Text
                    С. И. Баскаков
Радиотехнические цепи и сигналы.
Руководство к решению задач
Москва Высшая школа 2002
Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. Руководство к решению задач М.: Высшая школа, 2002, 214 с.
ISBN: 5-06-003994-3
Пособие содержит задачи по всем разделам одноименного курса. В нем приведены условия задач, примеры решений, методические указания и ответы. При работе с пособием рекомендуется пользоваться учебником Баскакова С. И. "Радиотехнические цепи и сигналы" (М. : Высш, шк., 2000). Во второе издание добавлены задачи по вейвлет-анализу сигналов и методам оценки информационных характеристик радиоканала. Предложены задачи, связанные с компьютерным анализом цепей и сигналов с помощью программных продуктов MathCAD и Electronics Workbench. Для студентов вузов, обучающихся по радиотехническим специальностям.
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
«Пример иногда полезнее правила»
И. Ньютон
Из собственного опыта читатель, безусловно, знает, что неотъемлемой частью процесса изучения точных — прежде всего, математики и физики, а также многих естественных наук является решение задач. Впервые столкнувшись с задачами в школьные годы, мы затем настолько привыкаем к ним, что не утруждаем себя вопросами о том, что же представляет собой задача как таковая, в чем состоит ее познавательная роль. Более того, иные учащиеся относятся к задачам как к неизбежному злу, которое нужно просто терпеливо пережить. В связи с этим полезно отметить, что европейские наука и педагогика, история которых насчитывает не одно тысячелетие, лишь к концу XVII века пришли к выводу о том, что обучение, основанное на механическом заучивании теоретических положений, чрезвычайно неэффективно. Слова Ньютона из его учебника «Алгебра», взятые в качестве эпиграфа, удачно подчеркивают принцип, который вряд ли устареет — залогом успешного учения служит активное познавательное творчество учащегося, который получает возможность на собственном опыте увидеть теорию в действии.
Учебные задачи по своей природе близки к шахматным этюдам или, скорее к тем гаммам и арпеджио, без которых не обошелся ии один начинающий музыкант. Хорошо составленная задача несет в себе все черты небольшого научно-педагогического сочинения — ее научная тематика строго очерчена и, что самое главное, для успешного решения задачи нужно самостоятельно сконструировать тот мыслительный алгоритм, который заранее известен педагогу н который учащийся должен продемонстрировать.
Как и все на свете, метод обучения с помощью решения задач имеет собственное внутреннее ограничение: постановка задачи неизбежно беднее той реальности, к которой эта задача относится. С этим обстоятельством непременно нужно считаться, соотнося выводы теории с практикой.
Как научиться решать задачи? По этому поводу написано много серьезных книг. Ни в коей мере не претендуя на обобщение, подчеркнем следующее.
Во-первых, следует выработать в себе отношение к этой деятельности как к увлекательному труду, позволяющему широко
раскрыть интеллектуальные способности человека. Приемы разнообразны— успешно решив задачу, подумайте, какие другие схожие задачи можно решить найденным методом. Не забудьте похвалить себя, если работа ладится. И главное, не впадайте в уныние, если задача упорно «не желает решаться». Отдохнув, принимайтесь за работу снова,— настойчивость в достижении дели является непременной личностной чертой настоящего профессионала. Если не удалось справиться с трудностью самостоятельно и приходится обращаться к преподавателю, нс ставьте
во главу угла «рецептурную» сторону дела — ведь цель не просто получить верный ответ, а как можно глубже понять, почему
надо действовать именно так, а не иначе.
Во-вторых, открыв учебник, не следует сводить дело к подыскиванию формулы, которая немедленно даст нужный ответ. Формальное знание теории является необходимым, но отнюдь не
достаточным условием успе
аою решения задачи. Самой глав-
HI
ной мыслительной процедурой всегда была некоторая догадка,
а это и есть, по сути дела, начало любого творчества. Если сразу
ясно, как решать ту или иную задачу, ею все равно не следует пренебрегать. Аккуратное доведение до конца всех выкладок и расчетов очень важно для формирования навыка самостоятельной работы.
Пользуюсь возможностью высказать признательность рецензенту книги —- проф. М. П. Демину за полезные советы и благо
желательную критику.
Автор
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящая книга содержит материал к упражнениям по курсу «Радиотехнические цепи и сигналы».
Раздел 1 включает шестнадцать отдельных тем, которые охватывают всю программу курса. Тематические заголовки повторяют названия глав учебника [I].
Подбор задач и их расстановка выполнена таким образом, что учащимся предлагается внутренне организованная система упражнений, отвечающая общим и частным принципам построения курса «Радиотехнические цепи и сигналы». Так, читатель найдет здесь задачи, преследующие цель закрепить теоретический материал. Имеются задачи следующей ступени сложности, когда приемы и методы познавательной деятельности должны быть обобщены учащимся для анализа более сложных ситуаций. Наконец, в пособие включены задачи, предусматривающие перенос знаний на новые объекты, выработку навыков творческого мышления.
Раздел II пособия содержит указания к решению ряда задач. В разделе III приведены образцы решений. Последний раздел IV включает в себя ответы к задачам.
Автор стремился написать пособие, которое активно помогало бы студенту в наиболее сложной фазе работы — в поиске плана решения задач. Для этого была проведена классификация всех помещенных в книге задач. Классификационные символы располагаются в скобках вслед за номером задачи и имеют следующий смысл:
УР — к задаче приведены указания (для хорошо подготовленных студентов, намеренных решить задачу «без подсказки») и решение;
Р — приведено только решение;
УО — данную задачу сопровождают указания и ответ;
У — приводится только указание;
О — приводится только ответ.
Изучение каждой темы следует начинать с проработки установочных задач типов УР и Р. При выполнении упражнений студенту целесообразно иметь под рукой учебник по теории цепей, например, [2] и математические справочники, такие, как [3] и [4].
РАЗДЕЛ I
Задачи  упражнения
Тема 1
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
• Математические модели сигналов
1.1(Р). Импульсный сигнал u(f), имеющий размерность напряжения (В), описывается формулой
u(/)=25 [exp (- 105/)-ехр(-2-105/)] a(t).
Постройте график данного импульса. Определите максимальное значение сигнала и^.„ а также момент времени достижения максимума t„„. Вычислите длительность импульса ia, определив ее как длину отрезка времени от нуля до той точки, в которой мгновенное значение сигнала уменьшается в 10 раз по сравнению с максимальным значением.
1.2(0). Математическая модель импульсного сигнала задана выражением
и(г>Я0/е°п(/).
Вычислите и постройте график данного сигнала в зависимости от безразмерного аргумента at. Определите длительность импульса т„, приняв в качестве критерия окончания импульса спад мгновенных значений до уровня 0.1 от максимального значения.
1-3(УО). Осциллограмма сигнала s(f) приведена на рис. 1.1.1. Запишите математическую модель данного сигнала, применив функции Хевисайда.
1.4(Р). Сигнал s(f) имеет математическую модель вида (рис. 1.1.2):
{О	, «О,
Представьте данную зависимость в виде суммы кусочно-линейных функций.
6
1.5(0). На ряс. 1.1.3, а, б, в изображены осциллограммы импульсных сигналов ^(0, s2(t) и Sift). Найдите математические модели данных сигналов, выраженные посредством сумм, которые составлены из произведений линейных функций и функций Хевисайда.
1.6(0). Найдите формулы, описывающие математические модели следующих импульсных сигналов (рис. 1.1.4): а) однополярного импульса Si (/), представляющего собой отрезок синусоиды с амплитудой А и частотой су, длительность импульса равна половине периода (а); б) двухполярвого импульса отвечающего целому периоду синусоиды с такими же параметрами (б).
Рис. 1-1.4
1.7(0). Математическая модель сигнала задана некоторой функцией /(0, существующей в бесконечном промежутке времени — сс</<сс. Представьте функцию /(0 в виде суммы четной и нечетной частей:
ЛО=Л(О+^(О
и найдите явные выражения для функций Д(0 и Д,(0.
• Динамическое представление сигналов
1.8(0). Используя функции Хевисайда, найдите динамическое представление колебания s(t), описывающего переход некоторой физической системы от нулевого уровня к постоянному уровню В. Данный переход происходит за интервал времени Т по линейному закону:
{О	, /<0,
дО/7), о<г<г, в , t>T
1.9(0). Экспоненциальный видеоимпульс напряжения (В) j(0=25exp(—1О*Г)о-(0 действует на входе цепи, достаточно инерционной для того, чтобы можно было приближенно представить данный сигнал в виде s(t)=AS(t). Определите числовое значение коэффициента А.
1.10(F). Убедитесь, что при я-»сс пределом последовательности функций
служит функция Дирака & (0.
1.11(F). Докажите, что пределом по-
следовательности функций одна из которых изображена на рис. 1.1.5, при л-» со является функция 6 (0.
1.12(У). Докажите, что функция Дирака <5(0 может рассматриваться как предел последовательности классических функций
у 2л
ехр(—иГ2/2) при п-»сс.
• Геометрические методы в теории сигналов
1.13	(F)- Вычислите энергию Еи и норму ||и|| экспоненциального видеоимпульса напряжения (В)
и=0)=30 exp ( - Ю’г) <г(/).
1.14	(0). Вычислите энергию Е, н норму ||s|| сигнала s(t), представляющего собой прямоугольный видеоимпульс напряжения (В) с амплитудой Uo и длительностью тя.
1.15	(0). Выведите формулу для нахождения энергии радиоимпульса длительностью гя с огибающей прямоугольной формы, описываемого выражением
{О	, /<0,
UMsm(<oH-?), 0<Кт„ О	, Г>тж.
1.16	(F). Даны два сигнала: прямоугольный видеоимпульс o(t—tj] и экспоненциальный видеоимпульс v(0—
— t/oe“tr(r) (параметры Ut>, а и тл — положительные вещественные числа). Считая длительность тя фиксированной, найдите величину параметра а, при которой расстояние р(и, «) минимально.
1.17	(Р). Сигнал существует на отрезке времени
<1. Найдите приближение к этому сигналу с помощью линейной функции u(t)=Af+В, наялучшее в смысле минимума расстояния (метрики).
1.18(0). На отрезке времени —Т/2<Г<Т/2 задан импульсный сигнал u(/)=t/()cos(nf/7), тождественно обращающийся в нуль вне указанного отрезка (рис. 1.1.6). Сигнал t>(<) представляет собой прямоугольный импульс длительностью 21q, вписанный в импульс u(t). Определите параметр t0 таким образом, чтобы расстояние р(и, ®) было минимальным.
ио
-г/2 -»0 о f0 т/г t
Ряс. 1.1.6
• Теория ортогональных сигналов
1.19	(F). Пусть {ц,(1)}, л= 1, 2, 3, ...— система ортогональных сигналов, существующих на общем отрезке	и являющих-
ся векторами некоторого гильбертова пространства. Докажите, что эта система сигналов линейно независима.
9
1.20	(Р). Докажите, что конечная система сигналов Ui(/), «т(0,... ...» заданная на отрезке времени	является линейно
зависимой в том случае, когда обращается в нуль определитель Грамма:
(hl, U,) (И„ U2)
(“а. “1) (“2. “г)
(“1."»)
(“2. “«)
(“к, “1) (“»> “г)
(“к. “«)
1.21	(0). Сигналы u(t) и v(t) представляют собой прямоугольные видеоимпульсы с амплитудами А] и Л2 и длительностями ти1 и т_2 соответственно (рис. 1.1.7). Оба сигнала одновременно отличны от нуля на отрезке времени длительностью т. Докажите, что угол ф между этими сигналами, рассматриваемыми как векторы в гильбертовом пространстве, не зависит от величин Ах и Л2. Получите формулу, определяющую угол ф.
1.22	(0). Два одинаковых по форме экспоненциальных видеоимпульса, разнесенных во времени на величину tD, описываются выражениями
«1(0=С4е %(а
uI(l)=U0e~Bt'~wo(t—i0).
Определите зависимость угла ф между этими векторами от параметра /0. Найдите величину Zq, при которой ^=89° (практически ортогональные импульсы).
1.23	(У). В гильбертовом пространстве сигналов заданы два вектора ии»с одинаковыми энергиями: Ы2= ||ю||2. Докажите, что при этом сигналы j[=u+v и s2=u~v ортогональны, т. е. (Х|, s2)=0.
1.24	(У). Для произвольных сигналов u(z) и v(Z), являющихся элементами гильбертова пространства, докажите равенство параллелограмма
|B+,l2+li(-»lI=2|i<|z+2M2.
1.25	(F). Сигналы u(t) и v(t) являются элементами некоторого вещественного гильбертова пространства. Рассматриваемые сигналы линейно независимы, г. е. равенство и=)л не имеет место ни при каком значении вещественного параметра А. Докажите справедливость неравенства Коши — Буняковского
|(u, »)|<||u||'||»||.
1.26	(У). Докажите, что в вещественном гильбертовом пространстве сигналов имеет место неравенство Минковского
||u+e||<||u||+||v||.
1.27	(У). В гильбертовом пространстве сигналов заданы произвольный вектор и и вектор такой, что ||i>|| — 1. По аналогии с геометрией обычных векторов на плоскости вектор w=(u, v)v называют ортогональной проекцией вектора и на направление v (рис. 1.1.8). Докажите, что вектор y=u— w ортогонален вектору v.
1.28	(У). Обобщая результат задачи 1.27, докажите, что если {*ч, "1, —, *w} — система взаимно ортогональных векторов с единичными нормами, то вектор
У—и—(и, v^Vf-iu, v2)v2—...—{и, v^Vn
при любом и ортогонален по отношению к каждому из векторов рассматриваемой системы.
1.29	(F). Пусть в гильбертовом пространстве сигналов задана система взаимно неортогональных векторов {go, gt, g„. Постройте на ее основе ортонормированную систему {ц,, щ, — и„,...} таким образом, чтобы каждый вектор и* являлся линейной комбинацией вида
«*= c*ogo+ckl gi +... +е*„ gn+...
с постоянными коэффициентами.
1.30	(УО). Используя прием, найденный при решении задачи 1.29, вычислите три первых базисных вектора щ, и( и и2, получаемых путем ортогонализации и нормировки системы степенных функций {1, г, ...} на отрезке —

гиг
Рнс. 1.1.8
Рис. 1.1.7
131 (У О). Найдит. первые три коэффициента с0, С| и с2 обобщенного ряда Фурье, получаемого при разложении сигнала на отрезке — !</<! по системе базисных функций {и*}, исследованных в задаче 1.30.
Вычислите норму
ня
абсолютной ошибки аппроксимации данного сигнала тремя членами ряда. Получите числовую оценку для относительной ошибки
данной аппроксимации.
132(УО). Решите предыдущую задачу в другой постановке: найдите коэффициенты многочлена второй степени z(t)= —A+Bl+Ct2 таким образом, чтобы данный многочлен с наименьшей среднеквадратичной ошибкой аппроксимировал сигнал на отрезке —1</<1.
133(У). Докажите, что комплексные экспоненциальные функции
и.(0=-^ехр^/~),л=0, +1, +2, _
на отрезке — T/2^t^T/2 образуют ортонормированный базис.
1.34(У). На отрезке a^t^b задана бесконечная полная система ортонормированных сигналов {«я(г)}, и=0, 1, 2, ... Докажите, что дельта-функция, сосредоточенная в некоторой внутренней точке t0(a<to<b), может быть представлена как бесконечный ряд
X ц.(4)ч.(0-
135(0). Сигнал s(о ), зависящий от безразмерного аргумента я, на отрезке — 1/2<й <1/2представляется формулойг(о)= 16о2. Вычислите коэффициент с2 разложения данного сигнала в обобщенный ряд Фурье по функциям Уолша:
*(e)= £c*wal(fc, о).
12
1.36(0). Вычислите коэффициенты с0 и с2 в разложении сигнала 5( й )=45 ехр (—0,71 о |), заданного на отрезке —1/2< о < 1/2, в обобщенный рад Фурье по функциям Уолша.
1.37(УО). Найдите коэффициент Cj обобщенного рада Фурье по функциям Уолша для сигнала f(t), рассмотренного в задаче 1.31.
Тема 2
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ
• Периодические сигналы и ряды Фурье
2.1	(Р). Периодический сигнал s(t) с периодом Т на отрезке —	задан выражением s(z)=€70cos(nf/T) (рис. 1.2.1).
Найдите выражения для коэффициентов С„ рада Фурье этого сигнала.
2.2	(УО). Периодическое колебание и(Г) имеет период Т. На отрезке — 7/2</<Т/2 данное колебание представлено в виде u(/)=t70exp(—/ф|), причем параметр Р велик настолько, что PT/2 »1 и поэтому отдельные импульсы, образующие периодический сигнал, практически не «перекрываются» (рис. 1.2.2). Найдите коэффициенты До/2 и а„, входящие в ряд Фурье данного сигнала
/л n v мп‘ u(t)—aa/2+ 2, «„cos—.
2.3	(0). Периодический комплексный сигнал s(t) с периодом Т представлен следующими выражениями:
{О , — 7?2<Г<—1/2,
А ехр (/а/), -t/2<lCt/2,
О , т/2<г<Г/2, где Л, а, г — заданные вещественные числа.
-т/г о т/г t	-то
Рис. 1.2.1
Рис. 1.22
13
Вычислите коэффициенты G,(n—О, +1, ±2, ...) ряда Фурье в комплексной форме для данного сигнала.
2.4	(0). График мгновенных значений вещественного периодического сигнала s(t), относящихся к отрезку — 7J2<r<T/2, изображен на рис. 1.2.3. Получите формулу, определяющую общий член последовательности {С„} коэффициентов комплексного ряда Фурье данного сигнала.
23(0). Прямоугольные видеоимпульсы положительной полярности, образующие бесконечную последовательность с периодом Т, имеют амплитуду Ц>- Длительность каждого импульса равна Т/3, точка г=0 совпадает с серединой импульса. Вычислите коэффициент G комплексного ряда Фурье указанного сигнала.
2.6	(0). Периодический сигнал s(t) на отрезке — 7J2</<T/2 задан выражением $(Г)=(1 —2 jfj/Т) (рис. 1.2.4). Получите выражения, определяющие коэффициенты С„ ряда Фурье для этого колебания. Постройте график частичной суммы ряда Фурье, содержащей постоянную составляющую и две гармоники низших номеров.
2.7	(УО). Осциллограмма периодического пилообразного сигнала s(t) приведена на рис. 1.2.5. Получите выражения для коэффициентов С„ комплексного ряда Фурье. Запишите явное выражение этого сигнала в виде суммы гармонических колебаний с кратными частотами. Постройте график частичной суммы, состоящей из трех первых членов. Сравните данное приближенное представление с исходным сигналом.
23(УО). Найдите связь между коэффициентами С„ (и=0, +1, +2, ...) комплексного ряда Фурье периодического сигнала /(/) и коэффициентами С„ ряда Фурье сигнала /(/)=/(/—полученного из исходного сигнала /(Г) путем сдвига во времени на t0 секунд.
2.9	(У). Комплексный периодический сигнал s(z) на отрезке —	имеет вид
Т!2 г
Рис. 1.2.3
- Г/2 О Г/?
Рис. 1.2.4
14
i(')=Ji(O+A(O
Покажите, что если функция st(t) четна, a s2(t) — нечетна, то коэффициенты С„ ряда Фурье при любом п являются вещественными числами.
2.10	(0). Периодический вещественный сигнал s(f) на отрезке O^t^Tзадан выражением s(t)— С70ехр(—at) (рис. 1.2.6). Найдите выражения для коэффициентов С„ комплексного ряда Фурье, отвечающего данному сигналу. Вычислите амплитуду пятой гармоники А, при следующих параметрах:
<70=15 В, аГ=3.
2.11	(0). Найдите амплитуду А2 второй гармоники сигнала, рассмотренного в задаче 2.1, если С7О=25 В.
2.12	(0). Применительно к условиям задачи 2.2 при £70=300 В, 7=2-10-s с и /?=6‘106 с-1 определите постоянную составляющую Ой]2, а также амплитуды первой, второй и третьей гармоник сигнала.
2.13	(Р). Периодический сигнал s(z), в общем случае комплексный, имеет заданный период Т Получите выражение, связывающее среднюю за период мощность этого сигнала Р^ с коэффициентами С„ его ряда Фурье.
-Т О 1
Рис. 1.2.5	Рис. 1.2.6
2.14	(УО). Найдите среднюю за период мощность Р^ сигнала, рассмотренного в задаче 2.6, а также среднюю мощность Рс^, отвечающую сумме постоянной составляющей, первой и второй гармоник. Вычислите относительную погрешность Ь представления средней мощности указанным способом.
15
Ф Спектральные представления
непериодических сигналов. Преобразование Фурье
2.15	(F). Осциллограмма видеоимпульса напряжения s(r) представлена на рис. 1.2.7. На отрезке времени 0</<тя=5 мкс функция j(<) имеет вид л(Г)=Лехр(—al), где А и а — параметры, определяемые видом осциллограммы. Найдите спектральную плотность S((b) данного импульса.
2.16	.(Р). Покажите, что спектральная плотность S(co) импульса, рассмотренного в задаче 2.15, не обращается в нуль ни при каких конечных значениях частоты со.
2.17	(Р). Периодический сигнал 5^,(1) образован бесконечной последовательностью одинаковых импульсов $о(0. повторяющихся через одинаковые интервалы времени Т Найдите формулу, связывающую коэффициенты G,(n=0, + 1, —) ряда Фурье периодического сигнала со спектральной плотностью S0(co) одиночного импульса Soft).
2.18	(F). Импульсная последовательность х(0 образована множеством 2N+1 непересекающнхся во времени одинаковых импульсов (N — целое положительное число или нуль). Интервал повторения последовательности равен Т (рис. 1.2.8).
Считая известной спектральную плотность So (со) одиночного импульса, вычислите спектральную плотность S(ai) последовательности.
2.19	(Р). Вычислите спектральную плотность S(co) сигнала я(1)—А(еш-~е~^)<т(/). Постройте график зависимости модуля спектральной плотности от частоты для следующих значений параметров: Л=6 В, а= 106 с-1, /?=3‘ 106 с“‘.
2.20	(Р). Для сигнала 3(f), рассмотренного в предыдущей задаче, выведите формулу, позволяющую рассчитать граничную частоту спектра atp, на которой модуль спектральной плотности уменьшается в 10 раз по сравнению с тем значением, которое имеет место на нулевой частоте. Получите числовое значение
16
Шгр применительно к тем параметрам а и р, которые заданы в условиях задачи 2.19.
2	Л (О). Экспоненциальный видео импульс тока (А) задается выражением х(Г)=0.75ехр(—4'10,Г)<г(0- Найдите модуль и аргумент спектральной плотности данного колебания на частоте /=10 МГп.
2.22	(УО). Определите спектральную плотность S(ai), отвечающую сигналу х(/)=Л/ехр(—at)a(t).
2.23	(УР). На экране телевизионного приемника с длиной строки 500 мм требуется создать изображение вертикальной черной линии шириной 3 мм (рис. 1.2.9). Электронный луч пробегает строку телевизионного растра за отрезок времени длительностью 64 мкс. Оцените ширину спектра видеосигнала, управляющего яркостью свечения экрана кинескопа в рассматриваемом случае.
2.24	(0). Найдите связь между спектральной плотностью S(co) вещественного сигнала s(l) и спектральной плотностью Р(<у) сигнала ^(г)—х(—г).
2.25	(УО). Четный сигнал (Г) и нечетный сигнал д2(0 связаны с исходным колебанием s(i) соотношениями:
?i(0=s(0+j(-i).
Найдите связь спектральных плотностей н Qifco) данных сигналов со спектральной плотностью S' (to) сигнала s(t).
2.26	(0). Пусть x(t)«-»5(to). Найдите сигнал f(f), которому отвечает спектральная плотность: a) F(<o)=S'z(to), б) F(to)= = 5(ш)5*(со)=|5(со)|2, в) Г(<о)=5*(ш).
2.27	(0). Найдите спектральную плотность S'(со) сигнала х(г), математическая модель которого описывается n-й производной функции <5(0-
2.28	(Р). Определите спектральную плотность 5 (со) симмег-
17
2.29	(Р). Сигнал u(i) представляет собой последовательность из трех разнополярных видеоимпульсов с длительностью Т и амплитудой <4 каждый (рис. 1.2.11). Вычислите спектральную плотность U (о) данного сигнала. Постройте график зависимости спектральной плотности от безразмерного аргумента шГ/2.
2.30	(УО). Найдите спектральную плотность S(co) несимметричного треугольного видеоимпульса s(t), осциллограмма которого изображена на рис. 1.2.12.
2.31	(У). На примере треугольного видеоимпульса, рассмотренного в задаче 230, покажите, что значение спектральной плотности на нулевой частоте равно площади импульса, т. е. 5(0)=ЛТи/2.
2.23	(УР). Импульсный сигнал $(1) отличен от нуля на отрезке времени [0, tJ. Получите приближенное выражение спектральной плотности S(co) на достаточно низких частотах со, удовлетворяющих условияю сдг.«:1-
233(УО). Осциллограмма импульса напряжения изображена на рис. 1.2.13. Найдите приближенное числовое значение спектральной плотности этого импульса на частоте со= 103 с-1.
2.34	(УО). Осциллограмма импульса тока приведена на рис. 1.2.14. Вычислите приближенное значение спектральной плотности этого импульса на частоте со=5 - Ю3 с-1.
2.35	(УР). Найдите сигнал г (Г), спектральная плотность которого задана выражением
I
где So, т — некоторые постоянные.
2.36	(УО). Найдите сигнал s(z), исходя из его спектральной плотности
®(ш>=1ле
2.37	(УО). Определите функцию s(t), описывающую сигнал со спектральной плотностью
5(Ш)= -Л
(а+уш)3
где А — постоянная, а>0 вещественное число.
18
Рис. 1.212
Pbc.IJ.11
2.38	(0). Найдите сигнал $(/), заданный своей спектральной плотностью
S(co)=--------------,
(e+ja>)(0+7ai)
гдеа>0, Р>0, а*р.
2.39	(0). Найдите сигнал s(i), которому отвечает спектральная плотность
5(Ш)=---------------------,
(id— Шо —ji)(a>+<uo—/я)
где A, (Da, а — положительные вещественные числа.
2.40	(УР). Вычислите спектральную плотность £7(ш) сигнала и (О, представляющего собой синусоиду, начинающуюся в момент времени 1=0: п(1)=17о sinter a(t).
2.41	(УО). Найдите спектральную плотность S'(to) импульса включения комплексного экспоненциального сигнала, представляемого формулой s(f)=exp(j<D0f)a(t).
2.42	(УО). Вычислите спектральную плотность S(aj) сигнала
/л I1 ’ '<0’
[ехр(/ й), 1>0,
где й — постоянное число.
19
2.43	(УО). Найдите спектральную плотность S(co) комплексного экспоненциального сигнала
$(Л=Дехр^“°Г)’ /<0’ |exp(/(toof+0)J, />0,
имеющего скачок фазы на о радиан при t=0.
2.44	(0). Определите спектральную плотность S(a>) сигнала s(/)=cos2tn0/, —со</< + со. Задачу решите двумя способами: а) путем сведения заданного сигнала к сумме двух сигналов с известными спектрами, б) с помощью теоремы о спектре произведения двух функций.
2.45	(Р). Непосредственным вычислением докажите, что свертка
/(0= I u(t)v(t-T)dt
двух сигналов u(t) и t>(t) с известными спектральными плотностями U(<о) и соответственно имеет спектральную плотность F((o)= U (со) F(co).
2.46	(Р). Вычислите свертку /(/) двух экспоненциальных видеоимпульсов к, (/)=Л1 ехр(—tZji)cr(t) иs2(t)^A2exp(—ohOtrft) двумя способами: а) прямым нахождением интеграла свертки, б) с помощью теоремы о преобразовании Фурье свертки.
2.47	(УО). Вычислите сигнал q(t), являющийся сверткой двух функций Хевисайда с(/).
• Преобразование Лапласа
2.48	(УР). Найдите оригинал u(t), которому отвечает изображение и(р)—\!рг.
2.49	(F). Найдите функцию /(/), которая является оригиналом по отношению к изображению
(/>+a)(/>+fc)(/>+c)’
где а, Ь, с — постоянные числа.
2.50	(УР). Докажите следующию формулу соответствия между изображением по Лапласу и оригиналом:
(р+а)(р+Ь) Ь—а
2.51	(У). Докажите следующие соответствия между изображениями по Лапласу и оригиналами:
а)---------=—— (Ье~Ь'— аеГ01),
(p+a)(p+tf) b-a
S)---------=S (О+~(а2е-"'-*2е“‘').
(р+а)(р+Ь)	Ь—а
2.52	(У). Докажите, что изображению F(p)=l/(p+a)"+l соответствует оригинал /(/)=/"е °‘/п1. Здесь л>0 — натуральное число, а — произвольная величина.
2.53	(У). Докажите, что оригиналу cos (со/+ф) отвечает изображение по Лапласу (pcos<p—rosin (p)/(p2+aj1').
2.54	(УО). Найдите изображение по Лапласу U(p) для прямоугольного видеоимпульса u(t) с амплитудой 170 и длительностью т„, который начинается в момент времени /=0.
2.55	(0). Сигнал s(t), начавшийся в момент времени /=0, представляет собой бесконечную последовательность импульсов, следующих во времени с периодом Т Полагая известной функцию S0{p) — изображение отрезка данного сигнала, отличного от нуля на отрезке 0</<Т, найдите преобразование Лапласа S(p) для периодического сигнала.
2.56	(УО). Вычислите преобразования Лапласа Si(p), S2(p) н SjCp) сигналов Jjfl), s3(t) и х3(1), описанных в условиях задачи 1.5.
• Веявлет-янялнз
2.57(0). Напишите явные выражения функций, представляющие вейвлеты Хаара Ч'м(о), *Fn( о ) и Здесь о — безразмерная переменная, связанная с текущим временем t и длительностью Т рассматриваемых сигналов соотношением е =tjT.
2.58(Р). На отрезке времени [0, 7] задан импульсный сигнал треугольной формы х(/)=40(//7), равный нулю в остальных точках оси I. Найдите коэффициент с1Ь входящий в расположение этого сигнала по элементам вейвлет-базнса Хаара.
2.59(Р). В состав математической системы MathCAD входит библиотечная функция wave(X), которая возвращает множество коэффициентов разложения входного вектора X по элементам вейвлет-базиса Добеши. Число компонентов вектора X должно составлять 2”, где m — целое число. Имеется также функция обратного вейвлет-преобразования iwave (У), которая восстанавливает вектор отсчетов сигнала по известным коэффициентам разложения.
21
Проведите численные эксперименты по вейвлет-анализу одиночного прямоугольного видеоимпульса и его обратному восстановлению. Сделайте выводы о влиянии числа вейвлет-коэф-фициентов, используемых при восстановлении сигнала.
Тема 3
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СПЕКТРЫ СИГНАЛОВ. ПРИНЦИПЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА
• Обобщенная формула Рэлея.
Энергетические спектры
3.1	(УР). Используя обобщенную формулу Рэлея, найдите скалярное произведение (и, t>) экспоненциальных видеоимпульсов и(0=Л,ехр(-att)a(t) и v(t)=A2exp(-a2t)u(t).
3.2	(УО). В области физических частот а» О спектральные плотности &(<о) и 5,(<о), которые отвечают сигналам u(t) и v(t), представлены графически на рис. 1.3.1. Вычислите скалярное произведение (u, v) данных сигналов.
33(УО). Вычислите скалярное произведение (u, v) экспоненциального видеоимпульса п(Г)=Лехр(—и такого же импульса 1>(г)=Лехр[—п(г—4), сдвинутого относительно сигнала и (Г) на /0(с) в сторону запаздывания.
3.4	(0). Найдите взаимный энергетический спектр И» (со) двух гауссовых видеоимпульсов и(/)=Л1ехр(—Pit2) и ш(/)=Л2ехрх * (—ft/2), заданных при — со</< 4-оо.
33(0). Определите взаимный энергетический спектр гауссова видеоимпульса и(/)=Л1ехр(—ft2) и экспоненциального видеоимпульса 1)(0=Л2ехр(—at)a(t).
3.6	(УО). Найдите взаимный энергетический спектр (К, (су) прямоугольных видеоимпульсов u(t) и t>(/) с амплитудами Ui и U2 соответственно, имеющих одинаковую длительность Т.
3.7	(0). Вычислите энергию Е„ сигнала u(t), энергетический спектр которого в области положительных частот задан графически на рис. 1.3.2.
ЗЛ(УР). Прямоугольный видеоимпульс «(/) имеет амплитуду £70 и длительность тж. Выведите формулу для расчета энергии Е^, заключенной в пределах интервала положительных частот от нуля ло некоторой верхней граничной частоты
3.9	(F). Импульсное колебание задано формулой
$(/)=15ехр(—107/)о(/).
22
Рис. 1.3.1	Рис. 1.3.2
Определите граничную частоту (Гн) таким образом, чтобы в интервале частот (0, frp) было сосредоточено 90% всей энергии импульса.
З.Ю(	УО). Определите, какая доля полной энергии прямоугольного видеоимпульса, имеющего длительность 5 мкс, содержится в пределах частотного интервала от нуля до 575 кГц.
3,11	(УО). Сигнал s(t) представляет собой прямоугольный видеоимпульс. Найдите относительную долю полной энергии этого сигнала, содержащуюся в пределах первых десяти лепестков спектра этого сигнала.
• Автокорреляционная функция
3.12	(УР). Получите аналитическое выражение для автокорреляционной функции B,(t) двустороннего экспоненциального видеоимпульса $(<)=Л ехр(—p\t\), где А — постоянная величина, — вещественное число.
3.13	(Р). Вычислите автокорреляционную функцию В,(т) сигнала л(/)=Лехр(—ai/)sinco0r н(г), имеющего экспоненциально убывающую огибающую и гармоническое высокочастотное заполнение.
ЗЛ4(УО). Найдите функцию автокорреляции В,(т) экспоненциального видеоимпульса s (/)=А ехр(—at) а (<)-
3.15	(0). Сигнал s(t) представляет собой треугольным видеоимпульс (рис. 1.3.3), заданный выражениями:
, «<о,
O«r<tR,
Получите формулу, описывающую автокорреляционную функцию J3f(t) данного сигнала.
23
3.16	(F) Найдите аналитическое выражение для автокорреляционной фун-кцин В,(т) радиоимпульса
ГО	, КО,
s(r)-<ЛС05(о0Г+ф0), 0</<ти, <0	, />тя
с огибающей прямоугольной формы.
3.17	(УО). Основываясь на условиях
задачи 3.12, определите иигервал коррел
ТП1
рассматрива-
емого сигнала, понимаемый как сдвиг во времени т, при котором величина В,(г„,р) становится равной 0.12?, (0).
3.18	(УО). Вычислите автокорреляционные функции А (и) сле
дующих пятнпозиционных дискретных сигналов: а) л, (1, I, 1, -1, l),6)j2»(l, 1, -1, -1, 1).
• Функция взаимной корреляции
3.19	(0). Сигналы u(z) и v(i) являются прямоугольными ра но импульсами с амплитудами Ut и иг соответственно; оба сигнала имеют одинаковую длительность Т. Найдите функцию взаимной корреляции 3w(t) этих колебаний.
3	20(УО). Пизтучите аналитическое выражение функции взаимной корреляции Вм (г) двух прямоугольных видеоимпульсов и (г) и имеющих одинаковую амплитуду (70 и длительности Г) и Т2 > Tj соответственно.
Зч21(УО). Сигнал u(t) имеея постоянную вещественную спектральную плотность -S,. в I[ределэх полосы частот Г—ш„ wj. На остады ых частотах спектральная плотность этого сигнала равна нулю. Сигнал и(г) получен из сигнала и(Т) путем сдвига последнего во времени на fo (с) в сторону запаздывания. Найдите взаимную функцию корреляции Зм (т) этих сигналов.
3.22	(УО). Вычислите значения функции взаимной корреляции Длл) для трехпозиционных дискретных сигналов «=(1, 1, — 1) и ₽=(-1, 1, I).
Тема 4
МОДУЛИРОВАННЫЕ СИГНАЛЫ
ф Сигналы с амплитудной модуляцией
4.1	(0). Однптоня пьнктй AM-сигнал описывается выражением u(t)= 500(1 + 0.8 cos(104f+45°)) cos (10’1+90°). Постройте в масштабе векторную диаграмму данного сигнала, отвечающую моменту времени /=0.
4.2	(Р). Амплитуда о-модулированныЙ сигнал (В) описывается следующим выражением:
и (Г)= 12(1 +0.6cos +0.2cos 2£h) cos coat.
Найдите наибольшее и наименьшее значения огибающей U(t) данного сигнала.
4.3	(У). Покажите, что для одиотонального AM-сигнала «(/)— = (7o(l+.A/cos£h)cosaV коэффициенты модуляции «вверх» М, и «вниз» совпадают: М*=М.=М.
4.4	(УО). Осциллограмма однотонального AM-сигнала при М<\ изображена на рис. 1.4.1. Получите формулу для расчета коэффициента модуляции М на основании измерения экстремальных значений амплитуд U^., и
4.5	(УО). На рис. 1.4.2 изображена осциллограмма однотонального AM-сигнала и (г) при М>1, когда имеет место явление перемодуляции. Определите коэффициент модуляции М на основании известных значений амплитуд Um., и U^.
4.6	(0). Однотональный AM-сигнал характеризуется тем, что 14^=130 В, 17ийп=20 В (см. рис. 1.4.1). Найдите коэффициент модуляции М, а также амплитуду UD несущего колебания.
4.7	(УО). Оцените ширину полосы частот П, занимаемую в эфире телеграфным радиоканалом, работающим по принципу AM со скоростью передачи 300 зиаков/мин. Для упрощения
Рис. 1.4.2

