Мир
МАТЕМАТИКИ
39
Математический
клуб
Международные конгрессы
D^OGOSTINI
Мир математики
Мир математики
Гильермо Курбера
Математический клуб
Международные конгрессы
Москва - 2014
D^AGOSTINI
УДК 51(0.062)
ББК 22.1
М63
М63 Мир математики: в 45 т. Т. 39: Гильермо Курбера. Математический клуб. Междуна-
родные конгрессы. / Пер. с исп. — М.: Де Агостини, 2014. — 160 с.
Может ли математика развиваться без математиков, ведь уже сегодня часть их рабо-
ты взяли на себя компьютеры? Конечно, нет. Во-первых, развитие науки по-прежнему
невозможно без человеческого творчества, а во-вторых, в математике очень важно сотруд-
ничество. Автор этой книги постарался представить читателю математическое сообщество
изнутри и рассказать о международных конгрессах, на которых ученые знакомятся друг
с другом, делятся опытом, обсуждают важные проблемы и стараются найти пути их ре-
шения. История математических конгрессов — наглядная иллюстрация того, насколько
огромную роль в развитии науки играет совместная работа.
ISBN 978-5-9774-0682-6
ISBN 978-5-9774-0734-2 (т. 39)
УДК 51(0.062)
ББК 22.1
© Guillermo Р. Curbera, 2011 (текст)
© RBA Coleccionables S.A., 2011
© ООО «Де Агостини», 2014
Иллюстрации предоставлены: iStockphoto.
Все права защищены.
Полное или частичное воспроизведение без разрешения издателя запрещено.
Содержание
Предисловие....................................................... 7
Глава 1. Грани математики ........................................ 9
Глава 2. Важнейший доклад всех времен ........................... 15
Мудрец-отшельник входит в научное сообщество..................... 16
Первая встреча на нейтральной территории......................... 21
Доклад Гильберта................................................. 27
Конгресс в Германской империи..................................... 33
Рыси и сицилийцы................................................. 37
На земле Дарвина................................................. 40
Глава 3. Ужасы войны............................................. 45
Время мести....	  46
Время примирения................................................. 52
Время спокойствия................................................ 55
Женщины на конгрессах............................................ 60
Глава 4. Блестящее наследие	Филдса............................... 63
Премия Неванлинны................................................ 70
Премия Гаусса ................................................... 70
Глава 5. Достижения послевоенного периода........................ 71
Жизнь по-американски............................................. 72
Три крупных конгресса............................................ 76
Глава 6. Заморозки холодной войны................................ 85
Большой коммунистический конгресс................................ 85
Дело Бурбаки..................................................... 90
Путешествие в центр канадской контркультуры...................... 95
Математики и политика	 100
Глава 7. Из города — в мир....................................... ИЗ
Запад............................................................ ИЗ
Восток...........................................................128
5
СОДЕРЖАНИЕ
Глава 8. Гипотеза Римана .........................................139
Бесконечные ряды и комплексные числа..............................140
Евклид и Эйлер о бесконечности множества простых чисел .	 145
Гаусс и распределение простых чисел...............................148
Риман и дзета-функция ............................................149
Нули дзета-функции................................................151
Библиография .....................................................155
Алфавитный указатель..............................................157
6
Предисловие
Может ли математика развиваться без математиков? Уже сегодня часть их рабо-
ты взяли на себя компьютеры. Некоторые математические теоремы были доказаны
не человеком, а электронной машиной, и особое место среди них занимает теорема
о четырех красках, которая гласит, что любую карту можно раскрасить четырьмя
красками так, чтобы любые две соседние области были раскрашены в разные цвета.
Более того, сегодня активно ведутся исследования в области автоматического дока-
зательства теорем, которое заключается в сведении математических рассуждений
к компьютерным алгоритмам. Согласно гипотезе, доказательство любой теоремы
представляет собой всего лишь последовательность знаков и символов определенной
длины и сложности, поэтому, если мы с помощью суперкомпьютеров сгенерируем
все возможные последовательности знаков и символов, то рано или поздно получим
все возможные теоремы и их доказательства.
Но какое место в науке тогда займут математики? Французский математик Жак
Адамар написал эссе, где привел методы, с помощью которых совершаются матема-
тические открытия, и отдельно рассмотрел сложные умственные процессы, сопрово-
ждающие математическое творчество. Это эссе читается и переиздается до сих пор.
Как долго оно сохранит свою актуальность?
По всей видимости, эта книга еще не скоро отойдет в прошлое вместе с матема-
тиками. Во-первых, развитие науки по-прежнему невозможно без человеческого
творчества (доказательство теоремы о четырех красках было придумано человеком,
а компьютер лишь выполнил все трудоемкие расчеты). Во-вторых, в математике
очень важно сотрудничество. Один человек не в состоянии оценить важность ма-
тематической теоремы или определить важнейшие направления исследований, по-
этому огромную роль в развитии науки играет совместная работа, математическая
среда.
В этой книге мы постараемся представить внутреннюю кухню международного
математического сообщества. Мы расскажем об истории международных конгрессов
математиков, которые были и остаются своего рода олимпийскими играми в мире
математики и не имеют аналогов в других науках. В пользу этого сравнения говорит
7
ПРЕДИСЛОВИЕ
и тот факт, что математические конгрессы возникли почти одновременно
с Олимпийскими играми в наше время: первая Олимпиада прошла в 1896 году,
а первый конгресс математиков — в 1897-м.
Чтобы объяснить, почему эти конгрессы так важны, необходимо рассмотреть все
грани математики, и этому посвящена первая глава. Затем мы в хронологическом
порядке расскажем о конгрессах, прошедших до Первой мировой войны и в неспо-
койный период между двумя мировыми войнами. В главе 4 мы ненадолго прервемся
и поговорим о самой престижной математической премии мира — Филдсовской.
Далее мы восстановим хронологический порядок изложения и расскажем о конгрес-
сах, прошедших после Второй мировой войны, во время холодной войны и в наши
дни. Книга завершается главой, носящей, скорее, технический характер, в ней мы
обсудим важнейшую из нерешенных сегодня математических задач — гипотезу Ри-
мана. Она ожидает доказательства уже более 150 лет, а математик, которому удаст-
ся «победить» теорему, получит приз в миллион долларов и, что гораздо важнее,
мировую известность.
8
Глава 1
Грани математики
Большинство великих идей в мире науки возникли
и оформились в тиши кабинетов. Никакая другая наука,
за исключением разве что философии, не поощряет дух
отшельничества и затворничества так, как
математика. Тем не менее в глубине души математики
чувствуют потребность в общении и обмене опытом
с коллегами. Каждый из нас на собственном опыте
знает, насколько благотворным может быть обмен
научными идеями.
Слова, вынесенные в эпиграф, удивят любого, кто не знаком с математическим
творчеством. Такой человек наверняка считает, что математика — удел одиночек,
а сами математики порой ведут себя как настоящие отшельники. Действительно,
представление о математиках как о замкнутых, нелюдимых и рассеянных людях
очень распространено. Вспомним рассказ Тита Ливия о взятии Сиракуз консулом
Марцеллом и убийстве римскими легионерами Архимеда — величайшего математи-
ка античности, — «когда он склонился над чертежом, сделанным на песке». Читая
этот рассказ, мы так и представляем себе Архимеда, погруженного в размышления
и не осознающего, какая участь его ждет.
И поэтому многих из нас так удивляет другая особенность математиков — их
потребность в общении, тяга к обмену идеями. Подобно теннисисту, который под-
брасывает мяч перед подачей, а затем ждет, когда тот упадет обратно, математик
сначала предлагает новую идею или решение задачи, а затем ждет, пока они не вер-
нутся к нему с комментариями и замечаниями. Именно суд общественности позво-
ляет выяснить истину, именно мнения других людей помогают математику понять,
правильный ли результат он получил.
Все это прекрасно понимал человек, который очень удачно объяснил сочетание
затворничества и тяги к общению, которую испытывает всякий математик. Мы го-
ворим об Адольфе Гурвице, немецком ученом, жившем на рубеже XIX и XX веков
9
ГРАНИ МАТЕМАТИКИ
в Цюрихе. Он посвятил жизнь математическим исследованиям, а также, как вы
узнаете чуть позже, развитию сотрудничества между математиками.
Еще одно противоречие совершенно неожиданным образом скрывается внутри
самой науки. Лауреат Нобелевской премии по физике Юджин Вигнер в 1960 году
опубликовал ставшую известной статью «Необъяснимая эффективность математи-
ки в естественных науках», в которой рассмотрел феномен, вынесенный в название.
Вигнер исходил из предпосылки:
«Невероятная полезность математики для естественных наук граничит с за-
гадочным и не имеет рационального объяснения».
Уточним, что слова «не имеет рационального объяснения» относятся не к тому
факту, что математика объясняет природу — некоторые разделы этой науки по-
священы именно описанию окружающего мира. Удивление вызывает другое: почему
в высшей степени теоретические разделы математики, созданные без всякой мысли
о практической применимости, исключительно в соответствии с внутренними пра-
вилами непротиворечивости, в конечном итоге успешно используются для описа-
ния природных явлений? Читатель справедливо заметит, что любой математик ищет
вдохновение в окружающей реальности. Но роль творчества на этом и заканчива-
ется: после того как путь к решению найден, его составные части соединяются, по-
добно молекулам белков, и здесь уже нет места ошибке или случайности. И — вот
неожиданность! — в конечном итоге решение помогает объяснить самые обычные
явления, например распространение волн в пруду или водоворот в реке.
Математики, конечно, никогда не были сверхлюдьми, подобными древнегрече-
ским героям, хотя все они были, безусловно, талантливы. Окружающая реальность
словно неустанно нашептывает им новые идеи и не перестает напоминать, что даже
самые запутанные и самые прекрасные теоремы в конце концов описывают земной
мир. Не стоит слишком углубляться в славную историю науки, чтобы увидеть яркие
примеры такого чистого творчества, которое рука об руку идет с познанием матери-
ального мира: Архимед, Ньютон и Гаусс, три величайших математика всех времен,
одновременно были приверженцами безукоризненной чистоты в науке (напомним,
что Архимед вывел формулу объема шара, Ньютон создал анализ бесконечно ма-
лых, а Гаусс описал модулярную арифметику) и в то же время — умелыми мастера-
ми и конструкторами: Архимед изучил действие рычагов, Ньютон объяснил меха-
низм приливов и отливов, а Гауссу мы обязаны созданием телеграфа.
10
ГРАНИ МАТЕМАТИКИ
Математика словно разрывается на части между абстрактным и конкретным,
между теоретическим и прикладным.
Архимед из Сиракуз.
Исаак Ньютон.
Карл Фридрих Гаусс.
Еще одно мощное внутреннее противопоставление в этой науке — антагонизм
между прошлым и будущим. Математика, как и любая другая область знания,
смотрит в будущее, стремится к новым горизонтам и новым задачам, возникаю-
щим по мере ее развития. И в то же время в ней, в отличие от большинства других
дисциплин, огромную роль играет история — не только потому, что математики
по достоинству оценивают своих предшественников и их труды, но, прежде все-
11
ГРАНИ МАТЕМАТИКИ
го, потому что любой математик черпает вдохновение в великих трудах прошлого.
В других научных дисциплинах статьи, написанные больше десяти лет назад, не го-
воря уже о работах 30-, 40- или 50-летней давности, бесполезны и даже, возмож-
но, совершенно непонятны. Но в математике все обстоит иначе: в университетских
библиотеках старые журналы не успевают запылиться, потому что молодые ученые
по-прежнему обращаются к ним. Математики высоко ценят прошлое своей науки,
так как именно оно движет их в будущее.
Математика содержит много и других противоречий: узкая специализация и од-
новременная тяга к универсальности, ницшеанский дионисизм с его творческим ду-
хом и эвристиками и безжалостная математическая строгость.
Все эти грани математики, противоположные и вместе с тем неразрывно связан-
ные, — стремление к самостоятельной работе и тяга к общению, теоретическое
и прикладное начало, устремленность в будущее и понимание ценности прошлого —
ярко вспыхивают всякий раз, когда мы обращаем на них свой взор. Все они связаны
между собой и вызывают у математиков сильное чувство единства, объединяют их
в сообщество, скрепленное славной историей и насущной необходимостью делиться
результатами своих трудов. Мы привыкли к массовым религиозным, политическим
или национальным течениям, и нам кажется удивительным, что подобное стремле-
ние к объединению ярко проявляется и в научном сообществе.
В этой книге мы совершим экскурс в историю математики, чтобы вы могли ощу-
тить ее единство и скрытые противоречия. Мы расскажем о международных кон-
грессах математиков.
С 1897 года эти собрания, подобно Олимпийским играм, практически без пере-
рывов проводятся раз в четыре года. На них встречаются лучшие представители
науки, демонстрируются высочайшие результаты и присуждаются самые престиж-
ные премии. Существует великое множество научных и ненаучных конгрессов,
но международные конгрессы математиков занимают среди них особое место.
На церемонии открытия международного конгресса в Амстердаме в 1954 году
американский математик Освальд Веблен сказал:
«Череда международных конгрессов подобна тонкой нити. Это не конгрессы
математики, в высшей степени четко организованной науки, а конгрессы ма-
тематиков — в высшей степени неорганизованных людей, которые творят
математику и сохраняют ее».
12
ГРАНИ МАТЕМАТИКИ
Освальд Веблен прекрасно знал, о чем говорил, ведь он был председателем пре-
дыдущего конгресса, прошедшего в Гарвардском университете в 1950 году. Это из-
речение не просто красивая фраза. По мнению Веблена, благодаря международным
конгрессам математиков личные связи и обмен идеями стали важнейшими факто-
рами развития науки. Причем на самом первом конгрессе, прошедшем в Цюрихе
в 1897 году, в качестве основной цели было заявлено «развитие личных отношений
между математиками разных стран», а все остальные задачи, в том числе и чисто
научные, играли второстепенную роль.
Математические открытия, представленные на международных конгрессах,
образуют яркую и разноцветную картину математики XX века. Они составляют
большую часть 60 томов с протоколами 26 конгрессов, прошедших с того времени
до наших дней. Но цель этой книги состоит не в том, чтобы прорваться сквозь не-
проходимые джунгли математики — науки сухой и строгой и в то же время живой.
Благодаря человеческому фактору, о котором говорил Освальд Веблен, между-
народные математические конгрессы имеют не только техническую, но и человече-
скую, социальную и культурную составляющую, в которой и проявляется та самая
массовая идентичность математики. Именно поэтому математические конгрессы
столь четко отражают окружающий мир, политические и экономические явления,
научные и технические открытия, традиции и изменения, происходящие в обществе.
Именно с этой стороны мы и рассмотрим международные конгрессы математиков.
Будем смотреть и наблюдать.
Мы понаблюдаем за тем, как функционирует научное сообщество, как принима-
ются решения и улаживаются разногласия, как присуждаются премии и выносятся
наказания. Имена докладчиков, названия конференций и перечни тематических сек-
ций могут показаться слишком длинными и даже скучными. Но если мы вниматель-
но посмотрим на них, то увидим, что они отражают течение времени. Мы увидим,
как одни темы постепенно сменяются другими, как названия конференций утрачи-
вают красоту и насыщаются техническими терминами, как некогда доминировавшие
языки уступают место другим, а затем и вовсе пропадают. Мы увидим, как раз-
ные разделы самой математики меняются, движутся вперед, прекращают развитие
и делятся на части. Мы увидим целый калейдоскоп имен математиков и названий
учреждений, где они работают: одни из них будут нам прекрасно известны, другие
покажутся знакомыми, а третьи — совершенно неизвестными, но все эти имена
и названия дают понять, в каких частях света развивается математика, как ученые
перемещаются по миру и что представляет собой математика как наука.
13
ГРАНИ МАТЕМАТИКИ
Но мы понаблюдаем не только за этим. В рассказе о международных конгрессах
мы будем упоминать самые разные события, города, страны и языки. Мы узна-
ем, какими были идеалы и устремления государств, поколений и эпох, какие взлеты
и падения им пришлось пережить, и увидим через своеобразный фильтр не только
прошлое, но и будущее математического сообщества.
В завершение этой главы приведем пример, который поможет внести ясность
в сказанное. Международный конгресс 1936 года прошел в Осло. Его культурная
программа включала прекрасную ночную экскурсию на корабле по фьордам, в ко-
торой приняли участие около 700 человек. На память об экскурсии осталась зна-
менитая фотография, на которой запечатлены математические звезды того времени
за обедом, а также яркий рассказ Уолдо Даннингтона, автора известной биографии
Таусса «Carl Friedrich Gauss: Titan of Science»:
«День и вечер четверга, 16 июля, были посвящены прогулке по фьордам Осло
на пароходе «Ставангерфьорд» — крупнейшем судне норвежско-американ-
ской круизной линии. В экскурсии участвовали кронпринц и принцесса.
В шесть часов вечера в четырех столовых залах корабля был организован бан-
кет. Краткие выступления докладчиков транслировались по громкой связи.
Звучали композиции Грига, Сибелиуса, Штрауса; также был сыгран марш
в честь принца Олафа. Позже начались танцы и карточные игры, оживлен-
ные беседы и воспоминания. В ресторане и баре на борту корабля не было от-
боя от гостей. В полночь пароход пришвартовался в Осло, после чего при-
глашенные разъехались по гостиницам на такси».
Если теперь мы посмотрим, как проходили сравнительно недавние конгрессы,
например в Беркли в 1986 году, в Берлине в 1998-м, в Пекине в 2002-м или в Ма-
дриде в 2006-м, то увидим, что изысканные вечера ушли в прошлое — их сменили
шумные вечеринки на открытом воздухе с пивом и музыкой.
Мир изменился! Разумеется, эти изменения состоят не только в том, что шам-
панское сменилось пивом. Первые и последние конгрессы совершенно не похожи
друг на друга, и дело не только в том, что их разделяют многие годы. Математики
перестали быть избранным меньшинством, социальной элитой, хранителями благо-
родного знания и превратились в широкую, открытую и мобильную группу узких
специалистов, которые во всем остальном почти не отличаются от своих современ-
ников.
14
Глава 2
Важнейший доклад всех времен
Нет никаких сомнений относительно того, какой именно математический доклад
оказал наибольшее влияние на развитие математики. Его автором был немецкий ма-
тематик Давид Гильберт из Гёттингенского университета, который наряду с францу-
зом Анри Пуанкаре из Сорбонны считался крупнейшим математиком своего време-
ни. Мы еще вернемся к содержанию этого доклада, а пока расскажем о том, в каких
обстоятельствах он был прочитан. Место и время: Париж, начало XX века, жаркое
августовское утро. Мероприятие: Второй Международный конгресс математиков.
Сегодня, спустя более ста лет, научные конгрессы кажутся нам чем-то обыден-
ным, но в начале XX века все было иначе. Отмотаем пленку немного назад, чтобы
показать, когда, где и почему возникли подобные конгрессы.
Давид Гильберт.
Анри Пуанкаре.
15
ВАЖНЕЙШИЙ ДОКЛАД ВСЕХ ВРЕМЕН
Мудрец-отшельник входит в научное сообщество
До XVIII века занятия наукой вообще и математикой в частности были крайне ув-
лекательными, но, как правило, неоплачиваемыми и не давали возможности зарабо-
тать на жизнь. Все изменилось с появлением мощного государства, при поддержке
которого в конце XVII века в разных странах были созданы академии наук. Внача-
ле, в 1660-е годы, были учреждены Лондонское королевское общество и Француз-
ская академия наук. Несколько лет спустя, в 1700 году, основана Берлинская ака-
демия, в 1724 -м — Санкт-Петербургская. В этих учреждениях работали великие
математики XVIII столетия: Даниил и Николай Бернулли, Леонард Эйлер, Жозеф
Луи Лагранж, Жан Лерон Д’Аламбер и многие другие. Эти ученые, как правило,
работали в одиночку и общались друг с другом с помощью писем, но почта в то вре-
мя работала очень неторопливо.
И вдруг все изменилось. Французская революция всколыхнула Европу. Мас-
штабные политические, социальные и экономические изменения, как и следовало
ожидать, затронули науку и образование. Во Франции сразу же были закрыты все
университеты, погрязшие в средневековой схоластике, и создано новое образова-
тельное учреждение — Политехническая школа, в которой рука об руку шли обра-
зование, наука и практика.
Успех новой системы была замечен во всей Европе. Победы наполеоновских ар-
мий объяснялись качественным образованием офицеров. В результате в 1810 году
прусский мыслитель и политик Вильгельм фон 1умбольдт учредил по новой моде-
ли Берлинский университет. Эта модель была признана образцовой, легла в основу
работы остальных прусских университетов и действует до сих пор. Наука переме-
стилась в университетские круги, и ее развитие оказалось связано с высшим обра-
зованием. Университетские профессора превратились в исследователей и получили
новые обязанности: теперь они стали отвечать за научную работу В университетах
появились кафедры, ученые звания, специализированные библиотеки и семинары,
обеспечивавшие системную подготовку студентов. В эти годы экспоненциальными
темпами росло не только производство — также развивалась наука и множилось
число ученых, особенно математиков.
Тогда же начался расцвет специализированных математических журналов. Пер-
вые научные издания появились во время научной революции, во второй полови-
не XVII века. Их публикацией занимались академии. Некоторые из журналов
были особенно известны: Journal des Savants, созданный во Франции в 1665 году
усилиями частных лиц, «Философские записки» Лондонского королевского обще-
16
ВАЖНЕЙШИЙ ДОКЛАД ВСЕХ ВРЕМЕН
ства, учрежденные в Лондоне также в 1665 году, и Acta Eruditorum, издававшиеся
в Лейпциге с 1682 года (именно в этом журнале были опубликованы труды великого
математика Готфрида Лейбница о дифференциальном и интегральном исчислении).
В XVIII веке академиями наук были учреждены научные журналы для публикации
трудов по всем наукам. Но со временем, уже в начале XIX века, необходимость
в специализации привела к появлению отдельных изданий.
Первыми специализированными математическими журналами были Annales de
Mathematiques Pures et Appliquees («Анналы чистой и прикладной математики») —
журнал, созданный Жозефом Диасом Жергонном в 1810 году, Journal fur die reine
und angewandte Mathematik («Журнал о чистой и прикладной математике»), создан-
ный Августом Леопольдом Крелле в 1826 году, и Journal de Mathematiques Pures
et Appliquees («Журнал чистой и прикладной математики»), созданный Жозефом
Лиувиллем в 1836 году. Первый из перечисленной троицы прекратил свое суще-
ствование в 1832 году. Два остальных издаются до сих пор и пользуются большим
авторитетом в научном мире.
JOURNAL
111 fllTTTtAl ATI VIES
Pl'RF.S ЕГ WPI.lQlF.ES.
Журнал Лиувилля в 1836 году.
Вторая половина XIX века была ознаменована созданием национальных ма-
тематических обществ: растущее число математиков необходимо было объединить
в некую систему, которая способствовала бы общению, обсуждению и оценке на-
17
ВАЖНЕЙШИЙ ДОКЛАД ВСЕХ ВРЕМЕН
учных идей. В академиях наук с их строгой и элитарной атмосферой подобное было
невозможно.
Старейшим математическим объединением является Московское математиче-
ское общество, созданное в 1864 году. С 1866 года обществом издается журнал
«Математический сборник». В 1865 году было основано Лондонское математиче-
ское общество и учрежден его официальный журнал — Proceedings of the London
Mathematical Society.
Лондонское общество послужило моделью для остальных: Французского мате-
матического общества с его официальным журналом «Бюллетень Французского ма-
тематического общества», созданных в 1872 году, Эдинбургского математического
общества (1883) и журнала »Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society»
(1884), Нью-Йоркского математического общества (1888), которое стало прооб-
разом Американского математического общества (1894) и в 1899 году издало пер-
вый выпуск своего, ныне широко известного, журнала «Transactions of the American
Mathematical Society». Волна достигла и Испании, где в 1911 году было создано
Испанское математическое общество.
Отдельного упоминания заслуживает Математический кружок в Палермо,
созданный одновременно с его официальным журналом Rendiconti del Circolo
Matematico di Palermo в 1884 году. Большинство членов этого любопытного науч-
ПЕРВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОБЩЕСТВА И ИХ ЖУРНАЛЫ
-	Московское математическое общество (1864) / «Математический сборник» (1866).
-	Лондонское математическое общество (1865) / Proceedings of the London Mathematical Society
(1865).
-	Французское математическое общество (1872) I Bulletin de la Societe Mathematique de France
(1872).
-	Эдинбургское математическое общество (1883) / Proceedings of the Edinburgh Mathematical
Society (1884).
-	Математический кружок в Палермо (1884) / Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo
(1884).
-	Союз немецких математиков (1890) / Mathematische Annalen (1868).
-	Нью-Йоркское математическое общество (1888) I Bulletin of New York Mathematical Society
(1891).
-	Американское математическое общество (1894) / Transactions of the American Mathematical
Society (1899).
18
ВАЖНЕЙШИЙ ДОКЛАД ВСЕХ ВРЕМЕН
ного общества были иностранцами, причем в их число входили лучшие математики
того времени. Чуть позже мы познакомимся с создателем кружка — сицилийским
математиком и меценатом Джованни Гуччиа.
В конце XIX столетия были учреждены два журнала — «Jahrbuch uber die
Fortschritte der Mathematik» (1868) и «Repertoire Bibliographique des Sciences
Mathematiques» (1885), — в которых печатались краткие аннотации статей, опу-
бликованных в специализированных журналах. Число специализированных журна-
лов росло, математика в то время непрерывно развивалась, и охватить ее становилось
все сложнее, так что новые журналы помогали ученым следить за публикациями.
Процесс, вкратце описанный выше, привел к тому, что в конце XIX века, бла-
годаря учреждению ученых званий в университетах, созданию специализирован-
ных журналов, национальных математических обществ и рецензируемых журналов
математические исследования стали необычайно структурированными, профессио-
нальными и приобрели международный характер — говоря современным языком,
произошла глобализация математики.
Внимательный читатель уже наверняка заметил, что в описанной нами карти-
не недостает одного элемента. Мы рассказали о создании математических обществ
и журналов во всех странах, внесших вклад в развитие современной математики,
за исключением одной из самых важных — Германии. Действительно, к кон-
цу XIX века немецкая модель и немецкая математика занимали в Европе абсолютно
доминирующее положение. Внимательно рассмотрев пример Германии, мы сможем
понять, каким был последний шаг, необходимый для организации международных
математических структур.
Союз немецких математиков (Deutsche Mathematiker Vereinigung) был основан
лишь в 1890 году (при том что один из важнейших немецких математических жур-
налов, «Mathematische Annalen», появился в 1868 году). Идейным вдохновителем
этого союза стал немецкий математик Георг Кантор, который по результатам соб-
ственных исследований рядов Фурье создал современную теорию множеств. Эта
теория и ее следствия не были приняты видными и влиятельными немецкими ма-
тематиками, которых возглавлял Леопольд Кронекер из Берлинского университе-
та. Ученые увидели в новых теориях не инструмент поиска и решения новых задач,
а угрозу цельности математики. Кантор искал некий форум, где он смог бы изло-
жить свои теории и защитить их, и таким форумом для него стал Союз немецких
математиков. Кантор заручился поддержкой еще одного великого математика, Фе-
ликса Клейна, который, среди прочего, интересовался распространением новой мо-
дели преподавания математики и ведения исследований.
19
ВАЖНЕЙШИЙ ДОКЛАД ВСЕХ ВРЕМЕН
Г°орг Кантор.
Феликс Клейн.
После основания Союза немецких математиков Кантор нанялся организацией
международного конгресса ученых — с теми же целями, что и при создании мате-
матического общества. Для Кантора организация международного конгресса была
частью личной борьбы во имя свободы науки. Именно ему принадлежит знаменитая
фраза, в которой описывается одна из важнейших особенностей математики: «Сущ-
ность математики заключена в ее свободе». В реализации проекта Кантору помога-
ли многие видные ученые, среди них — французы Шарль Эрмит и Анри Пуанкаре.
Первая репетиция международного конгресса состоялась в Чикаго в 1893 году,
где в тот же год проходила Всемирная выставка, приуроченная к 400-летию откры-
тия Америки Колумбом. Математики недавно созданного Чикагского университета
(среди них были два ученика Феликса Клейна родом из Германии) организовали
пятидневную конференцию, на которой было представлено 44 доклада. Авторами
докладов были математики из семи стран (Германии, США, Франции, Италии,
Австрии, Швейцарии и России), в том числе крупнейшие специалисты того време-
ни. Почти все доклады были заслушаны в отсутствие их авторов — из 45 иностран-
ных участников конгресса в США приехали лишь четверо. Феликс Клейн посетил
конгресс в качестве имперского уполномоченного от прусского министерства куль-
туры и прочел на церемонии открытия доклад, в котором обосновал необходимость
сотрудничества между математиками разных стран.
20
ВАЖНЕЙШИЙ ДОКЛАД ВСЕХ ВРЕМЕН
Всемирная выставка, прошедшая в Чикаго в 1893 году.
Первая встреча на нейтральной территории
В конце XIX века математики предлагали разные страны для проведения первого
международного конгресса: Россию (Казань), Бельгию, Францию (Париж) и дру-
гие. В конечном итоге выбор был сделан в пользу Цюриха в неизменно нейтральной
Швейцарии. Этот вариант вызвал меньше всего разногласий среди представителей
европейских держав, погрязших в конфликтах.
Организовать международный конгресс всегда непросто, особенно если он про-
ходит в первый раз. В январе 1897 года группа, куда входил 21 математик из девя-
ти стран, подготовила пригласительное письмо для 2 тысяч ученых со всего мира.
Приглашения отправлялись не обычной почтой, а при посредничестве математиков
из 12 стран (Австро-Венгерской империи, Бельгии, Великобритании, Германии,
Голландии, Греции, Италии, Португалии, России, США, Франции и Швеции)
и через математические журналы.
Конгресс прошел с 9 по 11 августа 1897 года в Федеральной политехнической
школе Цюриха (престижное научное учреждение, известное сегодня как ЕТН).
На этом первом конгрессе были заложены основы будущих международных мате-
матических конгрессов, поэтому расскажем подробнее о том, как проходило меро-
приятие.
21
ВАЖНЕЙШИЙ ДОКЛАД ВСЕХ ВРЕМЕН
Чтобы мы могли понять значение этого первого международного конгресса, сле-
дует учесть, что подавляющее большинство математиков той эпохи не были знако-
мы друг с другом лично — они лишь читали статьи своих коллег и в лучшем случае
вели переписку. Поэтому организаторы запланировали за день до начала конгресса,
сразу после прибытия его участников, приветственный ужин в знаменитом концерт-
ном зале Тонхалле. В протоколах конгресса указано, что его участникам «пришлись
по душе увлекательные беседы и радостный звон бокалов», и они вели оживлен-
ные разговоры до полуночи. Адольф Гурвиц, выступивший с приветственной речью
от имени организаторов, сказал:
«Пусть в эти дни под действием вдохновляющей силы личного общения нач-
нется множество научных дискуссий. Давайте же вместе насладимся радо-
стью товарищества, ведь здесь собрались представители многих стран, объе-
диненные высшими идеалами мира и дружбы».
Эти слова стали девизом международного математического сотрудничества.
Адольф Гурвиц.
22
ВАЖНЕЙШИЙ ДОКЛАД ВСЕХ ВРЕМЕН
Организация подобного мероприятия вызывала много вопросов, ведь у органи-
заторов вообще не было соответствующего опыта. Однако научная программа кон-
гресса оказалась удачной и в неизменном виде дошла до наших дней. Во-первых,
состоялись пленарные заседания по интересующим всех темам. Прочитанные специ-
ально приглашенными докладчиками пленарные доклады были направлены на всех
участников конгресса. В Цюрихе было прочитано четыре пленарных доклада:
—	«Sur les rapports de 1’analyse pure et de la physique mathematique», Анри Пуан-
каре, Париж;
—	«Uber die Entwickelung der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen in
neuerer Zeit», Адольф Гурвиц, Цюрих;
—	«Logica matematica», Джузеппе Пеано, Турин;
—	«Zur Frage des hoheren mathematischen Unterrichtes», Феликс Клейн, Гёттин-
ген.
Также научная программа была разделена на тематические секции, в которых
были прочитаны более короткие доклады, объединенные общими темами. На Цю-
рихском конгрессе работало пять тематических секций.
I.	Арифметика и алгебра.
II.	Анализ и теория функций.
III.	Геометрия.
IV.	Механика и математическая физика.
V.	История и библиография.
Это деление показывает, как видели математику ученые того времени и какие об-
ласти исследований и развития они выделяли. Среди докладов, прочитанных на сек-
циях, был, например, доклад юного бельгийского математика Шарля Жана ла Валле
Пуссена, посвященный теореме о распределении простых чисел.
На конгрессе тщательно соблюдался паритет между странами — этот вопрос
был одним из самых острых в истории Европы. Да и само решение провести кон-
гресс в Швейцарии, «на пересечении железных дорог, ведущих из Парижа в Вену
и из Берлина в Рим», было не случайным. Баланс сохранялся и в вопросе языков:
в качестве официальных были выбраны немецкий и французский, а протоколы кон-
гресса были опубликованы на обоих языках. В докладах также разрешалось исполь-
зовать английский и итальянский языки. Аналогичное равновесие было обеспечено
23
ВАЖНЕЙШИЙ ДОКЛАД ВСЕХ ВРЕМЕН
и при выборе докладчиков на пленарных заседаниях: ими стали немец, француз,
итальянец и швейцарец (Адольф Гурвиц — немец, живший в Швейцарии).
Особое место организаторы отвели истории математики, не ограничившись те-
матическими докладами, воспевавшими ее славное прошлое. Длинное и красочное
выступление было посвящено швейцарским математикам Якобу, Иоганну и Да-
ниилу Бернулли, Леонарду Эйлеру и Якобу Штейнеру. Участники конгресса так-
ТЕОРЕМА О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
Первое доказательство того, что простые числа образуют бесконечное множество, принадлежит
Евклиду. Но насколько велико это бесконечное множество? Обозначим через [](N) количе-
ство простых чисел, меньших или равных N. В XVIII веке французский математик Адриен Мари
Лежандр и немецкий математик Карл Фридрих Гаусс, которому в то время было всего 15 лет,
предположили, что существует некое соотношение, связывающее f](/V) и N/ln N. В 1852 году
русский математик Пафнутий Львович Чебышиг доказал, что [{(/V) должно быть сравнимо
с N/ln N. В 1896 году французский математик Жак Адамар и бельгийский математик Шарль
Жан ла Валле Пуссен одновременно и независимо друг от друга доказали, что с увеличением N
отношение f](/V) / (N/ln N) стремится к 1.
Sur la throne des пошЪгез premiers.
Par
Ch. dm la Vall£i Poumln К Louvain.
M. de la ValMe Poussin *’eai occupe de la frequence dee nombre*
premiere de diff^rentes forme® dans xm Memoiro etendu, public dans
lea Annaki de la SoddM scientifiquo de Bruxelles (1896) sous Io titre:
'	Rfchercbee analytiques sur la thdorie de* nombre* premier*.
Voici quelquee conclusion* de oe travail, concernant lea nombre*
premiers d’une forme lin6aire primitive 3fx -f"
Iе L’expression
dan* laquelle Is somme eat ^tandue aux nombrea premier* <y et de
la forme Mx -j- N, a pour limite I’uniU quand у tend ven 1’infini.
2* La difference
tend ver* une limite fime et d6termin4e quand у tend ven I’infim.
