развитие теории ползучести.
§ 7. Об экспериментальном изучении пластических деформаций
при сложном напряженном состоянии. Простое и сложное
нагружение
1. Об экспериментах. Изучению условий текучести и упрочне-
упрочнения при сложном напряженном состоянии посвящено много работ,
выполненных преимущественно в последние десятилетия. Большинство
Рис. П.
исследователей ставят опыты над тонкостенными трубами (рис. 11);
путем комбинирования растяжения, скручивания и внутреннего дав-
давления можно вызвать в стенке трубы произвольное плоское (вернее,
«почти плоское») напряженное состояние. Так, при действии осевого
усилия Р и скручивающего момента М имеем напряжения (Р-\-М-
опыты):
где а — средний радиус трубы, h — ее толщина.
§ 7] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИЗУЧЕНИЕ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ 39
При действии осевого усилия Р и внутреннего давления р
-опыты)
Напряжение аг, имеющее порядок р, пренебрежимо мало по сравне-
сравнению с напряжениями в9, аг, так как -г-^>1.
Измеряя деформации трубы (по изменениям диаметра, длины тру-
трубы, угла ее закручивания) и сопоставляя их с известным напряжен-
напряженным состоянием, можно судить о законах пластической деформации.
В последние годы предпринимались попытки нагружать трубку,
помимо внутреннего давления р, также и некоторым внешним давле-
давлением q. При этом удается проследить поведение материала при
трехосном напряженном состоянии. Добавление внешнего давления
существенно усложняет опыты.
Исследованы также растяжение и кручение сплошного цилиндра,
испытывающего давление по боковой поверхности. Подобные опыты
нетрудны, но менее показательны, так как распределение напря-
напряжений в сплошном цилиндре неравномерное и непосредственно не
вычисляется по замеренным нагрузкам.
2. Простое и сложное нагружение. Простое нагружение характе-
характеризуется тем, что компоненты напряжения возрастают в течение
каждого опыта пропорционально одному параметру (для опытов
с тонкостенной трубой очевидно, что тог-
тогда и внешние нагрузки возрастают про- Р,
порционально тому же параметру и).
Следовательно, форма тензора напряже-
напряжения и его главные направления все время
сохраняются.
При сложном нагружении направления
главных осей и взаимоотношения глав-
главных напряжений могут изменяться.
Рассмотрим в качестве примера
Р+.М-опыты. В координатах Р, М
процесс нагружения изображается некото-
некоторой линией ОС (рис. 12). Простое нагружение соответствует некото-
некоторому лучу, например 00 г. Всякий другой путь нагружения отвечает
сложному нагружению.
Опыты с простым нагружением легче реализуются, поскольку устрой-
устройство испытательной машины получается более простым (в этом слу-
случае достаточен один силовой источник, например один гидравли-
гидравлический пресс).
Приведем пример сложного нагружения: тонкостенная труба сна-
сначала скручивается, затем при постоянном моменте М подвергается
40 УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ [ГЛ. II
растяжению; на рис. 12 этот случай представлен ломаной ли-
линией ОАВ. Нагружение такого типа иногда называется ступенчатым.
Замечание. Как было установлено выше, влияние гидростатичес-
гидростатического давления на процесс пластической деформации незначительно.
В связи с этим критерий простого нагружения может быть сфор-
сформулирован в несколько ослабленной форме: при простом нагруже-
нии компоненты девиатора напряжения изменяются пропорционально
возрастающему параметру t
где sij — постоянный девиатор.
Тогда главные оси девиатора напряжения и коэффициент Лоде и
Надаи fi0 (форма тензора напряжения) не изменяются; среднее дав-
давление а может изменяться произвольно.
§ 8. Об условиях текучести.
Поверхность и кривая текучести
Приведенные выше кривые деформации относились к одноосному
напряженному состоянию. Важно знать поведение материала при
сложном напряженном состоянии. В частности, необходимо иметь
суждение о том, какие условия характеризуют переход материала
из упругого состояния в состояние текучести (площадка АВ, рис. 9).
При простом растяжении в состоянии текучести <Зг = const = as, при
чистом сдвиге т = const = xs.
Здесь возникает вопрос о возможной форме условия, характеризую-
характеризующего переход за предел упругости при сложном напряженном состо-
состоянии. Это условие, выполняющееся в состоянии текучести, называет-
называется условием текучести (или пластичности). Для изотропного тела
это условие должно быть симметрической функцией главных напря-
напряжений
f(au а2, а3) = const = К,
где К—константа материала, связанная с пределом текучести. Пос-
, кольку основными симметрическими функциями компонент напряже-
/ иия являются его инварианты, последнее условие может быть пред-
: ставлено также в форме
/К /а(Тв), 1,(Тв)] = К.
Выше отмечалось, что в большинстве задач влияние среднего
давления на процесс формоизменения пренебрежимо мало; тогда
условие текучести получает вид
/[/,(De), /,(D.)]= ff, (8.1)
т. е., по сути дела, зависит только от разностей главных напряже-
§ 8] ОБ УСЛОВИЯХ ТЕКУЧЕСТИ. ПОВЕРХНОСТЬ И КРИВАЯ ТЕКУЧЕСТИ 41
ний. Заметим, что условие текучести часто записывается более кратко
в форме
в которой подразумевается наличие параметра — «предела теку-
текучести» К.
Если мы воспользуемся развитой выше геометрической интерпре-"
тацией напряженного состояния, то уравнение (8.1) будет уравнени-
уравнением цилиндра, осью которого является прямая аг = а2 = аа, перпенди-
перпендикулярная к девиаторной плоскости, так как среднее давление не
входит в (8.1). Достаточно рас-
рассмотреть след этого цилиндра на
девиаторной плоскости. Это бу-
будет кривая С, симметричная отно-
относительно осей /', 2', 3' и назы-
называемая кривой текучести (рис. 13).
Кривая текучести С обладает
следующими свойствами:
1) Кривая С не проходит
через начало координат О, так
как состояние текучести дости-
достигается при значительных каса-
касательных напряжениях.
2) Считаем, что свойства ма-
материала при сжатии и растяже-
растяжении одинаковы. Тогда кривая С
должна быть симметричной отно- Рис. 13.
сительно прямых, перпендикуляр-
перпендикулярных к осям /', 2', 3', так как при изменении знака напряжений
на обратный также имеет место состояние текучести.
3) Кривая текучести должна быть выпуклой, т. е. должна лежать
по одну сторону касательной (или опорной линии, если кривая С
содержит прямолинейные участки).
Это ограничение вытекает из условия неотрицательности прира-1
щения работы пластической деформации (постулат Друкера, см. § 18).
Так как главные направления в изотропном теле эквивалентны,
а пределы текучести при растяжении и сжатии равны, то кривая те-
текучести должна проходить через шесть точек Аъ Л2, . . . , Лв на
осях /', 2,' 3', равноудаленных от начала координат (рис. 13).
Вследствие сказанного кривая текучести состоит из 12 одинако-
одинаковых дуг. Таким образом, при экспериментальном изучении условий
текучести достаточно проследить поведение материала на одной из
этих дуг.
Некоторые обобщения, касающиеся условий пластичности, рас-
рассматриваются ниже в § 16.
\
А
- X /ha
3'
—-_/
А
Ы
42
УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ
[гл. н
§ 9. Условие постоянства максимального касательного
напряжения (условие Треска — Сен-Венана)
Французский инженер Треска, основываясь на своих опытах по
истечению металлов через отверстия, высказал предположение, что
в состоянии текучести во всех точках среды максимальное касатель-
касательное напряжение имеет одно и то же значение для данного материала,
равное, как это следует из рассмотрения простого растяжения, ~ .
Несколько позднее Сен-Венан дал математическую формулировку
этого условия для плоской деформации.
В пространственном случае имеем:
2 К 1 = 1 аз — Oi
2 I Т3 I = I °1 — °2 К °s,
(9.1)
причем здесь (и в следующем параграфе) могут не соблюдаться усло-
условия ах 5з а2 ^з а3 (иначе всегда 2ттах = а1 — о3).
В упругом состоянии все условия (9.1) выполнены со знаком нера-
неравенства.
В состоянии текучести в одном или в двух из этих условий дол-
должен быть знак равенства. Так как os > 0, то одновременное равенст-
равенство трех главных касательных на-
напряжений постоянной os невозмож-
невозможно (ибо невозможно обращение в
нуль суммы нечетного числа рав-
равных по модулю слагаемых, а
Ti + t2 + t8 = 0).
Из (9.1) вытекает следующее
соотношение между пределом те-
текучести as при растяжении и пре-
пределом текучести xs при чистом
сдвиге (напомним, что в этом слу-
случае а1 = т, (Х2 = 0, а3 =— т, т. е.
(9.2)
Рис. 14.
Условия (9.1) определяют пра-
правильную шестигранную призму
с осью О1 = а2 = а3' перпендикулярной к девиаторной плоскости.
(Легко, например, видеть, что уравнение O2 — O3=±OS представ-
представляет пару плоскостей, параллельных плоскости, содержащей ось а1
§ i6j УСЛОВИЕ МИЗЕЙА 43
и линию сг1 = а2 = о3.) Следом призмы на девиаторной плоскости
является правильный шестиугольник (рис. 14). Невозможность одно-
одновременного выполнения в (9.1) трех знаков равенства геометрически
очевидна.
Упомянутые плоскости отсекают на осях а1, о2, о3 отрезки
длины as; так как cos (а3) 3')= у -^-, то легко видеть, что ра-
i/2
диус круга, описанного вокруг шестиугольника, равен у -o-os.
Отметим еще одно обстоятельство: максимальное касательное
напряжение равно полуразности наибольшего и наименьшего главных
напряжений; промежуточное главное напряжение не влияет на сос-
состояние текучести.
Условие Треска — Сен-Венана в общем удовлетворительно харак-
характеризует состояние текучести материала и согласуется с наблюде-
наблюдениями над линиями Людерса. Более тщательные экспериментальные
исследования обнаруживают незначительные систематические откло-
отклонения поведения ковких металлов в состоянии текучести от усло-
условия Треска — Сен-Венана. В частности, опытные данные свидетельст-
свидетельствуют о некотором влиянии промежуточного главного напряжения
на состояние текучести.
§ 10. Условие постоянства интенсивности
касательных напряжений (условие Мизеса)
Использование условий текучести Треска — Сен-Венана, выражен-
выраженных неравенствами, в трехмерных задачах связано с некоторыми
математическими трудностями. Это обстоятельство привело Мизесах)
к мысли о замене шестигранной призмы описанным круговым ци-
цилиндром:
(ст1-<т2J + (ст2-стзJ + (о,-о1)« = 2а/. A0.1)
Сечение этого цилиндра девиаторной плоскостью есть окружность,
описанная вокруг шестиугольника (рис. 14).
Условие Мизеса может быть записано в форме
Т = -^г A0.2)
В случае чистого сдвига Т—х и из A0.2) получаем:
^ A0.3)
х) Позднее выяснилось, что еще в 1904 г. Губер предложил условие, близ-
близкое к A0.1).
44
УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. II
Мизес считал условие Сен-Венана точным, а уравнение A0.1)
приближенным; однако многочисленные эксперименты показали, что
условие Мизеса выполняется в состоянии текучести для поликрис-
поликристаллических материалов в общем несколько лучше, чем условие
постоянства максимального касательного напряжения. В частности,
соотношение A0.3) находится в лучшем, нежели (9.2), согласии
с опытными данными для ковких металлов. Тем самым условие
Мизеса приобрело самостоятельное значение. В то же время сле-
следует отметить, что в некоторых случаях условие Треска — Сен-Ве-
Сен-Венана лучше согласуется с экспериментальными данными. Поэтому
условия Мизеса и Треска — Сен-Венана можно рассматривать как
равноправные формулировки условия текучести.
Заметим, что левая часть уравнения A0.1) соответствует с точ-
точностью до постоянного множителя энергии упругого изменения формы.
Таким образом, состояние текучести достигается при некоторой по-
постоянной энергии упругого изменения формы.
Ранее (§ 1) отмечалось, что величины Т и ттах близки друг
к другу. Отсюда вытекает, что условия текучести Треска — Сен-Ве-
Сен-Венана и Мизеса различаются незначительно. Это различие можно
еще уменьшить, если взять окружность, лежащую посредине между
описанной и вписанной окружностями (рис. 14), что соответствует
приближенной формуле Tail,08 тшах, рассмотренной в § 1.
§ 11. Об условиях упрочнения.
Поверхность нагружения
1. Нагружение и разгрузка. Пластическая деформация приводит
к упрочнению металла, предел его упругости повышается (в направ-
направлении деформирования). При простом растяжении (рис. 15, а) для
*)
Рис. 15.
достигнутого состояния М предел упругости равен ош; область
значений О — ош может быть названа упругой. Если напряжение
изменяется в указанных пределах, происходит лишь упругая дефор-
деформация. При дальнейшем нагружении за точку М пластическая дефор-
деформация будет продолжаться. Таким образом, напряжение о1М является
§ 11] ОБ УСЛОВИЯХ УПРОЧНЕНИЯ. ПОВЕРХНОСТЬ НАГРУЖЕНИЯ 45
как бы текущим пределом упругости, зависящим от предыдущей
пластической деформации и позволяющим различать нагружение
(сопровождающееся дальнейшей пластической деформацией) и раз-
разгрузку (происходящую чисто упруго).
При сложном напряженном состоянии значительно труднее раз-
разграничить эти понятия; например, одним и тем же значениям интен-
сивностей Т и Г здесь могут отвечать разнообразные напряженные
и деформированные состояния.
В связи с этим возникает такой вопрос. Пусть тело находится
в пластическом состоянии, характеризуемом в рассматриваемый мо-
момент напряжениями а{]-. Сообщим последним бесконечно малые при-
приращения day (догружение). Приведет ли это догружение к допол-
дополнительной пластической деформации?
Сложность физических процессов, происходящих при пластичес-
пластической деформации, и недостаточность экспериментальных данных
не позволяют исчерпывающим образом ответить на этот вопрос.
Однако в довольно широких условиях нагружения можно указать
искомый критерий.
2. Поверхность нагружения. При переходе к сложному напря-
напряженному состоянию вводят в рассмотрение поверхность нагружения 2
(реже называемую поверхностью течения). Эта поверхность в прост-
пространстве напряжений aif отделяет в данном состоянии среды область
упругого деформирования от области пластического деформирования
(рис. 15, б). Начало координат О соответствует нулевым напряже-
напряжениям. Догружение doif приводит либо к упругой деформации (раз-
(разгрузке, если вектор do,y направлен внутрь 2), либо к продолжаю-
продолжающейся пластической деформации (нагружению, если вектор й<3ц
направлен наружу 2). Приращение do^, лежащее в касательной
плоскости к поверхности нагружения (нейтральные изменения1)),
приводит только к упругим деформациям (условие непрерывно-
непрерывности, § 17).
Поверхность нагружения не является фиксированной (как в случае
идеальной пластичности), а как-то расширяется и смещается
по мере развития упрочнения. Форма и положение поверхности
нагружения 2 зависят, вообще говоря, не только от текущего
напряженного состояния, но и от всей предшествующей истории
деформирования. Поверхность нагружения является выпуклой (§ 18).
Ограничимся здесь обсуждением простейшего варианта поверх-
поверхности нагружения. Вопросы построения более общих поверхностей
нагружения, учитывающих развитие деформационной анизотропии,
излагаются в § 17.
*) Приведем пример нейтрального нагружения: стержень, растянутый до
напряжения az, догружается малым кручением. Тогда о> Ф 0, daz=0, т=0,
dx^O и, очевидно, dT~azdaz-\-xdx = Q, см. § 12.
46 УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ [гЛ. II
Пусть поверхность нагружения 2 при пластическом деформи-
деформировании материала испытывает равномерное (изотропное) расширение,
тогда ее уравнение может быть представлено в форме
/ [/, (?>,), /, (D,)]=F(q), A1.1)
где F—возрастающая функция некоторого параметра q, характе-
характеризующего предыдущую пластическую деформацию. Условие теку-
текучести (8.1) вытекает из A1.1) при F (q) = const = К.
3. Разгрузка. При разгрузке деформация элемента среды проис-
происходит благодаря накопленной им упругой потенциальной энергии;
судить о последней можно, разумеется, лишь по опытным данным.
На основании последних можно принять (поскольку наклон вет-
ветви АС, рис. 8, приблизительно равен наклону упругого участка),
что компоненты упругой деформации не зависят от пластического
деформирования. Это позволяет считать, что компоненты полной
деформации 8/;- складываются (при условии ее малости) из упру-
упругих efy и пластических sf,- частей:
A1.2)
Составляющие упругой деформации связаны с компонентами на-
напряжения обобщенным законом Гука; значения упругих констант
можно считать неизменными. При разгрузке происходят лишь изме-
изменения составляющих упругой деформации, т. е.
Компоненты полной деформации при разгрузке определяютсях)
согласно A1.2); при этом компоненты eft не меняются'и равны со-
соответствующим пластическим деформациям, достигнутым к моменту
начала разгрузки; компоненты е/у находятся по уравнениям A1.3),
где о,--—напряжения к концу разгрузки.
§ 12. Условия изотропного упрочнения
1. Простой вариант условия изотропного упрочнения. Более
простая формулировка условия изотропного упрочнения A1.1) содер-
содержит лишь квадратичный инвариант девиатора напряжения. В этом слу-
случае условие A1.1) может быть записано в форме
T=/(q). A2.1)
Поверхность нагружения является круговой цилиндрической по-
поверхностью, ось которой совпадает с гидростатической осью (§ 1).
При пластическом деформировании радиус цилиндрической поверх-
*) Если деформации не малы, соотношение A1.2) следует записывать
в приращениях, см. A3.2).
§ 12]
УСЛОВИЯ ИЗОТРОПНОГО УПРОЧНЕНИЯ
47
ности увеличивается. В зависимости от выбора параметра упрочне-
упрочнения q получают различные условия упрочнения.
Заметим, что так же, как и для условия текучести, можно в усло-
условиях упрочнения переходить к близкой величине —максимальному
касательному напряжению ттах (тогда влияет также F3(Da)).
2. Гипотеза «единой кривой». Если в качестве меры упрочне-
упрочнения взять величину достигнутой интенсивности деформации сдвига Г,
то получим соотношение вида
T=g(T)T, A2.2)
где g (Г) —некоторая положительная функция, характерная
для данного материала. Если в
координатах Т, Г строить кри-
кривую A2.2), то для различных
напряженных состояний получим
одну и ту же («единую») кри-
кривую. Так как ее вид не зависит
от напряженного состояния, то
^(Г) можно определить, напри-
например, из опытов простого растя-
жения или чистого сдвига (§6). О
Уравнение A2.2) формально мож-
можно рассматривать как общее усло-
условие, охватывающее различные фазы
деформации. Так, полагая
получаем условие текучести Мизеса
T=xs; полагая
приходим к случаю упругой среды __
Гука, когда Г = ОГ.
Функция ^(Г) иногда называ-
называется модулем пластичности (см.
§6); для реальных материалов-т-=, ^0, причем знак равенства имеет место
только в состоянии текучести. В состоянии упрочнения кривая^дефор-
мации обращена вогнутостью вниз (рис. 16). Вследствие этого угло-
угловой коэффициент касательной меньше углового коэффициента секу-
секущей, т. е.
Рис. 16.
Таким образом, g' (Г) <0 и g(Г) — убывающая функция Г, при-
причем 0 <§-(Г)^О; существует обратная функция
Y = ~g(T)T, A2.3)
48 УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ [ГЛ. II
причем нетрудно видеть, что
Условие упрочнения A2.2) выполняется с практически достаточ-
достаточной точностью при простом нагружении изотропного материала.
Следует подчеркнуть, что соотношение A2.2) нередко использу-
используется и тогда, когда главные оси напряжения поворачиваются и подо-
подобие напряженного состояния нарушается. Причина заключается в том,
что эксперименты подтверждают условие упрочнения A2.2) и для
нагружении несколько более общих, чем простое.
При возрастании интенсивности деформаций сдвига Г упрочнение
развивается и растет интенсивность касательных напряжений Т.
Следовательно, при нагружении dT>0, при разгрузке d7^0, при-
причем при dT=0 происходят нейтральные изменения.
3. Энергетическое условие упрочнения. За меру упрочнения q
можно взять работу пластической деформации
,уЛ$?/. A2.4)
Условие упрочнения A2.1) принимает тогда вид
Т=/(Ар). A2.5)
Функция / может быть определена, например, по кривой растя-
растяжения; тогда Т^—~, а работа Ар является функцией относитель-
относительного удлинения ех. Условие упрочнения A2.5) может быть записано
также в форме
где Ф (Т) — характерная для данного материала функция, не зави-
зависящая от вида напряженного состояния.
Так как работа _пластической деформации положительна, то
ФG)>0. Для развивающейся пластической деформации работа Ар
возрастает, поверхность нагружения расширяется, т. е. интенсив-
интенсивность Т увеличивается. Следовательно, Ф'(Г) > 0. При нагружении
йАр=.Ф' (T)dT>0 и
dT>0. A2.6)
При dT < 0 тело разгружается по упругому закону. При dT=0
приращение работы пластической деформации обращается в нуль.
Нейтральные изменения dT=0 приводят к упругой деформации.
Энергетическое условие упрочнения является более общим, чем
предыдущее условие A2.2), и подтверждается опытами для несколько
более широкого класса нагружении. Однако нужно помнить, что усло-
условие A2.5) не учитывает развития деформационной анизотропии и
§ 13) ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ 49
может быть использовано лишь для сравнительно несложных путей
нагружения (без резких зигзагов и при отсутствии значительных изме-
изменений в направлении траектории нагружения). Нужно также иметь в виду,1
что значительные перемещения по поверхности нагружения сопровож-'
даются некоторыми пластическими деформациями.
4. Условие Одквиста. За меру упрочнения q можно взять пара-
параметр
$ IV A2.7)
характеризующий накапливаемую пластическую деформацию.
§ 13. Теория пластического течения
1. Общие соотношения. Процесс пластической деформации явля-
является необратимым, ббльшая часть работы деформации переходит
в тепло. Напряжения в конечном состоянии зависят от пути дефор-
деформирования. В связи с этим уравнения, описывающие пластическую
деформацию, в принципе не могут быть конечными соотношениями,
связывающими компоненты напряжения и деформации (аналогично
соотношениям закона Гука), а должны быть дифференциальными (и при-
притом неинтегрируемыми) зависимостями.
Уравнения теориипластического течения устанавливают связь между
бесконечно малыми приращениями деформаций и напряжений, самими
напряжениями и некоторыми параметрами пластического состояния.
Рассмотрим исходные положения этой теории:
1) Тело изотропно.
2) Относительное изменение объема мало и является упругой дефор-
деформацией, пропорциональной среднему давлению:
или , „ ' A3.1)
3) Полные приращения составляющих деформации de^ складыва-
складываются из приращений составляющих упругой деформации dej,- и плас-
пластической деформации def,-
detJ = d*?i + dBFj. A3.2)
Приращения составляющих упругой деформации связаны с при-
приращениями составляющих напряжения законом Гука
d&/l = 1G [da'J— T^V V°) ¦ A3.3)
4) Девиатор напряжения D3 и девиатор приращений пластической
деформации D/8 пропорциональны, т. е,
D$e = dX-D,, A3.4)
50 УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ (ГЛ. !
где dX— некоторый бесконечно малый скалярный множитель. Это по
ложение обобщает результаты опытов по сложному нагружению,
в которых направления главных осей и соотношения главных напря-
напряжений изменялись. Согласно экспериментам приращения составляющих
пластической деформации («скорости пластической деформации»)
пропорциональны напряжениям в данный момент времени. Другими
словами, напряженное состояние определяет мгноаенные приращения
компонент пластической деформации.
Из A3.4) вытекают соотношения (так как de?=0) ,-
difi^dk-sij. ' A3.5)
Вычисляя теперь приращение работы пластической деформации, нахо-
находим:
dAp = Otj-def; = d% • a^j = 2dXT*. A3.6)
Таким образом, множитель dX связан с величиной приращения работы
пластической деформации; так как dAp~^0, то и dX^O. Соглас-
Согласно A3.2) получаем полные приращения компонент деформации:
dBij^defj + db-stj, A3.7)
где приращения компонент упругой деформации следует взять
согласно закону Гука A3.3).
Нетрудно, далее, найти, что приращение работы деформации равно
A3.8)
где dAp дано формулой A3.6), а приращение работы упругой дефор-
деформации равно dAe = dll, где упругий потенциал
Yl = ~2ka2JsGT2- A3-9)
При dX = O уравнения A3.7) переходят в закон Гука, написан-
написанный в дифференциальной форме. В общем случае уравнения A3.7)
не являются полными, так как содержат неизвестный множитель, для
определения которого нужно располагать дополнительным соотно-
соотношением.
2. Состояние текучести, уравнения Прандтля—Рейса. Возь-
Возьмем в качестве дополнительного соотношения условие текучести
Мизеса
T = xs.
Тогда
л=-^г A3Л0)
т. е. множитель dX пропорционален приращению работы пластиче-
пластической деформации; так как последнее определено формулой с,-.
§ 13] ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЙ 51
то однозначная зависимость приращений компонент деформации от
компонент напряжения и их приращений в рассматриваемом состоянии
текучести отсутствует х).
Если условие Мизеса удовлетворяется, то ЙГ=О и происходит
пластическая деформация. Если же dT < 0, то среда выходит из состоя-
состояния текучести и наступает разгрузка, протекающая по закону Гука.
Уравнения A3.7) при условии текучести Мизеса предложены
Рейсом\39] в 1930 г.; для плоской задачи эти уравнения ввел
Прандтль в 1924 г.
3. Теория пластичности Сен-Венаиа — Мизеса. Если в уравне-
уравнениях Прандтля —Рейса пренебречь компонентами упругой деформа-
деформации (что допустимо при развитой пластической деформации), то полу-
получим уравнения теории пластичности Сен-Венана^- Мизеса
обычно записываемые по разделении на dt в виде
ltj = KstJ, A3.11)
где множитель
1 dAp
пропорционален мощности пластической деформации, т. е. характе-
характеризует диссипацию. Исключая в последнем соотношении компоненты
напряжения с помощью A3.11), легко находим:
V Н
Следовательно, уравнения A3.11) можно еще представить так:
ii П 19
Я ~i7' (ld.12)
Уравнения A3.11) для случая плоской деформации при условии
текучести тшах= const были даны Сен-Венаном [15в] в 1871 г.
В общем случае эти уравнения установлены М. Леви [12в] и Мизе-
сом [13в].
Очевидно, что скорости деформаций \ц не определяются одно-
однозначно при задании напряжений; при задании же скоростей дефор-
деформации \ц компоненты девиатора напряжения st-j определяются
однозначно. Легко убедиться в том, что компоненты stj, определяемые
формулами A3.12), тождественно удовлетворяют условию текучести
Мизеса. Заметим также, что в состоянии текучести (т. е. при
х) Это свойство можно рассматривать как определение идеально пласти-
пластического тела; тогда условие текучести будет следствием, см. [60].
52 УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ [ГЛ. II
выполнении условия текучести Мизеса) неопределенность компонент
скорости деформации, связанная с неопределенностью множителя X',
необходима для возможности выполнения условий совместности
деформации.
Уравнения"^ Сен-Венана — Мизеса широко применяются в матема-
математической теории пластичности и различных ее приложениях.
4. Состояние упрочнения. Возьмем в качестве дополнительного
соотношения условие изотропного упрочнения A2.5), по которому
йАр = Ф' (T)dT.
Внося это значение в A3.6) и обозначая
ф'(т) .-FIT)
получаем:
dk = F{T)dT. A3.13)
Таким образом,
йе,^ = def, + F{T)dT- sif. A3.14)
Эти соотношения справедливы при
Если dT=0, то имеем нейтральные изменения напряженного
состояния; тогда приращения компонент деформации должны быть
связаны законом Гука с приращениями компонент напряжения, так как
нейтральные изменения протекают упругим образом (§ 12). Уравне-
Уравнения A3.14) находятся в согласии с этими выводами.
Если d7*<0, то происходит разгрузка, и здесь действует закон
Гука A3.3).
Заметим, что в случае упрочнения полученные соотношения уста-
устанавливают однозначную зависимость приращений компонент дефор-
деформации от напряжений и их приращений.
В состоянии упрочнения нет условия, связывающего компоненты
напряжения (как в случае идеальной пластичности), и множитель dX
является вполне определенным.
Далее, при переходе от нагружения к нейтральным изменениям
и разгрузке приращения компонент деформации изменяются непре-
непрерывно. Это не имеет места для уравнений деформационной теории
пластичности (см. § 14).
5. Заключительные замечания. Уравнения Прандтля — Рейса
A3.7) в случае идеальной пластичности и уравнения A3.14) в случае
§ 13] ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЙ 53
упрочнения связывают компоненты напряжения с бесконечно малыми
приращениями компонент напряжения и деформации, т. е. не явля-
являются конечными соотношениями (в отличие от уравнений деформа-
деформационной теории пластичности, § 14). Соотношения A3.7) и A3.14),
вообще говоря, не интегрируются, т. е., другими словами, не сводятся
к конечным соотношениям между компонентами напряжения и дефор-
деформации. Этот математический факт отражает зависимость результатов
от истории деформирования. Если, например, в пространстве напря-
напряжений мы перейдем из некоторой начальной точки О (рис. 17),
характеризуемой нулевыми напряжениями, в точку Ot ( с напряже-
напряжениями a\f) двумя путями /и //, то компоненты деформации в точке
Ot по уравнениям теории пластического течения
будут различными.
Уравнения A3.7) и A3.14) не содержат време-
времени; однако, разделив их на dt, можно формально
перейти от приращений de^. к скоростям деформа- _
ции \tj. Тогда уравнения будут внешне напоминать '
уравнения течения вязкой жидкости. Эта аналогия
в какой-то мере оправдывает название теории \ Jl
пластического течения. Следует подчеркнуть,
что под переменной t здесь можно понимать вре-
время или монотонно возрастающий параметр на-
нагрузки или, наконец, какую-нибудь другую мо- Рис- 17-
нотонно возрастающую величину (например, ха-
характерный размер пластической зоны). Переход к «скоростям де-
деформации» иногда удобен, так как позволяет применять наглядную
терминологию гидродинамики. Уравнения же теории пластического
течения принципиально отличны от уравнений вязкого течения. В
них в отличие от последних всегда можно отбросить dt и вер-
вернуться к формулам A3.7), A3.14), не содержащим времени.
В дальнейшем, для краткости, мы будем обычно говорить о
теории течения (вместо теории пластического течения). Этот термин,
очевидно, не вполне удачен, но он краток и получил широкое распро-
распространение у нас и за рубежом (flow theory).
В случае упрочнения возможно вычислить деформации при задании
пути нагружения, т. е. при задании o^ = a^(t), где t—некоторый
параметр (например, время); можно также найти в принципе напря-
напряжения, если задан путь деформирования, т. е. е;-/ = е/-(г1).
Уравнения теории пластичности Сен-Венана—Мизеса имеют зна-
значительно более простую структуру и представляют собой конечные
зависимости между компонентами напряжения и скорости деформа-
деформации. Следует подчеркнуть, что и в эти уравнения время входит
несущественным образом и может быть исключено (сокращением
на dt) или заменено каким-нибудь подходящим монотонно изменя-
изменяющимся параметром.
54
уравнения пластического состояния
гл. п
§ 14. Деформационная теория пластичности
1. Общие соотношения. Рассмотрим медленное растяжение
стержня (рис. 18, а). Вдоль участка ОАВ происходит нагружение,
разгрузке соответствует линия ВС. Площадь ОАВС представляет
собой потерянную работу деформации. Большая часть этой работы,
как показывают экспериментальные исследования, переходит в тепло,
но вызывает при отсутствии теплообмена очень незначительное (для
деформации ех = 4% —около 2°С) нагревание испытываемого
О
Рис. 18.
образца. Поэтому при монотонном возрастании внешней нагрузки
безразлично, куда перешла работа деформации — в тепло или в уп-
упругую потенциальную энергию стержня, внд кривой ОАВ останется
неизменным. Наоборот, при разгрузке, "^^когда деформация среды
происходит вследствие накопившейся в ней упругой энергии, проис-
происшедшая диссипация энергии приобретает решающее значение, и
чем она больше, тем сильнее линия разгрузки ВС отклоняется от
линии нагружения ОАВ. Таким образом, уравнение o1=f(e1) ветви
нагружения может представлять как пластическую, так и нелинейно-
упругую деформацию стержня. В связи с этим замечанием можно
попытаться построить уравнения пластической деформации в виде
конечных соотношений между напряжениями и деформациями. Подоб-
Подобные уравнения были бы существенно проще уравнений теории
пластического течения. Следуя этой мысли, рассмотрим уравнения
пластической деформации как некоторое обобщение закона Гука.
Примем следующие исходные положения:
1) Тело изотропно.
2) Относительное изменение объема является упругой деформацией,
пропорциональной среднему давлению:
е = З&ст.
A4.1)
Это допущение, как отмечалось ранее, хорошо подтверждается
опытами.
§ 14] ДЕФОРМАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ 55
3) Девиаторы деформации и напряжения пропорциональны
Dt = ^De. A4.2)
Таким об.разом, элементы девиатора деформации равны соответству
ющим элементам девиатора напряжения, умноженным на скаляр i|j;
последний является некоторой, пока не определенной функцией
инвариантов тензоров напряжения и деформации. Очевидно, что
девиаторы деформации и напряжения коаксиальны (т. е. имеют одни
и те же главные направления), а их главные значения соответственно
пропорциональны, именно:
е1 = Щ (/=1, 2, 3). A4.3)
Отсюда сразу вытекает, что главные сдвиги пропорциональны
главным касательным напряжениям или, другими словами, что диаг-
диаграммы Мора для напряженного и деформированного состояний по-
подобны, т. е.
Полагая я|) = const = -^~ , приходим к закону Гука E.2). Таким
образом, уравнение A4.2) представляет собой естественное и простое
обобщение этого закона.
Полагая, далее, я[) = -^т + (р, представим компоненты деформации
в виде суммы компонент упругой ef/ и пластической деформации
ep,-=ep=(pSG. A44)
Третье положение надлежит трактовать как известную идеали-
идеализацию опытных данных.
Напишем уравнение A4.2) в составляющих
Исключая отсюда с помощью A4.1) объемное расширение, легко
находим соотношения Генки [9в]
e,7 = A:o-6,7+ij;s,7. A4.6)
Соотношения A4.5) нетрудно также разрешить и относительно
напряжений
Вычисляя с помощью A4.5) интенсивность деформаций сдвига, по-
получаем важное соотношение
Г = 2г|;7\ A4.8)
56 УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ [ГЛ. II
Вычислим теперь с помощью A4.6) приращение работы деформации
dA = aijdEiJ = d (U+tyT*) + ТЩ, A4.9)
где через U обозначена упругая энергия объемного сжатия
?/=4&r«=-g-. A4.10)
Исключая из A4.9) функцию i|j, находим:
dA = ade+TdT. A4.11)
Здесь первое слагаемое есть приращение упругой энергии объемного
сжатия, второе — приращение работы деформации формы.
Полученные выше уравнения не являются полными, так как со-
содержат неизвестную функцию я|з; для определения последней необ-
необходимо дополнительное соотношение вида
я|> = г|;G\ Г, |ie). A4.12)
Инварианты о, е сюда не входят, так как можно пренебречь влия-
влиянием среднего давления на процесс формоизменения; заметим, что,
вообще говоря, соотношение A4.12) может содержать и более
сложные переменные, например работу пластической деформации Ар.
2. Состояние линейной упругости (закон Гука). Пусть
tjj = const = gL.
В этом случае приходим к закону Гука
) A4ЛЗ)
Разрешив эти соотношения относительно компонент напряжения,
получим иную форму закона:
о-;7 = Яе8G+2це,7, A4.14)
где Я и fi = О — упругие константы Ламе.
Интенсивность касательных напряжений здесь пропорциональна
интенсивности деформаций сдвига
Г=ОГ. A4.15)
Приращение работы деформации является полным дифференциалом
упругого потенциала
П = П(е//) = -^- + -^Г». A4.16)
§ 14] ДЕФОРМАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ 57
Сравнивая формулу для dH с формулой A4.9), заключаем, что
имеют место соотношения
выражающие, по сути дела, закон Гука в форме A4.14).
3. Состояние текучести. Возьмем в качестве дополнительного
соотношения условие текучести Мизеса
Согласно A4.8) в этом случае будет
^ = 2^' <14Л8)
т. е. в состоянии текучести функция i|j является мерой интенсивно-
интенсивности сдвигов. Здесь также существует потенциал работы деформации
П = ^ + т,Г, A4.19)
равный сумме энергии упругого объемного сжатия и работы измене-
изменения формы TjF.
р
Значение г|э= — можно внести в соотлошения Генки A4.6), од-
однако мы не получим однозначного определения компонент деформации
через компоненты напряжения, что вполне естественно, если вспом-
вспомнить, что на площадке текучести (рис. 9) взаимно однозначной связи
между напряжением и деформацией нет.
Далее из A4.7) находим:
Отметим, что напряжения, представленные этими формулами, — одно"
значные функции компонент деформации и тождественно удовлетво'
ряют условию текучести Мизеса.
В случае несжимаемой среды (k = 0) напряжения определяются
через деформацию с точностью до гидростатического давления:
°tj-°blj = 2jT*i,- A4-21)
Формулы A4.17), справедливые и для состояния текучести, при-
приводят здесь к соотношениям A4.20).
4. Состояние упрочнения. Возьмем в качестве дополнительного
соотношения условие упрочнения A2.2)
T = g(T)T.
58 УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ [ГЛ. II
В силу A4.8) получаем:
1|з=у?G). A4.22)
Согласно A4.6) имеем:
eiJ = ka8u + ^g(T)si/. A4.23)
Отсюда нетрудно найти обратные зависимости
A4.24)
/IT*
Полученные соотношения при -тр ф О определяют взаимно одно-
однозначную зависимость между компонентами напряжения и деформации.
В состоянии упрочнения приращение работы деформации A4.9)
является благодаря A4.22) полным дифференциалом некоторой функ-
функции П = П(е;/) — потенциала работы деформации. Легко видеть, что
П= ? + ?*(Г)Г<Я\ A4.25)
Второе слагаемое характеризует работу изменения формы элемента
тела.
Формулы A4.17) переносятся, очевидно, и на рассматриваемое
состояние упрочнения.
Заметим, что при g(T)=G получаем упругую среду Гука, при
g(T) — -^- приходим к состоянию текучести.
В § 12 рассматривалось также другое условие упрочнения A2.5). Нетрудно
видеть, что мы пришли бы к тому же результату, используя в нашей схеме
второе условие упрочнения. В самом деле, работа пластической деформации
равна
В силу A2.3) Г—однозначная функция интенсивности Т, следовательно, Ар
зависит только от интенсивности касательных напряжений, что согласуется
с условием A2.5).
5. Обсуждение полученных уравнений. Полученные выше урав-
уравнения деформационной теории пластичности были сформулированы
Генки [9в] в 1924 г. для состояния текучести; несколько позднее
уравнения были обобщены на случай упрочнения.
Уравнения этой теории —нелинейные, но благодаря относительной
простоте они нашли широкое применение, несмотря на некоторые
принципиальные недостатки.
Уравнения деформационной теории пластичности в полной мере
описывают пластическую деформацию при простом нагружении (§|12),
когда компоненты девиатора напряжения возрастают пропорционально
§ 14] ДЕФОРМАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ 59
одному параметру; эти уравнения пригодны и в тех случаях, когда
имеются некоторые отклонения от простого нагружения.
При рассмотрении сложных нагружений в состоянии упрочнения
возможны такие деформации, при которых значение Т (или Г) со-
сохраняется, а компоненты тензора напряжения (или деформации) из-
изменяются. Поскольку при схеме единой кривой A2.2) следует считать
упрочнение единым «для всех направлений», постольку при dT=0
надлежит полагать все изменения упругими.
В связи с этим против деформационной теории пластичности
можно выдвинуть различные возражения.
Рассмотрим, например, два пути нагружения до некоторого со-
состояния т? , характеризуемого значением интенсивности То; один
путь состоит в нагружений до состояния 7у' с той же интенсивно-
интенсивностью То и последующем переходе в 7^2) при постоянной интенсив-
интенсивности То; тогда в конце пути мы получим пластические деформации,
соответствующие 7^ . Другой путь сначала следует по первому, но,
немного не доходя до состояния Г^1', сворачивает и идет к состоя-
состоянию Т„2) при интенсивности Т, все время возрастающей и прибли-
приближающейся к То. Поскольку этот путь может быть сколь угодно
близок к первому пути, естественно ожидать, что и пластические
деформации в состоянии 7*^ будут прежними. Однако по уравнениям
деформационной теории мы получим другие значения пластической
деформации, соответствующие Т^\ ибо все время идет нагружение.
Возникает вопрос: что же представляют собой уравнения дефор-
деформационной теории пластичности?
Ниже будет показано, что рассматриваемые уравнения являются
уравнениями нелинейно-упругого тела. Естественно, что использова-
использование этих уравнений для описания пластических деформаций при
сложных зигзагообразных путях нагружения может привести к не-
неудовлетворительным результатам.
Можно считать, что при пластической деформации, развивающейся
в некотором определенном направлении, уравнения деформационной
теории пластичности пригодны. К этому вопросу мы вернемся не-
несколько позднее (§ 15).
В дальнейшем, для краткости, будет обычно применяться термин
«деформационная теория-» (deformation theory).
Перейдем теперь к доказательству того, что уравнения деформационной
теории суть уравнения нелинейно-упругого тела.
Обратимся к примеру растяжения стержня (рис. 18) медленно изменяющейся
силой. Пусть фиксированному значению напряжения ах отвечает некоторая
деформация г1г ие изменяющаяся со временем, и обратно—фиксированному
значению е^ соответствует не изменяющееся во времени напряжение аг. Каж-
Каждое такое состояние стержня будет равновесным. Процесс деформации, состоящий
из последовательности равновесных состояний, называется равновесным процес-
сом деформации.
60 УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ [ГЛ. II
Представим себе процесс медленной разгрузки, происходящей вдоль той же
кривой ВАО (рис. 18, а), причем в обратном порядке проходятся те же со-
состояния, какие осуществлялись при нагружении ОАВ. Если, придя в началь-
начальную точку О, мы не сможем указать никаких изменений, то процесс называется
обратимым. Такой процесс можно осуществить при помощи идеально упругого
тела, например упругой среды Гука (рис. 18, б); в случае, когда напряжения
не пропорциональны деформациям, мы будем говорить о нелинейно-упругом
теле.
Примером необратимого процесса может служить упруго-пластическая де-
деформация ОАВС (рис. 18, о); при любом, даже бесконечно малом уменьшении
напряжения деформация не возвращается по кривой ВАО, а следует линии
разгрузки ВС. Подчеркнем, что как обратимый, так и необратимый процессы
в нашем случае являются равновесными.
При изотермическом процессе упругой деформации существует однозначное
соответствие между напряжением и деформацией а1 = /(е1).
Рассмотрим теперь необратимый равновесный процесс деформации; здесь
Напряжение не является больше функцией только мгновенных значений дефор-
деформации; процесс деформации зависит, кроме того, и от направления дви-
движения по кривой деформации, т. е. от того, происходит ли нагружение или раз-
разгрузка.
Мы рассматриваем равновесный необратимый процесс деформации, следо-
следовательно, искомое соотношение не должно содержать времени (а значит, и
скорости деформации); достаточно указать поведение материала при нагруже-
нагружении и разгрузке.
Итак, равновесный необратимый процесс растяжения стержня можно пред-
представить на каждом участке нагружения и разгрузки уравнением состояния не-
некоторого идеального нелинейно-упругого тела.
Термодинамические соображения, которые были развиты выше, относятся
и к деформации тела при сложном напряженном состоянии; здесь также можно
поставить вопрос о представлении равновесной пластической деформации урав-
уравнениями состояния нелинейно-упругого тела. В связи с этим необходимо вы-
ясиить, каковы возможные формы уравнений состояния нелинейно-упругого
тела. Для проведения соответствующего термодинамического анализа нужно
охарактеризовать свойства рассматриваемой среды.
Мы примем, что состояние тела вполне определяется шестью независимыми
параметрами состояния (обобщенными координатами состояния), за которые
можно принять либо компоненты деформации е,у, либо компоненты напряже-
напряжения а,у.
Остановимся на совокупности параметров гуJ) и сохраним прежние ис-
исходные положения 1, 2, 3 (§ 14.1), из которых вытекают соотношения A4.6)—
A4.9).
В дальнейшем, однако, мы не будем основываться на экспериментально
найденных условиях текучести и упрочнения, а воспользуемся условием обра-
обратимости процесса деформации изучаемой нами идеальной упругой среды, ко-
которое доставляет нам термодинамический анализ.
Рассмотрим элементарный параллелепипед dx^dxidxs, мысленно выделен-
выделенный из среды. На его грани действуют напряжения а,у. Приращение внутрен-
внутренней энергии элемента d9dx1dx2dxs складывается из приращения работы дефор-
деформации dAdx1dx2dx3 и приращения количества тепла dQdx1dx2dx3, поглощенного
рассматриваемым элементом тела, т. е.
х) Для простоты мы рассматриваем изотермический [процесс; это ограни-
ограничение несущественное, и можно провести аналогичный термодинамический ана-
анализ при изменяющейся температуре [117].
§ 15] СВЯЗЬ МЕЖДУ ТЕОРИЕЙ ТЕЧЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИОННОЙ ТЕОРИЕЙ 61
где dA определяется по A4.9), а компоненты напряжения зависят, вообще
говоря, от параметров состояния е,у.
Согласно первому началу термодинамики внутренняя энергия Э вполне
определяется мгновенным состоянием системы1), следовательно, йЭ должно
быть полным дифференциалом.
Существование внутренней энергии Э — Э(г;/), являющееся следствием
закона сохранения энергии, имеет место для всякого процесса. Второе начало
термодинамики позволяет отличать обратимые процессы; именно, только для
обратимых процессов отношение -—-, где 0 — абсолютная температура, является
полным дифференциалом фуикции состояния —энтропии /:
Так как для изотермического процесса в = const, то dQ—полный диффе-
дифференциал. Но тогда и dA должно быть полным дифференциалом. Формула для
dA была получена ранее A4.9); из иее вытекает теперь, что для нелинейно-
упругого тела возможны лишь состояния
1) i|> = const, 2) r = const, 3) 1|) = -2-/(Г),
где f (T)—некоторая функция.
Эти состояния совпадают соответственно с состоянием линейной упругости
(закон Гука), состоянием текучести и состоянием упрочнения, рассмотренными
выше на основе экспериментальных данных. Термодинамический анализ не
только избавляет от этих дополнительных предположений и приводит к усло-
условиям текучести и упрочнения, но, что важнее, выясняет природу уравнений
деформационной теории пластичности и возможности использования в теории
пластичности уравнений нелинейно-упругого тела2). Наконец, развиваемая
концепция делает понятным существование потенциала работы деформации.
§ 15. Связь между теорией течения
и деформационной теорией
1. Случая простого нагружения. В случае простого нагружения
(§ 7) компоненты девиатора напряжения изменяются пропорционально
возрастающему параметру t, т. е.
Sl = ts1 {1=1, 2, 3),
где 5? — некоторые фиксированные главные значения девиатора Do.
J) To есть не зависит от пути, проходимого телом от одного состояния
к другому; иначе было бы возможно осуществление perpetuum mobile первого
рода, т. е. возникновение энергии из ничего.
2) Подчеркнем, что в схеме нелинейно-упругого тела даже «состояние те-
текучести» является своеобразным упругим состоянием. Моделью нелинейно-уп-
нелинейно-упругого тела является пружина с нелинейной характеристикой. Можно прове-
провести некоторую аналогию между «состоянием текучести» (Т = const) и потен-
потенциальным полем силы тяжести (сила тяжести постоянна).
62 УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ [ГЛ. II
Тогда рассмотренные выше теории пластичности в условиях малой
деформации1) совпадают [12].
Действительно, главные оси девиатора напряжения неподвижны,
а отношения его главных значений не изменяются (|л, = const); со-
согласно уравнениям теории течения A3.5) имеем:
dept = d%-tsl A5.1)
Пусть упрочнение отсутствует, тогда из условия текучести Мизеса
сразу вытекает, что t — const, т. е. напряжения s, = z's/ — постоянные.
Величина dk пропорциональна приращению работы пластической де-
деформации dAp, именно dk = dAp/2r%. Суммируя приращения компо-
компонент пластической деформации dt?h получим компоненты пластической
деформации е'}; суммирование элементарных работ dAp приводит
к пластической работе Ар. Последняя является скалярной функцией;
обозначим ее через 2т52ф. Тогда соотношения A5.1) принимают вид
но это есть уравнения деформационной теории пластичности (если
вычесть слагаемые, относящиеся к упругой части деформации и
следующие закону Гука). Это отметили Хоэнемзер и Прагер [39]
в 1932 г.
Если имеется упрочнение, то согласно A3.13) d% = F(Tot) Todt,
где То—интенсивность касательных напряжений для состояния s°/.
Вводя новую переменную Tot = т и суммируя приращения компонент
пластической деформации dzpt в соотношениях A5.1), получим слева
сами компоненты гр{. В правых частях (после выделения множителя &УТО)
суммирование приводит к некоторой функции т. Возвращаясь к исход-
исходной переменной, получаем:
где /%.—некоторая функция, т. е. уравнения деформационной теории
пластичности в случае упрочнения.
Обратно, если потребовать эквивалентности обеих теорий, при-
приравняв приращения компонент пластической деформации A3.5) при-
приращениям компонент пластической деформации, вычисленным согласно
уравнениям деформационной теории A4.4), то получим:
Отсюда вытекает, что
dX— dtp
' Ф
1) Л. И. Седов показал [1ВВ], что простое нагружеиие при конечных
деформациях тел, как правило, неосуществимо.
§ 15] СВЯЗЬ МЕЖДУ ТЕОРИЕЙ ТЕЧЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИОННОЙ ТЕОРИЕЙ 63
В левых частях этих уравнений стоит бесконечно малое прира-
приращение некоторой скалярной величины. Выполняя интегрирование, на-
находим, что напряжения s,-y- имеют структуру
соответствующую простому нагружению (Ч? — скаляр).
Итак, обе теории совпадают только в случае простого погружения.
При сложном нагружении деформационная теория и теория тече-
течения приводят к различным результатам. Забегая несколько вперед,
отметим, что эти результаты сближаются в одном важном для при-
приложений случае деформирования. В пространстве деформаций путь
деформирования изображается в ви-
виде некоторой линии (рис. 19); пусть,
начиная с какого-то момента, путь
деформирования приближается к пря-
прямой линии (пунктир); будем тогда
говорить, что деформация развивает-
развивается в определенном направлении. Ее- рис jg
ли этот случай имеет место, то на-
напряженные состояния, подсчитываемые по обеим теориям, сближают-
сближаются. При этом влияние сложной истории деформирования быстро
ослабевает и устанавливается неизменное напряженное состояние, оп-
определяемое теми фиксированными скоростями деформации, которые
характерны для прямолинейного участка (см. ниже).
Интересно также отметить, что если исходить из более общих
представлений о поверхности нагружения, имеющей особенности
(см. § 17), то для некоторых классов путей нагружения уравнения
теории течения приводятся к уравнениям деформационной теории
(см. работы Б. Будянского [88], В. Д. Клюшникова [125], Ю. Н. Ра-
ботнова [33]).
2. Пример. Совместное кручение и растяжение тонкостенной
трубы. В качестве примера, иллюстрирующего свойства введенных
выше^уравнений пластичности, рассмотрим симметричную деформацию
круглой тонкостенной трубы при действии скручивающего момента
и осевого растяжения. Этот случай соответствует так называемым
Р+М-опытам (§7).
Как уже указывалось ранее, здесь можно полагать отличными от
нуля компоненты напряжения аг и t9Z (в цилиндрической системе
координат г, ф, z). Компоненты напряжения ar, af, xrf, tr2 отбра-
отбрасываем вследствие их малости по сравнению с компонентами а2, тФг.
Компоненты деформации yrf, yr2 малы по сравнению с y9Z. Для упро-
упрощения выкладок будем считать материал несжимаемым, что внесет
незначительные изменения в общую - картину деформации. Тогда из
условия несжимаемости и уравнений деформационной теории A4.23)
64 УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ [ГЛ. 11
вытекает, что гг = е9 = — -~- ег. Если же исходить из уравнений теории
течения A3.7), то аналогичным образом получим, что d&r = d&9 =
=—-jj- d&z. Условимся рассматривать лишь случай идеальной пластич-
пластичности и введем безразмерные величины
а, V г-Ъ± V_V
Ч X S У
где Ees = as, Gys = ts.
Решение по деформационной.теории. Легко получаем,
исходя из A4.20):
? = 7РТ?' A5.2)
причем условие текучести будет
?2+Т2=1. A5.3)
Полагая последовательно
t = smt> при 0sJi>^-h-
A5.4)
tg -jj- = w пр и 0 sjC w ^ 1,
находим:
w = —l+V -f +1, A5.5)
причем величины у, ? считаем положительными (при сложном^нагру-
жении с переменами знака приобретает значение эффект Баушингера,
игнорируемый теориями).
Решение по теории течения. По уравнениям A3.7) по-
получаем:
dt, = dq + dA-q, dy = dx + dA-r, A5.6)
где согласно A3.6) и условию текучести A5.3)
dA = ~EdX = qdt, + xdy. A5.7)
Сюда же следует присоединить условие текучести A5.3); с его по-
помощью находим из A5.6), A5.7) дифференциальное уравнение
Подчеркнем, что для определения q из этого уравнения необхо-
необходимо задать путь деформирования y = y(?)i такое требование не
возникает, если мы исходим из деформационной теории (см. A5.2)).
§ 15] СВЯЗЬ МЕЖДУ ТЕОРИЕЙ ТЕЧЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИОННОЙ ТЕОРИЕЙ 65
Заданный путь деформирования у==у(?) считаем гладким и удов-
удовлетворяющим условию нагружения dA > 0. Выполнив подстановки
A5.4), преобразуем последнее уравнение к уравнению Риккати
dw
1
1
A5.8)
Частные случаи. Для некоторых конкретных функций у (?)
нетрудно построить частные решения этого уравнения, представляю-
представляющие интерес для анализа уравнений теории пластического течения
и постановки опытов. Остановимся на нескольких случаях интегри-
интегрирования, отличающихся простотой.
Линейный путь деформирования. Пусть
если Y =
при ?= ?о и Y = Yi ПРИ ь = Ьи то
^4 = "
Yi—Yo
Ci—Co '
Дифференциальное уравнение принимает вид
Это—уравнение с разделяющимися переменными; интеграл его, удо-
удовлетворяющий условию
имеет вид
•ш =
при ?=(
Zny2 T и>1
A5.9)
Здесь введены обозначения
ПУ0
Рис. 20.
При те/ > wl нужно в A5.9) брать знак —, при w <.w1—знак+.
Ступенчатый путь. В опытах часто применяется ступенчатое на-
гружение (рис. 20); на каждой ступеньке постоянно либо ?, либо у.
Соответствующие решения легко получить, исходя из уравнений
A5.6), A5.7).
Так, пусть ? = const, тогда d? = 0 и
, их
<*Y
Л. М. Качанов
66 УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ [гл. II
Интегрируя и удовлетворяя условию t — Xj^ при Y^Yi- находим:
г = ^~\ , д = УГ^х*, A5.10)
где положено
A5.11)
Пусть на другой ступеньке у = const, тогда аналогичным путем
получаем:
причем q = 4i для ?=?1( а
3. Сближение результатов при развитии деформаций в опре-
определенном направлении. На рис. 21 изображены на плоскости ?, у
различные пути деформирования, соответствующие некоторым рас-
рассмотренным случаям. Числа указывают значения q по теории течения,
}
8
5
п~П
1/ U
В
.
-
щ
/щ
Щ
/,
//
и
/ ^у
@,5%
П58
(Що,45
fflu50
т
№5
1
fUBB
1
7
W
5
> ^
№
у т
QQGf
W
Ш
'uRfi
цоо
г
—^"
Рис. 21.
числа в скобках дают значения q по деформационной теории; окруж-
окружность единичного радиуса ограничивает заштрихованную область
упругих деформаций.
Эти данные позволяют [в некоторой кмере судить о различиях
в напряженных состояниях (значениях q) по теории течения при разных
путях перехода в одно и то же деформированное состояние. Нетрудно
§ 15] СВЯЗЬ МЕЖДУ ТЕОРИЕЙ ТЕЧЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИОННОЙ ТЕОРИЕЙ 67
также заметить тенденцию к сближению напряженных состояний,
вычисляемых по теории течения и деформационной теории, по мере
развития деформаций в определенном направлении.
Можно строго показать асимптотическое сближение результатов,
предсказываемых теорией течения и деформационной теорией, если
путь деформирования стремится к некоторому линейному пути (рис. 19).
В самом деле, пусть, начиная с некоторого момевта, с возраставием ?
путь деформации приближается к прямой y = A-j-Bt,; тогда у' (?) —>¦ В, причем
В >0.
По деформационной теории решение w с возрастанием Z, стремится согласно
A5.5) к значению
По теории течения w определяется уравнением A5.8); введем вовое неиз-
неизвестное
U=W — W.
Тогда дифференциальное уравнение A5.8) преобразуется к виду
| [ю + v' (?)]" и*[ВУ (?)] w
|г= - [ю + v (?)]"-у и*-[В-У (?)] w. A5.12)
Нетрудно убедиться, что коэффициенты этого уравнения удовлетворяют усло-
условиям теоремы Асколи, согласно которой решение дифференциального уравне-
уравнения A5.12) существует и стремится к нулю при Z,—>¦ оо. Следовательно,
Аналогичный результат следует из анализа деформации трубы под дейст-
действием внутреннего давления и осевой силы.
Можно показать [121], что и в общем случае трехмерного напря-
напряженного состояния напряжения, вычисляемые по различным теориям
пластичности, сближаются, если деформирование развивается в опре-
определенном направлении (что в сущности означает приближение к про-
простому нагружению).
4. Простое нагружение и пропорциональное возрастание нагру-
нагрузок. Приведенные выше результаты характеризуют важное значение
класса простых (и близких к простому) нагружений. В этом случае
применимы сравнительно несложные уравнения деформационной тео-
теории. Условия простого нагружения
olJ = ta'il, A5.13)
где а'Г1 — функции только координат, a t — некоторый параметр, должны
выполняться для каждого элемента тела. К телу обычно приложены
поверхностные нагрузки р{ (объемные силы, для простоты, не учиты-
учитываем), напряжения же а,у, действующие на элементы тела, заранее
не известны. При произвольных изменениях поверхностных нагрузок
нельзя, разумеется, говорить о простом нагружений элементов тела.
3*
68 УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ [ГЛ. II
Пусть, однако, нагрузки возрастают пропорционально некоторому
параметру
Pt=tp't, A5.14)
где/>;—заданные функции только координат точек поверхности тела.
Нетрудно показать, следуя А. А. Ильюшину, что нагружение будет
простым, если при малых деформациях
1) материал несжимаем (е = 0),
2) интенсивности напряжений и деформации Т, Г связаны одно-
одночленной степенной зависимостью
Т=АГа, A5.15)
где А, а>0—постоянные.
В самом деле, пусть при (=1 в теле будут напряжения о'ц и
деформации г'ц. Эти величины, следовательно, удовлетворяют диффе-
дифференциальным уравнениям равновесия D.2) при /у=0, ^.= 0, гранич-
граничным условиям A.22), условиям совместности Сен-Венана B.16) и урав-
уравнениям деформационной теории A4.24) при степенном законе A5.15).
Если параметру сообщено некоторое значение t, то легко видеть,
что напряжения Оц = to'^ и деформации е/у- = t1/as';f будут искомым
решением задачи. Действительно, дифференциальные уравнения равно-
равновесия, граничные условия и условия совместности Сен-Венана одно-
однородны (соответственно по отношению к напряжениям, внешним силам
и деформациям), а потому удовлетворяются новыми значениями на-
напряжений A5.13), внешних сил A5.14) и деформаций. Соотношения
деформационной теории A4.24) также удовлетворены, ибо их правые
части—однородные функции компонент деформации степени а.
Возвращаясь теперь к исходным ограничениям, отметим прежде
всего, что пренебрегать сжимаемостью обычно можно при достаточно
развитых (хотя и малых) пластических деформациях. Значительно
более жестким ограничением является одночленная степенная аппрок-
аппроксимация A5.15). В ряде случаев (например, при идеальной пластич-
пластичности) эта зависимость дает плохое приближение. Степенной закон
A5.15) приводит к более или менее приемлемому приближению при
развитых пластических деформациях и заметном упрочнении материала.
Сказанное позволяет считать, что в случаях развитых пласти-
пластических деформаций и заметного упрочнения при пропорциональном
возрастании нагрузок приближенно реализуется простое нагружение.
В других случаях простое нагружение (или близкое к нему), как
правило, не имеет места (см. также [158]).
5. Экспериментальные данные. Опыты подтверждают теорию
пластического течения значительно полнее, нежели деформационную
теорию. Из A3.5) вытекает условие подобия форм тензора при-
приращений пластической деформации и тензора напряжения
§ 161
ОБОБЩЕНИЯ В СЛУЧАЕ ИДЕАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ
69
В опытах наблюдаются незначительные, но систематические откло-
отклонения от условия подобия. На рис. 22 нанесены результаты некоторых
опытов; по горизонтальной оси отсчитывается ца , по вертикальной fxge )
пунктирная линия отвечает условию подобия. Эти отклонения говорят
о незначительных нарушениях линейного тензорного уравнения A3.4).
Можно добиться согласия с
о
экспериментальными данны-
данными, представленными на
фиг. 22, на основе нелиней-
нелинейного тензорного соотноше-
соотношения, но это существенно
усложняет исходные урав-
уравнения.
Экспериментальные дан-
данные свидетельствуют также
о совпадении направлений
главных осей тензора напря-
напряжения и тензора приращений
пластической деформации.
Следует, однако, отме-
отметить, что при сложных («зиг-
(«зигзагообразных») нагруже-
ниях, особенно с промежу-
промежуточными разгрузками, обна-
обнаруживается заметное влияние
-82
-НА
•
X
о /
х /
/
о
* /
*
х
,и /
: /
/
/
/
/
У
/
х Медь
о Алюминий
• Сталь
-to -пв
-Off -0А
Рис. 22.
О fi.
при-
анизотропии, которую материал
обретает в процессе пластического деформирования.
Описание явлений деформационной анизотропии затруднено малой
их изученностью и требует значительного усложнения теории.
§ 16. Обобщения в случае идеальной пластичности.
Ассоциированный закон течения
Рассмотрим некоторые обобщения теории течения для случая
идеальной пластичности. Как и прежде, приращения полной дефор-
деформации складываются из приращений упругой и пластической дефор-
деформации:
dzij = de.eliJrdbpij. (lb. 1)
Приращения компонент упругой деформации dz\i связаны с при-
приращениями компонент напряжения законом Гука A3.3). Далее, пла-
пластические изменения объема отсутствуют, т. е.
= 0. A6.2)
1. Функция текучести и пластический потенциал. Для идеаль-
идеально пластической среды в пространстве напряжений atj- имеется
70 УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ [ГЛ. II
поверхность текучести
f(a,j) = K (К>0), A6.3)
ограничивающая область упругих деформаций, для которых / < К.
Пластическому течению отвечают напряженные состояния, принадле-
принадлежащие точкам поверхности текучести.
Так, при условии текучести Мизеса
f{o,j)=1*; К=х*. A6.4)
Материал находится в упругом состоянии, если Г<т$; в пласти-
пластическом состоянии T=ts. В пространстве главных напряжений olt а2, а3
это уравнение определяет поверхность кругового цилиндра с осью
(^ = G2 = 03 (гидростатическая ось, § 1).
Поверхность текучести A6.3) выпукла (см. ниже, § 18), т. е.
лежит по одну сторону касательной (или опорной — при наличии плос-
плоских участков) плоскости.
Кроме функции текучести, иногда вводится пластический потен-
потенциал Ф (в/j) так, чтобы уравнения пластического течения можно было
представить в виде
** A65)
Щ
где d% ^ 0 — некоторый неопределенный бесконечно малый скалярный
множитель. По условию несжимаемости A6.2) должно быть
Соотношения A6.5) можно сделать наглядными, если перейти
к представлению тензоров defy, Оц векторами в девятимерном прост-
пространстве напряжений Оц. Такое представление не является, разумеется,
полным и возможно лишь в некотором смысле. При анализе уравнений
пластического состояния обычно используются лишь простейшие
операции над тензорами, и можно установить соответствие между
этими операциями и операциями с представляющими их векторами.
Векторное изложение более наглядно, облегчает интерпретацию опыт-
опытных данных и широко применяется для анализа уравнений пласти-
пластического состояния.
Упомянутые простейшие операции над тензорами суть следующие:
1. Умножение тензора на скаляр ср; при этом умножается на
скаляр ер каждая компонента тензора, т. е. если тензор Та имеет
составляющие а{р то тензор уТа—составляющие фЯ;у.
2. Сложение тензоров; при этом складываются компоненты с оди-
одинаковыми индексами, т. е. тензор Та-\- 7ьимеет составляющие а^-\-Ь^.
3. Образование свертки двух тензоров по обоим индексам; так
называется сумма а^Ьц. Примером свертки является приращение
работы пластической-деформации dAp = O/jdeptj.
§ 16] ОБОБЩЕНИЯ В СЛУЧАЕ ИДЕАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ 71
Введем векторы А, В, имеющие в девятимерном пространстве
составляющие а,;-, btj. Тогда первой операции соответствует умно-
умножение вектора на скаляр, т. е. вектор фД. Второй операции отвечает
сложение векторов А -\-В. Наконец, свертке тензоров соответствует
скалярное произведение векторов
(А, В) = atJbt).
Замечание. Вследствие симметричности тензоры вапряжения Та и де-
деформации Те имеют лишь шесть различных составляющих. Однако представ-
представление этих тензоров векторами в девятимерном пространстве удобнее, так как
при этом скалярное произведение векторов а,-у и е/у будет непосредственно
равно упомянутой свертке. Это связано с тем, что компонентами тензора де-
деформации являются не сами сдвиги, а их половины. Конечно, можно рассмо-
рассмотреть шестимерное пространство и в качестве составляющих вектора напряжения
взять шесть компонент тензора напряжения, умноженных на некоторые числа,
и подобрать последние так, чтобы скалярное произведение векторов соответ-
соответствовало свертке тензоров. Однако удобнее рассматривать векторы с теми же
составляющими, что и тензоры, но в девятимерном пространстве.
Если главные направления тензора Та фиксированы, то можно
имея в виду упомянутые выше операции, представить тензор Та
вектором А с составляющими аг, а2, а3 в трехмерном пространстве а,-.
Такая интерпретация была уже использована в § 1.
Итак, напряженное состояние в девятимерном пространстве напря-
напряжений можно представить вектором atj. Приращения пластической
деформации dzp/ также можно представить в том же пространстве
некоторым вектором, если умножить d&P/ на постоянную величину
надлежащей размерности. Уравнение Ф (а,-у) = const определяет по-
поверхность (гиперповерхность) пластического потенциала. Так как
направляющие косинусы нормали к этой поверхности пропорциональны
дФ/да;р то соотношения A6.5) означают, что
вектор пластического течения d&fy направлен
по нормали к поверхности пластического по-
потенциала.
2. Ассоциированный закон течения. Наи-
Наиболее важным является простейший случай,
когда функция текучести и пластический потен-
потенциал совпадают
/=Ф.
В этом случае, помимо его простоты, рис 23
легко устанавливаются теорема единственно-
единственности и экстремальные принципы, что сообщает теории законченность.
Таким образом,
и пластическое течение развивается по нормали к поверхности теку-
текучести (рис. 23).
72 УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ [ГЛ. II
Приращение работы пластической деформации равно
dAp = olJdtft = d%.oiJ2Lj. A6.8)
Если /—однородная функция напряжений степени т, то
т. е. множитель dh пропорционален приращению работы пластической
деформации
dAv
<fc=sar ' <16-9>
Для теории течения (§ 13) отсюда вытекает полученная ранее
формула A3.10).
Отметим, что в схему A6.7) укладываются и уравнения теории
'пластического течения A3.7) и соответственно уравнения теории
пластичности Сен-Венана — Мизеса A3.11). В самом деле, легко про-
проверить, что в этом случае
df дТ*
и уравнения A6.7) принимают вид deff = dhsij-. Очевидно, что усло-
условие несжимаемости A6.2) выполнено.
Зависимости A6.7) называются ассоциированным законом пласти-
пластического течения, поскольку последнее связывается (ассоциируется)
с условием текучести. Ассоциированный закон течения позволяет
легко вводить различные обобщения уравнений пластичлости путем
рассмотрения поверхностей текучести более сложного вида.
Если течение рассматривается в пространстве главных напряже-
напряжений (что удобно при фиксированных главных направлениях, например
в осесимметричных задачах), то вместо соотношений A6.7) удобно
использовать соотношения
dnPt = db-gL (/ = 1, 2, 3). A6.10)
3. Кусочно гладкие поверхности текучести. Ассоциированный
закон течения в форме A6.7) требует, чтобы поверхность текучести
была гладкой, т. е. имела непрерывно поворачивающуюся касатель-
касательную плоскость; тогда будет определена и нормаль к поверхности
текучести. Между тем сингулярные поверхности текучести (имеющие
ребра и вершины) не могут быть устранены из рассмотрения. Так,
условие текучести Треска — Сен-Венана определяет поверхность
шестигранной призмы (§ 9), нормаль вдоль ее ребер не определена.
Позднее мы увидим, что использование условия текучести Треска—
Сен-Венана вместо условия Мизеса приводит нередко к значительным
§ 16] ОБОБЩЕНИЯ В СЛУЧАЕ ИДЕАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ 73
математическим упрощениям (например, в задачах плоского напряжен-
напряженного состояния). Поэтому соотношения A6.7), справедливые в гладких
точках поверхности текучести, необходимо как-то дополнить с тем,
чтобы пластическое течение, соответствующее ребрам и вершинам
поверхности текучести, было также определено. Для простоты огра-
ограничимся рассмотрением ребра на поверхности текучести. Этот случай
чаще всего встречается в приложениях; случай вершины анализи-
анализируется аналогичным способом.
Принимают, следуя Прагеру [29] и Койтеру [124], что течение на
ребре является линейной комбинацией течений слева и справа от
ребра (рис. 24)
'Ьщ+^Щ A6Л1)
Здесь /х = const, /2 = const— уравнения поверхности текучести по
обе стороны от ребра. Неопределенные множители dXt, d%2 неотри-
неотрицательны, вследствие чего течение раз-
развертывается по направлению, лежащему
внутри угла, образованного нормалями к Упругая'
двум смежным граням. область
В гладкой точке поверхности теку-
текучести пластическое течение фиксировано
по направлению и неопределенно по
величине; множитель d% выражается Рис- 24.
через приращение работы пластической
деформации и находится при решении каждой конкретной задачи.
На ребре пластическое течение неопределенно и по направлению,
и по величине. Множители dXlt dh2 также находятся при решении
каждой конкретной задачи. Вдоль ребра выполняются «два условия
текучести» (/х = const и /2 = const), что и заставляет вводить два
произвольных множителя, чтобы избежать противоречия с условиями
совместности деформаций.
Если течение рассматривается в пространстве главных напряже-
напряжений, то вместо A6.11) будет
de^db^ + db^. A6.12)
4. Пример — течение на ребре призмы Треска — Сен-Венана.
Рассмотрим по изложенной схеме течение, соответствующее напря-
напряженным состояниям для точек на ребре шестигранной призмы Треска —
Сен-Венана. Пусть для определенности ребро образовано пересечением
плоскостей (см. § 9)
Следы этих плоскостей на девиаторной плоскости показаны на
рис. 25 сплошными линиями. Течение для первой плоскости может
74
УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ
[гл. п
быть записано согласно A6.10) в виде (переходим к скоростям де-
деформации %р;, индекс р опускаем; d'k1 = %'1dt, dK^^^K^dt)
T~-l~0-Al-
Течение для второй плоскости определяется соотношениями
Для точек на ребре по сформулированному закону A6.12) имеем:
|1 = Х14-Я2; ^2=—^i! ?з =—^г-
Мощность пластической деформации (рассеяние) для точек на рас-
рассматриваемом ребре равна
Здесь Xi + ^2 = ii является наибольшей главной скоростью удлинения.
Анализируя аналогичным образом течения на других ребрах, не-
нетрудно установить, что во всех случаях
рассеяние представляется простой фор-
формулой
ЙЯ = аДюах. A6.13)
где ?тах — абсолютное значение численно
наибольшей главной скорости деформации.
Физическая интерпретация определен-
ного таким способом течения на ребре
связана с известными трудностями, обна-
обнаруживающимися уже в случае простого
растяжения, отвечающего, например, угло-
угловой точке С (рис.25) шестиугольника Треска — Сен-Венана. Течение
здесь дано соотношениями
Рис. 25.
где первое главное направление ориентировано по оси стержня. По-
Поперечные деформации, таким образом, произвольны, выполняется
лишь условие несжимаемости. Эта картина не согласуется с привыч-
привычными представлениями о растяжении изотропного стержня (так, со-
согласно приведенным соотношениям при растяжении круглый стержень
может стать эллиптическим). Однако подобные парадоксальные ре-
результаты обнаруживаются лишь в крайних случаях и относятся
главным образом к полю скоростей. Предельные же нагрузки, полу-
получаемые на основе этой схемы, являются хорошим приближением.
Схему Прагера — Койтера следует рассматривать как нередко
удобную идеализированную аппроксимацию. Вряд ли целесообразно
пытаться искать физический смысл отдельных парадоксальных
заключений.
§ 17] ОБОБЩЕНИЯ. СЛУЧАЙ УПРОЧНЯЮЩЕЙСЯ СРЕДЫ 75
5. Анизотропная среда. На основе изложенных выше представ-
представлений можно получить уравнения пластического течения анизотроп-
анизотропного тела. Необходимо лишь ввести анизотропную функцию текучести.
В наиболее простом варианте эта функция выбирается квадратичной
f=C!jkiaijakl'
где СцЫ — коэффициенты анизотропии. Различные варианты подобной
схемы обсуждались в работах Мизеса (см. [52> 70]), Хилла [54] и дру-
других авторов. Получила развитие также теория, основанная на обоб-
обобщении условия текучести Треска — Сен-Венана [п].
*§ 17. Обобщения. Случай упрочняющейся среды
1. Поверхность нагружения. Уравнения теории течения, приве-
приведенные в § 13, удовлетворительно описывают механическое поведение
упрочняющейся среды лишь в условиях не слишком сложного нагру-
нагружения. Однако упрочнение, сопровождающее пластическое деформи-
деформирование, имеет ориентированный характер и прн трехосном (или
двухосном) напряженном состоянии представляет собой сложное
и в общем недостаточно изученное явление; для его описания необ-
необходимо существенное усложнение теории.
В основе теории лежит представление о поверхности нагружения
2 (рис. 15,6), отделяющей в данном состоянии среды в пространстве
напряжений а;-у- область упругого деформирования от области пласти-
пластического деформирования. Бесконечно малое приращение напряжения
{догружение) da;/ приводит либо к упругой деформации (разгрузке,
если defy направлено внутрь 2), либо к продолжающейся пластиче-
пластической деформации (нагрузке, если dai;. направлено наружу 2). При-
Приращения doij, лежащие в касательной плоскости поверхности нагру-
нагружения (нейтральные изменения), должны приводить только к упругим
деформациям (т, е., если изображающая точка перемещается по
поверхности 2, пластические деформации не происходят). Это условие!
(условие непрерывности) необходимо для непрерывного перехода
пластического деформирования в упругое при непрерывном изменении
направления вектора догружения da^-.
Поверхность нагружения расширяется и смещается по мере раз-
развития упрочнения, которое изменяет предел упругости (и притом
различным образом в разных направлениях). Поверхность текучести
при идеальной пластичности является предельным положением
поверхностей нагружения, если все они стягиваются к начальной по-
поверхности.
Форма и положение поверхности нагружения зависят, вообще
говоря, не только от текущего напряженного состояния, но и от
всей предшествующей истории деформирования.
76
УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. II
2. Пример. Построение поверхности нагружения по экспери-
экспериментальным данным. Рассмотрим на простом примере построение
поверхности нагружения по опытным данным. Опыты при произволь-
произвольном трехосном напряженном состоянии провести не удается, поэтому
изучаются кривые нагружения в некоторых сечениях поверхности
нагружения. Обычно ограничиваются изучением кривых нагружения
при плоском напряженном состоянии, для которого одно из главных
напряжений равно нулю. Рассмотрим здесь, в частности, испытания
тонкостенных трубок под действием внутреннего давления р и осевого
усилия Р(р-{-Р-опыты, § 7). При этом трубка находится в плоском
Рис. 26. .
напряженном состоянии, главные напряжения равны а9 н oz. Обозна-
Обозначим через as — предел текучести при одноосном растяжении, равный,
скажем, напряжению, отвечающему остаточной деформации 0,2%
(технический предел текучести), и будем рассматривать плоскость
напряжений ог, от Построим начальную кривую текучести, ограни-
ограничивающую упругую область для исходного (неупрочненного) материала.
Для этого проводятся испытания ряда образцов при различных (фик-
(фиксированных в каждом опыте) отношениях Р/р; соответствующие
пути нагружения (оче,видно, это будут лучи) показаны на рис. 26, а
пунктиром. На каждом луче по опытам находится точка, отвечающая
остаточной деформации 0,2%. Это число, разумеется, условное
и в принципе может быть взято другое значение. Однако, учитывая
различные вторичные эффекты (последействие, ползучесть), услож-
усложняющие картину, нецелесообразно брать чрезмерно малые критерии.
Соединяя найденные точки плавной линией, получаем начальную кривую
нагружения 20 (рис. 26, а). Если материал испытал предварительную
пластическую деформацию, поверхность нагружения строится следую-
следующим образом. Пусть, например, нужно построить кривую нагружения
для стали, испытавшей предварительную пластическую деформацию
при нагружении по лучу ОА (рис. 26, б). Берем трубки и подвергаем
§ 17] ОБОБЩЕНИЯ. СЛУЧАЙ УПРОЧНЯЮЩЕЙСЯ СРЕДЫ 77
их нагружению по лучу ОА, затем сбрасываем нагрузку и испытываем
каждую трубку при некотором фиксированном значении Р/р (т. е. по
лучу) до достижения на выбранном для данной трубки луче остаточной
деформации 0,2%. Отмечая соответствующие точки на плоскости
az, Оу и соединяя их плавной линией, получаем нужную кривую
нагружения (рис. 26, б). По опытам кривая нагружения смещается \
в направлении предварительной пластической деформации.
Проведение испытаний в условиях плоского напряженного состоя-
состояния при различных программах нагружения позволяет составить
представление о зависимости поверхности нагружения от процесса
пластической деформации.
3. Некоторые формы поверхностей нагружения. Рассмотрим
некоторые простые формы поверхностей нагружения 2. Считаем, что
материал в исходном состоянии обладает одинаковыми по величине
пределами текучести на сжатие и растяжение.
Изотропное упрочнение. В предыдущем параграфе уравнение
фиксированной поверхности текучести имело вид f(O{j) = K. Если
считать, что упрочнение развивается при пластическом деформиро-
деформировании одинаково во всех направлениях и не зависит от гидростати-
гидростатического давления а, то уравнение поверхности нагружения можно
задать в форме
Л*,7) = Ф(?). A7Л)
где скаляр # > 0 — некоторая мера изотропного упрочнения, а ф —
возрастающая функция.
В качестве меры упрочнения q часто принимается работа пласти-
пластической деформации Ар, т. е.
Реже используется характеристика накопленной пластической
деформации (параметр Одквиста)
Заметим, что уравнение A7.1) может содержать не один, а, во-
вообще говоря, несколько мер упрочнения qx, q2, q3, . .. Если среда
изотропна, функция f(S;j) должна зависеть только от инвариантов
девиатора напряжений. В частности, если учитывать лишь квадра-
квадратичный инвариант —интенсивность касательных напряжений Т (что
в первом приближении вполне достаточно), то уравнение A7.1) при-
принимает вид
sl/Si/ = ff(q). A7.2)
Подобное условие уже рассматривалось ранее (§ 12).
78
УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. II
Рис. 27.
Согласно A7.1) поверхность нагружения равномерно («изотропно»)
расширяется, оставаясь подобной самой себе (рис. 27), с ростом
пластической деформации. Эффект Баушингера при этом, разумеется,
не описывается, поскольку пределы текучести в прямом (ОМ+)
и обратном (ОМ~) направлениях нагружения равны по величине.
Представление об изотропной поверхности нагружения пригодно
для описания простых опытов пластического деформирования, раз-
вивающегося в некотором преимуществен-
преимущественном направлении, з частности для опытов
простого нагружения.
Трансляционное упрочнение. Пусть
поверхность нагружения 2 испытывает
жесткое смещение в направлении
деформирования. На рис. 28 сплошной
линией показано начальное положение
поверхности нагружения, пунктиром — ее
положение после некоторой пластической
деформации. Если теперь вновь нагрузить материал, то предел
упругости в направлении предыдущей деформации (ОМ+) возра-
возрастает— произошло упрочнение, в обратном же направлении (ОМ~)
предел упругости падает (разупрочнение). Эта схема, по крайней
мере качественно, описывает эффект
Баушингера. В рассматриваемом случае
уравнение поверхности нагружения имеет
вид /V о^Л J
f(stJ-a{J) = K, A7.3) ' '
где afj—координаты центра поверхности
нагружения, изменяющиеся при пласти-
пластической деформации и образующие де- Рис. 28.
виатор. Вообще говоря, для приращений
dau указываются некоторые дифференциальные зависимости
[¦ 84,i4i,i78j Простейший вариант, получивший известное распро-
распространение [115], таков:
ац=съ% A7.4)
где с — положительная постоянная, характерная для данного мате-
материала, а ер/—компоненты пластической деформации. Таким образом,
составляющие жесткого смещения поверхности нагружения здесь
пропорциональны компонентам пластической деформации.
Перенос и расширение. Комбинирование предыдущих случаев
приводит к более полной схеме
М'
A7.5
§ 17] ОБОБЩЕНИЯ. СЛУЧАЙ УПРОЧНЯЮЩЕЙСЯ СРЕДЫ 79
Поверхность нагружения испытывает перенос и одновременно
расширяется равномерно во всех направлениях, т. е. сохраняет
форму.
Уравнение A7.5) удовлетворительно описывает упрочнение мате-
материала в довольно широких границах изменения пути нагружения.
Если среда в начальном состоянии изотропна н ее поведение
зависит лишь от квадратичного инварианта — интенсивности каса-
касательных напряжений Т, то уравнение A7.5) принимает вид
(8ц-аи)(8и-аи) = ч{я). A7.6)
По опытным данным правая часть («радиус» поверхности) пре-
претерпевает сравнительно небольшие изменения.
Нетрудно рассмотреть н более общие уравнения поверхности
нагружения, учитывающие начальную анизотропию среды и содержащие
не один, а несколько параметров упрочнения [M.69J
4. Ассоциированный закон течения. Для вывода уравнений,
связывающих приращения компонент деформации с компонентами
напряжения и их приращениями, используются предположения, уже
встречавшиеся нам ранее.
Прежде всего принимается, что приращения компонент полной
деформации складываются из приращений компонент упругой и пла-
пластической деформации
delJ = detil + dePt,. A7.7)
Приращения компонент упругой деформации вычисляются согласно
закону Гука. Пластические изменения объема отсутствуют, т. е.
Следующим предположением является уже затронутое в начале
этого параграфа условие непрерывности. Пусть текущему состоянию
соответствует некоторое положение поверхности нагружения 2
(рис. 15). Бесконечно малое догружение da^- сопровождается либо
только упругими деформациями, либо влечет за собой также и пла-
пластические деформации de1}/. Как уже отмечалось, для непрерывного
исчезновения пластических составляющих при переходе к упругому
деформированию необходимо ввести нейтральные изменения da^,
лежащие в касательной плоскости поверхности нагружения 2 и при-
приводящие только к изменениям упругой деформации dzetj. Отсюда
вытекает требование, чтобы приращения компонент пластической
деформации dzpn- были пропорциональны величине
где штрихом отмечено, что приращение d'f вычисляется только по
80 УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ [ГЛ. II
отношению к изменениям компонент напряжения х). Тогда если до-
догружение dOij лежит в касательной плоскости поверхности нагруже-
ния, то d'f=O и defy — O. Заметим, что при условии A7.1)
Далее принимается ассоциированный закон течения, по которому
и в случае упрочнения вектор приращений de^j направлен по нор-
нормали к поверхности нагружения 2. Следовательно, компоненты defy
должны быть пропорциональны направляющим косинусам нормали
к 2, отличающимся только общим скалярным множителем от част-
частных производных д//дО[/. Итак,
0 при d'/<0 (разгрузка).
Множитель пропорциональности g называется функцией упрочнения;
она характеризует уровень достигнутого упрочнения и зависит,
вообще говоря, от истории деформирования. Если текущее напря-
напряженное состояние a{j соответствует точкам внутри 2, т. е. является
упругим, то de?/ = 0.
Так как для упрочняющегося тела da^dejy > 0 (см. постулат
Друкера, § 18), то согласно A7.8) при нагружении g{d'ff > 0,
т. е. g>0.
Задание гладкой поверхности нагружения при ассоциированном
законе течения полностью определяет приращения пластической
деформации; функция упрочнения g находится из уравнения поверх-
поверхности нагружения (т. е. из условия упрочнения), если учесть, что
df=dq>, и использовать соотношения A7.8).
Пусть, например, поверхность нагружения задана уравнением A7.2), где
q—параметр Одквиста, тогда df=<p'dq=<p' у 2ds^jde^j. Образуя согласно
A7.8) сверткой dq, получаем:
? = DФ'Г)-1.
Если за q принята работа пластической деформации, то dq — aijdzPij. Вычис-
Вычисляя dq с помощью A7.8), легко находим:
Частным случаем полученных уравнений будут уравнения тео-
теории течения при упрочнении A3.14), рассмотренные в § 13. Эти
1) То есть при неизменных пластических деформациях.
§ 17] ОБОБЩЕНИЯ. СЛУЧАЙ УПРОЧНЯЮЩЕЙСЯ СРЕДЫ 81
уравнения вытекают из A7.7), A7.8) при
В приведенной форме уравнения A7.8) сформулированы Прагером.
5. Сингулярные поверхности нагружения. Выше предполага-
предполагалось, что поверхность нагружения S регулярна, т. е. имеет непрерывно
изменяющуюся нормаль. Нередко рассматриваются поверхности на-
нагружения, имеющие ребра и конические точки. Здесь целесообразно
различать два случая.
Иногда поверхность нагружения имеет ребра, занимающие на ней
фиксированное положение. Например, как уже отмечалось, часто
решение задачи упрощается, если перейти от интенсивности каса-
касательных напряжений Т к близкой величине ттах (§ 1). Это соответ-
соответствует переходу от окружности Мизеса на девиаторной плоскости
к шестиугольнику Треска — Сен-Венана (рис. 25).
Тогда течение на ребре определяется в виде ~~
линейной комбинации течений по обе стороны от
ребра.
Во втором случае особенность носит более
существенный характер. Именно, можно допу-
допустить, что в окрестности точки М поверхности
нагружения, где происходит догрузка dotj; воз-
возникает особенность — коническая точка (рис. 29).
Имеется ряд теорий, связанных с развитием таких Рис- 2Э-
особенностей на поверхности нагружения [67>69>70].
Уравнения теории пластичности при этом становятся чрезвычайно
сложными. Однако в принципе анализ подобных построений имеет
несомненный интерес. Экспериментальные данные несколько проти-
противоречивы и не позволяют пока сделать определенного высказывания
о существовании конических точек.
6. Заключительные замечания. Развитие теории пластичности
упрочняющихся сред представляет большой практический интерес,
поскольку многие современные конструкционные металлы заметно
упрочняются. Как уже отмечалось, изложенные выше теории упроч-
упрочняющегося тела не дают полного описания поведения металлов
в условиях сложного нагружения. В то же время эти уравнения
являются весьма сложными; использование их для решения конкрет-
ныл задач связано с большими математическими трудностями. По-
Поэтому в приложениях обычно исходят либо из уравнений Прандтля —
Рейса A3.14) при условии изотропного упрочнения, либо из уравне-
уравнений деформационной теории A4.23) при законе «единой кривой»
(интенсивность касательных напряжений—функция интенсивности
деформаций сдвига, § 12). Закон изотропного упрочнения пригоден
при сравнительно несложных путях нагружения. Еще в более узких
82 УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ [ГЛ. II
пределах приемлема схема единой кривой. Поэтому фактически решение
краевых задач на основе обеих теорий ограничено рамками «до-
«достаточно простого» нагружения. Более точно формулировать этс
условие не представляется возможным. Сопоставление имеющихся
решений, найденных по обеим теориям, обычно свидетельствует
о небольших расхождениях.
Весьма важен вопрос о пластических деформациях при цикличе-
циклических нагружениях. Экспериментальные данные по этому вопросу
приведены в книге В. В. Москвитина [24]; там же развита схема ис-
использования уравнений деформационной теории для описания таких
процессов. Соотношения, описывающие многократное нагружение
упруго-пластической среды на основе физически более правильной
теории течения, получены в статье Р. А. Арутюняна и А. А. Ваку-
ленко[84]. Авторы исходят из уравнения поверхности нагружения
A7.6), причем «координаты центра» а!;- определяются некоторыми
дифференциальными зависимостями. Теоретические результаты удов-
удовлетворительно согласуются с опытными данными.
