/
Text
МАТЕМАТИКИ
Топология
DÇAGOSTINI
Мир математики
Мир математики
Висенте Муньос
Деформируемые формы
Топология
Москва - 2014
D'AGOSTINI
УДК 51(0.062)
ББК22.1
М63
М63 Мир математики: в 45 т. Т. 36: Висенте Муньос. Деформируемые формы. Топология. /
Пер. с исп. — М.: Де Агостини, 2014. — 176 с.
В этой книге речь пойдет о топологии — разделе математики, который исследует яв¬
ление непрерывности. Топологи изучают фигуры, которые можно деформировать и скру¬
чивать. Наверное, именно поэтому их в шутку называют «математиками, не способными
отличить бублик от кофейной чашки». Топология — интересная и очень абстрактная дис¬
циплина: в ней нет формул, уравнений, функций и даже чисел и букв! Но она близка к про¬
странственной геометрии: оба эти раздела изучают формы. На страницах этой книги вы
совершите небольшой экскурс в мир геометрии и топологии, а также узнаете много нового
и неожиданного о форме нашей Вселенной.
ISBN 978-5-9774-0682-6
ISBN 978-5-9774-0731-1 (т. 36)
УДК 51(0.062)
ББК22.1
© Vicente Munoz, 2011 (текст)
© RBA Coleccionables S.А., 2011
© ООО «Де Агостини», 2014
Иллюстрации предоставлены: iStockphoto.
Все права защищены.
Полное или частичное воспроизведение без разрешения издателя запрещено.
Содержание
Предисловие 7
Глава 1. Введение 9
Форма Земли И
Геометрия и топология 16
Форма Вселенной 19
Глава 2. Двумерный мир 25
Кафедра топологии 33
Рассматриваем петли во Флатландии 36
Первая попытка: тор 38
Определение тора с помощью квадрата 42
Другие варианты 46
Ориентируемость. Лента Мёбиуса 47
Глава 3. Топология поверхностей 51
Внутренняя и внешняя топология 54
Ориентируемость 55
Бутылка Клейна 58
Топология поверхностей 62
Конечность и компактность 62
Поверхности без края и неограниченные поверхности 63
Задача классификации 64
Характеристика Эйлера — Пуанкаре 66
Компактные ориентируемые поверхности без края 68
Связная сумма 70
Фундаментальные многоугольники 71
Теорема о классификации поверхностей 73
Глава 4. Геометрия во Флатландии 75
Геометры Флатландии 76
Сферическая геометрия 82
Внешняя и внутренняя геометрия 87
Изометрия 88
Геометрия и топология 90
Геометрия 90
Топология 91
Кривизна 92
Теорема Гаусса — Бонне 94
5
СОДЕРЖАНИЕ
Однородность и изотропия 99
Гиперболическая геометрия 102
Поверхности постоянной кривизны 105
Сфера 107
Тор 108
Поверхность рода g ^ 2 Ш
Какой смысл здесь имеет слово «геометрия» 114
Как ученые определили форму Флатландии 114
Глава 5. Топология и геометрия в трех измерениях 115
Многообразия 115
Топология в трех измерениях 118
Трехмерная сфера 120
Трехмерный тор 122
Ориентация 125
Трехмерная бутылка Клейна 127
Межпространственные ворота и приклеивание ручек 128
Связные суммы 130
Хирургия вдоль узлов 131
Геометрия в трех измерениях 133
Однородные геометрии в трех измерениях 133
Изотропные геометрии компактных многообразий 138
Глава 6. Какую форму имеет наша Вселенная? 143
Вселенная 144
Космология 149
Геометрия Вселенной 131
Красное смещение и Большой взрыв 153
Формы пространства 156
Будущее Вселенной 157
Геометрия Вселенной 159
Ускоренное расширение 162
Космологические параметры 162
Топология Вселенной 163
Реликтовое излучение 166
Эпилог 169
Библиография 171
Алфавитный указатель 173
6
Моей жене Анне за всю ее поддержку и доброту.
Моим детям Кармен, Мигелю и Алонсо
Предисловие
Говорят, что тополог — это математик, который не может отличить бублик от ко¬
фейной чашки. Дело в том, что топология изучает фигуры, которые можно дефор¬
мировать и скручивать. Этот раздел математики совсем не похож на математику:
в нем нет формул, уравнений, функций и даже чисел и букв! Это очень абстрактная
дисциплина, которая обычно рассматривает конкретные объекты.
К топологии близок такой раздел математики, как геометрия, изучающая фигуры
в пространстве: треугольники, многоугольники, прямые и плоскости, а также криво¬
линейные фигуры, в частности поверхности и объемные фигуры. Предмет геоме¬
трии — изучение формы объектов, что стало очевидным в конце XIX века, когда
появились неевклидовы геометрии, в которых особую форму имеет даже само про¬
странство.
Таким образом, и геометрия, и топология изучают формы. В геометрии, рас¬
сматривающей метрические свойства (расстояния, углы и пр.), основное внимание
уделяется локальной форме пространства. Особую важность имеет кривизна — ко¬
личественная мера выпуклости пространства. В топологии же все объекты счита¬
ются эластичными, все они деформируются, при этом рассматривается глобальная
форма пространства — как оно переплетается, сколько отверстий имеет. Геометрия
и топология неразрывно связаны: локальная форма в немалой степени определяет
глобальную.
Когда мне предложили написать книгу о топологии и геометрии, я не устоял пе¬
ред соблазном рассказать читателям о реальной задаче, где важную роль играют
и геометрия, и топология, — это задача о форме нашего пространства, возможно,
одна из самых интересных человеку. Любопытно, что при изучении пространства
нашей Вселенной первостепенную роль сыграла геометрия, а совсем недавно специа¬
листы по космологии поняли, что только топология поможет человеку определить,
какую форму имеет Вселенная.
На страницах этой книги мы совершим небольшой экскурс в мир геометрии
и топологии. Вы узнаете, что вопрос о форме пространства, в котором мы живем,
не имеет очевидного ответа, и нам потребуется осторожно внести в него некоторые
7
ПРЕДИСЛОВИЕ
уточнения. В нескольких главах мы посетим двумерный мир, где продемонстрируем
важность топологии и геометрии даже в такой упрощенной версии пространства.
Вы узнаете, какую роль играют неевклидовы геометрии и как топология и геоме¬
трия пространства дополняют друг друга в теореме Гаусса — Бонне. Мы расскажем
о приключениях нескольких двумерных друзей, упорно стремящихся узнать, какую
форму имеет их мир. Вы узнаете, в чем заключается разница между внутренней
и внешней геометриями и почему важно всегда рассматривать пространства изнутри.
Затем мы вернемся к трехмерным пространствам и проанализируем их геоме¬
трические и топологические свойства. А в завершение книги мы вкратце расска¬
жем о том, как наши знания о космосе помогли понять геометрию пространства.
Последним достижением в этой области стало открытие темной материи и темной
энергии, которые проявляются лишь косвенно. На этом наш экскурс в мир тополо¬
гии завершится, а ответ на вопрос о форме Вселенной по-прежнему останется от¬
крытым.
В заключение я хотел бы поблагодарить Хавьера Фресана за многочисленные
правки и предложения, которые помогли мне значительно улучшить текст, а также
Мигеля Муньоса за рисунки к этой книге.
8
Глава 1
Введение
Видимое нами позволяет смутно различить неявное.
Анаксагор
С незапамятных времен человек смотрел на звездное небо и задавался вопросом,
как выглядит мир, в котором он живет. В попытках объяснить свое существование
люди нашли множество ответов на этот вопрос. И хотя все эти гипотезы казались
человеку очень разумными, почти все они в итоге были отвергнуты.
Мы — результат эволюции, которая определила наши модели поведения. Специ¬
фическими навыками и особенностями обладают многие биологические виды.
Но особенность человека — развитый мозг, способный воссоздавать воображаемые
ситуации. Так, мы смотрим вокруг и, прежде чем решить, как поступить, представ¬
ляем себе возможное развитие событий. Муравьи, численность которых составляет
несколько миллиардов, проверяют различные варианты на практике: многие выби¬
рают неверный путь и погибают, но тем самым помогают собратьям найти более оп¬
тимальный вариант. Мы же оцениваем варианты в уме, и в результате человек как
вид теряет намного меньше особей.
Однако мозг не только помог нам добиться успеха в борьбе за выживание,
но и спровоцировал немало проблем. Он неустанно работает даже в те моменты,
когда это нельзя считать жизненно важным. Мы задаемся множеством вопросов,
касающихся самых разных ситуаций. Нас движет вперед некая внутренняя сила,
которая заставляет действовать, учиться, стремиться к лучшему, желать больше¬
го... и неизменно чувствовать разочарование, когда мы достигаем желаемой цели,
сколь бы трудным ни был путь к ней.
Человек постоянно, еще с тех пор, как первые люди бродили по древним лесам
в поисках пропитания, смотрит вокруг себя и пытается познать окружающий мир.
Часто для ответа на все наши вопросы не хватает данных, но мы не можем опускать
руки. Существует простой и вместе с тем остроумный выход из этого затруднитель-
9
ВВЕДЕНИЕ
ного положения: мы выбираем наиболее правдоподобный ответ среди всех извест¬
ных и принимаем его за истину. Нетрудно представить, почему возникли мифы и ле¬
генды: например, когда умирает любимый человек, мы не понимаем, что произошло,
и когда вспоминаем его, то нам кажется, что мы слышим его голос, а значит, этот
голос блуждает где-то поблизости. Так что даже зарождение религий можно считать
побочным эффектом гиперпродуктивности мозга.
Еще пещерные люди смотрели на небосвод и пытались понять, что делают все
эти маленькие светящиеся точки в тихой и темной ночи. Они, должно быть, нуж¬
ны для чего-то очень важного, раз появляются на небе каждую ночь, когда солнце
скрывается за горизонтом. Люди быстро поняли, что эти светящиеся точки день
за днем появляются в одних и тех же местах, и это должно было иметь какой-то
глубокий смысл. Человек палеолита не знал уравнений, ему не были знакомы тео¬
рии о галактиках и созвездиях, и, должно быть, он заключил, что звезды поместил
на небо бог — существо намного более могущественное, чем любое из живущих
на Земле. Читатель без труда додумает продолжение этой истории.
Какую форму имеет Вселенная? Разумеется, для наших доисторических пред¬
ков этот вопрос не представлял никаких трудностей. Мы можем смотреть только
в трех направлениях: вперед-назад, вправо-влево и вверх-вниз (будем называть эти
направления длиной, шириной и высотой). Следовательно, пространство простира¬
ется в этих трех направлениях. Мы описали евклидово пространство. Ответ найден.
От добра добра не ищут.
Три измерения евклидова пространства.
10
ВВЕДЕНИЕ
Форма Земли
Но не останавливаться на достигнутом — наша страсть. Мы ищем ответы на интере¬
сующие нас вопросы и заканчиваем поиски, когда находим наиболее подходящий от¬
вет. В то же время мы понимаем, что этот ответ удовлетворит нас только на какое-то
время. Мы постоянно пребываем в этом состоянии временности, возможно, сами
того не осознавая. Мы неизменно ищем новые данные, имеющие отношение к са¬
мым разным вопросам, даже если ответы на них уже известны. Если эти данные
подтверждают то, что мы уже знаем, если они согласуются с нашими выводами, мы
убеждаемся в своей правоте, в противном случае мы вынуждены изменить ответ
(значительно или незначительно) либо попытаться как-то согласовать новые дан¬
ные с уже известными. Люди чрезвычайно преуспели в этом — ведь в конечном
итоге это наша специализация.
НАУЧНЫЙ МЕТОД
Научный метод - основной метод исследований, используемый в науке для получения новых
знаний. Основная предпосылка научного метода состоит в том, что решения задач мира приро¬
ды носят временный характер. Научный метод имеет две основы: возможность воспроизведения
экспериментов и фальсифицируемость гипотез. Суть научного метода такова. Всякий раз, когда
мы хотим объяснить некое явление природы, мы выдвигаем гипотезу (гипотезы - плод нашей
изобретательности, результат попыток найти правдоподобное объяснение). Путем логических
рассуждений из гипотез выводятся следствия, которые можно проверить с помощью наблюде¬
ний или экспериментов. Необходимо, чтобы любую гипотезу можно было опровергнуть и описать
эксперимент, результаты которого будут корректны в случае, если гипотеза ложна.
Если результаты всех экспериментов соответствуют прогнозам, мы считаем гипотезу истин¬
ной и возводим ее в ранг теории. При этом любая истина может быть опровергнута, уточнена
или улучшена в некоторой новой теории, описывающей эксперимент, который не согласуется
с этой истиной. К примеру, теория тяготения Ньютона прекрасно описывала движение планет
с удивительной для XVIII века точностью, но не могла объяснить прецессию перигелия орбиты
Меркурия, отмеченную в XIX веке. Объяснение удалось найти в начале XX столетия с помощью
общей теории относительности Эйнштейна.
И
ВВЕДЕНИЕ
Глядя на небо, мы сразу же отмечаем очевидный факт: мы не можем спустить¬
ся вниз, так как у нас под ногами земля. Земля, по которой мы ходим, имеет два
направления — длину и ширину. Она подобна огромной плоскости, изрезанной
небольшими неровностями — горами и долинами, реками и озерами. Мы можем
охватить взглядом лишь небольшой участок Земли, но знаем, что она простирается
в дальние дали. Всякий раз, когда мы думаем, что же скрывается там, за горизон¬
том, и отправляемся туда, то убеждаемся, что за горизонтом лежит всего лишь еще
один участок Земли со своими горами и долинами, и он, по сути, ничем не отлича¬
ется от того, где мы живем. Нетрудно сделать вывод: Земля — бесконечная пло¬
скость, по которой ходят люди.
Эта бесконечность не дает нам спокойно спать. Она кажется скорее порождени¬
ем дьявола, а не чем-то действительно существующим — быть может, потому что ее
нельзя объять или, быть может, потому что нечто конечное (мы сами) в бесконечном
мире — словно бы ничто. Как бы то ни было, древнему человеку пришлась не по
душе идея о бесконечном мире (далее из этой книги вы узнаете, что существует тон¬
кое, но очень важное различие между бесконечным и неограниченным, недоступное
пониманию доисторического человека). Более логичным для людей было предпо¬
лагать, что они живут на огромном диске, который подобен тарелке, расположен
в каком-то месте и имеет определенную форму. Достичь края света опасно — мож¬
но свалиться вниз. К счастью, известные людям земли всегда оканчивались побере¬
жьями, откуда открывался вид на бескрайнее море. Кто знает, может именно там,
на бескрайних морских просторах, и находился край света?
Согласно древнейшим китайским и индийским мифам Земля
представляет собой плоский диск, покоящийся на четырех слонах,
которые, в свою очередь, стоят на огромной морской черепахе.
12
ВВЕДЕНИЕ
РАССЕЛ И ЧЕРЕПАХИ
Рассказывают, что однажды философ и математик Бертран Рассел (1872-1970) читал лекцию
по астрономии, в которой сказал, что Земля вращается вокруг Солнца, а оно, в свою очередь,
движется относительно звезд нашей галактики. В конце лекции некая пожилая женщина под*
нялась со своего места в заднем ряду и сказала: «Все, что вы нам рассказали, - сущий вздор.
На самом деле Земля - плоский диск, лежащий на панцире огромной черепахи». Подобное
замечание не испугало Рассела. Он улыбнулся и сказал: «А на чем тогда стоит черепаха?»
Женщина ответила: «Юноша, ваша острота не удалась. Черепах бесконечно много!»
Карта мира, составленная генуэзским картографом Пьетро Весконте, 1320 год.
На ней изображены Европа, Азия и Африка — все континенты, известные в то время.
Восток на карте расположен вверху, запад — внизу.
Глядя на окружающий мир, нетрудно сделать очевидный вывод: Земля плоская.
Но сегодня сама мысль о том, что кто-то когда-то именно так и считал, вызывает
улыбку. Кто же первым сказал, что Земля не плоская? Как он до этого додумался?
И на чем основывалось это смелое заявление?
13
ВВЕДЕНИЕ
Считается, что впервые мысль о том, что Земля имеет криволинейную поверх¬
ность, пришла людям в голову, когда они заметили: стоит кораблю удалиться от бе¬
рега всего на несколько километров, как его корпус пропадает из вида, и можно
различить лишь мачты.
1 -----ч
В А
На верхнем рисунке изображена плоская Земля: наблюдатель, находящийся на побережье (А) видит,
как корабль (В) удаляется, но его корпус по-прежнему виден полностью. На нижнем рисунке, где
изображена искривленная поверхность Земли, корпус корабля постепенно исчезает из вида по мере
удаления от наблюдателя, и создается впечатление, что корабль тонет в море.
Гипотеза о сферической форме Земли была распространена еще в Древней Гре¬
ции, а Эратосфен достаточно точно вычислил длину окружности нашей планеты.
Позднее Христофор Колумб, приняв длину земной окружности равной 25 255 км,
предположил, что если отправиться в плавание на запад, то в конце концов можно
достичь Индии. Длина этой окружности была заметно меньше, чем у Эратосфе¬
на (по всей видимости, Колумб использовал в расчетах римскую милю, которая
была короче арабской). Новый маршрут в Индию позволил бы избежать длинного
и опасного путешествия вокруг Африки. Если бы Колумб использовал результаты
Эратосфена, то, возможно, он бы не предпринял свое путешествие, так что ошибка
испанца, вне всяких сомнений, стала важнейшей в истории человечества.
Открытие новых земель на Западе стало возможным благодаря извечному
стремлению человека к новым целям. Первым понял, что новые западные земли
были не Индией, итальянский исследователь и картограф Америго Веспуччи. Эта
догадка позволила ему навсегда занять свое место в истории и дать имя новому кон¬
тиненту — Америке (какая честь для простого картографа!).
14
ВВЕДЕНИЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД ЭРАТОСФЕНА
Греческий математик, географ и астроном Эратосфен (ок. 276 года до н.э., Кирена,- ок. 194
года до н.э., Александрия), на протяжении 45 лет возглавлявший Александрийскую библиотеку,
вычислил длину окружности Земли, применив хитроумный тригонометрический метод. Из папи¬
русов, хранившихся в библиотеке, Эратосфен узнал, что в Сиене (в настоящее время - Асуан)
в день летнего солнцестояния предметы не отбрасывали тени, и свет достигал дна колодцев.
Это означало, что Сиена находилась точно на линии тропика. Эратосфен счел, что Солнце на¬
ходится так далеко от Земли, что его лучи можно считать параллельными. Измерив длину тени
в Александрии в полдень в день летнего солнцестояния, он показал, что зенит в Сиене отстоял
от зенита в Александрии на 1/50 часть окружности, то есть на 7° 12’. Затем он принял рас¬
стояние между городами равным 5 тысячам стадиев и заключил, что длина окружности Земли
равна 252 тысячам стадиев.
Длина окружности Земли составляет 40008 км. Если считать, что Эратосфен использовал
стадий длиной 185 метров, его результат равен 33392 км, то есть погрешность составила 17%.
Впрочем, возможно, что Эратосфен использова^ египетский стадий - в этом случае погреш¬
ность составила всего 1 %.
Рисунок иллюстрирует метод измерения длины земной окружности, предложенный
Эратосфеном. На рисунке изображено местоположение Александрии и Сиены, а также
направление солнечных лучей в день летнего солнцестояния.
15
ВВЕДЕНИЕ
В то время по-прежнему считалось, что
Земля плоская, а за Америкой находится
край света. Неопровержимое доказатель¬
ство того, что Земля круглая, было получено
первой кругосветной экспедицией в 1519—
1522 годах. Возглавлял морской поход Фер¬
нан Магеллан (он умер во время плавания,
и далее корабли вел Хуан Себастьян Эль-
кано). Современный читатель справедливо
возразит: одной экспедиции недостаточно,
чтобы сделать вывод о том, что Земля кру-
л 0 » глая,— она вполне может быть, например,
Снимок Земли из космоса, сделанный ^ ^
членами экипажа «Аполлон-17». цилиндрической! Но, как мы уже отмечали,
в поисках ответа на вопрос мы склоняемся
к наиболее правдоподобной версии, а наиболее правдоподобная форма Земли —
шар. К счастью, этот ответ оказался правильным (если быть точными, Земля пред¬
ставляет собой не идеальный шар — она слегка сплюснута у полюсов). Оконча¬
тельно гипотезу о сферической форме Земли подтвердили фотографии, сделанные
с искусственных спутников и орбитальных станций, запущенных с Земли в 1960-е
годы. На этих снимках нашу планету можно разглядеть во всем великолепии.
ОБЩЕСТВО ПЛОСКОЙ ЗЕМЛИ
В 1956 году композитор Сэмюэл Шентон основал Общество плоской Земли, призванное объеди¬
нить всех считавших, что Земля на самом деле плоская, дать этой теории научное обоснование
и провести широкомасштабную рекламную кампанию, направленную против преподавания
гипотезы о сферической форме Земли. Космическая гонка СССР и США положила конец этим
амбициозным проектам. Однако Общество плоской Земли действует до сих пор и даже имеет
свой сайт в интернете: http://www.alaska.net/~clund/e_djublonskopf/Flatearthsociety.htm.
Геометрия и топология
Чтобы рассмотреть вопрос о форме Земли с точки зрения математики, его нужно
сформулировать более строго. В принципе, поверхность планеты может иметь одну
из множества форм, поэтому сначала следует определить все возможные формы,
16
ВВЕДЕНИЕ
после чего выбрать верную с помощью доступных нам средств и методов, включая
кругосветное путешествие на корабле. Иными словами, необходимо применить на¬
учный метод.
Обратим внимание на одну деталь: сферическую форму имеют реальные объ¬
екты, доступные нам в ощущениях, например яблоко или галька. Мы можем пред¬
ставить Землю как огромный круглый камень, на поверхности которого мы живем.
Возникает лишь два вопроса: что удерживает этот камень на необозримом небосво¬
де и почему те, кто живет «внизу», не падают? Именно из-за того, что ответы на эти
вопросы удалось найти лишь спустя какое-то время, модель шарообразной Земли
не сразу стала общепринятой. Обойти эти острые углы можно, поместив Землю
в центр Вселенной (в самом деле, почему бы Богу не поместить в центр Вселенной
свое величайшее творение — человека?) и указав, что все должно падать на нее.
Если бы в окружающем мире не существовало сферических объектов, которые
можно потрогать, то нам сложнее было бы предположить, что Земля имеет форму
шара. Проведем анализ в обратном направлении: существуют поверхности особой
формы, например бутылка Клейна, которые нельзя подержать в руках, поскольку
в трехмерном пространстве они не существуют.
Бутылка Клейна — бутылка особой формы, в которой горлышко соединено с внутренней
частью основания так, что не проходит через стенки бутылки. Представить подобное в нашем
трехмерном пространстве невозможно.
Если бы Земля имела форму бутылки Клейна, то нам было бы намного труднее
убедиться в этом: мы не смогли бы сделать первый шаг — представить, как выгля¬
дит эта поверхность. Конечно, силы нашего воображения хватает на то, чтобы пред¬
ставить себе поверхности, невозможные в трехмерном пространстве, но для этого
требуются некие вспомогательные элементы. Здесь мы сделаем паузу и рассмотрим
вопрос с более общей, философской точки зрения: что означает «описать» («ощу¬
тить», «понять») форму объекта? «Указать, каким мы его видим» — лишь один
из возможных ответов, возможно, наиболее точный, так как среди всех способов
17
ВВЕДЕНИЕ
восприятия у человека преобладает визуальный. На самом деле ответ звучит так:
описать объект означает определить его свойства (сколько их? какие они?), уметь
ответить на любой вопрос об этом объекте, отличить его от других объектов того же
типа, обнаружить его, построить его (какими средствами? из каких элементов? ка¬
кими методами?).
Топология — раздел математики, изучающий «общую форму» объектов. Ины¬
ми словами, задача топологии — изучить, как выглядят объекты, рассматриваемые
в своей полноте. К примеру, сфера и бублик — не одно и то же.
С точки зрения тополога, два объекта имеют одинаковую общую форму, если
один можно преобразовать в другой посредством растяжения без склеек и разры¬
вов. Чтобы понять, как выполняются подобные преобразования, представьте, что
фигуры сделаны из резины, которую можно растягивать, но нельзя разрывать или
разрезать, соединять или склеивать. Для тополога бублик и кофейная чашка экви¬
валентны, так как их общая форма одинакова.
Бублик можно преобразовать в чашку. Эти поверхности с точки зрения топологии эквивалентны.
Сфера и бублик имеют разную общую форму.
18
ВВЕДЕНИЕ
В геометрии изучаются метрические свойства фигур, то есть расстояния, углы
и другие параметры, главным образом «внутри» изучаемых фигур. Следовательно,
в геометрии интерес представляет скорее локальная форма объектов, то есть фор¬
ма малой окрестности конкретной точки пространства или объекта. Для геометра
плоскость и сфера не эквивалентны, так как сфера искривлена, а плоскость — нет.
Это различие будет проявляться, к примеру, в форме фигур, которые мы изобразим
на сфере и на плоскости.
Теперь, когда мы преодолели столько трудностей, чтобы узнать, какую форму имеет
наша маленькая планета, становится понятно, что приступать к изучению необо¬
зримой Вселенной следует с осторожностью. «Какова форма Вселенной?» — этот
вопрос не дает людям покоя, и ответить на него совсем не просто. Ранее, глядя
в звездное небо, в космос, который неограниченно простирается в трех измерениях,
мы считали, что Земля находится в центре Вселенной. Позднее наша планета утра¬
тила это привилегированное место, и с этим связана целая история, которая намного
интереснее истории о форме Земли. Потом ученые поместили в центр Вселенной
Солнце, указав, что Земля вращается вокруг него; затем и Солнце перестало счи¬
таться центром Вселенной, а оказалось лишь маленькой звездой на краю галактики
средних размеров, расположенной во Вселенной, которая, кажется, вовсе не имеет
центра. Можем ли мы, люди, живущие на Земле, оглянувшись вокруг себя (и тща¬
тельно поразмыслив), определить, какова форма Вселенной?
Треугольник, изображенный на плоскости и на сфере.
Форма Вселенной
19
ВВЕДЕНИЕ
На иллюстрации изображен Млечный Путь — галактика,
в которой располагается Солнечная система.
По оценкам, размеры Вселенной превышают 90 миллиардов световых лет. Об¬
лететь ее всю кажется абсолютно невозможным: даже если мы будем двигаться
со скоростью света, нам потребуется по меньшей мере 90 миллиардов лет. Посколь¬
ку, согласно теории относительности Эйнштейна, скорость света — максимально
возможная скорость частиц, то любой космический зонд, даже самый совершенный,
не сможет двигаться быстрее. Но мы не можем ждать ответа так долго! Вместо
космических зондов лучше использовать какие-нибудь частицы — как вы узнаете
из шестой главы, лучше всего на эту роль подойдет сам свет. Возраст Вселенной
оценивается в 13,7 миллиарда лет, но даже в «такой молодой» Вселенной самому
свету не хватило времени, чтобы полностью облететь ее. Чтобы попытаться ответить
на наш вопрос, будем фиксировать свет и другое излучение, поступающее из космо¬
са. Для анализа собранных данных нам потребуются математические инструменты.
И здесь в игру вступают геометрия и топология: они укажут, как можно использо¬
вать данные, полученные при помощи телескопов. В конце концов, Эратосфен дей¬
ствовал похожим образом: он изучил солнечный свет и показал, что Земля круглая.
Если читатель не знаком с геометрией или не прочел ранее какую-нибудь книгу
по этой теме, наверняка он не сможет представить себе все возможные формы Все¬
ленной, о которых говорят математики. Первым в голову приходит, что Вселенная
бесконечно и неограниченно простирается в трех направлениях: в длину, ширину
и высоту. Такое пространство называется трехмерным, или декартовым трехмер¬
ным пространством, в честь французского философа и математика первой полови¬
ны XVII века Рене Декарта, который первым описал систему координат.
20
ВВЕДЕНИЕ
КООРДИНАТЫ
В математике могут рассматриваться пространства с любым числом измерений. N-мерное
декартово пространство обозначается R". Прямая - 1-мерное пространство R1 (символ R
обозначает множество вещественных чисел). Точкам этой прямой соответствует одна коорди¬
ната - вещественное число х. Если это число положительное, точка находится справа от нуля,
если это число отрицательное - слева.
-3-2-10 12 3
1 1 1 1 1 1 1
Плоскость обозначается как R2, а ее точки задаются двумя координатами (х, у). Первая
координата указывает горизонтальное положение, вторая - вертикальное. К примеру, точка
(4,5; -1) расположена на расстоянии в 4,5 единицы вправо и 1 единицу вниз. Положение
каждой точки определяется ее координатами.
У о
Н 1 1 1 1 1 1 1——I—*—►
X
4,5; -1
Декартово пространство R3 определяется аналогично. Проведем оси х, у, z и укажем стрел¬
кой положительное направление на каждой из них. Будем задавать положение любой точки
в декартовом трехмерном пространстве тремя координатами.
21
ВВЕДЕНИЕ
Эти три оси координат простираются бесконечно далеко. Следовательно, можно
утверждать, что Вселенная представляет собой декартово пространство. Однако это
равносильно предположению о том, что Земля плоская, так как мы можем изобра¬
зить на ее поверхности две оси координат, но мы уже убедились, что это не так!
Вселенная может представлять собой сферу, но иметь три измерения (это геоме¬
трическое тело, которое можно назвать гиперсферой, в математике носит название
3-сферы). Представить такую фигуру непросто — возможно, потому, что в нашем
мире не существует «гиперяблока», которое поможет понять, о чем идет речь. Если
Вселенная имеет форму 3-сферы, она будет искривляться так, что мы сможем об¬
лететь вокруг нее и вернуться в исходную точку. Если мы совершим гипотетическое
путешествие вдоль прямой, то пройдем через антиподальную точку (обладают ли
гиперантиподы какими-то особыми свойствами?) и вернемся обратно, описав боль¬
шой круг. Первым эту гипотезу высказал немецкий математик Бернхард Риман еще
в 1834 году.
ПРОСТРАНСТВА, ЗАДАВАЕМЫЕ УРАВНЕНИЯМИ
Когда это возможно, математики стараются описать объекты с помощью уравнений. 3-сфера
задается уравнением в четырехмерном пространстве. Это пространство имеет четыре взаимно
перпендикулярные оси координат, которые мы обозначим х, у, z, t. 3-сфера обитает в М4 подоб¬
но тому, как 2-сфера (то есть обычная, привычная нам сфера) обитает в М3. 3-сфера состоит
из множества точек, равноудаленных от начала координат. Если принять радиус 3-сферы г - 1
(это возможно всегда - достаточно выбрать соответствующие единицы измерения), то точки
3-сферы будут иметь координаты (х, у, z, t), удовлетворяющие соотношению
x2+y2+z2 + t2 = 1.
В общем случае сфера, имеющая п измерений, называется л-сферой, обозначается Sn и пред¬
ставляет собой множество точек Rn* \ удаленных от начала координат на расстояние 1.2-сфера
S2 - это обычная сфера, 1-сфера S1 - окружность радиуса 1. Сможете сказать, как выглядит
0-сфера S0?
Мы можем увидеть лишь небольшую окрестность точки, в которой находимся.
Может показаться, что это не так, ведь в наши телескопы видны очень далекие га¬
лактики, но в действительности объем доступного нам пространства слишком мал
по сравнению с общими размерами космоса. Следовательно, мы можем сказать
22
ВВЕДЕНИЕ
о нашей Вселенной лишь то, что «локально она эквивалентна декартову трехмерно¬
му пространству».
Примем на веру следующий факт: начало координат можно разместить в лю¬
бой точке Вселенной. Это подтверждают и постулаты физики. Во-первых, урав¬
нения этой науки не должны зависеть от того, в какой точке и в каком положении
мы находимся (этот принцип называется принципом однородности пространства).
Во-вторых, согласно принципу относительности (более развернутая его формули¬
ровка приводится в теории относительности Эйнштейна), во Вселенной не суще¬
ствует какой-либо привилегированной точки или системы координат.
Пространство, локально сходное с декартовым, называется многообразием.
Следовательно, начало координат можно расположить в любой точке, и никакая
точка не будет занимать привилегированное положение по сравнению с остальными.
Термин «многообразие» означает, что пространство имеет множество разнообраз¬
ных направлений.
Плоскость — это двумерное многообразие.
В окрестности любой точки мы можем расположить систему координат (х, у).
Теперь задачу можно рассмотреть с помощью математических методов. Сколько
существует трехмерных пространств? Как найти их все и как их построить? И нако¬
нец, форму какого из них имеет наша Вселенная?
Задача о форме Вселенной не решена до сих пор, и ее решение требует использо¬
вания сложнейших математических методов. Над ответом на этот вопрос трудится
множество специалистов, которым удалось получить весьма интересные частные ре¬
зультаты. Упростить задачу помогут некоторые гипотезы, касающиеся Вселенной.
23
ВВЕДЕНИЕ
— Логично ожидать, что Вселенная не имеет края и нет места, где она заканчи¬
вается. Следовательно, она является неограниченной.
— Другая, более спорная, но все же разумная гипотеза заключается в том, что
Вселенная не бесконечна. Следовательно, она может быть конечной, но нео¬
граниченной, как, например, Земля. С философской точки зрения эту гипоте¬
зу можно обосновать с помощью различных парадоксов, связанных с беско¬
нечностью: так, если бы Вселенная была бесконечной, в ней содержался бы
бесконечный объем материи. Впрочем, подобные аргументы не слишком убе¬
дительны. Это следует принять во внимание, так как некоторые эксперимен¬
тальные результаты, полученные в будущем, могут заставить нас пересмо¬
треть подобные гипотезы. Далее вы увидите, как характеристики «неограни¬
ченная» и «конечная» могут сочетаться.
— Обычно предполагается, что материя во Вселенной распределена (почти)
равномерно; распределение галактик кажется более или менее одинаковым.
Эта гипотеза подразумевает однородность пространства — иными словами,
геометрия пространства во всех частях Вселенной одинакова (хотя бы при¬
мерно). Гипотеза о равномерном распределении материи основывается на ре¬
зультатах изучения наблюдаемой части Вселенной и согласуется с другими
теориями, в частности с теорией Большого взрыва.
Найти 3-многообразия, которые обладают тремя вышеперечисленными свой¬
ствами, проще, чем найти все возможные 3-многообразия. Тем не менее эта задача
до сих пор не решена полностью. Впрочем, нам известно достаточно, чтобы про¬
вести космологические эксперименты, заключающиеся в наблюдении космического
излучения, и продвинуться вперед в наших исследованиях. Но даст ли этот подход
какие-либо результаты, пока неизвестно.
