Полугруппы - Ляпин Е.С.

Author: Ляпин Е.С.

Tags: математика алгебра теория групп теория полугрупп

Year: 1960

Similar

Упражнения по теории групп

Теория групп

Бесконечные абелевы группы. Том 2

Линейно упорядоченные группы

Text

Е. С. ЛЯПИН
ПОЛУГРУППЫ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1960

Евгений Сергеевич Ляпин
ПОЛУГРУППЫ
Редактор Г. П. Акилов
Технический редактор Р. Г. Польская Корректор Е. А. Максимова
Сдано в набор 26/V 1959 р. Подписано к печати 25/1V 1960 г. Бумага 84х10вУ«.
Физ. печ. л. 18,5. Усл. печ. л. 30,34. Учет.-изд. л. 30,82. Тираж 600» вкз.
Цена 17 р. 40 к. Т-01087. Заказ № 455.
Государственное Издательство Физико-математической литературы
Москва В-71, Ленинский пр., 15.
Типография № 2 им. Евг. Соколовой УПП Леисовнархоэа. Ленинград,
Измайловский пр., 29.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава I. Понятие полугруппы
§ 1. Мультипликативные множества 9
§ 2. Независимость условий ассоциативности 22
§ 3. Общие полугруппы и полугруппы преобразований . 28
§ 4. Частичные преобразования 45
§ 5. Отношения 52
Глава II. Делимость элементов
§ 1. Понятие и простейшие свойства делимости .... 65
§ 2. Обратные элементы и единицы 70
§ 3. Делимость преобразований и матриц 78
§ 4. Коммутативные полугруппы идемпотентов 83
§ 5. Полугруппы, все элементы которых имеют правые
нули 95
§ 6. Регулярные элементы 104
§ 7. Инверсные полугруппы 113
§ 8. Инверсные полугруппы частичных преобразований . 122
Глава III. Умножение подмножеств
§ 1. Подполугруппы 130
§ 2. Порождающие множества 139
§ 3. Моногенные полугруппы 151
§ 4. Периодические полугруппы 159
§ 5. Увеличительные элементы 166
§ 6. Увеличительные элементы полугрупп с единицей . . 170
§ 7. Подполугрупповая характеристика полугруппы. . . 179
Глава IV. Идеалы
§ 1. Понятие и простейшие свойства идеалов 193
§ 2. О цепях подмножеств произвольного множества . . 203
ju § 3. Главные идеалы и идеальные слои 210
& § 4. Двустороннеидеальные цепи . . . 220
,'*-. § 5. Взаимная связь идеальных эквивалентностей .... 229
§ 6. Изолированные идеалы 239
Глава V. Полугруппы с минимальными идеалами
§ 1. Двусторонние идеалы, являющиеся группой .... 248
§ 2. Полугруппы с минимальными левыми идеалами . . 253
§ 3. Полугруппы, обладающие и минимальными левыми
и минимальными правыми идеалами 261
1»

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4. Вполне простые полугруппы с нулем 268
§ 5. Строение вполне простых полугрупп с нулем . . . 278
§ 6. Строение вполне простых полугрупп без нуля . . . 289
Глава VI. Обратимость
§ 1. Обратимость произведения элементов 299
§ 2. Обратимость увеличительных элементов 308
§ 3. Полугруппы с односторонней обратимостью .... 312
§ 4. Подполугруппы, правильные относительно обрати-
обратимости • • 324
§ 5. Полугруппы преобразований, правильные относи-
относительно обратимости 327
§ 6. Полугруппы с отделяющейся групповой частью . . 338
§ 7. Подполугруппы полугруппы с отделяющейся груп-
групповой частью 343
Глава VII. Гомоморфизмы
§ 1. Гомоморфизмы и их делимость 348
§ 2. Факторполугруппы 360
§ 3. Гомоморфизмы инверсных полугрупп 367
§ 4. Нормальные.комплексы 375
§ 5. Продолжение гомоморфизмов 389
§ 6. Некоторые частные виды гомоморфизмов 398
Глава VIII. Разложения полугрупп в объединения под-
подполугрупп
§ 1. Связки полугрупп 415
§ 2. Вполне регулярные полугруппы 424
§ 3. Вполне регулярные инверсные полугруппы 434
§ 4. Последовательно аннулирующие связки 445
§ 5. Базисные классы 454
Глава IX. Соотношения в полугруппах
§ 1. Определяющие совокупности соотношений 466
§ 2. Преобразования определяющих совокупностей со-
соотношений 473
§ 3. Полугруппы, заданные определяющими отношениями 479
§ 4. Тождества в полугруппах 485
§ 5. Свободные полугруппы 493
§ 6. Определяемость свободных полугрупп подполугруп-
повой характеристикой 507
Глава X. Погружение полугрупп
1. Некоторые случаи погружения 518
2. Погружение в группы 525
3. Линейная упорядоченность в группах 534
4. Потенциальная обратимость элементов 546
5. Свободные и прямые произведения 556
Литература по полугруппам 565
Предметный указатель . 590

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга имеет своею целью изложить основы
алгебраической теории полугрупп. Полугруппа (иначе — ассо-
ассоциативная система) есть множество, рассматриваемое относи-
относительно определенного в нем бинарного ассоциативного дей-
действия. Понятие полугруппы столь просто и естественно, что
трудно говорить, когда оно впервые появилось. Как указы-
указывает Клейн1, еще в период, когда теория групп формиро-
формировалась в качестве особой математической дисциплины, были
сомнения, не следует ли в качестве основного исходного
понятия взять то, что теперь мы называем полугруппой.
Однако задачи, стоящие перед математикой на том этапе ее
развития, привели к необходимости остановиться на более
узком понятии — группы.
Одной из важнейших причин той большой роли, которую
играла теория групп в последующем развитии математики,
было то, что по своему существу алгебраическая теория групп
явилась абстрактным учением об обратимых преобразованиях.
Необходимость рассмотрения таких преобразований встре-
встречается в столь разнообразных областях математики, что
с понятием и свойствами групп сталкиваются в очень многих
математических (и не только математических) дисциплинах.
Однако как бы ни было важно и плодотворно общее
понятие обратимого преобразования, по мере развития мате-
математических теорий ясно выявилась необходимость рассмо-
рассмотрения наравне с ним и общего понятия преобразования —
не обязательно обратимого. Для создания соответствую-
соответствующей общей алгебраической теории понадобилось оформить
1 Ф. К л е й н. Лекции о развитии математики в XIX столетии,
ч. 1, гл. VIII, Гостехиздат, 1937.

6 ПРЕДИСЛОВИЕ
соответствующее понятие, каковым и явилось понятие полу-
полугруппы. Основная роль алгебраической теории полугрупп
в математике, по-видимому, и состоит в том, что эта теория
является абстрактным учением об общих преобразованиях.
Для того чтобы сформироваться в особую математическую
дисциплину, естественность и важность исходного понятия
еще недостаточны. Опыт той же теории групп показал, что
успех ее развития, при условии важности исходных идей,
объясняется тем, что удачность аксиоматики позволила на ее
базе построить весьма глубокую и сложную теорию. В этом
отношении более бедная аксиоматика теории полугрупп на
первых порах ее развития вызывала естественное сомнение:
сможет ли она послужить фундаментом для достаточно
обширного здания самостоятельной теории. В настоящее
время эти сомнения уже отошли в прошлое.
После первых, сперва разрозненных, исследований о
полугруппах, выполненных в 20-х и 30-х годах нашего
столетия, за последние полтора десятка лет появилась не
одна сотня различных работ по теории полугрупп, которые
полностью доказали возможность достаточно развитой и глу-
глубокой самостоятельной теории.
Изложение основных результатов этих работ в виде связной
систематической теории и является задачей настоящей книги.
Разумеется, нет необходимости (да и возможности) излагать
все полученные к настоящему времени результаты. Но основные
направления современной абстрактной алгебраической теории
полугрупп представлены здесь достаточно полно. Что касается
конкретных полугрупп, встречающихся в самых разнообраз-
разнообразных областях математики (в частности, всюду, где встре-
встречается необходимость рассмотрения тех или иных преобра-
преобразований), то полный обзор их совершенно невозможен ввиду
необозримости материала. В этом и нет нужды поскольку
математик, вооруженный общей теорией полугрупп, сам уже
сможет применить эту теорию в том или ином конкретном
вопросе.
Настоящая книга должна по своей идее предоставить
такую возможность математикам, работающим в различных
областях чистой и прикладной математики. Учитывая это,
материал изложен достаточно полно и подробно.
Изложенная теория не опирается на какие-либо иные,
недостаточно широко известные теории (те немногочисленные

ПРЕДИСЛОВИЕ 7
места, где встречаются объекты таких теорий, могут быть
при чтении опущены). Широко используются лишь про-
простейшие общеизвестные понятия и свойства из теории мно-
множеств.
В связи с этим сразу же отметим, что, как и обычно
в теории множеств, мы, задавая множество указанием его
элементов, заключаем их все в фигурные скобки, в отличие
от широко распространенного в теории групп обычая упо-
употреблять фигурные скобки в ином специальном значении.
Мы не будем делать различия между отдельным элементом А
некоторого множества и подмножеством этого множества,
состоящим из одного элемента {А}.
Говоря об объединении множеств, в котором никакие две
компоненты не имеют общих элементов, мы будем называть
его объединением без пересечений, или непересекающимся
объединением. Пустое множество будет обозначаться через 0.
Иногда мы будем употреблять понятие пустого символа. То,
что X есть пустой символ, означает, что при чтении всякой
формулы, в которой встречается X, его следует мысленно
просто выбросить из формулы.
В продолжение всего изложения мы постоянно будем
встречаться с парами формулировок, симметричных относи-
относительно «лево" и „право" (делится слева — делится справа,
левый идеал — правый идеал и т. п.). В таких случаях боль-
большей частью мы будем ограничиваться лишь одной из двух
таких формулировок, считая само собою очевидными смысл
и соображения о справедливости симметричной для нее фор-
формулировки.
Текст книги разбит на отдельные пункты, занумерованные
по десятичному принципу. Например, ссылка на 11,4.11
отсылает читателя ко второй главе, четвертому параграфу,
Одиннадцатому пункту этого параграфа. При ссылке в пре-
пределах одной и той же главы номер главы не указывается.
v Литература по абстрактной теории полугрупп, достаточно
«ршая, приведена в конце книги. Конечно, она не охваты-
охватывав» работ, посвященных полностью или частично рассмо-
рассмотрению тех или иных конкретных полугрупп. Как было уже
упомянуто, множество таковых необозримо. В общий список
литературы включены также и некоторые работы по топо-
топологическим полугруппам, хотя теория топологических полу-
полугрупп, уже отчетливо консолидирующаяся в особое напра-

8 ПРЕДИСЛОВИЕ
вление топологической алгебры, в самой книге не затронута.
Ссылки на различные иные работы, не вошедшие в общую
библиографию теории полугрупп, делаются в подстрочных
примечаниях.
С признательностью отмечаю, что при окончательной
обработке рукописи я неоднократно использовал ценные
советы и указания, сделанные мне Л. М. Глускиным.
Ленинград, 1958 г.
Е. Ляпан

ГЛАВА I
ПОНЯТИЕ ПОЛУГРУППЫ
§ 1. Мультипликативные множества
1.1. Целью настоящей главы является дать понятие полу-
полугруппы— того алгебраического образования, изучению кото-
которого посвящена настоящая книга. Разумеется, имеется в виду
не только сформулировать определение, которое требует всего
несколько строк, но и наметить некоторые связи, опреде-
определяющие место полугрупп в современной математике. Это
поможет уяснить значение, роль и задачи той теории, которая
будет изложена в дальнейшем.
В современной алгебре изучается ряд алгебраических
образований, определяемых при помощи задания одного или
нескольких алгебраических действий в множестве элементов
той или иной природы. В зависимости от количества этих
действий, их свойств и природы множества получается та
или иная алгебраическая теория. Одной из них является теория
полугрупп.
1.2. Если в некотором множестве Щ определен закон,
который каждой паре элементов из 9?, взятых в определенном
порядке, сопоставляет некоторый третий элемент из 9?, то
говорят, что в Э? определено алгебраическое действие.
Упомянутый элемент называется результатом данного
действия, совершенного между исходными двумя элементами.
1.3. Несмотря на всю широту приведенного определения,
оно все же не является наиболее общим и допускает даль-
дальнейшие обобщения. Например, часто приходится отказы-
отказываться от того требования, чтобы результат был определен
обязательно для любой пары элементов в 3t. При соответ-
соответствующем более общем определении результат действия опре-
определен лишь для некоторых (не обязательно всех) пар

10 ПОНЯТИЕ ПОЛУГРУППЫ [ГЛ. I
элементов множества. Уже действие деления в множестве всех
рациональных чисел дает пример сказанного, поскольку
результат действия не определен для пары чисел, в которой
второе из них (делитель) равно нулю. Нередко встречается
необходимость допустить, чтобы результат действия состоял
не из одного элемента, но представлял бы собою некоторое
подмножество исходного множества. Возможны и другие
обобщения. Однако в настоящее время главное внимание
в алгебре уделяется действиям в том смысле, как мы опре-
определили их в 1.2. В дальнейшем мы, говоря об алгебраиче-
алгебраическом действии, будем понимать это только в смысле опре-
определения 1.2.
1.4. Пусть в множестве *ft задано некоторое алгебраи-
алгебраическое действие. Для элемента Z, являющегося результатом
этого действия, совершенного между элементами Хи Y, упо-
употребляют обычно обозначения следующих видов. Пишут рядом
элементы X и Y, ставя между ними какой-либо значок, соот-
соответствующий данному действию. Например, при действии
сложения между числами употребляется значок плюс „+"•
Результат действия сложения между числами X и К обозна-
обозначают Х-\- Y. Для многих обычных действий значки обще-
общеизвестны и употребление их закреплено. При рассмотрении
каких-либо новых действий или при изучении свойств про-
произвольного действия, принадлежащего некоторому классу
действий, вводят новые значки, обозначая результат действия
над элементами X и К, например через XQY или X*Y
и т. п. Однако чаще всего в этом случае принято употреблять
мультипликативную терминологию, обозначая результат дей-
действия между элементами X и К через Х- Y или просто XY.
При этом результат действия XY даже называют произве-
произведением А1 и К, а сами элементы X и К—соответственно
левым и правым сомножителями (это существенно, так как
результат действия, вообще говоря, зависит от того, в каком
порядке взяты элементы исходной пары, как это имеет место,
например, при вычитании чисел). Такое употребление мульти-
мультипликативной терминологии в современной алгебре общеупо-
требимо, и мы также будем в дальнейшем его придерживаться.
1.6. Непустое множество, в котором задано алгебраиче-
алгебраическое действие (в смысле 1.2), для которого употреблена
мультипликативная запись, будем называть мультиплика-
мультипликативным множеством. Таким образом, SK есть мульти-

111.
МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ МНОЖЕСТВА
it
пликативное множество, если для любой пары его элемен-
элементов X, Y? Ж определен третий элемент
То, что в определение включено такое несущественное
обстоятельство, как способ обозначения, не вызовет неудобств,
ибо понятие мультипликативного множества играет для нас
вспомогательную роль и будет употребляться в основном лишь
в настоящей главе. Отметим, что для понятия мультиплика-
мультипликативного множества в настоящее время еще нет твердо уста-
установившегося термина. Разные авторы употребляют различные
термины, например группоид и др.
1.6. Задание действия в мультипликативном множестве 2Jt
может быть произведено различными способами. Наиболее
естественным является просто перечисление всех результатов
действия для любых пар элементов. Такой способ задания
можно представить себе в виде указания таблицы умножения,
называемой также таблицей Кели.
Для мультипликативного множества 2Jt = {А, В, С, . ..
..., R S, ...} представляем себе квадратную таблицу:
A
A
TA, a
- 1 Ъ
C I TC, A
TB,a
В
Та, в
Тв,в
Тс, в
tr,b
С
Та, с
тв,с
тс,с
Tr,c
. . .
¦ • •
¦ • •
• • •
• • •
S
TA,s
TB,S
Tc,s
Tr,s
. . .
¦ • ¦
¦ ¦ •
Здесь на пересечении строки, соответствующей элемен-
элементу R, и столбца, соответствующего элементу 5, стоит тот

12
ПОНЯТИЕ ПОЛУГРУППЫ
(гл. 1
элемент Гд, s, который является произведением элементов R
и S, т. е. TB>S = R-S.
С точностью до последовательности записи элементов
(которая для таблицы умножения считается несущественной)
для каждого мультипликативного множества таблица умно-
умножения вполне определяется единственным образом. Обратно,
задание произвольным образом такой таблицы для некоторого
множества определяет в нем действие умножения, т. е. пре-
превращает его в мультипликативное множество.
Разумеется, фактическое написание таблицы умножения
возможно лишь для конечного мультипликативного множе-
множества, имеющего не слишком большое количество элементов.
Однако можно себе представлять и употреблять в рассужде-
рассуждениях таблицы умножения для любых, в том числе и беско-
бесконечных, мультипликативных множеств.
1.7. В качестве примера рассмотрим в множестве первых
шести натуральных чисел 2Jt—{1, 2, 3, 4, 5, 6} действие,
которое в качестве результата действия („умножения") между
числами X и Y дает наибольший общий делитель этих чисел.
Таблицей умножения этого мультипликативного множества
будет таблица:
1 l
1
2
1
1
3 1
4
5
6
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
3
1
1
3
1
1
3
4
1
2
1
4
1
2
5
1
1
1
1
5
1
6
1
2
3
2
1
6

§ 1] Мультипликативный мн6жествА 13
1.8. Абстрактное, как его иногда называют, направление
в современной алгебре состоит в том, что одно или несколько
алгебраических действий в множестве изучаются только
с точки зрения результатов этих действий, безотносительно
каких-либо иных свойств элементов, составляющих данное
множество. В этом смысле абстрактная теория мультиплика-
мультипликативных множеств интересуется только правилом умножения
в каждом из них. При таком подходе два мультипликативных
множества с одинаковым количеством элементов, в которых
действия определены одинаковым образом, отличаются несу-
несущественно или даже вовсе могут быть признаны одним и тем же
мультипликативными множеством. Точнее эта точка зрения
оформляется при помощи понятия изоморфных мультиплика-
мультипликативных множеств.
Определение. Два мультипликативных множества 2Jt
и Ш' называются изоморфными между собою, если
между элементами Ш и элементами 2Jt' можно уста-
установить взаимно однозначное соответствие:
А~А', В~В',..., S~S', ...
Ш={А, В 5, ...}, W = {A\ В' 5', ...},
обладающее тем свойством, что из выполнения в ЯЯ
XY = Z (X, Y,
всегда следует выполнение в Ш? для соответствующих
элементов,
XT' = Z',
и наоборот.
Про изоморфные между собою мультипликативные мно-
множества говорят также, что между ними существует изоморфизм.
Очевидно, изоморфные между собою мультипликативные
множества равномощны и действия в них по существу (от-
(отвлекаясь от природы составляющих их элементов), совер-
совершенно „одинаковы". Таким образом, в отношении всех во-
вопросов, связанных лишь с характером действия, изоморфные
мультипликативные множества совершенно одинаковы и даже
могут в известном смысле рассматриваться как одно и то же
мультипликативное множество с различным обозначением, эле-
элементов (А', В', ... можно рассматривать просто как другие
обозначения элементов А, В, ...). При таком подходе к муль-
мультипликативным множествам, формулируя то или иное пред-

14 ПОНЯТИЕ ПОЛУГРУППЫ [ГЛ. 1
ложение, обычно добавляют слова „с точностью до изо-
изоморфизма". Так, например, очевиден смысл утверждения, что
с точностью до изоморфизма существует лишь единственное
мультипликативное множество, состоящее из одного элемента.
1.9. Отметим, что последнее условие в определении 1.8,
выраженное заключительными словами „и наоборот", в сущ-
сущности необязательно. Оно выполняется автоматически. Дей-
Действительно, пусть в WV
X'Y' = Z' (X', У", Г?Ж).
Обозначим XY = Т. Согласно предыдущим условиям опре-
определения 1.8, имеем X'Y' = T'. Таким образом, Z' — T'. Но
рассматриваемое соответствие взаимно однозначно, поэтому
из Z' = T' следует Z = T. Таким образом, оказалось: бла-
благодаря условиям определения, не включающим последнее,
из X'Y' = Z' обязательно следует XY = Z.
Отметим также, что из того, что в Ж
XY Фг (X, Y, ZgSW),
всегда следует в W X'Y' Ф Z'.
Действительно, из X'Y' — Z', согласно определению, следо-
следовало бы XY = Z.
1.10. К понятию изоморфных между собою множеств
можно также подойти с несколько другой точки зрения.
Определение. Взаимно однозначное отображение ср
мультипликативного множества 9Jt на мультипликатив-
мультипликативное множество 9Jt' называется изоморфным ото-
отображением или просто изоморфизмом, если для
любых элементов X, Y ? Т1 в 9Jt' всегда имеет место
1.11. Определения 1.8 и 1.10 связаны между собою оче-
очевидным образом.
Если существует изоморфизм ср A.10) мультипликативного
множества Зй на мультипликативное множество 9Jt', то соот-
соответствие
благодаря 1.9, очевидно, обладает свойством 1.8. Поэтому
и WI' оказываются изоморфными в смысле 1.8.

1] МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ МНОЖЕСТВА 15
С другой стороны, при наличии соответствия 1.8 между 2R
и Ж' отображение ср мультипликативного множества 9№ на Ш'
(где X—X', в согласии с соответстствием 1.8), как легко
убедиться, является изоморфизмом 2R на W в смысле 1.10.
1.12. Как и для всякого взаимно однозначного отобра-
отображения, для изоморфизма ср мультипликативного множества 2R
на мультипликативное множество W существует обратное
взаимно однозначное отображение ср-1 множества 2R' на 9№.
Легко видеть, что ср-1 является изоморфизмом 2JT на Ш.
Действительно, пусть
Тогда по свойству изоморфизма ср
ср [ср-1 (X')] • ср [ср-1 (Г)] = ср [ср-1 (Z01.
Но срср-1 есть тождественное отображение. Поэтому
X'Y' = Z',
т. е. для произвольных X' и У из Ш' имеет место
1.13. Если ср есть взаимно однозначное отображение муль-
мультипликативного множества ЗЯ в мультипликативное множе-
множество 2R', при котором для любых X, К?9№ выполняется
то, как легко видеть, подмножество 2Jt" = cpB)l) множе-
множества Ш' само будет мультипликативным множеством. При
этом ср можно рассматривать как изоморфизм 9№ на W.
В этом случае отображение ср называют изоморфизмом Ш
в W.
В дальнейшем, как и обычно в математической литературе,
Мы будем употреблять термин „изоморфизм" и в таком смысле.
.%.Также следует иметь в виду двоякое употребление термина
«Изоморфизм", связанное с определением 1.8 и определе-
определением 1.10; если учесть 1.11, никакой путаницы отсюда про-
произойти не может. , /
Отметим, что для более отчетливого выделения тех слу-
случаев, когда изоморфизм Ш осуществляется на всё Шг, иногда
употребляют особый термин — мономорфизм.

16 ПОНЯТИЕ ПОЛУГРУППЫ [ГЛ. 1
1.14. Конечно, не представляет ни малейшего труда при-
привести неограниченное количество примеров мультипликатив-
мультипликативных множеств, встречающихся в самых разнообразных обла-
областях математики. Алгебраическая теория имеет своей задачей
способствовать развитию исследований в этих областях, предо-
предоставляя алгебраический аппарат для изучения свойств соот-
соответствующих мультипликативных множеств. Здесь следует,
однако, различать свойства двух типов. Некоторые свойства
связаны с характером элементов, составляющих данное муль-
мультипликативное множество. При изоморфизме такие свойства
могут нарушаться, поскольку при изоморфизме „сохраняется"
лишь действие, но не обязаны сохраняться те свойства эле-
элементов, которые не определены с помощью действия. Дру-
Другие свойства таковы, что, будучи выполнены для одного
мультипликативного множества, они обязательно имеют место
и для всякого изоморфного с ним мультипликативного мно-
множества. Свойства первого типа, связанные, как иногда гово-
говорят, с „конкретной" природой данного множества, очевидно,
не могут быть полностью уловлены абстрактной теорией.
Для их изучения абстрактная алгебраическая теория действий
может играть лишь вспомогательную роль. Напротив, изу-
изучение свойств второго типа — „абстрактного" характера,
т. е. инвариантных относительно изоморфизмов, — целиком
может быть отнесено в область абстрактной теории алге-
алгебраических действий. Это соображение и определяет в общих
чертах роль абстрактной теории алгебраических действий в ма-
математической науке.
1.15. Пусть S есть некоторый класс мультипликативных
множеств. Всякий изоморфизм ср некоторого мультипликатив-
мультипликативного множества 2Jt на одно из мультипликативных множеств,
принадлежащих классу S, называется изоморфным предста-
представлением (иногда говорят просто — представлением) ЗЯ
в классе S.
Класс Г всех тех мультипликативных множеств, которые
обладают изоморфными представлениями в классе Е, оче-
очевидно, замкнут относительно изоморфизмов, т. е. всякое муль-
мультипликативное множество, изоморфное некоторому мультипли-
мультипликативному множеству, принадлежащему Г, само принадлежит Г.
Описать сост"ав класса Г для данного класса S — это зна-
значит указать необходимое и достаточное условие того, чтобы
произвольное мультипликативное множество было изоморфно

§ 1] МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ МНОЖЕСТВА 17
какому-либо мультипликативному множеству, принадлежаще-
принадлежащему S. Получение такого условия называется обычно нахождением
абстрактной характеристики для класса мультипликатив-
мультипликативных множеств S. В связи со сказанным выше употребление
такого термина вполне оправдано и естественно. Нахождение
абстрактных характеристик для тех или иных важных клас-
классов конкретных мультипликативных множеств представляет
существенный интерес. Оно обычно определяет развитие того
или иного направления абстрактной теории алгебраических
действий.
1.16. Разумеется, каждое мультипликативное множество
изоморфно самому себе, поскольку тождественное отобра-
отображение является изоморфизмом. Кроме того, иногда сущест-
существуют и иные, нетождественные изоморфизмы мультипликатив-
мультипликативного множества на себя. Всякий такой изоморфизм (тожде-
(тождественный или нетождественный) называется автоморфизмом
мультипликативного множества. В согласии с выскаазнной
выше точкой зрения на изоморфизм, автоморфизм можно рас-
рассматривать как систему переименования элементов мульти-
мультипликативного множества. Элементы А1 и X'', переходящие один
в другой при некотором автоморфизме, играют в мульти-
мультипликативном множестве одну и ту же роль. Всякое свойство
одного из них, относящееся к действию в мультипликатив-
мультипликативном множестве, присуще и другому.
1.17. Наравне с изоморфизмом в некоторых случаях при-
приходится рассматривать родственное образование. Взаимно
однозначное отображение ср мультипликативного множества Ж
на мультипликативное множество 9№' называется антиизо-
антиизоморфизмом или обратным изоморфизмом, если для любых
элементов X, Y ? ЗЯ в ffi.' всегда выполняется
Очевидно, антиизоморфные мультипликативные множества
весьма схожи, действия в них аналогичны во всем, кроме
«направления" (ведь результат действия определен для пары
элементов, взятых в определенном порядке, или, иначе, ука-
указано направление в паре от одного элемента к другому),
которое противоположно. у
Частным случаем антиизоморфизма при отображении муль-
мультипликативного множества на себя является антиавто-
антиавтоморфизм. Конечно, далеко не всякое мультипликативное
2 Зв(С. 455. Е. Q. Дцпщ

18 ПОНЯТИЕ ПОЛУГРУППЫ [ГЛ. I
множество обладает антиавтоморфизмами. Наличие антиавто-
антиавтоморфизма показывает симметричность действия для двух напра-
направлений в парах элементов, для которых определяются резуль-
результаты действия. Для некоторых мультипликативных множеств
(полугрупп) В. В. Вагнером [3] произведено исследование
антиавтоморфизмов, называемых им инволюциями.
1.18. Общая теория мультипликативных множеств распа-
распадается на ряд направлений, каждое из которых посвящено
изучению мультипликативных множеств, действия в которых
обладают теми или иными основными свойствами. Среди
таких свойств важнейшими являются нижеследующие.
Пусть Ш есть мультипликативное множество.
{а). Действие в 9№ называетя ассоциативным, если для
любых А, В, C?2Jt выполнено
(Р). Действие в 9№ называется коммутативным, если
для любых A, B?2Jt выполнено
АВ = В А.
(f). Действие в ЗЯ обладает свойством обратимости
слева, если для любых А, В?ЗЯ в 2R всегда найдется
такой X, что-
ХА = В.
(8). Действие в WI обладает свойством обратимости
справа, если для любых A, B?2Jt в 2Jt всегда найдется
такой Y, что
(е). Действие в 9№ обладает свойством сокращения слева,
если при любых X, А, В?ЯЯ из ХА = ХВ всегда следует
(С). Действие в Ш обладает свойством сокращения справа,
если при любых К, А, В?Ш из AY = BY всегда следует
А = В.
Отметим, что свойство сокращения справа (С) (аналогично
и слева) иногда называется свойством однозначности деления

§ 1] Мультипликативные множества 19
слева. Это объясняется тем, что соблюдение свойства (С) рав-
равносильно условию, чтобы ни при каких А, В?Ш уравнение
ХА = В
относительно неизвестного Х?Ш -не имело более одного
решения.
Различные направления алгебры характеризуются изучением
мультипликативных множеств, действия которых обладают
тем или иным фиксированным набором свойств. Разумеется,
встречается необходимость рассмотрения для указанной цели
и других важных свойств. Кроме того, важным является
вопрос о мощности множества всех элементов мультиплика-
мультипликативного множества.
Легко видеть, что каждое из указанных выше свойств
действий инвариантно относительно изоморфизма мультипли-
мультипликативного множества. Также инвариантна и мощность мно-
множества.
1.19. Если действие мультипликативного множества в це-
целом не является коммутативным, то для отдельных пар эле-
элементов А и В мультипликативного множества может все же
выполняться равенство
АВ = ВА.
В этом случае элементы А и В называют перестановоч-
перестановочными между собою. Говорят также, что А к В коммути-
коммутируют между собою. Выделение пар перестановочных эле-
элементов часто используется при изучении некоммутативных
действий.
1.20. Обозначим для любого конечного п
Х,Х2Х3 ... *„ = ((... ((*! • Хг) • *8) ....)• Хп).
В случае п=2 мы имеем уже введенное ранее обозна-
обозначение произведения двух элементов. При п=Гмы имеем
произведение, состоящее из одного сомножителя, которое
иитаем равным элементу, являющемуся этим единственным
сомножителем.
Если действие в мультипликативном множестве ассоциа-
ассоциативно, то
•.. Хп) = ХХХ2 ... ХтХт+1... Хп.
2*

20 ПОНЯТИЕ ПОЛУГРУППЫ (ГЛ. 1
Доказательство этого без труда проводится по индукции
относительно п, поскольку благодаря ассоциативности
{Х1Хг ... Хт) • {Хт+хХт+г ... Хп) =
= (Х\Хг • • • Х'т) ¦ \(Хт+1Хт+2 . .. Хп_1) • Хп] =
= [(Х1Х2 .. . Хт) • (Хт+1Хт+2 ... ^n-i)l ' Хп
Из указанного равенства следует, что для произвольной
последовательности элементов (Xv X2, .... Хп) мультипли-
мультипликативного множества с ассоциативным действием значение
произведения при любой расстановке скобок, «указывающей
последовательность перемножения элементов Xlt Х2, ..., Хп,
будет равно XtX2 ¦ ¦ ¦ Хп. В связи с этим скобки при записи
сложно составленного произведения нескольких элементов
обычно не ставятся. Их ставят лишь в том случае, когда
желательно облегчить уяснение состава какого-либо сложно
составленного произведения.
В случае, когда все множители произведения равны между
собою, говорят о степени элемента и употребляют соответ-
соответствующее обозначение:
Х-Х ¦ ... ¦ Х = Хп.
1.21. Рассмотрим несколько примеров мультипликативных
множеств.
(а). Пусть я есть произвольное натуральное число. WI—мно-
WI—множество целых чисел от 0 до (я—1):
ай = {о, 1, 2,..., я—1}.
Результатом действия в Ш над числами тх и т2 из 9№
будем считать остаток от деления т1- щ на я.
Легко убедиться, что описанное действие в таком муль-
мультипликативном множестве ассоциативно и коммутативно. Свой-
Свойством сокращения это действие не обладает ввиду принад-
принадлежности нуля к множеству Ж.
Если я есть простое число, то подмножество Ш' мно-
множества 9№, состоящее из чисел 1,2 я— 1, относительно
того же самого действия также будет мультипликативным
множеством с ассоциативным и коммутативным действием. При
этом действие в W будет обратимым и будет обладать свой-
свойством сокращения. Это следует из того, что, как известно,

§ 1) МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ МНОЖЕСТВА 21
для любых т1ущ ? 2И' вседа найдутся такие целые числа х
и у, что
благодаря чему результатом рассматриваемого нами действия
для х' (где х1 есть остаток от .деления х на я) и тх будет ти2.
(fJ). Множество 2Jtn всех комплексных квадратных матриц
порядка п относительно обычного умножения матриц является
мультипликативным множеством. Как известно, действие в нем
ассоциативно, но не обладает другими из указанных
в 1.18 свойств. В дальнейшем мы не раз будем возвращаться
к этому множеству, сохраняя для него всегда то же обозна^
чение 2Jtn.
(f). Неособенные матрицы из Шп образуют мультипли-
мультипликативное множество, в котором, помимо 1.18, (а), выполнены
также и 1.18, (т), (8), (s), (С).
(8). В множестве всех непрерывных функций двух пере-
переменных х и у, заданных в квадрате О^лг-^а, 0 -^.у ^.а,
определяется следующее действие, играющее важную роль
в теории интегральных уравнений. Результатом этого дейст-
действия, совершаемого между функциями /d (x, у) и Kz (x, у),
считается функция
f
t)Kt(t, y)dt.
Как легко следует из простейших свойств интегралов, такое
действие ассоциативно.
(е). Рассмотрим множество функций одного переменного,
абсолютно интегрируемых для 0 ^ х < оо. В ряде разделов
математики в указанном множестве рассматривается действие,
результатом которого для fx{x) и /2(х) считается функция
(x--t)dt.
Можно показать, что такое действие ассоциативно и -ком-
-коммутативно.
(т)). Пусть 9№ есть совокупность всевозможных формаль-
формальных степенных рядов с комплексными коэффициентами и

22 ПОНЯТИЕ ПОЛУГРУППЫ [ГЛ. 1
свободным коэффициентом, разным нулю:
Произведение двух таких рядов А и В определяем следующим
образом. Подставляем в ряд А вместо переменного х ряд В:
00 /OO
ft-i V=i
Раскрывая скобки и группируя члены с одинаковыми
степенями х, получаем новый степенной ряд, называемый
„произведением" исходных степенных рядов. Можно дока-
доказать, что умножение полученного мультипликативного мно-
множества ассоциативно.
§ 2. Независимость условий ассоциативности
2.1. Так как вся эта книга посвящена изучению мульти-
мультипликативных множеств с ассоциативным умножением, то
естественно остановиться более подробно на вопросе о тре-
требовании ассоциативности действия. Впрочем, следует отме-
отметить, что рассуждения настоящего параграфа, выясняя неко-
некоторую сторону условия ассоциативности, сами по себе
в дальнейшем не будут. использоваться, так что знание
настоящего параграфа не необходимо для дальнейшего.
Пусть 2Jt = {А, В, С, ...} есть мультипликативное мно-
множество. Ассоциативность умножения в Ш означает соблюде-
соблюдение следующих равенств:
(АВ) С = А (ВС);
Если число элементов в Ш конечно (равно и), то коли-
количество таких соотношений равно п3. Если 3№ бесконечно
с мощностью т, то и мощность множества этих равенств
равна т.

§ 2] НЕЗАВИСИМОСТЬ УСЛОВИЙ АССОЦИАТИВНОСТИ 23
Каждое из этих равенств
(XY)Z = X(YZ)
(здесь X, Y, Z могут быть различными или одинаковыми
элементами Ш) естественно назвать условием ассоциативности,
соответствующим последовательности (X, Y, Z) элементов ffl.
Соблюдение условий ассоциативности для всевозможных
троек элементов (X, Y, Z) и означает ассоциативность дей-
действия.
Естественно поставить вопрос, являются ли независимыми
все условия ассоциативности, т. е. не следует ли из выпол-
выполнения некоторых из них выполнение и всех остальных.
Изложенные ниже исследования Саса [1] показывают, что за
малосущественным исключением имеет место независимость
условий ассоциативности.
2.2. Если количество элементов з некотором множестве 9?
больше одного, то в 91 можно несколькими различными
между собою способами определить действие. Другими сло-
словами, существует несколько различных мультипликативных
множеств с одним и тем же множеством элементов. Именно
с этим обстоятельством и связана формулировка намеченной
выше проблемы.
Будем говорить, что в множестве 01 условия ассоциа-
ассоциативности независимы, если для любой последователь-
последовательности (А, В, С) из трех элементов, принадлежащих 91, всегда
можно в 91 так определить действие умножения, что равенства
будут выполнены для любой последовательности (X, Y, Z)
элементов из 31, отличной от (А, В, С), тогда как для этой
последней имеет место
(АВ)СфА(ВС).
2.3. Сразу видно, что ответ на вопрос о том, являются ли
условия ассоциативности зависимыми или нет, зависит лишь
от количества элементов во множестве.
Теорема. Если количество элементов в множестве 3t
больше трех, то условия ассоциативности в 31 незави-
независимы B.2).
Доказательство. Пусть (А, В, С) — произвольная
последовательность трех элементов из 3i- В зависимости от

24 ПОНЯТИЕ ПОЛУГРУППЫ [ГЛ. I
того, какие из элементов А, В, С различны, а какие одина-
одинаковы между собой, рассуждение распадается на пять случаев.
1) А = В = С.
Возьмем в 01 три различных элемента U, V, W, отличных
от А. Определим в 01 следующим образом действие умно-
умножения:
XY = W — во всех остальных случаях.
Сразу замечаем, что при таком определении умножения
условие ассоциативности, соответствующее нашей последо-
последовательности, не выполнено:
(АА) A = UA = W,
A(AA) = AU-—V.
Нам надо показать, что условие ассоциативности, соот-
соответствующее любой последовательности (X, Y, Z), отличной
от (А, А, А), выполняется.
Так как ХУфА, то всегда
(XY) Z = W.
Если X отлично от А, то
X(YZ)-=W.
Пусть Х= A; YZ равняться А никогда не может. Элементу U
это произведение может равняться лишь при Y = A, Z = А,
когда (X, Y, Z) — (A, А, А). Во всех остальных случаях
2) А =
Возьмем в 31 элемент W, отличный от Л и С. Действие
в -ft определим следующим образом:
АС = С,
XY = W во всех остальных случаях.
Имеем
= AG =C,

§ 2] НЕЗАВИСИМОСТЬ УСЛОВИЙ АССОЦИАТИВНОСТИ 25
Для любой последовательности (X, Y, Z), отличной
от (А, А, С), получаем
(XY) Z = W,
так как XY всегда отлично от А. Также
X(YZ) = W,
так как или ХфА, или YZ=fcC [равенство YZ = C возможно
лишь при Y== A, Z = C, но это при Х=А означало бы,
что (X, К, Z) совпадает с (А, А, С)].
3) А = СфВ.
Возьмем в 91 элемент W, отличный от Л и В. Опреде-
Определяем в 01 действие:
АА — А, ВА = А, ВВ = В,
XY = W во всех остальных случаях.
Имеем
(АВ) A — W.
Для любой последовательности (X, Y, Z), отличной
от (А, В, А), в которой хотя бы один из элементов отличен
и от А и от В, получаем
= W, X{YZ) = W.
Пусть каждый из X, Y, Z равен А или В. Если X
равен В, то имеем
(BY) Z=YZ, В (YZ) = YZ;
если Z равен А, то имеем
(XY) А = А, X (YA) = ХА = А.
Наконец, в оставшихся двух последних случаях
(АА)В = АВ =W, A(AB) = AW=W;
(АВ) B = WB = W, A(BB) = AB =W.
4) АФВ = С.
Возьмем в 91 элемент W, отличный от А и В. Опреде-
Определяем в 91 действие:
XY = W во всех остальных случаях.

26 ПОНЯТИЕ ПОЛУГРУППЫ , [ГЛ. I
Имеем
(АВ) В = АВ =А,
Для любой последовательности (X, Y, Z), отличной
от (А, В, В), получаем
(XY) Z = W,
так как или ХУфА, или (при Х=А и Y = В) 1фВ.
Также
X(YZ) = W,
так как YZ^B.
5) А, В, С—попарно различны.
Возьмем в 91 элемент W, отличный от А, В и С. Опре-
Определяем в 3t действие:
АС = С,
XY = Хъ других случаях, когда Л' и К есть элементы А, В, С;
XY = W во всех остальных случаях.
Имеем
= АС =С,
Если в последовательности (X, Y, Z) имеется элемент,
отличный от А, В, С, то
(XY)Z = W,
Пусть X, К, Z—элементы А, В, С. Если ХфА, то
(XY)Z = XZ = X, X(YZ) = X.
Если Х=А и Y = C, то
(AY) Z = (AC) Z = CZ = C, X(YZ) = A (CZ) = АС = С.
Если Х=А, Y = A, Z = C, то
(XY) Z = A (AC) = AC = С, X(YZ) = A (AC) = AC = C.
Если *=/!, К = Л, Z=^C, то
(XY) Z = (AA) Z = AZ = A, X(YZ) = A (AZ) = AA=A.

§ 2] НЕЗАВИСИМОСТЬ УСЛОВИЙ АССОЦИАТИВНОСТИ 27
Если Х=А, Y = B, гфС, то
(XY) Z = (АВ) Z = AZ = A, X(YZ) = A (BZ) = АВ = А.
2.4. Для завершения исследования о независимости усло-
условий ассоциативности необходимо еще рассмотреть те случаи,
когда множество 01 состоит из одного, двух или трех эле-
элементов.
Если У1 состоит из одного элемента, то, согласно 2,2,
условия ассоциативности нельзя считать независимыми.
Пусть 01 состоит из двух или трех элементов. Фиксируем
один из них—элемент U. Предположим, что в 91 опреде-
определено такое умножение, при котором условия ассоциативности
выполнены для всех последовательностей (X, Y, Z), за исклю-
исключением последовательности (U, U, U), для которой имеет
место (ии)ифи(ии).
Обозначим U2 = V. Из сделанного предположения сле-
следует: VU^UV. Элемент V отличен от U, ибо иначе VU = UV.
Последовательно рассмотрев ряд случаев, убедимся, что
в каждом из них сделанное предположение приводит к про-
противоречию. Это будет означать, что условия ассоциативности
во множестве, состоящем из двух или трех элементов, не
независимы.
1) Пусть VU = U, UV = V,
тогда
U = VU = (UV) U = U (VU) = UU = V.
2) Пусть VU — U, UV = W (здесь и в дальнейшем W
означает элемент, отличный и от U и от V), тогда
U = VU = (UU) U ='WU) U]U = [V (UU)] U = (VV) U =
= [(UU) V]U = [U (UV)] U = (UW) U = U (WU) =
= U [(UV) U] = U[U (VU)] = U (UU) = UV =
3) Пусть VU = V, UV = W,
тогда
V=VU = (YU) U = V (UU) = W = (YU) V = V (UV) = -
= VW = (UU) W = U (UW) = U[U (UV)] = U \(UU) V] =
«= U(W) = V [V (UU)] = U [(VU) U] = U (VU) = UV=W.

28 ПОНЯТИЕ ПОЛУГРУППЫ [ГЛ. I
Случаи
1') VU = V, UV = U;
20 VU = W, UV = U\
3') VU = W, UV = V,
очевидно, аналогичны соответствующим рассмотренным слу-
случаям 1), 2), 3).
2.5. Для тех случаев, когда условия ассоциативности не
являются независимыми, можно было бы продолжить иссле-
исследования, установив те минимальные совокупности условий
ассоциативности, из которых вытекает ассоциативность всего
действия. Однако случай зависимости, как мы видели, имеет
место лишь для сравнительно мало интересных множеств,
имеющих не более трех элементов. Поэтому мы не будем
на этом задерживаться. Так как случай коммутативных дейст-
действий представляет особый интерес, то довольно естественно
исследовать вопрос о независимости условий ассоциативности
для коммутативных действий. Соответствующее исследование
было проведено также Сасом [2].
§ 3. Общие полугруппы и полугруппы преобразований
3.1. Среди различных направлений общей теории алге-
алгебраических действий в согласии со сказанным в § 1 должно
существовать направление, посвященное изучению мульти-
мультипликативных множеств с ассоциативным действием. Такие
мультипликативные множества называются полугруппами.
Определение. Полугруппой называется непустое
множество 91, в котором для любой пары взятых в опре-
определенном порядке элементов X, Y ? % определен новый
элемент, называемый их произведением
причем для любых X, Y, Z?9l всегда выполнено
= X(YZ).
Так как в наше определение включен и способ обозначе-
обозначения результата действия в виде произведения, то точнее
было бы говорить о мультипликативной полугруппе. Мы не
будем этого делать ввиду несущественности способа обозна-
обозначения результата действия, а также и потому, что в даль-

§ 3] ОБЩИЕ ПОЛУГРУППЫ И ПОЛУГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 29
нейшем не будем употреблять иного обозначения, кроме
мультипликативного.
Следует иметь в виду, что в литературе наравне с тер-
термином „полугруппа" употребляются некоторые другие равно-
равнозначные термины—„ассоциативная система", „ассоциативный
группоид" и др. Что касается термина „полугруппа", то его
применение иногда ограничивают случаем выполнения свойств
сокращения слева и сокращения справа A.18).
3.2. В согласии со сказанным в 1.18 особо выделяются
нижеследующие важные частные виды полугрупп.
(а). Полугруппа % называется коммутативной,
если для любых А, В ? 91 всегда выполнено
АВ = В А.
(Р). Полугруппа Ъ. называется группой, если для
любых А, S?9l в 91 всегда найдутся такие X и Y, что
ХА = В, AY = B.
(if). Полугруппа 91 называется полугруппой с ле-
левым сокращением, если при любых X, А, В?ЭД из
всегда следует А = В.
(8). Полугруппа % называется полугруппой с пра-
правым сокращением, если при любых Y, А, В?91 из
AY = BY
всегда следует Л = В.
(е); Полугруппа %. называется полугруппой с дву-
двусторонним сокращением, если она одновременно
является и полугруппой с левым сокращением и полу-
полугруппой с правым сокращением.
Разумеется, эти свойства могут комбинироваться как
между собой, так и с другими свойствами, в результате
чего мы получаем различные важные классы полугрупп,
например класс коммутативных групп, класс счетных полу-
полугрупп с левым сокращением и т. п. Очень существенным
свойством является мощность множества всех элементов
полугруппы. Часто ее называют порядком полугруппы. Наи-
Наиболее простая из полугрупп — полугруппа, состоящая из
одного элемента, — называется единичной полугруппой или

30 ПОНЯТИЕ ПОЛУГРУППЫ [ГЛ. 1
единичной группой (поскольку она, очевидно, является
группой).
3.3. Теория групп, являющихся частным видом полугрупп,
развилась значительно раньше общей теории полугрупп.
Даже сам термин „полугруппа" образовался путем видоиз-
видоизменения ранее укрепившегося термина „группа". В настоящее
время теория групп представляет собой весьма разветвлен-
разветвленную и глубокую обширную алгебраическую теорию. Имея
целью изложить основы общей теории полугрупп, мы неодно-
неоднократно будем сталкиваться с группами. Во многих случаях
мы будем сводить вопрос об изучении того или иного свойства
общих полугрупп к рассмотрению соответствующего свойства
для групп, считая это значительным продвижением вопроса
ввиду сравнительно большей изученности групп. Однако спе-
специально останавливаться на рассмотрении групповых вопросов
мы обычно не будем, считая, что читатель может ознако-
ознакомиться с ними по книгам и статьям, специально посвященным
рассмотрению группг.
3.4. Полугруппы встречаются в самых разнообразных
областях математики. Все мультипликативные множества,
указанные в 1.21, являются полугруппами, поскольку дейст-
действие во всех рассмотренных там случаях ассоциативно. Из них
группой в общем случае является лишь мультипликативное
множество неособенных матриц.
Не задерживаясь на рассмотрении других примеров,
отметим, что обилие их указывает на важность построения
теории полугрупп для различных отраслей математики.
З.б. Наиболее важной из причин, побуждающих к пост-
построению теории полугрупп, является связь понятия полу-
полугруппы с понятием умножения преобразований.
Пусть 2 есть некоторое множество. Отображение мно-
множества 2 в себя называется преобразованием. В дальнейшем
мы будем записывать действие преобразования на элементы
из 2 в операторной форме. Элемент р ? 2, в который ото-
отображается элемент а?2 при преобразовании 5, будем обо-
обозначать в виде произведения 5 и а:
1 См., например, А. Г. К у р о ш. Теория групп, изд. 2, Гостех-
издат, 1953.

Ь] ОБЩИЕ ПОЛУГРУППЫ И ПОЛУГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 31
.связи с таким обозначением иногда говорят об умножении
|реобразования (оператора) 5 на а.
Условимся также о следующем обозначении. Если 9t есть
Вкоторая совокупность преобразований множества 2 иГс:2,
через Э?Г будем обозначать множество всех элементов
2 представимых в виде Ха, где Х?*Я и а?Г.
Укажем на обозначение преобразований в виде подста-
dbok. При такой записи все элементы 2 мыслятся записан-
лми в одной строке (в произвольной последовательности).
1од каждым из них подписывается тот элемент, в который
Ьн отображается (преобразуется) при данном преобразова-
преобразовании S:
I /« I» Т..Л
; °~~\Sa SP Sf.../
|здесь 2 = {а, р, Т, ...}).
3.6. Пусть ©а есть множество всех преобразований неко-
некоторого непустого множества 2. В <5а естественным образом
^водится действие умножения, при котором произведением
$вух преобразований считается преобразование, получающееся
Щ результате последовательного применения исходных пре-
Ьбразований. Таким образом, для X, Y, Z ?©а имеет место
«ели для всякого а ^ 2 выполнено
I X(Ya) = Za.
Легко видеть, что это правило для каждых X, ?
"Йпределяет XY единственным образом. Благодаря этому ©а
'Сказывается мультипликативным множеством.
¦*''!' Указанное действие ассоциативно. Действительно, для
'Любых Л', Y, Z?<&s и а^2 имеем
...:. [(XV) Z]a = (XY) (Za) = X[Y (Za)];
^ = X[Y (Za)].
Поскольку
%. [(XY)Z]a=[X(YZ)]a
для любого a^Q, преобразования (XY)Z и X(YZ) оди-
одинаковы.

32 ПОНЯТИЕ ПОЛУГРУППЫ {ГЛ. I
Таким образом, множество <5s всех преобразований
произвольного множества Q относительно действия
умножения (т. е. последовательного применения) преобра-
преобразований оказывается полугруппой.
Если % есть некоторое мультипликативное множество
преобразований множества 2 (т. е. %а<&а), причем произ-
произведение двух любых преобразований из % всегда принад-
принадлежит %, то, очевидно % является полугруппой (поскольку
из ассоциативности действия в (©2 непосредственно вытекает
ассоциативность действия в %). Такая полугруппа называется
полугруппой преобразований множества Q.
Необходимость рассматривать различные совокупности
преобразований встречается в математике очень часто. Если
первоначально такая совокупность не является полугруппой,
то ее всегда можно дополнить до полугруппы, присоединяя
к ней преобразования, являющиеся произведениями исходных
преобразований.
3.7. Конечно, необходимость рассматривать преобразова-
преобразования встречается не только непосредственно в самой матема-
математике, но и в других научных дисциплинах. Бегло рассмотрим,
например, следующую весьма обычную физическую схему.
Пусть % есть некоторая физическая система состояний, отно-
относительно которой известно, что она может находиться в одном
из состояний па, Пр, ..., щ, .... совокупность которых
обозначим через Q. Система % подвергается некоторым воз-
воздействиям. Каждое воздействие 5 определяется указанием,
гласящим, что если система находилась в состоянии щ, то
в результате данного воздействия она перейдет в новое со-
состояние п, (которое иногда может, конечно, и совпадать
с исходным состоянием щ, если данное состояние устойчиво
относительно этого воздействия). Таким образом, каждое
воздействие на систему ЭД. представляет собой не что иное,
как преобразование в множестве состояний системы Q =
= {tte, ttp, .... щ, ...}. Результат двух последовательных
воздействий также можно рассматривать как воздействие.
Преобразование, производимое этим последним, есть, ко-
конечно, не что иное, как произведение тех преобразований,
которые соответствуют двум последовательным воздействиям,
результатом чего явилось данное воздействие. Таким обра-
образом, совокупность рассматриваемых воздействий на физиче-
физическую систему %, будучи замкнута относительно последова-

§ 3] ОБЩИЕ ПбЛУГРУППЫ It ПОЛУГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 33
тельного применения воздействий (т. е. результат последо-
последовательного применения рассматриваемых воздействий на си-
систему сам причисляется к числу этих воздействий), пред-
представляет собой не что иное, как полугруппу преобразований
множества всех рассматриваемых состояний системы. Всё
вопросы, связанные с последовательными переходами системы
из одного состояния в другое под влиянием последовательно
примененных воздействий, определяются умножением элемен-
элементов указанной полугруппы.
3.8. Укажем также, что эту схему можно усложнить,
допустив, что в результате воздействия система может
перейти из данного состояния не обязательно в одно опре-
определенное, но в несколько различных состояний, причем ука-
указаны вероятности того, что в результате этого воздействия
она из данного состояния перейдет в другое. Здесь мы опять
получаем полугруппу, элементы которой, однако, будут
задаваться не просто преобразованиями, но вероятностными
матрицами, строки и столбцы которых занумерованы эле-
элементами множества состояний, а элементом матрицы является
вероятность р^ перехода системы из состояния щ, соответ-
соответствующего строке, содержащей данный элемент, в состоя-
состояние 1ц, соответствующее столбцу.
Такие матрицы характеризуются условиями
^Последовательному применению воздействий, как легко
вйдвЦ», соответствует последовательное умножение соответ-
соответствующих вероятностных матриц. Таким образом, изучение
вопросов о последовательных применениях таких воздействий
и вероятных последствиях из них сводится к рассмотрению
3 За*. 438. В. С. Ляпаа

34 понятий полугруппы [гл. i
умножения элементов в соответствующей мультипликативной
полугруппе вероятностных матриц (конечных или бесконеч-
бесконечных, в зависимости от множества возможных состояний 2).
3.9. Значение понятия полугруппы для теории преобра-
преобразований заключается не только в том, что всякое мульти-
мультипликативное множество преобразований является полугруппой,
но и в том, что с абстрактной точки зрения A.8) справед-
справедливо и обратное утверждение.
Для полугруппы 31 = {А, В, .... 5, ...} обозначим
через Ля множество, состоящее из всех элементов % и еще
одного нового яотделяющего" элемента /:
Ля={/, А, В S, ...}.
Каждому S?3l сопоставим преобразование Т$ множе-
множества Ла, называемое левым сдвигом Ла, соответствующим
элементу S:
(умножение 5 на X производится, конечно, по правилу
умножения элементов в %).
В виде подстановки левый сдвиг записывается следующим
образом:
//Л В ... /? ...\
s \S (SA) (SB) ... (SR) ...)'
Левые сдвиги, соответствующие различным элементам %,
представляют собой различные преобразования Ла. Действи-
Действительно,
= S, TRI = R.
Обозначим через %% множество всех левых сдвигов, соот-
соответствующих элементам из 31. Оно образует полугруппу
преобразований множества Ла (полугруппа левых сдвигов),
так как при любых S, Я ?91
(TSTS) I = Тв (TSI) = TRS = RS= T{HS)l,
(TSTS) X=TB (TSX) = TR (SX) = RSX=
т. e.

§ 3] ОБЩИЕ ПОЛУГРУППЫ И ПОЛУГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 35
Из последнего равенства следует, что взаимооднозначное
отображение <р полугруппы % на полугруппу левых сдви-
сдвигов 2а
является изоморфизмом.
Таким образом, мы показали, что всякая полугруппа
изоморфна некоторой полугруппе преобразований C.6).
Поскольку всякая полугруппа преобразований содержится
в некоторой полугруппе <&а C.6), полученный результат
объясняет важную роль полугрупп <5а в теории полугрупп.
В некотором смысле изучение любых полугрупп может быть
сведено к изучению полугрупп <&а. Этим объясняется, в част-
частности, то внимание, которое будет уделено полугруппам <&а
в дальнейшем.
Конечно, надо оговорить, что сказанное отнюдь не сле-
следует понимать как обязательное изоморфное отображение
всякой изучаемой полугруппы в некоторую полугруппу <Вя
при исследовании любого свойства полугруппы. Нередко это
было бы совсем нецелесообразно.
3.10. В терминах теории представлений доказанное в 3.9
предложение означает, что всякая полугруппа представима
преобразованиями (т. е. представима в классе полугрупп
преобразований). Разумеется, всякая полугруппа обладает
многими другими представлениями преобразованиями, помимо
использованного в 3.9 представления. Однако это предста-
представление используется при различных исследованиях наиболее
часто. Оно называется представлением полугруппы левыми
сдвигами.
Что касается естественно возникающей задачи описания
U классификации всех представлений полугрупп, то в ее по-
постановке необходимы некоторые дополнительные уточнения
И ограничения. Работа в направлении решения этой важной
задачи только еще начата. Упомянем работу Столла [1] и
••Исследования В. В. Вагнера [6].
ч" Обозначим через S класс всех мультипликативных мно-
множеств преобразований, т. е. класс полугрупп преобразова-
преобразований. Как мы показали, каждая полугруппа представима
в классе S. С другой стороны, каждое мультипликативное
множество, представимое в Е, является полугруппой (так как
всякое мультипликативное множество, изоморфное полугруппе,
3*

36 ПОНЯТИЕ ПОЛУГРУППЫ [ГЛ. I
само является полугруппой). Таким образом, можно сказать,
что в классе всех мультипликативных множеств класс всех
полугрупп выделяется как класс тех мультипликативных
множеств, которые представимы преобразованиями (класс Г
в обозначении 1.15). Другими словами, условие ассоциатив-
ассоциативности умножения в мультипликативном множестве (т. е. при-
принадлежность мультипликативного множества к классу полу-
полугрупп) является абстрактной характеристикой класса мульти-
мультипликативных множеств преобразований A.15).
3.11. Следует отметить, что в множестве всех преобра-
преобразований множества 2, помимо действия, определенного в 3.6,
иногда рассматривается симметричное ему действие, которое
мы будем обозначать значком Q. Именно для преобразова-
преобразований 5 и R множества 2 результатом этого действия является
преобразование
(где произведение R ¦ S понимается в смысле 3.6).
Действие 0 естественно рассматривать тогда, когда знак
преобразования пишется не слева, а справа от преобразуемого
элемента (что довольно распространено). При такой записи
мы имеем
Теория определенного в 3.6 действия умножения преоб-
преобразований, очевидно, вполне аналогична теории действия О-
Мультипликативное множество всех преобразований 2, рас-
рассматриваемое относительно указанного действия Q, будем
обозначать через ©9- Легко видеть, что ©9 является полу-
полугруппой. Хотя полугруппы ©2 и ©9 состоят из одних и
тех же элементов, действия в них различны, и потому полу-
полугруппы © и ©° следует рассматривать как различные.
Тождественное отображение множества всех преобразова-
преобразований множества 2 определяет собою антиизоморфизм @а
на <В9 A-17). Так как полугруппы ©а и ©9 антиизоморфны,
то их строение и свойства вполне сходны. Точнее сказать,
их свойства симметричны. Полугруппы ©2 и ©9 неизо-
неизоморфны (если 2 содержит более одного элемента). Это
видно, например, из того, что ©2 содержит элемент ?/„
(а произвольный фиксированный элемент из 2, U, такое

§ 3] ОБЩИЕ ПОЛУГРУППЫ И ПОЛУГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 37
преобразование, что ?/J = a для любого $?2), обладающий
свойством
для всякого S? ©2. В ©9 элемента с таким свойством нет,
ибо для всякого
иафУ9 (a^=P; a,
и либо X О Ua> либо X Q Up отлично от X.
• 3.12. Рассмотрение действия О C-11) естественно вызы-
вызывает к жизни образования, симметричные левым сдвигам.
Для S?5l определяем преобразование 79 множества Ла C.9),
называемое правым сдвигом:
А В ... R
(AS) (BS) ... (RS)
Аналогично 3.9 легко убедиться, что отображение ф полу-
полугруппы 51 в полугруппу
является изоморфизмом 51. Это есть так называемое пред-
представление % правыми сдвигами. Полугруппу правых сдвигов
означаем через %$.
3.13. Среди преобразований особо выделяются обратимые
Преобразования. Преобразование 5 множества 2 называется
форатимым, если существует такое „обратное" к нему
^Преобразование S~1 того же множества, что
" СС—1 СС Р
! :¦, оо — о о — С,
где Е есть тождественное преобразование* т. е. такое
что Ца = а для всякого а? 2.
Щ:;,©рф?деления непосредственно следует, что само пре-
преобразование 5 в свою очередь является обратным для S'1.
Поэтому обратное преобразование само обратимо.

38 ПОНЯТИЕ ПОЛУГРУППЫ [ГЛ. I
К числу обратимых преобразований принадлежит и само
тождественное преобразование Е, для которого, очевидно,
Е-1 = Е.
Кстати, отметим одно простое свойство тождественного
преобразования Е. Для любого преобразования 5 того же
множества 2, очевидно, всегда имеет место
3.14. Можно охарактеризовать обратимое преобразование
также и „внутренним" образом.
Теорема. Для того чтобы преобразование S множе-
множества 2 было обратимо, необходимо и достаточно,
чтобы
(а) при любых $,•»)? 2 (? ф •»;) имело место 5& Ф 51»),
(Р) 52 = 2 C.5).
Доказательство. 1) Пусть 5 обратимо. Если для
некоторых !;,•»)? 2 имеет место
5$ = S*),
то мы имеем
$ = Е\ = 5"'5S = S~\St) = Eti = tj.
Далее, так как
2 = ?2 = SS^Q = 5 E"J2) с 52,
то 52 = 2.
2) Если для преобразования 5 выполнены оба условия
теоремы (а) и ф), то определяем 5 как такое преобразо-
преобразование 2, что при 5? = т} (благодаря (Р) всякое *г\ ^2 пред-
ставимо таким образом, а благодаря (а) для каждого ¦»}
найдется лишь единственное %, удовлетворяющее этому соот-
соотношению) имеет место
Для такого 5 имеем
Так как в качестве % и tj могут фигурировать любые эле-
элементы из 2, то это означает, что как 55", так и 5-15
является тождественным преобразованием.

§ 3] ОБЩИЕ ПОЛУГРУППЫ И ПОЛУГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 39
3.16. Из теоремы следует, что обратное,преобразование
к данному обратимому преобразованию 5 определяется един-
единственным образом. Действительно, пусть преобразования
S' и S" оба обратны к S. Всякий элемент tj^Q представим
в виде 51. Так как
S' E5) = E*5) 5 == Е% = E*5) % = S" ES).
то S' = S".
При записи преобразований в виде подстановок мы, оче-
видно, имеем
> Т' -
3.16. Свойство обратимости преобразования связано с по-
понятием группы C.2).
". Полугруппу некоторых обратимых преобразований ©
Множества 2 назовем группой обратимых преобразований,
если © вместе с преобразованием 5 всегда содержит и об-
обратное к 5 преобразование 5. Легко видеть, что полу-
Угруппа © в этом случае действительно является группой.
Для А, В?® при X=BA~V и Y = A~1B, где /Г1 —
Обратное к А преобразование, имеем благодаря 3.13
» С другой стороны, несколько позже (II, 2.17) мы по-
покажем, что всякая группа изоморфна некоторой группе
обратимых преобразований.
' Таким образом, класс групп характеризуется как класс
'Мультипликативных множеств, обладающих представлениями
Ь'В классе мультипликативных множеств обратимых преобра-
преобразований, содержащих для каждого преобразования и ему
«Обратное. Если обозначить класс таких мультипликативных
'ЙЙгожеств преобразований через S, то в обозначениях 1.15
Щщсс групп будет классом Г. Другими словами, условие
быть группой есть абстрактная. характеристика класса"
мультипликативных множеств преобразований S.
3.17. Сравнивая этот результат с 3.9, мы можем уяснить
себе как места общей теории полугрупп и теории групп
в математике, так и их взаимное отношение. Алгебраическая
теория полугрупп кратко может быть охарактеризована как

40 ПОНЯТИЕ ПОЛУГРУППЫ [ГЛ. I
абстрактное учение о произвольных преобразованиях. Ана-
Аналогично теория групп есть абстрактное учение об обратимых
преобразованиях. Ввиду важной роли обратимых преобразо-
преобразований очевидно то выдающееся место, которое должна
занимать и занимает теория групп. То, что изучение обра-
обратимых преобразований естественно раньше привлекало к себе
внимание математиков, определило более раннее развитие
теории групп. С другой стороны, очевидна невозможность
ограничиваться изучением лишь обратимых преобразований.
В связи с этим возникла задача построения общей абстракт-
абстрактной теории полугрупп.
3.18. Рассмотрение различных преобразований и их
последовательное применение (умножение) столь обычны
в современной математике, что не представило бы труда
привести неограниченное количество примеров. Мы бегло
остановимся лишь на одном направлении теории преобразо-
преобразований, долженствующем сыграть важную роль в теории
полугрупп и ее применении в различных областях мате-
математики.
Пусть между элементами некоторого множества заданы
некоторые соотношения. Пока что мы понимаем термин
„соотношение" в общем описательном смысле и не уточняем
его (ниже мы дадим одну общую конструкцию, которая,
видимо, достаточно точно отражает рассматриваемую идею).
Задание некоторых соотношений в множестве естественно
выделяет среди различных преобразований этого множества
такие преобразования, которые не нарушают этих соотноше-
соотношений. Такие преобразования множества с данной совокупностью
соотношений назовем его эндоморфизмами (о другом, более
узком, понимании этого термина будет сказано ниже). Таким
образом, преобразование множества с соотношениями есть
эндоморфизм, если всякая система элементов из этого мно-
множества, связанных одним из рассматриваемых соотношений,
преобразуется в систему элементов, опять-таки связанных
этим же соотношением. Тождественное отображение множества
на себя, конечно, всегда является эндоморфизмом. Результат
последовательного применения двух эндоморфизмов есть
преобразование, которое, очевидно, опять-таки не нарушает
рассматриваемых соотношений, т. е. само является эндомор-
эндоморфизмом. Из этого следует, что при любой системе соотно-
соотношений в произвольном множестве совокупность эндоморфизмов

к 3] ОБЩИЕ ПОЛУГРУППЫ И ПОЛУГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 41
всегда оказывается полугруппой — полугруппой эндомор-
амов.
Очевидно, алгебраические свойства полугруппы эндомор-
эндоморфизмов определяются свойствами системы соотношений
щ. множестве. В свою очередь алгебраические свойства полу-
{фудпы эндоморфизмов в той или иной степени характери-
характеризуют исходные соотношения в рассматриваемом множестве.
/,. Таким образом, изучение полугруппы эндоморфизмов
цржет быть использовано для классификации и изучения
Двойств множеств с теми или иными системами соотношений
|11ежду их элементами.
У Естественно ожидать, что изучение полугрупп эндомор-
эндоморфизмов и установление указанных взаимных связей между их
Двойствами и свойствами самих множеств должно стать одним
1яа важнейших направлений развития теории полугрупп,
Ййр всей вероятности, чрезвычайно богатым приложениями
^алгебраической теории полугрупп в различных областях
^Математики. В настоящее время соответствующая работа,
||й»кно сказать, еще не начата.
ji*' 3.19. Для иллюстрации сказанного укажем на несколько
|||вяугрупп эндоморфизмов.
|к (а). Пусть % есть некоторая полугруппа (в частности,
¦1(Й>жет быть группа). Соотношениями в % будем считать
^отношения, определяющие действие в %
§>'•• XY = Z (X, Y,
•• Эндоморфизмом будет в этом случае такое отображение <р
руппы % в себя, при котором для элементов X, Y, Z,
иных соотношением XY = Z всегда выполняется
Г
Отметим, что именно для этого случая (причем для группы)
?ннн „эндоморфизм" применялся до сих пор. Кое-какие,
еще очень малочисленные, связи между свойствами-
рппы и свойствами ее полугруппы эндоморфизмов уже
ечались в математической литературе.
), Пусть Q есть множество всевозможных одночленов
от переменных xv х^. .... хп над некоторым полем Р: '

42 ПОНЯТИЕ ПОЛУГРУППЫ [ГЛ.
В 2 определено соотношение между некоторыми тройками
одночленов и, v, w, определяющее умножение этих одно-
одночленов в обычном смысле: av — w. Кроме того, особо
выделяем одночлены нулевой степени, т. е. элементы поля Р.
При этом фиксирование каждого из них также считаем
соотношением в 2. Тем самым эндоморфизмами множества 2
мы должны считать такие преобразования X множества 2,
для которых всегда имеет место X(uv) = Х(а) • X(v) (и, v ? 2)
и Х(а) = а (а?Р). Очевидно, всякий такой эндоморфизм X
вполне определяется заданием образов для переменных xt:
При этом задание произвольной последовательности эле-
элементов ax, Og, ..., ап из Р и целых неотрицательных чи-
чисел kfj A-^.t, j ¦<!«) очевидным образом определяет некоторый
эндоморфизм X.
Указанные эндоморфизмы представляют собой не что иное,
как совершенно естественное, непосредственное обобщение
так называемых мономиальных подстановок, рассматриваемых
в теории групп, где они играют важную роль. Обычные
мономиальные групповые подстановки — это такие из указан-
указанных эндоморфизмов, у которых щ Ф 0 и все йу равны нулю,
за исключением п показателей fty , ky knjn (jp Ф jq
при р Ф q), равных единице.
(f). В том же множестве 2, которое было рассмотрено в (fi),
определяется соотношение делимости. Элементы и и v связаны
этим соотношением, если существует такой tf?2, что u = vt.
Для этого соотношения определяется своя полугруппа эндо-
эндоморфизмов. Очевидно, всякое преобразование из полугруппы,
рассмотренной в (р), принадлежит к этой полугруппе эндо-
эндоморфизмов, не нарушающих соотношения делимости. Однако
эта последняя полугруппа обширнее полугруппы из ({)). Она,
например, включает преобразование Z

§ 3] ОБШ.ИЁ ПОЛУГРУППЫ И пбЛУГРУППЫ ПРЕОБРАЗбВАНИЙ 43
которое, как легко убедиться, не содержится в полугруппе
эндоморфизмов, рассмотренной в (Р).
(8). Пусть Г = {а, р, .. .} есть произвольное подмножество
некоторого топологического пространства 2. Будем говорить,
что элементы а, C, .... составляющие Г, связаны соотноше-
соотношением, если Г есть открытое, подмножество 2. Задание такого
соотношения равносильно заданию топологии в множестве
всех элементов 2. Эндоморфизмами 2 будут в этом случае
преобразования 2, которые всякое открытое подмножество
отображают на открытое же подмножество. Таким обра-
образом, в рассматриваемом случае полугруппа эндоморфизмов
-есть полугруппа открытых отображений пространства 2
в себя.
(е). Аналогично (8) можно в 2 рассматривать соотношение,
которое связывает элементы а, р, . .. в том случае, когда
{а, р, ...} есть замкнутое подмножество 2. Относительно
такого соотношения эндоморфизмами являются замкнутые
отображения 2 в себя.
(С). Пусть 2Х есть поле, являющееся нормальным расши-
расширением поля 22. Соотношениями в 2j являются соотношения,
определяющие действия сложения и умножения в 2Х, а также
соотношения, фиксирующие каждый из элементов, принадле-
принадлежащих полю 22. Как известно, все преобразования, сохра-
сохраняющие указанные соотношения, являются обратимыми взаимно
однозначными преобразованиями.
Полугруппа эндоморфизмов в этом случае состоит из обра-
обратимых преобразований, так называемых автоморфизмов рас-
расширения, и является группой. Связи между свойствами
расширения и свойствами группы автоморфизмов хорошо
.Изучены. Они очень глубоки и важны для теории полей.
Изучением их занята так называемая теория Галуа, которая
,;тем самым дает великолепный образец для указанного выше
направления развития теории полугрупп — изучения полугрупп
Эндоморфизмов.
S;i 3.20. В общем случае определение эндоморфизма, приве-
приведенное в 3.18, не было достаточно четким ввиду того,
что мы не определили достаточно ясно, чтб в общем случае
понимать под соотношением в множестве. Это не помешало
нам рассмотреть ряд полугрупп эндоморфизмов, поскольку
в каждом конкретном случае мы точно устанавливали, о каких
соотношениях в рассматриваемых множествах шла речь.

44 ПОНЯТИЕ ПОЛУГРУППЫ [ГЛ. I
Остановимся ненадолго на том, чтобы придать понятию эндо-
эндоморфизма четкий смысл и в общем случае.
Пусть 2 рассматриваемое множество. Зададим множество S
и будем рассматривать отображения S в 2. Из множества
всех таких отображений выделим некоторую совокупность
отображений Ф. Она определит собою следующим образом
соотношение в 2. При ср?Ф будем говорить, что элементы
?00. <pOi)> ••• множества 2 (где Е={&, т], ...}) связаны
между собой соотношением, определенным совокупностью Ф.
Если 2 есть множество с совокупностью соотношений,
определяемых каждое указанным способом, то эндоморфиз-
эндоморфизмом X будет такое преобразование 2, при котором отобра-
отображение ty = X<p (результат последовательного применения
сперва отображения <р. затем X) будет принадлежать Ф при
любом <р? Ф.
Легко видеть, что приведенные в 3.19 примеры подходят
под такое общее определение.
Пусть, например, в множестве 2 задано действие. Берем
в качестве ? множество {1, 2, 3}. Отображение <р множества ?
в 2 относим к Ф, если для принадлежащих 2 элементов
<рA), <рB), <рC) в 2 имеет место срA) • ср B) ¦¦= <р C). Оче-
Очевидно, так определенное соотношение вполне определяет
исходное действие в 2.
Выделение констант, образующих подмножество 2' мно-
множества 2, также можно оформить путем введения некоторых
соотношений. Для каждого X ? 2' соотношение определяется
заданием множества Е, состоящего из одного элемента,
причем отображение ср этого 2= {о} в 2 относится к Ф
только в том случае, когда ср(о) = Х. При включении такого
соотношения в число рассматриваемых, эндоморфизм X,
очевидно, должен не изменять X, т. е. Х(к) = \.
Можно и задание топологии в множестве 2 осуществить
заданием некоторого соотношения. Именно берем в качестве 2
множество с мощностью, не меньшей мощности 2. Отобра-
Отображение Е в 2 отнесем к классу Ф, если <р(Е) есть открытое
множество (или замкнутое для примера, рассмотренного
в 3.19, (е)). Тем самым преобразованиями, не нарушающими
такого соотношения, оказываются открытые отображения
топологического пространства в себя.
Легко представить себе и различные другие виды и типы
соотношений, получающихся путем конкретизации указанной

§ 4] ЧАСТИЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 45
общей конструкции. Им также соответствуют и могут быть
использованы как орудие исследования соответствующие
полугруппы эндоморфизмов.
§ 4. Частичные преобразования
4.1. В некоторых разделах математики встречается не-
необходимость обобщения понятия преобразования.
Пусть Л1 и П2 есть два подмножества множества 2.
Отображение S первого из них Пх на второе П2 называется
частичным преобразованием множества 2.
Как и для преобразований, для частичных преобразований
употребляется операторная запись.
означает, что a ? 1^ и при частичном отображении S эле-
элемент а отображается на р?П2. Среди частичных преобразо-
преобразований рассматривается и пустое, для которого Г^ и П2 пусты.
Множества Щ и П2 иногда называются соответственно пер-
первой и второй проекцией 5 (термины естественные при записи
частичного отображения в виде бинарного отношения в 2).
Мы обычно будем их обозначать с указанием частичного
преобразования S, именно: П^ и nBS). Отмечаем, что для
задания частичного преобразования S, очевидно, достаточно
.указать Л^ и правило, сопоставляющее каждому a ? niS) соот-
соответствующий элемент Sa?2. Множество П^ тем самым
вполне определяется.
Обычное (как иногда говорят—полное) преобразование
есть частный случай частичного преобразования, когда
4.2. В множестве ф2 всех частичных преобразований
рйножества 2 определяется действие умножения при помощи
эследовательного применения частичных преобразований,
произведением частичных преобразований X, Y ? ф2
гаем такое частичное преобразование Z = XY ? ф2,. у кото-
которого Hi' состоит из всех тех элементов a?2, которые
содержатся в Т&Р, причем Уа^П^ (если таких а в 2 нет,
то Z есть, пустое частичное преобразование). Для каждого
a ?11^ полагаем Za = X(Y<x).

46 понятие полугруппы (гл. t
Без труда доказывается ассоциативность умножения частич-
частичных преобразований. Каждое из тройных произведений
(XY) Z, X(YZ)
имеет в качестве TLt множество таких элементов а? 2, которые
содержатся в П^, причем Za^UfP и Y(Za)^К
Для таких а имеет место
a = X(Y(Za)),
Таким образом, множество всех частичных преобразований ф2
оказывается полугруппой.
4.3. При более глубоком изучении частичных преобра-
преобразований существенным оказывается следующее отношение
между частичными преобразованиями. Для X, К?ф2 пишут
Л"<Г, если П^сП1К) и Xa=Ya для всякого а^П^.
В этом случае можно сказать, что Y является продолжением
частичного преобразования X. В частности, существенную
роль играют частично тождественные преобразования, для
которых тождественное преобразование является продолже-
продолжением. Очевидно, каждое частично тождественное частичное
преобразование вполне характеризуется множеством Uv ко-
которое, кстати, совпадает с П2.
4.4. Как и в теории преобразований, в теории частичных
преобразований приходится рассматривать не только полу-
полугруппу всех частичных преобразований ф2, но и различные
ее подмножества, замкнутые относительно умножения, которые
и сами, очевидно, являются полугруппами.
Пусть, например, 2 есть множество всех вещественных
чисел. Частичные преобразования 2 есть не что иное, как
вещественные функции одного переменного. П^ } для такого
частичного преобразования X—f(x) есть то, что обычно
называется областью задания вещественной функции /(*),
а П^—множество ее значений. Произведением двух таких
частичных преобразований Xi = f1(x) и X3=f2(x) является
сложная функция

§ 4] ЧАСТИЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 47
В теории функций действие умножения таких частичных
преобразований называется суперпозицией соответствующих
функций.
Множество $Ра> состоящее из всех вещественных функ-
функций (включая и янесобственную функцию" с пустыми мно-
множествами IIj и П2), относительно указанного действия образует
полугруппу. Ее подмножество, состоящее из всех непрерыв-
непрерывных функций, как легко видеть, замкнуто относительно
рассматриваемого действия и потому также является полу-
полугруппой. Будет полугруппой и подмножество, состоящее
из всех функций, области задания которых содержатся
в заданном промежутке Е вещественной оси. Периодические
вещественные функции также будут образовывать полугруппу
относительно того же действия.
4.5. Как в общей теории частичных преобразований, так
и при рассмотрении частичных преобразований какого-либо
конкретного множества 2 особо важную роль играют взаимно
однозначные частичные преобразования, которые осуществляют
взаимно однозначное отображение ILt на П2. Совокупность их
обозначим через Da. Очевидно, Ds является полугруппой.
Упомянутые выше частично тождественные частичные пре-
преобразования принадлежат полугруппе Da.
Каждому взаимно однозначному частичному преобразова-
преобразованию X соответствует обратное взаимно однозначное частичное
преобразование X (часто его обозначают через X'1), у кото-
которого П^ = П^ и П|^ = П^, причем для всяких а^П^
и Р?Пг , таких, что Ха = ф, имеет место
Х$ = а.
XX есть частично тождественное частичное преобразование,
соответствующее множеству Пг\ a XX есть частично то-
тождественное преобразование, соответствующее множеству П^.
Легко видеть, что в полугруппе Da отображение, сопоста-
сопоставляющее каждому X?Q.a элемент X, является антиавтомор-
антиавтоморфизмом A.17).
4.6. В. В. Вагнер [3] выяснил, когда совокупность взаимно
однозначных частичных преобразований образует группу. Кб-
нечно, для этого она в первую очередь должна быть замкнута
Относительно умножения, т, е. должна явдять,ся полугруппой,

48 ПОНЯТИЕ ПОЛУГРУППЫ [ГЛ. I
Теорема. Полугруппа некоторых взаимно однозначных
частичных преобразований fi множества 2 будет группой
тогда и только тогда, когда % вместе с каждым ча~
стичным преобразованием содержат и обратное ему
и когда в 2 существует такое подмножество 20с2, что
для всех частичных преобразований из %.
Доказательство. 1) Пусть % есть группа.
Для любых А, В?% должны найтись такие X, /?91, что
ХА = В, AY — B.
Из способа определения П^ и П2 для произведения видно,
что для соблюдения этих равенств необходимо
Но аналогично должны выполняться и обратные включе-
включения. Таким образом, множества Пх для любых А и В должны
быть одинаковы и множества П2 для любых А и В должны
быть одинаковы.
Для А ? % в % должно найтись такое частичное пре-
преобразование /, что
А = А1.
Из этого равенства следует, что для каждого а^^
имеет место
Так как А взаимно однозначно, то это возможно лишь при
ат= 1а. Следовательно, /есть частично тождественное частич-
частичное преобразование. Но у такового 11! = П2. Следовательно,
у всех частичных преобразований из % множества nt и П2
для всех элементов все равны между собой.
Для А ? % в % существует частичное преобразование А'
такое, что
А'А = /.
Так как / частично тождественно, то, принимая во вни-
внимание равенство всех Г^ и П2, заключаем отсюда, что А',
принадлежащее %, должно быть обратным к А взаимно
однозначным частичным преобразованием,

§ 4] ЧАСТИЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 49
2) Пусть % обладает указанными в формулировке тео-
теоремы свойствами.
Так как П^А) = Па \ то для обратного частичного пре-
преобразования А к частичному преобразованию А мы, оче-
очевидно, имеем _
где / есть частично тождественное частичное преобразование,
соответствующее множеству 20. Так как, очевидно,
для произвольного В?%, то для Х=ВА и Y = AB имеем
ХА = (ВА) А = В (АА) = В1=В,
AY = А (АВ) = (АА) В = 1В = В.
4.7. Изучение полугрупп частичных преобразований может
быть сведено к изучению преобразований. Пусть % есть
полугруппа некоторых частичных преобразований множества 2.
Рассмотрим новое множество 2', получаемое от присоедине-
присоединения к 2 нового элемента в. Каждому частичному преобра-
преобразованию А из % сопоставим преобразование А' множества Q'
такое, что
А'а-^Аа.
для всех ?i
— в
для всякого элемента р^З'ХП^. Если АфВ(А, В^Щ,
то, очевидно, А'Ф-В'. Также очевидно, что для любых
А, В?%
<9*сюда следует, что совокупность %', состоящая из все-
всевозможных преобразований А'(А?Щ множества 2', образует
полугруппу, изоморфную полугруппе %. При этом соответ-
соответствие А~А' (А?%, А'?%') не только определяет изо-
изоморфизм, но и устанавливает очевидную параллель между
свойствами элементов % рассматриваемых как частичные
преобразования Q, и соответствующими свойствами элемен-
элементов W, являющихся преобразованиями множества 8'.
4 3«f. 455. В. С Дяпнн

50 ПОНЯТИЕ ПОЛУГРУППЫ [ГЛ. I
Впрочем, следует иметь в виду, что описанное сведение
изучения полугрупп частичных преобразований к полугруппам
преобразований целесообразно далеко не всегда. В част-
частности, при рассмотрении взаимно однозначных частичных
преобразований оно обычно неудобно, так как соответствую-
соответствующие преобразования нового множества 2' могут уже не
оказаться взаимно однозначными.
4.8. Пусть % есть полугруппа некоторых частичных
преобразований множества 2. С точки зрения действия эле-
элементов % на элементы из 2 последнее множество может
иногда оказаться излишне обширным. Поэтому часто целесо-
целесообразно бывает устроить некоторое приведение множества 2.
Обозначим через 2' объединение всех П^ (А?Щ. Далее
обозначим 2" = 2\2'. Для а ?2" обозначим через Гя
множество всех таких элементов f} ? 2", что Аа = Аф (в част-
частности, Аа и Аф оба одновременно могут быть и пустыми
символами при а, р^П^). Очевидно, из Г„5Р следует
Гр = Га. Таким образом, 2" разбивается на непересекающееся
объединение множеств Г„. В каждом из них фиксируем
некоторый элемент. Объединение множества этих фиксиро-
фиксированных элементов и 2' обозначим через U. Каждому Л ?91
естественно сопоставляется частичное преобразование А мно-
множества U:
Аа=Аа (а ^й\
(волнистая черта над Пг и П2 означает, что речь идет о ча-
частичных преобразованиях множества 2).
Пусть АхфАг (А1г А2?Щ. Если при этом П^ с П^а)
(вполне аналогичен случай П^'' с= П^1*), то при некотором
&€П^> имеем ^П1Аа). Если 1^2', то $€§ и потому
S^fifrH но S?ni3l). Если же ??2", то берем выделенный
из Г^ элемент ?0, принадлежащий 2. Этот элемент %> при-
принадлежит й[ '*, но не принадлежит П^\ Таким образом,
в рассматриваемом случае. Р

§ 41 ЧАСТИЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 51
Если П^1* = П^, то благодаря Ах Ф Аг должен найтись
такой $?П1Л), что А&ФА?. Так как А?, A??Q'cQ, то
т, е. опять Av Ф А2.
Таким образом, сопоставление частичных преобразова-
преобразований А частичным преобразованиям А является взаимно одно-
однозначным. При этом имеет место А^^ AvAt. Следовательно,
полугруппа % изоморфна полугруппе 51, состоящей из ча-
частичных преобразований А множества 2. Это соответствие
является даже больше чем изоморфизмом, так как все
свойства частичных преобразований из % очевидным образом
могут быть непосредственно выведены из соответствующих
свойств частичных преобразований из Ш.. В некотором
смысле можно говорить, что Ж есть полугруппа тех же
самых частичных преобразований А из %, но только с сокра-
сокращенной— «приведенной» областью их применения. В неко-
некоторых случаях приведенное множество 2 может оказаться
существенно менее обширным по сравнению с 2 и переход
к рассуждениям относительно 2 может представить извест-
известные удобства.
Повторное нетривиальное приведение 2 уже невозможно.
В этом смысле 2 неприводимо. Действительно, очевидно,
что каждый класс Гя для 2 (относительно %) состоит лишь
из одного элемента. Таким образом, B) = 2.
4.9. Аналогично тому, как это имеет место в теории
преобразований, теория частичных преобразований может
оказать определенную пользу при исследовании свойств тех
или иных соотношений в некотором множестве 2, если рас-
рассматривать такие частичные преобразования, которые сохра-
сохраняют указанные соотношения в 2. Их можно назвать частич-
частичными эндоморфизмами множества 2 с данной системой
соотношений. Они образуют полугруппу. Эта полугруппа
частичных эндоморфизмов, очевидно, включает и все эндо-
эндоморфизмы C.18).
При изучении частичных эндоморфизмов следует иметь
в виду, что некоторые из них могут быть продолжаемы до

52 понятие полугруппы (гл. i
эндоморфизмов. Другими словами, они могут быть получены
из некоторых эндоморфизмов путем сокращения области их
определения Q до некоторой части всего множества 2. При-
Пример исследования с таким направлением дает работа Б. Ней-
Неймана и X. Нейман К
Изучение частичных преобразований и в особенности
взаимно однозначных частичных преобразований, как показал
В. В. Вагнер, весьма полезно в некоторых геометрических
исследованиях.
§ 5. Отношения
5.1. В дальнейших исследованиях различных свойств полу-
полугрупп нам часто будет удобно использовать понятие и неко-
некоторые простейшие свойства отношений в полугруппах.
Отношением в множестве ЗЯ мы будем называть всякое
бинарное отношение в WI, т. е. закон, который выделяет
некоторые пары элементов из WI (пара (X, Y) задается двумя
элементами X и Y, ее составляющими, и указанием, какой
из них считается первой компонентой пары и какой второй
компонентой). Конечно, можно понимать под отношением
просто само множество выделенных пар элементов из Tt.
То, что пара (X, Y) (X, У?Ж) входит в число выделенных
пар относительно отношения п, т. е. элементы X и Y нахо-
находятся в отношении п, мы будем обозначать обычно в виде
Х~'К(п). Если элементы X и Y не находятся в отношении п
(т. е. пара (X, Y) не входит в число выделенных пар), то
мы будем писать Х^р Y (п).
Для обозначения того, что элементы X и Y находятся
между собой в отношении п, употребляются также следую-
следующие формы записи:
X~Y, XnY, Л"ззК(п), Xs=Y(modn), (X,
Если данному отношению в пределах определенного рас-
рассуждения присваивается какой-нибудь специальный знак, на-
например, я^", то для элементов, находящихся в данном
отношении, употребляются также обозначения вида Я^ Y.
Мы будем иногда использовать такое обозначение.
1 В. Neumann a. H. Neumann. Extending partial endo-
morphisms of groups, Proc. London Math. SoC. C), 2 A952), 337—348.

§ 5] отношения 53
Рассматривают также отношения между элементами, при-
принадлежащими различным множествам, однако мы, как усло-
условились, будем говорить об отношении только в пределах
одного какого-нибудь множества.
Наравне с бинарными отношениями рассматриваются тер-
тернарные и вообще я-арные отношения (и= 1, 2, .. .)• Однако
мы в дальнейшем под отношением будем понимать лишь
бинарные отношения.
5.2. Пусть Ф есть совокупность всевозможных отношений
в множестве 2К (т. е. совокупность всех подмножеств мно-
множества всех пар элементов из Ж). В число отношений, при-
принадлежащих Ф, мы включим также и „пустое отношение",
относительно которого никакие два элемента из Tt не нахо-
находятся в данном отношении. Для отношений из Ф естественно
определяется действие умножения. Именно для f, I ? Ф их
произведением та = Г.-1 считаем такое отношение ш, согласно
которому X—Т(тп) (X, Y?Wl) имеет место тогда и только
тогда, когда найдется такой Z?ffl, что X—Z(f) и Z— Y(i)
(конечно, иногда та может оказаться и пустым отношением,
НО во всяком случае оно всегда вполне определено для
данных f и I).
Указанное умножение ассоциативно. Действительно, пусть
f % и
ЛГ-—- У(т')> очевидно, имеет место тогда и только тогда,
когда существуют Z', Z" ? 3W такие, что
X~Z'&). Z'~Z"(f2). Z"~Y(t3).
Но существование таких Z' и Z", очевидно, необходимо
и достаточно и для X—К(тп"). Следовательно, m' = m".
Таким образом, совокупность всех отношений в неко-
некотором множестве оказывается полугруппой.
б.З. В дальнейшем у нас не будет необходимости изучать
в общем виде свойства действия умножения отношений
(с этими свойствами, так же как и вообще с основами теории
бинарных отношений, можно познакомиться в книгах Бурбаки1
и ДЬбрейля [3]). Остановимся только на вопросе о пере-
перестановочности двух каких-либо отношений из Ф относительно
N. Bourbaki. Theorie des ensembles, Paris, 1939.

54 понятий полугруппы (гл. »
действия умножения. То, что Х~У(щ • щ) означает суще-
существование такого U?Wl, что X—?/A4), U—У(п2)- То, что
X ~ Y (Пг • tti) означает существование такого V?Wl, что
X—V(n2), V" — К (tti). Таким образом, условие
означает, что из
Х~и(щ), U~Y(vJ (X, Y, U?W)
должно следовать существование V?Tl такого, что
Обратно из последних соотношений должно следовать суще-
существование U, удовлетворяющего указанному выше условию.
Свойства, связанные с перестановочностью отношений,
рассматривались не раз различными авторами. Например, им
уделено значительное внимание в книге Дюбрейля [3]. На
значение условия перестановочности отношений было впервые
обращено внимание Дюбрейлем и Дюбрейль-Жакотэн'.
6.4. Понятие отношения в множестве является обобще-
обобщением понятия преобразования. Именно, преобразование можно
определить как такое отношение п в множестве WI, которое
должно удовлетворять следующему условию. Для каждого
Y?Tl должен найтись и при том единственный ^?2Я такой,
что X— К (п). В этом случае X можно считать результатом
применения данного преобразования к элементу Y. Очевидно,
описанное выше умножение отношений для случая преобра-
преобразований дает определенное нами ранее C.6) умножение пре-
преобразований.
Из сказанного, в частности, следует, что всякая полу-
полугруппа, будучи изоморфно представима преобразованиями,
тем самым представима изоморфно и отношениями.
б.б. Отношение обобщает также и понятие частичного
преобразования D.1). Именно, частичным преобразованием
множества Т1 можно считать такое отношение п, которое
удовлетворяет условию: из X—Т(п) и X' — Y (п) должно
следовать Х=Х'. Множество тех К?2К, для которых
найдется X?ffl такой, что X—Т(п), будет составлять nt.
1 P. Dubreil, M. L. D ubreil-Jacotin. Theorie alge-
brique des relations d'equivalence. J. Math. Pures Appl., 18 A939),
63—95.

§ 5] отношения 55
Множество таких Х?Ш для всевозможных Y^П^ будет
составлять П2. Элемент X при Х~ Y (п) является результа-
результатом применения данного частичного преобразования к эле-
элементу К из nt.
Умножение частичных преобразований, очевидно, является
частным случаем умножения отношений.
Играющие особую роль взаимно однозначные частичные
преобразования могут быть охарактеризованы как такие
отношения, которые удовлетворяют следующему условию.
Если *~Г(п) и Л"~Г'A1). то из Х=Х' следует К=К',
а из Y=Y' следует Х=Х'.
6.6. При рассмотрении отношений бывает весьма суще-
существенно, обладают ли они некоторыми важнейшими свой-
свойствами.
Определение. Пусть п есть некоторое отношение
в множестве WI.
Отношение п называется рефлексивным, если
для всякого Х?Т1 имеет место X—Х(п).
Отношение п называется транзитивным, если
из X~Y(n) и Z-~Z(u) всегда следует X~Z(n).
Отношение п называется симметричным, если
из X~Y(n) всегда следует Y—Х(п).
Отношение п называется антисимметричным,
если из Х~-'К(и) и Y-—Х(п) всегда следует X—Y.
6.7. Среди различных видов отношений наиболее важны
для нас два класса отношений. Первый из них состоит из
эквивалентностей.
Определение. Отношение п в множестве 2К называется
отношением эквивалентности в 2R или просто
эквивалентностью, если п рефлексивно, транзитивно и
симметрично.
6.8. Представление множества WI в виде непересекаю-
непересекающегося объединения некоторых непустых его подмножеств
называется разбиением множества Т1.
Пусть п есть некоторая эквивалентность в множестве 2R.
Совокупность всех элементов, эквивалентных относительно it
с некоторым элементом Х? Ш. (т. е. находящихся в отно-
отношении ц с X), мы будем называть классом эквивад§нтн.ыз{

56 ПОНЯТИЕ ПОЛУГРУППЫ [ГЛ. 1
относительно п элементов или, короче, просто п-классом. Все
элементы одного tt-класса эквивалентны относительно и между
собой и ни один из них неэквивалентен относительно п ни
с каким из элементов, лежащих вне этого класса. Таким об-
образом, эквивалентности п в множестве Ш соответствует раз-
разбиение 2R на п-классы.
Очевидно и обратное. Если дано некоторое разбиение 9№
i
то можно определить в 2)? отношение п, полагая X
в том и только в том случае, когда элементы X и Y оба
принадлежат одной и той же компоненте Tt^ заданного раз-
разбиения. Очевидно, такое отношение будет рефлексивно, тран-
зитивно и симметрично, т. е. является эквивалентностью.
Этой эквивалентности соответствует исходное разбиение 9R,
поскольку компоненты Ш$ исходного разбиения будут п-клас-
сами этой эквивалентности.
Таким образом, задание эквивалентности в Ш по су-
существу равносильно заданию соответствующего разбие-
разбиения Ш.
В дальнейшем мы не будем делать различия между обеими
точками зрения.
5.9. Вторым важным видом отношений являются частич-
частичные упорядочения.
Определение. Отношение п в множестве ffi. называется
отношением частичной упорядоченности,
если п рефлексивно, транзитивно и антисимметрично E.6).
Множество, рассматриваемое относительно некото-
некоторого определенного в нем отношения частичной упоря-
упорядоченности, называется частично упорядоченным
множеством.
Для отношения частичной упорядоченности обычно упо-
употребляется знак неравенства. Для -Х-—К(п), где п отношение
частичной упорядоченности, пишут Х-^ Y (равнозначным
считается обозначение Y^>X).
Мы также обычно будем употреблять этот знак. При этом
мы будем говорить, что X предшествует Y, a Y следует
за X относительно данной частичной упорядоченности и.
В частности, каждый элемент из ЭД1 сам предшествует себе
и сам следует за собой. Употребление знака неравенства

§ 5] отношения 57
удобно ввиду естественных ассоциаций с неравенством веще-
вещественных чисел (очевидно, отношение вещественных чисел от-
относительно сравнения их по величине является частичной упо-
упорядоченностью).
б. 10. Если относительно частичной упорядоченности п
в множестве 2R, для X, Y?ffl имеет место X^Y, причем
ХфУ, то пишут также А"< У и К>Х Исходя из отно-
отношения п, можно определить отношение т, полагая X—У (га),
если X—У(п) и X Ф Y (т. е. X < Y). Отношение т. оче-
очевидно, обладает свойством транзитивности и усиленным свой-
свойством антисимметричности, заключающемся в том, чтоХ~У(т)
и Y~X(m) не могут одновременно выполняться ни для ка-
каких X, Y ? 9И. Отношение m с такими свойствами в свою
очередь определяет единственным образом отношение частич-
частичной упорядоченности в сиысле 5.9.
5.11. Если отношение частичной упорядоченности п в Т1
таково, что для любых X, У?2Я обязательно имеет место
'или Х~ К(п), или Y — Х(п), то п называется отношением
Линейной упорядоченности (иногда говорят просто „упо-
„упорядоченность" без добавления слова „линейная").
5.12. Пусть относительно заданного отношения частичной
'упорядоченности в множестве SIR для некоторых ЗК'сЗИ и
Х?Ш имеет место Z<A" при всех Z?W. Тогда X назы-
называется верхней границей для 2К'. Соответственно опреде-
определяется нижняя граница. Если Л!" есть верхняя граница для Шг,
Причем в множестве 8, состоящем из всех верхних границ
*Йля 2R', X является нижней границей множества 8, то X на-
18ывается точной верхней границей множества Ш'. Анало-
Аналогично определяется точная нижняя граница W.
\ Конечно, множество WI' может вовсе не иметь верхних
драниц или иметь их несколько. Точную верхнюю границу ЗЯ'
'йожет иметь не более чем одну. Аналогично обстоит дело
bt нижними границами.
¦-й 5.13. Весьма важны следующие классы частично упоря-
'Доченных множеств.
Определение. Пусть 2R есть частично упорядоченное
множество.
Ш называется полуструктурой (употребляют
также термины: полурешетка — demt-treillts, семилат-
тис-—¦semtiattice, полусвязка — Halbverband). если для лю-
любой пары элементов существует точная нижняя граница.

58 понятие полугруппы (гл. i
2К называется структуре й {решеткой, латтисом,
связкой), если для любой пари элементов существует
точная верхняя граница и точная нижняя граница.
Ш называется полной структурой, если для
любого его подмножества существует точная верхняя
граница и точная нижняя граница.
Теория структур в настоящее время представляет собой
широко развитую важную область современной алгебры (см.,
например, Биркгоф [3]).
6.14. Для самих отношений в произвольном множестве WI
естестественным образом определяется отношение частичной
упорядоченности. Именно, полагают
n<m,
если из X—У(п) всегда следует X~Y(ya).
Отношение в множестве задается множеством пар элемен-
элементов, находящихся между собой в данном отношении; n<lnt
означает, что такое множество пар, соответствующее отно-
отношению п, является подмножеством множества,пар, соответ-
соответствующего отношению ш.
Вполне очевидно, что определенное указанным образом
отношение между отношениями в 9И действительно является
отношением частичной упорядоченности.
Обозначим через Ф совокупность всех эквивалентностей
в некотором множестве Ш. Смысл определенной выше частич-
частичной упорядоченности применительно к эквивалентностям де-
делается особенно ясным, если характеризовать эквивалентности
при помощи соответствующих им разбиений Tt E.8). Дей-
Действительно, п <; m (n, m ^ Ф) означает, что разбиение п является
более дробным разбиением по сравнению с разбиением ш,
как говорят, его подразбиением. Каждый m-класс в этом слу-
случае является непересекающимся объединением некоторых
п-классов.
5.15. Пусть Ф' есть некоторое непустое подмножество Ф,
т. е. некоторая непустая совокупность эквивалентностей в мно-
множестве 2W. Определим отношение {, полагая
X~Y® (Х
если для каждого п? Ф' имеет место X~ К(п). Легко видеть,
что отношение f является эквивалентностью.

§ 5] отношения 59
Согласно частичной упорядоченности, введенной в 5.14 I
является нижней границей для Ф'. Пусть m произвольная
нижняя граница Ф'. Если X~Y(m) (X, К?тп), то для про-
произвольного п?Ф' благодаря тп<!п должно выполняться
X—К(п). Поскольку X—Y(п) выполнено для всех п?Ф',
то по определению f X—Y (f). Таким образом, из X—Т(тп)
всегда следует А"-—^ F (f), т. е. m<^t Это означает, что t
является точной нижней границей для множества экви-
эквивалентностей Ф' E.12). Отношение t можно было бы назвать
пересечением эквивалентностей из Ф'. Разбиение 2К, вызы-
вызываемое f, представляет собой совместный результат всех
разбиений, вызываемых эквивалентностями из Ф'.
6.16. Теперь для Ф'сФ определим отношение 1, полагая
если найдутся такие эквивалентности m.lt nt2 шв?Ф' и
такие элементы Zx, Z2 ^8+i€2^> что
X=ZV Y = ZB+l A=1, 2 s).
Легко видеть, что отношение I является эквивалентностью.
Если для некоторых X, Y ? Т1 и tt ? Ф' имеет место X— Y (п),
то по определению t X—Y(i). Отсюда следует, что t
является верхней границей для множества эквивалентностей Ф'.
Пусть эквивалентность m является верхней границей для Ф'.
Пусть для Zv Z2 Zs+1 ?Wl и mu m2 me? Ф' имеет
место
0=1, 2 s).
Так как m>-ntj, то отсюда следует
:.и потому Z1'~Zg+1(jn). Мы показали, что из Z1~ZS+1(()
всегда следует Zx — Ze+1(m). Это означает, что t<[m. Таким
Образом, 1 оказывается точной верхней границей для мно-
множества эквивалентностей Ф'.
Из проведенных рассуждений следует, что совокупность
всех эквивалентностей в некотором множестве является
полной структурой E.13).
5.17. Пусть Ш есть произвольная полугруппа. Среди раз-
различных отношений в множестве всех элементов полугруппы

60 ПОНЯТИЕ ПОЛУГРУППЫ [ГЛ. I
особый интерес с точки зрения теории полугрупп предста-
представляют те отношения, которые, как говорят, согласованы
с действием в %, т. е. не нарушаются при умножении на
любой элемент полугруппы.
Определение. Отношение п в полугруппе Щ называется
стабильным слева, если из X— Y (п) при любом Z ? ft
всегда следует ZX—ZY(n).
Отношение п называется стабильным справа, если
из X—У(п) всегда следует XZ~YZ(n).
Отношение п называется дву сторонне стабил ь-
ным (иногда говорят просто стабильным), если оно одно-
одновременно стабильно и слева и справа.
6.18. Во многих работах исследуются различные свойства
стабильности. Например, в книге Дюбрейля C] приведен ряд
свойств стабильности, называемой там регулярностью. Осо-
Особое внимание уделяется обычно двусторонне стабильным
эквивалентностям, которые часто называются отношениями
конгруентности или конгруэнциями. Мы обратимся к их рас-
рассмотрению в седьмой главе. В настоящий момент мы огра-
ограничимся лишь одним свойством.
Пусть п есть транзитивное и рефлексивное отношение
в полугруппе. Для того чтобы п было двусторонне стабиль-
стабильным, необходимо и достаточно, чтобы из
X~Y(n). X'~Y'(n)
всегда следовало
Действительно, если п двусторонне стабильно, то из X—К(п)
к X' — У (и) следует
XX' ~ УХ* (п), УХ' ~ Y У (п).
Отсюда благодаря транзитивности следует XX' ~> YY' (и).
С другой стороны, если п обладает указанным свойством,
то из X~Y(n) и Z~Z(n) следует ZX~ZY(n) и XZ~YZ(y().
5.19. Рассмотрим несколько примеров отношений в мно-
множестве элементов полугруппы.
(а). Пусть Ш есть произвольная полугруппа.
В дальнейшем большую роль будет играть отношение
делимости слева щ, которое определяется следующим образом.
А~В(щ) (Л.

