Text
                    Оглавление
Предисловие ко второму изданию 6
Из предисловия к первому изданию g
Введение 9
Часть 1. Радиотехнические сигналы ц
Глава 1. Элементы общей теории радиотехниче-
радиотехнических сигналов 11
1.1. Классификация радиотехнических сигналов И
1.2. Динамическое представление сигналов 16
1.3. Геометрические методы в теории сигналов 23
1.4. Теория ортогональных сигналов 27
Глава 2. Спектральные представления сигналов 38
2.1. Периодические сигналы и ряды Фурье 38
2.2. Спектральный анализ непериодических сиг-
сигналов. Преобразование Фурье 43
2.3. Основные свойства преобразования Фурье 51
2.4. Спектральные плотности иеиитегрируемых
сигналов 55
2.5. Преобразование Лапласа 61
Глава 3. Энергетические спектры сигналов. Прин-
Принципы корреляционного анализа 68
3.1. Взаимная спектральная плотность сигналов.
Энергетический спектр 68
3.2. Корреляционный анализ сигналов 73
3.3. Автокорреляционная функция дискретного
сигнала 79
3.4. Взаимокорреляцнониая функция двух сигна-
сигналов 83
Глава 4. Модулированные сигналы 88
4.1. Сигналы с амплитудной модуляцией 88
4.2. Сигналы с угловой модуляцией 96
4.3. Сигналы с внутриимпульсиой частотной мо-
модуляцией 104
Глава 5. Сигналы с ограничашым спектром 113
5.1. Некоторые математические модели сигналов
с ограниченным спектром 113
5.2. Теорема Котельиикова 116
5.3. Узкополосные сигналы 121
54. Аналитический сигнал и преобразование
Гильберта 125
Глава 6. Основы теории случайных сигналов 136
6.1. Случайные величины и их характеристики 136
6.2. Статистические характеристики систем слу-
случайных величии 143
6.3. Случайные процессы 149
Глава 7. Корреляционная теория случайных про-
процессов 158
7.1. Спектральные представления стационарных
случайных процессов 158


Оглавление 7.2. Дифференцирование и интегрирование слу- случайных процессов 164 7.3. Узкополосиые случайные процессы 171 Часть 2. Радиотехнические цепи, устройства и системы 184 Глава 8. Воздействие детерминированных сигна- сигналов на линейные стационарные системы 184 8.1. Физические системы и их математические модели 184 8.2 Импульсные, переходные и частотные харак- характеристики линейных стационарных систем 187 8.3. Линейные динамические системы 194 8.4. Спектральный метод 203 8.5. Операторный метод 210 Глава 9. Воздействие детерминированных сигна- сигналов на частотно-избирательные системы 218 9.1. Некоторые модели частотно-избирательных цепей 218 9.2 Частотно-избирательные цепи при широко- широкополосных входных воздействиях 224 93. Частотио-избирательиые цепи при узкополос- иых входных воздействиях 229 Глава 10. Воздействие случайных сигналов на линейные стационарные цепи 247 10.1. Спектральный метод анализа воздействия случайных сигналов на линейные стацио- стационарные цепи 247 10.2. Источники флуктуациоииых шумов в ра- радиотехнических устройствах 256 Глава 11. Преобразования сигналов в нелиней- нелинейных радиотехнических цепях 266 11.1. Безынерционные нелинейные преобразо- преобразования 266 11.2. Спектральный состав тока в безынерци- безынерционном нелинейном элементе при гарыоии- ческом внешнем воздействии 270 11.3. Нелинейные резонансные усилители и умножители частоты 275 11.4. Безынерционные нелинейные преобразова- преобразования суммы нескольких гармонических сиг- сигналов 278 11.5. Получение модулированных радиосигналов 283 11.6. Амплитудное, фазовое и частотное детек- детектирование 286 11.7. Воздействие стационарных случайных сиг- сигналов на безынерционные нелинейные цепи 292 Глава 12. Преобразования сигналов в линейных параметрических цепях 299 12.1. Прохождение сигналов через резистивные параметрические цепи * 299 12.2. Энергетические соотношения в параметри- параметрических рецктивных элемента* цеп». 307 Принципы парфмаддо^ар!^ дацнмвд 311 еск рец 12.3. Принципы парфмаддо^ар!^ дацнм
12.4. Воздействие гармонических сигналов на параметрические системы со случайными характеристиками 318 Глава 13. Элементы теории синтеза линейных частотных фильтров 325 13.1. Частотные характеристики четырехполюс- четырехполюсников 325 13.2. Фильтры нижних частот 330 13.3. Реализация фильтров 335 Глава 14. Активные цепи с обратной связью и автоколебательные системы 341 14.1. Передаточная функция линейной системы с обратной связью 341 14.2. Устойчивость цепей с обратной связью 346 14.3. Активные ЛС-фильтры \ 351 14.4. Автогенераторы гармонических колебаний. Режим малого сигнала J • 356 14.5. Автогенераторы гармонических колебаний. Режим большого" сигнала . 364 Глава 15. Дискретные сигналы. Принципы цифро- цифровой фильтрации 374 15.1. Модели дискретных сигналов 374 15.2 Дискретизация периодических сигиалов 380 15.3. Теория z-преобрезоваиия -388* 15.4. Цифровые фильтры 392 15.5. Реализация алгоритмов цифровой фильт- фильтрации 397 15.6. Синтез линейных цифровых фильтров 406 Глава 16. Некоторые вопросы теории помехоус- помехоустойчивости радиоприема 415 16.1. Выделение полезного сигнала с помошью линейного частотного фильтра 415 16.2. Оптимальная линейная фильтрация сигиа- сигиалов известной формы 419 16.3. Реализация согласованных фильтров 425 16.4. Оптимальная фильтрация случайных сиг- сигналов 432 16.5. Сравнение помехоустойчивости радио- радиосистем с амплитудной и частотной моду- модуляцией ' 435 Заключение . 442 Приложения 443 Список рекомендуемой литературы 445 Предметный указатель 447
Предисловие ко второму изданию Во втором издании общий план книги и ее объем сохранены неизменными. Некоторые главы переработаны как в научном, так и в методическом отношении. В частности, читатель сможет познакомиться с более современной трактовкой обобщенных функций, служащих мощным и гибким средством построения мате- математических моделей сигналов. Расширен раздел, касающийся воздействий радио- радиосигналов на частотно-избирательные системы. Полнее представлена теория нелиней- нелинейных преобразований сигналов. Наконец, новую трактовку получили принципы обработки дискретных сигналов и ряд вопросов оптимальной линейной фильтрации. Чтобы не перегружать книгу, во втором издании опущен материал, касаю- касающийся классического синтеза линейных пассивных двухполюсников, достаточно подробно изложенный в ряде учебников по курсу «Основы теории цепей», которые опубликованы за последние годы. По сравнению с первым изданием, перечень задач и упражнений, помещенных в конце каждой главы, пересмотрен и несколько расширен. Читатель, желающий подробно ознакомиться с методическими принципами решения учебных задач в области теоретических основ радиотехники, может обратиться к нашей книге «Радиотехнические цепн и сигналы. Руководство к решению задач» («Высшая школа», 1987). В основу учебника положен материал лекций, читавшихся автором на радио- радиотехническом факультете и на факультете повышения квалификации преподавателей Московского энергетического института. Автор признателен своим коллегам, осо- особенно проф. Г. Д. Лобову, доц. В. П. Жукову и доц. В. Г. Карташеву за творче- творческие дискуссии и неизменную поддержку. Большую помощь при подготовке рукописи второго издания книги оказали конструктивные критические замечания и рекомендации, содержащиеся в рецензии кафедры теоретических основ радиотех- радиотехники Рязанского радиотехнического института, руководимой доц. В. А. Казаковым. За время, прошедшее с момента выхода в свет первого издания, были полу- получены многочисленные отзывы читателей. Советы, замечания и пожелания, содер- содержащиеся в них, существенно помогли переработать текст. Хочется выразнть искреннюю признательность всем лицам, принявшим участие в этом коллективном рецензировании учебника. Москва. 1988 С. И. Баскаков Из предисловия к первому изданию Курс «Радиотехнические цепн й сигналы» в настоящее время занимает одно из центральных мест среди фундаментальных дисциплин, определяющих своим содержанием профессиональную подготовку радиоинженеров. Следуя за направле- направлением научно-технического прогресса, отражая развитие элементной базы радио- радиоэлектроники и ее теоретического арсенала, этот курс, объединяет и систематизи- систематизирует наиболее важные принципы в области радиотехники. Содержание данной книги соответствует программе курса «Радиотехнические цепи и сигналы», утвержденной MB и ССО СССР. Предполагается, что читатель, приступивший к изучению книги, прослушал ряд предшествующих курсов, таких, как «Введение в специальность», «Высшая математика», «Физика» и «Основы теории цепей». ¦ . -, '
Из предисловия к первому изданию 7 Работая над текстом, автор стремился возможно теснее сблизить излагаемый материал с практикой учебной работы в вузе. Это в первую очередь определило принцип отбора материала и степень детальности освещения: на страницы книги вынесено лишь то, что, как показывает практический опыт преподавания, может быть полностью усвоено студентами за отведенное на это время. Изучение конкретных схемотехнических решений, их сравнительный анализ — все это относится уже к специальным инженерным дисциплинам, изучаемым позднее. Курс «Радиотехнические цепн и сигналы» отличается разиообразием содержания, обилием понятий и методов, с которыми студенты сталкиваются впервые. Боль- Большую роль в этом курсе играют математические приемы исследования. Прочное овладение ими совершенно обязательно, поскольку они служат логическим фунда- фундаментом построения последующих радиотехнических дисциплин. Для связи теорети- теоретических положений и радиотехнической практики в главах книги приводится много примеров, раскрывающих характерные приемы инженерного анализа. Содержание и структура книги. Учебник состоит из двух частей. Первая часть РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ СИГНАЛЫ знакомит читателя с методами, принятыми в настоящее время для описания и изучения свойств сигналов. Рассматриваются вопросы классификации сигналов, фундаментальный принцип геометрической трак- трактовки пространства сигналов, спектральный и корреляционный анализ детермини- детерминированных колебаний, теория модулированных радиосигналов, а также дискретное представление непрерывных сигналов с ограниченным спектром. Подробно излагаются методы описания и измерения характеристик случайных сиг- сигналов. Во второй части РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ, УСТРОЙСТВА И СИ- СИСТЕМЫ дано систематическое изложение принципов анализа и расчета явле- явлений прохождения разнообразных сигналов, как детерминированных, так и случай- случайных, через линейные и нелинейные радиотехнические цепи. Особо подчеркнута роль узкополосных частотно-избирательных цепей. Рассмотрены вопросы прохожде- прохождения сигналов через линейные параметрические цепи. Опнсаны приемы синтеза линей- линейных четырехполюсников с заданными частотными характеристиками. Изучая безынерционные нелинейные цепи, читатель познакомится с важнейшими видами преобразования сигналов — модуляцией, детектированием, умножением и преобразо- преобразованием частоты. Рассмотрена теория автогенераторов гармонических колебаний. Изложены направления, возникшие в радиотехнике сравнительно недавно под влиянием успехов микроэлектронной технологин. Сюдв относятся активные фильтры для обработки аналоговых сигналов и как одно из наиболее перспективных направлений — цифровая фильтрация сигналов. Наконец, приведены элементы теорнн оптимальной линейной фильтрации детерминированных и случайных сигналов. Открыв эту книгу, читатель, безусловно, обратит внимание на принцип ее оформления. На страницах наряду с основным текстом имеются поля, куда вы- вынесена вспомогательная, дополнительная и наглядно-графическая информация. В частности, на, полях сосредоточены: 1. НАПОМИНАНИЯ, относящиеся к ранее пройденным учебным курсам, на- например к курсам физики и основ теории цепей. 2. СВЕДЕНИЯ СПРАВОЧНОГО ХАРАКТЕРА, такие, как значения фундамен- фундаментальных физических констант, табличные интегралы и т. д. 3. КРАТКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ, цель которых — показать наличие межпредметных связей, обратить внимание на общность методоа, принятых в радиотехнике и в дру- других, порой далеких, областях научной и прикладной деятельности. 4. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РИСУНКИ, которые в тексте, как правило, ие упоми- упоминаются, однако служат неотъемлемыми элементами излагаемого учебного мате- материала. Наличие этих рисунков, помимо сокращения объема книги, дает возмож-
8 Из предисловия к первому изданию ность в известной мере приблизить стиль книжного изложения к стилю живой лекторской речи. 5. УКАЗАНИЯ, помогающие организовать работу читателя с текстом. На полях книги в соответствующих местах появляются следующие сигнальные значки: ¦ — в данном месте текста описан некоторый принцип, имеющий первостепен- первостепенное значение для радиотехники; ф — указание иа то, что в тексте сформулировано новое понятие, которое читателю предлагается запомнить; А — читателю рекомендуется решить некоторую задачу (или задачи) из числа приведенных в конце главы; задача иллюстрирует теоретическое положение, изло- изложенное в основном тексте. В настоящее время учебный процесс в вузе характеризуется высокой интен- интенсивностью. Это требует от студента четкого планирования своего времени. Стре- Стремясь помочь студентам в этом важном деле, автор уделил особое внимание опти- оптимальной дозировке материала, предлагаемого для усвоения и повторной прора- проработки. Каждая глава книги отвечает отдельной большой теме лекционного курса. Основной структурной единицей главы является параграф, приближенный по своему объему к отдельной лекции. Самая мелкая структурная единица — пункт, в кото- котором содержится некоторый завершенный вопрос. В конце каждой главы помещены РЕЗУЛЬТАТЫ, прочное знание которых является обязательным. Следующей, более активной фазой самоконтроля являются ответы на ВОПРОСЫ. Особенно большую пользу эта работа может принести студентам при подготовке к экзаменам. Желательно, чтобы читатель по мере изучения курса постоянно обращался к разделу ЗАДАЧИ. Здесь собран материал для самостоятельной работы, по тема- тематике и уровню сложности отвечающий содержанию той или иной главы. В методический аппарат каждой . главы включен факультативный раздел БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ ЗАДАНИЯ. Работа над этими заданиями рекомендуется студентам, которые глубоко интересуются методами теоретической радиотехники и имеют склонность к научным исследованиям. Отзывы о книге просьба направлять по адресу: 101430, Москва, ГСП-4, Неглин- Неглинная ул., 29/14, издательство «Высшая школа».
Введение В решениях XXVII съезда КПСС и в Основных направлениях экономического и социального развития СССР иа 1986—1990 годы и на период до 2000 года определен стратегический курс научно-технического прогресса. К числу важных областей наукн и техники, достижения которых непосредственно способствуют росту материального и культурного уровня общества, принадлежит радиотехника. Радиотехника — научно-техническая область, задачами которой являются: 1) изучение принципов генерации, усиления, излучения и приема электромаг- электромагнитных колебаний и волн, относящихся к радиодиапазону; 2) практическое использование этих колебаний и волн для целей передачи, хранения и преобразования информации. На первоначальном этапе своего развития вслед за изобретением радио (А. С. Попов, 1895 г.) радиотехника решала преимущественно проблемы электро- электросвязи, используя электромагнитные колебания с длинами волн в несколько сотеи или тысяч метров. В настоящее время круг применений радиотехники необычайно расширился. Радиосвязь, телевидение, радиоуправление, радиолокация, радионавига- радионавигация, радиотехнические методы в биологии, медицине, геофизике — таков далеко не полный перечень отраслей радиотехники. Науку, занимающуюся изучением физических основ радиотехники, называют радиофизикой. Радиофизика — быстро развивающаяся ветвь прикладного естество- естествознания, тесно связанная с такими фундаментальными областями, как квантовая механика, физика твердого тела и др. Проникновение радиотехники в смежные области (электронику, вычислительную технику) обусловило возникновение широкой научно-технической области, получив- получившей собирательное название радиоэлектроники. Радиотехника и радиоэлектроника получили всестороннее развитие в нашей стране. Большой общепризнанный вклад в фундаментальные основы радиотехники внесли советские ученые — академики Л. И. Мандельштам, Н. Д. Папалекси, В. А. Фок, А. И. Берг, В. А. Котельников и многие другие. Как известно читателю из курса «Введение в специальность», передача сообще- сообщения от источника к получателю с помощью радиотехнических методов осуществ- осуществляется по радиоканалу. Основные элементы радиоканала — передатчик, приемник и физическая среда, в которой происходит распространение электромагнитных волн. ' Средой распространения может быть как свободное пространство, так и спе- . циальные технические устройства — волноводы, кабели и другие линии передачи. Сигнал, поступающий от первичного источника сообщений, на передающей стороне радиоканала с помощью микрофона, передающей телевизионной камеры или других подобных устройств преобразуется в электрические колебания. Эти колебания не могут быть непосредственно использованы для возбуждения электро- электромагнитных волн ввиду их относительной низкочастотности. Поэтому в радио- радиотехнике применяют спосЬбы передачи сигналов, основанные на том, что низкочас- низкочастотные колебания, содержащие исходное сообщение, с помощью специальных устройств управляют параметрами достаточно мощного несущего колебания, частота которого лежит в раднодиапазоие. Процесс подобного преобразования сигналов называют модуляцией несущего колебания. Модулированный сигнал излучается антенной передатчика Возбужденные при этом электромагнитные волны вызывают появление в антенне приемника радио- радиосигнала, уровень которого обычно весьма мал. После частотной фильтрации и усиления принятый сигнал должен быть подвергнут демодуляции (детектированию)— операции, обратной по отношению к модуляции. В результате на выходе приемника возникает колебание, являющееся копией переданного исходного сообщения.
10 Введение Приведенное описание принципа функционирования простейшего радиоканала подчеркивает, что передача сообщений по радиоканалу сопровождается разно- разнообразными преобразованиями сигналов. Эти преобразования осуществляются посред- посредством соответствующих физических систем — радиотехнических цепей. Каждая радио- радиотехническая цепь выполняет определенную операцию над сигналами, характер которой целиком зависит от внутренней структуры цепи. Так, принято различать усилители, фильтрующие частотно-избирательные системы, преобразователи формы электрических колебаний, модуляторы, детекторы и многие другие виды радио- радиотехнических цепей, рассматриваемые в данном курсе. В любом реальном радиоканале помимо полезного сигнала неизбежно присут- присутствуют помехи, возникающие по многим причинам,—из-за хаотического теплового движения электронов в элементах цепей, .несовершенства контактов в аппаратуре, влияния соседних радиоканалов с близким^ несущими частотами, наличия в прост- пространстве шумового космического радиоизлучения и т. д. Способность радиотехниче- радиотехнических средств передачи информации противодействовать вредному влиянию помех и обеспечивать высокую верность передачи называют помехоустойчивостью. В современной радиотехнике задача создания помехоустойчивых систем является одной из центральных. Отдельная отрасль, получившая название статистической радиотехники и базирующаяся на вероятностных методах, занимается теорией и практикой построения таких систем. Одним из наиболее действенных путей дости- достижения высокой помехоустойчивости является "использование совершенных видов модуляции сигналов и, в частности, помехоустойчивого кодирования сообщений. Итак, в курсе «Радиотехнические цепн и сигналы» изучаются следующие основные вопросы: 1) свойства разнообразных полезных сигналов и помех, а также принципы их математического описания; 2) свойства физических систем, выполняющих роль радиотехнических цепей; 3) методы анализа преобразований сигналов в радиотехнических цепях, способы построения основных видов цепей; 4) приемы синтеза радиотехнических цепей с заданными свойствами. В наши дни радиотехника является бурно развивающейся научно-прикладной областью. Говоря о ближайших перспективах ее развития, следует подчеркнуть тенденцию перехода ко все более высокочастотным диапазонам электромагнитных колебаний и волн. Так, колебания сверхвысокочастотного (СВЧ) диапазона, ранее при- применявшиеся в основном в радиолокации, стали широко использоваться в телевизион- телевизионных, связных и телеметрических радиоканалах. Достигнуты большие успехи в созда- создании лазерных линий связи с несущими частотами, лежащими в. световом и инфракрасном диапазонах. Быстрыми темпами развивается элементная база радиотехники и радиоэлект- радиоэлектроники. Если традиционные радиотехнические цепи представляли собой почти исклю- исключительно комбинации линейных и нелинейных электрических цепей, то сейчас интенсивно исследуются и внедряются в практику функциональные устройства и системы, производящие обработку сигналов за счет специфических волиовых и коле- колебательных явлений в твердых телах — полупроводниках, диэлектриках и магнитных материалах. Огромную роль в современной радиотехнике играют изделия микро- микроэлектронной технологии. Доступные, недорогие, надежные и быстродействующие интегральные микросхемы- решающим образом изменили облик многих областей радиотехники. Микроэлектроника обусловила широкий переход к принципиально новым цифровым способам обработки и преобразоваиия радиотехнических сигналов. Есть все основания ожидать, что отрасли радиотехники будут и впредь расширяться н развиваться на базе прогресса во многих смежных областях науки U техники.
1.Радио/ технические сигналы Глава 1 Элементы обшей теории радиотехнических сигналов Термин «сигнал» часто встречается не только в научно- технических вопросах, но и в повседневной жизни. Иногда, ие задумываясь о строгости терминологии, мы отождествляем такие понятия, как сигнал, сообщение, информация. Обычно это не приводит к недоразумениям, поскольку слово «сигнал» происходит от латинского термина «signum» — «знак», имеющего широкий смысловой диапазон. Тем не менее, приступая к систематическому изучению тео- теоретической радиотехники, следует по возможности уточнить содержательный смысл понятия «сигнал». В соответствии с принятой традицией сигналом называют процесс изменения во времени физического состояния какого-либо объекта, слу- служащий для отображения, регистрации и передачи сообщений. В практике человеческой деятельности сообщения неразрывно связаны с заключенной в них информацией. Круг вопросов, базирующихся иа понятиях «сообщение» и «информация», весьма широк. Он является объектом при- пристального внимания инженеров, математиков, лингвистов, философов. В 40-х- годах К. Шеннон завершил первоначальный этап разработки глубокого научного направления — теории информации. Следует сказать, что упомянутые здесь проблемы, как правило, далеко выходят за рамки курса «Радиотехнические цепи и сигналы». Поэтому в этой книге не будет излагаться связь, которая существует между физическим обликом сигнала и смыслом заключенного в нем Сообщения. Тем" более не будет обсуждаться вопрос о ценности информации, заклю- заключенной в сообщении и в конечном счете в сигнале. 1.1. Классификации радиотехнических сигналов Приступая к изучению каких-либо новых объектов или явлений, в науке всегда стремятся провести их предвари- предварительную классификацию. Ниже такая попытка предпринята применительно к сигналам. Основная цель — выработка кри- Информация наря- наряду с матерней н энергией принадле- принадлежит к фундамен- фундаментальным философ- философским категориям естествознания
Глава 1. Элементы общей теории сигналов математическая модель u(t)= 0 формула как мо- модель детерминиро- детерминированного сигнала В большинстве слу- случаев носителями радиотехнических сигналом являются электромагнитные колебания вещественные и комплексные сиг- сигналы териев классификации, а также, что очень важно для после- последующего, установление определенной терминологии. Описапие снгналоа посредством математических моделей. Сигналы как физические процессы можно изучать с помощью различных приборов и устройств — электронных осцилло- осциллографов, вольтметров, приемников. Такой эмпирический метод имеет существенный недостаток. Явления, наблюдаемые экспериментатором, всегда выступают как частные, единичные проявления, лишенные той степени обобщенности, которая позволила бы судить об их фундаментальных свойствах, пред- предсказывать результаты в изменившихся условиях. Для того чтобы сделать сигналы объектами теоретиче- теоретического изучения и расчетов,-следует указать способ их мате- математического описания или, говоря языком современной наукн, создать математическую модель исследуемого сигнала. Математической моделью сигнала может быть, например, функциональная зависимость, аргументом которой является время. Как правило, в дальнейшем такие математические модели сигналов будут обозначаться символами латинского алфавита s((), u(t),f(t) и т.д. Создание модели (в данном случае физического сигнала) — первый существенный шаг на пути систематического изучения свойства явления. Прежде всего математическая модель позволяет абстрагироваться от конкретной природы носителя сигнала. В радиотехнике одна и та же математическая модель с равным успехом описывает ток, напряжение, напря- напряженность электромагнитного поля и т. д. Существенная сторона абстрактного метода, базирую- базирующегося на понятии математической модели, заключена в том, что мы получаем возможность описывать именно те свой- свойства сигналов, которые объективно выступают как определяю- ще важные. При этом игнорируется большое число второ- второстепенных признаков. Например, в подавляющем большин- большинстве случаев крайне затруднительно подобрать точные функ- функциональные зависимости, которые соответствовали бы элект- электрическим кодебаниям, наблюдаемым экспериментально. Поэтому исследователь, руководствуясь всей совокупностью доступных ему сведений, выбирает из наличного арсенала математических моделей сигналов те, которые в конкретной ситуации наилучшим и самым простым образом описывают физический процесс. Итак, выбор модели — процесс в зна- значительной степени творческий. Функции, описывающие сигналы, могут принимать как вещественные, так и комплексные значения. Поэтому в даль- дальнейшем часто будем говорить о вещественных и комплексных сигналах. Использование того или другого принципа — дело математического удобства. Зная математические модели сигналов, можно сравнивать эти сигналы между собой, устанавливать их тождество и различие, проводить классификацию. Одномерные н многомерные сигналы. Типичным для радио- радиотехники сигпалом является напряжение на зажимах какой-
1.1 Классификация радиотехнических сигналов либо цепи или ток в ветви. Такой сигнал, описываемый одной функцией времени, принято называть одномерным. В этой книге чаще всего будут изучаться одномерные сигналы. Однако иногда удобно вводить в рассмотрение многомерные, или векторные, сигналы вида ?<*) = {»,<*), v2(t) vN(t)}, . образованные некоторым множеством одномерных сигналов. Целое число N называют размерностью такого сигнала (тер- минология заимствована из линейной алгебры). Многомерным сигналом служит, например, система напря- напряжений на зажимах многополюсника. Отметим, что многомерный сигнал — упорядоченная сово- . купность одномерных сигналов. Поэтому в общем случае сигналы с различным порядком следования компонент не равны друг другу: К, »2}Ф {v2, i?,}. Многомерные модели сигналов особенно полезны в тех случаях, когда функционирование сложных систем анализи- анализируется с помощью ЭВМ. - Детерминированные н случайные сигналы. Другой принцип классификации радиотехнических сигналов основан на воз- возможности или невозможности точного предсказания их мгно- мгновенных значений в любые моменты времени. Если математическая модель сигнала позволяет осущест- осуществить такое предсказание, то сигнал называется детерминиро- детерминированным. Способы его задания могут быть разнообразными — математическая формула, вычислительный алгоритм, наконец, словесное описание. Строго говоря, детерминированных сигналов, равно как и отвечающих им детерминированных процессов, не сущест- существует. Неизбежное взаимодействие системы с окружающими ее физическими объектами, наличие хаотических тепловых флуктуации и просто неполнота знаний о начальном состоя- состоянии системы — все это заставляет рассматривать реальные сигналы как случайные функции времени. В радиотехнике случайные сигналы часто проявляют себя как помехи, препятствующие извлечению информации из принятого колебания. Проблема борьбы с помехами, повыше- нйе помехоустойчивости радиоприема — одна из центральных проблем радиотехники. Может показаться, что понятие «случайный сигнал» про- противоречиво. Однако Зто не так. Например, сигнал на выходе приемника радиотелескопа, направленного на источник косми- космического излучения, представляет собой хаотические колеба- колебания, несущие, однако, разнообразную информацию о при- природном объекте. Между детерминированными и случайными сигналами нет непреодолимой границы. Очень часто в условиях, когда уровень помех значительно меньше уровня полезного сигиала O-r о— ы, ? ! —о ^о Пример многомер- многомерного сигнала Осциллограмма типичного случай- ного сигналя
Глава 1. Элементы общей теории сигналов видеоимпульс и ра- Л1ЮИМИ>.1ЬС с известной формой, более простая детерминированная мо- модель оказывается вполне адекватной поставленной задаче. Методы статистической радиотехники, развитые в послед- последние десятилетия для анализа свойств случайных сигналов, имеют много специфических черт и базируются на математи- математическом аппарате теории вероятностей и теории случайных процессов. Этому кругу вопросов будет целиком посвящен ряд глав настоящей книги. Импульсные сигналы. Очень важный для радиотехники класс сигналов представляют собой импульсы, т. е. колебания, существующие лишь в .пределах конечного отрезка времени. При этом различают видеоимпульсы (рис. 1.1, а) и радио- радиоимпульсы (рис. 1.1,6). Различие между этими двумя основными видами импульсов состоит в следующем. Если «в (г) — видео- видеоимпульс, то соответствующий ему радиоимпульс ир (г) = = и„@ cos (о>оГ + Фо) (частота т0 и начальная фаза \р0 произ- произвольны). Прн этом функция «в (г) называется огибающей радиоимпульса, а функция cos(co0, + фо) — его заполнением. Рис. 1.1. Импульсные сигналы н их характеристики: а — видеоимпульс, б — радиоимпульс; е — определение числовых параметров импульса Происхождение В технических расчетах вместо полной математической термина «видеоим- модели, которая учитывает подробности «тонкой структуры» пульс» связано с импульса, "часто пользуются числовыми параметрами, даю- тем, что впервые щими упрощенное представление о его форме. Так, для такие колебания видеоимпульса, близкого но форме к трапеции (рнс. 1.1, в), стали применяться принято определять его амплитуду (высоту) А. Из временных в технике телевп- параметров указывают длительность импульса ти, длителъ- ления ность фронта тф и длительность среза тс. - В радиотехнике имеют дело с импульсами напряжения, Создание приборов амплитуды которых лежат в пределах от долей микро- для измерения на- вольта до нескольких киловольт, а длительности достигают раметров импуль- долей наносекунды. сов— важная об- Аналоговые, дискретные н цифровые сигналы. Заканчивая ласть измеритель- краткий обзор йринципов классификации радиотехнических ной техники " сигналов, отметим следующее. Часто физический процесс, порождающий сигнал, развивается во времени таким образом, что значения сигнала можно измерять в. любые моменты времени. Сигналы этого класса принято называть аналого- аналоговыми (континуальными). Термин «аналоговый сигнал» под-
L.I. Классификация радиотехнических сигналов черкивает, что/гакой сигнал «аналогичен», полностью подобен порождающему его физическому процессу. Одномерный аналоговый сигнал наглядно представляется своим графиком (осциллограммой), который может быть как непрерывным, так и с точками разрыва. Первоначально в радиотехнике использовались сигналы исключительно аналогового типа. Такие сигналы позволяли с успехом решать относительно несложные технические задачи (радиосвязь, телевидение и т. д.). Аналоговые сигналы было просто генерировать, принимать и обрабатывать с помощью доступных в те годы средств. Возросшие требования к радиотехническим системам, разнообразие применений заставили искать новые принципы их построения. На смену аналоговым в ряде случаев пришли импульсные системы, работа которых основана на использо- использовании дискретных сигналов. Простейшая математическая- мо- модель дискретного сигнала sa (t) — это счетное множество точек {tj} (i — целое число) на оси времени, в каждой из которых определено отсчетное значение сигнала s,-. Как правило, шаг дискретизации Д = ti+l — t,- для каждого сигнала постоянен. Одно нз преимуществ дискретных сигналов по сравнению с аналоговыми — отсутствие необходимости воспроизводить сигнал непрерывно во все моменты времени. За счет этого появляется возможность по одной и той же радиолинии передавать сообщения от" разных источников, организуя многоканальную связь с разделением каналов по времени. Интуитивно ясно, что быстро изменяющиеся во времени аналоговые сигналы для их дискретизации требуют малого шага Д. В гл. 5 этот фундаментально важный вопрос будет подробно исследован. Особой разновидностью дискретных сигналов являются цифровые сигналы. Для них характерно то, что отсчетные значения представлены в форме чисел. По соображениям технических удобств реализации и обработки обычно исполь- используют двоичные числа с ограниченным и, как правило, не слишком большим числом разрядов. В последнее время ¦ наметилась тенденция к широкому внедрению систем с цифровыми сигналами. Это связано со значительными успехами, достигнутыми микроэлектроникой и интегральной схемотехникой. 'Следует иметь в виду, что" в сущности любой дискрет- дискретный или цифровой сигнал (речь идет о сигнале — физическом процессе, а не о математической модели) является сигналом аналоговым. Так, медленно изменяющемуся во времени ана- аналоговому сигналу s(t) можно сопоставить его дискретный образ, имеющий внд последовательности прямоугольных видеоимпульсов одинаковой длительности (рис. 1.2, а); высота этих импульсов пропорциональна значениям s (г) в отсчетных точках. Однако можно поступить и по-ииому, сохраняя высоту импульсов постоянной, но изменяя их длительность в соответствни с текущими отсчетными значешшмн (рис. 1.2,6). I Т I I, Модель дискретно- дискретного сигнала 111001011 101110010 010011100 100110011 Последовательные отсчеты цифрового. сигнала - ^
Глава 1. Элементы общей теории сигналов Рис. 1.2. Дискретизация аналогового сигнала: а — при переменной амплитуде; б — при переменной длительности отсчетных импульсов Оба представленных здесь способа дискретизации аналого- аналогового сигнала становятся эквивалентными, если положить, что значения аналогового сигнала в точках дискретизации пропорциональны площади отдельных видеоимпульсов. Фиксирование отсчетных значений в виде чисел осуществ- П П П ляется также путем отображения последних в виде последо- последовательности видеоимпульсов. Двоичная система счисления идеально приспособлена для этой процедуры. Можно, напри- например, сопоставить единице высокий, а нулю — низкий уровень потенпиала. I Дискретные сигналы и их свойства будут детально изучаться в гл. 15. 1.2. Динамическое представление сигналов Многие задачи радиотехники, например вычисление откли- отклика физической системы на известное входное воздействие, требуют специфической формы представления сигналов: Необходимо не только располагать информацией о мгновен- мгновенном значении сигнала, но и знать его поведение на всей временной оси как «в прошлом», так и в «будущем». Принцип динамического представления. Способ получения таких моделей сигналов состоит в следующем. Реальный сигнал приближенно представляется суммой некоторых эле- элементарных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени. Если теперь • устремить к нулю дли- длительность отдельных элементарных сигналов, то, естественно, ¦ в пределе будет получено точное представление исходного сигнала. Будем называть этот способ описания сигналов динамическим представлением, подчеркивая этим развиваю- развивающийся во времени характер процесса. ' Широкое применение нашли два способа динамического представления. Согласно первому из них в качестве элемен- элементарных сигналов используются ступенчатые функции, возни- возникающие через равные промежутки времени Д (рис. 1.3, а). Высота каждой ступеньки равна приращению сигнала иа интервале времени Д. При втором способе элементарными сигналами служат прямоугольные импульсы. Эти импульсы непосредственно примыкают друг к другу н образуют последовательность, вписанную в кривую или описанную вокруг нее (рис. 1.3,6).
1.2. Динамическое представление сигналов 2Д ЗД 4Д Рис. 1.3. Способы динамического представления сигналов (стрелками показаны пути изменения во времени отдельных элементарных слагаемых) ' , Рассмотрим свойства элементарного сигнала,. использу- используемого для динамического представления по первому способу. Функция включении. Пусть дан сигнал, математическая модель которого задается системой равенства: О, t< -Ъ Такая функция описывает процесс перехода некоторого физического объекта из «нулевого» в «единичное» состояние. Переход совершается по линейному закону за время 2?. Если параметр ?, устремить к нулю, то в пределе переход из одного состояния в другое будет совершаться мгновенно. Математическая модель этого предельного сигнала получила название функции включения или функции Хевисайда: a(r) = - A-2) t>0. В общем случае функция включения, может быть смещена относительно начала отсчета времени на величину t0. Запись смещенной функции такова: 0, t <.t0, A.3) Приведенный здесь способ определения функции вклю- включения не является единственно возможным. Например, функ- функции, образующие последовательность U"(t) как нетрудно проверить, с ростом номера и все более точно аппроксимируют разрывный сигнал, претерпевающий скачок на единицу при ( = О. 0.5 I -(, о 4 Оливер Хевисайд A850—1925)—анг- A850—1925)—английский физик В задачах практи- практического характера обычно допустим и менее строгий под- подход, когда значе- значение функции Хеви- Хевисайда в точке (=0 не принимается во внимание
Глава 1. Элементы обшей теории сигналов В теоретической радиотехнике функции включения широко используются для описания разрывных, в частности, импульс- импульсных сигналов. Часто это можно сделать из очевидных соображений, не прибегая к общей методике динамического представления. 15 0 5 г.В ¦ 1 1 I, мкс Пример 1.1. Импульсный сигнал v прямоугольной формы имеет длительность 5 мкс -и амплитуду 15 В. Начало отсчета времени совпадает с фронтом импульса. Записать аналитическое выражение этого сигнала. Эффект скачка уровня при (= 0 описывается функцией v = = 15a(t). Для того чтобы импульс окончился при tD = 5-l076 с, необходимо вычесть такой же импульс включения, запаздывающий иа этот отрезок времени. Окончательно v{t) = 15а {t) - 15а (f - 5- ИГ6) В. Пример 1.2. Источник ЭДС, линейно изменяющейся во времени по закону e(t) = 3-t06f В, подключается к внешним цепям идеаль- идеальным коммутатором, который срабатывает в момент времени t0 = = 2 мкс. Записать математическую модель напряжения на выходе такого устройства. О 25 5.0 7.5 10 '¦" г,мкс Прн временах, меньших 2 мкс, напряжение иа выходе источника равно нулю, поэтому очевидно, что U[t) = 3-10Vcj(* - 2- ИГ6) В. Этот процесс можно записать н ионному, представив его как сумму импульса включения амплитудой б В, возникающего- в мо- момент срабатывания коммутатора, н линейно нарастающего импульса: ы(() = [6 + 3- 106(f - 2- Ю"*)] ст(г -2- КГ6) В. решите задач н 2 Дннаяшческое представление произвольного сигнала посред- посредством функций включения. Рассмотрим некоторый сигнал s(t), причем для определенности положим, что s(f) = O при г_<& Пусть {Д, 2А, 2Л, ...} — последовательность моментов време- времени и {я,, 52, 53) •¦¦}— отвечающая им последовательность значений сигнала. Если so= s @) — начальное значение, то, как видно из построения, текущее значение сигнала прн любом Г приближенно равно сумме ступенчатых функций: s(t) к soa(f) + (s, - s0)o(t - Д) + (s2 - s,)a(t - 2A) + ... = ? E*-5*~х
1,2. Динамическое представление сигнвлов Если теперь шаг Д устремить к нулю, то дискретную переменную кА. можно заменнть непрерывной переменной т. При этом малые приращения (sk — sfc_i) превращаются в диф- дифференциалы ds = (ds/dx)dT, и мы получаем формулу динами- динамического представления произвольного сигнала посредством функций Хевисайда: A-4) Пример 1.3. Сигнал s{t) ра$ен &улю при ( < 0 и изменяется по закону квадратичной параболы s{t) = At2 при г > 0. Нойти динамиче- динамическое представление этого сигнала. Здесь s0 = 0, dsfffc = 2Ах, поэтому В соответствии с последней формулой высота элементарных сту- ступеней, из которых складывается сигнал, линейно нарастает во времени. Переходя ко второму способу динамического' представле- представления сигнала, когда элементами разложения служат короткие импульсы, следует ввести новое важное понятие. Дельта-функция. Рассмотрим импульсный сигнал пря- прямоугольной формы, заданный следующим образом: A.5) При любом выборе параметра ? площадь этого импульса равна единице: . П„ VQl = 1. -S/2 0 S/2 6A -<„) Например, если v — напряжение, то П„ = 1 В • с. Пусть теперь величина ? стремится к нулю. Импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою _ площадь, поэтому его высота должна неограниченно возрастать. Предел последовательности таких функций при % -* О носит название дельта-функции, илн функции Дирака: ?-0 ' (о Дельта-функция — интересный математический объект. Будучи равной нулю всюду, за исключением точки г = 0 (при- (принято говорить, что оиа сосредоточена в этой точке), дельта- Так выглядит сим- функция тем не менее обладает единичным интегралом волическое изобра- "аГ ~ 1 .• жение дельта- JS(r)di = l. ¦ A.7) функции
Глава 1. Элементы общей теории сигналов В нашем курсе будет постоянно использоваться аппарат дельта-функций. Основная причина, делающая дельта-функ- дельта-функцию столь удобной в физических задачах, состоит в сле- следующем. Напомним известное положение механики: если на материальную точку.массой т в интервале времени (i,, Г2) действует переменная сила Fit), то изменение количества движения точки \Fit)it. Здесь с ростом и длительность им- импульса сокращает- си, а его высота возрастает Таким образом, существенно важно не сама сила, а ее импульс, фигурирующий в правой части последнего равенства. Дельта-функпня как раз и является математической моделью короткого внешнего воздействия с единичным импульсом (площадью). В математике показано, что свойства дельта-функцнн присущи пределам многих последовательностей обычных классических функций. Приведем два характерных примера: S(f)= lim]/njBn)exp(-nt2/2), A.8) S(f)= lim [sin nt/(M)]. A.9) Динамическое представление сигнала посредством дельта- функций. Вернемся к задаче описания аналогового сигнала суммой примыкающих друг к другу прямоугольных импуль- импульсов (см. рис. 1.3,6). Если sk — значение сигнала на fc-м отсчете, то" элементарный нмпульс с номером к представляется так: % М = »» [? it - h) - с (j - tk - Д)]. A.10) В соответствии с принципом динамического представ- представления исходный сигнал 5 (г) дрлжен рассматриваться как сумма таких элементарных слагаемых: s(t) = A.11) В описываемом здесь способе ди- динамического пред- представления сигнала, для того чтобы по- получить какое-либо мгновенное значе- значение, нужно распо- располагать сведениями о поведении сигна- сигнала на всей оси вре- В этой сумме отличным от нуля будет только один член, отвечающий тому номеру к, которым удовлетворяет нера- неравенству tk<t<tk+1. Если подставить A.10) в A.11), предварительно разделив . и умножив на величину шага Д, то sit)-- U«>- Переходя к пределу при Д -> 0, необходимо заменить сум- суммирование интегрированием по формальной переменной t, дифференциал которой dt будет, отвечать величине Д.
1.2. Динамическое представление сигналов Поскольку lim [а (Г - т) - а (t - х - Д)] —- = 6 (г - т), получим искомую формулу динамического представления сигнала s(t)= J A.12) Можно усмотреть важное свойство дельта-функции: ее При этом ризмер- физическая размерность такая же, как и размерность ности обеих частей частоты, т. е. с. формулы A.12) Итак, если непрерывную функцию умножить на дельта- оказываются оди- функцию и произведение проинтегрировать по времени, то -наковымн результат будет равен значению непрерывной функции в той точке, где сосредоточен S-нмпульс. Принято говорить, что • в этом состоит фильтрующее свойство дельта-функции. фильтрующее Отсюда вытекает структурная схема системы, осуще- свойство дельта- ствляющей измерение мгновенных значений аналогового сиг- функции нала s(t). Система состоит из двух звеньев: перемножителя и интегратора. Ясно, что измерение величины я (t0) будет тем точнее, чем короче тот реальный сигнал (например, пря- прямоугольный видеоимпульс), который приближенно представ- представляет дельта-функцию. Обобщенные функции как математические модели сигналов. В классической математике полагают, что функция s (t) должна принимать какне-то значения в каждой точке осн t. Однако рассмотренная функция S(t) ие вписывается в эти рамки— б((-(о> ее значение при г = О и* определено вообще, хотя эта функ- функция н имеет единичный интеграл. Очевидна необходимость расширить само понятие функции как математической модели сигнала. Современная математика преодолела эту трудность, введя принципиально новое понятие обобщенной функции.' В основе идеи обобщенной функции лежит простое интуи- интуитивное соображение. Держа в руках и рассматривая какой- нибудь предмет, мы его поворачиваем, стремясь" получить множество проекций этого объекта на всевозможные плос- плоскости. Аналогом «проекции» исследуемой функции/(t) может служить, например, значение интеграла ч A.13) t v при известной функции ф(г), которую называют пробнай функцией. Каждой функции ф (г) отвечает, в свою очередь, некоторое конкретное числовое значение (/, ф). Поэтому говорят, что • формула A.13) задает некоторый функционал на множестве функционал пробных функций ф (t). Непосредственно видно, что данный функционал линеен, т. е. (/, сыр, + рФа) _ a U, <Pi) + Р (/, <р2)-
Глава 1. Элементы общей теории сигналов Если этот функционал к тому же еще и непрерывен, то говорят, что иа множестве пробных функций ф(г) задана обобщенная функция f(t). Подчеркнем, что интеграл в правой части выражения A.13) нужно понимать формально-аксиома- формально-аксиоматически, а ие как предел соответствующих интегральных сумм. Именно с таких позиций следует рассматривать формулу динамического представления A.12): Обобщенные фуик- Обобщенные функции, даже не заданные явными выраже- выражении иногда назы- ииями, обладают многими свойствами классических функпий. вают также рас- Так, обобщенные функции можно дифференцировать. Для пределениями этого следует принять во внимание, что пробные функции Ф (г) являются финитными, т. е. обращаются в нуЛь вне конеч- конечного отрезка г( < г < г2. Тогда производная /' = d//dr обобщенной функции /(г) задается функционалом (/'. Ф) =/(') Ф W !!„ " I /W Ф' W Л = = - f В качестве примера найдем производную функции Хеви- сайда a(f), рассматривая последнюю как обобщенную функ- функцию. Здесь (а', Ф) = -(а, Ф') = - J ф' (ffet = Ф (О) = E, Ф). о Поэтому -p-8(t), A.14) причем это равенство необходимо понимать именно в смысле теории обобщенных функций, поскольку в классическом смысле производная a' (t) прн t = О просто не существует. Таким же образом можно определить « производную дельта-функции: (Й')Ф)=-E,Ф')=-Ф'(О). Хотя явиая формула для 5'(t) отсутствует, такой матема- математический объект существует и действует по правилу — каждой классической функции ф (t) он сопоставляет числовое значение ее производной в нуле с точностью до знака. В настоящее время теория обобщенных функций получила широкое развитие н многочисленные применения. На ее основе созданы математические методы изучения процессов, для которых средства классического анализа оказываются недостаточными. ¦• -
1.3. Геометрические методы в теории сигналов 23 1.3. Геометрические методы в теории сигналов При решении многих теоретических и прикладных задач В этой книге при радиотехники возникают такие вопросы: 1) в каком смысле изложении методов можно говорить о величине сигнала, утверждая, например, функционального что одни сигнал значительно превосходит другой; 2) можно ли анализа мы будем объективно оценивать, насколько два неодинаковых сигнала вынуждены прибе- «похожи» друг на друга? гать в ряде случаев В XX в. был создан функциональный анализ — раздел к качественным математики, обобщающий наши интуитивные представления представлениям. о геометрической структуре пространства. Оказалось, что Читателю, интере- ндеи функционального анализа дают возможность создать сующемуси этими стройную теорию сигналов, в основе которой лежит кон-, методами более цепция сигнала как вектора в специальным образом скоист- ^глубоко, можно ре- руированиом бесконечномерном пространстве. комендовать |7» 8] Линейное пространство сигналов. Пусть М= {s^t), sa@>...} — множество сигиалов. Причина объединения этих'объектов — наличие некоторых свойств, общих для всех элементов мно- множества М. Пример 1.4. Множество М образовано всевозможными анало- аналоговыми сигналами, отличными от нуля на интервале времени (О, 15 мкс) и равными нулю вне этого интервала. Пример 1.5. Множество М состоит из сигналов вида sn (/) = = А„ cos (tont + ф„) — гармонических колебаний, отличающихся своими амплитудами, частотами и начальными фазами. Исследование свойств сигналов, образующих такие мно- множества, становится особенно плодотворным*тогда, когда уда- удается выражать одни элементы множества через другие эле- элементы. Принято говорить, что множество сигиалов наделено при этом определенной структурой. Выбор той или иной структуры должеи быть продиктован физическими соображе- ннями. Так, применительно к электрическим колебаниям из- вестно, что они могут складываться, а гакже умножаться на произвольный масштабный коэффициент. Это дает возмож- возможность в множествах сигиалов ввести структуру линейного пространства. v Множество сигиалов М образует вещественное линейное пространство, если справедливы следующие аксиомы: 1. Любой сигнал иеМ при любых t принимвет лишь вещественные значения. 2. Для любых иеМ и veM существует их сумма w = и +1?, причем w также содержится в М. Операция суммирования коммутативна: u + v = v + u и ассоциативна: ) ( ) 3. Для любого сигнала seM и любого вещественного числа а определен сигнал /= asеМ. 4. Множество М содержит особый нулевой элемент 0, такой, что и + 0 = и для всех ыеМ.. •¦ структура линейно- го пространства Приведенная здесь система аксиом ли- нейного нростран- ства не" является исчерпывающе полной. В матема- тике, исходи из требовании логи- ческой строгости, эту систему донол- няют рядом вспо- могательных ут- вержденин
24 Глава 1. Элементы общей теории сигналов Если математические модели сигналов принимают комп- Правило сложения лексиые значения, то, допуская в аксиоме 3 умножение иа Напряжений иа эле- комплексное число, приходим к понятию комплексного ли- ментах цени, непного пространства. включенных после- Введение структуры линейного пространства является довательно, есть первым шагом иа пути к геометрической трактовке сигналов. следствие второго Элементы линейных пространств часто называют векторами, закона Кирхгофа подчеркивая аналогию свойств этих объектов и обычных трехмерных векторов. Ограничения, налагаемые аксиомами линейного простран- пространства, весьма жестки. Далеко не каждое множество сигналов оказывается линейным пространством. ¦ Пример 1.6. Множество М состоит из всевозможных прямо- прямоугольных видеоимпульсов напряжения, существующих на интервале времени (О, 20 мкс), причем амплитуды импульсов не превышают 10 В. Сложив, например, импульсы с амплитудами 6 и 8 В, получаем нмпульс, не принадлежащий множеству М. Поэтому М не есть линейное пространство. . Понятие координатного базвса. Как и в обычном трех- трехмерном пространстве, в линейном пространстве сигналов" можно выделить специальное подмножество, играющее роль координатных осей. Говорят, что совокупность векторов {ей е2, е3, ...}, при- принадлежащих М, является линейно независимой, если равенство = 0 возможно лишь в случае одновременного обращения в нуль всех числовых коэффициентов а,. Система линейно независимых векторов образует коорди- координатный базис в линейном пространстве. Если дано разло- разложение некоторого сигнала s(t) в виде то числа {сь с2» Сз, --.} являются проекциями сигнала s(t) Какой-либо эле- относительно выбранного базиса. мент координатно- В задачах теории сигналов число базисных векторов, как го базиса не может правило, неограниченно велико. Такие линейные пространства быть выражен в называют бесконечномерными. Естественно, что теория этих виде линейной ком- пространств не может быть вложена в формальную схему бниащш остатних- линейной алгебры, гле число базисных векторов всегда ся элементов конечно.