Мы будем действовать исключительно в мире математики, топологии и геоме¬
трии. Мы покажем, с какими сложностями сопряжено определение общей формы
пространств и как тесно локальная и общая формы пространства (то есть его гео¬
метрия и топология) связаны между собой. Мы расскажем о математических идеях
об изучении многообразий, которые получили развитие в последние 150 лет, а затем
с новыми силами примемся за поиски ответа на вопрос о форме Вселенной.
На примере различных поверхностей вы постепенно изучите топологию и гео¬
метрию многообразий. Нашими спутниками станут милые и дружелюбные суще¬
ства — флатландцы. Мы расскажем о том, как стремление к идеалу и критическое
отношение к действительности помогают нам познать окружающий мир.
24
Глава 2
Двумерный мир
Если мы хотим изучить окружающий мир с помощью математических методов,
его необходимо описать на языке математики. Этот процесс называется моделиро¬
ванием. Геометрия и топология изучают задачи, связанные с формой пространств
и фигур. Так как мы хотим определить форму нашей Вселенной, наша цель — изу¬
чить, как выглядят трехмерные пространства. Это очень сложная задача, поэтому
мы начнем с более простого случая и рассмотрим двумерные пространства, то есть
поверхности.
ИГРУШЕЧНЫЕ МОДЕЛИ
Когда мы заходим в тупик в попытках решить крайне сложную математическую задачу, воз¬
можны два варианта. Первый заключается в упрощении модели, то есть в поиске похожей
модели, содержащей меньше условий. Такие модели, которые обычно называются игрушечными
(от англ, toy model), помогают переосмыслить исходную задачу. Если в ней рассматриваются
многомерные многообразия, то можно взять за основу задачу для меньшего числа измерений.
Второй вариант - «бегство вперед», то есть обобщение, поиск такой задачи, для которой
исходная будет представлять лишь частный случай. Иногда можно выстроить целую теорию,
результатом которой будет искомое решение задачи. К примеру, целый раздел топологии под
названием «алгебраическая топология» родился в результате обобщения задачи об отверстиях
в многообразиях.
Флатландия — это двумерный мир. В нем живут двумерные существа, кото¬
рые могут двигаться вперед и назад, влево и вправо. Им неизвестно значение слов
«вверх» и «вниз». Более того, во Флатландии этих понятий не существует, и ее оби¬
татели никак не могут представить себе их смысл.
25
ДВУМЕРНЫЙ МИР
ФЛАТЛАНДИЯ
Флатландию впервые описал Эдвин Эбботт (1838-
1926, Лондон) в увлекательном одноименном
романе, опубликованном в 1884 году (Flatland.
A Romance of Many Dimensions), где рассказыва¬
ется о приключениях двумерных существ, живущих
в плоском мире. Роман популярен среди студентов
математических факультетов, хотя скрывает в себе
жестокую критику викторианского общества той
эпохи. Жители Флатландии - треугольники, ква¬
драты, пятиугольники и другие фигуры. Чем боль¬
ше у них сторон, тем больше привилегий и власти.
Круги, имеющие бесконечное число сторон, носят
звание жрецов. Женщины Флатландии - простые
отрезки, и в обществе им отводится одна из наи¬
менее важных ролей. Обложка первого издания книги
Главный герой книги - квадрат, которому откры- Эдвина Эбботта.
вается третье измерение. Когда он пытается пере¬
дать свои новые знания сородичам, его признают еретиком и навечно заключают в тюрьму.
В 2007 году по роману был снят короткометражный мультфильм под названием «Flatland: The
Movie».
Во Флатландии есть город Плоскоград, в котором обитают более 200 тысяч жи¬
телей. Первую героиню нашего рассказа зовут Квадратйна. Это прекрасная моло¬
дая девушка, получившая свое имя благодаря четырем идеально равным сторонам
и изящным углам по 90°. Квадратйна могла бы участвовать в конкурсах красоты,
но тяга к знаниям и желание заниматься наукой повели ее другим путем. Флатланд-
цы — абсолютно плоские существа. Им знакомы лишь два измерения, вдоль кото¬
рых они двигаются. Все флатландцы имеют форму многоугольников (треугольни¬
ков, квадратов, пятиугольников и так далее) или кругов и не имеют толщины. Флат¬
ландию не следует представлять как очень тонкий лист бумаги, на поверхности ко¬
торого лежат флатландцы, — их мир не имеет никакой толщины, и его обитатели
располагаются «внутри» него.
26
ДВУМЕРНЫЙ МИР
Прежде чем начать рассказ о приключениях наших новых героев, следует объ¬
яснить, как они воспринимают окружающий мир. Когда флатландец смотрит вокруг,
область его зрения представляет собой прямую (подобно тому как наша область зре¬
ния представляет собой плоскость, а ощущение глубины возникает в результате ра¬
боты нашего мозга). Флатландец видит своих соотечественников как отрезки. Он
ощущает глубину благодаря тому, что различает пометки на линиях, которые видит.
Так он может определить, где находятся вершины других флатландцев, и понять их
форму. При необходимости флатландцы смещаются из стороны в сторону, чтобы
рассмотреть друг друга с разных точек и таким образом лучше представить себе
собеседника.
А В CD
Область зрения флатландца.
Флатландцы очень умны и обожают науку. Им нравится познавать окружающий
мир и разбираться в причинах происходящего. Как-то раз в маленьком кафе Ква-
дратина заговорила о Флатландии со своим другом Пятиугольником, математиком
по профессии:
Квадратина: Мне хотелось бы совершить большое путешествие и попасть туда,
где еще никто не бывал, увидеть новые места и познакомиться с новыми людьми.
Тебе не кажется, что если я отправлюсь за дальние горы на севере, где еще не был
ни один флатландец, то найду там другие города, где живут существа, похожие
на нас?
Пятиугольник: Какая ты решительная. Когда объедешь всю страну, возвра¬
щайся и напиши книгу воспоминаний. Ты войдешь в историю!
27
ДВУМЕРНЫЙ МИР
Квадратина: Дело в том, что я возвращаюсь к этой идее снова и снова. Я все¬
рьез хочу совершить это путешествие. Но я наверняка не захочу возвращаться
домой и буду исследовать всё новые и новые места.
Пятиугольник: Весь мир верит, что Флатландия — бесконечная плоскость.
Я много размышлял над этой идеей, и она не кажется мне убедительной. Я не могу
постичь бесконечность Флатландии; если Флатландия бесконечна, значит мы —
ничто. Мне кажется, Флатландия конечна, и ты сможешь обойти ее целиком.
Кроме того, мне хочется увидеть тебя снова, когда ты вернешься, и послушать
о твоих подвигах!
Квадратина: Но как же Флатландия может быть конечной? Это значит, что
я дойду до ее края. Надеюсь, что я не свалюсь с него. А что там, за краем?
Пятиугольник: Я не сказал, что Флатландия имеет конец или границу. Я бы
сказал, что наша страна конечна, но неограниченна.
Квадратина: Что-о-о? Как это?
Пятиугольник: Я не уверен в своих словах, но у меня есть свои причины так
думать. Мне кажется, что если ты достаточно долго будешь идти вдоль прямой,
то в итоге вернешься в исходную точку. В какой-то момент ты окажешься в точ¬
ке, которая расположена словно бы по другую сторону Флатландии. Я назвал бы
такую точку антиподальной или как-нибудь в этом же духе, потому что она пред¬
ставляет собой «анти-здесь» или нечто подобное. Если ты продолжишь идти
вдоль прямой, не уходя в сторону, то вновь подойдешь к Плоскограду, но уже
с другой стороны, и вернешься в исходную точку.
Квадратина: Получается, если я отправлюсь на север и все время буду придер¬
живаться одного и того же курса, то вернусь домой с юга?
Пятиугольник: Именно!
Квадратина: Это очень странная теория. Как ты ее придумал?
Пятиугольник: Моя теория стала результатом геометрических исследований.
Я особо не рассказывал о ней, чтобы меня не сочли сумасшедшим. Я размышлял
о том, как чувствуют себя одномерные существа и как они видят свой мир.
Квадратина: Одномерные существа? Что ты хочешь этим сказать? Они вообще
существуют?
Пятиугольник: Конечно, нет! Мир имеет два измерения, и это не обсуждается.
Но я могу представить, как выглядел бы одномерный мир, если бы он существо¬
вал. Сейчас я расскажу тебе о нем. Я буду называть его Лайнландией. В этом
мире существуют всего два направления: вперед и назад. Двигаться в стороны
нельзя. Жители Лайнландии представляют собой точки или отрезки, которые
28
ДВУМЕРНЫЙ МИР
могут двигаться только назад или вперед. Если отрезок s расположен перед от¬
резком /, то s никак не может переместиться так, чтобы оказаться позади /. Я по¬
кажу тебе рисунок.
s
t
Этот мир не слишком-то разнообразен, но он поможет объяснить мою те¬
орию. Все жители Лайнландии считают, что их мир — бесконечная и неогра¬
ниченная прямая. Они верят в это потому, что могут беспрепятственно дви¬
гаться в любом направлении. Для них нет пределов и нет границ. Следова¬
тельно, они делают вывод: их мир простирается бесконечно далеко вперед
и назад.
Теперь, Квадратина, посмотри на рисунок.
Видишь, Лайнландия может быть окружностью, то есть одномерным ми¬
ром, не имеющим пределов и вместе с тем конечным! Если ты начнешь путь
в точке А, то в итоге придешь в антиподальную ей точку В, после чего, если
продолжишь идти в прежнем направлении, приблизишься к исходной точке.
Квадратина: Ничего себе! Теперь понятно. Я отправлюсь в путешествие как
можно быстрее. А что, если Флатландия действительно выглядит так, как ты
думаешь? Это же невероятно!
В конце концов Квадратина отправилась в путь следующим летом, запасясь про¬
дуктами и всем необходимым, чтобы справиться с любыми трудностями: жарой, хо¬
29
ДВУМЕРНЫЙ МИР
лодом, недостатком пищи. Она решила отправиться на север, как можно точнее при¬
держиваясь прямой линии. Друзья в Плоскограде проводили ее со слезами на гла¬
зах. Многие думали, что девушка никогда не вернется домой.
Но спустя три года Квадратина вернулась. Она пришла с юга, как и предсказы¬
вал Пятиугольник. Газеты пестрели громкими заголовками и наперебой рассказыва¬
ли о великом путешествии Квадратины, о местах, где она побывала, и обо всем, что
ей довелось пережить. Но наибольшее оживление прибытие Квадратины вызвало
в научном сообществе. Пятиугольник начал рассказывать о своей теории в Плоско-
градском университете и выступил с множеством лекций. Конечно, нашлись и скеп¬
тики. Они считали, что Квадратина немного отклонилась на восток и шла вдоль
окружности, практически неотличимой от прямой. Не следует и говорить, что по¬
добные комментарии крайне возмутили нашу путешественницу.
Пятиугольник изложил широкой публике свою теорию о сферической Флатлан-
дии следующим образом: он изобразил Флатландию в виде диска и отметил на ней
антиподальную точку знаком *. Если флатландец отправится в путь в любом за¬
данном направлении, то в конце концов достигнет края диска. В этот момент он
на самом деле пройдет через антиподальную точку, после чего вернется в исходную
точку с обратной стороны. Любопытно, что путешественник не заметит этого! Даже
Квадратина не смогла определить, какое из посещенных ей мест было антиподаль-
ным Плоскограду, потому что оно ничем особенным не выделялось.
30
ДВУМЕРНЫЙ МИР
Пятиугольник изобразил сферу как диск (вверху слева), на котором путь из точки С в антиподальную
точку представляет собой прямую. На рисунке изображен пройденный путь на поверхности обычной
сферы (вверху справа) и соответствие между сферой и диском (внизу).
АСТРИЯ, ДВУМЕРНАЯ ПЛАНЕТА
В романе Чарльза Хинтона «Эпизод из жизни Флатлан-
дии» (1907) описаны двумерные существа, живущие
на Астрии - планете в форме диска, удерживаемые
на ее поверхности силой притяжения. Астрийцы огра¬
ничены в перемещениях почти так же, как и жители
Лайнландии - если один из них располагается впере¬
ди другого, они не могут поменяться местами. Впро¬
чем, им известно, что такое «верх» и «низ». Следова¬
тельно, астрийцам проще, чем жителям Лайнландии,
понять, что их мир имеет форму круга.
31
ДВУМЕРНЫЙ МИР
Если бы Флатландия была шаром, то не имела бы края, то есть любой флатлан-
дец, где бы он ни находился, смог бы путешествовать в любом направлении. В этом
случае Флатландия была бы неограниченной. Однако ее общая площадь конечна:
число гор и долин, рек и озер, которые могут уместиться на сферической Флат-
ландии, ограничено. Таким образом, понятия «конечная» и «неограниченная» вовсе
не противоречат друг другу.
Власти Плоскограда решили организовать вторую экспедицию, чтобы подтвер¬
дить или опровергнуть теорию Пятиугольника. На этот раз путешественники от¬
правились на восток. В их числе были как сторонники, так и противники теории
о бесконечности Флатландии, а во главе отряда исследователей стояла Квадрата -
на. Участники второй экспедиции, занявшей всего два года, вернулись в исходную
точку с запада. После завершения всех необходимых торжеств ученые решили про¬
анализировать различные теории о форме Флатландии с учетом результатов обеих
экспедиций. В обсуждении принял участие один из членов экспедиции — политик
Равносторонниус, защитник традиций и сторонник теории бесконечной Флатландии.
Квадратина: По всей видимости, истинность теории о сферической Флатлан¬
дии полностью доказана. На этот раз мы не отклонились ни на шаг от маршрута,
пролегавшего точно по прямой линии. Мы проследовали по маршруту с макси¬
мально возможной точностью.
Равносторонниус: Да, это верно и я подтверждаю правоту ваших слов.
Пятиугольник: Я очень доволен тем, что смог подтвердить мою теорию. А как
выглядела антиподальная точка?
Квадратина: С нами произошло то же, что и в первом путешествии. Мы не смог¬
ли указать какую-либо конкретную точку, после которой мы вновь начали при¬
ближаться к Плоскограду. На этот раз мы постоянно помнили о ней и регулярно
измеряли пройденное расстояние. Насколько я понимаю, антиподальная точка
должна находиться ровно на половине пути.
Пятиугольник: Но обнаружить эту точку в этот раз было проще! Измерять
пройденный путь не следовало. Антиподальная точка должна располагаться там,
где маршрут второго путешествия пересек маршрут первого путешествия. Полу¬
чается, что ты, Квадратина, должна была уже посетить это место в прошлый раз.
Квадратина: Как странно! Маршруты экспедиций не пересеклись. Мы вели
подробный дневник и описывали все посещенные места. Во второй экспедиции
мы ни разу не оказались там, где я прошла во время первого путешествия!
32
ДВУМЕРНЫЙ МИР
Равносторонниус: Я знал! Мы отклонились от маршрута и описали окруж¬
ность. Должно быть, что-то случилось с нашими навигационными приборами —
они сбились, но мы не заметили этого. Таким образом, очевидно, что мы нахо¬
димся на бесконечной плоскости.
Пятиугольник: Но, господин Равносторонниус, Флатландия не может быть
плоскостью! Обратите внимание, что если бы она была плоской, то маршрут с се¬
вера на юг и маршрут с востока на запад пересеклись бы!
Маршруты двух экспедиций Квадратины должны пересекаться.
У флатландцев не осталось никаких теорий о форме окружающего мира. Более
того, они не могли понять, какую экспедицию следует организовать, чтобы разве¬
ять все сомнения. Флатландцы решили учредить в Плоскоградском университете
кафедру топологии, на которой авторитетные ученые занимались бы решением важ¬
нейшей задачи современности — задачи о форме Флатландии. Исследования воз¬
главил Пятиугольник.
Кафедра топологии
Существует гарантированный, хотя и несколько затратный способ определить фор¬
му Флатландии. Для этого нужно исследовать ее территорию и составить географи¬
ческие карты Флатландии, собрав их в один атлас. Каждая карта приводилась бы
на странице с определенным номером и содержала бы изображения и названия раз¬
личных географических объектов — гор, озер, рек и других. Кроме того, на краю
каждой карты приводились бы номера карт соседних территорий.
Этот способ однозначно позволяет познать окружающее пространство. С таким
атласом можно отправиться куда угодно, не рискуя потеряться. В конце концов, что
33
ДВУМЕРНЫЙ МИР
означает «познать» пространство? Это, несомненно, предполагает способность от¬
ветить на любой вопрос, касающийся пространства. К примеру, с помощью атласа
можно изобразить маршруты двух экспедиций Квадратины и увидеть, почему они
не пересеклись.
Пятиугольник составил атлас своей модели сферической Флатландии. Он вклю¬
чал шесть карт под номерами от 1 до 6 и содержал правила перехода от одной карты
к другой.
Карты сферической модели Флатландии, предложенной Пятиугольником. Маршрут экспедиции
изображен на картах 1-4-6-2-1. Начало экспедиции Квадратины предположительно изображено
на карте 1, антиподальная точка, лежащая в середине пути, — на карте 6.
Сферу, предложенную Пятиугольником, удалось изобразить на шести картах,
соединенных согласно указанным правилам. Плоскоград изображен на карте 1,
точка, антиподальная ему,— на карте 6. На рисунке слева показано, как проходил
маршрут (однако этот рисунок полезен только для нас, трехмерных существ, но не
для флатландцев). Представление сферы как поверхности в трехмерном простран¬
стве помогает нам понять, что происходит (и придает некоторое ощущение уверен¬
ности), но важно отметить, что рисунок справа настолько же полный, что и рисунок
слева. Более того, поверхность необязательно должна располагаться в трехмерном
пространстве, чтобы быть поверхностью. Флатландия не располагается ни в каком
пространстве, так как сама по себе является пространством.
Чтобы доказать, что модель из шести карт эквивалентна модели диска с антипо-
дальной точкой, описанной на стр. 31, Пятиугольник не мог использовать изобра¬
жение сферы в трехмерном пространстве и поступил следующим образом: он начал
34
ДВУМЕРНЫЙ МИР
АТЛАСЫ
Мы привыкли использовать карты различных участков Земли каждый день. Эти карты приведе¬
ны в атласах, и на краях каждой из них указаны номера страниц, к которым следует обратиться,
если мы хотим увидеть карты соседних территорий. Как правило, участок, изображенный с краю
карты, повторяется и на соседней карте. Иногда повторно изображаемый участок слегка ис¬
кажается в силу изменения масштаба, незначительного поворота карты или кривизны самой
поверхности Земли. Но если мы разделим атлас на отдельные страницы и склеим их краями,
то получим корректную карту интересующего нас региона (возможно, она будет несколько ис¬
каженной, но в топологии подобные мелочи не имеют значения).
Атлас города Кингстон в канадской провинции Онтарио,
состоящий из 43 страниц (карт).
В математике п-мерное пространство называется многообразием и понимается как мно¬
жество карт, собранных в атлас по определенным правилам, которые указывают, как перейти
от одной карты к другой. Следовательно, на картах различных участков Земли изображены
двумерные многообразия.
35
ДВУМЕРНЫЙ МИР
склеивать карты. Первые пять карт удалось склеить без проблем. Для этого их,
разумеется, пришлось растянуть, но это никак не повлияло на конечный результат,
поскольку Пятиугольник рассматривал задачу с точки зрения топологии. Пяти¬
угольник должен был приклеить края карты номер 6 к краям остальных пяти карт
согласно приведенной нумерации. Так как сделать это во Флатландии невозмож¬
но (в двумерном пространстве для этого попросту не хватит места), он обозначил
на карте 6 знаком * точку (он знал, что эта точка должна быть антиподальной)
и вывернул квадрат под номером 6 наизнанку так, что «внутри» и «снаружи» поме¬
нялись местами. Пятиугольник приклеил края этого квадрата к остальным картам,
не забывая, что наружная часть карты 6 соответствует точке *. В результате полу¬
чился диск — модель сферической Флатландии.
Задача, изначально стоявшая перед кафедрой топологии, заключалась в следую¬
щем: требовалось объяснить, почему два пути из Плоскограда (один в направлении
север — юг, второй — в направлении запад — восток) не пересеклись.
Чтобы изучить пути на поверхности, лучше всего представить их с помощью
петли из эластичной веревки. Если мы сдвинем петлю в сторону (то есть растянем
или сожмем ее по необходимости), то маршрут изменится. Некоторые петли можно
сдвинуть так, что затем их можно свернуть, то есть притянуть к себе и стянуть в точ¬
ку. Такие петли называются тривиальными.
★
Результат объединения шести карт. Квадрат, помеченный цифрой 6,
«вывернут наизнанку», и из него исключена точка *.
Рассматриваем петли во Флатландии
36
ДВУМЕРНЫЙ МИР
Любую петлю на сфере всегда можно стянуть в точку, в то время как на бублике существуют
нетривиальные петли.
Топологи Флатландии заключили, что маршруты экспедиций Квадратины
не могли быть тривиальными петлями. Представим, что одна из петель, изображен¬
ных сплошными линиями на рисунке, тривиальна. Тогда ее можно взять за концы
и стянуть. Областью, ограниченной этой петлей, будет диск, выделенный на рисун¬
ке серым цветом. Один конец петли, изображенной пунктирной линией, находится
внутри диска, другой — снаружи, следовательно, в какой-то точке петля выходит
за пределы диска. Именно так определяется точка пересечения двух петель.
Если бы Квадратина протянула нить вдоль своего маршрута, а затем связала бы
ее концы и потянула бы за них, то не смогла бы стянуть нить в точку. Получается,
что петля словно бы окружает невидимое для флатландцев отверстие. Можно ска¬
зать, что оно возникает тогда, когда имеется петля, которую нельзя стянуть в точку,
то есть отверстие — это нетривиальная петля. Если две нетривиальные петли со-
37
ДВУМЕРНЫЙ МИР
В ПОИСКЕ ОТВЕРСТИЙ: ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА
Фундаментальная группа - алгебраический инвариант, позволяющий обнаружить «отверстия»
в пространстве X. Рассмотрим точку Р пространства X, которую будем называть базисной. Будем
называть петлей в пространстве X путь, начинающийся и заканчивающийся в точке Р (его можно
впадают друг с другом, то им соответствует одно и то же отверстие. Если две петли
можно преобразовать одну в другую и наоборот, такие петли называются гомотоп¬
ными (от греческого «гомо» — «подобный» и «топос» — «место»).
Две гомотопные петли обвязывают одно и то же отверстие.
Отверстие существует в двумерном мире, хотя сама поверхность располагается
в трехмерном пространстве.
Первая попытка: тор
Первую теорию, описывающую форму Флатландии, при которой возможны марш¬
руты путешествий Квадратины, предложил молодой докторант Трапецоид. Идея
Трапецоида, подобно почти всем гениальным идеям, родилась случайно. Ученый пы¬
тался найти способ, позволяющий построить петлю, которая не пересекала бы дру-
38
ДВУМЕРНЫЙ МИР
представить как замкнутую нить, которую мы «выбросили» в пространство). Петли в пространствеX
могут двигаться, при условии, что их начальная и конечная точки зафиксированы в Р. При таком
движении длина пути может изменяться (будем считать, что нить эластична). Если мы, перемещая
петлю, сможем ограничить ею некоторую окрестность Р, после чего нить можно будет стянуть в точ¬
ку Р (при условии, что нить эластична), то такая петля называется тривиальной. Нетривиальные
петли окружают отверстия. Фундаментальная группа содержит все отверстиях, то есть все петли.
Петли считаются равными, если одну можно получить из другой эластичной деформацией.
Фундаментальные группы - одни из важнейших объектов в топологии. Именно поэтому они носят
столь гордое, но заслуженное звание фундаментальных.
гую. Он прочел о недавно созданной физической теории, в которой частица могла
исчезнуть в одной точке пространства и появиться в другой. Хотя согласно этой
теории подобный эффект проявлялся лишь на квантовом уровне, была выдвинута
гипотеза о существовании некой области пространства, попав в которую, флатлан-
дец исчезал и возникал в другой, далекой области пространства. Такая область
должна была иметь достаточно большие размеры, чтобы в нее поместился целый
флатландец, и была подобна межпространственным воротам, позволяющим быстро
попасть из одной точки в другую.
Представьте себе Вселенную, в которой расположены двое межпространствен¬
ных ворот, на востоке и на западе, так, что если мы войдем в Рг то выйдем из Р2,
и наоборот. В этой ситуации мы можем изобразить два возможных маршрута Ква-
дратины.
39
ДВУМЕРНЫЙ МИР
Путь, отмеченный сплошной линией, нетривиален: как бы мы ни смещали его, он
всегда будет входить в Рх и выходить из Р2, и стянуть его в исходную точку нельзя.
Путь, отмеченный пунктирной линией, также нетривиален — его нельзя сдвинуть
так, чтобы затем стянуть в точку. Трапецоид отметил два недостатка модели.
1. Путь, отмеченный пунктирной линией, — не прямая. Трапецоид мог бы ска¬
зать, что в топологии один и тот же маршрут может описываться как прямой,
так и кривой линией, однако он предложил альтернативное объяснение и со¬
ставил модель с антиподальной точкой. Квадратина, следуя по маршруту, от¬
меченному пунктирной линией, направлялась на север, затем проходила через
антиподальную точку и возвращалась в исходную точку с юга. Следовательно,
описанное пространство было конечным и неограниченным, подобно сфере.
2. Квадратина не заметила никаких межпространственных ворот, никакой обла¬
сти круглой или иной формы, войдя в которую, она бы увидела, что вышла
в другом месте. Трапецоид указал, что нет никакой причины, по которой про¬
хождение через подобные ворота должно быть заметным. Если мы посмотрим
через ворота Ру то всего лишь увидим то, что находится за ними, то есть об¬
ласть пространства перед Р2, так как свет свободно проходит сквозь ворота.
Любой путешественник пройдет через межпространственные ворота, ничего
не заметив.
Слева: Трапецоид наполовину вошел в Р1 и выходит через Р2.
Справа: Квадратина и Треуголин мило беседуют. Они стоят лицом друг к другу
и не замечают никаких особенностей в окружающем пространстве.
Для читателя, который уже наверняка превратился в тополога (правда, не двух-,
а трехмерного), понять модель мира, предложенную Трапецоидом, проще, чем ка¬
жется. Чтобы изобразить Флатландию, мы можем использовать третье измерение.
Кроме того, так как мы рассматриваем формы с точки зрения топологии, то можем
растягивать и сжимать различные области Флатландии как нам заблагорассудится.
40
ДВУМЕРНЫЙ МИР
Начнем с того, что растянем область возле ворот Р1 и Р2 так, чтобы притянуть
эти точки ближе друг к другу.
P Р
2 1 1
Между точками Рх и Р2 установлено соответствие. Путь, проходящий через Рг
выходит из точки Р2. Будем притягивать Pt и Р2 друг к другу до тех пор, пока они
не совпадут.
С
Мы соединили Р1иР2и получили «ручку». На поверхности ворота Р1 и Р2 превратились
в окружность, которую мы обозначили буквой С.
Напомним, что переход через межпространственные ворота происходит неза¬
метно. Во Флатландии ворота С ничем не обозначены и с точки зрения физики их
не существует — эти ворота всего лишь абстракция, с помощью которой Трапецоид
смог объяснить, как можно решить задачу о маршрутах экспедиций Квадратины.
Когда Трапецоид проходит через межпространственные ворота С, он идет справа
налево по маршруту, показанному на иллюстрации на предыдущей странице. Эта
петля нетривиальна, то есть ее нельзя стянуть в точку. Это означает, что петля окру¬
жает отверстие. Это отверстие можно увидеть только из третьего измерения, однако
флатландцы тоже способны понять, что оно существует, так как могут обнаружить
41
ДВУМЕРНЫЙ МИР
его доступными им средствами (путем анализа петель). Следовательно, можно ска¬
зать, что Трапецоид также «видит» отверстие.
Трапецоид назвал свою модель двумерного пространства с межпространствен¬
ными воротами и антиподальной точкой тором (термин «тор» — это сокращение
от «Транспортировка через ОтвеРстие»). Трапецоид предположил, что Флатлан-
дия имеет форму тора. В этом случае, как и в сферической модели, она конечна,
но не имеет границы. На поверхности тора оба маршрута Квадратины можно про¬
ложить так, что будут выполняться все необходимые условия. Поверхность, которая
в математике называется тором, представляет собой бублик. Вынуждены признать¬
ся, что на самом деле термин «тор» происходит из латыни и в буквальном переводе
означает «подушка».
Модель тора включает двое межпространственных ворот и антиподальную точку. В этой модели
Квадратина может совершить два путешествия вдоль непересекающихся прямых линий.
Если мы выполним топологическую деформацию, то увидим, что поверхность модели эквивалентна
поверхности бублика, и на ней можно изобразить две петли, выходящие из одной точки,
которые не будут пересекаться ни в какой другой точке.
Трапецоид предложил вторую модель тора. Он изобразил квадрат, четыре стороны
которого соответствовали четырем сторонам света: северу, югу, западу и востоку (С,
Ю, 3 и В). Если флатландец проходил через сторону В, то оказывался в соответ¬
ствующей точке стороны 3, расположенной на той же высоте. Вместо маленьких
Определение тора с помощью квадрата
42
ДВУМЕРНЫЙ МИР
межпространственных ворот Трапецоид рассмотрел длинную линию, вдоль которой
флатландцы перемещались в другую часть поверхности. Если кто-то проходил через
сторону С, то переносился в соответствующую точку стороны Ю.
В
Ю
Флатландцы в модели тора, определенной посредством идентификации сторон квадрата.
Но так как мы выбрали межпространственные ворота настолько большого раз¬
мера, возникает новая проблема: что происходит там, где они соединяются? Может
случиться, что после того, как мы пройдем через ворота, половина нас перенесется
в одно место во Флатландии, другая половина — в совершенно другое место? Это
было бы ужасно! Трапецоид обратил внимание на эту проблему и показал, что если
мы находимся в одной из таких точек и не двигаемся с места, то наше тело разделя¬
ется между четырьмя областями.
А с В
В,3
3
В
ю
с
ю
с
^втз
с
ю
D
Окрестность вершины квадрата.
43
ДВУМЕРНЫЙ МИР
Но флатландцы, находящиеся в этих точках, не чувствуют ничего особенного.
Посмотрим, почему это так. Допустим, что Трапецоид дошел до точки В и остано¬
вился. При этом он одновременно перенесся в точки А, С и D. Достигнув точки В,
он может продолжить путь через любую из четырех вершин квадрата. Находясь
в точке В, Трапецоид может оглянуться вокруг и увидеть область тора (предпола¬
гается, что Флатландия очень велика, поэтому Трапецоид увидит не слишком боль¬
шую ее часть). Эта область будет состоять из четырех частей: юго-западная — часть
квадрата с углом при вершине В; северо-западная область — часть квадрата с углом
при вершине С; северо-восточная область — часть квадрата с углом при вершине
D; юго-восточная область — часть квадрата с углом при вершине А. Таким обра¬
зом, Трапецоид по-прежнему будет видеть Флатландию как плоскость. Если бы
межпространственные ворота были выкрашены черной краской, то он как минимум
увидел бы крест, расположенный в той же точке, где находился он сам. Но так как
эти ворота не помечены, Трапецоид не испытывает никаких необычных ощущений.
И вновь мы можем использовать третье измерение, чтобы топологически изо¬
бразить квадрат, описанный Трапецоидом. Растянем этот квадрат так, чтобы полу¬
чился прямоугольник. Соединим стороны С и Ю и склеим их друг с другом. Сторо¬
ны 3 и В превратились в окружности. Чтобы склеить их, растянем получившийся
цилиндр и соединим 3 и В. Получится тор. Четыре вершины квадрата, соединен¬
ные вместе, совпадают в одной точке. Если теперь мы уберем следы склеек, то эта
точка будет неотличима от всех остальных точек тора.
С
3
Ю
С
Ю
3 В
Квадрат со склеенными сторонами Си Ю, 3 и Вс точки зрения топологии
эквивалентен поверхности бублика.
44
ДВУМЕРНЫЙ МИР
Трапецоид также показал, что его модель квадрата эквивалентна модели тора.
Между прочим, именно так он открыл свою вторую модель. Он рассмотрел ис¬
ходную модель и провел линию от межпространственных ворот Р2 на запад через
антиподальную точку так, что линия пришла к воротам Р1 с востока. Эту линию он
обозначил через L, точнее, верхнюю ее сторону — через Ly нижнюю — через Lr
Затем он выполнил действие, обратное склеиванию. Трапецоид сказал: «L будет
межпространственными воротами. Любой, кто входит в Ly выходит из L2, и наобо¬
рот». Иными словами, он изобразил, что получится, если мы сместим пространство
так, чтобы склеить края ворот друг с другом.
Ключевой момент рассуждений заключается в том, что межпространственные
ворота — это особая линия во Флатландии: если мы пересечем ее, то попадем в дру¬
гую область страны. Мы можем провести во Флатландии произвольную линию
и назвать ее межпространственными воротами, так как она будет выполнять ту же
функцию. Как мы уже говорили, ничто не указывает, где именно находятся ворота.
Если мы их не отметим специально, ни один флатландец не сможет увидеть эти во¬
рота. Продолжив рассуждения, придем к выводу: межпространственными воротами
можно считать любую линию, так как флатландцы подходят к ней с одной стороны
и выходят с другой.
После того как Трапецоид проиллюстрировал свои рассуждения рисунком, он
разделил области Lx и Lv указав, что всякий, кто войдет в Ly выйдет через соот¬
ветствующую точку L2. Так он описал форму Флатландии посредством квадрата.
—" ★
Р± и Р2 превращаются в В и 3 соответственно, L1n L2 — в С и Ю. Антиподальная точка
становится серединой Lx (отмечена знаком *), а следовательно, и L2, так как эти области
склеены друг с другом.