При более сложных путях нагружения изложенные теории упроч-
упрочняющегося тела нередко оказываются недостаточными.
В сложившихся условиях естественны попытки выйти из круга
введенных формальных представлений о поверхности нагружения
и ассоциированном законе течения и рассмотреть иные аспекты по-
построения теории упрочняющейся среды. Развиваются различные под-
подходы к решению вопроса. Рассмотрение этих теорий выходит за рамки
настоящей книги; приведем лишь некоторые литературные ссылки.
Прежде всего отметим цикл работ [42>57'69> 89]> в которых привле-
привлекаются методы термодинамики необратимых процессов, получившей
широкое развитие в послевоенные годы, для установления структуры
соотношений пластического деформирования.
Другой путь состоит в наложении достаточно общих ограниче-
ограничений на структуру тензорных уравнений. Ранее (§ 16) отмечались
условия, при которых тензоры могут быть представлены векторами.
А. А. Ильюшин [13] выделил класс тензорных соотношений, имею-
имеющих соответствующую инвариантную векторную формулировку. Это
делает анализ наглядным, но не вполне общим.
Наконец, следует упомянуть о так называемых «физических тео-
теориях пластичности», в которых свойства среды выводятся на основе
анализа деформации отдельных кристаллов. Для сложного напряжен-
напряженного состояния подобная теория («теория скольжения») предложена
Батдорфом и Будянским [85]. Металл состоит из беспорядочно рас-
расположенных кристаллов. В каждом из них происходит пластическое
скольжение по некоторым плоскостям. Статистическое осреднение
скольжений приводит к соотношениям «напряжение — деформация»,
имеющим сложную структуру. Несколько иные варианты теории
скольжения развиты в работах А. К. Малмейстера [22] и других
§ 18]
ПОСТУЛАТ ДРУКЕРА
83
авторов. Заметим, что уравнения теории скольжения допускают чисто
феноменологическую трактовку [125].
Уравнения Батдорфа — Будянского, несмотря на сложность, не
описывают ряд важных свойств (например, эффект Баушингера). Для
учета этого эффекта необходимо дальнейшее усложнение теории.
* § 18. Постулат Друкера. Выпуклость поверхности
нагружения. Обоснование ассоциированного закона течения
1. Условие упрочнения и постулат Друкера. В предыдущих
параграфах неоднократно рассматривалась упрочняющаяся среда.
При этом имелась в виду среда, для которой в процессе деформа-
деформации предел упругости возрастает. Однако строгого определения
упрочнения не было дано. Между тем простые примеры убеждают
Аб<0
/
Риг.
As>0
б)
30.
Аб>0
| \
Ае<0
в)
нас в необходимости более четкого определения упрочняющегося
материала. На рис. 30 кривые а, е символизируют связь между на-
напряжениями и деформациями.
В случае а) материал действительно упрочняется. Здесь допол-
дополнительное нагружение Дет > 0 вызывает дополнительную деформа-
деформацию As > 0, произведение Да-Дв>0; дополнительное напряжение
Дет > 0 выполняет на дополнительной деформации Дв > 0 положи-
положительную работу, представленную на рисунке заштрихованным тре-
треугольником. Подобный материал условимся называть устойчивым.
В случае б) кривая деформации имеет нисходящую ветвь,
деформация продолжается при снижающемся напряжении. На этом
участке дополнительное напряжение Дст выполняет отрицательную
работу, т. е. Дст-Дв<0. Такой материал называется неустойчивым.
В случае в) с ростом напряжения деформация убывает, при
этом также Дсх-Дб<0. Этот случай противоречит закону сохране-
сохранения энергии, позволяя «бесплатно» извлекать полезную работу (на-
(например, при догрузке АР растягиваемый стержень несколько припод-
приподнимет груз Р).
84
УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. II
Деформация реальных материалов соответствует только первому
из этих случаев. Постулат Друкера обобщает приведенные сообра-
соображения и дает надлежащее определение упрочнения.
Рассмотрим элемент упрочняющейся среды, находящийся в неко-
некотором исходном напряженном состоянии о^. Приложим теперь к этому
элементу добавочные напряжения (вообще говоря, произвольной
величины) и затем снимем их. Предполагается, что изменения про-
происходят достаточно медленно, чтобы можно было считать процесс
изотермическим. Тогда постулируется, что
1. В процессе нагружения добавочные напряжения производят
положительную работу.
2. За весь цикл дополнительного нагружения и разгрузки доба-
добавочные напряжения выполняют положительную работу, если имели
место пластические деформации. Для упроч-
l' няющегося материала работа будет рав-
равна нулю только прн чисто упругих измене-
изменениях.
Еще раз подчеркнем, что здесь имеется
в виду не работа суммарных напряжений,
а лишь работа добавочных напряжений на
добавочных деформациях. Возвращаясь к
случаю б) на рис. 30, обратим внимание
на положительность работы напряжения а
(т. е. оАб > 0), хотя До*-Де<0. Согласно
постулату Друкера продолжение пласти-
пластической деформации упрочняющегося тела
требует приложения дополнительных усилий.
Постулат Друкера приводит к важным неравенствам.
Пусть Б — текущее положение поверхности нагружения (рис. 31).
Рассмотрим некоторый путь нагружения А —»- В —>¦ С. Начальной
точке А соответствует исходное напряженное состояние off, лежа-
лежащее внутри или на поверхности S. Точка В (напряженное состоя-
состояние Gjj) находится на поверхности Б. Из точки В производится
бесконечно малое догружение do*,-y-, вызывающее соответствующие
упругую деформацию йъец и пластическую деформацию dBfy. Че-
Через Б' обозначено новое близкое положение поверхности нагруже-
нагружения. Вернемся теперь в точку А каким-нибудь путем С —»¦ А. Со-
Согласно постулату Друкера работа добавочных напряжений за весь
цикл положительна, т. е.
Рис. 31.
Для замкнутого пути АВСА работа добавочных напряжений на
упругих деформациях dsf/ равна нулю, следовательно,
§ 18]
ПОСТУЛАТ ДРУКЕРА
85
Так как пластическая деформация происходит только на бесконечно
малом участке В —*- С, последнее неравенство принимает вид:
(CT.._ao.)de?.>O. A8.1)
Это неравенство иногда называется локальным принципом макси-
максимума. Для упрочняющегося материала равенство нулю здесь может
быть только при отсутствии пластических деформаций.
Рассмотрим теперь другой цикл, когда исходное напряженное
состояние будет состоянием о(у-, отвечающим точке В на поверх-
поверхности нагружения Б. Тогда в силу постулата Друкера будет:
Для процесса нагружения В —*- С
йаийг1}. > 0.
Для цикла нагружения и разгрузки В ¦
йвцс1грц > 0
A8.2)
A8.3)
(поскольку работа на упругих деформациях для замкнутого цикла
равна нулю).
2. Выпуклость поверхности нагружения и необходимость ас-
ассоциированного закона течения. Согласно неравенству A8.1) ска-
скалярное произведение вектора добавочных напряжений <т(-. — afj (век-
(вектор АВ на рис. 32) и вектора приращений пластической деформации
Рис. 32.
j положительно. Следовательно, в любом случае эти векторы
образуют между собой острый угол. Отсюда вытекают выпуклость
поверхности нагружения и ассоциированный закон течения (т. е.
нормальность вектора d&p?j к поверхности Б).
В самом деле, пусть поверхность нагружения Б выпукла (т. е.
Б лежит по одну сторону касательной плоскости (рис. 32, а) или
опорной плоскости, как для шестигранной призмы Треска — Сен-Ве-
нана). Условие A8.1) будет выполнено, только если вектор defy нор-
нормален к Б; иначе всегда найдется вектор а,у — <т'/, образующий
86
УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ
/
[ГЛ. II
Ф
тупой угол с dspj. Заметим, что dep-/ зависит от вида повермюсти
нагружения Б, но не от выбора точки А внутри Б.
Если же поверхность Б невыпуклая (рис. 32,6), то независимо от
наклона вектора ds^y к поверхности Б всегда можно так поде брать
точку А, что условие A8.1) будет нарушено.
Условие A8.1) налагает также определенные ограничения на пла-
пластическое теч.ение вдоль ребер поверхности нагружения и в ее кони-
конических точках. Ранее было при-
принято (§17), что течение на реб-
ребре является линейной комбина-
комбинацией течений слева н справа
от ребра, т. е. вектор defy
перпендикулярен к ребру и
лежит внутри угла, образован-
образованного нормалями к Б по обе
стороны от ребра (рис. 33, а).
Эта картина теперь следует из
условия A8.1). В случае кони-
Рис. 33. ческой точки вектор течения
ds/j на том же основании дол-
должен лежать внутри конуса, образованного нормалями к поверхности
нагружения вблизи острия (рис. 33,6).
3. Случай идеальной пластичности. В предыдущем параграфе
уже отмечалось, что случай идеальной пластичности, когда поверх-
поверхность нагружения (текучести) Б фиксирована, является предельным
случаем упрочнения, если все последовательные поверхности нагру-
нагружения стягиваются к начальному их положению. Если обратиться к
кривой деформации а, s, символизирующей связь между напряже-
напряжениями и деформациями, то для идеально пластического тела Аст = 0,
следовательно, Да-Де = 0. Теперь догружение datj лежит в каса-
касательной плоскости к поверхности текучести. Требование положитель-
положительности работы добавочных напряжений необходимо заменить требо-
требованием ее неотрицательности. При таком расширении постулат Дру-
кера остается верным и для идеально пластического материала.
Неравенство A8.1) справедливо со знаком^, следовательно, поверх-
поверхность текучести должна быть выпуклой. Точно так же вектор плас-
пластического течения de^ нормален к поверхности текучести, т. е. имеет
место ассоциированный закон течения.
Условие A8.3) в случае идеальной пластичности заменяется
равенством
О, A8.4)
выражающим ортогональность входящих сюда векторов. Это усло-
условие справедливо для процесса нагружения В—>¦ С и всего цикла
В-+С-+В.
§ 19] ОБ УРАВНЕНИЯХ ТЕРМОПЛАСТИЧНОСТИ 87
4. Заключительные замечания. Постулат Друкера, обобщающий,
в сущности, простые факты, приводит к важным выводам относи-
относительно выпуклости поверхности нагружения и необходимости ассо-
ассоциированного закона пластического течения. Очевидно, что уравне-
уравнения пластичности можно теперь строить иначе, чем это было сде-
сделано в предыдущих параграфах. Именно, достаточно исходить из
представления о поверхности нагружения и принять постулат Дру-
Друкера и условие непрерывности (§ 17). Из этих предположений урав-
уравнения пластического течения, рассмотренные в § 13, будут необхо-
необходимо вытекать.
Заметим, наконец, что неравенства A8.1), A8.2), следующие из
постулата Друкера, позволяют также просто подойти к установле-
установлению теорем единственности и экстремальных принципов (гл. VIII).
*§ 19. Об уравнениях термопластичности
Элементы многих машин и установок находятся под нагрузкой
в условиях высокой и часто нестационарной температуры. При этом
нередко возникают пластические деформации. При наличии темпе-
температурного поля анализ пластического поведения металлов значительно
усложняется, поскольку предел текучести зависит от температуры.
В дальнейшем предполагается, что температура не слишком высока,
так что мождо пренебрегать деформациями ползучести. Это условие
может быть ослаблено, если деформация происходит в течение малого
промежутка времени; тогда деформации ползучести не успевают
развиться и их можно не учитывать.
1. Уравнения теории пластического течения. При изменениях
температуры относительное изменение объема определяется извест-
известным соотношением
A9.1)
где k — коэффициент объемного сжатия, а — коэффициент линейного
теплового расширения, 8 — температура.
Компоненты девиатора деформации е,-у- не содержат, очевидно,
тепловых расширений, следовательно, приращения этих компонент
складываются из приращений упругих и пластических составляющих
деформации:
det^deij + de",,. A9.2)
Компоненты девиаторов напряжения и упругой деформации свя-
связаны законом Гука, т. е.
de}, = ±dSlJ, A9.3)
где G—модуль сдвига.
88 УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ [ГЛ. II
Рассмотрим теперь пластические составляющие dep?j. Как и в
изотермическом случае, в основе теории лежит представление о по-
поверхности погружения Б в пространстве напряжений, ограничиваю-
ограничивающей область упругих деформаций. В неизотермическом случае поверх-
поверхность нагружения зависит еще и от температуры, т. е. определяется
соотношением вида
f(SlJ,e,q,...) = O. A9.4)
Ограничимся обсуждением простого случая изотропного упрочне-
упрочнения, соответствующего условию A7.2). Тогда уравнение поверхности
нагружения можно записать в форме
f=SljSt/-<p(q,Q) = O. ¦ A9.5)
При развивающейся пластической деформации изображающая
точка находится на поверхности нагружения A9.5), поэтому
Рассмотрим критерий нагружения и разгрузки. Обозначим первые
два слагаемых в A9.6) через d'f.
Разгрузка. В этом случае изображающая точка устремляется
внутрь поверхности нагружения, т. е. rf/<0; пластические дефор-
деформации при этом остаются неизменными, следовательно, ij = 0 и
Нейтральные изменения. Если изображающая точка перемещается
по поверхности нагружения Б, то df=O. При этом пластические
деформации не происходят, т. е. dq = O. Тогда имеют место нейтраль-
нейтральные изменения. В этом случае
Нагружение. Если происходит пластическая деформация, изобра-
изображающая точка все время лежит на смещающейся поверхности 2, т. е.
df=0.
Пластическому нагружению отвечает условие
d'f=M,ds¦"+%dd>0-
Перейдем теперь к формулировке зависимостей для приращений
компонент пластической деформации. Как и в изотермическом случае
(§ 17), эти приращения должны быть пропорциональны величине d'f,
характеризующей переход от нагружения к разгрузке. Далее, и в
неизотермическом случае предполагается справедливым ассоцииро-
§ 19] ОБ УРАВНЕНИЯХ ТЕРМОПЛАСТИЧНОСТИ 89
ванный закон течения. Следовательно, вектор приращений defy дол-
должен быть направлен по нормали к поверхности нагружения Б в прост-
пространстве напряжений, т. е. величины defy должны быть пропорцио-
пропорциональны направляющим косинусам нормали к Б, т. е. производным
¦~. Итак,
dsi}
defy = 0 при d'/<0 (разгрузка),
где g > 0 — функция упрочнения, характеризующая уровень достиг-
достигнутого упрочнения и зависящая от истории деформирования и нагре-
нагревания. Функция g связана с уравнением поверхности нагружения
(см. § 17).
Построение уравнений термопластичности, справедливых в доста-
достаточно широком диапазоне изменения напряжений и температуры, свя-
связано со значительными трудностями. Различные аспекты этой проблемы
обсуждаются в работах [6> в9> 87>90].
2. Случай идеальной пластичности. Если упрочнение отсут-
отсутствует, поверхность текучести определяется уравнением вида
/(*;,, в) = 0.
В частности, при условии текучести Мизеса
/=4^,7-^(е) = 0, A9.8)
где предел текучести k является функцией температуры 8. Согласно
ассоциированному закону течения A6.7) и условию A9.8) находим:
defy = 0 при разгрузке, ^
deplI = dk-si/ при /=0 и d/=0, J l ''
где множитель d% пропорционален приращению работы пластической
деформации.
3. Уравнения деформационной теории. Здесь, как и в теории
течения, относительное изменение объема определяется соотношением
A9.1), а компоненты девиатора деформации складываются из компо-
компонент упругой и пластической деформации
e,7 = ^/ + efy. A9.10)
Компоненты девиатора упругой деформации следуют закону Гука
A9.3). Для компонент девиатора пластической деформации имеем
соотношения, аналогичные зависимостям A4.5):
«?/ = Ф*„, A9.11)
где в случае упрочнения ф = ф(Г, 0). Недостатки деформационной
теорий в неизотермическом саучае еще более заметны. Конечные
90 УРАВНЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ [ГЛ. II
изменения температуры приводят здесь к однозначным пластическим
деформациям. Тем не менее деформационная теория широко приме-
применяется для расчета тепловых напряжений за пределом упругости.
При этом, однако, должны соблюдаться значительные ограничения:
нагружение должно быть близким к простому, температура должна
изменяться монотонно.
Выше был рассмотрен случай упрочнения. Если имеет место иде-
идеальная пластичность, функция ф остается неопределенной, но добав-
добавляется условие текучести (например, условие текучести Мизеса
A9.8)).
4. Заключительные замечания. В тепловых задачах обычно нельзя
пренебрегать упругими деформациями. Тем ие менее в некоторых
случаях при развитом пластическом течении может быть использо-
использована жестко-пластическая схема.
Так же, как и в изотермическом случае, можно рассматривать
сингулярные поверхности нагружения (текучести). Можно, например,
взять шестигранную призму Треска — Сен-Венана. Для течения на
ребре сохраняются прежние представления (§§ 16, 17).
Решения частных задач и дальнейшие обобщения читатель най-
найдет в специальной литературе по термопластичности [5>74> 87>90].
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ II
1. Составить условие пластичности Мизеса для случая осесимметричной
деформации тонкостенной трубы (§ 7).
2. Составить условие пластичности Треска—Сен-Венана (тшах = const) для
тонкостенной замкнутой сферической оболочки, находящейся под действием
внутреннего давления.
3. Тонкостенная замкнутая сферическая оболочка, изготовленная из упроч-
упрочняющегося материала, испытывает действие внутреннего давления. Найти зави-
зависимость изменения диаметра оболочки от давления.
4. При одноосном растяжении уравнения деформационной теории (§_ 14)
и теории течения (§ 13) эквивалентны. Как связаны тогда функции g (Г)
и F (Г)?
5. Тонкий плоский лист равномерно растянут во всех направлениях в
своей плоскости. Составить условия текучести Мизеса и Треска—Сен-Веиана.
6. Тонкий плоский лист, лежащий в плоскости х, у, испытывает равно-
равномерное растяжение q в направлении х и равномерное сжатие р в направле-
направлении у. Составить условия текучести Мизеса и Треска—Сен-Венана. Как.
направлены площадки, на которых действует максимальное касательное нап-
напряжение?
7. В плоскости главных напряжений alt 0a кривая текучести определена
условиями \o1\=as, \a^\=as. Написать уравнения течения в различных
режимах по ассоциированному закону.
8. Найти функцию упрочнения g в случае поверхности нагружения вида
(s,7— ce?/) (si/—cePn) = K.
Глава III
УРАВНЕНИЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ.
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
§ 20. Система уравнений пластического равновесия
В областях упругой деформации справедлив закон Гука, поля
напряжений и деформаций описываются системой уравнений теории
упругости.
В областях пластической деформации имеют место уравнения
деформационной теории пластичности или теории пластического тече-
течения (или, быть может, более сложные соотношения). Здесь системы '
уравнений, характеризующие поля напряжений и деформаций, зна-
значительно сложнее. Рассмотрим кратко эти системы.
1. Деформационная теория пластичности. В этом случае для
нагружения получаем уравнения, внешне несколько схожие с урав-
уравнениями теории упругости. Здесь также можно указать уравнения
пластического равновесия, содержащие только смещения или только
напряжения.
Дифференциальные уравнения равновесия в смещениях, обобщаю-
обобщающие известные уравнения Ламе в теории упругости, можно соста-
составить следующим образом. Воспользуемся формулами A4.17)
a,7 = gLr C< ' '< B0.1)
где потенциал работы деформации П — функция компонент дефор-
деформации. Внося B0.1) в уравнения равновесия D.2), приходим к системе
трех уравнений:
'31lj-fpF. = O, B0.2)
Исключая отсюда компоненты деформации при помощи формул B.3),
получаем систему трех нелинейных дифференциальных уравнений в
частных производных второго порядка относительно неизвестных
функций и,-. Для состояний текучести и упрочнения системы будут
различные, так как различны потенциалы работы деформации. Если
для П взять выражение упругого потенциала A4.16), то уравнения
B0.2) приводятся к дифференциальным уравнениям Ламе.
Для получения системы уравнений в компонентах напряжения
необходимо к дифференциальным уравнениям равновесия присоединить
92 УРАВНЕНИЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. III
соотношения, аналогичные тождествам Бельтрами — Мичеля в
теории упругости. Для этого в условия совместности Сен-Венана
B.16) следует внести компоненты деформации по уравнениям Генки
A4.6). При этом в состоянии текучести нужно присоединить усло-
условие пластичности Мизеса, которое необходимо для определения функ-
функции 1]). В состоянии упрочнения функция о|э сразу определяется через
напряжения 2\f> = gG), а потому дополнительное соотношение излишне.
В развернутой форме соответствующие системы уравнений не
выписаны ввиду их сложности; в частных задачах удобнее состав-
составлять уравнения непосредственно.
Разумеется, к дифференциальным уравнениям пластического равно-
равновесия неприменимы классические методы интегрирования уравнений
теории упругости, однако рассмотренные уравнения хорошо под-
поддаются численным методам решения. Успешно используются также
различные приемы последовательных приближений. Разумеется, реа-
реализация этих методов связана, как правило, с применением электрон-
электронно-вычислительных машин.
Укажем здесь на удачные модификации разностного метода,
разработанные Саусвеллом [60]. Далее, вариационные формулировки
соответствующих краевых задач также могут быть использованы
для построения приближенных решений (см. §§ 67, 68).
Для решения нелинейных уравнений деформационной теории в
случае упрочнения применяют различные варианты метода последо-
последовательных приближений. Решение задач теории пластичности сво-
сводится при этом к решению последовательности линейных задач
каждая из которых может быть интерпретарована как некоторая
задача теории упругости («метод упругих решений» [12>86]).
Рассмотрим кратко некоторые из этих схем.
Метод дополнительных нагрузок. Запишем соотно-
соотношения A4.24) в форме
Отклонения от закона Гука определяются подчеркнутыми членами.
Внесем эти соотношения в дифференциальные уравнения равнове-
равновесия и граничные условия A.2), причем слагаемые, возникающие
из-за наличия подчеркнутых членов, перенесем в правые части урав-
уравнений и условимся считать их известными. Тогда полученные урав-
уравнения можно интерпретировать как уравнения теории упругости в
смещениях, но с дополнительными объемными и поверхностными
силами. В нулевом приближении полагаем эти дополнительные на-
нагрузки равными нулю и решаем задачу теории упругости. Найден-
Найденные значения U@) вносим в правые части и для определения первого
приближения решаем задачу теории упругости с вычисленными допол-
дополнительными нагрузками и т. д.
§ 211 УСЛОВИЯ НЕПРЕРЫВНОСТИ НА грАНИ-ЦЕ ОБЛАСТЕЙ 93
Метод дополнительных деформаций. Запишем соот-
соотношения A4.23) в форме
ьи=
и будем решать задачу в напряжениях. Дифференциальные уравне-
уравнения равновесия и граничные условия A.2) останутся без изменения,
уравнения же сплошности будут содержать дополнительные слагае-
слагаемые, которые можно интерпретировать как дополнительные дефор-
деформации и определять последовательными приближениями.
Метод переменных коэффициентов упругости.
Систему уравнений записывают в форме уравнений теории упругости
с переменными «коэффициентами упругости» и применяют метод после-
последовательного их вычисления.
Сходимость изложенных методов изучена лишь частично.
2. Теория пластического течения. Здесь уравнения значительно
сложнее. Так как уравнения пластического течения содержат компо-
компоненты напряжения и бесконечно малые приращения компонент напря-
напряжения, причем, как отмечалось ранее, в неинтегрируемой форме, то,
вообще говоря, не представляется возможным разрешить эти уравнения
относительно напряжений, следовательно, нельзя составить систему
уравнений в смещениях, аналогичную B0.2).
Система уравнений, содержащая только напряжения, может быть
составлена; однако, кроме производных по координатам от компонент
напряжения, она будет содержать также производные по координа-
координатам от бесконечно малых приращений компонент напряжения.
В частных задачах обычно применяют различные приемы чис-
численного интегрирования, прослеживая шаг за шагом развитие пласти-
пластического состояния при последовательных малых приращениях параметра
нагрузки. Примеры подобных расчетов можно найти в книге Хилла [54].
На каждом этапе необходимо решить некоторую задачу для упругого
анизотропного тела с переменными коэффициентами упругости (ос-
(осложненную, конечно, возможными областями разгрузки).
Задача несколько упрощается, если возможно пренебречь прира-
приращениями компонент упругой деформации но сравнению с приращениями
компонент пластической деформации.
§ 21. Условия непрерывности на границе упругой
и пластической областей
Пока интенсивность касательных напряжений Т нигде не дости-
достигает предела текучести xs, тело целиком пребывает в упругом состо-
состоянии; с возрастанием нагрузок в теле, вообще говоря, образуются
области пластичности, которые отделяются от упругой части тела
94
УРАВНЕНИЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ
[ГЛ. III
поверхностью
Ф = 0 или
= const = 2Q-,
B1.1)
если исходить из деформационной теории пластичности, и поверх-
поверхностью
Ар = 0, B1-2)
если исходить из уравнений теории течения1).
Выясним, как изменяются компоненты напряжения и деформации
при переходе через поверхность 2, разделяющую области Vv V2
различных состояний среды.
Проведем в произвольной точке этой поверхности прямоугольную
систему координат х, у, z так, чтобы ось z была направлена по
нормали к 2, а оси х, у лежали
в касательной плоскости (рис. 34).
Будем обозначать величины, от-
относящиеся к области Vv одним
штрихом, к области V2 — двумя
штрихами.
Уравнения равновесия элемен-
элемента поверхности 2 приводят, оче-
очевидно, к условиям
Z ZJ XZ XZi yz UZ'
B1.3)
Будем предполагать, что смеще-
смещения— непрерывные функции (т. е.
отсутствуют «трещины» и «про-
«проскальзывания»). Тогда произволь-
произвольно проведенная дуга на поверхности 2 должна обладать одним и
тем же удлинением независимо от того, с какой стороны прибли-
приближаются к 2; это требование будет выполнено, если на 2
Ех = е,х, Ёу = Еу, Уху = Уху B1.4)
Рассмотрим сначала уравнения деформационной теории; здесь
ф = 0 на 2, и из приведенных соотношений и уравнений Генки сле-
следует, что
<y'y-v(ox + o'z) = o"y-v(Jx + o'z), \ B1.5)
Рис. 34.
Используя первое соотношение B1.3), из уравнений B1.5) нахо-
находим, что о'х^а"х, а'у — а"у, т. е. на поверхности раздела 2 непрерывны
') Заметим, что ф и -ф (а также Ар) изменяются непрерывно, т. е. состоя-
состояние упругости непрерывно переходит в состояние пластичности.
§ 22] ОСТАТОЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ И НАПРЯЖЕНИЯ 95
все компоненты напряжения. Из уравнений Генки тогда вытекает
непрерывность на 2 всех компонент деформации.
Обратимся теперь к уравнениям теории пластического течения.
Для элементов, лежащих на 2 со стороны пластической зоны, ком-
компоненты пластической деформации равны нулю. Рассмотрим какую-
нибудь точку тела; сначала эта точка испытывает упругую дефор-
деформацию, с возрастанием нагрузок при достижении предела текучести
на точку надвигается поверхность раздела 2. Поскольку состояние
упругости непрерывно переходит в состояние текучести, компоненты
напряжения и деформации по обе стороны поверхности Б связаны
законом Гука. Но тогда рассуждения, относящиеся к предыдущему
случаю, полностью сохраняются вместе с заключением о непрерыв-
непрерывности всех компонент напряжения и деформации на 2.
Аналогичный анализ позволяет установить непрерывность компо-
компонент напряжения и деформации и при переходе из состояния текучести
в состояние упрочнения.
§ 22. Остаточные деформации и напряжения
Если при нагружении тело испытало неоднородную деформацию,
то разгрузка, вообще говоря, будет сопровождаться появлением не
только остаточных деформаций, но и остаточных напряжений.
Пусть состоянию максимального нагружения (схематически его
можно представить точкой В на рис. 18, а), за которым последовала
разгрузка, соответствуют внешние силы — объемные F, поверхност-
поверхностные Fn, компоненты напряжения Су и компоненты деформации 8,-у-.
При разгрузке тело подчиняется закону Гука (§ 11); пусть разгрузка
заканчивается обращением в нуль всех внешних сил, при этом тело
получает остаточные напряжения ajy и остаточные деформации е^-.
Считая деформации малыми, представим себе разгрузку как приложение
обратных сил —F, —Fn.
Исходные напряжения а(]- и деформации 8,-у можно рассматривать
как некоторые начальные (собственные) напряжения и деформации
тела. Известно, что при малых упругих деформациях (когда, как
правило, справедлив принцип суперпозиции действий нагрузок) нали-
наличие начальных напряжений и деформаций не отражается на величинах
напряжений и деформаций, вызываемых внешними силами. Другими
словами, упругие напряжения и деформации, вызываемые внешними
силами, можно определять, считая, что в теле нет никаких начальных
напряжений и деформаций1).
х) В связи с этим в теории упругости принимается, что при отсутствии
внешних сил в теле нет деформаций и напряжений (гипотеза о естественном
состоянии тела.)
96
УРАВНЕНИЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ
[ГЛ. III
Таким образом, напряжения а*ц и деформации е*;-, отвечающие
мысленно прилагаемым силам —F, —Fn, можно найти, не обращая
внимания на исходное распределение напряжений <т,у и деформаций е,-у-.
Благодаря возможности наложения остаточные напряжения и дефор-
деформации равны соответствующим суммам:
Остаточные смещения и° будут, очевидно, равны
B2.1)
B2.2)
Результаты имеют смысл лишь до тех пор, пока при разгрузке
не нарушается закон Гука, т. е. пока интенсивность остаточных на-
напряжений Г° не превышает некоторого значения, зависящего от
свойств материала. Если это условие нарушается, то разгрузка
сопровождается вторичными пластическими деформациями. Анализ
разгрузки в этом случае заметно усложняется (см. [24> 84]).
Рассмотрим в качестве простого примера систему, состоящую из трех
стержней одинаковой длины I и одинаковой площади поперечного сечения F
(рис. 35). Будем считать вертикальный стержень лишним, пусть х —напряже-
—напряжение в нем. Из условий равновесия находим, что
напряжения в стержнях будут
> = ^ B2.3)
Для упругой системы
s1=s3—-g- p;
B2.4)
„ При p — -?rOs стержень 2 переходит в пла-
НИС. ои. Z
стическое состояние, тогда зг—о3. Напряжения в
стержнях в упруго-пластической системе равны
—as.
B2.5)
Это решение верно до тех пор, пока s1 = s3*Soy> при s1=ss = as дости-
достигается предельная нагрузка, вся решетка переходит в пластическое состояние.
Таким образом, p^2as-
Вычитая из B2.5) напряжения B2.4) в упругом состоянии, найдем оста-
остаточные напряжения
Вследствие условия p^2os в рассматриваемом примере вторичные пла-
пластические деформации при разгрузке не возникнут
§ 23]
ЖЕСТКО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЛО
97
§ 23. Жестко-пластическое тело
Лри достаточно малых нагрузках тело находится в упругом со-
состоянии. С возрастанием нагрузок в теле возникают области пласти-
пластической деформации; для неупрочняющегося материала, рассматривае-
рассматриваемого в этом параграфе, это будут области текучести. Границы по-
последних заранее неизвестны и определяются из условий непрерывно-
непрерывности (§ 21). Математические трудности, возникающие при решении
подобных смешанных задач, весьма велики; известны решения лишь
Рис. 36.
для простейших случаев. В связи с этим приобретают важное злачение
дальнейшие возможные упрощения в постановке задачи.
Прежде всего следует упомянуть о часто используемом допуще-
допущении несжимаемости материала (k = 0). Это приводит к заметному
упрощению уравнений и во многих вопросах является вполне прием-
приемлемым приближением. Однако основная трудность, заключающаяся
в необходимости решения смешанной упруго-пластической за-
задачи, не устраняется.
В последнее время получила значительное развитие схема жест-
жестко-пластического тела; в этой схеме полностью пренебрегают упругими
деформациями. Тогда уравнения пластического состояния существенно
упрощаются; это будут, например, уравнения Сен-Венана — Мизеса
A3.12).
Иными словами, для модуля упругости принимается бесконечное
значение (Е—>¦ со), что соответствует переходу от кривой деформа-
деформации с упругим участком (рис. 36, а) к кривой деформации с одной
лишь площадкой текучести (рис. 36, б). Пунктирные линии со стрел-
стрелкой показывают, как протекает в обоих случаях разгрузка.
В такой постановке тело остается совершенно недеформируемым
(«жестким»), пока напряженное состояние в нем не станет где-либо
4 Л. М. Качанов
98 УРАВНЕНИЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ [гЛ. III
удовлетворять условию текучести и не возникнет возможность пла-
пластического течения. При этом некоторые части тела останутся
жесткими, и нужно найти такие решения в пластических зонах, чтобы
скорости на их границах соответствовали скоростям движения жест-
жестких частей.
Естественно, что эта схема не всегда пригодна. Она приведет
к подходящему приближенному решению, если пластическая область
такова, что ничто не сдерживает развития пластических деформаций.
Примером такого рода может служить задача о растяжении полосы
с достаточно большим отверстием (рис. 102 и 103); здесь пластиче-
пластическая деформация локализуется в ослабленном сечении. Благодаря
этому пластические деформации могут значительно превзойти упругие,
что оправдывает использование схемы жестко-пластического тела.
Если же пластическая область заключена внутри упругой (как в
случае пространства со сферической полостью под действием внут-
внутреннего давления, рис. 41) или же пластическое течение затруднено
вследствие особенностей геометрической формы тела или специаль-
специального характера граничных условий, то схема жестко-пластического
тела может привести к значительным погрешностям.
Последовательная интерпретация схемы жестко-пластического тела
связана с рядом затруднений. Прежде всего отметим, что решение,
построенное по этой схеме, вообще говоря, может не совпадать
с решением такой же упруго-пластической задачи при Е—>- оо.
В ряде случаев (например, при чистом изгибе стержня) упругие обла-
области исчезают лишь при бесконечно большой кривизне, т. е. указан-
указанный предельный переход требует анализа больших деформаций (или
же формулировки особых условий одновременного возрастания Е).
Отсутствуют теоремы, которые позволили бы судить о близости
решений упруго-пластических задач к решениям жестко-пластиче-
жестко-пластических. Далее, требуется, чтобы напряжения в жестких частях имели
приемлемый характер при продолжении их из пластической зоны и
не достигали условия текучести, т. е. чтобы было Т <С %s. Это условие
трудно проверить, так как в жестких частях распределение напря-
напряжений неопределенное. С этим обстоятельством связано характерное
для жестко-пластической схемы отсутствие единственности поля ско-
скоростей.
Тем не менее концепция жестко-пластического тела уже позволила
построить ряд новых решений (не только статических задач, но и
динамических; см., например, § 78), хорошо подтвержденных опытами, и
более правильно сформулировать многие задачи теории пластичности.
В заключение заметим, что, подобно схеме жестко-пластического
тела (характеризуемого площадкой текучести), иногда вводится схема
жестко-упрочняющегося тела, показанная на рис. 36, г, для случая
линейного упрочнения. Здесь также полностью пренебрегают упру-
упругими деформациями.
§ 24] УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК
§ 24. Упруго-пластический изгиб балок
99
Рассмотрим задачу упруго-пластического изгиба балок; для про-
простоты примем, что сечение балки обладает двумя осями симметрии
(рис. 37).
1. Чистый изгиб. Рассмотрим чистый изгиб балки постоянного
сечения. Пусть все компоненты напряжения, кроме ах, равны нулю,
причем ах является функцией лишь координаты у. Для упругой балки
М
где М—изгибающий момент, a J — момент инерции сечения
Мпригов
Мпруга-пласт.
СЕченив
Рис. 37.
В пластических зонах при отсутствии упрочнения имеем согласно
условию текучести
Очевидно, что при возрастающем М нагружение каждого элемента
является простым, и следовательно, можно исходить из уравнений
деформационной теории.
Нетрудно видеть, что по гипотезе плоских сечений и уравнениям
этой теории компоненты деформации будут
' Туг Ухг
где v = v(x) — смещение оси балки (прогиб). Так как компоненты
деформации являются линейными функциями координаты у, то тож-
тождества Сен-Венана удовлетворяются. Точно так же удовлетворяются
100 УРАВНЕНИЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. III
условия непрерывности на поверхности раздела. Таким образом1),
о Л
при
;с.
a,-sign .у при \у\:
B4.1)
где ?—расстояние в данном сечении от нейтральной плоскости балки
до зоны текучести. Изгибающий момент М предполагается положи-
положительным; при отрицательном моменте следует поставить знак минус
перед as.
Момент напряжений равен изгибающему моменту
B4.2)
1
где Je — момент инерции упругого ядра, a ~^Sp — статический мо-
момент одной из пластических зон относительно оси z:
Е h
Здесь Ь(у) —ширина сечения, а 2h — полная высота профиля. Итак,
сечению заданной формы отвечает определенная зависимость
уИ = уИ(?) или, обратно, Z, = Z,(M).
По закону Гука для упругого ядра
имеем:
На границе упругого ядра У=?,
ах = as, поэтому кривизна оси балки
определяется уравнением
d?v as I
-IN
Рис. 38.
Е ЦМ) ¦
B4.3)
Полученное решение удовлетворяет всем уравнениям упруго-пласти-
упруго-пластического равновесия. При отрицательном моменте следует изменить
знак перед as.
При снятии изгибающего момента в балке возникают остаточные
деформации и напряжения, определяемые по схеме, изложенной
в § 22. Пусть данному изгибающему моменту М отвечает упруго-
пластическое распределение напряжений ох (сплошная линия на
рис. 38, а). На этом же графике пунктиром показано распределение
напряжений — а*х в упругой балке при том же изгибающем моменте.
1) Функция sign у определена равенствами: sign y=
sign у = — 1 при у < 0, sign 0=0.
при у > 0,
§ 24] УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ БАЛОК 101
Вычитая эти эпюры, находим график остаточных напряжений о%
(рис. 38, б). Остаточная кривизна балки получится вычитанием кри-
кривизны упругой балки из кривизны упруго-пластической балки.
С возрастанием изгибающего момента зона пластических дефор-
деформаций расширяется (т. е. g уменьшается); в пределе ^ = 0 и изги-
изгибающий момент равен
B4.4)
Это значение изгибающего момента называется предельным; оно
соответствует вполне пластическому состоянию балки, когда эпюра
напряжений в сечениях балки имеет вид,- показанный на рис. 39.
При этом нейтральная плоскость является плоскостью разры-
разрыва напряжения, а кривизна для предельного состояния обращается
в бесконечность. Следует, однако, подчеркнуть, что уже при сравни-
сравнительно небольших пластических деформациях изгибающий момент
близок к предельному, стало быть, понятие пре-
предельного момента сохраняет практическое значе-
значение.
Рассмотрим пример прямоугольного сечения;
здесь
B4.5)
Z 1 -oj
Отсюда видно, что уже при —- = -х- изгибающий
Рис 39
момент отличается от предельного менее чем на 4 %.
2. Поперечный изгиб. Изгиб при действии поперечных нагрузок
более сложен и сопровождается, в частности, касательными напря-
напряжениями хху; однако для обычных приложений (т. е. для достаточ-
достаточно длинных балок) ими можно пренебречь так же, как это прово-
проводится в сопротивлении материалов. Это объясняется тем, что гипо-
гипотезы теории тонких стержней носят в основном геометрический
характер.
Изгибающий момент изменяется по длине балки и ? также пере-
переменно. Расположение пластических зон по длине балки заданного
сечения легко вычисляется, если в зависимость ? = ? (М) внести
изгибающий момент в функции х. Необходимо различать отрезки балки,
деформируемые упруго, и отрезки балки, испытывающие упруго-пла-
упруго-пластическую деформацию (рис. 37). На первых справедливо дифферен-
дифференциальное уравнение прогиба упругой балки, на упруго-пластических
отрезках балки следует исходить из дифференциального уравнения
B4.3). При этом для статически определимых задач правая часть
уравнения будет известной функцией х; в статически неопределимых
задачах необходимо ввести лишние неизвестные. В обоих случаях
дифференциальное уравнение B4.3) легко интегрируется. В точках
102
УРАВНЕНИЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ
[ГЛ. (II
сопряжения упругих и упруго-пластических отрезков должны быть
непрерывны прогиб и угол наклона касательной к упругой линии.
Предельный момент находится по прежней формуле B4.2); в отли-
отличие от чистого изгиба здесь характерно появление «пластического
шарнира», образующегося в сечении, испытывающем действие макси-
мального;изгибающего момента.
2Р В качестве примера рас-
рассмотрим изгиб балки прямо-
прямоугольного сечения сосредото-
сосредоточенной силой 2Р (рис. 40).
Здесь
= P/(l-f
Таким образом, границей раз-
раздела является парабола; в пре-
предельном состоянии вершина
параболы проходит через на-
начало координат. Значение пре-
предельной нагрузки находится
по условию образования пла-
пластического шарнира (? = 0)
Рис. 40.
В этот момент несущая способность балки исчерпывается, балка
превращается в «механизм» с пластическим шарниром (рис. 40, б).
При этом длина упруго-пластического отрезка 2/х достигает макси-
максимального значения 2-0,3/.
Естественно принимать, что предельная нагрузка является разру-
разрушающей для балки и что при подборе прочных размеров последней
следует исходить из некоторого коэффициента запаса к предельной
нагрузке.
Метод расчета по предельным нагрузкам обладает существенным
преимуществом перед методом расчета по предельным (максимальным)
напряжениям. Последние носят локальный характер и не характеризуют
прочности всей конструкции, если она изготовлена из пластичного
металла и работает при спокойной нагрузке; в этих условиях мест-
местные перенапряжения не опасны, и учет их по упругой схеме дает
неправильное представление о запасе прочности конструкции.
Экспериментальные данные хорошо подтверждают как расположение пла
стических зон, так и величины прогибов и предельных моментов. Приведенные
выше результаты легко обобщаются на сечения с одной осью симметрии.
Нетрудно также приближенно учесть касательные напряжения при изгибе.
§ 25] ПОЛЫЙ ШАР ПОД ДЕЙСТВИЕМ ДАВЛЕНИЯ 103
Расчет балок и рам по предельным нагрузкам получил широкое распро-
распространение и излагается в ряде монографий. Укажем здесь, в частности, на книги
А. А. Гвоздева ['], Б. Нила [гб], Ф. Ходжа [56]; там же можно найти и об-
обширные литературные ссылки. См. также работу Г. С. Шапиро [17°].
Интересно проследить поведение балки, если исходить из модели
жестко-пластического тела (§ 23). По этой схеме балка остается
жесткой (недеформируемой), пока изгибающий момент не достигнет
предельного значения Мт. Тогда возникает пластическая деформация
в сечении под силой и балка «надламывается» (рис. 40, в). Локали-
Локализация пластических деформаций в одном сечении связана, конечно,
с тем, что балка рассматривается как одномерный континуум и не-
неучитываются касательные напряжения. Более полная картина пре-
предельного равновесия жестко-пластической балки будет рассмотрена
далее (в гл. V).
3. Изгиб балок из упрочняющегося материала. Изгиб балок из
упрочняющегося материала может быть рассмотрен на основе предпо-
предположений, аналогичных предположениям, изложенным выше; мы не
останавливаемся на этом вопросе, отсылая к литературным источни-
источникам [25.28]
Заметим, что при незначительном упрочнении изгиб балок можно
рассматривать по выведенным выше формулам, если ввести напряже-
напряжение os как среднее напряжение на участке упрочнения в интервале
рассматриваемых деформаций.
§ 25. Полый шар под действием давления
1. Постановка задачи. Рассмотрим упруго-пластическое равно-
равновесие полого шара, испытывающего внутреннее давление р. Вслед-
Вследствие центральной симметрии (г, ф, % — сферические координаты)
сдвиги yr9, yvv, yVr и касательные напряжения тгф, тФХ, т/г равны
нулю, а еф = ех, о"ф = ау. При этом каждый элемент шара испытывает
простое нагружение, так как главные направления не меняются, а
коэффициент (ia=±l (верхний знак относится к случаю о"г > аф,
нижний — к случаю о"ф < ог). Таким образом, при решении этой задачи
можно исходить непосредственно из уравнений деформационной теории.
Интенсивность касательных напряжений в'~р1Гссматриваемой задаче
равна
Нормальные напряжения ат, стф удовлетворяют уравнению равно-
равновесия
dor , 0 аг—аФ п
IF +2~ °« B5.1)
104 УРАВНЕНИЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ
а компоненты деформации
[гл. ш
где и — радиальное смещение, удовлетворяют условию сплошности
$ + *=* = <>¦ B5-2)
Граничные условия имеют вид:
при г = а
при г = b
B5.3)
B5.4)
2. Начальное упругое состояние. Если давление невелико, то шар
находится в упругом состоя-
состоянии.
Используя выписанные вы-
выше уравнения и закон Гука,
нетрудно найти решение:
•>-[('-$)¦
B5.5)
где
Рис. 41. Распределение напряжений
показано на рис. 41 пунктиром.
Интенсивность касательных напряжений
максимальна при г=а.
Для давлений
-р<1
s—Ро
шар пребывает в упругом состоянии. При р=Р0 материал шара
переходит в пластическое состояние на внутренней поверхности г = а.
При дальнейшем возрастании область пластических деформаций будет
расширяться.
§ 25] ПОЛЫЙ ШАР ПОД ДЕЙСТВИЕМ ДАВЛЕНИЯ 105
3. Упруго-пластическое состояние. Условие текучести(упрочне-
текучести(упрочнением мы пренебрегаем) имеет вид
o9-or = ±os. B5.6)
Знак разности ащ — аг при возникновении пластических деформаций
нам известен по решению упругой задачи B5.5). С увеличением
давления зона пластичности будет расти, но знак аф—ог в ней оста-
останется тот же в силу непрерывности Т. Заметим, что этот способ
выбора знака основывается на знании «истории» возникновения пла-
пластической зоны и применим, конечно, и в других задачах; итак,
<*9 — °г = + <**• B5-7)
С помощью этого условия приводим уравнение равновесия к виду
dr
откуда сразу находим:
где С, — произвольная постоянная. Определяя ее из граничного усло-
условия B5.3), получаем:
crr = 2cr,lnif-M B5.8)
)
Здесь мы встречаемся с примером «статически определимой задачи»,
когда напряжения в зоне текучести вполне определяются уравнениями
равновесия и условием текучести (без рассмотрения деформаций).
Статически определимые задачи составляют важный класс задач,
характерный для состояния текучести.
Для определения деформаций и смещений в зоне текучести вос-
воспользуемся соотношениями Генки:
*, = ? = * {or-o) }
и f B5-9)
e<p = y = iMOq, — a)+ka. )
Так как компоненты деформации должны удовлетворять условию
сплошности B5.2), то, подставляя в него ег, еф из B5.9), аг, 0"<р из
B5.8), получим дифференциальное уравнение
Ё
drt
106 УРАВНЕНИЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. III
решение которого имеет вид
^, B5.10)
где С2 —произвольная постоянная.
Для решения смешанной упруго-пластической задачи необходимо
написать решение упругой задачи для области (c^r^ft), где гра-
граница с подлежит определению. Это решение мы получим из формул
B5.5), если подставим в них вместо —р и а значения дне, где q —
напряжение аг на границе областей упругости и текучести.
Для определения неизвестных постоянных с, q, C2 имеем условие
непрерывности состояния
Ч> = 2^ ПРИ Г = С>
условие непрерывности радиального напряжения
аг I г=с-0 =
и условие непрерывности смещения
Согласно первому из этих условий находим:
Остальные условия приводят к уравнениям
%_\_ (ас_у'=_Р__± \ B5Л1)
а 3 [ b ) 2as 3 ' j
Ha рис. 41 показано распределение напряжения стф в упруго-пласти-
упруго-пластическом состоянии.
4. Влияние сжимаемости. Полученное решение позволяет оценить
влияние сжимаемости материала. Прежде всего отметим, что напря-
напряжения в упругой и пластической зонах, так же как и радиус распро-
распространения последней, не зависят от коэффициента объемного сжа-
сжатия k. Далее, из B5.5) находим для упругой зоны отношение сме-
смещения и к смещению и' для несжимаемого шара (k = 0)
Максимум этого отношения при v = 0,3 достигается при r = b и равен
1,615; таким образом, в данной упруго-пластической задаче смещения
заметно зависят от величины коэффициента Пуассона.
§ 25] ПОЛЫЙ ШАР ПОД ДЕЙСТВИЕМ ДАВЛЕНИЯ 107
Можно, по-видимому, считать, что и в других задачах пренебре-
пренебрежение изменениями объема вносит несущественные погрешности
в определение основных составляющих напряженного состояния, если
на поверхности тела заданы нагрузки.
5. Остаточные напряжения и деформации. Пусть давление р
снято, тогда в шаре возникнут остаточные деформации и напряжения.
Для их определения надлежит найти напряжения а*, а* в упругом
шаре, испытывающем растяжение р. Эти напряжения определяются
формулами B5.5), если в них заменить знак перед р на обратный.
На основании B2.1) остаточные напряжения имеют вид:
B5.12)
где положено
сз
Эти формулы справедливы до тех пор, пока интенсивность оста-
остаточных касательных напряжений не превысит предела текучести
(согласно условию 7° < т^). Так как maxlcr"—ст^ достигается при
г—а, то полученные формулы, как нетрудно видеть, справедливы при
~р<2р0. B5.13)
Распределение остаточных напряжений ст° дано в левой части рис. 41;
вблизи полости остаточные напряжения — сжимающие.
Если теперь вновь сообщить давление, не превышающее первона-
первоначального, то новые пластические деформации в шаре не произойдут.
В самом деле, при новом нагружении вначале будут возникать допол-
дополнительные -напряжения и деформации согласно уравнениям теории
упругости, независимо от наличия собственных напряжений. Однако
достижение предела упругости будет определяться также величиной
собственных (в данном случае остаточных) напряжений, которые
должны быть прибавлены к напряжениям, вызванным новым нагруже-
нием. Шар как бы упрочнился по сравнению с первым его нагружением.
Это явление называется упрочнением конструкции, или автофре-
тажем. Оно широко используется в технике для повышения выно-
выносливости конструкций путем предварительного пластического деформи-
деформирования. Часто говорят также о приспособляемости. Конструкция
108 УРАВНЕНИЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. III
приспосабливается к переменной нагрузке за счет возникновения
благоприятного поля остаточных напряжений. Условие B5.13) в данной
задаче определяет область приспособляемости. Общие теоремы при-
приспособляемости излагаются в гл. IX.
6. Предельная нагрузка. Будем увеличивать давление р, при этом
пластическая зона будет возрастать (с—>Ь), пока не достигнет на-
наружной поверхности шара (с — b). Тогда решение B5.8) будет спра-
справедливо вплоть до r — b; в силу граничного условия B5.4) имеем:
Это уравнение определяет предельное давление, при котором шар
будет полностью в состоянии текучести:
Подчеркнем, что предельное давление находится очень просто —не
требуется рассмотрения упругих решений, а в нашей задаче не нужно
даже рассматривать дефор-
деформаций.
Если мы обратимся к
смещениям наружной по-
поверхности шара, то вначале,
когда шар находится в
упругом состоянии, смеще-
смещение пропорционально давле-
давлению, затем имеется переход-
переходной участок, соответствую-
соответствующий упруго-пластическому
рИс 42 состоянию (рис. 42). При
достижении предельного
значения р„ смещение равно и„ (рис. 42); в дальнейшем смещение
становится неопределенным, так как содержит функцию г|э с по-
постоянной интегрирования С2; для нахождения последней в чисто пла-
пластическом состоянии мы не располагаем никакими условиями (нужно
дополнительно задать смещение, например, при г—а).
Таким образом, по достижении предельной нагрузки/?„ шар теряет
способность сопротивляться возрастающим внешним силам; он «рас-
«расползается», его несущая способность исчерпана. При рассмотрении
прочности шара под действием статического давления естественно
ориентироваться на предельную нагрузку р„ введя некоторый
коэффициент запаса. Заметим, что схема жестко-пластического тела
приводит к такой же величине предельной нагрузки.
- f
p*
Po
0
/
/
1
и
§ 25J ПОЛЫЙ ШАР ПОД ДЕЙСТВИЕМ ДАВЛЕНИЯ 109
7. Решение задачи в смещениях. Решение рассматриваемой задачи
нетрудно получить и в смещениях. Согласно A4.20)
Внося сюда значения компонент деформации и подставляя затем оп сгч.
в уравнение равновесия B5.1), получаем дифференциальное уравнение
г Н7* + 2r dF~~2u+ 6ka«r = 0;
его решение
и = C[r + C'2^Ib2kasr In г,
где С'1г С'2 — произвольные постоянные. Дальнейшие выкладки сво-
сводятся к определению произвольных постоянных из условий непрерыв-
непрерывности при г—с и граничного условия при г=а и приводят к прежним
результатам.
8. Пластическая деформация вокруг сферической полости
в неограниченном теле. Наложим на предыдущие решения в упругой
и пластической областях равномерное всестороннее растяжение -{-р.
Условие пластичности при этом не изменится, и в зоне текучести
будет
ст„ = аг
Внутренняя поверхность сферы свободна от напряжений, к наруж-
наружной же поверхности приложены растягивающие напряжения/?. Устрем-
Устремляя b-—s-oo, получим соответственно выписанному ранее решению,
что в упругой части пространства
1 с3
с<р=,р—-g-(?—/>) Тз"
Соотношения B5.11) принимают вид:
2 / р
Так как с^а, то условие возникновения зоны текучести будет
110
УРАВНЕНИЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ
[ГЛ. III
Рис. 43.
Распределение напряжений показано на рис. 43 сплошными линиями.
Пунктиром изображены напряжения в идеально упругом теле. Таким
образом, коэффициент концентрации напряжений вследствие пласти-
пластической деформации снижается. В нижней части рис. 43 показана
эпюра остаточного напряжения а0.
Заметим, что для шара задача ре-
решается в квадратурах при наличии упроч-
упрочнения, температурного перепада и объем-
объемных сил [16]. Рассмотрен также случай
больших деформаций полого шара (см.,
например, книгу Хилла [54]).
§ 26. Цилиндрическая труба
под действием давления
1. Постановка задачи. Цилиндриче-
Цилиндрическая труба (сосуд), испытывающая внут-
внутреннее давление, является важным эле-
элементом многих машин и сооружений;
естественно, что вопросу о расчете пласти-
пластической деформации трубы посвящено
большое число теоретических и экспериментальных исследований. Стро-
Строгий анализ пластических деформаций трубы представляет значитель-
значительные трудности и реализуется численными способами или методом
последовательных приближений. Однако можно получить простое
приближенное решение, если воспользоваться некоторыми упроще-
упрощениями, подтверждаемыми результатами численного интегрирования.
Ниже подробно рассматривается длинная труба с донышками;
тогда по оси трубы действует усилие, равное рпа2, где а — внут-
внутренний радиус трубы. Другие случаи кратко обсуждаются в конце
параграфа.
2. Начальное упругое состояние. Распределение напряжений
в упругой трубе описывается известным решением Ламе:
B6.1)
где
Графики напряжений показаны на рис. 44 пунктиром.
§ 26]
ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ТРУБА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ДАВЛЕНИЯ
111
Вычисляя с помощью формул B6.1) интенсивность касательных
напряжений, легко находим по условию текучести, что пластическое
Предельное
состояние
Рис. 44.
состояние достигается на внутренней поверхности трубы при давлении
3. Случай тонкостенной трубы. Чисто пластическое состояние
для тонкостенной трубы характеризуется напряжениями:
О,
, Ра
' Ъ—а
причем
4. Упруго-пластическое состояние толстостенной трубы. Как
уже указывалось, точное решение этой задачи связано со значитель-
значительными трудностями. Приближенное решение основывается наследующих
соображениях, которые подтверждаются решениями, найденными чис-
численным интегрированием.
В упругом состоянии oz есть половина суммы Gr-\-ov; это верно
также и для чисто пластического состояния тонкостенной трубы.
Можно принять, что и в других случаях 2(Тг = аг + (Тф. Тогда пара-
параметр (г„ постоянен (ца = 0), следовательно, нагружение является
простым, и можно непосредственно исходить из уравнений дефор-
деформационной теории пластичности. Заметим, что среднее давление o—az.
112 УРАВНЕНИЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. III
Пластическая деформация развивается в кольце а-
В упругой зоне c^r^.b справедливы формулы B6.1), если
вместо р внести
- __ — qc*
q~ Ь2 — С* >
где q есть радиальное напряжение на линии раздела г = с.
В пластической зоне имеем дифференциальное уравнение равно-
равновесия
dar . ar—стер „
dr •" г
Условие текучести Мизеса в нашем случае принимает вид
аф-сг, = 2т,. B6.2)
Но тогда дифференциальное уравнение сразу интегрируется; исполь-
используя граничное условие crr = —р при г = а, получаем:
сгг = —p-j-2Tyln — , сгф = or-{- 2tj. B6.3)
Распределение напряжений показано на рис. 44 сплошными линиями
(слева — в предельном состоянии, справа — сгф в упруго-пластнческом
состоянии).
На линии раздела г = с напряжения аг, сгф должны быть непре-
непрерывны; эти условия будут выполнены, если с удовлетворяет уравнению
=ws- B6-4)
Отсюда находится радиус с пластической зоны; далее, согласно
B6.3) вычисляется q и становятся известными напряжения в упру-
упругой области. Из закона Гука
получаем смещения в упругой области.
По соотношениям Генки компоненты деформации в пластической
зоне равны
er = ka — т/ф, еф== ka + %^.
Внося эти значения в условие сплошности
de.o eo—ег
§ 26] ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ТРУБА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ДАВЛЕНИЯ 113
и вычисляя среднее давление с помощью формул B6.3), получаем
для функции ф дифференциальное уравнение
Отсюда находим, что
где С—произвольная постоянная.
Необходимо еще удовлетворить условию непрерывного перехода
пластического состояния в упругое 1|> = птт ПРИ г = с и условию не-
непрерывности смещения и при г = с. Так как среднее давление о
непрерывно, то при г = с из второго условия следует, что
Но на линии раздела выполняется условие текучести; отсюда
екает, что при г = с ^ = 9^7 т.
оба условия будут выполнены, если
вытекает, что при г = с ^ = 9^7 т. е. первое условие. Стало быть,
Относительное осевое удлинение равно ег = &а и для длинной трубы
должно быть постоянным. В полученном приближенном решении это
условие не выполняется в пластической зоне. Для несжимаемого
материала (& = 0) решение является точным, так как г2 = 0.
5. Предельное состояние. Предельное состояние достигается
при с = Ь; из B6.4) получаем предельное давление
* s a
Эта формула широко применяется в расчетах прочности толсто-
толстостенных цилиндрических труб и сосудов. Распределение напряжений
ог, (Т9 в предельном состоянии показано в левой части рис. 44.
6. Другие случаи. Кратко остановимся на других случаях плас-
пластической деформации трубы.
Если труба испытывает плоскую деформацию, то нужно исходить
из условия ег = 0. Тогда для несжимаемого материала спразедливо
решение, изложенное выше (для трубы с доньями). Относительное
удлинение будет малым при учете сжимаемости; это обстоятельство
позволяет рекомендовать предыдущее решение для аг, а^ как при-
приближенное и для случая плоской деформации.
114 УРАВНЕНИЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. III
Если концы трубы свободны, то осевое усилие равно нулю.
В этом случае хорошие результаты дает приближенное решение, ос-
основанное на предположении az = 0.
Заметим, что во всех случаях точные расчеты по теории плас-
пластического течения и деформационной теории дают близкие резуль-
результаты.
7. Заключительные замечания. Как уже указывалось, рассматриваемая
задача изучена многими исследователями. Учет упрочнения не связан ее
сколько-нибудь значительными дополнительными трудностями.
Численные способы расчета трубы по теории пластического течения рас-
рассматривали Хилл, Ли, Тапер [м] и Томас [194]; в деформационной теории
численные методы указаны В. В. Соколовским [44], Аленом и Сапвичем [17в]
и др. Большие деформации трубы рассмотрены в работе [54]. Влияние темпе-
температурных напряжений также изучено.
Различным вопросам упруго-пластической деформации полых цилиндров
посвящена книга А. А. Ильюшина и П. М. Огибалова [16].
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ III
1. Рассмотреть изгиб консоли прямоугольного поперечного сечения силой,
приложенной на конце. Найти области пластической деформации, предельное
значение силы, прогибы консоли в упруго-пластическом состоянии.
2. Найти предельную нагрузку для опертой по концам и равномерно
нагруженной балки круглого поперечного сечения.
3. Вывести дифференциальное уравнение прогиба балки
(D—«жесткость») при условии, что напряжение ах связано с деформацией
ех зависимостью
ox = B\bx\v-4x @<ц<1),
где В, [х—постоянные.
4. Сплошной неравномерно нагретый шар (температура 6—функция ра-
радиуса) испытывает упруго-пластическую деформацию. Найти распределение
напряжений, если в пластической зоне выполняется условие текучести Ми-
зеса, а 6 = 60 1 — f -г- ) , где Р > 0, 60 > 0—постоянные.
5. Найти распределение напряжений в длинной (ez = 0) вращающейся
трубе при упруго-пластической деформации (принять условие несжимаемости;
в пластической зоне выполняется условие текучести Мизеса). Определить уг-
угловую скорость вращения, при которой достигается предельное состояние.
6. Показать (аналогично случаю в § 15), что задача о деформации тон-
тонкостенной трубы под действием внутреннего давления и осевой силы приво-
приводится по теории пластического течения к интегрированию уравнения Риккати.
Глава IV
КРУЧЕНИЕ
§ 27. Кручение призматических стержней
Основные уравнения
1. Исходные положения. Рассмотрим кручение призмы произ-
произвольного поперечного сечения. Пусть нижний конец стержня закреп-
закреплен, а ось z параллельна оси стержня (рис. 45); стержень скручи-
скручивается под действием момента М. Следуя предположениям Сен-Ве-
нана в теории упругого кручения, примем,
что поперечные сечения испытывают же-
жесткий поворот в своей плоскости, но
искривляются в направлении оси z:
их— — югу, иу = ,
uz = w(x, у; со),
где со —кручение на единицу длины
стержня, a w (х, у; со) —неизвестная
функция. Тогда компоненты деформации
будут
e* = ъу = ег = Уху = О,
дш дан
ох у оу
B7.1)
х
лп
Функция w (x, у; со) характеризует
искривление (депланацию) поперечного
сечения. Нетрудно показать, исходя из рис 45
уравнений теории течения A3.7), что нор-
нормальные напряжения и касательное напряжение хху равны нулю
ох=оу = ог = тху = 0. B7.2)
В сечениях z = const действует, следовательно, вектор касатель-
касательного напряжения (рис. 46) тг = тд;г/-|-туг</.
Интенсивности Г и Г соответственно равны
|г- B7.3)
116 КРУЧЕНИЕ [ГЛ. IV
Нетрудно видеть, что третий инвариант девиатора напряжений
равен нулю, поэтому из A.17) вытекает, что сост = const = -^-, т. е.
все время сохраняется форма девиатора напряжений.
По формулам A.16) получаем:
т. е. имеем состояние чистого сдвига. Разыскивая главные направ-
направления, находим, что cos(/, z), i = \, 2, 3, постоянны, а остальные
направляющие косинусы пропорцио-
/7 т т
нальны одному из отношений -4г, -=г .
Максимальное касательное напряжение
равно
Тюах = | rz | = Т. B7.4)
Максимальные касательные напря-
напряжения действуют по плоскостям z =
'X 'з = const и по цилиндрическим поверх-
поверхностям с образующими, параллельными
Рис. 46. оси z и с направляющей кривой,
перпендикулярной в каждой точке к
вектору тг. Следы этих цилиндрических поверхностей (поверхностей
скольжения) на плоскости z = 0 назовем линиями скольжения.
2. Основные уравнения. Компоненты касательного напряжения
должны удовлетворять дифференциальному уравнению равновесия
_^-f-^ = 0. B7.5)
ох ' ay v
Из B7.1) вытекает условие сплошности
Г*?_5|1/?=:_ 2 gj
ду дх '
Уравнение равновесия B7.5) означает, что выражение
есть полный дифференциал функции напряжения F (х, у), т. е.
dF dF /o_ _,
При этом — dF есть поток касательного напряжения х2 через эле-
элемент дуги ds. Линии уровня поверхности напряжений (поверхности
z = F(x, у)) называются линиями напряжений. Вдоль линии напря-
напряжений F— const или dF=0, следовательно, — = т-, т. е. вектор
XXz ax
xz направлен по касательной к линии напряжений.
§ 27]
КРУЧЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ
117
Боковая поверхность стержня свободна от напряжений, поэтому
вдоль контура С
%xz cos (л, х) + xyz cos (л, у) = 0.
Так как dy = ds cos (л, лг), dx = — ds cos (л, у), то очевидно,
что вектор тг направлен по касательной к контуру. Согласно B7.7)
получаем:
т. е. на контуре F = const. Иными словами, контур является одной
из линий напряжения. Для односвязного контура можно положить:
F=0.
Крутящий момент М уравновешивается моментом напряжений:
где интегрирование распространяется на всю площадь поперечного
сечения. Внося сюда B7.7) и выполняя
интегрирование по частям, получаем:
= — &F [x cos (л, х)
+ ycos(n,
Для односвязного контура эта формула
упрощается:
M=2^Fdxdy, B7.8)
Рис. 47.
т. е. крутящий момент численно равен удвоенному объему, заклю-
заключенному под поверхностью напряжений z = F(x, у).
Если же контур многосвязный (рис. 47), то функция напряжений
может принимать различные постоянные значения Fo, Flt ..., Fm
на контурах —внешнем Со и внутренних С1; ...,Ст. Одна из посто™
янных может быть задана произвольно, так как аддитивная постоянная
в функции напряжения не влияет на решение задачи кручения; пусть
/70 = 0. Тогда получаем:
B7.9)
где Q,- — площадь, ограниченная контуром С,-.
118 КРУЧЕНИЕ [ГЛ. IV
3. Упругое кручение. При упругом кручении имеем по закону
Гука
= J_dFe L^?s
Yxz G ду ' 'Уг ~ G дх '
где индексом е мы отличаем «упругую» функцию напряжений.
Внося эти выражения в уравнение сплошности, получаем диффе-
дифференциальное уравнение кручения
irr ( !хтг=— 20со. B7.10)
дх2 ду* к '
Так как граничные условия для Fe не содержат со, то согласно
B7.10) функция напряжений Fe имеет со множителем, отношения
"Ц?-, ~y не зависят от со, следовательно, при упругом кручении
главные направления в каждой точке фиксированы. Далее, из B7.1)
и закона Гука вытекает, что при упругом кручении депланация про-
пропорциональна углу кручения со.
Если в пластинке вырезать отверстие, имеющее очертания попе-
поперечного сечения стержня, затянуть отверстие пленкой (мембраной)
с натяжением N и подвергнуть пленку действию равномерного дав-
давления <7, то малый прогиб пленки v (х, у) удовлетворяет дифферен-
дифференциальному уравнению
d*v . 32о а
и контурному условию v = 0. Следовательно, функция напряжений
Fe удовлетворяет тем же уравнениям, что и прогиб v. Эта аналогия,
подмеченная Прандтлем, позволяет находить экспериментальное ре-
решение задачи кручения при помощи мыльной или какой-либо иной
пленки в тех случаях, когда решение уравнения Пуассона B7.10)
для данного контура затруднительно.
§ 28. Пластическое кручение
1. Напряженное состояние. Рассмотрим кручение стержня, пред-
предполагая, что все сечение находится в состоянии текучести. Так как
ттах = Т, то условия текучести Мизеса и Треска — Сен-Венана имеют
одну и ту же форму
tlz+t2yz = k2, B8.1)
где k = asfy3 по условию Мизеса и k = aJ2 по условию Треска —
Сен-Венана.
Внося формулы B7.7) в условие текучести, получаем дифферен-
дифференциальное уравнение «пластической» функции напряжения
§ 28]
ПЛАСТИЧЕСКОЕ КРУЧЕНИЕ
119
причем на контуре
Fp = const.
Легко видеть, что поверхность пластических напряжений
z = Fp{x, у)
есть поверхность с постоянным углом ската (поверхность естествен-
естественного откоса, «крыша»), построенная на контуре поперечного сече-
сечения1). Такую поверхность для односвязного контура легко постро-
построить, насыпав песок на горизонтально расположенный лист картона,
Я
sn
п 1 г
Рис. 48.
вырезанный по форме поперечного сечения. Эта поверхность, оче-
очевидно, не зависит от угла кручения. В случае многосвязного контура
Fp принимает различные постоянные
значения на контурах, и построение
несколько усложняется; многочи-
многочисленные примеры поверхностей пла-
пластических напряжений приведены в
книге А. Надаи [25].
Линии напряжений Fp — const
являются эквидистантными кривыми,
параллельными контуру попереч-
поперечного сечения. Линии скольжения
совпадают с нормалями к контуру.
Заметим, что уравнение первого
порядка B8.2) имеет одно семей-
семейство характеристик; характеристики являются прямыми, совпа-
дающими с линиями скольжения. На рис. 48 показаны линии
*) В силу B8.1) направляющие косинусы нормали к поверхности
-г- F (к и\ равны
dF,
Рис. 49.
г=т*>(*.
COS (Л, *)=—'——;
У2 k
cos (п, у) — —
V2 k
cos (и, г) = —=
1^2
120
КРУЧЕНИЕ
[ГЛ. IV
напряжений и линии скольжения (пунктир) для прямоугольного конту-
контура. Поверхность напряжений имеет ребра (рис. 49); проекции ребер
на плоскость х, у называются линиями разрыва. На рис. 48 послед-
последние показаны жирными линиями.
Итак, вектор касательного напряжения в пластической области
постоянен по величине и направлен перпендикулярно к нормали к
контуру области (рис. 50). Следо-
Следовательно, напряжения определены
простейшим образом формой конту- / / J I "/ ¦
ра области. Например, при кру-
кручении стержня прямоугольного
Рис. 50.
Рис. 51.
профиля (рис. 48) в правой треугольной области xxz — 0, тyz = k,
а в верхней трапециевидной области xxz ——k, xyz = 0.
Если контур имеет где-либо входящий угол, то линии напряжения
обтекают его по дуге окружности (рис. 51). На рис. 52 показана
«крыша» для поперечного сечения в виде
уголка. Из входящего угла исходит часть
поверхности кругового конуса. Из выпук-
выпуклого угла контура исходит ребро.
Вдоль линий разрыва терпят разрыв ком-
компоненты xxz, xyz, именно скачкообразно из-
изменяется направление касательного напряже-
напряжения tz. Механический смысл линий разрыва
выяснится несколько ниже.
2. Предельный момент. Рассмотренное
чисто пластическое состояние стержня на-
называется предельным. Ему соответствует предельный скручивающий
момент (для односвязного контура)
7pdxdy, B8.3)
равный удвоенному объему под «крышей», построенной на данном
контуре.
рис 52
§ 28]
ПЛАСТИЧЕСКОЕ КРУЧЕНИЕ
121
Вычисление М% легко осуществляется. Так, для прямоугольника
(рис. 49)
Для круга радиуса а (рис. 53)
о
М
Предельный момент^характеризует несущую способность стержня
при кручении; через Мо обозначен момент, соответствующий появ-
появлению пластических деформаций.
п
1
Рис. 53.
Рис. 54.
3. Тонкий открытый профиль. Для очень вытянутого прямо-
I
? ж " klh2. Если толщина медленно изме-
угольника (рис. 54, а)
няется, то (рис. 54, б)
/
B8.4)
Эта формула справедлива и для изогнутого профиля (рис. 54, в),
как это вытекает из вида поверхности напряжений.
Для тонкостенной круглой трубы с разрезом (с — радиус средней
линии)
Интересно сопоставить это значение с предельным моментом Ml
для целой трубы такого же сечения:
122 КРУЧЕНИЕ [ГЛ. IV
т. е. разрезанная труба обладает низкой несущей способностью:
4. Определение осевого перемещения (депланации). В предель-
предельном состоянии вопрос о депланации не представляет большого ин-
интереса. Рассмотрим здесь соотношения, позволяющие найти осевое
перемещение в пластической зоне при упруго-пластическом круче-
кручении (§ 29).
В упругой зоне согласно закону Гука имеем:
^=Л- B8.5)
В пластической зоне следует исходить из уравнений теории те-
течения A3.7)
Но в этой зоне касательные напряжения в данной точке не из-
изменяются, следовательно, их приращения равны нулю и
Отсюда также получаем B8.5). Внося теперь в B8.5) компоненты
деформации согласно B7.1), получаем дифференциальное уравнение
для осевого перемещения w
)@ )O, B8.6)
гце касательные напряжения — известные функции. Полученное урав-
уравнение в частных производных первого порядка легко интегрируется
(см., например, [31]).
§ 29. Упруго-пластическое кручение
1. Аналогия Надаи. При упруго-пластическом кручении, которое
предшествует предельному состоянию, в сечении стержня будут
упругие и пластические зоны.
В упругих зонах функция напряжений Fe удовлетворяет диффе-
дифференциальному уравнению упругого кручения B7.10). В пластических
зонах функция напряжений Fp определяется дифференциальным урав-
уравнением «крыши» B8.2).
На границе упругой и пластической зон напряжения непрерывны,
т. е.
дх ~ дх ' ду ду
§ 29]
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ КРУЧЕНИЕ
123
Следовательно, на линии раздела
Fp^Fe + const.
B9.1)
Если в какой-либо точке Fp = Fe, то это условие сохраняется вдоль
всей границы.
Аналитическое решение задачи упруго-пластического кручения
связано с большими математическими трудностями. Наглядное пред-
представление о картине упруго-пластиче-
упруго-пластического кручения дает аналогия Надаи.
Над заданным контуром строят же-
жесткую крышу (например, из стекла) с
постоянным углом ската. Основание
крыши затягивается мембраной и по-
последняя загружается равномерно рас-
распределенным давлением. При небольших
давлениях мембрана не касается крыши,
что соответствует упругому кручению (рис. 55, а). С увеличением давле-
давления наступит момент, когда мембрана начнет прилегать в некоторых
точках к крыше, что соответствует возникновению пластических дефор-
деформаций. С возрастанием давления мембрана будет все более и более
прилегать к крыше (рис. 55, б, в). При этом проекции зон прилегания
соответствуют областям пластической деформации, остальная часть
Рис. 55.
Рис. 56.
будет упругим ядром. Ясно, что соответствующие дифференциальные
уравнения, условие Fe — F и контурное условие выполняются.
Скручивающий момент будет равен удвоенному объему под мем-
мембраной.
Для односвязных профилей упругие зоны в пределе (при бесконеч-
бесконечном угле закручивания) вырождаются в линии разрыва.
Аналогия Надаи может быть использована для экспериментального
решения задачи упруго-пластического кручения (см. [а5]).
На рис. 56 показано развитие пластических областей для пря-
прямоугольного сечения. Штриховка указывает направление линий сколь-
скольжения; последние легко обнаруживаются, если пластически закрученный
124
КРУЧЕНИЕ
[ГЛ. IV
стержень разрезать поперек и сечение подвергнуть травлению.
На рис. 57 показаны фотографические снимки травленых шлифов для
Рис. 57.
стержней прямоугольного поперечного сечения при различных углах
закручивания; с увеличением угла закручивания темные полосы, соответ-
соответствующие пластически деформированным слоям скольжения, все более
захватывают поперечное сечение.
2. Стержень круглого сече-
сечения. Касательное напряжение
(рис. 58) равно
— k
с
при
( k при
Скручивающий момент
М=2п
Линии скольжения
Рис. 58.
где предельный момент М% = —- nask.
О
Угол
рассмотрения деформаций упругого ядра:
Gr [Gc ¦
кручения находим из
§ 29]
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ КРУЧЕНИЕ
125
Линии скольжения совпадают с радиальными направлениями (рис. 58).
Предельное состояние (с = 0) достигается при бесконечном угле
закручивания, при этом упругое ядро вырождается в точку разрыва.
Следует, однако, подчеркнуть, что с развитием закручивания момент
М быстро приближается к предельному моменту
несущая способность
(так, при — = -д
стержня практически исчерпывается
при сравнительно небольших углах
закручивания.
3. Обратный метод решения упру-
упруго-пластических задач. Выше было
подчеркнуто, что если известны направ-
направления нормалей к контуру, то напряже-
напряжения в пластической области легко
определяются, ибо тогда в каждой ее
точке мы знаем направление и вели-
величину касательного напряжения тгг. Это
позволяет развить обратные методы
решения упруго-пластических задач.
Рассмотрим здесь простой прием, пред-
предложенный В. В. Соколовским. Пусть известны упругое ядро,
ограниченное контуром L, и решение дифференциального уравнения
упругого кручения B7.10), удовлетворяющее на контуре ядра L
условию пластичности. Вычис-
Вычисляем вдоль L направления век-
вектора касательного напряжения и
строим нормали АВ, Аф-^, ...
(рис. 59) к ним. Ортогональная
траектория ВВгВ2... к семей-
семейству нормалей, если она замкну-
замкнута, даст нам очертания контура
С стержня.
4. Пример — упруго-пласти-
упруго-пластическое кручение овального
стержня. Указанным способом
рис 6о В. В. Соколовский нашел простое
решение задачи упруго-пластиче-
упруго-пластического кручения стержня овального поперечного сечения (рис. 60).
Пусть контур L — эллипс
Решение для упругого ядра, удовлетворяющее условию текучести
126 КРУЧЕНИЕ 11 Л. tV
T— k на L, элементарно:
причем угол кручения равен
2G ао
Пусть лг = — a sin 1|), _y = 6cos\|:—^параметрические уравнения эл-
эллипса L; на нем касательные напряжения равны
xxz = — k cos ty, т' = — /г sin г().
Направление касательного напряжения тг на эллипсе определяется
соотношением
Уравнение прямой, нормальной к вектору тг и проходящей через
точки L, имеет вид
(b — a) cosi|).
При фиксированных a, b это есть уравнение однопараметрического
семейства прямых линий скольжения. Теперь необходимо построить
ортогональные траектории этого семейства. Дифференциальное урав-
уравнение искомых траекторий таково:
dx 5 v у—
Нетрудно найти, что ортогональные траектории имеют парамет-
параметрические уравнения
2х = — sinty [а + с + (а — b) cos2t|)],
2у = cos ty [Ь + с — (a — b) sin2 ty],
где с — произвольная постоянная.
Полученные уравнения определяют овал с двумя осями симметрии
и полуосями -^-(я + с) и~п(Ь-{-с). Очертания овала незначительно
отличаются от очертаний эллипса с соответствующими полуосями.
Решение имеет смысл, если эллипс L целиком лежит внутри овала С,
что выполняется при достаточно больших углах кручения ю. С воз-
возрастанием угла со упругое ядро (эллипс L) сплющивается и в пределе
вырождается в линию разрыва.
5. Заключительные замечания. Другой обратный метод предложен
Л. А. Галиным [92]; по этому методу можно указать уравнения контуров L
и С, если задано распределение касательных напряжений вдоль L, удовлетво-
удовлетворяющее некоторым дополнительным условиям. Используя этот результат,
Л. А. Галин решил несколько упруго-пластических задач для стержней
§ 30] КРУЧЕНИЕ УПРОЧНЯЮЩИХСЯ СТЕРЖНЕЙ 127
с сечением, близким к полигональному. Им же дан метод решения прямой
задачи для стержня полигонального сечения [93]. Результаты Л. А. Галина
находятся в хорошем согласии с опытами Надаи.
Заметим в заключение, что ряд упруго-пластических задач (кручение
углового профиля, кручение стержней квадратного и треугольного сечения)
решен численными («релаксационными») методами [90].
Вопрос о существовании решения упруго-пластической задачи рассмотрен
Л. А. Галиным и другими авторами.
Остановимся, наконец, на одном замечании. При анализе упруго-пласти-
упруго-пластического кручения молчаливо предполагалось, что при возрастающем крутящем
моменте (или при увеличивающемся угле кручения со) во всех точках пласти-
пластической зоны происходит нагружение. Но граница пластической зоны изме-
изменяется и, вообще говоря, в некоторых частях указанной зоны может
наступить разгрузка. Этот вопрос изучен в работе Ходжа [183], который
показал, что при возрастании крутящего момента в стержнях с односвязным
поперечным сечением разгрузка не происходит. Наоборот, в стержнях с много-
многосвязным поперечным сечением (например, в полом цилиндре) разгрузка может
наступить. Это сильно усложняет задачу упруго-пластического кручения
многосвязных стержней, ибо в областях разгрузки следует применять иные
уравнения.
Обобщением задачи кручения прямого стержня является задача кручения
кругового кольца неизменного поперечного сечения, рассмотренная Фрейбер-
гером, а также Вангом и Прагером (см. [70]).
Напряженное состояние в пластических зонах скручиваемого круглого
стержня переменного диаметра изучил В. В. Соколовский [44]; предельная
нагрузка для такого стержня определяется ниже (гл. VIII).
Изучено также кручение анизотропных и неоднородных стержней
(СМ. [10,71]).
К задаче упруго-пластического кручения математически близка задача
об упруго-пластической антиплоской деформации. Здесь также реализуется
состояние чистого сдвига, но заданы напряжения на контуре тела (см. работы
Г. П. Черепанова [173]).
*§ 30. Кручение упрочняющихся стержней
1. Общее замечание. При кручении стержня из упрочняющегося
материала простое нагружение не имеет места; сохраняется форма
девиатора напряжения, но изменяются направления главных осей.
Можно, однако, полагать, что эти отклонения невелики, так как имеет
место сравнительно простое напряженное состояние (чистый сдвиг),
а направления главных осей изменяются при кручении незначительно.
В самом деле, контур является одной из линий напряжений (§ 27)
и вдоль него, очевидно, главные направления сохраняются. Остальные
линии напряжений как бы «повторяют» очертания контура, поэтому
изменения этих линий при кручении сравнительно невелики, и изме-
изменения направлений главных осей, связанные с поворотом вектора
(касательного к линии напряжений), можно считать незначительными.
Итак, приближенно можно исходить из уравнений деформационной
теории (см. § 15, разделы 1 и 4). Анализ кручения упрочняющихся
стержней на основе теории течения связан с большими трудностями
и здесь не рассматривается.
128 КРУЧЕНИЕ }гЛ. IV
2. Дифференциальное уравнение. Внося компоненты деформации
по уравнениям A4.23) деформационной теории
Y« = ?G)t«, yy, = g(T)tyt C0.1)
в условие сплошности B7.6) и вводя функцию напряжений F, находим
дифференциальное уравнение
h2w = 0, C0.2)
где
На контуре по-прежнему F = const. Дифференциальное уравнение
C0.2) относится к уравнениям типа Монжа — Ампера; оно линейно
относительно вторых производных и в силу свойств g{T) (см. § 12)
эллиптического типа. При g(T) = const — -^- (упругая среда Гука)
приходим к уравнению Пуассона B7.10).
3. Решение для круглого сечения. Для круглого сечения решение
элементарно, так как поперечные сечения остаются плоскими, т. е.
•у„ = Г = юг, тфг= 7" = ?¦(«/¦) ю/\
Угол закручивания ю определяется из условия статической экви-
эквивалентности
4. Кручение тонкостенных стержней. Рассмотрим сначала кру-
кручение открытых тонких профилей. Исходной является задача о кру-
кручении вытянутого прямоугольника (рис. 54, а). Здесь допустимо по-
полагать, что функция напряжений F не зависит от х; тогда из C0.2)
получаем:
d Г_ { dF \ dF 1 , _ _
-у- \g{ -т- -j— + 2ю = О,
dy L V dy J dy J ^
откуда
1 p
Вследствие четности функции напряжений при у = 0 -у— = 0 и
произвольная постоянная равна нулю; теперь
§ 30] КРУЧЕНИЕ УПРОЧНЯЮЩИХСЯ СТЕРЖНЕЙ
и так как F=0 на контуре, то
129
F=F(k, <i>,y) = —2o> J g(—2a>y)ydy.
Для открытых профилей произвольного очертания (рис. 54, в)
• = 2$ J F[h(s), a,y]dyds,
где s отсчитывается вдоль срединной линии профиля.
Кручение замкнутых тонкостенных профилей рассматривается на
основе теоремы о циркуляции сдвига [1в].
Рассмотрим интеграл
dy C0.3)
с,
по замкнутому контуру С%, целиком лежаще-
лежащему внутри сечения. Внося сюда компоненты
деформации по B7.1) и используя условие
однозначности смещения uz = w(x, у, со),
получаем:
Рис. 61.
где Q% — площадь, ограниченная контуром С% (рис. 61).
С другой стороны, внесем в C0.3) компоненты деформации сог-
согласно C0.1), причем компоненты напряжения выразим через функцию
напряжения B7.7); так как
то находим:
Таким образом,
dF
d dF d
дх )
с.
dF
f~ дп
dF
Л-вп-ds
C0.4)
с,
1
При %(Т) = const = -рг- получаем теорему Бредта о циркуляции каса-
касательного напряжения.
5 Л. М. Качанов
130 КРУЧЕНИЕ [ГЛ. IV
Рассмотрим теперь тонкостенную трубу, сечение которой огра-
ограничено кривыми Со, Сх (рис. 62); здесь С*—срединная линия. На
контурах Со, Сх функция напряжений принимает некоторые постоянные
значения FQ, F^, одно из них можно положить равным нулю (§ 27),
пусть Fo = 0.
Т
Рис. 62.
Благодаря малости толщины трубы h (s) можно считать, что F
меняется линейно от /7=/71 на внутреннем контуре до F=F0 — 0
на внешнем. Согласно B7.9) находим:
М « 2F Q
где Q% — площадь, ограниченная кривой Q.. Далее,
По теореме C0.4)
с,
откуда определяется угол скручивания ю.
5. Заключительные замечания. В частных задачах интегрирование диф-
дифференциального уравнения B9.2) может быть достигнуто тем или иным спо-
способом последовательных приближений. Имеется решение задачи о концентрации
напряжений, вызванной мелким пазом на поверхности скручиваемого стерж-
стержня [17]. В ряде случаев приближенное решение можно построить при помощи
вариационного метода (см. § 68).
Изучены вопросы существования решений дифференциального уравнения
C0.2) и их свойства.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ IV
1. Вычислить предельный скручивающий момент для стержня равно-
равностороннего треугольного сечения.
2. Вычислить предельный скручивающий момент для уголкового сечения.
3. Вычислить предельный скручивающий момент для тонкостенной
(Л= const) квадратной трубы.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ IV 131
4. Рассмотреть предельное состояние круглого (радиус а) цилиндрического
стержня при одновременном кручении и растяжении (исходить из уравнений
теории пластичности Сен-Венана — Мизеса A3.12); поперечные сечения оста-
остаются плоскими и поворачиваются целиком, отличны от нуля лишь компоненты
напряжения сгг, т?г); найти распределение напряжений и значения осевой
силы и крутящего момента.
Ответ.
V _ PP
5. Рассмотреть кручение и растяжение круглого цилиндрического стержня
по теории пластического течения для следующего пути нагружения: стержень
растягивается до достижения предела текучести, затем закручивается при
фиксированном осевом удлинении.
Ответ.
-f-=schqp, _-^-=th<7p, q=~—-
L>J
6. При кручении круглого стержня переменного диаметра отлично от
нуля лишь тангенциальное смещение и„=и„(л, г). Вывести, исходя из соот-
соотношений деформационной теории, дифференциальное уравнение для и в слу-
случае упрочнения.
5*
Глава V
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
§31. Основные уравнения
1. Общие положения. При плоской деформации перемещения
частиц тела параллельны плоскости х, у и не зависят от z:
их = их(х, у), иу = иу(х, у), нг = 0. C1.1)
Подобное состояние возникает в длинных призматических телах
при нагрузках, нормальных к боковой поверхности и не зависящих от z.
Как обычно, считаем тело изотропным и однородным. В любом
сечении z= const будет одна и та же картина напряженного и дефор-
деформированного состояний; компоненты напряжения зависят только от х,
у, причем xxz, xyz равны нулю нз-за отсутствия соответствующих
сдвигов. Таким образом, о"г является одним из главных напряжений.
В теории упругости приведенные условия достаточны, как изве-
известно, для формулировки проблемы плоской деформации. В теории
пластичности необходимы дополнительные упрощения, так как иначе
невозможно получить приемлемую математическую формулировку
вопроса.
В дальнейшем используется схема жестко-пластического тела.
Эта концепция, как уже подчеркивалось (§ 23), вносит погрешность,
которую трудно оценить. Однако сколько-нибудь последовательный
анализ плоской задачи затруднителен, если отказаться от схемы
жестко-пластнческого тела. В рассматриваемой задаче предельное
состояние обычно достигается тогда, когда некоторые области тела
еще пребывают в упругом состоянии (как в примере изгиба балки
силой, § 24). Иная картина имеет место в задаче кручения (гл. IV)
и в задаче о полом шаре (§ 25), где в предельном состоянии все
сечение стержня (шара) охвачено пластическими деформациями.
Таким образом, следует рассматривать, по сути дела, упруго-
пластическую задачу, однако ее решение связано с огромными труд-
трудностями. Полное же игнорирование упругих областей лишает поста-
постановку задач определенности и затрудняет физическое осмысливание
решений.
Гораздо целесообразнее исходить из схемы жестко-пластического
тела, которая позволяет одновременно рассматривать поле напряже-
§ 31] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ 133
ний и поле смещений, связывая последнее со смещениями жестких
областей. Тем самым строится в известном смысле и приближенное
решение упруго-пластнческих задач.
Погрешность зависит, разумеется, от типа рассматриваемых за-
задач. В технологических задачах, где происходят большие пласти-
пластические деформации в определенных частях тела, использование кон-
концепции жестко-пластического тела вряд ли может оспариваться.