§. 51 отношения 61
имеет место тогда и только тогда, когда в % найдется такой
элемент Z, что А — BZ.
Сразу видно, что отношение щ является стабильным слева.
ф). Аналогично в % определяется отношение делимости
справа п,, которое оказывается стабильным справа.
(f)- Согласно 5.2, в полугруппе % определяется отноше-
отношение П| • iv* являющееся произведением отношений левбй и
правой делимости.
То, что А<~~> В(щ • пг) означает, что существуют такие X,
Y. С?% что
Л~С(пг), С~В(пг),
A = CY, C = XB.
Отсюда следует A = XBY. Но легко убедиться и в об-
обратном. Действительно, из A = XBY следует
А~ХВ(щ), ХВ~В(пг).
^Таким образом, Л ~ В (п{ • п,) имеет место тогда и только
'.тогда, когда в % найдутся такие X и Y, что A — XBY.
Вполне аналогично можно убедиться, что существование X
и У, таких, что A — XBY, является необходимым и доста-
чючным условием для того, чтобы А ~ В (иг • щ).
¦"- Таким образом, отношение левой делимости щ и правой
делимости пг оказываются перестановочными E.3):
; (8). Пусть Da есть полугруппа всех взаимно однозначных
^частичных преобразований некоторого множества 2 D.5).
¦ Введем в Da отношение pv полагая
| (X,
= П^. Также определяем отношение р2, полагая
Отношение pt стабильно справа. Действительно, при
Х~" Y(pt) множество H[xz* состоит из тех элементов а?Щ ',
для которых Za^II^. Оно совпадает с П].ГЙ), поскольку-
Hi =Щ- . Вместе с тем р^ не будет стабильным слева,
если 2 состоит более чем из одного элемента. Действительно,

62 ПОНЯТИЕ ПОЛУГРУППЫ [ГЛ. I
пусть Щ ' = IIi и а есть один из элементов этого множе-
множества. Пусть Ха = ф, Ка = 7> ф Ф -у. Возьмем какое-нибудь
Z ? Da такое, что П^ 5 ?, П^ Э Т- Тогда а ? П^, но а ^U[ZY).
Сходными рассуждениями нетрудно убедиться, что отно-
отношение р2 стабильно слева, но не стабильно справа.
Теперь рассмотрим отношение р3 такое, что X—Y(p3)
имеет место тогда и только тогда, когда
Отношение р3 есть не что иное, как точная нижняя граница
отношений рг и р2. Легко убедиться, что р3 не является ни
стабильным слева, ни стабильным справа.
Пусть m некоторая мощность. Определим отношение pt
в D2, полагая
если Х= Y или мощности П^ и П^ обе меньше га. При
Х== Y мы тривиальным образом имеем XZ ~ YZ(pt),
ZX—ZY(pt). Если мощность П^Х) меньше га, то мощно-
мощности U[XZ) и П^ также будут, очевидно, меньше га. То же
имеет место и для К. Отсюда непосредственно следует дву-
двусторонняя стабильность отношения pt.
Отметим, что все четыре рассмотренных нами отноше-
отношения pv р2, р3, pv очевидно, являются эквивалентностями.
5.20. Пусть п есть некоторое отношение в множестве всех
элементов полугруппы St. Исходя из п, определим в 2t новое
отношение п', которое назовем первым производным отно-
отношением относительно п. Полагаем
*~К(п') (X, Y 6 Щ
в том и только в том случае, когда найдутся такие Т, Т',
Sv S2, являющиеся элементами Ш или пустыми символами,
что
X=TS1Tf, Y = TS2T',
причем St и S2 или оба одновременно являются пустыми
символами, или удовлетворяют одному из условий: St — Sz(n)
или Sa — Sj (n).

5] ОТНОШЕНИЯ 63
5.21. Исходя из п' в Я, определяем второе производное
отношение п", полагая
(X,
если найдется такая конечная последовательность элементов
X=Zlt Z2 Zr, Zr+1 = Y,
что имеет место
2i~Zi+1(n') (/=1, 2 г).
5.22. Отметим несколько свойств производных отноше-
отношений, справедливость большинства которых очевидна,
(а). Отношение п' рефлексивно,
ф). Отношение п' симметрично.
(¦у). Отношение п" рефлексивно.
E) Отношение п" симметрично,
(е). Отношение п" транзитивно.
(С). п<п'<п".
(tj). Отношение п' двусторонне стабильно.
(8). Отношение п" двусторонне стабильно.
Дествительно, если для Zlt Z2, .... Zr+i?2R имеет место
Zi~Zi+liif) A=1,2 г),
то благодаря (¦»!) при любом 5 ? 2Й
SZi ~ SZi+l («0. ZiS ~ Zi+iS (n') (t = 1, 2 г).
Таким образом, из Zv—Zr+1(n") вытекает
^Zi — SZ.+^n") и ZxS~Zr+lS(y{').
(t). Если А-~Г(п") и *'~К'(п"), то
Это непосредственно следует из Of), (e), (8) и 5.18.
5.23. Смысл введения второго производного отношения
заключается в следующем. Отношение п" есть двусторонне
стабильная эквивалентность, такая, что п">-п. При этом,
если m есть такая двусторонне стабильная эквивалентность,'
что га !>п, то, как легко видеть, га >• п', а потому и га >> п".
Следовательно, п" есть точная нижняя граница множества

64 понятие полугруппы {гл. i
всех двусторонне стабильных эквивалентностеи т, сле-
следующих за п (m^-n). Можно сказать, что разбиение 2Й, вы-
вызываемое п", есть наиболее дробное из разбиений таких,
при которых всякие два элемента, находящиеся в отно-
отношении п, обязательно содержатся в одной и той же ком-
компоненте этого разбиения E.8, 5.15).
Если отношение п само является двусторонне стабиль-
стабильной эквивалентностью, то, очевидно, п" = п' = П.

ГЛАВА II.
ДЕЛИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ
§ 1. Понятие и простейшие свойства делимости
1.1. Если полугруппа % не является группой, то дей-
действие в ней необратимо. Это значит, что не для всякой
пары элементов А, В ? % в % найдутся такие элементы X
и К, что
Разумеется, для некоторых пар элементов А а В одно
или оба из этих уравнений относительно неизвестных X и Y
могут иметь решения в %. Вопрос о том, для каких именно
пар элементов эти уравнения разрешимы, а для каких не-
неразрешимы, является в высшей степени существенным при
изучении строения всякой полугруппы и при исследовании
различных ее свойств.
1.2. Определение. Элемент В полугруппы % назы-
называется правым делителем элемента А той же
полугруппы, если в % существует такой элемент X,
что
ХВ =, А.
В называется левым делителем А, если в %
существует такой элемент. К, что
Если В есть правый делитель А, то говорят, что А
делится на В справа. Если В есть левый делитель А,
то говорят, что А делится на В слева.
1.3. Как непосредственно следует из определения группы
(I, 3.2), полугруппа % является группой тогда и только
тогда, когда каждый ее элемент делится и справа
5 Зек. 455. Е. С. Ляпни

66 ДЕЛИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ (ГЛ. И
и слева на любой элемент 91. Другими словами, 91 является
группой тогда и только тогда, когда каждый ее элемент
является и правым и левым делителем всякого элемента %.
То, насколько далеко удалось продвинуть теорию групп
по сравнению с общей теорией полугрупп, может служить
косвенным, но убедительным доказательством важности роли
делимости в полугруппах.
1.4. Непосредственно из определения 1.2 вытекают не-
некоторые простейшие свойства отношений делимости в по-
полугруппах.
(а). Если В правый делитель А, & С есть правый дели-
делитель В, то С является правым делителем А.
(Р). Произведение А1А% делится на At слева и на Аг
справа.
(т). Если В есть правый делитель А, то при любом
Z ? % элемент ZA делится справа на В.
(8). Если А делится на В справа и одновременно В де-
делится на А справа, то В является своим собственным пра-
правым делителем.
(е). Для того чтобы элемент В был правым делителем
элемента А, необходимо и достаточно, чтобы в таблице
умножения (I. 1.6) столбец, соответствующий элементу В,
содержал элемент А.
(С). Для того чтобы элемент В был левым делителем
элемента А, необходимо и достаточно, чтобы в таблице
умножения (I, 1.6) строка, соответствующая элементу В,
содержала элемент А.
(т|). Элемент А полугруппы % будет правым делителем
всех элементов % в том и только в том случае, когда
в столбце таблицы умножения, соответствующем элементу А,
встречаются все элементы полугруппы 51.
(8) А будет левым делителем всех элементов 91 в том
и только в том случае, когда в строке таблицы умножения,
соответствующей элементу А, встречаются все элементы по-
полугруппы 91.
(i). Элемент А делится справа на все элементы 91 в том
и только в том случае, когда А встречается в каждой столбце
таблицы умножения.
(х). А делится слева на все элементы 91 в том и только
в том случае, когда А встречается в каждой строке таб-
таблицы умножения.

§ 1] ПОНЯТИЕ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ДЕЛИМОСТИ 67
1.5. Тогда как в группе каждый элемент является и правым
и левым делителем всякого другого элемента, в полугруппе,
ие являющейся группой, таких элементов может вовсе не
быть или же только часть элементов обладает указанным
свойством. В главе VI мы подробнее займемся рассмотре-
рассмотрением таких элементов, а сейчас выясним природу совокуп-
совокупности всех этих элементов.
,' Теорема. Совокупность всех элементов полугруппы 91,
Являющихся одновременно и правыми и левыми делите-
делителями всякого элемента %, если она не пуста, является
Группой.
Доказательство. Обозначим указанную совокупность
Через 35. Пусть Bv B2?23. Для всякого А?%. в Щ. должен
найтись такой Хг, что
Для Хг в Щ. должен найтись такой Xv что
Х1В1 = Хг.
Поэтому
Х1В1В2 = ХгВг = А.
¦' Следовательно, BtB2 является правым делителем А. Ана-
Аналогично доказывается, что ВгВг будет и левым делителем А.
Следовательно, В^В^Ъ.
Ассоциативность умножения в 58, конечно, имеет место,
поскольку 93<=.%.
Пусть Blt B2?23. В 91 должны найтись такие элементы
X и Y, что
5) Если мы покажем, что X, Y ?25, то этим будет завер-
завершено доказательство того, что 58 есть группа.
Пусть А есть произвольный элемент Щ..
Так как при некотором Г?ЭД имеет место В^Т^А, то
т. е. X оказывается левым делителем А.
В % должны найтись такие элементы /, Си С2, что
5*

68 ДЕЛИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. II
Так как для любого Z из 2t должен найтись такой
Z'?% что Z = Z'B2, то
Zil = Z B2I = Z ?52 =— Z,
т. e. / таков, что для любого Z?9t имеет место ZI = Z.
Пользуясь этим свойством /, получаем
А = AI = АВ2С2 = Л52/С2 = АВ2СХВХС2 =
= АВ2СХХВ2С2 = АВгСхХ1 = АВ2СХХ,
т. е. X оказывается также и правым делителем А. Таким
образом, ЛГ?23. Совершенно аналогично доказывается, что
К?<8
1.6 Некоторую противоположность элементов, являющихся
и правыми и левыми делителями всех элементов полугруппы,
представляют элементы, сами делящиеся и справа и слева
на все элементы полугруппы. Такие элементы были впервые
рассмотрены в статье Клиффорда и Миллера [1], где они
названы зероидными (zeroid element). К рассмотрению свойств
этих элементов мы еще возвратимся в главе V.
Теорема. Совокупность всех элементов полугруппы %,
делящихся и справа и слева на всякий элемент %, если
она не пуста, является группой.
Доказательство. Обозначим указанную совокупность
через 6. Пусть Cv С2 ? 6. Для всякого А ? 91 в Ш должен
найтись такой X, что
Q = АХ.
Поэтому С1Сг = А(ХС2), т. е. СхСг делится слева на про-
произвольный элемент А. Аналогично доказывается, что Cfi2
делится на А справа. Следовательно, СхСг ? S.
Ассоциативность умножения в 6, конечно, имеет место,
поскольку (S,c9t.
Так как Ct и С2 принадлежат 6, то в Щ должны найтись
такие элементы U, V, W, что
ис\=сг.
Мы имеем
22Z
Отсюда получаем
С2 (C,V»C) - {CIV) (VCX) ^ C%VCX = UC2CX =

1] ПОНЯТИЕ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ДЕЛИМОСТИ 69
Мы показали, что элемент Y=^С.^/Ч11 является решением
уравнения
Покажем, что K?S. Действительно, для любого
в 9t найдутся такие t/' и V, что
Поэтому
К = С^Сг = ZV'VWZ,
т. е. К делится на Z и справа и слева. Аналогично можно
найти такое решение X уравнения
что ?
'-'• 1.7. Выясним, когда 93 и (§,, рассмотренные в 1.5 и 1.6,
Имеют общие элементы.
. Теорема. Если в полугруппе 2t существует такой
Элемент, который является и правым и левым делите-
делителем всякого элемента % и сам в свою очередь делится
М справа и слева на все элементы из Щ, то Ш является
группой.
Доказательство. Пусть А ж В произвольные эле-
элементы % и D элемент, обладающий указанными в форму-
формулировке теоремы свойствами. В % должны найтись такие
элементы Xv Ylt Хг, У2> что
A = X1D, A-=DYV D = X2B, D = BY2.
С?тсюда следует, что элементы Х= ХхХг и К= Y^YX являются
§»ешениями уравнений
f' A = XB, A = BY.
'J:l>* ¦
'."¦¦¦¦•¦ 1.8. Естественно поставить вопрос о том, какие группы
$|©гут служить группами 93 и S из 1.5 и 1.6 для каких-нибудь
Шлугрупп. Прежде всего из 1.7 следует, что интерес пред-
представляет только тот случай, когда заданные две группы не
имеют общих элементов. Покажем, что при этом условии ч
пара любых групп может представлять собою пару групп !$
И © для некоторой полугруппы %,

70 ДЕЛИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. II
Пусть (Si и ©2 есть две произвольные группы, не имею-
имеющие общих элементов. Множество ЭД является объединением
множеств @! и ®2
Определяем в % действие умножения. Пусть А, А' ? 91.
Если А и А' оба содержатся в одной и той же группе
©4(/= 1,2), причем в этой группе имеет место
АА' = А",
то и в 2t полагаем
АА' = А".
Если же А ? ®lt A' ? ©2, то полагаем
Без труда проверяется ассоциативность введенного действия.
Покажем, что в % группа ©t играет роль группы 58 A.5),
а ®2 играет роль группы d, A.6). Действительно, если
Gj ? ©! и А ? Щ, то уравнения
разрешимы в 91. Если А ? ©j, то в качестве X и Y берем
решения соответствующих уравнений в ©t. Если же А ? ©а,
то берем А*=К=Л.
Для О2 ? © уравнения
Х4 = О2, ЛУ = О2
также разрешимы. Если Л ? ©2, то в качестве X и К берем
решения соответствующих уравнений в ®2. Если же А ? ©!,
то берем *=У=О2.
§ 2. Обратные элементы и единицы
2.1. При рассмотрении свойств делимости элементов
в некоторых случаях представляет интерес тот второй эле-
элемент, который в произведении с данным элементом—дели-
элементом—делителем дает рассматриваемый элемент—делимое.
Определение. Если элемент В полугруппы % является
правым делителем элемента А той же полугруппы, то
элемент X, такой, что

g; 2) обратные элементы и единицы 1\
называется левым обратным для В относитель-
относительно А.
Аналогично определяются правые обратные элементы.
. Элемент, являющийся одновременно и правым обрат-
обратным для В относительно А и левым обратным для В
относительно А, называется д в у сторонне обрат-
W-'MM для В относительно А.
':'{,•¦ 2.2. Из определения непосредственно вытекают свойства.
* *¦ (а). Если элемент X есть левый обратный для В относи-
ИРвльно А, то при любом элементе Z данной полугруппы X
|§удет левым обратным для BZ относительно AZ.
;'iy ф). Если элемент X есть левый обратный для В отно-
относительно А, то при любом элементе Z данной полугруппы ZX
рудет левым обратным для В относительно ZA.
? G). Если Xt есть левый обратный для В относительно Хг,
г есть левый обратный для С относительно А, то Xt будет
вым обратным для ВС относительно А.
(8). Количество левых обратных для элемента В относи-
ьно А равно количеству раз, которое элемент А встре-
ся в столбце, соответствующем элементу В таблицы
ножения полугруппы (I, 1.6; II, 1.4).
(е). Количество правых обратных для элемента В относи-
ьно А равно количеству раз, которое элемент А встре-
ся в строке, соответствующей элементу В таблицы умно-
иия полугруппы.
2.3. Особого внимания заслуживают следующие частные
ЩОпределение. Элемент В полугруппы % называется
\авой единицей элемента А той же полугруппы,
А называется левым нулем для В, если В есть
вый делитель А, причем А сам является левым обра-
*м для В относительно А:
АВ — А.
^Аналогично определяются левая единица и правый
V' Элемент, являющийся и правой и левой единицей эле-
элемента, называется его двусторонней единицей.?
Элемент, являющийся и правым и левым нулем для не-"
цаторого элемента, называется его двусторонним
ну л ем.

72 ДЕЛИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. II
Элемент I, являющийся своей собственной двусто-
двусторонней единицей, называется ид ем по тентом:
2.4. Иногда какой-нибудь элемент полугруппы является
правой или левой единицей или нулем одновременно для не-
нескольких элементов. В некоторых случаях такое обстоятель-
обстоятельство оказывается важным.
Определение. Пусть 9t есть подмножество полу-
полугруппы 91. Элемент В?91 называется правой едини-
единицей 9t, если В является правой единицей каждого эле-
элемента N из 9t:
Аналогично определяются левая единица, правый нуль
и левый нуль подмножества.
Если подмножество 91 обладает, например, правыми еди-
единицами, то обычно бывает существенно, принадлежат ли не-
некоторые из них самому 9t или нет. Конечно, могут встре-
встретиться оба случая.
2.5. Из приведенных определений непосредственно выте-
вытекает ряд свойств.
(а). Если С есть правая единица В, а В есть правая
единица А, то С является правой единицей А.
(Р). Если В есть правая единица А, то В будет правой
единицей элемента ZA при любом Z из данной полугруппы.
(f). Если В есть правый делитель А, то всякая правая
единица элемента В будет правой единицей для А.
E). Элемент, являющийся сам для себя двусторонним ну-
нулем, является идемпотентом.
(е). Если ^ з 3^2 и В есть правая единица для fftv то В
будет правой единицей и для 9t2.
(?). Если Э^ э -Йа и В есть правый нуль для $11г то В
будет правым нулем и для 9?2-
2.6. Совершенно особое положение занимают элементы,
являющиеся двусторонней единицей и двусторонним нулем
всей полугруппы.
Определение. Элемент, являющийся двусторонней
единицей всей полугруппы К, называется единицей по-
полугруппы. Ш.

§ 2] ОБРАТНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И ЕДИНИЦЫ 73
Элемент, являющийся двусторонним нулем всей по-
полугруппы 3t, называется нулем по л у группы.
Обычно единицу полугруппы мы будем обозначать че-
через Яа. или просто Е, нуль будем обозначать через О«,
или просто О.
Полугруппа, обладающая единицей, называется полугруп-
полугруппой с единицей и обладающая нулем — полугруппой с нулем.
2.7. Теорема. Полугруппа может обладать не более
чем одной единицей и не более чем одним нулем.
Доказательство. Пусть Et и Ег оба являются еди-
единицами полугруппы 31.
Из того, что Et есть единица 31, следует Е1Е2 = Ег. Но
из того, что Ег есть единица 31, следует Е1Ег = Е1. Следо-
Следовательно, E2 — Ev
Пусть Ох и О2 оба являются нулями полугруппы 31.
Из того, что Ot есть нуль 31, следует OlO2=^Ov Но
яъ того, что О2 есть нуль 31, следует ОгО2 = О2. Следова-
Следовательно, Ох = О2.
,. 2.8. Из определений непосредственно вытекают следую-
следующие свойства нуля и единицы полугруппы.
(а). Единица является и правым и левым делителем вся-
всякого элемента полугруппы.
ф). Никакой элемент полугруппы, кроме самой единицы,
не может являться ни правой, ни левой ее единицей.
(Y). Всякий элемент полугруппы является и правым и ле-
левым делителем нуля полугруппы.
(8). Нуль полугруппы не является ни правым, ни левым
делителем никакого элемента, отличного от самого нуля.
(е). Единица полугруппы является идемпотентом.
>¦ (С). Нуль полугруппы является идемпотентом.
¦ (т)). Все элементы полугруппы являются нулями для ее
единицы.
¦¦¦': F). Все элементы полугруппы являются единицами для ее
¦;%ля.
-»' 2.9. Наличие единицы в полугруппе в ряде случаев зна-
значительно упрощает формулировки и облегчает рассуждения.
'Поэтому часто бывает целесообразно пополнить полугруппу
единицей, если она первоначально ею не обладала. Это можно
сделать нижеследующим образом. '
Пусть 3t есть произвольная полугруппа. Рассмотрим мно-
множество 31', состоящее из всех элементов 91 и еще одного

74 ДЕЛИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. II
нового элемента Е. В W определим действие умножения.
Если для Av Аг, А3?ЧЦ в % имело место
А^А^ = А3,
то и в W полагаем А1Аг = А3.
Кроме того, для всякого X?%' полагаем
ХЕ = ЕХ=Х.
Без труда проверяется ассоциативность определенного в W
действия. Таким образом, 21' оказывается полугруппой, при-
причем элемент Е, очевидно, является единицей 9Р.
Полугруппа 9Р столь тесно и столь очевидным образом
связана с полугруппой 21, что изучение полугруппы 91 обычно
можно вполне заменить изучением полугруппы W, которая
обладает единицей.
2.10.. Аналогично . пополнению полугруппы единицей
можно произвести пополнение ее нулем.
Пусть 9( есть произвольная полугруппа. Рассмотрим мно-
множество W, состоящее из всех элементов ЭД и еще одного
нового элемента О. В W определяем действие умножения.
Если для Ах, \, Аг ? Ъ. в % имело место
Кроме того, для всякого
= 0Х=0.
Легко видеть, что W есть полугруппа, в которой О является
нулем.
2.11. Из построений 2.9 и 2.10 сразу видно, что если
сперва пополнить % единицей Е, а потом пополнить полу-
получившуюся полугруппу W нулем О, то в получившейся после
этого полугруппе, состоящей из всех элементов SI и но-
новых элементов ? и О, эти новые элементы будут соответст-
соответственно единицей и нулем.
2.12. Если в полугруппе §1 с единицей Ея произведение
отличных от ?и элементов всегда отлично от Ец, то гово-
говорят, что в 91 единица присоединена внешний образом к по-
полугруппе, состоящей из всех неединичных элементов полу-

§2) Обратные элементы и единицы 75
группы %. Построение W в 2.9 явилось тем самым присое-
присоединением единицы внешним образом к исходной полугруппе ft.
Аналогично, если в полугруппе 2t с нулем О произведе-
произведение отличных от О элементов всегда отлично от О, то го-
говорят, что в ЭД нуль присоединен внешним образом к полу-
полугруппе, состоящей из всех ненулевых элементов полугруппы 'й.
Построение W в 2.10 было присоединением нуля внешним
образом к исходной полугруппе 9L
2.13. Поскольку, как мы уже говорили, единица играет
в полугруппе совершенно особую роль, естественна важ-
важность элементов, обратных по отношению к единице.
Определение. Если в полугруппе с единицей Е эле-
элемент А обладает двусторонне обратным B.1) А' отно-
относительно Е, то этот элемент А' называется обрат-
обратным для А и обозначается Л.
.. 2.14. Пусть ЭД есть полугруппа с единицей Е. Рассмо-
Рассмотрим некоторые свойства обратных элементов.
(а). Если элемент Л является и правым и левым делите-
;лем Е, то Л обладает обратным элементом.
> Действительно, пусть
ал' р л" л F
тогда
I А' = ЕА' = {А" А) А' = А" (АА') = А"Е = А".
как Л' = Л", то, очевидно, А' = А" = А~1.
|- (Р). Если элемент Л обладает обратным Л, то никакой
емент из 91, отличный от Л, не является ни правым, ни
Щевым обратным для Л относительно Е. В частности, отсюда
цует, что обратный элемент единственный.
L Действительно, если ХА — Е, то
Ййлогично из AY = E следует К = ?.
?* (т). Если А обладает обратным Л, то и Л обладает
^обратным и (Л) =Л.
(8). Если каждый из элементов Ах, Л2 Ак обладает
обратным, то и их произведение обладает обратным, причем

76 ДЕЛИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. II
Действительно,
(А,А2 ... Ак)-(Ап1 ... Дя-Ч) = Е.
(Л*1 .. . A;1 AT1) ¦ (А,Аг ... Ак) = Е.
(е). Отличный от Е идемпотент не может иметь обрат-
обратного элемента. Действительно, если P — I и Н~1 = Е, то
2.15. При помощи понятия и свойств единицы и обрат-
обратных элементов можно охарактеризовать группы.
Теорема. Для того чтобы полугруппа % была груп-
группой, необходимо а достаточно, чтобы ЭД обладала еди-
единицей и чтобы каждый элемент имел обратный.
Доказательство. 1) Пусть % есть группа. Возьмем
в % некоторый элемент S. В ЭД должны найтись такие эле-
элементы Ех и Е2, что
EXS = S, SE2 = S.
Пусть А произвольный элемент Ш. В Ж существуют такие X
и К, что
XS = A, SY = A.
Так как E1A = E1SY = SY = A,
АЕг = XSE2 = XS = A,
то Et оказывается левой единицей Ж, а ?2 правой едини-
единицей Ж. Отсюда, в частности, следует
1 2 == 2* ^12 ~= 1* ¦
Следовательно, Е1 = ?'2> и Е = Е1 = Е2 оказывается едини-
единицей %. Каждый элемент Щ. является и правым и левым дели-
делителем всякого элемента из ЭД, а потому и единицы Е. Со-
Согласно 2.14, (а), отсюда следует, что каждый элемент Щ.
обладает обратным.
2) Пусть в полугруппе % с единицей Е каждый элемент
имеет обратный. Тогда для любых А, В?% имеет место
(В А'1) А = ВЕ = В,
а(а-1в) = ев = в.
Следовательно, ЭД является группой.

§ 2] Обратные элементы и единицы 77
2.16. Из теоремы 2.15 следует, что группа является
полугруппой с двусторонним сокращением (I, 3.2, (г)).
Действительно, если для элементов X, А, В группы ©
имеет место
ХА-=ХВ,
то
А = ЕтА = ХГХХА = Х~ХХВ = Е&В = В.
Аналогично для сокращения справа.
2.17. Также с помощью теоремы 2.15 нетрудно дока-
доказать уже упомянутую ранее (I, 3.17) теорему о представле-
представлении групп обратимыми преобразованиями.
Теорема. Каждая группа изоморфна некоторой группе
обратимых преобразований (I, 3.17).
Доказательство. В качестве множества 2 преоб-
преобразуемых элементов возьмем совокупность всех элементов
самой группы ®:
2 = ®={Л, В, .... S, ...}.
Каждому элементу S?© сопоставим следующее преобразо-
преобразование V$ множества 2:
Благодаря 2.16 преобразования, соответствующие различным
элементам из ©, сами будут различны. Так как для любых S,
R, Х?®
(VsVR) Х= Vs (RX) = SRX= V{SB)X,
то
Отсюда следует, что соответствие S^—Vs представляет со-
собою изоморфизм между группой © и мультипликативным
множеством ©', состоящим из всех преобразований Vs-
Преобразование Vg-i обратно для преобразования Vs, так
как
v8-lvBx=virl$x=s-1sx=E9x=x,
Следовательно, все преобразования Vs обратимы и ©' для
каждого Vs содержит обратное к нему преобразование Vs~i.

78 ДЕЛИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ (ГЛ. II
2.18. Требования выведенного в 2.15 критерия того,
чтобы полугруппа являлась группой, могут быть ослаблены
нижеследующим образом.
Теорема. Если полугруппа % обладает правой еди-
единицей I, причем каждый элемент Щ является левым де-
делителем I, то Ж является группой.
Доказательство. Для произвольного элемента А ? И
в % должны найтись такие А' и А", что
АА' = 1, А'А" = 1.
Отсюда получаем
IA = IAI == IAA'A" = НА" = IA" = АА'А" = А1—А.
Следовательно, / является также и левой, а потому и дву-
двусторонней единицей Ж. Но тогда
А = AI = АА'А" = IA" --= А".
Следовательно, AA' — A'A — I, т. е. А' является для А
двусторонне обратным элементом.
Согласно 2.15, 21 есть группа.
2.19. В связи с теоремой 2.18 естественно поставить
вопрос о том, что представляет собой полугруппа, обла-
обладающая такой правой единицей, для которой каждый эле-
элемент является ее правым делителем. Все группы, очевидно,
принадлежат к классу таких полугрупп. Помимо этого,
в нем имеются полугруппы и не являющиеся группами. На-
Например, в этом классе содержатся весьма просто устроен-
устроенные полугруппы, в которых произведение двух любых эле-
элементов всегда равно левому множителю (в этом случае
каждый элемент, очевидно, является правой единицей с ука-
указанным свойством). В главе VI мы вернемся к полугруппам
с указанным свойством и покажем, что всякая полугруппа,
обладающая правой единицей, делящейся справа на каждый
элемент полугруппы, может быть получена из полугрупп
указанных двух классов при помощи некоторой простой
конструкции.
§ 3. Делимость преобразований и матриц
3.1. Посмотрим теперь, как понятия двух предыдущих
параграфов конкретизируются применительно к двум важней-
важнейшим частным случаям — преобразованиям и матрицам. Сперва

§ 3] ДЕЛИМОСТЬ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И МАТРИЦ 79
рассмотрим преобразования. Пусть 2 произвольное непустое
множество, ©2 полугруппа всех преобразований 2. Для вся-
всяких <х?2 и S?©2 условимся обозначать через r?S) множе-
множество всех таких ??2, что St = Sa.
Для того чтобы в полугруппе ©2 преобразование В
из ©в было правым делителем преобразования А из ©а.
необходимо и достаточно, чтобы для каждого <х? 2 имело
место riB)cl{A), т. е. чтобы из Во. — В$ (а, р ? 2) всегда
следовало Аа = Аф.
Действительно, если для некоторых а и р из 2 имеет
место
то при любом Х?&2 ХВа = ХВф, т. е. ХВ ни при каком X
не равно А.
Пусть теперь г!В)сг1А) для каждого а ?2. Определим
новое преобразование Х?©а, полагая для % = Ва. ХЬ = Аа
(Л? определен этим однозначно независимо от выбора а
ив г!В), ибо г!В)с:г1Л)) и определяя Хч\ для tj^B2 произ-
произвольным образом.
Для всякого а ? 2 мы имеем
и, следовательно, ХВ = А.
3.2. Для того чтобы в полугруппе ©а преобразова-
преобразование В из ©а было левым делителем преобразования А
из ©Q, необходимо и достаточно, чтобы Л2с?2.
Действительно, так как при любом ©
то BY = А возможно лишь при Б2=эЛ2.
Если BQz>AQ имеет место, то для каждого 5^ Л2 фик-
фиксируем какой-нибудь такой X' ^2, что В?' = ?.
; Строим новое преобразование Y. Если Ла —f$, то пола-
полагаем Ка = Р'. При таком Y имеем
и, следовательно,

80 ДЕЛИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. II
3.3. Укажем несколько следствий для полугруппы ©2.
непосредственно вытекающих из 3.1 и 3.2. В частности,
остановимся на вопросе об элементах, имеющих обратные
относительно тождественного преобразования Е, которое
играет особую роль, поскольку оно, очевидно, является
единицей полугруппы <2>а B.6).
(а). Элемент S?<52 имеет в <5В левый обратный относи-
относительно тождественного преобразования Е тогда и только
тогда, когда при любых а, Р?2 из а Ф р всегда следует
5а Ф Sp, т. е. S осуществляет взаимно однозначное отобра-
отображение 2 в себя.
Это непосредственно следует из 3.1.
ф). Элемент S?<Sa имеет в <Sa правый обратный отно-
относительно тождественного преобразования Е тогда и только
тогда, когда 52 = 2, т. е. S осуществляет отображение 2
на все 2.
Это непосредственно следует из 3.2.
(Y). Для ©а группа 2} A.5), состоящая из всех преоб-
преобразований, являющихся одновременно и правыми и левыми
делителями каждого преобразования из <©в, состоит из таких
преобразований В, которые удовлетворяют условиям
В2 = 2, ВафВ$ (а, Р?2; а ф Р),
т. е. осуществляют взаимно однозначные отображения Q на
себя. Согласно I, 3.14, 23 есть множество всех обратимых
преобразований множества 2.
(8). Для ©а множество S A.6) пусто (за исключением
тривиального случая, когда 2 состоит из одного элемента).
Действительно, пусть U^ есть преобразование 2, преобра-
преобразующее все а?2в ?. Тогда всякое преобразование С, деля-
делящееся на U$ слева, должно, согласно 3.2, иметь С2с^2 =
==? и потому не может делиться слева на U^ при -ц Ф ?.
3.4. Для того чтобы преобразование В ? <Bq было пра-
правой единицей преобразования А ? ®а. необходимо и доста-
достаточно, чтобы для любого а?2
т. е. чтобы Ва. содержался в множестве Г1А) C.1).

ДЕЛИМОСТЬ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И МАТРИЦ
81
Для того чтобы В было левой единицей А, необходимо
и достаточно, чтобы для всякого ??Л2 имело место
Действительно, В А = А означает, что для всякого а ? 2
З.б. Идемпотентами в <Sa являются такие преобразова-
преобразования /, для которых все элементы из /2 являются неподвиж-
неподвижными точками преобразования/, т. е. 1\ = %. Действительно,
для идемпотентности / необходимо и достаточно, чтобы для
всякого <х?2
И /(/) /2
[]', Преобразования, являющиеся идемпотентами полугруп-
li»i <3а. можно было бы весьма естественно назвать проек-
проектирующими. То свойство, что все элементы из 2 преобра-
преобразуются при помощи / в такие, которые сами от преобразо-
преобразования / уже не меняются, и является естественным для
'определения проектирования в общем случае.
Как мы уже отмечали, тождественное преобразование 2
Является единицей полугруппы <52. Нуля B.6) полугруппа <52
благодаря 3.3, (8) не имеет, так как нуль полугруппы всегда
делится на все ее элементы и справа и слева: 0/4 = А0 = 0.
3.6. Теперь обратимся к полугруппе Шп, состоящей из
8<iex комплексных квадратных матриц порядка п.
Для того чтобы в Шп матрица В была правым делите-
делителем матрицы А, где
А ===
аи я12
«Я «22
«1П
arm-
В =
bn
bin
__"nl vn2
Необходимо и достаточно следующее равенство рангов:
rang
_ ьп1 ь
ni ¦
—°ni Опъ ••• bnn_
6 Зак. 455. E. С. Ляпни

82
ДЕЛИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ
[ГЛ. II
Действительно, равенство ХВ = А означает выполнение
равенств:
хк2Ь22-\-
xknbn2 = ак2,
2п
(к = 1, 2 и).
Как известно из теории систем линейных уравнений, для
того чтобы нашлись значения хк1, хк2, ..., хкп, удовлетво-
удовлетворяющие этим соотношениям, необходимо и достаточно, чтобы
последовательность (ак1, а^, .... акп) линейно выражалась
через последовательности (Ьп, Ь12 bln), (Ь21, Ь22 Ь2п),
.... (bnl, bn2, ..., Ьпп). Но это будет иметь место при
всех Л от 1 до и в том и только в том случае, когда вы-
выполняется указанное выше условие равенства рангов.
3.7. Совершенно аналогично предыдущему доказывается,
что для того чтобы в ЗЯп матрица В была левым делите-
делителем матрицы А, необходимо и достаточно следующее ра-
равенство рангов:
а21 «22 • • • а2« 1 ^22 • • • ^2П
rang
а-пп
= rang
Ь12
01»
3.8. Очевидно, полугруппа Шп обладает единицей и нулем:
Е =
- 1 0 0 ... О -
О 1 0 ... О
0 0 1 ... 0
0 0 0
1
0 =
0
0
0
0
0
0
0
0
0
... о-
... 0
... 0
0 0 0
3.9. Группа 23 A.5) для Шп, как следует из 3.6, состоит
из тех матриц, ранг которых равен п, т. е. является сово-
совокупностью всех неособенных матриц.

4) Коммутативные полугруппы идемпОтёнтов 83
• Группа б A.6) для ffi.n состоит из одной нулевой ма-
матрицы О. Действительно, О делится на всякий элемент
$1 ? ffl.n и справа и слева
It, С другой стороны, матрица, отличная от О, не делится
«а О и потому не может принадлежать (L
f/ § 4. Коммутативные полугруппы идемпотентов
§?•• 4.1. Коммутативные полугруппы идемпотентов, т. е. та-
коммутативные полугруппы, все элементы которых яв-
этся идемпотентами, играют особую роль ввиду их связи
|-понятием частичной упорядоченности. В продолжение всего
араграфа мы постоянно будем пользоваться простейшими
Понятиями теории частичной упорядоченности, приведенными
§ 5 главы I.
Остановимся сперва на одном частном классе коммута-
вных полугрупп идемпотентов. Пусть 2 есть некоторое
Ьожество и 23 совокупность некоторых его непустых под-
"Ъжеств такая, что вместе с подмножествами М и М'
рожества 2 совокупность 23 всегда содержит их пересече-
М П М'. Очевидно, 23 относительно действия пересече-
является коммутативной полугруппой идемпотентов. Ока-
вается, что всякая коммутативная полугруппа идемпотентов
кет быть изоморфно представлена в виде полугруппы та-
го типа.
!•; Теорема. Всякая коммутативная полугруппа идем-
ентов изоморфна некоторой полугруппе, элементами
%орой являются подмножества некоторого множества,
ействием — операция пересечения.
^Доказательство. В коммутативной полугруппе идем-
итов % для всякого Х?% обозначим через 91х совокуп-
гь всех элементов из 51, делящихся на X. Для произ-
ьных X, У?Ш, очевидно, 9ljyc9lx П 9^г- С другой сто-
оны, если Z^^nStr. то Z = UX, Z — VY при некото-
некоторых JJ, V?2l. Но Z = Z* = UXVY = (XY)(UV) и потому
'• Таким образом, оказалось, что всегда '
6*

84 делимость элементов [гл. it
Из этого следует, что совокупность подмножеств множе-
множества 91, имеющих вид Шх (Х?Щ, которую мы обозначим
через 23, относительно действия пересечения подмножеств
является коммутативной полугруппой идемпотентов.
Пусть Ях = У1т, так как Х=Хг?Ях и Y=Y^3lY,
то при некоторых R, 5?'>Д мы имеем X=RY, Y = SX.
Отсюда следует X=RSX и Y = RSY. Используя это, по-
получаем
X = RSX= RSRY = RSY = К.
Благодаря доказанному отображение <р полугруппы 91
на »
взаимно однозначно. Ввиду доказанного ранее оно оказы-
оказывается изоморфным, ибо
4.2. Рассмотренное выше представление произвольной
коммутативной полугруппы идемпотентов §1 делает особенно
естественным рассмотрение следующего отношения частичной
упорядоченности в 91. Будем писать
Х<К (X, Y?ty.
если X делится на Y (в обозначениях 4.1 это, очевидно,
равносильно условию 9ijccz9tr). В коммутативной полу-
полугруппе идемпотентов это условие равносильно тому, что У
является единицей X. Действительно, из X=YZ, очевидно,
следует, что XY = X.
Рефлексивность, транзитивность и антисимметричность
(I, 5.6) этого отношения проверяются без труда.
Относительно введенного в % отношения частичной упо-
упорядоченности произведение XY двух элементов А* и К яв-
является точной нижней границей для X я Y.
Действительно,
(XY)X=XY, (XY)Y =
и, следовательно,

§ 4] КОММУТАТИВНЫЕ ПОЛУГРУППЫ ИДЁМПОТЁНТОВ 85
Если Z<X и Z<K, т. е.
ZX=Z, ZY = Z,
то
Z (XY) =
т. е. Z^
4.3. Из 4.2 следует, что относительно введенной частич-
частичной упорядоченности множество всех элементов коммутатив-
коммутативной полугруппы идемпотентов Ш является полуструктурой
A,5.13). Будем называть ее полуструктурой, сопряженной
с полугруппой ЭД. В свою очередь, ЭД будем называть полу-
полугруппой, сопряженной с этой полуструктурой.
4.4. Теорема. Для каждой полуструктуры сущест-
существует единственная сопряженная с ней коммутативная
полугруппа идемпотентов.
Доказательство. 1)В полуструктуре 2 введем ком-
коммутативное действие умножения, полагая
если Z есть точная нижняя граница для {X, Y) в 2. Согласно
1,5.12; 1,5.13, произведение определено вполне однозначно
для любой пары элементов. Докажем ассоциативность этого
действия.
Пусть
U, X(YZ) = V.
Мы имеем К<*, V<KZ и потому К<Г, V<Z. Но из
V<A", V<K следует V<CXY. Отсюда, благодаря V<Z,
получаем V*C(XY)Z = U. Аналогично доказывается U^V.
': Таким образом, U = V.
: Множество всех элементов полуструктуры 8, рассматри-
рассматриваемое относительно определенного таким способом действия,
^обозначим через Ж. ЭД является коммутативной полугруппой.
При этом все ее элементы, очевидно, являются идемпотентами.
Если в Ш для элементов X и Y имеет место XY = X, то X
есть точная нижняя граница для X н Y а потому Л"<; К.
В свою очередь, если X^.Y, то точная нижняя граница 'X
и Y есть X и потому XY = X. Отсюда следует, что полу-
полуструктура 2 сопряжена с полугруппой 91.

86 ДЕЛИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ |гл- И
2) Пусть W есть произвольная коммутативная полугруппа
идемпотентов, сопряженная с полуструктурой 2. Множество
элементов W совпадает с множеством элементов 2 и совпа-
совпадает с множеством элементов 31 (где 31 полугруппа, рассмо-
рассмотренная в первой части доказательства).
Согласно 4.2, в ЭД' произведение двух произвольных эле-
элементов X и К равно точной нижней границе X и К в 2.
Таким образом, в полугруппах 91' и % состоящих из одних
и тех же элементов, действия совпадают. Следовательно,
И' = Я.
4.Б. Благодаря теореме 4.4, соотношение сопряженности
определяет взаимно однозначное соответствие между комму-
коммутативными полугруппами идемпотентов и полуструктурами.
Это соответствие позволяет свести изучение полуструктур
к изучению коммутативных полугрупп идемпотентов.
4.6. Если в некоторой коммутативной полугруппе идем-
идемпотентов 31 указано, какие элементы для каких других эле-
элементов являются единицами, то тем самым вполне определено
отношение частичной упорядоченности в полуструктуре, со-
сопряженной с полугруппой 31. Но, согласно 4.2, это отно-
отношение вполне определяет умножение в 91. Таким образом,
указание в 91 того, какие элементы для каких других элементов
являются единицами, полностью определяет полугруппу 31.
Это же свойство, очевидно, можно формулировать также
и следующим образом. Пусть <р есть взаимно однозначное
отображение коммутативной полугруппы идемпотентов 91 на
коммутативную полугруппу идемпотентов 31'. Если из XY=Х
(X. К?31) всегда следует ср(ЛГ) • <р(К) = ср(ЛГ), а из ХУфХ
всегда следует ср(Л) • ср(К)=?ср(Х), то <р есть изоморфизм 31
на W.
4.7. В теории частично упорядоченных множеств струк-
структуры A,5.13) занимают особое место. Различные их свой-
свойства подвергнуты глубокому изучению. Теория структур
занимает важное место в современной алгебре. Весьма суще-
существенным в этой теории является выделение из общего класса
структур некоторых частных классов. Ниже мы покажем,
как естественно могут быть охарактеризованы некоторые из
этих классов при помощи свойств делимости в полугруппах,
сопряженных со структурами, составляющими эти классы.
4.8. Теорема. Полуструктура 2 является структу-
структурой тогда а только тогда, когда в сопряженной с ней

§ 4] КОММУТАТИВНЫЕ ПОЛУГРУППЫ ИДЕМПОТЕНТОВ 87
полугруппе ЭД множество единиц совокупности двух лю-
любых элементов непусто и содержит свой нуль.
Доказательство. 1) Пусть 2 является структурой.
Для X, К?2 в 2 должна существовать точная верхняя гра-
граница Z. Поскольку X^Z и K<Z, в ЭД мы имеем XZ = X
и YZ=Y, т. е. Z является единицей совокупности
{X, Y).
Пусть Z' есть произвольная единица совокупности {X, Y].
Это означает, что в 2 Z' есть верхняя граница для [X, Y].
Поэтому Z'>Z, т, е. в I Z'Z = Z. Отсюда следует, что Z
является нулем в множестве всех единиц {X, Y].
2) Пусть в полугруппе ЭД для произвольных X, Y?%
множество единиц совокупности [X, Y) содержит свой нуль Z.
Так как Z есть единица X и Y, то в 2 Z есть верхняя гра-
граница {X, Y]. Пусть Z' есть произвольная верхняя граница
{X, Y}. Так как в Ш Z есть нуль для Z', то Z^Z'. Сле-
Следовательно, для [X, Y) Z является точной верхней гра-
границей.
4.9. В коммутативной полугруппе идемпотентов ЭД, сопря-
сопряженной со структурой 2, условимся обозначать через Х-\- Y
Элемент, являющийся точной верхней границей {X, Y]. Мно-
Множество 2 можно было бы рассматривать и относительно
этого действия „сложения". Мы получили бы тогда новую
коммутативную полугруппу идемпотентов, связь которой со
структурой 2 носила бы характер, аналогичный связи с 2
сопряженной с ней полугруппы ft D.3).
:.. 4.10. Линейно упорядоченное множество A,5.11), оче-
вндно, является структурой. Если в линейно упорядоченном
множестве каждое непустое подмножество содержит свою
!ржнюю границу (которая, очевидно, автоматически оказы-
оказывается ее точной нижней границей), то оно называется вполне
упорядоченным множеством.
л\ 4.11. Теорема. Полуструктура 2 является линейно
. упорядоченным множеством тогда и только тогда, когда
в сопряженной с ней полугруппе ЭД из двух любых эле-
элементов один является нулем для другого.
2 является вполне упорядоченным множеством тогда
и только тогда, когда любое непустое подмножество
полугруппы Щ содержит свой нуль. «
Доказательство. 1) Пусть 2 линейно упорядоченное
множество и X, Y (= й. Обязательно имеет место одно из.

88 ДЕЛИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. II
двух: X^.Y или Y-^.X. В первом случае в 31 X является
нулем для Y, а во втором Y нулем для X.
Если 2 вполне упорядочено и 3№с2, Т1Ф0, то 3№ со-
содержит свою нижнюю границу Z. В St Z является нулем
для каждого элемента из 3№.
2) Если в 31 для X, Y ? 51 всегда имеет место или XY = X,
или XY=Y, то в 2 всегда *< К или К<Л", т. е. 2 ли-
линейно упорядочено.
Если в 31 для 23с31, 23=?0, всегда существует Z® ? 33,
являющийся нулем 33, т. е. Z^X=Z^ для любого ^?23,
то Zs является нижней границей для 33. Отсюда следует,
что 2 вполне упорядочено.
4.12. Теорема. Полуструктура 2 является полной
структурой A,5.13) тогда и только тогда, когда сопря-
сопряженная с ней полугруппа 31 обладает единицей и для
всякого непустого подмножества существуют нули,
а в множестве этих нулей имеется единица.
Доказательство. 1) Пусть 2 есть полная структура.
Точная верхняя граница 2 является единицей ЭД. Точная ниж-
нижняя граница Z подмножества ЗЗсЭД, 93=?0, является одним
из нулей для 33, причем, как легко видеть, Z есть единица
в множестве этих нулей.
2) Пусть полугруппа 91 обладает указанным в формули-
формулировке теоремы свойством и ЗЗсИ, 33=?0. Нули множества 23
являются его нижними границами в 2. Единица этого мно-
множества нулей будет точной нижней границей для 93.
Обозначим через ф множество всех единиц 33. Оно не
пусто, ибо ?я?ф. Через -?>' обозначим множество нулей -?>,
а через / единицу множества <?>', принадлежащую ф'. Оче-
Очевидно, ЭЗсф'. Следовательно, / есть верхняя граница
для ЭЗ в 2.
Если U есть произвольная верхняя граница ЭЗ, то ?/?ф.
Для /, как и для каждого элемента из ф', должно иметь
место IU — I. Следовательно, /<[t/. Таким образом, / ока-
оказывается точной верхней границей 93.
4.13. Существует несколько эквивалентных между собой
определений так называемых дистрибутивных структур. Мы
выберем одно, хотя и не самое распространенное, но наи-
наиболее удобное для наших целей (данное Бергманом доказа-
доказательство его эквивалентности с другими определениями можно
найти у Биркгофа [3], гл. IX, § 1).

§ 4] коммутативные Полугруппы идемпотёнтов 89
Структура 2 называется дистрибутивной, если в 2 из
условий
всегда следует Y = Z.
Теорема. Для того чтобы структура 2 была дистри-
дистрибутивной, необходимо и достаточно, чтобы в сопря-
сопряженной с ней полугруппе ЭД для любых элементов X, Y,
Z, удовлетворяющих условиям
XY = XZ, Y+Z,
среди единиц элемента X нашелся элемент, являющийся
единицей для одного из элементов Y или Z и не являю-
являющийся единицей для другого из этих элементов.
Доказательство. 1) Пусть структура 2 дистрибу-
дистрибутивна и пусть в сопряженной с ней полугруппе % для неко-
некоторых элементов X, Y, Z имеет место
XY=XZ,
причем всякая единица элемента X, являющаяся единицей для
одного из элементов Y или Z, является единицей и для вто-
второго из них. Обозначим через Я множество единиц совокуп-
совокупности {X, Y], которое одновременно является множеством
всех единиц и для совокупности [X, Z}.
Так как ЭД сопряжена со структурой, то Я содержит
свой нуль W. Элемент W является точной верхней границей
для [X, К) и точной верхней границей для [X, Z). Таким
образом, для наших элементов имеет место
= XZ.
Благодаря дистрибутивности структуры 2 это возможно
только при Y = Z.
Из проведенного рассуждения следует, что ЭД обладает
указанным в теореме свойством.
2) Пусть структура 2 недистрибутивна, т. е. в ней имеются
такие элементы X, Y, Z, что
Если / является единицей и для X и для Y, т.е.
/>К, то />(*+К) и потому
/ • (Х+ Z) = / • (А-+ Y) = Х-\- Y = Х+ Z.

ДЕЛИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ (гл- It
Следовательно, I^X-^-Z^Z, а потому / является едини-
единицей для Z.
Из проведенного рассуждения следует, что полугруппа 51
не обладает свойством, указанным в формулировке теоремы.
4.14. Рассмотренные выше дистрибутивные структуры вхо-
входят в более широкий класс так называемых дедекиндовых, или
модулярных, структур. Из различных эквивалентных между
собой определений этих структур мы возьмем нижеследующее
(доказательство его эквивалентности с другими определениями
можно найти у Биркгофа [3], гл. V, § 2).
Структура й называется дедекиндовой, если в й из условий
XY = XZ, X+Y = X+Z,
всегда следует Y = Z.
Теорема. Для того чтобы структура 2 была деде-
дедекиндовой, необходимо и достаточно, чтобы в сопряжен-
сопряженной с ней полугруппе 51 было выполнено нижеследующее
условие. Если элементы X, К, Z удовлетворяют условию
XY = XZ, YZ = Y, Y+Z,
то существует элемент, являющийся единицей и для X
и для Y, но не являющийся единицей для Z.
Доказательство. 1) Пусть структура й является
дедекиндовой и в сопряженной с ней полугруппе ЭД для не-
некоторых элементов X, Y, Z имеет место
XY = XZ, YZ = Y,
причем всякий элемент, являющийся единицей и для X и для Y,
обязательно является единицей и для Z. Так как из YZ = Y
следует, что всякая единица элемента Z является единицей
и для Y, то мы можем провести рассуждения, аналогичные
рассуждениям первой части доказательства теоремы 4.13.
В результате мы получим, что для X, Y, Z в g имеет место
XY = XZ,
что, благодаря тому, что Y^.Z, а й дедекиндова, возможно
лишь при Y = Z. Следовательно, ЭД обладает требуемым
свойством.
2) Пусть структура й не является дедекиндовой, т. е.
в ней найдутся такие X, К, Z, что
XY=XZ. X+Y = X+Z, Y<Z.

§ 4] КОММУТАТИВНЫЕ ПОЛУГРУППЫ ИДЕМПОТВНТОВ 91
Рассуждениями, аналогичными рассуждениям, проведенным
во второй части доказательства теоремы 4.13, приходим
к тому, что в ЭД всякий элемент, являющийся единицей и
для X и для К, обязательно будет единицей и для Z. Сле-
Следовательно, % не удовлетворяют условию, сформулированному
в теореме.
4.16. Структура 2 называется структурой с дополне-
дополнениями, если выполнены следующие условия.
(а). 2 обладает таким элементом Е, что Х^Е для
всех Х??.
(Р). 2 обладает таким элементом О, что Х^О для
всех X ?2.
(*f). Для каждого элемента Х?% найдется элемент X'
такой, что XX' = 0, Х-\-Х' = Е.
Из определения сопряженной полугруппы непосредственно
вытекает нижеследующее.
Для того чтобы структура 2 была структурой с дополне-
дополнением, необходимо и достаточно, чтобы сопряженная ей полу-
полугруппа % обладала единицей Е и нулем О и чтобы для
• любого элемента Х?% в 31 нашелся такой элемент X', что
¦' XX' = О и совокупность [X, X') не обладает единицами,
отличными от Е.
4.16. Исторически первым типом изучаемых структур,
t продолжающим и до сих пор играть важную роль, были так
^называемые булевы алгебры.
? Структура 2 называется булевой алгеброй, если она ди-
|,«трибутивна D.13) и является структурой с дополнениями D.15).
|;Йз 4.13 и 4.15 следует, что структура 2 будет булевой
|Й|лгеброй тогда и только тогда, когда сопряженная с ней
Шролугруппа 1 обладает свойствами, сформулированными для %
Ш 4.13 и 4.15.
Щ} ' В теории структур доказывается (см., например, Бирк-
ЩгЬф [3J, гл. X, § 5) следующее свойство. Пусть 2 некото-
Р-рая совокупность подмножеств некоторого множества 2 (вклю-
*чающая и пустое подмножество), обладающая тем свойством,
Ш'Щ'О 2 вместе со всякими двумя множествами A, BcQ co-
fОдержит и их объединение А\]В и их пересечение А[\В,
причем для каждого AczQ 2 содержит его дополнение
А' = Q \ А; Тогда относительно отношения включения 2 будет
булевой алгеброй. При этом всякая булева алгебра изоморфна
как структура некоторой такой булевой алгебре подмножеств.

92 ДЕЛИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. II
Отсюда следует, что относительно действия пересечения
всякая совокупность подмножеств некоторого множества 2,
обладающая указанными свойствами, является коммутативной
полугруппой идемпотентов, обладающей следующими свой-
свойствами.
5JC обладает единицей Е и нулем О. Для всякого X най-
найдется такой элемент X'', что XX' = О, а совокупность {X, X')
не имеет единиц, отличных от Е. Если XY = XZ, где Y4=Z,
то среди единиц элемента X существует элемент, являющийся
единицей для одного из элементов К или Z и не являющийся
единицей для другого из этих элементов.
При этом всякая коммутативная полугруппа идемпотентов
с этими свойствами изоморфна некоторой полугруппе под-
подмножеств, действием в которой является пересечение подмно-
подмножеств и совокупность которых обладает указанными выше
свойствами.
4.17. Посвятив настоящий параграф рассмотрению ряда
свойств частичной упорядоченности, мы включим сюда также
доказательство одной общей теоремы теории частично упо-
упорядоченных множеств, так называемой леммы Цорна, которая
в нескольких случаях окажется удобной для вывода некото-
некоторых свойств полугрупп. Приводимое доказательство принад-
принадлежит Вестону!.
Пусть 2№ есть некоторое непустое частично упорядочен-
упорядоченное множество. Обозначим через Sjbj класс таких его под-
подмножеств (иногда называемых цепями), в каждом из которых
частичная упорядоченность WI индуцирует линейную упоря-
упорядоченность. В число подмножеств, принадлежащих Е.д, вклю-
включается и пустое.
Теорема. Если частично упорядоченное множество Ж
таково, что каждое его подмножество из Е»л обладает
в Ш верхней границей, то Ш обладает максимальным
элементом, т. е. таким элементом, который не пред-
предшествует никакому отличному от себя самого эле-
элементу из №..
Доказательство. 1) Каждому 2?2Ж сопоставим
множество 2, состоящее из всех тех верхних границ мно-
множества 2, которые не содержатся в 2- Конечно, для неко-
ij. Weston, A short proof of Zorn's lemma, Arch, der Math,,
8 A957), 27a

§ 4] КОММУТАТИВНЫЕ ПОЛУГРУППЫ ИДЕМПОТЕНТОВ 93
торых 2 множество 2 может оказаться пустым. Если само 2
пусто, то 2 = ЭД?. В каждом непустом 2 B ? Еде) фиксируем
произвольным образом некоторый элемент /B)^2* (при
этом, если 21Tfc22, но 'U1=\, то /B1) = /B2)).
2) Обозначим через Гда класс таких непустых множеств 2
из San, которые обладают следующим свойством. Каково бы
ии было 9tc&, такое, что 9tn2=? 0, элемент /01) должен
Содержаться в 91 Л 2 и быть в этом множестве его нижней
драницей.
л: Отметим, что класс Г© не пуст, поскольку множество,
/состоящее из одного элемента /@), очевидно, принад-
принадлежит Гад.
3) Если 2?Г»^ и ^ Ф 0, то, присоединив к 2 элемент/B),
;упл получаем отличное от 2 множество 2' —211/B). Дока-
М что 2' принадлежит к Тщ.
Поскольку/B) есть верхняя граница 2, то, очевидно,
;
|, Пусть для некоторого 9tc:2' имеем 9tfli' Ф 0-__
;, Если 9^П2^0, то из %?Тт следует, что /E№) при-
принадлежит ?{П 2 и является его нижней границей. Но тогда fCi),
^Очевидно, будет содержаться и в 91Л 2' и будет в нем нижней
драницей.
|Ь Если ЭТПЙ=0. то ^П2'=/B). То, что никакой
Ё^У^2\9^ не является для 91 верхней границей, благодаря
ljt)EE»t означает, что для Л"^2\9^ всегда найдется такой
?Ш что X^Y. Отсюда^ледует, что 2 = 5№. Но тогда
Щ $ содержится в ЭТП2'=/B) и является в нем
Щижней границей. _
4) Пусть 2, г'^Гя! и *?2, X'?%', А*^8. Докажем,
тогда Х<Х'.
Обозначим через 91 множество всех элементов из 2 Л §^
оторые отличны от X' и предшествуют X'. Так как X'?9t,
1 Здесь мы применяем так называемый принцип выбора, о месте
которого в математике высказывалось много глубоких и не всегда
согласных между собой соображений. Разумеется, в настоящей
книге не место останавливаться на рассмотрении этого вопроса.

94 ДЕЛИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. II
то пересечение 9t Л 2' содержит X'. Благодаря определе-
определению Гя из й'^Гщ следует /(ЯN2' и /0\)^Х>.
Если бы !ttn 2=?0, то, по определению Гад, элемент
/01) принадлежал бы 2. Но это невозможно, так как иначе
/ 0i) принадлежал бы 2Л2', что благодаря /(9?)<Л7 (ра-
(равенство /01) = X' в этом случае невозможно, ибо Х'?2)
означало бы, что /01) ?91-
Если Х?% то Х<Х' по определению !W.
Если Л"^ ffi, то из 5№f|2= 0 следует, что X не является
для 9t верхней границей. Ввиду 2? Еда, из этого следует,
что для .X"найдется такой Z?9l, что Х<;Z. Так как Z <X',
то Х<Х'.
5) Обозначим через 20 объединение всех 2, принадлежа-
принадлежащих I'm- Докажем, что 2О?ЕЖ. Пусть X, К?20, это значит,
что в Гда найдутся такие 2z и 2г, что Я" ? 2^, К? 2г- Если
^€2^. то из 2_г?2:ш следует, что Л"< Y или К<Х Если
К^2^, то, согласно четвертой части доказательства, X<.Y..
Из сказанного следует, что 2о € %т-
6) Докажем, что 2о?Г:щ.
Благодаря сказанному во второй части доказательства, 2о
не пусто.
Пусть SttcSo и 5№П2ОЭ^ Элемент X содержится в неко-
некотором 2^ Гаг и является верхней границей для 3i. Пусть
Z?!ft. Поскольку 9tc:20, должен найтись такой 2'^Г.д, что
Z?2'. Если бы Z?2, то, согласно доказанному в четвер-
четвертой части, мы имели бы Z > X, что невозможно, ибо Z ? SR,
а Х01. Следовательно, ?Кс2. Так как 2^Г-м JJ 31П2 ЭК
то /01) ^ 2 и /(^) <X. Таким образом, /01) ? Й П 2о и /0i)
предшествует произвольному X из 5№п2о. Отсюда заключаем,
что 2о€Г!щ.
7) Пусть Р есть верхняя граница для 20. Предположим,
что P<.Q для некоторого Q?2K. Для любого X^&q мы
имеем A!<P<Q. Следовательно, Q^^o. Но из 20^0,
согласно доказанному в третьей части доказательства, сле-
следовало бы, что Lq содержится в некотором 2' ? Гщ, отличном
от 2о- Однако это невозможно, поскольку 2о содержит все
множества, принадлежащие к Г». Таким образом, Р оказы-
оказывается искомым максимальным элементом.

§ 5] полугруппы, элементы которых имеют правые нули 95
4.18. Используем доказанную теорему для вывода усло-
условия существования нуля в коммутативных полугруппах идем-
идемпотентов.
Пусть в коммутативной полугруппе идемпотентов 51 каждое
подмножество, в котором из двух любых элементов один
является нулем для другого, всегда обладает нулем. Тогда 31
есть полугруппа с нулем.
Действительно, определим в 51 отношение, полагая А*<^ Y
(X, Y ?51), если XY=Y. Очевидно, это отношение является
частичной упорядоченностью. Благодаря сделанному предпо-
предположению относительно 51 к этому отношению можно приме-
применить теорему 4.17. Согласно этой теореме, в 51 найдется
элемент Р такой, что РХ=Х возможно лишь для Х—Р.
Пусть А произвольный элемент из 31. Так как Р (РА) = РА,
то РА = Р. Таким образом, Р оказывается нулем полу-
полугруппы 51.
, 4.19. Аналогичный с 4.18 результат для единицы полу-
; группы 51 получить невозможно. Коммутативная полугруппа
Мцдемпотентов с нулем 51 = {О, А, В), у которой АВ = О,
|Лйет пример отсутствия единицы. Можно получить лишь бо-
лее слабое свойство.
: .. Пусть в коммутативной полугруппе идемпотентов 51 ка-
каждое подмножество, в котором из двух любых элементов
один является единицей для другого, всегда обладает еди-
¦ ннцей. Тогда в 51 существует элемент, не имеющий отлич-
$.|wx от себя самого единиц.
?:; Справедливость этого утверждения непосредственно по-
«учается путем применения теоремы 4.17 к отношению ча-
вчной упорядоченности в 51, согласно которой X пред-
вует К, если Y есть единица элемента X.
§ 5. Полугруппы, все элементы которых
имеют правые нули
^''8.1. Среди различных вопросов, встающих при изучении
упп преобразований, очень важным является вопрос
р наличии неподвижных точек у преобразования, т. е. таких
элементов преобразуемого множества, которые при данном
преобразовании преобразуются сами в себя. В различных.
областях математики рассматриваются полугруппы преобра-
преобразований, обладающие тем свойством, что каждое преобра-

96 ДЕЛИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ (гл- «
зование имеет неподвижную точку. Такое свойство полугруппы
преобразований, как только оно бывает установлено, обычно
оказывается источником далеко идущих следствий, важных
для изучения тех объектов, преобразования которых рас-
рассматриваются. Это свойство полугрупп, конечно, не является
свойством абстрактного типа как мы определили это поня-
понятие в 1,1.8; 1,1.14. Прежде всего, оно вообще может отно-
относиться лишь к полугруппам преобразований. Но даже и огра-
ограничиваясь полугруппами преобразований, нетрудно дать при-
пример двух таких изоморфных между собой полугрупп преоб-
преобразований, что все преобразования одной из них имеют
неподвижные точки, в то время как во второй полугруппе
ни одно из преобразований не имеет неподвижных точек.
И все же несмотря на это обстоятельство, как было заме-
замечено Е. С. Ляпиным [11], пользуясь понятиями теории дели-
делимости в полугруппах, можно подойти к изучению указанного
важного свойства преобразований с абстрактной точки зрения.
6.2. Обозначим через П класс таких полугрупп %, у ко-
которых каждый элемент обладает правым нулем.
6.3. Теорема. Полугруппы, принадлежащие классу П,
и только они обладают тем. свойством, что при любом
представлении преобразованиями полугруппы каждое пре-
бразование представления имеет неподвижную точку.
Доказательство. 1) Пусть полугруппа % принад-
принадлежит классу П, и ср есть произвольное представление %, т. е. .
изоморфизм % на некоторую полугруппу преобразований
какого-то множества 2. Для Х?% в 91 найдется такой эле-
элемент U, что XLJ' = U. Возьмем произвольный элемент а из 2.
Обозначим [ср(?/)]а = р. Тогда
[ср (X)] р = [ср (X)] ¦ [ср (?/)] а = [ср (XU)] а = [ср (?/)] а = р,
т. е. р оказывается неподвижной точкой преобразования <?(Х).
2) Пусть полугруппа % такова что при любом предста-
представлении преобразованиями каждое преобразование представле-
представления имеет неподвижную точку. Рассмотрим представление ср
полугруппы % левыми сдвигами A,3.9; 1,3.10). Элемент
Тх = у(Х), где Х?%, являющийся преобразованием этого
представления, должен иметь неподвижную точку. Отделяю-
Отделяющий элемент / не может являться этой неподвижной точкой
(так как Тх1 = Х). Следовательно, такой неподвижной точкой

§ 5] ПОЛУГРУППЫ, ЭЛЕМЕНТЫ КОТОРЫХ ИМЕЮТ ПРАВЫЕ НУЛИ 97
является некоторый элемент U ? 91, для которого мы тем са-
самым получаем
5.4. Конечно, далеко не всякая полугруппа преобразова-
преобразований, все преобразования которой обладают неподвижными
точками, содержится в классе П. Однако, как мы скоро
увидим, в известном отношении класс П может быть исполь-
использован для характеристики всех таких полугрупп преобразо-
преобразований.
Сперва рассмотрим один важный частный случай.
Теорема. Пусть 51 есть такая полугруппа преобра-
преобразований множества 2, которая для каждого а?2 со-
содержит преобразование Ua, преобразующее все элементы
ццз 2 в а (т. е. UJz = a при всяком !¦? 2). Для того чтобы
фаждое преобразование из 51 имело неподвижную точку,
\iueo6xoduMO и достаточно, чтобы % принадлежала классу П.
| Доказательство. 1) Пусть каждое преобразование
Йвз 51 обладает неподвижной точкой.
|iЧ Для Х?% найдется а?2, для которого
Тогда при любом
fjpr, следовательно, XUa = Ua. Таким образом, каждый эле-
из 51 имеет правый нуль и 51 ? П.
2) Если полугруппа преобразований % принадлежит П,
тождественное отображение 51 на себя, являющееся пред-
влением 91 преобразованиями, согласно 5.3 таково, что
цое преобразование должно иметь неподвижную точку.
При помощи теоремы 5.4 легко убедиться, что ряд
групп преобразований, играющих весьма важную роль
ичных областях математики, принадлежат классу П.
сть 2 есть полное метрическое пространство* и 31
группа всех операторов сближения, т. е. таких преоб-
1 См., например, Л. А. Люстерник и В. П. Соболев/
Элементы функционального анализа, гл. I, § 2 и 4, Гостехнздат,
il
7 Зм. 486. Е. С. Ляпнв

98 ДЕЛИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ (ГЛ. II
разований А множества 2, что для каждого из них найдется
такое вещественное число ЬА, что 0 ^ 9д < 1 и при любых
а, р?2
р(Ла, Лр)<в4.р(а, р)
(здесь р означает расстояние между соответствующими эле-
элементами).
Легко видеть, что % является полугруппой. При этом
преобразования ?/„ E.4) для всех <х?2 принадлежат 51. По-
Поэтому применима теорема 5.4. Как известно i, согласно так
называемому принципу Банаха, каждое преобразование из %
обладает неподвижной точкой. Отсюда, согласно 5.4, сле-
следует, что полугруппа % принадлежит классу П.
6.6. Пусть 2 есть л-мерный шар (можно, конечно, счи-
считать я-мерный симплекс) л-мерного пространства. % есть
совокупность всех непрерывных преобразований 2.
Согласно теореме Броуэра 2, каждое преобразование из %
имеет неподвижную точку. По теореме 5.4 % должна при-
принадлежать П.
Б.7. Одним из наиболее сильных признаков существова-
существования неподвижных точек является так называемый принцип
Тихонова 3. Пусть 2 есть выпуклое бикомпактное подмно-
подмножество линейного локально выпуклого пространства. Согласно
указанному принципу, каждое непрерывное преобразование 2
обладает неподвижной точкой. Благодаря теореме 5.4 отсюда
следует, что полугруппа всех непрерывных преобразований 2
принадлежит классу П.
Б.8. В связи с приведенными примерами естественно воз-
возникает вопрос, нельзя ли в этих примерах также, как и
в других новых случаях, доказать существование неподвиж-
неподвижных точек у каждого преобразования некоторой полугруппы
преобразований %, доказав для этого предварительно, что %
принадлежит классу П (или содержится в некоторой полу-
полугруппе преобразований того же множества, принадлежащей П,
что, как мы увидим в теореме 5.9, также достаточно).
1 См., например, Л. А. Люстерник и В. П. Соболев.
Элементы функционального анализа, гл. I, § 7, Гостехиздат, 1951.
2 См., например, В. В. Н е м ы ц к и й. Метод неподвижных то-
точек в анализе, УМН, в. 1, A936), § 3.
8 Там же, § 7.

§ 5] ПОЛУГРУППЫ, ЭЛЕМЕНТЫ КОТОРЫХ ИМЕЮТ ПРАВЫЕ НУЛИ 99
Разумеется, в принципе это всегда возможно. Практи-
Практически, однако, такой путь доказательства непрост, так как
требует ясного представления о строении полугруппы преоб-
преобразований 51.
Однако независимо от возможности получения указанным
способом новых фактов о неподвижных точках в той или
иной математической теории сам факт иного, „чисто алге-
алгебраического" подхода к указанному важному свойству может
представлять известный интерес. Причину важного факта
существования неподвижных точек у преобразований неко-
некоторой полугруппы преобразований 5t множества 2 можно
в рассматриваемых случаях видеть не в природе множества Q
и не в том, как преобразования из 51 воздействуют на эле-
элементы из 2, но в том, каково алгебраическое строение полу-
полугруппы 51. Действительно, преобразования из полугруппы
преобразований 51' некоторого множества 2' обязательно все
будут иметь неподвижные точки, если только 51' изоморфна,
например, полугруппе % из 5.6 или из 5.7 и т. д. совер-
совершенно независимо от того, какова природа 2' и каковы
преобразования из %'.
6.9. Роль класса II для изучения рассматриваемого явле-
явления не исчерпывается теоремой 5.4. С ее помощью доказы-
доказывается теорема, показывающая роль П в общем случае.
Теорема. Пусть % есть полугруппа некоторых пре-
преобразований множества 2. Если 5lc5t', где %' полугруппа
преобразований того же множества 2, принадлежащая
классу. П, то каждое преобразование из 51 имеет непо-
неподвижную точку.
Обратно, если каждое преобразование из % имеет
(.неподвижную точку, то найдется такая принадлежащая
"^классу П полугруппа преобразований 51' того же мно-
Цжества 2, что 51с5Г.
Щ, Доказательство. 1) Пусть 51с5Г, где 51'?П. Из
j-lffOro, что 51' принадлежит классу П, согласно теореме 5.3
^следует, что каждое преобразование из 51', а следовательно,
spji каждое преобразование из 51 (поскольку 5tc5t') имеет не-
4 подвижную точку.
2) Для каждого а?2 обозначим через ?/„ такое преоб-
преобразование Q, что при любом X ? 2 U? = а. Множество всех
преобразований ?/а(а?2) и всех преобразований из 51 обо-
обозначим через 51'. Множество 51' является полугруппой.
7*

100 ДЕЛИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. II
Действительно, очевидно,
, (а, P?Q; А,
Полугруппа W содержит полугруппу 91. Элемент <х?2
является неподвижной точкой для ?/„. Поэтому, если каждое
преобразование из % имеет неподвижную точку, то и все
преобразования из %' обладают неподвижными точками.
В этом случае из 5.4 следует, что полугруппа W должна
принадлежать классу П.
Б. 10. Рассмотренная во второй части доказательства тео-
теоремы 5.9 полугруппа преобразований %', охватывающая
исходную полугруппу преобразований 91, очевидно, может
быть построена для любой полугруппы преобразований %.
При помощи этой полугруппы %' можно определить, обла-
обладают ли все преобразования из % неподвижными точками.
Для того, чтобы все преобразования из полугруппы ЭД
обладали неподвижными точками, необходимо и доста-
достаточно, чтобы полугруппа преобразований %' принадле-
принадлежала классу П.
5.11. Проведенные рассуждения показывают важность
определенного нами класса полугрупп П. Естественно по-
поставить вопрос об изучении строения всех полугрупп этого
класса. Однако в столь широкой постановке решение такой
задачи нереально. Ведь всякая полугруппа может быть „пре-
„превращена* в полугруппу из П путем внешнего присоединения
нуля B.10; 2.12). Вместо этого мы в главе VIII (§ 5) воз-
возвратимся к классу П и получим то, что можно было бы
назвать локальным строением полугрупп этого класса.
5.12. В этих рассуждениях важную роль будут играть
две полугруппы из П, которые мы сейчас и рассмотрим в ка-
качестве примера полугрупп из П.
Пусть U есть множество элементов и\(a, [J = 1, 2, 3, ...)
с правилом умножения
=
(«i. «2. Pi. Pi = 1. 2. 3. ...).

§ 5] ПОЛУГРУППЫ, ЭЛЕМЕНТЫ КОТОРЫХ ИМЕЮТ ПРАВЫЕ НУЛИ 101
Ассоциативность действия видна непосредственно. Отметим,
|й Ua действительно оказывается р-й степенью элемента
¦¦' Для каждого ifl\ все элементы Ul\ при 012 > at оказы-
оказываются не только правыми, но и двусторонними нулями.
"Таким образом, полугруппа U принадлежит классу П.
Г. 5.13. Пусть 93 есть множество выражений вида
У' \ п v л-l • ' " 2 1 '
«Уде а4 — целые неотрицательные числа, причем а„>0. В 23
(определяем умножение:
?
I n
Ассоциативность умножения проверяется без труда.
«;' Если обозначить
I
|яо элемент(Vе»V^y1 ••• У"*УУ) будет не чем иным, как
^произведением V^*V*n-i .,. у* уъ (где под Vp подразуме-
1рается пустой символ).
*¦ Для произвольного элемента ^"^«т1 • • ¦ V^V') пра-
ш нулями являются все элементы (V^™V^-1 . . . V
йкоторых т > п. Таким образом, 93 принадлежит классу П.
«етим, что в 93, как легко убедиться, ни один элемент не
левого нуля.
к 6.14. Роль полугрупп U и 93 в известной степени прояс-
ся благодаря следующему свойству.
Лемма, Если полугруппа % не имеющая идемпотен-
тов, принадлежит П, то существуют или изоморфизм U
в Я, ала изоморфизм 93 в %.
Доказательство. 1) Прежде всего отметим, что для
любого А?% из Аа = Аь всегда следует а = Ь. Действи-

102 ДЕЛИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. II
тельно, при а># благодаря Аь+(а~ь'> = Аь мы получили бы
(Л(°~6NJ = Л2 (°-Ь)Ь = ДЬ + (а-Ъ) Ь . д(а-Ь)Ъ-Ь __
= л6 • л<а-6) ь~6 = л(°-6)ь.
Ниже мы рассмотрим отдельно два возможных случая.
2) Пусть в 51 существует такая бесконечная последова-
последовательность элементов Аи А^, А3 в которой каждый по-
последующий элемент является двусторонним нулем предыду-
предыдущего.
Определяем отображение ср полугруппы U E.12) в 51:
л5 (а, р = 1,2, ...)•
Это отображение взаимно однозначно. Действительно, пусть
При а1 = а2, как мы показали выше, обязательно (^ = C2.
Если ctj > 02, то, умножив обе части равенства на Ла>, по-
получаем
что невозможно.
Так как при aL > otg ЛЯ1 является двусторонним нулем
для ЛЯа, то элементы Л„(а, р = 1, 2, ...) перемножаются
по тому же правилу, что и элементы 1/1 в полугруппе U E.12).
Таким образом, ср оказывается изоморфизмом Ц в 51.
3) Пусть в 91 всякая последовательность элементов Av
Л2 в которой каждый последующий элемент является
двусторонним нулем для предыдущего, может иметь лишь
конечное число членов.
Обозначим через 33 совокупность всех таких элементов %,
которые не имеют двусторонних нулей, через 33* совокуп-
совокупность всех таких элементов 51, никакая степень которых не
имеет двустороннего нуля.
Покажем, что для всякого А ? 31 в 33* найдется элемент Л*,
являющийся для А правым нулем.
Строим последовательность Хо = Л, Х\, Х2, ... элемен-
элементов из 31. Хг есть некоторый правый нуль элемента А. При
этом, если существуют правые нули элемента А, не принад-
принадлежащие 93, то Xt один из них. Хп+1(п=\, 2, 3, ...)
есть двусторонний нуль элемента Хп, при этом, если суще-

§ 5] ПОЛУГРУППЫ, ЭЛЕМЕНТЫ КОТОРЫХ ИМЕЮТ ПРАВЫЕ НУЛИ 103
ствуют двусторонние нули элемента Хп, не принадлежащие 23,
то Хп+1 один из них. Согласно предположению, эта последо-
последовательность должна оборваться на некотором члене Хт(т^- 1).
Этот последний элемент принадлежит 23. Покажем, что более
того, Хт?Ъ*. Действительно, в противном случае при, неко-
некотором k элемент Хт имел бы двусторонний нуль, т. е.
Хт<с'®- Однако из Хт?23 следует, что всякий двусторонний
нуль элемента Xm^i (или правый нуль элемента А = Хо, если
т.— 1) должен принадлежать 23. В то же время элемент Х^ ,
очевидно, является двусторонным нулем для Xm_t (или пра-
правым нулем для Л = Х0, если т=\), но не принадлежит 23.
Элемент Хт, принадлежащий 33*, очевидно, является пра-
правым нулем для А и потому мы можем взять его в качестве
искомого Л*.
4) В предположении, сделанном в начале предыдущей части
доказательства, строим бесконечную последовательность эле-
элементов Щ
Aq, А±, Л2, . . .
Д) произвольный элемент из Ж; Л„(я=1, 2, ...) есть эле-
элемент Anlt обладающий указанными в предыдущей части
доказательства свойствами относительно Ап_х.
Каждый элемент Ап{п=\, 2, . . .) принадлежит 23*
и является правым нулем для всех предшествующих эле-
элементов.
Определим отображение tp полугруппы 93 E.13) в Я:
«р Кп К*? • • • К К)=<п 4&1 • • • Al' All
(A°i означает пустой символ).
Докажем взаимную однозначность ср.
Предположим
К? 4&1 • • • А7 А7=<п AW ¦ ¦ ¦ 4' Аг
где ап Ф 0 и a.j — ^ = 8 > 0, причем а^ = fa при всех I >у.
Умножим это равенство справа на Aj. Так как Aj является
правым нулем для всех А, при /<у, то мы получим
KnAnn-V • ¦ ¦ A){X1A]i+l+1=AlnAln-? ¦ ¦ ¦ AltilA]i+l-
Как мы знаем, j не может равняться п.

104
Обозначив
получаем
W =
ДЕЛИМОСТЬ
п и-1
ЭЛЕМЕНТОВ
. .. A]J+iA9j+1,
[гл.
и
что противоречит тому, что А$ ? 23*.
Взаимная однозначность отображения ср доказана.
Так как Ар является правым нулем для Aq при
то умножение элементов вида Аа» А*1^1 .. . А"* А* совер-
совершается по тому же правилу, как и умножение соответствую-
соответствующих элементов в 93. Поэтому отображение <р оказывается
изоморфизмом 93 в 91.
§ 6. Регулярные элементы
6.1. В ряде вопросов теории полугрупп оказывается по-
полезным понятие регулярности, заимствованное из теории колец.
Определение. Элемент А полугруппы 31 называется
регулярным, если в % найдется такой элемент X,
что
АХА = А.
Полугруппа, все элементы которой регулярны, называется
регулярной по лугр уппой.
Элемент А называется вполне регулярным, если
в % найдется такой элемент X, что
АХА^А,
АХ=ХА.
Полугруппа, все элементы которой вполне регулярны,
называется вполне регулярной.
Очевидно, в коммутативных полугруппах понятия регу-
регулярности и полной регулярности совпадают.
Примером регулярной полугруппы является €>в—полу-
€>в—полугруппа всех преобразований множества Q (I, 3. 6). Действи-
Действительно, для всякого S?<5a, как легко убедиться, соотно-
соотношение 555 = 5 выполняется при всяком 5€®а> таком, что
5а (а ?2) равно какому-либо из элементов р, таких, что
5р = ес, и произвольно при 52 ^а-

P 6] РЕГУЛЯРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 105
Впервые понятие регулярности было введено Дж. Ней-
Нейманом * для элементов кольца. Элемент кольца регулярен,
если он является регулярным элементом мультипликативной
полугруппы кольца в вышеуказанном смысле. В теории ко-
колец выделение регулярных колец представляет значительный
интерес с нескольких точек зрения.
В общей теории полугрупп регулярные полугруппы под
названием demi-groupes inversifs были впервые рассмотрены
Тьерреном [1]. Вполне регулярные полугруппы были вве-
введены Клиффордом [4], рассматривавшим их с точки зрения,
на которой мы подробно остановимся в главе VIII.
6.2. Свойство регулярности элемента оказывается свя-
связанным с вопросом о наличии у него некоторых специаль-
специальных единиц.
Определение. Элемент I полугруппы % являющийся
левой единицей элемента Л?ЭД называется р ег у л яр-
яркой левой единицей А, если I делится слева на А.
1 называется регулярной правой единицей А,
если I является правой единицей А и делится справа
На А.
I называется регулярной двусторонней еди-
единицей А, если I является двусторонней единицей А
и делится на А и слева и справа.
Таким образом, для того чтобы /?91 был регулярной
левой единицей А?Щ., надо, чтобы существовал такойХ?ЭД,
что
1А = А, АХ=1.
Д Аналогично условие того, что / является правой регу-
:, лярной единицей.
'г: Двусторонне регулярной единицей элемента А элемент /
:\ является тогда и только тогда, когда / является одновре-
одновременно и регулярной левой единицей и регулярной правой
^'единицей элемента А. Хотя, как мы увидим вскоре, элемент,
^Обладающий регулярной левой единицей, обязательно имеет
' Мй регулярную правую единицу, возможен случай, когда эле-
элемент имеет двустороннюю единицу, которая является его
регулярной левой единицей, но не является регулярной
—Neumann. On regular rings, Proc. Nat. Acad. Sci. USA,
22, A936), 707—713.

106 ДЕЛИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. II
двусторонней единицей. Пример этого мы получим в III, 6.2
и HI, 6.3.
6.3. При рассмотрении свойства регулярности особую
роль играют идемпотенты.
Каждый идемпотент вполне регулярен. Он является
своей собственной регулярной двусторонней единицей.
Регулярная левая единица любого элемента всегда
является идемпотентом.
Действительно, пусть
1А = А, АХ=1.
Тогда
Аналогичное свойство справедливо и для регулярных пра-
правых единиц.
6.4. Теорема. Нерегулярный элемент полугруппы не
имеет ни регулярной левой единицы, ни регулярной пра-
правой единицы.
Регулярный элемент обладает и регулярной левой
единицей и регулярной правой единицей.
Вполне регулярный элемент-обладает регулярной дву-
двусторонней единицей.
Элемент, не являющийся вполне регулярным, регуляр-
регулярной двусторонней единицы не имеет.
Доказательство. 1) Если / есть регулярная левая
единица элемента А, т. е. при некотором X
IA = A, AX—I,
то
т. е. А регулярен.
Аналогично доказывается регулярность элемента, имею-
имеющего правую регулярную единицу.
2) Если АХА = А, то, обозначив 1А = АХ и НА) =
получаем
1АА = А, 1А=АХ,
т. е. 1а. является регулярной левой единицей А, а /<д) ре-
регулярной правой единицей.

6] регулярные элементы 107
3) Если для элементов А, Х?% имеет место
АХА = А, АХ—ХА = 1,
то
т. е. / является регулярной двусторонней единицей А.
4) Пусть элемент А обладает регулярной двусторонней
единицей /:
Обозначим Х= UAV. Мы имеем
АХ А — AUAVA = AIVA = AVA = 1А — А,
АХ= AUAV = AIV = AV = I,
ХА = UAVA = VIA =UA = I,
АХ=ХА.
Полученные соотношения между А и X и означают, что
элемент А является вполне регулярным.
6.5. Регулярный элемент полугруппы может иметь не-
несколько различных регулярных левых единиц, так же как
и несколько регулярных правых. Однако регулярная дву-
двусторонняя единица для вполне регулярного элемента опре-
определяется единственным образом.
Элемент полугруппы может иметь не более одной
регулярной двусторонней единицы.
Действительно, если и /х и /2 являются регулярными дву-
двусторонними единицами элемента А, то при некоторых X и Y
I1 = XA, I2 = AY.
Благодаря этому
I1==XA = XAI2 = ItI2 = I1AY = AY = I2.
6.6. Определение. Если элементы А и В полугруппы ЭД
связаны соотношениями
ABA = А, ВАВ = В,
то они называются регулярно сопряженными.
Элемент, регулярно сопряженный с элементом А, В. В. Ваг-
Вагнер [1], [2], [3], подробно рассматривавший такую связь

108 ДЕЛИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. U
элементов, называет обобщенно обратным для А и обозна-
обозначает через А'1.
Отметим, что элемент полугруппы может иметь несколько
регулярно сопряженных с ним элементов. Например, в полу-
полугруппе, в которой произведение двух любых элементов
равно левому сомножителю, очевидно, всякие два элемента
регулярно сопряжены между собой.
6.7. Элемент, обладающий регулярно сопряженным, оче-
очевидно, является регулярным. Оказывается справедливо и об-
обратное.
Теорема. Всякий регулярный элемент полугруппы
обладает регулярно сопряженным. Вполне регулярный
элемент обладает таким регулярно сопряженным, ко-
который с ним перестановочен.
Доказательство. Для регулярного элемента Л полу-
полугруппы 31 в 51 должен найтись такой элемент X, что
АХА = А.
Обозначив В = ХАХ, получаем
ABA = А ¦ ХАХ ¦ А = А ¦ ХА • ХА — АХА = А,
ВАВ = ХАХ • А ¦ ХАХ=Х ¦ АХА • ХАХ=
= ХАХАХ= ХАХ = В,
т. е. А и В регулярно сопряжены.
Если, кроме того, А вполне регулярен, а X перестано-
перестановочен с Л, то и регулярно сопряженный с А элемент В = ХАХ,
очевидно, также будет перестановочен с А.
6.8. Рассмотрим подробнее такие полугруппы, всякие
два элемента которых регулярно сопряжены.
Теорема. Для того чтобы всякие два элемента полу-
полугруппы 91 были между собой регулярно сопряжены,
необходимо и достаточно, чтобы все элементы % были
идемпотентами и для любых X, К, Z ? Ж имело место
XYZ=-XZ.
Доказательство. 1) Пусть всякие два элемента 51
регулярно сопряжены. Для любого Х?% регулярно сопря-

1>ЁгУЛЯ1>НЫЁ ЭЛЕМЕНТЫ 109
^несенными будут X* и X*. так же как Xй и X. Благодаря
§ этому получаем
§ и, следовательно, Хг = Х.
|: При любых X, Y, Z?9l имеем
|: zxz=z,
I X-YZ-X=X.
^.Благодаря этому
| (X-YZ-X)- Z = XZ.
2) Если для любых X, Y, Z?% имеет место
XYZ = XZ, X* = X,
; ho для произвольных А, В ? ОН получаем
[ = АА = А, ВАВ==ВВ = В.
I 6.9. К классу рассматриваемых полугрупп возможен также
?•: совсем иной подход, указанный Мак-Лином [1]. Оказывается,
г что рассматриваемые полугруппы характеризуются свойством,
!,;противоположным свойству коммутативности, отчего их и
Г; называют антикоммутативными.
? Теорема. Для того чтобы всякие два элемента полу-
полугруппы были между собой регулярно сопряжены, необхо-
Шримо и достаточно, чтобы для любых X, Y?91, X+Y,
рймело место
XY ф YX.
|, Доказательство. 1) Пусть всякие два элемента %
^регулярно сопряжены. Тогда для произвольных X, Y?%
% имеем
(XY) -(YX) = XY*X = X,
(YX)-(XY)=YXW=Y.
Откуда следует, что при Хф Y равенство XY=YX невоз-
невозможно.

НО ДЕЛИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ (ГЛ. И
2) Пусть для всяких X, Y ? % из X Ф Y следует XY ф YX.
Так как для любого Х?%
то должно иметь место Х^^Х.
Благодаря этому для любых X, Y ? %
X • (XYX) = XWX = XYX = XYX* = (XYX) - X
и, следовательно,
Х = XYX.
Но аналогично
Y--=YXY
и потому X и Y оказываются регулярно сопряженными.
6.10. С помощью понятия регулярности можно формули-
формулировать ряд критериев того, чтобы полугруппа являлась груп-
группой. Без труда доказывается, что группа всегда обладает
приведенными ниже свойствами. Как показал Тьеррен [1],
выполнение их не только необходимо, но и достаточно для
того, чтобы полугруппа являлась группой.
(а). Если в полугруппе с единицей единица является
левой регулярной единицей каждого элемента полугруппы,
то полугруппа является группой.
Это является непосредственным следствием 2.18.
ф). Если регулярная полугруппа % имеет лишь один
идемпотент, то она является группой.
Действительно, каждый элемент А из 31 должен иметь
регулярную левую единицу 1А и регулярную правую еди-
единицу РЛ^ F.4), которые являются идемпотентами F.3). По-
Поэтому 1А и 1^ для всех А равны между собой, т. е. это
есть единица полугруппы 31. Отсюда, согласно (а), следует,
что % есть группа.
(f)- Регулярная полугруппа с двусторонним сокраще-
сокращением является группой.
Действительно, возьмем в 31 некоторый элемент А. Будучи
регулярным, элемент А обладает левой единицей / F.4). Для
произвольного Х?Щ. мы имеем
XIА = ХА,

§ 6] РЕГУЛЯРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 111
и так как Ж есть полугруппа с правым сокращением, то
XI = Х, т. е. / является правой единицей всей полугруппы 91.
Пусть U есть правая регулярная единица элемента X F.4).
Так как
XU = XI,
а Ж есть полугруппа с левым сокращением, то ?/ = / и,
следовательно, / оказывается правой регулярной единицей
для X, т. е. / делится справа на произвольный элемент из ЭД.
Аналогично доказываем существование левой единицы /' полу-
полугруппы ЭД. Так как
то / оказывается левой единицей ЭД. Но / делится справа
на все элементы ЭД. Согласно 2,18, отсюда следует, что %
есть группа.
6.11. Понятие регулярности в полугруппах может быть
обобщено и детализировано при помощи условий, впервые
рассмотренных Круазо [5].
Определение. Пусть тип целые неотрицательные
числа. Классом регулярности &%(т, п) называется
совокупность всех таких элементов А полугруппы 21, для
каждого из которых найдется такой элемент Х? 51, что
А = АтХАп
(под Л° здесь подразумевается пустой символ, о котором
см. в предисловии).
Связь этого понятия с регулярностью заключается в том,
чго регулярными элементами являются элементы класса
(ЕиA, 1), а общее определение классов регулярности по своему
характеру схоже с определением регулярности.
Значение понятия классов регулярности выяснится в связи
с установлением связей между этим понятием и некоторыми
важными свойствами полугрупп.
6.12. Выясним взаимоотношения между классами регу-
регулярности.
Пусть ЭД произвольная полугруппа.
(а). ««(О. 0) = Я.
(Р). Если т1'^.т2 и щ >- л2, то
d% (/»!, щ) с 6Я (т2, п2).

112 ДЕЛИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. II
Действительно, если A?&%(mlt п^, то
А = Ат'ХАп' = А™* ¦ (лго'-таХ4п'-Й2) • Ащ,
т. е. А?0>,ц(т2, п2).
(f). Если ml^.m2^2, то при любом п
©«(/»!, я) = 6«(т2, л).
Действительно, если А?0>ъ(т2, и), то
А = А^ХА" = А™1'1 • А • ХАп = Ат*~ 1Ащ>ХАпХАп =
= Ат>+1(Ат'-2ХАпХ)Ап,
т. е. А?Ъщ(щ-{-\, п).
Учитывая ф), отсюда следует
Повторяя аналогичное рассуждение mt — /n2 раз, получаем
&к(т2, й) = Eа(/п1, «).
(8). Если Пх^п2^2, то при любом т
Доказательство аналогично доказательству (f).
(в). (Sa(l, 2) = ML 1)Пбв@. 2).
Действительно, согласно ф),
6.A, 2)с6«A. 1)П6«(О. 2).
Но с другой стороны, если
. 1)П6«(О. 2).
то
А = ЛХЛ, А =
Отсюда получаем
и, следовательно, Л?&аA, 2).
(Q. 6.B. 1) = 6.0. 1)П 6.B.0).
Доказывается аналогично (е).

§ 7] ИНВЕРСНЫЕ ПОЛУГРУППЫ 113
6.13. Из 6.12 следует, что, рассматривая классы 6.11,
мы на самом деле имеем лишь девять классов, которые
в отношении включения располагаются следующим образом:
о
/у \Ь О
o) W <
¦>> О <Ь &
6.14. Укажем роль некоторых из' этих классов с точки
зрения наличия единиц у элементов. О классах (Ей @, 0)
и (Sa(l, 1) было уже сказано F.11) и F.12). &иA, 0) есть
класс всех элементов ЭД, имеющих правые единицы. (Е«@, 1)
есть класс элементов, имеющих левые единицы. Класс &%B, 0),
как легко видеть, состоит из элементов, имеющих правую
единицу, делящуюся слева на этот элемент (можно было бы
назвать такую единицу правой квазирегулярной единицей).
Класс (S$(@. 2) состоит из элементов, имеющих левую еди-
единицу, делящуюся справа на этот элемент. К остальным трем
.классам мы в свое время обратимся при рассмотрении иных
свойств полугрупп.
§ 7. Инверсные полугруппы
7.1. В связи с тем фактом, что регулярный элемент может
?иметь несколько различных регулярно сопряженных с ним
^элементов естественно выделяется класс таких регулярных
^Полугрупп, у которых каждый элемент имеет лишь един-
единственный регулярно сопряженный с ним элемент.
I* Как мы покажем в следующем параграфе, полугруппы
рзтого класса играют важную роль в теории полугрупп ча-
! стачных преобразований. Роль эта впервые была обнаружена
,В. В. Вагнером [1], [2]. Несколько позже, но, по-видимому,
независимо к тому же результату пришел Престон [1], [3].
В дальнейшем указанные полугруппы не раз служили
объектом различных исследований.
Полугруппы указанного класса В. В. Вагнер назвал обоб-
обобщенными группами. Это название довольно естественно в связи
8 Зак. 455. Е. С. Ляпии

114 ДЕЛИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. II
с их свойствами, являющимися как бы некоторым ослабле-
ослаблением групповых аксиом. Поскольку, однако, термин „обоб-
„обобщенная группа" часто употребляется в более широком
(при этом несовпадающем) смысле (иногда для тех случаев,
когда мы употребляли в главе I термин „мультипликативное
множество"), мы предпочтем название Престона — „инверсная
полугруппа" (inverse semi-group), также отражающее важней-
важнейшее свойство этих полугрупп, имеющее характер некоторой
обратимости.
7.2. Определение. Инверсной полугруппой на-
называется такая регулярная полугруппа, в которой ка-
каждый элемент имеет единственный регулярно сопряжен-
сопряженный с ним элемент F.1 и 6.6).
В дальнейшем, рассматривая инверсные полугруппы, мы
всегда (иногда даже не оговаривая этого) будем обозначать
элемент, регулярно сопряженный с элементом Л, через А.
7.3. Пусть Щ есть инверсная полугруппа. Отметим не-
несколько простейших свойств регулярно сопряженных эле-
элементов.
(а). Для любого А?Ж
А = А.
(C). Для всякого идемпотента I
7=1.
(if). (АА) есть единственная регулярная левая единица
элемента Л?ЭД F.2).
То, что (АА) является регулярной .левой единицей для А,
непосредственно следует из определения 6.6. Пусть / есть
произвольная регулярная левая единица А. При некотором X
1А = А, АХ=1.
Так как / является идемпотентом F.3), то
Но из равенств
А ¦ (XI) ¦ А = 1А =
(XI) ¦ А .{Х1) = Х1.1
следует, что -AT/= Л. Отсюда получаем / = А • (XI) = АА.

§ 7] инверсные полугруппы 115
E). (АА) есть единственная регулярная правая еди-
единица элемента А?%.
7.4. Существует несколько эквивалентных между собой
определений инверсных полугрупп. Естественность этих опре-
определений и то, что они, апеллируя к различным по своей при-
природе свойствам полугрупп, оказываются эквивалентными
между собой, является убедительным показателем важности
класса этих полугрупп.
Теорема. Для того чтобы полугруппа % была инверс-
инверсной, необходимо и достаточно, чтобы:
(а), каждый элемент ЭД имел регулярную левую еди-
единицу F.2 и 6.4);
(Р). все идемпотенты ЭД коммутировали между собой.
Доказательство. 1) Пусть 21 инверсна. Согласно 6.4,
каждый элемент ЭД обладает регулярной левой единицей.
Пусть 1у и /2 есть два произвольных идемпотента ЭД. Так
как
то, согласно единственности регулярно сопряженного эле-
элемента,
Аналогично доказывается, что
Ц,-Л='72-
Так как
Tjl = (ij2 ¦ /о (/2 • 772) - v;. ijt ¦ rj;=jjt,
то благодаря 7.3, (а), (Р)
¦^1^2== Л'г== А^2-
Мы показали, что IJ2 является идемпотентом. Аналогично
доказывается, что и I2Ii есть идемпотент. Благодаря этому
hh- hk- hh = khhh = hh<
IJX ¦ IJ2 ¦ IJx = hhhh — 4A>
что означает
8*

116 ДЁЛимбСТь ЭЛЕМЕНТОВ [гл. ft
Но ранее мы показали, что IJ2 = IXI2. Следовательно,
2) Пусть полугруппа Ж удовлетворяет условиям (а) и (fJ)
теоремы. Согласно 6.4 и 6.7, для каждого Л ?91 найдутся
регулярно сопряженные с ним элементы. Предположим, что
для некоторого А и элемент Xt и элемент Х2 оба являются
регулярно сопряженными с А. Так как элементы AXV АХ2,
ХХА, Х2А, очевидно, являются идемпотентами, то они комму-
коммутируют между собой и потому
= Х1 ¦ АХгА ¦ Х1 = Х1 ¦ АХ2
= Xt ¦ АХг • АХг = ХХАХ2,
Х2 = Х2АХ2 = Х2 • АХ^А ¦ Хг = Х2А • ХХА ¦ Х2 =
т. е. ^ = ^2.
7.5. Следствие. Отображение инверсной полугруппы ЭД
на себя, сопоставляющее каждому элементу А регулярно
сопряженный с ним элемент А, является антиавтомор-
антиавтоморфизмом (I, 1.17).
Доказательство. Так как АА и АА являются идем-
идемпотентами, то, используя коммутативность идемпотентов, по-
получаем
л^Л2 ' ^2 1 " -**1^*2 ^Ч
—— /\± • /\^/\^ • /±2/\2 ' *^2 ¦<'1-<*2*
•^2 1 * 12 * 2 1 ~~" 2 " 11 ' **Ъг^ъ * -^1 ==
—— Л2 ' А2*^2 " •^*1-'*1 * \ ~"~ ^*2 I1
Следовательно,
Так как к тому же А = А, то отображение, сопоставляющее
элементу А элемент А, оказывается взаимно однозначным
отображением 51 на себя. Это и означает, что указанное отоб-
отображение является антиавтоморфизмом.
7.6. При исследовании некоторых свойств инверсных полу-
полугрупп полезно бывает принимать во внимание одно отноше-
отношение частичной упорядоченности, которое естественно возни-
возникает во всякой инверсной полугруппе.

§ 7] ИНВЕРСНЫЕ ПОЛУГРУППЫ 117
Будем говорить, что элемент А инверсной полугруппы Ш.
предшествует элементу В
если для регулярной левой единицы 1А элемента А имеет
место
Проверяем выполнение условий частичной упорядоченности.
Конечно,
Если одновременно
т. е.
1АВ = А, 1ВА = В,
то
откуда следует, что IjJb есть регулярная левая единица А
(регулярность ее непосредственно вытекает из регуляр-
регулярности 1А). Согласно 7.3, (-у), 1А- 1в = 1а- Аналогично до-
доказываем 1в1а = 1в- Согласно 7.4, из этого следует
/д = /д. Но тогда
Если
¦ т. е.
С то
Но при некотором X
1А
Откуда следует
Ыв = Ыа = 'в • АХ= 1в1лВХ=
= 1А • 1ВВ ¦ Х=1АВХ= АХ=1А.
Поэтому полученное выше равенство (/д/в)С = Л означает
т. е.

118 ДЕЛИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. И
7.7* Вполне аналогично 7.6 можно ввести отношение
частичной упорядоченности при помощи регулярных правых
единиц, полагая
если для регулярной правой единицы /Д) элемента А имеет
место
Благодаря 7.3, (f), последнее равенство переписываем
в виде
ВАЛ = А.
Применяя к обоим частям этого равенства антиавто-
антиавтоморфизм, описанный в 7.5, получаем
ААВ = А.
Умножая обе части равенства слева на Л и справа на В,
получаем
А А АВВ = ААВ,
т. е.
АВВ = ААВ.
Но АА есть 1а—регулярная левая единица A, a ?? = /(S)
есть правая регулярная единица В, которая, благодаря тому,
что В1(А) = А и jW/(b) = j(b)jW3 является правой единицей
и для А.
Поэтому получаем
А = 1АВ.
Это означает, что А предшествует В в отношении
частичной упорядоченности, введенной в 7.6. Совершенно
аналогично доказывается и обратное, что предшествование
согласно частичной упорядоченности, введенной в 7.6, влечет
за собой предшествование согласно частичной упорядочен-
упорядоченности, рассматриваемой в настоящем пункте. Таким образом,
оказывается, что оба отношения частичной упорядоченности
совпадают.
7.8. Введение тем или иным способом отношения частич-
частичной упорядоченности в полугруппе бывает особенно полезно
в том случае, когда оно согласовано с действием умноже- -
ния, т. е. двусторонне стабильно (I, 5.17).

§ 7] ИНВЕРСНЫЕ ПОЛУГРУППЫ 119
Введенное нами отношение частичной упорядоченности
в инверсной полугруппе обладает этим свойством. Оно
двусторонне стабильно. Действительно,
Л<?
означает, что
Если 1(АХ) есть левая регулярная единица для АХ, то
при некотором К
откуда следует, что
Поэтому
т. е.
лл-< вх.
Вполне аналогично, используя эквивалентное определе-
определение той же частичной упорядоченности, указанное в 7.7,
получаем
ХА^ХВ.
7.9. Остановимся еще на одном возможном подходе
к понятию инверсной полугруппы, правда ограничившись
случаем наличия единицы.
Пусть ft есть инверсная полугруппа с единицей Е.
В множестве ЭД определим следующую тернарную операцию,
т. е. закон, который каждой последовательности трех эле-
элементов из 91 [Ах, Аг, Л3] ставит в соответствие элемент из ft:
[Л|, А%, /13I = А^А^А^.
Определенная таким образом тернарная операция обладает
следующими свойствами:
(a). [[Av Л2, А3], Л4, ЛБ] = [Л, [Л4, Л3, Аг\, ЛБ] =
= [Л„ А2, [Л3, Л4, ЛБ]];
(Р). [[Av Л2, Л2], Л3, i4,] = [H1, А3, А3], Л2, Л2];
(Т)- 1А> Лъ [Л2, Л2, Л31 ] = [Л2, Л2, [Av Av A3] ];
(8). [А, А, А] = А;
(е). [Л, Е, Е] = [Е, Е, А] = Л.

120 ДЕЛИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. II
Справедливость равенств (а) следует из того, что благо-
благодаря 7.5 каждое из участвующих там выражений равно
Выражения, участвующие в (fJ), равны
что одно и то же ввиду коммутирования идемпотентов АгАг
и А3А3.
Аналогично обстоит дело с (f).
Равенства (8) и (е) совершенно очевидны.
7.10. Всякое множество, в котором определена некоторая
тернарная операция, обладающая свойствами (a), (fJ), (f),
(8), (е), указанными в 7.9, В. В. Вагнер [3] называет
обобщенной грудой с биунитарным элементом Е. Имеются
причины, по которым изучение таких образований за-
заслуживает внимания.
Изучение обобщенных груд с биунитарным элементом
эквивалентно изучению инверсных полугрупп с единицей
благодаря доказанному в 7.9, с одной стороны, и ниже-
нижеследующему предложению, с другой.
В множестве всех элементов % обобщенной груды
с биунитарным элементом Е всегда можно так опре-
определить действие умножения, что 91 будет инверсной
полугруппой, имеющей Е своей единицей, причем тер-
тернарная операция, индуцированная этим умножением
методом 7.9, будет совпадать с тернарной операцией
данной обобщенной груди.
Действительно, положим
А-В = [А,Е. В].
Для такого умножения имеем:
(А-В).С = [[А, Е, В], Е, С\ =
= [Л, Е, [В, Е, С\] = А.(В.С),
А-Е=:[А, Е,Е] = А,
Е • А = [Е, Е, А] = А.

§ 7] ИНВЕРСНЫЕ ПОЛУГРУППЫ 121
Следовательно, % есть полугруппа с единицей Е. Так как
(А • [?, А, Е]) ¦ А = [А, Е, [Е, А, Е] ] • А =
= [ [А, Е, Е], А, Е] ' А = [А, А, Е\ • А =
= ЦА. А, Е], Е, А] = [А. А, [Е, Е, А\] = [А, А, А] = А,
то А • [Е, А, Е] есть регулярная левая единица А.
Обозначим через 93 совокупность элементов вида
[?, А, А] (А ? Ж). Всякие два элемента из 93 коммутируют
между собой. Действительно,
f [?, А, А] • [?, В, В] = I [?, А, А], Е, [?, В, В] ] =
| =[[[?, А. А], Е, Е], В, В] = ЦЕ, А, [А, Е, Щ], В, Я] =
| = [ [?, А, А], В, В\ = [ [?, В, В], А, А] =
I =[[?, В, [В, Е, Е]], А, А] = [[[Е, В, В], Е, Е), А, А] =
I = [ [?, В, В]. Е, [Е, А,А]) = [?, В, В]. [?, А, А].
? Покажем, что элемент вида [А, А, Е] также принад-
S лежит 93. Действительно,
f'lA, А, Е] = [[А, Е, Е],.А, ?] = [[[?. Е, А], Е, ?], А, Е] =
'I =[[Е,[Е, А, ?],?], А, ?] =
I = [?, {?, А, ?], (?, А, Е\ ] ? S3.
}>. Пусть / есть некоторый идемпотент рассматриваемой
4 полугруппы.
41= [/, /, /] = [/,/• /, /] = [/, [/, Е, /], /] = [/, /, [?, 1,1]} =
= [/, [?, ?, /1, [?, /,/]] = [ [/, /, ?], ?, [Е, /,/]] =
= [I, I, E]-[E, I, I].
Мы видим, что всякий идемпотент представим в виде
произведения элементов из 93. Так как элементы из 93 ком-
коммутируют между собой, то и идемпотенты должны комму-
коммутировать друг с другом.
Из доказанного, согласно 7.4, следует, что наша полу-
полугруппа является инверсной. Посмотрим, какую тернарную
операцию индуцирует умножение в этой полугруппе. Мы
видели, что
А . [Е, А, Е] • А = А.