★
★
L, L2
45
ДВУМЕРНЫЙ МИР
Другие варианты
За свои блестящие идеи Трапецоид не только получил докторскую степень, но и был
удостоен премии как лучший молодой исследователь года. Его теория объясняла
особенности двух маршрутов Квадратины и позволяла однозначно решить задачу
о форме Флатландии. Оставалось лишь убедиться, что жизнь во Флатландии соот¬
ветствует теории. Но прежде чем была подготовлена экспедиция, чтобы подтвер¬
дить правоту Трапецоида, сам Пятиугольник, видный тополог (и научный руково¬
дитель Трапецоида), покончил с надеждами на скорое решение вопроса. Он посту¬
пил как любой опытный математик — обобщил уже известные теории. Применив
ту же идею о межпространственных воротах, Пятиугольник нашел способ построить
множество возможных двумерных объектов, каждый из которых мог корректно
описывать форму Флатландии. Для этого он расположил четыре, шесть или любое
другое четное число межпространственных ворот на поверхности диска. Эти ворота
обязательно должны были быть объединены в пары. К примеру, шесть ворот он
обозначил через Ру Р2, Qr Q2 и Ry Rr Любой, кто входил в ворота Ру выходил
из Р2, и наоборот. Тот, кто входил в Qr выходил из Q2, и так далее для всех осталь¬
ных ворот. В таком мире можно построить два непересекающихся маршрута, по¬
добных маршрутам Квадратины.
Модель мира с тремя парами межпространственных ворот. Из Плоскограда можно проложить два
непересекающихся маршрута. Рассмотрев модель в трех измерениях и применив топологическую
деформацию, мы можем показать, что модель эквивалентна бублику с тремя отверстиями.
46
ДВУМЕРНЫЙ МИР
В таких пространствах существует множество нетривиальных петель. Будем на¬
зывать родом число пар межпространственных ворот. Обозначим род буквой g. Мо¬
дели, описанные Пятиугольником, содержат 2g межпространственных ворот. Тра¬
пецоид описал случай g = 1, а Пятиугольник обобщил его модель для любого g > 1.
Для каждой пары ворот существует путь, входящий через одни ворота и выходящий
из других (конечная точка такого пути — Плоскоград). Также существует путь,
окружающий первые ворота. Эти две петли не пересекаются, следовательно, они
не могут быть тривиальными. Проведя аналогичные рассуждения для каждой пары
ворот, получим 2g нетривиальных петель.
Ориентируемость. Лента Мёбиуса
Вопрос о форме Флатландии быстро стал популярной темой для разговоров на встре¬
чах и посиделках в кафе. Каждый флатландец хотел внести свой вклад в решение
задачи или верил, что именно ему известен правильный ответ. Одни приводили
в высшей степени антинаучные доводы. Другие воспользовались моментом, чтобы
выгодно продать свои товары. Нашлись и те, кто попытался найти решение, задав
всем флатландцам вопрос: «Как вы считаете, какую форму имеет Флатландия?»
Некий писатель-фантаст написал роман, в котором флатландец по имени Равно-
бедрин совершил путешествие по Флатландии, а когда вернулся в родной город,
то оказалось, что его стороны поменялись местами: левая сторона стала правой,
а правая — левой. У всех флатландцев глаза расположены на правой стороне,
а у Равнобедрина по возвращении из путешествия глаз оказался слева. После захва¬
тывающей погони Равнобедрин был схвачен секретной службой и посажен в тюрь¬
му. Его подвергли длительным допросам и провели над ним множество медицинских
экспериментов в надежде понять, из какого инопланетного мира он прибыл. Однако
Равнобедрин утверждал, что он — тот же самый Равнобедрин, который отправился
в путь несколько лет назад. Любопытнее всего то, что Равнобедрин в бреду говорил,
что его глаза расположены справа, а у всех остальных флатландцев — слева. Каза¬
лось, что он постоянно путал право и лево, поднимал правую руку всякий раз, когда
его просили поднять левую, и наоборот. Он словно жил по другую сторону зеркала
и утверждал, что его мир реален, а все остальное — отражение в зеркале.
Роман заканчивался тем, что брат Равнобедрина, который все это время пытался
найти и освободить его, отыскал межпространственные ворота, из которых любой
выходит «наоборот». Брату удалось освободить Равнобедрина, и они успели вновь
пройти через межпространственные ворота, пока их не поймали. Равнобедрин стал
47
ДВУМЕРНЫЙ МИР
таким, как прежде, и полиция уже не могла его арестовать. Но когда брат Равно-
бедрина, сопровождавший его во втором путешествии, вернулся обратно, оказалось,
что его глаза находятся слева, и не успел он объяснить, что произошло, как был
тут же схвачен полицией!
Равнобедрин живет в любопытном мире, где можно совершить путешествие, после которого
право и лево поменяются местами. Однако сам Равнобедрин не заметил в себе никаких
изменений.
Линии А и В склеены, но соответствие между их точками не прямое, а обратное: точкам
в верхней части А соответствуют точки из нижней части В, и наоборот. Схема склейки
показана стрелками на линиях А и В: нужно соединить Ас В так, чтобы направление стрелок
совпадало. Полученная поверхность называется лентой Мёбиуса.
Ученые Флатландии пришли к консенсусу: хотя путешествия, после которых
право и лево меняются местами, могут быть темой романов и кинофильмов, в реаль-
48
ДВУМЕРНЫЙ МИР
ности они невозможны. Подобные явления во Флатландии никогда не наблюдались.
В реальном мире у всех флатландцев глаза располагались справа, и казалось немыс¬
лимым, что может быть иначе. Поэтому ученые сразу же отвергли модель Флатлан¬
дии, которая могла бы содержать подобные аномалии.
МЁБИУС
В аргентинском фильме «Мёбиус» (1996) метро Буэнос-
Айреса внезапно превращается в ленту Мёбиуса. Один
из поездов исчезает в пространстве и времени. В то вре¬
мя, когда происходит действие фильма, множество линий
буэнос-айресского метро связаны друг с другом кольце¬
вой веткой - одной из линий, где можно отыскать сле¬
ды пропавшего состава. Фильм, показывающий, какие
опасности подстерегают нас в неориентированном мире,
снят по рассказу Армина Дейча «Лист Мёбиуса» (англ.
«А Subway Named Môbius», 1950).
49
Глава 3
Топология поверхностей
Топология — раздел математики, изучающий общую форму пространств, которые
могут быть изменены с помощью непрерывных деформаций, например сжаты или
растянуты, но без разрезов, разрывов и склеек. Слово «топология» происходит
от греческого корня «топос», что означает «место», и суффикса «логия» — «изу¬
чение».
МОСТЫ КЁНИГСБЕРГА
Можно сказать, что топология как наука началась в 1736 году с публикации работы Леонарда
Эйлера о семи мостах Кёнигсберга (город Кёнигсберг, в то время принадлежавший Восточной
Пруссии, сегодня называется Калининградом и входит в состав России). Эйлер рассмотрел
задачу о поиске пути, проходящего по всем семи мостам только
один раз, и обратил внимание, что для решения задачи достаточно
рассмотреть только форму фигур, а именно положение их частей
и связи между ними, при этом расстояния и метрические свойства
не имеют никакого значения. Эйлер обозначил части города точ¬
ками, а мосты - линиями и свел исходную задачу к задаче обхода
графа, изображенного справа.
Решение
задачи о мостах
Кёнигсберга,
предложенное
Эйлером.
51
ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Для тополога следующие фигуры эквивалентны. Каждую из них можно назвать
тором.
Представим, что эти фигуры сделаны из эластичного материала, который не ло¬
мается и гнется как угодно (например, на третьем рисунке вы видите углы, которые
можно скруглить). Будем называть такие деформации эластичными. На следующем
рисунке также изображен тор.
Квадрат с попарно идентифицированными сторонами.
Мы указали, что две стороны, отмеченные буквой А, считаются идентифициро¬
ванными, равно как и стороны, отмеченные буквой В. Стрелки указывают, в каком
направлении идентифицированы стороны: их нужно соединить так, чтобы стрелки
совпадали. Стрелки необходимы потому, что склеить стороны квадрата можно дву¬
мя разными способами. Следовательно, если мы попарно склеим стороны, обозна¬
ченные одинаковыми буквами, получим тор.
52
ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
На иллюстрации на стр. 44 мы показали, что при деформации квадрата в трех¬
мерном пространстве мы можем соединить между собой стороны, обозначенные
одинаковыми буквами. Теперь мы имеем полное право склеить эти стороны друг
с другом. Но мы ведь только что указали, что склейки недопустимы! Дело в том, что
в этой ситуации стороны фигуры склеены формально, то есть идентифицированы.
Следовательно, на последнем шаге, представленном на рисунке на стр. 44, когда
мы склеили стороны, обозначенные одинаковыми буквами, в действительности мы
не совершили никаких преобразований, а всего лишь наглядно представили фор¬
мально корректную модель. Кроме того, после склейки сторон на поверхности ока¬
зались отмечены две окружности, обозначенные буквами А и В. Эти окружности
можно стереть, так как теперь они уже не имеют никакого смысла.
А что произойдет на следующем рисунке?
Эта фигура — тоже тор! Обозначим две петли буквами А и В, разрежем фи¬
гуру вдоль них, при этом идентифицируем стороны буквами и стрелками. Разрез
не является допустимой операцией, но на самом деле мы не делаем никакого раз¬
реза — с точки зрения топологии мы не выполняем никакого преобразования. В ре¬
зультате мы вновь получим квадрат, стороны которого будут отмечены так же, как
и раньше.
А
В
В
пА
Из квадрата, изображенного на предыдущей странице, можно получить заузленный тор,
показанный выше.
53
ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Читатель спросит: как можно преобразовать заузленный тор в тор, имеющий
форму бублика, изображенный на стр. 52, путем растяжения и сжатия? В самом
деле, «развязать» тор в трехмерном пространстве нельзя. Чтобы вы могли понять,
почему это так, нам следует использовать более точную терминологию.
Внутренняя и внешняя топология
Будем называть внешними свойствами те, которыми обладает фигура, находяща¬
яся в окружающем (трехмерном) пространстве. Два объекта имеют одинаковую
внешнюю топологию, если от одного из них можно перейти к другому путем дефор¬
мации внутри окружающей среды. Поверхности, изображенные на иллюстрации
на стр. 52, эквивалентны с точки зрения внешней топологии. Но заузленный тор
с точки зрения внешней топологии отличается от обычного. Представьте, что перед
нами заузленный тор, сделанный из резины. Каким бы деформациям мы его ни под¬
вергали, развязать его нельзя — для этого потребуется тор разорвать.
Внутренняя топология, напротив, изучает топологические свойства, которыми об¬
ладает фигура сама по себе, эти свойства не зависят от того, как она вложена в трех¬
мерное пространство. Торы, изображенные на рисунке на стр. 52, и заузленный тор
с точки зрения внутренней топологии эквивалентны. Более того, фигура необязатель¬
но должна быть погружена в трехмерное пространство. Все эти поверхности тополо¬
гически эквивалентны: живущие на них существа не смогут различить их.
Можно сказать, что две поверхности в пространстве топологически эквивалент¬
ны, если мы можем преобразовать одну из них в другую посредством эластичных
деформаций (растяжения и сжатия), при этом мы также можем разрезать, дефор¬
мировать и склеить фигуру опять в том же месте, где был сделан разрез. В этом слу¬
чае двумерное существо не сможет отличить полученную поверхность от исходной.
Чтобы понять внутреннюю топологию пространства, следует рассматривать это
пространство само по себе, а не как вложенное в трехмерное или иное пространство.
Если пространствах и У эквивалентны, то деформация, позволяющая перейти
от одного из них к другому, задается отображением /: X —» У. Это отображение со¬
поставляет точки пространства X точкам пространства У (технически / представля¬
ет собой биекцию) так, что каждой окрестности точки X соответствует окрестность
точки У (говоря математическим языком, / является непрерывным в двух направле¬
ниях — отХкУиотУк X). Свойство непрерывности означает, что деформация
допускает растяжение или сжатие, но не допускает разрывов.
54
ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
В математике деформация / называется гомеоморфизмом (от греческого «го-
мео» — «одинаковый» и «морфо» — «форма»). Следовательно, два пространства
гомеоморфны, если имеют одинаковую форму (общую).
Гомеоморфизм пространств ХиУ переводит точки в точки, окрестности — в окрестности.
Ориентируемость
Поверхность называется неориентируемой, если мы можем нарисовать на ней пет¬
лю, в которой стороны меняются местами. Иными словами, если флатландец прой¬
дет вдоль этой петли, то по возвращении его право и лево поменяются местами, как
показано на верхнем рисунке на стр. 48.
Лента Мёбиуса — неориентируемая поверхность. Чтобы изготовить ее, нужно
взять длинную полоску бумаги и склеить ее концы, повернув один из них на пол-
оборота. Ленту Мёбиуса независимо друг от друга открыли немецкие математики
Август Мёбиус и Иоганн Листинг в 1858 году (между прочим, именно Листинг
ввел термин «топология»). Лента Мёбиуса обладает несколькими любопытными
свойствами.
— У этой ленты всего один край: если мы обозначим точку на ее краю и будем
двигать палец вдоль него до тех пор, пока не вернемся к отмеченной точке,
то пройдем вдоль всего края.
— У нее всего одна сторона: если мы поставим палец на одну из ее сторон и бу¬
дем двигать его вдоль нее, то вернемся в исходную точку, но уже с другой
стороны. Следовательно, обе стороны ленты Мёбиуса на самом деле одна
и та же сторона.
55
ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Поверхность в трехмерном пространстве называется раскрашиваемой в два
цвета, если она имеет две стороны, которые можно раскрасить в разные цвета.
Следовательно, лента Мёбиуса не является раскрашиваемой в два цвета. Иногда
ориентируемость приравнивают к наличию двух сторон, но это неверно: ориенти¬
руемость — внутреннее свойство поверхности, а возможность раскрасить ее в два
цвета — внешнее.
В нашем мире поверхности имеют стороны, но в действительности понятие сто¬
роны относится к внешней топологии. Читателю, который по-прежнему сомневает¬
ся, что раскраска поверхностей выполняется в трехмерном пространстве, мы пред¬
лагаем ответить на следующий вопрос: можно ли раскрасить в два цвета кривую?
Это можно сделать, если кривая расположена в двумерном пространстве. Если же
она находится в трехмерном пространстве или если мы рассматриваем кривую саму
по себе и считаем, что она не находится ни в каком пространстве, то раскрасить ее
в два цвета нельзя.
Кривую на плоскости можно раскрасить в два цвета, иными словами, она имеет две стороны.
Чтобы раскрасить сторону, нужно закрасить часть плоскости вблизи кривой.
Кривая в пространстве не имеет сторон.
56
ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Рассмотрим поверхность в пространстве. Две ее стороны можно раскрасить си¬
ним и красным цветом, и эта раскраска будет носить уже не локальный, а общий
характер. Раскрашивая ленту Мёбиуса, мы обнаруживаем, что цвета смешиваются.
Ориентируемость относится к внутренней топологии. Если говорить математи¬
ческим языком, то поверхность является бесконечно плоской и имеет нулевую тол¬
щину. Флатландцы находятся не «на» поверхности, а «в» ней. В своем мире они
не могут отличить одну сторону от другой, так как не могут посмотреть в направ¬
лении, перпендикулярном поверхности, и сказать: «Эта сторона окрашена в синий
цвет». Более того, поверхность может быть абстрактной, как, например, тор, изо¬
браженный внизу на стр. 52. В этом случае говорить о сторонах нет смысла вне
зависимости от того, может флатландец увидеть их или нет.
Интересно заметить, что поверхность в трехмерном пространстве можно рас¬
красить двумя цветами именно тогда, когда она является ориентируемой. Следо¬
вательно, эти два понятия совпадают, хотя первое относится к внешней топологии,
а второе — к внутренней. Понятие ориентируемости по сравнению с возможностью
раскраски двумя цветами обладает следующим преимуществом: ориентируемость
можно рассматривать для абстрактных поверхностей и для поверхностей, располо¬
женных в пространствах с четырьмя и более измерениями.
Докажем это. Пусть дана поверхность, раскрашенная двумя цветами. Выберем
один из этих цветов, например синий. Мы как трехмерные существа можем посмо¬
треть на Равнобедрина, обитающего на этой поверхности, с синей стороны. Допу¬
стим, что когда мы смотрим на Равнобедрина с этой стороны, его глаз располагает¬
ся справа. Будем следить за перемещениями Равнобедрина по поверхности, глядя
на него с синей стороны. В любой момент времени его глаз для нас будет находиться
справа (для этого достаточно проследить за его движением и убедиться, что его глаз
все время остается в одном и том же месте). Когда Равнобедрин завершит свое пу¬
тешествие по поверхности и вернется в исходную точку, его глаз будет по-прежнему
находиться в том же месте (если смотреть на него с синей стороны), следовательно,
поверхность является ориентируемой.
Но если поверхность нельзя раскрасить в два цвета (то есть если она имеет един¬
ственную сторону), то Равнобедрин может двигаться по ней так, что сначала мы
будем смотреть на него с одной стороны, а затем — с другой. Все это время глаз
Равнобедрина будет находиться справа. Когда Равнобедрин закончит свое путе¬
шествие, его глаз будет находиться справа, но теперь мы будем смотреть на него
с противоположной стороны. Иными словами, если мы посмотрим на него с преж¬
ней стороны, его глаз будет находиться слева. Право и лево поменялись местами!
57
ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ЛЕНТА МЁБИУСА И ЦИЛИНДР
Предлагаем вам провести увлекательный эксперимент с лентой Мёбиуса. Возьмите полоску
бумаги примерно 4 см в ширину и 10 см в длину и склейте узкие края. Если склеить их обыч¬
ным способом, получится цилиндр, который имеет два края и две стороны. Но если мы перед
склеиванием повернем бумагу на пол-оборота, то получим ленту Мёбиуса, у которой всего
один край и одна сторона. Разрежем бумагу вдоль экватора ножницами. Получим одну ленту
шириной 2 сантиметра!
У этой ленты будет два края и две стороны (чтобы убедиться в этом, проведите вдоль ленты
пальцем). Мы получили бы ту же самую поверхность, если бы склеили полоску бумаги 2 см в ши¬
рину и 20 см в длину, дважды повернув ее перед склеиванием на пол-оборота. С точки зрения
топологии эта поверхность - цилиндр. Если мы вновь разрежем ее вдоль экватора, то получим
две сплетенные ленты шириной 1 см, которые представляют собой скрученные цилиндры.
Бутылка Клейна — неориентируемая поверхность без края, очень популярная среди
неспециалистов. Эта поверхность и в самом деле имеет форму бутылки, но ее назва¬
ние — результат ошибки при переводе. Бутылку Клейна впервые описал немецкий
математик Феликс Клейн в 1882 году и назвал ее Flàche, что в переводе с немецкого
означает «поверхность». Переводчик допустил ошибку, спутав это слово со словом
Flasche, что означает «бутылка». Название прижилось — скорее всего потому, что
трехмерное представление этой поверхности действительно напоминает бутылку.
Бутылка Клейна строится на основе квадрата, стороны которого идентифициро¬
ваны так, как показано на следующем рисунке.
Бутылка Клейна
58
ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
В
А *
г л
в
Если Квадратина пойдет на восток, то вернется обратно с запада, при этом ее
стороны поменяются местами. Если же она отправится на север, то вернется с юга,
и ее стороны при этом не поменяются. Следовательно, бутылка Клейна является
неориентируемой поверхностью. Более того, она содержит в себе ленту Мёбиуса
(выделена серым цветом на рисунке выше).
Теперь попробуем построить бутылку Клейна в нашем трехмерном мире. Склеив
стороны, обозначенные буквой В, получим цилиндр. Далее нужно склеить два кон¬
ца цилиндра — окружности, обозначенные буквой А. Однако стрелки указывают
в противоположные стороны, поэтому нужно вставить один из концов цилиндра
внутрь, чтобы окружности можно было склеить требуемым образом.
В
А
А
В
На рисунке показано, как склеить стороны бутылки Клейна в соответствии со стрелками.
59
ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Но теперь склеить окружности, обозначенные буквой А, невозможно, так как
их, словно стена, разделяет сама поверхность! Выйти из этой ситуации можно дву¬
мя способами. Первый — разрезать, то есть продеть цилиндр через поверхность
и склеить окружности.
Эту поверхность нельзя в точности назвать бутылкой Клейна, так как ее гор¬
лышко не должно пересекаться со стенкой. Впрочем, мы можем притвориться, что
это самопересечение отсутствует.
Второе решение — выйти в четвертое измерение. Так как построить бутылку
Клейна в трехмерном пространстве невозможно, нам требуется «больше простран¬
ства». Переведем в четвертое измерение горлышко бутылки, соединяющее две
окружности с последнего рисунка на предыдущей странице. В результате горлыш¬
ко бутылки не пересечет ее стенку, которая будет располагаться в привычных трех
измерениях. Чтобы понять, как склеить горлышко, проведем краткую аналогию
с Флатландией. Допустим, что Квадратина хочет закрепить веревку в двух точках
своего мира, разделенных стеной, через которую нельзя перебраться. Если Квадра¬
тина использует дополнительное измерение, то сможет приподнять веревку в это
третье измерение и соединить нужные точки без разрезов.
Квадратина соединяет две точки Флатландии, выйдя в третье измерение, чтобы обойти стену.
Аналогично, можно начать с внешней окружности (см. последний рисунок
на предыдущей странице), удлинить горлышко, слегка вытянув его в положитель¬
ном направлении в четвертом измерении, там продеть его внутрь бутылки, после
60
ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
чего покинуть четвертое измерение и приклеить горлышко к внутренней окружности
уже в трехмерном мире.
Интересно отметить, что бутылка Клейна не умещается в трехмерном простран¬
стве, и это еще одна причина, по которой следует изучать поверхности с точки зре¬
ния внутренней топологии, не рассматривая окружающее их пространство, в кото¬
ром эти поверхности порой не будут умещаться.
Существуют и другие неориентируемые поверхности. Одна из самых известных
поверхностей такого типа — проективная плоскость, представленная на рисунке.
Рассмотрим многоугольник с двумя сторонами (!) и идентифицируем их так, как показывают стрелки.
Мы получим неориентируемую поверхность, которая называется проективной плоскостью. УУ входа в знаменитый Научно-исследовательский математический институт в Обервольфахе
(Германия) установлена масштабная модель проективной плоскости, построенная компанией
«Мерседес-Бенц» и переданная институту в январе 1991 года. Эта поверхность имеет
самопересечения, так как является неориентируемой.
61
ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Топология поверхностей
Теперь наша цель — понять топологию двумерных миров, которые могут быть моде¬
лью Флатландии. Такие пространства называются поверхностями, или топологиче¬
скими поверхностями. В них каждая точка имеет небольшую окрестность, подобную
малому участку плоскости. Окрестностью данной точки Р называется совокупность
точек, расположенных вблизи нее. Следовательно, двумерное существо, которое на¬
ходится на поверхности и страдает близорукостью (относительно размеров своего
мира, то есть может видеть только на небольшое расстояние), сочтет эту поверх¬
ность плоской.
Мы можем расположить систему координат (х, у) в окрестности любой точки,
но не на всей поверхности.
Конечность и компактность
Флатландцы спорили о том, конечна ли Флатландия. Поверхность, подобная
плоскости, бесконечна, так как имеет бесконечную площадь. Здесь следует быть
внимательными, так как понятие площади не относится к топологии (чтобы вы¬
числить площадь, нужно произвести измерения). Более того, поскольку в тополо¬
гии допускается растяжение поверхностей, поверхности конечной площади можно
превращать в поверхности бесконечной площади. К примеру, диск без края можно
растянуть так, что он превратится в плоскость: для этого его сначала нужно будет
выгнуть так, чтобы он принял форму полусферы, а затем построить проекцию этой
полусферы из ее центра, и она заполнит всю плоскость.
62
ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Гомеоморфизм диска и плоскости.
Чтобы избежать двусмысленности, связанной с понятием конечности, топологи
ввели схожее понятие компактности, которое отражает то же свойство, но относится
к топологии. Поверхность является компактной, если ее нельзя растянуть так, чтобы
ее площадь стала бесконечной. К примеру, сфера и тор — компактные поверхности:
сколько бы мы их ни растягивали, их площадь всегда будет конечной.
Поверхности без края и неограниченные поверхности
Флатландцы также считали, что Флатландия неограниченна. Поверхности могут
быть ограниченными по двум причинам. Во-первых, они могут иметь край. Приме¬
ры поверхностей с краем — это диск (его краем является окружность), лента Мё¬
биуса (ее край также представляет собой окружность) и цилиндр (его края — две
окружности). Технически на самом краю наша система координат (х, у) охватывает
не окрестность плоскости, а лишь ее половину, так как у > 0. Если бы мы рассма¬
тривали поверхность с краем, то двумерное существо, дойдя до него, не могло бы
продолжить свой путь (оно словно бы уперлось в стену). Очевидно, что поверх¬
ность, имеющая край, ограничена — границей будет ее край.
Существуют поверхности без края, которые не являются неограниченными, —
например диск без края. Флатландец, шагая по такому диску, мог бы дойти до его
несуществующего края, где увидел бы границу поверхности, но не уперся бы в стену.
63
ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Понятие края относится к топологии, характеристика «неограниченный» — нет.
Диск без края и плоскость топологически эквивалентны, но плоскость является нео¬
граниченной, а диск без края — нет. Следовательно, характеристика «неограничен¬
ный» означает, что если флатландец будет двигаться по поверхности с постоянной
скоростью, то никогда не сможет выйти за ее пределы.
Всякая компактная поверхность без края является неограниченной. Нас интере¬
суют все компактные поверхности без края (именно так на языке топологии звучат
характеристики «конечная» и «неограниченная», описанные в главе 2).
Задача классификации
Мы хотим классифицировать все существующие поверхности. В математике для
классификации объектов некоторого вида нужно выполнить следующие действия:
— составить список всех объектов, которые обладают интересующим нас свой¬
ством или свойствами. Так мы обеспечим полноту классификации;
— убедиться, что два любых объекта из списка различны (то есть неэквивалент¬
ны с рассматриваемой точки зрения). Так мы гарантируем отсутствие повто¬
ров;
— определить какой-либо метод (если это возможно, конструктивный, или ав¬
томатизируемый, чтобы его можно было запрограммировать на компьютере),
позволяющий для любого данного объекта найти эквивалентный ему объект
из списка.
Попробуем составить классификацию поверхностей. Они образуют гигантское
множество S — множество всех поверхностей. Мы хотим составить список X, ко¬
64
ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
торый будет подмножеством S. Список X будет содержать лишь несколько поверх¬
ностей. Должны выполняться следующие условия.
1. 5, S' G Ху S ФS' =$S ФS'. Эта запись читается так: если 5 и 5’ — две раз¬
личные поверхности из списка, они не гомеоморфны.
2. Sе 5 => 3 S' G Ху S~S'. Эта запись означает: для любой поверхности 5 су¬
ществует гомеоморфная ей поверхность S' из списка (эта поверхность будет
единственной, что следует из предыдущего пункта).
3. Существует отображение P: S —> Xt которое каждой поверхности 5 ставит
в соответствие поверхность S' = P(S) такую, что 5 и S' гомеоморфны.
ВАЖНОСТЬ ЗАДАЧ КЛАССИФИКАЦИИ
Задачи классификации имеют огромное значение во множестве разделов математики, так
как позволяют сводить множества объектов к простым спискам и анализировать свойства ис¬
ходных объектов. Как правило, задачи классификации очень сложны. Одна из самых известных
решенных задач классификации - задача о классификации простых групп. Ее решение было
найдено в 1982 году вскоре после того, как была определена группа-монстр максимально
возможного размера, содержащая 808 017 424 794 512 875 886 459 904961710 757 005 754
368000000000 элементов.
Некоторые задачи классификации неразрешимы, например задача о топологической клас¬
сификации компактных четырехмерных многообразий. Так как любая конечно представленная
группа может быть фундаментальной группой четырехмерного многообразия, не существует
алгоритма, позволяющего определить, являются ли два четырехмерных многообразия гомео-
морфными - для этого потребовалось бы решить проблему эквивалентности теории групп,
но она неразрешима.
Для классификации поверхностей нам понадобятся методы, позволяющие разли¬
чить их. Иными словами, необходимо найти свойства, которые помогут определить,
являются ли поверхности гомеоморфными. Такими свойствами могут быть следую¬
щие.
1. Если 5 — поверхность, проверить, является ли она ориентируемой.
2. Проверить, являются ли петли на S тривиальными. Можно рассмотреть все
петли 5 и посмотреть, сколько отверстий имеет 5. Число отверстий определяет
фундаментальную группу 5.
3. Характеристика Эйлера — Пуанкаре, которую мы определим далее.
65
ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Существуют и другие методы различения пространств. Изучающий их раздел
математики называется алгебраической топологией. В алгебраической топологии
пространствам ставятся в соответствие некоторые алгебраические объекты (то есть
множества, на которых определена некая алгебраическая операция), имеющие раз¬
личную сложность, но, в общем случае, более удобные для рассмотрения, чем само
пространство. Однако при поиске подобных соответствий часть информации обыч¬
но теряется.
Характеристика Эйлера - Пуанкаре
Допустим, что дана компактная поверхность, разделенная на многоугольники (сто¬
роны этих многоугольников необязательно должны быть прямолинейными — на¬
помним, что мы рассматриваем поверхность с точки зрения топологии).
Обозначим через V число вершин, через А — число ребер, через С — число
граней (многоугольников). Назовем характеристикой Эйлера — Пуанкаре число
X=V-A+C
(обозначается греческой буквой X — «хи»).
Полученное число не зависит от способа, которым мы разделим поверхность
на многоугольники. Убедиться в этом нетрудно: всякий раз, когда мы добавляем
или удаляем многоугольник, число X остается неизменным (для любого разделения
на многоугольники мы можем последовательно добавлять или удалять многоуголь¬
ники и получить таким образом желаемое разбиение).
Докажем это свойство. Рассмотрим разделение поверхности на многоугольники
и разделим один из многоугольников на две части, как показано на верхнем рисунке
66
ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ХАРАКТЕРИСТИКА ЭЙЛЕРА - ПУАНКАРЕ И ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА
Знаменитая формула Эйлера гласит, что для любого многогранника выполняется соотноше¬
ние V - А + С = 2. Эйлер был удивлен, что это неожиданное соотношение не было известно
древнегреческим геометрам, описавшим все Платоновы и архимедовы тела. Так как любой
многогранник гомеоморфен сфере, формула Эйлера всего лишь означает, что характеристика
Эйлера - Пуанкаре для сферы равна 2.
Название
Вершины,
V
Ребра,
А
Грани,
С
Характеристика Эйлера,
V-A+C
Тетраэдр
t,
4
6
4
2
Гексаэдр,
или куб
1
8
12
6
2
Октаэдр
ф*
6
12
8
2
Додекаэдр
©
20
30
12
2
Икосаэдр
12
30
20
2
настр. 68. Обозначим через V\A\ С’ новое число вершин, ребер и граней соответ¬
ственно. Очевидно, что число граней увеличилось на единицу: С’ = С + 1. С другой
стороны, число вершин может остаться неизменным либо увеличиться на 1 или 2
в зависимости от того, где проходит новое ребро — через существующие вершины
или нет. Запишем V9 = V + х, где х = 0, 1 или 2. Наконец, мы провели одно новое
ребро. Каждая вершина этого ребра может разделить одно из прежних ребер попо¬
лам, в результате чего образуется новое ребро. Следовательно, А = А + 1 + х.
Найдем % для нового разбиения поверхности на многоугольники:
V'-Æ + C'- V+x-(A + \ + x) + (C + \) = V+x-A-\-x + C + \ = V-A + C.
Мы получили прежний результат.
67
ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
\ / \ / \ /
Разделение многоугольника на две части. Возможны три случая: х = 0,1,2.
Компактные ориентируемые поверхности без края
Начнем с простейшей поверхности — сферы. Все петли на сфере тривиальны. Ха¬
рактеристика Эйлера — Пуанкаре для сферы равна 2 (см. иллюстрации на стр. 34).
Имеем: С = 6, V = 8, А = 12, следовательно, X = V — А + С = 2.
Далее рассмотрим тор. На рисунке на стр. 42 мы изобразили два отверстия,
ограниченные нетривиальными петлями (можно определить и другие нетривиальные
петли, однако они образуются повторением этих двух). Следовательно, тор имеет
два отверстия. Читатель может подумать, что бублик имеет только одно отверстие,
но если мы рассмотрим спасательный круг, то убедимся, что он имеет два отверстия:
через первое мы надеваем спасательный круг на себя, через второе — накачива¬
ем его воздухом. (В любом случае представлять отверстие как область, в которую
можно что-то вставить, значит мыслить с точки зрения внешней топологии. Мы же
хотим рассмотреть внутреннюю топологию пространств). Чтобы вычислить харак¬
теристику Эйлера — Пуанкаре для тора, разделим его, как показано на рисунке.
A s В и А
a
b
X
с
â
5
o'
1 1
А В А
Разделение тора на области.
68
ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Имеем С = 4. Число вершин V = 4 (напомним, что точка А повторяется 4 раза,
но на поверхности тора это одна и та же точка; аналогично точки В и С повторяются
дважды). Число ребер А = 8. Имеем 5С = 4 — 8 + 4 = 0.
Тор получается из сферы «приклеиванием ручек». Этот метод аналогичен мето¬
ду построения межпространственных ворот, открытому Трапецоидом (см. главу 2),
и заключается в том, что мы удаляем два небольших диска вокруг двух точек сферы
и приклеиваем к краям этих дисков цилиндр.
С точки зрения топологии этот процесс эквивалентен растяжению границ дисков
с их последующим склеиванием. Говорят, что тор имеет род g = 1. Это означает, что
тор образуется приклеиванием одной ручки к сфере.
Наконец, рассмотрим общий случай, то есть поверхность рода g. Она образуется
приклеиванием g ручек к сфере и имеет 2g отверстий. С приклеиванием каждой но¬
вой ручки на поверхности образуются две новые нетривиальные петли.
Приклеив три ручки к сфере, получим шесть нетривиальных петель.
69
ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Связная сумма
Связная сумма — операция, подобная приклеиванию ручек. Она выполняется сле¬
дующим образом: рассмотрим две поверхности и удалим по диску с каждой из них.
Теперь приклеим к ним ручку (цилиндр), соединяющую обе поверхности.
Если мы рассмотрим g торов и определим связную сумму первого со вторым,
второго с третьим и так далее, то получим поверхность рода g.
Вычислим характеристику Эйлера — Пуанкаре для связной суммы. Рассмотрим
две поверхности, разделенные на многоугольники, и построим их связную сумму
так, что диски, которые мы удалим из каждой поверхности, будут иметь форму тре¬
угольников (напомним, что мы можем разделить поверхность на треугольники как
угодно и что диск гомеоморфен треугольнику). Ручка, которую мы приклеим к кра¬
ям треугольников, будет выглядеть так, как показано на рисунке.
Обозначим через Vy Av Ct число вершин, ребер и граней на первой поверхности,
через Vv Av С2 — число вершин, ребер и граней второй поверхности. Полученная
поверхность будет иметь следующие параметры.