На рис. 146 показана деформация квадратной сетки при протяжке
полосы сквозь твердую конусную матрицу. Очевидно, что части
полосы слева и справа от матрицы можно рассматривать как жесткие
и что пластическая деформация локализована вблизи контактных
плоскостей. Технологические задачи этого типа относятся к задачам
установившегося пластического течения с большими деформациями
(§ 49).
Задачи другого типа, характеризуемые малыми деформациями,—
это задачи о предельных нагрузках, тесно связанные с решением
вопросов прочности. Здесь области пластической деформации для
жестко-пластического и упруго-пластического тел могут, конечно,
заметно различаться. Однако для нахождения предельных нагрузок
схема жестко-пластического тела вполне пригодна; обоснование этого
утверждения будет дано в гл. VIII, посвященной экстремальным
принципам теории пластичности.
Для оценки погрешности желательно накопление экспериментальных
данных. Опыты, выполненные в последнее время, как мы увидим
ниже, хорошо подтверждают многие выводы, сделанные на основе
схемы жестко-пластического тела.
2. Основные уравнения. Из C1.1) вытекает, что ег = 0. Исполь-
Используя это условие, получаем как по уравнениям деформационной теории
A4.3), так и по уравнениям теории течения A3.5), что вследствие
пренебрежения упругими деформациями1)
ог—о=<0, C1.2)
0ТКуда о = ±.(ох + оу). C1.3)
Как уже отмечалось, az является одним из главных напряжений.
Остальные главные напряжения а{ являются корнями квадратного
уравнения
ах °*< хху __ q
Хху ay — °i .
Отсюда
rt \ П.. —1-fL. 1
C1.4)
Jmin
*) Можно показать, что для вывода C1.2) достаточно принять условие
несжимаемости.
134
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
[гл. v
Очевидно, что сгг — среднее главное напряжение, тогда макси-
максимальное касательное напряжение будет
= "о" (°тах —
= т
Интенсивность касательных напряжений, как легко вычислить,
также равна т ах
Т = х. C1.5)
Таким образом, главные напряжения равны
о1 = 0 -j- т, oz = о, сг2 = о — т,
т. е. напряженное состояние в каждой точке характеризуется нало-
наложением гидростатического давления а на
напряжение чистого сдвига т (рис. 63).
Значения косинусов, определяющих
первое (пусть аг^а^\ главное направ-
направление, находятся из системы
(ах — аг) cos A, л:) + %ху cos A, у) = 0
tjc;,cosA, x)-\-(ay — аг) cos (I, у) = 0
Исключая аг, получаем:
tg2(l, *) = ¦
2т
ху
~—сг„
C1.6)
Рис. 63.
Направления площадок, на которых
действуют максимальные касательные
я
напряжения, составляют угол ± -г- с главным направлением.
В дальнейшем важное значение имеют линии скольжения. Линия
скольжения—линия, в каждой
точке своей касающаяся пло-
площадки максимального касатель-
касательного напряжения. Очевидно, что
имеются два ортогональных се-
семейства линий скольжения, ха-
характеризуемые уравнениями:
х = х(а, Р), у=у{а, Р),
где а, р — некоторые параметры.
Линии первого семейства (а-линии)
соответствуют фиксированным
значениям параметра Р (Р = const); вдоль р-линии постоянен па-
параметр а. Линия а отклоняется вправо от первого главного направ-
направления на 45q (рис. 64); линия р отклоняется влево от первого
главного направления на тот же угол.
Рис. 64.
§ 31] ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ 135
Условимся фиксировать направления линий а, Р так, чтобы
они образовывали правую систему координат; при этом каса-
касательное напряжение т положительно *) (рис. 64). Угол наклона
касательной к линии а, отсчитываемый в положительном направ-
направлении от оси х, обозначим через Э.
Дифференциальные уравнения семейств
а, р соответственно будут
Линии скольжения покрывают область
ортогональной сеткой. Бесконечно малый
элемент, выделенный линиями скольже-
скольжения, испытывает одинаковое растяжение р -.
в направлениях линий скольжения (рис. 65).
3. Состояние текучести. Пусть среда находится в состоянии
идеальной пластичности. Тогда должно выполняться условие теку-
текучести
т= const — rs
или
°max — tfmin^V
Обозначая xs через k, получаем:
(<г,-<У« + 4т;„ = 4*«. C1.8)
Сюда следует присоединить два дифференциальных уравнения
равновесия (объемные силы отсутствуют):
^+^ = 0, _^.+^JL = O- C1.9)
дх ' ду ' дх ' ду v '
Если на границе тела заданы напряжения, то мы располагаем
полной системой уравнений для определения напряженного состояния
(притом независимо от деформации). Задачи этого типа называются
статически определимыми.
К приведенным уравнениям следует присоединить соотношения,
связывающие компоненты напряжения с приращениями компонент
деформации; это будут соотношения A3.7), в которых нужно отбро-
отбросить слагаемые, относящиеся к упругой деформации, т. е. со-
соотношения теории пластичности Сен-Венана — Мизеса A3.12). В
случае плоской деформации остаются лишь три соотношения
:) Заметим, что этим условиям удовлетворяет и система направлений,
повернутая на угол я относительно системы, изображенной на рис. 64.
136 ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ [ГЛ. V
(для %х, ? г\ху), из которых вытекает уравнение
ах~ау= ~дх~~дЦ
ду дх
утверждающее, что направление площадки максимального касатель-
касательного напряжения совпадает с направлением площадки, испытывающей
максимальную скорость деформации сдвига. Кроме того, должно
выполняться условие несжимаемости
dvx dvy
Для пяти неизвестных ах, оу, хху, vx, v имеем пять уравнений
(81.8) —C1.11).
4. Полуобратный метод. Если задача статически определима, то
напряжения ах, ау, хху находятся независимо от скоростей vx,- v ;
для нахождения скоростей имеем тогда линейную (при найденных
напряжениях) систему уравнений C1.10), C1.11). Решая ее для
заданных граничных условий, можно вычислить поле скоростей.
Если задача статически неопределима, то необходимо совместное
решение уравнений для напряжений и скоростей, что связано
с известными трудностями. В таких задачах часто используют полу-
полуобратный метод: пытаются подобрать такое поле линий скольжения,
для которого распределение скоростей было бы в согласии с гра-
граничными условиями. При этом приходится в той или иной мере
задавать контуры пластической зоны и дополнять граничные условия
для напряжения. Подобные приемы, несмотря на их очевидную огра-
ограниченность, позволили найти много важных решений. В связи с этим,
в частности, имеет большое значение анализ системы уравнений
C1.8), C1.9) для напряжений. Обратимся к подробному изучению
свойств решений этой системы уравнений. Более сложный метод
совместного решения уравнений для напряжений и скоростей будет
рассмотрен позднее (§51).
§ 32. Линии скольжения, их свойства
1. Характеристические линии. Итак, рассмотрим уравнения в на-
напряжениях C1.8), C1.9).
Возьмем известные формулы теории напряжений:
§ 32]
ЛИНИИ СКОЛЬЖЕНИЯ, ИХ СВОЙСТВА
137
заменим в них полусумму главных напряжений через о*, полураз-
полуразность— через k (согласно условию текучести) и перейдем к углу
Э = A, а:)—j. Тогда будет
= о— k sin 20,
= а + k sin 26,
= * cos 26.
C2.1)
Очевидно, что при этом условие текучести C1.8) удовлетворяется.
Внося эти значения в уравнения равновесия, получаем систему
двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производ-
производных первого порядка относительно неизвестных функций о* (а:, у),
6 (*, у):
дх
да
ду
-2*(Sm26g-cos2eg)=0.
C2.2)
Методы построения и свойства решения полученной системы диффе-
дифференциальных уравнений прежде всего определяются ее типом (см.
Добавление). Покажем, что эта система гиперболического типа.
Для установления гиперболичности системы нужно показать, что
существуют два различных вещественных семейства характерис-
характеристических линий. Это можно сделать различными способами. Приме-
Применение обычного «детерминантного» вывода
(см. Добавление) связано с большими вы-
вычислениями и недостаточно наглядно.
Воспользуемся поэтому следующим, бо-
более простым приемом.
Пусть вдоль некоторой линии L в
плоскости х, у (рис. 66)
x = x(s), y=y{s)
известны значения искомых функций
a = a(s), e =
У
и
' \
i
Г
X
>
Рис. 66.
Будем разыскивать решение а(х, у), 6 (х, у), принимающее вдоль
линии L заданное значение a(s), Q(s). Задача построения такого
решения называется задачей К.оиш. На геометрическом языке эта
задача состоит в проведении интегральной поверхности через задан-
заданную кривую.
Если L — характеристическая линия, решение задачи Коши не-
невозможно, ибо тогда невозможно вдоль L однозначно определить из
138 ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ [ГЛ. V
дифференциальных уравнений первые производные от решения (на
геометрическом языке —тогда невозможно однозначно определить
вдоль L касательную плоскость к интегральной поверхности). На линии
L известны а и 9. Значит, если они дифференцируемые, то извест-
известна dQ _
ны и производные -^—, -=—. При этом sx и s2 отсчитываются
в локальной системе координат, образованной касательной и нор-
нормалью к L в некоторой точке Р (рис. 66). Заметим, что уравнения
равновесия и условие пластичности не изменяются при переходе от
системы координат х, у к системе sx, s2. Дифференциальные урав-
уравнения C2.2) также сохраняют прежний вид:
*L_2*(sin2e-|°_cos29|°- = 0, * < '
ds2 \ dsx ds2 J '
причем угол Э, определяющий направление площадки скольжения в
точке Р, здесь отсчитывается от оси sv Если 6 отлично от 0, -^
то, зная на L производные -=—, -=—, можно найти из C2.3) произ-
да дв и
водные -д—, -д— и решить задачу Коши.
Если же L совпадает с линией скольжения, то 9 = 0, -д-, и упомя-
упомянутые производные нельзя определить из дифференциальных урав-
уравнений C2.3). В этом случае линия L будет характеристической
линией.
N Таким образом, характеристические линии совпадают с линиями
! скольжения; очевидно, что существуют два различных вещественных
семейства характеристических линий, следовательно, исходная си-
система— гиперболического типа.
Если координатные оси slt s2 совпадают с направлениями каса-
касательных к линиям скольжения, то дифференциальные уравнения
C2.3) принимают простую форму
^-(<Т-2*е) = О, J-(<r + 2*8) = 0, C2.4)
где д—, 5 производные вдоль линий а, 6.
OSa OSp
Эти уравнения имеют простой механический смысл; они являются
дифференциальными уравнениями равновесия бесконечно малого эле-
элемента пластической среды, образованного сеткой линий скольжения
(элемента скольжения; рис. 65), которая является как бы естествен-
естественной координатной сеткой данной задачи.
§ 32J ЛИНИИ СКОЛЬЖЕНИЯ, ИХ СВОЙСТВА 139
Так как Р— произвольная точка на линии скольжения, то вдоль
линий скольжения семейств а, Р имеем соответственно
^ C25)
^—8 = const = 1, ] ^ +Э = const =
Эти соотношения для плоской задачи теории пластичности впер-
впервые были выведены Г. Генки A923 г.). Для сыпучей среды несколько
более общие соотношения были получены ранее A903 г.) Кёттером.
При переходе от одной линии скольжения семейства а к другой
параметр ?, вообще говоря, изменяется. Точно так же при переходе
от одной линии семейства Р к другой изменяется параметр ц. Таким
образом, ? зависит только от параметра р, а ц — только от а, т. е.
Если известны поле линий скольжения и на них — значения пара-
параметров ?, т], то в каждой точке известны а, 9, т. е. известны компо-
компоненты напряжения ах, ау, хху. Заметим, что в рассматриваемой про-
проблеме в отличие от линейной задачи (например, задачи для волнового
уравнения) характеристические линии зависят от искомого решения —
поля напряжений. В частности, произвольная кривая у=у{х), если
вдоль нее реализуется подходящее напряженное состояние (т. е. оп-
определен соответствующий угол 9), может быть характеристикой.
2. Свойства линий скольжения. Линии скольжения обладают
рядом замечатеаьных свойств, изученных в основном Генки. Рассмот-
Рассмотрим эти свойства.
1) Вдоль линии скольжения давление изменяется пропорционально
углу линии скольжения с осью х. Это свойство очевидно, так как
вдоль ос-линии а = 2kQ -f- const, вдоль р-линии а=—2&Э + const.
2) Если переходить от одной линии скольжения семейства р к
другой вдоль любой линии скольжения семейства а, то угол 9 и
давление а будут изменяться на одну и ту же величину (первая
теорема Генки).
В самом деле, из соотношений
? g^r, C2.6)
вытекает, что
a = k(l + i\), 8 = i-(ti-?). C2.7)
Возьмем две какие-либо линии скольжения Р = f>lt Р = Р2 семей-
семейства а и две линии скольжения а = а1, а = а2 семейства р (рис. 67).
Вдоль этих линий соответственно имеем:
140
плоская деформация
(гл. v
Внося эти значения в формулы C2.7) для точек пересечения
А11у ..., Аг2, легко находим:
1 1
т. е. ф1 = Фа- Точно так же получаем:
Очевидно, что мы придем к аналогичным выводам, если будем
переходить от одной линии скольжения семейства а к другой вдоль
любой линии р.
Рис. 67.
Рис. 68.
3) Если известно значение о в какой-либо точке заданной сетки
скольжения, то оно может быть вычислено всюду в поле.
Пусть в точке А (рис. 68) известно аА; в этой точке мы знаем
Эл, следовательно, вычисляем сразу значение параметра т^ для fi-линии
скольжения, проходящей через А.
Далее, в точке В легко находим aB=2k(i\1 — QB) и ?i = -Sr — 9д1
значение давления а в точке С получаем по формуле ac = 2k(^1^-Qc).
4) Если некоторый отрезок линии скольжения — прямой, то вдоль
него постоянны а, 9, параметры |, т] и компоненты напряжения ах,
оу, хху. Действительно, пусть, скажем, отрезок а-линии — прямой;
вдоль него 0 = const и постоянен параметр ?. Но тогда согласно
C2.6) и сг = const. Стало быть, и параметр т] вдоль рассматриваемого
отрезка также постоянен.
Если в некоторой области прямолинейны оба семейства линий
скольжения, то в этой области напряжения распределены равномерно,
причем параметры ?, г\ постоянны.
§ 32]
ЛИНИИ СКОЛЬЖЕНИЯ, ИХ СВОЙСТВА
141
5) Если некоторый отрезок линии скольжения семейства Р (или
а) — прямой, то все соответствующие отрезки линий Р (или а),
отсекаемые линиями семейства а (или Р) (рис. 69), — прямые.
Этот вывод следует из второго свойства, поскольку угол между
соответствующими касательными к любым двум линиям скольжения
остается постоянным при движении по избранным линиям р.
В такой области напряжения ах, ау, тху постоянны вдоль каждого
прямого отрезка, но изменяются при переходе от одного отрезка р
к другому. Будем называть подобное
напряженное состояние простым.
По доказанному вдоль каждого из
прямолинейных отрезков оба параметра
?, т) постоянны; так как параметр ?
принимает постоянное значение вдоль
каждой а-линии, то ? = const во всей
области ABB'А'.
6) Прямые отрезки, отсекаемые
линиями скольжения другого семей-
семейства, имеют одинаковую длину. В самом
деле, рассмотрим линии скольжения
АА', ВВ'. Эволюта (геометрическое
, место центров кривизны) какой-либо •
кривой является огибающей семейства
нормалей к кривой. Очевидно, что ли-
линии скольжения АА' и ВВ' имеют одну
и ту же эволюту Э. Как известно,
исходная кривая может быть построена
путем разматывания нити с эволюты. Но тогда при вычерчивании
кривой ВВ' нить будет короче на отрезок АВ, чем при вычерчи-
вычерчивании кривой АА'.
7) Будем передвигаться вдоль некоторой линии скольжения; тогда
радиусы кривизны линий скольжения другого семейства в точках
пересечения изменяются на пройденные расстояния (вторая теорема
Генки).
Радиусы кривизны Ra, R линий а, Р определяются соотношениями
Рис. 69.
Я.
dQ 1
дв_
два
C2.8)
Радиус кривизны /?а (R.) положителен, если центр кривизны на-
находится в направлении возрастания s (возрастания sa). Рассмотрим
бесконечно близкие линии семейств а, р, ограничивающие элемент
скольжения AsaAs (рис. 70). Очевидно, что
142 ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
Вычислим производную от Asa вдоль линии [5:
д .. (#„—Aso)A8"—Я„де;
[ГЛ. V
= —А6".
По доказанному угол А6" между двумя линиями [5 постоянен, сле-
следовательно,
^ = —1, ^? = —1. C2.9)
Второе соотношение выводится подобно первому.
Точки пересечения О', О" нормалей О'А, О'А' и О"А, О"А" яв-
являются центрами кривизны соответственно линий р, а в точке А.
Рис. 70.
Рис. 71.
Радиус кривизны АР fi-линии в точке ГА равен сумме радиуса
кривизны BQ Р-линии в точке В и длины дуги АВ (рис. 71).
Теорема Генки может быть представлена также и в другой форме
(Прандтль): центры кривизны fi-линий в точках пересечения с линией
а образуют эвольвенту РО линии а.
8) Теорема Генки показывает, что радиус кривизны линий сколь-
скольжения р при движении в сторону их вогнутости уменьшается.
Если пластическое состояние простирается достаточно далеко, то
радиус кривизны линий [5 должен обратиться в нуль, что отвечает
пересечению эвольвенты ОР с линией скольжения АО. При этом линия
семейства [5 имеет в точке О острие. Кроме того, из построения
(рис. 71) ясно, что в точке О бесконечно близкие линии скольжения
АО, А'О сходятся. Точка О принадлежит огибающей линий сколь-
скольжения семейства а. Таким образом, огибающая линий скольжения
одного семейства есть геометрическое место точек возврата линий
скольжения второго семейства.
§ 32]
ЛИНИИ СКОЛЬЖЕНИЯ, ИХ СВОЙСТВА
143
Имея в О точку возврата, линии скольжения Р не могут пересечь
огибающую. Другими словами, огибающая является границей ана-
аналитического решения.
Пусть АВ — огибающая а-линий. Проведем в некоторой ее точке Р
локальную систему координат sx, $„ (рис. 72). Из соотношений C2.8)
вытекает, что в точке Р производная
dQ дв ,
¦щ—ограничена, а ^— обращается в
бесконечность, так как для линий
Р на огибающей радиус кривизны
R = 0. Но тогда из дифференциаль-
дифференциальных уравнений равновесия C2.4)
да
заключаем, что -*- ограничена, а
х >¦ оо. Итак, вдоль огибающей
OSq
нормальная производная среднего
давления а обращается в бесконеч-
бесконечность.
9) Если производные компонент
напряжения испытывают разрывы
при переходе через линию скольжения (например, через некоторую
линию Р), то кривизна линий скольжения второго семейства (а) раз-
разрывна вдоль линии р.
В локальной системе sa, s нормальные напряжения равны сред-
среднему давлению о (рис. 65), а касательные напряжения постоянны.
„За да
Производная ^— непрерывна, производная же ^— по условию раз-
asp asa
рывна вдоль Р-линии.
На a-линии имеем =—(а — 2&9) = 0, следовательно, при переходе
через линию р разрывна производная
dQ 1
Рис- 72.
т. е. кривизна также изменяется скачком.
Таким образом, ортогональная сетка линий скольжения может
быть скомпонована из кусков различных аналитических кривых;
в местах склейки касательная непрерывно поворачивается, кривизна же
испытывает, вообще говоря, разрывы.
В заключение заметим, что поля скольжения обладают рядом дру-
других интересных свойств (см., например, [б2>54]), на которых мы не
останавливаемся, так как обычно они не используются в решениях
задач теории пластичности.
144 ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ [ГЛ. V
§ 33. Линеаризация. Простые напряженные состояния
1. Линеаризация. Исходная система дифференциальных уравнений
C2.2) может быть, следуя М. Леви, линеаризована. Прежде всего
отметим, что за неизвестные функции удобно взять параметры ?, т).
Внося в C2.2)
умножая затем второе из полученных уравнений последовательно на
tg 6,—ctg6 и складывая с первым, получаем после упрощения
Это —однородные нелинейные уравнения, коэффициенты которых явля-
являются функциями только ?, т). Такая система является приводимой,
так как путем перемены ролей зависимых и независимых переменных
приводится к линейной системе1). В самом деле, пусть
причем в рассматриваемой области якобиан преобразования отличен
от нуля:
Внося значения частных производных
5л: ~~ дц' 5(/ Л]' дх * д% ' % ~ 3g
в дифференциальные уравнения C2.1) и сокращая на множитель
А =7^= 0, находим:
Это — линейная система с переменными коэффициентами; она назы-
называется канонической, так как в каждом из уравнений участвуют
производные лишь по одной из переменных.
С помощью подстановки, предложенной С. Г. Михлиным,
лг = лгсоэ6—у sin 0, y = xsin Q-j-ycos 6,
где х, (/—новые переменные, система C3.2) преобразуется в систему урав-
уравнений с постоянными коэффициентами
^_1_0 ^-1-0 C3 3>
См. Добавление.
§ 33] ЛИНЕАРИЗАЦИЯ. ПРОСТЫЕ НАПРЯЖЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ 145
Легко видеть, что каждая новая переменная (х и у) удовлетворяет теле-
телеграфному уравнению, например
дЬс 1 -
2. Интегралы плоской задачи. Полученная система C3.2) не
эквивалентна, вообще говоря, исходным уравнениям C2.2), так как
при обращении теряются решения, для которых якобиан А (|, tj) тож-j
дественно равен нулю. Однако эти решения («интегралы плоской за-;
дачи»), часто встречающиеся в приложениях и обнаруженные ранее
(§ 32) другим путем, легко определяются непосредственно.
Рис. 73.
Рассмотрим их, следуя работе С. А. Христиановича [1в7]. С по-
помощью уравнений C3.1) получаем, что условие Д(?, т)) = 0 может
быть записано в виде
Л^' Г]'~ sin 2Qdx дх~ sin2e дуду
Отсюда вытекают три случая, для которых решения уравнений C2.1)
обращают якобиан А (?, т)) в нуль в некоторой области:
1) ? = const = ?0, т] = const = тH;
2) т) == const = Т)о;
3) g=const=i0.
Первый случай относится к равномерному напряженному состоянию
в некоторой области. Линиями скольжения здесь будут два ортого-
ортогональных семейства параллельных прямых (рис. 73, а).
Во втором случае одно из уравнений C3.1) удовлетворено. Так
как | = — 26-f-T)o> то другое уравнение переписывается в форме
|co.s9 + |sin6 = 0. C3.4)
146
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
[ГЛ. V
Это — квазилинейное дифференциальное уравнение; его интеграль-
интегральная поверхность составляется из характеристик. Уравнения последних
имеют вид:
dx _ dy _ d6
cos 6 ~~ sin 6 ~ 7Г '
Решения этой системы обыкновенных дифференциальных уравнений
очевидны:
9 = const = C1, у — xig 6 = const = C2.
Таким образом, одно семейство линий скольжения является семей-
семейством прямых линий, зависящих от двух параметров Сх, С2. Так как
о* = 2&(т]0 — 6), то вдоль каждой такой прямой напряжения постоянны
Рис. 74.
(но меняются от одной прямой к другой), т. е. имеет место простое
напряженное состояние (§ 32). Общее решение уравнения C3.4)
можно представить в форме
где Ф F) — произвольная функция.
Второе семейство линий скольжения строится по обычнымлетодам
как семейство ортогональных кривых (рис. 73, б); дифференциальное
уравнение этого семейства интегрируется в замкнутой форме [ш].
Третий случай интегрируемости подобен второму и рассмотрение
его связано с повторением предыдущих выкладок.
3. Отображение. Решение % = 1(х,у), т) = т) (х, у) можно интер-
интерпретировать как отображение «физической» плоскости х, у на плос-
плоскость параметров ?, Т). При этом область в плоскости х, у, в которой
якобиан преобразования отличен от нуля, отображается также на
некоторую область (вообще говоря, многолистную, см. [б6]) в плос-
плоскости I, т].
Иное отображение производят интегралы плоской задачи. Так,
в первом случае i=|0, tj = t1o (равномерное напряженное состояние)
некоторая область D в плоскости х, у отображается в точку на
плоскости ?, т) (рис. 74,га).
§ 331
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ. ПРОСТЫЕ НАПРЯЖЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ
147
ее
Рис. 75.
Во втором случае т) = тH (простое напряженное состояние) об-
область D отображается на отрезок прямой t) = ti0 (рис. 74,6). Анало-
Аналогичный характер (рис. 74, в) носит отображение и в третьем случае
? = ?0 (простое напряженное состояние).
4. Простые напряженные состояния. Рассмотрим несколько под-
подробнее решения, относящиеся к простым напряженным состояниям.
Частным случаем этих решений является равномерное напряжен-
напряженное состояние; в таких областях сетка
линий скольжения образуется двумя
ортогональными семействами параллель-
параллельных прямых (рис. 73,а), а параметры ?,
т] постоянны (? = ?„, т) = т]0, рис. 74,а).
В общем случае простого напряжен-
напряженного состояния одно семейство линий
скольжения (например, а) состоит из
прямых линий; ортогональные к послед-
последним кривые образуют второе семейство
Р (рис. 73,6). При этом параметр т)
постоянен (рис. 74,6); аналогичная
картина будет, если семейство [5 — се-
семейство прямых линий (рис. 74, в).
Для простого напряженного состояния прямые линии скольжения
(например, линии [5, рис. 75) являются касательными к огибающей
семейства (см. § 32, рис. 69); эта огибающая называется предельной
кривой. В рассматриваемом случае семей-
семейство а образовано эквидистантными линиями,
являющимися эвольвентами по отношению к
предельной кривой.
Важным случаем простого напряженного
состояния является центрированное поле
линий скольжения, образованное пучком
прямых и концентрическими окружностями
(рис. 76). Здесь огибающая вырождается в
точку — центр О. В рассматриваемом при-
примере, когда линии а—прямые, параметр
т) = const = ti0. Нормальные напряжения по
радиальным и окружным площадкам- равны, очевидно, среднему
давлению a = 2k(—Э-гЛоК т- е- являются линейными функциями
угла наклона прямой. В центре О напряжения разрывны, это —особая
точка данного поля напряжений.
Из предыдущего вытекает важная теорема.
В области, соседней с областью равномерного напряженного со-
состояния, всегда осуществляется простое напряженное состояние.
Пусть в области А (рис. 77)—равномерное напряженное состоя-
состояние, т. е. ?=?0, 'П = т1о- Отрезок линии скольжения L, являющийся
Рис 76.
148
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
[гл. v
границей области А и принадлежащий, скажем, к семейству линий
скольжения [5, — прямой и на нем также ? = ?0, Ц — %- По ранее
доказанному в соседней области В одно семейство линий скольжения
(Р) будет состоять из прямых отрезков раиной длины, а параметр
? = const = ?„, поскольку каждая из а-линий скольжения, пересекаю-
пересекающих L, несет на себе одно и то же постоянное значение ?0.
КУ
w
Рис. 77.
В плоскости \, т) имеем следующую картину: область А отобра-
отображается в точку |0, тH, а область В— в отрезок прямой ? = ?0, исхо-
исходящий из упомянутой точки.
К данному решению вдоль прямолинейной границы области можно
присоединять только простые напряженные состояния (в частности,
равномерное напряженное состояние).
Рис. 78.
Области равномерного напряженного состояния можно различными
способами соединять посредством областей простого напряженного
состояния. Приведем простейшие примеры.
На рис. 78, а изображено поле скольжения, состоящее из двух
различных областей равномерного напряженного состояния, соединен-
соединенных центрированным полем В. Поле напряжений во всей области
А-{-В-\-С непрерывно (исключая центр О); параметр ? постоянен
(? = ?о)- [В правой части рис. 78, б показано отображение в плос-
плоскости I, г\.
Несколько более сложный случай изображен на рис. 79. Здесь
области равномерного напряженного состояния А, С, Е соединены
§ 34]
осёсимметричное поле
149
двумя центрированными полями В, D; напряжения непрерывны (исклю-
(исключая центр О). Отображение в плоскости ?, т) состоит из двух'пере-
секающихся прямых отрезков.
0
-с-
1/
У
Рис. 79.
Подобные конструкции полей скольжения широко используются
при решении частных задач.
§ 34. Осёсимметричное поле
Как будет показано в § 36, вблизи круговой части контура (сво-
(свободной или равномерно нагруженной) реализуется осёсимметричное
поле напряжений. В связи с
этим такие поля часто встре-
встречаются при решении разнооб-
разнообразных задач.
1. Случай Trtp = 0. Рас-
Рассмотрим поле скольжения вок-
вокруг кругового отверстия радиу-
радиуса а, нагруженного равномер-
равномерным давлением р. Пусть г, ф —
полярные координаты. Посколь-
Поскольку на контуре отверстия каса-
касательное напряжение отсутству-
отсутствует, то по условию равновесия
т7.ч, = 0. Тогда в каждой точке
поля главные площадки имеют
радиальное и окружное направ-
направления. Линия скольжения будет
кривой, пересекающей в каж-
каждой своей точке луч, выхо-
выходящий из центра, под углом
дают лишь логарифмические спирали
±т-Но
Рис. 80.
таким свойством обла-
ф~ 1птг=
C4.1)
150
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
[ГЛ. V
которые и образуют два ортогональных семейства (рис. 80). Эти
линии хорошо наблюдаются в опытах (рис. 81).
Если вблизи контура а? > 0, ог < 0, то условие текучести имеет
вид а9 — ar = 2k и напряженное состояние определяется прежними
формулами B6.3):
or= — p+2k\n~, o9 = or
:¦ C4.2)
Легко убедиться в выполнении соотношений C2.6) вдоль лога-
логарифмических спиралей C4.1).
Рис. 81.
Есчи условие текучести имеет вид оф-ог = — 2к, в формулах
(о4.2) следует поставить минус перед 2k.'
2. Общий случай. Общий случай осесимметричного поля при
тг<р^=0 рассмотрен С. Г. Михлиным. Условие текучести теперь
имеет вид
К-од2
C4.3)
Выпишем дифференциальные уравнения равновесия
dar , ar-a dxr,. _ 2т,в _
17
чг
Пусть на контуре отверстия заданы нормальная и касательная
составляющие напряжения:
tr^ = q, C4.4)
при г = а вг = —
§ 35] ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ НАПРЯЖЕНИЙ 151
причем Ig'l^u- Из второго уравнения равновесия и граничного
условия находим:
C4.5)
Из условия текучести теперь имеем:
fY C4.6)
Внося эту разность в дифференциальное уравнение равновесия,
интегрируя его и определяя произвольную постоянную из первого
граничного условия, получаем:
где А = а2 -|-.
При дфО линии скольжения уже не будут логарифмическими
спиралямл.
§ 35. Граничные условия для напряжений
Пусть на контуре С заданы нормальная и касательная составля-
составляющие напряжения с„, т„, причем |т„|^?. Согласно A.3), A.4) о"„,
т„ связаны с компонентами ох, ау, хху формулами
о„ = <ух cos2 (f + oy sin2 ф + t:xv sin 2<p, |
%„--= ~ (oy-ax) sin 2(f + xxy cos 2(f. j
Здесь через ф обозначен угол между нормалью к контуру С и осью л:
(рис. 82). Среда находится в пластическом состоянии, поэтому, внося
в C5.1) формулы C2.1), получаем:
оп = о — k sin 2 (9 —ф),
C5-2)
Если x~x(s), y=y{s) — уравнения контура, on(s), xn(s) — заданные
напряжения, то на контуре можно считать известными a = a(s),
0 = 0 (s), а стало быть, и параметры |, т|. В частности, если отре-
отрезок границы — прямой (ф = const) и на нем напряжения а„, т„ постоянны,
то на нем а, 0, а следовательно, и |, т] также постоянны.
Заметим, что а, 0 (а следовательно, и напряжения ох, оу, %ху)
определяются из C5.2) неоднозначно:
sin 2 (в —ф),
152
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
[гл. v
где под arccos понимается его главное значение, а т — произвольное
целое число. Наличие двух решений для а, 0, удовлетворяющих
условию текучести, объясняется квадратичным характером последнего.
Для выбора знака необходимы дополнительные условия, которые
следует заимствовать всякий раз из механической постановки самой
задачи. Известную помощь оказывает следующее соображение. Будем
рассматривать нормальное напряжение ot у контура С (рис. 82):
at = 2c — с„.
Иногда возможно судить о знаке аь что позволяет сделать правиль-
правильный выбор решения.
Рис. 82.
В важном частном случае, когда на контуре С касательное на-
напряжение отсутствует (т„ = 0), формулы C5.3) упрощаются:
и соответственно о^ = с„±2&.
Рассмотрим простейший пример свободной прямолинейной границы
дг = О (рис. 83); на ней ф = 0, с„ = 0, т„ = 0и, следовательно, 20 =
+ 2mna = ±k,ax = 0, oy = at=±2k, т. е. вблизи гра-
границы может быть либо растяжение в направлении у, либо сжатие.
§ 36. Основные краевые задачи
При рассмотрении конкретных задач необходимо построить реше-
решения полученных гиперболических уравнений C2.2), удовлетворяющие
тем или иным граничным условиям. При этом обычно приходится ре-
решать ряд краевых задач. Краткое описание основных из них приво-
приводится ниже. Более подробные сведения можно найти в руководствах
по уравнениям математической физики.
§ 36] ОСНОВНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 153
1. Задача Коши. Задача Коши (задача о начальных значениях)
является наиболее важной. В плоскости х, у задана гладкая дуга
АВ (рис. 84), x = x(s), y=y(s), где s — некоторый параметр, нигде
не совпадающая с характеристическими направлениями и пересекае-
пересекаемая каждой характеристикой только один раз1). На дуге АВ изве-
известны функции a = o(s), 0 = 0 (s), непрерывные вместе с первыми и
вторыми производными. Требуется построить решение уравнений
C2.2), принимающее на дуге АВ заданные зна-
значения. Искомое решение существует и един-
единственно в треугольной области АРВ, ограни-
ограниченной дугой АВ и линиями скольжения (ха-
(характеристиками) а, Р, исходящими из ее кон-
концов. В частности, функции а (х, у), Э (х, у)
определяются также и на сторонах АР, ВР.
Решение непрерывно вместе с производными
до второго порядка включительно.
Аналогичное построение может быть вы-
выполнено и по другую сторону дуги АВ.
Решение в точке Р зависит только от дан-
данных на дуге АВ. Эта дуга называется областью
зависимости для точки Р. Если менять данные вне дуги АВ, то
решение будет изменяться лишь вне треугольника АВР. Следова-
Следовательно, к решению, фиксированному внутри этого треугольника,
можно присоединять вдоль линии скольжения, вообще говоря, раз-
различные решения. Другими словами, решения могут иметь различные
аналитические выражения в соседних областях.
Далее, значения a (s), 0 (s), задаваемые в какой-либо точке дуги Q,
влияют на решение лишь в точках, лежащих внутри «характеристи-
«характеристического угла», образованного линиями скольжения, исходящими из
точки Q.
Существование и единственность указанного выше решения имеют
место при выполнении условий гладкости дуги АВ и непрерывности
начальных данных. Если же производные начальных данных _разр_ывлы__
в некоторой точке С, то упомянутые результаты будут справедливы
лишь в треугольных областях АСР', ВСР". Решение можно строить
и в остальной части области СР'РР", но вдоль характеристик СР',
СР" будут разрывны производные решения. Разрывы производных
распространяются только вдоль характеристик, причем не могут ис-
исчезнуть вдоль последних.
Остановимся на простых следствиях, широко используемых в при-
приложениях.
Поле напряжений у границы, свободной от усилий, определяется
только формой границы.
*) Если последнее условие не выполнено, задача Коши, вообще говоря, не-
неразрешима.
154
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
[ГЛ. V
Действительно, так как касательное напряжение т„ на границе
равно нулю, то направление нормали к контуру является одним из
главных направлений и линии скольжения подходят к контуру под
углом 45°. Следовательно, контур нигде не совпадает с характери-
характеристическим направлением, и мы имеем задачу Коши, решение которой
единственно.
В частности, у прямолинейной свободной границы всегда будет
поле равномерного одноосного растяжения или сжатия величиной 2k,
параллельного линии границы (рис. 85, а). Например, если ось х
параллельна границе АВ, то в области АВР ac = ±
a =xxy =
2Н В
Рис. 85.
У круговой свободной границы В А (рис. 85, б) поле скольжения
образовано логарифмическими спиралями, а напряжения даны фор-
формулами C4.2) при /? = 0.
Уравнения линий скольжения ВР, АР в силу C4.1) соответственно
(в точке Р ф = 0) имеют вид:
Ф — In —= —In —
т а а
+ 1п —= + 1п —,
' а ' а '
где гг — расстояние точки Р от центра. В точке В
тельно, 1п — = у и напряжения в Р будут
c9=2AA+y).
= у, следова-
следоваC6.1)
Заметим, что, если условие текучести имеет вид с? — о> = —2k,
в предыдущих формулах перед 2k следует поставить минус.
^ Приведенные результаты сохраняются почти полностью, если
вдоль рассматриваемой части контура приложено равномерное нор-
нормальное давление р; геометрия линий скольжения остается прежней.
У прямолинейной границы теперь будет равномерное напряженное
состояние (при прежнем выборе системы осей):
= 0.
о = — р,
г — p. tv
У круговой границы будет осесимметричное поле напряжений,
определяемое формулами C4.2). На это поле не влияют начальные
§ 36]
ОСНОВНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
155
данные вне дуги АВ. Точно так же это решение ие зависит от фор-
формы границы вне круговой дуги АВ. Например, если граница состоит
из круговой дуги АВ и прямолинейного отрезка ВС (рис. 86), то
поле скольжения вблизи АВ будет образовано логарифмическими
спиралями, а вблизи ВС будет прямоугольная сетка.
2. Начальная характеристическая задача (задача Римана). Пусть
известны значения функций а, 0 на отрезках линий скольжения ОА,
ОБ (рис. 87). Так как а, 9 удовлетворяют на ОА, ОВ дифферен-
дифференциальным уравнениям равновесия элемента скольжения C1.4), то эти
значения не могут быть вполне произволь-
произвольными; они связаны соотношениями:
^ — 9 = const = | вдоль ОА, C6.2) ?
2k
+ 9 = const = т] вдоль ОВ. C6.3)
Тогда решение определено в четырех-
четырехугольнике ОАСВ. Заметим, что функции
а, 9 на отрезках ОА, ОВ обычно ста- g
новятся известными из построения реше-
решений в соседних областях, а потому приве- с"
денные соотношения заведомо выполняются. Так, в примере, пока-
показанном на рис. 86, в области BDEF решается начальная характе-
характеристическая задача. При этом значения а, 9 на характеристиках BD,
BF известны из решения задач Коши соответственно для областей
BCD и ABF.
Важное значение имеет вырожденный случай начальной харак-
теристическойкзадачи, когда отрезок линии скольжения ОВ (или О А)
стягивается в точку О, причем радиус его кривизны неограниченно
уменьшается, изменение же угла 9 остается постоянным (рис. 88).
В точке О сходятся все а-линии скольжения и напряжения разрывны.
156
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
{гл. v
Рис. 89.
Решение определено в треугольнике ОАС при задании угла раст-
раствора в узле О и значений а, 0 на дуге ОА.
3. Смешанная задача. На отрезке линии скольжения ОА (рис. 89)
известны функции а, 0, удовлетворяющие усло-
условию равновесия C6.2). К отрезку ОА примыкает
нехарактеристическая кривая ОВ, вдоль которой
задан угол 0. Подобная задача возникает,
например, если ОВ — свободная от трения гра-
граница среды; тогда линии скольжения подхо-
подходят под углом -j- к кривой ОВ, следовательно,
0 известно. Предполагается, что угол АОВ —
острый (т. е. лежит внутри характеристического
угла).
Решение смешанной задачи определено в тре-
треугольнике ОАВ. Само построение различно в за-
зависимости от величины угла 0, определенного на
кривой ОВ в точке О. Если этот угол равен углу 0гна ОА^в точке О,
то поле линий скольжения имеет вид, по-
показанный на рис. 89. В частности, если ОВ —
свободно от трения, то угол между кривыми ОА,
ОВ в вершине О должен равняться -^.
Если же а-линия, исходящая из точки О,
при приближении к ней вдоль ОВ, лежит
внутри области BOA (рис. 90), то последняя
разбивается на две части: BOA' и А'ОА.
Первая из них будет находиться в условиях
предыдущего случая, если удастся найти
значения а, 0[на линии скольжения ОА'. Но эти
значения можно определить, решая для обла-
области АОА' начальную характеристическую за-
задачу (в вырожденном случае), поскольку угол раствора пучка хара-
характеристик АОА' известен.
§ 37. Численные методы решения
Решение рассмотренных выше краевых задач может быть достиг-
достигнуто различными способами. В частности, для линеаризованных урав-
уравнений C3.2) решения задач Коши и начальной характеристической
могут быть представлены в замкнутом виде посредством функции
Римана [54]. Использование этих решений связано с большим объемом
вычислений.
С помощью аппарата так называемых метацилиндрических функ-
функций, рассмотренного Л. С. Агамирзяном [83], можно построить ана-
аналитическое решение различных краевых задач, встречающихся в пло-
а
Рис. 90.
§ 37]
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
157
У\
ской задаче теории пластичности. При наличии таблиц указанных
функций объем вычислений значительно сокращается.
Однако более простыми являются приближенные методы построе-
построения полей скольжения, основанные на переходе к конечно-разностным
соотношениям и использовании тех или иных свойств линий сколь-
скольжения (заметим, что в общей форме этот метод развил Массо A899 г.),
см. [52]). Различные варианты таких построений изложены в работах
В. В. Соколовского [44], Хилла
[54], Прагера и Ходжа [31] и дру-
других авторов.
Ниже дано описание некоторых
приемов численного решения ос-
основных краевых задач.
1. Начальная характеристи-
характеристическая задача. Отрезки линий
скольжения ОА, ОБ (рис. 91) де-
делим на малые части точками
A, 0), B, 0), ..., (т, 0), ...,
@, 1), @, 2), ..., @, п): ... Рис. 91.
Пересечения линий скольже-
скольжения, проходящих через эти точки, условимся называть узлами сетки
и обозначать через (т, п). Функции а, 0 на сторонах ОА, ОВ
известны; по первой теореме Генки находим значения этих функций
в узле (т, п):
9m,« = 9«,o + 9o,n-0o,o. C7.1)
°т,п = оя,0 + ай,а—<т0>0. C7.2)
Координаты узловых точек вычисляются шаг за шагом. Пусть изве-
известны координаты узлов (т — 1, п), (т, п — 1) и угол 0 в них. По-
Положение точки (т, п) определяется пересечением малых дуг; заменим
последние хордами, наклон которых равен среднему значению накло-
наклонов в исходной и конечной точках1). Дифференциальные уравнения
линий скольжения
^=tge, ^=_ctg0
dx ь ' dx ь
заменим разностными
^-,»-^i>B = (Jf->B-^-i,B)tg4-(eeiB + ee_1IB), C7.3)
У-, п-Ут, „-1 = - (*«, „-*», »-i) ctg -j (Qm, n + Qm, „_!) C7.4)
иопределимиз них хт<п, ут п. Начинать нужно всегда с точки A.1).
!) Часто наклон хорды принимают равным наклону в исходной точке; это
приводит к несколько худшим результатам.
158
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
[гл. v
Для вычисления хт% „, ут- п можно получить из последних соотношений
простые формулы. Результаты вычислений удобно вписывать в таблицу
(рис. 92). Здесь в клетки заштрихованных полос вносятся известные значения
х, у; а, в в выбранных точках линий скольжения О А, ОБ. Затем последова-
последовательно вычисляются значения х, у;~о, 6 в узлах и вносятся в соответствующие
клетки таблицы. Нанесем, далее, иа чер-
чертеж найденные координаты узлов хт, „;
ут> п. Соединяя одной линией точки,
соответствующие одной строке таблицы,
получим а-лииию; точки, соответствую-
соответствующие столбцу, принадлежат Р-линии.
О
1
т
В вырожденном случае извест-
известны а, 0 на отрезке ОА (рис. 93)
и изменение угла 0 в вершине О
(т. е. /_АОС). Делим этот угол на
некоторое число малых частей се-
сечениями 0О)О, 0ОI, ..., 0О)„, ...;
при этом 0О) „ будет углом между
линиями скольжения On и ОА в вер-
вершине О. Значение 0га> „ в узле (т, п)
находим по формуле C7.1). Давление
а в точке О разрывно и его нельзя
непосредственно вычислять согласно
C7.2). Определим сначала аХ) „ в
точках A, л); для точки A,0) значения <т1H, 0ljO заданы, следо-
следоРис. 92.
вательно, известен параметр т]1=-^ + 01) 0, постоянный вдоль
Рис. 93.
Рис. 94.
{5-линии, проходящей через A, 0); тогда а1; „ = 2&(гI — 02) „). В даль-
дальнейшем можно использовать C7.2), заменяя с0 0 значениями аг п.
Координаты узловых точек вычисляются по прежним формулам.
2. Задача Коши. Разделим дугу АВ на малые части точками @, 0),
A, 1), ...,(/»,/»), ... Значения а, 0 в узлах, ближайших к дуге
(рис. 94), находим по условиям постоянства параметров |, т) на
§ 37]
линиях a, ft:
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
159
Jm, m+1 "Г '""ц, m + 1 ~ "m + 1, m + 1 "I" ""-"m + 1, m + 1-
Координаты узлов определяются по прежним формулам. В дальнейшем
сетка скольжения вычисляется по
схеме для начальной характери-
характеристической задачи.
^
т
т
Рис. 95.
Результаты вычислений вписы-
вписываются в клетки квадратной табли-
таблицы (рис. 95). Известные значения
х, у; о, 9 на дуге АВ вносятся в за-
заштрихованные клетки главной диаго-
диагонали. Найденные значения х, у; а, 9
для узлов сетки заполняют таблицу по
одну сторону диагонали.
3. Смешанная задача. Рас-
Рассмотрим общий случай смешан-
смешанной задачи, показанный на рис. 90.
В области ОАА' решение
строится, как в вырожденном
случае начальной характеристи-
характеристической задачи. Далее, переходим
к области О А 'В. Разделим ОА' на малые части точками A, 0), B, 0), ...
рис. 96). На ОА' известны значения а, 9. Начинаем построение
с точки A,0), проводя из нее прямую в направлении Р-линии (т. е.
по нормали к а-линии); найдем на ОВ
точку Р'\ значение 0 в Р' задано
по условию на ОВ (§ 36). Вычисляем
среднее значение угла 0 по точкам
A, 0), Р' и по нему вновь проводим
прямую из точки A,0); найдем на
ОВ точку Р" и т. д., пока разность
между последовательными положе-
положениями точек Р не станет малой.
Это определит точку A, 1). Точки
B, 1), C, 1), ... вычисляются, как
в начальной характеристической за-
задаче. Для определения же точки
B, 2) необходимо вновь воспользо-
Рис. 96.]
ваться только что изложенным приемом последовательного прибли-
приближения и т. д. И - *'
4. Заключительные замечания. Если построена сетка линий
скольжения, то в узлах ее известны значения а, 0, следовательно,
й компоненты напряжения ах, ау, хху. При достаточно густой сетке
160 ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ [ГЛ. V
линий скольжения можно с любой точностью определить пластиче-
пластическое состояние.
Заметим, что предложены также удобные и наглядные графиче-
графические способы решения [8>2»]; применение их требует выполнения чер-
чертежей большого размера и связано с ббльшими погрешностями.
§ 38. Определение поля скоростей
1. Общие соотношения. Выше подробно рассматривалось поле
напряжений. Обратимся теперь к оставшимся уравнениям плоской
деформации {31.10), C1.11), содержащим компоненты вектора ско-
скорости; учитывая подстановку C2.1), перепишем эти уравнеиия в форме
dvx dvv
+
Если напряжения найдены, известен угол 6 и задача для скоростей
является линейной. Эта система уравнений относится к гиперболи-
гиперболическому типу, и ее характеристики совпадают с линиями скольжения.
В самом деле, пусть скорости vx, vy непрерывны и значения их за-
заданы на некоторой линии L. Вид этих уравнений не изменится, если
перейти (как в § 32) к локальной системе координат х, у, образо-
образованной касательной и нормалью к линии L. Поскольку скорости за-
r * fox dVV
даны на L, можно вычислить производные по касательной "д >"л"~"
Тогда из системы C8.1), C8.2) можно всегда найти и производные
dvx dvy я
по нормали-^— , -д—, если 6 ^ 0, -^-, т. е. линия L не совпадает с линией
скольжения. В последнем же случае (как и ранее, обозначаем соот-
соответствующие «характеристические» координаты через sa, s^, а со-
составляющие вектора скорости по этим направлениям — через и, v)
нормальные напряжения равны среднему давлению оа = аа = а, а ка-
касательное напряжение xa^ = k. При этом из системы C8.1), C8.2)
вытекает, что
| = 0, *=0, C8.3)
да
а производная -g- неопределенна.
Таким образом, скорости относительных удлинений вдоль линий
скольжения равны нулю; подобно тому как- уравнения C2.4) выра-
выражают условия равновесия элемента скольжения, соотношения C8.3)
характеризуют особенности деформации элемента скольжения. Пред-
Представим эти соотношения в другой, несколько более удобной форме.
§ 38] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ 161
Рассмотрим бесконечно малый отрезок dsa линии а (рис. 97).
Скорость удлинения в направлении а по отбрасывании малых второго
порядка равна (u-j-du—vdQ)—и. В «
силу C8.3) вдоль а-линии должно быть
du—vdQ = 0. C8.4)
Аналогично получим для Р-линии
0. C8.5)
Эти соотношения, найденные Гейрин-
гер, называются уравнениями для ско-
скоростей вдоль линий скольжения.
2. Условие положительности Рис- 97-
рассеяния. Поле скорости опреде-
определяется по приведенным дифференциальным уравнениям и надлежа-
надлежащим граничным условиям. При этом в пластических зонах рассеяние
должно быть положительным ((Т,у|,у > 0). Это условие согласованности
полей напряжения и скорости, налагающее ограничения на выбор
конструкции решения, проверяется по найденным полям.
3. Поля скоростей для простых напряженных состояний. Поле
скоростей, соответствующее простому напряженному состоянию, ха-
характеризуется рядом простых свойств. Так, если в некоторой обла-
области напряженное состояние равномерное, то всюду 0 = const, следо-
следовательно, из C8.4), C8.5) находим:
и = и(Р), v = v{a), C8.6)
где и (Р), v (а)— произвольные функции.
Случай м = м(Р), и = 0 определяет течение сдвига в а-направле-
нии; в другом случае м = 0, v = v(a) течение сдвига развивается
в Р-направлении. Общий случай C8.6) получается наложением двух
произвольных течений сдвига в названных направлениях.
В случае центрированного поля угол 0 постоянен вдоль радиаль-
радиальных прямых, например 0 = const вдоль ос-линий (рис. 76). Тогда
вдоль а-линии и = const, т. е. и = м@). Из C8.4), C8.5) следует, что
), 1
«--9'(в), / C8-7)
где ф @), г|) (р) — произвольные функции (р — расстояние от центра О,
рис. 76; штрих означает производную).
Если ф@) = О, то формулы C8.7) описывают вращательное дви-
движение (течение сдвига с линиями тока в виде концентрических окруж-
окружностей).
В общем случае простого напряженного состояния вдоль прямо-
прямолинейных линий скольжения 0 = const, следовательно, составляющая
скорости вдоль каждой из прямых линий постоянна.
6 Л. М. Качанов
162 ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ [гЛ. V
Из C8.1), C8.2) вытекает, что в пластической области возможно
равномерное поле скоростей vx = const, v,, = const, т. е. пластическая
область перемещается как твердое тело. Эти области можно интер-
интерпретировать как области ничтожных пластических деформаций. Такие
поля встречаются, например, в задаче о вдавливании плоского штам-
штампа (§ 45).
4. Численное построение поля скоростей. Рассмотрим общий
случай, когда ни одно из семейств линий скольжения не состоит из
прямых линий. Тогда поле скоростей не определяется элементарными
средствами. Как и для поля напряжений (§ 37), наиболее простым
является использование конечно-разностного метода. Рассмотрим здесь
кратко решение нескольких краевых задач. Мы не останавливаемся
на подробном изложении приемов построения поля скоростей и рас-
рассмотрении других вариантов краевых задач, поскольку эти приемы
незначительно отличаются от приемов, применяющихся при построе-
построении поля напряжений (§ 37).
Начальная характеристическая задача. Обратимся к рис. 91. Пусть
на отрезках линий скольжения ОА, ОВ заданы нормальные составля-
составляющие скорости (v на ОА и и на ОВ, тогда касательные составляющие
определятся из уравнений C8.4), C8.5)), или—обе составляющие,
если они удовлетворяют уравнениям C8.4), C8.5).
Касательные составляющие из уравнений C8.4), C8.5) получаем в вид
«= \ vdQ-\-C1 вдоль а-линии,
V — — \ udQ-\-C2 вдоль Р-линии.
Постоянные находятся из условий непрерывности в точке О.
Обозначим через ит_1)И, vm_ljn, umi „_-,_, vmj n_x значения ско-
скоростей и, v в узлах сетки скольжения (от—1, п), (т, л—1). Заме-
Заменяя в соотношениях C8.4), C8.5) бесконечно малые приращения
конечными, получим формулы для вычисления и, v в узле (т, п):
1 \ C8.8)
vm,n — Vm,n-X = ~ (Mffl,n+«m,n-l)@ffl)n — 9m, n-l) • J
С целью повышения точности для функций и, v взято арифмети-
арифметическое среднее значений и, v в соседних точках. Построение начи-
начинается с узла A, 1).
Задача Коши. Пусть и, v заданы на некоторой'дуге АВ (рис. 94),
не являющейся линией скольжения. Построение поля скоростей осу-
осуществляется при помощи тех же соотношений C8.8).
Смешанная задача. Вдоль отрезка а-линии ОА (рис. 90) задана
нормальная составляющая скорости v, а на кривой ОВ известна связь
§ 38] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ 163
между компонентами вектора скорости:
аи-\- v = 0,
где а—постоянная. Ограничимся рассмотрением поля скольжения,
соответствующего случаю, показанному на рис. 96, когда угол 0,
заданный на ОВ в точке О, равен углу наклона линии скольжения а
в той же точке. Сетка линий скольжения известна (рис. 96); значе-
значения ихх, vljX в узле A, 1) вычисляем по формулам:
«i,i-'»i,o = — "г («1,1+ «1, о) @1,1-01, о), } C89)
В последующих узлах B, 1), C, 1), ... значения скоростей и, v
определяются соотношениями C8.8). Для точки B, 2) нужно вновь
исходить из уравнений, подобных C8.9) и т. д.
5. Линия раздела пластической и жесткой областей является
линией скольжения или огибающей линий скольжения. Будем
полагать жесткую область находящейся в покое; этого всегда можно
добиться наложением поля скоростей,
соответствующего жесткому переме-
перемещению тела. В пластической же зоне
имеется некоторое отличное от нуля
поле.
Предположим сначала, что на линии
раздела L скорости непрерывны, тогда
на L u = 0, v = 0. Если рассматривае-
рассматриваемая граница нигде не имеет характери-
характеристического направления (т. е. нигде не
совпадает с линией скольжения), то для
определения скоростей и, v в пла- Рис. 98.
стической зоне имеем задачу Коши;
так как начальные данные — нулевые, а уравнения для скоростей —
однородные, то и в пластической зоне скорости равны нулю, что
противоречит исходному положению. Если же граница L совпадает с
какой-либо линией скольжения, то обращение на ней в нуль и, v
не влечет за собой нулевого поля скоростей в пластической зоне.
Примем теперь, что на линии раздела непрерывности нет; разрыв
может быть лишь в касательной к L составляющей скорости vt, ибо
разрыв в нормальной составляющей vn связан с появлением «трещины».
Границу L можно при этом мыслить как предельное положение тон-
тонкого пластического слоя (рис. 98; здесь п — нормаль, t — касатель-
касательная), в котором касательная скорость vi изменяется быстро по тол-
толщине, а нормальная vn почти постоянна. Очевидно, что с уменьше-
уменьшением толщины слоя скорость сдвига r\tn будет неограниченно возрастать,
6*
164 ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ [ГЛ. V
в то время как остальные компоненты скорости деформации будут
почти неизменными. Но при этом из соотношений Сен-Венана — Ми-
зеса A3.12)
2k Н ' •# •' k ~~ H '
записанных в координатах /, я, вытекает, что
поскольку интенсивность H—+\'r\nt\—>-oo. Таким образом, граница/,
будет линией скольжения или огибающей линий скольжения. Заметим,
что нередко линия раздела будет одновременно и линией разрыва
скоростей (§ 39).
6. Уравнения Генрингер. Преобразуем уравнения 3C8.1), C8.2) [к новым
независимым переменным—характеристическим параметрам ?, ц. Пусть
х = х(Ъ,т\), у = уA, Ц)
при условии, что в рассматриваемой области якобиан Д (?, Ц) Ф 0. Тогда с по-
помощью C3.1) нетрудно получить систему
dvu dvx dvv dvx
1890; ^t^^
Переходя к составляющим вектора скорости по а, р1 — направлениям и, v
dx = «cos9—v sin 9, vy = v cos 9 -f- ifsin 6,
после несложных преобразований находим уравнения:
Й-т—• |Ч«=«- • <38-'»>
Отсюда вытекает, что каждая составляющая~скорости удовлетворяет теле-
телеграфному уравнению.
§ 39. Линии разрыва напряжений и скоростей
1. Общие замечания. В предыдущих параграфах уже затраги-
затрагивался вопрос о разрывах в производных напряжения (или скорости).
Подобные разрывы, называемые слабыми, распространяются вдоль
линий скольжения и являются следствием разрывов в производных
начальных данных. При этом сами напряжения (или скорости) непре-
непрерывны.
В ряде случаев невозможно построить решения с непрерывными
напряжениями или скоростями. В то же время существуют решения
с разрывными напряжениями (скоростями), удовлетворяющие гранич-
граничным условиям (такие разрывы называются сильными).
Рассмотрим несколько простых примеров.
В задаче об изгибе балки (§ 24) напряжение ах в предельном
состоянии испытывает при переходе через нейтральную плоскость
§ 39]
ЛИНИИ РАЗРЫВА НАПРЯЖЕНИЙ И СКОРОСТЕЙ
165
Рис. 99.
скачок от -f-Oj к —as. Для задачи чисто пластического кручения
также характерно наличие линий разрыва, вдоль которых касательное
напряжение разрывно (по направлению). В обоих случаях линии (по-
(поверхности) разрыва являются предельным положением упругих областей.
Естественно, что и в рассматриваемой задаче о плоской деформа-
деформации возможны разрывные решения, однако значение разрывных реше-
решений в плоской задаче ускользало от внимания исследователей и лишь
сравнительно недавно было подчеркнуто в работе Прагера (см. [31]).
Разрывные поля напряжений и скоростей представляют интерес '
еще и потому, что с их помощью можно получать простые прибли-
приближенные решения на основе экстремаль-
экстремальных принципов. Этот вопрос рассмат-
рассматривается в гл. VIII.
2. Соотношения на линии разрыва
напряжений. Вдоль линии разрыва
должны выполняться простые соотно-
соотношения, вытекающие из уравнений рав-
равновесия и условия пластичности. Пусть
L — линия разрыва (рис. 99); рассмотрим •
бесконечно малый элемент, лежащий на
L. Толщину этого элемента считаем
исчезающе малой. На гранях элемента
действуют нормальные напряжения ап, at и касательное напряжение т„.
Значения компонент напряжения с разных сторон линии разрыва
будем отличать индексами +, —. В силу уравнений равновесия
элемента должно быть (напомним, "то толщина элемента стремится
к нулю)
п п л' /1 я п'
Следовательно, разрыв возможен только для нормального напряжения
at. Условие пластичности C1.8), справедливое по обе стороны L,
разрешим относительно ot:
ot = on±2Vk2 — -tl. C9.1)
По предположению L — линия разрыва, поэтому в приведенной фор-
формуле для значений 0JJ", aj следует взять соответственно верхний и
нижний знаки; тогда скачок в at будет равен 4 }fk2 — т?. Скачок
в среднем давлении а = y (°"и + at) равен 2 У k2 — т?.
На линии разрыва меняется скачком угол наклона 9 линий сколь-
скольжения. В самом деле, нормальное и касательное напряжения оп и т„
по обе стороны линии L можно представить с помощью формул
C5.2). Тогда условия непрерывности оп, тп записываются в следую-
следующей форме:
сг+ — k sin 2 (9+ — ф) = а~ — k sia-2 (вг —ф),
k cos 2 (в+ —ф) = k cos 2 (в" —ф).
166
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
[ГЛ. V
Отсюда
± тп,
где т — целое число. Если перед скобкой в правой части выбрать
знак -\-, то распределение напряжений, как легко видеть, будет
в окрестности L непрерывным. Возьмем поэтому знак —, тогда
9"= — 9+-f 2ф + отя,
о~ = о+ — 2k sin 2 (9+ —ф).
C9.2)
C9.3)
Согласно первому из этих соотношений линия разрыва L в каж-
каждой своей точке является биссектрисой угла, образуемого одноимен-
одноименными линиями скольжения, которые подходят к I с разных сторон.
Это легко обнаружить, если совме-
совместить ось х с касательной к ли-
линии L. На рис. 100 показаны эле-
элемент скольжения, пересекаемый ли-
линией разрыва, и четыре направле-
направления линий скольжения а+
а~
Рис. 100.
Р , встречающиеся в каждой точ-
точке L.
Таким образом, картина линий
скольжения претерпевает зеркаль-
зеркальное отражение относительно линии
разрыва L.
Из приведенного анализа выте-
вытекает, что разрывы напряжений на
линии скольжения невозможны (ибо
на линии скольжения хп = k; тогда нормальные напряжения at = an
непрерывны).
Отметим еще одно свойство поля напряжений в окрестности ли-
линии разрыва L.
Кривизна линий скольжения при переходе через линию разрыва
напряжений меняется скачком [54].
3. Непрерывность скорости вблизи линии разрыва напряжений.
Так как возможность появления трещин исключается, то разрыв
в нормальной к линии L составляющей вектора скорости отсутствует,
и необходимо лишь обсудить вопрос о разрыве касательной состав-
составляющей.
Нетрудно убедиться в том, что и касательная составляющая не-
непрерывна на L. Линия разрыва, являющаяся предельным положением
упругой области, может быть заменена тонкой упругой полоской.
В этой полоске напряжения ап, хп, как это вытекает из уравнений
равновесия элемента полоски, почти постоянны; тангенциальное на-
напряжение ot изменяется по толщине полоски очень быстро (от а|
§ 39] ЛИНИИ РАЗРЫВА НАПРЯЖЕНИЙ И СКОРОСТЕЙ 167
к of, рис. 101), что, между прочим, подтверждает, что рассматри-
рассматриваемая узкая полоска должна быть упругой (ибо при почти постоян-
постоянных о"„, т„ и быстро изменяющемся напряжении at условие текучести
не может выполняться).
Скорость vn непрерывна; предположим, что составляющая vt —
dv*
разрывна. Тогда в пределе производная ^— не ограничена, следова-
следовательно, такова же и скорость сдвига r\nt; остальные производные, а
следовательно, и остальные компоненты ско-
рости деформации ограничены. Повторяя
рассуждения, приведенные в конце § 38,
устанавливаем, что
ап —* о", at—*a, I т„ I —> k.
Это означает, что направления п, t сов
падают с направлениями линий скольжения.
Но тогда из формулы C9.1) при ти = k вы-
вытекает непрерывность напряжений вдоль L,
что противоречит исходному предположению.
Итак, разрыз составляющей vt также Рис. 101.
невозможен. Вдоль L vf=vj, следова-
следовательно, ?^ = ?/"; отсюда в силу уравнений Мизеса A3.11) имеем:
Используя формулу C1.3) для среднего давления, находим:
°t-а+ = у (°?—°»)> аг-а~=4" (а<~-а«>-
В силу C9.1) эти величины отличаются знаком, следовательно, Х'+ =
= — А.1. Так как Я,' ^ 0, то должно быть %' = 0 в каждой точке
линии разрыва /., т. е. вдоль L компоненты скорости деформации
равны нулю:
Итак, линия разрыва напряжений не удлиняется. Этот результат
представляется естественным, если учесть, что линия разрыва яв-
является следом упругой полоски; упругими же деформациями мы пре-
пренебрегаем.
4. Линии разрыва скорости. Пусть вдоль некоторой линии L
напряжения непрерывны, а вектор скорости разрывен; в произвольной
Точке L проведем систему координат п, t, направив ось t по каса-
касательной к линии L. Разрыв в нормальной составляющей vn скорости
невозможен, и следует рассмотреть лишь разрыв в тангенциальной
составляющей vt. Повторим рассуждения, приведенные в конце пре-
предыдущего параграфа (рис.98). Линия разрыва/, является предельным
168 ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ [гЛ. V
положением слоя, в котором скорость vn почти постоянна, а
скорость vt быстро изменяется по толщине слоя (от vf к vj).
С уменьшением толщины слоя скорость сдвига v\nt будет неограни-
неограниченно возрастать, в то время как остальные компоненты скорости
деформации изменятся мало. Это означает, что направление линии
разрыва должно в пределе совпадать с направлением линии сколь-
скольжения. Таким образом, линия разрыва вектора скорости—либо линия
скольжения, либо огибающая линий скольжения. В дальнейшем вместо
vn> vt будем писать и, v (составляющие вектора скорости в направ-
направлениях линий скольжения а, Р; см. § 38). Скорость а может быть
разрывна на а-линии, v — «а р-линии. Из C8.4), C8.5) получаем:
и = \ v dQ -f- const вдоль а-линии,
v = —\Hd0-}-const вдоль р-линии.
Так как v непрерывна на а-линии, и — на р-линии, то легко видеть,
что скачок в и (или v) постоянен вдоль линии разрыва а (или Р).
Касательное напряжение вдоль линии разрыва равно по величине к.
При переходе через такую линию элемент испытывает конечный сдвиг
в направлении действия касательных напряжений и меняет направле-
направление движения. Поэтому скачок, например, в скорости и и направление
касательного напряжения т связаны условием положительности рассе-
рассеяния
т(и+ —и~)>0.
Если скачок [и] > 0, то x=-\-k; если [и] < 0, то т = — k.
5. В заключение отметим, что вопросы общей теории разрывов в пласти-
пластической среде изложены в книгах Томаса [60] и Д. Д. Ивлева [п].
§ 40. Неединственность поля скоростей.
Критерий выбора. Полное решение
Построение поля скольжения связано с выделением пластических
и жестких областей. Поскольку в жестких зонах напряжения не опре-
определены, такое выделение носит в известной мере произвольный харак-
характер. С этим обстоятельством связана характерная для схемы жестко-
пластического тела неединственность полей напряжений и скоростей1).
Для иллюстрации сказанного приведем простой пример.
1. Растяжение полосы с отверстием. Рассмотрим задачу о рас-
растяжении полосы с достаточно большим2) круговым отверстием
(рис. 102, а).
J) Заметим, что предельная нагрузка единственна (см. § 65).
2) Это условие гарантирует возникновение пластической деформации
ослабленных перешейках.
§ 40]
НЕЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
169
Поскольку круговой контур свободен от нагрузки, к нему может
примыкать осесимметричное поле логарифмических спиралей (§ 34).
С другой стороны, к свободным прямолинейным границам полосы
может примыкать поле равномерного одноосного растяжения (§ 36).
Пусть эти поля смыкаются в некоторой точке С (рис. 102, а).
Напряжения в области ABC определяются формулами, выведенными
в § 34:
^-, аф = аг+2А. D0.1)
В декартовой системе координат х, у напряжения в области CDE
имеют вид:
ax = xxy = 0, ay = 2k. D0.2)
Предельная нагрузка равна
Го h
P* = 2^Ovdr + 2laydx.
а т„
Внося сюда значения аф, а получаем:
Второе слагаемое легко вычисляется, но сейчас в этом нет необ-
необходимости. Отметим лишь, что интегральный член неотрицателен и
является монотонно возрастающей функцией гс.
Рассмотрим теперь поле скорости. В предельном состоянии жест-
жесткие части тела движутся со скоростью V соответственно вверх и
вниз. Нормальные составляющие скорости на границах ВС, AC; CD,
170 ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ [ГЛ. V
СЕ непрерывны и легко вычисляются, поскольку эти границы известны.
Касательные составляющие скорости вдоль указанных линий раздела
разрывны. Поля скоростей в пластических областях ABC, CDE опре-
определяются единственным образом решением начальных характеристи-
характеристических задач. Таким образом, поле напряжений и скоростей согла-
согласованы (можно показать, что в каждой точке поля рассеяние
положительно).
Итак, имеется сколько угодно решений в зависимости от выбора
произвольной точки С; каждому решению отвечает некоторая пре-
предельная нагрузка. При гс=а (рис. 102, б) нагрузка P^ — 4k(h—a)
является минимальной, при rc = h (рис. 102, е) нагрузка максимальна.
2. Критерий выбора. Возникает, естественно, вопрос: какое из
этих решений следует предпочесть? Ответ можно дать на основании
теорем об экстремальных свойствах предельной нагрузки, рассматри-
рассматриваемых позднее (см. § 65). Забегая несколько вперед, сформули-
сформулируем без доказательства вытекающий из этих теорем критерий
выбора.
Решение, полученное в настоящем параграфе, определяет во всем
теле (т. е. как в пластической, так и в жесткой зонах) поле ско-
скоростей, согласующееся с граничными условиями. Такое поле является
кинематически возможным. Ниже (§ 65) будет доказано, что всякое
кинематически возможное поле скорости приводит к верхней границе
предельной нагрузки.
Следовательно, наиболее подходящее решение соответствует наи-
наименьшему значению нагрузки. Это положение условимся называть
критерием выбора.
Допустим теперь, что во всем теле (т. е. как в пластических,
так и в жестких зонах) построено поле напряжений ох, оу, хху,
которое
1) удовлетворяет дифференциальным уравнениям равновесия; ,
2) удовлетворяет заданным граничным условиям для напряжений
при некотором значении параметра нагрузки;
3) лежит внутри или на круге текучести, т. е. всюду
Такое поле напряжений называется статически возможным пласти-
пластическим полем.
Согласно второй теореме (см. § 65) всякое статически возможное
пластическое поле напряжений приводит к нижней границе предель-
предельной нагрузки.
Решение задачи, полученное выше, не дает такого поля, ибо в
жестких зонах напряженное состояние неизвестно. Согласно критерию
выбора надлежит остановиться на решении, показанном на рис. 102, б.
Это решение соответствует минимальной нагрузке
P^ = 4k(h—a) D0.3)
§ 40]
НЕЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ
171
и хорошо подтверждается наблюдениями. На рис. 103 приведены
фотографии [79] линий скольжения в начальной и более поздней
стадиях пластического течения. Пласти-
Пластические зоны становятся наблюдаемыми пос-
после специальной обработки (шлифовки, трав-
травления) деформированных стальных образцов.
Замечание. Критерий выбора не всег-
всегда достаточен для оценки конструкции поля
скольжения. Могут быть случаи, когда раз-
различные поля скольжения приводят к одной
и той же предельной нагрузке. Подобное
положение имеет место, например, при ре-
решении задачи о давлении плоского штампа
(§ 45). В таких случаях необходимо при-
привлекать дополнительные механические сооб-
соображения.
3. Полное решение. В рассмотренном
примере подходящее статически возможное
пластическое поле напряжений строится
легко; оно показано на рис. 104. Здесь в
заштрихованной полоске напряжения равны
нулю, а в боковых полосках
.ох = хху = 0, ay = 2k. D0.4)
Очевидно, что граничные условия на
контуре кругового выреза и на боковых Рис. 103.
краях выполняются. Соответствующая пре-
предельная нагрузка равна, очевидно, прежнему значению D0.3). По-
Поскольку верхняя и нижняя границы предельной
нагрузки совпадают, полученное значение
предельной нагрузки является точным.
В рассмотренном примере подходящее ста-
статически возможное пластическое поле напряже-
напряжений строится элементарно. Обычно же пост-
построение такого поля связано, как правило, с из-
известными трудностями.
Остановимся еще на одном замечании. Пусть
построено кинематически возможное решение
(например, решение, показанное на рис. 102, б).
Если бы удалось продолжить напряженное
состояние в пластических зонах в жесткие
зоны, причем так, чтобы условие текучести
нигде не превышалось, то построенное во
всем теле поле напряжений будет статически
возможным пластическим состоянием. Очевидно, что при этом верхняя
172 ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ [ГЛ. V
и нижняя границы предельной нагрузки будут совпадать. Подобные
решения называются полными, ибо они приводят к точному значению
предельной нагрузки.
Решение задачи, приведенное в этом параграфе (рис. 102, б),
является полным; оно легко продолжается на все тело так, как это
показано на рис. 104.
3. Задачи о нахождении предельных нагрузок. Выше неодно-
неоднократно подчеркивалось значение предельных нагрузок для установ-
установления реального запаса прочности.
Для упруго-пластического тела деформации обычно постепенно
развиваются с увеличением нагрузки; вначале упругие области сдержи-
сдерживают деформацию тела, по мере их уменьшения это сдерживающее
влияние ослабляется и, наконец, наступает беспрепятственное пласти-
пластическое течение, отвечающее предельному состоянию. На ряде при-
примеров ранее было показано, что нагрузки, близкие к предельным,
достигаются при сравнительно небольших деформациях. При этом,
как правило, пластические деформации локализуются и быстро
нарастают, в то время как упругие деформации мало изменяются;
последними, стало быть, можно пренебрегать. Это позволяет для
вычисления предельных нагрузок использовать схему жестко-пласти-
жестко-пластического тела. Условия, которым должны удовлетворять решения по
схеме жестко-пластического тела, обсуждались ранее (§ 23). В част-
частности, необходимо, чтобы условие текучести не превышалось в жестких
зонах. Как уже отмечалось, это не поддается проверке, однако
построение во всем теле статически возможного пластического по-
поля позволяет получить оценку предельной нагрузки снизу.
Другое требование — положительность рассеяния всюду в поле
скольжения. Это условие согласованности полей напряжения и ско-
скорости проверить можно, хотя и не всегда просто.
Момент достижения предельной нагрузки характеризуется мгно-
мгновенным движением, соответствующим переходу тела из жесткого
состояния в «пластический механизм». Очевидно, что при этом всеми
изменениями во внешних размерах тела можно пренебречь; мгновен-
мгновенному движению соответствует данная («мгновенная») комбинация
нагрузок.
Для реального упруго-пластического тела конечная комбинация
нагрузок может быть достигнута различными путями и возникает
вопрос о зависимости предельного состояния от пути нагружения.
В дальнейшем принимается, что предельное состояние не зависит от
пути нагружения. В пользу этого предположения можно привести
опытные данные, хорошо подтверждающие решения по схеме жестко-
пластического тела. Известное значение имеет также установленное
ранее (§ 15) асимптотическое стремление напряжений (с развитием
деформации в определенном направлении) к значениям, не зависящим
от пути деформирования. Приближение к предельному состоянию
§ 41]
РАСТЯЖЕНИЕ ПОЛОСЫ, ОСЛАБЛЕННОЙ ВЫРЕЗАМИ
173
тела сопровождается, как правило, быстрым развитием деформаций
в направлении действия заданных внешних нагрузок; можно пола-
полагать, что при этом устанавливается напряженное состояние, практи-
практически не зависящее от пути нагружения.
Полная оценка сделанного предположения требует дальнейших
исследований.
ff
§ 41. Растяжение волосы, ослабленной вырезами
Рассмотрим задачу о растяжении полосы, ослабленной симметрич-
симметричными глубокими вырезами различной формы. Предполагается, что
полоса достаточно длинная, так что характер закрепления концов
не влияет на пластическое
течение в ослабленном сече-
сечении. Очертания сторон по-
полосы, как будет видно из
дальнейшего, не имеют зна-
значения при глубоких вырезах.
1. Полоса с идеальными
(бесконечно тонкими) раз-
разрезами. Растяжение полосы
с идеальными разрезами
(рис. 105) является простей-
простейшей задачей рассматривае-
рассматриваемого типа. В предельном
состоянии полоса растяги-
растягивается в направлении у со
скоростью V по обе стороны
от среднего сечения. Поле
скольжения, показанное на
рис. 105, состоит из четы-
четырех эквивалентных обла-
областей. Вдоль свободной от
напряжений границы разреза
ОА в Д ОАВ имеем про-
простое равномерное сжатие
или растяжение + 2k; примем, что в /\ОАВ — растяжение (относи-
(относительно другой возможности выбора см. ниже). К области ОАВ
присоединяются центрированное поле ОВС и далее — треугольная же
область равномерного напряженного состояния OCD. Гр-аницей пласти-
пластической области является Р-линия DCBA; во всей области параметр
T) = const. Но в /\ОАВ а = А, 6 = — -? и х\ = \—j; в &ODC
,Р
Рис. 105.
о неизвестно, b = —
3 а 3
-j-я и v\ = kz—г я; сравнивая значения т),
174 ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ [ГЛ. V
находим среднее давление в Д ODC сг = &A +я). Согласно основным
формулам C2.1) компоненты напряжения в Д ODC будут
следовательно, предельная нагрузка
где P° = 4&ft— предельное растягивающее усилие для гладкой полосы
шириной 2h.
Обратимся теперь к определению скоростей. По симметрии ско-
скорость, нормальная к OD, равна нулю; на границе CD нормальная
составляющая скорости непрерывна, поэтому вдоль CD она постоян-
постоянна и равна -jr= V. Так как в Д ODC и = и ф), v^v(a) (см. § 38),
то и = ~г=У- Проектируя на вертикальную ось скорость частиц
на OD, имеем —— _i_ —^= = 0, следовательно, v= const = —== V.
Итак, Д ODC при достижении предельной нагрузки начинает дви-
двигаться со скоростью V в направлении OD как твердое тело.
В области ОВС и постоянно вдоль каждой из прямых а-линий;
так как нормальная составляющая скорости на границе ВС непре-
непрерывна, то на ВС и всюду в рассматриваемой области «=Vsin9.
Интегрируя теперь соотношение C8.5) dv-\- V sin 9 d9 = 0 вдоль
3
Р-линий, получаем v = V cos 9 -[-const, но вдоль ОС 9 = —~~гп>
v——=^.V, поэтому v= V (cos 9 + ^2). Наконец, /\ОАВ движется
как твердое тело со скоростями vx=V, vy = 2V. Касательная состав-
составляющая скорости вдоль линии ABCD претерпевает разрыв.
Для полос с неглубокими разрезами рассмотренное построение
не может быть реализовано.
Легко видеть, что нагрузка Р° = 4&/г является нижней границей.
Действительно, полагая, что в средней части полосы шириной 2/г
имеется одноосное растяжение (ох = хх =0, a =2k), а в боковых
зонах | х | > h напряжения равны нулю, получаем статически возмож-
возможное пластическое поле напряжений; ему отвечает нагрузка Р°.
В заключение заметим, что выбор решения —2k в области ОАВ
соответствует, как легко теперь убедиться, сжатию полосы с раз-
разрезами.
2. Полоса с угловыми вырезами (рис. 106). В этом случае
решение строится аналогично решению только что рассмотренной
задачи. Не останавливаясь на легко выполнимых вычислениях,
§ 41] РАСТЯЖЕНИЕ ПОЛОСЫ, ОСЛАБЛЕННОЙ ВЫРЕЗАМИ
приводим значение предельной нагрузки
175
3. Полоса с вырезами с круглым основанием (рис. 107). Здесь
построение поля скольжения зависит от отношения длины пере-
перешейка 2/г к радиусу закругления а. При —^3,81'поле скольжения
примыкает лишь к круглому основанию и полностью определяется
формой последнего; это поле образовано логарифмическими спира-
спиралями^ 36). Угол у связан с расстоянием h соотношением
Распределение напряжения а по сечению АВ дано формулой
D1.3)
где г — расстояние, отсчитываемое от центра О. Предельная нагрузка
определяется формулой
176
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
[ГЛ, V
Так как
~о > то это решение пригодно лишь приу
—1 =
Рис. 108.
= 3,81.
Поле скоростей определяется из решения характеристической
задачи для области СС'В по известным нормальным составляющим
скорости, непрерывным при переходе через ВС.
Для ббльших значений — построение несколько сложнее. Здесь
логарифмическое поле ограничено значением у = — \ при этом отре-
отрезок АВ (рис. 108) равен 3,81а.
Справа от этой области — тре-
треугольник равномерного напряжен-
напряженного состояния BDE; к нему при-
примыкает четырехугольник BEFC.
В последнем т) = const и а-линии
скольжения — равные отрезки пря-
прямых, перпендикулярных к ВС,
Р-линии параллельны ВС. Эта
область соединяется вдоль FC с
треугольником равномерного на-
напряженного состояния CFG, рав-
ным A BDE. Вдоль АВ распре-
распределение напряжений дано форму-
формулой D1.3).* В /\BDE имеем ay = 2k (\ +у) • Нетрудно теперь най-
найти предельную нагрузку:
D1.5)
Распределение скоростей следующее. Как и прежде, находим,
что /\BDE движется как твердое тело вправо со скоростью V.
Тогда скорости и, v постоянны вдоль BE, следовательно, к, v
постоянны вдоль каждой а-линии в четырехугольнике BECF и совме-
совместимы с движением Д FCO как твердого тела; вычисления вполне
аналогичны тем, которые выполнены в разделе 1.
4. Другие формы вырезов. Нетрудно рассмотреть таким же
образом и некоторые другие формы ослаблений (угловой вырез с круг-
круглым основанием, прямоугольный вырез, угловой вырез с тупым осно-
основанием и т. д.). Численным построением полей скольжения можно
изучить распределение напряжений при ослаблениях более сложной
формы. Для неглубоких вырезов изложенные решения неприменимы.
Нижняя граница для ширины полосы определяется возможностью
построения поля скольжения (например, расстоянием AD, рис. 108).
ИЗГИБ ПОЛОСЫ, ОСЛАБЛЕННОЙ ВЫРЕЗАМИ
177
Рис. 109.
Однако, по-видимому, ширина полосы должна быть заметно больше.
Решения упруго-пластических задач методами численного интегриро-
интегрирования и экспериментальные наблюдения показывают, что при неглу-
неглубоких вырезах пластические зоны с уве-
увеличением нагрузки прорываются к оси
полосы не по ослабленному сечению,
а выше и ниже его.
На рис. 109 показана штриховкой
пластическая область в растягиваемой
полосе, ослабленной неглубокими полу-
полукруглыми вырезами. Сначала образуют-
образуются и растут с увеличением силы об-
области А; при нагрузке, близкой к пре-
предельной, на оси полосы возникает
новая пластическая область В, кото-
которая очень быстро увеличивается и сливается с областями А при
достижении предельного состояния, показанного на рис. 109.
§ 42. Изгиб полосы, ослабленной вырезами
Рассмотрим, следуя Грину [ш], задачу о чистом изгибе полосы
(рис. ПО), ослабленной вырезами различной формы. При построении
излагаемых ниже решений принимается, что пластическая область
захватывает наиболее ослаб-
ослабленное сечение. Это справед-
справедливо при достаточно глубоких
вырезах; при неглубоких выре-
вырезах пластические области с
возрастанием нагрузки могут
прорваться к оси полосы не
в наиболее ослабленном сече-
Рис. 110. нии, как представляется на
первый взгляд, а несколько fe
стороне от этого сечения. О такой возможности свидетельствуют
экспериментальные данные и некоторые решения упруго-пластиче-
упруго-пластических задач, найденные численными методами.
1. Односторонний глубокий вырез с круговым основанием.
Характер выреза показан на рис. 111; способ продолжения круговой
дуги (т. е. очертание отрезка DB), как мы увидим ниже, не имеет
значения. Вдоль нижней грани, свободной от напряжений, в Д ААС
реализуется равномерное напряженное состояние, именно напряжение
сжатия —2k, параллельное основанию. Круговая дуга ВВ (радиус а)
также свободна от напряжений, следовательно, краевые условия не
зависит от полярного угла и вблизи дуги будет осесимметричное
N
М
178 плоская деформация
поле скольжения (§ 36), причем
[гл. v
D2.1)
где г —радиус-вектор, исходящий из центра О; знак выбран так,
чтобы сг,„ было растягивающим.
А ~2к ~ \О'
Рис. 111.
В предельном состоянии области ААС и ВВС соединяются в
точке С, положение которой определяется условием равенства нулю
главного вектора напряжений по сечению 00':
a+h
j o?dr = 0. D2.2)
Внося сюда напряжение
получаем уравнение
где
2k
при
при
Распределение напряжений В сечении 00' показано на рис. 111;
в точке С напряжение ао разрывно.
Вычисляя предельный момент М^ (на единицу ширины полосы)
по условию равновесия
D2.3)
находим:
Ml
§ 42]
ИЗГИБ ПОЛОСЫ, ОСЛАБЛЕННОЙ ВЫРЕЗАМИ
179
1,3-
1,2-
kh2
где М\ — —^ предельный изгибающий момент для гладкой полосы
высотой h. Эта зависимость показана на рис. 112 пунктиром.
Заметим, что величина М\ является нижней границей предельной
нагрузки. Действительно, момент Ж° соответствует элементарному
решению задачи изгиба (см. § 24) гладкой полосы высотой h. Допол-
Дополним это решение нулевым по-
полем напряжений в области,
лежащей выше этой гладкой
полосы. Очевидно, что тем
самым мы получим во всем
теле статически возможное
пластическое напряженное со-
состояние. Это, конечно, не дает
никаких оснований утверждать,
что решение, показанное на
рис.111, является полным (ибо
это решение не продолжено на
все тело).
Наличие упругих (в нашей
трактовке — жестких) областей
вблизи ослабления сдерживает развитие пластических деформаций и
повышает предельную нагрузку по сравнению с гладкой полосой вы-
высотой h. Отношение —|- иногда называется коэффициентом усиления.
Твердые зоны поворачиваются вокруг точки С; тем самым нор-
нормальные составляющие скорости вдоль линий скольжения ВС, СА
известны; поля скоростей внутри
пластических областей ААС и
ВВС определяются решением ха-
характеристических задач.
Рассмотрим теперь другую
конструкцию поля скольжения,
показанную на рис. 113. К нижней
грани полосы, как и ранее, примы-
примыкает область равномерного сжа-
сжатия—2k. Вблизи круговой грани-
границы решение также описывается
прежними формулами D2.1).
Однако очертание этих областей
иное: они менее развиты, содер-
содержат входящие углы и соединены двумя круговыми дугами — изоли-
изолированными линиями скольжения PQ. Внутри PPQQ материал находится
в жестком состоянии, так же как и вне линий BPQA. В предельном
состоянии внешние жесткие части поворачиваются целиком, например
В"\ А' А
Рис. 113.
180 ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ [ГЛ. V
левая часть поворачивается относительно центра дуги D. Внутри ядра
PPQQ материал неподвижен, ядро как бы играет роль цапфы, вок-
вокруг которой осуществляется мгновенный поворот по линиям сколь-
скольжения PQ — тонким слоям «пластической смазки». Линия B'PQA' —
линия скольжения с непрерывной касательной, состоящая из пря-
прямого отрезка A'Q, круговой дуги QP и отрезка логарифмической
спирали В'Р. Обозначим /_ВОР через у", угол раствора дуги PQ —
через 26, ее радиус — через /?, угол ВОВ — через 2у. Среднее давле-
давление в точке Р равно а = 2& (у" +-Н-) (см- § 36). Значения пара-
параметра т) в точках Р, Q соответственно будут
rlp::=~2"+Y "г ~4 ^ > 11q= 2~>г~\ "
Вдоль р-линии скольжения A'QPB' т) = const, следовательно,
Tip = Ti0, откуда
у' = 26 — 1.
Далее, в точке В' имеем a = k, 0 = у'—j- и по условию т) = const =
= t)b'=t)q получаем:
У = 2—1.
Очевидно, наконец, что
Для нахождения неизвестных параметров б, /? имеем два урав-
уравнения равновесия.
Во-первых, сумма проекций на горизонтальную ось х напряжений,
действующих в любом поперечном сечении (например, в сечении OPQO"),
равна нулю. Заметим, что вдоль ОР действует лишь нормальное рас-
растягивающее напряжение 0?, вдоль PQ — касательное напряжение k
и нормальное напряжение а, изменяющееся на дуге PQ как линейная
функция угла 0, на QO1' — нормальное сжимающее напряжение — 2k.
Во-вторых, сумма проекций на вертикальную ось у напряжений,
действующих в поперечном сечении, также равна нулю.
Далее, предельный момент М# вычисляется как момент напряже-
напряжений (скажем, в том же сечении OPQO" относительно центра D).
Результаты вычислений, на которых мы не останавливаемся, нане-
нанесены на рис. 112 сплошной линией. При этом из условия неотрица-
неотрицательности R вытекает, что б^ —, что в свою очередь соответствует
h тт
^0,64. Для 6 = -j- /? = 0 и оба построения совпадают. Начи-
Начиj-т— ^0,64. Для 6 = -j
ная с ^—j— > 0,64, предельный момент по второму решению меньше,
чем по первому.
§ 42]
ИЗГИБ ПОЛОСЫ, ОСЛАБЛЕННОЙ ВЫРЕЗАМИ
181
Поле скоростей определяется последовательным решением харак-
характеристических задач.
Нельзя утверждать, что построенные поля напряжений относятся
к статически возможным пластическим полям (§ 40), ибо не извест-
известно, каково напряженное состояние в жестких зонах. Однако соот-
соответствующие поля скоростей являются кинематически возможными,
следовательно, оба решения дают для предельного момента оценки
сверху (§ 40) и нужно исходить из решения, приводящего к мень-
меньшему значению М^.
2. Двусторонние глубокие вырезы с круговым основанием
(рис. 114). Предполагается, что вырезы симметричны.