1.3. Геометрические методы в теории сигналов Пример 1.7. Линейное пространство образовано сигналами, кото- которые описываются многочленами неограниченно высокого порядка: (такие функции называются аналитическими). Координатным базисом в этом пространстве служит снега одночленов {ео = I; et = t; e2 = f2; ...}. Нормированное линейное пространство. Энергия сигнала. Для того чтобы продолжить и углубить геометрическую трак- трактовку теории сигналов, необходимо ввести новое, понятие, которое по своему смыслу соответствует длине вектора. Это позволит не только придать1 точный смысл высказыванию вида «первый сигнал больше второго», ио и указвть, иа сколько он больше. Длину вектора в математике называют его нормой. Ли- Линейное пространство сигналов L является нормированным, если каждому вектору 5(г)еЬодиозначно сопоставлено число || s || — норма этого вектора, причем выполняются следующие аксиомы нормированного пространства: 1. Норма неотрицательна, т.е. j| s|] ^ 0. Норма" || s || = 0 тогда и только тогда, если s = 0. 2. Для любого числа а справедливо равенство || as || = = |a|-||sH- 3. Если s(t) и p{t) — два вектора из L, то выполняется неравенство треугольника: || s + р || ^ || s || + || р \\. - Можно предложить разные способы введения нормы сиг- сигналов. В радиотехнике чаыф всего полагают, что веществен- вещественные аналоговые сигналы имеют норму s^t)dt (из двух возможных значений корня выбирается положитель- положительное). Для комплексных сигналов норма ¦vr. где * — символ комплекейо-сопряжениой величины. Квадрат нормы носит название энергии сигнала ?,= IUII2 = J A.16) Именно такая энергия выделяется в резисторе с сопро- сопротивлением 1 Ом, «ели на его зажимах существует напряже- напряжение s(«). < Данная аксиомати- аксиоматика в равной мере относится как к аналоговым, так н к дискретным сигналам A.15) норма сигнала Если сигнал дис- дискретен, то опера- операция интегрировании должна быть заме- заменена суммировани- суммированием но всем отсче- отсчетам сигнала энергии сигнала ','**
Глава I. Элементы общей теории сигналов Пример 1-8- Сигнал s(f) представляет собой треугольный им- импульс напряжения с амплитудой V и длительностью т„. Вычислить энергию и норму такого сигнала. На интервале времени (О, ти) сигнал описывается функцией Энергия сигнала Норма сигнала \\s\\=*\/Es=U]/:Tj\fb. Пример 1.9. Вычислить энергию радиоимпульса с прямоугольной формой огибающей. Импульс существует на интервале времени ^ (О, ти) и описывается функцией s(t) = Ucco$(toot + Фо)- В соответствии с формулой A.16) cos2 x dx. Es = Ul fcos2 (coo( + ф0) d( = ^- I J «o J 0 0 Выполнив интегрирование, получаем Es = -^~ [2 (сооти + ф0) + sin 2 (соотн + ф0)]. Если внутри нмпульса содержится много периодов высокочастот- высокочастотного заполнения, так что (ооти » I, то Es sb UotJ2 независимо от выбора параметров со0 и ф0. Энергии этих сиг- сигналов отличаются незначительно метрика Определять норму сигнала с помощью формулы A.15) - целесообразно по следующим причинам: L В радиотехнике о величине сигнала часто судят, исходя из суммарного эиедгетического эффекта, например количества теплоты, выделяемой в резисторе. 2. Энергетическая норма оказывается «нечувствительной» к изменениям формы сигнала, может быть, и значительным, но происходящим на коротких отрезках времени. Линейное нормированное пространство с конечной вели- величиной нормы вида A-15) носит название пространства функ- функций с интегрируемым квадратом и^ кратко обозначается L2- Метрнческое пространство. Теперь необходима ввести еще одно фундаментальное понятие, которое обобщало бы наше обычное представление о расстоянии между точками в пространстве. Говорят, что линейное пространство L становится метри- метрическим пространством, если каждой паре элементов и, veL сопоставлено неотрицательное число р (ы, и), называемое метрикой, или расстоянием между этими элементами. Метри- Метрика, независимо от способа ее определения, должна подчи- подчиняться аксиомам метрического пространства: 1. р(ы* v) = p(v, и) (рефлексивность метрики). 2. р(м, и) = 0 при любых L
1.4. Теория ортогональных сигналов 3. Каков бы ни был элемент weL, всегда р(и, c)s? Sj Р(М, И>) + р(и>, 1)). Обычно метрику определяют как норму разности двух сигналов: р(и,1))=||и-^||.- A.17) Норму, в свою очередь, можно понимать как расстояние между выбранным элементом пространства н нулевым эле- элементом : || и || = р (ы, 0). Зная метрику, можно судить, например, о том, насколько хорошо одни из сигналов аппроксимирует другой. Пример 1.10. Сигналji{t) представляет собой отрезок синусоиды, обращающейся в нуль на.концах отрезка [О, Г]. Высота импульса V известна. Выбрать амплитуду А прямоугольного импульса v(t) топ же длительности так, чтобы расстояние между этими двумя сигналами было минимальным. Сигнал u{t) представляется формулой и(!) = t/sin —, Квадрат расстояния между сигналами То, что в точке экстремума дейст- действительно достига- достигается минимум, вы^~ текает из иеложи- ' тельности второй производной иссле- исследуемой функции решите задачу 8 р2(и, и) = ft/sin Ц— Проведя интегрирование, имеем рг (и, V) = U2T/2 - 4AUT/% + A2T. Исследуя это выражение иа экстремум, убеждаемся, что минимум расстояния будет достигнут, если А = 21//п к 0.6371/. При этом Р»|„ = ?/2Г0/2 - 4/ir") х 0.09SV2T, р„1„яг 0.308 V]/f. Заметим, что энергия синусоидального импульса его норма || и || = MmU]/f. Итак, при выбранной метрике минимально достижимое рас- расстояние между рассматриваемыми сигналами составляет 44% от нормы синусоидального импульса. 1.4. Теория ортогональных сигналов Введя в множестве сигналов структуру линейного про- пространства, определив норму и метрику, мы, тем не менее, лишены возможности вычислить такую характеристику, как угол между двумя векторами. Это, удается сделать, сформу-
Глава I. Элементы обшей теории сигналов В задачах физики скалярное произве- произведение векторов возникает всегда при вычислении ра- работы сил поля при заданном переме- перемещении в простран- пространстве лнровав важное понятие скалярного произведения элементов линейного пространства. Скалярное произведение сигналов. Напомним, что если в обычном трехмерном пространстве известны два вектора А и Й, то квадрат модуля их суммы |Л+Й|2 = |3|2 + |Й|2 + 2(Л,Й), A18) где (Л, Й) = | Л | • | Й | cos ф — скалярное произведение этих век- векторов, зависящее от угла \|/ между ними. Действуя по аналогии, вычислим энергию суммы двух сигналов и и v: Следует отметить, что в соответствии с формулой A.21) угол между диумя сигналами должен лежать в интерва- интервале от 0 до 180° Давид Гильберт A862—1943)—из- A862—1943)—известный немецкий математик Из данного нера- неравенства вытекает, в частности, что косинус угла меж- между векторами в пространстве сиг- сигналов не превы- превышает единицы Е= ]uvdt. A.19) В отличне от самих сигналов их энергии иеаддитивиы — энергия суммарного сигнала содержит в себе так .называемую взаимную энергию ?„„ = 2 J uvdt. Сравнивая между собой формулы A.18) н A.19), определим скалярное произведение вещественных сигналов и и v: (и, »)= J u(t)v(t)ut. а также косинус угла между ними: A.20) A21) A.22) v Н«1НМГ Скалярное произведение обладает свойствами: 1. (ы, ы) ^ 0; 2. (ы, v) = {v, и); 3. {Хи, v) = X(n, v), где X — вещественное число; 4: (ы + v, w) = {и, w) + {v, w). Линейное пространство с таким скалярным произведением, полное в том смысле, что оно содержит в себе все пре- предельные точки любых сходящихся последовательностей век- векторов из этого пространства, называется вещественным гильбертовым пространством Н. * Справедливо фундаментальное неравенство Коши — Буня- ковского HMI-1 A-23) Если снгиалы принимают комплексные значения, то можно определить комплексное гильбертово пространство, введя в - нем скалярное произведение по формуле (и, и)= J n(»)u»(r)dr, такое, что (ы, v) = (v, ы)*. A.24)
1.4. Теория ортогональных сигналов Пример 1.11. Имеются два смещенных во времени экспонен- экспоненциальных импульса (В): u,(r)=5exp(-105()o(f), иг (г) = 5ехр [-105 (( - 2-10' б)] о (( - 2- ИГ6). Найти скалярное произведение данных сигналов, а также угол ф между ними. - *' Энергии этих сигналов одинаковы : ll"i ||2 = ||u2||2=25je-2'lo''dr=*4.25-l(r* B2-c Скалярное произведение I*!, и2) = 25 Je-M^-W^ + i-lo bTdt = 1.023-10'4 В2-с. о Отсюда cos^ =0.819 и ф = 35°. Ортогональные сягналы н обобщенные ряды Фурье. Два сигнала миг называются ортогональными, если их ска- скалярное произведение, а значит, и взаимная энергия равны нулю: ,i;)= J u{t)v(tNt A.25). Пусть И — гильбертово пространство сигналов с конеч- конечным значением энергии. Эти сигналы определены на отрезке времени [fb f2], конечном или бесконечном. Предположим, что на этом же отрезке задана бесконечная система функ-" циц (н0, щ, ..., uj ...}, ортогональных друг другу и обла- обладающих единичными нормами: еСЛи/=Л A.26) если i Ф1 к } Говорят, что при этом в пространстве сигналов задан ортонормированный базис. Разложим произвольиый сигнал s{t)eH в ряд: s{t)= X С;М,(f). ; (L27) L _/:! ¦ "Представление A.27) назьшается обобщенным рядом Фурье сигнала s(t) в выбранном базисе. Коэффициенты даииого ряда находят следующим образом^ Возьмем базисную функцию ык с произвольным номером k, умножим на нее обе части равенства A.27) н затем про- проинтегрируем результаты по времени: js(t)n»(t)dt= принцип цальносги орюю- ¦К-к- -Два таких импуль- импульса разнесены во времени и заведо- заведомо ортогональны A.28) Два таких импуль- импульса также ортого- ортогональны
Глава 1. Элементы общей теории сигналов На геометриче- геометрическом языке интер- интерпретация формулы A.29) такова: ко- коэффициент обоб- обобщенного ряда Фу- Фурье есть проекция вектора на базис- базисное направление Сигналы, соответ- соответствующие функци- функциям Уолша, легко генерируются с по- помощью мякроэлек- мякроэлектронных переклю- переключательных схем Ввиду ортоиормированности базиса в правой части равен- равенства A.28) останется только член суммы с номером / = fc, поэтому A.29) Возможность представления сигналов посредством обоб- обобщенных рядов Фурье является фактом большого 'принци- 'принципиального значения. Вместо того чтобы изучать функцио- функциональную зависимость в несчетном множестве точек, мы получаем-возможность характеризовать эти сигиалы счетной (но, вообще говоря, бесконечной) системой коэффициентов обобшеииого ряда Фурье ск. Примеры ортоиормцювшшых базисов. Способы построения ¦ систем взаимно ортогональных функций подробно изучены^ в математике (см., например, [7]). Здесь в качестве примеров" будут описаны две наиболее важные и распространенные системы. Ортонормированная система гармонических функций. Чи- Читатель может самостоятельно убедиться в том, что на отрезке [О, Т] система тригонометрических функций с крат- кратными частотами, дополненная постоянным сигналом. и0 = l/j/г, щ = \/2~/Tsm 2m/T, A.30) m-1 = |/2/Tsin 2nmt/T, u2m = j/2/Tcos 2nmt/T, образует ортонормироваиный базис. Разложение периодических' функций в ряды Фурье по этой системе будет подробно рассмотрено в гл. 2. Ортонормированная система функций Уолша. В последнее время под влиянием методов обработки дискретных сигна- сигналов большое внимание уделяют ортонормированнои системе функций Уолша, которые иа отрезке своего существования [— Т/2, Г/2] принимают лишь значения ±1. Введем безразмерное время 8 = t/T и будем обозначать fc-ю функцию Уолша, как это принято, символом wal {k, 8). Аналитическое описание данных функций довольно сложно (см. Приложения). Однако идею построения этой системы легко усмотреть из рис. L4, на котором изображены графики нескольких первых функций Уолшв. Очевидна нормированность функций Уолша при любом значении к: 42
I А. Теория ортогональных сигналов wol@, 8) О 'Д 7. Чг -У, ¦мЮ. 8) i 8 0 '/¦ -'/2 Рис. 1.4. Графики нескольких первых функций Уолша • * Ортогональность этих функций следует из принципа их ^ построения и может быть проверена непосредственно. На- решите задачу 10 пример: Jwalfl. 9)walB. 9)d9 = J(-lJd9 + J .(-l -1/2 " "'/2 -1/4 i Чг l2d9 + J l(-l)d9 = 0. Разложение сигнала с конечной энергией, заданного на отрезке времени [ — Г/2, Т/2], в обобщенный ряд Фурье пб функциям Уолша имеет вид «(')= 2>»waf(*:. t/T). A31) П|Н1Мер 1.12. Найти первые два коэффициента в разложении гимпульса треугольной формы по системе функций Уолша.' На отрезке времени [— Т/2, Т/2] разлагаемый сигнал описы- описывается функцией s(«) = ?/(</Т+ '/2>- Вычисляем коэффициенты обобщенного ряда Фурье: , 1/2 1/2 с€= S s(9)wal@,8)d» = t/ f (9 + к'/2) d» - V/2, -1/2 ^1/2 с,= j s(S)wal(l,S)dS = -l/ f 3(//4 + t/ J (9 + '/2) d9 = V/4. Итак, при аппроксимации колебания треугольной формы двумя первыми членами ряда по системе функций Уолша получается приближенное представление ступенчатой формы. Отметим, что с точки зрения введенной вьпЬе энергетической нормы уже такая грубая аппроксимация является удовлетворительной. Действительно* энергия исходного сигнала «v. '*^\
Глава 1. Элементы общей теории сигналов -1/2 в то время как энергия разности 1/4 || s @) - с0 wal @, 0) - ft wal (I, Э) ||2 = 4l/2 J" x2 dx = V2/4S о составляет лишь '/16, или 6.25 % от энергии аппроксимируемого сигнала. Энергия сигнала, представленного в форме обобщенного ряда Фурье. Рассмотрим некоторый сигнал s (t)f разложенный в ряд по ортонормироваииой базисной системе: Предполагается, что онерации ин- интегрирования и суммирования пе- перестановочны Данная формула обобщает теорему Пифагора на слу- случай бесконечномер- бесконечномерных пространств - и вычислим его энергию, непосредственио подставив, этот ряд в соответствующий интеграл: Es = )s2df=lfdf ? tcicjUiuJ= I icfiiiWi*- A-32» I, (, i=0 j=O i=Oj = O I, - Поскольку базисная система функций ортонормирована, в сумме A.32) отличными от нуля окажутся только члены с номерами i =j. Отсюда получается замечательный результат: A.33) Смысл этой формулы таков: энергия .сигнала есть сумма энергий всех компонент, из которых складывается обобщен- обобщенный ряд Фурье. Оптимальвость разложения сигнала по ортогональному ба- базису. Для сигнала s (t) введем конечномерную аппроксимацию: с не известными пока коэффициентами ск и выберем эти коэффициенты так, чтобы минимизировать энергию ошибки аппроксимации: i = || s - s ||2 = ]{s - A.34) Необходимое условие мииимума состоит в том, что коэф- коэффициенты должны удовлетворять системе линейных урав- уравнений -^-=0, т = 0, 1, 2, .... N. A.35)
1.4. Теория ортогональных сигналов ' В развернутой форме энергия ошибки аппроксимации '2 Г N ц = J s2 - Ъ ? с,к, + r,l_ k=t>  j di. J Поскольку рассматриваемая базисная система функций ортогональна, отсюда следует, что Приняв во внимание единичную норму базисных функций, приходим к выводу, что равенства A.35) будут выполняться, если что полностью совпадает с выражением A.29) для коэффи- коэффициентов обобщенного ряда Фурье. Более тщательный анализ (на нем здесь не останавли- останавливаемся), когда рассматривается также вторая производная энергии ошибки, показывает, что при разложении сигнала в обобщенный ряд Фурье обеспечивается не просто экстремум, а именно минимум энергии ошибки аппроксимации. Напомним в заключение, что гильбертово пространство сигналов, по определению, обладает важным свойством пол- полноты: если предельное значение суммы Следует иметь в виду, что близость нормы сигнала к норме конечного отрезка обобщен- обобщенного ряда Фурье вовсе ие означает сходимость суммы ряда к мгновенно- мгновенному значению сиг- сигнала в каждой точке. В матема- математике резкие «вспле- «всплески» суммы ряда Фурье . -получили название ¦ явления Гиббса. В точке минимума первая производ- производная обращается в нуль, а вторая про- производная ПОЛОЖИ' телъна ' lim существует, то этот предел сам является некоторым эле- элементом гильбертова пространства.. " В полном функциональном пространстве норма ошибки аппроксимации монотонно убывает с ростом N — числом учитываемых членов ряда. Выбирая JV достаточно большим, всегда можно снизить норму ошибки до любой приемлемо малой величины. Аппаратурная реализация ортогонального разложения сиг- сигнала. Рассмотрим структурную схему устройства для экспери- экспериментального определения коэффициентов разложения аналого- аналогового сигнала в обобщенный ряд Фурье по заданной системе ортонормированных базисных функций (рис. 1.5). Основными элементами здесь являются генераторы тех базисных функций, по которым проводится разложение. Ана- Анализируемый сигнал одновременно подается на совокупность множительных звеньев, осуществляющих перемножение этого сигнала н соответствующей базисной функции. С. выходов перемножнтелей сигналы поступают на интеграторы. При таком методе обработки сигнала в конце промежутка вре- времени интегрирования на выходе каждого интегратора воз- возникает неизменный во времени уровень, величина которого полнота простран- пространства
Глава I. Элементы обшей теории сигналов Пример структур- структурной схемы, типич- типичной для теоретиче- теоретического анализа. Практическая схе- схема выглядит гораз- гораздо сложнее. Напри- Например, должны быть предусмотрены це- цепи, осуществляю- осуществляющие синхрониза- синхронизацию всех реиерато- ров базисных функ- функций Рис. 1.5. Структурная схема устройства для аппаратурного ана.шза сигналов в соответствии с формулой A.29) в точности равна тому илн иному коэффициенту обобщенного ряда Фурье. Ясно, что работоспособность системы в целом будет зави- зависеть от того, насколько точно удается воссоздать базисные функции, а также от совершенства функционирования пере- перемножителей и интеграторов. Система, изображенная на рис. 1.5, важна и в приклад- прикладном, и в теоретическом смысле. Анализируя ее, еще раз убеж- убеждаемся, что вся информация, заключенная в сигнале, может быть представлена в вяде хотя и бесконечной, но все же счетной совокупности чисел. Результаты ОО Для теоретического исследования сигналов необходимо построить их мате- математические модели. ОО Классификация сигналов осуществляется на основании существенных призна- признаков соответствующих математических моделей. Принято различать одно- одномерные и многомерные, детерминированные и случайные, аналоговые и диск- дискретные сигналы. Разновидностью последних являются цифровые сигналы. ОО Принцип динамического представления позволяет описывать сигналы, учитывая их поведение как «в прошлом», так и «в будущем». ОО Для динамического представления используются два элементарных сигнала — функция включения и дельта-функция (функция Дирака), ОО Путем введения структуры некоторые множества сигналов могут быть прев- превращены в линейные функциональные пространства. ОО Система линейно независимых векторов образует координатный базис, по которому можно разложить произвольный вектор, принадлежащий линейному пространству. - ОО Аналогом длины вектора в линейном пространстве сигналов служит его норма. Квадрат нормы называется энергией сигнала. ОО Линейное пространство сигналов становится метрическим пространством. если определить метрику — расстояние между двумя векторами.
Вопросы 35 QQ Чтобы найти угол между двумя элементами линейного пространства, вводят понятие скалярного произведения, пропорционального взаимной энергии сигналов. Если скалярное произведение равно нулю, то сигналы ортогональны. 00 Представление сигнала в виде разложения по ортонормированному базису называют обобщенным рядом Фурье. Коэффициентами такого ряда служат скалярные произведения разлагаемого сигнала и соответствующих базисных векторов. . 1 • ~ 00 Энергия сигнала рабна сумме энергий всех членов обобщенного ряда Фурье. 00 Разложение ^сигнала] по ортонормированному базису обеспечивает минимум энергии ошибки мппроксимации. 00 Процесс извлечения полезной информации, содержащейся в сигнале, можно представить себе как аппаратурное определение числовых значений коэффи- коэффициентов обобщенного ряда Фурье этого сигнала. Вопросы 1. Назовите два-три физических процесса, для описания которых требуются случайные математические модели. 2. Какие числовые характеристики при- применяют для описания моделей импульсных сигналов? 3. В чем состоит разница между видео- видеоимпульсом и радиоимпульсом? 4. Почему замена аналогового сигнала дискретным при некоторых условиях может стать неадекватной? 5. Как формулируемся принцип динамиче- динамического представления сигнала? 6. Каковы основные свойства дельта- \ функции? 7. Перечислите аажиейшне аксиомы ли- линейного пространства. 8. Каков физический смысл квадрата нормы сигнала? 9. Как следует понимать геометрический смысл неравенства Коши — Буняковского? 10. Изобразите графически несколько ортогональных сигналов. 11. Какие функциональные пространства называют гильбертовыми пространствами? 12. Почему удобно разлагать сигналы по ортогональной системе функций Уолша? 13. Чем обобщенные функции отличаются от классических функций? Задачи 1, Импульс напряжения треугольной фор- формы изображен на рисунке: Составьте математическую модель этого сигнала, используя комбинацию функций включения. Убедитесь в том, что решение данной задачи неоднозначно. * " 2. Решите задачу I применительно к сим- симметричному треугольному импульсу, имею- имеющему длительность т„ и амплитуду V.. т.,/2 3. Составьте математическую модель бес- бесконечной последовательности одинаковых импульсоа треугольной формы: 1 / 7 Т - V. 1 / / / / / г 2 1 t
36 Глава 1. Элементы общей теории сигналов 4. В соответствии с формулой A.4) най- найдите динамическое представление экспонен- экспоненциального видеоимпульса, описываемого. функцией u(t) = exp(-ctf)c(O. v 5. Найдите динамическое представление гауссова видеоимпульса u{t)= Uoexp{—Р*2), определенного иа асей бесконечной оси вре- времени. Обратите внимание на модификацию, которой лолжиа быть подвергнута формула A.4). 6. Найдите энергию и норму сигнала, описываемого математической моделью вида 7. Вычислите энергию и норму импупьса косинусоидальной формы: s(t) (о, tnot< -п/2; — "S Vmcosoi0t, —п/ у О, (aot > п/2. п/2; 8. Сигнал u(t) представляет собой сим- симметричный треугольный импульс, сигнал v (г) — вписанный в него импульс прямоуголь- прямоугольной формы: i./2 KaKofla должна быть амплитуда прямо- прямоугольного импульса) чтобы расстояние между этими двумя сигналами было минимальным? 9. Используя* принцип ортогональности, на основании рнс. 1.4 постройте график функции walC, 9). 10. Покажите, что взаимные расстояния между любыми двумя функциями' из.сово- из.совокупности wal@, S), wal(I, S), walB, S) оди-.. наковы и равны \/2. 1I. Проведите такой же анализ для орто- нормированной системы тригоиометрнческих ¦ функций [см. формулы A.30)]. Сравните результаты. Можно ли здесь провести ана- погию с известной теоремой Пифагора?- Более сложные задания 12. В эксперименте была зафиксирована осциллограмма сигнала u(t): -¦в 60 40 20 - - - 1 ! 1" i Т— 10 15 20 25 30 Есть предположение, что этот сигнал опи- описывается экспоненциальной функцией вре- времени. Предложите по возможности простой графический способ проверки этой гипотезы. 13. Последовательный колебательный контур возбуждается источником импульс- импульсной ЭДС: '¦|j| Параметры системы: R = 5 Ом, L= = 10 мкГн, С = 2 нФ. Длительность импул?- са т„ = 0.5 мкс, его амплитуда Uo — J2 В. Покажите, что в данном случае реальный импульс можно описать математической мо- моделью вида Ab(t). Каков должен быть при этом коэффициент А? Перечислите несколько простых физических • ситуаций, относящихся к повседневному опыту, когла воздействие на какую-либо систему можно приближенио заменить дель- . та-импульсом. 14. Предложите математическую модель для аналитического описания сигнала сле- следующего вида: --
Более сложные задания 37 15. Докажите, что дельта-функпию можно -рассматривать как предел вида .. / I singA =ДшДт , )¦ 16. Докажите, что если Н — вещественное гильбертово пространство, содержащее сиг- сигналы и и о, то имеет место равенство , параллелограмма: II « + v ||2 + || и ~ v ||2 = 21| и ||2 + 2 |i v |i2. 17. Докажите, что в комплексном гиль- гильбертовом пространстве Справедливо тож- тождество 4(ы, v) = || и + v К2 - К и - v ||2 + +j\iu+jvf-j\\u-jv\\2. 18. Пусть {и*(()}, fc = O, I, 2, ...-орто- иормированный базис в некотором гиль- гильбертовом пространстве Н. Покажите, «то для произвольных Si, S2^H выполняется равен- равенство Парсеваля 19. В гильбертовом пространстве сигна- сигналов заданы произвольный вектор и и вектор v, имеющий единичную норму. По аналогии с геометрией обычных векторов иа плоскости вектор w = (и, v) v называют ортогональной проекцией вектора и иа направление v. Дока- Докажите, что вектор у = и — w ортогонален век- вектору в. Обобщая полученный результат, по- покажите, что если {vi, v2, ..., vN} — система взаимно ортогональных векторов с единич- единичными нормами, то вектор у = и - (ы, в,)г, - ... - (ц, vN)vN при любом выборе и ортогонален по отно- отношению к каждому из векторов рассматрива- емой*системы. 20. Лусть в гильбертовом пространстве 'сигналов задана система взаимно неортого- неортогональных векторов {#0, gu ..., gm ...}. На ее основе постройте ортонормированную систе- систему векторов {и0, щ, ..., ик, ...} таким обра- образом, чтобы каждый вектор ик являлся ли- линейной ¦ комбинацией вида И* ** CfcQgo + Ckigl + ¦¦¦ + С*^и + ... с постоянными коэффициентами. 21. Используя прием, найденный при решении предыдущей задачи, вычислите три пераых базисных вектора и0, ии и2, получа- получаемых путем ортогоналнзации и нормировки системы степенных функций {I, t, t2, ...} на отрезке —l^tK 1- Получите числовые зна- значения трех пераых коэффициентов с0, ct и с2 обобщенного ряда Фурье для сигнала /(г) = = ехр (г) на рассматриваемом отрезке. Вычис- Вычислите норму абсолютной ошибки аппроксима- аппроксимации данного сигнала тремя членами ряда. Оцените относительную ошибку аппрокси- аппроксимации. 22. Рассмотрите предыдущую задачу в другой постановке: найдите коэффициенты многочлена второй степени z (t) = A + Bt + + Ct2 таким образом, чтобы данный много- многочлен аппроксимировал сигнал /(г) = ехр (t) на отрезке — 1 ^ г ^ I с наименьшей средне- квадратической ошибкой.
•hhh. Глава 2 Спектральные представления сигналов Среди разнообразных систем ортогональных функций, ко- которые могут использоваться в качестве базнсов для пред- представления радиотехнических сигналов, исключительное место занимают гармонические (синусоидальные и косинусоидаль- ные) функции. Значение гармонических сигналов для радио- радиотехники обусловлено рядом причин. В частности: 1. Гармонические сигналы инвариантны относительно пре- преобразований, осуществляемых стационарными линейными электрическими цепями. Если такая цепь возбуждена источни- источником гармонических колебаний, то сигнал на выходе цепи остается гармоническим с той же частотов, отличаясь от входного сигнала лишь амплитудой* и начальной фазой. 2. Техника генерирования гармонических сигналов относи-* тельно проста. Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гар- гармонических колебаний с различными частотами, то говорят,- что осуществлено спектральное разложение этого сигнала. Отдельные гармонические компоненты сигнала образуют его спектр. 2.1. Периодические сигналы и ряды Фурье Математической моделью процесса, повторяющегося во времени, является периодический сигнал s(t) со следующим свойством: ,и = 1, 2, ... B.1) Здесь Г— период сигнала. Ставится задача найти спектральное разложение такого сигнала. Рад Фурье. Зададим на отрезке времени [—Г/2, Г/2] рассмотренный в гл. I ортонормированный базис, образо- образованный гармоническими функциями с кратными частотами: и„ = 1/)/г, щ = j/i/Tsin 2п1/Г, иг = j/2/Tcos Ъа/Т, и, =]/ljl'sin Aia/T, B.2) Примеры иериоди- и* = (/гДсов 4М/Г, и, = j/i/Tsin to/T, ческнх сигналов Любая функция ит из этого базиса удовлетворяет усло- условию периодичности B.1). Поэтому,* выполнив ортогональное разложение сигнала 5 (г) в этом базисе, т. е. вычислив коэф- коэффициенты C=(s, «J, . • B.3)
2.1. Периодические сигналы и ряды Фурье 39 получим спектральное разложение s{t)= B-4) справедливое на всей бесконечности оси времени. Ряд вида B.4) называется рядом Фурье данного сигнала. Введем основную частоту coj = 2я/Г последовательности, образующей периодический сигнал. Вычисляя коэффициенты разложения по формуле B.3), запишем ряд Фурье для периодического сигнала ^-+ ? fa cos гам+ ^ sin B.5) с коэффициентами 1 -Т/2 » 2 т'2 а„ = -= j s(i)cosra»,tdl, B.6) ' -Т/2 -2 Т "~ Г-Т/25 Smll0)l Итак, в общем случае периодический сигнал содержит не - зависящую от времени постоянную составляющую и беско- бесконечный набор гармонических колебаний, так называемых гармоник с частотами шя = иш1 (и=1, 2, 3, ...), кратными основной частоте последовательности. Каждую гармонику можно описать ее амплитудой А, и начальной фазой фи. Для этого коэффициенты ряда Фурье следует записать в виде о, = A,<»s<pn, (>„ = /!,, sin <р„, Следует обратить внимание на то, что энергии периодиче- периодического сигнала неог- неограниченно велика. Поэтому здесь нужно говорить о мощности сигнала, т. е. об энергии в единицу времени основнаи частота Из формул для ко- коэффициентов ряда Фурье следует, что четный сигнал име- имеет только коенцу- соидальные, а не- нечетный — только синусоидальные слагаемые гармоники Подставив этн выражения в B.5), получим другую, оквива- лентную форму ряда Фурье: которая иногда оказывается удобнее. Спектральная диаграмма периодического сигнала. Так при- принято называть графическое изображение коэффициентов ряда Фурье для конкретного сигнала Различают амплитудные и фазовые спектральные диаграммы (рис. 2.1). Здесь по горизонтальной оси в некотором 'масштабе отло- отложены частоты гармоник, а по вертикальной оси представлены их амплитуды и начальные фазы. Колебания с поме- рами и = 2, 3, ... обычно называют высшими гармони- гармониками решите задачи 1 и 2
Глава 2. Спектральные представления сигналов 111т !¦¦><¦¦>. 1 2 3 . . „ Разные сигналы различаются преж- прежде нсего скоростью убывания амили- тудных коэффици- коэффициентов с ростом tao- мера гармоник Рис. 2.1. Спектральные диаграммы некоторого периодического сигнала: а — амплитудная; б — фазовая Особо интересуются амплитудной диаграммой, которая позволяет судить о процентном содержании тех или иных гармоник в спектре периодического сигнала. Изучим несколько конкретных примеров. Пример 2.1. Ряд Фурье периодической последовательности пря- прямоугольных видеоимпульсов s(t) с известными параметрами ти, Г, А, четной относительно точки 1 = 0. В радиотехнике отношение q = Т/тн называют скважностью последовательности. По формулам B.6) находим а0 _ А 2 ~ q скважность после- последовательности 1A У2 ,2/1.1 а„ = J cosmoita! = sin - 2 Окончательную формулу ряда Фурье удобно записать в виде ""/в B.8) На рис. 2.2 представлены амплитудные диаграммы рассматри- рассматриваемой последовательности в двух крайних случаях. Важно отметить, что последовательность коротких импульсов, следующих друг за другом достаточно редко (q »• 1). обладает бо- богатым спектральным составом. по- последовательности пмпульсов, исполь- используемые, например, в радиолокации, имеют значения скважности, дости- достигающие несколы- ких тысяч Принято говорить, что снектральная р 6 диаграмма рассмо- Рис. 2.2. Амплитудный спектр периодической последовательности тренНОГО вида ИМе- ррямоугольиых видеоимпульсов: вт лепестковую а-4 при большой Скважности; б —при малой скважности , Структуру
¦ \ 2.1. Периодические сигналы ft ряды Фурье 41 Пример 2.2. Рлд ФурьеУхриодическои последовательности импуль- импульсов, образованной гармоническим сигналом вида (/m cos со,{, ограни- ограниченным на уровне Uo {предполагается, что | Vc | < Um). Введем специальный параметр — угол отсечки 9, определяемый из соотношения Um cos 9 = Uo, откуда 9 = arccos (U0[Um). В соответствии с этим величина 23 равна длительности одного импульса, выраженной в угловой мере: G)iTH = 2S. Аналитическая "запись 'импульса, порождающего «рассматри- «рассматриваемую последовательность, имеет вид угол отсечки Аксель Иванович Берг A892-1979)— академик,крунный советский ученый в области радио- радиотехники Функции Берга час- часто встречаются в инженерных расче- расчетах. В Приложе- Приложениях к книге даны их таблицы, а так- также соответствую- пдаяирограмма для ЭВМ на языке ФОРТРАН Постоянная составляющая последовательности 8'Ш1 * ^-=— f. (l/mcoso,t-l/0)d«- 2 Г _8№l l = — J (Km cos cu Амплитудный коэффициент первой гармоники 1 ^ U аг = f (Um cos Ш1Г — Uo) cos «!( d(o)it) = —^-(9 — sin 9 cos 9). 271 _g -. П Аналогично вычисляют амплитуды а„ - гармонических состав- .ляюших при п = 2, 3, ...: _ 1У„ sin nS cos 9 - и cos bS sin 9 ";~ п ntf-l) Полученные результаты обычно записывают так: Ло/2 = ишУо(9); а„ = 1/„,у,(9), гдеуо<9), у, (9), у2(9)...-так называемые функции Берга: Уо(9)-—(sin9-9cos9), t' у,(9) = —(9-sin9cos9), B.9) л ,п. 2 sin и9 cos 9 — п cos n9 sin 9 * _ , Y.(9) = - r-p-^ да ,-2. 3, ... • Графики некоторых функций Берга приведены на рис. 2.3. 1.0 0.75 OS 0.25 /, V / ~~^\У1 0 * 45 90 135 180 Рис. 2.3. Графики нескольких первых функций Берга
Гпава 2. Спектральные представления сигналов Комплексная форма ряда Фурье. Спектральное разложение периодического сигнала можно выполнить и несколько по- нному, используя систему базисных функций, состоящую из экспонент с мнимыми показателями: Функции из рас- рассматриваемой си- системы принимают комплексные зна- значения. Поэтому ири вычислении ска- скалярного произведе- произведения используется операция комп- комплексного сопряже- i. ±2,... B.10) Легко видеть, что функции этой системы периодичны с периодом Г и ортонормированы на отрезке времени [— Г/2, Г/2], так как Ряд Фурье произвольного периодического сигнала в дан- данном случае принимает вид S(t)=^ ? се"-' Положителыюй частоте соответ- соответствует вектор, вра- вращающийся против часовой стрелки, а отрицательной час- частоте — вектор, вращающипси но часовой стрелке с коэффициентами 1 тп _jmi |/Г-Г/2 Обычно используют следующую форму записи: С„е»-', • B.11) 1 Г/2 ^= j 1 Г/2 Выражение B.11) представляет собой ряд Фурье в комплекс- комплексной форме. Спектр сигнала в соответствии с формулой B.11) содержит компоненты на отрицательной полуоси частот, причем С~„г= = СТ- В ряде B.11) слагаемые с положительными и отри- отрицательными частотами объединяются в пары, например: С„е*"»1' + С_яе-™' = | С„ | е"""' * »¦> + + | С„ | е--""*1' + *¦> = 21 С„ | cos (nm,f + <pj. Итак, отрицательная частота — понятие не физическое, а математическое, вытекающее из способа представления комп- комплексных чисел. Изображение периодического сигнала на комплексной плос- плоскости. Структура ряда Фурье B.11) дает возможность изоб- изобразить периодический сигнал посредством бесконечной суммы вращающихся векторов на комплексной плоскости (рис. 24). ¦ Построение осуществляется следующим образом. Из на- начала координат комплексной плоскости (точка 0) строят вещественный вектор Со, который отображает член, с номе- •
2.2. Преобразование Фурье Рис. 2.4. Графическое отображекие ряда Фурье в комплексной форме ром п = 0. Затем в формуле B.11) полагают 1=0 и строят суммы векторов С- =С_1+С_2+С_э + ..., отвечающие вкладу слагаемых с положительными и отрица- отрицательными частотами. Если ряд Фурье сходится, то каждая из сумм отображается вектором конечной длины. Как указывалось, коэффициенты ряда Фурье с положи- положительными и отрицательными частотами комплексно сопря- сопряжены, поэтому вектор С+ + С_ всегда вещественный. Будучи сложен с постоянной составляющей Со, он образует вектор, длина которого равна s @) — значению сигнала в начальный момент времени. В дальнейшем картина трансформируется»— векторы Си С2,..., соответствующие положительным частотам, вращают- вращаются с угловыми скоростями ыи со2, ... в сторону увеличения фазового угла, в то время как векторы C_i, C_2, ... вра- вращаются в противоположном направлении. Конец результирую- результирующего вектора в каждый момент времени определяет хекущее значение сигнала. Такая наглядная интерпретация спектрального разложения периодического сигнала будет использована в последующем параграфе. 2.2. Спектральный анализ непериодических сигналов. Преобразование Фурье Метод рядов Фурье допускает глубокое и плодотворное обобщение, позволяющее получать спектральные характе- характеристики непериодических сигналов. Среди последних для радиотехники наибольший интерес представляют импульсные сигналы. Периодическое продолжение нмдоьса. Пусть s (t) — оди- одиночный импульсный сигнал конечной длительности. Дополнив его мысленно такими же сигналами, периодически следую- следующими через некоторый интервал -времени Т, получим изу- Для сходимости ряда Фурье необ- необходимо, чтобы дли- длины символических векторов,отвечаю- векторов,отвечающих . высшим гар- гармоникам, доста- достаточно быстро уменьшались с ро- ростом нх номеров
Глава 2. Спектральные представления сигналов Одиночный сигнал ченную ранее периодическую последовательность snep (r), которая может быть представлена в виде комплексного ряда Фурье 4 и периодическая последователь- последовательность В физике принято говорить, что нри этом няблюдается когерентное сложе- сложение гармонических колебаний с коэффициентами ¦С. = ± J s(i)e-« ' -та B.13) B.14) Для того чтобы вернуться к одиночному импульсному сигналу, устремим к бесконечности период повторения *Г. При этом, очевидно: 1. Частоты соседних гармоник» nojj и (и + 1) <% окажутся сколь угодно близкими, так что в формулах B.13) и- B.14) дискретную переменную п<ях можно заменить непрерывней переменной со — текущей частотой. 2. Амплитудные коэффициенты С„ станут неограниченными, малыми из-за наличия величины Т в знаменателе формулы B14). Наша задача состоит теперь в нахождении предельного вида формулы B.13) при Т-> оо. Понятие спектральной плотности сигнала. Воспользуемся тем, что коэффициенты ряда Фурье образуют комплексно- сопряженные пары: сл 1", с_„ Каждой такой паре отвечает гармоническое колебание ** + ф-) = 2Л„ co с комплексной амплитудой 2А„е№' =2СИ. Рассмотрим малый интервал частот Дсо, образующий окрестность некоторого выбранного значения частоты й<>. В пределах этого интервала будет содержаться^? = Дю/со! = = ДсоТ/Bя) отдельных пар спектральных составляющих,"л1ас- тоты которых отличаются сколь угодно мало. Поэтому составляющие можно складывать так, как будто все они имеют одну и ту же частоту и характеризуются одина- одинаковыми комплексными амплитудами В результате находим комплексную амплитуду эквивалент- эквивалентного гармонического сигнала, отображающего вклад всех спектральных составляющих, содержащихся внутри интер- интервала Дш: ДЛч, = ~г J s(t)e->^dt = !~ j s(r)e-*wdt. B.15)
. 2.2. Преобразование Фурье Функция B.16) носит название спектральной плотности сигнала s (i). Формула B.16) осуществляет преобразование Фурье данного сигнала. Физический смысл понятия сиектральяой плолпйги. Интер- Интерпретацию полученных результатов удобно провести, перейдя от угловой частоты to к циклической частоте /= со/Bя). При этом формула B.15) приобретет вид A^, = 2SBn/0)A/. . B.17) Ее надо трактовать так: спектральная плотность SBnf0) — S(w0) есть коэффициент пропорциональности между длиной малого интервала частот Д/ и отвечающей ему комплексной амплитудой Д^ гармонического'сигнала с час- частотой f0. Коэффициент 2 означает, что вклад в амплитуду дают в равной мере и/ положительные и отрицательные частоты, образующие окрестности точек ±f0. Принципиально важно, что спектральная плотность — комплекснозначная функция частоты, одновременно несущая информацию как об амплитуде, так и о фазе элементарных синусоид. На векторной диаграмме непериодического сигнала (рис. 2.5) длины элементарных векторов бесконечно малы, поэтому вместо ломашЛх линий (Т конечно) получаются гладкие кривые (Т-* оо). Если иа оси частот взять некоторую последовательность равноотстоящих точек 0 < to, < <в2 . - -, го модуль спектральной плотности j S (ю) | установит линейный масштаб вдоль кривых: чем брльше модуль спектральной плотности в заданной области. частот, тем реже будут рас- располагаться частотные точки на векторной диаграмме. Спектральную плотность называ- называют также спект- спектральной функцией или Фурье-образом сигнала Рис. 25. Векторная диаграмма непериодического сигнала (справа изображена зависимость модулу спектральной плотаостн ьт частоты)
Глава 2. Спектральные представления сигналов i Данная диаграмма построена для некоторого фиксирован- фиксированного момента времени; с течением времени конфигурация кривых будет изменяться весьма сложным образом, по- поскольку чем выше частота, тем с большей угловой" ско- скоростью будут вращаться соответствующие участки жривых. Однако фактически важна не форма кривой, а лишь проекция на горизонтальную ось, ее конечной точки (см, рисунок). * . Обратное преобразование Фурье. Решим обратную задачу спектральной теории сигналов: найдем сигнал по его спект- спектральной плотности, которую будем считать заданной. Положим вновь, что непериодический сигнал получается . из периодической последовательности, когда ее период устрем- устремляется к бесконечности. Воспользовавшись формулами B.13) и B.14), запишем S(r)= lim ? -ЫишОе*-.'. Входящий сюда коэффициент 1/Т пропорционален раз- разности между частотами соседних гармоник: при любом целом п. Таким образом, Поскольку в пределе частотные интервалы между сосед- соседними гармониками неограниченно сокращаются, последнюю сумму следует заменить интегралом s(t) = ^~ i S(io)e*"idio. B.18) Один н тот же сиг- сигнал допускает две совершенно рав- равноправные матема- математические модели— функцию во вре- временной области н функцию в частот- частотной области решите задачу 3 Эта важная формула называется обратным преобразова- преобразованием Фурье для сигнала s(i). Сформулируем окончательно фундаментальный результат: сигнал s{t) и его спектральная плотность S(co) взаимно- взаимнооднозначно связаны прямым и обратным преобразованиями Фурье: J =2^ f B.19) Метод спектральных разложений чрезвычайно обогащает теорию сигналов. Например, часто математическая модель сигнала, представленная функцией s(l), т.е. во временной, области, сложна и недостаточно наглядна. В то jkb время описание этого сигнала в частотной области посредством функции Х(ш) может оказаться простым. Однако гораздо
,2.2. Преобразование Фурье важнее другое: спектральное представление сигналов откры- открывает прямой путь к.анализу прохождения сигналов через широкий класс радиотехнических цепей, устройств и систем. Эти методы будут подробно изучены в гл. 8 и 9. Условие существования спектральной плотности сигнала. В математике детально исследован вопрос о том, какими свойствами должна обладать функция s(r) для того, чтобы ее преобразование Фурье действительно существовало. Опуская доказательство [7], приведем окончательный ре- результат: сигналу s(i) можно сопоставить его спектральную плотность S(io) в том случае, если этот сигнал абсолютно интегрируем, т. е. существует интеграл J |S(l)|dt<cx>. абсолютная интег- интегрируемость сигна- сигнала Подобное условие значительно сужает класс допустимых сигналов. Так, в указанном/ классическом смысле невозможно говорить о спектральной плотности гармонического сигнала и (г) = Um cos соог, существующего иа всей бесконечной оси времени. Однако в современной математике разработаны приемы, позволяющие разумным образом вычислять спектральные плотности иеинтегрируемьгх сигналов. Правда, при этом ока- оказывается, что такие спектральные плотности будут уже не обычными, классическими, а обобщенными функциями. Вопрос о спектральном представлении иеинтегрируемых сигналов будет рассмотрен в этой главе позднее. А теперь на конкретных примерах изучим технику вы- вычисления спектральных плотностей импульсных колебаний. Спектральная плотность прямоугольного видеоимпульса. Пусть данный сигнал s(i) имеет амплитуду U, длительность ти и располагается симметрично относительно начала отсчета времени. На основании формулы B.16) S(a) = U j e~*"dr = U J (cosiot— jsintoi)d( = V2 V2 • S и >; -'./3 0 './2 Спектральная1 плотность рассматриваемого сигнала есть веществениая фуикция частоты. Удобио ввести безразмерную переменную % = iozJ2 и окончательно представить результат так: B.20) Отметим, что значение спектральной пЛотиости на нулевой частоте равно площади импульса: S@) = Utk. График, по- построенный во формуле B.20J, изображен на рис. 2.6.
Глава 2. Спектральные представления сигналов Рис. 2.6. График нормированной спектральной плотности прямо- прямоугольного видеоимпульса как функция параметра 4 = соТц/2 определение эф- эффективной дли- длительности нмпуль- са решите задачи 5 нб Спектральная плотность экспоненциального видеоимпульса. Рассмотрим сигнал, описываемый функцией s(t) — = t/exp(—at)o{t) при положительном вещественном значе- значении параметра а. Такой сигнал, строго говоря, лишь условно можно назвать импульсом из-за его поведения прн г-* со. Однако условие а > 0 обеспечивает достаток быстрое (экспоненциальное) уменьшение мгновенных значеннй сигнала с ростом в'ремени. Эффективную длительность!подобных импульсов в радиотех- радиотехнике обычно определяют из условия десятикратного умень- уменьшения уровня сигнала: ехр(—оа„) =0.1, откуда тн = 2.3ОЗ/ос. Спектральная плотность экспоненциального видеоим- видеоимпульса . U ос +j(?>~ Подставляя пределы, имеем S(co) = n+ym ' B.21) Можно отметить две принципиальные особенности, отли- отличающие спектральную плотность экспоненциального колеба- колебания от спектра импульса прямоугольной формы: 1. В соответствии с формулой B.21) величина S(w) не обращается в нульмш при каком конечном значении частоты. 2. Спектральная плотность экспоненциального импульса есть комплекснозначная функция S (со) = [ S (to) | ехр Г/1!* (со)], имеющая модуль (амплитудный спектр) | S(со) | = V/ya2 + со2 и аргумент (фазовый спектр) <|>(ю)= —arctg(co/a). Соответствующие графики представлены яа рис. 2.7, а, б. Спектральная плотность гауссова видеоимпульса. Данный сигнал описывается функцией вида s(t) = 1;ехр(-р72). Эффективную длительность гауссова импульса определим из,условия десятикратного уменьшения мгновенного значения сигнала. Обратившись к чертежу, видим, что длительность т,, должна удовлетворять соотношению ejp^^2]
2.2. Преобразование Фурье V Ф.град * ' f —*1 1 ' 1 1 |S|/S@) \ -O.S -8-6-4-2 0 2 4 6 _8_6_4-2\ -45 -«3 90 -45 2 4 6 8 I i i I Рис. 2.7. Спектральная плотность экспоненциального видеоимпульса: а — нормированный амплитудный спектр: б — фазовый спектр преобразуя которое получаем 3.035 B.22) Спектральная плотность рассматриваемого импульса B.23) Преобразуем подынтегральное выражение так, чтобы можно было воспользоваться табличным интегралом Для этого из показателя экспоненты в B.23) выделим полный квадрат: Таким образом, f exp[-(l/pi+;a)/Bj/J5)J]dt. Введем новую переменную ? = \/pt + jo>/B\/fS), такую, что d( = d?u/J3. Это позволяет представить искомую спектраль- спектральную платность в виде Такую математи- математическую модель ча- часто используют в тех случаях, когда исследуемый им- импульс обладает большой степенью «гладкости» откуда окончательно имеем B.24) Итак, спектральная плотность гауссова импульса вещест- вещественна и описывается гауссовой функцией частоты. Спектральная плотность дельта-функцш. Пусть сигнал s(t) представляет собой короткий импульс, сосредоточенный в точке | = 0в имеющий площадь А. Такой 'сигнал имеет
Глава 2. Спектральные представлемия сигналов математическую модель s(t) = Ab(t). Спектральная плотность этого сигнала S((o) = A*] exp(-/w()8(r)dt. Такое неведение спектра дельта- функции есть след- следствие исходной идеализации ISI, OJISI "К решите задачу 4 На основании фильтрующего свойства дельта-функции (см. гл. 1) входящий сюда интеграл численно равен значению классической функции в точке, где сосредоточена обобщен- обобщенная функция. Поэтому B.25) Итак, дельта-импульс имеет равномерный спектр на всех .частотах. Интересно интерпретировать этот результат на векторной диаграмме рис. 2.5. В момент возникновения импульса (г = 0) все элементарные гармонические составляю- составляющие складываются когерентно, поскольку в соответствии с B.25) спектральная плотность вещественна. Амплитуды этих составляющих при увеличении частоты не убывают (ср. с предыдущими примерами). Таким образом, при г = 0 наблюдается бесконечно большое значение сигнала. Во все другие моменты времени сигнал будет обращаться в нуль, так как векторная сумма (см. рис. 2.5) «свертывается» в точку. Связь между длительностью нмгульса н инриной его спектра. Если проанализировать частные случаи, изученные выше, то можно сделать очень важный вывод: чем меньше длительность импульса, тем шире его спектр. Под шириной спектра здесь и в дальнейшем будем понимать частотный интервал, в пределах которого модуль спектральной плотности не меньше некоторого наперед задан- заданного уровня, например изменяется в пределах от | S |mai CUI Рассмотрим прямоугольный видеоимпульс, полагая при этом, что верхняя граничная частота спектра ш„ — это частота, соответствующая первому нулю спектральной плотности. Нетрудно видеть, что Обратившись к экспоненциальному видеоимпульсу, можно условно положить, что на верхней граничной частоте модуль спектральной плотности уменьшается в 10 раз по отношению к максимальному значению. Отсюда следует [см. B.20) и ниже], что а значит, /в =ав/Bя) = 1.584а. Поскольку эффективная длительность экспоненциального импульса т„ = 2.303/ос, произведение fBxu = 3.647. Наконец, спектр дельта-импульса, имеющего бесконечно малу*о длительность, неограниченно протяжен.