70
ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Теперь применим эти соотношения для фигуры, изображенной на верхнем ри¬
сунке на предыдущей странице. Для каждой связной суммы из каждого выражения,
приведенного выше, нужно будет вычесть 2. Если мы рассмотрим g торов, то по¬
требуется найти (g — 1) связную сумму. Следовательно,
Х = 0 + 0+... + 0-2-2-...-2 =-2(g-l) = -2g + 2.
В этой сумме мы записали 0 для каждого тора и —2 для каждой связной суммы.
Эта формула напрямую связывает характеристику Эйлера — Пуанкаре и род
поверхности.
Фундаментальные многоугольники
Тор можно определить посредством попарной идентификации (склеивания) сторон
квадрата. Поверхность рода g также допускает описание посредством идентифика¬
ции сторон многоугольника (этот многоугольник называется фундаментальным для
данной поверхности).
Чтобы определить поверхность таким образом, будем предполагать, что имеем
два тора, представленные в виде квадратов, и найдем их связную сумму. %алим с их
поверхностей два диска. Выберем диски так, чтобы они касались вершины квадрата
(на верхнем рисунке на следующей странице такие диски выделены серым цветом).
Путем деформации получим два пятиугольника, которые следует приклеить вдоль
края дисков. Этот край отмечен буквой С. В результате склеивания получим вось¬
миугольник, стороны которого идентифицированы на следующем рисунке.
Если мы построим последующие связные суммы, то для поверхности рода g по¬
лучим многоугольник с 4g сторонами, идентифицированными попарно. Теперь мы
можем вычислить характеристику Эйлера — Пуанкаре, так как рассматриваемая
поверхность имеет всего одну грань, одну вершину и 2g ребер: C = l,V=l,/4 = 2g.
Следовательно, % = 2 — 2g.
71
ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Связная сумма двух торов. Имеем восьмиугольник с попарно идентифицированными сторонами.
В случае с поверхностью рода g, чтобы получить тор, мы можем выполнить те же
действия, что и с квадратом, изображенным на стр. 44. Если мы рассмотрим вось¬
миугольник из очень гибкого материала и растянем его нужным образом, то сможем
приклеить его вдоль сторон Ау Av Ву В2 так, что получим поверхность рода 2.
Восемь вершин восьмиугольника сходятся в одной точке (они идентифицированы
в модели). Поэтому при эластичной деформации нужно немного растянуть вершины
в стороны, чтобы получить восьмиугольник с заостренными краями.
Р
к
P Р
Р
Р
Схема склеивания сторон восьмиугольника, при которой образуется поверхность рода 2.
Если мы поместим Квадратину в вершину Р, в нашей модели она разделится
на восемь частей, но на поверхности будет пребывать в целости и сохранности.
72
ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Теорема о классификации поверхностей
Ориентируемые компактные поверхности (без края) таковы:
— сфера; ее род g = 0;
— тор; его род g = 1;
— связные суммы g торов; имеют род g > 2.
Для краткости рассмотрим сферу и выберем целое число g > 0. Построим связ¬
ную сумму сферы с g ручками. Полученная поверхность будет иметь род g. Теорема
о классификации поверхностей гласит: приведенный выше перечень охватывает все
возможные поверхности.
Характеристика Эйлера — Пуанкаре для поверхности рода g равна X = 2 — 2g.
Следовательно, перечисленные выше поверхности различны. Осталось показать,
что представленный список является полным, то есть не существует никаких других
поверхностей, кроме приведенных выше. Это утверждение равносильно следующе¬
му: любая компактная ориентируемая поверхность (сколь бы необычной ни была
ее форма и сколь бы странным способом мы ее ни получили) гомеоморфна одной
из поверхностей, перечисленных в списке. Рассмотрим это подробнее. Поверхность
может быть весьма необычной: к примеру, она может быть определена в трехмерном
пространстве и иметь множество изгибов или узлов, либо определяться посредством
многоугольника, стороны которого идентифицированы необычным способом, либо
73
ТОПОЛОГИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
задаваться неким принципиально новым методом. Нужно доказать, что во всех эти:
случаях, если мы рассчитаем характеристику Эйлера — Пуанкаре % для этой по
верхности 5 и найдем число g такое, что % = 2 — 2g, то, во-первых, g будет неот
рицательным целым числом, а во-вторых, поверхность 5 будет гомеоморфна соот
ветствующей поверхности рода g, указанной в нашем списке. Вовсе не тривиальна
задача!
В завершение отметим, что теорема о классификации поверхностей позволяв
найти метод, требуемый в пункте 3 задачи классификации, так как характеристик;
Эйлера — Пуанкаре можно вычислить механически, и она однозначно определяе
род поверхности.
ВЛАДИМИР АРНОЛЬД И ОБРАЗОВАНИЕ
Российский математик Владимир Арнольд (1937-2010), известный множеством открытий
в разных областях математики, уделял огромное внимание преподаванию этой науки. В ста¬
тье «0 преподавании математики» (доступна на английском языке по адресу http://pauli.uni-
muenster.de/~munsteg/amold.html) он весьма критически отзывается о господствующем сейчас
аксиоматическом преподавании математики и отстаивает необходимость более подробного
рассмотрения задач, ставших причиной ее развития (многие из этих задач относятся к физике
и геометрии). В частности, Арнольд пишет: «Теорема о классификации поверхностей - мате¬
матическое достижение высшего класса, сравнимое с открытием Америки или рентгеновских
лучей. Это настоящее открытие математического естествознания, и даже трудно сказать, при¬
надлежит ли сам факт математике или физике». Он также пишет: «Теорема о классификации
поверхностей должна была бы входить в курсы математики средней школы (вероятно, без до¬
казательства), но не входит почему-то даже в университетские курсы математики».
74
Глава 4
Геометрия во Флатландии
Геометрия (от греческого «гео» — «земля» и «метрия» — «измерение») — это
раздел математики, изучающий свойства пространств, в которых определены раз¬
личные метрические характеристики: расстояния, размеры, углы. Геометрия — одна
из древнейших наук. Ее аксиомы сформулировал Евклид примерно в III веке до н.э.
С тех времен геометрия необычайно развилась, и главным стимулом к ее развитию
стала необходимость изучить движение небесных тел.
Со времен Евклида на протяжении почти двух тысяч лет в геометрии рассма¬
тривались свойства плоских и объемных тел, а понятие пространства как такового
лишь подразумевалось. Пространство считалось бесконечным во всех направлениях
и расширяемым, впрочем, от этого представления пришлось отказаться с открытием
неевклидовых геометрий. Авторами открытия стали Гаусс (никогда не опубликовав¬
ший своих работ по этой теме), Бойяи и Лобачевский. С того времени евклидово
пространство стало считаться лишь одним из возможных. Кроме того, были сфор-
БЕРНХАРД РИМАН (1826-1866)
В 1853 году Карл Фридрих Гаусс попросил своего студен¬
та Римана подготовить к хабилитации (экзамен, дающий
в то время в Германии право занимать высшие универси¬
тетские должности) работу об основах геометрии.
На протяжении многих месяцев Риман работал над
теорией пространств старших размерностей. Наконец,
в 1854 году он выступил с лекцией в Гёттингене и пред¬
ставил одну из важнейших работ в истории геометрии,
которая вызвала всеобщий энтузиазм среди слушателей
и дала начало римановой геометрии. Риман нашел способ
расширить геометрию Гаусса для поверхностей на произ¬
вольное число измерений. Как вспоминал коллега Гаусса Вильгельм Вебер, открытием Римана
был больше всего поражен сам Гаусс.
75
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
мулированы основы геометрий в других видах пространств. Формальное изложение
этой идеи было приведено в римановой геометрии, где пространства рассматривают¬
ся в совокупности с правилами измерения их метрических свойств. Теория Римана
впоследствии сыграла важнейшую роль в развитии общей теории относительности,
разработанной Эйнштейном.
Геометрия изучает локальную форму пространств. Метрические свойства опре¬
деляют форму небольшой окрестности точки, в которой мы находимся (они ука¬
зывают, как будут выглядеть окружности, отрезки и другие фигуры в этой окрест¬
ности). Топологические свойства, в отличие от метрических, определяют свойства
пространства в целом (например, компактность или ориентируемость).
Треугольник на гиперболической поверхности. На рисунке также изображены две прямые.
Они не пересекаются, следовательно, их можно по праву назвать параллельными.
Эти прямые не располагаются на неизменном расстоянии друг от друга.
Геометры Фяатяандии
Теорема о классификации поверхностей произвела настоящую революцию во Флат-
ландии. Ученым с кафедры топологии Плоскоградского университета удалось соста¬
вить перечень всех возможных форм Флатландии. Более того, они также привели
четкий критерий, позволяющий на практике определить, какую именно форму имеет
Флатландия. Этим критерием стала характеристика Эйлера — Пуанкаре. Разуме¬
ется, в своих исследованиях топологи Флатландии исходили из нескольких не осо¬
бенно сложных предпосылок. Напомним их.
— Флатландия не имеет края, то есть является неограниченной. Это естествен¬
но: если бы у Флатландии был край, то что произошло бы с теми, кто дошел
76
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
до него? Кроме того, никто, даже Квадратина и участники ее экспедиции,
никогда не видел ничего, что напоминало бы край Флатландии.
— Флатландия компактна, а следовательно, конечна. Это свойство уже не столь
однозначно. Изначально считалось, что Флатландия — бесконечная пло¬
скость, но результаты знаменитых экспедиций опровергли эту гипотезу. Ко¬
нечность доказывалась на основе экзистенциальной значимости: «если мы,
флатландцы, небольшая группа существ, а окружающий нас мир бесконечен,
то получается, что мы — ничто, затерянное в необозримой Вселенной»
(на языке математики это утверждение выражается формулой 1/°° = 0).
Признаем, что этот аргумент имеет почти мистическую природу: «кто бы
ни создал этот мир, он не мог сделать нас столь незначительными». Любо¬
пытно, что его поддержали даже ученые-агностики, в частности Пятиуголь¬
ник. Эта идея была официально принята жрецами Флатландии — заслужен¬
ными Кругами. Последние сторонники бесконечности Флатландии (среди
них был Равносторонниус) были вынуждены признать свою неправоту после
экспедиций Квадратины. В самом деле, если Флатландия бесконечна, то как
участники обеих экспедиций смогли вернуться домой?
— Флатландия является ориентируемой. Об ориентируемости никто не задумы¬
вался до тех пор, пока не произошла топологическая революция. Затем, когда
флатландцы поняли, что такое ориентируемость и какое значение она имеет,
была высказана гипотеза об ориентируемости Флатландии. Доказательства
гипотезы вновь относились скорее к области психологии. Глаза у флатландцев
расположены справа, поэтому они очень четко видят разницу между «пра¬
вым» и «левым». Предположить, что Флатландия неориентируема, означа¬
ло бы сказать, что понятия «правое» и «левое» не имеют смысла, и в каком-
то месте, куда свободно можно попасть, правое и левое меняются местами,
чего отмечено не было. Кроме того, гипотеза об ориентируемости подтверж¬
далась результатами двух путешествий Квадратины: по возвращении она не¬
изменно выглядела «как надо», а не «наоборот». Очевидно, чтобы убедиться
в этом, требовалось совершить еще несколько экспедиций, но оба путеше¬
ствия Квадратины подтверждали гипотезу об ориентируемости.
Следовательно, чтобы определить форму Флатландии, по теореме о классифи¬
кации поверхностей достаточно вычислить характеристику Эйлера — Пуанкаре.
Путешествия Квадратины доказали, что Флатландия не сфера, следовательно, она
представляет собой поверхность рода g, где g > 1. Чтобы вычислить характеристику
77
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
Эйлера — Пуанкаре, «достаточно» было обойти всю Флатландию и составить ее
атлас. Сразу же стало понятно, что на практике это невозможно: чтобы исследовать
всю Флатландию, группе из более чем 200 флатландцев потребовалось бы примерно
80 лет. Флатландцы оказались в тупике.
КАРТА БОРХЕСА
В микроновелле из сборника «Создатель» (1960) Борхес фантазирует о том, как могла бы вы¬
глядеть географическая карта в натуральную величину. Он описывает ее цитатой из книги не¬
коего Суареса Миранда, но это лишь часть игры, поскольку Борхес очень любил придумывать
вымышленные цитаты:
«О строгой науке
Искусство Картографии достигло у них в Империи такого совершенства, что Карта
одной-единственной Провинции занимала целый Город, а карта Империи - целую Про¬
винцию.
Со временем эти Несоразмерные Карты нашли неудовлетворительными, и Коллегия
Картографов создала Карту Империи, которая была форматом в Империю и совпадала
с ней до единой точки. Потомки, не столь преданные Изучению Картографии, сочли эту
Пространную Карту бесполезной и кощунственно предали ее Жестокостям Солнца и Хо¬
лодов. Теперь в Пустынях Запада еще встречаются обветшалые Развалины Карты, где
находят приют Звери и Бродяги. Других следов Географических Наук в Империи нет»1.
1 Перевод Б. Дубина.
Выход из этой ситуации нашелся в другом разделе математики — в геометрии.
Немногочисленные геометры Флатландии занимались изучением свойств плоских
фигур: треугольников, многоугольников, окружностей. Все эти фигуры описывали
форму флатландцев, поэтому геометрия была очень близка к анатомии. Геометрия,
которая изучалась во Флатландии, была, по сути, евклидовой. На плоскости можно
проводить прямые и измерять углы. Во флатландской геометрии существовало по¬
нятие перпендикулярности (перпендикулярными назывались прямые, пересекавшие¬
ся под углом в 90°) и параллельности (параллельными назывались непересекающие-
ся прямые). Флатландская геометрия была ограничена двумя измерениями, так как
ее задачей было описать реальность, объяснить ее и сформулировать ее аксиомы.
Среди ее постулатов (основных принципов) особенно известен был следующий.
78
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
Постулат о параллельности прямых (во флатландской геометрии)
Через точку Q, не лежащую на прямой г, можно провести одну и только одну пря
мую, параллельную г.
Проведем перпендикуляр s к прямой г через точку Q, а затем проведем через
точку Q прямую t перпендикулярно s. Прямые / и г не пересекутся. Если бы прямой,
параллельной г и проходящей через точку Q, была прямая которая образовыва¬
ла бы с s угол, не равный 90°, то симметричная ей прямая /” также была бы парал¬
лельна г, что противоречит постулату. Следовательно, прямая t параллельна г.
Q
5
t
j
п Г
р
На рисунке справа a * 90° и постулат о параллельности прямых нарушается.
Расстояние между прямыми / и г всегда постоянно. Если мы рассмотрим точку Р’
на прямой г и точку Q’ на прямой t такие, что отрезок P’Q’ перпендикулярен г,
то P’Q’ также будет перпендикулярен / (поскольку / — единственная прямая, па¬
раллельная г и проходящая через точку Q’). Имеем прямоугольник PP’Q’Q.
Противоположные стороны прямоугольника равны. Если бы выполнялось не¬
равенство P’Q’ < PQ, то мы построили бы симметричный прямоугольник, поменяв
местами Р и Р\ Мы получили бы следующий рисунок.
79
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
Q
Q'
тг~
t
_Q
P
P'
г
Имеем четырехугольник PP’RR'. Прямые t (содержит отрезок QQ) и t’ (со¬
держит отрезок RR’) параллельны г, но они обязательно должны пересекаться
в точке S. Следовательно, через точку 5 проходят две прямые, параллельные г, что
вновь противоречит постулату о параллельности прямых.
Мы заключили, что в прямоугольнике PQQ’P’ противоположные стороны име¬
ют одинаковую длину. Проведем диагональ PQ’ и получим, что треугольники PP’Q’
и PQQ’ равны (так как все их стороны попарно равны). Следовательно, углы этих
треугольников, обозначенные на рисунке буквой ОС, также будут равны.
Накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых секущей равны.
Отсюда выводятся различные всем известные утверждения: в частности, можно
показать, что сумма углов треугольника равна 180°. Пусть дан треугольник АВС.
Проведем через точку А прямую, параллельную ВС. Из рисунка следует, что
0С+р + У= 180°.
А
80
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
Геометры Флатландии получили множество подобных результатов. Однако
в последнее время они не совершили значительных прорывов, и геометрия преврати¬
лась в науку для немногочисленных отшельников, которые среди широкой публики
не считались учеными.
Одним из этих геометров был Ромберт. Он заметил, что постулат о параллель¬
ности прямых содержал ошибку: предполагалось, что прямые можно продолжать
бесконечно и что при бесконечном продолжении прямых все свойства, выполняю¬
щиеся в малом масштабе, будут верны и на больших расстояниях. Но эти предпо¬
сылки верны только в том случае, если пространство можно расширять бесконечно.
Иными словами, Флатландия должна быть плоскостью.
«НАЧАЛА» ЕВКЛИДА
Еще каких-нибудь 200 лет назад древнегреческая геометрия была основой всей геометрии
Европы и исламского мира. Одной из важнейших книг стали «Начала» Евклида, в которых вся
геометрия была изложена с помощью конструктивных методов на основе нескольких аксиом.
Трактат Евклида - не полный справочник по древнегреческой геометрии, как порой принято
считать, а, скорее, введение в нее. Кроме этого труда, Евклиду принадлежат восемь книг по гео¬
метрии более высокого уровня. Между прочим, «Начала» были не первым трактатом по геоме¬
трии той эпохи (однако все более ранние тексты утеряны), и многие приведенные в этой работе
результаты к моменту написания книги были уже известны.
«Начала» считаются одной из важнейших книг всех времен: это одна из первых печатных книг
по математике, и, по оценкам некоторых историков, по числу переизданий «Начала» уступают
лишь Библии.
Папирус с фрагментом «Начал», датируемый прим. 100 годом до н.э.
81
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
Сферическая геометрия
После двух путешествий Квадратины по Флатландии теория плоского и бесконеч¬
ного пространства ушла в прошлое. Однако если путешествия Квадратины и новые
открытия в топологии стали известны широкой публике Плоскограда, то коммента¬
рии Ромберта о том, какое отношение эти результаты имели к постулату о параллель¬
ности прямых, остались совершенно незамеченными. Так как Флатландия не была
бесконечной, постулат о параллельности прямых не мог выполняться, а следователь¬
но, ошибочным оказывалось множество результатов, выводившихся из него.
Напомним, что после первого путешествия Квадратины наиболее популярной
была гипотеза о сферической Флатландии (эту гипотезу предложил Пятиугольник).
Ромберт много думал о том, какой может быть геометрия подобного пространства.
Допустим, что Флатландия — сфера. Мы находимся в точке Р и движемся вдоль
прямой линии в произвольном направлении. Пройдя определенное расстояние d, мы
достигнем антиподальной точки Р\ а если мы пройдем расстояние 2d, то вернемся
в исходную точку. Следовательно, мы можем представить Флатландию как диск
радиуса d, граница которого соответствует антиподальным точкам.
Следовательно, любая прямая, проходящая через точку Р, также проходит через
антиподальную ей точку Р\ Имеем любопытный результат: любые пересекающи¬
еся прямые пересекаются в двух точках. В качестве центра можно выбрать любую
точку: во Флатландии все они равны. Следовательно, любая точка Q должна иметь
антиподальную. Соединим прямой точки Р и Q и отложим на этой прямой отрезок
длиной d. Полученная точка Q’ будет антиподальной Q.
Диск как модель сферы. Прямая соединяет точку Р и антиподальную ей точку Р\
Справа представлена соответствующая трехмерная схема.
82
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
Посмотрим, выполняется ли постулат о параллельности прямых. Рассмотрим
прямую г, проходящую через Р. Проведем к ней перпендикуляр s, затем построим
перпендикуляр t к прямой s, проходящий через точку Q. Прямая /, как и все прямые
на сфере, должна проходить через точки, антиподальные всем ее точкам, — в на¬
шем случае это будет точка Q\ расположенная на расстоянии d от точки Q. Имеем
следующий рисунок.
Для данной прямой г проведем прямую t как, возможно, параллельную ей. Однако г Ht постепенно
сближаются друг с другом, а затем пересекаются (в двух точках). Если мы рассмотрим окрестность
точки Р (закрашена серым цветом), то будет казаться, что законы геометрии Евклида выполняются.
Справа изображены прямые гигна поверхности сферы в трехмерном пространстве.
Ромберт понял, что если на малых расстояниях законы геометрии Евклида вы¬
полняются, то в крупном масштабе прямые г и t сближаются друг с другом и в итоге
пересекаются в точках R и R\ антиподальных друг другу.
83
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
Ромберту сложнее всего было объяснить, почему прямая / на рисунке не казалась
прямой. Если это прямая, она не должна изгибаться! Дело в том, что мы смотрим
на рисунок глазами Евклида, и прямая кажется изогнутой. Но если сама геометрия
не обладает теми же свойствами, что и геометрия Евклида, то понятия «прямая»
и «изгибаться» получают новый смысл.
Мы, люди, можем изобразить сферу в трехмерном пространстве, чтобы понять,
что происходит на самом деле. Чтобы изобразить сферу в виде диска (именно так
был вынужден поступить Ромберт, так как он живет в двумерном мире), некоторые
ее области потребуется растянуть или сжать. В результате возникнут искажения,
и прямые на рисунке будут казаться изогнутыми. В малом масштабе искажение не¬
заметно, поэтому флатландцам казалось, что прямые t и г никогда не пересекутся.
Но в крупном масштабе прямые пересекаются.
Чтобы уяснить геометрию Флатландии, следует четко определить смысл поня¬
тия «прямая», чтобы оно было очевидным для всех. Прямая — это кратчайшая ли¬
ния между двумя точками. Руководствуясь этим определением, Ромберт показал,
что на поверхности сферы прямые всегда пересекаются, следовательно, через точку,
не лежащую на данной прямой, нельзя провести ни одной прямой, параллельной
данной.
Рассмотрим поверхность сферы в трехмерном мире. Чтобы найти кратчайший
путь между двумя точками, нужно соединить их нитью и натянуть ее.
А какими свойствами будут обладать углы треугольников на сфере? Их сумма
будет больше 180°. Достаточно рассмотреть треугольник PQR на нижнем рисунке
на предыдущей странице, где R — точка пересечения прямых г и /. Этот треуголь¬
ник имеет два угла по 90° и еще один угол. Сколь бы малым он ни был, сумма углов
будет больше 180°.
Живительнее всего то, что избыток суммы углов треугольника относительно 180°
пропорционален площади треугольника. На языке математики это утверждение за¬
писывается так:
ОС + Р + у —180° = Постоянная • Площадь.
Это означает, что если сумма углов треугольника равна 182°, то сумма углов тре¬
угольника вдвое большей площади будет равна 184°, а сумма углов треугольника,
площадь которого в 10 раз больше площади исходного, достигнет 200°. Наш друг
Ромберт доказал это следующим образом. Рассмотрим треугольник АВС и разде¬
лим его на два треугольника АРС и ВРС, как показано на следующем рисунке.
84
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
В
Сумма углов АРС равна а1 + (31 + yv сумма углов ВРС — 0С2 + Р2 + уг Углы
треугольника АВС равны а = OLy P = Р2, у = yt + у2. Кроме того, 0С2 + Pt = 180°.
Следовательно, имеем:
(oCj + Р1 + у1 —180°) + (а2 + Р2 + У2 —180°) = а + р + у—180°.
Эта величина и будет избытком суммы углов треугольника АВС относительно 180°.
Таким образом, при сложении площадей избытки также складываются, и мы полу¬
чаем уже упомянутое соотношение.
Отметим полученную нами крайне важную формулу суммы углов сферического
треугольника:
а + Р + у = 180° + k • Площадь,
где k — положительная постоянная.
Эта же формула верна и для плоскости — достаточно принять k = 0. Постоян¬
ная k указывает величину искажений относительно евклидова пространства. Чем
больше k, тем больше сумма углов треугольника, следовательно, тем больше «ис¬
кривляются» прямые (подобной терминологии следует избегать, так как прямые
не искривляются по определению). Поэтому Ромберт назвал эту постоянную кри¬
визной. Мы, математики, измеряем углы в радианах, и если быть точными, то кри¬
визной называется величина
K = k- я/180,
и приведенная выше формула имеет вид:
а + Р + у = 180° + К • Площадь • 180° / к.
85
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
Еще одно важное следствие приведенной выше формулы заключается в том, что
треугольники не могут иметь сколь угодно большие размеры: так как величина угла
не может превышать 360°, сумма углов треугольника не может быть больше поро¬
гового значения, равного 3 • 360° = 1080°. Следовательно, площадь треугольника
также не может превышать некоторого порогового значения, которое, разумеется,
зависит от К. В результате понятие подобия треугольников будет неприменимо (на¬
помним, что два треугольника называются подобными, если их углы равны, а длины
сторон второго треугольника равны длинам сторон первого, умноженным на некий
общий множитель).
Разница между геометрией Евклида и неевклидовыми геометриями заключается
в том, что в первой существует гомотетия. Гомотетия позволяет увеличивать дли¬
ны и площади фигур, сохраняя углы неизменными. Мы только что показали, что
при К > 0 это невозможно.
Великий трактат о геометрии сферической Флатландии, над которым Ромберт
начал работу после первого путешествия Квадратины, так и не увидел свет. Ког¬
да Квадратина вернулась из второго путешествия, стало понятно, что Флатландия
не сфера, и Ромберт отложил рукопись в дальний ящик стола. Нелегка доля ученого!
ГРАДУСЫ И РАДИАНЫ
Радиан - это единица измерения углов, применяемая в Международной системе единиц СИ,
а также основная единица измерения углов в физике и математике. Радиан обозначается «рад»
и определяется как угловая величина дуги, длина которой равна ее радиусу.
Рассмотрим окружность радиуса R - 1. Длина окружности будет равна 2к - 6,283185. Это
означает, что полный угол (360°) равен 2к рад. Следовательно, 360° = 2п рад, и 1 рад »
- 360°/2л - 57,296°. Чтобы перевести величину угла из градусов в радианы, ее следует ум¬
ножить на к/180.
86
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
Ромберт понял, что Флатландия должна представлять собой пространство более
общего вида, чем те, что он рассматривал ранее, и предположил, что кривизна К
в разных точках отличается. Более того, кривизна может быть положительной или
отрицательной. Таким образом, сумма углов треугольника во Флатландии должна
зависеть от места, где изображен треугольник. Кроме того, сумма углов треуголь¬
ника будет больше 180° при положительной кривизне (К > 0) и меньше 180° при
отрицательной кривизне (К < 0).
Внешняя и внутренняя геометрия
Чтобы понять геометрические свойства поверхностей, вновь воспользуемся воз¬
можностью взглянуть на них из трехмерного мира. Представим, что мы стоим на по¬
верхности S и можем ходить по ней в любом направлении.
В отличие от флатландцев, мы можем смотреть в трех разных направлениях:
не только в длину или в ширину, но и в высоту, то есть перпендикулярно поверх¬
ности. Перпендикуляр к поверхности обычно называют ее нормальным вектором.
Флатландцы же могут смотреть всего в двух направлениях, в длину и в ширину,
а понятие нормального вектора им неизвестно.
Человек и флатландец на поверхности S. Первый может смотреть вдоль нормального
вектора, а двумерный флатландец — нет.
На поверхности мы можем выполнять следующие действия:
— измерять углы;
— измерять расстояния и проводить прямые линии. Отрезок, соединяющий точ¬
ки Р и Q, определяется как часть кратчайшей кривой на поверхности, прохо¬
дящей через обе эти точки. Такой отрезок называется геодезической линией.
87
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
Длина этого отрезка на поверхности 5 называется расстоянием между Р и Q
и обозначается à (P, Q) (если эти точки можно соединить несколькими ли¬
ниями, следует рассмотреть кратчайшую из них);
— строить окружности: окружность определяется как множество точек, удален¬
ных на определенное расстояние от данной точки, называемой центром
окружности.
Все эти построения можем выполнить как мы, так и флатландцы. Геометрия по¬
верхности определяет свойства фигур, которые мы изображаем на ней. К приме¬
ру, две прямые на поверхности 5 будут расходиться или сходиться в зависимости
от свойств поверхности.
Внутренней геометрией называется совокупность всех геометрических понятий,
которые можно рассмотреть, находясь «внутри» поверхности, то есть совокупность
геометрических свойств, которые может изучить флатландец (например, измерение
расстояний). Внешней геометрией называется совокупность всех геометрических
понятий, которые могут изучить существа, которые живут в окружающем (трех¬
мерном) пространстве и видят поверхность извне (например, ходят по ней).
Однако поверхности необязательно должны располагаться в трехмерном мире.
Мы уже показали, что бутылка Клейна или проективная плоскость не могут нахо¬
диться в трехмерном пространстве. Любая поверхность, по сути, представляет собой
двумерный мир и определяется как таковой, без привязки к какому-либо внешнему
миру и нормальному вектору. Флатландцы понимают поверхности именно таким
образом. Если поверхность дана сама по себе, имеет смысл говорить только о ее
внутренней геометрии.
Изометрия
С точки зрения геометрии две поверхности эквивалентны, если флатландец не мо-
жет различить их с помощью геометрических построений. Иными словами, две по¬
верхности эквивалентны, если они имеют одинаковую внутреннюю геометрию.
Проведем мысленный эксперимент: построим поверхность 5 из очень тонкого
и жесткого материала, который нельзя сжать или растянуть, но можно изогнуть.
Например, можно взять лист бумаги и свернуть его так, чтобы получился цилиндр
или конус. Еще один пример — резиновый мяч, из которого мы вырезали кусок
ножницами: полученный кусок резины будет иметь сферическую форму и допускать
так называемые жесткие деформации.
88
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
Часть резинового мяча (сферической формы) можно свернуть так, что она примет новую форму,
изометричную исходной. Для флатландца эти преобразования будут незаметны.
Любая геометрическая фигура, которую мы изобразим на этой поверхности
до и после жесткой деформации, сохранит свои углы и размеры. Следовательно,
флатландец, находящийся на этой поверхности, не сможет отличить эти фигуры друг
от друга. Их смогут различить только трехмерные существа, так как нормальный
вектор поверхности до и после преобразования будет отличаться.
Из листа бумаги (евклидовой плоскости) можно свернуть конус, изометричный исходному листу.
Стороны и углы многоугольника, изображенного на листе бумаги, не изменятся.
Прямая на плоскости превратится в геодезическую линию конуса (эквивалент прямой).
В математике описанная жесткая деформация называется изометрией (от грече¬
ского «изо-» — «равный» и «-метрия» — «мера»). Следовательно, изометрия —
это «соответствие» h между поверхностью S и другой поверхностью S', которое
записывается так: h: 5 —> S'. Каждой точке Р поверхности 5 изометрия ставит
в соответствие точку Р' поверхности S'. Запишем P' = h (Р). Это соответствие
является биективным (взаимно-однозначным) — иными словами, каждой точке по¬
верхности S ставится в соответствие одна и только одна точка поверхности S’, и на -
89
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
оборот. Кроме того, h сохраняет расстояния и углы: если Р и Q — две точки S, а Р*
и Q’ — две соответствующие им точки поверхности 5’, то выполняется равенство
d(P, Q) = d(P\ Q’). Следовательно, любой фигуре, изображенной на поверхно¬
сти S, соответствует фигура на поверхности S’, обладающая теми же свойствами.
РАЗВЕРТКИ
Поверхности, изометричные плоскости - это поверхности, которые можно построить, разрезав
лист бумаги на несколько частей и склеив их края некоторым образом. Примерами таких по¬
верхностей являются цилиндр и конус. Такие поверхности называются развертывающимися.
Всем известные развертки, с которыми мы играли в детстве, изготовлены так, что все их части
можно развернуть на плоскости. Следовательно, все части развертки являются развертываю¬
щимися поверхностями.
Геометрия и топология
Повторим, в чем заключается разница между геометрией и топологией поверхности.
Геометрия
Представьте себе поверхность из тонкой металлической сетки, разделенную на не¬
большие четырехугольники. Их стороны изготовлены из проволоки и соединены
шарнирами. Или представьте, что поверхность образована множеством атомов (бу¬
дем изображать их в виде небольших шариков), соединенных между собой химиче¬
скими связями, которые удерживают их на неизменном расстоянии.
90
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
Поверхность, изготовленная из проволочной сетки.
Мы можем измерять расстояния между точками, двигаясь вдоль этих четыреху¬
гольников. Подвергнем поверхность деформации. Она не может изменить расстоя¬
ние между шарнирами, так как это расстояние определяется длиной проволоки. Та¬
кая деформация называется жесткой. При жесткой деформации расстояния между
парами точек не меняются.
Геометрические (внутренние) свойства — это свойства, сохраняющиеся
при жестких деформациях поверхности (к этим свойствам относятся расстояния,
углы, форма геодезических линий). Две поверхности называются изометрическими,
если от одной из них можно перейти к другой посредством жесткой деформации.
Также допускается разрезать поверхность, выполнять жесткие деформации и затем
вновь склеивать ее в том же самом месте, где был произведен разрез (чтобы дву¬
мерные существа, живущие на этой поверхности, не заметили никаких изменений).
Топология
Теперь представьте поверхность, в которой на смену проволоке пришла эластичная
нить. Можно также представить, что поверхность образована слоем атомов, соеди¬
ненных между собой химическими связями, которые допускают изменение расстоя¬
ний между атомами и при этом не разрываются, как бы мы ни растягивали поверх¬
ность.
Топологические свойства — это свойства, которые не меняются, когда мы рас¬
тягиваем или сжимаем поверхность (к таким свойствам относятся, например, ориен¬
тируемость или число отверстий). Две поверхности называются гомеоморфными,
если от одной из них можно перейти к другой посредством эластичной деформации.
И вновь допускается разрезать поверхность, выполнить эластичные деформации
и затем склеить ее в том же самом месте, где был произведен разрез.
91
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
Имеем две разные задачи классификации: с точки зрения топологии (в этом слу¬
чае эквивалентными считаются гомеоморфные поверхности) и с точки зрения геоме¬
трии (в этом случае эквивалентными считаются изометрические поверхности). Эти
классификации будут отличаться: к примеру, на сфере возможны несколько разных
геометрий — сферы могут иметь разный радиус, быть вытянутыми или приплюсну¬
тыми или же обладать различными выпуклостями.
Кривизна
Пусть дана поверхность в трехмерном пространстве и точка Р на ней. Если мы бу-
дем двигаться по этой поверхности в выбранном направлении, то заметим, как по¬
верхность искривляется. Для этого достаточно изобразить нормальный вектор и по¬
смотреть, как быстро он будет меняться при движении.