8° Le nombre dea nombres premiers de la forme Mx -j- N et
<y pent *e representer par 1’expresaion
! + • V
V&) Ту
ой » tend vers s&o quand у tend ven 1’infinL
On в dee conclusion* analogues concernant lea nombre* premier*
representable* par une forme quadratique de determinant nfigaiil (— Л).
Доклад Шарля Жана ла Вапле Пуссена в протоколах конгресса 1897 года.
24
ВАЖНЕЙШИЙ ДОКЛАД ВСЕХ ВРЕМЕН
же рассмотрели необходимость публикации полного собрания сочинений Эйлера
(в конференции приняли участие и несколько видных издателей — Альфред Ак-
керманн-Тойбнер из Лейпцига, Альберт Готье-Виллар из Парижа и Ульрико Хёпли
из Милана). Также были отмечены великие математики настоящего: собравшиеся
подняли тост в честь французского ученого Шарля Эрмита, которому была отправ-
лена поздравительная телеграмма.
Казалось, что математика вступает в новую эпоху — эпоху международного
сотрудничества, в связи с чем был составлен список тем, требовавших совместной
работы ученых из разных стран: унификация математической терминологии и еди-
ниц измерения, ускорение распространения публикаций (рецензируемые журналы
распространялись очень медленно), создание классификации разделов математики,
которая позволила бы составлять библиографии (необходимость в такой класси-
фикации была вызвана тем, что новые результаты в математике появлялись очень
быстро), создание международного каталога математиков с указанием их адресов
и специализации (этот проект был реализован лишь в 1958 году, с публикацией
первого Международного каталога математиков), а также было предложено под-
готовить библиографический словарь математиков и включить в него фотографии
наиболее известных представителей науки.
Об успешном проведении конгресса сообщили научные журналы того времени.
Французский математик и президент Математического общества Франции Эмиль
Пикар на заключительном банкете сказал: «Успех нашего первого конгресса — га-
рантия прекрасного будущего для этого нового проекта».
Успех оказался двойным. Во-первых, общий научный уровень конгресса был
весьма высоким. В мероприятии приняли участие 208 математиков из 16 стран,
в их числе были многие выдающиеся ученые того времени: Фредхольм, Хаусдорф,
Линделёф, Миттаг-Леффлер, Минковский, Шёнфлис, Вольтерра и многие другие.
В рамках конгресса состоялось четыре пленарных заседания, на тематических сек-
циях было прочитано 30 докладов.
Однако мероприятие поддержали не все: математики из Берлинского универ-
ситета объявили ему своего рода бойкот. В некотором смысле этот Первый Меж-
дународный конгресс был конгрессом математиков Гёттингена, возглавляемых Фе-
ликсом Клейном и Давидом Гильбертом, и позволил реализовать замысел Георга
Кантора.
Еще одним важным достижением стало создание конструктивной атмосферы.
В утвержденных «Правилах конгресса» отмечались две главные цели международ-
ных конгрессов математиков:
25
ВАЖНЕЙШИЙ ДОКЛАД ВСЕХ ВРЕМЕН
1) развитие сотрудничества между математиками разных стран;
2) оценка современного состояния различных областей математической науки
и возможностей их применения, а также обсуждение особенно важных задач.
Nadi Landem geordnet ergiebt dieee Teilnehmerliate die folgende
Gruppn rang
Land	Herren. Damon
Schweix	60	8
Deutschland	41	12
Frankreich	23	6
Italian....................20	5
Oeeterreieh-Ungarn...	17	3
Rufnland . .	12	1
Nordamerika	6	1
Schweden ....	6	—
Finland ................... 4	1
Belgian . .	3	—
D&nemark.	3	—
GroMiritannien	3	—
Holland	3	—
Spanien.....	1	1
Gru cherlrna	1	—
Portage!................... 1	—
204	38
Im ganzen waren also 16 Lander durch 242 Teilnehmer vertreten,
worunter 38 Damen.
Число участников конгресса 1897 года по странам.
Мы уже отмечали, что порядок следования этих целей указывает, насколько
большое значение придавалось личным связям между математиками как движущей
силе развития науки. Об этом желании поддерживать и развивать личные отноше-
ния свидетельствовало и оживление, которым была отмечена культурная программа
конгресса. Наряду с различными экскурсиями и банкетами участникам встречи осо-
бенно запомнилась прогулка на пароходе по Цюрихскому озеру до прекрасного го-
рода Рапперсвиль. На пароходе подавалось вино из цюрихских винных погребов
Вельтхаймера и Регенсбергера, а по возвращении в честь участников конгресса го-
род озарился праздничной иллюминацией.
На заключительном заседании был поднят вопрос о будущем этих международ-
ных встреч и было принято решение проводить их с интервалами в 3—5 лет, причем
в конце каждого конгресса определять место проведения следующего мероприятия.
В Цюрихе ученые договорились, что следующая встреча пройдет в Париже
в 1900 году и будет организована Математическим обществом Франции. Здесь
26
ВАЖНЕЙШИЙ ДОКЛАД ВСЕХ ВРЕМЕН
в первый и последний раз проявилось соперничество между странами: Феликс
Клейн, который на тот момент был главой Союза немецких математиков, сразу же
заявил о желании организовать конгресс 1904 года.
Литографическая афиша конгресса, прошедшего в 1897 году в Цюрихе.
Доклад Гильберта
«Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее,
чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи нашего знания
и тайны его развития в ближайшие столетия? Каковы будут те особые цели,
которые поставят себе ведущие математические умы ближайшего поколения?
Какие новые методы и новые факты будут открыты в новом столетии на ши-
роком и богатом поле математической мысли?
История учит, что развитие науки протекает непрерывно. Мы знаем, что
каждый век имеет свои проблемы, которые последующая эпоха или решает,
27
ВАЖНЕЙШИЙ ДОКЛАД ВСЕХ ВРЕМЕН
или отодвигает в сторону как бесплодные, чтобы заменить их новыми. Чтобы
представить себе возможный характер развития математического знания
в ближайшем будущем, мы должны перебрать в нашем воображении вопро-
сы, которые еще остаются открытыми, обозреть проблемы, которые ставит
современная наука и решения которых мы ждем от будущего. Такой обзор
проблем кажется мне сегодня, на рубеже нового столетия, особенно своевре-
менным. Ведь большие даты не только заставляют нас оглянуться на прошед-
шее, но и направляют нашу мысль в неизвестное будущее»1.
Благодаря докладу Гильберта Парижский конгресс запомнится навсегда. Как
видно уже из первых слов, речь была весьма необычной. В ней Гильберт не пред-
ставил решения какой-либо задачи — напротив, он привел список задач, кото-
рые, по его мнению, должны были задать направление развития всей математи-
ки XX века. В длинной преамбуле Гильберт рассказал о природе математических
проблем и их роли в научном прогрессе. Широко известно его изречение, полное
искренней веры в могущество математики:
«В математике нет никакого ,,ignorabimus“».
Таким был ответ ученого на научно-философские рассуждения, в которых от-
стаивалась важная роль и даже неизбежность незнания в науке («Ignoramus et
ignorabimus», то есть «не знаем и никогда не узнаем», говорил немецкий физиолог
Эмиль Дюбуа-Реймон). Гильберт выразил убежденность в том, что в математике
объяснению поддается все.
В своем докладе «Математические проблемы» (название доклада на немецком
языке — «Mathematische Probleme»; также было опубликовано краткое содержа-
ние на французском под названием «Sur les problemes futurs des Mathematiques»)
Гильберт представил список из 23 проблем, но из-за нехватки времени рассмотрел
лишь 10 из них. Это были известные проблемы того времени, и любой вклад в их
решение сразу же придавал его автору большой научный вес. Парадоксально, но до-
клад Гильберта был прочитан не на пленарном заседании, а в секции «История и би-
блиография». Связано это с тем, что Гильберт слишком долго готовил речь и обсуж-
дал ее содержание с коллегами Германом Минковским и Адольфом Гурвицем, а ког-
да доклад был наконец готов, программа конгресса уже была полностью определена.
Гильберт привел следующий список проблем.
1 Перевод с немецкого М. Г. Шестопал и А. В. Дорофеевой.
28
ВАЖНЕЙШИЙ ДОКЛАД ВСЕХ ВРЕМЕН
I.	Проблема Кантора о мощности континуума.
II.	Непротиворечивость аксиом арифметики.
III.	О равенстве объемов двух тетраэдров с одинаковыми основаниями и вы-
сотами.
IV.	Проблема о прямой как о кратчайшем пути из одной точки в другую.
V.	Определение непрерывной группы преобразований Ли, то есть рассмо-
трение более общей формулировки гипотезы, согласно которой функции,
задающие группы, являются дифференцируемыми.
VI.	Математическое изложение аксиом физики.
VII.	Иррациональность и трансцендентность некоторых чисел.
VIII.	Проблема простых чисел.
IX.	Доказательство наиболее общего закона взаимности в любом числовом
поле.
X.	О возможности решения произвольного диофантова уравнения.
XI.	О квадратичных формах с произвольными алгебраическими коэффици-
ентами.
XII.	Распространение теоремы Кронекера об абелевых полях на произволь-
ную алгебраическую область рациональности.
XIII.	Невозможность решения уравнения седьмой степени с помощью функ-
ций, зависящих только от двух переменных.
XIV.	Доказать, что определенные системы функций конечны.
XV.	Строгое обоснование исчислительной геометрии Шуберта.
XVI.	Проблемы топологии алгебраических кривых и поверхностей.
XVII.	Представление определенных форм в виде суммы квадратов.
XVIII.	Заполнение пространства конгруэнтными многогранниками.
XIX.	Всегда ли решения регулярной вариационной задачи Лагранжа являются
аналитическими?
XX.	Общий случай проблемы Дирихле.
XXI.	Доказательство существования линейных дифференциальных уравнений
с заданной группой монодромии.
XXII.	Униформизация аналитических зависимостей с помощью автоморфных
функций.
XXIII.	Развитие методов вариационного исчисления.
Как уже отмечалось, на конгрессе Гильберт подробно описал только 10 проблем,
а всем 23 он посвятил отдельную статью, опубликованную позже.
29
ВАЖНЕЙШИЙ ДОКЛАД ВСЕХ ВРЕМЕН
SLR LES
PBOBLEMES FLIERS DES MATHEMATIQUES,
Рав V. IHTib HILBERT (G6iimp<4i4
I.	— Probldme de M. Cantor relatif A la puissance du continu.
II.	— De la non-contradiction dee axiomea de I'ArithmAtique.
III.	— Do legality en volume de deux Ulraidree da baasa
et de hauteura Agales.
IV.	ProbUme de la ligno droite. plus conrt chemin d’un point
A un antra.
V.	— De la notion dea groupea continue da transformations de Lie. en
faleant abstraction de 1'hypothdae que lea fonctions dAfiniaaant lae
groupea nont eusceptihlea de differentiation.
VI.	Le traitement mathftmatique des axiomea de la Physique.
VII.	— Irrationality et transcendence de certains nombrea.
VIII.	- ProhlAmes sur les nombres premiers.
IX.	Demonstration de la loi de reciprocity la plus gdndrale
dana un corps de nombres quelconque.
X.	De la possibility de risoudre une Aquation de Diophanto.
XI.	Dee formes quadratiqnes A coefficients algdbnques quelconquas.
ХП. Extension dn thdordme de Xronecker anr lea corps abdliene
A nn domaine de rationality algdbrique qnelconque-
ХП1. — Impossibility de la resolution de Г Aquation gdndrale
du septlfime degrA au moycn de fonctions de deux arguments »eulement
XTV — Ddmcntrer qne certains aystimas de fonctions sent finis.
XV.	fitablissement rigoureux de la GAomAtne AnumArative
de Schubert.
XVI	ProbUmes de topologic dec courbes et des surfaces algdbriqnes.
XVII.	Representation dee formes dAfinics par des sommes de carrds.
Х7Ш. Partition de i'eapace an polyidrea congrnenta.
XIX.	Les solutions des ргоЫУшеа riguliers dn calcnl des variations
aont-ellea ndeessairement analytiques?
XX.	ProbUme de Dirichlet dans le cat gAnAral.
XXI.	Demonstration de 1'exiatence d Aquations difldrentielles linAaires
ayant nn gronpe de monodromie assign^.
ХХП. Relations analytiques exprimAes dune maniAre uniforms au
moyen de fonctions automorphee.
XXIII. — Extension dea mithode* du Calcnl des variations.
23 проблемы Гильберта в протоколах конгресса 1900 года.
30
ВАЖНЕЙШИЙ ДОКЛАД ВСЕХ ВРЕМЕН
НЕРЕШЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГИЛЬБЕРТА
Не все проблемы Гильберта тождественны: одни из них имеют точную и конкретную формули-
ровку, другие, скорее, задают направление исследований. Большинство проблем полностью
или почти полностью решены, но некоторые из них отличаются неточностью формулировок
и допускают различные толкования. Можно сказать, что остаются нерешенными проблемы VIII
и XVI. О первой из них, проблеме VIII, мы поговорим в последней главе.
Второй Международный конгресс прошел одновременно со Всемирной выстав-
кой в Париже, в рамках которой было проведено более 200 научных мероприятий.
Изначально с конгрессом связывались немалые ожидания (предварительное согла-
сие дали свыше тысячи математиков), но в итоге в нем приняли участие 250 человек
из 26 стран. Возможно, это было вызвано тревожными сообщениями, опубликован-
ными в том числе и в научных журналах, о значительном скоплении людей и всяче-
ских неудобствах, с которыми сталкиваются посетители Всемирной выставки.
Общий вид Всемирной выставки, прошедшей в 1900 году в Париже.
31
ВАЖНЕЙШИЙ ДОКЛАД ВСЕХ ВРЕМЕН
Научная программа конгресса была построена по цюрихской модели. На меро-
приятии было прочитано четыре пленарных доклада:
—	«Sur Г Historiographic des Mathematiques», Мориц Кантор, Гейдельберг;
—	«Betti, Brioschi, Casorati, trois analystes italiens et trois manieres d’envisager les
questions d’analyse», Вито Вольтерра, Рим;
—	«Sur le role de 1’intuition et de la logique en Mathematiques», Анри Пуанкаре,
Париж;
—	«Une page de la vie de Weierstrass», Магнус Гёста Миттаг-Леффлер, Сток-
гольм.
Тематические секции остались прежними, но к ним добавилась одна новая —
«Методики преподавания». Вы увидите, что на последующих конгрессах препода-
ванию математики уделялось все больше внимания.
УНИВЕРСАЛЬНЫЙ ЯЗЫК НАУКИ
На конгрессе 1900 года было рассмотрено предложение о «создании универсального языка
науки и торговли», который был бы построен по той же модели, что и недавно появившийся
эсперанто. Это предложение не вызвало большого энтузиазма, но его авторы затронули весьма
серьезную проблему. Как объяснил русский математик Александр Васильев, в начале XIX века
ученым достаточно было знать три языка - латынь, английский и французский, - однако ис-
пользование двух или трех десятков языков несет немалые угрозы для науки. Было принято
решение «предложить академиям и научным обществам изучить подходящие средства для
устранения проблем, связанных с растущим разнообразием языков, используемых в научной
литературе».
Церемония закрытия состоялась в прекрасном амфитеатре Ришелье Сорбонны.
Председательствовал на ней Анри Пуанкаре. Организация следующего конгресса,
намеченного на 1904 год, была поручена Союзу немецких математиков. Второй кон-
гресс прошел успешно: во-первых, он послужил закреплению традиции проводить
подобные встречи, а во-вторых, на нем был представлен список 23 проблем Гиль-
берта.
32
ВАЖНЕЙШИЙ ДОКЛАД ВСЕХ ВРЕМЕН
ПАРИЖСКАЯ РОСКОШЬ В 1900 ГОДУ
Принц Роланд Бонапарт, внучатый племянник Наполеона, председательствовавший на Между-
народном конгрессе математиков в секции «История» и известный своим покровительством
различным научным проектам, организовал в своем дворце торжественный ужин, на котором
объединил прием в честь персидского шаха, посетившего с визитом Париж, и встречу участни-
ков конгресса математиков. Как отмечали светские хроники, встреча прошла в оригинальной
и изысканной атмосфере.
Конгресс в Германской империи
В 1904 году Германская империя переживала период экономического, военного, со-
циального, культурного и научного расцвета, так что и Международный конгресс
математиков прошел на самом высоком уровне. На проведение мероприятия были
выделены значительные средства, благодаря чему удалось организовать масштаб-
ную рекламную кампанию: объявления о предстоящем конгрессе были опубликова-
ны в главных математических журналах мира общим тиражом 25 тысяч экземпляров.
Старания дали свои плоды: в конгрессе приняли участие 336 человек из 20 стран.
Nach Liindern geordnct ergibt diese Teilnehmerliete die folgende
Gruppierung:
Land	Hauptkarten NobenkarU-n
Deuteeher Reich	173	31
RuBland .	.	30	4
Oeterreich-Ungurn	.	25	3
ErankreicL	24	5
Vereinigte Staaten	von	Nordamerika	15	4
Danemark	13	Я
Italian	12	2
Schweiz ...	12	1
Schweden und Norwegen	.8	1
GroBbritnnnien	7	1
Niederlando	fi
Belgian	2
Japan ................ 2	—
Rumanian	2	—
Argentinian	.	1	—
Bulgarian	1	—
Canada . .	1
Griecbenland	1	—
Spamen	1	—
336	60
Im ganzen waren also 19 Lander durch 396 Peraonan vertreten
Число участников конгресса 1904 года по странам.
33
ВАЖНЕЙШИЙ ДОКЛАД ВСЕХ ВРЕМЕН
Научная программа вновь была составлена согласно цюрихской модели: четыре
пленарных доклада, под одному на каждом из основных языков математики — не-
мецком, английском, французском и итальянском:
—	«The Mathematical Theory of the Top (Considered Historically)», Альфред
Гринхилл, Лондон;
—	«Le probleme moderne de 1’integration des equations differentielles», Поль Пен-
леве, Париж;
—	«La geometria d’oggidi e i suoi legami coll’analisi», Коррадо Сегре, Турин;
—	«Riemanns Vbrlesungen fiber die hypergeometrische Reihe und ihre Bedeutung»,
Вильгельм Виртингер, Вена.
На тематических секциях было представлено 78 докладов — в два раза боль-
ше, чем на предыдущих форумах. Названия секций остались прежними, только
секция VI стала называться «Педагогика», а секция IV, ранее носившая название
«Механика и математическая физика», получила название «Прикладная математи-
ка».
Утром 10 августа 1904 года участники конгресса стали свидетелями драматич-
ной сцены. С докладом «Континуум-гипотеза» должен был выступить венгерский
математик Юлиус Кёниг, при этом было заявлено, что в докладе будет изложено
решение первой проблемы из списка, представленного Гильбертом на Парижском
конгрессе, — эта проблема касалась гипотезы Кантора о размере бесконечных мно-
жеств. Интерес к докладу был так велик, что все остальные выступления, которые
должны были проходить в то же время, были отменены, чтобы Кёнига смогли услы-
шать все желающие. В присутствии Гильберта и Кантора Кёниг доказал ложность
гипотезы Кантора. Последний, пребывая в чрезвычайном возбуждении, публично
поблагодарил Бога за то, что дожил до того дня, когда его заблуждения были опро-
вергнуты. В местных газетах сразу же появилась заметка о том, что на конгрессе
произошло нечто очень важное, и Феликсу Клейну даже пришлось нанести визит
эрцгерцогу и рассказать ему о случившемся. Однако волнение Кантора длилось не-
долго: спустя несколько недель в доказательстве Кёнига была обнаружена ошибка,
а гипотеза Кантора получила окончательное доказательство лишь в 1963 году.
Особое место на конгрессе занимала прикладная математика — одна из тех дис-
циплин науки, где периодически происходят яркие открытия. На секции приклад-
ной математики академические институты и коммерческие предприятия представили
34
ВАЖНЕЙШИЙ ДОКЛАД ВСЕХ ВРЕМЕН
различные «математические инструменты и устройства», и эта выставка привлекла
большое внимание. Публике были представлены:
—	калькулятор «Триумфатор», созданный берлинскими инженерами Бомбицки
и Ламмом;
—	инструмент автоматического построения кривых и делитель углов, сконстру-
ированные парижской компанией — изготовителем точных измерительных
инструментов Chateau Freres;
—	дифференциатор Коради, интегратор Абакановича, параболограф Пайне —
Коради и гармонический анализатор Коради из Цюрихского математике-ме-
ханического института;
—	гироскоп (по модели Максвелла) и гиростат (по модели лорда Кельвина),
созданные в Гёттингенском математическом институте;
—	деформируемый гиперболоид Дарбу, созданный Альфредом Гринхиллом
из Лондона;
—	калькуляторы «Brunsviga» и «Addograph» брауншвейгской компании Grimme,
Natalis & Со;
—	циклограф и эллипсограф, сконструированные в Венской технической школе;
—	эпидиаскоп и эпископ, изготовленные в оптической мастерской Carl Zeiss
в Иене.
Выставка сопровождалась демонстрациями действия приборов и популярными
лекциями, среди которых был доклад на тему «Геометрия чисел», прочитанный Гер-
маном Минковским с использованием эпидиаскопа.
Единственным несовременным устройством, представленным на выставке, была
вычислительная машина, спроектированная и изготовленная Готфридом Вильгель-
мом Лейбницем в 1674 году. Ее один небольшой и к тому же устранимый недо-
статок состоял в том, что результат операции 9999 + 1 равнялся 9900. По своим
характеристикам это устройство было сопоставимо с некоторыми вычислительными
машинами начала XX века. До наших дней дошли всего два экземпляра этой заме-
чательной машины: один из них хранится в Ганновере, другой — в Мюнхене.
Историческая часть конгресса, как обычно, вызвала множество эмоций. Отдель-
но были упомянуты математики, умершие в последние годы: Артур Кэли в 1895-м,
Франческо Бриоски — в 1897-м, Джеймс Сильвестр — в 1897-м, Карл Вей-
ерштрасс — в 1897-м, Софус Ли — в 1899-м, Элвин Кристоффель — в 1900-м,
35
ВАЖНЕЙШИЙ ДОКЛАД ВСЕХ ВРЕМЕН
МОГИЛЫ МАТЕМАТИКОВ
Математик Карл Герман Амандус Шварц сообщил участникам конгресса, что могила Якоби
находится в плачевном состоянии, поскольку вдова ученого не могла за ней ухаживать. В ре-
зультате Прусская академия наук приобрела у берлинской церкви Святой Троицы участок земли,
где находилось захоронение, и оплатила установку ограды. Фотографии отреставрированной
могилы были продемонстрированы участникам конгресса.
Шарль Эрмит — в 1901-м, Лазарь Фукс — в 1902-м, Луиджи Кремона —
в 1903-м и Джордж Сальмой — в 1904-м.
Конечно же, на конгрессе не забыли и о столетии со дня рождения великого
немецкого математика Карла Густава Якоба Якоби (1804—1851). Ему был посвя-
щен первый пленарный доклад, на котором присутствовали члены семьи Якоби. Все
участники конгресса получили стенограмму доклада и экземпляр научной биографии
ученого.
На конгрессе вновь была отмечена необходимость издать полное собрание сочи-
нений Эйлера и поддержать Институт Карнеги, а также Берлинскую и Санкт-Пе-
тербургскую академии наук, которые занимались реализацией проекта. Феликс
Клейн представил первый том амбициозного проекта энциклопедии, которая долж-
на была содержать все известные математические знания — «Encyklopadie der
mathematischen Wissenschaften». Французский математик Жюль Молк, в свою
очередь, представил французское издание энциклопедии, подчеркнув (тем самым
вновь подстегнув франке-германское соперничество), что оно представляет собой
не простой перевод с немецкого, а отдельную версию, и многие статьи в ней написа-
ны французскими математиками. Члены конгресса выразили благодарность за под-
держку проектов издательским компаниям B.G. Teubner (Лейпциг) и Gauthier -
Villars (Париж), представители которых присутствовали на конгрессе.
Культурная программа встречи также отличалась пышностью. Во время экскур-
сии на корабле по реке Неккар участники конгресса, прибыв в Гейдельберг, увидели,
что мосты и замок украшены иллюминацией и бенгальскими огнями, а в небе фейер-
верками выведена теорема Пифагора.
На заключительном заседании вновь был отмечен успех мероприятия и едино-
гласно одобрено приглашение от математического отделения Национальной акаде-
мии деи Линчеи и математического кружка Палермо, зачитанное итальянским мате-
матиком Вито Вольтеррой, провести следующий конгресс в Риме в 1908 году.
36
ВАЖНЕЙШИЙ ДОКЛАД ВСЕХ ВРЕМЕН
Рыси и сицилийцы
«Мы помним Италию городов-государств и Италию эпохи Возрождения, мы
помним имена Фибоначчи, Тартальи, дель Ферро, Феррари и многих других.
Именно благодаря им общество стало достаточно зрелым духовно, чтобы
в нем мог произойти расцвет науки. После Фибоначчи возникло два течения:
первое заключалось в изучении чистой теории, второе основывалось на при-
кладных исследованиях в торговле, вновь принесшей Италии богатство. Ре-
зультатом этих исследований стало создание принципа двойной записи Луки
Пачоли и основание его процветающей школы торговой арифметики».
Так итальянский министр образования во время открытия международного кон-
гресса, проходившего в одном из прекрасных залов Капитолия, подвел итог богатым
итальянским традициям прикладной математики. Во второй половине XIX века
к этим традициям добавился интерес к решению задач, связанных с физикой. Такое
направление развития науки прекрасно сочеталось с вниманием итальянского пра-
вительства к развитию прикладной математики, поэтому конгресс прошел при под-
держке не только министерства образования, но и министерств сельского хозяйства,
промышленности и торговли, финансов и экономического развития. Финансовую
поддержку конгрессу оказали также четыре итальянские страховые компании.
На Международном конгрессе в Риме в 1908 году большое внимание было уде-
лено прикладной математике, а также ее преподаванию.
Важность прикладной математики подчеркивалась в течение всего мероприятия,
начиная с того, что его председателем был физик Пьетро Блазерна, и заканчивая
тем, что сразу три пленарных доклада (их общее число на этот раз возросло до де-
сяти) носили чисто прикладной характер:
—	«Le partage de 1’energie entre la matiere ponderable et 1’ether», Хендрик Антон
Лоренц, Лейден;
—	«La theone du mouvement de la lune; son historic et son etat actuel», Саймон
Ньюкомб, Вашингтон;
—	«Sur les trajectories des corpuscules electrises dans le champs d’un aimant
elementaire avec applications aux aurores boreales», Карл Штермер, Христиа-
ния (ныне Осло).
37
ВАЖНЕЙШИЙ ДОКЛАД ВСЕХ ВРЕМЕН
В 1902 году Лоренц был удостоен Нобелевской премии по физике, а Ньюкомб
был выдающимся американским астрономом. Подобная ситуация наблюдалась
и на секциях: было значительно расширено прикладное направление, включавшее
механику, математическую физику, геодезию, актуарную математику и другие дис-
циплины. Один из докладов и вовсе был посвящен вождению автомобилей и равно-
весию судов.
МЕДАЛЬ ГУЧЧИА
Четвертый конгресс матема.иков стал первой встречей, на которой была присуждена научная
премия, учрежденная одним из организаторов конгресса - Математическим кружком Палермо.
Премия представляла собой золотую медаль и сумму в три тысячи лир и вручалась за лучшую
работу по теории алгебраических кривых. Об учреждении премии было объявлено на предыду-
щем конгрессе в Гейдельберге в 1904 году, там же был определен состав жюри: Анри Пуанкаре,
Макс Нётер из Эрлангена и Коррадо Сегре из Турина. Ни одна из представленных работ не была
признана достойной награды, но особо была отмечена работа Франческо Севери из Падуи.
Новая премия на Римском конгрессе была присуждена в первый и последний раз.
В числе тем конгресса особое место занимали программы и методы преподавания
математики в средней школе в разных странах (Австрии, Англии, Венгрии, Герма-
нии, Греции, Испании, Италии и США). По предложению американского матема-
тика Дэвида Юджина Смита была учреждена Международная комиссия по препо-
даванию математики (International Commission on Mathematical Instruction, сокра-
щенно ICMI). Должность председателя этой комиссии до самой смерти занимал
Феликс Клейн. Эта организация просуществовала до наших дней (см. http: / /www.
icmihistory.unito.it/). Международное математическое сообщество придавало осо-
бое значение работе этой комиссии, о чем говорит хотя бы тот факт, что ее предсе-
дателями в разные годы становились выдающиеся математики (Жак Адамар, Мар-
шалл Стоун, Андре Аихнерович, Жан-Пьер Кахан, а также, в 1991—1998 годах,
испанский математик Мигель де Гузман). С 1969 года раз в четыре года проводятся
международные конгрессы по преподаванию математики (International Congress on
Mathematical Education, сокращенно ICME), в которых принимают участие тысячи
человек. Восьмой конгресс прошел в 1996 году в испанской Севилье.
38
ВАЖНЕЙШИЙ ДОКЛАД ВСЕХ ВРЕМЕН
ПРОФСОЮЗ
Участников конгресса охватила интернациональная эйфория, заставившая их высказать пред-
ложение о создании международной ассоциации математиков. Однако на следующем конгрес-
се, в Кембридже в 1912 году, оно было отвергнуто.
Римский конгресс стал успешным продолжением традиции международных
математических встреч. В нем приняли участие 535 математиков, было прочитано
10 пленарных докладов и 127 докладов на предметных секциях. Преемственность
проявилась и в том, что неиспользованный бюджет Гейдельбергского конгресса был
направлен на организацию встречи в Риме.
Distribuzione dei Congressisti per Nazioni.			
	соъ'сиимашп	MBSONl DI VAM1GUA	TOTAL!
Italia. .	190	23	213
Germania .	120	54	174
Francia. . .	68	20	92
Anatrla-Ungheria .	51	23	74
Inghilterra	22	11	38
Btati Unit! (America)	16	11	27
Ruaala		19	6	25
Svizzera.	16	2	18
Svezia	5	1	6
Romania	6	—	6
Spagna . .	5	—	5
Danimau*	3	2	5
Olanda .	8	1	4
Norvegia . .	2	2	4
Belgio	4	—	4
Grecia	8	—	8
Tunisia .	2	—	2
Bulgaria	1	—	1
CanadA .	1	—	1
Egitto	1	—	1
Meeelco	1	—	1
Serbia	1	—	1
	- 			—-—	 .
Total» . .	535	165	700
Число участников конгресса 1908 года по странам.
39
ВАЖНЕЙШИЙ ДОКЛАД ВСЕХ ВРЕМЕН
ЗАБАСТОВКА СИЦИЛИЙСКИХ ТИПОГРАФОВ
Протоколы Римского конгресса представляют собой три огромных тома объемом свыше тысячи
страниц каждый. Вначале было решено, что протоколы будут отпечатаны Математическим круж-
ком Палермо в математической типографии. Однако этому помешала забастовка, организован-
ная профсоюзом сицилийских типографов, и в итоге протоколы были изданы в Риме еще одним
научным учреждением, участвовавшим в организации конгресса, — Национальной академией
деи Линчеи. Это легендарное научное учреждение было основано в Риме на заре XVII века.
Члены академии обращали свой пристальный взор, подобно рыси (по-итальянски «рысь» -
lince, что объясняет и название организации), на все области науки. Одним из первых членов
академии деи Линчеи был Галилео Галилей.
Из всей культурной программы конгресса его участникам запомнился концерт,
прошедший в амфитеатре над мавзолеем Августа в Риме, и экскурсия на поезде
и конных экипажах в виллу Адриана в Тиволи, где экскурсантам были предложены
закуски и прохладительные напитки. Далее участники конгресса посетили фонтаны
виллы д’Эсте (с разрешения австрийского эрцгерцога Фердинанда, убийство кото-
рого позднее послужило поводом к началу Первой мировой войны).
На земле Дарвина
Длительные споры об авторстве анализа бесконечно малых на рубеже XVII—
XVIII веков, в которых сошлись Ньютон, Лейбниц, а также их последователи,
привели к тому, что Великобритания в вопросах развития математики оказалась
в некоторой изоляции от континентальной Европы. Эта изоляция привела к тому,
что британские математики уделяли прикладной математике и ее связям с другими
науками куда большее внимание, чем их коллеги с континента. Такой сдвиг в сто-
рону прикладных дисциплин отразился в программе не только Римского конгресса
1908 года, но и следующего за ним, который состоялся в 1912 году в Кембрид-
же. Близость к естественным наукам проявилась, к примеру, в том, что почетным
президентом конгресса стал физик лорд Рэлей, который в 1904 году был удостоен
Нобелевской премии за открытие газа аргона. В том же духе прошли и пленарные
доклады: половина из них носила в высшей степени прикладной характер и была
посвящена темам, которые и сегодня кажутся далекими от математики:
—	«Periodicities in the Solar System», Эрнест Браун, Нью-Хейвен;
40
ВАЖНЕЙШИЙ ДОКЛАД ВСЕХ ВРЕМЕН
—	«The Principles of Instrumental Seismology», князь Борис Голицын, Санкт-Пе-
тербург;
—	«The Dynamics of Radiation», сэр Джозеф Лармор, Кембридж;
—	«The Place of Mathematics in Engineering Practice», сэр Уильям Генри Уайт.
Еще одним ярким проявлением важной роли прикладных наук стали экскурсии,
организованные для участников конгресса: сначала они посетили астрономиче-
скую обсерваторию Кембриджского университета, затем — компанию Cambridge
Scientific Instrument Company, которая специализировалась на изготовлении вы-
сокоточных научных приборов. Основателем этой компании, просуществовавшей
до 1968 года, был инженер 1ораций Дарвин, сын натуралиста Чарльза Дарвина.
Другой сын Дарвина, Джордж, который был председателем конгресса (а также
главой Королевского астрономического общества), в речи на церемонии открытия
сделал любопытное наблюдение, касавшееся связи теоретической и прикладной ма-
тематики:
«Я прошу быть милосердными к прикладным математикам и с пониманием
отнестись к трудностям, с которыми они сталкиваются. Хотя нашим методам
часто недостает элегантности и они не слишком удовлетворяют нашему чув-
ству прекрасного, мы честно пытаемся разгадать тайны мира, в котором мы
живем».
ЭКЗАМЕН ТРАЙПОС
На конгрессе был особо отмечен экзамен под названием трайпос - крайне сложный экзамен
по математике, состоявший из нескольких частей. В каждой из них требовалось дать ответ
на несколько десятков вопросов, и в сумме испытание длилось больше недели. Трайпос был
обязательным для всех студентов Кембриджа, а результаты экзамена указывались в дипломах
выпускников. Как объяснил вице-канцлер университета на церемонии открытия конгресса,
«трайпос - старейший в Европе конкурсный экзамен, определяющий ранг по заслугам». На-
звание экзамена, по всей видимости, происходит от трехногого стула, сидя на котором студенты
сдавали этот экзамен в XVIII веке.
Участники конгресса поприветствовали решение Швейцарского общества есте-
ственных наук начать публикацию «роскошного издания» полного собрания сочи-
41
ВАЖНЕЙШИЙ ДОКЛАД ВСЕХ ВРЕМЕН
нений Леонарда Эйлера (вопрос поднимался на всех предыдущих конгрессах). Со-
брание сочинений Эйлера было опубликовано при поддержке Союза немецких ма-
тематиков, передавшего на реализацию проекта треть необходимых средств, а также
Математического общества Франции, которое обязалось приобрести 40 экземпля-
ров при условии, что они будут изданы на языке оригинала. Все предварительные
оценки, касавшиеся объема этого труда, оказались заниженными: на сегодняшний
день, спустя 100 лет, опубликовано 72 тома научных статей, к печати готовятся еще
10 томов — считается, что именно столько потребуется для публикации всей науч-
ной переписки Эйлера (см. http://www.leonhard-euler.ch/).