Рис. 114.
Простейшее поле скольжения состоит из двух симметричных по
лей (образованных логарифмическими спиралями), соединяющихся
в точке С, которая будет точкой разрыва напряженного состояния.
Последнее описывается формулами
где знак плюс относится к верхнему полю, а знак минус — к ниж-
нижнему; радиус-вектор г отсчитывается от соответствующего центра
(О+ или О_).
Угол у определяется при h > 2а из соотношения
' 2а
Условия равновесия сводятся к одному уравнению моментов относи-
относительно точки С
— 2 J o4ydy = 0
182
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
[гл. v
(где у— расстояние в сечении О+О_ от С), определяющему вели-
величину предельного изгибающего момента М%.
Полагая у = а -{- -= г, внося crri в уравнение моментов и выполняя
М
интегрирование, найдем зависимость отношения —* от того же па-
М
раметра j-—-; эта зависимость нанесена на рис. 112 пунктиром.
Начиная с , , =0,398, возможно другое поле скольжения,
конструкция которого аналогична второму решению для случая
одного надреза. Здесь оба осесимметричных поля соединяются кру-
круговыми дугами PQ (рис. 114, б), по которым происходит скольже-
скольжение— поворот внешних жестких частей. Вычисления здесь анало-
аналогичны вычислениям в предыдущем случае; на рис. 112 сплошной
линией нанесена соответствующая зависимость предельного момента
от геометрического параметра; ею следует пользоваться при
4
+
3. Глубокий угловой вырез (рис. 115). Построение поля сколь-
скольжения ясно из рис. 115. Так как свободные границы прямолинейны,
Рис. 115.
то в треугольниках OBD, САА реализуются равномерные напряжен-
напряженные состояния (растяжение + 2k в Д ОВД сжатие —2k в /\,САА).
Центрированные поля ODE соединяют треугольники OBD с квадра-
квадратом ОЕСЕ, испытывающим равномерное напряженное состояние; из
соображений симметрии ясно, что в ОЕСЕ по вертикальным сече-
сечениям будет действовать лишь растяжение q.
Вдоль р-линии СВ (и ей параллельных Р-линий) параметр т)
постоянен, следовательно, iic = tiB) т. е.
2/г
§ 42]
ИЗГИБ ПОЛОСЫ, ОСЛАБЛЕННОЙ ВЫРЕЗАМИ
183
Но в квадрате OECE q=a + k, следовательно, получаем:
q = kB -\-п— 2у). Положение точки разрыва С, определяющей все
построение, находится из условия равновесия: qhx — 2k (h — h1) = 0.
Предельный момент равен
D2.4)
Внося сюда значения q и Нъ находим зависимость
показанную на рис. 116 пунктиром. Как и ранее, жесткие части
испытывают вращение вокруг точки С; поле скоростей определяется
последовательным решением характе-
характеристических задач.
Рассмотрим теперь другой вари-
вариант поля скольжения (рис. 115, б);
здесь поворот происходит по кру-
круговым линиям скольжения PQ вок-
вокруг твердой и неподвижной «цапфы»
OPQQP. В /\OBD-состояние рав-
равномерного растяжения -{- 2k, в об-
области, примыкающей к нижней^гра-
ни,— состояние равномерного сжа-
сжатия — 2k. Треугольная область OBD
смыкается с центрированным по-
полем ODP, которое соединяется с
пластической зоной в нижней
части круговыми линиями скольже-
м*
1,3
1.2
1
1
I
!/
¦ К
1
- 1
! /
i /
i /
у.
90 70
Два
Выреза
50
/ Один
Вырвз
—————~—
30 -*~Y
так как
Рис. 116.
ния PQ. Вдоль A'QPO т) = const, следовательно, ЦР = "Ц
то 0^ = ^D6—1); из геометрических соображений ясно, что
6 + e4--~- + Y = Jt>' далее, в областях OPD, ODB \ = const, откуда
вытекает 36 = 1—у-\--^-п.
Построение определяется теперь двумя параметрами — расстоя-
расстоянием О'А' и радиусом круговой дуги R, которые находятся, как
и ранее, из двух уравнений равновесия. Не останавливаясь на
простых, но несколько громоздких вычислениях, приведем оконча-
окончательные результаты. При 7=1 радиус R обращается в нуль и вто-
второй тип поля переходит в первый. При у < 1 второе решение дает
меньшие значения предельного момента. Соответствующая зависимость
184
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
[ГЛ. V
показана на рис. 116 сплошной линией. При малых углах у пре-
предельный момент практически не зависит от у; при этом пре-
предельная нагрузка будет такой же, как и для вырезов с круговым
основанием при исчезающе малом радиусе закругления.
4. Двусторонние глубокие угловые вырезы, симметрично распо-
расположенные. Этот случай рассматривается подобным же образом. Зави-
Зависимость предельного момента от угла надреза нанесена на рис. 116.
1 к) '
Рис. 117.
5. Опытные данные. При помощи специальной обработки (шли-
(шлифовки, травления) деформированных стальных образцов пластиче-
пластические зоны становятся наблюдаемыми. На рис. 117 приведены фото-
фотографии, полученные Ханди[791 для случаев 2y = 60° и 27=140°.
Опытные данные хорошо подтверждают теоретические выводы о двух
различных типах полей скольжения (последние показаны в левой
части рис. 117).
§ 43. Изгиб короткой консоли силой
1. Постановка задачи. В § 24 рассматривалась задача о пласти-
пластическом изгибе балки парами. Однако, как и в случае упругого ма-
материала, полученные соотношения можно применять и при изгибе
поперечными нагрузками, если балка достаточно длинная; тогда
влияние касательных напряжений незначительно.
§ 43]
ИЗГИБ КОРОТКОЙ КОНСОЛИ СИЛОЙ
185
Для коротких балок игнорирование касательных напряжений
может привести к большой погрешности.
Пусть консольная балка постоянного прямоугольного поперечного
сечения изгибается силой Р (на единицу ширины), приложенной на
конце (рис. 118); левый конец бал-
балки прочно заделан. Ширина b в
горизонтальном направлении посто-
постоянна и значительно (по меньшей
мере в шесть разtl04]) превышает
высоту балки 2/г. В этих условиях
деформацию можно считать плоской.
Как обычно, исходим из схемы же-
жестко-пластического материала.
2. Первый тип поля сколь-
скольжения. В данной задаче возможно
поле скольжения, показанное на
рис. 119. Здесь в треугольниках
ABC, A'B'C напряжения опреде-
определены свободными границами АВ,
А'В', причем в /\АВС—одноосное растяжение +2k, а в /\А'В'С —
сжатие — 2k. В &АВС В = —?, o = k, i1 = i- + -J, Л1 = ±_* .
К этому треугольнику примыкает центрированное поле ACD, в кото-
. ром г] = const = 11!. Обозначим
у длину AD через d (точка D ле-
лежит на оси балки), угол DAC—
через е. Очевидно, что
d cos (-j е 1 =h.
Вдоль AD 9 =— ^- — e, сле-
следовательно, среднее давление,
равное на линии скольжения AD
нормальному напряжению, будет
(так как r| = T)i) равно (У1 =
Рис. 118.
Р
Рис. 119.
=АA + 2е); касательное напря-
напряжение на AD равно, очевидно, k. Вдоль A'D среднее давление
а[ = — &A+2е). В точке D напряжения разрывны.
Рассмотрим теперь равновесие части консоли справа от линии
ADA'. Условие равенства нулю суммы проекций сил на ось у при-
приводит к уравнению
определяющему угол е. Длина консоли I не может быть произвольной
186
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
[ГЛ. V
и находится из условия равенства нулю суммы моментов отно-
относительно точки D:
k{\
= P Г/
Г/—dsin (~— &X\ .
АЛ.
Рис. 120.
Эти уравнения устанавливают зависимость между -щ^ и ^ .
В предельном состоянии происходит вращение жесткой части
консоли (справа от BDB') относительно точки D. Поле скоростей
в пластических зонах совместимо,
как нетрудно видеть, со скоростями
на границах.
3. Второй тип поля скольже-
скольжения (рис. 120). Здесь в треуголь-
треугольных областях ABC и А'В'С' также
соответственно будут растяжение и
сжатие. Прилегающие к этим обла-
областям центрированные поля ADC,
A'D'C соединяются изолированной
круговой линией скольжения DD'
радиуса R. По этой дуге в предель-
предельном состоянии скользит правая
часть консоли.
Обозначим_длину AD через d, угол DAC — через е, угол раствора
дуги DD'-через 26. В /\АВС а = ?, Э=— -J-, |1==1+?,
"Hi = ~2~-—4~ • В секторе ACD т] = т]17 и нетрудно видеть, что вдоль
AD a1 = k(\ f 2e), a \AD = 1±?? + ? + е. На A'D' соответственно
имеем: crl =^-fe A+28), ^л.?|' = — ^-^+^—е. Из геометриче-
геометрических соображений ясно, что 6 = -^- — е. Линия ADD'А'— непрерыв-
непрерывная ос-линия скольжения, на ней ? = const, следовательно, \ad = Ia'd',
откуда
2г = ~—i = 16°20'.
Тогда 2б = 73°40'. Длина d находится из геометрического соотно-
соотношения
R sin б -|- d cos б = h.
Неизвестный радиус R определяется из условия равенства нулю
суммы проекций на вертикаль всех сил, действующих на часть
балки справа от линии ADD'А''. Вдоль дуги^?>1)' касательное на-
напряжение равно k, а нормальное — вычисляется по условию
§ 43]
ИЗГИБ КОРОТКОЙ КОНСОЛИ СИЛОЙ
187
= const = lAD; так как ? = ? — (% — ?)> то на DD' а =
% sin
, где
угол % отсчитывается от горизонтали. Таким образом,
б б
kd cos б — otd sin б -j- kR \ cos %d% —
о
или
0,03d 4-
Составляем,' далее, уравнение моментов относительно точки О:
kdR +±-
где /' — расстояние нагруженного
торца от центра О:
l' = l+R cos б — d sin б.
С увеличением силы (для все
более коротких балок) радиус R
возрастает, а области ABCD
быстро сокращаются; пластиче-
пластическая деформация при этом лока-
локализуется по существу вдоль
изолированной круговой линии
скольжения. Выписанные уравне-
уравнения устанавливают зависимость
между ш и i •
4'
Для 28<-J—у
справедли-
решение, для
во только первое
2е=-^- — -g-второе решение при-
приводит к меньшим, а потому и бо-
более приемлемым значениям пре-
р
дельной нагрузки яхт (ибо эти
решения как кинематически воз-
возможные приводят к верхней Рис. 121.
границе для нагрузки). Первый
тип поля реализуется для длинных балок st;^ 13,73; при о/Т= 13,73
оба поля совпадают, так как /? = 0. Наблюдения над деформирован-
деформированными балками [79] подтверждают наличие двух типов полей сколь-
скольжения. На рис. 121 показаны теоретическое поле и картина, полу-
полученная в опыте, при изгибе короткой консоли..
188
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
[ГЛ. V
Элементарное решение, основанное на игнорировании касательных
напряжений (§ 24), приводит к зависимости
2kh ~ I ¦
р I
Отношение предельных нагрузок —|- в функции параметра _ п0.
казано на рис. 122. Нетрудно видеть, что в случае плоской дефор-
деформации при 5^= 10 прибли-
приближенная нагрузка Pi no эле-
элементарному расчету пример-
примерно на 5% ниже «точной»
нагрузки Р^.
Для коротких балок рас-
расхождение увеличивается, не
превышая, однако, 13%
при =т Зэ 1. С увеличением
длины Р* —+ Pi.
п
и
W
Off
/ 2
1
4
——
Б
8
10 l/2h
—
Рис. 122.
4. Заключительные замечания. По такой же примерно схеме нетрудно
рассмотреть изгиб клинообразной консоли и консоли, ограниченной дугами
окружностей. В последнем случае возможное поле скольжения (II тип) пока-
показано в левой части рис. 123. Вследствие переменной высоты балки область
Рис. 123.
пластической деформации возникает иа некотором расстоянии от заделки.
Экспериментальные наблюдения (см. фотографию в правой части рис. 123)
хорошо подтверждают теоретические предсказания. Рассмотрен также изгиб
консоли равномерио распределенной нагрузкой [1М].
Заметим, наконец, что на картину пластической деформации сильно влияет
способ осуществления заделки [103].
Нижняя граница предельной нагрузкн указана в работе [17°].
§ 44]
СРЕЗ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПЕРЕШЕЙКА
189
§ 44. Срез прямоугольного перешейка
Выше рассматривались пластические деформации в ослабленном
сечении полосы при ее растяжении и изгибе. А. П. Грин [102] изучил
цикл задач о предельном состоянии ослаблений, работающих в усло-
условиях сдвига и давления. Задачи этого типа возникают, в частности,
при анализе механизма сухого
трения металлов, связанного с
пластической деформацией раз-
различных неровностей поверхно-
поверхностей контакта.
Остановимся на одной из
этих задач, представляющей
более широкий интерес.
Рис. 124.
Рис. 125.
Пусть массивные части I к II соединены шейкой высотой h и
длиной / (рис. 124); верхняя часть / движется влево со скоростью V,
нижняя //— вправо с той же скоростью. Необходимо найти предель-
предельную нагрузку и пластические зоны.
На рис. 125 показана возможная конструкция поля скольжения,
симметричного (по геометрическому построению) относительно
осей х, у. В углах А, А', В, В' имеются пластические зоны, со-
содержащие треугольники ACD, A'C'D' равномерного одноосного
растяжения -\-2k к треугольники BEF, B'E'F' одноосного сжатия
— 2k, примыкающие к свободным границам АВ' и ВА'. К упомяну-
упомянутым треугольникам присоединены центрированные поля CAS, ЕВТ, ...
с углом раствора у. Центральная зона GKG'K' является областью
равномерного сдвига с нулевым давлением сг, она соединяется с пла-
пластическими зонами в углах круговыми линиями скольжения SG,
КТ, S'G', K'T радиуса R. Обозначим длины отрезков АС и GK'
соответственно через а, Ъ. Области DCSGK'T'E'F' и KTEFD'C'S'G'
остаются жесткими (т. е. не получают пластических деформаций).
190 ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ [ГЛ. V
В нижней части рис. 125 дано в более крупном масштабе изобра-
изображение поля скольжения вблизи одного из углов. В Д ACD
в /\BEF
Я , «. . 1 Я • -
=т> сг = & и ? = const = -2-—т=
1 = COnst = — ^-=
Вдоль AS Э = -^—|- y» вдоль ГВ Э = -^-я — у. Очевидно, что в каж-
каждой из областей ASCD, ВТЕР параметр ? постоянен и соответ-
соответственно равен ?1; ?2; из этих условий находим среднее давление
на сторонах AS и ТВ: сг1 = &A + 2у), сг3 =— Л A -f- 2y)- Теперь
вычисляем значения параметра г\ на сторонах AS, ТВ:
Th=^- + x + 2'V> ^ = ~-Y + Tn~2y-
Так как ASGKTB — непрерывная р-линия скольжения, то на ней
¦ц = const, т. е. т]1 = т]2, откуда получаем Y = "e ~г • ^3 геометри-
я 1
ческих соображений ясно, что /_ SNG.== -3- -\- -т- .
Неизвестные величины R, а, Ъ определяются из следующих
условий. Прежде всего вертикальная проекция линии ASG равна
-д-(А — Ь). Далее, жесткая область DCSGK'T'E'F' должна нахо-
находиться в равновесии; ее граница F'D свободна, вдоль участка
DSGK'T'F' действует касательное напряжение, по величине равное k;
нормальное напряжение равно нулю на GK', равно k на Е)С и —к
на F'E'; на дуге CS оно растет от значения k до k(\-\-2y) как
линейная функция угла наклона линии скольжения, на дуге SG —
убывает от последнего значения к нулю; аналогичные изменения
претерпевает нормальное напряжение вдоль линии Е'Т'К'.
По симметрии сумма проекций напряжений на ось х равна нулю
B^ = 0), и остаются лишь два условия: ]У]К=О и 2morn = 0.
Опуская несложные, но несколько громоздкие вычисления, приводим
значения параметров, найденные из указанных трех условий:
f = 0,052, х = 1'076- Т = 0'739-
Ширина участка GK зависит при этом только от отношения -г- и,
как легко убедиться, обращается в нуль при -г-= 0,68. Поэтому
рассмотренное поле скольжения реализуется при условии -т-^68
§ 44] Срез прямоугольного перешейка 191
Вычисляя сумму горизонтальных проекций напряжений, действую-
действующих по линии скольжения ASGKTB, получаем предельное срезы-
срезывающее усилие
'1—0,2494-1 , D4.1)
0.
где Ql = kl — срезывающее усилие по элементарной схеме сопротив-
сопротивления материалов.Очевидно,
—»¦ QI при
что
-т-
Обратимся теперь к ки-
кинематической картине.
Обозначим через U рав-
равные по величине разрывы в
тангенциальной составляю-
составляющей скорости вдоль верхней
AGKB и нижней (A'G'K'B')
р-лнний. Центральная зона
испытывает однородный
сдвиг; точки на линии 00'
неподвижны, а скорость
2
сдвига равна -г (V — U).
Жесткие области поворачи-
поворачиваются относительно точек
О (О') в положительном на-
направлении с угловой скоро-
скоростью ш. С другой стороны,
эти области испытывают
вращение относительно ниж-
нижней и верхней частей вокруг
центров соответствующих
круговых дуг (SG, КТ,
Рис. 126.
с некоторой угловой скоростью ш'.
Нетрудно получить из условия непрерывности нормальной со-
составляющей скорости, что
Ь
V — U--
откуда
¦¦ со
?0 =
Rw' = U,
R
¦Tr)u-
На рис. 126 приведена фотография полей пластической дефор-
деформации, наблюдаемых в перешейке после травления; хорошо видна
область равномерного сдвига в средней части перешейка.
В заключение заметим, что аналогичные решения [ш] можно
построить для симметричных перешейков других очертаний (напри-
(например, с круговыми сторонами).
192 ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
§ 45. Вдавливание плоского штампа
[гл. v
Рассмотрим задачу о наступлении пластического течения при
вдавливании твердого штампа с плоским основанием (рис. 127);
пластическая среда ограничена плоскостью, трение по поверхности
контакта отсутствует. В предельном состоянии штамп движется вниз
со скоростью V. Деформации предполагаются малыми, так что изме-
изменениями очертаний свободной поверхности можно пренебречь.
Рис. 127.
1. Решение Прандтля. Решение Прандтля относится к ранним
работам по плоской задаче. Пусть в предельном состоянии распре-
распределение давления под штампом равномерное. Тогда поле скольжения
(рис. 127) может быть построено так: под штампом и по сторонам
от него будут треугольные области равномерного напряженного со-
состояния; в частности, треугольники BDE и AFG будут испытывать
простое сжатие, параллельное границе. В /\АВС давление о не-
неизвестно, а
в /\BDE
0JT «.
= — Т' i =
= — k, 0=-
Треугольные области соединены центрированными полями. Вдоль
сс-линии параметр g постоянен, следовательно, |1 = |2, откуда
о — — k(\-\-ri). По формулам C2.1) находим напряжения в Д.АВС:
Предельная нагрузка равна
D5.1)
§ 45]
ВДАВЛИВАНИЕ ПЛОСКОГО ШТАМПА
193
Найдем распределение скоростей; Д ABC движется вниз как
твердое тело со скоростью штампа V. Вдоль ВС разрывна ка-
касательная составляющая скорости, нормальная же составляю-
составляющая равна ^ V. Вдоль CD касательная составляющая скорости
V~2
разрывна, а нормальная
составляющая
Тогда со-
V. Наконец,
я л
\У
В
?
Рис. 128.
равна нулю,
гласно C8.7) в центрированном поле г» = 0, а и = -^=
область BDE скользит как
твердое тело в направлении DE
со скоростью . V. Анало-
У 2
гичное поле строится в левой
части рис. 127.
2. Решение Хилла. Дру-
Другое решение, предложенное
сравнительно недавно Хиллом,
показано на рис. 128. Здесь
также принимается, что по ли-
линии контакта АВ действует
равномерное давление. Тогда
в области OCDEB будет такое же поле напряжений, как в области
ACDEB решения Прандтля (рис. 127). В области же OFGHA
(рис. 128) поле напряжений такое же, как и в области BCFGA
(рис. 127). Очевидно, что по линии АОВ будет действовать то же
равномерное давление &» = — kB-\-n). Предельная нагрузка Р#
имеет прежнее значение D5.1). Однако поле скольжения и кинема-
кинематическая картина будут иными (рис. 128). Здесь /\ОСВ скользит
как твердое тело вдоль ОС со скоростью \^2V; скорость на ВС
непрерывна, в центрированном поле BCD v — 0, u = ]/2V, тре-
треугольная область BDE движется в направлении DE со скоростью
V2V. В отличие от решения Прандтля поле скоростей в пласти-
пластических зонах непрерывно.
Как заметил Прагер, можно построить решение, являющееся
комбинацией решений Прандтля и Хилла, и содержащее произволь-
произвольный параметр, характеризующий налегание областей ОВС и OAF
друг на друга.
Рассмотренная задача иллюстрирует неоднозначность решений
по схеме жестко-пластического тела. Поэтому при построении воз-
возможных полей скольжения и скоростей необходимо привлекать раз-
различные дополнительные соображения и использовать эксперимен-
экспериментальные наблюдения. ,
В частности, полезно попытаться представить на оснований ре-
решений теории упругости или каких-либо иных соображений характер
Л. М. Качанов
194
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
[ГЛ. V
возникновения и развития пластических зон. С этой точки зрения
решение Хилла дает более правильную картину, ибо пластические
зоны, если исходить из решения соответствующей задачи о дав-
давлении жесткого штампа на упругую полуплоскость, возникают
в окрестности углов Л, В и в дальнейшем распространяются
к середине.
С другой точки зрения вопрос о выборе решения обсуждается
в работе Я. Рыхлевского [151].
§ 46. Клин под действием одностороннего давления
Рассмотрим задачу о нахождении предельной нагрузки для клина
при действии равномерного давления р, приложенного к правой грани
(рис. 129).
1. Случай тупого клина. Остановимся вначале на случае тупого
клина 2у> -?г • в треугольной области ОСП, образованной линиями
скольжения, исходящими из
концов отрезка OD, осу-
осуществляется равномерное
напряженное состояние.
Очевидно, что в /\ОАВ,
примыкающем к свободной
границе О А, также рав-
равномерное напряженное со-
стояние.
Согласно C5.4) at =
=—р±2й; знак выбирает-
х
-2Н
Жесткая'оБп.
Рис. 129.
-р
-р+2Н
ся из каких-либо дополни-
дополнительных соображений (или
испытанием всех вариантов).
Полагаем, шчто вследствие действия односторонней нагрузки клин «из-
«изгибается»; тогда следует ожидать растягивающего напряжения ot
на стороне OD и сжимающего — на стороне О А. На этом основании
принимаем, что в /\OCD at = — p + 2k, а в /\ОАВ at = — 2k
(рис. 129). Эти две области соединим центрированным полем (§ 33)
ОВС; в нем напряжения постоянны вдоль каждого из лучей и ме-
меняются (как линейные функции угла наклона луча) от значений на
линии скольжения ОС к значениям на линии скольжения ОВ. Вдоль
линии раздела ABCD, являющейся линией скольжения, действует
касательное напряжение r = k; нормальное напряжение равно
0 = — p~\-k на участке CD и 0 = — и на участке АВ; на участке
ВС оно изменяется по линейному закону.
Рассмотренные области могут быть вр_авновесии лишь при оп-
определенном значении давления р — р^, называемом предельным; для
§ 46]
КЛИН ПОД ДЕЙСТВИЕМ ОДНОСТОРОННЕГО ДАВЛЕНИЯ
195
вычисления его можно воспользоваться условием постоянства пара-
параметра г] на Р-линиях:
Приравнивая эти значения т] друг другу, получаем формулу
Прандтля
+ 2у— -J) . D6.1)
На плоскости ?, т) решение отображается в виде отрезка прямой
Ti = const. При У = -т (прямоугольный клин) центрированное поле
вырождается в прямую линию, и решение имеет простой вид—всю-
вид—всюду равномерное одноосное сжатие (рис. 130). Пусть вдоль OD за-
задана нормальная составляющая скорости; основание клина неподвижно,
Рис. 131.
следовательно, нормальная составляющая скорости на линии ABCD
равна нулю. Нетрудно видеть, что поле скоростей определяется
последовательным решением краевых задач для областей 0CD, ВСО,
ВАО.
2. Случай острого клина. При у< — построение теряет смысл,
ибо треугольники ОАВ и 0CD перекрывают друг друга, что при-
приводит к неоднозначности напряженного состояния. В этом случае
непрерывное поле напряжений невозможно, и решение характеризуется
разрывным полем, показанным на рис. 131. Справа и слева от линии
196 ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ [ГЛ. V
разрыва имеем по-прежнему равномерные напряженные состояния:
в AOO'D 0+ = у — -|- я, 0+ = — р + к,
в ДОО'А 9-=— (v + |). а~ = —А.
Согласно условию C9. 3) на линии разрыва получаем:
рФ = 2йA-соз27) D6.2)
(при ф = 0).
Отметим, что разрывное поле напряжений можно построить и
для тупого клина, но оно, как будет показано ниже, приводит
к противоречию. Для установления правильности решения необхо-
необходимо выяснить, удовлетворяют ли построенные поля остальным
условиям.
А
Рис. 132.
Рассмотрим кратко анализ поля скоростей для случая острого
клина. Линии раздела АО', O'D (рис. 131) являются линиями сколь-
скольжения и на них нормальная составляющая скорости vn — 0. Вдоль
линии разрыва 00' vy = const (§ 39); так как основание клина не-
неподвижно, то в точке О' 1>у = 0 и, следовательно, vy = 0 всюду на
линии разрыва. Пусть на грани OD задана нормальная составляю-
составляющая скорости. Разбиваем правую половину клина линиями скольже-
скольжения на бесконечную последовательность убывающих треугольников
(рис. 131); в каждом из них можно найти поле скоростей, если по-
последовательно решать смешанную задачу (§ 38), переходя от тре-
треугольника / к треугольнику 2 и т. д. При этом на линии разрыва
00' будет найдена составляющая скорости vx.
Перейдем к построению поля скоростей в левой половине клина.
В /\ОО'Е скорости определяются решением задачи Коши по извест-
известным значениям vx, vy на прямой 00'. Для /\Р'ЕА имеем характе-
характеристическую задачу.
Аналогичное построение поля скоростей для разрывного решения
в тупом клине приводит к противоречию. Действительно, в /\QDD'
(рис. 132) имееем смешанную задачу (на линии OD и характеристике
§ 47]
СЖАТИЕ СЛОЯ МЕЖДУ ЖЕСТКИМИ ПЛИТАМИ
197
DD' заданы нормальные составляющие скорости), опреде-
определяющую поле скоростей в названном треугольнике. Теперь для
ДОО'?>' должна быть решена характеристическая задача, при этом
будут найдены скорости и на линии разрыва 00'. Задание скоро-
скорости vy = 0 на ОО', вытекающее из предположения о существовании
разрывного решения, недопустимо и, следовательно, рассматриваемое
построение ошибочно.
В заключение заметим, что упруго-пластическую задачу для клина рао-
сматривали ¦ также Г. С. Шапиро и Нахди; равновесие клина из материала
с упрочнением по степенному закону изучено В. В. Соколовским [**]. Укажем
еще иа недавнюю работу Е. Наяра, Я- Рыхлевского и Г. С. Шапиро [138].
§ 47. Сжатие слоя между жесткими плитами
Рассмотрим задачу о сжатии пластического слоя между парал-
параллельными жесткими и шероховатыми плитами (рис. 133). Пластиче-
Пластический слой выдавливается в стороны и течет от середины к краям;
на поверхностях контакта при
этом возникают большие каса-
касательные напряжения. Для разви-
развитых пластических деформаций
допустимо считать, что эти каса-
касательные напряжения достигают
максимального значения k.
1. Решение Прандтля для
тонкого слоя. Пусть толщина
слоя 2/z значительно меньше про-
протяженности слоя 21. Тогда урав-
уравновешивающиеся нагрузки в кон-
концевых сечениях слоя не могут
заметно влиять на состояние слоя в некотором отдалении от концов;
в этих условиях интересны также решения, не удовлетворяющие
точно граничным условиям на торцах слоя.
Нетрудно убедиться в том, что напряжения
Рис. 133.
-„ = — Р — k-f- ,
D7.1)
w
удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия C1.9) и
условию пластичности C1.8) при любом значении произвольной
198 ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ [ГЛ. V
постоянной р. Компоненты вектора скорости
М D7.2)
удовлетворяют в свэю очередь условию несжимаемости C1.11) и
уравнению C1.10) при любых значениях постоянных с, V. Из D7.2)
вытекает, что каждая из плит надвигается на слой со скоростью с.
Найдем линии скольжения. Сравнивая последнюю из формул C2.1)
с формулой Т™ = k~ , получаем:
у = h cos 29.
Отсюда
Теперь с помощью C1.7) находим дифференциальные уравнения
линий скольжения:
2/zsin20^= — tg0, 2/zsrn20^ = ctg0.
Разделяя переменные и интегрируя, получаем параметрические
уравнения семейств линий скольжения:
лг = — [h B0 + sin 20L- const, _y = /zcos20; (a)
x = h B0 —sin 20) + const, у = h cos 20. (P)
Поле линий скольжения образовано двумя ортогональными семей-
семействами циклоид с радиусом производящего круга, равным h. Прямые
у = ±/z являются огибающими этих семейств циклоид, следовательно,
и линиями разрыва; вдоль последних, как легко видеть, обращаются
в бесконечность производные -^- и -^-. Скорость сдвига т]
также не ограничена на линиях у = ±/z.
Условиям на свободном краю лг = О удовлетворим в смысле Сен-
Венана, т. е. потребуем, чтобы при лг = О
л
-ft
Внося сюда компоненты напряжения, получаем p = k -^ . Распределе-
Распределение давления (о)у=н—линейное. Предельное сжимающее ycwjp
(обозначим его через 2Р) легко вычисляется:
2P = 2^avdx = — kl(^--j-n). D7.3>
§ 47]
СЖАТИЕ СЛОЯ МЕЖДУ ЖЕСТКИМИ ПЛИТАМИ
199
Далее, параметры с и V связаны условием несжимаемости материала:
поток материала через сечение х = 0 должен быть равен коли-
количеству материала, выдавливаемого в единицу времени на длине /
при сближении плит:
Подставляя vx из D7.2) при лг = О, получаем:
Нормальное напряжение оу постоянно по толщине слоя и является
линейной функцией х. Вдали от свободного края напряжение ах от-
отличается от ву лишь на малую величину порядка —г по сравнению
с единицей; с той же точностью скорость течения в направлении X
постоянна по толщине. Касательные напряжения малы по сравнению
с нормальными.
О'
Рис. 134.
Решение Прандтля неудовлетворительно вблизи концов (при х — 0
краевое условие выполняется лишь в смысле Сен-Венана) и в средней
части (вблизи х = 1), так как на оси симметрии касательные напря-
напряжения должны обратиться в нуль. Следует полагать, что в средней
части слоя имеется жесткая область и материал выдавливается по
обе стороны от нее (рис. 134). Однако для тонкого слоя решение
Прандтля является хорошим приближением.
2. Слой средней толщины. Для слоя конечной толщины нельзя
пренебрегать влиянием условий на концах слоя и в его центральной
части; решение должно удовлетворять всем краевым условиям для
напряжений и скоростей. Построение поля скольжения было намечено
еще Прандтлем; в дальнейшем эта задача изучалась В. В. Соколов-
Соколовским [44], Хиллом, Ли и Тапером [54] и др.
200 ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ [ГЛ. V
Примем, что ос-линия скольжения, разделяющая пластическую и
жесткую области, — прямая ОА (рис. 134); в справедливости этого
мы убедимся позднее. По симметрии на оси слоя касательные на-
напряжения отсутствуют, поэтому линия ОА наклонена под углом -j- .
В точке О поле напряжений имеет особенность, и решение в обла-
области ОАВ представлено центрированным полем, которое, в соответствии
с условием на поверхности контакта, ограничено а-линией скольже-
скольжения, совпадающей с границей. Рассмотрим силы, действующие на
жесткую часть ОАО'. На гранях О А, О' А равномерно распределены
касательные напряжения величины k, направленные к вершине А;
нормальное напряжение равно среднему давлению. Из условий равно-
равновесия жесткой части ОАО' легко находим, что среднее давление
вдоль отрезка ОА ос-линии должно быть равно —k. По теореме
Генки вдоль круговой Р-линии а — — 2йЭ-|-const; определяя эту
постоянную по значениям 0, 6 на'ОЛ и переходя, далее, к контакт-
контактной линии ОВ, для которой 6 = 0, получаем, что вдоль ОВ давле-
давление постоянно и равно —?(l-f--s-). Теперь на отрезках АВ, АВ'
2 ,
характеристик р, а известны значения |, т|, и напряженное состоя-
состояние в области АВСВ' определяется решением характеристической
задачи. В области BCD имеем смешанную задачу (вдоль BD задан
угол 0 = 0, так как на линии контакта %ху =i в площадки сколь-
скольжения совпадают с границей).
Построение продолжается до тех пор, пока не достигнет оси О"О".
Л\о симметрии на линии О"О" касательные напряжения равны нулю,
следовательно, условие txy — const = k на линии контакта не может
выполняться вблизи середины слоя. Здесь возникает жесткая зона,
ограниченная линией контакта и линией скольжения FG, приходящей
в точку G. Распределение давления на участке FO" остается не-
неопределенным, и можно лишь вычислить среднее давление по на-
напряжениям, действующим вдоль линии раздела FG. Рассматриваемое
построение возможно, если точка С не попадает по другую сторону
оси симметрии О"О". Как показывают вычисления, это будет при
•т- > 3,64. Справа от АВ решение осуществляется численными ме-
методами.
Пример численного построения сетки скольжения показан
на рис. 135 (толщина слоя принята равной двум, т. е. Л= 1). В секторе ОАВ
решение известно; делим дугу АВ на 10 равных частей точками @, 0), @,1), ...
. . :. , @, 10); значение 9 в каждом из этих узлов равно углу :наклона соот-
соответствующего а-луча, например в точке @, 0) 6= — — , в точке @,5) 9= ^
и т. д. Среднее давление на дуге АВ равно а = — k( 1+ ~ +20].
0
xo,n
Уо,п
—9щ
X,
У1,п
—%n
—o2n/fe
хг n '
У%п
—Q3n
—Оз'п/fe
Уз,п
g' /fc
У in
x '
У&.П
—9e,n
Хв П
Ув'.п
—07.»
—Gy n/k
*7 '
yi'"n
—9e«
g' If}
8 П
Уа,п
—%,n
Xn '
У»,п
a
u10,rc
—^10 n/k
X10,n
Ую.п
Pacnei
\ n
m \
n
\j
I
1
z
3
¦
4
5
6
7
I
Q
О
Q
У
10
г сжатия
0
0,78
1,00
1,00
0,00
0,
1,
1,
0,
0,
1,'
0,
i пластического
1
706
16
07
08
78
31
16
00
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0,
2
,62
,31
,14
,17
70
47
24
09
785
63
34
00
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0,
0
1,
1
i ,
3
,55С
,47
,21
,26
628
63
32
18
706
78
43
10
785
94
53
00
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
о
0
2
0
0,
2
1,
0
слоя
4
,471
,63
,26
,36
,550
,78
,39
29
628
94
51
20
706
10
63
11
785
?6
75
00
между
0
1
1
0
0
1
1
0
0
2
1
0
0
2
i
0
о,
2,
1,
0,
0,
2,
1,
0,
5
,392
,78
,31
,46
,417
,94
,45
39
550
10
59
32
628
26
73
22
706
41
86
1?
785
57
98
00
0
1
1
0
0
2
1
0
0
2
1
0
0
9
1
0
0
9
0
0
2,
?,
0,
0,
2
2,
0,
жесткими
6
,314
,94
,34
,56
,392
,10
,50
,51
,417
26
,66
43
550
41
81
35
628
57
96
25
706
73
10
13
785
88
24
00
0
2
1
0
0
2
1
0
0
2
1
0
0
?,
1
0
0
?,
2
0
0
2
?,
0,
0,
2
о[
0,
3,
2
о!
7
,23
ДО
,37
,67
,31
,26
,54
,62
,39
,41
,71
,56
47
57
88
48
550
73
05
39
fi?8
88
1?
27
706
04
38
15
785
20
53
00
0
2
1
0
0
2
1
0
0
2
1
0
0
9
1
0
0
9
2
0
0
3
о
\t
1,
!(
',
1литами
8
,15
,26
,40
,78
,23
,41
,57
,74
,31
,57
,76
69
392
73
95
62
47
88
14
53
550
04
3?,
43
628
20
50
31
706
36
68
17
785
51
86
00
0
2
1
0
0
2
1
0
0
2
1
0
0
9,
2
0
0
3
2
0
0
3
9
0
1
!
1
1
F
,
t
t
9
,07
,41
,41
,89
,15
,57
,60
,86
,23
,73
,80
,82
,314
8Я
,00
,77
,392
04
21
69
471
20
42
59
550
36
62
48
628
51
82
34
706
67
02
18
785
83
22
00
0
2
1
1
0
2
1
0
0
2
1
0
0
3
2
0
0
3
2
0
0
3
о
0
I
i
i
»
10
,00
,57
,41
,00
,078
,73
,61
,99
,157
,88
,82
,96
,235
04
,04
,92
,314
,20
,26
85
392
,36
49
,77
471
51
72
66
55
67
95
53
628
83
18
38
706
98
41
20
785
14
62
00
§ 47] Сжатие слоя между жесткими плитами 203
Дугу АВ' делим также на 10 равных частей точками @, 0), A, 0), ...
. . ., A0, 0). Давление 0 в симметричных точках принимает прежние значения;
угол в легко находится. Вычисляем, далее, координаты узлов хо,г, уоп, хо,2,
уо,2 и т. д. и все данные на дугах АВ, АВ' записываем соответственно в верхней
строке и левом столбце таблицы. Координаты узла {т,п) и значения неизвест-
неизвестных функций в нем 6т,л, От.п вычисляем по формулам C7.1), C7.2), C7.3),
C7.4). Вследствие симметрии достаточно вычислить поле выше АС (заметим,
что на АС 9 =—я/4; используя это, можно для области ABC решать сме-
смешанную задачу). Последовательно находим точки A, т) (т. е. заполняем вто-
вторую строку таблицы), точки B, т) и т. д.
Соединяя узлы прямыми линиями (или кривыми по лекалу), получаем
сетку линий скольжения (рис. 135). В области BCD поле определяется по
схеме решения смешанной задачи (§ 37), так как на ВС в узлах (/л, 10) нам
теперь известны о, 9, а на линии у — \ 9 = 0.
На рис. 134 сплошной линией нанесено вычисленное распределе-
распределение давления на поверхности контакта. Пунктиром показано давайте
по решению Прандтля. Очевидно, что решение Прандочвг является
хорошим приближением при l^>h.
Построенное поле скольжения должно быть согласовано с соответ-
соответствующим ему полем скоростей. Обратимся к этому вопросу.
В силу симметрии u = v на AG; на OF имеем краевое условие
v= —с (рис. 134). Поскольку жесткая зона в средней части сме-
смещается в вертикальном направлении со скоростью с, а нормальная
составляющая скорости v непрерывна на границе FG, то на послед-
последней v=—с cos 9. Интегрируя теперь уравнение C8.4) и определяя
произвольную постоянную по условию и = v в точке G, для которой
9= —я/4, находим на границе FG вторую составляюшую скорости
ц= — с(]/2" + sin 9).
При переходе через линию раздела FG тангенциальная составля-
составляющая скорости и испытывает, таким образом, скачок величиной
с у2, что влечет за собой бесконечную скорость сдвига. По вычис-
вычисленным значениям и, v строим поле скоростей, продвигаясь после-
последовательно справа налево, пока не достигнем линии АВ; при этом
скорости на АВ определяются единственным образом. Далее, в сек-
секторе ОАВ находим скорости по данным на отрезках АВ и ОВ. Вдоль
каждого из лучей скорость и постоянна, т. е. ц = и(9); тогда вдоль
Р-линий (см. § 38)
Так как на 05 скорость v постоянна, то о|) (р) = const я, стало
быть, v = v(Q). Итак, вдоль линии раздела ОА скорости и, v
постоянны. Условие постоянства нормальной составляющей скорости
v на АО соответствует требуемому движению жесткой части
слоя ОАО'.
Для реального упруго-пластического слоя картина деформа-
деформации схематически показана на рис. 136. Заштрихованные зоны
204
плоская деформация
[гл* V
характеризуются тем, что в них упругие и пластические дефор^
мацйи —• одного порядка.
/l/iacmw/еокая
Упругая
Упругая
Рис. 136.
Заметим, что в полученном решении h можно рассматривать как толщину
в данный момент времени, следовательно, решение справедливо и для конеч-
конечных деформаций. При этом форму выдавливаемой части слоя легко определить
по условию несжимаемости. В самом деле, пусть плита сместилась на вели-
величину dh, тогда hdx-\-ldh=^Q, где dx—
смещение выдавленной части слоя
г
у/////////////////
Рис. 137.
(рис. 137); отсюда
где h0 — начальная толщина слоя,
отсчитывается от конца слоя.
Подсчеты [5*] показали, что ско-
скорости претерпевают существенные
изменения лишь в узкой полоске вблизи контактной линии, а в
остальной части слоя изменяются мало. Эти результаты подтвержда-
подтверждаются наблюдениями над искривлением первоначально квадратной
Рис. 138.
сетки слоя, сжатого между шероховатыми плитами. На рис. 138
хорошо видны «жесткие» зоны.
§ 47]
сжатие слоя Между жесткими плитами
205
3. Короткий слой. Для короткого слоя ( -г < 3,64 1 изложенное
решение непригодно. Здесь при 1 ^ — ^3,64 поле скольжения имеет
Рис. 139.
вид, показанный на рис. 139. Прямые линии скольжения ОА пере-
пересекают горизонтальную ось под углом -j- . Угол у раствора центри-
центрированного поля определяется условием прихода линии скольжения
ОВС в центр полосы. Темные области остаются жесткими; распре-
распределение давления по линии контакта неопределенно, и можно лишь
указать его среднюю величину. При -у- = 1 точки А, С совпадают;
для — < 1 поле скольжения строится иначе (см. [6*]).
4. Заключительные замечания. Выше предполагалось, что по поверхности
контакта развивается максимальное касательное напряжение xxy = k. Случай,
когда касательное напряжение постоянно, но меньше k, изучен В. В. Соко-
Соколовским [44].
На основе рассмотренных решений развиты приближенные методы расчета
сжатия слоя. Так, в работе Мейергофа и Чаплина [187] дано приближенное
решение задачи о сжатии слоев, имеющих различную форму в плане (круглые,
прямоугольные и т. д.), и приведено его экспериментальное подтверждение.
А. А. Ильюшин [1П] рассмотрел вопрос о течении пластического слоя между
двумя недеформируемыми поверхностями.
Напряженное состояние тонкой пластичной прослойки, скрепленной с
жесткими частями, представляет значительный практический интерес. Такие
задачи возникают, например, при рассмотрении работы спая (склейки), работы
сварных соединений и т. д.
Изложенные решения для тонкого слоя относятся к конечной tcmaduu
пластического течения, когда на поверхности контакта развиваются касатель-
касательные напряжения, равные пределу текучести. Однако напряженное состояние
в таких слоях изменяется в зависимости от нагрузки от простого одноосного
сжатия (растяжения) к изученному выше конечному сложному напряженному
состоянию. Приближенный анализ процесса развития напряженного состояния
в тонкой прослойке дан в работе [120]; см. также § 60.
Заметим, наконец, что наличие силы, сдвигающей плиты, существенно
снижает предельное сжимающее усилие 2Р. Этот вопрос кратко рассматрива
ется ниже (§ 66).
206 ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ [ГЛ. V
§ 48. Упруго-пластическая задача
о растяжении плоскости с круговым отверстием
1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о растяжении плоско-
плоскости с круговым вырезом радиуса а, испытывающей на бесконечности
различные растяжения в направлениях осей х, у (рис. 140), т. е.
при г —> оо ох — р, ау — q,
хХу—*¦ 0, причем q~^p; отверстие
свободно от напряжений.
При достаточной величине
i нагрузок р и q возникают пла-
' Р у^ ! ~\ ' *~ стические области. Не вникая
в историю постепенного разви-
развития этих областей (которая мо-
может сопровождаться разгрузкой
в отдельных частях пластических
зон), примем, что пластическая
зона целиком охватывает отвер-
отверстие. Пусть, далее, материал
несжимаем, тогда справедливо
условие пластичности C1.8). При
этом решение в пластической зоне
определяется одной лишь формой контура, н в полярных координатах
г, ф компоненты напряжения будут (§ 34)
or=2?ln —, оф = 2/г(\ + 1п—). D8.1)
Для построения решения в упругой зоне используем функцию
напряжений F=F(x, у):
В полярных координатах компоненты напряжения выражаются
через функцию напряжений F = F(r, ф) формулами:
__J_5fj l_a«f _<PF l_dF_ }_<PF_ . .„ „.
r~ г дг^~ г2 Зф2' ?~3г2 ' rf~ г2 Зф г ЗгЛр" ^°"*'
Легко видеть, что решению D8.1) соответствует «пластическая»
функция напряжений?/^
В упругой зоне функция напряжений Fe удовлетворяет бигармо-
ническому уравнению. Всякую же бигармоническую функцию можно
представить формулой Гурса
F^Re[z<X>.(z)+Y.(z)l D8.4)
§ 48] ЗАДАЧА О РАСТЯЖЕНИИ ПЛОСКОСТИ С ОТВЕРСТИЕМ 207
где Ф„(z), ^?,(z)— аналитические функции комплексного переменного
z = x-\- iy. Чертой, как всегда, обозначается сопряженная комплекс-
комплексная величина. Компоненты напряжения вычисляются по формулам
Колосова —Мусхелишвили
¦ - °y-o* + 2i-tx, = 2[*<S>i(z) + xPi(*)l D8-5)
где положено
Ф1(г)=Ф',(г), '?1(z) = %(z).
Для упрощения письма ниже используются операторы L и М,
соответствующие выражениям D8.5), именно:
[ >~дх* ду*
Для определения аналитических функций Фх и у?1 нужно исполь-
использовать граничные условия. В частности, на неизвестной границе С
упругой и пластической зон напряжения должны быть непрерывными.
2. Решение Л. А. Галина [91]. Легко убедиться в том, что вы-
выписанная выше пластическая функция напряжений Fp для осесиммет-
ричного поля удовлетворяет бигармоническому уравнению. Это
свойство позволяет построить изящное замкнутое решение рассмат-
рассматриваемой задачи с помощью комплексного представления D8.4).
Введем новую бигармоническую функцию F = Fe — Fp. Здесь Fp
задано формулой D8.3) и может быть (напомним, что г = ге'9) пред-
представлено также в виде
D8.6)
| v и, * / J
Очевидно, что
L(F) = L (Fe)-L(Fp), M(F)=M(Fe)-M(Fp).
Сформулируем граничные условия для функции F. Прежде всего
отметим, что на бесконечности
L(Fe) = q-\-p, M(Fe)—q — р,
dr* ' г drj ' Р ~"'v V* ' 2ln a
M(Fn)=2k — = 2ke-2i'?.
\ pl z
Следовательно, L (F) и M(F) стремятся на бесконечности к
выражениям
208 ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ [ГЛ. V
На неизвестном контуре С вследствие непрерывности напряжений
будет
L(F) = 0, M{F) = 0. D8.7)
Отобразим теперь упругую область « плоскости z (т. е. внеш-
внешность С) на внешность единичного круга у плоскости ?. Пусть при
этом бесконечно удаленная точка плоскости z переходит в бесконечно
удаленную точку плоскости ?. Тогда отображающая функция со (?)
имеет структуру
Q
где с — вещественная положительная постоянная, а §•(?) — аналити-
аналитическая функция вне круга у, причем можно положить, что g(oo)=0.
Отображающую функцию можно представить рядом Лорана
00
w(?) = c?+?g, D8.8)
где коэффициенты ап вещественны вследствие симметрии контура С
относительно оси х.
Введем обозначения
Тогда формулы D8.5) преобразуются к виду
Учитывая поведение L(F) и M(F) на бесконечности и данные
D8.7) на контуре у, приходим к следующим условиям для опреде-
определения функций Ф(Р, У (С), <*>(?,)'¦
О на у,
D8.10)
= / ° на у D8 11)
1 q — р — 2ke-2if', 91 = arg^, для ?—юо.
Согласно условиям D8.10) функция Ф(?) имеет структуру
Ф(?)=-*1пС+А(?), D8.12)
где А(?) — функция, аналитическая вне единичного круга у и огра-
ограниченная на бесконечности; вещественная ее часть равна нулю
§ 48] ЗАДАЧА О РАСТЯЖЕНИИ ПЛОСКОСТИ С ОТВЕРСТИЕМ 209
на у, следовательно, h (?) необходимо равна нулю всюду. Тогда,
сопоставляя D8.12) с условием на бесконечности, приходим к тре-
требованию
откуда вытекает, что
(?±2i) D8.13)
Далее, при ?—>- оо со (?) = с?, ш'(?) = с. Внося эти значения в
условие D8.11), получаем, что при ?—>¦ оо
? + ?(?)]=? —/о —
Так как 2kt,lt, = 2ke-2i<fi, то на бесконечности
T(S)=^ D8.14)
По условию на единичной окружности у имеем:
w®=i%T- D8Л5)
Так как на единичной окружности ?= -=-, то на f будет
со
Й?) = у + ? в„?"-
Ц л=1
Следовательно, условие D8.15) может быть представлено в форме
со
I + E^^tm'IO^IO?. D8.16)
Правая часть является функцией, аналитической вне единичного
круга, кроме бесконечно удаленной точки, где имеется полюс пер^
вого порядка, так как при ?—>¦ оо
¦?со'(?)Т(О?=хс?, x = i^. D8.17)
Для определения коэффициентов разложения ап умножим равен-
равенство D8.16) на t,~m~1 (m=\, 2, 3, ...) и проинтегрируем по кон-
контуру единичного круга:
л=1
210 ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
По теореме Коши о вычетах имеем:
[ГЛ. V
С другой стороны, величина со' (?)W(?) ?~т является аналити-
аналитической функцией во всей плоскости вне у, следовательно, интеграл
по у должен быть равен интегралу по окружности большого радиуса,
поэтому
1Е1=
Вычисляя этот интеграл, находим, что
хс при /»= 1,
О при т > 1.
Таким образом,
~1
D8.18)
Эта функция, как известно, отображает внешность эллипса, сле-
следовательно, Гграннца С будет эллиптической (рис. 141). Вычисляя
согласно D8.15) функцию
" ? на контуре единичного
круга, получаем:
При х =¦¦ 1 напряжение
ттах на бесконечности рав-
равно k и вся плоскость будет
в пластическом состоянии.
Поэтому следует считать
х < 1, тогда полюсы W ле-
лежат внутри у и ^? (?,) будет
действительно регулярной
вне у.
Уравнение эллипса С
имеет вид
Рис. 141. с
Решение возможно, если пластическая зона полностью окружает
отверстие. Это условие удовлетворяется при
сA—
а.
§ 49] УСТАНОВИВШЕЕСЯ ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ 211
Отсюда вытекает, что напряжения на бесконечности р и q не
должны сильно различаться. Напряжения в упругой области вычис-
вычисляются по найденным потенциалам Ф и W. Отсылая читателя
к статье Л. А. Галина, содержащей подробный анализ, приведем
некоторые результаты вычислений поля напряжений для случая
p = 2Ak, q = 3,0k. Полуоси эллипса здесь соответственно равны
3,04а, 1,64а. Сплошными линиями (рис. 141) нанесены кривые
распределения интенсивности касательных напряжений вдоль осей
х, у. Для сравнения пунктиром показана окружность радиуса 2,72 а,
являющаяся линией раздела в осесимметричной упруго-пластической
задаче (при p = q = 3k); распределение интенсивности касательных
напряжений вдоль радиус-вектора нанесено также пунктиром.
3. Заключительные замечания. В изложенном решении существенно ис-
используется свойство бягармоничности функции напряжения в пластической
зоне, примыкающей к круговому вырезу. При некоторых дополнительных
условиях решение Л. А. Галина обобщено на случай пластически неоднород-
неоднородной среды (А. И. Кузнецов), на случай неравномерного теплового поля
(В. Л. Фомин). Приближевный прием решения упруго-пластических задач для
плоскости с вырезом в обратной постановке (задается пластическая зона)
развит П. И. Перлиным. В недавно опубликованных работах Г. П. Черепа-
Черепанова также применяются методы теории функций квмплексного переменного;
этом условие бигармоничности Fp не используется.
§ 49. Установившееся нластическое течение.
Волочение полосы
1. Установившееся пластическое течение. Выше (§§ 40—47)
рассматривались задачи об определении несущей способности, свя-
связанные с вопросами прочности конструкций. При этом можно было
ограничиться изучением малых деформаций.
Другая важная область приложений теории пластичности отно-
относится к анализу непрерывных технологических процессов обработки
металлов давлением (прокатка, волочение, выдавливание, резание
металлов я т. п.), широко используемых в промышленности. Здесь
наибольший интерес представляют предсказание сил, необходимых
для осуществления данного процесса обработки, и анализ проис-
происходящих деформаций. В задачах этого типа естественно полагать,
что в каждой фиксированной точке пространства напряжения и
скорости не изменяются.
В качестве иллюстрации рассмотрим волочение полосы (рис. 142).
Здесь полоса с начальной толщиной Н протаскивается с постоян-
постоянной скоростью U сквозь жесткую суживающуюся щель (матрицу);
толщина полосы вследствие претерпеваемых ею при прохождении
через щель пластических деформаций уменьшается до величины h,
а длина соответственно увеличивается; часть полосы слева от
матрицы движется с постоянной скоростью V < U. Поля скоростей
212
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
[гл. V
и напряжений не меняются во времени (стационарны); наконец, части
полосы, удаленные от матрицы, можно считать недеформирующимися.
Пример прессования (или выдавливания) листа из контейнера
через щель (матрицу) показан на рис. 143, а. В отличие от преды-
предыдущего случая здесь усилие (давление) приложено к широкой части
Р
Рис. 142.
листа. Из щели вытекает лист металла толщиной h. Зоны пласти-
пластической деформации на рис. 143, а заштрихованы.
Процесс прессования имеет много разновидностей. На рис. 143, б
изображен пример обратного прессования (прошивка). В металл,
находящийся в контейнере, внедряется жесткий инструмент — пуан-
пуансон. Металл вытекает йверх с обеих сторон пуансона.
Важное значение имеет процесс прокатки, широко применяемый
в различных модификациях. На рис. 143, в изображен простейший
вариант прокатки. Вращающиеся в разных направлениях цилиндри-
цилиндрические валы захватывают лист толщиной Н и сдавливают его до
.толщины h.
Разнообразные процессы резания металлов (обточка, строгание,
сверление и т. д.) также можно рассматривать как установившееся
§ 49] УСТАНОВИВШЕЕСЯ ПЛАСТЙЧЕСкОЕ ТЕЧЕНИЕ
пластическое течение. На рис. 143,г показана схема обработки
плоской поверхности. Стружка толщиной б стекает по передней
грани резца. У острия резца локализуется зона пластической де-
деформации (на рисунке эта зона заштрихована). В остальных частях
изделия и стружки металл можно считать жестким.
Анализу различных технологических процессов на основе решений плос-
плоской задачи уделено большое место в монографиях Р. Хилла [64], В. В. Соко-
Соколовского [44], Прагера [29], а также в многочисленных журнальных статьях.
Задачи установившегося пластического течения тесно связаны с особенно-
особенностями технологических процессов и требуют специального обсуждения. Заметим,
что значительное развитие получили приближенные («одномерные)) схемы расчета
непрерывных процессов. Укажем здесь на книги Гоффмана и Закса [10] и
А. Д. Томленова [61], посвященные расчету различных технологических про-
процессов обработки металлов давлением. Там же можно найти и дополнительные
литературные ссылки.
Возвращаясь к общему случаю, отметим, что область, занимае-
занимаемая средой, разбивается на жесткую и пластическую зоны; по-
поскольку пластические деформации велики, схема жестко-пластического
тела вполне приемлема. Большие деформации связаны с развитием
упрочнения; однако обычно исходят из схемы идеальной текучести,
принимая для постоянной k некоторое среднее значение. При
незначительном упрочнении совпадение теоретических и эксперимен-
экспериментальных результатов для процессов холодной обработки металлов
хорошее, и отклонения рассчитанных усилий от опытных не превы-
превышают 10%.
В процессах горячей обработки металлов значительное влияние
оказывают изменения температуры, и здесь экспериментальные
данные могут заметно отличаться от теоретических.
В большинстве технологических задач установившегося пласти-
пластического течения встречаются контактные граничные условия. Уга-
Угадать распределение давления на линиях контакта, как правило,
трудно. Это возможно сделать лишь в простейших случаях
(в частности, когда линии контакта с инструментом — прямые). Вообще
же необходимо совместное рассмотрение уравнений для напряжений
и скоростей (см. § 51).
Ниже рассматривается задача о волочении полосы через гладкую
конусную матрицу; полуобратный методздесьоказываетсяэффективным.
2. Волочение полосы. Полоса (начальная толщина Н) протас-
протаскивается со скоростью U сквозь жесткую гладкую суживающуюся
щель (матрицу); при этом полоса испытывает пластические дефор-
деформации в области, примыкающей к матрице, и толщина полосы
уменьшается до значения h. Угол между плоскостями щели равен 2у
(рис. 142). В некотором отдалении от щели части полосы движутся,
подобно твердому телу, со скоростями U и V. Вследствие несжи-
несжимаемости материала скорость V=-fj-U.
214 плоская деформация [гл. v
Трением для простоты (учесть постоянную силу трения нетруд-
нетрудно) пренебрегаем, поэтому контактное напряжение нормально к АВ.
Примем, что вдоль АВ действует равномерное давление р, и пока-
покажем, что при этом удовлетворяются все условия.
Тогда в ДЛВС—равномерное напряженное состояние; вдоль АС
и ВС присоединяем центрированные поля ACD и ВСЕ, причем
углы ф и 1J5 пока неизвестны. Напряженное состояние в этих облас-
областях зависит от искомого давления р. Для четырехугольника CDOE
имеем начальную характеристическую задачу по данным на линиях
скольжения CD, СЕ. По симметрии точка О лежит на осевой
линии полосы, а линии скольжения пересекают ось под углом 45°.
Эти условия определяют значения углов ф, г|5. В частности, из
второго условия вытекает, что
7 = г|5 — ф. D9.1)
Действительно, в /\АВС 9 =—j- — у, величину же среднего дав-
давления обозначим через а'; параметры |, г\ постоянны и соответственно
равны ?' = 2? + -4* + Т. л' = 2& — i—?• Далее> в области ADC
г\ — const = т)'; вдоль AD 9 =—-г—у— ф, а среднее давление по-
постоянно; обозначим его через а". Приравнивая соответствующее
, а" а'
значение г\ выписанному выше значению т) , находим 9ь = 9ь—Ф-
В точке D будет ?о = ^ ?
Аналогично для области ВСЕ | = const = |', на BE среднее
о" о', , „ „
давление ¦or=ob+Y и значение параметра ц в точке Е будет
t]E = 2bJt~ty—Т — Y + 'Ф- Наконец, в точке О 9=—-j, а неизвестное
давление обозначим через а0. Соответствующие значения парамет-
параметров |, ц в точке О будут 1о = 5| + ^. Ло = Tk~T ' Но вдоль AD0
| = const, вдоль ВЕО т) = const, следовательно, l,0 = %D, тH = т)?,
откуда сразу вытекает соотношение D9.1).
По любому сечению полосы справа от ВОВ' сумма горизонтальных
составляющих напряжения равна неизвестному усилию волочения Р,
слева от АОА' та же сумма равна нулю, ибо левая часть полосы
не испытывает действия внешних сил. Легко видеть, что
P = p(H-h).
Искомое давление р и один из углов (например, ф) находятся
по условиям, что сумма горизонтальных составляющих напряжений
по сечению АОА' равна нулю, а точка О' лежит на осевой линии.
§ 49]
УСТАНОВИВШЕЕСЯ ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ
215
Это требует численных расчетов, так как решение для четырех-
четырехугольника ODCE достигается численным интегрированием. В работе
Хилла и Таппера приведены результаты вычислений для разных
углов у и отношений -jy. Одна из построенных зависимостей (для
Y=15°) нанесена на рис. 144; усилие волочения возрастает по мере
перехода к ббльшим обжатиям полосы.
Покажем теперь, что поле скоростей согласуется с рассмотрен-
рассмотренным полем напряжений. Вдоль ADO и ВЕО нормальные составляющие
скорости непрерывны и, следовательно, известны, ибо заданы ско-
скорости движения жестких частей; по этим данным на DO, EO опре-
определяется поле скоростей в четы-
четырехугольнике ODCE. Далее нахо-
находим скорости в центрированных
полях и, наконец, в Д ABC. Вдоль
прямых AD, BE нормальные со-
составляющие скорости, очевидно,
постоянны; тогда согласно C8.7)
компоненты скорости и, v постоян-
постоянны вдоль каждой прямой линии
скольжения в центрированных по-
полях, следовательно, и, v постоянны
на АС, ВС, но тогда в силу C8.6)
скорости и, v постоянны всюду в
/\АВС.
Уравнения поля скоростей осно-
основаны на условии несжимаемости;
благодаря соотношению VH=Uh между скоростями правой и левой
частей полосы поток массы через ADO равен потоку ее через ВЕО,
поэтому поток через АВ должен равняться нулю. Так как в Л ABC
скорость постоянна, то она направлена вдоль линии контакта АВ1),
что является необходимым условием правильности поля скоростей.
Заметим, что касательная составляющая скорости вдоль линий
скольжения ADO, ВЕО разрывна.
Найденное решение справедливо, если для каждого у относи-
относительное сжатие -=у не превосходит некоторого значения. Максимум
достигается, как это ясно из геометрической картины, при ф = 0,
когда четырехугольник ODCE вырождается в точку О (рис. 145).
В этом случае решение элементарно и
Р _2(l+y)siny
2kh~~ 1+2 sin у '
03
Q2
о;
/
I
Q2
/
1
0,3
44
Рис. 144.
') Можно не предполагать давление равномерным; легко видеть, что ус-
условие для скорости на АВ выполняется лишь при прямолинейных линиях
АС, ВС, но тогда на АВ давление постоянно.
216
На
сетки,
полю
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
[гл. v
рис. 146 показано искажение первоначально квадратной
подсчитанное для ф = 0, у =15°, .-тт = 0,66 по вычисленному
скоростей. Величина 2kh равна предельной нагрузке при
Рис. 145.
Рис. 146.
одноосном растяжении гладкой полосы шириной h. Волочение осу-
осуществимо, если Р < 2kh (иначе произойдет разрыв правой части
полосы), откуда у sin у <-к-, т-е- Y<42°27'^Y1.
Заметим, что для поля, изображенного на рис. 145,
h 1
Н 1+2 sin у"
и ^ А
Ьсли у < Yii н0 77" пРевышает приведенную величину, то построе
ние, рассмотренное в этом параграфе, невозможно; в этом случае
решение имеет другой вид.
§ 50. Неустановившееся пластическое течение
с геометрическим подобием. Внедрение клина
1. Неустановившееся пластическое течение с геометрическим
подобием. Рассмотрим, следуя работам Хилла, Ли и Таппера [м],
один класс задач неустановившегося пластического течения, под-
поддающийся относительно простому анализу. Речь идет о задачах,
в которых пластическая область изменяется так, что ее конфигу-
конфигурация все время сохраняет геометрическое подобие некоторому
исходному положению. Простейшими примерами являются задачи
о расширении цилиндрической и сферической полостей в неограни-
неограниченном пространстве при начальных нулевых размерах отверстий;
ниже излагается решение задачи о внедрении клина.
§ 50]
НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ
217
В задачах этого типа деформация начинается с точки или с ли-
линии, а среда не ограничена хотя бы в одном направлении.
2. Внедрение твердого клипа. Рассмотрим задачу о внедрении
симметричного твердого (недеформируемого) клина с углом раст-
раствора 2у в жестко-пластическую среду, ограниченную плоскостью.
Трение по поверхности контакта отсутствует (поверхность смазана).
147.
При внедрении клина среда выдавливается по обе стороны его, при
этом картина деформации имеет вид, схематически показанный на
рис. 147. Заштрихованная область ABC находится в пластическом
состоянии. Граничная линия АС удовлетворительно аппроксимиру.ется
прямой. Тогда поле скольжения может быть построено следующим
образом (рис. 148). Примем, что вдоль АВ контактное давление р
постоянно; при этом, как будет ясно из дальнейшего анализа, все
218
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
[ГЛ. V
условия задачи будут удовлетворены. Тогда в треугольниках
ABD и АЕС—равномерное напряженное состояние. Обозначим глу-
глубину внедрения ОВ через h, длину образующей АС (которая равна
АВ из равенства треугольников ABD и АСЕ) — через /; Давление
р и длина / неизвестны. Области равномерного напряженного со-
состояния соединены центрированным полем ADE с углом раствора ф.
В /\^ABD 6 = -j — Y> a среднее давление обозначим через а';
параметр
e = -J—Y + ф, ff=—'
I n
здесь постоянен и равен §'=кт—'x + Y- ^ /\АСЕ
и параметр ? постоянен и равен ?" =
= —i-—x + Y — Ф- ^° всей пластической области g = const, сле-
следовательно, |' = |", откуда получаем:
<т'=— АA+2ф). E0.1)
Линия ЛС образует угол y — ф с го-
горизонтальной осью; согласно чертежу
?5
15
Jf0
¦
0"
/
/
i m
30°
/
t 1 -^
60° SO^y
I cos y—/2 =/sin i
E0.2)
Рис. 149.
Здесь у, h — заданные величины, по-
поэтому последнее соотношение устана-
устанавливает связь между / и ф. Наконец,
в силу несжимаемости среды площади
треугольников OBG и ACG равны, т. е.
h2tg y = (I cos у—h) [I cos (y — Ф) +
+ (lcosy-h)igy]. E0.3)
Исключая из уравнений E0.2), E0.3) l/h и произведя упрощения,
получаем соотношение
2у = ф + arc cos tg (-J----\
определяющее ф.
Давление р—одно из главных напряжений, поэтому (§ 31) оно
равно а'—k, т. е.
/> = — 2ft A+ф). E0.4)
Полное усилие на единицу длины клина в налравлении оси z равно
и является функцией угла у и глубины внедрения h. На рис. 149
показан график зависимости р от Y-
Обратимся к анализу поля скоростей. Как известно (§ 38),
скорость v вдоль каждой из прямых р-линий постоянна; но на линии
раздела BDEC нормальная составляющая скорости равна нулю
§ 50] НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ 219
(жесткая зона среды находится в покое), поэтому v=0 всюду в
пластической области. Другая составляющая скорости и = с-(-ф(р)
в центрированном поле и и = иф) в треугольниках равномерного
напряженного состояния; очевидно, что на каждой из а-линий (состо-
(состоящих из прямых отрезков и круговых дуг) скорость и постоянна. Пусть
скорость внедрения клина равна V; тогда, проектируя скорости V и и
на нормаль к контактной линии АВ, находим ы = ]/2 Vsiay, т. е. со-
составляющая скорости и постоянна всюду в пластической области.
Так как v = 0, то модуль вектора скорости постоянен и равен
1/2" V sin Y-
Непосредственное определение траектории частицы среды по най-
найденному полю скоростей затруднительно, так как поле скоростей
не фиксировано (как в случае установившегося течения), и нужно
учесть непрерывное расширение пластической области и связанное
с ним изменение поля скоростей.
Это затруднение преодолевается при помощи несложного преоб-
преобразования, использующего условие подобного расширения пластичес-
пластической области.
Пусть г — радиус-вектор некоторой частицы М относительно
начала координат О при глубине внедрения h. Рассмотрим плоскость
П*, на которой точке М соответствует точка М*, определяемая
радиус-вектором
Г* = ТГ- E0.5)
На плоскости П* вследствие условия подобия область плас-
пластической деформации не меняется при возрастании Н, а глубина
внедрения клина всегда остается равной единице. В связи с этим
фиксированная картина на плоскости П* называется единичной
диаграммой (рис. 150). С проникновением клина в среду частица М
получает некоторое перемещение. Поскольку вся картина определяется
возрастающей глубиной внедрения А, последнюю можно рассматри-
рассматривать как «время». Тогда «скорость» точки М будет равна "О — -ж--
При движении частицы М в физической плоскости отображаю-
отображающая точка М* на единичной диаграмме перемещается со скоростью
^•==-тг-. Например, если в физической плоскости частица М непод-
вцжна (г = const), то на единичной диаграмме г* уменьшается
обратно пропорционально h.
Дифференцируя E0.5) по «времени» h, получаем:
v*=—^-(r*—v). E0.6)
Таким образом, скорость точки М* направлена от точки М* к точке,
радиус-вектор которой есть v и которую условимся называть фокусом.
220
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
[ГЛ. V
Величина скорости v* определяется отношением расстояния изображаю-
изображающей точки М* от фокуса («фокальное расстояние») к глубине вне-
внедрения h.
Как [уже отмечалось, в данной задаче вектор скорости имеет
постоянную длину j/2VsinY- В дальнейшем для простоты считаем
V=l; если V=tM, to окончательные результаты изменятся jiponop-
ционально. Тогда фокусы лежат на окружности р адиуса ]/2 sin у с
Рис. 150.
центром О*. Так как направление вектора скорости v меняется
незначительно — от направления B*D* в /\A*B*D* до направления
Е*С* в Д А*С*Е*, то на единичной диаграмме получим дугу окруж-
окружности FXF2, причем радиусы O*FU O*F2 параллельны соответственно
Е*С*, B*?f. Отрезок O*F2, равный ]/2sinY, образует угол ~ с ли-
линией А*В*.
Рассмотрим на единичной диаграмме отображение траекторий
частицы М. Пока продвигающаяся линия раздела BDEC не достигла
М, скорость и = 0 и согласно E0.6) отображающая точка М* дви-
движется к центру (У по прямой линии до пересечения с границей
B*D*E*C*. Характер дальнейшего движения отображающей точки
зависит от места пересечения этой границы. Следует различатК
три случая.
В первом случае (пунктирная линия /) пересекается участок
границы Е*С*; в области ЕСА скорость v постоянна, следовательно,
отображающая точка в Е*С*А* движется по прямой к фокусу /^ до
пересечения линии А*Е*. В секторе A*E*D* скорость v переменна,
фокус перемещается по дуге круга от Ft к F2, и траектория
искривляется. После пересечения линии A*D* изображающая точка
вновь движется по прямой, но уже к фокусу Fa. _-....
§ 50]
НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ
221
Во втором случае (линия //) пересекается дуга окружности D*E*;
в секторе A*E*D* траектория искривляется; после пересечения линии
A*D* изображающая точка движется по прямой к фокусу F2.
Наконец, в третьем случае (линия ///), когда пересекается участок
B*D*, имеем простое движение по прямой к фокусу F2.
В /\D*B*F2 материал движется в направлении C?F2, первоначаль-
первоначально же он занимал область B*D*O?. Аналогично в Д А*Е*С* материал
движется в направлении CfF^, исходное его положение — вДб*?*С*
(заметим, что A*G*\\CFF1). В этих областях происходит деформация
чистого сдвига, параллельного соответственно B*D* и Е*С*.
Рис. 151.
Материал, занимавший вначале область E*D*CPG*, испытывает
сложную деформацию и переходит в четырехугольник E*D*A*F2.
Искажение первоначально квадратной сетки может быть вычислено
при помощи единичной диаграммы. Необходимо найти конечное поло-
положение (для глубины внедрения h) первоначально прямого угла,
характеризуемого в исходном состоянии радиус-вектором г0. Пусть
граница пластической зоны достигает точки г0 при некотором зна-
значении h0 < h; при этом соответствующая изображающая точка Ml
определяется радиус-вектором rJ = -=—г0. Пусть 5 — расстояние от
«о
точки М*о, пройденное вдоль траектории при достижении клином
глубины h, a F(s) — фокальное расстояние; тогда по E0.6)
s
In7^-J F(s) '
о
ds
так как величина скорости движения изображающей точки равна -тг .
Полученное соотношение определяет s как фукцию h и, следова-
следовательно, радиус-вектор частицы М г = hr*. В треугольниках D*B*F2,
А*С*Е* интеграл легко вычисляется, так как в них F(s) = d — s,
где d — расстояние от точки М% соответственно до фокусов F2,F-^\
здесь
h __ d
ho~~d—s '
222
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
[ГЛ. V
В четырехугольнике E*D*O*G* интеграл находится численно.
На рис. 151 показано искажение первоначально квадратной сетки,
Рис. 152.
вычисленное для у —30°; хорошо видны три рассмотренные выше
зоны деформации. На фотографии (рис. 152) деформированной сетки,
,, получающейся прл вдавливании сталь-
Д~ ного смазанного клина в свинец, мож-
можно различить все три зоны. Опытные
точки подтверждают теоретическую
зависимость (сплошная линия на
kh
рис. 153) параметра внедрения р
угла у-
от
Рис. 153.
Некоторые другие задачи неустано-
неустановившегося течения с геометрическим подо-
подобием (косое внедрение твердого клина,
раздавливание пластического клина твер-
твердой плоскостью, вдавливание пуансона с
закруглением и т. д.) изучены Хиллом и
другими авторами [м].
* § 51. О построении согласованных полей
напряжений и скоростей
1. О нолуобратном методе. Для решения жестко-пластических
задач выше применялся полуобратный метод. Сначала определялось
поле напряжений, причем недостающие граничные условия для на-
напряжений угадывались. Реализация этой схемы для контактных
§ 51] ПОСТРОЕНИЕ ПОЛЕЙ НАПРЯЖЕНИЙ И СКОРОСТЕЙ 223
задач, вообще говоря, затруднительна. Если же линии контакта—¦
прямые и на них заданы простые условия (отсутствие трения или
постоянное касательное напряжение), такой подбор осуществим.
Примеры подобных контактных задач приведены в § 45 (вдавли-
(вдавливание плоского штампа; давление принято постоянным), в § 47
(сжатие слоя между плитами; давление на участке ОВ, рис. 134,
принято постоянным) и в § 49 (задача о волочении полосы; давле-
давление на поверхности инструмента принято постоянным).
Если контакт осуществляется вдоль кривой линии, полуобратный
метод неэффективен, так как угадать правильное распределение
контактных напряжений практически невозможно. Иногда можно вы-
вычислить эти напряжения, решая смешанную задачу. Вообще же
необходимо использовать прием совместного построения полей напря-
напряжений и скоростей, указанный в работах Б. А. Друянова [10в] и
В. В. Соколовского [159].
2. Построение согласованных полей напряжений и скоростей.
Предполагается, что на физической плоскости х, у можно указать
конструкцию поля скольжения; последней на плоскости характери-
характеристик |, т) отвечает некоторая картина. Сначала строится поле ско-
скоростей. Составляющие скорости и, v удовлетворяют уравнениям
C8.10)
ди 1 „ ди 1 _ ,_. ,.
* 0 в 0 <51Л)
Линии, отделяющие пластическую область от жестких, являются I
характеристиками. Так как скорости движения жестких частей за-
заданы, а угол наклона нормали к лилии раздела вычисляется через
9 = -к- (Л — ?), то известны вдоль линий раздела нормальные состав-
составляющие скорости (и или v). Хотя на физической плоскости х, у
сетка линий скольжения неизвестна, на основании указанных данных
можно найти функции и = и(?, т]), v = v(l,r]). При этом граничные
условия для скоростей на линии контакта являются избыточными
и позволяют найти на плоскости |, т) отображение контактной линии.
Вдоль последней известны х, у, а следовательно, и «координаты»
х, у (см._§_33).
Для х, у имеем дифференциальные уравнения C3.3)
ди 1 - „ дх 1 — _ /ci пч
-JL--X-0, ____v = 0. E1.2)
Знание граничных значений х, у вдоль отображения контактной
линии позволяет в конце концов найти функции х, у, а следова-
следовательно, и х, у, т. е. сетку линий скольжения на физической пло-
плоскости.
224
ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
[ГЛ. V
В качестве примера рассмотрим схему решения задачи о вдавли-
вдавливании гладкого выпуклого штампа в пластический слой, лежащий
на гладком основании [169J. Выпучиванием поверхности слоя вблизи
штампа пренебрегаем. Штамп внедряется со скоростью V; жесткие
боковые области отодвигаются со скоростью U. Предполагаемая
конструкция поля скольжения показана на рис. 154. Отображение
этого поля на плоскости характеристик |, т) дано на рис. 155.
Вдоль линии раздела ОА0В0С (или ОА'0В'0С) нормальная состав-
составляющая скорости непрерывна и вычисляется через U и угол
О ¦
Рис. 154.
Рис. 155.
Э = у(т1 — |). Таким образом, вдоль отрезка характеристики ОА0В0С0
(или ОА'0В'0С0) известна составляющая скорости и (или v). Решая
последовательно характеристические задачи для уравнений E1.1),
находим и — и(|, г)), v = v(l,i\) в области ОС0С2В2С',С'еО (рис. 155).
Вдоль линии контакта С С нормальная составляющая скорости
равна vn = —Vsincp или
и — i/=Vsin<p. E1.3)
Но на линии контакта касательное напряжение равно нулю, сле-
п
довательно, линии скольжения подходят к контуру под углом ± -j-
3 1 3
иф = 0 ——я=2"(т) — !)—¦?• я. Тогда условие E1.3) определяет
на характеристической плоскости отображение линии контакта — кри-
кривую С'1ВгС1; точки С, С отображаются на отрезки С'ОС'Г и C0Ct.
Так как уравнения контактной линии х = х((р), y=y(f) заданы, то
вдоль C'fjCiB^CjC^ можно вычислить (см. § 33) граничные значения
функций х, у. Функции х, у в области С'1А1С1 определяются реше-
решением задачи Коши по данным на дуге C[B^CV Для остальных обла-
областей имеем характеристические задачи.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ V 225
Заметим, что, привлекая условия на оси симметрии Оу, можно
строить решение лишь в области ОАгВгСВ0АаО. Решение краевых
задач для уравнений E1.1) и E1.2) может быть проведено различ-
различными способами. Наиболее простым является применение конечно-
разностного метода Массо. Функции и, v; x, у удовлетворяют те-
телеграфному уравнению. Решение соответствующих краевых задач
можно также получить аналитически с помощью формулы Римана.
Подробности вычислений читатель найдет в упомянутых выше
работах.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ V
1. Пусть в некоторой области T)=const=TH (простое напряженное состоя-
состояние); одно семейство линий скольжения—семейство прямых линий. Найти
уравнение второго семейства линий скольжения (как семейства ортогональных
линий).
2. Написать формулы для вычисления полей скольжения и скоростей,
принимая наклон хорды по значению в в начальной точке.
3. Найти предельную нагрузку для симметричного клина (/_ 2у) со сре-
срезанной вершиной, испытывающего равномерное давление по площадке среза
(«смятие тупого лезвия»).
Ответ. р„ = 2й ( 1 -]—=" — V
4. Найти предельный изгибающий момент для полосы, ослабленной сим-
симметрично расположенными угловыми вырезами (§ 42,4), при первом типе поля.
Ответ. М» = Л1° П + -у — у
5. Найти предельную нагрузку при изгибе короткой клинообразной кон-
консоли силой (§ 43,4); ограничиться рассмотрением первого типа поля сколь-
скольжения.
6. Вывести формулу D1.2) для предельной нагрузки при растяжении
полосы с угловыми вырезами.
7. Вывести формулу D1.5).
8. Найти предельную нагрузку для растягиваемой полосы с глубокими
симметричными угловыми вырезами с круговым основанием.
9. Найти предельную нагрузку для растягиваемой полосы с прямоуголь-
прямоугольными вырезами.
10. Построить в задаче о сжатии слоя сетку скольжения в области АВСВ'
(рис. 134), разбив дугу АВ на небольшое D—5) число частей.
11. Вычислить поле скольжения в задаче о волочении полосы для случая
1—-77-=0,2, ^ = 15°. Круговые дуги DC, СЕ разбить на небольшое C—5)
число частей.
12. Найти предельную нагрузку при изгибе консоли, очерченной дугами
окружностей радиуса R (рис. 123), при втором типе поля скольжения.
13. То же, но при условии, что одна грань консоли — прямолинейная.
14. Найти предельную нагрузку при изгибе консоли (рис. 118) давле-
давлением, равномерно распределенным по верхней грани (поля будут несиммет-
несимметричны относительно оси х и аналогичны рис. 119, 120).
15. Найти предельную нагрузку для кругового полукольца @<ф<я),
изгибаемого силами Р, касательными к торцам ф = 0, ср = я.
Л. М. Качанов
Глава VI
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
§ 52. Уравнения плоского напряженного состояния
1. Плоское напряженное состояние. В этом случае компоненты
напряжения аг, ххг, хуг (в системе координат х, у, z) равны нулю,
а компоненты ах, ау, хху не зависят от координаты г.
Плоское напряженное состояние приближенно реализуется в тон-
тонкой пластине, деформируемой под действием сил, лежащих в ее
срединной плоскости. Компоненты
напряжения az, xxz, %уг малы по
сравнению с другими составляющи-
составляющими, так как основания пластины
z =±" свободны от нагрузок, а
толщина пластины h мала по срав-
сравнению с поперечными размерами.
По этой же причине напряжения ох,
оу, хху мало изменяются по тол-
Рис. 156. щине. В дальнейшем под ах, ау,
хх понимаются осредненные по
толщине значения соответствующих компонент напряжения, а компо-
компоненты аг, xxz, хуг считаются равными нулю.
В этих условиях дифференциальные уравнения равновесия эле-
элемента пластины (рис. 156) hdxdy при постоянной толщине h и
отсутствии объемных сил имеют вид:
дах dxXv
дх ^ ду ~и'
дх
ху
дау
ду
E2.1)
2. Уравнения плоского напряженного состояния при условии
текучести Мизеса. Условие Мизеса в рассматриваемом случае при-
принимает вид
ах + а2у~ exoy + 3xxy = ol = 3k2, E2.2)
или в главных осях
§ 52]
УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
227
Постоянная k равна пределу текучести при чистом сдвиге xs.
Последнее уравнение представляет в плоскости о1; о2 эллипс,
наклоненный под углом -j- к осям координат (рис. 157) и отсекаю-
отсекающий на них отрезки 0^; при этом главные напряжения по величине
2
не могут превышать —^=as = 2k. Полуоси эллипса соответственно
равны }^2as и
При развитых пластических деформациях можно пренебрегать
компонентами упругой деформации в уравнениях пластического тече-
течения и исходить из соотношений
Сен-Венана —Мизеса A3.12) для
жестко-пластического тела. В
данной задаче эти соотношения
можно записать в форме (vx, vy
не зависят от z)
dvx
~дх
dvy
dv
f
ду
v
У
дх
2ох—Оу~
2а„
6т
¦ху
E2.3)
Cd=.
/
\
Рис. 157.
Теперь вместе с уравнениями
равновесия E2.1) и условием
текучести E2.2) имеем систему
пяти уравнений для пяти неизвестных функций ох, оу, хху, vx, v
3. Уравнения плоского напряженного состояния при условии
текучести Треска — Сен-Венана. В зависимости от знака главных
напряжений alt 02 максимальные касательные напряжения разви-
развиваются по различным площадкам. Если о17 02 — разных знаков, то,
подобно случаю плоской деформации, максимальное касательное на-
напряжение равно
1 1
и действует по площадкам, нормальным к плоскости х, у и деля-
делящим пополам угол между главными осями olt 02 (рис. 158, а). При
этом на плоскости х, у будут два ортогональных семейства линий
скольжения.
Если же 0Х, 02 — одинакового знака (например, а1 > 0, 02 > О,
причем 0j > 02), то максимальное касательное напряжение равно
228
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
[ГЛ. VI
и действует по площадкам, параллельным оси 02 и наклоненным под
углом -j- к плоскости х, у (рис. 158, б). На последней площадки
скольжения оставляют один след, т. е. одно семейство линий, кото-
которые условимся также называть линиями скольжения. Направление
такой линии скольжения совпадает с
главным направлением 02. Вследствие
аУ сказанного условие текучести Тре-
Треска—Сен-Венана принимает вид
— о —
если
или 02 =
E2.4)
если
Эти уравнения представляют на пло-
плоскости 0j, 02 шестиугольник (см.
рис. 157, пунктир), вписанный в эллипс
Мизеса.
Вопрос о связи между скоростями
деформации и напряжениями при усло-
рис jgg вии текучести Треска — Сен-Венана
обсуждался в § 16. Для плоского на-
напряженного состояния о3 = 0г = О$ сечение правильной шестигранной
призмы, изображающей в пространстве напряжений alt o2, 03 условие
текучести Треска — Сен-Венана, плоскостью 03 = 0 представляет собой
рассмотренный выше шестиуголь-
шестиугольник. Нормаль к призме не содер-
содержится в плоскости чертежа, однако
проекция нормали перпендикулярна
к сторонам шестиугольника (рис.
159). Следовательно, отношение
главных скоростей деформации ?i:52
равно отношению направляющих ко-
косинусов нормали к шестиугольнику
в рассматриваемой точке. Присое-
Присоединяя сюда условие несжимаемости
?i + ?2 + Ss = °. E2-5)
можно найти и главную скорость
деформации ?3.
Условимся внутренние точки отрезков АВ, ВС, . . . называть
соответственно режимами АВ, ВС, . .., а вершины шестиугольника
А, В, ... —режимами А, В, ... Рассмотрим более подробно неко-
некоторые типичные случаи.
Случай 0,02 < 0 соответствует наклонным граням АВ, DE (режи-
(режимам АВ, Dt). Остановимся для определенности на режиме DE.
Рис. 159.
§ 52] УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 229
Тогда 0j > 0, о2 < 0, и условие текучести имеет вид
a1 — o2 = os. E2.6)
По ассоциированному закону A6.10) получаем:
?1 = Л, U = — K E2.7)
т. е. gj = —12.
Из условия несжимаемости теперь следует:
13 = 0,
т. е. толщина пластинки не изменяется. Величина X ^ 0 является
неизвестной функцией, определяемой при решении каждой конкрет-
конкретной задачи. Приведенные уравнения имеют место и в случае пло-
плоской деформации (§ 31).
В самом деле, введенные в § 31 линии скольжения сохраняют значение.
Пусть первое главное направление составляет с осью х угол ф, тогда по
известным формулам преобразования
E28)
= (Ei—62) sin 2q>. J
В рассматриваемом случае
|x = ^cos29, ly = — Ucos2<p, т)Лгу = 2Я51п 2ф.
Исключая Я, приходим к уравнению C1.10)
<h>x__dvy
дх ~ ду = _ Оу^о*
и прежнему условию несжимаемости
Итак, для рассматриваемого режима DE система уравнений для
напряжений и скоростей совпадает с системой уравнений в случае
плоской деформации.
Аналогичное заключение справедливо для режима АВ.
Случай о*^ > 0 соответствует вертикальным и горизонтальным
граням шестиугольника (фиг. 159). Пусть для определенности
°i > а2 > 0, что отвечает режиму CD. Условие текучести таково:
*! = *,. E2.9)
По ассоциированному закону течение развивается лишь в первом,
главном направлении, т. е.
?i = X, ?2 = 0. E2.10)
230 '¦ ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ [ГЛ. VI
Из условия несжимаемости вытекает, что
Es = —Ei- E2.11)
Если же рассматривать режим ВС, то
<*« = о„ E2.12)
Бх = 0, U=l, E2.13)
причем
?з = — ?2- E2.14)
Режим С. Обратимся теперь к угловой точке С. Здесь
<*i = <^, <*2 = а*, E2.15)
а скорости деформации являются линейными комбинациями с неотри-
неотрицательными коэффициентами Хъ К2 течений в соседних режимах CD
и ВС, т. е.
?1=^И ?2=^2> ?з = ^1 ^2- E2.16)
Коэффициенты Я1, Я2 — неизвестные функции, определяемые при
решении каждой конкретной задачи; дополнительная произвольная
функция вводится из-за «двух условий текучести» E2.15) на ребре
призмы. Вследствие равенства главных напряжений имеем:
Аналогичное течение реализуется в режиме F.
Рассмотрим, наконец, одноосное растяжение, отвечающее ре-
режиму D:
аг = а,, а2 = 0. E2.17)
Скорости деформации будут линейными комбинациями с неотри-
неотрицательными коэффициентами Ях, Х2 течений в соседних режимах CD
и DE, т. е.
tt = K + h, U = — K 1з = — К E2.18)
Аналогичный вид имеют течения в других одноосных режимах А,
В, Е.
4. Заключительные замечания. Изложенные выше уравнения легко обоб-
обобщаются на случай пластинки переменной толщины h = h(x, у) при условии,
что последняя изменяется медленно. Дифференциальные уравнения равновесия
при этом примут вид:
dhax dhxxy dhxxy dhay
дх ^ ду ' дх ^ ду
§ 53] ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЙ ПРИ УСЛОВИИ ТЕКУЧЕСТИ МИЗЕСА 231
Заметим, далее, что плоское напряженное состояние реализуется в тон-
тонких безмоментных оболочках. В оболочках и пластинках, испытывающих
изгиб, имеет место плоское напряженное состояние, изменяющееся по толщине
(отличные от нуля компоненты напряжения ах, ау, хху зависят от г, где z
отсчитывается по нормали к срединной поверхности).
§ 53. Построение решений при условии текучести Мизеса.