Рис. 1.4.1
25
50В
Рис. 1.4.3	Рис. 1.4.4
расчета положите, что передаваемый сигнал является периодической последовательностью точек кода Морзе. Длительность паузы равна длительности передаваемого радиоимпульса (рис. 1.4.3).
4.8	(0). Спектральная диаграмма AM-сигнала, имеющего две низкие частоты модуляции А и Р2, изображена на рис. 1.4.4. Определите парциальные коэффициенты модуляции и М2.
4.9	(F). Источник ЭДС с амплитудной модуляцией и(<)= = I7t>(l+A/cosfl0coswoZ замкнут на резистивную нагрузку с сопротивлением R. Получите выражения для составляющих мгновенной мощности в нагрузке pa(t) и p-ia(t), которые изменяются во времени с частотами П и 2D соответственно.
4.10	(УО). Источник AM-сигнала создает на резистивной нагрузке Яи=2к0м напряжение (В)
и (0=75 (1+0.4 cos 103r)cos 106Z.
Вычислите минимальное и максимальное Р^„ значения активной мощности источника, усредненной за период несущего колебания.
4.11	(0). Радиопередающее устройство с амплитудной модуляцией в режиме «молчания», т. е. при отсутствии модулирующего сигнала, излучает мощность Ро=4 кВт. Найдите пиковое значение излучаемой мощности Р^., однотонального AM-сигнала, если Л/=0.8.
ф Сигналы с угловом модуляцией
4.12	(F). Колебание с угловой модуляцией описывается выражением
»(/)= 15cos(108l+3sin 106Г+1.4 sin 105Г+л/4).
Найдите величину мгновенной частоты со (с) данного сигнала в момент времени / = 1 мкс.
26
4.13	(0). Найдите максимальное и минимальное значения мгновенной частоты со (г) ЧМ-сигнал а, представляемого выражением
л (О=иа (3 10’/+ 2 sin 107f+л/6).
4.14	(0). Одиотональный ЧМ-сигнал имеет несущую частоту Jo—50 МГц и частоту модуляции Г=7 кГц. Вычислите, в каких пределах	должна изменяться мгновенная частота этого
колебания для того, чтобы индекс модуляции т был равен 40.
4.15	(УО). Получите спектральное представление сигнала с угловой модуляцией
u(t)=8 cos (106r+0.06 sin 10*0-
4.16	(0). Однотональный ЧМ-сигнал имеет частоту модуляции Г=12 кГц и индекс модуляции т=25. Вычислите практическую ширину спектра данного колебания.
4.17	(УО). Радиосигнал с фазовой модуляцией имеет индекс т=16. Оцените величину N — число боковых колебаний, присутствующих в пределах полосы частот, центр которой совпадает с несущей частотой, а ширина соответствует практической ширине спектра сигнала П^.
4.18	(УР). Однотональный ЧМ-сигнал имеет девиацию частоты Да)=6  104 с"1. Найдите наибольшее из возможных значений частот модуляции £2^, при котором в спектре сигнала будет отсутствовать составляющая с несущей частотой.
4.19	(УО). Вычислите, при каком наибольшем значении модулирующей частоты в спектре одиотонального ЧМ-сигнала, имеющего девиацию частоты Д/=40 кГц, будут отсутствовать компоненты на частотах 4i+F„„, где/, — частота несущего колебания.
4.20	(УР). Для сигнала, рассмотренного в задаче 4.15, найдите приближенные значения амплитуд и спектральных составляющих с частотами Шо+2£2 и <ц>+3£2 соответственно.
4.21	(УО). В радиопередающем устройстве, излучающем однотональные ЧМ-сигналы, мгновенная частота колебаний изменяется за счет того, что емкость конденсатора LC- контура в задающем генераторе переменна во времени
C(f)=G+G,cos£2f
Частота немодулированной несущей/о=28 МГц, емкость конденсатора при отсутствии модуляции Со— 30 пФ. Частота модуляции F=£2/(2n)=2 кГц; индекс модуляции т=0.4. Вычислите амплитуду изменения емкости С„, обеспечивающую заданные параметры сигнала.
27
• Сигналы с линейной частотной модуляцией
4.22(0). Прямоугольный ЛЧМ-импульс длительностью тв= =40 мкс имеет значение базы 22=500. Определите девиацию частоты ДГ в данном импульсе.
4.23(0). ЛЧМ-импульс с огибающей прямоугольной формы имеет длительность тж=15 мкс. Девиация частоты за время импульса ДГ=25 МГц. Определите базу В данного сигнала и скорость нарастания частоты ц
4.24(0). Вычислите величину энергетического спектра W„ прямоугольного ЛЧМ-импульса, имеющего девиацию частоты Дп)= =109 с’1, базу В=5 103 н амплитуду 17о=5О мкВ.
4.25(Р). Вычислите приближенное значение энергнн Е* прямоугольного ЛЧМ-импульса и (г) длительностью с заданной амплитудой Uo и известной скоростью нарастания частоты д. Задачу решите двумя способами: а) непосредственным интегрированием во временной области, б) используя понятие энергетического спектра сигнала Wu. Положите, что база сигнала 22» 1.
426(0). Выведите формулу, определяющую связь величины квадратичного слагаемого Ф, фазового спектра прямоугольного ЛЧМ-импульса на границе полосы частот сигнала со значением базы В.
4.27(0). Найдите формулу, определяющую ширину основного
...	лепестка автокорреляционной
функции ЛЧМ-импульса с заданны-
z'i т.	ми параметрами тж и В. Вычислите
/ I	величину для импульса, име-
А I	югцего базу 22=2’103 и длитель-
,'Л I I \	ность ти=8 мкс.
Г I In ——*	4.20(УР). Найдите спектральную
' 11 К С плотность S(co) ЛЧМ-импульса
' I'	s(<)= C'0c_,‘cos(m<<+y^,
заданного в бесконечном интервале
Рис. 1.4.5	— со<Г<4-оо и имеющего гауссову
форму огибающей (рис. 1.4.5).
• Сигналы для стереофонии
4.29(0)-В системе стереофонического радиовещания сигналы левого 1(f) н правого г(/) каналов занимают область частот, ограниченную сверху значением 10 кГц. Вычислите минимально возможное значение поднесущей частоты fm, позволяющее избе
28
жать наложения каналов друг на друга. Считайте, что наивысшее значение частоты колебаний, воспринимаемых человеческим слухом, составляет 18 кГц.
4.30(0). В левом канале стереофонической системы передается низкочастотный гармонический сигнал с частотой 3 кГц, а в правом канале — такой же сигнал с частотой 5 кГц. Известно, что частота поднесущего колебания равна 38 кГц. Найдите значения частот всех спектральных составляющих, входящих в состав сигнала с полярной модуляцией.
Тема 5
СИГНАЛЫ С ОГРАНИЧЕННЫМ СПЕКТРОМ
• Сигналы с ограниченным спектром низкочастотного типа.
Рад Котельникова
5.1	(Р). Сигнал s(f) с ограниченнным спектром имеет спектральную плотность
0)< —й)».
Получите представление данного сигнала в виде суммы двух идеальных низкочастотных сигналов, спектральные плотности которых постоянны в пределах частотного интервала [—со,,
5.2	(0), Сигнал звукового сопровождения в телевизионном канале ограничен верхней частотой ^=12 кГп. Определите интервал t0 между отсчетами этого сигнала, необходимый для неискаженного воспроизведения сигнала при передаче его дискретным способом.
5.3	(Р). Сигнал u(t), дискретизованный в соответствии с условиями теоремы Котельникова, имеет два ненулевых отсчета, изображенных на рис. 1.5.1. Вычислите мгновенные значения исходного аналогового сигнала в момент времени 1=1 мкс.
5.4	(УО). Ряд Котельникова сигнала s(r) содержит три ненулевых слагаемых (рис. 1.5.2). Все отсчеты измерены в вольтвх. Вычислите энергию Еа данного сигнала.
29
20В
2 I О Г 2 Г. мкс
Рис. I.5.I
Рис. 1.5.2
-20В
55(УР). Гауссов видеоимпульс s(0=C7eexp(—/Й2), заданный при — со <со< + со, приближенно заменяется сигналом с ограниченным спектром ЛдсО), спектральная плотность которого в интервале частот 0<(o<a)t совпадает со спектральной плотностью сигнала j(r), а прн <у>о1 обращается в нуль. Найдите норму ||^отИ сигнала ошибки подобной аппроксимации.
• Сигналы полосового типа. Комплексная огибающая
5.6	(У). Пусть S2(t),	—сигналы, которым при выборе
в качестве опорной частоты некоторого конкретного значения соо соответствуют комплексные огибающие (7, (f), &(0» — Докажите, что сумма произвольного числа таких сигналов имеет комплексную огибающую, равную сумме комплексных огибающих отдельных слагаемых.
5.7	(0). Получите выражения для комплексных огибающих следующих сигналов:
а) s(t\=fU°COS(t}ot ’ Z<0’ |ц>со8(ш0Г+фо), Г>0,
(U0costi}0t , г<0, (t70cos(coc+no)z, «>0.
В обоих случаях положите, что значение опорной частоты равно и>о.
5.8	(0). Узкополосный сигнал /(*) имеет вид
/(/)= 10 cosQr cos Wof+[30 sin Qr+ +5 sin (2£ll+л/4)] sin a)ot.
Найдите выражение для комплексной огибающей t^(t) данного колебания.
5.9	(УО). Найдите комплексную огибающую а также синфазную амплитуду Д,(0 и квадратурную амплитуду B,(t) для однотонального АМ-сигнала
s(t)= U„(l +М cos Hr) cos (cot+n/4).
5.10	(УО). Сигнал s(i) с однотональной угловой модуляцией описывается зависимостью
s (0 = Um cos (cot+т sin £lf).
Положив, что опорная частота сигнала равна несущей частоте со, получите выражение для комплексной огибающей синфазной A,(t) и квадратурной В, (ft амплитуд сигнала. Докажите, что частота сигнала co,(f)—co+/nfi cos £h.
5.11	(F). Найдите комплексную огибающую гармонического сигнала s(t)= Uo sin co0t, — co < Г < + co, выбрав в качестве опорной частоты величину си0. Получите выражения для спектральной плотности С,(со) комплексной огибающей, а также для спектральной плотности S(co) колебания s(t).
5.12	(УО). Вычислите спектральную плотность S'(со) узкополосного сигнала
(t/ocoscoof, /<0, (t70cos(coo/+<?o), <>0-
Отдельно рассмотрите частный случай $>о=18О°.
5.13	(УО). Найдите физическую огибающую 14(0, полную фазу &(0 и мгновенную частоту со,(0 однотонального ОБП-сиг-нала с подавленной нижней боковой полосой:
j(0= Uo cos ад/+(AfUo/2) cos (wo+Q)f,
где M< 1 — коэффициент амплитудной модуляции.
5.14	(0). Вычислите минимальное и максимальное %,,, значения мгновенной частоты простейшего сигнала с одной боковой полосой (см. задачу 5.13) при следующих числовых параметрах: Wo= 10б с-1,	с-1, Af=l.
5.15	(УО). Найдите физическую огибающую €4(0, соответствующую идеальному низкочастотному сигналу s(f), спектральная плотность которого постоянна и равна So в интервале частот —со. < со < со,, а на других частотах обращается в нуль.
31
5.16	(0). Найдите комплексную огибающую экспоненциального радиоимпульса s(f)=I7cexp(-otf) sincere (Г). Получите выражения спектральной плотности G,(fo) комплексной огибающей и спектральной плотности S(co) сигнала s(t).
5.17	(0). Идеальный прямоугольный радиоимпульс длительностью тя опвсыввется выражением
гО,
$(/)==< I7t>cosav,
to,
t<zJ2,
Получите выражение комплексной огибающей 0,(f) данного сигнала, полагая, что опорная частота равна а>а. Найдите спектральную плотность S(to) сигнала j(f).
• Аналитический сигнал. Преобразования Гильберта
5.18	(F). Спектральная плотность сигнала s(f) задана выражениями
ГО,
S'(<o)=<5’oexP(-“l“l), to.
ta<—со.,
а» со.,
где So, а, со. — положительные числа. Найдите соответствующий аналитический сигнал z„(t).
5.19	(УО). Сигнал s(t) имеет вещественную спектральную плотность S(ta), график которой при <у>0 изображен на рис. 1.5.3. Вычислите аналитический сигнал и определите закон изменения во времени мгновенной частоты рассматриваемого сигнала.
5.20	(0). Сигнал s(f) при <у>0 имеет спектральную плотность S'(<o)=S0e” . Найдите соответствующий аналитический сигнал МО-
5	Л (У). Докажите, что если s(t) — сигнал с ограниченной энергией, то он ортогонален по отношению к сигналу, сопряженному по Гильберту, т. е.
J s(Of(r)df=O.
32
5-22(У). Докажите, что двукратное применение преобразования Гильберта к сигналу s(f) равносильно перемене знака сигнала, т. е. /(/)= — s(t).
5.23	(0). Вычислите преобразование Гильберта х(/) сигнала s(0=5(r), используя фильтрующее свойство ^-функции.
5.24	(УР). Прямоугольный видеоимпульс s(t), симметричный относительно начала отсчета времени (рис. 1.5.4, а), поступает на вход системы, состоящей из идеального дифференциатора и квадратурного фильтра КФ, выполняющего операцию преобразования Гильберта (рис. 1.5.4, 6). Определите сигнал /(0 иа выходе системы.
5.25	(УО). Мгновенные значения сигнала s(f) изменяются во времени в соответствии с формулой s(l)=a/(«2+t2). Вычислите пребразование Гильберта S(t) данного колебания.
5.26	(У). Докажите, что мгновенная частота <ож(г) узкополосного сигнала s(t), которому соответствует преобразование Гильберта S(f), вычисляется по формуле

5.27	(УО). Вычислите преобразование Гильберта s(f), отвечающее прямоугольному видеоимпульсу
ГО,
= \ Ц» — *0^*^*0»
(О,	t>to.
2-415
33
Тема 6
ОСНОВЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ
Ф Случайные события и их вероятности
6.1	(УР). Два лица, А и В, по очереди бросают игральную кость. Игру начинает А. Выигрывает тот, кто первым выбросит шесть очков. Найдите вероятность Рл того, что выиграет лицо А.
6.2	(УО). Некоторый цифровой сигнал представлен кодовыми комбинациями — шестиразрядными двоичными числами, которые образованы случайными комбинациями нулей и единиц. Вероятность появления символа «1» в каждом разряде составляет величину Р|=0.6, а вероятность символа «О» составляет величину Ро=0.4. Найдите вероятность Р возникновения конкретной кодовой комбинации 101101, считая появления того или иного символа в каждом разряде независимыми случайными событиями.
6.3	(УО). В четырехразрядном цифровом сигнале (см. условия задачи 6.2) появление нуля или единицы в первом разряде равновероятно; в следующих разрядах перемена символа по сравнению с предыдущим значением имеет вероятность 0.8, а сохранение символа имеет вероятность 0.2. Найдите вероятность Р того, что будет реализована кодовая комбинация ОНО.
6.4	(УО). Изучение большой партии радиоэлектронных изделий показало, что из 10 000 изделий в течение 4 лет исправно работают 8200 экземпляров, а по прошествии 7 лет число исправно работающих изделий составляет 3800. Определите вероятность того, что случайно взятое изделие из числа проработавших 4 года окажется также работоспособным через 7 лет.
6.5	(УО). Некоторав система, предназначенная для передачи сигналов из точки а в точку Ь, изображена на рис 1.6.1. Система содержит элементы 7 и 2, резервирующие друг друга. Нормальное функционирование обеспечивается, если исправен хотя бы одни из этих элементов.
Известно, что в течение некоторого промежутка времени элемент 1 исправен с вероятностью Pi = 0.8, а элемент 2 — с вероятностью Р2=0.7. Найдите вероятность Р исправной работы резервированной системы за тот же промежуток времени.
6.6	(УО). На входы сумматора (рис. 1.6.2) поступают четыре независимых постоянных во времени случайных напряжения «ь пг, Uj и и„. Каждое из этих напряжений с равной вероятностью принимает либо значение 0.5 В («низкий» уровень потенциала), 34
Рис. 1.6.1
Рис. 1.6.2
либо 4.5 В («высоким» уровень потенциала). Определите всю совокупность напряжений на выходе сумматора вместе с вероятностями их появления.
• функция распределения я плотность вероятности. Моменты
6.7	(0). Постройте график функции распределении F(u^) для случайной величины и^, рассмотренной в задаче 6.6. Выведите аналитическое выражение плотности вероятности р
6.8	(Р). Случайная величина X имеет плотность вероятности

х<0, х^О.
Найдите функцию распределения F(x) данной случайной величины, а таже вероятность Р (О	1) попадания случайной точки
внутрь отрезка [О, 1].
6.9	(УО). Случайная величина X может принимать лишь два значения: х-1 с вероятностью 0.25 и х=15 с вероятностью 0.75. Аналогично, случайная величина У, независимая от X, может принимать лишь два значения: у=3 и у =5 с одинаковыми вероятностями 0.5. Найдите плотность вероятности случайной величины У.
6.10	(0). Непрерывная случайная величина X имеет график плотности вероятности р(х) треугольного вида (рис. 1.6.3). Параметр а — заданное число, величина А заранее неизвестна. Получите формулу, описывающую функцию р(х).
6.11	(Р). Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами /п=0,	2. Найдите вероятность попада-
ния этой случайной величины в полуотрезок 0<х<2.
6.12	(0). Вычислите вероятность того, что случайная величина X, рассмотренная в задаче 6.10, попадает в полу отрезок 0<х<д/2.
35
pfr)
Рис. 1.6.3
6.13	(P). Найдите плотность вероятности случайной величины R — сопротивления параллельного соединения двух резисторов, один из которых имеет фиксированное сопротивление Ло, в то время как сопротивление другого резистора г — случайная величина, равномерно распределенная на отрезке
и х [Ло—а, Ло+а], где а</?о— постоянное число.
6.14(Р). Независимые случайные величины X и Y имеют заданные плот-
ности вероятности />|(х) и Рг(у) соответственно. Найдите плотность вероятности p3(z) случайной величины Z=X+ Y.
6.15	(УО). Пусть X и Y — две независимые случайные величины, равномерно распределенные на отрезке [0, 1]. Найдите аналитическое выражение функции p(z) — плотности вероятности суммы Z=X+ Y этих двух величин.
6.16	(0). Вычислите плотность вероятности pz(z) случайной величины Z, каждая реализация которой представляет собой сумму реализаций независимых случайных величин Уи Ус одинаковыми плотностями вероятности экспоненциального вида. рАх^Ле'** а(х), р,(у)=Ле^с(}>).
6Л7(У). Докажите, что случайная величина X, имеющая распределение Коши с плотностью вероятности
р(х)=----— со<х< + со,
характеризуется бесконечно большой дисперсией.
6.18	(0). Вычислите математическое ожидание т..„ и дисперсию oLx случайного напряжения на выходе сумматора, рассмотренного в задаче 6.6.
6.19	(Р). Вычислите среднее значение х и средний квадрат х2 случайной величины X, рассмотренной в задаче 6.8.
6.20	(0). Случайная величина U принимает значения 0.5, 0.8 н 1.3 с вероятностью 0.35, 0.45 и 0.2 соответственно. Вычислите величины и а2.
6.21	(Р). Непрерывная случайная величина X равномерно распределена на полу отрезке а<х^Ь. Вычислите среднее значение mt=x, средний квадрат х2 и дисперсию а^—тг—т2 данной случайной величины.
6.22	(УО). Случайная величина X имеет одностороннюю экспоненциальную плотность вероятности
.	[2ехр(—Лк) при х>0,
'’W“to ори х<0.
Найдите среднее значение х и дисперсию этой случайной величины.
6.23	(У). Докажите, что если X и Y — независимые гауссовы случайные величины с математическими ожиданиями и т? и дисперсиями с, и crj соответственно, то случайная величина Z=aX-f-bY, где а и Ь — константы, также обладает свойством нормальности, имея математическое ожидание
и дисперсию о1=ага^+ЬгОу.
6.24	(Р). Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [О, 1]. Найдите математическое ожидание н дисперсию случайной величины Z, каждая реализация которой равна произведению длин отрезков, разделенных случайной точкой х.
Ф Функциональные преобразования случайных величин.
Многомерные случайные величины
6.25	(F). Найдите плотность вероятности случайной величины Z, рассмотренной в задаче 6.24.
6.26	(0). Исходная случайная величина X имеет плотность вероятности экспоненциального вида

х>0, х<0
с фиксированным значением параметра Л>0. Случайная величина Y получается из X путем функционального преобразования, график которого изображен на рис. 1.6.4. Определите плотность вероятности Рщ,(у) преобразованной случайной величины.
6.27	(УО). Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [0, л/2). Найдите среднее значение и дисперсию случайной величины Y, реализация которой связаны с реализациями случайной величины Xследующим образом: у— 5cosx+ 12cos2x.
6.28	(0). Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [а, Л]. Получите выражение, описывающее плотность вероятности р(у) случайной величины Y=X\ Найдите математическое ожидание tnv и дисперсию а*.
6.29	(F). Три независимые случайные величины X, Y и Z имеют одинаковые нормальные плотности вероятности
37
/>«)=exp ( -	где f — символ, соответствуют яй
х, у в z. Пусть (х, у, z) три декартовы координаты точки в трехмерном пространстве, связанные со сферическими координатами (г, й , ф) известными соотношениями:
x=rsin о cos 9, y=rsin й sin<p Z —rcosfl .
Найдите одномерную плотность вероятности р(г) случайной
величины Л, представляющей собой длину радиуса-вектора
в сферической системе координа г.
• Характеристическая функция случайной величины
6.30	(0). Найдите характеристическую функцию случайной ве личины JV, имеющей плотность вероятност и рл (х)=А ехр * х (-Лх)сг(х).
631(0). Вычисли 1 с характеристическую функцию 0(u) cuiv чайноч величины X, равномерно распределенной на отрезке а^х<6.
632(Р). Используя результат, полученный в задаче 6.31, найдите среднее значение х рассмотренной здесь случайной величины.
6.33	(Р). Случайная величина X равномерно распределена на отрезке — 1/2<х^ 1/2. Вычислите плотность вероятности случайной величины У, каждая реализация которой равна сумме трех независимых реализаций случайной величины X.
6.34	(0). Определите вероятность того, что модуль случайной величины У, рассмотренной в задаче 6.33, принимает значения, превышающие единицу.
6.35	(УР). Случайная величина X имеет гауссову плотность вероятности с известным математическим ожиданием и заданной дисперсией Вычислите среднее значение случайной величины У, отдельные реализации которой связаны с реализациями случайной велич ины X соотношением у=ехр (х).
Тема 7
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
• функция корреляции и спектр мощности
7.1	(УР). Случайный процесс X(t) задай ансамблем своих реализаций вида x(t)=acosajDt, где ш0 — фиксированная величина, а — случайная величина с нулевым математическим ожиданием а и конечной дисперсией и2—а2. Докажите, что процесс X(t) не является стационарным в широком смысле.
7.2	(0). Случайный процесс Х(1) имеет ансамбль постоянных во времени реализаций, который описывается нормальным законом распределения с нулевым математическим ожиданием и некоторой известной дисперсией а2. Найдите среднее зиаченве х и функцию автокорреляции Ах(т) данного случайного процесса.
7.3	(У). Докажите, что случайный процесс, рассмотренный в задаче 7-2, неэргоднчен.
7.4	(У). Реализации случайного процесса Х(1) представляют собой гармонические колебания вида x(/)=acostao/+ftsinwo/ с фиксированной частотой Шо; амплитуды а и Ь являются случайными величинами.
Докажите, что процесс X(t) стационарен в широком смысле тогда и только тогда, если: 1) а=Ь=О; 2) <72=о»; 3) ab=O.
7.5	(УО). Найдите функцию корреляции Яа(т) случайного процесса X(t), рассмотренного в задаче 7.4, предполагая, что выполнены все условия, обеспечивающие его стационарность в широком смысле.
7.6	(У). Докажите, что случайный процесс X(г), рассмотренный в задаче 7.5, является эргодическим.
7.7	(Р). Пусть X(t) — стационарный дельта-коррелированный случайный процесс (белый шум), имеющий нулевое математическое ожидание и функцию корреляции Яа(т)= №&(*), где — постоянный на всех частотах спектр мощности данного процесса. Случайный процесс Y(t), реализации которого y(t) связаны с реализациями x(f) интегральным соотношением
о
принято называть случайным процессом Винера.
Выведите формулу для функции корреляции этого случайного процесса. Докажите, что процесс Винера нестациона-
39
реи. Получите закон изменения дисперсии этого процесса во времени.
7.8	(УО). Найдите спектр мощности случайного процесса Л’(г), рассмотренного в задаче 7.5.
7.9	(0). Стационарный случайный процесс X(f) с размерностью напряжения (В) на некоторой фиксированной частоте а»0 имеет значение спектра мощности FPx(ca0), равное 1.7  10“13 В2 - с. Вычислите величины односторонних спектров мощности Fx(cao) И Fx(fa
7.10	(0). Найдите спектр мощности FT, (со) стационарного случайного процесса Af(r), имеющего нулевое математическое ожидание и функцию корреляции /?и(т)== <г2ехр х (—а |т|)‘ cosg^t.
7.11	(0). Получите выражение для функции корреляции /?,(г) стационарного случайного процесса X(fy со спектром мощности FTx(co) полосового вида (рис. 1.7.1):
1Дсо	Дсо
FFq, —Wo~--^СО^—СОдЧ---а
О при других со.
7.12	(Р). Найдите функцию корреляции 7?и(г) случайного процесса X(tj вида «случайного телеграфного сигнала». Его реализации x(t) (рис. 1.7.2) являются разрывными функциями, принимающими с равными вероятностями лишь два значения: +а и —а. В случайные моменты времени знак реализации изменяется скачком. Вероятность события, состоящего в том, что за время Т произойдет и перемен знака, описывается формулой закона Пуассона
РИ»)=^-еч>(-Л7), л!
где 2>0 — параметр с размерностью частоты, определяющий среднюю скорость протекания процесса.
xlth
40
7.13	(0). Определите значение одностороннего спектра мощности Fx(ai) случайного телеграфного сигнала X(t), рассмотренного в задаче 7.12, на частоте Wo= 103 с-1 при следующих параметрах: а= 15 В; 2=3 104 с-1.
7.14	(0). Найдите интервал корреляции г, стационарного случайного процесса Х{£) с односторонним спектром мощности
(Го,

где со, — значение верхней граничной частоты спектра.
7.15	(УО). Найдите интервал корреляции тж случайного телеграфного сигнала X(t) (см. задачу 7.12) для значения 2=5 • 10* с-1. Оцените значение со,, ограничивающее область частот О<со<сав, в пределах которой данный случайный процесс может приближенно рассматриваться как белый шум.
• Дифференциальные свойства случайных процессов
7.16	(Р). Стационарный случайный процесс Х(1) имеет спектр мощности низкочастотного вида:
и;(со)=
о,
—сов^со^сов,
О)<~ 0)„ со>шв.

Найдите спектр мощности производной Y(t)=dXjdt. Вычислите функцию корреляции производной /?Дт).
7.17(УО). Определите эффективную ширину спектра Аш^ случайного процесса У(1), рассмотренного в задаче 7.16.
7.18	(УР). Гауссов стационарный	Рис. 1.7.3
случайный процесс X(t) имеет одно-
сторонний спектр мощности, описанный в условиях задачи 7.14. Получите формулу для расчета квазичастоты п(0) данного случайного процесса.
7.19	(УО). График частотной зависимости спектра мощности стационарного гауссова процесса X(t) изображен на рис. 1.7.3. Вычислите квазичастоту данного процесса.
41
• Узкополосные случайные процессы
7.20	(Р). Узкополосный нормальный случайный процесс X(t) характеризуется дисперсией о, = 10 В2. Найдите вероятность того, что в некоторый фиксированный момент времени огибающая этого процесса превосходит уровень 4 В.
7	Л (О). Узкополосный нормальный случайный процесс, имеющий дисперсию с2=2.5 В2, приложен ко входу идеального детектора огибающей. Вычислите дисперсию и среднее значение напряжения на выходе детектора.
7.22	(Р). Отдельные реализации огибающей 17(0 нормального узкополосного случайного процесса X(t) наблюдаются в течение отрезка времени длительностью 1 с. Определите средние длительности суммарных промежутков времени, когда 4.9 В<€7< <5.1 В при дисперсиях узкополосного процесса, равных 1 В2, 12 В2 н 96 В2 соответственно.
7.23	(0). Узкополосный случайный процесс X(t), нормальный и стационарный в широком смысле, имеет функцию корреляции (В2)
(г)=3.5ехр ( -104 |т|) cos 104
Найдите функцию корреляции Аг;(т) огибающей 17(0 данного процесса.
7.24	(0). Применительно к условиям задачи 7.24 найдите спектр мощности ^(ш) (В2-с) огибающей €7(Г) рассматриваемого случайного процесса.
7.25	(Р). На основании результата, полученного в задаче 7.24, Определите эффективную ширину спектра огибающей с учетом одного и двух членов в разложении функции корреляции.
7-26(У). Докажите, что средний квадрат огибающей U(t) узкополосного нормального случайного процесса X(t) вычисляется по формуле (72=2н2, где а* — дисперсия процесса X(t).
7.27	(У). Рассматривается сумма гармонического сигнала и (i)=Um cos wot и узкополосного нормального шума X(t), спектральная плотность мощности которого симметрична относительно центральной частоты tofl. Дисперсия о2 случайного процесса Х(0 задана. Докажите, что средний квадрат огибающей суммы этих двух колебаний вычисляется по формуле (72= = С72 + 2ах2.
7.28	(Р). Используя средства математической системы MathCAD, составьте программу, позволяющую строить графики распределения Райса в соответствии с формулой (7.78) из [I] при произвольных отношениях U„l<rx.
42
Тема 8
ВОЗДЕЙСТВИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ НА ЛИНЕЙНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ
• Дифференциальные уравнения линейных ценен.
Собственные колебания
8.1	(УР). Исследуйте собственные колебания цепи, схема которой приведена иа рис. 1.8.1 вместе со стрелками, указывающими положительные направления токов в ветвях, и знаками положительных напряжений на конденсаторах. Начальные напряжения Ui(0) и и2(0) на конденсаторах Ct и С2 в момент времени f=0 считаются заданными.
8.2	(УО). В соответствии с постановкой задачи 8.1, полагая Ct — G=0.1 мкФ, = кОм, Л2=2.4 кОм, А3=6.8 кОм, вычислите Корин характеристического уравнения цепи. Найдите функции ut(t) и u2(t) при начальных условиях П|(0)=8 В, п2(0)=0. Определите момент времени Го, начиная с которого прекращается зарядка конденсатора С2.
83(Р). Выведите характеристическое уравнение, описывающее частоты собственных колебаний цепи, схема которой представлена на рис. 1.8.2. Найдите частоты собственных колебаний в следующих частных случаях: а) Л/=0; б) Л=со; в) А—0.
8.4	(УО). Для AL-цепн, схема которой приведена на рис. 1.8.3, запишите систему дифференциальных уравнений, описывающих собственные колебания. Составьте характеристическое уравнение данной системы и найдите его корни, положив Rt—R2— =3.9 кОм, Д3=1.6 кОм, £] = 15 мкГн, £j=35 мкГн.
8.5	(Р). Найдите частоты собственных колебаний в системе двух связанных колебательных контуров без потерь (рис. 1.8.4) для частного случая Li=Li=L, Ci—C2=C.
8.6	(0). Колебательный контур имеет добротность Q. Найдите число полных периодов N собственных колебаний, которые со-
Рис. 1.8.1
И
Рис. 18 2
43
Рис. 1.8.3	Рис. 1.8.4
вершаются за отрезок времени от Г—0 до того момента времени, когда амплитуда колебаний уменьшается в 10 раз по сравнению с начальным уровнем.
Ф Передаточная функция и частотный коэффициент передачи цепи
8.7	(0). В сложной /?С-цепи (рис. 1.8.5) входным сигналом служит напряжение u(t), а выходным сигналом — ток ic(0. Найдите передаточную функцию К(р) данной системы.
8.8	(0). Вычислите передаточную функцию К(р) цепи, схема которой приведена на рис. 1.8.6. Входным сигналом служит ток 1(0» а выходным — напряжение u(t).
8.9	(0). Найдите передаточную функцию К(р) цепи (рис. 1.8.7), равную отношению изображений токов 1Ш(0 и /„(/).
8.10	(F). Линейная цепь, схема которой изображена на рис. 1.8.8, возбуждается со стороны входа идеальным источником тока /„(/). Выходным сигналом служит напряжение uM(0- Получите выражения передаточной функции	и ча-
стотного коэффициента передачи Выведите формулы, описывающие амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) и фазочастотную характеристику (ФЧХ) данной цепи.
8.11	(0). Схема даухзвенного /?С-фильтра приведена на рис. 1.8.9. Входным сигналом служит напряжение источника ЭДС e(t), выходным сигналом является напряжение Полагая известными значения Rb С, выведите формулы для расчета передаточной функции К(р) и частотного коэффициента передачи K(j<o) данной цепи. Получите выражения, описывающие АЧХ и ФЧХ. Определите частоту на которой АЧХ достигает максимума, если R—2 кОм, С=0.1 мкФ
8.12	(УР). Схема трехзвенного /?С-фильтра нижних частот приведена на рис 1.8.10. Получите выражение передаточной функции К(р)= UtUT(p)/U„(p) данного фильтра. Положив Л=6.8 кОм, С=0.2 мкФ, вычислите частоты f и f2 (Гц), на которых фазовый сдвиг, вносимый фильтром, составляет —90° н —180° соответственно.
Рис. 1.8.11
Рис. 1.812
8.13	(УО). Вычислите координаты полюсов передаточной функция трехзвенного /?С-фильтра, рассмотренного в задаче 8.12, при следующих параметрах цепи: 1 МОм, С=1 мкФ.
8.14	(УР). На рис. 1.8.11 изображена схема линейного четырех полюсника мостовой («скрещенной») структуры, который обра зован операторными сопротивлениями Zb Z.2, и Z4. Выведите формулу для расчета функции Х(р)=€7ш^)/17„(р).
8.15	(0). Найдите передаточную функцию ^О’)=С7ВШ1(р)/€7„(р) «перекрытого» четырехполюсника (рис. 1.8.12), образованного линейными двухполюсниками с известными операторными сопротивлениями Z1 (р), Z2 (р), Z3 (р), Z4 (р).
8.16	(Р). Основываясь на критерии Пэли-Вивера, рассмотрите вопрос о физической реализуемости фильтра нижних частот с АЧХ гауссова вада
|АГ(/ш)|=Л^ехр(—Ьй)2), 0«о<оо.
Ф Импульсная и переходная характеристики
8.17	(УО). Вычислите импульсную характеристику й(г) усилителя напряжения с апериодической нагрузкой (рис. 1.8.13). Дифференциальную крутизну характеристики S' электронного прибора в выбранной рабочей точке, а также внутреннее сопротивление Л положите известными.
8.18	(Р). Для учета инерционности процессов в биполярном транзисторе часто используют упрощенную модель, согласно которой статическая дифференциальная крутизна S' является комплексной н зависит от частоты
S' (ш) -S0/(l +jo>/oVp).
Здесь — граничная частота усиления транзистора.
Получите аналитическое выражение импульсной характеристики Л (!) усилителя (см. рис. 1.8.13), в котором применен подобный транзистор.
8.19	(УР). Получите формулу, описывающую импульсную характеристику й(Г) для N ступенчатого усилителя малых сигналов с одинаковыми апериодическими нагрузками, предполагая, что частотный коэффициент передачи одной ступени
^(/^-ад+усот,).
Здесь Ко — коэффициент усиления ступени на нулевой частоте, т, — эквивалентная постоянная времени ступени. Постройте графики импульсных характеристик для N= 2, 3 и 4 в зависимости от безразмерного аргумента г/тэ.
46
Рис. 1.8.13
Рис. 1.8.14
8.20	(УО). Источником входного сигнала в /?С-цепи (рис. 1.8.14) служит идеальный источник ЭДС. Выходное напряжение снимается с резистора. Найдите импульсную характеристику данной цепи.
8.21	(0). Найдите импульсную характеристику Л(/) идеального полосового фильтра, АЧХ которого изображена на рис. 1.8.15.
8.22	(0). Получите импульсную характеристику h(t) идеального линейного фильтра нижних частот, коэффициент передачи ЛГ(/<а)=|ЛГ(/со)| е”'1*'1'5 которого задается равенствами:
ГО, и)<—а>а,
|АГ(/ш)|=< Ко, (.0, <о>®а,
0Ро» €0<0,
( <^о, ш>0,
где <р0 — постоянная величина.
8.23	(Р). Найдите импульсную характеристику Л (г) и переходную характеристику g(t) цепи, принципиальная схема которой изображена на рис. 1.8.16.
8.24	(0). Рассчитайте в постройте график переходной характеристики g(t) двухконтурной цепи, рассмотренной в задаче 8.23. Параметры цепи: Aj —100 Ом, 2 кОм, £|=Za=15 мГн, Л/=7мГн.
8.25	(F). Исследуйте способы, которые дают возможность в индуктивно связанной цепи (см. задачу 8.23) улучшить качество передачи на выход ступенчатого перепада входного напряжения, т. е. сократить длительность фронта и уменьшить относительный спад плоской части выходного сигнала.
8.26	(УО). Определите переходную характеристику g(t) двухступенчатого усилителя малых сигналов с одинаковыми ступеня-
47