Встреча 1912 года в Кембридже стала самой значительной из всех международ-
ных конгрессов начиная с первого, прошедшего в Цюрихе в 1897 году. Мероприя-
тие собрало 574 математика из 28 стран, из них 87 человек прибыли из-за границ
Европы. Всех участников конгресса пленило очарование средневековых зданий, где
когда-то работали титаны науки, роскошь дворцовых приемов, органных концертов
и чаепитий в поместьях знатных семейств. Никто больше не сомневался в том, что
международные конгрессы математиков ждет большое будущее.
42
ВАЖНЕЙШИЙ ДОКЛАД ВСЕХ ВРЕМЕН
DISTRIBUTION OF MEMBERS	, ACCORDING TO NATIONALITY		
	Members	Member» of family	Total
Argentine	5	—	Б
Austria	20	3	23
Belgium	6		6
Brazil	1	—	1
Bulgaria	1	—	1
Canada Chili	5 I	—	5 I
Denmark	4	2	6
Egypt	2	—	2
France	39	6	45
Germany	53	17	70
Greece	4	1	5
Holland	u	1	10
Hungary	16	3	19
India	3	—	3
Italy	35	6	41
Japan	3	—	3
Mexico	2		2
Norway	3	1	4
Portugal	2	1	3
Rou mania	4	1	5
Russia	30	10	40
Servia	1	—	I
Spain	25	2	27
Sweden	12	2	14
Switzerland	8	2	10
United Kingdom	221	40	270
United Htates of America	60	27	87
	574	134	7O8~
			
Число участников конгресса 1912 года по странам.
Шведский математик Магнус Гёста Миттаг-Аеффлер от имени Шведской коро-
левской академии наук и редакции журнала Acta Mathematica — лучшего научного
журнала мира — пригласил всех присутствующих принять участие в следующем
конгрессе, который должен был состояться в 1916 году в Стокгольме. Сцена полу-
чилась очень эмоциональной, поскольку блестящие перспективы международного
сотрудничества стали очевидны. В это же время прозвучали предложения провести
конгресс 1920 года в Будапеште, а конгресс 1924 года — в Афинах.
43
ВАЖНЕЙШИЙ ДОКЛАД ВСЕХ ВРЕМЕН
ВНОВЬ О МОГИЛАХ МАТЕМАТИКОВ
Группа участников конгресса отправилась на расположенное неподалеку кладбище Милл-роуд,
чтобы почтить память британского математика Артура Кэли и возложить венок на его могилу.
Руководство Кембриджского университета, тронутое этим поступком, приняло решение навечно
возложить на могилу Кэли серебряный венок.
44
Глава 3
Ужасы войны
Многие историки считают истинным началом XX века 1914 год, когда разразилась
Первая мировая война. Она унесла множество жизней, тысячи людей остались ин-
валидами, и все это оказало огромное влияние на жизнь общества. С окончанием
войны возник новый мир. Были уничтожены три великие империи — Германская,
Австро-Венгерская и Российская, и на их обломках возникла целая плеяда новых
государств, среди которых был и Советский Союз с доселе невиданной системой
социального устройства. Никогда прежде за столь короткий промежуток времени
не происходило такое количество изменений подобного масштаба.
Вихри войны и ураган ее последствий затронули и науку. Правительства союз-
ных стран больше не сомневались в том, какое огромное значение имеет труд ученых
для экономического развития государств. Еще в годы Первой мировой был соз-
дан Международный исследовательский совет (International Research Council, со-
кращенно IRC), формальной целью которого было развитие сотрудничества между
учеными разных стран. При этом ученые занимали лишь отдельные руководящие
посты в совете, а его членами были не научные ассоциации или академии, а государ-
ства, то есть их правительства. В уставе организации практически не скрывались ис-
тинные намерения союзников — нивелировать господство Германии во множестве
областей науки.
Большой вес в Международном исследовательском совете имели и некоторые
математики — например, француз Эмиль Пикар, президент совета до 1931 года,
и итальянец Вито Вольтерра, занимавший должность вице-президента. На учре-
дительном собрании совета, прошедшем в 1919 году в Брюсселе, было принято два
важных решения, касавшихся математики. На время войны проведение междуна-
родных конгрессов было приостановлено (иначе и быть не могло), поэтому встреча,
планировавшаяся в 1916 году в Стокгольме, не состоялась. Следующий междуна-
родный конгресс решено было провести в 1920 году в Страсбурге. Сам выбор этого
города был сделан с определенным умыслом: ранее Эльзас, столицей которого был
Страсбург, считался спорной территорией между Францией и Германией и по ито-
гам войны был возвращен Франции.
45
УЖАСЫ ВОЙНЫ
Еще одним решением Международного исследовательского совета стала под-
готовка устава будущего Международного математического союза (сокр. UMI,
по первым буквам французского названия), который планировалось учредить
на конгрессе в Страсбурге.
Время мести
Страсбургский конгресс 1920 года не отличался от предыдущих: на нем также был
избран почетный президент (им стал 80-летний французский математик Камиль
Жордан), было представлено почти 80 докладов в традиционных тематических сек-
циях, а видные математики прочли пять пленарных докладов:
—	«Questions in Physical Indetermination», сэр Джозеф Лармор, Кембридж;
—	«Relations between the Theory of Numbers and Other Branches of Mathematics»,
Леонард Юджин Диксон, Чикаго;
—	«Sur les fonctions a variation bornee et les questions qui s’y rattachent», Шарль
Жан де ла Валле-Пуссен, Лёвен;
—	«Sur I’enseignement de la Physique Mathematique e de quelques points d’Analyse»,
Вито Вольтерра, Рим;
—	«Sur les equations aux difference finies», Нильс Эрик Норлунд, Лунд.
Хотя число представленных на мероприятии стран по сравнению с Кембридж-
ским конгрессом 1912 года осталось практически прежним, в составе участников
произошли изменения: конгресс посетили всего 200 математиков, из которых
80 были французами. Это число оказалось самым низким с начала проведения меж-
дународных математических встреч и во всей истории проведения конгрессов.
Объяснить такое снижение представительства ученых можно было бы войной
и общим послевоенным упадком, однако истина оказалась намного проще и в то же
время печальнее: конгресс прошел согласно условиям, установленным Междуна-
родным исследовательским советом, который запретил участвовать в международ-
ных конгрессах ученым центральных держав, потерпевших поражение в войне, —
Германии, Австро-Венгерской империи, Болгарии и Турции. Для математики это
означало исключение весьма существенной части научного сообщества, причем это
сокращение носило не только количественный, но и качественный характер. Более
того, как объяснил генеральный секретарь конгресса французский математик Габри-
эль Кёниге, конгресс не был открытым: его участники были выбраны заранее и по-
46
УЖАСЫ ВОЙНЫ
лучили персональные приглашения. Ко всему этому, некоторые математики, в част-
ности англичанин Годфри Харолд Харди и швед Магнус Гёста Миттаг-Леффлер,
отказались участвовать в мероприятии, публично выступили против запретительной
политики организаторов и призвали восстановить дружественные связи между ма-
тематиками всех стран. К сожалению, в 1920 году сторонники подобных действий
оставались в меньшинстве.
RECAPITULATION PAR NATIONALITES
Anglcterre.
ftepublique Argentine
Australie .
Belgique..
Brisil .
Canada
Da noma rk. ......
Egyptc..............
E«p*gnc.............
£tats-(Jnis.........
France..............
Grice...............
Hollande
Indes...............
Halle.
Japon ..............
Mexique............
Norrtgc.............
Philippines.........
Pologne.............
Portugal..........
Roumanie...........
Russia.,
Sertde.. ........
Suede
Suisse..........
TeMco-Slovaquie ...
Congreeeielee.
9
6
1
10
1
1
3
1
10
11
80
0
2
2
2
4
1
2
3
6
1
1
1
14
12
Hembree
dee famillee.
2
Total.
11
6
1
14
1
1
4
1
10
15
112
7
6
2
7
2
2
6
1
2
6
7
2
17
12
200
57	257
Число участников конгресса 1920 года по странам.
Все эти обстоятельства привели к тому, что конгресс прошел в ярко выраженном
послевоенном духе: для его участников было организовано множество экскурсий
в военные мавзолеи и на поля сражений, на конференциях и концертах звучали вос-
торженные речи патриотов Эльзаса, а участники — офицеры союзных войск —
пользовались всеобщим расположением и различными привилегиями.
47
УЖАСЫ ВОЙНЫ
Кульминацией этих настроений, порой почти милитаристских, стала заключи-
тельная речь председателя конгресса и главы Международного исследовательского
совета Эмиля Пикара, в которой он сказал:
«Только наши потомки должны определить, удастся ли по прошествии до-
статочно долгого времени и после искреннего раскаяния возобновить эти от-
ношения, разорванные трагедией последних лет, и заслуживают ли нации,
которые исключили сами себя из списка цивилизованных государств, возвра-
щения в научные круги. Мы слишком близки к этим событиям, поэтому да-
вайте последуем мудрым словам кардинала Мерсье, произнесенным во время
войны: простить некоторые преступления — значит стать их соучастниками».
Несомненно, это очень жесткое высказывание, однако прежде чем осуждать
Пикара, следует учесть, что вся его семья погибла во время этой войны.
Эмиль Пикар.
Закрытие конгресса также прошло вразрез со сложившейся традицией: на нем
не прозвучало ни одного предложения относительно места проведения следующей
встречи. Причина этого состояла в том, что несколькими днями ранее на закры-
том заседании был основан Международный математический союз и утвержден
его устав, подготовленный Международным исследовательским советом. Тог-
да же было установлено, что конгресс 1924 года пройдет в Нью-Йорке, а конгресс
1928 года — в Бельгии. Участники встречи просто выслушали принятое решение.
48
УЖАСЫ ВОЙНЫ
Однако с приближением намеченной даты стало понятно, что Американское мате-
матическое общество не в состоянии организовать конгресс, на который по-прежнему
не допускались бы математики из бывших центральных держав. Это объяснялось не-
сколькими причинами: во-первых, война затронула США меньше, чем Европу, и ее
эмоциональные издержки к 1924 году в Новом Свете уже практически не чувство-
вались; во-вторых, что более важно, американский и немецкий научный мир были
тесно связаны между собой, так как немецкие ученые сыграли определяющую роль
в формировании и организации американских академических кругов. В результате
оказалось практически невозможным обеспечить необходимое финансирование для
проведения конгресса в соответствии с прежней политикой исключения.
Международная встреча оказался под угрозой срыва, так как Международный
исследовательский совет, а следовательно, и Международный математический союз
не были готовы разрешить проведение открытого конгресса с участием немецких ма-
тематиков. В последний момент канадский математик Джон Чарльз Филдс предло-
жил провести конгресс 1924 года в Торонто, сохранив при этом политику исключения.
Огромные усилия, приложенные Филдсом, возымели эффект, и в августе
1924 года состоялся очередной конгресс, в котором приняли участие 444 математи-
ка из 28 стран, в том числе с совсем молодой государственностью: из Ирландского
Свободного государства (получило независимость от Великобритании), Чехосло-
вакии (была создана в 1918 году) и некоторых советских республик (Грузии, Рос-
сии и Украины). Хотя две трети присутствовавших представляли страны Северной
Америки, общее число участников было достаточно высоким — и это при том, что
на мероприятие по-прежнему не допускались представители Германии, Австрии,
Венгрии и Болгарии.
В соответствии с англосаксонской научной традицией, конгресс носил выражен-
ный прикладной характер, что подтверждал и перечень его тематических секций.
I.	Алгебра, теория чисел и анализ.
II.	Геометрия.
III	(а). Механика и физика.
III (Ь). Астрономия и геофизика.
IV (а). Электротехника, машиностроение, гражданское строительство и горное
дело.
IV (Ь). Воздухоплавание, кораблестроение, баллистика и радиотелеграфия.
V.	Статистика, актуарные расчеты и экономика.
VI.	История, философия и дидактика.
49
УЖАСЫ ВОЙНЫ
GEOGRAPHICAL DISTRIBUTION
	A	В	C
Argentine	2	—	1
Australia	—	1	—
Belgium	fi	2	-
Canada	107	4	7
Cuba	-	1	—
Czechoslovakia	3	—	—
Denmark	3	1	—
Egypt	—	1	
France	24	18	3
Georgia	1	—	—
Great Britain	58	13	20
Greece	—	1	—
Holland	4	—	2
Hong Kong	1		
India	2		
Irish Free State	2	—	I
Italy	11	3	I
Japan		1	—
Jugoslavia	1		—
Malta	1		1
Mexico	1		
Norway	5	1	
Peru	—	1	—
Poland	2	1	
Portugal	2	1	
Roumania	1	1	
Russia	4	10	—
Samoa	1	•-	
Spain	3	1	
Sweden	3	2	—
Switzerland	4	1	—
Ukraine	1	2	—
United States	191	15	64
	——	——	—
	414	82	100
A. Delegates and Members present in Toronto.
B. Corresponding Members.
C. Relatives accompanying those listed under A.
Число участников Торонтского конгресса 1924 года по странам.
Прикладная направленность конгресса проявилась и в списке участников, сре-
ди которых были сотрудники компаний Eastman Kodak, General Electric, American
Telephone and Telegraph, Marconi, а также военных министерств США и Франции.
Экскурсии, организованные для участников мероприятия, также отражали повы-
шенный интерес к промышленности: члены конгресса посетили расположенную
на реке Ниагара гидроэлектростанцию Квинстон-Чипава.
С научной точки зрения встреча математиков прошла безупречно: на конгрессе
были прочитаны 241 тематический и восемь пленарных докладов (при этом в пле-
нарных докладах прикладной математике уделялось сравнительно немного внима-
ния):
—	«La theorie des groupes et les recherches recentes de geometric differentielle», Эли
Картан, Париж;
50
УЖАСЫ ВОЙНЫ
—	«Outline of the Theory to Date of the Arithmetics of Algebras», Леонард Юд-
жин Диксон, Чикаго;
—	«Considerations sur une equation aux derivees partielles de la physique
mathematique», Жан Леру, Ренн;
—	«Non-Euclidian Geometry from Non-projective Standpoint», Джеймс Пьер-
пойнт, Нью-Хейвен;
—	«Sulle operazioni funzionali lineari», Сальваторе Пинкерле, Болонья;
—	«La geometric algebrique», Франческо Севери, Рим;
—	«Modern Norwegian Researches on the Aurora Borealis», Карл Штермер, Осло;
—	«Some Characteristics Features of Twentieth-Century Pure Mathematical
Research», Уильям Юнг, Лондон.
Если говорить о культурной программе, то всем участникам запомнилась пре-
красная экскурсия, организованная для них и членов Британской ассоциации со-
действия развитию науки, собравшихся в Торонто. Экскурсия была посвящена
«подробному знакомству с физическими особенностями Канады и ее природных
ресурсов». Вечером 17 августа из Торонто отправился поезд, который должен был
совершить путешествие через весь континент до Виктории и Ванкувера, к побере-
жью Тихого океана, и вернуться обратно через 17 дней, 3 сентября.
На конгрессе удалось в немалой степени сгладить воспоминания о прошедшей
войне, с окончания которой минуло уже шесть лет. Бельгийский математик Шарль
Жан де ла Валле-Пуссен возложил венок к памятнику солдатам из Торонтского
университета, погибшим в годы войны, и в своем выступлении вспомнил конгресс
1920 года, упомянув «освобождение науки из рук нечестивцев, которые столько
времени использовали ее в преступных целях».
Однако общие настроения были иными: многие североамериканские участники
удивились, узнав, что в конгрессе не приняли участие немецкие математики. Словно
подхватив это удивление, представители математических обществ США, Дании,
Великобритании, Голландии, Италии, Норвегии и Швеции заявили, что с поли-
тикой исключения следует покончить. Международный исследовательский совет
не был готов к подобным изменениям и по окончании конгресса заявил о своем
решении провести следующую встречу в 1928 году в Бельгии, в полном соответ-
ствии с политикой исключения. Однако ученое сообщество отказалось проводить
мероприятие на таких условиях и добилось отмены решения Международного ис-
следовательского совета. Так впервые в истории после завершения конгресса место
проведения следующей встречи оказалось неизвестным.
51
УЖАСЫ ВОЙНЫ
Время примирения
Международная обстановка изменилась с подписанием в 1925 году Локарнских до-
говоров, в которых европейские государства в будущем отказывались от ведения
войны для разрешения противоречий (это практически дословная формулировка),
а также с принятием Германии в Лигу Наций в 1926 году. В свете этого Между-
народный исследовательский совет изменил свой устав и пригласил Германию при-
соединиться к числу его участников. Однако ответ на приглашение был отправлен
с опозданием, когда Международный математический союз уже решил провести
следующий конгресс в Болонье — родном городе главы союза, итальянского ма-
тематика Сальваторе Пинкерле. Пинкерле постановил, что Болонский конгресс
открыт для всех математиков мира, и разослал приглашения всем математическим
обществам, в том числе и немецкому.
Этот шаг вызвал всеобщую напряженность. Немецкий математик Людвиг Би-
бербах — позже он стал ярым сторонником нацистов и основателем журнала
Deutsche Mathematik («Немецкая математика»), в котором принципиально не пу-
бликовались статьи еврейских математиков, — возглавил движение против участия
соотечественников в Болонском конгрессе. Его оппонентом выступил Давид Гиль-
берт, который всячески защищал необходимость участия. Международный иссле-
довательский совет сообщил, что при условии свободного посещения конгресс будет
признан нелегитимным, а математические общества других стран заявили, что
не примут участия в конгрессе, если он не будет открыт для всех. Проявив чудеса
дипломатии, Пинкерле организовал конгресс под патронажем Болонского универ-
ситета, а не Международного математического союза, и обеспечил его открытость.
52
УЖАСЫ ВОЙНЫ
Мероприятие прошло с большим успехом: конгресс открылся 3 сентября
1928 года в Болонье, в нем приняли участие 836 человек из 36 стран, и это бо-
лее чем на 45 % выше, чем на конгрессе в Кембридже в 1912 году. Именно успех
Болонского конгресса, а не громкие политические заявления, позволил покончить
с политикой исключения в сфере международного математического сотрудничества.
ELENCO DEI CONORE8BI8TI	63
DISTRIBUZIONE DEX CONGRESS1STI PER NAZIONI
Persone
Effettlvi	di Famiglia	Totale
Argentina ...	7	—	7
Austria	 ....	9	1	10
Belgio .	. .	, . .	10	4	14
Braelie .			2	—	2
Bulgaria ....	5	—	5
Canada		4	3	7
Cecoelovaechia 		15	7	22
Danimarca . .	9	5	14
Egitto 			2	—	2
Finlandia			2	—	2
Franeia	56	35	91
Germania	, .	76	30	106
Giappone		11	2	13
Grecia		8	2	10
Guatemala . .	1	2	3
India	  .	5	2	7
Inghilterra		47	17	64
Irian da . .	Q	—	2
Italia	 .	.	836	76	412
Jugoslavia . .			4	1	5
Lettonia	1	—	1
Lituania		1	1	2
Norverna	8	4	12
Olanda . .	9	6	15
Palestine....	6	—	6
Polonia		31	10	41
Romania		11	8	19
Russia .	27	3	30
Serbia	 .	.	1	—	1
Spagna		11	1	12
Stati Unit! d’America	52	24	76
Svezia		4	3	7
Svizzera ....	. .	29	19	48
Turchla	. .	. .	2	2	4
Ucraina			10	3	13
Unjheria. .	22	9	81
			_	—_ .
	836	280	1116
Число участников конгресса 1928 года по странам.
Когда Давид Гильберт, страстный сторонник международного сотрудничества,
вошел в зал конгресса во главе немецкой делегации, повисла долгая пауза — в по-
следний раз немецкие математики принимали участие в международном конгрессе
53
УЖАСЫ ВОИНЫ
в 1912 году — и вдруг аудитория разразилась бурными аплодисментами. Матема-
тики всего мира были очень рады, что смогли избавиться от политического вмеша-
тельства в вопросы научного сотрудничества. Слова, которые произнес в тот момент
Гильберт, стали выражением единства математиков:
«Я очень рад тому, что после долгого и трудного перерыва здесь представле-
ны математики всего мира. Именно так и должно быть, именно это необходи-
мо для процветания нашей обожаемой науки.
Не будем забывать, что мы, математики, находимся на самой вершине
точных наук. Нам не остается другого выхода, кроме как принять это высокое
положение, поскольку все границы, особенно границы между государствами,
противоречат самой природе математики. Воздвигать барьеры на основе раз-
личий между людьми и расами — величайшая ошибка в математике, и при-
чины, по которым подобное происходило ранее, достойны презрения.
Математике неведомы расы (...). Для математики весь культурный
мир — это одна-единственная страна».
На конгрессе было прочитано 16 пленарных докладов (в число докладчиков
вошли Гильберт, Борель, Кастельнуово, Фреше, Адамар, Лузин, Тонелли, Веблен,
Вольтерра и физик Теодор фон Карман) и 419 докладов в тематических секциях, где
вновь господствовали прикладные направления. В тематических секциях впервые
звучали доклады по теории вероятностей. Как и в 1924 году в Торонто, участники
конгресса посетили недавно открытую гидроэлектростанцию, расположенную меж-
ду Рива-дель-Гарда и Лаго ди Ледро.
На конгрессе нашлось место и исторической части: участникам была представле-
на недавно обнаруженная глава из книги «Алгебра» итальянского математика эпохи
Возрождения Рафаэля Бомбелли, гости мероприятия нанесли визит в дом Сципиона
дель Ферро и установили памятную табличку, посетили церковь Бонавентуры Ка-
вальери и совершили поездку в Феррару, где Коперник изучал каноническое право.
Ослепительная церемония закрытия прошла во флорентийском Палаццо Век-
кьо с участием пышно одетых герольдов и трубачей. Мэр города вспомнил славные
имена уроженцев Тосканы в мире математики — Леонардо Фибоначчи, Рафаэля
Каначчи, Леонардо да Винчи и Галилео Галилея. В Тоскане, как и в классической
Греции, искусство сочеталось с наукой: там на свет появились такие художники, как
Боттичелли и Рафаэль. Он вспомнил и о библиотеках региона, где хранилось мно-
жество трудов по арифметике, алгебре и геометрии позднего Средневековья. Они
54’
УЖАСЫ ВОЙНЫ
были написаны для торговцев, которые исполняли роль банкиров при папах, коро-
лях и императорах Европы. После выступления американского математика Джор-
джа Дэвида Биркхофа на тему «Некоторые математические элементы искусства»
участники конгресса перешли к роскошной выставке старинных рукописей и книг
по математике из национальной библиотеки Флоренции и библиотеки Лауренциана.
Болонский конгресс стал своеобразной выставкой достижений фашистского го-
сударства Бенито Муссолини, который оказал этой встрече математиков большую
поддержку. На мероприятиях конгресса присутствовали официальные лица из На-
циональной фашистской партии и фашистских профсоюзов. В приветственной речи
мэр Болоньи заявил: «Фашистская Болонья рада предложить свое гостеприимство
и показать, чего она достигла под действием живительной силы фашизма».
ЯЗЫКИ КОНГРЕССА
Официальными языками конгресса были итальянский, французский, немецкий, английский,
испанский, классическая латынь (так, ректор Болонского университета прочел речь именно
на латыни) и латино-сине-флексионе, или интерлингва,- искусственно упрощенный вариант
латыни, созданный итальянским математиком Джузеппе Пеано как новый всеобщий язык.
Время спокойствия
Конгрессы, состоявшиеся в 1932 году в Цюрихе (во второй раз) и в 1936 году
в Осло, отличались невиданным согласием, и это несмотря на то, что политиче-
ская обстановка в Европе неуклонно ухудшалась. В те годы Старый Свет сотря-
сал мощный экономический кризис, вызванный начавшейся в 1929 году Великой
депрессией. Последствия кризиса были заметны и в протокольных выступлениях,
и в скромной и даже аскетичной организации конгрессов — так, в 1932 году прове-
сти концерт в честь участников встречи в концертном зале Тонхалле удалось только
благодаря анонимным пожертвованиям неких цюрихских «любителей музыки».
Все разногласия, вызванные политикой исключения, рассматривались в высшей
степени деликатно. Организаторы Цюрихского конгресса 1932 года пригласили
Людвига Бибербаха прочесть пленарный доклад (его авторитет в мире математики
был более чем достаточным) и отправили телеграмму Эмилю Пикару в знак уваже-
ния и признания его заслуг. Кроме того, члены конгресса вновь выразили призна-
тельность Давиду Гильберту.
55
УЖАСЫ ВОЙНЫ
Verteilung der Kongressmitglieder auf die Staaten
Tcilnehmer Begleiter
Agypten................ 6	2
Afrika.........	2	I
Belgien . .	...	7	1
Bulgarian........... 3	1
Canada.............. 2	—
China ................. 3	3
Danemark............ в	2
Deutschland	....	118	24
England.............37	12
Finnland............ 3	—
Frankreioh ...	.69	20
Grieohenland ....	6	—
Holland ...............16	1
Japan............... 3	1
Indian.............. 2	—
bland............... 4	2
Italian.............64	17
Jugoslavian..........	4	—
Uhertrag	363	87
Ubertrag 363
T.ilnehro r Begleiter
Lettland.............. 1
Mexiko . .	1
Norwegen.............. 9
Osterreich .	.10
Palestine	.	2
Persian .	  1
Polen ...	.20
Portugal ......	2
Rumanian ............. 7
Russland	. . 10
Schweden.............. 5
Schweiz .............144
Spanien ............. 10
Tscheohc dowaket	12
Thrkei............ .	2
Ungam	.12
U. S. A...............66
2
1
6
2
2
41
1
3
36
Total .... 667	186
36
REPARTITION DES MEMBRES DU CONGRfcS
PAR DIFFERENTS PAYS
Personnel
Participants: adhdrentes:
L’Union Sud-Africaine .... a	x
Algdrie......................... *	—
Personnel
Participants: adhirentes:
Transports 876	107
Allemagne.................. 35	a
Australia................... x	—
Autriche................... 10	a
Belgique..................... 9	3
Bulgaria.................... a	—
Canada...................... 7	6
Chine....................... 1	—
Danemark................... aa	5
fegypte..................... 3	-
Espagne..................... 8	—
Esthonie.................... 1	—
Etats-Unis................. 86	56
Finlande.................... 8	1
France..................... a8	13
Grande-Bretagne............ 48	18
Grice....................... 4	—
Hongrie.................... 5
Inde....................... 3
Iran........................ a
Irlande......................... 6	3
Islande........................ 1	—
Italic....................... 5	a
Japon........................ 4	—
Lettonie..................... 3	I
Norvige..................... 59	35
Pays-Bas.................... 15	4
Palestine.................... 5	x
Pologne..................... 35	4
Routname .................... 9	6
Suide....................... a6	xo
Suisse...................... ao	Xi
Tchdcoslovaquie............. xo	3
U. R. S. S.................. xx	-
A transporter 376	107
Yougoslavie............... a	3
Total 487	x8a
Список участников по странам в 1932 (вверху) и 1936 годах.
56
УЖАСЫ ВОЙНЫ
Немалую роль в этом акте примирения сыграл немецкий математик Герман
Вейль, который в одном из своих докладов рассмотрел довольно деликатную тему.
Первые конгрессы, проходившие с 1897 по 1912 год, нумеровались по порядку.
Так, в Кембридже в 1912 году состоялся V Международный конгресс математиков.
Установление политики исключения привело к тому, что Страсбургский конгресс
1920 года и Торонтский конгресс 1924 года не были открыты для всех математи-
ков, поэтому часть математического сообщества не включала их в число остальных
международных конгрессов. Так, Болонский конгресс в протоколах официально
именуется VI Международным конгрессом математиков. Герман Вейль объяснил,
что Цюрихский конгресс 1932 года, на котором он присутствовал, носил номер N,
и на основе известных аксиом можно было определить лишь то, что N заключено
на интервале между 7 и 9 (7, если не считать Страсбургский и Торонтский конгрес-
сы, и 9 — в противном случае). Вейль предложил не нумеровать конгрессы, и это
решение было принято.
В программах двух последних встреч можно заметить различные изменения.
Большое количество пленарных докладов свидетельствовало о растущем многооб-
разии математического сообщества: в Цюрихе — 20 (в числе докладчиков были
Каратеодори, Жюлиа, Карлеман, Картан, Бибербах, Морзе, Нётер, Бор, Севе-
ри, Неванлинна, Рис, Серпинский, Бернштейн и специалист по квантовой физике
Вольфганг Паули), в Осло — 19 (в число докладчиков вошли Картан, Зигель, Ве-
блен, Биркхоф, Альфорс, ван дер Корпут, Банах, Фреше, Винер). Однако лучше
всего оценить изменения в математике можно по списку тематических секций.
I.	Алгебра и теория чисел.
II.	Анализ.
III.	1еометрия и топология.
IV.	Теория вероятностей, математическая статистика, актуарные расчеты и эко-
нометрика.
V.	Математическая физика, астрономия и геофизика.
VI.	Классическая и прикладная механика.
VII.	Логика, философия и история.
VIII.	Педагогика.
Как видите, в этом списке присутствуют новые дисциплины, в частности тополо-
гия. О росте специализации в науке свидетельствовало и заявление американского
ученого Соломона Лефшеца из Принстонского университета: на конгрессе в Осло
57
УЖАСЫ ВОЙНЫ
в 1936 году он сообщил, что, «если позволят обстоятельства», встреча в 1939 году
в Варшаве будет посвящена топологии. Это мероприятие могло бы стать одним
из первых конгрессов по конкретной области математики, но из-за сложной полити-
ческой ситуации оно не состоялось.
Говоря об исторической части конгресса в Осло, укажем, что его участники
почтили память великого норвежского математика Софуса Ли и провели торже-
ственную церемонию открытия огромного бюста ученого, который был установлен
на средства анонимных пожертвователей.
Хотя число участников двух последних конгрессов было довольно значитель-
ным, все же встречи собрали меньше людей, чем в 1928 году в Болонье: в 1932 году
в Цюрих приехало 667 человек, в 1936 году в Осло — 487. На последнем кон-
грессе уже довольно сильно ощущалась политическая напряженность, охватившая
Европу. Отметим также изменения в количестве математиков из Советского Союза:
если в 1928 году их было 27, то в 1932-м — всего 10, а для участия в конгрес-
се в 1936 году зарегистрировалось 11 ученых, но почти никому из них не удалось
прибыть — в самом разгаре были сталинские репрессии. Еще один интересный
пример — Италия: в 1936 году об участии в конгрессе заявили всего пять чело-
век, и почти никто из них не приехал: Норвегия выразила свой протест по поводу
вторжения войск Муссолини в Абиссинию, а ответным шагом итальянского прави-
тельства стал запрет на участие в конгрессе. Участники встречи в Осло отправили
письмо в поддержку Вито Вольтерры, который лишился должности в университете
за то, что не присягнул на верность режиму Муссолини.
Вито Вольтерра.
58
УЖАСЫ ВОЙНЫ
На конгрессах в Цюрихе в 1932 году и в Осло в 1936 году произошло важное
событие в мире математики: была учреждена и впервые вручена важнейшая пре-
мия за математические исследования. На церемонии открытия конгресса 1932 года
прозвучало предложение канадского математика Джона Чарльза Филдса, органи-
затора Торонтского конгресса 1924 года, об учреждении премии для молодых ма-
тематиков. Сам Филдс умер за несколько месяцев до встречи в Цюрихе, поэтому
его предложение огласил его друг и коллега Джон Лайтон Синг. Вопрос о матема-
тических премиях часто вызывает споры: всегда находятся те, кому их полезность
кажется сомнительной, поэтому организаторы мероприятия решили рассмотреть во-
прос о премии по ходу конгресса. Учитывая международный характер предложенной
награды, на церемонии закрытия было постановлено:
«Международный конгресс математиков, прошедший в Цюрихе, с радостью
принимает предложение покойного профессора Филдса об учреждении двух
премий, которые будут вручаться двум математикам на международных кон-
грессах с интервалом в четыре года».
Для определения лауреатов на следующем конгрессе был сформирован комитет
из пяти математиков.
На церемонии открытия конгресса в Осло в 1936 году, прошедшей в зале универ-
ситета, украшенном настенными росписями художника Эдварда Мунка, в присут-
ствии норвежского короля Хокона VII две первые премии были вручены финскому
математику Ларсу Альфорсу и американцу Джесси Дугласу. Греческий математик
Константин Каратеодори объяснил, что Альфорсу премия была вручена за работу
о мероморфных функциях, а Дугласу — за решение проблемы Плато. На церемо-
нии закрытия был определен состав комиссии, ответственной за присуждение пре-
мий на следующем конгрессе.
С тех пор вручение премий (больше о них мы поговорим в следующей главе) ста-
ло самым эмоциональным моментом международных конгрессов. На протяжении
нескольких месяцев перед вручением премии циркулируют слухи о возможных кан-
дидатах и лауреатах, но завеса тайны спадает лишь в день открытия мероприятия.
В завершение конгресса в Осло было зачитано приглашение Американского ма-
тематического общества провести следующую встречу в 1940 году в США, в Нью-
Йорке или другом городе на Атлантическом побережье. Приглашение было принято
единогласно.
59
УЖАСЫ ВОЙНЫ

Ларс Альфорс (слева) и Джесси Дуглас — два первых лауреата премии,
задуманной Джоном Чарльзом Филдсом.
Женщины на конгрессах
В те сорок лет, что вместили в себя 10 первых международных конгрессов, женщи-
нам в мире математики, как и в повседневной жизни, отводилась второстепенная
роль.
В 1897 году в Цюрихе из 208 участников было лишь четыре женщины: доктор
Иджиния Массарини из Рима, профессор Вера фон Шифф из Санкт-Петербурга,
профессор Шарлотт Ангас Скотт из Пенсильвании (она стала первой женщиной
Великобритании, удостоенной степени доктора по математике, а в 1905 году заняла
пост вице-президента Американского математического общества) и доктор Шар-
лотт Ведель из Гёттингена.
В 1900 году на Парижском конгрессе из 250 участников было всего шесть жен-
щин, приехавших из Берлина, Копенгагена, Нью-Йорка, Москвы, Пенсильвании
и Санкт-Петербурга (две последние уже принимали участие в конгрессе 1897 года).
В Гейдельбергском конгрессе, хотя число его участников возросло до 336, участво-
вали всего две женщины, обе они приехали из России. В 1908 году в Риме среди
535 участников было всего 10 женщин. На этом конгрессе был запланирован пер-
вый в истории международных конгрессов доклад женщины-математика на тему
«Essay on a Synthetic Theory for Complex Variable Functions». Его должна была про-
честь доктор Лаура Пизати, но, к несчастью, за восемь дней до выступления она
скончалась.
На Кембриджском конгрессе 1912 года тенденция изменилась: в мероприятии
приняли участие 38 женщин (из 574 участников), из них 30 представляли Велико-
60
УЖАСЫ ВОЙНЫ
британию, а мисс Хильда Фиби Хадсон выступила с докладом «On Binodes and
Nodal Curves» — этот доклад стал первым, прочитанным женщиной на такой встре-
че ученых. В 1928 году в Болонье в числе 836 участников насчитывалось 72 жен-
щины.
