МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени М.В. ЛОМОНОСОВА
МЕХАН ИКО-МА ТЕМА ТИЧ ЕСК ИЙ ФАК УЛ ЬТЕТ
О.Г.СМОЛЯНОВ
АНАЛИЗ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ЛИНЕЙНЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
(учебное пособие) .
ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА-1979

7ДК 517 949.5: 532.516.5.
Рвцензентн: член-корреспондент API СССР
А.А. Гончар,
доктор физико-математических наук профессор
•В,И. Пономарев
Смолянов О.Г. Анализ на топологических линейннх пространствах
и его приложения. М., Изд-во Моск. ун-та, 1979, 86 с.
Книга оодержит систематическое изложение основ дифференциаль-
дифференциального исчисления для отображений топологических линейных и псевдото-
псевдотопологических линейных пространств. Наиболее подробно рассматривает-
рассматривается случай локально выпуклых пространств. Описываются применения
развитой теории для исследования нелинейных обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений и стохастических дифференциальных уравнений от-
относительно функций вещественного аргумента (во втором случае -
случайных), принимающих значения в локально выпуклых пространствах,
а также для изучения дифференцируемых мер на таких пространствах.
© Издательство Московского университета, 1979 г.

Предисловие
Предлагаемое учебное пособие написано на основе курса Топо-
Топологические линейнне пространства", который автор читал ряд лет
для студентов механико-математического факультета МГ7 и слушателей
факультета повишения квалификации преподавателей ВУЗов, и соответст-
соответствует разделу этого курса, посвященному дифференциальному исчисление
для отображений топологических линейных пространств (ТЛЮ.
Дифференцируемые отображения бесконечномерных пространств ес-
естественным образом возникают как в прилоиениях - в квантовой теории
поля, статистической физике (в частности, в статистической гидроме-
гидромеханике), в теории оптимального управления, - так и внутри самой ма-
математики - в теории случайных процессов и при исследовании нелиней-
нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными.
Для формализации такого рода задач удобно использовать аппа-
аппарат дифференциального исчисления в локально выпуклых пространствах
(ЛВП); рамки теории нормированных пространств в ряде случаев окази-
вавтоя слишком стеснительными.
Изучение дифференцируемых отображений произвольных ЛВП пред-
отавляет и значительный самостоятельный интерес: в отличие от диф-
дифференциального исчисления в банаховых пространствах, все результа-
результаты которого получаются путем почти непосредстненного обобщения те-
теорем классического анализа, теория дифференцируемых отображений
ЛВП в больной мере является новой; некоторые ее результаты и мето-
методы не имеет классических аналогов, причем уже есть примеры, когда
эти методы находят применение и в "линейной" теории ЛВП. В частно-
частности, реиение ряда проблем этой последней теории, связанных с поня-
понятием совершенной полноты, получено, по существу, тем же способом,
который использовался при исследовании связи между дифференцируемо-
отьв и непрерывностью отображений ЛВП.
Понятие дифференцируемого отображения ЖВП (и ТЛЮ было выра-
выработано сравнительно недавно. Еще 15 лет назад число известных оп-
определений дифференцируемоети для отображений ЛВП было очень велико
и превышало число работ, посвященных изучению такого рода отображе-
отображений (обзор этих работ содержится в /11Д в то же время дифференци-
дифференциального исчисления в ЛВП в действительности не существовало. Все
это наводило на мысль, что само понятие дифференцируемого отобра-
отображения в случае произвольных ЛВП (и тем более ТЛП) не является ес-
естественным. Однако оказалось, что множество неэквивалентных опре-
определений (одвократной)дифференцируемости для отображений ЛВП вполне
обозримо и укладывается в проотую схему /11/. Более того, оказа-
оказалось /5/,/7/,/15/, что практически существуют лишь два типа беско-
3

нечно дифференцируемых отображений ЛВП и что то же верно и для п
( Л>/ ) раз дифференцируемнх отображений - если игнорировать
вовможное понижение порядка дифференцируемости на единицу. Наконец-
I это самое главное - за последние 10 лет для отображений ЛВП было
построено дифференциальное исчисление - существенно более гибкое,
чем дифференциальное исчисление в банаховых пространствах, и содер-
содержащее последнее в качестве своей части. Это исчисление уже нашло
приложения в теории нелинейных дифференциальных уравнений с частны-
частными производными /8/, /э/, в теории случайных процессов с бесконеч-
бесконечномерным фазовым пространством /10/, при исследовании свойств
"гладких" мер на линейных пространствах.
Принятое в пособии изложение дифференциального исчисления для
отображений 1ВП основано на использовании двух бесконечных серий
определений дифференцируемости, рассматриваемых параллельно. В со-
совокупности эти две серии охватывают все основные известные опреде-
определения, причем каждая из них содержит лишь по одному определению
бесконечной дифференцируемости.
При исследовании дифференцируемых отображений, соответствую-
соответствующих одной из этих серий, существенно используется язык теории псев-
псевдотопологических пространств; однако предварительного знания этой
теории от читателя не требуется: все необходимые сведения из нее
приводятся по ходу изложения.
Из-за ограниченности объема пососия в него были включены лишь
?• результаты дифференциального исчисления в ЛВП, которые можно
очвтать близкими к окончательным. Применение при отборе материала
tioro критерия привело к тому, что в пособии не расснащиваются так
называемые теоремы существования,в частности теорема с локальной
обратимости дифференцируемсгс отображения.Не рассматриваются также
"теорема Люстерника" и "правило мнокителей Лагранжа".В тс ке время
рассматриваются,хотя и довольно кратко,те приложения дифференциаль-
дифференциального исчисления,о которых было сказано выше.
Обозначения и терминология
Если Р я Q - множества, то через j^CRO.) или через Q_
обозначается множество всех отображений Р в Q ; если Q
коммутативная группа, соответственно, линейное пространство (все
рассматриваемые линейные пространства предполагаются вещественны-
вещественными), то предполагается, что множество £~СР Q) наделено естест-
естественной структурой коммутативной группы (линейно/о пространства).
Напомним, что фильтром в множестве Р называется всякое не-

пустое множество у частей Р , удовлетворяющее следующим услови-
условиям: AH £ V ; B) если В, . BAtf , то Bi Л 4 € Г ;
C) если # € V , С С/ и jJcC . "> C^f . Далее, если
у - фильтр в множестве Р , то базисом у называется всякое под-
подмножество У* множества у » удовлетворяющее условию: \/ fc у
3#£Y* ,£с/7 .
Т.о., если Ч^ - базис фильтра у , то ^ € Y <£==> 3/} <= у *
В С-/J » гак что фильтр однозначно восстанавливается по своему
базису. Отметим еще, что для того чтобы непустое множество .$
подмножеств Р было базисом некоторого фильтра в р , необходимо
и достаточно, чтобы были выполнены следующие два условия:
ИH 0Я t B)^, 4 €^ =>В3е& , £3с 3,ПВ;-
Если Д - часть множества Р , то через [Jl~\ обозначается
фильтр всех подмножеств множества р , содержащих ,-? > если jc*--/-'
то вместо символа f{Jc}J используется символ [х] . Если Р и Q -
множества, С - часть $~(P,Q), х €. Р и /7- часть р , то
С^ j = Cj(x) : /€ CJ и С ^ = U . С Ы) . Если
еще о. €.^f(p d) "Р ~ базис фильтра Bj?7p Q) и у -
базис фильтра Ув Р , то /"(V,). - Фильтр в Q_ , порожденный ба-.
ran),см iм^
Для каждого множества р через QJ^PJ обозначается множе-
множество всех фильтров в Р .
Если Р , Pf ,..., Рп - множества и, для С — /j 2 п
?, € Ф(Р$ . го ддя каждого отображения^ 'р*рх 'ф'-*^
через iffc,..,/ ) обозначается фильтр в Ро , порождекный"ба£и-
сом, состоящим из всех подмножеств Р вида -£(Д Д' J, где
В частности, если р ■=. р у. хр и ж- - тождественное ото-
отображение, то фильтр з?(-р у? J называется произведением филъ-
трсв *fft...tfn и обозначаетс'я символом *fX.-..x-fn ; далее, ес-
если у и ^ - фильтрн в группе X (° аддитивно записываемой груп-
групповой операцией), то через у, ± ч-^ обозначается фильтр в X »
обладающий базисом, состоящим из всевозмсжнвх множеств вида/^±/^ ,
где /^7 € у^ ; если ^ - линейное пространство, /* - фильтр в
X и у - фильтр в поле скаляров, то через f^> обозначается
фильтр в X 1 обладающий базисом, состоящим из всевозможных множе-
множеств вида fl-ft , где /^еу * В €1>
Пусть р - мвожество, Т (Q* (Р))~ множество всех частей
множества *Р(Р) • Псевдотопологией в /3 называется всякое отобра-
отображение Т: Р—*■ 7"(ф(Р)\, удовлетворяющее следующим условиям:
A) MxsP О]€<сГх) WVP (

fVc £7xJ) • Псевдотопологическое пространство - это мно-
множество, в котором задана некоторая псевдотопология. Как правило,
один и тот же ..символ будет использоваться для обозначения как
псевдотопологического пространства, так и множества его элементов.
Если Р - псевдотопологическое пространство и Т - его псевдотопо-
псевдотопология, то фильтр У € Ф(Р) называется сходящимся к точке
лс£ Р , если У€ *С(х) i псевдотопологическое пространство Р
называется отделимым, если никакой фильтр в Р не может оходигь-
оя к двум различным точкам. Если *Cf и ^ - две псевдотопологии
в одном и том же множестве Р , то говорят, что % мажорирует^,
•ели для каждого х € Р Tf (х) с €^ (х.) i в этом случае го-
говорят также, что псевдотоподогия <Г, сильнее, чем *Сг (а Т^- ода-
бее, чем Т/ ).
Если Q. - псевдотопологическое пространство if- его псе-
псевдотопология, то каждое из знакосочетаний У^.Т ,, Y-laQ
означает, что V0 € Ф(О.) , р € Q и что фильтр ^ сходится в
GL к f (т.е. >* € ?(l) )•
Отображение j(j псевдотопологического проотравотва Q_ в псе-
вдотопологическое пространство Р называется непрерывным в точке
% £ Q. , если выполнено следующее уоловие: 'fhQr^-tfMbjtfnxP'
Вместо последнего знакосочетания иногда будет использовать-
использоваться выражение " $ty) —*jf(x) » если у —* X " .
Отображение J называется непрерывным, если оно непрерыв-
непрерывно в каждой точке.
Еод|G^ Тр) ш (Q.Sq\~ W8 псевдотопологячеемх проотра-
вства, то их произведением вазввмия ааедотополопчвекве простра-
вотво, множество элемевтов которого представляет собой произведе-
произведете множеств Р и d , а поевдотопология tC.s.eTpxTeL (называе-
(называемая произведением псевдотопологий СГО и Т^ ) определяется так:
Т.о., *С - это самая олабая среди всех тех пседотопологий Т в
шожеотве Р X Q , для которых канонические отображения
--' \/^>-p)> (PXQ->^)~~(Q->'vcl) непрерывны.
Если Y - топологическое пространство, то псевдотопологией,
ассоциированной с его топологией, называетоя цсевдотопология Т
(i Yj i определяемая так: если fg ^ АО и у €^{ ,
то (у €1(у) <^ч Z7 сходится к у в топологии npoorpaBCTBaYJ.
Исходная топология однозначно восстанавливается по ассоции-
ассоциированной псевдотопологыи; кроме того, если (X Тх) . (Y,
топологические пространства, то отображение^;/^ ^1_»./у
непрерывно (в данной точке) в том и только в том случае, если оно

непрерывно как отображение псевдотопологического пространства,
получаемого путем наделения множества X псевдотопологией, ассо-
ассоциированной с топологией *£% , в псевдотопологическое пространс-
отво, получаемое путем наделения множества У псевдотопслсгией,
ассоциированной с топологией <Гу . Поэтому всюду далее всякая
псевдотопология, ассоциированная с некоторой топологией, отожде-
отождествляется с нею, так что класс топологических пространств счита-
считается чаотьв класса псевдотопологических пространств.
Через К обозначается множество вещественных чисел, наде-
наделенное обычной топологией; черев V/ - фильтр окрестностей нуля
в Д" и черев 7/ - след V/ на R*' \{О} .
Говорят, что структура группа (о аддитивно записываемой
групповой операцией) и псевдотодология *С , заданные в множест-
множестве X » согласуются, если^тображение (XхX, Т*г) —> (X <l)}
(x,t-Xa)\-*x.f-Xj непрерывно.
Говорят, что структура линейного пространства и псевдотопо-
псевдотопология <г в множестве X согласуются, если псевдотопология
соглаоуется со структурой аддитивной группы этого линейного про-
пространства и если, кроме того,
отображение R'х (X, т) -* (/ <и) , (t,x)\-*tx B)
непрерывно.
Если псевдотопология С в линейном пространстве удовлетво-
удовлетворяет условию A), то, как нетрудно проверить, условие B) эквива-
эквивалентно совокупности следующих трех условий:
отображение/^ ^<rj-— (Х,т), (t *).-* lx СЗ)
непрерывно в точке @ 0)* '
Vte/Z' отображение (%t<г) —~(Х T))OC^tx W
непрерывно в точке О i ' j .
\/хвХ отображение /^1~^(Х>т)j ti—tx E)
непрерывно в точке О
Псевдотопологической группой называется множество, наделен-
наделенное согласующимися отруктурой группы и псевдотопологией; цоевдо-
топологичеоким линейным пространством (ШШ) называется множество,
наделенное согласующимися структурой линейного пространства и то-
топологией; наконец, пседотопологической линейной группой (ШГ) на-
зываетоя линейное пространство X > наделенное псевдотопологией,
удовлетворяющей условиям A), C) и D).
Поевдотопологическую линейную группу, псевдотопология кото-
которой является (т.е. ассоциирована с) топологией, будем называть
топологической линейной группой (Т1Г) (всякая ТЛГ является топо-
топологической векторной группой в смысле работы /17/, но обратное не-
незерно), В соответствии со сказанный выше класс топологических групп
считается подклассом класса псевдотопологических групп, а класс
7

ЦП - подклассои класса ШШ.
Класс всех псевдотопологических пространств образует катего-
pie, если считать морфизмами непрерывные линейные отображения;
имон всех ШГ и всех ШШ также образуют категории, если считать
■орфизмами непрерывные линейные отображения; в каждой из этих ка-
категорий существуют суммы и произведения, проективные и индуктивные
Вели Р , Q. - множества, •£"(/?$/ - псевдотопология в
) S ~ час"> $~(р> &) • то через $£ГG> GL) (ооответствен-
во, через ,£_ ) обозначается псевдотопологическое пространство,
подучаемое путем наделения множества 5^/^ (^(соответственно, мно-
■вотва 3 ) псевдотопологией Т G? Q) (соответственно, сужением
псевдотопологии Т(/>$)на S )• **■ X н Y - линейнне прос-
пространства, то через L(X V) обозначается пространство всех линей-
гах отображений X в I ♦ если X Y
( )
рр
р X I X и Y - шг (в частности, ШШ),
ТО через jf(X У) (ооответственно, через Х(Х Y ^ обозначается
пространство всех линейных непрерывных (соответственно, всех ли-
линейных секвенциально непрерывных) отображений X в Y »
таким обравом, ^^ YJ С / (X, У) С L (X. У) <=- ?(Х, \)
Отображение псевдотопологического пространства в псевдотспс-
догическо» пространство называется секвенциально непрерывным, если
оно переводит сходящиеся последовательности в сходящиеся; про этом
последовательность /ап ; /7-^^,...} элементов псевдотоподотичес-
юго пространства V называется сходящейся (к точке х €Х ^»
мли фильтр в X > порождаемый базисом, соотоящим из множеств
мемевтов всевозможных последовательностей вида fcrn .л-т, т + 1,..
(т - ?,&,.., )» сходится к х .Is условий (I) и D) следует,
ято £(Х У) и ^(ХУ) - линейные пространства . Если X
И У - ШГ и f (X YJ '" псевдотопология в. ^(Х ~У) » то j?i(X У)
(£(ХУ)) ^(У^&(ХУ))^(ХУ)£ЖУ1У
Воли при фиксированной ШГ X Аля каждой ШГУ т(Х Y)" псев
допология в $~(Х,У) % такая, что„г^L.(XjУ) (соответственно,
Воли f^^(X,2) а *,,-,*„ l<eX.
опмвола ^(х,)(^з.).-.(х„) обычно используется символ
Если X - линейное пространстве и т - псевдотопология в
X » превращающая X в ЕП\ то через Т" (соответственно,через
<ГС"' ) обозначается сильнейшая среди всех локально выпуклых топо-
топологий в X (соответственно, сильнейшая среди всех топологий вХ >
согласующихся с линейной структурой X )> мажорируемых псевдото-
псевдотопологией т ; пространство X , наделенное топологией Т°
8

(соответственно, топологией *свв )» обозначается через Д'* (через
X" ). ■ ■
Подмножество топологического пространства называет-
называется оеквенциально открытым, если его дополнение секвенциально замк-
замкнуто.
§ 1. Основные определения
1. "С -дифференцируемость. Пусть X - ШШ и, для каждого
ШШ У , ^(ХУ) - псевдотопология в &(Х, У) . Для каждого
*ь GPfcY) » ^"o ~£€Rf\(O) и каждого п €^ (Л
множество натуральных чисел).через *" обозначается отображение
X в Y , определяемое так: г" (эс)—{~пт-(Ъс); через 'г., - ну-
нулевое отображение ^ в у (т.е. i0 (х.)— О Для каждого х€Х )•
Определение 1. Пусть У -ШШ и /7 €-Л" • Отображение
-г. : X—*Y назнвается «г-малнм /7-го порядка, если отобра-
отображение ^н»г* , R 1—♦ if (X, ^непрерывно в точке ^ . Отоб-
Отображение, «Г-малое первого порядка, называется <г- малым.
Множество всех «г-малых и- го порядка отображений X в
Y обозначается через S^'r(Xi У) • Т«°-> t € Ж*(ХУ)Ъ гом и
только в том случае, если i^—^O в ^е^К У) ПРИ "^—"О
Замечание 1. Если $£(Х У) - ШТ, то,как это следует из
условия E) раздела "Обозначения и терминология", ^f2" (X У)с2
dXUXY) при п>» "< '
dXUX,Y) р пfz ,
Занечание 2. Если ££ (Xt У) - П1Г, то для каждого T.
справедлива импликация т. €. k% (X, У) ^? *•£ € jRjjCX, У)
Пусть, для каждого МП Y » 3£(XYJ~ подмножество прост-
пространства &~(ку)> причем выполненн следующие услсвия:(А)^',г(^Уу
и УС(ХУг линейные псдпрсстрансгва пространства ^()Ci)i (С) если
V - окрестность нуля в X, <fG#f(X, У) ,/ е#(Х, У) и
jfOxMsfym -зс € у , тс /=^ '
Определение 2. Отображение Ж части X/" ШП Д в ШШ Y
называется (один раз) ^V -дифференцируемым в точкежвв1/*, если
существуют элемент пространства ^t7(Х, У) » называемый (первой)
^^--производной отображения^ в точкессв и обозначаемый оък-
волом J^'(x,J{4:.o. символы^ и С не используются в обозначе-
обозначениях соответствующих производных), окрестность нуля ХГд в простра-
пространстве X"" и t -малое отображение z. ' X—*т • такие» что
■X + У" С 2/" и Для всех -*^ 6" Z/J* справедливо равенство
e #6^)f(fCH №)
и) #6.)jf(jfCcH №)
-. г В силу условия (А), для всякой точки а € 7/~ множество
*k(l/)Y/ отображений 1Г—»у «ЛЧг -дифференцируемых в теч-
течке а , образует линейное подпространство пространства,527^/7 У),
причем отображение J^^*J-'(a-),S)a(\^ YJ—*2с(Х, У) линейно/
Из условия (С) вытекает, что каждое отображение может иметь не
9

более одной производной в данной точке. Наконец, из условий (А) и
(С) следует, что каждое отображение z€$J(xy) J€t-дифферен-
J€t-дифференцируемо в нуле, и т.'(О)-О' Конечно, верно и обратное: еслиЛ^-
21 -дифференцируемое в нуле отображение X в У и jf @)-(/,
Замечание 3. Подобно тому как множество ус(А ^/отображе-
^/отображений, которые могут служить значениями производных, считалось за-
заданным, можно было бы предполагать, что заранее задано (независимо
от каких бы то ни было псевдотопологий) и множество' малых отображе-
отображений, которое мы обозначим сейчас через $ . При этом, заменив в
определении 2 слова "<Г -малое отображение" словами "отображение,
принадлежащее $. ", можно было бы получить формально более широ-
широкое определение (первой) ^КИ\ -производной. Однако понятиеЖ%-
производной оказывается, по существу, не шире повятия^Г -произ-
-производной. Именно, если для каждогст^ б R, из включения z€$
вытекает включение г±€.0Я (это требование совершенно естестве-
естественно - см. замечание_1), то в S^fX, Y) существует топология <е ,
такая, что $ - $} (X У) • Чтобы в этом убедиться, достаточно -
при заданном $ - считать, что открвтыми в топологии <С являются
в точности следующие множества: &(Х, У) • ^Я » &~(Х,У)\ R » 0 •
Топология, определяемая таким образом, оказывается^однако^ "плохой^
однако для многих известных определений дифференцируемости (введе-
(введенных первоначально независимо от каких-либо псевдотопологий) уда-
удается указать задающие их "хорошие" псевдотопологш (а иногда - во
далеко не всегда-даже топологии).
В дальнейжем всегда будет_предполагаться, что ^(Х, YJ =~
~*С(ХУ) или что Ж(Х;У) = £ (%Х) i ПРИ эгом вместо термина
"^zf«r -дифференцируемость" будет использоваться термин "<гг-диф-
ференцируемость", а вместо термина *j£*c -дифференцируемость" -
термин " с -дифференцируемость^.; аналогичный смысл будут иметь и
термины " <Г-производная", " Т -производная" и т.д. Кроме того,
будет предполагаться, если не оговорено противное, что, для каждо-
каждого ШШ Y , псЗдотопология <С(Х1 У) мажорирует псевдотопологию
^(Х,У) поточечной сходимости ъ^СХ^я такова, ччоЯ^(ХУ) -
ШГ. (Если Q. - псевдотопологическое пространство и Р - множест-
множество, то псевдотопология Т^{Р}0.) поточечной сходимости в &{Py Q)
определяется так: i> ty ^ (P, Q.)^=P VxeP У (ж) bf(xj Q.' .)
При перечисленных предположениях условия (А) и (С) оказывается,
очевидно, выполненными. .;/???.:■«<■,' ?,■■■ >,-. ■■<■■,; /;v>r- lr
Если пространство X одномерно, то линейное отображение
j£ ; X ~*-У обычно будет отождествляться с элементом у.£=
пространства Y (при этом ^(у.)-^€-ос для всех Х
10

Т.о. води X одвомерво, и $€$~(ХУ) » то мы будем обн-
чво считать, что для каждого n^^V и каждого Х f^C)^
Определевие 3. Отображение sf части ~Ц~ ШШ X в
назевается (один pas) T -дифференцируемым (соответственно, т -
дифференцируемым) ва множестве У , если ово <Г -дифференцируемо
(соответствевво, ^ -дифференцируемо) в каждой точке х € If ;
при этом отображение ^':х i—>jfYx)' 2/"'~* *£?(Х, YJ (соответ-
(соответственно, 1/"—^^Сг.(Х)У) ) назевается (первой) *Г -ыроизводной
(соответственно, ?"-производной)отображения jC (ва 1/~ ).
Определевие 4. Предположим, что, для каждого ШШ Y \£MS}~
ШШ. Отображение ^ части 2У П2П X в Y называется п раз
( /7 £ Л" * Л > i ) Т -ди#еревцируемым в точке л:&€ ^.Г , если
оно h-f раз «Г -дяфферевцируемо ва некотором содержащем точку
хв множестве Q и его (п-1)- я «Г-производвая jff"~f^:
Q —~ j£C£~°(X,Y) <€-ди#еревцируема в точке ,хс ,•
при зтом я - й т-производной отображевия ^ в точке хо
вазнвается первая Производная отображения ji("~^% этой точке:
Отображевие Jjf называется п раз Т -дифференцируемым в то-
точке хо € У~ , если, каково бы ни было натуральное п , огобра-
жение V п раз сГ-дифференцируемо в этой точке.
Аналогично определяются отображевие, п раз =Г-дифференци-
=Г-дифференцируемое в точке, его п -я ^-производвая и т.д. В дальнейшем мы
будем пользоваться без дополнительных пояснений также и этими по-
понятиями .
Пусть теперь ШШ X является линейным подпростравством не-
некоторого ливейвого пространства X > и W -часть Хо •
Определение 5. Отображевие ^ мвсжества \^J в ШШ у ва-
вазнвается т раз ( п €^J/* ) <С -дифференцируемым в точке xoeVV
по подпростравству X i е°лм отображевие jfx множестваЛА/-хс)ЛХ
в У , определяемое равевством J#x (х)- >£(°х +.хЛяраз <Г-диффв-
ревцируемо в точке jco . При этом п- Й чг -производвой отобра-
отображевия jf в точке jco по подпросгранотву X вазнвается л - я т -
производвая в точке (9 стображевия j£ ; ^ -я Т-производная
отображевия jf в точке jco по подпространству X обозначается
через jfx"'(x.o) •.
Отображевие $ :W'~*Y назнваегся п раз ( п €^А )
Т -дифферевцмруемым ва мвожесгве \ДД С W по.подпростравству
X , если ово я раз С -дифференцируемо в каждой точке из\М;
при зтом отображение $£>; .с **$?>(*), W, -»• <- ^ VJ
называется >7 - а Т-производной отображевия j^ (на множествеИ/).
11