Рис. 1.8.15
Рис. 1.8.16
ми, которые содержат резистивно-емкостные нагрузки. Заданы величины: Ко — коэффициент усиления одном ступени на нулевой частоте, т0 — эквивалентная постоянная времени ступени. Постройте график переходной характеристики в зависимости от аргумента T/т,. Определите время установления i*a системы, понимаемое как отрезок времени, в течение которого напряжение на выходе достигает уровня 90% от установившегося значения.
8.27	(УР). Вычислите импульсную и переходную характеристики симметричного ЛС-четырехполюсннка мостового типа, схема которого изображена на рис. 1.8.17.
8.28	(0). В последовательном £С7?-контуре входной сигнал создает идеальный источник ЭДС, подключенный к внешним зажимам цепи. Выходной сигнал представляет собой ток i(r) в цепи. Вычислите импульсную характеристику Л(/) данной системы, если £=0.35 мГн, /?=15 Ом, С=4 нФ.
8.29	(УО). На входе сложного колебательного контура без потерь с двумя конденсаторами Ci и С2 (рис. 1.8.18) действует идеальный источник тока т(/). Выходным сигналом служит напряжение и (г) на конденсаторе С2. Определите импульсную характеристику Л (г) данной цепи.
830(Р). Найдите переходную характеристику g(t) идеального ФНЧ с заданными параметрами Ко и а)„. Определите время установления колебаний в данной системе (см. задачу 8.26).
8.31	(Р). Вычислите импульсную характеристику Л (г) линейной системы, частотный коэффициент передачи которой имеет вия
K(ju>)=-
|Аоехр(— Jp2u>2), [Л^ехр(/Д2<у2), <u<0
(Ко, P — постоянные величины).
8.32	(УО). Импульсная характеристика h(t) стационарной линейной системы представляет собой прямоугольный видеоимпульс длительностью Т с амплитудой А, начинающийся в момент времени t=0. Найдите частотный коэффициент пере-48
Рис. 1.8.17	Рис. 1.8.18
двчн K{ja>) и амплитудно-частотную характеристику данной системы.
8.33	(Р). Импульсная характеристика Л (г) некоторой стационарной линейной системы представляет собой затухающую последовательность разнополярных импульсов одинаковой длительности Т(рис. 1.8.19). Амплитуды импульсов убывают по закону геометрической прогрессии, знаменатель которой а (0<а< < 1) вещественное число. Найдите частотный коэффициент передачи K(ja>) данной системы.
8.34	(УО). Постройте график переходной характеристики g(t) системы, рассмотренной в задаче 8.33 при а=0.8.
8.35	(0). Найдите частотный коэффициент передачи K(jaj) линейной системы, импульсная характеристика Л(1) которой изображена на рис. 1.8.20.
8.36	(0). Импульсная характеристика некоторой линейной стационарной системы имеет вид
(О,	Г<0,
*(,)= ) f	<>0,
V-o
где {д*} — последовательность вещественных коэффициентов, Т — параметр с размерностью времени. Найдите частотный коэффициент передачи данной системы. Изобразите структурную схему ее реализации.
W А
Рис. 1.8.19
Рис. 1.8.20
49
8.37	(УР)_ Линейный стационарный фильтр, для которого связь между входным сигналом и„(г) н выходным сигналом им(0 устанавливается с помощью соотношения
1-Т
принято называть фильтром «скользящего среднего». Здесь Т — постоянный параметр с размерностью времени. Выведите выражения для импульсной характеристики h(t) и частотного коэффициента передачи 2С(/ш) данной системы.
• Спектральный  операторный методы анализа линейных систем
8.38	(F). Идеальный фильтр нижних частот с частотным коэффициентом передачи
ГО, (0< —to„
K(Jaj)=<Ko,
(.0, ш>й)э
возбуждается входным сигналом uu(/)= C7q,(0- Найдите выходной сигнал
8.39	(F). Вход идеального ФНЧ с известными параметрами Ко, й)э возбуждается прямоугольным видеоимпульсом, имеющим амплитуду £70 и длительность гв. Передний фронт входного сигнала возникает в момент времени /=0. Вычислите сигнал на выходе фильтра.
8.40	(0). Найдите сигнал uM(f) на выходе,идеального полосового фильтра, частотный коэффициент передачи которого отображается графиком на рис. 1.8.15, если ко вхолу фильтра приложено колебание uu(/)=(70<7(/)- Фазоный сдвиг, вносимый фильтром, равен нулю на всех частотах.
8.41	(Р). На входе последовательной AL-цепи в момент времени 1=0 начинает действовать источник линейно нарастающей ЭДС u„(t)=At(A>0). Определите закон изменения во времени выходного напряжения и*(/), предполагая, что прн Г<0 запас энергии в индуктивном элементе равен нулю
50
• Интеграл Дюамеля
8.42	(УР). На входе АС-цепи (рис. 1.8.21) действует источник ЭДС, создающий прямоугольный видеоимпульс с амплитудой Uo н длительностью тж:
(0 = и0 [а (0 - о (/—т.)].
Вычислите выходной сигнал н^ДГ).
8.43	(Р). На входе АСцспи (рис. 1.8.21) включен источник ЭДС и»х(О=где оО — постоянное число. Найдите закон изменения во времени выходного напряжения (г) Постройте соответствующий график, выбрав в качестве аргумента отношение f/т, где t —RC.
8.44	(УО). Ко входу АС-цепи (рис. 1.8.21) приложен источник ЭДС, создающий одиночный импульс треугольной формы:
(0,	/<0,
н>х(/)=< ВДтя,
(о,	<>тл.
Полагая, что длительность импульса тя=АС, найдите выходной сигнал «авСО и постройте его график.
8.45	(УР). На входе мостовой АС-цепи (см. рис. 1.8.17) с параметрами А=5.6 кОм, С=0.02 мкФ действует идеальный источник ЭДС, создающий прямоугольный видеоимпульс с амплитудой Со=50 В и длительностью тя= 150 мкс. Вычислите и по-
стройте график импульса напряже-	Рис. 1.8.21
ния на выходе иш(/).
Тема 9
ВОЗДЕЙСТВИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ НА ЧАСТОТНО-ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
• Частотные характеристики узкополосных цепей
9.1(УО). Одноконтурный резонансный усилитель малых сигналов содержит колебательный контур с резонансной частотой /^,=60 МГц и эквивалентной добротностью Qm=40. Модуль коэффициента усиления на резонансной частоте Кр„= 35. Вычис-
51
лите частотный коэффициент передачи усилителя K(J2nJ) на частотах МГц и_£=68 МГц.
9.2(0). Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) одноконтурного резонансного усилителя описывается выражением
РВД|=
^/И-Г^Ссо-СОраУ
где тж — постоянная времени колебательной системы. Определите частоты ь)12, на которых крутизна скатов АЧХ усилителя максимальна.
9.3(Р). Резонансный усилитель образован каскадным включением А одинаковых одноконтурных ступеней с известным значением постоянной времени контура тж. Выведите выражение для расчета полосы пропускания П0Ж7 данного усилителя.
9.4(0). Применительно к постановке задачи 9.3 определите величину По?о7 прн числе ступеней А=! и А—5.
9.5(УО). Рассчитайте и постройте графики нормированных АЧХ одно-, двух- и трехступенчатого резонансных усилителей. Постоянные времени контуров тж н их резонансные частоты Юри одинаковы.
9.6(0). Резонансный усилитель, собранный из трех одинаковых ступеней, имеет частотный коэффициент передачи
—90. Найдите величину — модуль коэффициента передачи одной ступени прн f—fpo.
9.7(0). Одноконтурный резонансный усилитель имеет известные параметры и тж. Найдите групповое время запаздывания в таком усилителе для узкополосного радиоимпульса с частотой заполнения сод—Шра.
9.8(0). Обобщите результат, полученный в задаче 9.7, на случай, когда Wo#^.
• Прохождение сигналов через узкополосные цепи
9.9	(Р). Усилитель образован каскадным включением двух резонансных ступеней с одинаковыми резонансными частотами Юра. Коэффициенты усиления Кр^ и К^г н постоянные времени тж1 и тж2 в общем случае различны. Найдите импульсную характеристику h(t) данной узкополосной системы.
9.10	(УО). Вычислите импульсную характеристику й(/) двухступенчатого усилителя, у которого коллекторной нагрузкой каждой ступени служит одиночный колебательный контур. Обе ступени имеют одинаковые резонансные коэффициенты усиления Кора н одинаковые постоянные времени тж. Резонансная частота 52
первого контура меньше резонансном частоты второго контура cjpai иа величину Аа), такую, что Дф/а)^ «К 1. Постройте ориентировочный график функции Л(0.
9.11	(УО). Трехступенчатый резонансный усилитель содержит колебательные контуры, настроенные на частоты co^—CDo —Да), а)рсЭ2=cOq, й)р(я3=Ф04-Да). Параметры	н тж одинаковы для всех
трех ступеней. Система в целом является узкополосной, т. е.
и Да)/а)о<К1. Вычислите импульсную характеристику h(t) усилителя. Изобразите примерный график этой функции. Результат сравните с тем, который получен в задаче 9.10.
9.12	(УО). Узкополосный гауссов радиофильтр имеет частотный коэффициент передачи, представляемый формулой
где Кц — масштабный коэффициент, о)о — центральная частота полосы пропускания, Ъ — размерная постоянная, такая, что £>й)о>>1. Найдите частотный коэффициент передачи K„(jQ) низкочастотного эквивалента данного фильтра н соответствующую импульсную характеристику Ла,(<).
9.13	(0). Вычислите импульсную характеристику h(t) узкополосного гауссова радиофильтра, рассмотренного в задаче 9.12. Проанализируйте возможность физической реализации данной модели узкополосной системы.
9.14	(У). Докажите, что время установления колебаний в одноконтурном резонансном усилителе малых сигналов при подаче на его вход импульса включения гармонического сигнала с частотой заполнения	не зависит от величины резонансной частоты
и вычисляется по формуле ^=ОЛЗ/По.тт, где Щи? (Гц) — полоса пропускания колебательной системы по уровню 0.707 от резонансного значения сигнала.
9.15	(УО). Одноконтурный резонансный усилитель напряжения имеет параметры: Хр<я=50, ^,= 1 МГц, £?м,=80. На вход усилителя подан AM-сигнал (мВ)
u„(0=15(l + 0.8cos2a- 104r)cos2n 10®t.
Найдите напряжение 1^(1) на выходе усилителя.
9.16	(0). Применительно к условиям задачи 9.15 найдите время запаздывания огибающей выходного сигнала по отношению к огибающей сигнала на входе.
9.17	(УР). Одноконтурный резонансный усилитель напряжения имеет заданные параметры	н тж. Ко входу усилителя
приложен источник напряжения, имеющий скачок частоты при Г=0:
53
JU^COSWpe,/, 1<0, {£4, cos (ш^,+&»)/, t>0, где 6(0 — частотная расстройка.
Вычислите функцию 0m(f) — комплексную огибающую выходного сигнала. Постройте графики зависимости от времени физической огибающей Unnit) при <5ютж—1 и при &л тж=3.
9.18	(УР). Вычислите сигнал пм(0, возникающий на выходе узкополосного гауссова радиофильтра (см. задачу 9.12) при подаче на его вход колебания uMX(f)=t70costo0ia(r), частота заполнения которого совпадает с центральном частотой АЧХ фильтра.
9.19	(0). Двухступенчатый резонансный усилитель малых сигналов имеет одинаковые резонансные коэффициенты усиления и постоянные времени тж каждом ступени; резонансные частоты контуров (Орпз и Мрей=£0^4-Да) различны. Ко входу усилителя приложен источник ЭДС
( °’ /<0’ '“l^cosfow+p), />0.
Найдите закон изменения во времени физической огибающей Unu.it) на выходе усилителя
9.20	(Р). Одноконтурный усилитель малых высокочастотных колебаний имеет частотно-избирательную систему в виде простого колебательного контура. Параметры усилителя to^ и тж считаются заданными. На вход устройства подано колебание it)—at cos [(tOpc-f- &о)т]' a it), имеющее линейно нарастающую во времени физическую огибающую и частоту заполнения, которая на величину бы превышает частоту £<)₽„. Найдите выражение комплексной огибающей &m(t) выходного сигнала.
9.21	(УО). Одноконтурный резонансный усилитель имеет заданные параметры К^, to^ и гж. На вход усилителя подан сигнал
(0=€7oe_al cos [(tOpe,+&»)/] и (0, который имеет экспоненциально уменьшающуюся во времени амплитуду и частоту заполнения Щ^сОра+Йь). Найдите комплексную огибающую	сигна-
ла на выходе и соответствующую ей физическую огибающую CW0-
9.22	(1*). Используя средства системы MathCAD, составьте программу для анализа физической огибающей £/выж сигнала, изученного в задаче 9.21.
54
Тема 10
ВОЗДЕЙСТВИЕ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ НА ЛИНЕЙНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ЦЕПИ
• Спектр мощности и функция корреляции
случайного сигнала на выходе линейной системы
10.1(УР). Некоторая линейная стационарная система имеет импульсную характеристику h(t). На входе системы действует стационарный случайный сигнал X(t) с нулевым средним значением. Получите аналитическое выражение функции корреляции 4) выходного случайного процесса У(<)-
10.2(0). Основываясь на результате, полученном в задаче 10.1, получите формулы, описывающие функции корреляции R, (т) на выходе линейных систем с импульсными характеристиками вида:
а) А(0= ".ехр(-г/Т)<7(0,
6>*(|)-Л[<Ц0-<Цт-7)]
(А>0, Т>0 — постоянные величины).
В обоих случаях входным сигналом является белый шум с постоянным спектром мощности Ис-
10.3(Р). Линейная цепь (рис. 1.10.1) состоит из устройства задержки сигнала на Т (с) и сумматора. На входе цепи действует стационарный случайный процесс X(t) с математическим ожиданием т^=0 и известной функцией корреляции Ля(т). Найдите функцию корреляции /?Дг) случайного процесса У(0 на выходе.
Ю.4(УО). Применительно к условиям задачи 10.3 найдите дисперсию случайного выхода сигнала, если известно выражение функции корреляции случайного колебания на входе Я^(г)= -о?г,(т).
10.5(0). Найдите взаимную корреляционную функцию Л^,(т) случайных процессов X(l) и Y(t) для линейной системы, которая описана в условиях задачи 10.3.
10.6(УО). Некоторая линейная система осуществляет преобразование входного сигнала x(t) таким образом, что выходной сигнал
55
Рнс. 1.10.1	Рис. 1.10.2
где Т — постоянный параметр с размерностью времени. На вход системы подается напряжение, имеющее вид белого шума с двусторонним спектром мощности Ио—10*12 В2с. Найдите значение времени за которое среднеквадратичный уровень напряжения на выходе системы достигнет 0.2 В, если 7’=! мкс.
18.7(0). Электрическая цепь содержит два /?С-звена, разделенных идеальным усилителем напряжения, коэффициент передачи Ко постоянный на всех частотах (рис. 1.10.2). Входное сопротивление усилителя неограниченно велико, а выходное равно нулю. На входе цепи действует источник шумовой ЭДС (белый шум) со спектром мощности Wq Найдите спектр мощности Wm(tn) выходного сигнала.
10.8(0). Колебательный LC-контур (рис. 1.10.3) подключен к источнику шумового тока, имеющего функцию корреляции Д(т)=о-?ехр(—а|т|). Найдите спектр мощности B^(<o) выходного напряжения и (1).
10.9(0). Рассчитайте шумовую полосу Пш для Коцепи (рис. 1.10.4).
18.10(УО). Получите формулу для расчета шумовой полосы узкополосного гауссова радиофильтра с частотным коэффициентом передачи
/> 0.
10.11(УО). Получите выражения для дисперсии н функции корреляции Л, (г) выходного сигнала цепи, рассмотренной в задаче 10.7.
Рис. 1.10.3
Рис. 1.10.4
56
Рис. 1.10.5
10.12(0). На входе АС-цепи (рис.
1.10.5) действует источник шумовой ЭД С, создающий случайный сигнал вида белого шума, имеющий на всех частотах постоянную спектральную плотность мощности Wo- Выходной случайный сигнал u(t) снимается с резистора R. Найдите функцию корреляции ад-
Ю.13(УО). Цепь представляет собой каскадное соединение N одинаковых АС-цепей, между которыми включены идеальные элементы развязки с единичными коэффициентами передачи (рис.
1.10.6). На входе цепи включен источник ЭДС вида белого шума с односторонним спектром мощности Fo (В2,с). Получите выражение для расчета дисперсии выходного напряжения им(0.
10.14(0). Цепь, схема которой изображена на рис. 1.10.7, называют пропорционально-интегрирующим фильтром. На входе фильтра действует источник напряжения н„(Т) с функцией корреляции АЖ1(т)=с2ехр(—а|т|). Найдите дисперсию выходного сигнала им(/).
10.15(0). На входе АС-депи (рис. 1.10.8) включен источник напряжения вида белого шума с двусторонним спектром мощности Wo, постоянным на всех частотах. Получите выражение функции корреляции Аи(т) выходного сигнала.
10.16(Р). Линейная система имеет частотный коэффициент передачи
jo>
где Л>0, Т>0 — постоянные величины. На входе системы действует белый шум со спектральной плотностью мощности Wo-Найдите функцию корреляции Аш (т) выходного сигнала.
Ю.17(Р). Идеальный фильтр нижних частот, имеющий единичный коэффициент передачи в полосе частот	и нуле-
вой коэффициент передачи на остальных частотах, возбуждается
Рис. 1.10.6
57
Рис. 1-10.7	Рис. 1.10.8
со стороны входа источником стационарного шума X(t) с функцией корреляции Яа(т)=ст2ехр(—а|т|). Найдите дисперсию ст* выходного случайного процесса.
10.18(0). Линейный стационарный фильтр нижних частот имеет коэффициент передачи по напряжению &»250 в полосе частот 0 ^/<140 кГц и нулевой коэффициент передачи на остальных частотах. Ко входу фильтра подключен источник белого шума с постоянным двусторонним спектром мощности =3‘ 10—** В2,с. Найдите эффективное напряжение шума на выходе фильтра.
Ю.19(УО). На входе идеального полосового фильтра действует источник белого шума с односторонним спектром мощности Fo (В2 с). Фильтр имеет постоянный коэффициент передачи Ка в пределах полосы частот гоо—to <too+Дох На остальных частотах коэффициент передачи фильтра равен нулю. Определите дисперсию ctJ и функцию корреляции /?,(т) случайного процесса Y(t) на выходе фильтра.
10.20(0). Источник ЭДС вида белого шума с односторонним спектром мощности Fo подключен на вход последовательного колебательного контура, образованного элементами L, С н /?. Найдите односторонний спектр мощности F„(co) и функцию корреляции Я»(т) напряжения п(г) на конденсаторе цепи. Положите,
что R<2y/LjC, т. е. свободный процессе цепи имеет колебатель-
ный характер.
Ю.21(УО). Параллельный колебательный контур с потерями
(рис. 1.10.9) возбужден идеальным источником шумового тока.
который создает белый
Рис. 1.10.9
шум с постоянным на всех частотах двусторонним спектром мощности Wo. Предполагая, что добротность контура £?»!, получите выражение функции корреляции Я, ("О выходного напряжения u(l) в данной цепи.
10.22(0) На вход одноконтурного резонансного усилителя малых колебаний с параметрами Кеа = 120,	=
58
=6.5 МГц, Сэ*»—55 подан случайный сигнал вида белого шума с односторонним спектром мощности /’о=2-1О-18 В2/Гц. Определите величину — эффективное значение шумового напряжения на выходе усилителя.
• Источники шума в радиотехнических цепях
10.23(0). Идеальный фильтр нижних частот имеет полосу пропускания 0 — 200 кГц. Коэффициент передачи напряжения в полосе пропускания Ко=300. На входе фильтра Включен резистор с сопротивлением 160 кОм, находящийся при температуре 400 К. Найдите эффективное напряжение шумового сигнала на выходе устройства.
1034(0). Найдите дисперсию шумового напряжения, возникающего на конденсаторе простой АС-цепи под действием теплового шума резистора. Вычислите эффективное напряжение шума при следующих параметрах: С=1 нФ, 7'= 300 К.
10.25(0). В электронном приборе протекает постоянный ток То=4 мА. Вычислите дисперсию тока о-2, относящуюся к интервалу частот 0.5 — 30 МГц.
10.26(0). Найдите вероятность Ро события, заключающегося в том, что на анод электронного прибора со средним током 1а= =0.2 мкА за отрезок времени длительностью 10"12 с не поступит нн одного электрона.
Ю37(УО). Резистор R с сопротивлением 10* Ом, находящийся при абсолютной температуре Т, включен в цепь, содержащую диод, работающий в режиме насыщения, и источник постоянной ЭДС (ряс. 1.10.10). В цепи протекает ток со средним значением Zo= 1 мкА. Найдите величину Т, при которой удельные дисперсии напряжений, создавамых на резисторе за счет дробового и теплового эффектов, оказываются равными.
1038(0). Вход приемника соединен с антенной кабельной линией передачи длиной 3 м. Погонное затухание волн в кабеле составляет 1.4 дБ/м. Кабель находится прн температуре окружающей среды 290 К. Найдите шумовую температуру Тш кабельной линии, а также ее коэффициент шума F.
1039(0). Усилитель образован каскадным соединением трех ступеней. Коэффициенты усиления мощности ступеней равны КР(, Кр2, Кп, а их коэффициенты шумя F„ F2, F3 соответственно. Выведите формулу, определяющую коэффициент шума F данного усилителя.
Рис. 1.10.10
59
Тема 11
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ
В НЕЛИНЕЙНЫХ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
• Аппроксимация характеристик нелинейных
элементов
11.1	(Р). Полевой транзистор имеет три вывода — исток, сток и затвор. На рис. 1.11.1 изображена экспериментально снятая проходная характеристика 4(Ци) полевого транзистора КПЗОЗЕ — зависимость тока стока 4 от управляющего напряжения на промежутке затвор — исток. Характеристика получена при постоянном напряжении иа= 10 В. Получите аппроксимацию этой характеристики многочленом 2-й степени на интервале —1.5 B<n„< <—0.5 В, т. е. определите числовое значение коэффициентов во, alt а2, входящих в выражение t^Go+Gitwn+O+CjfKx+l)2.
11.2	(УО). Вольт-амперная характеристика нелинейного двухполюсника приведена на рис. 1.11.2. Найдите коэффициенты аппроксимации этой характеристики в виде многочлена 3-й степени в окрестности рабочей точки €70= 10 В:
i=ab+Oi («- 10)+й2(и— 10)2+а3(и— 10)3.
Аппроксимация должна быть пригодной в интервале напряжений 5 В<и<12.5 В.
113(0). Проходная характеристика биполярного транзистора КТ306, т. е. зависимость	(А), задана в виде
4=1-33 10-7exp[nfo/(2.6 IO"2)],
где Щп — напряжение на промежутке база — эмиттер, В. Найдите многочлен 2-й степени, аппроксимирующий данную характеристику в окрестности рабочей точки [7о=О.25 В.
11.4	(0). Ток i (мА) в нелинейном резисторе зависит от приложенного напряжения и (В) следующим образом:
J15u2-30, «>1.41 В,
0,	«<1.41 В.
Найдите коэффициенты разложения этой вольт-амперной характеристики в степенной ряд
i (и)-ао+Д1 (и -2.5)4-а2 (и—2.5)2
при смещении Uo = 2.5 В.
60
11.5(0). Вольт-амперная характеристика полупроводникового диода при и>0 задана выражением
i«i0[exp(u/ux)-l],
где ic=1.5’10-6 А — обратный ток насыщения, =2.6'10“ 2 В — температурный потенциал перехода. Определите напряжение и, при котором дифференциальная крутизна характеристики составит 8 мА/В.
Ф Спектральный состав тока в нелинейном двухполюснике
11.6(Р). Ток в нелинейном резисторе i связан с приложенным напряжением и кусочно-линейной зависимостью
Г О, и<ия, [S(u-UJ, и^ия,
где |5=15 мАДЗ, С7в=0.8 В. Найдите постоянную составляющую тока 1а и амплитуду первой гармоники тока /ь если напряжение (В) и—0.5+0.5 cos cot.
11.7(0). К нелинейному резистору с ВАХ вида
i (U) = 15+0.8 (и - 2.5)+0,16) (и - 2.5)2+
+0.07 (и- 2.5)3
(ток измеряется в миллиамперах, а напряжение —и вольтах) приложено напряжение и=2.5+0.6 cos cot. Найдите амплитуды гармонических составляющих тока IQ, 1и I? и 13.
61
11.8(0). Проходная характеристика (мА) биполярного транзистора	в окрестности рабочей точки 17О=1.2 В задана
многочленом
4 = 15+40 (и* -1.2)+6.5 (1^-1.2/+
+2.5 («—1.2)’.
Найдите выражение колебательной характеристики Ir=F(U„), полагая, что к базе транзистора приложено напряжение (В) = 1.2+ U„cosa)t.
11.9(B). Ко входу усилителя, транзистор которого имеет ВАХ, заданную в условиях задачи 11.8, приложено напряжение (В) «&,= =0.9+0.75cos tot.
Определите постоянную составляющую коллекторного тока
11.10(0). В одноступенчатом усилителе напряжения (рис. 1.11.3) использован полевой транзистор КПЗОЗЕ. К промежутку затвор — исток приложено напряжение (В) и^— — 1+0.5 cos о». Используя коэффициенты аппроксимации, полученные в задаче 11.1, определите постоянную составляющую 1Л тока в стоковой цепи. Влияние переменного напряжения на стоке считайте пренебрежимо малым.
П.П(УО). Входная характеристика биполярного транзистора КТ805, т. е. зависимость 4 =/(«&), аппроксимирована зависимостью (мА),
г 0,	Ьб,<0.6В,
(10(126,-0.6), 126,^0.6 В.
К промежутку база — эмиттер приложено напряжение (В) иь,=0.4+ 0.75 cos tot. Определите мощность Рб, выделяемую в цепи базы.
0<пи*	11.12(УО). К промежутку база —
Г1	эмиттер транзистора КТ803А подключи чен источник напряжения (В)	0.6 +
Т  +O.5cosco0f. Входная характеристика
ZpXJ °	допускает кусочно-линейную
------|щ аппроксимацию с параметрами: S= >-----Iм* =0.66 A/В, £4=0.7 В. Определите вход-
v z _ное сопротивление цепи по первой -----(^)	° гармонике.
Из	11.13(Р). Нелинейный резистор име-
Рис. 1.11.3	ет ВАХ вида
62
f °’
U(C42-£/bI),
u>t7B

К зажимам резистора приложено напряжение u—Ua+U„C0S(ot. Получите формулы для расчета спектрального состава тока.
11.14	(0). Найдите постоянную составляющую /0 и амплитуду первой гармоники тока /j в нелинейном элементе, рассмотренном в задаче 11.13, при следующих данных: С7Л=1.5 В, €70—0.1 В, €7ж1=0.7 В, 17.2=1.2 В, 5=6 мА'В.
11.15	(УР). В ряде случаев, например для описания свойств мощных трансформаторов, оказывается удобной так называемая кусочно-параболическая аппроксимация ВАХ:
Г О, и<ил,
u^U.,
где В — численный параметр (A/В2), находимый экспериментально. Выведите формулы для расчета амплитуд гармонических составляющих тока, возникающего пол действием напряжения U=t7o+ C7mcoscoL
11.16	(0). Полевой транзистор КПЗОЗЕ (см. задачу 11.1) применен в одноступенчатом усилителе напряжения с резистивной нагрузкой (рис. 1.11.3). На вход усилителя подана сумма гармонического сигнала иа	cos tot и постоянного напряже-
ния смещения €70. Найдите амплитуду второй гармоники напри-жения С7т2ш на выходе усилителя, если /?ж=5.1 кОм, С7тм=0.25 В, С70=-1 В.
11.17	(УО). Применительно к условиям задачи 11.16 постройте график зависимости коэффициента нелинейных искажений от амплитуд UmM входного сигнала, изменяющейся в пределах от 0 по 250 мВ. Положите, что напряжение смещения €70= -1 В.
• Нелинейные усилители гармонических колебаний.
Умножители частоты
11.10(F). Резонансный усилитель собран по схеме, изображенной на рис. 1.11.4. В усилителе применен транзистор КТ8ОЗА, входная характеристика которого приведена в условиях задачи
63
Рис. 1.11.4
11.12. Ток коллектора 4 связан с током базы i6 линейной зависимостью 4= 124-Напряжение источника питания £^=70 В. Нагрузкой транзистора является колебательный контур со следующими параметрами: Лра=30 кОм (относительно точек а—Ь), коэффициент включения контура в цепь коллектора Л„л=0.04. Ко входу усилителя приложено напряжение (В)
и&=0.3+0.8 coster.
Пренебрегая инерционностью процессов в транзисторе и обратным влиянием коллекторного напряжения на ток базы, рассчитвйте следующие величины:
а) постоянные составляющие 1М и Iq,, а также амплитуды
первых гармоник /16 и Ilt токов базы и коллектора соответ-
ственно;
б)	полезную мощность Р1иых, выделяемую током первой гармоники в колебательном контуре;
в)	мощность Ро, поступающую от источника питания, мощность Рво,, выделяемую в виде теплоты на коллекторе транзистора, а также КПД т] усилителя;
г)	амплитуды колебательных напряжений Umi на коллекторе и ип1ша на колебательном контуре;
д)	коэффициент усиления мощности КР.
11.19(0). Одноконтурный резонансный усилитель питается от источника с напряжением £^=12 В. Резонансное сопротивление контура (с учетом неполного включения) £^=20 кОм. Постоянное напряжение смещения на базе £7о=0.5 В. Проходная характеристика транзистора 4=/(«б») аппроксимирована кусочно-линейной функцией с параметрами S'—15 мА/B, £4=0.8 В. Определите амплитуду UmK входного сигнала, прн которой усилитель работает в критическом режиме. Частота входного сигнала совпадает с резонансной частотой контура.
11.20(0). На вход резонансного усилителя, рассмотренного в задаче 11.19, подан гармонический сигнал с амплитудой £7„„=0.75 В. Определите напряжение смещения С70, при котором в усилителе устанавливается критический режим.
11.21(0). Применительно к данным задачи 11.19 определите мощность Ро, потребляемую усилителем от источника питания, полезную мощность Ру выделяемую током первой гармоники в колебательном контуре, мощность Р,,1Г,, рассеиваемую в виде теплоты на коллекторе транзистора, а также КПД т] усилителя.
64
11.22(0). Коллекторная цепь усилителя, рассмотренного в задаче 11.19, содержит колебательный контур, настроенный на частоту второй гармоники входного сигнала. Резонансное сопротивление контура Лреэ^В.6 кОм. Найдите амплитуду колебательного напряжении [7твых на коллекторе транзистора.
11.23(Р). Резонансный удвоитель частоты работает в критическом режиме, т. е. амплитуда выходного напряжения Umata равна напряжению источника питания Найдите зависимость КПД удвоителя г] от величины угла отсечки тока при постоянной амлитуде входного сигнала С7„в.
Ф Амплитудная модуляция. Детектирование
АМ-сигналов
11.24(Р). Если в амплитудном модуляторе используют нелинейный элемент с кусочно-линейной характеристикой, то обычно стремятся к тому, чтобы в режиме «молчания», т. е. при отсутствии модулирующего сигнала, напряжение смещения Uo совпадало с напряжением начала характеристики С7Я. Постройте модуляционную характеристику — зависимость первой гармоники тока через элемент от величины (Ut>—U^)IU„— нормированного отклонения рабочей точки.
11.25(0). Используя график модуляционной характеристики, полученный в задаче 11.24, оцените наибольшее значение коэффициента модуляции Л/п,.,, при котором еще обеспечивается приближенно линейность закона модуляции.
11Л6(УО). Детектор AM-колебаний содержит нелинейный резистивный элемент с квадратичной ВАХ вида
i= Оо+ С| (“ -14)(«—С4)2-
Вычислнте низкочастотную составляющую тока протекающего через нелинейный резистор для случаев:
а)	детектирование однотонального АМ-сигнала
и— (70+ U„ (1+М cos fh)cos совг,
б)	детектирование ОБП-сигнала с подавленной нижней боковой частотой
u=17o+l7>Bcos oV+—cos(wo+fi)t
11.27	(УО). Проходная характеристика транзистора, работающего в схеме коллекторного детектора (рис. 1.11.5), аппроксимирована многочленом второй степени:
3-415	65