2.3. Основные свойства преобразования Фурье Итак, произведение ширины спектра имлульса на его длительность есть постоянное число, зависящее только от формы импульса и, как правило, имеющее порядок единицы: /Л, = 0A).- Это соотношение имеет первостепенное значение для радиотехники. Оно определяет требования к ширине полосы пропускания радиотехнического устройства. Например, чем короче длительность импульса, тем шире должна быть полоса пропускания соответствующего усилителя. Короткие имлульсные помехи имеют широкий спектр и поэтому могут ухудшать условия радиоприема в значительной полосе частот. 2.3. Основные свойства преобразования Фурье Научившись вычислять спектральные плотности доста- достаточно простых, ио часто встречающихся импульсных сиг- сигналов, переидем к систематическому изучению свойств пре- преобразования Фурье. Линейность преобразования Фурье. Это важнейшее свойство формулируется так: если имеется некоторая совокупность сигналов «1 (г), s2 (г),..., причем Si (г) «-> St (to), s2 (!) ¦-> Sz (to),.... то взвешенная сумма сигналов преобразуется по Фурье сле- следующим образом: Говорят, что шири- ширина спектра н дли- длительность импуль- импульса связаны соотно- соотношением неопреде- неопределенности (термин, зннмствованный нз квантовой механи- механики) Здесь at — произвольные числовые коэффициенты. Для доказательства формулы B.26) следует подставить сумму сигналов в преобразование Фурье B.16). Свойства вещественной и мнимой частей спектральной плотности. Пусть s (!) — сигнал, принимающий вещественные значения. Его спектральная плотность в общем случае является комплексной: S(to)= J s(i)costo!d! — j J s(i)sinto!dt = Подставам это выражение в формулу обратного преоб- преобразования фурье B.18): s (!) = — J [A (to) - jB (to)] (cos to! + ] sin to!) dm. Для того чтобы сигнал, полученный путем такого дау- кратного преобразования, оставался вещественным, необхо- необходимо потребовать, чтобы J j4(m)sintoidm = O, J В (to) cos to! dm = 0. Интеграл от нечет- нечетной функция в сим- симметричных преде- пределах всегда равен нули»
Глава 2. Спектральные представления сигналов Это возможно лишь в том случае, если вещественная часть A(g>) спектральной плотности ^сигнала есть четная, а мнимая часть В (со) —. нечетная функция частоты: — ¦ ' B.27) Спектральная плотность сигнала, смещенного во времени. Предположим, что для сигнала s(t) известно соответствие s (()«-*? (со). Рассмотрим такой же сигнал, во возникающий на t0 секунд .позднее. Принимая точку г0 за новое начало отсчета времени, обозначим этот смещенный сигнал как s(t — г0). Покажем, что \s(t- to)<-»S (со) е-*°Ч| B.28) Доказательство очень простое. Действительно, Замена переменной s(t — io)«-> J s (i —10) e"*" d( = t-to = x = J s(x)e-'<'t Исходный сигнал Модуль комплексного числа ехр(—j<at0) при любых г0 равен единице, поэтому амплитуды элементарных гармони- гармонических составляющих, из которых складывается сигнал, не зависят от его положения на оси'времени. Информация об этой характеристике сигнала заключена в частотной зависи- зависимости аргумента его спектральной плотности (фазовом спектре). Зависимость спектральной плотности сигнала от выбора масштаба измерения времени. Предположим, что исходный сигнал s (гУ'подЖергнут изменению Масштаба времени. Это означает, что роль времени t играет новая независимая переменная kt (к — некоторое вещественное число). Если к > 1, то происходит «сжатие» исходного сигнала; если же 0<fc<l, то сигнал «растягивается» во времени. Оказывается, что если s (r) «-> S (со), то х (*()«-> у. B.29) Сжатый сигнал Действительно, s(to)« J s(fa)e-*»dt = -i f sMe'^'dJc, откуда,следует формула B.29). Итак, для того чтобы, например, сжать сигнал во времени, сохраняя его форму, необходимо распределить те же спектральные составляющие в более широком * интервале частот при соответствующем пропорциональном уменьшении их амплитуд. К рассматриваемому здесь вопросу близко примыкает следующая задача. Дан импульс .5 (г), отличный от нуля на
2.3. Основные свойства преобразования Фурье отрезке [0, xj и характеризуемый спектральной плотностью S (со). Требуется иайтн спектральную плотность S^p (со) «обра- «обращенного во времени» сигнала s^p (О»' который представляет собой «зеркальную копию» исходного импульсного колеба- колебания. Поскольку очевидно, что s^p (t) — s (тн — t)? то Выполнив замену переменной х = тн — t, находим, что Спектральная плотность производной п неопределенного интеграла. Пусть сигнал s(t) н его спектральная плотность S (со) заданы. Будем изучать новый сигнал f(t) = ds/dt н по- поставим цель найти его спектральную плотность/F (со). По определению. B.31) [F(co)=j(oS(co).] Преобразование Фурье — лниейная операция, значит, ра- равенство B.31) справедливо н по отношению к спектральным плотностям. Учитывая B.28), получаем _. . ,. 1 — expt—jcor) _, . /-i,-iv F (со) — Inn —S (со). B.32) Представляя экспоненциальную функцию рядом Тейлора: ехр(—jcot)= 1 — ./сот —(сотJ/2 —..., подставляя этот ряд в B.32) н ограничиваясь первыми двумя членами, находим B.33) Прн дифференцировании скорость изменения сигнала во времени возрастает. Как следствие модуль спектра произ- производной имеет большие значения в области высоких частот по сравнению с модулем спектра исходного сигнала. Формула B.33) обобщается на случай спектра производ- производной n-го порядка. Легко доказать, что если g(t) — d"s/dt", то G(co) = (/co)*S(co). B.34) Итак, днфференцироваине сигнала по времени эквивалент- эквивалентно простой алгебраической операции умножения спектральной плотности на множитель jra. Поэтому принято говорить, что мнимое число jo> является оператором дифференцирования, действующим в частотной области. Рассмотренная функция s (t) = $f(t) dt является первооб- первообразной (неопределенным интегралом) по отношению к функ- функции /(t). Из B.33) формально следует, что спектр перво- первообразной S(eo) = F(co)/(;co). . B.35) ?. »- Сигнал п его производная При дифференциро- дифференцировании происходит обострение сигвала
Глава 2. Спектральные представления сигналов Таким образом, множитель 1/(/ш) служит оператором интегрирования в частотной области. Спектральная плотность «гнала на выходе интегратора. • Во многих радиотехнических устройствах нахоЛят применеиие так пазываемые интеграторы — физические системы, вы- выходной сигнал которых пропорционален интегралу от вход- входного воздействия. Рассмотрим конкретно интегратор, осуще- осуществляющий преобразование входного сигнала sM(t) в выход- выходной сигнал 5мыA) по следующему закону: 1 I .... sMX(t) = — J явх(ц)а^. B.36) * i-т Здесь Т> 0 — фиксированный параметр. Определенный интеграл, входящий в B.36), равен, оче- очевидно, разности двух значений первообразной сигнала «„ (с), На выходе инте- одно нз которых вычисляется при аргументе t, а другое — гратора происхо- прн аргументе t — T. Используя соотношения B.28) и B.35), дат сглаживание получаем формулу связи между спектральными плотностями входного сигнала сигналов иа входе н выходе: Рассмотренный ин- интегратор называют иногда фильтром скользящего сред- среднего B37) Сомножитель в скобках ограничен_при любых частотах, в то же время модуль знаменателя линейно растет с уве- увеличением частоты. Это свидетельствует о том, что рас- рассматриваемый интегратор действует подобно фильтру нижних частот, ослабляя высокочастотные спектральные составляю- составляющие входного сигнала. Спектральная плотность произведения сигналов. Как из- известно, при суммировании сигналов их спектры склады- складываются. Однако спектр произведения сигналов не равен про- произведению спектров, а выражается некоторым специальным интегральным соотношением между спектрами сомножителей. Пусть u(t) н »(t) —два сигнала, для которых известны соответствия u(t)«-»?/(co), v(t)*^V(in). Образуем произведение этнх сигналов: s(t) = u(t)v(t) и вычислим его спектральную плотность. По общему правилу S(co)= J u(t)v(t)e~*"dt. B.38) Применив обратное преобразование Фурье, выразим сиг- сигнал v(t) через его спектральную плотность и подставим результат в B.38): S<W)= 2jT ^ "W[^ ^©e*'dye"*'dr. Изменив порядок интегрирования, будем иметь
2.4« Спектральные плотности неинтегглфуемых снгналов откуда B.39) Интеграл, стоящий в правой части, называют сверткой функций V н U. В дальнейшем будем символически обо- значать операцию свертки так: J V® U(a - co) * f/(co). свертка Таким образом, спектральная плотность произведения двух сигналов с точностью до постоянного числового мнот жителя равна свертке спектральных плотностей сомножи- сомножителей: 1 '2я B40) Нетрудно убедиться, что операция свертки коммутативна, т. е. допускает изменение порядка следования преобразуе- преобразуемых функций: F(eo) * U (со) = U (ш) * V((a). Доказанная выше теорема о свертке может быть обра- обращена: если спектральная плотность некоторого сигнала пред- представляется в виде произведения S(co) =Si(a>)S2(co), причем S, (to) *->Si(t) и S2(co)«->s2@> то сигнал s(t)«->S(co) является сверткой сигналов Sj (г) н s2 (c)> но уже не в частотной, а во временной области: j B.41) решите и 8 залачи 7 Элементарное доказательство этой формулы читатель мо- может провести самостоятельно. 2.4. Спектральпые плотности пеинтегряруемых сигналов Математические модели многих сигналов, широко приме- пяемых в радиотехнике, не удовлетворяют условию абсо- абсолютной интегрируемости, поэтому метод преобразований Фурье в обычном виде к ним неприменим. Однако, как указывалось, можно говорить о спектральных плотностях таких сигналов, если допустить, что эти плотности описы- описываются обобщенными функциями. Обобщенная формула Рэлея. Докажем важное вспомога- вспомогательное положение, касающееся спектральных свойств сигна? лов. Пусть два сигнала и (г) и v (г), в общем случае комплексно- эначные, определены своими обратными преобразованиями
56 Глава 2. Спектральные представления сигналов Дж. В. Стрел-, лорд Рэлей A842— 1919) — крупней- крупнейший английский физик, известный своими работами в области теории ко- колебаний и волн Фурье: J f/(co)e*"dco. »Ю = х- Найдем скалярное произведение этих сигналов, выразив один из них, например v(t), через его спектральную плот- плотность: »)= J u(t)i-*(t)dt = = y- J dcoF*(co) J u(t)e">"'dt. Здесь внутренний интеграл представляет собой, очевидно, спектральную плотность (/(со) сигнала u(t). Поэтому B.42) , F). В математике обо- Полученное соотношение представляет собой обобщенную бщеиную формулу формулу Рэлея. Легко запоминающаяся трактовка этой фор- Рэлея называют мулы такова: скалярное произведение двух сигналов с точ- также равенством ностью до коэффициента пропорционально скалярному про- Парсеваля или тео- изведению их спектральных плотностей. ремой Планшереля Обобщение понятии спектральной плотности. Будем считать, что сигнал v(t) представляет собой абсолютно интегриру- интегрируемую функцию. Тогда его преобразование Фурье F(to) — обычная классическая функция частоты. Пусть наряду с этим сигнал u(t) не удовлетворяет условию абсолютной интегри- интегрируемости и в обычном классическом смысле преобразо- преобразование Фурье U (со) не существует. Однако можно расширить понятие спектральной плотности, допустив, что t/(co) явля- является обобщенной функцией в том смысле, который был установлен в § 1.2. Для этого в соответствии с обоб- обобщенной формулой Рэлея достаточно положить, что U (со) — функционал, который, действуя на известную функцию F(co)* дает следующий результат: A7, V) = 2n{u,v). B.43) Приемы вычисления спектров неинтегрируемых сигналов целесообразно рассмотреть на конкретных примерах. Снектральная плотность „постоянного во времени сигнала. Простейший неинтегрируемый сигнал — это постоянная вели- величина и (t) = А = const.- Предположим, что v (г) <- произвольный вещественный абсолютно интегрируемый сигнал с известной
2.4. Спектральные плотности неинтегрируемых сигналов спектральной плотностью F(co). Раскрывая формулу B.43), имеем (U,V) = 2nA J v(t)dt. Но, как легко заметить, f v(t)dt= J v(t)c-JOldt=V№). Отсюда на основании фильтрующего свойства дельта- функции приходим к выводу, что равенство B.43) возможно лишь при условии, что I B.44) 1/A0) = Физический смысл полученного результата нагляден — неизменный во времени сигнал имеет спектральную состав- составляющую только на нулевой частоте. Спектральная плотность комплексного экспоненциального сигнала. Пусть s(t) - exp(/coot) — комплексный экспоненциаль- экспоненциальный сигнал с заданной вещественной частотой со0. Этот сигнал не является абсолютно интегрируемым, поскольку при t-»±oo функция s(t) ие стремится ни к какому пре- пределу. Преобразование Фурье S(co) этого сигнала, рассматри- рассматриваемое в обобщенном смысле, должно удовлетворять соот- соотношению f Отсюда искомая спектральная плотность S(co) выражается таким образом: |s(eo) = 2no(co-co0). I B.45) Отметим следующее: 1. Спектральная плотность комплексного экспоненциаль- экспоненциального сигнала равна нулю всюду, кроме точки ш = ш0, где оиа имеет дельта-особенность. 2. Спектр данного сигнала несимметричен относительно точки со = 0 и сосредоточивается в области либо положи- положительных, либо отрицательных частот. Спектральная плотность гармонических колебаний. Пусть s(r) = cosco0t. По формуле Эйлера Найденный выше спектр комплексного экспоненциального сигнала, а также свойство линейности преобразования Фурье позволяют сразу записать выражение спектральной плот- ности косинусоидального сигнала: I B.46) Более того, нрн -любых (имеет мес- место равенство UI = 1 О ш0 При ю0 > О При <»0 < О г 11:
-26,-4>,0 Глава 2. Спектральные представления сигналов Читатель может легко проверить самостоятельно, что для синусоидального сигнала справедливо соотношение d - ш0) -1 B.47) Следует заметить, что выражение B.46) представляет собой четную, а выражение B.47) — нечетную функцию частоты. Спектральная плотность произвольного периодического сиг- вала. Ранее периодические сигналы исследовались методами теории рядов Фурье. Теперь можно расширить представле- представления об их спектральных свойствах, описав периодические сигналы с помощью преобразования Фурье. Пусть - периодический сигнал, заданный своим рядом Фурье в комплексной форме. На основании формулы B.45), принимая во внимание свойство линейности преобразования Фурье, сразу получаем выражение спектральной плотности такого сигнала: B.48) Соответствующий график спектральной плотности своей конфигурацией повторяет обычиую спектральную диаграмму периодического сигнала График образован дельта-импуль- дельта-импульсами в частотной области, которые располагаются в точ- точках с координатами ±«0»!. Спектральная плотность функции включения. Вычислим спектральную плотность функции включения а (г), которую для простоты определим во всех точках, кроме точки t = O[cp. с A.2)]: o(t) = , t<0, , t>0.- Заметим прежде всего, что функция включения получается путем предельного перехода из экспоненциального видео- видеоимпульса: fO, t<0, limexp(—at), t>0. пьса: "ft 1 lim la-0 Поэтому можно попытаться получить спектральную плот- плотность функции включения, выполнив предельный переход при а->0 в формуле спектральной плотности экспонен- экспоненциального колебания: »Шп о a+ja>'
2.4. Спектральные плотности неинтегрируемых сигналов Непосредственный переход к пределу, согласно которому с(г)«-»/(/ш), справедлив прн всех частотах, кроме значения ш = 0, когда необходимо более тщательное рассмотрение. 'Прежде всего выделим в спектральной плотности экспо- неациального сигнала вещественную н мнимую части: 1 -=- —-1 + V,* а +jco Можно убедиться в том, что Действительно, предельное значение этой дроби при любых со Ф 0 обращается в нуль, н в то же время С ado Г J «2+со2= J d(co/g) независимо от величины а, откуда и следует сделанное утверждение. Итак, получено взаимно однозначное соответствие функ- функции включения н ее спектральной плотности: B.49) Дельта-особенность прн со — 0 свидетельствует о том, что функция включения имеет постоянную составляющую, рав- равную 1/2. Спектральная плотность радноишульса. Как известно, радиоимпульс sc(t) задается в виде произведення некоторого видеоимпульса s. (t), играющего роль огибающей, н неннтегри- руемого гармонического колебания: sp(t) = s,(t) cos (o)ot.+<po). Чтобы найтн спектральную плотность радиоимпульса, будем полагать известной функцию & (со) — спектр его оги- огибающей. Спектр косинусоидального сигнала с произволь- произвольной начальной фазой получается путем элементарного обобщения формулы B.46): cos(co0t + <ро)<-*л[8(ч' — Шо)е*° + 8 (ш + ш0) е~""]. Спектр радиоимпульса есть свертка В литературе ино- иногда встречаетси не- неточная запись фор- формулы вида B/49), состоящая лишь из второго слагаемо- слагаемого решите задачу 15 Прнияв во внимание фильтрующее свойство дельта- функции, получаем важный результат: Sp (ю) = у e*>S, (со - ш0) + у е-Л-S, (со + ш0). B.50) Рис. 2.8 иллюстрирует трансформацию спектра видеоим- видеоимпульса при умножении его на высокочастотный гармони- гармонический сигнал. . *
Глава 2. Спектральные представления сигналов ISI решите задачу 10 Рис. 2.8. Частотные зависимости модуля спектральной плотности: а — видеоимпульса; 6 — радиоимпульса Видно, что переход от видеоимпульса к радиоимпульсу при спектральном подходе означает перенос спектра видео- видеоимпульса в область высоких частот — вместо единственного максимума спектральной плотности при со = 0 наблюдаются два максимума при со = ±со0; абсолютные значения макси- максимумов сокращаются вдвое. Отметим, что графики на рис. 2.8 отвечают ситуации, когда частота со0 значительно превышает эффективную ширину спектра видеоимпульса (именно такой случай обычно н реализуется на практике). Прн этом не наблюдается ощутимого «перекрытия» спектров, отвечающих положитель- положительным н отрицательным частотам. Однако может оказаться, что ширина спектра видеоимпульса велика настолько (прн коротком импульсе), что выбранное значение частоты со0 не устраняет эффект «перекрытия». Как следствие, профили спектров видеоимпульса и радиоимпульса перестают быть подобными. Пример 2,3. Спектральная плотность прямоугольного радио- радиоимпульса. Для простоты положим начальную фазу нулевой и запишем математическую модель радиоимпульса в виде sP(t) = V [o(t) - c(t -т„)]со8@ог. Зная спектр соответствующего видеоимпульса [см. формулу B.20)], на основании B.50) находим искомый спектр: B.51) На рис. 2.9 изображены результаты расчета спектральной плотности по формуле B.51) для двух характерных случаев. В первом случае (рнс. 2.9,а) импульс огибающей .содержит 10 периодов высокочастотного заполнения {щхв = 20л); частота щ здесь достаточно высока для того, чтобы избежать «перекрытия». Во втором случае (рис. 2.9, б) радиоимпульс состоит всего лишь из одного периода заполнения («otH = 2п). Наложение составляющих, которые соответствуют областям положительных и отрицательных частот, приводит к характерной асимметрия лепест- лепестковой структуры графика спектральной плотности радиоимпульса. "fn oil УН I. т.
2.5. Преобразование Лапласа Рис. 2,9. Графики спектральных плотностей радиоимпульса с пря- прямоугольной огибающей: ч . а - при (uqt,, = 20тс; 6 — при юоти = 2fc 2.5. Преобразование Лапласа Так называется еще одни вид интегральных преобразо- преобразований, который наряду с преобразованием Фурье широко используется в радиотехнике для решения самых разно- разнообразных задач, связанных с изучением сигналов. Понятие комплексной частоты. Спектральные методы, как уже известно, основаны на том, что исследуемый сигнал представляется в виде суммы неограниченно большого числа элементарных слагаемых, каждое из которых периодически изменяется во времени по закону ехр (/cot). Естественное обобщение этого принципа заключено в том, что вместо комплексных экспоненциальных сигналов с чисто мнимыми показателями вводят в рассмотрение экспонен- экспоненциальные сигналы вида ехр(рг), где р — комплексное число: р = о +jco, получившее название комплексной частоты. Из двух таких комплексных сигналов можно составить вещественный сигнал, например, по следующему правилу: s(t) = V2(eP' + eP*0, B.52) где р* = а — jiu — комплексно-сопряженная величина. Действительно, при этом - е cos cot. B.53) 6 зависимости от выбора вещественной н мнимой частей комплексной частоты можно получить разнообразные веще- вещественные сигналы. Так, если с = 0, но со Ф 0, получаются обычные гармонические колебания вида cos см. Если же со =,0, то в зависимости от знака о получаются либо нарастающие, либо убывающие во времени экспоненциальные колебания. Более сложную форму такие сигналы приобретают, когда со ф 0. Здесь множитель ехр (ot) описывает огибающую, кото- которая экспоненциально изменяется во времени. Некоторые типичные сигналы изображены на рнс. 2.10. Понятие комплексной частоты оказывается весьма нолез- ным прежде всего потому, что это дает возможность, ве
Глава 2. Спектральные представления сигналов Рис. 2.10. Вещественные сигналы, отвечающие различным значениям комплексной частоты *, прибегая к обобщенным функциям, получать спектральные представления сигналов, математическне моделн.которых не- интегрируемы. Существенно н другое соображение: экспо- экспоненциальные сигналы вида B.S3) служат «естественным» средством исследования колебаний в разнообразных линей- линейных системах. Эти вопросы будут изучены в гл. 8. Следует обратить внимание на то, что истинная физи- физическая частота со служит мнимой частью комплексной час- частоты. Для вещественной части а комплексной частоты спе- специального термина не существует. Основные соотношения." Пусть f(t) — некоторый сигнал, ве- вещественный или комплексный, определенный при t ^ 0 и равный нулю при отрицательных значениях времени. Пре- Преобразование Лапласа этого сигнала есть функция комплекс- комплексной переменной р, задаваемая интегралом: B.54) Сигнал/(t) называется оригиналом, а функция F(p) —его изображением по Лапласу (для краткости, просто изображе- изображением). Условие, которое обеспечивает существование интеграла B.54), заключается в следующем: сигнал /(t) должен иметь не более чем экспоненциальную степень роста при t > О, т.е. должен удовлетворять неравенству \f(t)\^Aexp(at\ где Да — положительные числа. При выполнении этого неравенства функция F{p) сущест- существует в том смысле, что интеграл B.54) абсолютно сходится для всех комплексных чисел р, у которых Rep>o. Число а называют абсциссой абсолютной сходимости. Перемепная р в основной формуле B.54) может быть отождествлена с комплексной частотой p = a+jo>. Действи- Действительно, при чисто мнимой комплексной частоте, когда с = О, формула B.54) переходит в формулу B.16), определяющую Фурье-преобразование сигнала, который равен нулю при t<0. Таким образом, преобразование Лапласа можно рассматри-
2.5. Преобразование Лапласа вать как обобщение преобразования Фурье на случай комплексных частот. Подобно тому как это делается в теории преобразо- преобразования Фурье, можно, зная изображение, восстановить ори- оригинал. Для этого в формуле обратного преобразования Фурье = — JF(m)e>"deo следует выполнить аналитическое продолжение, перейби от мнимой переменной ./со к комплексному аргументу ст +ja. На плоскости комплексной частоты интегрирование проводят вдоль неограниченно протяженной вертикальной оси, распо- расположенной правее абсциссы абсолютной сходимости. По- Поскольку при с = const дифференциал dtt> = (l//)d/>, формула обратного преобразования Лапласа приобретает вид связь между пре- преобразованиями Ла- Лапласа и Фурье B.55) В теории функций комплексного переменного доказано, что изображения по Лапласу обладают «хорошими» свой- свойствами с точки зрения гладкости: такие изображения во всех точках комплексной плоскости р, за исключением счетного множества так называемых особых точек, являются аналитическими функциями. Особые точки, как правило,— по- полюсы, однократные или многократные. Поэтому для вычис- вычисления интегралов вида B.55) можно использовать гибкие методы теории вычетов. На практике широко применяются таблицы преобразова- преобразований Лапласа, в которых собраны сведения о соответствии между оригиналами. и изображениями. Наличие таблиц сделало метод преобразования Лапласа популярным как в теоретических исследованиях, так и в инженерных рас- расчетах радиотехнических устройств и систем. В Приложениях к [6] имеется такая таблица, позволяющая решать доста- достаточно широкий круг задач. Примеры вычисления преобразовании Лапласа. В способах вычисления изображений есть много общего с тем, что уже изучалось применительно к преобразованию Фурье. Рассмот- Рассмотрим наиболее характерные слулаи. Пример 2.4. Изображение обобщенного экспоненциального им- импульса. Пусть /(() =ехр(рог)ст(г), где р0 = ст0 +ja0 — фиксированное комплексное число. Наличие ст-функпии обусловливает равенство /(г) = О при КО. Воспользовавшись формулой B.54), имеем
64 Глава 2. Спектральные представления сигналов Если Rep>Oot To числитель обратится в нуль при подстановке верхнего предела. В результате получаем соответствие еРо'о (г)«-—-—. B.56) Р-Ро Как частный случай формулы B.56), можно иайти изображение вещественного экспоненциального видеоимпульса: о (().->- B.57) и комплексного экспоненциального сигнала: B.58) Наконец, положив в B.57) а = О, находим изображение функции Хевисайда: o(t)«—. B39) Р Пример 2.5. Изображение дельта-функции. Если рассматриваемый импульс возникает в момент времени г0 > О, то интеграл Итак, 8((-го)*->е-'Ч B.60) Это изображение определено во всех точках комплексной плос- плоскости р и нигде ие имеет особенностей, кроме бесконечно уда- удаленной точки. Некоторую сложность может представлять вычисление изображе- изображения дельта-импульса, сосредоточенного при t = 0, поскольку неясно, как надо учитывать вклад от обобщенной функции, сосредото- сосредоточенной на одном из концов области интегрирования. Дело в том, что в гл. 1 дельта-функция определялась как предел последователь- последовательности импульсов, симметричных относительно точки t = 0. Если поступать формально, то в пределах области интегрирования ока- окажется лишь половина такого импульса, что приведет к двукратному уменьшению интеграла. Для того чтобы этого ие произошло, изображение функции 8(t) определяется как предел Iim J 5(r)e"I"dr = l, не зависящий от параметра е. При таком подходе функция 8(t) всегда целиком принадлежит области интегрирования, поэтому 6(t)~l. B.61) Дельта-нмпуЛЬС принадлежит обла- СТИ Г>0 Изображение производных. Чтобы найтн изображение пер- первой производной сигнала, следует выполнить интегрирование по частям:
2.5. Преобразование Лапласа Легко видеть, что изображение первой производной со- содержит значение сигнала в начальной точке: ~^pF(p)-f(O). y B.62) По индукции доказывается формула для изображения производной л-го порядка: ^~p"F(p) - р-'ЯО) - p-2f'@) - ... \ ... - р/«-2> @) -/'"- *> @). B.63) Возможность учитывать начальное состояние сигнала прн t = 0 позволяет применять метод преобразования Лапласа для решения линейных дифференциальных уравнений с нзвест- нымн начальными условиями. Основные свойства преобразования Лапласа схожи с опи- описанными свойствами преобразования Фурье [14]. Результаты 00 Спектральное представление сигнала представляет собой разложение его на сумму (конечную или бесконечную) элементарных гармонических сигналов с различными частотами. 00 Периодические сигналы представляются в виде рядов Фурье, которые обра- образуются суммированием, вообще говоря, бесконечного числа гармоник с часто- частотами, кратными основной частоте повторения последовательности. 00 Спектральное представление непериодических, в частности импульсных, сиг- сигналов осуществляется путем разложения их в интеграл Фурье. 00 В частотной области непериодический сигнал характеризуется своей спект- спектральной плотностью. Сигнал и его спектральная плотность взаимно связаны парой преобразований Фурье. 00 Для существования спектральной плотности в классическом смысле необходи- необходимо, чтобы сигнал был абсолютно интегрируем. 00 Спектральная плотность неинтегрируемого сигнала содержит особенность типа дельта-функции. 00 Переход к комплексной частоте в преобразовании Фурье приводит к новому виду линейных интегральных преобразований — преобразованию Лапласа. Сиг- Сигналы, преобразуемые по Лапласу, должны обращаться в нуль при t <0. Вопросы 1. Почему простое гармоническое коле- 5. В чем заключается эффект когереит- бание cos (oi0t + <р0) играет особо важную иого сложения гармонических колеба- роль в радиотехнике? инй? 2. Дайте определение понятия лериодиче- 6. Какими свойствами обладает спект- ского сигнала. Назовите несколько физиче- ральная плотность вещественного сигнала? скнх процессов, для которых модель лерио- 7. Как принято определять длительность дического сигнала является достаточно точ- импульсных сигналов? ным способом описания. 8. В чем состоит характерная особенность 3. Как определяется понятие угла отсечки спектра дельта-импульса? гармонического колебания? . 9. Как по известным спектральным плот- 4. Как возникает понятие отрицательной ностям двух сигналов вычислить их скаляр- частоты? ^ ное произведение?
66 Глава 2. Спектральные представления сигналов 10. Какова связь между длительностью импульса и шириной его спектра? 11. Как в частотной области отобража- отображаются операции дифференцирования и интег- интегрирования сигнала? 12. Как связаны между собой спектраль- спектральные плотности видеоимпульса и радио- радиоимпульса? 13. Какой эффект оказывает «(перекрытие» частотных областей в спектре радиоим- радиоимпульса? 14. В чем смысл понятия комплексной частоты? 15. К каким сигналам можно применять метод преобразования Лапласа? Задачи 1. Покажите, что ряд Фурье пнлообраз- пнлообразиого колебания имеет вид s (г) = (А/2) - (AJn) [sin ю,г + (sin 2ш,г)/2 +' + (sin Зш,г)/3 + ...]. 2. Найдите амплитудный коэффициент 25-й гармоники пилообразного сигнала, если А = 30 В. 3. Покажите, что если периодическая последовательность образована повторением импульса So (t) с известной спектральной плотностью So (ю), то комплексная амплитуда п-го члена ряда Фурье где Т— период последовательности; в»! - основная частота. 4. Дан двусторонний экспоненциальный видеоимпульс s(t) = Uoexp{-a\t\). Найдите его спектральную плотность. Опре- Определите длительность сигнала и ширину спектра. Оценив их, проверьте соотношение неопределенности. 5. Вычислите спектральную плотность экспоненциального видеоимпульса [см. B.21)] с амплитудой 20 В и параметром <х = = 106 с на частоте ш0 =2105 с. 6. На какой частоте спектральная плот- плотность импульса, рассмотренного в задаче 5, будет иметь фазовый угол —45°? 7. Убедитесь, что спектральная плотность одиночного косинусоидалыюго-• импульса 8. Имеется группа (пачка), состоящая из л одинаковых видеоимпульсов: Покажите, что спектральная плотность этой группы где So (о) — спектр одиночного импульса. Указание. Воспользуйтесь формулой суммирования геометрической прогрессии: " 1 г" у ^=i^—. 1-г 9. Группа образована тремя одинаковы- одинаковыми дельта-импульсамн: Т ft
Более сложные задания 67 Покажите, что частотная зависимость мо- модуля спектральной плотности группы такова: I S? (и) I = [A + cos ©T+.C0S 2юГJ + + (sin ti)T+ sin 2tnTf]m. 10. График импульсного сигнала, образо- образованного отрезками гармонического колеба- колебания, приведен на рисунке: ЛЛ V Покажите, что спектральная плотность этого сигнала равна нулю как на нулевой частоте, так и иа частоте высокочастотного заполнения. Как изменится спектр этого сиг- сигнала, если он приобретет такую форму: 11. Найдите сигнал, изображение кото- которого г(ру Up * (Р + «) (р + р)' Более сложные задания 12. Пусть периодический сигнал описыва- описывается функцией времени, которая содержит скачкообразные изменения уровня (разрывы 1-го рода). Покажите, что коэффициенты ряда Фурье такого сигнала с ростом их номера имеют асимптотику О A/п) независимо от вида функции. 13. В условиях .предыдущей задачи рас- рассмотрите сигнал, у которого разрывы нслы- гывает первая производная, а значение функ- функции непрерывна Покажите, что в этом слу- случае асимптотика коэффициентов ряда Фурье имеет вид О A/п2). 14. Обсудите следующий «парадокс»: если ia некоторое время замкнуть коммутатор i цепи то на нагрузке будет наблюдаться прямо- прямоугольный импульс uR (г). Этот импульс осла-* дывается из гармонических составляющих, существующих во все моменты времени, в том числе и до начала импульса. Как это согласуется с предположением, что импульс может н не быть создан, хотя гармонические составляющие уже существуют? 15. Покажите, что спектральная плотность с-функции, будучи подставленной б обрат- обратное преобразование Фурье, обеспечивает при t = 0 значение сигнала с @), равное '/г- Указание. Считая частоту о комплекс- комплексной переменной, вычислите интеграл методами теории вычетов.
Глава 3 Энергетические спектры сигналов. Принципы корреляционного анализа Представление сигналов посредством их спектральных плотностей позволяет значительно упростить вычисление энергии сигналов, а также создать ряд новых представле- представлений, полезных в самых разнообразных областях радиотех- радиотехники. 3.1. Взаимная спектральная плотность сигналов. Энергетический снектр В гл. 1 была введена фундаментальная характеристика системы двух вещественных сигналов и (t) и v (i) — их ска- скалярное произведение (u,v)= J u(t)t>(f)d(, C.1) пропорциональное взаимной энергии этих сигналов. Если сиг- сигналы тождественно совпадают, то скалярное произведение становится равным энергии ?„ = (и,«)= ?«2(r)dt. C.2) Скалярное произведение сигналов u(t) н i?(f) можно вы- выразить через их спектральные плотности U (со) и V(<o) с по- помощью обобщенной формулы Рэлея B.42): (u,v)=^- ] l/(co)K*(co)dco. В равной мере справедливо равенство (Ut v) = -!- ? V* (со) К(со) dco, 2Л поскольку скалярное произведение вещественных сигналов является вещественным числом. Назовем взаимным энергетическим, спектром веществен- вещественных сигналов u(t) н v(t) функцию И?Дсо) = U(со) К* (со), C.3) такую, что {иг t7> = —1— 7 И?„(со)<ко, C.4) 2Л причем
3.1. Взаимная спектральная плотность Представив спектральные плотности сигналов и (г) и v(t) в виде суммы вещественных и мнимых частей: 17 (со) = Аи (со) + jBu (со), Р(со) = А. (со) + jBv (со), убеждаемся, что взаимный энергетический спектр Wuv — функ- функция, принимающая, в общем случае, комплексные значения: И?„ (со) = АиА„ + BUBV +у(В„Д„ - AUBV) = = Re Wm (со) + jlia Wm (со). C.6) Нетрудно заметить, что Re Wm — четная, a Im И?„ — не- нечетная функция частоты. Вклад в интеграл C.4) дает только вещественная часть, поэтому 6,4-i C.7) Последняя формула дает возможность проанализировать «тонкую структуру» взаимосвязи сигналов. Более того, обобщенная формула Рэлея, представленная в виде C.7), указывает на принципиальный путь, позволяю- позволяющий уменьшить степень связи между двумя сигналами, до- добившись в пределе их ортогональности. Для этого один из сигналов необходимо подвергнуть обработке в особой физи- физической системе, называемой частотным фильтром. К этому фильтру предъявляется требование: не пропускать на выход спектральные составляющие, находящиеся в пределах частот- частотного интервала, где вещественная часть взаимного энерге- энергетического спектра велика. Частотная зависимость коэффи- коэффициента передачи такого ортогонализирующего фильтра будет обладать резко выраженным минимумом в пределах указан- указанной области частот. Изложенный подход к вычислению скалярного произве- произведения, основанный на понятин взаимного энергетического спектра, имеет прямое отношение к результатам, которые были получены в гл. 1 при вычислении скалярного произ- произведения сигналов, разложенных по элементам ортогональ- ортогонального базиса. Разница, однако, состоит в том, что здесь используется не дискретное, а непрерывное Фурье-представ- Фурье-представление. решите задачу 1 Наибольший вклад во взаимную энер- энергию дают те час- частотные области, в которых имеется «перекрытие» спек- спектров сигналов Частотнаи зависи- зависимость коэффициен- коэффициента нередачи орто- гоиа лидирующего фильтра Пример 3.1. Взаимный энергетический спектр двух экспонен- экспоненциальных видеоимпульсов одинаковой формы, следующих друг за другом с интервалом времени t0. Положив, что оба импульса имеют единичную амплитуду, запи- запишем выражения их спектральных плотностей: ) = e ""о (()¦"( a +J°>' t - to)*-» Отсюда находим взаимный энергетический спектр C.8)
Глава 3. Энергетические спектры. Корреляционный анализ Рис. 3.1. Взаимный энергетический спектр двух экспоненциальных видеоимпульсов: а - при ato » 1; б - при crt0 ¦* * имеющий вещественную часть Re Wm (со) = cos Q>W(a2 + й>2) ¦ Если зафиксировать параметр ос, определяющий форму сигналов, то частотные свойства взаимного энергетического спектра будут целиком зависеть от временного сдвига между сигналами. На рис. 3.1 изображены два характерных графика функции ReH?p((a). Особый интерес представляет случай, когда произведение аг0 мало, т. е. импульсы существенно перекрываются во времени. Формула C.8) и график рис. 3.1,6 свидетельствуют о том, что взаимный энергетический спектр имеет при этом выраженный низко- низкочастотный характер. Отсюда следует вывод: для того чтобы уменьшить скалярное произведение таких сигналов и сделать их лучше различимыми, следует воспользоваться фильтром верхних частот (ФВЧ), который подавляет все колебания с частотами, меньшими некоторой граничной частоты. Быстро изменяющийся фронт импульса образуется за счет сло- сложения высокочастотных составляющих спектра, которые беспре- беспрепятственно проходят на выход ФВЧ. В то же время за счет фильтрации низкочастотных составляющих длительность импульса на выходе будет существенно сокращена. Как следствие этого, эффект перекрытия импульсов может быть доведен до приемлемо малой величины, так что импульсы на выходе ФВЧ оказываются близким к ортогональным. Ортогонялюацня импульсов энергетический спектр Энергетический спектр сигнала. Спектральное представле- представление энергии сигнала легко получить из обобщенной формулы Рэлеи, если в ней сигналы u{t) и v{t) считать одинаковыми. Формула C.3), выражающая спектральную плотность энергии, приобретает вид i<o) = | U(o) |2. C.9) Величина И?(о>) носит название спектральной плотности энергии сигнала u{t), или. короче, его энергетического спектра. Формула C.2) при этом запишется так: C.10)
3.1. Взаимная спектральная платность Соотношение C.10) известно в различных областях физики как формула Рэлея (в узком смысле), которая констатирует следующее: энергия любого сигнала есть результат суммиро- суммирования вкладов от различных интервалов частотной оси. Каждый малый интервал положительных частот Лео обеспе- обеспечивает вклад в общую энергию сигнала, равный ДЕ формула Рэлея где со' — некоторая внутренняя точка данного интервала. Подход, основанный на спектральном прёдстааленин энер- энергии сигнала, выгодно отличается относительной простотой. Действительно, энергии, отвечающие различным областям частотной оси, складываются так же, как вещественные числа. В то же время метод преобразования Фурье приме- применительно к самим сигналам основан на том, что комплексные амплитуды, описывающие вклады малых частотных участков, складываются как комплексные числа, характеризующиеся модулями и фазами. Изучая сигнал с помощью его энергетического спектра, мы неизбежно теряем информацию, которая заключена в фазовом спектре сигнала, поскольку в соответствии с фор- формулой C.9) энергетический спектр есть квадрат модуля спектральной плотности и не зависит от ее фазы. Тем не менее понятие энергетического спектра оказы- оказывается очень полезным для получения различных инженерных оценок, устанавливающих реальную ширину спектра того илн иного сигнала. решите задачи 3 и 4 При энергетичес- энергетическом подходе все сигналы, одинако- одинаковые но форме, но различающиеся расположением на оси времени, вы- стунают как со- совершенно неразли- неразличимые Пример 3.2. Энергетический спектр прямоугольного видео- видеоимпульса. Здесь результат получается путем возведения в квадрат спект- спектральной плотности вида B.20): C.11) Соответствующий график приведен на рис. 3.2. Рисунок наглядно показывает, что энергетический спектр дан- данного сигнала имеет наибольшую^ величину в области низких частот. С ростом частоты вклад от соответствующих спектральных состав- составляющих имеет немонотонный, колеблющийся характер, однако общая тенденция — уменьшение энергетического спектра по закону обратного квадрата: И? (и) = О A/со2) при со -+ оо (а ие обратно пропорционально первой степени частоты, как для обычной спектральной плотности рассматриваемого сигнала). Выражение C.11) позволяет проверить формулу Рэлея прямым вычислением. Прежде всего во временной области без труда на- находим энергию данного видеоимпульса (см. гл. 1): Eu=U2xM. - C-12)
Глава 3. Энергетические спектры. Корреляционный анализ . 4 ¦• Рис. 3.2. Нормированный энергетический спектр прямоугольного видеоимпульса как функция безразмерной частотной переменной соти Чтобы определить энергию сигнала в частотной области, не- необходимо вычислить интеграл ж J (шт„/2J C13) ^ДУ?^ положить Несложная замена переменной сразу приаодит к формуле C.12). Распределение энергии в спектре прямоугольного видео- видеоимпульса. Интересно и для многих прикладных задач важно знать, какая доля обгДей энергии содержится в пределах одного, двух, трех н т. д. лепестков спектральной диаграммы, изображенной на рнс. 3.2. Обозначим Е(к) долю энергии прямоугольного видеоимпульса, которая заключена в к после- последовательных лепестках. По формуле Рэлея, ?«,=-- C.14) Данный интеграл вычисляется аналитически, а также может быть легко найден численно. Ниже приводится таблица, в которую сведены результаты расчета относительной доли энергии в зависимости от числа учитываемых лепестков. Таблица 3.1 0,902 0,950 0,967 Итакь если прямоугольный видеоимпульс .подать на иде- идеальный фильтр нижних частот* равиомертк-х.без ослабления
3.2. Корреляционный анализ сигналов пропускающий все частоты от 0 до 2я/ти с 1 (граница пер- первого лепестка), то на выходе будет получен сигнал, энергия которого составит 90,2% от энергии колебания на входе. Как отмечалось, такой подход к оценке реальной ширины спектра сигнала не раскрывает всей картины явления. Так, неизвестной оказывается степень искажения формы сигнала за счет действия фильтра. Однако если сведения о форме колебания отступают на второй план, а величина энергии приобретает первостепенное значение (изучая статистическую радиотехнику, мы неоднократно встретимся с такой ситуа- ситуацией), то энергетическая оценка ширины спектра становится особенно целесообразной.^ Например, из табл. 3.1 видно, что переход от к = 1 к значению к = 2, т. е. двукратное расширение полосы частот устройства, через которое проходит видеоимпульс, уаеличи- вает энергию полезного сигнала всего на 4.8 %. Наряду с этим ясно, что помехи (если такие имеются) могут увеличить за счет этого свою энергию, например, вдвое, если их энергетический спектр равномерен в интересующем диапазоне частот. 3.2. Корреляционный анализ сагналоа На ранних этапах развития радиотехники вопрос о выборе наилучших сигналов для тех илн иных конкретных приме- применений не был очень острым. Это обусловливалось, с одной стороны, относительно простой структурой передаваемых сообщений (телеграфные посылки, радиовещание); с другой, практическая реализация сигналов сложной формы в комп- комплексе с оборудованием для нх кодирования, модуляции и обратного преобразования в сообщение оказывалась трудно осуществимой. В настоящее время ситуация в корне изменилась. В сов- современных радиоэлектронных комплексах выбор сигналов дик- диктуется прежде всего не техническими удобствами нх генери- генерирования, преобразования и приема, а возможностью опти- оптимального решения задач, предусмотренных при проектиро- проектировании системы. Для того чтобы понять, как возникает по- потребность в сигналах со специально выбранными свойствами, рассмотрим следующий пример. Сравнение сигналов, сдвинутых во времени. Обратимся к упрощенной идее работы импульсного радиолокатрра, пред- предназначенного для измерения дальности до цели. Здесь инфор- информация об объекте измерения заложена в величине т — задерж- задержке по времени между зондирующим и принятым сигналами. Формы зондирующего и (с) и принятого и (t — х) сигналов одинаковы при любых задержках. Структурная схема устройства обработки радиолокацион- радиолокационных сигналов, предназначенного для измерения дальности, может выглядеть так, как это изображено на рис. 33. Система состоит из набора элементов, осуществляющих задержку «эталонного» передаваемого сигнала иа некоторые решите задачу 5 Неоправданное расширение полосы пропускания филь- фильтра нежелательно У/
Глава 3. Энергетические спектры. Корреляционный анализ 1 Если отличие неве- невелико, то можно ожидать, например, неоднозначного от- отсчета, когда сиг- сигналы будут появ- появляться одновре- одновременно на выходе нескольких сосед- соседних устройств срав- сравнения свойства автокор- автокорреляционной функ- функции "(О u{t - т> Рис. 3.3. Устройство для измерения времени задержки сигналов фиксированные отрезки времени ть \ъ ..., tn. Задержанные сигналы вместе с принятым сигналом подаются на устройства сравнения, действующие в соответствии с принципом: сигнал на выходе появляется лишь при условии, что оба входных колебания являются «копиями» друг друга. Зиая номер канала, в котором происходит указанное событие, можно измерить задержку, а значит, и дальность до цели. Подобное устройство будет работать тем точнее, чем в большей степени разнятся друг от друга сигнал и его «копия», смещенная во времени. Таким образом, мы получили качественное «представление о том, какие сигналы можно считать «хорошими» для данного применения. Перейдем к точной математической формулировке постав- поставленной проблемы и покажем, что этот круг вопросов имеет непосредственное отношение к теории энергетических спект- спектров сигналов. Автокорреляционная функция сигнала. Для количественного определения степени отличия сигнала u(t) и его смещенной во времени копии u(t—т.) принято вводить автокорреляцион- автокорреляционную функцию (АКФ) сигнала и (г), равную скалярному произ- произведению сигнала и копии: u(t)u(t-x)dt. | C.15) В дальнейшем будем .предполагать, что исследуемый сигнал имеет локализованный во времени импульсный ха- характер, так что интеграл вида C.15) заведомо существует. Непосредственно видно, что при т = 0 автокорреляционная функция становится равной энергии сигнала: Е„. C.16) К числу простейших свойств АКФ можно отнести ее четность: Вв(т) = Ва(-т). C.17)
3.2. Корреляционный анализ сигналов Действительно, если в интеграле C.15) сделать замену переменных х = t — т, то СО СО J u(t)u(t~xNt= J u(x + x)u(x)dx. Наконец, важное свойство автокорреляционной функции состоит в следующем: при любом значении временного сдвига т модуль АКФ не превосходит энергии сигнала: \Bu(i)\<:Bu{0) = Eu. C.18) Этот факт непосредственно вытекает из неравенства Коши — Бунякоиского (см. гл. 1): \{и,их)\^\\и\\-\\их\\=Еи. C.19) Итак, АКФ представляется симметричной кривой с цент- центральным максимумом, который всегда положителен. При этом в зависимости от вида сигнала и (г) автокорреля- автокорреляционная функция может иметь как монотонно убывающий, так и колеблющийся характер. Првмер 3,3. Найти АКФ прямоугольного видеоимпульса. На рис. ЗА а изображен прямоугольный видеоимпульс с ампли- амплитудой О и длительностью тв. Здесь же представлена его «копия», сдвинутая во времени в сторону запаздывания на х с. Интеграл C.15) вычисляется ъ данном случае элементарно на основании гра- графического построения. Действительно, произведение и (t) u(t~x) отлично от нуля лишь в пределах интервала времени, когда наблюдается наложение сигналов. Из рис. 3.4, а видно, что этот Временной интервал равен тв — | т |, если сдвиг не превышает дли- длительности импульса. Таким образом, для рассматриваемого сигнала C-20) О, |т|>хв. График такой функции — треугольник, изображенный на рис. 3.4,6. Ширина основания треугольника в два раза больше длительности импульса. Рис. 3.4. Нахождение АКФ прямоугольного видеоимпульса
Глава 3. Энергетические спектры. Корреляционный анализ Пршмер 3.4. Найти АКФ прямоугольного радиоимпульса. Будем рассматривать радиосигнал вида fo, t< -tJ2, (_0, f >Ти/2. Зная заранее, что АКФ четна, вычислим интеграл C.15), полагая О ^ т ^ ти. Прн этом Ви (т) = U2 J cos co0r cos co0 (t — x) dt = U2 V2 hP ( T\ = —— cosco0t-(th-t)+ . f cos2o>0 t ldr, 2 2 _Ти/2 + т V 2/ откуда легко получаем CJI) Естественно, что при т = 0 величина Ви @) становится равной энергии этого импульса (см. пример 15). Формула C21) описы- описывает АКФ прямоугольного радиоимпульса при всех сдвигах г, лежа- лежащих в пределах -та^т^-сн. Если абсолютное значение сдвига превышает длительность импульса, то автокорреляционная функция будет тождественно обращаться в нуль. Прммер 3.5. Определить АКФ последовательности прямоугольных видеоимпульсов. В радиолокации широко используются сигналы, представляю- представляющие собой пачки из одинаковых по форме импульсов, следующих друг за другом через одинаковый интервал времени. Для обнару- обнаружения такой пачки, а также для измерения ее параметров, напри- например положения во времени, создают устройства, которые аппара- аппаратурным образом реализуют алгоритмы вычисления АКФ. Рис. 3.5. АКФ пачки из трех одинаковых видеоимпульсов: а - пачка импульсов; б - график АКФ На рис. 3.5,0 изображена пачка, состоящая из трех одинако- одинаковых видеоимпульсов прямоугольной формы. Здесь же представлена ее автокорреляционная функция, вычисленная по формуле C.15) (рис. 3.5,6). Хорошо видно, что максимум АКФ достигается при т = 0. Однако если задержка т оказывается кратной периоду последо- последовательности (при т= ±7; ±2Тв нашем случае), наблюдаются по- побочные лепестки АКФ, сравнимые по высоте с главным лепестком. Поэтому ¦ можно говорить об известном несовершенстве корреля- корреляционной структуры данного сигнала.
3.2. Корреляционный анализ сигналов Автокорреляционная функция неограниченно протяженного сигнала. Если требуется рассматривать неограниченно про- протяженные во времени периодические последовательности, то подход к изучению корреляционных свойств сигналов должен быть несколько видоизменен. Будем считать, что такая последовательность получается нз некоторого локализованного во времени, т. е. импульсного, сигнала, когда длительность ти последнего стремится к бес- бесконечности. Для того чтобы избежать расходимости полу- получаемых выражений, определим новую АКФ как среднее зна- значение скалярного произведения сигнала н его копии: 1 bfl = lim — J u(t)u(t — x)dt. 1 -'«/2 При таком подходе автокорреляционная функция Д, ста- становится равной средней взаимной мощности этих даух сигналов. Например, желая найти АКФ для неограниченной во времени косинусоиды u(t)= t/coSG>0t, — оо < t < оо, можно воспользоваться формулой C.21), полученной для радио- радиоимпульса длительностью ти, а затем перейти к пределу при т„ -> оо, учитывая определение C.22). В результате получим и2 C.23) Эта АКФ сама является периодической функцией; ее зна- значение при х — 0 равно Vг/2. Связь между энергетическим спектром сигнала н его автокорреляционной функцией. При изучении материала настоящей главы читатель может подумать, что методы корреляционного анализа выступают как некоторые особые приемы, не имеющие связи с принципами спектральных разложений. Однако это не так. Легко показать, что сущест- существует тесная связь между АКФ и энергетическим спектром сигнала. ; Действительно, в соответствии с формулой C-Й) АКФ есть скалярное произведение: В„(т) = (ц и,). Здесь символом и, обозначена смещенная во времени копия сигнала u(t — х). Обратившись к обобщенной формуле Рэлея B.42), можно записать равенство решите задачу 8 Подобная АКФ имеет физическую размерность мощ- мощности C.22) Величина С/-/2 есть средняя мощность, которую данный сигнал выделяет на активное нагрузке в I Ом Спектральная плотность смещенного во времени сигнала U, (ю) = U (ю) ехр (— Jen), откуда t/f (ю) = V* (ю) ехр Цап). Таким образом, приходим к результату: В. (т) = -i- J | и (ю) |2е*" dK. C.24)
Глава 3. Энергетические спектры. Корреляционный анализ связь между АКФ н энергетическим спектром Квадрат модуля спектральной плотности, как известно, представляет собой энергетический спектр сигнала.. Итаку энергетический спектр и автокорреляционная функция связаны преобразованием Фурье: Вы (т)«-»| С/ (о) I2 = Щ (о) - C.25) Ясно, что имеется и. обратное соотношение: | U (и) I2 = J Вы (т) е~*" dx. ., C.26) Эти результаты принципиально важны по двум причинам. Во-первых, оказывается возможным оценивать корреляцион- корреляционные свойства сигналов, исходя из распределения их энергии по спектру. Чем шире полоса частот сигнала, тем уже основной лепесток автокорреляционной функции и тем совершеннее сигнал с точки зрения возможности точного измерения момента его начала. Во-вторых, формулы C.24) и C.26) указывают путь экспе- экспериментального определения энергетического спектра. Часто удобнее вначале получить автбкорреляцибнную функцию, а затем, используя преобразование Фурье, найти энергетиче- энергетический спектр сигнала. Такой прием получил распространение при исследовании свойств сигналов с помощью быстро- быстродействующих ЭВМ в реальном масштабе времени. Прамер 3.6- Найти АКФ сигнала с равномерным и ограни- ограниченным по частоте энергетическим спектром. Пусть сигнал u(t) имеет энергетический спектр вида f 0, со< -сов, С 0, со>сов, где сов — верхняя граничная частота спектра. По формуле C24) находим его автокорреляционную функцию Таким образом, данный сигнал имеет АКФ лепесткового вида. -> Часто вводят удобный числовой параметр — интервал корреляции хк, представляющий собой оценку ширины основного лепестка автокорреляционной функции. Легко видеть, что в рассматриваемом Ф случае величина хк связана с параметром сов соотношением ш„тж = л. Отсюда следует, что интервал корреляции C.28) оказывается тем меньше, чем выше верхняя граничная частота спектра сигнала. интервал доррелн- ции Решите задачи 6 н 7
3.3. ЛКФ дискретного сигнала Ограничения, накладываемые па вид автокорреляционной функции сигнала. Найденная связь между автокорреляцион- автокорреляционной функцией и энергетическим спектром дает возможность установить интересный и на первый взгляд неочевидный критерий существования сигнала с заданными корреляцион- корреляционными свойствами. Дело в том, что энергетический спектр любого сигиалв, по определению, должен быть положитель- положительным [см. формулу C.25)]. Данное условие будет выполняться далеко не при любом выборе АКФ. Например, если взять Г = < О, т<-т, Л, ~ 0, т>тк и вычислить соответствующее преобразование Фурье, то о Эта знакопеременная функция не может представлять собой энергетический спектр какого-либо сигнала. 3.3. Автокорреляционная функция дискретного сигнала Изучая АКФ пачки прямоугольных видеоимпульсов, чита- читатель, безусловно, обратил внимание на то, что соответст- соответствующий график имел специфический лепестковый вид. С прак- практической точки зрения, имея в виду использование АКФ для решения задачи обнаружения такого сигнала или измерения его параметров, совершенно несущественно, что отдельные лепестки имеют треугольную форму. Важен лишь их отно- относительный уровень по сравнению с центральным максиму- максимумом при т = 0. Наша ближайшая задача — изменить определение автокор- автокорреляционной функции таким образом, чтобы можно было извлекать из нее полезную информацию, абстрагируясь от второстепенных подробностей. Основой для этого служит идея математической модели дискретного сигнала (см. гл. 1). Описание сложных сигналов с дискретной структурой. Пачка одинаковых прямоугольных видеоимпульсов — простейший представитель класса сложных сигналов, построенных в соответствии со следующим принципом. Весь интервал вре- меии существования сигнала разделен на целое число М > 1 равных промежутков, называемых позициями. На каждой из позиций сигнал может находиться в одном из даух состояний, которым отвечают числа +1 и — 1. Рис. 3.6 поясняет некоторые способы формирования мно- многопозиционного сложного сигнала. Для определенности здесь М=Ъ. Видно, что физический облик дискретного сигнала может быть различным. В случае а символу +1 соответствует Выбор чисел + 1 не имеет принцн- ииалыюгохаракте- ра н продиктован удобством анализа
Глава 3. Энергетические спектры. Корреляционный анализ I I НИ 1 II < II !! !!!!! !!!! 6 Рис. 3.6. Трехпозиционный сложный сигнал: а — амплитудное кодирование; б — фазовое кодирование ¦ положительное значение Vo высоты видеоимпульса, переда- принципы коднро- ваемого на соответствующей позиции; символу —1 отвечает ванин дискретных отрицательное значение — Vo. Говорят, что при этом реализо- сигналов вано амплитудное кодирование сложного сигнала. В случае б происходит фазовое кодирование. Для передачи символа +1 на соответствующей позиции генерируется отрезок гармони- гармонического сигнала с нулевой начальной фазой. Чтобы отобразить символ — 1, используется отрезок синусоиды такой же дли- длительности и с той же частотой, но его фаза получает дополнительный сдвиг на 180°. Несмотря на различие графиков этих даух сигналов, между ними, в сущности, можно установить полное тожде- тождество с точки зрения их математических моделей. Действи- Действительно, модель любого такого сигнала — это последователь- последовательность чисел {мь щ, ..., и-м-и им}> в которой каждый символ щ принимает одно из даух возможных значений +1. Для удобства договоримся в дальнейшем дополнять такую после- последовательность нулями на «пустых» позициях, где сигнал не определен. При этом, например, развернутая форма записи дискретного сигнала {1 1, —1, 1} будет иметь вид .... 0 0 0 11-110 0 .... Важнейшая операция при обработке дискретных сигналов состоит в сдвиге такого сигнала на некоторое число пози- позиций относительно исходного положения без. изменения его формы. В качестве примера ниже представлен некоторый исходный сигнал (первая строка) н его копии (последующие строки), сдвинутые на 1, 2 и 3 позиции в сторону запаз- запаздывания: ... 000 1 1 1 1 0000 ... ... 00 00 1 1 1 1 000 ... ... 0 0000 1 1 1 1 00 ... ... 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 ... Дискретная автокорреляционная функция. Постараемся так обобщить формулу C.15), чтобы можно было вычислять диск- дискретный аналог АКФ применительно к многопозициоиным сигналам. Ясно, что операцию интегрирования здесь следует заменить суммированием, а вместо переменной т использо- использовать целое число я (положительное или отрицательное),
3.3. АКФ дискретного сигнала указывающее, на сколько позиций сдвинута копия относи- относительно исходного сигиала. Так как в «пустых» позициях математическая модель сигнала содержит нули, запишем дискретную АКФ в виде C.29) Эта функция целочисленного аргумента и, естественно, обладает многими уже известными свойстнами обычной авто- автокорреляционной функции. Так, легко видеть, что дискретная АКФ четна: !„(-«). C.30) Данная функция представляет собой скалярное произве- произведение дискретного сигнала н его копии При нулевом сдвиге эта АКФ определяет энергию диск- дискретного сигнала: ДД0)= C.31) Некоторые примеры. Для иллюстрации сказанного вы- вычислим днскретиую АКФ трехпозиционного сигиала с одина- одинаковыми значениями иа каждой позиции: и = {1, 1, 1}. Выпи- Выпишем этот сигнал вместе с копиями, сдвинутыми на 1, 2 и 3 позиции: ... 0 0 0 1 1 1 0 0 0 ... ... 0000 1 1 1 00 ... ... 00 000 1 1 1 0 ... ... 0 0 0 0 0 0 1 1 1 ... Видно, что уже при «= 3 сигнал и копия перестают накладываться друг на друга, так что произведения, входя- входящие в формулу C.29), становятся равными нулю при л > 3. Вычисляя суммы, получаем В„@) = 1 + 1 + 1 = 3, В„A) = 1 + 1=2, Д,B) = 1. Боковые лепестки автокорреляционной функции линейно спадают с ростом номера в, подобно тому, как в случае автокорреляционной функции трех аналоговых видеоимпуль- видеоимпульсов. Рассмотрим дискретный сигнал, отличающийся от преды- предыдущего знаком отсчета на второй позиции: и*= {1, —1, 1}. Поступая аналогичным образом, вычислим для этого сигнала значения дискретной автокорреляционной функции: В„@) = 1 + 1 + 1 = 3, Д Д,<1) 4.B) 1. -2- 1 0 1.
Глава 3. Энергетические спектры. Корреляционный анализ Г 1-1 ' I Можно обнаружить, что первый боковой лепесток изме- изменяет свой знак, оставаясь неизменным по абсолютному значению. Наконец, рассмотрим трехпозициоиный дискретный сигнал с математической моделью вида и = {1, 1, —1}. Его автокорреляционная функция такова: В„@) = 1 + 1 + 1 = 3. Д Исследонаиия по- показали, что не су- существует сигналов Баркера с нечет- нечетным числом пози- позиций, большим 13. Однако до сих пор неизвестно, можно ли построить сиг- сигнал Баркера с чет- четным М>4 Д,A) 4B) -1. Из трех изученных здесь дискретных сигналов именно третий наиболее совершенен с точки зрения корреляционных свойств, поскольку при этом реализуется наименьший уровень боковых лепестков автокорреляционной функции. Сигналы Баркера. Дискретные' сигналы с наилучшей структурой автокорреляционной функции явились в 50—60-е годы объектом интенсивных исследований специалистов в области теоретической радиотехники и прикладной матема- математики. Были найдены целые классы сигналов с совер- совершенными корреляционными свойствами. Среди них большую известность получили так называемые сигналы (коды) Бар- Баркера. Эти сигналы обладают уникальным свойством: незави- независимо от числа позиции М значения их автокорреляцион- автокорреляционных функций, вычисляемые по формуле C.29), при всех и Ф 0 не превышают единицы. В то же время энергия этих сигналов, т. е. величина В„ф), численно равна М. Сигналы Баркера удается реализовать лишь при числе позиций М= 2, 3, 4, 5, 7, 11 и 13. Случай М = 2 является тривиальным. Сигнал Баркера при М = 3 был исследован нами в конце предыдущего пункта. Математические модели сигналов Баркера и отвечающие им автокорреляционные функции приведены в табл. 3.2. Таблица м 3 4 5 7 И 13 L, 1 1, 1 1, 1 1, 1 1 1 -1, -1, 3.2 Модели сигналов Модель сигнала -1 1, -1 -1, 1 1, -1, 1 1, -1. -1. 1, ^1 , Г, -1, -1, -1, 1, -1, 1, -1 1, 1, 1, -1. -1, 1, 1, 1, -1, 1 Баркера АКФ 3, 0, -1 4, 1, 0, -1 4, -1, 0, 1 5, 0, 1, 0, 1 7, 0, -1, 0, -1, 0, -1 11, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1 13, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1 Для иллюстрации на рис. 3.7 приведен вид наиболее часто используемого 13-позиционного сигнала Баркера при двух способах кодирования, а также графическое представ- представление его АКФ.