Аналогично определяются /7-кратная <Г-дифференцируемость по
подпространству.
Т.о., по определевию, jfg"(x,) — (jf* 0) ("}(О)
каждого ватуральвого и . В чаотвооти, еоли J( —)(о « то /»- я
<Г-производваяУ по подпростравству^ оовпадает о его т - Й Т-
цроизводной (в той же точке) в сныоле определения 4; всюду ниже в
этом случае будет использоваться более короткий термин и соответ-
соответствующее обозвачевие (т.е.-^^у , а ве-^/"Л.
Замечавие 4. Если всюду в настоящем пувхте замевить термин
"ШШ" термином "НЕТ", то определения 1-5 окажутся применимыми к
отображевиям ШГ; в связи с этжм далее понятия, введеннне в указа-
указаниях определевиях, будут иногда применяться (без дополнительных
пояснений) и к отображевиям ШГ.
Отметим, чтс в теории дифференцируемых отображевкй ХВП отоб-
отображения ДОГ оказывается необходимим рассматривать из-за того, что
едва из ставших уже классическими дифферевцируемостей -дифферен-
-дифференцируемое^ по Келлеру - задается псевдотопологией т(Х,У) , Для
воторой ^- (X, У) оказывается, вообще говоря, лишь ШГ (во ве
Ш).
Замечание 5. В определевиях настоящего пункта нигде ве иово-
дьзуются специальнве свойства поля вещественных чисел; все приве-
приведенные в настоящем пункте определевия без всяхжх пидеений приме-
применив и к линейным пространствам над произвольным нормированиям (в
даже топологическим) полем. Более того, ice сказанное в настоящем
пункте можно расяроотранмь и ва отображения (поевдо)топологнчео-
вих модулей вад (псевдо)топологичеокими кольцами.
Ямеино, условие "^—» О а 3f ^Yjnp* i: —*O "
может бвть внражево следующим образом:
(
(
Но вооледнее требование имеет смысл и тогда, жогда^ и Y -
модули вад топологическим кольцом, если считеть, что евмвол \J/ •
обозвачает фильтр окреотвостей вуля в этом кольце. Для перехода к
общему случав псевдотоподогического кольца ножно теперь воспользо-
воспользоваться способом, описанным в дополвевии 1~к книге /3/.
2. Псевдотопологии сходимости ва множестве фильтров
Псевдотопологии, о которых войдет речь в зтом пункте, пред-
представляют собой обощевия топологий раввомервой оходнмооти иа оисте-
ме множеств /4/.
Определение 6. Пусть Р - множество, S - поевдотопологичео-
иая кеммутативвая группа, у - векоторое мвежество фильтров в Р .
Поевдотопологвей (в группе $~(Р, 5) ) сходимости на миожеотве
12

(s системе) фильтров из *f или, короче, if -псевдотспологией, на-
называется псендотопология, обозначаемая через "€^(Р Sj и опре-
деляемая так: у> j, ^ ( Р, S) <Z=> (ч> - ifl)\9<^()
Так определенная псевдотопология согласуется со структурой
группн в 0~(Pt SJ ; если^ - ШГ, го иЯ^С^б]- также П1Г.
Д Г б б
J ^]
Далее вместо символа «Г_ обычно будет использоватьоя символ
У ; в частности, «^-производная будет называться у-производ-
у-производной.
Бели ^ - некоторое множество подмножеств множества Р ,
у*г=: ^DTj !/?€<*>} и S - коммутативная топологическая группа, то
псевдотопология Vf ^G* $) совпадает с топологией равномерной схо-
сходимости на системе множеств ($ . Далее в тех случаях, когда \у-
— У ^ для некоторого множества 6 подмножеств ШЩ X »
вместо выражений "дифференцируемость (производная) по системе филь-
фильтров у " будут использоваться выражения "ди$феревцируемость (про-
(производная) по системе множеств (э "; вместо символа у<^ будет ис-
использоваться символ <£ .
Замечание 6. Если Q - топологическая коммутативная группа,
Р - множество к ^ - система подмножеств множества Р , то по-
последовательность {j§n\ элементов пространства ^С (PJ Q] сходится в
этом пространстве к Jjf £ ^(Pt Q) в гом и только в том случае,
если, каковы бы ни были множество,/ из & и последовательность
■Dт) элементов множества ff , jfh Щ -#(■**)-+С?_ ■ &'
В частности, если Q и И - ТШ, то отображение -^ е у. (Pt QJ
является <э - малым в том и только в том случае, если^ каковы бы ни
били множество /?<£(£ , последовательность ^-yf Vero элементов
и пооледовательнооть /^ Ьтдичных от нуля вещественных чисел,
-£*—°*- ~^Оъ (^ при /7-»»-= . Это простое утверждение
часто бу£ет использоваться в дальнейшем.
Далее, для каждого псевдотопологического пространства X через
М^(л/обозначается множество всех сходящихся фильтров в )( ; для
каждой ШЕГ X через р8(Х) обозначается множество всех квазиог-
квазиограниченных фильтров ъХ (Фильтр vf в ШГ X называетоя квазиог-
квазиограниченным, если V^V ^в X )• для каждого ТЛП X ™vtt-f(X)
(соответственно, через с(Х) ) обозначается множество всех ограни-
ограниченных подмножеств д (соответственно, множество, определяемое
так: //б с СЮ^~^ ^ представляет вобой множество элементов
некоторой сходящейся в X последовательности); наконец, через
ffX)обозначается множество всевозможных конечных подмноаеств
13

X . Вместо символов fg(X) *МЩ)*Ш) ,c(XJ , f(XJ
будут обычно употребляться символы//# JrB , -tf , с , £f. Кро-
Кроме того, далее if -дифференцируемые отображения будут называться
также ограниченно дифференцируемыми, с -дифференцируемые - компа-
компактно дифференцируемыми и $ -дифференцируемые -дифференцируемыми
по Гато или слабо дифференцируемыми. В случае, когда X —R1 »
вместо каждого иг этих терминов (которые в этом случае имеют один
и тот же омысл) будет использоваться термин "дифференцируемость".
3. Псевдотопологии Хайерса - Ленга и Келлера
Если L, - линейное пространство и Т -псевдотопология в L ,
то через т" будет обозначаться псевдотопология в L , определя-
определяемая так: *\ХГ' )
и
При этом линейное пространство L , наделенное псевдотоподогией
Т^ , будет обозначаться через [f . Нетрудно убедиться, что ес-
если L - ШГ или ШШ, то if таково же.
Если т=Т" и L, - Щй, то проотранотво L и его псев-
псевдотопология называется уравновешенными /3/ (в этой книге вместо
символов "С', L используется оимволы Т* * Ц. )•
Если X ~ поевдотоподогическое пространство, a Y - линей-
линейное пространство, наделенное некоторой псевдотопологией, то псен-
дотопологией Хайерса - Ленга в &СХ,У) называется псевдстопология,
обозначаемая через «Z7, (XYJ* определяемая так: %., (ХУ\-
~(МВ(ХУ))" L ' hL '
^С - множество, у - некоторое множество фильтров вХ
и У - псевдотопологическая коммутативная группа, то через уk0(Y)
обозначается псевдотопология в &-(XYJ, определяемая так:
Если у - ШШ или ШГ, тс, счевидно, псендотопслогия vK(X Y)
мажорирует псевдотопологию у"(XУ). которая, в свою очередь, ма-
мажорирует псевдотопологию vp (ХУ){сходимости на множестве фильтров!
Если X ~ псевдотопологическое пространство i Y - ШШ или
ОХР, то псевдотопологией Келлера в j^CXjY) вазываетоя псевдотопо-
псевдотопология, обозначаемая через ^^(Ху) и определяемая так: <СКЕ(ХУ)-
— (H&(X,Y))K (далее символы «^ и <Скр обычно'бу-
обычно'будут заменяться символами HL и KB )• "
Если У - ШГ, то, как легко видеть, *fHL (X,Y)* ^£(ХУ)-
также ИГ; если У - ШШ, то ^ни(ХУ)- ПИЛ, однако V (х \J,
вообще говоря, не является ШШ.
14

§ 2. Дифференцируемость и непрерывность
Всюду ниже, если X ' Y ~ линейные пространства и г (z'/(X '»
то t - отображения/^"д Y в Y • определяемое так: если
(t)€£!XX tC e( j ^l+j в(]О
и t*C . « г e(tj xj = ^l+xji -г.в(Я.х]~О
для всех х <~Х • Чтобы избежать несущественных оговорок, в нас-
настоящем параграфе воюду предполагается, что областью определения
каждого из рассматриваемых отображении является некоторое ШШ (а
не его собственная часть).
1. Отображения ШШ
Предложение 1. Пусть X и У - ПЛП и V - некоторое мно-
множество квазиограниченных фильтров в X , содержащее все сходящие-
сходящиеся фильтры. Для того чтобы воякое у -дифференцируемое в данной
точке отображение ^f>'X—*Y ^нло непрерывно в этой точке, до-
отаточно, чтобы ШШ X было уравновешенным (т.е. удовлетворяло
следующему условию: (Aj) для всякого сходящегооя в Д к нулю фи-
фильтра у> существует такой сходящийся в X к нулю фильтр yj , что
Доказательство. Достаточно показать, что если ,Х" £у
то -^г непрерывно в нуле. Но последнее включение эквивалентно неп-
непрерывности в нуле отображения iz i—*■ £_-К '*—* iti^Jjt Д>/—=» ,
—» S^yifg (X, YJ г в свою очередь, эквивалентной непреры-
непрерывности на множестве {0}*Х отображения У1*'. Пусть теперь
i> ii0 X . и f>, - такой фильтр в X . что ^%Х и уО tf>, •
Тогда /f/yb /Г^ ^ V/#B(V/,Y;)> /* С V/ ^
(при проверке справедливости второго включения используется раве-
раверр р р у
нство s£(O)—Q , вытекающее из включения -^ £ -^у^С^У/ ).
Но, в оилу непрерывности в нуле отображения.^*? jf (v/, />,)i/ /
тем более q?(fj beV » н0 это и означает, что отображение
непрерывно в нуле. Предложение 1 доказано.
Замечание 1. Неизвестно, является ли выполнение условия
необходимым для тоге, чтобы всякое ^ -дифференцируемое в данной
точке отображение X в У <^ыл0 непрерывным в этой точке.
2. Отображения Т1П
Следующее предложение является усилением аналога предложе-
предложения 1.
Предложение 2. Пусть X » У - Т1П> причем с/ст Y>0 •
Для того чтобы всякое с -дифференцируемое в данной точке отобра-
отображение X в у было секвенциально непрерывным в этой точке, нео-
15

бходимо и достаточно, чтобы X удовлетворяло следующему условии:
(JU) для всякой оходящейся к нулю последовательности (хп] элемен-
элементов пространства X существуют ее подпоследовательность {х„Л ■
последовательность Л Л веществевных чисел, такие, что Д.—J.^
и \(х„^О .
Доказательство. Достаточность. Пусть Ж - с - дифференци-
дифференцируемое в точке jlc€X отображение X >7 » искажен, что ес-
если выполнено условие (А2), tojf секвенциально непрерывно в точке
хс . Аналогично предыдущему, ш можем и будем считать, что
/* #г (КУ) (г-е« что х"= ° ' if(°)=O . / '@)=О). Пусть
{/\ - сходящаяся к нулю последовательность элементов из X •
Если jf№n) -/* О » то существует (строго возрастающая) после-
последовательность {пк \ натуральных чисел, такая, что никакая подпос-
подпоследовательность последовательности {■$(■£„} не сходится к нули.
Но, в силу условия (A2)i существует подпоследовательность /rtw^)
последовательности (пк) и помедовательвость (Х('} вещественных
чшсел, такие, что \( —» о*> и А,' -пй .—">О . Но ив эти
й в сиу включения jff. Ф /у"у I , вытекает, /^
одвако это противоречит выбору последовательности {ftK\
Необходимость. Пусть условие (Ag) не выполняется, и пусть
/•/„} - сходящаяся к нули последовательность отличных от нуля
элементов из X » такая, что если (А{) - стремящаяся к беоконеч-
нооти последовательность веществевных чисел и {пЛ - строго вое-
рмтающая последовательность натуральных чисел, то \^Л„Т^*О .
Пусть 5 - множество элементов последовательности f*rfh) . /7 -
его индикатор, a. £=Y » а^О и, для каждого ос €Х •
р(эс) ~ a/^(jc) . Тогда отображение^ :Х~*У с-Д«Ф$е-
ренцируемо (и даже -о -дифференцируемо) в нуле, но не является в
этой точке секвенциально непрерывным. Предложение 2 доказано.
Замечавие 2. Как показывает доказательство предложения 2,
оно останется справедливым, если в его формулировке термин "с"-ди-
"с"-дифференцируемое»" заменить термином "-/-днфференцируемооть".
3. Роль топологических линейных престранств фреше - Урвеона
Топологичеокое простравство называется пространством Фреше -
Урноона /1/,_еоли для воякой части С этого пространства и всякой
точки Q £ С (С -замыкание С ) существует последовательность
элементов ивожества С , сходящаяся к а .
1емма 1. Пусть X " топологичеокое линейвое пространство
•реше - Урвсона и пусть (а*: /7=^-2,..,] ( К~ 'f,-2J... ) - пос-
ледовательвость оходящихоя к нулю последовательностей элементов X •
16

Тогда существую! строго возрастающие последовательности /"
и ft, /j\ натуральных чисел, такие, что
Замечание 3. Последовательность (а ,/.\ , для которой
Т
И K((J <- ,
естественно назвать квазидиагональной. Таким образом, лемма 1 ут-
утверждает, что из последовательности сходящихся к нулю последовате-
последовательностей мсжно выбрать квазидиагональную последовательность, также
сходящуюся к нулю.
Доказательство. Можно считать, что *r<Vn X^O . Пусть
хс€ X 'Х-о'^О -Для п, к -/,£,,.. положим хпк~
■= к~ хс + Q.n + K » если «г эгв т--а„^-к ' и
хнк = к~*х.е ~л\ в противном случае. Пусть Д-\х.п£.
Тогда Q^ rf\/f • То, что О <£./7 , очевидно. Пусть
теперь У - окрестность нуля в X' • Тогда в X существует ок-
окрестность нуля ~Ц~С такая, что ]/ + \J~ <^ ~\J~ . Пусть к и п{ -
f
натуральные числа, такие, что к~гхо£ 'у и «^.КС i./" (су-
(существование /^ , для которого справедливо последнее включение, вн-
текает из того, что а *+к >Q при и—*•»-»). Тогда
Так как д - пространство фреше - Урнсона, то найдутся пос-
последовательности £*■ f-€^J и ^ /i? ^у|натуральннх чисел, такие, что
"*« (£) к (■С)~^>0 ' ^ри эгом Kf (■■€)-* <*"• Дейотвигельно, в
противном случае можно было бы, перейдя, если нужно, к подпоследо-
вательнооти, считать, что Kf(^) =-ко~с с *rt . Но тогда было
бы справедливо соотношение nt (€.) *-»о, а, следовательно, и со-
соотношение а к" . » ± ко~'хк "=£■ О • вопреки тому, что,
по условию, » *с < 9-Q. Перейдя, если нужно, к подпоследова-
подпоследовательности, можно считать, что к, (€) < <у (-€ -t-i) и
^у (*) -<- Ki (■?) < *>* (-? +1) -+■ ^? ^ Н Mfl всех £ . Поло-
Положим теперь к (■<?)-кг(?) ъ п (-е) - <<f (■?) •+■ А7, (■€) .Тогда
о к(*) _^п а
h(€) U ПРИ -с~*■«>-* , причем последовательности индек-
индексов - строго возрастающие. Лемма доказана.
Следствие 1. Всякое топологическое линейное пространство
Фреше - Урнсона удовлетворяет условию (Ао) из предложения 2.
Пусть {"хл)- - сходящаяся к нулю последовательность элемен-
элементов пространства Фреше - Урысона. Для доказательства того, что су-
существуют ее подпоследовательность /эс„.} и последовательность
17

вещественных чиоел, такие, что А —»<» и А, хп\—+■() » доста-
достаточно применигь лемму 1 к последовательности {{кх ^n=1t2, \k-1i\
сходящихся к нулю последовагельносгей. ' ' "■'
Теорема 1. Пусть X ,Y ~ топологические линейные простран-
пространства, причем с/С/пУ> Q , $ - система ограниченных подмножеств
X . причем /5 Э с (X) • Тогда для того чтобы всякое /& -
дифференцируемое в некоторой точке отображение X в V <*ыло не"
прерывным в этой точке, необходимо и достаточно, чтобы X было
пространством Фреше - Урнеона.
Доказательство. Достаточность. Пуоть^ - пространство Фреше-
Урысона и -ff - отображение X в Y » & ~ Д*ФФеРенцируемое в
точке -j^ £ X •
Так как /%Э с (X) » то эго огображение тем (Золее с
дифференцируемо в точке зс . Но, в оилу оледствия 1, пространство
X удовлетворяет условию (JU) из предложения 2 и, следовательно,
в силу этого предложения отображение jf секвенциально непрерывно
в точке хв ; так как X ~ пространство фреме - Урысона, отсюда
вытекает, что ^f и непрерывно в этой точке.
Необходимость. Предположим, что J^ не является пространст-
пространством Фреше - Урысона, и пусть /? - часть X • обладающая предельной
точкой х„ , не являющейся пределом никакой сходящейся последова-
последовательности элементов из // , JC - индикатор множестна tf «t^^V •
4^0 0 Тогда функция р : ос »-» ^^(xj, X ~*У »
очевидно, ве являющаяся непрерывной в точке осс , /S - дифферен-
дифференцируема в этой точке. Так как ^(X^/S , достаточно доказать
j? -джфференцируемость функции sf в точке jc, • Пусть {-£„] -
сходящаяся к нулю последовательность отличных от нудя вещественных
чисел I {Лп} - ограниченная последовательность элементов про-
пространства X • Так как множеству /? может принадлежать, самое
большее, конечное число точек последовательности {хв + t. -Д X *
то, следовательно, и «J
C t4
Но зто и означает, что"отображение^ ^-дифференцируемо в точ-
точке хе (и обладает в этой точке нулевой --^-производной). Теорема
доказана.
Еще одна характеризация топологических линейннх пространств
фреше - Урысона дается следующей теоремой.
Теорема 2. Пусть X » У ~ топологические линейные простран-
пространства, причем о/Cm Y >О - Я*я того чтобы всякое с -джфферен-
цируемое в данной точке отображение X в Y йыло МВ-дяфференци-
руемвм в этой точке, необходимо и достаточно, чтобы X являлось
пространством Фреше - Урыоона.
18

Доказательство. Необходимость. Если иг С -диффереяцируемо-
сти в данной точке отображения X в Y вытекает его МВ-диффе-
ренцируемость в этой сочке, то, в силу предложения 1; всякое с -
дифференцируемое в данной точке отображение X в Y непрерывно
в этой точке; огсюда следуег (георема 1), что X - пространство
Фреше - Урысона.
Доотаточность будег установлена, если будет показано, что в
гом случае, когда )( - пространсгво Фреше- Урысона, всякоеМВ-
малое отображение является и МВ-малым. Итак, предположим, что
1 0 Ян& (ХУ) , и покажем, что тогда г £ )
Поскольку t f£ $м8 (%yj » существуют окрестность нуля
V в Y и элемент хе е X » *«кие, что, каковы бы ни были
£>О я окрестность Vo точки хе (в X )» оущеотвуют та-
такие JeVc *■£€(- €J s) , что 1 (-1 /) # t V
Поэтому, если п - натуральное чиоло и В — / ^f $X '
- 3~t , такое, что <т (£■£)<£ 6V} « «
хе ^ Вп . Так как X ~ пространство Фреше - Урысона, отсюда
следует, что для каждого натурального п существует сходящаяся
к хс последовательность {-££ : < — ^-2, ..} элементов множе-
множества Вп • Поэтому, в оилу леммы 1, существуют такие строго воз-
возрастающие последовательности {к(()\ и (h(O\ натуральных
чисел, что -/"/',—» х,о при I —»о« .
Отсюда и из определения множеств бп следует, что для каж-
каждого натурального С существует такое 4-. £ (-1— ( \ /)
Так как £(-—> О и -^ /'/'—"^ « это и означает,
что т. £ Яс (X,Y) • Теорема доказана.
Замечание 4. Второе утверждение доказанной выше теоремы 1
является также следствием теоремы 2 (ее второго утверждения), по-
поскольку, как уже отмечалось при доказательстве теоремы 2, МВ-диф-
ференцируемость в данной точке отображения Т1П влечет его непрерыв-
непрерывность в этой точке.
4. Дифференцируемость на открытом множестве и непрерывность
В предыдущем пункте было показано, что лишь для отображений,
определенных на (топологических линейных) пространствах Фреше -
Урысона, компактная дифференцируемость в точке влечет за собой не-
непрерывность в 9Т0Й течке.
Может, однако, случиться, что топологическое линейное прост-
пространство X обладает следующим свойством (А3): из ■-/ -дифференци-
руемости (произвольного) отображения X в (производьное)Т1П Y
19

в одной точке не вытекает его непрерывность, но в то же время с -
дифференцируемость в каждой точке (произвольного)огкрнтого множе-
множества уже влечет за собой непрерывность на этом множестве.
Один класс ТЛП, обладающих таким свойством, описывается н
настоящем пункте.
Теорема 3. Пусть £~ - индуктивный предел расширяющейся по-
последовательности банаховых пространств ( £"я ), причем все вложения
E^—^En^i компактны. Тогда всякое отображение^ пространства
Е в Т1П у , компактно дифференцируемое в некоторой окрестности
точки xf £■ , является непрерывным в этой точке.
Доказательство. Пусть отображение S#'; Е~^У с -диффе-
-дифференцируемо во всех точках некоторой окрестности у точки X
Так как всякое (отделимое) ТЛП регулярно, можно считать,' что множе-
множество [Г замкнуто, Мы докажем, что сужение отображения .9? на У
непрерывно (отсюда будет следовать, что само отображение Jff непре-
непрерывно во всякой внутренней точке множества У ). Предположим про-
противное. Тогда в У найдется такое замкнутое подмножество fi , что
мвожвство/^ = ^'"^]^]1/не замкнуто в у~ . Поскольку у замкнуто
а £~ , множество/^ является незамкнутым в £~ .Но в условиях
теоремы подмножество Г пространства Е замкнуто в том и только
в тон случае, если для всякого п пересечение FOE» замкну-
замкнуто в £\ /17/. Таким образом, найдется такое п . что множество
ДО £* не замкнуто в £" . Это значит, что множество
Д П ( ЛГП Е ) не 8амкнУГ0 в 1ТПЕ. и> следовательно, су-
е £ отобрадения -^ на подпространство Е не является не-
нежение £ отобрадения -^ на подпространство Е
прерывной функцией на множестве ~У(] £
Но отображение ^fn , очевидно, компактно дифференцируемо в
каждой точке множества у f\E • П°ЭГ0МУ» в СИЛУ теоремы 1, оно
должно быть непрерывно на множестве Ц~(\ Е^. • Полученное проти-
противоречие завершает доказательство теоремы 3.
Замечание 5. Пространство £" , о котором говорится в теоре-
теореме 3, является пространством Фреше- Урыссна в точности тогда, когда
сно конечномерно.
Действительно, если Е бесконечномерно, то для бесконечного
множества индексов n Eh Ф Eni.f (гак как в противном слу-
случае не все канонические вложения Е —*Е ><5ыли бы компактными).
Пусть для каждого натурального п , хп б Еи'+/\£п ' еоли£."
пространство Фреше - Урысона, то, в силу леммы 1 (примененной к по-
последовательности [{к~'х.п : п - Г,^. ..}:*- = t*,..)
сходящихся к нулю последовательностей, существуют такие строго воз-
возрастающие последовательности {n(()j и (k(i)j натуральных чи-
чисел, что (K(ij)~1'хпGГ0 в Е ' Но тогда оуивотвует такое
20