Расположим на поверхности тележку на колесах и уляжемся в нее, глядя на звезд¬
ное небо. При движении тележки в заданном направлении небо будет «смещаться»
быстрее или медленнее (будем измерять отклонение при движении только в двух
направлениях — вперед и назад). Скорость этого смещения называется кривизной
в выбранном направлении и обозначается числом k. Флатландец, в отличие от нас,
не может увидеть звездного неба. Он не заметит никаких проявлений кривизны, так
как при движении он сам будет искривляться точно так же, как и поверхность.
Из любой точки Р можно провести два направления на поверхности, для ко¬
торых кривизна в этих направлениях будет принимать наибольшее и наименьшее
значения. Эти два направления перпендикулярны и называются главными. Главны¬
ми кривизнами называются два числа kv k2 — наибольшее и наименьшее значения
нормальной кривизны в точке Р. Важно понимать, что kx и k2 имеют знак. Эти ве¬
личины положительны, если соответствующая им кривая «искривляется» в сторону
зенита, и отрицательны, если кривая «искривляется» в противоположном направле¬
нии. Если мы представим себе такую поверхность, как склон горы, то kx = О будет
означать, что мы поднимаемся (или спускаемся) по склону с постоянной скоростью.
Если kx > О, это равносильно тому, что мы поднимаемся по склону все быстрее
(или, напротив, спускаемся с горы все медленнее и в конце концов вновь начинаем
подъем). Наконец, если kx < 0, все происходит с точностью до наоборот: мы либо
поднимаемся все медленнее, либо спускаемся все быстрее. Имеем:
— если felf k2 > 0, 5 искривляется в сторону зенита в двух главных направлениях.
Следовательно, поверхность в этой точке будет по форме напоминать долину;
92
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
— если ky k2 < 0, 5 искривляется вниз в двух главных направлениях и поверх¬
ность в этой точке по форме напоминает холм;
— если fej > 0, k2 < 0, 5 искривляется вверх в одном направлении и вниз в пер¬
пендикулярном направлении и по форме напоминает седло;
— наконец, если fe1 = 0, k2 < 0, то S имеет форму горного склона. Если k^ = О,
k2 = 0, то 5 по сути представляет собой плоскость. Если же /?1 = 0, k2 > О,
то 5 по форме напоминает ущелье между горами.
Главные кривизны и форма поверхности.
ЦЕНТРОБЕЖНАЯ СИЛА
Когда мы совершаем поворот, на нас действует
центробежная сила, направленная от центра по¬
ворота. Эта сила обратно пропорциональна ради¬
усу кривизны кривой, по которой мы движемся,
то есть радиусу окружности, аппроксимирующей
кривую (эта окружность называется соприкаса¬
ющейся, или окружностью кривизны). Кривизна
кривой равна к = 1/R, где R - радиус кривизны.
Центробежная сила является физическим след¬
ствием кривизны. Чем сильнее искривляется
кривая, тем меньше R и тем больше кривизна,
а вместе с ней и центробежная сила.
Чтобы избежать негативного воздействия цен¬
тробежной силы, при строительстве автодорог наружную часть поворота обычно делают выше
внутренней, чтобы автомобили не вылетали с дороги.
93
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
Главные кривизны рассматриваются во внешней геометрии. Произведение и k2
называется кривизной Гаусса:
K = k,-k2.
Живительнее всего то, что К относится к внутренней геометрии. Это доказал
Гаусс в своей theorema egregium (или «выдающейся теореме» — столь велико ее
значение).
Поскольку кривизна Гаусса К относится к внутренней геометрии, она не изме¬
няется в результате жестких деформаций. Рассмотрим участок поверхности и де¬
формируем ее в одном направлении. Главная кривизна может увеличиться, однако
в то же самое время поверхность натянется в другом направлении и k2 уменьшится,
таким образом, произведение К = • k2 останется неизменным. Если же мы из¬
меним положение зенита, то есть поменяем местами «небо» и «землю», то kt и k2
одновременно поменяют знак, и знак их произведения К останется прежним.
Поверхности с К> О, К = 0 и К< 0 соответственно.
Однако тот факт, что К относится к внутренней геометрии, важен главным об¬
разом потому, что Ромберт из Флатландии может вычислить кривизну Гаусса, нахо¬
дясь на самой поверхности S. Это означает, что он может провести геометрические
измерения и на основе полученных данных по некоторой формуле определить К. Од¬
нако Ромберт не может применить формулу К = • k2, так как для этого необходи¬
мо вычислить значения /?1 и /?2, относящиеся к внешней геометрии. Следовательно,
должна существовать какая-то другая формула для расчета К. И Гаусс нашел такую
формулу, однако она слишком объемна, чтобы ее можно было привести здесь.
Теорема Гаусса - Бонне
Существует ли какой-то более быстрый метод определения кривизны? Ромберт уже
сталкивался с кривизной при изучении углов треугольников. Рассмотрим точку Р
94
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
на поверхности 5. Если мы построим крошечный треугольник АВС вблизи Р и из¬
мерим его углы ОС, (3, у, то выражение
Y _ (а+Р+у-180) Я
Площадь 180
будет равно кривизне Гаусса, о которой мы рассказали в предыдущем разделе. Ко¬
эффициент 71/180 необходим для пересчета градусов в радианы. Значение К, полу¬
ченное по этой формуле, будет тем точнее, чем меньше будет рассмотренный нами
треугольник (говоря математическим языком, для вычисления точного значения
кривизны Гаусса нужно перейти к пределу).
Теорема Гаусса - Бонне (вариант № 1, для треугольников)
Избыток суммы углов треугольника, измеренный в радианах, равен произведе¬
нию кривизны и площади этого треугольника.
Аналогичные расчеты можно произвести и для многоугольников большего раз¬
мера, разделив их на небольшие треугольники. Изобразим многоугольник сколь
угодно большого размера и обозначим число его сторон через п.
Этот многоугольник будет иметь п углов, которые мы обозначим через 0Ct, 0С2,
..., 0Сп. Если бы этот многоугольник располагался на плоскости, сумма его углов
определялась бы по следующей формуле:
а1 + а2+ • • •+ ап= 180 • (п — 2).
Но на поверхности S из-за кривизны все обстоит иначе. Чтобы вычислить сумму
углов, разделим многоугольник на множество треугольников Т.. Обозначим их чис¬
ло через N. Каждый треугольник Т. имеет углы ОС., р., у., площадь 5. и кривизну К.
(кривизны треугольников отличаются).
Многоугольник,
разделенный на
треугольники. Углы
треугольников отмечены
дугами.
95
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
Найдем следующую сумму для всех треугольников:
_ S . K ■ 180
а +р. +у. = 180 н—'■—: .
К
Имеем сумму всех углов при всех вершинах всех треугольников. Определим об¬
щее число вершин. Вершины делятся на три группы: те, что расположены внутри
многоугольника (их число обозначим через /), те, что расположены на краю (их чис¬
ло обозначим через В), и те, что совпадают с вершинами многоугольника, — как вы
уже знаете, их число равно п. Искомая сумма будет равна:
180
360/ + 180В+а.+а,+...+СХ =180N+ К
I 2 н _ I I
К
(знак X называется знаком суммы и обозначает, что необходимо найти сумму всех
произведений S. • К).
Далее необходимо найти число вершин V, число ребер А и число граней С. Ха¬
рактеристика Эйлера — Пуанкаре для многоугольника равна % = V — А + С = 1,
так как он гомеоморфен треугольнику, а характеристика Эйлера — Пуанкаре для
треугольника равна 1. Число вершин равно V = I + В + п (сумма числа внутрен¬
них вершин, вершин на краю и вершин многоугольника). Число граней С = N, что
очевидно. Определить число ребер сложнее: в каждом треугольнике три ребра, сле¬
довательно, их общее число равно 3N, но внутренние ребра учитываются дважды,
а ребра на краю (их число равно В + п) — по разу. Следовательно, А = (3N — В —
— п)/2 + (В + п). Подставим значения в формулу:
\ = X=V-A + C = I+B + n-(3N-B-n)/2-(B + n) + N.
Выразив из нее N, получим N = 21+ В + п — 2. Подставим это выражение
в приведенную выше формулу:
360 / + 180 В + ос1 + ос2 +... + осп = 180 (2/ + В+ п — 2) + X 5.* К.- 180/я.
360/ и 180В в обеих частях равенства сокращаются. Получим:
aj + а2 +... + ап = 180 (п — 2) + X S. • К • 180/я.
Выражение X S. * К. определяет вклад отдельных значений кривизны. Это выра¬
жение — интеграл кривизны многоугольника Р:
zs.K-J.K.
96
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
ИНТЕГРАЛ
Интеграл - одно из двух важнейших понятий математического анализа. Знак интеграла J пред¬
ставляет собой вытянутую букву S и означает «сумма». Интеграл используется для вычисления
непрерывной суммы, то есть суммы бесконечного 4исла бесконечно малых величин. Понятие
интеграла ввел Бернхард Риман, и в курсах анализа интегрирование объясняется как действие,
обратное вычислению производной. Интеграл функции у - f(x) на интервале [а, Ь] равен площа¬
ди (со знаком) области, ограниченной осьюх, графиком функции и вертикальными прямыми
х * а и х = Ь. Значение \ab f(x) dx вычисляется путем приближенного представления площади
фигуры в виде суммы площадей прямоугольников, при этом основания прямоугольников после¬
довательно уменьшаются (так формально выражается идея о непрерывности итоговой суммы).
f(x) у
X
3 b
Интеграл |р К суммирует вклад кривизны в различных точках Р. Следовательно,
если Кт — средняя кривизна в окрестности точки Р, то
Jp К = Кт- Площадь (Р ).
Наша формула примет вид:
а,+ а2 +... + ап = 180 (п — 2) + ( Jp К )-180/л = 180 (л — 2) +
+ Кт • Площадь (Р ) * 180/К.
Теорема Гаусса - Бонне (вариант № 2, для многоугольников)
Избыток суммы углов многоугольника, измеренный в радианах, равен произ¬
ведению кривизны и площади этого многоугольника.
97
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
Сформулируем третий вариант теоремы Гаусса — Бонне. Рассмотрим компакт¬
ную поверхность 5 без края. Вновь разделим S на маленькие треугольники Т.. Те¬
перь все вершины треугольников будут внутренними, V = /. Число треугольников
равно С = N. Имеем А = 3N/2 ребер. Характеристика Эйлера — Пуанкаре равна
%(S) = / — 37V/2 + N = / — N/2. Найдем сумму всех выражений:
ос. + р. + у. = 180 + S.-K-180/к.
Имеем:
360I = mN+ÜsK)-180/Л =180N + Km- Площадь (S ) • 180/Л.
Следовательно,
кт • Площадь (S ) = (360/ — 180/V)- я/180 = 2 Л 5С (S ).
Теорема Гаусса — Бонне связывает геометрию и топологию поверхности, иными
словами, общую и локальную форму пространства. Хотя с изменением геометрии
поверхности (в результате эластичной деформации) ее кривизна может также из¬
меняться, значение интеграла кривизны останется неизменным и всегда будет опре¬
делять характеристику Эйлера — Пуанкаре поверхности S.
Две сферы: первая имеет постоянную кривизну, равную 1, вторая имеет переменную
кривизну. Допустим, что площади поверхности обеих сфер одинаковы, то есть 4кг2 = 4п.
По теореме Гаусса — Бонне обе этих поверхности имеют одинаковую среднюю кривизну Km = 1.
Теорема Гаусса - Бонне (вариант № 3, для компактных поверхностей без края)
Характеристика Эйлера — Пуанкаре, умноженная на 2тс, равна произведению
кривизны и площади поверхности.
98
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
ДЛИНА ОКРУЖНОСТЕЙ
Кривизна также влияет на длину окружностей на поверхности. Классическая формула длины
окружности (на евклидовой плоскости) выглядит так: / - 2кг, где г - радиус. На поверхности,
имеющей кривизну К, длина окружности радиуса г с центром в точке Р примерно равна
1~2п(г-К(Р)г3/6).
Следовательно, если кривизна К > 0, то будет выполняться следующее неравенство (/ - длина
окружности, г- радиус): 1<2пг. Если же К<0, то 1>2кг.
Однородность и изотропия
Вернемся во Флатландию. Геометрические понятия, изучаемые во флатландской
Школе геометрии, носят локальный характер, то есть содержат информацию
об окрестности места, в котором мы находимся. По этой причине во Флатландии
доминировала геометрия Евклида (на небольших окрестностях Флатландия вы¬
глядит как евклидова плоскость). Тем не менее вопрос о форме Флатландии носит
общий характер, то есть относится к пространству в целом. Ромберт, рассмотрев эти
два вопроса вместе, понял: что-то не сходится. Он пришел к мысли: Флатландия
может иметь неевклидову геометрию.
Различие между локальной и общей формой играет важнейшую роль в геометрии
и топологии. Своеобразный мост между локальным и общим представляет собой
теорема Гаусса — Бонне. Благодаря ей Ромберт и его коллеги смогли понять, какова
общая форма Флатландии, и для этого им не потребовалось обходить ее целиком.
Вычисление характеристики Эйлера — Пуанкаре свелось к вычислению средней
кривизны. Очевидно, что для вычисления средней кривизны необходимо опреде¬
лить кривизну поверхности во всех ее точках, после чего найти среднее значение,
однако для этого вновь потребуется обойти всю Флатландию. Но не будет ли ло¬
гичным предполагать, что кривизна Флатландии во всех точках одинакова? В этом
99
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
случае кривизна поверхности будет постоянной, а средняя кривизна будет равна
этой постоянной.
Чтобы применить изложенные выше рассуждения для определения формы
Флатландии, потребовались две совершенно естественные предпосылки.
1. Геометрия Флатландии одинакова во всех точках. Если мы изобразим тре¬
угольник со сторонами а, Ь, с и углами ОС, {}, у и переместимся в другую точку,
то сможем перенести этот треугольник так, что длины его сторон и величины
углов сохранятся. Аналогично можно будет перенести любую другую фигуру,
например окружность радиуса г. Это свойство называется однородностью
и формулируется следующим образом: если Р и Q — две точки поверхности,
то существуют две окрестности UnV соответственно, для которых существует
изометрия h: U —>V, h(P) = Q. Окрестности представляют собой небольшие
участки поверхности. Можно сказать, что окрестность точки — область, ко¬
торую может охватить взглядом флатландец, находясь в данной точке.
2. Геометрия Флатландии одинакова во всех направлениях. Если мы находимся
в точке Р и посмотрим в двух разных направлениях, то геометрические фигуры
и их свойства не изменятся. К примеру, если мы построим треугольник с вер¬
шиной в точке Р и повернем его, то длины сторон и величины углов нового
треугольника останутся прежними. Или, к примеру, если мы изобразим круго¬
вой сектор с фиксированным углом и радиусом и повернем его, то размеры
сектора не изменятся. Это свойство называется изотропией (от греческого
«изо-» — «равный» и «-тропия» — «поворот»). На языке математики это
свойство выражается так: если иии — два направления из точки Р, то суще¬
ствует окрестность U и изометрия h такие, что h: U —> U, Л(Р) = P, h(u) = v.
Однородная и изотропная поверхности.
100
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
Эти постулаты носят локальный характер, так как изометрия относится к не¬
большим окрестностям. С философской точки зрения недостаток постулата о парал¬
лельности прямых заключается в том, что согласно ему фигуры могут быть беско¬
нечно большими (то есть прямые можно продолжать бесконечно). Но поскольку
теперь наши постулаты относятся к небольшим областям поверхности, этот недо¬
статок проявляться не будет.
Предпосылки однородности и изотропии относятся ко всей Флатландии (даже
к тем ее областям, где никто не бывал). Эти два постулата нельзя подтвердить
на практике — для этого потребовалось бы обойти всю Флатландию (в этом случае
задача о ее форме была бы решена автоматически). Впрочем, эти постулаты звучат
вполне логично. Кроме того, их истинность была подтверждена во всех посещенных
частях Флатландии, и они корректны с философской точки зрения: предполагается,
что геометрия пространства во всех его точках одинакова.
Кроме того, мы по-прежнему можем выполнять операции переноса и поворота
фигур, доступные в евклидовом пространстве. Единственная операция, доступная
в евклидовом пространстве, но невозможная во Флатландии — это гомотетия. Го¬
мотетия позволяет строить фигуру, подобную данной, но имеющую иные размеры
(углы остаются неизменными, а все расстояния умножаются на один и тот же ко¬
эффициент). Выполнить гомотетию во Флатландии невозможно, потому что беско¬
нечно увеличивать фигуры в размерах запрещено. Напомним, что на сфере размеры
треугольников не могут быть сколь угодно большими. Между прочим, существова¬
ние гомотетии эквивалентно истинности постулата о параллельности прямых.
Рассмотрим первый и второй постулаты подробнее. Первый постулат подразу¬
мевает, что кривизна в точках Р и Q совпадает. Так как он выполняется для любой
пары точек, имеем К(Р) = K(Q) для любых точек Р и Q. Следовательно, кривизна
во всех точках постоянна и равна К(Р) = KQ, где KQ — константа.
Если кривизна пространства постоянна, оно выглядит одинаково во всех точках.
Более того, оно выглядит одинаково и во всех направлениях, таким образом, второй
постулат следует из первого.
Первый постулат также можно вывести из второго. Допустим, что поверхность
выглядит одинаково во всех направлениях. Рассмотрим точки Q и Р, расположен¬
ные близко друг к другу. Обозначим через Р середину отрезка, соединяющего эти
точки. При взгляде из точки Р пространство выглядит одинаково в любом направле¬
нии, следовательно, существует изометрия h: U —> U, h(P) = P, h(u) = v, где и —
направление, указывающее на точку Q, v — направление, указывающее на точ¬
ку Р. Следовательно, ft(Q) = Р. Из этого соотношения следует однородность.
101
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
Если же точки удалены друг от друга, аналогичные действия потребуется повторить
несколько раз: сначала для точек Q и Qr затем — для Q1 и Q2 и так далее до R.
Изотропия подразумевает однородность пространства.
Гиперболическая геометрия
Все результаты Ромберт получил, работая в своем кабинете и не участвуя ни в одной
из экспедиций. Далее ученый заключил, что кривизна Флатландии должна быть
постоянной. При К = 0 Флатландия была бы евклидовой плоскостью, при К > О —
сферой, которую столь подробно изучил Ромберт. Но что произойдет при К < О?
Поверхности с постоянной отрицательной кривизной изучаются в гиперболи¬
ческой геометрии, где значение кривизны обычно принимается равным К = — 1.
В гиперболической геометрии также описана модель, которую могут рассмотреть
флатландцы подобно тому, как Ромберт рассмотрел сферу. Эта модель называется
диском Пуанкаре. Геодезическими линиями («прямыми» на этой поверхности) яв¬
ляются диаметры диска и дуги окружности, перпендикулярные краю диска.
Различные прямые на диске Пуанкаре.
102
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
В гиперболической геометрии через точку, не лежащую на данной прямой, прохо¬
дит бесконечное множество прямых, параллельных данной, то есть не пересекающих
ее. Существуют две «предельные» прямые, которые пересекают прямую на краю
диска (но край не принадлежит диску, следовательно, эти прямые не пересекают
данную). Таким образом, постулат о параллельности прямых в гиперболической гео¬
метрии не выполняется совершенно по иной причине, чем в случае со сферой: иско¬
мая параллельная прямая существует, но не является единственной.
Через тонну Р на гиперболической плоскости можно провести целый пучок прямых, параллельных г.
Если, например, мы построим прямоугольный треугольник с вершиной в центре
диска, то увидим, что а + Р + у < 180°. Следовательно, по формуле
а + Р + у —180° = Площадь (Т) • К* 180/я
имеем, что кривизна К < 0.
Сумма углов треугольника АВС меньше 180°.
103
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
Интересная особенность гиперболической геометрии заключается в том, что пло¬
щадь треугольника не может быть сколь угодно велика, так как сумма его углов
должна быть чуть больше 0°. Следовательно, не существует гомотетии, позволяю¬
щей получить треугольники произвольного размера.
Расстояния на диске Пуанкаре достаточно сильно искажены. Области вблизи
края намного больше, чем кажется на глаз. Более того, расстояние от центра диска
до края бесконечно велико. Мы словно бы взяли поверхность с гиперболической
геометрией и сжали ее, чтобы уместить в рисунок на плоскости (вспомните, как мы
растянули сферу, чтобы расположить ее на плоскости).
Площадь диска также бесконечно велика. На иллюстрации на следующей стра¬
нице диск Пуанкаре разбит на гиперболические треугольники. Площадь всех этих
треугольников одинакова, так как сумма их углов неизменна. Эти треугольники изо-
метричны, то есть имеют одинаковую форму. Так как их бесконечно много, то и об¬
щая площадь диска Пуанкаре бесконечно велика.
Причина, по которой эти треугольники искажены, проста: и диск, и сфера не на¬
ходятся на плоскости, и любое их изображение неизбежно будет искаженным.
В примере со сферой мы понимаем, что она не находится в двумерном простран¬
стве, хотя можем рассмотреть ее из трехмерного мира. Флатландцы могут понять
лишь внутреннюю геометрию сферы, нам же доступна как внутренняя, так и внеш¬
няя геометрия. Пример с гиперболической плоскостью нагляднее: она не умещается
не только в двумерном мире Ромберта, но и в нашем трехмерном! Это вновь до¬
казывает, что основное внимание следует уделять изучению внутренней геометрии.
Диск Пуанкаре бесконечно велик, и достичь его края невозможно.
104
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
Замощение диска Пуанкаре гиперболическими
равносторонними треугольниками равного размера.
Поверхности постоянной кривизны
Теперь пришло время ответить на один действительно важный вопрос, который по¬
может нам определить форму Флатландии: какие поверхности имеют постоянную
кривизну? Так как топологические свойства поверхностей известны, этот вопрос
на самом деле звучит так: какие поверхности (компактные, ориентируемые и без
края) имеют постоянную кривизну?
Теорема: компактные ориентируемые поверхности без края, имеющие постоян¬
ную кривизну, таковы.
Кривизна
Поверхность
К> 0
Сфера
о
11
Тор
К< 0
Поверхность рода g > 2
Если поверхность имеет постоянную кривизну К = KQ, то среднее значение кри¬
визны также будет равно этой постоянной: Km = KQ. По теореме Гаусса — Бонне
имеем
2Я5C(S ) = Площадь (S) • К0.
105
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
Нам неизвестна площадь S, так как она является общей характеристикой поверх¬
ности, но мы по крайней мере можем определить ее знак. Возможны три варианта:
— К0>0 и %(5)>0. Единственная поверхность с положительной характери¬
стикой Эйлера — Пуанкаре — это сфера.
— KQ = 0 и 5C(S ) = 0. Единственная поверхность с нулевой характеристикой Эй¬
лера — Пуанкаре — это тор.
— KQ< 0 и %(S ) < 0. Поверхности рода g > 2 имеют %(5 ) = 2 — 2g < 0.
Из этого соотношения не следует, что указанные поверхности будут иметь посто¬
янную кривизну. Оно лишь означает, что если поверхность имеет постоянную кри¬
визну, то она обязательно будет принадлежать к одной из трех приведенных выше
категорий в зависимости от знака кривизны. Очевидно, что существуют поверхно¬
сти непостоянной кривизны, например деформированная сфера (стр. 98).
Более того, ни одна поверхность в трехмерном пространстве, за исключением
сферы, не имеет постоянную кривизну. Компактная поверхность без края в R3 всег¬
да будет иметь точки с положительной кривизной (например, точка, наиболее уда¬
ленная от начала координат). Если поверхность 5 не сфера, то %(S) < 0, следова¬
тельно, средняя кривизна Кт < 0. Таким образом, на этой поверхности должны
существовать точки с отрицательной, а также точки с нулевой кривизной.
Раскрашенная поверхность. Разными оттенками серого выделены области с положительной
и отрицательной кривизной, разделенные линией, образованной точками с нулевой
кривизной.
Следовательно, чтобы поверхность имела постоянную кривизну, необходимо об¬
ратиться к внутренней геометрии. Рассмотрим все три случая по отдельности.
106
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
Сфера
Это самый простой случай. Сфера единичного радиуса в трехмерном пространстве
имеет кривизну К = 1, то есть ее кривизна постоянна и положительна.
Чтобы показать, что К = 1, расположимся в точке Р. Если мы будем двигать¬
ся в каком-либо направлении, то нашим маршрутом будет окружность единичного
радиуса на этой сфере. Радиус кривизны этой окружности R = 1, следовательно,
кривизна в выбранном направлении равна \/R = 1. Имеем главные кривизны = 1,
k2 = 1 и кривизна Гаусса К = • k2 = 1.
Геометрия на сфере называется сферической геометрией. Первым ее изучил
Бернхард Риман. Прямыми (то есть геодезическими) линиями в сферической гео¬
метрии являются большие круги сферы (круги единичного радиуса, центр которых
совпадает с центром сферы). В этом случае прямые неограниченны, но конечны: две
прямые всегда пересекаются (в двух точках), нарушая постулат о параллельности
прямых. Сумма углов сферического треугольника больше 180°.
Сферическая геометрия однородна и изотропна: любую фигуру на поверхности
сферы можно переместить в любое другое место сферы и повернуть в любом на¬
правлении. Для этого достаточно повернуть сферу, сохранив положение ее центра
неизменным: фигура на ее поверхности переместится в новое положение, при этом
расстояния и величины углов останутся неизменными.
Докажем теорему Гаусса — Бонне. Площадь поверхности сферы равна 4тхг2 =
= 4тт. Характеристика Эйлера — Пуанкаре равна %(5) = 2. Так как 2тх)С(5) =
= К0'Площадь (S), имеем 4тх = 4тхК0, значит кривизна сферы равна KQ = 1.
Предположим, что Ромберт может видеть предметы, расположенные на боль¬
шом расстоянии. Лучи света движутся вдоль геодезических линий. Следователь¬
но, любой объект, расположенный в антиподальной точке, будет виден Ромберту
107
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
во всех направлениях! Этот объект словно растянется по всей области зрения и бу¬
дет находиться на расстоянии d, равном длине большой полуокружности.
Квадратина видит звездное небо во всех направлениях.
Тор
в
Евклидова плоскость имеет кривизну К =
= 0. На ней сумма углов треугольника
равна 180°, длина окружности рассчиты¬
вается по формуле / = 2ттг. Теперь рас¬
смотрим тор, определенный посредством
идентификации сторон квадрата, как по¬
казано на нижнем рисунке на стр. 52.
В этой ситуации флатландцу будет ка¬
заться, что тор имеет евклидову геоме¬
трию: так как флатландец сможет уви¬
деть лишь небольшую окрестность вокруг
себя, неотличимую от окрестности на пло¬
скости, он сделает вывод: геометрия тора
эквивалентна геометрии плоскости. Сле¬
довательно, кривизна поверхности тора
равна К = 0, сумма углов треугольника
(небольшого размера) равна 180°, а длина окружности (небольшого размера) рас¬
считывается по формуле / = 2тхг.
Чтобы успешно построить тор, нужно четко описать, что происходит, когда мы
находимся в вершине квадрата. Напомним иллюстрацию на стр. 43.
В
Треугольник на поверхности тора (выделен
черным цветом).
Сумма углов этого треугольника равна 180°.
Чтобы доказать это, достаточно переместить
части треугольника и заново составить из них
треугольник согласно евклидовой геометрии.
108
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
С
В |3
3
ю
с
Б*3
Ю
Трапецоид, находящийся в вершине квадрата, не заметит, что эта точка имеет
особую геометрию. Для этого угол, который Трапецоид видит вокруг себя, должен
быть равен 360°. Область зрения Трапецоида, расположенного в вершине квадрата,
делится на четыре части. Каждой из них соответствует угол в 90°, всей области
зрения — угол в 360°, и область зрения Трапецоида имеет евклидову геометрию.
До сих пор мы предполагали, что флатландцы могут видеть лишь небольшую
окрестность вокруг себя. Что бы произошло, если бы подобных ограничений не су¬
ществовало? Лучи света движутся вдоль геодезических линий. Всякий раз, когда
свет встречается со стеной, они выходят из другой стены, идентифицированной
с первой. Следовательно, луч света, исходящий из точки, где находится Трапецоид,
и движущийся влево, пересекает сторону 3, возвращается со стороны В и вновь до¬
стигает Трапецоида. Наблюдатель видит самого себя, смотрящего на восток и на¬
ходящегося позади него на расстоянии, равном длине стороны квадрата.
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Трапецоид видит самого себя. Луч света следует вдоль пути, отмеченного в квадрате. Если мы
развернем этот путь на зрительной плоскости Трапецоида, получим прямую линию.
109
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
Более того, Трапецоид увидит самого себя бесконечное число раз. Его область
зрения превратится в плоскость, как показано на рисунке. Он увидит множество
изображений самого себя, которые будут располагаться все дальше и дальше друг
от друга. Трапецоид увидит четыре копии самого себя, находящиеся от него на ми¬
нимальном расстоянии, в четырех направлениях: на севере, юге, западе и востоке.
ЗЕРКАЛА
Когда мы смотрим в зеркало, то видим изображение, образованное лучами света, который
излучаем мы сами. Но нам кажется, что в зеркале виден кто-то, стоящий за ним. Наш мозг
предполагает, что лучи света, достигающие наших глаз, всегда движутся вдоль прямых линий,
и продолжает эти линии. Так мозг формирует изображение в точке, из которой, предположитель¬
но, исходят лучи. Этот процесс происходит абсолютно бессознательно и является результатом
эволюции, адаптации к миру природы, где нет зеркал. Мы видим изображение «за» зеркалом
из-за ошибки этой системы, возникающей в нестандартной ситуации. Если мы расположим два
зеркала параллельно друг другу, то увидим одно и то же изображение множество раз. Мы видим
сами себя точно так же, как Трапецоид видит себя сам на поверхности тора.
Если Трапецоид попытается подойти поближе к одному из Трапецоидов, кото¬
рых он видит, они также сместятся (подобно тому, как наша тень движется за нами
при ходьбе), и все они будут располагаться на прежнем расстоянии от него.
Иллюстрация, приведенная на предыдущей странице внизу, помогает прояснить
ситуацию. Если представить тор как огромную разделенную на клетки поверхность,
где геометрические фигуры повторяются, то всякий раз, когда мы будем сдвигать
110
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
фигуру так, что она выйдет за пределы квадрата справа, одна из ее копий появится
в этом квадрате слева, словно пройдя через межпространственные ворота1.
Фундаментальный многоугольник тора — параллелограмм.
Поверхность рода g>2
Поверхность рода g строится путем идентификации сторон многоугольника, име¬
ющего 4g сторон, определенным образом. Рассмотрим в качестве примера поверх¬
ность 5 рода g = 2, которую построим на основе восьмиугольника.
Идентификация сторон восьмиугольника приведена на верхней иллюстрации
на стр. 72. Чтобы понять геометрию 5, посмотрим на вершину восьмиугольника.
Какой бы ни была геометрия этой поверхности, если флатландец находится в верши¬
не восьмиугольника, его угол зрения будет равен 360°. В восьмиугольнике область
зрения флатландца делится на восемь частей, как показано на иллюстрации ранее
(см. нижний рисунок на стр. 72). Следовательно, сумма углов при этих вершинах
должна быть равна 360°. Применим формулу Гаусса — Бонне для многоугольни¬
ков. Имеем:
360 —180 (п — 2) = К • Площадь • 180/Я.
1 Построение тора также можно начать с параллелограмма. В этом случае Трапецоид увидит возле себя четыре собствен¬
ные копии. Он сможет вычислить расстояния до этих копий и d2 (определив относительные размеры видимых фигур)
и угол а. Эти величины полностью определяют геометрию тора. Фундаментальный многоугольник для тора — парал¬
лелограмм; иными словами, тор определяется идентификацией сторон параллелограмма. Вся геометрия тора описывает¬
ся его фундаментальным многоугольником.
111
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
Так как п = 8, величина К • Площадь • 180/ТС будет отрицательной, следова¬
тельно, К< 0. Иными словами, восьмиугольник должен иметь гиперболическую
геометрию.
Построим гиперболический восьмиугольник, сумма углов которого равна 360°.
Проще всего рассмотреть правильный восьмиугольник, стороны которого равны
между собой, а углы равны 360°/8 = 43°. Изобразим восьмиугольник на диске Пу¬
анкаре и идентифицируем все его вершины (на поверхности, изображенной на ниж¬
нем рисунке на стр. 72, показано, что вершины склеиваются друг с другом в одной
точке поверхности 5). Сдвинув окрестности каждой из вершин восьмиугольника
к точке S, мы увидим восемь секторов по 45° каждый. Границы этих окрестностей
будут геодезическими линиями. Флатландцам они будут казаться прямыми. Следо¬
вательно, для Трапецоида восьмиугольник будет выглядеть так, как показано на ри¬
сунке справа.
При соединении вершин восьмиугольника образуется восемь круговых секторов по 45° каждый,
которые в сумме образуют полную окрестность точки. Следовательно,
вершина восьмиугольника будет обычной точкой поверхности.
Что увидел бы Трапецоид, если бы мог видеть бесконечно удаленные предме¬
ты? Как и в примере с тором, мы можем переместить восьмиугольники так, что
они полностью покроют гиперболическую плоскость. В результате получится замо¬
щение гиперболической плоскости, образованное равными многоугольниками, каж¬
дый из которых получен переносом исходного. Эти многоугольники на самом деле
равны, хотя визуально некоторые из них кажутся меньше, чем другие. Кажущееся
112
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
изменение размеров вызвано искажениями, возрастающими по мере приближения
к краю диска Пуанкаре. Все восьмиугольники в замощении являются правильными
и имеют одинаковую длину сторон (это понятно из очевидных соображений: если
два правильных восьмиугольника имеют общую сторону, то их стороны равны).
Замощение диска Пуанкаре правильными восьмиугольниками. Стороны всех
восьмиугольников равны между собой, их углы равны 45°. Трапецоид видит самого себя
в восьми направлениях.
Трапецоид увидит самого себя бесконечное множество раз, а также восемь соб¬
ственных копий вблизи себя. Так он сможет понять, что фундаментальный много¬
угольник поверхности, на которой он находится, — восьмиугольник, следовательно,
род поверхности равен 2. Более того, этот восьмиугольник будет гиперболическим.
На основе фундаментального многоугольника мы можем определить поверхность
и ее геометрию2.
2 В качестве фундаментального многоугольника также можно выбрать неправильный восьмиугольник с единственным
условием — сумма его углов должна быть равна 360°. Таким образом мы получим различные геометрии поверхности
рода g = 2 и кривизны К < 0. Классификация таких геометрий сопряжена с изучением подобных гиперболических
многоугольников, а также с теорией фуксовых групп и построением пространства Тейхмюллера.