ч( )
Чы>
4.8г
~-В+
Рис. 1.11.5
Рис. 1.11.6
4=а0+ а, (и* - Го)+а2 (и& - U0)J.
На вход детектора подан сигнал
Ufo= €7<)+€7„(1+Л/, cos П,/4- A/2cos П21) cos to0t.
Найдите переменную низкочастотную составляющую ива„ (г) напряжения на выходе детектора.
11.28	(УР). Входное сопротивление диодного детектора (рис. 1.11.6) определяют как отношение амплитуды входного гармонического напряжения к амплитуде пераой гармоники тока через диод:	Докажите, что если SR.~»1, то
«Я./2.
11.29	(УР). На языке Pascal составьте программу для решения трансцендентного уравнения, определяющего угол отсечки тока в диодном детекторе. Исходные данные: сопротивление резистора нагрузки, крутизна ВАХ диода и абсолютная погрешность вычислений £«10~3. Предусмотрите вывод на экран монитора коэффициента детектирования кДС1=со& о.
1130(У). Используй средства программного продукта Electronics Workbench, проведите моделирование процесса детектирования AM-сигнала в схеме диодного детектора.
• Преобразование случайных сигналов
в нелинейных цепях
1131(Р). На входе безынерционного нелинейного элемента действует стационарный гауссов случайный процесс X(t\ имеющий одномерную плотность вероятности
P..W= у' еЧ>(-Х-А
Характеристика, связывающая входной сигнал х(<) с выходным сигналом y(t), задана системой равенств:
f 0, х<0,
х>0.
Найдите одномерную плотность вероятности Раа(у) выходного случайного сигнала.
1132(0). Решите задачу П.31 для случая, когда нелинейный элемент имеет двустороннюю квадратичную характеристику у=ах2 (а>0).
1133(E)- Нелинейный элемент имеет характеристику следующего вида:
(Ь, х<0,
Х>О,
где а, Ь — постоянные числа. На вход элемента подан гауссов случайный процесс X{t) с математическим ожиданием /лх—0. Найдите математическое ожидание т, и дисперсию с2 сигнала У (О на выходе устройства.
1134(0). Безынерционный нелинейный элемент с характеристикой y=afxl возбуждается со стороны входа стационарным нормальным шумом с нулевым средним значением и известной дисперсией в2. Найдите среднее значение т, и дисперсию и2 выходного случайного процесса У(Г).
1135(УО). Найдите функцию корреляции /?Дт) случайного процесса Y(/), возникающего на выходе нелинейного звена с характеристикой у—х2. На входе звена действует стационарный нормальный случайный процесс X(t) с нулевым математическим ожиданием и функцией корреляции Rx(t)=a2rxfi).
Тема 12
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИГНАЛОВ В ЛИНЕЙНЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
Ф Прохождение сигналов через резистивные параметрические цепи. Преобразование частоты
12.1(0). Идеальный источник ЭДС создает напряжение (В) и= = 1.5cos2;t 107Г. К зажимам источника подключен резистивный элемент с переменной во времени проводимостью (См) G(t)= = 10-3+2# 10-4sin2nl06r Найдите амплитуду тока 1т, имеющего частоту 9.9 МГц.
67
12.2(0). Вещательный приемник длинноволнового диапазона предназначен для приема сигналов в диапазоне частот от /сшш=150 кГц до Лт»х—375 кГц. Промежуточная частота приемника /у=465 кГц. Определите, в каких пределах следует перестраивать частоту гетеродина /г данного приемника.
123(УО). В супергетеродинном преемнике гетеродин создает гармонические колебания с частотой МГц. Промежуточная частота приемника /^,=465 кГц; из двух возможных частот принимаемого сигнала основному каналу приема отвечает большая, а зеркальному каналу — меньшая частота. Для подавления зеркального канала на входе пребразователя частоты включен одиночный колебательный контур, настроенный на частоту основного канала. Найдите значение добротности Q этого контура, при которой ослабление зеркального канала составит —25 дБ по отношению к основному каналу приема.
12.4	(0). Дифференциальная крутизна резистивного параметрического элемента, входящего в преобразователь частоты, изменяется по закону 5джф(0—•S'c+S'i cosov, где Sq, Si — постоянные числа, (Or — угловая частота гетеродина. Считая, что промежуточная частота известна, найдите частоты сигнала <и£, при которых возникает эффект на выходе преобразователя.
125(Р). Проходная характеристика полевого транзистора, т. е. зависимость тока стока 4 (мА) от управляющего напряжения затвор — исток (В) при 2 В, аппроксимирована квадратичной параболой: 4=7.5 («и+2)2. Ко входу транзистора приложено напряжение гетеродина «BX=C7„rcos<ar/. Найдите закон изменения во времени дифференциальной крутизны S,^(Z) характеристики 4=/(«™)-
12.6	(УО). Применительно к условиям задачи 12.5 выберите амплитуду напряжения гетеродина Un таким образом, чтобы обеспечить крутизну преобразования Snp=6 мА/B.
12.7	(0). В преобразователе частоты использован полупроводниковый диод, ВАХ которого описана зависимостью (мА)
Рис. 1.12.1
(25 («—0.2), «>0.2 В, [	0,	«<0.2 В.
К диоду приложено напряжение гетеродина (В) ц.= 1.2 cos сод. Вычислите крутизну преобразования Sap данного устройства.
12.8	(УО). В диодном преобразователе частоты, который описан в задаче 12.7, к диолу приложено напряжение (В) u(r)= <7о+1-2 cos сод. Определите,
68
при каком напряжении смещения Uo<0 крутизна преобразования составит величину 1.5 мА/В.
12Л>(УО). Схема преобразователя частоты на полевом транзисторе изображена на рис. 1.12.1. Колебательный контур настроен на промежуточную частоту Ыщ,—|шс—сиЛ Резонансное сопротивление контура 7^=18 кОм. Ко входу преобразователя приложена сумма напряжения полезного сигнала (мкВ) tfc(i)= =50cos ше1 н напряжения гетеродина (В) ц(f)=0.8 cos Характеристика транзистора описана в условиях задачи 12.5. Найдите амплитуду выходного сигнала на промежуточной частоте.
• Прохождение сигналов через параметрические
реактивные цепи.
Параметрические усилители
12.10	(Р). Дифференциальная емкость параметрического диода (варактора) в окрестности рабочей точки £70 зависит от приложенного напряжения и следующим образом: Cflli(u)=fe0+ +bt (и— £4), где bD (пФ) и bt (пФ/B) — известные числовые коэффициенты. К варактору приложено напряжение и = £70+ £4. costz^t Получите формулу, описывающую ток i(r) через варактор.
12.11	(УО). Дифференциальная емкость варактора описана выражением СДВф(и)=/>о+^1(и—U^+b2(u— £70)2 К зажимам варактора приложено напряжение u= Ut>+ U„cosa)ot. Вычислите амплитуду Д третьей гармоники тока через варактор, если f0= = 10 ГГц, £4,= 1.5 В, 62=0.16 пФ/В2.
12.12	(0). Варактор имеет параметры: 4 пФ, 62=0.25 пФ/В2. К варактору приложено высокочастотное напряжение с амплитудой £4,=0.4 В. Определите, во сколько раз возрастет амплитуда первой гармоники тока /ь если величина U„ станет равной 3 В.
12.13	(УО). Емкость параметрического конденсатора изменяется во времени по закону С(/)=Соехр(—Г/т)<г(О, где Со, т — постоянные величины. К конденсатору подключен источник линейно нарастающего напряжения u(t)=ato'(t). Вычислите закон изменения во времени тока f(f) в конденсаторе.
12.14	(УО). Применительно к условиям задачи 12.13 найдите момент времени в который мгновенная мощность, потребляемая конденсатором из источника сигнала, максимальна, а также момент времени 12, в который максимальной оказывается мощность, отдаваемая конденсатором во внешние цепи.
12.15	(Р). Одноконтурный параметрический усилитель подключен со стороны входа к источнику ЭДС (генератору) с внут
69
ренним сопротивлением Лг=560 Ом. Усилитель работает на резистивную нагрузку с сопротивлением /?в=400 Ом. Найдите величину вносимой проводимости G„, которав обеспечивает коэффициент усиления мощности Кр= 25 дБ.
12.16	(0). Для параметрического усилителя, описанного в задаче 12.15, найдите критическую величину вносимой проводимости при которой система оказывается на пороге самовозбуждения.
12.17	(УО). К зажимам управляемого параметрического конденсатора приложено напряжение сигнала и (О— U„cos(toct+n}3). Емкость конденсатора изменяется во времени по закону C(t)= = Q[l+/}cos(2cV+^B)], где —начальный фазовый угол колебания накачки. Выберите наименьшее по модулю значение которое обеспечивает нулевое значение вносимой проводимости.
12.18	(0). Применительно к условиям задачи 12.17 для значений параметров Со=0.3 пФ, /?=0.25 и й)с=2п 10* с 1 вычислите наибольшее по модулю значение отрицательной проводимости G..—а также наименьший по модулю фазоный угол обеспечивающий такой режим.
12.19	(F). Двухконтурный параметрический усилитель предназначен для работы на частоте Л=2 ГГц. Холостая частота усилителя Лол—0.5 ГГц. Использованный в усилителе варактор изменяет свою емкость (пФ) с частотой накачки со, по закону С(0—2(1 +0.15costaj). Источник сигнала и устройство нагрузки имеют одинаковые активные проводимости GT—G*— 2 10 3 См. Вычислите величину резонансного сопротивления холостого контура	при котором в усилителе возникает самовозбу-
ждение.
Тема 13
ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
• Синтез пассивных двухполюсников
13.1(УО). Среди функций, описывающих входную проводимость двухполюсника:
X v / X Pfo’+O-ZS) a)
б)	Y,(p) = , —+;--.
(р’+1)0:‘+2Я
70
в)	У,(р)=—	,
’	(р’+0.81) (р1 +2.56)
г)	г<№>-^+»+0Л), (р2+4)(р’+6)
найдите ту, которая отвечает физически реализуемой LC-цепи.
13.2	(УР). Синтезируйте двухполюсник, имеющий входное сопротивление (Ом)
(2р’ + 1)(6р3+1)
133(УО). Осуществите синтез двухполюсника с входным сопротивлением (Ом)
, з 10’
Z(p)=----—
13.4	(0). Получите аналитическое выражение входного сопротивления последовательного LC-коитура. На его основе синтезируйте цепь с входным сопротивлением (Ом)
. 8 io-'V+ю*
Z (р)=----------.
4-10-V
13.5	(УО). Проведите синтез двухполюсника по заданному входному сопротивлению (Ом)
Z(p)=-
10-|Clp*+1.2 1Q-*j>+1 3 Ю’р
13.6	(0). Выведите формулу, описывающую входное сопротивление параллельного LC-контура. Используя ее, синтезируйте цепь, имеющую входное сопротивление (Ом)
Z(p)=
2 1<Г> u-io-'y+io*’
13.7	(УО). Найдите схему двухполюсника, имеющего входное сопротивление (Ом)
. 1.5 10-’р»+2.510-*р+300
z(p)= ~5n<FV7r-
71
13.8	(УО). Осуществите синтез двухполюсника по заданному входному сопротивлению (Ом)
% 1.225 10-°р2 +1.05-10’»»
Z (р)=----------------------.
3.5 10’*р+1.5103
13.9	(Р). Используя метод Каузра, проведите синтез двухполюсника с входным сопротивлением (Ом)
z(rt=^.
3/ + 1
13.18	(0). Синтезируйте схему двухполюсника, входное сопротивление которого указано в задаче 13.9, таким образом, чтобы первым элементом служила последовательно включенная индуктивная катушка с индуктивностью 2 Гн.
13.11	(УО). Осуществите синтез цепи со входной проводимостью (См)
(р2+1)(р2+3)
13.12	(УО). Синтезируйте двухполюсник, обладающий входным сопротивлением (Ом)
Z(p)=
1<Г«р+2 lO’V+Kr*"
13.13	(0), Найдите схему цепи, входное сопротивление (Ом) которой описывается формувой
Z(p)-	\ +---------------.
2-10’V 3 10V+V(0125p)
13Д4(О). Найдите схему цепи, имеющей входную проводимость (См)
У(р)=6 Ю“10/
72
• Синтез фильтров нижних частот
13.15	(Р). Линейный стационарный четырехполюсник имеет частотный коэффициент передачи мощности
Л?(с«ж) 1+ш1+05шГ
Вычислите передаточную функцию К(р^) данного четырехполюсника, зависящую от нормированной частотной переменной P,=ja>a.
13.16	(УО). Вычислите передаточную функцию четырехполюсника, имеющего следующую зависимость частотного коэффициента передачи мощности от нормированной частоты со,:
1+ш*
13.17	(F). Фильтр с частотной характеристикой максимально плоского типа второго порядка имеет частоту среза/= 15 кГц и коэффициент передачи на нулевой частоте Жд=0.92. Ко входу фильтра подключен источник гармонического сигнала с амплитудой 14,,,=7.5 В и частотой 41 кГц. Определите величину — амплитуду сигнала на выходе фильтра.
13.18	(Р). Покажите, что ЛС-цепь, нагруженная на резистор Л. (рис. 1.13.1), имеет передаточную функцию по напряжению, соответствующую ФНЧ с максимально плоской характеристикой первого порядка. Подберите параметры R и С фильтра таким образом, чтобы при Rt=2 кОм получить значение частоты среза со£=3 ‘ 10’ с-1.
13.19	(0). Покажите, что AL-цепь (рис. 1.13.2) имеет передаточную функцию К(р) по напряжению, соответствующую ФНЧ первого порядка с максимально плоской характеристикой при заданной частоте среза. Найдите величину L, если Я.=450 Ом. 2.8 10 с *.
13.20	(УО). Найдите передаточную функцию К(ря) фильтра нижних частот четвертого порядка с характеристикой Баттервор-

Рис. 1.13.1
Рис. 1.13.2
73
та. Коэффициент передачи фильтра на пулевой частоте должен быть равен 25.
13.21	(УО). Вычислите координаты полюсов передаточной функции ФНЧ с максимально плоской характеристикой пятого порядка, имеющего частоту среза 30 кГц.
13.22	(0). Фильтр нижних частот с максимально плоской частотной характеристикой передачи мощности вносит ослабление Ai = —8.426 дБ на частоте Ш1=10* с-1 н ослабление А2= = —45.923 дБ на частоте 0^=3 ‘ 10* с-1. Вычислите частоту среза фильтра сос и его порядок п.
13.23	(УО). Найдите наименьший порядок фильтра нижних частот с максимально плоской характеристикой, исходя из того, чтобы при изменении частоты от toc до 2шс усиление фильтра изменялось бы не менее чем на 15 дБ.
13.24	(F). Схема ФНЧ, работающего от источника ЭДС на резистивную нагрузку Л., представлена на рис. 1.13.3. Определите номиналы элементов L и С таким образом, чтобы данная цепь обладала частотным коэффициентом передачи по напряжению, отвечающим характеристике Баттерворта второго порядка. Заданы частота среза фильтра (f)c=7.5 10* с-1 и сопротивление нагрузки К,—1.2 кОм.
13.25	(Р). Выведите формулу для расчета ФЧХ фильтра нижних частот с характеристикой типа Баттерворта второго порядка. В качестве независимой переменной используйте нормированную частоту («в.
13.26	(0). Найдите выражение, определяющее ФЧХ фильтра нижних частот с максимально плоской характеристикой третьего порядка. Каково предельно возможное значение фазового угла, ВНОСИМОГО даННЫМ фиЛЬТрОМ ПрИ £^->00?
13.27	(УО). ФНЧ с характеристикой Баттерворта пераого порядка имеет частоту среза 85 кГц. Для данного фильтра определите групповое время запаздывания TIV узкополосного сигнала с центральной частотой спектра 40 кГц. Решите эту же задачу применительно к фильтру третьего порядка с аналогичными параметрами.
13.28	(F). Выберите коэффициент е, входящий в выражение частотной характеристики передачи мощности чебышевским
L	ФНЧ и-го порядка таким образом, что-
।---о-'	т—о—I	бы в пределах полосы пропускания не-
I равномерность частотной характеризуй	У Пяи стики не превосходила 2 дБ.
СТ U 13.29(УО). На плоскости нормиро-i__;._______i__.□_ ванной комплексной частоты р„ опре-
j	делите координаты полюсов переда
74
точной функции К(ря) для ФНЧ третьего порядка с характеристикой чебышевского типа, имеющей неравномерность коэффициента передачи мощности в полосе пропускания, равную 2 дБ.
1330(0). Применительно к условиям задачи 13.29 вычислите передаточную функцию К(ря) рассматриваемого фильтра.
1331(У). На языке Pascal составьте программу расчета частотного коэффициента передачи мощности K,(toJ чебышевского ФНЧ третьего порядка с некоторым заданным шагом 6 по переменной сои. Положите, что заданным является безразмерный параметр е— коэффициент неравномерности частотной характеристики фильтра в пределах полосы пропускания.
Тема 14
АКТИВНЫЕ ЦЕПИ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ И АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
• Цепи и системы с обратной связью
14.1	(Р). Получите формулу для расчета коэффициента усиления по напряжению Кц—и^и^ в схеме эмиттерного повторителя (рис. 1.14.1) (в задачах 14.1 — 14.3 имеются в виду малые приращения напряжений на входе и выходе).
14.2	(УО). В эмиттерном повторителе (рис. 1.14.1) применен транзистор с дифференциальной крутизной проходной характеристики	мА/B. Сопротивление резистора нагрузки
/?,= 3 кОм. Вычислите коэффициент усиления данного устройства по напряжению. Определите, при каком направлении на входе цепи величина напряжения 0.15 В.
143(УР). Одноступенчатый транзисторный усилитель (рис. 1.14.2) содержит резистор нагрузки /?. н резистор обратной связи Лое- Полагая известной крутизну 5 проходной характеристики транзистора ц =/(«&) в окрестности выбранной рабочей точки, выведите формулу для расчета коэффициента усиления Kv= =Чл1о]ч„. Найдите параметр Д определяющий коэффициент передачи цепи обратной связи.
14.4	(УО). Структурная схема системы с двухпетлевой обратной связью изображена на рис. 1.14.3. Найдите передаточную функцию K(p)=Una(p)IUWi(p).
14.5	(УР). Активный /?С-фильтр (рис. 1.14.1) содержит усилитель с вещественным и положительным коэффициентом усиления по напряжению Ко. Входное сопротивление усилителя бесконечно велико, а выходное сопротивление равно нулю.
75
Рис. 1.14.1 I—| 1W |	 X,(p) r*i кг(Р)r*° <4.	।	lyl—JUews Рис. 1.14.3 ч«|°	' P“ Рис. 1.14.5 fk R, "1 c = jl  Рис. I- 14.7	Рис. 1.14.2 -4 l\l —CZZH^Ky>— u~o	<гЛ	Ju~ •—	 I 	—0 Рис. 1.14.4 —IIs- Я	1 1 о ^вх|	I	|^вых О		 !	О Рис. 1.14.6 яг я, . я*П Рис. 1.14.8
Выведите формулы, определяющие передаточную функцию ОД>)—Ц»а(р)/Цм(р), а также АЧХ данного устройства. Найдите критическое значение коэффициента усиления при котором система теряет устойчивость. Положив T?i=/?2==/?, G=C2=C, Л^=2.95, постройте график нормированной АЧХ |Х(0/Хо, выбрав в качестве независимой переменной безразмерную величину С=соХС.
14.6	(Р). Найдите передаточную функцию К(р) активной цепи, схема которой изображена на рис. 1.14.5. Входящий в цепь идеальный усилитель имеет постоянный на всех частотах коэффициент усиления Ко.
14.7	(УО). Решите задачу 14.6, предполагая, что передаточная функция операционного усиления (ОУ) описывается выражением
ад)=-^—.
где — постоянная времени ОУ, определяющая ширину полосы пропускания усилителя, не охваченного цепями обратной связи. Вычислите граничную частоту рассматриваемого устройства, определив ее как ту частоту, на которой модуль коэффициента передачи по напряжению уменьшается до значения 0.707 от максимальной величины, достигаемой на нулевой частоте.
14Л(УО). Активная цепь (рис. 1.14.6) содержит ОУ с вещественным, не зависящим от частоты коэффициентом усиления К>. Получите выражение для передаточной функции K(p)=Una(p}/ данной системы.
14.9	(0). Цепь (рис. 1.14.7) содержит ОУ с бесконечно большим входным и нулевым выходным сопротивлением. Коэффициент усиления Ко постоянен на всех частотах. Найдите передаточную функцию системы ^(р)=(7»„(р)/Ц„(р).
14.10	(УО). Вычислите передаточную функцию Л^(р)=1/»«(р)/ системы, принципиальная схема которой изображена на рис. 1.14.8. Входящий в цепь идеальный ОУ на всех частотах имеет бесконечно большой вещественный коэффициент усиления. Определите, при каком наименьшем сопротивлении резистора К, система становится неустойчивой, если = 1 кОм, 7?2=5 кОм. Л3=15 кОм.
• Устойчивость цепей с обратной связью
14.11	(Р). С помощью критерия Найквиста исследуйте устойчивость замкнутого контура из трех идентичных усилителей, каждый из которых имеет передаточную функцию
77
к(р>=-Л
где Ко, г — заданные числа.
14.12	(0). Решите предыдущую задачу для случая, когда имеется каскадное соединение нечетного числа л>3 идентичных усилительных звеньев. Получите формулу для расчета К^ — критического значения коэффициента усиления по напряжению одного звена на нулевой частоте, при которой происходит самовозбуждение замкнутой системы.
1413(0). Напишите уравнение амплитудно-фазовой характеристики для одноступенчатого усилителя с резистивно-емкостной нагрузкой, у которого вход соединен с выходом посредством идеальной линии задержки на То секунд. Выведите формулу для расчета К^ — критического значения коэффициента усиления на нулевой частоте.
14.14	(0). Одноступенчатый усилитель (см. задачу 14.13) имеет параметры: 5=15 мА/B, А,=1.3 кОм, Сп=60 пФ. Вход усилителя соединен с выходом посредством идеальной линии задержки с параметром 7®. Пренебрегая влиянием выходного сопротивления электронного прибора, определите критическое значение 7^, при котором система оказывается на Гранине устойчивости.
14.15	(УО). Двухступенчатый усилитель с одинаковыми звеньями имеет передаточную функцию по напряжению
ад=- „
Вход усилителя соединен с его выходом через дифференцирующую цепь с передаточной функцией

Найдите критическое значение К^ параметра Ко.
Ряс. 1.14.10
Ряс. 1.14.9
78
14.16	(0). Решите предыдущую задачу при условии, что

где Т=0.1 t.
14.17	(УО). Исследуйте устойчивость замкнутой системы (рис. 1.14.9), в которой каскадное соединение двух идентичных усилительных звеньев с апериодическими нагрузками замкнуто через идеальный интегратор, имеющий передаточную функцию Р(р)=1№>), гДе Т— постоянный параметр.
14.18	(0). Исследуйте зависимость устойчивости замкнутой системы (рис. 1.14.10) °т величины коэффициента усиления Ко.
ф Автогенераторы гармонических колебаний
14.19	(Р). Схема RC-генератора гармонических колебаний приведена на рис. 1.14.11. Найдите коэффициент усиления Ко активного звена, при котором происходит самовозбуждение системы, если Ri=R3=3.6 кОм, С,=0.15 мкФ, Cz=0.05 мкФ. Определите значение генерируемой частоты соот.
14.20	(УО). Автогенератор собран по схеме с трансформаторной связью (рис. 1.14.12). Параметры системы: £=16 мкГн, £г,=3 мкГн, С=90 пФ, Л=25 Ом. Дифференциальная крутизна проходной характеристики транзистора в выбранной рабочей точке 5^$= 1.4 мА/B. Найдите коэффициент связи А» между катушками автогенератора, при котором возникает самовозбуждение данного устройства.
1421(0). Туннельный диод вместе с источником смещения подключен к колебательному контуру (рис. 1.14.13). Дифференциальная крутизна ВАХ диода в рабочей точке З'двф=— 5 мА/В. Резонансное сопротивление контура при полном включении Лра=32 кОм. Определите, при каком минимальном значения
Рис. 1.14.11
Рис.1.14.12
79
коэффициента включения активного элемента в контур возникает самовозбуждение системы.
14.22(УО). Нелинейный двухполюсник имеет ВАХ кусочно-линейного вида со следующими параметрами: U„= =0.8 В, 5=45 мА/B. Вычислите среднюю крутизну характеристики данного элемента для случая, когда к зажимам
Рис. 1.14.13 двухполюсника приложено напряжение (В) u(f)=0.55+ 1.2 cos tat.
14.23(1*). В автогенераторе с трансформаторной связью применен электронный прибор, у которого зависимость средней
крутизны 5t (мА/B) от управляющего напряжения U (В) аппрок-
симирована многочленом 2-й степени:
^(ГТ^ + З^азС2,
где в]—1 мА/B, а}=—2.5 мА/B3. Колебательный контур генератора имеет параметры: (^,=6'10® с'1, 6=25. Определите, при каком минимальном значении коэффициента взаимоиндукции Л/пй в системе возникнут автоколебания. Вычислите амплитуду Uа в стационарном режиме, если
14.24	(0). Автогенератор содержит электронный прибор с характеристикой средней крутизны (мА/B) следующего вида:
51 (0=4+0.3 U2 - 0.12U\
где U — амплитуда управляющего напряжения (В). Известно, что некоторый стационарный режим характеризуется амплитудой 0=1.5 В. Определите, устойчив ли этот режим.
Тема 15
ДИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ.
ПРИНЦИПЫ ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
ф Спектры дискретных сигналов.
Дискретное преобразование Фурье
15.1	(0). Аналоговый сигнал х(?) имеет спектр, ограниченный верхней граничной частотой f.=7.5 МГц. В некотором устройстве обработки (например, в осциллографе с памятью) проводится запись отрезка такого сигнала длительностью Т— =60 мкс. Устройство осуществляет дискретизацию колебания 80
таким образом, что длительность интервала между выборками в 4 раза короче того значения, которое устанавливает теорема Котельникова. Каждое выборочное значение отображается 8-битовым двоичным числом. Определите величину 2V — объем памяти (бит), требуемой для записи данного отрезка сигнала.
15.2	(УР). Сигнал £(f) представляет собой бесконечную периодическую последовательность прямоугольных видеоимпульсов единичной амплитуды. Период последовательности равен А, длительность одного импульса составляет т. Вычислите спектральную плотность 5{(ш) данной последовательности.
15.3	(У О). Вычислите спектральную плотность 5Хд(со) дискретного сигнала хя(/), который возникает при дискретизации непрерывного колебания х(1) с помощью последовательности рассмотренной в задаче 15.2. Спектральная плотность S„(pi) сигнала х(г) предполагается известной. Постройте примерный график модуля функции S„b((d).
15.4	(0). Экспоненциальный видеоимпульс u(t)=l4>exp* х(—af)a(f) дискретизируется во времени с шагом А. Выберите величину А таким образом, чтобы на граничной частоте со^л/Д модуль спектральной плотности <$„(<%) уменьшался до уровня o.ois.(o).
15.5	(У О). Применительно к условиям задачи 15.4 вычислите величину Si (0) — вклад в спектральную плотность дискретизированного сигнала на нулевой частоте, который вносится ближайшими «копиями» спектра исходного колебания, имеющими центральные частоты ±2л/А.
15.6	(Р). Оцените величину 5^.(0)— дополнительный вклад в спектральную плотность на нулевой частоте для дискретизированного сигнала, описанного в задачах 15.4 и 15.5, который вносится всей бесконечной совокупностью «копий» спектра исходного аналогового сигнала.
15.7	(0). Периодический дискретный сигнал хд (/) на интервале своей периодичности задан пятью равноотстоящими отсчетами (0.25, 0.8, 1, —1.5, —0.2). Вычислите постоянную составляющую Со дискретного преобразования Фурье данного сигнала.
15.8	(У). Докажите, что если все N отсчетов дискретного сигнала, заданные на интервале периодичности, равны между собой, то все коэффициенты ДПФ такого сигнала, за исключением равны нулю.
15.9	(Р). Периодическая последовательность прямоугольных видеоимпульсов с амплитудой 170, периодом Г и длительностью отдельного импульса Т/3 днекретизоваяа таким образом, что иа один период последовательности приходится N отсчетов. Вычис
81
лите величины коэффициента С, в ДПФ данного сигнала при N— = 8 и при #=32.
15.10	(Р). Вычислите коэффициенты ДПФ Са (л=0, 1, 2) дискретного периодического сигнала хя(г), заданного тремя отсчетами (0, 10, 20).
15.11	.(У). Покажите, что коэффициент С3 ДПФ сигнала, рассмотренного в задаче 15.10. в точности равен коэффициенту Со.
15.12	(0). Дискретный периодический сигнал хя(г) задан четырьмя отсчетами (1, 0, —1, 0). Вычислите коэффициенты ДПФ С„ (л=0. 1, 2, 3).
15.13	(УО). Получите выражение периодического аналогового сигнала x(f), каждому периоду которого отвечает дискретный сигнал, состоящий из четырех равноотстоящих выборов (1, О, —0.5, 0).
15.14	(УО). Восстановите аналоговый сигнал х(г) по коэффициентам ДПФ, вычисленным в задаче 15.12. Убедитесь, что значения сигнала х(/) в отсчетных точках совпадают со значениями дискретного сигнала. Предполагайте, что период Т сигнала задан.
15.15	(Р). На алгоритмическом языке Pascal напишите текст программы для расчета коэффициентов ДПФ. Исходные данные заключены в массиве вещественных отсчетов сигнала {х,} (1=0,... ..., N— 1) длиной N. Предусмотрите вывод на экран вещественной и мнимой частей коэффициентов ДПФ.
15.16	(Р). Имеется дискретный периодический сигнал, отсчеты которого на интераале периодичности образуют шестикомпонентный вектор
Х=(1.5, 4, 5, 3.5, 7, -4).
Используя средства математической системы MathCAD, найдите вектор Y, являющийся быстрым преобразованием Фурье (БПФ) исходного вектора X. Осуществите проверку полученного результата, выполнив обратное преобразование вектора Y.
• Теория z-преобразованг" Дискретная свертка
15.17(УО). Получите формулу z-преобразования X(z) дискретной ступенчатой функции {х*}, общий член которой задан выражением
(О, п<0,
*" (1, л>0.
15.18	(0). Найдите z-преобразование Х(г) дискретного сигнала {х*}, имеющего общий член х„=а", к=0, 1, 2...
82
15.19	(0). Получите формулу, описывающую z-преобразование X(z) дискретного сигнала {хД с общим членом хя=а/п\ при п^О.
15.20	(Р). Найдите дискретный сигнал {хД, которому отвечает z-преобразование
AT(z)=--
15.21	(0). Вычислите седьмой член х6 дискретной последовательности {хД, z-преобразование которой
ад=25/(1-0.9г-1).
15-22(УО). Задано z-преобразование
(1 — 0.4z_*)(l—0.6z-’)"
Найдите общий член х„ последовательности {хД.
15J3(P). Найдите дискретный сигнал {хД, z-преобразование которого X(z)=z~2.
15-24(0). Вычислите z-преобразование F(z) свертки {/Д дискретных сигналов {хД=(1, 1, 1,0, 0,...) и {уД=(О, О, 1, 1,0, 0,...).
15.25	(УО). Получите выражение свертки {/Д двух сигналов, рассмотренных в задаче 15.24.
15.26	(Р)- Путем непосредственного вычисления найдите свертку {/Д дискретных сигналов {хД=(15, 15, 7, 5, 3, 1, 0, ...) и{уД=(10, 5,2, 1,0,...).
• Линейные стационарные цифровые фильтры
15.27	(Р). Трансверсальный (нерекурсивный) цифровой фильтр (ЦФ) работает в соответствии с алгоритмом yi=4xJ—2.5xf_i+ +0.8х,_2. Найдите импульсную характеристику {ЛД, системную функцию H(z) и частотный коэффициент передачи K(ja>) этого фильтра.
15.28	(0). Найдите частотный коэффициент передачи K(j<o) трансверсального цифрового фильтра второго порядка, имеющего алгоритм yi=xl—2xll-\-xi2- Исследуйте вид функции K(j(Oi) при Дц> -• 0.
15.29	(У). Покажите, что трансверсальный ЦФ, алгоритм которого описывается разностным соотношением у(=х,—3xj_j + +3х,_2—х13, осуществляет приближенно трехкратное дифферен
83
цирование относительно медленных входных сигналов, спектр которых содержит лишь частоты о, удовлетворяющие неравенству шД-<к 1.
1530(Р). ЦФ имеет системную функцию
Я(г)=—.
г-0.6
Вычислите импульсную характеристику {й*} данного фильтра.
1531(УО). Некоторый ЦФ имеет следующий алгоркм:
+0.32j|_2.
Найдите системную функцию H(z), частотный коэффициент передачи K(ja>) в импульсную характеристику {Л*} фильтра.
1532(Р). Найдите аналитическое выражение т-го члена в импульсной характеристике {й*} рекурсивного ЦФ, работающего в соответствии с алгоритмом
Я“Л1+И-»-0.5у1_а.
1533(0)- Цифровой фильтр имеет следующий алгоритм:
1.5x/+4x(_I—O.85y_i.
Фильтр работает с шагом дискретизации по времени А=0.1 мс. Найдите модуль |Х(/со)| и фазовый угол <рк((о) частотного коэффициента передачи фильтра на частоте со=2•104 с-1.
1534(0). Собственные колебания в рекурсивном ЦФ второго порядка описываются разностным уравнением
Исследуйте устойчивость данного фильтра.
1535(УО). Аналоговый сигнал, поступающий на вход аналого-цифрового преобразователя (АЦП), изменяется в пределах от 0 до 15 В. Для представления отсчетов этого сигнала в АЦП выделено восемь двоичных разрядов. Найдите величину шага квантования да, а также дисперсию шума квантования.
1536(УО). Шум квантования, рассмотренный в задаче 1535, поступает на вход рекурснаного ЦФ первого порядка. Фильтр преобразует последовательность входных отсчетов {х*} в последовательность {ук} отсчетов на выходе в соответствии с алгоритмом уг=0.9у;_| +х(. Найдите дисперсию о-^ шума квантования на выходе фильтра.
84
1537(Р). На алгоритмическом языке Pascal составьте программу, позволяющую рассчитывать импульсную характеристику рекурсивного ЦФ второго порядка. Фильтр работает в соответствии с алгоритмом
У,=biyt_ I + ЬзУ{-2.
Тема 16
ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ
ф Оптимальная фильтрация сигнала известной формы
16.1	(Р). На входе ЛС-цепи (рис. 1.16.1) действуют два последовательно включенных источника ЭДС. Один из них создает белый шум с постоянным на всех частотах значением спектра мощности Wo. Второй источник создает гармонический сигнал Pm «cos (Во/, амплитуда и частота которого известны. Определите постоянную времени RC, при которой отношение сигнал/шум на выходе б= Unaafana окажется максимальным.
16.2	(0). Применительно к условиям задачи 16.1 найдите максимально возможное отношение сигнал/шум на выходе НС-цепи Объясните, почему эффективность работы данного фильтра ухудшается с ростом частоты соо. Найдите амплитуду входного сигнала U„„, при которой gm..—10, если cdq=5  10s с-1, Ио=3‘ 10“14 В2-с.
163(0). Найдите максимальное значение отношения сигнал/шум которое достигается в оптимальном фильтре, согласованном с прямоугольным радиоимпульсом. Заданными являются плотность спектра мощности белого шума Wo, а также амплитуда U„„ и длительность радиоимпульса.
16.4	(F). Одноконтурный резонансный усилитель имеет частотный коэффициент передачи
l+Ka-tOp'Jb
На вход усилителя поступает сумма белого шума с плотностью спектра мощности WD и прямоугольного радиоимпульса, имеющего частоту заполнения длительность тв и амплитуду ипя1. Определите предельно достижимое значение Qn^ отношения сигнал/шум в данном усилителе.
85
Получите формулу для расчета оптимальной добротности Q<^ колебательного контура усилителя.
165(УО). Получите выражения частотного коэффициента передачи КплО’со) и импульсной характеристики Л (f) оптимального линейного фильтра, согласованного с треугольным видеоимпульсом
{О , /<0,
о , «><0
16.6	(0). Линейный фильтр согласован с треугольным видеоимпульсом (см. задачу 16.5). Параметры входного сигнала: t0— = 15 мкс, А—25 мкВ. Найдите максимальное значение 5^,^, сигнала на выходе системы при условии, что фильтр имеет параметр Л=1015 В"1-с-1.
16.7	(0). Сигнал выделяемый согласованным фильтром из аддитивной смеси с белым гауссовым шумом, представляет собой пачку радиоимпульсов с амплитудой 14=3 мкВ и длительностью г,=2 мкс каждый. Плотность спектра мощности белого шума ИЪ=1.5’10-1’ В2_с. Определите, при каком числе импульсов в пачке N отношение сигнал/щум на выходе достигнет десяти.
16-8(УО). Полезный сигнал представляет собой ЛЧМ-им-пульс с огибающей прямоугольной формы. Импульс имеет длительность тж=8 мкс и девиацию частоты А6=3.5 МГц. Для выделения данного сигнала из смеси с нормальным белым шумом применен согласованный фильтр. Найдите длительность основного лепестка сигнала на выходе согласованного фильтра.
16.9	(F). Найдите частотный коэффициент передачи оптимального линейного фильтра, обеспечивающего на своем выходе максимально возможное отношение сигнал/шум при обработке сигнала известной формы с заданной спектральной плотностью на фоне небелого шума, у которого известен спектр мощности
• Оптимальная фильтрация случайных сигналов
16.10	(УО). Случайный процесс U(i) (полезный сигнал) имеет нулевое математическое ожидание и функцию корреляции /^(т)=<т2ехр(—а|т|). Помеха V(f) представляет собой нормальный стационарный случайный процесс с нулевым математнчес-
86
ким ожиданием и функцией корреляции Я,(т)=п2ехр(—Получите выражение АЧХ оптимального фильтра, выделяющего сигнал U(l) нз смеси £/(Г)+ К(Г) с минимальной среднеквадратичной ошибкой.
16.11	(0). Выделяемый случайный процесс U(/) имеет двусторонний спектр мощности плотность которого равна постоянной величине А в пределах интервала частот (—а>с, о,). На остальных частотах величина lFu(<y) равна нулю. Помеха V(t) имеет вцд белого шума с постоянным параметром WD. Получите формулу для расчета минимально возможной дисперсии р2^„ ошибки выделения сигнала £/(г) из аддитивной смеси 17(0 + + Р(0
16.12	(0). Применительно к постановке задачи 16.11 покажите, что при	минимальная дисперсия ошибки, реалиэуемак
оптимальным фильтром, не зависит от уровня спектра мощности полезного сигнала. Найдите для этих условий величину п2™» если ед»=610*с-1, Жо=5* 10-1* В2,с.
16.13	(У О). Найдите минимально возможную дисперсию ошибки выделения стационарного случайного процесса £/(/) с функцией корреляции Км(т)=о2ехр(—а|т)) из аддитивной смеси с гауссовым стационарным белым шумом К(/), который имеет плотность спектра мощности Ио.
16.14	(0). Получите числовое значение дисперсии для случая оптимальной фильтрации сигналов, рассмотренных в задаче 16.13, при следующих числовых данных: Ио=10-12 В2-с, с2=0.02 В2, а=106 с’1.
16.15	(Р). Ко входу линейного стационарного фильтра приложена сумма напряжений полезного сигнала и(1) и помехи «(/), которые являются реализациями стационарных нормальных случайных процессов U(t) и V(t) соответственно. Известно, что полезный случайный процесс £/(») имеет функцию корреляции Я,(т)=р2ехр(—a|z|)coscoflf с заданными значениями дисперсии а2, а также параметров а и соа. Случайный процесс помехи V(t) является дельта-коррелированным процессом вида белого шума, характеризующимся постоянным на всех частотах значением спектральной плотности мощности Иа- Получите формулу, описывающую частотную зависимость величины |KODT(/&,)I — модуля частотного коэффициента передачи фильтра, который обеспечивает минимум среднеквадратичной ошибки выделения полезного сигнала из аддитивной смеси с помехой при условии, что выполняется неравенство ша»а. Исследуйте вопрос о физической реализуемости данного фильтра.
87
# Оценка информационных параметров радиоканала
16.16	(УО). Но некотО|К>му каналу связ1 передается сообщение, представляющее cofioi i слово «ИНФОРМАЦИЯ» на русском языке. Найдите количество информации, заключенной в этом сообщении.
16.17	(УО). Оцените энтропию Н источника сообщений, создающего осмысленный текст на русском языке.
16.1в	(О)  екстовая информация в компьютере записывается с помощью кода ASCH (American Standart Code for Information Interchange), в котором каждая буква естественного языка кодируется восьмиразрядным двоичным словом. Найдите объем информации, содержащейся в книге на русском языке из 100 страниц, закодированной подобным образом. Считайте, что страница состоит из 30 строк по 60 букв в каждой. Определите избыточность кодовой системы ASCII как отношение информационных объемов сообщения после и до кодирования.
16.19	(0). Диктор читает одну страницу книжного текста (см. предыдущую задачу) за две минуты. Электрический сигнал на выходе микрофона лежит в интервале частот с верхней границей 6 кГц. Этот сигнал дискретизируется по времени в соответствие с минима хьным требованием теоремы Котельникова, а затем каждый отсчет кодируется восьмибитовым двоичным словом. Вычислите объем информации, которая содержится в записи этого отрезка сигнала. Найдите избыточность описанного информационного преобразования.
16.20	(Р). Проводной телефонный канал связи способен равномерно пропускать колебания в интервале частот (0, 30 кГц]; на более высоких частотах коэффициент передачи канала полагается равным нулю. В канале присутствует белый шум, такой, что отношение средней мощности полезного сигнала к средней мощности шума составляет 35 дБ. Вычислите пропускную способность С рассматриваемого канала.
РАЗДЕЛ П
Указания
Темя 1
L3. Обратите внимание на то, что вид аргументов функций Хевисайда должен отвечать наличию скачков сигнала при t= —20, 20 и 30 мкс.
L12. Воспользуйтесь значением табличного интеграла
Г	, у/п _
е	ах=—при в>0.
о
1.23.	Примите во внимание известные свойства скалярного произведения двух сигналов.
1.24.	Представьте квадраты норм в виде скалярных произведений.
1.26.	Вычислите квадрат нормы суммы двух сигналов и воспользуйтесь неравенством Коши — Буняковского (см. задачу 1.25).
1.27.	Вычислите скалярное произведение (и, v).
1.28.	См. указание к предыдущей задаче.
1.30.	Обратите внимание на то, что полученные здесь функции Но(г), «[(/) и uj(t) с точностью до постоянных коэффициентов совпадают с известными из математики многочленами Лежандра:
й«)=-[(<2-1)3 »=о, 1, 2,...
at"
1.31.	Воспользуйтесь формулой для коэффициентов ряда Фурье.
1.32.	Найдите выражение для квадрата нормы ошибки |[/— z||2. Приравняв нулю частные производные по А, В и С, получите систему линейных уравнений, определяющую искомые коэффициенты. Убедитесь, что полученное решение в точности совпадает с тем, которое получено в задаче 1.31 другим методом.
1.33.	Воспользуйтесь формулой скалярного произведения комплексных сигналов.
8?
134. Представьте дельта-функцию в виде формального ряда
Й(г-г0)= £ Д»ия(г)
и-0
с неизвестными пока коэффициентами а,. Умножьте скалярно обе части этого равенства на функцию u„(t) с производным номером т. Примите во внимание фильтрующее свойство дельта-функции.
137.	Учтите, что амплитуды функций Уолша, заданных на отрезке — !</<!, должны равняться 1/у/2.
Тема 2
2.2.	Исходя из условий задачи, перейдите к интегрированию в бесконечных пределах.
2.7.	Воспользуйтесь приемами, изложенными в решении задачи 2.1.
23.	В общей формуле для коэффициентов С„ введите новую переменную ^—1—10.
2.9.	В подынтегральном выражении формулы, определяющей коэффициент Сп, разложите функцию ехр(—jncojt) по формуле Эйлера.
2.14.	Воспользуйтесь результатом, полученным в задаче 2.13.
222.	Примените интегрирование по частям.
2.23.	Положите, что верхняя частота в спектре сигнала приближенно совпадает с границей основного лепестка графика зависимости модуля спектральной плотности сигнала от частоты, т. е.7»рх=1/^> где *'—длительность прямоугольного видеоимпульса.
2.25.	Используйте результат, полученный в задаче 2.24.
230.	Вычислите преобразование Фурье путем интегрирования по частям. Полезно также решить эту задачу с помощью двукратного дифференцирования импульса (см. задачу 2.28).
231.	Воспользуйтесь приближенным разложением в ряд Тейлора
е	"asl —j(ovK—~
и вычислите предел выражении S(co) при со-»О.
232.	Сформированное в условиях задачи неравенство означает, что импульс является «коротким» в том смысле, что тя«С1/со, где со — характерное значение частоты в интересующей нас области.
90
2.33.	Воспользуйтесь результатом, полученным в задаче 2.32, ограничившись учетом лишь момента Л/о.
234.	Убедитесь, что дополнительное слагаемое, вносимое моментом М2, пренебрежимо мало по сравнению с тем, которое определяется моментом Mj.
2.35.	Воспользуйтесь методами теории вычетов, считая переменную оз комплексным числом. Обратите внимание на выбор контура интегрирования в плоскости ш.
2.36.	Примените метод, изложенный в решении задачи 2.35.
2.37.	Обратите внимание на то, что в точке подынтегральная функция обратного преобразования Фурье имеет полюс третьего порядка.
2.40.	Воспользуйтесь теоремой о преобразовании Фурье произведения двух сигналов.
2.41.	См. указания к задаче 2.40.
2.42.	Выделите в сигнале s(f) постоянную составляющую.
2.43.	Воспользуйтесь результатом, полученным в задаче 2.41.
247.	Обратите внимание на то, что при z<0 одна из функций, входящих под знак интеграла свертки, не будет обладать положительным значением аргумента ни при каком значении переменной интетрярования.
2.48.	Для двух возможных случаев г >0 и t <0 замкните контур интегрирования либо в левой, либо в правой части полуплоскости переменной р. Воспользуйтесь теорией вычетов.
2.50.	Разложите изображение на простые дроби. Воспользуйтесь тем, что изображению 1/(р+а) отвечает оригинал ехр(—at).
2.51.	Разлагая изображение на простые дроби, выделите его целую часть, дополнив числитель до величины знаменателя, а затем вычтя прибавленное количество.
232.	Предположите, что справедливо соответствие 1/(р+а)”= фГ	1)! и воспользуйтесь методом математической ин-
дукции, применяя теорему об оригинале, который отвечает произведению двух изображений.
2.53.	Воспользуйтесь свойством линейности преобразования Лапласа.
2.54.	Решите задачу двумя способами: а) прямым вычислением преобразования Лапласа, б) путем представления данного колебания в виде разности двух сдвинутых во времени функций включения.
2.56.	Воспользуйтесь теорией об изображении сигнала, смещенного во времени (см. формулу (2.62) из [1]).
91
Тема 3
3.1. Проверьте ответ, вычислив величину (и, v) во временной области.
3.2. Примените обобщенную формулу Рэлея.
33. Воспользуйтесь табличным интегралом
Г cosax , я , ,	e , (а>0,}>0).
J Г+x* 2у о
3.6. Воспользуйтесь результатом, полученным в задаче 2.28.
3.8. Проведите интегрирование по частям.
3.10.	Используйте результат, полученный в задаче 3.8. Воспользуйтесь тем, что при значениях аргумента имеет место приближенное равенство
Si (z) ft! я/2—cos z/z.
3.11.	См. указания к задаче 3.10.
3.12.	Воспользуйтесь связью между энергетическим спектром сигнала и его автокорреляционной функцией.
3.14.	Обратите внимание на четность автокорреляционной функции.
3.17.	Для нахождения составьте трансцендентное уравнение. Решите это уравнение методом последовательных приближений, используя микрокалькулятор (см. решение задачи 1.1).
3.18.	Обратите внимание на то, что сигнал s2 по сравнению с сигналом Jj имеет существенно больший уровень боковых лепестков автокорреляционной функции.
3.20.	Постройте совместно графики функций u(f) и т). Определите интервалы значений аргумента, в которых импульсы и и и «перекрываются».
3.21.	Найдите взаимный энергетический спектр И4,(со), воспользовавшись формулой преобразования Фурье.
322.	При выполнении операции сдвига дополните сигналы и и и нулями на «пустых» позициях слева в справа.
Тема 4
4.3.	Примите во внимание, что Л£,=(Цмх—С4)/С4, М>= =(U-Un»)/U
4.4.	Коэффициент модуляции Л/ определяется из системы двух равенств £/ви=£4(1+Л0: £4ДД=14(1— Л/).
92
4.5.	Воспользуйтесь двумя соотношениями, которые вытекают из графика:
Uo(l+M)=Um-,
4.7.	Приближенно положите, что ширина спектра огибающей радиоимпульсов ограничена шириной основного лепестка ее спектральной диаграммы.
4.10.	Исходите из того, что если U„ — амплитуда напряжения на резистивной нагрузке, то активная мощность
Р=^/(2Л).
4.15.	Обратите внимание на то, что т=0.06 «! и поэтому данный сигнал является узкополосным, содержащим лишь три спектральные составляющие.
4.17.	Примите во внимание, что в данном случае zn»l. Воспользуйтесь приближенным выражением для расчета Пл^.
4.18.	Воспользуйтесь тем, что наименьший корень уравнения Л>(т)=0 равен 2.405.
4.19.	Основывайтесь на том, что уравнение Л(т)=0 имеет наименьший корень 3.832.
4.20.	Разложите функции cos (тsintot) и sin(т sin Dr) при т<£. 1 в ряды Тейлора. Ограничьтесь двумя членами каждого ряда.
4.21.	Убедитесь, что здесь девиация частоты мала по сравнению со значением несущей частоты и поэтому приращение АД^, резонансной частоты контура связано с приращением емкости АС соотношением A4e,=(d/pn/dQAC (производная вычисляется при/=/0).
4.28.	В данной задаче анализируется единственный, по-видимому, случай, когда спектральная плотность ЛЧМ-колебания явно выражается через элементарные функции.
При решении используйте значение табличного интеграла
f е'"'ЙП(рх2+2?х)<и=
J cos
V" Г Ч1 Imri » ря1 "I
=------expl —-—-	-arctg-~~—- .
L o’+p’JcosLz a a*+p?J
93
Темя 5
5.4.	Воспользуйтесь принципом ортогональности системы базисных функций, входящих в ряд Котельникова.
55.	Примите во внимание, что спектральные плотности сигналов sK(f) и Sga^f) не «перекрываются» и поэтому данные сигналы взаимно ортогональны
5.6.	Отдельные слагаемые суммы 5=s1+s2+... представьте в виде 5i(/)=Re(j7,/e*G1°r). Воспользуйтесь тем, что операции суммирования и вычисления вещественной части перестановочны.
5.9.	В качестве опорной частоты выберите частоту несущего колебания.
5.10.	Воспользуйтесь формулой (5.35) из [1].
5.12.	Примените формулу (5.36) из [1].
5.13.	При вычислении преобразования Гильберта учтите, что здесь со> 0 и поэтому sgnco = l.
5.15.	Примите функцию (/«(/) равной модулю аналитического сигнала
5.19.	Обратите внимание на то, что несимметрия графика S(co) относительно точки cdq ведет к непостоянству во времени мгновенной частоты. Рассмотрите отдельные частные случаи: а) 5, = 0, б) S2=0, в) Si=S3.
5.21.	Примените обобщенную формулу Рэлея.
5.22.	Используйте связь между спектральными плотностями сигналов, сопряженных по Гильберту. Примените обобщенную формулу Рэлея.
5.24.	Примените результат, полученный в задаче 5.23.
5.25.	Разложите подынтегральное выражение в преобразовании Гильберта на простые дроби.
5.26.	Определите мгновенную частоту как производную по времени от полной фазы ^(f)=arctg(s/K). Воспользуйтесь правилом дифференцирования сложной функции.
5.27.	Отдельно рассмотрите случаи: а) точка t находится вне интервала (—to}, б) — t0<t<t0.
Тема 6
6.1.	Воспользуйтесь правилом вычисления вероятности суммы несовместных событий.
6.2.	Используйте правило умножения вероятностей.
6.3.	См. указания к задаче 6.2.
6.4.	Воспользуйтесь принципом определения эмпирической вероятности. 94
6.5.	Составьте полную группу событий, отвечающих исправной работе системы. Примените правило вычисления вероятности группы несовместных событий.
6.6.	Воспользуйтесь статистической независимостью входных напряжений. Составьте полную группу событий.
6.9. См. указания к задаче 6.6.
6.15. Отдельно рассмотрите случаи 0<z<! и 1 <z<2.
6.17.	Непосредственно рассмотрите интеграл, описывающий средний квадрат данной случайной величины.
6.22.	Воспользуйтесь табличным интегралом
6.23.	Примените свойство характеристической функции суммы независимых случайных величин.
6.27.	Используйте принцип усреднения функции от случайной величины.
6.35.	Воспользуйтесь выражением характеристической функции гауссовой случайной величины.
Темя 7
7.1.	Убедитесь, что дисперсия о* (Г) явно зависит от времени.
7.3.	Примените условие Слуцкого (см. формулу (6.47) из [1]).
7.4.	Убедитесь, что х и х2 не зависят от времени, если справедливы приведенные в задаче условия.
7.5.	Обозначьте посредством о2 средние квадраты величин а я Ь.
7.6.	См. указания к задаче 7.3.
7.8.	Воспользуйтесь выражением спектральной плотности гармонического колебания.
7.15.	Положите, что на частоте ш» спектр мощности уменьшается до уровня 0.9 от того значения, которое наблюдается на нулевой частоте.
7.17.	Перейдите к одностороннему спектру мощности Fx(co).
7.18.	Используйте формулу (7.34) из [1], приняв во внимание, что здесь rx(T)=sinto,T/(o€T).
7.19.	Выразите дисперсию производной случайного процесса У (Г) через его односторонний спектр мощности.
7.26.	Воспользуйтесь выражениями для моментов рэлеевской случайной величины.
95
7.27.	Представьте огибающую в виде U(/)= y/(Um+A)2 А-В2, где A(f) и Л(х) — синфазная и квадратурная составляющие амплитуды случайного процесса.
Тема 8
8.1.	Для составления системы дифференциальных уравнений, описывающих динамику процессов в цепи, используйте метод узловых потенциалов.
8.2.	При нахождении момента времени rD учтите, что режимы заряда и разряда отличаются направлением тока в конденсаторе.
8.4.	В качестве искомых функций используйте потенциалы U] и и2 узлов I и 2.
8.12.	Введите вспомогательные величины — напряжения Ua и Ub в узлах а и b соответственно. Примените метод узловых потенциалов.
8.13.	Для нахождения корней кубического уравнения используйте формулы Кардано. Обратите внимание на характер расположения полюсов передаточной функции на комплексной плоскости.
8.14.	Введите в рассмотрение переменные UB и Ub — изображения электрических потенциалов точек а и b соответственно. При ЭТОМ Una = Ub-
8.17. Используйте выражение импульсной характеристики ЛС-цепи.
8.19. Учтите, что при каскадном соединении звеньев их частотные коэффициенты передачи перемножаются. Найдите импульсную характеристику, применив методы теории вычетов.
8.20. Воспользуйтесь импульсной характеристикой RC-цепи, у которой выходной сигнал снимается с конденсатора. Примите во внимание спектральное представление <5-функции.
8Л6. Время установления найдите, численно решив трансцендентное уравнение методом последовательных приближений.
8.27. Обратите внимание на то, что при at<szl значения g(/)« ~1, поскольку в начальной стадии процесса оба конденсатора практически обеспечивают непосредственное соединение входе с выходом. Напротив, если TOg(t)~ — 1, так как резисторы соединяют вход с выходом скрещенным образом.
8.29. Воспользуйтесь операторным методом. Введите в рассмотрение вспомогательное напряжение а> (г) на конденсаторе Ct. Получив изображение импульсной характеристики, разложите его на сумму простых дробей.
832. Обратите внимание на размерность величины А.
8.34. Воспользуйтесь тем, что A(/)=d^|/dr.
96
8.37.	Положите иш ({)—£({). Воспользуйтесь фильтрующим свойством «5-функции.
8.42.	Примите во внимание, что при />ти входной сигнал тождественно обращается в нуль.
8.44.	Представьте входной сигнал в виде суммы трех колебаний, заданных на полубесконечных интервалах времени,— двух линейной нарастающих функций с разными знаками, сдвинутых во времени на отрезок та, и импульса включения с отрицательной полярностью:
а» (о - а (I) - Y (* ~ т»)а 0 - «) - и«а (* - т»)
8.45.	Воспользуйтесь выражением импульсной характеристики цепи, полученным в задаче 8.27.
Тема 9
9.1.	Примените формулу (9.19) из [1].
9.5.	Воспользуйтесь в качестве аргумента безразмерной переменной £=тж(<а—(Орс).
9.10.	Получите выражение для частотного коэффициента передачи двухступенчатой системы. Перейдите к частотному коэффициенту передачи низкочастотного эквивалента, взяв в качестве опорной частоты величину Воспользуйтесь операторным методом, положив p=fii.
9.11.	Выберите в качестве опорной частоту Юд. Импульсную характеристику h„(t) низкочастотного эквивалента усилителя найдите операторным методом.
9.12.	Примените табличный интеграл
Je-'-’eoSfedx=l^exp(-^. О
9.14.	Воспользуйтесь формулой связи между добротностью, резонансной частотой и полосой пропусканнв колебательного контура.
9.15.	Представьте входной сигнал в виде суммы несущего колебания и двух боковых составляющих. Примените принцип суперпозиции.
9.17.	Используйте метод интеграла Дюамеля применительно к комплексным огибающим. В качестве опорной частоты выберите величину Оре,. Введите безразмерный аргумент х=/тк.
9.18.	Воспользуйтесь результатом, полученным в задаче 9.12. <-413	97
9.21.	Исходите из того, что комплексная огибающая сигнала на входе С?„(0= IfaT*d** o(t). Примените формулу (9.54) из[1].
Тема 10
101.	Рассмотрите конкретную реализацию x(t) и найдите функцию у (/) методом интеграла Дюамеля. Проведите соответствующие усреднения.
10.4.	Воспользуйтесь свойством четности функции корреляции.
10.6.	Используйте результат, полученный в задаче 7.7. Учтите, что дисперсия случайной величины пропорциональна квадрату постоянного коэффициента пропорциональности.
1010.	Для приближенного вычисления интеграла используйте условие узкополосности	Примите во внимание, что
^е~*‘ dx—y/njl-
10.11.	Примените спектральный метод и теорию вычетов.
10.13.	Воспользуйтесь тем, что
dx _(2АГ-3)!1