ю , что (к(())~' x/i((J ДДЯ всех с (это вытекает из
следствия 1 на стр. 412 книги /16/); это, однако, противоречит тому,
что п (ij —» с-° .
Т.о., индуктивные пределы бесконечных расширяющихся последо-
последовательностей банаховых пространств с компактными вложениями облада-
обладают свойством (A3)•
§ 3. Теорема о дифференцировании
сложной функции (цепное правило)
Пусть, для каждой пары ШшХ и Y , tt"(X,Yj - псевдото-
псевдотопология в 5^~(Х YJ и ЭС ~ некотоРый класс ШШ. Будем говорить,
что в классе JC ' справедливо цепное правило для Т-производных
/7-го порядка, если выполнено следующее условие: если $ но -
отображения, соответственно, Л^ХВ У^Хя Y в2^> Причем
Sjf Л раз <Г-дифференцируемо в точке хе » a jt и раз Г-
дифференцируемо в точке ^ffa*) » то композиция д off n раз
*Г - дифференцируема в точке эсс<
Аналогичное понятие будет использоваться и применительно к
Т" -дифференцируемости.
1. Производвне первого порядка
Предложение 1. Пусть J( - некоторый класс ШШ. Для того
чтобы в классе JC для <Г -производных первого порядка было спра-
справедливо цепное правило, достаточно, чтобы были выполнены следующие
условия: (а) если Х,\€Х , г €#T(XYjn -€J?(YZ)
то 4-х в XT(X.Z)i (б) если X, Y, 2€Х, г £#V(Y Z
и 5 - Н -дифференцируемое отображение^ в у » t0Zps 6 $
Доказательство. Достаточно установить, что если ■£^
cf. ^ &Qit 2:)* причем if ;Г-дифференцируемо в точке Q £V
р <Г -дифференцируемо в точке О ^У, $(®) ~ О,у @) =
то композиция ^»|f *Г -дифференцируема в точке О ( €Х ).
Но при перечисленных предположениях, если -*f аУ » то
где Тд £ %<£\У,^)у 1*? €.Xf(/(Y)»t следовательно, в силу
услови! (а) и (б), M>->\?'@)Y 'J) ¥ Tf0]
Предложение 1 доказано.
Замечание 1. Приведенное доказательство показывает, что если
выполнены условия (а) и (б) предложения 1 и ^ - <Г-дифференциру-
<Г-дифференцируемое в точке хо€Х отображение X в Y ^ Ху\ £-JC )»
21

a a - *C -дифференцируемое в точке 3f (xe\ отображения Y B
&?)) ?#ЫКГЫ) _
Замечание 2. Аналогичные утверждения справедливы и для т -
производных.
Следствие 1. Для Л/#» HL , КЕ , FB -производ-
-производных первого порядка цепное правило справедливо в клаосе всех ШШ;
Для -£ , с » 4 и с" - производных первого порядка цепное прави-
правило справедливо в классе всех Т1П.
2. Производные высших порядков
Лемма 1. Пусть X ' Y ' 2? ~ ШП> У* » У ~ (некото-
(некоторые) множеотва квазиограниченных фильтров, соответственно, в X, и
> У » Ч'*^ и *К^ - множества квазиограниченннх фильтров, оо-
ответственно, в ^.^Х(ХУ) ив ^ЧУу(У12)я у-/(р- <р -
фильтр в «d(OCy/Jxjf^^; 3^6^^'ЗЛб^^,
Фу^ . Предположим, что каковы бы ни были фильтры
и отображение ,
справедливы включения У^ у(^х)^ ^ и "^^J^Y^ .Тогда ото-
бражение -^ ; г^л ГХ V) X J^y (\ 2J -* д^- ^ 2J ,
h ^i if/, У -Дифференцируемо в каждой точке
бы UVj ?(Xy)£(ij
Доказательство Так как
достаточно
отображение
установить, что при фиксированных Ж, , Ж, , линейное
/[.'Гл>Л^^Лв^ + ^'Л, ^^VJ *.£py("Y
x »Z-y V( Y, 2*y -*• йл^х (Л, -21J является у
w
^ является у -
налим. Чтобы доказать непрерывность Ef , мы покажем, что непреры-
непрерывны отображения F3 .' ЪГ*b?fr* j£^h (Y, 2j ^^j
Пуоть yy£^o rf?rx (Y 2), xev // ( Ух) € у
следовательно, Уу^ (iff("fx))lo? ' так что о10^8*6^6 Fj He"
прерывно. Далее, пусть у»ху ^^/х (^ ?) ж ^Х ^ ^ ■ Тогда
*Ху(ЪIоУ и, следовательно, -fc С^у ЗД) Фо^" * г-°"
отображение /^ также непрерывно.
Для доказательства того, что /J € ^\^(Х,У) , достаточно
показать, что. еоли у^у^Т^ ^ Уу2 е ^^ »'^^Ч'^ .
то V/^уз ГУху^^)У1»2 . Но пооледнее соотношение вытекает,
в силу квазиограниченности фильтра Vy-f > из включения
^.у(¥у)€Уу (которое справедливо по предположению). Лемма 1
доказана.
22

Следствие 2. Для ffl и /i fl -производных второго порядка
цепное правило справедливо в классе всех ШШ; для-^и с - производ-
производных второго порядка цепное правило справедливо в ыаосе всех Т1П.
Это утверждение вытекает из леммы 1 и следствия 1.
Лемма l'. ПустьX » Y >Z~ Т^П, /SX^/S~ (некоторые) множес-
множества ограниченных подмножеств, соответственно, пространств X и Y »
fi к/Z - множества ограниченных подмножеств, соответственно, про-
пространств <£^х(Х,У)и j^y^Y^n /S~{Cj С - подмножество простра-
пространства j?(x У) *£ (у 2.) 3 С €/4Xyj3С&Р IСС Cf хС^\ •
Предположим, далее, что. каковы бы ни были множества^ХЧ^^^Уи
Сх€/3* и отображение -£€.zf(X У) , справедливы включения
т. Тогла отображение # -л-дХ \л У) х
" йК в каждой то-
чке, и при (ftl fa), (?„£$ € Х(Х
шеиие A), содержащееся в лемме 1/
Доказательство леммы^, совершенно аналогичное доказательству
леммы 1, предоставляется читателю в качестве упражнения (при дока-
доказательстве следует воспользоваться замечанием б п. 2 § 1).
Следствие 3. Для -вис- производных второго порядка цепное
правило справедливо в классе всех ТЛП.
Это утверждение вытекает из леммы l' и следствия 1.
Лемма 2. ПустьХ « У »^ - ПЛП, причем пространство У урав-
уравновешенное. Тогда отображение -4'. (-jD-tfz) *-*-$ °$
^pS (X, У) x£pS (Y,2)-\£g $(^бесконечно /"^-джфференцируемо.
Доказательство. В силу леммы 1, достаточно установить, что
линейное отображение if' '• з£СЙ (X, Y) X^Cg (Y.ZJ
"*< (£ CXY)&aZ) Fl (X
непрерывно. Пусть У, \,j£FB (X/ V)& ^в(Х?)ж **YУ* ж
fx б(ХУ
f - квазиограниченные фильтры, соответственно, в з
j?FB(XZ) и X • ^да 4>,(v*jIJ0Y ; поэтому bY о
вует такой сходящийся к нулю фильтр ¥> ' , что V0V С V /
/* Y2 y J foX) y>VZfo (x))VZ(
у дщ у фр ¥ , V0V С V /Vy »
следовательно/)* Y2 ey, J foX) ~y>VZfo (*x))<Zi>VZ(\//>p YJL
так вах фильтр yV2 квавжргранжчеи в
^ ^^^*-^ • так как ^ {AfrU
Т.о., непрерывность отображений' , а тем самым клеима 2 доказа-
доказаны.
Лемма 2'. Пусть ^ Л iZ- НП, причем Y удовлетворяет
условию (lg) из предложения 2 п. 2 § 2. Тогда отображение -^ :
23

бесконечно -$ -дифференцируемо.
Доказательство аналогично доказательству леммы 2 и потому
опускается.
Лемма 3 . Если X > У • Z ~ шй> то отображение
M
бесконечно ^)g -дифференцируемо.
Лемма 3 '. Если X » У » Z - ™' то отображение
4 (К У) х/с(У 2) —Zc (X, 2), tft, 1J ^ 1* ° *<
бесконечно с -дифференцируемо.
Доказательства этих двух лемм аналогичны доказательству
леммы 2 (не несколько проще).
Теорема 1. A) В классе всех ШШ цепное правило справедливо
для М$-производных произвольного порядка; B) в классе всех ТЛП
цепное правило справедливо для с -производных произвольного поряд-
порядка; C) в классе уравновешенных ШШ цепное правило справедливо для
FB -производных произвольного порядка; D) в классе ТЛП, удов-
удовлетворяющих условию (Ag) из предложения 2 п. 2 § 2, цепное правило
справедливо для -/ -производных произвольного порядка.
Доказательство. Эти утверждения выводятся при помощи класси-
классического рассуждения (приведенного - для случая банаховых простран-
пространств - например, на стр. 78, 79 в /18/) из лемм 2, 2', 3, 3' и сле-
следствия 1.
Докажем, например (^Пусть X > У » И - Т1П, причем Y удов-
удовлетворяет условию (Ао), w- я раз ^ -дифференцируемое в точке
хе отображение )( в Y, о -«раз./ -дифференцируемое в
точке jffa,) отображение У в ^ ; покажем, что тогда компози-
композиция a oif и раз ^ -дифференцируема в точке х.о (это утвержде-
утверждение сильнее того, которое содержится в формулировке теоремы).
Так как, в силу следствия 1, композиция $-OJtf один раз./-
дифференцируема в точке хо , можно воспользоваться индукцией по
и .Т.о., предположим, что п_е Л" > я>/, и чтр_ отображе-
отображение х •— ?'($(*)) ' X -^*J?f(Y/2j л-/раз /-дифферен-
/-дифференцируемо в точке х0 ; так как это^ конечно, верно и для отображе-
отображения х у-* 4'Ы) • X —*" »zf^(X,Yj' то п~ * Ра8 ^-Ди-
^-Дифференцируемо в точке jco и отображение х. ►—» C-fY^J, g'fflfa))*
X ~* ,2^. (X, У) X^j (Y,7) » поскольку,по лемме 2',
отображение 4 взятия композиции всюду бесконечно -^-дифференци-
-^-дифференцируемо, то, по предположению индукции, отсюда следует, что п - /раз
4 -дифференцируемо в точке х.о и отображение х-f))tf'
X —+^л (X 2.) » являющееся - там, где оно определено -
24

(первой) $ -производвой отображевия х *~ ?)
Но это и означает, что последвее отображевие п раз ^ -дифферен-
-дифференцируемо в точке х„ . Теорема доказана.
Из только что проведенных рассуждений вытекает, что справед-
справедливо следующее утверждение.
Следствие 4. Пусть X » У » Z " ТШ, причем пространство
Y удовлетворяет условию (Jbg)! а пространство^ - следующему ус-
условию (А3): всякое секвенциально непрернввое отобрахевие X в
произвольное Т1П непрерывно. Тогда, если 3^ - /? раз / -диф-
-дифференцируемое в точке хв€Х отображение X в У , а р - п
раз -/ -дифферевцируемое в точке -ff(xo) отображевие у в Z, »то
композиция р-0^ п раз -■/ -дифферевцируема в точке х0 ; ава-
логичное утверждение справедливо и для с -производных.
Неизвестно, справедливо ли"цепное правило для ■£ ,4 и с -
производных в классе всех ТШ; во в классе всех ЖШ, как будет по-
показано в следующем пункте, во всех этих случаях ово все же справе-
справедливо.
3. Производные высших порядков
Отображевия в простравства, обладающие достаточннм запасом
линейных непрерывных функционалов
Если X . Y и Z " ИП и -£. €^(Y,Z), то для каждо-
каждого натуральвого и через -£/7 обозвачается (ливейвое) отобра-
отображевие пространства ;££(XY) в з£.* (X ?) » определяемое так:
если *€<?#,УД и ^;...^я6ГХ ' . «о &Х1Ж*,>'.-?Ь)
Ctf(xf>,..jXn)) » кроме того, мы полагаем ^ = ■£ .
Далее, если Xи У ~ ШШ и /7 - натуральное число, то
через (8£.(ХУ) (соответотвевно, через SS^fXjY) ) обозначается
(наделенное индуцированной псевдотопологией) подпространство про-
пространства s££(X,Y) (соответствевво, пространства£"(Х,Y)'»
состоящее из тех отображевий ъъз?£(ХУ) (ю гСс(ХУ) )> к0~
торым соответствуют - при кавовическом вложении этого простравст-
простравства в пространство всех п -линейных отображевий Х^.-^Х в
У - симметричвне отображевия; т.о., в частвостж <р £ !ffJ?(XY)
в том и только в том случае, если р €J?£(X, Y) ■ если, какова
бы ни были переставовка S чисел {S,£f... п} и элемевты xtJ...,*п
Х 'j) •Еромв того' т по~
, )se/j
латаем, что jR,? ГХ, Yj =^-fX, YJ =
Л 4 П X *Z ПШ
Лемма 4. Пусть X *Z ~ ПШ» 1ак8е> чг° Для всякого
всякого целого неотрицательного /7 и всякого -^ G j?(Y Z)
отображени» 5^ГХУ *?£ (Х,У^ -^f6V, ^(XtZj) /
^)K вепрернвво. Тогда если p
28

р раз <Г -дифферевцируемое в точке хо отображевие X в у
то для всякого -£.€j£(Y ^) композиция -^о» (
также л раз Т -дифферевцируема в точке jc_ , и
1ы :ыъ
Авалогичвое утверждение справедливо и для «=гг -дифференциру-
-дифференцируемых отображений.
Справедливость этой леммы проверяется непосредственно.
Легко видеть, что если <f - некоторое множество квазиог-
раничеийых фильтров в ПШ X и, для каждого ШШ Y , «Г ^O^/
го условия леммы 4 выполняется. Они выполняются также, если
w;=^, (к у) «■ *(х, у)=Vf ft y;
Предложение 2. Пусть д , у - ШШ, причем простравство у
отделимо и, для каждого ШШ "Z. » псевдотопология *Г(Х*У) мажо-
мажорирует псевдотопологиш Т^ (X У) » где /3 -мвожество'всех тех
подмножеств X < каждое из 'которых содержится и ограниченно в
некотором ковечномервом подпространстве проотравства ^ .
Тогда если J& - п раз «Г-дифференцируемос в точке а:о
отобр«ение X в > , то /^^ £ й^ (X YJ-
Доказательство. Можво считать, что *•„ = О • Пусть
/f>..., -^еХ »^ - оужевие У ва порождеввое
/ t £ линейвое подпространство Хп пространства Л и
£ £ *(Y R1) • Тогда, в силу леммы 4, композиция £°$ пред-
с?£.алг.»т сой вещественную функцию, оьределенную на конечномерном
пространстве Хп и п Раз -^ -дифференцируемую (т.е. дифферен-
дифференцируемую в классическом, смысле), Поэтому, в силу соответствующей
нласежческой теоремы (/18/, стр. %-77, теорема 5.3.1),
МГСо)(<£„-Л) = &-1)м(о)(*т , .,АсJ
кажова бы ни была переставовка $ чиоел / g n ; следовате-
следовательно (снова по лемме 4), *€(fChYOjf'/J...,}pn)\=
■=.{(jf(n)@)f£s(ij}■ ,4S(n))) i отсюда, Ув силу отделимо-
отделимости У°и теоремы Хана - Банаха, и вытекает предложение 2.
1емма 5. ПустьХ . Y . Z - ™, Л €-^/>^Jn^3.../nK -
нввтрщцательные целые числа, такие, что п1 +,.. + п — П
Пуоп Уу, Чу » V° - некоторые мвожества квазиогравичеявнх фи-
фильтров, соответотвевно, в X » B,V ив .S&^f ("V^ ^ и, для ка-
каждого i€{/t£ ... к\ > У1 ■ множество\вазиограняченных
фр в ^П((Х У) прием внп (
фшльтров в ^П((Х У) » причем внполвево следующее условие: (а)
26
. Пусть, ваковец,
Сv,

Тогда отображение s : £*, (Y,2) XЛ .£,£«■' (Х,\) -**
■—* !8у (X Z) ' определяемое равенством (ниже, для каждого
(• е//2. к\ ' 4"* ' с Дополнительными индексами или
без, -элемент из £fi (X, У) *-е , также, возможно, с до-
дополнительными индексами, - элемент из 38* (V?) )
ференцируемо в каждой точке, причем его производная S' определи-
Замечание. Если п,; =0 , то мы считаем, что у1 =Уу
ж р) *)
в дальнейшем ^пользуются - без дополнительных оговорок - и другие
аналогичные соглашения.
Доказательство. Покажем прежде всего, что, каково бы нн было
£ € (f, 2,...; *\ ' ПРИ Фиксированных ?,,-£"' 4"{" *"« .
отображение S'( : ^^ s(Jf> 4t\j^t ^ ^f/*) '
**х(КУ)-~£1 (X/Z) непрерывно. Пусть ф.
К Ь$Я(ХЧ) i Скажем, ™*°™ ^tfoC:-,®../."')
если, для каждого т. € A,2-,,.,,п$ » У^^Х . Вое подыма-
подымавшись симметрией <^f (а также'определением 8), можно переписать «и-
ражение, стоящее в A) слева от знака * | ", следующим образом:
wr»*1, ....*x''+-+'wk~. *;•)
НО, ПО УСЛОВИЮ, Ф\^х" 1"->^ж")\ Y ' И> MH КаМ#Гв
^ , £пН...\ £ yv » поэтому соотношение A) действительно
справедливо.
Покажем теперь, что при фиксированных -£"', •^'Ч... ■4/П>\ в
отображение 5О' ; Ж \~» 5 ^^" ^"/ ^? w«r \ ,
, то
согласно условию леммн;для каждого I *4п<( Хс v » эГ0 и 08"
27

начав!, что Sj непрерывно. Из непрерывное?! отображений s[ ( с.—
О\1 2. п ) вытекает, что непрернвво и отображение ^ $'. »
т.о., для окончания доказательства леммы осталось установить, что
при фиксироваввнх -^,-^"', £"* отображевие
fCKZ) ,
звачевие которого ва элементе ( & ^nt jnK ) равно
*4 №&
является V - малнм...Но отобра-
отображевие 1 представляет собой сумму некоторого (конечного) семейства
отображений, каждое из которых имеет вид
где А-.= -<^ ' ии Pi~ ^f '• пржчем в случае B) последвее ра-
равенство оправедливо не менее чем для двух значений индекса L , ж
в случае C) - не менее чем для одного значения этого жндекса.
Таким образом, остается установить, чм V -малыми являются отоб-
отображения B) и C). Но доказательство этоге совершенно аналогично
только что проведенному доказательству непрерывности отображений
Sg , Sf ,..., Sff . 1емма 5 доказана.
leiuta ъ''. Пусть X » У » ~Z, ~ МИ, пржчем пространство "£"
отделимо, к €.^4S , п0 , т1 ,..'., hK - целые неотржцательнне чи-
числа, также, что п1 + пг +.,. + пк = пв ♦ Пусть ^ ,/fyt /5"° -
некоторые множества огранжченных подмножеств, соответственно, про-
пространств X 'У ■ %JJY,Z)*> мя каждого U(f,Zt...t к)
/SL - некоторое множество ограниченна! подмножеств пространства
£2u (XY/t причем выполнено следующее условие: (а ) если
рувмр в каждой точке, причем значение s'(-ff,<f ',...,-ef V
38

его производной в точке (&-i/1* -4t"^представляет собой отоора-
жение (£ ^ v 4*)»* <&А*С'4"*№ЛП:&£№&~&
Доказательство леммы 5'совершенно аналогично доказательству леммыб.
Лемма 6. Пулть X » Y >2 - ШП (соответственно, ТШ), причем
пространство<2'0отделимо, К£Л" » ",» #/».••> "<- неотрицатель-
неотрицательные целые числа, такие, что nf + nz+...+ /7^ h . Пусть, далее_, для
С = О, 1, 2,..., ас , jfi'-ii' + 1 раз ^ (соответственно,# ,с)-
дифференцируемое в точке JCoCX отображение Xs У» а ^ --< + 1
раз £$ (соответственно,У , с ) -дифференцируемое в точке$
отображение У 7 F [£
(соответственно,У , с ) дифференцируемое в точкеk.o=j$tj
ние У в.7 . Тогда отображение F'-x *—>[](■£ -*„))-*-
пространства^ в_пространство,#*'$' ZJ (соответственно, в ™
£?СК2) JBZCKZL) FB С /
^ в_пртрнт,#$ ZJ (оотттн,
£?СК2)> в JBZCKZL) FB Соответственно, / , с ) -ди-
-дифференцируемо в точке х0 , причем если -Л € X .то F(xo) ■£ г
Это утверждение вытекает из лемм 5 и 5 , предложения 2 и сле-
дотвия 1.
Теорема 2. Пусть X > К «2 " ^п (соответственно, Т1П),
причем пространство 2"* отделимо, j^ - отображение X в_У , п
раз fg -дифферевцируемое (соответствевво, •€ , с , ■£ , с
дифферевцируемое) в точке jc,6/, ^ -_отображевие У в 2 i " «
раз /"^ (соответствевво, ^ , с , S , Z У -дифферевцируемое
в точке jffao)- Тмда композиция^ о^ /7 раз /^ (соответ-
(соответствевво, ^ , с , -/ if ) -дифферевцируема в точке jco , причем
...
в этой формуле символ * ^ обозначает суммирование по всевоз-
всевозможным наборам ( Hfj,,.*''^"* ) целых неотрицательных чисел, та-
таким, что я, +,., + «*= #tC/»,,,,/, - некоторые натуральвне числа.
Доказательство. Для #=/ это утверждение справедливо, в
силу следствия 1. Возможность перехода от п к /7+ / для F8 t
4 г с -производных вытекает из леммы б. Наконец, из справедли-
справедливости этой теоремы для ■£ г с -производных.вытекает, что она
справедлива и для / и с -производных.
Теорема доказана.
•29

Замечание, равенство D) представляет собой обобщение так на-
называемо/, формулы Фаа де Бруно.
§ 4. Теорема о среднем и ее приложения
1. Теорема о среднем. Отображение ^ части ХГ вещественной
прямой в Т1П У называется дифференцируемым справа в точке xe£U~,
если точка хо принадлежит замыканию множества XTf](x9 ><>*>) и если
существует &>„ yf ~'(^(ос.„ + £)-^(х.о)} ; этот предел обозна-
чается через f£ (xo) и называется правой производной отображения
ф в точке х„ . Аналогично определяются дифференцируемость слева
и левая производная.
Отображение 4 :1/~—+- Y называется (/? раз) дифференцируемым
а точке Хеб1Г, если оно (» раз) слабо дифференцируемо в этой
точке.
Теорема 1. Пусть а ,4? € R , а <-4 , о - не более чем
счегрое подмножество отрезка [af4\ Y - ЛВП и В- его внпуклое
замкнутое подмножество. Пусть, далее,^ - непрерывное отображение
D", »Jb Y и*- непрерывная неубывающая вещественная функция на
fa, в], причем в каждой точке множества/л,-tfJ\S функции if7 и^г
дифференцируемы справа, и
Тогда
W 4D) - *(*) € (?(-*) -,(*)). В.
Эта теорема вытекает (как будет показано) из следующей леммы.
Лемма 1. Пусть ос ,-/* и S - те же, что и в теореме 1, а
1 и S - непрерывные вещественные функции, определенные на
Г"< ^1 и дифференцируемые справа в каждой точке множества
[а, 4"\ \ S • Предположим, далее, что функция S не убывает и
что ь каждой точке ~t € 0*, -б3 \ S справедливо неравенство
*№)£*'„(*) ■ Тогдаi±(J)-i{*J^S(**J-S(«) •
Доказательство.' Пусть о - множество точек последовательно-
последовательности (^fjtjj,,.) i Для каждой точки ~£ € Со, Л~\ обозначим че-
через *Л^ множество всех тех натуральных чисел п , для которых
"t < ~t - Для доказательства леммы достаточно установить, что
Му- каждого € > О
(^ X(f)-L(a) $ S(Jj -S fa)+ S Л. £'"+ efr-aj-i- S .
Предположим, что для некоторого £>-0 неравенство C) че-
спганемиво; тогда, в силу непрерывности функций х и 5 » Для
всех tf- £ £а, ■£ ] , достаточно близких к & ,
30

D) ()faJ>s(&JsC*J + £ ^
Пусть с - точная нижняя грань множества Ц tex ~t . для которых
справедливо неравенство D). Тогда с £ Ы , так как, в силу не-
непрерывности функций г » 5 . вместе с каждой точкой ~£ множес-
множество U содержит и все достаточно близкие к ~t точки, расположен-
расположенные левее ~t . Если теперь с € S , то - опять-таки в силу не-
непрерывности т, и S i - найдется такое £>0 , что для каждой
течки t. ив отрезка Cc,c+£j справедливо неравенство
г(-t) - -vf«J ^ s (*) -sC«J f еДДГ" +€Ct-«j + е .
Это противоречит тому, что с = £ntf{t t -Let/} •
Если жес ^ 5 , то в точке с функции т. ъ S дифференпи-
руемн справа, причем, по предположению, 1„ (с) ^ S'n (cj- Следо-
Следовательно, существует такое ft >О » что еоли -£€(с с+оЛ • то
ъ'п (с) > г«)_-1(с)_ i ш s,n (c)^ s(±)j-s(^ L .
Из последних трех неравенств следует, что i (•£) _ г.(с) <.
< S(-tJ -S(c)+tCt-c} Так как c£U . то lfc)S^(aj^
^ S(cJ-s(ctJ +€г£ 2~п. + e(c-ctj+ e • Из последних двух
неравенств вытекает, что ^) fj < )^)^ у
■*■*&-*) +f ; т.о., если -f efc^c+^J, то £££/ ,*
что противоречит определению с .Т.о., неравенство C) справедливо
для каждого £ >~О . Лемма доказана (приведенное доказательство
аналогично доказательству георемы 3.1.2. гл. 1 книги /9/).
Доказательство теоремы 1. Если включение B) несправедливо,
то по теореме Хана-Банаха существует такой линейнвй непрерывный
функционал -С на V , что
E) ^ffW^))
Положим <*=
Тогда, в силу A), функцич <£. и S удовлетворяют условиям леммы 1
и, следовательно, по этой лемме, -£С-$(-£)~-*£(■$(а)) ^
так как 9(^)—9(л)^Ои правая чаоть последнего неравенства равна
правой части неравенства E); т.о., получено противоречие. Теорема!
доказана.
Замечание 1. Конечно, утверждение, аналогичное содержащемуся
в теореме 1, справедливо и для дифференцируемости слева. Чтобы это
усмотреть, достаточно принять во внимание, чтр замена аргумента ■£
на —^"переводит функцию, дифференцируемую слева, в функцию,
31

дифференцируемую справа.
Следствие 1 (теорема о среднем). Пуоть а ,-о £л , а<-е ,
S - не болеечеи ечетное подмножество отрезка £«, -€ 3 , Y -
локально выпуклое пространство л Jjf - непрерывное отображение
Га £ 1 в У , дифференцируемое в каждой точке MBexecTBa|«,/]\S.
Тогда #D)-4Са)£ыЗ'С#Щ-('*-«) \ 9 €(*. 4j\S}
где соп\г(.] - замкнутая выпуклая оболочка множества (...) в у*
Для доказательства доотаточио, положив $ (£)—£•(-#—а) и
&-соплг (jf '(9)], применить теорему 1.
Следствие 2. Пуоть ХГ - открытое связное множество§Т1П X
и jf - отображение If в локально выпуклое пространство Y >
олабо дифференцируемое в каждой точке множества \J~ . Тогда если
$'(х)=О для каждого jc€ V , tojf(oc)=c ( 6Y )•
2. Формула Тейлора о оотаточнвм членом в форме Лагранжа
Теорема 2. Пусть а , -^'€/?', &< ~ь ж S - ве более, чем
счетное подмножество отрезка £«, 4 J , /7 - целое неотрицатель-
неотрицательное чиоло i У - локально выпуклое пространство. Пуоть, далее,& -
отображение [a,4j в Y • « Р»8 дифференцируемое в каждой то-
точке отрезка £Л/ ^>j , «+ / раз дифференцируемое в каждой точ-
точке множеотва ^ 4] \S > причем отображение ^^fc/^J-'Y неп-
непрерывно. Тогда оцраведливо следующее соотношение (формула Тейлора
о остаточным* членом в форме Яагранжа для функций вещественного ар-
аргумента):
№4
л :es(a,4)\S}.
Доказательство. Для n~(J доказываемое утверждение совпада-
совпадает со следсшеЛ. Предположим, что оно уже доказано для целого
П^О и докажем, что тогда оно справедливо и для /7+ / .По
оледотви» 1, примененному к функции -b Y- $(t) 1 и)
/
справедливо включение fWffcJ
Далее, по нредполеженп индукции, примененному к функции
it*,*+ 9D-*)} —У,
32