На Цюрихском конгрессе 1932 года немецкая женщина-математик Эмми Нётер
стала первой женщиной, которая прочла пленарный доклад под названием
«Hyperkomplexe Grossen und Darstellungstheorie in arithmetischer Auffassung». В сле-
дующий раз пленарный доклад был прочитан женщиной лишь через 58 лет,
в 1990 году, на международном конгрессе в Киото. С момента выступления Нётер
прошло немало времени, и математическое сообщество преодолело долгий путь. Ха-
рактерно, что Международная федерация женщин с университетским образованием
и Американская ассоциация женщин с университетским образованием отправили
на конгресс 1932 года официальные делегации.
Эмми Нётер.
61

Глава 4
Блестящее наследие Филдса
Мы уже раскрыли название премии, предложенной Филдсом, но интригу сохраня-
ли неспроста. Когда Джон Чарльз Филдс предложил учредить премию (об этом
мы подробно расскажем далее), он настоял на том, чтобы награда была интерна-
циональной и не ассоциировалась с каким бы то ни было человеком, страной или
учреждением, за исключением международных конгрессов. Но планам математика
не суждено было сбыться — коллеги в память о нем назвали премию его именем.
Джон Чарльз Филдс был решительным и неутомимым организатором междуна-
родного конгресса, прошедшего в Торонто в 1924 году. Семь лет спустя, в феврале
1931-го, оргкомитет конгресса после публикации протоколов наконец подвел баланс.
Излишек средств составил 2700 канадских долларов. Филдс предложил направить
эту сумму на учреждение двух премий, которые регулярно вручались бы на меж-
дународных конгрессах. Ученого поддержали основные математические общества
мира. Филдс нашел художника, который занялся изготовлением медали, и попытал-
ся заручиться поддержкой премьер-министра Канады, но безуспешно (более того,
канадские власти многие годы игнорировали премию).
Оставалось добиться согласия организаторов международного конгресса, ко-
торый должен был пройти в сентябре 1932 года в Цюрихе. Филдс рассчитывал
на свой авторитет и поддержку сторонников, число которых росло, но за четыре
месяца до мероприятия у него случился сильный сердечный приступ. По воспомина-
ниям очевидцев, на смертном одре, едва выговаривая слова, Филдс поручил адвока-
ту передать все свои средства в сумме 47 тысяч канадских долларов на учреждение
премии и попросил своего друга Джона Лайтона Синга представить проект премии
на Цюрихском конгрессе. Окончание истории вам известно: участники конгресса,
пусть и после некоторого сопротивления, одобрили предложение Филдса. Премии
за достижения в науке присуждались с древности, а награды, официально вручае-
мые различными академиями наук и научными обществами, существовали как ми-
нимум с XVIII века. Однако математики неизменно испытывали недоверие к пре-
63
БЛЕСТЯЩЕЕ НАСЛЕДИЕ ФИЛДСА
миям подобного рода. Французский ученый Ален Конн, получивший Филдсовскую
премию на конгрессе в Варшаве в 1982—1983 годах, объяснял:
«Полезность подобных премий — деликатный вопрос. В принципе, Филд-
совская премия — стимул для исследователей. Однако если она привлечет
слишком большое внимание, то будет иметь негативный эффект. Жан-Поль
Сартр, получив Нобелевскую премию по литературе, сравнил получение пре-
мии с поцелуем смерти — если лауреат не примет награду достойно, она ста-
нет концом его карьеры. К несчастью, порой это и в самом деле так».
Известный пример — Александр Гротендик, который отказался от Филдсов-
ской премии, присужденной ему на конгрессе в Москве в 1966 году. Спустя не-
сколько лет Гротендику была присуждена престижная и внушительная премия
Шведской академии наук, но он отказался принять и ее. В открытом письме мате-
матик объяснил, что его зарплаты более чем достаточно для покрытия всех матери-
альных потребностей, и заявил, что не одобряет существенного и неуклонного сни-
жения этических стандартов в научном сообществе.
Скажем несколько слов о самом Джоне Чарльзе Филдсе. Он родился в 1863 году
в канадском городе Онтарио, в шотландско-ирландской семье, изучал математи-
ку в Торонтском университете и, так как в те годы получить докторскую степень
по математике в Канаде было невозможно, защитил диссертацию в Университете
Джонса Хопкинса в США. В 1892 году Филдс переехал в Европу, где благодаря
«скромному образу жизни и аскетичным привычкам» смог 10 лет посещать лекции
лучших математиков мира в университетах Парижа, Берлина и Гёттингена. Затем
он вернулся в Торонто. Жизнь в Европе и дружба с Миттаг-Леффлером вызвали
в Филдсе стремление к сотрудничеству с математиками разных стран, что прояви-
лось в организации международного конгресса в Торонто в 1924 году и в учрежде-
нии премии, которая теперь носит его имя.
Филдсовская премия стала первой наградой для математиков всех стран. Она
присуждается каждые четыре года на международном конгрессе за выдающиеся до-
стижения в этой науке. Лауреатов определяет международный комитет, назначае-
мый каждые четыре года. Его состав держится в секрете до дня вручения награды.
Филдсовская премия — самая престижная международная премия в математике.
64
БЛЕСТЯЩЕЕ НАСЛЕДИЕ ФИЛДСА
Джон Чарльз Филдс. Вверху — аверс и реверс медали,
носящей его имя.
НОБЕЛЕВСКАЯ ПРЕМИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ
Не существует убедительного объяснения того, почему Альфред Нобель решил не присуждать
Нобелевскую премию по математике. Шведские математики Ларс Гординг и Ларс Хёрмандер
(последний - лауреат Филдсовской премии 1962 года) привели классификацию известных вер-
сий этого решения. Согласно первой, франко-американской версии, математик Магнус Гёста
Миттаг-Леффлер завел роман с супругой Нобеля; по второй, шведской версии, причиной стало
соперничество между Нобелем и Миттаг-Леффлером. Гординг и Хёрмандер заключили, что обе
версии ошибочны: Нобель никогда не был женат и почти не общался с Миттаг-Леффлером.
65
БЛЕСТЯЩЕЕ НАСЛЕДИЕ ФИЛДСА
Награда представляет собой золотую медаль и скромную денежную сумму.
На аверсе медали изображен бюст Архимеда с написанной по латыни фразой рим-
ского писателя Марка Манилия: «Превзойти себя и покорить мир». О портрете
Архимеда автор медали, канадский художник Роберт Тейт Маккензи, сказал:
«Я чувствую некоторое удовлетворение, подарив миру математики портрет
Архимеда, где он изображен не престарелым, лысым и близоруким, но пре-
красно выглядит и имеет вид человека, осмелившегося бросить вызов могуще-
ству Рима».
На реверсе медали на латыни написано: «Математики, собравшиеся со всего
света, вручили [эту награду] за выдающиеся труды». На заднем плане изображена
сфера, вписанная в цилиндр, — этот рисунок иллюстрирует метод, использованный
Архимедом для вычисления объема сферы. Согласно Цицерону и Плутарху, Архи-
мед повелел высечь такой же рисунок на своем надгробии. Имя лауреата гравирует-
ся на ребре медали. Любопытно, что медаль содержит «математическую» ошибку:
на ней римскими цифрами должна быть записана дата чеканки, 1933 год, однако
вместо «М» по ошибке указано «N»: «MCNXXXIII».
В 1936 году и на всех последующих конгрессах до 1962 года присуждалось
по две премии. На конгрессе 1966 года, чтобы наилучшим образом отразить раз-
витие математики за прошедшие четыре года, было присуждено четыре премии. Их
вручение стало возможным благодаря анонимному пожертвованию. С тех пор
на каждом конгрессе вручается от двух до четырех премий, в зависимости от реше-
ния организационного комитета (как вы узнаете, из-за бережливости организаторов
несколько раз было присуждено менее четырех наград).
Денежная часть премии изначально составляла 1500 канадских долларов (эта
сумма, возможно, не покрывала даже расходов на проезд к месту проведения кон-
гресса). На конгрессе 1974 года, который вновь прошел в Канаде, на этот раз в Ван-
кувере, излишек бюджета был направлен на выплату премий. С тех пор денежная
часть награды увеличивалась, и сегодня ее размер составляет 15 тысяч канадских
долларов.
Мы до сих пор не упомянули о главной особенности Филдсовской премии, ко-
торая выделяет ее среди всех прочих научных премий мира: лауреаты этой награ-
ды должны быть младше 40 лет — это ограничение приводится в меморандуме,
подготовленном Филдсом при учреждении премии. Филдс, среди прочего, писал:
66
БЛЕСТЯЩЕЕ НАСЛЕДИЕ ФИЛДСА
«... помимо того, что отмечает проделанную работу, она [премия] в то же время
должна служить поощрением к дальнейшим достижениям удостоившихся премии».
Эта фраза изначально понималась как указание на молодых математиков, и в ито-
ге было принято решение ограничить максимальный возраст лауреатов 40 годами.
За этим требованием стоит убежденность в том, что с по-настоящему сложными
математическими задачами могут справиться только сила и творческое начало, свой-
ственные молодости.
Ученые удостаивались Филдсовской премии за самые разные математические
достижения. В связи с этим уместно привести слова немецкого математика Хайнца
Хопфа, председателя комитета по присуждению Филдсовской премии 1958 года:
«Значительное разнообразие математики вызвано не только многочисленно-
стью ее разделов, но и многообразием задач, с которыми сталкивается мате-
матик любого направления. Фундаментальная задача — решение текущих
математических проблем, еще одна — поиск путей к новым открытиям».
ЭНДРЮ УАЙЛС И ФИЛДСОВСКАЯ ПРЕМИЯ
Великая теорема Ферма - это следующая простая гипотеза, которую сформулировал француз-
ский математик Пьер Ферма около 1637 года: уравнение х" + /=zn не имеет целых положитель-
ных нетривиальных решений (то есть не равных 0 или 1), если п - натуральное число, большее
или равное 3 (для л - 2 это уравнение имеет решения - так называемые пифагоровы тройки,
например 3,4,5). Ферма записал свою гипотезу на полях книги «Арифметика» греческого ма-
тематика Диофанта Александрийского и добавил, что нашел ее доказательство, но поля книги
слишком узки для него. С тех пор математики всего мира пытались доказать гипотезу Ферма,
но им удавалось получить лишь частные результаты.
На международном конгрессе 1994 года англичанин Эндрю Уайлс прочел доклад, в котором
изложил доказательство теоремы Ферма, но указал, что «один из шагов рассуждений неполон»,
поэтому в доказательстве нельзя быть уверенным на все 100 процентов. Спустя несколько
недель после окончания конгресса ему удалось найти полное доказательство, которое он про-
демонстрировал на следующем международном конгрессе в 1998 году. К тому времени Уайлсу
было уже 45 лет, поэтому он не мог претендовать на Филдсовскую премию, хотя и решил задачу,
которая не поддавалась никому более 350 лет. Уайлс был награжден серебряной памятной
табличкой.
67
БЛЕСТЯЩЕЕ НАСЛЕДИЕ ФИЛДСА
МАТЕМАТИКИ - ЛАУРЕАТЫ ФИЛДСОВСКОЙ ПРЕМИИ
Далее указаны год получения премии, имя лауреата, страна рождения и возраст на 1 января года
получения премии.
Год	Имя лауреата	Страна	Возраст
1936	Ларс Альфорс	Финляндия	29
	Джесси Дуглас	США	38
1950	Лоран-Моиз Шварц	Франция	34
	Атле Сельберг	Норвегия	32
1954	Кунихико Кодайра	Япония	38
	Жан-Пьер Серр	Франция	27
1958	Клаус Рот	Германия	32
	Рене Том	Франция	34
1962	Ларс Хёрмандер	Швеция	30
	Джон Милнор	США	30
1966	Майкл Атья	Великобритания	36
	Пол Коэн	США	31
	Александр Гротендик	Германия	37
	Стивен Смэйл	США	35
1970	Алан Бейкер	Великобритания	30
	Хэйсукэ Хиронака	Япония	38
	Сергей Новиков	СССР	31
	Джон Томпсон	США	37
1974	Энрико Бомбиери	Италия	33
	Дэвид Мамфорд	Великобритания	36
1978	Пьер Делинь	Бельгия	33
	Чарльз Фефферман	США	28
	Григорий Маргулис	СССР	31
	Даниель Квиллен	США	37
68
БЛЕСТЯЩЕЕ НАСЛЕДИЕ ФИЛДСА
1982- 1983	Ален Конн	Франция	34
	Уильям Тёрстон	США	35
	Яу Шинтан	Китай	32
1986	Саймон Дональдсон	Великобритания	28
	Герд Фальтингс	Германия	31
	Майкл Фридман	США	34
1990	Владимир Дринфельд	СССР	35
	Вон Джонс	Новая Зеландия	37
	Сигэфуми Мори	Япония	38
	Эдвард Виттен	США	38
1994	Жан Бурген	Бельгия	39
	Пьер-Луи Лионе	Франция	37
	Жан-Кристоф Йокко	Франция	36
	Ефим Зельманов	Россия	38
1998	Ричард Борчердс	ЮАР	38
	Уильям Гауэре	Великобритания	34
	Максим Концевич	Россия	33
	Кёртис Макмуллен	США	39
2002	Лоран Лаффорг	Франция	35
	Владимир Воеводский	Россия	35
2006	Андрей Окуньков	Россия	36
	Григорий Перельман	Россия	39
	Теренс Тао	Австралия	30
	Венделин Вернер	Германия	37
2010	Элон Л идеи Штраусе	Израиль	39
	Нго Бао Тяу	Вьетнам	37
	Станислав Смирнов	Россия	39
	Седрик Виллани	Франция	36
69
БЛЕСТЯЩЕЕ НАСЛЕДИЕ ФИЛДСА
Премия Неванлинны
В 1982 году в честь финского математика Рольфа Неванлинны была учреждена
премия его имени. Награда, как и Филдсовская премия, присуждается за выда-
ющиеся результаты в математических разделах информатики — вычислительной
математике, теории сложности, программировании, криптографии, компьютерной
алгебре и так далее.
Премия Гаусса
Премия Гаусса присуждается на каждом международном конгрессе математиков на-
чиная с конгресса, прошедшего в Мадриде в 2006 году. Эта награда была учреж-
дена, «чтобы напомнить миру о том, что на сегодняшний день математика является
одной из движущих сил современных технологий». Премия Гаусса присуждается
за математические исследования, оказавшие влияние на нематематические сферы —
технологии, бизнес или на повседневную жизнь людей. Премия названа в честь не-
мецкого математика Карла Фридриха Гаусса, который в своих исследованиях пре-
красно сочетал абстрактный характер теоретической математики и практическую
направленность. Учитывая, что математические результаты часто находят практиче-
ское применение спустя длительное время, эта премия не имеет ограничений по воз-
расту.
70
Глава 5
Достижения послевоенного
периода
Захват Польши войсками гитлеровского Третьего рейха в сентябре 1939-го по-
ложил начало Второй мировой войне. Естественно, что международный конгресс,
запланированный на начало сентября в США, был отменен. Мир наступил после
почти шести лет опустошительной войны, в 1945 году. Число жертв и разрушений
в эти годы превысило все мыслимые пределы.
Уроки, извлеченные из непростой ситуации, сложившейся в науке в прошлый по-
слевоенный период, помогли ученым выработать новую стратегию поведения. Аме-
риканское математическое общество с самого начала настаивало на том, что «не сле-
дует проводить никаких международных конгрессов, которые не будут по-
настоящему международными — они должны быть открыты для всех математиков
независимо от их национальности и страны происхождения».
Ожидал решения вопрос о Международном математическом союзе. Члены
конгресса, прошедшего в Осло в 1936 году, не пришли к единогласному решению
относительно будущего союза, и он был распущен. Примечательно, что Между-
народный математический союз стал единственным международным научным со-
юзом из всех созданных во время Первой мировой войны, который прекратил свое
существование, — математическое сообщество воспротивилось его политической
ангажированности. После войны началась работа над созданием нового объедине-
ния ученых, на совершенно новых принципах. Американский математик Маршалл
Стоун провел переговоры с большинством математических обществ мира. Наиболее
деликатным был, очевидно, вопрос об участии (или неучастии) в будущем конгрессе
немецких и японских математиков. Несмотря на тяжелые последствия войны, в том
числе Холокост, общее мнение заключалось в том, что исключений быть не должно.
Очередной международный конгресс состоялся в августе 1950 года в Гарвард-
ском университете, в городе Кембридж, штат Массачусетс. Одновременно с ним
в Колумбийском университете в Нью-Йорке прошел съезд, целью которого было
учреждение нового Международного математического союза (сокращенно IMU —
по первым буквам англоязычного названия).
71
ДОСТИЖЕНИЯ ПОСЛЕВОЕННОГО ПЕРИОДА
Жизнь по-американски
После перерыва длиной в 14 лет Гарвардский конгресс 1950 года был встречен
с большим воодушевлением и запомнился интенсивной научной программой. В пер-
вые три дня было прочитано 14 пленарных докладов (большинство на английском).
В математике зазвучали новые имена (Берлинг, Хопф, Бохнер, Гёдель, Уитни,
Ходж, Давенпорт, Шварц) и новые темы, например «Распределения и их основные
приложения». В тематических секциях, построенных так же, как и на двух преды-
дущих конгрессах, было представлено 374 коротких доклада. Помимо этого, руко-
водители секций имели возможность пригласить двух или трех видных математиков,
чтобы те прочли в рамках секций особые доклады, и прозвучало 22 таких доклада.
Наконец, следуя модели новых конгрессов по отдельным дисциплинам, о которых
мы уже упоминали (один, по топологии, прошел в Москве, второй, по теории ве-
роятностей,— в Цюрихе), было организовано четыре особых заседания по дисци-
плинам, где наблюдался «значительный прогресс», — по алгебре, прикладной ма-
тематике, топологии и анализу. На этих заседаниях было зачитано восемь докладов,
за которыми последовала открытая дискуссия.
Гарвардский университет.
На церемонии открытия во второй раз в истории были вручены Филдсовские
премии. Их лауреатами стали французский математик Лоран Шварц из Универ-
ситета Нанси и норвежский математик Атле Сельберг из Института перспектив-
72
ДОСТИЖЕНИЯ ПОСЛЕВОЕННОГО ПЕРИОДА
ных исследований в Принстоне. Председатель комитета по вручению Филдсовской
премии датский математик Харальд Бор (брат нобелевского лауреата по физике
Нильса Бора), ответственный за вручение медалей, рассказал о работе Шварца,
касавшейся теории распределений, и его «новых идеях во всей их чистоте», а также
вспомнил слова Феликса Клейна: «В нашей науке новые открытия часто соверша-
ются тогда, когда новые методы применяются к старым задачам». Говоря о работе
Сельберга, посвященной дзета-функции Римана и элементарному доказательству
теоремы о распределении простых чисел, Бор вспомнил слова английского ученого
Годфри Харолда Харди: «Элементарное доказательство теоремы о распределении
простых чисел неизвестно. Логично задаться вопросом: существует ли вообще по-
добное доказательство?».
Лоран Шварц (слева) и Атле Сельберг — два лауреата Филдсовской премии,
врученной на конгрессе 1950 года.
На конгрессе тщательно поддерживалось неустойчивое равновесие между про-
шлым и будущим. С одной стороны, суммарный возраст трех почетных президентов
мероприятия (Гвидо Кастельнуово из римской Национальной академии деи Линчеи,
Жак Адамар из парижского Коллеж де Франс и Шарль Жан де ла Валле-Пус-
сен из Лёвенского университета в Бельгии) составлял 254 года; с другой стороны,
в программу конгресса был включен доклад офицера Говарда Эйкена, создателя
серии электромеханических компьютеров Harvard Mark, построенных совместно
с компанией IBM.
73
ДОСТИЖЕНИЯ ПОСЛЕВОЕННОГО ПЕРИОДА
Коммандер Гэвард Эйкен и компьютер Harvard Mark.
Этот конгресс ознаменовал принятие новой модели, что проявилось и в культур-
ной части встречи. С одной стороны, музыкальная программа, предложенная участ-
никам конгресса, отличалась изысканностью и разнообразием: концерт квартета
Буша, органный концерт в капелле Бостонского университета, баллады фолк-
исполнителя Ричарда Дайер-Беннета и сольный концерт сопрано Хелен Траубел.
С другой стороны, на этом конгрессе впервые в истории была организована пивная
вечеринка.
Эта встреча математиков стала по-настоящему успешной и вдохнула новые силы
в международное научное сотрудничество. В конгрессе приняло участие 1700 чело-
век — вдвое больше, чем на самом посещаемом из довоенных конгрессов, однако
большинство участников представляли Северную Америку. Организаторы меро-
приятия приложили массу усилий, чтобы упростить участие в нем иностранцев: сам
президент Трумэн ходатайствовал об оформлении визы для Жака Адамара (почет-
ного президента конгресса, который в свои 84 года не скрывал симпатий к комму-
нистам) и Лорана Шварца (лауреата Филдсовской премии и открытого троцкиста).
Особая ситуация сложилась с приездом математиков из Советского Союза.
Президент Академии наук СССР отправил организаторам конгресса каблограмму:
«Академия наук СССР выражает благодарность за любезное приглашение
принять участие в Международном конгрессе математиков в Кембридже.
Советские математики очень заняты работой и не смогут участвовать в кон-
грессе. Желаем успехов в проведении конгресса».
74
ДОСТИЖЕНИЯ ПОСЛЕВОЕННОГО ПЕРИОДА
SECRETARY'S REPORT	136
There -were in attendance at the Congress 2,302 репмли. These people were
distributed ня follows:
United Btatae and Conadiiui ...	...	.... 1,410
United State* And Canadian, AMoeinte member*.	MO
Mem bcm outride United State» mid Cun ad a........	380
AmobiaIo ineinbon outride the United Btatee and Canada....	76
Total members in attendance .	.2,316
In addition there were a number of mathematicians who became members of
the Congreae but did not attend the gathering at Cambridge. Some of these
persons joined fully expecting to bo present, but were prevented from attending
either by illness or other unavoidable circumstances, while others assumed
membership to support an enterprise which they considered most worthy. The
statistics in this connection are as follows:
United State* and Canadian тшпЬогв unable to attend.......	.... 160
United State! and Canadian aaaoeinto members unable to attend - .	36
Muinbeiw outride United Btetei and Canada unnble to attend. .. 67
Associate memben outride United States and Canada unable to attend. 3
Total member! unable to attend..	...... 266
Total CongreM mojnborebip ,	2,671
The following countries outside the United States and Canada were repre
sented:
Argentina, Australia, Austria, Belgium, Brazil, Burma, Chilo, China, Co-
lombia, Cuba, Denmark, Egypt, England, Finland, France, Germany,
Greece, India, Iran, Ireland, Israel, Italy, Japan, Mexico, Netherlands,
Nigeria, Norway, Panama, Pom, Philippines, Scotland, South Africa, Spain,
Sweden, Switzerland, 'l"urkey, Uruguay, Venezuela, and Yugoslavia.
Every state in the United States and the District of Columbia were repre-
sented, with the exception of South Dakota.
THU BCIRNTlFir riiOGRAM
In addition to the contributed ten-minute papers and the stated addresses,
which were delivered on invitation of the Organizing Committee, the scientific
program of the Congress included four conferences on the following topics:
Algebra, Analysis, Applied Mathematics, and Topology. The chairman of each
section for contributed papers was given the privilege of inviting not more
than three persons to deliver thirty minute addressee in his section.
Страны — участницы конгресса 1950 года в Кембридже.
Конгресс стал четким отражением новой экономической и социальной модели
послевоенных лет. Основную финансовую поддержку ему предоставили корпорация
Карнеги, фонд Рокфеллера, американские математические общества и университе-
ты (Гарвардский, Бостонский, MIT, Принстон, Йельский), но важный вклад внес-
ли и другие компании (Ford, General Motors, Shell, Standard Oil, General Electric,
Bell, Eastman Kodak, United Fruit и другие).
На конгрессе были заметны и признаки бэби-бума: в объявлениях о мероприятии
сообщалось об «особых мерах по уходу за детьми», а на фотографиях со встречи за-
печатлены и сами развлечения для детей. Настоящим проявлением американского
образа жизни стала рекомендация организаторов: «Призываем американских мате-
матиков по возможности предоставить свои автомобили в распоряжение комитета
по общественным мероприятиям для организации поездок за пределы Кембриджа».
75
ДОСТИЖЕНИЯ ПОСЛЕВОЕННОГО ПЕРИОДА
Три крупных конгресса
Следующие международные конгрессы прошли в Амстердаме в 1954 году, в Эдин-
бурге — в 1958 -м и в Стокгольме — в 1962-м. Они развили успех первой по-
слевоенной встречи в Гарварде, и на них была окончательно определена модель
проведения международных конгрессов. Эти мероприятия прошли в классическом,
выдержанном стиле, характерном для послевоенной Европы.
Церемония открытия Амстердамского конгресса состоялась в прекрасном кон-
цертном зале Консертгебау, заполненном флагами разных стран. За речью Яна
Схоутена, президента голландского общества математиков Wiskundig Genootschap,
прочитанной на голландском, английском, французском, немецком, итальянском,
шведском и русском языках, последовало исполнение концерта Шопена для фор-
тепиано, после чего настал долгожданный момент вручения Филдсовских премий.
Председатель жюри Филдсовской премии немецкий математик Герман Вейль
огласил имена лауреатов: ими стали японский математик Кунихико Кодайра
из Принстонского университета и француз Жан-Пьер Серр из Коллеж де Франс.
Как объяснил Вейль, Кодайра добился «выдающихся результатов в теории гармо-
нических интегралов и ее многочисленных приложений... к изучению алгебраиче-
ских многообразий». Говоря о Серре, Вейль отметил его вклад в теорию гомотопии
сфер и «множество результатов, на удивление, носящих численный характер».
Кунихико Кодайра (слева) и Жан-Пьер Серр.
76
ДОСТИЖЕНИЯ ПОСЛЕВОЕННОГО ПЕРИОДА
Математическая программа встречи включала 20 пленарных докладов про-
должительностью один час, 42 получасовых тематических доклада и 496 корот-
ких докладов в тематических секциях. Пленарные доклады на церемонии открытия
и на церемонии закрытия конгресса прочли два известных математика: американец
Джон фон Нейман, на тему «Unsolved Problems in Mathematics» («Нерешенные
задачи математики»), и советский математик Андрей Николаевич Колмогоров,
на тему «Theorie generale des systemes dynamiques et mecanique classique» («Общая
теория динамических систем в классической механике»).
Джон фон Нейман и Андрей Николаевич Колмогоров.
В связи с международным конгрессом были организованы три тематических
симпозиума: «Стохастические процессы», «Алгебраическая геометрия» и «Мате-
матическая интерпретация формальных систем». Для проведения такого количества
мероприятий в каждой аудитории потребовалось установить любопытную систему:
при помощи световых сигналов докладчику сообщалось, что у него осталось две ми-
нуты (желтый свет) либо время на выступление истекло (красный свет).
Впервые в истории на международном конгрессе были продемонстрированы раз-
личные электронные устройства:
— вычислительные машины 604 и 626 компании IBM;
— электронная вычислительная машина ARRA, построенная в Математиче-
ском центре Амстердама;
77
ДОСТИЖЕНИЯ ПОСЛЕВОЕННОГО ПЕРИОДА
— электронная вычислительная машина «Miracle», сконструированная компа-
нией Ferranti и принадлежащая амстердамской исследовательской лаборато-
рии Royal Shell Research Laboratories (B.P.M.).
Контрапунктом к этим демонстрациям стало выступление блестящего вычисли-
теля Вина Клейна, известного под псевдонимом Паскаль, который продемонстри-
ровал свои способности на встрече в зоопарке Амстердама Natura Artis Magistra.
Результаты его расчетов одновременно проверялись на электронной вычислитель-
ной машине.
	A	в	C
Algeria. . .	—	3	—
Argentina	. .	10	10	10
Australia		. .	3	1	
1 Austria		. .	19	16	13
Belgium	27	29	26
Brazil		3	3	3
Bulgaria ......	1	1	1
Canada . . .	17	18	II
China . .	4	1	1
Columbia.	—	1	—
Cuba ....	1	—	—
Czecho-Slovakia. . .	4	4	4
Denmark. ’		14	18	14
Egypt		3	2	2
Finland ,	....	9	9	9
France. .	. .	138	168	128
Germany.	207	212	197
Gold-Coast .	—.	2	—
Great-Britajn ....	261	261	237
Greece . 			11	8	8
Hungary		. .	3	2	2
Iceland	...	1	1	1
India . 			18	12	И
Indonesia	2	3	2
Iran . .	3	2	2
Ireland		11	16	II
Israel			10	10	8
Italy. .	89	91	87
Japan .	. . .	10	3	3
Latvia	  .	1	—	—
Luxemburg.	. .	2	2	2
Mexico		3	3	2
The Netherlands .	212	223	210
Nigeria		2	1	1
Norway		. .	21	20	20
Pakistan		. .	2	3	2
Peru.	. . . .	. .	2	2	2
Philippines . .	. .	2	2	2
Poland. .	.	. .	7	в	в
	133		
Portugal .	. . б
Roumama .	.... b
Russia. .	6
Siam...................... 1
Soudan  ...........  .	—
South-Afnca	10
Spain . .	8
Sweden . .	39
Switzerland.	. .	41
Tunisia .................. —
Turkey................... 12
United States of America 228
Uruguay.....	1
Venezuela	1
Vietnam .	1
West-Africa	.	—
Yugoslavia .	16
Stateless .	12
No statement.	.	38
1563
6	0
1	_
6	4
8	8
41	38
02	38
3	-
12	10
242	198
2	1
2	-
13	13
1603	1362
For organizational purposes all participants were requested to State wheth-
er they were able to understand English, French or German.
The following list gives the numbers of those regular members speaking
or understanding the languages mentioned in column I. The
refers to associate members only.
LangMfeW
French
German . .
Engbsh ....
French, German
German, English
French, English
French, German, English
No statement . .
number of men
64
34
189
36
148
193
339
433
number of women total
66
37
200
38
107
222
371
4*57
2
3
16
2
29
32
24
last column
•m. memben
67
26
133
67
110
The following list may illustrate the distribution of the regular members
over the main professions:
136
Число участников конгресса 1954 года по странам.
Кульминацией культурной программы конгресса (помимо великолепных концер-
тов в Консертгебау) стала первая крупная выставка голландского художника Мау-
рица Корнелиса Эшера, организованная совместно с амстердамским музеем Стеде-
78
ДОСТИЖЕНИЯ ПОСЛЕВОЕННОГО ПЕРИОДА
УЗОР ИЗ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
По случаю проведения конгресса 1954 года компания Van Dissel & Zn выпустила льняную ткань
с узором авторства голландского математика Бальтазара Ван дер Поля. На ней были изобра-
жены гауссовы простые числа на комплексной плоскости. Ткань продавалась в течение всего
конгресса. Ее и сейчас можно приобрести в магазине Van Dissel & Zn в Эйндховене.
лейк. По словам организаторов, произведения Эшера «демонстрировали множество
математических тенденций и удивительным образом отражали математическое
мышление». Выставку посетили множество гостей, а сам художник познакомился
с крупными учеными, в частности геометром Гарольдом Скоттом МакДональдом
Коксетером и физиком Роджером Пенроузом.
В каталоге выставки голландский математик Николас Говерт де Брёйн попытал-
ся объяснить притягательность работ Эшера для математиков:
«Возможно, математиков заинтересуют не только геометрические узоры —
важнейшей составляющей станет сам дух игры, постоянно проявляющийся
в математике, который для многих из них составляет истинное очарование
этой науки. Участники конгресса испытают огромное наслаждение от того,
что распознают в работах Эшера собственные идеи, истолкованные совер-
шенно новыми средствами, принципиально отличными от тех, к которым они
привыкли».
МАУРИЦ КОРНЕЛИС ЭШЕР (1898-1972)
Мауриц Эшер в 1920-1930-е годы посетил дворец Альгамбру в Гранаде и мечеть в Кордобе
и остался впечатлен средневековыми исламскими мозаиками. В переписке с венгерским ма-
тематиком Дьёрдем Пойа Эшер обсудил группы симметрии плоскости, которые можно увидеть
в этих работах Внизу - картина Эшера «Метаморфоза I» (1937).
79
ДОСТИЖЕНИЯ ПОСЛЕВОЕННОГО ПЕРИОДА
Церемония открытия конгресса 1958 года прошла в МакЭван-холле Эдинбург-
ского университета. Участники мероприятия почтили память английского математи-
ка сэра Эдмунда Уиттакера, а герцог Эдинбургский, высочайший покровитель кон-
гресса, прочел обращение из Букингемского дворца.
Затем были вручены Филдсовские премии: лауреатами стали немецкий ма-
тематик Клаус Фридрих Рот из Лондонского университета и француз Рене Том
из Страсбургского университета. Темы их исследований были столь сложны, что
протокол вручения премий пришлось изменить: о работах Рота и Тома участникам
конгресса рассказали специалисты в соответствующих областях. Клаус Рот был
удостоен премии за решение «основной проблемы приближения алгебраических чи-
сел рациональными», а Том, создатель теории кобордизма, «оказал значительное
влияние на топологию, а через топологию — на прочие разделы математики».
Клаус Рот (слева) и Рене Том — два лауреата Филдсовской премии 1958 года.
На конгрессе было зачитано 19 пленарных докладов продолжительностью один
час, 37 получасовых тематических докладов и 604 коротких доклада в тематических
секциях. В перечень секций конгресса были внесены значительные изменения, что-
бы отразить новые области исследований.
80
ДОСТИЖЕНИЯ ПОСЛЕВОЕННОГО ПЕРИОДА
I. Логика и основы математики.
II (а). Алгебра.
II (Ь). Теория чисел.
III (а). Классический анализ.
III	(Ь). Функциональный анализ.
IV	. Топология.
V	(а). Алгебраическая геометрия.
V	(Ь). Дифференциальная геометрия.
VI	. Теория вероятностей и статистика.
VII	(а). Прикладная математика.
VII (Ь). Математическая физика.
VII	(с). Численный анализ.
VIII	. История и преподавание.
Один из докладов в секции VIII «История и преподавание» был посвящен теме
«Преподавание математики по телевидению» ( «Teaching Mathematics on Television» ).
Важным отличием Эдинбургского конгресса от предыдущих стало участие мате-
матиков из СССР. Советские математики не принимали участия в международных
конгрессах с 1932 года, и лишь немногие из них приехали на Амстердамский кон-
гресс 1954 года. Перемены наступили со смертью Сталина в 1953 году и последо-
вавшей десталинизацией. В 1957 году Советский Союз и другие социалистические
страны вступили в Международный математический союз, основанный в 1951 году
десятью странами (Австрией, Великобританией, Германией, Голландией, Грецией,
Данией, Италией, Норвегией, Францией и Японией). Советский Союз отправил
на Эдинбургский конгресс делегацию из 35 человек, представлявших сильную мате-
матическую школу страны. Три члена советской делегации выступили с пленарными
докладами:
—	«Современное развитие теории поверхностей», А. Д. Александров;
—	«О некоторых математических проблемах квантовой теории поля», Н. Н. Бо-
голюбов и В. С. Владимиров;
—	«Оптимальные процессы регулирования», Л. С. Понтрягин.
Местный колорит конгрессу придали вечер шотландских народных песен и тан-
цев, а также прогулка на пароходе по реке Клайд близ острова Бьют до города Гу-
рок. Присутствие советских математиков на конгрессе стало поводом для шуток.
81
ДОСТИЖЕНИЯ ПОСЛЕВОЕННОГО ПЕРИОДА
Так, эмигрировавший в США венгерский математик Пол Ричард Халмош вспо-
минал: «По-моему, далеко не все советские математики — участники экскурсии
по реке Клайд в самом деле были математиками».