Разрывные решения
1. Общие замечания. Совместное решение нелинейной системы
уравнений E2.1), E2.2), E2.3) представляет большие трудности*
Однако, как и в случае плоской деформации, часто оказывается
полезным полуобратный метод. Именно, можно попытаться рассмат-
рассматривать последовательно решение уравнений для напряжений E2.1),
E2.2) и уравнений для скоростей E2.3). Если напряжения опреде-
определены, то система уравнений для скоростей vx, v будет линейной;
необходимо построить поле скоростей, совместное с найденным по-
полем напряжений.
2. Уравнения для напряжений. Обратимся к системе уравнений
для напряжений E2.1), E2.2), исследованной В. В. Соколовским.
Условию текучести E2.2) в главных осях можно удовлетворить,
полагая
E3.1)
где со = со (х, у) — новая неизвестная функция, характеризующая по-
ложелие точки на эллипсе (рис. 157). При условии а1^о2 угол со
изменяется в пределах О^со^зт. Легко видеть, что угол со свя-
связан с значением среднего давления а = -^-(ах + <72)' именно:
cos со = ^-qz— . E3.2)
Теперь с помощью известных формул
~'ч = ~^~2—~ s'n 2ф, E3.3)
где ф — угол между первым главным направлением и осью х, можно
выразить компоненты напряжения ах, а , хху через функции со, ф:
Gx}=k(V3 cos со ± sin со cos 2ф), хху = k sin со sin 2ф. E3.4)
Отсюда вытекает, что (в отличие от случая плоской деформации)
компоненты напряжения ограничены:
| ох |< 2k, | оу |< 2k, | хху |
232 ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ [ГЛ. VI
Внося компоненты напряжения в дифференциальные уравнения равно-
равновесия и выполняя простые преобразования, получаем систему двух
уравнений для двух неизвестных функций ф (х, у), <о(х, у):
|/3 sin со cos 2ф—cos со j ~-\-y3~sin со sin 2ф -=
-2sinc3 = O,
sin со sin 2ф^—[УЗ sin со cos 2ф -)- cos со ) =—\-
Выясним тип этой системы, следуя «детерминантному методу»
(см. Добавление). Пусть вдоль некоторой линии x = x(s), y=y{s)
заданы фулкции ф = ф($), co = co(s). Для интегральной поверхности,
проходящей через L, имеем:
Вдоль L касательная плоскость к интегральной поверхности
да> да> да да>
определяется частными производными ~-, -~-; д— , д— , которые
ох оу ох оу
можно найти из E3.5), E3.6), так как на L это будут линейные
алгебраические уравнения относительно упомянутых производных.
Если линия L является характеристикой уравнений E3.5), то
вдоль нее производные неопределенны, следовательно, определитель
упомянутой алгебраической системы и надлежащие числители обра-
обращаются в нуль. Приравнивая нулю определитель системы, находим
дифференциальные уравнения характеристических линий
dy _ 1^3 sin (о sin 2ф ± 2 (ю) (ЪЧ 7\
dx Уз sin ю cos 2ф —cos (о
где введено обозначение
2 (со) = УЗ — 4 cos2 со.
Приравнивая нулю числители, получаем (после некоторых преоб-
преобразований и интегрирования) соотношения между неизвестными функ-
функциями ф, со, выполняющиеся вдоль характеристик:
E3.8)
где положено
§ 53]
ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЙ ПРИ УСЛОВИИ ТЕКУЧЕСТИ МИЗЕСА
233
Исходная система E3.5) будет иметь два различных семейства
вещественных характеристик (т. е. будет гиперболической), если
3 —4 cos2 со > 0, т. е.
<-<
= ттах, а в области эллиптичности
тах. Тип системы уравнений определяется соотношением величин
-Si
Точки гиперболичности на эллипсе (рис. 157) заполняют большую
его часть, очерченную жирными линиями.
Система E3.5) будет иметь лишь одно семейство вещественных
характеристик (т. е. будет параболической) в случае S (со) = О,
т. е. если функция со принимает одно из значений -?->-?-¦ Наконец,
при 3—• 4 cos2 со < 0 вещественных характеристик нет и система
E3.5) — эллиптического типа. Этому типу отвечают внутренние точки
дуг эллипса, очерченных тонкими линиями.
Нетрудно видеть, что в области гиперболичности |а [ < ттах,
в параболических точках |cf'
IGI > т.
среднего давления и максималь-
максимального касательного напряжения. ,
Итак, в решении могут ветре- jg
титься области гиперболичности,
параболичности и эллиптичности, 12
причем заранее граница перехода
не известна. Это очень затруд-
затрудняет решение задач плоского на-
напряженного состояния по срав-
сравнению с решением соответствую-
соответствующих задач в случае плоской де-
деформации.
3. Случай гиперболичности.
Свойства характеристик. Рас-
Рассмотрим более подробно свойства решений в области гиперболич-
гиперболичности. Здесь S(co)>O, функция Q легко вычисляется:
Ц4 Цв 7,2 1,6 2,О 2,4 2,8
Рис. 160.
я , . 2 cos to 1 , 4 cos @ + 3
^=—xarctg- _.¦¦ ¦
4 cos (о —3
Рассматриваются главные значения обратных тригонометрических
функций (в интервале ^-, + тг)- График функции — Q приведен
на рис. 160. Введем новую неизвестную функцию яр (лг, у), равную
л 1 --*$»-. E3.11)
234 ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ [ГЛ. VI
Тогда уравнения характеристик принимают вид:
(а) S = te<4>-1>), | (р) g = te(«P+10, } E3Л2)
Q—ф = const = ?; J й + ф = const = ц. )
Характеристики пересекаются под углом 2гр (рис. 161) и обра-
образуют неортогональную сетку кривых, не совпадающую, очевидно,
с сеткой линий скольжения. Главные направления делят пополам
углы между характеристиками. Будем различать характеристики этих
двух семейств, как и ранее, параметрами а, Р
(помня об их ином, нежели в гл. V, зна-
значении). Характеристики первого семейства
(а-характеристики) соответствуют фиксиро-
фиксированным значениям параметра Р; вдоль ^-ха-
^-характеристики постоянен параметр а. Угол пере-
пересечения 2г|з изменяется, вообще говоря, от
•ос точки к точке. При переходе от одной харак-
характеристики семейства а к другой параметр |
изменяется; аналогично при переходе от одной
характеристики семейства Р к другой изме-
изменяется параметр х\.
Вдоль характеристик компоненты напряжения связаны простым
условием (напомним, что в случае плоской деформации нормальные
напряжения в характеристических направлениях равны среднему дав-
давлению сг, см. § 31),
Действительно, пусть на некоторой линии L заданы непрерыв-
непрерывные компоненты напряжения. Проведем в произвольной точке Р
линии L систему координат t, n, направив ось t по касательной
к L, а ось п — по нормали. Дифференциальные уравнения равнове-
равновесия E2.1) и условие текучести E2.2) сохраняют прежнюю форму
и в новой системе координат. В точке Р производные -^, ~-\ Л^
вдоль L вычисляются. Тогда из дифференциальных уравнений опре-
определяются производные по нормали -~ , -~ . Производная же —~
может быть найдена из условия текучести, продифференцирован-
продифференцированного по л:
%&t-о.)+%(*,.-<, 4) + 6т,г4Д^ = 0,
если 2cft—ап ^Ф 0. Если выполняется условие
t
решение задачи Коши невозможно, и линия L является характери-
характеристикой.
§ 53] ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЙ ПРИ УСЛОВИИ ТЕКУЧЕСТИ МИЗЕСА 235
Такое же условие выполняется и вдоль характеристик второго
семейства.
Характеристики обладают рядом свойств, аналогичных некоторым
свойствам линий скольжения в задаче о плоской деформации (§ 32).
Приведем их без подробных доказательств (читатель легко их вос-
воспроизведет).
1) Если переходить от одной характеристики семейства Р к дру-
другой вдоль любой характеристики семейства а, то угол наклона
первого главного направления ф и функция, Q будут изменяться на
одну и ту же величину (аналог первой теоремы Генки).
Для доказательства достаточно .воспользоваться соотношениями
2Q=?+ti. 2ф = т) — \. E3.13)
2) Если некоторый отрезок характеристики — прямой, то вдоль
него постоянны со, ф, угол пересечения г|з, параметры ?, ц и ком-
компоненты напряжения ах, ау, хху.
3) Если некоторый отрезок характеристики (например, а-семей-
ства) — прямой, то все соответствующие отрезки характеристик того
же семейства — прямые; в такой области реализуется простое напря-
напряженное состояние и параметр ц постоянен.
В самом деле, возьмем построение, аналогичное рис. 67; вслед-
вследствие прямолинейности характеристики А21А22 из первого свойства
вытекает, что фц=ф12, ^1Х = ^i2. н0 тогда сои = со12, гр1Х = гр12.
Р-характеристики пересекают прямую а-линию под одним и тем
же углом (изменяющимся, конечно, от одной а-линии к другой).
4) Если прямолинейны оба семейства характеристик, то в такой
области напряжения распределены равномерно и параметры ?, т)
постоянны.
Система дифференциальных уравнений E3.5)— приводимая и
линеаризуется путем обращения переменных (аналогично уравнениям
плоской деформации). Простому и равномерному напряженным состоя-
состояниям соответствуют интегралы:
1. Ъ, = const,
2. т] = const,
3. | = const, т]= const.
Как и в случае плоской деформации, при решении необходимо
рассматривать различные краевые задачи. В общем случае поле ха-
характеристик строится численными (или графическими) методами, по-
подобными изложенным в предыдущей главе. При этом исходными соот-
соотношениями являются уравнения характеристик E3.12).
Для простых напряженных сохтояний краевые задачи имеют
элементарное решение.
4. Простые напряженные состояния. Рассмотрим более детально
простые напряженные состояния, играющие важную роль в прило-
приложениях.
236
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
[ГЛ. VI
Простейшим решением этого типа является равномерное напря-
напряженное состояние. В такой области сетка характеристик образуется
двумя неортогональными семействами параллельных прямых (рис. 162).а
параметры!, т) постоянны (| = |0, т] = тH).
к Тогда Q= у EО+По). Ф =у ('По —У.
далее вычисляются со и угол я)).
У прямолинейной свободной границы
всегда будет поле равномерного одноос-
одноосного растяжения или сжатия величиной
j/3 k, параллельного границе (рис. 163).
Например, если ось х параллельна гра-
границе, то в прилегающей области o"x =
= +1^3 k, ау = хху = 0. Действительно,
нормаль к свободному контуру совпадает с одним из главных на-
направлений, ф = 0, и граничные точки испытывают либо одноосное
растяжение, либо одноосное сжатие. Рассмотрим случай растяжения;
Рис. 162.
О'
я п I /г —:^—
Рис. 163.
тогда на границе со = у (рис. 157), т. е. изображающая точка
лежит в области гиперболичности. Согласно E3.11) находим, что
Таким образом, контур не является характеристикой, и для на-
нахождения поля напряжений вблизи границы имеем задачу Коши..
Решение определено в треугольной области О'АВ.
§ 53] ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЙ ПРИ УСЛОВИИ ТЕКУЧЕСТИ МИЗЕСА 237
Пусть на прямолинейной границе действует равномерное нормаль-
нормальное напряжение р. Второе главное напряжение вычисляется по условию
текучести E2.2). Если напряженное состояние на границе отвечает
точкам гиперболичности на эллипсе (рис. 157), то решение вблизи
границы легко строится аналогично предыдущему случаю (когда
Р = 0).
В простом напряженном состоянии лишь одно семейство харак-
характеристик состоит из прямых линий. Так же, как и в случае плоской
деформации (§ 33), имеет место теорема:
К области равномерного напряженного состояния может примы-
примыкать лишь область простого напряженного состояния.
Действительно, пусть О'А (рис. 163)— граничная характеристика
области равномерного напряженного состояния. Если к этой области
вдоль О'А примыкает область другого решения, то по свойству 3,
изложенному в предыдущем разделе, все характеристики того же
семейства, что и характеристика О'А, будут прямыми.
Рассмотрим более подробно важный частный случай, когда прямо-
прямолинейные характеристики исходят из одного центра (центрированное
поле). Пусть это поле примыкает к области одноосного равномер-
равномерного растяжения О'АВ. Введем вспомогательную полярную систему
координат г, 9 с полюсом в точке О' и полярной осью О'О"; поло-
положение последней будет в дальнейшем выбрано.
Дифференциальные уравнения равновесия в полярных координатах
дг + г dQ +¦ г -U' о
дхг. 1 да. 2хГ. Edl4>
А 4- - '- -| А. = о
дг ^ г д& > г
и условие текучести
ov - ага^ -Ь а% + Зтл2е = 3k2 E3.15)
удовлетворяются, если взять
а,. = A: cos 9, o-9 = 2?cos9, Tre = fesin9. E3.16)
Очевидно, что вдоль радиус-вектора напряжения постоянны. Вдоль
линии перехода О'А должны быть непрерывными компоненты напря-
напряжения о, xri (по условию равновесия элемента линии О'А, см. § 39).
Рассматривая равновесие заштрихованного треугольного элемента,
примыкающего к границе О'А (рис. 163), легко находим, что
sin 9 = 1/ —, т. е. полярная ось О'О" должна быть отклонена от
линии О'А на угол 54°44'. В этой системе координат уравнение
характеристик второго семейства имеет простой вид
г2 sin 9 = const. E3.17)
238
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
[ГЛ. VI
Криволинейные характеристики асимптотически приближаются
к О'О", для которой Э = 0; это показано пунктиром на рис. 163.
Вдоль О'О" оба семейства характеристик сливаются в одно, а
<те=--2?, ar = k (параболическая точка co = -g- на эллипсе Мизеса,
рис. 157] .
5. Осесимметричное поле. Рассмотрим осесимметричное напря-
напряженное состояние при условии тге = 0 (отсутствует скручивание).
Тогда компоненты напряжения аг, а9 будут главными напряжениями
и согласно E3.1) имеем:
аг = 2k cos (со + ~ ) , о"е = 2k cos (со — -"-
E3.18)
\ ' 6
Здесь выбран вариант формул E3.1) для случая огв > аг. Внося
E3.18) в уравнение равновесия
aar i г в
dr
' = 0.
E3.19)
получаем дифференциальное уравнение
Уз
dr
решение которого имеет вид
С e-V3ffl
sin со
E3.20)
где С — произвольная постоянная. Пусть, например, контур выреза
г=а (рис. 164) свободен, т. е. на нем аг = 0, следовательно, при
г —а со = -S- • Легко видеть,
что
2 sin со
Рис. 164.
E3.21)
Так как оси г, 0 —глав-
—главные, то соотношения E3.8)
принимают вид
?2^0 = const,
и с учетом зависимости
E3.21) определяют уравнения характеристик в параметрической фор-
форме. По мере удаления от контура г = а угол между характеристи-
п
ками убывает и при со = —%[ при этом
— =2.07^!
рактернстик слива*ются в одно (рис. 164).
2,07] оба семейства ха-
§ 53] ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЙ ПРИ УСЛОВИИ ТЕКУЧЕСТИ МИЗЕСА 239
При —> 2,07 решение определяется теми же формулами E3.18),
E3.20), но вещественных характеристик нет (область эллиптичности).
Распределение напряжений ап о"в показано на рис. 164. При
г —>- сю со —>0, a ar—>-as, ае—> о^, т. е. пластина испытывает равно-
равномерное растяжение на бесконечности.
6. Случаи параболичности и эллиптичности. В точках парабо-
личности 2 (со) = 0, тогда со имеет постоянное значение -^- или -^-
(рис. 157). Оба семейства характеристик E3.7) сливаются в одно
(г|з = О). Из системы дифференциальных уравнений E3.5) вытекает,
что ф = const. Семейство характеристик является семейством прямых
параллельных линий. Таким образом, это решение приводит к равно-
равномерным напряженным состояниям частного вида, например, при со=^-
O1 = 2k, o2 = k, произвольно лишь главное направление.
В эллиптическом случае построение решений системы нелинейных
уравнений E3.5) связано с большими трудностями; общие методы
отсутствуют, имеются лишь решения для осесимметричных задач.
7. Определение поля скоростей. Рассмотрим теперь систему
уравнений E2.3) для скоростей, предполагая, как обычно, напря-
напряженное состояние известным; тогда система E2.3) — линейная с пере-
переменными коэффициентами. Перепишем ее в следующей форме:
E3.22)
В области гиперболичности уравнений для напряжений уравнения
для скоростей будут также гиперболическими, причем характери-
характеристики обеих систем совпадают.
В самом деле, пусть на линии L, не являющейся линией разрыва
скорости, задана скорость. Проведем в произвольной точке Р ли-
линии L систему координат t, ц, направив ось t по касательной
к L. Уравнения E3.22) сохраняют форму и в новой системе коорди-
координат. В точке Р нам известны производные ~-, -^т ¦ Производные
-g~-, -j^ ограничены и однозначно определяются из уравнений E3.22),
кроме случая, когда
2а,-а„ = 0.
- Но условие 2ot — оп выполняется вдоль характеристики напря-
напряженного состояния (см. выше, раздел 3).
Следовательно, решение задачи Коши для скоростей невоз-
невозможно вдоль характеристической линии напряженного состояния,
240
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
[ГЛ. VI
Характеристики уравнений для скоростей совпадают с характери-
характеристиками уравнений для напряжений.
Далее, из уравнений E3.22) вытекает, что вдоль характеристики
-|р = 0, E3.23)
т. е. вдоль характеристической линии скорость относительного удли-
удлинения равна нулю (так же как и в случае плоской деформации).
Такое же условие выполняется и вдоль характеристик второго
семейства. Эти условия могут быть выражены дифференциальными
соотношениями, аналогичными уравнениям Гейрингер и выведенными
Хиллом [54].
8. Линии разрыва скорости. В плоском напряженном состоянии,
так же как и в случае плоской деформации, значительный интерес
представляют разрывные решения, которые могут иметь место для
областей гиперболичности и параболичности. Рассмотрим некоторую
линию разрыва скорости L. В отличие от случая плоской деформа-
деформации в плоском напряженном состоянии следует допустить возмож-
возможность скачка не только в касательной, но и в нормальной состав-
составляющей скорости. Подобный скачок приводит к резкому утонению
(рис. 165, а, «шейка») или утолщению (рис. 165,6, «валик») пла-
пластинки вдоль линии разрыва. Такая линия является математической
идеализацией наблюдаемого в опытах локального образования шейки.
Условимся поэтому называть такую линию разрыва «шейкой»; ее сле-
следует рассматривать как предельное положение полоски интенсивной
деформации, причем соответственно схеме плоского напряженного
состояния скорость деформации в шейке считаем равномерной.
§ 53] ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЙ ПРИ УСЛОВИИ ТЕКУЧЕСТИ МИЗЕСА 241
Скачок скорости не может быть произвольным, будучи связан
определенными условиями с напряженным состоянием. Рассмотрим
эти условия.
Пусть одна сторона ( + ) шейки L (рис. 165, в) смещается относи-
относительно другой (—) со скоростью v. Обозначим через b ширину
шейки (в пределе Ь—>-0). Вектор v наклонен к линии L под уг-
углом у, т. е. разрывны касательная и нормальная составляющие ско-
скорости. В произвольной точке М шейки проведем локальную систему
координат п, t, направив ось t по касательной; тогда компоненты
скорости деформации в шейке будут
с. V,, v sin у f. „ Vi v /ro ...
%" = ~У = —Ь' ^ = 0' *!»« = -у = -г cos V> E3-24)
где г» —модуль скорости.
Скорость удлинения в направлении а, перпендикулярном к век-
вектору скорости, очевидно, также равна нулю: |а = 0. Следовательно,
t и а-направления — характеристические, и угол между ними равен 2гр.
Итак, вектор разрыва скорости v наклонен под углом
т = 2г|? ?- E3.25)
к шейке; линия разрыва проходит по характеристике.
При у = 0 характеристики ортогональны, утонение не возникает
и происходит лишь относительное скольжение. Это будет в случае
напряженного состояния чистого сдвига (<в = -^-
V ^ J
Исходя из E3.24), легко находим обычным способом главные ско-
скорости удлинения в шейке
?2= — ¦^-A — sinv) • E3.26)
Третья главная скорость деформации (в направлении, перпендикуляр-
перпендикулярном к плоскости п, t) определяется из уравнения несжимаемости
Главные направления 1, 2 делят пополам углы между характе-
характеристиками.
Мощность пластической деформации на единицу длины шейки равна
Внося главные скорости деформации в соотношения Сен-Венана —
Мизеса A3.12), получаем главные напряжения
ах = 1+3 sin у о, = 1— 3siny
(оаг/)
242
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
[ГЛ. VI
Легко видеть, что
sin у =
01 + 02
—о2)
E3.28)
^p — ,,w.» J/ 1 -|- 3 sin2 y.
В параболическом случае обе характеристики сливаются, совпа-
совпадая вдоль шейки; в последней реализуется напряженное состояние,
соответствующее одной из параболических точек на эллипсе
(рис. 157).
Для точки (о = ~ напряжения ax = 2k, a2 — k, угол у = —,
следовательно, скачка скольжения нет, имеется разрыв только в нор-
нормальной составляющей скорости, происходит лишь утонение вдоль
линии разрыва. Для точки ш = -^— напряжение аг = —k, сг2 = —2k,
л
угол у = g" , скачка скольжения по-прежнему нет, разрывна
лишь нормальная составляющая, вдоль линии
разрыва происходит утолщение.
Рассмотрим в качестве примера растя-
растяжение плоского образца (рис. 166),
предполагая, что шейка захватывает все
,г
Рис. 166.
Рис. 167.
его сечение; здесь сг2 = О, у = arcsin-^- == 19°28', а г|) = 54044'.
Вектор разрыва скорости наклонен к оси образца под углом 35°16'.
По обе стороны шейки материал «жесткий». При известных усло-
условиях образование такой шейки* наблюдается в опытах, причем угол
ее наклона к направлению растяжения составляет 55 — 60°. Этот
§ 53]
ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЙ ПРИ УСЛОВИИ ТЕКУЧЕСТИ МИЗЕСА
243
вопрос подробно разбирается в монографии Надаи [25], откуда заим-
заимствована фотография образующейся шейки (рис. 167).
9. Линии разрыва напряжений. Разрывы напряжений должны
удовлетворять условиям равновесия и пластичности. Воспользуемся
чертежом, приведенным в предыдущей главе (рис. 99). Рассмотрим
элемент линии разрыва L, на который действуют компоненты напря-
напряжения оп, хп, о$, aj; по условиям равновесия компоненты ап, хп
непрерывны, разрыв возможен лишь в нормальной составляющей ot.
Из условия пластичности E2.2) находим:
E3.29)
Скачок составляющей ai равен
[о-,] = о7 - от = 2
- т * ~ 1 о-
Угол наклона характеристик на линии разрыва напряжений изме-
изменяется скачком. Пусть положение главных осей напряженного состоя-
состояния определяется углами б+ и 6~ (рис. 168). С помощью формул E3.3),
заменив ф на б, можно вычислить компоненты сг(, ап, xnt. Условия
непрерывности ап, xnt приводят к соот-
соотношениям
р+ +х+ cos2S+ =/?-—т~ соз 26",
T+sin26+=T-sin26-
где через рях обозначены соответ-
соответственно полусумма и полуразность
главных напряжений. По условию те-
текучести E2.2) p2 + 3x2=3k2.
Из приведенных соотношений сле-
следует, что
о~ _ 2 sin 26+ ^
tg /О mcMtXn+/r+ ' I
б",
—|-T
cos
26+.j
Рис. 168.
Величина т вычисляется через р по условию текучести.
На линии разрыва скорости компоненты напряжения непрерывны,
поскольку напряженное состояние на этой линии (проходящей по
характеристике) определено формулами E3.27).
Обратно, поле скоростей на линии разрыва напряжений непре-
непрерывно (ибо, если оно разрывно, то невозможен разрыв напряжений).
Покажем, далее, что линия разрыва напряжений не удлиняется.
244 ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ [ГЛ. VI
Действительно, по уравнениям Сен-Венана—Мизеса A3.12) имеем:
Из непрерывности скоростей вытекает, что вдоль линии разрыва
& = Z7, т- е- Х+Bо-^-о-п) = Х-Bо-1-о-п).
В силу E3.29) величины в круглых скобках отличаются знаком,
а так как % неотрицательно, то Х+ = К~ = 0, т. е. ^ = 0.
10. Жестко-пластическая граница. Пусть некоторая линия L
отделяет пластическую область от жесткой области; будем считать,
что последняя находится в покое (см. § 38.5).
Если на линии раздела L скорость разрывна, то, как показано
выше, эта линия проходит по характеристике.
Если же скорость непрерывна, то на L скорость равна нулю;
если при этом L не является характеристикой, то в покое будет нахо-
находиться и характеристический треугольник, примыкающий к L (ибо
поле скоростей в нем определяется решением задачи Коши). Если
же в пластической зоне происходит деформация, то это возможно
лишь в случае, когда L — характеристика.
Итак, жестко-пластическая граница проходит по характеристике
(или по огибающей характеристик).
§ 54. Построение решений при условии текучести
Треска — Сен-Венана. Разрывные решения
1. Общие замечания. В § 52 были сформулированы уравнения
плоского напряженного состояния при условии текучести Треска —
Сен-Венана; эти уравнения различны для. различных режимов. Реше-
Решение конкретных задач обычно требует рассмотрения течений в раз-
различных режимах, реализующихся в тех или иных частях пластиче-
пластической зоны. При этом нетрудно ошибиться и выбрать неправильную
компоновку различных областей напряженного состояния, что иногда
приводит к парадоксальным заключениям. Для выбора правильной
конструкции решения необходимо тщательное построение согласо-
согласованного поля скоростей.
Уравнения для напряжений в различных режимах изучены В. В. Со-
Соколовским [**]. Последовательное построение поля скоростей стало
возможным лишь после введения ассоциированного закона течения.
Анализ разрывных решений принадлежит Р. Хиллу [182].
2. Режимы DE и АВ (ах(Т2 < 0). В § 52 было отмечено, что
система уравнений для напряжений и скоростей для рассматривае-
рассматриваемого режима совпадает с соответствующей системой для случая
плоской деформации. В таких областях характеристики ортогональны
и совпадают с линиями скольжения. Изложенные в предыдущей главе
результаты полностью переносятся на случай пластинктт при сг1сг2<0.
В случае пластинки имеется лишь ограничение для величины нор-
§ 54] ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЙ ПРИ УСЛОВИИ ТРЕСКА СЕН-ВЕНАНА 245
мальных напряжений (например, для режима DE o1<^os, |cr2|<cr5).
Утонение пластинки не происходит (|г = 0).
Невозможность утонения исключает разрывы нормальной состав-
составляющей скорости: из условия ?г = 0 следует (см. формулы E3.24)),
что |п = -r- sin у = 0, т. е. у = 0. Происходит, как и в случае плоской
деформации, относительное скольжение вдоль линии разрыва скорости,
проходящей по характеристике. «Шейка» не может возникнуть.
Что касается линии разрыва напряжений, то приведенные в § 39
результаты полностью сохраняются. Линия разрыва напряжений —
биссектриса угла между одноименными линиями скольжения.
3. Режимы CD и EF. Для режима CD (см. § 52) аг = as,
0 <Г сг2 < as. Положим
в1-ва = 2вЛ, E4.1)
где х = X (•*> .у) —неизвестная функция. Тогда
o1 + oa = 2osx(l-%), E4.2)
где к = sign аг = sign сг2. Для режима CD x=+l; множитель и
введен для того, чтобы полученное решение можно было перенести
на режим EF, где к =—1. С помощью формул E3.3) находим:
°s[K(l—X)±Xcos2(f]> т*, = СТД sin 2ф, E4.3)
где ф = ф (х, у) — неизвестный угол между первым главным направле-
направлением и осью х. Подставляя эти значения в дифференциальные урав-
уравнения равновесия, освобождаясь от двойных углов, умножая полу-
полученные уравнения соответственно на sinq>, совф, складывая затем
эти уравнения и вычитая, находим после некоторых упрощений
Нетрудно построить общее решение этой системы. Уравнения
характеристик первого уравнения имеют вид
dx _ dy dtp
sin 2ф — (x + cos 2ф) ~~ 0
и легко интегрируются:
q> = const = Clf y = xtg[<p+{x +1)т] +С2- E4-5)
Характеристики —прямые линии, наклоненные к оси л: под углом
ф+(и+1)х и> следовательно, совпадающие с линиями скольже-
скольжения, т. е. с прямыми траекториями главных напряжений (§ 52.3).
246 ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ [ГЛ. VI
Для режима CD характеристики совпадают с прямолинейными
траекториями численно меньшего главного напряжения сг2 (для режима
ЕР сг2=—as, к = — 1 и характеристики проходят по прямолиней-
прямолинейным траекториям главного напряжения cTj). По ассоциированному
закону в режиме CD |2 = 0, т. е. характеристика не удлиняется.
Общее решение первого из уравнений E4.4) может быть пред-
представлено в виде
[?]>), E4.6)
где Ф (ф) — произвольная функция, определяемая по заданным гра-
граничным условиям.
Составим теперь уравнение характеристик второго уравнения
системы E4.4)
dx dy d In x
sin 2ф —(x-f-cos 2ф) дф
дх
Это уравнение имеет то же семейство характеристических линий,
т. е. система E4.4) — параболического типа.
Вдоль характеристической линии
<Ппх==_2х-Д-.
л дх sin 2ф .
Дифференцируя по х решение E4.6), вычисляем производную
Эф
^-, вносим ее в последнее соотношение и выполняем интегрирова-
интегрирование. Тогда общее решение второго уравнения E4.4) будет:
E4 7)
1— исоз2ф)Ф'(ф) '
где W (ф)—произвольная функция, определяемая по заданным гра-
граничным условиям.
Отметим, далее, очевидный интеграл
ф = const, x
описывающий равномерное распределение напряжений.
Для нахождения произвольных функций необходимо задать зна-
значения ф и х вдоль некоторой кривой С на плоскости х, у. Реше-
Решение этой задачи Коши будет неопределенным, если кривая С сама
является характеристикой.
Рассмотрим разрыв скорости вдоль некоторой линии L (рис. 165).
Пусть правая сторона (-f ) шейки смещается относительно левой
(—) со скоростью V. В локальной системе координат п, t имеем
прежние формулы E3.24) для компонент скорости деформации. Так
как 1^ = 0, то линия разрыва проходит по характеристике (напом-
(напомним, что вдоль нее |2==0), т. е прямолинейна it совпадает с траек-
§ 54] ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЙ ПРИ УСЛОВИИ ТРЕСКА — СЕН-ВЕНАНА 247
торией численно меньшего главного напряжения. Направления п,
t, следовательно, главные и т)и< = 0, т. е. У = -к- Таким образом, раз-
разрыв возможен только в нормальной составляющей скорости.
Отметим, далее, что вдоль характеристики может быть разрывно
численно меньшее главное напряжение, причем величина разрыва
произвольна в пределах @, as). Например, для режима GD вдоль
характеристики может быть разрывно сг2, причем 0 < | [о\2] | <С Qs,
4. Режимы С и F. Для сингулярных режимов С и F имеем:
o1 = g2 = kos, E4.8)
где х= + 1 для режима С, к = — 1 для режима F. Из формул E3.3)
вытекает, что для любой декартовой системы координат х, у имеем:
¦ Gx = ay = *as, т^ = °- E4.9)
Дифференциальные уравнения равновеси-я E2.1), очевидно, удов-
удовлетворяются. Таким образом, рассматриваемые режимы отвечают
равномерному гидростатическому (в плоскости х, у) напряженному
состоянию. Любое направление для напряжения является главным.
Скорости деформации для режима С равны |1 = Х1^0, |2 = Х2^0.
Рассмотрим в такой области разрыв скорости вдоль некоторой
линии L (фиг. 165). Пусть первое главное направление скорости
деформации составляет угол ф с осью п. Согласно формулам E2.8)
и E3.24) имеем:
|( = Х15(п2ф -|-Я.2 cos29 = 0.
Следовательно, ф = 0, Х2 = 0, оси п, t являются главными, тогда
r}nf=0, т. е. У = ~о- Итак, вектор разрыва v нормален к линии L,
относительное скольжение отсутствует. Ориентация линии разрыва
относительно поля напряжений произвольна.
Разрыв напряжений в рассматриваемых полях, очевидно, исклю-
исключается (ввиду условия crj=cr^)-
5. Режимы D, А (одноосное растяжение или сжатие). Здесь
o1 = y,as, сг2 = 0. Внося напряжения ах, ау, тху по формулам E3.3)
в дифференциальные уравнения равновесия E2.1), находим, что угол
наклона первого главного направления ф = const, что соответствует
полю однородного растяжения (или сжатия). Скорости деформации
определены формулами E2.18):
причем j 2
Рассмотрим теперь разрыв скорости вдоль некоторой линии L
(фиг. 165, в). Пусть по-прежнему первое главное направление состав-
составляет угол ф с осью п. Главные скорости удлинения в шейке дань;
248 ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
формулами E3.26), следовательно,
[ГЛ. VI
Скорость удлинения вдоль шейки равна нулю, поэтому
t =
si Ф —
Исключая из последних соотношений
sin у = cos 2ф, откуда
~,
:0. E4.10)
и Х2, находим, что
E4.11)
т. е. главное напряжение cr1 = as действует в направлении 1, являю-
являющемся биссектрисой угла между нормалью к линии разрыва и век-
вектором скорости v.
Заметим, что в силу E4.10) tg^^l, т. е. |ф|^-т-. В этих
пределах направление линии разрыва скорости относительно растя-
растягивающего напряжения произвольно1). Вектор же разрыва v ориен-
ориентирован согласно E4.11). В
общем случае одновременно
происходят проскальзывание и
утонение. Если же линия раз-
разрыва нормальна к направлению
растяжения (ф = 0), то скольже-
скольжения нет (т = !-§-) > образуется
лишь шейка.
На линии разрыва скоростей
компоненты напряжения непре-
непрерывны.
Легко, далее, видеть, что
Рис. 169. линия разрыва напряжений па-
параллельна направлению растя-
растяжения, причем справа от нее Oi=os, а слева aj =—о^ (см.
рис. 39). Вдоль линии разрыва напряжений поле скоростей непрерывно.
Приведенные результаты (с очевидными изменениями обозначений)
переносятся на два других одноосных режима В и Е.
6. Осесимметричное поле. Рассмотрим осесимметричное напря-
напряженное состояние при отсутствии скручивания (т. е. при тге = 0).
Компоненты напряжения аг, сг0 будут главными. Решение зависит от
того, какой осуществляется режим. Остановимся для определенности на
задаче о бесконечной пластине с круговым вырезом (рис. 169), уже
!) Этот результат не согласуется с наблюдениями (см. § 53,8) и еще раз
напоминает об известной условности схемы течения в сингулярном режиме.
§ 55] РАВНОВЕСИЕ ПЛАСТИНЫ С КРУГОВЫМ ВЫРЕЗОМ 249
изученной в предыдущем параграфе при условии текучести
Мизеса.
Если по контуру выреза г ¦=а действует внутреннее давление,
а на бесконечности напряжения равны нулю, то вблизи отверстия
аг < 0, о"е > 0 и решение будет таким же, как в случае плоской
деформации.
Если же пластина с свободным вырезом испытывает на беско-
бесконечности равномерное растяжение, то напряжения аг, а0 — одного
знака (что вытекает из анализа упругой задачи) и условие текучести
имеет вид
сге = const = as.
Граничное условие таково:
при г = а аг = 0.
Тогда из дифференциального уравнения равновесия при указанном
граничном условии получаем:
Задача относится к параболическому типу, и единственное семей-
семейство характеристик представляет собой пучок прямых, исходящих
из центра (фиг. 169). На этой же фигуре показано распределение
напряжений; оно незначительно отличается от поля напряжений при
условии текучести Мизеса.
7. Замечания о жестко-пластической границе и разрывах.
Жестко-пластическая граница, примыкающая к гиперболической зоне
(режимы DE, АВ), проходит по характеристике (в данном случае —
по линии скольжения). Если же линия раздела ограничивает парабо-
параболическое состояние (режимы CD, EF, ...), она также проходит по
характеристике. Доказательство аналогично приведенному Ё конце
предыдущего параграфа.
Рассмотренные выше случаи разрывов не являются исчерпываю-
исчерпывающими. В принципе с каждой стороны линии разрыва может осуществ-
осуществляться любой режим течения и необходимо обсудить различные воз-
возможные варианты. На этом мы не останавливаемся; разрывы при
условии пластичности Сен-Венана подробно рассмотрены в книге [и].
§ 55. Упруго-пластическое равновесие пластины
с круговым вырезом под действием равномерного давления
Рассмотрим в качестве простого примера осесимметричную упру-
упруго-пластическую задачу для бесконечной пластины с круговым отвер-
отверстием. По контуру выреза г = а приложено равномерное давление р
(рис. 170).
1. Упругое состояние. При небольшой величине давления р плас-
пластина находится в упругом состоянии и напряжения (в полярной
250
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
[ГЛ. VI
системе координат г, Э, где
ог=—р
полярный угол) будут
a
E5.1)
Таким образом, в пластине при упругих деформациях реализуется
состояние чистого сдвига. Максимальное касательное напряжение и
интенсивность касательных на-
напряжений равны Т = р I —
и впервые пластическая дефор-
деформация появляется на краю
отверстия при давлении р =
= т,= k. С возрастанием давле-
давления пластические деформации
распространяются в кольце
а^г^с, радиус с которого
подлежит определению. Оче-
Очевидно, что в упругой области
с напряжения будут
с \и
Г
2.
E5.2)
Упруго-пластическое
Рис. 170.
равновесие при условии те-
текучести Мизеса. Решение осе-
симметричной задачи в пласти-
пластической зоне было получено в § 53,5. На границе раздела г = с напря-
напряжения непрерывны и соответствуют состоянию чистого сдвига, т. е.
при
= с @ = ~о
Определяя из этого условия произвольную постоянную в реше-
решении E3.19), получаем:
J ^() E5.3)
Полагая здесь г = а, найдем значение соа, соответствующее дан-
данному с; давление по краю отверстия определяется по формуле E3.18)
для ог при со = ша. Легко видеть, что
-^ и растет вместе с
— J . Давление р при этом увеличивается, достигая при «а = -^-л
максимального значения 2k. Дальнейшее возрастание давления и
расширение пластической зоны невозможны; при этом максимальном
давлении р = 2k происходит беспрепятственное (при малых дефор-
§ 55] РАВНОВЕСИЕ ПЛАСТИНЫ С КРУГОВЫМ ВЫРЕЗОМ 251
мациях, конечно) утолщение пластины у края отверстия. Для того
чтобы показать это, пренебрежем упругими деформациями у края
отверстия, тогда согласно E2.3)
а. — 2аг
Отсюда, используя условие несжимаемости
находим скорость относительного утолщения пластины
При максимальном давлении p = 2k напряжения у края отверстия
г = а будут (см. рис. 157): ог= —2k, Се" —k и, очевидно, \z—*-оо.
Максимальный радиус зоны пластичности получаем из E5.3) при
5
г = а, со = -g- n:
) «1,75.
тах
Уравнения в пластической зоне являются гиперболическими; при
максимальном давлении p = 2k характеристики семейств а, Р каса-
касаются на окружности г=а друг друга (iK = 0), чему соответствует
на рис. 157 параболическая точка со=-тт-я. На границе раздела
г = с характеристики ортогональны. Распределение напряжений пока-
показано на рис. 170.
3. Упруго-пластическое равновесие при условии текучести
Треска—Сен-Венана. В данном случае у края отверстия реализу-
реализуется режим DE (рис. 159) и условие текучести имеет вид
t
где 2k = as. Из дифференциального уравнения равновесия E3.14) и
условий непрерывности на окружности г = с получаем:
ar=-*^l+21n-^J, CT9 = ^i_21n^j . E5.4)
По условию текучести радиальное напряжение аг по величине
не может превысить as (см. рис. 159); при этом из E5.4) находится
максимальный радиус пластической зоны
« 1,65.
252
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
[ГЛ. VI
На рис. 171 показаны упругое (пунктир) и упруго-пластическое
сплошные линии; — = 1,40 I распределения напряжений, там же при-
приведены графики остаточных
напряжений а°п 0°, возникаю-
возникающих при снятии давления.
Заметим, что радиальное
остаточное напряжение 0° —
сжимающее. Это обстоятель-
обстоятельство широко используется в ма-
машиностроении для закрепления
Рис. 171.
Рис. 172.
труб в плоских (или изогнутых) металлических листах (плитах)
посредством развальцовки. Процесс развальцовки труб заклю-
заключается в раздаче изнутри конца трубы / (рис. 172), вставлен-
вставленного в отверстие в листе 2. После удаления инструмента (снятия
давления) труба оказывается прочно закрепленной в листе (см. [25],
гл. XXXIII).
§ 56. Растяжение полосы, ослабленной вырезами
Рассмотрим (при условии текучести Мизеса) две задачи о
растяжении полосы, ослабленной вырезами. Решения этих задач
получены Р. Хиллом [182]; предполагается, что вырезы достаточно
глубокие.
1. Растяжение полосы с круговыми вырезами. Пусть полоса
ослаблена симметричными вырезами с круговым основанием радиуса
а (рис. 173). Вблизи круговой части контура возникают осесиммет-
ричные поля напряжений (благодаря гиперболичности уравнений в
этих областях поля напряжений полностью определяются формой
свободного контура). Следовательно, напряжения в этих зонах будут
описываться формулами E3.18), причем расстояние г от центра О
и функция со связаны уравнением E3.21). Очевидно, что эти поля
могут быть продолжены с каждой стороны не далее чем на рас-
расстояние г = 2,07а = сх; в этом предельном случае угол раствора
круговой части дуги АВ не должен быть меньше 38°56'.
§ 56]
РАСТЯЖЕНИЕ ПОЛОСЫ, ОСЛАБЛЕННОЙ ВЫРЕЗАМИ
253
Пусть h < 1,07а; тогда поля, распространяющиеся от каждого
выреза, соединяются в центре С (рис. 173, а). Для осуществимости
построения дуга АВ должна иметь достаточный угловой раствор
Рис. 173.
(в частности, построение всегда возможно, если угол раствора
^38°56'). Используя дифференциальное уравнение равновесия E3.19)
и интегрируя по частям, находим предельную нагрузку
a+h
Л = 2 j (yedr=2(a+h)(er)r=a+li E6.1)
а
Элементарная предельная нагрузка равна Р* = 2ash — 2^3 kh.
Отношение Р*/Р% (коэффициент усиления) может быть представлено
приближенно формулой
^«1+0,23
h-\-a
E6.2)
При h = 1,07а характеристики сливаются в центре С.
В дальнейшем при h > 1,07а осесимметричные пластические об-
области не изменяются, соединяясь по оси х шейкой (рис. 173,6),
отвечающей параболической точке на эллипсе текучести (рис. 157).
Вдоль шейки
С помощью E6.1) легко вычисляем предельную нагрузку
a+h
р» = 2 ^ а9 dr = 2k (а + 2А — сх)
254 ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
и коэффициент усиления
^«1,15-0,04-2- (А > 1,07а).
[ГЛ. VI
E6.3)
В заключение остановимся на двух замечаниях.
Сравнивая полученные результаты с соответствующим коэффи-
коэффициентом усиления D1.4) в случае плоской деформации, обнаружи-
обнаруживаем, что при плоском напряженном состоянии коэф-
коэффициент усиления несколько меньше.
Верхняя и нижняя части полосы жестко смещаются
в направлении действия нагрузок. Вдоль линий раздела,
проходящих по характеристикам, скорость разрывна,
образуются шейки.
Наблюдения Ханди [79] над растяжением медной
полосы, ослабленной круговыми вырезами (рис. 174),
подтверждают этот качественный вывод. Шейка хорошо
наблюдается в стадии деформации, предшествующей
разрушению.
2. Растяжение полосы с угловыми вырезами.
Полоса ослаблена симметричными угловыми вырезами
(рис. 175). К свободным прямолинейным сторонам вы-
вырезов могут примыкать лишь области равномерного
одноосного растяжения, причем 1K = ^ = 54°44'. Рас-
Рассмотрим схему решения, показанную на рис. 175, а. К
области равномерного растяжения примыкает центрированное поле
E3.16). По условию непрерывности напряжений угол 0 должен от-
считываться от полярной оси О'О" согласно рис. 163. В ромбовидной
области ABCD реализуется равномерное .напряженное состояние,
причем по линии АВ касательные напряжения равны нулю по симмет-
симметрии. Но тогда ф — угол между главным направлением и осью г,
проходящей по линии BD; последняя определяется углом 0 = 0Х.
Приравнивая напряжения по формулам E3.3) напряжениям со-
согласно E3.16) при 0 = 0li находим:
tg 2tp = 2 tg вх. E6.4)
Из построения, приведенного на рис. 175, а, следует, что
Рис. 174.
Таким образом, угол 0Х определяется из уравнения
2tg01 + tg2(8 + 2^1-01) = O. E6.5)
Зная 0j, легко находим главные напряжения в области ABCD
с. помощью формул C1.4) и E3.16)
а1г сг2 = А C cos 0X ± Vl + 3 sin2 Ъг).
E6.6)
§ 56]
РАСТЯЖЕНИЕ ПОЛОСЫ, ОСЛАБЛЕННОЙ ВЫРЕЗАМИ
255
Построение возможно, если
что 0^0. Таким образом, б
фициент усиления равен
О. При ф = 0 из E6.4) вытекает,
— 2^ = 70°32'. При этом коэф-
коэф^-). E6.7)
При 0Х = О все построение вырождается в линию разрыва (шейку)
вдоль АВ; оба семейства характеристик сливаются водно (см. рис. 163).
Рис. 175.
Это решение, показанное на рис. 175, б, сохраняется и для более
острых вырезов, когда б< 70°32'. Вдоль АВ a^ = 2k, ar — k и коэф-
коэффициент усиления теперь равен
Р* 2 б < 70°32'. E6.8)
§ 57. Изгиб полосы с односторонним вырезом
Рассмотрим изгиб полосы с односторонним вырезом (рис. 176),
причем ограничимся разбором случая углового выреза. Конструкция
поля характеристик показана на рис. 176, а. К нижней прямолиней-
прямолинейной границе примыкает треугольник равномерного одноосного сжа-
сжатия— у 3k. У выреза поле такое же, как и в предыдущей задаче
(рис. 175, а). Нормальное напряжение на линии АВ равно ог со-
согласно E6.6), причем угол 0Х находится из уравнения E6.5).
Положение точки В (характеризуемое отрезком Ах) определяется
условием равенства нулю главного вектора напряжений, действующих
в наименьшем поперечном сечении, именно:
0!*! - 0, (k - hx) = 0 @, = V3k) .
256 ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
Предельный изгибающий момент равен
[ГЛ. VI
Для гладкой полосы высотойя предельный момент равен Л4° = -^я2.
Коэффициент усиления равен
мо ст _lct •
Как и в предыдущем параграфе, решение верно при
E7.1)
-2^1 = 70°32'.
Рис. 176.
При 8 = я—2'ф1 все построение выше точки В вырождается
в линию разрыва (шейку) вдоль
м*
К
1,06
/,04
1,02
тп
1
1
/
/
АВ. При б^я—2^ осуществ-
осуществляется решение по схеме, показан-
показанной на рис. 176, б. Напря-
Напряжения в шейке равны 0Х = 2k,
o2 = k. Легко видеть, что
я 2 +
а коэффициент усиления по-
постоянен
М* 4
'30° 70° 50° 30° 10° 0°
Ml
2+
— = 1,072. E7.2)
Рис. 177.
График коэффициента усиле-
усиления в зависимости от угла вы-
выреза приведен на рис. 177. В предельном состоянии жесткие части
полосы испытывают поворот относительно точки В.
Несколько сложнее задача об изгибе полосы с круговым вырезом
(см. [»«]).
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ VI 257
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ VI
1. Рассмотреть упруго-пластическое состояние быстро вращающегося круг-
круглого диска постоянной толщины при условии текучести Треска — Сен-Веиана.
Прн какой угловой скорости достигается чисто пластическое состояние?
2. Рассмотреть (в условиях плоского напряженного состояния) изгиб ко-
короткой консоли силой (рис. 119) при первом типе поля скоростей (т. е. для
«длинных» консолей), используя решения, показанные иа фиг. 163.
3. Показать, разыскивая решения дифференциальных уравнений равнове-
равновесия и условия текучести Мизеса, независящие от радиус-вектора г, что функ-
цияш = 52+ (-rg j , где s = aa, удовлетворяет уравнению
4. Показать, что частный интеграл ai=4fe2 уравнения (*) приводит к ре-
решению Хилла E3.16), содержащему одну произвольную постоянную.
5. Показать, что интегрирование уравнения (*) приводит к решению
с двумя произвольными постоянными В, со:
cos 2 (9+w), о> = А—В cos 2@ + со), т> =В sin 2(9+co),
где 42 3(
()
6. Рассмотреть задачу об изгибе полосы с двумя угловыми вырезами
(см. § 57, рис. 176).
7. Рассмотреть задачу об изгибе полосы с одним круговым вырезом для
случая, когда поле сжатия (рис. 176, а) соединяется в некоторой точке В с
осесимметричным полем.
8. Найтн предельную нагрузку при изгибе консоли (рис. 119) давлением,
равномерно распределенным по верхней грани.
9. То же для балки на двух опорах.
9 Л. М. Качанов
Глава VII
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
§ 58. Уравнения осесимметричнои деформации
при условии текучести Мизеса
1. Общие замечания. Осесимметричные задачи теории пластич-
пластичности представляют значительный интерес для приложений. Пусть
ось рассматриваемого тела вращения совпадает с осью цилиндри-
цилиндрической системы координат г, ф, z, а заданные нагрузки (или смеще-
смещения) также обладают осевой симметрией. Тогда деформация такого
тела будет осесимметричнои. При этом компоненты напряження и смеще-
смещения не зависят от полярного угла ф.
Исключим из рассмотрения за-
задачу скручивания тела; кручение
круглых стержней переменного диа-
диаметра кратко обсуждается в главе
VIII (§ 66). Тогда можно принять,
что отсутствуют окружная сос-
составляющая скорости
и компоненты напряжения
Рис. 178.
Отличные от нуля компоненты
напряжения 0Г) 0?, az, xrz (рнс. 178)
и составляющие- скорости vr, -vz (далее в этой главе будем обозна-
обозначать их через и, w) являются функциями координат г, z.
Дифференциальные уравнения равновесия при отсутствии массо-
массовых сил имеют вид:
E8.1)
Компоненты скорости деформации определяются формулами:
j. ди j. и s дш ди ,dw ,,.„„.
§ 58] УРАВНЕНИЯ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ УСЛОВИИ ТЕКУЧЕСТИ МИЗЕСА 259
Сюда следует присоединить уравнения пластического состояния.
Это легко сделать, но, учитывая трудности решения, ограничимся
здесь анализом уравнении для жестко-пластического тела.
«Одномерные» осесимметричные задачи, для которых напряженно-
деформированное состояние зависит лишь от одной независимой
переменной — радиуса г, являются относительно простыми (хотя и
требуют иногда применения численных методов) и затрагивались уже
ранее (полый шар и цилиндрическая труба под действием давления,
осесимметричное равновесие тонкой пластинки и т. д.). В этих за-
задачах можно учесть упругие деформации, упрочнение и другие
механические свойства.
Анализ общей осесимметричной задачи, даже для жестко-пласти-
жестко-пластического тела, наталкивается на большие математические трудности,
что побуждает к поискам различных возможных упрощений в поста-
постановке задачи.
2. Соотношения Сен-Веиана — Мизеса. Для жестко-пластического
тела следует исходить из соотношений Сен-Еенана — Мизеса A3.12),
которые в рассматриваемом осесимметричном случае принимают вид:
: ^rz iсо о\
¦ = , (Оо.о)
Н 2т.с ' Н 2т, Н 2т, ' Н
где интенсивность скоростей деформаций сдвига равна •
н = V\ V{\r - U2 + (?„ - У2 + (?, - 1Г?+4- <¦ E8.4)
Компоненты напряжения, представляемые формулами E8.3), удов-
удовлетворяют условию текучести Мизеса
@Г - ст?J + @? - ctzJ + (oz - orf + 6т? = 6т*. E8.5)
Компоненты скорости деформации удовлетворяют уравнению не-
несжимаемости
Выписанные соотношения вместе с дифференциальными уравне-
уравнениями равновесия образуют систему шести уравнений с шестью не-
неизвестными функциями ar, ao, az, xrz, и, w. В общем случае эта
система является эллиптической [50].
Заметим, что для нахождения четырех компонент напряжения аг,
ст^, oz, xrz имеются лишь три уравнения в напряжениях E8.1), E8.5).
В'отличие от случаев плоской деформации и плоского напряженного
состояния осесимметричная задача не является локально статически
определимой; поэтому раздельный анализ полей напряжения и ско-
скоростей в рассматриваемой схеме исключается.
9*
260
ОСЕСИММЕТРИЧИАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
[ГЛ. VII
Некоторые точные частные решения получены полуобратным ме-
методом. Отметим здесь задачу о течении пластической массы в кру-
круговом конусе (В. В. Соколовский [44]), задачу о сжатии цилиндра
усилиями, распределенными на торцах по определенному закону
(Хилл [54]), задачу о выдавливании из сжимающейся цилиндрической
втулки (Хилл [54]). Имеются приближенные решения ряда практи-
практически важных задач, основанные на
тех или иных дополнительных пред-
предположениях.
3. Условие полной пластичности.
Один из приемов, позволяющий как-то
преодолеть создавшиеся трудности и
получивший известное распространение
в инженерных расчетах, принадлежит
Генки [94].
Генки предложил принять, что в
осесимметричном напряженном состоя-
состоянии реализуется режим так называемой
полной пластичности, когда два глав-
главных напряжения равны.
ИС- Напряжение а? является, очевидно,
главным. Обозначим через оъ а2, (о1'^
^а2) главные напряжения в плоскости г, z (рис. 179), а через
|} — угол между первым главным направлением и осью г. Тогда
где положено
Or, Oz=}
n 1 I
= ? sin
E8.7)
Условие 01 = 02 приводит к очень частному случаю напряженного
состояния (см. § 59, режим А). Поэтому в режиме полной пластич-
пластичности полагают, что 0? = 01 (или <т2). Налагая на это состояние
гидростатическое давление 0=—alt приходим к напряженному сос-
состоянию
0, 0, 02 —ffi,
соответствующему одноосному растяжению или сжатию. Таким об-
образом, в условиях полной пластичности напряженное состояние лежит
на одном из ребер призмы текучести Треска — Сен-Венана (рис. 14);
легко видеть, что здесь Tmax = -g-| аг — 02 |, а :Г=-^ттах.
Условие полной пластичности сильно упрощает систему уравне-
уравнений для напряжений и приводит к локально статически определимой
задаче для напряженного состояния.
§ 59] УРАВНЕНИЯ ПРИ УСЛОВИИ ТЕКУЧЕСТИ ТРЕСКА СЕН-ВЕНАНА 261
Действительно, теперь для четырех компонент напряжения мы
имеем четыре уравнения — дифференциальные уравнения равновесия
E8.1), условие текучести E8.5) и требование <х1 = <х(р. При этом
система уравнений для напряжений будет гиперболического типа; ее
характеристики совпадают с линиями скольжения; подробный анализ
этой системы рассматривается в следующем параграфе (режим В).
С помощью приемов, аналогичных- приемам, применяемым в случае
плоской деформации, можно рассмотреть разнообразные частные за-
задачи.
Анализ поля скоростей по соотношениям Мизеса провести не
представляется возможным, поскольку система уравнений оказывается
переопределенной. Впрочем, это затруднение отпадает при переходе
к условию текучести Треска — Сен-Венана и ассоциированному закону
течения (см. ниже, § 59). Однако решение осесимметричной задачи
лишь при условии полной пластичности в общем случае построить
нельзя. В отдельных частных задачах условие полной пластичности
может оказаться приемлемым (см. ниже, §§ 60, 61). Заметим, что
для сплошного тела на оси симметрии Oz ar = о"?; иногда это соот-
соотношение приближенно выполняется во всем теле.
По-видимому, решения при условии полной пластичности дают
в ряде случаев приемлемое приближение к предельной нагрузке.
В предположении полной пластичности А. Ю. Ишлинский [113]
изучил задачу о вдавливании жесткого шара в пластическую среду;
эта задача интересна, в частности, в связи с известным методом
Бринеля испытания твердости материалов.
Условие полной пластичности широко используется в инженерных
расчетах обработки металлов давлением (ковка, штамповка, прессо-
прессование, см. [18> 51]).
§ 59. Уравнения осесимметричной деформации
при условии текучести Треска — Сен-Венана
1. Основные соотношения. При переходе к условию пластич-
пластичности Треска — Сен-Венана и ассоциированному закону течения мате-
математическая формулировка задачи упрощается; преимущества осо-
особенно значительны для задач с известными главными направле-
направлениями.
Условие текучести теперь имеет вид
ттах= const = * Bk = es), E9.1)
причем 2ттах = тах (\ог — аг\, |ст2 —сг?|, |ст? — аг\). В пространстве
главных напряжений это условие определяет поверхность правильной
шестигранной призмы (рис. 14). По ассоциированному закону вектор
скорости деформации направлен по нормали к поверхности текучести
вдоль ребер призмы течение остается неопределенным (см. § 16)
262
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
[ГЛ. VII
Согласно условию несжимаемости
Окружное напряжение а^ является главным (стф = сг3). Рассмотрим
. сечение призмы Треска — Сен-Ве-
v нана плоскостью cr?= const. Это
будет шестиугольник, показан-
показанный на рис. 180; координаты
его центра Ог равны (ст?, аа).
Условие текучести и главные
скорости деформации в различных
режимах приведены в таблице;
здесь Х[, Х'2 — произвольные не-
неотрицательные скалярные функции
(свои для каждого режима).
Обратимся теперь к подроб-
подробному анализу течений в различ-
of ных режимах.
' 2. Режим А. Здесь О1 = о2 и
Рис- 18°- реализуется, как уже отмечалось,
очень частный случай напряженного состояния. Именно, q = 0 и
Л*
Условие текучести и скорости деформации
Режим
А
D
АВ
CD
ВС
В
С
Условие текучести
01 = 02 = 0о + 2Й
О1 = О2=Оа — 2k
O1—o9 = 2k (агУОгУо^)
о2 —о? = — 2k (а9 > ог > о2)
al—o2 = 2k (o1>a,:>>a2)
aa«=ao = ff1 —2A
о-1 = ст?=о2 + 2й
Главные скорости деформации
1.
я;
-я;
я;
0
я;+яг
я;
г,
я'2
-я'2
.0
-я;
-я2
—Ях —Яг
Ч
¦—-Ях —Яг
Ях + Яг
-я;
Ях
0
-я;
я;
§ 59] УРАВНЕНИЯ ПРН УСЛОВИИ ТЕКУЧЕСТИ ТРЕСКА—СЕН-ВЕНАНА 2U&
согласно E8.7) имеем Trz = 0, a ar — az—p. Интегрируя теперь
дифференциальные уравнения равновесия E8.1), получаем:
, о9 = вг— 2k, E9.3)
где с^> 0 — произвольная постоянная. По закону течения ?
следовательно, и ^ 0. В плоскости г, z отсутствуют касательные
напряжения, поэтому проекции скорости и, w являются непрерыв-
непрерывными функциями г, z (ибо разрыв касательной составляющей ско-
скорости может происходить лишь на поверхности скольжения, где
Режим D аналогичен рассмотренному режиму А.
3. Режим АВ. В этом случае ^?^0, следовательно, и^О.
Далее, имеем:
Б, = 0. E9.4)
Так как главные скорости деформации равны
Si, U = у №, + У ± т V(h - lz? + rfz,
то условие E9.4) приводит к дифференциальному уравнению
Присоединяя сюда условие несжимаемости
ди . и . dw n
приходим к системе двух уравнений, определяющей скорости и, w,
причем и<; 0. Если поле скоростей найдено, напряжения находятся
из дифференциальных уравнений равновесия E8.1), условия текучести
at-a? = 2k E9.7)
и условия соосности напряжения и скорости деформации. Таким об-
образом, этот случай является локально кинематически определимым.
Аналогичное течение происходит в режиме CD (но и^О).
Вернемся к анализу уравнений E9.5), E9.6) для скоростей. Пусть
ифО; для и = 0 имеем элементарное решение w=?onst.
Уравнение несжимаемости E9.6) может быть представлено в виде
Очевидно, что можно ввести потенциал скорости
в = 1^, •=-!?, E9.8)
264
бСЁСЙММЕТРЙЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЙ
[гл. vit
для которого из E9.5) вытекает дифференциальное уравнение
dW dW I dVy .
dF*~dz* ~ r ~dr~) +
dW ( dW ±dV\_
drdz [drdz~ r dz J —
Для определения типа этого уравнения выясним—возможно ли
построить решение вблизи некоторой линии L при заданных на ней
(ду ду\
т. е. производных а~~ i а~) • Вдоль ли-
линии L имеем:
Из этих соотношений и уравнения E9.9) можно вдоль L вычис-
вычислить вторые производные потенциала V. Выписывая далее прираще-
приращения вторых производных вдоль L и используя E9.9), нетрудно об-
обнаружить, что производные третьего порядка не определяются един-
единственным образом, если кривая L такова, что вдоль нее выполняется
одно из двух соотношений:
±(dW_(PV L^ffc — или —^ + -L^ или dW
Эти соотношения с помощью E9.8) и известных формул
!,, Е, = -2 (ei + yiydi-y cos2oj>, I E9io)
где of) — угол между первым главным направлением скорости дефор-
деформации и осью г (рис. 181), можно
представить в виде
dz
ИЛИ -j- =
ИЛИ ¦? = — Ctg 1]),
(а-линии),
(Р-линии).
E9.11)
Таким образом, уравнение E9.9)
имеет два различных семейства харак-
характеристик; последние ортогональны и
совпадают с траекториями главных на-
направлений скорости деформации. Соот-
Соотношения вдоль характеристик имеют
довольно сложный вид; мы не останав-
останавливаемся на их выводе (см. [177]). Решение различных краевых задач
для потенциала скоростей V может быть достигнуто конечно-раз-
конечно-разностным методом Массо.
At
Рис. 181.
§ 59] УРАВНЕНИЯ ПРИ УСЛОВИИ ТЕКУЧЕСТИ ТРЕСКА СЕН-ВЕНАНА 265
Перейдем теперь к системе уравнений для напряжений, состоящей
из дифференциальных уравнении равновесия (.58.1) и условия теку-
текучести E9.7). Последнее может быть записано также в форме
(Т?=/>-|-<7 — 2k. Внося это значение а9 и напряжения ап az, xrz со-
согласно E8.7) в дифференциальные уравнения равновесия, приходим
к системе уравнений:
дг
2k — q-\-q cos2i|)),
К E9.12)
— {2k — q+q cos2i|>),
r
# sin 2гр.
Считая угол г(з известным из решения кинематической задачи,
имеем систему двух уравнений для неизвестных функций р, д. Не-
Нетрудно найти (например, обычным «детерминантным» способом, при-
привлекая выражения для dp, dq), что система E9.12) — гиперболиче-
гиперболического типа с прежними характеристическими линиями E9.11). Таким
образом, уравнения для скоростей и напряжений имеют одни и те
же характеристики — траектории главных напряжений в плоско-
плоскости г, z.
4. Режим ВС. Здесь (Т? является промежуточным главным напря-
напряжением, поэтому ?3 = 0, т. е. и = 0. Тогда из уравнения несжимае-
несжимаемости вытекает, что та» зависит только от г: w = w(r). Далее, находим,
что |r = ?z = 0, a t\rz = w' (r). Следовательно, координатные направле-
направления г, z совпадают с направлениями площадок максимальной скорости
сдвига. На этих же площадках действуют напряжения (Тг=(Тги trz=±ft.
Интегрируя второе из уравнений равновесия, получаем:
где R (г) — произвольная функция. Теперь из первого уравнения рав-
равновесия следует, что ст? = -т- rR (r).
Рассмотренный режим связан с тривиальным полем скоростей
(и = 0, w = w(r)).
5. Режим В соответствует состоянию «полной пластичности»,
когда (Т? равно одному из главных напряжений; в данном случае
(Т!р = о2. В. предыдущем параграфе уже было отмечено, что для
определения четырех неизвестных компонент напряжения теперь
имеются четыре уравнения, т. е. локально задача статически
определима.
266
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
[ГЛ. VII
Режим С аналогичен режиму В, но здесь алгебраически наиболь-
наибольшим напряжением является главное напряжение аг и а^ = аг. Системы
уравнений для сингулярных режимов В и С аналогичны, достаточно
рассмотреть один из них.
Остановимся для определенности на режиме С. Соответствующая
система уравнений для напряженного состояния была изучена Генки.
Эта система состоит из диффе-
дифференциальных уравнений равно-
равновесия E8.1), условия пластич-
пластичности ах — (T2 = 2ft и равенства
(Т? = av Линии скольжения а,
Р'(траектории ттах) ,в плоско-
плоскости г, z наклонены под углом
. л
•+¦ -j- к главным направлениям
(рис. 182). На площадках
скольжения действует нормаль-
ное напряжение р = -п(о1-}~о2);
Рис. 182.
2
заметим, что р отлично
среднего давления а.
от
Очевидно, что о^=р-\- k, а угол наклона площадки скольжения
0 = гр —?-. Внося эти значения в формулы E8.7), находим:
E9.13)
тГг = k cos 26.
J-2k{ cos29^+ sin 28^ =^A + sin 28),
or \ • or дг I r v ' "
Подставляя напряжения в уравнения равновесия E8.1), получаем
систему дифференциальных уравнений для неизвестных функций р, 8:
E9.14)
Покажем, используя «детерминантный» способ, что эта система —
гиперболическая. Пусть вдоль некоторой линии L в плоскости г, z
заданы значения искомых функций р, Э. Для интегральной поверх-
поверхности, проходящей через L, имеем:
dp = -J-dr-\--J-dz, dQ— -д-dr-\--fl-dz, E9.15)
причем на L коэффициенты уравнений E9.14), E9.15) известны; по
отношению к частным производным приведенные уравнения образуют
систему четырех линейных неоднородных алгебраических уравнений.
§ 59] УРАВНЕНИЯ ПРИ УСЛОВИИ ТЕКУЧЕСТИ ТРЕСКА—СЕН-ВЕНАНА 267
Если L является характеристикой, то вдоль нее указанные производ-
производные неопределенны, следовательно, определитель упомянутой алгебраи-
алгебраической системы и надлежащие числители обращаются в нуль.
Приравнивая нулю определитель системы, находим дифференциаль-
дифференциальные уравнения характеристических линий:
^ = tg6 (а-линии),
dz E9.16)
37 = — ctg в (В-линии).
Итак, существуют два семейства ортогональных характеристиче-
характеристических линий, совпадающих с линиями скольжения.
Приравнивая нулю числители (в формулах Крамера), получаем
соотношения вдоль характеристических линий:
- — 29 )— (sin 9+cosO) — = 0 (на а-линии),
[ V \ &Н
d -V- + 20 4- (sin @ 4- cos0)—- = 0 (на В-линии),
\ k J r \ v "
где dsa, с?5„ — элементы длины вдоль а- и В-линий. Эти соотношения
выражают условия пластического равновесия элемента сетки сколь-
скольжения (рис. 182).
Таким образом, для данного режима построение решения сводится
к рассмотрению ряда краевых задач (Коши, начальной характеристи-
характеристической и т. д.). Решение может быть получено применением конечно-
разностного метода Массо (аналогично задачам плоской деформации,
гл. V). Необходимо учитывать возможные разрывы поляТнапряжений.
Обратимся теперь к определению скоростей и, w; последние
находятся из уравнения несжимаемости E9.6) и условия соосности
?_^=0. E9.18)
az I
При этом должны выполняться ограничения ?2 ^0, |? ^ 0; из
второго неравенства следует, что и^О.
Нетрудно убедиться, что система уравнений для скоростей также
гиперболическая; ее характеристиками по-прежнему являются линии
скольжения E9.16). Вдоль характеристических линий уравнения для
скоростей принимают вид:
cos 9 du-\- sin 9 cfa/-|- — dscl = 0 на а-линии,
I E9.19)
sinQdu—cos0d^ — тт-ds8 = 0 на В-линии.
6. Заключительные замечания. Анализ течений для режимов DE, E, EF,
F, FА сводится к повторению изложенвых выше результатов с очевидным»
изменениями.
268
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
[ГЛ. VII
Р
Границы зои, отвечающих различным режимам, заранее, вообще говоря,
неизвестны, что существенно затрудняет решение. Построение решений требует
тщательного анализа расположения зон с различными режимами и выполнения
всех надлежащих ограничений и условий совместности; большое значение
имеет правильное использование разрывных решений. В этом отношении из-
известным предостережением (см. [150]) служит ряд опубликованных ошибочных
решений.
С более подробным анализом некоторых вопросов общей теории и реше-
решениями частных задач можно ознакомиться по работам [u, i32. 177]; там же чи-
читатель найдет и дополнительные литературные ссылки.
§ 60. Напряженное состояние тонкой пластичной прослойки
при растяжении (сжатии)
1. Общие замечания. Ряд практических вопросов побуждает к
изучению напряженного состояния тонкой пластичной прослойки,
скрепленной с жесткими частями. Приведем некоторые примеры.
В подобных условиях работает спай (склейка); известно, что спай
значительно более прочен, чем стержень равного сечения, изготов-
изготовленный из того же материала, что и спай.
Иногда выгодны сварные соедине-
соединения, в которых металл шва значитель-
значительно более мягкий, чем металл скрепляе-
скрепляемых частей. Напряженное состояние в
тонких прослойках отличается свое-
своеобразием, что может пролить свет на
некоторые случаи неожиданных на пер-
первый взгляд разрушений.
Для оценки прочности металла важ-
важное значение имеет величина сопроти-
сопротивления отрыву. Измерение этой харак-
характеристики на стандартных образцах для
пластичных металлов затруднительно;
обычно приходится проводить испыта-
испытания при весьма низких температурах
(для снижения пластичности). Если, однако, растягивать составной
образец (рис. 183), состоящий из двух прочных цилиндрических
частей 1 (диаметр 2а), соединенных между собой тонкой (h<<S.a)
прослойкой 2 из испытуемого более мягкого металла, то при неко-
некоторой нагрузке Р происходит хрупкое (при малых деформациях)
разрушение прослойки по некоторой неровной «плоскости» п-п.
Знание напряженного состояния в прослойке позволяет определить
величину сопротивления отрыву.
Отметим некоторые особенности растяжения такого образца.
Для сталей различие в коэффициентах упругости невелико, поэтому
в дальнейшем считаем их равными. Тогда при растяжении в пределах
упругости образец находится в состоянии равномерного одноосного
§ 60] НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТОНКОЙ ПЛАСТИЧНОЙ ПРОСЛОЙКИ 269
растяжения. При достижении предела текучести материала диска
последний сразу и полностью переходит в пластическое состояние.
С развитием пластических деформаций напряженное состояние диска
все более отклоняется от равномерного растяжения и приобретает
сложный пространственный характер, так как деформированию диска
препятствуют «жесткие» части образца, остающиеся упругими. При
этом на плоскостях контакта слоя с жесткими частями развиваются
касательные напряжения. Наибольшее значение последних определя-
определяется пределом текучести xs.
Случай плоской деформации, когда на поверхности контакта
касательное напряжение всюду достигло предела текучести, изучен
Прандтлем (см. § 47). Решение Прандтля относится к конечной
стадии пластического течения.
В условиях осевой симметрии аналогичное приближенное решение
для конечной стадии можно получить, несколько видоизменив вывод
Зибеля, относящийся к сжатию цилиндра. Ниже приводится также
анализ процесса развития напряжений в прослойке по мере роста
нагрузки.
2. Конечная стадия течения. Примем, опираясь на картину на-
напряженного состояния по решению Прандтля, что на поверхности
контакта касательные напряжения достигают предела текучести т4,
а в основной части прослойки нормальные напряжения по величине
значительно больше касательных (другими словами, напряженное со-
состояние близко к гидростатическому) и приблизительно постоянны
по толщине. Далее, отметим, что в центре (г = 0) аг = (Т?. Послед-
Последнее равенство предполагается справедливым по всей прослойке. Введем
безразмерные координаты p=r/a, t, — z/a, причем z отсчитывается
от срединной плоскости диска, и безразмерные напряжения ar ~ or/as,
ov~o^/os, az~azlas, %~%rzl%s, где as = ]/~Sxs. Тогда условие пла-
пластичности Мизеса принимает для случая растяжения вид
Ц*. F0.1)
Интегрируя первое из уравнений равновесия E8.1) по г и учи-
учитывая, что при z=±h тГг=±т4, получаем:
На контуре р = 1 вг = 0; решение последнего уравнения, удовле-
удовлетворяющее этому условию, имеет вид
Компонента а2 определяется из условия текучести F0.1); так как
на контактных плоскостях правая часть этого условия равна нулю,
270 ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ [ГЛ. VII
а прослойка тонкая, можно приближенно считать, что всюду в про-
прослойке
ож&ог F0.4)
Приведенное решение нарушается вблизи контура р = 1 и вблизи
оси (как и для решения Прандтля). Поскольку x<^Cl, то в тонкой
прослойке возникают высокие нормальные напряжения, значительно
превосходящие предел текучести.
Среднее напряжение по поперечному сечению прослойки равно
F0.5)
3. Развитие напряженного состояния. Прослойка соединяет до-
достаточно жесткие части, обладающие примерно тем же модулем
упругости, что и прослойка, но значительно более высоким пределом
текучести. При небольшом усилии Р все соединение испытывает
упругую деформацию одноосного растяжения
р
а. = а.. = тг, = 0, а, = —-,=Р-
При нагрузке p = os во всей прослойке сразу начинается пласти-
пластическое течение, которое, однако, в дальнейшем сдерживается жест-
жесткими частями, вследствие чего на поверхностях контакта возникают
касательные напряжения. Будем считать, что поверхности контакта
остаются плоскими; благодаря «мягкости» прослойки эта картина
является приемлемым приближением.
Для введенных выше безразмерных переменных дифференциальные
уравнения равновесия и условие текучести Мизеса имеют вид:
*г+-^г-+7Г^ ' F0'6)
((Tr-aJ2 + K-(TzJ + (cTz-arJ + 2T2 = 2. F0.8)
Граничным условиям при р = 1 удовлетворим в смысле Сен-
Венана, т. е.
$т</? = 0, JordC = 0. F0.9)
-и о
Примем, далее, условие несжимаемости материала как в упругом,
так и в пластическом состояниях, что не повлияет заметно на ре-
результаты, но существенно упростит решение.
§ 60] НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТОНКОЙ ПЛАСТИЧНОЙ ПРОСЛОЙКИ 271
Вследствие нечетности касательного напряжения т и малости ?
ищем решение в форме
т = Я(р)|. F0.10)
Очевидно, что первое условие F0.9) удовлетворено. Уравнение
несжимаемости имеет вид
t+7+t = °- F0Л1)
В рассматриваемой задаче упругие и пластические деформации •—
одного порядка, и следует, вообще говоря, исходить из уравнений
теории пластического течения. Это, однако, связано с большими ма-
математическими трудностями. Учитывая монотонный характер нагру-
жения, будем исходить из уравнений деформационной теории. Тогда,
согласно соотношениям A4.5), имеем:
диг ur ur duz duz dur диг duz
W~J =~р~Ж ^Ж~~^ =УзЖ+~др F0 12,
аг—09 0^—az az—ar 2 т
Так как прослойка тонкая, то в дальнейшем будем строить при-
приближенное решение задачи, разыскивая напряжения на плоскостях
контакта ?=±и и продолжая их в глубь слоя тем или иным спо-
способом.
Сечения ? = 0, ? = х, ? = — к остаются плоскими. Так как про-
прослойка тонкая, естественно принять гипотезу плоских сечений uz = uz(t).
Тогда из уравнения несжимаемости вытекает, что смещение
где Сх (?,) — произвольная функция, а штрих означает производную
по ?.
При р = 0 иг = 0, следовательно, С1(?) = 0. Теперь соотношения
F0.12) принимают вид:
_3_ • 3_ ¦
0 = 2 "* = 2 "г _ 1^3 — puz F0.13)
0/. — 0ф 0щ —Oz Gz —Or 4 X
Отсюда заключаем, что всюду в прослойке
Рассмотрим теперь соотношения F0.13) при ? = и. Из условия
пластичности F0.8) при ? = и имеем:
F0,14)
272 ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ [ГЛ. VII
Знак + соответствует случаю растяжения. Тогда из F0.13) по-
получаем:
Вводя произвольный параметр
' (А\ _с
находим закон распределения контактных касательных напряжений
Со
R + ¦ F0.15)
Знак + соответствует случаю растяжения прослойки. Теперь
из дифференциального уравнения равновесия F0.6) при ? = х на-
находим:
J P (Р = COllSt). F0.16)
Так как напряжение az значительно по величине, четно по ?, то
полагаем az не зависящим от Z,. Тогда в прослойке сг определяется
согласно F0.14).
Напряжение or = o<f в прослойке определяем по условию теку-
текучести
ar = az4=V^— т2. F0.17)
Удовлетворяя второму граничному условию F0.9), находим по
стоянную р. Внося ее значение в F0.16) и F0.14), получаем, что
1 / 1 Vl + C*p*\ ,1/1 . п С,
az= ¦ ( —1— + "о" (—arcsm С, L
F0.18)
где положено
Напряжения сгг статически эквивалентны усилию Р, т. е.
§ 60] НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТОНКОЙ ПЛАСТИЧНОЙ ПРОСЛОЙКИ 273
Это уравнение определяет связь между постоянной С и средним
напряжением р:
1 Г 1 2 /J Ml lI/J L
Ui )
±(^-arcsinC1—^)- F0.19)
При С=0, что соответствует началу пластического течения,
# = 0, аг=1, р=\. При малых значениях С распределение контакт-
контактного касательного напряжения R близко к линейному, с возрастанием С
О 0,2 qt 0,6 0,8 1,0
Рис. 184.
0,2 Q4 0,6 0,8 1,0
Рис. 185.
это распределение все более отклоняется от линейного закона
(рис. 184)..При С—>оо касательное напряжение стремится к пределу
текучести ts, что соответствует конечному пластическому состоянию
(R=\, пунктир). Тогда среднее напряжение равно
1 « ¦ ! F0.20)
Для тонких прослоек формулы F0.5) и F0.20) мало различаются.
Приведенное значение р* является предельным средним напряжением,,
которое можно приложить к прослойке. При достижении р* наступает
развитое пластическое течение.
Нормальные напряжения az и ог = о„ распределены по сечению
неравномерно^ их графики при ? = 0 для некоторого значения р
приведены на рис. 185; график о2 для конечного пластического
состояния показан пунктиром. В средней части тонкой прослойки
с ростом нагрузки развивается почти «гидростатическое» растяже-
растяжение. При этом нормальное напряжение может достигать значительной
величины (может в несколько раз превысить величину предела
274
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
[ГЛ. VII
текучести Gs при одноосном растяжении). В таких условиях в мягкой
прослойке может произойти хрупкое разрушение вследствие исчер-
исчерпания прочности на отрыв.
75 ¦
70 ¦
О
¦
/
х- 7
X~20
)//
X~30 j
r
I,
/
/
P
4 5
Рис. 186.
На рис. 186 показаны зависимости максимального напряжения
o"z,max (при г = 0) от среднего осевого напряжения р для ряда зна-
значений параметра толщины и.
§ 61. Напряженное состояние
в шейке растягиваемого образца
Вопрос о напряженном состоянии в шейке образца, возникшей
при растяжении, сложен и полностью не разрешен. Так как важно
знать величины напряжений в момент, предшествующий разруше-
разрушению, построены приближенные решения, основывающиеся на тех или
иных допущениях, подсказанных опытными данными. Рассмотрим
одно из таких решений, предложенное Н. Н. Давиденковым и
Н. И. Спиридоновой [106].
При появлении шейки распределение напряжений перестает быть
одноосным и равномерным. Трудность анализа усугубляется тем, что
рчертание шейки неизвестно. В приближенном решении используется
§ 61]
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ШЕЙКЕ ОБРАЗЦА
275
экспериментально подмеченный факт равенства и равномерного рас-
распределения по минимальному сечению шейки натуральных деформа-
деформаций в радиальном и тангенциальном направлениях. Отсюда вытекает,
что в текущий момент времени по сечению г=0
Так как упругие деформации пренебрежимо малы по сравнению
с пластическими деформациями в шейке, то из уравнения несжимае-
Рис. 187.
Рис. 188.
мости имеем: ?г=—2?r = const, а из соотношений Сен-Венана — Ми-
зеса следует, что в сечении z — 0
ar = <fr F1.1)
Далее по условию симметрии тгг = 0 при 0 = 0. В том же сечении
дифференциальные уравнения равновесия E8.1) принимают вид:
dar
IF
дг
= 0, ~z = (
i ' dz
F1.2)
а условие текучести будет
az — (yr = Gs. F1.3)
Рассмотрим в меридиональной плоскости траектории главных
напряжений #3, ах (рис. 187) вблизи плоскости z — 0; угол со наклона
276 ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ [ГЛ. VII
касательной к траектории напряжения с3 мал, и формулы E8,7) при
замене индексов 1, 2 соответственно на 1, 3 упрощаются:
Следовательно, вблизи плоскости z = 0
и
F1.5)
52 ;г=0 *\dz)z=o p '
где р —радиус кривизны траектории главного напряжения при z = 0.
Контур шейки является одной из этих траекторий; пусть для контура
р=^. Из дифференциального уравнения F1.2) получаем:
°s J Р '
г
так как сг = 0 при г = а.
При г = 0 р=со, при r = a p=R; опираясь на наблюдения,
примем, что
Тогда
as 2aR ' as ~ l + 2a^ ' У >
Это распределение напряжений в шейке показано в левой части
рис. 187. Для вычисления напряжений необходимо измерить при
опытах величины a, R.
Максимальные напряжения возникают в центральной части шейки
и именно в центре ее начинается разрушение. На фиг. 188 приведен
рентгеновский снимок (заимствованный из книги Надаи [25]) шейки
образца непосредственно перед разрушением, подтверждающий этот
вывод.
§ 62. Пластический изгиб круглых пластин
Рассмотрим пластический изгиб круглой пластины (рис. 189) при
осесимметричной нагрузке р=р(г), где г — радиус-вектор; толщина
пластины 2/г постоянна. Ось z цилиндрической системы координат
г, ф, z направлена вниз. Будем исходить из схемы жестко-пласти-
жестко-пластического материала. Тогда пластина остается недеформируемой вплоть
до достижения предельной нагрузки (характеризующей несущую спо-
способность пластины).
1. Основные положения. В классической теории изгиба упругих
пластин основные положения имеют геометрический характер, а по-
§ 62]
ПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН
277
тому справедливы и при пластическом изгибе. Это означает, что сох-
сохраняются допущения Кирхгофа:
1) срединная плоскость не растягивается;
2) прямые, перпендикулярные до деформации к срединной плос-
плоскости, после деформации переходят в прямые, перпендикулярные
к срединной поверхности.
Компонентами напряжения аг, xrZ можно пренебрегать по срав-
сравнению с компонентами ап сг?; касательные напряжения тгф, т?г рав-
равны нулю по симметрии. В пластине реализуется «плоское напряжен-
напряженное состояние». В сечениях r= const, ф = const соответственно
действуют изгибающие моменты Мг,
Mr=^ar zdz, М„ = \ а9 zdz,
причем интегрирование производится
по толщине пластины (— h, -\-h).
Срезывающее усилие в сечении
г = const равно
o-J
xTZdz
и связано с изгибающими момента-
моментами известным дифференциальным уравнением равновесия (см, напри-
мер, [«])
d-? + U'-M' = Q. F2.1)
Касательные напряжения по кругу г = const уравновешивают
внешнюю нагрузку, поэтому
где а — радиус выреза в кольцевой пластине (для сплошной плас-
пластины а = 0).
Обозначим через w = w(r) скорость прогиба пластины; компо-
компоненты скорости деформации определяются известными соотношениями
Ъг —
F2.2)
где введены параметры скорости кривизны срединной поверхности
пластины
x'=~dF*' *v=~Td7-
Очевидно, что отношение скоростей деформации !,./?„ постоянно
вдоль нормали к плоскости пластины.
278
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
[ГЛ. VIj
2. Уравнения изгиба пластины при условии текучести Мизеса.
Здесь скорости деформации и компоненты напряжения связаны
(вследствие пренебрежения упругими составляющими) соотношениями
Сен-Венана — Мизеса (§ 13)
а отличные от нуля компоненты напряжения аг, сг9 удовлетворяют
условию текучести
9 B9 / ??\^ Л \
О? — С Go-f-Cm = GJ. ("*•*)
Как известно (§ 16), соотношения F2.3) можно записать в виде
»/¦
_1
3 дог '
3 да,
где через / обозначено выражение в левой части условия текучести
F2.4). Другими словами, вектор скорости деформации нормален к
кривой текучести (рис. 190, а, пунктирная стрелка).
Обозначая отношение tr/to через ц, легко получаем из F2.3),
что сг? бдоль нормали пропорционально аг. Но тогда из условия
текучести вытекает, что crr = ±/i (л) аа» °? — ±/а Ol) ff.s> гДе А.
/2 некоторые функции г\.
Рис. 190.
Таким образом, напряжения аг, сг? постоянны вдоль нормали для
положительных z и принимают обратный знак (соответственно
изгибу пластины) для отрицательных г; напряжения ап а9 разрывны
на срединной плоскости (аналогично картине при изгибе балки) и
изображаются на эллипсе текучести (рис. 190, а) противоположными
точками. Вследствие этого изгибающие моменты равны (здесь ап
§ 62] ПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН 279
о"? — значения напряжений при z > 0)
Mr = arh2, М„ = о,,к* F2.5)
и удовлетворяют в силу F2.4) соотношению
Ж; - МГМ„ + Ml = М\, F2.6)
где Ms = ash2 — максимальное значение изгибающего момента. Это
уравнение является частным случаем конечного соотношения между
усилиями и моментами в пластических оболочках, указанного
А. А. Ильюшиным [12], и представляет на плоскости Мг, М^ также
эллипс (рис. 190,6).
Заменяя в соотношениях F2.3) напряжения аг, о^ через мо-
моменты Мг, М^, скорости деформации — через кривизны кг, х„,
нетрудно получить соотношение:
, „. dF , .,. 3F
Хг = л дм~г' и?= л Щ '
где через F обозначено выражение в левой части конечного соот-
соотношения F2.6), а X* — скалярный множитель. Таким образом, вектор
скорости кривизны нормален к предельной кривой в плоскости Мг,
М„ (рис. 190, б). Стало быть, ассоциированный закон течения справедлив
и для зависимостей между обобщенными величинами — моментами
Мг, /И? и скоростями кривизн хп и?.
Исключая с помощью условия F2.6) момент М из уравнения
равновесия F2.1), получаем нелинейное дифференциальное уравнение
для Мг
^ 1A A|V) F2.7)
Решение дифференциального уравнения F2.7) при соответствующих
граничных условиях определяет предельную нагрузку.
Из соотношений F2.3) и F2.2). получаем дифференциальное
уравнение скорости прогиба пластины
гBМ„-Мгф-BМг-М„)^- = 0, F2.8)
которое легко интегрируется, если известны изгибающие моменты
Мп Мг
Аналогично возникновению пластических шарниров при изгибе
балки в пластинках возможно появление шарнирной окружности.
Вдоль нее скорость прогиба непрерывна, производная —т— разрывна,
йгш г,
следовательно, скорость кривизны хг=—-т~г не ограничена. По-
Поскольку моменты Мп Мо всюду ограничены, из F2.8) следует, что
на шарнирной окружности МГ — 2М^. Необходимо также допустить,
что некоторая (кольцевая) часть пластины может остаться жесткой,
280
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
[ГЛ. VII
Рассмотрим теперь вопрос о граничных условиях; последние
имеют вид:
1) на свободном краю Мг = 0;
2) на опертом краю Mr = 0, w = 0;
3) вдоль заделанного края w =
dr
¦ = 0.
Последнее условие означает, что и?
вательно,
= 0, т. е. Мг — 2М=0; следо-
--Мв.
3. Уравнения изгиба пластины при условии текучести Треска —
Сен-Венана. Решение уравнения F2.7) связано с известными трудно-
трудностями. Задача, однако, существенно упрощается, если заменить эллипс
Мизеса шестиугольником, соответствующим условию текучести Тре-
Треска—Сен-Венана (рис. 191). Тогда пластина разбивается на коль-
кольцевые зоны, в каждой из которых условие текучести линейное
и интегрирование легко осуществляется.
Ошибка при этом невелика; ее можно уменьшить, если вместо
вписанного шестиугольника взять шестиугольник, проходящий посре-
посредине между вписанным и описанным
шестиугольниками; для этого достаточ-
достаточно заменить сг^ значением o's?v\ ,08 es.
Уравнения для скорости прогиба w
легко устанавливаются с помощью
ассоциированного закона течения, изло-
изложенного применительно к плоскому на-
напряженному состоянию в § 52. При
этом llt |3 переходят в |r, g?.
На окружности, разделяющей коль-
кольцевые области различных решений,
должны быть непрерывны в силу усло-
условий равновесия изгибающий момент Мг
и срезывающее усилие Q; изгибаю-
изгибающий же момент Mv может быть разрывен.
Скорость прогиба w должна быть непрерывной, скорости же
деформации |r, g? могут быть, вообще говоря, разрывными. Окруж-
Окружность, на которой разрывна \а (т. е. касательная к поверхности
скорости прогиба испытывает конечный поворот), называется шар-,
нирной.
На шарнирной окружности Mr = ±MS.