из последних двух включений оледует, что ■$(Л) -
Теорема доказана.
Следствие 3.41усть ^ - ШШ, У - локально выпуклое прост-
пространство, acf , эсг€Х> Бс,,3^]- отрезок (в X). соединяющий то-
точки "X , ос , ^ - натуральное число и -^ - отображение X в У
"X , ос , ^ - натуральное число и -^ - отображение X
рае слабо дифференцируемое в каждой точке отрезка [рс х 1
i -fr- У раз слабо дифференцируемое в каждой точке множества
Для доказательства достаточно применить теорему 2 к отображе-
ни» t ^f(x, +±(хЛ - ocj) , [О, 1] - Y •
3. Формула Тейлора с оотаточннм членом в форме Пеано
Для того чтобы установленная в предыдущем пункте формула
Тейлора с оотаточным членом в форме Лагранха была применима к
(Л+ / раз) Т"-дифференцируемому отображению, достаточно, что-
чтобы из ^Г -дифференцируемости вытекала слабая дифференцируемооть;
при этом свойства "оотаточного члена" явно не завиоят от *С . В
противоположность этому, свойотва оотаточного члена в форме Пеано
явно завиоят от поевдотопологии Т ; этот остаточный член пред-
представляет собой *Г -малое отображение соответствующего порядка.
Пуоть X - ПЗШ и, для каждой ШГ Z . *(Х,2?у - иседо-
топология в 5T~(X,Zh такая, что ^.(X^J - ШГ.
Определение 1. Мы будем говорить, что для Т -дифференциру-
-дифференцируемых отображений X в ШШ Y справедлива формула Тейлора с оста-
остаточным членом в форме Пеаво, если, кахови бы ни были натуральное
33

число м и /7 раз <£ -дифференцируемое в некоторой точке хо
отображение z .'X —""У • определяемое равенством
представляет собой <Z -малое отображение порядка /? .
МП Y называется локально выпуклым, если справедлива им-
импликация У Фе Y '=> У ° \в У « где Vе" - фильтр, базис
которого образован замыканиями в У выпуклых оболочек множеств
из ¥> (в конце книга /3/ введен класс пригодных ШШ; легко ви-
видеть, что отделимое ШШ локально выпукло в точности тогда, когда
оно пригодно).
Теорема 3. Для того чтобы для *с -дифференцируемых отобра-
отображений X во всякое локально выпуклое ШШ у бнла справедлива
формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, достаточно,
чтобы были выполнены следующие условия: A) каково бы ни было ШШ
2* * поевдотопология *eQ(,£) мажорирует поевдотопологию
*^3 (X Z) . где /5 - система воех тех подмножеств X ♦ каждое
из которых содержится и ограничено в некотором конечномерном под-
подпространстве пространства X •» B) каковы бы ни были натуральное
П">1 и ПЕГ j? , если 5 - значение в некоторой точке из X
Н - а «г -производной отображения X в Z .то отображе-
отображение -рs: jc !-+■ S (X;.. ,t x.J является Т" -малым; C) если £ -
локально выпуклое ШШ и отображение р € &(Х,2$ /7 Рвз "^-ди-
"^-дифференцируемо в точке Q , причем р @)-=. Q й $(q) — Q
P(nJCo) = 0. 'J ' Р J J'"'
Доказательство. Пусть л^ - отображение^ в Y > " раз «Г-
дифференцируемое в точке хо€ X » и отображение г : X~*Y 0ПРе-
делено равенством (б) предыдущего пункта; надо показать, что
Покажем прежде всего , что если ,$= $f (эс„) и выполнено
условие B), то отображение У>5 , определенное в этом уоловии,
бесконечно *С -дифференцируемо в каждой точке и, для каждого на-
натурального t*n , (гs)а)С*)-В#,я...,4С)*~>h(h-1)
и - < • При I >• Л7 •
Прежде всего, оказанное справедливо для £ = / .Дейст-
.Действительно, отображение ^; Л ^* (г=с+-&)-Г*(х)-П%.(х.,,., ос, -Я)
представляет собой (в силу вытекающей из условия A) симметрично-
симметричности отображения S ) линейную комбинацию (с целыми положительными
коэффициентами) отображений &%'.-&*-+■ S ^}
34

где Кб{2, 3,..., л1 ; «^-малость каждого из них следует
из B), поскольку S*tf) ^«-
причем отображение £t-*.fa(h'K))(K)fx
Л Z. <£ (Ay YJ Т"-малое по условию B) и псе-
псевдотопология *С(К,2.) мажорирует псевдотопологию поточечной схо-
сходимости для каждой ШГ 2Г • Далее» пусть для некоторого
L ^ п — 2. утверждение об с -кратной <£"-дифференцируемос-
<£"-дифференцируемости отображения у^ и о значении его с - й <Г~производной уже
доказано. Тогда дифференцируемость отображения ¥>(<У вытекает из
уже прсведенвых рассуждений, равенства [№ Щ А
и условия B). Наконец, если доказываемое утверждение о дифференци-
дифференциальных свойствах *Р5 уже установлено для с= /?- / , то справе-
справедливость его для всех больших натуральных L вытекает из линейно-
линейности и непрерывности отображения л t-+ (jtf (n~fJ) Yn) (x. )
Т.е., для каждого ' ^/V«2y.• v ^l отображение
f@(xo)(acj4^J I pas (всюду) Т -дифференцируемо,
причем все его производные, кроме с - л, равны нулю в точке О ,
a t -ая равна t !ж 1'(осо) . Поэтому если отображение* ;Д—»Y
определяется равенством A), тог(^1 -О, rYOj-Oj,, .t iiClnJ(O) =0
(здесь всюду символы дифференцирования обозначают Т-производнне
соответствующих порядков) и, следовательно, в силу условия C),
t- € &т (X, YJ • Теорема доказана.
Замечание 2. Аналогичное утверждение справедливо и для Т-
дяфференцируемнх отображений.
Следотвие 3. Если У - локально выпуклое ШЩ, то для Ffi-,
MB-, HL-, ■£- и с -дифференцируемых отображений произво-
произвольного ШШ в У справедлива формула Тейлора с остаточным членом
в форме Пеане; если У - локально выпуклое пространство, то это
же верно и для *& - и с -дифференцируемых отображений произволь-
произвольного ТЛП в У .
Выполнение условия A) теоремы во всех перечисленных случаях
очевидно; выполнение условия B) следует из того, что для каждого
ц , в первых пяти случаях ^£ (X Yj " П^П, а Б последних
ДВУХ- ^UK VJ -МЪ'
Выполнение условия C) проверим для случая Т - Тн i i
в остальных случаях проверка аналогична (и даже несколько проще).
35

Итак, пурть 1 € ^(Х, Y) • причем t » раз HL
дифференцируемо в точке Q • и ? (О)— О, ъ '(О)= О,,. . ,
t С»1(О) = О ; покажем, что тогда г £ $£ (Xt Yj
Так как для /7 = / это верно по определению, можно воспользова-
воспользоваться индукцией по М •
Пуоть, таким образом, // натуральное число, h ^2.
В силу /; -кратной НL -дифференцируемости г в точке О ,
в Х°° сущеотвует уравновешенная окрестность нуля \J , на ко-
которой функция т. «-/раз //^ -дифференцируема. Поэтому
если ^ £ У, то £-» !l
g/if
(где соихг /] - замкнутая в V выпуклая оболочка множества
Определим отображение tf I X —* -^/ул (X Yj сле~
дующим образом: tt(x.J- t'fotj , если x.€Vi ff{xJ—O >
если зсф. IT • Отображение 7, fi — f pas //Z -дифференци-
-дифференцируемо в точке 0 и, следовательно, по предположению индукции,
Отоюда вытекает, что выполнено олвдующое уоловие:
Так как Шй у локально выпукло, можно считать, что V
выцукло, уравновешено и замкнуто в Х° > поэтому из включения в
правей чаоти B) вытекает, что если ^€ 6/и Ц:\< £ , то
(
но зто и оз-
означает, что №^Г\D4Л"*12-+0 в^ (?(yj при
'1 (X Vj • Следс**6 доказано.
4. Теоремв о непрерввной производной
Теорема 4. Пуоть X,. • • •' Х„ - НИ, ^ - Xf X... ХХп
Ч' - семейство квазиограниченннх фильтров в)( i для каждого
/ /7 » Ч^' - множестве фильтров в У. , определя-
определяемое так: . \. € У^-в той и только в той олучае, если в 4х °У-
щеотвует такой фильтр \ , что Д =/?? At' , где ^?-?(. - проек-
X Y П Y 1
щеотвует такой фильтр \ , что Д /?? At , где ^??(. - проек-
мревание X на /Yt' • Пуоть, далее, Y - локально выпуклое П1П
36

■ rf - отображение ^ в у . Если ^ у -дифференцируемо по
Подпространству Xf в течке хевХ и, для <" = 2,3,.... h .
олабо дифференцируемо по подпрсстравству Xi в некоторой окрест-
вооти этой же точки, причем (для тех же С ) отображения
X »-» jf'(x) , Х~*а?у, (Xcj Yj непрерывны н точке ос0 ,
то отображение jfi- у-дифференцируемо в точке осо , причем ее-
Доказательство. Ограничимся случаем ft=JL (для перехода к
общему олучаю достаточно воспользоваться индукцией по t? ).
Если «£~(^iЛ^Л^% то справедливо равенство
.)А1
о)) -
Обозначим значение выражения во вторых квадратных скобках
через 4Л(^£); из условий теоремы вытекает, что ?_ €
Поэтому остается доказать, что если iff^J - значение выреле-
ния в первых квадратных скобках, то *if £ <^\^(K, У)
Но, в силу теоремы о среднем^ •6~f)
где еоТГгг { J - замыкание * У выпуклой оболочки множеотва
{ ] ; теперь включение tf € S%^,(X}\) вытекает из локаль-
пой выпуклости ПИП У 1 квазиограниченности фильтров из V и
иепрернвности отображения x*~^**]fy (эс) , /(—*• ^^(Х У)'
Теорема доказана. г "т *'
Совершенно аналогично доказывается следующее утверждение.
Теорема 4'. ПустьX, •••« Х„ - Ш, X = X, X,.. ХХП ,
/> - некоторое семейство ограниченных подмножеств в X и» мя
каждого £ — ?,-2,,.., И , fi( - оемейотво всех тех подмно-
подмножеств Х{ » которне Являются проекциями на Хс множеств из Д .
Пусть, далее, У - линейное пространство, *Cf , ^ - две лока-
локально выпуклых топологии в V , обладающие одинаковым запасом
замкнутых выпуклых множеств, и ^ - отображение X » У •
Если ^ Д-дифференцируемо по подпространству )(. в точке дс0
как отображение X в (У,ф) и, для £ ■=. JZ, 3,,. п, слабо
дифференцируемо по подпространству X/ в нецрторой окрестности
этой же точки как отображение X в f У € L причем для тех
же с «каждого X бХ <f'(*) * */t(XMb)) »
37

отображения x^jjfi*) X -*£. (ХС) ( У, TfJJ
секвенциально непрерывны в 'точке х.„ • <!0 отображение j£ g-
дифференцируемо в точке хо и справедливо равенство C).
§ 5. Теоремн о двойном и повторном
пределах в псевдотопологических пространствах.
Предельный переход под знаком производной
Пусть У - псевдстопологическое пространство, Q , Q ,
d - множества. Если у> - фильтр в Q и Jff ^.^(QlX) » 1!0
запись " J-7(aJ —♦ x ъХ " означает, что образ фильтра у* при
отображении Jp сходится в X к элементу х пространства % .
Часто вместо этой записи будут использоваться также записи njf(oj
" -£> х в X " или " ^VW 5""*л " • Если у и у
фильтры, соответственно, в 5, и <24. У>=^х^и jf&gtQxQX^
то знакосочетание " ■$(аче>±)сГ~1,—S"?"-* " We* означать "to
же, что и знакосочетание 'V/"e''<,*) '' л ■, л ; во многих слу-
чаях будут использоваться сокращенные знакосочетания
Если, в частности, d^- некоторое множество отображений
множества Йу в^ и^-'<3Г * #, ~*Х, С+*. ij+~? ** ty -
отображения вычисления, то вместо знакосочетаний " -jfC?-f&)—*"
и т.п. будут использоваться знакосочетания "'^,CptJ-z—г» "
и т.п. Наконец, если Q = X и -$ - тождественное Отображе-
Отображение Q в _Х » то символ ^ (и скобки) в соответствующих зна-
знакос очетаниях будут опускаться; например, " а —**■ зс " будет обо-
обозначать то же, что и " 9 кХ ". Если jf £ ?{Д xfe f\{o}}X}
$ 6 &(H,1tX) и у - фильтр в ff , то запись
f(У^л» " будет обозначать то же, что и запись
г ."• а запиоь"
то же, что и запись " f (wSpEf ^ "•
Наконец, если (эсл ,' h — 7,-2,,.)- последовательность и
m '■ ft, m — f,3,...) ~ Двойная последовательность элемен-
элементов пространства ^ , то, как обычно, запись Xh—»эс и
^х-п», * 'ос- означают, что соответствующие последовательноотм
оходятся в л i * ■ Аналогичные обозначения используются и
для отображений произведений трех множеств.
Напомним еще, что псевдотопологическое пространство X назы-
называется регулярным, если из сходимости в X Фильтра У9 вытекает
38

Оходимость в X Фильтра "^ , порожденного замыканиями в X
Множеств, образующих фильтр f . При этом замыканием части /?
воевдотопологического пространства ){ называется множество
Юех элементов пространства X , являющихся пределами фильтров,
содержащих /J
1. Теоремы о перестановке предельных переходов
Предложение 1. Пусть X - регулярное псевдотопологическое
пространство, /? и В ~ множества, у и у> - фильтры, соот-
соответственно, в /? и в В , jf - отображение /fxfi зХ и
f - отображение / I / , Еоли tf(a, £j^ ^ ^ \* * и,
каково бы ни было «е 0 , $(л, ■^jj^f^ ъ X .то
Доказательство. Если г & f , то, каково бы ни было
л € п , р(л) € tffa, f-J ; тем более, какова бы ни была
часть ^ множества # , ^C^t) ^ ■$D &J • Следовате-
Следовательно, в (fjl^> fffaxy] i так как, по условию, фильтр
f сходится в X к ос , то, в силу регулярности X ,
к х сходится и фильтр й^-(^РуЦ') ' а потому и фильтр в
Предложение доказано.
Замечание 1. Можно показать, чтс ни для какого псевдотополо-
псевдотопологического проотранства, не являющегося регулярным, утверждение,
содержащееся в предложении 1, не справедливо.
Следствие 1. Пусть X ~ регулярная коммутативная псевдото-
псевдотопологическая группа, # и В - множества, у^ и У£
фильтры в этих множествах, '$*/■- отображения, соответстве-
соответственно, /f )(£ в X и В ъ X • Предположим, что
а) 4(*„4)-#с%-ej 4 > о ". «
foeb'*
Доказательство. Отметим, что соотношение A) означает то же,
что и " S^«y, «^ J!J * О , где S - отображение
/г Х# *~В —»-У , определяемое равенством Sfa^e^ JtJ ■-
= $(*,, ^J ~~ $f(%, ■() i аналогичные обозначения используются
и далее. ^ ^
Пусть /? —/?*$ и ^р =^рх f . Определим ото-
отображение р \, #*% равенством />^?о/^ 4))~ $(%j)-
Тогда, в силу A),

**, ОлФ ° ~Х и;в силу
каждого элемента Л*. Z) множества # , />г».. Л». -
Поэтому, в оилу предложения 1, £ ^-v ~ *il^
s,
в / ; но пооледнее соотношение эквивалентно C). Следствие 1 дока-
доказано.
Определение 1. Будем говорить, что псевдотопологическая ком-
коммутативная группа X удовлетворяет аксиоме повторного предела
(АЛЛ), если каковы бы ни были множества # и 8 о фильтрами
у> и у и отображения $ ! В -^*Х и
справедлива импликация
Замечание 2. а) Всякая топологическая коммутативная группа
удовлетворяет АЛЛ.
б) Если фильтр V оодержит только одно множество В
V Х
топологическое пространство, то условие р (лу Л) — jf(~4)——*■ О
означает, что сО*,^] "*" $('&' равномерно ^g
Псевдотопологическая коммутативная группа X называетоя
полной, если справедлива импликация: Г У - фильтр в X •
*f iXJ^L30^X]L
* iXJ^L3x0i^X]
Пример 1. Пусть X - линейное пространство всех веществен-
вещественных беоконечных матриц {хП1<1 п k£^IS » У ка»Д0Й из которых
лишь конечное число элементов отлично от нуля. Определим последо-
последовательность {ps ,' i — О, 4,£.,..Л гильбертовых норм на X
сидда. ojpaso» ; р (К «'})- S (а **)*; Л (
Пусть X - проотранотво д > наделенное топологией, задаваемой
этой последовательностью норм. Тогда пространство jtH. 0( R1]**
удовлетворяет АЛЛ.
Следующее предложение содержит в качестве частных случаев
осноБНые классические теоремы о перестановке предельных переносов.
Предложение 2. Пуоть X ~ псевдотопологическая коммутатив-
коммутативная группа, Р и d - множеотва, у> - фильтр в Р , Ч' -
фильтр в d I (P, t-)i-*cfi*' t-*-*c$, ' ^Х*Сп
отображения, соответственно, множеств Рх Q. . Q и Р в X »
причем
40

'(в)
Тогда
A) если с^ —♦ c0 ( 6 X ) и Л" регулярна,
fO С Р » cc ;
(Ш если с -g-p co и д удовлетворяет АПП, го и
(Ш) если X регулярна, го
F) С Р- с% ^ у^Г° в X
' р D v
{т.е. образ фильтра >» при отображении /> '—»с , г *Л
является фильтром Коши в X )♦
(IV) если X удовлетворяет АПП, то
G) с - с$ •• О в X
(т.е. образ фильтра vf при отображении р*~^с<*1 Q. *Х
являегоя фильтром Коши в X )♦ '
(V) если X регулярна и <?* — с^г-^0ъ X , то
(8) Ср~с-Р J^ О в X ;
(VI) если X удовлетворяет АПП и с '*- ег—*^в X > то
справедливо соотношение (8);
(УП) если X удовлетворяет АПП и регулярна, то справедливо
оостношевие (8);
(УШ) если X полна, регулярна и удовлетворяет АПП, то су-
существует такой элемент C.G-X* > что с_——»с и с —> с в X .
Доказательство. Утверждения (УП) и (УШ) вытекают из (Ш),
(У1), а также из AУ) и (У); утверждение A) является следствием
утверждения (У), а утверждение (П) - следствием утверждевия (У1).
Т.о., остается доказать утверждения (Ю - (У1). (Отметим еще, что
|з соотношения (8) вытекают соотношения F) и G). Например, для
получения F) нужно, приняв во внимание, что значение отображения
\Р> fr) I—*с > г X ьс * X не зависит от р , восполь-
воватьоя тем, что ср-сг— (с р- ч )-(съ- сл)-—+ О
.) Вст эти доказательства.
(Ш) В силу D) ,срр~*гр=срр~ V -^«."W^TT* О '
кроме того, в силу E), Sjb , /Сл -с i-/rcfi-e't)—'-+ О '■>
1з этих соотношений, в силу предложения 1, вытекает F).
AУ) В силу D), **>}.-%- (срь ~с*)р7с£%)°
в в силу E) Vр ср - с 4 ~г-—г-» О ; из этих соотношений,
41

а силу АПП, вытекает G).
(V) Из D), в силу соотношения с - с, ——*■ О , внте-
кает, что спв -сс ■—*-0 ; кроме тоге, E) означает, что
' As cp<L ~cs ~(c - C«J ' аГ~* О ; из этих соотноше-
соотношений, в силу предложения 1, вытекает (80.
(VI) Так как СР-с%—+-0 . то из D) следует, что
СЛ -с +с -с rr—*iO ; кроме того, соотношение E)
может быть записано так: Ур ср„ -с Г '& г * V ♦ из э™
соотношений, в силу АПП, вытекает (8).
2. Предельный переход под знаком производной для отображений
ТЖП
Теорема 1. Пуоть X " ТЛП, У - локально выпуклее простра-
пространство,^ - некоторое множество ограниченных подмножеств X ,
обладавшее оледующими свойствами:
A) если {'JiJi- сходящаяся в /\ последовательность, то
множество ее элементов является элементом системы /5 ;
B) если В€ /3 , {Хп\ - сходящаяся числовая последова-
последовательность и; для каждого /? , -bh£В, то множество элементов
последовательности./Х-ЛЛявляется элементом системы А ;
(Х/ ? В "
Пусть, далее, {$н • Л = ^^ .}- последовательностьfi-
диф^еренцируемых отображений X в V и» Для каждого h , ^/-
/3 -производная отображения ■$„ .
A) Если последовательность /-J^J сходитоя в пространстве
S^ (XJ YJ к отображению ^_, а последовательность fjfitj сходи-
сходится в пространстве 5*g £A^ ;z^ £Xt YjJ к отображению ^ , то отоб-
ражение/ ^-дифференцируемо и ^'-^ .
(П) если последовательность^^, ^сходится В%М^И 'i'
к отображению л и для некоторой точки зс„€.Х сходится (в У )
последовательность {^{^о)^ причем проотранство У секвенци-
секвенциально полно, то существует такое /5 -дифференцируемое отображение
4/ ^
Доказательство. Докажем сначала (П). Пурть {^^1 ~ после-
последовательность элементов некоторого множества В € /$ с {tH\- ог-
ранжченная последовательность отличных от нуля вещественных чисел
и, для каждого вабора ^и/«; к) ватуральных чисел,
= ль 7*.+^ л) -■#„ (■*>) & (*.+■** О~#» (*»)
-Ьк
Тогда
41

для всех допустимых т , /7 , < . Так как, в силу условия B),
наложенного на систему /3 , множество элементов последовательно-
последовательности {^и^ } является элементом системы /3 для каждой сходя-
сходящейся числовой последовательности (Xи\ и так как^— jf£*O
в %в(К £s(KY)J' го (см- замечание б п. 2 § 1)
в У , если последовательность fAk} сходится в ftr .
Поэтому для каждой окрестности нуля V пространства У най-
найдутся такие натуральные пь , /ив, <в » что, если h > ht , к> ке
и hi ~>тоЛ го
поскольку в противном случае для некоторой окрестности нуля ]/0 в
V существовали бы такие строго возрастающие последовательности
/иЛ , {гпА . {кЛ натуральннх чисел и такая последователь-
последовательность {§.) вещественных чисел, что последовательность /th, QA
««»i .• V4 ^*. -«А *«■„ -/„К- -а' ^. +''
для всех ^ ; но это противоречит A0).
Если множество V замкнуто и выпукло, тс из A1) вытекает,
что сем ir Стп, ^Ушя таких щ и \ К i гак как простран-
пространство Y локально выпукло, отсюда, в свою очередь, следует, что
Так как по условию существует такое yec f , что
в У ; отсюда и из A2) вытекает (если положить £ — / для всех
следовательно, для каждого х € X
(поскольку можно считать, что, для каждого /С , -я^ =л:--хв ).
Из A4), в силу секвенциальной полноты Y , следует, что
существует отображение ^'Х'~*У> такое> цт0$т&)-$ (*-Jtz~О
для каждого хе X i B частности, для каждого к
zr* о.
Из A3) и A5), в силу следствия 1, вытекает, что
43

нс это и значит (замечание { п. 2 § 1), что rf .
sT / Y у) "^
Докажем теперь, что отображение * р -дифференцируемо в
каздо.1 точке хбХ < пРичем jf ~ a . Так как уже доказано, что
последовательность {'ffn,(x)} сходится для всех х. €/\ » *° без
ограничения общности можно предполагать, .что х ■= хс
Пусть, для каждой пары (ii) натуральных чисел,
с -
Тогда, в силу A2), e ~ с -—*Оъ, в силу A5),
чК ст< - ск -р^+ О . Поэтому, в силу следствия 1 п.1,
к
Пусть теперь, для каждой пары {' у натуральных чисел,
Поскольку^ в силу сходимости последовательности {
, I ')■> справедливо соотношение ф/
МА/ ,. / >• ^ » из A6) вытекает, что
A7) с/,1 _V 4— ^ ;
кроме того, из дифференцируемости каждой из функций Jft' следует,
что
A8) VC с/с/ -J-*0 ' •
Из A7) и A8), в силу замечания 2 а), вытекает, что
с/; - , > О ; но это означает, что отображение т. t -yf к—»
является /^ - малым; таким образом, чтобы установить /^ -днфферен-
цируемость отображения )f в точке ос, и равенство .J^ (xJ—J}fa«h
достаточно показать, что jffab) £ .ббг)* Но это включение
является следствием того, что предел в 5^/ЗС Vi последователь-
чости /s,,} секвенциально непрерывных отображений из )( в у OT~
ляется секвенциально непрерывным отображением. Докажем это послед-
последнее утверждение. Пусть -*„—»-S в &p(X,Yj> {-^к\ ~ сходящая-
сходящаяся последовательность элементов^ эсв € X • Тогда, в силу замеча-
замечания £'п. 2 § 1 (поскольку множество элементов последовательности
{J \ принадлежит/? ),
44