3.4. Взаимокоррыгяционная функция 13 гадал . -12-10-8-4-4-2 0 2 4 6 8 1012 Рис. 3.7. Сигнал Баркера при М = 13: а — амплитудное кодирование; б — фазовое кодирование; я — автокорреля- автокорреляционная функция Отметим в заключение, что исследование некоторых А свойств дискретных сигналов и их автокорреляционных решите задачу 9 функций, проведенное в данной главе, имеет предваритель- предварительный, "вводный характер. Систематическое изучение этого круга вопросов будет предпринято в гл. 15. 3.4. Взаимокорреляционная функция двух сигналов В ряде теоретических и прикладных разделов радиотех- радиотехники бывает удобным ввести особую характеристику сово- совокупности двух сигналов — их взаимокорреляционную функ- функцию (ВКФ), которая единым образом описывает как различие в форме сигналов, так и их взаимное расположение на оси времени. Принцип определенна взгамокорреляшошюй функции. Обоб- Обобщая формулу C.15), назовем взаимокорреляционной функцией двух вещественных сигналов и (г) и с (г) скалярное произведе- произведение вида А,Лт)= I u(t)v(t-z)dt. C.32) Целесообразность подобной интегральной характеристики сигналов видна из следующего примера. Пусть, например, сигналы и (г) и v (г) в исходном состоянии ортогональны, так что J u(r)i>(r)dt = O. При прохождении этих сигналов через различные устрой- устройства возможно, что сигнал v(t) будет сдвинут относительно сигнала u (f) на некоторое время т. Ясно, что ВКФ служит мерой «устойчивости» ортогонального состояния при сдвигах сигналов во времени. Некоторые свойства взшмокоррелшшюнвой функция. Если в формуле C.32) заменить переменную интегрирования, введя
84 Глава 3. Энергетические спектры. Корреляционный анализ х = t — т., так что di = dx, то, очевидно, возможна и така запись: Результаты расче- расчета по формулам C.32), C.33) совпа- совпадают, поскольку Вт (т) = J и (х + т) v (х) dx. одно п то же вза- -« имное положение сигналов будет до- стигнуто как при сдвиге в (г) в сто- . рону запаздыва- запаздывания, так п при сдви- сдвиге u(t) и сторону опережения C.33) Поэтому В отличие от автокорреляционной функции одиночного сигнала, ВКФ, описывающая свойства системы двух неодина- неодинаковых сигналов, не является четной функцией аргумента т: Если рассматриваемые сигналы имеют конечные энергии, то их взаимокорреляционная функция ограничена. Это утверждение следует из неравенства Коши — Буняковского: откуда 1АДтЖИ«НМ1, C-35) так как сдвиг сигнала во времени не влияет на значение его нормы. Следует обратить внимание на то, что при т = 0 значения ВКФ вовсе не обязаны достигать максимума. Пример 3.7. Вычислить функцию Buv (т) для случая, когда сигнал и (t) — прямоугольный, a v (t) - треугольный видеоимпульс. Их ампли- амплитуды V и длительности Т одинаковы; в исходном состоянии (в отсутствие задержки) сигналы существуют на общем отрезке времени [О, Т]. При О < t < Т рассматриваемые сигналы описываются так: u{t)= V, v(t) = Vt/T. Если т > О, т. е. сигнал v (t) задержан во времени относитель- относительно u{t\ то и2 Т i(tx)dt и@ Определив безразмерный параметр т\ = т/Тн проведя элементар- элементарные выхладкн, приходим к результату: Buv (tl) = (V2T/2) (I - 2ц + ц2). C.36) Если же т < О, т. е. треугольный импульс опережает прямо- прямоугольный, то A.,W=— f (t-\x\)dt, 1 о откуда Д., (П) «= (V2T/2) A - Ч2) • C.37) Функция, вычисленная по формулам C.36) и C.37), изображена на рис. 3.8. От Т
Асимметрия графи- графика вызвана тем, что площадь «пере- «перекрытия» данных имнульсов изменя- изменяется ио-разному и зависимости от на- направления сдвига 3.4. Взаимокорреляционная функция 0.5 .-f '"'• :ft ' 1 Рис. 3.8. График вэаимокорреляпиоииой функции прямоугольного ] треугольного видеоимпульсов Связь ВКФ с взаимной спектральной плотностью. Выразим ВКФ двух сигналов через их шектральиые характеристики. Методика рассуждений полностью повторяет ту, которая при- применялась ранее при спектральном представлении автокорре- автокорреляционной функции одиночного сигнала. На основании обоб- обобщенной формулы Рэлея Вт (т) = (и, и.) = jjj- I U (со) V* (со) dco и, поскольку спектр смещенного во времени сигнала VT (со) = = F(co)exp(-j<ot), то = — J U(со)V(со)е*"dco. C.38) Имея в виду^ что величина Wuv (ю) = U (со) V* (со) есть взаимный энергетический спектр сигналов u(t) и v (f), опреде- определенный в бесконечном интервале частот — оо < со < со, при- приходим к выводу: взаимокорреляционная функция и взаимный энергетический спектр двух сигналов связаны парой преобра- преобразований Фурье. Обобщение иа случай дискретных сигналов. Пусть сигналы м(г) н v(t) заданы в двскретной форме как совокупности отсчетов: и = {..., и_ь и0, ии и2, ---}, V = {...,.V-и V0, VU V2*...}, следующих во времени с одинаковыми интервалами Т. По w аналогии с автокорреляционной функцией одиночного сиг- изиимокорреляцн- нала определим ВКФ двух дискретных сигналов по формуле оииаи функции ди- со скретлых сигналои Buv(")= I и^-и, C39) где к — целое число, положительное, отрицательное или нуль. Продемонстрируем вычисление этой функции на примере двух четырехпозициоиных сигналов Баркера: и = {1,1, 1, —1}, i> = {1, 1, -1, 1}. Если п > 0, то сигнал v запаздывает относительно сигна- сигнала и. Подобно тому как это делалось в предыдущем А)'"?;.
Глава 3. Энергетические спектры. Корреляционный анализ параграфе, составим таблицу, содержащую сигнал и н после- последовательность сдвинутых копий сигнала и: ...00001 1 ...00001 1 ...000001 ...000000 ...000000 1 - -1 1 - 1 0 0 0 1 -1 1 0 0 0 1 - 1 000 ... 0 00... 0 0 0... 0 0 0.. 100.. А Вычисляя по формуле C.39), получаем решите сдачу 10 Д_ @) = ft Д_ A) = 3, В„„ B) = 0, В„„ C) = -1. Аналогично строим таблицу, отражающую сдвиги сигнала в сторону опережения: ТУТ. Взаимокорреляци- Взаимокорреляционная функция двух сигналов Бар- кера 1 3 » 21 X -1 ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 1 ... 0 1 1 и иахопи] 0 0 1 1 — 1 м 1 1 1 -1 1 1 1 -1 1 0 1 -1 1 0 0 -1 0 0 0.. 1000.. 0000 .. 000 0.. 0 0 0 0.. В„(-1) = 1, В.Д-2) = О, В„„(-3) = 1. Диаграмма, представляющая ВКФ этих двух сигналов, имеет несимметричный вид; максимум функции достигается при сдвиге сигнала v на одну позицию. Результаты ОО Распределение взаимной энергии двух сигналов по частотам описывается их взаимным энергетическим спектром. О О Путем фильтрации соответствующих спектральных составляющих можно до- добиться приближенной ортогонализации сигналов. СО Распределение энергии сигнала по частотам устанавливает его энергетический спектр, равный квадрату модуля спектральной плотности. ОО Степень сходства сигнала и его копии, смещенной во времени, описывается автокорреляционной функцией (АКФ) сигнала. ОО Энергетический спектр сигнала и его автокорреляционная функция взаимно связаны парой преобразований Фурье. ОО Понятие автокорреляционной функции обобщается на случай многопозицион- многопозиционных дискретных сигналов. ОО Сигнал обладает хорошими корреляционными свойствами, если уровень боко- боковых лепестков АКФ значительно меньше уровня центрального лепестка. ОО Преобразованием Фурье от взаимного энергетического спектра двух сигналов является их взаимокорреляционная функция. Вопросы 1- Каков физический смысл взаимного энергетического спектра двух сигналов? 2. Каким условиям должна удовлетворять функция, описывающая взаимный энергети- энергетический спектр двух сигналов, для того, чтобы эти сигналы были ортогональными? 3. Может ли быть реализована ситуация, когда спектральные плотности двух сигналов
87 перекрываются и тем ие менее эти сигналы ортогональны? 4. Играет ли роль фаза спектральной плотности сигнала при определении его энергетического спектра? 5. Какая доля общей энергии прямоуголь- прямоугольного видеоимпульса содержится в пределах первого (основного) лепестка спектральной диаграммы? 6. Каковы технические предпосылки вве- введения понятия АКФ сигнала? 7. Каким должен быть энергетический спектр сигнала, обладающего узким основ- основным лепестком АКФ? Задачи 1. Докажите, что если u{t) и и@ —ве- —вещественные сигналы, то мнимая часть про- произведения V (со) V* (со) есть нечетная функция частоты. 2. Исследуйте зависимость взаимного энергетического спектра двух одинаковых прямоугольных видеоимпульсов от t0: 3. Найдите формулу, описывающую энер- энергетический спектр экспоненциального видео- видеоимпульса вида u{t) = t/oexp(—at)c(t). 4. Видеоимпульс гауссова типа задан функцией u(t) = tfoexp(-6-lOi7B). Какая доля общей энергии этого импульса заключена в полосе частот О — 1.5 МГц? 5. Найдите эффективную ширину спектра экспоненциального видеоимпульса (см. задачу 3), определив ее как полосу частот, в пре- пределах которой сосредоточено 90% энергии 6. Докажите, что АКФ экспоненциального видеоимпульса (см. задачу 3) описывается Более сложные задания П. Проведите экспериментальное иссле- исследование автокорреляционной функции шести- позицнонного дискретного сигнала, у кото- которого значения иа каждой из позиций явля- являются случайными числами, с равной вероят- вероятностью принимающими значения +1 или — 1. В качестве «датчика» случайного числа используйте результаты бросания монеты. Изучите полученную АКФ, сравнивая ее с АКФ сигнала Баркера 8. Какие ограничения можно наложить иа вид АКФ сигнала? 9. В чем заключается принцип построения многопозиционного сложного сигнала? 18. Каким образом вводится дискретная АКФ многопозицнонного сигнала? 11. Назовите основное свойство сигналов Баркера. В чем заключается преимущество этих сигналов по сравнению с другими воз- возможными многопозицнонными сигналами? 12. Можно ли реализовать сигналы Бар- Баркера с произвольно большим числом по- позиций? формулой 7. Найдите АКФ сигнала s(t), спектраль- спектральная плотность которого вещественна и сосредоточена в пределах области частот [ть ?о2]: 8. Вычислите АКФ видеоимпульса тре- треугольной формы: 9. Найдите АКФ дискретного сигнала {1, 1, 1, -1, -1, 1, 1}. Сравните полу- полученный результат с автокорреляционной функцией семнпозициониого сигнала Баркера. 18. Вычислите ВКФ двух сигналов Бар- Баркера со значениями М — 5 и М = 7. Повторите эксперимент, взяв число пози- позиций достаточно большим A5—20). Сделайте вывод о возможных путях создания сложных сигналов с хорошими корреляционными свойствами при большом числе позиций. 12. Найдите и исследуйте ВКФ двух экс- экспоненциальных сигналов и (f) = ехр (—o^f) с (() и v(t) =exp(—a2t)a(t) при щф^.2-
Глава 4 Модулированные сигналы Сигналы, поступающие из источника сообщений (микрофон, передающая телевизионная камера, датчик телеметрической системы), как правило, не могут быть непосредственно переданы по радиоканалу. Дело не только в том, что эти сигналы недостаточно велики по амплитуде. Гораздо существеннее ях Относительная низкочаспийпнссть. Чтобы осу- осуществить эффективную передачу сигналов в какой-либо сре- среде, необходимо перенести спектр этик сигналов из низко- низкочастотной области в область- достаточно высоких частот. Данная процедура получила в радиотехнике название модуляций. 4.1. Сигналы с амплитудной модуляцией Прежде чем изучать этот простейший вид модулиро- модулированных сигналов, рассмотрим кратко некоторые вопросы, касающиеся принципов модуляции любого вида. Понятие несущего колебания. Идея способа, позволяю- позволяющего переносить спектр сигнала в область высоких частот, заключается в следующем. Прежде всего в передатчике фор- формируется вспомогательный высокочастотный сигнал, назы- называемый несущим колебанием. Его математическая модель uHEC(f)=/(r; alt аг, ..., а„) такова, что имеется некоторая совокупность параметров аи а2,..., ат, определяющих форму этого колебания. Пусть s (f) — низкочастотное сообщение, под- подлежащее передаче по радиоканалу. Если, по крайней мере, один из указанных параметров изменяется во времени про- пропорционально передаваемому сообщению, то несущее колеба- колебание приобретает новое свойство — оно несет в себе информа- информацию, которая первоначально была заключена в сигнале s(r). Физический процесс управления параметрами несущего колебания и является модуляцией. В радиотехнике широкое распространение получили систе- системы модуляции, использующие в качестве несущего простое гармоническое колебание «несМ = Ucos(cot + <р), D.1) имеющее три свободных параметра U, со и ф. Изменяя во времени тот или иной параметр, можно получать различные виды модуляции. Принцип амплитудной модуляции. Если переменной ока- оказывается амплитуда сигнала (/(г), причем остальные два параметра со и р неизменны, то имеется амплитудная модуляция несущего колебания. Форма записи амшгитудно- АМ-снгнал и его модулированного, или АМ-сигнала, такова; «amW = t/(t)eos(co0t + q>0). 1*2)
4.1. Сигналы с амплитудной модуляцией Осциллограмма АМ-сигнала имеет характерный вид (см. рис. 4.1). Обращает на себя внимание симметрия графика относительно оси времени. В соответствии с формулой D.2) АМ-сигнал есть произведение огибающей U(t) н гармони- гармонического заполнения cos (ю0/ 4- tp0)- В большинстве практически интересных случаев огибающая изменяется во времени гораздо медленнее, чем высокочастотное заполнение. oi 11шш>шан но. темпе При амплитудной модуляции пе уда- удается обеспечить широкий динамиче- динамический диапазон пе- передаваемых сигна- сигналов Рис. 4.1. АМ-снгналы при различных глубинах модуляции: а — неглубокая модуляция: б — глубокая модуляция; в — перемодуляция При амплитудной модуляции связь между огибающей U (t) и модулирующим полезным сигналом s (г) принято определять следующим образом: Ms(r)]. D.3) Здесь UM — постоянный коэффициент, равный амплитуде не- несущего колебания в отсутствие модуляции; М — коэффи- коэффициент амплитудной модуляции. Величина М характеризует глубину амплитудной моду- модуляции. Смысл этого термина поясняется осциллограммами AM-сигналов, изображенными на рис. 4.1, а—в. При малой глубине модуляции относительное изменение огибающей невелико, т. е. | Ms(t) | <к 1 во все моменты времени независимо от формы сигнала s{t). Если же в моменты времени, когда сигнал s(t) достигает экстремальных значений, имеются приближенные равенства Msma* (г) % 1 или Msmin (г) да - 1, то говорят о глубокой амплитудной модуляции. Иногда вводят дополнительно относительный коэффициент модуля- модуляции вверх Мв = A7тах - Um)/Um н относительный коэффициент модуляции вниз AM-сигналы с малой глубиной модуляции в радио- радиоканалах нецелесообразны ввиду неполного использования мощности передатчика. В то же время 100%-ная модуляция в li.iiiivuioii мо 1\.!и- иин На принципах ам- амплитудной моду- модуляции построено большинство ради- радиовещательных си- систем ремппе *а.|ячу 3 Если амплиту- амплитуда увеличшается вдвое, то мощность возрастает в четы- четыре раза
Глава 4. Модулированные сигналы исремодуляция вверх (JVfB = 1) в два раза повышает амплитуду колебаний при пиковых значениях модулирующего сообщения. Дальней- Дальнейший рост этой амплитуды, как правило, приводит к нежела- нежелательным искажениям из-за перегрузки выходных каскадов передатчика. Не менее опасна слишком глубокая амплитудная моду- ляция вниз. На рис. 4.1, в изображена так называемая перемодуляция (М„ > 1). Здесь форма огибающей перестает повторять форму модулирующего сигнала. Однотональиаи амплитудная модуляция. Простейший АМ- сигнал может быть получен в случае, когда модулирую- модулирующим низкочастотным сигналом\является гармоническое колебание с частотой ?1. Такой сигнал D.4) называется однотональным АМ-сшналом. Выясним, можно ли такой сигнал представить как сумму простых гармонических колебаний с различными частотами. Используя известную тригонометрическую формулу произве- произведения косинусов, из выражения D.4) сразу получаем Однотопалыюя ц модуляция снимет- иАм(г)= Uracos(<Bot + q>0) + —5—cos[(co0 + n)t + q>0 + Фо] + ричиа, т. е. М„ ' М М o-fItt + фо-Фо]. D.5) Как известно, COSXCOSJ' = 7[( 72[( + cos (х - у)\ рецпле задачу 1 Формула D.5) устанавливает спектральный состав одно- однотонального АМ-сигнала. Принята следующая терминология: 0>0 — несущая частота, (йо + ?1 — верхняя боковая частота, со0 — П — нижняя боковая частота. Строя по формуле D.5) спектральную диаграмму одио- тоиального АМ-сигнала, следует прежде всего обратить внимание на равенство амплитуд верхнего и нижнего боко- боковых колебаний, а также на симметрию расположения этих спектральных составляющих относительно несущего коле- колебания. Энергетические характеристики АМ-сигнала. Рассмотрим вопрос о соотношении мощностей несущего и боковых колебаний. Источник одиотоиалыюго АМ-сигнала эквивален- эквивалентен трем последовательно включенным источникам гармони- гармонических колебаний: «hecW = U» "вб@ = ^ ч>0). s [(ю0 + О) г + ро + Фо], "нв @ = s [(ю0 - О) t + q>o - Фо]. Положим для определенности, что это источники ЭДС, соединенные последовательно и нагруженные на единичный резистор. Тогдв мгновенная мощность АМ-сигнала будет численно равна квадрату суммарного напряжения:
4.1. Сигналы с амплитудной модуляцией 91 + 2иНЕс"нб + 2"вб«нб- D-6) Чтобы найти среднюю мощность сигнала, величину pit) необходимо усреднить по достаточно большому отрезку времени Т: 1 <Рам>= lim-=Jp(t)dr. Г-*?Ю 1 п Легко убедиться в том, что при усреднении все взаим- взаимные мощности дадут нулевой результат, поэтому средняя мощность АМ-сигнала окажете» равной сумме средних мощностей несущего и боковых колебаний: ^ч В выражении D.6) присутствуют как собственные мощ- мощности источников, так п изаимные мощности, пропор- пропорциональные попар- попарным произведе- произведениям мгновенных напряжений и <РАМ> = <ЙШС> + ?<РвБ> + <РНБ>] = "^ Отсюдв следует, что [[<Р и2 и2мг D.7) M2/2l D.8) Так, даже при 100 %-ной модуляции (JVf = 1) доля мощ- мощности обоих боковых колебаний составляет всего лишь 50% от мощности немодулироваиного несущего колебания. Поскольку информация о сообщении заключена в боковых колебаниях, можно отметить неэффективность использования мощности при передаче АМ-снгнала. Амплитудная модуляция при сложном модулирующем сигнале. На практике 9днотоиальные АМ-сигиалы исполь- используются редко. Гораздо более реален случай, когдв моду- модулирующий низкочастотный сигнал имеет сложный спектраль- спектральный состав. Математической моделью такого сигнала может быть, например, тригонометрическая сумма «@ D5) Здесь частоты П, образуют упорядоченную возрастающую последовательность П^ < П2 <... <ПК, в то время как амплитуды а, и начальные фазы Ф, произвольны. Подставив формулу D.9) в D.3), получим идм(г)= Um[l+ D.10) "амМ = Um [I + ? JVf, cos (Sty + Ф,)] cos (сад + p0). 1*1 D.12) решите задачу 5 Введем совокупность парциальных (частичных) коэффициен- коэффициентов модуляции М, =Ма, D.11) и запишем аналитическое выражение сложномодулирован- ного (многотонального) АМ-сигиала в форме, которая обобщает выражение D.4): В отличие от ряда Фурье частоты П, ие обязаны быть кратными друг другу парциальные коэф- коэффициенты модуля- модуляции
Глава 4. Модулированные сигналы Спектральное разложение проводитсятак же, каки для одно- тональиого АМ-сигиала: -Ф,]. D.13) На рис. 4.2, а изображена спектральная диаграмма модулирующего сигнала s(f), построенная в соответствии с формулой D.9). Рис. 4.2,6 воспроизводит спектральную диаграмму многотональиого АМ-сигнала, отвечающего этому модулирующему колебанию. Ттт о о, о - а/ структура спектра сигнала с ампли- тудной модуляцией Рис. 4.2. Спектральные диаграммы: а — модулирующего сигнала; 6 — АМ-сигнала при многотональной модуляции Итак, в спектре сложномодулированного АМ-снгнала, помимо несущего колебания, содержатся группы верхних и нижних боковых колебаний. Спектр верхних боковых колеба- иий является масштабной копией спектра модулирующего сигнала, сдвинутой в область высоких частот иа величину соо. Спектр нижних боковых колебаний также повторяет спектральную диаграмму сигнала s{t), ио располагается зер- зеркально относительно несущей частоты ш0. Из сказанного следует важный вывод: ширина спектра АМ- сигнала равна удвоенному значению наивысшей частоты в спектре модулирующего низкочастотного сигнала. Пример 4.1. Оценить число вещательных радиоканалов, который можно разместить в диапазоне частот от 0.5 до 1.5 МГц (примерные границы средневолнового вещательного диапазона). Для удовлетворительного воспроизведения сигналов радиовеща- радиовещания необходимо воспроизводить звуковые частоты от 100 Гц до 12 кГц. Таким образом, полоса частот, отводимая одному АМ- каналу, равна 24 кГц. Чтобы избежать перекрестных помех между каналами, следует предусмотреть защитный интервал шириной в 1 кГц. Поэтому допустимое число каналов N = A.5 -0.5)-106/B5-103) = = 40. 1кГц НИ 24 кГц
4.1. Сигналы с амплитудной модуляцией Амплитудно-манилулнрованные сигналы. Важным классом многотональных АМ-сигналов являются так называемые манипулированные сигналы. В простейшем случае это — последовательности радиоимпульсов, отделенных друг от друга паузами. Такие сигналы используются в радиотелеграфии и в системах передачи дискретной информации по радиоканалам. Если s(t) — функция, в каждый момент времени принимаю- принимающая значение либо 0, либо 1, то амплитудио-манипулиро- ванный сигнал представляется в виде и«н(*) = ^*s(t)cos(to0t + <Ро)- D14) Пусть, например, функция s(r) отображает периодическую последовательность видеоимпульсов, рассмотренную в при- примере 2.1 (см. гл. 2). Считая, что амплитуда этих импуль- импульсов А = 1, на основании D.14) имеем при <р0 = 0: = ——cosgw -\—— q q -cos(co0 + m>i sin — D.15) где q — скважность последовательности. Векторная диаграмма АМ-сигнала. Иногда полезным может оказаться графическое изображение АМ-сигнала посредством суммы векторов, вращающихся в комплексной плоскости. Для простоты рассмотрим одиотоиальную модуляцию. Мгновенное значение несущего колебания «нес D = = [/„cos(m0t+ <р0) есть проекция неподвижного во времени вектора Uhec = Umexp(/<p0) на ось отсчета углов, которая вращается вокруг начала координат с угловой скоростью со0 в направлении часовой стрелки (рис. 4.3). Верхнее боковое колебание отображается на диаграмме вектором Urs длиной UmM/2, причем его фазовый угол при Осциллограмма амплитудно-мани- пулированного сиг- пала Амплитудно-манн- пулироваппому сиг- сигналу присущи все особенности АМ- сигпала со слож- сложной модуляцией. Однако, но край- пен мере теорети- теоретически, спектр та- такого сигнала про- простирается неогра- неограниченно широко Рис. 4.3. Векторные диаграммы однотоиального АМ-сигнала: в - при 1=0; б - при I > О
Глава 4. Модулированные сигналы ^ Векторные диа- диаграммы АМ-снгна- ла в четыре после- последовательные мо- момента времени решите задачи 2 и 4 Осциллограмма сигнала с баланс- балансной модуляцией t = 0 равен сумме начальных фаз несущего и модулирующе- модулирующего сигналов [см. формулу D.5)]- Такой же вектор для нижнего бокового колебания отличается лишь знаком в выра- выражении для его фазового угла. Итак, на комплексной плоскости необходимо построить сумму трех векторов Легко видеть, что эта сумма будет ориентирована вдоль вектора Uwec. Мгновенное значение АМ-сигнала при t = 0 окажется равным проекции конца результирующего вектора на горизонтальную ось (рис. 4.3, а). С течением времени, помимо отмеченного вращения оси отсчета углов, будут наблюдаться следующие трансформа- трансформации чертежа (рис. 4.3,6): 1) вектор 1Увб будет вращаться вокруг точки своего приложения с угловой скоростью Q в направлении против часовой стрелки, поскольку фаза верхнего бокового колебания (со0 + Q)t + <р0 + Фо возрастает быстрее фазы несущего сигнала; 2) вектор О^в будет'вра- будет'вращаться также с угловой скоростью Q, но в противополож- противоположном направлении. Строя суммарный вектор Vz и проецируя его на ось отсчета углов, можно иайти мгновенные значения uAM(r) в любой момент времени. Балансная амплитудная модуляция. Как было показано, зна- значительная доля мощности обычного АМ-сигиала сосредото- сосредоточена в несущем колебании. Для более эффективного исполь- использования мощности передатчика можно формировать АМ-сиг- налы с подавленным несущим колебанием, реализуя так называемую балансную амплитудную модуляцию. На основа- основании формулы D.4) представление одиотоиального АМ-сигнала с балансной модуляцией таково: «БмЮ = VJrfCOSfflt + 00)COS(COoI + <р0) = - -cos [(ш0 + Q) t + фо + фо] + о — ?1 ы0 ш0 + ?1 D.16) Имеет место перемножение двух сигналов — модулирую- модулирующего и несущего. Колебания вида D.16) с физической точки зрения являются биениями двух гармонических сигналов с одинаковыми амплитудами и„М}2 и* частотами, равными верхней и нижней боковым частотам. При многотональной балансной модуляции аналитическое выражение сигнала принимает вид "БМ М = 4lUm I М, COS [(С0о + ВД t + <Ро + Ф,] + + 7il/_ Z M, cos [(ш,, - - Ф,]. D.17)
4.1. Сигналы с амплитудной модуляцией 95 Как и при обычной амплитудной модуляции, здесь наблюдаются две симметричные группы верхних и нижних боковых колебаний. Если рассмотреть осциллограмму биений, может показать- показаться неясным, почему в спектре этого сигнала нет несущей частоты, хотя налицо присутствие высокочастотного запол- заполнения, изменяющегося во времени именно с этой часто- частотой. Дело в том, что при переходе огибающей биений через нуль фаза высокочастотного заполнения скачком из- изменяется на 180°, поскольку функция cos (fit + Фо) имеет разные знаки слева и справа от нуля. Если такой сигнал подать на вьюокодобротиую колебательную систему (например, LC-коитур), настроенную иа частоту со0, то выходной эффект будет очень мал, стремясь к нулю при возрастании добротности. Колебания в системе, возбужден- возбужденные одним периодом биений, будут гаситься последующим периодом. Именно так с физических позиций принято рас- рассматривать вопрос о реальном смысле спектрального разложения сигнала. К этой проблеме вернемся вновь в гл. 9. Однополосная амплитудная модуляция. Еще более интерес- интересное усовершенствование принципа обычной амплитудной модуляции заключается в формировании сигнала с подав- подавленной верхней или нижней боковой полосой частот. Сигналы с одной боковой полосой (ОБП-или SSB-сигналы— от англ. single sideband) по внешним характеристикам напоминают обычные АМ-сигналы. Например, одиотоиаль- ный ОБП-сигнал с подавленной нижней боковой частотой записывается в виде Балансная ампли- амплитудная модуляции, несмотря на свои достоинства, пе на- нашла широкого нрн- меиения в технике радиовещания п связи lib «овп М = Um cos (co0t + <р0) + - -cos[(co0 + il)t + <р0 + Фо]. Снектр однополос- пого сигнала Проводя тригонометрические преобразования, получаем вп(Й = (fit + <I>0)cos(co0t + <р„) - ;in(fit + Ф0)8ш(со„1 + р0) = |cos(co0t + <р„) - n (fit + Фо)8Ш(С0оГ + <Ро). Два последних слагаемых представляют собой произведе- произведение двух функций, одна из которых изменяется во вре- времени медленно, а другая — быстро. Принимая во внимание, что «быстрые» сомножители находятся по отношению друг к другу во временной квадратуре, вычисляем медленно взменяющуюся огибающую ОБП-сигиала: Векторная диа- диаграмма двух сиг- сигналов, находящих- находящихся в квадратуре
96 Глава 4. Модулированные сигналы Основное преиму- преимущество ОБП-сиг- палов - двукрат- ное сокращение по- полосы занимаемых частот, что оказы- оказывается существен- существенным для частотно- частотного уплотнения ра- радиоканалов, напри- например, нрн связи на коротких волпах в условиях предель- предельной загруженности частотного диапа- диапазона Снектр однонолос- ного сигнала с по- подавленной пес j щей частотой полиаи фаза фазовая модуля- модуляция Рис. 4.4. Огибающие однотоиальных модулированных сигналов при I — ОБП-сигнала; 2 — обычного АМ-сигнала V{t) = +^cos(fi( +Ф „)Т ЦП1 + Ф„) = -»-1А + Mcos(fi( + O0) + —. D.18) Графнк огибающей ОБП-сигнала, рассчитанный по фор- формуле D.18) при М = 1, изображен на рис. 4.4. Здесь же для сравнения построена огибающая обычного однотоиального АМ-сигиала с тем же коэффициентом модуляции. Сравнение приведенных кривых показывает, что непосред- непосредственная демодуляция ОБП-сигнала по его огибающей будет сопровождаться значительными искажениями. Дальнейшим усовершенствованием систем ОБП является частичное или полное подавление несущего колебания. При этом мощность передатчика используется еше более эф- эффективно. 4.2. Сигналы с угловой модуляцией Будем изучать модулированные радиосигналы, которые получаются за счет того, что в несущем гармониче- гармоническом колебании uHEC (t) — Vm cos (cot + <p) передаваемое сооб- сообщение s(t) изменяет либо частоту со, либо начальную фазу <р; амплитуда Um остается неизменной. Поскольку аргумент гармонического колебания \|/(t) = cof + <p, называемый полной фазой, определяет текущее значение фазового угла, такие сигналы получили название сигналов с угловой модуляцией. Виды угловой молулщни. Предположим вначале, что пол- полная фаза ф(с) связана с сигналом s(t) зависимостью D.19) где со0 — значение частоты в отсутствие полезного сигнала; к — некоторый коэффициент пропорциональности. Модуля- Модуляцию, отвечающую соотношению DJ9), называют фазовой модуляцией (ФМ): "фм W = ^m cos [со0( + ks (t)]. D.20)
4.2. Сигналы с угловой модуляцией Рнс, 4,5. Фазовая модуляция: I — модулирующий низкочастотный сигнал; 2 — немодулированное гармони- гармоническое колебание; 3 — сигнал с фазовой модуляцией Если сигнал s(t) ~ 0, то ФМ-колебание является простым гармоническим колебанием. С увеличением значений сигнала я (с) полная фаза ф(г) растет во времени быстрее, чем по линейному закону. При уменьшении значений модулирующего сигнала происходит спад скорости роста ф@ во времени. На рис. 4.5 показано построение графика ФМ-сигнала. В моменты времени, когда сигнал s(t) достигает экстре- экстремальных значений, абсолютный фазовый сдвиг между ФМ- сигналом и смодулированным гармоническим колебанием оказывается наибольшим. Предельное значение этого фазо- фазового сдвига называют девиацией фазы Дф. В общем случае, когда сигнал s(t) изменяет знак, принято различать девиацию фазы вверх Дфв = ks^ и девиацию фазы вниз девиация фазы На векторной диаграмме изображающий вектор постоян- постоянной длины будет совершать вращение с непостоянной Ф угловой скоростью. Мгновенная частота со (г) сигнала с мгновенная часто- угловой модуляцией определяется как первая производная уа от полной фазы по времени: D.21) x]/(t)= J со(т)<1т + const. D.22) При частотной модуляции сигнала (ЧМ) между величи- частотная модуля- нами s(t) и со (с) имеется связь вцда цня ю@ = со0 + ks(t). D.23) Поэт-ому \ s(T)dx]. D.24)
Глава 4. Модулированные сигналы Осциллограмма типичного сигнала с угловой модуля- модуляцией индекс угловой мо- модуляции решите задачи б п 7 отличие между ЧМ- п ФМ-сигна- лами Естественными параметрами ЧМ-сигиала общего вида в соответствии с формулой D.23) являются девиация частоты вверх Лео,, = fcnux и девиация частоты вниз Дсо„ — кзтщ. Если s (() — достаточно гладкая функция, то внешне осциллограммы ФМ- и ЧМ-сигналов не отличаются. Однако имеется принципиальная разница: фазовый сдвиг между ФМ- сигналом и немодулированным колебанием пропорционален s(r), в то время как для ЧМ-сигиала этот сдвиг про- пропорционален интегралу от передаваемого сообщения. Однотональвые сигналы с угловой модуляцией. Анализ ФМ- и ЧМ-сигналов с математической точки зрения гораздо сложнее, чем исследование АМ-колебаний. Поэтому основное внимание будет уделено простейшим одиотоиальиым сигналам. В случае одиотональиого ЧМ-сигнала мгновенная частота СО (г) = С0о + Д@СО5(П/ + Фо), где Асо — девиация частоты сигнала. На основании формулы D.22) полная фаза такого сигнала <|/(t) = co0t + ~sm(Clt + Фо) + <Ро, где <р0 — некоторый постоянный фазовый угол. Отсюда видно, что величина I m = Ага/а | D.25) называемая индексом одиотональной угловой модуляции, представляет собой девиацию фазы такого сигнала, выра- выраженную в радианах. Для краткости положим, что неизменные во времени фазовые углы <р0 = Фо = О, и выразим мгновенное значе- значение ЧМ-сигнала в виде "чм W = и„ cos (co0t + m sin ОД. D.26) Аналитическая форма записи одиотоиального ФМ-сигиала будет аналогичной. Однако нужно иметь в виду следую- следующее: ЧМ- и ФМ-сигналы ведут себя по-разному при измене- изменении частоты модуляции и амплитуды модулирующего сигнала. При частотной модуляции девиация частоты Асо про- пропорциональна амплитуде низкочастотного сигнала. В то же время величина Асо-не зависит от частоты модулирующего сигнала. В случае фазовой модуляции ее индекс т оказы- оказывается пропорциональным амплитуде низкочастотного сигнала независимо от его частоты. Как следствие этого, девиация частоты прн фазовой модуляции в соответствии с фор- формулой D.25) линейно увеличивается с ростом частоты. Jp 4.2. Радиостанция, работающая в УКВ-диапазоне с несущей частотой /0 = 80 МГц, излучает ФМ-сигкол, промодуяи- роеанный частотой F = 15 кГц. Индекс модуляции m = 12. Найти пределы, в которых изменяется мгновенная частота сигнала.
4.2. Сигналы с угловоВ модуляцией 99 Математическая модель сигнала имеет вид u(i)= l/.cos[2it-8 107«+ l2sinBitl.51O*t)]. Девиация частоты составит Д/ - mF - 1.8 ¦ 10s = 180 кГц. Таким образом, при модуляции мгновенная частота сигнала изменяется в пределах от /„to 8008 7982 М /™, = 80 + 0.18 =80.18 МГц. -0.18 =79.82 МГп Свектральное разложение ЧМ- и ФМ-сяпшлов при малых индексах модуляции. Задачу о представлении сигналов с угло- угловой модуляцией посредством суммы гармонических колеба- колебаний несложно решить в случае, когда п«1. Для этого преобразуем формулу D.26) следующим образом: и (г) = Um cos (co0t + m sin Qt) = Um cos (m sin Qt) cos co0f — — Un sin (m sin Qt) sin coot. D.27) Поскольку индекс угловой модуляции мал, воспользуемся приближенными равенствами cos (m sin Qt) к 1; sin (m sin Qt) к msinfi/. На основании этого из равенства D.27) получаем u (t) a Um cos co0t + 2 s (co0 + fi) t - ^y^cos (ю0 - Q) t. D.28) Таким образом, показано, что при т -*: 1 в спектре сигнала ,с угловой модуляцией содержатся несущее колеба- колебание и две боковые составляющие (верхняя и нижняя) на частотах со0 + Q и со0 — О. Индекс т играет здесь такую же роль, как коэффициент амплитудной модуляции М [ср. с формулой D.5)]. Однако можно обнаружить и существенное различие спектров АМ-сигнала и колебания с угловой моду- модуляцией. Для спектральной диаграммы (рис. 4.6, о), построенной по формуле D.28), характерно то, что нижнее боковое коле- колебание имеет дополнительный фазовый сдвиг на 180°. Как следствие этого, сумма векторов, отображающих оба боковых колебания (рис. 4.6,6), всегда перпендикулярна вектору ??нж> С течением времени вектор Vx будет «качать- «качаться» вокруг центрального положения. Незначительные изме- изменения длины этого вектора обусловлены прилиженным характером анализа, и при очень малых т ими можно пренебречь. " -О. 180° Т Колебания, харак- характеризуемые усло- условием т<1, пряна- то называть узко- ¦юлоснымн ЧМ- нлиФМ-снгналамн Рис. 4.6. Диаграммы сигнала с угловой модуляцией при m ¦«: 1: о — спеггральная; 6 — веггорная
Глава 4. Модулированные сигналы Ч'-tJ Более точный вид спектральной диа- диаграммы решите задачу 11 1 Более точный анализ спектрального состава сигналов с угло- угловой модуляцией. Можно попытаться уточнить полученный результат, воспользовавшись двумя членами ряда в разло- разложении гармонических функций малого аргумента. При этом формула D27) будет выглядеть так: u(t)=s ^„A - Va»sin2fiOcosco0t- Несложные тригонометрические преобразования приводят к результату: D.29) спектре помимо "W =U»A - nr'/^coscoot + С/„тA - т2/8) х х [cos(co0 + Q)t — cos(co0 — Q)i] + l/m(m2/8) x x [cos(co0 + 2il)t + cos ((ofl — 2Q)t] + + [/„(m3/48)[cos(co0 + 3Q)t - cos(co0 - 3Q)t]. Эта формула свидетельствует о том, что i сигнала с одиотональиой угловой модуляцией, известных составляющих, содержатся также верхние и нижние боковые колебания, соответствующие гармоникам частоты модуляции. Поэтому спектр такого сигнала сложнее спектра аналогичного АМ-сигнала. Отметим также, что возникно- возникновение новых спектральных составляющих приводит к пере- перераспределению энергии по спектру. Так, из формулы D.29) видно, что с ростом т амплитуда боковых составляющих увеличивается, в то время как' амплитуда несущего колеба- колебания уменьшается пропорционально множителю A — т2/4). Снекгр сигнала с угловой модуляцией при произвольном значении индекса. Для простейшего случая одиотонального ЧМ- или ФМ-сигнала можно найти общее выражение спектра, справедливое при любом значении индекса модуля- модуляции т. В разделе курса математики, посвященном специальным функциям, доказывается, что экспонента ехр (/m sin x) с мнимым показателем специального вида, периодическая на отрезке —71 < х < 71, разлагается в комплексный ряд Фурье: е*—.= J, D.30) Векторные диа- диаграммы сигнала с угловой модуляци- модуляцией в четыре после- последовательные мо- иивта времени где т — любое вещественное число; </&(т) — функция Бесселя (с-го индекса от аргумента т. Сравнивая формулы D.30) и D.27), а также подставляя х = fit, перепишем последнюю нз указанных формул так: D.31) Отсюда получаем следующую математическую модель ЧМ- или ФМ-сигиала с любым значением индекса модуляции: D.32)
4.2. Сигналы с угловой модуляцией 101 Л / 1 / |\/ У S 10 15 20 25 Рис. 4.7. Графики функций Бесселя J2(m) и Ji6(m) Спектр одиотонального сигнала с угловой модуляцией в общем случае содержит бесконечное число составляющих, характер спектра частоты которых равны щ ± Ш; амплитуды этих составляю- однотонального сн- щих пропорциональны значениям Jk(m). гнала с угловой В теории функции Бесселя доказывается, что функции с модуляцией положительными и отрицательными индексами связаны между собой: Поэтому начальные фазы боковых колебаний с часто- частотами со0 + Ш н со0 — кЛ совпадают, если к — четное число, и отличаются иа 180е, если к — нечетное. Для детального анализа и построения спектральных диаграмм необходимо знать поведение функций Л («О при различных т в зависимости от к. На рис. 4.7 приведены графики двух функций Бесселя, существенно различающихся своими индексами. Можно заметить следующее: чем больше индекс функции Бесселя, тем протяженнее область аргументов, при которых эта функция очень мала. Этот факт отображает табл. 4.1. Табл. 4.1 совместно с формулой D.32) позволяет построить типичные спектральные диаграммы сигнала с однотональной угловой модуляцией при не слишком больших значениях индекса т (рис. 4.8). Важно отметить, что с ростом индекса модуляции расши- расширяется полоса частот, занимаемая сигналом. Обычно пола- полагают, что допустимо пренебречь всеми спектральными состав- составляющими с номерами к > т + 1. Отсюда следует оценка практической ширины спектра сигнала с угловой модуля- модуляцией (с): П„р,„ = 2(т + 1)а D.33) Как правило, реальные ЧМ- н ФМ-сигиалы ризуются условием т » 1. В этом случае D.34) практическая ши- ширина спектра ЧМ- п ФМ-сигналов характе- характерешите задачу 12
102 Глава 4. Модулированные сигналы Таблица 4.1 Значения функций Бесселя J,(m) Здесь выделена об- область, в которой функции Бесселя становятся прене- пренебрежимо малыми 0 1 2 3 4 5 б 7 1 0.765 0.440 УУ-К - 2 0.224 0.577 0.353 *' у 3 -0.260 0.339 0.486 0.309 4 -0.397 -0.066 0.364 0.430 0.281 """%  ¦г- а 5 -0.178 -0.328 0.047 0.365 0.391 0.261 Таким образом, сигнал с угловой модуляцией занимает Полосу частот, приблизительно равную удвоенной девиации частоты. Как было выяснено, для передачи амплитудио-модули- рованного сигнала требуется полоса частот, равная 2Д Сигналы с угловой т-е- в и раз меньшая. Большая широкополосность ЧМ- модуляцией часто и ФМ- сигналов обусловливает их применимость для целей пспользуются в си- радиосвязи лишь на очень высоких частотах, в диапазонах стемах иысокока- метровых и более коротких воли. Однако именно широкополос- чествешюго радио- ность приводит к гораздо большей помехоустойчивости вещания УКВ-дна- сигналов с угловой модуляцией по сравнению с АМ-си- пазона гиалами. Сравнительный анализ помехоустойчивости различ- различных видов модуляции будет детально проведен в гл. 16. Как отмечалось, рост индекса модуляции приводит к перераспределению мощности в спектре модулированного сигнала. В частности, если значение т выбрано таким, что г(ш-(оо)/П Рис. 4.8. Спектральные диаграммы сигнала с угловой модуляцией при двух значениях индекса m (амплитуды представлены в отно- относительном масштабе)
4.2. Сигналы с угловой модуляцией 103 J0(m) = 0, то несущее колебание на частоте еоо в спектре будет стсутстствовать. Значения т, являющиеся корнями данного уравнения, образуют бесконечную возрастающую последовательность чисел щ, (v = l, 2,...—номер корня). Приведем для справок табл. 4.2. Таблица V JTly 4.2 1 2.405 Корни уравнения Jo(m);=0 2 5.520 8.654 П.792 14.931 18.071 21.212 ГЦммер 4.3, Однотональный ЧМ-сигнал имеет девиацию частоты Л/ = 240 кГц. Найти частоты модуляции F, при которых несущее колебание в спектре сигнала будет отсутствовать. Индекс, модуляции т = Д(й/Г1 = Af/F, т. е. частота модуляции F ='&//т Обращаясь к табл. 4.2, находим последовательность частот, удовлетворяющую поставленному условию: Ft = 240/2.405 = -99.792 кГц, F2 = 240/5.520 = 43.474 «Гц, F3 '= 240/8.654 - = 27.732 кГц н т. д. . Углова» модуляция при негармоническом модулярующем сигнале. Интересная особенность колебаний с угловой мо- модуляцией проявляется в случае; когда модулирующий сигнал не является гармоническим. Рассмотрим для простоты сигнал, промодулированный лишь двумя низкими частотами: и(г) = [/Rcos(co0t + mi siniV + m2 sinfizr) = = l/mcos(mi sinfiif + m2 sinn2t)cosco0t — - [/nsin(»>i sinfi,r + m2 sinQ2t)siDC00t. D.35) Положим, что парциальные индексы модуляции m, н тг малы настолько, что можно пользоваться приближенными выражениями для косинуса н синуса: cosx» I — x2/2; sinxajx. Выполнив несколько громоздкие, но вполне элементарные тригонометрические преобразования, представим исходный сигнал в виде суммы «W = ^«[1 - (mf + mi)/4]cos<o0r+ 4Im1Vn\coi(a0+a1)t - - cos (eoo - П,) i] + 1/1m1 и„ [cos (eoo + OJ f - - cos(co0 - П2)г] + V8m!i/m[cos(co0 + 2П,)' + + cos(eo0 - 2П,)Г] + Vem!l/m[cos(co0 + 2Q2)I + + cos(co0 - 2Я2)г] + V2m,m2l/«[cos(co0 + nt-Si^t + + cos(co0 - Я, + ПгI - cos(eo0 + П, + fijr - • - cos(tuo - Я, - ад I]. D.36) Спектральная диаграмма такого двухтональиого сигнала изображена на рнс. 4.9. Следует обратить внимание на то, что в спектре рас- рассматриваемого сигнала, помимо частот га0 ± Пи <*>о i. ^з*
Глава 4. Модулированные сигналы Ш- а § а cf cf з cf d I о _= + ddi i + + aid решите задачу 17 He следует смеши- смешивать термины «не- «нелинейная модуля- модуляция» и «нелинейная электрическая цепь» Рнс. 4.9. Спектральная диаграмма сигнала с двухтональной угловой, модуляцией при малых значениях парциальных индексов модуляции «1 И И12 со0 + 2Я„ со0 + 2Я2, присутствуют так называемые комбина- комбинационные частоты со0 + Я, + Я2 с четырьмя возможными знака- знаками. Амплитуды этих составляющих зависят от произве- произведения парциальных индексов модуляции. Можно показать, что в общем случае, когда угловая модуляция осуществляется группой низкочастотных колеба- колебаний с частотами йь Я2,...,Я№ и парциальными индек- индексами mlt mlt....,mN соответственно, спектральное представ- представление сигнала таково: u(t) = • E oft2= -a E Л ,(m2)...JtK(Ид,) . D.37) Таким образом, прн прочих равных условиях спектр колебания со сложной угловой модуляцией гораздо богаче спектра аналогичного АМ-сигнала. Подчеркивая взаимодей- взаимодействие отдельных составляющих модулирующего сигнала, угловую модуляцию, в отличие от амплитудной, иногда называют модуляцией нелинейного типа. 4.3. Сигналы с внутриимпульсной частотной модуляцией В настоящем параграфе будут изучаться спектральные и корреляционные свойства особого класса модулированных сигналов, получивших в последнее время широкое распро- распространение в радиолокации. Эти сигналы отличаются от обычных радиоимпульсов тем, что нх высокочастотное заполнение имеет переменную частоту. Чаще всего исполь- используется внутрнимпульсная частотная модуляция с линейным законом изменения мгновенной частоты во времени.' Принцнн линейной частотной модуляции (ЛЧМ). Рассмотрим радиоимпульс с огибающей прямоугольной формы. Будем полагать, что частота заполнения линейно нарастает от начала импульса к его концу. Конкретизируя математическую
4.3. Сигналы с виугриимпульсной модуляцией модель сигнала, предположим, что его длительность равна ти, причем точка г = 0 соответствует середине импульса, а мгновенная частота изменяется во времени по закону D.38) г ) =ш0 + lit. Здесь ш0 — несущая частота; ц — параметр с размерностью с~2, равный скорости изменения частоты во времени. Легко видеть, что за время, равное длительности импуль- импульса, девиация частоты Аш = цти. D.39) Полная фаза сигнала *Иг) = шог + цг72. D.40) Итак, будем называть радиоимпульсом с линейной частот- частотной модуляцией, или ЛЧМ-импулъсом, сигнал, представляемый следующей математической моделью: 0, г<-ти/2, tfmcos(co0r + lit1/!), -ти/2 s? r s? т„/2, 0, t > хи/2 D.4D К полной фазе си- сигнала можно доба- добавить постоянный фазовый сдвиг ф„. Однако наличие этого сдвига несу- несущественно Замечательное свойство ЛЧМ-сигналов, определяющее нх практическую значимость, состоит в следующем. Предполо- Предположим, что имеется некоторое физическое устройство, осу- осуществляющее задержку сигналов, подаваемых на его вход. Если время задержки зависит от частоты сигналя, причем с ростом частоты это время уменьшается то при определенных условиях, подавая на вход такого устройства Л ЧМ-импульс большой длительности, можно добиться сущест- существенного «сжатия» его во времени. Этот эффект обусловлен тем, что на выходе устройства задержки одновременно будут появляться составляющие как более низкочастотные, относящиеся к началу импульса, так н более высоко- высокочастотные, наблюдаемые в его конце. Подробный анализ устройств сжатия, позволяющий оце- оценить количественную сторону явления, а также выяснить, например, форму выходного сигнала, будет проведен в гл. 16 при обсуждении методов оптимального выделения сигналов на фойе помех. Спектр прямоугольного ЛЧМ-нмпульса. В § 4.2 при рас- рассмотрении спектральных характеристик ЧМ-сигнала, промоду- лированного двумя колебаниями низкой частоты, было по- показано, что спектр такого сигнала имеет сложную структуру из-за перекрестного влияния отдельных спектральных состав- составляющих. Все это в полной мере относится н к спектру ЛЧМ-импульса. При дальнейшем изложении этого вопроса будем придерживаться в основном обозначений, принятых в [28]. На основании модели D.41) запишем выражение спектраль- спектральной платности одиночного ЛЧМ-импульса: Сигнал на входе Устройство сжатия Если потерн в уст- устройстве сжатия ма- малы, то амилитуда выходного сигнала может значительно превысить уровень шумов. Это повы- повышает надежность обнаружения ра- радиолокационным приемником сла- слабых отраженных сигналов
Глава 4. Модулированные сигналы W2 dl + Спектр в области отрицательных ча- частот может быть получен на основа- основания свойств пре- преобразования Фурье для вещественных свгналов(см.гл.2): expj - to) г + H^-jj dt. D.42) | Анализ этого соотношения показывает, что первый интеграл описывает часть спектральной плотности с резко выраженным максимумом в области положительных частот, близких к ш0. Второй интеграл соответствует части спектральной плотности, сосредоточенной в основном при ш < 0. На практике интересуются исключительно случаем, когда эффект перекрытия спектров, концентрирующихся при положительных н отрицательных частотах, пренебрежимо мал. Это связано с тем, что полная девиация частоты за время длительности импульса очень мала по сравнению с несущей частотой: Д<в = цт„ •« со0. Поэтому в формуле D.42) следует вычислять только первый интеграл, даюший спектральную плотность прн ео>О. С учетом сказанного, дополнив аргумент экспоненциаль- экспоненциальной функции в формуле D.42) до полного квадрата, получим -,„/2 D.43) Удобно перейти от переменной г к новому аргументу х, выполнив замену переменной: Проводя вычисления, находим ехр(; =il |[| | ( ) D.44) где пределы интегрирования определяются следующим об- образом:
4-3. Сигналы с внутриимпульснов модуляцией -+(co-to0) ^-(to-too) D.45) Интеграл в выражении D.44) сводится к комбинации хорошо изученных специальных функций — интегралов Фре- Френеля [16]: Г cos ^d!;; S(x) = | sin Щ-ui,. С[х) В результате получаем окончательную формулу для Интегралы Френе- спектральной плотности ЛЧМ-сигнала: ля широко исиоль- зуются в физике при решении задач дифракции волн D.46) Представив эту спектральную плотность в показатель- показательной форме: 1/(сй) = |1/(со)|ехр[/Ф(ш)], можно заметить, что модуль (амплитудный спектр) !, D47) в то время как фазовый спектр состоит нз квадратичного слагаемого Ф, (to) = -(со - ш„J/Bц) D.48) н так называемого остаточного фазового члена D.49) ЛЧМ-сигналы с большой базой. Численный анализ полученных выражений свидетельствует о том, что характер частотной зависимости модуля й фазы спектральной плот- плотности прямоугольного ЛЧМ-импульса полностью зависит от безразмерного числа В = Д/ти = uxi/flTt), D.50) ф равного произведению девиации частоты на длительность база сигнала импульса и называемого базой ЛЧМ-сигнала. В практически важных случаях выполняется условие S»l. Спектр таких ЛЧМ-сигналов с большой базой имеет ряд специфических особенностей. Во-первых, модуль спектраль- спектральной плотности здесь практически постоянен в пределах полосы частот шириной Дсо с центром в точке too. Соот- Соответствующие графики, рассчитанные по формулам D.47) н D.49), представлены на рис 4.10.