122 ДЕЛИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. II
К тому же
[Е, А, Е] ¦ А • [Е, А, Е] = [ [Е, А, Е], Е, А] • [Е, А, Е] =
= [Е, А, [Е, Е, А\\- [Е, А, Е\ = [Е, А, А] ¦ [Е, А, Е] =
= [ [Е, А, А], Е, [Е, А, ?]] = [[ [Е, А, А], Е, Е], А, Е\ =
= [ [Е, А, А], А, Е\ — [Е, [А, А, А], Е] = [Е, А, Е].
Следовательно, элемент [Е, А, Е] регулярно сопряжен с А.
Поэтому искомой тернарной операцией будет операция,
сопоставляющая последовательности (Av А2, А3,) элемент
= А • [Е, At, Е]-А3 = [Av Е, [Е, А,, Е\ ] • А3 =
= [ [Av Е, Е], А,- Е] ¦ Ал= [Аи А2, Е\ ¦ А3 =
= [[Аи А2, Е], Е, A3] = [AV А2, [Е, Е, А3] ] = [Av A2, А3].
Мы видим, что получившаяся тернарная операция совпадает
с исходной тернарной операцией в St. Это и заканчивает
доказательство нашего утверждения.
7.1.1. Мы не будем останавливаться на рассмотрении
дальнейших соотношений между инверсными полугруппами
и обобщенными грудами. Соответствующие исследования
содержатся в работе В. В. Вагнера [3], в которой впервые
было получено и рассмотренное выше соотношение. Резуль-
Результат соответствующего исследования при отсутствии единицы
имеет более сложный вид (В. В. Вагнер [4], [5]).
§ 8. Инверсные полугруппы частичных преобразований
8.1. Понятие частичного преобразования было дано нами
в § 4 первой главы. В настоящем параграфе мы выясним
роль инверсных полугрупп для теории частичных преобра-
преобразований. Наиболее существенным здесь будет доказательство
теоремы 8.6, впервые полученной В. В. Вагнером [2], [3]
и несколько позже Престоном [3].
8.2. Пусть % есть некоторая инверсная полугруппа
частичных преобразований некоторого множества 2 и пусть
А?%. 1(А) есть регулярная правая единица А, которая,
как мы знаем G.3,C)), равна АА. Через А* будем обо-

§ 8] ИНВЕРСНЫЕ ПОЛУГРУППЫ ЧАСТИЧНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 123
значать частичное преобразование того же множества Q,
удовлетворяющее условиям:
Отметим, что П1(Л) = П1(/^1)), так как Л и /(А) делятся
друг на друга справа, Далее П^/^сПД/^), так как 1^
является идемпотентом. Отсюда следует, что П^Л^сПДЛ).
Именно, Л1(А*) состоит из таких элементов а, принадлежа-
принадлежащих Л1(А), для которых 1^а = а. Можно сказать, что А*
получается из А путем некоторого сокращения мно-
множества Щ (А).
Покажем, что для каждого А?*й существует указанное
частичное преобразование А*. Действительно, П, для этого
искомого А* определено. Способ, которым А* преобразует
элементы из П^Л*), определен (так как И1(А*)сИ1(А)).
Остается показать, что для такого частичного преобразова-
преобразования обязательно имеет место
П2(Л*) = П2(Л).
Включение П2(Л*)с:П2(Л) непосредственно следует из
Н.1(А*)сЛ1(А). Для доказательства обратного включения
возьмем произвольный элемент а — Аф из П2(Л). Так как
А = А1(А\ то а = Л(/D)р). Поскольку
имеет место а = А (/(А){3) = Л*(/D'р). Следовательно,
а?П2(Л*). Таким образом, действительно П2 (А*) = П^ (А).
Покажем, что частичное преобразование А* всегда
взаимно однозначно. Пусть для некоторых а, р^П^Л*)
т. е.
Так как 1<Л) = АА, то
а = 1(А\ = 1<А?Л)* = ААа = АА$ =

124 ДЕЛИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ (ГЛ. II
8.3. Покажем, что отображение ср инверсной полугруппы
частичных преобразований Ж в полугруппу всех взаимно
однозначных частичных преобразований
является изоморфизмом.
Прежде всего убедимся, что отображение ср взаимно
однозначно. '
Пусть ср (Л) = ср (В) (А, В?%), т. е. А* = 5*.
Если ^ПДв/^), то 5€П,(/(А)) —П,(Л). Но. с другой
стороны, для всякого а ?11! (Л) мы имеем
Ал я AIwa = А*1(А)о. =
Следовательно, а^пД/?/^). Таким образом, множество Hi
для А и В1^ одно и то же, причем всякий элемент из
этого множества преобразуется при помощи А и Вг
одинаково. Следовательно, A = BI^ \ Согласно 7.7, это
означает А^В. Так как совершенно аналогично доказы-
доказывается В<Л, то А = В G,6).
Теперь докажем, что взаимно однозначное отображе-
отображение ср обладает свойством изоморфизма.
Если а^П^Я*). то а^П^Я*) и потому /(В)а = а.
Далее, В*а^Л1(А*). Следовательно, 1(А)В*а. = В*о. и потому
/* *5<х = Во.. Благодаря этому
а = /(В)а = 55а = В1(А)Ва =: ВААВа. = АВ • АВа = /(AiV
Следовательно, а^ Пх \(АВ)*].
С другой стороны, если ф^^КАВ)*], то
= АВ • АВ$ = ВААВ$,
и так как
nt [(АВ)*] с= Пх (Л5) с= Пх E) =
то
= ВВ • 5АДВР = ВВ5 . ААВф =
Следовательно, p^ntE*). __
Благодаря перестановочности идемпотентов ВВ и АД G.4)
получаем
= ААВВВф = ААВф = w

§ 8] ИНВЕРСНЫЕ ПОЛУГРУППЫ ЧАСТИЧНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 125
Следовательно, 5*{5 = Вр ? Лг (А*). Из этого следует, что
Мы показали, что ni(.i4*5*) = n1[(.i4B)*]. Но на всякий
элемент $ из этого множества частичные преобразования А*,
В*, (АВ)* действуют так же, как А, В, АВ (соответственно).
Поэтому
т. е. А*В*
Таким образом, доказано:
ср (АВ) = (АВ)* = А*В* = ср (А) • ср (В).
8.4. Построение изоморфизма ср, рассмотренного в 8.2
И в 8.3, помогает уяснить смысл условия инверсности для
:полугрупп частичных преобразований. Взаимно однозначное
^частичное преобразование ср(Л) = Л* представляет собой по
^существу то же самое преобразование А, но с несколько
[(Сокращенной областью его применения.
Как иногда говорят, А* есть приведенное частичное пре-
5разование А. В результате такой операции, т. е. при
греходе от частичных преобразований А к частичным пре-
преобразованиям А*, мы получаем благодаря изоморфизму ср
|по существу ту же самую полугруппу частичных преобразо-
преобразований. Однако эта полугруппа состоит уже лишь из взаимно
" однозначных частичных преобразований. Это показывает, что
словие инверсности полугруппы частичных преобразований
|о существу как бы равносильно требованию того, чтобы
частичные преобразования были взаимно однозначными
[точнее, приводились к таковым). Вскоре мы покажем, что
«еет место и обратное в некотором смысле утверждение.
Таким образом, выделение из класса всех полугрупп класса
яверсных полугрупп в отношении частичных преобразований
существу означает выделение взаимно однозначных частич-
ях преобразований.
8.5. Теорема. Пусть % есть полугруппа некоторых
'взаимно однозначных частичных преобразований мно-
множества 2. Ц будет инверсной полугруппой тогда и
только тогда, когда вместе с каждым частичным пре-
преобразованием А полугруппа содержит а обратное к нему
взаимно однозначное частичное преобразование (I, 4.5).

126 ДЕЛИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. II
Доказательство. 1) Пусть *й есть инверсная полу-
полугруппа и А?*&. Если
Ла==р (а, Р^й),
то из
ЛЛЛа — Аа. = р
(где Л есть регулярно сопряженный с Л элемент F.6))
следует
Аа = $?П1(А).
Обозначим
лр = т.
Мы имеем
Л? = ААф = А~ААа = Аа.
Так как А взаимно однозначно, то a = f. Таким образом,
из ос^П^Л) всегда следует, что Ла^П^Л), причем
Л (Ах) = ос.
Как видно из сказанного, И2(А)сТ11(А). Но из ЛЛЛа = Ла
(а^П^Л)) благодаря тому, что Л взаимно однозначно,
следует ЛЛа = а, т. е.
и, следовательно, Л± (Л) = П2 (Л).
Так как А = А, то имеет место и обратная зависимость.
Из этого следует, что взаимно однозначное частичное пре-
преобразование Л из 51 является по отношению к Л обратным
(I. 4.5).
2) Пусть в Щ. вместе с каждым Л содержится и обратное
к нему взаимно однозначное частичное преобразование Л'.
Тогда для всякого а^П^Л) мы имеем
Для каждого а^П^Л), очевидно,
(АА')Аа-Аа.
Отсюда следует, что
(АА')А = А
и АА' является регулярной левой единицей элемента Л.

§ 8] ИНВЕРСНЫЕ ПОЛУГРУППЫ ЧАСТИЧНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 127
Если /t и /2 есть два идемпотента из ЭД, то благодаря
взаимной однозначности частичных преобразований из
/j(/ja) = /ia следует
" ); *=1. 2).
рОтсюда следует, что IJ2 таково, что
П1(/1/2) = [П1(/1)]П[
причем
1
Совершенно аналогично получаем соответствующие равенства
для [Ji и таким образом оказывается
Согласно 7.4, St оказывается инверсной полугруппой.
8.6. Основным результатом, определяющим роль инверс-
инверсных полугрупп в теории частичных преобразований, является
теорема, доказывающая возможность представления каждой
инверсной полугруппы взаимно однозначными частичными
преобразованиями.
Теорема. Каждая инверсная полугруппа изоморфна
некоторой полугруппе взаимно однозначных частичных
преобразований.
Доказательство. Пусть % есть инверсная полу-
полугруппа. Каждому А ? % сопоставим преобразование А мно-
множества %, определяемое умножением слева элементов из %
на А:
AS = (AS),
f. Такое отображение является изоморфизмом *й в полугруппу
?'всех преобразований ЭД. Действительно, если для Ах, А2?%
Йямеет место ^ = ^2' т0 ПРИ всяком S?fL
В частности, полагая S = A1A1 и S = A2A2, получаем
Al = A^Ai = AzA^,
= АгАгАг — \.

128 ДЕЛИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. II
Отсюда, пользуясь коммутативностью идемпотентов АгА2
и AXAV получаем
tt 2^ ^^ = Аг.
Следовательно, рассматриваемое отображение взаимно одно-
однозначно. Так как к тому же
= Ах (A2S) = A\
то наше отображение оказывается изоморфизмом.
Далее каждому А можно методом, рассмотренным в 8.3,
сопоставить взаимно однозначное частичное преобразова-
преобразование <р(Л). Так как это, согласно 8.3. опять дает изоморфизм,
то отображение, ставящее каждому А ?91 в соответствие
взаимно однозначное частичное отображение <р(Л), предста-
представляет собой изоморфизм Ж в полугруппу всех взаимно одно-
однозначных частичных отображений множества И.
8.7. Из 8.5 и 8.6 следует, что инверсные полугруппы и
только они изоморфны таким полугруппам взаимно одно-
однозначных частичных преобразований, которые вместе с каждым
частичным преобразованием содержат и обратное ему частич-
частичное преобразование. Таким образом, условия, определяющие
принадлежность полугруппы к классу инверсных полугрупп,
представляют собой абстрактную характеристику класса
всех полугрупп взаимно однозначных частичных преобразова-
преобразований, обладающих тем свойством, что вместе с каждым ча-
частичным преобразованием они всегда содержат и обратное
к нему частичное преобразование.
8.8. Выясним еще, чтб представляет собой отношение
частичной упорядоченности, введенное для инверсных полу-
полугрупп в 7.6, 7.7 и 7.8 для инверсной полугруппы взаимно
однозначных частичных преобразований %.
Пусть 1{А) есть регулярная правая единица элемента
Так как 1(Л) есть идемпотент F.3), то
откуда благодаря взаимной однозначности
Из

§ 8] ИНВЕРСНЫЕ ПОЛУГРУППЫ ЧАСТИЧНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 129
.следует, что
Условие А <^5, согласно 7.7, означает
Из сказанного выше о г * следует, что выполнение
этого условия равнозначно соблюдению требований:
П,(/4)сП,(В).
С точки зрения свойств частичных преобразований такое
отношение представляется в высшей степени естественным и
важным. Так как это отношение полностью определяется
законом умножения в инверсной полугруппе, то при всяком
изоморфизме двух таких полугрупп оно сохраняется. В част-
частности, при представлении инверсной полугруппы при помощи
Вваимно однозначных частичных преобразований, будет ли
«о осуществлено так, как в 8.6, или как-либо иначе,
сегда при А^.В (в смысле 7.6) элементы эти преобразуются
взаимно однозначные частичные преобразования
такие, что
При этом эти условия будут соблюдаться только для
и i(B), для которых А^.В.
9 Зак. 455. е. С. Ляпяя

ГЛАВА Ш
УМНОЖЕНИЕ ПОДМНОЖЕСТВ
§ 1. Подполугруппы
1.1. Операция умножения элементов полугруппы есте-
естественным образом может быть распространена и на ее под-
подмножества.
Определение. Произведением подмножеств R
и 2 полугруппы % называется множество, состоящее
из всех элементов вида KL, где K?R, I?2. Оно обо-
обозначается через R • 2 или $2.
Поскольку мы условились не делать различия между
элементом множества и подмножеством этого множества,
состоящим из одного этого элемента, умножение самих эле-
элементов в полугруппе является частным случаем умножения
ее подмножеств.
Отметим, что обозначений вида $п в том случае, когда
подмножество 5? состоит более чем из одного элемента, мы
не будем употреблять, поскольку через &п наравне с $5? .. . $
п
часто обозначают и множество всех элементов вида Кп (К? $?)•
Рассмотрение ряда вопросов, связанных с указанным спо-
способом умножения подмножеств полугруппы, составляет пред-
предмет изучения настоящей главы. В частности, с точки зрения
такого умножения естественно выделяются те подмножества
полугруппы, которые сами являются полугруппами относи-
относительно того же самого действия, которое рассматривается
в самой полугруппе. С этим же связан и вопрос о поро-
порождении, т. е. получение элементов полугруппы из элементов
некоторого ее заданного подмножества при помощи пере-
перемножения последних.

§ 1] ПОДПОЛУГРУППЫ 131
1.2. Используя понятие умножения подмножеств полу-
полугруппы, можно удобно характеризовать группы.
Теорема. Полугруппа % является группой в том а
только в том случае, когда для любого А^Щ. выпол-
выполняется
¦ Доказательство. Если ЭД есть группа, то для лю-
любого B^S в I найдутся такие элементы X и Y, что
Это означает, что
Но %А с 91 и Аи с 31. Таким образом, справедливы требуе-
требуемые равенства.
С другой стороны, если для любого ЭД
то для всякого
т. е. при некоторых X,
1.3. Легко убеждаемся в ассоциативности умножения под-
подмножеств. ($?!Й2)$3> где &i. ^2> S3c3I, состоит из всех
элементов вида (ATi/Q АГ3- г*е Ki^fti, Л'гб^г- ЛГ3^Й3. Одно-
Одновременно $!($2$3) состоит из элементов вида /Ci (K2K3) =
= (KiK2) Ka, т. е. из тех же самых элементов, что и (Я^)^-
Из этого следует, что совокупность всех непустых под-
подмножеств полугруппы относительно описанного действия сама
является полугруппой. Если исходная полугруппа была ком-
коммутативна, то и полугруппа ее подмножеств, очевидно, будет
: коммутативной.
'¦¦: При исследовании различных свойств полугрупп постоянно
Используется действие умножения их подмножеств. Однако,
сколько-нибудь полного и систематического изучения полу-
полугруппы подмножеств полугруппы до сих пор не произво-
производилось. Объясняется это, по-видимому, сложностью строения
полугруппы подмножеств. Вполне естественно ожидать, что
9*

132 УМНОЖЕНИЕ ПОДМНОЖЕСТВ [ГЛ. III
преодоление связанных с этим трудностей может привести
к ценным результатам.
Исследования в указанном направлении проводил Дю-
брейль [5J. При этом в полугруппу всех подмножеств полу-
полугруппы он включал и пустое подмножество, которое в этом
случае оказывается нулем полугруппы всех подмножеств.
1.4. В совокупности подмножеств полугруппы Ш. есте-
естественным образом определяется отношение частичной упоря-
дочности A,5.9). Для 2, $сЭД множество 5? считается
предшествующим 2, если Йс8.
Легко убедиться, что если в совокупность подмножеств %
включить и пустое подмножество, то эта совокупность будет
полной структурой (I, 5.13).
Указанное отношение частичной упорядочности в полу-
полугруппе подмножеств % является двусторонне стабильным
A,5.17). Действительно, при Йс2 и любом Ж, очевидно,
M с= 2Я2, ЯЗИ с 22Я E?, 2, Tt с Щ.
При рассмотрении умножения подмножеств обычно при-
приходится учитывать и отношение включения. Отметим, в част-
частности, что для любых подмножеств Ш, 2х 0-б Г) полу-
полугруппы *й всегда имеет место
Действительно, и левая и правая части равенства пред-
представляют собой множество всевозможных элементов вида XY,
где Х? Ш, a Y содержится в одном из 2Х
Аналогично
Для пересечения подобные равенства могут и не иметь
места.
В качестве примера рассмотрим в мультипликативной
полугруппе целых неотрицательных чисел подмножества
2К={1, 2}, 2! = {0, 1}, 22={0, 2}. Мы имеем:
аЯ-(81П88)={1. 2}-{0} = 0.
(аК-21)П(а№.2г)={0, 1, 2}П{0, 2. 4} = {0, 2}.

§ 1] ПОДПОЛУГРУППЫ 133
1.5. Подобно тому, как это имеет место и в других
разделах алгебры, особую роль играют такие подмножества,
которые сами относительно того же действия удовлетворяют
исходным аксиомам.
Определение. Непустое подмножество 93 полу-
полугруппы Ж называется подполугруппой %, если
}. S3-23 с 58.
¦Й в этом случае называют над по л у группой 93.
,{ Следует иметь в виду следующее правило в терминологии
подполугрупп. Если подполугруппа 93 полугруппы 91 является
группой, то ее называют подгруппой полугруппы %. Если
35 является коммутативной полугруппой, то ее называют
коммутативной подполугруппой Ш. Если 23 является
.инверсной полугруппой, то ее называют инверсной подполу-
подполугруппой 31 и т. п.
Подполугруппа, являющаяся собственным подмноже-
;.ством *&, т. е. отличная от Ш, называется собственной под-
подполугруппой.
Следует отметить, что в тех работах, в которых при
Определении полугруппы не требуется непустоты множества ее
Элементов, пустое множество также считается подполу-
подполугруппой.
:. 1.6. Относительно действия умножения, определен-
определенного во всей полугруппе ЭД, множество элементов под-
подполугруппы само является полугруппой. Действительно,
Для любых Bv B2 ? 23 произведение ВхВг определено (так как
оно определено для любых элементов из %) и принадлежит 23
(так как ВхВг ? 9323 с 93). При этом действие в 23 ассоциа-
1ивно, так как оно ассоциативно в ЭД, а 93 с Ш.
\' Разумеется, справедливо и обратное. Если подмножество 23
йдлугруппы Ц относительно действия, определенного в %,
Само является полугруппой, то произведение любых двух его
? элементов должно принадлежать 93, т. е. 2393 с 93 и 93 ока-
оказывается подполугруппой.
1.7. Если % есть полугруппа преобразований некоторого
множества 2 и 2' с 2, то совокупность всех преобразова-
преобразований А из $, таких, что

134 УМНОЖЕНИЕ ПОДМНОЖЕСТВ [ГЛ. III
очевидно, будет подполугруппой % (конечно, если она не
пуста). В свою очередь ее подполугруппой будет совокуп-
совокупность таких А, что
В полугруппе матриц Шп множество всех особенных
матриц образует подполугруппу. Также и множество всех
неособенных матриц является подполугруппой и даже под-
подгруппой.
В мультипликативной полугруппе всех натуральных чисел
будут подполугруппами: множество всех четных чисел, мно-
множество всех чисел больших заданного числа, множество
всех непростых чисел и т. д.
Пусть Ж есть совокупность всех вещественных непре-
непрерывных функций, определенных на некотором промежутке Е,
значения которых также принадлежат Е. Относительно дей-
действия суперпозиции функций Ж является полугруппой. Оче-
Очевидно, подполугруппами *й будут, например: множество всех
дифференцируемых функций, множество всех монотонно
возрастающих функций, множество всех постоянных.
1.8. При исследовании той или иной полугруппы ЭД
иногда бывает удобно вложить ее в некоторую охватываю-
охватывающую ее надполугруппу %'. Это может быть целесообразным
или потому, что W обладает более удобными для изучения
свойствами, или в связи с тем, что для нескольких различ-
различных полугрупп найдется одна общая охватывающая их над-
полугруппа, так что исследование нескольких полугрупп
заменяется исследованием одной полугруппы. При вложении
часто используется следующая операция отождествления.
Пусть ср есть изоморфизм полугруппы ЭД в полугруппу 23,
не имеющую с.Ш общих элементов. Рассмотрим множество W,
получающееся из 33 в результате замены элементов, принад-
принадлежащих <р(ЭД), соответствующими им при изоморфизме ср
элементами самой %:
В %' определяем действие, полагая X'Y' = Z' {X', Y', Z' ?
если в <8 имеет место XY = Z (где Х=<?(Х'), если X''
и Х=Х', если X'?%; то же и для Y и Z).

§ 1] п6дполугруппы
Очевидно, %' оказывается относительно этого действия
полугруппой, изоморфной 93. При этом W есть надполу-
группа Ж.
Переход от 93 к W можно описать как замену элементов
из 93, принадлежащих ср(ЭД), соответствующими элементами
ИЗ 51, или как операцию отождествления каждого элемента
Л ?51 с элементом <р(Л)?93.
\ 1.9. В связи со сказанным в 1.8, возникает следующее
важное понятие.
Определение. Класс полугрупп Г называется у на-
pep с а ль ним классом для класса полугрупп 3,
если каждая полугруппа из 3 изоморфна некоторой
подполугруппе какой-нибудь из полугрупп, принадлежа-
принадлежащих Г.
Изучение полугрупп класса, для которого нам известен
универсальный класс Г, может быть сведено к изучению
полугрупп из этого универсального класса. Особенно удобно
это в случае, когда полугруппы из Г сами все содержатся
в Е. В этом случае, сводя вопрос об изучении полугрупп
!из S к изучению полугрупп из Г, мы только сужаем задачу,
не выходя за ее первоначальные границы.
1.10. Пусть in есть некоторая бесконечная мощность и
2 некоторое множество мощности т. Благодаря I, 3.9 полу-
полугруппа ©а одна образует универсальный класс для класса
всех полугрупп, мощность множества элементов которых
не превосходит т. Правда, сама <52, как это следует из про-
простейших свойств мощностей, не содержится в указанном
классе.
Для класса всех полугрупп класс полугрупп <Эа при
различных 2, очевидно, является универсальным.
,-V. Пусть 2 есть некоторое счетное множество. Обозначим
-^ерез ©2 множество всех таких преобразований 2, каждое
•;вз которых 5 оставляет неизменными все элементы из 2,
•Ы исключением лишь конечного их числа (т. е. 5а Ф а имеет
вместо лишь для конечного числа элементов а?2). Иногда
такие преобразования называют почти тождественными. Так
как полугруппа <5Е всех преобразований любого конечного
множества S, очевидно, изоморфна некоторой подполугруппе
полугруппы ©2, то и всякая конечная полугруппа будет
изоморфна некоторой подполугруппе (За. Таким образом, ®а

УМНОЖЕНИЕ ПОДМНОЖЕСТВ [гл. lit
образует универсальный класс для класса всех конечных
полугрупп.
Подполугруппа группы сама может и не быть группой.
Например, мультипликативная полугруппа натуральных чисел,
конечно, не являющаяся группой, есть подполугруппа муль-
мультипликативной группы всех положительных рациональных
чисел. Про полугруппы, которые являются подполугруппами
некоторых групп, говорят, что они в ложами в группу.
Класс всех полугрупп, вложимых в группы, подвергался много-
многочисленным исследованиям. Изучение его свойств представляет
интерес как для общей теории полугрупп, так и специально
для теории групп. Из самого определения видно, что класс
всех групп, входящий в класс полугрупп, вложимых в группы,
является для этого последнего универсальным классом.
Построение и изучение универсальных классов возможно
для различных классов полугрупп и способствует их изучению.
1.11. Отметим несколько простейших свойств подполу-
подполугрупп произвольной полугруппы %.
(а). Полугруппа % сама является своей подполу-
подполугруппой.
ф). Пересечение любого множества подполугрупп по-
полугруппы 91, если оно не пусто, само является подполу-
подполугруппой %.
Действительно, если X и Y принадлежат пересечению
некоторого множества подполугрупп, то XY принадлежит
каждой из этих полугрупп и потому XY содержится и в их
пересечении.
(?). Если %' есть подполугруппа %, то всеми под-
подполугруппами W будут подполугруппы %, содержа-
содержащиеся в *&'.
(8). Подмножество %, состоящее из одного элемента X,
будет подполугруппой тогда и только тогда, когда X
является идемпотентом.
(е). Если полугруппа % обладает идемпотентами и
они все коммутируют между собой, то совокупность
всех идемпотентов является подполугруппой.
Действительно, если
h = А» Ч = h< hh — hh>
то

подполугруппы 137
произведение двух произвольных идемпотентов само
«надлежит множеству всех идемпотентов.
?2. Отметим следующую важную конструкцию. Пусть S
Щкгь непустая совокупность полугрупп, обладающая тем
|*вйством, что для любых двух полугрупп 2JJ и 9i из S в S
" цйгда найдется такая полугруппа 2, которая является над-
Авугруппой и для Tt и для 9?.
*%. Обозначим
В 31 естественным образом определяется действие,
ни X, К? 2(, то для некоторых Tt, 9l? S имеет место Х? Ш,
.91. Пусть 2?2 есть надполугруппа Ш и 9t. Тогда
еделяем XY в % как произведение X и Y, рассматри-
дых как элементы полугруппы 2. Такое определение
зизведения XY не зависит от выбора Ш, 31, 2, Действи-
яьно, пусть также 2'?jS является надполугруппой 2JT и W,
X?W, У?Ш'{Ж', ЗГ^2). В S найдется полугруппа %,
вляющаяся надполугруппой 2 и 2'. Произведение X и Y
|' 8 должно совпадать с произведением X и Y в %. То же и
2'. Следовательно, произведение А" и К определяется и
фи помощи Wt, 9t, 2 и при помощи ffl', 9?', 2' одинаково.
^ Ассоциативность определенного в *й действия очевидна.
||9ким образом, % оказывается полугруппой. 31 есть объеди-
-фние полугрупп исходной совокупности S.
0- Частным случаем рассматриваемой конструкции является
рбъединение произвольной совокупности Г подполугрупп
Некоторой полугруппы, если Г такова, что из двух любых
* |лугрупп, входящих в Г, одна обязательно является под-
^группой другой. Объединение всех полугрупп, входя-
в Г, будет в этом случае подполугруппой исходной
вугруппы.
1.13. Приведем несколько примеров подполугрупп про-
зльных полугрупп.
Пусть Ж есть произвольная полугруппа. Каждое из
едующих его подмножеств, если оно непусто, очевидно,
вляется подполугруппой %.
Множество всех элементов, являющихся и левыми и пра-
правыми делителями любых элементов И (II, 1.5).
Множество всех элементов, делящихся и слева и справа,
на. все. алименты К (Ц, 1 ?}.

138 УМНОЖЕНИЕ ПОДМНОЖЕСТВ [ГЛ. III
Множество всех тех элементов, каждый из которых пере-
перестановочен с любым элементом % (иногда эту подполугруппу
называют центром полугруппы 51).
Для произвольного подмножества $ полугруппы ЭД опре-
определяется подмножество Щ, состоящее из всех таких элемен-
элементов U?91, что 2R/ П R=0- Аналогично определяется ЭЗя.
состоящее из элементов V?*u, таких, что V^fli?—0-
Легко видеть, что U« и 23ж. если они непусты, являются
подполугруппами Ж. Подполугруппы U« и ЗЗя были введены
Дюбрейлем [1], (см. также [3]). В его исследованиях эти
подполугруппы играют важную роль.
1.14. Подгруппы полугруппы, т. е. подполугруппы,
являющиеся группами, играют в некоторых вопросах особую
роль. Пусть / есть произвольный идемпотент полугруппы Ж.
Обозначим через ©z множество всех тех вполне регулярных
элементов (И, 6.1) полугруппы %, для которых / является
регулярной двусторонней единицей. (II, 6.2; II, 6.4).
®/ непусто, так как, согласно II, 6.3, (Bi содержит /.
Теорема. ®i является подгруппой полугруппы Ш-
Доказательство. Пусть Ov G2 ?($}/. Так как /,
является для Ох и G2 регулярной двусторонней единицей,
то при некоторых U{, V^?$(/=l,2)
I=OiUit I = ViQt, (t=l. 2).
Отсюда следует:
(Gfi,) (U2Ut) = QJU, - OA = /,
<ytVt) @,0,) = V2IG2 = V2O2 = /.
Так как /, очевидно, является двусторонней единицей
элемента (G^), то / есть регулярная двусторонняя еди-
единица (О^г), т. е. (GiGj)^®/- Таким образом, ©/ есть полу-
полугруппа. / является ее единицей.
Так как /, очевидно, является двусторонней единицей
для IUJ и
I = VXQX = VJIGt = V^OyUJO^ = (JUJ) • Gl
то / является регулярной двусторонней единицей эле-
элемента (IUXI).
Таким образом, этот элемент содержится в ®/ и является
для Ох двусторонне обратным относительно /. Из того, что

ПОРОЖДАЮЩИЕ МНОЖЕСТВА 139
произвольный элемент Gt полугруппы ®/, обладающей еди-
единицей, имеет в ®/ двусторонне обратный, следует, что ($h
является группой (II, 2.15).
1.16. Следствие. Для того чтобы элемент А полу-
полугруппы % содержался в некоторой подгруппеполугруппы%,
необходимо а достаточно, чтобы А был вполне регулярным.
Действительно, вполне регулярный элемент А, имеющий
своей регулярной двусторонней единицей идемпотент /,
содержится в подгруппе (&i.
Если некоторый элемент А содержится в какой-нибудь
подгруппе ® полугруппы 2t, то по свойству группы ?©
является для А регулярной двусторонней единицей и потому А
вполне регулярен.
1.16. Так как никакой элемент не может иметь двух
регулярных двусторонних единиц (II, 6.5), то группы ($h по-
попарно не имеют общих элементов. Таким образом, множе-
множество $ всех вполне регулярных элементов полугруппы %
выражается в виде непересекающегося объединения групп
(где ф есть множество всех идемпотентов Щ.
Всякая подгруппа ® полугруппы *& содержится в одной
из компонент полученного объединения, именно в (&е®- Сами
компоненты ®/ являются максимальными подгруппами ЭД, так
цяк ни одна из них не содержится ни в какой подгруппе 91,
отличной от самой ©!•
Отсутствие идемпотентов является необходимым и доста-
достаточным условием отсутствия подгрупп в 31. Наличие лишь
Ь^ного идемпотента означает, что все подгруппы SH являются
.ййдгруппами одной наибольшей, охватывающей их всех,
родгруппы ©j, представляющей собой множество всех вполне
регулярных элементов. При числе идемпотентов, большем
Одного, существует пара элементов, каждый из которых
додержится в некоторой подгруппе, но никакая подгруппа
не содержит их оба.
§ 2. Порождающие множества
2.1. Пусть й есть некоторое непустое подмножество
полугруппы $. Совокупность 33, состоящая из всевоз-
всевозможных элементов В, представимых в виде произведения

i40 умножение подмножеств [гл. ih
элементов из R (в том числе и „произведений", состоящих
из одного множителя)
в=х1хя...хп (Xvx2, .... х
'Очевидно, образует подполугруппу. Будем говорить, что
подполугруппа 33 порождается множеством К, а й будем
Называть порождающим множеством для 23. При этом
будем употреблять обозначение
(конечно, продолжая употреблять квадратные скобки и
обычным образом в качестве отделительного знака, что не
будет вызывать никаких недоразумений). Особенно важен
случай, когда подмножество $ является порождающим для
самой полугруппы ЭД, т. е. порождает всю полугруппу ЭД
Возможность выражать элементы полугруппы (все или
только некоторые) в виде произведений элементов некото-
некоторого ее подмножества представляет очевидный самостоятель-
самостоятельный интерес и, кроме того, может быть использована для
исследования различных свойств полугрупп. Мы будем этим
заниматься как в настоящем параграфе, так и в некоторых
последующих параграфах.
2.2. Следует иметь в виду, что в теории групп подмно-
подмножество $ группы ® называется порождающим для под-
подгруппы ®'с®, что обозначается через {5?} = ®'. если мно-
множество St. состоящее из всех элементов 5? и из всех эле-
элементов, обратных к элементам из $, является порождающим
для ®' в смысле 2.1.
2.3. В обозначениях умножения подмножеств полугруппы
подполугруппу 93, порождаемую множеством S?, можно,
очевидно, записать в виде
Отметим также следующие очевидные свойства:
1) ИМ 1 = 1*1;
2) если 5?! = ^, то [ЭД

§ 2] ПОРОЖДАЮЩИЕ МНОЖЕСТВА 141
2.4. К понятию порождающего множества возможен и
другой подход. Именно множество St будет порождаю-
порождающим для подполугруппы 93 полугруппы 5J, в том и только
;$ том случае, когда 33 является пересечением всех под-
подполугрупп ЭД, содержащих 5L
f- Действительно, всякая подполугруппа %1 ^полугруппы Ш,
Содержащая $, должна содержать и все возможные произ-
|гедения элементов из $, т. е. 9^:э[$]. Следовательно, [$]
^содержится в указанном пересечении. С другой стороны,
^яма [$] является подполугруппой ЭД, содержащей R, и по-
,'|«му содержит рассматриваемое пересечение.
; Из сказанного, в частности, следует, что порождающими
множествами самой полугруппы будут те множества, кото-
которые не содержатся ни в какой собственной подполугруппе
Полугруппы.
* 2.5. Конечно, всякая полугруппа обладает порождающими
Множествами. Например, совокупность всех элементов полу-
Труппы есть ее порождающее множество. При этом обычно
волугруппа имеет несколько различных порождающих мно-
множеств. Это видно, например, из того, что всякое подмно-
подмножество полугруппы 91, содержащее некоторое ее порождаю-
порождающее множество, очевидно, само всегда является порождающим
Множеством Ш.
• При выборе порождающего подмножества для изучения
Полугруппы обычно бывает удобно, чтобы оно обладало по
вЪзможности меньшим количеством элементов. Особенно
Удобно бывает иметь дело с так называемыми неприводи-
неприводимыми порождающими множествами полугруппы, т. е.
какими порождающими множествами, у которых никакое соб-
собственное подмножество уже не является порождающим мно-
ЗЙеством полугруппы.
"¦. 2.6. Всякая конечная полугруппа обладает неприводимыми
порождающими множествами (их может быть и несколько).
Неприводимое порождающее множество конечной полугруппы
можно получить из любого ее порождающего множества,
откидывая последовательно элементы, которые могут быть
представлены в виде произведения остальных элементов
данного множества.
Если полугруппа Щ обладает конечным порождающим
множеством R, то во всяком ее порождающем множестве &'
имеется конечное подмножество, являющееся неприводимым

142 Умножение подмножеств [гл. ш
порождающим множеством полугруппы (отсюда, в частности,
следует, что в этом случае все неприводимые порождающие
множества конечны, хотя, может быть, и с различным числом
элементов). Действительно, для каждого элемента из 5? выбе-
выберем некоторое представление его в виде произведения эле-
элементов из 5f. Обозначим через St" совокупность всех тех
элементов из $', которые входят в выбранные выражения.
Так как в каждое такое выражение входит лишь конечное
число элементов и самих выражений, как и элементов 5?,
конечное число, то множество $" будет конечным. Так как
[i?"] Z5 $, то $" является порождающим множеством Ш. Если
один из элементов $" может быть представлен в виде произ-
произведения остальных элементов из $", то, исключив его, полу-
получим новое порождающее множество $?" с меньшим числом
элементов. Повторяя подобное исключение, мы, наконец,
получим конечное порождающее множество $*с$', в кото-
котором уже ни один элемент не будет выражаться в виде произ-
произведения прочих элементов. $* и будет искомым неприводи-
неприводимым порождающим множеством Ш.
Что касается произвольных бесконечных полугрупп, то
таковые иногда и вовсе не обладают неприводимыми поро-
порождающими множествами.
В качестве примера укажем полугруппу К, состоящую
из всех натуральных чисел, действием в которой является
нахождение наибольшего общего делителя. Если R. есть
порождающее множество такой полугруппы и число я произ-
произвольный элемент из $, то и $' = $ \ я будет порождающим
множеством. Действительно, числа 2я и Зя должны пред-
представляться при помощи нашего действия через числа из 5?.
Поэтому они представляются и через числа из $' (очевидно,
в выражениях чисел 2я и Зя через числа из 5? число я вхо-
входить не может). Но я есть результат нашего действия между
числами 2я и Зя. Таким образом, в [$'] содержится ft' (J я = &•
Следовательно, [&'] з [&] = 21.
2.7. Если элемент А полугруппы Ш неразложим, т. е.
не может быть представлен в виде A = XY, где X, K?s2t,
то А, очевидно, обязан входить во всякое порождающее
множество полугруппы St. В случае, когда совокупность
всех неразложимых элементов порождает полугруппу, она
является единственным неприводимым порождающим множе-
множеством этой полугруппы.

§ 2] ПОРОЖДАЮЩИЕ МНОЖЕСТВА 143
Совокупностью всех неразложимых элементов, очевидно,
является множество
2.8. Пусть $ есть порождающее множество полугруппы St.
Представление элементов из ЭД в виде произведений элемен-
элементов из $ часто оказывается весьма полезным для исследова-
исследования тех или иных свойств полугруппы. С его помощью мы
можем относительно наглядно представить себе состав мно-
множества элементов полугруппы, мысля его в виде множества
всевозможных произведений элементов из 5?. Одно обстоя-
обстоятельство, однако, сильно осложняет использование такого
подхода. Дело в том, что обычно один и тот же элемент
полугруппы допускает несколько различных представлений
в виде произведения элементов из 5?. Таким образом, мно-
множеством всех элементов является, собственно говоря, не само
множество всевозможных произведений элементов из St. но
множество классов, на которые разбивается это множество,
если отнести к одному классу все те произведения, которые
равны одному и тому же элементу 91. Однако в большинстве
случаев выяснение того, когда два произведения элементов
из порождающего множества $ равны между собой (конечно,
имеется в виду равны как элементы из Ж), представляет
значительные трудности. Степень этих трудностей, конечно,
зависит от природы полугруппы 91 и от того, каким способом
Она нам задана.
Обычный путь, используемый для решения указанной
выше задачи, состоит в следующем. Среди всевозможных
произведений элементов из порождающего множества $ стре-
стремятся выбрать некоторые произведения, обладающие следую-
следующими свойствами: 1) никакие два из выбранных произведений,
имеющих внешне различный вид, не должны быть равны
как элементы ЭД; 2) всякое произведение элементов из $
должно быть равно как элемент из 91 некоторому из вы-
выбранных произведений. Произведения, входящие в совокуп-
совокупность выбранных произведений, обладающую обоими ука-
указанными свойствами, обычно называют каноническими выра- •
жениями, или каноническими формами элементов из 91. Если
построение канонических форм осуществлено, то каждый
элемент обладает единственной канонической формой. Таким
образом, совокупность построенных канонических форм

144 УМНОЖЕНИЕ ПОДМНОЖЕСТВ [ГЛ. III
можно рассматривать как множество всех элементов полу-
полугруппы. Если в добавление к этому имеется достаточно
удобный способ перемножения этих канонических форм,
т. е. способ нахождения канонической формы для элемента,
который представлен в виде произведения двух сомножите-
сомножителей, заданных в канонической форме, то мы получаем полное
задание данной полугруппы: состав множества ее элементов
и правило действия между ними.
Разумеется, относительно одного и того же порождаю-
порождающего множества может существовать несколько различных
систем канонических форм. Выбор наиболее, удачной из них
во многом предрешает успешность применения описанного
способа задания полугруппы для исследования ее свойств.
2.9. Одним из простейших примеров, иллюстрирующих
сказанное, является мультипликативная полугруппа §Гвсех
натуральных чисел. Множество 5t, состоящее из единицы
и всех простых чисел, является порождающим для этой
полугруппы. Никакое число я из R не может быть пред-
представлено в виде произведения чисел из %, отличных от п.
Таким образом, 5? является единственным неприводимым
порождающим множеством %. Представление числа 1 в виде
япроизведения", состоящего из одного множителя 1, и пред-
представление всех остальных чисел в виде произведения распо-
расположенных по величине простых чисел составляют систему
канонических форм элементов из %. Известный простой
способ перемножения чисел, заданных в виде разложений
на простые множители, является упомянутым в 2.8 способом
перемножения канонических форм.
2.10. Более трудный пример дает полугруппа (За. состоя-
состоящая из всех преобразований конечного множества 2.
Пусть 5 есть произвольное преобразование из ©а. Назо-
Назовем элементы а и р из 2 эквивалентными относительно S,
если при некоторых натуральных k и I
Указанное отношение, очевидно, симметрично и рефлек-
рефлексивно. Оно и транзитивно, так как из
следует:
Sk+Pa = SP (S*a) =

§ 2] ПОРОЖДАЮЩИЕ МНОЖЕСТВА 145
Таким образом, все элементы из 2 разбиваются на попарно
непересекающиеся классы элементов, эквивалентных между
собой относительно S. Отметим, что из эквивалентности отно-
относительно 5 элементов а и Sa (вытекающей из S2a —S(Sa))
следует, что для всякого класса Г, эквивалентных относи-
относительно S элементов, имеет место SF с Г.
- Обозначим через ф совокупность преобразований Р из <?а.
обладающих следующим свойством. Среди классов, эквива-
эквивалентных относительно Р элементов множества 2, лишь один
класс может обладать более чем одним элементом. Покажем,
что ЗР является порождающим множеством для <?>$.
Пусть 5 произвольное преобразование из ©а- Разобьем 2
на классы элементов, эквивалентных относительно S
Для каждого класса Г< строим преобразование Р$, кото-
которое каждый элемент из Г* преобразует так же, как и пре-
преобразование S, а элементов из остальных классов не изменяет:
Pi принадлежит ф, так как все элементы из Г$ эквивалентны
относительно Р$, а ни один из элементов, не принадлежа-
принадлежащих Fj, не эквивалентен никакому отличному от него самого
элементу.
Так как для каждого а?Г{
то
^Отсюда следует, что
Полученное произведение характерно тем, что все его
множители принадлежат $ и ни для каких двух множителей
не существует такого a?2, что Р^Фа, Р}а.фа. Aф/).,
Множители такого произведения, как легко видеть, пере-
перестановочны между собой. Если взять два таких произведения,
отличающихся не только порядком сомножителей, то они
будут представлять собою различные элементы ©а, так как
хотя бы один из элементов 2 будет по-разному преобразо-
преобразовываться в результате преобразования одним и другим из этих
J0 Зак. В. С. Ляпив

146 УМНОЖЕНИЕ ПОДМНОЖЕСТВ {ГЛ. III
произведений. Таким образом, если условиться относительно
какого-нибудь порядка записи сомножителей в произведении,
то произведения описанного типа будут представлять собой
канонические формы элементов ©а относительно порождаю-
порождающего множества *Ц.
Следует отметить, что порождающее множество ЗР не будет
неприводимым, если только 2 содержит более одного эле-
элемента.
Действительно, выберем в 2 два элемента а и р и рас-
рассмотрим три элемента из ф, записав их в виде подстановок:
р _(« Р\ р _(* Р\ р _(« Р\
(не выписанные элементы из 2 преобразуются подстановкой
сами в себя). Так как
то множество, получаемое из ф исключением подстановки Pv
также будет порождающим.
2.11. В связи с доказанным в 2.10 естественно выяснить
более подробно строение преобразований из ф.
Рассмотрим некоторые специальным образом устроенные
элементы из ©а- Пусть из 2 взяты некоторые различные
между собою элементы, которые снабжены индексами по
следующей схеме п:
При помощи указанной схемы п строим следующее пре-
преобразование Р„:
h rlr 1 r1
= $, для всех ^, не входящих в схему п.

§ 2] ПОРОЖДАЮЩИЕ МНОЖЕСТВА 14?
Легко видеть, что построенное преобразование Р„ при-
принадлежит ф. Покажем, что всякое преобразование Р ? *Ц
построено таким образом.
Пусть Г есть тот единственный класс эквивалентных
относительно Р элементов Q, который содержит более од-
одного элемента (случай, когда все классы имеют по одному
элементу тривиален). Возьмем в Г произвольный элемент а
и рассмотрим последовательность
Ра, Р2а, Р3а, . ..
Ввиду конечности 2 в этой последовательности должны
встретиться одинаковые элементы
Рка = Pza, (k > I).
Отсюда
Таким образом, в Г должны существовать такие элементы р,
что при некотором т Рт$ = C. Совокупность их обозначим
через Г'. Как мы видели, для произвольного элемента а?Г
найдется такое /, что Рг<х?Т'. Пусть р^Г'. Рассмотрим
последовательность
Pi. P.. ....Pe. Ph = hn A»pe = p1 (/=1,2 (a-1)).
Так как
ТО
т. е. все элементы нашей последовательности принадлежат Г'.
Других элементов Г' не содержит, так как из
следует
10*

148 УМНОЖЕНИЕ ПОДМНОЖЕСТВ (ГЛ. lit
Теперь возьмем те элементы из Г\Г', которые в резуль-
результате преобразования Р преобразуются в элементы из Г', и
подпишем их под соответствующим [З/.
ь р.
Р. Р«"А Р« Ра- Ри, L ^a
Затем возьмем те элементы, которые в результате преобра-
преобразования Р преобразуются в элементы второй строки, и под-
подпишем их снизу в виде третьей строки. Продолжая так
далее, мы исчерпаем все элементы из Г, так как из отме-
отмеченного выше следует, что для каждого а ? Г при некото-
некотором s имеет место Psa = $i, т. е. каждый а?Г попадает
в нашу схему. Очевидно, преобразование Р есть преобра-
преобразование Рп для полученной выше схемы п.
Представление преобразования 5?<5а в виде указанного
в 2.10 произведения преобразований из '$ есть не что иное,
как обобщение известного в теории групп подстановок раз-
разложения групповых подстановок на произведения независи-
независимых циклов. Преобразования из ф представляют собой
обобщенные циклы. Они превращаются в обычные группо-
групповые циклические подстановки в том случае, когда рассмо-
рассмотренная выше схема п состоит из одной верхней строчки.
Элемент S?©а, разложенный в произведение типа 2.10
элементов из ф, является взаимно однозначным преобразо-
преобразованием (групповой подстановкой), если каждый из множи-
талей Pj, соответствует описанной схеме, состоящей из одной
строчки.
2.12. Теперь перейдем к неприводимым порождающим
множествам полугруппы <5а« Идя по пути, намеченному
Н. Н. Воробьевым [5], выясним, когда порождающее мно-
множество полугруппы ©а будет неприводимым. Обозначим
через п количество элементов в множестве Q. Для каждого
S?©a обозначим через %(S) количество элементов в 52.
Элементы S, у которых x(S) —"¦ являются взаимно одно-
однозначными преобразованиями множества Q. Совокупность их
обозначим через ©2- Она является группой (так называемая
симметрическая группа я-й степени).

§ 2] порождающие множества 149
Легко видеть, что если в произведении элементов из <BS
имеется множитель X, у которого %(X) = k, то значение х
для всего произведения не может превосходить k.
Пусть R есть некоторое неприводимое порождающее мно-
множество полугруппы (За- Обозначим
Согласно сказанному, произведение элементов, содержа-
содержащих хотя бы один множитель из $", не может принадле-
принадлежать ©а- Отсюда следует, что каждый элемент из ©а пред-
представим в виде произведения элементов из $', которые все
содержатся в ©а. Следовательно, $' должно быть порождаю-
порождающим множеством для ©а- При этом оно есть неприводимое
порождающее множество ©а, так как иначе 5? не могло бы
быть неприводимым в <32-
Сразу видно, что для любых G?©a и S?<3a имеет
Место
Отсюда вытекает, что если бы 5? не содержало ни одного
элемента X, такого, что %(Х) — п—-1, то никакое произ-
произведение элементов из 5? не могло бы равняться преобразо-
преобразованию S, у которого x(S) = «—1. Следовательно, на самом
деле порождающее множество R обязательно содержит такое
преобразование X, у которого ^(Аг) = я—1.
Докажем, что всякое множество R. с ©а. состоящее из
некоторого неприводимого порождающего множества $'
группы ®2 и одного преобразования X, такого, что х (X) =
=п—1, будет порождающим множеством ©а- Благодаря
сказанному ранее из этого будет следовать, что такое мно-
множество 5? является неприводимым порождающим и что всякое
неприводимое порождающее множество в <3а устроено таким
образом.
Для доказательства высказанного утверждения докажем
по индукции относительно (я — х(^))> чт0 5^^^
Если (п — x(S)) = 0> то S? ©а и "потому
Пусть я — x(S)>0. Запишем преобразования X и
5 в виде подстановок. Учитывая, что -?(Х) — п—1 и

150 умножение подмножеств [гл. ш
п—1, эти подстановки будут иметь вид:
i i' v — с с с
\iJLo и.2 u.g ... t**n/ ^*2 *2 *3 * * •
Здесь {Хх, Xj, X3, . . ., Xre) = {v^ v2, v3 vre} = 2 и
элементы [i2, (a3 ц„ все различны между собой. Через (ах
обозначим элемент 2, отличный от всех ц2, (а3 [х„,
а через ^ — элемент, отличный от всех $2, Е3, ..., ?п. Так
как имеет место
„ П\ v2 ^з • • • vnN ,
V?3 Ei ?з ••• U~~
то S оказывается произведением трех множителей, из кото-
которых один есть X, другой принадлежит ©2 и третий имеет
значение ^, превосходящее х(^)- Таким образом, все три
множителя принадлежат [$], а потому и S?[5t].
Мы свели задачу об определении всех неприводимых
порождающих множеств полугруппы E2 к этой же задаче
для группы ©а- В согласии с установкой нашей книги мы
не будем заниматься этой групповой задачей. Ограничимся
тем, что приведем одно из известных неприводимых поро-
порождающих множеств группы ©2:
хз\ -г _fh x»\
При помощи этого множества мы благодаря сказанному
выше можем получить, например, следующее неприводимое
порождающее множество полугруппы (За:
•т*т- т-
Что касается канонической формы элементов ©2 для
этого порождающего множества, так же как и для других
неприводимых порождающих множеств ©2. то их получение
представляет значительные трудности (см. А. Я. Айзенштат [2]).
Простейшие сведения о порождающих множествах группы ©2
содержатся в книгах, посвященных теории групп или теории
Галуа. Кроме того, имеется целый ряд специальных работ
(см. например: Н. Coxeter, W. Moser, Generators and rela-

§ 3] МОНОГЕННЫЕ ПОЛУГРУППЫ 151
tions for discrete groups, Springer-Verlag, B.—G. — H,
1957; А. Я. Айзенштат [2] и серию работ Пикар (S. Piccard),
в частности, три ее работы, опубликованные в 1955 г.
в С. R. Acad. Sci. Paris).
§ 3. Моногенные полугруппы
3.1. Особо остановимся на полугруппах, обладающих
минимальным по количеству элементов порождающим мно-
множеством.
Определение. Полугруппа называется моногенной,
если она обладает порождающим множеством, состоя-
состоящим из одного элемента. Моногенные полугруппы (этот
термин принадлежит В. В. Вагнеру) называются также
циклическими. Последнее название распространено даже шире.
Оно заимствовано из теории групп, где оно весьма есте-
естественно для конечных групп. Для полугрупп эта естествен-
естественность теряется. К тому же благодаря различному пониманию
порождающего множества в теории групп и в теории полу-
полугрупп B.2) в теории полугрупп удобнее употреблять иной
термин.
3.2. Если элемент X образует порождающее множество
моногенной полугруппы
то
X, X2 Хп, ...
есть множество всех элементов %. Действие между этими
элементами коммутативно, так как оно совершается по пра-
правилу сложения показателей степеней
Сказанное не является исчерпывающим описанием строе-
строения %, так как задание элементов % в виде Хп может быть
неоднозначным. Различные степени X могут представлять
собой в % один и тот же элемент.
3.3. Моногенные полугруппы бывают конечными и бес-
бесконечными. Сперва мы рассмотрим конечные моногенные
полугруппы,

152 УМНОЖЕНИЕ ПОДМНОЖЕСТВ [ГЛ. III
Для этого нам понадобится следующая функция k =
=/(&, а, Ь) от трех переменных, значениями которых могут
быть любые натуральные числа:
k (если k <
k — k'b, где натуральное число k' таково,
что, a^k <a-f-# (если
Отметим, что, как легко убедиться, при заданных а и b
для любых kt и k2 имеет место
Kj -f- й2
3.4. Лемма. Если в моногенной полугруппе ЭД = [X]
для некоторых натуральных чисел а и b имеет место
va+b y°
Л — Л ,
то для всякого Xй ? 21 выполняется
X* = X*,
где k = f(k, a, b).
Доказательство. Если k<C.a-\-b, то k — k. Пусть
. Совершим деление с остатком (к — а) на Ь:
Так как Хь является единицей элемента Ха, то
х*=ха ¦ хк-а=ха • хы+г=ха ¦ (хь)8 • хг =
vci vr v-a+r
= Л • Л =Л
Так как a^a-\-r <a + ft и a-\-r = k — bs, то а-\-г =
=/(*. а. Ь).
3.S. Лемма. В конечной моногенной полугруппе всегда
найдется элемент, обладающий единицей.
Доказательство. Если % = \Х\ конечна, то среди
различных степеней элемента X должны встретиться равные
элементы

31 МОНОГЁННЫЕ ПОЛУГРУППЫ 153
В этом случае Xp~q является единицей элемента Xq:
3,6. Будем обозначать через d(&) количество всех эле-
элементов конечной моногенной полугруппы ЭД, обладающих
единицами, и через (А(ЗК)—1) количество ее элементов, не
обладающих единицами.
Теорема. Для любой пары натуральных чисел d и h
существует и при том с точностью до изоморфизма
единственная конечная моногенная полугруппа ЭД, такая,
что
Доказательство. 1) Обозначим через ЭД множество
формальных степеней
X, X*. X3
Определим в этом множестве действие:
где
Р +? = /(/»-И. h> «О-
Это действие ассоциативно, так как благодаря отмеченному
в 3.3 свойству функции / имеет место:
(vP уЧ\ yr уР+Ч уг уР+й+г yp+q+r
Хр ¦ (Xй ¦ Хг) = Хр • Х4^- Xp+qT?= Xp+q+r.
Каждая формальная степень Хр (р=1, 2, ..., d-\-h—1)
является р-й степенью X относительно этого действия. По-
Поэтому ЭД есть конечная моногенная полугруппа с (d-\-h—1)
элементами, у которой элемент X является порождающим
множеством.
Так как
то для элементов А*, Х*+\ .-.., Хк+а-г элемент Ха является
единицей.

154 УМНОЖЕНИЕ ПОДМНбЖЕЙТЙ [ГЛ. Ill
Если tn<Ch, то при любом I, где l<^/<A+<i, бла-
благодаря определению f(k, h, d):
Следовательно, Элементы X, X2, .... Хп-г не имеют
в % единиц.
Таким образом,
2) Пусть Шх = [Xj] и Ща = [Х2] две конечные моногенные
полугруппы, у которых
d (%) = d {%) = d, h (%j) = h {%) = h.
Элементы Xi, Xl, ..., х%+а~х все различны между собой,
так как в случае равенства каких-либо двух из этих эле-
элементов из леммы 3.4 следовало бы, что количество всех
элементов Щ меньше h-\-d—1 (/=1, 2).
Так как Л?+й является элементом Щ, то при некото-
некотором п, где l-^n<A-(-d, должно иметь место
Все элементы Xя, Л""+1 Х**4 имеют эле-
элемент Х1+*~П своей единицей. Элементы Xit X\ Л?"
не имеют единиц, так как, согласно 3.4, при т. < п
где m-\-l — f(m-\-l, n, h-\-d — л)>тге. Следовательно,
d-j- h — n = d,
т. е. n = h.
Из равенства
согласно лемме 3.4, следует, что
где p-\-q = f(p-j-qt h, d). Благодаря соответствию
V V V2 V2 vh+d-l vh+d-l
между полугруппами 5tt и Щ2 они оказываются изоморфными.

§ 3] МОНОГЕННЫЕ ПОЛУГРУППЫ 155
3.7. Доказанная теорема дает полную классификацию
конечных моногенных полугрупп. Каждой из таких полугрупп
соответствует пара натуральных чисел
Для каждой пары натуральных чисел (A, d) существует
такая конечная моногенная полугруппа %, для которой
X (И) = (*.<*)•
Две конечные моногенные полугруппы 5^ и ЭД2 изоморфны
тогда и только тогда, когда
Пару чисел х(ЭД) = (А, d) будем называть типом конеч-
конечной моногенной полугруппы Щ., а также типом и того эле-
элемента X, для которого [X] = ft. В произвольной полугруппе ЭД
элемент X называется элементом конечного типа (иногда
говорят также — конечного порядка), если [X] конечна.
>Х называется элементом бесконечного типа (бесконечного
Порядка), если [X] бесконечна.
; 3.8. Задание типа х(Щ — (?1, d) конечной моногенной
полугруппы 21 = [X] вполне определяет удобным образом ее
.строение. Действительно, как следует из рассуждений, про-
проведенных при доказательстве теоремы 3.6, 91 состоит из
элементов X, X2 Xh+d~K
Умножение их производится по правилу сложения степе-
степеней, причем степени с показателями большими, чем h-\-d— 1,
могут быть преобразованы к степеням с указанными пока-
показателями благодаря равенству
3.9. Пусть ЭД = [X] есть конечная моногенная полугруппа.
Покажем, как зависят свойства ЧЩ от значений чисел, соста-
составляющих ее тип x(H) = (ft, d).
к Если А> 1, то 21 не имеет единицы, что следует из того,
что элементы X, X* Arft~1 не имеют единиц. Поэтому
при А > 1 Щ. не является группой.
Если А = 1, то Ш обладает единицей.
Действительно, в этом случае

156 УМНОЖЕНИЕ ПОДМНОЖЕСТВ [ГЛ. III
Поэтому Xd будет единицей для X, а потому и для всей
полугруппы %. Каждый элемент Хк (& — 1, 2 d) обла-
обладает обратным:
Л«-* •** = *» X*. *"-* = *» (А=1, 2 d — 1).
Следовательно, при A=l 21 является группой.
Нулем в ЭД, очевидно, может быть только Xti+d~i, так
как всякий другой элемент меняется от умножения на X.
Для того чтобы Xh+d~1 был нулем, необходимо и доста-
достаточно, чтобы
X.
т. е.
Но
Следовательно, для существования нуля в Щ необходимо и
достаточно, чтобы d=l.
3.10. Выясним вопрос о делимости элементов в конечной
моногенной полугруппе % = \Х\.
Если p^h, то Хр делится на всякий элемент полу-
полугруппы ш.
Действительно, для Л"8??1 A -^^ < А-(-d), согласно 3.4,
имеем
X9 • хр+9а~а = xp+qd = Xp+qd = Хр
(так как
Если р < А, то Хр делится на такие Xй, у которых
Я
Действительно, если 1 ^ q < p, то
Если q^-p, то при любом s
X* ¦ Х^Х^^Х^
ибо q-\-s или равно 9+s или не меньше А. В обоих слу-
случаях q -\-s>p.
3.11. Согласно 11,1.6, из 3.10 следует, что совокуп-
совокупность {Xh, Xh+1, .. ., xh+d~1} образует группу. Это мак-

§ 3] МОНОГЕННЫЕ ПОЛУГРУППЫ 157
симальная подгруппа 21. Действительно, ни один из элемен-
элементов X, X2 Xh~l не содержится ни в какой подгруппе 21,
так как не имеет единицы.
Из сказанного, в частности, следует, что конечная моно-
моногенная полугруппа всегда обладает одним единственным идем-
потентом — единицей указанной группы.
3.12. Если А>1, т. е. ЭД —pf) не является группой,
то X, согласно 3.10, не делится ни на какой элемент. Отсюда
следует, что X не может быть представлен в виде произве-
произведения каких-либо элементов, кроме несобственного предста-
представления Х=Х. Из этого вытекает, что всякое порождающее
множество полугруппы Ш должно содержать X. Таким обра-
образом, при А > 1 единственным неприводимым порождающим
множеством конечной моногенной полугруппы 51=[Л"] является
множество, состоящее из одного элемента X.
3.13. Пусть А=1, т. е. % = \Х\ является группой.
Рассмотрим произвольное подмножество %.:
Jt^\Xk\ Хк' Хкш\ (l</fcJ<d+l;f=l, 2 т).
.-,. Обозначим через / наибольший общий делитель натураль-
натуральных чисел: d, kit k2, .... km. Как известно, существуют
^ целые числа а0, а1( (ц ато, что
Прибавив к обеим частям равенства натуральное число Nd,
при достаточно большом N получим равенство
|тде p0, pt, p2> •'••> Рот будут натуральными числами.
j' Из этого равенства получаем
' X* • (Х^ = Xl+dN
= (x*f ¦ (xkf ¦ (xkf ..... (**«)"
Но из Xd+l = X следует, что Xd есть единица X, а по-
потому единица всей полугруппы 21. Поэтому полученное ра-
равенство означает

158 УМНОЖЕНИЕ ПОДМНОЖЕСТВ [ГЛ. III
Если I = 1, то [$] содержит X и потому
т. е. 5? является порождающим множеством полугруппы ft.
Если I > 1, то любой элемент Y из [R]
имеет вид
и потому
Но
так как иначе из 3.4 следовало бы, что количество элемен-
элементов в % меньше d. Следовательно, [$] не содержит X. Та-
Таким образом, при Z>1 5? не является порождающим мно-
множеством для St = [Ar].
Из сказанного, в частности, следует, что элемент Хк
A <]& < ft + d) тогда и только тогда будет образовывать
порождающее множество %, когда k взаимно просто с d.
3.14. Из 3.12 вытекает, что при А> 1 полугруппа %=\Х\
не имеет других автоморфизмов, кроме тождественного. Дей-
Действительно, при всяком автоморфизме полугруппы порождаю-
порождающее множество отображается на порождающее множество.
Поэтому X должен отображаться на X, но тогда и всякий
элемент Хк отобразится на Хк.
3.16. Если А=1 и <i = l, то SI есть единичная группа
и потому, конечно, не имеет нетождественных автоморфизмов.
Если А=1 и d>!, т, е. % есть не единичная группа,
то для любого k A <^& < <i-f-1), взаимно простого с d,
отображение <рй полугруппы 31 в себя
как легко видеть, будет автоморфизмом. Других автомор-
автоморШ будет, ибо при всяком автоморфизме ф
как легко видеть,
физмов Ш иметь не
число k, где

§ 4] ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПОЛУГРУППЫ
должно быть, согласно 3.13, взаимно просто с d. В этом
случае, очевидно, ф = (рй.
Таким образом, при ft= I, d = 2 группа 91 не имеет не-
нетождественных автоморфизмов. При A=l, d > 2 ЭД обла-
обладает нетождественным автоморфизмом <?d-V
3.16. Теперь перейдем к рассмотрению бесконечной моно-
моногенной полугруппы Ш = [Х]. Мы будем говорить, что ее
тип бесконечен.
Все элементы X, X2, . . ., Хп, ... моногенной полу-
полугруппы Щ. = [X] бесконечного типа должны быть различны
благодаря 3.4. Действие в ЭД определяется по правилу сло-
сложения показателей степеней. Отсюда следует, что все беско-
бесконечные моногенные полугруппы изоморфны между собой.
Вопрос о делимости решается очень просто: Хр делится на
А"9 тогда и только тогда, когда /> > q. Отсюда следует, что 91
не имеет идемпотентов.
Единственное неприводимое порождающее множество
есть множество, состоящее из одного элемента X. Нето-
Нетождественных автоморфизмов Ш не имеет.
' 3.17. Конечные моногенные полугруппы, являющиеся
'группами (т. е. в случае /г— 1), называются также конечными
циклическими группами. К циклическим группам относят еще
бесконечные циклические группы. Бесконечной циклической
группой называется группа Ш, все элементы которой могут
быть представлены в виде
(; ¦ • », А , А , А — ?1, А3 А , . • ., А , . . •,
причем все они различны между собой, а умножение их
производится по правилу сложения показателей степеней.
'Отметим, что, как очевидно, % = [А, А'1].
Г5 Смысл выделения класса циклических групп состоит в том,
;;что, как легко видеть, это есть все группы, обладающие
'состоящим из одного элемента множеством, являющимся поро-
порождающим в смысле теории групп B.2).
§ 4. Периодические полугруппы
4.1. Каждый элемент А полугруппы Ш порождает моно-
моногенную подполугруппу [А] полугруппы Ш. Тем самым Щ. ока-
оказывается объединением своих моногенных подполугрупп. Ряд

160 Умножение подмножеств [гл. щ
свойств полугруппы ЭД определяется свойствами этих моно-
моногенных полугрупп. Например, особо выделяется класс так
называемых периодических полугрупп, охватывающий класс
конечных полугрупп.
Определение. Полугруппа % называется периоди-
периодической, если все ее моногенные подполугруппы конечны.
Так как каждая конечная моногенная полугруппа имеет
идемпотент, а бесконечные моногенные полугруппы не имеют
идемпотентов, то периодические полугруппы можно опреде-
определить так же, «как полугруппы, у которых каждая подполу-
подполугруппа обладает идемпотентом. Пользуясь тем, что в конеч-
конечной моногенной полугруппе % некоторая степень элемента А
является идемпотентом, можно периодические полугруппы
определить так же, как полугруппы, в которых каждый эле-
элемент, возведенный в некоторую степень, является идемпотентом.
Ниже мы рассмотрим некоторые свойства периодических
полугрупп, основная часть которых была получена Швар-
Шварцем [5].
4.2. В классе периодических полугрупп группы (являю-
(являющиеся, как мы знаем, полугруппами с двусторонним сокра-
сокращением) могут быть выделены при помощи нижеследующего
свойства.
Теорема. Для того чтобы периодическая полугруппа
с сокращением слева была группой, необходимо и доста-
достаточно, чтобы она обладала одним единственным идем-
идемпотентом.
Доказательство. 1) Если полугруппа Щ. есть группа,
то, как известно, Е% есть ее единственный идемпотент.
2) Пусть / есть единственный идемпотент периодической
полугруппы с сокращением слева %. Произвольный эле-
элемент А?% порождает в 31 конечную моногенную полу-
полугруппу [А], тип которой обозначим через (A, d) C.7). Если бы
h > 1, то из
дн+а — дь
следовало бы
А
что противоречило бы тому, что 91 есть полугруппа с сокра-
сокращением слева, так как по определению типа моногенной
полугруппы

§ 4] ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПОЛУГРУППЫ 161
Следовательно, h = 1, что означает, что [А] есть группа C.11).
Единицей группы [А] должен быть идемпотент, т. е. /. Сле-
Следовательно, / есть двусторонняя единица произвольного эле-
элемента А полугруппы Ш, причем А обладает относительно /
двусторонне обратным. Это и означает, что 91 есть группа.
4.3. Отметим, что только все три рассмотренных в пре-
предыдущей теореме условия — периодичность, сокращение слева,
единственность идемпотента — в совокупности достаточны для
того, чтобы полугруппа была группой. Покажем на приме-
примерах, что наличие любых двух из них для этого еще не до-
достаточно.
1) Аддитивная полугруппа всех целых неотрицательных
чисел обладает свойствами сокращения слева и имеет един-
единственный идемпотент (число 0), но не является группой.
2) Полугруппа с нулем, у которой произведение двух
любых элементов равно нулю, периодична и имеет нуль своим
единственным идемпотентом, но не является группой, если
количество ее элементов больше одного.
3) Полугруппа, в которой произведение двух любых эле-
элементов равно правому множителю, является периодической
полугруппой с сокращением слева. Однако при количестве
элементов большем одного она не есть группа.
4.4. Так как каждая конечная моногенная полугруппа
имеет лишь один единственный идемпотент, то каждому эле-
элементу А периодической полугруппы Щ. однозначно сопоста-
сопоставляется идемпотент, равный некоторой степени элемента А,
,Это сопоставление существенно и часто используется для
изучения периодических полугрупп. Все элементы периоди-
периодической полугруппы распределяются при помощи этого сопо-
сопоставления на попарно непересекающиеся классы элементов Jtj,
содержащие каждый класс по одному идемпотенту /, причем
некоторая степень каждого элемента из $/ равна /:
(где ф есть множество всех идемпотентов полугруппы Щ.
4.6. Классы Й/, как будет видно из примера 4.11, не
обязаны являться подполугруппами полугруппы 31. Случаи,
когда все $j являются полугруппами, заслуживают особого
внимания. Укажем несколько из них.
11 Зак. 4SS. В. С. Ляпав

162 УМНОЖЕНИЕ ПОДМНОЖЕСТВ [ГЛ. III
(а). Легко доказывается, что если Ш коммутативна, то все
51/ являются полугруппами.
(Р). Исеки [4] обратил внимание на то, что все St/ будут
подполугруппами в полугруппах одного класса, введенного
Тьерреном [16], которые характеризуются некоторой обоб-
обобщенной коммутативностью.
Пусть периодическая полугруппа Ш такова, что для лю-
любых двух элементов Л и В всегда найдутся такие натураль-
натуральные числа г, s, t, что
Тогда каждый класс $/ является подполугруппой.
Действительно, пусть А, В?&г, т. е.
Так как при некоторых г, s, t
(AB)r = ASB* = ВгА\
то благодаря перестановочности As и В* получаем
(АВ)гаЬ = [(АВ)Т = {А*В*)а" = {А°)аЬ ¦ {B'f =
Следовательно, из A, B^^j вытекает АВ?$х, т. е. &г,
действительно, является подполугруппой.
G). Не только свойство коммутативности и близкие его
обобщения, но и свойство в некотором отношении противо-
противоположное является достаточным для выполнения рассматри-
рассматриваемого свойства.
Если в 91 для любых двух различных между собой идем-
потентов / и V имеет место
//' ф 14,
то каждый класс St/ является подполугруппой.
Действительно, пусть A, B?$j, т. е.
Произведение АВ принадлежит некоторому
(ABf = Ir, !'* = !'.

§ 4] ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПОЛУГРУППЫ 163
Так как / перестановочен и с А и с В, то / должен быть
перестановочен и с АВ, а потому и с /'. Согласно условию,
это означает, что / = /', т. е. ЛВ?&/.
4.6. Так как St; в общем случае не является подполу-
подполугруппой, то естественно поставить вопрос о подполугруппах
полугруппы Ш, содержащихся в St/, и, в частности, о таких
максимальных подполугруппах. Для этой цели мы восполь-
воспользуемся некоторой общей леммой, которая может оказаться
полезной и в других случаях. Эта лемма является простым
следствием теоремы, доказанной нами в II, 4.17.
Лемма. Пусть ф есть совокупность некоторых под-
подмножеств множества Q, обладающая следующим свой-
свойством. Если Q. такое подмножество ф, что для любых
М и М' из О. одно из них обязательно является под-
подмножеством другого, то объединение всех множеств,
входящих в Q., всегда должно принадлежать ф. Тогда
в ф найдется максимальное множество Мо, т. е. такое
Мо? ф, что MQ не является собственным подмножеством
на для какого М из ф.
Доказательство. Отношение включения в множе-
множестве ф, очевидно, является отношением частичной упорядо-
упорядоченности, удовлетворяющим условию теоремы II, 4.17. По-
Поэтому из этой теоремы непосредственно следует справедли-
справедливость утверждения леммы.
4.7. Сразу же отметим одно следствие из доказанной
леммы, которое нам понадобится в дальнейшем.
Следствие. Если ЯЯ есть подполугруппа полугруппы ЭД
и & такое подмножество % что Ш1сЛ, то Ш обладает
такой подполугруппой 9t, что Mcz9tc:$. причем 9t не
содержится ни в какой подполугруппе W полугруппы ЭД,
отличной от tft и такой, что McWcR.
Действительно, применяем лемму 4.6, выделяя в качестве
совокупности $р класс таких подполугрупп 51, которые содер-
содержат Ш? и содержатся в St- Выполнение требуемого в 4.6
условия следует из 1.12.
4.8. В периодической полугруппе Щ фиксируем некоторый
произвольный идемпотент / и некоторую подполугруппу Ш
полугруппы Ш, содержащую / в качестве единственного идем-
потента. Так как SKcRj D.4), то к 1 и Ж; можно приме-
применить следствие 4.7. Из него следует, что Ш содержится
в такой подполугруппе 3t полугруппы Ш, что. StcStz и 9i

164 УМНОЖЕНИЕ ПОДМНОЖЕСТВ [ГЛ. III
не содержится ни в какой подполугруппе 9t' полугруппы ЭД,
такой, что SR'cRi и W Ф 9t.
Сказанное означает, что каждая подполугруппа периоди-
периодической полугруппы %, содержащая единственный идемпотент,
содержится в некоторой максимальной подполугруппе 9t,
которая обладает лишь одним идемпотентом и сама не со-
содержится ни в какой, отличной от 9t, подполугруппе %,
обладающей лишь одним идемпотентом.
Класс &г Для произвольного идемпотента / представим
в виде объединения подполугрупп, каждая из которых не
содержится ни в какой отличной от нее подполугруппе 91,
обладающей одним идемпотентом.
4.9. Пусть элемент А произвольной периодической полу-
полугруппы принадлежит классу Е/, т. е. в некоторой степени
равен идемпотенту /. Если / является левой (а потому и
правой) единицей А, то / есть регулярная двусторонняя еди-
единица А.
Действительно, из
следует
IA = ArA = AAr = AI,
АГ~1А = I, АА' = I.
Если / не является левой единицей А, то А не имеет
регулярных двусторонних единиц. Действительно, предполо-
предположим, что для некоторого идемпотента /' ? % имеет место
Так как
A2r = II = I = Ar, А(АХ)Х=АГХ=Г.
то
/ — АГ'Г = А2гХг = АГХГ = /',
что противоречит предположению.
4.10. Если элемент А периодической полугруппы Ж при-
принадлежит $j, т. е. Лг = /, то AI = IA€RT. При этом для
элемента AI идемпотент / является регулярной двусторонней
единицей.

§ 4] ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПОЛУГРУППЫ 165
Если сам А обладал регулярной двусторонней единицей,
то таковой, согласно 4.9, являлся / и потому AI — 1А = А.
Отсюда следует, что
есть множество всех тех элементов 91, для которых / является
регулярной двусторонней единицей. В обозначениях 1.14
©I есть максимальная подгруппа %, имеющая своей едини-
единицей /.
Если обозначить через ф совокупность всех идемпотен-
тов периодической полугруппы 51, то, согласно 1.16,
есть множество всех элементов Щ, содержащихся в под-
подгруппах полугруппы %.
4.11. Отметим одно свойство подгруппы ©/ периодиче-
периодической полугруппы %. Если для некоторого элемента Л ?91
идемпотент / является правой единицей, причем / делится
на А слева, то Л?@/.
Действительно, пусть
А1 = А, АВ = 1.
Из этих равенств, очевидно, следует, что при любом нату-
натуральном k имеет место АкВч = 1. Элемент А, как и вся-
всякий элемент периодической полугруппы, в некоторой степени
является идемпотентом
(А'Г = А'.
Благодаря этому
/ = ArBr = ArArBr = ArI = Ar.
Отсюда, согласно 4.9, следует, что ?
4,12. В качестве примера рассмотренных выше построений
рассмотрим мультипликативную матричную полугруппу Ш,
состоящую из девяти матриц
[1 (Л ГО 11 ГО 01 ГО 0]
*п=[о о]' Ми=[о Oj' M^=[l oj- ^22= [о lj-
) ГО — П Г 0 01
'"» = lo о]'"«Ч-1 oj- "«

166 УМНОЖЕНИЕ ПОДМНОЖЕСТВ [ГЛ. III
Идемпотентами полугруппы SDi являются элементы О, Ми,
Мг2. Классы 5?/ суть
5?о = {О. Ма, М21, Nw N21},
9ка = {Ми. Nn),
Классы $лг„ и $лг„ являются подполугруппами. Класс Sto
подполугруппой не является. Он представляет собой объ-
объединение двух максимальных подполугрупп, обладающих одним
идемпотентом
5?о={О, М12, Ni2}U{0, M2V Ntl).
Максимальные подгруппы Tl суть
§ 5. Увеличительные элементы
5.1. Среди элементов полугрупп выделяются своими осо-
особыми свойствами некоторые так называемые увеличительные
элементы, введенные Е. С. Ляпиным [9]. В последующем мы
не раз будем возвращаться к рассмотрению этих элементов.
Определение, Элемент U полугруппы 91 называется
правым увеличительным, если в Ш найдется та-
такое собственное подмножество W, что
WU = fL (И'сИ. %'ФЩ.
Элемент V называется левымувеличительным,
если в Ш найдется такое собственное подмножество W,
что
Из определения непосредственно вовсе не видно, суще-
существуют ли полугруппы, обладающие увеличительными элемен-
элементами. Положительный ответ на этот вопрос мы дадим лишь
в следующем параграфе, а пока займемся рассмотрением не-
некоторых свойств увеличительных элементов.
6.2. Теорема. Никакой элемент полугруппы не может
быть одновременно ее правым увеличительным и левым
увеличительным элементом.

§ 5] УВЕЛИЧИТЕЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 167
Доказательство. Предположим, это элемент X по-
полугруппы Ш является одновременно ее правым увеличитель-
увеличительным и левым увеличительным. Это означает, что для неко-
некоторых Sl'czSt и 2t"c2t имеет место
WX= Ш, ХЩ." = И. W ф Ш, W ф Ш.
Из 3t'A"=3t следует, что в Ж должны найтись такие
элементы Zt и Z2, что
/. i X = X ,
Так как ХЩ." — ЭД, то каждый элемент А полугруппы §1
может быть представлен в виде ХА" (Л" ? W). Отсюда сле-
следует
ZXA = ZtXA" = ХА" = А,
т. е. Zj оказывается левой единицей Ш. Благодаря этому
Z22l = Z2XW = Z&" = W.
Но, с другой стороны,
Мы получили ЭД"з$, что противоречит предположению.
6.3. Разумеется, далеко не все полугруппы обладают уве-
увеличительными элементами. Укажем несколько классов полу-
полугрупп без увеличительных элементов.
¦J (а). Конечные полугруппы не имеют увеличительных
элементов.
Действительно, если W есть какое-нибудь собственное
подмножество конечной полугруппы % то множество XW
¦(мк же, как и WX) при любом Х? Ш содержит меньше
элементов, чем их имеется в 51, и потому отлично от Ш.
(Р). Коммутативные полугруппы не имеют увеличи-
увеличительных элементов.
Действительно, в коммутативной полугруппе всякий пра-
РЫЙ увеличительный элемент должен был бы быть и левым
увеличительным, что, согласно 5.2, невозможно.
^ (f). Полугруппы с двусторонним сокращением не имеют
увеличительных элементов.
Действительно, предположим, что в полугруппе с дву-
двусторонним сокращением ЧЩ для некоторых {/?1 и 91'с: 21
имеет место

168 УМНОЖЕНИЕ ПОДМНОЖЕСТВ [ГЛ. III
Возьмем какой-нибудь элемент В из Ш, не принадлежа-
принадлежащий W. Так как %'U = %, то при некотором A'?W мы
имеем A'U = BU. В полугруппе с правым сокращением это
возможно лишь при А' = В, что противоречит тому, что А'
принадлежит W, а В не принадлежит $'.
(8). Группы не имеют увеличительных элементов.
Действительно, всякая группа является полугруппой с дву-
двусторонним сокращением A1,2.16).
5.4. Теорема. Пусть среди элементов полугруппы 91
некоторые являются правыми увеличительными, а неко-
некоторые не являются. Тогда совокупность всех правых
увеличительных элементов 51 есть подполугруппа 51 и
совокупность всех элементов %, не являющихся ее пра-
правыми увеличительными, тоже есть подполугруппа ЭД.
(Аналогично для левых увеличительных).
Доказательство. 1) Пусть Ux и U2 два произволь-
произвольных правых увеличительных элемента полугруппы ЭД. При
некоторых З^сЭД и ШгсУ{
Так как
= Я,
то UyU^ также является правым увеличительным элементом %.
Отсюда следует, что совокупность правых увеличительных
элементов образует подполугруппу Ш-
2) Пусть Х1 и Хг два элемента 51, не являющиеся пра-
правыми увеличительными. Если бы их произведение было пра-
правым увеличительным, то при некотором ЭД'сЗ! мы имели бы
3[. W Ф%.
^ = W ф 21, так как Хх не является правым увели-
увеличительным. Но тогда соотношения
противоречили бы тому, что Х% не является правым увели-
увеличительным.
6.5. Обозначим через W совокупность всех правых уве-
увеличительных элементов полугруппы % через Ш®—совокуп-
Ш®—совокупность всех левых увеличительных и через 51^ — совокуп-
совокупность всех элементов, не являющихся ни правыми, ни левыми

§ 5] УВЕЛИЧИТЕЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 169
увеличительными элементами 51. Согласно 5.2, пересечение Wr
и 31(г' пусто. Поэтому ЭД^ U 31 есть совокупность элемен-
элементов, не являющихся левыми увеличительными элементами
Щ, а ЭД(г) U ЭД(та) есть совокупность элементов, не являющихся
правыми увеличительными элементами. Обе эти совокуп-
совокупности, согласно 5.4, если они непусты, являются подпо-
подполугруппами. Отсюда следует, что их пересечение ^п\ если
оно непусто, оказывается подполугруппой. Из этого, исполь-
используя также 5.2 и 5.4, получаем следующий вывод.
Полугруппа Ш является объдинением следующих трех
попарно непересекающихся подмножеств
каждое из которых является подполугруппой или пустым
множеством.
5.6. Сами полугруппы 5l(r), %(l\ SI*"* в отношении нали-
наличия в них увеличительных элементов обладают следующими
свойствами.
(а). Полугруппа Щ^ не имеет своих левых увеличи-
увеличительных элементов.
Действительно, предположим, что элемент Х? Ш^ является
левым увеличительным элементом полугруппы §1(г\ Тогда
в %^ должен найтись такой элемент Z, что XZ = X. Из того,
что Z?$^ следует, что при некотором $С'сЭД имеет место
%'Z = % Я'* И.
Возьмем в 31 произвольный элемент Л. Так как Х?Ш(г\
то при некотором К?$ имеет место YX=A. Отсюда сле-
следует, что
AZ=YXZ=YX=A.
Таким образом, Z оказался правой единицей полугруппы 31.
Но тогда WZ = W, что противоречит тому, что %' было
выбрано так, что WZ = %.
(Р). Полугруппа 31<г) не имеет своих правых увеличи-
увеличительных элементов.
Доказывается вполне аналогично свойству (а).
(f). Если полугруппа Щ. имеет единицу, то ЭД(п) непусто
и является полугруппой, не имеющей ни правых, ни ле-
левых увеличительных элементов.

170 УМНОЖЕНИЕ ПОДМНОЖЕСТВ [ГЛ. III
Действительно, W непусто, так как, очевидно, содер-
содержит единицу Бя.
Предположим, что элемент Х? 91*"* является правым уве-
увеличительным элементом полугруппы ЭД^. Тогда при некото-
некотором W(=.$"* имеет место
В частности, в W должен найтись такой К, что YX=E%.
Отсюда следует
{Ш)Х =№* = %.
Но X не является правым увеличительным для ЭД. Поэтому
должно иметь место ЩУ — Ж. Из этого равенства следует,
что при некотором Z ? Ш выполняется ZY = Е%, откуда следует
Х= ЕКХ= ZYX= ZE* = Z.
Отсюда получаем
W = Ъ'ЕЖ = WZY = WXY = n{n)YzD%{n)ZY = 3I(n)
что противоречит тому, что W есть собственное подмноже-
подмножество %{п).
§ 6. Увеличительные элементы полугрупп с единицей
6.1. В этом параграфе мы рассмотрим одну конкретную
полугруппу, обладающую увеличительными элементами, кото-
которая не только послужит нам первым примером, доказываю-
доказывающим существование увеличительных элементов в некоторых
полугруппах, но и сыграет определенную роль в изучении
общих свойств увеличительных элементов полугрупп, обла-
обладающих единицей.
Изучая упомянутую полугруппу, мы попутно получим
иллюстрации для некоторых общих понятий и свойств полу-
полугрупп, введенных ранее.
6.2. Обозначим через А (х) следующую вещественную функ-
функцию:
х (если л: >•()),
о (еслих<0).

§ 6] УВЕЛИЧИТЕЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПОЛУГРУПП С ЕДИНИЦЕЙ 171
ф есть совокупность всевозможных упорядоченных пар целых
неотрицательных чисел [а, Ь] (а, 6 = 0, 1, 2, .. .)• Опреде-
Определим в ф следующее правило умножения:
[alt aj-loj, b2] = [a1-\-h(a2 — bj, b2-\-Afo — в,)].
Проверим ассоциативность этого действия:
(К ЬА • [а2, b2]) • [a,, b3] =
bj, b2-{-h(bx — a2)]-[a3, b3] =
[av bj] • ([a2, b2] ¦ [a3, b3]) =
= [au M([a2 + A(as —й2), b3-\-h(b2 — a3)\) =
= [fl! +A {flj + A(fl8 —*,) — *!}, b3 + h{b2 — a3) +
+ A{*X —a, —A(fl, —^)}1.
Убедиться в равенстве обоих тройных произведений
удобнее всего, перебрав последовательно четыре случая:
1) а2>61, а3^>Ь2; 2) о2>й1, а3<Ь2; 3) а2<61, а3>62;
4) а2 < #i. Яз < *2-
Если при этом учесть, что, как, очевидно, Л {&(*)} = A(jc)
и A (xt -f- x2) = h (xt) -+- h (x2) для положительных хх и x2,
то равенство двух полученных выражений видно непосред-
непосредственно.
6.3. В полугруппе ф обозначим
[0, 0] = l/° = V° = E, [I, 0] = f/, [0, \]=V.
. Как непосредственно следует из правила умножения в ф,
. элемент Е является единицей полугруппы. Далее для произ-
произвольного элемента из ф имеем
[a, b] = [а, 0] -[О, b] = UaVb.
•Таким образом, пара элементов U и V оказывается пор.о-
: Ждающим множеством для ф, а каждый элемент из ф может
v€bm> задан, и притом, очевидно, единственным образом,
в виде UaVb (если а = 0, то можно писать просто V5, ана-
аналогично в случае 6 = 0 Ua). Таким образом, задание эле-
элемента полугруппы в виде UaVb можно считать канонической
формой элемента относительно порождающего множества
{U. V).

172 умножение подмножеств (гл. in
Так как
= [0 + АA —1), 0 + АA — 1I = [О, 0] = Е,
то умножение элементов в указанной канонической форме
производится очень просто:
а Ь а Ь ( 1Л + в"-6>И' (еСЛИ fl2>*1).
Из сказанного следует, что полугруппа ф может быть
так и определена как множество всевозможных выражений
t/V (a, 6 = 0, 1, 2, ...),
умножаемых по указанному правилу.
6.4. Выясним, какими автоморфизмами (I, 1.16) обладает
полугруппа ф. При дальнейшем использовании этой полу-
полугруппы знание ее автоморфизмов нам будет полезно. Для
этой цели нам сперва придется доказать одну вспомогатель-
вспомогательную лемму.
Лемма. Для всякого элемента Xполугруппы ф, отлич-
отличного от U и от V, найдется элемент X', отличный от Е
и не являющийся степенью X, который перестановочен
с X.
В случае X = U или X— V не существует элемента X'
с такими свойствами.
Доказательство. Если X=UaVb, где а>0, b > 0,
а + 6>2, то в качестве искомого X' можно взять отлич-
отличный от Е элемент X' = UV.
Действительно,
XX' = UV5 • UV = UaVb,
Х'Х= UV • UaVb = UaVb.
Кроме того, предположив X' — Хп, мы получаем
W — uaVbUaVb . .. UaVb.
Но при умножении справа элемента U" на какой-либо эле-
элемент из ф мы всегда получаем элемент UcVd, у которого
с^-а. Аналогично обстоит дело и с Vb. Поэтому указан-

§ 6] УВЕЛИЧИТЕЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПОЛУГРУПП Й ЕДИНИЦЕЙ 173
ное равенство возможно лишь при a—I, b=\, что про-
противоречит условию a-f-?>>2.
Если X=UV, то в качестве искомого X' можно взять
элемент X' — UW2 Ф Е. Сразу убеждаемся, что
U2V* • UV ~ UV • U2V*.
Так как (UVJ = UV, то U2V2 не является степенью эле-
элемента UV.
Если X=i/a(a> 1), то в качестве X' можно взять эле-
элемент X' = U Ф Е. Действительно,
U не является степенью Ua, так как (Ua)n — Uan отлично от U.
Если Х = Vb ф > 1), то в качестве X' можно взять X' = V.
Теперь предположим, что некоторый элемент и'=ЦаУьфЕ
обладает рассматриваемыми свойствами по отношению к эле-
элементу U. Так как U' не должен быть степенью U, то b Ф 0.
Но тогда
UU' = U ¦ UaVb = Ua+ V6,
U'U = UaVb ¦ U = UaVb-~l
и W оказывается неперестановочньщ с U.
Аналогично доказывается, что не существует элемента V,
обладающего рассматриваемыми свойствами по отношению
к элементу V.
6.6. При помощи леммы 6.4 мы докажем, что полугруппа ф
не имеет иных автоморфизмов, кроме тождественного.
Предположим, что ср есть некоторый нетождественный
автоморфизм полугруппы ф. Если элемент X обладает отлич-
отличным от единицы элементом X', перестановочным с X и не
являющимся степенью X, то, очевидно, элемент <р(^О будет
обладать теми же свойствами по отношению к у(Х). Бла-
Благодаря этому из леммы 6.4 следует, что никакой элемент,
отличный от ГУ и V, не может при автоморфизме ср отобра-
отобразиться на U или на V. Таким образом, мыслимы только два
случая: или
<f(U)=U. cp(V) = V.
или

174 умножение подмножеств [гл. ш
В первом из этих случаев мы получаем для любого эле-
элемента
= uaV\
что противоречит тому, что <р предположен нетождествен-
нетождественным автоморфизмом.
Но и во втором случае получаем противоречие:
ср (UW) = [ср {U)f • ср (V) = V2U = V = y(U), LPV Ф U.
6.6. Пусть 0. есть некоторая полугруппа, изоморфная по-
полугруппе ф. В этом случае существует лишь единственный
изоморфизм ф на Си Действительно, если отображения ср
и ф оба являются изоморфизмами ф на &, то <р~хф, очевидно,
будет автоморфизмом полугруппы ф. Согласно 6.5, ср-1ф
должен быть тождественным автоморфизмом, откуда следует,
что отображения <р и ф одинаковы.
Пусть <р есть изоморфизм ф на 0.. Ввиду единственности
такого изоморфизма и того, что элементы U и V вполне
определены в ф своими свойствами независимо от способа
задания ф, в полугруппе D —<р(Ф) элементы cp(f/) и <p(V)
вполне определены единственным образом самой полугруп-
полугруппой & независимо. от способа ее задания. Рассмотренное
свойство полугруппы 9($ следует иметь в виду при анализе
и применении существенной теоремы 6.8, к которой мы обра-
обратимся в ближайшее время.
6.7. Рассмотрим увеличительные элементы полугруппы ф.
В полугруппе ф все элементы вида Ua (a > 0) являются
правыми увеличительными. Действительно,
(фКя) Ua = $VaUa = фЕ = ф.
При этом множество фУа, очевидно, состоящее из всех
элементов ф вида UcVd+a (d >•()), отлично от ф, так как
не содержит, например, U.
Аналогично элементы вида Vй (р > 0) оказываются левыми
увеличительными, так как
Что касается прочих элементов полугруппы ф, то ни один
из них не является увеличительным. Для единицы Е это оче-
очевидно. Для UaVb(a>0, 6>0) имеем:

§ 6] УВЕЛИЧИТЕЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПОЛУГРУПП С ЕДИНИЦЕЙ 175
Отсюда следует, что ни для какого собственного подмно-
подмножества ф не могут выполняться равенства 5.1, характери-
характеризующие элемент как увеличительный.
6.8. Теперь выясним ту особую роль, которую играет
полугруппа ф в теории увеличительных элементов. Окажется,
что увеличительные элементы полугруппы с единицей содер-
содержатся в таких ее подполугруппах, изоморфных ф и содер-
содержащих единицу этой полугруппы, что при изоморфизмах
этих подполугрупп с ф они соответствуют элементам U
и V. При этом только увеличительные элементы обладают
этим свойством.
Теорема. Пусть % есть полугруппа с единицей.
Для того чтобы элемент X полугруппы Ш был пра-
правым увеличительным, необходимо и достаточно, чтобы
существовал такой изоморфизм <р полугруппы ф в ЭД,
при котором <р (?sg) = ?s и ip (U) = X.
Для того чтобы элемент X полугруппы 21 был левым
увеличительным, необходимо и достаточно, чтобы су-
существовал такой изоморфизм ср полугруппы $ в К, при
котооом <р(Б?) = Б« и <f(V) = X.
Доказательство. 1) Пусть X есть правый увели-
увеличительный элемент полугруппы St. Тогда при некотором
Отсюда следует, что в %' найдется элемент Y такой, что
YX = E*.
Рассмотрим полугруппу
Из того, что YX есть единица Ш., следует, что каждый
Элемент из & может быть представлен в виде
хауь
(здесь Х° и К0 означает Е%).
Выясним, могут ли два произведения с различными по-
показателями степеней изображать одинаковые элементы. Пусть

176 УМНОЖЕНИЕ ПОДМНОЖЕСТВ [ГЛ. III
где а1'^аг. Умножив наше равенство слева на К"", получим
Если бы aj —я2 и Ь1ФЬ2, то, умножив равенство справа
на Xе, где с наибольшее из bt и bv мы получили бы, что
некоторая степень правого увеличительного элемента X
равна элементу Е%, который увеличительным не является.
Но благодаря 5.4 это невозможно.
Итак, пусть ах > а2. Тогда из полученного выше равен-
равенства вытекает
х"*-"'-1 Ybl 21 = Кб2Щз уь*Хк % = %
и, следовательно, при некотором
XZ = E.
Но тогда из
WX=%
умножая справа на Z, мы получаем
откуда
W =
что противоречит выбору W.
Мы показали, что полугруппа & является множеством
произведений вида XaYb, которые все между собой раз-
различны. Благодаря тому, что YX=E% = E?l, умножение этих
произведений совершается как раз по тому же правилу, по
какому умножаются элементы ф, заданные в канонической
форме 6.3. Таким образом, отображение <р полугруппы ф
на О.
является изоморфизмом ф в ЭД. При этом изоморфизме
2) Пусть теперь X есть левый увеличительный элемент
полугруппы. Рассуждениями, совершенно аналогичными рас-
рассуждениям первой части доказательства, показываем, что в 21
существует содержащая Е% подполугруппа 0Л изоморфная ф,
такая, что при изоморфизме ср полугруппы ф на О/ имеет
место <?(V) = X () Е

§ 6] УВЕЛИЧИТЕЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ПОЛУГРУПП С ЕДИНИЦЕЙ 177
3) Пусть <р есть такой изоморфизм ф в %, при котором
?$) = ?«•
Мы имеем
ср (U) ¦ ср (V) = ср (UV) ф ср (Е9) = Е*.
ср (V) • ср (У) = ср (VU) = ср (?„) = ?„.
Элемент ср (?/)?$ не имеет в Щ правого обратного по
отношению к Е%. Действительно, в противном случае, обла-
обладая к тому же и левым обратным (таковым является <p(V)),
он должен был бы иметь обратный элемент (II, 2.14), ко-
который совпал бы с левым обратным ср (V) (II, 2.14). Однако
это не так, ибо произведение cp(L/). ср (V), как мы показали,
отлично от ?я. Аналогично убеждаемся, что ср (V) не имеет
левого обратного по отношению к Ея. Отсюда следует:
причем
т. е.
ср (V) Ф 21, о (U) • К ф
Это и доказывает, что в 21 ср (V) является левым увеличи-
увеличительным элементом, а ср([У) правым увеличительным.
6.9. Следствие. В полугруппе с единицей каждый
увеличительный элемент порождает бесконечную моно-
моногенную полугруппу.
6.10. Следствие. В полугруппе с единицей каждый
увеличительный элемент является регулярным.
Действительно, пусть X есть правый увеличительный
Элемент полугруппы с единицей %. Рассмотрим соответ-
соответствующий элементу X изоморфизм ср полугруппы ф в Ш,
указанный в 6.8. Мы имеем
<f (U) ¦ ср (V) •?(*/) = ? (WU) = ср (U),
откуда следует регулярность X=<?(U).
Аналогично рассуждаем для левых увеличительных эле-
элементов.
6.11. Следствие. Для того чтобы в полугруппе
с единицей % существовали увеличительные элементы,
12 Зак. 455. Е. С. Ляпин

178 УМНОЖЕНИЕ ПОДМНОЖЕСТВ [ГЛ. III
необходимо и достаточно, чтобы fl обладала подполу-
группой, содержащей ?« и изоморфной ф.
6.12. Следствие. Если в полугруппе с единицей имеются
правые увеличительные элементы, то имеются и левые
увеличительные, и наоборот.
Действительно, согласно предыдущему следствию, полу-
полугруппа fl должна обладать подполугруппой ф', изоморф-
изоморфной ф и содержащей единицу Е%. Но тогда, по теореме 6.8,
Ш должна обладать и левыми и правыми увеличительными
элементами.
6.13. Отметим, что последнее свойство на полугруппы
без единицы, вообще говоря, не распространяется. Приведем
соответствующий пример.
Пусть U есть полугруппа с нулем О, в которой произ-
произведение двух любых элементов равно О. Количество эле-
элементов U не меньше двух. 93 произвольная полугруппа.
В множестве
определим действие. Если два элемента fl оба одновременно
принадлежат U или S3, то их произведение определяется по
правилу умножения элементов соответственно в U или в 93.
Если X?VL и Y?93, то полагаем
XY = O, YX=X.
Легко доказывается ассоциативность этого действия. Пусть
Zi = (ЛХЛ2) А3, Z2 = А1 (А2А3).
Если Лх или \ принадлежат U, то Z1 = O aZ2 = O. Если
Av i42?93 и Л3?и, то Zl = A3 и Z2 = A3. Если же Ах,
Аг, А3 ? 93, то Zx = Z2 благодаря ассоциативности умноже-
умножения в 2J.
Выясним, каковы увеличительные элементы полугруппы 91.
Пусть
Х?\1, К?93, й'сИ. 1/ = U/U«', U'cU, ЗЗ'сЗЗ.
(Здесь U' или 93' могут быть и пустыми.)
Рассмотрим произведения:
XW = XW U Ш с О U О = О,
%'Х= )Х'Х\] WXcOUX,
YW = YW U K93' с: U' U KJ8',

§ 7] ПОдпОлУгРупЯбвАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛУГРУППЫ 179
Сразу видно, что никакой элемент из U не может быть
ни правым, ни левым увеличительным элементом ЭД. Что
касается элемента Y ? 23, то он не может быть правым уве-
увеличительным. Левым увеличительным У может быть. Это
будет тогда, когда в третьем случае мы возьмем U' = U
и К23' = 23, где 93' ф ЯЗ. Таким образом, левыми увели-
увеличительными элементами полугруппы ЭД оказываются все
левые увеличительные элементы полугруппы 93. Если в ка-
качестве 23 взять какую-нибудь полугруппу, обладающую ле-
левыми увеличительными (например ф), то полугруппа $ будет
обладать левыми увеличительными, а правыми увеличитель-
увеличительными обладать не будет.
§ 7. Подполугрупповая характеристика
полугруппы
; 7.1. В продолжение этого параграфа условимся обозна-
обозначать совокупность всех подполугрупп произвольной полу-
полутруппы Ш через 2 (ЗГ). В 2 (Ж) рассмотрим действие умноже-
умножения, полагая для S3, 23'?2Щ
:; аз с зз' =
г: Мы вынуждены употреблять для этого действия значок О.
отличный от обычного знака умножения, поскольку указан-
йое действие, вообще говоря, отлично от действия умноже-
иня подмножеств полугруппы, каковыми являются, в част-
частности, подполугруппы.
fy Указанное различие может иметь место даже в комму-
агативных полугруппах. Пусть, например, W произвольное
*fjenycToe множество, элемент О не принадлежит W и Ж = %' U О.
рЗпределяем в % действие, полагая XY = О для любых X,
0?%.. Очевидно, подполугруппами % являются все подмно-
^ества ЭД, содержащие О. Для любых S3, 93'?2 C1) мы,
арЧевидно, имеем:
7.2. Действие О в 2(St), как легко убедиться, ассоци-
ассоциативно и коммутативно, все элементы ЕE1) относительно
этого действия являются идемпотентами. Таким образом, S(St)
является коммутативной полугруппой идемпотентов. Ее можно
было бы называть полугруппой подполугрупп полугруппы Ш.
12*

180 УМНОЖЕНИЕ пбДМНОЖЕСТВ (ГЛ. Ill
Мы будем называть Е (Щ) подполугрупповой характеристи-
характеристикой полугруппы Ш.
В дальнейших рассуждениях надо всегда внимательно
следить за тем, когда некоторая подполугруппа 23 из 2B1)
рассматривается как подмножество полугруппы 51, а когда —
как элемент полугруппы ?B1).
7.3. Поскольку 2B1) является коммутативной полугруп-
полугруппой идемпотентов, для нее, согласно II, 4.3, II, 4.4, опре-
определяется сопряженная с ней полуструктура 2. Эта полу-
полуструктура состоит из всех элементов полугруппы 2B1), т. е.
из всех подполугрупп полугруппы 2(. В ней 23 предшест-
предшествует 23' B3<23'), если
23О»' = 53 B3, ЗУ ? 2 (Я)).
что, очевидно, означает, что 23г>23'.
Как следует из II, 4.4; II, 4.5, для взаимно сопряженных
полугруппы 2B1) и полуструктуры 2 задание одной из них
полностью определяет другую. С этим связано одно обстоя-
обстоятельство, на которое мы уже обращали внимание (II, 4.6).
Именно, в 2B1), как и во всякой коммутативной полугруппе
идемпотентов, закон умножения полностью определен, если
указано, какие элементы для каких других элементов являются
единицами.
При изучении множества 2 B1) можно с равным основа-
основанием положить в основу определенное выше действие умно-
умножения или отношение включения.
Мы будем пользоваться и умножением и отношением
включения, но исходным будем считать умножение. Тем са-
самым 2B1) для нас в первую очередь будет коммутативной
полугруппой идемпотентов.
На соотношение 23с:23'B3, 23' ? 2B1)) мы будем смо-
смотреть, как на условие того, что 23 является единицей для 23'
в 2 (Я).
7.4. Полуструктура 2, сопряженная с подполугрупповой
характеристикой 2B1) полугруппы 51, вообще говорящие
является структурой, так как пересечение двух подполу-
подполугрупп §1 может быть пустым. Однако если причислить к под-
подполугруппам ЭД и пустое множество, то получившееся после
этого расширения множество 2'(ЭД) относительно отношения
включения, очевидно, будет структурой (и даже полной).