В силу утверждения (П) предложения 2, отсюда следует, что
+*f J —* -$(*•) •" эт0 ■ означает, что $ секвенциа-
секвенциально непрерывно.
Утверждение (Ш георемн 1 доказано. Та часть проведенного до-
доказательства, которая посвящена установлению^ -дифферевцируемо-
сти $ , являетоя в то же время доказательством утверждения A).
Теорема доказана.
Замечание 3. Условиям, наложенным в теореме 1 на систему/? ,
удовлетворяют, в частности, системы 4(%/ и с Q(J •
3. Предельный переход под знаком производной для отображений
ШШ
Лемма 1. Пусть X ~ множество, у - некоторое множество
фильтров в )( , содержащее вое фильтры вида [otj ,x.&X ,
Y - полная регулярная коммутативная псевдотопологическая груп-
группа. Тогда псевдотопологическая группа ^L(X,Y) полна и регуля-
регулярна. '
Доказательство. Прежде всего, полнота У влечет полноту
псевдотопологической группы S^-("A' Yj • Поэтому если у
фильтр Коши в £CfX,W » *о *Pl*SC- ЛТУ^я некоторого
чаег, что
Действительно, то, что у - фильтр Коши в Щ> \\ Y/ озва-
поэтому если зс € X » то (так как 0х J ^ V )
(У - ^Х3^ ^e Y i но (у>-*)(х)~ -f(xj - *?(*.) , так
что "ffcj является фмьтром Ноши в у и, следовательно, посколь-
поскольку у полно, сходится к некоторому элементу ~&{эа) €\ • *УН~
кция к > определяемая этим соотношением,-та, существование кото-
которой требовалось установить. .
Покажем теперь, что у ф* ^/(Л, V/ , т.е. что
B0) УА€У (*-С*1)(\Н.У..
Пусть /^ = S^"^X Vj » 8 — Y и -^ ~ отображение вы-
вычисления: Ух ^ —»" у , jffr, x) - а (он) . Положим
^ = V и пусть ^ € ^Р .Из A9) вытекает, что
«о
кроме того, поточечная сходимость у» к ^ означает, что
С22) У ос € X tffa J
Из B1) и B2), в силу следствия 1 п. 1)% вытекает, что
^-(я,эс) - iffacjftх]1$*Р > из последнего соотношения,
в ему произвольности V* « Y , и вытекает B0). Полнота
45

5Г (X. YJ Доказана. ,
Докажем регулярность УуИ, г/ . Пусть
покажем, что_тогда . ,
B2) *? ^ $+< (л, V ^
Если С С$?~(ХУ) и 6CY . то через. С будем
обозначать замыкание С в-^> (X У/ ' чеРез £ - замнка-
ниеСв %L(X,YJ и через $ - замыкание Q ъ Y-
Пусть С <^Jr(Xl YJ и /УСХ • Тогда
Пусть Д бЧ' » тогда SffA)^ Y и, следователь-
следовательно, в оилу регулярвости Y • и У*//\У ^»Y • гДе у/V "
фильтр, порожденный замыканиями в Y множеств из фильтра 'Р(Х) ;
поэтому сходится к нулю в у и фильтр V , порожденный базисом
(С (Й) ■ С€ У, й е А} (ибо, в ему B3),
' v Э у»/А; ); но это и означает, ввиду произвольности Д ,
V э
что справедлнво'сботношение B3). Лемма доказана.
Теорема 2. Пусть X и У ~ ИИ, причем У пригодно и удов-
удовлетворяет аксиоме повторного предела, \у - множество фильтров в
X » обладающее следующими свойствами: A) С^^^З ~=^г
; B) если А^аХ , то Д 64^ ; C)
~|. Пусть, далее, (р - фильтр в
обладающий базисом, все множества которого состоят
Иревцируемых отображений X в Y » Ф ~ Фильтр
порожденный образом этого базиса при отобра-
^взятия у -производной. Тогда, если
сходится * $¥ (X, Y) * $ > &Ф сходится
к 9. , то отображение -4F Ц' -дифференциру-
(П) если <Р' сходится в 5?^ GV, ^V \XjYjJ к ^- и для не-
некоторой точки х € X сходится (в У ) фильтр Ф(эс) , при-
причем пространство Y полно и справедлива импликация D) С^^Ч'З^
f-. „s \^(pt f)\€ уД , то существует такое у -дифференцируемое
отображение ^6 $^~(XY) » чго -^ —^ и Ф ^^fi^u CXjYj '
Доказательство этой теоремы совершенно аналогично доказатель-
доказательству теоремы 1. Если $ ■> 1$ - Два Ч' -дифференцируемых отобра-
отображения X в У ' ~£ ^ /f ^ \ \ О \ * -^ € X » то» в СИЛУ теоре-
теоремы 1
■64)--
B4)
здесь и далее символ c-Otiv-{ } обозначает замыкание в У° выпук-
выпуклой оболочки множества { }
46

Предположим,теперь, что выполнены условия утверждения (П).
Пусть Д - множество всех (всюду) у -дифференцируемых ото-
отображений X в Y » Фа - °лед ва /I фильтра Ф
Если С,€фд , Ъ € фд , АСУ ,
то положим ^ <к )
(-*t * А ;
Для каждого X ^ V обозначим через V^ фильтр подмножеств
Y » порожденный базисом {Sf(Cfi^zj ^.'C ^ ^ ^ C^j
как фильтр 0*^ , по условию, сходится в ^,^у)
го, в Силу импликации D) (содержащейся в утверждении (П) доказы-
доказываемой теоремы), если А € У • то 'fx $0 У ; так как ШШ У
локально_выпукло, отсюда следует, что сходится к нулю в Y и
фильтр f£ , порожденный замыканиями в Y' выпуклых оболочек
множеств, являющихся элементами фильтра У^ . Это показывает
(ввиду B4)),что
так как, по условию, jffaj - ~&{xBJ^-fi0, то из B5) следует,
что j/(x +Jl ) — -4Сое +Л) *Oi из''последнего соотношения, в
свою очередь, вытекает, в силу условия C),
но это означает, что ф является фильтром Коши в ^,\Х^; по-
окольку, в силу леммы 1, условия B) доказываемой теоремв и полно-
полноты У , ШТ У полна, <р Ъ*2^(Х,У) Для некоторого
rf € Щ/ (X Y) ; при этом, ^частности (снова ввиду условия B5,
Докажем теперь, что отображение^ у -дифференцируемо в
каждой точке и что JjfJ —у
Достаточно доказать дифференцируемость ^о в точке хо .
Пусть А^Ч' .Из условия A) вытекает, что^У ^0У ; как и
выш£, в силу локальной выпуклости П1П У отсюда следует, что
Vе ^ Y ' послвДнее соотношение показывает (ввиду B4)), Что
так как, кроме того, в силу B6),
* ' >
то, по оледствию 1 п. 1,
B7)
47

Определим отображения Ffl0x(R1\(O\)XX
£■■■ Х'\{О)ХХ-+У равенствами:
/
Поскольку (в силу сходимости в
Р' и условия B)), если \€V ,
ив B6) внтекает, что F, (jfft </- £
кроме того, в силу у -дифференцируемости функц
Из последних двух соотношений, в силу аксиомы повторного пре-
предела, внтекает, что ^(tt -£) уг~Т*' О i справедливость же после-
последнего о о отношения для каждого Д^ у означает, что отображение
<£ I—+ К ("tt ■£) является у-малнм. Таким образом, для окончания
доказательства утверждения (П) теоремы 2 достаточно установить, что
р-(х*)Ъ. iC(X, У) • Это включение является непосредственным
следствием того, что если выполнено условие B), то Jty (X, YJ
обладает следующим свойством: если <ре Ър&\у(Х,У) и существует
множеотво F€ *Рп , состоящее из непрерывных отображений X в У»
та отображение р непрерывно. То, что у^, (X, Y) обладает таким
свойством, в свею очередь, вытекает из аксиомы повторного предела.
Чтобы докавать это, обозначим через фр олед фильтра <Р на F и
применим к отображению F* X ~*V » С-jfj x)i~* jffaj ут-
утверждение (П) предложения 2. По условию, если \ЬХ > т0
А ; поэтому tf ^
is этих соотношений, в силу упомянутого утверждения (и АЛЛ), выте-
вытекает, что fi(oc)—j-+ РЫа) i это и значит, что отображение
непрерывно. Утверждение (П) теоремы 2 доказано. Пооледвяя часть
проведенвого доказательства является в то же время доказательством
утверждения A). Теорема доказана.
Замечание 4. Условие, состоящее в том, что V удовлетворя-
удовлетворяет АЛЛ, существенно для справедливости теоремы 4.2, как показывает
следующий пример.
Пример 2. Пусть Y = ^HlO^S) » гдв X - пространст-
пространство, определенное в примере 1, и у> - вещественная непрерывно диф-
дифференцируемая функция вещеотвевного аргумента, такая, что ()/
i>(-t)~O , если |"#>^ . .
Определим, для каждого •% £^И , функцию ^
48

равенством ^(-h) - 2~*i>B*-t -j)
Определим, далее, отображения р. и /^ ( >>7 € ^Л^ ) из
^(^'.^^(Л /^/следующим образом.
Если * 6 Ь?^'-^ 1Г*+2 *) , где ^Г^,
то полагаем f^ (ir) = jfr» 4 % (*) и ? № = Л ^ ^ , где
#ли? и $ ~ эле|*ввты пространства Y= 3Chl(X}£'J , опреде-
определенные в примере 1; для всех остальных •£€ j?f полагаем
WfW s= G ( £€~Л/" )• Тогда каждая из функцийсвсюду
-дифференцируема, причем ^ "#7*^ в ^? (&, У]
и существует такое отображение *£(: &г//?'у*С&*У)) , что
4' —» ^ даже равномерно на всей прямой (если ^^
последовательвость отображений из множества 2f в ШП V , то мы го-
го2f V
ворим, ^4ojfj —r+ j£ равномерно на  , если фильтр в Y • порож-
денадй базисом, состоящим из всех множествji^L f-fy Ofy- tfd)} »
Тем° нетменее функция « не является FB -дифференцируемой в точке
t=O .
Замечание 5. Для /// -дифференцируемости теорема, подобная
теореме 2, уже неверна даже для числовых функций на счетиогильбер-
товнх пространствах, как показывает следующий пример.
Пример 3. Пусть X ~ счетногильбертово пространство, опре-
определенное в примере 1, и, для /7 , к €~4/" , эс„к - элемент из X •
определяемый оледувщим образом; х„к - (xfe') .^, i где
х»к~Z и x»i == О • если выполнено' хотя бы одно из не-
неравенств «':£ /? , J-^K • Пуоть, далее, v» - вещеотвенвая
непрернвнс дифференцируемая функция вещественной переменной, такая,
что *(O)-f , ^>(-t)-f ,если lirl^f . Зададим для
каждого wf^ отображение jfi^ ,' X—»/С следующим образом:
воли сущеетву»т fi ^КС^Л^ , такие, что/»^/я и
ACc~3r«itrJ< £К (где д - норма в X » введенная в при-
примере 1), то /^ (xj= »~'«~'*Bк (рвЫ-эс))*) ; в про-
противном случае &м (xj— О •
Тогда отображения ^, всюду //I -дифференцируемы, причем
существуют отображения ^f:X~^Rf и /.'X—*'^€.(XJ R1)'.
такие, что"A)^—s»^ равномерно нау ^ и B) существует та-
такая окрестность нуля I/ в J( , ччо^,,, faj-rf — &xJ-^;—»^
при Ли ■—»■ о*» равномерно по ^ 6 W я х € X • Тем не ме-
менее отображение J& не является ///,-дифференцируемым в нуле прос-
пространства х .
49

§ 6. Пространства гладких отображений
Пусть X и Y - ШШ, У - некоторое множество квазиогра-
квазиограниченных фильтров в X и 1/ - часть X - Отображение ^:
У—*~у будем называть (( раз ( /< С ^Л^ ) непрерывно у-
дифференцируемым, если оно f( раз Ц/-дифференцируемо в каждой
точке множества If , причем для каждого' J-€.{Ot f,.,.j к)
отображение у—»■ £№(Х,YJ* х f—* ifWfa) непрерывно.
Через С (\Г У) будем обозначать линейное пространство всех не-
непрерывных отображений If в Y , иоделевное псевдотопологией,
иодированной из ^" (tT YJ i Для каждого кё-А^ через
С* (if, YJ будем обозначать линейное пространство всех К раз
непрерывно ц> -дифференцируемых отображений 1Г в Y » наде-
наделенное псевдотоподргией, определяемой так: & * [\)
(fHttfcYJ ♦?«; (
*r / p /1/ v/ П • здесь ^ V' - фильтр в
5^, ( ЬГ ^-Q (л/ YJJ t являющийся образом фильтра у> при
отображении р *-*fVK £< AГ,У) '—»^, (lC^(X YJJ-
Легко видеть, что^каждбе из пространств C-iLCl/^Y) предотавляет
собой ШГ и что Cfig (X/ YJ - ШШ для всех К • Для каждого
*€ (О, 1,2.,,Л через С$(Х,\!) йУДем обозначать наде-
наделенное индуцированной псевдотопологией подпространство пространст-
пространства Сц,(Х YJ > определяемое так: J^ € i
У/€(О''-2,.,£'] отображение зс
—*■ ^£(Х,У) квазиограничено (т.е. переводит квазиогравнчен-
вые фильтры в квазиограниченные);, очевидно, все С^(Х,У)- ШШ.
Если X и У - Т1П, U - часть X и /$'с,- некоторое множе-
множество ограниченных подмножеств X « то через <Г£(^^обозначается
множество всех секвенциально непрерывных отображений (/в У ,
наделенное топологией, индуцированной^дз J^ Ш, Y) (легко ви-
видеть, что С-%(иУ)- Т1Г); через Е%(Ъ У) \ К €^4/") будем
обознад.ать Т1Г, определяемую гак: jf g CK'(UYi*
в точке х , причем отображение ос t—» -$&)(х)> X—*У
секвенциально непрерывно для каждого /'£
$4
Очевидно, последнее определение корректно. Через С* СУ У)
( К'€.(О/1,2/,.,'] ) будем обозначать нааеленное ивдущр'ованной
топологией подпространство пространства £* (X Y) » опр*Двляе-
50

X t-+s**/(x), X—^j^iiCX У) ограничено (т.е. переводит ог-
ограниченные множества в ограниченные). Очевидно, все С%(Х,У) -
ТЛП. Через С ^(Х,У) , L/ffXYJ* Т»Д- будут обозначаться про-
ективнне пределы (относительно канонических отображений) последе-
рд ( р
вательностей пространств fC£(X, У)), fCjfCXjY))* т-Д- Т.о.,
например, С~(Х Y)~ £ С* (Х/ У) * * *. С? (М
<Z* W О (X У)
(
* (X, У)у где р-гк - каноншче-
ское вложение С^^л, У) в Су(Х,У) •
1. Полнота пространств гладких отображений
Теорема 1. Пусть X • Y - ШП, У - множество квазиогра-
квазиограниченных фильтров в X « причем У полно, регулярно и удовлет-
удовлетворяет АПП. Тогда если vf содержит все сходящиеся фильтры, то
ШГ Су/Л, У) «МП CyfX У) полны.
Теорема l'. Пусть X » V - ™, причем Y секвенциально
полно. Предположим, что, какова бы ни была сходящаяся в X после-
последовательность, множество ее членов является элементом /3 ■ Тогда
ИГ ^(XyJ и ТЛП С% (X, Y/оеквенциально полни.
Эти две теоремы вытекают'из предложения 2 § 5.
Теорема 2. Пусть X » Y - П1П, причем У полно, локально
выпукло и удовлетворяет АПП. Тогда ШШ CpS (X, У) полно ( дг -
= О, f,3. <=— ); е°ли Y - множество квазиограниченных iiuir-
ров в X , удовлетворяющее условиям теоремы 2 § 5, то МГ C£,Q(ti)
полна ( * -О, /,3.,,,,^— ).
Теорема 2 '. Пусть X ' V - ТЛП, причем Y секвенпиальио
полно. Тогда ТЛП Ц^@( v секвенциально полно;
если /3 - множество ограниченных
подмножеств X , удовлетворяющее условиям теоремы .1 § 5, то ТЛГ
Cfi(X,Y) секвенциально полна ( К —Ot /^ 4?,,,., ■=— )•
Эти утверждения вытекают из теорем 1 и 2 § 5.
Замечание 1. Если X и V - ЛВП, причем X квазинормируе-
мо, то определенное в книге /3/ ШШ С^(Х, У] полно (так как в
этом случае, как можно показать, s^h^CX, У) = ^£pg (X, У) ).
Однако если X - счетногильбертово пространство, описанное
в примере 1 § 5, то Cf(X, У) уже не является полным. Действи-
Действительно, пусть *р - непрерывно дифференцируемая вещественная фун-
функция вещественного аргумента, такая, что V/YJ ~ 1 • если
)Н< { , ^C-tj-О , если Ж>/ ; пустьо:о€Л ,
3C»'C О и ки~ J~xB ( п € ~А^ ). Определим, для каждого
т^Л" , отображение Jff^ >'Х—*£'следующим образом. Если
существует и С -^. такое, что А7 ^йп и Pofa-* hJ<^j^ .
51

го полагаем jff^j = f(V-2 н(/>с(х-^//)^„{х.^ ; в противном
случае ^(x)~Q i здесь sf^- и р„ - те же, что и в примере 1
§ 5. Тогда ^_^_f о в C/Xjy i однако в этом
пространстве не существует такой функции з£ , что Ж ~£*-^
2. Отображение взятия композиции
Всюду ниже через сот обозначается отображение взятия
композиции: £(Xt У) X ?(Yt z/.~* ^(А ZJ >
В следующих двух теоремах через р обозначается некоторое
натуральное число и через j - неотрицательное целое число.
Теорема 3. Пусть X • Y * Z ~ ^^» причем^ локально вн-
пукло. Тогда сужение С. отображения сот на пространство
руеио как отображение этого пространства в пространство Смв ( zil\
~ у » *° оужение С, отображения C«j/« на про-
пространство С * (>С К/ X С %Р + TY ^ Р Ра8 /"/-Дифферен-
/"/-Дифференцируемо как отображение этого пространства в пространство С (Х^
при этом, если ъ € {%~2,... р) *•
в первом случае - ty tf), D/X -^К,А)с
е С** \Х YJ X С S *Р(У 2 ) "■ - во втором случае -
то -' в"еотвотвенннх обозначе-
)
Теорема 3 . Пуоть X » У > 2^ - ТЮ, причем ^ локально
выпукло. Тогда оукенме Х2_ отображения сот на пространство
с v '. ' с v. I/ ■?= J оеквенпиально нвпрарнвио ■
Р до ?-дифференцируемо как отображение этою пространства в
пространство Q(X Zj • еоли V удовлетворяет уоловмв (Ag) из
предлохенмя 2 ib. 2 § 2, то^тиение Су отображения со/» на
дрос*ранотво С£ (ХУ)* С^+р +/(*Yy Z) овквенцжальио иепре-
рнвно- и р раз -г -дифференцируемо как отображевке агого прос-
пространства в пространство Cj> (X,Zj ; при этом, «слм 1€{£Л,... />}
или - во втором олучае -
fr *J<X)€ c*(x. У)х су+'С.
to лая <' = ^ Ч оправеддкво равенотво A) кв предндущей теорема.

Корректность утверждений обеих теорем (т.е. то, что образы отобра-
жений С^ принадлежат соответствующем пространствам) вытекает из
теорема 2 § 3. Доказательство днфференцируемости проведем лишь для
отображения С» ; доказательство дифференцируемости отображения
С« совершенно аналогично, соответствующие доказательства для ото
бражений С. , С, даже проще. Прежде воего, секвенциальная непре
рнвнооть Су вытекает из теоремы 2 § 3.
Лемма 1. Цуоть Хе i Уо - МП, 2" ~ *ВП» пРичвм Ye удов
летворяет условию (Ад). Пусть, далее, £ - линейное подпространс
тво пространотва Q (%,,YJ * f~€ £sCYo,Zo)> пРичем F"
(вовду) дважды 4 -дифференцируемо, и отображение _/" является
ограниченным). Определим отображение /»■»' L —* С# (X )
следующем образом: если Y> € L • '° Рш (fjOi) /fefa
Тогда /^ всюду ^ -дифференцируемо, и, для у?
Доказательство. Прежде всего, из ограниченности и секвенциа-
секвенциальной непрерывности отображения^ !-»/~^/ Ye~~> *f£{Yo, Zo)'
в силу_уоловия (А2), наложенного на \в , вытекает, что еоли
f €" CJ (X У ) ' то о?0*5?8*68116 -& •""* С* '—*
*-*>р>(?(я.)\$(ъс))\ » L.—» С£(Д, Ну корректно определе-
определено и непрерывно. Пусть теперь f CL » /^«J - ограниченная
пооледовательиооть злементов X , {'ъЛ- ограниченная последова-
{
тельность элементов L и {^п} ~ сходящаяся к нулю последова-
последовательность чисел из £ \f0] Tcr»a ^Г1
Из ограниченности последовательностей (-пЛ и (*„} выте-
вытекает - при всяком выборе последовательностей (Хп\ и {&Л чи"
сел из отрезка Г О 1 ~[ - ограниченность (в V ) последовате-
льностей ir(xnj+\hQhtn>ftCcn)\ и ^
►(? , отсюда следует, что для таких {XJ и
в 2 ПРИ л >«>-= i но это означает, что
при h—*•-> в С^(Х,г?) » т-е. что отображение /^ -^-диф-
-^-дифференцируемо в точке у? , и справедливо равенство B). Лемма до-
доказана.
53

Из леммы 1 почти непосредственно вытекает, что отображение
Су один раз 4 -дифференцируемо для S = О . Действительно,
эта лемма утверждает, что отображение Су в зтом случае -^-диффе-
-^-дифференцируемо по подпространству_С|>('Х,^ ' кРоме т°го, линейность
I непрерывность отображения С£ CXz£)~5*t * * Vе ^Q)
, означает, что отображение (* £ -ди-
-дифференцируемо и по подпространству (-#_(\ £) ; поэтому, из сек-
секвенциальной непрерввности отображения C
А (Ь( > и) С
А Ь и), 4ф)),U$Z
**Q?t, %.)]—*"•* "if/1 (являющейся следствием того, что простран-
отю у удовлетворяет условию (А2), н силу теоремы 4 ' § 4 вытекает,
что отображение Су *€ -дифференцируемо, и (для соответствующих
•мчений аргументов) л ,, ,, . , . А ,,
(С*У(я $)Ы, £)= * Of-JJ + /'GOJUOJ' о)
Пусть теперь $ ^ / . Пользуясь леммой 6 § 3, нетрудно
установить, что (линейное) отображение С*(X VJ*
— Ч(Х Н « 4) <- /v *4ШШ
секвенциально непреры-
вю при фиксированных 9 , -if- из соответствующих пространств.
Зоотому для доказательства -/-дифференцируемости С^ и равенства
A) достаточно установить, что если -яп , JL € С s Q( \) >
if^^£ fj^5^ 2) ( * €~4^ )• причем последонате-
ЛМооти fii] и /^"/ограничены в соответствующих пространствах,
те - в естественных обозначениях -
еоя. *л—0 , ■€„ €е\{0] ;мя пою, в
O1OD очередь, достаточно показать (в силу уже установленного с.оот-
■океиия C)), что^для каждого /■ € ft-2, ,.., sf , последователь-
■ость / - х -/-производных функций
сходится к некоторой функции (определенной на J( и принимающей
значения ъ^£(Х 2) ) равномерно на ограниченных множествах из
X . поскольку/в оилу теоремы 2;§ 5 и соотношения C), эта '
функция будет тогда тождественно равна нулю.
Последнее утверждение будет доказано, если удастся устано-
установить, что (для каждого из указанных /' ) функция ^ '. (о -)fj
4>t->)'-? QCK у) х с; *(хвн m <' (х 2j)
54

^-дифференцируема; при этом автоматически - снова в силу теоремы
2 § 5 - ^-производная этой функции в точке (^а jffj при прира-
приращении (*£ J^J будет функцией, равной / - Й производной функции,
стоящей в правой части C).
В силу теоремы 2 § 3, ф представляет собой сумму некото-
некоторого (конечного) семейства отображений; каждое из отображений этого
семейства задается натуральными числами «. £Гр^-^. .v j') и /tf
'■•,h./ Ht+.:.+t?a =jl ; отображение, заданное эти-
этими чиолами, определяется так:
Обозначим это последнее^отображение через М7 ; т.о., все сводится
к доказательству его ^„-дифференцируемооти.
ич£;оо£?0{4
о?0{4
-отображение t( в э££ (.X 2J ,
4) fC*fy) @)'^М
определяемое так: ^fy% .p) ffy) (^0),. ^М
В силу леммы 5 § 3, отображение /Г (бесконечно) ^ -дифференци-
-дифференциилу м 5 § , р /Г () ^
руемо по подпространству ^"'(^уух ,,, Х^^3(К У)
двукратной *& -дифференцируемости отображения jtf:Y *
■—*^J^(\ 2) и секвенциальной непрерывности и ограниченности его
(первый двух) производных внтдкает, что производная отображения _
14,4 по подпространству ^J1* (X, Yjx... X j?£t (X, У) *$-
дифференцируема по подпространству 'Y и что само отображение Гц*»
дважды ^-дифференцируемо по подпространотву У ; при этом^снова
в силу леммы 5 § 3, «я -производная отображения F..^ по подпрост-
ранству у Я-ЪифференчируенА rtStCj4Q(YpfjLffiAfbGe перечисленные
производные секвенциально непрерывны как отображения в соответству-
соответствующих пространствах. Из перечисленных свойств отображения fujf- выте-
вытекает, в силу теоремы 4 § 4, что это отображение дважды ^-диффе-
^-дифференцируемо; наконец, из того, что значения двух первых производных
отображения jf v ограничены на ограниченных множествах, вытекает,
что аналогичным свойством обладают и первые две производные отобра-
отображения /w (чтобы это заметить, следует воспользоваться явным
видом этих производных; этот явный вид устанавливается при помощи
леммы 5 ' § 3).
_ Из сказанного в последней фразе вытекает, что отображение *р
-^-дифференцируемо по подпространству Cs(Xj Y/ •
Действительно, если Л?£ Cs+-2(X^y » т0 отоEРаяение
а, н-* Ч^^ jf/ представляет собой композицию двух^ото-
бражений: £j щ yj A_ C^HK Uj^&CjQtf'fo.Z)) ''
55