Глава 4. Модулированные сигналы В теоретической радиотехнике поня- понятие базы применя- применяют но отношению к разнообразным си- сигналам. При В>1 снгвал называют сложным, при Вк я1 —простым решите задачу 13 Рнс. 4.10. Частотные зависимости модуля н остаточного фазового члена спектральной плотности прямоугольного ЛЧМ-импульса прн различных значениях базы сигнала Во-вторых, наблюдается постепенное нсчезновенне осцил- осцилляции модуля спектральной плотности с увеличением базы сигнала. Анализируя формулу D.47), можно убедиться, что на центральной частоте спектра D-51) Таким образом, модуль спектральной плотности ЛЧМ- сигиала с большой базой Дш О, ш < ш0 —, ~~ ' %-. D-52) Дш О, ш > ш0 + —х-. Энергетический спектр такого сигнала Wu (ш) = тс1/^/Bц) D.53) также постоянен в полосе частот [ш0 — Дсо/2, е»0 + Да>/2] н обращается в нуль вне этой полосы Пример 4.4.- Прямоугольный ЛЧЫ-импульс имеет амплитуду (Jm = 20 В, несущую частоту fо — 10 ГТц и длительность т„ = 2 мкс. Девиация частоты за время импульса Д/=0.1 ГТц. Определить основные параметры спектра такого сигнала.
4.3. Сигналы с внутриимпульснои модуляцией 109 Прежде всего иаходнм базу сигнала В = 108 ¦ 2 -10. 6 = 200. Ско- Скорость нарастания частоты ц = 2иД//т. = 6.28-10'/B-10~6) = 3.14 х х 101* с~2. В соответствии с формулой D.53) энергетический спектр И? = 2-10~12 В2-с2. Поскольку база сигнала велика, его спектр практически заключен в .пределах полосы частот от /0 — Д//2 = = 9.95 ГТц до /„ + Д//2 = 10.05 ГГц. Автокорреляционная функция ЛЧМ-сигнала. Для нахожде- нахождения этой характеристики, столь важной при решении задач обнаружения сигнала, целесообразно воспользоваться резуль- результатами, полученными в гл. 3, где было показано, что связь между АКФ н энергетическим спектром сигнала устанавлива- устанавливается парой интегральных преобразований Фурье. Пусть база ЛЧМ-сигнала достаточно велика, так что энергетический спектр этого сигнала равномерен и сосредо- сосредоточен лишь в полосе частот Дсо вокруг несущей частоты. Тогда автокорреляционная функция ЛЧМ-ситнала [см. фор- формулу D.53)]: Вп' cos сот dra = co0x. D.54) График нормированной автокорреляционной функции '¦лчмМ = ?лчм(т)/Влчм@) изображен на рис. 4.11. Здесь же представлена огибающая этой функции, имеющая лепест- лепестковую структуру. Формула D.54) устанавливает следующее свойство ЛЧМ- сигнала: ширина главного лепестка огибающей АКФ обратно пропорциональна девиации частоты импульса'. Действительно, огибающая первый раз обращается в нуль при сдвиге сигнала относительно его копии на интервал времени т = 27г/(цт„) = = 1/А/ Применяемые в радиолокации ЛЧМ-сигналы характе- характеризуются значительной девиацией частоты, поэтому главный лепесток АКФ получается весьма узким. Например, для сиг- сигнала, изученного в примере 4.4, сдвиг, обращающий в нуль ощая 1/Д/ 2/V С точки зрения уровня боковых ле- нестков автокор- реляционион функ- функции ЛЧМ-снгнал существенно усту- уступает сигналам Бар- кера при Л/ = 13 Рис. 4.11. Корреляционные характеристики ЛЧМ-сигнала: в — нормированная АКФ; б— огибающая нормнрояалной АКФ
110 Глава 4. Модулированные сигналы огибающую АКФ, составит всего 0.01 мкс, или 0.5 % от дли- длительности импульса. Однако с точки зрения корреляционных свойств ЛЧМ- сигналам присущ известный недостаток: высота двух первых симметричных боковых лепестков АКФ достаточно велика, составляя 0.212 от высоты центрального лепестка. В небла- неблагоприятных условиях (значительный уровень шумов) это может привести к ошибочному определению временного положения импульса. Результаты ОО Процесс модуляции связан с переносом спектра сигнала из области низких в область высоких частот. ^^ При амплитудной модуляции (AM) огибающая сигнала связана с мгновенным значением низкочастотного модулирующего колебания. <^><^> Спектр АЫ-сигнала образуется несущим колебанием и двумя симметричными группами боковых колебаний. <^><^> Полоса частот, необходимая для передачи АЫ-сигнала, равна удвоенному значению наивысшей частоты в спектре модулирующего колебания. <^><^> Возможна балансная амплитудная модуляция с подавленным несущим коле- колебанием, а также модуляция с одной боковой полосой частот. ОО При угловой модуляции передаваемое сообщение определяет изменение во вре- времени фазового угла несущего колебания. Различают частотную (ЧМ) и фа- фазовую (ФМ) модуляцию. ^^ Основной параметр модулированных ЧМ- и ФМ-сигналов — индекс угловой модуляции, равный девиации фазы. ОС> Теоретически ширина спектра сигнала с угловой модуляцией неограниченно велика. ОО При малых индексах модуляции ширина спектра ЧМ (ФМ)-сигнала практи- практически равна удвоенной верхней частоте модуляции. ^^ При больших индексах модуляции полоса частот, занимаемая сигналом, составляет удвоенное значение девиации частоты. ^^ Сигналы с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ) имеют практически равно- равномерный спектр в пределах ограниченной полосы частот, если база сигнала достаточно велика. ОО Автокорреляционная функция ЛЧМ-сигнала имеет лепестковую структуру; ширина главного лепестка уменьшается с ростом девиации частоты. Вопросы 1. Какими параметрами принято харак- 6. Чем принципиально отличаются осцил- теризовать глубину амплитудной модуляции? лограммы сигналов с балансной амплитудной 2. Какова причина искажений сообщения, модуляцией н обычных АМ-сигвалов? наблюдаемых прн перемодуляции? 7. Почему непосредственная демодуляция 3. От чего зависит распределение мощ- ОБП-снгнала приводит к искажению переда- иости в спектре однотональиого АМ-сигнала? ваемого сообщения? 4. В каком соотношении обычно иахо- 8. В чем заключаются сходства и разли- дятся между собой частоты несущего н чия между сигналами с частотной н фазовой модулирующего колебаний? модуляцией? 5. Каков принцип построения векторной 9. Как связаны между собой частота мо- дмграммы однотонального АМ-сигнала? дуладяи, индекс в девиация частоты?
Ill 10. Каков спектральный состав ЧМ- н ФМ-сигналов при малых индексах модуля- модуляции? 11. В чем различие между спектрами АМ- н ЧМ-снгналов с малым индексом модуля- модуляции? 12. Почему полоса частот, занимаемая сигналом с угловой модуляпией, практически ограничена? 13. Как следует выбирать индекс угловой модуляции, чтобы в спектре сигнала отсут- отсутствовало несущее колебание? Задачи 1. Амплнтудно-модулнрованное колеба- колебание описывается формулой u{t)= 130[1 +0.25 х х cos (Ю2г + 30°) + 0.75 cos C ¦ l02f + 45°)] x х cos A0sr + 60°). Изобразите спектральную диаграмму этого сигнала, вычислив амплитуды н начальные фазы всех спектральных составляющих. 2. Постройте векторную диаграмму сиг- сигнала, рассмотренного в задаче 1. Построе- Построение выполните для момента времени t = 0. 3. На экране осциллографа получено изображение однотонального АМ-сигнала; Предложите способ экспериментального оп- ределення коэффициента модуляции М по осциллограмме. Указание. Обратите внимание на мгновенные значения амплитуды сигнала в экстремальных точках. 4. По спектральной диаграмме АМ-снг- нала 45° т вычислите начальные фазы каждой из состав- составляющих модулирующего колебания. 14. Чем характеризуются спектры ЧМ- н ФМ-снгналов при негармоническом моду- модулирующем колебании? 15. На каком физическом принципе осно- основано сжатие ЛЧМ-нмпульса во времени? 16. Каким образом вводится понятие базы ЛЧМ-снгиала? 17. Как выглядит график автокорреля- автокорреляционной функции ЛЧМ-сигнала с прямо- прямоугольной формой огибающей? 18. Почему ЛЧМ-сигнал несовершенен с точки зрения структуры его АКФ? 5. Амплитудно-модулированный ток (А) i(t) - 200A + 0.8cosD- 103f))cos6- 10бГ проходит по резнстивной нагрузке сопро- сопротивлением 75 Ом. Определите: а) пиковую мощность источника; 6) среднюю мощность в нагрузке; в) относительную долю мощ- мощности, сосредоточенной в несущем коле- колебании. 6. ЧМ-сигнал с амплитудой 2.7 В имеет мгновенную частоту, изменяющуюся во вре- времени по закону ю(г)= 109A + 10-*cosB-103i)). Найдите индекс модуляции н запишите ма- математическую модель этого сигнала. 7. Определите индекс модуляции ЧМ-сиг- нала, промодулнрованного низкой частотой F = 7 кГц. Несущая частота /0 = 180 МГц, максимальное значение частоты /„„„ = = 182.5 МГц. 8. Изобразите спектральную и векторную диаграммы сигнала с угловой модуляцией, если несущая частота равна 45 МГц, де- девиация частоты 0.3 кГц, а частота моду- ляцнн 4.5 кГц. 9. Однотональный ФМ-сигнал имеет час- частоту модуляции О = 10* с. • При какой девнацнн частоты в спектре этого сигнала будут отсутствовать составляющие на час- готах ю0 ± Й? 10. Постройте спектральную диаграмму ЧМ-сигнала с амплитудой 35 В и индексом т = 3. 11. Амплитуда ЧМ-сигнала передатчика в отсутствие модулирующего колебания равна 250 В. Измерения показали, что при подаче однотонального модулирующего ко- колебания амплитуда составляющей на несущей частоте становится равной 244 В. Определите индекс частотной модуляции. Можно ли полагать, что в описываемых условиях реа- реализована узкополосная ЧМ?
112 Глава 4. Модулированные сигналы 12. Радиовещательная станция с фазовой модуляцией имеет предельное значение ин- индекса модуляции (прн наиболее громком передаваемом сигнале), равное 30. Полагая, что спектр низкочастотного модулирующего сигнала ограничен верхней частотой 16 кГц, определите число радиоканалов, которое можно без перекрестных помех разместить в УКВ-диапазоне (на частотах от 30 до 300 МГц). Более сложные задания 14. Исследуйте эффект влияния неодина- неодинаковых амплитуд верхнего и нижнего боковых колебаний на характер огибающей АМ-сиг- нала. Рассмотрите однотональный сигнал со спектральной диаграммой вида L 1 полагая, что коэффициент к Ф 1. 15. Проанализируйте, как сказывается на огибающей АМ-сигнала неточное соблюде- соблюдение условий, накладываемых на частоты верхних и нижних боковых составляющих. Амплитуды обонх боковых колебаний поло- положите равными друг другу. Рассмотрите слу- 13. ЛЧМ-сигнал с огибающей прямо- прямоугольной формы имеет амплитуду Vm = 10 В, длительность ти = 15 мкс и девиацию часто- частоты за время импульса Д/= 40 МГц. Опреде- Определите: 1) базу сигнала; 2) величину квадра- квадратичного слагаемого фазового спектра на гра- границе полосы частот, занимаемой сигналом: 3) энергетический спектр сигнала. чай однотонального сигнала, у которого нижняя боковая частота о>нБ = ю0 — И, в то время как верхняя боковая частота швб = = ю0 + Й + 6, где 6«fi 16. Проведите спектральный анализ оги- огибающей одиотонального ОБП-сигнала, пред- представляемой выражением D.18). Предложите численную оценку степени искажения оги- огибающей такого сигнала. 17. Полная фаза ЧМ-сигнала с двухто- двухтональной модуляпией нзменяется во времени по закону ^ (f) = 2я ¦ 108f + 0.12 sin Bтг -10*0 + + 0.08 sin Dя-10*г). Амплитуде смодулированной несущей Vn = =75 В. На сколько изменится амплитуда не- несущего колебания после включения модули- руюшнх сигналов?
Глава 5 Сигналы с ограниченным спектром Как известно (см. гл. 2), для восстановления сигнала по его спектру необходимо учитывать все составляющие с часто- частотами, лежащими в интервале от нуля до бесконечности. Однако с физической точки зрения такая процедура принци- принципиально неосуществима К тому же вклад спектральных составляющих при со -> оо пренебрежимо мал в силу огра- ограниченности энергии сигналов. Наконец, любое реальное устройство, предназначенное для передачи н обработки сиг- сигналов, имеет конечную ширину полосы пропускания. Поэтому вполне реалистичной представляется математи- математическая модель сигнала, имеющая такое свойство: спектраль- спектральная плотность колебания отлична от нуля лишь в пределах некоторой полосы частот конечной протяженности. В радио- радиотехнике подобный сигнал называют сигналом с ограничен- ограниченным спектром. 5.1. Некоторые математические модели сигналов с ограниченным спектром Пусть R — конечный отрезок осн частот. Спектральная плотность сигнала s(() с ограниченным спектром удовле- удовлетворяет условиям S (со) ф 0 при to e R, S (со) = О при всех других значениях частоты. Математическую модель сигнала с ограниченным спект- спектром во временной области можно Получить нз формулы обратного преобразования Фурье: s(f) = 1 E.1) В зависимости от выбора отрезка R и функции S(co) воз- возникают самые разнообразные виды сигналов с ограниченным спектром. Изучим некоторые простейшие примеры. Идеальный низкочастотный сигнал. Рассмотрим колебание с постоянной вещественной спектральной плотностью в пре- пределах отрезка оси частот от нуля до верхней граничной частоты со,; вне этого отрезка спектральная плотность сиг- сигнала обращается в нуль: ( О, со< S(co) = < So, -ci (.0, со> со< -со,, со, < со < со,, >С0,- Мгновенные значения такого сигнала E.2) s(t). 2я } e*»dco = - sinti).t К \ S Sc CO,t (S 3) идеальный низко- низкочастотный сигмы,.
Глава 5. Сигналы с ограниченным спектром решите задачу 1 Предполагается, что частотная ха- рактеристнкаФНЧ достаточно точно аппроксимируется функцией прямоу- прямоугольной формы с заданным значени- значением верхней гранич- граничной частоты Будем называть такое колебание идеальным низкочастот- низкочастотным сигналом (ИНС), подчеркивая этим простейший вид его спектра по сравнению со спектрами других возможных сигналов подобного рода. График ИНС, построенный по формуле E.3), имеет вид осциллирующей кривой, четной относительно начала отсчета времени. С увеличением верхней граничной частоты спектра возрастают как центральный максимум, так и частота осцилляции. ИНС более общего вида получается, если в формулу E.2) ввести фазу спектральной плотности, линейно завися- зависящую от частоты: " О, (О < —сов, j-ytttf^ —щ^ ^ о) ^ сов, E-4) . О, со>сов. Спектральной плотности E.4) соответствует низкочастот- низкочастотный сигнал SquJb sin toB (f — (о) s идеальный полосо- полосовой сигнал "™ * o>,(t-(o) ! смещенный во времени относительно сигнала E.3) на f0 секунд. ИНС является идеализированной выходной реакцией фильтра нижних частот (ФНЧ), возбуждаемого колебанием с равномерной по частоте спектральной плотностью, т. е. дельта-импульсом. Идеальный полосовой сигнал. Исследуем математическую модель сигнала, спектр которого ограничен полосами частот шириной 2Д(о каждая с центрами на частотах ±соо. Если в пределах этих полос спектральная плотность сигнала по- постоянна: . —соо — Дсо < ю < — ф0 + До), (о0 — Дсо < ю < ю0 + Дсо, вне указанных полос, E.5) то по аналогии с предыдущим данный сигнал будем назы- называть идеальным полосовым сигналом (ИПС). Мгновенные значения ИПС найдем, используя обратное преобразование Фурье: ) = — f cos of dco = 2S0A(i> sin До» я До)Г COSCOof. E.6) Строя график ИПС, обнаруживаем, что здесь наряду с высокочастотными осцилллшями на частоте о)О наблюдается изменение во времени мгновенного значения их амплитуды. Функция sin (ДгоОДЛох) с точностью до масштабного коэф- коэффициента 2SoAo)/ji играет роль медленной огибающей ИПС
5.1 Модели сигналов с ограниченным спектром 1 Теоретически возможный способ получения ИПС очеви- А дсп: на вход идеального полосового фильтра, пропускающе- решите задачу 2 го лишь колебания с частотами в пределах полосы [ю0 — Дю, ю0 + Ato], должно быть подано широкополосное воздействие вида дельта-импульса. Ортогональные сигналы с ограниченным спектром. Свой- Свойство ограниченности спектра позволяет находить интересные и важные классы ортогональных сигналов. Простейший при- пример — два ортогональных полосовых сигнала, области суще- существования спектра которых не пересекаются. Равенство нулю скалярного произведения этих сигналов непосредственно сле- следует из обобщенной формулы Рэлея. щ Менее очевидный способ ортогонализацни сигналов с огра- Ц ничейным спектром заключается в их временном сдвиге. Р Рассмотрим два идеальных низкочастотных сигнала ы(г) и Ц u(f). Оба этн сигнала имеют одинаковые параметры So * и о,, [см. формулу E.2)], однако сигнал u(f) запаздывает по отношению к сигналу u (f) на время f0, так что его спектраль- спектральная плотность F(o)).= [/(со)ехр(—¦Jcat0). Скалкрное произведение этих сигналов, вычисленное через Д спектральные плотности, lj\ co,fo E.7) Скалярное произведение обращается в нуль и два одина- одинаковых по форме ИНС оказываются ортогональными, если временной сдвиг между ними удовлетворяет условию шА=**я (*=±1, ±2, ...). Минимально возможный сдвиг, приводящий к ортогона- лизации, получается при к = ± 1: E.8) Принципиально важно, что удалось не просто добиться ортогональности двух сигналов. Указан путь построения бес- бесконечного ортогонального базиса, который может служить координатной системой для разложения произвольного сиг- сигнала со спектром, ограниченным частотой ю„. Графики рассматриваемых сигналов при двух значениях параметра Го изображены на рис. 5.1, а, б. Рис. 5.1. Графиж двух ддеальных низкочастотных сигналов: о - при г„ - it/»,; 6 - при >о - 2я/т. В момент времени, когда один из сиг- сигналов достигает максимума, другие сигналы из данно- данного семейства про- проходит через нуль
Глава 5. Сигналы с ограниченным спектром Владимир Александрович Котельников — академик, пзвест- ный советский уче- ученый в области ра- радиотехники н ра- днофизнкн базис Котельникова 5.2. Теорема Котельникова В 1933 г. В. А. Котельников доказал теорему, которая является одним из фундаментальных положений теоретиче- теоретической радиотехники. Эта теорема устанавливает возможность сколь угодно точного восстановления мгновенных значений сигнала с ограниченным спектром исходя из отсчетных значений (выборок), взятых через равные промежутки времени. Построение ортонормнровакного базиса. Как было показано, любые два сигнала с ограниченным спектром, принадлежа- принадлежащие семейству' .. /л_ л 8Шф.(*-*л/шь) (*=0, ±1, ±2,...), E.9) решите задачу 4 являются ортогональными. Путем соответствующего выбора амплитудного множителя А можно добиться того, чтобы норма каждого из этих сигналов стала единичной. В резуль- результате будет построен ортонормированнын базис, позволяю- позволяющий разложить произвольный сигнал с ограниченным спект- спектром в обобщенный ряд Фурье. Достаточно рассмотреть лишь функцию ц.И-^-^У., E.10) так как норма любого сигнала щ одинакова независимо от сдвига во времени. Поскольку E.11) E.12) E.13) образует базис Котельникова в линейном пространстве низко- низкочастотных сигналов со спектрами, ограниченными сверху зна- значением сов. Отдельная функция Sck (t; ©а) называется fc-й отсчетной функцией. Ряд Котельникова. Если s (f) — произвольный сигнал, спек- спектральная плотность которого отлична от нуля лишь в полосе частот -ю, < и < (|)ю то его можно разложить в обобщенный ряд Фурье по базису Котельникова: в). E-14) Коэффициентами ряда служат, как известно, скалярные произведения разлагаемого сигнала и fc-й отсчетиоЙ функции: с* = (s(t),ScA (*;<¦>„)). E.15) ю, функции ид будут ортонормированными, если А = ]/кф. Бесконечная совокупность функций
5.2. Теорема Котелышкова Удобный способ вычисления этих коэффициентов заклю- заключается в применении обобщенной формулы Рэлея. Легко проверить, что к-я отсчетная функция в- пределах отрезка —сов < о) < сов имеет спектральную плотность, равную |/я/ювехр(—jcdfot/юД Это видно из сравнения формул E.3) и E.13). Тогда, если S (to) — спектр изучаемого сигнала s(t), то 7Г1зГ J S(o>)exp[/fai(i)/o>Jdra; f E.16) Величина в фигурных скобках есть не что иное, как s* — = s (ffc), т. е. мгновенное значение сигнала s (t) в Jt-й отсчетной точке tk = kn/ia, = */B/J. Таким образом, ck = \/^,sK, E.17) откуда следует выражение ряда Котелышкова: E.18) Теорему Котельникова на основании последнего равен- ства принято формулировать так: произвольный сигнал, спектр которого не содержит частот выше fB, Гц, может быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки времени 1/B/,) с формулировка теоремы Котелышкова Пример 5.1. Дан сигнал s (t) = cos (шо( + <р0). Выбрав некоторый фиксированный интервал между отсчетами t0, получаем возможность однозначно восстановить по отсчетам любой сигнал, спектр 'которого ие содержит составляющих на частотах выше граничной частоты оо„ = n/t0. Если cuq < сов, то к рассматриваемому гармоническому сигналу применима теорема Котельникова; отсчетные значения (выборки) данного сигнала Однозначное вос- восстановление сигна- сигнала возможно В предельном слева, *т. е. случае, когда частота стремится к со„ на каждый период гармонического сигнала должно приходиться ровно две выборки. Если же условия теоремы Котельннкова нарушаются н отсчеты во времени берутся недостаточно часто, то однозначное восстановлен- ние исходного сигнала принципиально невозможно. Через отсчетные точки можно провести бесчисленное множество кривых, спектраль- спектральные ПЛОТНОСТИ ЖОТОрЫХ ОТЛИЧНЫ ОТ НУЛЯ Вне ПОЛОСЫ -СОв^Ш^СОв.
Глава 5. Сигналы с ограниченным спектром Рнс. 5.2. Аппаратурная реализация синтеза сигнала по ряду Котель- Одиозначное вос- восстановление сигна- сигнала невозможно решите задачу 5' Аппаратурная реализация синтеза сигнала, представленного рядом Котельннкова. Важная особенность'теоремы Котельни- кова состоит в ее конструктивном характере: она не только указывает на возможность разложения сигнала в соответст- соответствующий ряд но н определяет способ восстановления непре- непрерывного сигнала, заданного своими отсчетными значениями (рис. 5.2). Пусть имеется совокупность генераторов, создающих на выходных зажимах отсчетные функции So* (f; сов). Генераторы являются управляемыми — амплитуда их сигналов пропор- пропорциональна отсчетным значениям sk. Если объединить колеба- колебания на выходах, подав их на сумматор, то с выхода сумматора в соответствии с формулой E.18) можно будет снимать мгновенные значения синтезируемого сигнала s(t). Пример 5.2. Прямоугольный видеоимпульс с единичной амплиту- амплитудой и длительностью ти не принадлежит к числу сигналов с огра- ограниченным спектром. Тем не менее модуль его спектральной плотности достаточно быстро (по закону 1/т) уменьшается с ростом частоты. Описание такого сигнала двумя отсчетами в начале и в конце импульса будет означать замену исходного колебания сигналом со спектром, ограниченным сверху частотой оо„ = п/гв. Математическая модель этого сигнала такова: s(<)=- m/t, E19) Еспн же опнсать импульс тремя равноотстоящими отсчетами, то приходим к аппроксимирующему сигналу, содержащему частоты вплоть до со„ = 2n/tB: 2м E.20) Естественно, что с ростом числа учитываемых членов, т. е. с уменьшением временного интервала между выборками, точность аппроксимации будет повышаться.
5.2. Теорема Котепьникова Оценка оинбки, возлагающей при аппроксимации проязволь- ного отпала родом Котельннкова. Если s(t) — произвольный сигнал, то его можно представить суммой stf) = Soc(t; к>,) + + soul ((), в которую входит сигнал sTC (t; щ^ со спектром, ограниченным значением сов, а также сигнал ошибки аппрокси- аппроксимации soaI(f) со спектром, занимающим в обшем случае бесконечную полосу частот со > юв. Спектры указанных сигналов не перекрываются, поэтому |S| сигналы Sec и «„л ортогональны, а их энергии, т. е. квадраты . ^ч' t норм, складываются: Д В качестве меры ошибки аппроксимации можно принять расстояние, равное норме сигнала ошибки. Если И, (со) — энергетический спектр сигнала s(f), то по теореме Рэлея A & \1/2 — ( И$(со)с1со) E.21) 71 «, / Пример 5.3. Дан ¦ экспоненциальный видеоимпульс s(t) ехр(--at) a (t),характеризующийся энергетическим спектром И^(ш) ^ ев2) и || s И = ( — f (a2 + и2)"'dm)" = 0.7071/j/^. Эффективная длительность этого импульса (см. гл. 2) т„ = = 2.3026/а. Спектр рассматриваемого сигнала неограничен. Поэтому следует предварительно подвергнуть сигнал низкочастотной фильтрации, пропустив его через фильтр нижних частот (ФНЧ). Значение верх- верхней частоты сов полосы пропускания фильтра следует выбирать в зависимости от того, сколь часто берутся отсчеты сигнала на выходе ФНЧ. Предположим, что за аремя ти измеряются 10 отсче- тов с интервалом @ = тя/9 = 0.2558/а с. Согласно теореме Котедь1- ннкова, это означает, что со„ = пДо = 12.279а. Сигнал с выхода ФНЧ восстанавливается по своим отсчетным значенням точно. Однако по отношению к исходному видеоимпульсу неизбежна ошибка. В данном случае норма сигнала ошибки 0.1608 Относительная ошибка аппроксимации II soni Ц/1! s И = 0.1608/0.7071 = 0.2274. Видно, что выбранная в примере частота оо„ недостаточно высока для достижения удовлетворительной точности воспроизве- высока для достижения решнте Задачу 6 дения исходного сигнала.
Глава 5. Сигналы с ограниченным спектром Это положение в математике дока- доказывается строго и в общем виде Размерность пространства сигналов, ограниченных ио спектру н но длительности. Примеры-вычисления спектраль- спектральных плотностей импульсных сигналов, приведенные в гл. 2, показывают, что любой сигнал конечной длительности тео- теоретически имеет спектр, неограниченно протяженный по оси частот. Однако часто бывает удобным рассматривать идеализи- идеализированные модели сигналов, ограниченных как по длитель- длительности, так и по протяженности спектра. Подобные модели могут достаточно точно описывать сигналы, применяемые в реальных каналах связи. Пусть Т— длительность такого сигнала, a /s- гранич- граничная частота его спектра, выраженная в герцах. Тогдв база сигнала (см. гл. 4) В ~ Tfv Для полного описания сигнала нужно иметь в распоряжении N = Т/и, = 27*/„ независимых отсчетов. Говорят, что число размераость про- пространства сигналов В теории информа- информации размерность пространства сиг- сигналов служит для оценки объема со- сообщений E.22) является размерностью пространства сигналов, ограниченных по длительности и по частоте. Число N, как правило, достаточно велико. Например, лля описания сигнала в канале радиовещания с граничной час- частотой 12 кГц на протяжении 1 мнн потребуется 2>60-1.2-10* = = 1.44-106 независимых чисел. В свое время К. Шеннон предложил интерпретировать любой сигнал с конечными длительностью и полосой как точку в многомерном евклидовом пространстве с числом измерений 27^. Отсчетное значение s& служит при этом проекцией отображающей точки на к-ю координатную ось. Поскольку метрика пространства евклидова -и координатные оси взаимно ортогональны, длина вектора сигнала E.23) Величину гя можно выразить через энергию сигнала Es следующим образом. Так как E.24) где Pep — средняя мощность сигнала. Отсюдв вытекает, что любые сигналы с фиксированными параметрами 7; /, и со средними мощностями, не превышающими уровня Ро, ото- отображаются точками, лежащими внутри многомерной сферы радиусом
5.3. Узкополосные сигналы 5.3. Узкополосные сигналы В этом параграфе изучается особый класс радиотехни- радиотехнических сигналов с ограниченным спектром, которые возникают на выходе частотно-избирательных цепей и устройств. По определению, сигнал называется узкополосным, если его спект- спектральная плотность отлична от нуля лишь в пределах час- частотных интервалов шириной П, образующих окрестности точек ±ю0, причем должно выполняться условие П/ю0 <зс 1- Как правило, можно считать что частота ю0, называемая опорной частотой сигнала, совпадает с центральной частотой спектра. Однако в общем случае выбор ее достаточно произволен. Математическая модель узкополосного сигнала. Прямой путь к формированию математической модели узкополосиого сигнала состоит в следующем. Известно (см. гл. 7), что если /j (f) — низкочастотный сигнал, спектр которого сосредоточен в окрестности нулевой частоты, то колебание st (f) = ~/i(OCOS(°o' ПРН достаточно большом значении соо будет обладать всеми необходимыми признаками узкополосиого сигнала, поскольку его спектр окажется сконцентрированным в малых окрестностях точек ±ю0. Узкополосным будет и сигнал s2@=/2@sinto0f, отличающийся фазой «быстрого» сомножителя. Наиболее общую математическую модель узкополосного сигнала можно получить, составив линейную комбинацию вида s @ = As (f) cos coof - В, (f) sin E.25) Предполагается, что ш0 =f= О опорная частота Обе входящие сюда функции времени As(t) и Ba(f) явля- являются низкочастотными в том смысле, что их относительные изменения за период высокочастотных колебаний Т=2я/ю0 достаточно малы. Функцию Aa(t) принято называть синфаз- синфазной амплитудой узкополосного сигнала s(t) при заданном значении опорной частоты со0, а функцию Ва (() — его квадра- квадратурной амплитудой. Синфазную и квадратурную амплитуды можно выделить аппаратурным способом. Действительно, пусть имеется пе- перемножающее устройство, на одни из входов которого подан узкополосный сигнал s (f), а на другой — вспомогательное колебание, изменяющееся во времени по закону coswof. На выходе перемножнтеля будет получен сигнал "вых (О = -^s (О cos2 toof — 1/2Ba (f) sin 2o)of = = 72-4,@ + 72-4.@cos2«ot - 72B,(Osin2(90t. E-26) Пропустим выходной сигнал перемножнтеля через фильтр нижних частот (ФНЧ), подавляющий составляющие с часто- частотами порядка 2о)о. Ясно, что с выхода фильтра будет поступать низкочастотное колебание, пропорциональное син- синфазной амплитуде As(t). Если иа одни из входов перемножителя подать вспомо- вспомогательное колебание sintoof, то такая система будет выделять синфазная н квад- квадратурная амплиту- амплитуды S(t)
122 Глава 5. Сигналы с ограниченным спектром Приставка «квази» означает «почти», «похожие» комплексная оги- огибающая из узкополосного сигнала s(t) его квадратурную амплитуду Комплексное представление узкополосаых сигнал on. В тео- теории линейных электрических цепей широко применяется метод комплексных амплитуд, согласно которому гармоническое колебание выражается как вещественная или мнимая часть комплексных функций: <7m cos (юог + <Ро) = Re ( <7„ sin (coof + <р0) Не зависящее от времени число U = Umd*° называют комп- комплексной амплитудой гармонического колебания. С физической точки зрения узкополосные сигналы пред- представляют собой квазигармонические колебания. Следует по- попытаться так обобщить метод комплексных амплитуд, чтобы иметь возможность в рамках этого метода описывать сиг- сигналы вида E.25). Введем комплексную низкочастотную функцию | J E.27) называемую комплексной огибающей узкополосного сигнала. Легко непосредственно проверить, что s @ = A, (t) cos соог - В, (г) sin wof = Re [Va (г) e**]. E.28) Таким образом, комплексная огибающая применительно к узкополосному сигналу играет ту же роль, что и комплекс- комплексная амплитуда по отношению к простому гармоническому колебанию. Однако комплексная огибающая в общем случае зависит от времени — вектор Ua(t) совершает на комплексной плоскости некоторое движение, изменяясь как по модулю, так и по направлению. " Пример 5,4. Узкополосный сигнал s (t) при (< 0 и при (> О является гармоническим колебанием; в момент времени 1=0 частота сигнала изменяется скачком: КО, Ht)- Uo cos toot, U0cosmtt. t > 0. . Взяв в качестве опорной частоты ев0, получим следующее выра- выражение для комплексной огибающей данного сигнала: t<0> Подчеркнем, что выбор опорной частоты обычно диктуется удобством расчета. Так, например, комплексная огибающая рас- рассматриваемого сигнала относительно опорной частоты (ш0 + oit)/2 имеет более сложный вид: <<0,
5.3. Узкополосные сигналы Физическая огибающая, водная фаза и мгновенная частота. Формулу E.27), определяющую комплексную огибающую, можно представить также в показательной форме: E.29) Здесь V,(t) — вещественная неотрицательная функция времени, Ранее, при изучении называемая физической огибающей (часто, для краткости, модулированных просто огибающей), р,(г) — медленно изменяющаяся во време- сигналов использо- ни начальная фаза узкополосного сигнала. валось именно это Величины и„ фа связаны с синфазной и квадратурной понятие огибаю- амплитудами соотношениями ' Щей A.(t) = VMcosq>At), E30) откуда вытекает еще одна полезная форма записи матема- математической модели узкополосного сигнала: ^ s(t) = lUOcos[co0t + 9,@]. E.31) Подобно тому как это делалось ранее при изучении радиосигналов с угловой модуляцией, введем полную фазу узкополосного колебания tyt (f) = со0г + фя @ и определим мгновенную частоту сигнала, равную производной по времени от полной фазы: решите задачи 10 Л E.32) В соответствии с формулой E.31) узкополосный сигнал общего вида представляет собой сложное колебание, полу- получающееся при одновременной модуляции несущего гармони- гармонического сигнала как по амплитуде, так и по фазовому углу. Свойства физической огибающей узкополосного сигнала. Используя равенства E.30), выразим физическую огибающую U,(t) через синфазную и квадратурную амплитуды: E.зз) v. w = Как отмечалось, комплексная огибающая узкополосного сигнала определяется неоднозначно. Если вместо частоты со0, входящей в формулу E.28), взять некоторую частоту cob = = со0 + До, то сигнал s (j) должен быть представлен в виде s(t) = Re^.We-^e**] и новое значение комплексной огибающей &'.W = &.We-J4"'. E.34) Однако при этом физическая огибающая, являющаяся модулем комплексной огибающей, останется неизменной, по- поскольку выражение ехр(—j&m) имеет единичный модуль. Другое свойство физической огибающей состоит в том, что в каждый момент времени | s (t) | ^ (/,((). Справедливость этого утверждения непосредственно вытекает из формулы E.31). Знак равенства здесь соответствует моментам вре- времени! когда co.s[G)or + ф,(гI = 1. Но при этом производные Берется тическое корня арифме- арифмезначение
Глава 5. Сигналы с ограниченным спектром сигналы и его огибающей совпадают: - [со0 + р; (()] V, (г) sin [co0t + 9. @] • Важность понятия огибающей обусловлена тем, что в радиотехнике широко используются специальные устройства— амплитудные детекторы (демодуляторы), способность точно воспроизводить огибающую узкополосного сигнала. Свойства мгновенной частоты узкополосного сигнала. Если комплексная огибающая сигнала представляется вектором, который вращается иа комплексной плоскости с неизменной угловой скоростью ?1, т. е. V,(t) = U,{t)exp(±jClt), то в соот- соответствии с выражением E.32) мгновенная частота узкополос- иого сигнала постоянна во времени: соа = соо ± П. Можно утверждать, что подобный сигнал представляет собой квазигармоническое колебание, промодулированное только по амплитуде, но не по фазовому углу. В частности, если одна из амплитуд As или Вя тождественно обраща- обращается в нуль, то в любой момент времени мгновенная час- частота со3 = со0. В общем же случае мгновенная частота изменяется во времени по закону E.35) Физическая огиба- огибающая действитель- ио «огибает» узко- узкополосный сигнал в имеет смысл мгно- мгновенной амплитуды такого колебания Связь между спектрами сигнала и его комплексной оги- огибающей. Пусть Cs (со) — спектральная плотность комплексной огибающей узкополосного сигнала s (tX который, в свою оче- очередь, имеет спектральную плотность 5 (со). Нетрудно видеть, что S (со) Re [U, е-»1 dt = = у Gs(co - ©о) + у G*(-co - сво). E.36) Таким образом, спектральная • плотность узкополосного сигнала может быть найдена путем переноса спектра комп- комплексной огибающей из окрестности нулевой частоты в окрест- окрестности точек ±со0- Амплитуды всех спектральных составляю- составляющих сокращаются вдаое; для получения спектра в области отрицательных частот используется операция комплексного сопряжения. Формула E.36) полезна тем, что по известному спектру узкополосного сигнала позволяет найти спектр его комплекс- комплексной огибающей, которая, в свою очередь, определяет физи- физическую огибающую и мгновенную частоту сигнала.
5.4. Аналитический сигнал и преобразование Гильберта Пример 5.5' Узкополосный вещественный сигнал $(t) имеет при со > 0 спектральную плотность, несимметричную относительно час- частоты do'. О < со < coo, На основании формулы E.36) спектральная плотность комплекс- комплексной огибающей О, со < О, Используя обратное преобразование Фурье, находим комцлекс- ную огибающую 2%S Синфазную и квадратурную амплитуды исследуемого сигнала найдем, выделив вещественную н мнимую части: Физическая огибающая рассматриваемого сигнала Hi)" имеет наибольшее значение, равное coq + 1/Ь, в момент времени t = 0. Осциллограмма колебания s(r) представляет собой симметрич- симметричный радиоимлульс с ие постоянной во времени частотой запол- заполнения. 5.4. Аналитический сигнал и преобразование ' Гильберта Ниже будет описан еше один способ комплексного пред- представления сигналов, часто применяемый в теоретических исследованиях. Замечательная особенность данного способа состоит в том, что он позволяет вводить понятия огибаю- огибающей и мгновенной частоты сигнала без той степени неопре- неопределенности, которая свойственна методу комплексной оги- огибающей. Аналитический сигнал. Формула Эйлера cos cot = 7г (е** + е~*"), представляющая гармоническое колебание в виде суммы даух комплексно-сопряженных функций, наводит на мысль о том, что произвольный сигнал s (г) с известной спектральной плот- плотностью 5 (со) можно записать как сумму двух составляющих,
Глава 5. Сигналы с ограниченным спектром Иногда говорят, каждая из которых содержит или только положительные, или что формула E.37) только отрицательные частоты: осуществляет про- j «> ^"" иедуру разделения s{t) = ~ J = ~ f S(co)e*"dc» + ~J E.37) Назовем функцию (t)^~]s (to) E.38) аналитическим сигналом, отвечающим вещественному коле- колебанию s(I). / Первый из интегралов в правой части формулы E.37) путем замены переменной 1, = —ю преобразуется к виду Поэтому формула E.37) устанавливает связь между сигна~ лами s(t) и z,(t): s(I) = '/г[г.@ + *?(<)]. или s(t) = Re^(t). E.39) Мнимая часть аналитического сигнала # s(t) = Imz,(t) E.40) СОПрвикенный сиг- называется сопряженным сигналом по отношению к исход- нал иому колебанию s(() Итак, аналитический сигнал E.41) иа комплексной плоскости отображается вектором, модуль и фазовый угол которого изменяются во времени. Проекция аналитического сигнала иа вещественную ось в любой мо- момент времени равна исходному сигналу s(c). Введение аналитического и сопряженного сигналов, без- безусловно, ие позволяет подучить каких-либо новых сведений, которые не содержались бы в математической модели сигнала s(t). Однако эти новые понятия открывают прямой путь к созданию систематических методов исследования узкополос- иых колебаний. На конкретном примере покажем способ вычисления аналитпческого сигнала но известному спектру исходного сигнала. . •¦ ;
5.4. Аналитический сигнал и преобразование Гильберта Пример 5.6. Пусть s (г) — идеальный низкочастотный сигнал с известными параметрами Sc иш, (см. § 5.1). В этом случае аналитический сигнал z,(t) = ^М " dco - 1). Выделяя вещественную и мнимую части, получаем s(t) = -^-sm(cy)/((V) (результат, известный ранее), Графики этих двух сигналов приведены на рис. 63. 1 Отметим, что со- сопряженный сигнал обращается в нуль в точке, где исход- исходный сигнал дости- достигает максимума' Рис. 5.3. Исходный и сопряженный сигналы: 1 - идеальный низкочастотный сигнал; 2 - сопряженный с ним сигв Спектральиая плотность аналитического сигнала. Исследуем спектральную плотность аналитического сигнала, т. е. функ- функцию Zs(co), связанную с 2ж(с)-преобразованием Фурье: Z,(to) = J z,(t)e-*"dt. На основанни формулы C.38) можно утверждать, что эта функция отлична от нуля лишь в области положительных частот: Z,(ffl) = co<O, 2S(co), co;sO. E.42) Если S (со) — спектральиая плотность сопряженного сигна- сигнала, то в силу линейности преобразования Фурье !(m). , (S.43) решите ¦ 13 12
Глава 5. Сигналы с ограниченным спектром Поэтому равенство E.42) будет выполняться только в слу- случае, когда спектральные плотности исходного и сопряженно- сопряженного сигналов связаны между собой следующим образом: S(to)=-7sgn(to)S(to) = {_^^' "<"• E.44) Умножением на эк- экспоненциальный множитель обеспе- обеспечиваем абсолют- абсолютную интегрируе- мостьфункции н су- существование обрат- обратного преобразова- преобразований Фурье Абстрактно можно представить себе такой способ полу- получения сопряженного сигнала: исходное колебание s(t) подается на вход некоторой системы, которая осуществляет поворот фаз всех спектральных составляющих иа угол —§0° в области положительных частот и иа угол 90е в области отрицатель- отрицательных частот, не изменяя их по амплитуде. Систему, обла- обладающую подобными свойствами, называют квадратурным фильтром. Преобразование Гильберта. Формула E.44) показывает, что спектральная плотность сопряженного сигнала есть произве- произведение спектра S(o) исходного сигнала и функции —jsgn(to).\ Поэтому сопряженный сигнал представляет собой свертку даух функций: s(r) и /(г), которая является обратным пре- преобразованием Фурье по отношению к функции —j'sgn(to). Для удобства вычислений представим эту функцию в виде предела: > -J *п (о) = lim [ -j sgn (to) exp ( - e | to I)]. Тогда 4- f e(<+ •dtol=l Таким образом, сопряженный сигнал связан с исходным сигналом соотношением E.45) Можно поступить и по-инему, выразив сигнал s(t) через s(t), который полагается известным Для этого достаточно заметить, что из E.44) вытекает следующая связь между4 спектральными плотностями: S(co)=jsgH(co)S(to). Поэтому соответствующая формула будет отличаться от E.45) лишь знаком: E.46) Формулы E.45) и E.46) известны в математике под назва- названием прямого и обратного преобразований Гильберта. Симво-
5.4. Аналитический сигнал и преобразование Гильберта л ячеек а я запись их такова: ^ H[s(t)]; s(f) = H[s(t)]- E.47) Поскольку функция l/(t — т), называемая ядром этих пре- преобразований, имеет разрыв при т = t, интегралы E.45) и E,46) следует понимать в смысле главного значения. Например: решите задачи 14 Некоторые свойства преобразований Гильберта. Простейшее свойство этнх интегральных преобразований — их линейность: Н [аЛ (t) + a2s2 (t)] = «iH [Sl (t)] + a2H [s2 (t)] /" при любых постоянных #1 и а2, в чем можно убедиться непосредственно. ' ' ^ Ядро преобразования Гильберта есть нечетная функций аргумента т относительно точки x = t, а, значит, сигнал, со- сопряженный к константе, тождественно равен нулю: H[conSt]=| Важное свойство преобразования Гильберта состоит в сле- следующем: если при каком-либо t исходный сигнал s(t) дости- достигает экстремума (максимума или минимума), то в окрест- окрестности этой точки сопряженный сигнал проходит через нуль. Чтобы убедиться в этом, нужно иа одном чертеже совмес- совместить графики s (т) и ядра l/(f — т). Пусть значение t близко к тому х, при котором функция -s(t) экстремальна. По- Поскольку сигнал является здесь четной функцией, а ядро нечет- нечетной, будет наблюдаться компенсация площадей фигур, огра- ограниченных горизонтальной осью и кривой, которая описывает подынтегральную функцию преобразования Гильберта. Образ- Образно говоря, если исходный сигнал изменяется во времени «подобно косинусу», то сопряженный с иим сигнал будет изменяться «подобно синусу». Отметим, что преобразования Гильберта имеют нелокаль- нелокальный характер: подаедение сопряженного сигнала в окрест- окрестности какой-либо точки зависит от свойств исходного сиг- сигнала иа всей оси времени, хотя наибольший вклад дает, конечно, достаточно близкая окрестность рассматриваемой точки. Преобразования Гильберта для гармонических сигналов. Вычислим сигналы, сопряженные с гармоническими колеба-, ниями cosGrt и sinraf. Результаты можно получить ие- яоередственно из формулы E.45). Однако проще поступить таким образом. Пусть некоторый произвольный сигнал s(t) задан своим Фурье-представлением: нелокальный ха- характер преобразо- преобразований Гильберта
Глава 5. Сигналы с ограниченным спектром E.48) Здесь функция j "?¦ exp(/cot) представ- s(()=^— S(a>)[coso>r+.;sin<»r]dco. лена но формуле J Эйлера На основании соотношения E.44) * находим аналогичное представление сопряженного сигнала: If ' s (г) = ^— —j sgn (ю) S (ю) [cos tot +,/ sin юг] dto = решнте задачу 16 2тГ sEn(<B)s(<B)[sin<»r-.7Cos<or]dco. Рассматривая формулы E.48) и E.49) совместно, находим следующие законы преобразования Гильберта: Н [cos юг] = sgn (o>) sin юг; Н [sin юг] = — sgn (ю) cos юс. Преобразование Гильберта для ужополосного сигнал*. Пусть известна функция G,(o) — спектральная плотность комплексной огибающей узкополосного сигнала s (г) с опорной частотой со0. Согласно формуле E.36), спектр данного сигнала S(to)=^«,(ffl-fflo) + 4<??(-ffl-0)o)- E.51) Первое слагаемое в правой части соответствует области частот со > 0, второе — ю < 0. Тогда иа основании формулы E.44) спектр сопряженного сигнала S(to) -т -со„)е*, E.52) откуда видно, что спектральная плотность комплексной оги- огибающей сопряженного сигнала E53) Итак, сопряженный сигнал в данном случае также явля- егся узкополосным. Если комплексная огибающая исходного сигнала то в соответствии с равенством E.53) комплексная оги- огибающая сопряженного сигнала 0,т- -jV.it) = B,(t)-jA,(t) отличается от комплексной огибающей исходного колебания лишь наличием постоянного фазового сдвига иа 90° в сторону запаздывания. Отсюда следует, что узкополосному сигналу s (I) = Аж (t) cos to0r — В, j@ sin to0r E.54)
5.4. Аналитический сигнал и преобразование Гильберта 131 соответствует сопряженный по Гильберту сигнал s (г) = В. (г) cos co0t + A. (г) sin to0t. Вычисление огибающей, полной фазы н мгновенной E.55) В рамках метода преобразований Гильберта on UK(t) произвольного сигнала s(r) определяется как модуль соответствующего аналитического сигнала: E.56) Целесообразность такого определения можно проверить иа примере узкополосного сигнала. Используя формулы E.54) и E.55), находим, что огибающая такого сигнала Согласно методу преобразований Гильберта,, огиба- огибающая и мгновенная частоты сигнала жестко связаны . друг с другом и их нельзя выбирать произвольно В § 5.3 данная формула была получена из других сообра- соображений. ' По определению, полная фаза любого сигнала s(f) равна аргументу аналитического сигнала z,(t): |i]/,(t) = argz,(f) = arctg^-. •% f5-57) Однако в случае [_* [ s@ произвольного сиг- Наконец, мгновенная частота ю,(г) сигнала есть произвол- нала нельзя требо- ная полной фазы по времени: ватт», чтобы оги- бающая и мгновен- E.58) ная частота обла- обладали наглядным Рассмотрим примеры, иллюстрирующие вычисление ука- физическим смыс- смысзанных характеристик узкополосных сигналов. лом Пример 5.7. Дано простое гармоническое колебание s (f) = = Vo cos со0г. В этом случае сопряженный сигнал S(t) = Uo smco0(. Огибающая исходного сигнала Скорость измене- изменении фазы малыш естественно, не зависит от времени и равна его амплитуде. Полная фаза tys(t) = etot н, наконец, мгновенная частота щ = га0. Данный пример показывает, что определение огибающей, пол- полной фазы и мгновенной частоты через преобразование Гильберта приводит к результатам, согласующимся с обычными представле- представлениями о свойствах гармонических колебаний. Пример 5.8. Колебание s(t) является суммой двух гармоничес- гармонических составляющих с различными амплитудами и частотами: s(t) = = Ut COS СО,* + U2 COS 0>2*. Поскольку s(t) = Ut since,* + U2 sincV, огибающая такого сигнала изменяется во времени по закону Ua = j/t/J +UI+ 2G, U2 cos (юг - со,) t. Полная фаза сигнала i smco,f + U2 s arctg Ui cos cotr + U2 cos co2f *
Глава 5. Сигналы с ограниченным спектром Для вычисления мгновенной частоты следует воспользоваться формулой E.58), которая приводит к следующему результату: ю1G?-Ью2G| + 17,1/2@I+Фа) cos (iOa-caJf Ю" } ~ V\ + Ul+ 2G, U2 cos (Юг - со,) Г Мгновенная частота изменяется во времени. Это связано с теу, что в данном случае фаза результврующего вектора, отображаю- отображающего сумму двух гармонических колебаний, изменяется с различной скоростью в зависимости от того, как ориентированы по отноше- отношению друг к другу векторы слагаемых. Пример 5-9. Рассмотрим идеальный полосовой сигнал s (r), спектр которого при ю > О отличен от нуля лишь на отрезке Ю| ^ ю ^ со2. Соответствующий аналитический сигнал z@=— WJ Скорость измене- изменения фазы макси- максимальна = — [(sin со2* — sin со^) — /(cos со2* — cos °>iO] ¦ Огибающая исходного полосового сигнала U, @ = —|/(sin co2t - sin coitJ + (cos co^ - cos tajf = S0(C02- п со,) sin ©2 — & 2 оа-ю, 2 Наконец, мгновенная частота сигнала dt L sinco2r~sinD),i Выполнив несложные преобразования, находим, что в данном случае со, = (ш, + ы2)/2 не зависит от времени и равна центральной частоте интервала, в котором сосредоточен спектр. ш Итак, зиая аналитический сигнал, можно однозначно опре- определять огибающую и мгновенную частоту узкополосного колебания, ие применяя несколько искусственное иоиятие опорной частоты. Более того, формулы E.56)—E.58) сохраняют смысл применительно к сигналам произвольного вида, не обязательно удовлетворяющим условиям квазигармоничности (узкополосности). Заключительные замечания. Теория аналитического сигнала применительно к задачам теории колебаний и волн была развита в 40-х годах в работах Габора [30]. Однако пре- преобразования Гильберта появились в математике еще в начале Денеш Габор XX в. в связи с так называемой краевой задачей теории A900—1979) - аналитических функций [10]. Сущность этой задачи состоит венгерский физик, в следующем. создатель оптиче- Пусть ? = ? +р\ — комплексная перемепная,/Ю — функция, осой голографии, аналитическая в верхней полуплоскости, т. е. при т) > 0. На Лауреат Нобелев- вещественной оси, являющейся границей области ааалитнчно- скон премии 1971 г. сти, функция /(?) имеет как вещественную, так и мнимую
Результаты 133 части:/(^)=/1^)+j/2^). Требуется найти закон,, связываю- связывающий между собой функции /, (?) и f2 (?,). Решение задачи лается преобразованиями Гильберта: /г <S) = Н Uг <Щ /i <S) = И"! [f2 Ш Можно показать [13], что аналй*тнческий сигнал za(t) как раз обладает свойством аналитичности в верхней полуплоскости, если его рассматривать как функцию комплекс- комплексной переменной t = if +jt". Это свойство и оп- В последнее время методы, основанные иа понятиях ределяет нроисхо- аиалитического сигнала и преобразований Гильберта, прочно жденне термина вошли в врсеиал теоретической радиотехники. Некоторые «аналитический интересные проблемы в этой области описаны в [26]. сигнал» Результаты ОО Сигналы с ограниченным спектром бесконечно протяженны во времени. ОО Простейшие сигналы этого класса — идеальный низкочастотный и идеаль- идеальный полосовой — наблюдаются на выходах соответствующих идеальных фильтров, возбуждаемых дельта-импульсами. ОО Два идеальных низкочастотных сигнала становятся ортогональными при соответствующем выборе сдвига во времени. ь ОО Ряд Котелъникова представляет сабой частный случай обобщенного ряда Фурье. Базисными функциями здесь являются идеальные низкочастотные сигналы, сдвинутые во времени относительно друг друга на интервалы, кратные величине л/ав. ОО Коэффициентами ряда Котелъникова служат отсчеты разлагаемого сигнала, взятые через равные промежутки времени. ОО Если в спектре сигнала отсутствуют составляющие с частотами выше /„, то ряд Котельникова дает точное (в среднеквадратическом смысле) представление сигнала. ОО Ширина спектра узкополосного сигнала значительно меньше центральной частоты. Узкополосные сигналы являются квазигармоническими — их ампли- амплитуда и частота в общем случае медленно изменяются во времени. ОО Понятие комплексной огибающей обобщает понятие комплексной ампли- амплитуды на случай узкополосных сигналов. ОО Физическая огибающая равна модулю комплексной огибающей. Ее вид не зависит от выбора опорной частоты сигнала. ОО Мгновенная частота узкополосного сигнала есть сумма опорной частоты и производной по времени от аргумента комплексной огибающей. ОО Спектр узкополосного сигнала получается путем переноса спектра его комплексной огибающей на отрезок, численно равный значению опорной частоты. ОО Каждому вещественному сигналу может быть сопоставлен комплексный аналитический сигнал, имеющий спектральные составляющие лишь в области положительных частот. s ОО Вещественная часть аналитического сигнала равна исходному сигналу. Мнимая часть его называется сопряженным сигналом. ОО Связь между исходным и сопряженным сигналами устанавливается парой интегральных преобразований Гильберта. ОО Огибающая произвольного сигнала равна модулю соответствующего аналити- аналитического сигнала. Мгновенная частота определяется как производная от аргумента аналитического сигнала.