В самом деле, на этой окружности разрывна скорость деформа-
деформации ??, a Jjr не ограничена. По ассоциированному закону течения подоб-
подобное положение возможно лишь для вертикальных сторон шестиуголь-
шестиугольника (рис. 191), вдоль которых Mr=M
У
\
Y
F
"г,
0
1 Ay
i
С
Ms
м
/" '
А
Рис." 191.
§ 62] ПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН 281
В схеме жестко-пластического тела следует допустить, что часть
пластины (некоторая кольцевая зона) может остаться недеформируе-
мой и испытывать, вообще говоря, жесткое вертикальное смещение.
Граничные условия 1), 2) (для свободного и опертого краев),
рассмотренные выше, очевидно, сохраняются. В случае же заделки
0 иуИ
4. Примеры. Рассмотрим несколько частных задач, исходя из усло-
условия текучести Треска — Сен-Венана.
1) Пластина оперта, равномерная нагрузка/? рас-
распределена по кругу радиуса с (рис. 192). Напряжения
в соответствующей упругой задаче максимальны в центре (г = 0),
и здесь впервые возникают пластические деформации. При г = 0
Мг~М^ = М$, и вблизи центра будет один из пластических режи-
режимов С, ВС, CD. Режим CD противоречит уравнению равновесия
на CD Mr = Ms и -^7^=°); с Другой стороны, M^<MS, р>0,
и из дифференциального уравнения F2.1) вытекает —т-^ < 0. Точно
так же невозможен и режим С, следовательно, реализуется режим ВС,
т. е. My = Ms. Тогда из дифферен-
циального уравнения F2.1) полу-
чаем (р = 0 при г>с):
с
_1 „-2 Л/Г При Г^С
Г!3
b^Lpc*M при г^с,
F2.9)
Рис 192
где Сх, С2 — произвольные постоян-
постоянные. Из условия ограниченности Мт в центре следует, что С1 = 0. Из
условия непрерывности Мг при г = с находим, что С2 = -^-/?с2.
С возрастанием г изгибающий момент Мг убывает, т. е. изобра-
изображающая точка на рис. 191 движется от С к В. На опоре Afr = O
и реализуется режим Б, а в остальной части пластины — режим ВС.
Удовлетворяя условию Мг = 0 при г = Ь, находим предельную нагрузку
_ 6Ь
Р* ~ с* C6—2с) "•
Картина пластического течения пластины в предельном состоянии
определяется следующим образом. По ассоциированному закону для
участка ВС имеем хг = 0 или , 3 =0. Отсюда при граничном усло-
условии w = 0 при r — b легко находим:
282
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
[гл. vii
где w0 — значение скорости прогиба в центре, остающееся неопре-
неопределенным. Таким образом, пластина при течении принимает форму
поверхности конуса (пунктир на рис. 192).
Если нагрузка р действует по всей поверхности пластины, то
с = Ь; тогда предельная нагрузка равна
Для этого же случая численное интегрирование дифференциаль-
дифференциального уравнения F2.7), выведенного на основе условия пластичности
Мизеса, приводит к результату
2) Пластина заделана и равномерно нагр уж е н а
давлением (рис. 193). Как и ,в предыдущем примере, вблизи
центра реализуется режим ВС. С возрастанием г изгибающий мо-
момент Мг убывает и обращается в нуль при некотором значении г — р.
Далее, наступает" /режим [ВА, который простирается в пластине до
контура г — Ь, гдеЖг = — Ms,
Р
ч
ч
р
т. е. имеет место режим А.
ж
При
будет
согласно F2.9)
' Ш
При г =
= 0 и
Рис. 193.
6MS
Р
При г>р М^ — Мг — М$, и из дифференциального уравнения
равновесия получаем:
M M 1?p(r*p\
где использовано условие^г|г_р = 0. Пусть на контуре r=b Мг—— MS,
т. е. вдоль заделки образуется шарнир; отсюда следует трансцен-
трансцендентное уравнение
определяющее"р, а стало быть, и предельную нагрузку; по вычис-
вычислениям ржО,73 Ь. Таким образом,
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ VII 283
Обратимся теперь к определению скорости прогиба. В централь-
центральной области г ^ р будет, как и в первом примере,
0 w w
где w0, Сх — произвольные постоянные.
Для г > р (режим АВ) по ассоциированному закону течения
и,:иф= — 1:1, т. е.
6гш . 1 dw п
di^ + Td7~v-
На контуре г — Ь «/ = 0; при этом условии получаем:
где С2 — произвольная постоянная. Отсюда видно, что условие
-г— = 0 на контуре не выполняется, поэтому вдоль контура действи-
действительно образуется пластический шарнир.
Произвольные постоянные Сг, С2 определяются из условий непре-
непрерывности w ят- при г —р. Скорость прогиба w0 в центре остается
неопределенной. Форма прогиба пластины показана на рис. 193 пунк-
пунктиром.
5. Заключительные замечания. Предельное состояние изгибаемых пластин
изучено в многочисленных работах; назовем здесь работы А. А. Гвоздева [7|,
Прагера [а9], Ходжа [66], А. С. Григорьева [101], А. А. IИльюшина [1а]
и других авторов (см. обзоры [70.78]). Большое распространение получило
использование условия текучести Треска — Сен-Венана и ассоциированного
закона течения; при этом непосредственно связываются обобщенные вели-
величины — моменты и скорости кривизн. Такая же схема развита и для ана-
анализа предельного равновесия осесимметричных оболочек [ББ].
Упруго-пластяческий изгиб круглых пластин исследован В. В. Соколов-
Соколовским [44] на основе уравнений деформационной теории, Текиналпом [193] на
основе теории течения.
Предельную нагрузку для пластин и оболочек удобно находить энерге-
энергетическим методом, используя экстремальные свойства предельного состояния.
Этот вопрос рассматривается в следующей главе VIII, где в качестве одного
из примеров обсуждается энергетический способ нахождения предельной
нагрузки для круглых пластин (§ 66).
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ VII
1. Найти решение дифференциального уравнения F2.7) для случая коль-
кольцевой пластинки, опертой по внешнему контуру и равномерно загружен-
загруженной по внутреннему контуру.
2. Найти (при условии текучести Треска — Сен-Венана) предельную на-
нагрузку для равномерно загруженной кольцевой пластинки, опертой по наруж-
наружному контуру.
Глава VIII
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ
И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
§ 63. Об экстремальных принципах
В теории пластичности, как и в теории упругости, важное значе-
значение имеют общие теоремы. Сюда прежде всего относятся теоремы
об экстремальных свойствах решения и теоремы единственности. Мень-
Меньший механический интерес представляют проблемы существования
решений, весьма трудные, мало изученные и обычно связанные с рядом
ограничений, диктуемых методом доказательства; однако для строгого
обоснования непротиворечивости исходных уравнений эти теоремы
необходимы.
Экстремальные теоремы, помимо общего значения, открывают
путь прямого построения решений, минуя интегрирование дифференци-
дифференциальных уравнений. В нелинейных задачах теории пластичности по-
подобная возможность является весьма заманчивой.
Важное значение имеют экстремальные принципы в теории жестко-
пластического тела. В предшествующих главах много говорилось о
трудностях, связанных с неединственностью схем решения в теории
жестко-пластического тела. Это побудило нас ввести представления о
кинематически возможных полях скорости и статически возможных
напряженных состояниях текучести и сформулировать без доказатель-
доказательства критерий выбора. Этот критерий вытекает из экстремальных
теорем, рассматриваемых ниже (§§ 64, 65).
При достижении предельной нагрузки в идеальном жестко-плас-
жестко-пластическом теле возникает беспрепятственное пластическое течение.
Предельное состояние можно интерпретировать как состояние, пред-
предшествующее разрушению. В связи с этим иногда предельное состоя-
состояние называют состоянием пластического разрушения, а экстремаль-
экстремальные теоремы, характеризующие предельную нагрузку, — теоремами о
пластическом разрушении.
Экстремальные теоремы для жестко-пластического тела приводят
к эффективным способам прямого нахождения предельной нагрузки
путем последовательного сближения верхней и нижней оценок (§ 65).
В § 66 приводятся разнообразные примеры использования энергети-
энергетического метода.
§ 64] ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ ДЛЯ ЖЕСТКО-ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЛА 285
В деформационной теории пластичности экстремальные теоремы
являются обобщением соответствующих теорем минимума для упру-
упругого тела (именно, теоремы минимума полной энергии системы и тео-
теоремы Кастильяно). Эти теоремы широко используются для прибли-
приближенного решения разнообразных частных задач прямыми методами
(главным образом методом Ритца). Минимальные теоремы в деформаци-
деформационной теории и их некоторые простейшие приложения излагаются
в §§ 67, 68.
Формулировки экстремальных принципов для упруго-пластической
среды, следующей уравнениям теории течения (при идеальной плас-
пластичности и при наличии упрочнения), приводятся в заключительной
части главы (§ 69). Эти принципы в отличие от предшествующих
определяют экстремальные свойства приращений (или скоростей) сме-
смещений и приращений напряжений, отвечающих малым приращениям
внешних сил или заданных перемещений. Естественно, что такие
«локальные» свойства, связанные с дифференциальным характером
уравнений теории пластического течения, труднее использовать для
эффективного построения решения, и они интересны прежде всего в
принципиальном отношении.
К общим теоремам обычно относят и теоремы приспособляемо-
приспособляемости упруго-пластических конструкций при действии циклических на-
нагрузок. Однако, учитывая своеобразие задач данного типа, этот воп-
вопрос выделен в отдельную главу (гл. IX).
Строгое изложение общих теорем теории упруго-пластических сред и по-
подробную библиографию можно найти в превосходной работе В. Койтера [в8].
Многочисленные применения энергетических теорем изложены в книгах
А. А. Гвоздева ['], А. А. Ильюшииа [1а], Нила [2в], Прагера [29], Прагера
и Ходжа [sl], Ю. Н. Работнова [33], Ходжа [66] и других авторов. Различ-
Различные дополнительные сведения по этому вопросу читатель может также по-
почерпнуть в ряде обзорных статей [в8> 70> 7а].
§ 64. Экстремальные принципы
для жестко-пластического тела
1. Общие замечания. Выше отмечалось значение экстремальных
принципов для жестко-пластического тела (с площадкой текучести),
широко применяемых для построения приближенных решений.
Условия пригодности схемы жестко-пластического тела обсужда-
обсуждались ранее; они существенно зависят от характера рассматриваемой
задачи.
При отбрасывании скоростей упругой деформации справедливы
более простые соотношения теории Сен-Венана — Мизеса (§ 13)
|,7=Я,«,7 или -п- = -?-. F4.1)
286 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VIII
Ниже изучаются лишь малые деформации жестко-пластического
тела, когда можно пренебрегать изменениями конфигурации тела и
положений его точек. Впрочем, результаты часто можно перенести и
на задачи установившегося пластического течения, рассматривая
мгновенное состояние.
Предельное состояние жестко-пластического тела определяется конечной
комбинацией нагрузок в момент возникновения пластического течения. Оче-
Очевидно, что путь нагружения выпадает из рассмотрения, так же как и началь-
начальные напряжения и деформации. В этом смысле можно говорить о независимости
предельной нагрузки от пути нагружения и начальных напряжений.
О практическом значении этого вывода свидетельствуют опытные данные
и полные решения некоторых упруго-пластических задач. Это свойство
становится понятным, если учесть, что при деформации, развивающейся в опре-
определенном направлении (см. § 15), напряжения стремятся к некоторым «уста-
«установившимся» значениям, не зависящим от пути деформирования.
По мере приближения к предельному состоянию деформации тела, как
правило, быстро возрастают в направлении действия нагрузок. Если по-
последние вблизи предельных значений возрастают пропорционально одному
параметру, то деформации развиваются'в определенном направлении, и влия-
влияние пути нагружения все более ослабевает.
2. Основное энергетическое уравнение. Рассмотрим некоторое
тело, занимающее объем V, ограниченный поверхностью S = SF-\- Sv
(рис. 194). На части поверхности те-
тела SF задано усилие Fn\ составляю-
составляющие последнего по осям xt (i = \, 2, 3)
обозначим через Xni. На части по-
поверхности тела Sv задана скорость
v0; ее составляющие обозначим через
vo;. Для простоты письма полагаем,
что объемные силы отсутствуют. В
дальнейшем используются тензорные
обозначения (см. § 1).
. Пусть ai;-—некоторое поле напря-
напряжений, удовлетворяющее дифферен-
дифференциальным уравнениям равновесия (см. § 4) внутри тела
l| = ° F4.2)
и уравновешивающееся с заданными на границе SF нагрузками Хп! со-
согласно формулам Коши A,2)
очп~ХпЬ на SF, F4.3)
где n.j — направляющие косинусы нормали п.
С другой стороны, введем некоторое непрерывное иоле скорости vh
удовлетворяющее заданным условиям на Sv, т. е.
Vf = voi на Sv. F4.4)
§ 64) ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ ДЛЯ ЖЕСТКО-ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЛА 287
Этому полю скоростей отвечают компоненты скорости деформа-
деформации (§ 3)
F4.5)
Введенные поля напряжений сг,-у и скоростей v{ в остальном произ-
произвольны и, вообще говоря, не связаны между собой. Предполагается,
что эти поля непрерывны (ниже это ограничение будет снято). Кон-
Конфигурация тела либо мало отличается от первоначальной (тогда
V и 5 — объем и поверхность тела до деформации), либо характе-
характеризует известное текущее состояние.
Для всякой сплошной среды справедливо следующее основное
уравнение:
F4.6)
где первый интеграл распространяется по всему объему тела V, а
второй — по всей поверхности тела 5.
Для доказательства представим поверхностный интеграл с по-
помощью соотношений Коши F4.3) в виде
J XnivtdS = J oi/0tnjdS
и преобразуем его в объемный по формуле Гаусса — Остроградского
lQjnjdS = l^dV. F4.7)
Легко видеть, что
Первый интеграл в правой части равен нулю в силу дифференци-
дифференциальных уравнений равновесия F4.2), что и доказывает уравне-
уравнение F4.6).
Это уравнение необходимо обобщить, во-первых, на случай тела,
имеющего жесткие (недеформируемые) области, во-вторых, на случай
разрывных полей напряжений и скоростей.
Первое обобщение почти очевидно. В самом деле, если тело содер-
содержит деформируемую (Уд) и жесткую (Уж) области, разделяемые по-
поверхностью 2, на которой скорости и напряжения непрерывны, то
для каждой области согласно F4.6) имеем:
S °v
288 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VIII
Область интегрирования (здесь и в последующем) обозначается
ее соответствующим дифференциалом. Так, первый интеграл слева
берется по области Ул, первый интеграл во втором соотношении —
по поверхности тела $ж, примыкающей к области Vx, и т. д. Скла-
Складывая выписанные соотношения, приходим (так как 5 = Sa -f- Sx)
к прежнему уравнению F4.6). Таким образом, основное энергетичес-
энергетическое уравнение F4.6) можно писать по отношению ко всему телу
(включая жесткие области).
3. Обобщение основного энергетического уравнения на раз-
разрывные поля. Предыдущие результаты основаны на предположении
непрерывности полей напряжения и скоростей. Между тем простые
примеры (изгиб, кручение, плоская задача) свидетельствуют о том,
что в предельном состоянии разрывы в напряжениях встречаются
весьма часто. В схеме жестко-пластического тела неизбежны и раз-
разрывы скоростей. Наконец, иногда удобно строить приближенные раз-
разрывные решения. В связи с этим рассмотрим обобщение энергетичес-
энергетического уравнения на случай разрывных полей.
Разрывы в напряжениях. Обратимся сначала к слу-
случаю, когда напряжения разрывны на некоторых поверхностях
Sk(k=l, 2, 3,....). Поверхности Sk разбивают тело на конечное
число частей, в каждой из которых напряжения изменяются непре-
непрерывно, и, следовательно, полученное выше уравнение справедливо;
при этом соответствующие поверхностные интегралы распространены
по поверхности каждой из выделенных частей. Пусть, с одной сто-
стороны Sk действуют поверхностные силы Х%{, с другой—Х^.
Из условий равновесия элемента какой-либо поверхности выте-
вытекает, что
0 (i=\, 2, 3).
Следовательно, при сложении уравнений, выписанных для каждой
из частей тела, все интегралы по поверхности разрыва Sk сокра-
сократятся, т. е. наличие разрывов в напряжениях не сказывается на
форме основного энергетического уравнения.
Разрывы вскоростях. Перейдем теперь к рассмотрению раз-
разрывов поля скоростей на некоторых поверхностях St (/= 1, 2, 3, .. .).
Прежде всего отметим, что разрыв возможен лишь в составля-
составляющей скорости, лежащей в касательной плоскости к SL (касатель-
(касательной составляющей скорости), иначе в теле образуются «трещины».
Исключение составляет случай тонкой пластины (или оболочки),
когда вдоль некоторых линий может возникнуть резкое утонение
(«шейка») или утолщение («валик»). Подобные разрывы рассмотрены
в гл. VI. К этому случаю мы вернемся позднее; теперь же примем,
что нормальная составляющая скорости на ^ непрерывна.
Проведем в некоторой точке поверхности разрыва Sl локальную
систему координат х, у, z, направив ось z по нормали к поверхно-
§ 64] ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ ДЛЯ ЖЕСТКО-ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЛА 289
сти (рис. 195). Обозначим через v$, v~t касательные составляющие
скорости соответственно с положительной и отрицательной сторон
поверхности St. Пусть vom = v^ — vj есть вектор относительной
скорости; вдоль этого вектора направим ось х. Поверхность разрыва
надлежит рассматривать как
предельное положение тонкого
слоя с непрерывным, но резким
изменением скорости по толщи-
толщине слоя (рис. 196, а). Резкое
изменение претерпевает лишь
составляющая vx, av , vzпочти
постоянны по толщине слоя.
Очевидно, что скорость сдвига
г\хг значительно больше других
компонент скорости деформа-
деформации; при стремлении толщины
слоя к нулю у\хг -* оо, а осталь-
остальные компоненты скорости де-
деформации остаются ограничен-
ограниченными. Обозначим, далее, через т касательную составляющую напря-
напряжения на поверхности Sl в направлении х.
Поверхности разрыва St разделяют тело на части Vv V2, ...,
в каждой из которых напряжения и скорости обладают необходимыми
свойствами непрерывности, а потому к каждой из частей применимо
х
Рис. 195.
Рис. 196.
найденное выше уравнение. Последнее включает мощность поверхно-
поверхностных усилий; при сложении уравнений, выписанных для каждой ча-
части тела, всегда будут встречаться два интеграла по каждой
поверхности разрыва (по положительной и отрицательной ее сторо-
сторонам, рис. 196, б).
Рассмотрим элемент поверхности dSf, пусть с отрицательной
стороны dSt лежит область Vk, с положительной —область Vk+1.
Ю Л. М. Качанов
290 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VIII
Соответствующая мощность напряжений для области Vk равна
где через ху и vv обозначены составляющие касательного напряже-
напряжения и касательной скорости по оси у.
Для области Vh + 1 соответствующая мощность напряжений равна
Следовательно, сумма мощностей напряжений для элемента равна
-x[v]dSlt
где через v обозначен скачок скорости v+—v_ =| vOTH\. Итак, на-
напряжения, действующие на поверхностях разрыва скорости, разви-
развивают мощность
где суммирование охватывает все поверхности разрыва SL. Эту мощ-
мощность надлежит включить в основное энергетическое уравне-
уравнение F4.6), тогда
J XnivtdS = J OtfajdV+.l-t [v] dSp. F4.8)
Для простоты письма знак суммы опущен; интегрирование рас-
распространяется на все поверхности разрыва Sp = S1-j:-S2-{-...
В уравнении F4.8) слева стоит «мощность» поверхностных сил,
справа —«рассеяние».
Остановимся на нескольких замечаниях.
1. Уравнение F4.8) справедливо для любой сплошной среды,
находящейся в равновесии. Скорости и напряжения, входящие
в F4.8), вообще говоря, не связаны между собой.
2. Пусть среда подчиняется уравнениям теории Сен-Венана—Ми-
зеса F4.1). Как уже отмечалось, в окрестности поверхности раз-
разрыва скорость сдвига ч\хг-*- оо, при этом из соотношений F4.1) выте-
вытекает, что
ох —*¦ о, о у —*¦ a, oz —*¦ о,
**у-0, туг-0, xxz^xs, F4.9)
т. е. поверхность разрыва я_вляется в сущности поверхностью мак-
максимального касательного напряжения (поверхностью скольжения).
Поскольку напряжения и скорости деформации теперь связаны
соотношениями F4.1), сдвиг происходит в направлении действующего
касательного напряжения, поэтому
x[v]=xs[v]>0. F4.10)
§ 64] ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИГТЫ ДЛЯ ЖЕСТКО-ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЛА 291
3. В случае плоского напряженного состояния возможен также
разрыцв нормальной составляющей скорости на линии разрыва L
(§ 53, фиг. 165). Рассеяние на единицу длины шейки дано форму-
формулой E3.28). Вместо второго слагаемого в правую часть основного
уравнения F4.8) следует включить величину
xsh \ vy 1 -f sin2y dsL,
где dsL— элемент линии L (или сумму таких слагаемых, если имеет-
имеется несколько линий разрыва). Здесь v—величина разрыва скорости,
у — угол наклона скорости v к линии L; при Y = ~o~ относительное
скольжение отсутствует, происходит лишь утонение, при y = 0 про-
происходит лишь проскальзывание.
4. Минимальные свойства действительного поля скоростей.
Применим энергетическое уравнение F4.8) к жестко-пластическому
телу. Пусть величины а,у, |,у, V; являются действительным реше-
решением задачи; при этом напряжения и скорости деформации связаны
соотношениями Сен-Венана — Мизеса и удовлетворяют всем условиям
равновесия и сплошности. По отношению к этому действительному
состоянию основное энергетическое уравнение F4.8), очевидно,
справедливо.
Наряду с действительным состоянием рассмотрим другое, кине-
кинематически возможное поле v'h удовлетворяющее условию несжимае-
несжимаемости и заданным граничным условиям F4.4) на Sv. Скоростям v]
отвечают согласно F4.5) скорости деформации gjy, которым по со-
соотношениям F4.1) при 1^-^=0 соответствует девиатор напряже-
напряжения s*j. Последний, вообще говоря, не будет удовлетворять урав-
уравнениям равновесия. Далее, напряжениям s*j по формулам Коши
F4.3) отвечают некоторые поверхностные силы X*i (определенные
с точностью до гидростатического давления). Наконец, пусть кине-
кинематически возможное поле v\ разрывно на некоторых поверхностях
S\, 1=1, 2,...
Таким образом, проводится сопоставление действительного поля-
скоростей v{ с кинематически возможным v'i.
По отношению к действительному распределению напряжений Оц
и кинематически возможному полю скоростей ю\ основное энергети-
энергетическое уравнение F4.8) также применимо и переписывается в форме
\ Oijl'tjdV- \ Xniv'tdS+ \ х К] dS'p = 0, F4.11)
V О J
где через [•»'] обозначен скачок v'+—v'_ на S'p.
Как уже отмечалось (§ 16), напряжения а,-у и скорости дефор-
деформации |/у, Wj можно представить векторами в девятимерном про-
пространстве напряжений. Условию текучести будет соответствовать
выпуклая поверхность (гиперповерхность) — поверхность текучести
10*
292 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VIII
(см. рис. 23). В силу соотношений Сен-Венана — Мизеса F4.1) век-
векторы O;j и |,-у параллельны; выражение ofyg/y, являющееся скаляр-
скалярным произведением параллельных векторов, равно произведению их
модулей, т. е.
Другое выражение о^ц является скалярным произведением, во-
вообще говоря, непараллельных векторов, поэтому
ei?il = si?1I^TH'. F4.12)
Знак равенства будет в пластической зоне при |^ = с|,7, где
с — некоторый скалярный множитель. Но тогда из F4.1) вытекает,
что s*j = st-j, т. е. напряженное состояние а,*-, отвечающее кинема-
кинематически возможному полю, отличается от действительного напряжен-
напряженного состояния а,7 величиной гидростатического давления. Так как
G;j удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия F4.2),
то легко видеть, что упомянутое аддитивное давление должно быть
постоянным. Если Sv=^0 (где-то на поверхности заданы скорости),
то с—\ и поля скоростей •»,- и v] совпадают. Если же БрфО (т. е.
где-то на поверхности тела заданы напряжения), то по граничным
условиям аддитивное давление равно нулю.
Переходя к большей величине xji', получим из F4.11) неравен-
неравенство
Н' dV — J Xniv't dS + J т [vf] dS'p > 0. F4.13)
Здесь Гв левой части имеется неизвестная величина—действи-
величина—действительное напряжение т. Но максимальное касательное напряжение
тшах и интенсивность Т связаны неравенством A.20), из которого
вытекает, что ттах^т5, следовательно, и |т|^т5.
Заменяя т [и'] на TJ[u']|, лишь усилим неравенство F4.13).
Для действительного поля скоростей выражение, аналогичное
F4.13) (т. е. без штрихов), равно нулю; следовательно,
dV- J Xniv; dSF+xs
<т, J H' dV- J Xniv'idSF+xs J I [v']\dS'p. F4.14)
Знак равенства достигается только в том случае, когда кинема-
кинематически возможное пог.е v't совпадает с действительным v:. Назовем
выражение в правой части полной мощностью.
Итак, полная мощность достигает абсолютного минимума для
действительного поля скоростей.
Заметим, что в силу F4.8) левая часть неравенства равна
§ 64] ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ ДЛЯ ЖЕСТКО-ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЛА 293
5. Максимальные свойства действительного напряженного со-
состояния. Пусть по-прежнему а^, \tj, vt — действительное решение
задачи; при этом напряжения и скорости деформации связаны соот-
соотношениями Сен-Венаиа — Мизеса F4.1) и удовлетворяют условиям
равновесия и сплошности.
Введем теперь представление о статически возможных напряжен-
напряженных состояниях текучести а'ц. Будем так называть любое напряженное
состояние a'ij, удовлетворяющее внутри тела дифференциальным
уравнениям равновесия
Ц = 0, F4.15)
на поверхности тела — заданным граничным условиям на SF
ацП; = Хп1 на SF F4.16)
и не превосходящее предела текучести, т. е.
... F4.17)
Напряженное состояние О;/ может быть разрывным.
Сопоставим действительное напряженное состояние о1;- со стати-
статически возможным напряженным состоянием текучести o\j.
Для действительного напряженного состояния справедливо основ-
основное энергетическое уравнение F4.8), где vt — действительное поле
скоростей.
С другой стороны, так как напряженное состояние а'ц равновес-
равновесное, из основного энергетического уравнения следует также соотно-
соотношение
J Л>, dS = J a'^j dV+\%' [v] dSp, F4.18)
где на SF Xni = Xni, а на Sv усилия Х'п1 определяются формулами
Коши F4.16); т' — касательная составляющая статически возможного
напряженного состояния а'ц в направлении х на поверхности разрыва
Sp действительных скоростей vt.
Вычитая из F4.18) уравнение F4.8) и учитывая F4.16), получаем:
J (oj/ - оц) hjdV=\ (Хы - Xni) v0! dSv + J (т, - т') [v] dSp. F4.19)
Воспользуемся теперь прежним геометрическим представлением.
Вектор %ц нормален к поверхности текучести 2 (рис. 197); вектор
вц параллелен вектору %ц и достигает поверхности текучести. Век-
Вектор же статически возможных напряжений о'ц, вообще говоря, лежит
внутри поверхности текучести. Вектор разности а'ц — а^ показан на
рис. 197 пунктиром. Вследствие выпуклости поверхности текучести
294
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [гл. VIII
векторы (а'ц — a(j) и %tj образуют тупой угол, поэтому их скалярное
произведение отрицательно
(o'tj — Oijllij^O. F4.20)
Здесь знак равенства может быть лишь в случае, когда напря-
напряжения а'ц и"(Г;у отличаются на величину равномерного гидростатиче-
гидростатического давления (поскольку от последнего условие текучести не за-
зависит). Это аддитивное давление равно
нулю, если SF=?0, т. е. где-либо на
поверхности тела задана нагрузка.
Таким образом, из уравнения
F4.19) следует, что его правая часть
отрицательна, стало быть
s-r')[v]dSp. F4.21)
Рис. 197. В правой части величина разрыва
действительного поля неизвестна. Так
как т4^г|т'|, а т5[г>]>0, то второе слагаемое в правой части
неотрицательно. Усиливая неравенство F4.21), получаем:
ISV. F4.22)
Здесь правая часть неравенства при выбранном поле a't/ может
быть вычислена, так как на Sv скорости voi заданы.
Итак, мощность действительных поверхностных сил на заданных
скоростях больше мощности, развиваемой поверхностными силами,
соответствующими любой другой статически возможной системе на-
напряжений текучести.
Из неравенств F4.14), F4.22) вытекает двусторонняя оценка
мощности действительных поверхностных сил на заданных скоростях
т, J H' dV- J Xniv\ dSr+ xs
[v1] | dS'p >
Xnivoi dSv
X'nivoi dSv. F4.23)
Для вычисления левой части неравенства необходимо взять кине-
кинематически возможное поле скоростей, правой части —статически
возможное напряженное состояние текучести.
В случае плоского напряженного состояния возможен разрыв нормальной
составляющей скорости и вместо последнего слагаемого в левой части нера-
неравенства следует внести величину
xsh
Y' dSL,
§ 65] ТЕОРЕМЫ О КОЭФФИЦИЕНТЕ ПРЕДЕЛЬНОЙ НАГРУЗКИ 295
где и' — величина скачка кинематически возможной скорости, у'— угол наклона
скорости v' к линии разрыва.
Основные результаты по экстремальным принципам для жестко-пласти-
жестко-пластического тела принадлежат А. А. Маркову [134], Хиллу р4], Прагеру и Ход-
Ходжу [«], Койтеру [в8], С. М. Фейнбергу I1»1].
§ 65. Теоремы о коэффициенте предельной нагрузки
Полученные в предыдущем параграфе неравенства открывают
возможность вычисления предельных нагрузок путем последователь-
последовательного сближения верхней и нижней оценок. Однако неравенства F4.14),
F4.21) непосредственно указывают способ приближения к предель-
предельной нагрузке лишь в простейших случаях (например, если на Sv
задана постоянная по величине и направлению скорость, то знание
мощности равносильно знанию нагрузки на Sv в этом направлении.
Подобный случай имеет место в задаче о внедрении гладкого плос-
плоского штампа).
При наличии нескольких нагрузок последним в предельном состоя-
состоянии отвечает некоторая поверхность («поверхность текучести»); для
нее найденные неравенства позволяют в принципе построить двусто-
двусторонние оценки. Простые и важные результаты можно получить в случае
пропорционального нагружения.
1. Пропорциональное нагружение. Рассмотрим важный случай
поверхностных сил, возрастающих пропорционально одному параметру
т > 0; в этом случае легко получить оценки для предельной на-
нагрузки.
Остановимся более подробно на исходных предположениях. Нагрузки
на части поверхности тела SF возрастают в определенном отношении
Xni = mX°nt на Sp, F5.1)
где Х%{ — некоторое фиксированное распределение нагрузок на SF.
Кроме того, примем, что на части поверхности Sv скорости равны
нулю
г>01- = 0 («неподвижные опоры»).
Предельное состояние тела достигается при некотором значении
параметра т = т9. Будем называть т^ коэффициентом, предельной
нагрузки.
2. Верхняя оценка предельной нагрузки. Верхняя оценка от»
получается из рассмотрения неравенства F4.14), которое теперь
принимает вид (см. замечание в конце стр. 292)
J ^ xs j H' dV+ xs
причем кинематически возможные скорости v\ обращаются в нуль
296 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ Й ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [гл. VIII
на Sv. В силу F5.1) для предельного состояния имеем:
\H'
\dS'p
Предполагается, что мощность заданных поверхностных сил на
кинематически возможных скоростях, стоящая в знаменателе F5.2),
положительна. Знак равенства в F5.2) может быть только в том
случае, когда кинематически возможное поле v\ совпадает с действи-
действительным V; (с указанными в предыдущем параграфе оговорками).
Безразмерное число в правой части неравенства обозначим через
тк и условимся называть его кинематическим, коэффициентом. Итак,
от«<отА. F5.3)
Коэффициент предельной нагрузки от, не может быть больше кине-
кинематического коэффициента mk.
Из F5.2) вытекает, что кинематический коэффициент mk полу-
получается приравниванием мощности нагрузок на кинематически воз-
возможных скоростях соответствующей мощности деформации.
Замечание. В случае плоского напряженного состояния второе сла-
слагаемое в числителе следует заменить величиной
h\v' J/1 + sin2/ dsL.
3. Нижняя оценка предельной нагрузки. Из второго экстремаль-
экстремального принципа вытекает нижняя оценка коэффициента предельной
нагрузки от,. Рассмотрим статически возможное напряженное состоя-
состояние текучести а'ц, удовлетворяющее несколько измененным граничным
условиям на SF:
Ki = rnsX°ni на SF F5.4)
(вместо условий F4.16), которые в данном случае можно записать
в форме Xni = mttX°ni); здесь ms — некоторое значение параметра от.
К этому случаю нельзя непосредственно применить неравенство,
полученное в конце предыдущего параграфа. Теперь вместо уравнения
F4.19) получим:
J (cftt-ou) g/ydV = («,-/».) J Xfai dSr+ J (т,-т') [v] dSp. F5.5)
Согласно F4.20) левая часть, вообще говоря, отрицательна, сле-
следовательно,
VK-m^—j-f . F5.6)
\x4avtdSp
§ 65]
ТЕОРЕМЫ О КОЭФФИЦИЕНТЕ ПРЕДЕЛЬНОЙ НАГРУЗКИ
297
Знак равенства будет только в случае, если системы напряжений
а,-у, o\j отличаются лишь на равномерное давление. Так как числи-
числитель не отрицателен (|т'|<[т5, тДг»] > 0), а знаменатель положите-
положителен, то коэффициент предельной нагрузки да, не может быть меньше
статического коэффициента ms:
ms
да%
F5.7)
4. Следствия. Рассмотрим некоторые следствия, вытекающие из
установленных выше неравенств.
1. Коэффициент предельной нагрузки да, единственен.
Действительно, обратимся, например, к неравенству F5.3), со-
согласно которому коэффициент предельной нагрузки да, достигает
абсолютного "минимума для действительного поля скоростей. Пред-
Предположение о существовании двух значений коэффициента предельной
нагрузки тЛ, да„2 согласуется с условием абсолютного минимума да„
лишь при их совпадении.
2. Добавление к телу материала не может понизить предельную
нагрузку.
Поясним эту формулировку простым примером. Рассмотрим круг-
круглую трубу (рис. 198, а); предельное давление, отвечающее осесим-
метричному полю напря-
напряжений (§ 26), обозначим
через
р0 = 2as In A .
Обратимся теперь к за-
задаче о нахождении пре-
предельной нагрузки Рх для
длинной квадратной призмы
с центральным круговым от-
отверстием, загруженным рав-
равномерным давлением; на-
Рис. 198.
ружная поверхность призмы свободна от напряжений (рис. 198, б).
Для вычисления нижней оценки — статически возможного коэффи-
коэффициента— можно взять следующее разрывное напряженное состояние:
впишем в призму трубу, показанную на рис. 198, а; напряжения же
в заштрихованных углах будем считать равными нулю. Очевидно,
что уравнения равновесия и граничные условия удовлетворены, усло-
условие текучести нигде не превышено. По доказанному
Р*>Ро-
Этот результат,^конечно, очевиден и допускает простое обобщение.
Ясно, что присоединение к свободной границе тела материала (мы
298 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VIII
называем это «добавлением к телу материала») не снижает предель-
предельную нагрузку, так как для нового тела можно взять статически
возможное напряженное состояние текучести, образованное нулевыми
напряжениями в добавленном материале и напряжениями предельного
состояния в первоначальном теле (аналогично рис. 198). Но тогда
нижняя граница ms для предельной нагрузки сохраняется.
Аналогично можно показать, что
3. Удаление материала не может увеличить предельную нагрузку.
4. Увеличение предела текучести xs в некоторых частях тела не
может понизить предельную нагрузку (так как любое статически
возможное напряженное состояние текучести для исходного тела
будет также статически возможным напряженным состоянием теку-
текучести для нового тела).
5. Из двух кинематически возможных решений более приемлемо
решение, приводящее к меньшей предельной нагрузке.
Это положение было названо ранее (§ 40) критерием выбора.
6. Из двух статически возможных решений более приемлемо ре-
решение, приводящее к большей предельной нагрузке.
5. Распространение теорем о предельной нагрузке на общее
условие текучести. Доказанные выше теоремы относились лишь
к условию текучести Мизеса. Между тем неоднократно подчеркива-
подчеркивалось значение!других условий текучести, в частности условия теку-
текучести Треска — Сен-Венана. Теоремы о предельной нагрузке нетрудно
доказать для общего выпуклого условия пластичности /(а^) = К
при ассоциированном законе течения (§ 16).
Теорема о кинематическом коэффициенте mk ^ m%. По определе-
определению mk для кинематически возможного поля v\ имеем:
mk J ВД dSF = J of&j dV+\x* [v1] dS'p.
Здесь о*i — тензор напряжения, отвечающий (по ассоциированному
закону) кинематически возможным скоростям деформации ||-у, т* —
соответствующее касательное напряжение на поверхности разрыва S'p.
Напряжения а,*;- лежат на поверхности текучести 2, но не удовлет-
удовлетворяют, вообще говоря, уравнениям равновесия. С другой стороны,
по уравнению F4.11) имеем:
я. J ВД dSP = J ои\1г dV+\x [vr] dS'p,
где Оф х— действительные напряжения. Вычитая, находим:
(»*-».) J ВД dS'p = J (a*—cr,7) 1ц dV + J (т*-т) [v1] dSp. F5.8)
Так как поверхность текучести выпуклая (рис. 199, а), то
(а*/ — СГ//) IJ/S3:0; это верно и в сингулярных точках поверхности.
Далее, поверхность разрыва является, как отмечалось ранее, поверх-
§ 65]
ТЕОРЕМЫ О кбЭФФИЦИЕНТЕ ПРЕДЕЛЬНОЙ НАГРУЗКИ
299
ностью скольжения; касательное напряжение т* ассоциировано с полем
|;;- и на S'p достигает наибольшего значения, поэтому (т*—т)[г»']^0.
Таким [образом, правая часть F5.8) неотрицательна. Вследствие
положительности мощности заданных нагрузок приходим к искомому
утверждению.
Остановимся, в частности, на широко используемом условии те-
текучести Треска — Сен-Венана. Здесь кинематически возможный коэф-
коэффициент mk определяется
приравниванием мощностей
заданной нагрузки и пла-
пластической деформации
tYlu \ S\niQi flip —
max^>F5.9)
где |max — абсолютное зна-
значение численно наибольшей
главной скорости деформа-
деформации (СМ. § 16). ЕСЛИ ПОЛе рис jgg
кинематически возможной
скорости v't разрывно, в правую часть уравнения F5.9) необходимо
включить мощность пластической деформации, диссипируемую на
разрывах.
Теорема о статическом коэффициенте ms s^ от„ легко вытекает из
очевидным образом измененного уравнения F5.5)
(m,—mj J X°niVidSF = J {&„—a{J) Z,;;dV+ J (т'—т) [v] dSp, F5.10)
где a(y, т—действительные напряжения, а а'ц, %'—статические воз-
возможные, лежащие внутри или на поверхности текучести. Так как
поверхность текучести выпуклая (рис. 199,6), то (а^;- — а(-)|,--^0,
причем это справедливо и в сингулярных точках 2. Так как vt —
действительная скорость, то, аналогично предыдущему случаю,
(т — т') [г>] 5г 0. Из отрицательности правой части F5.10) сразу сле-
следует второе утверждение.
6. Предельная нагрузка в контактных задачах. Иногда необ-
необходимо найти предельную нагрузку для системы контактирующих
тел. В случаях, когда на поверхности контакта реализуются про-
простейшие условия (например, постоянство касательного напряжения),
можно обойтись доказанными выше теоремами. Некоторые задачи
такого типа рассматриваются в следующем параграфе.
Если на поверхностях контакта действует кулоново трение, то
нетрудно показать [ш], что искомая предельная нагрузка не пре-
превышает предельной нагрузки для той же системы тел при спаянны:
300
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [гл. Vlli
поверхностях контакта и не меньше предельной нагрузки для той
же системы тел при идеально гладких поверхностях контакта.
7. Заключительные замечания. Экстремальные свойства предельной нагрузки
и возможность их использования для приближенного нахождения предельной
нагрузки впервые сформулировал (в терминах строительной механики)
А. А. Гвоздев в 1936 г.; Казинчи высказал теорему о нижней границе (для
неразрезных балок) еще в 1914 г. Строгое доказательство теоремы о нижней
границе принадлежит С. М. Фейнбергу. Из последующих работ по теоремам
о пластическом разрушении отметим исследования Друкера, Гринберга, Пра-
гера (см. [68>70]) и Хилла р4,163].
§ 66. Примеры нахождения предельной нагрузки
энергетическим методом
1. Общие замечания. Как уже отмечалось, энергетический метод
позволяет находить эффективное решение задач о несущей способ-
способности; этот метод широко применяется в различных разделах теории
предельного равновесия — в строительной механике стержневых систем,
в задачах предельного равновесия пластин и оболочек и т. д. При
помощи сравнительно простых вычислений нередко удается построить
совпадающие верхнюю и нижнюю границы, т. е. тем самым получить
точное значение предельной нагрузки. Простой пример такого рода —
растяжение полосы с круговым отверстием — был разобран в § 40.
Некоторые другие задачи излагаются ниже.
Обычно очень просто с помощью энергетических теорем уста-
устанавливаются грубые оценки сверху и снизу. Значительно труднее
получить хорошие оценки. Еще труд-
труднее указать приемы последовательного
сближения верхней и нижней оценок;
здесь перспективно использование ме-
методов математического программиро-
программирования, но оно требует применения
современной вычислительной техники
и разработки соответствующих алго-
алгоритмов [т].
2. Трапеция разрывных напряже-
напряжений для плоской деформации. Для
построения статически возможных на-
напряженных состояний текучести удоб-
удобно использовать [разрывные поля, скомпонованные из областей
равномерного напряженного состояния. Простое полех) подобного
типа показано на рис. 200. Здесь границы AC, BD свободны от
напряжений, на грани АВ действует равномерное нормальное на-
напряжение cri, на грани CD—нормальное равномерное напряжение сГг.
!) Условия пересечения линий разрыва напряжений изучены в работах
[31. Х10, ISO].
А
В
Рис. 200.
§ 66] ПРИМЕРЫ НАХОЖДЕНИЯ ПРЕДЕЛЬНОЙ НАГРУЗКИ 301
В каждом треугольнике реализуется равномерное напряженное состоя-
состояние. В /\АОВ обозначим главные напряжения через а\, а'2,з /\COD —
через a'i, а2, а в треугольниках АОС и BOD имеет место одноосное
растяжение s, параллельное соответственно грани АС или BD. Лучи
ОА, ОВ, ОС, OD — линии разрыва напряжений. Вдоль них (см. § 39)
нормальное напряжение ап и касательное хп непрерывны. Выписывая
эти условия непрерывности вдоль ОВ с помощью формул C5.1)
(ось х направляем по оси ai в /\АОВ и в направлении 5 в l\BOD),
получаем:
ап = а[ sin2 ах + а2 cos2 ax = s sin2 (Р + «i)>
хп = (tf'i — a'a) sin^ cos at = s sin (P + a^ cos
Отсюда находим:
, sMp+aQcosp ,;= sin (p+«x) sing fi
1 sinaj » 2 cosaj v '
Выпишем, далее, условия непрерывности ал, тп на линии раз-
разрыва OD:
2 cos2a2 = 5 sin2 (o^ — Р),
— а) sina2 cosa2 = s sin (a2—P) cos (a2—P),
откуда
,= sin (a,-P) cos p .;= sin (cc-p) sing
1 sina2 '2 cosa2 v '
Напряженные состояния в рассматриваемых треугольниках не
должны нарушать условие текучести Мизеса. Примем, что 5 —растя-
—растягивающее напряжение, тогда в соответствии с формулами F6.1),
F6.2) можно считать, что ai^a'2^0, o"i^a2^0; так как а\
должно быть растягивающим, то а2 > р.
В случае плоской деформации условия текучести не будут нару-
нарушены, если
в АЛОВ a'j — о-'2<2&, F6.3)
в &BOD s<2&, F6.4)
в /\COD al — al^2k, F6.5)
где k — предел текучести при сдвиге (§ 31).
Напряжения а[, а"г пропорциональны s; так как строятся стати-
статически возможные поля, приводящие к нижней границе, то целесооб-
целесообразно взять наибольшее значение s = 2k. Внося теперь компоненты
напряжения F6.1), F6.2) в неравенства F6.3), F6.5) и выполняя
несложные преобразования, находим:
вДЛОВ tg2ot1>cigp,
Д
sin
302
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VII!
Второе условие, очевидно, выполняется. Из первого же следует,
что
т
F6.6)
Угол ах целесообразно выбрать так, чтобы напряжение а[ было
наибольшим. Формулу F6.1) для а'г можно переписать в виде
Ясно, что следует выбрать наименьшее значение о^, т. е.
F6.8)
я
Т ¦
3. Границы предельной нагрузки для растягиваемой полосы
с круговыми вырезами. Задача о растяжении (в условиях плоской
деформации) полосы, ослабленной круговыми вырезами (рис. 107),
рассматривалась в § 41, где была найдена
верхняя («кинематическая») граница растя-
растягивающей силы
Рк =
+
Рис. 201.
Остановимся на частном случае h = a
при ширине полосы, равной 4а (рис. 201).
Тогда
Рл = 5,55 ak.
Разумеется, для вычисления верхней гра-
границы нагрузки нет необходимости в построе-
построении поля скольжения и согласованного с ним
поля скоростей. Достаточно выбрать любое
кинематически возможное поле скоростей.
Например, в рассматриваемой задаче можно
задать разрывное поле, показанное на рис. 201. Нижняя часть полосы
неподвижна, верхняя скользит вдоль линии разрыва АВ как твердое
тело. Линия АВ проходит по линии скольжения, следовательно, она
наклонена под углом я/4 к растягивающему усилию. Касательное
напряжение вдоль АВ равно пределу текучести k; из условий равно-
равновесия вытекает, что нормальное напряжение имеет такое же значение.
Линию АВ следует провести так, чтобы она имела наименьшую
длину. Соответствующая граница P'k, как легко видеть, будет
несколько хуже Pk, именно:
P'k = 6 ak.
Грубую нижнюю границу легко получить, вписав в полосу глад-
гладкую ленту шириной 2а с одноосным напряжением 2k, тогда Р° = 4ak.
§ 66]
ПРИМЕРЫ НАХОЖДЕНИЯ ПРЕДЕЛЬНОЙ НАГРУЗКИ
303
Как показал Прагер, значительно лучшую оценку можно найти; впи-
вписывая в полосу трапеции, рассмотренные в предыдущем разделе. При
этом угол Р (рис. 202) надлежит выбрать так, чтобы растягивающее
усилие было наибольшим. В заштрихованных зонах напряжения равны
нулю, в областях выше линии CD —
одноосное растяжение о'[. Из чертежа
ясно, что отрезок / = а ( 2 —
"cos E,
P < 4r • Соответствующее растяги-
растягивающее усилие равно
Ps = Ш\ =
sin -r-
F6.9)
Для разыскания максимума Ps
приравниваем нулю производную по
Р и получаем, что р = 26°14'. Тогда
Ps=5,\2 ak.
Для предельной нагрузки можно
взять с погрешностью ± 4°/0 сред-
среднее значение Р^ = 5,33 ak.
4. Трапеция разрывных напря-
напряжений для плоского напряжен-
напряженного состояния. В случае плоского
напряженного состояния формулы
F6.1), F6.2) сохраняются, условия же текучести будут
Именно, по критерию Мизеса (§ 52) имеем:
в
F6.2) в
Рис. 202.
иными.
Внося напряжения по формулам F6.1),
F6.10), F6.12), получаем:
os 26 sin2 6
7 +
cos2
sin2
F6.
.10)
F6.11)
F6.
.12)
неравенства
¦ F6.
F6.
13)
14)
1 cos2a2 j -
Максимальное значение а\, допускаемое условием текучести
Мизеса, соответствует точке со = я/6 на эллипсе (рис. 157);
304 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [гл. VIII
при этом
2 _ _. 1
Внося сюда напряжения по формулам F6.1), легко находим:
ctgpctga1=2;
откуда вытекает, что
cos2 В =:
2 a.
sin at
1 a.
Используя неравенство F6.11), находим:
-pL.)t т.е.
23°.
Для E = 23° неравенство F6.14) удовлетворяется при a2^61°15';
если здесь реализуется знак равенства, то а1 = 49°40'.
5. Нижняя граница предельной нагрузки для растягиваемой
полосы с угловыми вырезами. Рассмотрим задачу о растяжении по-
полосы с угловыми вырезами (рис. 175) в условиях плоского напряженного
состояния. Верхняя граница предельной
нагрузки была найдена в § 56. Вычи-
Вычислим теперь нижнюю границу, исполь-
используя трапеции разрывных напряжений.
Для этого впишем в полосу две тра-
трапеции (пунктир на рис. 203); снизу и
сверху к ним примыкают поля рав-
равномерного одноосного растяжения в"у.
Приб^-^-—Р^67° трапеции лежат
внутри полосы. При этом нагрузка Рг
постоянна и равна
4
Р =
ha*.
F6.15)
Для углов 0 ^ 8 <; 67° это значе-
значение совпадает с верхней границей
E6.8), найденнойХиллом при б<70 32'.
Следовательно, в интервале 0^6^ 67°
формула F6.15) дает точное значение предельной нагрузки.
Для углов б ^ 67° полагаем, что стороны трапеций совпадают
со сторонами вырезов, тогда в формулах F6.1), F6.2) ^=-о—6,
а s — af. Необходимо подобрать значение угла aJt согласующееся
§ 66]
ПРИМЕРЫ НАХОЖДЕНИЯ ПРЕДЕЛЬНОЙ НАГРУЗКИ
305
с неравенством F6.13) и приводящее к максимально возможной
величине а\. Результаты вычислений даны в таблице:
б 70° 75° 80° 85° 90°
Ps/F» 1,152 1,132 1,103 1,058 1,00
Через Р° = 2has обозначена предельная нагрузка для гладкой по-
полосы шириной 2А. Верхняя и нижняя границы для коэффициента
усиления Я*//3* показаны на рис. 204.
Аналогичные построения могут быть про-
проведены для растягиваемой полосы с круговыми
вырезами (рис. 173), для изгибаемых полос,
ослабленных вырезами (рис. 176), и в других
задачах.
1,15-
t
inn
((
V
/
/
/
"Ж 80° 70° Ж 50" 40° 30 20" 10" 0"
Рис. 204.
Рис. 205.
7. Кручение круглого стержня переменного диаметра. Рассмот-
Рассмотрим вопрос о предельном значении момента при скручивании круглого
стержня переменного диаметра (рис. 205). Введем цилиндрическую
систему координат л, ф, z, направив ось z по оси стержня. Как и
при упругом кручении, можно считать, что поперечные сечения
стержня остаются плоскими, радиусы же искривляются. Следова-
Следовательно, составляющие скорости равны
Компоненты скорости деформации при этом равны
д ( v \ . д ( v
Из соотношений Сен-Венана—Мизеса A3.11) вытекает, что
306 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [гЛ. V1I1
Отличные от нуля компоненты напряжения tra, x,.z удовлетво-
удовлетворяют дифференциальному уравнению равновесия
дхг дх „ 2тг,
и условию текучести
ТлФ + Тф2 = А2. F6.18)
Соответствующее поле напряжений в пластической области изу-
изучил В. В. Соколовский [44]. Условие текучести будет удовлетворено,
если положить
где 0 — неизвестный угол наклона ве-ктора касательного напряжения
к оси z. Исключая из приведенных выше соотношений Сен-Венана —
Мизеса множитель X', находим:
|(f)ine = °- <66-19>
Характеристики этого уравнения совпадают с линиями скольже-
скольжения. Дифференциальное уравнение F6.19) имеет очевидное решение
v=Cr, F6.20)
где С — произвольная постоянная. Это решение соответствует вра-
вращению вала или его части как жесткого целого.
Введем плоскость z = const разрыва скорости. Выше и ниже этой
плоскости справедливо решение F6.20) при разных значениях про-
произвольной постоянной. На плоскости разрыва имеем r\rf—>0, x\,.z—> оо.
Из соотношений F6.16) тогда следует, что
^ = °. тм = const = А. F6.21)
Этому решению отвечает крутящий момент
а
~
F6.22)
где а — радиус рассматриваемого сечения.
Построенное решение соответствует кинематически возможному
полю скорости («срез», в плоскости z = const), поэтому М—верхняя
граница предельной нагрузки. Естественно считать, что а — радиус
наименьшего поперечного сечения вала.
С другой стороны, легко построить статически возможное поле
напряжений, не нарушающее условие текучести. Для этого доста-
достаточно вписать в рассматриваемый вал круглый стержень (показанный
пунктиром на рис. 205) постоянного радиуса а с предельным полем
F6.21), а при г > а напряжения полагать равными нулю. Тогда, по
§ 66]
ПРИМЕРЫ НАХОЖДЕНИЯ ПРЕДЕЛЬНОЙ НАГРУЗКИ
30?
статической теореме о предельной нагрузке, М будет также и ниж-
нижней границей. Следовательно, найдено полное решение и М является
точным значением предельного момента для скручиваемого вала пере-
переменного диаметра.
8. Сдвиг и сжатие тонкого слоя. В гл. V (§ 47) изложена пло-
плоская задача Прандтля о сжатии тонкого пластичного слоя между
жесткими шероховатыми плитами. Существенное влияние на течение
слоя оказывает наличие усилия 2Q, сдвигающего плиты (рис. 206).
Ниже приводится статически возможное решение этой задачи. При
отсутствии сдвига верхнюю и нижнюю границы сжимающего усилия
для тонкого пластичного слоя получил Шилд.
И ир
20
Рис. 206.
Если сдвига нет (Q=0), то на контактных плоскостях y = ±h
развиваются максимальные касательные напряжения тх = ± k, где
k — предел текучести при сдвиге. При наличии сдвигающего усилия
2Q на участках y = h, х</ и у =—h, х>1 касательные напря-
напряжения по величине по-прежнему равны k. На остальной же части
касательные напряжения «разгружаются» и по величине меньше k;
допустим, что они соответственно равны klt Ik-^l^k. Нетрудно по-
построить следующие решения уравнений равновесия C1.9) и условия
текучести C1.8), удовлетворяющие заданным граничным условиям
h
для %ху на линиях у = ± я:
хху 1 + к . 1 — к у
~k 2 "¦ 2 ~h
ау _ г 1-х х
Т~~Ь 2~Т
F6.23)
где и = -jt ,
^1, а С — произвольная постоянная. При н=—1
из F6.23) вытекают известные формулы Прандтля D7.1); случай
х=1 соответствует задаче о чистом сдвиге слоя (ах = о\, = 0,
308
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [гЛ. Vttt
Постоянные Сих надлежит определить по условиям статической
эквивалентности. Во-первых, удовлетворим в смысле Сен-Венана
условию отсутствия нормальных напряжений на торце слоя, именно:
h
Отсюда находим:
/->
1
-ft
-?¦ — х>Л — х2 — arcsinx 1.
Далее, условие эквивалентности нормальных напряжений ау уси-
усилию сжатия 2Р дает:
1 х / / \р
Наконец, из условия эквивалентности контактных касательных
напряжений усилию сдвига получаем:
1 + х = 1q
Исключая из этих соотношений С, к, находим условие предель-
предельного равновесия
-q) — aicsin Bq- I).
^ F6.24)
При ^ = 0 отсюда вытекает формула Прандтля D7.3). Легко
d
dp
также видеть, что -j-—<¦ — оо при q
-1.
W
9
0,5
и
\
1
5
Рис.
\
207.
Р
\ —^
ю
На рис. 207 показаны предельные кривые для значений -^=Ю
и -/- = 20. Очевидно, что добавление к сжимающей нагрузке сдви-
сдвига
гающей силы значительно снижает несущую способность слоя.
§ 66)
ПРИМЕРЫ НАХОЖДЕНИЯ ПРЕДЕЛЬНОЙ НАГРУЗКИ
309
Можно показать, что найденное решение дает нижнюю границу для
сжимающего усилия, т.е. Р>Р' (для фиксированного Q).
9. Сжатие цилиндра между шероховатыми плитами. Рассмот-
Рассмотрим сжатие кругового цилиндра (высота 2/г, диаметр 2а) между
параллельными шероховатыми плитами
(рис. 208). На плоскостях контакта ка-
касательные напряжения %rz достигают
1
предела текучести rs= as.
У 3
Введем
безразмерные координаты р = r/a, Z, = z/a,
к — h/a.
Верхняя граница. Примем, что кине-
кинематически возможная радиальная скорость
и' равна
где А — постоянная, a O^p^l—пара-
O^p^l—параметр, характеризующий степень «бочко-
образования». При E = 0 бочкообра-
зование отсутствует. Осевая состав-
составляющая скорости w' находится из уравнения несжимаемости E8.6)
w'=—2A C-
Пусть с—скорость движения плиты, тогда при ? = и w' =—с,
откуда определяется Л=3с/2хC — Р).
Верхняя граница сжимающего усилия находится согласно F4.14)
из соотношения
F6.25)
Интенсивность скоростей деформаций сдвига Н' вычисляется по
выбранному полю скоростей; по симметрии рассмотрена половина
цилиндра ?^0. Выполняя выкладки, получаем:
1 1-Р , 2
Л3и3— Р + 3— р
o-Ppf+T^S
J[A_Pp2L^]- + A.
-^-?-
Здесь введено среднее давление р% = Р^/яа2. Параметр Р выби-
выбирается так, чтобы р' было минимальным при заданном к. На рис. 209
приведены результаты вычислений [185] для цилиндров различной
высоты. Пунктирная линия отвечает элементарному решению при
310
экстремальные Принципы и энергетические Методы [гл. viti
= 0, для которого
Нижняя граница строится значительно труднее, поскольку в дан-
данной задаче статически возможное напряженное состояние текучести
должно удовлетворять сложной системе уравнений и граничных усло-
условий. В цитированной выше рабо-
работе Кобаяши и Томсена [186] при-
приведено построение разрывного
поля напряжений.
10. Изгиб пластин. Энергети-
Энергетический метод очень удобен для
нахождения верхней границы для
предельной нагрузки изгибаемых
пластин различной формы. При
этом необходимо задать кинема-
кинематически возможную форму ско-
скорости прогиба пластины.
В качестве иллюстрации рас-
рассмотрим сначала осесимметричные
пластины (см. § 62). В этом случае кинематически возможный коэф-
коэффициент предельной нагрузки представляется согласно соотношению
F5.2) формулой
ъ h ь
4
6 8 10 12 14 16
Рис. 209.
= тЛ S H'rdrdzj[p{r)w'rdr,
ft
Л S
a -ft
где w'— кинематически возможная скорость прогиба. Используя
формулы F2.2) и условие несжимаемости, нетрудно найти, что интен-
интенсивность возможных скоростей деформаций сдвига равна
И' 9i,.i fYd2a/Vi * (dw'V , \ dw'
). F6.26)
Выполняя интегрирование по z, находим:
ь ь
Ms j Wrdr I f p (r) w'rdr
а а
Пример. Сплошная пластина (а = 0), опертая по краю r = b,
изгибается равномерной нагрузкой р= const. При r = b
•и/= 0; полагая, что поверхность прогиба гладкая, имеем при л = 0
-т- = 0. Этим условиям удовлетворяет, например, функция w' = b2 — г2;
тогда из F6.26) получаем mk = —т4-, следовательно, />* < ~^Г
I д
I напомним, что в точном решении р% ^ 6,5 -и
§ 66]
ПРИМЕРЫ НАХОЖДЕНИЯ ПРЕДЕЛЬНОЙ НАГРУЗКИ
311
Если за w' принять форму прогиба аналогичной упругой пла-
пластины при v = 1/2
, 3
W = 1
где w'o — произвольный множитель, можно значительно улучшить
оценку
Возвращаясь к общему случаю, отметим, что легко найти [зб]
верхнюю границу предельной нагрузки для опертых по периметру
полигональных пластин, изги-
изгибаемых сосредоточенной силой
Р (рис. 210). Можно принять,
что в предельном состоянии
срединная поверхность такой
пластины имеет форму по-
верхности пирамиды с верши-
вершиной О в точке приложения
силы. Вдоль ребер развиваются
шарниры текучести, треуголь-
треугольные области пластины между
ними остаются жесткими. Обо-
Обозначим через w'o— скорость
прогиба под силой, через а>'с —
соответствующую скорость изменения двугранного угла вдоЛь г'-й
шарнирной прямой, через 1{ — длину последней. Согласно F5.2)
кинематически возможная нагрузка Рк определяется из уравнения
мощности
Предельная нагрузка Рк
Вычислим угловую скорость со^; для этого проведем плоскость,
перпендикулярную линии AtO. В единицу времени прогиб точки О
возрастает на малую величину w'0-1, а угол перелома AO-Ji — на
малый угол сй/-1. Легко видеть из приводимого чертежа, что
w'o (I + I) = Bt (ctg a,- + ctg p,),
где а,-, Р,- —углы г'-й шарнирной линии с соседними сторонами пла-
пластины. Итак,
ctgpI-). F6.27)
312 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VIII
Для правильной многоугольной пластинки, нагруженной в центре
из F6.27) получаем:
где п — число сторон многоугольника. Например, для квадратной
пластинки (л = 4) имеем Pk = SMS.
§ 67. Минимальные принципы в деформационной
теории пластичности
В теории упругости большое значение имеют энергетические
методы, основанные на использовании принципа минимума потенци-
потенциальной энергии и принципа Кастильяно. В настоящем параграфе
устанавливаются аналогичные теоремы в деформационной теории
пластичности.
1. Работа внешних сил (обобщение теоремы Клапейрона).
Пусть деформируемое тело занимает объем V, ограниченный поверх-
поверхностью S, на части поверхности SF заданы поверхностные силы Fn
с составляющими ХпЬ на другой части Sa заданы перемещения; со-
состоянию равновесия тела отвечают перемещения и,-. Для простоты
полагаем, что объемные силы отсутствуют.
Компоненты напряжения ст,у удовлетворяют дифференциальным
уравнениям равновесия F4.2) и граничным условиям на Sp F4.3).
Аналогично соотношению F4.6) справедливо уравнение
,y8//dl'> F7.1)
причем поля напряжений <т,-у и перемещений ul7 вообще говоря,
могут быть не связаны между собой.
Доказательство проводится так же, как и для формулы F4.6).
Пусть напряжения и деформации следуют уравнениям деформа-
ционной теории (§ 14), т. е.
в/у = Ф (Оц-обц) + ка6ф F7.2)
или, обратно,
)
Легко видеть, что
F7.4)
Так как е = 3ka, то упругая энергия объемного сжатия ра^на
(У=-|йа2 = |а8. F7.5)
§ 67]
МИНИМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ В ДЕФОРМАЦИОННОЙ ТЕОРИЙ
313
В силу соотношения Г = 2г|)Г имеем tyT2 = -tr-ТГ, следовательно,
<7г78,7=<78+7Т, F7.6)
и работа внешних сил на соответствующих им перемещениях равна
А= J XniUidS = J (сте + ТТ) dV. F7.7)
Очевидно, что сте представляет собой удвоенную упругую энер-
энергию объемного сжатия (рис. 211, с).
Рассмотрим кривую T=g(T)T
(рис. 211,6); работа деформации
формы
а)
изображается заштрихованной пло-
площадью. Далее, dA^=TdT; пусть
работа деформации формы — одно-
однородная функция Г степени т,
тогда 7Т = тА^ и
Теорема Клапейрона. Рассмотрим
упругую среду Гука; для нее
2, т = 2, следовательно,
В)
у
Рис. 211.
т. е. работа внешних сил на соот-
соответствующих им перемещениях равна удвоенной упругой энергии
тела. Эта теорема полезна при вычислении упругого потенциала.
При развитых пластических деформациях можно пренебрегать
упругими деформациями. Тогда для состояния текучести T=TS и
т. е. работа внешних сил на соответствующих им перемещениях
равна работе пластической деформации формы.
2. Принцип минимума полной энергии. Рассмотрим минималь-
минимальные свойства действительного распределения смещений.
Сообщим точкам тела, находящегося в равновесии под дейст-
действием заданных сил и перемещений, бесконечно малые и непрерывные
смещения бм(-, совместимые с граничными условиями (кинематически
возможные смещения); предполагается, что при этом не возникает
разгрузка (точнее, будем рассматривать минимальный принцип для
314 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VIII
соответствующей нелинейно упругой среды). Согласно началу воз-
возможных перемещений сумма работ всех внешних и внутренних сил
на возможных перемещениях около состояния равновесия равна
нулю, т. е.
J аи8ги dV- J Xntbttt dSF = 0. F7.8)
Заметим, что это уравнение можно получить формальным путем —
преобразуя поверхностный интеграл и используя уравнения равнове-
равновесия (аналогично выводу уравнения F4.6)).
В деформационной теории пластичности (см. § 14) имеем:
а,7бе,7=6П,
где П — потенциал работы деформации. Так как внешние силы не
варьируются, то работа внешних сил
6А = 8 J Xniu, dSF
и уравнение F7.8) приводится к форме
б (^lidV— л)=0. F7.9)
Величина внутри круглых скобок называется полной энергией; обо-
обозначим ее через Э, тогда
63=0. F7.10)
Действительная форма равновесия тела отличается от всех воз-
возможных форм тем, что сообщает полной энергии минимальное (см.
ниже) значение.
Вариационное уравнение F7.10) заменяет собой граничные усло-
условия и дифференциальные уравнения равновесия в смещениях B0.2),
обобщающие уравнения Ламе в теории упругости (§ 20).
Действительно,
Ш6е 6e
С помощью формулы Гаусса—Остроградского находим:
\ -г— 6eudK= \ з—ои, cos (и, 1) dS— \ — 5— buidV
и т. д. Внося эти выражения в уравнение F7.9), получаем:
[
щ
cos {п' °] б"^=а F7-П)
На части поверхности Sa перемещения заданы, поэтому на Sa бы,- = 0; внутри
тела и на поверхности Sp вариации биг- произвольны, и из F7.11) вытекают
дифференциальные уравнения равновесия в смещениях B0.2) и соответствую-
I] ] i 1 ] г ничные условия на Sp.
§ 67] МИНИМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ В ДЕФОРМАЦИОННОЙ ТЕОРИИ 315
Рассмотрим частные случаи состояний среды — упругое, теку-
текучести и упрочнения.
Упругая среда Гука характеризуется тем, что
При условии независимости внешних сил от перемещений полная
энергия упругой системы получает минимальное значение.
Это нетрудно показать, вычисляя вторую вариацию потенциальной энер-
энергии; так как здесь П—однородная квадратичная положительная форма ком-
компонент деформации, то ее вторая вариация будет той же самой квадратичной
формой от вариаций компонент деформации бе/,-, умноженной на^2, следова-
следовательно,
62П = 62f/ + ба -^- Г2 >0,
причем
64/= !(&)«& О,
62 -|- r2 = G 2 бе,7 6е,-уЗэ:0
Неотрицательную квадратичную форму вариаций деформаций будем
обозначать через Г2 Fs,y). Итак, 82П > 0, но тогда и 63Э > 0.
В состоянии текучести приращение потенциала работы деформа-
деформации равно
и основное вариационное уравнение принимает вид
o- F7Л2)
При прежнем условии независимости внешних сил от перемещений
в этом случае выполняется лишь необходимое условие минимума
для действительной формы равновесия.
В самом деле,
бг = 1; б (Г2), б2г = у | г2 (б8,у) - JL [б (Г2)р
причем б2?/ ^ 0; с другой стороны,
бг = 1; б (Г2), б2г =
Величина внутри фигурных скобок не отрицательна; действительно,
Г2 = | (Y2 + y2 + y2)>
и после простых преобразований находим:
0
316 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VIII
т. е. 62Г;э=0. Так как rs > О, Г > 0, то 82Пзэ0, ибо выражение внутри
фигуриых скобок может обратиться в нуль при бух, бу21 буз> отличных от
нуля.
Следует заметить, что если в теле имеются упругие зоны, то
в них 62П > 0 и тогда 623 > 0.
Для упрочняющейся среды потенциал деформации выражается
формулой A4.25), тогда
6 {[(и+ ^(Г)ГЛЛ dV— л)=0.
При том же условии независимости внешних сил от перемещений
энергия системы в состоянии действительного равновесия достигает
минимума.
Действительно, вторая вариация
Далее,
82 Г ТйГ =
Внося сюда 5Т согласно уравнению T=g(T)T, получаем:
б2 ^ g (Г) ГЖ = ^, (8ГJ + Т62Г.
Второе слагаемое в правой части ие может быть отрицательным; предположим
теперь, что'[при нарастании деформации сдвига напряжение сдвига увеличи-
вается (рис. 212). Это условие, харак-
J теризующее «устойчивость» материала,
выполняется, по-видимому, для всех твер-
твердых тел (см. § 18). Тогда
^ > 0, F7.13)
и 62П является положительно опреде-
определенной квадратичной формой вариаций
бе,у. В этом нетрудно убедиться, ана-
анализируя условия одновременного обра-
обращения в нуль величин 62U,[6 (Г2) и 62Г.
Рассмотрим случай смешанной
задачи. Пусть в состоянии равно-
Рис. 212. весия объем V состоит из разде-
разделенных поверхностью 2 частей V1
н V2, в каждой из которых деформация следует своему закону,
характерному для состояния материала этой части тела; соответст-
соответствующие выражения потенциала работы деформации будут Щ и П2.
На поверхности 2 состояния непрерывно переходят друг в друга,
а величины Г и Г постоянны (§ 21). При варьировании деформиро-
деформированного состояния поверхность 2 перейдет, вообще говоря, в беско-
бесконечно близкую поверхность 2', которая будет разделять близкие
§ 67] МИНИМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ В ДЕФОРМАЦИОННОЙ ТЕОРИИ 317
к прежним объемы V[ и V'2. Изменение поверхности раздела 2
зависит лишь от приращения величины Г; на поверхностях 2 и 2'
Г должно иметь одно и то же постоянное значение.
Рассмотрим тройной интеграл
/ (X) = С С С F (x, у, г; X) dxdydz,
D
распространенный на область D, ограниченную некоторой поверхностью 2,
изменяющейся вместе с параметром X. Вариация этого интеграла (см. Гурса,
Курс математического анализа, т. I, часть 1, дополнение) равна
б/ (X) = J ^ 6F dxdydz + ^ F6ndS,
D s
где бл—бесконечно малое смещение точки поверхности 2 в направлении ее
внешней нормали при варьировании X.
В нашем случае потенциал работы деформации тела имеет вид
и предыдущую формулу необходимо применять дважды — к объему Vx
и объему V2. Вследствие непрерывности П во всем объеме тела
соответствующие интегралы по поверхности 2 сократятся, будучи
равными по величине и обратными по знаку. Поэтому для смешан-
смешанной задачи при условии непрерывности на 2 смещений, компонент
деформации и напряжения получаем:
2dK2-^j=0, F7.14)
т. е. действительная форма равновесия тела, части которого нахо-
находятся в различных состояниях, так же как и в простом случае,
характеризуется минимумом полной энергии.
3. Принцип минимума дополнительной работы. Выше рассмат-
рассматривались минимальные свойства действительных перемещений. Обра-
Обратимся теперь к выяснению минимальных свойств действительного
распределения напряжений (при прежнем допущении об отсутствии
разгрузки).
Уравнение статически возможных изменений напряженного состоя-
состояния. Сравним действительное напряженное состояние (fy, возникаю-
возникающее в теле под действием заданных сил и перемещений, со всеми
смежными мыслимыми напряженными состояниями (fy + бст/у, удовле-
удовлетворяющими уравнениям статики внутри тела
и на части поверхности SF
(oiy+ 6atJ) rij = Xni + bXut. F7.16)
318 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VIII
Такие напряженные состояния условимся называть статически воз-
возможными.
Ясно, что вариации напряжений бст;/- и вариации внешних сил
bXni образуют уравновешивающуюся систему. Следовательно, работа
этих внутренних и внешних сил на всяком возможном для тела
перемещении должна обратиться в нуль. Возьмем в качестве воз-
возможных перемещений действительные перемещения и,-, тогда
[zifiaijdV=\uibXnidS. F7.17)
При этом на SF следует считать заданными &Xni; на Sa эти
вариации вычисляются по вариациям напряжений согласно F7.16).
Важное значение имеет более узкий класс вариаций напряжен-
напряженного состояния, характеризуемый отсутствием работы вариаций
внешних сил на действительных перемещениях тела:
^i8XnidS = 0. F7.18)
При этом условии
<\je!/8al/dV=0. F7.19)
Условие F7.18) выполняется, например, если на всей поверхности
тела заданы внешние силы, тогда bXni = 0. Могут быть заданы
только некоторые из компонент внешнего усилия, а для остальных
соответствующие смещения равны нулю.
При выводе вариационного уравнения F7.19) совершенно не
затрагивались механические свойства сплошной среды, использована
лишь ее непрерывность. Действительному напряженному состоянию
соответствуют деформации, для которых выполняются условия сов-
совместности Сен-Венана. Можно показать, что условия совместности
Сен-Венана вытекают из уравнения F7.19). Следовательно, вариа-
вариационное уравнение F7.19) является энергетической формулировкой
условия неразрывности деформаций (доказательство имеется в курсе
Л. С. Лейбензона [20]).
Понятие дополнительной работы. Рассмотрим подробнее выражение
элементарной работы вариаций напряжений на действительных пере-
перемещениях; заменяя компоненты деформации по формулам Генки F7.2),
находим после ряда простых преобразований
Так как для рассматриваемых нами сред выполняется одно из условий
г|) = const = -7^=7- (упругая среда Гука),
7=const=T4 (состояние текучести),
1|з = -к- ~g(T) (состояние упрочнения),
§ 67] МИНИМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ В ДЕФОРМАЦИОННОЙ ТЕОРИИ 319
то справа будет полный дифференциал некоторой функции напряже-
напряжений R:
F7.20)
Для упругой среды Гука
для состояния упрочнения
для состояния текучести
1 .
F7.21)
Условимся называть R плотностью дополнительной работы или
просто дополнительной работой. Для выяснения этого понятия отбросим
Г
Рис. 213.
на время слагаемое 6U, относящееся к изменению объема, протека-
протекающему во всех случаях по одному и тому же закону;, тогда в силу
соотношения Г = 2г|O" имеем г):
Рассмотрим разные случаи кривой T — g(T)T (рис. 213). Работа
деформации изображается площадью, заштрихованной вертикальными
линиями, дополнительная работа — площадью, заштрихованной гори-
горизонтальными линиями.
В случае упругой среды Гука эти площади равны по величине,
/?ф = Лф, и здесь можно не различать понятий работы деформации
и дополнительной работы; в других случаях это недопустимо. Очевидно,
что при заданной зависимости T = g (Г) Г дополнительная работа /?ф
будет определенной функцией работы деформации Лф.
Напомним, что работа деформации формы А$= \ TdT.
320 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VIII
Обобщение формул Кастильяно. Так как
то, сравнивая это соотношение с формулой F7.20), находим зави-
зависимости
е<у=-ж^> F7-22)
заменяющие в случае рассматриваемых нелинейных связей между
напряжениями и деформациями известные формулы Кастильяно. Оче-
Очевидно, что формулы Генки F7.2) могут быть представлены в форме
F7.22)
Начало взаимности. Из соотношений F7.22) вытекает необходи-
необходимость выполнения 15 условий
dekl
даы бац '
которые следует рассматривать как естественное обобщение теоремы
взаимности на случай рассматриваемых нелинейных зависимостей
между напряжениями и деформациями [133].
Обобщение"jеоремыК.астильяно: Распространим теорему Кастильяно
на случай нелинейных зависимостей между напряжениями и деформа-
деформациями. Пусть Pk (k = 1, 2, ...) — приложенные к телу сосредоточен-
сосредоточенные силы; ak, pft, ук— соответствующие направляющие косинуси
векторов этих сил; и1к, uik, изк— составляющие смещения точек
приложения сил Рк. Тогда, исходя из общего вариационного уравне-
уравнения F7.17) и полагая, что одна из сил Рк получает бесконечно
малое приращение &Рк, а опоры неподвижны, находим:
8R = (и1как + и2к$к + и3кУк) 6Рк, F7.23)
где через R обозначена дополнительная работа всего тела
R = J RdV.
Выражение внутри круглых скобок в F7.23) есть перемещение точки
приложения силы по линии действия этой силы. Таким образом,
дП Д*. F7.24)
т. е. частная производная дополнительной работы по величине любой
приложенной силы Рк равна перемещению точки приложения этой
силы по направлению действия последней. Этот результат справед-
справедлив и в отношении обобщенных сил и перемещений.
§ 67] МИНИМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ В ДЕФОРМАЦИОННОЙ ТЕОРИИ 321
В самом деле, если приложенные к телу силы пропорциональны некоторой
величине Q, то ясно, что
-QQ = 2J-Ulkak + «2?Pfc + «3*Yfc) — Я- F7.25)
Величины Q и q и есть обобщенные сила и перемещение.
В случае упругой среды Гука /? = П и формула F7.25) приводит к теореме
Кастильяно.
Пусть напряженное состояние тела зависит от т лишних неизвестных
Хг, Х2, . . ., Хт. С подобными механическими системами мы сталки-
сталкиваемся при расчете балок, стержневых систем и т. д. В этом случае
условие минимальности дополнительной работы R приводит к системе
т уравнений
7ГГ- = °> •¦•> Т?- = 0- <67-26)
Пример. Обобщенная теорема Кастильяно удобна для расчета простейших
тел—стержневых^ решеток, балок и рам. Рассмотрим в качестве примера ре-
решетку, состоящую из трех одинаковых стержней (длина /, площадь сечения F,
рис. 35). При растяжении материал следует закону
где Вх — константа. Сравнивая эту формулу с формулами Генки F7.2), находим:
Будем считать вертикальный стержень лишним, пусть X—усилие в нем. Легко
находим:
Дополнительная работа решетки равна
Составляя уравнение-54^=0, получаем, что У~2(Р—Х) = ±Х. Действи-
тельному состоянию равновесия соответствует минимум дополнительной работы
всего тела; легко видеть, что минимуму R отвечает знак плюс. Следовательно,
Принцип минимума дополнительной работы. Вариационное урав-
уравнение F7.19) для рассматриваемой среды принимает вид
6/? = 0. F7.27)
Обратимся к частным случаям состояний среды — упругому, теку-
текучести и упрочнения.
11 Л. М. Качанов
322 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VIII
Упругая среда Гука. Здесь /? = П и вариационное уравнение F7.27)
получает вид
^^V=0, F7.28)
известный под именем начала Кастильяно. Действительное напряжен-
напряженное состояние упругого тела в отличие от статически возможных
напряженных состояний, отвечающих той же внешней нагрузке, со-
сообщает упругой потенциальной энергии тела минимальное значение.
В том, что достигается минимум потенциальной энергии, нетрудно убедиться,
исследуя знак ее второй вариации
Л^-тА> О,
причем
Неотрицательную квадратичную форму вариаций напряжений будем обозна-
обозначать через 2Т2 Fа,у).
В состоянии текучести 7"= const и вариационное уравнение F7.27)
принимает вид
$0, F7.29)
т. е. действительное напряженное состояние отличается от всех смеж-
смежных статически возможных напряженных состояний, находящихся в фазе
текучести, тем, что только оно сообщает экстремальное значение
упругой потенциальной энергии изменения объема тела.
Допустим, что материал несжимаем; тогда ?/=0, и мы приходим
к выводу: действительные смещения точек несжимаемой среды
в состоянии текучести таковы, что бесконечно малые вариации нап-
напряжений, лежащие внутри фазы текучести, не производят на этих
смещениях никакой дополнительной работы.
Для состояния упрочнения вариационное уравнение F7.27) при-
принимает вид
^[^~\V=0, F7.30)
т. е. напряжения, отвечающие действительному состоянию равновесия,
таковы, что дополнительная работа всего тела R получает мини-
минимальное значение по сравнению со всеми ее соседними значениями,
совместимыми с условиями равновесия.
Покажем, что реализуется минимум R. Вторая вариация
§ 68] МЕТОД РИТЦА. ПРИМЕР—УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ КРУЧЕНИЕ 323
Мы знаем, что 62?/ S= 0. Далее,
б2
причем, подобно случаю, рассмотренному на стр. 315, 62Т'^О и
62Я = 62У + -^г FГJ + Гб2Г.
Легко видеть, что если
¦^ > 0, F7.31)
то б2/? > 0. Условие F7.31), так же как и условие F7.13), выполняется, по-
видимому, для реальных материалов всегда.
Если части тела Vlt V2, . . ., находятся в различных состояниях
то приращения дополнительной работы имеют соответственно выра
жения 8Rlt 6/?2, . . . Так как R изменяется непрерывно при переходе
через поверхности Бх, Б2 разделяющие области различного
состояния, причем на каждой из поверхностей Б1; Б2, .. . интенсив-
интенсивность касательных напряжений постоянна, то так же, как и раньше,
нетрудно убедиться в том, что для смешанной задачи
Заметим, что расположение поверхностей раздела Е1( Б2, ... соот-
соответствует минимуму дополнительной работы всего тела.
Аналогично устанавливается обобщение формулы F7.24) в случае
приложенных к телу сосредоточенных сил:
4. Заключительные замечания. Приведенные энергетические теоремы де-
деформационной теории даны в работе [118]; соответствующие уравнения для
неравномерно нагретого тела изложены в [1в]. Важный для строительной меха-
механики случай конечного числа обобщенных координат изучен А. И. Лурье [188].
В статье Филиппса [180] минимальные принципы обобщены на случай больших
пластических деформаций. В работе Хилла [1в6] показано, что для действи-
действительного состояния достигается абсолютный минимум полной энергии и допол-
дополнительной работы.
§ 68. Метод Ритца. Пример — упруго-пластическое кручение
1. Метод Ритца. Вариационные уравнения деформационной теории,
рассмотренные выше, открывают возможность построения приближен-
приближенных решений прямыми методами. Наиболее естественным на первый
взгляд представляется непосредственное применение метода Ритца
в обычной его форме.
11*
324 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VIII
Рассмотрим для определенности вариационное уравнение F7.10),
характеризующее минимальные свойства перемещений и{ (г= 1, 2, 3).
Пусть и,0 — тройка функций, удовлетворяющих заданным условиям
на части поверхности Sa, a uis E=1, 2, ..., п) — последователь-
последовательность координатных функций, удовлетворяющих нулевым условиям
на Sa. Ищем приближенное решение задачи минимума полной энергии
в форме
где cis — коэффициенты Ритца. Теперь можно вычислить выражение
полной энергии, оно будет функцией коэффициентов cik. Последние
определяются из условий минимума полной энергии
' lk9 = 0- F8)
Для упругого тела полная энергия будет квадратичной формой
коэффициентов cik; тогда условия F8.2) образуют систему линейных
неоднородных алгебраических уравнений относительно cik.
При пластическом деформировании полная энергия уже не будет
квадратичной формой cik и условия F8.2) приводят к нелинейной
системе уравнений для определения коэффициентов Ритца. Составле-
Составление и решение этой системы даже при небольшом п связано с боль-
большими вычислительными трудностями.
В связи с этим широкое распространение получила одночленная
аппроксимация (при нулевых условиях на Su):
где за и!г обычно принимается решение соответствующей линейной
(упругой) задачи. В такой форме этот прием используется для при-
приближенного решения различных инженерных задач. Нужно помнить,
однако, о возможной значительной погрешности подобных решений.
С увеличением числа координатных функций трудности составле-
составления системы Ритца резко возрастают. Если нелинейная система Ритца
так или иначе получена, ее необходимо решить, что в свою очередь
связано с большими трудностями и требует использования различных
численных методов.
Метод Ритца нетрудно сформулировать применительно и к задаче
минимизации дополнительной работы R.
2. Модифицированный метод Ритца. Трудности непосредствен-
непосредственного применения метода Ритца побуждают к поискам различных его
модификаций. Ниже излагается одна из таких модификаций [123],
которая может быть использована при разыскании минимума и в ряде
других нелинейных проблем. Этот способ позволяет преодолевать
трудности, связанные с неквадратичностью функционалов, и строить
решение прямыми методами с необходимой точностью.
§ 68] МЕТОД РИТЦА. ПРИМЕР — УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ КРУЧЕНИЕ 325
Рассмотрим, например, применение этого метода к разысканию
минимума дополнительной работы. Пусть oi]0— частное решение
уравнений равновесия F4.2), удовлетворяющее заданным условиям
на части поверхности SF, a aijs, 5=1,2, ...,п — набор частных
решений уравнений равновесия F4.2) при нулевых граничных усло-
условиях на Sp. Строим решение задачи минимума дополнительной работы
S [^+<\'g(T)TdT~\dV=--min F8.3)
последовательными приближениями в форме
где с<г) — подлежащие определению коэффициенты.
В нулевом приближении aW полагаем g(T) = yr- , где Go— модуль
сдвига (или некоторое значение, характеризующее наклон прямой,
аппроксимирующей кривую деформации в начальном участке). Нулевое
приближение соответствует упругому телу и определяется из условия
минимума квадратичного функционала
Коэффициенты нулевого приближения с?0) находятся из системы
линейных неоднородных алгебраических уравнений. Вычисляя по най-
найденным напряжениям off интенсивность Тт = (-^ sfflsff ] , пола-
полагаем G1 = g(Tm/G0) и определяем следующее («первое») приближе-
приближение из условия минимума квадратичного функционала:
Здесь «секущий модуль» G1 — известная функция координат. При
описанном способе выбора Gx интенсивность касательных напряже-
напряжений Т, соответствующая по линейному закону T=G0T некоторому
значению интенсивности деформаций сдвига Г, «возвращается» в сле-
следующем приближении на кривую деформирования Г=^(Г)Г (рис. 214).
2^@)
Очевидно, что Gt = Go -^щ-.
Этот процесс продолжается дальше до достижения необходимой
точности. Для г-го приближения получаем:
326 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VII
причем
где
Jr~ ur-l f{r-i) '
j{r-l)
F8.5)
Наличие переменного модуля G.r в r-м приближении лишь не-
несколько усложняет вычисления квадратур, само же r-е приближение
имеет такой же вид, что и для
упругого тела. В каждом прибли-
приближении коэффициенты с?л) опреде-
определяются из линейной системы алге-
алгебраических уравнений.
В представлении F8.4) целесо-
целесообразно удерживать число членов,
обеспечивающее необходимую точ-
точность решения упругой задачи.
Разумеется, при фиксированном п
вычисление высоких приближений не
имеет большого смысла. Квадратуры
удобно находить численно. При ,
определении секущего модуля Gr
можно исходить непосредственно из
опытной кривой деформирования
«Г—Г». Сохранение той же формы
решения в каждом приближении
(изменяются лишь коэффициенты с)р) значительно упрощает вычи-
вычисления и, в отличие от других методов последовательных прибли-
приближений, исключает громоздкость результатов.
Аналогичный метод применим и для разыскания минимума полной
энергии F7.10). В этом случае решение задачи ищем последова-
последовательными приближениями в форме
2
s=l
где ui0 — удовлетворяют заданным условиям на Sa, uis обращаются
в нуль на Su, а с? — произвольные постоянные. В нулевом прибли-
приближении полагаем g(T) = const = Go. В r-м приближении ?"(Г) =
-1))
Возможны другие варианты построения приближений (см.
обзор [вв]), а также аналогичная модификация метода Галеркина.
Изложенным методом можно решить практически такие упруго-
пластические задачи, для которых в упругом состоянии имеется
решение методом Ритцз.
§ 68] МЕТОД РИТЦА. ПРИМЕР — УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ КРУЧЕНИЕ 327
3. Пример — упруго-пластическое кручение стержня квадрат-
квадратного сечеиия (длина стороны 2а). Пусть зависимость между Т и
Г характеризуется линейным упрочнением (рис. 215)
ч
О0Г
при Г < 0,0025,
A9.4 + 236Г) кн/см2
при
0,0025.
F8.6)
Модуль сдвига G0 = 7,85-103 кн/см2. Приведенная зависимость
соответствует поведению ни-
нн
30
20
10
О
0,01
Рис. 215.
0}02 Г
келевой стали.
В § 30 было выведено диф-
дифференциальное уравнение скру-
скручиваемого упрочняющегося
стержня. Вариационное урав-
уравнение для функции напряже-
напряжений ^(здесь сохраняются обоз-
обозначения § 30) можно получить
из общего вариационного урав-
уравнения F7.17). Работа вариа-
вариаций поверхностных сил на бо-
боковой поверхности и закреплен-
закрепленном основании z = 0 равна нулю; на свободном
z = l имеем их = — coy/, иу = шх1, тогда
Г ufiXtdS = со/ Г Г ( — у A 6F — х ^- 8F) dxdy =
= - со/ J j [A {X8F) + A (ySF) j dxdy + 2co/ JJ
Первый интеграл в правой части преобразуется в интеграл по
контуру сечения и равен нулю, так как на контуре 6.F= 0. Тогда
вариационное уравнение F7.17) принимает вид
же основании
1'
И \
о о L.o
1
— 2aaF dZ,dr\ = 0,
J
F8.7)
где введены безразмерные координаты
сечения F=0.
= лг/а, х\=у/а. На контуре
Для упругого стержня g(K) = const = ^- и задача становится
линейной.
Представим вариационное уравнение F8.7) в виде
F8.8)
328 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [гЛ. VII!