ИЗ
ГЕОМЕТРИЯ ВО ФЛАТЛАНДИИ
Какой смысл здесь имеет слово «геометрия»
Когда геометры говорят о геометрии пространства, они могут иметь в виду самые
разные вещи в зависимости от специализации. Специалисты по дифференциальной
геометрии обычно имеют в виду различные объекты, определенные на многообрази¬
ях. Классическим примером такого объекта служит метрика — правило вычисления
расстояний и углов. Очевидно, что метрики могут быть определены для поверхно¬
стей переменной кривизны.
Однако многие источники следуют трактовке XIX века и понимают под геоме¬
трией структуру пространства, в котором фигуры могут перемещаться из одного ме¬
ста в другое (с сохранением расстояний и углов). Следовательно, в этом случае гео¬
метрия охватывает однородные метрические структуры. Если же, кроме того, до¬
пускается вращение фигур, то речь идет о более узком понятии изотропных метри¬
ческих структур. При таком подходе кривизна пространства должна быть постоян¬
ной, и допускаются всего три вида геометрии: евклидова (К = 0), эллиптическая
(К > 0) и гиперболическая (К < 0). В этих трех геометриях возможны переносы
и повороты, но не гомотетии. Напомним, что гиперболическая и эллиптическая гео¬
метрии возникли как результат безуспешных попыток доказать истинность постула¬
та о параллельности прямых.
Как ученые определили форму Флатландии
Читатель наверняка хочет узнать ответ на этот вопрос. Ромберт выстроил целую те¬
орию поверхностей постоянной кривизны. Разумеется, размеры Флатландии были
слишком велики, чтобы можно было увидеть повторяющиеся очертания Плоско-
града. Ромберт предложил Плоскоградскому институту телекоммуникаций проект
по отправке радиосигналов высокой частоты, которые нельзя было спутать ни с ка¬
кими другими. Эти сигналы всегда распространялись вдоль прямых линий и возвра¬
щались в исходную точку, преодолевая любые препятствия — стены, горы, долины.
Сконструировав сложное устройство, способное отправлять и получать такие
сигналы, флатландские инженеры измерили время, за которое сигнал возвращается
обратно (оно примерно пропорционально пройденному расстоянию), и выяснили,
с каких направлений поступали сигналы. Так они смогли определить фундаменталь¬
ный многоугольник, а вместе с ним — и род поверхности Флатландии.
114
Глава 5
Топология и геометрия
в трех измерениях
Мы живем в трехмерном мире, где доступно намного больше возможностей, чем
в двумерной Флатландии. На протяжении многих страниц мы следили за тем, как
флатландцы пытались познать мир, в котором живут, и определить его форму. Ино¬
гда мы смотрели флатландцам через плечо из нашего трехмерного мира, где многие
понятия, труднодоступные для них, нетрудно представить с помощью простых ри¬
сунков.
Путешествие во Флатландию помогло нам понять нечто более важное: мы всего
лишь трехмерные существа в трехмерном мире, и нам непросто познать и понять
пространство, в котором мы живем. Любое четырехмерное существо со смехом смо¬
трело бы на наши безуспешные попытки представить себе различные трехмерные
пространства. Теперь мы понимаем, насколько ограниченно наше восприятие, и эти
ограничения мы можем преодолеть только так, как это сделали флатландцы, то есть
с помощью математики.
Прежде всего мы поняли, что пространства следует анализировать изнутри.
Не следует предполагать, что за пределами пространства, в котором мы находимся,
ничего нет. С одной стороны, возможно, не существует никаких других пространств,
кроме нашего. С другой стороны, подобные пространства в любом случае недоступ¬
ны нам, а следовательно, мы не можем ни определить, существуют ли они, ни ис¬
пользовать их для каких-то наших целей.
Многообразия
Трехмерное многообразие — это пространство, в любой точке которого мы, огля¬
нувшись вокруг, не сможем отличить его от трехмерного пространства. Слова «огля¬
нуться вокруг» подразумевают, что мы можем увидеть лишь небольшую окрест¬
ность точки, в которой находимся. Следовательно, окрестность точки гомеоморфна
(имеет ту же форму) окрестности в трехмерном пространстве. Окрестности точек
в трехмерном пространстве, по сути, представляют собой шары (в двумерном про¬
странстве — диски).
115
ТОПОЛОГИЯ И ГЕОМЕТРИЯ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ
Окрестность точки в трехмерном многообразии.
Слово «многообразие» обозначает многие направления, в которых мы можем
смотреть (из каждой точки).
Точка, окрестность которой гомеоморфна шару в трехмерном пространстве, на¬
зывается гладкой. Точки, которые не являются гладкими, называются особыми. Та¬
кие точки возникают при сжатии отдельных областей таким образом, что в них нель¬
зя определить привычную нам систему координат. Многообразия по определению
состоят только из гладких точек. Изучением особых точек занимается специальный
раздел математики.
Центральная точка конуса является особой: она не имеет окрестности,
гомеоморфной шару в евклидовом пространстве.
116
ТОПОЛОГИЯ И ГЕОМЕТРИЯ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ
ПЬЕР-СИМОН ЛАПЛАС (1749-1827)
Французский математик и астроном Пьер-Симон
Лаплас проявлял особый интерес к небесной меха¬
нике. Рассказывают, что во время плавания в Египет
Лаплас преподнес Наполеону свою книгу «Небесная
механика». До этого кто-то сказал Наполеону, что
в этой работе Лапласа ни разу не упоминается Бог.
Наполеон любил задавать неожиданные вопросы,
и, получив книгу, он спросил автора: «Господин
Лаплас, мне сообщили, что вы написали этот объ¬
емный труд об устройстве Вселенной и ни разу
не упомянули имя ее Творца». Лаплас, который от¬
личался дипломатичностью, но в то же время всегда
твердо отстаивал свои убеждения, серьезно заявил:
«Я не нуждался в этой гипотезе». Наполеон рассказал эту историю Лагранжу, и тот воскликнул:
«О! Это прекрасная гипотеза: она так много объясняет!»
Почему мы рассматриваем лишь окрестности точек? Ответ прост: потому что
они точнее соответствуют физической реальности. Такова геометрия нашего про¬
странства: мы с вами живем в трехмерном многообразии. Если мы оглядимся во¬
круг, то увидим окрестность, подобную трехмерному пространству. Вселенная столь
велика, что мир, в котором мы живем, — лишь крошечная ее часть, то есть окрест¬
ность. Поэтому неудивительно, что изначально Вселенная считалась евклидовым
пространством.
Можно указать, что обитатель трехмерного многообразия, изображенный на на¬
ших рисунках, близорук, то есть едва способен разглядеть собственную окрестность.
Если мы хотим узнать, какую форму имеет наша Вселенная, сначала следует
понять, как выглядят трехмерные пространства, то есть привести классификацию
трехмерных многообразий. Следовательно, необходимо рассмотреть все возможные
трехмерные многообразия и провести некий эксперимент (физический или астроно¬
мический), который поможет определить форму Вселенной. Именно так мы дей¬
ствовали в предыдущих главах при изучении двумерных многообразий.
117
ТОПОЛОГИЯ И ГЕОМЕТРИЯ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ
Топология в трех измерениях
Начнем с того, что отметим: математики до сих пор не располагают полной клас¬
сификацией трехмерных многообразий (компактных и без края). Составить спи¬
сок, где будут приведены все трехмерные многообразия, можно разными способами
(но некоторые из них не столь наглядны, как нам бы того хотелось). По-настоящему
сложно различить два любых многообразия из такого списка: если какие-то мно¬
гообразия окажутся эквивалентными, мы сможем (и должны будем) исключить
из списка одно из них.
За многие годы исследований были разработаны различные методы, позволя¬
ющие отличить трехмерные многообразия друг от друга. Изучением этих методов
занимается особый раздел математики под названием «геометрическая топология».
Более того, задача о том, как отличить простейшее трехмерное многообразие —
трехмерную сферу — от остальных, лежит в основе одной из самых известных ги¬
потез в геометрии и топологии — гипотезы Пуанкаре, на доказательство которой
ушло свыше 100 лет. Основная сложность при изучении трехмерных многообразий
заключается в том, что представить их форму, находясь в трехмерном мире, весьма
ГИПОТЕЗА ПУАНКАРЕ
Гипотеза Пуанкаре - одна из известнейших геометрических задач всех времен. Она оказала наи¬
большее влияние на развитие геометрии и топологии XX века. Гипотеза настолько важна, что ее
включили в список семи задач тысячелетия, предложенных Институтом Клэя (http://www.claymath.
org/millennium/). Любопытно, что эта задача сегодня - единственная решенная из этого списка.
Гипотеза, сформулированная Анри Пуанкаре в 1904 году, звучит так:
Пусть X - компактное трехмерное многообразие без края, и все петли на X тривиальны.
Тогда многообразие X гомеоморфно трехмерной сфере.
Гипотеза Пуанкаре - частный случай более общей задачи классификации трехмерных многооб¬
разий (компактных и без края). Напомним, что задача классификации заключается в том, чтобы
привести список всех трехмерных многообразий, не содержащий повторов. Гипотеза Пуанкаре ха¬
рактеризует первое из трехмерных многообразий в этом списке - трехмерную сферу.
В 1950-е и 1960-е годы многие математики, в том числе весьма авторитетные, предлагали до¬
казательства гипотезы Пуанкаре, но все они были ошибочными. Результатом этих неудачных попыток
стало создание ряда мощных методов, способствовавших решению задачи классификации трех-
118
ТОПОЛОГИЯ И ГЕОМЕТРИЯ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ
непросто. Необходимы оригинальные методы (подобные тем, что использовали
Пятиугольник и Трапецоид при изображении двумерных многообразий во Флат-
ландии), которые помогают представить трехмерные многообразия. Пространство,
имеющее три или более измерений, нельзя представить. Когда мы говорим «пред¬
ставить», то имеем в виду возможность ответить на различные вопросы об этом
пространстве, изобразить его более или менее понятным образом, преобразовать
в другое пространство, а также определить, является ли оно эквивалентным (го-
меоморфным) другому пространству. В этой главе мы опишем различные методы,
которые помогают построить и изучить трехмерные многообразия.
Во-первых, нам известен наиболее точный способ описания трехмерного много¬
образия: он заключается в том, чтобы составить полный атлас карт многообразия.
Однако, в отличие от двумерных многообразий, карту трехмерного пространства
нельзя представить как страницу из книги — для этого потребуются трехмерные
страницы. Наш атлас должен представлять собой сборник подобных карт, где для
каждой карты будет указано, какие карты примыкают к ней в шести основных на¬
правлениях: спереди, сзади, слева, справа, вверху и внизу. Пользоваться таким ат¬
ласом не слишком удобно, однако он полностью описывает пространство.
мерных поверхностей, а также многочисленных методов
построения трехмерных поверхностей (в частности, так
называемой хирургии) и развитию теории узлов.
В 2003 году, спустя сто лет после того, как Пуанкаре
сформулировал свою гипотезу, ее доказательство на¬
шел российский математик Григорий Перельман. За это
на Международном математическом конгрессе в Мадриде
в 2006 году ему была присуждена Филдсовская премия -
самая престижная награда в мире математики, однако
Перельман отказался ее принимать. 18 марта 2010 года
Институт Клэя наградил ученого премией в один миллион
долларов за решение задачи тысячелетия, но он не при¬
нял и эту награду.
Жюль Анри Пуанкаре (1854-1912)
119
ТОПОЛОГИЯ И ГЕОМЕТРИЯ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ
«Карта» из атласа нашей Вселенной. В межзвездных путешествиях нам понадобятся
именно такие космические карты.
Чтобы изобразить трехмерное многообразие, необходимо склеить все карты друг
с другом согласно указаниям. Для этого некоторые карты придется сжать или растя¬
нуть (напомним, что подобные преобразования в топологии допустимы). Возмож¬
но, что некоторые карты нельзя будет склеить в трехмерном пространстве, подобно
тому, как в нем нельзя склеить бутылку Клейна (см. нижний рисунок на стр. 59).
Конечно, четырехмерное существо в четырехмерном пространстве не столкну¬
лось бы с нашими трудностями. Мы же будем считать, что эти карты как будто бы
уже склеены.
Если мы опишем пространство с помощью атласа, то сможем найти, к примеру,
число вершин V, число ребер А, число граней С. Кроме того, мы также сможем
определить число трехмерных блоков, которое обозначим через В. Характеристика
Эйлера — Пуанкаре будет рассчитываться следующим образом:
X = V-A + C-B.
К сожалению, теперь характеристика X не слишком полезна: для любого ком¬
пактного трехмерного многообразия без края X = 0.
Трехмерная сфера
Начнем с простых примеров. Сначала рассмотрим трехмерную сферу. Она пред¬
ставляет собой множество точек четырехмерного евклидова пространства, удален¬
ных от начала координат на заданное расстояние R. Это определение не слишком
удобно, так как представить четырехмерное пространство непросто. Помимо этого,
120
ТОПОЛОГИЯ И ГЕОМЕТРИЯ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ
хотелось бы рассмотреть трехмерные многообразия сами по себе, а не как объекты,
вложенные в пространства высших измерений.
Если мы находимся в точке Р трехмерной сферы и движемся по прямой линии,
то по прошествии некоторого времени, пройдя расстояние d, мы окажемся в точ¬
ке Р\ которая называется антиподальной Р и удалена от нее на максимальное рас¬
стояние. Если мы продолжим двигаться вдоль прежней прямой, то начнем прибли¬
жаться к исходной точке с противоположной стороны. Пройдя расстояние 2d, мы
вернемся в точку Р. Это будет происходить всегда, вне зависимости от того, какую
точку мы выберем в качестве исходной и в каком направлении будем двигаться.
Чтобы описать это пространство, изобразим шарик радиуса d с центром в точ¬
ке Р. Этот шарик представляет собой внутреннюю часть обычной сферы в трех¬
мерном пространстве. В каком бы направлении из точки Р мы ни двигались, мы до¬
стигаем границы и попадаем в точку Р\ антиподальную точке Р и противоположную
ей, также расположенную на границе шарика. Следовательно, весь край шарика мы
поставили в соответствие одной точке трехмерной сферы.
Трехмерное многообразие принято представлять как пространство, достаточно
большое по сравнению с размерами его обитателей, которым доступна лишь неболь¬
шая его окрестность. Мы же будем предполагать, что видим пространство целиком.
В этом случае, так как лучи света движутся вдоль прямых, то есть геодезических
линий, мы можем увидеть и нашу антиподальную точку. Более того, мы увидим
ее независимо от того, в каком направлении смотрим. Следовательно, если бы мы
взглянули на небосвод, то увидели бы неподвижное небесное тело, наблюдаемое
во всех направлениях и неким образом растянутое по небу.
121
ТОПОЛОГИЯ И ГЕОМЕТРИЯ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ
ТРЕХМЕРНАЯ СФЕРА И ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ
Мы можем представить себе объекты в четвертом измерении. Чтобы понять, как это делается,
вновь обратимся к примеру с Флатландией. Флатландцы могут увидеть двумерную сферу, если
будут двигаться сверху вниз, пересекая Флатландию. Флатландец увидит сечения этой сферы
плоскостью: перед ним появится точка, которая будет увеличиваться в размерах и превратится
в окружность, затем достигнет наибольшего диаметра, после чего начнет уменьшаться, затем
вновь обратится в точку и исчезнет.
Теперь представим, что мы находимся в трехмерном пространстве, в которое погружается
3-сфера в четырехмерном пространстве. Эта 3-сфера может двигаться сверху вниз (мы не смо¬
жем представить себе движение в этом направлении, так как оно существует исключительно
в виде четвертого измерения). Мы увидим, как появится точка, которая превратится в неболь¬
шую сферу и будет увеличиваться, пока не достигнет максимального размера. Затем сфера
начнет уменьшаться, пока не превратится в точку и не исчезнет.
Любой объект в четырехмерном пространстве можно представить себе с помощью его се¬
чений.
Трехмерный тор
Допустим, что дан куб (он изображен на рисунке), который обладает следующим
свойством: если мы движемся по нему и пересекаем верхнюю грань А, то появляемся
на нижней грани А. Аналогично, если мы движемся вправо и пересекаем грань В,
то появляемся на левой грани В. И наконец, если мы пересекаем заднюю грань С,
то появляемся на передней грани С.
122
ТОПОЛОГИЯ И ГЕОМЕТРИЯ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ
Мы находимся в трехмерном компактном многообразии без края, которое назы¬
ваем трехмерным тором по аналогии с двумерным тором, изображенным на нижнем
рисунке на стр. 52. Грани, помеченные одинаковыми буквами, склеены между собой.
Чтобы трехмерный тор представлял собой трехмерное многообразие, необходи¬
мо убедиться, что в местах склейки не происходит ничего необычного, то есть свой¬
ство «окрестность локально гомеоморфна окрестности трехмерного пространства»
выполняется вне зависимости от того, где мы находимся: в середине грани, на ребре
или в вершине.
Посмотрим, что произойдет в каждом из этих случаев. Если мы находимся в се¬
редине грани, то есть пересекаем грань В, то половина нас будет находиться справа,
другая половина — слева. Окрестность, которую мы видим вокруг себя, состоит
из двух полушарий, которые в результате склеивания образуют трехмерный шар.
гомеоморфный обычному.
Шарик проходит сквозь правую грань трехмерного тора.
123
ТОПОЛОГИЯ И ГЕОМЕТРИЯ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ
Если же мы находимся на ребре, например на том, что разделяет грани В и С,
то имеем четыре различные области, которые после склеивания образуют окрест¬
ность, гомеоморфную трехмерному шару.
Шарик расположен на ребре трехмерного тора.
Наконец, восемь вершин куба идентифицированы одной точкой. Более того,
на трехмерном торе они являются одной точкой. Окрестности вершин куба идеально
стыкуются друг с другом и образуют трехмерный шар.
Шарик расположен в вершине. Он разделен на восемь частей, однако ему «кажется»,
что он находится в гладкой точке трехмерного многообразия.
Грани, ребра и вершины кубов геометрически совмещаются друг с другом. Чтобы
полностью убедиться в этом, нужно замостить трехмерное пространство кубами.
124
ТОПОЛОГИЯ И ГЕОМЕТРИЯ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ
Расположим рядом бесконечное число копий одного и того же куба и склеим их грани согласно
правилам склейки ребер исходного куба. Эти кубы образуют замощение обычного трехмерного
евклидова пространства.
Мы можем расположиться в некоторой точке на грани, ребре или в вершине куба
и убедиться, что трехмерный тор в этой точке будет представлять собой трехмерное
многообразие. Теперь правило идентификации граней куба звучит так: в каком бы
из кубов (изображенных на рисунке выше) мы ни находились, это будет равносиль¬
но тому, что мы находимся в исходном кубе. Если бы мы, находясь на трехмерном
торе, могли видеть бесконечно далеко, то увидели бы бесконечное число копий самих
себя впереди, позади, сверху, снизу, справа и слева. Шесть из этих копий находи¬
лись бы к нам ближе всего, остальные располагались бы на большем расстоянии.
Ориентация
В трехмерном пространстве ориентация задается направлениями трех координатных
осей х, у, z. Ее можно понимать как различие между левым и правым. Она может
быть положительной или отрицательной. Если ориентация положительна, ось z на¬
правлена относительно нас снизу вверх, а ось х — вперед, при этом ось у будет
указывать влево, если ориентация отрицательна — вправо.
Первая и вторая декартовы системы координат соответствуют положительной ориентации,
третья — отрицательной.
125
ТОПОЛОГИЯ И ГЕОМЕТРИЯ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ
Есть и другие интересные трактовки ориентации. К примеру, вентили водопрово¬
дного крана вращаются с положительной ориентацией. Представьте себе раковину,
расположенную в плоскости ху, и обычный водопроводный кран с вращающимися
вентилями. Чтобы открыть кран, нужно повернуть вентиль от оси х к оси у. Более
того, можно также отметить небольшое движение вентиля вверх, вдоль оси z (при
этом открывается клапан, который пропускает воду).
Направление вращения вентиля водопроводного крана.
Штопор также вращается в положительном направлении: мы вращаем его в на¬
правлении от оси х к оси у и извлекаем пробку в направлении оси z.
Штопор имеет форму положительно ориентированной спирали.
Неориентируемым называется пространство, в котором мы можем преодолеть
некий путь и вернуться в исходную точку так, что наша ориентация изменится. Если
мы отправимся в такое путешествие со штопором и водопроводным краном в ру-
126
ТОПОЛОГИЯ И ГЕОМЕТРИЯ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ
ках, то по возвращении наше сердце будет находиться справа, штопор нужно будет
вращать в противоположном направлении, а кран будет открываться наоборот. Бо¬
лее того, нам самим будет казаться, что кран и штопор не изменились, а все краны
и штопоры, которые мы не взяли с собой, теперь вращаются в обратную сторону.
Мы будем видеть весь мир словно в зеркальном отражении.
Наконец, если пространство неориентируемо, то петля (или петли), меняющая
ориентацию на противоположную, является нетривиальной, то есть окружает от¬
верстие. Разумеется, если бы петля была тривиальной, мы смогли бы стянуть ее
в точку. Если мы пройдем вдоль такой петли и вернемся в исходную точку, наша
ориентация изменится, и это свойство сохранится, в какую бы область пространства
мы ни переместили эту петлю. Если мы будем стягивать ее, то в конце концов у нас
в руках окажется небольшая петля, которую можно будет положить на стол, и она
по-прежнему будет менять ориентацию предметов. Это абсурдно: как штопор мо¬
жет превратиться в собственное зеркальное отражение только потому, что мы опи¬
сали им круг на поверхности стола?
Трехмерная бутылка Клейна
При описании трехмерного тора мы попарно отметили буквами стороны квадрата
так, как показано на верхнем рисунке на стр. 123. В примере с двумерным тором
мы склеивали стороны квадрата в направлениях, указанных стрелками. В примере
с трехмерным тором гранями исходного многогранника являются двумерные много¬
угольники (в этом случае — квадраты), которые можно склеить друг с другом мно¬
жеством способов: их можно вращать, а также инвертировать, то есть поворачивать
так, что их ориентация изменится. Поэтому буквы на гранях обозначают не только
грани, которые следует склеить друг с другом, но и положение, в котором их нужно
склеить.
127
ТОПОЛОГИЯ И ГЕОМЕТРИЯ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ
Обозначим одинаковыми буквами грани, которые нужно склеить, и расположим
буквы так, чтобы указать, как именно их следует склеить. Рассмотрим иллюстрацию
на предыдущей странице. Если мы пересечем верхнюю грань левого куба, то ока¬
жемся на нижней грани в прежнем положении. Если мы пересечем верхнюю грань
центрального куба, то окажемся на нижней грани и при этом повернемся на 90°
по часовой стрелке. Наконец, если мы пересечем верхнюю грань правого куба,
то окажемся на нижней грани, при этом право и лево для нас поменяются местами.
Трехмерная бутылка Клейна аналогична обычной бутылке Клейна и определяет¬
ся посредством идентификации граней куба.
/\ Л /
1
й\ С
a
У •
: С
х''" Л
Трехмерная бутылка Клейна.
Это трехмерное неориентируемое многообразие. Если мы пройдем вдоль петли,
изображенной на предыдущем рисунке, то, вернувшись в исходную точку, обна¬
ружим, что наша ориентация изменилась. Очевидно, что если мы пройдем вдоль
этой же петли второй раз, то восстановим исходную ориентацию.
Стороны куба можно склеить множеством разных способов. Результатом всякий
раз будут ориентируемые либо неориентируемые многообразия, изучением которых
занимается целая математическая теория — теория групп Бибербаха.
Межпространственные ворота и приклеивание ручек
Межпространственные ворота — это особая область пространства, при пересече¬
нии которой мы оказываемся в совершенно другом месте. Они идеально подходят
для изображения межпланетных путешествий в кино. Мы же используем межпро¬
странственные ворота для того, чтобы «приклеить ручку» к многообразию.
Приклеивание ручки можно представить двумя разными способами, эквивалент¬
ными с точки зрения топологии. Первый способ заключается в том, чтобы сопоста¬
вить область пространства А с областью В. Выберем два небольших шарика, края
128
ТОПОЛОГИЯ И ГЕОМЕТРИЯ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ
которых будут межпространственными воротами А и В. Пройдя через А в любом
направлении, мы всякий раз будем оказываться в соответствующей точке В.
Межпространственные ворота в трехмерном многообразии.
Второй способ заключается в том, чтобы расположить «ручку» в пространстве,
соединив ею А и В. Возникает «небольшая» трудность: ручка не умещается в нашем
пространстве (вспомните, как мы приклеивали ручки к поверхностям). Следова¬
тельно, нам потребуется дополнительное пространство, и мы найдем его в четвертом
измерении — в пространстве с дополнительным направлением и. Четвертое изме¬
рение в действительности не существует, а если бы и существовало, мы не смогли бы
его обнаружить, поэтому мы используем его как математическую абстракцию. Таким
образом, пространство нашего трехмерного многообразия имеет три (локальные)
координаты х, у, z, а координата и равна 0. Когда мы покидаем рассматриваемое
трехмерное многообразие, и перестает быть равным 0. Приступим к приклеиванию
ручки. Начнем со сферы А: немного приподнимем ее в четвертое измерение (полу¬
чим сферу с координатой и > 0) и будем перемещать эту сферу в системе координат
х, у, z до тех пор, пока она не наложится на В. Затем опустим сферу из четвертого
измерения так, что ее координата и вновь станет равной 0, и окажемся на поверхно¬
сти В. Путешествие сквозь ручку подобно путешествию в четвертом измерении —
настоящая научная фантастика!
129
ТОПОЛОГИЯ И ГЕОМЕТРИЯ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ
«ЗВЕЗДНЫЕ ВРАТА»
Центральная тема сюжета научно-фантастического фильма «Звездные врата», вышедшего
на экраны в 1994 году,- межпространственные ворота, пройдя через которые, можно попасть
в другие части Вселенной и на планеты других звездных систем. Чтобы вернуться обратно,
нужно всего лишь пройти сквозь звездные врата в обратную сторону. За первым фильмом по¬
следовали еще два. Кроме того, планируется выпустить на экраны еще два продолжения. Миру
«Звездных врат» посвящено три сериала, в сумме насчитывающих более 350 серий, а также
книги, комиксы и компьютерные игры.
Связные суммы
Рассмотрим частный случай, возникающий при приклеивании ручек. Пусть 5j
и 52 — два трехмерных многообразия. Рассмотрим две области, которые мы склеи¬
ли друг с другом так, как рассказано выше: область В{ на и область В2 на Sr
Имеем новое трехмерное многообразие, которое будем называть связной суммой
данных многообразий. Оно называется связной суммой потому, что особым спосо¬
бом связывает два многообразия в единое целое. Теперь мы можем попасть из Sj
в S2 и наоборот через зону склейки.
Эти многообразия можно представить себе как две параллельные вселенные, со¬
единенные межпространственными воротами. Так как все точки полученного трех¬
мерного многообразия должны быть гладкими, то во всех идентифицированных точ¬
ках мы можем перейти из 51 в S2, ничего не заметив. Как следствие, мы не сможем
определить, где находимся: в одной вселенной или в двух разных, связанных между
собой. К примеру, дверь моей комнаты может быть межпространственными ворота¬
130
ТОПОЛОГИЯ И ГЕОМЕТРИЯ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ
ми, соединяющими малую вселенную (мою комнату) с другой, большой (с осталь¬
ным миром). Когда я прохожу в дверь и попадаю из одной вселенной в другую,
то не замечаю ничего необычного. Но не будет ли логичнее сказать, что моя комната
и все, что находится снаружи нее, образуют единое целое?
Хирургия ВДОЛЬ узлов
В трехмерном пространстве намного больше возможных вариантов (а следователь¬
но, и сложностей!), чем в двумерном. Прежде всего, существует намного больше
вариантов приклеивания ручек, чем те, что представлены в предыдущем разделе.
Обобщения в математике, как правило, проводятся путем аналогий. Обычная,
то есть двумерная сфера, или 2-сфера, представляет собой множество точек трех¬
мерного пространства, удаленных от данной точки на заданное расстояние. В других
измерениях аналогично определяются п-сферы. К примеру, 1-сфера представляет
собой множество точек плоскости, удаленных от данной точки на заданное расстоя¬
ние, то есть окружность. Также можно говорить о 0-сфере — множестве точек пря¬
мой, находящихся на заданном расстоянии от данной точки. Нетрудно видеть, что
О-сфера представляет собой две точки.
Напомним, как приклеивать ручки к пространству: нужно выбрать две точки,
«надуть» их, а затем соединить путем идентификации полученных сфер (см. верх¬
ний рисунок на стр. 129). Следовательно, нужно выбрать 0-сферу (две точки). Что
произойдет, если мы выберем не 0-сферу, а 1-сферу в трехмерном многообразии?
1-сфера представляет собой узел.
1-сфера — это окружность в трехмерном многообразии. Однако здесь слово
«окружность» означает «окружность во внутренней геометрии». Иными словами,
имеем петлю в 3-многообразии, которая, в общем случае, может быть завязана уз¬
131
ТОПОЛОГИЯ И ГЕОМЕТРИЯ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ
лом. Узлы и их свойства изучаются в теории узлов. Задача классификации узлов
до сих пор не решена.
Теперь немного «надуем» узел и получим полноторие — геометрическое тело
в форме бублика. Краем полнотория, то есть его поверхностью, является тор.
На торе определены два вида окружностей: поперечные, называемые меридианами,
которые образуются при утолщении исходного узла (и исчезают при сжатии тора
в узел), и продольные, называемые параллелями, которые опоясывают тор, следуя
вдоль исходного узла (при сжатии тора параллели сходятся в исходный узел).
/
m
Тор с меридианом т и параллелью I.
Справа изображена модель тора, определенного посредством идентификации сторон квадрата.
Выбрать меридиан несколькими способами нельзя: любые два меридиана гомо¬
топны, то есть один из них всегда можно преобразовать в другой. При выборе па¬
раллели существует определенная свобода: так, параллель может сворачиваться во¬
круг узла. Свертывание параллели определяется целым числом, которое называется
framing (в пер. с англ, «оснащение»). После того как определено это оснащение,
преобразовать заузленный тор (слева на рисунке выше) в обычный (справа на ри¬
сунке) так, чтобы меридиану соответствовал меридиан, а параллели — параллель,
можно единственным способом. Это означает, что оба тора, обладающие этим свой¬
ством, гомеоморфны и представляют собой, по сути, один и тот же тор (точнее го¬
воря, почти один и тот же: два возможных гомеоморфизма гомотопны). Оснащение
указывает необходимую основу для этого гомеоморфизма.
Теперь рассмотрим хирургию вдоль узлов. Этот процесс аналогичен приклеива¬
нию ручек. В математике хирургией называется разрез с последующим склеиванием
(или сшиванием) пространств с целью получения новых пространств. В нашем при¬
мере мы рассмотрим два узла (сами по себе или в двух различных пространствах).
Расширим их так, что образуются два полнотория. Не будем рассматривать вну¬
132
ТОПОЛОГИЯ И ГЕОМЕТРИЯ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ
треннюю часть полноторий и выберем оснащение. Теперь проведем идентификацию
краев, склеив меридианы с меридианами, а параллели — с параллелями. Получив¬
шееся пространство будет разновидностью связной суммы торов.
Мы входим в один тор и выходим в соответствующей точке другого тора.
Соответствие между торами определено так, что их параллели и меридианы совпадают.
Перед нами открываются безграничные возможности, главным образом потому,
что в нашем распоряжении находится множество узлов. С помощью подобных скле¬
ек можно описать любое трехмерное многообразие. Если бы нам удалось описать все
возможные узлы, то мы описали бы все трехмерные топологические многообразия.
Геометрия в трех измерениях
Геометрия изучает метрические свойства пространств, то есть расстояния, углы, кри¬
визну и подобные параметры. При анализе кривизны двумерных поверхностей было
очень удобно рассматривать их из трехмерного пространства. Мы также рассказа¬
ли о том, как флатландцы могут анализировать кривизну поверхностей, не выходя
за их пределы. Теперь при анализе кривизны трехмерных многообразий мы тоже
чувствуем себя как флатландцы, потому что не можем рассмотреть пространство,
в котором находимся, извне (мы не знаем, существует ли четырехмерное простран¬
ство, и не можем туда попасть).
Четырехмерное существо, которое рассматривает трехмерное многообразие
из своего мира, посмотрело бы на нас, живущих в этом многообразии, и расска¬
зало бы о его внешней геометрии и о том, как можно увидеть его кривизну, глядя
в зенит на четырехмерном небе. Если бы мы двигались вдоль геодезической линии
133
ТОПОЛОГИЯ И ГЕОМЕТРИЯ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ
трехмерного многообразия и могли бы посмотреть в четвертое направление, то уви¬
дели бы, как искривляется наша траектория, и смогли бы вычислить кривизну в этом
направлении по формуле k = \/R, где R — радиус кривизны. Но поскольку мы
трехмерны, то при движении вдоль геодезической линии не можем взглянуть за пре¬
делы трехмерного многообразия и не ощущаем никаких проявлений кривизны.
Четырехмерное существо объяснило бы, что существует три перпендикуляр¬
ных направления еу е2, е3, значения кривизны вдоль которых соответственно равны
к у к2, ky где fej — наибольшая, а — минимально возможная кривизна. Однако
ни одну из этих величин нельзя определить без помощи гостей из четвертого измере¬
ния — эти величины относятся к внешней геометрии, которую можно рассмотреть
лишь снаружи трехмерного многообразия. Мы же находимся внутри него.
Построим три маленьких участка плоскости в точке Р, которые будут содержать
все возможные пары направлений еу е2, е3. Участок плоскости — это небольшая по¬
верхность в трехмерном многообразии, содержащая два вектора, выходящие из точ¬
ки Р, и образованная геодезическими линиями, проходящими через точку Р.
Три участка плоскости в точке Р.
Поверхность Sх содержит векторы е2 и е3. Кривизна в направлениях, указывае¬
мых векторами, равна k2 и ky таким образом, она равна Кх = k2 * ky Эта кривизна яв¬
ляется внутренним параметром поверхности, и ее может определить даже существо,
живущее на плоскости SJ. Аналогично, поверхность S2 имеет кривизну К2 = X
X ky поверхность S3 имеет кривизну К3 = fe1 * kr Хотя нам неизвестны значения ky
ky ky мы знаем, чему равны произведения /?1 * k2, fe1 * k3 и k2 • ky
Но как мы определим поверхности Sy S2, S3, если векторы еу е2, е3 относятся
к внешней геометрии, а без них построения невозможны? Чтобы справиться с этой
134
ТОПОЛОГИЯ И ГЕОМЕТРИЯ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ
проблемой, нужно рассмотреть все участки плоскостей, расположенные во всех на¬
правлениях и проходящие через Р, хотя их будет бесконечно много. Кривизна участ¬
ков плоскости называется кривизной нормального сечения.