где # — целое число.
10.19. Обратите внимание, что дисперсия выходного сигнала равна произведению квадрата коэффициента передачи, одностороннего спектра мощности и полосы пропускания 2Дсо.
10.21. Воспользуйтесь приближенным выражением импульсной характеристики (см. формулу (8.84) из [1])
Л(т)=-е e,cos<o0» ff(0»
справедливым при 1.	______ ______
10.27. Примите во внимание, что «^ио>об=^1.ч»б Я2.
98
Р	Тема 11
11.2.	В качестве узлов аппроксимации используйте точки и^— =5, 7.5, 10 и 12.5 В.
11.11.	Найдите по отдельности, а затем сложите мощности, I поступающие в цепь базы от обоях источников.
11.12.	Входное сопротивление нелинейного элемента по первой гармонике определите в соответствии с формулой — —Umnllt, где — амплитуда входного напряжения.
11.15,	Введите угол отсечки тока
в =arccos[(CB— 17о)/Ц»]
и найдите амплитуды гармоник тока в виде
Л=В^-ь(2,в),«=0.1,2,...,
где у„(2, е ) — коэффициенты разложения при кусочно-параболической аппроксимации.
11.17.	По определению, коэффициент нелинейных искажений
юо%.
11.26. В случае детектирования AM-сигнала обратите внимание на появление в низкочастотном компоненте тока составляющей с удвоенной частотой модуляции за счет нелинейного взаимодействия двух боковых колебаний.
11.27. Положите, что на эквивалентной схеме транзистор может быть заменен идеальным управляемым источником тока. Считайте, что нагрузочная АС-цепь полностью отфильтровывает
все высокочастотные компоненты спектра.
11.28.	Воспользуйтесь тем, что при SA,» 1 угол отсечки тока « мал и поэтому можно воспользоваться приближенными выражениями для тригонометрических функций, определяющих коэффициенты Берга ь( д).
ИЗО. Схема моделируемой цепи изображена на рис. П.11.1.
Отметим, что здесь использован стандарт графического изображения схемных элементов, принятый в США.
Проводя моделирование, варьируйте частоты несущего колебания в моделирующего сигнала, а также параметры нагрузочной цепи детектора таким образом, чтобы можно было оценить роль условий неискаженного детектирования (11-51) из [1].
99
1135. Воспользуйтесь выражением двумерной плотности вероятности гауссова случайного процесса
z X 1 Г
',fcx-)=2^7^expL’“^<^rJ-
Тема 12
123. Используйте точную формулу 5=С(/7Л<а—Л»//) для °^°‘ бщенной расстройки контура. Полученный результат округлите до целого числа десятков.
12.6. Воспользуйтесь формулой (12.14) из [1].
12.8. Обратите внимание на то, что данная задача допускает еще одно решение при J7o>0.
12.9. Вычислите амплитуду выходного тока на промежуточной частоте, воспользовавшись понятием крутизны преобразования.
12.11. Примените тригонометрическую формулу
sinx  cos2x= 1/4 (sin х+sin Зх).
12.13. Учтите, что заряд q=Cu, в то время как ток i=&ql&t.
1214. Обратите внимание иа то, что знак напряжения неизменен, в то время как ток меняет свой знак при г=т.
12.17. Имейте в виду, что уравнение sin®=0 имеет корни Ф=0, ±п, ±2л,...
Тема 13
131. Обратите внимание на расположение нулей и полюсов проводимости на комплексной плоскости. Воспользуйтесь теоремой о числе нулей и полюсов реализуемого двухполюсника.
13.2. Примените метод Фостера.
133. Перейдите от сопротивления к проводимости цепи.
133. Используйте результат, полученный в задаче 13.4.
13.7. Выделите целую часть функции Z (р) и примените результат, полученный в задаче 13.6.
13.8. Выделите целую часть дроби и в остатке перейдите от сопротивления к проводимости.
1311. Перейдите от проводимости к сопротивлению. Примените метод Кауэра.
13.12. Воспользуйтесь методом Кауэра.
13.16. Выполните замену переменной ря—](оя и воспользуйтесь принципом квадрантной симметрии.
100
13.28. Найдите корни уравнения 1+р® = 0, имеющие отрицательные вещественные части.
13.21. Проведите денормирование частотной переьенной с учетом приведенного значения частоты среза фильтра.
13.23. Усиление (дБ), вносимое фильтром с максимально плоской характеристикой, вычисляют по формуле
А (о\)= —101g (1 +<«)?)
13.27. Фазовая характеристика фильтра третьего порядка получена в задаче 13.26.
13.29. Исходя из заданной неравномерности, определите параметр Е.
1331. Воспользуйтесь тем, что многочлен Чебышева третьего порядка 7з(сож)=4й^—Зш,.
Тема 14
14.2. Воспользуйтесь тем, что u.,=uff,+ureT.
143. Введите в рассмотрение напряжение v=u&, и примите во внимание, что переменная составляющая коллекторного тока 4=Sv. Пренебрегите влиянием внутреннего сопротивления транзистора.
14.4. Введите в рассмотрение величину V(p)— изображение сигнала в промежуточной точке (см. рис. 1.143).
143. Введите вспомогательную величину Ua(p) — изображение напряжения в узле а. Примите во внимание, что входная цепь усилителя не потребляет тока. Составьте уравнение состояния цепи из условия обращения в нуль алгебраической суммы токов в узле а.
14.7. Обратите внимание на эффект расширения полосы пропускания системы под действием обратной связи.
14.8. Введите в рассмотрение величину V(p)— изображение напряжения на неинвертирующем входе усилителя. Учтите, что ток между входными и выходными зажимами течет только по ЛС-цепи, не ответвляясь ко входу усилителя из-за бесконечно большого входного сопротивления.
14.10. Введите в рассмотрение вспомогательные напряжения на инвертирующем и неинвертирующем входах усилителя с изображениями Ki и Vi соответственно. Положите вначале, что Ко — конечная величина, перейдя затем к пределу при Ко-» со. Границу устойчивости системы определите из условия обращения в бесконечность модуля передаточной функции.
14.15. Составьте характеристическое уравнение системы. Воспользуйтесь упрощенной формой критерия Рауса — Гурвица,
101
согласно которой характеристическое уравнение устойчивой системы третьего порядка должно содержать члены всех степеней н иметь коэффициенты литпь одного знака.
14.17.	Примените критерий Рауса — Гурвица.
14.24.	Как известно из теории цепей,	—Mjyf LtL2.
1422.	Вычислите угол отсечки й и воспользуйтесь функцией Берга 7i(я).
Тема 15
152.	Разложите функцию £. (г) в комплексный ряд Фурье и воспользуйтесь формулой (2.35) из [1].
153.	Примените теорему о спектре произведения двух сигналов.
15.5.	Обратите внимание на то, что величина S', (0) состоит из двух комплексно-сопряженных слагаемых, которые отвечают положительным и отрицательным частотам.
15.8.	Воспользуйтесь формулой суммы геометрической прогрессии со знаменателем exp^—jlnnlN).
15.11.	Проведите расчет коэффициента Сэ по общей формуле ДПФ.
15.13.	Воспользуйтесь тем, что выборочные значения сигнала вещественны.
15.14.	Примените формулу (15.11) из [1].
15.17. Примените формулу суммирования бесконечной геометрической прогрессии. Заметьте, что функции У(г) определена во внешней области единичного круга, т. е. при |z[> 1.
1522. Разложите z-преобразование на простые дроби. Воспользуйтесь приемом, использованным в задаче 15.20.
1525. Решите задачу двумя способами — путем обращения z-преобразования и непосредственным вычислением.
1529. Рассмотрите характер функции	при соА-»0.
Для проверки результата убедитесь, что данный алгоритм дает нулевую последовательность {ук}, если {х*} представляет собой равноотстоящие во времени отсчеты каадратичной параболы.
1531. Разложите функцию H(z) на простые дроби. Воспользуйтесь результатом, полученным в задаче 15.30.
15.35. Положите, что случайные отсчеты шума квантования имеют равномерный закон распределения
15.36. Импульсная характеристика рассматриваемого фильтра имеет вид (1, 0.9, (0.9)2, (0.9)3, ...).
102
Тема 16
16,5. Для нахождения спектрально! плотности входного сигнала используйте прием, основанный на дифференцировании сигнала и на свойстве спектра производной.
16.8. Воспользуйтесь формулой (16.40) из [1].
16.10. Стационарный случайный процесс с функцией корреляции вида Л(т) ехр(- а|т|) имеет спектр мощности -= 2аст 2/(я2 + а)2).
16.13. См. указания к задаче 16.10,
16.16. Положите, что алфавит русского языка состоит из 32 букв. Предположите для простоты, что появление любой буквы в сообщении равновероятно.
16.17. Считайте, что весь текст записывается без учета того, является ли буква строчной или прописной.
РАЗДЕЛ Ш
Решения
Тема 1
1.1.	График изменения во времени мгновенных значений сигнала приведен на рис. Ш.1.1. Из условия tZ (<„..)=О получаем уравнение для определения
—ехр(—105/1М1)+2ехр(—2’ 10*1„..)— 0.
откуда
10’^= -In (1/2),
т. е. ^=6.931 10“* с=6.931 мкс. При этом >^„=6.25 В.
Длительность импульса по условию задачи является корнем уравнения
exp (- 105tJ - exp (— 2 • 10’^=04)25.
Введя безразмерную величину х= 105т„ имеем
ехр (—х)—ехр (—2х)=0.025,
откуда, переходя к уравнению, разрешенному относительно х, получаем
х=- In (0.025+e^.	(•)
Кории таких трансцендентных уравнений удобно находить методом последовательных приближений [5], используя микрокалькулятор. Ориентируясь на график сигнала, выбираем нулевое приближение хс, достаточно близкое к предполагаемому корню. Положим, что х0=3. Подставляя это значение в (*), находим первое приближение
х.= - In (0.025+е“в)=3.5943422.
Указанный процесс продолжаем по итерационному принципу:
х„— —In(0.025 +e-2xn—1), л=2, 3,...
до тех пор, пока два последовательных приближенных значения не станут отличаться на заданное заранее малое число, определяем
ющее точность расчета. Выполнив данные действия, находим корень х= 3.6628862 (все цифры точные).
Сохранять значащие цифры во всех десятичных разрядах на практике нет необходимости. Дело в том, что исходные данные обычно известны с гораздо меныпей точностью. Поэтому представление результата с большим количеством разрядов создает лишь иллюзию достоверности. Принимая, что х=3.66, находим тж=3.66 х 10~5 с=36.6 мкс.
1.4.	Рассматриваемый сигнал s(t) можно представить как сумму двух линейно нарастающих функций £i(t) и (рис. III.1.2) с одинаковыми по величине и различными по знаку угловыми коэффициентами наклона. Отсюда
S (0=(so/to) to (fi-fa/i to) (t—to) a(t—10).
1.10.	Функция f„(t) является четной; площадь, ограниченная правой половиной кривой,
Je ”dr=|Je“<d4=l/2. о	о
Отсюда видно, что площадь, ограниченная всей кривой, равна единице независимо от п.
При любом	предельное значение f„(t) равно нулю. Дейст-
вительно, по правилу Лопиталя
lim ne~^=lim (/ew)-a =0.
105
1.11.	При п-»со длина отрезка, на котором сосредоточена функции /,(/), равная 2/п, стремится к нулю. При этом площадь, ограниченная функцией f„, равна единице независимо от п.
1.13.	По определению, энергия сигнала
Е.=ju2d«=900 je’! 1"’,d<=4,5-10“3 В2с. О	о
Норма данного сигнала
||u|| =(£Jiy2=6.708-10-2 Вс1'2.
1.16.	Квадрат расстояния между сигналами
p2(u,i>)= J (u—»)2dr=
= -e-yd«+l7j Je-“dr= О	<ж
По условию задачи требуется найти минимум функции
Примерный график, приведенный на рис. III. 1.3, указывает на то, что минимум функции F(a) существует и является единственным. F(a)	Из условия F'(a)=0 находим, что
V параметр а должен являться корнем трансцендентного уравнения
-отж 0-75 а =— ~ >+«
Решая это уравнение методом последовательных приближений (см.
Рис. Ш.1.3	задачу 1.1), получаем а=0.961/г..
106
1.17.
р2(4«)
(t2—At—B)2di=
А (Л*~2В) лп п2
—+------+АВ+В2.
Приравнивая нулю производные др2Д1Л и dp2/dB, получаем систему линейных уравнений
2Л+35=3/2,
А+25=2/3,
имеющую единственное решение: В= —1/6, А = 1.
1.19.	Рассмотрим равенство
в1«1 + а2и2+...+a*ut=0.
Умножим скалярно обе части на сигнал ut. По причине ортогональности системы функций в левой части отличным от нуля окажется лишь скалярное произведение («1, Ui). Равенство at («ь «О—0 возможно лишь при =0. Проведя аналогичные рассуждения применительно к сигналам и2, и3,...»А* при любом к, убеждаемся, что из ортогональности системы сигналов вытекает свойство линейной независимости.
1.28.	Допустим, что рассматриваемые сигналы линейно зависимы и поэтому равенство
а,и, + а2и2+... +й№№ 0	(*)
возможно при некотором выборе коэффициентов alt а2, ...» а#, не равных нулю одновременно. Умножив скалярно обе части (*) на функции U|, u2, .... иК, получаем однородную систему уравнений относительно коэффициентов аь а2, ..., Оц:
в|(«Ь «1) + в2(«1, «0+-"+«»(“!»
И1)+в2(и2, «j)+-+ax(u2, пк)=0,
<h(uN, щ)+а2(цы, щ)+...+а„(иц, uN)=0.
Для того чтобы данная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно обращение в нуль ее определителя, представляющего собой определитель Грамма.
107
1.25. Так как сигналы и и v линейно независимы, то (u+Av, и+А»)>0, откуда
Л2(®, v)+22(u, и)+(ы, tz)>0.
Квадратичный трехчлен относительно Л не имеет вещественных корней и поэтому (и, м) • (®, t>)—(и, ®)2>0, т. е. |(u, v)| < ||и||  ||и||, что и требовалось доказать.
1.29. Нормируем элемент & и положим uo=go/Ugoll- Вектор hi—gi — (gb ио)цо ортогонален к ио (см. задачу 1.27). Нормируя Л,, получаем новый элемент ортонормированной системы: щ — =Ai/||Ai||. Действуя по аналогии, получаем элемент й2=£2— — (g2, Uo)ut)—(g2, щ)и}, ортогональный как к ц,, так и к ut. Нормируем его и получаем «2= Ла/ИАгП- Продолжая этот процесс, имеем на к-ы шаге (fc=3, 4,...):
Л*=g*- (g*, uo)u0-(gfe *i)«i -—-
Данный способ построения ортонормированной системы базисных векторов известен в математике под названием процедуры Грамма — Шмидта.
Темя 2
2.1. Так как s(t}= U0cos—, то
7/2
2[/0 г «1»
С„=— I cos—cosncojfdt
о
Воспользуемся тем, что
cosx  cosy=- [cos (x+y)+cos(x-у)].
Тогда
7/2	7/2
Си=^ JcOSCO|^n + 0rdZ + y JcOStOj^n — о	о
108
+ 7- Z 1?	“ л(4л’-1) ’
"‘Г“У •
2.13. Средняя за период мощность комплексиозначиого сигнала
тд
рср= *. J s(t)s*(t)dt.
-тд
Так как
4<)= f С.Г',
ТО
тд
л, ‘ Z Z с.с: Г /'-*-dr.
* т— — со и— —чо	J
-7/2
Непосредственным вычислением убеждаемся, что
тд
J e*“''dl=O
-ТД
для всех fc> 1. Итак,
f ад=сосо*+2£ сяс;.
2.15.	Из рисунка, полагая 1=0, непосредственно находим Л= = 80 В. Так как 80ехр(-сг5 10“6)=20, to а=2.773’ 10б с-1. Спектральная плотность
5(<о)----- [l-e-’""-],
a+ja>
2.16.	Значение частоты со, при котором спектральная плотность обращается в нуль, должна удовлетворять уравнению
е— е
109
или
е “'"cosftrt,—1, e'^sinon.^O.
Очевидно, что эта система уравнений несовместна.
2.17.	Коэффициент С, комплексного ряда Фурье выражается следующим интегралом:
тд
С"=? J М0е
-ГД
Пределы интегрирования в последней формуле могут быть расширены от —сю до + со, поскольку функция $b(z) определена только на отрезке — Г/2СКГ/2. Таким образом,
C„=-So(nwi).
218. Используя теорему о спектре смещенного во времени сигнала и группируя отдельные импульсы в пары, равноотстоящие от начала отсчета, имеем
5(<o)=So(<o)(l +ewr+e“*,r+Z“r+e^!"r+...
...e"'*r+e“*’j=S0(<o)(l+2cos<oT+
+2 cos2toT +...+2 cos NcoT).
Для того чтобы проанализировать зависимость модуля спектральной плотности от числа импульсов, введем функцию
Fn(ojT)=|1+2 cos со 74-...+2 cos МоТ].
На рис. Ш.2.1, а, б изображены графики функций Ft (соТ) (последовательность из трех импульсов) и F2(a)T) (последовательность из пяти импульсов). Можно заметить следующую закономерность: с ростом N функция Fn приобретает вид локализованных «всплесков», расположенных в точках (оТ=2тш (л=0, 1, 2, ...). В пределе при 2V-»co происходит Переход от непрерывного к дискретному спектру; частоты отдельных спектральных составляющих соответствуют гармоникам частоты повторения импульсной последовательности.
219. Используя выражение для спектральной плотности экспоненциального видеоимпульса, имеем
по
х(ш)=л(-!-------—|
\a+Ja> P+ju/
Л(/?-д) (aP-to*) +j {a+fi)a>
При заданных числовых параметрах №)i= --------------------------—°7 - -
V(3  10м-w»)’ + 1.6 MPW
Для построения графика удобно нормировать частоту, введя новую переменную £=п?/106. Тогда
График данной зависимости приведен на рис. IIL2.2.
2.20. Граничная частота удовлетворяет биквадратному уравнению
(a£-o)j)2 + (a+0)2<uj= 100а2^2,
положительный корень которого
Подставляя числовые значения а и /?, имеем
111
<0^=5.026 IO6 с-1.
2.23.	Длительность видеоимпульса, создающего на экране темную полосу, ги=3’64/500=0.384 мкс, откуда 7^= 1/тж= = 2.6 МГп.
2.28.	Излагаемый ниже способ удобен для нахождения спектральных плотностей импульсных колебаний, представляемых отрезками прямых. Дифференцируя исходный сигнал, получаем два разнополярных прямоугольных импульса (рис. III.2.3); вторая производная имеет вид трех «5-функций (рис. I1I.2.4). Математическая модель второй производной такова:
zw^[4H)+4(4)Hi(')-
Спектральная плотность второй производной
Используя связь между спектрами сигналов и их производных, находим
5(щ)=
—G (со)/со2=-^— — cos
Следует заметить, что при со-» оэ |S|~ 1/со2, т. е. модуль спектральной плотности убывает здесь с ростом частоты гораз-
Рис. 111.2.3
Рис. III.2.4
112
до быстрее, чем в случае прямоугольного видеоимпульса, для которого	Это связано с тем, что рассматриваемый
треугольный импульс описывается непрерывной функцией времени, в то время как прямоугольный импульс является разрывным.
2.29.	Пусть /(z)=dn/df и пусть имеет место соответствие На основании математической модели исходного сигнала функция/(/) выражается в виде суммы ^-функций:
7(i)=-lw(«+y)+3& <+Q-
-2w(<-0+w(<~O-
Таким образом, ее спектральная плотность
1<оТ	гаТ
7 2	7 2
F(co) =jcoU (со) = — Ut>e + 2(7С е —
-2Uoe +Uoe
ЗазТ	аТ
= —j2tyDsin-^-+j4L/osin-y.
Отсюда
Введя безразмерный аргумент х=со772, получаем I/ (x)/(U07)=(2 sinx—sin Зх)/х.
График нормированного модуля спектральной плотности, рассчитанный по данной формуле, изображен на рис. Ш.2.5.
2.32. Рассмотрим импульсный сигнал s(z), отличный от нуля на отрезке времени [0, tJ. Спектральная плотность этого сигнала
S(to)= I j(f)e
из
Будем интересоваться значениями функции S(to) на достаточно низких частотах, удовлетворяющих неравенству й)<с 1/ти.
Малость безразмерной величины o>t в показателе экспоненты, входящей в (*), дает возможность воспользоваться рядом Мак~ лорена
Тогда, ограничиваясь учетом первых трех слагаемых, имеем
О в,1 =Mo	——М3,
где символами Mo, Mi и М2 обозначены определенные интегралы, называемые моментами рассматриваемого импульса:
M.=|i(>)l"dr, n-0, 1, 2,...
О Легко видеть, что точное разложение таково:
S(m)= £ Л40ш)‘/И. *-0
Если длительность импульса ти-»0, то очевидно, что lim S(ca)=Jl/0, Тд-»0 т. е. предельное значение спектральной плотности импульса, длительность которого стремится к нулю, равна площади этого импульса.
УМ
Рис. Ш.2.5
Рис. 111.2.6
114
2.35. На основании обратного преобразования Фурье
г /“da
Здесь подынтегральная функции имеет два простых полюса, определяемых из уравнения 1 +со2т2=О. Данные полюсы сосредоточены в точках с координатами coli2= +j/t.
Для вычисления сигнала s(t) при г>0 следует провести интегрирование по контуру Ci (рис. Ш.2.6), включающему в себя бесконечно протяженную вещественную ось и дугу бесконечно большого радиуса, расположенную в верхней полуплоскости Imco>0. Интеграл по указанной дуге стремится к нулю с ростом ее радиуса и поэтому
Вычет подынтегральной функции в точке полюса res=e~"7(2yt)-
Итак.
/о»	-tft
е оса же 1+в№ т '
Аналогичный результат, отличающийся знаком в показателе экспоненты, будет получен для значений /<0; при этом интегрирование следует провести по контуру, замыкающемуся дугой бесконечно большого радиуса в нижней полуплоскости. В результате получаем окончательно
д(<)=ХоС-"7(2т).
2.40. Воспользуемся тем, что sin	—jn [5 (со	ь>о)],
о	(со) + l/(fw).
Тогда, вычисляя свертку этих спектральных плотностей, имеем
115