Как помните, еще в 1912 году швед Магнус Гёста Миттаг-Леффлер предложил
провести международный конгресс математиков в Стокгольме, и его предложение
было принято, но этим планам помешала война. В 1962 году, спустя 46 лет, мечта
Миттаг-Леффлера исполнилась.
Решение провести конгресс в Швеции было непростым: в заключительные дни
Эдинбургского конгресса появилось несколько предложений относительно места
проведения встречи в 1962 году, в числе которых был и Еврейский университет
в Иерусалиме. Израиль славился сильной математической школой и был более чем
подходящим местом для проведения международного мероприятия, однако этот ва-
риант был отвергнут из-за палестино-израильского конфликта.
Церемония открытия Стокгольмского конгресса, как, впрочем, и предыдущих,
была грандиозной: она прошла в Стокгольмском концертном зале в присутствии
короля Швеции Густава VI Адольфа, под аккомпанемент оркестра. Король лично
вручил Филдсовские медали лауреатам: шведскому математику Ларсу Хёрмандеру
из Стокгольмского университета за «выдающиеся труды об уравнениях в частных
производных» и американскому математику Джону Милнору из Принстонского
университета за вклад в дифференциальную топологию, «жизнеспособность кото-
рой в немалой степени обусловлена превосходными результатами Милнора».
Филдсовской премии 1962 года были удостоены швед Ларс Хёрмандер (слева)
и американец Джон Милнор.
82
ДОСТИЖЕНИЯ ПОСЛЕВОЕННОГО ПЕРИОДА
Научная программа становилась все более насыщенной: на конгрессе было за-
читано 16 пленарных, 57 тематических докладов и 745 коротких выступлений, и по-
добное количество выступлений было слишком большим для слушателей.
Одного взгляда на названия пленарных докладов достаточно, чтобы увидеть, как
изменилось положение дел по сравнению с первыми конгрессами, названия докла-
дов на которых были простыми и даже поэтичными. В 1962 году поэзии в названиях
места уже не осталось:
—	«Teichmiiller Spaces», Ларс Альфорс;
—	«Arithmetic Properties of Linear Algebraic Groups», Арман Борель;
—	«Logic, Arithmetic and Automata», Алонзо Чёрч;
—	«Марковские процессы и задачи анализа», Е. Б. Дынкин;
—	«Homotopy and Cohomology Theory», Бено Экманн;
—	«Автоморфные функции и теория представлений», И. М. Гельфанд;
—	«Die Bedeutung des Levischen Problems fiir die analytische und algebraische
Geometric», Ганс Грауэрт;
—	«Problems of Stability and Error Propagation in the Numerical Integration of
Ordinary Differential Equations», Петер Хенричи;
—	«Transformes de Fourier des fonctions sommables», Жан-Пьер Кахане;
—	«Topological Manifolds and Smooth Manifolds», Джон Милнор;
—	«Geometrical Topology», Макс Ньюман;
—	«Some Aspects of Linear and Nonlinear Partial Differential Equations», Луис
Ниренберг;
—	«Поля алгебраических чисел», И. Р. Шафаревич;
—	«Discontinuous Groups and Harmonic Analysis», Атле Сельберг;
—	«Geometric algebraique», Жан-Пьер Cepp;
—	«Groupes simples et geometries asocies», Жак Титс.
Среди интересных дополнительных мероприятий в рамках конгресса отметим
выступление советского математика Сергея Львовича Соболева об использовании
компьютеров в Новосибирском государственном университете для расшифровки
письменности майя.
В Стокгольмском конгрессе приняли участие 2107 математиков. По словам ор-
ганизаторов, это было «крупнейшее в истории собрание людей, объединившихся,
чтобы поговорить о математических исследованиях». Участники конгресса прибыли
из 57 стран, и вместе с сопровождающими общее число гостей составило 3091.
83
ДОСТИЖЕНИЯ ПОСЛЕВОЕННОГО ПЕРИОДА
В международном математическом сообществе началась дискуссия: целесообраз-
но ли проводить конгрессы при таком стремительном росте числа участников и свя-
занными с этим организационными трудностями?
ВСЕМИРНЫЙ КАТАЛОГ МАТЕМАТИКОВ
На Стокгольмском конгрессе был представлен «Всемирный каталог математиков» (World
Directory of Mathematicians) - давний проект, идея которого впервые прозвучала еще на кон-
грессе в Цюрихе в 1897 году. Подготовить к печати книгу, где содержались имена, адреса, долж-
ности и области интересов всех активных математиков мира, было совсем не просто. Проект был
реализован Международным математическим союзом при помощи Института фундаментальных
исследований Тата в Бомбее. Вплоть до 2002 года каталог обновлялся каждые четыре года.
Шотландский математик Вильям Волане Дуглас Ходж, президент Эдинбург-
ского конгресса 1958 года, в своей речи на церемонии закрытия разрешил этот спор,
сказав:
«Благодаря удачному выбору приглашенных докладчиков и большому числу
докладов от других участников, на конгрессе было представлено состояние
современной математики и направления ее развития. Однако у международ-
ных конгрессов есть еще одна цель, которая мне видится столь же важной, —
поддержание духа товарищества между математиками всех стран. Этот дух
товарищества уходит корнями в нашу общую любовь к нашей науке, в раз-
витие которой все мы хотим внести свой вклад. Каждое поколение математи-
ков должно заботиться о поддержании и укреплении этого духа товарище-
ства, и новое поколение должно принять у нас эстафету».
84
Глава 6
Заморозки холодной войны
С приездом делегации СССР на Эдинбургский конгресс 1958 года мощное со-
ветское математическое сообщество начало прокладывать себе дорогу в мир меж-
дународных научных встреч. Проведение международного конгресса в Москве
в 1966 году было поворотным моментом в истории этих мероприятий. Стало оче-
видно, что после Второй мировой войны мир изменился, и международные конгрес-
сы из собрания немногих избранных мудрецов превратились в масштабные встречи.
Большой коммунистический конгресс
Полеты в космос Юрия Гагарина и Валентины Терешковой убедительно доказыва-
ли мощь советской науки, а международный конгресс 1966 года в Москве стал на-
стоящей выставкой достижений советской системы. В каждый из его И дней на весь
мир через прессу сообщалась очередная, ранее невозможная, новость.
Число участников превысило все ожидания: заявку подали 5600 человек, на кон-
гресс приехали 4280. 1470 из них представляли Советский Союз. Сложно даже
представить, какие эмоции испытывали члены советского научного сообщества, ко-
торые более 30 лет провели в изоляции. Советские математики, которые в то время
были молодыми, до сих пор вспоминают охватившее их возбуждение от ожидания
встречи с тысячами коллег со всего мира.
Точно так же и западных ученых привлекала возможность оказаться по ту сторо-
ну железного занавеса и познакомиться с советской математической школой. В кон-
грессе приняло участие 725 американских математиков, 398 немецких (из ФРГ,
ГДР и Восточного Берлина), 286 британских и 280 французских.
Церемония открытия прошла на самом высоком уровне в недавно построенном
Государственном Кремлевском дворце. На ней присутствовали представители со-
ветской научной элиты, в частности академик Мстислав Всеволодович Келдыш,
85
ЗАМОРОЗКИ ХОЛОДНОЙ войны
президент всесильной Академии наук СССР и ответственный за советскую косми-
ческую программу, математик Иван Георгиевич Петровский, академик, ректор Мо-
сковского государственного университета, а также другие известные ученые, к при-
меру, специалист по теории чисел Иван Матвеевич Виноградов и физик и математик
Михаил Алексеевич Лаврентьев.
УЧАСТНИК ПОД НОМЕРОМ 4397
В течение всего конгресса не утихали вопросы об участнике, записавшемся под hi 1мером 4397:
«Прибыл ли в Москву Николя Бурбаки?». Загадочный французский математик зарегистриро-
вался для участия в мероприятии, но так и не появился.
На официальной церемонии были вручены Филдсовские премии. Впервые
в истории лауреатов было сразу четыре: английский математик Майкл Атья из Окс-
фордского университета за «К-теорию, формулу индекса и формулу Лефшеца»,
американский математик Пол Коэн из Стэнфордского университета за доказатель-
ство континуум-гипотезы Кантора (решение первой проблемы Гильберта), немец-
кий математик Александр Гротендик из Парижского университета за обновление
алгебраической геометрии и «устранение паразитных ограничений» и американский
математик Стивен Смэйл из Калифорнийского университета в Беркли за работы,
посвященные гипотезе Пуанкаре.
Церемония вручения Филдсовской премии 1966 года в Москве.
Слева направо: Майкл Атья, Пол Коэн, Александр Гоотендик и Стивен Смэйл.
Из четырех премий академик Келдыш смог вручить лауреатам всего две: Смэйл
опоздал на церемонию, а Гротендик не приехал на конгресс в знак протеста —
86
ЗАМОРОЗКИ ХОЛОДНОЙ войны
по всей видимости, он не одобрял преследования диссидентов в Советском Союзе.
Медаль Гротендика получил Леон Мочан, основатель и руководитель парижского
Института высших научных исследований (IHES).
Заседания конгресса проходили в аудиториях Московского государственного
университета имени Ломоносова, в роскошном 40-этажном небоскребе высотой
240 метров, построенном в 1950-е годы на Ленинских горах. В столице СССР было
возведено еще шесть зданий в похожем стиле, их также называют «Семь сестер».
В главном здании МГУ располагаются учебные аудитории, администрация, кварти-
ры преподавателей и общежитие для студентов. Рядом установлены памятники вы-
дающимся русским математикам Николаю Ивановичу Лобачевскому и Пафнутию
Львовичу Чебышёву.
Московский государственный университет (МГУ).
Было запланировано 17 пленарных докладов (пять из них прочли советские
математики, еще пять — американские, что стало ярким проявлением геополити-
ческого баланса) и 64 тематических доклада. Точное число докладов на тематиче-
ских секциях неизвестно, так как в протоколах конгресса опущена часть привычной
информации, в числе которой перечень докладов по секциям и список участников.
87
ЗАМОРОЗКИ ХОЛОДНОЙ войны
Очень жаль, ведь подобная информация помогает понять закулисье мероприятия.
Известно, что в организационный комитет поступило 2100 заявок на секционные
доклады. Доклады читались одновременно в 40 аудиториях, расположенных по все-
му главному зданию университета. Таким образом, Московский конгресс побил все
прошлые рекорды.
Среди пленарных докладов отметим выступление шведского математика Лен-
нарта Карлесона, в котором он изложил решение проблемы точечной сходимости
рядов Фурье, сформулированной русским математиком Николаем Николаевичем
Лузиным еще в 1913 году. Решение этой проблемы было настолько важным, что
могло бы принести Карлесону Филдсовскую премию, но он не прошел по возрасту.
В 2006 году Леннарт Карлесон был удостоен Абелевской премии.
CONVERGENCE AND SUMMABILITY
OF FOURIER SERIES
LENNART CARLESON
Let me first state quite explicitly that I do not intend to give in
this lecture any survey of the very large field covered by the title.
There is also no need for this since the Congress was presented such
a survey quite recently. I rather want to present my personal interests
which are concentrated on the almost everywhere behaviour of the
partial sums. Also the subject of summability will only be touched
upon.
1.	Background
For a very long time, the outstanding result in the area of almost
everywhere convergence has been the following result of Kolmogorov-
Seliverstov-Plessner: i/ for X„ = log n
(1-1)	XW + W)X„<oo,
then
(1.	2)	sn(x) = ^-4- 2 (Ovcosvx-f-&vsin vx)
i
converges a.e. The outstanding question was whether Jog n is a relevant
sequence or not.
It has been known that conditions of the type (1.1) are related
to capacities with respect to a kernel
(i.	3)
(Beurling 111: X„ —n, К (x)~log^; Salem-Zygmund [4J:	— n“,
К (x) — I x |“J). However, what they really prove is that the capaci-
ty of the divergence set vanishes for
1 'c
(see Temko 161). When = (log n)>,
KW-lxl-^tog^)—’
6»
Сходимость и суммируемость рядов Фурье.
88
ЗАМОРОЗКИ ХОЛОДНОЙ войны
АБЕЛЕВСКАЯ ПРЕМИЯ
Абелевская премия была учреждена Норвежской академией наук в 2002 году в память о нор-
вежском математике XIX века Нильсе Хенрике Абеле. Его соотечественник и также математик
Софус Ли предлагал создать эту награду как аналог Нобелевской премии по математике еще
в 1902 году, по случаю столетней годовщины со дня рождения Абеля. Однако планы Ли воплоти-
лись в жизнь лишь 100 лет спустя. Сегодня Абелевская премия по своему престижу и денежной
сумме действительно сопоставима с Нобелевской. С подробной информацией о премии и спи-
ском ее лауреатов вы можете ознакомиться по адресу http://www.abelprisen.no/en/.
Конгресс прошел в неформальной и дружеской атмосфере — сохранились фото-
графии, на которых запечатлены группы оживленно беседующих людей, сидящих
на ступеньках. Участники до сих пор рассказывают истории о «коктейле из математи-
ки, водки, икры и похмелья», в котором не было недостатка во все дни мероприятия.
Дух товарищества проявился и в футбольном матче, где сошлись сборная математи-
ков СССР и сборная «остального мира». Победу одержали хозяева со счетом 5:2.
Известен московский конгресс и происшествием, которое позже стали называть
«инцидентом со Стивеном Смэйлом». Профессор Калифорнийского университета
в Беркли Стивен Смэйл был известен также как борец против войны во Вьетнаме.
В этой ипостаси он развил такую активность, что вынужден был объясняться перед
Комитетом по антиамериканской деятельности Конгресса США. Узнав об этом,
участники Московского конгресса собрали подписи в поддержку Смэйла и других
американских академиков, выступавших против войны. Воспользовавшись момен-
том, журналист из Северного Вьетнама попросил Смэйла о личной встрече. Смэйл
захотел сделать публичное заявление и превратил встречу в настоящую пресс-
конференцию, которая прошла в день закрытия конгресса, 26 августа 1966 года,
на парадной лестнице Московского государственного университета.
Перед собравшимися представителями международной прессы Смэйл жестко
раскритиковал военное вторжение США во Вьетнам и выразил соболезнования
пострадавшим. Позже математик объяснял, что в этот момент он почувствовал не-
обходимость «уравновесить» свое заявление и пустился в воспоминания о венграх,
погибших в борьбе за свободу своей страны против советских войск в 1956 году.
Тут же, словно в шпионском романе, откуда-то появились два крепких челове-
ка в штатском и усадили Смэйла в автомобиль, который сорвался с места и исчез
89
ЗАМОРОЗКИ ХОЛОДНОЙ войны
вдали. Эту сцену запечатлел один из фотографов, и на следующий день она попала
на первую полосу газеты «Нью-Йорк Таймс».
Смэйл отсутствовал весь день и вернулся лишь после окончания церемонии за-
крытия. Его рассказы о случившемся с ним в эти несколько часов выглядят как ил-
люстрация причуд советской бюрократии: Смэйл признался, что ему устроили экс-
курсию по московским музеям, пригласили в здание советского информационного
агентства и все это время относились к нему как к высокому гостю.
САНАТОРИЙ
С 1950 года перед каждым Международным конгрессом математиков проводится генеральная
ассамблея Международного математического союза с участием всех стран - членов союза.
Организацией ассамблеи занимается страна, в которой проводится конгресс. В 1966 году со-
ветские власти предложили провести ассамблею в санатории Академии наук, однако резо-
нанс, вызванный историями о ГУЛАГе, привел к тому, что члены союза решительно отказались
от этого предложения.
Дело Бурбаки
Первая мировая война оказала огромное влияние на Францию, особенно на фран-
цузскую молодежь, что тут же сказалось на развитии науки: смена поколений, без
которой невозможен любой прогресс, застопорилась. В 1930-е годы группа молодых
французских математиков, объединившихся вокруг парижской Высшей нормальной
школы, начала работу над книгой по основам математического анализа, призванной
заменить превосходные, но уже устаревшие классические французские учебники.
В их действиях прослеживалась критика стиля Анри Пуанкаре и его особого упора
на интуицию.
Изначально в эту группу входили Анри Картан, Клод Шевалле, Жан Дьёдонне,
Шарль Эресманн, Шолем Мандельбройт, Андре Вейль и другие математики. Со-
став группы все время менялся: одни из нее выходили, другие становились ее члена-
ми. Позднее к группе присоединились Лоран Шварц, Жан-Пьер Серр, Александр
Гротендик, Самуэль Эйленберг, Серж Ланг и Роже Годман. Первая встреча прошла
в 1934 году. Собравшиеся условились использовать коллективный псевдоним Ни-
коля Бурбаки и достаточно долгое время сохраняли свою деятельность в секрете.
Официальным спикером группы был избран Жан Дьёдонне.
90
ЗАМОРОЗКИ ХОЛОДНОЙ войны
ЖанДьёдонне (слева) и Анри Картан —два математика
из числа основателей группы Бурбаки.
Проект, целью которого было написание одной книги, перерос в целую програм-
му по структурированию всех математических знаний. Группа Бурбаки, подобно
Евклиду, намеревалась создать собственные «Начала математики», где были бы
изложены основы современного математического знания. Основные книги проекта
были такими.
I.	Теория множеств.
II.	Алгебра.
III.	Топология.
IV.	Функции действительного переменного.
V.	Топологические векторные пространства.
VI.	Интегрирование.
За ними последовали другие книги, имевшие не столь большое значение.
Нет никаких сомнений, что деятельность группы Бурбаки оказала крайне благо-
творное влияние на науку XX века: ее участники прояснили общую структуру ма-
тематических теорий и привели в порядок даже самые глухие закоулки математики.
Однако подход Бурбаки имел свои ограничения и подвергся критике. Под стиль
изложения, свойственный группе, подходили не все разделы математики, и даже те,
что подходили, не удавалось изложить полностью. Но как бы то ни было, деятель-
ность группы принесла богатые плоды.
91
ЗАМОРОЗКИ ХОЛОДНОЙ войны
О ДОЛГОЛЕТИИ МАТЕМАТИКОВ
На конгрессе в Ницце почетным президентом был избран французский математик Поль Мон-
тель, которому в то время было 94 года.
Международный конгресс 1970 года прошел в Ницце. Его программа, помимо
традиционных пунктов, включала два нововведения.
Первое касалось докладов. Было прочитано 16 пленарных докладов продолжи-
тельностью в один час, по два доклада каждое утро. Оставшаяся часть утра была
свободной. Каждый день звучали обзорные доклады продолжительностью 50 ми-
нут от специалистов по каждой предметной области (всего было проведено 242 та-
ких доклада). Эти доклады читались в трех параллельных сессиях по три часа еже-
дневно. Остаток дня участники конгресса проводили за обсуждениями во множе-
стве специально выделенных аудиторий. Коротких докладов в тематических секциях
не читалось.
РЕШЕННАЯ ПРОБЛЕМА ГИЛЬБЕРТА
В возрасте 23 лет ленинградский математик Юрий Матия-
севич представил на конгрессе решение (отрицательное)
десятой проблемы из списка, сформулированного Гильбер-
том на Парижском конгрессе 1900 года. Проблема звучала
так: «Для диофантова уравнения с целыми коэффициентами
и произвольным числом неизвестных найти алгоритм из ко-
нечного числа шагов, позволяющий определить, разреши-
мо ли данное уравнение в целых числах».
Юрий Матиясевич в 1969 году, когда он
нашел решение десятой проблемы Гильберта,
всего за год до конгресса в Ницце.
Такая любопытная организация рабочего времени отражала определенное виде-
ние структуры математики, которое мы поймем лучше, если посмотрим, какие тема-
тические секции были представлены на конгрессе.
92
ЗАМОРОЗКИ ХОЛОДНОЙ войны
Вся математика была разделена на семь больших разделов, а те, в свою очередь,
на 34 подраздела.
А.	Математическая логика.
В.	Алгебра.
В1.	Общая алгебра.
В2.	Категории и гомологическая алгебра.
ВЗ.	Конечные группы.
В4.	Локальные и глобальные поля, р-адический анализ.
В5.	Алгебраическая геометрия.
В6.	Элементарная и аналитическая теория чисел.
С.	Геометрия и топология.
С1. Общая и алгебраическая топология.
С2. Топология многообразий.
СЗ. Дифференциальная геометрия.
С4. Анализ на многообразиях.
С5. Алгебраические группы, автоморфные функции и полупростые группы.
D.	Анализ.
D1. Топологические векторные пространства.
D2. Алгебры операторов, представления локально компактных групп.
D3. Спектральная теория.
D4. Алгебры функций, преобразование Фурье.
D5. Теория потенциала и марковские процессы.
D6. Вероятности, теория меры, интегрирование.
D7. Аналитические функции комплексного переменного.
D8. Функции в комплексных аналитических пространствах.
D9. Исключительные множества в анализе.
D10. Функциональный анализ и линейные уравнения в частных произво-
дных.
D11. Функциональный анализ и нелинейные уравнения в частных произво-
дных.
D12. Динамические системы и обыкновенные дифференциальные уравнения.
Е.	Прикладная математика.
93
ЗАМОРОЗКИ ХОЛОДНОЙ войны
Е1.	Математические аспекты квантовой теории поля.
Е2.	Теория относительности.
ЕЗ.	Математические проблемы механики сплошных сред.
Е4.	Теория оптимального управления.
Е5.	Комбинаторика и конечно порожденная алгебра.
Е6.	Математическая статистика.
Е7.	Математические проблемы теории информации и машинный язык.
Е8.	Численный анализ.
F.	История и преподавание.
F1. История.
F2. Преподавание.
Как видите, принцип организации секций радикально изменился. Если мы изу-
чим список разделов, то заметим желание организаторов продемонстрировать вну-
треннюю структуру математики, показать, что математика имеет определенную
архитектуру, — именно такой была цель группы Бурбаки, продекларированная
в 1948 году в программной статье «Архитектура математики» («L’architecture des
mathematiques » ).
Это неожиданное изменение в программе международных конгрессов объясня-
ется просто: в организационный комитет вошли известные члены группы Бурбаки,
в частности Жан Дьёдонне, Лоран Шварц, Жан-Пьер Серр и Андре Лихнеро-
вич, автор реформы преподавания математики, прошедшей в 1960—1970-х годах.
К группе Бурбаки принадлежал и Анри Картан, бывший в то время президентом
Международного математического союза.
ЯЗЫК НАУКИ
Несмотря на все усилия организаторов, французский язык не стал на конгрессе в Ницце ос-
новным. Из 16 пленарных докладов на французском, а не на английском языке был прочитан
всего один - en i автором был советский математик Лев Семенович Понтрягин. Из 242 специ-
ализированных докладов 190 были прочитаны на английском и всего 49 на французском (три
остальных - на немецком). За 38 лет до этого, на Цюрихском конгрессе 1938 года, из 268 до-
кладов 112 было прочитано на французском, 97 - на немецком, 33 - на английском и 26 -
на итальянском. Экономические изменения, вызванные Второй мировой войной, однозначно
определили язык мировой науки.
94
ЗАМОРОЗКИ ХОЛОДНОЙ войны
Закончим рассказ о конгрессе в Ницце эпизодом, с которого мероприятие на-
чалось, а именно с вручения Филдсовских премий. Лауреатов оказалось четверо:
английский математик Алан Бейкер из Кембриджского университета, удостоенный
премии за работы о трансцендентных числах, японский математик Хэйсукэ Хиро-
нака из Гарвардского университета за результаты, касавшиеся разрешения особен-
ностей алгебраических многообразий, оказавшихся «не чисто теоретическим, но, на-
против, мощным практическим инструментом», советский математик Сергей Нови-
ков из Московского государственного университета за «большую оригинальность
и очень мощные методы», примененные в работах по геометрии и алгебраической
топологии, а также американский математик Джон Томпсон из Чикагского универ-
ситета за вклад в классификацию простых конечных групп.
Лауреаты Филдсовской премии 1970 года, слева направо:
Алан Бэйкер, Хэйсукэ Хиронака, Сергей Новиков и Джон Томпсон.
Одна из премий осталась неврученной: Сергей Новиков не смог получить от со-
ветских властей разрешения участвовать в конгрессе. По этой же причине, к сожа-
лению организаторов и многих членов конгресса, на встречу математиков не приеха-
ли еще 22 советских ученых.
Филдсовскую медаль Новикову вручил лично Анри Картан как президент
Международного математического союза при встрече в Москве, куда он прибыл
на конгресс по случаю 80-летия Ивана Виноградова.
Путешествие в центр канадской контркультуры
Международный конгресс 1974 года прошел в Университете Британской Колумбии.
После временного перехода к модели Бурбаки на конгрессе в Ницце было решено
95
ЗАМОРОЗКИ ХОЛОДНОЙ войны
вернуться к традиционной программе — подробному списку тематических секций,
имевшему не древовидную структуру, как на конгрессе в Ницце, а одноуровневую.
1.	Математическая логика и основы математики.
2.	Алгебра.
3.	Теория чисел.
4.	Алгебраическая геометрия.
5.	Алгебраические группы и дискретные подгруппы.
6.	Геометрия.
7.	Алгебраическая и дифференциальная топология.
8.	Дифференциальная геометрия и анализ на многообразиях.
9.	Общая топология, действительный и функциональный анализ.
10.	Алгебры операторов, гармонический анализ и представление групп.
И. Теория вероятностей и математическая статистика.
12.	Комплексный анализ.
13.	Уравнения в частных производных.
14.	Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы.
15.	Теория управления и связанные с ней задачи оптимизации.
16.	Математическая физика и механика.
17.	Вычислительная математика.
18.	Дискретная математика и теория алгоритмов.
19.	Прикладная математика и статистика в общественных науках и биологии.
20.	История и преподавание.
В рамках этой программы было зачитано 17 пленарных докладов, 157 выступле-
ний от приглашенных докладчиков и 565 коротких докладов в тематических секци-
ях. Можно отметить некоторый компромисс с моделью конгресса в Ницце, так как
существенно возросло число приглашенных докладчиков, выступивших с тематиче-
скими докладами (на московском конгрессе их было всего 64). Хотя по посеща-
емости конгресс не сравнился с московским, число его участников было довольно
большим — 3120 человек (из них 40 % представляли США).
Вручение Филдсовских премий запомнилось одной новостью и одним инциден-
том. Новость заключалась в том, что было присуждено всего две премии, хотя от-
ветственная комиссия могла присудить целых четыре. Вероятнее всего, это связано
с серьезными внутренними разногласиями, так как недостатка в претендентах и до-
стижениях не было.
96
ЗАМОРОЗКИ ХОЛОДНОЙ войны
Membership by Countries
Algeria	2
Argentina	3
Australia	44
Austria	4
Belgium	14
Brazil	8
Bulgaria	5
Canada	514
Chile	9
China, Republic of	11
Columbia	1
Congo	1
Costa Rica	1
Cuba	1
Czechoslovakia	4
Denmark	19
Egypt	2
England	181
Finland	11
France	245
Germany, Democratic
Republic of	11
Germany, Federal Republic of 146
Greece	7
Guatemala	2
Uonr Kong	3
Hungaiy	24
India	26
Iran	11
Iraq	4
Ireland, Northern	1
Ireland, Republic of	7
Israel	20
Italy	45
Ivory Coast	2
Japan	114
Kenya	3
Kuwait	4
1 ;banon	1
Libya	1
Malaysia	2
Mexico	20
Netherlands	39
New Zealand	15
Niger	1
Nigeria	16
Norway	16
Pakistan	7
Philippines	2
Poland	18
Portugal	3
Puerto Rico	2
Rhodesia	1
Romania	5
Saudi Arabia	1
Scotland	27
Senegal	10
Sierra Leone	1
Singapore	2
South Africa, Republic of	9
Spain	11
Sweden	17
Switzerland	28
Tunisia	3
Turkey	2
Uganda	1
Uruguay	1
USA.	1274
U. S. S. R.	50
Venezuela	2
Vietnam, Democratic Republic	4
Wales	6
Yugoslavia	10
Zaire, Republic of	3
Число участников Ванкуверского конгресса 1974 года по странам.
Лауреатами стали: итальянский математик Энрико Бомбиери из Пизанского
университета за открытия в теории чисел, теории однолистных функций несколь-
ких комплексных переменных, уравнений в частных производных и алгебраической
геометрии — областях, где «сочетание его разносторонности и силы привело к соз-
данию множества оригинальных идей», и английский математик Дэвид Мамфорд
из Гарвардского университета за «необычайно успешный подход к решениям про-
блем существования структуры в многообразиях модулей».
Инцидент также был связан с вручением премий: церемония проходила в театре
королевы Елизаветы, однако никто не забрал медали из банковского сейфа, где они
хранились из соображений безопасности. Церемония шла своим чередом, а в это
время организаторы в сопровождении полиции спешно отправились в банк за меда-
лями. К счастью, этого почти никто не заметил.
97
ЗАМОРОЗКИ ХОЛОДНОЙ войны
На конгрессе в Ванкувере вновь проявилась напряженность, связанная с участи-
ем советских математиков, в частности с выбором приглашенных докладчиков для
пленарных и секционных докладов. Сергей Всеволодович Яблонский, представи-
тель СССР в комиссии, ответственной за выбор докладчиков, утверждал, что толь-
ко советские научные учреждения способны определить, кто именно из советских
математиков может быть приглашен для участия в конгрессе. Это заявление сводило
на нет роль всех международных комиссий в формировании научной программы ме-
роприятия.
В 1974 году было присуждено всего две Филдсовских премии:
лауреатами стали итальянец Энрико Бомбиери (слева) и британец Дэвид Мамфорд.
Действия Яблонского вызвали жесткую критику, которая дошла до таких за-
явлений, как: «Для участия в Ванкуверском конгрессе от Советского Союза были
отобраны некоторые математики, которые либо не имеют научных заслуг, либо уже
были приглашены на предыдущие конгрессы, в то время как математики, получив-
шие новые и интересные результаты и отмеченные самыми высокими характеристи-
ками ведущих советских специалистов, приглашены не были».
Это заявление поддержал влиятельный советский математик Лев Семенович
Понтрягин, член исполнительного комитета Международного математического
союза. В конце концов, было принято решение оставить исходный перечень при-
глашенных неизменным. Из 42 приглашенных советских математиков на конгресс
приехали всего 22.
Эти разногласия, которые должны были остаться за кулисами конгресса, стали
известны всем. Впрочем, атмосфера встречи запомнилась иным: в начале 1970-х
98
ЗАМОРОЗКИ ХОЛОДНОЙ войны
Ванкувер был контркультурной столицей западного побережья Канады. Мир ме-
нялся, уходили в прошлое многие социальные нормы, касавшиеся поведения в обще-
стве, личных отношений, внешнего вида и политической деятельности. В то же са-
мое время возникали новые движения: пацифизм, борьба за сохранение окружаю-
щей среды, распространение сексуальных свобод, отказ от преклонения перед авто-
ритетами, все популярнее становился неформальный стиль в одежде и так далее.
Плодородной почвой для подобных начинаний стали университеты.
Конгресс проходил на полуострове, где располагался Университет Британской
Колумбии, близ пролива Джорджии. Доклады звучали в корпусах университета,
а участники разместились в расположенных неподалеку студенческих общежитиях.
Общая атмосфера этих приятных августовских дней способствовала установлению
духа товарищества, который вкупе с контркультурной атмосферой города задал все-
му конгрессу любопытный тон. На всех фотографиях с мероприятия запечатлены
группы математиков, усевшихся на траве, встречи за пивом под музыкальный ак-
компанемент и докладчики, которых еще несколько лет назад даже не пустили бы
в университет из-за неподобающего внешнего вида. Свободная и неформальная ат-
мосфера ощущалась даже на церемонии вручения Филдсовских премий.
Чтобы дополнить картину, отметим, что на побережьях полуострова, где нахо-
дится университет, расположен прекраснейший пляж, омываемый водами пролива
Джорджии. Он известен как Wreck Beach и в те дни был одним из лучших нудист-
ских пляжей Канады. Возможно, этот фактор также сыграл свою роль в распро-
странении новых обычаев эпохи, по крайней мере среди математиков.
Конечно, и молодежь, и представители старших поколений чувствовали происхо-
дившие социальные изменения. Академическая среда, которая ранее была оплотом
строгих формальных правил, перестала быть таковой. В словах авторитетного ка-
надского геометра и председателя конгресса Гарольда Скотта МакДональда Коксе-
тера, произнесенных на церемонии открытия, четко слышны страхи его поколения:
«Нынешнее поколение окатила волна антиинтеллектуальности, и в результа-
те во многих университетах сегодня не хватает студентов. Молодежь видит,
что университетское образование вовсе не помогает найти работу. Идея
об „искусстве ради искусства** с каждым днем становится все менее престиж-
ной».
К счастью, история показала, что опасения Коксетера были напрасны.
99
ЗАМОРОЗКИ ХОЛОДНОЙ войны
Математики и политика
Три последующих конгресса, прошедших в Хельсинки в 1978 году, в Варшаве
в 1983 -мив Беркли в 1986-м, были отмечены различными историческими перипе-
тиями, связанными с геополитикой холодной войны.
Конгресс 1978 года в Хельсинки стал образцовым во всем, что касалось подго-
товки и проведения — не зря его основным организатором был финский математик
Олли Аехто, который позднее, в период с 1983 по 1990 год, стал исполнительным
секретарем и идейным вдохновителем Международного математического союза.
Церемония открытия прошла под музыку финского композитора Яна Сибелиуса
в великолепном дворце «Финляндия Холл», который спроектировал прославлен-
ный финский архитектор Алвар Аалто.
На этот раз комиссия не поскупилась и присудила четыре Филдсовские пре-
мии. Лауреатами стали: бельгийский математик Пьер Делинь из Института высших
научных исследований (IHES) за работы об «удивительных взаимосвязях между
когомологичной структурой алгебраических многообразий над комплексными чис-
лами и диофантовой структурой алгебраических многообразий над конечными поля-
ми»; американский математик Чарльз Фефферман из Принстонского университета
за важный вклад в «поддержание жизнеспособности анализа»; советский математик
Григорий Александрович Маргулис из Института проблем передачи информации
РАН, труды которого «относятся к комбинаторике, дифференциальной геометрии,
эргодической теории, теории динамических систем и теории дискретных подгрупп
на вещественных р-адических группах Ли», и американец Даниель Квиллен из Мас-
сачусеттского технологического института (MIT) за «выдающийся по новизне, кон-
цептуальной широте и технической виртуозности вклад в алгебру».
Как и на конгрессе в Ницце в 1970 году, лауреат Филдсовской премии Григорий
Маргулис не получил премию, так как не смог добиться разрешения советских вла-
стей на посещение конгресса. Этот факт вызвал бурную реакцию участников меро-
приятия, и бельгийский математик Жак Титс, который должен был произнести хва-
лебную речь о трудах Маргулиса (то есть от лица организаторов объяснить, за какие
заслуги ему была присуждена премия), сказал:
«Мне хотелось бы завершить выступление комментарием, не относящимся
к математике. Возможно, сейчас не время и не место для того, чтобы начинать
полемику. Тем не менее я не могу не выразить глубокое разочарование —
и большинство присутствующих, несомненно, разделят со мной это чув-
100
ЗАМОРОЗКИ ХОЛОДНОЙ войны
ство — отсутствием Маргулиса на этой церемонии. Учитывая символическое
значение города Хельсинки, где мы с вами находимся, я ожидаю, что в конце
концов мне представится возможность познакомиться с математиком, кото-
рого я знаю лишь по его трудам и к которому испытываю высочайшее уваже-
ние».
Говоря о символическом значении Хельсинки, Титс имел в виду подписанные
в 1975 году в Хельсинки договоры о безопасности и сотрудничестве в Европе.