Рассмотрев все эти участки плоскостей, получим множество возможных значе¬
ний кривизны нормального сечения. На их основе определим fe1 • kv fe1 • k3 и k2 • ky
К примеру, если числа ky k2, k3 положительны, то наибольшей кривизной нормаль¬
ного сечения будет /?1 * kr наименьшей — k2 • ky Таким образом мы определим
и плоскости 51 и Sy Плоскость S2 будет перпендикулярна обеим этим плоскостям,
a • k3 будет ее кривизной.
Для данной точки Р и плоскости к существует число Кр(п), которое называется кривизной
нормального сечения и является кривизной соответствующего участка плоскости
(относится к внутренней геометрии).
Зная * /?2, fe1 • и k2 * ky можно получить fe1 k2nk3 — по меньшей мере, если
эти числа положительны. Это правило выполняется для трехмерных многообразий
в четырехмерном пространстве, но не для многообразий высших измерений.
С точки зрения математики внешняя кривизна одномерна: мы наблюдаем ее во
время движения, когда по действию центробежной силы отмечаем, как искривляется
путь. Внутренняя же кривизна двумерна: она наблюдается, когда мы строим ма¬
ленький участок плоскости и вычисляем его кривизну, например строим треугольник
и вычисляем сумму его углов или строим окружность и измеряем ее длину.
Однородные геометрии в трех измерениях
В общем случае кривизна трехмерного многообразия может изменяться и отличать¬
ся в разных его точках. Нас интересуют геометрические пространства, в которых на¬
135
ТОПОЛОГИЯ И ГЕОМЕТРИЯ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ
блюдается определенная симметрия. С одной стороны, однородность и изотропия,
о которых мы рассказали в главе 4, имеют непосредственное отношение к задаче
о форме Вселенной. С другой стороны, как мы отмечали, под словами «геометрия
пространства» обычно понимаются однородные геометрии, так как в них допускает¬
ся изометрический перенос фигур. Напомним некоторые определения.
— Трехмерное многообразие однородно, если две произвольные его точки Р и Q
имеют изометрические (геометрически эквивалентные) окрестности.
— Трехмерное многообразие изотропно, если для любой точки мы можем опре¬
делить изометрию ее окрестности такую, что она переводит направление и
в направление у, выбранное произвольно. Любую геометрическую фигуру
можно повернуть из точки Р так, что она будет видна в любом направлении,
при этом ее геометрические свойства останутся неизменными.
Если многообразие изотропно, то для данной точки Р мы можем совместить
любые две плоскости, проходящие через точку Р, посредством изометрии. Сле¬
довательно, кривизна всех плоскостей в точке Р одинакова. На верхнем рисунке
на стр. 102 также видно, что изотропное многообразие однородно. Следовательно,
кривизна плоскостей в точке Р ив другой точке, Q, будет одинаковой. Таким обра¬
зом, кривизна всех плоскостей во всех точках постоянна. Запишем это так:
изотропия = постоянная кривизна kQ.
Если многообразие однородно, но не изотропно, то для данной точки Р различ¬
ные плоскости (проходящие через Р) будут иметь в этой точке разную кривизну.
Тем не менее для двух данных точек Р и Q полный набор значений кривизны в точ¬
ке Р будет совпадать с полным набором значений кривизны в точке Q. Следова¬
тельно, достаточно определить набор значений кривизны всего в одной точке.
Остановимся подробнее на геометрии трехмерных многообразий. Когда мы ана¬
лизировали геометрию поверхностей постоянной кривизны в двух измерениях, мы
начали со следующих моделей (по одной для каждого случая).
Кривизна
Модель
Геометрия
К> 0
Сфера
Эллиптическая
К=0
Евклидова плоскость
Евклидова
К< 0
Диск Пуанкаре
Гиперболическая
136
ТОПОЛОГИЯ И ГЕОМЕТРИЯ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ
Эти модели являются односвязными (то есть все петли на них тривиальны).
Любому выбранному значению кривизны К соответствует только одна модель.
Остальные поверхности постоянной кривизны определяются так: их точки имеют
окрестности, изометричные одной из перечисленных моделей. Либо такие поверх¬
ности могут определяться как результат замощения одной из указанных моделей.
В трех измерениях мы также начнем анализ с трех моделей трехмерных односвязных
многообразий постоянной кривизны. Прочие изотропные трехмерные многообразия
определяются на основе этих трех. Эти модели называются формами пространства.
— 3-сфера — односвязное многообразие с кривизной К > 0. На рисунке видно,
что все прямые на 3-сфере имеют фиксированную длину. Если мы, находясь
в центре сферы, построим произвольный участок плоскости, то получим
2-сферу кривизной К = 1. Так как это правило выполняется для любого
участка плоскости, 3-сфера имеет постоянную кривизну. 3-сфера является
компактной — и это единственное компактное объемное тело.
Путь вдоль геодезической линии из точки Р. Пройдя через антиподальную точку Р’, мы вернемся
в исходную точку. Поверхность, выделенная серым, — это 2-сфера внутри 3-сферы.
— Трехмерное евклидово пространство. Прямые и плоскости в нем выглядят
привычным нам образом. Плоскости являются евклидовыми и имеют нуле¬
вую кривизну. Следовательно, кривизна евклидова пространства К = 0.
— Гиперболическое пространство. Его моделью является шар с искаженной ме¬
трикой, определяемой так, что расстояние до края шара бесконечно велико.
Плоскости в этом пространстве представляют собой диски, проходящие че¬
рез центр шара (гиперболические плоскости), либо части сферы, перпендику¬
лярные краю шара. Построив различные плоскости, проходящие через центр
137
ТОПОЛОГИЯ И ГЕОМЕТРИЯ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ
шара, мы увидим, что все они имеют кривизну К = —1. Следовательно, кри
визна гиперболического пространства постоянна и отрицательна: К < 0.
Две плоскости в гиперболическом пространстве. Можно построить множество плоскостей,
параллельных им.
Существует всего восемь однородных трехмерных пространств, что доказал Уиль¬
ям Терстон в 1982 году. Три из них изотропны. Остальные пять таковы:
— пространство S2 х К. Имеет эллиптическую геометрию в двух первых направ¬
лениях и евклидову — в третьем. Следовательно, = = 1, k2 = 1, k3 = 0.
Кривизны нормальных сечений = 0, К2 = 0, К3 = 1;
— пространство H2 х R. Имеет гиперболическую геометрию в двух первых на¬
правлениях и евклидову — в третьем. Следовательно, k{ = = 1, k2 = —1, k3 =
= 0. Кривизны нормальных сечений = 0, К2 = 0 и К3 = —1;
— геометрии трех остальных пространств описываются намного сложнее и носят
названия SL2 (R), Nil и Soi Первые две представляют собой скрученные
разновидности Е х К и Н2 х Е, где Е — евклидова плоскость. Последняя
геометрия, So/, требует отдельного описания.
Изотропные геометрии компактных многообразий
Особый интерес представляют компактные трехмерные многообразия без края —
конечные, но неограниченные пространства. С точки зрения математики, свойство
компактности ограничивает возможные аномалии, которые наблюдаются в неком¬
пактных многообразиях (к примеру, при движении в одном направлении в неком¬
пактном многообразии может наблюдаться бесконечное количество дырок).
138
ТОПОЛОГИЯ И ГЕОМЕТРИЯ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ
В главе 4 мы показали, что изучить изотропные геометрии двухмерных многооб¬
разий даже в двух измерениях непросто. Для этого нужно...
— Построить фундаментальный многоугольник и обозначить его грани, опреде¬
лив тем самым трехмерное многообразие.
— Убедиться, что ребра и вершины фундаментального многоугольника стыку¬
ются друг с другом, чтобы все вершины и точки вдоль ребер были гладкими.
Иногда эти шаги можно обеспечить только при условии, что фундаменталь¬
ный многоугольник является неевклидовым. В этом случае потребуется подо¬
брать значение кривизны К (оно может быть больше, меньше или равно 0) —
это можно сделать для любой поверхности.
Возможен альтернативный вариант:
— замостить модель (сферу, евклидову или гиперболическую плоскость) фунда¬
ментальными многоугольниками.
В трех измерениях следует поступить аналогично. Полный анализ изотропных
компактных многообразий до сих пор не завершен, однако был получен ряд частных
результатов.
1. Не все трехмерные многообразия допускают изотропную геометрию. Более
того, не все трехмерные многообразия могут иметь однородную геометрию.
Наиболее важным результатом в этом отношении является гипотеза Терстона
(не так давно доказанная Перельманом), согласно которой любое трехмерное
многообразие делится на участки, допускающие однородную геометрию.
2. Большинство однородных трехмерных многообразий имеют гиперболическую
геометрию (аналогично, гиперболическую геометрию имеет большинство по¬
верхностей).
3. Эллиптические трехмерные многообразия определяются замощением 3-сферы
правильными многогранниками со сферической геометрией. Все эллиптиче¬
ские трехмерные многообразия до сих пор неизвестны. Еще одним таким мно¬
гообразием, помимо 3-сферы, является проективная плоскость, которая опре¬
деляется замощением 3-сферы двумя ее полушариями.
Еще одно известное эллиптическое трехмерное многообразие — многообразие
Пуанкаре. Возьмем додекаэдр и склеим каждую его грань с противоположной
139
ТОПОЛОГИЯ И ГЕОМЕТРИЯ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ
с поворотом на 36°. Замостить трехмерное пространство такими додекаэдрами
невозможно, так как углы при вершинах не будут заполняться. Эту проблему
можно решить, применив додекаэдры со сферической геометрией: их углы не¬
сколько больше, и додекаэдры выглядят несколько раздутыми. Так мы смо¬
жем замостить 3-сферу 120 подобными тетраэдрами и получить геометрию
пространства с кривизной К = 1.
Пространство Пуанкаре образуется склеиванием граней сферического додекаэдра.
4. Трехмерные евклидовы многообразия образуются замощением трехмерного
евклидова пространства кубами или параллелепипедами. Полученное замоще¬
ние будет топологически эквивалентно 3-тору, однако его геометрия будет
иной. Углы между гранями параллелепипеда и длины его сторон можно опре¬
делить с помощью метрики. 3-тор, определяемый посредством замощения ку¬
бами, и изображенный на следующем рисунке 3-тор, определяемый как за¬
мощение параллелепипедами, не будут изометричными.
5. Известны многие (но не все) трехмерные гиперболические многообразия.
Построить замощения в гиперболическом пространстве непросто. В качестве
140
ТОПОЛОГИЯ И ГЕОМЕТРИЯ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ
примера можно привести многообразие Зейферта — Вебера, определяемое
на основе додекаэдра, каждая грань которого приклеивается к противоположной
с поворотом на 108°. Если мы попытаемся замостить трехмерное пространство
додекаэдрами, склеенными согласно этому правилу, то увидим, что это невозможно:
соседние углы додекаэдров будут слишком велики. Чтобы совместить додекаэдры
в таком замощении, потребуется использовать гиперболические додекаэдры —
их углы меньше, чем углы додекаэдров в евклидовой геометрии. Результатом
замощения будет геометрия с кривизной К = — 1.
Трехмерное многообразие Зейферта — Вебера с гиперболической геометрией.
141
Глава 6
Какую форму имеет
наша Вселенная?
На страницах этой книги мы проделали долгий путь, неизменно держа в голове один
вопрос: можем ли мы определить форму нашей Вселенной? Хотя этот вопрос до сих
пор остается без ответа, он послужит нам предлогом, чтобы узнать еще немного
о геометрии и топологии.
В Древней Греции было высказано множество мнений о природе Вселенной.
Демокрит, основатель атомистической школы, считал, что Вселенная бесконечна
и простирается в трех направлениях (в длину, ширину и высоту) подобно тому, как
евклидова плоскость бесконечно простирается в двух направлениях. Аристотель же
представлял себе Вселенную как огромный шар, в центре которого находится Зем¬
ля, а границей которого является сфера.
Гравюра Камиля Фламмариона Universum (1888).
143
КАКУЮ ФОРМУ ИМЕЕТ НАША ВСЕЛЕННАЯ?
На протяжении многих веков доминировала концепция Аристотеля — причиной
этому был, главным образом, страх человека перед бесконечностью. Изобретение
телескопа в 1608 году и последовавшие астрономические наблюдения покончили
с геоцентрической картиной мира, а вместе с ней — и с концепцией Аристотеля.
Концепция бесконечного пространства (которое мы в этой книге называем трех¬
мерным евклидовым пространством) была принята без малейших колебаний. Сам
Кант называл такое пространство «неизбежной необходимостью мысли».
Риман в 1854 году первым допустил, что Вселенная может иметь неевклидову
геометрию. Он разработал геометрию криволинейных пространств и предположил,
что Вселенная представляет собой 3-сферу. Эта гипотеза не была подкреплена ни¬
какими эмпирическими данными, но Риман отказался от общепринятых представ¬
лений о евклидовом пространстве и предложил принципиально новую модель: если
Вселенная представляет собой трехмерное многообразие, то, в принципе, она может
иметь неевклидову геометрию. Похожим образом на смену модели плоской Земли
пришла сферическая модель, о чем мы уже рассказали в начале главы 1.
Можно сказать, что во времена Римана математика была уже достаточно зрелой,
чтобы задаваться подобными вопросами. Понятие многообразия геометрического
пространства в те годы еще не было сформулировано окончательно. Результатом
более ранних работ Гаусса, Бойяи и Лобачевского стало открытие гиперболической
геометрии. Стало понятно, что известное на тот момент евклидово пространство
не является единственно возможным, и возникла необходимость определить поня¬
тие пространства (в итоге оно стало называться многообразием).
В этом, как и во многих других случаях, математика определила путь к познанию
мира и в то же время помогла найти ответы на важнейшие вопросы.
Задачи, которым мы посвятили предыдущие главы о топологии и геометрии
двух- и трехмерных многообразий, помогают понять истинный смысл вопроса о фор¬
ме нашей Вселенной и указывают, где следует искать ответ на него.
Вселенная
Вселенная — это совокупность пространства, времени и всех форм материи и энер¬
гии. Она содержит многие миллиарды галактик, состоящих из многих миллиардов
звезд. Мы с вами живем на маленькой планете Солнечной системы, расположенной
в одном из рукавов одной из этих галактик — Млечного Пути.
144
КАКУЮ ФОРМУ ИМЕЕТ НАША ВСЕЛЕННАЯ9
Галактики образуют скопления и сверхскопления.
В любой точке Вселенной мы можем расположить три координатные оси (разу¬
меется, воображаемые) и с их помощью определить положение любой другой близ¬
лежащей точки. Если бы Вселенная представляла собой трехмерное евклидово про¬
странство, мы смогли бы неограниченно продолжить эти координатные оси и охва¬
тить все точки Вселенной. Но в силу особенностей искривленного пространства,
о которых мы рассказали в предыдущих главах, ожидать чего-то подобного не сле¬
дует. Этот шаг выполняется по индукции «от конечного к бесконечному», аналогич¬
но постулату о параллельности прямых, и, как правило, служит источником ошибок.
Следовательно, необходимо указать, что мы можем расположить три координат¬
ные оси локально. Утверждение «локально мы находимся в трехмерном мире» рав¬
носильно утверждению «Вселенная представляет собой трехмерное многообразие».
145
КАКУЮ ФОРМУ ИМЕЕТ НАША ВСГ.ЛГННАЯ?
ЛОБАЧЕВСКИЙ И ГЕОМЕТРИЯ ВСЕЛЕННОЙ
Первым, кто предложил проверить гео¬
метрию пространства практическими
методами, по всей видимости, был Ни¬
колай Лобачевский (1792-1856), кото¬
рый попытался вычислить сумму углов
звездного треугольника.
Одной из вершин этого треугольника
был Сириус - ярчайшая звезда ночно¬
го неба, а две другие вершины опреде¬
лялись положением Земли с интерва¬
лом в 6 месяцев.
Лобачевский попытался рассчитать,
насколько геометрия нашего про¬
странства отличается от евклидовой,
и предположил, что Вселенная имеет
гиперболическую геометрию (говоря
современным языком, Лобачевский
хотел вычислить кривизну Вселенной).
Взяв за основу максимальный парал¬
лакс Сириуса, который составляет 1,24
секунды дуги, Лобачевский заключил,
что кривизна Вселенной (предполо¬
жительно, отрицательная) должна быть
по модулю меньше 1/166000 а.е. («а.е.» обозначает «астрономическая единица» - расстояние
от Земли до Солнца). Полученное значение было ненулевым, но слишком малым для того, чтобы
можно было сделать какие-либо выводы.
Лобачевский представил свою первую статью о новой геометрии в Казани в 1826 году. При¬
ближенное значение кривизны, вычисленное им на основе параллакса звезд, было впервые
опубликовано в 1855 году, незадолго до его смерти.
Ранее Гаусс провел аналогичные измерения, вычислив сумму углов треугольника, образо¬
ванного тремя горными вершинами в Германии: Брокен, Хохенхаген и Инзельсберг. Весьма
вероятно, что Гаусс не анализировал геометрию Вселенной, а вычислял кривизну Земли.
146
КАКУЮ ФОРМУ ИМЕЕТ НАША ВСЕЛЕННАЯ?
Теория относительности Эйнштейна основывается на следующей предпосылке:
физическое пространство представляет собой многообразие, и его форма опреде¬
ляется его геометрией (то есть некоторой метрикой). Новизна теории относитель¬
ности заключалась в том, что пространство и время рассматривались одновременно
как одно четырехмерное многообразие с координатами х, у, z, /, где х, у, z — про¬
странственные координаты, а / — временная. Это многообразие называется «про¬
странство-время». В теории относительности все уравнения физики сформулирова¬
ны в многообразии «пространство-время». Но нас по-прежнему интересует ответ
на вопрос о форме Вселенной, то есть пространства с координатами х, у, z в про¬
странстве-времени. Это пространство — трехмерное многообразие.
Пространство-время, в мотором мы изобразили двухмерное пространство. Время отмечено
на вертикальной оси. Мы видим, что Квадратина движется вправо.
Теперь сформулируем несколько базовых гипотез, которые могут пригодиться
нам позже.
— Вселенная не имеет края. Будем предполагать, что Вселенная представляет
собой трехмерное многообразие без края. В любой точке пространства мы
увидим обширную область, простирающуюся в трех направлениях и не имею¬
щую какой-либо границы, Вселенная неограниченна.
— Вселенная ориентируема. Хотя понятия левого и правого придуманы людьми
исключительно для удобства, однако в природе ориентация — намного более
147
КАКУЮ ФОРМУ ИМЕЕТ НАША ВСЕЛЕННАЯ?
глубокий феномен, проявляющийся на уровне частиц. Если, согласно нашим
предположениям, физические законы Вселенной во всех ее частях одинако¬
вы, то нельзя совершить космическое путешествие и вернуться на Землю
с измененной ориентацией — в этом случае изменится сама структура частиц.
Это очень сильный аргумент в пользу гипотезы об ориентируемости Вселен¬
ной.
— Вселенная изотропна. Она с большой вероятностью однородна (то есть вы¬
глядит одинаково во всех точках) и изотропна (то есть выглядит одинаково
в разных направлениях). Ученые твердо убеждены, что физические законы,
определяющие геометрию Вселенной, одинаковы во всех ее точках (эта идея
не только весьма притягательна с философской точки зрения, но и под¬
тверждается всеми доступными данными). Далее вы узнаете, что геометрия
Вселенной определяется количеством материи, которое распределено одно¬
родно, по крайней мере в видимой части Вселенной. Разумеется, материя
сконцентрирована в звездах, которые образуют галактики, и в то же время
галактики разделены огромными пустотами (зонами пространства, не содер¬
жащими материи). Более того, сами галактики объединяются в скопления.
Однако в крупном масштабе скопления галактик распределены достаточно
однородно во всех направлениях, поэтому можно сказать, что Вселенная
«приблизительно изотропна», и отсутствие однородности и изотропии
(то есть так называемая анизотропия) наблюдается в малом масштабе.
Вселенная в крупном масштабе. Скопления галактик образуют волокна. Вселенная в таком
масштабе по своим свойствам скорее напоминает жидкость.
148
КАКУЮ ФОРМУ ИМЕЕТ НАША ВСЕЛЕННАЯ?
— Компактность. Это наиболее спорное свойство. Имеет ли Вселенная конеч¬
ный объем? Нет никаких данных, которые склоняли бы чашу весов в ту или
иную сторону. Аргументы в пользу компактности Вселенной носят философ¬
ский характер: если материя распределена равномерно и, согласно уравнениям
Эйнштейна, количество материи и энергии во Вселенной постоянно, то оно
должно быть конечным. Однако гипотезы о постоянном количестве материи
и бесконечном объеме Вселенной не противоречат друг другу. Таким образом,
проблема сводится исключительно к трактовке бесконечности.
СРТ-ИНВАРИАНТНОСТЬ
СРТ-инвариантность - это инвариантность физических законов относительно преобразова¬
ний, включающих инверсию заряда (его смену с положительного на отрицательный), четности
(ориентации пространства) и времени. Если мы изменим знак заряда (С), то все частицы бу¬
дут заменены соответствующими античастицами. Инверсия четности (Р) подразумевает смену
ориентации пространства. Инверсия времени (7) означает, что время течет уже не из прошло¬
го в будущее, а из будущего в прошлое. В 1950-е годы были открыты различные физические
явления (в частности, бета-распад), при которых P-симметрия нарушается. Также известны
явления, при которых нарушаются С-симметрия и Г-симметрия. Таким образом, во Вселенной
четко различаются положительный и отрицательный заряд, две различные ориентации и два
направления течения времени.
На сегодня считается, что возможна СРТ-инвариантность физических законов, то есть при
одновременной замене С, Р и Тфизические законы не изменятся.
Космология
Космология — это наука, изучающая происхождение, развитие и дальнейшую
судьбу Вселенной, а также галактик, звезд и планетных систем, поэтому о том, ка¬
кую форму имеет Вселенная, мы узнаем на стыке космологии и топологии. Вопросы
о форме Вселенной делятся на две основные категории:
— вопросы о локальной форме Вселенной, то есть о геометрии ее видимой части.
Ближней Вселенной называется ее часть, доступная для наблюдений в наши
телескопы и радиотелескопы;
149
КАКУЮ ФОРМУ ИМЕЕТ НАША ВСЕЛЕННАЯ?
— вопросы, касающиеся общей формы Вселенной, то есть топологии Вселенной
в целом.
Результаты астрономических наблюдений показывают, что возраст Вселенной
составляет примерно 13,5—14 млрд лет, а ее размеры — как минимум 93 млрд све¬
товых лет.
Вселенная имеет астрономические размеры, которые нельзя измерить в привыч¬
ных нам единицах, например в километрах. Единицей измерения расстояний во Все¬
ленной обычно служит световой год — расстояние, которое свет проходит за один
год. Скорость света (в вакууме) составляет 299 892 км/с, таким образом, один све¬
товой год равен 9467 280 000 000 км. К примеру, галактика Млечный Путь имеет
форму спирали с перемычкой диаметром примерно 100 000 световых лет и толщи¬
ной около 1000 световых лет.
Часто используется еще одна единица измерения — парсек. Парсек — это рас¬
стояние, с которого отрезок, соединяющий Землю и Солнце, виден под углом в одну
угловую секунду, то есть (ТОО* 01”. Один парсек равен 3,26 светового года и обо¬
значается буквами пк. Для больших расстояний используется мегапарсек, Мпк,
равный 1 миллиону парсек.
Иллюстрация определения парсека.
Согласно теории относительности, ни одна частица не может двигаться со скоро¬
стью, превышающей скорость света. При этом скорости света могут достигать толь¬
ко электромагнитные волны (фотоны). Частицы, имеющие массу, обязательно бу¬
дут двигаться с меньшей скоростью. Скорость света обозначается буквой с.
150
КАКУЮ ФОРМУ ИМЕЕТ НАША ВСЕЛЕННАЯ9
Е=МС2 И АТОМНАЯ БОМБА
Одним из следствий теории относительности является эквивалентность массы и энергии, вы¬
раженная знаменитым уравнением Е = тс2, согласно которому тело массой т в состоянии
покоя обладает энергией Е, рассчитываемой по упомянутой формуле. Так как с - скорость света
(то есть очень большое число), то 1 кг массы эквивалентен почти 25 миллиардам кВт ч. Следо¬
вательно, теоретически мы можем получить столько энергии из тела массой 1 кг. Эта энергия
выделяется в процессе радиоактивного распада, а также при ядерном взрыве.
Атомные бомбы представляют собой практическое следствие теории относительности. По этой
причине, а также из-за участия Альберта Эйнштейна в годы Второй мировой войны в «Проекте
Манхэттен», целью которого было создание ядерного оружия, ученый считается отцом атом¬
ной бомбы. Стоит отметить, что Эйнштейн был
убежденным пацифистом и поддерживал про¬
ект по единственной причине: он боялся, что
нацисты также работают над ядерным оружием
и применят его в бою.
Однако увидев катастрофические послед¬
ствия ядерной бомбардировки Хиросимы
и Нагасаки, Эйнштейн вместе с философом
и математиком Бертраном Расселом призвал
ученых объединиться в борьбе против ядерно¬
го оружия.
Геометрия Вселенной
В теории относительности, в отличие от механики Ньютона, тяготение понимается
не как сила, а как геометрическая характеристика пространства-времени, то есть как
кривизна. Связь тяготения и кривизны описывают знаменитые уравнения гравита¬
ционного поля в общей теории относительности Эйнштейна. Говоря простым язы¬
ком, эти уравнения указывают, что масса в пространстве (то есть источник поля
тяготения) вызывает искривление самого пространства.
151
КАКУЮ ФОРМУ ИМЕЕТ НАША ВСЕЛЕННАЯ?
Земля
I
I
Тяготение — это проявление кривизны пространства-времени,
вызванной массивным телом.
Тяготение изменяет геометрию пространства, искривляя его, а следовательно,
изменяет форму прямых. При этом прямые следует понимать как геодезические
линии, траектории движущихся тел, на которые не действуют никакие сторонние
силы (в качестве примера можно привести траекторию ракеты, движущейся исклю¬
чительно под действием силы тяги ее двигателя). Таким образом, планеты, вращаю¬
щиеся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, движутся по геодезическим лини¬
ям. Вдоль геодезических линий движется и свет. Читатель спросит: почему планеты
и свет не движутся по одинаковым траекториям? Причина в том, что геодезические
линии следует изображать в пространстве-времени. Иными словами, они зависят
как от места, так и от времени, следовательно, их форма определяется скоростью
движения тела.
Луч света звезды возле массивного тела искривляется (следует вдоль геодезической линии).
Следовательно, видимое положение звезды смещено относительно ее реального положения.
152
КАКУЮ ФОРМУ ИМЕЕТ НАША ВСЕЛЕННАЯ?
Уравнение Эйнштейна выглядит довольно любопытно:
Rie — Kprn + Am = (8nG/c4)T.
В этом уравнении т — метрика (характеристика геометрии пространства-вре¬
мени); Кр — скалярная кривизна, равная Кр = (К^ + К2 + /С3) /3; Rie — тензор
Риччи, который каждому вектору еу е2, е3 ставит в соответствие число (К2 + К3)/
/2, (К^ + К3) /2, (Xt 4- К2) /2 соответственно (см. рис. на стр. 134); с — скорость
света; С — гравитационная постоянная, равная 6,693 • 10-11 м3/кг/с2; Т — тензор
энергии-импульса материи, описывающий массы в космосе и их эффект. Наконец,
А — так называемая космологическая постоянная, которая фигурирует в уравнении
Эйнштейна без какого-либо физического обоснования.
В вакууме Т = 0. Если мы также исключим космологическую постоянную,
то уравнение примет вид:
Rie — К чп = 0.
р
Кр зависит от положения точки р, однако можно сделать вывод, что кривизна
Вселенной постоянна (обратите внимание — изотропия не является одной из пред¬
посылок уравнения, а выводится из него!). Если мы включим в уравнение массу
Вселенной и предположим, что она распределена равномерно, то получим, что Т
не зависит от положения точки, и кривизна вновь будет постоянной. Следовательно,
для решения уравнения Эйнштейна нам необходима плотность материи, р.
Красное смещение и Большой взрыв
В 1917 году Эйнштейн рассмотрел уравнение гравитационного поля для всей Все¬
ленной. Сначала он предположил, что из него можно исключить А, так как эта ве¬
личина не имеет физического смысла. Ученый получил парадоксальный результат:
объем Вселенной со временем изменялся. Эйнштейн не мог этого допустить и по¬
вторно ввел в уравнение постоянную Л, чтобы объем Вселенной оставался неизмен¬
ным. Постоянную Л он назвал космологической постоянной.
В 1922 году русский математик и метеоролог Александр Фридман (1888—1925)
описал модель расширяющейся Вселенной, которую сперва никто не воспринял все¬
рьез. В расширяющейся Вселенной галактики со временем должны удаляться друг
от друга.
153
КАКУЮ ФОРМУ ИМЕЕТ НАША ВСЕЛЕННАЯ?
\ L
Вселенная расширяется. Галактики удаляются друг от друга со скоростью, пропорциональной
расстоянию между ними. Они ведут себя подобно точкам на поверхности воздушного шара,
которые удаляются друг от друга по мере того, как шар наполняют воздухом.
Модель Фридмана вскоре была подтверждена экспериментальными данными.
Жорж Леметр в 1927 году и Эдвин Хаббл в 1929 году независимо друг от друга опре¬
делили, что галактики удаляются от нас со скоростью, пропорциональной расстоянию
до них. Скорость расширения Вселенной получила название постоянной Хаббла
и обозначается буквой Н. Согласно результатам, полученным с помощью космическо¬
го телескопа «Хаббл» в 2011 году, постоянная Хаббла равна 74 км/с/Мпк.
ВАЖНЫЕ СОБЫТИЯ В ИСТОРИИ ВСЕЛЕННОЙ
Возраст Вселенной составляет примерно 13,7 млрд лет. После Большого взрыва во Вселенной
не существовало ничего, кроме излучения с высочайшей энергией. Спустя 100 секунд начали об¬
разовываться первые частицы (электроны, нуклоны и другие). Спустя 400000 лет образовались
1
Большой
взрыв
2 7 миллиардов лет
Земля
г
Миллионы лет
Образование
атомов
Звезды
154
КАКУЮ ФОРМУ ИМЕЕТ НАША ВСЕЛЕННАЯ?
Иными словами, галактика, расстояние до которой составляет 1 мегапарсек, удаля¬
ется от нас со скоростью 74 км/с. Если же расстояние до галактики составляет
2 Мпк, она удаляется от нас со скоростью 148 км/с, и так далее. Это означает, что
каждый миллиард лет Вселенная увеличивается в размере на 7,55 %.
Определить, что Вселенная действительно расширяется, а также узнать скорость
ее расширения удалось благодаря так называемому эффекту красного смещения све¬
та далеких галактик. Этот эффект возникает в силу того, что при удалении тела
от нас длина волны излучаемого им света возрастает, и в результате свет от этого
тела достигает нас со смещением в красную часть спектра. В то же время мы можем
определить реальную длину волны излучаемого света, так как нам известны спектры
всех химических элементов, из которых состоят галактики.
VAA/VWii
Красный Фиолетовый
Когда предмет удаляется от нас, длина волны излучаемого им света увеличивается. Иными
словами, свет этого тела смещается в красную часть спектра.
первые атомы, а к моменту образования первых звезд из сгустков материи прошел 1 миллиард
лет. Земля образовалась вскоре после того, как возникло Солнце, примерно 4,5 млрд лет назад.
Напомним, что люди (Homo sapiens) обитают на Земле всего лишь 200 тысяч лет.
Клетки,
содержащие ядра
Люди
3,5 3
2,5 2 1,5 1
0,5
0
Кембрийский
взрыв
Динозавры
155
КАКУЮ ФОРМУ ИМЕЕТ НАША ВСЕЛЕННАЯ?
Аеметр отметил: если Вселенная непрерывно расширяется, то в какой-то момент
в прошлом она должна была иметь очень малые размеры. Иными словами, вся масса
и энергия были сосредоточены во Вселенной микроскопических размеров невообра¬
зимой температуры и плотности. Этот начальный момент существования Вселенной
называется Большим взрывом. Если принять во внимание, что Вселенная увели¬
чивается в размерах на 7,55 % каждый миллиард лет, то путем несложных расче¬
тов можно определить, что ее возраст равен 100/7,55 = 13,2 млрд лет, что близко
к официально принятой на сегодняшний день более точной оценке в 13,73 млрд лет.
Эйнштейн, убедившись, что теория Большого взрыва верна, вновь исключил
космологическую постоянную из своих уравнений, назвав ее «величайшей ошибкой
в жизни».
Формы пространства
Уравнение Эйнштейна, рассчитанное для всей Вселенной (при условии ее изотро¬
пии), подразумевает, что кривизна Вселенной KQ постоянна. Полученная космоло¬
гическая модель Вселенной называется моделью Фридмана — Леметра — Робер-
стона — Уокера. В зависимости от значения KQ (KQ > 0, KQ = 0, KQ < 0) в этой
модели возможны три различные геометрии постоянной кривизны.
Ни Эйнштейн, ни другие физики того времени не допускали, что Вселенная мо¬
жет не быть односвязной. Они предполагали, что односвязность Вселенной — не¬
что само собой разумеющееся, и на основе этого сделали следующие выводы:
— если К0 > 0, то Вселенная представляет собой 3-сферу;
— если к„ = о. то Вселенная представляет собой евклидово пространство;
— если KQ < 0, то Вселенная представляет собой гиперболическое пространство.
В первом случае Вселенная компактна, в двух других — нет. Сегодня модель
Вселенной с нулевой или отрицательной кривизной называется открытой Вселен¬
ной, хотя большинство компактных трехмерных многообразий постоянной кривиз¬
ны имеют гиперболическую геометрию.
Эти три трехмерных многообразия получили название форм пространства, так
как представляют собой три единственно возможные формы пространства.
Подобная неоднозначность в терминологии связана с одним из определений
изотропии, которую мы будем называть глобальной изотропией. Пространство об¬
ладает глобальной изотропией, если мы можем выполнить глобальный поворот в лю¬
156
КАКУЮ ФОРМУ ИМЕЕТ НАША ВСЕЛЕННАЯ?