§ 71 подполугрупповая характеристика полугруппы 181
Конечно, там, где представляется удобным пользоваться ре-"
зультатами теории структур, так и целесообразно сделать.
7.6. В множестве Е'(ЭД) G.4) можно рассматривать также
и действие пересечения
»*»' = ЗЗП»' B3. »'€Е'Со-
»'€Е'Соотносительно этого действия S' (ЭД) будет коммутативной
полугруппой идемпотентов. Эта полугруппа, очевидно, со-
сопряжена с полуструктурой дуальной к рассмотренной выше
полуструктуре всех подполугрупп (с добавленным пустым
подмножеством). Разумеется, исследования, основанные на
рассмотрении полугруппы 2/021), вполне симметричны иссле-
исследованиям ? (Щ и приводят к тем же самым результатам.
7.6. При исследовании некоторых свойств тех или иных
полугрупп иногда оказывается возможным и целесообразным
свести изучение вопроса к исследованию некоторых свойств
коммутативных полугрупп идемпотентов, переходя от рас-
рассмотрения самих полугрупп к рассмотрению их подполу-
Групповых характеристик. Именно для данного свойства (,
которым некоторые полугруппы обладают, а некоторые
не обладают, отыскивается такое свойство I' коммутативных
полугрупп идемпотентов, что полугруппа %. обладает свой-
свойством I тогда и только тогда, когда ее подполугрупповая
характеристика ?(§!) обладает свойством V.
Изучение различных свойств полугрупп, очевидно, равно-
равносильно рассмотрению классов полугрупп, поскольку каждое
свойство характеризуется тем классом полугрупп, которые
этим свойством обладают, а каждому классу соответствует
свойство принадлежности полугруппы к данному классу.
В связи с этим идея сведения изучения свойств полугрупп
к изучению свойств их подполугрупповых характеристик
Ыожет быть оформлена при помощи нижеследующего по-
понятия.
Можно говорить, что некоторый класс полугрупп Г
определяется подполугрупповой характеристикой (подра-
(подразумевается: определяется с точностью до изоморфизмов),
если из изоморфизма полугрупп 1(%) и Ъ(Щ), где %? Г,
всегда следует, что 912 изоморфна какой-либо полугруппе,
принадлежащей классу Г. В частности, если Г состоит из
одной полугруппы Ш, то при выполнении описанного

182 УМНОЖЕНИЕ ПОДМНОЖЕСТВ (ГЛ. Ш
свойства говорят, что полугруппа ЭД определяется полу-
полугрупповой характеристикой.
Изоморфизм полугрупп Е(^х) и S(fB) (или, вернее, изо-
изоморфизм структур ?'($!) и S'($2), получаемых от присо-
присоединения в качестве элемента еще и пустого множества—7.4)
называется иногда структурным изоморфизмом полугрупп Шг
и ЭД2- Таким образом, вопрос о том, определяется ли неко-
некоторая полугруппа % подполугрупповой характеристикой,
можно формулировать как вопрос о том, всегда ли из на-
наличия структурного изоморфизма с ?(ЭД) вытекает наличие
изоморфизма с самой полугруппой %
Подполугрупповые характеристики принадлежат к классу
коммутативных полугрупп идемпотентов, который является
значительно более простым и обозримым. Поэтому сведение
изучения свойств самих полугрупп к изучению некоторых
свойств их подполугрупповых характеристик всегда может
быть рассматриваемо как принципиально важный шаг на пути
изучения общих полугрупп.
Следует также иметь в виду, что изучение подполугруп-
подполугрупповых характеристик может быть осуществлено с помощью
теории структур, что также открывает богатые перспективы
на пути соответствующих исследований.
7.7. Разумеется, далеко не всякий класс полугрупп и не
всякая отдельная полугруппа определяются при помощи под-
подполугрупповой характеристики. Рассмотрим в качестве при-
примера полугруппы, состоящие из двух элементов. Полу-
Полугруппа 2(Я) для всякой такой полугруппы %. состоит из
двух или из трех элементов, один из которых является ну-
нулем Ъ(Ж) (сама полугруппа Ж).
Существует лишь единственная коммутативная полугруппа,
состоящая из двух идемпотентов. В то же время имеются
две неизоморфные между собой полугруппы, состоящие каж-
каждая из двух элементов и имеющие подполугрупповую ха-
характеристику, состоящую из двух элементов. Это, во-первых,
циклическая группа, состоящая из двух элементов (т. е.
моногенная полугруппа типа A,2) и, во-вторых, моногенная
полугруппа типа B,1) — см. 3.7. Они неизоморфны, хотя их
подполугрупповые характеристики изоморфны между собой.
У полугруппы %={АЬ А2), состоящей из двух элемен-
элементов, полугруппа Е(Щ) состоит из трех элементов тогда
и только тогда, когда элементы Ау и Аг идемпотенты.

§ 7] ПОДПОЛУГРУППОВАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛУГРУППЫ 183
В этом случае Е(К) = {Я, Av A2}, где $ есть нуль ()
и AtO Л2 = {Лх, А2) =% Легко убедиться, что существуют
три неизоморфные между собой полугруппы, состоящие
каждая из двух идемпотентов f( = {Alt A2}. Они определяются
следующими законами действий:
2)AiAi = Ai (t,j= 1.2);
b)AiAi = Ai (t.j= 1.2).
Наконец, отметим, что и сам класс полугрупп, состоя-
состоящих из двух элементов, не определяется подполугрупповой
характеристикой, поскольку циклическая группа, состоящая
из р элементов, где р любое простое число, очевидно, имеет
подполугрупповую характеристику, состоящую из двух эле-
элементов, которая тем самым изоморфна подполугрупповой
характеристике некоторых полугрупп, состоящих из двух
элементов.
7.8. Лемма. В подполугрупповой характеристике S (ЭД)
полугруппы Ш элемент 23?Е(ЭД) тогда и только тогда
не имеет отличных от себя самого единиц, когда 33
состоит лишь из одного идемпотента полугруппы %..
Доказательство. Для 33, 23'?ЕB1) соотношение
V 33 С 23'= 123 U 334 = 23
у
|имеет место тогда и только тогда, когда ЗЗ'сЗЗ. Если 33
Состоит из одного элемента, то это, очевидно, невозможно
?ни при каком 33' ф 33. Пусть 33 содержит более одного
¦Элемента. Для Л"?33 рассмотрим [X]с.33. Если [X] беско-
бесконечная моногенная полугруппа, то [X2] Ф [X] и потому
Щ' = [ХЦ является единицей для 33, отличной от 33. Если [XI
^Конечна, то она содержит идемпотент /C.11) и тогда S3'= /
•Является единицей для 33, отличной от 23.
7.9. Укажем несколько классов полугрупп, определяемых
подполугрупповой характеристикой.
Теорема. Пусть для полугрупп 2tt и Щ2 их подполу-
групповые характеристики %(%) и ?0Й2) изоморфны
между собой.
Если Щ есть единичная полугруппа, то и Ш2 есть
единичная полугруппа.
Если 2tt конечна, то и % конечна.

184 УМНОЖЕНИЕ ПОДМНОЖЕСТВ [ГЛ. Ш
Если $t бесконечна, то а ЭД2 бесконечна.
Если Жх есть бесконечная моногенная полугруппа, то
и %2 есть бесконечная моногенная полугруппа.
Если Жг периодическая полугруппа D.1), то и %2 есть
периодическая полугруппа.
Если все элементы Щ бесконечного типа, то и все
элементы % бесконечного типа C.7).
Если в Шг имеются и элементы конечного типа
и элементы бесконечного типа, то и в Ш2 имеются эле-
элементы конечного и бесконечного типов.
Доказательство. Пусть ср есть изоморфизм ?(ftj
на Е (%).
Если % есть единичная полугруппа, то единичность Ш2
непосредственно следует из 7.8.
Предположим, что в Жх имеется элемент X конечного
типа. Тогда %х обладает идемпотентом / C.11). Согласно 7.8,
отсюда следует, что в Е^) / является элементом, не имею-
имеющим отличной от себя единицы. Но тогда и в ?(ЭД2) ?(/)
будет обладать тем же свойством и потому в ^ ср(/)
является полугруппой, состоящей из одного идемпотента
G.8), тип которого конечен.
Предположим, что в %г имеется элемент Y бесконечного
типа. В ЕС^) [Y] является таким элементом, всякая единица
которого имеет отличную от себя свою единицу. Отсюда
следует, что ср [К] в 2(ЭД2) обладает тем же свойством. Но
это означает, что в подполугруппе ср [Y] полугруппы ЭД2 нет
идемпотентов, поэтому для всякого Y' ? ср [К] (К' ?ЭД2) полу-
полугруппа \Y'\ бесконечна.
Аналогично из существования в §12 элементов конечного
типа следует существование таких элементов в %х и из су-
существования в ЭД2 элементов бесконечного типа следует
существование таких элементов в ЭДХ.
Из доказанного непосредственно вытекает справедливость
трех последних утверждений теоремы.
Пусть % конечна. Тогда % периодична, а потому и %
периодична. 2(9^), а потому и ?B^) конечны. Таким обра-
образом, 312 имеет лишь конечное число различных моногенных
подполугрупп, каждая из которых обладает лишь конечным
числом элементов. Так как каждый элемент %г содержится
в одной из этих моногенных подполугрупп, то $М2 имеет
лчшь конечное число элементов.

§ 7] ПОДПОЛУГРУППОВАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛУГРУППЫ 185
Если $! бесконечна, то %2 не может быть конечной, ибо
из конечности ЭД2, используя изоморфизм ср-1, мы благодаря
доказанному выше заключили бы о конечности Шх.
Пусть §It есть бесконечная моногенная полугруппа: Щ1=[Л1].
Ее подполугруппа 23i = {-<4i, А\, А\, . . .} содержит все под-
подполугруппы $!, отличные от самой %v Следовательно,
©! является нулем для всех элементов %($.{), отличных от %v
Отсюда следует, что 232 = ср^)? S(fB) также является нулем
для всех элементов из Ё(ЭД2), отличных от %^. Так как 23t Ф Щх,
то 232 ф Щ- Возьмем некоторый элемент А2 из ЭД2\332. Так
как [Л2] с 332, то 332 не является нулем для [Л2]. Поэтому
[А2] — Ш2- При этом моногенная полугруппа Ш2 = [Л2] не
может быть конечной, ибо % бесконечна, a ?Bli) и ЕB12)
изоморфны.
7.10. Пусть для полугрупп Щ и Щ2 дан изоморфизм ср
?($!) на S(K2). Отметим несколько свойств этого изомор-
изоморфизма.
(а). Для всякой ©! ^ S Btt) существует изоморфизм
350 на Е[Т(ВО].
Действительно, 2C3!) состоит из всех подполугрупп
полугруппы ЩР которые в S^t) являются единицами для 33^
a S [ср C3Х)] из всех подполугрупп 2B, которые в S (ЭД2) являются
единицами для ср^). Изоморфизм ср осуществляет взаимно
однозначное отображение 2C3!) на S [ср (©i)]. Это отображе-
отображение, очевидно, является изоморфизмом.
(Р). Если I есть идемпотент полугруппы Жи то ср(/)
есть идемпотент полугруппы ЭД2.
Действительно, согласно (а), Е[ср(/)] изоморфна ?(/) и
потому благодаря 7.9 ср(/) есть единичная полугруппа.
(f) Если тип элемента А± ^ ^ бесконечен, то в К2
существует единственный элемент бесконечного типа А2,
такой, что ср[Л1] = [Л2].
Действительно, согласно (а), Е^] и 2(ср[Лх]) изоморфны.
Отсюда благодаря 7.9 следует, что [АД и cp[^J изоморфны,
т. е. ср [Лх] есть бесконечная моногенная полугруппа [Л2].
Из строения бесконечной моногенной полугруппы непосредст-
непосредственно следует, что \АЛ = \А'Л имеет место лишь при А2 = А'2.
(8). Если для 23i( 33i°°, 33f, ... 6S№) имеет место
%г = Ща\Ъ?\...], ср(аэAе>) = а3^> (/ = 1.2; 5 = 0. р....).
то C3) 33

186 УМНОЖЕНИЕ ПОДМНОЖЕСТВ [ГЛ. III
Действительно, рассмотрим подполугруппы 33'?2ЛЮ и
Так как в SEd) каждая 33i5) является единицей для 33i, то
в E(9I2) %V является единицей для Sg и потому
»;=»,•
Так как в 2(ЭД2) каждая SB® является единицей для Я32> т0
в ?(9Ji) ©iE) является единицей для ©i и потому
Из того, что Sx является единицей 33^, следует, что $&'2
является единицей для 232:
232с:232.
Совместно с полученным ранее включением это означает,
что 332 = ©а и потому ср (SBj) = 932.
(в). Для элементов бесконечного типа Х<?\ Xf\ ...
.... ? % существуют такие Х%\ xf\ ... ? %, что
Это непосредственно следует из (f) и (8), поскольку
- ...]¦
(С). Если /кия элемента At ^ ^ бесконечен и ср [Л^ = [Л2],
то при любом натуральном п
Согласно (f). для всякого элемента Х1^Ш1, имеющего
бесконечный тип, и для всякого натурального числа п. най-
найдутся такие элементы Х2, К2?!B, что
Так как Щэ[4 то и [X2)^[Y2[, т. е. K2 = Xf.
Предположим, что существуют такие элементы бесконеч-
бесконечного типа Xt и натуральные числа п, что тф п. и будем

§ 7] ПОДПОЛУГРУППОВАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛУГРУППЫ 187
: считать, что п наименьшее из всех таких чисел (относительно
1 всевозможных элементов бесконечного типа полугруппы Щ^.
к Так как [Л"^1(/=1, 2, ...) есть всевозможные единицы
1 элемента [ХД в 2 (Щг), являющиеся в 9^ бесконечными моно-
I генными полугруппами и ср [Xt] == [Х2], то ср ввиду 7.9 осуще-
| ствляет взаимно однозначное отображение множества {[XJ,
[ХЦ [ХЦ ...} на {[Хг]. [хЦ [хЦ ...}, причем ?[*?] =
= [Xl] для s=l, 2 л—1 и ?[*?] = [*?]. т>я.
Обозначим
?)W) J+1 Л+> } = 1,2,3,...; /=1,2).
¦^Благодаря сказанному выше ввиду (s) имеем:
E=1,2 Я),
4
Предположим « = 2. Равенство
S8|2) = [Xf] О [XI] = [XI XI] (i = 1, 2),
^Очевидно, соблюдается лишь тогда, когда р я q есть числа
^ и 3.
I Так как ср [xl] Ф [хЦ то
Но [^?] О [^i] = [^?. At. Ai. Х\, ...] содержит все еди-
\ы 33i2), являющиеся в Щ.г моногенными полугруппами, кроме
ной: [Х\], тогда как [xl] О [Xl2] = [Xs2, X%\ не содержит
i] и [xt] при любом / > 4 и не содержит [л1] и [Л"а]
и 1 = 4. Следовательно, п не может равняться двум.
Предположим, что п четно и больше двух. Так как
?][лТ] и <р[А"!] = [*Я. то [хЦэИ, т. е. т четно.
Аля элементов Yt = Xl и Y2 = X\ мы получаем
; что противоречит минимальности числа п среди чисел с со-
'-. ответствующим свойством.

188 УМНОЖЕНИЕ ПОДМНОЖЕСТВ [ГЛ. III
Осталось предположить, что я нечетно.
Так как [Х?\ с 33?+\ то [Xf\ с »J. Отсюда следует
т < 2я, т. е. 0<т — я < я. В S($2) мы имеем
Поэтому в S (Мх)
[*ГП] О
Но
возможно лишь тогда, когда X" = (Х?~п)к. Это означает,
что /и — я есть делитель я. Поэтому m — я нечетно. Учи-
Учитывая, что и я нечетно, /и должно быть четным. Но тогда,
учитывая минимальность п и то, что я > 2, получаем проти-
противоречие:
xj)
7.11. Как следует из 7.7, класс всех групп не относится
к тем классам полугрупп, которые определяются подполу-
подполугрупповой характеристикой. В связи с этим естественно воз-
возникает вопрос о том, каковы группы, у которых подполу-
групповая характеристика изоморфна с подполугрупповой
характеристикой какой-либо полугруппы, не являющейся
группой. Аналогичный вопрос состоит в том, каковы не
являющиеся группами полугруппы, у которых подполугруп-
повая характеристика изоморфна с подполугрупповой харак-
характеристикой какой-либо группы. Оба эти вопроса были по-
подробно разобраны Р. В. Петропавловской [4], [5], [6]. Ею были
описаны строения групп, обладающих указанным свойством.
Наравне с этим ею были выявлены некоторые классы групп,
определяемые подполугрупповой характеристикой. Разберем
один такой случай. Если все неединичные элементы группы
имеют бесконечный тип, то группа называется группой без
кручения. Выделение класса групп без кручения играет важ-
важную роль в теории групп. Мы покажем, что этот класс
определяется подполугрупповой характеристикой.

§ 7] ПОДПОЛУГРУППОВАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛУГРУППЫ 189
7.12. Сперва покажем, что бесконечная циклическая группа
определяется подполугрупповой характеристикой.
Теорема. Если % есть бесконечная циклическая группа
и полугруппа ЭД2 такова, что S C3tt) и ?(Ш2) изоморфны,
то и %2 является бесконечной циклической группой.
Доказательство. $1 = [Au А^1, Ег], где Ct есть еди-
единица $!• Согласно 7.10, 312 имеет единственный идемпотент Е2
и у (EJ = Е2. Ш1 обладает разбиением на три подполугруппы:
Три компоненты этого разбиения в ? (Kt) являются эле-
элементами, не имеющими попарно общих единиц, при этом
всякая бесконечная моногенная подполугруппа f^ является
в !•(%) единицей или для [Л]], или для [-4JT1]. Отсюда бла-
благодаря 7.10, (f) следует, что и ЭД2 обладает разбиением:
где [Ла] и ГЛП бесконечны.
Так как [AJ Q [ЛГ^эЯь то' [Л] О[^а]зБ2- Отсюда
следует, что Л^М^Л^Л^3 . . . A*i = Ev a,> 1 (случай, когда
Al' есть пустой символ, вполне аналогичен). Предполагая, что
это самое короткое из разложений Е2 такого вида, мы можем
считать, что А2Х=Е2, где X Ф Е2. Так как [А1]^Е1, то
3 Е2 и потому Л"^ ГЛ21. Следовательно, Х= А'*. Если бы
Ф ?*• то мы имели бы Л„Л' = Л^ или Л„Л' = Л'9 и из
? = Е2 получили бы Л™ = ?2 или А'т— Е%. Но и то и
другое невозможно. Следовательно, А„А' = Е9.
Так как
то
Элемент AJi% не может принадлежать \А'Л, так как иначе
из AaE2~A'zm, умножая на А'г мы получили бы Е2 = А?п+1.
Следовательно, или А2Е2 = Е2, или Ла?а == Ла- Предположим

190 УМНОЖЕНИЕ ПОДМНОЖЕСТВ [ГЛ. III
АгЕ2 = Е2. Тогда ЕгАг • ?2Л2 = Е2Л2, т. е. Е2А2 = Е2. Из
А2Е2 = Е2 и Е2А2 = Е2, умножая эти равенства на а'%, полу-
получаем А'%Е% = Е%, Е%А'% = Е%. Отсюда следует, что [Л*1 О \А'2\ =
= [Л|, Л?| состоит из элементов вида А\*, А'*, Е% (ft = 1, 2, ...)
и потому не содержит Л2, что противоречит тому, что
L^i] О L-^ij^Hi]. Следовательно, А2Е2 не может равняться Е2.
Из ЛаЕ2 — Лг получаем
Так как [Л2] бесконечна, то это возможно лишь при г= 1.
Аналогично тому, как мы доказали А2Е2 = А2, убеждаемся,
что ЕЯАЛ = А2, A'2Ez = A'r E%A'2 = A!%. Эти соотношения сов-
совместно с доказанными ранее А2А'^ = Е2, А'^А^ — Е^ и озна-
означают, что бесконечная полугруппа Ка = ГЛ2, А'2, ЕЛ является
бесконечной циклической группой.
7.13. Теорема. Если Щ.г есть группа без крученая
G.11) и Щ такая полугруппа, что S^) a E(fB) изо-
изоморфны, то и Щ -является группой без крученая.
Доказательство. Так как %t имеет единственный
идемпотент E«lt то, согласно 7.10, и Ш2 обладает единствен-
единственным идемпотентом Е2. За исключением EKi всякая подполу-
подполугруппа fft бесконечна. Следовательно, благодаря 7.9 и 7.10, (а)
и всякая отличная от Е2 подполугруппа % бесконечна.
Пусть ср есть изоморфизм Е^) на S($2); Л2 произволь-
произвольный элемент^, отличный от Ег. Согласно 7.10, (у), для [Л2]
найдется такой А1?Ш1, что <р[Л1] = [Л2]. В S^) существует
бесконечная циклическая группа ЗЗ^ такая, что ^гэГЛ^.
Благодаря 7.10, (а) и 7.12 cp(S5j) есть бесконечная цикличе-
циклическая группа, причём <рA81)э[Л2]. Следовательно, произволь-
произвольный отличный от Е2 элемент Л2 полугруппы Шг имеет Е2 своей
единицей, относительно которой Л2 обладает обратным эле-
элементом. Отсюда и следует, что % есть группа, причем благо-
благодаря сказанному выше группа без кручения.
7.14. Дальнейшее продвижение в намеченном направле-
направлении было осуществлена в теории коммутативных полугрупп.
Р. В. Петропавловская [3] показала, что всякая непериоди-
непериодическая коммутативная группа определяется подполугрупповой
характеристикой.

§ 7] ПОДПОЛУГРУППОВАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛУГРУППЫ 191
7.16. Помимо рассмотрения полугруппы S(K) всех под-
полугрупп данной полугруппы, аналогичные задачи об опре-
делимости самой Щ могут быть поставлены для некоторых
других полугрупп подполугрупп. Так, например, при рас-
:мотрении групп естественно рассматривать для группы
множество ее подгрупп 2* B1). Оно является подполугруп-
подполугруппой полугруппы 2 (Щ. В направлении, намеченном в настоящем
'параграфе, вопрос о том, для каких групп из изоморфизма
SO^i) и t*(%) всегда следует изоморфизм % и %2, исто-
1 рически и был первым. Существенные результаты в этой
области впервые были получены Бэром ' и А. Е. Садовским2.
В последующем это направление получило дальнейшее раз-
витие3. Интересно отметить, что основной результат Бэра
/впоследствии был выведен Р. В. Петропавловской [3J из
'г результатов, относящихся к рассмотрению полугруппы всех
': подполугрупп группы.
7.16. При получении упомянутого результата известную
.роль играет следующее обстоятельство.
Теорема. Пусть для групп ©х и ®2 ах подполугруп-
* новые характеристика 2(®i) и ?(®а) изоморфны. Тогда
Ьзоморфны и полугруппы подгрупп S*(©i) а ?*(©2).
; Доказательство. Пусть ср есть изоморфизм S
| 2®
Предположим, что Э32 ? Е* (®2). Возьмем в 33t произволь-
элемент Хг. Если тип Хх конечен, то в [Х±] содержится
Цемент, обратный к Xv Следовательно, A7*? Si- Если тип Xt
бесконечен, то, согласно 7.9 и 7.10, (a) <f[Xt] является бес-
The significance of the system of sub groups for the structure
groups. Araer. J. of Meth., 61 A939), 1—44.
» О структурных изоморфизмах свободных групп. ДАН СССР,
A941), 171-174.
Структурные изоморфизмы свободных групп и свободных про-
проведений, Матем. сб. (нов. сер.), 14 A944), 155—173.
О структурных изоморфизмах произведений групп, Матем. сб.
,(нов. сер.), 21 A947), 63—82.
| ¦ См., например, М. Suzuki. Structure of a group and the
1 structure of its lattice of subgroups, Springer, Berlin — Oottingen —
#Heidelberg, 1956, 1—96.
Б. И. Плоткин. Обобщенные разрешимые и обобщенные
|Иильпотентные группы, УМН, 13 A958), в. 4, 89—172.

192 УМНОЖЕНИЕ ПОДМНОЖЕСТВ [ГЛ. Ill
конечной моногенной полугруппой: ср [Х1]=[Х'а]. Так как [XJ с:
с9дх, то [X2]cz?Ei2. Но 332 есть группа, поэтому [Х%, Х^1]^^-
Но тогда для некоторой ф ? S (®х) имеем
Согласно 7.9 и G.10), (а), § должна быть бесконечной
циклической группой. Следовательно, ЛГГХ? §c33i. Так как Si
вместе с каждым элементом Х1 содержит и обратный ему
элемент XT1, то 23i?S*(®i)-
Совершенно аналогично показываем, что из 5^ ? S* (©j)
вытекает ЗЗа ^ S* (®2).
Мы убедились, что изоморфизм ср полугруппы ?(©i)
на 2(©2) осуществляет взаимно однозначное отображение
E*(©t) на ?*(®2), которое тем самым является изоморфизмом
2*(®х) на S*(®2).
7.17. Полученный результат означает, что для групп
всякий изоморфизм S (©х) на Б (®2) может быть получен
как продолжение некоторого изоморфизма ?*(©!> на Е*(®2).
Как было показано Р. В. Петропавловской [3], обратное
утверждение вообще говоря, не верно. Для некоторых
групп ®! и ®2 существуют изоморфизмы ?*(©!) на 2*(®2),
которые не могут быть продолжены до изоморфизмов S(©t)
на Е (©2). Более того, существуют такие группы ©t и ®2
(причем даже коммутативные), у которых ?*(®t) и ?*(®а)
изоморфны, тогда как Е(®х) и Е(©2) неизоморфны.
Таким образом, требование изоморфизма ?(©!) и Е(®2)
для групп ©! и ©2 является более сильным по сравнению
с требованием об изоморфизме E*(®J на ?*(®2).

ГЛАВА IV
ИДЕАЛЫ
§ 1. Понятие и простейшие свойства идеалов
1.1. Мы имели возможность убедиться в особой роли
подполугрупп, т. е. таких подмножеств полугруппы, пере-
перемножение элементов которых не выводит за пределы под-
подмножества. Естественным усилением этого условия является
требование, чтобы умножение элементов подмножества на
любые элементы полугруппы не выводило за пределы под-
подмножества. Подмножества полугрупп с такими свойствами
играют важную роль в теории полугрупп.
Определение. Непустое подмножество % полугруппы %
называется левым идеалом Ш, если
ЯЖсЖ.
% называется правым идеалом, если
2 называется двусторонним идеалом, если,
оно является одновременно и левым и правым идеалом,
т. е. непустое и таково, что
Ж называется идеалом, если оно является левым
или правым идеалом %.
В коммутативных полугруппах понятия идеала, левого
идеала, правого идеала и двустороннего идеала, очевидно,
совпадают.
Так как
то идеал всегда является подполугруппой.
13 3»к. «55. Е. С. Ляпин

ИДЕАЛЫ (ГЛ. IV
Следует иметь в виду, что нередко идеалами называют
лишь двусторонние идеалы. О левых и правых идеалах
иногда говорят, как об односторонних идеалах.
Термин »идеал" появился впервые в теории алгебраиче-
алгебраических чисел, где его употребление имело известные причины.
В дальнейшем он перешел и в другие отрасли алгебры, где
укоренился настолько, что менять его, несмотря на всю его
несообразность, уже не представляется возможным.
Свойства левых, правых и в особенности двусторонних
идеалов полугруппы, интересные сами по себе, тесно связаны
с различными другими ее свойствами. Например, сразу видна
их роль для делимости. Во многих случаях строение полу-
полугруппы в той или иной мере определяется, в зависимости
от наличия и взаимной связи ее идеалов. Значительная часть
работ, посвященных исследованию полугрупп, в той или иной
степени использует понятие и свойства идеалов. И настоя-
настоящая глава и последующая полностью будут посвящены рас-
рассмотрению различных свойств идеалов. Так же и в дальней-
дальнейшем изложении мы не раз будем иметь дело с идеалами.
1.2. В мультипликативной полугруппе натуральных чисел
множество всех четных чисел является идеалом.
В полугруппе всех вещественных функций, определенных
на всей вещественной оси, рассматриваемых относительно
действия суперпозиции, множество всех постоянных является
двусторонним идеалом. Множество всех периодических функ-
функций является левым идеалом. Множество всех функций, от-
отличных от нуля при всех значениях независимого перемен-
переменного, есть правый идеал.
В мультипликативной полугруппе Т1п всех комплексных
квадратных матриц порядка я, множество матриц, у которых
равны нулю все элементы данного фиксированного столбца,
очевидно, является левым идеалом. Однако правым идеалом
при п > 1 оно не является. Множество матриц, у которых
равны нулю все элементы данной фиксированной строки,
является правым идеалом, но не левым идеалом при я>1.
Множество всех особенных матриц есть двусторонний идеал.
В произвольной полугруппе Ш для любого непустого
подмножества 91 с% произведение WI, очевидно, является
левым идеалом, произведение ЭШ—правым идеалом и
ЭД9Ш—двусторонним идеалом. Множество всех разложимых
элементов, т. е. §Ш, очевидно, есть двусторонний идеал 31.

§ 1 ] ПОНЯТИЕ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ИДЕАЛОВ 195
Если элемент X неразложим, то множество Ш\Х является
двусторонним идеалом Ж.
1.3. В конечной моногенной полугруппе 1Ц — [Х], имею-
имеющей тип (A, d) (III. 3.7), множество
при всяком А=1, 2 А, как легко видеть, образует
идеал Ш. Других идеалов в % нет. Действительно, пусть
Хк есть наименьшая степень X, принадлежащая некоторому
идеалу % полугруппы ЭД. Тогда в % содержатся и
Число k не может быть больше А, так как из
(О < т < d) вытекает
Из этого, между прочим, следует, что первая компонента
пары (A, d) может быть определена как число идеалов
в полугруппе Ш.
Если 31 = [Х\ есть бесконечная моногенная полугруппа,
то всеми ее идеалами, как легко видеть, являются множества
вида
{Хк, Хк+К Хк+К ...} (А=1. 2, 3, ...)
1.4. Известна важная роль идеалов в теории колец и
алгебр.
Очевидно, всякий левый, правый или двусторонний идеал
кольца будет соответственно левым, правым или двусторон-
двусторонним идеалом мультипликативной полугруппы этого кольца.
Обратное заключение, вообще говоря, несправедливо. При-
Примером этого может служить уже кольцо всех целых чисел.
Его подмножество, состоящее из нуля и всех целых чисел, по
абсолютной величине превосходящих некоторое произвольное
фиксированное натуральное число, очевидно, будет дву-
двусторонним идеалом мультипликативной полугруппы всех
целых чисел, но не будет идеалом самого кольца.
Для колец с единицей легко выяснить, в каких случаях
все идеалы мультипликативной полугруппы кольца оказы-
оказываются идеалами самого кольца. (Ауберт [1] формулировал
этот результат для коммутативного случая).
Теорема. Для того чтобы в кольце с единицей вся-
всякий левый идеал мультипликативной полугруппы кольца
являлся левым идеалом самого кольца, необходимо и
13*

196 ИДЕАЛЫ [ГЛ. IV
достаточно, чтобы для любых г двух элементов один
из них являлся правым делителем другого.
Доказательство. 1) Пусть всякий левый идеал
мультипликативной полугруппы кольца Ш является левым
идеалом самого кольца. Для любых X, Y?Ш множество
ШХ[]%У, очевидно, является левым идеалом полугруппы.
Так как оно должно являться и левым идеалом кольца, то
в нем должен содержаться элемент Х-{~ Y. Пусть (Х-\- К) ? ШХ.
Тогда при некотором Z?$ мы имеем
2) Пусть из двух любых элементов ЭД один всегда является
правым делителем другого. 2 есть произвольный левый идеал
мультипликативной полугруппы кольца 91. Пусть X, К ?2
и А?ЭД. Мы имеем АХ??. Если к тому же Y = ZX, то
X — Y = ЕцХ — ZX = (?я — Z) X ? 2,
(К—Х) = (-Е®)(Х— К) ?2
и, следовательно, 2 является левым идеалом кольца.
1.5. Хотя даже для мультипликативных полугрупп колец
теория идеалов колец и теория идеалов полугрупп не совпа-
совпадают, тем не менее между теорией идеалов колец и теорией
идеалов полугрупп существует определенная связь. Поскольку
содержание целого ряда свойств колец связано лишь с дей-
действием умножения, естественно стоит вопрос о том, чтобы
перенести эти свойства непосредственно или в обобщенном
смысле в теорию полугрупп. Среди таких свойств важное
место занимают свойства различных разложений, носящие
арифметический характер, которые существенно связаны
с идеалами. Примером исследований, имеющих указанную
тенденцию, являются работы И. В. Арнольда [1], Асано и
Мурата [1], Ауберта [1], Вивера [2], Дюбрейль-Жакотэн [2],
Кавадо и Конто [1], Клиффорда [2], Лесье [3], Мак-Кензи [1],
Л. М. Рыбакова [1], Сколема [2], [3], [5].
1.6. Укажем несколько простейших свойств идеалов.
: Пусть Ш. есть произвольная полугруппа.
' (а). Ш сама является своим двусторонним идеалом.
(р). Если Ш имеет нуль О®, то Оя является двусто-
двусторонним идеалом Ш..

§ 1] ПОНЯТИЕ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ИДЕАЛОВ 197
(f). Объединение любого множества левых идеалов
само является левым идеалом.
Действительно, если 2\ 0-?Г) являются левыми идеа-
идеалами Щ, то
(8). Пересечение любого множества левых идеалов,
если оно не пусто, само является левым идеалом.
Действительно, используя обозначения (f) при любом
получаем
2Ь(П2
Следовательно,
(s). Если 23 есть подполугруппа %, % левый идеал Щ.
и пересечение 33 и X непусто, то 23 П Ж является левым
идеалом 58.
Действительно, так как 23 П 2 с: %, то
аз • (аз п 1) <= азг с г,
а так как 23 П % <= 33, то
зз • (зз п %) с= аз • аз <= зз.
Следовательно,
аз • (аз п %) <=¦ аз п г.
(С). Ясли элемент X содержится в некотором левом
идеале X полугруппы 21, о элемент Y не содержится в X,
то Y не делится справа на X.
Действительно, если бы К делилось справа на X, т. е,
; Y = ZX,
то
(•»l) Если % есть полугруппа без неразложимых эле-
элементов (т. е. %%, = %), Щ есть такая надполугруппа X,
что X есть левый идеал 21, a W такая надполугруппа ЭД,

198 ИДЕАЛЫ [ГЛ. IV
что ЭД есть левый идеал W, то Д; является левым идеа-
идеалом полугруппы W.
Действительно,
W% = WZZ с W&Z с Ш с %.
1.7. В связи со свойством 1.6, (•»]) следует отметить,
что в общем случае отношение „быть левым идеалом" не-
транзитивно. Если % есть левый идеал полугруппы Ш, а Ж есть
левый идеал полугруппы W, то % не обязан быть левым
идеалом W. То же относится и к правым и к двусторонним
идеалам.
В качестве примера рассмотрим полугруппу, состоящую
из четырех элементов
Я' = М. В, С, О},
в которой произведение любых двух элементов равно О, за
исключением одного произведения АВ = С.
Ассоциативность действия проверяется без труда, по-
поскольку для любых трех элементов X, Y, Z из W, очевидно,
(XY)Z = O, X(YZ) = O.
§i = {B, С, О}, очевидно, есть двусторонний идеал W. Его
подмножество X = {В, О] есть двусторонний идеал Ш. Вместе
с тем % не является даже левым идеалом W, так как
= С.
1.8. Полугруппы обычно весьма богаты идеалами. При
этом чем дальше в некотором смысле полугруппа по своему
строению от группы, тем больше у нее идеалов. Группы
представляют собою крайний случай в этом отношении.
Полугруппа является группой тогда и только тогда,
когда она не имеет собственных идеалов.
Действительно, если 21 есть группа, то всякий ее элемент
делится и слева и справа на любой элемент Ж. Поэтому,
согласно 1.6, (С), никакой элемент Ш не может содержаться
в каком-либо собственном левом или правом идеале.
Если в % нет собственных идеалов, то при любом

§ 1] ПОНЯТИЕ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ИДЕАЛОВ
(так как %А и АЩ. являются соответственно левым и правым
идеалом %). Согласно III, 1.2, отсюда следует, что Ш есть группа.
1.9. Укажем несколько простейших свойств двусторонних
идеалов. При этом, имея в виду особо важную роль дву-
двусторонних идеалов, приведем в том числе и некоторые
такие свойства, справедливость которых непосредственно
вытекает из свойств левых и правых идеалов, рассмотрен-
рассмотренных в 1.6.
Пусть ЭД есть произвольная полугруппа.
. (а). Объединение любого множества двусторонних
идеалов полугруппы Ш само является двусторонним
идеалом SH.
ф). Произведение двух двусторонних идеалов %
является двусторонним идеалом Ш.
(•j). Пересечение любого множества двусторонних
идеалов % если оно непусто, является двусторонним
идеалом %.
(8). Пересечение двух двусторонних идеалов %. является
двусторонним идеалом 91.
Действительно, если 2^ и ?2 двусторонние идеалы Ж,
то их пересечение непусто, так как, очевидно, содержит их
произведение З^-дЕз- Но тогда, согласно (if), это пересече-
пересечение является двусторонним идеалом Ш.
(е). Подмножество % состоящее из одного элемента X,
Является двусторонним идеалом Ш тогда и только
тогда, когда X есть нуль полугруппы Ш.
(С). Если Ш обладает нулем Оя, то Оя содержится
во всяком двустороннем идеале Ш.
(•/)). Если 33 есть подполугруппа 9t и %, двусторонний
идеал Ш, то пересечение 23 П %¦> если оно непусто, является
двусторонним идеалом полугруппы 33.
(9). Если % есть двусторонний идеал %, то множе-
множество U, состоящее из всех элементов ?/?9t таких, что
ип с г,
является двусторонним идеалом %.
Действительно, множество U непусто, так как, очевидно,
UbJ. Далее, при любых ?/?U и А?% мы имеем
т. е. AU, UА ? U.

200 ИДЕАЛЫ (ГЛ. IV
1.10. Из 1.9 следует, что в множестве всех двусторон-
двусторонних идеалов Г полугруппы 31 можно несколькими естествен-
естественными способами ввести действия, относительно каждого
из которых оно будет полугруппой.
Из 1.9, (а) следует, что Г относительно действия объеди-
объединения множеств является коммутативной полугруппой.
Из 1.9, ф) следует, что Г относительно действия умно-
умножения подмножеств полугруппы является полугруппой.
Из 1.9, (8) следует, что Г относительно действия
пересечения множеств является коммутативной полугруп-
полугруппой.
1.11. Свойства указанных в 1.10 полугрупп всех дву-
двусторонних идеалов полугруппы % связаны со свойствами
самой 31.
Не останавливаясь подробнее на этой связи, рассмотрим
в качестве иллюстрации вопрос о единицах и нулях этих
полугрупп.
(а). Рассмотрим Г относительно действия объединения
множеств.
Сама 91, являющаяся элементом Г, очевидно, будет нулем
полугруппы Г.
Двусторонний идеал 9i будет единицей Г, если при
объединении его с" любым двусторонним идеалом X мы по-
получим опять %.
Но это имеет место лишь в том случае, когда 91 с X.
Таким образом, единицей Г является такой двусторонний
идеал 91, который содержится во всяком двустороннем
идеале ЭД. Отсюда следует, что полугруппа Г обладает еди-
единицей тогда и только тогда, когда пересечение множества
всех двусторонних идеалов ЭД непусто.
(Р). Рассмотрим Г относительно действия умножения под-
подмножеств полугруппы Щ.
Нулем полугруппы Г будет такой двусторонний идеал 91,
что 90% = %91 = 91 для любого двустороннего идеала X. Но
91% с: X, следовательно, 91 должен содержаться во всех
двусторонних идеалах полугруппы Ж.
Если такой двусторонний идеал 91 существует, т. е.
пересечение множества всех двусторонних идеалов % непусто,
то он обязательно будет нулем полугруппы Г. Действи-
Действительно, для такого 91 при любом двустороннем идеале X
полугруппы % произведения 91% и %91 являются двусторон-

§ 1] ПОНЯТИЕ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ИДЕАЛОВ 201
ними идеалами %, принадлежащими 91. Следовательно,
Если двусторонний идеал ffft есть единица полугруппы Г,
то, в частности, должно выполняться ШИ = §1. Но 9Ш с: WI
и потому Wl = %
Таким образом, в Г единицей может являться лишь сама
полугруппа Ш. Если Ш есть полугруппа с единицей, то
'$ обязательно является единицей полугруппы Г. Действи-
Действительно, для любого % ? Г
т. е. 5Ш = ?. Аналогично Ш = %.
Если 31 единицей не обладает, то в некоторых случаях
ft может не являться единицей полугруппы Г и, следова-
следовательно, Г в этом случае вовсе не будет иметь единицы.
Примером этого служит мультипликативная полугруппа всех
четных натуральных чисел, для которой НИ • Ш ф Ш и, следо-
следовательно, Ш не является единицей Р.
(•j). Рассмотрим Г относительно действия пересечения
подмножеств.
Подобно предыдущему случаю Г будет обладать нулем
"тогда и только тогда, когда непусто пересечение множества
всех двусторонних идеалов полугруппы Ш. Это пересечение
и является нулем Г.
Единицей Г, как легко видеть, будет всегда сама полу-
полугруппа Ш.
1.12. Если Г' есть совокупность всех двусторонних
идеалов некоторого кольца Ж, то в Г' рассматривается
Следующее действие (обычно называемое умножением идеа-
идеалов). Если &!, ?2 ? Г', то %3 = &1 О 2^2 есть совокупность
всех элементов из Ш, представимых в виде
2 СИ JJ/ji ' —" 1> ^ "/•
Нетрудно убедиться, что относительно этого действия Г'
является полугруппой. Рассмотрение этой полугруппы идеа-
идеалов играет важную роль в теории колец1.
1- См,„ напр.имеЕ, Н. Дже.кобсон. Теория колец, ИЛ,. 1947.,

202 ИДЕАЛЫ [ГЛ. IV
1.13. Многие свойства полугрупп могут быть охаракте-
охарактеризованы при помощи тех или иных свойств системы идеалов
полугруппы. Как показал Исеки [11], важное свойство регу-
регулярности полугруппы (II, 6.1) может быть охарактеризовано
таким образом. Здесь имеет место известное сходство с по-
положением дел в теории колец1.
Теорема. Для того чтобы полугруппа 31 была регу-
регулярной, необходимо и достаточно, чтобы для всякого
ее левого идеала 2 и всякого ее правого идеала 5R имело
место
Ю2 = 9*П2.
Доказательство. 1) Так как SR2c9t и 9t2<=2, то
*2
Пусть 31 регулярна. Возьмем в 91 Л 2 произвольный эле-
элемент А. Для него найдется Х?Ш, такой, что А = АХА.
Но благодаря А ? 2 имеет место ХА ? 2.
Поэтому
Следовательно, ЗЩ2с9?2 и потому 9*Л2 = 9?2-
2) Пусть в $ имеет место указанное свойство идеалов.
Для А ? 31 берем правый идеал 94 — /Ш U ЭД. Согласно пред-
предположению,
Следовательно, А ? А%.
Аналогично доказывается, что Ас%.А.
Но Л31 есть правый идеал 31, а ЗЫ левый идеал 31.
Поэтому
откуда следует, что при некотором -Y?3l имеет место
1.14. Следствие. Для того чтобы коммутативная
полугруппа $ была регулярной, необходимо и достаточно,
чтобы для всякого ее идеала % имело место
1 Ковач (L. Ко vacs). A note on regular rings, Publ. Math,
Debrecen, 4 A956), 465—468,

§ 2] О ЦЕПЯХ ПОДМНОЖЕСТВ ПРОИЗВОЛЬНОГО МНОЖЕСТВА 203
Доказательство. 1) Если 31 регулярна, то, со-
согласно 1.13,
2) Пусть в 31 выполнено указанное свойство идеалов.
Для произвольных ее идеалов %х и ?2 их пересечение %г Г) %%
само является идеалом. Поэтому
¦ ?i П fc» = №in 2.) •(& №<=?&•
а так как всегда %t П З^гэ^З^, то мы получаем 2^ П 2^ = ^i^2-
Отсюда, согласно 1.13, следует регулярность 31.
§ 2. О цепях подмножеств произвольного
г множества
у , 2.1. Рассмотрим некоторые общие понятия и свойства
^подмножеств произвольного множества. Их выбор определен
|ваишм желанием вывести с их помощью в последующих
^Параграфах ряд свойств идеалов полугрупп, которые путем
Непосредственных построений были получены Н. Н. Во-
Воробьевым [3], [6] и Грином A].
'?, Пусть Г есть некоторая непустая совокупность непустых
|яодмножеств некоторого множества 9№.
?.. Определение. Множество М?Г называется muhw
Тмалъным в Г, если ни одно из его собственных под-
Множеств не принадлежит Г.
Ц<„ Множество М?Т называется у нив ер сально ми-
%ммальным в Г, если оно является подмножеством
сякого множества, принадлежащего Г.
Аналогично определяются максимальные и универсально
шсимальные множества в Г.
2.2. В дальнейшем, в продолжении всего этого параграфа,
оговаривая этого особо, будем понимать под Г произ-
чьную непустую совокупность непустых подмножеств мно-
Гжества Ж, удовлетворяющую условиям:
(а) само множество Ш принадлежит Г;
(Р) объединение любой непустой совокупности множеств
из Г принадлежит Г;
(¦у) пересечение любой совокупности множеств Г, если
оно непусто, принадлежит Г.

204 идеалы \гл. iv
2.3. Если пересечение Мо всех множеств из Г непусто,
то Мо, очевидно, является универсально минимальным мно-
множеством в Г. В этом случае Г не имеет других минимальных
множеств, кроме Мо.
Если указанное пересечение Мо пусто, то в Г, как не-
нетрудно убедиться, не существует универсально минимального
множества.
2.4. Очевидно, нижеследующее отношение в ffl. является
эквивалентностью.
Определение. Элементы х и у из ЯЯ назовем Т-экви-
валеншными, если всякое множество из Г, содержа-
содержащее один из этих элементов, обязательно содержит и
второй.
Класс Т-эквивалентных элементов называется
Т-сло ем.
2.5. 3J? является непересекающимся объединением клас-
классов Т-эквивалентных между собой элементов, т. е. не-
непересекающимся объединением всех своих Г-слоев.
2.6. Для непустого подмножества N множества Ш назовем
его Т-оболочкой пересечение всех множеств из Г, содер-
содержащих N. Таковые, конечно, имеются, ибо само ffl. принадле-
принадлежит Г. Очевидно, Г-оболочка есть универсально минимальное
множество в совокупности тех множеств из Г, которые
содержат N.
2.7. Теорема. Два элемента х и у из Tt принадле-
принадлежат одному и тому же Т-слою тогда и только тогда,
когда их Т-оболочки совпадают.
Доказательство. 1) Пусть Г-оболочки элементов х
и у совпадают. Если некоторое множество М ? Г содержит х,
то оно содержит и Г-оболочку х, а следовательно, Г-обо-
лочку у и потому сам у. Аналогично обратное. Таким
образом, х и у оказываются Г-эквивалентными.
2) Пусть х и у Г-эквивалентны. Г-оболочка х, поскольку
она принадлежит Г и содержит х, должна содержать и у.
Отсюда следует, что Г-оболочка х содержит Г-оболочку у.
Аналогично и обратное. Следовательно, Г-оболочки х и у
совпадают.
2.8. К понятию Г-слоя возможен еще один подход,
отличный от тех, какие были использованы в 2.4 и 2.7.
Определение. Два различных между собой множества
из Г называются соседними в Г, если одно из них Mt

§ 2] О ЦЕПЯХ ПОДМНОЖЕСТВ ПРОИЗВОЛЬНОГО МНОЖЕСТВА
содержит второе М2, причем, кроме самих Mt и М2,
в Г не существует такого М', что
2.9. Теорема. Множество NczWl будет Т-слоем
тогда и только тогда, когда выполняется одно из сле-
следующих двух условий:
1) N принадлежит Г и является минимальным мно-
множеством в Г;
2) в Г найдутся два таких соседних множества
Мх-=}Мг, что
N=M1\M2.
Доказательство. 1) Пусть N есть некоторый Г-слой.
Обозначим через Mt Г-оболочку N и через М2 объединение
всех множеств из Г, содержащихся в Жх и не имеющих
общих элементов с N (М2 может быть и пустым).
Очевидно, Л^ЧЛ^эЛЛ Пусть x?N и y?Mt\M2.
Если х содержится в некотором множестве М'?Т, то,
согласно определению Г-слоя, M'z>N, т. е. М'^>Ми а по-
потому М'^у. Если у содержится в некотором множестве
ЛГ?Г, то М^[\М"^у. Так как у~?М2, то М^М" не
содержится в Мг. Поэтому Мх П М." обладает элементом z,
принадлежащим N. Но тогда Мх П М" Э х, т. е. х ^ М".
Из сказанного следует, что хну Г-эквивалентны. Отсюда
вытекает M1\M2czN. Таким образом,
Из определения Г-слоя следует, что не существует такого
Ж3?Г, что М{=)Мъ-=>Мг, причем М3ФМ1У МЪФ Мг. Если Мг
пусто, то N' = Мх оказывается минимальным множеством в Г.
2) Если М есть минимальное в Г множество, то всякое
- множество N1' из Г или содержит М, или не имеет общих
элементов с М. Действительно, в ином случае М Л М'
являлось бы множеством из Г, содержащимся в Ж и отлич-
отличным от М. Таким образом, всякие два элемента из М
Г-эквивалентны. Что касается элементов, не принадлежа-
принадлежащих М, то они не могут быть Г-эквивалентными с элемен-
элементами из М.
Пусть множества Mt и М2 соседние в Г, причем

206 идеалы [гл. iv
Ни один элемент из М^М^, очевидно, не может быть
Г-эквивалентен ни с каким элементом, не содержащимся
в Мх\Мг. Если мы покажем, что всякие два элемента
из Ml\Mi Г-эквивалентны между собой, то это и будет
означать, что Mt\M2 есть Г-слой. Допустим противное.
Пусть некоторые два элемента х и у из Mt \ М2 не являются
Г-эквивалентными. Это значит, что один из них х содер-
содержится в некотором множестве М' ? Г, в котором не содер-
содержится у. Но тогда множество из Г
содержится в Мх и содержит Мг. При этом оно отлично
от Mit так как не содержит у, и отлично от Ж2, так как
содержит х. Существование такого множества противоречит
тому, что Жх и Жг соседние.
2.10. К понятию Г-слоя возможен еще один подход,
связанный понятием Г-цепи.
Определение. Непустая совокупность ЕсГназывается
Г - цепью, если аз двух любых множеств, принадле-
принадлежащих S, одно обязательно является подмножеством
другого.
Т-цепь S называется главной Г - цепью, если не
существует такой отличной от S Т-цепи ?', что ScS'.
2.11. Теорема. Всякая главная Т-цепь S сама обла-
обладает свойствами 2.2, (а), ф), (f).
Доказательство. Присоединив к S множество 3J?,
мы, очевидно, получим Г-цепь, содержащую Е. Она должна
совпадать с S. Следовательно, ffl. ? S.
Пусть М есть объединение некоторых множеств из S.
По свойству Г М принадлежит Г.
Возьмем произвольное множество 2 из Е. Если g содер-
содержится в некоторой компоненте М^ нашего объединения
йсЛ^, то ЙсМ. Если же 8 не содержится ии в одной
из компонент Мх, то, по свойству Г-цепи, 2 должно содер-
содержать все Мх и, следовательно, ЙэЛ!. Отсюда следует, что
совокупность, состоящая из S и из множества М, будет
Г-цепью, содержащей S. Она должна совпадать с S. Сле-
Следовательно, М ? S.

§ 2] О ЦЕПЯХ ПОДМНОЖЕСТВ ПРОИЗВОЛЬНОГО МНОЖЕСТВА 207
Аналогично, если М' есть непустое пересечение некото-
некоторых множеств из 2, то оно или содержит, или содержится
во всяком множестве из 2. Поэтому, присоединив к 2 мно-
множество М', мы получим Г-цепь, содержащую 2. Она должна
совпадать с 2, откуда следует М' ? 2.
2.12. Роль главных Г-цепей определяется тем, что любая
Г-цепь всегда может быть дополнена до главной Г-цепи.
Теорема. Для любой Т-цепи 2 всегда найдется такая
главная Т-цепь 2', что ScS'.
Доказательство. Пусть ?р есть совокупность всех
Г-цепей, содержащих данную Г-цепь 2. Если Dc?p, причем Q.
такова, что из двух любых Г-цепей, принадлежащих С,
всегда одна содержится в другой, то 2q—объединение всех
Г-цепей из d—само будет Г-цепью. Действительно, пусть Ми
М2?2а. Тогда в & найдутся Г-цепи 2t и Е2, такие, что
M^Sj и М2?22. Если Е^Ег, то множества Мх и М2 оба
принадлежат цепи 22 и потому одно из них является подмно-
подмножеством другого. Это и означает, что 2а есть Г-цепь.
Благодаря сказанному мы можем применить к ^3
лемму III, 4.6. Согласно этой лемме, в *Р найдется такая
Г-цепь 2', которая не содержится ни в какой другой Г-цепи
из ?E. Очевидно, 2' и будет искомой главной Г-цепью.
2.13. Благодаря теореме 2.11 для главной Г-цепи ? при-
применимы все определения и результаты, изложенные выше
применительно к самой совокупности Г. Очевидно, 2 для
самой совокупности S является 2-цепью. При этом она,
очевидно, есть главная 2-цепь и никаких других, отличных
от самой ?, главных 2-цепей не существует.
Рассмотрение главной Г-цепи 2 полезно в связи с тем,
; что понятия Г-слоя и 2-слоя оказываются эквивалентными.
Теорема. Если 2 есть главная V-цепь, то каждой Т-слой
^является Л-слоем, а каждый Ъ-слой является Т-слоем.
Доказательство. 1) Предположим, что в некотором
Г-слое N найдутся два элемента, принадлежащих двум раз-
различным 2-слоям. Это значит, что один из этих элементов
содержится в некотором множестве N' из 2, в котором
не содержится второй из этих элементов .у. Но это не-
невозможно, ибо х к у Г-эквивалентны, а М'?2с:Г.
2) Теперь предположим, что в некотором 2-слое Р
найдутся два элемента, принадлежащие двум различным
Г-слоям. Это значит, что один из этих элементов ц

208 ИДЕАЛЫ [ГЛ. IV
содержится в некотором множестве М из Г, в котором не
содержится второй из этих элементов v.
Р не может быть минимальным в 2 множеством. Действи-
Действительно, иначе, присоединив к 2 множество Р(]М, которое
непусто, так как содержит и, и отлично от Р, так как
не содержит v, мы получили бы новую Г-цепь, содержа-
содержащую 2 и отличную от 2. Но это противоречило бы тому,
что 2 есть главная Г-цепь.
Так как Р не есть минимальное в 2 множество, то,
согласно 2.9, в 2 найдутся два таких соседних в 2 мно-
множества Мг и Мг, что
Множество из Г
содержится в Mt и содержит М2. Оно отлично от М2, так
как содержит и, и отлично от Мг, так как не содержит v.
Следовательно, М" не принадлежит 2. Но тогда, присоединив
к Е множество М", мы, очевидно, получили бы новую Г-цепь,
содержащую 2 и отличную от 2, что невозможно.
3) Согласно 2.5, множество WI представляется в виде
объединения всех Г-слоев и, согласно 2.11, в виде объеди-
объединения всех 2-слоев. Если мы возьмем одну из компонент
первого разложения N и одну из компонент второго разло-
разложения Р, то, как следует из рассуждений, проведенных
в двух первых частях доказательства, N и Р будут или
совпадать, или не будут иметь общих элементов. Отсюда
непосредственно следует, что оба рассматриваемых объедине-
объединения состоят из одних и тех же компонент. Таким образом,
каждый Г-слой входит во второе объединение, т. е. является
некоторым S-слоем, и наоборот.
2.14. Из теоремы 2.13 следует, что все Г-слои могут
быть получены исходя из любой главной Г-цепи.
Следствие. Если S есть некоторая главная Т-цепь,
то множество N будет Т-слоем тогда и только тогда,
когда выполняется одно из следующих двух условий.
1) N принадлежит S и является в 2 минимальным
(а потому и универсально минимальным) множеством.
2) В 2 найдутся два таких соседних в 2 множества
что

s 2] о цепях подмножеств произвольного множества 209
2.15. Отметим также следующее следствие из 2.13.
Следствие. Если Sj и 22 есть две главные Т-цепи,
то совокупность всех Y^-слоев совпадает с совокуп-
совокупностью всех Л2-слоев.
Действительно, согласно 2.13, каждая из совокупностей
всех 2х-слоев и всех Е2-слоев совпадает с совокупностью
всех Г-слоев.
2.16. При рассмотрении совокупности Г во многих слу-
случаях важную роль играют условия минимальности и макси-
максимальности. Говорят, что Г удовлетворяет условию минималь-
минимальности, если всякое непустое подмножество Г' множества Г
обладает минимальным в Г' множеством. Из определения
непосредственно следует, что в Г, удовлетворяющем свойству
минимальности, всякая Г-цепь, образующая убывающую
последовательность
обладает тем свойством, что, начиная с некоторого п, все
члены ее совпадают. Нетрудно убедиться и в обратном.
Пусть в Г выполнено указанное условие об убывающих
последовательностях. В произвольном Г'сГ возьмем произ-
произвольное множество М^Г'. Если Мх не минимально в Г',
то возьмем какое-нибудь М2 ? Г', такое, что М2аМх, МгфМх.
Затем, исходя из Мг, выберем М3сМ2, М3ФМг и т. д.
Согласно предположению, построение такой последователь-
последовательности должно оборваться на некотором члене Мп. Очевидно,
Мп?Т' будет минимальным в Г'.
2.17. Аналогично определяется условие максимальности
и устанавливается его эквивалентность с условием стабили-
зированности всякой растущей последовательности.
Также необходимым и достаточным условием для выпол-
выполнения условия максимальности является требование, чтобы
в каждом М ? Г нашлось такое конечное подмножество
М'сМ, что Г-оболочка Ш равна М.
Действительно, пусть выполнено условие максимальности.
Возьмем в множестве М?Т произвольный элемент jtt и рас-
рассмотрим его Г-оболочку Xv Если Хх Ф М, то возьмём
в М\хх элемент х2 и рассмотрим Г-оболочку Хг мно-
множества \хх, хг). Затем строим Хъ и т. д. Мы получаем
растущую последовательность множеств из Г
Ц Зек. 455. Е. С.

210 ИДЕАЛЫ [ГЛ. IV
Так как ¦A'i_1 Ф Xit то последовательность должна обор-
оборваться на некотором члене Хт, что означает, что М — Хт,
т. е. М есть Г-оболочка конечного множества {хх, хг хт).
Пусть теперь каждое множество из Г есть Г-оболочка
некоторого конечного множества.
Рассмотрим произвольную растущую последовательность
множеств из Г: МхсМгс:Мъс ...
Множество А/ = (|ЛЯ принадлежит Г и является Г-обо-
п
лочкой некоторого конечного множества {xv х2 хт].
При некотором k все xt содержатся в Мь. Следовательно,
Мк = Ы=>Мг A=1, 2 т), т. е. Mk = Mk+i= ...
2.18. Совокупность Г удовлетворяет одновременно и усло-
условию минимальности и условию максимальности только в том
случае, когда она конечна. Действительно, благодаря усло-
условию минимальности в Г должно существовать минимальное
множество Mv В совокупности всех множест из Г, содер-
содержащих Mlt но отличных от Mv должно найтись минималь-
минимальное множество Мг. Повторяя рассуждение, получаем ра-
растущую последовательность, которая должна оборваться:
Из построения следует, что нами получена главная
Г-цепь. Количество ее слоев конечно. Отсюда благодаря 2.13
следует, что и количество всех Г-слоев конечно. Так как
каждое множество из Г есть объединение некоторых Г-слоев,
то и количество всех множеств из Г тем самым является
конечным.
§ 3. Главные идеалы и идеальные слои
3.1. Как уже было сказано, рассмотрение свойств сово-
совокупностей подмножеств произвольного множества, чему был
посвящен предыдущий параграф, нужно нам для того, чтобы
применить полученные там результаты к совокупностям иде-
идеалов полугрупп. Соответствующие свойства идеалов были
получены частью Грином [1], частью Н. Н. Воробьевым
[3], [6].
Возьмем в качестве Tt множество всех элементов полу-
полугруппы Пив качестве Г совокупность некоторых идеалов Щ,
такую, что сама §1 принадлежит Г и объединение любой
совокупности идеалов из Г, так же как и пересечение, если

I 3] ГЛАВНЫЕ ИДЕАЛЫ И ИДЕАЛЬНЫЕ &10И 2il
оно непусто, принадлежат Г. Тогда для такой совокупности
идеалов автоматически оказываются выполненными все ре-
результаты, полученные в § 2.
3.2. Нас будут интересовать три совокупности указан-
указанного типа:
(а) совокупность всех левых идеалов полугруппы;
(Р) совокупность всех правых идеалов полугруппы;
(т) совокупность всех двусторонних идеалов полу-
полугруппы.
То, что каждая из них обладает указанным выше свой-
свойством, следует из 1.6, (a), (f), (8).
Для каждой из этих совокупностей идеалов справедливы
все результаты, полученные в § 2 для совокупности Г.
Каждый из них, сформулированный для совокупности (а),
или (Р), или (т), является важным свойством идеалов полу-
полугрупп. Очевидно, нет необходимости подробно переформу-
переформулировать результаты § 2 для указанных совокупностей иде-
идеалов, так как это делается без малейшего труда и совер-
совершенно автоматически.
3.3. Применительно к идеалам термины, введенные в пре-
предыдущем параграфе, соответственно изменяются.
Пусть Г есть совокупность всех левых идеалов полу-
полугруппы Ш.
Идеал, минимальный в Г, называется минимальным ле-
Шм идеалом К. Г-эквивалентность называется левоидеаль'
ной эквивалентностью. Г-слой называется левоидеальным
i слоем. Г-оболочка называется левоидеальной оболочкой.
Аналогично строятся соответствующие понятия, когда Г
есть совокупность всех правых идеалов % или совокупность
всех двусторонних идеалов.
3.4. Теорема. Если 9? есть непустое подмножество
полугруппы %, то
есть левоидеальная оболочка 31;
тизг
есть правоидеальная оболочка 31;
И9Ш U ЯЭ1U ЗШ U Я
есть двустороннеидеальная оболочка 31.
14*

212Ч идеалу (гл. IV
Доказательство. Так
3i дек u3ft)=шя
то ЗШ U 9^ есть левый идеал 31, содержащий 3t- Но всякий
левый идеал 31, содержащий 3t, должен содержать и ЗШ
и 3t. Поэтому ЗШ U 9f есть пересечение множества всех
левых идеалов 3J, содержащих -ft.
Аналогично рассуждение для правых идеалов.
Так как
31 Aэш иэдэги ш и Я) =яш и зшэт и юэш и зш
то 3$Ш иШиИи^ есть левый идеал I, содержащий ЭТ.
Аналогично убеждаемся, что он является и правым идеалом.
Легко -видеть, что всякий двусторонний идеал 31, содержа-
содержащий ЭТ, должен содержать и ЗШ1 U 3(9t U 9Ш U ^- Таким
образом, этот двусторонний идеал оказывается пересечением
множества всех двусторонних идеалов 31, содержащих -ft.
3.5. В случае, когда 31 обладает единицей, выражения
для идеальных оболочек упрощаются, поскольку
Следствие. Если 31 есть полугруппа с единицей, то
3ISJI есть левоидеальная оболочка 9^с31. 9Ш есть право-
идеальная оболочка и 319Ш есть двустороннеидеальная
оболочка.
3.6. Особо важен случай, когда подмножество -ft состоит
из одного элемента.
Определение. Левый идеал полугруппы 31, являющийся
левоидеальной оболочкой одного из ее элементов, назы-
называется главным левым идеалом.
Аналогично определяются главный правый идеал и глав-
главный двусторонний идеал.
Из 3.4 и 3.5 непосредственно следует, что главный ле-
левый идеал полугруппы НИ имеет вид
где X некоторый элемент 31. Если 31 обладает единицей,
то

§ 3] ТЛАВНЫЕ ИДЕАЛЫ И ИДЕАЛЬНЫЕ СЛОЙ !21Ъ
Аналогично главный правый идеал имеет ВИД Х$ у X или
ХЩ. при наличии единицы. Главный двусторонний идеал
имеет вид
или ЭДХЭД, если % имеет единицу.
3.7. Соотношение включения между главными левыми
идеалами элементов полугруппы определяет важное отноше-
отношение делимости справа (аналогично для делимости слева).
Теорема. Пусть А и В есть два различных элемента
полугруппы %. Элемент А делится справа на элемент В
в том и только в том случае, когда левоидеальная
оболочка элемента А содержится в левоидеальной обо-
лочке элемента В.
Доказательство. Если при некотором
А = ХВ,
то
ЯД U А = %ХВ U XBcfLB U В.
С другой стороны, если
то, учитывая А Ф В, имеем
АсЪВ,
т. е. при некотором Х^Ъ. должно иметь место
А = ХВ.
¦ 8.8. Согласно 2.5, полугруппа может быть представ-
представлена как непересекающееся объединение всех своих лево-
идеальных слоев, а также как непересекающееся объеди-
объединение всех правоидеальных слоев и как непересекающееся
объединение всех двустороннеидеальных слоев. Как было
показано в предыдущем параграфе, идеальный (лево, право
или двусторонне) слой может быть определен несколькими
различными способами. Согласно 2.7, два элемента А и В
полугруппы Ж принадлежат одному и тому же лево-
идеальному слою, если совпадают левоидеальные обо-
оболочки. Очевидно, для этого необходимо и достаточно,
чтобы А содержался в левоидеальной оболочке В, а В

ИДЕАЛЫ [ГЛ. IV
в левоидеальной оболочке А. Можно также использовать
теорему 3.7.
Для того чтобы два различных элемента полугруппы
содержались в одном и том же левоидеальном слое,
необходимо и достаточно, чтобы каждый из них де-
делился справа на другой.
Разумеется, аналогичное утверждение справедливо для
правоидеальных слоев.
3.9. Если левый идеал 2 полугруппы 31 содержит неко-
некоторый элемент X, то, по определению левоидеальной экви-
эквивалентности, 2 будет содержать и все элементы, левоидеально
эквивалентные с X. Отсюда следует, что левый идеал 2 яв-
является непересекающимся объединением некоторых лево-
идеальных слоев полугруппы. Конечно, в общем случае не
всякое объединение левоидеальных слоев является левым
идеалом.
Левый идеал 2 может быть также получен из главных
левых идеалов. Для каждого X ?2 левоидеальная оболочка А"
содержится в 2 и содержит X. Поэтому 2 есть объедине-
объединение левоидеальных оболочек всех элементов X, содержа-
содержащихся в 2. Разумеется, и обратное: любое объединение
главных левых идеалов является левым идеалом. Если в та-
таком объединении участвуют левоидеальная оболочка элементаX
и левоидеальная оболочка элемента К, причем X делится
справа на К, то, согласно 3.7, левоидеальную оболочку эле-
элемента X можно исключить из объединения. Таким образом,
в некоторых случаях (но, конечно, не всегда), например,
когда 31 конечна, каждый левый идеал можно представить
в виде объединения главных левых идеалов, таких, что ни-
никакие два из них не являются левоидеальными оболоч-
оболочками элементов, из которых один делится на другой справа.
Очевидно, в таком объединении уже нельзя выкинуть ни
один из входящих в него главных левых идеалов. Предста-
Представление левого идеала 2 в виде указанного объединения
2 = (J ?„ обладает следующим важным свойством. Если 2
представлен в виде какого-нибудь объединения главных
левых идеалов 2 = MU?, то в число компонент U^ обя-
обязательно входят все %ч. Действительно, если %ч есть
левоидеальная оболочка элемента Г,, то Г, содержится в не-

§ 3] ГЛАВНЫЕ ИДЕАЛЫ И ИДЕАЛЬНЫЕ СЛОИ 215
котором Ц,,, который является левоидеальной оболочкой не-
некоторого элемента А^. Но А^ должен содержаться в неко-
некотором Жх- По свойству левоидеальных оболочек мы полу-
получаем S^cltj,,, Ujj.cSx, т. е. ?„с:?х. Согласно предположению,
это возможно лишь при Zw = %\, а тогда Sv^U,,.. Из до-
доказанного, в частности, следует, что всякий левый идеал
может обладать не более чем одним представлением в виде
объединения главных левых идеалов, таких, что никакие
два из них не являются левоидеальными оболочками эле-
элементов, из которых один делится на другой справа.
Аналогично обстоит дело и с правыми идеалами.
Также и двусторонними идеалами являются всевозможные
объединения главных двусторонних идеалов.
3.10. Как было обнаружено в работе Манна и Пенроза [1]
(см. также Миллера и Клиффорда [1]), наличие и свойства
идемпотентов в левоидеальных и правоидеальных слоях свя-
связано с некоторыми важными свойствами полугруппы.
Прежде всего мы рассмотрим связь между идемпотен-
тами, содержащимися в одном и том же левоидеальном
слое.
Теорема. Если идемпотенты Ivu /2 оба содержатся
в одном и [том же левоидеальном слое, то каждый из
них является левым нулем для другого. Если они оба
содержатся в одном и том же право идеальном слое,
то каждый из них является правым нулем для другого.
Доказательство. /2 содержится в левом идеале 91/2.
Поскольку 1Х принадлежит к тому же левоидеальному слою,
что и /2, он также должен содержаться в этом левом иде-
¦ але, т. е. при некотором ?ЭД
Но тогда
3.11. Следствие. Никакие два различных идемпо-
тента, содержащихся в одном и том же левоидеальном
слое, не могут быть перестановочны между собой.
Действительно, согласно предыдущему, для указанных
идемпотентов /, и /2 имеем
ц потому при /x/a = /?/i получаем 1х —

216 ИДЕАЛЫ [ГЛ. IV
3.12. Теорема. Для того "чтобы элемент А полу-
полугруппы 31 был регулярен (II, 6.1), необходимо и доста-
достаточно, чтобы в левоидеальном слое, содержащем А,
имелся идемпотент.
Доказательство. 1) Если А регулярен, то при не-
некотором В ? %
Так как А —АВА делится справа на В А, а В А делится
справа на А, то благодаря 3.8 А и идемпотент ВА лежат
в одном и том же левоидеальном слое.
2) Если идемпотент / лежит в том же левоидеальном
слое, что и А, то при некоторых В, С ? %
1 = ВА, А = С1.
Отсюда получаем
т. е. А оказывается регулярным.
3.13. Из теоремы непосредственно следует, что во вся-
всяком левоидеальном (аналогично и в правоидеальном) слое
либо все элементы регулярны, либо все нерегулярны. Если
все левоидеальные слои содержат идемпотенты, то и все
правоидеальные слои содержат идемпотенты, и наоборот.
Наличие идемпотентов во всех левоидеальных слоях является
необходимым и достаточным условием того, чтобы полу-
полугруппа была регулярной.
3.14. Теорема. Для того чтобы полугруппа била
инверсной (II, 7.2), необходимо и достаточно, чтобы
в каждом ее левоидеальном слое содержался один един-
единственный идемпотент и в каждом правоидеальном слое
содержался один единственный идемпотент.
Доказательство. 1) Если $ есть инверсная полу-
полугруппа, то она регулярна и потому, согласно 3.12, в ка-
каждом ее левоидеальном слое и в каждом правоидеальном
слое должны иметься идемпотенты.
Так как все идемпотенты инверсной полугруппы пере-
перестановочны (II, 7.4), то, согласно 3.11, ни в каком слое не
может содержаться более одного идемпотента.
2) Пусть в каждый левоидеальный слой и каждый
правоидеальный слой полугруппы 31 имеют равна по. одному
идемдотевту. Согласно 3.12» Ш. регулярна.

§ 5] ГЛАВНЫЕ ИДЕАЛЫ И ИДЕАЛЬНЫЕ блОИ 21?
Предположим, что и элемент В1 и элемент В2 оба регу-
регулярно сопряжены с некоторым элементом А ? 31.
Так как BtA и А (равный ABiA) делятся друг на друга
справа, то благодаря 3.8 идемпотент ВгА содержится в том
же левоидеальном слое, что и А. Следовательно, должно
иметь место ВХА = В2А. Аналогично рассматривая право-
идеальные слои, получаем АВХ = АВг. Благодаря этому
Вх = В1АВ1 = В2АВХ = В2АВ2 = В2.
Таким образом, произвольный элемент А имеет лишь один
регулярно сопряженный с ним элемент.
3.15. При помощи доказанной теоремы можно также
ослабить условие, выделяющее инверсные полугруппы из
класса всех регулярных полугрупп.
Следствие. Если в регулярной полугруппе ни один
идемпотент не имеет другого регулярно сопряженного
с ним элемента, кроме самого себя, то полугруппа яв-
является инверсной.
Доказательство. Согласно 3.12, в каждом лево-
идеальном слое имеются идемпотенты. Предположим, что
в некотором из них содержится два идемпотента 1г и /2.
Согласно 3.10,
Отсюда получаем
'rVi — A/i —м> h'lh — 'г'2 — '2'
?. е. 1Х и /2 регулярно сопряжены. Согласно условию, это
возможно лишь при /х = /2. Аналогично рассуждение для
йравоидеальных слоев. Согласно теореме 3.14, полугруппа
инверсна.
f 3.16. Следствие. Если в регулярной полугруппе 31
¦¦$ля всякого идемпотента I равенство
Соблюдается только при Х=1, то 31 является группой.
Доказательство. Согласно 3.15, Заявляется инвер-
инверсной полугруппой. Отсюда следует, что все ее идемпотенты
перестановочны между собой (II, 7.4).
Пусть /t и /2 являются идемпотентами 31. Так как они
перестановочны, то и IJ2 является идемпотентом. Очевидно,
л (/Л)=/л. сл) h ел)=hk-

2i8 идеалы t". iv
Поэтому /i = /i/2 и /2 = /172, т^ e. /i = /2. Следовательно,
в 31 имеется лишь единственный идемпотент и благодаря II,
6.10, (Р) 31 является группой.
3.17. Теорема 3.14 позволяет выяснить строение систем
главных левых идеалов и главных правых идеалов инверсной
полугруппы (II, 7.2)
Пусть 31 есть инверсная полугруппа и § коммутативная
подполугруппа ее идемпотентов (II, 7.4). Пусть 2 есть про-
произвольный главный левый идеал 31, являющийся левоидеаль-
ной оболочкой элемента А. В том же левоидеальном слое,
в котором содержится А, согласно 3.14, должен находиться
некоторый идемпотент /. Так как левоидеальные оболочки А
и / должны совпадать, то
Если идемпотенты Д и /2 различны, то равенство
31/1 = 31/2 невозможно, ибо оно означало бы, что /х и /2
лежат в одном и том же левоидеальном слое, что проти-
противоречит 3.14.
Таким образом, между идемпотентами 31 и ее главными
левыми идеалами устанавливается взаимно однозначное со-
соответствие
Аналогично устанавливается соответствующее взаимно одно-
однозначное соответствие между идемпотентами и главными
правыми идеалами
Соответствия эти таковы, что они сохраняют отношения
частичного упорядочения, определенные в множествах глав-
главных идеалов и в §. В первом из этих множеств упорядо-
упорядоченность определяется как отношение включения, а в ф
нижеследующим образом.
Полагаем 1^1г, если 1х1г = 1г1х = 1г.
Действительно, если
то при некотором X ?31

§ 3] ГЛАВНЫЕ ИДЕАЛЫ И ИДЕАЛЬНЫЕ СЛОИ 219
Откуда следует;
7^ = ^. Л = ^ = 7,.
Обратно, при 7271 = 72 имеем
Я7, = Я7а/1с=5171.
3.18. Так как для Ilt
то из доказанного в 3.17 следует:
iHo с другой стороны, если XfWi(]fHit то при некоторых
Ах, А?%
•Й так как /х и /2 перестановочны между собой (II, 7.4), то
; X = А2Г2 = AJ& = Х1г = AJJt = AJJJi = A-7t72 = ^73.
?Это означает что
J ?3
^Таким образом, мы показали, что
Оказалось, что пересечение главных левых идеалов ин-
инверсной полугруппы само является главным левым идеалом,
этого следует, что относительно действия пересечения
эвокупность всех главных левых идеалов образует комму-
коммутативную полугруппу идемпотентов. Из доказанного равенства
следует, что соответствие
является изоморфизмом между этой полугруппой и подполу-
подполугруппой всех идемпотентов |> полугруппы §1,

220 ИДЕАЛЫ [ГЛ. IV
§ 4. Двустороннеидеальные цепи
4.1. Свойства, идеальных слоев полугруппы тесно свя-
связаны со свойствами цепей идеалов.
Если Г есть совокупность всех двусторонних идеалов
полугруппы 21, то Г-цепь называется двустороннеидеаль-
ной цепью.
Аналогично определяются левоидеалъные цепа и право-
идеальные цепи.
Из 2.12 следует, что всякая двусторонне идеальная
цепь может быть дополнена до главной двусторонне-
идеальной цепи. Аналогично для левоидеальных и правоидеаль-
ных цепей.
Свойства, связанные с выполнением условий минималь-
минимальности и максимальности в совокупности всех левых, или
правых, или двусторонних идеалов, формулируются не-
непосредственно исходя из свойств, рассмотренных в 2.16,
2.17, 2.18.
4.2. К области изучения идеальных цепей относится
и рассмотрение соседних идеалов B.8). Действительно, тот
факт, что два двусторонних идеала являются соседними, равноси-
равносилен тому, что они образуют двустороннеидеальную цепь,
обладающую тем свойством, что не существует иной дву-
стороннеидеальной цепи, для которой данные идеалы слу-
служили бы ее концами.
Согласно 2.9, подмножество 31 полугруппы Ш является
двустороннеидеальным слоем тогда и только тогда,
когда 9t есть минимальный двусторонний идеал % или
когда в Ъ. существуют два таких соседних двусторон-
двусторонних идеала %х и %2 что
91 = Х1\Х2.
Аналогично для левоидеальных и правоидеальных слоев.
4.3. Если ? есть главная двустороннеидеальная цепь,
то благодаря 2.13 и 2.14 все двустороннеидеальные слои
могут быть получены как S-слои, т. е. всеми двусторонне-
идеальными слоями являются минимальный двусторонний
идеал, принадлежащий 2 (если такой имеется), и множества
вида З^Х^а где ?t и 2^ соседние члены в цепи Е. Ана-
Аналогично для левоидеальных и правоидеальных слоев и цепей.
4.4. Дальнейшие рассуждения этого параграфа будут
относиться лишь к двустороннеидеальным цепям. Это объ-

§ 4] ДВУСТОРОННЕИДЕАЛЬНЫЕ ЦЕПИ 221
ясняется как большим значением двусторонних идеалов по
сравнению с односторонними, так и тем, что рассматри-
рассматриваемая ниже конструкция идеальных факторов осуществима
лишь для двустороннеидеальных слоев.
Прежде всего отметим особую роль минимальных дву-
двусторонних идеалов*. Полугруппа может обладать не
более чем одним минимальным двусторонним идеалом.
Справедливость этого вытекает из 2.2 и из следующего
свойства.
Минимальный двусторонний идеал полугруппы всегда
является универсально минимальным двусторонним
идеалом.
Действительно, пересечение минимального двустороннего
идеала % с произвольным двусторонним идеалом %', сог-
согласно 1.9, (S), есть двусторонний идеал полугруппы, содер-
содержащийся в %. Следовательно, он должен совпадать с %,
откуда следует, что %cz%'.
¦ Наличие в полугруппе минимального двустороннего иде-
идеала всегда оказывается важным свойстом. Его роль суще-
существенна при рассмотрении различных свойств полугруппы.
УВ литературе минимальный двусторонний идеал часто на-
называют ядром полугруппы, или идеальным ядром, или ядром
:Сушкевича. Последнее название объясняется тем, что А. К. Су-
апкевич [3] первый обратил внимание на роль таких идеа-
глов и исследовал различные их свойства. Многочисленные
Jпоследующие работы в этом направлении в значительной
|степени посвящены развитию и обобщению первоначальных
^результатов А. К. Сушкевича.
|* 4.5. Определение. Пусть 91 есть двустороннеидеаль-
ушй слой полугруппы 91. Идеальным фактором,
^"Соответствующим 91, назовем следующую полугруппу 91*.
|- 1) Если 91 есть полугруппа, то 91* = 9?.
|; 2) Если 9i не является полугруппой, то 91* состоит
Щз всех элементов 91 и нового элемента О*. При этом,
"'¦{если в % для X, Y, Z?9l имеет место XY = Z, то
1 Следует иметь в виду, что в литературе термину «минималь-
«минимальный двусторонний идеал» иногда придают иной, более широкий
смысл, относя к минимальным двусторонним идеалам и минималь-
• ные ненулевые двусторонние идеалы, о которых мы будем говорить
в § 3 и § 4 следующей главы.

222 ИДЕАЛЫ [ГЛ. IV
и в 91* полагаем XY = Z. Во всех остальных случаях
полагаем NlN2 = O*(N1, N2?9t*).
Ассоциативность определенного в 9f действия проверяется
без труда.
Отметим, что в литературе иногда и в первом случае
идеальный фактор определяют путем присоединения внешним
образом нуля к полугруппе 91. Легко видеть, что связанное
с этим отличие совершенно несущественно. Принимая во внима-
внимание 4.2, довольно естественным является употребляющееся
иногда обозначение для идеального фактора 9(i* = ?1 — 22.
4.6. Покажем 'на примере, что конструкция факторов,
вообще говоря, не может быть осуществлена для левоиде-
альных слоев. Пусть G есть счетное множество
2 = {«1«2 Pi. Р2 Tl. 72- •••}•
В полугруппе ©2 рассмотрим следующие три преобра-
преобразования, заданные подстановками:
Pi Ра Рз • • • 7i 7г 7з ¦
«2
«2
«2
«4
«2
О,
«3
«3
«3
«в
«3
«3
А = (
7г 7з 74 • •• 7i 7i 7i
D , l ~t o Pi Рг Рз • •• 7i 7г 7з
в = \
«1 «з <*5 • • • 7i 7i 7i
с, ж . . Pi Рг Рз ••• 7i 7г 7з
Ti Ti 7i • • • Ti Ti 7i
Из II, 3.1 следует, что А делится справа на В, а В де-
делится справа на А. Ни А, ни В не делятся справа на С.
Обозначим через 91 левоидеальный слой полугруппы <52> со-
содержащий А. Согласно 3.8, В?91, но С?91. Путем непо-
непосредственного перемножения убеждаемся, что АВ = В, АА=С.
Так как АА^91, то 91 не является полугруппой. Рас-
Рассмотрим множество 91*, состоящее изо всех элементов 91
и из нового элемента О*. В 91* определяем действие так,
как это было сделано в 4.5. В результате этого 91* оказы*
вается мультипликативным множеством. Однако -Ji* не является
полугруппой, ибо в 91* не выполнено свойство ассоциатив-
ассоциативности. Действительно, так как, согласно действию в %,
АВ = В и АА?91, то в 91*

§ 4] ДВУСТОРбННЕИДЕАЛЬНЫЁ ЦЁПЙ
. 4.7. Теорема. Пусть fff есть идеальный фактор по-
полугруппы %, соответствующий двустороннеидеальному
слою 9t Если Sfc* = 91, то fff есть полугруппа, не имею-
имеющая собственных двусторонних идеалов. Если -Л* = -Л U О*.
то или Jfi* есть полугруппа, не имеющая иных собствен-
собственных двусторонних идеалов, кроме нулевого идеала О*,
или 9t* есть полугруппа, в которой произведение двух
любых элементов равно нулевому элементу О*.
Доказательство. 1) Пусть 9t* = 9t. Согласно 4.2,
где %i и %2 соседние двусторонние идеалы (или 3^ есть
пустое множество, a 2t — минимальный двусторонний идеал).
Пусть ф есть произвольный двусторонний идеал 31.
Рассмотрим множество
Так как ?t и %г являются двусторонними идеалами %,
то и §', очевидно, будет двусторонним идеалом %, причем
' Ф Z2, так как
Следовательно, §>"=3^! = SR U Ж2- Но S^^ci^U^. Поэтому
§' будет содержать Jfi только тогда, когда Щ.а$. Таким обра-
*ом, ф не может быть собственным идеалом !Й.
. 2) Пусть W = 5И U О* и, как в первой части,
41 Пусть полугруппа S'i* такова, что среди ее элементов
^имеются такие, которые в произведении дают элемент,
Цкгличный от нуля О*, т. е. З^сЗ^. Пусть ф* есть
Произвольный двусторонний идеал полугруппы §*, обладаю-
й№й и другими элементами помимо нуля О*. Обозначим
через § множество всех элементов из Ш, входящих в ?>*.
Множество §> непусто.
ееть двусторонний идеал % принадлежащий $, и содержа-
содержащий г2.

224 йДеалы (гл. iv
Обозначим через g совокупность таких элементов F из %х,
что %xFc%v % есть двусторонний идеал %, так как
При этом J^gsJj. Но Z&cZ^. Поэтому 3 = $2.
Отсюда следует, что для всякого T'G^iX^ найдется
такой Т'?Zlt что T'T?Z2. Совершенно аналогично дока-
доказываем, что для всякого T?Zl\%2 найдется такой Т", что
тт" е гг.
Пусть #?-?>. При некотором Н'
и при некотором Н"
Отсюда следует, что двусторонний идеал §>' полугруппы ЧЦ
отличен от ?2* Следовательно, ф' = %v Но из того, что ф*
есть двусторонний идеал 91*, согласно правилу умножения
в 31* следует, что
?'c?U?2.
Это возможно лишь при § = 9i. Но тогда ф* = 31*, т. е.
двусторонний идеал ф* полугруппы 9t* не может быть ее
собственным идеалом.
4.8. Если $ есть минимальный двусторонний идеал по-
полугруппы 31, то, согласно 4,2, К является двусторонне-
идеальным слоем. При этом, согласно 4.5, Jt* = ft. Отсюда
благодаря 4.7 получается следующее важное свойство (ко-
(которое, впрочем, без труда может быть выведено самосто-
самостоятельно).
Следствие. Если R есть минимальный двусторонний
идеал полугруппы Ш, то & является полугруппой, не
имеющей своих собственных двусторонних идеалов.
4.9. Упомянем, что более детальное исследование иде-
идеальных факторов при некоторых ограничениях, наложенных
на полугруппу, было проведено Н. Н. Воробьевым [6]. Им
также рассмотрены и некоторые свойства умножения эле-
элементов в левоидеальных слоях.
4.10. Мы знаем, что всякая полугруппа является объ-
объединением всех своих двустороннеидеальных слоев, которые
попарно не имеют общих элементов.

§ 4J ДВУСТОРОННЕИДЕАЛЬНЫЕ ЦЕПИ 225
Каждому двустороннеидеальному слою, согласно 4.5,
соответствует естественным образом тесно связанная с ним
полугруппа — идеальный фактор. Этот идеальный фактор
состоит из тех же элементов, что и сам слой, разве лишь
иногда с добавкой одного нового нулевого элемента О*.
Таким образом, полугруппу ЭД в некотором смысле можно
рассматривать как бы составленной из множества полугрупп —
всех ее идеальных факторов. Последние, как мы показали
в 4.7, являются или чрезвычайно просто устроенными по-
полугруппами, в которых произведение двух любых элементов
равно нулю, или же представляют собой полугруппы, вовсе
не имеющие своих собственных двусторонних идеалов или
имеющие лишь один собственный двусторонний нулевой
идеал. Это обстоятельство объясняет интерес к полугруп-
полугруппам, не имеющим собственных ненулевых двусторонних идеа-
идеалов. Такие полугруппы часто называются простыми (в даль-
дальнейшем мы не будем употреблять этого термина). Изуче-
Изучению таких полугрупп мы посвятим значительную часть
следующей главы.
4.11. Пусть S есть произвольная главная двусторонне-
идеальная цепь полугруппы 51. Все идеальные факторы Ш
получаются из ее двустороннеидеальных слоев. Но совокуп-
совокупность последних совпадает с совокупностью всех 2-слоев.
Таким образом, все идеальные факторы полугруппы ЭД могут
быть получены из 2-слоев.
Пусть 1ц и 22 есть две главные двустороннеидеальные
цепи полугруппы %. Как мы уже отмечали B.15), совокуп-
совокупность всех Е^слоев и совокупность всех Ез-слоев одинаковы.
Таким образом, и совокупность идеальных факторов, по-
полученных из Hj-слоев, совпадает с совокупностью идеаль-
идеальных факторов, полученных из Бг-слоев. Это утверждение
является усиленной параллелью результатов ряда групповых
теорем типа Жордана—Хбльдера1. Первоначально соот-
соответствующий результат и был получен Рисом [1] в виде по
форме и содержанию сходном с теоретико-групповыми рас-
рассуждениями. В дальнейшем Н. Н. Воробьев [6] усилил этот
результат до той предельной степени, в какой он здесь
изложен.
1 См., например, А. Г. К у р о ш. Теория групп, изд. 2, § 16
и 56, Гостехиздат, 1953.

226 ИДЕАЛЫ [ГЛ. IV
4.12. Некоторые полугруппы обладают одной единствен-
единственной главной двустороннеидеальнбй цепью. Так как всякий
двусторонний идеал может быть включен в некоторую глав-
главную двустороннеидеальную цепь D.1), то указанное обсто-
обстоятельство имеет место для тех и только для тех полугрупп,
у которых множество всех двусторонних идеалов линейно
упорядочно относительно включения.
Теорема. Пусть совокупность двусторонних идеалов
полугруппы Ш удовлетворяет, условию максимальности
B.17.). Для того чтобы $ обладала лишь одной един-
единственной главной двустороннеидеальной цепью, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы все двусторонние идеалы Щ\
были главными двусторонними идеалами.
Доказательство. 1) Пусть 21 обладает единствен-
единственной главной двустороннеидеальной цепью. Пусть % есть
произвольный двусторонний идеал Ш. Согласно 2.17, он
является двустороннеидеальной оболочкой некоторого своего
конечного подмножества {Т^ Т2, ...,Тп). Рассмотрим дву-
стороннеидеальные оболочки элементов этого, множества
Xv %г %п. Так как все они входят в одну и ту же
двустороннеидеальную главную цепь, то при соответствую-
соответствующей нумерации мы имеем
Отсюда следует, что %п есть главный двусторонний идеал,
содержащий элементы 7\, Г2 Тп. Так как к тому же
ZnczX, то ?„ = ?.
2) Пусть все двусторонние идеалы ЭД являются главными.
Возьмем два произвольных двусторонних идеала Жг и 22,
являющихся двустороннеидеальными оболочками элементов
Ах и А2. Двусторонний идеал Z3 = Z1[j ?2 также является
двустороннеидеальной оболочкой некоторого элемента А3.
Этот элемент содержится в Zt или %г. Пусть A3?ZV Это
означает, что A3 = XA1Y, где X п Y являются элементами
из §1 или пустыми символами. В свою очередь, А2 ? %3
и потому А2 = UA3V, где U и V являются элементами
из Ш. или пустыми символами. Таким образом, A2 = UXAlYV,
откуда следует, что ^426^i и ПОТОМУ SgCjj. Мы показали,
что из двух произвольных двусторонних идеалов Ш один
обязательно содержится в другом. Из этого следует, что %
обладает единственной главной двустороннеидеальной цепью.

§4]
ДВУСТОРОННЕИДЕАЛЬНЫЕ ЦЕПИ
227
4.13. Покажем, что к числу рассмотренных выше по-
полугрупп принадлежит мультипликативная полугруппа 5ГОП
всех комплексных квадратных матриц порядка п. Обозначим
через ?fc@ ^&O) множество матриц из Ttn, ранг кото-
которых не превосходит k. Как известно ранг произведения
матриц не превосходит рангов сомножителей. Отсюда сле-
следует, что Хк является двусторонним идеалом Шп. Оказы-
Оказывается, что Шп не имеет иных двусторонних идеалов.
Пусть М есть матрица наибольшего ранга г, принадле-
принадлежащая двустороннему идеалу U полугруппы Шп, и N про-
произвольная матрица ранга р О- Как известно из теории ма-
матриц, путем так называемых элементарных преобразований
матрицы М и N могут быть приведены к виду
1
N'=
(невыписанные элементы равны нулю). Но элементарные
преобразования, как известно, могут быть осуществлены
путем умножения матрицы слева и справа на неособенные
матрицы. Таким образом,
М' =
N' —
15*

228 ИДЕАЛЫ [ГЛ. IV
где Pv P2, Qv Q2 неособенны и потому обладают обратными
матрицами. Так как, очевидно, N1 = M'N/, то
N = ^1 ^1 11
и потому
Из проведенных рассуждений следует, что U = Xr.
Таким образом, полугруппа 2К„' обладает лишь следую-
следующими двусторонними идеалами, образующими ее единствен-
единственную главную двустороннеидеальную цепь:
Отметим, что согласно 4.12, каждый из этих идеалов
является главным двусторонним идеалом.
4.14. Для произвольного непустого множества 2, мощ-
мощность которого обозначим через т, рассмотрим полугруппу <5а
всех его преобразований. Для всякой мощности п>1, не
превосходящей щ, обозначим через ?„ совокупность всех
преобразований X?<5a таких, что мощность XQ меньше п.
Для любых S?<Sa и
= X(SQ)c:XQ,
и потому XS?%u. Так как мощность XQ меньше п, то
и мощность (SX) 2 = 5(XQ) будет меньше п и потому
SX? !?„. Таким образом, Jn оказывается двусторонним иде-
идеалом. Как показал А. И. Мальцев [4], иных собственных
двусторонних идеалов ©в не имеет.
Пусть U есть произвольный двусторонний идеал полу-
полугруппы <&а, отличный от <S2. Возьмем произвольное пре-
преобразование U ? U, для которого мощность UQ обозначим
через I. Пусть V есть произвольное преобразование, у ко-
которого мощность VQ не превосходит t.
Множество 2 можно представить в виде непересекаю-
непересекающегося объединения
где каждая компонента Q\u' состоит из всех элементов 2,
преобразуемых преобразованием U в один и тот же эле-
элемент. Аналогично для преобразования V

§ 5] ВЗАИМОСВЯЗЬ ИДЕАЛЬНЫХ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЕЙ 229
Поскольку мощность множества компонент первого объе-
объединения есть I, а второго не превосходит 1, существует
взаимно однозначное отображение <р совокупности компонент
второго объединения в первое. Выделив в каждом 2^ по
произвольному элементу о5, определим преобразование К ?©2.
такое, что для а ?2^ имеет место Ka^aT(^. Так как
Ua^ Ф Ua^ (если ^ Ф |2), то из Vyx Ф V\i2 (что означает,
что [^1 и \i2 содержатся в различных компонентах 2^Г)), сле-
следует, что i/Kjxx Ф ?/Кц2. Отсюда по II, 3.1 следует, что
преобразование UY является правым делителем преобразо-
преобразования .V, т. е. при некотором Л*?2
Так как t/?U, то отсюда вытекает, что и
Из проведенных рассуждений следует, что двусторон-
двустороннему идеалу U соответствует класс мощностей, обладающих
тем свойством, что вместе с некоторой мощностью и все
меньшие принадлежат данному классу. Это есть такие мощ-
мощности, для которых существует ?/?U, такое что ?/2 имеет
данную мощность. Можно считать, что для данного класса
найдется такая мощность п, что этот класс является классом
всех мощностей меньших мощности п. Согласно предшест-
предшествующим рассуждениям, U будет не чем иным, как ?„.
Так как из каждых двух неравных мощностей щ и п2 одна
меньше другой и из щ > п2, очевидно, следует, что 2П1=э^ш,
то множество всех двусторонних идеалов полугруппы ©2
оказывается линейно упорядоченным по включению, т. е. об-
образует единственную главную двустороннеидеальную цепь
полугруппы ©а-
§ 5. Взаимная связь идеальных эквивалентиостей
6.1. Помимо интереса, который представляет самостоя-
самостоятельное независимое изучение каждой из идеальных экви-
валентностей—левоидеальной, правоидеальной, и двусто-
роннеидеальной, существенна связь между этими эквивалент-
ностями.
Прежде всего рассмотрим одно важное соотношение
между левоидеальной эквивалентностью и правоидеальной
эквивалентностью, полученное Грином [1].

230 ИДЕАЛЫ [ГЛ. IV
Пусть элемент At полугруппы % принадлежит левоиде-
альному слою gt и правоидеальному слою fRt. Соответственно
элемент А2 принадлежит слоям 22 и й2.
Если пересечение St и 9?2 непусто, то непусто и пе-
пересечение %2 и fRv
Действительно, пусть
Если Z Ф At и Z Ф А2, то, согласно 3.8, в полугруппе
должны найтись такие элементы Т, U, V, W что
Возьмем элемент
Х=АУ = UZV = UA2.
Так как
Ах = UZ = UA2W = XW, X = Аг V,
то, по 3.8, X и Ах содержатся в одном и том же пра-
воидеальном слое, т. е. St
Аналогично из
следует, что Х? 22. Таким образом, в рассматриваемом слу-
случае з^пг.э*-
В случае, когда Z = AV мы имеем A1^9i2, т. е. $Ял = 9?1
и потому
Аналогично, при Z = A2
5.2. Если использовать понятие умножения отноше-
отношений (I, 5.2), то тот факт, что для некоторых элементов Ах
и Аг пересечение %х и Ш2 непусто, означает, что А1 и А2
находятся в отношении I • х, где 1 означает левоидеальную
эквивалентность, а х правоидеальную эквивалентность. Ана-
Аналогично йгПЭ*^ 0 означает, что Ах и \ находятся в от-
отношении г • I. Таким образом, доказанное в 5.1 свойство
означает не что иное, как перестановочность отношений I
и х (I, 5.3): 1-х = х- 1.

§ 5] ВЗАИМОСВЯЗЬ ИДЕАЛЬНЫХ ЭКВИВАЛЁНТНОСТЕЙ 231
Б.З. Отношение 1-х E,2) было введено и подробно рас-
рассмотрено Грином [1]. В дальнейшем оно изучалось в работе
Клиффорда [9] и в работе Миллера и Клиффорда [1[. Как
показал Грин, в некоторых случаях это отношение сов-
совпадает с двустороннеидеальной эквивалентностью. Например,
это имеет место для периодических полугрупп.
Действительно, пусть ЭД есть периодическая полугруппа.
Если два ее различных элемента А а В связаны отно-
отношением 1 • t E.2), то существует такой элемент X, что А
и X делятся друг на друга справа, а В и X делятся друг
на друга слева. Отсюда следует, что X принадлежит дву-
двустороннеидеальной оболочке А, а А, в свою очередь, при-
принадлежит двустороннеидеальной оболочке X. Следовательно,
X и А двустороннеидеально эквивалентны. Также двусто-
роннеидеально эквивалентны X и В. Следовательно, А и В
двустороннеидеально эквивалентны.
Пусть теперь А и В двустороннеидеально эквивалентны.
Тогда, согласно 3.6, при некоторых Xv Х2, X3, Xt, кото-
которые являются элементами ЭД или пустыми символами,
Х1АХ2 = В,
Отсюда получаем
% потому и
; B = (X1X3)kB(XiX2f
Лри любом натуральном k. Возьмем k таким, чтобы D2)
Щш идемпотентом, что возможно, так как % периодична.
Фогда из указанного равенства следует
мы имеем
1 = ВХ4Х2 {XiX2f~1 = В (XiX2)k = В
если k=\). Отсюда следует, что В и Z
«равоидеально эквивалентны. Аналогично убеждаемся, что
левоидеально эквивалентны Z' = X3B и В. Это значит, что
Z' и В делятся друг на. друга справа. Но тогда и Z'Xt
и BXt будут делиться друг на друга справа, т. е. будут
левоидеально эквивалентны. Но Z'Xt = А, а ВХК — Z. Таким
фбразом, А и Z левоидеально эквивалентны.

232 ИДЕАЛЫ [ГЛ. IV
Учитывая доказанное выше, мы получаем, что А и В
связаны отношением 1 • х E.2). J
5.4. Пересечение произвольных левоидеального слоя
и правоидеального слоя полугруппы, как показал Грин [1],
часто оказывается группой. Им было получено условие
этого.
Теорема. Пусть й есть некоторый лево идеальный
слой, a SR правоидеальный слой полугруппы Щ; $ = 2fi$R.
Если
ШП&Ф 0.
то R является группой.
Доказательство. Пусть X и К такие элементы из 5?,
что XY?R. Согласно 3.8, должны найтись такие U и V,
являющиеся элементами из Ш или пустыми символами, что
Для элемента I=UXYV мы, очевидно, имеем
/=КУ, I=UX,
XI=XYV = X, IY= UXY = К,
Отсюда следует, что X а I левоидеально эквивалентны,
т. е. /?й, a Y и / правоидеально эквивалентны, т. е. /?Я.
Таким образом, /?$.
Пу?ть Z?R. Так как Z и J левоидеально и право-
идеально эквивалентны, то при некоторых Zv Z2, Z3, Z4?$l
ZtJ=Z, IZZ = Z, Z3Z = I, ZZi^I.
Отсюда следует:
IZ = Z, ZI = Z.
Таким образом, / оказывается двусторонней единицей
в множестве §t.
Так как
/Z3/ ¦ Z = IZ%Z = //-=/, Z • IZiI = ZZJ = II = I,
IZJ=/Z3/ • / = /Z3/ • Z - IZJ = / • /Z</ = IZJ,
то элемент /Z3/ левоидеально эквивалентен с 7 и потому
принадлежит S. Аналогично /Z3/? SR. Таким образом, /Z3/

§ 5] ВЗАИМОСВЯЗЬ ИДЕАЛЬНЫХ ЭКВИВАЛЕНТНОСтЕЙ 233
принадлежит R и является двусторонне обратным к Z по
отношению к /.
Пусть Т, Z?R и ZZ' = I. Поскольку TZ делится на Т
слева и Т делится на TZ слева
оба элемента Т и TZ гдолжны содержаться в одном и том
же правоидеальном слое, т. е. TZ?9l. Аналогично пока-
показываем, что TZ?2. Следовательно, TZ?$, что и завершает
доказательство того, что R есть группа.
б.б. Непустота пересечения ЗШЛ& будет, в частности,
обеспечена, если 5? содержит идемпотент.
Следствие. Если 2 есть левоидеальный слой и 91 пра-
воидеальный слой полугруппы, причем 2П91 содержит
идемпотент, то 2 П 5R является группой (и, следовательно,
такой идемпотент единственный).
6.6. Пусть / есть произвольный идемпотент полугруппы %
и (&J множество всех вполне регулярных элементов, для
которых / является двусторонне регулярной единицей. Как
мы показали в III, 1.14; III, 1.16, ©/ есть максимальная
подгруппа Ш, имеющая / своей единицей. Так как все эле-
элементы группы делятся друг на друга и слева и справа,, то
все элементы из ©/ будут и левоидеально и правоидеально
эквивалентны с /.
Учитывая 5.5, отсюда заключаем, что (8}/ = 2П$> гДе 2
есть левоидеальный слой, содержащий /, а 91 правоидеаль-
ный слой, содержащий /.
6.7. Так как всякий двусторонний идеал полугруппы
является и левым ее идеалом и правым, то элементы лево-
идеально эквивалентные или правоидеально эквивалентные
будут обязательно и двустороннеидеально эквивалентными.
Отсюда следует, что каждый двустороннеидеальный слой
, представляет собой непересекающееся объединение неко-
некоторых левоидеальных слоев, а также непересекающееся объе-
объединение некоторых правоидеальных слоев.
5.8. Вопрос о том, из каких левоидеальных слоев со-
составлен двустороннеидеальный слой и как они могут быть
получены, в некоторой степени выясняется при помощи ни-
нижеследующей теоремы, полученной Н. Н. Воробьевым [6].
Теорема. Если Zt и ?2 есть два соседних B.8) дву-
двусторонних идеала полугруппы Щ?,:э2:2) и некоторый

234 ИДЕАЛЫ [ГЛ. IV
левоадеальный слой й содержатся в 2^ \ %z и таков,
что 22U2 есть левый идеал %, то при всяком лево-
идеальном слое й', содержащемся в Zi"\%2, множество
%ъ U 2' будет левым идеалом полугруппы Ж.
Доказательство. 1) Обозначим через 2 множество
всех таких левоидеальных слоев полугруппы ЭД, что каждый
из них 31 содержится в St\St2 и таков, что 291
является левым идеалом К. 2 непусто, так как й?2.
Рассмотрим множество
Ф = Г и ^из:в= и (яиау.
Так как S'i U 22 при 91 ? 2 есть левый идеал 91, то и ^
является левым идеалом.
ф содержится в. Zv содержит Z2 и отличен от Х2 (так
как Йс22). Если нам удастся показать, что ^ есть правый,
а следовательно, и двусторонний идеал ЭД, то это будет
означать, что ^ = 2t. Отсюда непосредственно вытекает спра-
справедливость утверждения нашей теоремы, ибо 2' как один
из левоидеальных слоев, принадлежащих ?1\?2 = ^\?2
обязан будет совпадать с некорым 31 ? 2.
2) Пусть Л?21 и X?ty. При некотором 91 ?Е эле-
элемент X принадлежит левому идеалу Щ (J %2.
Предположим, что существует не менее двух левоиде-
левоидеальных слоев, содержащихся в левом идеале (9?и?2)Л, но
не содержащихся в 5?2. Это означает, что в
имеется не менее двух левоидельных слоев. Согласно 2.9,
отсюда следует, что соответствующие левые идеалы не
являются соседними, т. е. между ними лежит некоторый,
отличный от них обоих, левый идеал 2":
0R U t2) A=>Z"=>X2 П (Я U Х2)А.
Обозначим через йх совокупность всех таких элементов
К6$. что YA?%", и через 22 —пересечение EКи?2) и 8^
Если T?Z2, то ТА€01и%2)А и ТА?%2, а потому
ТА?Х2П(т[}Х2)А<=й". Следовательно, Г^. Таким об-
образом, J2cz8i. 8j и йг являются левыми идеалами.
Так как йгСЙ!, то из определения fij следует, что
Й2Лс8". Если L"c8", то L" = ZA, где Z??RU?2. По

§ 5] ВЗАИМОСВЯЗЬ ИДЕАЛЬНЫХ ЭКВЙВАЛЁНТНОСТЕЙ 235
определению St элемент Z должен принадлежать й4. Сле-
Следовательно, Z?%2. Если бы й2сг2:2, то и Z принадлежал
бы ?2, а потому и произвольный элемент L" из 2" принад-
принадлежал бы $fc2, что невозможно, ибо й" содержится в (9? U ?2) Д
но содержит ?2 П 0R U ?2) ^ и отлично от него. Таким об-
образом, . на самом деле %% не может содержаться в %2.
Так как йг содержится в 31U 22, то йг имеет общие эле-
элементы с 31 и потому, будучи левым идеалом, обязан содер-
содержать весь левоидеальный слой Jfi.
Выше мы показали, что З^сЙ^ Так как 22 = (9? U &г) П 2^
то ?2с22, а так как 9?с:22, то S'iU^cSa и потому бла-
благодаря определению Й2
й2=эг и г2.
Так как йгСЙ!, то
что противоречит исходному предположению относительно 2".
Полученное противоречие означает, что на самом деле
0lU%z)A не может содержать более одного левоидеального
слоя, не содержащегося в %2-
3) Если (9<*и22)Лс:2:2, то
Если среди элементов C\\)Z?)A есть не принадлежа-
принадлежащие %2< т0 все они> согласно доказанному во второй части,
образуют один левоидеальный слой Щ.'. Так как 9f ?S,
то №. U Хг есть левый идеал 21, а потому и (9^ U $2) А есть
левый идеал. Поэтому
есть левый идеал, т. е. Jfi'^S. Отсюда следует:
ХА ? (У1U ЗУ Лс Я' U Szcz ф.
Поскольку в обоих возможных случаях ХА ? ф, множество ф
оказывается правым идеалом.
5.9. Следствие. Пусть в полугруппе $ совокупность
главных левых идеалов удовлетворяет условию минималь-
минимальности. Если J, в Jj есть два соседних двусторонних
идеала %, аУ1 левоидеальный слой, содержащийся в %{\ 22,
то %2 U 3^ является левым идеалом $.