Одним из основных положений этих документов было «соблюдение прав человека
и основных свобод».
Лауреаты Филдсовской премии
1978 года. Сверху вниз, слева
направо: Чарльз Фефферман, Пьер
Делинь, Даниель Квиллен и Григорий
Маргулис.
Отсутствие Маргулиса вновь стало доказательством неадекватного выбора деле-
гатов властями СССР. И вновь Лев Семенович Понтрягин выразил «глубокое ра-
зочарование» действиями Отделения математических наук Академии наук СССР,
101
ЗАМОРОЗКИ ХОЛОДНОЙ войны
которое не позволило многим математикам принять участие в конгрессе и церемонии
вручения Филдсовской премии. Из-за неадекватной политики советских чиновни-
ков на конгрессе, помимо Маргулиса, отсутствовали три автора пленарных докладов
и И докладчиков на тематических секциях. Спустя 30 лет сам Маргулис вспоминал:
«Любопытно, но из-за того, что я не смог участвовать в конгрессе в Хельсинки,
в 1979 году мне разрешили впервые выехать на Запад и провести три месяца в Бон-
не. Там меня посетил Жак Титс и на небольшой церемонии вручил мне премию».
АПАРТЕИД
Организаторы конгресса также столкнулись с противодействием финских политических властей,
которые из-за апартеида не допускали к участию в конгрессе южноафриканских математиков.
Однако проблему удалось решить: организаторы воззвали к принципу свободы перемещения
ученых.
Любопытно, что в среде математиков чрезвычайно развит интерес и даже страсть
к истории этой науки, одна из причин которой заключается в том, что задачи, труды
и решения прошлого не теряют своей актуальности. Из всех докладов, прочитан-
ных на конгрессе в Хельсинки, больше всего слушателей привлек пленарный доклад
французского математика Андре Вейля под названием «История математики: как
и почему?». Вейль начал доклад такими словами:
«Мое первое наблюдение будет очевидным: в отличие от некоторых наук,
история которых сводится к воспоминаниям немногих современников, мате-
матика имеет не просто историю, но долгую историю, которая пишется
по меньшей мере со времен Евдема [ученика Аристотеля]. Следовательно,
вопрос «почему?», возможно, будет поверхностным и, быть может, лучше за-
менить его другим вопросом — «для кого?».
И Вейль процитировал немецкого математика Готфрида Лейбница:
«Польза от истории не только в том, что она воздает каждому по заслугам,
и прочие могут стремиться к этому, но также и в том, что она движет к новым
открытиям и делает метод свершения открытий известным для всех благодаря
блестящим примерам».
102
ЗАМОРОЗКИ ХОЛОДНОЙ войны
Авторитет докладчика и интерес к теме привели к тому, что в аудитории собра-
лось свыше 3 тысяч человек, и многим пришлось следить за докладом по телевизо-
рам, расположенным в коридорах «Финляндия Холла».
Фасад «Финляндия Холла» в Хельсинки.
ПОЛЬСКИЙ КОРАБЛЬ
Уже в 1978 году уровень жизни в Хельсинки был достаточно высоким, и расходы на участие
в конгрессе были значительными. Польская делегация нашла остроумный выход из ситуации: ее
члены арендовали корабль и прибыли на нем в Хельсинки. Судно разместилось в порту и стало
для математиков гостиницей и столовой. У членов конгресса остались прекрасные воспомина-
ния о ночных встречах на этом корабле, хотя фотографий не сохранилось.
На проведение следующего конгресса претендовали Аргентина, Федеративная
Республика Германия, Израиль и Польша. Однако в Аргентине господствовала во-
енная диктатура, а на Западную Германию вето наложила советская сторона, и кро-
ме того, еще свежи были воспоминания о Холокосте. Осталось два претендента —
Израиль и Польша, страны с превосходной математической школой. Предпочтение
было отдано Польше как более политически стабильному государству. Как вы узна-
ете позже, это был тот случай, когда абсолютно правильные рассуждения привели
к неверному результату.
Итак, следующий конгресс должен был пройти в Варшаве в августе 1982 года.
Как и раньше, вновь возникли разногласия, связанные с тем, что Советский Союз
103
ЗАМОРОЗКИ ХОЛОДНОЙ войны
запрещал каким бы то ни было международным комитетам определять состав со-
ветской делегации. В ходе дискуссии с обеих сторон прозвучали весьма нелицепри-
ятные заявления, начиная от обвинений в антисоветской деятельности и заканчивая
упреками в пропаганде сионизма. Кульминацией стала угроза советских представи-
телей вовсе отказаться от участия в конгрессе. К счастью, Академия наук СССР —
самое авторитетное научное учреждение страны — запретила односторонний отказ
от участия в конгрессе, и это вмешательство помогло расставить все по своим местам
и привести стороны к согласию.
В течение 1981 года политическая, экономическая и социальная обстановка
в Польше ухудшилась, а профсоюз «Солидарность» усилил давление на правящий
режим. Кризис наступил 13 декабря 1981 года, когда генерал Ярузельский объявил
чрезвычайное положение, а в январе 1982 года профсоюз «Солидарность» был объ-
явлен вне закона.
В феврале 1982 года Международный математический союз обсудил возмож-
ность проведения конгресса в Варшаве. В стране не только обострились политиче-
ские разногласия, но и в целом была приостановлена работа Польского математиче-
ского общества, а некоторые математики были арестованы. В ученом сообществе
начались дискуссии о том, не сменить ли место проведения конгресса (в частности,
перенести его в Бельгию). Единомыслия не было даже среди польских математиков,
однако организаторы мероприятия склонялись к тому, чтобы провести конгресс
в Польше. (В эти годы ни в самой Польше, ни за ее пределами не было единого
мнения относительно истинной цели государственного переворота, совершенного
Ярузельским: избежать советского военного вмешательства или сохранить прежний
коммунистический режим.)
Спустя несколько месяцев, в апреле 1982 года, Международный математиче-
ский союз понял, что польское правительство не может гарантировать выполнение
необходимых условий для проведения конгресса, и, учитывая крайне малое число
зарегистрировавшихся участников, принял решение провести конгресс годом позже,
в августе 1983 года.
Однако в течение всего 1982 года обстановка оставалась сложной, и вновь меж-
дународное математическое сообщество разделилось во мнениях относительно того,
стоит ли проводить конгресс в Польше. Польская сторона всецело выступала за то,
чтобы не отступать от первоначального плана. Шведский математик Леннарт Кар-
лесон, уже знакомый нам по Московскому конгрессу, лично обратился к польским
властям как президент Международного математического союза и озвучил условия,
необходимые для проведения конгресса в Варшаве: свободное передвижение всех
104
ЗАМОРОЗКИ ХОЛОДНОЙ войны
ученых, восстановление Польского математического общества, нормальные условия
перемещения и связи, а также освобождение всех математиков из-под стражи.
В конце концов было решено провести конгресс в Варшаве в августе 1983 года.
С приближением намеченной даты лидер «Солидарности» Лех Валенса был осво-
божден, а чрезвычайное положение — отменено. Однако математическое сообще-
ство вновь оказалось расколото: одни считали, что конгресс следует посетить, чтобы
поддержать оппозицию, другие — что от участия в конгрессе следует воздержаться
в знак протеста действиям правящего режима. Для математиков из стран социали-
стического лагеря проведение конгресса в Варшаве было прекрасной возможностью
посетить это мероприятие (разрешение на поездку в Польшу получить было проще,
а сопутствующие расходы были невелики). Но западные математики испытывали
некоторые опасения за свою безопасность.
Историк Александр Гейштор, президент Польской академии наук, на церемонии
открытия конгресса вспомнил эпизод из неспокойной истории Польши:
«В августе и сентябре отмечаются памятные даты в истории нашей страны.
39 лет назад, 1 августа, началось Варшавское восстание, а 1 сентября 1939-го
началась Вторая мировая война. И август, и сентябрь — месяцы воспомина-
ний и размышлений об истории нашей страны.
Во время Второй мировой войны польское научное сообщество понесло
огромные потери. В частности, погибло больше половины активных матема-
тиков. Многие другие эмигрировали в самые разные страны мира. Польские
университеты, библиотеки и типографии были разрушены. Система образо-
вания в стране была уничтожена, научная деятельность прервалась.
Проведение этого конгресса в Варшаве в 1983 году, спустя 38 лет после
окончания войны, свидетельствует о восстановлении польской науки —
и по сути, и с организационной точки зрения. Этот конгресс, в частности,
подтверждает возрождение польского научного сообщества».
Выступавшие на церемонии открытия не раз вспомнили польских математи-
ков Казимира Куратовского и Стефана Банаха, а также журнал «Fundamenta
Mathematicae» (1920), который стал первым специализированным журналом, по-
священным конкретной области математики. Памятная часть церемонии заверши-
лась избранием математика Владислава Орлича, наставника нескольких поколений
польских математиков ученых, почетным президентом конгресса.
105
ЗАМОРОЗКИ ХОЛОДНОЙ войны
Вверху — Казимир Куратовский (слева) и Владислав Орлич.
Внизу — бюст Стефана Банаха в Кракове.
106
ЗАМОРОЗКИ ХОЛОДНОЙ войны
Так как конгресс проходил в Польше, на церемонии открытия не было недостат-
ка в музыке: звучали произведения Горчицкого, Пациуса, Нововейского, Палестри-
ны, Пенкеля, Валлек-Валевского, Монюшко и других.
Что касается вручения Филдсовских премий, то на этот раз сюрпризов не про-
изошло, так как имена лауреатов были объявлены годом ранее, в день, когда кон-
гресс должен был начаться. Правда, удивляло число награжденных: комиссия вновь
принялась за старое и, как и в Ванкувере, присудила не четыре, а всего три премии.
Лауреатами стали: французский математик Ален Конн из Института высших на-
учных исследований (IHES) за «удивительные достижения, намного превзошедшие
все ожидания специалистов» в теории алгебр операторов и их приложений к диф-
ференциальной геометрии; американский математик Уильям Терстон из Принстон-
ского университета за «фантастическую интуицию и геометрическое мышление»,
проявленные в исследованиях топологии в двух и трех измерениях и в изучении свя-
зей между анализом, топологией и геометрией, и китайский математик Яу Шин-
тан из Института перспективных исследований в Принстоне за вклад в изучение
дифференциальной геометрии, уравнений в частных производных и алгебраической
Уильям Тёрстон.
Яу Шинтан.
107
ЗАМОРОЗКИ ХОЛОДНОЙ войны
На конгрессе впервые в истории была присуждена премия Неванлинны — ее ла-
уреатом стал специалист по информатике (ученый, который на английском называ-
ется computer scientist) американец Роберт Тарьян из Стэнфордского университета
за вклад в «разработку и анализ алгоритмов».
Варшавский конгресс 1982—1983 года (его решено было назвать именно так,
чтобы не нарушать четырехлетний цикл) не отличался от предыдущего конгресса
в Хельсинки и следующего в Беркли ни по количеству участников (на конгресс
в Хельсинки прибыло 3038 человек, в Варшаву — 2450, в Беркли — 3586), ни по
числу пленарных докладов, приглашенных докладчиков и тематических докладов:
17, 119 и 500 соответственно в Хельсинки, 16, 129 и 680 — в Варшаве, 19, 148
и 731 — в Беркли. Похожим было и число приглашенных, которые не смогли прие-
хать на конгресс: 14 в Хельсинки, 35 в Варшаве, 15 — в Беркли. Различие состояло
в том, что на конгрессах в Хельсинки и в Беркли отсутствовали советские математи-
ки, а в Варшаве — западные, преимущественно американские. Многие математики
из США не смогли приехать на конгресс еще и потому, что американская админи-
страция не разрешила использовать на поездки в Польшу общественные средства,
несмотря на все возражения Национальной академии наук США. Отсутствие за-
падных математиков в некоторой степени было компенсировано многочисленными
делегациями из СССР и других социалистических стран. Однако общее ощущение
неуверенности, которое по-прежнему вызывала политическая обстановка в Поль-
ше, сказалось на числе сопровождающих: в Варшаве их было всего 150, в то время
как в Хельсинки — 900.
Подведем итог. Ситуация, которая едва не привела к катастрофе, завершилась
ко всеобщему удовлетворению: польская сторона была обрадована большим чис-
лом участников, высоким научным уровнем конгресса и отсутствием инцидентов;
Международный математический союз — тем, что не прервалась череда конгрес-
сов; те участники, которые хотели выразить солидарность с поляками, — тем, что
смогли это сделать; те, кто больше всех выступал с критикой, — тем, что государ-
ство не вмешалось в ход конгресса, а многие из них — тем, что смогли публично вы-
разить несогласие с подавлением инакомыслия. Все хорошо, что хорошо кончается.
Так как в 1986 году исполнилось 50 лет со дня вручения первой Филдсовской
премии, почетным президентом международного конгресса, прошедшего в Беркли,
был избран финский математик Ааре Альфорс, один из первых лауреатов премии.
Альфорс так вспоминал церемонию вручения премии в Осло в 1936 году:
108
ЗАМОРОЗКИ ХОЛОДНОЙ войны
«В то время обстоятельства были совершенно иными: проект премии был одо-
брен на конгрессе в Цюрихе в 1932 году, однако об этом не было сообщено
в прессе, поэтому когда я приехал в Осло, то не знал, что Филдсовская пре-
мия в самом деле будет вручена, а если бы и знал, то ни в коем случае
не счел бы себя подходящим кандидатом. Между прочим, мне официально
сообщили об этом лишь когда я вошел в зал, где должна была проходить це-
ремония открытия. Мне указали на место в первом ряду, и тогда я что-то за-
подозрил. Более того, были заранее приняты все меры, чтобы никто случайно
не поздравил меня днем ранее. До самой церемонии все — по крайней мере,
официально — держалось в секрете даже от меня. Не было ни традиции,
ни официального протокола, которым нужно было следовать».
Ларс Альфорс вручил медали новым лауреатам. При этом в третий раз
с 1966 года, когда было разрешено присуждать четыре премии, комиссия поскупи-
лась и вручила всего три премии. Лауреатами стали британский математик Саймон
Дональдсон из Оксфордского университета за «удивившие математический мир
работы о четырехмерных многообразиях, которые подразумевают существование
экзотических четырехмерных пространств», немецкий математик Герд Фальтингс
из Оксфордского университета за доказательство гипотезы Морделла, что стало
«одним из величайших событий в истории математики», и американский математик
Майкл Фридман из Калифорнийского университета в Сан-Диего за доказательство
гипотезы Пуанкаре для четырех измерений.
Альфорс также вручил премию Неванлинны информатику Лесли Вэлианту
из Гарвардского университета за вклад в развитие «молодого и пышного древа» те-
ории алгоритмов.
Саймон Дональдсон, Гэрд Фальтингс и Майкл Фридман.
109
ЗАМОРОЗКИ ХОЛОДНОЙ войны
ПЕРВАЯ КНИГА О КОНГРЕССАХ
На конгрессе в Беркли в 1986 году была представлена первая книга об истории междуна-
родных конгрессов математиков: «International Mathematical Congresses: Ап Illustrated History
1893-1986». Ее авторами стали математики Дональд Альберс и Джеральд Александерсон,
а также историк Констанс Рид, известная своей биографией Давида Гильберта. Книга имела
успех, однако обстоятельства, сопровождавшие Варшавский конгресс (о них мы подробно уже
рассказали), были описаны в ней противоречиво, поэтому издатель книги, престижный берлин-
ский издательский дом Springer Verlag, был вынужден отозвать тираж и выпустить исправленное
переиздание.
Книга находится в свободном доступе в формате PDF на веб-странице Международного ма-
тематического союза.
Иногда протокольные выступления оказываются весьма содержательными
и даже эмоциональными. Именно такой была речь, произнесенная на церемонии от-
крытия конгресса в Беркли Ричардом Джонсоном, физиком-ядерщиком и советни-
ком по науке президента Рональда Рейгана. Джонсон объяснил:
«Мы в Соединенных Штатах столкнулись с серьезной проблемой. Все мень-
ше молодых людей изучают науку, математику, инженерное дело и техноло-
гии. Все меньше тех, кто стремится получить степени магистра или доктора
по этим дисциплинам, все меньше молодых людей выбирают карьеру в науке
и технике.
Вы обладаете редким талантом, позволяющим в полной мере оценить глу-
бину и силу вашей специальности. Однако способности и талант подразуме-
вают определенные обязательства и ответственность, особенно перед теми,
кто одарен не так щедро, как вы. В своих лабораториях, в компьютерных тер-
миналах, в учебных аудиториях вы проделываете удивительные вещи; можно
сказать, вы изменили ход истории. Но не следует останавливаться на этом.
Теперь уже недостаточно быть просто ученым. Вы должны стать гражданами
от науки, лидерами сообщества чрезвычайно одаренных людей, объединен-
ных общей целью — обеспечить непрерывный прогресс человечества и улуч-
шение условий его жизни. Что особенно важно, вы должны гарантировать,
что появится новое поколение ученых и инженеров, растущее и хорошо обра-
зованное, которое придет вам на смену».
110
ЗАМОРОЗКИ ХОЛОДНОЙ войны
Члены конгресса выразили озабоченность тем, как наука и ученые стали воспри-
ниматься обществом, и поделились мнениями по этому вопросу.
На конгрессе в Беркли в 1986 году впервые приняли участие математики Ки-
тайской Народной Республики, которая, пережив вихри культурной революции,
решила вновь присоединиться к различным международным движениям. Возникла
проблема: членом Международного математического союза уже была Китайская
Республика (Тайвань), а это вызывало возражения континентального Китая, ис-
поведовавшего принцип «Есть только один Китай». Пришлось внести изменения
в устав самого Международного математического союза: из него была исключена
формулировка «национальные делегации», и членами союза, таким образом, могли
стать два Китая одновременно. В конгрессе в Беркли приняли участие 30 математи-
ков из Китайской Народной Республики и 15 — из Тайваня.
Membership bv Country
Algeria 3
Argentina 3
Australia 20
Austria 8
Bahrain 2
Bangladesh 1
Belgium 20
Botswana 1
Brazil 20
Bulg^r.a 4
Cameroon 3
Canada 167
Chile 3
China-Taiwan 17
1 'olombia 2
Costa Rica 1
Cuba 3
Czechoslovakia 6
Denmark 14
Egypt 2
England 94
Ethiopia 1
Federal Republic of Germany 119
Finland 19
France 117
German Democrats Republic 4
Ghana 1
Greece 6
Guatemala 2
Hong Kong 16
Hungary 12
Iceland 6
India 21
Indonesia 1
Iran 31
Iraq 4
Ireland 4
Israel 34
Italy 47
Ivory Coast 9
Jamaica 1
Tbta)
Japan 176
Jordan 1
Kenya 2
Kuwait 9
Lebanon 1
Luxembourg 1
Malaysia 3
Mexico 10
Netherlands 27
New Zealand 10
Nicaragua 2
Nigeria 8
Northei n Ireland 2
Norway 16
Oman 1
People's Republic of China 30
Philippines 2
Poland 17
Portugal 7
Romania 3
Saudi Arabia 6
Scotland 12
Senegal 2
Singapore 5
South Africa 11
South Korea 6
Spain 18
Sweden 29
Switzerland 33
Thailand 1
Trinidad 1
Turkej 4
U.S.A. 2324
U.S.S.R. 57
U.S.V.I. 1
Uruguay 2
Venezuela 3
Vietnam 3
Wales 5
West Indies 1
Yugoalavia 10
3711
Число участников конгресса 1986 года по странам.
111
ЗАМОРОЗКИ ХОЛОДНОЙ войны
Любопытной особенностью конгресса стала его организация: конгресс проводил-
ся отдельной специально созданной корпорацией, имевшей исполнительного дирек-
тора, менеджеров и так далее, словно речь шла о коммерческом предприятии. Ор-
ганизаторы разделили все учреждения и предприятия, предоставившие финансовую
поддержку конгрессу, на семь категорий в зависимости от объема пожертвований.
Еще одна интересная особенность касалась музыкальной программы: конгресс
в Беркли стал единственным, в программу которого был включен джазовый кон-
церт, и его посетило почти 1500 зрителей! Кроме того, в рамках культурной про-
граммы участники конгресса посетили стадион Cow Palace в Сан-Франциско (ранее
здесь выступали с концертами Элвис Пресли, «Битлз», «Роллинг Стоунз», «Дорз»
и другие группы), где было проведено родео и барбекю в стиле Дикого Запада.
ВАВИЛОН
Чтобы помочь делегатам, организаторы конгресса 1986 года в Беркли пригласили волонтеров
со знанием иностранных языков, на которых говорили участники мероприятия (они представ-
ляли 79 стран). Знатоки языков обозначались специальными цветовыми кодами: 22 рабочих
языка обозначались 22 цветами. Приведем несколько примеров: армянский язык обозначался
персиковым цветом, болгарский - цветом слоновой кости, итальянский - цветом красного
вина, норвежский - коричнево-ржавым, испанский - сливовым, суахили - цветом чайного
листа и так далее.
112
Глава 7
Из города — в мир
Если считать, что с исторической точки зрения XX век начался лишь в 1914 году,
по тем же причинам можно полагать, что и завершился он раньше положенного сро-
ка. После падения осенью 1989 года Берлинской стены, а с ней — и большинства
политических режимов Восточной Европы и до развала СССР осенью 1991-го мир
во второй раз менее чем за 100 лет пережил глубочайшие потрясения. Поэтому мож-
но считать, что XX век завершился примерно в 1990 году.
Среди многочисленных последствий этих потрясений особое место занимает на-
рушение экономического, политического, социального и даже научного равнове-
сия — чаша весов склонилась в сторону Востока. Можно сказать, что произошел
переход от urbe — так римляне называли город Рим, который мы можем предста-
вить символом Запада, — к orbe, то есть ко всему миру.
Это движение к открытости и глобализации четко прослеживается в междуна-
родных конгрессах математиков. В отличие от двадцати встреч, прошедших в Ев-
ропе и Северной Америке с 1897 по 1986 год, три следующие прошли на Востоке:
в 1990 году в Киото, в 2002-м — в Пекине, в 2010-м — в индийском Хайдара-
баде. Это доказывает усиление Востока и вместе с тем рост ожиданий, связанных
с развитием науки в этом регионе. Движение на Восток продолжается до сих пор,
ведь Международный конгресс математиков 2014 года прошел в Сеуле (http: / /
www.icm2014.org/). Скажем несколько слов о трех остальных конгрессах. Бер-
линский конгресс 1998 года в некотором роде подтвердил, что многие раны, остав-
ленные Второй мировой войной, успели затянуться; после Мадридского конгресса
2006 года членом научного сообщества стала еще одна европейская страна, сравни-
тельно поздно вышедшая на научную сцену, а Цюрихский конгресс 1994 года стал
всего лишь продолжением традиции.
Запад
Спустя 94 года после Гейдельбергского конгресса 1904 года Германия вновь приня-
ла международный конгресс математиков. Эта страна стала удивительным исклю-
чением в ряду великих математических держав, каждая из которых приняла у себя
ИЗ
ИЗ ГОРОДА—В МИР
как минимум по два конгресса — причиной тому были Вторая мировая война и ее
последствия, в частности Холокост и разделение Германии.
Конгресс прошел в Берлине — городе, ставшем живым воплощением истории,
бывшей столице кайзеровской империи. Когда-то он был разделен железным зана-
весом, а сейчас стал столицей единой демократической Германии. Преемственность
поколений олицетворял и почетный президент конгресса Фридрих Хирцебрух: он
был главой Союза немецких математиков в 1961 году, когда была воздвигнута Бер-
линская стена, разделившая математическое сообщество, и в 1990-м, когда произо-
шло воссоединение всей страны, а с ней и математических обществ.
Конгресс отличался большим числом участников (3346 математиков из 98 стран)
и большим числом выступлений — всего было прочитано 1759 докладов, в том чис-
ле 21 пленарный, 169 тематических докладов от приглашенных докладчиков,
1098 тематических докладов, 236 презентаций и 235 выступлений на прочие темы.
96	List of Partktpxnts
Participants by Country
(according to thrir mailing address)
Algeria................ 5
Argentina	15
Armenia..	. 1
Australia...	18
Austria ..	17
Azerbaijan.	1
Bangladesh......	1
Barbados. ..	1
Belarus ...	12
Belgium ............... 9
Bolivia	.	1
Bosnia arid Herzegovina. 2
Brazil.	42
Bulgaria ...	6
Burundi.....	I
Cameroon..	2
Canada.......	45
Chile .............. 11
Colombia...	4
Costa Rica -	1
Croatia	7
Cuba.	I
Cyprus.........	.3
Czrcti Republic...	11
Denmark.	11
l КУР*	<
Estonia...	13
F inland -. -	27
France.	138
Georgia....	.13
Germany....	1087
Ghana .	. 1
Greece	10
Guatemala...	1
Hungary...	.25
Iceland...	.2
India.. .	35
Indonesia,.	... 1
Iran	24
Ireland..... .	10
Israel	36
Italy..........	...... 65
Ivon Coast	. 5
Japan.	205
Kazakhstan ..... ...	7
Kingdom of Saudi-Arabia 5
Korea.	10
Kuwait .	3
Latvia ....	.6
Lebanon.	1
Lesotho ..	1
Lithuania...	6
Luxembourg	2
Macedonia .	1
Malaysia.	1
Mexico.	15
Moldova...	3
Mongolia	2
Morocco .	9
Mozambique............ 3
Netherlands	19
New Zealand ..	5
Nigeria.	1
Norway .	18
P. R China..	52
Pakistan	I
Peru ....................1
Philippine"	4
Poland...	.74
Portugal.	. 18
Romania. ...	.43
Russian Federation	202
Senegal.	1
Singapore	1
Slovakia.	.	2
Slovenia..	.	1
South Africa	17
Spain .	11
Sweden.	37
Switzct kind ..	39
Taiwan..	11
Tajikistan	.	8
Tanzania	.	1
Thailand	3
logo...	1
luiuwm.	.	6
Turkey.......	8
'Fuikmrnistiui.	.... 1
USA.	500
Ukraine............... 75
United A rab Emit ate?.	1
United Kingdom . 88
Uruguay ..	.. 5
Uzbekistan	6
Vvnr/iielii.	5
Vietnam .	. 5
Yugoslavia..	21
Zimbabwe	2
Число участников конгресса 1998 года по странам.
114
ИЗ ГОРОДА — В МИР
Бывшие республики СССР делегировали 353 члена конгресса — очень высокий
показатель по сравнению с конгрессами 1970—1980-х годов. Учитывая тяжелей-
шую экономическую ситуацию в этих странах, участие их представителей на кон-
грессе стало возможным только благодаря необычайной финансовой поддержке
со стороны организаторов конгресса, составившей почти миллион немецких марок.
Президент Санкт-Петербургского математического общества Анатолий Вершик
публично выразил благодарность организаторам, напомнив о том, с какими огра-
ничениями сталкивались математики прошлого, в том числе лауреаты Филдсовской
премии (Сергей Новиков, удостоенный премии на конгрессе в Пизе в 1970 году,
и Григорий Маргулис, удостоенный премии на конгрессе в Хельсинки в 1978 году).
Церемонию вручения Филдсовских премий провел председатель Филдсовского
комитета российский математик Юрий Манин, который напомнил присутствующим
слова Георга Кантора: «Das Wesen der Mathematik liegt in ihrer Freiheit» («Сущность
математики заключена в ее свободе»).
Четыре премии вручил Фридрих Хирцебрух. Лауреатами стали: южноафри-
канский математик Ричард Борчердс из Кембриджского университета и Калифор-
нийского университета в Беркли за «вклад в алгебру, теорию автоморфных форм,
математическую физику, а также за доказательство moonshine-гипотезы Конвея —
Нортона», британский математик Уильям Тимоти Гауэре из Кембриджского уни-
верситета за «вклад в функциональный анализ и комбинаторику, создание новой ге-
ометрии с бесконечным числом измерений, а также решение двух проблем Банаха»,
российский математик Максим Концевич из Института высших научных исследо-
ваний (IHES) за «вклад в алгебраическую геометрию, топологию и математическую
физику, в том числе доказательство гипотезы Виттена», и американский математик
Кёртис Макмуллен из Гарвардского университета за вклад в «теорию голоморфной
динамики и геометризацию трехмерных многообразий, в том числе за доказатель-
ство гипотезы Кра о дзета-функции».
Ричард Борчердс, Уильям Гауэре, Максим Концевич и Кёртис Макмуллен.
115
ИЗ ГОРОДА—В МИР
На конгрессе также была вручена премия Неванлинны — ее получил американ-
ский математик Питер Шор из компании AT&T Bell Labs, который, по мнению
организаторов, «стал основной движущей силой развития квантовых вычислений».
На этом церемония награждения не закончилась. Мы уже рассказывали, какая
ситуация сложилась вокруг доказательства великой теоремы Ферма: его автор Эн-
дрю Уайлс не мог получить Филдсовскую премию, так как ему уже исполнилось
40 лет. Юрий Манин напомнил исходную формулировку теоремы Ферма, «Nullam
in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere», и объ-
явил о вручении Уайлсу памятной таблички «за его сенсационное достижение». Пе-
рефразируя самого Ферма, Манин сказал, что, к несчастью, табличка слишком узка
для доказательства Уайлса. Газеты писали о «бурных и продолжительных аплодис-
ментах в адрес Уайлса, которого приветствовали намного громче, чем всех остальных
награжденных».
На следующий день этот ученый выступил с особым докладом на тему «Двад-
цать лет теории чисел», который привлек 2300 слушателей, где объяснил:
«Начнем с трех проблем, рассмотренных Ферма:
1.	Какие простые числа можно представить в виде суммы двух квадратов?
2.	Существует ли прямоугольный треугольник единичной площади со сто-
ронами, длины которых выражены рациональными числами?
3.	Имеет ли решения уравнение хп + уп = zn для и, больших или рав-
ных 3?
Ответ на первый вопрос — простые числа, сравнимые с единицей по модулю
4 (то есть числа вида 4/?+1). Ответ на второй вопрос отрицателен. Решение
этих двух проблем нашел сам Ферма. Третья проблема не требует представ-
ления».
Уайлс сделал важное наблюдение:
«Основное изменение, произошедшее в теории чисел за последние двадцать
лет, заключается в том, что эта дисциплина приобрела прикладной характер.
Возможно, следует сказать, что она вновь приобрела прикладной характер,
как было более 200 лет назад».
116
ИЗ ГОРОДА —В МИР
На конгрессе не было недостатка в упоминаниях о зверствах, учиненных на-
цистами. Все, начиная от президента Германии и министра образования и науки
(он объявил о создании премии для выдающихся молодых ученых, названной име-
нем Эмми Нётер, которой пришлось покинуть Германию после прихода нацистов
к власти) и заканчивая председателем конгресса, вспомнили драматичные события
30-40 -х годов, которые привели к гибели множества людей и стали причиной изо-
ляции немецкого научного сообщества (из-за чего довольно долго Германия не могла
принимать международные конгрессы).
Фридрих Хирцебрух вспомнил о президентах Союза немецких математиков:
«Альфред Прингсхайм умер в Цюрихе в 1941 году в возрасте 90 лет, покинув
Германию. Эдмунд Ландау лишился должности заведующего кафедрой в Гёт-
тингене в 1934-м. Отто Блюменталь был депортирован в концентрационный ла-
герь Терезиенштадт, где умер в 1944-м. Герман Вейль эмигрировал в США
в 1993-м».
Он также почтил память Давида Гильберта и его коллег, процитировав слова Гер-
мана Вейля: «Когда разыгралась буря нацизма, их разбросало по всей земле». Хир-
цебрух закончил речь призывом, звучавшим в Германии с самого окончания войны:
«Мы должны воспитать следующее поколение так, чтобы они не забыли об этом».
В рамках особой сессии под названием «Математика в Третьем рейхе и расовые
и политические преследования» было запланировано два доклада о влиянии нацизма
на науку: «Victims, Oppressors, Activists, and Bystanders: Scientists’ Response to
Racial and Political Persecution» (его прочел Джоэл Лейбовиц из Ратгерского уни-
«МАТНЕМАТ1К UND ALLTAG»
Организаторы Берлинского конгресса 1998 года впервые попытались привлечь к проведе-
нию этого мероприятия широкую публику. Была учреждена программа «Mathematik und Alltag»
(«Математика и повседневная жизнь»), где выступили различные лекторы (например, писатель
и мыслитель Ганс Магнус Энценсбергер), прошел фестиваль математических видео, состоялись
показы фильмов и выставки, направленные на самую широкую аудиторию. Эти мероприятия
прошли в необычном берлинском учреждении под названием «Урания», созданном в 1888 году
для популяризации науки и культуры. «Урания» располагается в любопытном кубическом здании
цвета морской волны. Во время конгресса «Уранию» посетили свыше 15 тысяч человек.
117
ИЗ ГОРОДА — В МИР
верситета) и «Mathematics and Mathematicians in Nazi Germany: History and
Memory» (его прочел Герберт Мертенс из Брауншвейгского технического универси-
тета). Наибольшие эмоции вызвала выставка «Террор и изгнание», организованная
Союзом немецких математиков. В ее официальном анонсе достаточно точно была
описана драма, пережитая страной:
«В 1998 году международный конгресс математиков вновь, после перерыва
в 94 года, проводится в Германии. Этот продолжительный период охватывает
самый мрачный период немецкой истории, поэтому Союз немецких матема-
тиков хочет почтить память тех, кто пострадал от нацистского террора. Мы
почтили их память в экспозиции, где представлены биографии 53 берлинских
математиков, ставших жертвами нацизма с 1933 по 1945 год. На примере
этой небольшой группы людей мы с болью демонстрируем страдания людей
и разрушение культурной и научной жизни. Выставка также освещает сред-
ства подавления инакомыслия и историю коллаборационизма».
Трое из этих 53 математиков, нашедшие убежище в США, Великобритании
и Австралии, были приглашены сенатом Берлина, чтобы принять участие в выстав-
ке. Они крайне эмоционально вспоминали о своем бегстве из страны и эмиграции.
КНИГА О МЕЖДУНАРОДНОМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ СОЮЗЕ
На Берлинском конгрессе 1998 года была официально представлена книга «Mathematics without
Borders: A History of the International Mathematical Union» («Математика без границ: история
Международного математического союза»). Ее автором стал финский математик Олли Лехто,
о котором мы уже упоминали в рассказе о Хельсинкском конгрессе 1978 года. В работе он
высоко оценил дух сотрудничества в международном математическом сообществе и рассказал
о трудной истории союза.
Еще один крупный западный конгресс этого периода состоялся в Мадриде
в 2006 году. На этой встрече произошел беспрецедентный случай: российский
ученый Григорий Перельман из Санкт-Петербурга отказался принять присужден-
ную ему Филдсовскую премию. Ничего подобного ранее не происходило. Медаль
Перельмана с его именем, выгравированным на ребре, до сих пор никто не забрал,
и она хранится в сейфе Королевского канадского монетного двора.
118
ИЗ ГОРОДА — В МИР
Гоигорий Перельман.
Несколькими месяцами ранее британский математик из Оксфордского универ-
ситета Джон Болл, в 2006 году занимавший должность президента Международ-
ного математического союза, предпринял все возможное, включая личный визит
в Петербург, чтобы убедить Перельмана принять премию (даже если он не хочет
приезжать на конгресс и получать медаль), но безуспешно. Перельман оставил ра-
боту в Санкт-Петербургском отделении математического института имени Стеклова
и, более того, решил вовсе отойти от математики.