здесь _Л= & - О 0), / '*'>(• Л • • v /
символ (')* определен в лемме 1.
^Отображение _Л_ линейно и непрерывно, а потому (бесконеч-
(бесконечно) Ji -дифференцируемо; в силу леммы 1. отображение vufl*
также 4> -дифференцируемо; поэтому, в силу теоремы 1 § 3, отобра-
жение р i-> yfc tfj также jg -дифференцируемо. Поскольку qjo-
бражение <у линейно и непрерывно по второму аргументу, оно -4 -
дифференцируемо и по подпространству CJ+-2 (\ 2:} ; ив условия
(До), наложенного на пространство V вытекает, как легко видеть,
ч?о отображение fa{)j~* %(f.'*). QfX, У) X $*<*(У£
-*А (с<*(х. V* Я ^ У, с$ (X %О( $) (^Ш^Щ
секвенциально непрерывно,- т.о., в силу теоремы 4* § 4, отображение
V -^ -дифференцируемо.
Итак, доказано, что отображение Су (один pas) 1^-диффе*
рвицируемо при всяком S к что для z = / справедливо -равенс-
-равенство A).
Пусть теперь р ^ 2. * f & (^'2-,...,р-1) и предпо-
предположим, что уже доказано,_что отображение _
Cs, i Cj (X Y) -у Cj ^*(\2) -» Cj (X 2-)
J раз ^-дифференцируемо, причем для * •=■/' и соответствующих
значений аргументов справедливо равенство A) из теоремы 3; докажем,
что тогда все сказанное верно'и для / + •/ • Достаточно показать,
что отражение Qf \ Ц (X, У) х ^ /Y j
В доказательстве ^ -дифференцируемости каждого из отображе-
отображений Qt-.« отображения С^ используется то, что утверждение теоре-
мн уже доказано для р- 7 .
Именно, отображение С, можно представить как композицию
56

следующих отображений: С/ (X, У) X £/ тр+ *(Х
--с; г*, YJ ^'+Y )%ф
4 -дифференцируемооть первого из них очевидна, 4 -дифференциру-
-дифференцируемое» второго вытекает из уже доказанной части теоремы.
Пусть теперь £€{^2-,..-,/'} и ^.-фиксированный элемент
пространства С.»%*р** (У Z> Тогда отображение §
£ -дифференцируемо по уже, доказанной части теоремы. Но это зна-
значит, что отображение Q -ЧР -дифференцируемо как отображение в
пространство, совпадающее по запасу элементов с
4 (с} (KYj*c*+p* <XY. 2), с * (К Z)) •
но наделенное топологией поточечной сходимости. Отсюда, в силу тео-
теоремы А* § 4, вытекает, что -/-дифференцируемо и отображение Q.t'
(при проверке выполнения одного из условий этой теоремы - непрерыв-
непрерывности соответствующей производной - используется условие (Aj>).
Доказательство теоремы з' закончено.
3. Экспоненциальный закон для пространотв гладких охображений
Пусть, для каждого Т1П X > fi(X) - некоторое множество
ограниченных подмножеств X • Буде*« говорить, что для ft -диффе-
-дифференцируемых отображений Ш X и У справедлив экспоненциальный
закон, если, каково бы ни было 1ВП 7 > отображение
(9) /»— с*
представляет собой изоморфизм
Такое название объясняется тем, что это отображение задает и
изоморфизм 2f*xY Ha (Z.^)X •
Теорема 4. Экспоненциальный закон справедлив для с -диффе-
-дифференцируемых отображений произвольных Т1П и для ^-дифференцируе-
^-дифференцируемых отображений Т1П, удовлетворяющих условию (А2) (из предложения
2 п. 2 § 2).
Доказательство. То, что образ при отображении £9) всякой фу-
функции из £~(Х*У, Z) содержится в С~ (X, C^CY, Zj)
(для локально выпуклого £ и произвольных Т1П X , V ) уста-
устанавливается при помощи теоремы о средвем(следсше1л.|§ 4); при про-
57

верке того, что всякая функция из втогого пространства являетоя об-
образом некоторой функции из первого, используется теорема 4 ' § 4.
Т.о., отображение (9) представляет собой изоморфизм линейного
пространства С~ (X *Y, 2/ на пространство £~Q(t C~(X jjf JJ»
то, что как этот изоморфизм, так и отображение, ему обратное, неп-
рернвны, немедленно вытекает из определения топологий соответству-
соответствующих пространств. Т.о., первая часть теоремы 4 доказана.
Пусть теперь для каждого Т1П "£ , удовлетворяющего условию
А,, и каждого ТЛП 7 символ С^> Q? 25? ) о<5о8Начает простран-
пространство С.Т'С'Т*^ 7 \ ? наделенвое инвариантной относительно сдви-
ство С(^ ^Г ) i наделенвое инвариантной относительно сдви
гов топологией/опр'еделяемоа соотношением /у>А C~Z> С"? Н )
^ V, €{о, и,...) f <*Ч Ц<&.i/(z\% J '
то, что это определе-
вие корректно, следует из того, что, в силу условия (Ag), прострав-
ctBaaj?^ С^7, Що)'л <£*С^-*<*> ^^совпадают - как линейные прост-
пространства - при каждом К ). Обозначим, далее, через C^>E(xYi?J
множество (наделенное индуцированной топологией) всех тех функций
jf из C^f (X*Yt2-)> для которых множество fjf) ограничено в
ТЛГ С^ (^хY, 2) (трвниченное подмножество Т1Г определяется
так же, как и ограниченное подмножествоJin). Аналогичный смысл
идот и используемые ниже обозначения (L* (V p-) и
Поскольку, в силу теоремы 1 работы /7/, всякое бесконечно с -
дифференцируемое отображение всякого ТЛП, удовлетворяющего условию
(Ао), в произвольное ДШП, беоконечно *& -дифференцируемо, имеют
несго^ следующие изоморфизмы_линейных пространств:
г)) пхг)№?
(равенство в скобках во второй строке нытекает из теоремы 4' § 4).
Но, в силу уже доказанного первого утверждения теоремы, прос-
пространства, отоящие в левых чаотях. этих двух соотношений, изоморфны
как линейвые пространотва (причем изоморфизм определяется соотноше-
соотношением (9)); поэтому то же верно и для пространств, стоящих в правых
частях этих соотношений.
Отсюда, в силу определения топологий пространств
Е) и C-jTCX, C^"CV,2)J , немедленно вы-
вытекает, что отображение (9) являетоя и их изоморфизмом в категории
ТЛД. Теорема доказана.
Замечание. Утверждение, аналогичное теореме 4, справедливо и
для пространств отображений ШШ; при этом роль пространств С^Т/.; •)
58

играют пространства СГГ£ (.-/■) » Роль пространств £%"(< t •) -
пространства С£7(>, . ) , а роль условия (Ag) играет требование
внполнения равенств Х~Х^ ♦ Y = У^
4. Линейные представления эволюционных уравнений в 1ВП
Пусть X - ЛВП, <2Г = С?*(Х, у?/'. Если tf,t2€
то #„ *г ] = f£ € *' (j
SC~t") €a£ Q2. 2) » прячем 3(~fr) определяется так:
S (±)B)(х) = 2'С*)(Q.U) (ос)) (то, что
) £ 7 ' ВЫТекает И8 теоремы 2 § 3, а то, что
й £B 2) ~ И8 теоРемы 3 настоящего параграфа).
В настоящем пункте рассматривается связь между уравнениями
CD x'(-t) = Q Ш(х &JJ и B) яГ^ = - SCi)MJ)
относительно функций, определенных на [а,^~\ и принимающих зна-
значения, соответственно, в X и в 2Г •
Решение второго уравнения обычно называется перныы интегра-
интегралом уравнения A) (см. по этому поводу /8/, /9/). Изучение связи
между уравнениям! A) и B) представляет значительный интерес для
приложений, так как уравнение B), в отличие от уравнения A), ли-
линейно.
Решением задачи Коши для уравнения A) на отрезке С'£о,'£/1»
£в> ^^СЯ/^1 с начальными данными (~до,хс) , где
х„еХ > навивается непрерывная функция j^; С£О/-£Л, облада-
обладающая следующими овойствами ; *${£о)'=э(в; функция^ 'удовлетворя-
ет на jf уравненив A) (это означает, что функция jf диффе-
дифференцируема в каждой ivoMt €(£,$] ж jf'(£)- Q. Ш (-ft (i)j ).
Аналогичные определения примем и для уравнения B).
Теорема 5. Пусть Хс ~ некотоРое подмножество X > секвен-
секвенциальное замыкание которого совпадает с )( . Если, каковы бы ни бы-
были £в£(<1, ЛJ и осв€Д , существует решение задачи Коши для
уравйения A) на отрезке [я, to J с начальными данными (iro ,**) ,
то ни для какого z €. 2 не может существовать более одного ре-
решения задачи Ноши для уравнения B) на отрезке [ct, Л ] с началь-
начальными данными Ся,з-)
Теорема 6. Пусть 2[ „ - подмвожество ■£ , различающее точ-
ки^((это означает, что V эс£Х > Схо ^ О~\.-=5? £3zo€Z.j
га(эсл) ~Ф О ) • Еоли^каковы бы ни были -£0€.(а, 41 °и
Z €.^о » существует решение задачи Коши «ли уравнения B) на
отрезке £>/£«> ]с начальными данными (£.,&с ), то ни для какого
х € X не может существовать более одного решения задачи Коши
59

;ля уравнения A) с начальными данными (a, xj
Обе эти теоремы вытекают из следующей леммы.
Лемма 2. Пусть 4f,-*f€#f , (<*„ -4f)<Z (я, -*)*#,# -
1ве функции, определенные на (af/ Л,) , принимающие значения, соо-
соответственно, в X и в 2 и Удовлетворяющие на (aft ^fYJ , соответ-
соответственно, уравнениям A) и B). Тогда числовая функция у>:£ *—*■
*~* / Ш(^(~£)) дифференцируема на (afJ<4f) и в каждой
точке этого множества ^'("t) =О
Доказательство. В силу теоремы 3 § б, отображение вычисления
) '
(X
Доказательство теорем 5 и б. Пусть а - решение-задачи Коши
для уравнения B) на отрезке [а, -/j с начальными даннями (а, О) •
Для доказательства теоремы 5 достаточно установить, что тогда
у (■£) = О для всехт?^?$ а для этого, в свою очередь, доста-
достаточно показать, что, каковы бы ни были "£.л€.(сс, *#) и jco€)(o ,
f(~t0)(*'o) —О • Пусть J&-- решение задачи Коши для уравнения
A) на отрезке £«, "£„J с начальными данными . Тогда функ-
функция ц/ . ± \-+ p-C-b) ($(-tJ) ,£«, *%]—* Rf неирерывна
на отрезке /}*, т^,] и, в силу леммы 2, обладает в каждой точке ин-
интервала (а1 ±0) равной нулю производной; наконец,
#-Ca)('ff-(<*.)) —О . Поэтому и \у(-'
'•=■ £-(~£о)(-х.о )'SO Теорема 5 доказана.
Пусть теперь Jfy и ^ - два решения задачи Коши для уравнения
A) на отрезке Сл^1 о начальными данными (<х,эса) ( хо€^( ).
Пусть, далее, ~t о €(а, 4) % £ - решение задачи Коши для уравне-
/>.£> не
, о (, ) £ р ур
ния B) на отрезке £*, f;Jc начальными данными ' (^ 2 1 (Ze€,2 '
Тогда определенные на £ау£в] числовые функции u> ; -f- \ ».
обладают.следующими свойствами: они дифференцируема на (a_f oj
(лемма 2) и непрерывны на Q*,to~\; их производные на fa ^J равны
■у»;/ ()(&()) / (Jfa()J± л
Поэтому yf (•£)— Vx(~£) воюду на Q* tt~\ ; в частности,
) 4* Or.)).
Поскольку Zc- произвольный элемент из 2 > отсюда следует, что
jff(t9) - tfjufc)- Теорема 6 доказана."
60

Vqf - его внутренность и у~« — его вамыкание.
Определение. Задача Еоши для уравнения A) (соответственно,
для уравнения B) называется (-£,<*■) - корректной, еоли, каковы бы
ни были -£о€Ей. -4] и °с-е€Х (соответственно, Ве€^ )»
оуществует, притом только одно, решение £ <—* F± "*в (соответстве-
(соответственно, •£ I—♦ Q£ g ) задачи Ноши для уравнения^!) (соответст-
(соответственно, D)) на отг * " " '" ■ "
ответственно (-£о
(соответственно,
всех ft.
("^ ^Jb^Ql * ) бесконечно с -дифференцируемо на множестве
у~% и секвенциально непрерывно на 1^^> . „
Всюду далее, если /? € £^~(Х, X) , чо /f - отобра-
отображение 2f в £? , определяемое так: ^*yy?JA/= у9 ffffsc))
(при f £ £ '.ос € X ). То, что /f*fa] £" 2* • вытекает
ив теоремы 2 § 3; из теоремы 3' § 6 следует, что ^# секвенциально
непрерывно.
Теорема 7. Предположим, что отображение Q_ непрерывно, а
его сужение на (а, *$) бесконечно дифференцируемо. Тогда, если за-
задача Еоши для уравнения A) (Л, л) - корректна, то задача Ноши
для уравнения B) 0я/*&) -корректна. При этом, если рТ
{,(C,i:)€. IQ4. ) - введенные выше отображения, то для каждого
Z€ 2 и каждого ^ГбЛог^-^] функцияV^t I—*~(P^)*%
является решением задачи Еоши для уравнения B) на отрезке Qj- ^Q
с начальными данными (V) £■) .
Доказательство. Единственность решения задачи Ноши для урав-
уравнения B) вытекает из теоремы 5. В силу теорем з' и 4 § 6, из свой-
отв_ отображения (~ti £2.)*^* ^t1 вы5вкает, что отображение
\Га£ —>j? B гО:) Ot 't^t-bfP-f*)** секвенциально неп-
непрерывно на u^jg и бесконечно'"' J -дифференцируемо на tj^; отоюда
следует, в частности, что функция *f непрерывна ва £t, -tf~\ и
vf (<j-J = g . Покажем теперь, что ва f*Ct Л) функция vj/
удовлетворяет уравнению B).

где Qe @,1).
Т.о., еоли £„—"*Q , причем для каждого /7
Аналогично рассматривается и случай, когда "с-*• оп^ £Г, ту '
при этой онова оказывается справедливый равенство C). Но это и
значит, что функция^ удовлетворяет в точке ■£ уравнению B). Тео-
Теорема доказана.
Теорема 8. Предположим, что пространство X удовлетворяет
следующим условиям: (С^) в X существует фундаментальная система
Р абсолютно выпуклых открытых окреотностей Н£ля, такая, что,
если р€ Р , то существует функция Ц>р € C~QXR1 * равная
единице на р и нулю вне.*?/? ; (Со) всякая последовательность
влеиевтов из X > сходящаяся в ослабленной топологии этого прост-
пространства, сходится и в его исходной топвяогии. Тогда, если задача
Коия для уравнения B) (а,-€)- корректна, то задача Нови для урав-
уравнения A) (.-£f л) - корректив.
Доказательство теоремы основано на следующих леммах.
Лемма 3. Пусть ^£рстранство_/\' удовлетворяет уоловию (C2)f
а отображения у ; Щ ^ ()&)
9>ч>4 Щхх (*„ tj >> Pi
обладают следующими овойствамм: A) отображение у бесконечно ди-
дифференцируемо на Iff" к оеквввциадьно непрерывно на IQ^ >
B) каковы бы ни били "£ € Са,^3 л г €^ функция
«Г <—* Q 2l ,l^> -#3—*" *2 является решением задачи
Коши для уравнения B) на отрезке Qtt ij о начальными данными
справедливо равенство Q^- 2" (xl) = 2 СPj. ^J ' Тогда
Ф(ШЛ ССГ(Х>^ • пРиче,н отображение Ф-ЪСГ^ТМ
бесконечно дифференцируемо на V^g, секвенциально непрерывно на
Vagi, каковы бы ви бнли ~t€[at^~[ и хбХ , функг~я
62

у; Т »—* РУ эс , £Яу^"]~*/\ является решением задачи Коши
для уравнения A) с начальными данными (t/oc). '
Доказательство. Если <£€^(Х#1) и (Ъ^*Щ^4 •
то ■£ ° Р£С£ i поэтому,в силу условия (С2), P£€C~O(Xj<
так что ф>( "п~ Ас. C~~(Xfy Аналогично из условия (С2) и сек-
секвенциальной непрерывности отображения Ч^ вытекает секвенциальная
непрерывность отображения Ф . .
Далее, так как, каково бы ни было -с£ *L (X/ J^y(C 2^ ),
отображение (V ^-J \-*£°Р^ , ££",/ —•'З' бесконечно
дифференцируемо/ то, в силу теоремы 4, таково же и отображение
\Г5ехХ^*R1, ((%t\x.) *-*-^.cPjoc ; поэтому, в силу условия
( С2 ), С(Ъ -ЬЫ >->Р£*1 е £Г(Ъ>"-* *Х;Х), _ г
значит, снова по теореме 4, £(e,tjь-+ pj] € СГ (V^ ,С~(/.л)У
Т.о., для окончания доказательства леммы ооталось установить, что
для осеХ функция У. *"•-* /0/"ае , (*,*)—~Х удовлет-
удовлетворяет уравнению A).
•c*te(a,T/ -Тогда
Т.о., если Sh~^O • причем, для каждого
Т + ih € (olx) , то
Аналогично рассматривается и случай, когда
при этом снова оказывается справедливым последнее равенство; но
это и значит, что у удовлетворяет в точке Т уравнению A).
Лемма 3 доказана.
Лемма 4. Если ЖВП X удовлетворяет условию (С^), то для
всякого замкнутого собственного идеала ЛЛ (топологической) алге-
алгебры ^ найдетоя такая точка jc € Л « чг0 {~
#(О
).
Доказательство. Еоли это не так ид- множество элементов
некоторой ^цсодящейоя в X последовательности, то для воякой точ-
точки зк?€ /( найдется функция ^. € ^Z/, такая, fcJ^
63

на некоторой (открытой) окрестности \Г то-
тоПоложим y^ = [х I£f ()J ~] i тогда
чки х • Положим, y^ = [х I—>£fx (xl)J ~] i тогда
?X€Z • причем для всех / € X fx(-^J>0 .Если
{ХГХ> '■ <' - ^-^....,«} " конечное подпокрытие открытого покры-
покрытия f-\f \ компакта % , то функция Vе =J^ v^. (€ ~^/ )
отлична от нуля на_множестве IT— jU V^, J представляющем со-
собой окрестность К . Но в 2Г существует функция \р , равная
единице на /(_ и нулю вне 2/~ • В самом деле, пусть, для каждой
точки х € К 1 ^eL(x) - окрестность точки се , такая,
что 1Г*(Х)-Х £ Р и 2VeC(x)+x <=■ У
Выберем из семейотва / Vе(х.) ! зс € X J конечное подсемейство
AГ(х^) \ l'~ Z-2,..., аг} ! образующее покрытие множества J(,1
положим ^= /- Ду С/- v^^ Wvt*<) ~ Фикция из 2 •
равная единице на множестве у(ас() и нулю вне 2AГ(ж())*Х() •
Тогда функция Y обладает требуемыми свойствами. Положим теперь
-.A
О , еоли
Тогда ff €ZC и, значит, ^у £ ^£ , причем
$( на некоторой окрестнооти /f' . Отсюда и из
•амкнутости UX вытекает, что функция, тождественно равная едини-
единице, содержится в ЛЛ и, значит, ^(Л = 2. • ?емма 4 Доказана.
Лемма 5. Множество >МЖ<> ■= {jtf £ 2? ) -jf^**) ~ &)
( хе^Х ) представляет собой замкнутый максимальный идеал.
Доказательство. Замкнутость множества ^Cf^ очевидна. Пусть
теперь,/ £ *МХе ; тогда £ •-» / - &0*))(%Фь)Г'~]£ -Z4e
и, значит, функция, тождественно равная единице, содержится во вся-
всяком идеале, оодержащеи jf и ~-^(* ; это и значит, что идеал
максимален.
Лемма б. Пусть X » Y ~ тп и_ ^ ~ непрерывный ненулевой
гомоморфизм алгебры 2Г в алгебру С~(\Ц К причем простран-
пространства^ и Y удовлетворяют условию (С^) теоремы 2. Тогда оуществу-
вт такое отображение £ .' Y"~*X » что ^"^^ — Р"$
оказательство. Пусть р. € Л4 , ~Uy. — {■# € С^ТУ/PJ5|
jO] и ^Cl ■= /^"^(iUJyj. Множество ЛЛ является ма-
максимальным идеалом в 2^ ; этот идеал, в силу непрерывности F ,
замкнут а, в оилу того, что F - ненулевой гомоморфизм»^^^.
Поэтому существует (единственная, в оилу максимальности^^) точ-
точка х <Х , такая, что Ul= (jf € J? ,-#&)=$
таким образом, равенство S(y.J = ос однозначно определяет ото-
вражение Y —*Х » ^я которого /""•«. -= f °S - Лемма 6
доказана.
64

Доказательство теоремы 8. В силу леммы 3 для доказательства
теоремы достаточно установить существование отображения ф с
описанными в этой лемме свойствами. Пусть ("f, t) € Z
л Zt> 2г - Две функции иг 2Г • To™a Q.% af • Q
Действительно, если х€л и ± фг , то e/_
«,
M
так что функция  >-*■ Qf Zf Q^ ^ является решением задачи Еоши
для уравнения B) ва отрезке /jTy-^J с вачалышми данными («Г, ^-
Но таким решением является и функци}$»ф^ (*<га) • т«0«> ,t*
Q£ 2 Q^2 d$ ( ) т0 О1о<3ражение^^пр
ставляет собой (непрерывный) гомоморфизм алгебры 2 в себя и
окончания доказательства теоремы 8 достаточно воопользоватьоя лем-
леммой 6.
Упражнения
1) Показать, что если )( и Y - ЕШ, то
(iY)
здесь V - окреотносп нуля в Y • U - окрестность точки эс
в X
2) Покавать, что, еслж X и Y ~ ш* то
3} Пусть X и Y - ШП- Tor«a ^нМ^^-^ни (У-,411) •
4) Если X и Y - П1П и .£ - линейное отображение д в У ,
то -^ €j!?CXt \) в том и только в том случае, если *£€^($ Y)-
5) Показать, что существуют локально выпуклые пространства
X , Y и 2' такие, что отображение jff(X У]х^(У,2]
-*J?f(Xy2-)t (^'*?)*-+£'# не является MB «*»-
лни (хотя, как показано в § 3, оно являетоя J? - малым.
6) Пуоть X - множество, У - коммутативная псевдотопологи-
псевдотопологическая группа, у - некоторое множество фильтров в )f , Iе -
множество воех фильтров в X > каждый из которых мажорирует некото-
некоторый фм»$ ив Ч" . Тогда водвдоговадогяи ^V(X Vz ^v (К >■'
65

совпадают.
7) Пусть X ~ Т^1"' Элемент X € X называетоя ограниче-
ограниченный, если ограничено множество /Х1 • Показать, что множество
всех ограниченных элементов X представляет собой линейное под-
подпространство X , причем топология, заимствованная из \ , прев-
превращает его в Т1П. Аналогичное утверждение верно и для ПЕР.
8) Пусть X и V - ШШ, у - множество фильтров в X • №я
того, чтобы ПЕГ а^ц, (Х/ У) представляла собой ПЛП, необходимо и
достаточно, чтобы все фильтры множества f бнли квазиограничены.
9) Пусть,для каждой пары МП X , Y, %(Х,У) и ^(Х-У) -
псевдотопологии в £"(Х, У) • Ьудем говорить, что *Cf - днфференци-
руемость сильнее Т -дифференцируемости, если, каковы бы ни были
ШШ X и Y и натуральное число п , воякое к раз ^-дифферен-
^-дифференцируемое в данной точке отображение X в Y П Раз "^-диффе-
"^-дифференцируемо в этой точке. Показать, что, если «г:,-дифференцируемость
сильнее ^-дифференцируемости и jf - <с1 (а потому и *Г^ -)-
дифференцируемое в данной точке отображение X в У , то СГ/- и
Т^ - производные в этой точке совпадают.
10) Показать, что, если для каждой пары ШШ X » Y ^
мажорирует псевдотопологиш Чл (X,Y)> г0 %-дифференцируемоеть
сильнее ^-дифференцируелвости (обратное неверно).
И) Будем говорить, что в ТДГП X справедлива теорема о
дифференцируемости обратной функции, если, каковы бы ни были точка
х 6 X и взаимнооднозначное отображение ■jf)X~~*'X , из^ —
дифференцируемости Jjf в точке ос и непрерывности jf ~'в точке
jf(x) следует (при условии, что $ (х) - линейный гомеомор-
гомеоморфизм), что J? -^-дифференцируемо в точке jf(x) (при этом, в
силу теореш 1 § 3, (jf ~') '(#(*)) = (jf '(*))''
Показать, что для справедливости в 1ВП X теоремы о диффе-
дифференцируемости обратной функции необходимо и достаточно, чтобы X
удовлетворяло следующему условию: для всякой последовательности
{ак I отличных от нуля элементов из X • сходящейся в X к НУ-
ло, существует такая последовательность -[Х/Л вещественных чисел,
что последовательность {Х/Л ограничена, но не сходится к нулю
/6/.
12) Показать, что. если X ненормируемое метризуемое 1ВП,
то существует гомеоморфизм jf пространства X на себя, облада-
обладавший следующими свойствами: $@) =0 » отображение^ j>-
ДЕфференцируемо в точке_^? ; -ff'(O) - линейный гомеоморфизм X
на X i отображение ^ не дифференцируемо в точке 0 даже по
оистеме компактных множеств (Ю.И.Простов).
13) Пусть X - ТЛП, являющееся пространством Фреше - Урысона,
У - произвольное Т1П положительной размерности, * - отображение
66