[яг (<!>-{)+—!—

«(m-Odi-; f ««-w»)— 2 J	e>-{
J «К+<в»)«(<1>-0<1£+
2 J	to-i 2
------------+j-6(cO + W0')+	: 2(®-<ив)	2	2(ш+шо)

2.45. В соответствии с определением понятия спектральной плотности
F(<o)=
u(t)v(t— r)dt.
В данном выражении функцию v(l—т) можно выразить через соответствующую спектральную плотность
J '^4-
Подставив (**) в (*), а затем, изменив порядок следования операций интегрирования по переменным т и ij, получим
116
J J dTUW J FWeW,~,)d’?= =~ J dte*” J (tyFOjJe*1' J н(т)е-А1<Зт.
Заметим, что внутренний интеграл здесь представляет собой функцию U (я). Тогда
F(<o)= J d,F(4)l7(4)^ J ^d/j.
Так как
A J _ш),
ТО
F(<o)= j dnr(4)l7(4)«(4-<o)= Г(ш)
что в требовалось доказать.
2.46. а) По определению свертки
/(<)= J
= Л,Л, J e-‘<,-')<rp-4)e-",<r(Od{.
Положим, что 1>0. Графики сигналов (Г—н s2(C)> образующих подынтегральное выражение, приведены на рис. Ш.2.7. Так как произведение этих сигналов отлично от нуля лишь в промежутке 0<£<t, то
117
/(r)=4A2e-,je-"'-1d£= О
a2~a.
-с v).
Если КО, то графики сигналов st(i— С) и s2(£) оказываются разнесенными во времени, произведение этих сигналов равно нулю при любых £ и поэтому/(0=0 (рис. III.2.8).
б) Преобразуя сигналы fj(f) и s2(t) по Фурье, имеем следующие соответствия:
(0« > Л ; дг(О« > Лз..
щ+]а>	«2+уш
откуда
J V/*-*---:-----»
(«1 +»(а2+»
т. е.
яо=— [ ' “ . 2л J (а!+»(в2+»
Разложив дро(шо-рациоиалъную функцию подынтегрального выражения на простые дроби, имеем
(«! +j«o)(a2+jto) «2—a, yjxj+ftD k2+J<oJ
Воспользовавшись известной формулой для спектральной плотности экспоненциального видеоимпульса, получаем отсюда
118
/(/)=—(e"e*f-e’v), «2-«1
что, естественно, совпадает с результатом, полученным выше прямым методом.
2.48. В точке р=0 функции U(p) имеет полюс второго порядка. Для 1>0 контур интегрирования состоит из бесконечной вертикальной прямой с некоторой абсциссой а>0 (рис. III.2.9) и дуги С1 радиуса /?-»оо, расположенной в левой полуплоскости. Так как при /?-»со величина 1/р2-»0 равномерна относительно аргумента р, то по лемме Жордана
lim
Г рг J^-°.
Точка полюса оказывается внутри контура интегрирования. Вычет подынтегральной функции в точке полюса
Отсюда для 1>0
Для вычисления функции u(f) при г<0 контур интегрирования следует замкнуть дугой С2, расположенной в правой полуплоско-
сти, где подынтегральная функции не имеет особых точек. Поэтому при f<0 имеем u(t)=O.
2.49. Заданное изображение представим в виде
1 А В С
(р+а)(р+Ь)(р+с) р+а р+Ь р+с
Коэффициенты А, В и С можно зайти обычным способом, который
зспользуется при разложении на про-	Рис. III.29
119
стые дроби. Однако это сопряжено с громоздкими выкладками. Более короткий путь состоит в следующем. Из последней формулы видно, например, что величина А есть вычет функции, стоящей в левой части, вычисленный при р= —а:
z(=res] =------------.
р—* (b-d)(c-a)
Аналогично находим коэффициенты В и С:
jB=res]	=----------,
р—ь (а-ЬЦс-Ь)’
С— resl	=-----*----.
* ia-cMb-e)
Отсюда
250. Разлагая изображение на простые дроби, имеем
1	_ А В
(р+а)(р+Ь) р+а р+Ь
Неизвестные величины Ли В удовлетворяют уравнению
рА+ЬА + рВ+аВ= 1.
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях р, получаем систему двух алгебраических уравнений
Л+Л=0,
ЬА+аВ=1, решение которой очевидно:
Таким образом,
(р+а)(р+Ь) b-а^р+а p+b)
откуда вытекает формула из условий задачи. 120
2.58. Принимая во внимание результат, полученный в предыдущей задаче, на основании формулы (2.69) из [1] имеем:
3/4	1
cll=40v/2^ Jf>de— J fld«j = t/2	3/4
= -—=-3.536.
Ji
2.59. Возможный текст рабочего листа программы представлен ниже (рис III.2.10):
г.=0.63,
jf(: «!/(;< 32,1, О),
У: = wave (Д'), И;.-=1/(|<20, Yt, 0) Z:=iwave(FF).
Здесь исследуемый сигнал представлен 64 отсчетами, первая половина из которых положена равными единице, а остальные нулю. Из этих отсчетов сформирован входной вектор X. Его вейвлет-преобразованнем является вектор Y. Затем из его первых двадцати компонентов формируется вектор W. Его обратным вейвлет-преобразованием служит вектор Z.
Следуем заметить, что уменьшение числа компонентов, используемых при обратном преобразовании, ведет к появлению характерных осцилляций сигнала в окрестностях точек разрыва. Это явление хорошо изучено в математике и носит название эффекта Гиббса.
Темя 3
3.1. Зная спектральные плотности данных сигналов, имеем
dtu
(И,»)
Разложим подынтегральную функцию на простые дроби:
121
fa -/Ш)(«2+У“) «1 +«2 \«1 -ja> ttl+JfOj
Интеграл от каждой из простых дробей вычисляем одним в тем же приемом. Так,
f to _ Г	Г to
J »2+jo> J a^+to1 J o^+to1
В результате имеем
(и, v)=AiA1/(al +a2).
3.8.	Возводя в квадрат вещественную спектральную плотность прямоугольного видеоимпульса, получаем энергетический спектр
йп,_г
(вИж/2)3
По теореме Рэлея в узком смысле
йп’свиж/г) ----------aw.
Выполнив замену переменной	имеем

Интегрируя по частям, получаем
Еи
2<^Ге,	\ sir^(wtxtJ2')
122
где

неэлсментарная функция, называемая интегральным синусом [4].
3.9.	Энергетический спектр рассматриваемого сигнала задается формулой
И;(«о)=—-— lOw+«o*
Граничная частота со^, удовлетворяет уравнению
rdo> „ „ Г <1<»
------=0.9 ------
1(Н*+«* J и^+о* о	о
или
arctg («Оф/10’)=0.45я.
Решая его, находим 107 tg0.45n, т. 10.049 МГц.
3.12.	Спектральная плотность
S(w)=2B
t . W cos<azd/=———. /Р+to-
откуда энергетический спектр
W, (а)=4В2р2/(Р2 +а>2)2.
Автокорреляционная функция Х(г) представляется следующим интегралом Фурье:
Здесь подынтегральная функция имеет два полюса второго порядка в точках с координатами о= ±jfl. Для вычисления функции К,(т) при т>0 находим
123
= -уе-'’(1+М/(4П
Таким образом, при т>0
f e°“de> _ , я _я»1+0т
I ——— —2njres=-c---------
J (/PW)’	2 /Р
откуда, приняв во внимание четность автокорреляционной функции, имеем
К(т)=^е"'"’(1+т
р
3.13.	Здесь
К4(т)=Л 2 Je-" sin <йй/' e_*<'+,) sin <йй (Г+т)й<= о
=Л2е “'Je ^sintoo? -sincoo(f+T)d/. о
Известно, что
sinx- siny=|[cos (х—у)—cos(x+y)].
Поэтому
Ка (т)=Л * COS CDflTje-'d,-'’1' Je-' cos (2io0t + wct) dr. о	о
Используя табличный интеграл
I e-Arcos(§x+A)dx=— .(pcosA—£sin7),
J	P +4
о
124
получаем
3.16. Положим, что т>0. Тогда для О^т^т« имеем
К(*)= лг(к)лг(ГЧ-т)<Зг=
Так как то Л.М	О *ж-* A2 J COS(tOo/+fl>o)COS[£Uo(r+т)+фо](3г О COSX • cosy=- [cos (х—y)+cos(x+y)], =^- J собой tdH~ J cos(2a>ot+u)Dt+ 0	0 ^2 +2^61—— (г,—t)cosov+ +^~ sin [Ой (2тя-т)+2фо].
«V0 Имея в виду четность функции А,(т), отсюда получаем К, (т)X	1 ——) COS ОйТ+ +_J_ sin	(2тя - [т]) +2<р0] L 2шоти	J В практических случаях, как правило, а)отя^ 1, т. е. длительность ра-	Рис. IIL3.1 125
диоимпульса значительно превосходит длительность одного периода высокочастотного заполнения. Тогда приближенно
г>гж.
Соответствующий график изображен на рис. III.3.1.
Тема 4
42. Огибающая сигнала (В) задается выражением (/(/)= = 12(1+0.6 cos fh+0.2 cos2Qf)- Введя безразмерный аргумент x=Qt, видим, что значения х, при которых огибающая достигает экстремальных значений, должны являться корнями уравнения
0.6sinx+0.4sin2x=0.	(*)
Очевидный корень х=0 соответствует максимуму огибающей Цп«=21.6 В. Другой корень уравнения (*) найдем, разделив обе части на sinx#0, откуда cosx= —0.75, т. е. х=2.419 и </„*= =6.9 В.
4.9. Вычисляя мгновенную мощность, имеем
и2
p(f)—-^ (1 + М cosfl/)2 COS2 (Oot —
=~	+ 2M cos£h+Мг	X
(l+cos2<on»\
—}
Отсюда
Pn(0=cos Qt; pm (0 =	cos2П/.
R	4R
4.12. Полная фаза данного сигнала
ф (/)= юв1 + 3 sin 10бГ+1.4 sin 10s!+я/4.
Мгновенная частота есть производная от полной фазы:
126
io(f)~ 10б + 3  106cos 10б/+1.4 10s cos 10s/.
Подставляя значение t= 10-e с, получаем co= 1.0176 10® c-1.
4.18.	Спектральная составляющая на несущей частоте будет отсутствовать при всех значениях индекса модуляции т, которые являются корнями трансцендентного уравнения Jo(m)—0. Множество таких корней бесконечно; наименьший корень т=2.405. Этому значению соответствует наибольшая частота модуляции 0^=6 -10-72.405 = 24948 с-1.
4.20.	Оставляя по два члена в разложении гармонических функций малого аргумента, имеем
«(/)= Сс cos (т sinfh) cos togt-
— L/osin^sinflOsintoo/ss cos 0^(1 (m2sin2O/)/2)—
— Uo Sin toot (m smfh - (m3 sin3 П0/6).
Раскрывая по известным правилам степени тригонометрических функций, находим, что
=3.6 10-’, t4fl=t/om748 = 3-6-10-5.
4.25. а). Полагая, что начало отсчета времени совпадает с серединой импульса, имеем
£L= J cos2^<Da/+^-^d/=
<^14-cos2(w0«+—)
~и° J —2—~й'-
~ЪР
Второе слагаемое в числителе подынтегрального выражения представляет собой знакопеременную функцию; вклад от него стремится к нулю с ростом базы сигнала. Таким образом,
EuaU^J2.
б). Энергетический спектр сигнала практически постоянен в пределах полосы частот Дсо=рти и равен lF„=Jr{7o/(2p). Тогда энергия сигнала Е„= Wu A(ojit=U§r,J2, что было получено выше другим способом.
127
4.28. Представим спектральную плотность сигнала s(t) следующим образом:	]1г, где
COStDZdf =
smrofdz=
Воспользовавшись табличным интегралом, приведенным в указаниях к данной задаче (см. раздел II), получаем
2t/F+r‘H
хехр(-уЛ,)+ -"^/” 2<//1,+Л4
хехрСМД
где
p(CU(| + 6U)3
1 =- arete----------------- —,
2	° 20 20 8(/P4-j?/4)
1	ц
Л,= aretg -	„ , .
2	2Л
128
Первое слагаемое в последней формуле описывает спектральные компоненты, имеющие максимум в области отрицательных частот при Ш второе слагаемое соответствует той части спектра, которая имеет максимум при Во всех случаях, которые интересны для практики, обе указанные части спектра взаимно не «перекрываются».
Тема 5
5.1. Вычисляя обратное преобразование Фурье, имеем
s(')=r, Ws)
coscoid(o=
-ш,
Отсюда видно, что рассматриваемый сигнал есть полусумма двух идеальных низкочастотных сигналов с одинаковыми параметрами So, (и,. Сигналы сдвинуты во времени на отрезки ±л/(2й>») относительно начала отсчета времени.
53. В соответствии с рисунком определяем интервал дискретизации to—2-10 6 с, откуда находим верхнюю частоту в спектре сигнала &4=л/Г0= 1.57'106 с-1. Ряд Котельникова рассматриваемого сигнала имеет вид
toj	taj—n
из которого при /= 10 6 с получаем s (10~*)=22.28 В.
5.5. Так как энергетический спектр сигнала s(t~)
И'(<0)=5?"еТ"«’1,
5-415
J29
то
Je 4dmyn.
Воспользовавшись известной неэлементарной функцией — интегралом вероятностей [4]
Ф(х)=4= fe”’nd»,
A J
для которой Ф (сю) = 1, получаем
"--(‘’ЛО-’б))*
Если со£=О, то естественно, что ||SaJ| = ||s||. Действительно,
Ф(0)=0.5 в поэтому ||s„|| =	||s||.
Функция Ф(х) быстро стремится к единице с ростом х. Это ведет к тому, что при достаточно больших значениях со» норма сигнала ошибки становится достаточно малой. Например, если ш^у//1=3, то Ф(о4/7й=0.9986 а ||т<„||=0.052И|.
5.11. Поскольку sinx=cos(x~90°), имеем
т(1)=1/оСов(ю,|-90’)=Ке(г0е
откуда комплексная огибающая представляется постоянным во времени числом
Р,= Г„е ЛЯ=-уЦ,.
Спектральная плотность комплексной огибающей
G,(co)= -j2nU0d(a)).
Искомая спектральная плотность
5 (со) = —jit Uo [<5 (со—соо)—6 (со+con)].
130
5.18. Здесь
So л z,(r)“—Ге’ a+M“dt<)= о
---^[1-е<-а+-м“1 = «(«-JO
SB(a+jf)	.
=--------[1—е	costoj—/е	sin сед.
я(«,+«’)
5.24. Производная от входного колебания
Сигнал на выходе квадратурного фильтра
/(/)=5	J^dt=
Upf 1 1\________21/д <0
п V+<e <-*о/	* ,а-'о
Тема 6
6.1. Обозначим выпадение шестерки символом X, выпадение любого другого числа от единицы до пяти — символом Y. К выигрышу лица А приводят следующие ситуации: X — с вероятностью 1/6, YYX — с вероятностью (S/6)2 • 1/6, YYYYX — с вероятностью (5/6)*-1/6 и т. д. Отсюда легко видеть, что вероятность выигрыша А
=0.545,
т. е. лицо, начавшее игру, имеет некоторое, хотя и небольшое, преимущество.
6.8. По определению
Fw4®d‘=2i<rb-
о	о
131
Выполнив замену переменной q—1+£, имеем
F(x)=2 J dq/q3 = l-(l+x)-2.
Далее,
P(0<x^ 1)=Р(1)-Р(0)=0.75.
6.11.	Основываемся на том, что
Р(а<х^6)=Ф^^-Ф^^.
В данном случае
P(0<xsg 2)=Ф (I) - Ф (0)=0.341.
6.13.	Так как Л=гЛ0/(г+Л0), то обратная функции г— =RRa/(Ro~RY, ес производная dr/dJ?=/?o7G%—Л)2- Плотность вероятности сопротивления г имеет вид p(f)— 1/(2а), поэтому
Сопротивление R изменяется в пределах от
Ro(Ro-a)	Ra(Ra+«)
R,^—--------до R,^—---------.
2Rq—o	2Ro+e
Окончательно
"С
р(Л)=
R<Rraa, R^Kla^-R)2), RE^<R<RW,
.0
, R>Rnai.
6.14.	Рассмотрим двумерную случайную величину W=(X, У). Так как X я Y независимы, то pw(x, y)=pi (х)р2(у). Перейдем от аргументов (х, у) к новым аргументам (х, z), где z—x+у. Так как якобиан преобразования D— 1, то в новых переменных двумерная плотность вероятности pw(x. z)=pi(x)pj(z—х). Отсюда плотность вероятности суммы есть свертка плотностей вероятности слагаемых:
Рз(г)= pt(x)Pi(z-x)dx.
132
Говорят, что данное выражение описывает композицию двух законов распределения.
6.19. В соответствии с принципом усреднения
Нахождение среднего квадрата сводится к вычислению интеграла
р=2 Г-^=2Г1п(1+о+2___ЦЦ"-*, Ja+o1 L 1+« 2(i+o’JL о
Таким образом, рассмотренная здесь случайная величина имеет неограниченно большую дисперсию.
6.21. В данном случае
Г x/>(x)dx=-i- fxdx=^.
т. е. среднее значение совпадает с серединой отрезка. Далее,
Наконец,
12
6.24.	Очевидно, что z=x(l —х). Плотность вероятности р(х) = = 1. Тогда
z—J х(1 — x)dx= 1/6. о
Далее,
133
z2= lx2 (1-x)2 dx= 1/30.
Отсюда
о
<г2=1/30-1/36= 1/180.
6.25.	Если z=x(1 —х) (рис. II 1.6.1, а), то обратная функция х= =1/2±-\/1/4—z двузначна (рис. Ш.6.1, 6). Ее производная
dx_____Т1
& 2^17^1*
откуда
{0	, z<0,
1/71/4-z, 0<z<l/4, 0	, z> 1/4.
6.29.	Якобиан преобразования от переменных х, у, z к переменным г, е , (р
Isino cosp sin fl sin^j cos л
rcosfl cosp rcose sinp
—г sin fl
—rsintf sinpl
rsinfl cosф> =± j^sino .
0 I
Таким образом, преобразованная плотность вероятности р(г, е, д/)=^^-^р(-г21(2а2)1
Для нахождения одномерной плотности вычисляем:
Рис. Щ.6.1
134
р(г)= ГсЗф fde-p(r, о,ф)=—^-^expf-r2^2)).
J J	(Zn)*'1*1
о 0
6.32.	Воспользуемся известной связью между моментами и характеристической функцией:
mn—j ”б<л)(0).
Производная характеристической функции
-у-’ +' 	(')
j(i-a)	а2
При и-»0 в правой части возникает неопределенность. Чтобы раскрыть ее, следует воспользоваться разложениями
*ш ,	aV йи ,	, fc2i?
е = l+jau—-—...;е =!+/%«————
Подставив эти выражении в правую часть (*), имеем
Л,,Л, /(«+*) - а+ь в (0)=——; т,=х=—.
6.33.	На основании решения задачи 6-31
-Л/2
©z W=*—— = sin (u/2)/(u/2), Л
откуда
e,(u)=sm3(«/2)/(«/2)3.
Чтобы от характеристической функции перейти к плотности вероятности р(у), необходимо вычислить интеграл Фурье
который в силу четности функции (и) можно записать так:
135
₽M=;J—?—d“-о
Соответствующий табличный интеграл
йп’(и/2)совуи . --------—
приводит к следующему выражению плотности вероятности р(у) при у > О:
Очевидно, что функции р(у) является четной и должна быть дополнена соответствующей ветвью при у<0. Сказанное здесь отображается графиком на рис. Ш.б.2. Следует обратить внима-
ние на то, что плотность вероятности суммы трех независимых случайных величин отображается вполне «гладкой» кривой, несмотря на то, что плотность вероятности отдельных слагаемых носит разрывный характер. В этом проявляется закон, согласно которому при неограниченном увеличении числа слагаемых закон распределения суммы асимптотически стремится к нормальному (центральная предельная теорема в теории вероятностей).
136
6.35. По определению, характеристическая функции 0х(ц)= =ехр (/их), поэтому ехр(х)=0х(—у). Для гауссовой случайной величины Ох(и)=ехр(/>Яхи—<т*и2/2), откуда ехр(х)=ехр(тх+ +°*/2).
Тема 7
7.1. Среднее значение х(0 не зависит от времени: x(t)— =acostOo^=0, однако дисперсия trx (/)=a2cos2 ton?—аг(1 + +cos2wot)/2 является функцией времени. Отсюда следует, что случайный процесс X(f) нестационарен в широком смысле.
7.7. Так как х=0 при всех £, то
у= ig)d£=0.
Тогда
ад. 4>-yW»yW>= p.(e,,ade,db=
“ИЪ
, ре, J«K,-6)dfe.
о о
Как видно из данного равенства, на плоскости & подынтегральная функция равна нулю во всех точках, кроме точек прямой с уравнением £2=£ь где эта функция имеет Й-образную способность. Эта прямая соответствует отрезку ОА на рис. Ш.7.1, а, б, где изображены прямоугольные области, в пределах которых проводится интегрирование.
Возможны два случая. Если ii>t2 (рис. Ш.7.1, а), то интегрирование по £г Дает не равный нулю результат только вдоль отрезка вида ВС, начальная точка которого В принадлежит области	Поэтому /2)~ Wot2, если t,>t3.
В случае, когда <г2, интеграл по £2 вдоль любого отрезка вида ВС равен единице всегда (рис. Ш.7.1, б). Отсюда 12)= = !Foti, если Так как в обоих случаях функции корреляции явно зависит от б или г2, а не от разности Г,—Гь то винеровский случайный процесс нестационарен в широком смысле.
137
Рис. Ш.7.1
Полагая, что rt—r2«f, находим, что дисперсия o2=/l,(t, 0= = Wot линейно растет во времени.
7.12. Очевидно, что х(/)=0. Что касается величины то она равна либо а2, либо —в2 в зависимости от того, будет ли реализация процесса за отрезок времени т иметь четное число скачков (включая нуль), либо нечетное. Используя принцип усреднения, получаем при г>0
J!,(r)-x(<)x(»+t)-e1(P,(0)+P,(2)+...)-
-а(Р,(1)+Р,(3)+...)-=o1e-''(l-2t+i(2r)2-iurjs+...)=a2e_“'.
Так как функции корреляции четна, то
7.16. Находим спектр мощности производной:
Г 0 ,	й)<—<Ц»,
Wy((o)=\a)2Wi>, —<ос<(о<а)а, I. О ,	(охо,.
Далее,
ВЪ f	Т
Я,(т)«— I o)2coscmd(H=— I £2cos£d£.
о	о
138

Используем табличный интеграл
Г	1 /	2Ь*\
Izjcosfct dx=-l zl — — Jsinfcx+—cosfcx,
где zi—a+bxt a—0, fc=l, k=l, так что z, = £. В результате получаем
Шйд 2собшят1
<0.т	(®w)2 J
7.18.	В данном случае коэффициент корреляции случайного процесса rx(t)=sin<u>T/(o«T). Поэтому
„ .	(ш.т]2ып<и,г+2а),т сов<и,т 2япш.г
Г.Ы=----------------;------------
«V
В последнем выражении следует раскрыть неопределенность, возникающую при т-»0. Для этого следует воспользоваться правилом Лопиталя. Тогда <(0)= — ш*/3, откуда и(О)=со^(2лл/з).
7.20.	Известно, что плотность вероятности огибающей
р(17)=“ ехр (- и2/(2а*У).
Отсюда
Р(и» ОД-
ип
= J e-<d{=e“^=0.449.
7.22.	Так как длина отрезка [4.9 В, 5.1 В] достаточно мала по сравнению с центральным значением U—5 В, то вероятность
Р(4.9 В<</<5.1 В)ар(5) 0.2.
Используя формулу распределения Рэлея, получаем таблицу
139
ej, В2 1	I	1	12		96
' 1	|	3.72 10*	0.0294	92 10 s
Данные вероятности характеризуют собой относительное время пребывания огибающей в пределах рассматриваемого полуинтервала. Переходя от относительных величин к абсолютным длительностям, получаем таблицу средних длительностей пребывания:
o’, в2 |	1	12		96
1	3.72 мкс	29.4 мс	9.2 мс
7.25.	При учете одного члена разложения функция корреляции огибающей соответствующий спектр мощности
Максимальное значение этой функции
И71Лпях= Иг(0)= 1-3745 1(Г* В2 с.
Отсюда
Л<0Эф=—— J H,r(o)d(U= о
-4106 Г—d" -=3.142 10* с'1.
J 4 1О’+<о’ о
При учете двух членов разложения
,	. ч 5.498 10*	6.968 10я
10»+toi+1.6 Ю’+ш1'
Эта функция также имеет максимальное значение при о=0:
^(0)= 1.418 10~4 В2 с.
Поэтому эффективная ширина спектра огибающей
140
= 3.238 IO4 с’1.
Таким образом, относительная ошибка, возникающая при упрощенном представлении функции автокорреляции огибающей лишь одним членом ряда, составляет около 3%.
7.20.	Один из возможных вариантов решения задачи представлен следующей программой (рис. Ш.7.2):
в:=3,
z:=0.01..8.
p(z):=zexpl-------Г
10 (az).
Интересно провести ряд экспериментов с этой программой, наблюдая, в частности, как проявляется нормализация райсовского распределения при увеличении значения безразмерного отношения а—и„1ож.
Тема 8
0.1. На основании первого закона Кирхгофа, считая положительным ток, входящий в узел, и отрицательным ток, выходящий из узла, запишем уравнения баланса токов в узлах I и 2:
—С ———+^^—0
1	dr Rj Ro
и	(D
с^2 «Д “Д~«Ч_0
2	dr R2 R3 ~
Введем обозначения
1/Л.Э» 1/Л + 1/Л3; 1/Ъз- 1/Лд + 1/Ад.
Тогда (1) приобретает вид системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка:
14!
dui	«I «2
d(	XjC|
n	(2)
"1	“2	dU2_0
Я3С2 Я23С2 dz
Решение системы (2) будем искать в виде: Uj=Xc’’, Uz—Bd' с неизвестными заранее постоянными А и В. Подставляя эти выражения в (2) и сокращая на общий экспоненциальный множитель, приходим к системе алгебраических уравнений относительно Л и В:
(у+— —=0,
X. R13C1J Я3С1
(3)
——+()'+— )в=о. ад V K«ciJ
Для разрешимости этой системы необходимо потребовать, чтобы ее определитель был равен нулю. Отсюда получаем характеристическое уравнение системы
(у+—j—у—=0,
V «oC.JV r23C2J RjC,C3 или
7 +(ад+^)’’+ад(я1Л)_^1)_0’	(4)
имеющее корни yi и у2.
Если величина у совпадает с или у2, то система (3) имеет бесконечное множество решении, отличающихся друг от друга общим коэффициентом пропорциональности. При этом на основании, например, первого уравнения из (3) получаем соотношение
В ЛзСз/У RiiCt)
Таким образом, общее решение системы (2) приобретает вид
(/)-=Л] еу,' +Л2е*2,
142
u2 (f)—Л0С1 (у,	1 Л| eF1 +	(5)
\ "UM/
+Л0С1 (ъ+—-Л Леъ', \ «им/
причем коэффициенты Ai и А2 должны быть найдены из начальных условий при 1=0:
Л1+Л2=и1(0),
К’,,+^) а'+(,i+i) Xi]=“i(o)-
Решая эту систему, находим:
А (.72+	(0)—i2 (0)/(Я}С,)
П~Г' ’	(6)
-(у, + 1НЯ13СМщ (0)+ а2(0)/(ЯзС1) Л2----------------------------.
У1-71
Подставив коэффициенты (б) в (5), приходим к окончательным выражениям, описывающим собственные колебания в рассматриваемой цепи:
42 (0 -	(У1 +~г) Г Rici (Уг	“»(°) -
w->t\ fljjCi/L \ ^CtJ
-*<щ]+^(Л+^)[в,(щ"
-ад(»+^М
143
8.3.	Выбрав в качестве динамических переменных токи ц в ilt имеем следующую систему уравнений:
£, ^+1 Ldr+^o.
dz Cj	dz
_ dfo	. dz'i
Lj—+Л2+Л/—=0. dz	dz
Находя решения в виде »,(/)=Ле1",	получаем систему
алгебраических уравнений
[yLt +-^ Л+ уМВ=О, уЛ/Л+(уХ2+Я)В=0.
Для разрешимости этой системы необходимо, чтобы определитель был равен нулю, откуда вытекает характеристическое уравнение
(угЕ]С+1)(уЕ2+Л)-у3Л/2С=0	(1)
Если то контуры оказываются несвязанными. Уравнение (1) имеет три корня, один из которых yi^—RjLi веществен, а два других уи= ±Jls/L.C — чисто мнимые. Корню yj отвечает экспоненциально затухающий процесс в AL-цепи; корням у2.з соответствуют гармонические колебания с частотой <!)««= lly/LtC в ЕС-контуре без потерь.
При 7?=со AL-контур разомкнут; в ЕС-контуре могут существовать незатухающие гармонические колебания с частотой
Если Я=0, то уравнение (1) приобретает вид
y2(L1L2-JW2)C=-E1,	(2)
откуда
>.;=+ , J .	(3)
где	— коэффициент индуктивной связи конту-
ров. При этом в системе будут наблюдаться гармонические собственные колебания с частотой
144
!//(!-k‘)U> 1!у/цс.
(4)
Итак, наличие индуктивной связи с короткозамкнутым контуром приводит к повышению собственной частоты колебательной системы.
8.5. Система дифференциальных уравнений рассматриваемой цени имеет вид:
(1)
Перейдем от переменных ц и i2 к новым переменным С и таким, что относительно последних система (1) превратится в два не связанных между собой дифференциальных уравнения. Если такое преобразование возможно, то переменные ц называют нормальными координатами системы. Переход к нормальным координатам — важный прием в теории колебаний.
Для данного случая нормальные координаты находятся просто:
<=ii+i2; 4=ii-4	(2)
Действительно, складывая и вычитая уравнения, входящие в (1), получаем:
(L+jW)d4/df2 + f/C=O,	(3)
(L-M)62f]/it2+t]fC=0.	(4)
Решениям уравнения (3) отвечают гармонические колебания с частотой coa36j = \ly/^.+M)C. Аналогично для уравнения (4) имеем частоту собственных колебаний	=If у/(LМ} С. Гово-
рят, что в рассматриваемой системе возможны два нормальных колебания, называемых также модами. Моды сложной колебательной системы полностью независимы друг от друга. Так, при соответствующих начальных условиях в системе может быть селективно возбуждена первая (низкочастотная или медленная мода). Прн другом способе возбуждения можно добиться существования лишь второй (высокочастотной или быстрой моды). В общем случае в системе одновременно наблюдаются обе моды, которые, интерферируя, образуют биения.
6-415	145
8.10. Между узлами а и b цепи включены ветви с операторными проводимостями
У,=рС+^; Y,=pCI(t+pRC).
Изображения токов связаны уравнениями, вытекающими из законов Кирхгофа:
h+l2=I^hih=YvfY2.
Отсюда
h=!M+ Ъ)
и поэтому передаточная функция
К1рУ=-^=^^—.
Yt + Г2 (ЛС?рг + 3RCp+1
Обозначая т=ЛС и выполняя замену переменной p=jaj, находим частотный коэффициент передачи
Отсюда нормированная АЧХ:
|*(М|/Я=-, = у/(1 — «Л2)2+У<Л3
Фазочастотная характеристика с’х(сл) представляет собой разность аргументов двух комплексных чисел, стоящих в числителе и знаменателе формулы (I). Если й»<1, то знаменатель отображается точкой в первом квадранте комплексной плоскости и поэтому
<Рк (“)=~~ arcig (Зсит/( I — сА2)).
Если же tot > 1, то точка, отображающая знаменатель, перемещается во второй квадрант, так что
Фк(*>) = - arctg [(«А2 - 1)/(Зшг)].
8.12. Пусть ко входу фильтра подключен идеальный источник ЭДС с изображением U„(p). Выберем в качестве положительных 146
направления токов в ветвях, указанные стрелками на рис. Ш.8.1. Равенство нулю алгебраических сумм токов в узлах а, b и с приводит к системе уравнений
(l/„- V^R-pCUa-(Ua-
(U<- Ub)/R—pCUb—(Ub— Um)/R=0,
(Ub- u^iR-Pcum=Q.
Для нахождения передаточной функции цепи следует исключить вспомогательные переменные Ua и Ut- Выполнив эту операцию, получаем
l/„= Um(j?R3C2 +5p2R2C1 + 6pRC+1), откуда
X(p)=(p3/?3C3 + 5p2/?2C3+6pJ?C+1)’1,
X(/<a)=[(l-5m2«2C,)+JIB(6«C-<o2«’C3)]-1.
Отсюда фазочастотная характеристика
, „	v>RCtt>-<>?R'C?)
Частота найдется из условия I —5о2/?2С2=0, соответственно для частоты/2 имеем уравнение 6—<о2Л2С2=0. Используя числовые данные, приведенные в условии задачи, получаем Д = =52.34 Гц,/,=286.65 Гц.
8.14. Здесь изображения потенциале®
Тогда
r. z2t/„	ZjUx
1Лг—-------; t'i=----.
Z| + z,	Zj+z<
yZf+Zj Zj+z</
(Z1+Z2)(ZJ+Z4)
8.16. Рассмотрим интеграл
I tn|K(/W)|dtu f tnXj)—bto1
I	. л = I	.---1 dw-
J	1+W2 J	1+<U*
Рис. 1ПЛ.1
147
lim [g?/(1+g?)] = 1,

то данный интеграл расходится и поэтому рассматриваемый фильтр физически нереализуем.
8.18.	Частотный коэффициент передачи данной системы
(tujp+ywXl+jens)’
откуда