Филдсовская премия была присуждена Перельману за доказательство гипотезы
Пуанкаре, относящейся к классификации трехмерных поверхностей. Эту гипотезу
сформулировал Анри Пуанкаре в 1904 году, и ее обобщенные версии для высших
измерений в разные годы доказали различные лауреаты Филдсовской премии —
Стивен Смэйл, Уильям Терстон и Майкл Фридман. Официальное заявление о при-
суждении премии Перельману звучит более точно, а следовательно, менее понятно;
в нем указано, что премия была присуждена за «революционные идеи об изучении
геометрической и аналитической структуры потока Риччи».
Причины поступка Перельмана точно неизвестны. По всей видимости, они свя-
заны с тем, что математик счел постыдными поведение различных представителей
научных кругов. Журналист Сильвия Назар, автор биографии Джона Нэша под
названием «Прекрасный ум» («А Beautiful Mind»), во время Мадридского кон-
119
ИЗ ГОРОДА — В МИР
гресса опубликовала статью в престижном журнале «The New Yorker» (весьма про-
тиворечивую), где рассказала обо всех обстоятельствах, связанных с доказатель-
ством Перельмана. Эту статью можно прочесть на сайте журнала по адресу http: / /
www.newyorker.com / archive /2006/08/28/060828fa_fact2?currentPage=:all.
Ситуация привлекла к Перельману большое внимание. На церемонию открытия
конгресса были аккредитованы свыше 150 зарубежных СМИ, фамилия математика
не сходила с уст даже мадридских таксистов — когда их просили проехать к Дворцу
конгрессов, они спрашивали: «Этот Перельман еще не объявился?» При этом жур-
налисты заостряли внимание исключительно на эксцентричном поведении Перель-
мана, а не на других, совершенно нормальных его привычках — так, ученый любил
гулять по Петербургу и посещать оперу. Автор этой книги убедился, что соотече-
ственники ученого считают его неким героем современности, честным и гордым Дон
Кихотом, презревшим деньги и славу.
Лауреатами Филдсовской премии, помимо Перельмана, стали: российский мате-
матик Андрей Окуньков из Принстонского университета за «открытия, связавшие
теорию вероятностей, теорию представлений и алгебраическую геометрию», австра-
лийский математик Теренс Тао из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе
за «открытия, связанные с уравнениями в частных производных, гармоническим
анализом и аддитивной теорией чисел», и франке-немецкий математик Венделин
Вернер из Университета Париж-Юг XI за «вклад в изучение геометрии двумерного
броуновского движения и конформной теории поля». Медали всем лауреатам (разу-
меется, за исключением Перельмана) вручил король Испании.
Научную программу конгресса составили 20 пленарных докладов, 169 высту-
плений приглашенных докладчиков и около 1000 коротких докладов и презентаций.
Популярной темой конгресса стала гипотеза Пуанкаре и ее доказательство, за ко-
торое Перельман был удостоен Филдсовской премии. Особое внимание привлек
доклад «Гипотеза Пуанкаре» («The Poincare Conjecture») Ричарда Гамильтона,
создателя потока Риччи (основного понятия, примененного в доказательстве ги-
потезы) и очевидного кандидата на роль автора доказательства, а также прекрас-
ный научно-популярный доклад Джона Моргана «Доклад о гипотезе Пуанкаре»
(«А Report on the Poincare Conjecture»), в котором суть проблемы излагалась до-
ступным для неспециалистов языком. По всей видимости, Моргану удалось добить-
ся поставленной цели; слайды к докладу доступны по адресу http: //www.mathunion.
org/Videos / ICM2006/ tars / morgan2006.pdf.
По разным причинам на этом конгрессе большую роль играла прикладная мате-
матика. Премия Неванлинны была вручена американскому специалисту по инфор-
120
ИЗ ГОРОДА — В МИР
матике Джону Клейнбергу из Корнелльского университета за «глубокий и творче-
ский вклад в математическую теорию глобальной информационной среды», охваты-
вающий множество новых способов оптимизации механизмов поиска в интернете.
Король Испании Хуан Карлос I с награжденными. Слева направо три лауреата
Филдсовской премии: Венделин Вернер, Андрей Окуньков и Теренс Тао.
Рядом с Теренсом Тао — Джон Клейнберг, лауреат премии Неванлинны.
На Мадридском конгрессе также впервые была вручена премия Гаусса за выда-
ющиеся достижения в прикладной математике. Лауреатом стал 90-летний японский
математик Киёси Ито за «формирование основ теории стохастических дифференци-
альных уравнений и стохастического анализа». Считается, что «труды Ито являют-
ся одними из важнейших во всей математике XX века и нашли обширное примене-
ние за пределами этой науки», в частности, в инженерном деле, физике, экономике
и финансах.
Кульминацией прикладного направления конгресса стала публичная дискуссия
с участием многих видных математиков о том, отдаляются ли друг от друга теорети-
ческая и прикладная математика.
На этом конгрессе был установлен рекорд: в нем приняли участие математи-
ки из 108 стран (хотя из этого числа, возможно, следует исключить одну страну,
не имеющую официальный статус таковой).
121
ИЗ ГОРОДА —В МИР
Participants by country’
Algeria ..	..II
Argentina.	.. 32
Armenia.	1
Australia..	.23
Austria ..	II
Azerbaijan.	..11
Bangladesh..	.. I
Belarus	.. 4
Belgium...	..12
Benin...	.. 1
Bolivia...............|
Bosnia & Herzegovina . 3
Brazil .,.
Bulgary...
Burkina Faso...
Cambodia..
Cameroon. . ..
Canada..
Chile.....
Colombia.
Croatia..
Cuba .
Cyprus. . ..
Czech Republic
Denmark..
Ecuador.
Egypt...
Estonia.......
Falkland Islands
Finland..
France.
Georgia....
Germany ...
Hungary ...
India
Indonesia .
Iran .
Ireland..
.38
47
. 2
.26
122
120
Italy
Ivory Coast .	. .
Japan.,......	. I
Jordan ,. .,
Kazakhstan..
Kenya.
Kuwait . ..
Kyqjy/sian.
1 Jitvta..
1 x’sotho..
Lithuania...	....
1 uxembourg .
Madagascar.
Malaysia.
Mauritania.....
.Mexico.
Moldova
Mongolia
Morocco
Mozambique
Ncdcrlandse Anti lien..
Nepal.	......
Netherlands.
Nev. Zealand------
Nicaragua. -
Nigeria. .
81
128
.2
2
.2
.2
Panama.
Paraguay.
Peru .
Phi II ip[ и nes
Poland.
Portugal.
PR China
Puerto Rico
Rumania
Russian Federation .
Saudi Arabia
Senegal.
Serbia & Montenegro
Singapore
South Africa
South Corea .
Spain.....
Sudan .
Sweden...
Switzerland
Tadjikistan
Taiwan .
Tanzania.
Thailand .
Tunisia...
.. 12
61
1330
26
24
16
..2
Guatemala.
Hung-Kong
Nurway.
Pakistan ..
Palestine.
16
Tin kish Cyprus.
Uganda..
Ukraine
United Arab Finn ales . 4
United Kingdom
USA .
Uruguay
Uzbekistan
Venezuela.
Vietnam.
103
.3«3
. 75
. 2
. 2
According to their nuuhof addressee
Число участников конгресса 2006 года по странам.
«МАТЕМАТИКА - НЕ СОБСТВЕННОСТЬ МАТЕМАТИКОВ»
Это изречение принадлежит Джону Боллу, президенту Международного математического союза.
Следуя фразе Болла, Европейское математическое общество во время конгресса организовало
дебаты на тему «Должны ли математики общаться с широкой публикой?». Участники дебатов
пришли к выводу: необходимо донести до всех полезность математики и ее ценность для обще-
ства.
Мадридский конгресс 2006 года включал насыщенную и разнообразную куль-
турную программу: в библиотеке Мадридского университета Комплутенсе была про-
ведена выставка книг по математике начиная с XVI века; прошел международный
122
ИЗ ГОРОДА — В МИР
конкурс фрактального искусства (председателем жюри был Бенуа Мандельброт,
специалист по фракталам и большой их популяризатор); японский скульптор Кей-
зо Ушио в течение десяти дней конгресса прямо на улице высек из гранита символ
бесконечности весом в несколько тонн. Кроме того, было выпущено факсимильное
издание трех великих трудов Архимеда («О шаре и цилиндре», «Об измерении кру-
га» и «Квадратура параболы»), подготовленное на основе рукописей, хранившихся
в монастыре Эскориал. Это издание стало официальным подарком от организато-
ров конгресса лауреатам Филдсовской премии и другим награжденным.
Скульптура Кейзо Ушио для Мадридского конгресса 2006 года.
Кульминацией культурной программы Мадридского конгресса 2006 года стала
выставка «Жизнь чисел», организованная Национальной библиотекой Испании.
Целью выставки, направленной на самую широкую публику, было продемонстриро-
вать связь между людьми и числами в разные эпохи посредством множества объек-
тов культуры со всего мира. Жемчужиной экспозиции стал Codex Vigilanus — хра-
нящийся в монастыре Эскориал манускрипт X века, в котором впервые в истории
приводится полный перечень индоарабских чисел от 1 до 9. Во введении к каталогу
выставки (который представлял собой скорее трактат по истории чисел и человече-
ства в целом) объяснялось:
123
ИЗ ГОРОДА — В МИР
«Числа, возможно, подобны богам: не найдется такой цивилизации или куль-
туры, которая не указывала бы числа среди своих достижений, пусть даже
порой и неясно, к какой сфере их следует отнести — интеллектуальной, маги-
ческой или всего лишь практической. Подобно богам, числа меняют имена
и изображения в зависимости от того, где они появились: на Юге, Востоке
или Западе. Но в то же время числа, возможно, имеют мало общего с богами:
в отличие от них, числа, по сути, всегда одни и те же, пусть и принимают раз-
ные обличья, и неважно, где именно они возникли — по эту или по другую
сторону моря или намного дальше. Таким образом, можно сказать: числа —
это, возможно, то самое, что хотело произнести не одно божество».
ТРУДЫ МАТЕМАТИКОВ
Джон Болл похвалил математиков за их «общественную работу»:
«Составной частью математики с давних пор является различная общественная деятель-
ность, выполняемая бесплатно. Подтверждение этому - время и труд, затрачиваемые
на рецензирование статей коллег и другие формы оценки их работ. Подтверждение
этому - деятельность математических обществ и журналов, разработка свободного
программного обеспечения и других обучающих ресурсов, а также многочисленные
международные проекты по улучшению электронного доступа к научной литературе со-
временности и прошлого. Подтверждение этому - труд преподавателей, которые при
подготовке студентов выходят далеко за пределы непосредственных обязанностей».
В завершение конгресса венгерский математик Ласло Ловас, президент Между-
народного математического союза в 2007—2010 годах, вернулся к насущной теме
возможности проведения международных конгрессов и предостерег от самой идеи
отказаться от подобных масштабных мероприятий:
«Мне кажется, это станет серьезной ошибкой. Я разговаривал с учеными
из других областей, и они завидуют тому, что мы, математики, проводим
встречи, где лучшие рассказывают всем остальным об основных проблемах,
парадигмах и направлениях исследований в их областях; где мы отмечаем луч-
ших премиями, заслушиваем и обсуждаем их работы; где проводим дискуссии
в группах и в коридорах на важные темы, стоящие перед нашей наукой и на-
шим сообществом».
124
ИЗ ГОРОДА — В МИР
КОЛЬЦА БОРРОМЕО
На Мадридском конгрессе 2006 года Международный математический союз представил но-
вый логотип, разработанный Джоном Салливаном из Берлинского технического университета.
Основу логотипа образуют кольца Борромео, которые в искусстве были символом неразрыв-
ной связи и силы в единстве. В логотипе Международного математического союза эти кольца
символизируют взаимосвязи и единство различных разделов математики и членов междуна-
родного математического сообщества. Поясняющий видеоролик от создателя логотипа можно
посмотреть по адресу http://www.isama.org/jms/Videos/imu/.
Логотип Международного математического союза.
За право провести съезд математиков 1990 года спорили Киото и Мюнхен,
но было принято решение впервые в истории провести конгресс на Востоке. Ожи-
далось, что конгресс 1994 года примет у себя Мюнхен, однако это оказалось невоз-
можным, и мероприятие, уже в третий раз, было проведено в Цюрихе.
На конгрессе были вручены четыре Филдсовские премии. Лауреатами стали:
бельгийский математик Жан Бурген, сотрудник Института высших научных иссле-
дований (IHES), Иллинойсского университета и Института перспективных иссле-
дований в Принстоне за работы, «затрагивающие различные темы математического
анализа и открывшие впечатляющие пути в тех областях, где уже длительное время
не наблюдалось никакого прогресса», французский математик Пьер-Луи Лионе
из Университета Париж-Дофин за «выдающиеся открытия, охватывающие множе-
ство областей, начиная от теории вероятностей и заканчивая уравнениями в частных
производных, и неизменно движимые прикладными задачами», французский ма-
тематик Жан-Кристоф Иокко из Университета Париж-Юг XI, «чистый продукт
французской системы», за вклад в теорию динамических систем, и российский ма-
125
ИЗ ГОРОДА—В МИР
тематик Ефим Зельманов, сотрудник Висконсинского и Чикагского университетов,
за «доказательство ослабленной гипотезы Бёрнсайда».
Лауреаты Филдсовской премии 1994 года, сверху вниз и слева направо:
Жан Бурген, Пьер-Луи Лионе, Жан-Кристоф Йокко и Ефим Зельманов.
Премия Неванлинны была вручена израильскому специалисту по информатике
Ави Видгерсону из Еврейского университета в Иерусалиме за вклад в математиче-
ские основы вычислительных наук и «впечатляющие результаты, касающиеся инте-
рактивных доказательств с нулевым разглашением».
Следует отметить, что председателем комитета по вручению премии Неванлинны
был авторитетный французский математик Жак-Луи Лионе —президент Между-
народного математического союза и отец лауреата Филдсовской премии Пьера-Луи
126
ИЗ ГОРОДА—В МИР
Анонса. В результате поползли определенные слухи, которые президент комитета
по вручению Филдсовской премии Дэвид Мамфорд, сам в прошлом Филдсовский
лауреат, решительно опровергает и сегодня.
Отметим три из 16 пленарных докладов: два из них были прочитаны женщи-
нами-математиками, «Interactions between Ergodic Theory, Lie Groups and Number
Theory» российского математика Марины Ратнер из Калифорнийского университе-
та в Беркли, «Wavelets and Other Phase Localization Methods», бельгийского мате-
матика Ингрид Добеши из Принстонского университета, а в третьем, последнем до-
кладе конгресса, «Modular Forms, Elliptic Curves and Fermat’s Last Theorem» Эндрю
Уайлс представил свое доказательство великой теоремы Ферма, в заключение объ-
яснив (об этом мы уже упоминали, когда рассказывали о возрастном ограничении
для лауреатов Филдсовской премии), что «один из этапов доказательства неполон».
Марина Ратнер (слева) и Ингрид Добеши.
Распад Советского Союза оставил свой отпечаток на конгрессе 1994 года. В нем
приняли участие представители множества новых стран, причем некоторые из них
посетили международный конгресс впервые: Армении, Азербайджана, Белорус-
сии, Боснии, Грузии, Казахстана, Латвии, Литвы, Македонии, Молдавии, Рос-
сии, Словакии, Словении, Таджикистана, Туркменистана, Украины, Узбекистана,
Хорватии, Чешской Республики, Эстонии. Участие в конгрессе многих математиков
из этих стран стало возможным благодаря финансовой поддержке Фонда Сороса
и INTAS — Международной ассоциации по содействию сотрудничеству с учеными
новых независимых государств бывшего Советского Союза.
127
ИЗ ГОРОДА—В МИР
Membership by Country
Albania . .	3
Argentina	. .	.7
Armenia ...	8
Australia	7
Austria . .	9
Azerbajan .	2
Bahrain .	1
Belarus	6
Belgium	] 2
Bolivia	1
Bosnia .	3
Botswana	1
Brazil	20
Bulgaria .	3
Canada	77
Chile ...	3
China PR.	33
China Taiwan	13
Colombia	1
Croatia	6
Cuba. .	2
Czech Rep.	17
Denmark	15
Ecuador	1
Egypt	3
Estonia	10
Finland	16
Franco . .	165
Georgia	7
Germany	199
Greece . .	11
Guatemala. .	4
Hong Kong	8
Hungary .	32
Iceland . .	1
India ...	29
Indonesia .	1
Iran	23
Ireland . .	7
Israel.	54
Italy . . .	48
Ivory Coast .	5
Japan	236
Jordan	2
Kazakhstan	12
Korea	8
Kuwait. .	1
Latvia . .	8
Lesotho .	1
Lithuania . .	6
Luxembourg .	1
Macedonia.	2
Malaysia	5
Maroc ...	3
Mauritania .	1
Mexico .	16
Moldova ,	5
Mongolia	1
Netherlands	17
New Zealand	3
Nigeria . .	5
Norway .	14
Philippines	8
Poland . .	38
Portugal .	5
Romania	28
Russia	139
Saudi Arabia	2
Senegal	3
Singapore	4
Slovakia	6
Slovenia . .	3
South Africa	14
Spain	29
Sn Lanka	1
Sweden	30
Число участников Цюрихского конгресса 1994 года по странам.
МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРЫ
Швейцарский математик Бено Экман, почетный президент конгресса 1994 года, во вступи-
тельной речи уточнил популярное высказывание тех лет «Компьютеры останутся навсегда, хотят
того математики или нет». Он высказал намного более глубокую мысль: «Математика останется
навсегда, хотят того компьютеры или нет».
Восток
Продвижение международных конгрессов на Восток (в Киото, Пекин и Хайдара-
бад) оказалось хорошей идеей. А если оценить влияние таких мероприятий на мест-
ные математические сообщества, то ее важность и вовсе не подлежит сомнениям.
128
ИЗ ГОРОДА — В МИР
В 1990 году в Киотском конгрессе приняло участие 4102 математика. Санкт-
Петербургский математик Людвиг Фаддеев, президент Международного матема-
тического союза, назвал эту цифру самой высокой в истории конгрессов, вынеся тем
самым за скобки официальные данные о числе участников Московского конгресса
1966 года. Из 4102 участников конгресса 2409 представляли Японию. Стремление
японского математического сообщества поддержать организаторов было столь вели-
ко, что 1138 участников-японцев внесли денежные пожертвования, которые в сово-
купности превысили все прочие субсидии на проведение мероприятия.
В 2002 году в Пекине вновь присутствовало рекордное количество участников
(опять же, если не говорить о Московском конгрессе 1966 года) — встреча собра-
ла 4270 человек, из которых 1973 представляли Китай. Мероприятие прошло при
мощнейшей поддержке китайского правительства, в нем сплелись воедино традици-
онное уважение китайцев к научным достижениям и интерес государства к матема-
тике в рамках программы поддержки фундаментальной науки с целью модернизации
страны. Присутствие президента Китайской Народной Республики Цзян Цзэминя
на церемонии открытия конгресса только подтверждает вышесказанное.
На конгрессе в Хайдарабаде в 2010 году число участников было несколько
меньше, 3 тысячи человек, и половина из них представляла Индию. Непросто про-
вести конгресс в стране, где, несмотря на огромный потенциал развития, множество
людей живут в ужасающей бедности. Изначально мероприятие планировалось про-
вести в Дели, однако в конце концов выбор был сделан в пользу города Хайдарабад
в центральной части Индии, где сосредоточены крупные исследовательские цен-
тры (среди прочих — Центр клеточной и молекулярной биологии и Центр ДНК-
диагностики). Мероприятие прошло в районе города, известном как Киберабад,
так как в нем расположено множество технологических компаний. Хайдарабадский
конгресс, как и Пекинский, пользовался огромной поддержкой властей (на церемо-
нии открытия присутствовала президент страны), которые видели в нем источник
социального прогресса в науке вообще и в частности в математике, столь тесно свя-
занной с индийской историей и традициями.
Движение на Восток не было мимолетной модой. Если в Цюрихском конгрессе
83 % участников представляли Европу и Северную Америку, Азию — всего 4 %.
Показатели на Берлинском конгрессе 1990 года были практически аналогичными.
В Пекине, напротив, 56 % участников представляли Азию, а Европу и Северную
Америку — всего 40%. На конгрессе в Хайдарабаде Азию представляли 60%
участников. За этими цифрами скрывается нечто большее, чем простые географи-
ческие особенности.
129
ИЗ ГОРОДА—В МИР
Киотский конгресс 1990 года стал примером сочетания традиционного и совре-
менного. Таков сам город: с одной стороны, Киото — древняя столица Японии, ду-
ховный центр японской культуры, с другой стороны, здесь располагается множество
инновационных компаний и крупных научных центров. В штаб-квартире конгресса
располагаются конференц-залы, выглядящие как ультрасовременные храмы науки.
В том же духе прошла и церемония открытия, на которой все присутствующие могли
почувствовать богатство японских традиций и их утонченность.
Центр Kyoto International Conference Hall.
Почетным президентом конгресса стал видный японский специалист по теории
вероятностей Киёси Ито, получивший на Мадридском конгрессе 2006 года премию
Гаусса. На Киотском конгрессе были присуждены четыре Филдсовские премии.
Лауреатами стали: российский математик Владимир Дринфельд из Московского
математического института имени Стеклова за «размах, широту концепций, техни-
ческую мощь и красоту его трудов по теории квантовых групп и одномерных групп
Галуа», новозеландский математик Вон Джонс из Калифорнийского университета
в Беркли за открытие «удивительных взаимосвязей между алгебрами фон Неймана
и геометрической топологией», японский математик Сигэфуми Мори из Киотского
университета за работы о «проблемах, связанных с классификацией трехмерных ал-
130
ИЗ ГОРОДА — В МИР
гебраических многообразий», и американский физик Эдвард Виттен из Института
перспективных исследований в Принстоне за важную роль, сыгранную в «примеча-
тельном возрождении взаимодействия между математикой и физикой».
Как видите, на этот раз при определении лауреатов важное место было отведено
математической физике: с ней были тесно связаны работы Дринфельда и Джонса,
а Виттен и вовсе был чистым физиком.
Владимир Дринфельд, Вон Джонс, Сигэфуми Мори, Эдвард Виттен.
Премия Неванлинны была присуждена российскому математику и специалисту
по информатике Александру Разборову из Московского математического института
имени Стеклова за «передовые работы о нижних границах сложности цепей».
Среди 15 пленарных докладов, прочитанных на конгрессе, отметим второй до-
клад в истории, прочитанный женщиной (первой была Эмми Нётер на конгрессе
в Цюрихе в 1932 году): «Applications of Non-Linear Analysis in Topology» американ-
ского математика Карен Уленбек из Техасского университета в Остине.
Карен Уленбек.
131
ИЗ ГОРОДА — В МИР
НАУЧНЫЙ СОВЕТ ЯПОНИИ
Научный совет Японии был создан после Второй мировой войны, в 1949 году. Цель этой прави-
тельственной организации, включающей уважаемых ученых, - стимулирование научного раз-
вития для улучшения государственного устройства, промышленного прогресса и повышения
уровня жизни. Деятельность совета - один из факторов, объясняющих японское экономическое
чудо. Также без него был бы невозможен удивительный рассказ президента Киотского конгрес-
са математика Хикосабуро Коматсу, который попросил финансовой поддержки у руководителей
частных компаний и с удивлением обнаружил, «как высоко они ценят математику за важную
роль в развитии японской экономики». Подобное отношение следует принять за образец.
Пекинский конгресс был организован с размахом. Во-первых, на церемонии от-
крытия собралось 5 тысяч человек — участников конгресса, представителей власти
и гостей, — но все они едва заполнили огромный зал Дома народных собраний
на площади Тяньаньмэнь, где Коммунистическая партия Китая проводит свои съез-
ды. Конгресс начался с того, что его почетным президентом был назначен великий
китайский геометр Шиинг-Шен Черн. В то время ему было уже 90 лет, и он при-
нимал участие еще в международном конгрессе в Осло в 1936 году, 66 лет назад.
Как и ожидалось, среди традиционной музыки и речей нашлось место изречениям
Карла Маркса о математике и науке — вполне естественная ситуация для комму-
нистического Китая.
Дом народных собраний в Пекине ночью.
132
ИЗ ГОРОДА — В МИР
Филдсовские премии вновь привлекли к себе внимание: как и в Ванкувере
в 1974 году, было присуждено всего две из четырех возможных. Премий были удо-
стоены французский математик Лоран Лаффорг из Института высших научных ис-
следований (IHES) за то, что «совершил огромный прорыв в программе Ленгленд-
са, продемонстрировав тем самым новые связи между теорией чисел и анализом»,
и российский математик Владимир Воеводский из Института перспективных иссле-
дований в Принстоне за «развитие новых теорий когомологии для алгебраических
многообразий, давших начало новым представлениям о теории чисел и алгебраиче-
ской геометрии». Медали лауреатам вручал сам президент Китая Цзян Цзэминь.
Лоран Лаффорг (слева) и Владимир Воеводский.
Премию Неванлинны получил индийский специалист по информатике Мадх
Судан из Массачусеттского технологического института (MIT) за вклад в «веро-
ятностно проверяемые доказательства неаппроксимируемости некоторых задач оп-
тимизации и кодов исправления ошибок».
За церемонией открытия последовал банкет на 5 тысяч персон в Банкетном зале
Дома народных собраний. Зрелище было впечатляющим.
Продолжим разговор о больших числах: на конгрессе было зачитано 20 пленар-
ных докладов, 174 тематических доклада от приглашенных докладчиков и 1200 ко-
ротких докладов и презентаций. Общее число участников составило 4270 человек.
Из всех пленарных докладов лишь у одного, прочитанного лауреатом Филдсов-
ской премии Лораном Лаффоргом, не было указано название на английском язы-
133
ИЗ ГОРОДА — В МИР
ке. Прежде чем начать выступление, Лаффорг пожаловался на то, что «домини-
рование в мире одной-единственной страны, сколь велики бы ни были ее заслуги,
одной культуры и одного языка может весьма пагубно сказаться на разнообразии
мысли». Чтобы проиллюстрировать свой тезис, Лаффорг прочел доклад на англий-
ском, в то время как слайды к докладу были написаны на китайском и французском
языках.
На конгрессе был сделан еще один шаг к тому, чтобы женщины стали полно-
правными членами международного математического сообщества: членом исполни-
тельного комитета Международного математического союза впервые была избрана
женщина — норвежский математик Рагни Пьене (ее отец, тоже математик, изо-
бражен на групповой фотографии участников конгресса 1936 года в Осло).
Санкт-Петербургский математик Людвиг Фаддеев, президент Международно-
го математического союза и многих его комитетов, признался, что чувствует себя
ветераном (он был участником международных конгрессов с 1962 года), и заявил:
«Основная идея международных конгрессов заключается в том, чтобы со-
хранять единство и универсальность математики».
На конгрессе в Хайдарабаде в 2010 году должно было найтись (и нашлось) вре-
мя для того, чтобы вспомнить богатую математическую историю Индии. Великих
индийских математиков в своей речи вспомнила президент страны Пратибха Патил:
она упомянула Бодхайяну, который в VIII веке написал Шульба-сутры — веди-
ческие тексты, содержавшие точные геометрические инструкции и пропорции для
постройки алтарей; Ариабхату, который в V веке н.э. создал трактат «Ариабхатия»
о математике и астрономии; Брахмагупту, который на сто лет позже сыграл важ-
ную роль в развитии алгебры; Бхаскару Ачарья, плодовитого математика, изучав-
шего широкий спектр тем, который в XII веке написал тексты, ставшие учебниками
арифметики и алгебры в Индии на следующие несколько веков (он, в частности,
был автором знаменитого учебника «Лилавати»). В своей речи Пратибха Патил
не могла не упомянуть Сринивасу Рамануджана, великого математика и националь-
ного героя Индии XX века.
Прежде чем перейти к вручению премий, президент Индии прочла древние сти-
хи на санскрите: «Подобно хохлу павлина и драгоценностям змеи, математика воз-
вышается среди всех наук». Истинный смысл этих стихов присутствующие долж-
ны были постичь самостоятельно. Также прозвучали древние изречения на телугу,
языке штата Андхра-Прадеш, столицей которого является Хайдарабад: «Тот, кто
134
ИЗ ГОРОДА — В МИР
хорош в вычислениях, — большой человек» (к счастью, эти строки гораздо понят-
нее предыдущих).
Mathematics of Vedtc TVaditioo
Обложка книги «Лилавати» Бхаскара Ачарья.
Четыре Филдсовские премии, присужденные на конгрессе, вручила сама пре-
зидент Индии. Лауреатами стали: израильский математик Элон Линденштраусс,
сотрудник Еврейского университета в Иерусалиме и Принстонского университета
за «результаты в эргодической теории и за их применение в теории чисел»; вьетнам-
ский математик Нго Бао Тяу из Университета Париж-Юг XI «за доказательство
фундаментальной леммы в теории автоморфных форм новыми алгебраико-геоме-
трическими методами»; российский математик Станислав Смирнов из Женевского
университета «за доказательство конформной инвариантности двумерной перколя-
ции и модели Изинга в статистической физике» и французский математик Седрик
Виллани из парижского Института Анри Пуанкаре «за его доказательства нели-
нейности затухания Ландау (затухания волн в плазме) и сходимости к равновесию
в уравнении Больцмана».
Упомянем и остальных награжденных: премия Неванлинны была вручена аме-
риканскому математику Дэниэлу Спилмену из Йельского университета за работы
о графах и алгоритмах, а премия Гаусса — 72-летнему французскому математику
135
ИЗ ГОРОДА — В МИР
Иву Мейеру за вклад в теорию вейвлетов, оказавший значительное влияние на мно-
гие области техники, в особенности на обработку сигналов.
Лауреаты Филдсовской премии 2010 года, слева направо:
Элон Линденштраусс, Станислав Смирнов, Седрик Виллани и Нго Бао Тяу.
На Хайдарабадском конгрессе не было недостатка в премиях: на нем впервые
была присуждена новая премия Черна, названная в честь Шиинг-Шена Черна.
Ею награждаются те, кто посвятил всю жизнь великим математическим открыти-
ям. Любопытная особенность награды состоит в том, что она выплачивается двумя
частями: 250 тысяч долларов получает сам лауреат, а еще 250 тысяч долларов идут
на «нужды математики», которые определяет награжденный. Премия была при-
суждена 85-летнему канадскому математику Льюису Ниренбергу, создателю цело-
го раздела математики — теории нелинейных эллиптических уравнений.
На конгрессе была присуждена еще одна премия, однако мы чувствуем, что тер-
пение читателя (и автора) подошло к концу, поэтому не будем упоминать о ней, тем
более что она была вручена в первый и последний раз.
136
ИЗ ГОРОДА — В МИР
КНИГА О КОНГРЕССАХ
Мадридский конгресс 2006 года стал 25-м в ряду международных конгрессов математиков.
По этому случаю Международный математический союз решил провести специальную выставку,
которая, словно наглядная хроника, рассказала бы об истории конгрессов и их значении. В экс-
позицию вошло свыше 500 изображений, представленных университетами, государственными
и частными архивами. Содержание выставки отражено в книге «Mathematician of the World,
Unite! The International Congress of Mathematicians - A Human Endeavor». На конгрессе в Хайдара-
баде в 2010 году эта книга стала официальным подарком от Международного математического
союза лауреатам Филдсовской премии и остальным награжденным. Руководителем выставки
и автором книги был ваш покорный слуга.
В завершение рассказа о Хайдарабадском конгрессе приведем две новости, ко-
торые стали известны в ходе его работы. Первая: местом проведения следующего
конгресса 2014 года стал Сеул. Корея спорила за право стать хозяйкой конгресса
с Рио-де-Жанейро, где находится крупный центр математических исследований,
и лишь предложение Сеула предоставить 1000 стипендий молодым математикам
из развивающихся стран, чтобы они смогли приехать на конгресс, склонило чашу
весов в его пользу. Вторая новость: Международный математический союз избрал
своим президентом на период с 2010 по 2014 год уроженку Бельгии, 56-летнюю
Ингрид Добеши, физика и математика из Принстонского университета, автора од-
ного из пленарных докладов на Цюрихском конгрессе 1994 года.
137

Глава 8
Гипотеза Римана
«В теории распределения простых чисел в последнее время сделаны суще-
ственные сдвиги Адамаром, Валле-Пуссеном, Мангольдтом и другими. Для
полного решения проблемы, поставленной в исследовании Римана „О числе
простых чисел, не превышающих данной величины*4, необходимо прежде все-
го доказать справедливость исключительно важного утверждения Римана:
все нули функции ^(s), определяемой рядом
Х/ ч , 1 1 1
C(s) = 1 + — + + + •••
2' З5 4s
имеют вещественную часть -Г, если не считать известных отрицательных це-
лочисленных нулей. Как только это доказательство будет получено, то даль-
нейшая задача будет заключаться в том, чтобы использовать бесконечный
ряд Римана для более точного определения числа простых чисел и в особен-
ности выяснить, будет ли разность между числом простых чисел, меньших
данного х, и интегральным логарифмом от х действительно не выше половин-
ного порядка при неограниченно возрастающем х».
Так Давид Гильберт объяснил проблему, известную сегодня как гипотеза Рима-
на, когда представил свой список из 23 проблем на международном конгрессе мате-
матиков, прошедшем в Париже в 1900 году, 114 лет назад. Эта проблема приведена
в списке под номером VIII и является одной из двух, до сих пор не решенных (ранее
мы уже отмечали, что это утверждение нуждается в уточнениях).
Гипотеза Римана также является одной из семи задач тысячелетия. По словам
Энрико Бомбиери, удостоенного Филдсовской премии на конгрессе 1974 года, про-
шедшем в Ванкувере, «по мнению многих математиков, гипотеза Римана представ-
ляет собой, возможно, самую важную из открытых задач современной математики».
139
ГИПОТЕЗА РИМАНА
ЗАДАЧИ ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ
В 1988 году состоятельный финансист и любитель математики Лэндон Клэй основал Мате-
матический институт Клэя с целью «увеличения и распространения математических знаний».
В 2000 году, в честь начала нового тысячелетия, было объявлено об учреждении премии за ре-
шение семи крайне важных и сложных математических задач. Список задач подготовила группа
авторитетных математиков, и решение любой из них оценивалось в миллион долларов. Одна
из этих задач, доказательство гипотезы Пуанкаре, уже решена Григорием Перельманом, кото-
рый отказался от награды, равно как и от присужденной ему Филдсовской премии (см. страницу
http://www.claymath.org/miHennium/).
Попытаемся объяснить суть гипотезы Римана максимально точно и в то же вре-
мя доступно для широкой публики, не сведущей в математике. Это непростая за-
дача, так что и автору, и читателям придется постараться. Сначала вам потребуется
понять, что такое бесконечный ряд, и представить себе комплексные числа (порой
их называют мнимыми).
Бесконечные ряды и комплексные числа
Начнем рассказ о бесконечных рядах с примера, связанного с парадоксом об Ахил-
лесе и черепахе:
Здесь показатель степени п означает, что мы последовательно рассматриваем все
большие степени 2. Слова «сумма бесконечного ряда равняется 1» означает следую-
щее: если мы сложим достаточное количество членов ряда, то полученная сумма бу-
дет числом, очень близким к 1.
Посмотрим: если мы сложим 33 первых члена ряда, то при помощи простой фор-
мулы, которую мы не будем доказывать здесь, получим:
1_ 1
111	1 э , 1
—I 1---1--1—— —--------— 1--—.
2 4 8	2’3	2Ъ
9
140
ГИПОТЕЗА РИМАНА
Теперь, если мы рассмотрим не 33, а и слагаемых, то результат можно будет сде-
лать сколь угодно близким к 1 — для этого п должно быть всего лишь достаточно
большим, так как отличие полученной суммы от 1 с увеличением п будет, очевидно,
уменьшаться.