236 ИДЕАЛЫ. [ГЛ. IV
Доказательство. В множестве всех главных левых
идеалов, содержащихся в 21, но не содержащихся в ?2,
должен существовать идеал 2, являющийся минимальным
в этом множестве. Левые идеалы 2^ и 2^ (J 2 являются сосед-
соседними. Действительно, если 2' есть такой левый идеал, что
то возьмем в 2'\22 некоторый элемент X и рассмотрим
его левоидеальную оболочку Их- Так как Х(=%2, то ^?2,
а потому и 2jfCi2. Благодаря минимальности 2 отсюда сле-
следует 2je —2. Но 2j:c:2'. Следовательно, 2/гэ2 и потому
2
Из доказанного следует, что Bги2)\22 есть левоидель-
ный слой. Его объединение с 22 дает левый идеал $. Отсюда,
согласно 5.8, следует, что объединение левоидеального
слоя 9t с %г также должно давать левый идеал.
6.10. Всякая двустороннеидеальная цепь полугруппы
является ее левоидеальной цепью. Конечно, главная дву-
двустороннеидеальная цепь, вообще говоря, не будет главной
левоидеальной цепью. Согласно 2.12, она может быть допол-
дополнена до главной левоидельной цепи. Обычно это может быть
сделано несколькими различными способами.
При помощи выведенного следствия 5.9 можно описать,
как могут быть осуществлены все такие возможные допол-
дополнения при соответствующем предположении.
Пусть в полугруппе 21 совокупность главных левых идеа-
идеалов удовлетворяет условию минимальности. 2 есть произволь-
произвольная главная двустороинеидеальная цепь Ж. Для произвольных
соседних двусторонних идеалов 2^ и 22 цепи S рассмотрим
совокупность Ф всех левоидеальных слоев, содержащихся
в ^\2:2.
Согласно 5.9, для любого З^^Ф объединение 22U9t
является левым идеалом. Отсюда следует, что для любого
множества Ф'сФ объединение
будет левым идеалом §1, содержащим 2^ и содержащимся
в 2Х. Очевидно, таким способом могут быть получены все
такие левые идеалы, поскольку каждый из них содержит

§ 5] ВЗАИМОСВЯЗЬ ИДЕАЛЬНЫХ ЭКВЙВАЛЕНТНОСТЕЙ 237
весь слой 9t? Ф. если только хотя бы один элемент из Jfi
принадлежит ему.
Произведем произвольным образом линейное упорядочение
в Ф. Рассмотрим такие подмножества Ф' множества Ф, что, если
¦Л^Ф', то Ф' содержит и всякое такое 9t', которое пред-
предшествует 9?, согласно введенному упорядочению. Согласно
полученному выше, I [J %l\ (J 5?2 есть левый идеал tit, со-
держащий %2 и содержащийся в $,v Множество всех таких
левых идеалов, построенных для любой пары соседних дву-
двусторонних идеалов Zt и 5?2 из цепи S, образует левоидеаль-
ную цепь 2', являющуюся дополнением двустороннеидеальной
цепи S. Она является главной левоидеальной цепью ЭД. Действи-
Действительно, пусть присоединение левого идеала й к цепи ?' дает
левоидеальную цепь ЭД. Пусть
где 2^ и ?2 соседние двусторонние идеалы, принадлежа-
принадлежащие 2. й, как и всякий левый идеал, является объединением
некоторых левоидеальных слоев. Следовательно,
Пусть St ? ЧГ и 91' предшествует 9? в отношении указанной
выше упорядоченности. Рассмотрим левый идеал из ?':
где Ф' состоит из всех 9t", предшествующих $1'. Если
W ф ЭТ, то ?' не содержит й и потому по свойству цепи
должен сам содержаться в Й. Отсюда следует, что йгэЭТ',
т. е. Э^'^ЧГ. Мы показали, что ЧГ таково, что й сам оказы-
оказывается идеалом, принадлежащим ?'.
Совершенно очевидно, что всякая главная левоидеальная
цепь, являющаяся дополнением данной главной двухсторонне-
идеальной цепи S, может быть получена описанным спо-
способом.
5.11. Полученные результаты, так же как и различные
другие исследования, проведенные Н. Н. Воробьевым [6] и
Грином [1], показывают важность условий минимальности

238 идеалы [гл. iv.
для главных идеалов. В связи с этим существенной оказы-
оказывается связь между такими условиями, установленная Грином.
Теорема. Если в полугруппе совокупность всех глав-
главных левых идеалов удовлетворяет условию минималь-
минимальности и совокупность всех главных правых идеалов
удовлетворяет условию минимальности, то и совокуп-
совокупность всех главных двусторонних идеалов удовлетво-
удовлетворяет условию минимальности.
Доказательство. Пусть Г' есть некоторое непустое
множество главных двусторонних идеалов полугруппы %.
Обозначим через R множество всех элементов ЭД, двусторонне-
идеальные оболочки которых принадлежат Г'. Через Ф обо-
обозначим множество левоидеальных оболочек таких элемен-
элементов X, что
Так как Ф, очевидно, непусто, то благодаря условию тео-
теоремы в Ф должен найтись минимальный идеал й0. Он является
левоидеальной оболочкой некоторого элемента Хо.
Через W обозначим множество правоидеальных оболочек
таких элементов Y, что X0Y?R. Если ЧГ непусто, то оно
содержит минимальный идеал Шо. Он является правоидеаль-
ной оболочкой некоторого элемента YQ.
Обозначим через Хо двустороннеидеальную оболочку эле-
элемента X0Y0. Так как X0Y0?St, то %0?Т'.
Предположим, что двустороннеидеальная оболочка неко-
некоторого элемента Z принадлежит Г' и содержится в Хо. Тогда
при некоторых An В, являющихся элементами ${ или пустыми
символами,
Z = AX0Y0B.
Так как Z?$, то левоидеальная оболочка 2' элемента АХ0
по определению Ф должна принадлежать Ф. При этом
2'с:й0. Следовально, 2' = 20. Это значит, что АХ0 и Хо
левоидеально эквивалентны. Но тогда, очевидно, будут лево-
идеально эквивалентными и элементы (АХ0). (К0В) и X0Y0B,
получающиеся от умножения этих элементов справа на общий
множитель. Эти элементы будут и двустороннеидеально экви-
эквивалентны. Таким образом, X0Y0B ? 5? и потому Y0B ? W. Так как
правоидеальная оболочка элемента Y0B содержится в право-
идеальной оболочке 9?0 элемента Yo, то благодаря минималь-

§ 6] ИЗОЛИРОВАННЫЕ ИДЕАЛЫ 239
ности последней в ЧГ эти оболочки должны совпадать, т. е. Ко
и YqB должны быть правоидеально эквивалентны. Но тогда
правоидеально эквивалентными будут и элементы X0Y0
и X0Y0B. Выше мы показали, что второй из них двусто-
роннеэквивалентен элементу Z. Следовательно, Z двусто-
роннеидеально эквивалентен с X0Y0, т. е. его двусторонне-
идеальной оболочкой является ?0. Показав это, мы доказали
минимальность ?0 в Г'.
Если Ч!" пусто, то X0?$t и аналогично предыдущему
(считая Yo пустым символом) показываем, что двусторонне-
идеальная оболочка элемента Хо является минимальным мно-
множеством в Г'.
§ 6. Изолированные идеалы
6.1. Роль подполугруппы 23 некоторой полугруппы ЭД
в значительной степени зависит от того, как ведут себя по
отношению к 23 элементы из $\23. Существенно, могут ли
произведения некоторых элементов из 91\23 равняться
какому-либо элементу из SB и, в частности, может ли неко-
некоторая степень какого-нибудь элемента из 91 \33 равняться
какому-либо элементу из SB.
Определение. Подполугруппа 23 полугруппы Ж назы-
называется изолированной, если для всякого Х?ЧИ
и любого натурального п аз Xя ?23 всегда следует
Ъ
23 называется вполне изолированной, если для
любых X, Y ? 91, из XY ? 23 всегда следует, что X или Y
принадлежат 23.
Исследование свойств изолированности и полной изолиро-
изолированности в основном проводилось до сих пор для идеалов.
Вполне изолированные идеалы называются в литературе также
простыми идеалами, изолированные иделы (этот термин при-
принадлежит П. Г. Конторовичу) называются иногда полупро-
полупростыми (например, так их называет Круазо).
6.2. Отметим несколько свойств изолированных подполу-
подполугрупп произвольной полугруппы St.
(а). Вполне изолированная подполугруппа полугруппы 91
является изолированной.
(E). Сама Ч\ является своей вполне изолированной под-
подполугруппой.

240 ИДЕАЛЫ [ГЛ. IV
(-[¦). Подполугруппа 58 будет вполне изолированной
тогда и только тогда, когда ?(\23 является подполу-
подполугруппой или пусто.
E). Пересечение любого множества изолированных
подполугрупп, если оно непусто, само является изоли-
изолированной подполугруппой.
(г). Объединение любого множества изолированных
левых идеалов есть изолированный левый идеал.
(С). Объединение любого множества вполне изолиро-
изолированных левых идеалов есть вполне изолированный левый
идеал.
(tj). Для того чтобы идеал 58 был изолированным,
достаточно, чтобы для всякого Х?УИ из ^?58 всегда
следовало Х?3$.
Действительно, пусть идеал SB не является изолирован-
изолированным. Это значит, что для некоторого элемента X из Щ\5В
имеет место Хп?Ъ-
Пусть X из |t\SB и натуральное число я выбраны так,
что п наименьшее из всех возможных чисел с таким свой-
свойством (при любых элементах Х? ЭД\58). Число п не может
быть четным, отличным от двух, так как иначе
и оба возможных случая
противоречат минимальности п.
Число п не может быть нечетным (конечно, п ф 1), так
как иначе
хп+1?%
(что следует из того, что Хп+1 = Х-Хп = Хп-Х, Хп?%, a SB
есть левый или правый идеал) и опять-таки оба возможных
случая
п+1 и+1
1) X 2 ?2Э; 2) X 2 =К€23. ^€»
противоречат минимальности я. Следовательно, я = 2, т. е.
для неизолированного идеала обязательно найдется такой
элемент ^?1>{\58, что

§ 6] ИЗОЛИРОВАННЫЕ ИДЕАЛЫ 241
(8). Если 33 есть изолированный двусторонний идеал
полугруппы %, которая является двусторонним идеалом
некоторой ее надполугруппы %', то 23 есть двусторонний
идеал полугруппы W.
Действительно, при любых X?W и fi?23 произведе-
произведение ХВ принадлежит §1, поскольку 23с§1, а Щ. является
двусторонним идеалом для §1'. Предположим, что ХВ^Ъ.
Так как 33 изолирован в 31, то и (ХВJ g 23. Однако это
невозможно, ибо
(ХВ? = ХВХ ¦ В ? (ХВХ) 23 ? 23.
Аналогично убеждаемся, что и ВХ^ЧЬ невозможно. Сле-
Следовательно, 33 есть двусторонний идеал 51'.
6.3. Отметим, что для вполне изолированных подполу-
подполугрупп свойство аналогичное C) не имеет места. В качестве
примера укажем полугруппу из трех элементов А, В, О,
у которой Л2 = Л, ЕР —В, XY = 0 во всех остальных слу-
случаях. И [А, 0} и {В, 0} являются вполне изолированными дву-
двусторонними идеалами. В то же время их пересечение О не явля-
является вполне изолированной подполугруппой, так как АВ = О.
Заметим также, что для подполугрупп, не являющихся
идеалами, не имеет места свойство, аналогичное (tj). В каче-
качестве примера укажем подполугруппу 23 мультипликативной
полугруппы всех натуральных чисел, состояющую из чисел
вида 8* (k= 1, 2, 3, ...). Очевидно, N2 = 8k возможно
лишь для N?23. Однако 23 не является изолированной под-
подполугруппой, ибо 23?23, но 2 ?23.
6.4. Выделение полугрупп, характеризующихся изолиро-
, ванностью тех или иных идеалов, как заметил Круазо [5],
удобно произвести, используя понятие классов регуляр-
регулярности (II, 6.11).
(а). Для того чтобы все левые идеалы полугруппы Ж
были изолированными, необходимо и достаточно, чтобы
Действительно, пусть все левые идеалы 31 изолирован-
изолированные. Для произвольного А?Щ. изолированным является левый
идеал Ядг. Но ,43?2L42. Поэтому А?Ш2, т. е. при неко-
некотором X?fL
А = ХА2,
что и означает, что Л?(?я @, 2).

242 ИДЕАЛЫ [ГЛ. IV
В свою очередь, если §1 = 6я @, 2), й есть некоторый
левый идеал 21 и Л2?й (-4?91), то при некотором Х?*й
Так как Л2?й, то отсюда следует, что и Л?й. Со-
Согласно 7.2, (?)), это означает изолированность й.
(Р). Для того чтобы все правые идеалы полугруппы *й
были изолированными, необходимо и достаточно, чтобы
« = <S»B. 0).
Доказательство аналогично доказательству (а).
(-[). Для того чтобы все идеалы (и левые и правые)
полугруппы 21 были изолированными, необходимо и доста-
достаточно, чтобы
Я = «,(<>. 2) = 6» B, 0).
Это непосредственное следствие (а) и ({3).
(8). Для того чтобы все двусторонние идеалы полу-
полугруппы 91 были изолированными, необходимо и доста-
достаточно, чтобы для всякого Л?Щ имело место
Действительно, если всякий двусторонний идеал является
изолированным, то, в частности, изолированным будет и
двусторонний идеал %АЩ. Но А* ? %АЩ. Поэтому А ? %АЩ.
Пусть теперь всякий элемент А содержится в 1ИАЩ и %
есть произвольный двусторонний идеал 31. Если А2 ? 2
(Л?91), то А?%АЩсШЖаХ и ? является изолированным
идеалом F.2, (т])).
6.6. Пусть й есть некоторое непустое подмножество
полугруппы К. Рассмотрим совокупность всех изолирован-
изолированных подполугрупп Щ, содержащих R. Благодаря 6.2, ф)
она непуста. Минимальная подполугруппа в этой совокуп-
совокупности B.1) называется минимальной над R изолированной
подполугруппой Ж. Аналогично минимальная полугруппа
в совокупности всех вполне изолированных подполугрупп Щ,
содержащих Я, называется минимальной над & вполне
изолированной подполугруппой §1.
Согласно сказанному в 2.3, из свойств 6.2, (a), (f3), C)
следует, что существует универсально минимальная над $?
изолированная подполугруппа Ш. Она является единственной

* § 61 ИЗОЛИРОВАННЫЕ ИДЕАЛЫ 243
-¦¦г
fv минимальной над $ изолированной подполугруппой ЭД. Часто
»?'"ее называют изолятором Я. Что касается минимальных
Ц над 5? вполне изолированных подполугрупп, то таких может
''% быть и несколько.
4^ Очевидно, для изолированных подполугрупп и только
Ш для них минимальная над ней изолированная подполугруппа
^совпадает с самой подполугруппой.
% Для вполне изолированных подполугрупп и только для
ff йих минимальная над ней вполне изолированная подполу-
подполугруппа совпадает с самой подполугруппой.
Ц 6.6. Свойство изолированности подробно было исследо-
|йано П. Г. Конторовичем [1], [2], [3] для одного класса
4Пйолугрупп, вложимых в группы (III, 1.10). Ниже мы рас-
рассмотрим полученные им описания минимальных над заданным
^Идеалом изолированных и вполне изолированных подполу-
подполугрупп. Мы отнесем эти исследования к одному классу полу-
Йрупп, охватывающему класс полугрупп, вложимых в группы.
Ф, 6.7. Будем говорить, что полугруппа % удовлетворяет
^коммутаторному условию, если для любых А, В?Щ. в ЭД
всегда найдутся такие элементы La, b> Ra, b> что
= LAtBA, AB = BRA>B.
чевидно, коммутаторное условие означает совпадение отно-
ений левой делимости и правой делимости. Значение этого
ловия существенно, в частности, потому, что ему удо-
етворяет всякая коммутативная полугруппа и всякая такая
^группа §1, для которой существует такая надгруппа ©,
всякого G?®. Действительно, для такой полугруппы
качестве La, в и Ra, в- очевидно, можно взять
La, в = ABA-1. RA, в = ВГХАВ,
А~х и В~х есть элементы, обратные соответственно
к А и В в ® (благодаря условию для ® и La, в и /?.а, в
- принадлежат 31).
*5 6.8. Лемма. Пусть полугруппа % удовлетворяет
-| коммутаторному условию F.7), тогда всякий идеал ЭД
| является двусторонним.
I 16*
"К-

244 идеалы [гл. iV
Доказательство. Пусть й есть левый идеал Ц.
Если Л"?2 и А?%, то
Следовательно, 2 является одновременно и правым идеалом 51.
Аналогично показываем, что и всякий правый идеал 31
обязательно является двусторонним.
6.9. Теорема. Пусть 91 есть полугруппа, удовлетво-
удовлетворяющая коммутаторному условию, % некоторый ее
идеал.
Минимальными над % вполне изолированными под-
подполугруппами 31 являются те, и только те подполу-
подполугруппы 9$, для которых 31 Хф есть подполугруппа 3t,
максимальная в множестве подполугрупп Щ, содержа-
содержащихся в 91 \?. Если же это множество пусто, то
сама Ш является минимальной над % вполне изолиро-
изолированной подполугруппой 31-
Подполугруппа ^ является идеалом 91.
Доказательство. 1) Пусть О. есть подполугруппа %,
принадлежащая 31 \? и не содержащаяся ни в какой, отлич-
отличной от самой О-, подполугруппе, принадлежащей 91 \?
(если в 31 \ % не содержится подполугрупп 31, то D- есть
пустое множество). Обозначим через 9? идеал, являющийся
объединением всех идеалов 31, лежащих в 5K = % \ D. Так
как & = $\^с:Щ\?, то ?с^Р и потому Sc3J. Пред-
Предположим, что произведение некоторых элементов At и А2
из 31 \ 91 содержится в W. Оба множества
3l1 = IW1U^i. 9^ = 31^2 U А2,
очевидно, являются левыми идеалами. Так как они не со-
содержатся в 9t, то они должны иметь общие элементы с D-:
/"i = «Их € 9*1 П О-. F2 = S2
(случай, когда Fi = Ait вполне аналогичен). Но
что противоречит тому, что FyF2 есть произведение эле-
элементов, принадлежащих полугруппе &, и потому должно
содержаться в О. Из этого следует, что 9t есть вполне
изолированный идеал. Так как 3\zdZ, to 3l\9t есть под-

§ 61 ИЗОЛИРОВАННЫЕ ИДЕАЛЫ 245
полугруппа ЭД, принадлежащая Щ\2. Благодаря
это возможно лишь при 2l\9t = 2l\^, т. е. когда 9t = ^.
Таким образом, ^ оказывается вполне изолированной под-
подполугруппой и идеалом. Пусть ?$' есть вполне изолирован-
изолированная подполугруппа 21, такая, что
Тогда 21 \^' есть подполугруппа 21, принадлежащая
? и содержащая О. = 21\ф. По исходному предполо-
предположению относительно О. отсюда следует, что $Й\^Р' = 21\^,
т. е. ^5' = 5р. Это доказывает, что ^ есть минимальная
над X вполне изолированная подполугруппа 21.
2) Пусть 5K есть минимальная над X вполне изолирован-
изолированная подполугруппа. D = 2l\sp есть подполугруппа ЭД, при-
принадлежащая 21 \ X F.2, (f)). Согласно III, 4.7, в 21 \?
найдется такая подполугруппа D', содержащая О,, которая
не содержится ни в какой подполугруппе, отличной от О-'
и принадлежащей % \ X. Согласно доказанному в первой
части, 91 \&' есть минимальная над % вполне изолирован-
изолированная подполугруппа. Так как ЭДЧО-'сЩЧ D- — Щ, то благо-
благодаря предположению о ty отсюда следует it\D' — ty,
т. е. О.' = О.. Это и заканчивает доказательство, по-
поскольку О' обладает требуемым для Q. свойством.
6.10. Теорема. Пусть Щ, есть полугруппа, удовле-
удовлетворяющая коммутаторному условию, и % есть идеал 9L
Тогда минимальная над % изолированная подполугруппа
сама является идеалом 21, состоит из всех элементов,
Некоторая степень которых содержится в %, и равна
¦ пересечению всех минимальных над % вполне изолиро-
изолированных подполугрупп полугруппы II.
Доказательство. 1) Пусть %' есть минимальная
над % изолированная подполугруппа и 33 множество всех
Таких элементов, некоторая степень которых принадлежит X.
Если Хп?2 (Х?Щ, то Х?%'. Следовательно, 23с?'.
35 есть идеал §1. Действительно, из Хп?Х для любого
А?Ш получаем:
(х4)п = xах ах а ... ха = xxra хлха ... ха =
= xxxr{Ra XiAX)a.'..xa=
т. е. из Х?_Ъ следует

246 ИДЕАЛЫ [гл. IV
Изолированность 23 очевидна. Из нее следует 23:э2/.
Учитывая доказанное ранее обратное включение, получаем
8 = Ж'.
2) Обозначим через 6 пересечение всех минимальных
над X вполне изолированных подполугрупп 51. (SzjSt', так
как X' содержится в каждой изолированной подполугруппе,
содержащей ? F.2, (8); 6.5).
Пусть Х?Ж\%'. Так как %' изолированная подполу-
подполугруппа, то [Х][)%'=0, т. е [Л"]с=$\3:'с=Я\2. Пусть 9?
есть такая подполугруппа, содержащая [X], которая при-
принадлежит 21 \?, но не содержится ни в какой отличной от
самой 31 подполугруппе, принадлежащей Ж\Х (III, 4.7).
Согласно 6.9, 9Я —SlX-ft есть идеал, являющийся мини-
минимальной над X вполне изолированной подполугруппой §1.
Так как Х?91, то Х^Ш. Но (ЕсЗЙ, поэтому Х?&. Мы
показали, что ЭДЧЗ/ и 2 не могут иметь общих элементов.
Следовательно, @с2/. Ввиду полученного ранее обратного
включения имеет место %' = 6.
6.11. Среди полугрупп имеются и такие; которые вовсе
не имеют собственных изолированных идеалов. Условие
этого для коммутативных полугрупп было найдено Тьер-
реном [16].
В коммутативной полугруппе 51 введем отношение и,
полагая X~Y(n)(X, К?Я), если
Если в ЭД для любых элементов X и Y имеет место
Л"~ К(п), то в % нет собственных изолированных идеалов.
Действительно, предположим, что 23 есть собственный
изолированный идеал %. Пусть В?23 и Л?1Й\23. Так как
В~А(п), то при некотором Z?Щ и некотором натураль-
натуральном числе п должно иметь место BZ = Ап. Но BZ ? 23,
а Ап ?23 ввиду изолированности 23.
Если в % найдутся элементы X и Y такие, что Xrjj Y(n),
то % обладает собственными вполне изолированными идеалами.
Обозначим через 23 совокупность всех таких элемен-
элементов В, что S^K(tt), и через 6 — совокупность всех таких
элементов С, что С~' К(п).
23 непуста, ибо A"?23, a 6 непуста, ибо Y ?23.
23 есть идеал §!(, так как при любых В ? 23 и А ? % из
ЯЯ П IК] = 0 следует ВАП П [У] = 0•

§ 6] ИЗОЛИРОВАННЫЕ ИДЕАЛЫ 247
Покажем, что 23 вполне изолирован. Предположим, что
CtC2? 23, причем Cv С2? (S = $423. Последнее означает,
что при некоторых Zv Z2?$ имеет место
dZi = К", C2Z2 = Y™.
Но тогда
(C1C2){ZiZ2)=r+m,
что противоречит тому, что СХС2?23.
6.12. Из 6.11, в частности, следует, что если комму-
коммутативная полугруппа не имеет собственных вполне изоли-
изолированных идеалов, то она не имеет и собственных изолиро-
изолированных идеалов.
6.13. Наравне с условиями изолированности и полной
изолированности иногда приходится рассматривать родствен-
родственные условия. Например, для подполугруппы 23 полугруппы Щ.
иногда требуют, чтобы ЛТ?23 было возможно лишь при
X, Y ?23 (Мак-Кензи [1]). Иногда ограничиваются требова-
требованием, чтобы из Л!У?23 следовало Х"?23 или К™?23 при
некотором натуральном п (Ауберт [1]).
Указанные условия, так же как и условия изолирован-
изолированности и полной изолированности, могут быть заданы исходя
из дополнения Ж \ 23 к полугруппе 23 полугруппы %
23 будет изолированной, если 21\23 вместе с каждым
элементом X содержит и X2.
23 будет вполне изолированной, если 91\23 является
подполугруппой 91 или пусто.
23 удовлетворяет тому условию, что ЛУ?23 влечет
X, К ?23. если %\23 есть двусторонний идеал %.
23 удовлетворяет тому условию, что ЛТ?23 влечет Хп? 23
или К™?23 при некотором п, если Щ\23 таково, что из
[X], [K]cz?I\23 всегда следует 3

ГЛАВА V
ПОЛУГРУППЫ С МИНИМАЛЬНЫМИ ИДЕАЛАМИ
§ 1. Двусторонние идеалы, являющиеся группой
1.1. В настоящей главе мы займемся рассмотрением ми-
минимальных левых, минимальных правых и минимальных дву-
двусторонних идаалов полугрупп (IV, 3.3). Конечно, не всякая
полугруппа обладает такими идеалами. Факт наличия в по-
полугруппе тех или иных минимальных идеалов, интересный
и сам по себе, оказывает существенное влияние также и на
некоторые другие свойства полугрупп. Так как при этом
многие свойства полугрупп, обладающих минимальными
идеалами, поддаются более глубокому изучению, а строе-
строение самих минимальных идеалов удается выяснить относи-
относительно в большей степени, то минимальные идеалы привле-
привлекали большое внимание математиков, изучающих полугруппы.
Первые результаты в этом направлении получил
А. К. Сушкевич [3], который занимался в основном конеч-
конечными полугруппами, в которых минимальные левые, правые
и двусторонние идеалы, конечно, всегда существуют.
В дальнейшем, исследования были продолжены и на беско-
бесконечные полугруппы в работах Риса [1], [2], Клиффорда [6],
[7], Рича [1], Шварца [1], [3], [4], Хасимото [2], [3],
Л. М. Глускина [3], [6], Тесье [2], [4], Тамура [9].
1.2. Прежде всего мы займемся вопросом о существова-
существовании универсально минимального идеала в совокупности всех
идеалов (левых и правых, в том числе и двусторонних)
полугруппы. Мы покажем ниже, что если такой идеал су-
существует, то он является двусторонним. Таким образом,
в случае существования такого идеала, он является един-
единственным минимальным левым, единственным минимальным
правым и единственным минимальным двусторонним идеалом.

§ 1] ДВУСТОРОННИЕ ИДЕАЛЫ, ЯВЛЯЮЩИЕСЯ ГРУППОЙ 249
Как мы покажем, вопрос о существовании универсально
минимального идеала в совокупности всех идеалов эквива-
эквивалентен с вопросом о существовании двусторонних идеалов,
являющихся группой.
Примеры двусторонних идеалов, являющихся группой,
мы уже вид"ели (II, 1.8). Конечно, не всякая полугруппа
обладает двусторонним идеалом, являющимся группой. На-
Например, бесконечная моногенная полугруппа вообще не
имеет подполугрупп, являющихся группами.
Теорема. Если полугруппа 51 обладает двусторонним
идеалом X, являющимся группой, то X содержится во
всяком идеале 51, таким образом X является универ-
универсально минимальным идеалом в совокупности всех
идеалов 31.
Доказательство. Пусть 8 есть произвольный левый
идеал (рассуждения для правого идеала вполне аналогичны).
Так как X есть двусторонний идеал 51, а 2 есть левый
идеал 31, то
Х&сХ, SSczg.
При этом Х&, очевидно, есть левый идеал X. Но X как
группа не имеет идеалов, отличных от самой себя (IV, 1.8).
Следовательно,
Содержась во всех идеалах полугруппы 31 и сам будучи
идеалом, X тем самым является пересечением совокупности
всех идеалов 31, т. е. универсально минимальным множе-
множеством в этой совокупности (IV, 2.3).
1.3. Следствие. Полугруппа может иметь не более
одного двустороннего идеала, являющегося группой.
1.4. Вопрос о наличии в полугруппе двустороннего
идеала, являющегося группой, оказывается тождественным
с вопросом о существовании в полугруппе зероидных эле-
элементов (II, 1.6) Клиффорда и Миллера [1].
Теорема. Полугруппа 31 имеет двусторонний идеал,
являющийся группой тогда и только тогда, когда среди
ее элементов имеются элементы, делящиеся и справа
и слева на всякий элемент 31. В этом случае дву. то-
ронний идеал, являющийся группой, состоит из всех
элементов, делящихся и справа и слева на всякий эле-
элемент 31.

250 ПОЛУГРУППЫ С МИНИМАЛЬНЫМИ ИДЕАЛАМИ [ГЛ. V
Доказательство. 1) Пусть X есть двусторонний
идеал полугруппы Щ., являющийся группой.
А произвольный элемент Ж, Т произвольный элемент %.
Так как X есть двусторонний идеал, то
7Л = 7' ? X.
Так как X есть группа, то при некотором Х?Ъ имеем
XT' = Т,
откуда
(XT) A == XT' = Т.
Аналогично доказывается, что Т делится на Л и слева.
2) Пусть множество 6, состоящее из всех элементов
полугруппы 91, делящихся и справа и слева на всякий эле-
элемент $1, непусто. В II, 1.6 мы уже показали, что (? есть
группа. Пусть А есть произвольный элемент ЭД. Единица Е$
группы 6 делится слева на элемент АЕ&:
Умножая это равенство справа на Е$, получаем
Из того, что Eg делится на всякий элемент 91 и справа
и слева, следует, что и элемент CQ = E&YE<$, обладает этим
свойством (II, 1.4, (а)), т. е. С0?(Ё. Таким образом,
(здесь Со1 есть обратный к Со относительно ^.Следова-
^.Следовательно, (? является левым идеалом Ш. Аналогично доказы-
доказывается, что (? есть правый идеал.
Итак, оказалось, что, если 6 непусто, то оно есть
двусторонний идеал 91, являющийся группой.
1.6. Следствие. Если полугруппа Ш обладает дву-
двусторонним идеалом, являющимся группой, то всякий
элемент Ж, делящийся слева на все элементы % будет
делиться на все элементы 91 и справа; каждий элемент,
делящийся справа на все элементы Щ, будет делиться
на все элементы §1 и слева.
Действительно, пусть Т есть некоторый элемент из дву-
двустороннего идеала 2 являющегося группой. А — произволь-

§ 11 ДВУСТОРОННИЕ ИДЕАЛЫ, ЯВЛЯЮЩИЕСЯ ГРУППОЙ 251
ный элемент 91, делящийся слева на все элементы §1. При
некотором Y ? ЭД должно иметь место
Так как % есть двусторонний идеал 91, то отсюда следует
А? X. Поэтому, согласно 1.4, А должен делиться справа
на всякий элемент 91.
1.6. Отметим, что в полугруппе, не обладающей дву-
двусторонним идеалом, являющимся группой, свойство 1.5
может и не соблюдаться. Например, в полугруппе с коли-
количеством элементов не меньшим двух, в которой XY = Y для
любых элементов X и Y, каждый элемент делится на все
элементы слева. В то же время в этой полугруппе нет эле-
элементов, делящихся на все элементы справа.
1.7. Пользуясь 1.4, нетрудно доказать, что полученное
в 1.2 достаточное условие существования универсально ми-
минимального идеала в совокупности всех левых и правых
идеалов является также и необходимым условием.
Теорема. Если совокупность всех идеалов полу-
полугруппы 91 обладает универсально минимальным идеалом,
т. е. пересечение всех идеалов 91 непусто {IV, 2.3), то
это пересечение есть двусторонний идеал, являющийся
группой.
Доказательство. Пусть пересечение Z, всех идеа-
идеалов 51 непусто. Возьмем произвольные элементы А из 91 и
Т из Z. Так как 9Ы и А% являются идеалами 91, то WAzzZ
и Л91з?. Это значит, что при некоторых X, Y ?91
ХА — Т, AY — Т.
'Следовательно, Т делится и справа и слева на всякий эле-
.мент полугруппы §1.
С другой стороны, если Z?2l делится и справа и слева
на все элементы И, то Z содержится в каждом идеале полу-
полугруппы 51. Действительно, если Й есть левый идеал ЭД (для
правого идеала аналогично) и 1??, то при некотором %
и так как й есть левый идеал, то Z?2. Из доказанного
следует, что Z??

252 ПОЛУГРУППЫ С МИНИМАЛЬНЫМИ ИДЕАЛАМИ [ГЛ. V
Мы показали, что ? есть множество всех элементов 51,
делящихся и справа и слева на всякий элемент 51. Согла-
Согласно 1.4, отсюда вытекает доказываемое свойство Ж.
1.8. Если полугруппа Щ. обладает двусторонним идеалом X,
являющимся группой, то единица этой группы Е% есть эле-
элемент, обладающий следующими свойствами:
(a). Е% есть идемпотент;
ф). Е% делится слева и справа на любой элемент 51 A.4);
(f). Е% перестановочен со всяким элементом 91.
Действительно, при любом ?Щ
и потому
АЕ% = Е% (АЕ&) = (ЕгА) Е% = ЕгА.
(В). Для всякого идемпотента / полугруппы % имеет
место
Действительно, согласно (f), IEZ = Е%1 и
= Е%1 ¦ Ег1 = Е\П =
принадлежит %. Поскольку % как группа имеет лишь
один идемпотент Е%1 = Е%.
Наличие в % элемента со свойством ф) благодаря 1.4
является также и достаточным для того, чтобы Ш обладала
двусторонним идеалом, являющимся группой. Полугруппу,
обладающую элементом, удовлетворяющим свойствам (а),
(Р), (•](), Тьеррен [6] назвал гомогруппой. Таким образом,
гомогруппа есть не что иное, как полугруппа, обладающая
двусторонним идеалом, являющимся группой. Помимо свойств,
приведенных выше, для гомогрупп получен еще целый ряд
свойств (см., например, Тьеррен [19]).
Отметим, что, согласно 1.4, всякая конечная коммута-
коммутативная полугруппа является гомогруппой, поскольку произ-
произведение всех ее элементов, очевидно, делится и слева и
справа на каждый ее элемент. Группы относятся к гомо-
гомогруппам, причем гомогруппа будет группой тогда и только
тогда, когда она не имеет собственных двусторонних идеалов.

§ 2] ПОЛУГРУППЫ С МИНИМАЛЬНЫМИ ЛЕВЫМИ ИДЕАЛАМИ 253
§ 2. Полугруппы с минимальными левыми идеалами
2.1. Как мы уже отмечали, не всякая полугруппа обла-
обладает минимальными левыми, правыми или двусторонними
идеалами. В настоящем параграфе мы будем рассматривать
полугруппы, обладающие минимальными левыми, идеалами.
Мы выясним связь между различными минимальными левыми
идеалами и их взаимоотношения с минимальным двусторон-
двусторонним идеалом. Разумеется, аналогичные результаты имеют
место для полугрупп, обладающих минимальными правыми
идеалами. Упомянутые результаты были получены частью
Клиффордом [6], частью Шварцем [3].
2.2. Оказывается, что все минимальные левые идеалы
могут быть легко получены исходя из одного из них.
Теорема. Пусть 2 есть минимальный левый идеал
полугруппы %. Тогда при любом 5 ?31 произведение 25
также является минимальным левым идеалом 31, причем
''всякий минимальный левый идеал % может быть пред-
представлен в виде 25 при некотором 5 ?31.
' Различные минимальные левые идеалы % не имеют
;' общих элементов,
: Доказательство. 1) 25, очевидно, является левым
^Идеалом 31. Пусть некоторый левый идеал 2' полугруппы 31
/содержится в 25. Обозначим через 31 совокупность всех та-
таких элементов X из 2, для которых X5?2'. Так как каж-
каждый элемент из 2' содержится в 2S, т. е. представим в виде XS,
5;где X?i, то множество 9t непусто. Из того, что 2' есть
^ левый идеал, следует, что при любых Х?№ и Z?3i
\ ZXSczZQ'czV,
f¦¦,?.' е. ZX?9l. Следовательно, 9t есть левый идеал 31. Но
«:9tcg, и так как 2 есть минимальный левый идеал 31, то
|,;3? —2. Таким образом, 2' содержится в 9t5. Но по опреде-
определению 9t, 9t5 содержится в 2'. Следовательно,
Отсюда заключаем, что 25 есть минимальный левый идеал 31.
2) Пусть ЗИ есть некоторый минимальный левый идеал 31.
Возьмем в 2И некоторый элемент S?9№. Так как Ж есть
левый идеал, то

254 ПОЛУГРУППЫ С МИНИМАЛЬНЫМИ ИДЕАЛАМИ [ГЛ. V
8S есть левый идеал 31, содержащийся в минимальном ле-
левом идеале WI. По определению это возможно лишь при
ЗК = Й5.
3) Пусть минимальные левые идеалы 3^ и 9Я2 полу-
полугруппы 31 имеют общий элемент X. Пересечение 3JJ0 левых
идеалов 9^ и 9К2. будучи непустым, само является левым
идеалом 51. Оно содержится и в fDij и в Ш2, а так как они
минимальные левые идеалы, то 2^0 = 9^! и 9J?0 = 9J?2.
2.3. Следствие. Если полугруппа ft обладает мини-
минимальными левыми идеалами, то в каждом левом идеале 31
содержится некоторый минимальный левый идеал 51.
Доказательство. Пусть й есть некоторый мини-
минимальный левый идеал 51 и 9t произвольный левый идеал 31.
Тогда QN при всяком N?91 принадлежит -ft. Согласно 2.2,
SiV есть минимальный левый идеал 51.
2.4. Как мы уже отмечали, отношение, состоящее в свой-
свойстве быть левым или правым идеалом, не является транзитив-
транзитивным. Поэтому из определения непосредственно еще не сле-
следует, не могут ли минимальные левые и правые идеалы
сами иметь свои собственные соответственно левые или пра-
правые идеалы. Покажем, что этого быть не может. Отсюда,
в частности, будет следовать, что левый идеал полугруппы
будет минимальным левым идеалом тогда и только тогда,
когда он является полугруппой, не имеющей собственных
левых идеалов.
Теорема. Если й есть минимальный левый идеал
полугруппы 31, то й является полугруппой, не имеющей
собственных левых (а следовательно, и двусторонних)
идеалов.
Доказательство. Пусть У1 есть произвольный ле-
левый идеал полугруппы й. Тогда
Но так как 8 есть левый идеал полугруппы 31, то
Следовательно, 29t оказывается левым идеалом 51, содержа-
содержащимся в минимальном левом идеале й полугруппы 31. Это
возможно лишь при Й-Й^й- Но, как мы показали раньше,
fiStczSt. Следовательно,
Я = 2.
т. е. й не имеет собственных левых идеалов.

§ 2] ПОЛУГРУППЫ С МИНИМАЛЬНЫМИ ЛЕВЫМИ ИДЕАЛАМИ 255
2.6. Среди различных идеалов полугруппы по ряду при-
причин, с некоторыми из которых мы уже познакомились
выше, а другие вскоре выяснятся, особый интерес пред-
представляет минимальный двусторонний идеал полугруппы. Как
мы уже отметили, такой идеал, если он существует, является
универсально минимальным двусторонним идеалом (IV, 4.4).
В § 1 мы рассмотрели частный случай такого идеала, именно
двусторонние идеалы, являющиеся группами. Однако мини-
минимальные двусторонние идеалы могут существовать и в других
случаях. Одним достаточным признаком существования мини-
минимального двустороннего идеала в полугруппе является нали-
наличие в ней минимальных левых (или правых) идеалов. В этом
случае минимальный двусторонний идеал является их объ-
объединением.
Теорема. Если полугруппа 31 обладает минимальным
левым идеалом, то % обладает минимальным двусто-
двусторонним идеалом, который равен объединению всех мини-
минимальных левых идеалов.
Доказательство. Пусть 2 есть один из минималь-
минимальных левых идеалов полугруппы 3L Из 2.2 следует, что
есть объединение всех минимальных левых идеалов §1. Оче-
Очевидно, 831 есть двусторонний идеал 31. Пусть ? есть произ-
произвольный двусторонний идеал 31. Произведение $ • (&S) является
Левым идеалом % содержащимся в минимальном левом иде-
Уале 2S. Следовательно,
«Но, с другой стороны, из того, что X есть двусторонний
Я 3i, следует, что
едовательно,
Таким образом,
т. е. Ш является универсально минимальным двусторонним
идеалом 31.

256 ПОЛУГРУППЫ С МИНИМАЛЬНЫМИ ИДЕАЛАМИ [ГЛ. V
2.6. Для случая, рассмотренного в теореме 2.5, легко
выяснить, каковы левые идеалы минимального двустороннего
идеала полугруппы.
Теорема. Пусть полугруппа % обладает минималь-
минимальными левыми идеалами. Щ. есть минимальный двусторон-
двусторонний идеал 21. Тогда левые идеалы 91, содержащиеся в $,
и только они, являются левыми идеалами полугруппы R.
Доказательство. То, что всякий левый идеал полу-
полугруппы 91, содержащийся в $, будет левым идеалом полу-
полугруппы $—-очевидно.
Пусть X есть произвольный левый идеал полугруппы $.
Т произвольный элемент X. Так как R, согласно 2.5, есть
объединение минимальных левых идеалов Щ, то Г содержится
в некотором минимальном левом идеале й полугруппы 91.
Очевидно, RT есть левый идеал полугруппы 91, содержа-
содержащийся в 8. Следовательно,
В частности, TcRT. Таким образом, каждый элемент X
содержится в $??, т. е.
XczStX.
Но, с другой стороны, из того, что X есть левый идеал $,
следует
x=>sa.
Следовательно,
Но $?, очевидно, является левым идеалом полугруппы 91.
2.7. Вопросы о существовании в полугруппе минималь-
минимальных левых, правых и двусторонних идеалов, а также взаим-
взаимная связь их между собой представляют большую важность
для изучения многих свойств полугрупп. В 2.5 было пока-
показано, что если полугруппа Щ. обладает минимальными левыми
или минимальными правыми идеалами, то она обладает и
минимальным двусторонним идеалом Я. При этом $, со-
согласно 2.5, содержит все минимальные левые и минимальные
правые идеалы полугруппы 91, которые, согласно 2.6, являются
соответственно минимальными левыми и правыми идеалами
полугруппы $. Но $, как было показано в IV, 4.8, является
полугруппой, не имеющей собственных двусторонних идеалов.

§ 2] ПОЛУГРУППЫ С МИНИМАЛЬНЫМИ ЛЕВЫМИ ИДЕАЛАМИ 257
Таким образом, вопрос о взаимной связи минимальных левых
и минимальных правых идеалов произвольной полугруппы Щ.
оказывается равносильным вопросу о взаимной связи ми-
минимальных левых и минимальных правых идеалов полу-
полугруппы St, являющейся полугруппой без собственных дву-
двусторонних идеалов. Это обстоятельство представляет собой
еще одну причину, определяющую интерес к полугруппам
без собственных двусторонних идеалов (попутно напоминаем,
что в IV, 4.10 мы уже обращали внимание на большую
принципиальную важность таких полугрупп).
2.8. Условие отсутствия в полугруппе собственных дву-
двусторонних идеалов, очевидно, равносильно тому, чтобы сама
полугруппа являлась своим минимальным двусторонним идеа-
идеалом. При наличии в полугруппе минимальных левых идеалов
это, согласно 2.5, будет иметь место тогда и только тогда,
когда полугруппа является объединением всех своих мини-
минимальных левых идеалов.
2.9. Теорема. Пусть полугруппа %. обладает мини-
минимальными левыми идеалами. Для того чтобы в % не
существовало собственных двусторонних идеалов, необ-
необходимо и достаточно, чтобы каждый главный левый
идеал (IV, 3.6) был минимальным левым идеалом.
Доказательство. 1) Каждый элемент содержится
в своем главном левом идеале. Отсюда следует, что если
все главные левые идеалы являются минимальными левыми
идеалами, то 21 есть объединение минимальных левых идеа-
идеалов и потому не имеет собственных двусторонних идеа-
идеалов B.8).
2) Если Ш не имеет собственных двусторонних идеалов,
TtQ, согласно 2.8, каждый элемент А ? Ш содержится в неко-
ЧЮром минимальном левом идеале 2. Главный левый идеал
Цемента А содержится в левом идеале, й, содержащем А.
|р8 минимальности й вытекает, что главный левый идеал А
««впадает с ?.
2.10. Теорема. Пусть полугруппа 91 обладает мини-
минимальными левыми идеалами. Для того чтобы в 51 не
существовало собственных двусторонних идеалов, необ-
необходимо и достаточно, чтобы всякий правый делитель
произвольного элемента полугруппы сам всегда делился
бы справа на этот элемент. (Это условие означает сим-
симметричность отношения делимости справа).

258 полугруппы с минимальными идеалами [гл. v
Доказательство. 1) Пусть Щ. не имеет собственных
двусторонних идеалов.
Нам надо показать, что из того, что некоторый элемент А
делится справа на В
А = ХВ (А, В, Х?Щ,
следует, что и В делится справа на А.
Если А = В, то это очевидно. Пусть А Ф В. Так как
9U U A = %XB U ХВсШВ U В.
где %А \\Ayi Ш? U В суть главные левые идеалы 91, то, согла-
согласно 2.9,
шиА=%вцв.
Так как В Ф А, то отсюда следует В ? %А, т. е. при
некотором ?Ш
2) Пусть в Ш всякий правый делитель произвольного
элемента сам делится справа на этот элемент.
Покажем, что произвольный главный левый идеал 8 =
= A U 9L4 (А ? 91) полугруппы Ш является минимальным ле-
левым идеалом. Согласно, 2.9, отсюда будет следовать, что ft
не имеет собственных двусторонних идеалов.
Пусть 8' есть некоторый левый идеал §1, содержащийся
в 8 и В?%'. Если В = А, то, очевидно, 8' = й. Пусть
В Ф А. Так как й' есть левый идеал, то
Так как fi^2 и ВфА, то при некотором
В = ХА.
Отсюда, согласно сделанному относительно Щ. предположе-
предположению, следует, что А, в свою очередь, должно делиться справа
на В
A = YB.
Благодаря этому
g = A (J %А = YB U ШВ<=.%ВсЧ1'
и, следовательно, й' = й.
2.11. Особо остановимся на разобранном Клиффордом и
Миллером [lj случае, когда полугруппа имеет один единст-
единственный минимальный левый идеал. Такой идеал, согласно 2.3,

§ 2] полугруппы с минимальными левыми идеалами 259
будет универсально минимальным левым идеалом. Для суще-
существования такого идеала имеет место необходимое и доста-
достаточное условие, непосредственно получающееся из нижесле-
нижеследующей теоремы.
Теорема. Если среди элементов полугруппы ft имеются
элементы, делящиеся справа на все элементы 51, то
совокупность таких элементов есть минимальный дву-
двусторонний идеал 31, являющийся универсально минималь-
минимальным левым идеалом ЭД.
Если среди элементов ЭД нет элементов, делящихся
справа на все элементы ЭД, то Ш или вовсе не имеет
минимальных левых идеалов, или же количество таковых
больше одного.
Доказательство. 1) Пусть совокупность U всех
элементов 91, делящихся справа на все элементы 21, непуста.
Для любых Av Аг ? 51 и U ? U в 21 найдется такой элемент X,
что
U = XAV
Поэтому
Следовательно, A^U делится справа на любой элемент А1
из Ш, т. е. Л2^€^- Это означает, что 11 является левым
идеалом.
Если 93 есть произвольный левый идеал ft, то для любых
?U и V?33 найдется такой Z?f[, что
Так как 93 есть левый идеал 51, то ZV ? 93. Отсюда следует,
что М является универсально минимальным левым идеалом.
тЦругих минимальных левых идеалов 51, конечно, не имеет,
поэтому, согласно 2.5, U есть минимальный двусторонний
%деал 51.
2) Пусть 2 есть единственный минимальный левый идеал 51.
При всяком /4 ?21 произведение JM, согласно 2.2, также
обязано быть минимальным левым идеалом ft. Следовательно,
Но это означает, что для всякого L?2 в й найдется
такой X, что
XA — L.
17*

260 ПОЛУГРУППЫ С МИНИМАЛЬНЫМИ ИДЕАЛАМИ [ГЛ. V
Следовательно, элементы из й таковы, что каждый из
них делится справа на каждый элемент ЭД. Только при
наличии таких элементов Ш может обладать единственным
минимальным левым идеалом.
2.12. В 1.2 мы обратили внимание на то, что при нали-
наличии в полугруппе двустороннего идеала, являющегося груп-
группой, полугруппа имеет один единственный минимальный левый
идеал и один единственный минимальный правый идеал. Бла-
Благодаря теореме 2.11 оказывается возможным сделать и обрат-
обратное заключение.
Следствие. Если полугруппа 51 имеет один единст-
единственный минимальный левый идеал VL и один единствен-
единственный минимальный правый идеал 33, то U равен 33 и
является двусторонним идеалом Ш, являющимся группой.
Доказательство. Согласно 2.11, U есть минималь-
минимальный двусторонний идеал ЭД. Аналогично 93 есть минимальный
двусторонний идеал 33. Следовательно, 11 = 33. При этом U,
равный 5В, является совокупностью всех элементов, деля-
делящихся справа на все элементы Щ, и одновременно совокуп-
совокупностью всех элементов, делящихся слева на все элементы
из §1. Согласно 1.4, эта совокупность есть двусторонний
идеал, являющийся группой.
2.18. Благодаря полученному следствию мы легко можем
выяснить вопрос о минимальных левых идеалах инверсных
полугрупп (II, 7.2), которыми подробно занимался Престон [2].
Оказывается, что инверсная полугруппа может иметь не более
одного минимального левого идеала, который в этом случае
оказывается одновременно и минимальным правым идеалом.
Это вытекает из нижеследующей теоремы, если принять во
внимание теорему 1.2.
Теорема. Если в множестве идемпотентов инверсной
полугруппы % идемпотент /0 является двусторонним
нулем этого множества, то
есть двусторонний идеал, являющийся группой.
Если в множестве идемпотентов ни один из них не
является двусторонним нулем этого множества, то в %
нет ни минимальных левых идеалов, ни минимальных
правых идеалов.

§ 3] ПОЛУГРУППЫ С МИНИМАЛЬНЫМИ ИДЕАЛАМИ 261
Доказательство. 1) Пусть идемпотент /0 является
нулем в множестве всех идемпотентов %. Для произвольного
идемпотента / из /(,/ = /0 следует, что левый идеал Wo
содержится в главном левом идеале W. Так как всякий
главный левый идеал имеет вид W (IV, 3.17), то Шо содер-
содержится во всяком левом идеале, т. е. является универсально
минимальным левым идеалом. Аналогично /0И есть универ-
универсально минимальный правый идеал. Согласно 2.12,
и/о=/ои
есть двусторонний идеал, являющийся группой. В частности,
отсюда следует, что
2) Пусть 8 есть минимальный левый идеал Ш. Он, оче-
очевидно, является левоидеальной оболочкой всякого элемента
из й. Согласно IV, 3.17, 8 содержит идемпотент /, причем
8 = Я/.
Пусть /' есть произвольный идемпотент %. Пересечение
левых идеалов 2 = W и W непусто, так как содержит //'.
Но это пересечение есть левый идеал, содержащийся в 2.
Следовательно, оно совпадает с 2. Таким образом,
Согласно IV, 3.17, отсюда следует /// = /// = /. Следо-
Следовательно, идемпотент / есть двусторонний нуль в множестве
всех идемпотентов.
2.14. В связи с теоремой 2.13 следует отметить, что
инверсная полугруппа, имеющая лишь конечное число идем-
идемпотентов (в частности, всякая конечная инверсная полугруппа),
всегда обладает идемпотентом, являющимся нулем в множестве
всех идемпотентов. Как легко следует из перестановочности
идемпотентов в инверсной полугруппе, таким идемпотентом
является в указанном случае произведение всех идемпотентов
инверсной полугруппы.
§ 3. Полугруппы, обладающие и минимальными
левыми и минимальными правыми идеалами
3.1. В предыдущем параграфе мы видели Лсакую важную
роль играет самый факт существования в полугруппе мини-
минимальных левых идеалов, Конечно,, аналогичные результаты

262 ПОЛУГРУППЫ С МИНИМАЛЬНЫМИ ИДЕАЛАМИ [ГЛ. V
имеют место и при наличии в полугруппе минимальных
правых идеалов. Тем более важен случай, когда полугруппа
обладает одновременно и минимальными левыми и минималь-
минимальными правыми идеалами. Такими полугруппами занимались
Рис.[1], Шварц [3], Клиффорд [6], Хасимото [2J, [3]. В на-
настоящем параграфе мы рассмотрим некоторые из этих свойств.
3.2. Легко видеть, что пересечение любого левого идеала
с любым правым идеалом всегда непусто (ибо содержит их
произведение, в котором левым множителем берется правый
идеал). Для случая, когда эти идеалы минимальные, получаем
важные свойства этого пересечения.
Теорема. Пусть 8 есть некоторый минимальный левый,
а Ш—некоторый минимальный правый идеал полугруппы Щ.
Тогда © = 5Rg является группой, причем
Доказательство. Так как й есть левый идеал, то
@® = № • 918 = 9? • 28t2c=«8 = ©.
Следовательно © является подполугруппой Ш.
Пусть G есть произвольный элемент ©. Так как ©?$,
то Gffi есть принадлежащий 9t правый идеал полугруппы Ш.
Следовательно,
ОЯ = К.
откуда, умножая справа на 8, получаем
Аналогично доказывается, что
(ВО = ®.
откуда и следует, что © есть группа.
Так как ?$?©(=?, то 9Ш® есть левый идеал Ш, содер-
содержащийся в ?. Следовательно,
что означает, что й есть множество всех7 тех элементов Ш,
для которых Е® есть правая единица. Аналогично доказы-
доказываем, что
т. е. JR есть множество всех тех элементов Ш, для которых Е®
есть левая единица. Отсюда следует, что 9tf|2 ест>ь мно-

§ 3} ПОЛУГРУППЫ С МИНИМАЛЬНЫМИ ИДЕАЛАМИ 263
жество всех тех элементов Ж, для которых ?® является
двусторонней единицей. Следовательно,
откуда, в частности, следует
ЯП 2эЕвИ • Я?« = 312 = ®.
Но, с другой стороны, если Х?$Я(\%, то
Х
Следовательно,
9tfl2 = ®.
3.3. Благодаря теореме 3-2 можно вполне выяснить харак-
характер совокупности тех идемпотентов рассматриваемых полу-
полугрупп, которые содержатся в минимальном двустороннем
идеале. Интерес представляет, например, уже тот факт, что
каждый минимальный левый идеал обладает идемпотентами.
Пусть Г№ есть множество всех минимальных левых идеа-
идеалов полугруппы % и Г*г) множество всех правых минималь-
минимальных идеалов.
Согласно 3.2, пересечение
9*П 2 = 9*2 =
всегда непусто и содержит один единственный идемпотент—
единицу группы ®g, <и> которую обозначим через ?g, gj.
Согласно 2.5, минимальный двусторонний идеал $ полу-
полугруппы Ж может быть представлен в виде объединений
я= U s= U «•
« ()
тцричем компоненты каждого объединения попарно не имеют
общих элементов. Отсюда следует:
'' 2= U <&,« (г)
U
и
8€Г
а€Г(г)
(О

264 полугруппы 6 минимальными идеалами [гл. V
где компоненты каждого объединения непусты и попарно
не пересекаются.
Из сказанного следует, что идемпотентами & являются Eg, д.
Таким образом, мы получаем взаимно однозначное соответст-
соответствие между идемпотентами полугруппы, содержащимися в ее
минимальном двустороннем идеале ft, и парами идеалов
3.4. Особо отметим следующее свойство идемпотентов,
которое нам потом понадобится.
Следствие. Пусть полугруппа Ш имеет минимальные
левые и минимальные правые идеалы. Тогда никакой
идемпотент из минимального двустороннего идеала $t
не может быть двусторонней единицей ни для какого
отличного от него самого идемпотента.
Доказательство. Пусть для идемпотентов-/, и /2
полугруппы %. имеет место
причем /t ? St. Согласно 3.3,
Поэтому
/2 = /iVjcSUg/jiRe = Ш ¦ Ш2№ . 2сЯЙ = ®s, R.
Но в ®8,а имеется лишь один идемпотент Egt^ = Il. Следо-
Следовательно, I2 = IV
З.б. Как мы уже знаем B.5), наличие в полугруппе
минимальных левых или минимальных правых идеалов влечет
за собой существование и минимальных двусторонних идеа-
идеалов. Рассмотрим связь между этими минимальными идеалами.
Теорема. Пусть й есть минимальный левый, Ш мини-
минимальный правый и R минимальный двусторонний идеал
полугруппы Ш. Тогда
Доказательство. Согласно 2.5, ?c:$t Аналогично
Отсюда следует, что каждое из множеств Ш, ШЯ,
Ш, §Ш, Ш, 5Ш содержится в 5t. Но все они, очевидно,

§ 3] полугруппы с минимальными идеалами 265
являются двусторонними идеалами. Поскольку $ есть мини-
минимальный двусторонний идеал, каждый из этих шести дву~
сторонних идеалов должен совпадать с $.
3.6. Следствие. Если й и 2' суть минимальные левые
идеалы Ж, а 91 и SR' минимальные правые идеалы Ж, то
Действительно, согласно 3.5, и Ш и ?'9?' оба равны $.
3.7. Отметим также, что для минимального левого идеала й
и минимального правого идеала SR полугруппы 31 группа Ш?
C.2) содержится в минимальном двустороннем идеале R
полугруппы Ж. Это справедливо, поскольку, согласно 2.5,
2Я
3.8. В рассматриваемом нами случае мы без труда можем
выяснить, как могут быть получены все минимальные левые
и правые идеалы полугруппы.
Теорема. Если полугруппа Ж обладает минимальными
левыми и минимальными правыми идеалами, то лево-
идеальные оболочки идемпотентов, принадлежащих мини-
минимальному двустороннему идеалу, и только они, являются
минимальными левыми идеалами полугруппы.
Аналогично для правых идеалов.
Доказательство. 1) Пусть /есть идемпотент, со-
содержащийся в минимальном двустороннем идеале ®. Так как /
есть идемпотент, то его левоидеальная оболочка есть 31/.
Согласно 2.5, / содержится в некотором минимальном
левом идеале й полугруппы Ж- Аналогично / содержится
в некотором минимальном правом идеале 3t полугруппы Ж-
Согласно 3.2, 91Й является группой. Так как / = /-/?9?2,
то / есть единица этой группы и благодаря 3.2 W = й.
2) Пусть й есть произвольный минимальный левый идеал Ж.
Возьмем какой-нибудь минимальный правый идеал ffi полу-
полугруппы Ж. Согласно 3.2, @ = 9?Й есть группа и ? = 9Ш@.
При этом ЗШ®, очевидно, является левоидеальной оболочкой
идемпотента Е®, который благодаря 3.5 принадлежит Я.
3.9. В IV, 4.10 мы обратили внимание на важную роль
полугрупп, не имеющих собственных двусторонних идеалов,
в деле выяснения строения произвольных полугрупп. В общем
случае такие полугруппы сами могут быть достаточно сложны,
и мы не имеем еще достаточно ясного представления о их
строении. Однако при одном дополнительном довольно

266 ПОЛУГРУППЫ С МИНИМАЛЬНЫМИ ИДЕАЛАМИ [ГЛ. V
естественном предположении возможно получить предельно
ясное описание строения таких полугрупп.
Определение. Если полугруппа, не имеющая собствен-
собственных двусторонних идеалов, обладает минимальными ле-
левыми и минимальными правыми идеалами, то она назы-
вается вполне простой по лу группой без нуля.
Слова ябез нуля", участвующие в названии указанных
полугрупп, оправданы тем, что за исключением тривиального
случая, когда полугруппа состоит из одного элемента, опре-
определяемая полугруппа не может иметь нуль, так как он являлся
бы ее собственным двусторонним идеалом. Необходимость
этих слов возникает в связи с необходимостью рассматривать
родственный класс полугрупп, обладающих нулем, чему
будут посвящены два следующих параграфа.
Следует иметь в виду, что для определения вполне про-
простых полугрупп часто используют совокупность некоторых
их свойств, наличие которых равносильно тому, чтобы полу-
полугруппа удовлетворяла приведенному выше определению. Выяс-
Выяснение возможности того подхода к вполне простым полу-
полугруппам, который мы употребляем в настоящей книге, при-
принадлежит Клиффорду [6], [7].
Этот подход представляется более естественным, нежели
первоначальный подход Риса [1], который первый дал в общем
случае то описание строения вполне простых полугрупп,
которое будет изложено ниже. Впоследствии многие мате-
математики (см. 1.1) занимались изучением различных свойств
вполне простых полугрупп. Исходными для всех этих работ
явились исследования А. К. Сушкевича [3], которым боль-
большинство этих свойств было получено для конечных полугрупп.
ЗЛО. Первоначальное определение вполне простых полу-
полугрупп, данное Рисом [1], [2], опирается на понятие так на-
называемого примитивного идемпотента. Ненулевой идемпотент /
называется примитивным, если он не является двусторонней
единицей ни для какого другого ненулевого идемпотента.
Из 3.2 следует, что вполне простая полугруппа без нуля,
не являющаяся единичной полугруппой, всегда обладает не-
ненулевыми идемпотентами, а, согласно 3.4, все они примитивны.
Как мы покажем в 6.15, наличия хотя бы одного при-
примитивного идемпотента в полугруппе, не имеющей собствен-
собственных двусторонних идеалов, достаточно для- того, чтобы она
была вполне простой полугруппой без нуля,

§ 3] полугруппы С Минимальными идеалами 267
3.11. Отметим, что различные свойства минимальных идеа-
идеалов, полученные нами выше, дают целый ряд свойств вполне
простых полугрупп без нуля (например, существование для
каждого элемента двусторонней единицы, являющейся идем-
потентом, что непосредственно следует из 2.8 и 3.2 и т. д.).
Пользуясь этими свойствами, мы могли бы уже сейчас дать
описание строения произвольных вполне простых полугрупп
без нуля. Однако для экономии места мы отложим это до § 6,
где это будет осуществлено при помощи простых следствий
из рассуждений, посвященных исследованиям полугрупп одного
родственного класса.
3.12. Если полугруппа ЭД обладает нулем, то свойства
минимальных идеалов ЭД, рассмотренные как в настоящем,
так и в предыдущем параграфах, становятся для такой полу-
полугруппы совершенно тривиальными. Действительно, подмно-
подмножество полугруппы ЭД, состоящее из одного элемента Оя,
будет в ЭД одновременно и минимальным левым идеалом, и
минимальным правым идеалом, и минимальным двусторонним
идеалом. Никаких других минимальных идеалов 31, конечно,
не имеет. Все найденные выше соотношения между минималь-
минимальными идеалами различных наименований соблюдаются триви-
тривиальным образом. Полугруппой с нулем, не имеющей собствен-
собственных двусторонних идеалов, оказывается лишь полугруппа,
состоящая из одного элемента.
Поскольку, однако, подход к изучению свойств полу-
полугрупп без нуля с точки зрения рассмотрения свойств их
минимальных идеалов дает ценные результаты, естественно
возникло желание попытаться видоизменить этот подход так,
чтобы он оказался пригодным и для изучения полугрупп
с нулем. В этом направлении был произведен ряд успешных
попыток. Вместо понятия идеала в основу кладется понятие
ненулевого идеала.
3.13. Определение. Идеал (левый, правый или двусто-
двусторонний) называется ненулевым, если среди его эле-
элементов имеются элементы, не являющиеся нулем полу-
Ж1Н*-
Минимальный идеал в множестве всех левых нену-
ненулевых идеалов называется минимальным левым
ненулевым идеалом. Аналогично определяются мини-
минимальные правые ненулевые идеалы и минимальные левые
ненулевые идеалы.

268 ПОЛУГР-УППЫ б МИНИМАЛЬНЫМИ ИДЕАЛАМИ (гЛ. V
3.14. Возникающая в связи с этими понятиями теория
минимальных ненулевых идеалов в значительной степени па-
параллельна теории минимальных идеалов полугрупп без нуля.
Многие результаты переносятся, хотя обычно с теми или
иными оговорками и осложнениями, ослабляющими их силу.
Причина этого вполне ясна, поскольку классы ненулевых
идеалов, конечно, менее естественны.
Первое существенное осложнение возникает уже по той
причине, что пересечение двух ненулевых идеалов иногда
может состоять из одного нуля, т. е. не принадлежит
к классу ненулевых идеалов. В связи с этим минимальный
двусторонний ненулевой идеал может не являться универ-
универсально минимальным двусторонним ненулевым идеалом. Больше
того, полугруппа может иметь несколько таких идеалов,
что видно уже из примера полугруппы с нулем, в которой
произведение любых двух элементов равны нулю (в этом
случае любой элемент X совместно с нулем, очевидно, обра-
образует минимальный двусторонний ненулевой идеал [X, О}).
Этот же пример показывает, что теорема 2.5, столь суще-
существенная для рассмотренной выше теории, не может быть
полностью перенесена в теорию ненулевых идеалов.
В связи с обоими упомянутыми выше причинами (частич-
(частичный параллелизм с теорией минимальных идеалов и относи-
относительно меньшая законченность и цельность теории) мы не
будем специально заниматься теорией минимальных ненуле-
ненулевых идеалов (укажем в связи с этим на статьи Риса [1],
Клиффорда [7] и Шварца [4], содержащие ряд свойств таких
идеалов). Мы ограничимся лишь тем, что в следующем па-
параграфе рассмотрим некоторые свойства из этой теории (по-
(полученные в основном в тех же упомянутых работах), которые
связаны с рассмотрением одного важного класса полугрупп.
§ 4. Вполне простые полугруппы с нулем
4.1. Учитывая потребности дальнейших исследований, нам
необходимо остановиться на одном из направлений упомя-
упомянутой в конце предыдущего параграфа теории минимальных
ненулевых идеалов. Именно, мы дожны рассмотреть полу-
полугруппы с нулем, не имеющие собственных двусторонних
идеалов помимо нулевого. На весьма важную роль таких
полугрупп мы обратили внимание в IV, 4.10. Полное изу-
изучение их свойств и строения возможно в настоящее время

§ 4] вполне простые полугруппы С нулём 260
при условии некоторых дополнительных ограничений, ана-
аналогичных тем, которые делались в предыдущих параграфах.
4.2. Определение. Если полугруппа $[ с нулем, обла-
обладающая свойством
Ш Ф Оя.
не имеет собственных двухсторонних ненулевых идеалов
и обладает минимальными левыми ненулевыми идеалами
и минимальными правыми ненулевыми идеалами C.13),
то она называется вполне простой полугруппой
с нулем.
4.3. Отметим, что условие
Ш Ф Ой
включено только для того, чтобы исключить две полугруппы:
полугруппу, состоящую из одного элемента, и полугруппу,
состоящую из двух элементов А к О с правилом умножения
ОА = А2 = О* = О.
Остальным условиям определения обе эти полугруппы,
очевидно, удовлетворяют. Однако если бы благодаря тре-
требованию
Ш Ф Оа
эти две полугруппы не были исключены из числа вполне
простых полугрупп с нулем (для каждой из них, конечно,
имеет место 1>Ш — О*), то при изложении дальнейшей теории
пришлось бы делать постоянные утомительные оговорки.
Что касается всякой другой полугруппы, отличной от
указанных двух полугрупп, то свойство Ш Ф Оа является
следствием условия отсутствия собственных двусторонних
ненулевых идеалов. Действительно, полугруппа с количеством
элементов большим двух, для которой Щ = Ои, имеет соб-
собственным двусторонним ненулевым идеалом множество, со-
состоящее из О« и любого ненулевого элемента.
Отметим попутно, что во вполне простой полугруппе
с нулем рассмотренное условие означает выполнение равенства
Действительно, так как 9Ш ф Оя, то 9Ш есть двусторонний
ненулевой идеаль ЭД и потому должно равняться ЭД.
4.4. Приступим к выводу ряда свойств вполне простых
полугрупп с нулем. Выбор этих свойств объясняется глав-

ПОЛУГРУППЫ С МИНИМАЛЬНЫМИ ИДЕАЛАМИ [гл- V
ным образом потребностью основной теоремы следующего
параграфа, которая полностью выяснит строение вполне про-
простых полугрупп с нулем, а в дальнейшем поможет выяснить
и строение вполне простых полугрупп без нуля. Упомянутые
свойства заметно схожи со многими свойствами идеалов, рас-
рассмотренными в § 2 и § 3. Все же имеются достаточно су-
существенные различия, препятствующие объединению обоих
теорий.
4.5. Теорема. Вполне простая полугруппа с нулем §1
равна объединению всех своих минимальных левых нену-
ненулевых идеалов, которые попарно не имеют общих эле-
элементов, кроме 0%.
Доказательство. Пусть 2 есть некоторый минималь-
минимальный левый ненулевой идеал %. Очевидно, Ш является дву-
двусторонним идеалом Ж. Если бы идеал 2ЭД состоял лишь из
нуля, то это означало бы, что 2 является двусторонним
идеалом, т. е. совпадает с самой полугруппой Ж. Но тогда
мы получили бы
0а = 2Я = Ш,
что для вполне простой полугруппы с нулем невозможно.
Следовательно,
Для всякого А ?91 произведение *ЦА, очевидно, является
левым идеалом. Пусть 2' есть левый ненулевой идеал 31,
содержащийся в 2А
Обозначим через 31 совокупность всех таких элементов X
из 2, для которых Х4?2'. Среди таких элементов есть и
отличные от нуля, поскольку 2'с2Л и 2' есть ненулевой
идеал. Так как 2' есть левый идеал, то при любых Z?3(
и Х? 31 элемент ZX также будет принадлежать 31- Таким
образом, 31 оказывается левым ненулевым идеалом 3(, содер-
содержащимся в 2. Отсюда следует, что 5R = 2 и потому
Но 2', в свою очередь, содержится в 2А Следовательно,
2' = 2Д т. е. 2Л не имеет собственных левых ненулевых
идеалов.
Таким образом, каждое произведение 2Л (А?Щ, если
только оно отлично от О», оказывается минимальным левым
ненулевым идеалом. Полученное ранее равенство означает,

§ 4] ВПОЛНЕ ПРОСТЫЕ ПОЛУГРУППЫ С НУЛЕМ 271
что Ш есть объединение всех множеств вида &4. Из этого
объединения можно исключить компоненты, равные Оа, ибо Ощ
и так содержится в тех &4, которые отличны от Оя. После
этого мы получим представление Ж в требуемом виде.
Что касается пересечения двух различных минимальных
левых ненулевых идеалов, то таковое само, будучи левым
идеалом 31, не может отличаться от Оя. Действительно, иначе
оно должно было бы совпадать с каждым из этих идеалов,
что противоречит тому, что они различны.
4.6. Следствие. Вполне простая полугруппа с ну-
нулем Ш является объединением всевозможных произведе-
произведений вида
Ю2,
где ffi есть минимальный правый ненулевой идеал Щ, а 8
есть минимальный левый ненулевой идеал ЭД. Компоненты
этого объединения попарно имеют лишь один общий эле-
элемент Од.
Доказательство. Согласно теореме 4.5 (применяя
ее также и относительно правых идеалов), мы имеем
«=«я=((Jgtt rt|8\ = U т.
\ » А 8 / 8, Я
Если 9tФ Ш.', то Ш и W не имеют общих элементов,
кроме О« D.5). Так как при любых 8 и й'
то 9t2 и 9t'2' не имеют иных общих элементов, кроме нуля.
Аналогично рассуждаем при ? Ф%'.
4.7. В связи с полученным следствием делается есте-
естественной роль произведений вида SSR. Рассмотрим подробно
их строение.
Теорема. Пусть % есть вполне простая полугруппа
¦, с нулем, ? некоторый минимальный левый ненулевой
идеал Щ и Ш некоторый минимальный правый ненулевой
идеал %.. Тогда
9JS Ф Ощ.
Если Ш Ф Оа, то Ш = Щ, а ?> = Ш является группой
с внешне присоединенным нулем (II, 2.12), причем

272 ПОЛУГРУППЫ С МИНИМАЛЬНЫМИ ИДЕАЛАМИ [ГЛ. V
Доказательство. 1) В процессе доказательства тео-
теоремы 4.5 мы показали, что ЙЭД = ЭД. Аналогично Wl = <&.
Поэтому
откуда следует, что 8?й ф Ощ.
2) В дальнейшем будем предполагать, что
Ш ф О*.
Так как Ш, очевидно, является двусторонним идеалом 'й, то
тем самым
т = я.
3) ф = 9?2 является подполугруппой:
Пусть G есть произвольный ненулевой элемент ф. Так
как G?(R2cz?, то StGcg. Но %G есть левый идеал 51. По-
Поэтому должно иметь место или %G = ? или %G = 0%. В слу-
случае второго из этих равенств мы получили бы, что {0^, G)
является левым ненулевым идеалом, содержащимся в 2, т. е.
\0щ, G}=?. Но это противоречило бы тому, что *ШфО%.
Следовательно, на самом деле 9Ш = ?.
G(R есть правый идеал Ш, содержащийся в 9t. Поэтому
должно иметь место или GSR = SR, или G9t = Oa. Второе из
этих равенств повлекло бы за собой благодаря доказанному
выше равенству ЩО == ?
Следовательно, на самом деле Gffi = (R. Отсюда, умножая
справа на ?, получаем
Аналогично для второго ненулевого элемента G'
имеем G'$ = $, откуда
Следовательно, GG' ф Оа, т. е. совокупность всех нену-
ненулевых элементов ф образует полугруппу, которую обозначим
через ©.
Так как G0% = Оя, то из G<?) = ф следует

§ 4] ВПОЛНЕ ПРОСТЫЕ ПОЛУГРУППЫ С НУЛЕМ 273
Совершенно аналогично доказываем, что ©G —®. Отсюда
следует, что © есть группа, а ф тем самым есть группа
с внешне присоединенным нулем.
Так как Е© = E§cz%, то Ш.Е§ есть левый идеал 31, содержа-
содержащийся в й. При этом 9Ше Э ?©?$ = ?© ^= О». Следовательно,
Аналогично
Отсюда, принимая во внимание §Ш = 31, получаем
ф = j
Так как
то
Но, с другой стороны,
$П8с8 =
Поэтому
Следовательно,
4.8. Следствие. Для всякого минимального левого
ненулевого идеала ? вполне простой полугруппы с нулем 31
всегда найдется такой минимальный правый ненулевой
идеал ffi, что
Доказательство. Как было показано при доказа-
доказательстве теоремы 4.5, имеет место
Согласно , 4.5, 3t есть объединение своих минимальных
правых ненулевых идеалов, поэтому невозможно, чтобы для
каждого из них «R имело место
К. 455. Е. (J.

274 ПОЛУГРУППЫ С МИНИМАЛЬНЫМИ ИДЕАЛАМИ [ГЛ. V
Если для некоторого из этих 9t имеет место
Ж Ф Ощ,
то, согласно 4.7, отсюда следует
4.9. Важно, что все минимальные левые и правые нену-
ненулевые идеалы вполне простой полугруппы с нулем могут
быть заданы при помощи идемпотентов полугруппы.
Теорема. Если I есть ненулевой идемпотент вполне
простой полугруппы с нулем Ш, то Ш является ее ми-
минимальным левым ненулевым идеалом, а Щ—минималь-
Щ—минимальным правым ненулевым идеалом, при этом каждый ми-
минимальный левый или правый ненулевой идеал может
быть задан в такой форме при помощи некоторого нену-
ненулевого идемпотента полугруппы.
Доказательство. Согласно 4.5, / содержится в не-
некотором минимальном левом ненулевом идеале 2. Оче-
Очевидно, ЭД/ есть левый идеал полугруппы 91, содержащийся
в 2. Так как ШЭ // = /. то %1 Ф О«. Поэтому должно иметь
место Ш = ?.
Пусть ? есть некоторый минимальный левый ненулевой
идеал %. Согласно 4.8, для этого ? найдется минимальный
правый ненулевой идеал 9J, такой что
№. ф Оя.
Отсюда благодаря 4.7 следует, что 9?2 обладает единицей Е,
причем
? = 9Ш, Е* = Е.
Рассуждения для правых идеалов аналогичны.
4.10. Следствие. Каждый элемент X вполне простой
полугруппы с нулем ?t имеет левую единицу и правую
единицу, являющиеся идемпотентами.
Доказательство. По теореме 4.5 Одолжен содер-
содержаться в некотором минимальном левом ненулевом идеале 8
и в некотором правом ненулевом идеале ift. Из 4.9 следует,
что в Щ. существуют такие идемпотенты / и /', что
? = !/, Я = //Я.
Очевидно.
XJX

§ 4j ВПОЛНЕ ПРОСТЫЕ ПОЛУГРУППЫ С НУЛЕМ 275
4.11. Следствие. Если X есть ненулевой элемент
вполне простой полугруппы с нулем Ъ., то
Доказательство. ЭДЛ>Д есть двусторонний идеал 31.
Пусть / есть левая единица X, а /' — правая единица А" D.10).
Тогда
Следовательно, %X$L есть ненулевой двусторонний идеал §t,
каким может быть лишь сама Ш.
4.12. Пусть Щ есть вполне простая полугруппа с нулем.
Для любого ненулевого идемпотента / множеством всех эле-
элементов, имеющих / своей двусторонней единицей является /Я/.
Такие множества весьма существенны при изучении %.. Это
связано с тем, что каждая подгруппа © полугруппы Щ. содер-
содержится в множестве вида Е®ЧЦЕ®. Здесь мы ограничимся
доказательством лишь двух свойств таких множеств.
Теорема. Если I есть ненулевой адемпотент вполне
простой полугруппы с нулем $, то 1Ш есть группа с внешне
присоединенным нулем. При этом при всяком ненулевом
идемпотенте V для Х?1Ш' всегда имеет место
X ¦ HU = /Я/. Ли ¦ X = I'W.
Доказательство. 1) Так как 9Ш = $, то
•Согласно 4.9, Ш есть минимальный левый ненулевой идеал
и Ш — минимальный правый ненулевой идеал 31.
При этом
'ф, следовательно,
V (Ш1) • (/Я) Ф О..
Отсюда, по теореме 4.7, следует, что
есть группа с внешне присоединенным нулем.
2) Так как Х?ЩГ, то
/Х=Х, XV —X.

276 ПОЛУГРУППЫ С МИНИМАЛЬНЫМИ ИДЕАЛАМИ [ГЛ. \
Поэтому ХШ есть правый ненулевой идеал, содержащийся
в минимальном правом ненулевом идеале Ж D.9). Следова
тельно,
Отсюда получаем
Аналогично доказывается и второе требуемое равенство
4.13. Следствие. Пусть I есть ненулевой идемпотенп
вполне простой полугруппы с нулем %. Тогда накакоь
отличный от I идемпотент 51 не может быть двусто
ронней единицей I.
Действительно, если идемпотент /' является двусторонне!
единицей /, то /' Ф О» и, согласно 4.12, 1"Ш' есть групп,
с внешне присоединенным нулем. Ненулевые идемпотенты
и /' оба принадлежат ей. Это возможно лишь при /' = /.
4.14. Свойство 4.13 означает, что каждый ненулевой идем
потент вполне простой полугруппы с нулем является при
митивным C.10). Оказывается, что оно даже в ослабленно!
виде совместно с требованием отсутствия собственных дву
сторонних ненулевых идеалов дает достаточное условие дл:
того, чтобы полугруппа была вполне простой полугруппо!
с нулем.
Теорема. Если полугруппа ЭД с нулем не имеет соб
ственных двусторонних ненулевых идеалов и обладаеп
примитивным идемпотентом, то % является вполне про
стой подгруппой с нулем.
Доказательство. 1) Обозначим через 93 совокуп
ность всех таких элементов В, что В$ —О^.
При любом
Следовательно, 33 есть двусторонний идеал %, а потом;
33 = Оа или & = $• Последнее означало бы Ш = ОЯ, чт<
невозможно, ибо ^Ш^11 = 1фОщ. Следовательно, 33 = Оа
2) При всяком А?% произведение ЩА% является дву
сторонним идеалом. Поэтому имеет место одно из двух:
Согласно первой части доказательства, при ненулевом А имее1

§ 4j вполне простые полугруппы 6 нулем 2??
Возьмем в Л$ некоторый ненулевой элемент С. Пред-
Предположение 9МЭД = О« влечет за собою ШС = О«.
Однако, подобно тому как это было доказано в первой
части, доказывается невозможность существования ненулевых
элементов, удовлетворяющих такому условию. Следовательно,
при А Ф Ощ мы обязательно должны иметь
3) Множество W, содержащее // = /, является левым
ненулевым идеалом Ж. Пусть 2 есть некоторый левый нену-
ненулевой идеал Ш, содержащийся в %1. Возьмем в ? какой-нибудь
ненулевой элемент L. Как было показано во второй части,
Следовательно, в Ш найдутся такие элементы U и V, что
ULV = I.
Рассмотрим элемент
'j F = IVIUL
Мак как L?§U, то LI = L. Поэтому
|/'/' = IVIUL • IVIUL = IVI ¦ ULV - IUL =
{ =fVI-f-IUL = IVIUL = If,
Ст. е. /' является идемпотентом. Так как к тому же
| IULI'V =s IUL • IVIUL - V = I • ULV ¦ I • ULV = I,
|,a / есть ненулевой элемент, то и /' не есть нуль полугруппы.
| Из самого выражения для /' благодаря LI=L и /2 = /
| следует, что
| 14 = 1'. II'= 1'.
i По условию теоремы это возможно лишь при /' = /.
Но тогда
Мы показали, что в %1 не содержится никакого собствен-
собственного левого ненулевого идеала. Следовательно, Ш есть ми-
минимальный левый ненулевой идеал. Аналогично рассуждаем
и для правых идеалов. Отмечая, наконец, что Ш отлично

278 ПОЛУГРУППЫ С МИНИМАЛЬНЫМИ ИДЕАЛАМИ [ГЛ.
от нуля, ибо содержит ненулевой элемент 11 = 1, мы пр
ходим к заключению, что ЭД есть вполне простая полугруп
с нулем.
§ 5. Строение вполне простых полугрупп с нулем
5.1. Для изучения строения вполне простых полугру]
Рис [1] использовал некоторую общую конструкцию, нап<
минающую конструкцию Веддерберна в теории простых алгеб
Пусть ф есть полугруппа с нулем, Г и I" — два прои
вольных непустых множества индексов. Пусть кажд<
паре (а, ?5), где а?Г, Р?Г', сопоставлен некоторый элеме)
полугруппы Ра< р?ф. Закон, задающий это соответстви
можно представить себе в виде матрицы Р (конечной или б»
конечной), у которой Г есть множество строк, Г' есть mhi
жество столбцов и все элементы принадлежат ф. В случ,
конечных (или даже счетных) Г и Г', которые в этом случ;
естественно считать множествами натуральных чисел, такс
представление вполне наглядно:
[Рп Я12 ... Р1Я П
Лц Ям ... Р2п
РтЛ РтЛ ¦ • ¦ Ртп J
"ml
Обозначим через <?(Р, ф) множество, состоящее из вс<
возможных троек
(Я,
и из элемента О®. Последний элемент для однообразия поел*
дующих выкладок будем также обозначать и в виде тройк
(Ое. i, n) при любых 6?Г', чбГ.
В множестве © (Я, ф) определяем умножение
!, 7J).
Докажем ассоциативность этого действия:

5]
СТРОЕНИЕ ВПОЛНЕ ПРОСТЫХ ПОЛУГРУПП С НУЛЕМ
279
Таким образом, <э(Р, ф) оказывается полугруппой. Эле-
Элемент О@, очевидно, является ее нулем. Мы будем называть
полугруппу (? (Р, ф) полугруппой матричного типа над ф,
соответствующей матрице Р. Если ф есть группа с внешне
присоединенным нулем (II, 2.12) и в каждой строкеР, также
как и в каждом столбце Р, найдутся элементы, отличные
от 0$, то <В(Р, ф) будем называть вполне простой полу-
полугруппой с нулем матричного типа над ф, соответствую-
соответствующей матраце Р.
Свое оправдание последнее название найдет в 5.3 и 5.4.
5.2. Смысл закона умножения, введенного в <э(Р, ?>),
» и название, присвоенное выше таким полугруппам, делаются
вполне ясными и наглядными, если прибегнуть к матричной
интерпретации. Ограничимся для этого конечными Г и Г', ко-
которые будем считать множествами натуральных чисел:
Г={1, 2 /и}, Г' = {1. 2 п}.
Тройку (Я, S-, 7)) (Я Ф О§) можно представить в виде ма-
матрицы с л строками и т столбцами (в отличие от Р у этой
^матрицы Г' есть множество строк, а Г—множество столбцов),
у которой элемент, стоящий в 5-й строке и 7|-м столбце, ра-
равен Я, а все прочие элементы равны О§. О@ есть матрица,
все элементы которой равны О§.
Если определить сложение между элементом 0$ и всеми
элементами из ф по правилу
то умножение троек из <?(Р, ф) можно представить в виде
матричного умножения со вставкой матрицы Р:
X
¦с
¦о
0
.0
0..
.0 ..
... 0
... 0
. 0
, 0
... о-
»>u ••• °
I
»% ••• °
,,, Q.
•
=
rPu
Pn
-o ...
0 ...
о ...
/-2 . .. -^lre
^22 ... P»
D P
r~n2 • • • rnn J
0
X
°1
0
0.

280 ПОЛУГРУППЫ С МИНИМАЛЬНЫМИ ИДЕАЛАМИ [ГЛ.
6.3. Теорема, Вполне простая полугруппа с нуле
матричного типа <5(Р, ф) E.1) всегда является толь
простой, полугруппой с нулем D.2).
Доказательство. Группу всех ненулевых элеме)
тов ф обозначим через ©.
Как непосредственно следует из правила умножен!
в <э(Р, <?>), для каждого v?F множество ?„, состоящее i
всех элементов вида
(Я, \, v),
является левым идеалом. Докажем, что этот идеал являет»
минимальным левым ненулевым идеалом. Возьмем два прои:
вольных ненулевых элемента из этого идеала:
?i = (Oi. К v), L2 = (O2, 5,, v).
При Х= (G3> о, х) мы имеем
XL1 = {QtP^ftt. о, ^)-
Если в X положить о = $2, х выбрать так, чтобы Р^ ^ (
(такой индекс х найдется по свойству матрицы Р) и взят
в качестве G3 элемент из ©
то при таком X мы получим
XLi = L2.
Отсюда следует, что всякий левый идеал <В (Р, ф), содержг
щий один из ненулевых элементов Sv, обязательно содержи
и всякий другой элемент из Sv. Это означает, что 2V ест
минимальный левый ненулевой идеал полугруппы.
Аналогично убеждаемся в существовании минимальны
правых ненулевых идеалов.
Полугруппа <5(Р, ф) не имеет собственных двусторонни
ненулевых идеалов. Действительно, возьмем два произволь
ных ненулевых элемента:
Аналогично предыдущему можно подобрать такой эле
мент X, что

5] строение вполне простых полУгрупп с нулём
Сходным рассуждением можно найти такой Y, что
У = (О,. Е,. %) • У = (О,. \2, ъ) = S2.
Отсюда следует, что двусторонний идеал <5 (Р, ф), содержа-
содержащий какой-либо ненулевой элемент полугруппы, будет со-
содержать и всякий другой ее элемент. Из этого следует, что
в полугруппе <3 (/>, ф) единственным двусторонним ненуле-
ненулевым идеалом является сама полугруппа. Легко убедиться,
что ©(/>?)©(/>, ф)^0®.
6.4. Роль вполне простых полугрупп с нулем матрич-
матричного типа ©(Р, §) E.1) определяется тем, что, как было
показано в общем случае Рисом A), ими с точностью до
изоморфизма исчерпывается класс вполне простых полугрупп
с нулем D.2).
Теорема. Всякая вполне простая полугруппа с нулем
изоморфна некоторой вполне простой полугруппе с нулем
матричного типа <В(Р, ф) E.1).
Доказательство. 1) Пусть 31 есть вполне простая
полугруппа с нулем. Обозначим через Р1' совокупность всех ее
минимальных левых ненулевых идеалов и через I**—сово-
I**—совокупность всех минимальных правых ненулевых идеалов.
Фиксируем какую-нибудь пару идеалов 20€Г(г\ Э^
такую, чтобы 2оЭ1о = 1 D.8). Согласно D.7), фо = о
есть группа с внешне присоединенным нулем. Группу всех
;ее ненулевых элементов обозначим через ®0, а единицу —
i через Ео. Согласно 4.7, $0 = Е0ШЕ0. Так как §0ЭО«,
|то 0^ = 0*. Согласно 4.9, в каждом идеале g^l™ и
ГВ каждом идеале 5Й?ГМ найдутся такие идемпотенты h
|%и I®, что
? 8 =«/«. » = /««.
Фиксируем их для каждого Й^Г*'* и каждого Ш?ТК
Очевидно, /« является правой единицей Й, a /gj — левой
единицей SR.
Благодаря 4.12
: Поэтому можно выбрать и фиксировать такие эле-
|, менты Us, Vit что t/8^8 = /8. Щ?ШЕ0, VS?EO%/S.

282 полугруппы с минимальными идеалами (гл.
Благодаря 4.14 из ?/8?/89Ш0 следует:
Поэтому можно выбрать и фиксировать такой элемент W$s, ч-
Совершенно аналогично для 5Н?Г^ фиксируем так|
элементы U&, V&, W&, что
Для произвольной пары й ? Г*г). $¦ 6 Г^ обозначим
Матрицу над группой с внешне присоединенным нулем ф
множество строк которой есть Г(г), множество столбцов Г*'
а элементами являются Рд,<я> обозначим через Я.
Отметим, что в каждой строке (аналогично и для столбцо
этой матрицы встречаются элементы, отличные от 0^ = 01
Действительно, для Й^Г^ возьмем ЭТ = Щ. Согласно 4.!
31 ?1*°. Так как
/8 = /8/8 = UsVils g t/8l/89t = UnVtUxVy®,
то Vjit/a = Я8 gj =?fe Оя, так как иначе оказалось бы: /8 = С
Й 0
2) Пусть Ш' есть вполне простая полугруппа с нуле
матричного типа над группой с внешне присоединении
нулем фо> соответствующая построенной выше матрице Р E.1
Согласно 4.5, для каждого ненулевого элемента Л?$ на{
дутся единственным образом определенные идеалы ^*'
^Ч такие, что Л?91D)Й(А). Так как
то
Поэтому следующее отображение х полугруппы Ш ест
отображение ее в W'

§ б] СТРОЕНИЕ ВПОЛНЕ ПРОСТЫХ ПОЛУГРУПП С НУЛЕМ 283
Покажем, что отображение % взаимно однозначно. Пусть
Х(А) = Х(В), (Л, В?Щ.
Это значит, что <RD) = 9t(i3) = 9t, gD)=g(B)=g и
Умножая последнее равенство слева на U% и справа
на V%, мы получим
Но /я есть левая единица идеала SR, в котором содер-
содержатся и А и В, a /g есть правая единица идеала 8, в кото-
котором содержатся и Л и В. Поэтому последнее равенство
Означает Л = В.
Образом И при отображении % является вся полу-
полутруппа W. Действительно, пусть
Чозьмем элемент
Гак как
ТО
Таким образом,
/8. % 2) = (Е0ОЕо. Я. 2) = (О, ЭТ, 8) = Л',
3) Покажем, что взаимно однозначное отображение х
далугруппы 91 на вполне простую полугруппу с нулем
Матричного типа И/ = в (фо> Р) является изоморфизмом.
Принимая во внимание 4.6, пусть
Согласно правилу умножения в $', получаем
X Hi) • X (Л) — ОЛиA t/8l. «1. 20 • (V«At/«,. ^г. 2У) =

284 ПОЛУГРУППЫ С МИНИМАЛЬНЫМИ ИДЕАЛАМИ [ГЛ.
Так как At^iv a /«, есть правая единица 8Х и
а /$», есть левая единица ffi2, то
X (А) • X (А) = GVW».. Кр Й2) = х (ЛИг)-
б.б. Представление вполне простых полугрупп с нуле
в виде полугрупп матричного типа <э(Р, ф) E.1) позволж
легко получить различные их свойства. Выясним, наприме]
как устроены системы левых и правых идеалов вполне пр<
стой полугруппы с нулем матричного типа <3 (Р, ф).
Обозначим через Г множество строк матрицы Р
через Г' множество ее столбцов.
Пусть ? есть некоторое непустое подмножество множ!
ства Г. Как непосредственно следует из правила умножен!
во вполне простых полугруппах матричного типа, совоку]
ность всех элементов вида (О, S, к]), у которых т\?\
является левым идеалом <5(Р, $Q). Других левых ненулевь
идеалов, отличных от получаемых при помощи подин*
жеств S, полугруппа <3(Р, ф) не имеет. Это следует :
того, что если некоторый левый идеал й полугруппы <3 (Р, i
содержит элемент (О, ?, к]) (О Ф 0$), то, как легко виде'
(в сущности мы это уже показывали в процессе предш
ствующих рассуждений), 2 будет содержать и всякий др
гой элемент вида (О', V. у).
Таким образом, во вполне простой полугруппе с нуж
левые идеалы находятся во взаимно однозначном соотве
ствии с непустыми подмножествами множества Г. Минимал
ными левыми ненулевыми идеалами являются те, котор)
соответствуют подмножеству, состоящему из одного эл
мента множества Г. Если сопоставить нулевому идеалу пол
группы <В(Р, ф) пустое подмножество множества Г, то s
получим взаимно однозначное соответствие между все]
левыми идеалами полугруппы © (Р, ф) и всеми подмнож
ствами (в том числе и пустым) множества Г.
Аналогично обстоит дело и с правыми идеалами, кот
рые оказываются во взаимно однозначном соответств
с подмножествами множества Г'.
6.6. Во вполне простой полугруппе с нулем матрично
типа €?(Р, ф) ненулевым идемпотентом будет элемент ви
(Р^1. ?• ¦*))• У которого P-fi Ф 0$. Максимальная подгрупг
соответствующая этому идемпотенту (Щ, 1.16), очев.идр

§ 5] СТРОЕНИЕ ВПОЛНЕ ПРОСТЫХ ПОЛУГРУПП С НУЛЕМ 285
является множеством, состоящим из всех элементов вида
(О, ?, ?)). Отображение <р группы ® == ф \ Оя на эту группу
взаимно однозначно. Оно является изоморфизмом, так как
Таким образом, все отличные от нуля максимальные под-
подгруппы полугруппы <3(Р, ф) изоморфны между собой, ибо
каждая из них изоморфна группе ® = 4?\О$.
6.7. Благодаря сказанному выше видно, насколько важно
и удобно представление вполне простых полугрупп с нулем
в виде полугрупп матричного типа. Для завершения вопроса
о представлении их в таком виде необходимо еще выяснить,
единственным ли образом может быть осуществлено такое
представление и если нет, то как связаны между собой
вполне простые полугруппы с нулем матричного типа, изо-
изоморфные данной вполне простой полугруппе с нулем. Оче-
Очевидно, вопрос этот эквивалентен вопросу о том, когда две
заданные вполне простые полугруппы с нулем матричного
типа изоморфны между собой.
Теорема. Пусть % = © (Р, ф) и % = © (Р, |>) есть две
вполне простые полугруппы с нулем матричного типа E.1).
Г есть множество строк матрицы Р, Г' — множество ее
столбцов; Г и Т* — соответственно для Р; ® =
Для того чтобы 31 и Ш были изоморфны, необходимо
и достаточно, чтобы существовали:
1) взаимно однозначное отображение [* F на F
Н(Ч)=Ч(Ч€Г. ^6 Г);
2) взаимно однозначное отображение v Г' на V
>(?)=!(&€ г', Те г');
3) изоморфизм о группы ® на ®;
4) элементы G-?® (тч?Г);
5) элементы ~Q- ?© (^^F). такие, что
L
_T=cL a

286 ПОЛУГРУППЫ С МИНИМАЛЬНЫМИ ИДЕАЛАМИ [ГЛ. V
Доказательство. 1) Пусть для Ш и Ш имеют место
условия, указанные в пяти пунктах формулировки теоремы.
Определим отображение % полугруппы К в 31
'{1 ¦ с (О) • GE1. Т.
Если 0 = 0$,'то полагаем о(О) —О^ и потому
= O-g. Когда при данных $ и т\ О пробегает группу ©, то,
по свойству изоморфизма, а (О) будет пробегать о(®)—@.
Пользуясь этим, заключаем, что отображение х является
взаимно однозначным отображением Щ на И.
Используя связь между Р и Р покажем, что х является
изоморфизмом.
2) Пусть существует изоморфизм ^ полугруппы И на St.
При фиксированном т)?Г множество Й-,,, состоящее из
всех элементов вида (О, &, т)) E.5), образует минимальный
ненулевой левый идеал полугруппы Ш. При изоморфизме /
он должен отобразиться на некоторый минимальный ненуле-
ненулевой левый идеал полугруппы Щ, т. е. на множество Й-, со-
состоящее из элементов вида (О, 5, ¦»)) при некотором
Wg)==2-. Отображение [*
очевидно, представляет собой взаимно однозначное отобра-
отображение Г на Г. Совершенно аналогично определяем взаимно
однозначное отображение v множества Г' на Г' при помощи
минимальных ненулевых правых идеалов v (?) = 5;

§ 5] строение вполне простых полугрупп с нулем 287
Фиксируем некоторую пару (?0, тH) A0?Г', т^Г), так,
чтобы Рп<^ Ф 0$. Такая пара найдется согласно определе-
определению вполне простой полугруппы с нулем матричного типа.
В этом случае мы имеем и P-j Ф O-z. Действительно,
из Pj^ ф 0$ следует, что произведение всяких двух элемен-
элементов вида (G, ?0, ъ) (О Ф Оф) отлично от Оя. Но тогда
благодаря определению ц и v (ц(?0) = То> v(tH) =Jvo)_h произ-
произведение всяких двух элементов вида (О, So, "О (О Ф О-Л
должно отличаться О^ (так как эти элементы есть образы
указанных выше элементов из % при изоморфизме х)-
Последнее, как это непосредственно следует от правила
умножения в рассматриваемых полугруппах матричного типа,
возможно лишь при Р— Ф О-щ.
Взаимно однозначное отображение ср группы ® на
ето\о
как мы показали в 5.6, является изоморфизмом.
Аналогичное отображение <|> группы % на (Й- П iR
также есть изоморфизм.
Согласно тому, как мы определили отображения ц. и v,
изоморфизм х полугруппы Ц на Ш осуществляет изоморфизм
на 2-П91г- Поэтому отображение
является изоморфизмом © на
Рассмотрим элементы
7NГ).
Благодаря выбору ?о и "Чо эти элементы отличны от 0^-.
Согласно правилу умножения в Щ имеем
Щ{ С P=fc. т. ^о)=

288 полугруппы с минимальными идеалами (гл- V
Благодаря выбору отображений |i и v при некоторых
® и D^@ имеем
При этом Q и D4 не являются нулями, так как Nj
М— не нули.
Для выбранных таким образом Q и D^ получаем
= s? [X (Л*-) • х (WT)] = '^'Р
= сер-* (ЦР^А- «о- ^^
Положив
мы и получаем требуемое выражение для элементов ма-
матрицы Р.
6.8. Условия изоморфизма двух вполне простых полугрупп
с нулем матричного типа, рассмотренные в 5.7, допускают
также и несколько другой подход к ним.
Для матрицы Р над полугруппой с нулем 4? следующие
изменения ее, т. е. переход от Р к новой матрице Р, на-
назовем элементарными преобразованиями матрицы Р:
1) взаимно однозначное отображение множества строк Г
на некоторое равномощное множество Г («перестановка
строк");
2) взаимно однозначное отображение множества Г' на не-
некоторое равномощное множество Г' («перестановка столбцов");
3) изоморфизм полугруппы ф на новую полугруппу ф;
4) умножение слева каждой строки матрицы Р на про-
произвольный свой элемент из ф\0$;
5) умножение справа каждого столбца матрицы Р нг
произвольный свой элемент из ф\0$.
Если у двух вполне простых полугрупп с нулем матрич-
матричного типа <5 (Р, ?>) и © (Р, ф) матрица Р может быть полу-
получена из Р при помощи одного из этих элементарных пре-
преобразований (причем, конечно, в случае третьего преобра-
преобразования и в элементах самой полугруппы <5(Р, ф) перва$

§ 6] СТРОЕНИЕ ВПОЛНЕ ПРОСТЫХ ПбЛУТРУПП БЕЗ НУЛЯ 289
компонента из ф заменяется соответствующим элементом
из ф), то, согласно 5.7, полугруппы <5(Р, ф) и ®(Р, ф)
изоморфны. Разумеется, изоморфизм будет иметь место и
в том случае, когда Р получена из Р в результате не-
нескольких последовательных элементарных преобразований.
В связи с этим в случае конечного числа строк или столб-
столбцов последние два преобразования можно заменить преобра-
преобразованиями, когда умножается лишь одна строка или лишь
один столбец.
Как следует из теоремы 5.7, всякий изоморфизм вполне
простой полугруппы матричного типа на другую вполне
простую полугруппу матричного типа может быть получен
в результате последовательного применения некоторых эле-
элементарных преобразований (при этом каждое из пяти пре-
преобразований можно произвести лишь один раз).
§ 6. Строение вполне простых полугрупп без нуля
6.1. Исследование строения вполне простых полугрупп
с нулем позволяет легко получить соответствующие свойства
и для вполне простых полугрупп без нуля (конечно, эти
свойства могут быть выведены и непосредственно путем
ас суждений, сходных с рассуждениями предыдущего пара-
рафа). Основанием для этого служит нижеследующая связь
между полугруппами обоих классов.
Теорема. Если во вполне простой полугруппе
с нулем 31 нуль присоединен внешним образом (II, 2.12),
то множество всех ненулевых элементов полугруппы Ш
является вполне простой полугруппой без нуля.
Если к вполне простой полугруппе без нуля W при-
присоединить внешним образом нуль, то полученная полу-
полугруппа будет вполне простой полугруппой с нулем.
Доказательство. 1) Пусть К есть полугруппа
с внешне присоединенным нулем и W — подполугруппа ее
ненулевых элементов.
Если 8 есть левый ненулевой идеал И, то й\Оа, как
легко видеть, будет левым идеалом полугруппы %'. При этом
таким способом могут быть получены все левые идеалы W,
так как из того, что 2' есть левый идеал ЭД', очевидно,
следует, что 2' U Оя есть левый ненулевой идеал Щ. Ана-
Аналогично для правых и двусторонних идеалов.