Глава 5. Сигналы с ограниченным спектром Вопросы 1. Почему сигналы с ограниченным спект- спектром являются подходящими математически- математическими моделями для описания реальных коле- колебаний в радиотехнических устройствах? 2. Каковы примерные осциллограммы идеального низкочастотного и идеального полосового сигналов? 3. Каковы основные свойства функций, образующих базис Котелышкова? 4. Как формулируется теорема Котелыш- Котелышкова? 5. Каков наглядный смысл размерности пространства сигналов, ограниченных по спектру и по длительности? Оцените типич- типичную величину размерности. 6. Как выглядит характерная осцилло- осциллограмма узкополосиого сигнала? 7. В чем состоит способ аппаратурного нахождения синфазной н квадратурной ампли- амплитуд узкополосиого сигнала? * 8. Каковы свойства физической огибаю- шей узкополосного сигнала? 9. Как связаны между собой спектраль- спектральные плотности исходного н сопряженного сигналов? 10. Как вычисляют преобразование Гиль- Гильберта для узкополосного сигнала? 11. Почему метод аналитического сигна- сигнала обладает большей общностью по срав- сравнению с методом комплексной огибающей? Задачи 1. Идеальный низкочастотный сигнал имеет модуль спектральной плотности, рав- равный 5,5-Ш~* В-с в полосе частот от 0 до 25 кГц. Определите максимальное мгновен- мгновенное значение такого сигнала. 2. Измерения показали, что идеальный полосовой сигнал характеризуется следующими параметрами: 9 = 20 мкс, и0 = 15 В. Найдите ширину полосы частот этого сигнала н модуль его спектральной плотности в пределах этой полосы. 3. Автоматическая метеостанция передает данные о состоянии атмосферы каждые два часа. Какова наивысшая частота в спектре передаваемого сообщения? 4. Сигнал с ограниченным спектром u(t) имеет график спектральной плотности V(co) треугольной формы: Определите коэффициенты ряда КотеЛьнико- ва для" этого сигнала, полагая, что отсчеты взяты через интервалы времени ж/щ., 5. Сигнал с ограниченным спектром точно описывается двумя отличными от нуля от- отсчетами: б 3 — 4 — 2 i Г! 2 4 i 8 г. мкс Чему равна верхняя частота в спектре этого сигнала? Найдите мгновенное значе- значение сигнала в момент времени f = 17 мхе. 6. Как изменится ошибка аппроксимации сигнала, рассмотренного в примере 5.3, если темп выдачи отсчетов увеличить в 10 раз? 7. Сигнал s{t) как при Г<0, так и прн t > 0 представляет собой гармоническое коле- колебание; в момент времени f = 0 фаза сигнала изменяется скачком на 180°: Напишите выражение комплексной огибаю- огибающей этого сигнала. 8. Найдите комплексную огибающую им- импульса включения гармонической ЭДС:
БолееЛ сложные задания 135 -uc ¦ Обратите внимание на величину начальной фазы сигнала. 9. Определите комплексную огибающую сигнала с однотональиоЙ угловой моду* ляцией: "(О = ^Ocos(co0f+msinftt). 10. Напишите выражение комплексной огибающей прямоугольного ЛЧМ-импульса (см. гл. 4). 11. Узкополосный сигнал в окрестности опорной- частоты со0 имеет спектральную плотность гауссова вида: Определите спектр комплексной огибающей этого сигнала. Найдите закон изменения во времени физической огибающей. Вычислите мгновенную частоту, сравнив результат с тем, который получен в примере 5.5. Чем объяс- объясняется их принципиальное различие? 12. Найдите аналитические сигналы, соот- соответствующее гармоническим колебаниям smco0t н cosco0t. 13. ВычнслитеаналитическиЙсигиал,соот- . ветствующий радиоимпульсу и (г) = Uo [? (О — — a(t — T^f]cos(o0t с прямоугольной оги- огибающей. 14. Вычислите сигнал, сопряженный с гар- гармоническим колебанием cosco0t неносредст- венно, используя преобразование Гильберта вида E.45). 15. Решите задачу, аналогичную предыду- предыдущей, применительно к сигналу s(t) = = sinco0f/(co0f). 16. Покажите, что синфазная н квадра- квадратурная амплитуды узкополосиого сигнала s(t\ связаны с компонентами аналитическо- аналитического сигнала следующим образом: A,(t)=s(r)cosco0t+s(t)sinco0*, Bt(t)=s(f)costo0(—s(t)sinco0t. Более сложные задания Д7. Докажите теорему Котельникова в частотном представлении, которая формули- формулируется так: если сигнал $(t) тождественно равен нулю вне интервала времени ij < t < t2, то спектральная плотность S(f) однозначно задается лоследовательпостью ее значений в точках на оси частот, отстоящих на l/('i - 'i) Гц друг от друга. 18. Обобщите теорему Котельиикова на случай полосовых сигналов, спектр которых при со > 0 отличен от нуля лишь в области «1 ^ со ^ е>2- Найдите аналитические выра- выражения базисных функций таких сигналов. 19. Узкополосный сигнал представлен в виде s(t) = AM(t)cos(u()t-Bt(t)sm<1,Dt. Найдите условия, которым должны удовлетворять функции At(t) н В, (t) для того, чтобы мгновенная частота сигнала оказалась по- постоянной во времени. 20. Найдите аналитический сигнал, соот- соответствующий колебанию, у которого спект- спектральная плотность i ни Гаг. J t So t »Щ at помимо регулярной части имеет состав- составляющую с дельта-особенностью. 21. Методами теории аналитического сиг- сигнала изучите огибающую н мгновенную частоты однотональиого ОБП-сигнала. (см. гл. 4). 22. Используя обобщенную формулу Рз- леа, докажите, что сигнал s(t) с конечной энергией н сопряженный по Гильберту сиг- сигнал s(t) ортогональны. 23. Докажите, что сигналы s(t) и s{t) имеют равные энергии н одинаковые авто- автокорреляционные функции.
Глава 6 Основы теории случайных сигналов В последние десятилетия широкое развитие получила научная область, называемая статистической радиотехникой. Эта дисциплина изучает явления при передаче сообщений в условиях, когда детерминированное описание сигналов принципиально невозможно и иа смену ему приходит вероятностное (статистическое) описание. Как указывалось в гл. 1, отличительная черта случайного сигнала состоит в том, что его мгновенные значения заранее не предсказуемы. Однако, изучая такой сигнал более пристально, можно заметить, что ряд характеристик весьма точно описывается в вероятностном смысле. Например, напряжение на зижимах нагретого резистора представляет • собой последовательность малых, быстро изменяющихся во флуктуации времени случайных отклонений, называемых флуктуациями. Примечательно, что чаще всего наблюдаются относительно небольшие отклонения от среднего уровня; чем больше отклонения по абсолютному значению, тем реже они наблю- наблюдаются. Уже в этом проявляется некоторая статистическая закономерность. Располагая сведениями о вероятностях флуктуации различной величины, удается создать математи- математическую модель случайного колебания, вполне приемлемую как в научном, так и в прикладном смысле. Вероятные законы возникают всегда, если физическая система, порождающая случайный сигнал, представляет собой Большие отклоне- объединение очень большого числа более мелких подсистем, иня редки совершающих некоторые индивидуальные движения, в боль- большей или меньшей степени ие зависимые друг от друга. В радиотехнике случайные сигналы часто имеют вид шумов. Это хаотически изменяющиеся но времени электро- электромагнитные колебания, наблюдаемые в разнообразных физи- физических системах, где носители заряда, например электроны, совершают беспорядочные движения. К математической модели случайного сигнала прибегают также в теории информации для вероятностного описания закономерностей, присущих осмысленным сообщениям. Наконец, статистическую природу имеют сигналы и лазер- лазерных линиях связи. Ввиду сравнительно большой энергии кванта электромагнитного поля (фотона) здесь принципиаль- принципиально необходимо учитывать специфический квантовый шум. 6.1. Случайные величины и их характеристики В настоящем параграфе приведены основные понятия теории вероятностей применительно к задачам статистической радиотехники. Более полное изложение этих вопросов можно найти в [И], [22].
6.1. Случайные величины н их характеристики Вероятность, Современная теория вероятностен представ- представляет собой аксиоматизированную ветвь математики, обобщив- обобщившую обширный эмпирический материал, накопленный наукой при изучении разнообразных случайных явлений. В основе теории вероятностей лежит понятие полного множества «элементарных исходов» или случайных событий ?1 = {Аи А2,...,АЯ,...}. Символы Л,- означают всевозможные исходы некоторого случайного эксперимента. Каждому собы- тяюAte?l сопоставлено вещественное число Р(Аг), которое называется вероятностью этого события. Принимаются следующие аксиомы; 1) вероятность неотрицательна и не превышает единицы: 2) если At и Aj — несовместимые события, то 3) сумма всех событий, содержащихся в П, есть досто- достоверное событие: P(At) + Р(А2) + ... + P(AJ + ... = 1. Измерение вероятностей. Математическое понятие вероят- вероятности случайного события является абстрактной характе- характеристикой, присущей не самим интересующим иас объектам материального мира, а их теоретико^гаожествеиным моде- моделям. Требуется некоторое дополнительное соглашение для того, чтобы можно было извлекать сведения о вероят- вероятностях из экспериментальных данных. Общепринято оценивать вероятность события относи- относительной частотой благоприятных исходов. Если проведено N независимых испытаний, причем в и из них наблюдалось событие А, то эмпирическая (выборочная) оценка вероят- вероятности Р {А), которую можно получить из этой серии, такова: Рэш(А) = п№. F.1) Аксиомы теории вероятностей были сформулированы в 30-х годах акаде- академиком Андреем Николаевичем Колмогоровым A903—1987) Обычно полагают, что Рэма-*Р, если число испытании TV-юо Пример 6.1. Сигнал „и" на выходе некоторого электронного устройства может принимать лишь два значения: ut = 4.5 В («высокий потенциал», событие А±) и и2 = 0.5 В («низкий потен- потенциал», событие А2). Через равные промежутки времени Т слу- случайным образом может происходить смена состояний системы. Эксперимент состоит в многократном измерении мгновенного зна- значения сигнала на выходе. Моменты измерений произвольны, однако интервал времени между ними значительно превосходит Т. Предположим, что, проведя 100 независимых опытов, мы 43 раза наблюдали событие Ау и 57 раз— событие А2. В соответст-^ вии с F.1) эмпирические оценки вероятностей P3Mn(^!)=0.43 н ^эмп(^2)=0.57. Из данных опыта не следует, что именно такими должны быть и теоретические вероятности этих событий. Скорее всего, экспериментатор выскажет гипотезу о том, что эти события равновероятны: P{At) = Р(А2) = 0.5. Однако если такие же эмпири- эмпирические оценки получаются в серии из 100000 опытов, то эта гипотеза, по-видимому, должна быть отвергнута. m —i" I. 2 3 4 5 6 7 решите задачу 1
Глава 6. Основы теории случайных сигналов случийная величи- функлия распреде- распределения плошость вероя'1- ности решите задачу 2 Функция распределения и плотность вероятности. Пусть X — случайная величина, т. е. совокупность всевозможных вещественных чисел х, принимающих случайные значения. Исчерпывающее описание статистических свойств X можно получить, располагая неслучайной функцией F(x) веществен- вещественного аргумента х, которая равна вероятности того, что случайное число из X примет значение, равиое или меньшее конкретного х: Черта сверху озна- означает операцию ус- усреднения но множе- множеству исходов слу- случайных испытаний Функция F(x) называется функцией распределения слу- случайной величины X. Если X может принимать любые зна- значения, то F(x) является гладкой неубывающей функцией, значения которой лежат иа отрезке 0 « F(x) « 1. Имеют место следующие предельные равенства: F(—oo) = 0, F(oo) = 1. Производная от функции распределения р(х) = dF/dx есть плотность распределения вероятности (или, короче, плотность вероятности) данной случайной величины. Очевидно, что p(x)dx = Р(х < X « х + 4с), т.е. величина p(x)dx есть вероятность попадания случайной величины X в полуинтервал (х, х + dx]. Для непрерывной случайной величины X плотность вероят- вероятности р(х) представляет собой гладкую функцию. Если же X — дискретная случайная величина, принимающая фиксирован- фиксированные значения {х1,х2,...,х„...}свероятностями{Р1,Р2 Р„-.} соответственно, то для нее плотность вероятности выра- выражается как сумма дельта-функций: В обоих случаях плотность вероятности должна быть неотрицательной: р(х)?0в удовлетворять условию норми- нормировки f p(x)dx = 1. Усреднение. Моменты случайной величины. Результатами экспериментов иад случайными величинами, как правило, служат средние значения тех или иных функций от этих величии. Если <р(х) — известная функция от х (исхода слу- случайного испытания), то, по определению, ее среднее значеиие F.2) Следует заметить следующее: наибольший вклад в сред- среднее значение дают те участки оси х, где одновременно велики как усредняемая функция <р(х), так и плотность вероятности р(х). В статистической радиотехнике широко применяются особые числовые характеристики случайных величин, назы- называемые их моментами. Момент л-ro порядка случайной ве-
6.1. Случайные величины я их характеристики личины X есть среднее значение л-й степени случайной # переменной: х" = J x"p(x)djc. F.3) момент случайной величины Простейшим является момент первого порядка, так назы- называемое матемотическое ожидание xp(x)dx, F.4) которое служит теоретической оценкой среднего значения случайной величины, получаемого в достаточно обширных се- сериях испытаний. Момент второго порядка Математическое ожидание обобща- обобщает в вероятностном смысле ионятне среднего арифме- арифметического J x*p(x)dx F.5) является средним квадратом случайной величины. Используются также центральные моменты случайных величин, задаваемые следующей общей формулой: , = (х-х)"= f (x-x)"p(x)dx. F.6) Важнейший центральный момент — так называемая диспер- дисперсия Очевидно, что F.7) x*-(x)*. F.8) Величина ст„ т. е. квадратный корень из дисперсии, назы- называется средним квадратическим отклонением, которое служит для количественного описания меры разброса результатов отдельных случайных испытаний относительно математическо- математического ожидания. Равномерное распределение. Пусть некоторая случайная величина X может принимать значения, принадлежащие лишь отрезку xi < х <«2, причем вероятности попадания в любые внутренние интервалы одинаковой ширины Ах равны. Тогда плотность вероятности Г 0, х < х,, Х2, О, х > х2. Функцию распределения находят путем интегрирования: О, х < х,, г С, х 1, X > Х2. средиеквадратиче- ское отклонение решите и 4 заднчи 3
Следует обратить внимание на то, что при уменьшении а график все более локализуется в ок- окрестности точки х = т Глава 6. Основы теории случайных сигналов Математическое ожидание ^^\ХйХ~- естественно, совпадает с центром отрезка [хи х2]. Как легко проверить, дисперсия случайной величины, имею- имеющей равномерное распределение вероятности, Гауссово (нормальное) распределение,. В теории случайных сигналов фундаментальное значение имеет гауссова плотность вероятности F.9) содержащая даа числовых параметра m и ст. График дан- данной функции представляет собой колоколообразную кривую с единственным максимумом в точке х = m (рис. 6.1). Непосредственным вычислением можно убедиться, что параметры гауссова распределения имеют смысл соответст- соответственно математического ожидания и дисперсии: х = т; Функция распределения гауссовой случайной величины Замена переменной t = (? — т)/ст дает <Х-т [/2it F.10) здесь Ф — хорошо изученная иезлементариая функция, так называемый интеграл вероятностей Г151Г I "г ) = -^^ 1/2п J exp(-B/2)dt. i /ол / 0.4 0.2 i л* -1 -1.5 -L0 -0.5 0,5 1.0 1.5 Рис. 6.1. График гауссовой плотности вероятности при различных значениях параметра <7 , - ,
1 6.1 Случайные величины и их характеристики Г 0.75- 05 p (х — т)/в l l l • 141 -2.0-1.5 -1.0 -0.5 0. 0.5 1.0 1.5 Рис. 6.2. График функции распределения гауссовой случайной вели- величины График функции F(x) (рис. 6.2). имеет вид монотонной кривой, изменяющейся от нуля до единицы. Плотность вероятности функции от случайной величины. Пусть У — случайная величина, связанная с X однознач- однозначной функциональной зависимостью вида у = fix). Попадание случайной точки х в интервал шириной их и попадание случайной точки у в отвечающий ему интервал шириной |dj>| = |/'(x)|djc являются эквивалентными событиями, по- поэтому вероятности их совпадают: р„(х)их = pyiy) | йу |. Отсюда F.11) где x—g(y) — функция, обратная по отношению к j>=/(x). Если функциональная связь между X и У неоднозиична, так что имеется несколько обратных функций x1=gl(y), *2 —gi(А ¦¦¦, хк =gK(y), то формула F.11) обобщается сле- следующим образом: )= у p.w F.12) их Используется то, что вероятности несовместимых со- событий складыва- складываются Прнмер 6^. Линейное преобразование гауссовой случайной вели- величины. Пусть Y = аХ + Ь, прнчем плотность вероятности реиште задачу б Так как | djc/dy | > У>= .^' . е1Р| 1/1 а |, то на основании F.11) -Ь-г Итак, гауссов характер случайной величины при линейном преобразовании сохраняется. Величина, полученная в результате такого преобразования, имеет математическое ожидание у = Ь + та и дисперсию oj = ага%.
Глава 6. Основы теории случайных сигналов Характеристическая функции. В теории вероятностей боль- большую роль играет статистическое среднее вида J р(х)<?"йх, F.13) называемое характеристической функцией случайной воли- чины X. С точностью до коэффициента функции 0(и) есть преобразование Фурье от плотности вероятности, поэтому F.14) Опуская элементарные выкладки, приведем некоторые результаты: для случайной величины, равномерно распределенной на отрезке 0<х^а, ©(») = [ехр(/<и>) - 1]/(/«>); F-15) для гауссовой случайной величины с заданными пара- параметрами т, <т ©(») = ехр(/то-<Аг/2). F.16) Располагая характеристической функцией, легко иайти мо- менты случайной величины. Действительно, так как то, полагая здесь v = 0 и сравнивая результат с F.3), нахо- находим т. =у*(О). F.17) . С помощью характеристической функции удобно также находить плотность вероятности случайной величины, под- подвергнутой функциональному преобразованию. Так, если ^ У = /М, то ©,(и) = exp(jvy) = ехрО/М]. Если УД40™1 «ч- решите задачу 7 числить преобразование Фурье вида F.14), то поставленная задача будет решена. Пример 6.3. Пусть у= C/Ocosx, где VQ = const, в то время как х — значение случайной величины, равномерно распределенной на отрезке п ^ х ^ п отрезке — п ^ х ^ п. Так каж рЛх) - 1/Bя), то где Jo — функция Бесселя первого рода с нулевым индексом.
6.2. Системы случайных Используя табличный интеграл [15], получаем Вид графика плотности вероятности связан с тем, что если выполнить большую серию опытов, каждый раз случайным образом выбирая значения х из указанной области, то величина l/0cosx чаще будет принимать значения, близкие к i:Vo, нежели близкие к нулю. 6.2. Статистические характеристики систем случайных величщ Свойства случайных сигналов привито описывать, рассмат- рассматривая не просто те величины, которые наблюдаются в какой-нибудь момент времени, а изучая совокупности этих величии, относящихся к различным фиксированным моментам времени. Займемся теорией подобных многомерных случай- случайных величин. Функция распределения ¦ плотность вероятности. Пусть даны случайные величины {Xt, Х2 Х„}, образующие «-мер- «-мерный случайный вектор л. По аналогии, с одномерным случаем функция распределения этого вектора F(x,, x2,...,xj = Р(Х, < х„ Xz < х2 X. < xj. Отвечающая ей п-мерная плотность вероятности р(хь Х2,...,Хд) удовлетворяет соотношению p(xi, x2,. Очевидно, функция распределения может быть найдена путем интегрирования плотности вероятности: J- Любая многомерная плотность обладает свойствами, обычными для плотности вероятности: p(x,,x2,...,xJ>0; { „Хг xjdx1dx2...dx,= 1. Зиая л-мерную плотность, всегда «можно найти m-мерную а плотность при т< и, интегрируя по «лишним» координатам: решите задачу 8 p(xbx2,...,xj= } ¦¦¦ J p(x1,x2,...,xjdx-+1...dx,.
Глава 6. Основы теории случайных сигналов ковариационный :г:'-' корреляционный Вычислите момопчж. Располагая соответствующей много- многомерной плотностью вероятности, можно находить средние значения любых комбинаций из рассматриваемых случайных величин и, в частности, вычислять их моменты. Так, ограни- ограничиваясь наиболее важным для дальнейшего случаем двумер- двумерной случайной величины, по аналогии с F.4), F.7) находим математические ожидания — €0 xz— II X2p(xi, x2)dxidx2 и дисперсии <*i = II (xi - *iJp(*i. x2)dK! dx2, CT2 — ^ (X2 ~ X2JP(X1» X2)dXidx2. F.18) F.19) Новой по сравнению с одномерным случаем является возможность образования смешанного момента второго по- порядка xu х2)йх,йхг. F.20) называемого ковариационным моментом системы двух слу- случайных величин. Корреляция. Предположим, что проведена серия опытов, в результате которых каждый раз наблюдалась двумерная случайная величина {Х1,Х2}. Условимся исход каждого опыта изображать точкой на декартовой плоскости. Может оказаться, что изображающие точки в среднем располагаются вдоль некоторой прямой, так что в каждом отдельном испытании величины ху и х2 имеют чаще всего одинаковый знак. Это наводит на мысль о том, что между Ху и х2 есть статистическая связь, называемая корреляцией. Однако возможен случай хаотического расположения точек на плоскости. Говорят, что при этом рассматри- рассматриваемые величины некоррелированы, т. е. между ними нет устойчивой связи в вероятностном смысле. Количественной характеристикой степени статистической связи двух случайных величин служит их ковариационный момент К12 илн, что часто удобнее, корреляционный мо- момент Kt2, определяемый как среднее значение произведения (х1-х,)(х2-х2): ас f J (Xi - Si) (хг - x2) p (xi, x2) dx, dx2 = Kl2 - x,i2. F.21)
6.Z Системм случайных величин Вводят также безразмерный коэффициент корреляция '12 = ЯцЛ<Ы- F.22) Для совпадающих случайных величин, когда х1=х1, имеют место равенства Rn = R12 = . Гц = r22 = 1. Если размерность случайного вектора больше двух, то можно построить всевозможные перекрестные корреляцион- корреляционные моменты R4= I ¦" I (xi-xjtxj- , xjdx,...dx,, коэффициент кор- корреляции U = 1,2,..„и, и коэффициенты корреляции r(J = Ry/(o-jOj), которые объедн- ияются в соответствующие матрицы 1 '¦12-.'-1„\ Г21 1 ...rj. Г„2..1 Можно показать, что всегда |rtJ|< 1, причем равенство возможно лишь при условии х, = ±Xj (полиостью коррели- коррелированные величины). Статистическая независимость случайных величин. По опре- определению, случайные величины Хи Х2 Х„ статистически независимы, если их многомерная плотность вероятности может быть представлена в виде произведения соответ- соответствующих одномерных плотностей: F.23) Статистически независимые случайные величины иекор- релированы между собой. Действительно, для них Ru= J (*i- f (xj- прн 1ф). Обратное утверждение в общем случае неверно: из некоррелированности не вытекает автоматически статисти- статистическая независимость случайных величин. Функциональные преобразования многомерных случайных величин. Предположим, что составляющие двух случайных векторов Аи У связаны однозначной зависимостью принцип ческой статисти- статистииезависи- х„),
Глава 6. Основы теории случайных сигналов причем известны обратные функции Якобиан служит коэффициентом пропорционально- пропорциональности между эле- элементарными объе- объемами при функцио- функциональном преобра- преобразовании х„ = Уг y Исходная плотность вероятности pHCX(xi, x2,...,x*) задана. Для того чтобы обобщить формулу F.11) на многомерный случай н вычислить плотность вероятности Pap(ylt Уг^-^У/д преобразованного вектора, следует найти якобиан преобра- преобразования D = Sy, Sy2 Тогдв искомая плотность вероятности , Уг yj = p™,(gi,gi g.)\D\. F.24) F.25) Прщмер 6.4. Пусть xt и х3 — случайные координаты конца вектора на плоскости. Перейдем к полярным координатам (р, <р): х, =рсовф, f 0$ р< со. х2 = psin ф, I 0 ^ ф < 2л. Якобиан такого преобразования D Jcoscp -рй |5Шф pC Поэтому еслн задана плотность вероятности рнсх(хь х2), то- ( ) ( ) у J>np(p, ф) = РРни(Р cos ф, psm ф). решите задачу \4 Многомерное гауссово распределение. Предположим, что для и-мерной случайной величины S = {XlyXz Хп] известны совокупности средних значений т,, т2,...,т„ я дисперсий Gi> ^L---,^n, а также матрица коэффициентов корреляции г. В общем случае этих сведений недостаточно для построе- построения л-мериой плотности вероятности. Исключением является случай, когда ^ — многомерная гауссова величина. Тогда, по определению, х ехр Г 1 L 2|r| (х,-щД (xj- F.26) где | г | — определитель матрицы г; Аи — алгебраическое дополнение элемента rtJ определителя | г \.
6.2. Системы случайных величин Важное свойство гауссова распределения заключается в следующем. Пусть вектор X образован некоррелированными случайными величинами, так что в матрице г отличны от нуля лишь элементы на главной диагонали: r,j = Sy. При этом | г | = 1, алгебраические дополнения AtJ = 8U. Представим эти величины в F26), получим Символ Кронекера = p(xi)p(x2)--p(xj, где каждое из одномерных гауссовых распределений обладает параметрами гщ, а,-. Итак, если гауссова совокупность образована некоррели- некоррелированными случайными величинами, то все они статисти- статистически независимы. В дальнейшем часто используется двумерная гауссова плотность вероятности FJ27) -2г где г = г1г= r2i — коэффициент корреляции составляющих х, и х2. Эта формула упрощается, если mi = m2 = 0 и с1 = а2 = а: 1 Г 1 г F.28) Подобная плотность вероятности отображается гладкой поверхностью, построенной над координатной плоскостью (хь х2). Величина р (xi, x2) достигает максимума в начале коор- координат. Конфигурация поверхности зависит от коэффициента корреляции г. Многомерная характеристическая функция. Обобщением по- понятий характеристической функции на многомерный случай служит л-мерное преобразование Фурье от соответствующей плотности вероятности: Р(х..х,) ... + x.i)J]p(x1,...>xJdx1...dx,. F.29) Многомерная характеристическая функция описывает систе- систему случайных величин с той же степенью полноты, как и отвечающая ей плотность вероятности, выражаемая обрат-
Глава 6. Основы теории случайных сигналов иым преобразованием Фурье: ' = (ЗД" I " I Представление функции в виде произведения со- сомножителей назы- называют факториза- факторизацией этой функции .. 6vn. F.30) Если {Хи...уХ^ — совокупность статистически независи- независимых величин, то на основании F.29) многомерная характе- характеристическая функция распадается на произведение одно- одномерных характеристических функций отдельных случайных величин: в(и„1>2 F.31) Можно^ показать, что многомерной гауссовой случайной величине X — {Хх Х„} отвечает характеристическая функция вA>!,1'2 О = ехр у >рвд, -у ла1), , F.32) где т, и с} — среднее значение и дисперсия случайной величины Хк, гы — элемент корреляционной матрицы. Плотвость вероятности суммы случайных величин. Если в формуле F.29) положить vt — v2 =... = v, = v, то многомер- многомерная характеристическая функция переходит в одномерную характеристическую функцию суммы х; + х2 + ... + х„: свойство характе- характеристической функ- центральная пре- дельная теорема Отсюда, выполнив обратное преобразование Фурье, можно иайти плотность вероятности этой суммы. Например, если {X,,...,Х„} — гауссовы некоррелированные (а значит, и незави- независимые) случайные величины с параметрами mt, щ каждая, то из F.32) следует, что ©г {v) = exp jv \тк - —v2 \ о% . F.33) Сравнивая этот результат с формулой F.16), убеждаемся, что сумма нормальных случайных величии распределена также нормально, причем математические ожидання и диспер- дисперсии слагаемых суммируются: .- ? F.34) В теорнн вероятностен доказывается гораздо более сильное утверждение, составляющее сущность центральной предельной . теоремы А. М. Ляпунова [21]. Согласно этой теореме, распределеииесуммы независимых случайны» аашчнн, диспер-
6.3. Случайные процессы син которых конечны, а распределения вероятиости произволь- произвольны, при некоторых ограничениях, как правило, выполняемых в физических задачах, стремится к гауссову с ростом числа слагаемых. 6.3. Случайные процессы Теория случайных величин изучает вероятностные яв- явления «в статике», рассматривая их как некоторые зафикси- зафиксированные результаты экспериментов. Для описания сигналов, которые отображают развивающиеся во времени случайные явления, методы классической теории вероятностей оказы- оказываются недостаточными. Подобные задачи изучает особая ветвь математики, получившая название теории случайных _ процессов. По определению, случайный процесс Х(г)-это особого определение поня- вида функция, характеризующаяся тем, что в любой момент тия случайного времени t принимаемые ею значения являются случайными процесса величинами. Ансамбли реализаций. Имея дело с детерминированными сигналами, мы отображаем их функциональными зависимос- зависимостями или осциллограммами. Если же речь идет о случайных процессах, то ситуация оказывается сложнее. Фиксируя на определенном промежутке .времени мгновенные значения случайного сигнала, получаем лишь единственную реализацию случайного процесса. Случайный процесс представляет собой бесконечную совокупность таких реализаций, образующих статистический ансамбль. Например, ансамблем является набор сигналов {xi (с), х2 (г), - • •}> которые можно одновременно наблюдать на выходах совершенно одинаковых генераторов шумового напряжения. Совсем необязательно, чтобы реализации случайного про- процесса представлялись функциями со сложным, нерегулярным во времени поведением. Часто приходится рассматривать случайные процессы, образованные, например, всевозможными гармоническими сигналами V cos (cot + <р), у которых один из трех параметров V, со, «р — случайная величина, принимаю- Ансамбль реализа- щая определенное значение в каждой реализации. Случайный цнй характер такого сигнала заключен в невозможности заранее, до опыта зиать значение этого параметра. Случайные процессы, образованные реализациями, зави- зависящими от конечного числа параметров, принято называть квазидетерминированными случайными процессами. _ Плотности вероятности случайных процессов. Пусть X{t)— * случайный процесс, заданный ансамблем реализаций, a tr ¦* одномерная плот- некоторый произвольный момент времени. Фиксируя величины иость вероятности {xi(ti), x2(«i),...,Xft(ti),...}, получаемые в отдельных реализа- реализациях, осуществляем одномерное сечение данного случайного процесса н наблюдаем случайную величину X(ta). Ее плот- плотность вероятности р(х, tt) называют одномерной плотностью вероятности процесса X(t) в момент времени tt. Согласно определению, величина АР = р [х, tt)Ax есть, вероятность того, , ч i
Глава 6. Основы теории случайных сигналов многомерные плот- ности вероятности что реализации случайного процесса в момент времени ti примут значения, лежащие в интервале (х, х + их). Информация, которую можно извлечь из одномерной плотности, недостаточна для того, чтобы судить о характере развития реализаций случайного процесса во времени. Гораздо больше сведений можно получить, располагая двумя сечениями случайного процесса в несовпадающие моменты времени с, и t2. Возникающая при таком мысленном эксперименте двумерная случайная величина {X<fi), X(t2)} описывается двумерной плотностью вероятности р(хь x2t tu t2). Эта характеристика случайного процесса позволяет вычислить вероятность события, заключающегося в том, что реализация случайного процесса прн t = tt проходит в малой окрестности точки х„ а при г = i2 — в малой окрестности точки х2. Естественным обобщением является л-мерное сечение слу- чайного процесса (л > 2), приводящее к и-мериой плотности вероятности p(Xi, Хг,...,*^, tlt t2 О- Многомерная плотность вероятности случайного процесса должна удовлетворять обычным условиям, налагаемым на плотность вероятности совокупности случайных величин (см. § 6.2). Помимо этого, величина p(xt, хг,...,х„ 'ь '2,.-,'J не должна зависеть от того, в каком порядке располагаются ее аргументы (условие симметрии). Иногдв вместо л-мерной плотности вероятности удобно пользоваться и-мерной характеристической функцией, которая связана с соответствующей плотностью преобразованием Фурье: = f •¦¦ fp(x,,x2 х 12 ijexp|>(t>,x, математическое ожидание случай- случайного процесса + 1>2х2 + ¦ ¦ • + адО] dxt dx2... их.. F.35) Описание свойств случайных процессов с помощью много- многомерных плотностей вероятности высокой размерности может быть весьма подробным. Однако на этом пути часто встречаются серьезные математические трудности. Моментные функции случайных процессов. Менее деталь- детальные, но, как правило, вполне удовлетворительные в практи- практическом смысле характеристики случайных процессов можно получить, вычисляя моменты тех случайных величин, которые наблюдаются в сечениях этих процессов. Поскольку в общем случае эти моменты зависят от временных аргументов, оии получили название моментных функций. Для статистической радиотехники наибольшее значение имеют три моментные функции низших порядков, назы- называемые математическим ожиданием, дисперсией и функцией корреляции. Математическое ожидание ) = x(t)= f F.36)
6.3. Случайные процессы есть среднее значение процесса ХЩ в текущий момент времени г; усреднение проводится по всему ансамблю реали- реализаций процесса. Дисперсия ) = [x(t)-m(t)]2 F.37) позволяет судить о степени разброса мгновенных значе- значений, принимаемых отдельными реализациями в фиксирован- фиксированном сечении t, относительно среднего значения. Двумерный центральный момент дисперсия случай- случайного процесса II W't) - ) - m(t2)]p(x,, xj, 1,, t2)dx, d F38) называется функцией корреляции случайного процесса X{t). Эта моментная функция характеризует степень статисти- статистической связи тех случайных величин, которые наблюдаются при t = г, и t = t2. Сравнивая формулы F.37), F.38), заметим, что при совмещении сечений функция корреляции численно равна дисперсии: К(«ь«2)|,,.,,., = <т2A). F.39) Стационарные случайные процессы. Так принято называть случайные процессы, статнстическне характеристики которых одинаковы во всех сечениях. Говорят, что случайный процесс стационарен в узком смысле, если любая его л-мерная плотность вероятности инвариантна относительно временного сдаига т: р(х, х.,1, O=p(xi x,,t, +т,...,1„ + т). F.40) Если же ограничить требования тем, чтобы математическое ожидание т и дисперсия а2 процесса не зависели от вре- времени, а функция корреляции зависела лишь от разности т = 112 — ti I, т.е. R{tu t2) — R(z), то подобный случайный процесс будет стационарен в широком смысле. Понятно, что из стационарное™ в узком смысле следует стационарность в широком смысле, но не наоборот. Как следует из определения, функция корреляции ста- стационарного случайного процесса является четной: функция корреля- корреляции Случайные лы, являющиеся типичными реали- реализациями стацио- стационарных случайных процессов, состав- составляют широко рас- распространенный класс случайных колебаний, важный для радиотехники С1ационариость в широком и ужом смыслах Кроме того, абсолютные значеиия этой функции при любых т. не превышают ее значения при т = 0: |R(t)|SR@) = ct:!. F.41) Метод доказательства таков: из очевидного неравенства х) - m)Y > 0
Глава 6. Основы теории случайных сигналов следует, что [x(t)-m]2- 2 [х(() - т] [x(t + х) - т] + [х(( + х) - т]2 = ф откуда непосредственно вытекает неравенство F.41). нормированная Часто удобно использовать нормированную функцию кор- функция корреля- реляции ции г(т)=Я(т)/а2, F-42) для которой г (О) = 1. Чтобы проиллюстрировать понятие стационарного слу- случайного процесса, рассмотрим два примера. Прщмер 6.5. Случайный процесс U{t) образован реализациями вида u(t) = t/mcos(co0t + ф), где Um и щ известны заранее, в то время как фазовый угол , ф — случайная величина, равномерно распределенная на отрезке —тс^ф^тс. Так как плотность вероятности фазового угла рч = 1/Bя), то математическое ожидание процесса п = Umcos{a>0t + ф) = —- соб(ш0г + ф)бф = 0. 2л J Аналогично можно иайти дисперсию: а2 = \и- и]2 = Vl cos2 (юо1 + Ф) = U*J2. Наконец, функция корреляции .. ц, fj № щ решите задачу 9 R{tu t2) = l/^cos(ra0fi + Ф)со8(ю012 + Ф) = = Vi Vl {со8[о>о(A Итак, данный случайный процесс удовлетворяет всем условиям, которые необходимы для того, чтобы обеспечить стационарность в широком смысле. Прщмер 6.6. Случайный процесс V{t) имеет реализации вида u{t) = t/mcos(fii0f + ф), причем ю0 и ф — заданные числа. Um — слу- случайная величина с произвольным заколом распределения. Математическое ожидание п = Un cos (шо( + Ф) будет не зависимым от времени лишь при Vn = 0. Поэтому в общем случае рассматриваемый случайный процесс будет нестацио- нестационарным. Свойство эргодячюстн. Стационарный случайный процесс называют эргодическим, если при нахождении его моментных Большинство слу- функций усреднение по статистическому ансамблю можно чайных процессов в заменить усреднением по времени. Операция усреднения радиотехнике ев- выполняется над единственной реализацией х (t), длительность ляются эргодиче- Т которой теоретически может быть сколь угодно велика, скнмш Обозначая усреднение по времени угловымя скобкамн, эайи-
6.3. Случайные процессы 153 шем математическое ожидание эргодического случайного про- процесса: <*(()> = Т = Iim-i|*(t)dt, F.43) которое равно постоянной составляющей выбранной реали- реализации. . Дисперсия подобного процесса F.44) Поскольку величина <х2> представляет собой среднюю мощность реализации, а величина т2 — мощность -постоян- -постоянной составляющей, дисперсия имеет наглядный смысл мощности флуктуационной составляющей эргодического про- процесса. Аналогично находят функцию корреляции: R(t) = <[x(t) - m] [x(t + т) - m]> = (x(t)x{t + т)> - тг = г = lim — T-oo TJ x {t) x {t + x) dt - m2. физический смысл дисперсии случай- ного процесса F.45) Достаточным условием эргодичности случайного процесса, стационарного в широком смысле, является стремление к нулю функции корреляции при неограниченном росте временного сдвига т: IimR(T)=0. F.46) условия эргодич- эргодичности случайного процесса В математике показано, что это требование можно несколько ослабить. Оказывается, что случайный процесс эргодичен, если выполнено условие Слуцкого [21]: F.47) Так, равенство F.47) справедливо применительно к гар- гармоническому процессу со случайной начальной фазой (см. пример 6.5). Измерение характеристик случайных пршессо*. Если слу- случайный процесс является эргодическим, "то его реализация достаточной длины есть «типичный» представитель статисти- статистического ансамбля. Изучая эту реализацию эксперименталь- экспериментально, можнб получить много сведений, характеризующих данный случайный процесс.
Глава 6. Основы теории случайных сигналов Прибор для измерения одномерной плотности вероят- вероятности случайного процесса может быть выполнен следую- следующим образом. Одномерная плотность вероятности эргоди- ческого случайного процесса есть величина, пропорциональ- пропорциональная относительному времени пребывания его реализации на уровне между х и х -I- Дх. Предположим, что имеется устройство с двумя входами, на один из которых подается исследуемая реализация х (t), а на другой — опорное постоян- постоянное напряжение, уровень которого можно регулировать. На выходе устройства возникают прямоугольные видеоимпульсы постоянной амплитуды, начало и конец которых определяются моментами времени, когда текущие значения случайного сигнала совпадают либо с уровнем х0, либо с уровнем х0 + Ах. Если теперь измерить, скажем, с помощью обычно- обычного стрелочного прибора среднее значение тока, создаваемого последовательностью видеоимпульсов, то показания этого прибора будут пропорциональны плотности вероятности ( Измерение плотно- плотности вероятности I Вольтметр I Коррелометр А pciiraic 1алачу 14 стационарно свя- связанные случайные процессы Любой достаточно инерционный стрелочный прибор может быть использован для измерения математического ожидания случайного процесса [см. формулу F.43)]. Прибор, измеряющий дисперсию случайного процесса, как это следует из F.44), должен иметь на входе конденсатор, отделяющий постоянную составляющую. Дальнейшие этапы процесса измерения — возведение в квадрат и усреднение по времени — выполняются инерционным квадратичным вольт- вольтметром. Принцип работы измерителя функции корреляции (корре- (коррелометра) вытекает из формулы F.45). Здесь мгновенные значения случайного сигнала после фильтрации постоянной составляющей, разделяясь на даа канала, поступают на пере- перемножитель, причем в одном из каналов сигнал задержи- задерживается иа время т. Для получения значения функции кор- корреляции сигнал с выхода перемножителя обрабатывается инерционным звеном, которое осуществляет усреднение. Взаимная функция корреляции двух случайных процессов. Во многих случаях представляет интерес вопрос о том, какова статистическая связь между двумя стационарными случайными процессами X(t) и У(г). Принято вводить взаимные функции корреляции этих процессов по формулам ) - m,\ , h) = [ F.48) Случайные процессы называют стационарно связанными, если функции К„(>1, t2), R^ft». '2) зависят не от самих аргу- аргументов tj и t2, а лишь от разности т = t2 — 11. В этом случае, очевидно, R*»M=R,,(-t). F-49) Предположим, что случайные процессы X{t) и У(() статистически независимы в том смысле, что для мгновен-
6.3. Случайные процессы ных значений х = x(t) и ух = y(t + т) независимо от величины т двумерная совместная плотность вероятности р (х, у,) = = Pi(x)p2(y,). Тогда К,(т) - ? (х - mjp, (x)dx f (yt - m,)p2(y,)dyt = 0, т. е. из статистической независимости случайных процессов вытекает их некоррелированность. Однако в общем случае обратное утверждение не справедливо. Стационарные гауссовы случайные процессы. Эти математи- математические модели случайных сигналов широко используются в радиотехнике для описания статистических явлений, обусловленных большим числом независимых слагаемых, т. е. в условиях применимости центральной предельной теоремы. По определению, л-мерная плотность вероятности стационар- стационарного гауссова процесса следующим образом зависит от и — 1 временных аргументов т, = tt — tlr 1 = 2, 3,...,л: () Современная ради- радиотехника все шире применяет цифро- цифровые измерители па- параметров случай- случайных процессов, ра- работа которых осно- основана иа дискрети- дискретизации случайного сигнала н иосле- дующих операциях над числами-вы- числами-выборками ехр - г \ Ац[х,-m)[xj-m)\. F.50) решите задачу 10 Здесь приняты те же обозначения, что и в формуле F.26). Элементы корреляционной матрицы этого случайного про- процесса определяются нормированной функцией корреляции: Гц = г (г, -xj). В дальнейшем часто будет использоваться двумерная гауссова плотность р(хи х2, т) = х ехр i- (х1-т)г-2г(т)(х1-И.)(х2-m) + (х2-mf F.51) Стационарный гауссов процесс занимает исключительное место среди прочих случайных процессов — любая его много- многомерная плотность вероятности определяется даумя характе- характеристиками: математическим ожиданием и функцией корре- корреляции. Результаты оо Наибольшее число теоретических ре- результатов в стати- статистической радио- радиотехнике получено именно примени- применительно к стацио- стационарным гауссовым процессам Вероятностные закономерности проявляются в физических системах, образо- образованных из большого числа более мелких подсистем. ОО Основными характеристиками случайной величины являются ее функция распределения и плотность вероятности. ОО Числовыми параметрами, описывающими случайную величину, служат моменты, такие, например, как математическое ожидание и дисперсия.
156 Глава 6. Основы теории случайных сигналов ОО Статистические связи между отдельными составляющими многомерной случайной величины принято описывать смешанными моментами второго порядка, называемыми коэффициентами корреляции. ОО Некоррелированные гауссовы величины статистически независимы. ОО Согласно центральной предельной теореме, сумма большого числа незави- независимых случайных величин в пределе, с ростом числа слагаемых, распре- распределена по нормальному закону. ОО Случайный процесс задается бесконечным ансамблем своих реализаций. ОО Важнейшими моментными функциями случайного процесса являются матема- математическое ожидание, дисперсия и функция корреляции. ОО Если статистические характеристики случойного процесса неизменны во времени, то такой процесс называется стационарным. ОО Характеристики стационарных эргадических случайных процессов можно изучать экспериментально, анализируя единственную реализацию достаточно большой длины. ОО Любую многомерную плотность вероятности стационарного гауссова слу- случайного процесса можно вычислить, зная математическое ожидание и функцию корреляции. Вопросы 1. Как формулируются аксиомы теории вероятностей? 2. В чем разница между понятиями математической и эмпирической (выбороч- (выборочной) вероятностей? 3. Каковы освовиые свойства плотности вероятности случайной величины? 4. Как следует находить плотность вероят- вероятности функции от случайной величины при однозначной и неоднозначной связях? 5. Как связаны между собой плотность вероятности и характеристическая функция случайной величины? 6. Каков смысл понятия корреляции двух случайных величин? 7. Что является более жестким требова- требованием — некоррелированность или статисти- статистическая независимость случайных величин? 8. Каковы отличительные свойства много- многомерной гауссовой случайной величины? 9. Как формулируется центральная пре- предельная теорема? 10. В чем разница между двумя поня- понятиями — «случайный процесс» и «случайная реализация»? 11» Экспериментально получена следую- следующая реализация случайного сигнала: Может ли оиа в принципе принадлежать ансамблю реализаций гауссова случайного процесса? Правдоподобно ли такое утвержде- утверждение? 12. Дайте определение понятия случайного процесса, стационарного в широком и в узком смыслах? 13. В чем заключается отлвчительное свойство эргодического случайного процесса? 14. Каков физический смысл дисперсии эргодического случайного процесса? 15. Как определяется понятие взаимной функции корреляции двух случайных пропес- сов? Задачи 1. При передаче текста по некоторому каналу связи в среднем 0.5 % символов воспринимаются с ошибкой. Передан текст длиной 120 символов. Какова вероятность правильного воспроизведения данного сооб- сообщения? 2. Случайная величина X имеет плотность вероятности р(х) = аехр(-Ъ\х\). Найдите связь между числами а и Ъ, вы- вытекающую из условия нормировки.
Более сложные задания 157 3. Случайная величина X равномерно рас- распределена во внутренних точках отрезка [О, 5]; вероятности обнаружить эту величину иа концах отрезка одинаковы и равны 0.3. Постройте графики функции распределения и плотности вероятности для данной слу- случайной величины. 4. Вычислите среднее значение и диспер- дисперсию случайной величины, рассмотренной в задаче 3. 5. Найдите среднее значение и дисперсию случайной величины, имеющей плотность ( 1/(\ |) у вероятлости р(х) = 1/2аеяр(—а\х | при а>0. 6. Найдите связь между плотностью вероятности pi{x) случайной величины X и плотностью вероятности рг{у) случайной величины У, которая получена путем функ- функционального преобразования j> = exp(—х2). 7. Характеристическая функция &(v) слу- случайной величины X имеет вид 0 (v) = = 1/A + v2). Найдите плотность вероятности р(х) данной случайной величины. Более сложные задания 8. Совместная плотность вероятности р(хи х2) двумерной случайной величины имеет вид Определите плотности вероятности случай- случайных величин х,, х2, а также их математи- математические ожидания и дисперсии. 9. Докажите, что для стационарности в широком смысле случайного процесса X(t) с реализациями x{t) = A cos at + В sin tat не- необходимо и достаточно, чтобы случайные величины А и В обладали следующими свойствами: а) Л = В = 0, б) а2А = ст|, в) АВ = 0. 10. Случайный процесс Z(t) является суммой двух независимых гауссовых случай- случайных процессов А"(г), и Y(t), имеющих пос- постоянные во времени -математические ожида- ожидания тх, ту и дисперсии а2, а2 соответ- соответственно. Найдите одномерную плотность ве- вероятности суммарного процесса. 11. Сигнал представляет собой сумму гар- гармонических колебаний одной и той же часто- частоты. Амплитуды слагаемых одинаковы и равны 5 В, начальные фазы могут независимо принимать лишь два значения: 0 и 180°. Число слагаемых равно 30. Вычислите вероят- вероятность того, что результирующая амплитуда сигнала окажется больше 50 В. 12. Докажите, что если случайная вели- величина Z является суммой независимых случайных величии X и Y, то ее плотность вероятности есть свертка плотностей, отве- отвечающих каждому из слагаемых: 13. Координаты х,»у случайной точки на плоскости являются независимыми гауссо- гауссовыми случайными величинами с параметрами тх = ту = 0, а2, = а* = а2. Найдите плотность вероятности длины случайного радиуса-век- радиуса-вектора ЭТОЙ ТОЧКИ. 14. Предложите структурную схему при- прибора для измерения двумерной плотности вероятности эргодического случайного про>- цесса.