Гэометрическое представление суммы бесконечного ряда, равной 1.
Также существуют бесконечные ряды, сумма которых не равна никакому числу,
например ряд
1-1 + 1-1 + 1-1 + ...-1 + 1...
Всякий раз сумма четного числа членов будет равна 0, так как число слагаемых,
равных 1 и —1, совпадает. Если же мы найдем сумму нечетного числа членов, то по-
ложительные и отрицательные члены попарно сократятся и останется последний,
равный 1. Таким образом, по мере увеличения числа слагаемых сумма ряда будет
поочередно равняться 0 и 1 и не будет приближаться к какому-либо конкретному
числу. В этом случае говорят, что ряд расходится.
Существует еще один случай: когда сумма ряда бесконечно велика, то есть
не приближается ни к какому числу, а неограниченно возрастает и превосходит лю-
бое заданное число. Очевидный пример такого ряда — ряд
1 + 2 + 3 + 4 + ... + п + ...
141
ГИПОТЕЗА РИМАНА
Однако то же самое может произойти и в случае, когда члены ряда последова-
тельно уменьшаются. Рассмотрим пример (этот ряд называется гармоническим):
(1)
Чтобы показать, что сумма может быть сколь угодно велика, выполним следую-
щее преобразование:
11111111
— + — + — + — + — + — + — = 14-—
2345678	2
1 1
- + -
3 4)
1 1
- + —
4 4 J
1111
5 6 7 8 /
1 1 1 о
ч8 8 8 8 J
Заметим, что если мы добавим к ряду новые члены, к примеру, от — до —, по пре-
9	16
дыдущему правилу,
1 11 1
9 10	15 16 16 16	16 16
1
2’
то получим 14- 4. вместо 1 + Как видите, результат может быть сколь угодно боль-
шим — для этого достаточно добавить к ряду необходимое число членов. В таких
случаях также говорят, что ряд расходится, и записывают
111	I
1+- + - + - + ••- + - + --- = оо
2 3 4	н
Для удобства будем записывать приведенные выше соотношения так:
111	1
2 4 8	2"
= Z-=1,
Я=12"
1 1 1
+ - + - + — +
2 3 4 п
2
1 1 1
2 2 2
2
1 1
1 1
- + - + - +-+ •
1 1 1
1
+ ••• + - +
2 3 4 п
»=1 п
Теперь перейдем к комплексным числам. Начнем, как и наши предки, с чисел,
используемых при счете: 1, 2, 3... Будем называть такие числа натуральными. За-
142
ГИПОТЕЗА РИМАНА
тем, чтобы выполнять действия с долгами, добавим к ним отрицательные числа (еще
раньше мы, благодаря индийским математикам, добавили к натуральным числам
ноль)и получим:
-3, —2, -1, 0,1, 2, 3, ...
Чтобы выполнять пропорциональные распределения, добавим к этим числам
дроби вида —, где тип — произвольные числа (однако неизменно должно вы-
полняться условие: п 0). Все приведенные выше числа можно записать в виде
целой и дробной части так, что знаки дробной части будут бесконечно повторяться,
к примеру,
7,631455455455455...
Добавив к приведенной выше последовательности числа, дробная часть которых
не подчиняется никаким правилам (\/2, 71 и многие другие), мы получим огромное
множество чисел, которые назовем вещественными. Они обычно изображаются
на числовой прямой и с их помощью можно решить все задачи. Вернее, почти все.
Когда в разгар эпохи итальянского Возрождения математик Рафаэль Бомбелли
занялся решением уравнений третьей степени, он ввел новые, чисто условные мате-
матические объекты — квадратные корни из отрицательных чисел (они не могут
существовать в принципе, так как квадрат любого числа всегда положителен).
Лишь спустя несколько веков этим математическим диковинкам *— квадратным
корням из отрицательных чисел — наконец удалось придать смысл. Для этого при-
шлось ввести комплексные числа.
Самый простой (но не слишком увлекательный) способ объяснить смысл ком-
плексных чисел заключается в том, чтобы представить их как пары вещественных
чисел (а, Ь). Мы можем их складывать, вычитать, а также умножать на веществен-
ные числа:
(2,5) + (7, -1) = (9,4), (3,5) - (4,1) = (-1,4), 3 • (7, -2) = (21, -6).
Комплексные числа можно перемножать между собой, но эта операция выполня-
ется несколько запутанным способом:
(2, 5) (3,4) = (2-3 —5-4, 2-4 + 5-3) = (—14,23).
Операции с комплексными числами упрощаются, если записать их в виде:
s = (a,b) = а- (1,0) + Ь- (0, l) = a + b i,
143
ГИПОТЕЗА РИМАНА
где i = (0, 1), а 1 = (1, 0). Комплексное число i называется мнимой единицей и об-
ладает следующим удивительным свойством:
i2 = ii = (0,l)(0,l) = (00-l-l,01 + 10) = (-l,0) = -l.
Иными словами, i2 = —1, то есть	= i. Получается, квадратный корень из —1
существует! Да, он существует, но представляет собой комплексное число.
Полезность комплексных чисел неоспорима: основная теорема алгебры утверж-
дает, что для любого полиномиального уравнения с вещественными коэффициента-
ми, например
9х6—75х5 —Зх2 + 8 = 0,
число комплексных решений равно его степени. В нашем примере уравнение будет
иметь шесть комплексных решений. Если мы рассмотрим только вещественные кор-
ни, эта теорема не будет выполняться. К примеру, уравнение х2 + 1 = 0 не имеет
ни одного вещественного решения, но имеет два комплексных корня.
Чтобы представить себе комплексные числа, лучше всего изобразить их на пло-
скости с двумя координатными осями, где комплексное число s = а + Ы соответству-
ет точке с горизонтальной координатой а и вертикальной координатой Ь. Горизон-
тальную ось будем называть вещественной, вертикальную ось — мнимой. Таким
образом, если s — а + Ы, то будем называть а вещественной частью s и запишем
SR(s) = а; b будем называть мнимой частью s и запишем S(s) = b (эти символы
имеют необычный вид, но такова традиция).
С учетом вышесказанного приведем два следующих примера:
•	9T(s)= — — уравнение вертикальной прямой, проходящей через точку 1/2;
•	уравнение 9T(s)> 1 описывает полуплоскость, расположенную справа от верти-
кальной оси, проходящей через точку 1 на горизонтальной оси (не включая саму
прямую, так как для точек этой прямой выполняется соотношение 9T(s) = 1).
144
ГИПОТЕЗА РИМАНА
Евклид и Эйлер о бесконечности множества простых чисел
Первое доказательство того, что простых чисел бесконечно много, мы можем найти
у Евклида. Кто был автором доказательства, неизвестно, однако приводится оно
в книге «Начала», в частности, в предложении 20 книги IX.
4»	BOOK IX	[гх. 1»м
ЛфШadoptsТЬеяЛfam«Г tfapwl HdnjdoiagtWiHt»
* Г«*.1*е»»Лоп1у»ж*е»ша»втва1»т
(Р); be therefore return the latter wtfhoat any «tteHpt to emend
Pxoroerrtorr за.
Aw MMim tn smw Oaa «яу «мука/ япВЛаЛ у
sunafars.
Let А, В, С be the assigned prime number»;
I say that there are more
prime number» than А, В, С.	л—
For let the least number •—	°;-------
measured by А, В, C be c------------
taken,	<---------------------—S-r
and let it be DE;
let the unit DFbe added to DE.
Then EF is either prime or not.
First, let it be prime;
then the prime numbers А, В, C, EF have been found which
are more than А, В, C.
Next, let EF not be prime:
therefore it is measured by some prime number. (nr. jr]
Let it be measured by the prime number G.
I say that G is not the same with any of the numbers
А, В, C.
For, if possible, let it be so.
Now А. В, C measure DE;
therefore G also will measure DE.
But it also measures EF.
Therefore G. being a number, will measure the remainder,
the unit DF-.
which is absurd.
Therefore G is not the same with any one of the numbers
А. В, C.
And by hypothesis it is prime.
Therefore the prime numbers A, B,C,G have been found
which are more than the assigned multitude of А, В, C.
Q. a. n.
Доказательство бесконечности множества простых чисел, приведенное в «Началах» Евклида.
Приведенная страница взята из издания «The Thirteen Books of Euclid’s Elements,
Translated from the Text of Heiberg with Introduction and Commentary by Thomas L. Heath»,
Нью-Йорк, издательство Dover Publications, 1956.
Доказательство Евклида прекрасно в своей простоте.
Если бы множество простых чисел было конечным и записывалось бы, к приме-
ру, в виде рг р2, рк, то можно было бы определить число
/у=Р1.р2...Р/(+1.
145
ГИПОТЕЗА РИМАНА
Это число N не может быть простым, так как оно больше любого числа из ряда
рг р2, pk. Следовательно, оно должно иметь простой делитель q. Допустим, что
q совпадает с одним из чисел рг р2, ..., pft. Тогда q является делителем N, а также
делителем числа р} • р2 •... • pk. Так как 1 = N — р1 • р2• pk, имеем, что q должно
быть делителем 1, а это невозможно.
Следовательно, q — простое число, не указанное в исходном списке, таким об-
разом, приведенный список неполон. Рассуждая подобным образом, мы поймем,
что никакой конечный список простых чисел не будет полным, так как мы всегда
сможем повторить приведенные выше рассуждения. Следовательно, множество
простых чисел бесконечно велико.
Теперь поговорим о плотности бесконечного множества натуральных чисел. Если
мы рассмотрим различные бесконечные множества, то заметим, что элементы одних
множеств могут быть более «частыми», чем других. Например, определим плот-
ность множества четных чисел. Будем обозначать через P(/V) количество четных
чисел, меньших или равных заданному числу N. Тогда для четного N P(N) = —, для
нечетного N P(N) =	* Следовательно, если N четное, то
P(N)=i
N/2
Если же N нечетное, то
P(N)_t 1
N/2 N'
Последняя величина может быть сколь угодно близкой к 1 — при достаточно
большом N. Предыдущее соотношение удобно записать в следующем виде:
P(N)~y.
Это означает, что отношение двух указанных величин может быть сколь угодно
близким к 1 — для этого нужно выбрать достаточно большое N:
N/2
Следовательно, можно считать, что множества натуральных и четных чисел со-
поставимы, то есть фраза «четных чисел вдвое меньше, чем натуральных» имеет
смысл (хотя оба этих множества бесконечно велики). Если мы повторим указанные
"	Q	С /V
действия для чисел, кратных получим —, для чисел, кратных J, — —.
146
ГИПОТЕЗА РИМАНА
Покажем, как можно использовать суммы бесконечных рядов для сравнения
бесконечных множеств чисел, то есть для определения их плотности. Запишем сум-
му бесконечного ряда чисел, обратных четным:
“ I 1 “ 1
X — = - Х-=°°-
„ = 12н	2„=1Н
Ряд X — расходится, как и ряд чисел, обратных натуральным. Это согласу-
2п	ti
ется с тем, что множества натуральных и четных чисел сопоставимы.
С другой стороны, так как приведенный ряд расходится, можно сделать вывод:
степени двойки {2, 22, 23, 24, ...}, хотя и образуют бесконечное множество, доста-
точно немногочисленны, чтобы ряд обратных им чисел не расходился, в отличие
от ряда чисел, обратных натуральным.
Рассмотрим важный пример, касающийся плотности бесконечных множеств.
На протяжении почти ста лет нерешенной оставалась задача о сумме обратных ква-
дратов:
1 1 1
+ - + - + — + — + ••
4 9 16 25
Над нею думали многие математики XVII—XVIII веков, пока Леонард Эйлер
в 1735 году не доказал, что эта сумма является конечной, и определил ее точное
значение. Эйлер в это время жил в швейцарском городе Базель, поэтому задача на-
зывается Базельской. Найденное им значение суммы равно:
1	я-2
- = (2)
i 6	v '
Этот результат не только заставляет открыть рот от удивления, но и позволяет
сделать тот же вывод, что и для степеней двойки: квадраты чисел немногочисленны
по сравнению с бесконечным множеством всех чисел.
В своей книге «Введение в анализ бесконечно малых», опубликованной
в 1748 году, Эйлер доказал одну важную формулу, которую получил при помощи
простых, но остроумных манипуляций с разложением чисел на простые множители.
Эта формула называется «произведение Эйлера» и записывается так:
1
(3)
147
ГИПОТЕЗА РИМАНА
где знак П аналогично знаку суммы означает произведение бесконечного числа мно-
жителей. Буква р под знаком произведения указывает, что приведенный множитель
рассчитывается для каждого простого числа. Рассмотрим пример для s = 2:
Применив формулу (3), Эйлер смог точнее оценить «бесконечность» простых
чисел, приведя информацию об их плотности:
z-=~.
р р
Иными словами, бесконечный ряд чисел, обратных простым, расходится. С учетом
приведенных выше рассуждений можно заключить, что плотность множества про-
стых чисел по сравнению с множеством натуральных чисел является высокой.
Но насколько высока плотность множества простых чисел?
Гаусс и распределение простых чисел
В 1792 году Гаусс, которому в то время было 15 лет, на основе эмпирических на-
блюдений (иными словами, по результатам вычислений и анализа таблиц простых
чисел) и благодаря своей интуиции пришел к выводу: плотность множества простых
чисел должна описываться логарифмом. Если мы обозначим через П(Л) количе-
ство простых чисел, меньших /V, то получим:
(4)
Французский математик Адриен Мари Лежандр в некоторых трудах, написан-
ных около 1800 года, проследовал тем же путем, но не привел доказательств полу-
ченного результата. Итоги размышлений Лежандра стали известны намного раньше
идей Гаусса, опубликованных больше чем через 50 лет спустя.
Первый положительный результат в этом направлении получил русский матема-
тик Пафнутий Львович Чебышёв, который в 1850 году доказал, что
148
ГИПОТЕЗА РИМАНА
0,89 < -Д--) -< 1,Ц
N/ln N
при очень больших N. Это соотношение можно понимать так: «относительная ошиб-
ка» приближения n(7V) величиной N/In N меньше И %.
В 1896 году французский математик Жак Адамар и бельгийский математик
Шарль Жан ла Валле Пуссен независимо друг от друга доказали формулу (4),
известную как теорема о распределении простых чисел. Эта формула описывает
асимптотическое распределение простых чисел на множестве натуральных. Слово
«асимптотический» означает, что эта формула описывает соотношение между II(/V)
и N/ln N в пределе, для очень больших значений N.
Риман и дзета-функция
Немецкий математик Бернхард Риман в статье от 1859 года «Uber die Anzahl der
Primzahlen unter einer gegebenen Grosse», которую цитировал Гильберт, очень под-
робно изучил распределение простых чисел, использовав для этого ряд новых тео-
ретических методов. Статья была короткой — всего восемь страниц, — но имела
огромное значение для математики.
Бернхард Риман.
149
ГИПОТЕЗА РИМАНА
Риман взял за основу формулу произведения Эйлера (3) и впервые применил
в ней комплексные числа, определив тем самым функцию, которая в итоге получила
название дзета-функции Римана:
(5)
н=1Н	V '
Заметим, что эта функция определяется как сумма бесконечного ряда, и каж-
дый его член представляет собой число, обратное ns, где п — натуральное число,
s — комплексное число. Это число может равняться, к примеру, 72 + 3'. Не будем
вдаваться в детали относительно того, как выполняется возведение в комплексную
степень, поскольку для наших целей это не имеет значения.
Так как функция £ определяется как сумма бесконечного ряда, она имеет смысл
только для тех комплексных чисел s, для которых ряд сходится. К примеру, мы зна-
ем, что гармонический ряд (1) расходится, что применительно к дзета-функции оз-
начает:
?(!)=<».
Также известно, что ряд чисел, обратных квадратам всех натуральных чисел,
сходится, и мы знаем его сумму (2) — ее вычислил Эйлер. Применительно к дзета-
функции это означает:
Риман показал, что бесконечный ряд, на основе которого определяется дзета-
функция, сходится для всех комплексных чисел полуплоскости 9i(s) >1 (о ней мы
говорили, рассматривая комплексные числа). Доказать это утверждение несложно.
Сложнее оказалось доказать тот факт, что значение дзета-функции можно вы-
числить для всех комплексных чисел, но при этом использовать сумму бесконечного
ряда (5) уже нельзя. В действительности вычислить значение этой функции для
всех комплексных чисел невозможно — мы знаем, что при s = l^(l):=oo, и это со-
отношение неизменно. Подведем итог: Риман доказал, что значение дзета-функции
ВД можно вычислить для всех комплексных чисел, за исключением s = 1 — при
этом аргументе функция принимает бесконечно большое значение.
150
ГИПОТЕЗА РИМАНА
Нули дзета-функции
Нулем дзета-функции называется комплексное число s, для которого выполняется
f(s) = O.
Существуют так называемые тривиальные нули дзета-функции — это четные
отрицательные числа, то есть
f(-2) = 0, £(-4) = 0, £(-6) = 0,...
Однако интерес представляют не они, а все остальные нули, называемые нетри-
виальными. Риман показал, что нетривиальные нули дзета-функции располагаются
в части плоскости, заключенной между вертикальными прямыми SK(s) = 0 и SK(s) =
= 1. Именно здесь впервые появляется важная критическая прямая = _L
9?(s) = l
। 2
5K(s)=O
-1 —1/2 О
9{(s)=l
1/2 1 3/2
Выберем произвольное комплексное число Т и рассмотрим нули дзета-функции,
расположенные на прямой	_ JL . Их мнимая часть заключена между 0 и Т:
2
Количество нулей дзета-функции такого вида будем обозначать следующим об-
разом:
151
ГИПОТЕЗА РИМАНА
Формула для расчета этой величины неизвестна, однако Риман в своей статье
привел ее асимптотическую оценку:
#[s = - + ti:O<t <T,£(s) = o|~ — In —---
I 2	J 2Д 2Д 2Д
(6)
Иными словами, если мы вычислим частное двух приведенных выше величин,
то оно будет сколь угодно близким к 1 — для этого всего лишь нужно выбрать до-
статочно большое Т:
#{s = ~+ti:O<t<T,£(s) = Q
Т	т	т
— In---------—
2тг	2д 2д
Риман не привел никакого доказательства этому утверждению, и до сих пор,
несмотря на усилия многих математиков и ряд совершенных ими открытий, его ги-
потезу не удалось ни доказать, ни опровергнуть.
Приведенная выше оценка (6) навела Римана на мысль, которую он изложил
в своей статье:
« 1
«Весьма вероятно, что все нули [находятся на прямой 5K(s) = — ]. Несомненно,
желательно было бы иметь строгое доказательство этому, однако я оставил
работу над этим доказательством, предприняв несколько безуспешных по-
пыток, поскольку оно не является непосредственной целью моих исследова-
ний».
Иными словами, Риман считал весьма вероятным, что все нетривиальные нули
дзета-фукнции располагаются на критической прямой 9^(s) = — . Это утверждение
вошло в историю и сегодня носит название гипотезы Римана.
Итак, гипотеза Римана представляет собой побочное утверждение, в то время
как основная цель его статьи заключалась в том, чтобы найти формулу для опреде-
ления количества простых чисел П(/У), меньших данного N. В своей статье Риман
привел сложное выражение для расчета П(/У), в котором используются суммы бес-
конечных рядов. Сегодня нам известно, что гипотеза Римана позволяет дать очень
точную оценку П(/У) (по сути, гипотеза Римана эквивалентна этой оценке).
152
ГИПОТЕЗА РИМАНА
Риман умер в 1866 году, в возрасте 39 лет. С момента его смерти прошло 145 лет,
со дня, когда он сформулировал свою гипотезу, — 152 года. И доказательство до сих
пор не найдено.
В е г i с h t
uber die
zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen
der Konigl. Preufs. Akademie der Wissenschaflen
zu Berlin
im Monat November 1859.
Vonitzender Sekretar: Hr. Encke.
3. Nov. Geeammteitzung der Akademie.
Hr. Steiner lai uber einige allgemeine Bestim-
mnngiarten der Curven und FIScben sweiter Ord-
nnng nnd daraus folgenden Sateen.
Hierauf trug Hr. Kummer folgende von Hrn. Riemann,
Correipondenten der Akademie, mitteUl einei an den Sekretar
Hrn. Encke geriebteten Scbreibens vom 19. October d. J. ein-
geiandte Mittheilung „Ober die Anzabl der Primzablen
unter einer gegebenen GrBfie” тог:
Meinen Dank fur die Auszeichnung, welcbe mir die Aka-
demie durcb die Aulhabme unter ihre Correipondenten hat zu
Theil werden lanen, glaube ich am besten dadurch zu erken-
nen zu geben, dais ich von der hiedurcb erhaltenen Erlaubnils
baldigit Gebrauch mache durch Mittheilung einer Unteriuchung
fiber die Haufigkeit der Primzahlen; ein Gegenitand, welcher
durch dai Intereue, welches Gauai und Dirichlet demaelben
langere Zeit geschenkt haben, einer solcben Mittheilung viel-
leicht nicht ganz nnwerth encheint.
Bei dieser Unteriuchung diente mir als Ausgangipunkt die
▼on Enter gemaebte Bemerkung, dafi das Product
П —— «=X-U
[1S£/.J
48
Страница оригинальной статьи Римана.
153

Библиография
Информацию обо всех международных конференциях вы найдете на сайте Между-
народного математического союза:
http:/ /www.mathunion.org/ICM /
ALBERS, D. J., ALEXANDERSON, G.L.; Reid, C., International Mathematical Con-
gresses. An Illustrated History, 1893-1986, Berlin, Springer Vferlag, 1986.
http: /1 www.mathunion.org/ICM/History/history.ocr.pdf
CURBERA, G.P., Mathematician of the World, Unite! The International Congress of
Mathematicians - A Human Endeavor. Wellesley, AK Peters, 2009.
DU SAUTOY, M., La musica de los numeros primos, Barcelona, Acantilado, 2007.
DURAN, A.J., Vida de los numeros, Madrid, T-Ediciones, 2006.
EDWARDS, H.M., Riemann s Zeta Function, Nueva York, Dover, 1974.
HADAMARD, J., Psicologia de la invention en el campo matemdtico, Buenos Aires,
Espasa-Calpe, 1947.
LEHTO, O., Mathematics Without Borders. A History of the International Mathemati-
cal Union, Berlin, Springer Verlag, 1998.
MONASTYRSKY, M., Modern Mathematics in the Light of the Fields Medal, Wellesley,
AK Peters, 1998.
NASAR, S., Gruber, D., Manifold Destiny: A legendary problem and the battle over
who solved it. The New Yorker, 26 de agosto de 2006. http://www.newyorker.com/
archive /2006/08/28/060828fafact2?currentPage=all
WlGNER, E.P., The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Scien-
ces. Communications on Pure and Applied Mathematics (1960), vol. 13, pg. 1—14.
YANDELL, B.H., The Honors Class: Hilbert s Problems and Their Solvers, Welles-
ley, AK Peters, 2002.
155

Алфавитный указатель
Acta Eruditorum 17
Cambridge Scientific Instrument Company 41
Codex Vigilanus 123
Deutsche Mathematik 52
Адамар, Жак 7, 24, 38, 54, 73, 74,139,149
алгебра 70, 72,100,107,115,130,134,144
Альфорс, Ларс 57, 59—60, 68, 83, 108—109
анализ 72, 90,100,107,108,121,125,133
анализ бесконечно малых 10, 40
Архимед 9—11, 66, 123
астрономия 49, 57, 134
Банах, Стефан 57, 105—106, 115
Берлинский университет 16, 19, 25
Бибербах, Людвиг 52, 55, 57
Бомбелли, Рафаэль 54,143
Бомбиери, Энрико 68, 97—98,139
Бурбаки, Николя 86, 90—95
Вейль, Герман 57, 117
Вигнер, Юджин 10
Вольтерра, Вито 25, 32, 36, 45, 46, 54, 58
Вторая мировая война 7, 8, 71, 85, 94, 105, ИЗ,
114,132
вычисления 70, 96, 109, 116, 126
вычислительная машина 35, 77—78
Галилей, Галилео 40, 54
Гаусс, Карл Фридрих 10—11, 24, 70, 148—149
геометрия 35, 55, 95, 107
алгебраическая 77, 81, 86, 97, 107, 115, 120,
133
дифференциальная 100, 107
гидроэлектростанция 50, 54
Гильберт, Давид 15, 27-34, 52-55,110,117,
139
гипотеза
континуум 34
Римана 139—153
гипотеза Пуанкаре 86, 109, 119
Гротендик, Александр 64, 68, 86, 87, 90
Гузман, Мигель де 38
Гумбольдт, Вильгельм фон 16
Гурвиц, Адольф 9, 22—24, 28
Гуччиа, Джованни 19
Дарвин, Чарльз 41
дзета-функция 73, 115, 149—153
Добеши, Ингрид 127, 137
Дьёдонне, Жан 90—91, 94
Евклид 24, 91,145
Израиль 69, 82,103
инженерное дело 110, 121
Институт фундаментальных исследований Тата
84
история математики 25, 102
Кантор, Георг 19-20, 25, 29, 32, 34, 86,115
Карлесон, Леннарт 88, 104
Клейн, Феликс 19-20, 25, 27, 34, 36, 38, 73
книги о конгрессах математиков 110, 136
Колмогоров, Андрей Николаевич 77
кольца Борромео 125
комплексные числа 100, 140—144, 150
Конн, Ален 64, 107
критическая прямая 151—152
Лейбниц, Готфрид Вильгельм 17, 35, 40, 102
Ли, Софус 35
логика 57, 81, 96
Лондонское королевское общество 16—17
математики
индийские 134, 143
советские 74, 81, 85, 87, 95, 98,101,102,
108
математическая энциклопедия 90—91
математические инструменты и устройства 35
Математические общества
Американское математическое общество 18,
49, 59, 71
Испанское математическое общество 18
Лондонское математическое общество 18
математический кружок Палермо 18, 38, 40
Московское математическое общество 18
Нью-Йоркское математическое общество 18
Польское математическое общество 104, 105
Союз немецких математиков 18- 20, 27, 32, 41,
114,117,118
157
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Французское математическое общество 18, 25,
27
Эдинбургское математическое общество 18
Математический институт Клэя 140
медаль Гуччиа 38
Международная комиссия по преподаванию
математики 38
Международные конгрессы математиков 12, 13,
21, 26,111,136
Амстердам 1954 12, 68, 76, 78, 79, 81
Беркли 1986 14,100,108,110,112
Берлин 1998 14, 67,113-114,117,118
Болонья 1928 53, 58, 60
Ванкувер 1974 66-68, 95-99,107,133,
139
Варшава 1982-1983 64,100,105-110
Гарвард 1950 13, 71-76
Гейдельберг 1904 33, 38, 39, 60, ИЗ
Кембридж 1912 38, 40, 42, 46, 50, 53, 57,
60
Киото 1990 61,130
Мадрид 2006 14, 70, ИЗ, 118-125,130,
136
Москва 1966 64, 66, 85—90,129
Ницца 1970 92-96,100,115
нумерация 57
Осло 1936 14, 55-59, 71,108,132,134
Париж 1900 27-33, 60, 92,139
Пекин 2002 14, ИЗ, 129
«Правила конгрессов» 25
Рим 1908 36-40, 60
Сеул 2014 ИЗ, 137
Стокгольм 1962 76, 82
Страсбург 1920 45—46, 57
Торонто 1924 49-51, 54, 57, 59, 63, 64
Хайдарабад 2010 69. ИЗ, 128,129,134,
136
Хельсинки 1978 100-103,108,115
Цюрих 1897 13, 21-27, 42, 60, 84
Цюрих 1932 55-57, 59, 61, 94,108,129,
131
Цюрих 1994 67, ИЗ, 125-128,137
Чикаго 1893 20-21
Эдинбург 1958 76, 80, 84, 85
Международный исследовательский совет 45
Международный конгресс по преподаванию
математики 38
Международный математический союз 45—49,
52, 81, 104,111,118,125
механика 23, 34, 38, 49, 57, 96
Миттаг-Леффлер, Магнус Гёста 64—65
могилы математиков 36, 44
Научный совет Японии 132
нацизм 7, 116, 117
Национальная академия деи Линчеи 36, 40, 73
Нётер, Эмми 61, 117, 131
Ньютон, Исаак 10—11, 40
Нэш, Джон 119
Парижская академия наук 16
Первая мировая война 8, 45, 57, 71, 90
Перельман, Григорий 69, 118—120, 140
Пикар, Эмиль 25, 45, 48, 55
Пинкерле, Сальваторе 51—52
письменность майя 83
пленарные доклады 23, 34, 37, 46, 50, 81, 83,
96
Политехническая школа 16
Понтрягин, Лев Семенович 81, 94, 98, 101
премия
Абелевская 88—89
Гаусса 70, 121, 130, 135
Неванлинны 70,108,109,116,120,126,131,133
Нобелевская 10, 38, 40, 64, 65, 73, 89
преподавание математики 37
прикладная математика И, 34, 37, 72, 81, 121
проблемы Гильберта 30—32
произведение Эйлера 147, 150
Пуанкаре, Анри 15, 20, 23, 32, 38, 90, 119
Пуссен, Жан Ла Валле 23, 24, 139, 149
путешествие через континент 51
распределение простых чисел 129, 139, 148—
149
революция
в науке 16
французская 16
рецензируемые журналы 19, 25
Риман, Бернхард 139, 149—153
Санкт-Петербургская академия наук 16
158
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
сицилийские типографы 40
Смэйл, Стивен 68, 86, 89, 90, 119
Стоун, Маршалл 38, 71
суммы бесконечных рядов 140—144, 152
тематические секции 13, 23, 46, 49, 54, 57, 72,
80, 92
теорема
о распределении простых чисел 23, 73, 149
основная алгебры 144
Пифагора 36
теория
множеств 19-
чисел 49, 57, 81, 86, 96, 97,116,133,135
вероятностей 54, 57
топология 57, 58, 72, 80, 82, 95,107,115,130
Уайлс, Эндрю 67, 116, 127
«Урания» 117
фашизм 55
Ферма, великая теорема 67, 116, 127
физика 34, 37,115,121,129,131,135,137
Филдс, Джон Чарльз 49, 59—60, 63—66
Филдсовская премия
денежный эквивалент 66
история создания 63
лауреаты 68—69
максимальный возраст 66
фон Нейман, Джон 77, 130
фрактальное искусство 122
функциональный 81, 115
Харди, Годфри Харолд 47, 73
холодная война 85—112
Чебышев, Пафнутий Львович 87, 148
Шварц, Лоран 68, 72—74, 90, 94
Эйкен, Говард 73—74
Эйлер, Леонард 16, 25, 36, 42, 145—153
экзамен трайпос 41
Эрмит, Шарль 20, 25, 36
Эшер, Мауриц Корнелис 78—79
язык и языки 13, 23, 32, 55, 94,112
Якоби, Карл Густав Якоб 35—36
159
Научно-популярное издание
Выходит в свет отдельными томами с 2014 года
Мир математики
Том 39
Гильермо Курбера
Математический клуб.
Международные конгрессы
РОССИЯ
Издатель, учредитель, редакция:
ООО «Де Агостини», Россия
Юридический адрес: Россия, 105066,
г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д. 3, стр. 1
Письма читателей по данному адресу не прини-
маются.
Генеральный директор: Николаос Скилакис
Главный редактор: Анастасия Жаркова
Выпускающий редактор: Людмила Виноградова
Финансовый директор: Полина Быстрова
Коммерческий директор: Александр Якутов
Менеджер по маркетингу: Михаил Ткачук
Менеджер по продукту: Яна Чухиль
Для заказа пропущенных книг и по всем вопро-
сам, касающимся информации о коллекции, за-
ходите на сайт www.deagostini.ru, по остальным
вопросам обращайтесь по телефону бесплатной
горячей линии в России:
® 8-800-200-02-01
Телефон горячей линии
для читателей Москвы:
S 8-495-660-02-02
Адрес для писем читателей:
Россия, 600001, г. Владимир, а/я 30,
«Де Агостини», «Мир математики»
Пожалуйста, указывайте в письмах свои кон-
тактные данные для обратной связи (телефон
или e-mail).
Распространение:
ООО «Бурда Дистрибьюшен Сервисна»
УКРАИНА
Издатель и учредитель:
ООО «Де Агостини Паблишинг» Украина
Юридический адрес: 01032, Украина,
г. Киев, ул. Саксаганского, 119
Генеральный директор: Екатерина Клименко
Для заказа пропущенных книг и по всем вопро-
сам, касающимся информации о коллекции, за-
ходите на сайт www.deagostini.ua, по остальным
вопросам обращайтесь по телефону бесплатной
горячей линии в Украине:
У 0-800-500-8-40
Адрес для писем читателей:
Украина, 01033, г. Киев, a/я «Де Агостини»,
«Мир математики»
УкраГна, 01033, м. Ки'1в, а/с «Де Агостпп»
БЕЛАРУСЬ
Импортер и дистрибьютор в РБ:
ООО «Росчерк», 220037, г. Минск,
ул. Авангардная, 48а, литер 8/к,
тел./факс: (+375 17) 331-94-41
Телефон «горячей линии» в РБ:
@ + 375 17 279-87-87 (пн-иг, 9.00-21.00)
Адрес для писем читателей:
Республика Беларусь, 220040, г. Минск,
а/я 224, ООО «Росчерк», «Де Агостини»,
«Мир математики»
КАЗАХСТАН
Распространение:
ТОО «КГП «Бурда-Алатау Пресс»
Издатель оставляет за собой право увеличить реко-
мендуемую розничную цену книг. Издатель остав-
ляет за собой право изменять последовательность
заявленных тем томов издания и их содержание.
Отпечатано в соответствии с предоставленными
материалами в типографии:
Grafica Veneta S.p.A Via Malcanton 2
35010 Trebaseleghe (PD) Italy
Подписано в печать: 27.08.2014
Дата поступления в продажу на территории
России: 14.10.2014
Формат 70 х 100 / 16. Гарнитура «Academy».
Печать офсетная. Бумага офсетная. Печ. л. 5.
Усл. печ. л. 6,48.
Тираж: 28 900 экз.
© Guillermo Р. Curbera, 2011 (текст)
© RBA Collecionables S.A., 2011
© ООО «Де Агостини», 2014
ISBN 978-5-9774-0682-6
ISBN 978-5-9774-0734-2 (т. 39)
@
V*»*/ Данный знак информационной про-
дукции размещен в соответствии с требования-
ми Федерального закона от 29 декабря 2010 г.
№ 436-ФЗ «О защите детей от информации, при-
чиняющей вред их здоровью и развитию».
Издание для взрослых, не подлежит обязатель-
ному подтверждению соответствия единым требо-
ваниям, установленным Техническим регламентом
Таможенного союза «О безопасности продукции,
предназначенной для детей и подростков» ТРТС
007/2011 от 23 сентября 2011 г. № 797.
Математический
клуб
Международные конгрессы
Может ли математика развиваться без математиков, ведь уже
сегодня часть их работы взяли на себя компьютеры? Конечно,
нет. Во-первых, развитие науки по-прежнему невозможно
без человеческого творчества, а во-вторых, в математике очень
важно сотрудничество. Автор этой книги постарался представить
читателю математическое сообщество изнутри и рассказать
о международных конгрессах, на которых ученые знакомятся друг
с другом, делятся опытом, обсуждают важные проблемы
и стараются найти пути их решения. История математических
конгрессов - наглядная иллюстрация того, насколько огромную
роль в развитии науки играет совместная работа.
ISBN 978-597740682-6