2n J («п,+;ш)(1+>аиэ)
На плоскости комплексной переменной <й подынтегральная функция имеет два простых полюса в точках с координатами и п)2=//т3. Находя вычеты
получаем
Л(г)=_ЗДл»(е-^_с-в'-).
1-«ЬЛ
8.19.	Для Л-ступенчатой системы, собранной из идентичных звеньев,
«яО«о)=(-Лв)7(1 +/сотэ) .
Подынтегральная функция имеет Л-кратный полюс в точке (D=jlt, с вычетом
Отсюда
*(')=^’). КО"е
На рис. Ш.8.2 представлены графики функций
ехр(-г/т,)/(?У-1)!,
пропорциональных импульсным характеристикам. Графики построены для jV=2, 3 и 4. Видно, что рост числа ступеней усилителя ведет к увеличению задержки импульсного отклика.
8.23.	Используя изображения напряжения и токов, имеем систему уравнений
U^RA+pLJt+pMI*
d=R3I1+pL2I2+pMIt.
Исключив с помощью второго уравнения данной системы изображение h (р), получаем связь между и &:
скольку увеличение контурного тока
149
it в том направлении, которое принято за положительное, ведет к повышению потенциала нижнего зажима резистора R2, т. е. к уменьшению выходного напряжения. Используя обозначение Lxla—M2=LiLa(\— к2), где k^Mfy/LtLt — коэффициент связи, представим передаточную функцию в ваде
ВД=_!£*_._ .
1^(1-*а) [р-р\){р-рЦ
где pij — корни характеристического уравнения
2 LiRt+LiRi R\Ri п р +р----------- +------=0.
£iAz(l-*ea) £iA2(1-*’)
Используй таблицы преобразовании Лапласа, получаем
*(<)=.	(Ре₽,'-Ае₽,,)р(0.
Pl -Pl
L,Lt(l-k‘) pi-pi
8.25.	Сокращения длительности фронта и уменьшения спада плоской вершины можно добиться, если модуль одного из корней характеристического уравнения сокращать, а модуль другого увеличивать- Так как
Ал=[-(“> + «а) ± ((«1 +«а)2-4(1 X
где «I —RJLj, at=^RJLtr то ясно, что имеются два пути: а) устремить величину кс к единице, получив в пределе идеальный трансформатор без рассеяния; б) устремить cq и (или) а2 к нулю, т. е. увеличить постоянные времени первого и (или) второго контура.
8.27.	Здесь
pRC+l ₽+«
где а=1/(/?С). Импульсная характеристика является оригиналом по отношению к передаточной функпии. Используя таблицы преобразований Лапласа, получаем
h (Г) = д (Г) — 2ае а (Г).
150
Аналогочно,
«(')?*(?)/₽; г(«)=(2е’"- 1)о (о.
8.30.	Воспользуемся тем, что переходная характеристика есть интеграи от импульсной характеристики. Тогда
К(р>л /> ЫПШ»?
Выполнив замену переменной х=о)1£, находим
О.Г
Н0=~	--dx.
Ж J X
Данный интеграл выражается через специальную функцию — интегральный синус
Si(z)=J^*dx.
о
Так как
и, кроме того, Si(—со)= — л/2, то
График полученной зависимости приведен на рис. Ш.8.3.
Так как Si(oo)=rt/2, то величина Гует должна удовлетворять уравнению
я/2+Si (ш,^/2)=0.9 л
Я(ш^/2)= 1.2566.
151
По таблицам интегрального синуса [4] находим ш,/>С1=2.8, т. е. ^=0.44//..
8.31.	Здесь
Л(0=£ | e'“’"‘‘“1d<»+5 Je-J“’"‘-"’<to=7,+71.
Возьмем первое слагаемое в правой части и дополним выражение [РаР+ам до полного квадрата:
^+<"»=(а»+^)
Тогда
/,=\-ЛИ’ j
Вводя новую переменную f]=ffa>+tl(2ft), получим
/'=we"wkd’-W J
о
Входящий сюда интеграл вычисляется так:
Je"’’d4=Jcosi/dij+j Jsinij2dij=*y^(l+j). 0	0	о
152
Таким образом,
7,= ^ ^e-'w(l+A
Аналогично вычисляем второе слагаемое:
Объединив оба результата, находим окончательно
График импульсной характеристики представлен на рис. III.8.4.
8.33.	Функцию K(jco), являющуюся преобразованием Фурье от импульсной характеристики Л(/), удобно вычислить следующим образом. Находим производную
й'(^=^(0-А(а+1)г(/-2Э + Л(а+
+ о2)г(/-27)-Л(о2+о2)г(1-37)+А(Д*+
+д3)га-42Э-...=лг(0-л(д+1)[й(г-
- Т) - аЬ (t - 27)+аг6 (t-ЗТ) ~аЧ (к—4Г) +...].
Ее преобразование Фурье
СМ=Л-Л(оО)е_*г[1-ое~*Чоэе-'’"’-...].
Суммируя бесконечную геометрическую прогрессию, получаем
*0 1
Рис. Ш.8.4
7-413
153
откуда

Несложные тригонометрические выкладки приводят к следующей формуле для нормированной АХЧ данной системы:
. е>Т
\К(/а>7)1 2 яо 2
ЛТ	+2acostuT+ а1
На рис. Ш.8.5 представлены кривые, построенные по этой формуле при а=0.4 и о=0.8.
8.37. Так как
то при О^/^Тточка £=0, в которой сосредоточена 5-функция, принадлежит области интегрирования н поэтому й(/)= 1/Т. Если же г<0 или t>Т, то очевидно, что ft(f)=0. Отсюда видно, что данный фильтр является физически реализуемым. Выполнив преобразование Фурье, получаем
ВДо)=—(1-е’*”У
ja>T
838. В соответствии с принципом спектрального метода
J ^я5(ш)+dw=
ад ад fan®/. ГГ„Г1 .‘<г/ а!
=~т+\ J > (
о
Отметим, что аналогичное решение другим методом было получено в задаче 8.30.
154
839. Используя метод интеграла Дюамеля, основываемся на том, что импульсная характеристика идеального ФНЧ
*°°Ь‘ h w=~— —— я wj
Поскольку входной сигнал отличен от нуля лишь на отрезке времени [О, tJ, получим
.. IWo. f
(')--—,\dI
Выполнив замену переменной л=о,(Т—г), имеем
ZA	f / * I U
UnaW=-------- I (Sinx/X)dx
Данный интеграл преобразуем следующим образом*.
откуда
(t)[Si (ю.0- Si (со. (t-tJ)].
На рис. Ш.8.6, а, б изображены графики зависимостей, построенные по последней формуле применительно к достаточно коротким импульсам (со.тж=1 и 2), а также применительно к более длинному импульсу с параметром си,гя^20. Следует обратить внимание на различный характер искажений коротких и длинных импульсов.
8.41.	Передаточная функция системы
R+pL р+1/t
где v~L[R — постоянная времени цепи.
155
Используя соответствие
J^fp+a)
получаем выходной сигнал
ия (I)=А (Г—с) + Ате~‘1',
г>0.
График полученной зависимости представлен на рис. Ш.8.7. Видно, что напряжение ия при г-»со стремится к прямой, которая повторяет закон изменения во времени входного напряжения, будучи, однако, смещенной на постоянную времени т в сторону запаздывания.
8.42.	Воспользуемся выражением импульсной характеристики ЛС-цепи:
При t<ta имеем
о	о
Соответственно при t>ta
156
««а (0 = Uo J* О- 0 <Н =
Уд -чкс
яс* .
= иоС~,,кс^яс-1).
8.43.	Входной сигнал равен при Г<0 и поэтому для 1>0
нулю
/lAlt-i) “Я//
Рис. II1.8.7

Введем переменную интегрирования х=£/г.
Тогда

u^(t)^aze
Интегрируй по частям, получаем
им(0=^
График данной зависимости представлен на рис. IIL8.8 (кривая 1). Здесь же изображена прямая 2, соответствующая входному сигналу.
Рис. Ш.8.8
Рис. 111.8.9
157
8.45.	При Ктя
B„(0=UoJp(«-T)-2lre“"<'“<]dT= О
- 14-2яЦ,е" je"dr=l4(2e‘'-1).
О
При Г>тж
4~.(')“Ц>|р(<-т)-2«е"*|'_<]<1г= О
= -2al4e“" je"dr= -2C4e""(e"'-1).
О
Рассчитанная осциллограмма выходного напряжения показана на рис. III.89.
Тема 9
93. Частотный коэффициент передачи Л-ступенчатого усилителя
«rz. х (—^а)
Р+Лж(«»-“>>М
Выражение АЧХ данной системы имеет вид
На граничной частоте полосы пропускания имеет место равенство
[l+r’top-WpJ2]*'2^,
откуда
П0,то7=—^у/2— I.
158
9.9, В выражении для частотного коэффициента передачи усилителя

_________КРА”_______________
[1 +j («О- tUpoh.ll  [1 +7(<0-<Dpa)T«2]
делаем замену переменной со—и переходим к частотному коэффициенту передачи низкочастотного эквивалента
" а+лкоа+лъй)'
Соответствующая передаточная функция
К (р\~
"	(р+Я1)(р+«д’
где Х0=Л^еэ1^)ез2, «J=l/T>b 0С2=1/т.2> Используя таблицы преобразований Лапласа, получаем
“2-“1 откуда
Л (/)=(е-пр—e~v) cos	t с (/).
«2-aj
9.17. Комплексная огибающая сигнала на входе
Так как
Ая,(0=(-Кре1/тэ)е-^«т(0> то при <<0
cu«= j й.(ом»-о«-=
Чч
159
При /2=0

-K„V„c~"'-
ЧЧ
fe*<1+Jb,dx,
где 5=Йй)’тж — безразмерный параметр, характеризующий отношение частотной расстройки к полосе пропускания контура. Проводя интегрирование, получаем

Для построения графиков удобно ввести переменную x—tlx^. При этом физическая огибающая для i^sO
где
=ApclV(x),
/(х) =	fcos2 bx+
y/l+Ь2
+(smbx+be~1)2]112.
Графики функции /(x) для случаев Ь=1 и b=3 представлены на рис.
III.9.1.
9.18. Здесь
0м=«>»(>); JU0— ijr.b
Тогда
0^(0= [ ₽_(»-{)Jt,«)<K=
f е-™“’а£=адФШ
2jtb J	\yflb/
где Ф (х) — интеграл вероятностей.
9.20.	Используя метод интеграла Дюамеля, получаем
Ц_Ю= -5^рл4' “»<!{=
О
=	—рехр|р+уЛшрр£.
О
Интегрируя по частям, находим
где Ь~6а}'тк— параметр, характеризующий расстройку колебательной системы относительно частоты заполнения входного сигнала.
9.22. Возможный текст программы представлен ниже (рис.
Ш.9.2):
х:=0,0..10 b:=5d:=0.0
K4,:=25U0:=2
U«:
I -Ко Ц> , , .
.|-—_-(exp(-d x+J Ь)-
-ехр(-х))
Ряс. 111.9 2
161
В соответствии с обозначениями, принятыми в задаче 9.21, здесь введено безразмерное время х, а также безразмерный параметр bud. Заданы также численные значения величин 1/0 и К^. Полезно провести серию численных экспериментов, подбирая различные значения b и d и наблюдая за тем, как этот выбор влияет на протекание процесса.
Темя 10
10.1.	Реализация сигнала на выходе системы
Л(«> j
откуда
Яо= j 7©/.«-а<14=0.
Далее,
ад. '!)=J('1)J('!)= j	-
Если входной процесс — белый шум со спектром мощности JVo, то 6) = Иой(fi -&)• Поэтому
M'i.<z)= j Л(«,-4)Л«2-О<1£.
Обозначим Г2=/|+т; 4—£=17; (г—f=’7+t.
Тогда
Я,(т)=»Ъ |
162
103. Рассмотрим два подхода к решению данной задачи.
а)	Прямой метод
Ясно, что j(f)=jc(i)+jc(f—7). Тогда
=[x<«)+x((-7)][x(<+t)+x(r+r-7)j=
=х(0х(/+г)+х(г)х(/+т—7)+
+x(l-7)x(r+t)+x(l-7)x(r+t-!> =2Л.(т)+Л.(т- 7)+Л,(т+ Т).
б)	Спектральный метод.
Частотный коэффициент передачи цепи K(jto)= 1+е~*° .
Квадрат модуля коэффициента передачи
K(ja>) К*	+COS азТ).
Если Wx(to) — спектр мощности входного случайного сигнала, то по теореме Винера — Хинчина
/?Дт)=-	у-----Jd^dw-
=2R, (т)+ЛДг- 7)+ЛЖ (т+Т),
что совпадает с результатом, который получен прямым методом.
10.16.	Здесь
(шТ/2)2
Для нахождения функции корреляции необходимо вычислить
ЖИ’Г1 Гяа,(®Г/2)	.
7?«т(т>=---------- I -costordco.
л J &Т12Г о
Имеется табличный интеграл
*°	Гк
f rin2ax’Cos26x ,	I (°	Ь<а,
I----J---dx=< 2
j	(0,	b^a,
163
Таким образом,
<ии2(т-М), м<т.
10.17.	Находим спсггр мощности
И/Х(а))=2ст2 Гe~gtcoseordz= .
J	e’+fir
о
Односторонний спсггр мощности
«)-#? «(а’+ш1)
Дисперсия сигнала на выходе
J	Я J cr+ai1
о	о
2а? С dx 2а?	(О>»\
=V J
О
Тема 11
11.1. На основании графика ВАХ составляем таблицу значений аппроксимируемой функции в выбранных узлах:
Иди. В txA
Отсюда получаем систему уравнений
во—0.5а, + 0.25g2=0.5, flb=l,
do+0.5a, + 0.25c3 =2.5.
Решив ее, находим, что во = 1 мА, а, =2 мА/B, а2=2 мА/В2. 11-6. Угол отсечки тока й находим из соотношения
164
откуда й =0.927 рад =53°. Соответствующие коэффициенты Берга
Уо=- (sin о — -в cos 13 )= 0.077. к
У|=-(<з —sine cos л )=0.142.
Спектральные составляющие тока
7о=^14Уо=0-581 мА.
=«4.7, = 1.067 мА.
Так как точность кусочно-линейной аппроксимации не слишком велика, то полученные цифры целесообразно округлить: 10= =0.6 мА, Л =1.1 мА.
11.9. Записываем ВАХ транзистора относительно рабочей точки Г7о=0.9 В в виде
Ъ=ао+а1 («в,- 0.9)+а2	+
+вз(ив»~ 0.9)3 мА.
При этом
flo=4l	= 15 - 40'0.3 +6.5 0.09-
М6.-0 9
-2.5 0.027=3.52 мА,
fl! = 4'1 _о,=4О 13 0.3+7.5 0.09=
= 36.78 мА/В,
о,=-	= 130.5+2.56(-0.3)/2=
21чь-о.»
=4.25 мА/В2,
Дз=- =2.5мА/В3.
6 1^,-о»
Отсюда
7о=До+^2-^~=4.7 мА.
165
11.13.	Воспользуемся тем, что ВАХ данного нелинейного резистора есть разность двух кусочно-линейных функций. Вводим два угла отсечки тока й, и й2в соответствии с формулами:
Ujtj—t/д cos о.=----------;cos о2=----------.
U„	Um
Тогда

11.15.	На основании общих принципов вычисления коэффициентов ряда Фурье имеем:
Уо(2, o)=^(cosf-cos o)2d£ о
у„(2, 6 )=-^(cosf — cos o)2cosnfd£, и=1, 2,... о
Явные выражения двух первых коэффициентов разложения имеют вид
у0(2, •)=-£• 0+cos2 <>)—^ап2 ej,
..	. it.	яп’<Л
у, (2, в )=-( sme — в cos в-—J.
Соответствующие графики представлены на рис. III. 11.1.
11.18. Косинус угла отсечки
cos й =(0.7-0.3)/0.8 =0.5,
откуда о=л/3 = 1.047 рад.
Соответствующие коэффициенты Берга у0=0.109, yt=0.196.
Составляющие токов /^=0.058 А, 41=0.696 А, /16=0.103 А, /,«=1.236 А.
Входное сопротивление колебательной системы
^„=fc^D«=48 Ом.
Полезная мощность на выходе 166
Р1»И=-/АЛМ=36.7 Вт.
го. У
Амплитуда колебательного напряжения на коллекторе
1/™=/Л=59.3 В.
Амплитуда напряжения на контуре
Unw»=lWfc»ra=1480 В.
О 30 60 90 120 Я. град
Рис. Ш.11.1
Мощность, потребляемая от источника питания,
Ро=Л>«£шп=48.7 Вт.
Мощность потерь
КПД усилителя
-Рвот—Ро	—12 Вт.
4=— 100%=75.4%.
48.7
Мощность первой гармоники на входе Pi»=Un„/ie/2=0.041 Вт.
Коэффициент усиления мощности ^р=Р1»ых/Р1м=890 или 29.5 дБ.
11.23. Мощность, потребляемая от источника питания, Ро=	( о).
Полезная мощность
Pi =	~ E^SU^ у2( fi).
Отсюда КПД У2(б)	1 sin2°cosO-2cos2fianO
7 =----=- -------------------.
2?о(О) 6 япб — -ocosO
График, построенный на основании этой формулы, изображен на рис. III. 11.2. Из графика видно, что для обеспечения приемлемого КПД угол отсечки тока в удвоителе следует выбирать существенно меньше 90°.
167
11.24.	Так как lt=SU„wlyi( о), то для решения поставленной задачи достаточно проанализировать зависимость безразмерной величины /i/(StU=yi от параметра i—(U0—U^/Um= —cos е. Известно, что
h ( й)=" (*> —sin в cos в ),
откуда
»1(»)=^[аг°=<»(-{)+£чЛ-<21-
График, построенный по этой формуле, приведен на рис. III. 11.3.
11.28.	Входное сопротивление детектора ие зависит от амплитуды входного сигнала:
Л„=1/т„/Д=1/(5У1(о)).
Так как 1, то
y,(e)=-^e —^sin2e^»2e3/(3n)
и из уравнения tge — о =7i/(RxS) следует, что
63/З=п/(ЯЯ5).
Итак,
У1(в)«2/(Яя5),
откуда
R^RJl.
11.29.	Один из возможных вариантов текста программы приведен ниже:
Msum
uses WinCrt;
var
E, R, S, T, B, Tl, KDETtreal;
begin WriteLn(’PAC4ET ДИОДНОГО ДЕТЕКТОРА’);
WriteLn;
\УгйеЬп(’Вводим сопротивление нагрузки R’);
ReadLn(R);
\УгйеЬп(’Вводнм крутизну ВАХ диода S’);
ReadLn(S);
\УгкеЬп(’Вводим погрешность вычисления угла отсечки’);
ReadLn(E);
B: = Pi/(R*S);
Т:=0;Т1:=0;
repeat
Т:=Т1;
Т1:=АгсТап(В+Т);
untn Abs(Tl —Т)<Е;
WriteLnfyron отсечки=’, Т:5:3/радиан’);
WriteLn;
KDET: =cos(T);
WriteLn(’Ko30(^HUHeHT детектирования = ’,KDET:5:3) end.
Данная программа, а также другие Pascal — программы, приведенные в книге, написаны с использованием среды программирования Turbo Packal for Windows фирмы Borland. С небольшими изменениями программа может быть воспринята любыми другими компиляторами языка Pascal.
Имена переменных в программе выбраны следующим образом: R — сопротивление резистора нагрузки, S — крутизна ВАХ диода, Т — угол отсечки тока, Е — абсолютная погрешность вычисления угла отсечки, KDET — коэффициент детектирования, Т1 — вспомогательная переменная, необходимая для организации итерационного процесса.
1131. В данном случае обратная функция x=yjyla однозначна. Ее производная
dx_ 1	1_ 1
аУ 2yfy/a ° 2,Jay
Так как всем отрицательным значениям входного сигнала, имеющим общую вероятность 1/2, отвечает единственное значение выходного сигнала у=0, то
169
{о, j<0, ад+—L-, ’ 2 г^2тувк
1133. Так как математическое ожидание входного сигнала равно нулю, то очевидно, что Рв=Рь=1/2. Используя принцип усреднения, получаем
— a b a-t-b Г-2+-2—Г-
*22	4	4
Тема 12
123. По определению, дифференциальная крутизна
Подставляя сюда выражение для напряжения, создаваемого гетеродином, получаем (мА/В)
5'джф=30+ ISD^cosoV-
12.10. Варактор является нелинейным конденсатором, ток в котором
i = dg/d t ~ (dg/du) (du/df)=(и) • (du/dr)-
В рассматриваемом случае
i (t) = - b0a)0U„ sin toot--— sin 2(o0t.
Таким образом, данный варактор можно использовать для создания удвоителя частоты гармонического сигнала.
12.15. По условию задачи усиление системы
A~10№=201g—®£^j=25.
Отсюда
G„= -4.045 10“3 См.
170
12.19. Для самовозбуждения усилителя необходимо обеспечить вносимую отрицательную проводимость G„= —4 • 103 См. Применим формулу для расчета активной проводимости, вносимой в сигнальный контур данного усилителя [1]:
Gm= — Р2й>сО)*£,яСоЛре1.10Я/4.
Подставив числовые значения, получаем Rpama=4.5 кОм.
Тема 13
13.2. В соответствии с методом Фостера разложим входное сопротивление на элементарные дроби:
z( ч— 16р*+4р	_ др+Ь ep+d
W-(2p2+])(6j>,+ l)-2>,+l
где a, b, с ad — подлежащие определению коэффициенты. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, получаем систему уравнений
6а+2<?=16,
6&+2rf=0,
а+с=4,
b+d=0,
из которой следует, что а=2, 5=0, с=2, d=0.
Таким образом,
z(P)_^_+4_.
2/ + 1	+ l
Легко показать, что входное сопротивление параллельного LC-контура
Учитывая это, получаем схему синтезированной цепи, приведенную на рис. IIL13.1.
13.9. Проводя деление числителя на знаменатель, начиная со старших степеней, на первом этапе получаем
_8р3+4р |Зр2+1
8р3+8р/3 8
4р/3 зр
171
Таким образом,
4р
Инвертируя остаток, имеем
4^/3
Проводим следующий этап деления:
_^3рг+1 |4р/3
Зрг 9р/4
1
Окончательно получаем представление функции Z(p) в виде цепной дроби:
Z(p)=^+——.
3 1
4 4р
3
Легко видеть, что этой дроби отвечает цепь, схема которой изображена на рис. III. 13.2.
Если делить числитель на знаменатель, начиная с младших степеней, то на первом же этапе остаток получается отрицательным:
_ 4р+8/?311 + 3рг
4/7+12/? 4р
-4/73
что ведет к физически нереализуемой цепи.
13.15. Коэффициент передачи мощности как функция переменной рж выражается формулой
172
км= -	
Полюсами данной функции являются корни биквадратного уравнения
pt—fy?+2—О,
равные
Так как
1+_/=^<Л4; l-j=^2^\
то
yfi+j= \/2<^; VR= VSe**".
Имея в виду, что Л>(рж)=^(рж)'^(—рД получаем выражение для К(ря), учитывая лишь те полюсы, которые лежат в левой полуплоскости:
Л ~--------------------------
13.17. Нормированная частота источника сигнала /,=41/15=2.733.
Коэффициент передачи мощности
KP=f^l(l +/.*)=0.015.
Модуль коэффициента передачи напряжения ^=КУ2=0.122.
Отсюда амплитуда выходного сигнала
ЦИШО=7.5 0.122«0.92 В.
13.18. Обозначив посредством Z' (р) операторное сопротивление параллельного соединения С и Лл:
Z(p}=RaJ(l+pR.C),
получаем следующее выражение передаточной функции фильтра по напряжению:
173
где R’=RRJ(R+R1).
Отсюда следует, что функция К(р) имеет единственный полюс в точке с вещественной отрицательной координатой pt= — 1/ !{R'C). Если положить, что 1/(Я’С)=<иС) то рассматриваемая система имеет свойства ФНЧ с характеристикой Баттерворта первого порядка при заданной частоте среза.
Обращаясь к конкретному расчету, выберем Л=Л>=2-103 Ом. При этом Л’ = 103 Ом, откуда С=1/(3’ 108)=3.33 нФ.
1334. Коэффициент передачи напряжения
„z .	^(1+рД.О
Л \Р) —	“	" ' —
pL+R^l+pR.C)
_ «о р,+2чр+®’’
где а = 1/(2ЛяС), og = I/(£Q.
Данная функция имеет полюсы в точках с координатами
Ад= ± -а±/л/<4-«*-
Для того чтобы фильтр обладал требуемой частотной характеристикой, необходимо, чтобы
a—OjJy/l-, f0o= Die откуда
С= 1/(^2 КгоЭ=7.86 нФ; L= 1/(ш?О22.б мГн.
1335. Фильтр нижних частот с максимальной плоской характеристикой второго порядка на плоскости нормированной комплексной частоты имеет два полюса частотного коэффициента передачи в точках с координатами p.u= — l/^=iJ/V2-Передаточная функция фильтра
ВД=-—1— -дЛ
(P-Pl)(p-P2)
Выбирая на вертикальной оси произвольную точку с ординатой гц, (рис. Ш.13.3), видим, что ФЧХ фильтра определяется двумя углами ф, и qty
<Рк(^)=-Ф1-Ф2-
174
Отсюда
Фх(«оя) = - arctg G/2 со,- 1) - arctg (-у/2 04+1).
График, рассчитанный по данной формуле, представлен на рис.
Ш.13.4.
13.28. Многочлены Чебышева Т„(а)я') принимают значения, лежащие в интервале (—1, 1). На границе полосы пропускания 7i(l)= 1 при любом и. Таким образом, коэффициент передачи мощности колеблется в пределах от 1 до 1/(1 +е2). Неравномерность частотного коэффициента передачи, выраженная в децибелах, составит величину А = lOlgCl+e2). Из условия задачи находим, ЧТО
в=^10"-1=0.7648.
Тема 14
14.1. Выходное напряжение эмиттерного повторителя um=RA=SRK{> =SRx(u„—uaia).
Деля обе части этого равенства на величину и„, получаем
откуда
l+SR„
Следует отметить, что здесь параметр обратной связи Д= — 1. Так как в данном случае все выходное напряжение приложено ко
175
входу цепи, имея полярность, противоположную полярности входного сигнала, то говорят, что эмиттериый повторитель охвачен 100%-ной отрицательной обратной связью.
14.3.	Так как входное напряжение «„=»+««., то напряжение на резисторе обратной связи

откуда
Uoc =
SJb
Возрастание тока коллектора ведет к понижению потенциала коллектора относительно общей точки усилителя и поэтому
Л4= -SRA 1 -7^77-)««•
\ 1+SRoc/
Отсюда коэффициент усиления
Kv= - SRJ[1+SR^R^R.)]-
Так как Kq= —SRk, то параметр —R«JRX.
14.5.	Условно примем в качестве положительных такие направления токов в ветвях, которые указаны стрелками на рис. 1.14.4. На основании первого закона Кирхгофа имеем следующее уравнение состояния цепи, записанное относительно изображений Um
и Ua:
_^k+^_[/epC1=0.	(I)
Л2 + 1/(рС2)	R,
Так как Um=KoUo, то из (1) следует, что
^м(1-1/Ло)
Л2+ 1/(рС2) Rj
VtanPCj ~ Q
Ко
откуда
К(р)(!-1/К0) 1-К(р)/КЬ К(р)	.
---------+ - - — pCj~0.	(2)
К2+У(рС2) Л, Ка
Разрешив данное уравнение относительно К(р), получаем
176
К(р)=------------------------------.	(3)
Частотный коэффициент передачи K(jcd) находим, выполнив замену переменной jco=p:
i~aiIRiC\R2('2+[Я1С1+R2C2 — (Afl— 1) Rj CJ
Для того чтобы полюсы функции К(р) располагались в левой полуплоскости переменной р (условие устойчивости), необходимо, чтобы все коэффициенты при различных степенях р в знаменателе формулы (3) были положительны. Отсюда получаем неравенство
R} С, + R2C2- (Ко - l)KiG> 0.
Таким образом, критическое значение коэффициента усиления активного звена
। । R&+R2C2
*1С2
При заданных в условиях задачи параметрах системы нормированная АЧХ фильтра
IKQOI	1
Vo -{’r+o-oozse3’
где i=ci}RC. Соответствующий график приведен на рис. III. 14.1. Можно сделать вывод о том, что рассмотренный ЯС-фильтр пригоден для выделения полосового сигнала, спектральные составляющие которого концентрируются вблизи «резонансной» частоты 0^=1/(ЯС).
14.6.	Так как потенциалы на выходе и на инвертирующем входе ОУ совпадают, то изображение выходного сигнала
откуда
При К)^соК(р)-*1. Таким образом, данная цепь может быть использована как повторитель уровня напряжения, имеющий высокое входное и низкое выходное сопротивления.
177
14.11. Уравнение АФХ разомкнутой системы имеет вид
w(jai)=	+,<от)’=—у,-ехр [/(я—
—3 arctgcor)].
Легко проверить, что arg w 0'0)=л, в то время как argw(/oo)= ==—я/2. Это указывает на то, что годограф Найквиста, отвечающий интервалу частот 0«э< + <ю, имеет вид витка спирали. Соответствующий чертеж представлен на рис. III. 14.2; виток, отвечающий полубесконечному интервалу отрицательных частот, показан пунктиром. На частоте c?j, при которой л— —3arctgo1T=0, аргумент АФХ равен нулю. Для того чтобы замкнутая система была устойчивой, необходимо, чтобы
Х2/(1+шЬ2)’/2<1.
Так как еде =1.732, то Х<>< 2.
14.19. Воспользуемся условием самовозбуждения [1]
Ко > 1 + (Л,С1+AiGMAiCj).
Подставляя сюда номиналы элементов, приведенные в условии задачи, получаем, что Ас >2.33. Генерируемая частота
п. == 1/^Л1Л!С,С,=3.20S  103 с -.
14.23. На пороге самовозбуждения, при 17=0, должно выполняться
Д| =ЛС/МяЛг,= 1/(<ДоСЛ7пш1)-
Отсюда Л/щь = 1 /(fljOoC) =6.66  10 1Х//К0 20.	——ж	г"——I 0	0,5 t.o 1.5	$ Рис. Ш.14.1 178	8 Гн. Если Л/=ЗЛ4ШП, то Im / <*4>	| Re \ *о	• К 3 	*9 в Рис. Ш.14.2
1/cl>dCA0=3.34 - 10 4 См. Амплитуда колебаний в стационарном режиме должна удовлетворять уравнению
КГ3-1.875-10" 3Ц*=3.34 10"*,
решив которое получаем 0.596 В.
Тема 15
152. Коэффициенты комплексного ряда Фурье С„ при п=0, +1, ±2,... равны
«Я
с.=- f	* sn(n»n/A)
A J	А гят/А
-tn
Суммируя вклады всех гармонических составляющих, имеем
(ш)=— У [sin (rtnr/Л) (пят/Л)] й (со—2яп/Д).
А «--«
15.6. Будем полагать, что интервал дискретизации Л мал настолько, что Д<к 1/п. Тогда приближенно
Л'жп, (0) ~ 2aU0	+...1=
L(2<A)2 (4х/ДГ (6ж/Д)« J
ZzxC/pA3 /1	£2	\
я1 V’+4a+6s+"/
Полученный здесь ряд суммируем, основываясь на том, что, согласно [4]
£(2t_1)-=1+l+l+...4
Ё*'=1 + *-•	2 3
где f(x) — так называемая дзета-функция Римана, имеющая частное значение С (2)=л2/6. Итак,
179
Отсюда 5’жт(0)а:аС/оД2/12. Следует отметить, что 5а(0)=17о/а и поэтому 5'жт(0)/5и(0)=(«Д)2/12. Если, например, «Д=л/100, то Зкт(.®№>Л®)=8.22 10-5, т. е. дополнительный вклад в спектральную плотность, возникающий за счет дискретизации, достаточно мал. _
15.9. При N—Ъ в пределах импульса оказывается три отсчета. Тогда, положив к=1, имеем
с,4Ь’Л‘ в к-0
Суммируя геометрическую прогрессию, получаем
С1=у1^^-=0.301Ц,е	(1)
Если ^=32, то в пределах импульса оказываются 11 отсчетов. Поэтому
,, Ю	rt « -Д1Ч?1в
G =- X е-м/“=-—----------=0.28141/ос‘>5ЛЯ“.	(2)
32*. О	32
Легко найти, что коэффициент Cj ряда Фурье аналогового сигнала
С,=0.27б1Г«е-/".	(3)
Сравнивая выражения (1), (2) и (3), убеждаемся, что с ростом N коэффициент С, ДПФ стремится к соответствующему коэффициенту ряда Фурье того аналогового сигнала, который был подвергнут дискретизации.
15.10. По общей формуле находим:
G,=J(10+20)=10.
C,=i(10e-',”’+20e-JM'),
С^^Юе^^'+гОе
Так как
-jl20’_ -/480-_	1 .л/з
е -е “ 2 J 2 '
180
то
e-'™-=-'-+jA 2	2
С,=’(-3+М); С,~(-3-д/3).
15.15. Возможный текст программы приведен ниже:
uses WinCRt;
const
N=10;
var i,M:integer;
var Xtarrayfl ..16] of real;
var A»B,T:real;
begin
WriteLn(’Pac4eT коэффициентов ДПФ*);
WritelnfMacCHBa действительных отсчетов*);
WriteLnf из ’,N,* Элементов*);
WriteLn;
ХУпгеЬпСВведите значения элементов массива*);
for i:=l to N do Readln(X[i]));
\Уп!еЬп(’Вещественная и мнимая части ДПФ*);
WriteLn;
fori:=O to N-l do
begin
Writeln(TapMOHHKa номер* J);
A:=0;B:=0;
for M:=0 to N-l do
begin
T:=2*pi*M*i/N;
A:-A+XfM]*cos(T);
В: = В+ХрЛ]*ап(Т>,
end;
A:=A/N; B:=B/N;
WriteLn(A:7:3,B:7:3);
end;
end.
Для определенности длина входного массива N выбрана равной десяти и описана в разделе констант. Перед компиляцией это значение можно произвольно изменять.
15.16. Так как число компонент вектора X не совпадает с целой степенью двойки, то по правилам системы MathCAD для вычисления БПФ следует использовать библиотечную функцию cfft(X). Результаты представлены ниже:
181
Вычисление прямого и обратного быстрого преобразования Фурье средствами пакета MathCAD
1.5
4
5
3.5
7
—4
Y:=eff(X) Y:=
Z:=icff(Y)
6.94 -3.266+2.12П —0.408 + 3.536i
4.082
- 0.408-3.536i - 3.266—2.1211
1.5
4
5
3.5
7
-4
15.20. Воспользуйся разложением
(1-0-‘=1+{+£2+...
Тогда
Y (z)= 1 + 0.3z -1 + 0.09z 2+0.027z“ 3 +....
откуда
{x,}=(I, 0.3, 0.09, 0.027, ...).
Общий член последовательности x,= (0.3) .
15.23. Функция Y(z) аналитична во всей z-плоскости, за исключением точки z=0. Поэтому в формуле обратного z-преоб-разования интегрированье можно вести по любой замкнутой кривой L, котораи охватывает начало координат. Согласно теореме Коши о вычетах
k-dU2’-
J [0, л#-1.
Отличным от нуля оказывается лишь отсчет
х2=—®dz/z=l.
2nj'J
182
Итак, {хя} = (0, О, 1, О, О,...).
15.26. Используем алгоритм дискретной свертки [1]. На одной полоске бумаги через равные интервалы записываем сигнал {х„}, а затем на другой полоске — сигнал {у„}, в котором позиции расположены справа налево (рис. Ш.15.1, в). Совместив первые позиции записей (рис. Ш.15.1, б) и перемножив отсчеты, находящиеся на одной вертикали, находим/0 = 15’ 10= 150. Чтобы получить величину /1э следует передвинуть полоски на одну позицию (рис. Ш.15.1, е). Тогда /j = 15’ 10+15’5=225. Выполняя эти операции до тех пор, пока ненулевые отсчеты не перестанут накладываться, находим
{/я}=(150, 225, 175, 130, 84, 42, 16, 5, 1,0. 0,0....).
15.27. Импульсная характеристика
{Л„} = (4, -2.5, 0.8).
Системная функция есть z-преобразование от {Л„}:
Я(г)=4-2.5/г+0.8/кг.
Выполнив замену переменной z=ехр (до А), получаем
K(j(o)=4—2.5 ехр (—/<оД)+ 0.8 ехр (—/2соА)=
=4—2.5 cos соА+0.8 cos 2toA —/(2.5 sin шЛ+
+ 0.8sin2toA).
1530. В соответствии с формулой обратного z-преобразо-вания
При т?Ь0 подынтегральная функция имеет один простой полюс в точке z=0.6 с вычетом res=(0.6)"“1. Отсюда по теореме Коши Л„=2-5(0.6)"- . Если же т—0, то
4	У	Ъ)
Ряс. Ш.15.1
183
f—— =0, J z 0-0.6)
поскольку вычеты в точках полюсов z=0 и z=0.6 равны по модулю и противоположны по знаку: reS] = l/(—0.6), res2= 1/0.6. Окончательно
Л (	0,	т=0,
12.5(0.6)"“', т= 1,2,3....
1532. Выполнив z-преобразование разностного уравнения фильтра, имеем
Y (z) (1 ~2 -1+O.Sz 2)=
Отсюда системная функция ЦФ
Z71ZI — — ------- = —— .
1-2-1+0.52-2 а’-к+ОЛ
Общий член импульсной характеристики находим из обратного z-npe образования:
Представим подынтегральную функцию в виде
w+I	ж+1
Z	2
2s—z+0.5 (z—Z|)(z—zj)
Очевидно, что точки полюсов имеют координаты
гм=;(1±7>4е±УЯ/4-
2
Вычеты подынтегральной функции в точках полюсов
лж+|	ии-М
rcsi=-----, res2=--.
Zj-Z2	Z2-Z|
Сумма вычетов
2^reSj= — («Г*1 — z? +,)=2<l ’ж)й81п	+1) J
184
Отсюда
*_=2°‘”Wsin^frn+l)J m-0, 1, 2,...
1537. Возможный текст программы представлен ниже:
uses WinCrt; const
аО =2.5;bl = 1.5;b2== -1.33;
var
y,yl,y2:real;
X:array[1..100] of real;
N integer;
begin
{Подготавливаем массив входных данных}
for N: ~ 1 to 100 do
if N= 1 then X[N]:= 1 else X[N]: =0;
yl:=0;y2:=0;
{рассчитываем импульсную характеристику фильтра}
for N: = 1 to 20 do
begin
y:=aO*X{N] + bl*yl +b2*y2;
y2:=yl:yl:=y;
WriteLn(N,y.l2:3);
end;
end
Для простоты коэффициенты, входящие в алгоритм цифровой фильтрации, конкретно определены в разделе констант. Массив входных чисел выбран длиной в 100 отсчетов, что в данном случае вполне достаточно. Следует провести ряд численных экспериментов с данной программой, подбирая значения коэффициентов фильтра таким образом, чтобы реализовать как устойчивые, так и неустойчивые режимы работы ([1], с. 412).
Тема 16
16.1. Рассматриваемая цепь линейна. Для нее справедлив принцип суперпозиции. Поэтому напряжения шума и гармонического сигнала на выходе могут быть найдены по отдельности. В данном случае
_ /ИЪ .. _________Ц™_____
Отношение сигнал/шум удобно представить в виде
8-415	185
У ЮоЯ'о у 1 +<o’(KQ2
Обозначим x—idoRC. Функция
f« = ^/(l+X2)
имеет единственный максимум при х= 1. Отсюда (ЛС%пт= !/<%.
16.4. Амплитуда выходного колебания в конце импульса
-ехр (- х,/Тж))-
Дисперсия шума на выходе усилителя
<4.=2ВУ4,П,=
Таким образом, при Г=тж
д_ Ц«м(1 -«Р (~ЪМ
Преобразуем эту формулу, учтя, что оптимальный фильтр обеспечивает отношение сигнал/шум
Qm= U„,ny/tJ(2Wd (см. задачу 16.3):
С = Ст-*^(Тж/Тж),
где
l-exp(-ta/tj F(rJrJ=—-------- 
Функция	принимает максимальное значение, равное 0.9
при tJt,~ 1.25. Итак, Сщвд=0.9С111.х. Так как тж=20сор<а, то Ссп,= = 0.4<урсття.
16А Пусть Konfjoi) — частотный коэффициент передачи оптимального фильтра, который нужно найти. Мысленно дополним структурную схему устройства фильтрации так называемым «отбеливающим» фильтром, который преобразует заданный случайный процесс в белый шум с параметром Wo. Легко видеть, что функция лолжна быть такова, чтобы
IXertOo)!2 ^(<0)= И^о.
186
Для того чтобы не изменить общий частотный коэффициент передачи, предположим, что отбеливающий фильтр каскадно соединен с еще одним фильтром, имеющим частотную характеристику 1/Л^б(/<у) (рис. III. 16.1).
В точке 1 полезный сигнал имеет спектральную плотность SLA&)=Km6(ja>)Sn(to). Поэтому звено, отмеченное на рисунке пунктиром, должно работать как оптимальный фильтр при белом шуме и иметь частотный коэффициент передачи
Но, с другой стороны, rOw)=1^0W*^(M	(2)
Приравнивая правые части (1) и (2), находим, что
ИЛИ