Глава 7 Корреляционная теория случайных процессов Наряду с полным описанием свойств случайных сигналов с помощью многомерных плотностей вероятности возможен упрощенный подход, когда случайные процессы характери- характеризуются своими моментными функциями- Теория случайных Ш процессов, основанная на использовании моментных функций корреляционная ie- ие выше второго порядка, получила название корреляцион- ория ной теории. В данной главе будет показано, что между корреляционными и спектральными свойствами случайных сигналов существует глубокая и тесная связь. 7.1. Спектральные представления стационарных случайных процессов В гл. 2 была развита спектральная теория детерминиро- детерминированных сигналов. Из-за вероятностного характера отдельных реализаций прямой перенос методов спектрального анализа в теорию случайных процессов невозможен. Однако удается получить ряд важных спектральных характеристик случайных колебаний, преобразуя по Фурье некоторые функции, полу- получаемые путем усреднения реализаций. Спектральные плотности реализации. Рассмотрим стацио- стационарный случайный процесс X(t) с нулевым математическим ожиданием: х = 0. Отдельно взятая реализация этого про- процесса есть детерминированная функция, которую можно пред- представить в виде, обратного преобразования Фурье G.1) В общем случае с некоторой детерминированной спектральной плотностью реалнзапии случай- Sx (ш). иого процесса не Для того чтобы описать весь ансамбль реализаций, обра- являются абсолют- зующий процесс X[t), естественно допустить, что спектраль- спектрально интегрируемыми ные плотности Sx(cu) сами являются случайными функциями на всей оси време- частоты. Таким образом, случайный процесс во временной ни. Поэтому к их области порождает другой случайный процесс в частотной спектральным области. Если реализация случайного процесса представлена плотностям следу- в форме G.1), то говорят, что осуществлено спектральное ет относиться как представление этого процесса. к обобщенным фун- Ключевую роль в спектральной теории случайных про- кциям (см. гл. 2) цессов играет ответ на следующий вопрос: какими свойст- свойствами должны обладать случайные функции Sx(cn) для того, чтобы процесс X[t) был стационарным в широком смысле1! Свойства случайной спектральной плотное™. Для ответа на поставленный вопрос прежде всего усредним мгновенные
7.1. Спектральные представления стационарных случайных процессов 159 значения сигналов x(t) по ансамблю реализаций: ¦^-Js,w Это равенство будет выполняться тождественно при лю- бом значении t, если потребовать выполнения условия Sx(<a) = 0. Итак, случайная спектральная плотность отдельных реализаций стационарного случайного процесса должна иметь нулевое математическое ожидание на всех частотах. Теперь нужно определить, при каких условиях функция корреляции RK (т.) зависит лишь от сдвига т между сечениями. Воспользуемся тем, что сигнал x(t) вещественный, так что наряду с G.1) справедливо равенство >-5-J« S«(fi>)e-*'da>. G.2) Запишем выражение функции корреляции процесса X[t), используя спектральные разложения случайных реализаций: R,b) = x(t)x(t + T) = x»(t)x(t + T) = s» N si BяJ | dcoe*" f G.3) Здесь во внутреннем подынтегральном выражении содер- содержится множитель Sj, (со) SJ (со"), имеющий смысл функции кор- корреляции случайной спектральной плотности. Для того чтобы функция К*(т) не зависела от времени t, необходимо, как это видно из выражения G.3), потребовать выполнения сле- следующей пропорциональности: S,(o>)S*(co')~8(co-m'). G.4) Таким образом, случайная спектральная плотность S,(m) стационарного процесса имеет специфическую структуру: ее значения, отвечающие любым двум несовпадающим частотам, иекоррелированы между собой. В то же время средний квадрат (дисперсия) случайной спектральной плотности неог- неограниченно велик при любых частотах. Такой вид корреля- корреляционной связи, с которым мы часто будем сталкиваться в дальнейшем, называется дельта-коррелированностью. Спектральная плотность мощности стацнонаруого случайно- случайного процесса. Введем в формулу G.4) множитель пропорцио- пропорциональности, зависящий от частоты, н запишем это равенство таким образом: - со'). G.5) дельта-коррелиро- ваниость спектральная плотность мощности
Глава 7. Корреляционная теория случайных процессов Здесь и в дальней- дальнейшем отсутствие ин- индексов ири функци- функциях показывает, что результаты спра- справедливы по отно- отношению к любым случайным процес- процессам теорема Вниера—Хинчииа Функция Wx(e>), играющая фундаментальную роль в тео- теории стационарных случайных пропессов, называется спект- спектральной плотностью мощности процесса Jf(t). В дальнейшем для краткости эту функцию будем называть также спектром мощности. Подставив G.5) в G.3), приходим к важному результату: G.6) Итак, функции корреляции и спектр мощности стацио- стационарного случайного процесса связаны между собой преобра- преобразованием Фурье. Поэтому W(a)= J e"** dr. G.7) Формулы G.6) и G.7) составляют содержание теоремы, доказанной в 1934 г. известным советским математиком А. Я. Хинчиным и независимо от него американским ученым Н. Винером. Данная теорема в теории случайных процессов получила название теоремы Винера — Хинчина. Для того чтобы выяснить физический смысл понятия энергетического спектра, положим в G.6) т = 0. Тогда, по- поскольку R @) = а2, получаем G.8) Дисперсия а2, равная средней мощности флуктуации ста- стационарного случайного процесса, есть, таким образом, сумма вкладов от всех участков частотной оси. Если случайный сп- Следует подчеркнуть различие между энергетическим гнал является на- спектром И?(ш) детерминированного импульсного сигнала пряжением, го его u(t) (см. гл. 3) и спектральной плотностью мощности Wx[a) спектр мощности стационарного случайного процесса X (t). Функция И? (со) ха- имеет размерность растеризует меру энергии, приходящуюся на единичную полосу В2 ¦ с/рад, т. е. раз- частот. В отлйчне от этого функция Wx (со) характеризует мерность удельной удельную меру мощности. Этот факт находит отражение н в мощности, выделя- разных физических размерностях данных функций. емон па единичном По своему физическому смыслу спектр мощности веще- резисторе ствен и неотрицателен: W(cd) ^ 0. Данное свойство наклады- накладывает весьма жесткие ограничения на вид допустимых функ- функций корреляции (с этим мы уже сталкивались в гл. 3, изучая корреляционные свойства детерминированных сиг- сигналов). А Необходимо указать также на следующее обстоятельство, задачи 1 Спектральная плотность мощности стационарного случайного процесса, будучи всегда вещественной, не содержит никакой информации о фазовых соотношениях между отдельными спектральными составляющими. Поэтому -fto спектру мощ- решите и 2
7.1. Спектральные представления сташюиариых случайных процессов иости принципиально невозможно восстановить какую-либо отдельно взятую реализацию случайного процесса. Односторонний спектр мощности. Поскольку R (г) — четная функция аргумента т, то соответствующий спектр мощности W(o} представляет собой четную функцию частоты ю. Отсюда следует, что пару преобразований Фурье G.6), G.7) можно записать, используя лишь интегралы в полубескоиечных пределах: G5) R (т) = — I W(m)cosmT dm, G.10) Целесообразно ввести так называемый односторонний1 спектр мощности F(co) случайного процесса, определив его следующим образом: Функция F(co) позволяет вычислить дисперсию стационар- стационарного случайного процесса путем интегрирования по положи- положительным (физическим) частотам: G.12) В технических расчетах часто вводят односторонний спектр мощности N(f), представляющий собой среднюю мощность случайного процесса, приходящуюся на интервал частот шириной в 1 Гц: ft /<0' G.13) G.14) При этом, как легко видеть, a2=JiV(/)d/. решите задачу 3 Если реализация случайного процес- процесса имеют размер- размерность папряження (В), то односторон- односторонний спектр мощное- ' тн N имеет раз- размерность В2/Гц Теорема Винера — Хинчина является важнейшим инстру- инструментом прикладной теории случайных процессов. Пример 7.1. Спектр мощности случайного процесса с экспонен- экспоненциальной функцией корреляции. Пусть процесс X(t) имеет функцию корреляции вида с некоторым положительным параметром ее На основании G.10) его спектральная плотность мощности e""™cosfflrdT =
162 Глава 7. Корреляционная теория случайных процессов Односторонний спектр мощности Р ш-— аа2 тс а2 + ю2 ' График данной функции указывает иа то, что спектр мощности рассматриваемого процесса имеет выраженный низкочастотный ха- характер — его максимум наблюдается на нулевой частоте. Пример 7.2. Функция корреляции стационарного случайного про- процесса со спектром мощности гауссова вида. Здесь , -- Для нахождения функции корреляции применим формулу G5): R* (т) = ~ f e"" cos ют dco = *^L exp [-17D0I. - J 2^ Итак, гауссов характер спектра мощности приводит к функции корреляции также гауссова вида. Дисперсия данного случайного процесса Пример 7.3. Функция корреляции стационарного случайного про- процесса с ограниченным спектром мощности низкочастотного вида. Пусть процесс X(t) характеризуется спектром мощности Wo при — шв < ш < Юв, О вне полосы [—со,, coj. По формуле (IS) находим функцию корреляции: —5- I cos on dco = Дисперсия этого случайного процесса Если воспользоваться односторонним спектром мощности = ИЬ/тс при 0 < ш < (V вне полосы [0, iaj, то формула для дисперсии приобретает легко запоминающийся вид произведения спектра мощности на полосу частот, занимаемую сигналом: ст2 = Fqcob- Интересно и важно отметить, что функция корреляции данного случайного процесса знакопеременна, причем знак изменяется при сдвигах т, кратных величине яМ». Среднее значение произведения x(t)x(t + x) будет вначале положительным, затем с увеличением т отрицательным, вновь положительным и т. д. Такое свойство функции корреляции говорит о квазипериодичности любой реализа- реализации этого случайного процесса, понимаемой, конечно, не в абсолют- абсолютном, а в вероятностном смысле. Квазнпернодиче- ская реализация
7.1. Спектральные представления стационарных случайных процессов Интервал коррелящн. Случайные процессы, изучаемые ста- статистической радиотехникой, как правило, обладают следую- следующим свойством: их функция корреляции стремится к нулю с увеличением временного сдвига т. Чем быстрее убывает функция R (i), тем меньшей оказывается статистическая связь между мгновенными значениями случайного сигнала в два несовпадающих момента времени. Числовой характеристикой, служащей для оценки «ско- «скорости изменения» реализаций случайного процесса, является интервал корреляции т„ определяемый выражением G.15) Если известна информация о поведении какой-либо реали- реализации «в прошлом», то возможен вероятностный прогноз случайного процесса на время порядка тк. Однако попытка прогнозирования на время, существенно превышающее интер- интервал корреляции, окажется безрезультатной — мгновенные зна- значения, столь далеко отстоящие во времени, практически иекоррелированы, т. е. среднее значение произведения х If) xlf + z) стремится к нулю. Эффективная ишрива спектра. Пусть исследуемый случай- случайный процесс характеризуется функцией F (со) — односторонним спектром мощности, причем Fmu — экстремальное значение этой функции. Заменим мысленно данный случайный про- процесс другим процессом, у которого спектральная плотность мощности постоянна и равна Fmx в пределах эффективной полосы частот Дсо,ф, выбираемой из условия равенства сред- средних мощностей обоих пропессов: (С Fm«uco^= jF(co)do). Отсюда получается формула для эффективной ширины спектра: G.16) Этой числовой характеристикой часто пользуются для инженерного расчета дисперсии шумового сигнала: о2 = = Fmu Дш,ф. Например, если известно, что Fm = 5 • 10~9 В2 • с, Дсо,Ф = 3-1О5 с, то о2 = 1.5-10"э В2, откуда среднеквадра- тическое значение напряжения шума <т = 39 мВ. Эффективную ширину спектра случайного процесса можно определить множеством способов, например, исходя из усло- условия уменьшения значений спектра мощности на границе этого частотного интервала до уровня 0.1FmlU(. В любом случае ве- величины т. и Дш,ф должны быть связаны соотношением Площади обеих фи- фигур равновелики решите задачу 4 Вне пределов ука- указанной нолосы спектральная нлот- ность мощности случайного процес- процесса считается рав- равной нулю решите задачу 5 Чем шире спектр случайного сигна- сигнала, тем хаотичнее изменяются во вре- времени его реалнза-
Глава 7. Корреляционная теория случайных процессов белый шум неопределенности Aco^tk = О (Г), вытекающим из свойств пре- преобразования Фурье (см. гл. 2). Белы! шум. В радиотехнике так принято называть ста- стационарный случайный процесс с постоянной на всех частотах спектральной плотностью мощности: Часто вводят так- также односторонний спектр мощности белого шума Л'о, такой, что Wo = Wo/2 [см. формулу G.13I W(co) = Wo= const. G.17) Термин «белый шум» образно подчеркивает аналогию с «белым» (естественным) светом, у которого в пределах видимого диапазона интенсивность всех спектральных состав- составляющих приблизительно одинакова. По теореме Винера — Хинчина функция корреляции белого шума И7 *? = -=2- e^'dm = W08(T) равна нулю всюду, кроме точки т = 0. Средняя мощность (дисперсия) белого шума иеограничено велика. Белый шум является дельта-коррелированным случайным процессом. Некоррелированность мгновенных значений такого случайного сигнала означает бесконечно большую скорость изменения их во времени — как бы мал ни был интервал т, сигнал за это время может измениться на любую наперед заданную величину. Белый шум является абстрактной математической моделью и отвечающий ему физический процесс в природе, безусловно, не существует. Однако это не мешает приближенно заменять реальные достаточно широкополосные случайные процессы белым шумом в тех случаях, когда полоса пропускания цепи, на которую воздействует случайный сигнал, оказыва- оказывается существенно уже эффективной ширины спектра шума. 7.2. Дифференцирование и интегрирование случайных процессов В этом параграфе изучаются свойства реализаций слу- случайных процессов, подвергнутых операциям дифференцирова- дифференцирования и интегрирования. Показано, что дифференциальные свойства случайного процесса определяются видом его функ- функции корреляции. Вероятносгнаа трактовка сходимости я непрерывности. В теории случайных процессов приходится несколько расширить обычное понятие сходимости последовательности чисел к своему пределу. Так, если {хя} — случайная последователь- последовательность, пронумерованная числами натурального ряда, то для ее сходимости ие обязательно, чтобы при т, п -* со величина | хш — х„ | всегда была меньше любого наперед заданного малого числа.
7.2. Дифференцирование и интегрирование случайных процессов 165 Говорят, что случайная последовательность {х„} сходится ф к некоторому числу х в среднеквадратическом смысле, если сходимость в сред- ,. , „ иеквадратическом }ЧИ(х" ~х) ° • G18) смысле Требование сходимости в среднеквадратическом смысле является менее жестким по сравнению с классическим кри- критерием сходимости детерминированных последовательностей. Подобным же образом определяют понятие непрерыв- непрерывности случайного процесса. Считают, что случайный процесс X (I) непрерывен в точке t = fo> если справедливо предельное равенство lim [x(J,)-x(J0)]2 = 0. G.19) Производная от случайного процесса. Предположим, что реализация x(t) случайного процесса А'(!) подается на диффе- дифференцирующее устройство, создающее на выходе новую реали- реализацию ylf) = ux/6t. Совокупность реализаций y{t) образует случайный процесс УA), называемый производной процесса X (t). Символически этот факт обозначается равенством Y(t) = dX/dt. Положим, что X (I) — стационарный случайный процесс с известным математическим ожиданием х = тх. Чтобы иайти математическое ожидание производной, проведем усреднение по ансамблю реализаций: . S d 6t G.20) Итак, при дифференцировании стационарного случайного процесса возникает новый случайный процесс с нулевым ма- математическим ожиданием. Решим несколько более сложную задачу нахождения функции корреляции производной. Без ограничения общности положим, что математическое ожидание исходного процесса тх = 0 (если это не так, всегда можно перейти к новому процессу Z (J), реализации которого z(t) = x(i) - mj. Восполь- Воспользуемся тем, что d.x x(t + At)-x(t) ~dT ~ Л It и представим функцию корреляции производной таким обра- образом: At) - At At Заметим, что сред- средине значения произ- произведений зависят только от модуля разности аргумен- аргументов сомножителей, нескольку процесс стационарен - x(t + Af)x{t + т) - x{t)x(t + т + At) + x(t)x(t +т
Глава 7. Корреляционная теория случайных процессов решите задачу 7 Все четыре слагаемых в квадратных скобках представляют собой функции корреляции исходного процесса, вычисленные при различных величинах задержки. Легко видеть, что условие днффереи- цируемости случай- случайного процесса решите задачу 8 Подобным свойст- свойством обладают реа- реализации так назы- называемых непрерыв- непрерывных марковских процессов Можно заметить, что правая часть последнего равенства представляет собой вторую производную функции Rx (т), взя- взятую с обратным знаком. Таким образом, приходим к фор- формуле Я, (т) = -«,(*)=-<# G.21) Дифференцируемые я веднфференцируеиые случайные про- процессы. По определению, случайный процесс X(t) является дифференцируемым, если его производная имеет конечную дисперсию. В соответствии с G.21) дисперсия производной о-2. = — R»@)= — <rJr"(O). Поэтому для дифференцируемое™ случайного процесса необходимо, чтобы вторая производная его функции корреляции в нуле была конечной величиной, а значит, первая производная этой функции в нуле —не- —непрерывной. Неднфференцируемым является случайный процесс с функ- функцией корреляции вида с2 ехр (—а | т |), рассмотренный в при- примере 7.1. Дифференцируя эту функцию один раз, убеждаемся, что производная в нуле изменяется скачком на величину -2о2а. В радиотехнике часто рассматривают случайные процессы с функциями корреляции вида M). G.22) И в нуле непрерывна, поэтому функция корреляции G.22) отве- отвечает дифференцируемому процессу. Несомненно, что реализации любых случайных сигналов, с которыми приходится встречаться в технике, всегда доста- достаточно «гладкие» для того, чтобы быть дифференцируемыми. Однако в теоретических исследованиях часто возникают ма- математические модели, соответствующие иедифференцируемым процессам. Как правило, это имеет место тогда, когда реализации случайного процесса образуются из очень боль- большого числа малых независимых слагаемых. Несмотря на то что вклад одного такого слагаемого (например, импульса тока от движения отдельно взятого электрона) ничтожен, именно эти слагаемые определяют етонкую структуру» реа- реализации. Как следствие, реализации такого процесса могут приобрести вид функции, всюду непрерывной, однако ни в одной точке не дифференцируемой. Простое вычисление показывает, что. первая производная этой функции Г-<Ау2техр(-сэт), т>0, т<0
7.2. Дифференцирование и интегрирование случайных процессов Спектральная плотность мощности производной. Найдем связь между спектрами мощности исходного процесса и его производной. Пусть задано соответствие X (!)«-* Wx(ca). По теореме Винера — Хинчина функция корреляции исходного процесса = -*— Wi(o))exp(/o)T)do). На основании формулы G.21) функция корреляции произ- производной откуда получается искомая формула связи W,(o>) = o>JHi(o)). G23) Примечательно, что в спектре мощности производной наблюдается уменьшение низкочастотных н увеличение высо- высокочастотных составляющих. Формула G.23) позволяет судить о дифференцируемости процесса X(t), исходя из свойств его спектра мощности: указанный случайный процесс дифферен- дифференцируем, если rj=-^- mJWx(m)dm<oo. Так, для случайного процесса со спектром мощности иизкочастотиого вида (см. пример 7.3) дисперсия производной w поэтому такой процесс дифференцируем. Корреляноыная связь между случайным процессом я его производной. Во многих задачах статистической радиотехники существен вопрос вероятностной связи между мгновенными значениями случайного сигнала и его производной. Для ответа на него вычислим функцию взаимной корреляции Rx,(x) случайных процессов X(t) я Y(t) = dX/dt, проведя усреднение: Rx,C) = x(t)y(t + i) = x<f)-?-x(t + z) = 4-x(t)x(f + z), откуда = r;w- G24) Здесь принято во внимание, что оба рассматриваемых случайных процес- процесса стационарны ¦ имеют нулевые средине зн
Глава 7. Корреляционная теория случайных процессов некоррелнроваи- ность случайного процесса н его про- нзводиой Как известно, функция Rx (т) всегда является четной. Еслн же процесс дифференцируем, то при т = 0 производная Rx(x) обращается в нуль. На основании G.24) отсюда следует, что мгновенные значения такого случайного сигнала и его производной, взятые в один и тот же момент времени, являются некоррелированными. Еще более сильное утверждение справедливо применительно к гауссовым случайным про- процессам: здесь случайный сигнал и его производная стати- статистически независимы. Интеграл от случайного процесса. Будем называть слу- случайный процесс Z (i) определенным интегралом с переменным верхним пределом от случайного процесса X A), если между реализациями z(t) и x(t) имеется соответствие вида G.25) Физически это означает, что сигналы z(t) наблюдаются на выходе идеального интегратора, причем входные сигналы х(() начинают поступать в нулевой момент времени. Еслн процесс X{t) стационарен и имеет постоянное сред- среднее значение тх, то математическое ожидание сигнала на выходе интегратора mj. G.26) Случайный сигнал на входе Таким образом, условие т* ф 0 сразу приводит к иеста- ционарности случайного процесса Z{f). Однако даже при нулевом математическом ожидании входного процесса сигнал на выходе интегратора будет представлять собой реализнцию нестационарного случайного процесса. Чтобы убедиться в этом, вычислим функцию кор- корреляции интеграла: )= jjx©x(r|)d!;dT| = Если процесс X(t) стационарен, то аргумент функции н на выходе ин- корреляции, стоящей под знаком интеграла в последней тегратора формуле, будет представлять собой разность т| — ?, поэтому R,(ti,h)= G.27) Поскольку правая часть формулы G.27) зависит непосред- непосредственно от i! и 1г> а ве от их разности, случайный про- процесс на выходе интегратора является нестационарным. Нестационариость внтеграла от случайного процесса имеет глубокий физический смысл, свидетельствуя о безграничном
7.2. Дифференцирование и интегрирование случайных процессов 169 нарастании флуктуации на выходе идеального интегратора, что связано с эффектом их накопления. Сходные задачи часто встречаются в различных областях физики. В качестве примера можно привести известную проблему одномерного случайного блуждания точки (броунов- (броуновского движения) [21]. Здесь материальная точка, выходя из начала координат и получая равновероятные толчки в двух противоположных направлениях, в среднем остается на месте, однако величина ее отклонения от среднего положения неог- неограниченно нарастает во времени. Задача о выбросах случайных процессов. В статистической радиотехнике большой интерес представляет следующая проблема, тесно связанная с дифференциальными свойствами случайных процессов. Предположим, что реализациями слу- случайного процесса X A) служат достаточно «гладкие» функпии времени. Требуется определить, сколь часто эти реализации пересекают некоторый фиксированный уровень х0. Такая проблема естественно возникает, например, при анализе поме- помехоустойчивости радяотехнических устройств, находящихся под воздействием случайных флуктуационных или импульсных помех. Событие, состоящее в том, что реализация хA) пересекает заданный уровень х0 «снизу вверх», называют положительным выбросом процесса X(i) иа уровне х0. Решим простейшую задачу — найдем среднее число поло- положительных выбросов, происходящих в едяницу времени. Для этого мысленно выделим на временной оси t малый интер- интервал длительностью At. Считая, что процесс X(t) стационарен и непрерывен, всегда можно указать столь малое время At, что в пределах этого интервала либо ие будет ии одного положительного выброса, либо он будет единственным. Найдем вначале вероятность элементарного события, заключающегося в том, что за время At происходит один положительный выброс. Для этого заметим, что единствен- единственный положительный выброс возникает в том случае, если: а) х(г)<Хо,- б) х(г + Д()>Хо. Но, поскольку хA + Дг)» » х(г) + х'Дг, условие б) означает, что х„ — x'At < xlt). Таким образом, едянственный положительный выброс в пределах интервала времени Дг произойдет, если реализация случай- случайного процесса будет иметь здесь положительную производ- производную (х1 > 0), удовлетворяя неравенству х0 — х'Дг < х (t) < Xq. Вероятность Р этого события легко вычислить, зиая сов- совместную даумерную плотность вероятности р (х, У) процесса и его производной, относящуюся к одному и тому же мо- моменту времени: Нестационарный случайный процесс, получаемый нутем интегрирования бе- белого шума, принято называть случай- случайным процессом Положительный выброс _У^___. i> = Jdx' J p(x,x-)dx = Ar JptXcxOx-dx'. G.28) To, что эта вероятность пропорциональна длительности интервала At, указывает иа следующее: величина п(х0) — среднее число положительных выбросов на уровне х„, провс-
Глава 7. Корреляционная теория случайных процессов ходящих в 1 с, выражается формулой G.29) Выбросы гауссовых процессов. Вычисления по формуле G.29) значительно упрощаются, если процесс X(t) является гауссовым. При этом мгновенные значения реализации и ее производной в совпадающие моменты времени статистически независимы, поэтому р(х„, х-) = р,(х„)р2(хг G.30) G.31) Объединив формулы G.29) и G.30), находим п (хо) = pi (х0) J p2 (x") x1 dx'. Будем полагать, что функция корреляции исходного про- процесса Rx (т) = <*lrx (т.) известна. Тогда дисперсия производной с*. = —с*г"@), откуда следует формула для плотности ве- вероятности производной: Производная, по- получаемая путем линейных операций над исходным про- процессом, также нор- нормальна G.32) Элементарные выкладки приводят к результату подстановка которого в G.31) дает окончательную формулу для вычисления среднего числа положительных выбросов ста- стационарного гауссова процесса: n(xo)=J 2lt -exp G.33) квазичастота Квазичастота мо- может быть определе- определена только для диф- дифференцируемого случайного процес- Квазичастота стационарного случайного процесса. В § 7.1 отмечалось, что реализации некоторых случайных процессов изменяются во времени квазипериоднчески. Числовой харак- характеристикой, отражающей темп колебаний, может служить квазичастота, определяемая как среднее число пересечений нулевого уровня. Согласно G.33), квазичастота гауссова процесса G.34) целиком определяется поведением функции корреляции в нуле. Поскольку — r?@) = o-J/o-J, а дисперсия производной выра- выражается через односторонний спектр мощности процесса X(t): o-J. = JoJFx(co)dco,
7.3. Узкополосные случайные процессы формула для квазичастоты может быть записана в виде, ^ эквивалентном G.34): решите задачу 9 G.35) Пример 7.4. Квазичастота стационарного гауссова процесса с ограниченным низкочастотным спектром (см. пример 7.3). Здесь * (со) do = Подставляя эти выражения в формулу G.35), получаем Этот интересный результат нельзя усмотреть непосредственно. § 7.3. Узкополосные случайные процессы В радиотехнических приложениях исключительную роль играет особый класс случайных процессов, спектральная плотность мощности которых имеет резко выраженный мак- максимум вблизи некоторой частоты соо, отличной от нуля. Ниже исследуются статистические свойства подобных узкополосных случайных процессов. Рассмотрение ограничено случаем гаус- гауссовых процессов, часто встречающихся на практике. К тому же именно для гауссовых процессов удается получить ряд важных результатов, ие выходя за рамки корреляционной теории. Функция корреляции узкополосного случайного процесса. Рассмотрим стационарный случайный процесс X(t), одно- односторонний спектр мощности которого F(o>) концентрируется в окрестности некоторой частоты соо > 0. По теореме Винера — Хинчина функция корреляции дан- данного процесса R (т) = j F (ш) cos cot dto. G.36) Мысленно сместим спектр процесса из окрестности часто- частоты соо в окрестность нулевой частоты, выполнив замену пере- переменной ш = соо + П. Тогда формула G.36) приобретает вид К W = ] F (соо + П) cos [(соо + П) т] dft. G.37) Спектр мощности узкополосного слу- случайного процесса В соответствии с исходным предположением об уэкопо- лосности процесса X(t) его спектр мощности F(o)) исчезаю-
Глава 7. Корреляционная теория случайных процессов Заметим, что функ- ще мал на частотах, близких к нулю. Поэтому в выраже- ция о(т) четна, а иии G.37) можно заменить нижний предел интегрирования й ф функция Ь(х) четна на —со, не внося ощутимой погрешности, и записать функ- функцию корреляции в виде G.38) Типичная функция корреляции узко- узкополосного случай- случайного процесса III ! Типичная реализа- реализация узкополосного случайного процес- R (т) = а (т) cos а>ох — b (x) sin шот, где Ь(х)= J F(o)o+fi)sinfiTdQ — медленно меняющиеся функции аргумента т. Особенно простой функция корреляции узкополосного случайного процесса получается в случае, когда спектр мощ- мощности F(co) симметричен относительно центральной частоты ш0. При этом b (т) = 0, так что R(x) = a(x)cose>0x. G.39) Здесь коэффициент а(х) играет роль огибающей, которая изменяется медленно но сравнению с множителем cosco0x. Часто бывает удобным ввести нормированную огибающую р (т) функции корреляции узкополосного случайного процесса, определив ее с помощью равенства а(т) ^() Тогда o-;gp(T)coscivt. G.40) Огибающая я начальная фаза. Характерный вид функции корреляции G.40) свидетельствует о том, что отдельные реализации узкополосного случайного процесса представляют собой квазигармоиические колебания: G.41) у которых как огибающая U(t), так и начальная фаза <р(г) являются случайными функциями, медленно (в масштабе соо) изменяющимися во времени. Представим реализацию G.41) как сумму синфазной и квадратурной составляющих (см. гл. 5): x(i) = 4(i)cosci>0i-B(i)smoHi. G.42) Обе амплитуды A(t) и B(t) являются низкочастотными сигналами, тем более медленными, чем меньше эффективная ширина спектра Лсодф по сравнению с центральной часто- частотой соо. Введем в рассмотрение случайный процесс Y{t), сопряжен- сопряженный с исходным процессом X(t). Его реализацией является преобразование Гильберта: J-W _± С x(t)dT к J t-x
7.3. Узкополосные случайные процессы Предположение о медленности синфазной A (t) и квадра- квадратурной В (г) амплитуд позволяет весьма просто записать вы- выражение для реализации сопряженного процесса, вынеся мед- медленные множители за знак преобразования Гильберта: у (г) = A (t) sin raor + В (t) cos (aot. G.43) Отсюда получаем формулы для мгновенных значений реализации огибающей и начальной фазы <p(t) = ajg[>4(«)+/BMJ. G.44) G.45) Статистические свойства сопряженного процесса. Для даль- дальнейшего анализа свойств огибающей и начальной фазы узкополосного случайного процесса необходимо изучить связь между статистическими характеристиками процессов X{t) и Y(t). Прежде всего отметим, что если х = 0, то у также рав- равно нулю. Далее, поскольку процесс X(t) гауссов, а преоб- преобразование Гильберта есть линейное интегральное преобразо- преобразование, то гауссовым будет и сопряженный процесс У(г). Как известно, если 5Ж (со) — спектральная плотность кон- конкретной реализации х(г), то спектр сопряженной реализации М) S) () Модули спектральных плотностей S, (со) и Sy (со) совпадают, поэтому спектры мощности процессов X(t) и У(г) одина- одинаковы: Wx (со) = Wy (to). Отсюда следует вывод о тождествен- тождественности функций корреляции: R, (т) = R, (т) = | Fx (со) cos сот dco Свойство нормаль- нормальности сохраняется при любом линей- линейном преобразова- преобразовании случайного нро- цесса и о стационарности процесса Y{t). Вычислим, наконец, функцию взаимной корреляции: 1 f IMi Jl J t + 1 -I =^J T-K-t)d4=^J 7^r7dT1- которая оказывается равной преобразованию Гильберта от функции корреляции процесса X(t\ Аналогично можно до- доказать (вывод представляется читателю в качестве упраж- упражнения), что
174 Глава 7. Корреляционная теория случайных процессов Итак, Rx, (т) = Н [К, (т)] = | Fx (о) sin от dm. Процессы A(i), B(t) линейно связаны с гауссовым про- процессами X(t), Y(t). Поэтому они так- также являются гаус- гауссовым! н, если х= = JL=O, то А = Интересно заметить, что функция Rx,(i) нечетна и обраща- обращается в нуль при т = 0. Поэтому процессы X(t) и У(г) в совпадающие моменты времени статистически независимы. Формуле G.46) можно придать удобный вид, выполнив замену переменной о = еоо + О. Тогда Rxr (т) = J F, (еоо + fi) sm (eoo + П) т dfi = = о(т)япео0т + г>(т)со8еаот, G.47) где функции а(т) и Ь(х) определяются в соответствии с формулой G.38). Корреляционные свойства синфазной и квадратурной ампли- амплитуд. Наша конечная цель — найти и изучить статистические характеристики огибающей U (() и начальной фазы ср (t). Для этого удобно перейти от реализаций x(t), y(() к медленно меняющимся во времени реализациям A (t), В (t), которые на основании G.42) и G.43) выражаются следующим образом: A (t) = х (t) cos (»ot + у (t) sin o0t, В (t) = — x (t) sin taot + у (t) cos mot • Возьмем первую формулу из системы G.48) н вычислим функцию корреляции процесса А (г). Выполнив элементарные тригонометрические преобразования, находим G.48) = [х М cos (оо( + у (t) sin coor] x х [x(t + t)coscd0 (t + t) + y(t + T)sincoo (t + t)] ¦ Rx (t) cos (oot + Rw (t) sin ci)ot . G.49) Подставив сюда выражения функций Rx{i) и Rxy(i) из GJ8) и G.47), приходим к очень простому результату: RAr) = a(x). G.50) Аналогично доказывается, что G.51) Положив в G.50) и G.51) т = 0, имеем G.52) G.53) Таким образом, дисперсии синфазной и квадратурной амп- лнтуд оказываются равными дисперсии исходного узкополос- • решите задачу 10 ного процесса.
7.3. Узкооопосиые случайные процессы Совместная плотность вероятности огибающей н начальной фазы. Достоинства метода, основанного на переходе от узкополосиого случайного процесса к его синфазной и квадра- квадратурной составляющим, становятся очевидными, когда требу- требуется вычислить двумерную плотность вероятности р (С/, <р). Эта характеристика, в свою очередь, дает возможность найти одномерную плотность вероятности огибающей ) = Jp(t/>4>)d4> G.54) и плотность вероятности начальной фазы P(<P) = ?P(?/,4>)d?/. G.55) Мгновенные значения амплитуд A(t) и В (г) образуют двумерный гауссов вектор, обе составляющие которого независимы н имеют одинаковые дисперсии о2. Поэтому двумерная плотность вероятности 1 Используется предположение о том, что спектр мощности симмет- симметричен в функция 6 (т.) обращается в нуль Л В) = р(А)р(В) G.56) Теперь, чтобы получить искомую плотность вероятности р (Г/, ф), следует выполнить функциональное преобразование, переводящее случайный вектор {А, В] в новую случайную совокупность {С/, ф}: A = Ucos(p, B = t/sin<p. G.57) Якобиан такого преобразования [см. формулу F.24)] совф — t/sincp sin ф U cos ф Поскольку в новых переменных А2 + В2 — V2, искомая двумерная плотность вероятности = 17. G.58) G.59) Одномерная плотность вероятности начальной фазы. Вос- Воспользовавшись формулами G.55) и G.59), найдем плотность вероятности начальной фазы: Замена переменной z = U/ax приводит к следующему ре- результату: >-м- G.60) Физически равно- равномерное распределе- распределение означает отсут- отсутствие какого-либо преимущественно- преимущественного значения началь- начальной фазы у отдель- отдельно взятых реали- реализаций
176 Глава 7. Корреляционная теория случайных процессов Подчеркнем, что здесь н в дальней- дальнейшем />(ф) в p(U)- разные функции закон Рэлея Таким образом, начальная фаза узкополосного случайного процесса распределена равномерно на отрезке [0,2я]. Одномерная плотность вероятности огибающей. Поскольку функция p(U, <р) не зависит от угла <р, на основании выра- выражений G.54) и G.59) плотность вероятности огибающей G.61) Здесь также целесообразно перейти к безразмерной пере- переменной г = U/ox, относительно которой гехР(-г2/2). G.62) Плотность вероятности мгновенных значений огибающей узкополосного случайного процесса, устанавливаемая выра- выражением G.61) или G.62), известна под названием закона Рэлея. Соответствующий график (рис. 7.1) наглядно показывает, что наиболее вероятны некоторые средние (порядка *зх) значения огибающей. В то же время маловероятно, чтобы огибающая принимала значения как близкие к нулю, так и значительно превосходящие среднеквадратичный уровень ах узкополос- узкополосного процесса. / / \ \ решите задачу 11 Рис 7.1. График плотности вероятности случайной величины, рас- распределенной по закону Рэлея (по оси абсцисс отложен безразмер- безразмерный аргумент г = Ufox) Проводя усреднение с помощью плотности вероятности G.61), находим среднее значение огибающей G.63) mv = U = 1/я/2стя = 1.253стх и ее дисперсию а% = W- (Uf = B - п/2) ст? = 0.429<j2 . G.64) Располагая одномерной плотностью вероятности огибаю- огибающей, можно решить ряд задач теории узкополосных слу- случайных процессов, в частности, иайти вероятность превыше- превышения огибающей некоторого заданного уровня.
7.3. Узкополосные случайные процессы Пример 7.5. Узкополосный нормальный процесс имеет постоянное значение спектра мощности Fo=1.5-10~3 В2-с в пределах полосы частот от omio = 105 с до таах = 1.02-103 с*1. Найти вероят- вероятность того, что огибающая этого процесса превосходит уровень Uo = 5 В. По условию задачи, эффективная ширина спектра процесса Дю^ф = 2-103 с. Поэтому дисперсия ст2 = FoA<o^ = 3 В2. Согласно определению понятия плотности вероятности, искомая величина Событие, рассмат- рассматриваемое в этом примере, является достаточно редким РЦ7 S> Uo) j Р(Ц)<Ш = ехрГ -™1-1 = ехр(-25/6) = 0.0155. Случайные величины, распределенные по закону Рэлея, встречаются во многих физических и радиотехнических зада- задачах. Изящный вывод формулы G.61), полученный Рэлеем из совсем иных предпосылок, читатель может найти в класси- классической книге [25]. Двумерная шютяость вероятности огибающей. Для того чтобы исследовать динамику изменения огибающей во време- времени, необходимо располагать более подробной информацией по сравнению с той, которая может быть почерпнута из закона Рэлея. Так, для вычисления функции корреляции огибающей требуется знать двумерную плотность вероятности p{U,U,). Воспользуемся тем, что синфазные и квадратурные Здесь в далее при- амплитуды узкополосиого нормального случайного процесса шло сокращенное являются низкочастотными гауссовыми процессами с одина- обозначение Ux = новыми функциями корреляции = U(t + X) и двумерными плотностями вероятности [см. формулу F.28)]: 2ргаЛ р») J- 20га- Если спектральная плотность мощности процесса сим- симметрична относительно центральной частоты ш0, то процессы A{t), B[t) статистически независимы, так что совместная четырехмерная плотность вероятности р (А А„ В, В,) = р (-4, А,) р (В, В,). G.65) Перейдем от синфазной и квадратурной амплитуд к оги- огибающей и начальной фазе, вычисленным в различные мо- моменты времени: <4 = l/coscp, A, = U,cos<t>,, B = Usin<p l '
178 Глава 7. Корреляционная теория случайных процессов Якобиан данного преобразования cos<p 0 sin<p О 0 cos<p, 0 sm<p, _ — t/sincp, 0 t/coscp О О — I/,sin(p, 0 t/.coscp, Используя этот результат, запишем плотность вероятности G.65) в новых переменных: G.68) Теперь, чтобы получить искомую двумерную плотность вероятности огибающей, следует дважды проинтегрировать правую часть формы G.68) по угловым координатам: , Г7„ р(Г7, Г7.) Применяя известную в математике формулу G.69) Функция 10(х) двумерный Рэлея где /0 — модифицированная функция Бесселя нулевого индек- индекса, из G.68) н G.69) полулаем окончательно: р{и-вд - G.70) Плотность вероятности, определяемую формулой G.70), нногдв называют двумерным законом Рэлея. Отметим, что если сдвиг т значительно превышает интервал корреляции тк, свойственный функции р(т), то р-»0. Отсюда, поскольку 1О @) = 1, получаем Р(Р, ад. G.71) т. е. функция p(U, [/,) приближенно равна произведению двух одномерных рэлеевских плотностей. Функцвя коррелшш огибающей. По определению, функ- функция корреляции огибающей Rv (г) = 1Ж, - (СО2. G.72) Квадрат среднего значения огибающей находим на осно- основании равенства G.63): (UJ — (п/2)а^. Теперь необходимо вычислить среднее значение произведения Щ"- JdC J UU,p{U, UJdU,. G.73)
7.3. Узкопопосные случайные процессы Нахождение интеграла G.73) сопряжено с весьма гро- моздкими вычислениями, основанными на том, что дву- мерную плотность вероятности G.70) разлагают в бесконеч- бесконечный ряд по многочленам Лагерра [22]. Опуская про- межуточные выкладки, приведем окончательный результат: г 2 гЧг ~НГ?+ У[ 2 Представляя функцию корреляции в виде Rv(i)= = <*VuM, из G.74) находим выражение для нормирован- ной функции корреляции огибающей: ) = 0315р2М + 0.058р4(т) +... решите задачу 12 Можно нриближеи- до считать что коэффициент кор- fej^am 0П1бакь щей нросто равен квадрату огнбаю- щей нормированной функции корреля- ^^ узкополоаюго сигнала G.75) Пример 7.6. Известно, что функция корреляции некоторого случайного провеса (В2) О.5ехр(-10*| т )) -104). Здесь высокочастотный сомножитель имеет период 10~? с, амплитудный сомножитель изменяется за это время лишь в ехр(—10~2) = 0.99 раза. Поэтому рассматриваемый случайный про- процесс можно считать узкополосным с центральной частотой /о = 1 МГц. Ограничиваясь первым членом ряда в формуле G.75) и заменяя приближенно коэффициент 0.915 на единицу, находим нормированную функцию корреляции огибающей: rt/(t)«exp(-2-104|T|). Дисперсия огибающей a2v = OA29al » 0.2145 В2, откуда функция корреляции Rv (т) да 0.21 ехр( -2 • 10* | т |). Интервал корреляции огибающей составляет 50 периодов гармонического колебания с частотой /0. Наконец, односторонний спектр мощности огибающей (см. при- пример 7.1) „ , . 2.73 103 имеет низжочастотный характер. Огибающая суммы гармонического сигнала н узкополосного нормального шума. В радиотехнике часто интересуются статистическими свойствами сигнала, наблюдаемого на выхо- выходе некоторого частотио-избирательного устройства, например, резонансного усилителя. Будем считать, что помимо флуктуа- циоиного гауссова шума с центральной частотой со0, рав- равной резонансной частоте усилителя, на выходе присутствует
Глава 7. Корреляционная теория случайных процессов также детерминированный гармонический сигнал Umcosai6t с известной амплитудой Um. Простейшей задачей является нахождение одномерной плотности вероятности огибающей суммарного колебания. Считая, что полезный сигнал s(c) = (/„.costogt, в -то время как шум n(t) =/f(()cosM0t - B(t)sinci)of, запишем выражение реализации суммарного процесса X(t): х(г) = s(t) + п(г) = [и„ + X(t)]coseo0t - ?(r)sincoor. ¦ Данный случайный процесс узкополосен,\ поэтому его реализация может быть выражена посредством медленно меняющихся огибающей V (г) и начальной фазы <р(г): Очевидно, между парами {А, В}, {U, <р} имеется связь: G.76) Легко проверить, что якобиан D этого преобразования равен С/. Тогда, поскольку двумерная плотность вероят- вероятности Типичная реали- реализация огибающей узконолосного шу- шума v в огибающей про- процесса вида «гармо- «гармонический сигнал + + узкополосный шум» и в новых переменных имеем V вф! G.77) Теперь, чтобы получить одномерную плотность вероят- вероятности огибающей, следует проинтегрировать правую часть формулы G.77) по угловой координате: О в результате чего находим | р(Ц) = A//СТаехр[-A/2 + 1/Д/BрЭ]/0(С/С/.А1Э| G-78) Данная формула выражает закон, получивший в радиотехни- радиотехнике название закона Раиса. Отметим, что при им = 0, т. е. в от- отсутствие детерминированного сигнала, закон Раиса переходит в закон Рэлея. На рис 7.2 представлены графики плотности вероятности случайной величины, распределенной по закону Раиса при различных отношениях а = и„/ах. Отметим, что если амплитуда детерминированного сигнала значительно превышает среднеквадратический уровень шума, т. е. Um/ox» 1, то при U as Um можно воспользо- воспользоваться асимптотическим представлением модифицированных функций Бесселя с большим аргументом:
7.3. Узкополосные случайные процессы 181 Цветом выделена кривая, отвечаю- отвечающая закону Рэлея Рис. 7.2. Графики плотности вероятности случайной величины, рас- распределенной по закону Раиса P(V) 4 Подставив это выражение в G.78), имеем 1 схрГ W-VJ] |/&«J, L 2ст- J' G.79) т. е. огибающая результирующего сигнала распределена в этом случае приближенно нормально с дисперсией ах и математическим ожиданием Um. Практически считают, что уже при UJax = 3 огибаю- огибающая результирующего сигнала нормализуется. Полезио вспом- вспомнить, что огибающая чистого шума, распределенная по закону Рэлея, имеет дисперсию, равную 0.429а*. Таким образом, наложение достаточно большого гармонического сигнала приводит более чем к двукратному росту дисперсии огибающей. Тем не менее относительные флуктуации оги- огибающей при этом падают. Действительно, для чистого шума величина gv/U, которую удобно принять в качестве число- числовой оценки флуктуации, равна 0.523^ При большом детер- мированном сигнале величина ст^/Г/ = cx/Um, стремясь к нулю с ростом амплитуды Um. Следует обратить внимание на изме- изменение среднего зна- значения н дисперсии вод влиянием гар- гармонического сиг- сигнала Результаты ОО Случайная спектральная плотность отдельных реализаций стационарного случайного процесса дельта-коррелирована и имеет на всех частотах нулевое математическое ожидание. ОО Преобразование Фурье от функции корреляции называется спектральной плотностью мощности стационарного случайного процесса. Чем шире этот спектр, тем хаотичнее реализации случайного процесса. ОО Для того чтобы случайный процесс был дифференцируемым, необходимо существование второй производной функции корреляции при нулевом зна- значении аргумента. ОО Мгновенные значения реализации случайного процесса и его производной в совпадающие моменты времени некоррелированы. . ,- ¦ *'
182 Глава 7. Корреляционная теория случайных процессов ОО Реализации случайного сигнала на выходе идеального интегратора обра- образуют нестационарный случайный процесс даже в том случае, если входной случайный процесс стационарен. ОО Реализации узкополосного случайного процесса представляют собой квазигар- квазигармонические колебания, случайно модулированные по амплитуде и по фазовому углу. ОО Функция корреляции узкополосного случайного процесса представляется в виде произведения быстрого и медленного сомножителей. ОО Узкополосный случайный процесс и его преобразование Гильберта в совпа- совпадающие моменты времени некоррелированы между собой. ОО Огибающая узкополосного нормального случайного процесса распределена по закону Рэлея; начальная фаза этого процесса имеет равномерное распре- распределение. ОО Нормированная функция корреляции огибающей узкополосного случайного процесса приблизительно равна квадрату огибающей нормированной функции корреляции самого процесса. ОО Огибающая суммы гармонического сигнала, и узкополосного гауссова шума, центральная частота спектра мощности которого совпадает с частотой сигнала, распределена по закону Раиса. При больших отношениях сигнал/шум плотность вероятности огибающей близка к нормальной. Вопросы 1. Некоторый случайный процесс изучают в рамках корреляционной теорнн. Какой смысл вкладывается в это высказыванье? 2. Как формулируется теорема Вннера — Хннчина? 3. Каковы основные свойства спектраль- спектральной плотности мощности стационарного слу- случайного процесса? 4. Как определяется понятие односто- одностороннего спектра мощности? Как, зиая спектр мощности, вычислить дисперсию стационар- стационарного случайного процесса? 5. Почему случайный процесс типа белого шума называют дельта-коррелированным случайным процессом? Каковы основные свойства белого шума? В каких случаях реальный случайный процесс можно прибли- приближенно заменить белым шумом? Задачи 1. Вычислитеспектрмощиостистационар- ного случайного пропесса, описываемого функцией корреляции О, |т|>*о. 2. Найдите функцию корреляции стацио- стационарного случайного пропесса, имеющего 6. Как в теории случайных процессов определяют понятия сходимости н непрерыв- непрерывности? 7. Каковы отличительные свойства иеднф- фереицируемых случайных процессов? 8. Как вычисляются дисперсия; функция корреляции и спектр мощности для произ- производной от стационарного случайного про- процесса? 9. Как определяется понятие положитель- положительного выброса случайного процесса? 10. Что такое квазнчастота стационарно- стационарного случайного процесса? 11. Каков примерный вид реализаций узкополосного случайного процесса? 12. Как выглядит характерная осцилло- осциллограмма случайного сигнала с рзлеевской плотностью вероятности мгновенных значе- значений? спектральную плотность мощности 3. Односторонний спектр мощности ста- циоиарвого случайного процесса X(t) задан формулой где А, /0 — постоянные величины. Опреде- Определите функцию корреляции процесса. w
Более сложные задания 183 4. Найдите интервал корреляции стацио- стационарного случайного процесса с функцией корреляции Я(т) = <у2ехр(—а|т|). 5. Стационарный случайный процесс имеет эффективную ширину спектра, равную 1.5 МГц. Максимальное значение одно- одностороннего спектра мощности составляет 3-Ю3 В2/Гц. Определите дисперсию дан- данного процесса. 6. Полагая, что в течение месяца тем- температура воздуха является реализацией ста- стационарного случайного процесса, предложите оценку для его интервала корреляции. 7. Найдите дисперсию производной слу- случайного процесса с функцией корреляции вида Л(т) = а2A+о|т|)ехр(-о|т|). 8. Стационарный случайный процесс име- имеет спектр мощности, представляемый гра- графиком: Докажите, что этот случайный процесс дифференцируем и найдите дисперсию его F дсо а 9. Квазичастота случайного процесса с дисперсией 8 В2 равна 0.5 МГц. Определи- Определите дисперсию производной данного случай- случайиого процесса. 10. СтаццоиарныйслучайныйпроцессАг(() имеет односторонний спектр мощности F (ш) = I F° ПрИ ш» ** ш ** ю* ( 0 при со < to,, to > Юг- Реализации процесса представлены в виде x(t) = A(t)cos<O(,t - B(?)sincoof, где Oq = = (со2 - «ОД. Найдите функции корреляции Ra(t) и Rb(t), а также взаимную функцию корреляции 11. Найдите среднее значение и диспер- дисперсию огибающей уэкополосного нормального случайного процесса с функцией корреля- корреляции Л(т) = 25ехр(-4- 106t2)cos109t. 12. Узкополосный нормальный случайный процесс X{t) имеет функцию корреляции Найдите функцию корреляции и спектр мощности огибающей этого пррцесса. Более сложные задания 13. Исследуйте функцию корреляции про- процесса вида «случайного телеграфного сиг- сигнала». Его реализации являются разрывны- разрывными функциями, принимающими с равной вероятностью лишь два значения: +а и —о: —1 i— +° В случайные моменты времени знак реали- реализации изменяется скачком. Вероятность того, что за время Т произойдет п перемен знака, описывается законом Пуассона: п! где X — параметр, определяющий скорость изменения процесса во времени. 14. Узкополосный нормальный случайный процесс имеет функцию корреляции Докажите, что квадрат огибающей этого процесса имеет функцию корреляции R(z) = 22 15. Узкополосныйиормальныйслучайный процесс характеризуется функцией корреля- корреляции, приведенной в задаче 14. Найдите одномерную плотность вероятности мгно- мгновенной частоты данного процесса.
2.Радио/ технические цепи, устройства и системы Глава 8 Воздействие детерминированных сигналов на линейные стационарные системы Системы, применяемые для обработки, преобразования и передачи сигналов, весьма разнообразны по принципам внутреннего устройства и внешним характеристикам. Для того чтобы их можно было сравнивать и классифи- классифицировать, сформулируем исходные понятия. 8.1. Физические системы и их математические модели Радиотехническое устройство незанисимо от своего назна- назначения и уровня сложности представляет собой систему, т. е. совокупность физических объектов, между которыми существуют определенные взаимодействия. В структуре систе- системы можно выделить вход, на который подается исходный сигнал, и выход, откуда снимается преобразованный сигнал. Если интересуются лишь связью между сигналами на входе и выходе и не описывают внутренние процессы в системе, то говорят, что система представляет собой «черный ящик». Системнее операторы, В наиболее простом случае как входной сигнал ивх ((), так и выходной сигнал ивых (t), называемый также откликом или выходной реакцией систе- системы, описываются одиночными функциями времени. В более общем случае входной сигнал представляется в виде т- мериого вектора tL @ = Ка (О, Щ,г @, ¦ ¦ ¦, щ™ («)}, а выходной сигнал — в виде n-мерного вектора йш* @ = Кы*1 it), ЫшиЛ Ц),... , ИЕЫ„ [t)} .
8.1. Фязлческнс системы и их математические модели 185 Закон связи между сигналами UBX(t) и Uuux(t) задают ^ системным оператором Т, результатом воздействия которого системный опера- на сигнал Цвх служит сигнал ишых: тор \ ]" I Пример 8.1. Предположим, что некоторая система преобра- преобразует одномерный входной сигнал по закону uBba(t)=l5duBX{t)/dt. В данном случае системный оператор может быть записан так: d( Из этого выражения непосредственно вытекает структурная схе- схема системы, образованная каскадным соединением масштабного звена (идеального усилителя) и дифференциатора. Чтобы полностью определить задачу, следует указать также область Dvs некоторого функционального пространст- пространства, которая называется областью допустимых входных воздействий. Задание этой области описывает характер входных сигналов, которые, могут быть непрерывными или дискретными, детерминированными или случайными. Подоб- Подобным же образом должна быть указана область В^ц до- допустимых выходных сигналов. В настоящей главе рассматриваются только системы, на которые воздействуют аналоговые сигналы. Преобра- Преобразование дискретных и цифровых сигналов линейными системами изучается в гл. 15. Математической моделью системы называют совокупность системного оператора Т и двук областей допустимых сигналов D№ D№X. Классификацию систем проводят на основании сущест- существенных свойств их математических моделей. Стационарные и нестационарные системы. Принято говорить, что система стационарна, если ее выходная реакция ие зависит от того, в какой момент времени поступает входной сигнал. Если Т — оператор стационарной системы, то из равенства иаыЛ*) = Тип{1) (8.2) следует, что ивых {t ± t0) = Tt/BK (t ± t0) (8.3) при любом значении t0. Стационарные системы называют также системами с постоянными во времени параметрами. Если же свойства системы не инвариантны относительно выбора начала отсчета времени, то такую систему назы- называют нестационарной (системой с переменными во времени параметрами или параметрической системой).
186 Глава 8. Воздействие сигналов иа линейные стационарные системы Теоретическое изу- изучение нестационар- нестационарных систем, как правило, представ- представляет гораздо более сложную задачу, чем исследование стационарных си- систем принцип суперпози- суперпозиции Оба указанных класса систем широко применяются в радиотехнике и будут изучаться в данном курсе. Линейные и нелинейные системы. Важнейший принцип классификации систем основан на том, что различные системы по-разному ведут себя при подаче на вход суммы нескольких сигналов. Если оператор системы таков, что справедливы равенства (8.4) где a — произвольное число, то данная система называется линейной. Условия (8.4) выражают фундаментальный принцип суперпозиции. Если эти условия ие выполняются, то говорят, что система является нелинейной. Пример 8.2. Некоторая система производит обработку входного сигнала по закону ¦[*• Непосредственной проверкой убеждаемся, что условия (8.4) выполняются. Таким образом, данная система линейна. Пример 8.3. Некоторая система работает как идеальный квад- квадратор в соответствии с алгоритмом uBbra(r) =ulx(t). Подав на вход сумму двух сигналов uMi + uM2j на выходе получим [2 + ««2- Наличие перекрестного слагаемого 2ит\щхг указывает на то, что данная система нелинейна. Как будет показа- Строго говоря, все физические системы, с которыми но в дальнейшем, имеет дело радиотехника, в той или иной степени нелинейны. линейные системы Однако существует много систем, которые весьма точно замечательны тем, описываются линейными моделями. Так, практически всегда что, по крайней ме- можно пренебречь нелинейностью обычных резисторов, кон- ре теоретически, денсаторов и некоторых индуктивных элементов. можно решить лю- Нелинейные радиотехнические устройства содержат в себе бую задачу о пре- обычно такие элементы, как полупроводниковые диоды и образовании вход- транзисторы, имеющие вольт-амперные характеристики слож- сложного сигнала такой ного вида. системой Теория нелинейных систем оказывается, как правило, довольно сложной. Далеко ие все результаты могут быть получены здесь аналитическим путем. Однако именно с помощью нелинейных элементов осуществляются важнейшие преобразования радиотехнических сигналов. Методы анализа и расчета некоторых нелинейных радиотехнических устройств рассмотрены в гл. 11. Сосредоточенные и распределенные системы. Другой крите- критерий классификации радиотехнических систем основан на со-
8.2. Импульсные, переходные и частотные характеристики систем [доставлении физических размеров системы и рабочей длины волны. Если характерный размер системы (например, наиболь- наибольшая длина соединительных проводников цепи) оказывается гораздо меньше длины волны, то получается сосредоточенная система. В сосредоточенной электрической цепи всегда можно вы- выделить физические области с преимущественной локализацией энергии электрического поля (конденсаторы) и магнитного поля (индуктивные элементы). Свойства сосредоточенных цепей слабо зависят от конфигурации соединительных про- проводников, поэтому для описания таких цепей принято использовать их абстрактные модели, называемые принципиаль- принципиальными схемами. В радиотехнике сосредоточенные системы широко при- применяют вплоть до рабочих частот в несколько сотен мегагерц. Анализ и расчет сосредоточенных радиотехни- радиотехнических систем проводят с помощью известных законоЕ Кирхгофа На частотах в несколько тысяч мегагерц, в так назы- называемом сверхвысокочастотиом (СВЧ) диапазоне, физические размеры большинства устройств оказываются сравнимыми с длиной волны передаваемых колебаний, так что становится необходимым учет конечного времени распространения сигнала. Обычные электрические цепи в столь высоко- высокочастотном диапазоне уже не могут использоваться и на смену им приходят системы с распределенными пара- параметрами (распределенные или волновые системы). Так, вместо соединительных проводников применяются отрезки металли- металлических труб — волноводы, вместо колебательных LC-конту- ров — их распределенные аналоги, называемые объемными резонаторами. Теория, методы анализа и проектирования распределенных систем достаточно сложны и составляют содержание отдельных радиотехнических дисциплин. Закончив краткий обзор принципов классификации систем, сконцентрируем внимание на простейшем их виде —линей- —линейных стационарных системах с сосредоточенными пара- параметрами. 8.2. Импульсные, переходные и частотные характеристики линейных стационарных систем Замечательная особенность линейных систем — справедли- справедливость принципа суперпозиции — открывает прямой путь к си- систематическому решению задач о прохождении разнообраз- разнообразных сигналов через такие системы. Способ динамического представления (см. гл. 1) позволяет представлять сигналы в виде сумм элементарных импульсов. Если удастся тем или иным способом иайти реакцию иа выходе, возникающую под воздействием элементарного импульса иа входе, то окончательным этапом решения задачи явится суммирование таких реакций. Интегральные ми- микросхемы — при- пример сосредоточен- сосредоточенных систем Волновод — при- пример распределен- распределенной системы
Глава 8. Воздействие сигналов на линейные стационарные системы В математике нм- нульсную характе- характеристику называют функцией Грина рассматриваемого оператора физический смысл импульсной харак- характеристики Намеченный путь анализа основан на временном пред- представлении свойств сигналов и систем. В равной мере при- применим, а порой и гораздо более удобен анализ в частотной области, когда сигналы задаются рядами или интегралами Фурье. Свойства систем при этом описываются их частот- частотными характеристиками, которые указывают закон преобра- преобразования элементарных гармонических сигналов. Импульсная характеристика. Пусть некоторая линейная стационарная система описывается олератором Т. Для просто- простоты будем полагать, что входной и выходной сигналы одномерны. По определению, импульсной характеристикой системы называется функция h(t), являющаяся откликом системы иа входной сигнал 5 (г). Это означает, что функция h (t) удовлетворяет уравнению (8-5) Мгновенное значе- значение выходного си- сигнала является функционалом от входного сигнала. Поэтому импульс- импульсную характеристи- характеристику следует рас- рассматривать, строго говори, как обоб- обобщенную функцию (см. гл. 1) Поскольку система стационарна, аналогичное уравнение будет и в случае, если входное воздействие смещено во времени на производную величину t0- fc(t-fo) = T5(t-to). (8.6) Следует ясно представить себе, что импульсная характе- характеристика, так же как и порождающая ее дельта-функция, есть результат разумной идеализации. С физической точки зрения импульсная характеристика приближенно отображает реажцию системы на входной импульсный сигнал произ- произвольной формы с единичной площадью при условии, что длительность этого сигнала пренебрежимо мала по срав- сравнению с характерным временным масштабом системы, например периодом ее собственных колебаний. Интеграл Дюамеля. Зная импульсную характеристику линейной стационарной системы, можно формально решить любую задачу о прохождении детерминированного сигнала через такую систему. Действительно, в гл. 1 было показано, что входной сигнал всегда допускает представление вида "«(«)= ?и„<тN(*-т)сЧ. Отвечающая ему выходная реакция и,»@ = Ти„М = Т f iv(tN(t-T)dT. (8.7) Теперь примем во внимание, что интеграл есть пре- предельное значение суммы, поэтому линейный оператор Т на основании принципа суперпозиции может быть внесен под знак интеграла. Далее, оператор Т «действует» лишь на величины, зависящие от текущего времени г, но не от переменной интегрирования т. Поэтому из выражения (8.7) следует, что и„и,(<)= J ".