и будем разыскивать решение в форме
P(rt — r<nF Л- rlr)F
где clp, of — произвольные постоянные, а
F8.9)
Решение упругой задачи в этом же приближении приводит к сле-
следующим результатам: крутящий момент М — 0,1404G0co BaL лишь
на 0,15% меньше точного значения; максимальное касательное на-
напряжение, достигаемое в середине стороны квадрата, равно
ттах= l,40G0aco вместо точного значения l,35Goaa>. При этом квад-
квадратуры легко находятся и коэффи-
коэффициенты равны
кн
см2,
30
20
10
О
5 259
8 277
5 105
0,1 0,20,30,4 0.5 0,80,70,80^10 $
Рис. 216.
При пластическом кручении
распределение напряжений более
сглаженное, чем при упругом, поэтому можно думать, что прибли-
приближение в форме F8.9) в общем не должно быть хуже, чем для
упругого стержня.
Секущий модуль Gr вычислялся по формуле F8.5), причем ин-
интенсивность 7У~и определялась согласно F8.6). Расчет проведен для
случая асо —0,015, причем интегралы
находились численным методом Гаусса.
В нулевом приближении (г = 0) коэф-
коэффициенты с[0>, 40) лишь в шестом знаке
после запятой отличаются от точных
значений, приведенных выше. С целью
проследить устойчивость результатов
вычислено 10 приближений; значения
коэффициентов (в кн/см2) даны в
таблице.
Используя полученные значения
постоянных (практически можно ограни-
ограничиться тремя-четырьмя приближениями),
вычисляем компоненты напряжения и
интенсивность Т. На рис. 216 при-
приведен график касательного напряжения в сечении у = 0; отчетливо вид-
видны отклонения от линейного закона. По условию T=^xs= 19,6 кн/см2
найдены границы пластических зон, заштрихованных на рис. 217.
Подробности вычислений можно найти в работе автора, см.[вв].
Рис. 217.
§ 69]
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ В ТЕОРИИ ТЕЧЕНИЯ
329
Коэффициенты с(,г\
Г
0
1
2
3
4
e^'-1,02-10-'
0,070125
0,018023
0,017872
0,017728
0,017554
cBr)-1,02-10- =
0,014217
— 0,003382
— 0,003765
— 0,003802
— 0,003641
г
5
6
7
8
9 ¦
с[п- 1,02- 10- =
0,017551
0,017543
0,017461
0,017469
0,017400
4"-l,02- I0-»
— 0,003740
— 0,003889
— 0,003757
— 0,003663
— 0,003693
* § 69. Экстремальные принципы
в теории пластического течения
Под действием заданных поверхностных нагрузок Fn на SF и
смещений и на Sa в теле возникает распределение напряжений и
деформаций 0,-у, е,у, которое условимся называть, как и ранее,
действительным и будем полагать известным.
Пусть, далее, поверхностные нагрузки получают приращение dFn
на SF, а смещения — приращение йи на Su; этим приращениям соот-
соответствуют приращения действительного распределения напряжений
и деформаций.
В теории пластического течения устанавливаются экстремальные
свойства действительных приращений деформации (напряжения) по
отношению к возможным приращениям.
1. Минимальные свойства действительных приращений дефор-
деформации. Пусть du'i — любые непрерывные приращения смещений,
принимающие на поверхности Sa заданные значения. Этим кинема-
кинематически возможным смещениям в согласии с уравнениями C.8)
отвечают приращения компонент деформации de'^-, а по уравнениям
A3.7) — некоторые приращения компонент напряжения do'in которые,
вообще говоря, не будут удовлетворять уравнениям равновесия.
Используя то обстоятельство, что действительные приращения
dO;j удовлетворяют уравнениям равновесия, нетрудно получить обыч-
обычными приемами уравнение х)
deaden dV = ) dXnidu'idS.
Здесь поля приращений напряжений </(Т,у и перемещений du'it
вообще говоря, не связаны между собой. Если dut — приращение
действительного перемещения, то
X^du-idS. F9.1)
х) В последующем предполагается непрерывность приращений компонент
напряжения и деформации; это ограничение может быть снято, однако здесь
мы на этом не останавливаемся.
330 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VIII
Вычитая из верхнего уравнения нижнее, получаем:
J da!f (deii-deij) dV=-- J dXni {du'.-du,) dSF. F9.2)
Легко убедиться в справедливости тождества
= (do'ifdea—dOtjdey) — [de't, (da'tl — datJ) + dolf (deij~de'li)] F9.3)
Рассмотрим теперь выражение внутри квадратных скобок, причем
используем формулы A3.7) для состояния текучести и формулы A3.14)
для упрочняющегося материала; соответственно получаем:
, f [(x'dk' — xdX)dT'2 + xdl(dTz—dT'2)],
\ [(x'dT2 xdT*) dT'2 + xdT* (d72dT'
Множители x, x' имеют следующий смысл: множитель к, относя-
относящийся к действительным приращениям, равен единице, если про-
происходит нагружение, х — 0 при разгрузке и нейтральных изменениях;
аналогичные значения принимает к' по отношению к возможным
приращениям, которые также в согласии с уравнениями теории
пластического течения вызывают «нагружение» и «разгрузку».
В выписанных выше равенствах первые два члена в правой
части положительны; они обращаются в нуль только при одновре-
одновременном выполнении равенств ds'ij = ds^, do' = da. Покажем, что
величины внутри следующих (прямых) скобок неотрицательны.
Если происходит разгрузка, то х = 0, х'=0 и упомянутая,
величина равна нулю. Если осуществляется нагружение (х=1,
к'— I), то первая скобка (для материала с площадкой текучести)
равна нулю, так как dT^ = O, dT'2 = 0; во втором же случае эта
скобка неотрицательна, будучи равной (dT'2 — rf72J^0.
Если и = 1, х'=0, то первая скобка равна —2dkdT'2^0,
а вторая равна (dT*J — 2dT*dT'2^0, ибо йГ2<0, <А>0. На-
Наконец, при х = 0, х'=1 первая скобка равна нулю, вторая неот-
неотрицательна (d Г'2J ^5=0. Таким образом.
i dOijde^ > doi^dB'v—de,,) F9.4)
всякий раз, когда возможные приращения отличаются от действи-
действительных. Следовательно, исключая упомянутый случай совпадения,
получаем из F9.2)
i- J do'^dE'ijdV-^ dXnldu'(dSF. F9.5)
ЗАДАЧИ к ГЛАВЕ Vltl <Ш
Выражение (функционал) в правой части неравенства будем называть
энергией приращений 9(du'[).
Действительные приращения смещений du; сообщают энергии
приращений Э (du't) абсолютный минимум по отношению ко всем
кинематически возможным приращениям.
2. Максимальные сзойства действительных приращения на-
напряжения. Сопоставим теперь с действительными приращениями
напряжения rfa,-y- статически возможные приращения йа'ц (удовлет-
(удовлетворяющие уравнениям равновесия внутри тела и на части поверх-
поверхности SF).
Пусть й&'ц — приращения компонент деформации (по соотноше-
соотношениям теории пластического течения) для рассматриваемых статически
возможных приращений da'^; очевидно, что rfej/ не будут, вообще
говоря, удовлетворять условиям неразрывности деформации. Не-
Нетрудно, используя уравновешенность приращений do}/, da^-, получить
прежними приемами уравнение
ia'tj — dotj) deudV= \ (dX'ni—dXni) dai dSu. F9.6)
Рассмотрим тождество
== {do'ijdz'n — doijdeij) — [da't, (dz'n — rfe,7) + de,7 (dcr,7— rfoi/)].
Рассуждения, аналогичные приведенным в предыдущем разделе,
показывают, что величина внутри прямой скобки неотрицательна;
она обращается в нуль, если da'ij = do^-. Но тогда, исключая этот
случай совпадения приращений, имеем неравенство (обозначим правую
часть неравенства через Э {da'tj)):
- Г daude,,dV+ f dXnidutdSa >
— \\ do't,dEi,dV+ J dX'nidutdSu. F9.7)
2
Действительные приращения напряжений сообщают абсолютный
максимум энергии приращений Э (da'ij) no отношению ко всем стати-
статически возможным приращениям напряжений.
Экстремальные принципы теории пластического течения сформулированы
Ходжем и Прагером, Гринбергом [181]. Различные обобщения содержатся
в работах Хилла [54], Ямамото [175]. и др. (см. обзор [68]).
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ VIII
1. Вывести уравнения принципов минимума полной энергии и дополни-
дополнительной работы (§ 67) при наличии объемных сил.
2. При неравномерной температуре тела 0 уравнения деформационной
теории имеют вид
где a—коэффициент линейного расширения; соотношение A2.2) сохраняется.
332 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ [ГЛ. VIII
Вывести для этого случая уравнения принципов минимума полной энергии
и дополнительной работы.
Показать, что в случае неравномерного нагрева задача определения пере-
перемещений и; сводится к «обычной» изотермической задаче путем добавления
к фактическим объемным силам рХ,- фиктивной объемной силы г grad 0,
/v
а к заданным поверхностным нагрузкам Хп;—фиктивного нормального рас-
растяжения -г-0 (на части поверхности SF).
К
3. Пластина с одинаковыми круговыми отверстиями (диаметр d), распо-
расположенными в шахматном порядке (шаг /), растягивается равномерно в направ-
направлениях х, у. Вычислить статически возможную нагрузку ps (статически
возможное поле составить из квадратных областей «гидростатического» рас-
растяжения и прямоугольных областей одноосного растяжения).
Ответ. Д$ = ( 1 — ~г
4. Бесконечная пластина, ослабленная одним рядом (по оси х) равно-
равноотстоящих (шаг /) друг от друга отверстий (диаметр d), растягивается в на-
направлении у. Указать простейшую нижнюю границу предельной нагрузки.
Ответ. ps = [ 1 r)°s (P—сРеДнее напряжение).
5. Найти в той же задаче верхнюю границу, принимая, что по ослаблен-
ослабленному сечению (по оси х) образуется шейка.
2 / d \
Ответ. pk = —==z 1 г) os.
6. Найти в той же задаче верхнюю границу, используя решение § 56
(см. рис. 173).
7. Получить из формулы F6.27) верхнюю границу предельной нагрузки
для круглой шарнирно опертой пластины, загруженной в центре.
Ответ. Рк — 2лМ3.
8. Круговая шарнирно опертая пластинка радиуса b эксцентрично
(а—расстояние от центра) загружена сосредоточенной силой. Найти верхнюю
границу, принимая для прогиба форму поверхности конуса с вершиной
в точке приложения нагрузки.
Ответ. Pk = 2nMs —.
9. Найти дополнительную работу для изгибаемой балки .при степенной
зависимости между напряжением и деформацией (см. задачу 3, гл. III).
/ ¦ , i
М
Ответ. R=\ -г г^—dx.
и
10. При тех же условиях вывести вариационное уравнение прогиба
балки.
Ответ.
1-<7(*)о]
dx =
Глава IX
ТЕОРИЯ ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТИ
§ 70. О поведении упруго-пластических тел
при переменных нагрузках
1. Переменные нагрузки. В рассмотренных выше задачах пла-
пластического течения подразумевалось однократное нагружение. Однако
машины и сооружения нередко испытывают воздействие переменных
нагрузок и температур. Если тело деформируется упруго, то при
переменных нагрузках прочность определяется усталостными ха-
характеристиками материала; разрушение наступает после большого
числа циклов. Если же тело испытывает упруго-пластическую де-
деформацию, то при нагрузке, меньшей предельной, возможно дости-
достижение опасного состояния при сравнительно малом числе циклов.
При этом следует различать два случая.
1. Разрушение наступает вследствие чередования пластических
деформаций разного знака (например, после пластического растя-
растяжения происходит пластическое сжатие и т. д.). Это — так назы-
называемая знакопеременная пластичность (пластическая или малоцикло-
малоцикловая усталость).
2. Пластические деформации не меняют знака, но нарастают
с каждым циклом (прогрессирующая деформация, прогрессирующее
разрушение). Это приводит к недопустимому накоплению пластиче-
пластических деформаций.
2. Знакопеременная пластичность. В качестве примера воз-
возникновения знакопеременной пластичности рассмотрим упруго-пла-
упруго-пластическое состояние полого шара под действием внутреннего
давления (§ 25) при условии, что последнее изменяется по схеме
0—>-р—^0—>-р ... При первом нагружении 0—ур в шаре возни-
возникает зона пластической деформации (а^Сг^Сс). После разгрузки
р—^0 остаточные напряжения описываются формулами B5.12).
График остаточного напряжения а? показан в левой части рис. 41
и на рис. 218, а. Предполагается, что остаточные напряжения не
столь велики, чтобы вызвать вторичную пластическую деформацию;
согласно B5.13) это будет при р^2р0, тогда
334
теория приспосовляемости
[ГЛ. IX
При этом условии интервал изменения интенсивности касательных
напряжений (по решению упругой задачи) нигде в шаре не превос-
превосходит удвоенного предела текучести 2xs.
Кроме того, необходимо, чтобы не превышалась предельная
нагрузка р^ = 2asIn — , т. е. /?i</V Легко видеть, что вторичные
пластические деформации при разгрузке могут возникнуть лишь
в достаточно толстостенном шаре (при — > 1,7
Если условие G0.1) выполнено, то при новом нагружении будут
происходить лишь упругие деформации за счет возникшего в шаре
P<Pr P>Pt
Рис. 218.
поля остаточных напряжений благоприятного («обратного») знака.
Шар как бы упрочнился по сравнению с первым его нагружением.
Как уже отмечалось, это явление называется упрочнением, или
автофретажем, конструкции.-
В последние годы чаще используется другой термин — «приспо-
«приспособляемость» (shakedown), введенный Прагером. Говорят, что кон-
конструкция приспосабливается к циклам нагрузок благодаря возникно-
возникновению благоприятного поля остаточных напряжений. Неравенство
G0.1) можно рассматривать как условие приспособляемости шара;
это неравенство определяет область приспособляемости (область
допустимых изменений нагрузок).
Если р > р1у то при разгрузке в некоторой зоне, примыкающей
к полости (рис. 218, б), произойдет пластическая деформация, об-
обратная по знаку пластической деформации при нагружении. Если
теперь вновь нагрузить шар тем же давлением р >ръ в этой зоне
произойдет пластическая деформация первоначального знака. После
небольшого числа подобных циклов в этой зоне наступит разруше-
разрушение из-за «пластической усталости» (напомним знакомый всем при-
пример быстрого разрушения проволоки при знакопеременном пластиче-
пластическом изгибе). Таким образом, условия безопасности требуют, чтобы
нагрузки не выходили из области приспособляемости.
§ 70] О ПОВЕДЕНИИ ТЕЛ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАГРУЗКАХ 335
Изложенные соображения распространяются на тела произволь-
произвольной формы, что приводит к достаточному условию возникновения
знакопеременной пластичности: знакопеременная пластичность будет,
если интервал изменения интенсивности касательных напряжений
где-либо в соответствующем идеально упругом теле превосходит
удвоенный предел текучести 2xs (по условию пластичности Мизеса).
3. Прогрессирующая деформация. Для иллюстрации возмож-
возможности одностороннего нарастания пластических деформаций рас-
рассмотрим простую модель, изображенную на рис. 219. Круглый стержень
/ и охватывающая его труба 2 соединены жесткой плитой 3. К послед-
последней приложено потоянное усилие 2Р. Пусть ,
площади сечения стержня и трубы одинаковы и Щ \\\Ш
равны F. Температура стержня постоянна (ска-
(скажем, равна нулю), а температура трубы пе-
периодически" изменяется («теплосмены») от 0 до 0°
@—>- 0—»¦ 0—>-0—»¦ ...). Модуль упругости счи-
считается неизменным, а предел текучести равен as0
при 0° и сГу9 при 0°; а—коэффициент линейного
расширения. Введем обозначения/? = P/F,q = —^— . '
По условию равновесия имеем: •
= 2/>, G0.2) Рис. 219.
где аъ а2 — напряжения соответственно в стержне
и трубе. В зависимости от соотношений между величинами р, q и
пределами текучести as0 и ац модель находится в том или ином
состояниях. Мы не будем рассматривать всех вариантов состояний,
остановимся лишь на некоторых.
Упругое состояние. Напряжения в стержне и трубе при нагрева-
нагревании равны a1=pJrq, о2—р — q. Для отсутствия пластических дефор-
деформаций необходимо, чтобы
Приспособляемость. Стержень остается все время упругим, а труба
испытывает при нагревании пластическую деформацию. Тогда при
температуре 0 напряжение в трубе равно Ста = — °Sy напряжение же
в стержне не должно достигать предела текучести, т. е.
a'1 = 2p-\-o4<as0. G0.3)
После охлаждения будет а'з = — as^-{-q, o" = 2p~\-aSb — q. Для
приспособляемости необходимо, чтобы эти напряжения не превосхо-
превосходили предел текучести as0, т. е.
-% + 1<Gso, |2p + crJ9-9|<o-,o- G0.4)
Неравенства G0.3), G0.4) характеризуют условия приспособ-
приспособляемости.
336 ТЕОРИЯ ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТИ [ГЛ. IX
Прогрессирующая деформация. Пусть в каждом цикле стержень
испытывает пластическую деформацию при нагревании, а труба — при
охлаждении. При этом, как легко видеть, стержень течет при продол-
продолжающемся тепловом расширении трубы (т. е. стержень "«набирает»
пластическую деформацию). При охлаждении же труба течет при
напряжении as0, сохраняя постоянную длину (из-за неизменности длины
стержня). Эта картина повторяется в каждом цикле и общее пласти-
пластическое удлинение системы нарастает.
При нагревании напряжение в стержне равно os0, а в трубе
2/> — о so, причем
\2p~as0\<asr G0.5)
При охлаждении напряжение в трубе равно as0, а в стержне
2р— as0. Выясним условия реализуемости этого режима. При упру-
упругой разгрузке (охлаждении) напряжение в трубе равно 2p — as0^\-q
и не должно быть меньше as0, следовательно,
q>2os0-2p. G0.6)
Общая деформация за каждый цикл нарастает на величину
и с увеличением числа циклов может достигнуть недопустимых зна-
значений.
4. О влиянии упрочнения, эффекта Баушингера и ползучести.
Для реальных тел условия приспособляемости зависят от повышения
предела упругости при пластическом деформировании (упрочнение)
и снижения его при нагрузке в обратном направлении (эффект Бау-
Баушингера). Учет этих влияний возможен, хотя и существенно услож-
усложняет анализ. Точно так же можно учесть изменения механических
характеристик при температурных циклах. Если цикл длится доста-
достаточно долго, то приспособляемость заметно зависит от ползучести,
которая может в значительной мере изменить поле остаточных напря-
напряжений и тем самым в ряде случаев сузить область приспособляемости.
§ 71. Теоремы приспособляемости
упруго-пластических тел
Изложенные в предыдущем параграфе примеры показывают, что
выяснение условий приспособляемости требует анализа упруго-пласти-
упруго-пластического равновесия тела. Такой анализ, однако, осуществим лишь
в очень простых задачах.
Теоремы приспособляемости устраняют эту трудность, позволяя
находить нижнюю и верхнюю границы для области приспособляемости.
При этом необходимость анализа упруго-пластического состояния
§ 71] ТЕОРЕМЫ ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТИ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ 337
отпадает, нужно лишь детально использовать решение надлежащей
упругой задачи, что, разумеется, несравненно проще.
1. Статическая теорема приспособляемости (теорема Мелана).
Рассмотрим идеальное упруго-пластическое тело, находящееся
под действием системы нагрузок, медленно изменяющихся с течением
времени в заданных пределах. При этом условии можно пренебрегать
динамическими эффектами. Обозначим через of/, e*j мгновенные зна-
значения напряжений и деформаций в соответствующем идеально упру-
упругом теле (при мгновенных значениях нагрузок, т. е. в некоторой
точке программы нагружения), через а,у-, е,у —мгновенные значения
напряжений и деформаций в действительном упруго-пластическом
состоянии тела. Пусть afy, e°/ — остаточные напряжения и деформа-
деформации в теле, определяемые разностями
G1.1)
а е?/—упругие деформации, соответствующие остаточным напряже-
напряжениям. Поскольку нагрузки переменны, перечисленные напряжения и
деформации являются медленно меняющимися функциями времени.
Заметим также, что деформации г*{, е,у- кинематически возможны,
т. е. удовлетворяют условиям совместности, а соответствующие
смещения удовлетворяют заданным кинематическим граничным усло-
условиям.
Действительные деформации е,-у складываются из упругих и пла-
пластических соста вляющих
e,y=e& + e?y. G1.3)
Следовательно,
е/°/ = е?/+е?/, G1.4)
е^е^+е^. + е?,, G1.5)
Допустим теперь, что найдено некоторое поле фиктивных оста-
остаточных напряжений а,-у, не зависящее от времени: Под oi;- можно
понимать любое нетривиальное решение однородных дифференциаль-
дифференциальных уравнений равновесия F4.2), удовлетворяющее нулевым гранич-
граничным условиям на части поверхности тела SF. Обозначим через е,у
компоненты деформации, отвечающие по закону Гука фиктивным
напряжениям а,у-. Заметим, что е,у- не являются, вообще говоря, кине-
кинематически возможными деформациями.
Поле напряжений
условимся называть безопасным, если при любых изменениях нагру-
нагрузок в заданных пределах условие текучести не достигается, т. е.
338 ТЕОРИЯ ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТИ [ГЛ. IX
если (/—функция текучести, см. § 16)
/{ojfXK. G1.6)
Поле напряжений
будем называть допустимым, если напряженное состояние может
достигать поверхности текучести, т. е. если
Теорема Мелана. Приспособляемость наступит, если можно
найти такое не зависящее от времени поле фиктивных остаточных
напряжений сгг7, что при любых изменениях нагрузки в заданных
пределах сумма этого поля с полем напряжений о*/ в идеально упру-
упругом теле безопасна (достаточное условие).
Приспособляемость невозможна, если не существует никакого не
зависящего от времени поля остаточных напряжений а{]- так, что
сумма a(j--{-a*j допустима (необходимое условие).
Необходимое условие очевидно: если нет никакого распределения
остаточных напряжений, для которого f{ofj)^K, то приспособ-
приспособляемость по существу не может возникнуть.
Допустим теперь, что надлежащее поле остаточных напряжений сггу
существует. Покажем, что тогда приспособляемость наступает.
Рассмотрим фиктивную упругую энергию П разностей напряжений
Разности напряжений а°/ — а,- связаны с разностями деформаций
е// — е;7 линейными однородными зависимостями закона Гука, поэтому
производная энергии П по времени равна
Но напряжения а{]- и деформации е/у- по условию не зависят от
времени, следовательно,
Согласно G1.5) имеем:
toe е to t * /71 о\
Тогда будет
§ 71] ТЕОРЕМЫ ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТИ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ 339
Заметим теперь, что разности напряжений а°ц — а;]- удовлетво-
удовлетворяют условиям равновесия при нулевых внешних силах, а скорости
деформации ?г-у—?*;- кинематически возможны. Мощность внутренних
сил равна мощности соответствующих внешних сил, а так как по-
последние равны нулю на SF, а на Sa v( — г>* = 0, то
То же самое можно установить и формальным преобразованием
объемного интеграла в поверхностный (см. § 64). Итак,
Это уравнение с помощью зависимости G1.1) можно перепи-
переписать в другой форме:
Поскольку вектор скорости пластической деформации Щ направ-
направлен по нормали к выпуклой поверхности текучести 2, вектор aif
достигает поверхности текучести, а вектор о^, будучи безопасным,
лежит внутри 2 (см. рис. 199, б; вместо а'е1 будет о//), то имеет
место локальный принцип максимума:
(<ty —о?/)??/>0. G1.9)
Таким образом, —тр < 0, пока ^;-=^=0. Так как упругая энер-
энергия П неотрицательна, то наступит момент, когда пластическое тече-
течение прекратится (т. е. ^- = 0, ~jr=0)- Остаточные напряжения
не будут далее изменяться во времени, тело будет испытывать при
изменениях нагрузок только упругие деформации.
В действительности конструкция приспособится к некоторому
полю остаточных напряжений, зависящему от программы нагружения.
Поле остаточных напряжений а1}- целесообразно выбирать таким,
чтобы область допустимых изменений нагрузок была наибольшей.
В этом смысле применение теоремы Мелана приводит к нижним
границам для пределов изменения нагрузок. Фактическая реализация
этой схемы в конкретных задачах связана с известными трудностями,
особенно в случаях, когда нагрузки зависят от нескольких парамет-
параметров. Вообще отыскание оптимального поля остаточных напряже-
напряжений Ofj, максимально расширяющего область приспособляемости,
составляет задачу математического программирования. В стержневых
решетках и рамных конструкциях условия безопасности являются,
340 ТЕОРИЯ ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТИ [ГЛ. IX
как правило, линейными неравенствами; тогда можно с успехом
использовать хорошо развитые методы линейного программирования.
Заметим также, что при определении допустимых нагрузок следует
рассматривать лишь нагрузки ниже предельных.
Простой прием построения приближенного решения, основанный
на теореме Мелана, излагается в следующем параграфе.
Статическая теорема приспособляемости в общем случае дока-
доказана Меланом в 1938 г.
*2. Кинематическая теорема приспособляемости (теорема Кой-
тера). Пусть на части поверхности тела Sa перемещения равны
нулю, а на остальной части SF действуют нагрузки, медленно изме-
изменяющиеся в заданных пределах.
Возьмем некоторое произвольное поле скоростей пластической
деформации ??/0 = |//о@- Будем называть его допустимым, если
приращения пластических деформаций
за некоторый интервал времени т образуют кинематически возможное
поле (т. е. Ае?у0 удовлетворяют условиям совместности, а соответ-
соответствующее поле смещений — нулевым условиям на Su). Полю скоро-
скоростей %рф отвечают поле напряжений a!j0 (по ассоциированному
закону) и единственное поле скоростей «сопровождающих» остаточ-
остаточных напряжений а°ц0, которое можно определить следующим образом.
Из G1.3) и G1.2) имеем:
Заменим здесь компоненты Щ- компонентами ^/0, тогда будет
to te t* i tp
S//o — 5// S//T ?//o-
Скорости деформации \ец и ?*,- связаны законом Гука со скоро-
скоростями напряжений 0;-у- и сг^-, следовательно, тем же законом связаны
и разности \ец—|*у и о^- — вц = о?10. Таким образом,
S?/. = cl7AA + ??/0l G1.10)
где C{jhk — упругие постоянные. Рассматривая равновесие тела при
нулевых нагрузках на SF, нулевых смещениях на Su и неоднородных
линейных зависимостях G1.10), найдем единственное распределение
скоростей сопровождающих остаточных напряжений а°/0, скоростей
остаточных деформаций ?jy0 и остаточных скоростей vi0. При этом Що
будут играть роль данных дополнительных («наложенных») дефор-
деформаций. Первые слагаемые в правой части G1.10) суть скорости
§ 71] ТЕОРЕМЫ ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТИ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ 341
упругой деформации ?/,•„, вызываемые скоростями остаточных напря-
напряжений О°ф.
Приращения перемещений за интервал т равны
Аи/о = ) viQ dt.
о
По условию приращения пластических деформаций Aef!o за время т
кинематически возможны, поэтому кинематически возможны и прира-
приращения сопровождающих упругих деформаций Де§/0. Остаточные напря-
напряжения а"/0 в конце цикла t = x возвращаются к их начальным зна-
значениям при ^ = 0, т. е.
°?/о|<=о = а?/в|<=т. G1.11)
Тогда
X
?/0Л = 0. G1.12)
Теорема Койтера. Приспособляемость отсутствует, если
можно найти допустимый цикл скоростей пластической деформации Що
и некоторую программу изменения нагрузок в заданных пределах,
причем
X X
$ dt J Xnivi0dSF>]dt]A (Цо) dV, G1.13)
о о
где A (E,fj0) = о,7о5$о — мощность пластической деформации на допу-
допустимых скоростях Щ-о.
Обратно, приспособляемость наступит, если при всех допустимых
циклах скоростей пластической деформации и любых нагрузках
(в заданных пределах) можно найти число к > 1, так что
X X
x]dtl Xmvi« dSF< S dt[ A Ш dV. G1.14)
о о
Пердая часть теоремы доказывается от противного. Пусть сущест-
существует допустимый цикл, для которого верно неравенство G1.13), и б
то же время приспособляемость имеет место. Тогда по теореме Мелана
существует не зависящее от времени поле остаточных напряжений <т(у,
сумма которого с упругим полем о*ц образует допустимое поле напря-
напряжений of/. По принципу виртуальных работ имеем:
ffflodV. G1.15)
Используя определение off и формулы G1.10), легко получаем:
34-2 Теория приспособляемости (гл.
Так как по закону Гука z*hk = ciJhka*j, то
S <'С;/*А ^ = S °Lo<^ dV = О,
ибо напряжения о%ко отвечают нулевым внешним силам. Проинтегри-
Проинтегрируем уравнение G1.15) по времени от 0 до т. Так как о{]- от вре-
времени не зависят, то вследствие G1.12) имеем:
J dt S *цсцнЛы dV = J at/ dV S |f/0 Л = 0.
о
Стало быть,
X X
5 xnivi0 dsF=j
что противоречит исходному неравенству G1.13), так как {oij0 —
Доказательство второй части теоремы Койтера значительно слож-
сложнее и здесь не приводится (см. [68]).
Выбирая допустимый цикл скоростей пластической деформации и
записывая G1.13) со знаком равенства, можно использовать теорему
Койтера для нахождения верхних границ приспособляемости. Приме-
Применение теоремы Койтера связано с большими трудностями, чем при-
применение теоремы Мелана (исключая простейшие системы — стержне вые
решетки и рамы, где возможно использовать методы линейного
программирования). Полезен обратный прием, предложенный В. И. Ро-
зенблюмом; укажем также на цикл работ Д. А. Гохфельда [10°].
3. Приспособляемость неравномерно нагретых тел. Большой
практический интерес представляет случай совместного действия
нагрузок и температурного поля 9 = 0(л:1, х2, х3, t), изменяющихся
в заданных пределах.
Теорема Мелана легко обобщается на неравномерно нагре-
нагретые тела. Формулировка теоремы остается прежней, но под <т*у- необ-
необходимо теперь понимать поле термоупругих напряжений в идеально
упругом теле[и9].
Теорема Койтера также распространяется на неравномерно
нагретые тела [100> 149]. Формулировка теоремы несколько изменяется:
необходимо в левую часть неравенства G1.13) включить слагаемое
За
где а — температурный коэффициент линейного расширения, а°0 —
скорость среднего давления для поля остаточных напряжений.
§ 72] ПРИБЛИЖЕННЫЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ. ПРИМЕР 343
4. Замечание о связи между теоремами приспособляемости и
теоремами о предельной нагрузке. Койтер обратил внимание на то
обстоятельство, что теоремы о предельной нагрузке (§ 65) являются
следствием теорем приспособляемости, если полагать, что заданные
пределы изменения нагрузок совпадают.
§ 72. Приближенный способ решения. Пример
Как уже отмечалось, для нахождения области приспособляемости
с помощью теоремы Мелана необходимо рассматривать допустимые
поля остаточных напряжений и в то же время располагать решением
соответствующей упругой задачи при произвольно меняющихся в
заданных пределах нагрузках. Применение этой схемы наталкивается
на известные трудности (особенно в случаях, когда имеется несколько
независимых нагрузок). Для анализа приспособляемости простых реше-
решеток и рам при одно- и двухпараметрических системах нагрузок обычно
применяются геометрические приемы построения области допустимых
состояний; в более сложных случаях можно использовать методы
линейного программирования.
Для тел произвольной формы при одно- и двухпараметрических си-
системах нагрузок удобный приближенный прием нахождения области при-
приспособляемости, развитый В. И. Розенблюмом [148], излагается ниже.
1. Приближенный способ решения. Основываясь на теореме
Мелана, рассмотрим случай, когда нагрузки пропорциональны одному
параметру р; тогда решение соответствующей упругой задачи имеет вид
где а'ц-—функции только координат. Выберем, далее, некоторое поле
остаточных напряжений _ _
Оу = Ха'ц,
где а'ц—функции только координат, а К — неопределенный множи-
множитель. Согласно теореме Мелана необходимо построить поле
°tj=p°'u + tiiih G2Л)
являющееся безопасным, т. е.
fiPijXK. G2.2)
Требуется найти оптимальное значение множителя %, для которого
интервал допустимых изменений коэффициента р был бы наибольшим.
Рассмотрим плоскость переменных р, %. Каждой точке плоскости
отвечает некоторое напряженное состояние G2.1). На этой плоскости
условие текучести _
/(ро'„+Ьо'„) = К G2.3)
определяет трехпараметрическое семейство кривых (пунктир на
рис. 220), не проходящих через начало координат /> = (), Я, = 0 (ибо
344
ТЕОРИЯ ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТИ
[ГЛ. IX
0) и поэтому выделяющих некоторую область допустимых
значений. Граница этой области С образована огибающей семейства
G2.3) или отдельными кривыми семейства, наиболее близкими к на-
началу координат. Если граница С построена, легко определить до-
допустимый интервал изменений параметра нагрузки р. Пусть, скажем,
9
Ч'Чз
Рз Р
Рис. 220.
Рис. 221.
р > 0; тогда наибольшее возможное отклонение должно быть меньше
максимальной абсциссы В. Оптимальное значение X равно отрезку ОА.
При удачном выборе поля остаточных напряжений можно полу-
получить хорошее приближение.
Этот прием нетрудно распространить на двухпараметрические
системы нагрузок, когда
и вместо G2.3) будет
G2.4)
ii + 4*11 + Щ) = К.
G2.5)
Зададим серию значений q = qx, q%, q3, . . ., построим, как и
выше, кривые допустимых состояний Сг, С2, С3,. . . (рис. 221) и
отметим на каждой из них наибольшее
значение параметра р (p=plt Р2>Рз> ¦ • •)¦
На плоскости параметров р, q проводим
по точкам кривую (рис. 222), ограни-
ограничивающую область допустимых нагрузок.
2. Пример. Совместное кручение и
растяжение стержня. Найдем область
приспособляемости для круглого стержня
радиуса а, растягиваемого силой Р и
скручиваемого моментом М. В системе
цилиндрических координат г, ф, z от нуля отличны компоненты
Рис. 222.
напряжения аг, x,,z.
p=rja, t = tSi
Введем безразмерные величины:
Р 2М
na*Ts
§ 72]
ПРИБЛИЖЕННЫЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ. ПРИМЕР
345
Тогда упругое решение записывается в виде
а*=/?, т* = <7р.
Выберем следующее остаточное напряженное состояние:
о = 0, т = ХA + ф)-
Постоянная с определяется из условия равенства нулю момента
напряжений т; легко вычисляем, что с = — 4/3.
Суммарное поле
G2.6)
должно быть безопасным, т. е. (при условии текучести Мизеса)
о2 + т2<1. G2.7)
Рассмотрим сначала случай чистого кручения (р = 0); тогда из
условия текучести имеем:
/ л \
G2.8)
= — 1
На плоскости q, % (рис. 223) это уравнение определяет два пучка
прямых с центрами A[q = -w-, %=\ ) и A' (q = —-^
\ !
Так как O^p^l, то эти
пучки ограничивают паралле-
параллелограмм допустимых значений
АВА'В'; стороны последнего
получаются из G2.8) при р=0
и р = 1.
Остановимся на некоторых
деталях. Прежде всего отме-
отметим, что первые пластические
деформации в наружном слое
стержня появляются при
#=±1- Если крутящий мо-
момент не меняет знака (т. е.
O^q), то наибольший допу-
допустимый интервал изменения q
I 4 \
характеризуется абсциссой точки A[q = ir) . Это значение соот-
ветствует предельному крутящему моменту. Если же момент знако-
знакопеременный, то наибольший интервал изменения q определяется дли-
длиной отрезка горизонтали между сторонами АВ и А'В'; очевидно, что
<7max— <7min=2 при любом X.
Перейдем теперь к анализу общего случая, когда усилие р=?0
н произвольно изменяется ,в пределах (—р, -\-р). Тогда из условия
/
>/
1 ч
8'
Г f
/
gt —
--
Рис
/
-1-
0
—
/
7
/
~~i
223.
-
Q
!
1
В
\
II Уз '
1
346 ТЕОРИЯ ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТИ [ГЛ. IX
текучести получаем:
qp f X A — 4- Р ) = ± Kl — Р2. G2.9)
Это уравнение определяет на плоскости <?, % параллелограмм
аЪа'Ь' (рис. 223), подобный параллелограмму АВА'В' и лежащий
внутри него; он отсекает на осях q, % отрезки длиной ]/ \ —р2.
Таким образом, при действии осевой силы интервал допустимых из-
изменений крутящего момента суживается. Если крутящий момент не
меняет знака, то qmax — 'J'min'^^f J^l —Рг > в противном случае
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ IX
1. Найти область приспособляемости для круглой трубы, испытывающей
действие внутреннего давления и продольного усилия (по приближенному
способу, § 72).
2. Найти область приспособляемости для круглого стержня, скручиваемого
моментом М и испытывающего давление Р по боковой поверхности; осевое
усилие отсутствует.
Глава X
УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ
§ 73. О критериях устойчивости
1. Замечание об устойчивости механических систем. Устойчи-
Устойчивость равновесия механической системы зависит от параметров
последней. Для некоторых механических систем в число таких пара-
параметров входят действующие нагрузки. Аналогичное положение имеет
место, и для упругих систем; тонкие сжатые стержни, пластинки и
оболочки при некоторых значениях нагрузок теряют устойчивость
равновесия и выпучиваются.
Полагая, что читателю известны основы теории устойчивости,
остановимся лишь на некоторых деталях.
В механике твердого тела вопрос об устойчивости равновесия
решается изучением движения системы вблизи исследуемого поло-
положения равновесия (динамический критерий). Если малые возмущения
вызывают движение, расходящееся из окрестности равновесного
состояния, то последнее является неустойчивым; если же происхо-
происходят колебания около рассматриваемого состояния равновесия, то
оно является устойчивым (устойчивым в малом).
Устойчивость зависит от величины возмущений. При значитель-
значительных допускаемых отклонениях говорят об устойчивости в большом.
С величиной отклонений связано представление о степени устойчи-
устойчивости. Ниже будут рассматриваться лишь малые возмущения.
Если система консервативная, можно не рассматривать ее колеба-
колебаний; достаточное условие устойчивости доставляет известный при-
признак Лагранжа—Дирихле: в устойчивом состоянии равновесия потен-
потенциальная энергия системы имеет минимум {энергетический критерий).
2. Устойчивость упругих систем. Общий динамический критерий
справедлив, конечно, и при изучении вопросов устойчивости равно-
равновесия упругих систем; здесь, однако, использование его связано
с большими математическими трудностями, поскольку движение таких
систем описывается системой уравнений в частных производных.
Поэтому вопросы устойчивости равновесия упругих тел анализи-
анализируются, как правило, при помощи других, более простых, но не
столь общих критериев устойчивости равновесия. Обратимся к их
краткому рассмотрению.
348
УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ
[гл. х
Статический критерий устойчивости состоит в следующем. Рас-
Рассматриваются состояния равновесия, бесконечно близкие к исход-
исходному (основному, «тривиальному») состоянию равновесия. При неко-
некотором значении нагрузки возможна наряду с основной формой
равновесия другая форма. Иными словами, при одной и той же
нагрузке могут осуществляться различные формы равновесия (точка
бифуркации, разветвления форм равновесия). Подобное состояние
может рассматриваться как переходное от устойчивого равновесия
к неустойчивому. Наименьшая нагрузка,
при которой возможны различные формы
равновесия, называется критической. Эта
картина на примере сжатого стержня схе-
схематически показана на рис. 224 сплошной
линией; по оси ординат отложена нагруз-
нагрузка Р, по оси абсцисс — прогиб Д. При
Р < Ркр для правильного стержня воз-
возможна лишь прямолинейная форма рав-
равновесия. При Р > Ркр (Ркр — точка бифур-
бифуркации) устойчива изгибная форма равно-
равновесия.
Для консервативных систем статиче-
статический и динамический критерии приводят к
одним и тем же значениям критической
нагрузки. В математическом отношении статический критерий при-
приводит к хорошо изученной проблеме собственных значений для ли-
линейных дифференциальных уравнений. Используя статический метод,
Эйлер впервые изучил устойчивость сжатого упругого стержня.
Энергетический критерий устойчивости. Если рассматриваемая
упругая система консервативная, то достаточным условием ее устой-
устойчивости является условие минимума потенциальной энергии. Если П—¦
упругий потенциал, А— потенциал внешних сил, Э = П — А — полная
энергия системы, то при устойчивом равновесии вторая вариация
энергии будет положительно определенной
б2 Э > 0.
Критическая нагрузка — наименьшая нагрузка, при которой это свой-
свойство утрачивается, т. е.
623 = 0. G3.1)
Энергетический критерий может быть сформулирован также
в несколько иной форме, принадлежащей С. П. Тимошенко. В поло-
положении устойчивого равновесия энергия 3 = 11 — А минимальна, сле-
следовательно, при всяком малом отклонении от положения равновесия
приращение полной энергии 65 > 0 или 6П > 6А. Если при неко-
некотором значении нагрузки равновесие перестает быть устойчивым, то
§ 73] о критериях устойчивости 349
63 = 0, т. е.
бП = бЛ. G3.2)
Пусть р — параметр нагрузки, т. е. 6Л =р бЛ, тогда
6П
р=тл-
Минимальное значение нагрузки, удовлетворяющей этому соотноше-
соотношению при отличных- от нуля отклонениях системы от основного поло-
положения равновесия, есть критическая нагрузка
=
G3.3)
В математическом отношении мы имеем здесь задачу о минимуме
квадратичного функционала.
Для консервативных систем статический и энергетический крите-
критерии эквивалентны. Дифференциальные уравнения устойчивости, полу-
получающиеся при использовании статического метода, являются диффе-
дифференциальными уравнениями Эйлера вариационной задачи, к которой
приводит энергетический критерий.
Для упругой системы существенно, чтобы внешние силы обладали
потенциалом, в противном случае — статический и энергетический
критерии могут привести к ошибочным заключениям (см. [195]).
Если система не консервативна, то, вообще говоря, справедлив
лишь динамический критерий. Простейший пример такой системы —
упругий стержень, сжимаемый силой, направленной по касательной
к оси стержня (следящая сила).
В дальнейшем будем полагать, что внешние силы обладают
потенциалом, т. е. что работа внешних сил не зависит от проходи-
проходимого пути.
К величине критической нагрузки можно подойти, прослеживая
деформации системы, имеющей начальные отклонения (начальные
дефекты). Например, можно рассмотреть сжатие стержня с начальным
искривлением (или при дополнительной поперечной нагрузке). На
рис. 224 пунктиром показано нарастание прогиба с увеличением
сжимающего усилия. С приближением последнего к критическому
значению Ркр прогиб резко возрастает.
В такой постановке анализ устойчивости по существу отпадает,
но этот способ имеет свои недостатки. Поведение системы зависит
от начальных отклонений, заранее неизвестных. Кроме того, матема-
математическая задача оказывается более сложной, чем при использовании
статического или энергетического критериев.
3. Устойчивость при упруго-пластических деформациях. Опыты
показывают, что классические решения задач устойчивости упругих
систем нередко плохо оправдываются. Одной из серьезнейших причин
350 УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. X
расхождения являются неупругие свойства реальных материалов,
резко снижающие сопротивление выпучиванию.
В связи с практическим значением вопроса (в современных конст-
конструкциях потеря устойчивости происходит большей частью за преде-
пределом упругости) широкое распространение получили различные эмпи-
эмпирические формулы, найденные при экспериментальном изучении
устойчивости сжатых стержней. Позднее были развиты некоторые
теоретические приемы анализа устойчивости конструкций, работающих
за пределом упругости.
Система, испытывающая упруго-пластические деформации, не яв-
является консервативной. Поэтому, вообще говоря, исследование устой-
устойчивости равновесия за пределом упругости должно основываться на
анализе движения такой системы вблизи основного состояния равно-
равновесия при сообщении системе некоторых возмущений. Этот анализ
чрезвычайно затруднителен по двум причинам: во-первых, мы не рас-
располагаем надежными уравнениями пластичности при циклических
деформациях, во-вторых, даже при использовании простейших урав-
уравнений (например, уравнений деформационной теории или теории тече-
течения) возникают огромные математические трудности.
Во многих случаях (но не всегда) можно получить необходимый.
ответ, изучая упруго-пластическую деформацию системы, имеющей
начальные отклонения. Однако такой анализ приводит к нелинейным
задачам и также связан с большими математическими трудностями.
Обычно исходят из некоторого статического критерия, разыскивая
нагрузку, для которой возможны различные близкие формы равно-
равновесия при тех илн иных дополнительных условиях. Эти критерии,
рассматриваемые в следующем параграфе, не имеют надежного тео-
теоретического обоснования; их значение иллюстрируется анализом пове-
поведения очень простых моделей упруго-пластических тел и подтверж-
подтверждается экспериментальными данными.
§ 74. Устойчивость сжатого стержня. Приведеино-модульная
и касательно-модульная нагрузки
1. Устойчивость упругого стержня. Устойчивость сжатого уп-
упругого стержня была изучена Эйлером в работе, относящейся к 1757 г.
Приведем кратко решение этой задачи на основе статического кри-
критерия, причем для простоты рассмотрим стержень постоянного и
симметричного (рис. 225) сечения; оси х, у будут главными цент-
центральными осями.
Пусть при некотором значении сжимающего усилия Р происходит
выпучивание стержня в плоскости наименьшей жесткости Ох; обо-
обозначим через u = u(z) смещение оси стержня при выпучивании (рис. 226).
Согласно статическому критерию устойчивости выпучивание про-
происходит в состоянии «безразличного» равновесия и осуществляется
§ 74]
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТОГО СТЕРЖНЯ
351
при одной и той же величине осевого усилия, т. е. при выпучивании
приращение осевого усилия равно нулю:
6Р = О. G4.1)
При выпучивании стержень искривляется и получает дополни-
дополнительные бесконечно малые деформации бег; поскольку стержень
тонкий, эти дополнительные дефор-
деформации следуют гипотезе плоских
сечений, т. е.
бег = е0 — qx, G4.2)
где е0 — бесконечно малое дополни-
дополнительное осевое удлинение, a q —
бесконечно малое изменение кривиз-
кривизны. Соответствующие дополнитель-
дополнительные напряжения по закону Гука
будут
G4.3)
Рис. 225.
и
Рис. 226.
Очевидно, что 8P = EFs0, где F —
площадь сечения стержня; в соответствии с G4.1) следует по-
положить ео=0.
Возникающий при выпучивании бесконечно малый изгибающий
момент — Ри уравновешивается моментом внутренних сил
— \ \ 6azx dx dy = EJq,
где J—момент инерции сечения относительно оси у. Так как q = -r-j- ,
то отсюда следует дифференциальное уравнение
<Ри Р
^jr+?j« = 0. G4.4)
Для стержня с опертыми концами граничные условия будут: и = С
при ? = 0 и z = l. Соответствующая критическая нагрузка (эйлерова
сила) равна
Если ввести параметр гибкости
где р — радиус инерции, и параметр нагрузки
Р
352
УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ
(гл. х
равный отношению критического напряжения к модулю Юнга, то
формула G4.5) примет вид
^ = л2. G4.6)
На плоскости %, ц граница устойчивости будет, следовательно,
гиперболой (рис. 227, а).
Заметим, что результаты не изменятся, если считать 6Р отлич-
отличным от нуля.
2. Устойчивость сжатого стержня за пределом упругости;
касательно-модульная нагрузка. Если стержень сжат за пределом
упругости (точка С на рис.
228), то предыдущий анализ
непригоден.
В 1889 г. Энгессер пред-
предложил простой прием учета
пластических свойств. Допу-
Допустим, что кривая ОС есть
кривая нелинейно-упругой де-
деформации, т. е. рассмотрим
а)
г)
А О
Рис. 228.
устойчивость некоторого нелинейно-упругого стержня. Тогда зависи-
зависимость между приращениями напряжения &аг и деформации бег будет
б0г=?'бб2, G4.7)
где Е' —
V
есть местный модуль упругости, иногда называемый
касательным модулем. Очевидно, что в этом случае критическая
нагрузка Р' (условимся ее называть касательно-модульной нагрузкой)
будет определяться формулой G4.5) при замене модуля Юнга на
модуль ?", т. е.
"""-. G4-8)
§ 74]
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТОГО СТЕРЖНЯ
353
Граница устойчивости зависит от вида кривой деформации; на
рис. 227 представлены типичные случаи. Для материалов с выражен-
выраженной площадкой текучести Е' — О, т. е. при подходе к пределу те-
текучести, устойчивость теряется (рис. 227, б); этот вывод подтвер-
подтверждается опытами. При постепенном переходе к площадке текучести
граница устойчивости показана на рис. 227, в. Наконец, при упроч-
упрочняющемся материале граница устойчивости отклоняется в сторону
от гиперболы, отвечающей эйлеровой силе,
и затем поднимается (рис. 227, г). До пре-
предела упругости Ох справедливо решение
Эйлера G4.6); далее оно показано пунктиром.
Изложенная схема в общем дает качест-
качественно правильную картину.
3. Устойчивость сжатого стержня за
пределом упругости; приведенно-модуль-
ная нагрузка. Вскоре после опубликования
работы Энгессера Ясинский заметил, что для
реальных материалов при выпучивании часть
сечения Z7-, (рис. 229) испытывает допол-
дополнительное сжатие, и здесь справедливо
соотношение G4.7), другая же, часть се-
сечения F2 испытывает разгрузку, протекаю-
протекающую тю закону Гука G4.3), поэтому нельзя
считать правильной рекомендацию Энгессера.
В последующем Энгессер и Карман дали решение задачи об ус-
устойчивости сжатого стержня за пределом упругости, учитывавшее
возражения Ясинского. Приведем это решение.
Бесконечно малые приращения напряжения баг равны
с _ (?"бег в области нагружения Fx (8ez<0),
°z~ \ЕЬ&г в области разгрузки /Г2 (8ez>0).
Как уже отмечалось ранее (§ 24), гипотеза плоских сечений
имеет геометрический характер и не связана со свойствами материала,
поэтому дополнительные деформации ёег представляются прежней
формулой G4.2). Вдоль линии п — п 6ez = 0; эту линию условимся
называть линией раздела и будем в дальнейшем от нее отсчитывать х.
Тогда
6ez = — qx. G4.9)
Так как считается, что выпучивание осуществимо при одной и
той же величине осевого усилия, то
откуда
V* 12 Л. М. Качано»
G4.10)
354
УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ
[гл. х
где Sx, S2 —статические моменты площадей /71, F2 относительно
линии раздела. Это уравнение определяет положение линии раздела
(т. е. х0), зависящее, как легко видеть, от формы сечения и отно-
отношения Е'IE. Ясно, что область нагружения Fx всегда больше об-
области разгрузки F2.
Теперь можно вычислить момент внутренних сил относительно
нейтральной линии:
G4.11)
где положено
Рис. 230.
Здесь Jx, J2— соответственно мо-
моменты инерции площадей Fx, F2
относительно линии раздела п — п.
Величина Ek называется приведен-
приведенным модулем (или модулем Энгес-
сера — Кармана).
Распределение дополнительных
напряжений в сечении стержня по-
показано на рис. 230. Сопоставляя
моменты внутренних сил для рассматриваемого распределения Е'пЕ
и распределений Е'пА, ЕпВ, заключаем, что
F' <Г F <Г F ПА ]9\
Таким образом, имеем прежнее уравнение
продольного изгиба, но с приведенным мо-
модулем Ek вместо Е; следовательно, критиче-
критическая нагрузка теперь равна
или
= я2|*. G4.13)
Приведенный модуль зависит от формы се-
сечения. Однако, как показывают вычисления,
для стали влияние формы поперечного сечения
на значение приведенного модуля Ek невелико.
Пример. Рассмотрим стержень прямоугольного сечения (рис. 231); высоту
зоны нагружения F1 обозначим через mh(m<\), тогда
с 1 1
Z 2.
и уравнение G4.10), определяющее m, принимает вид
§ 74] Устойчивость сжатого стержня 355
откуда
Далее,
. _bmsh3 . Ь*
1— 3 ' — : 3
Приведенный модуль равен
АЕЕ'
Изложенная теория в общем удовлетворительно подтверждена
экспериментами Кармана и других исследователей. При этом следует
иметь в виду два обстоятельства. Во-первых, касательный модуль Е'
практически определяется с малой точностью из-за неизбежного
разброса точек и быстрого изменения наклона касательной к кривой
деформации. Во-вторых, высказывались сомнения в достаточной точ-
точности опытных данных вследствие значительного влияния концевых
условий и особенностей нагружения в испытательных машинах.
4. Модель Шенли. Значение касательно-модульной нагрузки.
Решение Энгессера—^Кармана основано на использовании статического
критерия устойчивости в той форме, в какой он применяется в во-
вопросах устойчивости упругих систем. Считается, что стержень остается
прямым до момента потери устойчивости, причем переход из прямого
состояния в искривленное осуществляется при неизменной величине
сжимающего усилия, т. е. при 8Р = 0. Долгое время не возникало
сомнений в правильности изложенного выше подхода к решению за-
задачи устойчивости сжатого стержня за пределом упругости.
В ряде экспериментальных исследований по сжатию стержней из
алюминиевых сплавов, проведенных недавно в связи с нуждами са-
самолетостроения, было обнаружено, что критическая нагрузка обычно
несколько ближе к касательно-модульной нагрузке Р', чем к при-
веденно-модульной нагрузке Ек. Опыты показали, что изгибание по-
появляется еще до достижения приееденно-модульной нагрузки Pk, при-
причем вначале оно не сопровождается разгрузкой материала. Эти факты
получили новое освещение в исследованиях Шенли [1П] и последо-
последовавших за ними работах других авторов.
Если отказаться от ограничения бР = 0 и разыскивать наимень-
наименьшую нагрузку, при которой становится возможным искривление
в условиях возрастания сжимающей силы (бР>0), то такой нагруз-
нагрузкой оказывается касательно-модульная нагрузка Р'. Это было пока-
показано Шенли на частном примере идеализированной колонны, состоя-
состоящей из двух жестких стержней длиной 1/2 каждый, соединенных
малым упруго-пластическим шарниром (рис. 232); две деформиру«мые
13 Л. М. Качанов
356
УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ (ГЛ. X
полки последнего (площадью F/2 каждая, А<^/) испытывают растя-
растяжение или сжатие. В исходном состоянии система прямолинейна;
на рис. 232 показано отклоненное состояние системы (и — «прогиб»).
Пусть ех н е2 означают дополнительные деформации [при выпучива-
выпучивании, а ЬР—приращение нагрузки. Составляя
условия равновесия системы
ЬР = ±
Ри = ^
al I , .
н используя соотношение и = -~- = j- (ex -J- е8
ходим, исключая гх и е2, что
U[l a F \Е' + Е )\~ F \Е' Е )'
Ha"
Отклоненное
состояние оказывается воз-
Рис. 232.
можным:
1)для упругих полок (?"=?¦) при
эйлеровой нагрузке
_EFcfl
2) за пределом упругости по схеме
касательного модуля (? = ?') при на-
нагрузке
p,_E[Fcfi
I '
3) за пределом упругости по схеме приведенного
модуля FР = 0) при нагрузке
Р -Р' 2Е
Легко найти, что е2 пропорционально (Р—Р'); но е2>0, и^при
Р<.Р' будет ы = 0. Если же Р' ^P^.Pk, то имеет место бифурка-
бифуркация равновесия и, кроме нулевого решения, возможно еще решение
где Р—значение нагрузки в бифуркационной точке; эта зависимость
показана на рис. 233. Касательно-модульная нагрузка является на-
наименьшей нагрузкой, при которой возможно выпучивание, причем
с увеличением сжимающего усилия Р прогиб растет (кривая 1) и обра-
обращается в бесконечность с приближением к прнведенно-модульной
нагрузке Рк. Если воспрепятствовать перемещениям стержня до не-
которой нагрузки Я>Я' и затем отпустить его, стержень будет
и3гибаться согласно пунктирной линии 2. Выпучивание может про-
§ 74]
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТОГО СТЕРЖНЯ
357
изойти при любой нагрузке в интервале (Р', Pk). При силе Р>Р'
изгиб сопровождается разгрузкой и появлением остаточных деформа-
деформаций, поэтому анализ Шенли не означает возврата к первоначальной
грубой схеме Энгессера; однако в момент бифуркации разгрузка
отсутствует. Таким образом, ничтожные возмущения приводят к из-
изгибу при касательно-модульной нагрузке. Эти отклонения, однако,
вначале не опасны и лишь при дальнейшем возрастании нагрузки
возникает угрожающее состояние.
Р
Р'\
б
и
Рис. 233.
Рис. 234.
Касательно-модульная Р' и приведенно-модульная Ph нагрузки
иногда называются соответственно нижней и верхней критическими
нагрузками; последние ограничивают область, в которой осущест-
осуществляется выпучивание.
Нижняя граница Р' безопаснее, проще определяется и поэтому
имеет большее практическое значение.
Следует заметить, что различие между нагрузками Р' и Pk ча-
часто невелико. На диаграмме сжатия (рис. 234) точка Ог соответ-
соответствует касательно-модульной нагрузке, точка Ог — приведенно-мо-
дульной нагрузке. Напряжения а' и аА часто близки друг к другу,
что объясняется уменьшением касательного модуля Е' по мере про-
продвижения вдоль кривой деформации.
Анализ условий выпучивания реальных стержней, выполненный
приближенными или численными методами Ю. Н. Работновым[145],
Пфлюгером [189] и другими авторами, подтвердил выводы Шенли.
В. Д. Клюшников [12в] исследовал движение идеализированной модели
(рис. 232) в предположении, что вся масса системы сосредоточена
в середине стержня, и пришел к тому же выводу о начале выпучи-
выпучивания при касательно-модульной нагрузке. См. также книгу Я. Г. Па-
новко и И. И. Губановой [2?а].
5. Нижняя критическая нагрузка. Проведенные исследования
выяснили значение касательно-модульной нагрузки для сжатого
стержня. Касательно-модульную нагрузку условимся называть ниж-
нижней критической нагрузкой.
13*
358 УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. X
Значительно хуже обстоит дело с обоснованием критерия устой-
устойчивости за пределом упругости для более сложных систем — полос,
пластин, оболочек. Обычно используют один из следующих приемов.
В первом способе рассматривают, аналогично случаю
идеально упругого тела, бифуркацию равновесия при фиксированных
внешних силах. При выпучивании сразу возникают области разгрузки.
Эта схема в применении к сжатому стержню дает приведенно-мо-
дульную нагрузку. Будем считать, что этот прием приводит к верх-
верхней критической нагрузке.
Второй способ опирается на анализ Шенли. Разыскивается
бифуркация равновесия при условии продолжающегося нагружения
(в момент бифуркации разгрузки нет). Недавно В. Д. Клюшников[127]
изучил возмущенное движение идеализированной пластинки (двумер-
(двумерный аналог модели, показанной на рис. 232). Анализ показал, что
второй способ приводит к нижней критической нагрузке, если исхо-
исходить из уравнений теории пластического течения.
Ниже используется второй способ; полагаем, что он приводит
к нижней критической нагрузке. Конечно, эта концепция не имеет
надежного обоснования. Более того, отнюдь не ясно, всегда ли
можно в указанном выше смысле реализовать «продолжающееся
нагружение» за счет приращения параметра нагрузки в задачах
устойчивости оболочек. Тем не менее относительная простота, более
«безопасный» характер нижней критической нагрузки, а также за-
заметная погрешность в определении касательного модуля ?", снижаю-
снижающая точность решений по обоим критериям, побуждают здесь
предпочесть второй способ.
§ 75. Устойчивость полосы, изгибаемой парами
1. Основные положения. Рассмотрим задачу о боковом выпучи-
выпучивании полосы, изгибаемой парами за пределом упругости (рис. 235, а).
Концы полосы закреплены шарнирно. Сечение полосы имеет форму
вытянутого прямоугольника (рис. 235,б). Материал полосы следует
уравнениям теории пластического течения, причем в пластических
зонах |_у|>|, заштрихованных на рис. 235, а, выполняется условие
текучести Мизеса. При |j>[<[i имеется упругое ядро; нетрудно ви-
видеть (см. § 24), что
1
-ц), 11 = ^1, G5.1)
где M%—esbh? — предельный изгибающий момент. До выпучивания от-
отлично от нуля лишь напряжение crz, причем при \у\~^-\ \oz\ = as.
При достаточно большой величине изгибающего момента происходит
боковое выпучивание (в направлении х), сопровождающееся круче-
кручением.
§ 75)
УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛОСЫ, ИЗГИБАЕМОЙ ПАРАМИ
359
Обозначим через х', у', г' триэдр осей для произвольного по-
поперечного сечения полосы после выпучивания; оси х', у' направлены
по главным центральным осям поперечного сечения (рис. 235,в).
Обозначим через у угол поворота сечения относительно оси z (угол
скручивания); тогда кручение на единицу длины равно ^. Далее,
пусть и— боковой прогиб при выпучивании, тогда соответствующая
td?u
кривизна оси полосы равна i-r-j .
М
Вектор момента на конце полосы z — l показан на рис. 235, а
пунктиром; его проекции на оси у', z' соответственно равны
Lu. = My,
Lz mdz-
G5.2)
При бесконечно малом выпучивании полоса испытывает дополни-
дополнительные деформации. Так же как и в упругом случае, эти деформа-
деформации состоят из изгиба полосы и скручивания ее. Компонентами
напряжения вх, ххг, хху можно пренебречь, так как боковые поверх-
поверхности полосы свободны от напряжений, а толщина полосы мала; на-
напряжением а также пренебрегаем, поскольку давление волокон
друг на друга отсутствует при изгибе и при кручении. Следова-
Следовательно, при выпучивании возникают лишь дополнительные напряже-
напряжения Ьо2, 6хуг.
2. Нижняя граница устойчивости. Будем разыскивать нижнюю
критическую нагрузку, тогда в момент бифуркации разгрузки нет.
Поэтому в пластических зонах \у\~^% будет б0г = О. По уравнениям
теории течения A3.7) имеем:
I 1
360 УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. X
Согласно второму соотношению приращения касательного напря-
напряжения и сдвига связаны законом Гука, следовательно, крутящий
момент пропорционален кручению, т. е.
g G5.4)
где Со — жесткость при кручении упругой полосы.
Далее, так как в пластических зонах 6az = 0, то жесткость при
боковом изгибе определяется жесткостью упругого ядра |.у|<3-
Приращения осевых деформаций 8е2 следуют гипотезе плоских се-
сечений, поэтому изгибающий момент Ly< при выпучивании равен
Ly=Bd^, B=±-E&* = B0Z. G5.5)
4
Здесь через Во = -^ Ehb3 обозначена изгибная жесткость упругой
полосы.
Сопоставляя приведеяные выше формулы, получаем:
<: ? В%. G5.6)
По условиям шарнирного закрепления концов имеем:
ы = 0, y = 0 при 2 = 0 и z = l. G5.7)
Интегрируя первое из уравнений G5.6), находим, что Соу =
= — Ми; тогда
Решение этого уравнения, удовлетворяющее нулевому условию
при 2 = 0, имеет вид (А — произвольная постоянная)
и = A sin
Из второго граничного условия находим:
A sin r =0.
YBC,
Следовательно, кроме исходной (тривиальной) формы равновесия
(Л = 0), возможно выпучивание при
Vbc,
Критический момент равен
§ 76] УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ ПЛАСТИН 361
Введя параметр гибкости X == г * , можно последнюю зависи-
зависимость представить в форме
G5.8)
^ 2
где
1
при
-ц) при ^-^ ц ^ 1.
На рис. 236 показана граница устойчивости на плоскости X, ц.
Пунктирная линия отвечает идеально упругой полосе (?=1). Точка D,
для которой ц = 2/3, соот-
соответствует появлению первой
пластической деформации.
При наличии пластических
деформаций критическая
нагрузка резко снижается.
3. Заключительные замеча-
замечания. Общая теория устойчивости
плоской формы изгиба за преде-
пределом упругости и ее приложения
к различным частным задачам
изложены в первом издании
этой книги. Там же определены
и верхние критические нагрузки.
Вычисления показали, что ниж-
нижняя и верхняя критические на-
нагрузки близки друг к другу.
Влияние упрочнения рассмотре-
рассмотрено в работах [119]\ Опыты
Нила [188] хорошо подтверждают теоретические значения критических нагрузок.
Устойчивость тонкостенных стержней при упруго-пластических деформациях
изучена в работе [т] на основе уравнений теории течения по схеме «продол-
«продолжающегося нагружения» (нижняя критическая нагрузка).
§ 76. Устойчивость сжатых пластин
Выпучивание пластин и оболочек изучено А. А. Ильюшиным
и другими авторами (см. [12> 39' 75]) на основе деформационной теории
и классического представления о потере устойчивости при неизменных
внешних силах. При этом выпучивание сопровождается появлением
областей разгрузки, что существенно усложняет анализ. При исполь-
использовании теории течения и того же критерия большая часть трудно-
трудностей сохраняется.
Те же задачи решаются значительно проще, если исходить из
теории течения и разыскивать нижнюю критическую нагрузку, соот-
соответствующую выпучиванию при продолжающемся нагружении. Как
4 6 8
Рис. 236.
362 УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. X
уже отмечалось, интерпретация этого условия может здесь вызывать
затруднения, однако мы примем его, имея в виду, что тем самым
разыскивается более безопасная граница устойчивости. С этой точки
зрения рассмотрим кратко вопрос о выпучивании пластин.
1. Основные уравнения1). Пусть пластина (толщина К) дефор-
деформируется в своей плоскости (х, у) за пределом упругости. Полагаем
для простоты, что в пластине до выпучивания реализуется однородное
напряженное состояние — сжатие в двух перпендикулярных направле-
направлениях:
о-* = — р, oy = — q, хху = 0.
При выпучивании напряжения в пластине получают бесконечно
малые приращения
8ах, 8ау, 8хху
(остальные компоненты напряжения отбрасываются как второстепенные
для пластины). По уравнениям теории течения A3.14) для общего
случая упрочняющегося материала получаем соответствующие беско-
бесконечно малые приращения компонент деформации:
G6.1)
причем
8Т = ± [Bp-q) 8ax+ Bq-p) 8oy],
dT '
Здесь Ф (T) — работа пластической деформации; ФG) — характер-
характерная для данного материала функция, не зависящая от вида напря-
напряженного состояния.
Рассмотрим простое растяжение; пусть кривая растяжения имеет
уравнение ех — /\ах), тогда приращение работы пластической дефор-
деформации равно
dAp = axdex = оу' (og dax—± ax dax.
Производная /'(ах) обратна местному (касательному) модулю ?",
х) Предполагается, что читатель знаком с основами теории изгиба и устри-
чиврсти упругих плэстин (см. [49]), ' "
§ 76] УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ ПЛАСТИН 363
следовательно,
1 dAp 1 1 1 d<D
с*~ 1а^ = W ~~ ~Е = ЗГ W '
так как Л^ = Ф; здесь ?" — касательный модуль при растягивающем
напряжении ах, отвечающем данной интенсивности Т.
Внося в формулы G6.1) значения Т, 8Т и F(T), получаем:
G6.2)
y = Stxy, )
где введены обозначения
Axx=\+QBp-q)\
AXy = — v + QBp—q)Bq—p), I G6.3)
Avy=\+QBq-p)*,
причем
0 == To 'тЧ ТР
Для упругого тела 0 = 0, при переходе к площадке текучести
А
Решая уравнения G6.2) относительно приращений напряжения,
находим:
е Е , . с . с . I ^76 4^
ос =—(— А ху8ех^Ахх8е), ( \ikj-^>
8хху = G8yxy, J
где обозначено
/1 ?\ 1 , 5 — 4v / о 8—lOv
По предположению бифуркация осуществляется при отсутствии
областей разгрузки, поэтому формулы G6.4) справедливы во всей
пластине.
Согласно теории изгиба пластин Кирхгофа при выпучивании при-
приращения деформаций будут линейными функциями расстояния от
срединной поверхности:
8ех = ех—zxlt \
Sey = e2-z%2, I G6.5)
где е1г е2, 2е12—бесконечно малые приращения деформаций средин-
срединной поэерхности, а х^, х2, х12—бесконечно малые изменения е§
364 УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. X
кривизн и кручения. Как известно,
где w = w (х, у) — прогиб пластины при выпучивании.
Приращения напряжений, очевидно, также изменяются линейно
по толщине пластины. Нетрудно теперь вычислить приращения мо-
моментов— изгибающих 8МХ, ЬМ и скручивающего 8М
8MX =
8Мху = J 8xxy* <te = — ?> A — v) кЦ)
G6.7)
h , h _.
где интегрирование выполняется в пределах от —?гд0 H~^f> a D==
Eh3
—жесткость упругой пластины.
Проектируя на ось z силы, действующие на элемент пластины
в выпученном состоянии, получим известное уравнение равновесия
д* 8МХ 92 8Мхи д* 6М„ .„- с,
-ъг- +2 -япг+-цг-рь**-*** = °- G6"8)
Отсюда с помощью G6.7), G6.6) находим дифференциальное
уравнение выпучивания пластины (предполагается, что толщина пла-
пластины h постоянна, а исходное напряженное состояние однородно)
. d*w , п . , . d*w
Аналогичное дифференциальное уравнение указано Пирсоном [143].
Для упругой пластины 9 = 0, и уравнение выпучивания принимает вид
)=°- <76Л0>
Уравнение G6.9) внешне сходно с уравнением устойчивости упру-
упругой анизотропной пластины.
2. Граничные условия. Если край пластины жестко заделан, то
вдоль него
где п—направление нормали к контуру.
Если край пластины оперт, то вдоль него
w = О, Ш„ = О,
где 6/W,j — приращение изгибающего момента на контуре.
§ 76]
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ ПЛАСТИН
365
Наконец, если край пластины (например, х = const = а) свободен,
то вдоль него равны нулю изгибающий момент 8МХ и поперечное
усилие1):
dbM
G6.11)
р
Подчеркнем, что граничные условия (как и само дифференциаль'
ное уравнение) однородны.
3. Энергетический метод. Определение критической нагрузки
сводится, таким образом, к нахождению собственных значений
задачи. Можно непосредственно разыскивать нетривиальные реше-
решения дифференциального уравнения G6.9). Во многих случаях
целесообразнее, однако, исходить
из энергетического уравнения.
Последнее можно вывести, пе-
перейдя от дифференциального урав-
уравнения к соответствующей вари- у
ационной формулировке.
Нетрудно (аналогично приему
С. П. Тимошенко [49] и Бийлар-
да [39]) непосредственно вывести
энергетическое уравнение, при-
приравнивая работу деформации из-
изгиба при выпучивании работе
внешних сил на смещениях от
выпучивания.
4. Выпучивание сжатой пря-
прямоугольной полосы. Рассмотрим
задачу о выпучивании длинной Рис. 237.
прямоугольной пластины, сжатой
в одном направлении (рис. 237). Здесь ^ = 0, а так как пластина
вытянутая (Ь^>а), то можно считать, что реализуется цилиндри-
цилиндрическая форма потери устойчивости, т. е. да = «>(.*:). Края лг = О,
х = а оперты, т. е. вдоль них да = 0, ^л = 0-
Дифференциальное уравнение выпучивания G6.9) принимает вид
^w — n
dx*~~
A i
Критическое давление, как нетрудно видеть, равно
¦Луу
Nx, Ny—перерезывающие усилия:
д8Мх
дх
¦ + ¦
дЬМху дЬМу
366
УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ
[гл. х
где Ро= ~2 -т. критическое давление для упругой полосы. Множи-
Множитель
"уу
5-4v
U=V 4
4 U'~
1.
С уменьшением касательного модуля (?'—*0) критическая на-
1—v2
грузка монотонно снижается к значению ¦=—т~Ро, принимаемому на
площадке текучести. Таким об-
образом, здесь в отличие от случая
сжатого стержня полной потери
устойчивости на площадке теку-
текучести нет.
5. Устойчивость опертой
прямоугольной пластины, сжа-
сжатой в одном направлении
(рис. 238). В этом случае <7 = 0, а
граничные условия имеют вид:
У.
-*-
р .'
—
t
д
1
-* а >-
* р
Рис. 238.
при д: =
при у = 0
= 0 и
: = a w —- О,
и y =
;=о.
Ищем решение дифференциального уравнения выпучивания G6.9)
в обычной форме
ткх
С*1П
= Cm
Sin
G6.12)
где стп — произвольная постоянная, т, п — целые числа; легко видеть,
что граничные условия удовлетворяются. Внося G6.12) в уравнение
G6.9), получаем:
Поскольку разыскивается нетривиальное решение, должно рав-
равняться нулю выражение внутри фигурных скобок; тогда
Нетрудно видеть, что о»! — vcoj—Лл > 0, поэтому все слагаемые
положительны, и при разыскании наименьшего р следует положить
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ X 367
п=\ (т. е. в направлении у — всегда одна полуволна). Число т
а
Т
следует выбрать в зависимости от отношения -г- и коэффициентов
уравнения так, чтобы р было минимальным.
6. Заключительные замечания. Как уже отмечалось, при рассмотрении
более сложных задач целесообразно исходить из энергетической формулировки
и искать критическую нагрузку методом Ритца.
Качественная картина границы устойчивости пластин, получаемая по изло-
изложенной теории, правильна, однако теоретические значения критических нагрузок
иногда заметно отличаются от экспериментальных данных. Следует отметить,
что опытные данные находятся в лучшем согласии с результатами работ Бий-
ларда [39] н Стоуэлла, в которых используются уравнения деформационной
теории и принимается, что при потере устойчивости происходит лишь пласти-
пластическая деформация.
Указанное выше расхождение объясняется, возможно, влиянием отклонений
от идеальной формы. Известно, что даже для упругих пластин и оболочек
классическая теория устойчивости приводит к результатам, отклоняющимся от
опытных данных. При пластических деформациях влияние на критическую
нагрузку конечных перемещений, отклонений в геометрии, материале и гра-
граничных условиях сильно возрастает.» Для получения более удовлетворительных
количественных результатов, вероятно, неизбежен трудный анализ деформации
пластин при наличии начальных возмущений.
Литература по устойчивости пластин н оболочек за пределом упругости
огромна. Укажем здесь на кннгн А. С. Вольмира и С. П. Тимошенко н обзорные
статьи [75>76], в которых читатель найдет необходимые ссылки.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ X
¦ 1. Вычислить приведенный модуль Ek для круглого сечения.
2. Вывестн днфференц иальное уравнение выпучивания (для нижней крити-
критической нагрузки)
консольной полосы, изгибаемой силой Р, приложенной в центре Тяжести кон-
концевого сечения <=1 (положено z = lt, (х = Р//М„,).
3. Вывестн дифференцнальное уравнение выпучивания (для нижней крити-
критической нагрузки)
для консольной полосы, изгибаемой нагрузкой Q/1, равномерно распределенной
f 01 \
вдоль оси здесь }х = _?. , Q—вся нагрузка I •
4. Показать, что при условии несжимаемости v = -1r\ дифференциальное
¦;: V * 1
уравнение выпучивания пластины, сжимаемой в направлении х, принимает вид
А.1Л1 d*w d*w d,*w ph d2w
Уу io ¦_) i__ n
^ ^ dy^ D dx2 ¦ ¦ ¦¦
Главах!
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
§ 77. Распространение упруго-пластических
волн в стержне
1. Общие замечания. Действие внезапно приложенных к телу
нагрузок не распространяется мгновенно, а передается от одних ча-
частиц к другим волнообразным путем.
До недавнего времени изучалось лишь движение упругих волн,
т. е. распространение возмущений в упругой среде; динамиче-
динамическая теория упругости имеет важные приложения в сейсмологии и
технике.
С конца второй мировой войны проявляется большой интерес
к вопросам распространения возмущений в упруго-пластиче-
упруго-пластической среде. Это объясняется следующими причинами. Всякое
сколько-нибудь интенсивное ударное нагружение сопровождается
пластической деформацией. Вопросы прочности различных машин и
сооружений, испытывающих удары (или подверженных действию
взрывов), могут быть исследованы лишь при ясном понимании законо-
закономерностей распространения упруго-пластической деформации, пред-
предшествовавшей разрушению. С другой стороны, реальные' среды
(например, в сейсмологии) не являются вполне упругими, и воз-
возникает потребность в учете влияния пластических свойств. На-
Наконец, динамические задачи могут приобрести известное значение
для анализа скоростных технологических процессов обработки
металлов.
Первые задачи о распространении упруго-пластических волн сжатия (рас-
(растяжения) в стержне рассмотрели X. А. Рахматулин [14в], Кармаи и Дюве [11в]
и Тэйлор [1И]. Различные обобщения этой задачи изучены X. А. Рахмату-
линым [84], Г. С. Шапиро[1в8], В. В. Соколовским и др. Подробные ссылки
можно найти в книгах [18.28.84] и обзорах [63~66].
2. Основные предположения. Рассмотрим задачу о распростра-
распространении волн в длинном призматическом стержне, ось которого сов-
совпадает с осью х. Будем исходить из следующих основных предпо-
предположений.
1) При деформации стержня поперечные сечения остаются плоскими
и нормальными к оси х.
§ 77] РАСПРОСТРАНЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТЙЧЕСКЙХ ВОЛН В СТЕРЖНЕ 369
2) Деформации малы, следовательно, можно пренебречь изменени-
изменениями размеров стержня.
3) Силами инерции, соответствующими движению частиц стержня
в поперечных направлениях (вследствие сужения или расширения
сечения), можно пренебречь.
4) Влиянием скорости деформации на кривую зависимости между
напряжением ах и деформацией ъх можно пренебречь.
Так как в этом параграфе рассматривается одномерная задача,
условимся вместо ах, ех, их, vx соответственно писать а, е, и, v.
Относительное удлинение е и напряжение а распределены равно-
равномерно по сечению. До предела упругости материал подчиняется
закону Гуна
а = Ев при |еКе0, G7.1)
где Е—модуль Юнга, а а0, е0 соответствуют пределу упругости
(рис. 239, а). Полагаем, что кривая сжатия аналогична кривой рас-
растяжения. Разгрузка происходит по прямой. Примем в согласии
с опытными данными, что ветвь нагружения (при а > 0) обращена
вогнутостью вниз, причем угол наклона касательной — убывающая
функция деформации:
/л - da . „ I I ^
0 < ~dT < Е при I 81 > ео-
В динамических задачах скорости деформации велики, и влияние
их на кривую деформации может оказаться заметным. Поэтому при-
принятая зависимость а = сг(е) между напряжением и деформацией
является лишь первым приближением и относится к некоторой средней
скорости деформации в данном интервале. Учет влияния скорости
деформации требует рассмотрения упруго-вязко-пластической модели
среды (см. гл. XII).
3. Уравнение движения. Из дифференциальных уравнений дви-
движения сплошной среды D.1) имеем:
?-¦>??¦ <"-2>
Вследствие малости деформации плотность р да const. Так как
да da де де д2и
дх dz дх ' дх дхг '
то получаем:.
д2и „ д2и „.
где величина
р dz
/1 da
370
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
(ГЛ. XI
называется местной скоростью распространения возмущений («мест-
(«местная скорость звука»).
В упругой области скорость распространения постоянна
а=
Р
а}
В пластической области скорость распространения уменьшается
с увеличением деформации (рис. 239, б).
Уравнение второго порядка G7.3) удобно заменить системой двух
дифференциальных уравнений
первого порядка
fo-^а?— — — — f77 4Ъ
dt дх' dt~ dx [ '
для функций е, v, где v—ско-
рость частиц. Нетрудно убе-
__>_ литься в том, что эта система —
гиперболического типа (см. До-
Добавление).
Пусть вдоль некоторой линии
L заданы функции v, e. Присое-
Присоединяя, как всегда, соотношения
-Во
б)
оо/п
де
dv
де
dx-
dv
Рис. 239.
получаем вдоль L систему четы-
четырех линейных алгебраических урав-
д& де dv dv
нений относительно первых производных -^-, -=^, -щ-, ^ и находим:
dt
¦ д :
dv Д4
где д—определитель системы, а Аг, ..., А4—надлежащие числи-
числители. Легко видеть, что
A = dx*— a2dt2.
Если L — характеристическая линия, то вдоль нее производные
неопределенны, т. е. А = 0, Аа = А2 = А3 = А4 = 0. Следовательно,
dx ± a dt = 0.
Условия равенства нулю числителей приводят теперь к зависи-
зависимостям
a de =F dv = 0.
§ 77] РАСПРОСТРАНЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ВОЛН В СТЕРЖНЕ 871
Введем функцию
е
Ф (е) = $ а (е) dz. G7.5)
о
Тогда
Итак, рассматриваемая система дифференциальных- уравнений имеет
два различных вещественных семейства характеристик:
dx—adt = 0, )
v-\- ф (е) = const = т), /
dx + adt = 0, \
*-ф(е) = const = |, /' G7-7>
т. е. относится к гиперболическому типу. Величина а является ско-
скоростью распространения возмущений.
Решение системы G7.4), обладающее в некоторой области х, t
непрерывными первыми производными, условимся называть волной.
Соотношения G7.6) относятся к прямой волне (распространяющейся
в направлении положительных х), соотношения G7.7) — к обратной
волне.
Точка раздела двух волн, перемещающаяся со временем вдоль
стержня, называется фронтом. На плоскости х, t фронт изображается
в виде некоторой линии.
На фронте будет слабый разрыв, если величины е, v непрерывны,,
а их первые производные разрывны.
На фронте будет сильный разрыв, если разрывны сами функции
е, v. Такие волны называются прерывными, или ударными.
Первые из зависимостей G7.6), G7.7) определяют законы рас-
распространения возмущений, вторые — связывают скорости и деформа-
деформации частиц на характеристиках.
4. Ударное нагружение полубесконечного стержня. Рассмотрим
полубесконечный стержень х^О, находившийся при ( = 0 в состоя-
состоянии покоя. Пусть при t^O концу стержня х = 0 сообщаются неко-
некоторые возмущения. Последние могут быть различного типа. Например,
на конце стержня лг = О может быть задана скорость
или напряжение
a = a(t).
Если по концу стержня ударяет тело массы пг с начальной ско-
скоростью v , то
m-^- = oS при х = 0,
где S—площадь сечения стержня, причем при ^ = 0 ¦о = т'0.
372
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. XI
Интерес представляет такой случай ударного нагружения, когда
концу стержня х = 0 внезапно сообщается некоторое конечное напря-
напряжение а^ или, что то же, некоторая деформация е,..
Ограничимся рассмотрением следующей основной задачи: в мо-
момент ^ = 0 концу стержня сообщается растяжение а,, и поддержи-
поддерживается постоянным (рис. 240) в течение некоторого промежутка
¦времени 0^^<^. В момент t = t1 нагрузка полностью снимается.
Итак, начальные и граничные условия имеют вид:
Л),
5. Распростравение упругой волны. При ст„^ст0 деформации
s стержне будут упругими, тогда скорость движения волны посто-
постоянна (а — а0) и уравнение G7.3) переходит
в классическое волновое уравнение. Реше-
Решение его в форме Даламбера имеет вид
и =/ (x—aot) + г|) (х + aot),
где /, г|) — произвольные функции, опреде-
определяемые по начальным и граничным данным.
В плоскости х, t характеристики
х — aot — const, x -f- aot = const
при t
при х
= 0
= 0
u(x, t)
ди
dt
а
а
= 0
= 0
= const
= 0
Рис. 240.
представляют семейства параллельных прямых.
При ударе вдоль стержня начнет распространяться прямая волна
u=/(x—aot).
Но при х = 0 ^=/'(—aot) = &^> гДе е* = -/Гст*- Отсюда вытекает,
т. е.
u = s!t(x—aot) + C.
Так как на фронте волны смещение непрерывно, то при x — at
а = 0, т. е. С = 0, и решение имеет вид
и = е, (х — aot).
В плоскости х, t (рис. 241, а) имеем следующую картину. Ниже
фронта x = aot лежит область покоя, на фронте претерпевают раз-
разрыв деформация е, напряжение а и скорость частиц v. В фиксиро-
фиксированный момент времени f распределение деформаций, скоростей v
§ 77] РАСПРОСТРАНЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧ ЕСКНХ ВОЛН В СТЕРЖНЕ 373
и смещений и показано на рис. 241,6; до прихода фронта волны
частицы стержня находятся в покое, после прохождения — приобре-
приобретают постоянную скорость — %а (обратную направлению движения
волны). Смещение линейно возрастает с удалением от фронта.
В момент t = t1 конец стержня разгружается (удар разгрузки);
вправо со скоростью а0 распространяется фронт волны разгрузки,
оставляя после себя состояние покоя е = 0, а = О, v = 0, и = const = их.
aJ
О
1
у
Illillllll
'"и
Illlllllllllllllllllll
"a"
t'
Рис. 241.
Картина деформации стержня в момент f > tx показана на
рис. 241,в. Картина изменения состояния с течением времени в не-
некоторой точке лг = лг' изображена на рис. 241, г.
6. Преобразование уравнений, простые волны. Обратимся те-
теперь к распространению упруго-пластических волн. При ст, > сгв
скорость волны переменна, причем ббльшая деформация распрост-
распространяется с меньшей скоростью; с течением времени волна «расплы-
«расплывается».
Система нелинейных дифференциальных уравнений G7.4) — при-
приводимая и преобразуется аналогично уравнениям плоской задачи
(см. § 33).
14 Л. М. Качанвв
374 ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. XI
Принимая за новые функции ?, т), получаем:
¦^-+в-^- = 0 *L_a^L-n G78>
dt^adx u> dt dx~U' [1 ¦ >
Эта система линеаризуется обращением переменных; при отличном
от нуля якобиане
легко находим каноническую систему:
Каноническая система не эквивалентна исходным уравнениям
G7.8), так как при обращении переменных теряются решения, для
которых Д (|, т))=0. Эти решения, играющие важную роль, могут
быть найдены непосредственно. С помощью G7.8) получаем:
Vi" " дх дх a dt dt '
откуда вытекает, что потерянные решения имеют вид:
1) 1 = const =|0, т| = const = т]0,
2) т| = const = гH,
3) | = const = |0.
В первом случае из G7.8) следует, что v = const, e = const, т. е.
будет состояние постоянной деформации и скорости (в частности,
состояние покоя).
Во втором случае одно из уравнений G7.8) удовлетворено, так
как т) = т]0, а другое после замены | = тH — 2ф(е) принимает вид
dt ' dx
Дифференциальные уравнения характеристик
dt dx de,
Т = "а" = "
имеют очевидные интегралы
г = Съ x — at = C2,
где Clt C2 — произвольные постоянные. Решение исходной системы
уравнений есть
T]=<p(e)-f v = r\0, х — а^ = Ф_(е),
где Ф — произвольная функция. Следовательно, характеристики
прямолинейны; вдоль каждой из характеристик деформация, напря-
напряжение и скорость частиц постоянны.
§ 77] РАСПРОСТРАНЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ВОЛН В СТЕРЖНЕ 375
Важным частным случаем является центрированная волна, для кото-
которой прямые характеристики исходят из некоторого центра О (рис. 242).
Третий случай (| = const) аналогичен второму с тем отличием, что
здесь волна перемещается вобратном направлении.
Изложенные решения называются простыми ,
волнами и изображаются на плоскости |, ц
точками (для области постоянных значений) или
отрезками прямых линий. Подобно случаю пло-
плоской деформации (§ 33), легко устанавливается
важная теорема: к области постоянных значений
{в частности, к области покоя) всегда примы-
примыкает простая волна.
7. Распространение упруго-пластической
волны нагружения. При ударе по концу в
стержне начнет распространяться простая волна растяжения v-\-
_(_ф(е) = тH; впереди волны — состояние покоя, следовательно, тH = 0 и
Рис. 242.
Различные деформации будут распространяться с различными
скоростями: упругие деформации — с максимальной скоростью а0,
aj
*
t,
?'
a
,. t/
M
ж
ч/г/
ш
cs'
jf Цеитриров.
'// волна
^ Поной
и=О;гг=О;е=О
6)
Рис. 243.
деформации за пределом упругости — с меньшими скоростями. На
фронте волны х—aot = O (рис. 243, а) деформация испытывает
14*
376 ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ [гл. XI
скачок от нуля до е0, а скорость частиц — от нуля до г>=—ф(е0) =
= — «оео- Вслед за тем проходит центрированная волна растяжения
)=0, х- at = O,
характеризуемая на плоскости х, t пучком прямых характеристик,
исходящих из начала координат, и иногда называемая волной Римана.
Вдоль каждого луча скорость распространения деформации постоянна;
эта скорость при переходе к характеристикам с ббльшим наклоном,
очевидно, уменьшается. По достижении максимальной деформации
е„ состояние фиксируется и далее от конца стержня распространяется
с минимальной скоростью а (е„) постоянное возмущение е.,.
Если наблюдать за состоянием в фиксированной точке х = х'
(рис. 243, в), то при t <— будет покой; в момент /=— прихо-
дит фронт волны; деформация е, напряжение а и скорость v испы-
испытывают описанный выше скачок; далее, в интервале времени
х' х'
— < t < —-.—г- появляется и постепенно нарастает пластическая
а0 a (ej
деформация; в момент / = ——¦ последняя достигает максимального
значения и в последующем не изменяется. Распределение деформаций
и смещений вдоль стержня в некоторый момент ? показано на
рис. 243, б.
В заключение сделаем два замечания. Во-первых, описанная
картина деформации правильна лишь до момента наступления раз-
разгрузки, во-вторых, здесь рассмотрено распространение волны рас-
растяжения; при ударе сжатия знаки деформации е, скорости v и
смещения и изменятся на обратные.
8. Волна разгрузки. В момент t = t1 в направлении положитель-
положительных х начнет распространяться новая волна—волна разгрузки.