Видно, что числовые значения АЧХ такого фильтра должны уменьшаться в той области частот, тле велика спектральная плотность мощности шума.
Концепция отбеливающего фильтра часто используется в теоретических исследованиях задач обработки сигналов при наличии шумов.
16.15. Спектр мощности случайного процесса вида [/(/) исследовался в задаче 7.10. Условие со0»а означает, что процесс U(0 является узкополосным. Поэтому можно ограничиться лишь первым слагаемым в формуле, определяющей спектр мощности этого процесса, которое отвечает полубесконечному интервалу положительных частот:
(to)=аа2([аг+(to- <вв)2].
На основании формулы (16.50) из [1] при щ>0 имеем
Рис. Ш.16.1
187
И'Лю)
Ао°Т^С0 »;(<u)+IFo l+IF0[a1+(a>-w0)2]/(«®a)‘
Видно наличие резкого подъема АЧХ фильтра в окрестности частоты toe, что свойственно резонансной пени. Однако, строго говоря, данный фильтр физически нереализуем, так как его ФЧХ должна принимать нулевые значения на веек частотах (см. |1], с. 442).
16.20. Воспользовавшись формулой (16.72) из [1], имеем:
С=3-10*-3.32 lg (1 + IO51)»348.6 Кбит/с.
Полученная цифра достаточно оптимистична, однако не следует забывать, что она относится к случаю, когда мощность сигнала в 3162 раза превышает мощность шума. Если эти мощности окажутся равными (вполне вероятная ситуация для линии связи низкого качества), то пропускная способность снизится до 99.6 Кбит/с.
РАЗДЕЛ IV
Ответы
Тема 1
1.2. График сигнала приведен на рис. ГУЛД, тя=4.889/а.
и. ia (,о) ° ,о)
,A4W-©“w-0
(Г- Г0) С (t- ftd-Sg О (t-to),
зз(«)-|




1.6- (f)=A sincooi
Sj(/) = A ИПШоГ
/«(O-IM-A-Ol/Z.
3(0=W7)Je(<—
1.9. A = 2.5 IO-5 B e.
1.14.Е,= 1^тя> M=W<>-
1.15. Eu= 1^(2 (fota +e>)—sin 2(wTa+4>)]/(4(a).
1.18. *0*0,2277887'.
189
1.21., »к=агсым(т/х/т-ти2).
1.22.	(k=arccos (ехр	«4.048/в.
1.30.	««-l/Vi Ч-лЛ/г/. ®2-7-Й/8(*а-1/3).
131.	Сд» 1.6620, С( =0.9011, Cj**0.2263, абсолютная ошибка равна 0.037815, относительная ошибка равна 0.0189.
1.32	. А=0.9963,	1.1036, 00.5367
135.	С2--1.
136.	Q-37.9687, С2 .3.3188.
137.	С| =(e-e"’-2)/V2=O.76e.
Тема 2
г.2. atji-tVoHfiT),
WD flT/(2n)
к. (ftTICbtff+rf
Лтап[(а—пш1)т/2]
23.	С„=--------------
Т (а—па)|)т/2
J2U0 ,/««в\
23.	C|^O.276t/oexp(-j6O°).
2.6	.	при |л| >1
(21Ш(я1л1)| л — нечетное,
I 0,	л—четное.
jV „
2.7	. Со=0, <?„=—(-1) , и=±1, ±2, -ял 2U	U	2V
л(Г)=— ниши------anZtojT-l-—ыпЗа^Т—...
я	я	Зя
Графа к суммы трея первых членов ряда Фурье изображен на ряс. IV. 2.1.
23.	C„=CBexp(-j2iuwb/7^, где Т — период сигнала.
2.10-	Ло=2|С$| =0.903 В.
2.11.	А2=2.122 В.
2.12.	аа/2=5 В, «1=9.967 В, а2=9.888 В. д3- 9.754 В.
2.14. Рч, = [/2/3=0.333Гэ,
^=(/’ср- Рср(3))/Рср=5.749-10-*.
231.1C-* Ac, -57’31’6’.
2.22. S(co)=
A
(a+jcof
2.24. G(to)=S»(cu).
2.25. С1И"-2Ке5(<а), Qi (co)=2j'Im 5(co).
2Л6. a)/(0= j a(OS(i-Od{,
Si 3 3 3
6)/W= J *«к(г+О«,
S(co)=(ito)”

S(1O3)=1.5 1(Г4 B e.
S(5 10a)=J10"”Ac.
V2So	7,	,	, >
,,, ,л	 _ -W>/2/	I	.	t >
236.	s (t)=---e icos -4-Sin =
*	V	^2	,V2>
At3 —at 231.s(t)=—e a(t). 238. s(f)=--(e °*—e ^)o(i).
fi-a A
239. s(0=—e sin coo tff (f).
“o 1
2.41. S(a)=«5(<a— ой)+----.
Д<0-ОЮ)
2.42. 5(<и)*»я(е/г+1)й(<о)+--.
iv_ j
2.43. 5(ш)=я(е*+1)Й(£п—n%)+---------.
/(co-Oto)
2.44. 5(co) =itb (<o) + - [6 (co—2too)+й (co+2а>оЯ
2.47. 9(f)=rff(f).
191
Z61
^W.[Q_,)(W_.1)+Q_
0660 in W60 0fE 3ta 1бго="гтЕ
—— ------Е^гЛ'Л=(<»)”Л '9£
fe/j">)tO!S
t»+-n i \
------и .	’-/ гИ'И=(га)”Л1 *S‘£
я Л/.”- к/
W/4
Э =— = (0’)ялЛ1 Т'£
(Wt+WlW.®- Zylyu
•(»Z)/(0»=-)<f»tK=(» '") ЕЕ
•li/lG)Zyly=(n ‘и) 7’£
£•*»!
•9l/S>O>ZE/6 6-1 , . ,	, . Г=<<•')И’*
гс/б> о >6/1 ‘р)
1>»>6/е ‘гЛ-i
»/£>ff>z/i 'гД|
‘г/1>о>б/1 ‘гЛ-1
. ,	./=(<-')01л> 'IS'l
6/i>o>o г/4)
|,_г,	1,_г,	01 он а
----+, э—--------. э------I—=(<f)is
I	I	°ta- I i_k
0,-1;
d	т?3*
---Г-С’-1)—'s ’SS'Z
9of	os
( л »-i)/(</)off=(<Os’ss'z x®-
’«•г
3.17.	r„p-3XStfi.
3.18.	а) Д,|(|0в(-Д>.ОД.ОД.ОД0Д,О,1,ОД_).
6)	J,a(«)-{...,0,0,1,0,-3,0,5,0,-3,0,1Д0,-.).
Ш.цдт-Н), Н<т.
3.19.	ДДт)={
I 0 W>r.
(l/0(7i-r), т<Гв.
320. При^ОД, ft)-4
I 0	. <>71-
{UgT.,	0>t>-(T2-T1),
Ц?(Т,+т), -(T1-7'J>t>-T3, 0,	, т<-Г3.
5’n‘U.rrill£I,»(mo+^) йпсо,(1а-т)*|
3.21. A„(t)=-S—I----------------+---------- I
2л L <а»(»о+т)	£о.(1ат) J
3.22. Значения функции Д*(л) образуют множество (..., О, 1, 2, —1, —2, 1,
Тем. 4
4.1.	Векторная диаграмма сигнала изображена на рве. IV.4.1. Здесь ОК — ось отсчета углов, ОА — вектор несущего колебания, АВ — вектор верхнего бокового колебания, АС — вектор нижнего бокового колебания, OD — вектор резуль-
4.6.	М-0.73, t/д=75 В.
4.7.	П-20 Гц.
4Л. М|«=0.8,М2=0 6.
4.10. /U,=0.506 Вт,	-2.756 Вт.
4.11. Втл= 12.96 кВт.
4.13. иЬи-3.02-10’с1, «„„,=2.98 10* с"‘.
4.14.7^-49.86 МГц.Л.ж-ЗО.Н МГц.
4.15. u(r)«8cosl0et+0.24cosl.0] 10*1--0.24 cosO.99 10*1.
193
V6I
‘	+ »U SO’W +1 / °/1=(f)'n XI'S
I
техохэвъ bh
ихэоннэдоэо-? хмХахэхЛэхо bitbhjkj эс1хлэпэ e o08l=t><* ийп охь 'чхихэмхо онявд ?<!>—*<»
•------°azf^)s
<п
ох ‘<,081=°^ НКЭН
(ога+га)/г	г
-----------Ь(Оп1+ОЗ)р--------------F
(1%^_’)0Л	^«(1 + ^ »)
(0п>—ш)/г	г
+---------+(е™-<о)у-------------7=(ro)s xis
(;цшя ш) ив “/j =
*OUUB ш)мк» “д -•(j)rK
(7иавш/)йхэ“а-(|)'Д OFS
X»O«»Jif+1) (ty* “/2)-(l)rff - 0)rp
‘(t./a/) dxaQusoow +1)“/2 -0)	'6 S
|^+те)пи£+»ОаИ0£
0<» 'о>1 '0<>
•о»
|<+njsoooi=«(rt^ TS
•э. ЕЯ 6 0=rJ VS Э1« L9'W=°l TS
S«h»X
njs £f 'Bjl Ifr ‘UJW EE -ujw JE ‘UJ> 8E 'tIJM s Xi« E 82
a B-0l-£0'S="a<’i ’4ГР W- = 'Ф гэ сЯ „ 01-£961="Л1
t-aSiOI-IMI=rf‘9S£Z-ff EZP
HJW 686'1 =JVtfp
ФП ,_0I 4S'8=“J *1Г»
•»J 8£t> 01="°^ wp
>£ -M L.VP 4J> П9=ЭТ Р
5555
sin (Ogt+— sin (fOQ 4-11)1 hM-asai-------------—------------.
COSCOnH---COS (<№>4-11)1
2
M2ti M <404-----4----(<0o4-fi)cosfir
<X>, (0 “----------------—-------.
/ + Mcos Qt+M^A
5.14.	<ujmjn=O.99‘ 10* C"‘, 0^= 1-003 10* c"'.
5.15.
УрШ, I sin (m, 1/2)1 я I <0,1/2 |
5.16.	~-jUoe “
a4-jtu t/otoo
S(<o)«-
[a +j (to - a>o)] |a +j (to - <uo)]
(0,
5.17. 0,(1)= < Uo, to.
1<-r,/2,
-Тж/гсгст^, 1>Тж/2,
Uo Гйп ((<»—too) т,/2) ип ((<u+ mo) Тд/2)"
S (<o)=—I--------------1---------------
2^L (<»—e>o)T»/2	(<b4-<oo)t>/2 .
5.19.	z,(r)=— [Si (1 -e *“")+52(eJ -1)], ynl
(S’-S’)Aw
<», (0“ ®tt+ —7—,-;-------------
2 (Sj 4- Sj 4- 25| S2 cos Ami)
s0
5J0.z,(0=-——(*+/0-«(*+<)
5ЛЗЛ(О=1/(яО.
5J5.5(0=</(a14-<2).
195
5.27. Если »e[-fo, га), то f (f)=—In-;
n to-t
в противном случае
Тема 6
6.2. Р—0.0207.
63. Р-0.064.
6.4. Р= 3800/8200 =0.463.
63. P-PjPj+AtA-PaJ+Pjtl-PO-OM.
6.6.	(2 В, 6 В, 10 В, 14 В, 18 В}.
Соответствующие вероятности: Р(2)-1/16, Р(б)-4/!6, Р(10)-6/16, Р(14)-4/16, Р(18)= 1/16. Обратить внимание на малые вероятности хях предельно малых, таг н предельно больших значений выходного сигнала. Объясните данный результат.
6.7. Графах фунхцаи распределения F(uBUX) изображен на рис. IV.6.1,
1 1 (“-а-2) + 4 в («жых-6) +
3	1	1
<5(“«ых- 10)+-i	14)+-	18).
6.9.p(z)-O.12S<5(z-4)+O.375<5(z-43)+O.12S<5(z-6)+O.375«(z-6.5).
{0,	х< —а,
(л+х)/а’, — д<х<0,
>	ч/J л—
(в—х)/<г,	0<х<с,
0,	х>д.
6.22. x=l/Atff’=l/Aa.
ГО, у<0.
О. У>Уо-
637. >«3.183, «99.833.
{0,	><a2,
-------=, a'^ytib3. 2(b~a)yfy
О,	y>b3,
m^ta1 +ab+b2)/3,
_41>e +4as+ 10л’*’ -9ab* -9asb
v	4ЦЪ-а?.
б-». в(«)=д/(л-».
634. Р(М>1)=0.042
Тема 7
7.2.	£«0, X,(r)=P=<?.
73.	Rx(r)~c*cmtotit-
7.8.	И<г(<а)=е’я|й(са—ш1))-ь6(ш+а>о)]-
7.9.	F,(<ao)=5.41 IO-16 В2 с, Гх(й,)=3.4 10-*s В2/Га.
7.10.	Ж,(«а)=а»’Г-----'----+-------------1.
La2 + (<u—(Dor a2 +(<u+tdo)2J
До tin — r Wobm 2
7.11.	Л»(г)---------- cos aigx.
n До
2 T
7.13.	Гх(ш0)=2.387 10 1 В2 с.
197
7.14.	тх—пДЗш,).
7.15.	тж = 10"7 с, ш.=3.332 10е с"1.
7-17. Лшэф = йъ/3.
1 Гш’ + СО?СО, + СО.СО2 + шП1»
7.19.	и (0)=--J 1	1 3	12	2	.
2flV6L	+<о2 J
7.21.	с^=1.07 В2, 17=1.98 В.
7.23.	Ли(т)= 1.374 exp (-2 10* |т|)+0.087 ехр(-4 • 10* |т|).
5.498 10*
7.24.	Wv((o)=--—-------•
4  10е +о?
6.968 ГО3
1.6 10’+ш2'
Тема 8
8.Х и»-4.86 I03 С“1,У2= —8.5'10э с-1,
«1 (I)=1.714 exp (fl t)+6.286 exp (угО,
«2 (0=0-490 [ехр(71 1)— ехр (У2*)]> to=153.4 мкс.
dUj Л[з	J?[3dU2
8.4.	—+—uj--------=0,
dt Li	R3 df
T^dui dtij J?23
-------------4-+---«2=0, Я3 df df Lj где
Я»=RiRif(Ri + Я3); Rn = RiR$l(Ri + ^з)-
Харахгеристическое уравнение
(1-Л13Я23/Я31)/+(Л23/£2+Л13/£1)у+Л13Я23/(£1£2)=0.
При выбранных значениях параметров
7! = -1.915 • 10е с’1, 72 = - 2-57 • 107 с" 3.
8.6.	N— целое число, ближайшее к 0.733g.
К.7.К(р) Rt+(i+RtlRMl>C)-
8.8.	К(р) =
R
8.9.	К(р)=----.
р£<+ R
8.11.	К(р)=-------------.
3+рЯС+1/(рЯС)
3+/(соЯС- 1/(шЯС))
198
|KCw)| -=[9+(<uRC- 1/(й)КС»3Г *«,
«иг(ю)= -arctg[(cuRC- 1/(<оЯС))/3], 0^=5 10s С"1.
8.13.	pi - -3.2469795 C-1,ft= -0.1980622 c" *,
/>3=-1.5549581 c-1.
Z1Z3+Z2Z3+Z3Z4+Z1Z3
8.15.	R(p)‘------------------------
Z1Z3 +Z2Z3+Z| Zj + Z1Z4+Z3Z4
».17.k0)---„(0,
где Дя.-ДЛ/СЯж+ОД
820.	л(о^га)—е~‘1ЯС со), яс
2АдДсо sin Д cur
821.	Л(<)=---------cos Ио*,
я Деи/
ып2—
Kooi, 2
822.	Л(0-----’-------
К (0,1
2
824. g (t)= 0.4798 (ел'-еЛГ)«г(г).
Соответствующий график представлен на pec. IV.8.1.
Pi --172434 с- *, рг= - 6592 с~ *.
«.26. ги-л?[1 -<1 +'М<Г"'‘1<№.
»тсг'=Э.89т3. Нормированный график переходной характеристики изображен на
рис. IV.8.2
199
Рис- IV.8-4
8.28. Л(г) .=2 857 10s е 2 “3 “ '(cos8.449 !Qst-
-0025 sin8.449'IC’Oa(Z).
1
8.29.	—costume (т).
832. ОД>)--(1 -e’*”).
|ОД|=Лг|яп^(<аГ/2).
834.	Нормированный графит функции g(f) изображен sa рис. IV.8.3.
835.	K(ja>)— (1- 2e -t-e ).
836.	X «*е-МГ *-c
Рис. IV.8.5
Структурная схема цепи, реализующей данную импульсную характеристику, представлена на рис. IV.8.4. Она образована сумматором, а также совокупностью масштабных усилителей с жоэффида. игами {д*} в устройств задержки с параметрами Т, 2Т, -
8.40. ижых(0=---рЦшо+Дсо)»)-
Si((<0c-Am)»)]-
8.44.
200
Соответствующий графит изображен на pec. IV-8.5.
Тема 9
ЛАП	-ПАИ
9.1.	К(/2я/|)= -3.267е	; КЦ2яЯ)= -3.267е
Г12.73 кГц, N*=l,
9.4.	По7О7 = <
(4.91 кГц, Д-5.
9.5.	Нормированные АЧХ усилителей приведены на рис. IV.9.1 (кривая I — одна ступень, кривая 2 — две ступени, кривая 3 — три ступени).
9Ж Л^-4.48.
1 + (®0-“>₽а)2^

/ Дш\
xcosl «Ьй1+*у If.
Ориентировочный трафик данной функции изображен на рис. IV-9.2.
9.11	. Л(Г)=-
*« W (Л“0
Примерный вид графика данной функции изображен на ряс. IV.9.3.
9.12	K^Kl^KatT^,
hmVi=^=- Л
2у/яЬ \
201
Рис. IV.9.2 Ко 9.13. Л(Г) =—— е	cos toot, y/ltb Гауссов радиофильтр физически нереализуем. 9.15.	— 750[1 +0.424cos(2л 10s*—1.012» х хcos2я’10*0 9.16.	мкс. Г -х/1	COSIJX	Т +р-е ^-+9-“	raijxl , где *= f/t>, Ч=Д сй ' tM. l—a+jb где х=Г/тж, 6=&игж, d—azK. Тема 10 10.2. а) й,(т)=(>Р0Я2П)е)ф(-Ц|/П 6) '	(о.	|т|>Г. 10.4. o^=2ff’(l +гя(Т)). 105. Rx? (т) = Rx (т) + Rx (т - Т). 202	Рис. 1V.9.3
10Л. t'=0.04 с.
10.7. И'.цДси)-------
(i+^r’jn+o»1^)
где Tf =RtCj, Тг“Д2^2-
2ао?а>*
10Л. JVu(a>)=——----,
С2(а2+а12}(а>1-(и2)2
где (и2= 1/(£Q.
10.9. Пш=Я/(4£).
10.10. Пш=7«/(2А).
10J1. о2
К&> Т2
2 (Tt+T2)Ti

м и
ВД2Ж0/е е \ ~2(Т%7?)\ Г, Та /
к!
Г I -яс-
10.12.	в(т)--------е
10.13. ^нх=
«Го (2Я-3)Й
2RC (2Н-2№
,	(Ri+R2)C+R.2C2e
10 J4.	в2 ------------'---------.
““ “ (Я,+Л2)С(1+а(Л1+Л2)Ц
И'о	/ Rj+Лг \
10.15. ги(т)=-----------ехр(-------|i| 1.
ZX.CO+Rt/Rs)	\ ^|R2C /
10.18. с^-0.023 В.
10.19. с’=2А^Г(Дш,
sin Доп
, (т)= 2А^/ЬАш-----cos mot.
10.20. Д,(ш)
(_____
(ш2 — <п2)2 +4а2<о2’
fba£ _яМ/ а .	’
ru(r)= е lcos&)ct+ 51ЛШС|Т| 4з \ а>с j
203
где соо= 1/л/1-С, a=Rj(2L), со^^/о^-а2.
W0 —a[t\f	О.	\
10.21	. ги(г)=-- e I cos wqt--sin coq |rl 1,
4aC2 \	coq	J
где coo= 1/y/l.C, a=1Д2ЛС).
10.22	. 6»^=73.1 мкВ. №23. oBUX=7.97 мВ.
10.24	. a^=kT/C; о»ф=2.03 мкВ
10.25	. of=3.776 10-14 A2.
10.26	. Po=0.2865. 10.27. T=580 K.
10.28	. Тш=473 К; F=2.63.
Тема 11
11.2.	00=1.25 мА, ai=0.68 мА/B, 02=0.14 мА/B2, оэ=0.01 мА/В3.
11.3.	4 = 1.99  10" 3 +0.077(Ufo-0.25)+1.475 (ufo-0.25)2 А
11.4.	оо=63.75 мА, Ci =75 мА/B, о2=15 мА/В2, оз=о4=—=0.
115	. и=0.128 В.
11.	7.10= 15.03 мА, h =0.49 мА, 72=0-29 мкА,
7з=3.78 мкА.
11.8.	71=40иП1+1Л75и^.
11.10.	/60=1.25 мА, 11.11. Рв=1.52 мВт.
11.12.	FM1=4.05 Ом.
11.14.	7о=О.92 мА, 71 = 1.56 мА.
1L16. 17т21ЫХ=0.32 В.
11.17.	График зависимости ^кл(Цивх) приведен ив рис. IV.11.
11.19.	Vrax=0.42 В.
11.20.	1/о=0.19 В.
11.2L	РО=3.69 мВт,
А«ыт=3.35 мВт,
/’пот =0.34 мВт,
4=91%.
204
11-22.	= 10.28 В.
11.25.	--0.9.
11.26. a) iK4{f)^a2Ml^ncosVlt+
OlM2Ui.
--------cos ОД,
б) <««=—^coeQr.
a2V*R,
11-27. ишлч(г)= —----(4Afj cosfi|j-t-
+4M2cosQ2,+
Рис. rV.11.1
+ M, cos 2Й1t+M% cos 2П21+2MiM2 cos (fl, + П2) 1+
+2MiAf2cos(nt-n2)']-
Г0, y<0,
-2=,,/ _>_\
{y/2nay V 2ae-;/
/2	,	,
1134. my—=	ею*,	—e^.
1135.
Тем» 12
12.1.4,-150 ыкА.
12.2./rain=615 кГц, 840 кГц
123. С-70.12Л.	to^.
12.6. bU=0.8 В. 1X7. 5^=7.846 мА/В.
123. Uo= -0.978 В. 1X9. U^^SA В.
1X11. 4=8.48 мА. 1Х1Х В 8.53 раза.
1X13- | (0-вО)е_’А^1—
1X14. /1=0.382т, 12=2.618т.
1X16. G== -4.286 10'3 См. 1X17. ?м=2я/3.
1X18. 6.^= -2.356 10“* См, (ря= -5я/6.
205
Тема»
13.1. Физически реализуй ой СС-цепи отвечает лишь проводимость 1э(р).
133. Паралельная RC-цепь с параметрами: Я-3 кОм, С=3 пФ.
13.4. Последовательный £С-контур с параметрами эламятов: 1»2 мхГв, С—0.4 пФ.
133. Последовательный LCR-ковтур с параметрами элементов: С—0.3 мкФ, £-2 мГн, £-40 Ом.
13.6. Параллельный £С-контур с параметрами элементов: £—20 мхГн, С=750 пФ.
13.7. Схема цепи изображена на рнс. IV.13.1.
13-8. Схема цепи изображена на рис. IV.13.2.
13.10.	Схема цепи, отвечающая условию задачи, приведена на рис. IV.13.3. Сравнивая данный результат с тем, который получен в задаче 13.9, убеждаемся в неоднозначном характере процедуры синтеза.
13.11.	Схема цепи приведена на рнс. IV. 13.4.
13.12.	Схема цепи приведена на рнс. IV. 13.5.
13.13,	Схема цепи приведена на рис. FV.13.6.
13.14.	Схема цепи приведена на рнс. IV.13.7.
13.16. К(р^
_______Л _______
(Л-e )(Рж-е )
13.19.	£=0.161 Гн.
1330. £(Рж)-25/(^+2.6132/>’+3.4143/^+2.6132рж+1)
Рнс. IV. 13.4
Рис. IV. 13.6
206
1121. лл--58.24831 ± ±7’179.26992 с“\
Pj.4--152.49609±
±7'110.79489 <Г‘, р5 = 188.49555 с1.
13.22. аь-8-101 <Г‘, и-4.
13.23. ищщ —3. Усиление фильтра составляет при этом —15.12 дБ.
Рис. IV.13.7
0.65мкГн
13.26. vk(<Ob)= — arctgca>-arctg(2ft>B--v/3)-
-arctg (240,4-^3); Фк(со)=Зя/2.
13.27.	1.533 мес для фильтра первого порядка,
7гц “4.295 мкс для фильтра третьего порядка.
13-29- ₽,! 2 = -0.18441 ±/0.92303, р^, = -0.36883.
1330. K(pJ~------------------------------
р’+0.7376бр’ + 1.02203ря+0.32678.
Тема 14
14.2.	3^=0.955, и„«=33 В.
14.4. Х(р)=
КгК3
1-(ЛЛ+ЛУГ1Д).
Ка/(К0+1)
14.7.	К(р)=-------------,
1+ртоу/(Ко+1)
(КЬ+ОЛоу-
14.8.	К(р)
Ко
1 +Ко +pRC
14.9.	К(я)=--------------
1 +Rj (1 + Kof/R^+pRiC
14.10.	К(р).
-R2(R3+R4)
Si Я3— R2R4
Система становится неустойчивой, если R,^3 кОм.
14.12.	Koxp(n)=l/cosfr/n).
Ко
14.13.	»v0<u)>=	ехр/(п—шТо);
71+<л2
207
14.14.	Tcp-lJSe iO-1 C. 14.15.
14.16.	Л^р-4.58.
14.17.	Система неустойчива при любом Ко₽(0, со).
14.18.	Для устойчивости системы необходимо одновременное выполнение двух неравенств:
а)*о<1,б)*о<(т+Т2)/Г1.
1420.	0.23.1421. klu-0.08.
14XL Sj-16.57 мА/й.
14	24. Рассмотренный в задаче стационарный режим устойчив.
Тема 15
15.1. Д'-28 800 бит.
t " ыпЬгят/Д) / 2пл\
Примерный вид зависимости |5Хд(еи)[ изображен на рис. IV 15.1.
ISA Д»я/(100«).
15.5.	5](0)-2а1/о/(я,+4а3/Да). 15.7. Q=0.07.
15.12.	Q-0, С| = 1/2, С2-0, С3=1/2.
15.13.	*(() =0.125 +0.75cos(2*t/7)+0.125cos(4nt/T).
15.14.	*(/)=* cos (2x1/7). 15.17. X(z)«=z/(z-l).
15.18.	X(z)«l/(l-eB-*). 15.19. ^(z)—exp (az-1).
1521. **-13.286.1522. *„--2(0.4)" +3(0.6)".
zs+2z’+2z+l
1524.F(z)=------------.
1525. U) -(0,0,1,2, 2,1,0,0,...).
—tax
1528. К(лв)-1-2е +e .
Разлагал экспоненты в ряды Маклорена в ограничиваясь учетом первых трех членов при <оД-»0, находим, что К(>в)»(/соД)3, т. е. фильтр приближенно осуществляет операцию вычисления второй производной входного сигнала
1531. И(2)«
‘^-Мг-0.32*

-0.32
208
Рис. rv.15.1
ГО, m=0, 1, (.0.8333 (0.8)”-1-0.8333 (-0.4)"-1, т-2. 3, ...
1533.	=3.470, фх(ш)> -0.862 рад.
1534.	Рассматриваемый фильтр устойчив.
1535.	$„=0.059 В, <£=2.86 1(Г* В2.
1536.	<£,= 1.505 10 1 В2.
Тема 16
ML2. е™.-Ц.«/ЛЙ4: И..-1Л2мВ.
С ростом частоты cuq должна расшарться полоса пропускания. Это ведет к тому, что возрастает мощность шума, поступающего на выход цепи.
«л. е™.-ц.м7м2»а.
BA	ВА
163.	(1-е Н .
ш‘1о	ja>
{0. «О,
BA(l-t/fD). 0<t<«0)
0, t>t&
16.6.	3.125 В. 16.7. tt=84.
16.8. т,„т =45.5 нс.
1
16.10. |*(х»)|=----------------,
I +*(аа+ц>,)/(Д1+ш’)
где
fc=P<^/(o£).
209
wB AWq
(а+2^/Ио)1/3’
16.16.	50 бит.
16.17.	5 бит/символ
16.18.	900 кбит; 1.6 раза
16.19.	11.52 Мбит; 1280 раз.
Приложения
1. Некоторые трм-омметрпеосве форму»
, 1
ял х=- (1 —cos2x).
, 1
сое1*—- (1 + cos 2х).
, 1
ып* * •= - (3 sin х— sin Зх).
cos’ х=-(3cosx+cos Зх).
. 1
sin х«а~(10япх—5siu3x+sin5x)
cos’*—— (10cosx+5cos3x+cos5x).
16
2. Смзь между взображемпм  орвтапя
Г(р)	
1	
Чр	o(f)
Чр1	
l/fr+e)	ехр (-а»)
pl(p+a)	Й(Г)—оехр(—а»)
aj]p(p+a)]	1—ехр(—а»)
1	1 . -а -Я. 	(е —е )
(p+c)(p+fc)	Ь—а
Р	1 л	-"s 	(be —се 1
(p+d)(p+ti)	fc-c
Ч(р+а?	-at te
рКр+а?	(1-аде""
IDfyP+ai1)	sin ед
p/(p2+<o*)	COS (Dt
cjj[(p+a)2 + а>2]	-al e sin си
211
Продолжение прилож.
/(0
f(p)
(р+а)/Кд+д)2+о>*1 д*/[ра(р+д)]
1
р(р • a)fy+b}
1
pKp+e)3+w3]
1
___p
(? + fit) (pJ + w1)
p2
(p+a)G?+W1)
-at e costot tu-fl-e"*)
-- 1+—— (he * ae oh[ д—b
5 R	(	a . V
--—-- 1 e x coscuf4-— мшг j
<r-Farl	\	ш /
1	/ -at	a -	\
—----Je	—ccmw/4—ипФ/1
a2 + or \	ш /
1	-at
—-----(—ac +acoscu/+oosina)0
a3 + a)2
1 , —' ---- (a e	— ace sin ал	ccsof
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1,	Баскаков С И. Радиотехнические цепи и сигналы.— Мл Высшая школа,

2.	Поьов В. П Основы теории цепей.— Мл Высшая школа, 2000.
3.	Прудшков A. IL, Брычког Ю А., Мярнчея О. И. Интегралы и ряды.— Мл Наука, Главная редакция физико математической литературы, 1981,
4.	Янке Е, Эмде Ф.. Леш Ф, Специальные функции, Формулы, i рафики, табл <цы: Пер. с нем,/ Под ред JL И. Седова.— Мл Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1977.
5.	Твхоаов А. Н., Костомаров Д. П Вводные ли гши по прикладной математики.— Мл Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984,
6	Дьяковов В. П., Абряменковя И. В. MathCAD 7 0 в математике, физике и в Internet,— Мл Изд-во Нолидж, 1 *99.
7.	Грызлов В. И., Грызлов» Т. П, Турбо Паскаль 7.0.— Мл Изд во ДМК, 1998.
8.	Кврлящук Е, И. Электронная лаборатория на IBM PC. Программа Electronics Workliench и ее применение.— Мл Изд во Солон-Р, 2000.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .....................................................3
РАЗДЕЛ I. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ...................................6
Тема 1. Общи теория радиотехнических сигналов ...................6
Тема 2. Спектральные представления сигналов.....................13
Тема 3. Энергетические спектры сигналов. Принципы корреляционного анализа ........................................................22
Тема 4. Модулированные сигналы .................................25
Тема 5. Сигналы с ограниченным спектром.........................29
Тема 6. Основы теории случайных сигналов .......................34
Тема 7. Корреляционная теория случайных процессов...............39
Тема 8. Воздействие детерминированных сигналов на линейные стационарные системы ...........................................43
Тема 9. Воздействие детерминированных сигналов на частотноизбирательные системы ..........................................51
Тема 10. Воздействие случайных сигналов на линейные стационарные цепи 55
Тема 11. Преобразования сигналов в нелинейных радиотехнических цепях 60
Тема 12. Преобразование сигналов в линейных параметрических цепях ...67
Тема 13. Основы теории синтеза линейных радиотехнических цепей .70
Тема 14. Активные цепи с обратной связью и автоколебательные системы 75
Тема 15. Дискретные сигналы. Принципы цифровой фильтрации.......80
Тема 16. Оптимальная линейная фильтрация	сигналов ..............85
РАЗДЕЛ II. Указания ............................................89
РАЗДЕЛ III. Решения ...........................................104
РАЗДЕЛ IV. Ответы .............................................189
Приложения..................................................211
Рекомендуемая литература....................................213