8.2. Импульсные, переходные и частотные характеристики систем или окончательно А (8.8) - решите задачу 1 Эта формула, имеющая фундаментальное значение в теории линейных систем, называется интегралом Дюамеля. Соотношение (8.8) свидетельствует о том, что выходной сигнал линейной стационарной системы представляет собой свертку двух функций — входного сигнала и импульсной характеристики системы. Очевидно, формула (8.8) может быть записана также в виде | u,I(t-t)fc(x)dx. (8.9) Итак, если импульсная характеристика h(t) известна, то дальнейшие этапы решения сводятся к полностью фор- формализованным операциям. Если интегралы (8.8) и (8.9) не удается иайти ана- аналитически, всегда возможен числен- численный анализ с по- помощью ЭВМ Прямер 8.4. Некоторая линейная стационарная система, внут- внутреннее устройство которой несущественно, имеет импульсную харак- характеристику, представляющую собой прямоугольный видеоимпульс дли- длительностью Т. Импульс возникает при f = 0 и обладает ампли- амплитудой Ао: {О, ( < О, Ао, OsSf О, t > Т. Определить выходную реакцию данной системы при подаче на вход ступенчатого сигнала uBx№= Uoa(t). Применяя формулу интеграла Дюамеля (8.8), следует обратить внимание на то, что выходной сигнал будет выглядеть по- разиому в зависимости от того, превышает или иет текущее значе- значение t длительность импульсной характеристики. При 0 ^ t ^ Т имеем .t А о т Если же о^Т, то при т>Г функция h(t — т.) обращается в нуль, поэтому Найденная выходная реакция отображается кусочно-линейным графиком. Обобщение на мюгомерньй случай. До сих пор пред- предполагалось, что как входной, так и выходной сигналы одномерны. В более общем случае системы с m входами и п выходами следует ввести парциальные импульсные характе- характеристики fty(t), * = 1. 2,...,п; ]= 1, 2,...,1и, каждая из которых1
190 Глава 8. Воздействие сигналов на линейные стационарные системы отображает сигнал иа i-м выходе при подаче на _/-й вход дельта-функции. Совокупность функций Ьц (t) образует матрицу импульсных характеристик Примеры импульс- импульсных характеристик реализуемых сис- систем (8.10) ( / Формула интеграла Дюамеля в многомерном случае приобретает вид ы @ = I h (t - т) и„ (т) di, (8.11) где t/дых — n-мерный вектор; UBX — m-мерный вектор. Условие физической реализуемости. Каков .бы ни был конкретный вид импульсной характеристики физически осуществимой системы, всегда должен выполняться важней- важнейший принцип: выходной сигнал, отвечающий импульсному входному воздействию, не может возникнуть до момента появления импульса на входе. Отсюда вытекает очень простое ограничение иа вид до- допустимых импульсных характеристик: fc(r) = 0 при i<0. (8.12) Такому условию удовлетворяет, например, имупльсная характеристика системы, рассмотренной в примере 8.4. Легко видеть, что для физически реализуемой системы верхний предел в формуле интеграла Дюамеля может быть заменен иа текущее значение времени: ix (О = 1 и„ (т) h {f - г) их. (8.13) Формула (8.13) имеет ясный физический смысл: линейная стационарная система, выполняя обработку поступающего на вход сигнала, проводит операцию взвешенного суммиро- суммирования всех его мгновенных значений, существовавших «в прошлом» при — оо < т < t. Роль весовой функции выпол- выполняет при этом импульсная характеристика системы. Принци- Принципиально важно, что физически реализуемая система ни при каких обстоятельствах ие способна оперировать «будущими» значениями входного сигнала. Физически реализуемая система должна быть, кроме того, устойчивой. Это означает, что ее импульсная харак- характеристика должна удовлетворять условию абсолютной ин- интегрируемости |*(t)|d«<oo. (8.14) Переходша характеристика. Пусть на входе линейной стационарной системы действует сигнал, изображаемый
* 8.2. Импульсные, переходные и частотные характеристики систем функцией Хевисайда er(t). Выходную реакцию *(t> = To(t) (8.15) принято называть переходной характеристикой системы. Поскольку система стационарна, переходная характеристика инвариантна относительно временного сдвига: g (i- t0) = То (Г -to)- Высказанные ранее соображения о физической реали- реализуемости системы полностью переносятся иа случай, когда система возбуждается не дельта-функцией, а единичным скачком. Поэтому переходная характеристика физически реали- реализуемой системы отлична от нуля лишь при t ^ 0, в то время как g(t) = О при ( < 0. Между импульсной и переходной характеристиками имеет- имеется тесная связь. Действительно, так как 6(() = do/dl, то на основании (8.5) Оператор дифференцирования d/di и линейный стацио- стационарный оператор Т могут меняться местами, поэтому (8.16) g(t) = i *ft)dtl. (8.17) Воспользовавшись формулой динамического представления A.4) и поступая так же, как и при выводе соотношения (8.8), получаем еще одну форму интеграла Дюамеля: и.» If) = К» №* If) + J ~-g If - т) dt. (8.18) О Частотный коэффициент передачи. При математическом исследовании систем особый интерес представляют такие входные сигналы, которые, будучи преобразованы системой, остаются неизменными по форме. Если имеется равенство «»«@ = Тц,,@ = Хип@, (8.19) то «ахР) является собственной функцией системного опера- тора Т, а число \ в общим случае комплексное,— его собственным значением. Покажем, что комплексный сигнал ubX{t) — exp(fcDJ) при любом значении частоты ю есть собственная функция линейного стационарного оператора. Для этого воспользуемся интегралом Дюамеля вида (8.9) и вычислим J е*<*-*>*(T)dT = j; J А(т)е-^ах]ехрОг). (8.20)
192 Глава 8. Воздействие сигналов на линейные стационарные системы Здесь Xj, (/со) — ча- частотный коэффи- коэффициент передачи ме- между /-М ВХОДОМ И 1-М ВЫХОДОМ Отсюда видно, что собственным значением системного оператора является комплексное число Имеются приборы, позволяющие экс- экспериментально из- измерять' АЧХ и ФЧХ радиотехни- радиотехнических устройств л самых различных цналазоиах частот (8.21) называемое частотным коэффициентом передачи системы. Формула (8.21) устанавливает принципиально важный факт — частотный коэффициент передачи и импульсная харак- характеристика линейной стационарной системы связаны между собой преобразованием Фурье. Поэтому всегда, зиая функцию K(j(d), можно определить импульсную характеристику (8.22) Мы подошли к важнейшему положению теории линейных стационарных систем — любую такую систему можно рас- рассматривать либо во временной области с помощью ее импульсной или переходной характеристик, либо в частотной области, задавая частотный коэффициент передачн. Оба под- подхода равноценны и выбор одного из них диктуется удобствами получения исходных данных о системе и просто- простотой вычислений. В заключение отметим, что частотные свойства линейной системы, имеющей m входов н п выходов, можно описать матрицей частотных коэффициентов передачн К(/ш) = (8.23) Между матрицами h(t) и КО"'») существует закон связи, аналогичный тому, который задан формулами (8.21), (8.22). Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики. Функция K(jm) имеет простую интерпретацию: если на вход системы поступает гармонический сигнал с известной часто- частотой ш и комплексной амплитудой #„„ то комплексная амплитуда выходного сигнала #„, = К №)(!.,. (8.24) Часто пользуются представлением частотного коэффи- коэффициента передачн в показательной форме: КС/«) = |КС/(о)|ехр[/Ф|?((о)]. (8.25) Обе входящие сюда вещественные функции носят спе- специальные названия: \ К (jfa)\ — амплитудно-частотная харак- характеристика (АЧХ), фк (ю) — фазочастотная характеристика (ФЧХ) системы.
8.2. Импульсные, переходные и частотные характеристики систем Отравлен», накладываемые на частотный коэффициент ¦ередачм. Далеко не каждая функция К (/со) может являться частотным коэффициентом передача физически реализуемой системы. Простейшее ограничение связано с тем, что импульс- импульсная характеристика Л (г) такой системы обязана быть ве- вещественной. В силу свойств преобразования Фурье (см. гл. 2) это означает, что К(/О)) = К*(-». (8.26) В соответствии с формулой (8.26) модуль частотного коэффициента передачи (АЧХ) есть четная, а фазовый угол (ФЧХ) — нечетная функция частоты. Гораздо сложнее ответить на вопрос о том, каким должен быть частотный коэффициент передачи для того, чтобы выполнялись условия физической реализуемости (8.12) и (8.14). Приведем без доказательства окончательный ре- результат, известный под названием критерия Шли — Винера: частотный коэффициент передачи физически реализуемой системы должен быть таким, чтобы существовал интеграл (8.27) = Рассмотрим конкретный пример, иллюстрирующий свойст- свойства частотного коэффициента передачи линейной системы. свойства и ФЧХ АЧХ критерий Пэлн— Винера Пример 8.5. Некоторая линейная стационарная система имеет свойства идеального ФНЧ, т. с ее частотный коэффициент пере- передачи задается системой равенств: г<0 Г О, со < -«в, )-•< Ко, -сов<со (. О, со > «в. [а осно D фиЛЫ Jia основавии выражения такого фильтра (820) импульсная характеристика со,( (878) Симметрия графика этой функции относительно точки t = О свидетельствует о нереалнзуемости идеального фильтра нижних частот. Впрочем, этот вывод непосредственно вытекает из критерия Пэли — Винера. Действительно, интеграл (8.27) расходится для любой АЧХ, которая обращается в нуль иа некотором конечном отрезке осн частот. Несмотря иа нереализуемость идеального ФНЧ, эту модель с успехом используют для приближенного описания свойств частотных фильтров, полагая, что функция ?С(/ш) содержит фазо- фазовый множитель, линейно зависящий от частоты: Г < О, со < — cog, ) = ^ tfoexp(-juMo О, со > сов. -<¦>» < со < со,, ¦
Глава 8. Воздействие сигналов на линейные стационарные системы Как нетрудно проверить, здесь импульсная характеристика *«. sincoB(f — fc) (8.29) m.(t-tc) Параметр го> равный по модулю коэффициенту наклона ФЧХ, определяет задержку во времени максимума функции />(;). Ясно, что данная модель тем точнее отображает свойства реализуемой системы, чем больше значение t0. 8.3. Линейные динамические системы Линейными динамическими системами принято называть устройства, характеризуемые следующим свойством: их выход- выходной сигнал определяется не только величиной входного сигнала в рассматриваемый момент времени, ио и «предысто- «предысторией» этого сигнала. Иначе говоря, динамическая система обладает некоторой конечной или бесконечной «памятью», от характера которой зависят особенности преобразования входного сигнала. Системы, описываемые дифференциальными уравнениями. / Среди всевозможных динамических систем большое значе- Именно такой ока- ние для теоретической радиотехники имеют те, которые зывается динами- описываются дифференциальными операторами. В общем ческая связь меж- случае речь идет о системах, для которых связь между ду мгновенными одномерными входным и выходным сигналами устанавли- значеииями вход- вается с помощью следующего дифференциального уравнения: ного н выходного сигналов в элект- электрической цени с со- сосредоточенными параметрами. Если цепь линейна и ста- стационарна, то все коэффициенты оо, а\, .... а„ и bo, Ь\. ..., Ьт—постоян- Ьт—постоянные вещественные числа (8.30) Предположим, что входной сигнал uBX(t) задан. Тогда правая часть уравнения (8.30), которую можно условно обозначить/(г), является известной функцией. Анализ поведе- поведения системы сводится при этом к хорошо изученной в математике проблеме решения линейного дифференциаль- дифференциального уравнения «-го порядка с постоянными коэффициентами: # aH-^i-+aH.1 df,.i +-+fll-5r+fl0»BIJX = /(r). (8.31) порядок днвамнче- Порядок и этого уравнения принято называть порядком ской системы динамической системы. Рассмотрим несколько примеров динамических систем и соответствующих им дифференциальных уравнений. Примера 8.6. Дана RC-цепь вида Т-образного четырехполюсника, возбуждаемая со стороны входа источником ЭДС uBX(t). Выходным сигналом служит напряжение на конденсаторе. Поскольку ток в цепн i(() = CduBbtx/dt, используя второй закон Кирхгофа, получаем дифференциальное уравнение RC (8.32)
8.3. Линейные динамические системы 193 Системы нервого порядка называют также инерцион- инерционными звеньями Итак, ЛС-цепь служит примером динамической системы 1-го порядка. Важнейший параметр этой цепн — постоянная времени т = RC, определяющая характерный временной масштаб протекания процессов в системе. Пример 8.7. Дана более сложная система, образованная двумя RC-цепями, которые разделены идеальным усилителем с коэффи- коэффициентом усиления Ко. Входное сопротивление усилителя неограни- неограниченно велико, а выходное сопротивление бесконечно мало, поэтому усилитель является идеальным элементом развязки между цепями. Вводя две постоянные времени xr = R1Cl н т2 = R2Ci, по аналогии с предыдущим примером имеем следующие дифферен- дифференциальные уравнения 1-го порядка: t—-+Ut=UBli(t). at Исключив отсюда вспомогательную величину и%, получаем диф- дифференциальное уравнение цепн: ДЧы, dl ~+ fa (8.33) —Vs Рассмотренная здесь более сложная ЛС-цепь оказывается уже системой 2-го порядка. Пример 8,8, Найти дифференциальное уравнение параллельного юлебательного контура с потерями, считая, что входным сигна- служит ток i(t\ а выходным сигналом является напряжение на контуре. Суммируя токи -с' <**-*/' получаем уравнение с?4 ]""«¦*¦' решите задачу 4 которое путем однократного дифференцирования по временя при- приводится к виду d2u . du 2 1 di dr2 d( ° С At' где a = \/{2RC) — коэффициент затухания контура, со0 = \\ частота собственных колебаний в контуре без потерь. (8.34)
Глава 8. Воздействие сигналов на линейные стационарные системы Собственные колебании дннампеских систем. Чтобы пол- полиостью определить поведение динамической системы, опи- описываемой уравнением (8.31), требуется учесть начальные условия, которые характеризуют внутреннее состояние систе- системы в некоторый фиксированный момент времени. Обычно принято задавать искомую функцию и ее и — 1 производную при г = 0: и„ыД0), «'.„.(О),...,^-»^). Из теории дифференциальных уравнений известно [9], что решением уравнения (8.31), удовлетворяющим любым началь- начальным условиям, является сумма некоторого частного решения неоднородного уравнения, у которого правая часть /(() отлична от нуля, и общего решения однородного урав- уравнения свойство корней характеристиче- характеристического уравнения Данный термин возник в астроно- (8-35) Проблема решения однородного дифференциального урав- уравнения связана с нахождением корней характеристического уравнения системы а„У + а„- {f~1 -\ h аху + а0 = 0. (8.36) Данное уравнение имеет ровно и корней. Поскольку коэффициенты уравнения вещественны, корни уь Y2,---,Yii могут быть либо вещественными, либо комплексно-сопряжен- комплексно-сопряженными. Если все корнн различны, то общее решение однородного уравнения (8.35), которое описывает собствен- собственные колебания системы, имеет вид где Сь Сг*---,СЯ — постоянные числа, определяемые из на- начальных условий. Если же некоторые из корней оказываются кратными, то составляющие общего решения однородного уравнения не- несколько усложняются за счет появления секулярных (вековых) множителей. Так, если у,- представляет собой /с-кратный корень, то ему отвечает совокупность собственных колебаний вида exp(y,r), rexp(yi(),...,tk-1exp(yir). Рассмотрим примеры собственных колебаний в линейных стационарных цепях. Пример 8.9. Апериодическая разрядка конденсатора емкостью С, предварительно заряженного до напряжения Uo и в момент времени t = 0 замыкаемого на резистор сопротивлением R. Цепь описывается следующим дифференциальным уравнением относительно переменной uc ~ напряжения на конденсаторе: Т при единственном начальном условии ис@) = Uo. Характеристическое уравнение ху + 1 = 0 иЬгсет корень у = — 1/т. Отсюда находим общее решение уравнения свободных колебаний: Постоянная време- времени т= КС
Бщ1БннвЁ&?Ь? В контуре с индук- индуктивным элементом ток не может изме- измениться скачком Напряжение на ре- резисторе в началь- начальный момент време- времени равно нулю в си- силу нервого условии 8.3. Для того чтобы удовлетворить начальному условию, следует положить А = Uo. Окончательно имеем uc(t) = Uoexp(-t/z). Итак, отрицательному вещественному корню характеристического уравнения отвечает собственное колебание, экспоненциально убы- убывающее во времени. Постоянная времени т данной цепн есть промежуток времени, в течение которого свободный процесс затухает в е = 2.71828... раз. Пример 8.10. Колебательная разрядка конденсатора. Пусть предыдущий пример усложнен тем, что в цепн имеется также индуктивный элемент L Дифференциальное уравнение цепн относительно тока i(t% составленное на основании второго закона Кирхгофа, имеет вид —5- + 2а —- + аф = О, (8.38) Первое начальное условие i@) = 0 обусловлено наличием в кон- контуре индуктивного элемента. В начальный момент времени напряжение на конденсаторе уравновешивается ЭДС самоиндукции: °+ <Н_0~ ' откуда следует второе начальное условие: = -V0/L з Характеристическое уравнение данной цели у2 + 2ау + со2, = О имеет комплексно-сопряженные корни Ti.2 = -« ±j]/tal - а2 = -а ± jcoc. где Шс — частота собственных колебании системы. Еслн потерн в кои- туре достаточно малы, то ио » о, поэтому щ,.«соо- Общее решение однородного уравнения i(t) = Ci&* + C2eytt (8.39) содержит коэффициенты Сх н С2, удовлетворяюшие системе ал- алгебраических уравнений (см. начальные условия): С| + Сг = 0, Подставив эти коэффициенты в выражение (8.39), получим окончательно (8.40)
Глава 8. Воздействие сигналов иа линейные стационарные системы Частотный коэффици ередачи. Если на вход линейной динамической системы поступает сигнал, имеющий комплекс- комплексную математическую модель вида ивХ(() = ехр(/о>0, то сигнал на выходе uBblx(f) = JC(^»)exp(/o>f). Подставляя этн выражения в (8.30), после сокращения на общий множитель находим частотный коэффициент передачи системы: 10*») + «о (8.41) Частотный коэф- Итак, частотный коэффициент передачи любой дниами- фнциеит нередачи ческой системы, описьшаемой обыкновенными днффереицналъ- раслределениой си- ными уравнениями с постоянными коэффициентами, пред- стемы свободен; от ставляет собой дробио-рациональную функцию переменной этого ограничении ja>; коэффициенты этой функции совпадают с коэффициента- н может оиисы- ми дифференциального уравнения. ваться более слож- В инженерных расчетах частотный коэффициент передачи ными функциями линейных4систем часто находят методами теории цепей на основании принципиальных схем, не прибегая к составлению дифференциальных уравнений. Рассмотрим некоторые при- примеры. Пример. 8.11. Частотный коэффициент передачи напряжения RC-uenu, схема которой приведена в примере 8.7. Здесь 1/(/о>С) R + 1/0юС) 1 +рп' где т = ЯС-постоянная времени. Уравнение АЧХ принимает вид (8.42) АЧХ -р. l/l + raV ФЧХ определяется следующим образом: ФкМ = -arctg(o>T>. Вид АЧХ указывает иа то, что такая цепь может исполь- использоваться в качестве фильтра нижних частот (ФНЧ). Пример 8.12. Частотный коэффициент передачи напряжения Т-образного четырехполюсника, собранного из элементов L, С, R: Здесь 1/раС) U ' R+J&L+ 1/0'оС) A - to2LC) + ;о>ЛС' откуда следует уравнение АЧХ 1/A - U-/LC решите задачу 5
8.3. Линейные динамические системы 199 н уравнение ФЧХ фк(со)= -arctg[coJ?C/(l -to2IC)]. Если сопротивленне_потерь R достаточно мало, так что доброт- добротность системы Q = \/LJCfR » 1, то данная цепь может с успехом выполнять роль полосового фильтра. Усилитель малых сигналов с апериодической нагрузкой. Типичным примером линейной динамической системы яв- является электронный усилитель напряжения (рис. 8.1, а, б). Для определенности в качестве управляемого элемента здесь взят биполярный транзистор типа п-р-п, включенный по схеме с общим эмиттером. Рис. 8.1. Усилитель напряжения: с —упрощенная принципиальная схема; 6 — эквш зистор нагрузки, Сп — паразитная емкость) глентная схема (Дн — ре- Паразнтная ем- емкость включает в себя выходную ем- емкость электронно- электронного прибора, а также емкость соедини- соединительных нроводнн- ков Чтобы любые такие устройства можно было аиализи- В усилителях при* ровать единообразно, принято использовать схемы замещения меняются также электронных приборов. Метод эквивалентных схем применим разнообразные по- тогда, когда амплитуды переменных напряжений малы настоль- левые транзисторы ко, что можно пренебречь нелинейностью внешних характе- н электронные лам- рнстик электронных приборов. Например, биполярный тран- ны зистор достаточно точно описывается линейной схемой за- замещения, если амплитуда переменной составляющей входного напряжения мала по сравнению с так называемым темпе- температурным потенциалом р-и-перехода «г = kT/et где к — посто- постоянная Больцмана; Т"— абсолютная температура перехода; е — заряд электрона. Как известно из теории цепей, схема замещения активного Прн Т = 300 К электронного прибора (рис. 8.1,6) содержит управляемый (стандартная тем- источник тока, создающий в выходной цепн ток — SuB% нерагу pa) темпера- (S — крутизна характеристики прибора в рабочей точке), а турный нотенцнал также выходное (внутреннее) сопротивление прибора Rf, нерехода равен 26 включенное параллельно источнику тока. мВ Нагрузкой усилителя является параллельное соединение сопротивления R» и емкости Сп; такую нагрузку принято называть апериодической в отлнчие от колебательной нагруз- нагрузки (LC-контура).
Глава 8. Воздействие сигналов на линейные стационарные системы Полная проводимость, включенная параллельно источнику тока, Отрицательный знак указывает на то, что при увеличе- увеличении наириженин на базе коллекторный ток возрастает н выходное напряже- напряжение уменьшается граничная частота усиления откуда частотный коэффициент передачи напряжения Если на вход усилителя подан гармонический сигнал с частотой со и комплексной амплитудой t/fcx, то комплексная амплитуда выходного напряжения (8.43) Ж , II , Таким образом, рассмотренный усилитель напряжения с резистивио-емкостной нагрузкой имеет частотный коэффи- коэффициент передачи такого же вида, как и RC-цепь. На нулевой частоте значение АЧХ максимально; модуль коэффициента усиления Ко = SR3K. С ростом частоты уси- усиление падает из-за шунтирующего действия паразитной емкости. Полосу пропускания усилителя принято оценивать граничной частотой <огр, на которой значения АЧХ умень- уменьшаются в ]/2 раз по сравнению с уровнем К„. Из (8.43) видно, что так как I к О*» ! ео2К2„С2 то <Вгр=1/(««С„). Пример 8.13. Усилитель, собранный по схеме рис. 8.1, имеет следующие параметры: К„ = 1.6 кОм, S = 20 мА/В, С„' = 30 пф, R, = 15 кОм. Вычислить коэффициент усиления на нулевой частоте и полосу пропускания усилителя. Прежде всего находим эквивалентное сопротивление нагрузки К„ = 1.6-15/A.6 + 15) = 1.45 кОм. Модуль коэффициента усиления на нулевой частоте Ко =20- НГ3-1.45- 10s = 29. Граничная частота усилителя шгр= 1/A.45-10' ЭКГ")» 2.3-10' с или /ц, = 3.66 МГц. решите задачу 10 Устойчивость дншияческих систем. По определению, линей- ш ная динамическая система называется устойчивой, если все ее устойчивость дн- собственные колебания затухают во времени. Необходимым намическон сясте- и достаточным условием устойчивости системы является мы отрицательность вещественных частей всех корней характе- характеристического уравнения (8.36).
8.3. Линейные динамические системы Эти кории ие должны быть также и чисто мнимыми. Хотя при этом собственные колебания есть гармонические функ- функции вида ««*(*) sin, (< COS небольшие случайные изменения параметров системы могут привести к переходу ее в неустойчивый режим, когда »соб ((> = ехр (ш) ^ (too*) представляют собой экспоненциально нарастающие по ампли- амплитуде колебания. Если порядок динамической системы достаточно высок, то прямая проверка устойчивости, основанная на поиске корней характеристического уравнения, может оказаться весьма за- затруднительной. Поэтому были разработаны специальные кри- критерии устойчивости, позволяющие определять наличие корней с положительными вещественными частями непосредственно по виду коэффициентов, минуя само решение характе- характеристического уравнения (см. гл. 14). Возникновение нарастающих собственных колебаний в электрических цепях возможно лишь тогда, когда в составе цепи, помимо пассивных элементов L, С, R, содержатся активные элементы, передающие в цепь часть энергии от внешних источников. Распространенной моделью такого актив- активного элемента служит резистор с отрицательным сопро- сопротивлением. Колебание в не- неустойчивой системе Рассматриваемая система будет са- монронзвольно возбу ждатъсн, если имеющееся в иен отрицательное со- сопротивление i?^ > >¦ iVip.itp Пример 8.14. Колебательный контур с параметрами С = 80 пф, L = 2J5 мкГн, J? = 12 Ом содержит резистор с отрицательным сопротивлением ROTp, включенный параллельно индуктивному элемен- элементу. Определить критическое значение этого сопротивления, кри котором возникает неустойчивость цепи. Дифференциальное уравнение данной цепи, составленное отно- относительно напряжения и иа индуктивном элементе, имеет вид (8.44) Корин Yi н у2 характеристического уравнения имеют ве- вещественные части Система переходит в неустойчивый режим, когда величина ReYi.2 обращается в нуль. Отсюда находим критическое значение отрицательного сопротивления: -2.6 кОм.
202 Глава 8. Воздействие сигналов иа линейные стационарные системы Описание линейных динамических систем в пространстве состояний. Любое дифференциальное уравнение п-го порядка вида (8.31) можно преобразовать в систему дифференциаль- дифференциальных уравнений 1-го порядка. Для этого следует ввести совокупность вспомогательных функций, построенную по пра- •- вилу: x1(t) = uBblx{t), x2(t) = uBblx{t), .... xn{t) = d&4t)- Дан- вектор состояния ные функции являются координатами вектора состояния системы X(t) = {xlt x2, .... хД который принадлежит пространству состояний рассматриваемой динамической системы. Легко видеть, что при этом уравнение (8.31) экви- эквивалентно следующей системе уравнений: —г^- at х2 +0х3 0х, +0х2 +х3 (8.45) .( ан х ан"- ан В матричном виде данная система записывается так: Здесь (8.46) При описании си- системы в простран- пространстве состояний матричная экспо- экспонента играет роль импульсной харак- характеристики — постоянная матрица коэффициентов; F = @,0 /) — век- тор-столбеп внешних сигналов, действующих на систему. Если ввести матричную экспоненциальную функцию по- посредством ряда exp(At) = I + At + ¦¦¦ + А"г>! + •¦¦, где I — единичная матрица размерности и х и, то решение уравнения (8.46) запишется в виде, формально полностью совпадающем с решением одномерного дифференциального уравнения 1-го порядка [42]: X (t) = exp (At) б + J ехр [A (t - -с)] Р (т) ch, (8.47) о где E — произвольный n-мерный вектор начальных условий.
8.4. Спектральный метод 8,4. Спектральный метод Говоря о спектральном методе анализа прохождения радиотехнических сигналов через линейные стационарные системы, обычно имеют в виду целый комплекс мате- математических приемов, в основе которых лежит использо- использование свойств частотного коэффициента передачи системы. Ниже на конкретных примерах показано применение спектраль- спектрального подхода как к задаче нахождения реакции системы, так и к проблеме числовой оценки выходного сигнала. Основная формула. Пусть на входе некоторой линейной стационарной системы действует детерминированный сигнал "вх@> заданный обратным преобразованием Фурье: Будем полагать, что известен частотный коэффициент передачи K(jia) системы. Как было доказано, комплексный сигнал вида expfjtat), являясь собственной функцией системно- системного оператора, создает на выходе элементарную реакцию К(/ш)ехр(/а>г). Суммируя эти реакции, находим представление выходного сигнала: (8.48) Получена основная формула спектрального метода, сви- принцип спектраль- детельствующая о том, что частотный коэффициент передачи него метода системы служит множителем пропорциональности между спектральными плотностями сигналов на входе и выходе: (8.49) Итак, анализ систем в частотной области отличается замечательной чертой — эффект преобразования сигнала в системе отображается просто алгебраической операцией умножения. Следует иметь в виду, что спектральный н временной подходы полностью эквивалентны друг другу. Действи- Действительно, интеграл Дюамеля (8.8) есть свертка функции иа,(() н импульсной характеристики h(t) во временной об- области: нв1„(г) = и„р)*Л(г). Значит, спектральная плотность выходного, сигнала есть произведение спектральных плот- плотностей функций и„(г) н h(t). Отсюда непосредственно следует формула (8.49). Практическая ценность спектрального метода нахождения выходной реакции в каждом конкретном случае зависит от того, удается ли провести интегрирование в формуле (8.48). Вьрмслеяне импульсных характеристик. Как правило, на- нахождение частотных коэффициентов передачи линейных систем
Глава 8. Воздействие сигналов на линейные стационарные системы не вызывает принципиальных затруднений.^ Поэтому если требуется вычислить импульсную характеристику h{t) систе- системы, то целесообразно воспользоваться спектральным мето- методом, согласно которому фб(.) cd= U@ I 1 ** Случай t > 0 Imw Внутри замкнутого контура подынтег- подынтегральная функция пмеег единствен- единственный простоя полюс Случай t <О Внутри замкнуто- замкнутого контура подын- тегральпая функ- функция является ана- аналитической " поэтому импульсная характеристика В качестве примера найдем импульсную характеристику КС-цепи, для которой выходным сигналом служит напря- напряжение на конденсаторе. Здесь 1/A +JaRQ, (8.50) Применим метод вычетов [14] н будем считать, что со — комплексная переменная. Контур интегрирования в (8.50) образован всей вещественной осью Im со = 0 н дугой Ci доста- достаточно большого радиуса, которая может замыкаться как в верхней, так н в нижней полуплоскостях. Подынтегральная функция в (8.50) имеет единственный простой полюс в точке с координатой con=j/(KC). Вычет подынтегральной функции в этой точке jRC Найдем функцию h(t) прн *>0. Для этого расположим дугу Ct в верхней полуплоскости, поскольку именно в этом случае функция ехр(/со() будет экспоненциально стремиться к нулю с ростом радиуса дуги. В пределе контурный интеграл будет равен интегралу, вычисленному лишь вдоль вещественной оси в соответствии с формулой (8.50). По теореме Коши, контурный интеграл от функции комплексной переменной равен числу 2л/, умноженному на сумму вычетов подынтегральной функции во всех полюсах, которые лежат внутри контура интегрирования. Таким обра- образом, е-'Л"с> при t > 0. (8.51) Если же требуется найти импульсную характеристику прн t < 0, то контур интегрирования следует замкнуть в нижней полуплоскости, где подынтегральная функция вообще не имеет полюсов и поэтому Ji(i!) = 0 при t < 0. (8.52)
8.4. Спектральный метод График импульсной характеристики ЯС-цепи, построенный по формулам (&51) и (8.52), представляет собой кривую, раз- разрывную прн t=»= 0 (рис. 8.2). Представление разрывных функций с помощью контурных интегралов является математическим приемом, шнроко исполь- используемым в теоретических исследованиях. HtjRC ¦ \ - . - . 1.0 1J . .5 . , Рис. 8.2. График импульсной характеристики ЛС-цепи Вычисление сигнала на выходе системы. Как пример использования спектрального метода решим задачу о про- прохождении экспоненциального видеоимпульса напряжения wjm@ = f/oexp(—at)o(t) через ЯС-цепь, рассмотренную выше. В данном- случае спектральная плотность входного сигнала V„(«>) = U0/(a +ja) н задача сводится к вычислению интегра- интеграла, входящего в выражение Uc exppciit)d(o Разлагая алгебраическую часть подынтегральной функ- функции на элементарные дроби, имеем 1 1/1 aRC A +j<a/a)(l +j<aRQ I ~ aRC \ 1 +j<a/a I +j<aRCJ Структура слагаемых, стоящих в квадратных скобках, позволяет непосредственно использовать результат, получен- полученный при вычислении. импульсной характеристики ЯС-цепи, н записать решение прн t > 0: Естественно, что при t < 0 (t) = 0. (8.53) (8.54) Соответствующий график приведен на рис. 8.3. Коэффннент передача нюгозвеяиой системы. В радио- радиотехнике часто используют сложные системы, отдельные звенья решите в 7 задачи 6 реиште задачу 8
Глава 8. Воздействие сигналов на лнвсйные стационарные системы Следует обратить внимание на то, что КС-цепь сглажива- сглаживает входной сигнал 0.5 0.4 0.3 0.2! 0.1 RC-0.5/B ¦?.. Рис. 8.3. Отклик RC-цепн на экспоненциальный видеоимпульс которых включены каскадно, т. е. выходной сигнал предыду- предыдущего звена служит входным сигналом для последующего звена. Примером такой системы может служить много- многозвенный усилитель. Положим, что известны частотные коэффициенты передачи отдельных звеньев К„(/ш), « = 1, 2,...,N. Возбуждая первое звено сигналом uBX(t) = ехр(/а>?)> получим на выходе сигнал iw (t) = К, 0со)К2 (/со) • • • К„ 0со)ехр(/ю4 откуда результирующий коэффициент передачи (8.55) В инженерных расчетах АЧХ систем часто выражают в логарифмических единицах — децибелах. Если на некоторой частоте со известен модуль частотного коэффициента передачи, то усиление системы, выраженное в децибелах (дБ), A = 2Olg|K0co)|. (8.56) Если |К(/со)| < 1, то система ослабляет сигнал и усиление оказывается отрицательным. Легко видеть, что при каскадном соединении звеньев их усиления суммируются алгебраически: усиление системы Д = j Д„. (8,57) hi—т—«• 1 — Дифференцирующие и интегрирующие цеш. Линейные цепи шнроко применяют для преобразоваиня формы импульсных радиотехнических колебаний. Рассмотрим "КС-цепь, возбуждаемую источником ЭДС; выходным сигналом является напряжение на резисторе. Дифференциальное уравнение данной цепи имеет вид т^-+н* = т%. . (8.58)
8.4. Спектральный метод Если постоянная времени т мала настолько, что в любой момент времени At (8.59) то первым слагаемым в левой части уравнения (8.58) можно пренебречь по сравнению со вторым н записать (8.60) Сигнал на входе Такая RC-цепь выполняет операцию приближенного диф- дифференцирования сигнала. Схемотехническое применение диф- дифференцирующих цепей — создание обострителей импульсных сигналов. Выполнение неравенства (8.59) зависит не только от параметров цепи, но и от характеристик входного сигнала. Для оценок здесь проще всего воспользоваться анализом в частотной области. Частотный коэффициент передачи рассматриваемой цепи K(jta)=jan/A +Jaz) будет достаточно близок к частотному коэффициенту передачи идеального дифференциатора: K(jia)xjen, если произведение ют пре- пренебрежимо мало по сравнению с единицей в области частот, где сосредоточена основная доля энергии сигнала. Например, пусть входной сигнал — прямоугольный видео- видеоимпульс длительностью т„. Используя грубую оценку верх- верхней граничной частоты в спектре такого импульса: ю, = = 271/т„, получаем условие, обеспечивающее пригодность КС-цепи для приближенного дифференцирования данного сигнала: КС«т„/Bл). (8.61) M*)« — (8.62) КС-цепь с такими свойствами называется интегрирую- интегрирующей цепью. Приближенное интегрирование выполняется тем точнее, чем больше относительная доля высокочастотных составляющих в спектре входного сигнала. Действительно, поскольку здесь КЦа) = 1/A +jttri\, приближенное равенство КЦю) х 1/(/сот), обеспечивающее интегрирующие свойства цепи, и на выходе диф- дифференцирующей це- Диаметрально противоположными свойствами может обла- обладать КС-цепь, у которой выходной сигнал, снимаемый с конденсатора, удовлетворяет уравнению due Если параметры цепи и входного сигнала таковы, что due ^ . . решите задачу 9
Глава 8. Воздействие сигналов на лввейные стационарные системы применение инте- интегрирующих цепей Как правило, функ- функциональное про- пространство сигналов можно считать гильбертовым будет справедливо при шпт. ж-1, где ш„ — нижняя граничная частота спектра. Интегрирующие цепи дают возможность подавлять высоко- высокочастотные составляющие спектра входного сигнала н поэто- поэтому часто, используются как сглаживающие фильтры. Кроме того, они могут преобразовывать скачкообразные перепады входного сигнала в линейно нарастающие импульсы на вы- выходе. Геометрическая интерпретация процесса преобразования сигнала в линейной системе. Спектральный метод позволяет наглядно интерпретировать преобразования сигналов, которые происходят при их прохождении через линейные стационар- стационарные системы. С геометрических позиций, развитых -в гл. 1, системный оператор Т —это правило перехода от вектора н„р) некоторого линейного пространства к новому вектору и,их(г). В самом общем случае можно утверждать, что оператор Т изменяет норму вектора и,» ft), т. е. II HbxII # || Тнм ||. Кроме того, между векторами uBxft) h i'.ui(') возникает некоторый угол ф. По формуле Рэлея (см. гл. 3), энергия выходного сигнала «(««It (8.63) частотный коэффи- коэффициент передачи мощности где WBX(fa) — энергетический спектр сигнала иа входе. В соответствии с формулой (8.63), выходной энергети- энергетический спектр Wm(m) = \ КЦа) |21Р„(в>). Величину |F1 (8.64) называют частотным коэффициентом передачи мощности системы на заданной частоте to. Поскольку этот коэф- коэффициент вещественный, вычисление энергии выходного сигна- сигнала оказывается гораздо более простой задачей по сравнению с поиском самой формы выходного сигнала. Пример 8.1S. На входе RC-цепи с частотным коэффициентом передачи К (/со) = 1/A + jcor) действует идеальный низкочастотный сигнал, энергетический спектр которого отличен от нуля и равен -ЭЯМетим, ЧТО Wo лишь в пределах интервала частот 0 < со < Шв. Найти отношение Лр(и) i энергий сигналов на входе и выходе. X К(—,/СО) В данном случае КР = 1/A + со2т2). По формуле (8.63) энергия выходного сигнала 1 + сгт2
8.4. Спектральный метод Энергия вхолного сигнала ?^,х — Wyajx. Видно, что отношение этих энергий (8.65) стремится к нулю с ростом как постоянной времени т, так н верхней граничной частоты спектра. Угол между векторам! входного й выходного сигналов. В гл. 1 обсуждался способ сравнения двух сигналов, основанный иа вычислении угла t|/, образованного векто- векторами данных сигналов в гильбертовом пространстве. Эту же идею можно использовать для сопоставления сигналов на входе и выходе линейной стационарной системы. Обобщенная формула Рэлея позволяет выразить ска- лврное произведение этих сигналов через их спектральные плотности: Во многих случаях достаточно знать лишь изменение энергии сигнала, прошедшего через линейную систему (и.*, «.„О = -=— 1 }w Поскольку мнимая часть коэффициента передачи есть нечетная функция частоты, последняя формула упрошается: (8.66) = — Wm(m)ReKIJa>)da. решите задачу 14 Угол t{f между векторами входного н выходного сигналов можно найти нз соотношения cos<Jj = («.,, (8.67) Пример 8.16. Вычислить угол ф между сигналами на входе и выходе RC-цепи е соответствии с условиями примера 8.15. Поскольку здесь ReA'(/to) = 1/A + eoV), в данном частном слу- случае интеграл (8.66) численно -равен квадрату нормы выходного сигнала. Отсюда следует, что . (8.68) Если произведение ч^т» 1, то со8ф-*0. Это означает, что JRC-цепь создает на выходе сигнал, почти ортогональный по отно- отношению к сигналу на входе. Природу этого эффекта можно понять из качественных рассуждений, приняв во внимание, что благодаря инерционным свойствам цепи выходной сигнал задер- задерживается во времени.
Глава 8. Воздействие сигналов на линейные стационарные системы Автокорреляционная характеристика системы. Заканчивая обзор спектральных методов в теории линейных стационар- стационарных систем, упомянем еще об одной полезной функции — так называемой автокорреляционной характеристике системы Ь(т). Ее принято определять как преобразование Фурье от частотного коэффициента передачи мощности: (8.69) Наряду с частотным представлением (8.69) возможно н временное представление этой функции. Чтобы осуществить его, заметим, что КР(т) — K(jio)K*(jio). Поэтому между функциями Кр(е>) н Ь(х) должна существовать такая же связь, которая была найдена в гл. 3 между энергети- энергетическим спектром и АКФ произвольного сигнала: Ь(х) = | h(t)h(t - x)ut. (8.70) Данная формула раскрывает смысл введенного здесь тер- термина. 8.5. Операторный метод К рассмотренному спектральному методу тесно примыкает широко распространенный операторный метод, базирую- базирующийся на представлении входных и выходных сигналов их преобразованиями Лапласа. Решение дифференциальных уравнений операторным ме- методом. Преобразование Лапласа является исключительно гиб- гибким н мощным методом, позволяющим путем стандартных процедур находить решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Именно это свойство обусловило его широкое использование в научных исследованиях н инженерных расчетах. Пусть дифференциальное уравнение (8.71) устанавливает закон соответствия между сигналами на входе и выходе некоторой линейной стационарной системы. Нало- Наложим некоторые ограничения. Сделаем допущение, что вход- входной сигнал в„р) = 0 при t < 0. Кроме того, исходя нз специфики работы радиотехнических устройств, началь- начальные условия выберем нулевыми: н,ш @) = «¦,„« (()) = ••• ¦¦• = Hf@) = 0. Наконец, примем, что область допустимых входных сигналов не содержит в себе функций, столь
8.5. Операторный метол быстро нарастающих во времени, что для них не суще- существует преобразования Лапласа. Обозначим закон соответствия между оригиналами н изображениями следующим образом: н„(г)«-»[/„(р), н,ш(г)«-» *-»^.ых(р). Вычислив преобразования Лапласа от обеих частей уравнения (8.71), получим (8.72) Важнейшей характеристикой, на которой основан оператор- операторный метод, является отношение изображений выходного и входного сигналов: (8.73) 1 -\ 1- atp + а0 Еслн эта функция известна, то поиск выходной реакции системы на заданное входное воздействие разбивается на три этапа: 1. 2. 3. «.Л') ->и. ,(р), K(P)U.«(P). Термин «операторный метод» исторически восходит к из- известным работам Хевисайда, который еще в конце прошлого века предложил символический способ решения дифферен- дифференциальных уравнений, описывающих переходные процессы в линейных электрических цепях. Метод Хевисайда основан на символической замене оператора дифференцирования d./df комплексным числом р. Свойства передаточной функции. Сравнивая формулы (8.74) н (8.41), можно убедиться, что функция К(р) есть результат аналитического продолжения частотного коэффициента переда- передачи K(j<a) с мнимой осн jra на всю плоскость комплексных частот р = а + jo). Функция К (р) аналитична на всей плоскости р, за исключением конечного числа точек ри Pi,-..,pn, являющихся корнями знаменателя в формуле (8.74). Данные точки, т. е. корни уравнения называемое передаточной функцией или операторным коэф- коэффициентом передачи рассматриваемой системы. В соответствии с формулой (8.72) (8.74) Математически ну- нулевые начальные условия озпачают, что до момента BO3I входного система пе содер- содержит запасенной энергии передаточная функция системы В рамках опера- торпого метода пе- передаточная функ- функция является пол- полной математиче- математической моделью си- системы О связи метода Хевпсайда с тео- теорией преобразова- преобразования Лапласа см. [14] аналитическое продолжение называют полюсами передаточной функции К(р).
Глава 8. Воздействие сигналов на линейные стационарные системы WE .. Рис. 8.4. Характер поверхности |JC(p)| для передаточной функции, имеющей два комплексно-сопряженных полюса р1-2 = — о +jioo и один нуль z = О Точки zb z2,...,zm, представляющие собой корни уравнения Ь„г™ + Ь„_1г™'1 + ¦¦• + Ь,г + Ьо = О, называют нулями данной передаточной функции. Вынося общий множитель Ко, возникающий при делении в (8.74) числителя на знаменатель, получаем так называе- называемое нудь-полюсное представление передаточной функции: (8.75) Вещественность коэффициентов дифференциального урав- j (8.72) обусловливает следующее свойство нулей н полю- полюсов : все эти числа либо вещественны, либо образуют комплексно-сопряженные пары. В дальнейшем при- Часто используют наглядный прием отображения пере- перенята такая система даточной функции с помощью карты нудей и полюсов, на обозначений: О— которой некоторыми условными значками нанесены указаи- нуль, * —полюс ные точки. Саму функцию К(р), принимающую комплексные значения, нельзя непосредственно представить графически. Поэтому поступают так: над плоскостью с декартовой системой координат изображают трехмерную поверхность " функции \К(р)\ (рис. 8.4). Поверхность имеет характерный вид «горного ландшаф- ландшафта»; бесконечно высокие вершины соответствуют полюсам, а впадины — нулям передаточной функции. Выполнив сечение этой поверхности с помощью плоскости, содержащей как вертикальную ось, так и ось /ок получим профиль АЧХ системы. Полюсы передаточной функции линейной системы являют- являются корнями характеристического уравнения (8.36). Поэтому для устойчивости системы необходимо н достаточно, чтобы эти полюсы располагались строго в левой полуплоскости комплексной переменной р.. Нули передаточной функции
8.5. Операторный метод в общем случае могут располагаться как в левой, так и в правой полуплоскостях. Формула обращения. Заключительным этапом решения зада- задачи о прохождении сигнала через линейную стационарную систему с помощью операторного метода является поиск оригинала, которому отвечает изображение U»Uxip) = ) Рассмотрим частный случай, когда функция Uaux(p) представляет'собой отношение даух многочленов по степеням комплексной частоты: причем будем считать, что степень числителя т не пре- превосходит степени знаменателя л и, кроме того, корни знаменателя рь 1 = 1, 2 я — простые. Способ нахождения оригинала, отвечающего такому изображению, основывается на представлении функции V,Ux(p) в виде суммы элементарных дробей: Коэффициенты С,- являются вычетами функции 1/„, точках полюсов, поэтому [14] г, п V tip) B решите задачу 11 Как известно, изображению 1/(р — рд) соответствует ори- • гвнал exp(pjt). Таким образом, приходим к известной формула обраще- формуле обращения: иия (8.76) Примеры нахождения выходных сигналов операторным методом. При практическом использовании операторного метода большую часть формальных вычислений можно исключить, обращаясь,к широко распространенным табли- таблицам преобразований Лапласа. Пример 8.17. Найти переходную характеристику КС-цепи. Здесь а(()«1/р, К(р)-1/A +рт), поэтому Е/„,„(р) = 1/1>A+рт)]. Разлагая эту функцию на элементарные дроби, имеем Оригиналы, соответствующие обоим слагаемым в правой части последней формулы, хорошо известны (см. [5, 6, 36]). Искомый
Глава 8. Воздействие сигналов на линейные стационарные системы результат имеет вид Пример 8.18. На входе RC-цепи действует прямоугольный видеоимпульс ЭДС с заданными длительностью Т и амплитудой Uo. Выходным сигналом служит напряжение на конденсаторе цепи. Найти функцию, описывающую изменение во времени напря- напряжения uc[t). Входной сигнал имеет изображение tf.x(p)=— A-е"*3). Р Множитель ехр(—рТ) свидетельствует о сдвиге во времени на величину Т. Поэтому, используя результат, полученный в при- примере 8.17, можно записать Для наглядности последнюю формулу пелесообразно представить VT) при 0</<Т, т - 1) при г > Т. Если выходной сигнал снимается с резистора, то прн тех же параметрах R и С напряжение на резисторе ur = ивх — ис. Пример 8.19. Импульсная характеристика параллельного коле- колебательного контура. Параллельный колебательный контур с потерями возбуждается дельта-нмпульсом тока' в неразветвлеииой части цели. Выходным сигналом служит напряжение на контуре. Равенство U(p) = = Z(p)I(p) указывает на то, что передаточной функцией в данном случае служит операторное сопротивление контура 7tn\= 2l? (877) (8.78) где a = 1/BKQ; mj = l/(tq. Формулу (8.77) удобно представить в виде (р + аJ + ю*' где Юс = \/^о — а2 — частота собственных колебаний в контуре с по- потерями. Изображением дельта-импульса тока служит единица, поэтому импульсная характеристика данной системы — это оригинал, соот- соответствующий изображению (8.78). По таблицам преобразований Ла- Лапласа находим (8.79) к соо), то формула (8.79) не- (8.80) Если контур высокодобротный (а сколько упрощается: Необходимо помнить, что' формулы (8.79) я (8Л0> соответ- соответствуют возбуждению контура бесконечно коротким импульсом тока.
8.5. Операторный метод 215 Импульсная Ха- площадь которого тем не менее составляет 1 А-с. В реальном рактернстнкаколе- масштабе —это очень большая величина: прямоугольный импульс бателыюго КОНТу- длительностью 1 мкс должен иметь гигантскую амплитуду 10* А! ра имеет характер- Неудивительно, что при -С = 1000 пФ такой импульс вызовет в НЫЙ ВИД гармони- начальный момент времени напряжение 10я В. Реальный импульс нлчми-Гипчлйапиа тока с амплитудой 0.01 А н длительностью 1 мкс имеет пло- ческого колеоания щадь ю_в А с; при с=100о ПФ начальное напряжение на С ЭКСПОНеНЦИальИО контуре составит лишь 10 В. убывающей во вре- Итак, при t > 0 напряжение на параллельном контуре, который мени огибаннцеи возбуждается коротким импульсом тока произвольной формы с площадью Пимп, имеет вид Этот ряд примеров можно было бы продолжить и А рассмотреть, например, более сложную задачу о иключенни решите задачу 12 в колебательный контур источника гармонической ЭДС. Од- Однако получающиеся при этом точные решения довольно громоздки. Гораздо удобнее использовать приближенный метод анализа нестационарных явлений в колебательных цепях, изложенный в гл. 9. Результаты ОО Закон, связывающий входной и выходной сигналы в системе, называется системным оператором. ОО Классификация систем основана на свойствах системных операторов. Различают линейные и нелинейные, стационарные и нестационарные, сосредоточенные и распределенные системы. ОО Реакция линейной системы на дельта-импульс называется импульсной характеристикой. ОО Сигнал на выходе есть свертка входного сигнала и импульсной характеристики. ОО Частотный коэффициент передачи и импульсная характеристика связаны парой преобразований Фурье. ОО Собственные колебания динамических систем определяются корнями характе- характеристического уравнения. ОО Динамическая система абсолютно устойчива, если все корни характеристи- характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части. ОО Частотный коэффициент передачи линейной стационарной системы, описы- описываемой обыкновенным дифференциальным уравнением, есть дробно-рациональ- дробно-рациональная функция частоты. ОО Спектральная плотность выходного сигнала является произведением частот- частотного коэффициента передачи и спектральной плотности колебания на входе. Вопросы 1. Приведите несколько примеров линей- 3. Сформулируйте условие физической ных и нелинейных, стационарных и не- реализуемости системы. стационарных систем. 4. Что такое переходная характеристика 2. Прн каких условиях реакцию линей- системы? Как связаны между собой переход- переходной системы на короткий входной импульс ная и импульсная характеристики? можно представить импульсной характерце- 5. Как определяется частотный коэф- тикой системы? фнциент передачи линейной системы?
216 Гпааа 8. Воздействие сигналов на линейные стационарные системы 6. Приведите формулировку критерия Пэ- ли — Винера. 7. В чем заключено отличительное свойст- свойство динамических систем? 8. Напишите формулу, определяющую частотный коэффициент передачи усилителя малых сигналов с апериодической нагрузкой. Чем определяется граничная частота уси- усиления? 9. В чем состоит сущность спектрального метода анализа прохождения сигналов через линейные системы? 10. В каких логарифмических единицах измеряется усиление сигнала в системе? 11. Начертите схемы дифференцирующих и интегрирующих цепей. 12. Как преобразуется вектор входного сигнала, являющийся элементом гильбертова пространства, прн прохождении через линей- линейную цепь? 13. Что такое частотный коэффициент передачи мощности? 14. Приведите определение понятия пере- передаточной функции линейной системы. 15. В какой области комплексной плос- плоскости должны располагаться полюсы переда- передаточной функции устойчивой линейной си- системы? Задачи 1. Характеристика h{t) линейной стацио- стационарной системы представляет собой импульс треугольной формы: На вход системы подается сигнал uBX{t) = = ata{t). Найдите выходную реакцию системы. 2. Вычислите импульсную характеристику идеального интегратора, для которого Уравнение должно быть записано относитель- относительно неизвестной функции ЦщхСО- 5. Найдите частотные коэффициенты пере- передачи систем, рассмотренных в задачах 3 и 4. 6. Вычислите импульсную характеристику RL-цепи, схема которой имеет вид 16@ 3. Структурная схема системы имеет вид В ветвях А и Б помещены идеальный элемент задержки на Т секунд и масштаб- масштабный усилитель с коэффициентом усиления Ко- Найдите импульсную характеристику системы. 4. Составьте дифференциальное уравне- уравнение, описывающее цепь: 7. Вычислите импульсную характеристику цепи, рассмотренной в задаче 4. 8. Проведите анализ формулы (8.53) для случая, когда а = i/(RC). 9. Исследуйте условия, при которых цепь - вида может осуществлять приближенное интегри- интегрирование входного сигнала. 18. В многозвенном усилителе на поле- полевых транзисторах применен разделительный конденсатор Ср.
Более сложные задания 217 Его назначение — препятствовать попаданию высокого постоянного потенциала со стока предыдущего звена на затвор последую- последующего. Усилитель предназначен для усиления прямоугольных видеоимпульсов длитель- длительностью т„ = 1 мс. Считая, что сопротивление резистора R = 0.5 МОм, а полевой транзистор имеет бесконечное входное сопротивление, определите емкость Ср, при которой за время длительности импульса напряжение на затворе (см. схему) падает не более чем на 5% от максимального уровня. 11. Найдите передаточную функцию уси- усилителя с двумя одинаковыми резистивио- емкостными ступенями. Параметры одной ступени: S = 10 мА/В, Лн = 0.3 кОм, R, = 7 кОм, Q, = 120 пФ. Емкость разде- разделительного конденсатора (см. задачу 10) столь велика, что ее влиянием на характе- характеристики усилителя можно пренебречь. 12. В последовательный колебательный контур с параметрами L, С и R включен источник ЭДС uBX{t) = atu{t). Получите фор- формулу, определяющую закон изменения напря- напряжения иа конденсаторе. Более сложные задания 13. Вычислите частотный коэффициент передачи н найдите импульсную характе- характеристику следующей цепи: 14. На входе ЛС-цепи действует источник импульсной ЭДС Выходной сигнал снимается с конденсатора. Определите угол между векторами входного и выходного сигналов в гильбертовом пространстве. 15. Исследуйте переходную характеристи- характеристику колебательного контура с помощью физической модели — грузика, подвешенного на нити. Входное воздействие на систе- систему — скачкообразное перемещение точки под- подвеса маятника в горизонтальном направ- направле