В области разгрузки разности напряжений и деформаций связаны
законом Гука
a-ae = ?(e-ej, G7.10)
где ат, гт—значения напряжения и деформации, достигнутые в
данном сечении стержня к моменту начала разгрузки (рис. 239, а);
этн величины являются неизвестными функциями х. Внося G7.10)
в уравнение движения G7.2), получаем:
где
неизвестно.
§ 77] РАСПРОСТРАНЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ВОЛН В СТЕРЖНЕ 377
Необходимо построить решение этого уравнения, согласующееся
с решением дифференциального уравнения нагружения G7.3); граница
раздела решений заранее неизвестна. Мы не будем останавливаться
на обсуждении этой своеобразной краевой задачи (см. [34]), так как
для рассматриваемого простого случая ударной разгрузки в этом
нет' необходимости.
Покажем, что волна разгрузки перемещается со скоростью упру-
упругой волны а0. Рассмотрим кинематическое и динамическое условия
совместности на фронте
волны разгрузки. При про-
прохождении фронта напряже-
напряжение и деформация испыты- Ш»А """ -Z?
вают разрывы
а+-а_=[а],
е+-е_=[е],
где а+, е+, сг_, е_—значе-
е_—значения сг, е впереди и позади
фронта (рис. 244), переме-
перемещающегося с некоторой скоростью g. Согласно закону Гука
[в]=Е[е]. G7.11)
На фронте волны должно выполняться условие непрерывности сме-
смещения (условие кинематической совместности). Рассмотрим элемент
стержня длиной Ал: (перед прохождением волны разгрузки); длина
этого элемента после прохождения фронта будет:
Ах = Ах-\- (е+ — е_) Ад:.
С другой стороны ( время прохождения волной отрезка Алг) ,
Д Y
Ax=Ax+(v+—v_) — .
Следовательно, разрывы в деформации и скорости частиц связаны
соотношением
[v]=g[e]. G7.12)
Далее, изменение движения элемента Ад: при прохождении волны
разгрузки должно подчиняться законам динамики (условие динамиче-
динамической совместности); по теореме о количестве движения
pAx[v] = [o]— . G7.13)
Исключая отсюда разрывы [v], [а] с помощью G7.11), G7.12),
находим, что волна разгрузки распространяется со скорость^
378
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. XI
упругой волны:
g
Заметим, что общая теория кинематических и динамических условий
совместности и ее приложения к распространению волн в упругой и пластиче-
пластической средах изложены в книге Томаса [60].
9. Остаточная деформация. Остаточная деформация вычисляется
на основе зависимости G7.11); так как нагрузка сбрасывается пол-
полностью, то а_ = 0. Но тогда остаточная деформация равна
Фронт волны разгрузки, двигающийся с максимальной скоростью
0, обгоняет простые волны, причем так как наиболее медленным
из них соответствуют наибольшие
пластические деформации, то по
мере распространения волны разгруз-
разгрузки вдоль стержня величина остаточ-
остаточной деформации за фронтом умень-
уменьшается.
Лота
u=O; ir=O; e=0
/7
Ф \
¦= >-
?
Л1Л...
3?
Рис. 245.
Рис. 246.
Картина в плоскости х, t имеет следующий вид (рис. 245).
Расстояние между фронтами нагрузки и разгрузки, перемещающимися
с постоянной скоростью а0, постоянно (рис. 245, а). С течением
времени простые волны (веер на рис. 245) все более «расплывают-
«расплываются», поэтому в отрезке между фронтами развиваются все меньшие
пластические деформации. Таким образом, с удалением от конца
стержня остаточная деформация убывает к нулю (рис. 245, в).
§ 78]
О СХЕМЕ ЖЕСТКО-ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЛА
379
Теоретические выводы удовлетворительно подтверждаются экспе-
экспериментами [18> 34,63-65J Заметим, что предположение о малости
деформаций не является существенным. Вычисленные очертания
деформированного при ударе стержня хорошо соответствуют наблю-
наблюдаемым (рис. 246).
§ 78. О схеме жестко-пластического тела
в динамических задачах. Некоторые энергетические теоремы
1. О схеме жестко-пластического тела в динамических задачах.
Если допустимо пренебречь влиянием скорости деформации, зависимость
между напряжением и деформацией можно условно изобразить гра-
графиком сг-е, приведенным на рис. 247, а; начальный линейный участок
является упругим. При значительных пластических деформациях
можно пренебрегать упругими деформациями, т. е. аналогично зада-
задачам статики исходить из схемы жестко-пластнческого тела. При
б)
Рис. 247..
в)
этом мы приходим к графику, показанному на рис. 247, б. Если
упрочнение незначительно, целесообразно исходить из схемы идеаль-
идеального жестко-пластического тела (рис. 247, в).
Пренебрежение упругими деформациями существенно упрощает
решение и позволяет в ряде динамических задач получить простые
результаты.
Жестко-пластическая схема пригодна, если пластическая работа
значительно (скажем, на порядок) превышает упругую энергию. Это
условие вытекает из решений некоторых упруго-пластических дина-
динамических задач. Разумеется, строгая оценка пластической работы
и упругой энергии по исходным данным задачи практически недо-
недоступна. Однако особенности рассматриваемой задачи обычно позво-
позволяют судить о возможности пренебрежения упругой деформацией.
Например, если необходимо определить значительные пластические
изменения формы в результате удара, упругие деформации можно,
как правило, исключить из рассмотрения. Примером другого типа
может служить задача о сильном взрыве (сферическом) в упруго-
пластической среде; хотя пластическая работа здесь может значи-
значительно превосходить упругую энергию, упругими деформациями
380 ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. XI
пренебрегать нельзя, если необходимо знать интенсивность упругих
волн, излучаемых при взрыве.
Жестко-пластическая схема получила широкое распространение
в задачах о воздействии импульсивной нагрузки на балки, круглые
пластины, оболочки, представляющих значительный прикладной ин-
интерес. Так, балка остается жесткой, пока изгибающий момент М
не достигает предельного значения Mt. В последующем в балке
образуются пластические шарниры (или
пластические'зоны), в которых \М\ = const =
— =^« (рис. 248). Изучая движение жестких
и пластических участков балки с учетом
условий на их границах, можно определить
. ,, остаточные деформации балки и время де-
0 Крибизна формирования. Относительная простота
уравнений движения жестко-пластической
балки позволяет определять не только ма-
малые, но и большие ее прогибы.
Следует, однако, иметь в виду, что же-
жестко-пластическая схема в динамических
р 24я задачах приводит в общем лишь к каче-
качественно хорошему согласию с эксперимен-
экспериментальными данными для смещений; количественные же расхождения
могут быть значительными.
Первые работы по использованию жестко-пластической схемы в динами-
динамических задачах принадлежат А. А. Гвоздеву A943 г.) и Тэйлору A946 г.).
Интенсивное развитие этого направления началось несколько позднее после
работ Ли и Саймондса A952 г.), Прагера и Гопкинса A954 г.) и других ав-
авторов по динамике жестко-пластических балок и пластин (см. [в5> *"> 152>16в]).
2. Некоторые энергетические теоремы. В динамике жестко-пла-
жестко-пластического тела пока не найдены достаточно общие теоремы, кото-
которые позволяли бы получать эффективные оценки решений (аналогично
теоремам о предельной нагрузке, гл. VIII). Несколько простых тео-
теорем частного характера недавно установил Мартин [135].
Пусть в начальный момент времени t = 0 известны скорости v\
точек рассматриваемого жестко-пластического тела, а при />0
на поверхности тела равны нулю либо поверхностные усилия Xni,
либо скорости V;. Предполагается, что при деформации тела конфи-
конфигурация последнего мало изменяется; массовые силы для простоты
не рассматриваются.
При сделанных предположениях известна начальная кинетическая
энергия тела, которая в последующем движении полностью расхо-
расходуется на пластическое деформирование тела, поскольку внешние
воздействия при ^>0 никакой работы не производят. Естественно,
что в некоторый момент времени t — T движение прекратится.
§ 78] О СХЕМЕ ЖЕСТКО-ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЛА 381
Теорема 1. Время деформирования t имеет нижнюю границу
_ V pviv'i
\ alibi dV
где р —плотность тела, vt — кинематически возможное поле скоро-
скоростей, не зависящее от времени, а*;- — напряжения, определяемые по
скоростям деформации ?// согласно ассоциированному закону пласти-
пластического течения (см. § 16)
Ч до(/' -"'
где f(Oij) — К<=>0— уравнение поверхности текучести.
В знаменателе правой части G8.1) стоит мощность кинемати-
кинематически возможной пластической деформации; обозначим ее через D'.
Доказательство. Согласно общему уравнению механики
имеем (точка означает производную по времени):
где Оу, v: — действительные напряжения и ускорения. В силу ло-
локального принципа максимума (о*/ — 0/у)?//^О (см. §§ 64, 65), сле-
следовательно,
Таким образом,
Интегрируя это неравенство по времен^ от t = 0 до i = t, на-
находим:
Г — Jpi>,i>;dv] 's^lD'.
Учитывая начальные значения v{ и полагая vi\t--j=0, приходим
к неравенству G8.1).
Теорема 2. Для поверхностных смещений ui за время дефор-
деформации справедлива оценка сверху
§pvfdV, G8.2)
где X'ni — не зависящие от времени усилия, отвечающие статически
возможному напряженному состоянию текучести а'ц (см. § 64,5),
т. е. /(о-^-ЖО.
Доказательство. Согласно общему уравнению механики
имеем;
382 ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. XI
По локальному принципу максимума
Но в силу F4.6)
Следовательно,
Интегрируя это неравенство по времени от ^ = 0 до t = t и учи-
учитывая, что при t — О и, = 0, vi = v4, а при t = t ul = ui, vt = 0,
приходим к искомому неравенству.
Приведенные теоремы нетрудно сформулировать в терминах
обобщенных сил и перемещений, что удобно при рассмотрении
стержней, пластин и оболочек.
Сравнение оценок, получаемых по теоремам Мартина, с некото-
некоторыми точными результатами показывает, что время деформирования t
определяется с небольшой погрешностью; оценка же перемещений
заметно завышена.
Слабым местом доказанных теорем является предположение о ма-
малости изменений формы тела, плохо согласующееся с условиями
применимости схемы жестко-пластического тела в динамических за-
задачах.
3. Пример. Пусть в момент t = 0 свободно опертая балка
(рис. 249, а) испытывает воздействие импульсивной нагрузки, сооб-
сообщающей всем сечениям балки постоянную начальную скорость v0.
Vn
777' w.
-21
Рис. 249.
Возьмем в качестве не зависящего от времени кинематически воз-
возможного поля скорости треугольное распределение, показанное на
рис. 249, б. При этом в середине балки имеется пластический шар-
шарнир, а каждая половина балки вращается как твердое тело относи-
относительно опоры с угловой скоростью со. Тогда v' = солг, a fl' = 2М%а>,
§ 79] ПРОДОЛЬНЫЙ УДАР ЖЕСТКО-ПЛАСТИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ 383
Легко видеть, что
С p-dfv'i dV = 2 С mvo(nx dx = mvol2a>,
где m — масса единицы длины балки. Согласно неравенству G8.1)
получаем:
^ 2М* ' У78-3)
что совпадает с точным значением, найденным Саймондсом. Вычис-
Вычисляем, далее, правую часть неравенства G8.2)
Возьмем в качестве статически возможной нагрузки сосредо-
сосредоточенное усилие Р', приложенное в середине балки и соответствую-
2
щее ее предельному состоянию, т. е. P'=~j-Mt. Тогда из G8.2)
следует оценка для прогиба и в середине балки
"^ТЖГ G8-4)
Эта оценка в полтора раза выше точного значения.
4. Заключительные замечания. Приведенные теоремы распространены
Мартином на тела, обладающие упрочнением и вязкостью.
В недавно опубликованной работе В. П. Тамужа [1в0] показано, что
действительные ускорения минимизируют некоторый функционал. Этот прин-
принцип может быть использован, в частности, для получения приближенных
решений; см. также [135].
§ 79. Продольный удар жестко-пластического стержня
о неподвижную преграду
Рассмотрим, следуя Тэйлору [192], задачу о нормальном ударе
цилиндрического стержня (начальная длина /0), движущегося с на-
начальной скоростью v0, о неподвижную недеформируемую преграду.
Пусть известна условная кривая одноосного статического сжа-
сжатия цилиндра а = а(е), где а, е — напряжение и деформация, отне-
отнесенные соответственно к начальной площади Fo и начальной дли-
длине /0 (рис. 247, а); пренебрегая упругими деформациями, получим
кривую, показанную на рис. 247, б; пластическое течение при этом
начинается со значения o = as («предел текучести»).
Пусть фронт волны пластической деформации распространяется
от неподвижной преграды со скоростью g и оставляет за собой
384
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. XI
покоящийся материал; справа от фронта —материал жесткий и дви-
движется как твердое тело (рис. 250) с уменьшающейся скоростью v.
На фронте скачком изменяются площадь поперечного сечения и на-
напряжение: перед фронтом имеем Fo и os (так как материал перед
фронтом становится почти пластическим), за фронтом F и а.
Из уравнения несжимаемости вытекает, что
о- G9.1)
Деформация за фронтом волны может быть вычислена следую-
следующим образом: в единицу времени столбик недеформированной части
длиной v-\-g переходит в столбик де-
деформированного материала длиной g. От-
Относительная деформация сжатия при этом
будет
8 = ^ПТ, =?ГХТ7- G9-2)
v+g
Пусть А —длина недеформированной ча-
части образца в момент /; очевидно, что
-irt=v + S- G9.3)
Рис. 250.
При прохождении фронта волны через
элемент стержня dx = — dt{v-\-g) ско-
скорость последнего обращается в нуль. По теореме количества движения
где р —плотность, предполагаемая неизменной; таким образом,
p(v + g)v = o — os. G9.4)
Составим уравнение движения недеформированной части стержня;
так как последняя имеет переменную длину h, а следовательно,
и переменную массу, то в правой части уравнения
к приложенным силам необходимо присоединить силу реакции отде-
отделяющейся массы. Но материал стержня перед фронтом волны ста-
становится почти пластическим, поэтому можно считать, что «суммар-
«суммарная сила» Р достигает значения — osF0. Итак, уравнение движения
недеформированной части стержня имеет вид
G9.5)
Из G9,2), G9.3) следует:
§ 80] ИЗГИБ ЖЕСТКО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ БАЛКИ 385
и из G9.5) получаем по умножении на v
4-d(pw")=o^d(lnA).
Но в силу G9.2), G9.4) имеем:
рг;2 = е(а — <т5). G9.6)
Следовательно,
d[e(a — as)] = 2ase d (In h).
Отсюда при начальных условиях
h = l0, v = v0, e = e0 при t = 0
получаем:
Значение е0 определяется из G9.6)
pv% = E0(o0 — os), o0 = a(e0).
Так как кривая tf = a(e) известна, то уравнение G9.7) опреде-
определяет остаточную деформацию е в зависимости от длины h.
Согласно G9.6) находится скорость v как функция h, а по соот-
соотношению G9.2) — скорость фронта пластической волны g как функ-
функция h. Наконец, зависимость от времени определяется по уравнению
G9.3). Вычисленные таким способом очертания деформированного
при ударе стержня хорошо согласуются с наблюдениями (рис. 246)
и с расчетами по более точной теории, учитывающей упругость
материала.
§ 80. Изгиб жестко-пластической балки
под действием импульсивной нагрузки
1. О схеме жестко-пластической балки. Балка остается жесткой,
пока изгибающий момент М не достигнет предельного значения М^,
При этом могут возникнуть неподвижные (стационарные) или под-
подвижные (нестационарные) пластические шарниры (рис. 251, б) или,
наконец, некоторые пластические зоны (рис. 251, в). Между пласти-
пластическими шарнирами и зонами будут жесткие участки, для кото-
которых \М\ < Ж,. В процессе движения положение шарниров и пласти-
пластических зон, вообще говоря, изменяется. Интенсивные динамические
нагрузки нередко приводят к значительным деформациям балки.
Естественно, что при этом важное значение получают продольные
усилия, которые могут возникнуть при отсутствии смещений опор.
386
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. XI
Ниже рассматриваются простые задачи, в которых осевые усилия
отсутствуют.
Жестко-пластическая схема приводит в динамических задачах
к удовлетворительным результатам, если пластическая работа сущест-
существенно (скажем, на порядок) превышает максимальную упругую энергию
м2/
балки * , где J — момент инерции поперечного сечения, / — длина
балки. Это условие обычно реализуется
при заметных пластических прогибах
а) балки.
2. Условия кинематической сов-
совместности. Направим ось х по оси
балки, пусть / — длина (или полудлина)
балки. Введем следующие обозначения:
о) „ ди а •
0 = ^-, со = й, и — соответственно угол
наклона касательной к оси балки,
угловая скорость и угловое ускорение;
fi) v=u, v—соответственно скорость
прогиба и его )Чкорение. Обозначим,
далее, через ?/ расстояние от левого
конца балки до пластического шарнира
рис 251 (рис. 251, а) или пластической зоны
(рис. 251,6), через g=l% — скорость
движения шарнира (или распространения пластической зоны). Значе-
Значения величин слева от шарнира (слева от границы пластической зоны)
условимся отмечать индексом —, справа—индексом+.
На шарнире (на границе) x = lt, должны выполняться условия
кинематической совместности. Прежде всего—это очевидное условие
непрерывности прогиба
и_=и+. (80.1)
Дифференцируя это соотношение по времени, находим:
ди_ ди_ dx ди+ . ди+ dx
н—&
или
v_-v+=—g(Q_-Q+)
Здесь правая часть равна нулю. Действительно, для неподвижного
пластического шарнира g= 0; если же шарнир перемещается с конеч-
конечной скоростью, то соседние сечения не успевают повернуться на
конечный угол за мгновение, в течение которого шарнир проходит
упомянутое сечение. Итак,
v_=v+. (80.2)
§ 80]
ИЗГИБ ЖЕСТКО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ БАЛКИ
387
Дифференцируя теперь это соотношение по времени, получаем:
V- — V+ = — g (СО_ — С
(80.3)
т. е. разрыв в ускорении прогиба пропорционален разрыву угловой
скорости.
3. Об уравнениях движения жестко-пластической балки. Анализ
движения жестко-пластической балки основан на совместном рас-
рассмотрении движений ее жестких и пластических участков.
Уравнение движения частиц пластического участка несложно. Здесь
по условию текучести изгибающий момент постоянен (М = const — AfJ,
вследствие чего перерезывающая сила равна нулю и уравнение
движения имеет вид
mu=q(x,t), (80.4)
где q (x, t) — распределенная нагрузка.
Уравнение движения жесткого участка (рис. 251, в) при неподвиж-
неподвижном шарнире также нетрудно написать. Если шарнир нестационар-
нестационарный, то длина жесткого уча-
участка (а следовательно, и Q/21
его масса m\l) изменяется,
поэтому необходимо, вообще
говоря, учитывать реактив-
реактивные силы, возникающие
вследствие отделения частиц
от тела (или присоединения
их к телу). Как известно,
эти силы пропорциональны
разности скоростей частиц
и.тела. В рассматриваемой
задаче движения жестко-
пластической балки эта раз-
разность на границе в силу
(80.2) равна нулю, поэто-
поэтому дополнительные реактив-
реактивные силы не возникают и
можно, как правило, исхо-
исходить из обычных форму-
формулировок законов механики.
4. Пример — шариирно опертая балка под действием равномер-
равномерно распределенной импульсивной нагрузки. Рассмотрим движение
шарнирно опертой балки (рис. 252, а), испытывающей воздействие
равномерно распределенной нагрузки q — Qj2l взрывного типа; по-
последняя действует в промежутке времени @, т), в течение которого
она постоянна (рис. 253, а) или убывает (рис. 253, б), причем
г)
Рис. 252.
388
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. XI
предполагается, что
(80.5)
8,,
Введем безразмерный параметр нагрузки q = Ql/Mt.
Балка не будет деформироваться, тюка максимальный изгибающий
момент не достигнет предельного значения М^. Это произойдет, как
нетрудно видеть, при q = 4=qt
, Q для среднего сечения балки. Итак,
при слабой нагрузке q < 4 балка
остается жесткой.
Движение балки при средней
нагрузке D ^.q ^.12). При на-
t грузке, несколько превышающей
цъ жесткие половины балки вра-
вращаются на опорах (рис. 252, б)
при неподвижном пластическом
шарнире посередине. Ура-внение
вращения левой половины балки имеет вид
4^-и =4-(-7-4). (80.6)
Рис. 253.
Поскольку нагрузка мгновенно достигает максимального значения,
начальные условия — нулевые, именно:
при ^ =
« = 0,
(80.7)
О
Уравнение (80.6) сохраняет смысл, пока изгибающий момент в жест-
жесткой половине балки нигде не превысит Mt. Изгибающий момент
определяется равномерно распределенной
нагрузкой интенсивности Q/21, инерционной
нагрузкой—max и предельным моментом
Mt в шарнире. При малых значениях угло-
углового ускорения эпюра изгибающего момен-
момента показана на рис. 254 сплошной линией,
при большом ускорении — пунктирной. В
последнем случае вблизи шарнира перерезы-
перерезывающая сила отрицательна, что будет, как
легко видеть, при mla > Q/21. Поэтому
уравнение (80.6) верно при тЫ <Q/2/. Полагая в уравнении (80.6)
mlti) = Q/2l, найдем наибольшую нагрузку q= 12 = q2, ниже которой
движение реализуется с одним сосредоточенным шарниром в сере-
середине балки.
Рис. 254.
§ 80] ИЗГИБ ЖЕСТКО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ БАЛКИ 389
Интегрируя уравнение (80.6), получаем:
2?а>=4/@-3* (l(t)=\qdt). (80.8)
Движение прекратится в момент t=t, когда угловая скорость
обратится в нуль; тогда
/(/) —4? = 0. (80.9)
Интегрируя, далее, уравнение (80.8) и полагая t = t, найдем очер-
очертания деформированной балки (излом посредине, рис. 252, б), опре-
определяемые углом 0 = 0(/):
7
Ж~ = 1" \l(t)dt — ^I2(t). (80.10)
о
Для прямоугольного импульса (рис. 253, а) будет
D==M7 J" (80.11)
Максимальный прогиб равен u = lQ.
Движение балки при сильной нагрузке (<7>12). В этом случае
при нагружении образуется пластическая зона | л: | 5=; ?/ (рис. 252, в),
в которой изгибающий момент постоянен. Эта зона при определенных
условиях (см. ниже) сокращается, стягиваясь в некоторый момент
t = t' в точку—пластический шарнир посредине. При t^>t' проис-
происходит движение с одним неподвижным шарниром (рис. 252, г).
Рассмотрим движение при t < Г. В пластической зоне оно опи-
описывается уравнением (80.4), причем нагрузка q = Q/2l не зависит
от х, поэтому пластический участок движется вниз, не деформируясь
(рис. 252, в). Допустим сначала, что нагрузка Q(t) растет и найдем
|. Для элемента на границе х = \1 имеем:
m/gco — -§i=0. (80.12)
Вращение жесткой части определяется уравнением
^1!щ = -|-(^2 — 4), (80.13)
аналогичным уравнению (80.6). Из выписанных уравнений вытекает,
что
^g2—12 = 0, (80.14)
4|/з^и = 93/2- (80.15)
Приведенные уравнения верны при возрастающей нагрузке Q(t),
когда g<Z.O и левая часть балки х ¦< 1\ остается прямой. При этом
15 л. М. Качанов
390 ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. XI
на границе скачок ускорения согласно уравнениям (80.4) и (80.13)
равен
м* I 12\
обращаясь в нуль в силу (80.14). Скачок угловых скоростей также
равен нулю.
Пусть теперь нагрузка Q(t) падает, тогда
ql2—12<0, (80.16)
иначе нарушится условие совместности (80.3). Составим уравнение
моментов количества движения половины балки О^лг^/ относи-
относительно левой опоры:
t i
^dt — Mtf = Г mvx dx. (80.17)
о о
t
При x^.\l v=mx, при х~^-\1 согласно (80.4) mv= \ Q/21 dt=
о
-~т'*), поэтому уравнение (80.17) принимает вид
{^. (80.18)
Дифференцируя это уравнение по времени и используя соотно-
соотношение (80.13), получаем, что irl(t) =-гт^(л. Тогда легко видеть, что
Выясним условия реализуемости рассматриваемого режима. Диф-
Дифференцируя (80.19), находим, что вследствие условия (80.5), которое
можно записать в виде I(i)^tq, будет
т. е. g^0. Исключая здесь с помощью (80.19) величину/, находим:
т. е. неравенство (80.16) действительно имеет место.
Устремляя в соотношении (80.19) t—>-0, приходим к начальному
положению границы
<7о?оа=12, Б0 = ?@). (80.21)
В момент t' \ = \, следовательно,
I(t') — \2t' = 0. (80.22)
§ 80] ИЗГИБ ЖЕСТКО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ БАЛКИ 391
Угловую скорость со' в этот момент можно найти из (80.20):
^©' = 6*', (80.23)
а перемещение средней точки и' — интегрированием уравнения для и:
Движение при t^>t'. В этой заключительной стадии движения
угловая скорость вращения вновь «отвердевшей» половины балки
определяется прежним уравнением (80.6), но с начальным условием:
при t = i' co = co'.
Найдя соответствующее решение и используя зависимости (80.22),
(80.23), получаем:
2? !3* (*>*')• (80.25)
Движение заканчивается при @ = 0 в момент t, определяемый
соотношением
/ G) —47=0. (80.26)
Интегрируя уравнение (80.25), находим угол поворота, накапли-
накапливаемый в рассматриваемой стадии движения:
f
Определяя теперь смещение /Э в конечный момент t и присо-
присоединяя предыдущее смещение (80.24), получим суммарное перемеще-
перемещение средней точки и:
7 f
ЛЛ " — А 1 * \ **" I 9 1 * \"> ""¦ QO I д \"/~ о * V / I • (oU-^')
t' 0
В средней точке балки в течение заключительной стадии движе-
движения образуется надлом.
В случае прямоугольного импульса (рис. 253, а)
Ио* при
\ qaX при
и из (80.22), (80.26) следует, что
15*
392 ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ [ГЛ. XI
Максимальный остаточный прогиб согласно (80.27) равен
W. " =^Г5" (?0~3) {q > 12)- (8028)
В данном примере согласно (80.19) в промежутке времени @, т) граница
i = So. т- е- неподвижна; она смещается лишь при t > т.
Нетрудно вычислить энергию, поглощенную балкой. Для средней нагруз-
нагрузки (<7О<12) поглощение происходит в центральном шарнире. При сильной
нагрузке (q0 > 12) энергия поглощается на стационарной границе ? = ?0,
в зоне непрерывных пластических деформаций ?0 < | < 1 и в центральном
шарнире |=1.
5. Заключительные замечании. Анализ иных случаев нагружения пока-
показывает, что «форма» импульса мало влияет на прогибы, которые в основном
определяются максимальной нагрузкой д0 и полным импульсом
Другие случаи нагрузок (сосредоточенные, неравномерные, ...) и закреп-
закреплений балок рассмотрены в ряде работ [1В2>163] аналогичными приемами.
Экспериментальные данные удовлетворительно подтверждают расчеты по жест-
жестко-пластической схеме при развитых пластических деформациях. Отмечаемые
иногда расхождения обычно связаны с влиянием осевых усилий, возникающих
прн больших прогибах, и отклонений от идеальной пластичности.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ XI
1. Круглый цилиндрический стержень г^О испытывает скручивающий
удар, приложенный к концу г = 0. Если скручивающий момент достаточно
велик, то распространится волна упруго-пластической деформации.
Вывести дифференциальное уравнение распространения деформации скру-
скручивания в предположении, что материал следует упруго-пластической схеме
с площадкой текучести, а сечения стержня поворачиваются целиком.
Ответ.
где Ьо—скорость распространения упругой волны, с—радиус ynpyroto ядра,
Э—угол поворота сечения.
2. Найти скорость распространения скручивающей волны упруго-пласти-
упруго-пластической деформации для упрочняющегося стержня (§ 30, 3).
3. Вывести дифференциальное уравнение продольных колебаний стержня
переменного сечеиия (S—площадь сечения).
Ответ.
да S' (х) &и
4. При внезапном приложении растягивающей нагрузки к упругому
(а = ?е) стержню, масса которого незначительна в сравнении с массой груза,
динамическая деформация е в два раза больше деформации е* при статиче-
статическом (медленном) нагружении (см. ["], I, § 64). Найти отношение ed/es для
стержня, подчиниющегося закону деформации а=ДеР, гдз В, Р—постоянные
@ < Р< 1). Показать, что —5*2 и стремится к е = 2,718.. . при Р~*0.
Глава XII
СЛОЖНЫЕ СРЕДЫ. ВЯЗКО-ПЛАСТИЧНОСТЬ
§ 81. О сложных средах
1. Влияние вязкости. В предыдущих главах рассматривалась
пластическая деформация, не зависящая от времени (атермичеасая
пластичность). По сравнению с уравнениями Гука новые уравнения
состояния более полно описывали механические свойства реальных
тел, и именно поэтому полученные результаты приобрели важное
значение в решении вопросов прочности машин и сооружений. Де-
Деформационная теория пластичности и теория пластического течения
относятся к описанию необратимых равновесных процессов дефор-
деформации.
Однако не всегда можно пренебрегать влиянием вязкости (свя-
(связанной с тепловым движением атомов); тогда неизбежен анализ про-
процесса деформации во времени. В одних случаях (например, при дефор-
деформации сталей в условиях нормальной температуры) влияние времени
пренебрежимо мало, и можно исходить из упомянутых теорий плас-
пластичности. В других случаях это влияние оказывается значительным,
существенно изменяя всю картину деформации. Так, даже прочные
стали в условиях высоких температур обнаруживают текучесть при
малых напряжениях и могут накапливать с течением времени большие
деформации (явление ползучести). При быстрых движениях (связан-
(связанных, например, с колебаниями, ударами) нередко необходим учет
вязкости.
В современной технике все большее значение приобретает исполь-
использование сложных механических свойств высокополимеров, к которым
относятся всевозможные резины и различные искусственные и есте-
естественные волокнистые материалы. Для этих материалов характерна
важная роль времени; процессы деформации здесь являются нерав-
неравновесными.
На основе изучения механических свойств сложных сред склады-
складывается новая наука — реология (см. [S5l41J). В этой главе рассмат-
рассматриваются лишь сложные пластические среды; под этим термином
условимся понимать «обычную» пластическую среду, осложненную
относительно простыми явлениями вязкости. С более полными реоло-
реологическими уравнениями можно ознакомиться по книгам ["'и>es].
394
СЛОЖНЫЕ СРЕДЫ. ВЯЗКО-ПЛАСТИЧНОСТЬ
[гл. хп
2. Механические модели. Механические уравнения состояния
сложных сред обычно иллюстрируются при помощи простых механи-
механических моделей. В этом разделе для простотырассматривается одноосное
напряженное состояние (растяже-
: ние стержня); соответствующее
напряжение обозначим через о,
относительное удлинение — через
е, скорость относительного удли-
удлинения— через ?.
Упругий элемент, подчиняю-
подчиняющийся закону Гука
а = ?е,
(81.1)
Рис. 255.
изображается в виде пружины
(рис. 255, а).
Вязкий элемент, следук>,дий закону вязкости Ньютона
о =4%, (81.2)
где ц — коэффициент вязкости, изображается моделью, состоящей
из поршня, двигающегося в цилиндре с вязкой жидкостью (рис. 255, б).
Жестко-пластическое тело при напряжениях ниже пре-
предела текучести не деформируется; течение развивается ks
лишь при напряжениях, удовлетворяющих условию теку-
текучести (a = as). Эта среда изображается в виде площадки
с сухим трением (рис. 255, в).
Комбинируя эти простые модели, можно вводить в
рассмотрение различные сложные среды. Например,
упруго-пластическая среда характеризуется моделью, в
которой последовательно соединены упругий и пласти-
пластический элементы (рис. 256). Другие примеры сложных
сред излагаются ниже.
Заметим, наконец, что упругому (или вязкому) элементу можно
приписывать нелинейный закон упругости (или вязкости). Напри- I &
мер, зависимость у
dt~ ' ' ' Рис. 256.
где В, m—постоянные, соответствует нелинейно вязкому течению (ползучести)
металлов. Можно также рассмотреть модель упрочняющейся пластнческой среды.
3. Вязко-упругость. Соединение упругих и вязких элементов
приводит к так называемым упруго-вязким средам.
Параллельное соединение (рис. 257, а) двух элементов — упру-
упругого и вязкого — приводит к упруго-вязкой среде Фойхта
'}. (81.4)
§ 81]
О СЛОЖНЫХ СРЕДАХ
395
Это уравнение можно получить, если учесть, что полное напря-
напряжение в среде будет складываться из напряжения, соответствующего
упругой деформации, и напряжения, вызываемого вязким сопротив-
сопротивлением. Упруго-вязкая среда в состоянии покоя (jj=0) ведет себя
как упругая. Напряжение в среде
растет вместе с увеличением ско- тз
рости деформации. Если сооб- |
щить среде постоянную дефор-
деформацию е = const, то в среде
возникнет постоянное напряжение
ст = ?е. Если же ее нагрузить
постоянным напряжением
сг = const =сг0 при t^O,
то из (81.4) получаем:
СТп
а)
т. е. деформация постепенно на-
наст,, Рис. 257.
растает, стремясь к значению-^- .
Упруго-вязкая среда была впервые подробно изучена Фойхтом
в связи с проблемой затухания колебаний и в дальнейшем рассмат-
рассматривалась многими исследователями [ь 52> 62].
При последовательном, соединении (рис. 257, б) складываются ско-
скорости деформации, отвечающие одному и тому же напряжению. Закон
деформации подобной среды, впервые полученный Максвеллом,
имеет вид
de1 do
(81.5)
Рассмотрим свойства этой среды. Если сообщить среде посто-
постоянное напряжение (а = const), то она будет деформироваться с по-
постоянной скоростью, т. е. будет течь подобно вязкой жидкости.
При быстром нагружении сг = сг0 в среде сразу же возникает (за счет
упругого слагаемого) деформация -~. Если снять напряжение, то
скорость деформации также обратится в нуль, но в среде останется
некоторая постоянная деформация.
Пусть в момент t = 0 телу сообщено напряжение <т0; соответст-
соответствующее начальное удлинение равно е0 = ~ . Зафиксируем теперь де-
деформацию, положив e = const = e0 (путем, например, закрепления
396
СЛОЖНЫЕ СРЕДЫ. ВЯЗКО-ПЛАСТИЧНОСТЬ
[гл. хц
концов стержня). Тогда -г? —О, и из (81.5) следует:
dt
Е dt
откуда
где to = — называется временем релаксации. Таким образом, напря-
жение спадает со временем по экспоненциальному закону, стремясь
к нулю (рис. 258). Релаксирующая
среда Максвелла описывает с качествен-
качественной стороны важное свойство реаль-
реальных тел, заключающееся в ослаблении
со временем напряженного состояния
при неизменной деформации (так называ-
называемая релаксация напряжений). Уравне-
ние|Максвелла"!,часто привлекается для
О\ t качественного описания релаксацион-
релаксационных явлений; количественные результа-
результаты плохо согласуются с наблюдениями.
Рис. 258.
Приведенные модели содержат два параметра Е, ц.
Описание сложных механических свойств (например, свойств
высокополимеров) требует использования многоэлементных моделей,
Рис. 259.
характеризуемых большим числом параметров. Модель, показанная
на рис. 259, а, содержит уже три параметра Ev E2, цх.
§ 81] О СЛОЖНЫХ СРЕДАХ 397
Пример модели с четырьмя параметрами Ех, Е2, |л1, |л2 приведен
на рис. 259, б.
Подобные среды (с п параметрами и с непрерывно распределен-
распределенными параметрами) изучаются в теории линейной вязко-упругости
ГЪЗЗ.621
Нелинейные релаксирующие среды играют важную роль в теории
ползучести металлов [2>i''33].
4. Вязко-пластичяость. Соединение вязких и пластических эле-
элементов приводит к так называемым вязко-пластическим средам.
Параллельное соединение (рис. 260,а) двух элементов—вязкого
и пластического — дает вязко-пластическую среду, впервые, по-ви-
по-видимому, рассмотренную Шведовым
A900 г.) и Бингемом A922 г.). При
этом закон деформации имеет вид
d^ при
(81.6) \
при сг < as среда не испытывает де-
формаций. f*> l-j-l
I
l-j-l
Эта схема отражает тот факт,
s
что для многих веществ заметное I ^
течение появляется лишь при опре- Т
деленной нагрузке; скорость течения \ ^\
при этом зависит от вязкости ере- ' '
ды. Вязко-пластическими свойствами рис 260
характеризуются многие реальные
вещества — металлы при достаточно высокой температуре, различные
густые смазочные материалы, краски и т. д. Совершенствование
многих технологических процессов (горячая обработка металлов,
перемещение различных пластических масс в машинах, трубопрово-
трубопроводах и т. д.) требует изучения движения вязко-пластических матери-
материалов; гидродинамическая теория смазки при густых смазочных мате-
материалах также основывается на уравнениях вязко-пластического течения.
Более подробно уравнения вязко-пластической среды рассматри-
рассматриваются в следующем параграфе.
Последовательное соединение (рис. 260, б) двух элементов — вязкого
и пластического — приводит к ползуче-пластической среде, представ-
представляющей значительный интерес в задачах ползучести.
При сг < as эта среда ведет себя как вязкая жидкость, следую-
следующая закону вязкости Ньютона (81.2) или нелинейному закону тече
ния, например, уравнению (81.3).
При cr = as среда течет подобно идеально пластическому телу
(см. § 83).
Соединение большего числа вязких и пластических элементов
приводит к сложным вязко-пластическим средам.
398 СЛОЖНЫЕ СРЕДЫ. ВЯЗКО-ПЛАСТИЧНОСТЬ [ГЛ. XII
5. Упруго-вязко-пластичность. Соединение элементов всех трех
типов (упруго-вязкого, пластического) приводит к значительно более
сложным средам. Так, модель, показанная на рис. 261, иногда исполь-
используется в динамических задачах. Для получения соответствующего
уравнения необходимо, как обычно, выписать
<^| законы деформации для каждого элемента и
составить условия равновесия и неразрывности
деформаций.
§ 82. Вязко-пластическая среда
1. Основные соотношения. Рассмотрим
более подробно вязко-пластическую среду; усло-
условимся так называть среду, модель которой
образована параллельным соединением вязкого
и пластического элементов (рис. 257, а). Вязко-
Рис. 261. пластическая среда интенсивно изучается в связи
с разнообразными практическими приложениями.
Переход от уравнения (81.4) для одноосного напряженного состоя-
состояния к случаю сложного напряженного состояния осуществляется при
помощи обычных дополнительных предположений. Прежде всего при-
принимается условие несжимаемости
Далее, компоненты напряжения сг,у- складываются из компонент
напряжения сг^-, связанных с пластическими свойствами, и компонент
напряжения а"A, вызываемых вязким сопротивлением:
(82.2)
Компоненты напряжения а]-, определяются уравнениями A3.12)
теории пластичности Мизеса, т. е.
si,.= ^f-liJt (82.3)
причем удовлетворяется условие текучести Мизеса
s'ilSi, = 2tl (82.4)
Пусть вязкое сопротивление следует закону линейной вязкости
Ньютона E.5), т. е.
sj/ = 2|i'|,y (Зц' = |1). (82.5)
Складывая напряжения, приходим к соотношениям вязко-пласти-
вязко-пластической среды
(r)i/. (82.6)
§ 82] вязко-пластиЧеская с(>еДА 399
Отсюда вытекает зависимость
T = rs+n'H, (82.7)
являющаяся обобщением уравнения (81.6). Заметим, что вязко-пласти-
вязко-пластическую среду можно рассматривать как предельный случай нелинейно-
вязкой среды
J, (82.8)
для которой T = g(H)H. Для вязко-пластической среды g(H) —
2. Уравнения вязко-пластического течения. Зависимости (82.6)
вместе с условием несжимаемости (82.1) и тремя уравнениями дви-
движения образуют систему десяти уравнений для десяти неизвестных
функций si], a, vt.
Подставляя компоненты напряжения согласно (82.6) в дифферен-
дифференциальные уравнения равновесия, получим (вместе с уравнением несжи-
несжимаемости (82.1)) систему четырех уравнений для среднего давления
а и составляющих скорости ¦»,-; эта система имеет сложный вид
и здесь нет смысла ее выписывать.
В случае плоской деформации vz = 0, тогда аг = а = — (ах-{-ау),
тл.г = т„г = 0. Дифференциальным уравнениям равновесия можно удов-
удовлетворить, введя функцию напряжений Ф(х, у), именно:
о , д3Ф _
X \* Qy-2, > у f* дх2 > xy P Qx Qy ¦
Условие несжимаемости отождествляется при введении функции
тока W (х, у):
Функции Ф и W определяются из системы двух нелинейных диф-
дифференциальных уравнений второго порядка, следующих из зависи-
зависимости (82.7) и соотношения
, (? ) (82.9)
вытекающего из (82.6).
Исключая одну из функций, например Ф, можно получить одно
нелинейное дифференциальное уравнение четвертого порядка относи-
относительно функции тока W. Это уравнение использовано А. А. Илью-
Ильюшиным [112] и А. Ю. Ишлинским [114] для анализа ряда задач
вязко-пластического течения.
Уравнения вязко-пластической среды используются для решения различ-
различных задач технологического типа, связанных с обработкой металлов давлением,
с течением разнообразных пластических масс в трубах и щелях, в теории
400 СЛОЖНЫЕ СРЕДЫ. ВЯЗКО-ПЛАСТИЧНОСТЬ [ГЛ. XII
смазки густыми маслами и т. д. (см. [80]). Соотношения (82.6), дополненные
упругими деформациями, используются также в задачах пластической дина-
динамики, если нельзя пренебрегать влиянием скорости деформации. В гидродина-
гидродинамических задачах вязко-пластического течения получила развитие теория погра-
пограничного слоя.
Как уже отмечалось, вязко-пластическую среду можно рассматривать как
предельный случай нелинейно-вязкой среды. Это соображение позволяет легко
написать вариационные уравнения вязко-пластического течения, именно, прин-
принцип минимума полного рассеяния (характеризующий минимальные свойства
действительного поля скоростей) и принцип минимума дополнительного рассея-
рассеяния (характеризующий минимальные свойства действительного напряженного
состояния). Подробный анализ первого вариационного уравнения содержится
в недавно опубликованной работе П. П. Мосолова и В. П. Мясникова [137].
3. Установившееся течение в трубе. Рассмотрим задачу о тече-
течении вязко-пластической массы в длинной круглой трубе. Движение
предполагается медленным, установившимся и осесимметричным; вра-
вращение массы в трубе отсутствует. Тогда в системе цилиндрических
координат г, ф, z имеем:
Вычисляя компоненты скорости деформации, находим:
lf = l, = »li-T = V==0» 5* = -gF» rb* = lF-
Но по условию несжимаемости ?г = 0, следовательно, vz = vz(r).
Согласно зависимостям (82.6) получаем:
Здесь принято, что -р-^0, тогда -тг = —1.
Далее, из уравнений равновесия D.3) находим:
да _ _ dxrz , тгг , да __ п
дг~и' dr "I" r ~Гдг ~V-
Отсюда вытекает, что a = a(z), причем градиент давления jr=q
является постоянной величиной. Подставляя в последнее уравнение хГг
и выполняя интегрирование при условиях, что вязко-пластическая
масса прилипает к стенке трубы (т. е. vz = 0 при r = b) и что ско-
скорость vz ограничена, получаем:
Так как внутри деформируемой зоны | т„ | ^ xs, то решение имеет
dvr л
смысл лишь при -р-^0, т. е. при
§ 83]
ПОЛЗУЧЕ-ПЛАСТИЧЕСКАЯ СРЕДА
401
у/////////////////////////.
Остальная часть массы не деформируется 'и ^движется внутри
трубы как твердое тело. Скорость [возрастает",|по^'параболическому
закону от нулевого значения на
стеике трубы до максимального зна-
значения при г —с (рис. 262). У стен-
стенки трубы величина касательного
напряжения равна bq/2 и затем сни-
снижается до значения Ту на границе
недеформируемого ядра. Так как
с^.Ь, то течение, осуществимо
лишь при достаточно большом гра-
градиенте давления:
2Ъ
V,
2а
Ь ¦ Рис. 262.
Вычисляя количество протекающей в единицу времени массы,
получаем:
В случае вязкой жидкости т, = 0, следовательно, с = 0, жесткого
ядра нет, и последнее уравнение приводит к известной формуле
Пуазейля
В другом предельном случае — случае жестко-пластического тела
' = 0, с = Ь, скольжение происходит в тонком слое у стенки трубы.
§ 83. Ползуче-пластическая среда
1. Основные соотношения. Обратимся теперь к более детальному
рассмотрению ползуче-пластической среды, модель которой образована
последовательным соединением вязкого и пластического элементов
(рис. 260, б). Эта среда представляет большой интерес в теории
ползучести металлов, где, впрочем, часто необходимо учитывать
также упругую деформацию и влияние «упрочнения». Здесь мы рас-
рассмотрим простой вариант основных соотношений, учитывающий лишь
нелинейную вязкость и идеальную пластичность.
Для модели, изображенной на рис. 260, б, складываются скорости
деформации, напряжение же в обоих элементах одно и то же.
Таким образом, имеем:
Е//= &/ + ??/• (83.1)
402 СЛОЖНЫЕ СРЕДЫ. ВЯЗКО-ПЛАСТИЧНОСТЬ [ГЛ. XII
Скорости пластической деформации равны
е. }0 пРи7<т„
Скорости вязкой деформации равны
\ц, (83-3)
где g{T) — известная функция. Заметим, что
T = g(H")H", (83.4)
причем g(H")g(T) = \. Здесь приведены основные соотношения «по
критерию Мизеса». Нетрудно сформулировать аналогичные зависи-
зависимости при другом критерии (например, критерии ттах).
2. Уравнения ползуче-пластического течения. Если напряжения
не достигают предела текучести, тело испытывает лишь ползучесть
согласно зависимостям типа (81.3), причем тогда скорости полной
деформации ?ry = ?J/. При достаточно большой нагрузке в теле воз-
возникают «вязкие» G1<TiS) и «пластические» (T=rs) области. В пер-
первых областях компоненты скорости деформации \ц и компоненты
напряжения связаны уравнениями (83.3), во вторых областях — соот-
соотношениями
На границах различных зон должны соблюдаться надлежащие
условия непрерывности напряжений и скоростей. Течение всего тела,
пока не достигнуто предельное состояние, определяется деформацией
«вязкого ядра».
3. Течение полого шара под действием давления. Рассмотрим
задачу об установившемся течении полого ползуче-пластического
шара, испытывающего внутреннее давление р (рис. 41). Сохраним
здесь обозначения, использованные в § 25. Пусть v = v(r) — радиаль-
радиальная скорость. Уравнение несжимаемости имеет вид
dr ' г '
откуда находим, что
где С—произвольная постоянная. Вычисляя теперь скорости дефор-
деформации и интенсивность скоростей деформаций сдвига, получаем:
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ XII 403
Интенсивность касательных напряжений равна T=—^=(at? — аг).
Тогда дифференциальное уравнение равновесия B5.1) принимает вид
d^jiJ_zT_ (835)
Пусть T^>xs. Примем степенную зависимость Т = ВН^, где В,
0 < (х^ 1—соответственно коэффициент и показатель ползучести.
Внося Т в уравнение равновесия (83.5) и выполняя интегрирование
при граничных условиях аг = —р при г = а, о*г = 0 при r—b,
получаем:
^ . (83.6)
Очевидно, что интенсивность касательных напряжений убывает с
возрастанием радиуса г. При достаточном давлении (именно, при
2т —
р ^> J_(I — ft~3v) возникает пластическая зона а^л^с, в кото-
которой T=xs. В этой зоне решение определено формулами B5.8);
перепишем их:
Во внешней области с ^ г ^ Ь решение можно получить из фор-
формул (83.6), заменяя р на —д = — (аг)г=с, радиус а на радиус с.
На границе г = с непрерывны аг и Т. Легко видеть, что q = 2as In — —p.
Далее, из условия T = xs при г = с находим уравнение, определяющее
радиус с:
р lri Ъ
Зц L \t> J J ¦ ' ь 2о~"
Скорость v (г) вычисляется при надлежащем значении произволь-
произвольной постоянной С.
При с = Ь пластическая зона захватывает весь шар; тогда из (83.8)
получаем значение предельной нагрузки р^.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ XII
1. Составить, исходя из уравнения (81.4), дифференциальное уравнение
продольных колебаний упруго-вязкого стержня
zJL — ф zJL^b2- U =0,
где и = и(х, t) — смещение по оси стержня, а= 1/ — , Ь =
* 'in*.. (83.8)
Ь 2Es a v '
404 СЛОЖНЫЕ СРЕДЫ. ВЯЗКО-ПЛАСТИЧНОСТЬ [ГЛ. XU
2. Вывести, исходя из уравнения установившейся ползучести (81.3) и обыч-
обычных гипотез, дифференциальное уравнение скорости прогиба балки
d^v _ \М Г
dz* ± D '
где М—изгибающий момент, D—жесткость балки при ползучести.
3. Получить закон деформации
трехэлементной среды, показанной на фиг. 259, а.
4. Получить закон деформации
етыр ex элементной среды, показанной на фиг. 259, б.
5. Решить задачу об установившемся вязко-пластическом течении между
параллельными шероховатыми плитами в случае плоской деформации. Показать,
что толщина жесткого ядра 2c — 2ts/q.
6. Вывести формулу для скорости V (г) в задаче о течении полого шара (§ 83)
при наличии пластической зоны.
7. Решить задачу о течении полой ползуче-пластической трубы под дейст-
действием внутреннего давления.
ДОБАВЛЕНИЕ
1. О типе системы уравнении в частных производных
В теории пластичности, газовой динамике, статике сыпучей среды
и других разделах механики встречаются системы из двух квазили-
квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка для двух
функций и, v двух независимых переменных х, у:
p + Bi p ^ 1 )
дх ' х ду дх ду \ м\
4D I
где коэффициенты Alt Blt ..., Еа — заданные функции х, у, и, v.
Свойства решений этой системы и методы их построения сущест-
существенно определяются типом системы. Обратимся к этому вопросу.
Пусть вдоль некоторой линии x = x(s), y=y(s) в плоскости х,
у заданы значения и, v:
u = u(s), v = v(s).
Если ввести в рассмотрение четырехмерное пространство х, у,
и, v, то уравнения лг = лгE), y=y(s), u = u(s), v = v(s) представ-
представляют в нем некоторую линию L; решения же дифференциальных
уравнений и = и(х, у), v = v(x,у) образуют некоторую поверхность
(интегральную поверхность).
Основным является вопрос о возможности проведения через задан-
заданную линию L определенной интегральной поверхности (задача Коши).
Этот вопрос связан с возможностью однозначного определения вдоль
линии L производных неизвестных функций и, v в силу самих диф-
дифференциальных уравнений A). На геометрическом языке однознач-
однозначная определенность вдоль L из самих дифференциальных уравнений
первых частных производных означает определенность вдоль L каса-
касательной плоскости к интегральной поверхности.
Дифференциальные уравнения A), если их рассматривать вдоль
L, имеют известные коэффициенты и могут служить для опреде-
определения частных производных. Так как вдоль L и, v известны, то
406
ДОБАВЛЕНИЕ
дополнительными уравнениями будут очевидные соотношения:
,ди
ду У'
, ди
du = ^-
дх
, dv , , dv ,
dv = 3- «л: + 3- dv.
3x { dy J
B)
Вдоль Z. уравнения A), B) образуют систему неоднородных ли-
линейных алгебраических уравнений относительно первых частных про-
производных. Частные производные определяются неединственным обра-
образом, если вдоль L определитель системы А и надлежащие числи-
числители Д^ A2, А3, А4 в формулах Крамера обращаются в нуль. Выпи-
Выпишем первое условие
А =
или в развернутой форме
Аг
А2
dx
0
Вг
в2
dy
0
Сг
с,
0
dx
Di
D2
0
dy
= 0
dx
C)
где введены обозначения:
Дифференциальное уравнение C) распадается на два уравнения
% \=Гс) D)
Если в некоторой области х, у Ь1 — ас > 0, то в каждой точке
этой области имеются два различных характеристических направле-
направления; в этой области система A) будет гиперболического типа.
Если Ь2 — ас = 0 в некоторой области х, у, то в каждой точке
последней имеется лишь одно характеристическое направление: в
этом случае система A) — параболического типа.
Наконец, если Ь2 — ас < 0, то в соотв-етствующей области вещест-
вещественных характеристических направлений не существует, и система
A) называется эллиптической.
Так как коэффициенты уравнений A) — функции х, у, и, v, то,
вообще говоря, система A) может быть различного типа в различ-
различных областях.
Решение системы уравнений гиперболического типа тесно свя-
связано с характеристическими линиями, определяемыми дифференциаль-
дифференциальными уравнениями D) и покрывающими область х, у криволиней-
криволинейной сеткой.
ДОБАВЛЕНИЕ 407
Заметим, что если система линейна, т. е. коэффициенты уравне-
уравнения A) — функции только х, у, то сетка характеристических линий
не зависит от решения. Для нелинейных уравнений характеристи-
характеристические линии зависят от искомого решения.
Приравнивание нулю числителей Аг = Аа = Д3 = А4 = 0 приводит
к соотношениям между неизвестными функциями и, v, выполняющимся
вдоль характеристик.
Теория гиперболических дифференциальных уравнений A) изло-
изложена в книге Р. Куранта и К. Фридрихса [19], гл. II. Вопросы
теории гиперболических дифференциальных уравнений с двумя неза-
независимыми переменными рассмотрены также в книге Р. Куранта и
Д. Гильберта «Методы математической физики», т. II, гл. V, в
«Курсе высшей математики» В. И. Смирнова, т. IV, гл. III, в книге
Б. Л. Рождественского и Н. Н. Яненко «Системы квазилинейных
уравнений», 1968.
2. О приводимых уравнениях
Во многих разделах механики деформируемых сред (плоское де-
деформированное и напряженное состояния в теории пластичности,
некоторые динамические задачи теории пластичности и т. д.) встре-
встречается система однородных уравнений:
л du-^R дил-г *i n dv — п \
1 дх ' х ду ' *¦ дх ' гду ' I ...
л ди „ ди dv n dv ~ | (
2 дх ' 2 ду ' 2 дх 1 2 ду ' 1
где коэффициенты Аъ Вг, ..., D2 — функции только и, v.
В этом случае система A) называется приводимой, так как путем
обращения переменных приводится к линейной системе. Пусть
х = х(и, v), y=y(u,v).
Дифференцируя,
- dxdu
„ dxdu
~ du dy
Отсюда находим
дх 1 dv
du A dy'
получаем:
dx dv
dx dv
' du dy '
частные
dx 1
dv A
1
)
0 =
1 =
_dydu
dydu ,
dudy^
производные:
du
dy'
dy
du
1 dv
A dx
dy dv
dy du
dv dy
dy
' dv
\
!
1 du
A dx
408 ДОБАВЛЕНИЕ
где А—функциональный определитель:
д _ D (и, у) _ ди dv ди &> , п
D (х, у) ~ Ш Щ~~~Щ)дх "^
Внося в уравнения A) частные производные и сокращая на А,
приходим к линейной системе:
ду Oldv ^1du + Uldu
д-Я—В -—С ^A-D -
B)
Система B), вообще говоря, не эквивалентна системе A), так
как при преобразовании теряются решения, обращающие в нуль
функциональный определитель А. Однако эти решения отличаются
простотой и могут быть получены непосредственно.
Эти простые решения (простые волны, § 77, простые напряжен-
напряженные состояния, § 33, и др.) играют важную роль в приложениях.
Вопросы теории приводимых уравнений рассмотрены в книге
Р. Куранта и К. Фридрихса [19], гл. II, и статьях С. А. Христиа-
новича [167] и С. Г. Михлина [56].
ЛИТЕРАТУРА1)
А. Книги
1. Альфрей Т., Механические свойства высокополимеров, Гостехиздат,
1952.
2. Арутюнян Н. X., Некоторые вопросы теории ползучести, Гостехиз-
Гостехиздат, 1952.
3. Безухов Н. И., Основы теории упругости, пластичности и ползучести,
Высшая школа, 1961.
4. Б и р г е р И. А., Круглые пластинки и оболочки вращения, Оборонгиз,
1961.
5. Боли В., Вейнер Д., Теория температурных напряжений, Мир,
1965.
6. Бридж мен П., Исследования больших пластических деформаций и раз-
рыва,„ИЛ, 1955.
6а. Вольмир А. С, Устойчивость упругих систем, Физматгиз, 1963.
7. Гвоздев А. А., Расчет несущей способности конструкций по методу
предельного равновесия, Стройиздат, 1949.
8. Голушкевич С. С, Плоская задача теории предельного равновесии
сыпучей среды, Гостехиздат, 1948.
9. Гольденблат И. И., Некоторые вопросы механики деформируемых
сред, ГИТТЛ, 1955.
10. Гоффман О., За кс Г., Введение в теорию пластичности для инжене-
инженеров, Машгиз, 1957.
11. Ивлев Д. Д., Теория идеальной пластичности, Наука, 1966.
12. Ильюшин А. А., Пластичность, Гостехиздат, 1948.
13. Ильюшин А. А., Пластичность, Изд. АН СССР, 1963.
14. Ильюшин А. А., Ленский В. С, Сопротивление материалов, Физмат-
Физматгиз, 1959.
15. Ильюшин А. А., Огибалов П. М., Упруго-пластические деформа-
деформации полых цилиндров, Изд. МГУ, 1960.
16. К а чанов Л. М., Механика пластических сред, Гостехиздат, 1948.
17. Качанов Л. М., Теория ползучести, Физматгиз, 1960.
18. Кольский Н., Волны напряжения в твердых телах, ИЛ, 1955.
х) Литература по теории пластичности огромна; кроме цитированной лите-
литературы, список включает лишь некоторые работы по приложениям теории и
обзорные статьи. Дополнительные ссылки можно найти в книгах и обзорных
статьих, а также в журналах, печатающих работы по теории пластичности
(Прикл. матем. и механ. (ПММ); Механика твердого тела (МТТ); Журн. прикл.
механ. и техн. физики (ПМТФ); Прикладная механика; Journ. Appl. Median.
(JAM, выходит в русск. перев.); Journ. Mechan. a. Phys. of Solids (JMPS);
(Ing. Arch, и др.). См. также сб. переводов «Механика» (Механика), рефератив-
ые журналы «Механика» и Appl. Mechan. Rev.
ПО ЛИТЕРАТУРА
19. Курант Р. и Фридрихе К-, Сверхзвуковое течение и ударные вол-
волны, ИЛ, 1950.
20. Л ей бен зон Л. С, Курс теории уггругости, Гостехиздат, 1947.
21. Ляв А., Математическая теория упругости, Гостехиздат, 1935.
22. Малмейстер А. К., Упругость и неупругость бетона. Изд. АН
ЛатССР, 1957.
23. М и х л и н С. Г., Основные уравнения математической теории пластичности,
Изд. АН СССР, 1934.
24. Москвитин В. В., Пластичность при переменных нагружениях, Изд.
МГУ, 1965.
25. На да и А., Пластичность и разрушение твердых тел, ИЛ, 1954.
26. Нил Б., Расчет конструкций с учетом пластических свойств, Стройиздат,
1961.
27. Новожилов В. В., Теория упругости, Судпромгиз, 1958.
27а. Пановко Я- Г., Губанова И. И., Устойчивость и колебания уп-
упругих систем, Наука, 1967.
28. Пономарев С. Д. и др., Расчеты на прочность в машиностроении,
тт. I, II, III, Машгиз, 1956—1959.
29. Прагер В., Проблемы теории пластичности, Физматгиз, 1958.
30. Прагер В., Введение в механику сплошных сред, ИЛ, 1963.
31. Прагер В., Ходж Ф., Теория идеально пластических тел, ИЛ,
1956.
32. Работнов Ю. Н., Сопротивление материалов, Физматгиз, 1962.
33. Работнов Ю. Н., Ползучесть элементов конструкций, Наука, 1966.
34. Рахматуллин X. А., Демьянов Ю. А., Прочность при интенсив-
интенсивных кратковременных нагрузках, Физматгиз, 1961.
35. Рейнер М., Реология, Наука, 1965.
36. Ржаницын А. Р., Расчет сооружений с учетом пластических свойств
материалов, Стройиздат, 1954.
37. Руппенейт К- В., Некоторые вопросы механики горных пород, Угле-
техиздат, 1954.
38. Сборник «Остаточные напряжения», ИЛ, 1957.
39. Сборник «Теория пластичности», ИЛ, 1948.
40. Сборник «Проблемы механики», ИЛ, 1955 (статья Гейрингер).
41. Сборник «Реология», ИЛ, 1963.
42. Седов Л. И., Введение в механику сплошных сред, Физматгиз, 1962.
43. Смирно в-А л я е в Г. А., Сопротивление материалов пластическим дефор-
деформациям, Машгиз, 1949.
44. Соколовский В. В., Теория пластичности, Гостехиздат, 1950.
45. Соколовский В. В., Статика сыпучей среды, Гостехиздат, 1954.
46. Тарновский И. Я. и др., Теория обработки металлов давлением, Ме-
Металлу ргиздат, 1963.
17. Тимошенко С. П., Сопротивление материалов, Гостехиздат, 1945.
48. Тимошенко С. П., Теория упругости, ОНТИ, 1937.
49. Тимошенко С. П., Устойчивость упругих систем, Гостехиздат,
1955.
50. Томас Т., Пластическое течение и разрушение в твердых телах, Мир,
1964.
51. Томленое А. Д., Теория пластических деформаций металлов (Напря-
(Напряженное состояние при ковке и штамповке), Машгиз, 1951.
52. Фрейденталь А., Гейрингер X., Математические теории неупру-
неупругой сплошной среды, Физматгиз, 1962.
53. Фридман Я. Б., Механические свойства металлов, Оборонгиз,
1952.
54. Хилл Р., Математическая теория пластичности, ГИТТЛ, 1956.
55. Ходж Ф., Пластический анализ конструкций, 1965.
ЛИТЕРАТУРА 411
56. Христианович С. А., М и х л и н С. Г., Девисон Б. Б., Неко-
Некоторые вопросы механики сплошных сред, Изд. АН СССР, 1938.
57. Циглер Г., Экстремальные принципы термодинамики необратимых про-
процессов и механика сплошной среды, Мир, 1966.
58. N a d a i A., Theory of flow and fracture of solids, II, N. Y., 1963.
59. Perzyna P., Teoria lepkoplastycznosci, Warszawa, 1966.
60. Southwell R., Relaxation methods in theoretical physics, Oxford Univ. у
Press, 1946.
61. Thomsen E., Yang С, Kobayashi S., Mechanics of plastic defor-
deformation in metal processing. McMillan Co, 1965.
Б. Обзорные работы
62. Бленд Д., Теория линейной вязко-упругости, Мир, 1965.
°3. Гопкинс Г., Динамические неупругие деформации металлов, Мир,
1964.
64. Дейвис Р., Волны напряжений в твердых телах, ИЛ, 1961.
65. Зволинский Н. В., Малышев Б. М., Шапиро Г. С, Динамика
пластических сред, Труды 2-го Всесоюзн. съезда по механике, вып. 3,
1966.
66. Качанов Л. М., Вариационные методы в теории пластичности, Труды
2-го Всесоюзн. съезда по механике, вып. 3, 1966.
67. К л юш ни ков В. Д., О законах пластичности для материалов с упроч-
упрочнением, ПММ, т. 22, в. 1, 1958.
68. Койтер В., Общие теоремы теории упруго-пластических сред, ИЛ,
1961.
69. Нахди П. М., Соотношения между напряжениями и деформациями в
пластичности и термопластичности, Механика, № 1, 1962.
70. Ольшак В., МрузЗ., Пежина П., Современное состояние теории
пластичности, Мир, 1964.
71. Ольшак В., Рыхлевский Я., Урбановский В., Теория пла-
пластичности неоднородных тел, Мир, 1964.
72. П р а г е р В., Теория пластичности: обзор новейших успехов, см.
[31].
73. РейтманМ. И., Шапиро Г. С, Теория оптимального проектирова-
проектирования в строительной механике, теории упругости и пластичности, Итоги
Науки. Изд. ВИНИТИ, 1966.
74. Ходж Ф., Краевые задачи теории пластичности. Пластичность и термо-
пластнчность, ИЛ, 1962.
75. Хорн М., Устойчивость упруго-пластических конструкций, Механика,
№ 1, 1965.
76. Хофф Н., Продольный изгиб и устойчивость, ИЛ, 1955.
77. Ходж Ф., Гудьер Д., Упругость и пластичность, ИЛ, 1960.
78. Шапиро Г. С., О поведении пластинок и оболочек за пределом упру-
упругости, Труды 2-го Всесоюзн. съезда по механике, вып. 3, 1966.
79. Hundy В., Plane Plasticity, Metallurgia, March, 1954.
80. Perzyna P., Fundamental problems in viscoplasticity, Advances in Appl.
Mech. Vol. 9, 1966 (есть перевод, Мир, 1968).
81. Sawczuk A., Olszak W., Problems of inelastic shells. Theory of pla-
plates and shells, Bratislava, 1966.
82. Szczepinski W., Обзор работ по несущей способности растягивае-
растягиваемых стержней с вырезами, Mechan. teor. i stosow., t. 3, N 1, Warszawa,
1965.
412 ЛИТЕРАТУРА
В. Статьи
83. Агамирзян Л. С, Решение задач статики сыпучей и пластической
сред при помощи рядов метацилиндрических функций, Инж. журн., т. 1,
№ 4, 1961; т. 2, № 2, 1962.
84. Арутюнян Р. А., Вакуленко А. А., О многократном нагружении
упруго-пластической среды, Изв. АН СССР, Мех., № 4, 1965.
85. Батдорф С. и Будянский Б., Математическая теория пластично-
пластичности, основанная иа концепции скольжения, Механика, № 1, 1962.
86. Б ирге р И. А., Некоторые общие методы решения задач пластичности,
ПММ, т. 15, в. 6, 1951; см. также Изв. ОТН, Мех., № 1, 1963, № 2,
1965.
87. Б'иргер И. А., Теория пластического течения при нейзотермическом
иагружении, Изв. АН СССР, Мех., № 3, 1964.
88. Будянский Б., Переоценка деформационных теорий пластичности,
Механика, № 2, 1960.
89. Вакуленко А. А., О связях между напряжениями и деформациями
в неупругих средах, I, II, сб. Исслед. по упруг, и пластичности, изд.
ЛГУ, № 1, 1961; № 2, 1963.
90. Вакуленко А. А., Паллей И. 3., К вопросу о теории пластич-
пластичности для среды, испытывающей деформацию при переменных тем-
температурах, сб. Исслед. по упруг, и пластичности, изд. ЛГУ, № 5,
1966.1
91. Гали и Л. А., Плоская упруго-пластическая задача, ПММ, т. 10,
в. 5—6, 1946.
92. Галин Л. А., Упруго-пластическое кручение призматических стержней,
ПММ, т. 13, в. 3, 1949.
93. Галин Л. А., Упруго-пластическое кручение призматических стержней
полигонального сечения, ПММ, т. 8, в. 4, 1944.
94. Г.енки Г., О некоторых статически определимых случаях равновесия
в пластических телах, см. сб. [39].
M. Генки Г., Пространственная задача упругого и пластического равно-
равновесия, Изв. АН СССР, отд. техн. наук, № 2, 1937.
96. Генки Г., К теории пластических деформаций и вызываемых ими в
материале остаточных напряжений, см. сб. [30].
97. Пенки Г., (Замедленных стационарных течениях в пластических телах
с приложениями к прокатке, штамповке и волочению. См. сб. [30].
98. Гопкинс Г. и Прагер В., Несущая способность круглых пластин,
Механика, №'3, 1955.
99. Гопкинс Г. и Прагер В., Динамика" круглой пластической пла-
пластинки, Механика, № 3, 1955.
100. Гохфе л ь д Д. А., О применении теоремы Койтера к задачам приспо-
приспособляемости неравномерно нагретых упруго-пластических тел, Прикл.
механ., № 4, 1967.
101. Г ри г о р ь ев А. С, Об изгибе круглой плиты за пределом упругости,
ПММ, т. 16, в. 1, 1952.
'102. Грин А., Пластическое течение металлических соединений при
комбинациях среза и давления, сб. перев. «Машиностроение», № 2,
1955.
Грин А., Теория пластического течения изгибаемых консолей и балок
с заделанными концами, Механика, № 4, 1955.
Грин А., Пластическое течение надрезанных полос при изгибе, Меха-
Механика, №4, 1955.
ДавиденковН. Н. и Спиридонова Н. И., Анализ напряжен-
напряженного состояния в шейке растянутого образца. Заводск. лабор., т. 11,
№6, 1945.
ЛИТЕРАТУРА 413
106. Друкер Д., Вариационные принципы в математ. теории пластичности,
Механика, № 6, 1959.
107. Друкер Д., Кулоново трение, пластичность и предельные нагрузки,
Механика, № 5, 1955.
108. Друкер Д., Прагер В., Гринберг X., Расширенные теоремы о
предельном состоянии для непрерывной среды, Механика, № 1, 1953.
109. Друяиов Б. А., Распределение напряжений под штампом с криволи-
криволинейной подошвой, ПМТФ, № 6, 1961.
ПО. Иванов Г. В., Об условиях пересечения линий разрыва напряжений,
ПМТФ, № 4, 1960.
111. Ильюшин А, А., Вопросы теории течения пластического вещества по
поверхностям, ПММ, т. 18, в. 3, 1954.
112. Ильюшин А. А., Деформация вязко-пластического тела, Ученые за-
записки МГУ, в. 39, М., 1940.
113. Иш лин с кий А. Ю., Осесимметричная задача и проба Бринеля, ПММ,
т. 8, в. 3, 1944.
114. Иш ли некий А. Ю., Об уравнениях пространственного деформирова-
деформировании не вполне упругих и вязко-пластических тел., Изв. АН СССР, отд.
техн. иаук, № 3, 1945.
115. Ишлинский А. Ю., [Общая теория пластичности с линейным упрочне-
упрочнением, Укр. матем. журн., № 3, 1954.
116. Карман Т. и Дюве П., Распространение пластических деформаций
в телах, Механика, № 2, 1951.
117. Качан о в Л. М., Упруго-пластическое состояние твердых тел, ПММ,
т. 5, в. 3, 1941.
118. Качаиов Л. 'М., Вариационные принципы для упруго-пластических
сред, ПММ, т. 6, в. 2—3, 1942.
119. Качано в Л. М., Устойчивость плоской формы изгиба за пределом
упругости (I, И, III), ПММ, т. 15, в. 2, 5, 6, 1951.
120. Качано в Л. М., К задаче о деформации пластичного слоя. Докл. АН
СССР, т. XCVI, № 2, 1954; Изв. АН СССР, Мех., № 5, 1962.
121. Качанов Л. М., К вопросу о сложном иагружении, ПММ, т. 19,
в. 3, 1954.
122. Качанов Л. М., К устойчивости упруго-пластического равновесия,
Вестиик ЛГУ, № 19, 1956.
123. Качанов Л. М., О вариационных методах решения задач пластичности,
ПММ, т. 23, в. 3, 1959.
124. Койтер В., Соотношения между напряжениями и деформациями, Меха-
Механика, № 2, 1960.
125. Клюшиикав В. Д., Новые представления в пластичности и дефор-
деформационная теория, ПММ, т. 23, в. 4, 1959.
126. Клюшииков В. Д., Устойчивость процесса сжатия идеализированно-
идеализированного упруго-пластического стержня, Изв. АН СССР, Мех., № 6, 1964.
127. Кл.юшников В. Д., Устойчивость процесса сжатия идеализирован-
идеализированной пластинки, МТТ, № 4, 1966.
128. Купмаи Д., Л а не Р., О линейном программировании и теории пре-
предельного равновесия, Механика, 2, 1966.
129. Леви М., К вопросу об общих уравнениях внутренних движений, возни-
возникающих в твердых пластических телах за пределами упругости, см. сб. [••].
130. Леви М., Об интегрировании дифференциальных уравнений в частных
производных, относящихся к внутренним движениям в твердых пластиче-
пластических телах, см. сб. [зв].
131. Ли Е. и Таппер С, Исследование пластической деформации в сталь-
стальном цилиндре при ударе о жесткую плиту, Механика, № 2, 1955.
132. Липпман Г., Теория главных траекторий, при осесимметричиой пла-
пластической деформации, Механика, № 3, 1963.
414 ЛИТЕРАТУРА
133. Лурье А. И., Обобщение теоремы Кастильяно, Труды Ленингр. по-
полит, ин-та, № 1, 1946.
134. Марков А. А., О вариационных принципах в теории пластичности,
ПММ, т. 11, в. 3., 1947.
135. Мартин Д., Теоремы для импульсного нагружения жестко-пластической
среды, Механика, № 3, 1965.
136. Мизес Р., Механика твердых тел в пластически деформированном со-
состоянии, см. сб. [30].
137. Мосолов П. П., Мясников В. П., Вариационные методы в теории
течений вязко-пластической среды, ПММ, т. 29, в. 3, 1965.
138. Наяр Е., Р ы х лев ск и й ,Я-, Шапиро Г. С, К вопросу об упруго-
пластическом состоянии бесконечного клина. Бюлл. Польск. АН, сер. техн.
наук, т. 14. № 9, 1966.
139. Новожилов В. В., О физическом смысле инвариантов напряжения,
ПММ, т. 15, в. 2, 1951.
140. Новожилов В. В., О формах связи между напряжениями и дефор-
деформациями, ПММ, т. 27, в. 5, 1963.
141. Новожилов В. В., К^адашевич Ю. И., Теория пластич-
пластичности, учитывающая остаточные микронапряжения, ПММ, т. 2, в. 1,
1958.'
142. Новожилов В. В., О связи между напряжениями и деформациями
в нелинейно-упругой среде, ПММ, т. 15, в. 2, 1951.
143. Пирсон К-, Критерий раздвоения и пластическое изгибание пластинок
и колонн, Механика, № 5, 1951.
144. Прандтль Л., О твердости пластических материалов и сопротивлении
резанию, см. сб. [30].
145. Работ НО|В Ю. Н., О равновесии сжатых стержней за пределом упру-
упругости, Инж. сб., т. 11, 1952.
146. Рахматулин X. А., О распространении волны разгрузки, ПММ, т. 9,
в. 1, 1945.
147. Ржаницын А. Р., Экстремальные свойства формы движения жестко-
пластической системы, Изв. АН СССР, Мех., № 2, 1959.
148. Розен блюм В. И., К теории приспособляемости упруго-пластических
тел", Изв. АН СССР, ОТН, № 6, 1958; см. также № 7, 1957.
149. Розенблюм В. И., К анализу приспособляемости неравномерно на-
нагретых упруго-пластических тел, ПМТФ, № 5, 1965.
150. Розенблюм В. И., О пластических расчетах толстостенных цилинд-
цилиндров, МТТ, № 4, 1966.
151. Рыхлевский Я., Об обобщении одной классической задачи теории
идеальной пластичности, Механика, № 3, 1967.
152. Саймондс П., Характеристики динамич. нагрузки при пластическом
изгибе брусьев, Механика, № 5, 1954.
153. Саймондс П., Большие пластические деформации стержней под дей-
действием нагрузки взрывного типа, Механика, № 4, 1956.
154. Седов Л. И., К теории построения механических моделей сплошных
сред, Вестн. АН СССР, № 7, 1960.
155. Седов Л. И., О понятиях простого нагружения и о возможных путях
деформации, ПММ, т. 23, в. 2, 1959.
156. Сен-Вена н, Об установлении уравнений внутренних движений, воз-
возникающих в твердых пластических телах за пределами упругости, см.
сб. [39].
157. Сен-Вена н, Дифференциальные уравнения внутренних движений, воз-
возникающих в твердых пластических телах, и граничные условия для этих
тел, см. сб. [30].
158. Соколовский В. В., Распространение упруго-вязко-пластических
волн в стержнях, ПММ, т. 12, в. 3, 1948.
ЛИТЕРАТУРА 415
159. Соколовский В. В., Построение полей напряжений и скоростей
в задачах пластического течения, Инж. журн., т. 1, в. 3, 1961.
160. Там у ж В. П., Об одном минимальном принципе в динамике жестко-
пластического тела, ПММ, т. 26, в. 4, 1962.
161. Фейнберг С. М., Принцип предельной напряженности, ПММ, т. 12,
в. 1, 1948.
162. Хаар А. и Карман Т., К теории напряженных состояний в пласти-
пластических и сыпучих средах, см. сб. [30].
163. Хилл Р., О проблеме единственности в теории жестко-пластического
тела, I, II, III, Механика, № 4, 1957; № 1, 1958.
164. Хилл Р., С ь ю э л л, Общая теория неупругого выпучивания стойки
I, II, Механика, № 6, 1961.
165. Хилл Р., Новые горизонты в механике, Механика, № 2, 1959.
166. Хилл Р., Определяющие законы и волны в жестко-пластических телах,
Механика, № 5, 1963.
167. Христианович С. А., Плоская задача математической теории пла-
пластичности при внешних силах, заданных на замкнутом контуре, Матем.
сб., новая серия, т. 1 D3), в. 4, 1936.
168. Шапиро Г. С, Продольные колебания стержней, ПММ, т. 10,
в. 5—6, 1946.
169. Шапиро Г. С, Удар по кольцевой жестко-пластической пластинке,
ПММ, т. 23, № 1, 1959.
170. Шапиро Г. С, О предельном и упруго-пластическом состояниях кон-
конструкций, Изв. АН СССР, Мех., № 4, 1963.
171. Шенли Ф., Теория неупругой колонны, Механика, № 2, 1951.
172. Шилд Р., О пластическом течении в условиях осевой симметрии, Меха-
Механика, № 1, 1957.
173. Черепанов Г. П., Упруго-пластическая задача в условиях антипло-
антиплоской деформации, ПММ, т. 26, в. 4, 1962.
174. Черепанов П. Г., Об одном методе решения упруго-пластической
задачи, ПММ, т. 27, в. 3, 1963.
175. Ямамото И., Вариационные принципы равновесия упруго-пластического
тела, Механика, № 3, 1953.
176. Allen Q. a. Sopwith D., The stresses and strains in a partly plastic
thick tube. Proc. Roy. Soc, A-205, N 1080, 1951.
177. Cox A., Eason Q., Hopkins H., Axially symmetric plastic defor-
deformations, Phil. Trans. Roy. Soc, A-254, N 1036, 1961.
178. Edelman a. Drucker, Some extensions of elementary plasticity
theory, Journ. Franklin Inst., June, 1951.
179. Foigt W., Ueber die innere Reibung der festen Korper, insbesondere
der Kristalle, Abh. d. Math-Klasse d. Konigl. Qes. d. Wiss., t. 36, Gottin-
gen, 1890, с p. 1.
180. Ford H., Li an is Q., Plastic yielding and fracture in notched
plates under plane stress, Zst. angew. Mathem. u. Physik, B. 8, s. 360,
1957.
181. Qreenberg H., Complementary minimum principles for an elastic-pla-
elastic-plastic material, Quart. Appl. Math., t. 7, стр. 85, 1949.
182. Hill R., On discontinuous plastic states, with special reference to a loca-
localized necking in thin sheets. JMPS, t. 1, N 1, 1952.
183. Hodge P., On the soap-film sand-hill analogy for elastic-plastic torsion,
The Prager Anniversary Volume, N. Y., 1963.
184. Johnson W., Sowerby R., On the collapse load of some simple
structures, Intern. J. Mechan. Sci., t. 9, N 7, 1967.
185. Kobajashi, Thomsen, Upper—and lower—bound solutions to axi-
symmetric compression and extrusion problems, Int. J. Mechan. Sci., t. 7,
N 2, 1965.
416 ЛИТЕРАТУРА
186. Maxwell J.F On the dynamical theory of gases. Phil. Trans., t. 157,
стр. 52, 1867.
187. Meyerhof a. Chaplin, The compression and bearing capacity of
cohesive layers. Brit. Journ. Appl. Phys., t. IV, N 1, 1953.
188. Neal В., The lateral instability of yielded mild steel beams of
rectangular cross-section, Phil. Trans. Roy. Soc. London, A-242, N 846,
1950.
189. Pf lfiger A., Zur plastischen Knickung gerader Stabe, Ing. Arch., B. 20,
N 5, 1952.
190. Philip ps A., Variational principles in the theory of finite plastic de-
deformation, Quart. Appl. Mathem.,"t. VII, N 1, 195, 1949.
191. Prager W., Mathematical programming and theory of structures, Th. v.
Karman in Memoriam, Philadelphia, 1965.
192. Taylor G., The testing of materials at high rates of loading, Journ.
Inst. of Civil. Eng., 1946.
193. Tekinalp В., Elastic-plastic bending of built- in circular plate under
a uniformly distributed load, JMPS, t. 5, N 2, 1957.
194. Thomas, The autofrettage of thick tubes with free ends, JMPS, t. 1,
N 2, 1953.
195. Ziegler H., Die Stabilitatskriterien der Elastomechanik. Ing. Archiv,
XX, вып. 1, 1952.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автофретаж 107
Аналогия Надаи 122 и д.
Анизотропия 37
Вдавливание плоского штампа 192 и д.
Внедрение клина 217
Волна обратная 371
— прерывная (ударная) 371
— простая 375
— прямая 371
— разгрузки 376
— растяжения 376
— упругая 372
— упруго-пластическая 375
— центрированная 375
Волочение полосы 213 и д.
Время релаксации 396
Выпучивание пластины 361 и д.
— полосы 365
Граница предельной нагрузки верхняя
170
нижняя 170, 179
Давление предельное 108
— среднее (гидростатическое) 14
Девиатор деформации 24
— напряжения 15
Депланация 115, 122
Деформация кинематически возможная
337
— малая 23
— остаточная 95, 378
вокруг сферической полости 109
— пластическая вторичная 96
— плоская 132 и д.
— приведенная 24
— прогрессирующая 335
— упругая 34
Диаграмма единичная 219
— Мора 20]
Догружение 45, 75
Жидкость вязкая 32
— идеальная 32
Задача контактная 299
— Коши 137, 153
— Римана 155
— смешанная 156
— статически определимая 135
Закон Гука обобщенный 32, 46
— пластического течения, ассоцииро-
ассоциированный 72, 86
Изгиб балки жестко-пластический 385
и д.
из упрочняющегося материала
103
упруго-пластический 99 и д.
— консоли короткой 184 и д.
— пластины 310
круглой 276 и д.
— полосы, ослабленной вырезами 177
с односторонним вырезом 255
Изменение нейтральное 45, 75, 88
Инварианты девиатора деформации 24
напряжения 15
— тензора деформации 24
напряжения 14
скорости деформации 27
Интегралы плоской задачи 145
Интенсивность деформации сдвига 24
— касательных напряжений 15
— скоростей деформации сдвига 27
Клин под действием одностороннего
давления 194 и д.
Коэффициент кинематический 296
— Лоде — Надаи 21
— объемного сжатия 32
— предельной нагрузки 295
— Пуассона 32
— статический 297
— усиления 179, 253
Кривая текучести 41
Критерий выбора 170, 284
— устойчивости динамический 347
статический, 348
— — энергетический 348
Круг Мора 20
418
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Кручение и растяжение стержня 344
тонкостенной трубы 63
— круглого стержня переменного диа-
диаметра 305
— овального стержня 125
— призмы 115 и д.
— стержня квадратного сечения 326
и д.
упрочняющегося 127
— тонкого открытого профиля 121
— упругое 118
— упруго-пластическое 125 и д.
Линия напряжения 116
— разрыва 120
напряжений 242
скоростей 168, 240
— скольжения 116, 134, 136
— — изолированная 179
Материал несжимаемый 97
— неустойчивый 83
— устойчивый 83
Метод дополнительных деформаций 93
нагрузок 92
— переменных коэффициентов упру-
упругости 93
— полуобратный 136, 222
¦— решения упруго-пластических за-
задач, обратный 125
— Ритца 323
Методы • решения численные 156 и д.
Модели механические 394 и д.
— многоэлементные 396
Модель Шенли 355 и д.
Модуль касательный 352
— пластичности 36, 47
— приведенный (Энгессера — Карма-
Кармана) 354
— сдвига 32
— Юнга 32
Момент скручивающий предельный 120
Нагружение 44, 88
— простое 40
— сложное 39
— ступенчатое 40
— ударное-371 и д.
Нагрузка касательно-модульная 352
— критическая (верхняя, нижняя) 348,
357 и д.
— приведенно-модульная 355
Наклеп 37
Направление характеристическое 406
Напряжение главное касательное 13
— — нормальное 13
Напряжение касательное максималь-
максимальное 13
— остаточное 95
— приведенное 15
Начало взаимности 320
Ось гидростатическая 19
Отдых материала 37
Отжиг материала 37
Отклонение начальное 349
Параметр гибкости 351
— нагрузки 351
— Одквиста 77
Пластина с круговым вырезом под
действием давления 249 и д.
Пластичность атермическая 9
Плоскость девиаторная 19
Площадка октаэдрическая 20
Поверхность нагружения 45, 88
сингулярная 81
— с постоянным углом ската 119
— текучести 70, 73
Поле кинематически возможное 170
— напряжений безопасное 337
допустимое 338
статически возможное 170
— осесимметричное 149, 238, 248
— скоростей 160
— — допустимое 340
— центрированное 147, 237
Ползучесть 38
Полый шар под давлением 402
Постулат Друкера 41, 83
Потенциал пластический 70
— работы деформации 57
Предел пропорциональности 35
— текучести 35
Прессование 212
Признак устойчивости Лагранжа —Ди-
—Дирихле 347
Принцип максимума локальный 85
— минимума дополнительной работы
317
— — полной энергии 313
Принципы экстремальные 284 и д.
в теории пластического течения
329 и д.
Приспособляемость 107, 334
Прокатка 212
Прослойка пластическая тонкая 268
Пространство напряжений 18
Процесс деформации равновесный 59
— необратимый равновесный 60
— обратимый 60
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
419
Работа деформации формы 56
Разгрузка 44, 88
Разрыв сильный 164, 371
— слабый 164, 371
Распределение напряжений равномер-
равномерное 246
Растяжение плоского образца 242
— плоскости с круговым вырезом 206
и д.
— полосы, ослабленной вырезами 173,
252 и д.
с круговыми вырезами 302
с отверстием 168
с угловыми вырезами 254,
304
Расширение изотропное 46
Резание 212
Релаксация 38
— напряжений 396
Реология 393
Решение Галина 207 и д.
— полное 171
— Прандтля 192
для тонкого слоя 197 и д.
— Хилла 193
Сдвиг главный 23
— максимальный 23
— тонкого слоя 307
Сжатие слоя между жесткими плитами
197
¦ тонкого 307
— цилиндра между шероховатыми пли-
плитами 309
Система каноническая 144
— приводимая 407
Скорость относительного объемного
расширения 27
удлинения 27
— распространения возмущений, мест-
местная 370
— скашивания, угловая 27
Состояние напряженное плоское 226
— — простое 147
равномерное 146, 236
— пластического разрушения 284
Способность пластины, несущая 276
Среда вязко-пластическая 397
— ползуче-пластическая 397
— релаксирующая (Максвелла) 396
— упруго-вязкая (Фойхта) 394
Срез прямоугольного перешейка 189
ид.
Степень устойчивости 347
Тело жестко-пластическое 97
Тензор деформации 22
— единичный 18
— напряжения 12
— скорости деформации 26
Теорема Бредта 129
— Кастильяно, обобщенная 320
— Клапейрона, обобщенная 312
— Койтера 341
— Мелана 338 и д.
— приспособляемости, кинематиче
екая 341
, статическая 337 и д.
Теоремы Генки 139 и д.
— о коэффициенте предельной нагруз-
нагрузки 295 и д.
— о пластическом разрушении 284 и д.
Теория пластического течения 49, 53
— пластичности деформационная 54
и д.
— — Сен-Венана — Мизеса 51 и д.
— скольжения Батдорфа — Будян-
ского 82
Течение в трубе установившееся 400
— пластическое неустановившееся 216
и д.
установившееся 211 ид.
Точка бифуркации 348
Труба цилиндрическая под давлением
ПО
Удар разгрузки 373
— стержня продольный 383 и д.
Удлинение главное 23
— натуральное 29
Упрочнение 37
— изотропное 77
— трансляционное 78
Уравнения Гейрингер 164
— движения сплошной среды (Коши)
30
— нелинейного упругого тела 59
— Прандтля — Рейса 50
— равновесия в смещениях 91
— состояния, механические 31
— термопластичности 87
Ускорение движущейся частицы 27
Условие изотропного упрочнения 46
— непрерывности 75
на границе упругой и пластиче-
пластической областей 93 и д.
— Одквиста 49
— полной пластичности 260
— постоянства интенсивности каса-
касательных напряжений 43
— совместности динамической 377
кинематической 377
420
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Условие текучести 40
Мизеса 43
Треска — Сен-Венана 42
— упрочнения, энергетическое 48
Условия совместности Сен-Венана 26,
30
Устойчивость нелинейно-упругого
стержня 352
— пластины сжатой 361 и д.
— полосы, изгибаемой парами 358
и д.
:— стержня сжатого 353
— — упругого 350
Фронт (точка раздела двух волн) 371
Функция упрочнения 80
Шарнир пластический (неподвижный)
387
Шар полый под давлением 103 и д.
Шейка 274 и д.
Штамп плоский 192 и д.
Элемент вязкий 394
— упругий 394
Энергия упругого объемного сжатия 56
Эффект Баушингера 37
Л. М. КАЧАНО В
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
ПЛАСТИЧНОСТИ