290 полугруппы с минимальными идеалами [гл. V
2) Если 21 вполне простая полугруппа с нулем, 8 ее
минимальный левый ненулевой идеал, и JR минимальный
правый ненулевой идеал, то, согласно сказанному выше,
й\Оя и $\ОЯ будут соответственно минимальным левым
и минимальным правым идеалом полугруппы W- Так как
в Ш нет собственных ненулевых двусторонних идеалов, то
в W нет собственных двусторонних идеалов.
3) Если W вполне простая полугруппа без нуля и й'
и Ш' — ее минимальные левый и правый идеалы, то 8'llOs
и 91' U Оя будут соответственно минимальным левым не-
ненулевым идеалом и минимальным правым ненулевым идеа-
идеалом Ш. Из того, что W не имеет собственных двусторонни:
идеалов, следует, что St не будет иметь собственных дву
сторонних ненулевых идеалов.
6.2. В связи с доказанной теоремой, имея целью рас
смотреть вполне простые полугруппы без нуля, надо выяснить
когда во вполне простых полугруппах с нулем нуль при
соединен внешним образом. При этом благодаря теореме 5.
можно ограничиться вполне простыми полугруппами с нуле;
матричного типа.
Теорема. Во вполне простой полугруппе с нулем ма
тричного типа <5(Р, ф) E.1) нуль присоединен внешни,
образом тогда и только тогда, когда все элементы мс
трицы Р отличны от нуля полугруппы ф.
Доказательство. Из самого определения умножен»
в <5 (Р, ф) следует, что если все элементы Р отличны от Ot
то произведение любых ненулевых элементов полугрупп
<3 (Р, ф) также является ненулевым элементом, т. е. нуль С
присоединен в <5(Р, ф) внешним образом.
Если некоторый элемент матрицы Р равен нулю 4?
то при любых Ни Я2?ф\О§ оказывается равным О® от
дующее произведение ненулевых элементов:
6.3. Пусть ф есть группа и Р матрица (конечная и
бесконечная) с множеством строк Г и множеством стол
цов Г', элементы которой Р^ принадлежат ©. Обознач
через <5'(Р, @) множество всех троек вида
(О, i 71)

§ 61 СТРОЕНИЕ ВПОЛНЕ ПРОСТЫХ ПОЛУГРУПП БЕЗ НУЛЯ 291
В ©'(Р, ®) определяем действие
(Olt $!, %)-(О,. %> ^) = (ОЛ^О2. ?i. %)•
Очевидно ©'(Я, ©) будет не чем иным, как множеством
всех ненулевых элементов вполне простой полугруппы
с нулем матричного типа © (Р, ф), где ф есть полугруппа,
получающаяся из © путем внешнего присоединения нуля.
Так как все элементы Р отличны от 0$, то, согласно 6.2,
®(Р. Ф) есть полугруппа с внешне присоединенным нулем.
Отсюда, согласно 6.1, следует, что <5'(Р, ®) является вполне
простой полугруппой без нуля. Назовем <3'(Р, $>) вполне
простой полугруппой без нуля матричного типа.
6.4. Роль описанных в 6.3 полугрупп ©'(Р, ®) опре-
определяется тем, что ими с точностью до изоморфизма ис-
исчерпываются все вполне простые полугруппы без нуля.
Теорема. Всякая вполне простая полугруппа без
нуля Ш изоморфна некоторой вполне простой полугруппе
без нуля матричного типа F.3).
Доказательство. Присоединив к Ш внешним образом
нуль О, получим полугруппу 33, которая, согласно 6.1, будет
вполне простой полугруппой с нулем. Благодаря теореме 5.4
95 изоморфна некоторой вполне простой полугруппе с нулем
матричного типа ©(Р, ф), у которой ф представляет собой
группу © с внешне присоединенным нулем 0$. Так как 33,
а потому и © (Р, ф), есть полугруппа с внешне присоединен-
присоединенным нулем, то, согласно 6.2, все элементы матрицы Р при-
принадлежат группе ©. Отсюда следует, что множеством всех
¦ненулевых элементов полугруппы <S(P, 4?) является не что
иное, как полугруппа ©'(Р, ®) F.3). Эта полугруппа изо-
изоморфна подполугруппе всех ненулевых элементов полу-
полугруппы 23 и, следовательно, изоморфна исходной группе St.
6.6. Таким образом, и для вполне простых полугрупп
без нуля мы получили полное описание их строения, род-
родственное тому, которое было получено раньше для вполне
простых полугрупп с нулем. Вопрос об изоморфизме, т. е.
о том, как связаны между собой различные представления
описанного вида одной и той же вполне простой полугруппы
без нуля, также легко решается путем использования соответ-
соответствующего результата для вполне простых полугрупп с нулем.
Пусть даны две вполне простые полугруппы без нуля
матричного типа F.3) ©'(Р, ©) и ©'(Р, ©"). Присоединив

292 ПОЛУГРУППЫ С МИНИМАЛЬНЫМИ ИДЕАЛАМИ [ГЛ. V
к ним внешним образом нули О и О, мы получим вполне
простые полугруппы с нулем <5(Р, ф) и <S(P, ф), где ф
есть группа ® с внешне присоединенным нулем О§, а §
есть группа ® с внешне присоединенным нулем 0^. Оче-
Очевидно, полугруппы <5'(Р, ©) и <3'(Р, ©) будут изоморфны
между собой тогда и только тогда, когда изоморфны между
собой полугруппы <?(Р, ф) и <3(Р, ф). Необходимое и до-
достаточное условие изоморфизма таких полугрупп было дано
в 5.7. Пользуясь им, непосредственно получаем необходимое
и достаточное условие для изоморфизма и самих полугрупп
®'(Р, ©) и <5(Р, ©). Его даже нет необходимости заново
формулировать, поскольку оно дословно совпадает с усло-
условием 5.7. Оно состоит из указанных там пяти пунктов, кото-
торые все относятся к группам © и ® и матрицам Р и Р.
6.6. Пусть <5'(Р, ©) есть вполне простая полугруппа
без нуля матричного типа F.3) и © (Р, ф) — вполне простая
полугруппа с нулем матричного типа, полученная из ©' (Р, ®]
путем внешнего присоединения нуля О. При доказательстве
теоремы 6.1 мы отметили, как связаны между собой идеаль
полугрупп, связанных таким способом. Благодаря этой связи
пользуясь тем, что в 5.5 мы выяснили, как устроены системь
левых и правых идеалов полугрупп вида <& (Р, ф), мы непО'
средственно получаем системы левых и правых идеалов полу'
группы <5'(Р, ©).
Пусть Г есть множество строк матрицы Р и Г' множе"
ство ее столбцов. Для любого непустого подмножества Ее]
множество всех элементов вида (О, S, tj) (О ? ©), у которые
т) ? ?, является левым идеалом полугруппы <&' (Р, ©). Другиз
левых идеалов, кроме идеалов такого вида для различны;
2 с Г, эта полугруппа не имеет. Минимальным левым идеало!
будет тот левый идеал, у которого S состоит из одноп
элемента.
Если Е'сГ', то множество всех элементов вида (О, %, ц
(О € ©). У которых \ ? ?' является правым идеалом в' (Р, ®)
при этом такими идеалами исчерпываются все правы
идеалы <5'(Р, ©).
6.7. Разберем еще одно важное свойство вполне просты
полугрупп без нуля. Пусть Г есть множество строк и I" мно
жество столбцов матрицы Р вполне простой полугруппы бе

§ 6] СТРОЕНИЕ ВПОЛНЕ ПРОСТЫХ ПОЛУГРУПП БЕЗ НУЛЯ 293
нуля матричного типа <5'(Р, @) F.3). Для Е?Г', т)?Г обо-
обозначим через ®?i) совокупность всех элементов вида
(О, \, т)) (О ? ©). Благодаря 5.6 ©$,, является группой, изо-
изоморфной группе ®. Таким образом, все @?y) оказываются
изоморфными между собой. Так как <5'(Р, ©) есть их непе-
непересекающееся объединение, то отсюда благодаря 6.4 для
произвольной вполне простой полугруппы без нуля получаем
следующие свойства.
(а). Всякая вполне простая полугруппа без нуля
является • непересекающимся объединением изоморфных
между собой групп.
(Р). Всякая вполне простая полугруппа без нуля вполне
регулярна.
Это следует из (а) и из III, 1.15.
(f). Всякие два различных идемпотента вполне про-
простой полугруппы без нуля неперестановочны между собой.
Действительно, идемпотентами ©' (Р, ©) являются еди-
единицы групп EЦ, но по правилу умножения в <5'(Р, ®) эле-
элементы из ©?1% и ®^а при ^ ф Е2 или при к)! Ф ц2, очевидно,
неперестановочны.
(8). Если вполне простая полугруппа без нуля имеет
лишь единственный идемпотент, то она является группой.
Это непосредственно следует из (а).
6.8. Из полученного свойства следует, что каждый эле-
элемент вполне простой полугруппы без нуля имеет двусто-
двустороннюю единицу, являющуюся идемпотентом. В полу-
полугруппе ©' (Р, ©) такой единицей элемента (О, I, т)), очевидно,
будет (Р~{, |, т\).
Отметим попутно, что, за исключением групп, вполне
простые полугруппы без нуля никогда не имеют двусторон-
двусторонней единицы всей полугруппы. Действительно, если множе-
множество строк матрицы Р вполне простой полугруппы ©'(Р, ©)
содержит хотя бы два элемента, то
@1. *i. ъ)-(о2. г». ъ) =
= (OiP^iftt. Et. ifc) Ф (Gj, Ei. %) W Ф Ъ)
и (^i> Ei. Ъ) не может быть единицей полугруппы. Анало-
Аналогично, если множество столбцов матрицы Р содержит не менее
двух элементов. Если же и множество строк и множество
столбцов полугруппы <S'(P, ®) состоят каждое лишь из
одного элемента, то <3'(Р, ©) изоморфна группе © F.7).

294
ПОЛУГРУППЫ С МИНИМАЛЬНЫМИ ИДЕАЛАМИ
[ГЛ. V
6.9. Несмотря на значительное сходство вполне простых
полугрупп без нуля и вполне простых полугрупп с нулем,
между ними имеются и различия. Например, свойства 6.7
и 6.8 не переносятся в класс вполне простых полугрупп
с нулем. В качестве примера рассмотрим следующую вполне
простую полугруппу с нулем матричного типа.
Пусть © = {?} есть единичная группа, множества инде-
индексов ГиГ' состоят каждое из двух элементов: {1, 2}. В ка-
качестве матрицы Р возьмем единичную матрицу
(в результате чего умножение в нашей полугруппе, очевидно,
сведется к обычному матричному умножению). Соответствую-
Соответствующая вполне простая полугруппа с нулем матричного типа
состоит из пяти элементов
[Е ОТ ТО ЕЛ
Q 0\; Еа = (Е. 1, 2) = [0 0\;
[О 01 [О О~\
Е 0\: Еп = (Е. 2, 2) = [0 ?J;
п [О 01
°=[о о\
и, как непосредственно убеждаемся, обладает следующей
таблицей умножения:
1 En
En En
B*
0
в* Ъ
Bn
0
0 0
в»
в»
0
E*
0
0
B«
0
En
0
Bn
0
E22
0
E,
0
E*
0
0
0
0
0
' 0
0

§ 6] СТРОЕНИЕ ВПОЛНЕ ПРОСТЫХ ПОЛУГРУПП ВИЗ НУЛЯ 295
Мы видим, что ненулевые элементы Е1% и Ег1 не только не
содержатся в подгруппах, но и вообще не имеют двусто-
двусторонних единиц.
6.10. Нетрудно выяснить, как видоизменяется свойство 6.7
применительно ко вполне простым полугруппам с нулем. Рас-
Рассмотрим вполне простую полугруппу с нулем матричного
типа ©(/>, ф) E.1). Ее произвольный ненулевой элемент
S = (O, k, -rj) содержится в минимальном правом идеале 9^,
состоящем из всех элементов вида (Я, I, X) (Я?ф, Х?Г)
E.5), и в минимальном левом идеале йг состоящем из всех
элементов вида (Я, ц, tj) (Я?ф, ц.?Г')E.5). Если Р^фО®,
то
откуда, согласно 4.7, следует, что 9Ц8,, является группой
с внешне присоединенным нулем. Наш элемент S содержится
в группе SR^XOig, так как он принадлежит Щ Л 2. = 8^8,.
D.7).
Если Рт? = О$, то
52 = (О, «. 7)). (О, 6, 7)) = (ОР,15О> 5, I)) = О®
и 5 тем самым не может содержаться ни в какой группе
из ®(Р, $).
Из сказанного следует, что во вполне простой полу-
полугруппе с нулем все элементы, квадрат которых отличен от
нуля, содержатся в подгруппах и потому являются вполне
регулярными (III, 1.18). Элементы, квадрат которых равен
нулю, таковыми, конечно, не являются.
6.11. Рассмотрение вполне простых полугрупп без нуля
позволяет выяснить строение вполне регулярных полугрупп,
всякие два элемента которых регулярно сопряжены между
собой. Такие полугруппы мы рассматривали в II, 6.8; II, 6.9.
Пусть Г' и Г—два произвольных непустых множества.
Обозначим через 23 совокупность всевозможных пар вида
(S. т)), где $?Г', т|?Г. Определив в Э умножение
превращаем 93 в полугруппу. Очевидно, 23 есть не что иное,
как вполне простая полугруппа без нуля матричного типа
^>'(Р, ©). У которой ® есть единичная группа, а Р — ма-

ПОЛУГРУППЫ С МИНИМАЛЬНЫМИ ИДЕАЛАМИ (гл. V
трица, множество строк которой есть Г, множество столб-
столбцов Г', а все элементы равны единице Е—единственному
элементу группы ©.
ЕСЛИ (=! ф %г ИЛИ Т)! ф ТJ, TO
Поэтому, согласно II, 6.9, 23 является полугруппой, вся-
всякие два элемента которой регулярно сопряжены между собой.
6.12. Покажем, что всякая полугрупиа 51, каждые два
элемента которой регулярно сопряжены, изоморфна некото-
некоторой полугруппе 23 рассмотренного в 6.11 типа.
Пусть X п Y два произвольных элемента ЭД. Так как
XYX=X, то всякий двусторонний идеал Ш, содержащий Y,
будет содержать и X. Отсюда следует, что Ш не имеет соб-
собственных двусторонних идеалов.
При любом А?2t множество элементов вида ХА (Х?*й)
является левым идеалом. При этом он является минималь-
минимальным левым идеалом, так как всякий левый идеал, содержа-
содержащий элемент ХА, содержит благодаря II, 6.8 и элемент
YA = УХА при любом К ?21. Аналогично А% есть минималь-
минимальный правый идеал. Таким образом, % оказывается вполне
простой полугруппой без нуля. Благодаря 6.4 Ш изоморфна
некоторой полугруппе <5'(Р, ®). Группа © обязана быть
единичной, так как, с одной стороны, согласно 6.6, <S'(P, ®)
является объединением групп изоморфных ©, а с другой,
все элементы Й идемпотентны A1,6.8). Полугруппа <5'(Р, ®)
при единичной © очевидным образом изоморфна полугруппе
типа, рассмотренного в 6.11.
6.13. Рассуждения 6.11 и 6.12 дают исчерпывающее опи-
описание строения полугрупп, у которых всякие два элемента
регулярно сопряжены между собой. Они дают также и клас-
классификацию таких полугрупп, поскольку, как можно непо-
непосредственно убедиться (это также следует и из условий изо-
изоморфизма вполне простых полугрупп матричного типа), две
полугруппы 23! и 232 типа 6.11 будут изоморфны тогда и
только тогда, когда равномощны соответствующие множе-
множества Т[ и Г^ и равномощны 1\ и Г2.
6.14. Полугруппы рассмотренного нами класса могут
быть также охарактеризованы как вполне простые полу-
полугруппы без нуля, все элементы которых идемпотентны. Что

§ 6] СТРОЕНИЕ ВПОЛНЕ ПРОСТЫХ ПОЛУГРУПП БЕЗ НУЛЯ 297
все они обладают этими свойствами, уже было показано.
Обратно, пусть Щ есть вполне простая полугруппа без нуля,
все элементы которой идемпотентны. Она изоморфна неко-
некоторой полугруппе матричного типа <5'(Р, <5) F.4). Так как
все элементы Ж идемпотентны, то в I нет подгрупп не
являющихся единичными группами. Отсюда благодаря 6.4
следует, что © есть единичная группа. Но мы уже обра-
обращали внимание на то, что в том случае, когда ® единична,
полугруппа <5'(Р, ©) изоморфна некоторой полугруппе 23
типа 6.10.
6.16. В заключение покажем, как с помощью понятия
примитивного идемпотента C.10) могут быть естественно
объединены в один общий класс вполне простых полугрупп
вполне простые полугруппы без нуля и вполне простые полу-
полугруппы с нулем.
Теорема. Для того чтобы неединичная полугруппа,
не имеющая собственных двусторонних ненулевых идеа-
идеалов, была вполне простой, необходимо и достаточно,
чтобы она обладала примитивным идемпотентом.
Доказательство. Из 4.10 следует, что всякая вполне
простая полугруппа с нулем обладает ненулевыми идемпо-
тентами. Все они, как было отмечено в 4.14, примитивны.
Вполне простая полугруппа без нуля, согласно 3.10,
обладает примитивными идемпотентами.
Если полугруппа с нулем, не имеющая собственных дву-
двусторонних ненулевых идеалов, обладает примитивными идем-
идемпотентами, то, согласно 4.14, она является вполне простой
полугруппой с нулем.
Если полугруппа без нуля Ж не имеет собственных дву-
двусторонних идеалов и содержит примитивный идемпотент /,
то присоединим к ней внешним образом нуль. Мы получим
полугруппу 33, которая, как легко видеть, не будет иметь
собственных двусторонних ненулевых идеалов и в которой /
будет также примитивным идемпотентом. Таким образом,
23 должна являться вполне простой полугруппой с нулем.
Согласно 6.1, множество ее ненулевых элементов Щ будет
вполне простой полугруппой без нуля.
6.16. Проведенное выше описание строения вполне про-
простых полугрупп без нуля и вывод рассмотренных выше
свойств, так же как и некоторых других свойств, на кото-
которых мы не останавливались, без труда осуществляются.

298 ПОЛУГРУППЫ С МИНИМАЛЬНЫМИ ИДЕАЛАМИ [ГЛ. V
исходя из представления вполне простых полугрупп без нуля
при помощи представления их полугруппами матричного
типа. Именно этот подход и был использован Рисом [1]
и рядом других авторов в последующих работах. Однако
наравне с этим многие из этих свойств могут быть выве-
выведены и непосредственно без использования упомянутого пред-
представления. Такой подход употребляет Шварц [3].

ГЛАВА VI
ОБРАТИМОСТЬ
§ 1. Обратимость произведения элементов
1.1. В этой главе мы возвратимся к вопросу, который
бегло уже был затронут во второй главе.
Определение. Элемент S полугруппы % называется
обратимым справа, если он является левым дела-
делателем всякого элемента из %.
Элемент S называется обратимым слева, если
он является правым делителем всякого элемента из *й.
Элемент обратимый и справа и слева называется
д в у сторонне обратимым элементом.
В коммутативной полугруппе свойства обратимости справа,
слева и двусторонней обратимости совпадают и мы можем
говорить просто об обратимости.
Выделение в полугруппе обратимых элементов предста-
представляется вполне естественным. В частности, обилие элемен-
элементов с теми или иными свойствами обратимости характеризует
степень близости полугруппы к группе. В полугруппах пре-
преобразований, как мы увидим, выполнение свойства обрати-
обратимости весьма существенно для некоторых важных свойств
преобразований.
1.2. Согласно определению, элемент S обратим справа,
если при любом Л?ЭД уравнение
SY = A
относительно Y разрешимо в Щ. Отсюда следует, что S
будет обратимым справа тогда и только тогда, когда

300 ОБРАТИМОСТЬ (ГЛ. VI
Аналогично S обратим слева, если при любом Л
уравнение
S
относительно неизвестного X разрешимо в %, что равно-
равносильно выполнению равенства
as=tt.
5 двусторонне обратим тогда и только тогда, когда
1.3. Если полугруппа Щ обладает единицей Е, то для
обратимости S справа необходимо и достаточно, чтобы 5
обладал правым обратным относительно Е.
Действительно, из
следует, что при некотором S' имеет место SS' = Е. В свою
очередь, из SS' = E следует
т. е. Su = %.
Совершенно аналогично доказывается, что для обрати-
обратимости 5 слева необходимо и достаточно, чтобы S обла-
обладал левым обратным относительно Е.
Принимая во внимание 11,2.14, (а) из сказанного следует,
что элемент S, принадлежащий полугруппе Щ с единицей,
будет двусторонне обратимым в St тогда и только тогда,
когда он обладает обратным элементом 5
При этом S, очевидно, также будет двусторонне обрати-
обратимым.
1.4. Теорема* Множество всех двусторонне обрати-
мых элементов полугруппы, если оно непусто, образует
группу, единица которой является единицей всей полу-
полугруппы.
Доказательство. То, что множество всех двусто-
двусторонне обратимых элементов ®, т. е. множество всех эле-
элементов, являющихся и правыми и левыми делителями вся-
всякого элемента полугруппы Ш, образует группу, было дока-

§ lj ОБРАТИМОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ 301
зано нами в 11,1.5. В 11,2.15 мы показали, что группа
всегда обладает единицей Е.
Пусть Лесть произвольный элемент %. Поскольку ??©,
в % должны найтись такие элементы А' и А", что
А = ЕА', А = А"Е.
Так как Е2 = Е, то, очевидно, ЕА = А и АЕ = А.
1.5. Следствие. Для того чтобы полугруппа Ш обла-
обладала двусторонне обратимыми элементами, необходимо
и достаточно, чтобы Ш имела единицу.
Доказательство. Если ft имеет двусторонне обра-
обратимые элементы, то, согласно 1.4, единица группы всех
двусторонне обратимых элементов будет единицей 91.
Если 91 обладает единицей Е, то для любого Ш
т. е. Е является и правым и левым делителем А, т. е. дву-
двусторонне обратимым элементом.
1.6. Для произвольной полугруппы Ж обозначим через
© множество всех ее двусторонне обратимых элементов.
Множество всех элементов, обратимых справа, но необра-
необратимых слева, обозначим через Ш; множество всех элементов
обратимых слева, но необратимых справа, обозначим через 2.
Множество всех элементов, необратимых ни справа, ни
слева, обозначим через $.
Из определения следует, что множества ©, 91, 8, $ по-
попарно не пересекаются, причем
Разумеется, для некоторых полугрупп некоторые из под-
подмножеств ®, ffi, 2. $ могут быть и пусты.
В принятых обозначениях © (J JR есть множество всех
элементов Ш, обратимых справа, и © U 2 есть множество
всех элементов, обратимых слева.
1.7. Выясним, что можно сказать об обратимости произ-
произведения двух элементов. Как показал Е. С. Ляпин [15],
обратимость произведения зависит от обратимости сомножи-
сомножителей, хотя одним этим не определяется. Результаты иссле-
исследования мы оформим в виде таблицы, смысл которой заклю-
заключается в том, что для подмножеств Ж, ЯЗсЭД произведение
их XS3 содержится в подмножестве 3> указанном на пересе-

ОБРАТИМОСТЬ
(гл* vt
чении строки, соответствующей Ж, и столбца, соответствую-
соответствующего 23 (при этом, однако, $23 может и не совпадать с 3)-
Теорема. Для всякой полугруппы Ш. имеет место:
1 •
© 1 ©
Ж || Я
8 |) 8
Я | Я
т
vt
8
8
©иэшеия
8
811Я
Доказательство. Прежде всего отметим, что если
?©, то Я"?©1Ш и Kg ©US.
Действительно, согласно 1.2,
Отсюда получаем
что означает, что X обратим справа, а К обратим слева.
Теперь рассмотрим последовательно все шестнадцать кле-
клеточек нашей таблицы. В дальнейшем под О, R, L, К (также
и со штрихами) будем подразумевать произвольные элементы
соответственно из ©, 5R, S, R.
A). То, что GG'?® следует из 1.4.
B). Так как
1 §1
то G/??©|J9L При этом GR?®, благодаря сказанному
вначале, невозможно, так как ®8
C). Так как
то GL?©U2- Если бы GL?®, то благодаря О^©
1 = G! = О~ХОШ = L%
что противоречило бы тому, что L необратим справа.
D). Если бы имело место

§ 1] ОБРАТИМОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ 303
то благодаря О-1?© мы получили бы
что противоречило бы тому, что К необратим справа.
Если бы имело место
то мы получили бы
что противоречило бы тому, что К необратим слева. Следо-
Следовательно, GK?R-
E), Так как
то ?
Если бы RG?®, то мы получили бы
1 = Ю = 2WG • О =
что противоречило бы тому, что R необратим слева.
F). Так как
то /?/?'?©U9*- Но RR'?® противоречило бы благодаря
сказанному вначале тому, что R' ? © U 2.
G). Так как ©1Ш11йи& = $. то RL, конечно, принад-
принадлежит этому множеству.
(8). Если бы имело место
то мы получили бы
что противоречит тому, что К необратим слева.
(9). Так как
1
то IG?©(J2. При этом LG?(B, согласно сказанному внз»
чале, противоречило бы тому, что

304 ОБРАТИМОСТЬ [ГЛ. VI
A0). Если бы имело место
то мы получили бы
что противоречило бы тому, что L необратим справа.
Аналогично доказывается невозможность ?©2
Следовательно,
A1). Так как
то LL' ? (В U 2. Но LU ? © противоречило бы благодаря
сказанному вначале тому, что L^©U9L
A2) Если бы имело место
азанному вначале тому, что
A2). Если бы имело место
то мы получили бы
Но ЭД = Щ противоречит тому, что L необратим справа.
Если бы имело место
то мы получили бы
что противоречило бы тому, что К необратим слева. Сле-
Следовательно, LK?R.
A3). Если бы имело место
КО 6 ® U 9t
то мы получили бы
что противоречило бы тому, что К необратим справа.
Если бы имело место
то благодаря тому, что Щ = 9Ш~ , мы получили бы
1 = Ш,
что противоречило бы тому, что К необратим слева.

§ 1] ОБРАТИМОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ 305
A4). Если бы имело место
то мы получили бы
что противоречило бы тому, что К необратим справа.
Если бы имело место
то мы получили бы
что противоречило бы тому, что R необратим слева.
A5). Если бы имело место
KL ? © U 91,
то мы получили бы
что противоречило бы тому, что К необратим справа.
A6). Если бы имело место
КК' 6 ® U Я,
то мы получили бы
Я = КК'% с КШ,
что противоречило бы тому, что К необратим справа. Ана-
Аналогично предположение КК' ? © U 2 привело бы нас к про-
противоречию с тем, что К' необратим слева.
1.8. Из 1.7. непосредственно видно, какие из объедине-
объединений множеств (Э, й, U, R образуют подполугруппы.
Следствие. Следующие подмножества являются под-
подполугруппами 51:
t = ©UftUSU$t;
©—множество двусторонне обратимых эле-
элементов;
SR — множество обратимых справа, но необрати-
необратимых слева элементов;
2 — множество обратимых слева, но необрати-
необратимых справа элементов;
Л—множество элементов, необратимых ни
справа, ни слева;
— множество элементов, обратимых справа;

306 ОБРАТИМОСТЬ [ГЛ. VI
©U 2—множество элементов, обратимых слева;
— множество двусторонне обратимых элемен-
элементов и элементов, необратимых ни справа,
ни слева;
—множество элементов, необратимых слева;
—множество элементов, необратимых справа;
©U 9t U к — множество элементов, обратимых справа,
и элементов, необратимых ни справа, ни
слева;
©U2U$—множество элементов, обратимых слева,
и элементов, необратимых ни справа, ни
слева.
1.9. Некоторые из клеток таблицы 1.7 содержат не одно
из множеств ©, 5R, 2, $, но объединение нескольких из них.
Покажем на примере, что сократить количество этих мно-
множеств в таких клетках невозможно, т. е., что существуют
такие полугруппы, в которых различные произведения эле-
элементов соответствующих множеств принадлежат всем ука-
указанным в каждой такой клетке множествам.
Пусть 2 есть множество всех чисел натурального ряда,
Рассмотрим полугруппу <BS всех преобразований 2. Возьмеы
следующие элементы этой полугруппы, записанные в виде
подстановок:
/1 2 3 4 ... п ...\
Ь-\1 2 3 4 ...л ...)'
/12 3 4... л ...у
Kl~~U 1 2 3 ... (гс-1) ...)'
/12 3 4... л ...ч
*2-\1 1 1 2 ... (я-2) ..J'
_/1 2 3 4 ... л ...ч
Нз-\1 2 2 3 ... (я_1) ...Г
/1 2 3 4 ... л ...\
1-A2 3 4 5 ... (n-f 1) ...J'
/1 2 3 4 ... я ...\
^~"U 4 5 6 ... (л + 2) „Jf
/12 3 4 ... И...Ч
Kl—\2 2 3 4 ...л ...J'
/12 3 4...П...Ч
К*-\\ 1 1 1 ...1 .,,;•

§ 1] ОБРАТИМОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ЗОГ
Согласно II, 3.3, Rt, R2, R3 являются в <Ва левыми дели-
делителями подстановки Е, являющейся единицей <5д* и не
являются правыми делителями Е. Поэтому, согласно 1.3»
Rv R2, /?8?9L Элементы Lt, 1^ являются правыми делите-
делителями ? и не являются левыми делителями Е. Поэтому, со-
согласно 1.3, Lv L-j^S. Элементы Kt и К2 принадлежат St и Е
принадлежит ®.
Рассмотрим седьмую клетку таблицы 1.7. В множестве,
соответствующем этой клетке, содержатся элементы:
2
1
2
3
2
2
3
2
3
4
3
3
4
3
4
5
4
4
... (?
... (/
... n
... л
Таким образом, для полугруппы <5а произведение 918
действительно содержит элементы из каждого из четырех
множеств ©, 9f, 8, J?, объединение которых записано в седь-
седьмой клетке таблицы.
Теперь рассмотрим восьмую клетку. В множестве
соответствующем этой клетке, содержатся элементы:
1 2 3 4 ... л
2 3 ... (л —
/12 3 4 ... Я ¦:\,гС9
Опять мы обнаружили в 91$ элементы из обоих множеств
Ш и $, объединение которых записано в восьмой клетке.
Наконец, рассмотрим пятнадцатую клетку. В множе-
множестве $8, соответствующем этой клетке, содержатся эле-
элементы:
1 2 3 4 ... л
3 4 5 ... (га
2 3 4 ... п
Я8 содержит элементы и из й и из $, объединение которых
записано в пятнадцатой клетке.
20*

308 Обратимость (гл. Vi
Наконец, отметим, что в качестве искомого примера мы,
конечно, можем взять не всю полугруппу @а> но ее счетную
подполугруппу, порождаемую элементами Е, Rt, R2, R3, Lx,
L2, K\, K2- Легко видеть, что каждый из этих элементов
будет принадлежать соответствующему множеству ©, ffi, 2, $
этой полугруппы.
1.10. Отметим, что рассмотренные свойства обратимости
элементов тесно связаны с вопросом о принадлежности эле-
элементов к собственным идеалам полугруппы.
Теорема. Для того чтобы элемент S полугруппы 31
был обратим справа, необходимо и достаточно, чтобы S
обладал правой единицей и не содержался ни в каком
собственном правом идеале полугруппы 1Ц.
Доказательство. 1) Пусть 5 обратим справа
Тогда S$.^S, т. е. при некотором Z?3I должно выпол-
выполняться SZ = S. При этом, если 91 есть правый идеал Ц,
содержащий S, то
Ш = 5Щ с 9Ш с Ш,
т. е. 9* = 91
2) Пусть 5 обладает обоими указанными в формулировке
теоремы свойствами. Так как S обладает правой единицей,
то S?S'2t. Таким образом, множество SK, очевидно, являю-
являющееся правым идеалом 3t, должно совпадать с Щ, что и
означает, что S обратим справа.
1.11. Принимая во внимание 1.5, мы непосредственно
получаем из 1.10 следствие.
Следствие. Для того чтобы элемент S полугруппы Ш.
был двусторонне обратим в Ж, необходимо и доста-
достаточно, чтобы Ш обладала единицей и чтобы S не содер-
содержался ни в каком собственном левом или правом
идеале %.
§ 2. Обратимость увеличительных элементов
2.1. Как показал Е. С. Ляпин [14], свойство увеличи-
тельности элементов, рассмотренное нами в § 5 и §6
третьей главы, тесно связано со свойством обратимости эле-
элементов.

§ 2) ОБРАТИМОСТЬ УВЕЛИЧИТЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОЙ
Теорема. Всякий правый увеличительный Элемент
полугруппы обратим слева, но необратим Справа.
Всякий левый увеличительный обратим справа, но не-
необратим слева.
Доказательство. Если U есть правый увеличитель-
увеличительный элемент полугруппы 31, то при некотором W с Ш мы
имеем
Отсюда следует, что 511/= 31, т. е. U обратим слева. Пред-
Предположим, что U одновременно обратим и справа. Тогда U
является двусторонне обратимым элементом. Согласно 1.4,
из существования в 31 двусторонне обратимых элементов
следует, что % обладает единицей Е%, а двусторонне обра-
обратимый элемент U имеет обратный I/. Но из этого вы-
вытекает
'• W = t'Ea = WUU'1 = 3ILT1 = Stt/LT1 = ЯЕ« = 31,
что противоречит выбору 31'.
Рассуждения для левого увеличительного аналогичны.
2.2. Обратного утверждения по отношению к теореме
сделать без каких-либо дополнительных оговорок нельзя.
Действительно, в полугруппе 31, имеющей более одного
элемента, в которой для любых элементов X п Y имеет
место XY = К, очевидно, каждый элемент обратим справа:
однако ни один элемент не является левым увеличительным,
ибо
при любых Х? 1 и W с %
2.3. Обратное утверждение по отношению к теореме 2.1
все же справедливо в полугруппах с единицей. Оказывается,
что 9t (в обозначениях § 1) есть множество всех левых
увеличительных элементов и 2 — множество правых увели-
увеличительных.
Теорема. В полугруппе с единицей правые увеличи-
. тельные элементы, и только они, являются элементами,
обратимыми слева и необратимыми справа.

310 ОБРАТИМОСТЬ [ГЛ. '
Левые увеличительные элементы, и только от
являются элементами, обратимыми справа и необрати
мыми слева.
Доказательство. То, что правый увеличительны
элемент обратим слева и необратим справа, было доказан
в 2.1.
Пусть элемент L полугруппы с единицей ЭД обрати
слева и необратим справа
11 = 1, 1ЖФ%.
При некотором Я?ЭД мы имеем
RL = E%.
Из этого следует
Я (/.30 = И.
что означает, что Я есть левый увеличительный элемент %
Рассмотрим подполугруппу
& = [L, Я].
Всякий элемент этой полугруппы
заменяя RL единицей, очевидно, можно провести к виду
(здесь и в последующем некоторые показатели степени могу
равняться нулю, что означает L° = R° — E%).
Выясним, единственным ли образом может быть зада
в таком виде каждый элемент Q..
Пусть
Если ^ = 02, то, умножая равенство слева на Я*1 и при
нимая во внимание, что RL — E%, мы получим
Если pt > p2, то, умножая это равенство справа на
мы получим

§ 2] ОБРАТИМОСТЬ УВЕЛИЧИТЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 311
Благодаря III, 5.4 это невозможно, так как R есть левый
увеличительный элемент Ш, а Е% не есть левый увеличи-
увеличительный элемент ЭД.
Если ocj > eta, то, умножая равенство
слева на RH, мы получим
Но R есть левый увеличительный элемент. Поэтому
= 21 и из полученного равенства вытекает
Щ з Z.—flPl$I = RH = Я,
что противоречит тому, что Щ =? 21.
Таким образом, мы показали, что подполугруппа О. пред-
представляет собой множество произведений вида
причем два произведения, отличающиеся хотя бы одним из
показателей, различны. Умножение этих произведений бла-
благодаря тому, что RL = E%, производится по правилу
(если Ч > U
(если
Из всего этого следует, что полугруппа d изоморфна
полугруппе ?р (III, 6.3). Так как при изоморфизме $ на Q.
элементу t/?$ соответствует элемент L?Q., то, согласно
111,6.8, L является правым увеличительным элементом полу-
полугруппы 21.
Рассуждения для левых увеличительных аналогичны.
2.4. Благодаря III, 6.8 из доказанной теоремы вытекает
следствие.
Следствие. Пусть полугруппа % обладает единицей.
Элемент X полугруппы 21 является обратимым слева,
но необратимым справа тогда и только тогда, когда
существует изоморфизм <р полугруппы $ (///, 6.2; III, 6.3)
в % при котором ср(?!В) = ?'я и <f(U) = X.
Элемент X является обратимым справа, но необра-
необратимым слева тогда и только тогда, когда существует

312 ОБРАТИМОСТЬ [ГЛ. VI
изоморфизм ср полугруппы ty в ЭД, при котором ср (Е%) = ?51
и Т(У) Х
и Т(У) = Х
2.5. Следствие. Если в полугруппе Щ с единицей для
некоторого элемента Х?Ш имеет место
но
при всяком W с Щ., отличном от %, то элемент X
является двусторонне обратимым. (Аналогично для умно-
умножения справа.)
Действительно, X обратим справа, но не является левым
увеличительным и потому, согласно 2.3, не может быть
необратимым слева.
2.6. Отметим, что в формулировке следствия 2.5 нельзя
опустить требование существования единицы. Это видно из
следующего примера. Пусть Щ есть полугруппа с количе-
количеством элементов не меньшим двух и такая, что XY=Y для
любых X, Y ? §1. Тогда в % для всякого X имеет место
Однако, очевидно, ни один элемент полугруппы Ш не
является двусторонне обратимым.
§ 3. Полугруппы с односторонней обратимостью
3.1. В связи с осуществленным в первом параграфе раз-
разбиением произвольной полугруппы Щ на четыре подполу-
подполугруппы ®, 2, 9i, St естественно выделяются полугруппы,
совпадающие со своей подполугруппой ©LJ (или анало-
аналогично © U 9?)- Такие полугруппы были рассмотрены в свое
время А. К. Сушкевичем C], [12], в связи с чем Н. Н. Во-
Воробьев [6] называет их системами Сушкевича. Их называют
также полугруппами с левым делением и полугруппами про-
простыми слева.
Определение. Если все элементы полугруппы обра-
обратимы слева, то она называется полугруппой с ле-
левой обратимостью.
Аналогично определяется полугруппа с правой, обрати-
обратимостью...

§ 3] ПОЛУГРУППЫ С ОДНОСТОРОННЕЙ ОБРАТИМОСТЬЮ 31$
Только группы являются полугруппами одновременно и
с левой и с правой обратимостью.
3.2. Полугруппа % является полугруппой с левой
обратимостью тогда и только тогда, когда она не
имеет собственных левых идеалов.
Действительно, если % есть полугруппа с левой обрати-
обратимостью, то для любого А?% §L4 = §I и потому А не может
содержаться в собственном левом идеале %.
Если ft не имеет собственных левых идеалов, то для
любого А ?ЭД имеет место §L4 —ft.
Отметим, что благодаря V.2.4 из сказанного следует,
что к полугруппам с левой обратимостью относятся мини-
минимальные левые идеалы всякой полугруппы.
3.3. Полугруппы с левой обратимостью существенно
разделяются на два класса в зависимости от того, имеются
ли среди их элементов идемпотенты или нет.
Теорема. Если в полугруппе с левой обратимостью
имеются идемпотенты, то каждый из них является
такой правой единицей полугруппы, которая делится
справа на все элементы полугруппы.
Если в полугруппе с левой обратимостью нет идем-
потентов, то ни один ее элемент не имеет правых
единиц.
Доказательство. 1) Пусть / есть произвольный
идемпотент полугруппы с левой обратимостью %. Так как %
есть полугруппа с левой обратимостью, то для произволь-
произвольного Л^?1 в % должны найтись такие U а V, что
UA = I, VI = А.
Благодаря второму равенству получаем
2) Пусть в полугруппе с левой обратимостью ЭД элемент X
имеет правую единицу
X (X,
При некотором Z?§I должно выполняться ZX=Y. От-
Отсюда сразу получаем существование в Ш идемпотента

3l4 бвРАТймостб [гл. Vi
3.4. Как следует из теоремы 3.3, класс полугрупп с ле-
левой обратимостью, обладающих идемпотентами, совпадает
с классом полугрупп, обладающих такой правой единицей,
которая делится справа на всякий элемент полугруппы. Дей-
Действительно, пусть некоторая полугруппа 9Г обладает такой
правой единицей /. Для любого Л?ЭД найдется такой
что ХА = /. Отсюда для всякого В ? 91 получаем
При этом 91 ^1 и /2 = /.
Из сказанного следует, что когда ниже мы исследуем
строение полугрупп с левой обратимостью, обладающих
идемпотентами, то тем самым мы получим ответ на вопрос,
поставленный во втором параграфе второй главы о том, ка-
каковы полугруппы, обладающие правой единицей, делящейся
справа на все элементы полугруппы.
Исследование ряда свойств полугрупп с левой обрати-
обратимостью, обладающих идемпотентами, было произведено
А. К. Сушкевичем [12]. Позже, развивая далее это на-
направление, Мэнн [1] дал исчерпывающее описание строения
таких полугрупп и произвел их полную классификацию.
З.б. Пусть ф есть такая полугруппа, в которой для лю-
любых U, V ? § имеет место UV = U и © произвольная
группа. Обозначим через % множество всевозможных пар
(U.G) ©
Определим в X умножение
(U, О) • (?/', G') = (UU', GG') = (U,GG')
Ассоциативность действия очевидна. % является полугруп-
полугруппой с левой обратимостью, так как для любых (U, G), (U'G') g Z
мы имеем
Элементы вида (U, ?@), как легко видеть, являются идем-
идемпотентами, причем других идемпотентов % не имеет.
3.6. Строение описанной полугруппы % целиком опреде-
определяется мощностью множества ф и группой ©.
Полугруппу Ж можно рассматривать как вполне простую
полугруппу без нуля матричного типа <S'(P, ©) (V.6.3),

§ 3] ПОЛУГРУППЫ С ОДНОСТОРОННЕЙ ОБРАТИМОСТЬЮ 315
у которой матрица Р состоит из одного столбца, причем
все ее элементы равны Е&.
3.7. Значение полугрупп указанного вида объясняется
тем, что, как мы покажем ниже, всякая полугруппа с ле-
левой обратимостью, обладающая идемпотентами, изо-
изоморфна некоторой полугруппе типа 3.5.
3.8. Пусть 21 есть произвольная полугруппа с левой
обратимостью, обладающая идемпотентами, совокупность
которых обозначим через ф. Выведем ряд свойств полу-
полугруппы 21.
(а) Если U,V?$, то UV = U.
Это непосредственно следует из 3.3.
(Р). Если l/?§, *?2l и UX=U, то
Действительно, благодаря 3.3
(f). Если 1/?§, то множество U% является группой, еди-
единица которой есть U.
Действительно, если X, К?Ш1, то, очевидно, XY?W&.
Элемент 1/?1Ж есть, очевидно, левая единица подполу-
подполугруппы иШ. Для всякого Х? иШ. в 21 должен найтись такой
элемент X', что U = X'X. Так как
и=ии=(ух').х, их'^иж,
то U делится справа в LF& на произвольный элемент из i/ft.
Отсюда, согласно II, 2.18, следует, что U% есть группа.
(8) Для всякого Х^Щ, в § найдется один единственный
элемент 1х, являющийся левой единицей для X.
Для произвольного ?/?§ в 21 должен найтись такой X',
что U = X'X. Для 1х = ХХ' мы, пользуясь 3.4, получаем
1ХХ=XX'Х=XU = X,
1\ = XX'XX' = XUX' = XX' = 1Х.
Если V произвольная левая единица X, являющаяся идемпо-
тентом, то благодаря (а) получаем
3.9. Выведенные в 3.8 свойства полугруппы с левой об-
обратимостью, обладающей идемпотентами Ш, позволяют дока-
доказать справедливость утверждения 3.7.

316 ОБРАТИМОСТЬ [ГЛ. VI
Фиксируем один из идемпотентов U ? ф. Пользуясь 3,8, (8)
сопоставим каждому элементу X ?91 пару
X~(Ix.UX).
Покажем, что различным элементам полугруппы ЭД соот
ветствуют различные пары. Пусть для X, У?Ш
= I?X=z IXUX=IYUY = IYY = Y.
т. е.
Тогда
Теперь покажем, что для произвольной пары (V, G), гд<
V ? § и G ? ?/ЭД в Ш найдется элемент, которому эта пар;
соответствует. В качестве такого элемента возьмем Z = VG
Так как
то /z = V. Так как О?Щ, то
Следовательно,
ЗЛО. Обозначим через Ж полугруппу типа 3.5. по
строенную для полугруппы ф (в которой благодаря 3.8, (а
произведение двух любых элементов равно левому множи
телю) и для группы UU C.8, (f)). В 3.9 между элементам!
ft и X было установлено взаимно однозначное соответствие
Покажем, что это соответствие обладает свойством изо
морфизма, и тем самым докажем справедливость утвержде
ния 3.7.
Пусть XY = Z и
*~(/2г, UX), Y~(fr.UY), Z~(IZ,UZ).
Так как IxIy = Ix?§ C.8, (а)) и
AхЬ) • Z*=(IxIy) ¦ {
то благодаря 3.8,C) Ixlr —

§ 3] ПОЛУГРУППЫ С ОДНОСТОРОННЕЙ ОБРАТИМОСТЬЮ 317
Далее,
(UX) ¦ (UY) ==U -XU • К = UXY = UZ.
Таким образом, согласно установленному в 3.5 действию,
между парами, являющимися элементами ?, мы получаем,
что элементу Z = XY соответствует следующая пара:
(/*. UZ) = (IXIY, (UX) • (UY)) = (IX, UX) • (IT, UY).
3.11. Изоморфное представление рассматриваемых нами
полугрупп в виде полугрупп пар не только выясняет их
строение и позволяет вывести различные их свойства, но и
является классификацией полугрупп с левой обратимостью,
имеющих идемпотенты. Это обстоятельство вытекает из того,
что две полугруппы пар, полугруппа 2^, построенная из
<§>! и ©!, и полугруппа Х2, построенная из ф2 и ©2, изоморфны
тогда и только тогда, когда изоморфны полугруппы <?>t и
§2 (для чего, очевидно, достаточна равномощность ?>t и §>2)
и изоморфны группы ©! и ©2. Для доказательства этого, оче-
очевидно, достаточно показать, что в полугруппе пар типа 3.5
% полугруппа ф и группа © определяются с точностью до
изоморфизма единственным образом. Покажем это. ф равно-
мощно множеству всех идемпотентов %, ибо таковыми яв-
являются только пары вида (Н, ?а) (#? ф). Следовательно, ф
определено для % с точностью до изоморфизма единствен-
единственным образом. ® изоморфна группе, состоящей из всех эле-
элементов X, имеющих данный (произвольный) идемпотент (Я,?®)
своей двусторонней единицей (таковыми элементами являются,
очевидно, пары вида (Н, О)). Следовательно, и © опреде-
определяется для % с точностью до изоморфизма единственным
образом.
3.12. Совершенно очевидно, что рассмотрение свойств,
описание строения и классификация полугрупп с правой об-
обратимостью, имеющих идемпотенты, производится способом
вполне аналогичным предыдущим рассуждениям.
3.13. Теперь перейдем к рассмотрению полугрупп с ле-
левой обратимостью, не имеющих идемпотентов. Пусть 3t
одна из таких полугрупп. Она обязательно бесконечна, так
как всякая конечная полугруппа имеет идемпотенты. Напом-
Напомним также, что в Ж благодаря 3.3 ни один элемент не мо-
может иметь правой единицы.

318 ОБРАТИМОСТЬ [ГЛ. VI
3.14. Рассмотрим следующий важный пример полугрупп
с указанными свойствами. Этот пример был построен
Тесье [5]. Он является некоторым развитием конструкции
Бэра и Леви [1] и играет важную роль для всего класса
рассматриваемых полугрупп.
Пусть в бесконечном множестве 2 задана произвольным
образом эквивалентность п, такая что количество п-классов
бесконечно.
В полугруппе <За. состоящей из всех преобразований 2,
выделим преобразования X, обладающие тремя свойствами:
(а) если а~р(п)(а, р?2), то Ха = Хф;
(р) если а-И(п)(а, 0?2), то Ха-^^(п);
(f) множество всех таких п-классов 2', что XQ f| 2'= 0,
равномощно множеству всех п-классов.
Легко видеть, что совокупность преобразований X из <Bs,
обладающих всеми тремя свойствами, является подполугруп-
подполугруппой, которую будем обозначать через ?ап*.
3.15. Выведем ряд свойств определенной таким образом
полугруппы $4п).
(a). Ssjn) не имеет идемпотентов.
Действительно, предположим, что для некоторого Х^Хй
имеет место Х2 = Х. Согласно 3.14, (f), найдется такой
П-класс 2', что 2' не имеет общих элементов с XQ. Пусть
а ?2'. Так как
Х(Ха) = Х*а. = Ха. = Х(а),
то благодаря 3.14, (ф)Ха—а(п) и потому Аа?2', чтс
противоречит тому, что -Ar2f|2'=0.
(?)). Каждый элемент %$ является правым увеличительным
элементом этой полугруппы.
Пусть X, K??(an). Обозначим ?(an)\X—ty. Множество
всех п-классов 2', удовлетворяющих условию Х2п2'=^ 0,
обозначим через IV а удовлетворяющих условию К2 f| 2'=0—
через Г2. Разобьем Г2 на два непересекающихся подмножества
r2 = r3UlV имеющих каждое мощность, равную мощности
множества всех n-класов. В каждом n-классе 2®^Гг фикси-
фиксируем некоторый элемент Хе?2(е). Выберем некоторое взаимнс
однозначное отбражение <р множества Гх на Г3 и каждому
Х^ ^ 2^' поставим в соответствие некоторый элемент Х| ? ср B( 'j

§ 3J ПОЛУГРУППЫ С ОДНОСТОРОННЕЙ ОБРАТИМОСТЬЮ 31§
так, что хотя бы для одного Xj имело место Х| Ф Х\.
Введем новое преобразование S?<5a. полагая:
1) Sa = B,- если существует такой элемент f ?2, что
*Г~<х(п) и/т = р;
2) 5а = Х|, если а?2(!1), где 2(?) ? 1\.
Легко видеть, что оба условия определяют S?<Ss един-
единственным образом. Согласно определению <р> ¦$€$• Сразу
видно, что S удовлетворяет условиям 3.14, (а), (В). Так как
для всякого S(lt)?r4 имеют место S2f|2(T)=Q, то 5 обла-
обладает также и свойством 3.14, (f).
Согласно определению 5, мы для всякого v ? 2 имеем
SX4 = Yv. Таким образом, SX—Y, а так как К—произ-
К—произвольный элемент из %$ и S?% то l^X = Zis).
(f)- 2^ есть полугруппа с левой обратимостью. Это
непосредствено вытекает из (В) и 2.1.
(8). В ?ап) нет левых увеличительных элементов. Это
непосредственно вытекает из (В) и III, 5.2.
(е). Никакой элемент из %.$* не имеет в ?а правых
единиц.
Это непосредственно вытекает из (a), (f) и 3.3.
(С). Если каждый ti-класс состоит из одного элемента, то $sn)
является полугруппой с левым сокращением.
Действительно, пусть X Ф Y(X, /??sn))- При некотором
<х? 2 должно быть Хл ф Yen. Но это означает, что Xa<-jL» Ka(tl)
и потому, согласно 3.14, (Р), SXa. Ф SYa при любом S^J^.
(т]). Если хотя бы один ti-класс содержит более одного
элемента, то 2^ не является полугруппой с левым сокра-
сокращением.
Действительно, если a-^p(tl) и а Ф ?), то возьмем какое-
нибудь преобразование X?%№\ такое, чтобы Х2 3а. По-
Построим преобразование X' ?<5а, такое, что X'v = Xv, если
Хчфа и X'v = B, если Xv = a. Легко видеть, что X*?2$.
Так как 5a = 5S при любом 5??ап) (ибо а~В(п)), то
SX=SX'. хотя Л-^Х'.
@). 24П) не является полугруппой с правым сокращением.
Действительно, возьмем в Х^ Два таких элемента X ф X',
у которых Ха=^Х'а для всех a?2, за исключением а,

320 Обратимость 1Гл- vi
принадлежащих одному фиксированному n-классу Q®. Z из Z^
возьмем таким, что Z2 п 2 == 0. Для таких элементов, оче-
очевидно, получаем XZ = X'Z.
3.16. Выведенные свойства ?sn' характеризуют ее как
полугруппу, весьма интересную с разных точек зрения.
В частности, мы впервые получили пример полугруппы, все
элементы которой являются ее правыми увеличительными эле-
элементами. Вместе с тем, как показала Тесье [5], значение
полугрупп $,$ далеко выходит за рамки интересного при-
примера. Это следует из приведенного ниже рассуждения.
Пусть % есть произвольная полугруппа с левой обрати-
обратимостью, не имеющая идемпотентов. Обозначим через 2 множе-
множество, состоящее из всех элементов ft и еще одного „отделяю-
„отделяющего" элемента / (I, 3.9). В множестве 2 определяем
отношение эквивалентности и, полагая Х~ Y (п), если
X=Y = I или если X, Y ?Щ. и AX=AY при всяком А ?%.
Симметричность, рефлексивность и транзитивность п оче-
очевидны. Отметим также, что если X и Y из % таковы, что при
некотором Z?2t имеет место ZX=ZY, то X—К(п). Дей-
Действительно, пусть А произвольный элемент из Щ. Так как ЭД
есть полугруппа с левой обратимостью, то при некотором
S?2t SZ = A. Поэтому
AX=SZX=SZY~AY.
Для эквивалентности п в 2 строим полугруппу %$'. Она
является подполугруппой полугруппы ©о- Рассмотрим изо-
изоморфизм <р (I, 3.9) полугруппы % в @в, являющейся ее пред-
представлением левыми сдвигами (I, 3.10), и докажем, что
()
1)а
Для произвольного А?Щ рассматриваем преобразова-
преобразование Л == ср (Л)?®а.
Пусть X и Y есть два различных элемента из 2, принад-
принадлежащих одному и тому же tl-классу.
Так как X, К?$ и X~Y(n), то
А(Х) = АХ = A Y = А( Y).
Таким образом, А обладает свойством 3.14, (а).

§ 3] ПОЛУГРУППЫ С ОДНОСТОРОННЕЙ ОБРАТИМОСТЬЮ 321
Если X и Y принадлежат разным it-классам, причем оба
являются элементами из %, то, благодаря отмеченному выше,
элемент А(Х) = АХ и элемент A(Y) = AY не могут нахо-
находиться в отношении п-
Если Х?% и К = /, то
А(Х) = АХ, А(Г) = А
и АХ~А(п) невозможно, так как иначе, по определению it,
мы получили бы ААХ=АА, что противоречит отсутствию
правых единиц у А2 C.3).
Таким образом, А обладает свойством 3.14, (C).
Для всякого 5 ? Ж в ЭД должен найтись такой элемент
что A — R: \S. Обозначим через 2(S^ совокупность всех
элементов из ЗС, эквивалентных относительно it элементу #( '.
Множества Л2 и 2(S) не имеют общих элементов. Дей-
Действительно, в противном случае для некоторого Х? 2 мы
имели бы AX~R{S)(n). Откуда вытекало бы (SR{S))SX—
= SR^, что противоречило бы отсутствию правых единиц
у элемента SRiS^ C.3). Мы сопоставили каждому S?%
П-класс 2^, удовлетворяющий условию Л2^в) fl ?^S) =0. Сей-
Сейчас мы покажем, что если Sirj^S2(vi), т. е. St и S2 взяты
из разных it-классов, то 2(Sl) Ф 2(Sa). Отсюда непосредственно
будет вытекать выполнение свойства 3.14, (if) для преобразо-
преобразования А.
Так как
A = R{S')S1, A =
то для всякого В?ЭД мы имеем
i = BR{S>)S2
Но S^Siin), поэтому BR^ Ф BR(Sil). Это означает, что
/?(*>4'/?(St)(n) и потому n-классы 2№) и 2(S>) различны.
3.17. Проведенные рассуждения показывают, что полу-
полугруппы вида %? образуют универсальный класс (III, 1.9) для
класса всех полугрупп с левой обратимостью, не имею-
имеющих идемпотентов. При этом они сами принадлежат этому
классу C.15, (ос), (^)). Если ограничиться полугруппами,
21 Зак. 455. Е. С. Ляпнн

322 ОБРАТИМОСТЬ [ГЛ. VI
мощность множества элементов которых не превосходит не-
некоторой мощности т, то нетрудно построить такую полу-
полугруппу 24** > которая одна будет универсальной полугруппой
для всего этого класса (правда, она сама этому классу при-
принадлежать не будет, обладая большей мощностью).
Получение указанного универсального класса для класса
полугрупп с левой обратимостью без идемпотентов в изве-
известном смысле выясняет характер полугрупп этого класса.
При изучении какой-либо из полугрупп этого класса ее
можно, не выходя за пределы класса, погрузить в соответ-
соответствующую полугруппу %.$ и продолжать изучение уже дл?
последней. Конечно, такой результат далеко уступает пол-
полному описанию строения полугрупп с левой обратимостью
обладающих идемпотеитами, но дело заключается в принци-
принципиально большей сложности устройства наших полугруш
в случае отсутствия идемпотентов.
3.18. В заключение остановимся на полугруппах %,?
у которых эквивалентность п является тождественной, т. е
каждый n-класс состоит лишь из одного элемента. Мы полу
чаем в этом случае конструкцию Бэра и Леви [1J, послу
жившую исходной точкой проведенных выше рассуждений
В этом случае полугруппа 24п) будет полугруппой с лево
обратимостью и с левым сокращением, не обладающая идем
потентами C.15, (С)). Как непосредственно видно из рассуж
дений 3.16, произвольная полугруппа, обладающей указан
ными тремя свойствами, отображается изоморфно в некотору!
такую полугруппу %?\ Таким образом, полугруппы %[
с тождественной эквивалентностью п не только принадлежа
классу полугрупп с указанными тремя свойствами, но
образуют универсальный класс для этого класса.
3.19. В общем случае свойства сокращения и обратимост
независимы. Бесконечная моногенная полугруппа обладав
свойством двустороннего сокращения. Однако она, очевидш
не является ни полугруппой с левой обратимостью, ни пол]
группой с правой обратимостью. С другой стороны, пол}
группа ?BП) является полугруппой с левой обратимость
C.15), (f)), но никогда не является полугруппой с правь
сокращением C.15, F)) и, за исключением случая, отмече]
ного в 3.15,G)), не является полугруппой с левым сокращ

§ 3] ПОЛУГРУППЫ С ОДНОСТОРОННЕЙ ОБРАТИМОСТЬЮ 323
нием. Полугруппа, антиизоморфная полугруппе 2&г\ является
полугруппой с правой обратимостью, но не является ни
полугруппой с левым сокращением, ни полугруппой с пра-
правым сокращением (за исключением случая, соответствующего
3.15,G1)).
В связи с этим представляет интерес отмеченная в работе
Хьюета и Цукермана [1] связь между этими важными свой-
свойствами в классе периодических полугрупп (III, 4.1).
Теорема. Периодическая полугруппа ЭД обладает свой-
свойством правого сокращения тогда и только тогда, когда
она является полугруппой с левой обратимостью.
Доказательство. 1) Пусть 31 есть полугруппа с пра-
правым сокращением. Для произвольных идемпотентов U к V
полугруппы 31 имеем
откуда следует UV = U.
Произвольный элемент А полугруппы Щ порождает конеч-
конечную моногенную полугруппу [А], тип которой (III, 3.7) обо-
обозначим через (A, d). Если бы й> 1, то мы получили бы
что противоречило бы условию сокращения справа. Значит
на самом деле обязательно h = 1, что означает, что [А]
есть группа (III, 3.11).
Из доказанного следует, что для двух произвольных эле-
элементов А и В полугруппы ЭД должны найтись такие А', В',
U', У'€Я. что
AU' = A, A'A = U', B'B = V,
где U' и V идемпотенты. Благодаря этому получаем
A = AU' = AU'V = AU'B'B = (AWВ') • В.
Отсюда следует, что 31 есть полугруппа с левой обрати-
обратимостью.
2) Пусть Щ есть полугруппа с левой обратимостью. Так
как 31 есть периодическая полугруппа, то она обладает идем-
потентами. Отсюда благодаря 3.7 и 3.9 следует, что Ш изо-
норфна полугруппе, описанной в 3.5. Но полугруппа X

324 ОБРАТИМОСТЬ [ГЛ. VI
является полугруппой с правым сокращением, ибо для любых
Г, = (?/«, ad?Z(f=l. 2, 3) из
следует 7\ = Г2. Действительно,
T2T3 = (U2, G2).(US, G3) = (t/2, G2G3)
и Т{Г3 — T2T3 влечет за собой Ul = U2 и GXG3 = G2G3, т. е.
Gx = O3 (поскольку Glt G2, G3 являются элементами группы).
§ 4. Подполугруппы, правильные относительно
обратимости
4.1. Пусть 23 есть подполугруппа полугруппы Щ. и
В — некоторый элемент 33. Обратимость В в 23 может отли-
отличаться от обратимости В в ЭД. Возможен случай, когда В
является обратимым справа элементом 93, но не обратимым
справа в %. С другой стороны, возможен случай, когда В
не является обратимым справа элементом 23, но обратим
справа в 31. Аналогичные случаи могут встретиться в отно-
отношении левой и двусторонней обратимости.
4.2. Приведем пример указанных в 4.1 возможностей.
Возьмем коммутативную полугруппу
Я={.... А~\ А0, А, А2, .... /},
в которой Ап и Ат умножаются по правилу сложения показа-
показателей степеней, /Л" = Ля/ = А" (л= . .., — 1, 0, 1, 2, ...)
и /2 = /. Можно сказать, что Ш получается из бесконечной
циклической группы путем внешнего присоединения единицы
/A1,2.12).
Рассмотрим полугруппы
% = {А, А\ А\ ...}, «,= {..., А~\ А\ А, А\ ...}.
Так как Aty^A, то А не является обратимым элементом 9^.
В то же самое время А, очевидно, является обратимым эле-
элементом для ft2, являющейся надполугруппой полугруппы З^.
Одновременно с этим мы замечаем, что А не является
обратимым элементом ЭД, так как, очевидно,
АШ Э '• •

§ 4] ПОДПОЛУГРУППЫ, ПРАВИЛЬН. ОТНОСИТЕЛЬНО ОБРАТИМОСТИ 325
Таким образом, ЭД является такой надполутруппой полу-
полугруппы К2, в которой А необратим, хотя он является обра-
обратимым элементом полугруппы ЭД2.
4.3. В связи с отмеченным выше явлением естественно
возникает нижеследующее понятие, введенное и рассмотрен-
рассмотренное Е. С. Ляпиным [14].
Определение. Подполугруппа 23 полугруппы 31 назы-
называется правильной относительно обратимо-
обратимости справа подполугруппой, если всякий эле-
элемент В из Ъ будет в % обратимым справа тогда и
только тогда, когда он обратим справа в 23.
Аналогично определяются подполугруппы правильные
относительно обратимости слева и правильные относительно
двусторонней обратимости.
4.4. Из определения следует, что полугруппа 33 будет
правильной относительно обратимости справа, если для вся-
всякого В ? 33 из выполнения равенства ВЗЗ = 33 следует. В% = Щ
и, наоборот, из выполнения В% = %. следует В23 = 33. Анало-
Аналогично для обратимости слева одно из равенств
должно следовать из другого.
4.5. Отметим несколько простейших свойств правильных
относительно обратимости справа подполугрупп (очевидным
образом соответствующие свойства имеют место для полу-
полугрупп, правильных относительно обратимости слева и пра-
правильных относительно двусторонней обратимости).
(а). Сама полугруппа является правильной относительно
обратимости справа своей подполугруппой.
ф). Если %х есть правильная относительно обратимости
справа подполугруппа %, и %г является правильной относи-
относительно обратимости справа подполугруппой 9t3. To $i есть
правильная относительно обратимости справа подполу-
подполугруппа %.
(if). Пусть полугруппа ЭД обладает единицей Е и под-
подполугруппа 23 полугруппы Щ. содержит Е.
Для того чтобы 23 была правильной относительно обра-
обратимости справа подполугруппой Ш, необходимо и достаточно,
чтобы для всякого В ?23, для которого уравнение BY = E
разрешимо в 9J, это уравнение было разрешимо в 23.

326 ОБРАТИМОСТЬ [ГЛ. VI
Для того чтобы SB была правильной относительно обрати-
обратимости слева подполугруппой ЭД, необходимо и достаточно,
чтобы для всякого В ?23, для которого уравнение ХВ = Е
разрешимо в К, это уравнение было разрешимо в 33.
(8). Пусть полугруппа Щ обладает единицей Е. St и 232
есть ее подполугруппы, причем
Если 33t есть правильная относительно обратимости справа
подполугруппа % то 95! будет правильной относительно
обратимости справа подполугруппой 932.
(е). Пусть полугруппа *& обладает единицей Е и подполу-
подполугруппа 33 полугруппы К содержит Е. Для того чтобы 23
была правильной относительно обратимости справа подполу-
подполугруппой ЭД, необходимо и достаточно, чтобы всякий эле-
элемент В ? 93, обратимый справа в ЭД, был обратим справа
и в 33.
4.6. Если интересующая нас подполугруппа 23 полу-
полугруппы Ш не является правильной относительно обратимости
справа, а нам существенно наличие этого свойства у рас-
рассматриваемой полугруппы (вскоре мы встретимся с вопросом,
когда это может быть существенным), то можно погрузить 33
в надполугруппу 23', являющуюся правильной относительно
обратимости справа подполугруппой полугруппы Щ. Что это
всегда возможно, следует хотя бы из того, что в каче-
качестве SB' можно взять саму ЭД. Однако обычно бывает выгодно,
чтобы для перехода от 93 к 23' добавлялось по возможности
меньше новых элементов, не входящих в S3.
В некоторых случаях удается построить минимальную
надполугруппу 93, являющуюся правильной относительно
обратимости справа подполугруппой % Однако это возможно
не всегда.
4.7. Приведем пример для указанного выше случая.
Рассмотрим коммутативную полугруппу 9(, состоящую из
элементов Iv /2 /„ действие между которыми
определяется правилом
Выясним, какие из подполугрупп %. являются правиль-
правильными относительно обратимости. Если подполугруппа

§ 5] ПОЛУГРУППЫ, ПРАВИЛЬНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ОБРАТИМОСТИ 327
23 —{/«,. /<*, /аот} («1 < а2 < • • • < О конечна, то,
согласно 4.4, она не является правильной, так как
Последнее неравенство следует из того, что ни при каком L
произведение /р/а не может равняться Ja +1.
Если 23 ={/«,, /а,, ••¦} (а1<аг< ...) бесконечная, то
она правильна относительно обратимости. Это следует из
того, что ни при каком / не имеет места ни SB/ = 23, ни
Щ/=К. Для произвольной конечной подполугруппы 23 =
= {/«,,/«.,..., /в)п} (а!<а2< ... < ат) нашей полу-
полугруппы Щ, правильной относительно обратимости, ее надполу-
группой будет любая содержащая ее бесконечная подполу-
подполугруппа %:
23'= {23, /Р„ 4, .... h., ...}
(Р^ец; i= 1, 2, .... /и; у=1. 2, .. .).
Среди таких подполугрупп 23' не имеется минимальной.
Действительно, для данной 23' можно всегда взять под-
подполугруппу 23" = {23, /р,, /р3, ...}, которая правильна отно-
относительно обратимости, содержит 23 и вместе с тем является
подполугруппой 23', отличной от 23'.
§ 5. Полугруппы преобразований, правильные
относительно обратимости
5.1. Как мы уже упоминали, необходимость рассмотрения
различных свойств тех или иных преобразований возникает
в самых разнообразных отраслях математики. В зависимости
от объекта и от цели исследования интерес могут представ-
представлять различные свойства преобразований. Особенно часто
встречается необходимость исследования вопросов о разре-
разрешимости и единственности следующего уравнения.
Пусть 5 есть некоторое преобразование множества S,
а—некоторый заданный элемент 2 и % — неизвестный иско-
искомый элемент Q. Упомянутое уравнение имеет вид
5? = а.

328 ОБРАТИМОСТЬ (ГЛ. VI
Ввиду произвольности множества S и того, что 5 является
произвольным его преобразованием (оператором), многочис-
многочисленные виды конкретных уравнений являются частными слу-
случаями этого столь общо заданного уравнения. Поэтому
Е. С. Ляпин [14], изучавший некоторые свойства этого урав-
уравнения, рассмотренные ниже, называл его уравнением об-
общего вида. При рассмотрении этого уравнения обычно
в первую очередь возникает необходимость рассмотрения
следующих двух главных вопросов. Во-первых, разрешимо ли
это уравнение относительно неизвестного 5 (проблема суще-
существования). И, во-вторых, если оно разрешимо, то един-
единственно ли или нет решение (проблема единственности).
Е. С. Ляпиным [14] был рассмотрен ряд свойств полугрупп,
которые оказываются связанными со свойствами указанного
уравнения. Последующая часть настоящей главы и будет
посвящена изложению соответствующих результатов.
5.2. Фактически чаще всего приходится рассматривать
не одно какое-либо отдельное уравнение указанного в 5.1
типа, но совокупность уравнений с одним и тем же преоб-
преобразованием— оператором S, но с различными правыми ча-
частями а.
В связи с этим задача получает следующую постановку.
Для данного преобразования—оператора 5 нужно выяснить,
с одной стороны, при всех ли а из 2 уравнение S? = a
разрешимо в 8, с другой, — при всех ли тех а, при которых
это уравнение разрешимо, оно имеет единственное решение.
Поставленные вопросы можно формулировать также и по-
другому. Нужно выяснить, имеет ли место равенство 52 = 2
(что равносильно тому, что 5$ = а разрешимо при всех а ? S)
и всегда ли различны между собой SX и Sp при любых не-
неравных между собой X и |х (что равносильно единственности
решения 5$ = а при всех тех а, при которых это уравнение
разрешимо).
6.3. Положительное или отрицательное решение по-
поставленных в 5.2 вопросов является важнейшим свойством
оператора — преобразования 5. Если рассматривать 5 как
элемент полугруппы <5а всех преобразований множе-
множества 2, то ответы на указанные вопросы получаются
сразу.
Из П, 3.2 следует, что для того чтобы имело место
SQ = 2, необходимо и достаточно, чтобы 5 был левым де-

§ 5] ПОЛУГРУППЫ, ПРАВИЛЬНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ОБРАТИМОСТИ 329
лителем всех элементов из @в. т. е., согласно 1.1, был об-
обратимым в ®2 справа. Поскольку <Sa обладает единицей Е,
из 1.3 следует, чго для этого достаточно, чтобы 5 обладал
в <S2 правым обратным относительно Е.
Из II, 3.1 следует, что для того чтобы имело место
SX. Ф 5|г при любых X Ф [л, необходимо и достаточно, чтобы 5
был правым делителем всех элементов из @в> т. е., согла-
согласно 1.1, был обратимым в <32 слева. Из 1.3 следует, что
для этого достаточно, чтобы 5 обладал в <Ss левым обрат-
обратным относительно Е.
5.4. Указанный в 5.3 подход к решению основных двух
вопросов для уравнений 5.1 является в своем первоначальном
виде слишком поверхностным и потому недостаточно плодо-
плодотворным. При исследовании тех или иных операторов — пре-
преобразований обычно является естественным и по существу
важным рассматривать их как элементы полугруппы тех или
иных преобразований, обладающих рядом свойств, которыми
обладает и данный оператор — преобразование. Однако при
переходе от полугруппы <Sa к какой-либо ее подполугруппе
91с@2 эквивалентность интересующих нас свойств преоб-
преобразования 5 со свойствами обратимости 5 может нарушиться.
Это следует из того, что 5 может быть обратим справа
в @в. но необратим справа в %, и наоборот. О возможности
подобных явлений мы говорили в предыдущем параграфе.
Рассуждения этого параграфа подсказывают выход из ука-
указанного затруднения.
б.б. Определение. Полугруппа некоторых преобразо-
преобразований множества Q называется правильной отно-
относительно обратимости справа, если она яв-
является правильной относительно обратимости справа
подполугруппой полугруппы всех преобразований <5а D.3).
Аналогично определяется правильность относительно об-
обратимости слева и относительно двусторонней обратимости.
5.6. Благодаря этому определению из сказанного в 5.3
вытекает следующий вывод.
Пусть Щ. есть полугруппа преобразований множе-
множества S, правильная относительно обратимости справа;
преобразование S принадлежит ЭД. Для того чтобы урав-
уравнение

330 ОБРАТИМОСТЬ [ГЛ. VI
относительно неизвестного % ? 2 было разрешимо при
любых значениях <х? 2, необходимо и достаточно, чтобы S
был обратимым справа элементом полугруппы К.
Пусть Ш есть полугруппа преобразований множе-
множества 2, правильная относительно обратимости слева;
преобразование S принадлежит 31. Для того чтобы
уравнение
относительно неизвестного ??2 при всяком <х?2 имело
не более одного решения, необходимо и достаточно,
чтобы S был обратимым слева элементом полугруппы К.
5.7. Из 5.6 следует, что изучение указанных важнейших
свойств операторов — преобразований, принадлежащих неко-
некоторой полугруппе преобразований % сводится к изучению
чисто алгебраического вопроса о делимости элементоз в полу-
полугруппе 31. Важно отметить, что такой подход сводит иссле-
исследование вопроса, относящегося к конкретной полугруппе,
к изучению некоторого абстрактного свойства (в смысле
1,1.8; 1,1.14). Действительно, свойства обратимости справа
и слева, очевидно, сохраняются при изоморфизмах полу-
полугруппы.
Указанное сведение может представить принципиальный
интерес. Однако оно имеет место лишь в том случае, когда 31
есть правильная относительно обратимости полугруппа пре-
преобразований. Вопрос о том, какие из полугрупп преобра-
преобразований правильны в отношении свойств обратимости, может
быть решен, конечно, только в результате рассмотрения
конкретных свойств данного множества 2 и свойств тех
преобразований, которые составляют данную полугруппу
преобразований. Необходимые для этого исследования в ос-
основном относятся к областям соответствующих отраслей
математики. Для иллюстрации мы проведем ниже такие ис-
исследования для нескольких важных случаев.
5.8. Пусть 2 есть некоторое линейное пространство над
полем Г х. В дальнейшем, чтобы не делать очевидных ого-
1 Определения линейного пространства, линейной зависимости,
базиса и их простейшие свойства употребляются в том смысле, как
они даны в книге А. И. Мальцева. Основы линейной алгебры,
Гостехиздат, 1948 или 1956. (см. § 1 и § 2 главы 11 указанной
книги).

§ 5j полугРупйы, правильные относительно Обратимости 331
ворок, будем считать, что 2 состоит не только из одного
нулевого элемента 9.
Преобразование 5 множества 2 называется линейным,
если при любых av <%, .... ап?2 и Хх, Х2 Х„? Г имеет
место
Обозначим множество всех линейных преобразований че-
через ffl. Нетрудно убедиться, что произведение двух линей-
линейных преобразований опять является линейным преобразова-
преобразованием и, следовательно, Ш есть полугруппа.
5.9. Лемма. Пусть 2' есть некоторое линейное не-
независимое подмножество линейного пространства 2 и ср
произвольное отображение 2' в 2. Тогда найдется такое
линейное преобразование S, что для всех
место
Доказательство. Обычное доказательство существо-
существования базиса в линейном пространстве 1 нетрудно уточнить
в том смысле, что любое линейно независимое подмножество
может быть включено в некоторый базис. Пусть 2" есть
базис 2, содержащий 2'. Отображение ср 2' в 2 продол-
продолжаем до отображения ф базиса 2", полагая ty(E) = cp(E) для
??2' и ф($) = 9 для ??2"\2'.
Для всякого а ? 2 существует единственное линейное вы-
выражение через элементы базиса
Определим следующее преобразование 5 пространства 2:
Sa = S (X& + Ч* + • • ¦ + Ш =
= М. (У+^ (У + • ¦ • + КЧ &>)•
Легко убедиться, что S?5D?. При этом для любого $ из 2'
1 См., например, А. И. Мальцев. Основы линейной алге-
алгебры, гл. II, § 2, теорема 2, Гостехиздат, 1948 или 1956.

332 06{>АТИМОЙТЬ [ГЛ. VI
6.10. Теорема. Полугруппа Т1 всех линейных преоб-
преобразований линейного пространства 2 является правиль-
правильной и относительно обратимости справа и относительно
обратимости слева.
Доказательство. Так как тождественное преобра-
преобразование Е, являющееся единицей полугруппы всех преобра-
преобразований @в линейно, то для доказательства нашей теоремы
¦ мы можем воспользоваться свойством 4.5, (f).
Пусть AY = E, где А?Т1 и К?<?2. Выберем в S ка-
какой-нибудь базис 8'. Пользуясь леммой 5.9, построим ли-
линейное преобразование В?Ш. такое, что для всякого ??'2'
имеет место
Для произвольного элемента а ? 2 найдется его линейное
выражение через элементы базиса 2':
Так как преобразования А и В линейные и AY = E, то
АВа = А [Xt («х) + Х2 (By + . . . + Х„ {В%п)\ = А [X,
т. е. АВ = Е. Таким образом, мы показали, что из разре-
разрешимости уравнения AY — E в <?а следует его разреши-
разрешимость в Ш. Согласно 4.5, (f), отсюда вытекает, что Ш есть
правильная относительно обратимости справа подполу-
подполугруппа <Sa, т. е. правильная относительно обратимости
справа полугруппа преобразований.
Пусть теперь ХА — Е, где A?ffl. и Х?&а. Выберел
некоторый базис 2' линейного пространства 2. Докажек
линейную независимость множества Л2'. Пусть
лу = в (хх, х2
где !, \г, ..., 5П различные между собой элементы из 2'
Тогда имеем

§ 5] ПОЛУГРУППЫ, ПРАВИЛЬНЫЕ бТНОСИТЕЛЬНб бВРАТИМОСТИ 333
Для элементов базиса %х, ?2 |п это возможно лишь при
Х1 = 0, Хг = О Хп = 0.
Для элементов р. из Л2' определим отображение <р в 2:
Так как множество Л2' линейно независимо, то, согласно
лемме 5.9, найдется такое преобразование C^ffl, что
для всех |х?Л2'.
Пусть а есть произвольный элемент S. Он выражается
линейно через элементы базиса 2':
&, Е2, .... ?„^2'; Х11 Х2
Так как СЛ?2Я и ХА — Е, то
СЛа = С А [Х1|1 + Х2^2 + . .. + Ш =
+ Х..С (Лу + • • • + КС (ЛУ = КХ (Л^) + ХзХ (ЛЦ2) +
т. е. СЛ = ?.
Согласно 4.5, (f), из доказанного вытекает, что 271 яв-
является правильной относительно обратимости слева полу-
полугруппой преобразований.
5.11. Благодаря 5.6 из теоремы 5.10 вытекает следую-
следующее следствие.
Пусть S есть линейное преобразование линейного про-
пространства Q. Для того чтобы уравнение
относительно неизвестного \ ? S имело решение при все>
а?2, необходимо и достаточно, чтобы S был обрати
мим справа элементом полугруппы 2R всех линейны)
преобразований 2.
Для того чтобы уравнение
относительно неизвестного ? ? 2 при всяком а ? 2 имел*
не более одного решения, необходимо и достаточно
чтобы S был обратимым слева элементом полугруппы SD
всех линейных преобразований 2.

334 Обратимость [гл. vi
5.12. Пусть теперь й есть произвольное частично упоря-
упорядоченное множество (I, 5.9). Обозначим через 23 множество
всех таких преобразований й этого множества, которые не
нарушают частичной упорядоченности. Более точно: В при-
принадлежит й в том и только в том случае, если из а ^ В
(а, В??) и Ва>-ВВ всегда следует Ва = ВВ. Таким обра-
образом, в 8 не входят только такие преобразования 5 множе-
множества й, для которых в й найдутся такие а < В, что 5а>5В.
5.13. Теорема. Полугруппа 23 всех преобразований
частично упорядоченного множества Й, не нарушающих
часпшчной упорядоченности E,12), является правильной
относительно обратимости справа.
Доказательство. Так как тождественное преобра-
преобразование Е, являющееся единицей полугруппы <S8 всех пре-
преобразований й, очевидно, содержится в 95, то мы можем
воспользоваться свойством 4.5, (?).
Пусть BY = E, где В?33, K?S8. Если бы К ?23, то
при некоторых а, В?й мы имели бы
а<В, Ка>Кр.
Однако соотношения
Ya. > К8,
противоречат тому, что В ? 23.
5.14. Что касается правильности относительно обрати-
обратимости слева, то в общем случае полугруппа 33 всех не на-
нарушающих частичную упорядоченность преобразований этим
свойством не обладает.
Приведем соответствующий пример. Пусть й есть мно'-
жество всех положительных рациональных чисел меньших
единицы. Будем считать число а предшествующим В, если а
не превосходит В по величине. Рассмотрим преобразование В
такое, что Вт. = -j а (а ? Й).
В ©g уравнение
разрешимо (в качестве X можно взять любое преобразова-
преобразование й такое, что Ха. = 2а для всех а таких, что 0<

§ 5] ПОЛУГРУППЫ, ПРАВИЛЬНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ОБРАТИМОСТИ 335
Возьмем произвольное решение X этого уравнения. Обо-
Обозначим Х(-^) = р. Выберем рациональное число р' такое,
что р<р'< 1.
Мы имеем
откуда следует, что X не принадлежит 33. Из этого, со-
согласно 4.5, (f), следует, что 95 не является правильной отно-
относительно обратимости слева подполугруппой <Sg.
5.15. Теперь покажем, что при некоторых весьма ши-
широких ограничениях все же можно утверждать правильность
относительно обратимости слева полугруппы всех преобра-
преобразований частично упорядоченного множества, не нарушаю-
нарушающих частичной упорядоченности.
Будем говорить, что частично упорядоченное множе-
множество й обладает отделяющими элементами, если g обла-
обладает следующим свойством.
Пусть W и W два произвольных (в частности, может
быть и пустых) подмножества 2, таких, что отношение
а'^-а", где а'?91', а"?9Г, возможно только при а' = а".
Тогда должен существовать такой отделяющий их элемент •у,
что: 1) <х'^>7 для a'?W возможно только при a' = f
и 2) а"<^7 для a"?W возможно только при а" —"у.
5.16. Теорема. Если частично упорядоченное множе-
множество 2 обладает отделяющими элементами E.15), то
полугруппа 33 всех его преобразований, не нарушающих
частичной упорядоченности E.12), является правильной
относительно обратимости слева.
Доказательство. 1) Предположим, что для неко-
некоторых В ?23 и C?<Se имеет место
Согласно 4.5, (f), нам достаточно показать, что отсюда
следует существование в 33 такого элемента В', что В'В = Е.
2) Будем рассматривать частичные преобразования множе-
множества й (I, 4.1). В частности, обозначим через 9t совокуп-
совокупность всех таких из этих частичных преобразований X, что
одновременное выполнение a < р и Ха > Хф невозможно ни

336 ОБРАТИМОСТЬ [ГЛ. VI
для каких a, Sf П,Х Сразу же отметим, что, очевидно,
3) В множестве всех частичных преобразований множе-
множества Й определим отношение частичной упорядоченности,
полагая X^Y, если П1.Х"с:П1К и Х?=УЬ для всякого
4) Обозначим через Ро такое частичное преобразование Й,
у которого 11^0 = 68 и Р0? = С? для всякого $?Bg.
Через Ш обозначим множество всех частичных преобразо-
преобразований из Ш, которые следуют за Ро.
Докажем, что РО?9Й, для чего достаточно показать, что
P0?(R. Предположим, что а<р и Роа>Рор для некото-
некоторых а, Р? 11^0= fig. Тогда а. = Вч', ф = Вф'. Мы имеем
а' = Еа! = СВа? = Р0?а' == Роа > Рор =
= Р0В§' = СВр' = Ер' = Р',
Но это противоречит тому, что fi^ 23.
5) Пусть 3*1 есть такое подмножество Ш, что для лю-
любых X и Y из 31 один всегда предшествует другому. Обо-
Обозначим через NQ такое частичное преобразование, для ко-
которого П^о есть объединение всех П^, где X??fl,
и Л/Оа = р, если для некоторого Х?91 имеет место Ха = $.
Очевидно, р не зависит от выбора X из 91, поскольку
выполнено указанное предположение относительно -ДО. Сразу
видно, что No является верхней границей для 91. Конечно,
^о^-^о- Предположим, что <х<р и Лгоа>Лгор для неко-
некоторых, оф? 8. Тогда для некоторых X, К^ 91 имеем Xa = Noa,
и ур^Л^ор. Пусть Z есть тот из X и К, который следует
и за Л', и за К. Тогда a, P^^Z и Za = Noa, zp = A/op.
Так как соотношения a < p и Za > zp противоречат тому,
что Z?JR, то сделанное предположение несправедливо. Сле-
Следовательно, Л/0?Я, а потому Л/о?3№.
6) Из выполнения выведенного свойства 9И следует, что
к ffl можно применить теорему II, 4.17. Согласно этой
теореме, в WI найдется элемент Pv за которым в Ш не
следует никакой отличный от Рг элемент.
Предположим, что в й найдется элемент X, не содер-
содержащийся в TLJ3!. Обозначим через й' множество всех эле-
элементов из й, предшествующих X, через й" — множество всех

§ 5] ПОЛУГРУППЫ, ПРАВИЛЬНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ОБРАТИМОСТИ 337
элементов, следующих за X. Тем самым Х'<[Х" для всяких
Х'^'Й' и Х"€Й". Поскольку Px?9l, ни для каких (х'б^Й'
и [t/'^PJl" мы не можем иметь |х'> |х". Согласно условию
существования отделяющих элементов E.15), для Р$'
и Pfi" найдется отделяющий элемент f. Построим новое
частичное преобразование Р2, такое, что P2^-Pi и П1Р2 =
= Н/^ U X, причем Р2Х = ^.
Покажем, что P2?ffi, для чего достаточно показать, что
Р2?&. Предположим, что а<р и Р2а>Р2Р Для некото-
некоторых а, $?1\Р2- Если бы а, (З^П^, то мы получили бы
противоречие с тем, что Р2'^-Р1 и P^JR. Если бы а = Х,
то мы имели бы у > Р2р, где р ? й" (поскольку р > а = X),
что для у невозможно. Если бы [J = X, то мы имели бы
Рга>Т> гдеа^й' (а<р = Х), что для f невозможно. Сле-
Следовательно, Р2 ^ JR.
Таким образом, предположение Х^П^ привело нас
к существованию в Ш1 элемента Р2, отличного от Pt и сле-
следующего за ним. Невозможность этого означает, что на
самом деле 11^1 = 8, т. е. Р^вв- Так как при этом
Р^Я. то Рх€».
7) Для произвольного i ^ й мы имеем В\ ^ П^,,.
Так как при этом Pt^-Ро, то
Отсюда следует РХВ = Е, причем Рх ^ 58.
5.17. Из теорем 5.13 и 5.16 вытекает следующее след-
следствие.
Пусть й есть частично упорядоченное множество,
обладающее отделяющими элементами E.15); 95 полу-
полугруппа всех его преобразований, не нарушающих частич-
частичной упорядоченности E.12) и В ?23.
Для того чтобы уравнение
относительно неизвестного $ ? й имело решение при всех
<х?й, необходимо и достаточно, чтобы В был обрати-
обратимым справа элементом полугруппы 95.
Для того чтобы уравнение

338 ОБРАТИМОСТЬ [ГЛ. VI
относительно неизвестного Л?8 при всяком <x?g имело
не более одного решения, необходимо и достаточно,
чтобы В был обратимым слева элементом полугруппы 58.
§ 6. Полугруппы с отделяющейся групповой частью
6.1. Мы уже обращали внимание на важную роль дву-
сторонне обратимых элементов полугруппы, т. е. таких
элементов, которые являются и правыми и левыми делите-
делителями всех элементов полугруппы. В продолжение настоя-
настоящего параграфа совокупность двусторонне обратимых эле-
элементов полугруппы К будем обозначать через ©ОД). В 1.4
мы показали, и теперь все время должны иметь это в виду,
что ©C1), если она непуста, является группой, причем еди-
единица ©($) является единицей для всей полугруппы %.
Введем также обозначение для совокупности всех эле-
элементов полугруппы %, не входящих в ©E1):
Таким образом, с точки зрения обозначений, которые
мы употребляли в § 1, мы имеем
©80 = ©.
6.2. Тогда как множество ®(Ж) всегда замкнуто отно-
относительно умножения, множество $(%¦) не Ддя всякой полу-
полугруппы обладает аналогичным свойством. Например, у по-
полугруппы всех преобразований счетного множества, как мы
убедились в 1.9, совокупность элементов, не являющихся
двусторонне обратимыми, не является подполугруппой.
В то же время у ряда других важных полугрупп $(Ж)
является подполугруппой. Примером этого может служить
полугруппа <S2 всех преобразований конечного множества 2.
Как непосредственно следует из II, 3.1 и II, 3.2, ®(®2)
состоит из всех преобразований, осуществляющих взаимно
однозначное отображение 2 на себя (иногда их назы-
называют собственными подстановками). § (@2)! состоящая из всех
остальных преобразований (несобственные подстановки),
очевидно, образует подполугруппу <ВВ.
В полугруппе Шп всех комплексных квадратных матриц
порядка п, ®(Шп), как следует из II, 3.9, есть совокуп-

§ б] полугруппы С отделяющейся ГрУппОвой чайтьЮ 339
ность всех неособенных матриц. §(Ш1„) есть совокупность
всех особенных матриц, которая также является подполу-
подполугруппой.
Помимо того, что многие важные полугруппы обладают
указанным свойством, класс полугрупп, у которых §(ЭД)
является подполугруппой, характеризуется рядом дополни-
дополнительных важных свойств. Среди этих свойств есть отно-
относящиеся к области абстрактной теории и есть важные для
теории преобразований.
6.3. То, что совокупность ф(Щ) замкнута относительно
умножения, означает, другими словами, что никакой дву-
сторонне обратимый элемент не может быть представлен
в виде произведения элементов из &($)• Более того, как
мы вскоре покажем, в этом случае произведение элементов
из Щ. принадлежит ®(Щ) только тогда, когда все множи-
множители принадлежат ©B1). Таким образом, рассматриваемый
случай характеризуется обособлением, выделением группы
двусторонне обратимых элементов ©($().
Определение. Полугруппа Ж называется полугруп-
полугруппой с отделяющейся групповой частью, если
она обладает единицей {т. е., согласно 1.5, если © (Щ)
непусто) и если произведение ее любых не являющихся
двусторонне обратимыми элементов само не является
двусторонне обратимым элементом (т. е. если §(ЭД)
является подполугруппой % или пустым множеством).
Отметим, что понятие полугруппы с отделяющейся груп-
групповой частью весьма родственно с понятием сверхгруппы,
введенным Раутером [1] (см. также § 51 книги А. К. Сушке-
вича [12]).
6.4. Теорема. Не являющаяся группой полугруппа
с единицей ЭД тогда и только тогда есть полугруппа
с отделяющейся групповой частью, когда она предста-
вима в виде объединения двух непересекающихся под-
подполугрупп
% %%
таких, что 5tt является подгруппой, a 5t2 — идеалом.
В этом случае
причем идеал 9{2 является двусторонним.
22*

340 ОБРАТИМОСТЬ [ГЛ. VI
Доказательство. 1) Пусть Щ является полугруппой
с отделяющейся групповой частью. К является объедине-
объединением ®(Щ и §($), причем ©($), согласно 1.4, является
группой.
Пусть Я?ф(ЗД, А?<Я.. Если А?$(Щ, то, согласно
определению полугруппы с отделяющейся групповой частью,
HA?$($) и Atf g §(!(). Если А?®(Ж), то ни АН, ни НА
не могут принадлежать © ($). Действительно, в случае НА =
= G?©(K) мы получили бы W^G^l^ ©($). Аналогично
рассуждаем и для АН.
Таким образом, при любом Л ?91 имеет место ЯЛ?§(Щ)
и АН ?§(ЭД), т. е. ?>($) является двусторонним идеалом.
2) Пусть Щ распадается указанным в теореме образом:
Поскольку К2 есть идеал ЭД, единица ? полугруппы ЭД дол-
должна содержаться в 9tt. Так как 9tt является группой, то
для любого АХ^Ш1 найдутся такие X, K^3tt, что
Отсюда, согласно 1.3, следует, что А^ есть двусторонне
обратимый элемент полугруппы 91. Но, с другой стороны,
элементы из ЭД2 не могут быть двусторонне обратимыми
элементами %, поскольку ЭД2 является идеалом.
Поэтому ®(Щ) = 5{1, откуда следует $(Щ = %, т. е. Ш
оказывается полугруппой с отделяющейся групповой частью.
Согласно доказанному в первой части, идеал ЧЦ2 оказывается
двусторонним.
6.5. Следствие. В полугруппе % с отделяющейся
групповой частью §(Щ) является двусторонним идеа-
идеалом Ш или пустым множеством.
6.6. Следствие. В полугруппе 9( с отделяющейся
групповой частью подполугруппы ® (Щ) и § (Щ (если
последняя непуста) являются вполне изолированными
(IV, 6.1).
6.7. В классе полугрупп с единицей полугруппы с отде-
отделяющейся групповой частью могут быть выделены при по-
помощи требования пустоты подмножеств SR и 2, рассмотрен-
рассмотренных нами в § 1.
Теорема. Пусть % есть полугруппа с единицей.

§ б] ПОЛУГРУППЫ С ОТДЕЛЯЮЩЕЙСЯ ГРУППОВОЙ ЧАСТЬЮ 341
Если 31 является полугруппой с отделяющейся груп-
групповой частью, то в % каждый обратимый справа эле-
элемент обратим слева, и наоборот.
Если %. не является полугруппой с отделяющейся
групповой частью, то в Ш имеются и элементы, обра-
обратимые справа, которые не являются обратимыми слева,
и элементы, обратимые слева, которые не являются
обратимыми справа.
Доказательство. 1) Если 31 есть полугруппа с отде-
отделяющейся групповой частью, то никакой элемент Н из ?>C()
не может быть обратим ни справа, ни слева. Это следует
из того, что $> C1) является двусторонним идеалом 31 F.5).
Поэтому при любом А ?31 элементы АН и НА принадлежат
, Ф (Щ и тем самым обязательно отличны от Ещ.
2) Если % не является полугруппой с отделяющейся груп-
групповой частью, то в Ш найдутся такие элементы X, ?фГ
что -XY=G?©Ct)- Благодаря 1.2
т. е. X обратим справа. В то же время слева X необратим,
так как иначе X принадлежал бы ©C1). Аналогично дока-
доказывается, что Y обратим слева, но необратим справа.
6.8. Теорема 6.7 объясняет роль полугрупп преобразо-
преобразований, являющихся полугруппами с отделяющейся группо-
групповой частью.
Для преобразований из такой полугруппы, если она является
правильной относительно обратимости, условие разрешимости
уравнения 51 = а, о котором мы говорили в § 5, оказы-
оказывается эквивалентным условию единственности решения.
Теорема, Пусть 3t есть некоторая правильная и от-
относительно обратимости справа и относительно обра-
обратимости слева полугруппа преобразований множества 2
E.5), содержащая тождественное преобразование Е.
Если 3t есть полугруппа с отделяющейся групповой
частью, то для всякого S ? 31 из разрешимости при лю-
любом а? 2 уравнения
относительно неизвестного i; ? 2 следует, что решение
всегда единственно. В свою очередь, из того, что указан-
указанное уравнение при некоторых а? 2 неразрешимо, следует,
что при некоторых а? 2 оно имеет более одного решения.

342 ОвРАТИМбЙТЬ [ГЛ. VI
Если % не является полугруппой с отделяющейся
групповой частью, то в % найдутся такие Slt S2, что
уравнение
разрешимо при всех а ?2, но при некоторых из них
имеет более одного решения. Уравнение
при некоторых а?2 неразрешимо, но при всяком а?2
имеет не более одного решения.
Доказательство. 1) Пусть 91 есть полугруппа с от-
отделяющейся групповой частью. Согласно 5.6, из разрешимости
нашего уравнения следует, что 5 обратим в 91 справа. От-
Отсюда по 6.6 следует, что 5 обратим вЦи слева. Поэтому,
согласно 5.6, уравнение при всяком <х?2 имеет не более
одного решения.
2) Пусть 91 не является полугруппой с отделяющейся
групповой частью. Согласно 6.7, в 91 найдется элемент Sv
обратимый справа, но необратимый слева, и элемент 52, об-
обратимый слева, но необратимый справа. Согласно 5.6, урав-
уравнение
S? = a
разрешимо при всех а ?2, но при некоторых из них имеет
более одного решения. Уравнение
ни при каком а?2 не имеет более одного решения. При
некоторых а оно неразрешимо.
6.9. Пусть 91 есть полугруппа с отделяющейся группо-
групповой частью, причем 91 не является группой. Так как двусто-
ронне обратимые элементы не могут содержаться ни в каком
собственном идеале полугруппы 91, то ?>(9t) благодаря 6.5
является универсально максимальным собственным идеалом 91.
6.10. Следует отметить, что наличие в полугруппе уни-
универсально максимального собственного идеала в общем слу-
случае недостаточно для того, чтобы она являлась полугруппой
с отделяющейся групповой частью. Приведем соответствую-
соответствующий пример.
Пусть ©—некоторая группа и Go—некоторый фикси-
фиксированный ее элемент. Рассмотрим множество 91, получаемое

§ 7] ПОЛУГРУППЫ С ОТДЕЛЯЮЩЕЙСЯ ГРУППОВОЙ ЧАСТЬЮ 343
от присоединения к © нового элемента X. Элементы из ©
перемножаются в §1 по правилу умножения элементов группы ©.
Для X полагаем:
= G0Q, GX=GQ0, X2 = Gl (G?©).
Ассоциативность действия очевидна. © является двусто-
двусторонним идеалом ЭД.
Если Ж есть некоторый левый идеал 31, содержащий X,
то для любого G ? © имеем
Следовательно, ?, содержащий X, содержит и любой
элемент из ©, а потому совпадает с ЭД. Так же убеждаемся
в отсутствии собственных правых идеалов, содержащих X.
Таким образом, © оказывается единственным собствен-
собственным идеалом % и тем самым универсально максимальным
собственным идеалом. Тем не менее % не есть полугруппа
с отделяющейся групповой частью, поскольку II не имеет
единицы.
6.11. Вопросы о существовании и свойствах максималь-
максимальных собственных левых идеалов, аналогично правых и дву-
двусторонних, были рассмотрены Шварцем [6], [7]. Особое вни-
внимание им было уделено вопросу о строении множества эле-
элементов, не содержащихся в том или ином максимальном
идеале. Из результатов Шварца, в частности, вытекают не-
некоторые достаточные признаки того, чтобы полугруппа была
полугруппой с отделяющейся групповой частью.
§ 7. Подполугруппы полугруппы с отделяющейся
групповой частью
7.1. Теперь займемся подполугруппами полугрупп с от-
отделяющейся групповой частью. Прежде всего отметим, что
всякая полугруппа может быть включена в качестве подполу-
подполугруппы в некоторую полугруппу с отделяющейся групповой
частью. Более того, она может быть сделана даже ее под-
подполугруппой всех элементов, не являющихся двусторонне
обратимыми элементами. Действительно, пусть © есть про-
произвольная группа и % — произвольная полугруппа, не имею-
имеющая общих элементов с ®. Рассмотрим множество

344 ОБРАТИМОСТЬ [ГЛ. VI
Определим в нем действие. Если оба элемента W содержатся
одновременно в одной и той же полугруппе © или %, то их
произведение определим при помощи умножения соответ-
соответственно в © или Щ.. Для G?© и Л?91 полагаем:
GA = AG=A.
¦ Из 6.4 следует, что W является полугруппой с отделяю-
отделяющейся групповой частью, причем
7.2. Подполугрупп правых и левых увеличительных элемен-
элементов (III, 5.4) полупруппы с отделяющейся групповой частью
не имеют.
Теорема. Пусть ЭД есть полугруппа с единицей.
Если % является полугруппой с отделяющейся груп-
групповой частью, то % не имеет ни правых, ни левых уве-
увеличительных элементов (III, 5.1).
Если % не является полугруппой с отделяющейся
групповой частью, то Щ. имеет правые и левые увеличи-
увеличительные элементы.
Доказательство. Согласно 2.1, каждый увеличи-
увеличительный элемент обратим с одной стороны, но необратим
с другой. Согласно 6.7, таких элементов в полугруппе с от-
отделяющейся групповой частью быть не может.
Если % не является полугруппой с отделяющейся груп-
групповой частью, то, согласно 6.7, в 9t должны существовать
элементы, обратимые справа, которые не являются обрати-
обратимыми слева, и элементы, обратимые слева, которые не
являются обратимыми справа. Согласно 2.3, эти элементы
являются левыми и правыми увеличительными элементами
полугрупп.
7.3. Благодаря III, 6.8 из теоремы 7.2 непосредственно
вытекает следствие.
Следствие. Для того чтобы полугруппа с единицей Щ
была полугруппой с отделяющейся групповой частью, не-
необходимо и достаточно, чтобы среди ее подполугрупп,
содержащих ?а, не было изоморфных полугруппе ф
(III, 6.2; III, 6.3).
7.4. Из теоремы 7.2 благодаря III, 5.3 вытекает, что
полугруппы ряда классов полугрупп являются полугруппами
с отделяющейся групповой частью.

§ 7] ПОЛУГРУППЫ С ОТДЕЛЯЮЩЕЙСЯ ГРУППОВОЙ ЧАСТЬЮ 345
(а). Всякая конечная полугруппа с единицей является
полугруппой с отделяющейся групповой частью.
(C). Всякая коммутативная полугруппа с единицей
является полугруппой с отделяющейся групповой частью.
(f). Всякая полугруппа с двусторонним сокращением,
обладающая единицей, является полугруппой с отделяю-
щейся групповой частью.
7.5. Пользуясь 7.3, легко указать еще один класс полу-
полугрупп с отделяющейся групповой частью.
Пусть дана последовательность полугрупп с отделяю-
отделяющейся групповой частью, в которой каждый член является
подполугруппой последующего:
Их объединение
п-1
Как мы уже отмечали в III, 1.12, 23 является полугруп-
полугруппой. Если 23 имеет единицу, то 23 является полугруппой
с отделяющейся групповой частью.
Действительно, если бы 2) не было полугруппой с от-
отделяющейся групповой частью, то, согласно 7.3, 23 имела бы
подполугруппу, изоморфную ^ и содержащую ?». Оба поро-
порождающих этой полугруппы заключались бы в некоторой Шп,
в которой они порождали бы подполугруппу, изоморфную ^
и содержащую Еъ — Е% . Но это противоречило бы благо-
благодаря 7.3 тому, что %п есть полугруппа с отделяющейся
групповой частью.
7.6. Теорема. Пусть Ш есть полугруппа с отделяю-
отделяющейся групповой частью. Если подполугруппа W полу-
группы 31 содержит ее единицу Е%, то она сама является
полугруппой с отделяющейся групповой частью.
Доказательство. ?а, очевидно, является единицей W.
Так как в %, согласно 7.3, нет подполугрупп, изоморфных Ц
и содержащих Е%, то таких подполугрупп не может быть
и в ее подполугруппе W. Но тогда, по 7.3, W является
полугруппой с отделяющейся групповой частью.
7.7. Пользуясь 7.4, мы можем указать еще один обшир-
обширный класс полугрупп с отделяющейся групповой частью.

346 ОБРАТИМОСТЬ [ГЛ. VI
Напомним, что полугруппа ЭД называется полугруппой, пред-
ставимой матрицами, если при некотором п существует изо-
изоморфизм 21 в полугруппу Шп всех комплексных квадратных
матриц порядка п.
Теорема. Всякая полугруппа с единицей, представи-
мая матрицами, является полугруппой с отделяющейся
групповой частью.
Доказательство. Пусть я есть наименьшее из на-
натуральных чисел, таких, что существует изоморфизм ер за-
заданной полугруппы 21 в Шп. Приведем матрицу ер (?я) к нор-
нормальной форме Жордана1. Это значит, что при некоторой
неособенной матрице Р?Шп матрица
имеет нормальную форму Жордана. Рассмотрим новое отобра-
отображение ф полугруппы 21 в Шп:
Очевидно, ф является представлением 31 матрицами. Так
как элемент ?а полугруппы 21 идемпотентен, то матрица
ф(?зг)> имеющая нормальную форму Жордана, удовлетворяет
условию
Как непосредственно следует из определения нормальной
фор.мы Жордана, это условие может быть удовлетворено
лишь в том случае, когда матрица ф(?я) является диагональ-
диагональной, причем все ее диагональные элементы равны нулю или
единице. Предположим, что 1-й диагональный элемент этой
матрицы равен нулю. Так как для произвольного элемента
А ? Ш мы имеем
то отсюда следует
[ф (А)} ¦ [ф (?«)] = ф (А), [ф (E«)J • [ф (А)] = ф (Л).
Учитывая, что матрица ф(Ея) диагональная и ее /-й
диагональный элемент равен нулю, заключаем, что все
элементы i-й строки и i-ro столбца матрицы ф(Л) равны
1 См., например, А-. И. Мальцев. Основы линейной алгебры,
гл. IV, § 3, Гостехиздат, 1948 или 1956.

§ 7] ПОЛУГРУППЫ С ОТДЕЛЯЮЩЕЙСЯ ГРУППОВОЙ ЧАСТЬЮ 347
нулю. Легко проверить, что матрицы у.{А), получающиеся
из ф (А) вычеркиванием 1-й строки и f-го столбца, будут
опять давать матричное представление Щ (случай, когда п = \
и ф (?<к) есть нулевая матрица, можно ввиду его тривиаль-
тривиальности не рассматривать). Но матрицы i{A) содержатся
в Tln_v что противоречит исходному предположению отно-
относительно п. Отсюда следует, что ср (?а) есть единичная ма-
матрица.
Таким образом, мы приходим к выводу, что ф есть изо-
изоморфизм ЭД на некоторую полугруппу ф E1) с 2)Jn, содержа-
содержащую единичную матрицу ф(Еа) = ?- Ранее в 6.2 мы уже
указывали, что Ш1П есть полугруппа с отделяющейся груп-
групповой частью. Согласно -7.6, отсюда следует, что фB1),
а потому и сама ЭД являются полугруппами с отделяющейся
групповой частью.
7.8. Что касается полугрупп бесконечных матриц, то на
них проведенное выше рассуждение не распространяется.
Например, множество всех счетных матриц, в каждой строке
и в каждом столбце которых имеется лишь конечное число
отличных от нуля элементов, очевидно, образует полугруппу,
единицей которой является счетная единичная матрица Е.
Эта полугруппа не является полугруппой с отделяющейся
групповой частью. Действительно,
¦¦Е;

0
0
0
-о
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0..."
0...
1...
0...
о...-
0...
0...
0...
-о
1
0
0

•
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0..."
0...
0...
0...
0..."
0...
1...
0...
=
=
-1
0
0
0

0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0...
0...
0...
1...
0..
0..
0..
1..
ФЕ,
откуда благодаря 1.3 и II, 2.14, (C) следует, что перемно-
перемножаемые матрицы являются элементами нашей полугруппы,
обратимыми с одной стороны, но необратимыми с другой.
В полугруппе с отделяющейся групповой частью таких эле-
элементов, согласно 6.7, быть не может.

ГЛАВА VII
ГОМОМОРФИЗМЫ
§ 1. Гомоморфизмы и их делимость
1.1. В первой главе мы говорили об отображениях,
сохраняющих те или иные соотношения между элементами
отображаемого множества. При построении теории полугрупп
в высшей степени естественно выделить такие отображения
одной полугруппы в другую, при которых „сохраняется"
соотношение действия. Иными словами речь идет о таких
отображениях, что если в первой полугруппе для некоторых
элементов А, В, С имеет место АВ = С, то и во второй
полугруппе соотношение А'В' = С будет иметь место для
элементов А'', В', С, на которые отобразились соответственно
элементы А, В, С.
Примером таких отображений служат изоморфизмы.
Определение. Отображение ср полугруппы ЭД в полу-
полугруппу 33 называется гомоморфизмом, если при
любых элементах X и Y из % в 33 всегда выполняется
Если ср есть отображение ЭД на 23, то говорят о гомомор-
гомоморфизме ЭД на 33 (иногда в этом случае употребляют особый
термин — эпиморфизм). Если % и 33 совпадают, то гомомор-
гомоморфизм называется эндоморфизмом полугруппы St. Такое упо-
употребление этого термина не противоречит более широкому
его пониманию, указанному в. I, 3.18, поскольку гомомор-
гомоморфизм полугруппы в себя есть ее преобразование, сохраняю-
сохраняющее соотношения между ее элементами, имеющие вид
АВ = С.