X в Y • Вытекает ли из ^-дифферевцируемооти^в данной точке
его FB -дифференцируемость (в этой точке).(Ответ неизвестен).
14) Показать, что существуют такие ДШП X и V , что ото-
бражение Z/ (X * \) У £ ГУ, 2) -+£4 (X, Z) • (J#)
I—"> д. о j£ • не является непрерывным ни в одной точке
(хотя оно всегда всюду ^-дифференцируемо).
15) Показать, что сущеотвуют такие ЛВП /( а у , 2 >
что отображение £< (Ху У) X 1^ ( У, *Z) -» «4 (X, Zj •
('V'9') '—* ^ "if не я^5161011 непрерывным ни в одной точ-
точке (хотя, оно всегда всюду бесконечно *б -дифференцируемо).
16) Показать, что для некоторых ЛВП X ■> У • 'Z, отоб-
ражение ^ У) * £* (YZ)^^(X 2), (J,,) ^
i—» # o]f всюду один раз -5 -дифференцируемо, но
не является дважды -/ -дифференцируемни ни в одной точке (хотя и
является всюду бесконечно ^-дифференцируемым).
17) Показать, что если у - локально выпуклое ШШ, X ~
произвольное ШШ и у - семейство фильтров в X » то пространс-
пространство ^/ (X У) также локально выпукло.
18) Бели X - локально выпуклое ШШ, то и Х^ таково же.
19) Если X ~ локально выпуклое ШШ, то и воякое его пое-
вдотопологическое линейное подпространство локально выпукло.
20) Показать, что, если Д - произвольное, а У - лока-
локально выпуклое ШШ, то и <£щ, (Х,У/ локально выпукло.
21) Пусть X » Y > 2* ~ ™- Будем говорить, что отобра-
отображение j^ ; X ~* У обладает в точке зсебХ ограниченным
■б -разложением /7-го порядка ( /7 6 ^V )» если оущеотвуют
t£^ €&j(XfY) и, для каждого с € A,2.,,,.> п\ > та«ое
отображение Ч^ ^ ^J*(X, У}> что для каждого ^f из некоторой
окрестности нуля*^/ в V справедливо равенство ^(^-о + ■&.)-
-*(*■•)=£, <£. «■ ■ - *) + < <*Т - ■
Показать, что .если J& 'Х~^"У обладает ограниченным -^-раз-
-^-разложением и - *<> порядка и точке ас0, a g ; У —*>2^ обладает
ограниченным -в -разложением П -ого порядка в точке jf (эсе) , то
композиция а. о ff обладает ограниченным разложением /7-го по-
порядка в точке хо . Сформулировать и доказать аналогичные утверж-
утверждения для MB ' F В ,с. , ■£ ис -разложений.
22) Пуоть X и У - Т1П и V - окрестность нуля в^ .
Предположим, что в каждой точке х € V отображение^,' X~*У
обладает ограниченным -о -разложением /7-го порядка, причем, для
каждого допустимого с , отображение х i—»-£^ »X~*rid^ (X,Y)
секвенциально непрерывно, а отображение
67

непрерывно в точке О > то отображение $ П pas -в -дифферен-
-дифференцируемо, и для каждого {€{/;£_,...,п} jjf( }(х)- -С^ .
23) Пусть X и У " шп» причем л удовлетворяет условию
1А2) из предложения 2 п. 2 § 2. Пуоть, далее, у - открытая
чаоть X > ЭСо € V ъ ц/ - отображение у ву . Показать,
что если для всякого -£бУ' функция -£ву w раз («■»/ )
С -дифференцируемо на V и п + / раз с -дифференцируема
на и раз -дифференцируема в_точке хс , причем
Y секвенциально полно, то V п раз *# -дифференцируема
в точке х0 .
34) Показать, что оуществует всюду с -дифференцируемое ото-
отображение^ сепарабельного гильбертова пространства Н в себя,
обладающее следующими свойствами: A) фСО) "=-0 ; B)^р не
является <& -дифференцируемым в нуле; C) каково бы ни было ■& -
дифференцируемое в точке О отображение у ,' )( ■—*•/? ' t компо-
8иция \р о jtf ■£ -дифференцируема в нуле; т.о., в упр. 23 заме-
заменить h + 1 на н нельзя. (Пусть {-eh} - ортонормированный ба-
эис в Н и)?непрерывно дифференцируемая вещеотвевная функцкя веще-
вещественная функция вещественного аргумента, такая, что y>(-t)- О *
если t^i. или t& £ и f{^)~/ ; для каждого
а е Н положим 4(*)=%2-«гB«(ъ*к)ит • '•
отображение ж обладает овойствами A)-C)).
25) Покавать, что. если X й Y ~ банаховы пространства,
пршчеи у полно и сепарабельно, to отображение jf : X—*Y c"
дифференцируемо в точке xfX в том и только в том случае, еоли, ка-
какова бв ни была с-дифференцируемая в точке ^(^с^^ункцйЬ^ ,
отображение у>»У с -дифференцируемо в точке хо . (Достаточ-
во установить следующее утверждение. Пусть {-£,,}- последовате-
последовательность элементов нормированного пространства £ , не содержащая
вахакой сходящейся подпоследовательности. Тогда существует отобра-
отображение г в Яс (X, У) • такое« что t~\(th-A^)-h^O для
некоторой оходящейся к нулю числовой последовательности ft»}
Раосмотрим случай, когда последовательность {■£„} ограниче-
ограничена. При этом оуществует такая слабо сходящаяся последовательность
($»} элементов В' • что ■$?>(■£„)-=10/*)- Еоли функция у» -
та же, что и в упр. 24, то для достаточно быстро убывающей числовой
последовательности {anj ряд JE < Р& &lQ.). . . y>fe3f<f(
сходится в каждой точке х€Х и его оумма определяет отобра-
отображение г с нужными свойствами.
68

26) Пуоть X — Ц2 , Т - пространство всех измеримых па
Лебег; вещественных .функций на R2 с топологией сходимости по мере,
Тс - множество всех функций из Т , почти вводу равннх нулю и
Zf - факторпространство Т/1. • Тогда существует отображение
Jff: X—* Ij *• обладающее следующими свойствами: A) э& всюду
дважды /-дифференцируемо; B) отображение Ff, £ )l~J*jf"(oM/
антиоимметрично. * г
(Пуоть у : R *-*R* - финитная бесконечно дифференцируемая
функция, обладающая^ледующвмм овойствамм: >f(Oj—i \y>(t) =0,
если (±(>/ ;Jf f(t-K)~ 1 для всех-6 € уР/
пусть, далее, функция ц/ ; [Ь,<»~)~+Р* определяется так: ц/(•£)—
± (tyiod 2.1Г) . Обозначив через (z^O) полярвие коордИт
ваты ва Яz ( O^Q^J>1T , О ^г^**- )» определвм отоб-
ражение^ f\R* -*Tf равенотвом: tf(ro, 9B) =£(% в)»—►
t-*^/^y(кйе -ea)Y>(tzz-kJ •тогда / облада-
ет свойотвами A) и B)).
27) Пусть Х- " сепарабельвое пространство Фрвие, )('- его
сопряженное, OL - наименьшая & - алгебра подмножеств X « от-
относительно которой измеримы все функционалы, являющиеоя элементами
X' • Мерой ва (X Ol) называется счетиоаддитиввая функция, оп-
определенная ва ОТ. и принимающая значения, в R' . Пусть 7П -
некоторое линейное пространство мер на (X 01/ , ^С - тополо-
топология в 7Т1 , согласующаяся с линейной структурой этого пространст-
пространства и такая, что для каждого ^ € X отображение /л i—'•/^^
( {*($)/* (Я~¥'&) ) представляет собой гомеоморфизм
(?П,<с) • Мера /\ € 7П йазннается^?^дифферен-
по направлению J{ £Х •> воли сущеотвует такая мера
7К , «о тГ'^-^Н^и GП,*)-
Пуоть С" - пространство воех непрерывных ограниченных функ-
функций /V~*/C^ > С**"- его подпространство, соотоящее из всех
бесконечно с -дифференцируемых функций, все производные которых
непрерывны и ограничены (в пространствах *£%(Х; R1 ) )•
Пусть f71o - пространство воех мер на (X (Ж)- Билинейная
форма (tf,p)> — L $ч//л приводит пространства 7flo и
С**, а также 7У\О и С в двойственность; пусть С^ i fo -
топологии в 7У1О , определяемые этой двойстевнсстью; пусть, далее,
^Су - топология в Р71О , определяемая нормой на ?7?о , равной
вариации меры.
а) Показать, что если мера /л 6 171О(ТУ10^О}- дифференци-
дифференцируема по направлению -п €X , причем мера с/,м абсолютно неп-
непрерывна относительно yw , то рл к /р77в €"„-)- дифференцируема
69

по направлению ^ . Если топология в X может быть задана оемей-
ством гильбертовых норм, то сказанное останется верный, если символ
*СО заменить символом "ZTe-p
б) Показать, что для того- чтобы мера /*€?71О была(^7^
дифференцируема по направлению -п€ X > достаточно, чтобы
V#-€C. функция -Ь^ $(*+Ы)?№*.).■ к*-*/?*
была дважды дифференцируема в нуле.
Дополнение 1. Дифференцируемые меры
Это дополнение представляет собой очерк основных понятий тео-
теории дифференцируемых мер. Здесь, в частности, доказываются утверж-
утверждения, сформулированные в упражнении 27.(Терминология дополнения
отличается от терминологии этого упражнения). Впервые дифференциру-
дифференцируемые меры были введены в /16/. Сейчас теория дифференцируемых мер
постепенно становится обычным орудием анализа. Случайные процессы
с бесконечномерным фазовым пространством, квантовая механика с бес-
бесконечным числом степеней свободы, нелинейные уравнения С частными
производными - вот неполный перечень тех областей, где оказываютоя
полезными язык и методы этой теории.
Если $ - множество и 01 - некоторая алгебра его подмножеств,
то мерой на (SjdJназывается функция /* , определенная на QI »
принимающая значения в некотором линейном пространстве и удовлетво-
удовлетворяющая следующему условию аддитивности: если/£,..., $- элементы
01, причем /?cflfii^z0 npit'^/ , то /^(l4i 4C )~^h^ •
Всюду ниже Д - линейное пространство, )('- его линейное подпрост-
подпространство и ОХ- алгебра подмножеств X » инвариантная относительно
сдвигов на элементы из ){,. Если^ и J(-ТШ, то предполагается,
что каноническое вложение Х/~Ь'Х непрерывно. Если/* - мера на
(X, 01) и Л €-Xf> го через /<£ обозначается мера на (X,Ol)* оп-
определяемая равенством f*j (/?/=/*$+/$ она называется сдвигом меры
/л на элемент -л •
Пусть ^Ci. - некоторое линейное пространство мер на (д Ot}00
значениями в линейном пространстве У , «Г - топология в ^(Х > сог-
согласующаяся с линейной структурой этого пространства, причем выпол-
выполнено следующее условие: (OfJ каков бы ни был элемент Л. изХ^су*6-
ние s&^Cf отображения м |-»/Myf представляет собой линейный гомео-
гомеоморфизм (^Uf <с ) на ( ^/Ц) ?) • •
Определение 1. Мера №€иЛ{ называется (y^tft) -дифференци-
-дифференцируемой по направлению yf€ X » если алгебра Ot инвариантна от-
относительно сдвигов на элементы из (одномерного) подпространства,
порожденного вектором -^ , и если ъ~4А существует такая мера у ,
что ~t~f(/*±£'{*)~*'V в (Jjti) при •£ —*-0 - При этом мера у на-
называется (SUt<z) -дифференциалом (первого порядка) меры /а при
70

приращении J> и обозначается одним из символов J , **'(. \р ,
10 I о Л" I
По индукции определяются, для каждого натурального п и каждого
набора yf ,..., -f^ элементов из X/ . ( /7 -кратная) ^Ад^-диф-
ференцируемость меры /* по направлению (-Я^ , ..., -6nj и (Л-'./r) -Диф-
-Дифференциал (/7-го порядка! меры /л при приращении (-ff^. • • •^J
обозначаемый одним из символов д^. ,. А* , с/("''м ~/
Определение 2. Пусть ^ - ТШ. Если мера /^ (v,^Y(rf/-диф-
(v,^Y(rf/-дифференцируема по каждому направлению -^ $Xf и /
f /1 X(M)
у ду р ^ Xf р м :
^f с/м</1/ Xf—>(*Mt'C) линейно и кепрьг-альо, то мера ал
называется (слабо) С^^С^-дифференцируемой по подпространству X/.
а отображение с/м. - ее (^/^-дифференциалом (по подпространству
Д, ). При этом отображение /?h-> \j& *-*f*?(fi)-£] прздставляет
собой меру на (X (К) сс> значениями в пространстве линейных отоб-
отображений X, BV » она оОозначается символом /л и называется (сла-
(слабой) (М.^) -производной меры /л .по подпространству Д ( .
Отметим, что из С^Л,х) -дифференцируемости меры р. ао нап-
направлению Ж. вытекает, что по этому направлена» дифференцируемы и
все сдвиги меры А (на элементы из Xf ); при этом для всякого
*к$Х. справедливо равенство^м *€^ - <^(^^)-^ • Таким
образом, из CUA./C) -дифференцируемости меры /*. ао подпространству
X. вытекает, что отображение -Аи ; J£ \-*> p\£ t X ~*(-^^(сла-
бо/ дифференцируемо в каждой точке. При этом если */£ ii^X ' тс
I %У^^ (здесь у/ -производная
отооражения А» ). В частности, если мера м {
руема по направлению ■£ €Х . то функция vf; ±
дифференцируема в каждой точке, и для каждого
Итак, (^М.^) -дифференциал меры /*• по подпространству X
совпадает со (слабой) производной в точке нуль отображения
Использование этого утверждения в качестве определения позво-
позволяет переформулировать для мер и другие определения производной,
известные для отображений топологических линейных пространств.
Пу-сть/3 - некоторая система подмножеств У, • iviePa /* назы-
называется (<М/и -дифференцируемой /£ -равномерно по подпространству
Xf . если отображение Х~*(М^)-> -Ж^* /* JL ^-дифференци-
^-дифференцируемо в точке нуль. В частности, если в качестве £ взять систему
всех конечных подмножеств X « то А -равномерная (C^Tj-диффе-
ренцируемость будет совпадать с введенной выше слабой ^С^тУ-диф-
ференцируемостью.
Определение 3. Пусть И - натуральное число. Если, каковы бы
71

ни были ft элементов •Af4..., *4h из Xf , мера/t
реяцируена по направлению /б£ ,..., vO* 8СЛИ отображение
И -линейно и вепрернвно, то мера /« называется п раз (слабо)
С дУ-дифференцируемоЙ по подпространству Д , а отображение
у - ее (-^/, 17-дифференциалом h - го порядка (по подпрост-
подпространству X, )• 5РИ "ом отображение ^н-*■ С(^,у^/-^л])~~>
*~~*/* (nJ'*i"'*f, представляет собой меру на (X,Olj"> значения-
значениями в пространстве м -линейных отображений Xf в Y , которая назы-
называется (одабой) h -Й ^^ «^-производной меры /л по подпрост-
подпространству Xf ■ обозначается символом /* . Мера называется (слабо)
бесконечно ^V, тУ-дифференцируемой по подпространству X, • всли'
каково бы ни было натуральное н , она п раз (слабо) £# /
дифференцируема по этому подпространству.
Можно было бы определить высшие производные и дифференциалы
меры {* и иначе. Во-первых, можно было бы назвать п -. м диффере-
дифференциалом меры f* по подпространству X п -к» слабую производную
в точке нуль отображения -£ i—9 рд t X'~> (y^j *) • Во-вторых,
можно было бы воспользоваться индуктивным определением, наделяя,
для каждого п > ~/ , пространство мер на (Xt $.)■> являющихся
tl-i -ми производными мер из (Jtttxr)% некоторой линейной
топологией. В дальнейшем мы не будем рассматривать эти два класса
определений.
Наконец, для каждого из этих трех вариантов можно было бы оп-
определить и "сильные", а также "непрерывные" производные, но мы не
будем здесь этого делать.
Рассмотрим теперь несколько важных частных случаев. Предва-
Предварительно введем еще несколько понятий.
Определение 4./15/. Пусть у - ТЛИ. Мера рь £ ^Ы. называет-
называется дифференцируемой на множестве /? € OZ по направлению -я €X,
? ^ 0 И i
/? € OZ р
если /? +-£^ €01 для всех -£ € И и если прш i: -*■ О
существует предел отношения^~f(/i(#+t<)- p (#]) . Этот предел
называется дифференциалом меры /н при приращении -*^ на множестве
$ и обозначается одним из символов а/р ^(п), , of£pi(fl-), ,
р'D)^ .Мера /* называется (слабо) дифференцируемой на
множестве /} € С1 по подпространству У • если она дифференци-
дифференцируема на множестве $ по каждому напранлению из X, . причем ото-
отображение Л *-*■*//f1 ($)\ Х4 *" г непрерывно.
Для каждого Т1П У через Ttty будет обозначаться пространст-
пространство всех счетноаддитивных мер на ^ (fc) со значениями в Y ; кроме
того, если У - Т1П и sXly- некоторое линейное пространство мер
на (Xt OZ/co значениями в у » то через Т$ обозначается тополо-
72

гня bj/v сходимости на каждом множестве из £7£.
Ес/и Y " ЕШ и если мера/лС^у GП^,1^-дифференциру-
GП^,1^-дифференцируема по направлению -я € X , то она дифференцируема по этому нап-
направлению и на каждом множестве # €61 . Оказывается, что если
ОС - <£ -алгебра, а пространство У локально выпукло, то нерно
а обратное.
Предложение 1. Пусть OL - ^-алгебра подмножеств X . Для
того чтобы мера /* (г 777 у была ^77у,?^-дифференцируема по нап-
направленна -л С а , достаточно (и, как только что было отмечено,
необходимо), чтобы она была дифференцируемой по этому направлению
на каждом множестве /? €. ОС
Это - следствие теоремы Никодима (см. /23/, стр. 176)
Предложение 2. Пусть ОС - £ -алгебра подмножеств X, а
Xf - полурефлексивное локально выпуклое пространство (являющееся
линейным подпространством пространства д ), /* -счетноаддвтивная
числовая мера на (X, Oi) • Если /+ слабо дифференцируема по под-
подпространству X, на каждом множестве /?€61 » 10 ев слабая Т$-
производная по подпространству X. существует и представляет собой
счетвоаддитивную меру на (Х> ОС) со значениями в сильном сопряжен-
сопряженном к пространству X/ (Для того, чтобы вывести это утверждение из
предыдущего, следует воспользоваться теоремой Петтиса /23/).
Теорема 1. ("Теорема о среднем для мер"). Если мера м
*tj -дифференцируема по направлению £ £ X <> причем тополо-
топология <С локально выпукла, то справедливо включение /л* —/* €
€ сТигР {(^Г^)в^' 0<в<$ где co**-(f,J - замкнутая
выпуклая оболочка множестна (,,^ в пространстве (L*6t,T~J •
8 билу теоремы 1 п. 1 § 4, примененной к отображению
\р >, -Ь *—+/%£ , Z^~*(Mtx)■> справедливы соотношения
)
Теорема доказана.
Пусть Oi - £ -алгебра подмножеств X > ТУЬ - множество
всех счетноаддитивннх мер на (X $)•> принимающих вещественные
значения (такие меры далее называются числовыми).
Если /1 €. УИ. , то через |(^»((обозначается мера на Q^ (ftj,
называемая вариацией меры р и, определяемая так: если /?£: (JI >
p (м \ С е 01, с
С е ОС С. с /? \ /
вместо символа \\p\\ (X) °&<чно будет использоваться символ \\/*[\.
Пусть, далее, «Г -топология в7?2 » превращающая ЦП в Т1П, удо-
удовлетворяющая условию COf)** кроме того, следующему условию: (Л
73

единичный map ъGУ1 <£ J замкнут в GУ1 *С) , где "£v- - то-
::ло!'ия в 77L » оаределяеадая нормой /л t-* |/ j+Ц .
Предложение 3 (следствие предложения 1). Если мера М t
('/Л с) -дифференцируема по направлению ■& € X, , то
Предложение 4. Если мера м из ТП, (/^Т^-дифференцируе-
v.a ;,.) направлению -К € Х^ , то для всякого вещественного ~t спра-
спрайт и во неравенство || /*^ -м -£c^t ^ ||^ If ^рГК^/У-^^/}
для доказательства следует применить теорему 1 к отображению
^ ' */"V/f "^«^^ ^ ^—*Г^/Т"У и затем воспользоваться тем,
ч.*) «мИничныИ шар в (У??, 'Г^замкнут в G71^).
Пусть X " ТДШ,7?2*( с ,?7^ ) - пространство всех мер Радона
/12, стр. 15/ на X , Cg(X) - пространство всех вещес-твенных ог-
Iзначенных непрерывных функций на X • Всюду далее предполагается,
ч: 1 линейные пространства Cj>(XJ и 777 ° находятся в двойственно-
двойственности относительно билинейной формы на Cs(X)xW> задаваемой со-
о:чоланием (Jf/^Ji~^'f^t^//i ; при этом через *ч*£ обознача-
обозначается слабая топология в ТП.", определяемая этой двойственностью.
Замечание 2. Если мера f\ € fYl "(^'/«^•дифференцируема по
направлению 1%€Х » то» какова бы ни была функция у€^(Л/
г.; и |f ~~*O существует предел отношения
Меры Радона на гильбертовом пространстне // , для которых
предел (при •£—+0 ) отношения A) существует при
рассматривались А.В.Скороходом в /?Л/; в связи с этим ниже мера
Радова на произвольном топологическим линейном пространстве X Й7"
двт называться С -дифференцируемой по направлению ■£ , если предев
отношения A) (при £ —> О ) существует для каждой функции у из
е(Х)
Следующее предложение непосредственно вытекает из определе-
определений.
Предложение 5. Если пространство (ТТг/'^секвенциально полно,
то для того, чтобы мера А» £777 ° была 'CU -дифференцируема по на-
правлвнмю ^С € X • достаточно, чтобы она была С-дифференцируе-
С-дифференцируема по этому направлению.
8 следующем предложении указываются достаточные условия сек-
секвенциальной полноты пространства GП "Тз(]ш
Предложение 6. Пусть X - замкнутое подпространство произве-
произведения ХС>Лсче1н0Г0 семейства ^(л}локально выпуклых пространств,
причем для каждого [ , Х( ~ стро:гий индуктивный предел последо-
последовательности пространств фреше или if - пространство (определение
74

последнего можно найти, например, на стр. 45 в /12/), обладающее
счетной фундаментальной системой компактных множеств, и пустг /) -
секвенциально предкомпактное подмножество пространства G71* <с ^)
(подмножество топологического линейного или, более общим ооразсьс,
равномерного) пространства называется секвенциально предкокньктвь^,
если из всякой последовательности элементов этого множества v.\».\-->
извлечь фундаментальную подпоследовательность). Тогда для всякого
£>О ъ X существует такое компактное подмножество /f' , чт,
(} ^
(\(} Л
Согласно замечанию после определения 2 на стр. 51 в /12/, i. -
следнее означает, что пространство ^777"о)секвенциально полрс.
Доказательство предложения 6. В силу леммы 8 на стр. 53 в
/12/, можно считать, что Х—Х"- Кроме того, если у - мера i .-
дона на некотором топологическом пространстве 7^> го ее варии"к»
llvll и образ при непрерывном отображении (пространства 7 ) так«<
представляют собой меры Радона. В частности, для каждого натураль-
натурального rt и каждой меры /w € 771° образ /л меры /* при отображв! ,i»i
проектирования рхп >Х~*ХИ представляет собой меру Радона в ^ .
Пусть теперь £ - положительное число. Для доказательства •- -
ществования в X компактного подмножества /^ .такого, что
11/^11 (Х\К)<£ Для всех /* € Р , достаточно показан.
что если множества /^ с таким свойством не существует, то vuaaj'
ся $ > О . последовательность {^»} открытых подмнокесте X
} (АU
д {»} р д
и последовательность l/*n} меР из Р > такие, что (Ак f)U/.
я// (Uf,J>i Для всех /? .
при KtpJ> и J
Действительно, в этом случае, в силу радоновости мер из
для каждого ft найдется такое компактное подмножество С^
что (|• д\й |[ (Ch)>i i но, как показывает лемма 3 на стр. 48 в
это означает, что последовательность (/^Лне может содержать ника-
никакой фундаментальной в топологии *€)& подпоследовательности, вопре-
вопреки предположению о секвенциальной предкомпактности множестваР .
Для доказательства существования такой тройки (&, (ин\,{1рпшяо*ъ
точно, в свою очередь, показать, что существуют такие натуральное
we , S > О , последовательность //*л\ мер из Р и последо-
последовательность {1^}попарно непересекающихся открытых подмножеств
пространства Х„, . что \\р„\\"'(ХГ„)>i( /|/*й|("- образ меры
///Ч«11ПРИ отображении pih 'Х~*'Х.п) Для всех /7 , поскольку
тогда тройка (i, (У*,-Р*£ (V~n}\i{f**l№Vfi'i 0<3лаДать требуемыш
свойствами.
Но если в X не существует компактного подмножества Д ,
для которого неравенство К/*\1(Х \г()<^^ справедливо при всех
/л €. Р ,то существуют Д >0 * натуральное по , такие, что
для каждого компактного подмножества К пространства Хив в Р
75