бой его точке. Глобальный поворот отличается от локальных поворотов (поворотов
в окрестности), о которых мы говорили ранее, тем, что позволяет повернуть все про¬
странство вокруг выбранной точки. Трехмерные многообразия, обладающие гло¬
бальной изотропией,— это три формы пространства и проективное пространство.
Будущее Вселенной
Значение кривизны KQ зависит от р — плотности материи во Вселенной: масса ис¬
кривляет пространство-время. Существует критическая плотность рс, для которой
значение KQ будет равно 0. Это критическое значение таково:
рс = 3#2/(8яС),
где С — гравитационная постоянная, Н — постоянная Хаббла.
Космологическая модель Фридмана — Леметра — Роберстона — Уокера опре¬
деляет не только кривизну пространства, но и эволюцию Вселенной, так как являет¬
ся решением модели пространства-времени, заданной уравнением Эйнштейна (при
условии изотропии пространства и без учета Л). Имеем три варианта.
— Если р > рс, то KQ > 0. В этом случае текущее расширение Вселенной в бу¬
дущем замедлится, так как плотность материи р столь высока, что сила тяго¬
тения в конечном итоге скомпенсирует силы отталкивания галактик, возник¬
шие в результате Большого взрыва. В какой-то момент Вселенная начнет
сжиматься и в итоге схлопнется. Этот сценарий получил название Большое
сжатие. Вселенная в конечном итоге прекратит свое существование.
— Если р < рс, то К0 < 0. В этом случае текущее расширение Вселенной будет
продолжаться бесконечно. Под действием силы тяготения скорость расшире¬
ния будет уменьшаться, но никогда не обратится в ноль. Относительно буду¬
щего Вселенной высказаны две гипотезы: Большой разрыв, согласно которой
примерно через 20 млрд лет силы взаимодействия между частицами исчезнут,
и Большая заморозка, согласно которой температура во Вселенной снизится
настолько, что какие-либо термодинамические процессы станут невозмож¬
ны — для этого попросту не хватит свободной энергии.
— Если р = рс, то KQ = 0. Это предельный случай предыдущего сценария.
Вселенная будет расширяться бесконечно, однако со временем расширение
замедлится и практически остановится. Конец Вселенной будет схож с тем,
157
КАКУЮ ФОРМУ ИМЕЕТ НАША ВСЕЛЕННАЯ?
что описан в сценарии KQ < 0. Он считается маловероятным, так как возмо¬
жен лишь в случае, когда плотность материи принимает определенное значе¬
ние.
Пространство-время в модели Фридмана — Леметра — Роберстона — Уокера при р >рс, р=рс
и р<рс. Время движется вертикально вверх. Начальная точка обозначает Большой взрыв.
Современное состояние Вселенной отмечено горизонтальной линией.
Модель Вселенной, при которой ее существование оканчивается Большим сжа¬
тием, называется закрытой. Открытой Вселенной называется модель, в которой
Вселенная существует вечно.
Геометрия
Конец Вселенной
Плотность
Размер
Эллиптическая
Большое сжатие
(закрытая)
р>рс (плотная)
Компактная
Евклидова
Скорость
расширения
стремится к нулю
(открытая)
Р = Р С
Может быть
компактной либо
нет
Гиперболическая
Вечное
расширение
(открытая)
р < рс (с низкой
плотностью)
Может быть
компактной либо
нет
Ключевой элемент модели Фридмана — Леметра — Роберстона — Уокера —
прямая зависимость между сценарием конца Вселенной и ее кривизной.
158
КАКУЮ ФОРМУ ИМЕЕТ НАША ВСЕЛЕННАЯ?
Геометрия Вселенной
Исследование геометрии Вселенной заключается в изучении локальной формы на¬
блюдаемой Вселенной. Так как мы предполагаем, что Вселенная (приблизительно)
изотропна, ее кривизна постоянна. Чтобы определить значение постоянной KQ, не¬
обходимо найти р — плотность материи во Вселенной.
Отметим некоторые интересные геометрические следствия. Если Вселенная име¬
ет гиперболическую геометрию, то небесные тела кажутся ближе друг к другу, чем
на самом деле. И напротив, во Вселенной с эллиптической геометрией нам кажется,
что небесные тела расположены дальше друг от друга, чем на самом деле.
Лучи света, излучаемые далекими звездами во Вселенной с гиперболической геометрией
(слева) и во Вселенной с эллиптической геометрией (справа). Реальное (вверху)
и кажущееся (внизу) положение двух звезд.
Чтобы вычислить плотность материи во Вселенной, необходимо определить воз¬
можные источники массы/тяготения/кривизны.
— Проще всего определить количество материи, из которой состоят звезды, так
как мы можем оценить силу излучаемого ими света. Поскольку мы также
знаем, на каком расстоянии от нас находятся звезды (вычислить расстояние
до звезд на основе красного смещения их света можно по закону Хаббла), мы
можем оценить их массу.
— Сложнее оценить количество материи, из которой состоят планеты и другие
небесные тела, не излучающие собственного света, а также космическая пыль.
Нам известно о существовании крупных планет благодаря их гравитационно¬
му воздействию на ближайшие к ним звезды, а также по снижению блеска
159
КАКУЮ ФОРМУ ИМЕЕТ НАША ВСЕЛЕННАЯ?
некоторых звезд во время прохождения крупных планет перед ними. Таким
образом мы можем обнаружить лишь крупные планеты, но не космическую
пыль и малые небесные тела.
— Черные дыры. Образуются в результате столкновения массивных звезд и со¬
держат большое количество материи очень высокой плотности. Гравитацион¬
ное притяжение черных дыр столь велико, что из них не может выбраться
даже свет, поэтому увидеть их невозможно. Не так давно черные дыры были
обнаружены по гравитационному воздействию на видимые тела и по излуче¬
нию определенных небесных тел, поглощаемых черными дырами (например,
квазаров). Так, огромная черная дыра находится в центре нашего Млечного
Пути. Кроме того, во Вселенной может существовать множество черных дыр
меньших размеров.
— Небарионная темная материя, состоящая из частиц, имеющих массу и не об¬
разующих атомов. Существуют субатомные частицы, в частности нейтрино,
которые обладают очень малой массой и присутствуют во Вселенной в боль¬
ших количествах. Обнаружить их сложно, так как они обычно не взаимодей¬
ствуют с массивными телами, однако оказывают гравитационное воздействие
на вращение галактик.
ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ
Одним из следствий модели Большого взрыва являются черные дыры. Большой взрыв пред¬
ставляет собой пространственно-временную сингулярность, то есть точку, в которой простран¬
ство-время не является многообразием. Сингулярность возникает потому, что плотность ма¬
терии в первые мгновения существования Вселенной чрезвычайно высока. Большой взрыв
произошел в прошлом, но возможно, что в будущем, в результате образования сгустка мате¬
рии очень высокой плотности, в некоторой точке пространства также возникнет сингулярность.
Именно так образуются черные дыры - области пространства, сила тяготения в которых столь
высока, что даже свет не может покинуть дыру. С точки зрения геометрии, кривизна черной
дыры столь высока, что геодезические линии не выходят за ее пределы.
Первым гипотезу о существовании черных дыр высказал французский математик XVIII столе¬
тия Пьер-Симон Лаплас. Он предположил, что очень маленькое и очень массивное тело может
обладать столь высокой гравитацией, что скорость покидания этого тела будет больше скорости
света, и свет не сможет выйти за его пределы. Первым, кто предложил корректную математиче¬
скую модель черных дыр, применив теорию относительности, был немецкий физик и астроном
Карл Шварцшильд.
160
КАКУЮ ФОРМУ ИМЕЕТ НАША ВСЕЛЕННАЯ?
В зависимости от количества темной материи во Вселенной плотность р может
оказаться больше ожидаемой. Более того, считается, что темная материя состав¬
ляет 90 % всей материи во Вселенной. До недавнего времени предполагалось, что
р имеет порядок 10—30 % от рс, что соответствовало гиперболической геометрии
Вселенной.
ЧЕРВОТОЧИНЫ
Червоточина - это гипотетическая топологическая характеристика пространства-времени, по¬
зволяющая совершать путешествия в пространстве и во времени. Червоточина имеет два выхо¬
да, связанных туннелем, по которому вдоль червоточины может двигаться материя. Червоточи¬
на -теоретический объект, существование которого не противоречит уравнениям общей теории
относительности. Существует несколько видов червоточин. Один из них - так называемые мосты
Эйнштейна - Розена. На одном конце такого моста находится черная дыра, поглощающая все
вокруг себя (как материю, так и свет), на другом конце - белая дыра, в которую не может войти
ничто - ни материя, ни свет. Эта разновидность червоточин была впервые описана в 1935 году.
Позднее, в 1962 году, Джон Уилер и Роберт Фуллер показали, что подобные червоточины не¬
стабильны и распадаются сразу же после образования.
Существуют и другие разновидности червоточин, которые теоретически могут существовать
при соблюдении определенных ограничений. И все же сегодня вероятность существования
червоточин считается очень низкой. Но если они существуют, мы можем использовать их как
межпространственные ворота и совершать путешествия в далекие области Вселенной или пу¬
тешествия во времени, но лишь в одном направлении.
Вход Выход
161
КАКУЮ ФОРМУ ИМЕЕТ НАША ВСЕЛЕННАЯ?
Ускоренное расширение
В 1998 году по результатам наблюдений за очень далекими сверхновыми звездами
ученые пришли к выводу: расширение Вселенной, вопреки модели Фридмана —
Аеметра — Роберстона — Уокера, ускоряется. Помимо расширения Вселенной
в результате Большого взрыва, под действием силы тяготения галактики разлета¬
ются в стороны под действием некой третьей силы. Чтобы разрешить эту загадку,
было предложено понятие темной энергии. Темная энергия — особая разновидность
энергии, которая действует подобно отрицательному давлению и отталкивает галак¬
тики друг от друга. Темная энергия согласуется с уравнением Эйнштейна — доста¬
точно ввести космологическую постоянную. Наконец-то стала понятная ее роль!
Согласно уравнению Эйнштейна Е = тс2 масса и энергия взаимозаменяемы —
иными словами, они эквивалентны, и энергию в космосе следует учитывать наравне
с массой. Следовательно, темная энергия увеличивает плотность материи во Все¬
ленной (и ее кривизну) и в то же время препятствует гравитационному коллапсу
(Большому сжатию), так как вызывает отталкивание галактик.
Обратите внимание, что во Вселенной существует не только видимая энергия
(свет, то есть электромагнитные волны), но также, по всей видимости, и темная (не¬
видимая) энергия, природа которой неясна. Что еще удивительнее, темная энергия
однозначно присутствует во Вселенной в большом количестве и, возможно, состав¬
ляет до 70% всей ее массы-энергии. Таким образом, весьма вероятно, что Вселен¬
ная имеет евклидову геометрию. По мнению редакции журнала Science, объяснение
природы темной энергии — важнейшая задача науки XXI века.
Космологические параметры
В современной космологической модели пространство-время описывают следующие
постоянные, называемые космологическими параметрами:
— постоянная Хаббла Н. Характеризует скорость расширения Вселенной.
Фактически не является постоянной, так как изменяется со временем;
— параметр плотности материи = р / рс. При > 1 существование Все¬
ленной завершится Большим сжатием, при < 1 Вселенная будет суще¬
ствовать вечно;
— кривизна KQ;
— космологическая постоянная Л.
162
КАКУЮ ФОРМУ ИМЕЕТ НАША ВСЕЛЕННАЯ?
Постоянная Хаббла выводится из трех остальных параметров, связанных между
собой следующим простым соотношением:
п +Л-1 =кп.
т U
Следовательно, кривизна Вселенной и сценарий ее дальнейшей эволюции необя¬
зательно связаны.
Топология Вселенной
Общая форма Вселенной зависит и от ее фундаментальной группы, то есть от отвер¬
стий, окруженных нетривиальными петлями. Современники Эйнштейна совершен¬
но не учитывали этот параметр. Открытая Вселенная в модели Фридмана — Леме-
тра — Роберстона — Уокера — это Вселенная с KQ < 0 (гиперболическая геоме¬
трия) или KQ = 0 (евклидова геометрия). Однако характеристика «открытая» отно¬
сится к пространству-времени и указывает, что оно не является компактным, хотя
пространство само по себе вполне может быть компактным. В результате сложилось
мнение, что если кривизна пространства меньше либо равна нулю, то Вселенная
не является компактной, то есть ей свойственна гиперболическая или евклидова гео¬
метрия.
В 1990-е годы космология вновь вернулась к вопросу об общей форме Вселен¬
ной. Если Вселенная имеет гиперболическую геометрию, то она может представлять
собой одно из множества трехмерных многообразий с такой геометрией. Для боль¬
шинства компактных трехмерных многообразий с изотропной геометрией К < 0,
следовательно, вероятность того, что Вселенная имеет гиперболическую геометрию,
наибольшая.
Чтобы определить топологию Вселенной, необходимо составить ее атлас, но ре¬
шить эту задачу на практике невозможно. Даже лучшая из космических ракет
не сможет доставить нас в самые удаленные точки Вселенной, и несовершенство
технологий здесь ни при чем. Дело в том, что существует фундаментальное физиче¬
ское ограничение: согласно теории относительности, никакое тело не может двигать¬
ся со скоростью, превышающей скорость света.
Выберем на роль межзвездных путешественников фотоны. Следует сформиро¬
вать из них достаточно сложное сообщение, чтобы не спутать их с прочими фотона¬
ми, движущимися в пространстве случайным образом. Так, если мы настроим наш
радиотелескоп на прием сигналов из космоса и получим сигнал телепередачи
из 1950-х, то это будет означать, что сигнал все это время пробыл в космосе и в кон¬
163
КАКУЮ ФОРМУ ИМЕЕТ НАША ВСЕЛЕННАЯ?
це концов вернулся на Землю. Мы отправим сигналы во всех возможных направле¬
ниях и посмотрим, с какой стороны они вернутся.
И все же Вселенная слишком велика, поэтому мы не дождемся того момента,
когда сообщение вернется обратно. Более того, Вселенная расширяется, и может
случиться так, что сигнал не вернется никогда!
Еще один способ определить топологию Вселенной заключается в том, чтобы изу¬
чить свет, распространяющийся в ней. Например, можно попытаться найти изобра¬
жение нашей галактики. Но ее свет, который мы можем уловить, пробыл во Все¬
ленной несколько миллионов лет. Таким образом, он укажет, как выглядела наша
галактика миллионы лет назад, и мы не узнаем ее.
Также можно поискать повторяющиеся изображения галактик. Если бы Вселен¬
ная представляла собой трехмерный тор, то свет от одной и той же галактики мог бы
достичь Земли с разных сторон, как показано на рисунке.
На трехмерном торе правое и левое изображения
относятся к одному и тому же объекту.
Так как возраст Вселенной составляет 13 млрд 730 млн лет, свет не может
пробыть в пути дольше этого времени. Значит, мы можем видеть только объек¬
ты, излучающие свет и расположенные на не слишком большом расстоянии от нас.
К счастью, благодаря расширению Вселенной это расстояние существенно больше
13 млрд 730 млн световых лет. Видимая область Вселенной представляет собой шар
радиусом 46,5 млрд световых лет. Граница видимой области Вселенной называется
поверхностью последнего рассеяния. Эта поверхность с течением времени увеличи¬
вается в размерах.
164
КАКУЮ ФОРМУ ИМЕЕТ НАША ВСЕЛЕННАЯ?
Диаметр поверхности последнего рассеяния составляет 93 млрд световых лет.
Увидеть, что находится за ее пределами, мы не можем: эта часть Вселенной нам недоступна.
Следовательно, если Вселенная бесконечна или по размерам намного превышает
поверхность последнего рассеяния, мы не сможем определить ее общую топологию,
так как нам доступна лишь малая ее часть.
Предположим, что Вселенная компактна и что существует ее замощение, кото¬
рое соответствует топологии одного из следующих пространств: 3-сферы, евклидова
пространства или гиперболического пространства (в зависимости от значения кри¬
визны). Изобразив копии поверхности последнего рассеяния в каждом блоке замо¬
щения, получим одну из двух возможных ситуаций, представленных на следующем
рисунке.
На иллюстрации слева размер Вселенной больше, чем размер поверхности
последнего рассеяния, на иллюстрации справа — меньше.
165
КАКУЮ ФОРМУ ИМЕЕТ НАША ВСЕЛЕННАЯ?
Если размер Вселенной больше, чем размер поверхности последнего рассеяния,
то копии поверхностей последнего рассеяния не будут пересекаться. Следовательно,
мы не увидим никакой объект в двух разных точках пространства и не сможем опре¬
делить форму Вселенной путем изучения ее видимой области. Если же, напротив,
размер Вселенной меньше 93 млрд световых лет, то поверхности последнего рассея¬
ния будут пересекаться, и некоторые объекты во Вселенной будут иметь сразу не¬
сколько отображений. Даже если Вселенная меньше поверхности последнего рассе¬
яния, она все равно может быть очень велика, поэтому повторяющиеся изображения
следует искать среди изображений, образованных самым старым светом.
Реликтовое излучение
Свет, поступающий с поверхности последнего рассеяния, — самый древний.
Во время Большого взрыва вся масса и энергия находились в виде плазмы. Спустя
400 тысяч лет после Большого взрыва Вселенная достаточно увеличилась в объе¬
ме, чтобы в ней хватило места для образования атомов. В этот момент свет начал
свое путешествие в пространстве — это и есть древнейший видимый нами свет.
Изначально цветовая температура этого света составляла 3000° К (3000 граду¬
сов по шкале Кельвина). По мере расширения Вселенной длина волны этого света
увеличивалась, цветовая температура — понижалась, и сегодня он имеет цветовую
температуру примерно в 2,7° К (2,7 градуса выше абсолютного нуля — такова тем¬
пература Вселенной). Эта волна называется реликтовым излучением и заполняет
все пространство. Реликтовое излучение было случайно открыто в 1963 году астро¬
номами Арно Пензиасом и Робертом Вильсоном: при астрономических наблюдени¬
ях оно вызывало фоновый шум, который никак нельзя было исключить.
Реликтовое излучение напрямую связано с массой (а следовательно, с кривиз¬
ной), так как в областях Вселенной с большей плотностью фотоны замедлились
сильнее, следовательно, температура излучения снизилась больше. Реликтовое из¬
лучение удивительно однородно, и это указывает, что кривизна пространства более
или менее постоянна. Очевидно, что здесь речь идет лишь о наблюдаемой Вселен¬
ной, но если только она не составляет очень малую часть всей Вселенной, то логично
заключить, что кривизна всего пространства постоянна.
Однако реликтовое излучение не полностью однородно — для него характер¬
на небольшая анизотропия, вызванная незначительными изменениями кривизны.
Таким образом, вместо того чтобы искать повторяющиеся отображения галактик,
можно попытаться найти повторяющиеся участки на карте реликтового излучения.
166
КАКУЮ ФОРМУ ИМЕЕТ НАША ВСЕЛЕННАЯ'?
Подобные участки укажут, какому типу замощения соответствует форма Вселен¬
ной, а следовательно, какое из трехмерных многообразий она собой представляет.
В 2003 году по результатам анализа реликтового излучения была высказана сле¬
дующая гипотеза: Вселенная имеет форму многообразия Пуанкаре. Эта гипотеза
широко освещалась в средствах массовой информации, однако более тщательный
анализ никак не подтвердил ее (заметим, что это предположение верно только при
положительной кривизне Вселенной).
В 2001 году для анализа свойств Вселенной по карте реликтового излучения
в высоком разрешении был запущен космический аппарат NASA под названием
WMAP (от англ. Wilkinson Microwave Anisotropy Probe — «средство поиска ани¬
зотропии микроволн Уилкинсона»). Аппарат осуществлял сбор данных на протяже¬
нии семи лет, еще три года ушло на их анализ.
Результат работы аппарата WMAP — карта реликтового излучения, на которой изображена
анизотропия Вселенной спустя 400 тысяч лет после Большого взрыва. Различным оттенкам
соответствует разная температура, а следовательно, и плотность материи (источник: NASA).
Итоги проекта были опубликованы в январе 2010 года. Данные, полученные
WMAP, подтвердили истинность теории Большого взрыва, а также позволили
определить возраст Вселенной с погрешностью менее 1 %. Согласно результатам
проекта, состав Вселенной таков: 23,3 % (±1,3 %) — небарионная темная материя,
167
КАКУЮ ФОРМУ ИМЕЕТ НАША ВСЕЛЕННАЯ?
72,1% (±1,5%) — темная энергия. Оставшаяся часть Вселенной состоит из ато¬
мов (4,6 %) — сюда относятся звезды, планеты и космическая пыль.
Учитывая, что отклонения анизотропии также позволяют определить кривизну
пространства, был сделан вывод: отклонения геометрии Вселенной от евклидовой
геометрии составляют около 1 %.
В различных областях карты реликтового излучения не было обнаружено ника¬
ких совпадений. Это означает, что Вселенная с большой вероятностью превосходит
по своим размерам поверхность последнего рассеяния. Иными словами, размер Все¬
ленной равен как минимум 93 млрд световых лет. Это открытие имеет один недоста¬
ток: определить топологию Вселенной невозможно.
168
Эпилог
Мы живем в расширяющейся Вселенной. Большую ее часть составляет темная
материя, природа которой нам неизвестна. Кроме того, Вселенная содержит до¬
статочно много темной энергии еще более загадочной природы — о ней известно
только потому, что под ее действием скорость расширения Вселенной возрастает.
Более того, по всей видимости, нам недоступны области Вселенной, расположенные
за границей огромного шара, который называется поверхностью последнего рассе¬
яния. Этот шар, хоть и имеет диаметр 93 млрд световых лет, представляет собой
лишь часть Вселенной.
Поиски ответов на вопросы о происхождении Вселенной, ее форме, эволюции
и возможном конце на протяжении нескольких последних веков и особенно
в XX веке вызвали удивительный прогресс космологии. Кроме того, развитие об¬
щей теории относительности дало толчок развитию геометрии. Последней пригла¬
шенной на эту встречу стала топология, вклад которой также оказался весьма замет¬
ным.
В этой книге мы рассказали о том, как удалось решить некоторые сложнейшие
задачи математики, но, к сожалению, окончательный ответ на вопрос о форме Все¬
ленной до сих пор не найден. Часть Вселенной недоступна для нас, и поэтому мы,
возможно, никогда не сможем определить ее истинную форму. Но сдаваться не сто¬
ит. Разумеется, чтобы узнать, какую форму имеет наша Вселенная, понадобятся
принципиально новые идеи, но вполне вероятно, что когда-нибудь мы всё же узнаем
ответ на этот вопрос. Готов поспорить — математики не останутся в стороне!
169
Библиография
ABBOTT, Е. A., Planilandia. Una novela de muchas dimensiones, Palma de Mallorca,
José J. de Olaneta, 1999.
GÔMEZ UrGELLES, J., Cuando las rectas se vuelven curvas, Barcelona, RBA, 2010.
IBANEZ, R., La cuarta dimension: Es nuestro universo la sombra de otro, Barcelona,
RBA, 2010.
MOLES ViLLAMATE, M., Claroscuw del Universo, Madrid, Coleccion Divulgation
CSIC, 2008.
MUNOZ, V., Cien ahos de la Conjetura de Poincare, Madrid, La Gaceta de la RSME, vol.
7, №. 3, 2004, pâgs. 629-633, http://www.rsme.es/gacetadigital/abrir.
php?id=426.
Proyecto Wilkinson Microwave Anisotropy Probe, http://map.gsfc.nasa.
gov/.
WEEKS, J. R., The Shape of Space, CRC Press, 2a edicion, 2001.
171
Алфавитный указатель
анизотропия 148, 166—168
антиподальная точка 28—36, 82—83,
121
атлас 34—35, 78,119—120,163
без края 63—64, 68—69, 73, 98
биекция 54
Большой взрыв 24,153—162,166—
167
бублик 18, 37, 42, 52, 68,132
будущее Вселенной см. Вселенной,
будущее
бутылка Клейна 17, 58—61, 88,120
трехмерная бутылка Клейна 127—
128
Вселенная 144—169
Вселенная, наблюдаемая 159, 166
Вселенной, будущее 157—158
Вселенной, возраст 154, 156, 164, 167
Вселенной, расширение 153, 169
Вселенной, форма 10,19—24, 33,135,
143-169
геодезическая линия 87, 89, 107, 112,
133-134,152
геометрия 7—8, 16—20, 75—153,
159-163
внешняя 87—88, 94,133—134
внутренняя 88,104,106,134
гиперболическая 102—105, 112, 114,
141,144,146
евклидова 86, 99,108,114
неевклидова 7, 8, 75, 86
риманова 75, 76
сферическая 82—87,107,139—140
гиперболическая 104—105, 112, 141
гипотеза Пуанкаре 118—119
глобальная 57, 84, 99, 105,109,
156-157
гомеоморфизм 55, 63, 65, 92,132
гомеоморфность 55, 67, 96, 115—116,
123,124
гомотетия 86, 101, 104, 114
гомотопия 38, 132
двумерность 31, 62, 88,104,127,135
деформация 42, 46, 54, 91, 112, 151
жесткая 88—89, 91
эластичная 52, 72, 91, 98
диск 12, 30-31, 36, 62-64, 69-71
Пуанкаре 102,104,112—113,136
длина 10,15, 86, 99,108,132,155
дыра
белая 161
черная 160—161
Евклид 75, 81
задача классификации 73—74, 118—
119,132
замощение 113, 165—166
Земля 11-24, 35,146,150-155
идентификация 52—53, 111, 123—125,
128,139
изотропия 136,148,159
интеграл 96—98
карта 13, 33-36, 78,119-120,166—
167
Колумб, Христофор 14
компактность 76, 156, 158, 163, 165
конечный 12, 24, 28, 40,145,149
координаты 20—23,106,116,129,
147
173
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
космологические параметры 162—163
космология 149—151,169
край 62-64, 68-70, 98,105,118
красное смещение 153—156, 159
кривизна 92—114,133—141,151—168
в направлении 92, 107,134
Гаусса 94, 95,107
нормального сечения 135
средняя 97—99,106
круглая Земля 14,17,144
Аайнландия 28—31
лента Мёбиуса 47—49, 55—59, 63
локальный 19, 99, 159 (см. также ло¬
кальная форма)
межпространственные ворота 39—47,
111,128-130,161
меридиан 132
многообразие 23—25, 115—119, 138—
141.144.147
Пуанкаре 139, 167
трехмерное 24, 116—125, 128—141,
147,156
многоугольник 61, 71, 89, 95—97,111
фундаментальный 71, 111, 113—114,
139-140
моделирование 25
направление
главное 92—93
нормальное 87, 88
неограниченная 23—24, 40, 63—64,
138.147
неориентируемость 55, 58, 59, 61,
126-128
непрерывность 54, 97, 156, 164
объект 17—19, 64—66,152,155,163
однородность 23,148
окрестность 62, 100, 108—112, 115—
117,121,123-124
окружность 14—15, 22, 59—61, 99,131
определение тора посредством квадрата
42-45
ориентируемость 55—59, 61, 65, 73,
77,147
оснащение 132—133
параллель 79—80, 83, 84
парсек 150
перенос 101—114
петля 36-41, 55, 68,118,127-128
плоская Земля 13, 16, 144
поверхность 51—74, 87—95, 98—107,
111-114
поверхность последнего рассеяния
164-168,169
поворот 35,101,114,157,160
подобие 86, 95,101,158
положительная ориентация 125—126
постоянная
космологическая 153, 156—157, 162
Хаббла 154,157,162-163
постулат о параллельности прямых
79-83,101,103,107,114,115
приклеивание ручек 69, 70, 128—132
проект WMAP 167
проективная плоскость 61, 88
пространство
гиперболическое 137—138,141,156,
163,165
евклидово 10, 75,101,144, 156
трехмерное 20—22, 54—57, 115117, 137
пространство-время 147, 151—153, 157,
160-163
Пуанкаре, Анри 118—119, 140
174
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
радиан 85, 86, 95, 97
раскраска в два цвета 56—57
расстояние 82—83, 87—91,107—114,
150
реликтовое излучение 166—168
Риман, Бернхард 22, 75, 97,107,144
род 47, 69-74,111-114
ручка 41, 69—70,128—129
самопересечение 60
световой год 20,150, 164—169
площадь 62—63, 84—86, 95—98,
103-107
свойство
внешнее 56
внутреннее 56
связная сумма 70—73,130,133
сингулярность 116, 158, 160
скопления галактик 148
сфера 22, 37, 68-69, 73,102-108,
131
0-сфера 22, 131
3-сфера 22,118,120-122,137,139
темная материя 159, 160, 167, 169
темная энергия 162, 167, 169
теорема
Гаусса 94
Гаусса — Бонне 94—99, 105, 107
о классификации поверхностей
73-74, 76, 77
теория относительности 20, 23, 147,
150-151,160,163
топология 16—19, 51—74,115—141,
163-168
алгебраическая 25, 66
внешняя 54—55
внутренняя 54—55
тор 38-45, 52-54, 68-73,108-112,
132
3-тор 122-125,127,140,164
точка
гладкая 116, 124
особая 116
регулярная 112
треугольник 19, 80, 84—87, 94—96,
100
гиперболический 76, 104—105
трехмерный 82, 88,123—124,145
тяготение И, 31,151—152,157—162
угол 44, 84, 86,100,109,111
узел 131—132
флатландец 27, 87—79,100,122
Флатландия 25—49, 75—114,122,163
форма
Вселенной см. Вселенной, форма
137
локальная 7,19, 24, 76, 98,149
глобальная 18, 24, 51, 76, 98,150,
163
фундаментальная группа 38—39, 65,
163
характеристика Эйлера — Пуанкаре
65-78, 96-99,106-107,120
хирургия 119, 132
цилиндр 44, 58—60, 63, 69, 70, 88
червоточина 161
четырехмерная 115, 120, 122, 133—134
Эйнштейн, Альберт 11, 20, 23, 76,
147-157,162-163
Эйнштейна, уравнение 151, 162
Элькано, Хуан Себастьян 16
175
Научно-популярное издание
Выходит в свет отдельными томами с 2014 года
Мир математики
Том 36
Висенте Муньос
Деформируемые формы.
Топология
РОССИЯ
Издатель, учредитель, редакция:
ООО «Де Агостини», Россия
Юридический адрес: Россия, 103066,
г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д. 3, стр. 1
Письма читателей по данному адресу не прини¬
маются.
Генеральный директор: Николаос Скилакис
Главный редактор: Анастасия Жаркова
Выпускающий редактор: Людмила Виноградова
Финансовый директор: Полина Быстрова
Коммерческий директор: Александр Якутов
Менеджер по маркетингу: Михаил Ткачук
Менеджер по продукту: Яна Чухиль
Для заказа пропущенных книг и по всем вопро¬
сам, касающимся информации о коллекции, за¬
ходите на сайт www.deagostini.ru, по остальным
вопросам обращайтесь по телефону бесплатной
горячей линии в России:
® 8-800-200-02-01
Телефон горячей линии
для читателей Москвы:
» 8-493-660-02-02
Адрес для писем читателей:
Россия, 600001, г. Владимир, а/я 30,
«Де Агостини», «Мир математики»
Пожалуйста, указывайте в письмах свои кон¬
тактные данные для обратной связи (телефон
или e-mail).
Распространение:
ООО «Бурда Дистрибьюшен Сервисиз»
УКРАИНА
Издатель и учредитель:
ООО «Де Агостини Паблишинг» Украина
Юридический адрес: 01032, Украина,
г. Киев, ул. Саксаганского, 119
Генеральный директор: Екатерина Клименко
Для заказа пропущенных книг и по всем вопро¬
сам, касающимся информации о коллекции, за¬
ходите на сайт www.deagostini.ua, по остальным
вопросам обращайтесь по телефону бесплатной
горячей линии в Украине:
® 0-800-300-8-40
Адрес для писем читателей:
Украина, 01033, г. Киев, a/я «Де Агостини»,
«Мир математики»
Украша, 01033, м. Кшв, а/с «Де Агоспш»
БЕЛАРУСЬ
Импортер и дистрибьютор в РБ:
ООО «Росчерк», 220037, г. Минск,
ул. Авангардная, 48а, литер 8/к,
тел./факс: (+375 17) 331-94-41
Телефон «горячей линии» в РБ:
« + 375 17 279-87-87 (пн-пт, 9.00-21.00)
Адрес для писем читателей:
Республика Беларусь, 220040, г. Минск,
а/я 224, ООО «Росчерк», «Де Агостини»,
«Мир математики»
КАЗАХСТАН
Распространение:
ТОО «КГП «Бурда-Алатау Пресс»
Издатель оставляет за собой право увеличить реко¬
мендуемую розничную цену книг. Издатель остав¬
ляет за собой право изменять последовательность
заявленных тем томов издания и их содержание.
Отпечатано в соответствии с предоставленными
материалами в типографии:
Grafica Veneta S.p.A Via Malcanton 2
35010 Trebaseleghe (PD) Italy
Подписано в печать: 06.08.2014
Дата поступления в продажу на территории
России: 23.09.2014
Формат 70 х 100 / 16. Гарнитура «Academy».
Печать офсетная. Бумага офсетная. Печ. л. 5,5.
Уел. печ. л. 7,128.
Тираж: 28 900 экз.
© Vicente Munoz, 2011 (текст)
© RBA Collecionables S.А., 2011
© ООО «Де Агостини», 2014
ISBN 978-5-9774-0682-6
ISBN 978-5-9774-0731-1 (т. 36)
Данный знак информационной про¬
дукции размещен в соответствии с требования¬
ми Федерального закона от 29 декабря 2010 г.
№ 436-ФЗ «О защите детей от информации, при¬
чиняющей вред их здоровью и развитию».
Издание для взрослых, не подлежит обязатель¬
ному подтверждению соответствия единым требо¬
ваниям, установленным Техническим регламентом
Таможенного союза «О безопасности продукции,
предназначенной для детей и подростков» ТР ТС
007/2011 от 23 сентября 2011 г. № 797.
Топология
В этой книге речь пойдет о топологии - разделе математики,
который исследует явление непрерывности. Топологи изучают
фигуры, которые можно деформировать и скручивать.
Наверное, именно поэтому их в шутку называют «математиками,
не способными отличить бублик от кофейной чашки».
Топология - интересная и очень абстрактная дисциплина:
в ней нет формул, уравнений, функций и даже чисел и букв!
Но она близка к пространственной геометрии: оба эти раздела
изучают формы. На страницах этой книги вы совершите
небольшой экскурс в мир геометрии и топологии, а также
узнаете много нового и неожиданного о форме нашей
Вселенной.
ISBN 978-597740682-6