§ 1] ГОМОМОРФИЗМЫ И ИХ ДЕЛИМОСТЬ 349
1.2. Легко видеть, что если полугруппа ЭД является груп-
группой и ср есть гомоморфизм Щ на полугруппу 23 = ср(91), то
и 23 будет группой. Действительно, для произвольных эле-
элементов полугруппы 23
элементы (?(Х) и <p(Y) (X н Y такие элементы Ш, что
ХА1 = Аг и A1Y = A2) обладают свойством
• ср (К) = ср (ЛХК) = ср (Л2).
Понятие гомоморфизма для групп является одним из наи-
наиболее важных в теории групп. В большинстве разделов
этой далеко развитой теории прямо или косвенно (посред-
(посредством нормальных делителей) используются свойства гомо-
гомоморфизмов групп. Это использование существенно облегчается
относительной простотой задания гомоморфизмов групп при
помощи так называемых нормальных делителей. В теории
полугрупп строение гомоморфизмов несравненно более сложно.
Полное изучение гомоморфизмов проведено лишь для отдель-
отдельных частных классов полугрупп. Из различных многочислен*
ных общих свойств рассмотрены лишь очень немногие. Нет
сомнений, что дальнейшее изучение гомоморфизмов окажет
существенное влияние на общую теорию.
1.3. Понятие гомоморфизма можно рассматривать как
естественное обобщение понятия изоморфизма. Действительно,
очевидно, изоморфизм есть не что иное, как взаимно
однозначный гомоморфизм.
Однако по своему внутреннему смыслу такое обобщение
существенно выводит за рамки первоначальной идеи изомор-
изоморфизма. В отличие от изоморфизма одной полугруппы на дру-
другую при гомоморфизме уже нет и речи о том, что обе полу-
полугруппы в каком-то смысле одинаковы. Очевидно, полугруппы
могут быть существенно различны в отношении самых разно-
разнообразных свойств.
1.4. Многочисленные причины вызывают потребность
рассмотрения гомоморфизмов. Укажем некоторые из них,
относящиеся к теории преобразований.
В различных вопросах математики и физики (особенно
3 теории дифференциальных уравнений) часто возникает

350 гомоморфизмы [гл. vii
потребность рассматривать так называемые однопараметриче-
ские полугруппы преобразований. Пусть 2 есть некоторая
аддитивная полугруппа чисел и каждому числу t из S сопо-
сопоставлено некоторое преобразование заданного множества 2:
At. Если при этом для любых tv ?26^ имеет место
Atl ¦ At, = Atl+tl,
то совокупность 31 всех преобразований At (t ? Е), очевидно,
является полугруппой — однопараметрическая полугруппа пре-
преобразований. Сопоставление каждому числу t из 2 преобра-
преобразования At представляет собой не что иное, как гомоморфизм
аддитивной полугруппы чисел 2 в полугруппу всех преобра-
преобразований множества 2.
Количество разнообразных важных однопараметрических
полугрупп преобразований чрезвычайно велико. Их рассмотре-
рассмотрение часто оказывается очень полезным в той или иной из мате-
математических теорий. Обширная книга Хилла [2] (см. также
Хилл и Фи л липе [1J) в основном посвящена изучению самых
разнообразных однопараметрических полугрупп преобразо-
преобразований.
Конечно, наравне с однопараметрическими преобразова-
преобразованиями иногда возникает потребность рассмотрения преобра-
преобразований, задаваемых системами параметров.
1.5. В некоторых вопросах к преобразованиям множеств
бывает удобно подойти с точки зрения, несколько отличной
от той, которой мы в основном придерживаемся в настоящей
книге.
Пусть даны два множества 31 и 2, причем для всякой
пары элементов (А, а), взятых из этих множеств: А ? 3t и а? 2,
определено их произведение, являющееся элементом из 2:
В этом случае элементы множества Ш называются опера-
операторами множества 2. Оператор А?31 производит в 2 неко-
некоторое преобразование. В свою очередь, каждое преобразова-
преобразование можно рассматривать как оператор множества 2. Тем
не менее рассмотрение операторов не вполне тождественно
с рассмотрением преобразований. Дело в том, что два опе-
оператора, заданные как различные элементы множества операто-
операторов Ш, могут осуществлять одинаковые преобразования в 2.
То, что в некоторых случаях это удобно, видно, например,

§ 1] ГОМОМОРФИЗМЫ И ИХ ДЕЛИМОСТЬ 351
из следующего. Пусть дана некоторая совокупность преоб-
преобразований 23 множества 2. Пусть Г есть такое подмножество
2, что ХТаТ для всякого преобразования Л"?23. Благодаря
этому, преобразования из 23 осуществляют некоторые преобра-
преобразования множества Г. Однако вполне может случиться, что
какие-либо два различных преобразования из 23 осуществляют
в Г одно и то же преобразование. Таким образом, рассматри-
рассматривая действие элементов 23 на Г, мы должны считаться с воз-
возможностью того,что некоторые из них, которые мы не можем
считать одинаковыми (так как они производят различные дей-
действия в 2), производят в Г одно и то же преобразование.
Пусть в множестве операторов Ш множества 2 задано
некоторым образом действие умножения, такое, что ЭД является
относительно него полугруппой. Говорят, что умножение
в полугруппе ЭД согласовано с умножением операторов из 91
на элементы из 2, если для любых X,Y?9Т и ос?2 выпол-
выполнено следующее условие, имеющее характер ассоциативности:
.Обозначим через А то преобразование в множестве 2,
которое производится в 2 в результате его умножения на
оператор А ?91. Таким образом, мы получаем отображение
полугруппы операторов 91 в полугруппу <5а всех преобразо-
преобразований множества 2.
Так как Аа. = Act, то для любых X, Y ? 21 и а ? 2 мы
имеем
(XY) а = X{Ya) = X(Ya) = X{Ya) = (XY) а = (XY) а.
Так как а произвольно, то это означает:
Х- Y=(XY).
Таким образом, сопоставление каждому оператору А?Щ. пре-
преобразования Л?<22 представляет собой гомоморфизм полу-
полугруппы 91 в полугруппу ©2.
1.6. Мы уже не раз говорили об изоморфных представ-
представлениях полугрупп. В связи с введением понятия гомоморфизма
можно говорить о гомоморфных представлениях. Пусть
31 — полугруппа и S — некоторый класс полугрупп. Гомомор~
физм ЭД в какую-нибудь полугруппу из S называется гомо-
¦морфным представлением Ш полугруппами из S.

352 гомоморфизмы [гл. vii
В связи со сказанным в 1.2 о принципиальном различии
в подходе к понятиям изоморфизма и гомоморфизма естест-
естественно обрисовывается существенное различие значений изо-
изоморфных представлений и гомоморфных представлений.
Использование гомоморфного образа для изучения свойств
исходной полугруппы затрудняется тем, что различные эле-
элементы исходной полугруппы могут при гомоморфизме отобра-
отображаться на один и тот же элемент. Это обстоятельство надо
всегда иметь в виду при изучении гомоморфных представле-
представлений. В связи с этим возникает следующее понятие. Неко-
Некоторая совокупность гомоморфизмов Ф полугруппы Ш в полу-
полугруппы класса S называется полной системой представлений
ЭД полугруппами из S, если для всяких двух различных между
собой элементов X и Y из ЭД всегда найдется такой гомо-
гомоморфизм ср из Ф, что ср(.АТ) Ф ср(К).
1.7. В § 5 главы II мы выделили класс полугрупп П,
обладающих тем свойством, что каждый элемент полугруппы
из П обладает правым нулем. Если % ? П, то при произволь-
произвольном ее гомоморфизме ср полугруппа tp(?t) также будет при-
принадлежать П. Действительно, если U есть правый нуль
элемента А из Ш, то, очевидно, ср(?/) будет правым нулем эле-
элемента <р(Л). Следовательно, всякий элемент из ср(Л) имеет
в (р(И) правый нуль.
Пусть ср есть произвольное гомоморфное представление
преобразованиями некоторой полугруппы §Й?П. Так как
ср(9О?П и тождественное отображение полугруппы <р($)
есть ее изоморфное представление преобразованиями, то, со-
согласно II, 5.3, каждое преобразование из ср(ЭД) дожно иметь
неподвижную точку. Таким образом, при любом гомоморфном
представлении полугруппы из П все преобразования предста-
представления имеют неподвижные точки.
1.8. В связи со сказанным находится и следующее свой-
свойство. Пусть Г есть такое подмножество множества 2, что
относительно полугруппы некоторых преобразований Ц имеет
место ЭДГсГ. Если каждое преобразование из % имеет непо-
неподвижную точку, то таковые могут и не принадлежать Г.
В Г для некоторых преобразований из St неподвижных
точек может и не найтись. Если, однако, Щ принадлежит
классу П, то, согласно 1.5, преобразования из ЭД индуцируют
преобразования множества Г, которые образуют полугруппу S3,
являющуюся гомоморфным образом 91. Но, как было пока-

§ 11 ГОМОМОРФИЗМЫ И ИХ ДЕЛИМОСТЬ 353
зано в 1.7, гомоморфный образ полугруппы из П также
должен принадлежать П. Отсюда следует, что каждое пре-
преобразование из 23 должно обладать неподвижной точкой
(конечно, являющейся элементом Г). Но в Г преобразования
из 51 и индуцированные ими преобразования из 8 действуют
одинаково. Следовательно, каждое преобразование из ЭД
в случае, когда ЭД принадлежит П, имеет неподвижную точку
во всяком множестве Гс2, таком, что ЭДГсГ.
1.9. Пусть ф есть отображение множества 2t в множество
22 и ср — отображение множества 22 в множество 23, тогда
естественным образом определяется отображение % мно-
множества 2Х в 23:
Отображение ^ называется произведением отображений ср
и ф и обозначается ^ = ср • ф или у_ = ср1]). Следует отметить,
что, рассматривая такое умножение отображений, мы, соб-
собственно говоря, выходим за рамки, указанные в § 1 первой
главы для понятия алгебраического действия.
Непосредственно ясно, что если для отображений cpt, cp2, ср3
определены произведения ср1ср2 и % <Рз» то определены (сргср2) ср3
и «PiOfcTu). причем
1.10. Пусть [2t ^и -22 есть два произвольных непустых
множества. Обозначим через 91 множество всех отображений
2j в 22. Действие умножения отображений, рассмотренное
в 1.9, для умножения отображений из 3?, как правило, про-
просто неприменимо. Возможные естественные непосредственные
обобщения действия 1.9 приводят к тривиальным резуль-
результатам. Однако в 91 можно ввести нетривиальное действие
следующим образом. Фиксируем некоторое отображение те
множества 22 в 21# Для X, Y ?9t определяем их произведе-
произведение XQY при помощи умножения отображений 1.9:
(Произведение X • тс • Y в смысле 1.9, очевидно, всегда опре-
определено и принадлежит 91).

354 гомоморфизмы (гл. vii
Множество JR, рассматриваемое относительно этого дейст-
действия, обозначим через ffiK. Действие в $tK ассоциативно, так
как очевидно:
Таким образом, 9?„ является полугруппой. Рассмотрение
полугруппы 9?„ иногда может быть столь же полезным для
изучения отображений из Ш, как рассмотрение полугруппы <2>а
для изучения преобразований множества 2. Кстати, ©2 является
частным случаем рассматриваемых полугрупп. Действительно,
©а есть ffiK при 2Х = 22 = 2 в случае, когда в качестве it
взято тождественное отображение.
Сопоставим каждому Х? Ш„ преобразование множества 2t:
Ясно, что срк есть отображение ffts в ©в. Это отображе-
отображение является гомоморфизмом:
Если отображение it не является взаимно однозначным,
то, как легко видеть, гомоморфизм ср„ не является изомор-
изоморфизмом. Если тс взаимно однозначно, то срк есть изоморфизм.
Если при этом те есть взаимно однозначное отображение 22
на 2Х, то ср„ есть изоморфизм 9ts на ©в, так что полу-
полугруппы 9tre и <5а в этом случае оказываются изоморфными.
При рассмотрении преобразований некоторого множества Q
обычно интерес представляет не только полугруппа всех
его преобразований ©в. но и различные ее подполугруппы,
состоящие из преобразований, обладающих какими-либо задан-
заданными свойствами. Также и при рассмотрении введенного выше
умножения отображений из ffin интерес представляет изучение
не только самой полугруппы Ш„, но также и тех или иных
ее подполугрупп. Кроме того, здесь возникает еще задача
о выяснении взаимоотношений полугрупп $iK при различных it.
Аналогичное построение, конечно, можно осуществить и .
и для частичных отображений одного множества в другое.
1.11. Пусть Шт,„ есть множество всех комплексных
матриц, имеющих т. строк и п столбцов, Р некоторая фик-

§ 1J ГОМОМОРФИЗМЫ И ИХ ДЕЛИМОСТЬ 355
сированная матрица, имеющая п строк и т столбцов. В Tlm> n
можно рассматривать ассоциативное действие
(где точка означает обычное умножение прямоугольных мат-
матриц). Это действие, конечно, есть не что иное, как действие,
рассмотренное в 1.10, поскольку матрицы из ЗЯтгП можно
рассматривать как линейные отображения векторов «-мерного
комплексного пространства в m-мерное комплексное линей-
линейное пространство.
С точки зрения такого действия над матрицами делается
естественным рассмотрение действия в полугруппах матрич-
матричного типа <5(Р, ф), игравших такую важную роль в § 5
и § 6 пятой главы (с тем отличием, что матрицы там могли
быть и бесконечными, а элементы их не были комплексными
числами).
1.12. Пусть ф есть гомоморфизм полугруппы 21 на полу-
полугруппу 23 и ср — гомоморфизм 33 на полугруппу (S. Произве-
Произведение преобразований х = <Р'1> в смысле умножения преобра-
преобразований, описанного в 1.9, определено и, как легко видеть,
является гомоморфизмом 91 на &. Гомоморфизм х называется
произведением гомоморфизмов ср и ф. Только в случаях
описанного типа мы будем говорить, что умножение гомо-
гомоморфизмов «риф возможно (или определено). Гомоморфизм ф
в этом случае называется правым делителем гомоморфизма х-
Про х говорят, что он делится справа на ф. Будем в этом
случае писать: ф-^хОО- Если для гомоморфизмов ^ и фг
выполняется одновременно и фг —^ ф2 (р) и ф2 ~ фх ()>), то
будем писать ^ ~ f2 (q). Отметим, что только гомоморфизмы
одной и той же полугруппы могут находиться в отношении
правой делимости р.
1.13. Рассмотрим несколько свойств умножения гомомор-
гомоморфизмов.
(а). Если для гомоморфизмов cplt <p2, фз определены про-
произведения cptcp2 и ср2срз, то определены и произведения (<р1<Рг) °Рз
и TiCWsX причем они равны между собой.
(р). Если для гомоморфизмов <pt, <p2, ср3 имеет место
Ъ — Ъ(Р) и ?г — <рзО>)> т0 выполняется и ср, — ср3(р)
{транзитивность р).
Действительно, пусть

356 гомоморфизмы [гл. vh
Тогда, очевидно,
(f). Если для гомоморфизмов ср^ <р2, Тз имеет место
cpi~<p2(q) и ера <~ ср3 (q), /ко выполняется и <Р1~<рз(<0
(транзитивность q).
(8). ?слй для гомоморфизмов fv ср2 и изоморфизма е
имеет место cp1 = scp2, mo существует такой изомор-
изоморфизм в', что cpj^e'cp^
Действительно, если ср2 есть гомоморфизм полугруппы f(,
то е есть изоморфизм полугруппы ср2 C1) на полугруппу срж (ЭД).
Обозначим через е' обратный к нему изоморфизм полугруппы
cpiCl) на ср2C1). Так как
s'(p1 = e'ecp2
и е'е есть тождественный изоморфизм, то <p2 = s'<pi.
(е) Для гомоморфизмов срх и ср2 одной и той же полу-
полугруппы соотношение cpt~cp2(q) имеет место тогда и
только тогда, когда существует такой изоморфизм е,
что <рх = scp2.
Действительно, если cpt ^- cp2 (q), то при некоторых гомо-
гомоморфизмах фиф'
т. е. ср1 ффр1
Произведение фф' есть тождественное отображение. Это
возможно лишь в том случае, когда гомоморфизмы фиф'
являются взаимно однозначными отображениями, т. е. изо-
изоморфизмами.
Пусть теперь при некотором изоморфизме е имеет место
^ = 8^2. Это означает, что ср2.—p<Pi(t>). Но тогда, по (8),
должен найтись такой изоморфизм е', что ср2 = е/?1> и п0~
тому cpi —' Та С*?)-
(С). Если для гомоморфизмов полугруппы % срг гср^
ср2, ср? имеет место
то tp^ ?!<*>)•
Действительно, при некоторых изоморфизмах et и е2 и
гомоморфизме ф должно иметь место

§ 1] ГОМОМОРФИЗМЫ И ИХ ДЕЛИМОСТЬ 357
Обозначив через е'2 обратный по отношению к е2 изомор-
изоморфизм полугруппы <?'2(Щ на cpaCt) имеем
f'i = еЛ = ВМ = eiKea<P. = (eiK) 9г
т. е. ср^ — ср^ (р).
(тг)). Если ср есть некоторый гомоморфизм полугруппы ЭД
и е — некоторый ее изоморфизм, то е~ср()>).
Действительно, обозначив через е' обратный по отноше-
отношению к е изоморфизм е (ЭД) на Ш, мы получаем
ср = ср . е'е = (cps') • е.
(9). Если е есть изоморфизм полугруппы К й ср голо-
морфизм ЭД, причем ср~е(р), то и у является изомор-
изоморфизмом.
Действительно, при некотором гомоморфизме ф имеем
е = dtp.
Так как е есть взаимно однозначное отображение, то и ото*,
бражение ср должно быть взаимно однозначным, т. е. изо-
изоморфизмом.
(i). Пусть ср и ф есть два гомоморфизма полугруппы Ш.
Для ср~ф(р) необходимо и достаточно, чтобы при
любых А, В?%из<? (А) = ср (В) всегда следовало ф (А) = ф (В),
Действительно, если при некотором гомоморфизме х
ф==Хср, то из ср (Л) = ср (В) следует
ф (Л) = (х ¦ ср) (Л) = ¦/ [ср (ЛI = х I? (В)] - (х • ср) (В) = ф (В).
С другой стороны, если ср и ф таковы, что из ср(Л) —
= ср (В) всегда следует ф (А) = ф (S), то для полугруппы ср (<Д)
можно определить следующее ее отображение х на полу-
полугруппу ф(ЭД). Полагаем
Это отображение определяется однозначно независимо от
выбора представителя А в классе тех элементов Х?Ш, для
которых ср (X) = ср (А), так как при ср(Л) = ср(Л') мы имеем
в ф(К) ф(Л) = ф(Л')- Из того, что ф и ср являются гомо-
гомоморфизмами, сразу следует, что отображение х также ока-
оказывается гомоморфизмом. Таким образом, ХСР==1)' Тр е'
<Р~ф(Р)-

358 гомоморфизмы [гл. vn
1.14. Из 1.13, (f), (i) следует, что в классе всех гомо-
ыорфизмов полугруппы отношение q является эквивалент-
эквивалентностью, таким образом, этот класс разбивается на взаимно
непересекающиеся классы гомоморфизмов, эквивалентных
между собой относительно отношения q. Один из таких клас-
классов образован всеми изоморфизмами полугруппы. Если для
гомоморфизмов (рх и <р2 имеет место срх -— ср2 (р), то и для
любых гомоморфизмов ср^ и ср^, взятых из соответствующих
классов, выполняется cpj <--< у'% (р) A.13, (С)). Поэтому, для
самих классов Т1 и Г2 можно ввести отношение р, выпол-
выполняемое в случае, когда для срг ^ Гх и ср2 ? Г2 имеет место
4Pi'— Тг (Р)• Благодаря 1.13, ф) это отношение является отно-
отношением частичного упорядочения, и мы можем вместо Гх-—-Г2(р)
писать Гх^Гг. Класс всех изоморфизмов благодаря 1.13, (тг))
и 1.13, (8) оказывается предшествующим всем прочим клас-
классам. Легко убедиться, что класс, состоящий из гомоморфизмов,
отображающих полугруппу на единичную группу, будет сле-
следовать за всеми остальными классами.
Поскольку гомоморфизмы из одного и того же класса
благодаря 1.13, (s) отличаются лишь на множитель, являю-
являющийся изоморфизмом, о них принято говорить, что они
одинаковы с точностью до умножения на изомор-
изоморфизм или что они несущественно отличаются друг от
друга.
1.15. Пусть дана некоторая совокупность Г гомоморфиз-
гомоморфизмов полугруппы %. Гомоморфизм ср полугруппы % естест-
естественно назвать наибольшим общим правым делителем для Г,
если ср есть правый делитель каждого гомоморфизма из Г и
сам делится справа на всякий гомоморфизм, являющийся
правым делителем каждого гомоморфизма из Г.
Гомоморфизм i|> называется наименьшим общим правым
кратным для Г, если ф делится справа на все гомоморфизмы
из Г и является правым делителем всякого гомоморфизма,
делящегося справа на все гомоморфизмы из Г.
Очевидно, класс гомоморфизмов, являющихся наиболь-
наибольшими общими правыми делителями гомоморфизмов из Г
в отношении частичной упорядоченности классов 1.14, является
точной нижней границей для классов гомоморфизмов, содер-
содержащих гомоморфизмы из Г. Класс наименьших общих правых
кратных является точной верхней границейч

§ 1] ГОМОМОРФИЗМЫ И ИХ ДЕЛИМОСТЬ 359
Из 1.13, (е) и 1.14 следует, что всякие два наибольших
общих правых делителя класса гомоморфизмов Г несущест-
несущественно отличаются друг от друга. Также несущественно отли-
отличаются и всякие два наименьших общих правых кратных.
1.16. Вопрос о существовании наибольшего общего пра-
правого делителя для совокупности гомоморфизмов и наимень-
наименьшего общего правого кратного получит свое положительное
решение в следующем параграфе B.11). При этом, однако,
следует иметь в виду, что, рассматривая какой-либо класс
гомоморфизмов Г, обычно бывает интересно не только то,
существуют ли для него наибольшие общие правые делители,
но и то, принадлежат ли некоторые из них сами к классу Г.
Это особенно важно, когда класс Г таков, что из принад-
принадлежности к нему некоторого гомоморфизма у следует, что
всякий гомоморфизм, делящийся справа на ср, сам принад-
принадлежит Г. Если класс Г таков и ф есть принадлежащий Г
наибольший общий правый делитель гомоморфизмов из Г,
то Г описывается как класс всех гомоморфизмов, делящихся
справа на ф. Задание ф в этом случае отчетливо описывает
состав класса Г.
В качестве примера укажем на класс всех гомоморфизмов
произвольной полугруппы 31 на коммутативные полугруппы.
Очевидно, если гомоморфизмы ср, ф, ^ таковы, что срф = ^к
причем полугруппа фС§1) коммутативна, то и у_(Ш) будет
коммутативной. В 6.7 мы построим наибольший общий пра-
вый делитель таких гомоморфизмов, при этом он сам будет
принадлежать к этому классу.
В качестве примера отрицательного решения поставлен-
поставленного выше вопроса рассмотрим бесконечную моногенную
полугруппу Щ = [X] и класс всевозможных ее гомоморфизмов
на группы.
Для любой конечной циклической группы ®d = \G] с чис-
числом элементов d (т. е. типа A, d)) существует гомомор-
гомоморфизм (fd полугруппы 31 на ©d:
G* . (k = \, 2, 3, ...).
Если ф есть некоторый гомоморфизм 21 на группу, то
при некотором т. ф (Ат) будет единицей этой группы. Отсюда
легко получаем, что

360 ГОМОМОРФИЗМЫ [ГЛ. VII
Так как число элементов в фB0 не превосходит т, то <]>
не может быть правым делителем для тех cpd, у которых
d > т.
1.17. Мы уже упоминали, что связь между свойствами
полугруппы и ее гомоморфного образа в случае произволь-
произвольного гомоморфизма далеко не так элементарна, как при изо-
изоморфизме. Пусть ср есть гомоморфизм полугруппы % на
полугруппу ^B1) = $'. Если в Ш элемент Лх делится слева
на Л2, то, очевидно, в W элемент ср(^4х) будет делиться
слева на <р(Л2). То же для делимости справа. В частности,
если С есть элемент %, делящийся и слева и справа на любой
элемент из % (II, 1.6), то ср(С) будет в 31' делиться слева
и справа на все элементы из W. Однако если некоторый
элемент С из %' в W делится и слева и справа на все эле-
элементы из W, то необязательно он должен быть образом
некоторого элемента из %, обладающего в 91 тем же свой-
свойством. Действительно, полугруппа 91 вовсе может не иметь
таких элементов. В то же время при гомоморфизме ее на
единичную группу единственный элемент образа обладает
рассматриваемым свойством.
В связи со сказанным отметим, что для гомогруппы Ш,
т. е. в случае, когда Ж имеет двусторонний идеал Ж, являю-
являющийся группой (V, 1.8), выполняется следующее свойство.
При любом гомоморфизме ср полугруппы 91 из того, что
в Щ' = ср (§1) элемент С' делится на все элементы 9С и слева
и справа, следует, что в 91 найдется элемент С, делящийся
на все элементы 91 и слева и справа, такой, что ср(С) = С'.
Действительно, очевидно, ср(?) будет двусторонним идеа-
идеалом %', а согласно 1.2, он будет группой. В силу V.1.4,
С'?ср(?), т. е. для некоторого С?? имеем ср(С) = С.
Но благодаря V, 1.4 % состоит из элементов, делящихся и
слева и справа на все элементы из §L
§ 2. Факторполугруппы
2*1. Пусть ср есть произвольный гомоморфизм полу-
полугруппы 9С. Определим в Щ отношение, п, полагая А — В(п),
если ср(Л) = ^E)- Очевидны рефлексивность, симметричность
и транзитивность этого отношения. Эквивалентность п будем
называть эквивалентностью, соответствующей данному
гомоморфизму ср.

§ 2] ФАКТОРПОЛУГРУППЫ 361
Так как из ср (Л) = ср (В) при любом Х? ЭД следует
ср (AY) ¦== ср (Л) • ср (Л) = <р (В) • <р (*) = <р (ВХ),
то эквивалентность п, соответствующая гомоморфизму у,
является двусторонне стабильной.
2.2. Пусть теперь п есть произвольная двусторонне ста-
стабильная эквивалентность в полугруппе %
Обозначим через ЭД/n множество всех п-классов (I, 5.8.).
Отметим, что для всяких n-классов 5?i, 5?2» &з из
E?! • Stg) П 5?3 Ф 0 всегда следует
Действительно, пусть Ai, K^ft^ Хг, Y2?%, и Kj
Согласно 1,5.18, из ЛГХ — ^(и), А—^^г(п) следует
Так как К^г^Яз. то и произвольный элемент XtX2 мно-
множества ^Яг должен принадлежать й3-
Так как n-классы образуют разбиение множества всех
элементов полугруппы (I, 5.8), то из доказанного свойства
следует, что для двух любых n-классов 5?t и $2 всегда
найдется и при том единственный n-класс 5?3> такой, что
E?! • J?2)C"*3.
2.3. Благодаря 2.2 в Щ/n естественным образом опреде-
определяется действие. Так как это действие не совпадает с дей-
действием умножения подмножеств, то будем временно употреб-
употреблять для обозначения результатов этого действия значок О-
Конечно, можно и в этом случае употреблять обычную муль-
мультипликативную запись, если рассматривать n-классы не как
подмножества 31, но просто как элементы нового мультипли-
мультипликативного множества ЭД/n. В математической литературе обычно
так и делают. В дальнейшем мы также перейдем к обычной
мультипликативной записи, отказавшись от употребления
значка О-
Пусть Stit $2, Stj — три таких n-класса, что
Полагаем в

362 гомоморфизмы [гл. vn
Так как при любых ftl
(Sn С of г) О
«*1 О (*2 О
то действие Q в ЭД/n ассоциативно.
2.4. Определение. Для двусторонне стабильной экви-
эквивалентности п в полугруппе "й множество всех и-клас-
сов ft/n, рассматриваемое относительно действия 2.3,
является полугруппой, называемой факторполу-
группой полугруппы Ш. по п.
Эта конструкция является обобщением соответствующей
конструкции теории групп. Если 91 есть нормальный делитель
группы © и п—отношение в @, согласно которому X— К(п)
в том и только в том случае, когда Ar~1K?9fJ, то, как
нетрудно убедиться, п является двусторонне стабильной экви-
эквивалентностью и ®/п есть не что иное, как определяемая в тео-
теории групп факторгруппа группы © по 9f?:'©/9'J.
2.5. Пусть п есть двусторонне стабильное разбиение
полугруппы Щ. Сопоставив каждому элементу А ? $ ту ком-
компоненту St этого разбиения, в которой он содержится, мы
получим отображение $[ на факторгруппу 3t/n. Это отобра-
отображение является гомоморфизмом, так как из
А1Аг = А, (Av A2, А3?Ж),
для Sti^Ai, где 5?*?ЭД/п (/=1, 2, 3), следует, что пересе-
пересечение EtiS^)n5t3 непусто и потому
ОЧ О *2 = $3*
Такой гомоморфизм называется естественным гомомор-
гомоморфизмом 91 на УЦп.
Получение факторполугруппы Ш/п из ЭД при помощи
естественного гомоморфизма можно рассматривать как ре-
результат отождествления между собой элементов полугруппы %,
входящих в один и тот же п-класс.
2.6. В 2.1 мы показали, что каждому гомоморфизму полу-
полугруппы 91 соответствует некоторая двусторонне стабильная
эквивалентность. Конструкция факторполугруппы 9t/n B.4; 2.5)
показывает, что для произвольной двусторонне стабильной
эквивалентности п найдется гомоморфизм (именно естествен-

й] *Актбрпьлугруййь( 363
ный гомоморфизм % на St/п), которому соответствует эта экви-
эквивалентность п.
2.7. Пусть ср есть произвольный гомоморфизм полугруппы Щ
и п — соответствующая ему эквивалентность B.1).
Через ф обозначим естественный гомоморфизм Ш на $/п.
Сопоставим каждому it-классу (т. е. элементу факторполу-
группы 9t/n) тот элемент полугруппы ср('Я), в который при
гомоморфизме ср отображаются все элементы из данного
n-класса. Это взаимно однозначное отображение, как легко
убедиться, является изоморфизмом. Таким образом,
т. е. cp~<Hq) A.13,(8)).
С другой стороны, если ср есть произвольный гомомор-
гомоморфизм, ф— естественный гомоморфизм на некоторую фактор-
полугруппу и они связаны соотношением ср~ф^), т. е. при
некотором изоморфизме s
<р = е<|>,
то, очевидно, разбиения, соответствующие гомоморфизмам ср
и ф, одинаковы.
Из сказанного следует, что каждому гомоморфизму полу-
полугруппы 91 соответствует естественный гомоморфизм на фактор-
полугруппу 9t/n, где и есть эквивалентность, соответствующая
данному гомоморфизму. Разным гомоморфизмам соответствует
один и тот же естественный гомоморфизм в том и только
в том случае, когда эти гомоморфизмы взаимно делятся друг
на друга справа A.12), т. е., согласно 1.13, (S) и 1.13, (s),
отличаются один от другого множителем, являющимся изомор-
изоморфизмом. Таким образом, естественные гомоморфизмы на фактор-
полугруппы можно рассматривать как представители, взятые
по одному из каждого класса гомоморфизмов, где в один
класс объединены гомоморфизмы, несущественно отличаю-
отличающиеся друг от друга A.14), т. е. эквивалентные относительно q
A.12; 1.14), другими словами —отличающиеся друг от друга
множителями, являющимися изоморфизмами A.13, (е)).
Благодаря этому можно считать, что все гомоморфизмы
полугруппы с точностью до несущественных различий A.14)
исчерпываются естественными гомоморфизмами полугруппы
на ее факторполугруппы.

364 гомоморфизмы [гл. Vit
2.8. Пусть даны два гомоморфизма cpt и <р2 полугруппы ЭД;
щ и п2 есть соответствующие им эквивалентности. Если для
гомоморфизмов выполнено ср2 ~ cpt (p), т. е. <р2 есть правый
делитель <pt A.12): 91 = <!•'%. то, согласно 1.13, (i), равенство
ср2 (Л) = ср2 (В) (Л, В ? 51) всегда влечет за собой cpt (Л) = <pt E)
и, следовательно, для отношений эквивалентности мы имеем
п2<п1 (I, 1.14).
Наоборот, пусть дано п2 <С Щ- Сопоставим каждому
П2-классу тот п^класс, который его содержит. Легко видеть,
что мы получаем гомоморфизм ф факторполугруппы ЭД/п2
на факторполугруппу %jnv Если ^ и ?2 суть естественные
гомоморфизмы 21 иа факторполугруппы 21/it! и $/п2, то мы,
очевидно, имеем ^ = ф?2. Но ^ и |2 отличаются от cpt и ср2
множителями, являющимися изоморфизмами. Поэтому и для
самих гомоморфизмов cpt и ср2 мы получаем, что при некото-
некотором гомоморфизме <]/ имеет место <pt = i|/<p2, т. е. ср2 — срх ()>).
Оказалось, что отношение правой делимости между гомо-
гомоморфизмами р A.12) индуцируется частичным упорядочением
соответствующих эквивалентностей.
2.9. Пусть Ч? есть некоторое непустое множество дву-
двусторонне стабильных эквивалентностей полугруппы tyi. В пол-
полной структуре всех эквивалентностей в 9t (I, 5.16) возьмем
точную нижнюю границу I множества Ч? (I, 5.15) и точную
верхнюю границу I (I, 5.16). Если для А, В ? ЭД имеет место
А — B(t), то для любого n?*F имеет место А~В(п). Но п
двусторонне стабильна и потому при любом Х? Щ. АХ~ ВХ(п)
и XA~XB(vi). Поскольку последние соотношения справед-
справедливы при любом tl^ 47, имеет место АХ—BX(t) и ХА~ХВ(?).
Таким образом, эквивалентность f сама оказалась двусторонне
стабильной. Поскольку f есть точная нижняя граница W в мно-
множестве всех эквивалентностей, t тем самым будет точной
нижней границей 47 в множестве всех двусторонне стабиль-
стабильных эквивалентностей.
Пусть теперь А — В (I). Тогда в % найдутся такие Zx = A,
Z2 Z8+1 = B, что Zi~Zi+1(Hi), rti?W (i=l,2, ..., s).
Так как все it, двусторонне стабильны, то при любом Х?Ш
AX=ZXX, BX=ZS+1X, ZiX~Zi+lX(ni),
ХА = XZV XB = XZS+1, XZi ~ XZi+1 (гч), (/=1.2 s).
Отсюда следует, что АХ—BX(l), XA~XB(V) и экви-
эквивалентность 1 оказывается двустороннее стабильной.

I 2] *акт6рполугрУпПЫ 365
При этом t есть точная верхняя граница для W в мно-
множестве всех двусторонне стабильных эквивалентностей в 51.
Из доказанного следует, что относительно частичной упо-
упорядоченности 1,5.14 множество всех двусторонне ста-
стабильных эквивалентностей является полной структурой.
2.10. Отметим, что иногда описание множества всех дву-
двусторонне стабильных разбиений полугруппы осуществляют
путем выделения из нее такой совокупности отношений (так
называемый базис), что всякое двусторонне стабильное отно-
отношение может быть получено как точная верхняя граница
(сумма) некоторых отношений, принадлежащих этой совокуп-
совокупности.
Так поступает, например, А. Е. Либер [1] для описания
двусторонне стабильных разбиений полугруппы Ds всех
взаимно однозначных частичных преобразований множе-
множества Q (I, 4.5).
2.11. Пусть Ф есть некоторое непустое множество гомо-
гомоморфизмов полугруппы 9t. Обозначим через ЧГ множество дву-
двусторонне стабильных эквивалентностей, соответствующих этим
гомоморфизмам B.1). Пусть i есть точная нижняя их граница
и I — точная верхняя их граница B.9). Согласно 2.8, есте-
естественный гомоморфизм 51 на tt/f будет наибольшим общим
правым делителем гомоморфизмов из Ф, а естественный гомо-
гомоморфизм 91 на 51/1 — их наименьшим общим правым крат-
кратным A.15).
2.12. Пусть щ и п2 есть два таких двусторонне стабиль-
стабильных отношения эквивалентности полугруппы %, что пх <^ П2.
В факторполугруппе ЧЦ/щ естественно определяется отноше-
п„
ние эквивалентности и3 = —, согласно которому два
П3-класса—$t и $2 эквивалентны тогда, когда элементы полу-
полугруппы ЭД ^(j^i и X2?St эквивалентны относительно п2
(очевидно, это не зависит от выбора представителей Хх и Х2
в 5?i и в $2)- Легко видеть, что п3 есть двусторонне стабиль-
стабильное отношение эквивалентности в ЧИ/щ и что факторполу-
группы %1п2 и Ctt/itx)//—\ изоморфны (изоморфизм опреде-
определяется сопоставлением п2-классу St из 21/п2 (^М-класса из
(Ш/щ) /(—), который в качестве элементов содержит те
^-классы Ж', которые содержатся в й).

Збб ГОМОМОРФИЗМА (гл. VII
2.13. Пусть п есть произвольное разбиение полугруппы 91
U
обладающее тем свойством, что для любых двух ее компо-
компонент ЭЭх и ЯЗ. всегда найдется такая компонента S8V, что
»V8
Это разбиение можно рассматривать как эквивалентность
в % A,5.8). Если А — В(п), т. е. Ли В оба содержатся
в одной и той же компоненте 23Х нашего разбиения, то при
Х Ъу. мы имеем
т. е. АХ—ВХ(п). Аналогично доказывается стабильность п
слева. Таким образом, п оказывается двусторонне стабильной
эквивалентностью, и множество компонент 23е разбиения п
есть множество элементов факторполугруппы ЭД/n. Это пока-
показывает, что предшествующие рассуждения можно было цели-
целиком провести на языке разбиений полугрупп, обладающих
указанным выше свойством.
2.14. В группах описание того, как устроены произволь-
произвольные двусторонне стабильные разбиения, не представляет труда.
В любой книге по теории групп полно излагается вопрос
о том, как устроены произвольные гомоморфизмы группы.
В произвольных полугруппах соответствующий вопрос пред-
представляет значительно большие трудности и еще далек от пол-
полного разрешения. Только для отдельных частных классов
полугрупп решена задача о полном описании структуры всех
их двусторонне стабильных разбиений. При этом получение
соответствующих результатов представляет значительные
трудности. Ниже в § 3 и § 6 мы изложим некоторые из этих
результатов.
Сейчас в качестве примера приведем конструкцию, рассмо-
рассмотренную Пирсом [1]. Пусть $ есть произвольное подмноже-
подмножество полугруппы ЭД. Элементы А, В ?% эквивалентны в том
случае, когда при любых X, К?ЭД из XAY?St всегда сле-
следует XBY?$.
Двусторонняя стабильность этого отношения проверяется
без труда. Особый интерес представляет случай, когда Я
является идеалом. Рассмотрение таких эквивалентностей для
коммутативной полугруппы идемпотентов, сопряженной с ди-
дистрибутивной структурой 2 (II, 4.3; II, 4.13), оказывается

§ 3] ГОМОМОРФИЗМЫ ИНВЕРСНЫХ ПОЛУГРУПП 367
полезным для изучения структурных гомоморфизмов струк-
структуры 2 (Пирс [1]).
§ 3. Гомоморфизмы инверсных полугрупп
3.1. В этом параграфе мы рассмотрим гомоморфизмы
инверсных полугрупп, т. е. тех полугрупп, определение и
свойства которых были рассмотрены нами в § 7 второй главы.
Значение этих полугрупп в связи с их ролью в теории ча-
частичных преобразований было рассмотрено нами в § 8 той же
главы. Нам удастся получить ряд свойств гомоморфизмов
инверсных полугрупп и дать полное описание устройства
произвольных гомоморфизмов этих полугрупп. Основное свой-
свойство гомоморфизмов было получено впервые В. В. Вагне-
Вагнером [3]. Несколько позже подробное описание строения гомо-
гомоморфизмов было опубликовано Престоном [1].
3.2. Как обычно, при рассмотрении инверсных полугрупп
мы будем использовать знак черты для обозначения элемента,
регулярно сопряженного с данным элементом (II, 7.2).
Лемма. Пусть ср есть гомоморфизм инверсной полу-
полугруппы %. Если <р(А)(А?Щ есть идемпотент полу-
полугруппы <рB1), то в 91 найдется такой идемпотент I, что
р
Доказательство. Так как элемент ср(Л) идемпотен-
тен, то
ср(Л) • ср(ЛЛ) =ср(Л) _
Благодаря тому, что АА и АА идемпотенты инверсной
полугруппы ft (III, 7.3), они перестановочны (II, 7.4). Поэтому,
используя полученное равенство, получаем
<р (АА) • <р (АА)=<? (А) ¦ ср (АА). ср (ЛЛ)=Т (А). ср (АА) ¦ <р (АА)=
= ср (А А А) ¦ ср (АА) — ср (А) • <р (АА) = ср (АА).
С другой стороны,
ср (АА) • 9 (АА) = ср (АА) ¦ ср (АА) - ср (J) -j (А) ¦ ? (Л) • ср (А) ==
Таким образом,
Отсюда для идемпотента /= АА получаем
«р (/) = «р (АА) = <? (А) • ср (А) = ср (АА) ¦ ср (Д)=<р (ААА) = =р (i4).

368 гомоморфизмы [гл. vn
3.3. При помощи полученной леммы легко убеждаемся
в замкнутости класса инверсных полугрупп относительно опе-
операции взятия гомоморфизмов.
Теорема. Если ср есть гомоморфизм инверсной полу-
полугруппы %\, то ср (9t) также является инверсной полугруппой.
Доказательство. Если / есть регулярная левая еди-
единица элемента А (II, 6.2), то, очевидно, ср(/) будет регуляр-
регулярной левой единицей элемента ср(Л). Благодаря теореме II, 7.4
для доказательства того, что <?(Щ есть инверсная полугруппа,
достаточно показать, что любые два ее идемпотента комму-
коммутируют между собой.
Если >¦! и Хз есть идемпотенты ср(ЭД), то, согласно 3.2,
в % найдутся такие идемпотенты /х и /2, что
Ввиду коммутативности It и /2 получаем
Ха = 9 (Л) • <Р (А) = «Р (Л4) = ? (Vi) = ? ('2) • 9 (А) = X,
3.4. Следствие. Если ср есть гомоморфизм инверсной
полугруппы 9t> ото для всякого Х?% в инверсной полу-
полугруппе ср E1) имеет место
Действительно,
ср(Х)
что и означает: ср (X) = ср (X).
3.5. Следствие. Пу:ть ср есть гомоморфизм инверс-
инверсной полугруппы % и X = ср (Л) (Л ? %) есть идемпотент
полугруппы срB1). Тогда совокупность 23Х всея таких
элементов В из %, что ср(В) = )., является инверсной
полугруппой.
Доказательство. Если В, В'^ЗЗ*. то
ср (ВВ') = ср (В) -ср (В') = X • X = X,
т. е. ВВ'?23х. Таким образом, 23Х является подполугруп-
подполугруппой %.
Благодаря 3.4
? (В) = ^СВ) =1 = X,

§ 3| ГОМОМОРФИЗМЫ ИНВЕРСНЫХ ПОЛУГРУПП 369
т. е. В?23Х. Элемент ВВ ?23Х является регулярной левой
единицей В. Так как к тому же идемпотенты из 23х> как и
вообще все идемпотенты из 9t, перестановочны между собой,
то 23Х, согласно II, 7.4, является инверсной полугруппой.
8.6. Следствие. Пусть ср есть гомоморфизм инверс-
инверсной полугруппы % Если для некоторых А, В ? ЭД
то
ср(Л) = ср(В), ср (Л) = <р (В).
Доказательство. Так как
ср (Л) • ср (В) • ср (Л) = ср (АВ) • ср (Л) ==
- ? 04Л) • <р (Л) = ср (ЛЛ Л) = ср (Л),
ср (В) • ср (Л) • ср (В) = ср (В) ¦ <р (Л5) =
= <р (В) . ср (ВВ) = ср (ВВВ) = ср (В),
то в инверсной полугруппе
ср(Л) = ср(В).
Отсюда благодаря 3.4 получаем
ср (Л) - ср (Л) - ср (Л) = ср (В) = ср (В) = ср (В).
3.7. Пусть в инверсной полугруппе 51 дана совокуп-
совокупность S некоторых ее инверсных подполугрупп. В дальней-
дальнейшем нас будут интересовать случаи, когда ? обладает ниже-
нижеследующими свойствами.
(а). Различные полугруппы из S попарно не пере-
секаются.
(Р). Всякий идемпотент из % содержится в одной
из полугрупп, принадлежащих Е.
(Т). Пусть АА, ВВ, ЛВ?33(Л, В?Ж), где 8 принад-
принадлежит Ъ. Если А ? 23, то и В ? 23.
(8). Пусть АА, ВВ, ЛВ?23(Л, В?Ш), где 23 принад-
принадлежит S. Тогда для всякой 23' из 2 в Е найдется
такая 23", что
АЪ'А с 23", Л23'В с 23".

370 гомоморфизмы [гл[ vn
3.8. Появление условий 3.7 в первую очередь объясняется
следующим. I
Пусть ср есть произвольный гомоморфизм инверсной полу-
полугруппы ЭД и Г—множество идемпотентов полугруппы (?(W).
Благодаря 3.5 гомоморфизму ср сопоставлена совокупность S
инверсных подполугрупп 23Х (X ? Г) полугруппы §1, являю-
являющихся полными прообразами идемпотентов полугруппы ср(ЭД).
Оказывается, что эта совокупность S обладает всеми четырьмя
свойствами, указанными в 3.7.
Свойство (а) справедливо, поскольку различные 23Х из ?
являются полными прообразами различных идемпотентов из Г:
ф) справедливо, так как при гомоморфизме всякий идемпотент
отображается на идемпотент; (^) непосредственно следует
из 3.6. Свойство (S) требует несколько более подробного
рассмотрения.
Пусть АА, ВВ, АЪ?Ъх(к?Т). Для 99ц (р? Г), исполь-
используя 3.6, получаем
,) • ср (Л) =
Благодаря перестановочности идемпотентов в ср(ЭД) C.3)
V2 = ср (А) ¦ (а • ср (А) ¦ ср (А) ¦ ^ ср (Л) ^
= ср(Л) • A • <f(AA) ¦ (а • ср(Л) = ср(Л) • ср(ЛЛ) • ji ¦ |а • <р(Л) =
= ср(ЛЛЛ) • (а • <р(Л) = ср(Л) • (х • ср(Л) = v.
Следовательно, v ^ Г и потому
ЛЭЗВ с: 23V.
3.9. Сопоставим гомоморфизму ср инверсной полугруппы
отношение п, согласно которому
Л~?(п) (А,
имеет место тогда и только тогда, когда все три произве-
произведения АА, ВВ, АВ содержатся в одной и той же подполу-
подполугруппе 8„(Х?Г) из 2 C.8).
Покажем, что п есть эквивалентность, соответствующая
гомоморфизму ср B.1).

§ 3] ГОМОМОРФИЗМЫ ИНВЕРСНЫХ ПбЛуТрУПп 37l
Вели <?(А)== <р(В)(А, В ?21), то благодаря 3.4 <р(Л) =
= ср (Л) = ср (В) = <р (В), откуда легко следует:
т. е. АА, ВВ, АВ лежат в одной и той же подполугруппе
из S. Следовательно, А — В (it).
Если Л~В(п), то ср (АА) = ср (ВВ) = ср (АВ) и, со-
согласно 3.6, ср(Л) = <р(В).
3.10. Пусть теперь Е есть произвольная совокупность
инверсных подполугрупп инверсной полугруппы 51, обладаю-
обладающая четырьмя свойствами 3.7, (a), (J3), (f), (8).
При помощи 2 определяем в 51 отношение пг согласно
которому
Л~В(п,) (А
имеет место тогда и только тогда, когда все три произве-
произведения А А, ВВ, АВ содержатся в одной и той же подполу-
подполугруппе из S.
Докажем, что такое отношение па является двусто-
ронне стабильной эквивалентностью.
Так как АА (А ? 90 является идемпотентом, то, со-
согласно 3.7, (р), Л~.<4, т. е. ttj, рефлексивно.
Докажем симметричность пг Если Л *—' В (па), т. е.
АА, ВВ, АВ?Ъ
то из того, что 23 является инверсной подполугруппой 91,
следует, что элемент АВ = В А также должен содержаться
в 93. Так как АА и ВВ содержатся в S8, то В — A (its).
Докажем транзитивность пг Пусть
Отсюда, по определению пЕ, используя также доказанную
симметричность, получаем, что при некотором 23' ??
Л Л, 5В, СС, АВ, В А, ВС, С

372 гомоморфизмы (гл. Vii
Из ВС-СВ?23', благодаря 3.7, (8), получаем
ВССА? 23',
= ВССА? 23',
АСС А? 23'.
Из полученных включений благодаря 3.5, (f), применен-
примененному к ВС и АС, получаем ЛС?23'. Совместно с АА, СС? 23',
это и означает А — С(па).
Докажем двустороннюю стабильность па. Пусть А~'В(п^.
Ввиду симметричности ns это означает, что для некото-
некоторого 23t ? 2
ЛЛ, ВВ, АВ,
Пусть А'^Щ. Из условия 3.7, (8) следует, что при некото-
некоторой 232?? имеет место ХЭЭ^^ 932- Благодаря этому
ХА • Ш = ХААХ? Х^Х с 232;
ХВ • Х~В = ХВВХ? ХЪХХ с 932;
ХА ¦ ХВ = ХАВХ? Х^Х <= »2.
Но это и означает, что ХА~ХВ(пЛ.
Идемпотент XX содержится в некоторой 233? 2 C.7, (C)).
Благодаря 3.7, (8) при некоторых 234 и 235 из 2 мы имеем
<= 234, Л233В с 234, ВЪЪВ с 23Б, BS3^ с 235-
SL содержит ЛЛХВ, а потому и ЛЛХВ = ВХХ4. Но
ВХХА?ЪЪ. Поэтому, согласно 3.7, (а), 234 = 235. Отсюда
получаем
АХ ¦ АХ = ЛХХЛ g Л233Л <= 235,
ВХ • ВХ= ВХХВ? ВЪгВ а 236>
АХ • Х "
что означает: ЛЛГ^—BAYns).
3.11. Рассуждения, проведенные в 3.8 и 3.9, показывают,
что эквивалентность, соответствующая произвольному гомо-
гомоморфизму инверсной полугруппы §{, принадлежит к числу

§ 3] ГОМОМОРФИЗМЫ ИНВЕРСНЫХ ПОЛУГРУПП 373
отношений вида па, определенных в 3.10. Так как всякая
двусторонне стабильная эквивалентность есть эквивалентность,
соответствующая некоторому гомоморфизму B.6), то отсюда
следует, что двусторонне стабильными эквивалентностями
вида itj, описанными в 3.10, исчерпываются все двусто-
двусторонне стабильные эквивалентности инверсной полугруппы.
Каждая из них задается совокупностью инверсных подполу-
подполугрупп, удовлетворяющей условиям 3.7, (а), ф), (f), (8).
Описав устройство произвольной двусторонне стабильной
эквивалентности инверсной полугруппы, мы можем сказать,
что нами описаны с точностью до несущественных разли-
различий A.14) все гомоморфизмы инверсных полугрупп.
3.12. В связи с выявленной выше ролью отношений
вида ns, описанных в 3.10, остановимся дополнительно на
некоторых их свойствах.
(г). Если A~B(nz)(A, В ?Щ и Л?23B362), то ??23.
Действительно, из А?23 следует Л(8 и АД ?23, а по-
потому и ВВ, А8?23. Отсюда, согласно 3.7, (f), полу-
получаем В ?23.
(С). Для 231( 232?? всегда найдется такая 233?2, что
23А с 233, 23А с 233.
Действительно, поскольку 234 является инверсной полу-
полугруппой, она обладает идемпотентом Iv Также и 232 обла-
обладает идемпотентом /2. В Ш идемпотенты перестановочны.
Поэтому /3 = IJi = hh также будет идемпотентом. /3 бла-
благодаря 3.7, ф) содержится в некоторой подполугруппе 233?2.
Произвольный Bt из 23t очевидно, эквивалентен с /х:
J31~/1(its). Также Bz~/2(пБ). Ввиду двусторонней ста-
стабильности na BtB2 — /j/g^j,). Но /1/2 = /3?233 и потому на
основании (s) B1B2?233. Следовательно, 23t232 с: 233. Анало-
Аналогично доказываем, что 23223t содержится в 234, содержа-
содержащей 1г1х. Но /2/i = IJ2 = h- Следовательно, 234 = ©з и
S2»t с 233.
(if)). Объединение W. всех 23 из Е является инверсной
подполугруппой ЭД.
Действительно, из (С) непосредственно вытекает, что
произведение двух любых элементов из 31 содержится в 9fc.
Каждый X из 91 принадлежит некоторой 23 из ? и потому

374 гбмбмбрФизмы [гл. vn
обладает в 23, а следовательно, и в ¦№ левой регулярной
единицей. Все идемпотенты 31 перестановочны, так как они
есть идемпотенты инверсной полугруппы %. Следовательно,
полугруппа 31 инверсна (II, 7.4).
3.13. Поскольку эквивалентность пБ двусторонне ста-
стабильна, она есть эквивалентность, соответствующая некото-
некоторому гомоморфизму ср. Согласно 3.2, для любого идемпо-
тента X из ср B1) найдется такой идемпотент / ? ЭД, что ср (/) = X.
Но /, согласно 3.7, ([}), содержится в некоторой 93 ? ?.
Благодаря 3.12, (г) 93 есть полный прообраз идемпотента X
при гомоморфизме ср. Таким образом, 23 есть 23Х в обозна-
обозначении 3.5. При этом всякая 93 из 2 есть полный прообраз
некоторого идемпотента, именно идемпотента ср(/), где /
есть некоторый идемпотент, содержащийся в 23 B3 как ин-
инверсная полугруппа обязательно обладает идемпотентами).
Таким образом, совокупность Е есть совокупность всех полных
прообразов идемпотентов полугруппы ср (ЭД), где ср — гомомор-
гомоморфизм, которому соответствует эквивалентность па. Другими
словами, всякая совокупность 2 типа 3.7 является сово-
совокупностью типа 3.8, определяемой некоторым гомомор-
гомоморфизмом полугруппы %.
Из сказанного, в частности, следует, что для двух раз-
различных совокупностей Е: и ?2 гомоморфизмы cpt и ср2, кото-
которым соответствуют эквивалентности пБ ил,, существенно
различны A.14).
Ввиду 3.11 можно сказать, что всякий гомоморфизм
инверсной полугруппы с точностью до несущественных
различий {,1.14) вполне определяется заданием набора
полных прообразов идемпотентов.
3.14. Отметим, что задание совокупности 2 типа 3.7
может быть осуществлено при помощи задания инверсной
подполугруппы 31 C.12, (•»))) полугруппы %, содержащей все
идемпотенты %, и указания такого ее разбиения на инверс-
инверсные подполугруппы, которые обладают свойствами 3.7, Су), (8)
(такое разбиение — хотя бы тривиальное, т. е. состоящее
из одной компоненты, — всегда имеется). Учитывая 3.12, (С),
указанное разбиение 31 образует то, что в следующей главе
мы назовем коммутативной связкой.
3.16. К рассмотренному разбиению 31 C.14) может быть
указан и иной подход. Обозначим через ф совокупность

§ 4] НОРМАЛЬНЫЕ КОМПЛЕКСЫ 375
всех идемпотентов полугруппы ЭД. Так как каждая 23 из 2
(т. е. компонента в указанном разбиении полугруппы ЭТ)
является инверсной полугруппой, то она обладает идемпо-
тентами. В связи с этим разбиение 9t на объединение всех 23
B3 ? ?) вызывает соответствующее разбиение ф на объеди-
объединение всех 23', где 23' = §П23=? 0. Это разбиение комму-
коммутативной полугруппы идемпотентов ф совместно с заданием
полугруппы 9J вполне определяет совокупность ?. Действи-
Действительно, произвольная 23 из ?, очевидно, есть не что иное,
как множество всех таких элементов X из 9t, для кото-
которых ХХ? 23'.
§ 4. Нормальные комплексы
4.1. В связи с понятиями, введенными в § 2, естественно
возникает вопрос о том, какие подмножества полугруппы
могут являться классами эквивалентных между собой эле-
элементов при некотором двусторонне стабильном отношении
эквивалентности. Другими словами, когда подмножество
является полным прообразом одного элемента при некотором
гомоморфизме полугруппы. Для решения этого вопроса
Е. С. Ляпиным [5] было введено следующее понятие.
Определение. Непустое подмножество 8. полугруппы ЭД
называется нормальным комплексом, если при
любых X и Y, являющихся элементами Ш или пустыми
символами, и любых К, АТ'?$ всегда из XKY?R сле-
следует XK'Y?&.
Отметим попутно, что А. И. Мальцевым [7] была обна-
обнаружена возможность обобщения этого понятия с последую-
последующим установлением его связи с теорией гомоморфизмов для
общих алгебраических систем.
4.2. К числу нормальных комплексов, очевидно, принад-
принадлежат: сама полугруппа, всякий ее отдельный элемент, всякий
двусторонний идеал полугруппы. Если подмножество $ с: "й
таково, что пересечения Ш f| 5t, StftflSfc, 2Ш(П$ пусты
(так называемый двусторонний антиидеал), то К, очевидно,
является нормальным комплексом.
Непустое пересечение любого множества нормальных ком-
комплексов есть нормальный комплекс.
Если "й есть группа и -ft ее нормальный делитель (т. е.
такая подгруппа, что X~*NX? 91 при любых Х? 21 и ЭТ

376 гомоморфизмы [гл. vn
то множество вида $5 = Л91 (так называемый класс смеж-
смежности по нормальному делителю) является нормальным ком-
комплексом. Действительно, пусть K=ANU K'=AN2 (Nu ЛГ2? ЭТ)
и K?R. Тогда
XK'Y = XAN2Y = XANjY • Y^N^NzY ? XKY%
и потому из XKY?R = A9t следует XK'Y?R.
Без труда убеждаемся, что всякий нормальный комплекс 5?
группы устроен описанным образом. Выбрав в $ некоторый
элемент /Со ?$ обозначим 9l = Ko1R. Для произвольных
Ni^K^KiZSR, N2 = Ko1K2?% Х?ЧЦ благодаря тому,
что (К^Ко), (KoK^Ki), (KoX-VKoX)^^, используя
свойства нормального комплекса, получаем
'% = Ко1 ¦ (ATiAT
= Ко1
^ Ко1
4.3. Пусть it есть некоторое отношение в полугруппе Щ
и ср—такой гомоморфизм % что из Л~В(п) всегда сле-
следует ср(Л) = ср(^)- Отношение п9 есть эквивалентность, соот-
соответствующая гомоморфизму ср B.1). Очевидно, гц^-n. Отсюда,
согласно I, 5.23, следует, что для второго производного от-
отношения п" имеет место гц^-п". Отношение п" является точ-
точной нижней границей всех двусторонне стабильных эквива-
лентностей, следующих за п. Если $ есть гомоморфизм, кото-
которому соответствует эквивалентность п", то, согласно 2.8,
i есть правый делитель ср.
Из сказанного следует, что ?, принадлежащий множеству
гомоморфизмов, таких, что из А ~ В (п) всегда следует
ср(Л) = ср(В), является наибольшим общим правым делителем
этого множества.
4.4. Пусть & есть некоторое непустое подмножество
полугруппы 91. Определим в 31 отношение п«, полагая
А — Б(пя), если А = В или А и В оба принадлежат ft.
Отношение п^ есть точная нижняя граница двусторонне ста-
стабильных эквивалентностей, следующих за пж A,5.32). Соглас-
Согласно 4.3, гомоморфизм, которому соответствует п^, является
наибольшим общим правым делителем для таких гомомор-
гомоморфизмов ср, у которых ср(Л) = ср(В) для любых А, ?Я

§ 4] нормальные комплексы 377
4.5. Требование, чтобы подмножество R полугруппы 'й
было полным прообразом некоторого элемента при каком-
нибудь гомоморфизме Щ, благодаря 2.1 и 2.6 равносильно
существованию в 51 такой двусторонне стабильной эквива-
эквивалентности п, при которой R является п-классом.
4.6. Теорема. Для того чтобы подмножество & полу-
полугруппы ЭД при каком-нибудь гомоморфизме 91 являлось
полным прообразом одного элемента, необходимо и до-
достаточно, чтобы $ было нормальным комплексом D.1).
Доказательство. 1) Пусть при некотором гомомор-
гомоморфизме ЭД ft есть полный прообраз одного из элементов, т. е. $
есть n-класс при некоторой двусторонне стабильной экви-
эквивалентности п D.5). Если XKY?R, где К ? St. a X и Y при-
принадлежат % или являются пустыми символами, то XKY ~
~XK'Y(y!) A,5.20), а так как п' = п A,5.23), то XK'Y?&.
2) Пусть $ есть нормальный комплекс 5L По определе-
определению нормального комплекса, из A<~~B(n'g) (где п№ отноше-
отношение, определенное в 4.4) и Л^Л следует В?$. Поэтому и
из А~'В(п'?) A,5.21) и Л^Я следует B?St Так как при
этом все элементы из 5? находятся между собой в отноше-
отношении пй, то R оказывается n^-классом для двусторонне ста-
стабильной эквивалентности п^ (I, 5.22, (б)). Согласно 4.5,
St есть полный прообраз одного элемента при некотором
гомоморфизме.
4.7. Пусть St есть нормальный комплекс полугруппы §1.
Обозначим через W множество всех таких гомоморфизмов ф
полугруппы 9t, для которых R является полным прообразом
одного из элементов полугруппы <]>B1). Для отношения пд D.4)
естественный гомоморфизм 51 на 2l/n^ (и вообще любой го-
гомоморфизм, которому соответствует эквивалентность п^), со-
согласно 4.4, является наибольшим общим правым делителем ЧГ.
При этом он сам принадлежит W.
Можно сказать, что этот гомоморфизм вызывает минимум
отождествлений в ЭД, необходимых для отождествления между
собой всех элементов из St B.5).
4.8. Выяснив вопрос о полных прообразах произвольных
элементов при гомоморфизме, особо остановимся на идемпо-
тентах.
Если нормальный комплекс Ж полугруппы 91 является под-
подполугруппой 51, то при всяком гомоморфизме ср, при котором

378 гомбморФизмЫ [гл. Vii
все элементы St отображаются в один элемент, этот эле-
элемент ср($) является идемпотентом полугруппы <fBl). Дей-
Действительно, <р($) • ср E?) = ср ($$?), и так как &5?с:&, то
Я) ?() ?$)
Если теперь $ такой нормальный комплекс ЭД, что при
некотором гомоморфизме ф 5? есть полный прообраз идемпо-
тента полугруппы ф (Щ, то Ж является подполугруппой полу-
полугруппы ЭД. Действительно,
ф (Я> = ф (Я) • Ф (Я) =
и потому
4.9. Среди идемпотентов особую роль играют единица и
нуль полугруппы. Чтобы выяснить, каковы их полные про-
прообразы при гомоморфизмах, нам придется рассмотреть дву-
двусторонние идеалы и так называемые нормальные подполу-
подполугруппы (или нормальные подсистемы), введенные Е. С. Ля-
пиным 12], [5].
Определение. Непустое подмножество St полугруппы 21
называется нормальной подполугруппой, если
при любых X и Y, являющихся элементами 21 или пу-
пустыми символами, и при любых К и К', принадлежащих $
или являющихся пустыми символами, из XKY?R всегда
следует XK'Y?$t (если только X, К', Y не являются одно-
одновременно пустыми символами).
Если 21 есть группа, то ее нормальные подполугруппы
называются нормальными делителями. Их многочисленные
важные свойства подробно исследуются в теории групп.
4.10. Как непосредственно ясно нормальная подполу-
подполугруппа является подполугруппой и нормальным комплексом.
Однако следует иметь в виду, что подполугруппа, являю-
являющаяся нормальным комплексом, не всегда является нормаль-
нормальной подполугруппой. Если полугруппа обладает единицей,
то ее нормальными подполугруппами будут те нормальные
комплексы, которые содержат единицу.
Непустое пересечение любого множества нормальных
подполугрупп есть нормальная подполугруппа.
4.11. Теорема. Для того чтобы подмножество 5?
полугруппы % при каком-нибудь гомоморфизме ср полу-
полугруппы Щ, являлось полным прообразом единицы полу-
полугруппы <fBt), необходимо и достаточно, чтобы $ явля-
являлось нормальной подполугруппой.

§ 4] НОРМАЛЬНЫЕ КОМПЛЕКСЫ 379
Доказательство. 1) Если при гомоморфизме ср мно-
множество Я с: 31 является полным прообразом единицы полу-
полугруппы срC1), то 5? является нормальным комплексом. По-
Поэтому, если К и К' оба принадлежат $, то из XKY?91
следует XK'YQSt. Если К' есть пустой символ, а К ? 5?, т. е.
(#) = ??(и), то
Поэтому если один из элементов XKY или XY принад-
принадлежит $, т. е. отображается на Еч(щ, то и второй будет
принадлежать $.
2) Пусть 5? есть нормальная подполугруппа 31. Опреде-
Определим в % отношение т«, полагая А — В(т$), если при не-
некоторых X и Y, принадлежащих % или являющихся пустыми
символами, имеет место A, B?XRY{]XY. Непосредственно
из определений нормальной подполугруппы следует, что все
элементы из К находятся между собой в отношении т$, а из
А — В(mg) и Л?$ следует В?$.
Очевидно, отношение т# симметрично, рефлексивно и
двусторонне стабильно. Также, очевидно, что т'Л=тя (I, 5.20).
Поэтому из А — В (т'х) и А ? 5? следует В ? ft. Таким обра-
образом, ft оказывается m^-классом. Так как, очевидно, при лю-
любых А ?И и АГ?&:
AK~A(ms), А:Л
то при гомоморфизме <р, которому соответствует эквивалент-
эквивалентность m'L мы имеем
Следовательно, ср E1) является единицей <pCt), а 5?—пол-
5?—полным прообразом этой единицы.
4.12. Пусть $ есть нормальная подполугруппа 31. Пусть ср
есть произвольный гомоморфизм, при котором все элементы
из ft отображаются на единицу полугруппы ср (К). Если
А~В(тх), где ttijj есть отношение, определенное во вто-
второй части доказательства теоремы 4.11, то, очевидно, ср(Л)==
= cp(fi). Отсюда следует: гомоморфизм |, которому соответ-
соответствует m'g, будет наибольшим общим правым делителем всех
таких гомоморфизмов, при которых Ж отображается на еди-
единицу.

380 гомоморфизмы [гл. vii
Отношения т# и п^ D.4), очевидно, связаны условием
n^^m'^. При этом в отдельных случаях они могут не совпа-
совпадать. Это означает, что для некоторых нормальных подполу-
подполугрупп существуют такие гомоморфизмы, при которых все
элементы отображаются на один и тот же элемент, то этот
элемент не является единицей.
В качестве примера укажем коммутативную полугруппу ft,
состоящую из трех элементов А, В, О, у которой Аг = А,
В2 = В и XY = O во всех остальных случаях.
Подмножество $?, состоящее из одного элемента А, яв-
является нормальной подполугруппой. Изоморфизмы являются
наибольшими общими правыми делителями гомоморфизмов,
при которых R есть полный прообраз одного элемента.
Вместе с тем при изоморфизме ф ty(A), конечно, не является
единицей <]> (ft). Так как АВ = АО = О, то при всяком гомо-
гомоморфизме <р, при котором ср (Л) есть единица cp(ft), должно
иметь место ср (В) = ср (О). Отсюда заключаем, что гомомор-
гомоморфизм х полугруппы % на свою подполугруппу {А, О)
будет наибольшим общим правым делителем тех гомомор-
гомоморфизмов, при которых А есть полный прообраз единицы.
4.13. Так как всякая группа обладает единицей, то вопрос
о гомоморфизмах полугруппы на группу связан со свойствами
нормальных комплексов, являющихся прообразами единиц при
гомоморфизмах. Этим вопросом занимались Дюбрейль [1],
Леви [3], Е. С. Ляпин [2], [5], Л. М. Глускин [2], Столл [2].
Теорема. Если полугруппа ft обладает гомоморфизмом
на группу ®, то нормальная подполугруппа $, являю-
являющаяся полным прообразом Е&, при любом А?Ш обладает
свойством:
В свою оч.ередь, для каждой нормальной подполугруп-
подполугруппы R, обладающей указанным свойством, существуют
такие гомоморфизмы ср полугруппы ft на группу, при
которых $ есть полный прообраз единицы группы <p(ft).
При этом все группы <р(ЭД) при всевозможных таких
гомоморфизмах ср изоморфны между собой.

§ 4] НОРМАЛЬНЫЕ КОМПЛЕКСЫ 381
Доказательство. 1) Пусть ср есть гомоморфизм ЭД
на группу © и R есть полный прообраз Е®. Элемент ср(Л)
обладает в © = ср (Щ) обратным элементом: ср (А') (А' ? Ж).
Так как
то ЛЛ'?& и А'А?$, т, е.
2) Пусть нормальная подполугруппа $ полугруппы ЭД
обладает указанным в формулировке теоремы свойством и
ср есть произвольный гомоморфизм, при котором $ есть пол-
полный прообраз единицы полугруппы ср(ЭД). Пусть ср (Л) (А?Ж)
есть произвольный элемент полугруппы срB1). Так как пере-
пересечение АШ и & непусто, то при некотором А' ?ЭД
AA'
Это значит, что
т. е. ср(Л) обладает правым обратным относительно единицы
полугруппы ср($). Согласно 11,2.18, отсюда следует, что
ср(Щ) является группой.
Пусть ср и ф два гомоморфизма 51 на группы, при каждом
из которых $ является полным прообразом единицы. Пусть
для некоторых X, Y? % <р(Х) = ср(К). Обозначим через cp(Z)
элемент, обратный к <?(Х) в группе ср(ЭД). Так как
то XZ?& и ZK^R. Но <1>(Л) = Еф(я). поэтому
Аналогично доказывается, что из ф(Ау) = ||»(К/) всегда
следует «р(Х/) = ср(К/)- Отсюда, согласно 1.9, (s), (t), сле-
следует, что ср отличается от ф на множитель, являющийся изо-
изоморфизмом, и, следовательно, группы ср (К) и ф (ЭД) изоморфны.
4.14. Если нормальная подполугруппа ^полугруппы Ж
такова, что существует гомоморфизм ЭД на некоторую группу,
при котором St есть полный прообраз единицы, то наравне

382
ГОМОМОРФИЗМЫ
[гл. vii
с ним могут существовать и такие гомоморфизмы <р, при
которых St есть полный прообраз единицы <р (Щ, но <р (Ж) не
является группой.
В качестве примера укажем коммутативную полугруппу,
состоящую из пяти элементов с таблицей умножения:
А
В
С
с«
Е
А
С*
Е
&
Е
А
В
Е
С
Е
С
В
С
С*
Е
Е
С
С*
Е
С
Е
С
С*
Е
А
В
С
Е
Подмножество $, состоящее из одного элемента Е, яв-
являющегося единицей %, очевидно, является нормальной под-
подполугруппой. Так как % не является группой, то тождест-
тождественный изоморфизм служит примером упомянутого выше
гомоморфизма ср. Наравне с этим рассмотрим следующий го-
гомоморфизм ф полугруппы Щ на ее подполугруппу {С, С2, Е):
Множество ф($0 = {С, С2, Е\ является группой и Е есть
полный прообраз единицы этой группы.
4.16. Ту же роль, которую относительно единицы играют
нормальные подполугруппы, относительно нуля играют дву-
двусторонние идеалы. Соответствующие так называемые идеаль-
идеальные гомоморфизмы постоянно рассматриваются при различных
исследованиях полугрупп.
Пусть Z есть двусторонний идеал полугруппы $. Отно-
Отношение % D.4), как легко убедиться, совпадает с п^ и п^
A,5.20; 1,5.21). Его часто называют идеальной эквивалент-
эквивалентностью, соответствующей данному двустороннему идеалу %.

§ 4] нормальные комплексы 383
Факторполугруппа ЭД по идеальной эквивалентности % на-
наравне с ЭД/% часто обозначается через %]% или f(\?. Ее на-
называют идеальной факторполугруппой, соответствующей
двустороннему идеалу %. Ее элементами являются все отдель-
отдельные элементы %, не принадлежащие Z, и сам идеал ?, оче-
очевидно, являющийся нулем полугруппы ЭД/пг. Можно предста-
представить себе ЭД/% как полугруппу, полученную из ЭД путем
отождествления между собой всех элементов из идеала Z.
4.16. Пусть X есть двусторонний идеал полугруппы %
и ft — некоторое подмножество Ш, такое, что оно или вовсе
не содержит элементов из ?, или содержит весь идеал Ж.
Через %' обозначим идеальную факторполугруппу ЭД/% и че-
через $'—ее подмножество, состоящее из всех элементов $t,
не содержащихся в Z. (такие элементы являются элементами
и полугруппы W), и из элемента Z (? является одним из
элементов полугруппы Щ/пг), если RdJ, Легко убедиться
в нижеследующем:
(а). Если St есть подполугруппа ЭД, то St' есть подполу-
подполугруппа %'.
(Р). Если Л есть левый, правый или двусторонний идеал Ж,
то Я' — левый, правый или двусторонний идеал %'.
(if). Если $—изолированная или вполне изолированная
подполугруппа в Щ (IV, 6.1), то $' соответственно изолиро-
изолирована или вполне изолирована в W¦
(8). Если R есть нормальный комплекс 91, то $' есть нор-
нормальный комплекс W.
Нетрудно убедиться, что никаких других подполугрупп,
идеалов и нормальных комплексов, кроме получаемых подоб-
подобным образом из различных множеств $, факторполугруппа %'
не имеет.
4.17. При помощи понятия идеальной факторполугруппы
можно определить идеальные факторы, рассмотренные нами
в § 4 четвертой главы.
Пусть 31 есть двустороннеидеальный слой полугруппы $
(IV, 3.3), не являющийся минимальным двусторонним идеалом.
Согласно IV, 4.2, в % найдутся такие двусторонние идеалы %t
и ?2, что
?2 является двусторонним идеалом и для %х. Рассмотрим
идеальную факторполугруппу 2^/Пз,. Если № сам не является

384 гомоморфизмы [гл. vrt
полугруппой, то непосредственно видно, что идеальный
фактор 31* будет не чем иным, как идеальной факторполу-
группой Sj/%3 (если отождествить элемент О* фактора с эле-
элементом %г факторполугруппы %х1щ^.
Если 31 сам является полугруппой (что, очевидно, озна-
означает не что иное, как то, что Х2 вполне изолирован в &J,
то 2^/%,, очевидно, представляет собой полугруппу 31 с внешне
присоединенным нулем (каковым является ?2). Отбросив этот
внешне присоединенный нуль, мы получим идеальный фактор ЗГ.
При использовании такого подхода к идеальным факто-
факторам следует иметь в виду, что пара соседних двусторонних
идеалов 2^ и %г определяется для данного слоя 31, вообще
говоря, не единственным образом. В то же время идеальный
фактор 31* вполне определен самим идеальным слоем 31.
Поэтому именно подход, употребленный в § 4 четвертой
главы, сделал совершенно ясным смысл утверждения о том,
что множества факторов двух главных двустороннеидеальных
цепей одинаковы (IV, 4.11).
4.18. Если % есть двусторонний идеал полугруппы Ш.,
то Ш можно в естественном смысле представлять себе как бы
составленной из двух полугрупп ? и ЭД/%- Вопрос о том,
как связаны между собой свойства этих двух полугрупп и
самой полугруппы Щ по аналогии со сходным вопросом
в теории групп (относительно нормальных делителей) может
быть назван проблемой идеальных расширений. Исследова-
Исследованию этого вопроса посвящена одна работа Клиффорда [8]
и статья А. М. Кауфмана [3]. Мы в качестве иллюстрации
рассмотрим свойство инверсности (II, 7.2).
Теорема. Пусть ? есть двусторонний идеал полу-
полугруппы %. Полугруппа % будет инверсной тогда и только
тогда, когда являются инверсными обе полугруппы X
а Я/ц,.
Доказательство. 1) Пусть % и ЭД/п3 инверсны.
Если А ??, то благодаря тому, что 2: инверсна, в 2: най-
найдется единственный регулярно сопряженный с А элемент.
В то же время никакой элемент Z из ЭД\? не может быть
регулярно сопряжен с А, так как
Если Л?$Я\?, то благодаря тому, что Щ/% инверсна,
в Ж\Х найдется единственный элемент, регулярно сопря-

§ 4) НОРМАЛЬНЫЕ КОМПЛЕКСЫ 385
женный с А (элемент X полугруппы ЭД/% есть нуль полу-
полугруппы и потому регулярно сопряжен только сам с собой).
Что касается элементов из X, то ни один из них, как мы
уже видели, не может быть регулярно сопряжен с Л?ЭД\?.
2) Пусть полугруппа % инверсна.
Для Т ?Х в Ш найдется единственный регулярно сопря-
сопряженный с ним элемент. Этот элемент принадлежит X, так
как никакой элемент из ЭД\? не может быть регулярно
сопряжен с элементом из двустороннего идеала X. Следова-
Следовательно, X является инверсной полугруппой.
Для Z?K\? в 21 найдется единственный регулярно со-
сопряженный с ним элемент, который должен принадлежать
ЭД\?. Этот элемент будет единственным регулярно сопря-
сопряженным с Z в факторполугруппе ЭД/п$, так как нуль этой
полугруппы X регулярно сопряжен только сам с собой.
Следовательно, Щ/itj инверсна.
4.19. Естественный гомоморфизм Щ на идеальную фактор-
полугруппу ЭДЛи часто называют идеальным гомоморфизмом,
соответствующим двустороннему идеалу X. Очевидно, он
является изоморфизмом (причем тождественным) в том и
только в том случае, когда X состоит из одного элемента.
При этом следует напомнить, что один элемент составляет
двусторонний идеал в том и только в том случае, когда он
является нулем полугруппы.
4.20. То, что двусторонние идеалы являются нормальными
комплексами, очевидно. Их особая роль определяется упо-
упомянутой выше связью с нулем гомоморфного образа.
Теорема. Пусть $ есть подмножество полугруппы Щ.
Для того чтобы существовал такой гомоморфизм ср
полугруппы %, при котором $ есть полный прообраз нуля
полугруппы ср(ЭД, необходимо и достаточно, чтобы &был
двусторонним идеалом %.
Доказательство. 1) Пусть при некотором гомомор-
гомоморфизме ср $ есть полный прообраз нуля Of^) полугруппы ср(ЭД).
Тогда для любых А?%, Х?$
ср (АХ) = ср (А) ¦ ср (X) = ср (А) ¦ О, (?t) = О, (я);
ср (ХА) = ср (X) • ср (А) = О? (я) • ср (Л) = О, (я).
т. е. АХ, XA?St.
2) Если St есть двусторонний идеал f(, то при естествен-
естественном гомоморфизме % на Щ/пя D.15) Л, являющийся элементом

386 ГбмоморФизмы (гл. vit
Sl/Ия. есть нуль этой полугруппы, причем полным про-
прообразом этого нуля является множество всех элементов полу-
полугруппы ЭД, входящих в St.
4.21. Следует отметить, что естественный гомоморфизм
полугруппы ЭД на идеальную факторполугруппу ЭД/%, соот-
соответствующую двустороннему идеалу ?, благодаря 4.15
является наибольшим общим правым делителем для всех
гомоморфизмов, отображающих все элементы идеала % в один
и тот же элемент.
4.22. Пусть ©о есть единичная группа, т. е. группа,
состоящая из одного элемента. Очевидно, отображение про-
произвольной полугруппы % на ©0 является гомоморфизмом.
Такой гомоморфизм иногда называется аннулирующим. Всякая
полугруппа обладает изоморфизмами. Эти, обязательно суще-
существующие у всякой полугруппы гомоморфизмы — аннулирую-
аннулирующие и изоморфизмы, обычно называются тривиальными (иногда
несобственными) гомоморфизмами. Прочие гомоморфизмы
соответственно называются нетривиальными (или собствен-
собственными). Существуют полугруппы, не имеющие иных гомомор-
гомоморфизмов, кроме тривиальных. Такие полугруппы часто назы-
называют простыми, иногда простыми в отношении гомоморфизмов.
К условию отсутствия нетривиальных гомоморфизмов
в полугруппе, «очевидно, можно подойти с точки зрения
вопроса о нормальных комплексах. Из 4.6 непосредственно
следует, что полугруппа не имеет нетривиальных гомомор-
гомоморфизмов тогда и только тогда, когда она не имеет нетри-
нетривиальных нормальных комплексов, т. е. не обладает иными
нормальными комплексами, кроме себя самой и отдельных
элементов. В частности, в этом случае полугруппа не должна
иметь собственных ненулевых двусторонних идеалов.
К полугруппам, не имеющим нетривиальных нормальных
комплексов, очевидно, принадлежат все полугруппы, состоя-
состоящие из двух элементов.
4.23. Условие того, чтобы полугруппа с нулем не имела
нетривиальных гомоморфизмов, было получено Л. М. Глу-
скиным [3].
Теорема. Пусть количество элементов полугруппы
с нулем % больше двух и % не имеет собственных нену-
ненулевых двусторонних идеалов. Для того чтобы Щ. не имела
иных нормальных комплексов, кроме самой Ж и отдель-
отдельных элементов, необходимо а достаточно, чтобы для

§ 4] НОРМАЛЬНЫЕ КОМПЛЕКСЫ 387
любых А, В?Ш (АфВ) всегда нашлись такие X, ?
при которых одно из произведений XAY и XBY отлично
от Ощ, а другое равно 0%.
Доказательство. 1) При любом S?% множество
%S% является двусторонним идеалом Щ.
Совокупность всех 5 ? %, таких, что SIS'21 = Ощ, оче-
очевидно, является двусторонним идеалом Щ. Если эта сово-
совокупность содержит элементы, отличные от Ож, то она должна
совпадать с ЭД, что означает, что S^S^ = Ощ, при любых
Sv 52, S3?$. В этом случае для любых U, V?%. множе-
множество {UV, Ощ), очевидно, является собственным двусторон-
двусторонним идеалом. Следовательно, всегда W —Оа. Но тогда
[W, Ощ\ при любом W Ф Оя оказывается собственным нену-
ненулевым двусторонним идеалом.
Таким образом, ЭД5ЭД должно равняться % при любом
2) Пусть % не имеет нетривиальных нормальных ком-
комплексов. Для А ? % (А Ф Оет) обозначим через $ совокупность
всех таких элементов К, что XKY = O% имеет место тогда
и только тогда, когда XAY = O«. R непусто, так как R^A,
и отлично от % так как ОаС$- Последнее следует из того,
что ХОщУ=О% имеет место при любых X, К?ЭД, тогда
как 9L4f( = $ и потому не при всех X, К ?21 имеет место
XAY O
$ является нормальным комплексом. Действительно, пусть
Kt, K2, Ks(zR. a U и V — элементы из Ш или пустые сим-
символы, причем ику=^К2- Ввиду определения Я следующие
условия для X, К^Щ равносильны:
-;»ito означает, что из 11КУ?& вытекает ?
Благодаря сказанному выше St должен состоять из одного
элемента А. Следовательно, отличный от А элемент В в S
не входит. Это означает, что при некоторых X, К?9Г имеет
место или
XAY = O«, XBY ф Ол,
или

388 гомоморфизмы [гл. vii
3) Пусть Щ обладает указанными в формулировке тео-
теоремы свойствами и Л — некоторый нормальный комплекс ЭД,
содержащий два различных элемента А я В. Пусть при
некоторых X, Y, Z ? %
XAY=O%,
Так как %Z% = %, то при некоторых Р,
PZQ = B, PXBYQ=B.
Так как В?$, то, согласно определению нормального ком-
комплекса, должно иметь место:
PXAYQZSt.
Но XAY = O% и потому 0^6 Я. Так как для всякого
ЭД имеем 5О?[ = Оз[^^, то при любом K?R получаем
^t. Оказывается, что й есть левый идеал. Также дока-
доказывается, что $ есть правый идеал. Следовательно, Я = ЭД.
4.24. Если полугруппа с нулем, не имеющая нетривиаль-
нетривиальных гомоморфизмов, обладает минимальным левым идеалом
и минимальным правым идеалом, то она должна являться
вполне простой полугруппой с нулем (V, 4.1). Однако это
необходимое условие для отсутствия нетривиальных гомо-
гомоморфизмов не является достаточным. Вполне простые полу-
полугруппы могут обладать нетривиальными гомоморфизмами.
Полное описание строения гомоморфизмов вполне простых
полугрупп было осуществлено Л. М. Глускиным [6].
4.25. При помощи теоремы 4.23 легко выяснить, когда
вполне простая полугруппа с нулем не имеет нетривиальных
нормальных комплексов. Благодаря V, 5.4 можно ограни-
ограничиться рассмотрением вполне простой полугруппы с нулем
матричного типа: ® (<?>, Р). Если группа © ненулевых эле-
элементов полугруппы ф не является единичной, то для О,
О' ? © (О Ф Ь'), согласно правому умножению в <5 (ф, Р),
при любых St^iX, $!, Tji), S2 = (,Y, $2. Tfe) оба произведения
Si • (О. So. Ъ) ¦ St. Si • (О', «о, ъ) ¦ S2
или одновременно равны 0@, или одновременно отличны
от 0@. Следовательно, согласно 4.23, <3(ф, Р) обладает
нетривиальными нормальными комплексами.
Пусть © единична. Если матрица Р обладает двумя
одинаковыми строками: ja-й и v-й, то для (G, ?0, jj.) и

§ 5] ПРОДОЛЖЕНИЕ ГОМОМОРФИЗМОВ 389
(О, %, v)(G?©) мы опять, очевидно, имеем, что оба про-
произведения
Sx • (О. «о, \f) ¦ S2, S, • (О. So, v) • S2
или одновременно равны О®, или одновременно отличны
от О@. Аналогично рассуждаем и в случае двух одинаковых
столбцов.
Условие того, чтобы в <5(ф, Р) группа © была единич-
единичной, а Р не имела ни двух одинаковых строк, ни двух оди-
одинаковых столбцов, не только необходимо, но и достаточно
для того, чтобы <5(ф, Р) не имела нетривиальных нормаль-
нормальных комплексов.
Действительно, используем 4.23. При соблюдении ука-
указанного условия для любых (Eg, X, (л) и (Н, X', |i/), где
X Ф V (аналогично рассуждаем при jj. Ф |i/). найдутся такое
С ^ Г', что Ра = ?ф, Pw = o$, и такое м?Г, что Р^ — Е§.
Поэтому
, X, С) • (Ев. X, (х) • (?ф> v, (.) = (Ев, X, р.) 4. О®;
> X, С) • (Я, X', jj/) • (Е9, v, jj.) = (Ов, X, р.) = О®.
4.26. Что касается вполне простой полугруппы без нуля,
то, как нетрудно убедиться, используя результаты § 6
пятой главы, такая полугруппа всегда имеет нетривиальные
нормальные комплексы, за исключением того случая, когда она
является группой без нетривиальных нормальных делителей.
4.27. Коммутативная полугруппа 91, не имеющая нетри-
нетривиальных нормальных комплексов, не может обладать нену-
ненулевыми собственными идеалами (так как всякий ее идеал —
двусторонний). Если она имеет более двух элементов, то,
как было показано в первой части доказательства 4.23, для
всякого S?$ имеет место $S$ = §L Следовательно, 59t
не есть нуль Щ и потому 5'Д = Щ. Но тогда Щ должна
являться группой. Как доказывается в теории групп, ком-
коммутативная группа не имеет нетривиальных гомоморфизмов
тогда и только тогда, когда она циклическая и число ее
элементов равно единице или простому числу.
§ 5. Продолжение гомоморфизмов
5.1. Если 33 есть подполугруппа полугруппы ft, то всякий
гомоморфизм ср полугруппы 31 очевидным образом индуцирует
гомоморфизм полугруппы 33 на полугруппу <рC3), действие

390 гомоморфизмы [гл. vn
которого на элементы из 33 совпадает с действием гомоморф
физма ср. Разумеется, вполне возможен случай, когда суще-
существенно различные A.14)-между собой гомоморфизмы полу-
полугруппы Ш. индуцируют в 33 один и тот же гомоморфизм.
К этому же явлению можно подойти и с противопо-
противоположной стороны. Гомоморфизм ф полугруппы 33 иногда
может быть продолжен до гомоморфизма ср некоторой ее
надполугруппы ЭД, что означает, что ф индуцирован гомо-
гомоморфизмом ср. Однако, как мы покажем ниже на простом
примере, это возможно не всегда.
В согласии со сказанным выше может также случиться,
что гомоморфизм ф может иметь несколько существенно
различных продолжений. Интересны бывают соотношения
между свойствами ф и ср. Например, очевидно, что если ср
есть изоморфизм, то и ф обязательно является изоморфизмом.
В то же время обратное заключение в общем случае неспра-
несправедливо, нередко изоморфизмы полугруппы допускают свое
продолжение на некоторую надполугруппу, представляющее
собой гомоморфизм, не являющийся изоморфизмом.
5.2. Пусть гомоморфизмы <pt и ср2 подполугруппы 23
полугруппы Щ несущественно различаются между собой A.14)
и гомоморфизм cpj может быть продолжен до гомоморфизма ^
всей полугруппы Щ.. Тогда и гомоморфизм <!;2 допускает про-
продолжение до гомоморфизма Ш. Действительно, в полу-
полугруппе tyi(&) заменим методом 111,1.8 все элементы, входя-
входящие в фх B3) = cpj C3) соответствующими элементами из ср2 C3)
(ведь cpjB3) и <р2B3) изоморфны). Мы получим новую полу-
полугруппу W, множество элементов которой состоит из ср2B3)
и из ФхОЯL-^^)- Определяем отображение d2 полугруппы Ш
на W, полагая <\>2(В) = <?2(В) для В?23 и $2(X) = ty1(X)
для .^?${4 23. Вполне очевидно, что ф2 является гомомор-
гомоморфизмом. Этот гомоморфизм полугруппы Щ продолжает гомо-
гомоморфизм ср2 ее подполугруппы 23.
Упомянем о том, что вопрос о продолжимости гомомор-
гомоморфизмов допускает естественную трактовку с точки зрения
соотношений между двусторонне стабильными эквивалентно-
стями в 33 и в самой Щ.
б.З. Простой пример продолжимости дает надполу-
группа ? полугруппы Щ, состоящая изо всех подмножеств
полугруппы 3L Очевидно, всякий гомоморфизм ф полу-
полугруппы ЭД продолжим до гомоморфизма ср ее надполугруппы j.

§ 5] ' продолжение гомоморфизмов 391
Для этого в качестве ср (?) берем полугруппу всех подмно-
подмножеств полугруппы (]>(•>#) и для 9?? Z, где 9? = {А, В, .. .}c9t;
полагаем ср ($R) = {ф (А), <|> (В), ...} с ф ($).
Примером невозможности продолжения гомоморфизма
служит бесконечная моногенная полугруппа UCi = f-^il
(III, 3.16), для которой отображение ср на произвольную
конечную моногенную полугруппу ЭД2 = Иг!
?D) = 4 (А=1. 2, ...),
как легко видеть, является гомоморфизмом. Если ЭД2 не есть
группа, ср не продолжим на бесконечную циклическую группу
Я8==[-^1> ^Г1] (Ш,3.17), являющуюся надполугруппой полу*-
Группы Ki- Это следует из того, что всякий гомоморфный
фбраз группы сам должен быть группой A.2), тогда как
^конечная моногенная полугруппа, не являющаяся группой,
^Очевидно, не является подполугруппой никакой группы.
'•'. 5.4. Общего исследования вопросса о продолжениях гомо-
гомоморфизмов еще не существует. Рассмотрим два частных
^Случая, разобранных Л. М. Глускиным [5].
• Пусть ЭД есть периодическая полугруппа (III, 4.10) и
Щх—одна из ее максимальных подгрупп A11,4.10) с еди^
|йицей /. Покажем, что произвольный гомоморфизм ср^
группы ©/ продолжим до гомоморфизма ЭД.
Г*' Обозначим через $ совокупность таких элементов /Сиз ©хг
5ДЛЯ которых <р (/Q = ср (/). 51 есть нормальный комплекс,
группы ®i, соответствующий гомоморфизму ср.. Покажем,
^[то Я есть нормальный комплекс полугруппы Щ. Пусть для
Некоторых Ки /С26^ к X a Y, являющихся элементами %
|ЭЛи пустыми символами,
Щъ есть произвольный элемент из $. Обозначив через Къ
элемент, обратный К2 относительно / в ©/, имеем ' . - .т
Отсюда, согласно III, 4.11, Х1?(8ц. Аналогично убе-
убеждаемся, что /K?©j. Благодаря этому . '.:':

392 гомоморфизмы [гл. vii
и
<? (ЛЗД = <р (XI). <р (К,) ¦ ср (/К) = ср (ЛУ) • ср (Кд ¦ ? (/У) =
= <р (ЛУ/^/УО = ср (ХКХ Y) = ср (Кг) = ср (/),
т. е. *ЛГК??
Обозначим через ф гомоморфизм полугруппы Щ, являю-
являющийся наибольшим общим правым делителем гомоморфиз-
гомоморфизмов, у которых St есть полный прообраз одного из элемен-
элементов. Гоморфизм ф индуцирует в ©j гомоморфизм ф'. Гомо-
Гомоморфизмы ср и у группы ©/ таковы, что полные прообразы
единицы при этих гомоморфизмах равны $. Согласно 4.13,
отсюда следует, что ср(©х) и ф'(©х) изоморфны. Поскольку ф'.
продолжим до гомоморфизма ф полугруппы ЭД, отсюда, со-
согласно 5.2, следует, что ср будет продолжим до гомоморфизма
полугруппы Я.
б.б. Пусть 23 есть двусторонний идеал полугруппы ?! и
ср некоторый гомоморфизм 33, такой, что в полугруппе ср B3)
каждые два элемента имеют общую левую единицу и общую
правую единицу. Покажем, что при этом условии ср продол-
продолжим до гомоморфизма полугруппы Щ.
Определим в Ш. отношение п, полагая А —- В (п) (А, В ? Щ,
если А —В или А, В ?2$ и ср(Л) = ср(В). Очевидно, п яв-
является эквивалентностью. Докажем правую стабильность п.
Пусть Si ф В2 (Bv B2€23), причем В1^В2(п), т. е. у(В,) =
= у(В2). Так как 23 есть двусторонний идеал Щ, то при вся-
всяком Х?Ж имеем: &Х), (В2Х)?%. По условию, в 23 дол-
должен найтись такой элемент N?23, что
ср (в.Х). <р (ЛО = ср (ад. «р (В2Х). т (ло = ? (в2Х).
Благодаря этому получаем
ср (В,Х) = ср (В,Х) • ср (ЛО = ср (B.XN) = ср (В,) • ср (XN) =
= <р (В2) • ср (A2V) = ср (B2XN) = ср (В2Л-). ср (ЛО = ср (В2Х),
т. е. B^^B^Xty). Аналогично доказываем стабильность п
слева.
Очевидно, естественный гомоморфизм % на 31/п индуци-
индуцирует в 23 гомоморфизм, отличающийся от ср лишь на мно-
множитель, являющийся изоморфизмом. Поскольку этот гомо-
гомоморфизм продолжим до гомоморфизма всей полугруппы ЭД,
то и ср» согласно 5.2, продолжим до гомоморфизма ЭД.

•§ 5] продолжение гомоморфизмов 393
Отметим попутно, что, как легко видеть, естественный
гомоморфизм ЭД на ЭД/n является наибольшим общим правым
делителем гомоморфизмов Щ, продолжающих гомоморфизм ср.
В частности, из доказанного следует, что если двусто-
двусторонний идеал 23 полугруппы ЭД обладает единицей, то
всякий его гомоморфизм продолжим до гомоморфизма
полугруппы ЭД.
6.6. Свойства продолжений тождественного изоморфизма
могут быть использованы для абстрактной характеристики
некоторых важных конкретных полугрупп. Рассмотрим аб-
абстрактную характеристику полугруппы <Ss всех преобразо-
преобразований произвольного множества 2, полученную Е. С. Ляпи-
ным [13] (иная абстрактная характеристика этой же полу-
полугруппы была получена А. И. Мальцевым [4]). Для этого
нам понадобится следующее понятие.
Определение. Пусть В есть некоторый класс полу-
полугрупп. Говорят, что подполугруппа % полугруппы^ платно
вложена в Щ относительно S, если выполнены следую-
следующие условия:
1) всякий гомоморфизм Ш. на какую-либо полугруппу
из S, являющийся продолжением тождественного изо-
изоморфизма X, должен быть изоморфизмом;
2) для любой полугруппы W из В, являющейся отлич-
отличной от 31 подполугруппой ЭД, должен существовать не
являющийся изоморфизмом гомоморфизм %' на некото-
некоторую полугруппу из Е, который есть продолжение тожде-
тождественного изоморфизма X.
5.7. В полугруппе <SS всех преобразований множества Q
выделим элементы Ua (a?&), такие, что ?/а? = а для любого
??2. Их совокупность Us является двусторонним идеалом ©а.
Действительно, для любого 5?<2>2 при 5а = р имеем
и, следовательно,
Покажем, что идеал На плотно вложен в <S2 относительно
класса полугрупп, имеющих полугруппу Us своим двусторон-
двусторонним идеалом.

394 гомоморфизмы [гл. vn
Пусть <р есть гомоморфизм ©2, не являющийся изомор-
изоморфизмом. Для некоторых X, К?©2 имеем
Так как Y Ф X, то при некотором а ? 2 имеем
Благодаря тому, что
мы имеем
Так как ?/р =? f/T> то полученное равенство означает, что
произвольный не являющийся изоморфизмом гомоморфизм ср
полугруппы ©2 не может быть продолжением тождествен-
тождественного изоморфизма полугруппы Us-
Пусть теперь ©' есть некоторая надполугруппа ©а, от-
отличная от ©а и такая, что Ug является двусторонним идеа-
идеалом ©'. Определим отображение ф полугруппы ©' в ©а.
Для произвольного А"^©' полагаем
(a ^ Q).
Последнее выражение имеет смысл, так как произведе-
произведение XUa есть некоторый элемент из Us (так как Us есть
двусторонний идеал ©2).
Покажем, что отображение ф является гомоморфизмом.
Пусть Л!", К?©'. Так как Us есть двусторонний идеал©',
то для произвольного а?2 найдутся такие р, у ? 2, что
Мы имеем
a = SY (Хил) a = SYUp = Srp = (Kf/p) p = f/Tp = T.
С другой стороны, для Z == КА"
= ZUjt = YXUttx = Kf/pa == C/yx = T.

§ 51 ПРОДОЛЖЕНИЕ ГОМОМОРФИЗМОВ 39J)
Так как при произвольном а?& для преобразований 5у,
Sx< Sz имеет место
то SySx = Sz, т. е.
Гомоморфизм ф индуцирует в <52 тождественный изомор-
изоморфизм. Действительно, при произвольном <х?2 для Л?<5а
мы получаем
Следовательно.
Что касается самой полугруппы в', то для нее ф не
является изоморфизмом. Действительно, для всякого В ? <3'\<5е
мы имеем
Но, как было показано, ф(С) = С. Следовательно,
Оказалось, что ф есть гомоморфизм полугруппы <?>' на
•полугруппу ®S2, которая принадлежит рассматриваемому
классу. При этом ф не является изоморфизмом, но служит
продолжением тождественного изоморфизма полугруппы Us-
6.8. Рассмотренная в 5.7 подполугруппа Us полугруппы <Bs
является двусторонним идеалом <Ss и такова, что в ней про-
произведение двух любых элементов равно левому множителю.
Отметим, что никакая полугруппа не может иметь двух раз-
различных двусторонних идеалов, обладающих таким свойством.
Действительно, пересечение их должно было бы быть дву-
двусторонним идеалом каждого из них (IV, 1.9, (f). С»))), но,
очевидно, полугруппа, у которой произведение двух элемен-
элементов всегда равно левому множителю, не имеет собственных
двусторонних идеалов.
6.9. Выведенное в 5.7 свойство полугруппы <Sg может
быть использовано для получения ее абстрактной характе-
характеристики.
Теорема. Для того чтобы полугруппа % была изо-
чорфна полугруппе всех преобразований @а множества Q,

396 гомоморфизмы [гл. vn
необходимо и достаточно, чтобы Щ содержала двуто-
ронний идеал X,. обладающий следующими свойствами:
(а). % равномощен с 2;
(Р). в X произведение двух любых элементов равно
левому множителю;
(f). X плотно вложен в Щ относительно класса полу-
полугрупп, содержащих X в качестве двустороннего идеала.
Доказательство. 1) Полугруппа <5s обладает дву-
двусторонним идеалом Us. обладающим указанными в форму-
формулировке теоремы свойствами (а), ф), (f) E.7). Следова-
Следовательно, и всякая полугруппа, изоморфная ®в. будет обла-
обладать таким двусторонним идеалом.
2) Пусть полугруппа Ш содержит двусторонний идеал X,
обладающий указанными в формулировке теоремы свой-
свойствами (а), (Р), (if). Будучи равномощна с полугруппой Us,
полугруппа X, очевидно, изоморфна с ней, поскольку в обоих
полугруппах произведение двух любых элементов всегда
равно левому множителю. Поэтому в полугруппе Щ. можно
естественным образом заменить элементы из X соответствую-
соответствующими им при некотором изоморфизме элементами Us (HI, 1.8).
В результате этого мы получим новую полугруппу W, изо-
изоморфную полугруппе ЭД и такую, что Us является двусторон-
двусторонним идеалом W, причем, очевидно, Ua плотно вложен в 31'
относительно класса полугрупп, содержащих Us в качестве
двустороннего идеала.
Следующим образом сопоставим каждому A?W преоб-
преобразование А множества 2. Если AUa=U^, то полагаем
Отображение <р полугруппы ЭД' в <5д, сопоставляющее
каждому А преобразование А, является гомоморфизмом. Дей-
Действительно, пусть для А, В ? W и а ? 2
9
Тогда ^_
() = Tj_ Ba ==?.
(АВ)л= АВ<х,
т. е. {АВ) = А-Вп потому

§ 51 продолжение гомоморфизмов 397
Гомоморфизм ф индуцирует тождественный изоморфизм Ug.
Действительно, для произвольных U^ ? Us и а ? 2 мы имеем
Так как Ug есть двусторонний идеал ©8, то Ug является
двусторонним идеалом и для <р(К) с: ©а. Таким образом,
ф есть гомоморфизм, являющийся продолжением тождествен-
тождественного изоморфизма Us на полугруппу, принадлежащую к классу
полугрупп, содержащих 11а в качестве двустороннего идеала.
Отсюда следует, что ф должен быть изоморфизмом. Так
как Ug плотно вложен в W относительно класса полугрупп,
содержащих Us в качестве двустороннего идеала, то Ug бу-
будет плотно вложенным относительно того же класса и в ф (%')
(так как ф изоморфизм). Но одновременно Us плотно вложен
относительно того же класса и в <Sg. Так как cp(K')cr<Sg,
то, как непосредственно следует из определения, это воз-
возможно лишь при <р(ЭД') —®в-
Таким образом, <Ss оказалась изоморфной с 31', а поэтому
ис1.
5.10. Отметим, что сходным образом может быть найдена
абстрактная характеристика и для некоторых других важных
полугрупп. Например, это было сделано для полугруппы
всех взаимно однозначных частичных отображений множе-
множества (Е. С. Ляпин [13]) и для полугруппы всех бинарных
отношений множества (К. А. Зарецкий [1]). В обоих слу-
случаях полугруппы, изоморфные с данной полугруппой, харак-
характеризуются наличием двустороннего идеала определенного
строения, плотно вложенного в полугруппу относительно
класса всех полугрупп, содержащих его в качестве двусто-
двустороннего идеала.
Как показал Л. М. Глускин [9], в полугруппе всех ква-
квадратных матриц одного и того же порядка над произволь-
произвольным телом совокупность всех матриц ранга один и нуль об-
образует двусторонний идеал, плотно вложенный в полугруппу
относительно класса всех полугрупп, содержащих его в ка-
качестве двустороннего идеала. Наличие в некоторой полу-
полугруппе идеала, изоморфного с этим идеалом и обладающего
указанными свойствами, достаточно для изоморфизма с упомя-
упомянутой матричной полугруппой. В связи с этим упомянем,
что ранее Л. М. Глускиным [1] была найдена также и иная
абстрактная характеристика полугруппы квадратных матриц.

398 гомоморфизмы [гл. vit
§ 6. Некоторые частные виды гомоморфизмов
6.1. Если в теории групп задание гомоморфизмов групп
при помощи их нормальных делителей является предельно
ясным и полностью описывает каждый гомоморфизм с точ-
точностью до умножения на изоморфизм, то в общей теории
полугрупп дело обстоит во много раз сложнее и еще очень
далеко до полного выяснения. В связи с этим значительное
внимание уделяется рассмотрению тех или иных частных ви-
видов гомоморфизмов. К этому же направлению относится
и изучение двусторонне стабильных эквивалентностей, являю-
являющееся лишь иным подходом к тому же самому вопросу.
Ниже мы приведем некоторые из результатов таких иссле-
исследований.
6.2. Для рассмотрения гомоморфизмов на коммутативные
полугруппы определим следующее отношение f в произволь-
произвольной полугруппе §1. Полагаем Х~ Y(t) (X, У?Щ тогда и
только тогда, когда в f( найдутся такие элементы U и V,
что X=UV, Y = VU.
Если п есть такая произвольная двусторонне стабильная
эквивалентность, что полугруппа ЭД/n коммутативна, то, оче-
очевидно, f <^n (I, 5.14). Обратно, для всякой двусторонне ста-
стабильной эквивалентности п, такой, что f^n, полугруппа
Ц/п, очевидно, коммутативна. Благодаря I, 5.23 отсюда сле-
следует, что второе производное отношение t" (I, 5.21) будет
точной нижней границей для всех двусторонне стабильных
эквивалентностей, соответствующих гомоморфизмам f( на ком-
коммутативные полугруппы. Таким образом, Р есть наиболее
дробное из разбиений 3J, соответствующих гомоморфизмам 31
на коммутативные полугруппы. Естественный гомоморфизм 31
на 3t/f" есть наибольший общий правый делитель множества
всех гомоморфизмов f[ на коммутативные полугруппы A.15).
При этом он сам принадлежит этому множеству.
В случае, когда ЭД является группой, разбиение f является
не чем иным, как разложением % по коммутанту. Естествен-
Естественный гомоморфизм % на 91/Р есть естественный гомоморфизм
группы Щ на ее факторгруппу по коммутанту.
6.3. Определим вШ отношениеI, полагая X—Y(\)(X, K?9t)
тогда и только тогда, когда в Ш. найдется такой элемент Z,
что ZX=ZY. Легко убедиться, что для двусторонне ста-
стабильной эквивалентности п полугруппа f(/n будет обладать

§ 6] ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ГОМОМОРФИЗМОВ 399
свойством сокращения слева тогда и только тогда, когда
n !> t. В множестве таких эквивалентностей \" будет точной
нижней границей, причем сама принадлежит этому множеству.
Отсюда способом, аналогичным 6.2, можно описать роль
разбиения \" и естественного гомоморфизма %j{" для гомо-
гомоморфизмов % на полугруппы с левым сокращением.
Аналогично определяется.отношение г, связанное с гомо-
гомоморфизмами % на полугруппы с правым сокращением.
Отношение т, являющееся точной верхней границей для
отношений { и г, как легко видеть, таково, что т" есть
точная нижняя граница в множестве таких двусторонне ста-
стабильных эквивалентностей п, что ЭД/n есть полугруппа с дву-
двусторонним сокращением. Естественный гомоморфизм Ж на
Ж/ш" есть наибольший общий правый делитель множества
всех гомоморфизмов на полугруппы с двусторонним сокра-
сокращением.
6.4. Отношение I, определенное в 6.3, обладает следую-
следующим свойством. Если SX~SY(l), то X~Y(l) (X,Y,S ? Щ.
Действительно, в этом случае мы при некотором Z ? $
имеем ZSX=ZSY, откуда следует X~ Y (t). Изучению раз-
различных отношений, обладающих указанным свойством, так же
как и свойством, симметричным для сокращения справа,
уделено значительное внимание в работах Дюбрейля [1], [3],
[4], [5]. Интерес к этим свойствам объясняется тем, что для
двусторонне стабильной эквивалентности п полугруппа ЭД/п
будет тогда и только тогда полугруппой с левым сокраще-
сокращением, когда из SX~ SY(n) всегда следует Х~ Y(n)
(X, Y, S ? ЭД). Действительно, пусть ЭД/n есть полугруппа с
левым сокращением и ф естественный гомоморфизм Ш на Щ/п.
Из SX~SY(n) следует фE) • ty(X) = >\l(S) • ф(К), а потому
ф(Х) = ф(К), т. е. X~K(n). С другой стороны, при соблю-
соблюдении указанного свойства из фE) • ф (А) — ф (S) • ф(У) сле-
следует фE^О = фEК), т. е. SA'—SKOt), а потому X~Y(n),
т. е. ф(Л) = ф(К). Аналогично обстоит дело с вопросом о
сокращении справа.
6.5. Важным отношением в полугруппах является отно-
отношение регулярной сопряженности (II, 6.6). В общем случае
оно не является двусторонне стабильным. Однако в полу-
полугруппах идемпотентов, как это следует из исследований
Мак-Лина [1], двусторонняя стабильность этого отношения
место- К этому результату удобно подойти путем рас-

400 гомоморфизмы [гл. vii
смотрения следующих двух отношений, которые интересны
и сами по себе.
Для элементов X a Y полугруппы Ш полагаем
если XY=Y, YX=X.
Симметрично определяем отношение п2
если XY = X, YX=Y.
Эти отношения, очевидно, симметричны. Если
12 '=~: ,2' Xgft^ "=^^ -^i» •«''2 3 ^= Х$\ -^3 2 ^"^ 2 ( 1» X<?i Л.§ ^ VI),
ТО
3 :г= -^2 3 ^^ -^3' •*'^3<*'^1 ==~ ^1 ^^ 2 1 ^^ 1»
что означает транзитивность отношения \\v Аналогично дока-
доказывается транзитивность п2.
6.6. В общем случае указанные отношения эквивалент-
эквивалентности щ и ц2 не обязаны быть стабильными ни слева, ни
справа. В качестве примера рассмотрим полугруппу 91, эле-
элементами которой являются пары натуральных чисел, а дей-
действие производится по правилу
(nv mx) ¦ (и2, т^ = (п1-\гпг, тг).
Ассоциативность такого действия очевидна.
В этой полугруппе мы имеем
@, тО —@, т2){п,).
В то же время
A, 0)-@, mJ^O, mt), A, 0)-@, /И2) = A, щ);
A, щ)-(\, т2) = B, тг)Ф{\, т2);
@, «О-О. 0) = A. 0), @, /и2). A, 0) = A, 0);
A.0)- A,0) = B, 0Ж1, 0),
т. е.
A, 0)-@,^)^A, о)-(о,/«,)(«!);
@, z«i). A,0)^@. щ)- A,0) (nt).