найдется мера м , для которой' справедливо неравенство
о Ш\'-(Х„.\К)>\. rt
Поканем, что отсюда вытекает существование тройки (о, )
, такой, что &>0 > и,для каждого натурального /? ,/*„ ЕР не-
неоткрытое подмножество X* » Для которого справедливо неравенство
И/% IP ОД>£ причем" Ц(П1£=0-, если А-^ .
Рассмотрим сначала случай, когда У - -^-пространство, об-
обладающее счетной фундаментальной системой компактных подмножеств;
при этом существует возрастающая последовательность Ki^K^Kf^,..
компактных подмножеств Хп » такая, что каждое компактное подмноже-
подмножество пространства Х„в содержится в одном из множеств /(^ . Из ска-
сказанного в первой фразе предыдущего абзаца следует, что для каждого
натурального L в Х„ существует такая мера М/ , что
НГЧ^Л'/ОА
Поскольку каждая из этих мер является мерой Радона, для каждого на-
натурального С в Х„ найдется такое компактное подмножество С. ,
что С'СХ^Й, « IIЛг r*CQj>A.
Пусть теперь fCt' \ - подпоследовательность последовательно-
последовательности (СЛ, состоящая из 'попарно непересекающихся множеств; ее суще-
существование вытекает из того, что всякий компакт пространства Х# со-
содержится в одном из множеств К{ . В силу леммы 2 на стр. 47 рабо-
работы /12/, существует такая последовательность {\%\ попарно непересе-
непересекающихся открытых подмножеств пространства Хпв > что, для каждого
И ,VhZ>Ci^ ; при этом, конечно, Л\^Сп II"° (Ц,)>\ •
Таким образом, тройка ( X » {Ц,) » /д. 1 ) обладает требуе-
мнми свойствами. "•'
Пусть теперь Х„ - строгий ЕадуктивннЙ предел расширяющейся
последовательности £f с; £ С ... пространств фреше. Возможны
два случая.
(а) Для всякого V> Q ■ существует такое натуральное п ,
«о 11/*|1и'СХЛв\ £„)"•< v мя каждой мернуи is P ,
(б) сущеотвует такое У>0 , что, каково бы hi было нату-
натуральное а» , \\^\\П'(Кп0\^ц):>^ мя некоторой меры/«из А
Рассмотрим сначала случай (а). В этом случае из того, что
для каждого компактного подмножества f( пространства Xn<t в Р
■айдется мера /*■ , для которой справедливо неравенство B), выте-
вытекает,, чгс для некоторого ц >О и некоторого натурального^' в
El не существует компактного подмножества C^i , такого* что
если Cjj - множество всех точек из £,■ , расстояние каждой из ко-
которых (в метрике, задающей топологию пространства Ej. ) до множе-
множества С» / не превышает Ч , то
76

(В самом деле, допустим, что такое множество С» / существует
для каждого ^ ~>О и каждого натурального J- и положим, для
каждого^' и каждого /и , ty^ = П^С^я- Множества /?„, облада-
обладают следующими свойствами: A) они 1совдстны (так как они замкнуты и
вполне ограничены).; B) для каждого / и каждого /г?
ПН1"Ч^ \^/rf)<2~t" для всех /*<?/> ; но тогда для в
всякого у>0 в д^ найдется такое компактное множество /С ,
что \\р[["'(ХП9\К)<\' Мяъсех^еР .) nt
Поэтому, а также в силу того, что все меры \\[«.\\ являются ме-
мерами Радона, для некоторого £ существуют такие компактное подмно-
подмножество К пространства Ejt и мера /*f(zP , что ||м,|| "'fij^i
затем такие компактное подмножество /( пространства С, и мера
/*Ле Р , что Kz С £у\ /£*? и * \\рл \\"*(Kx)><i i такие
компактное подмножество К- пространства £> и мера /*? С Р, что
Обозначим для каждого натурального п через i/^ внутрен-
внутренность множества К%/г-\ гогда2^ Р /С^, и, значит, ||д||" fJ
причем 1^ HV^—0 , если *£ Ф i , так что тройка
Г^] Г/) ял
В случае (б) (снова в силу радоновости мер |(м|| a(f*€r )
существуют последовательность (КЛ попарно непересекающихся ком-
компактных подмножеств пространства Хц0 и последовательность {/*Л
мер из ^, такие, что W?*„{{"'(Кh)>V* Khf]En-0 мя
каждого /у •
Из справедливости для каждого /7 последнего равенства выте-
вытекает, что существует последовательность {V^j попарно непересекаю-
непересекающихся открытых подмножеств пространства Хп -» такая, что, для каж-
каждого /7 ,ЩЖ„ и, следовательно,"' П/АЛЦЛ'С^, j >^ •
Доказательство леммы 2 на стр. 47 в /12/ показывает, что для того
чтобы установить это, достаточно показать, что для каждого натура-
натурального С , множество F, — U , /С„ замкнуто в X * • Пусть
X ft г£ и У - такое натуральное число, что х € с./. •
Так как пространство Ej. пересекается лишь с конечным числом мно-
множеств последовательности (К,), в Ej. существует выпуклая открытая
окрестность W/- точки X , замыкание которой яе пересекается с
hi i далее, так как Ei'+/ также пересекается лишь с конечным
чмслом множеств последовательности (/СЛъ. так как £*/ - замкнутое
с Л *
подпространство пространства £/+/, в tj+f существует выпуклое от-
открытое подмножество W/+/ > замыкание которого не .пересекает f, ,
такое, что ^+tf\Ej=\fJ^ (°м. лемму 1 на стр. 88 в /25/); про-
продолжая таким образом, можно установить существование последователь-
последовательности { Wj. '•/&('} » такои» что,каково бы ни было натуральное
77

/' > fi , W^ - выпуклое открытое подмножество пространства £",-,
причем Щ.+1 flfy^J^f и V&/)f?:=z0 » н0 ЭГ0 означает,
что множество VI/— •(/• VJ/> представляет собой окрестность точки
зс в Ц/п , не пересекающуюся с f~. ; но существование такого мно-
множества VV * и означает, что множество /^ замкнуто.
Предложение 6 доказано.
Замечание 3. Предложение 6 вытекает также из теорем 3 и 5 и
леммы 6 § 5 работы /12/. Однако теорема 5 является непосредственным
следствием леммы 7 из того же параграграфа, причем приведенное в
/17/ доказательство последней леммы справедливо лишь в предположе-
предположении неотрицательвосги тех мер, о которых в нем идет речь (это выте-
вытекает кз утверждения, содержащегося в подстрочном примечании в § 1
работн /12/), так что неизвестно, Еерны ли лемма 7 и ее следствие -
теорема 5. Следует подчеркнуть, что все результаты работы /12/,
доказательства которых содержат ссылки на эти утверждения, все же
справедливы, так как в этих доказательствах фактически используется
линь предложение 6 настоящей работы. (Теорема 3 и лемма 6 из § 5
/12/' являются частными случаями этого предложения; в то же время
его доказательство, по существу, получено путем объединения (слегка
измененных) доказательств этих леммы и теоремы.) Сказанное относит-
относится, в частности, к приводимой ниже теореме 3, сформулированной без
докdSательетва на стр. 54 в /12/).
Предложение 7. Если мера/л € ???° дважды{7W?<П*)-Яиффер9в-
цигуеиа по направлению (Л, £J, то она Wff'Ty.)-дифференцируема по
этому направлению.
В силу теоремы 2,
где с•*»U-/..J Т. -замкнуто; поскольку единичный шар в пространстве
GП*, T-yJ замкнут B/"^7/e<rJ, отсюда следует, что (ср. предшкеннеЗ)
\\O**kLj> -efpAW^ \\*1(с/нЛИ\\ - так Ч1° отражение
£-1-*(*//»Аил , ff—* Gnp"cJ-) непрерывно (все встречающие-
:я здесь дифференциалы - это GП*^-дифференциалы). Но, в силу
зреможения Ц J/«"Y/V* V*)-«5*«II**«A Mty^J£/
О <
исида и из непрерывности отображения ~£ \—*(a/fi
! вытекает, что (тп°«^/-дифференциал является и
иадом. Предложение 7 доказано.
Следствие 1. Пусть X ~ ТЛП, являющееся пространством Радою
/12/, стр. 15) 01 - £ -алгебра его борелевских подмножеств,
огда класс счетноаддитивных числовых мер на (X (К)» каждая из
вторых, каково бы ни было И ,/'^??/вС(»/-Диффепенцируема по всякому
управлению -л,, ...,'Лл, образованному элементами из X/ > совпа-
1ет с классом счетноаддитивных числовых мер, *£ц~ -дифференцируемых
3

по каждому такому направлению.
Теорема 2. Пусть X ~ ДВД, удовлетворяющее условиям предложе-
предложения б, 01 - <& -алгебра его борелевских подмножеств. Тогда, для то-
того чтобы счетноаддитивная мера /* ва (X CU была^?5Лдифферен-
цируема по направлению rfcX , достаточно, чтобы функция Увй',
■£ f-» X-jf(x +t-h//*■ (с/х.) йыла дважды дифференцируема в точке^=л
для каждой ограниченной непрерывной вещественной функции ^ на л
(при этом функция М^ будет дважды дифференцируема всюду).
Если Xf - пространство фреше и п - натуральное число, то
для того чтобы счетноаддитивная мера /* была п раз (слабо) Т -
дифференцируема по подпространству У , достаточно, чтобы, какоии
бы ни были ограниченная непрерывная вещественная функция J& на X
и элементы Л ,...■, ^ 6 Xf . функция у2,' (~t1 J,..)'th) i—*
i—♦•/ sjf (x +t^ ■£,+,,-t- £ц-Ян)/* (dx) была ti + i раз диф^е^с;1-
цируема в точке О в обычном смысле (при этом она будет столько же
раз дифференцируема и во всякой другой точке).
Доказательство. Первая часть теоремы вытекает из предложений
5, 6 и 7, вторая часть - из первой части и предложения if, I,S m&i}
Замечание 4. Пусть X - ЛВП, топология которого может быть
■адана векоторым набором гильбертовых полунорм, 01 - <£> -алгебра
?о борелевских подмножеств, С**°Су- линейное пространство всех
граниченных слабо бесконечно дифференцируемых функций на X > все
роизводвые которых непрерывны и ограничены (при этом предполагает-
|я, что пространства линейных отображений, в которых принимают зна-
значения производные, наделяются топологией сходимости на множестве
ограниченных подмножеств). Пространства 7Н* и C~~CXJ приводятся
в двойственность билинейной формой \$>(*/ ~ J JT'^-JpwxJ
Пусть *£^- слабая топология ъЭ71е, определяемая этой двойственно-
двойственностью.
Тогда если счетноаддитивная числовая мера на (/( 01) дваж-
дважды G71 ° Т& ) -дифференцируема по направлению (-я^Л/, то она
G71 сГ ^-дифференцируема по этому направлению.
Если X ~ пространство Радона, то класс числовых мер на •
(Х/ (HJ , каждая из которых для всякого натурального л Те -диф-
-дифференцируема по всякому направлению (^,..., '^,у. образованному
элементами из X » совпадает с классом мер, «с -дифференцируемых
по каждому такому направлению.
Доказательство первой части этого утверждения совершенно ана-
аналогично доказательству предложения_7 и основано на том, что пси пе-
перечисленных условиях всякийлпар в 'пространстве {?П °f^.Jзамкнут в
пространстве СУП'т )•" вторая часть является'следствием первой.
Отметим, что, напротив, утверждение, аналогичное содержащему-
содержащемуся в теореме 2, оказывается в рассматриваемой ситуации неверным.
79

Теорема 3. nycfi X - ЛВП, X' ~ его сопряженное, и пусть
ОС- d -алгебра подмножеств X > порояденная алгеброй )(' - цили-
цилиндрических подмножеств этого пространства, причем ОС совпадает с
<£ -алгеброй борелевских подмножеств X » 7flt - некоторое линей-
линейное пространство счетноаддитивных мер ъ&(Х,ОС) и *С - топология в
??,, согласующаяся с линейной структурой этого пространства и
удовлетворяющая условия (Oq). Тогда если мера /*€771* (J7)*<£)-
дифференцируема по направлению А&Х , причем ее дифференциалЛу*
при приращении л является мерой, абсолютно непрерывной относитель-
относительно м , то мера/* и <Г1_-дифференцируема по направлению £ (один
частный случай этой теоремы одновременноУдоказан И.П.Кацем).
Доказательство. Так как всякий шар пространства (^??'«г )зам-
кнут в (ТП'г), то, в силу предложения 3, для всякого ■£ £ R1 ,
£ФО справедливо неравенство
Поэтому для доказательства теоремы достаточно установить, что
Так как, по следствию 1 теоремы 2, \\/*■£.£ ~"/ ^f/
так что П/4^.^ -/Ч|—*О при к —*О »ю предлояение будет до-
доказано, если будет доказана следующая лемма.
Лемма 1. Пусть X " лвп» X' - его сопряженное, (X - 6 -ал-
-алгебра подмножеств пространства X > порожденная алгеброй его X.' -
цилиндрических подмнояеств, У и /* - две числовые меры на ОС <
причем уг.*/л , Jt€X ' Тогда, если \\ [*±£ - /Л ||—• О , то
||у44 -VII-+O при -6-у О .
Доказательство. Пусть Jr - ОС -измеримая f*. -суммируемая чи-
числовая функция, являющаяся плотностью у относительно м я, для
каждого €>0 , 2)f£- (некоторая) простая (т.е. принимающая ко-
конечное число значении) ОС -измеримая функция, такая, что
Из соотношений ]| у^ _ И/ = \\jf^ /*iA -f/л
вытекает, что без ограничения общности можно предполагать, что
01 -измеримая простая функция, а так как всякая простая функция
является конечной линейной комбинацией индикаторов измеримых мно-
множеств, то можно предполагать, что уяе сама Ур является индикато-
индикатором некоторого множества /[$01 . Так как
де (^ = $up (\fM l х€л) , то для доказательства леммы дос
:агочно установить, что WitftA ~-f)f*\\ *0 при ^ *"&
Ю

При этом можно считать, что /f представляет собой объединение ко-
конечного семейства множеств, каждое из которых является пересечением
некоторого ^'-цилиндрического множества, заданного образующим под-
подпространством, содержащим *€ , и некоторого X' - цилиндрического
множества вида {х ; а< ^(х.)*--?} , где *.„ -€€ £ , « к -€ ж
£ - фиксированный функционал из X' . ядро которого не содержит
■& , поскольку множество Otp» всех тех множеств /7 , которые
могут быть представлены описанным способом (при фиксированном •£ ,
не зависящим от /9 ) представляет собой алгебру подмножеств X *
порождающув £ -алгебру 01 . Но если -£г - индикатор некоторого
множества /? £" ^£*/' то "jfe-£~*jf а$ж £~~~*О /л- п.в.,
так как из соотношения |1/\х>> —a»j|j^jy? вштекает, что
(xi *€(х)=л\ -О для каждого а.€ /? f . Поэтом
/* (xi <.(*.)'=*) = 0 для каждого cl€к ' . Поэтому, в силу
теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла, H^ffc^"
"tf)f* " —* О ПР* ~t ~*@' Лемма доказана. Тем оамым дока-
доказана и теорема 4.
Замечание 3. Требованиям, наложенным на пару(?71¥,%)в теоре-
теореме 3, удовлетворяет, в частности, параG7\°<с*.) и - в том случае,
когда топология пространотва X может быть задана некоторым набо-
набором гильбертовых норм - пара /?72 **")•
Дополнение 2. Стохаотнческие дифференциальные уравнения
Показано, что связь между отохастическим дифференциальным в
ЗШД и соответствующим ему обратным уравнением Колмогорова аналогич-
яа (описанной в § 6) овязи между зволвцнонннм дифференциальным ура-
уравнением в ДЩ и уравнением для его первых интегралов, которая, в
овов очередь, аналогична связи между двумя линейными эволвционными
уравнениями, в правых частях которых отеят оопряженные линейные
операторы. Результаты этого дополнении (воспроизводящего заметку
/10/) позволяет, в частности, описать яекморне классы единственно-
единственности для системы Навье-Стокоа "со случайным членом". Изложение в
этом дополнении носит формальный характер.
Пусть X ~ оуслинское ЛВП, /* - счетноадднтивная гауооова
мера, определенная на d -алгебре 01 его борелевсмх подмножеотв,
о нулевым средним и с корреляционным функционалом &0Х *Х —*/?»
W' -"винеровский" процесс на £<*, Л\ ( « < "f ) со значения-
значениями в X » задаваемый переходной функцией ffa/'t, >v=/* y*~xs
( /7 € ОТ. )' Если /? € ^ (X XJ , то £$$ - 9*° билинейный фун-
функционал на X' Х/Х! > определяемый так: £& (ytJ У*)-&(8jioliQ
Пусть /?.(v, &.0Ь) (t€L*.'tl ) - олучайные (ол.) процесбы
со значениями, соответственно, в X и в з£(Х^Х) , такие, что
Vr t/P.^lfiffi19 зависят от W.(£+'£J-w.('£) ( -ъХ) )»
причем В, D~)£ представляет собой ел. процесс со значениями в
81

подпространстве пространства билинейных отображении X' XX' и
R , являющемся каноническим образом X 0 % * и существует
/\yU.(S.(^)i8)cl^t {уЛЛ - математическое ожидание). Стохастиче-
Стохастический интеграл определяется ари помощи обычной процедуры; ари этом
его корреляционный функционал оказывается равным /U/(8,(-t)£)e0t •
Как всегда, для краткости используется термин "стохастический диф-
дифференциал" и соответствующие обозначения.
Предложение 1 ("Формула Ито"). Пусть е/х. (■&) ~/?,fr)ett+£i(i)-,
)(S $ " отражение /a^Jx X в X • Тогда ароцесс
() имеет стохастический дифференциал а?»,М-
(символ в определяется условием (ж, 0хл)*jf (• )=±р
Рассмотрим уравнения (второе из них - это обратное уравнение Колмо-
Колмогорова): • J))
Ш г)ПМ)
JA у у v yj B)
(Vt «we СГСХМ 4(t.')s
()(£()) (()У(
Теорема 1. Пусть Д/ - всюду плотное подмножество X • Если
Ус € Х1 y~t€\i^,4^ , на отрезко ^^существуег реиение
уравнена^ A) с начальными условиями (н.у.) (t_,cj » то
V2P€ CJ*(X, R1J, уравнение B) имеет,не более одного решения
г:[а,^]—»С^'(Х R1) » удовлетворяющего условию Z(^f)=-2e .
Теорема 2. Пусть ^ - подмножество £^(Х,111)* различающее .
конечные) меры на (X 01) *• Если» каковы бы ни были ~£ €&, 4~\ и
2Ф€ ^ , на отрезке [а,±^\ существует решение B) с н.у.^
то для всякой ел. величины и, со значениями в X на
отрезке [л, <в] существует не более одного решения •£ *—-» ос. (irj
уравнения A), удовлетворяющего условию x.faj— ч„ •
Теорема 3. Задача Коши для уравнения A) в пространстве /\
щ(а, -4) -корректна" тогда и только тогда, когда задача Коши для
уравнения B) в пространстве CJ" (%R1)* (~4, aj -корректна^. (В
определении корректности используется псевдотопология в C^CX^jl
определяемая так: *$л~*~ О в C^(Xf/^fJ в том, и только в юм'
случае, если J up / &(xj \ <e>~ а у компакт К в X a-Yf>0
Замечание. Прямое уравнение Колмогорова в "инвариантной фор-
форя так (ср. /Ъ/):^'(^)= ~^f(a(^)9/*(iVx +
ме* запиенваетоя так (ср. /Ъ/):^ f
+r*UJ4(tt-K*rt*r)£ ; здесьVt p(i)- мера на
(X, Ot) и btt - функция, определяемая из уоловня: если &-<&£-€
€ Х&Х' , то bi, (*&#■)-= У(xJ(t<rx определяется аналогично).

Литература
Здесь приведены,за немногими исключениями,лишь те книги и
статьи,иа которые ее» ссылки в хекете.Обширный список литерату-
литературы по анализу в бесконечномерных пространствах имеется в моногра-
монографии /19/.
I.Александров П.С.Введение в теории множеств и общую топологию.
М.,"Наука",1977.
2.Бурбаки Н.Общая топология.Основные структуры.М.,"Наука",1968.
З.Бухер В.,Фрелихер А.Дифференциальное исчисление в векторных
пространствах оез кормы. U., "Кир", 1970.
4.Робортсон А.П.,Робертсеи 6. Топологические векторные простран-
пространства.И., "Мир", 19 67.
5.Смоляиов О.Г.йекогорые полные пространства гладких отображений
осевдотопологических линейных пространств.УМН, 1974,1.29,
вып.6,с.181-182.
б.Смоляюв О.Г. Класс пространству которых справедлива теорема
об ограниченно! диффереицируемости обратной функции."Матеы.
заметки",1975,т.17,внп.5,с.763-709.
7.Смолянов О.Г. О высших производных отображении локально выпук-
выпуклых пространств. "Метем, заметай", 1977, г.22, вып.5, с.729-743.
8.Смеляиов О.Г. Один метод доказательства теорем единственности
для эволюционных дифференциальных уравнения."Натем.заметки",
1979,1.25,в.2,0.259-269.
9.Смоляиов О.ГЛияеМные представления эволюционных дифференци-
дифференциальных уравнений.!!! СССР,1975,т.221, I б,с.1288-129I.
ЮЛЗмоляиов О.Г.Лнне1нне представления эволвционных уравнений.
"Тр.Всесоюзной конференции по дифференциальным уравнениям,
посвященной памяти 1.Г.Петровского". Изд-во шТУ,197В.
И.Авербух В.И.,Смоляиов О.Г. Различные определения производной
в линейных топологических пространствах. УМН,1968,т.23 * 4,
с.67-116.
12.Смолянов О.Г.,Фомин С.В.Меры на топологических линейных про-
пространствах.УМН,1976, т.31,1 4, с. 3-56.
13.Сухинин М.Ф.Неоколько теорем о неявной и обратной функциях
в линейимх топологических пространствах.УМН,1973,т.28,вып.I.
14. Кг€€ьх Н.Н. Jditff*T-ent<:att*€cueu$ w
convex Spacti .'jfectuit notes Си tnatA" S3 7-У,
15.Канторович Л.В. и Акилов Г.П.Функциональный анализ в нормиро-
нормированиях пространствах.М.,$изыатгиз,1959.
16.#ении СВ. Дифференцируемые меры в линейных пространствах.
УМН,1968,т.23,вып.1,с.221-222.
83

17.Райков Д.А. О двух классах локально выпуклых пространств,
важных в приложениях."ТруДы семинара по функциональному
анализу".Воронеж,1957.
18.Картав А.Дифференциальное исчисление.Дифференциальные формы.
И., "Мир-, 1971.
19. Ca-Afei W. Czu*is£iu££u7en c/et Q*a£ysiS.
Band fJ /3 ?? ; 8anj 2., /S ? 8..
20. HanamuxcS. 2>tffn*«ti*4 *.4e«4us Си tope
*€c**ai Spaces. "*6ec~tuie notes in
." /S?% 3?V.
21.Авербух В.И.,Смоляиов 0.Г.,Фомин С.В.Обобщение функции и
дифференциальные уравнения в линейных пространствах."Тр.
Моок.мат.об-ва",1971,вып,24,с.132-174.
22. //e//f- Ж**ие/ Н ЯЛшочи t/es ■4*i£
tt a.pp£CcatCo»a. "j&ctuxe not«.s C»
23.Даифорд Н.,Иварц Дж.ЛинеЙше еператоры.Общая теория.П.,ИД,
1962.
24.Скороход А.В.Интегрирование в гильбертовом пространствам.,
■Наука",1975*
25.Бурбаки Н.Топологические векторные пространства.М.,НД,
1959.
2б.Авер0ух В.И.,Смоляиев О.Г.Дифференцирование и псевдотопология
гм."Вестник Моск.уи-та,серия матем.,мех.",1972,1 1,0.3-8.
27.Смоляисв О.Г. Нелинейные урававиия и бескоивчивмериый ана-
анализ. "Школа по теории операторов в функциональных простраиот--
вах",Минок,1978,0.139-140.

Оглавление
Стр.
Предисловие 3
Обозначения и терминология 4
§ 1. Основные определения 9
1. *£" -дифференцируемость 9
2. Псевдотопологии сходимости на множестве фильтров 12
3. Псевдотопологии ХаЙерса-Ленга и Келлера 14
§ 3. Дифференцируемое?!) и непрерывность 15
1. Отображения псевдотопологических линейных пространств 15
2. Отображения топологических линейных пространств 15
3. Роль топологических линейных пространств Фреше-Урнсо-
на 16
4. Дифференцируемость ва открытом множестве и непрерыв-
непрерывность 19
§ 3. Теорема о дифференцировании сложной функции (цепное пра-
правило) ' 21
1. Производные первого порядка 21
3. Производвне высших порядков 22
3. Производные высших порядков. Отображения в пространс-
пространства, обладающие достаточным запасом линейных непреры-
непрерывных функционалов 35
§ 4. Теорема о среднем и ев приложения 30
1. Теорема о среднем 30
2. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. 32
3. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.,.. 33
4. Теоремы о непрерывной производной 36
§ 5. Теоремы о двойном и повторном пределах в псевдотопологи-
чеоких пространствах. Предельный переход под знаком про-
производной 38
1. Теоремы о перестановке предельных переходов 39
2. Предельный переход под знаком производной для отобра-
отображений топологических линейных пространств 42
3. Предельный переход под знаком производной для отобра-
отображений псевдотопологических линейных пространств 45
§ 6. Пространства гладких отображений 50
1. Полнота пространств гладких отображений 51
85

Стр.
2. Отображение взятия композиции 52
3. Экспоненциальные закон для пространств гладких отоб-
отображений 57
4. Люейнне представления эволюционных уравнений в лока-
Шю выпуклых пространствах 59
Упражнения 65
Дополнение 1. Дифференцируемые меры 70
Дополнение 2. Стохастические дифференциальные уравнения 81
Литература 83
86

ОЛЕГ ГЕОРГИЕВИЧ СМОЛЯНОВ
АНАЖЗ НА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ЛИНЕЙНЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
(учебное поообие)
Заведующий редакцией С.И.Зеленский
Редактор издательства Р.Д.Солод
Подписано к
Формат 60 х
Заказ 2264
печати 15
90 I/I6
.10
.1979 г.
Объем 5,
5 п.л.
Тираж
Цена
500 экз.
38 коп.
Отпечатано на ротапринте Института механики МГУ