§ 6] ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ГОМОМОРФИЗМОВ 401
6.7. Если все элементы полугруппы Ж идемпотентны, то
отношения щ и п2. очевидно, рефлексивны и потому являются
эквивалентностями. При этом т^ оказывается стабильным
слева, а п2 — справа. Действительно, если X—Y(п,), то
при любом Z ? Ш
(ZX) (ZY) = (ZX) (Z • XY) = (ZX) (ZX) Y = ZXY = ZY.
Аналогично доказываем и второе из равенств, означающих,
что ZX—ZYivJ.
Рассуждения для и2 аналогичны.
6.8. Как мы уже упомянули в полугруппах идемпотентов,
отношения П[ и п2 могут быть использованы для изучения
отношения регулярной сопряженности.
Пусть ЭД есть полугруппа идемпотентов. Определяем в ЭД
отношение п3, полагая X—К(Пз) тогда и только тогда,
когда X и Y есть регулярно сопряженные элементы полу-
полугруппы %. (II, 6.6)
(а). Если
X~Y(nd. Y~Z(rQ,
то
Действительно, благодаря тому, что щ стабильно слева,
а п2 стабильно справа,
ZA"~ZK (iti), YX~ZX(n2).
Но ZY = Z, a YX=X и потому
ZXZ = ZX • Z = ZX ¦ ZY = ZY = Z.
Аналогично показываем, что XZX =^ X.
(P). Если X—У(щ) или X—K(n2). tno при любом Z?$
X~ Y (n3), ZX~ZY (u3), XZ ~ YZ (n3).
Действительно, пусть X~Y(nL). Тогда
XYX=X- YX=X-X=X, YXY=YY=Y;
(ZX). (ZY) • (ZX) = ZX-ZY ¦ ZYX = ZX ¦ (ZYfX =
= ZXZYX= ZXZX= ZX.
Аналогично доказываются: второе равенство, необходимое
для доказательства того, что ZX и ZY регулярно сопряжены;

402 гомоморфизмы [гл. vii
регулярная сопряженность XZ и YZ; соответствующие
равенства для случая, когда X^YixQ.
(f). Если X—Y(n3), то
(nJ. X~YX(n2).
Действительно,
X-XY = X*Y = XY, XY-X=XYX=X;
X-YX=X, YX-X=YX.
(8). XY~YX(n3).
Действительно:
) =XY- XY=:XY,
(YX) (XY) (YX) = YX* Y*X=YX- YX= YX.
6.9. Теорема. Если все элементы % идемпотентны,
то п3 является двусторонне стабильным отношением
эквивалентности в Щ.
Доказательство. 1) Отношение п3 симметрично.
Рефлексивность п3 следует из того, что все элементы идемпо-
идемпотентны. Докажем транзитивность щ. Пусть
А"— К(Пз), K~Z (its).
Тогда по 6.8, (f)
Так как нх и и2 симметричны и транзитивны, то
Благодаря 6.7
ZYX~ ZYZ(yid. XYX~ZYX(n2).
Так как ZYZ = Z и XYX=X, то благодаря 6.8, (а)
2) Пусть Х~ К(п3). Согласно 6.8, (f),

§*6] ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ГОМОМОРФИЗМОВ 403
Отсюда, благодаря 6.8, ф), для произвольного Z?9l
получаем
ZX~ ZXY(n3), ZY ~ ZXY(n3),
XZ ~ XYZ (щ), YZ ~ XYZ (п3).
Благодаря доказанной транзитивности п3 отсюда следует
ZX~Z Y (щ), XZ-YZ (и3),
т. е. эквивалентность щ оказывается двусторонне стабильной.
6.10. Если 51 и 2 есть два подмножества полугруппы f(,
то совокупность элементов Х?%, таких, что
обозначают через (&: 2)j и называют совокупностью левых
частных от деления Я на 2. Такое название объясняется тем,
что X принадлежит ($: 2)г тогда и только тогда, когда
найдутся такие К?$ и L?2, что XL = K.
Аналогично определяется совокупность правых частных
; (Ж: 2)г. Введение этих понятий и изучение их свойств при-
принадлежит Дюбрейлю [1], [3], [4], [5]. Им же при помощи
; этих понятий были построены некоторые эквивалентности,
¦также подробно изученные. Дальнейшие исследования в том
; же направлении продолжал Круазо [3]. К этому же направ-
направлению примыкают исследования Тьеррена [ 12], [19].
; Пусть Я фиксированное подмножество полугруппы Ш.
; В Jt определяются отношения п^ и п^. Для А, В ? К имеет
' иесто А — В (пг№) тогда и только тогда, когда
Отношение п^ определяется аналогично при помощи сово-
'¦' купностей правых частных.
:.. Отношения njj и и^, как легко убедиться, рефлексивны,
симметричны и транзитивны. Первое из них стабильно слева.
Действительно, пусть А~В(тя]() и Х?($:8А)г. При неко-
некотором К? Ж
X ¦ SA = К.
Это значит, что XS^CR-.A^ и потому XS?($:S)i. т. е.
при некотором K'?$t

404 гомоморфизмы [гл. vn
Но тогда Х? ($ : SB)}. Проведя симметричное рассужде-
рассуждение, убеждаемся, что ($ : SA)t = ($ : SB)?.
Аналогично доказывается, что эквивалентность п? ста-
стабильна справа.
Множество всех тех А ? ЭД, для которых (R: А)г пусто,
образует один из til-классов эквивалентности rL. Этот itl-класс
есть не что иное, как подполугруппа U#, указанная в III, 1.13.
Аналогично определяемый n^-класс есть определенная там же
подполугруппа 33$. Свойства этих подполугрупп во многих отно-
отношениях определяют свойства самих эквивалентностей п^и trj.
Для некоторых классов подмножеств $ эквивалентности
и^ и и^ совпадают. В этом случае эквивалентность п« =
= vfg = nrs является двусторонне стабильной. Гомоморфизмы,
которым соответствует такая эквивалентность, представляют
известный интерес. Как было показано в упомянутых рабо-
работах Дюбрейля и последующей работе Столла [2], исследо-
исследование их существенно для более детального изучения гомо-
гомоморфизмов полугрупп на группы и на группы с внешне при-
присоединенным нулем.
6.11. Пусть опять $ есть произвольное фиксированное
подмножество полугруппы Ш. В некоторых вопросах пред-
представляют интерес следующие отношения ш^ и ш^. Для А,
В^Ш имеет место А~-'B(mls), если существуют такие X,
Y? К, что ХА = YB. Отношение тп^ определяется симмет-
симметрично. В дальнейшем мы столкнемся, в частности, с таким
случаем, когда относительно $ — 91 все элементы являются
щ^-эквивалентными между собой.
Отношение ш^, очевидно, рефлексивно, симметрична
и стабильно справа. В общем случае оно не обязано быть
транзитивным. Однако если $ есть подполугруппа и таково,.,
что все его элементы эквивалентны между собой относи-
относительно т^, то т1? транзитивно. Действительно, пусть
А ~ В (п^), В ~ С (т1я), (А, В,С? Щ,
XA=YB, X'B^Y'C, UY = VX' (X, Y, X', Г, U,
Тогда
(UX) A = (UY)B = (УХ') В = (V Г) С
и потому Л

§ 6] ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ГОМОМОРФИЗМОВ 405
Аналогично обстоит дело и с отношением т^. В неко-
некоторых случаях т^ и т^ совпадают. Тогда при соблюдении
указанных условий мы получаем двусторонне стабильную
эквивалентность в %. Как показал Дюбрейль [1], который
и ввел рассматриваемые отношения, между ними и отноше-
отношениями, указанными в 6.10, существуют известные связи
и взаимозависимости (см. также Дюбрейль [3], [4], [5] и Тьер-
рен [12], [19]).
6.12. Наравне с рассмотрением тех или иных видов гомо-
гомоморфизмов в произвольных полугруппах известное количество
исследований было посвящено рассмотрению гомоморфизмов
отдельных важных полугрупп.
Пусть <&s есть полугруппа всех преобразований мно-
множества 2. Важную роль таких полугрупп мы уже отмечали.
Для А ? <5а мощность множества Л2 будем обозначать
р(Л) (А. И. Мальцев называет р(Л) рангом преобразования А).
Пусть п есть некоторое натуральное число и 9t—неко-
9t—некоторый нормальный делитель D.2) группы © — всех взаимно
однозначных отображений на себя множества {1, 2, .'.., п)
(таковые хорошо известны; при я = 3 и при я>4, помимо
двух тривиальных, имеется лишь один нормальный делитель,
при и = 4 нетривиальных нормальных делителя два, при
п=1,2 нетривиальных нормальных делителей нет).
Для 31 определяем в <5q отношение Пя, полагая А ~ В (п<ц)
(A, B?<Sg), если выполнимо одно из трех условий:
(а). А = В;
(Р). р(Л)<я, р(В)<п;
(т). р(Л) = р(В) = л; AQ=BQ; из А% = Ат\ следует
В% = В-ц ($, tj ? 2), и наоборот; если llt \2 %п ? 2 таковы,
что А^фА^Ц, /=1,2, .. ., п; i^j) и ср некоторое отобра-
отображение AQ = {/^4, А%2, .... А%п) на {1,2 я}, то
Сразу же отмечаем', что' в случае (f) принадлежность
последней подстановки к 31, как легко убедиться, не зависит
ни от выбора элементов ?г, ?2 ^п> ни от выбора отобра-
отображения ср (последнее следует из того, что при любом

406 гомоморфизмы t™. vn
автоморфизме группы © ее нормальный делитель 0i всегда
отображается на себя).
Определенное отношение Пдг, очевидно, симметрично
и рефлексивно. Легко убедиться и в его транзитивности.
Пусть
А
В случаях (а) и ф) положение дел очевидно. В случае
имеем:
, , v -„ , , -..-¦¦ <?№П)'
откуда следует
га)х
„Смешанные" случаи, когда А ~В(%) выполняется со-
согласно одному из случаев (а), (Р), (?), a В--^С(пл) — согласно
другому, очевидно, невозможны.
Докажем, что эквивалентность Пя двусторонне стабильна.
Пусть
(А,
Если имеет место случай (а) или ф), то, очевидно, при
любом Х?Щ.
ХА — ХВ (пя),
Пусть имеет место случай (f). Если для некоторых ?4
и \} (I ф j) имеет место ХА\г == ХЛ^, то р (XЛ) < п, р (ХВ) < я
и потому ХА — ХВ (пк)- Если ХА\% все различны (i = 1,
2, ..., п), то определим отображение ф множества Л'Ла^
на {1. 2 я}
4 {ХАа) = «р (Ла).
Отмечаем, что из AQ = BQ следует, что для а?2 суще-
существует Р^2 такой, что Ва = Аф. Благодаря этому
= ср (ЛР) = ср (Яа).

§ 6] ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ГОМОМОРФИЗМОВ 407
Все требования условия (f) для ХА и ХВ оказываются
выполненными. Для последнего из них относительно ф имеем
/ф (ХАЬ) ф (Х4$2) ... ф (ХА%п)\
\ф (Мб,) ф (*В&2) ... ф
Если для некоторого ^ имеет место AXQ Э <4?{, то
р(') < п, р(ВХ) < я и потому AY—^BX(nji). В противном
случае фиксируем ^(/=1, 2 п), так чтобы К^
Мы имеем
AXQ = {At» А\г А\п\ = AQ.
Относительно последовательности %'v %'v ..., t,'n и отобра-
отображения ср мы имеем выполненными для АХ и ВХ требования
условия (f). Для последнего из этих условий имеем
¦ ¦ V {АК)\ _ N (
.. ? {bxQJ ~~ \ч («О
Рассмотренные двусторонне стабильные эквивалентности %
были найдены А. И. Мальцевым [4]. А. И. Мальцев показал,
что в случае конечного 2 полугруппа @а не имеет других
двусторонне стабильных эквивалентностей.
Однако в случае бесконечного 2 помимо % в <5а имеются
и другие двусторонне стабильные эквивалентности. Обозна-
Обозначим через S последовательность бесконечных мощностей
mk, in;,
где каждая из мощностей больше предшествующей, и только
т? может также равняться тк. При этом, если п^ больше
мощности множества 2, то т'о является наименьшей из мощ-
мощностей, больших мощности 2.
Определим в <&я отношение п^\ полагая
если выполнено одно из трех условий:
. («)• А = В;
(Р). р(А)<т'к, р(В)<т'к;
(f). р(Л) = р(В) = р, где р больше или равна некоторой
ai'+1 и меньше п^, причем, если обозначить через 80

408 гомоморфизмы (гл. vn
множество таких а? 2, для которых АафВа, то мощности Л20
и В20 меньше мощности Щ+1.
Как показал А. И. Мальцев, отношения вида п@) оказы-
оказываются двусторонне стабильными эквивалентностями. При
этом ©2. помимо этих эквивалентностей и описанных ранее
эквивалентностей вида тьл, не имеет никаких других двусто-
двусторонне стабильных эквивалентностей. Благодаря этим резуль-
результатам оказываются описанными с точностью до изоморфизмов
все гомоморфизмы полугруппы <Ва.
6.13. Рассмотрение двусторонне стабильных эквивалент-
эквивалентностей полугруппы всех взаимно однозначных частичных пре-
преобразований произвольного множества было осуществлено
А. Е. Либером [1].
Ряд исследований (А. И. Мальцев [5], Е. А. Халезов [1], 12],
Л. М. Глускин [4], [7], [9]) посвящен гомоморфизмам муль-
мультипликативных полугрупп матриц.
6.14. Помимо исследований, в которых гомоморфизмы
полугрупп изучаются с точностью до умножения на изомор-
изоморфизмы, что равносильно исследованию двусторонне стабиль-
стабильных эквивалентностей, в некоторых случаях интерес пред-
представляет рассмотрение гомоморфизмов с учетом свойств
гомоморфного образа. Например, интерес представляют авто-
автоморфизмы полугрупп (I, 1.16) (и вообще эндоморфизмы, хотя
фактически, помимо автоморфизмов, эндоморфизмы до сих
пор совсем не изучались).
Если полугруппа ЭД обладает единицей и элементы X и Х~х
взаимно обратны относительно ?51
то отображение ух полугруппы 21 в себя
%
как легко убедиться, является взаимно однозначным отобра-
отображением ЭД на себя. При этом
<?х (АВ) = ХАВХ = ХАХ^ХВХ'1 = <?х (А) • ух (В).
Следовательно, ср_ является автоморфизмом. Такие автомор-
автоморфизмы называются внутренними.
Совокупность всех автоморфизмов всякой полугруппы §t
является группой. Совокупность внутренних автоморфизмов,

§ 6] ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ГОМОМОРФИЗМОВ 409
если Ш обладает единицей, как легко убедиться, является
подгруппой и даже нормальным делителем этой группы.
6.16. У некоторых полугрупп все автоморфизмы внутрен-
внутренние. К таким полугруппам относится, например, при любом
множестве Q полугруппа <Ва всех преобразований Q.
Известно несколько доказательств этой теоремы
(Шрейер [1], А. И. Мальцев [4], Е. С. Ляпин [131). Мы про-
проведем наши рассуждения, основываясь на результатах 5.7.
В полугруппе 6а двусторонний идеал Us E.7) является
минимальным двусторонним идеалом. Поэтому при всяком
автоморфизме <52 Us отображается на себя. Это значит, что
произвольный автоморфизм <р полугруппы <&s индуцирует
автоморфизм ср в Ua.
Покажем, что если автоморфизмы ср± и ср2 полугруппы <5s
различны, то различны и индуцируемые ими автоморфизмы
"Pi и <Рг-
Пусть для некоторого Х? <S2 имеет место
При некотором а
Предположим, что <pt и <р2 одинаковы. Тогда автоморфизм
(|j = (cp2cp-1) отображает каждый элемент из Ua на себя и,
в частности,
Так как
то, ¦ применив к очевидному равенству Y1Ua = U§1 автомор-
автоморфизм ф, мы получим YiUa = Upl. Предположение ipi — Ъ
привело нас к противоречию, ибо
Для произвольного автоморфизма ср полугруппы ©а инду-
индуцированный им автоморфизм ср осуществляет взаимно одно-
однозначное отображение (/а на себя

410 гомоморфизмы [гл. vit
Рассмотрим преобразования S, S' ? <&$, осуществляющие
взаимно однозначные отображения 2 на себя:
Очевидно, S и S' взаимно обратные элементы в E2:
5' = 5~ \ Поэтому в <Ss определен внутренний автомор-
автоморфизм х
Сравним автоморфизмы х и ? полугруппы Us. Так как, оче-
очевидно, UtS' = Ua, то
« = (.SUaS>) a = SUaa = 5a = a,,
Таким образом, yw(?/a) = cp(?/a). Из совпадения у и ?. со-
согласно доказанному выше, следует, что х = ср, т. е. ср является
внутренним автоморфизмом.
6.16. При помощи 6.15 легко выясняется устройство
группы автоморфизмов полугруппы E2. Как следует из II, 3.1;
II, 3.2, взаимно обратными элементами в <Ss являются пре-
преобразования, осуществляющие взаимно однозначное отобра-
отображение 2 на себя. Два таких различных преобразования St
и 52 порождают различные автоморфизмы ©а- Действительно,
пусть
S,a = рр 52а = р2. рг Ф р2 <а, plf p2 6 2).
Тогда
fot/Sr1) (Sf/J a = t (a) & plf
a = 52 (t/ea) = 52a = p,,
т. e. ^(/„Sx ?= Sjl/.Si-1.
Таким образом, между автоморфизмами ©2 и взаимно одно-
однозначными отображениями 2 на себя устанавливается взаимно
однозначное соответствие. Легко видеть, что оно является
изоморфизмом между группой всех автоморфизмов и группой
всех преобразований 2, осуществляющих взаимно однознач-
однозначное отображение 2 на себя.
6.17. Наравне с конструкцией внутренних автоморфиз-
автоморфизмов F.14) такой, какой она была заимствована из теории
групп, в общей теории полугрупп некоторыми авторами (Дюб-

§ б] ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ГОМОМОРФИЗМОВ 411
рейль [1], [3], Круазо [6]) рассматривались различные обоб-
обобщения этой конструкции. Одним из таких простейших обоб-
обобщений является, например, следующее. Пусть Щ есть полу-
полугруппа с двусторонним сокращением. Обозначим через 23
совокупность элементов Х?У1, удовлетворяющих условию
X$i = %X. Пусть Х?Я$, тогда для всякого Л?91 найдется
такой tyx(A), что XA = tyx(A)-X.
¦' Элемент tyx(A) ввиду свойства сокращения в ЭД опреде-
определяется единственным образом. Так как для любого В ?91
найдется такой В' ? % что ХВ' = ВХ, то В = ф^ (В')- Таким
образом, X определяет отображение tyx полугруппы на себя.
Оно взаимно однозначно, что непосредственно следует из
свойства сокращения в ЭД. Так как отображение обладает
свойством гомоморфизма
X ¦ (АВ) = tyx (АВ) • X,
X ¦ (АВ) = ^ (А) ХВ = ^ (А) ¦ ^ (В). X,
то ф^ является автоморфизмом ЭД.
Подмножество S полугруппы 51, если оно непусто, оче-
очевидно, является подполугруппой ЭД. Сопоставление каждому X
из 23 автоморфизма tyx, как легко убедиться, является гомо-
гомоморфизмом 25 в группу всех автоморфизмов полугруппы Ш.
Действительно, если X, Y ?23, то
XYA = X ¦ фг (A)-Y = ^ {фг (А)] ¦ XY.
Так как А — произвольный элемент из Ш, то хт
/ Из сказанного, в частности, следует, что совокупность
автоморфизмов tyx образует подполугруппу группы всех авто-
автоморфизмов.
6.18. Если полугруппа Ш имеет единицу и Х^Ж обла-
обладает обратным элементом, то

412 гомоморфизмы [гл. vii
т. е. Х?Я5 F.17). Автоморфизм tyx, определенный вышеука-
вышеуказанным способом при помощи элемента X, оказывается совпа-
совпадающим с внутренним автоморфизмом, порожденным X F.14):
ХА = ХАХ'1 -X, ХА = Цх (А) ¦ X,
ХАХ'1 = ^ (А).
6.19. Понятие „обобщенного внутреннего автоморфизма*
F.17) шире понятия внутреннего автоморфизма. Даже полу-
полугруппа с единицей может иметь автоморфизмы типа 6.17,
не являющиеся внутренними. Приведем соответствующий при-
пример. Пусть f( есть множество всех таких пар целых чисел
(а, Ь), что или а — Ь = 0, или а^>\. Умножение в % опре-
определяется следующим образом:
Непосредственной проверкой нетрудно убедиться в ассо-
ассоциативности действия. Если
(av bt) • (а2, b2) = (а3, Ьг),
то для заданных аи bt, a3, b3 числа а2 и Ь2, очевидно, опре-
определяются единственным образом. Таким образом, Ш. есть полу-
полугруппа с левым сокращением. Аналогично имеет место и
сокращение справа.
(О, 0), очевидно, является единицей полугрупп 21. Никакие
два неединичных элемента неравны в произведении @, 0).
Отсюда следует, что 21 не имеет внутренних автоморфиз-
автоморфизмов F.14), отличных от тождественного автоморфизма. Вместе
с тем для Х~{\, 0) легко убеждаемся, что ХШ состоит из
A,0) и из всевозможных пар вида (а, Ь), где а^>2. Та-
Таково же и множество %Х. Таким образом, ЛТ?23 F.17). При
помощи X строится автоморфизм tyx. Он не является тожде-
тождественным, поскольку, как легко убедиться,
A,0)-(а, Ь) = (а. —*)•(!. 0)
и потому
ifx{a, *) = (а. —Ъ).
6.20. При помощи некоторых конкретных гомоморфизмов
для коммутативных полугрупп может быть построена теория,
которую можно назвать обобщенной теорией характеров.

§ 6] ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ГОМОМОРФИЗМОВ 413
Пусть 21 и 23—две произвольные коммутативные полугруппы.
Обозначим через Ф(%, 23) совокупность всех гомоморфизмов
51 в 93. В ФE1, 93) определяем действие, полагая Xi'X2 —
= Хз (Уд. Ъ> Хз € Ф A. 93)), если для любого А ? к в 23
выполняется
Результат этого действия определен для любых двух Xi
и Хг из Ф($1. 23), так как
= xi (А) ¦ Хг (В) ¦ Xz (А) • Хг (В) =
= [Xi (^ • Хг (-4I • [Xi (В) • х2 EI (Л, В 6 Я)
и потому отображение Хз полугруппы ЭД в 23, определенное
по указанной выше формуле, является гомоморфизмом, т. е.
принадлежит Ф(ЭД, 23).
Принимая во внимание способ определения действия
в ФC1, 23), элементы из Ф(&, 23) естественно называть обоб-
обобщенными характерами ЭД в 93. Так как их умножение, оче-
очевидно, ассоциативно, то Ф(ЭД, 23), если оно непусто, обра-
образует полугруппу. Ввиду коммутативности 23 эта полугруппа
«"коммутативна.
f Описанный способ сопоставления паре коммутативных
^'полугрупп Ж и 93 третьей коммутативной полугруппы Ф (Щ, 93)
'служит источником ряда проблем относительно изучения
^взаимоотношения различных свойств этих трех полугрупп.
"Представляет интерес изучение Ф(ЭД, 23), основанное на свой-
свойствах исходных полугрупп f( и 93. Возможен и другой под-
'ход: характеризовать свойства % при помощи 93 и ФE1, 93).
Именно такая постановка задачи представляется наиболее есте-
'ственной, будучи методом изучения ЭД при помощи ее полу-
1'группы обобщенных характеров в заданную полугруппу 23.
;,Наконец, мыслимо исследование 23, исходящее из известных
Свойств Ш и Ф(Ш, 23).
6.21. Изучение полугруппы обобщенных характеров в
общем виде начато недавно М. М. Лесохиным [1]. До этого
исследования в указанном направлении проводились только
для случая комплексных характеров, когда в качестве 23
брали мультипликативную полугруппу всех комплексных
чисел. Для конечных коммутативных полугрупп Шварцем [9],
[10], [11] была разработана стройная теория. Оказалось, что
в рассматриваемом случае между свойствами *& и свойствами

414 гомоморфизмы [гл. vii
Ф B1, 23) существуют глубокие, весьма содержательные связи.
В частности, весьма интересны соотношения между структу-
структурой идеалов Щ, и структурой идеалов Ф(ЭД, 93). Также комп-
комплексным характерам посвящены работа Хьюета и Цукерма-
на [1] и статья Исеки [9].
6.22. При определении обобщенных характеров F.20)
коммутативность полугруппы 93 приходится требовать для
того, чтобы отображение % в 93, определенное как произве-
произведение двух обобщенных характеров, само обладало свой-
свойством гомоморфизма. Конечно, этой цели можно достигнуть,
выставляя более слабое требование. Именно, достаточно по-
потребовать, чтобы в 23 для любых X, U, V, Y ?93 имело
место
XUVY=XVUY.
Однако неясно, может ли переход от класса коммутативных
полугрупп к полугруппам с таким свойством дать существен-
существенное обобщение теории.
Что касается 21, то, собственно говоря, нет прямой необ-
необходимости накладывать на % какие бы то ни было ограни-
ограничения. Однако фактически при коммутативной полугруппе 23
все обобщенные характеры Ш в 93 будут делиться справа на
гомоморфизм ср, являющийся наибольшим общим правым дели-
делителем гомоморфизмов Щ на коммутативные полугруппы F.2).
Таким образом, Ф(Щ, 23) по существу совпадает с Ф(ср(ЭД), 93)
и все результаты, получающиеся от соответствующих рассу-
рассуждений для ЭД, в сущности будут относиться к ср(Ш), кото-
которая коммутативна.
Аналогично при рассмотрении 33, обладающей указанным
выше обобщенным условием коммутативности, и для ЭД имеет
смысл ограничиваться случаем выполнения этого же условия.

ГЛАВА VIII
РАЗЛОЖЕНИЯ ПОЛУГРУПП В ОБЪЕДИНЕНИЯ
ПОДПОЛУГРУПП
§ 1. Связки полугрупп
1.1. Один из способов изучения строения и свойств той
или иной полугруппы состоит в разложении ее в объедине-
объединение некоторых ее подполугрупп, принадлежащих какому-либо
более хорошо изученному классу. Успешность применения
такого метода зависит, во-первых, от того, насколько хорошо
мы знаем свойства полугрупп, являющихся компонентами
такого объединения, и, во-вторых, от характера взаимной
связи компонент в этом объединении. Первое положение
довольно очевидно. Для иллюстрации второго укажем, что
как мы знаем, всякая полугруппа является объединением
:?воих моногенных подполугрупп. Эти последние устроены
Очень просто и их свойства хорошо изучены. Однако взаим-
взаимное отношение моногенных подполугрупп в полугруппе
является сложным и во многом еще неясным, поэтому ука-
указанное разложение само по себе еще не может много дать
Ря изучения произвольных подполугрупп. В настоящей главе
i рассмотрим некоторые общие свойства и некоторые виды
омянутых разложений.
1.2. Среди различных разложений в объединения подпо-
подполугрупп особо интересны разложения в непересекающиеся
объединения, т. е. разбиения полугруппы на подполугруппы.
Напомним, что мы условились не делать различия в пони-
понимании терминов „эквивалентность" и „разбиение" (I, 5.8).
В настоящей главе мы обычно будем предпочитать термин
яразбиение", как более наглядный относительно интересую-
интересующего нас направления.

416 РАЗЛОЖЕНИЯ ПОЛУГРУПП (ГЛ. VIII
Очевидно, произвольное разбиение п полугруппы 21 будет
разбиением на подполугруппы, если из Х<~~'К(п) (X, К?ЭД)
всегда следует XY — Х(\\).
1.3. В качестве примера разберем вопрос о разбиении
коммутативной полугруппы на полугруппы с сокращением
A,3.2). Условие этого было найдено Шварцем [17J.
Теорема. Для того чтобы коммутативная полу-
полугруппа % была разложима в непересекающееся объедине-
объединение подполугрупп, являющихся полугруппами с сокраще-
сокращением, необходимо и достаточно, чтобы для произволь-
произвольных X, У?Щ условие
выполнялось лишь при Х= Y.
Доказательство. 1) Если 21 разложима требуемым
образом и для X, Y ? 21 имеет место X2 = XY = К2, то X
и К не могут содержаться в различных компонентах разло-
разложения, ибо иначе X2 и У2 содержались бы в различных
компонентах и не могли бы равняться. Поскольку X и Y
принадлежат одной и той же компоненте, а эта последняя
является полугруппой с сокращением, из X2 = XY следует
X=Y.
2) Пусть в f( выполнено указанное в формулировке
условие. Определим в Ж отношение tt, полагая Х~ У(к),
если при некоторых натуральных пит имеет место Хп = Ym.
Отношение п симметрично и рефлексивно. Убедимся в его
транзитивности. Пусть
X~Y{n). K~Z(n),
Xn=Ym, Yk = Zl.
Тогда
Xя* = Ymlc = (Yk)m = (Zl)m = Zlm,
т. e. X~Z(n).
Таким образом, n можно рассматривать как разбиение 21
на п-классы A,5.8).
Если
X~Y(n), Xм—Y1.
то

§ 1) СВЯЗКИ ПОЛУГРУПП 41?
т. е. XY~>X(n), и, согласно 1.2, п является разбиением $
на подполугруппы. Докажем, что каждая из таких подполу-
подполугрупп 23, состоящая из элементов, эквивалентных между
собой относительно и, является полугруппой с сокращением.
Пусть
XZ=YZ (X, К, Z?23).
При некоторых и, т, s, t
Пусть р есть наименьшее из натуральных чисел, таких,
что Xp+t = XpY. Что такие числа существуют, следует из
Х"+1 = X ^ Xй = XZ™ = XZ • Z™ = YZ • Z™ =
Если бы р было четным, то мы из XP+1 = XPY получили бы
откуда благодаря исходному предположению должно следо-
вать Xй =Х2 Y. Но это противоречит определению р.
Следовательно, р нечетно. Но из XP+1 = XPY мы получаем
X^+i*+1 = XP+1Y, откуда рассуждением, аналогичным про-
.?±1+1 p+l
веденному выше, получаем X а =Х а Y. Отсюда бла-
благодаря определению р заключаем: ^ -^-р. т. е. р—1.
Мы показали, что .АГ2 = .АГК. Совершенно аналогично до-
доказывается Yi=YX. Таким образом, оказывается, что в 93
из XZ = YZ обязательно следует
Но отсюда по предположению должно следовать Х= Y.
1.4. Отметим, что отношение п, построенное нами при
доказательстве теоремы 1.3 для коммутативной полугруппы ЭД,
удовлетворяющей условию, указанному в теореме 1.3,
является точной нижней границей для всех разбиений % на
подполугруппы. Другими словами, п есть наиболее дробное
из всевозможных разбиений Щ. на непересекающиеся объеди-
объединения подполугрупп. Действительно, если m есть одно из
27 Зак. 455. Е. С. Ляпин

418 РАЗЛОЖЕНИЯ ПОЛУГРУПП [ГЛ. VIII
указанных разбиений и X—К(п), т. е. Xn—Ym, то, оче-
очевидно, X—К(т), так как X и Y благодаря Хп=Ут не
могут содержаться в разных m-классах, поскольку т-классы
попарно не должны иметь общих элементов.
Среди свойств разбиения п отметим, что каждая его ком-
компонента Я обладает не более чем одним идемпотентом. Дей-
Действительно, если Iv /2?$ и l\ = h, /a = /a. то из /]"==/"
следует Ix = h-
Отметим также, что, согласно IV, 6.11, $ есть полу-
полугруппа, не имеющая собственных изолированных идеалов.
Действительно, из X'— К(п) непосредственно следует, что
X и Y находятся между собой в отношении, рассмотренном
в IV, 6.11. Подобное разложение было осуществлено Тьер-
реном [16] не только для коммутативных полугрупп, но и
для полугрупп, удовлетворяющих некоторому обобщенному
условию коммутативности, рассмотренному в III, 4.5, (C).
1.6. Условие, указанное в теореме 1.3, как легко видеть,
является необходимым для разбиения на полугруппы с сокра-
сокращением не только для коммутативных, но и для любых по-
полугрупп. Вопрос о его достаточности для некоторых классов
некоммутативных полугрупп также был рассмотрен Швар-
Шварцем [16].
1.6. Вполне естественно, что среди различных разбиений
полугруппы на подполугруппы особый интерес вызывают
двусторонне стабильные разбиения A.5.17).
Определение. Двусторонне стабильное разбиение
полугруппы, все компоненты которого являются ее под-
подполугруппами, называется связкой.
Благодаря 1.2 двусторонне стабильное разбиение tt полу-
полугруппы Щ будет связкой тогда и только тогда, когда для
всякого Х?Щ имеет место Х~Хг(п).
Если полугруппа ЭД обладает связкой, компонентами кото-
которой являются ее подполугруппы 93а, 23р то говорят
также, что Щ. представляет собой связку своих подполугрупп
23а, 93р или даже просто, что Ш сама есть связка этих
подполугрупп. Такое употребление одного и того же тер-
термина в различных, но очевидным образом связанных между
собой смыслах обычно не вызывает никаких недоразумений.
1.7. Как непосредственно следует из определения 1.2 и
1,5.18 связка полугруппы ЭД определяется совокупностью

§ 1] связки полугрупп 419
попарно непересекающихся подполугрупп 23а, 23р, ... этой
полугруппы, объединение которых равно Ш, причем для
каждой пары этих подполугрупп B3$, 23^) всегда найдется
такая подполугруппа 33„ из этой совокупности, что
Эта 23а, кстати, определяется для данной пары B^, 93^), оче-
очевидно, единственным образом.
1.8. В VII, 2.1 и VII, 2.6 было показано, что каждый
гомоморфизм полугруппы определяет в ней некоторое соот-
соответствующее двусторонне стабильное разбиение, причем вся-
всякое двусторонне стабильное разбиение вызывается некоторым
гомоморфизмом. Если ограничиться естественными гомомор-
гомоморфизмами (VII, 2.5), то между ними и всевозможными двусто-
двусторонне стабильными разбиениями устанавливается взаимно
однозначное соответствие.
Пусть ср есть гомоморфизм полугруппы Ж на полу-
полугруппу ср(ЭД). Если все элементы последней идемпотентны,
то двусторонне стабильное разбиение п полугруппы %, соот-
соответствующее этому гомоморфизму (VII, 2.1) будет удовле-
удовлетворять условию Х2~'Х(п) для всякого Х?Ш (так как
tp(X2) = <p(X) • !?(Х) ~у(Х)) и, следовательно, п будет связ-
связкой A.2). Легко убедиться и в обратном. Если и есть
связка и ср—гомоморфизм Щ, которому соответствует дву-
двусторонне стабильное разбиение п, то все элементы полу-
полугруппы ср(ЭД) идемпотентны. Действительно, благодаря
^ A.6)
Пусть Г есть некоторый класс полугрупп. Из сказанного
следует, что для того, чтобы полугруппа Ш могла бы быть
представлена в виде связки полугрупп, принадлежащих Г,
необходимо и достаточно, чтобы существовал такой гомомор-
гомоморфизм ср полугруппы ЭД, при котором полные прообразы всех
элементов из <р(ЭД) являются полугруппами, принадлежа-
принадлежащими Г.
1.9. Пусть ч? есть некоторая непустая совокупность свя-
связок полугруппы 21. Согласно VII, 2.9, существует двусторонне
стабильное разбиение f, являющееся точной нижней грани-
границей W, и двусторонне стабильное разбиение 1, являющееся
точной верхней границей Т. Из самих конструкций f и I

420 РАЗЛОЖЕНИЯ ПОЛУГРУПП [ГЛ. VIII
A,5.15; 1,5.16) видно, что, поскольку для каждого п?
имеет место Х^—'Х2(п) (Х?Ж), и для f, и для I должно
выполняться X—A2(f), X—X2(l). Следовательно, f и I
сами являются связками. Из этого следует, что относительно
частичной упорядоченности 1,5.14 множество всех связок
полугруппы является полной структурой.
1.10. Точной верхней границей всех связок полугруппы,
очевидно, является тривиальная связка, являющаяся разбие-
разбиением, состоящим из одной компоненты, совпадающей с самой
полугруппой.
Точной нижней границей всех связок является связка %,
представляющая собой наиболее дробное двусторонне ста-
стабильное разбиение полугруппы на подполугруппы. Все про-
прочие связки получаются из нее путем „укрупнения" компо-
компонент, т. е. объединением некоторых компонент разбиения f0.
1.11. Строение указанной в 1.10 связки f0 было выяснено
для коммутативных полугрупп в работе Тамура и Кимура [1].
Определим в коммутативной полугруппе ЭД отношение f,
полагая A~K(f) (X, К^ 21), если существуют такие нату-
натуральные числа р, q и такие элементы U, У ?91, что
Очевидно, t симметрично и рефлексивно. Если
X~Y(t), K~Z(f),
XPl = YUlt У*1 = XVv Y3* = ZU2, Z91 = YV2,
то
Мш = Kftyft = z (t/2t/f), Z3'5» = K^'Vi1 = X{VtVll).
т. e. X'—Z(t) и, следовательно, t транзитивно. Эквивалент-
Эквивалентность f двусторонне стабильна, так как из
Х~ Y(t),
Хр = YU, Y1 = XV
при произвольном S?2I получаем
(XSf = XPSP = (YS)- {US11-1), (YS)q = y*S* = (XS) (VS4'1),
что означает XS— YS(t) (S° здесь означает пустой символ).

§ 1] связки полугрупп 421
Используя 1.2, убеждаемся, что разбиение f является
связкой. Действительно, для всякого Х?Ш мы имеем
т. е. Х*~Х®.
Докажем, что связка t совпадает со связкой Iq A.10).
Пусть ср есть некоторый гомоморфизм Ш на полугруппу
ср(К)> все элементы которой идемпотентны, и пусть ср соот-
соответствует связка t0 A.8). Отмечаем, что для всякого А?%
при любом натуральном s
Если для некоторых X, Y?% имеет место
XP=YU, Yq = XV.
то
ср(U) = <f(X)
Аналогично доказывается и
Используя полученные равенства, находим
<р(?/) = ?(*) • ср(V) • <p(VO
• ср((/) = ср(Г«) • ср(К) • cp(f/) =
To, что cp(X) = cp(F), означает, что X—Y(to).
Мы показали, что из Х<-~- K(f) всегда следует Х^-K(f0).
Следовательно, f^^>. Но, с другой стороны, f0, являясь
точной нижней границей всех связок, предшествует f: fo^f-
Таким образом, f = f0-
1.12. Как мы видели, задание связки для полугруппы по
существу равносильно заданию гомоморфизма ее на полу-
полугруппу, все элементы которой идемпотентны. Особого вни-
внимания заслуживает случай, когда эта последняя коммутативна,
т. е. когда для гомоморфизма ср, которому соответствует
эта связка, при любых X и К из полугруппы, имеет место

422 РАЗЛОЖЕНИЯ ПОЛУГРУПП [ГЛ. VIII
t т. е. v?(XY) = <?(YX). Связки
с таким свойством, очевидно, могут быть охарактеризованы
нижеследующим образом.
Определение. Связка п полугруппы Щ. называется
коммутативной связкой, если для любых X,
У ? ЭД выполняется
XY~ YX(n).
Термин „связка" (band) был введен Клиффордом [11].
Вместо коммутативной связки Клиффорд, также как и неко-
некоторые другие авторы, употребляет термин „полуструктура"
(semilattice) полугрупп.
Для коммутативной полугруппы всякая связка, очевидно,
является коммутативной связкой.
Напомним, что при рассмотрении гомоморфизмов инверс-
инверсных полугрупп (VII, § 3) мы фактически уже использовали
конструкцию коммутативной связки.
1.13. Совершенно аналогично тому, как это было сде-
сделано в 1.9, можно убедиться, что для любой непустой сово-
совокупности коммутативных связок их точная нижняя и точная
верхняя границы являются коммутативными связками. Таким
образом, относительно частичной упорядоченности 1,5.14
множество коммутативных связок полугруппы является
полной структурой. Отсюда, в частности, следует, что для
полугруппы существует такая ее коммутативная связка п0
(точная нижняя граница всех коммутативных связок полу-
полугруппы), которая представляет собой наиболее дробное из
разбиений, являющихся коммутативными связками. Все про-
прочие коммутативные связки могут быть получены из По путем
„укрупнения" компонент, т. е. объединением некоторых'
компонент п0.
1.14. Определение. Если каждую компоненту некоторой
связка полугруппы % можно снабдить парой индексов S^,, ¦
где ? пробегает все элементы некоторого множества Г ,
а 7)—-множества Г, причем для любых \х, ?2?Г' и Ъ<
^ имеет место
то данная связка называется матричной связкой.
1.15. Пусть п есть некоторая связка полугруппы %.
Если эта связка является матричной, то, сопоставляя всем

§ 1] связки полугрупп 423
элементам компоненты 33^ пару ее индексов (?, -ц), мы, оче-
очевидно, получаем гомоморфизм полугруппы ЭД, которому
соответствует данная матричная связка. Этот гомоморфизм
отображает It на полугруппу типа, рассмотренного в V, 6.11.
Это полугруппа, все элементы которой регулярно сопряжены
между собой. Очевидно и обратное, если гомоморфизм ср,
которому соответствует данная связка, таков, что у(Ш) есть
полугруппа, все элементы которой регулярно сопряжены
между собой (V, 6.12), то п является матричной связкой.
1.16. Важная роль понятия матричной связки станет осо-
особенно ясна, когда мы покажем в следующем параграфе, что
всякая связка полугрупп некоторого класса ? может быть
представлена в виде коммутативной связки полугрупп, являю-
являющихся матричными связками полугрупп класса Е.
1.17. Отметим, что с конструкцией описанного вида мы
уже сталкивались. Вполне простая полугруппа без нуля
матричного типа ©'(Я, ©) (V, 6.3) представляет собой матрич-
матричную связку групп ©$1) (V, 6.7), где ©?1) состоит из всех эле-
элементов вида (О, Е, т]) (О ? ©). Тем самым благодаря V, 6.4
и всякая вполне простая полугруппа без нуля оказывается
матричной связкой групп.
1.18. Как отметил Клиффорд [11], указанное свойство
1.17 вполне простых полугрупп без нуля является для них
характеристичным. Всякая полугруппа Ш, являющаяся матрич-
матричной связкой групп, есть вполне простая полугруппа без
нуля. Справедливость этого утверждения вытекает из ниже-
нижеследующего более общего свойства.
Теорема. Матричная связка вполне простых полу-
полугрупп без нуля сама язляется вполне простой полугруп-
полугруппой без нуля.
Доказательство. Пусть ft является матричной связ-
связкой вполне простых полугрупп без нуля: ЗЗа», .... 33$ч, ...
Если двусторонний идеал % полугруппы % содержит эле-
элемент Х? 395 , to он содержит и множество ЯЗ^ХЗЗе-п- Но это
последнее есть двусторонний идеал вполне простой полу-
полугруппы без нуля 23^. Поэтому
Если Жз©^, то благодаря свойству матричной связки
для любого S80t имеем

424 разложения полугрупп [гл. Vin
Так как ЗЗ^сЗ:, т0 и ^о^е-п^^З: и> следовательно, пере-
пересечение ©„ и Z, непусто. Отсюда, согласно отмеченному
выше, следует, что ©„czS. Таким образом, мы показали,
что произвольный двусторонний идеал !? полугруппы Ш обя-
обязан совпадать с %
В одной из полугрупп ЗЗ^т] возьмем такой идемпотент /,
. который не является двусторонней единицей ни для какого
другого идемпотента из 5857]. Такой / найдется благодаря
V, 3.10, V, 6.15, ибо 58^ является вполне простой полугруп-
полугруппой без нуля. Покажем, что / не может быть двусторонней
единицей также ни для какого идемпотента /' ? S0T, где сф%
или х Ф т\. Действительно, по свойству матричной связки
при о Ф % получаем
и потому //' отличен от /', который содержится в 23ОТ.
При х Ф т] аналогично показываем, что /'/ содержится
в 33О1) и потому отличен от /'.
Существование в % идемпотента /, не являющегося дву-
двусторонней единицей ни для какого другого идемпотента /',
благодаря доказанному выше, согласно теореме V, 6.15,
означает, что 51 есть вполне простая полугруппа без нуля.
§ 2. Вполне регулярные полугруппы
2.1. Мы определили вполне регулярную полугруппу, как
гакую полугруппу, все элементы которой вполне регу-
регулярны (И, 6.1). Но, как нам известно (III, 1.15), вполне регу-
регулярными являются те и только те элементы полугруппы,
которые содержатся в некоторых ее подгруппах. Отсюда
вытекает, что полугруппа является вполне регулярной тогда
и только тогда, когда она есть объединение групп. Если
учесть сказанное в III, 1.16, то можно усилить это условие.
Всякая вполне регулярная полугруппа является непересе-
непересекающимся объединением групп. Можно также сказать, что
полугруппа является вполне регулярной тогда а только
тогда, когда она обладает таким разбиением, все ком-
компоненты которого являются группами. Существует еще
целый ряд критериев полной регулярности полугрупп. Впер-
Впервые полугруппы этого класса были рассмотрены Клиффор-
Клиффордом [4] под названием полугрупп, обладающих относитель-

§ 2] ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫЕ ПОЛУГРУППЫ 425
ними обратными. Это название объясняется тем, что, как
следует из II, 6.4, во вполне регулярных полугруппах, и
только в них, для любого элемента А всегда найдутся такие
А' и /, что
1А = А1=А, АА'
2.2. Как показал Круазо [5], класс вполне регулярных
полугрупп может быть очерчен с помощью классов регу-
регулярности (II, 6.11).
Теорема. Для того чтобы полугруппа % была вполне
регулярной, необходимо и достаточно, чтобы
0) = 6„@, 2).
Доказательство. 1) Если % есть объединение групп,
то произвольный элемент А из Ш содержится в некоторой
группе © с % В этой группе А имеет двусторонне обрат-
обратный элемент А относительно Я®. Поэтому
и, следовательно,
Ае®*B, 0), Л€0.@,2).
т. е.
И = 6«B. 0) = <Ея@, 2).
2) Пусть
Я = 6вB. 0) = <М0, 2).
Для произвольного элемента А € Ш найдутся такие X,
% что
Так как
то
(ХА).А = А, А ¦ (ХА) = AAY = А,
ХА оказывается регулярной двусторонней единицей эле-
элемента А, откуда, согласно II, 6.4, следует, что А вполне
регулярен.

426 РАЗЛОЖЕНИЯ ПОЛУГРУПП [ГЛ. VIII
2.3. Следствие. Для того чтобы полугруппа §1 была
вполне регулярна, необходимо и достаточно, чтобы
. 2).
Действительно, если Щ вполне регулярна, то, как было
показано в первой части доказательства предыдущей теоремы,
каждый элемент Л?ЭД содержится в ©щ B, 2).
С другой стороны, согласно 11,6.12, (C),
М2, 2)c6jB, 0)сЯ,
6«B. 2) с 6,@. 2)сЯ.
Поэтому из равенства, указанного в формулировке след-
следствия, вытекает выполнение условий предыдущей теоремы.
2.4. Достаточность критерия 2.3 может быть усилена.
Теорема. Для того чтобы полугруппа $ была вполне
регулярной, необходимо и достаточно, чтобы
« = 6,A. 1) = 6«@, 2).
Доказательство. Если Щ вполне регулярна, то ука-
указанные равенства непосредственно следуют из 2.3 благо-
благодаря 11,6.12, ф).
Пусть
6 1) = 6ц@. 2).
Согласно 11,6.12, (е), отсюда следует
И = 6вA. 2).
Для произвольного элемента А?% найдется такой
что
А = ЛХ42,
для АГЛ найдется такой К ? f(, что
ХА = (Х4) • Г • (X4f.
Отсюда получаем:
Л = АХА* = А-ХА- А=^А- (ХА) ¦ Y • (XAf • А =
= AXAYX ¦ (АХА*) = AXAYXA;
А = AXAY • ХА = AXAY ¦ (ХА) ¦ Y ¦ (XAf = AY (XAf;
А = AY (XAf = AYX- A- XA = AYX'. AXA2 • XA =
= AY (XAf • AXA = A ¦ AXA — Л2 • (XA).

§ 2] ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫЕ ПОЛУГРУППЫ 427
Следовательно, Л?(ЕяB, 0), т. е. Ш = (ЕЯB, 0)- Так как
к тому же по предположению Ж = &%@, 2), то из 2.2 сле-
следует, что 31 вполне регулярна.
2.5. Совершенно аналогично доказывается симметричная
теорема, согласно которой ЭД является вполне регулярной
тогда и только тогда, когда $ = S?i(l, 1) = йй@, 2).
2.6. Сопоставляя 2.3, 2.4 и 2.5, непосредственно полу-
получаем следствие о соответствующих классах регулярности.
Следствие. Если в полугруппе $ один из трех клас-
классов ЁяA, 2), &»B, 1) 6згB, 2) совпадает с §(, то и два
остальных класса равны §1.
2.7. Полученные критерии полной регулярности позво-
позволяют охарактеризовать вполне регулярные полугруппы
со стороны свойства изолированности их идеалов (IV, 6.1;
IV, 6.2, (if)). Действительно, сопоставляя 2.2 и IV, 6.4, (-у),
непосредственно получаем такое условие.
Следствие. У вполне регулярных полугрупп и только
у них все идеалы являются изолированными.
2.8. Пользуясь 2.4 и IV, 6.4, (а), можно видоизменить
последнее условие.
Следствие. Для того чтобы полугруппа была вполне
регулярной, необходимо и достаточно, чтобы она являлась
регулярной полугруппой, все левые идеалы которой изо-
изолированы.
2.9. Рассмотрим ряд других свойств идеалов вполне регу-
регулярных полугрупп.
Пусть % есть вполне регулярная полугруппа,
(а). Если %1 и %2 являются двусторонними идеа-
идеалами Щ., то
Действительно, включение
очевидно. С другой стороны, пусть X^Z^^Z.^. Так как X
вполне регулярен, то при некотором Y?%
Так как X^ZX и YX?X2, то
Х=Х.

428 разложения полугрупп [гл. Viii
Следовательно,
(Р). Если ?х и %г являются двусторонними идеа-
идеалами Щ., то
Это непосредственно следует из (а).
(¦у). Если Z, есть двусторонний идеал ЭД, то
Это непосредственно следует из (а).
(8). Двусторонне идеальной оболочкой элемента
(IV, 3.3; IV, 3.6) является %А%.
Действительно, так как А обладает двусторонней еди-
единицей /, то
и потому
(е). Относительно действия умножения подмножеств
главные двусторонние идеалы ЭД образуют полугруппу,
а сопоставление каждому элементу Щ его двусторонне
идеальной оболочки является гомоморфизмом Щ на эту
полугруппу.
Действительно, для любых А, В, С с%
(BCAf = BC-AB-CA<= %АВ%.
Но ЭДЛВЭД есть идеал. Согласно 2.7, он изолирован и
потому, согласно IV, 6.2, (•»)),
ВС А ? ШАВй.
Благодаря этому включению и благодаря (Р)
ШВШ = VB9. ¦ ШАШ с И • ВЫ • Ш с
Так как к тому же, очевидно, имеет место и обратное вклю-
включение, то мы получаем

§ 2] вполне регулярные полугруппы 429
Отсюда непосредственно следует справедливость доказывае-
доказываемого утверждения.
2.10. С помощью свойства полной регулярности можно
дать новый подход к вполне простым полугруппам без нуля,
рассмотренным в § 3 и § 6 главы V.
Теорема. Полугруппа Ш будет вполне простой полу-
полугруппой без нуля тогда а только тогда, когда она вполне
регулярна и не имеет собственных двусторонних идеалов.
Доказательство. 1) Если Щ. есть вполне простая
полугруппа без нуля, то, как мы знаем (V, 6.7), каждый ее
элемент содержится в некоторой ее подгруппе. Согласно 2.1,
это означает, что ft является вполне регулярной. Собствен-
Собственных двусторонних идеалов % не имеет по определению вполне
простой полугруппы без нуля.
2) Пусть Щ. вполне регулярна и не имеет собственных
двусторонних идеалов. Пусть /j и /2 такие идемпотенты ЭД, что
Благодаря V, 3.10; V, 6.15 для доказательства того, что Ъ.
вполне простая полугруппа без нуля, достаточно показать,
что эти равенства возможны лишь при /х = /2.
Так как Щ$. есть двусторонний идеал И, то он должен
совпадать с %, т. е. при некоторых X, Ш
I2 XI,Y.
Обозначив
A = I2XI2, B = 12YI2,
получаем
AIXB = I2XI2IJ2YI2 = 1гХ1^12 = 1г1212 = /2.
Пусть А' есть элемент, регулярно сопряженный с Л и
перестановочный с ним (II, 6.7). Так как
/2 = А1ХВ = АА'А^В = ААЧ2 = А'А12 = А'А = АА',
то
/2 = /2/2 = А'АА'А = A'I2A = A'AI^BA = 1г1хВА = 1гВА.
Таким образом, /2 оказывается регулярной левой единицей
для /ц. Аналогично показываем, что /2 есть и регулярная
правая единица /х. Но, как мы знаем A1,6.5), элемент может
иметь лишь одну регулярную двустороннюю единицу, каковой
для It является он сам. Следовательно, /2 = Д.

430 разложения полугрупп [гл. Viii
2.11. Выясним, что представляют собой двусторонне
идеальные слои (IV, 3.3) вполне регулярных полугрупп.
Лемма. Пусть 31 есть двустороннеидеальный слой
вполне регулярной полугруппы 21. Для любого N ? 31
множество
если оно непусто, является двусторонним идеалом ЭД.
Доказательство. Предположим, что в ЭДЭТИ най-
найдется элемент Z, не содержащийся в 3V. При некоторых U,
V?$ и Т?31'
Z = UTV.
Так как
UWV с
то Z?3l. По определению двустороннеидеального слоя,
принимая во внимание 2.9, (S), получаем
Но тогда, с одной стороны,
ИМИ =
и, с другой стороны,
Однако равенство ЩЛ/^Щ = SlT^l невозможно, ибо
а Г?Я.
Мы показали, что ЭД-ЭТ'й с ^'. Так как каждый элемент
из 31' обладает и левой и правой единицей, то это и озна-
означает, что W является двусторонним идеалом §1.
2.12. Теорема. Двустороннеидеальный слой 31 вполне
регулярной полугруппы Ш является вполне простой полу-
полугруппой без нуля.
Доказательство. Благодаря 2.10 достаточно пока-
показать, что 31 есть вполне регулярная полугруппа, не имеющая
собственных двусторонних идеалов.
Если Nv N2?3l, то благодаря 2.9, C)

§ 2] ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫЕ ПОЛУГРУППЫ . 431
Согласно 2.9, (f), (8), (е),
Из этого благодаря N^St вытекает, что ЛуУг€^- Таким
образом, -W оказывается подполугруппой %.
Множество
является двусторонним идеалом Ж. Оно содержит Л/?.
Поэтому, согласно 2.7, оно должно содержать и Nv
Но двусторонний идеал, содержащий один из элементов дву-
стороннеидеального слоя, должен содержать и всякий другой
его элемент. Следовательно,
где Л" и У принадлежат ЭДЛ/Д. Ни X, ни Y не могут
содержаться в ЭДЛ/ДХ-Л, которое не содержит N2 и,
согласно 2.11, является двусторонним идеалом. Следова-
Следовательно, X, Y?%1. Таким образом, из N2 = XN1Y следует,
что всякий двусторонний идеал подполугруппы 91, содержа-
содержащий один из ее элементов, обязательно содержит и любой
другой элемент, т. е. 9^ не обладает собственными двусто-
двусторонними идеалами.
Так как Л^Э1? вполне регулярен в ЭД, то при некото-
некотором
= N, XNX=N, XN =
Очевидно, всякий двусторонний идеал ЧЩ, содержащий
один из элементов N или X, должен содержать и второй.
Следовательно, N и X принадлежат одному и тому же дву-
стороннеидеальному слою, т. е. Х? %1. Отсюда следует,
что N есть вполне регулярный элемент полугруппы 31.
2.13. Полученные свойства вполне регулярных полугрупп
позволяют найти для них важное разложение.
Теорема. Вполне регулярная полугруппа является
коммутативной связкой A.12) вполне простых полу-
полугрупп без нуля.
Доказательство. Согласно IV, 3.8, вполне регуляр-
регулярная полугруппа % является объединением без пересечений
своих двусторонних идеальных слоев, каждый из которых,

432 РАЗЛОЖЕНИЯ ПОЛУГРУПП [ГЛ. VIII
согласно 2.12, является вполне простой полугруппой без нуAЯ
Возьмем два произвольных двустороннеидеальных слоя ¦№„
и Щ и выделим в них по два произвольных элемента
Аа, л1^ЭТа; лр, 4€Щ-
Элементы из одного и того же слоя имеют одинаковые дву-
стороннеидеальные оболочки
Пользуясь 2.9, (s), получаем
Следовательно, АЛА? и ЛаЛр содержатся в одном и том же
двустороннеидеальном слое 9t. Это означает, что
Но благодаря 2.9, ф)
ЯИрИ„И = 1Мрй • ЯЛД -= ЯД„Я • ЗИ
Поэтому и ЛрЛ.^ЭТ., откуда следует
2.14. Следствие. Полугруппа, все элементы которой
идемпотентны, является коммутативной связкой ма-
матричных связок единичных групп.
Доказательство. Так как каждый идемпотент полу-
полугруппы образует ее единичную подгруппу, то, согласно 2.1.
и 2.13, полугруппа ЧЦ, все элементы которой идемпотентны,
является коммутативной связкой вполне простых полугрупп
без нуля, все элементы которых идемпотентны. Но таковые,
как было отмечено в V, 6.14, изоморфны полугруппам типа,
рассмотренного в V, 6.11, т. е. очевидным образом пред-
представляют собой матричные связки единичных групп.
2.16. Полученное следствие позволяет вывести уже упо-
упоминавшийся нами важный результат об общих связках, полу-
полученный Клиффордом [11].

§ 2] ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫЕ ПОЛУГРУППЫ 433
Теорема. Полугруппа, являющаяся связкой полугрупп,
принадлежащих некоторому классу Г, может быть
представлена в виде коммутативной связки полугрупп,
являющихся матричными связками полугрупп, принад-
принадлежащих классу Г.
Доказательство. Пусть и есть связка полугруппы %,
все компоненты которой 58а, Sp, ... принадлежат классу Г.
Рассмотрим факторполугруппу ЭД = ЭД/п, элементами которой
являются Э3„, ЭЗр, ... (VII, 2.4). Так как естественному гомо-
гомоморфизму ср полугруппы % на % (VII, 2.5) соответствует п,
то, согласно 1.8, все элементы полугруппы <р(ЭД = 21 являются
идемпотентами. Согласно 2.14, 51 есть коммутативная связка
матричных связок единичных групп и потому существует
такой гомоморфизм t|> полугруппы ЭД на коммутативную полу-
полугруппу ЭД, все элементы которой идемпотентны, что гомо-
гомоморфизму t]> соответствует эта коммутативная связка полу-
полугруппы Щ A.12). Произведение tj.cp является гомоморфизмом
% на Ж. Соответствующее ему двусторонне стабильное раз-
разбиение т должно быть коммутативной связкой Ш A.12).
Полный прообраз произвольного элемента из W при гомо-
гомоморфизме i|<p представляет собой объединение некоторых
из 23а, ЗЗо, ..., которые в ЭД образуют матричную связку.
Это означает, что их можно снабдить такими парами индек-
индексов Sg,,, %„, .... что, согласно действию в Щ = Щ/п, кото-
которое обозначим значком О. имеет место
(напоминаем, что 8^- 23„, .. . являются каждая отдельным
элементом факторполугруппы 91 = Ж/п). Согласно связи между
действиями в самой полугруппе и в факторполугруппе (VII, 2.3),
в Щ для умножения 8^, SaT, . .. как подмножеств §1, мы
получаем
Но это и означает, что полный прообраз элемента полу-
полугруппы Щ при гомоморфизме <[?. т. е. компонента коммута-
коммутативной связки т, является матричной связкой полугрупп ЯЦ,,
которые все принадлежат классу Г.

434 РАЗЛОЖЕНИЯ ПОЛУГРУПП [ГЛ. VIII
§ 3. Вполне регулярные инверсные полугруппы
3.1. Особо остановимся на вполне регулярных полу-
полугруппах, являющихся инверсными полугруппами. Класс таких
полугрупп был изучен Клиффордом [4] и затем А. Е. Либе-
ром [2], который называл такие полугруппы простейшими
обобщенными группами.
Как всегда, при рассмотрении инверсных полугрупп бу-
будем употреблять черту для обозначения регулярно сопряжен-
сопряженного элемента, который в инверсной полугруппе определяется
единственным образом. Без дополнительных ссылок будем
пользоваться свойствами II, 7.3; II, 7.5.
Если инверсная полугруппа вполне регулярна, то благо-
благодаря перестановочности Л и Л для всякого элемента А имеет
место
А~АА = ААА = А.
Оказывается, что условие
АА* = А,
выполненное для всех элементов инверсной полугруппы 21,
также достаточно и для того, чтобы 51 была вполне [регу-
[регулярна.
Действительно, применим это условие к А
(А) АА = А, ААА = А.
Отсюда, переходя к регулярно сопряженным, получаем
ААА = А.
При помощи этого равенства и того, что ААг = А, по-
получаем
что и доказывает полную регулярность полугруппы.
Аналогично и условие
А2А = А,
выполненное для всех элементов, необходимо и достаточно
для полной регулярности инверсной полугруппы.
3.2. Если во вполне регулярной полугруппе все идемпо-
тенты перестановочны между собой, то она является инвер-

§ 3] ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫЕ ИНВЕРСНЫЕ ПОЛУГРУППЫ 435
сной (II, 7.4). Оказывается, что в этом случае о перестано-
перестановочности идемпотентов можно высказать и более сильное
утверждение.
Теорема. Во вполне регулярной инверсной полугруппе
каждый идемпотент перестановочен со всяким элемен-
элементом полугруппы.
Доказательство. Используя известные свойства ре-
регулярно сопряженных элементов, получаем для произвольных
элемента А и идемпотента / нашей полугруппы
(AI) (AI) = TaAI = IAAI.
Так как регулярно сопряженные элементы (AI) и (AI)
перестановочны и перестановочны идемпотенты / и АА, то
из этих равенств следует
А!А = 1АА.
Благодаря этому получаем
AI = AAAI = AIAA = IAAA = IA.
3.3. Обозначим через § множество всех идемпотентов
вполне регулярной инверсной полугруппы ЭД. ф является
коммутативной полугруппой идемпотентов. Так как вполне
простая полугруппа без нуля, каждый идемпотент которой
перестановочен со всеми ее элементами, является группой
(V, 6.7, (f), (8)), то применительно к Ж результат 2.13 озна-
означает, что вполне регулярная инверсная полугруппа И яв-
является коммутативной связкой групп
Я= U ©/•
Здесь ®i есть группа с единицей /.
Справедливо и обратное — всякая коммутативная
связка групп является вполне регулярной инверсной по-
полугруппой. Действительно, ее полная регулярность следует
из того, что каждый ее. элемент содержится в некоторой
подгруппе (Ш,|.15). Пусть Д и /2 — два ее идемпотента.
Так как полугруппа есть коммутативная связка групп, то для
некоторой подгруппы © нашей полугруппы

436 разложений полугрупп [гл. vm
Отсюда следует
Для элементов группы это возможно лишь в том случае,
когда О2 = Е(ц. Аналогично убеждаемся, что и Gl = Eqi.
Из перестановочности произвольных идемпотентов заключаем
об инверсности нашей вполне регулярной полугруппы.
Мы показали, что в коммутативной связке групп идем-
потенты перестановочны. Отсюда следует, что их множе-
множество ф образует коммутативную полугруппу идемпотентов.
Как мы показали в § 4 главы II, строение ф может быть
задано соответствующим частичным упорядочением в ф.
Отметим, что перемножение идемпотентов в полугруппе ф
определяет умножение компонент в нашей коммутативной
связке. Действительно, если
то
и, следовательно,
3.4. Если в ф для U, V ? ф имеет место UV = U, то
рассмотрим отображение ip^. r группы ©?¦ в группу ©р-
Так как UX^(§>u и XU?®Ut то
и потому
= UXU = UX= XV.
Благодаря этому легко убеждаемся, что отображение
является гомоморфизмом
(X,
Отметим два свойства указанных гомоморфизмов.
A). <рр. р. есть тождественный изоморфизм.

§ 3] ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫЕ ИНВЕРСНЫЕ ПОЛУГРУППЫ 437
B). Если
UV=U, VW — V (U, V,
то
Первое из них очевидно, поскольку U есть единица группы ®о-
Легко доказывается и второе. Пусть X?(§
Тогда VXV?®V и
= U (УXV) U = UXU = срг< w (X).
З.б. Таким образом, мы обнаружили, что вполне регу-
регулярной инверсной полугруппе $ сопоставляется система, со-
.стоящая из следующих элементов.
(а). Коммутативная полугруппа идемпотентов ф (сово-
(совокупность всех идемпотентов Ж).
ф). Совокупность попарно непересекающихся групп ©/,
единицы которых образуют множество § (Е@1 = 1\.
(?). Совокупность гомоморфизмов срр. Y, определенных для
каждой пары U, V??, такой, что UV — U. Здесь ср^. у есть
ГОМОМОрфИЗМ Группы ©7 в ГРУППУ (Ви- ГомОМОрфИЗМЫ (fp. у.
обладают свойствами 3.4, A), B).
3.6. Задание системы 3.5 вполне определяет строение
вполне регулярной инверсной полугруппы Ш. Действительно,
множество элементов Щ. есть объединение всех групп ©/,
указанных в ф). Умножение элементов Ш производится по
следующему правилу.
Пусть
Тогда XY^&W, UW = W, VW = W и потому
XY = W(XY)W = WX- YW = 4WtU(X)-4WtV.(Y).
Последнее произведение вполне определено заданием
группы ©и>-, так как оба его множителя суть элементы из ®w
3.7. Сопоставление вполне регулярной инверсной полу-
полугруппе ее системы 3.5 дает полную классификацию таких
полугрупп, впервые полученную Клиффордом [4]. Это

438 РАЗЛОЖЕНИЯ ПОЛУГРУПП (ГЛ. VIII
следует из того) что, как мы сейчас покажем, каждая система
Типа 3.5 сама, в свою очередь, определяет некоторую вполне
регулярную инверсную полугруппу.
Пусть дана произвольная система, состоящая из элемен-
элементов, указанных в 3.5. В множестве ЭД, являющемся объеди-
объединением всех групп &i этой системы, определим действие.
Пусть
Y?®F, UV = W (U, V,
Полагаем
T есть определенный элемент из &w< так как, по опреде-
определению гомоморфизмов <?w p. и ср^ v, он является произве-
произведением элементов из этой группы.
Из того, что ср7 j (/?ф) есть тождественный изоморфизм,-
сразу следует, что для элементов из ©j действие, опреде-
определенное в Ш., совпадает с действием, определенным в самой ©j.
Также для элементов из ф — действие, определенное в ЭД,
совпадает с действием, определенным в ф. Это следует из
того, что если в ф
UV = W, (С/, V,
то в Ш
Но U есть единица группы ©р-, a W — единица группы & w
Поэтому cpjp U(U) = W. Аналогично yw r(V) = W. Таким
образом, и в It мы получаем
U-V = W • W = W.
Покажем, что определенное нами действие в 31 ассоциативно.
Действительно, если
Xi € ®uv UtU2 = V, VU3 = W; Ut, V, W ? ф, (/=1,2, 3),
то, пользуясь свойством наших гомоморфизмов, получаем
Р w, v ¦ ЯУ, и) (Xi)} • [(«Pit, v ' Ъ, ut) (Xz)\' bv, и,

§ 3] ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫЕ ИНВЕРСНЫЕ ПОЛУГРУППЫ 439
Совершенно аналогично убеждаемся, что и произведение
Хх(ХгХ^ равно тому же самому элементу из ®w-
Так как Ш есть объединение групп ©j (/?ф), то она
вполне регулярна (III, 1.15). Ее идемпотентами являются эле-
элементы из ф, которые образуют коммутативную полугруппу.
Поэтому ЭД инверсна A1,7.4).
Легко убеждаемся, что система 3.5, соответствующая
полученной вполне регулярной инверсной полугруппе, совпа-
совпадает с исходной системой. § есть коммутативная полугруппа
идемпотентов ЭД, причем ${ является объединением групп &т
('€?)•
Для
X?®r, UV = V, (U,
мы имеем
т. е. гомоморфизмы системы, соответствующей построенной
полугруппе, совпадают с соответствующими гомоморфизмами
из исходной системы.
3.8. Множество идемпотентов вполне регулярной инверс-
инверсной полугруппы является коммутативной полугруппой идем-
идемпотентов. Такая полугруппа, как мы показали в § 4 главы II,
сопряжена с некоторой полуструктурой. Ее задание равно-
равносильно заданию сопряженной с ней полуструктуры. Среди
полуструктур особо простыми являются структуры, пред-
представляющие собой вполне упорядоченное множество. В связи
с этим в классе всех инверсных вполне регулярных полу-
полугрупп естественно выделяется класс таких полугрупп, идем-
потенты которых вполне упорядочены относительно отноше-
отношения быть единицей один для другого. На этот класс полу-
полугрупп впервые обратил внимание Н. Н. Воробьев [4], [8],
обнаруживший особую роль полугрупп этого класса в отно-
отношении свойства существования единиц у идеалов полугруппы.
3.9. Пусть 21 есть такая вполне регулярная полугруппа,
у которой всякое непустое множество ее идемпотентоз со-
содержит свою двустороннюю единицу.
Рассмотрим ряд свойств %.
(а). Щ инверсна.

440 РАЗЛОЖЕНИЯ ПОЛУГРУПП [ГЛ. VIII
Действительно, пусть Д и /2 произвольные идемпотенты 9{.
Так как множество {Д, /2} содержит свою двустороннюю
единицу, то
IJ2 = I2h = h.
Следовательно, идемпотенты Щ. перестановочны, откуда, со-
согласно II, 7.4, следует, что *й инверсна.
(Р). Ш является непересекающимся объединением вполне
упорядоченного множества групп
% = ©^©2U ... U©5U®5+iU ... (?<»,
причем для любых т\ < % < jj.
Е® E@i = Ещ^Ет = Ещ.
Действительно, если для идемпотентов / и V полугруппы f(
обозначить 1-^,1' в том случае, когда //' = /'/=:/', то мно-
множество всех идемпотентов относительно такого упорядочения
будет, согласно предположению относительно ЭД, вполне
упорядоченным
Так как % вполне регулярна, то она есть непересекаю-
непересекающееся объединение групп ©5 0-^?<нО. где ©j есть мно-
множество всех элементов Щ, имеющих /5 своей регулярной
двусторонней единицей (III, 1.14; III, 1.16).
(•j). Отображение ср^ ч для t\ ^ % < р группы ®п
является гомоморфизмом ®^ в ®5.
Это. следует из (а), ф) и 3.4.
(8). Гомоморфизмы cp5i1) удовлетворяют условиям:
A). ср5>? ecwfr тождественный изоморфизм;
B). для т) <; | ^ С < jj, имеет место
•Рее* *Ьч = (Рс.ч-
Это следует из (f) и 3.4
(s). Строение % вполне определено заданием вполне
упорядоченной последовательности групп
« гомоморфизмами ср5,,, (¦»}<?< [*)•

§ 3] ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫЕ ИНВЕРСНЫЕ ПОЛУГРУППЫ 441
Это следует из 3.6.
(С). Для любого v < |а множество
2V= U
i
является двусторонним идеалом %, причем иных идеа-
идеалов ЭД не имеет.
То, что ?„ есть двусторонний идеал %, следует из того,
как в Щ. производится действие C.6).
Пусть 2 есть произвольный левый идеал ЭД. Если 2ЭА>
то 2 содержит и все элементы группы ©j, так как Х1^ = Х
для любого Х?($?.
В множестве тех /5, которые содержатся в й, имеется
единица /х. Поскольку все /5 для \ ~^. X принадлежат й, мы
получаем
ьг,
Так как /„ при о < X не содержится в й, то никакие
элементы из ©, не принадлежат й. Таким образом, оказы-
оказывается, что 2 = ?х.
(ifj). Все идеалы % двусторонние.
Это следует из (С).
F). Каждый идеал % содержит свою единицу.
Действительно, в ?„ элемент /, является двусторонней
единицей для всякого Д (?>-v), а потому и для любого
?. так как h есть Двусторонняя единица для X.
3.10. Напомним, что из 3.7. следует, что задание вполне
упорядоченного множества произвольных групп ©$ A <! % < ]>¦)
и гомоморфизмов ср5I) (тг)^1), удовлетворяющих свойст-
свойствам 3.9, (8), определяет задание некоторой вполне регуляр-
регулярной полугруппы, которая, очевидно, будет обладать тем
свойством, что любое непустое множество его идемпотентов
fсодержит свою единицу.
i 3.11. Значение рассмотренных полугрупп определяется
нижеследующей теоремой.
Теорема. Если в полугруппе % каждый левый идеал
содержит свою единицу, то % есть вполне регулярная
полугруппа, у которой всякое непустое множество ее
идемпотентов содержит свою единицу.
Доказательство. 1) Каждому идемпотенту / полу-
полугруппы Ш. сопоставим множество W, состоящее из всех

442 РАЗЛОЖЕНИЯ ПОЛУГРУПЙ (ГЛ. VUI
элементов Ш, для которых / является правой единицей. Ш есть
левый идеал и потому он должен содержать свою единицу /'.
Так как VI = 1' и /'/ — /, то /' = /, т. е. / является дву-
двусторонней единицей в %1.
Других левых идеалов, кроме идеалов указанного вида,
Ш не имеет. Действительно, пусть 8 есть произвольный ле-
левый идеал ЭД. Он должен содержать свою единицу / и потому
т. е. 2 = Ш- Так как каждый левый идеал содержит лишь
одну свою единицу, то между идемпотентами ЭД и ее левыми
идеалами устанавливается взаимно однозначное соответствие.
Пусть 1Х и /2 есть два произвольных идемпотента ЭД.
Так как %.IX U Ш2 есть левый идеал %, то при некотором
идемпотенте /3
/3 должен содержаться в %J± или в %1г. В первом случае /3,
будучи единицей Ш3, будет единицей и для $Л и потому
/3 = /^ откуда следует %I^zi%.Iv Во втором случае /3 = /г
и ЭДЛсШг- Таким образом, из двух произвольных левых
идеалов %1^ и W2 всегда один содержится в другом; при
этом
имеет место в том случае, когда
Пусть ф есть произвольное непустое множество идемпо-
тентов %. Рассмотрим левый идеал 51ф. При некотором
идемпотенте /
Следовательно, для некоторого /'
/с»'.
Так как
то 51/' = Щ/ и, согласно сказанному выше, /' = /. Идемпо-
тент /' = /, будучи единицей идеала Ш = Щ>, тем самым
будет двусторонней единицей и в множестве ф, которому
он принадлежит.

§ 3] ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫЕ ИНВЕРСНЫЕ ПОЛУГРУППЫ 443
2) Возьмем произвольный элемент А полугруппы Ж. А [} ША
есть левый идеал %, а потому при некотором идемпотенте
причем / есть единица %1.
Обозначим через 8 объединение всех таких левых идеа-
идеалов полугруппы %1, которые не содержат /. Очевидно, 8 есть
собственный левый идеал полугруппы %1 или 2=0. Пусть
2 Ф 0. Так как
то 2 является левым идеалом %. Поэтому при некотором
идемпотенте /'
Щ/ есть левый идеал %, принадлежащий %1 и содержащий 8
(так как 2/ = 2).
Если бы 831/ содержал /, то при некоторых Х? 2 и А ? 51
мы имели бы
что невозможно, ибо /'?2, а / ? ?. Следовательно,
Таким образом, 8 или пусто, или является двусторонним
идеалом полугруппы 31/.
Обозначим
Если /С?К, то ЭД/С есть левый идеал Ш, принадлежащий
Ш и содержащий К- Так как АТ?8, то %К должен рав-
равняться %1. Обратно, если Х?%1 и %Х=Ш, то всякий ле-
левый идеал полугруппы %1, содержащий X, будет содержать
и $AV—2W=3l/, т. е. совпадает с %1. Потому X не мо-
может принадлежать 2, т. е. Х? К.
Если Ки АГ2^5?, то благодаря указанному свойству 5?
Кг = I/ • Кг = Ш2 = Я/.
т. е. KiK2(zR- Таким образом, й оказывается подполугруп-
подполугруппой % Так как / g 8, то / принадлежит R и, конечно,
является в нем единицей,

444 РАЗЛОЖЕНИЯ ПОЛУГРУПП [ГЛ. VIII
Пусть /е(;& Если 8 есть двусторонний идеал W, то
"Ш • (8 U StK) = (8 U St) ¦ (8 U SWO<=8 U 5ШСс8 U 5tfC,
т. е. 8U5UC оказывается левым идеалом Щ. Если 8=0,
то 5t/C—также левый идеал $ = $/. При этом он не со-
содержится в 8, ибо имеет элемент K-K = R, не принадле-
принадлежащий 8. По определению 8, этот идеал должен содер-
содержать /. Так как / ? 8, то при некотором К' ? 5? должно
иметь место
/С7Г=/.
Мы показали, что произвольный элемент К полугруппы $
является правым делителем единицы / этой полугруппы. Со-
Согласно II, 2.18, 5? является группой. Исходный элемент А
не может содержаться в 8, так как или 8=0, или 8 есть
левый идеал %, не содержащий /, тогда как A U %А содер-
содержит /. Так как A?W, то А должен принадлежать группе $.
Согласно III, 1.15, отсюда следует, что элемент А вполне
регулярен.
3.12. Учитывая 3.9, из полученной теоремы вытекает
следствие.
Следствие. Для того чтобы в полугруппе 91 каждый
идеал содержал свою единицу, необходимо и достаточно,
чтобы % была вполне регулярна и всякое непустое мно-
множество ее идемпотентов содержало бы свою единицу.
Строение таких полугрупп и ряд их свойств были опи-
описаны в 3.9. В частности, видно, что второе из условий •
следствия может быть заменено требованием, чтобы все
идемпотенты полугруппы образовывали вполне упорядочен-
упорядоченное множество
/i, /а. .... /е. А+1. ... (Б О),
в котором
ДЛЯ ЛЮбЫХ 7J -^ I < [>..
3.13. Ср-еди рассмотренных полугрупп содержатся, в ча-
частности, такие, которые удовлетворяют более сильному
условию существования единицы в каждой подполугруппе.
Теорема. Для того чтобы каждая подполугруппа
полугруппы Ш содержала свою единицу, необходимо и дО'

§ 4] ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО АННУЛИРУЮЩИЕ СВЯЗКИ 445
статочно, чтобы 31 была периодической вполне регуляр-
регулярной полугруппой, у которой всякое непустое множество
ее идемпотентов содержит свою единицу.
Доказательство. 1) Если каждая подполугруппа $
содержит свою единицу, то, в частности, и каждый левый
идеал содержит свою единицу, а потому, согласно 3.11, Щ
должна быть вполне регулярной полугруппой, у которой
всякое непустое множество ее идемпотентов содержит свою
единицу.
При этом всякий элемент Л из ft должен порождать
моногенную подполугруппу [А], которая должна содержать
свою единицу. Для этого необходимо, чтобы [А] была ко-
конечной. Таким образом, полугруппа ЭД должна быть перио-
периодической.
2) Пусть ЭД есть периодическая вполне регулярная по-
полугруппа, у которой всякое непустое множество ее идемпо-
идемпотентов содержит свою единицу. Согласно 3.9, ф), % есть
объединение вполне упорядоченного множества групп
Произвольная подполугруппа 23 полугруппы 31 равна
Объединению
U
Некоторые множества ©? могут оказаться пустыми.
' Пусть ©' есть первое из непустых (такое должно су-
существовать благодаря полной упорядоченности).
¦г Пусть Х?®\ Так как ©., есть периодическая группа,
k° W3Ai> где h есть единица группы ®v.
Ц По свойству 3.9, F) /, является единицей ?„, а потому
Р'единицей 93, содержащейся в 5EV.
§ 4. Последовательно аннулирующие связки
4.1. Задание коммутативной связки полугруппы равно-
равносильно заданию гомоморфизма на коммутативную полугруппу
идемпотентов A.8; 1.12). Среди таких полугрупп особо вы-
Нлеляются полугруппы, сопряженные с линейно упорядочен-
Шыми множествами A1,4.11). В связи с этим естественно

446 РАЗЛОЖЕНИЯ ПОЛУГРУПП [ГЛ. VIII
выделить и соответствующий класс коммутативных связок.
Соответствующая конструкция была рассмотрена А. М. Кауф-
Кауфманом [1] под названием простой последовательно уничто-
уничтожающей суммы. Рассмотрение этой конструкции позволяет
изучить строение так называемых голоидных полугрупп.
Выделение класса этих полугрупп довольно естественно само
по себе. Кроме того, эти полугруппы играют определенную
роль в изучении линейно упорядоченных- групп, на чем мы
остановимся в § 3 главы X.
4.2. Определение. Разбиение полугруппы % на под-
подполугруппы называется последовательно аннули-
аннулирующей связкой, если для любых двух различных
компонент 23 и 23' этого разложения выполняется, одно
из двух: или
для всякого Х??&, или
для всякого Y ?23'.
Очевидно, последовательно аннулирующая связка дей-
действительно является связкой в смысле определения 1.6 и при
том коммутативной A.12).
4.3. Из определения сразу следует, что множество всех
компонент последовательно аннулирующей связки оказывается
линейно упорядоченным относительно отношения частичного
упорядочения, определяемого следующим образом: 23-^23';
если 25 = 93', или
для любых
При этом, если для некоторых двух элементов двух
каких-нибудь компонент Х? 23 и X' ? 93' имеет место XX' = X'
или Х'Х=Х', то отсюда, очевидно, следует 23<^23'.
Непосредственно видно, что задание компонент последо-
последовательно аннулирующей связки и закона упорядочения в их
множестве вполне определяет строение полугруппы.
4.4. Разбиение полугруппы, состоящее из одной компо-
компоненты, совпадающей со всей полугруппой, будем называть
несобственной последовательно аннулирующей связкой.

§ 4] ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО АННУЛИРУЮЩИЕ СВЯЗКИ 44?
Отметим некоторые свойства последовательно аннулирую-
аннулирующих связок.
(а). Если все компоненты последовательно аннули-
аннулирующей связки полугруппы % являются коммутативными
полугруппами, то и сама Ш. коммутативна.
ф). Последовательно аннулирующая связка полу-
полугруппы с левым сокращением не может иметь более
двух компонент.
Действительно, предположим, что Sx, 232. 233 есть три
такие компоненты некоторой последовательно аннулирующей
связки, что
»1 < »2 < »3
относительно упорядочения 4.2. Тогда для
3з мы имеем
Х3 = ХъХг = ХъХгХ± = Х3ХХ, Х3 = Х3 Х2.
Так как Хх Ф Х2, то полугруппа не является полугруп-
полугруппой с левым сокращением.
(f). Если полугруппа с левым сокращением обладает
собственной последовательно аннулирующей связкой, то
она имеет единицу, которая присоединена внешним
образом.
Согласно ф), собственная последовательно аннулирую-
аннулирующая связка полугруппы ЭД с левым сокращением состоит из
двух компонент
Если /, /'?»! и Х?Ъ2, то
' XI = Х, XI'= Х
и потому 1 = 1'. Следовательно, 23t состоит лишь из един-
единственного элемента /. Так как St подполугруппа, то /2 = /.
Так как 93t < ©2» то
Х1 = 1Х=Х
для всякого Х?Ъ2. Следовательно, / есть единица % Так
как для X, Х'?Ч?,г и XX'?232, то единица / присоединена
' внешним образом.
(о). Если полугруппа с левым сокращением имеет еди-
единицу, которая присоединена внешним образом, то она

448 Разложений полугрупп [гл. Viit
обладает единственной собственной последовательно
аннулирующей связкой.
Первая компонента этой связки состоит лишь из
единицы, а вторая из всех неединичных элементов.
Действительно, пусть S81={?} и 932 = 21\Е, где Б
единица полугруппы К. Если единица Е присоединена внеш-
внешним образом, то, очевидно, разбиение % на 93Х и 932 является
последовательно аннулирующей связкой. То, что всякая
собственная последовательно аннулирующая связка % совпа-
совпадает с этой связкой, доказывается повторением рассужде-
рассуждения (if).
(е). Пусть п есть последовательно аннулирующая
связка полугруппы Ш, состоящая из компонент 23а,
23р 93„ .... и для каждой из компонент 93„ задана
своя последовательно аннулирующая связка п„, состоя-
состоящая из компонент 93(/\ ЗЗ*^, ... (v = a, C, ...). Тогда
разбиение 21 на подполугруппы 93, является последова-
последовательно аннулирующей связкой 21.
Действительно, если для 93$а) и 93J? имеет место 93, < 93^
относительно упорядоченности 4.3 компонент п, то
для всякого Х?щ}. Если же v = jt, но 93^ < 93^т) относи-
относительно упорядоченности 4.3 компоненты связки п,, то
для всякого Х^УЬ^. Из этого, согласно 4,2, следует, что
наше разбиение % является последовательно аннулирующей
связкой.
(С). Если для компонент последовательно аннулирую-
аннулирующей связки п полугруппы % определено отношение экви-
эквивалентности I, такое, что из
10.
всегда следует 93: — 932A), то Ш обладает следующей
последовательно аннулирующей связкой т. Каждая ком-

$ 4] ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО АННУЛИРУЮЩИЕ СВЯЗКИ
понента m является объединением всех компонент связки л,
эквивалентных между собой относительно 1.
Действительно, объединение любого множества компо-
компонент п, очевидно, является подполугруппой. Таким образом,
m является разбиением % на подполугруппы. Пусть 5? и К' —
две различные компоненты этого разбиения. Пусть ЗЗ^
932с:Я и 93j, ЗЗ^сК'— некоторые компоненты связки п. Если
®i < ^1* то и ^2 < ^а' так как ПРИ ®2 > ®2 мы ПОЛУЧИЛИ
бы противоречие со свойством эквивалентности I. Отсюда
следует, что для Х?$, X'?R всегда имеет место
Х'Х=Х'.
Отсюда, согласно 4.2, вытекает, что m является после-
последовательно аннулирующей связкой.
4.5. Пусть 47 есть некоторая непустая совокупность по-
слдоевательно аннулирующих связок полугруппы 31. Обозна-
Обозначим через t их точную нижнюю границу и через!—точную
верхнюю границу A.9). Так как все связки из W являются
коммутативными, то, согласно 1.13, ! и I также являются
коммутативными связками.
Пусть 33 и 23' есть две различные компоненты связки f.
Согласно I, 5.15, при некоторой связке п?ч7 множества 23
и 93' содержатся в различных компонентах л. Поэтому обя-
обязательно имеет место или 1) В23' = 23'В = В для всякого
В ? 23, или 2) В'23 —ЪВ' = В' для всякого В' ? 93'. Отсюда
следует, что t есть последовательно аннулирующая связка.
Пусть б и й' есть две различные компоненты связки I.
Согласно I, 5.16, относительно любой связки п?\Р множе-
множества E. и (j/ лежат в разных компонентах и. Отсюда сле-
следует, что имеет место или 1) CQi'= &С — С для всякого
C?(S, или 2) С% = &С' = С для всякого C'?(S'. Отсюда
следует, что t есть последовательно аннулирующая связка.
4.6. Из доказанного в 4.5 следует, что совокупность
всех последовательно аннулирующих связок полугруппы
относительно частичной упорядоченности I, 5.14 является
полной структурой.
4.7. Пусть последовательно аннулирующая связка fo
есть точная нижняя граница всех последовательно аннули-
аннулирующих связок полугруппы Щ. D.6). Связка to представляет

450 разложения полугрупп [гл. viii
собой самое дробное разбиение 31 по сравнению со всеми
последовательно аннулирующими связками. Компоненты %
благодаря 4.3, (s) являются полугруппами, не имеющими
собственных последовательно аннулирующих связок. Так как
к тому же для всякой последовательно аннулирующей
связки л полугруппы Ш имеет место fo-<n, то п, очевидно,
может быть получена из f0 способом, описанным в 4.3, (т)).
4.8. Рассмотренная конструкция, в частности, оказы-
оказывается полезной при изучении одного класса полугрупп,
естественность которого определяется важностью отношений
делимости элементов в полугруппе.
Определение. Полугруппа Щ. называется го лоид-
но й если для любых двух ее различных элементов один
является и левым и правым делителем другого, тогда
как этот второй не может быть одновременно а левым
и правым делителем первого.
Во всякой полугруппе можно определить отношение,
согласно которому два элемента А а В находятся в этом
отношении между собой, если А = В или В делится на А
и слева и справа. То, что полугруппа является голоидной,
означает, что это отношение является отношением линейной
упорядоченности (I, 5.11). При рассмотрении этого отно-
отношения мы будем считать, что А предшествует В, если А = В
или В делится и слева и справа на А.
Следует иметь в виду, что отдельный элемент голоид-
голоидной полугруппы может являться своим собственным и левым
и правым делителем, т. е. может обладать и левой и пра-
правой единицами. Наравне с этим может также случиться, что
таковых для данного элемента не имеется.
4.9. Бесконечная моногенная полугруппа, очевидно,
является голоидной. Что касается конечной моногенной по-
полугруппы, то она является голоидной тогда и только тогда,
когда ее тип (III, 3.7) имеет вид (h, 1).
4.10. Отметим следующее свойство голоидной полу-
полугруппы %. Если в % имеется первый элемент X относи-
относительно линейной упорядоченности голоидной полугруппы,
то все элементы из [X] предшествуют в отношении этой
упорядоченности всем элементам, не входящим в [X].
Действительно, пусть К^[^П. Докажем по индукции
относительно п, что X" предшествует К. Для п = 1 это
справедливо по определению X.

§ 4] ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО АННУЛИРУЮЩИЕ СВЯЗКИ 451
Пусть Хп~г предшествует Y, т. е. при некоторых U,
Y = Xn~1U, Y = VXn~1.
Так как Y?[X], то U Ф X, УфХ и потому при некото-
некоторых W, К'?И •
U = XU', V = V'X,
откуда и получаем, что Хп предшествует Y:
4.11. Теперь рассмотрим вопрос о разложении голоид-
ных полугрупп в последовательно аннулирующие связки.
Пусть п есть последовательно аннулирующая связка
голоидной полугруппы Ш. Всякая ее компонента 23
является голоидной полугруппой.
Действительно, пусть для В, В'?23 и X, К?Щ имеет
место
X не может принадлежать компоненте, которая следует
за 33 и отлична от нее D.3), так как в этом елучае мы
имели бы ХВ = Х. Если же X принадлежит компоненте,'
предшествующей В и отличной от нее, то ХВ = В, и мы
имеем В' = В. Аналогично обстоит дело и с К. Таким
образом, X, У?23 и потому В' делится на В и слева
и справа в 93. Если В Ф В'', то В делиться одновременно
и слева и справа на В' в 33 не может, так как это невоз--
можно в %.
4.12. Имеет место и обратное по отношению к 4.11
свойство. Если некоторая полугруппа % обладает по-
последовательно аннулирующей связкой и, все компоненты
которой голоидные, то Щ сама является голоидной по-
полугруппой.
Действительно, пусть А, А'?%; АфА'; А?23; А'?23',
где SB и 23' — компоненты связки п. Если 23 ф 23' и 23 пред-
предшествует 23' относительно линейной упорядоченности 4.3, то
А' = А'А, А' = ААГ.
Соотношение А — А'Х невозможно, так как произведе-
произведение А'Х должно содержаться в компоненте 23" связки л,
которая следует за 23', а А ? 23, причем 23 < 23'.

452 РАЗЛОЖЕНИЯ ПОЛУГРУПП [ГЛ. VIII
Если 93 = 23', то в 23 один из А и А' делится на дру-
другой и слева и справа, тогда как второй в 93 на первый де-
делиться одновременно и слева и справа не может, ибо по-
полугруппа 93 голоидная. Для Х?Ш, принадлежащего компо-
компоненте, отличной от 23, равенство А' = ХА невозможно.
Действительно, если компонента, содержащая X, предше-
предшествует 23, то ХА = А, если же она следует за 33, то ХА
содержится в этой компоненте, но не в 93.
4.13. Рассмотренные свойства последовательно аннули-
аннулирующих связок позволяют, как показал А. М. Кауфман [2],
описать строение и дать полную классификацию конечных
голоидных полугрупп. Этот результат А. М. Кауфмана
является последовательным развитием предшествующих работ
Клейн-Бармена [1], [2] и [3].
Теорема. Всякая конечная голоидная полугруппа раз-
разлагается в последовательно аннулирующую связку мо-
моногенных голоидных полугрупп D.9).
Доказательство. Согласно 4.7, конечная голоидная
полугруппа 51 разлагается в последовательно аннулирующую
связку полугрупп 23t, 932 23ТО, которые сами не имеют
собственных последовательно аннулирующих связок. 23„
(»=1, 2 т) сама, согласно 4.11, является голоидной
полугруппой. Покажем, что полугруппа 93П моногенна. Обо-
Обозначим через X первый элемент 23„ относительно линейной
упорядоченности в голоидной полугруппе 93„. Тип конечной
моногенной полугруппы [X] имеет вид (А, 1) (III, 3.7), так
как в противном случае в [X]cz% нашлись бы два различ-
различных элемента, одновременно делящихся друг на друга
и слева и справа.
Предположим, что ЪпФ [X]. Обозначим через E. = 23„\[ЛГ]
и через Y первый относительно упорядоченности элемент
из (L Каждый элемент из (Ш делится на К и слева и справа.
Поэтому он принадлежит 6, ибо, согласно 4.10, все эле-
элементы из [X] предшествуют всем элементам из 6, в том числе
и элементу Y. Таким образом, мы получаем разбиение 93Я
на две подполугруппы:
Всякий элемент С из 6 делится на Xh и слева и справа:

§ 4] ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО АННУЛИРУЮЩИЕ СВЯЗКИ 453
Так как тип [X] есть (А, 1), то для любого Хк ? [X] имеет
место
Отсюда следует
СХ* = UX*X* = UX* = С,
ХкС = XkXW = X*V = С.
Таким образом, наше разбиение является последовательно
аннулирующей связкой, что противоречит тому, что 23П не
должна обладать собственными последовательно аннулирую-
аннулирующими связками. Таким образом, на самом деле должно иметь
место Ъп = \Х\.
4.14. Так как моногенная голоидная полугруппа, оче-
очевидно, не имеет собственных последовательно аннулирую-
аннулирующих связок, то разложение, полученное в 4.13, является
для конечной голоидной полугруппы % тем единственным
разложением f0> о котором шла речь в 4.7. Задание этого
разложения, согласно сказанному в 4.3, вполне определяет
строение %. В частности, оказывается, что Щ обязательно
коммутативна. Так как конечные моногенные голоидные по-
полугруппы полностью характеризуются числом своих элемен-
элементов, то строение % целиком определяется последователь-
последовательностью натуральных чисел щ, щ. пт, соответственно
равных количествам элементов в компонентах последователь-
последовательности компонент указанной последовательно аннулирующей
связки. Для изоморфизма двух конечных голоидных полу-
полугрупп, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы указан-
указанные последовательности чисел для них были одинаковы.
4.15. Нетрудно убедиться, что почти без изменений рас-
рассуждения 4.13 и 4.14 распространяются на такие голоид-
голоидные полугруппы, элементы которых упорядочены по типу
упорядочения по величине множества всех натуральных чисел.
Такие полугруппы также оказываются коммутативными и раз-
разлагаются в последовательно аннулирующие связки моноген-
моногенных голоидных полугрупп. Отличием от разобранного выше
случая будет лишь то, что число компонент в таком разло-
разложении может быть бесконечным. В случае конечного числа
компонент последняя компонента оказывается бесконечной
моногенной полугруппой.

454 РАЗЛОЖЕНИЯ ПОЛУГРУПП [ГЛ. V1I1
§ 5. Базисные классы
6.1. В связи с идеей изучения строения полугрупп при
помощи представления их в виде объединения некоторых их
подполугрупп естественно возникает нижеследующее понятие,
введенное Е. С. Ляпиным [11]. В приводимом определении,
также как и повсюду в дальнейшем в продолжение настоя-
настоящего параграфа, мы, не оговаривая этого особо, под клас-
классами полугрупп будем понимать лишь классы, замкнутые
относительно изоморфизмов, т. е. классы, содержащие вместе
с некоторой полугруппой и все ей изоморфные полугруппы.
Определение. Класс полугрупп Го называется базис-
базисным классом для класса полугрупп Г, если выпол-
выполнены следующие условия.
(а). Каждая полугруппа из Г может быть предста-
представлена в виде объединения ее подполугрупп, принадлежащих
классу Го.
ф). Каждая полугруппа, которая может быть пред-
представлена в виде объединения ее подполугрупп, принадлежа-
принадлежащих классу Го, должна принадлежать Г.
(f). Если некоторый класс полугрупп Г1г все полу-
полугруппы которого принадлежат Го, удовлетворяет уело-
виям (а) и ф) {формулированным выше для класса Го),
то Гх совпадает с Го.
Таким образом, базисный класс—это минимальный класс,
который при помощи операции объединения полугрупп дает
все полугруппы данного класса и не выводит за его пре-
пределы.
5.2. В условии 5.1, (f) упоминание о ф), конечно, может
быть опущено, так как для 1\, который является частью Го,
условие ф) автоматически выполняется, поскольку оно вы-
выполняется для Го.
В 5.1 условие (f) может быть заменено следующим
условием:
(т'). ^0 всякой полугруппе % из Го должен найтись
такой элемент Aq, который не содержится ни в какой
подполугруппе полугруппы ЭД0, принадлежащей Го и неизо-
неизоморфной Що.
Действительно, предположим, что (а), ф), (у) из 5.1 вы-
выполнены, но (Y) нарушено, т. е. в некоторой полугруппе Шо? Го
каждый элемент X содержится в подполугруппе 23х, которая.

§ 5] БАЗИСНЫЕ КЛАССЫ 455
принадлежит Го и неизоморфна %. Таким образом,
%=[] 8*.
Обозначим через 1\ класс всех полугрупп из Го, неизо-
неизоморфных 21,). 1\ удовлетворяет условию (а), так как каждую
полугруппу из Г можно представить в виде объединения
полугрупп из Го и затем заменить входящие туда компоненты,
изоморфные ЭД0, на объединение подполугрупп, изоморфных 23х.
которые все принадлежат 1\. Условие ф), как мы уже упо-
упоминали, выполняется автоматически и тем самым мы оказы-
оказываемся в противоречии с определением 5.1.
Пусть теперь выполнены условия (а), (C) и (f ')• Предпо-
Предположим, что некоторый класс Г] нарушает условие (f). Пусть %>
есть некоторая полугруппа из Го, не изоморфная никакой
полугруппе из 1\. Так как для Г\ должно выполняться усло-
условие (а), то ЭД0 выражается в виде объединения подполугрупп
из 1\. Элемент AQ, указанный в (-[')¦ содержится в некото-
некоторой компоненте этого объединения, которая, согласно (?').
должна быть изоморфна 910. Следовательно, 1\ содержит
полугруппу, изоморфную полугруппе ЭД0, что противоречит
предположению.
5.3. Условие 5.2 (f') для некоторого класса полугрупп Го
является необходимым и достаточным для того, чтобы Го
являлся базисным классом некоторого класса полугрупп.
Необходимость этого условия следует из 5.2. Для доказа-
доказательства достаточности возьмем класс Г, состоящий из всех
тех полугрупп, которые могут быть представлены в виде
объединений подполугрупп, принадлежащих классу Го. Для Го
и такого Г очевидным образом выполнены условия 5.1, (а)
и 5.1, (Р). По предположению выполнено 5.2 (if'), откуда,
, согласно 5.2, следует, что Гоесть базисный класс для классса Г.
б;4. Разумеется, задание базисного класса Го для некото-
некоторого класса Г вполне определяет состав класса полугрупп Г.
Однако, выяснив строение полугрупп базисного класса, мы
обычно бываем еще очень далеки от того, чтобы ясно пред-
представлять себе строение любой полугруппы из Г. То, что каж-
каждая такая полугруппа представляет собой объединение под-
подполугрупп из Го, далеко не определяет ее строение. Задание
строения полугрупп базисного класса можно рассматривать
как описание локального строения полугрупп из Г, поскольку

48б рлзлбжйний полугрупп [гл. vili
каждый элемент полугруппы из Г содержится в некоторой
подполугруппе, принадлежащей Го. Полугруппы из базисного
класса являются как бы элементарными носителями свойств,
определяющих принадлежность полугруппы к классу Г. Можно
сказать: это есть те клетки, или кирпичи, или атомы, из ко-
которых строятся полугруппы, принадлежащие Г.
б.б. В произвольной полугруппе ЭД каждый элемент А
содержится в моногенной полугруппе [А], порожденной этим
элементом. Таким образом,
Это означает, что класс моногенных полугрупп относи-
относительно класса всех полугрупп удовлетворяет условию 5.1, (а)
для базисного класса. Условие 5.1, ф) выполняется тривиаль-
тривиальным образом.
Сразу видно и выполнение условия 5.2, (^'). Действительно,
сам элемент А, порождающий моногенную полугруппу [А],
очевидно, не содержится ни в какой подполугруппе [А], от-
отличной от [А].
Таким образом, класс всех моногенных полугрупп ока-
оказывается базисным классом в классе всех полугрупп.
Легко доказать, что это единственный базисный класс
в классе всех полугрупп. Действительно, пусть Го есть про-
произвольный базисный класс. ЭД — [А] есть некоторая моноген-
моногенная полугруппа. Так как она должна выражаться в виде
объединения подполугрупп, принадлежащих базисному класс Го,
то элемент А должен принадлежать некоторой подполугруппе W
полугруппы % принадлежащей Го. Но, очевидно, W — 91 и,
следовательно, Ш. обязательно принадлежит классу Го. По-
Поскольку Го содержит всякую моногенную полугруппу, он,
согласно 5.1, (f), должен совпадать с классом всех моноген-
моногенных полугрупп.
6.6. Класс всех циклических групп (II, 3.17), как легко
видеть, обладает свойством 5.2, (У). В конечной циклической
группе [А] элемент А не содержится ни в какой подполу-
подполугруппе, отличной от самой [А]. В бесконечной циклической
группе ?{ = {..., А~%, А~Л, А0, А, А2, ...} элемент А не со-
содержится ни в какой конечной циклической группе. Таким
Образом E.3), класс всех циклических групп является базисг

§ 5] БАЗИСНЫЕ КЛАССЫ 457
ным классом для класса полугрупп, являющихся объединениями
циклических групп. Так как всякая группа является объеди-
объединением своих циклических подгрупп, то полученный класс
можно характеризовать как класс всех полугрупп, являющихся
объединениями групп. Согласно III, 1.15, это есть класс вполне
регулярных полугрупп. Мы получили для него базисный класс,
состоящий из всех циклических групп, что может служить
новой формой задания указанного класса.
Отметим, что класс всех циклических групп является един-
единственным базисным классом класса всех вполне регулярных
полугрупп. Действительно, если Го есть произвольный базис-
базисный класс, то он должен содержать всякую конечную ци-
циклическую группу [А], поскольку она принадлежит нашему
классу, а элемент А не содержится ни в какой подполугруппе
группы [А], кроме самой [А]. Если $={..., А~2, А~\ А0,
А, А2, ...} есть бесконечная циклическая группа, то А не со-
содержится ни в какой подгруппе %, кроме самой %. Но А дол-
должен содержаться в некоторой подполугруппе 23 полугруппы %,
принадлежащей Го. Поскольку 23 содержится в рассматри-
рассматриваемом классе, элемент .4 ?23 должен принадлежать некото-
некоторой подгруппе 23. Но таковой может являться только %.
Следовательно, % = 23 принадлежит Г.
6.7. В пятом параграфе второй главы мы рассмотрели
некоторый класс полугрупп П (II, 5.2), имеющий определен-
определенное значение для вопроса о существовании неподвижных точек
у преобразований. Как показал Е. С. Ляпин [11], П обладает
базисным классом. Ниже мы построим базисный класс для П.
Для этого предварительно нам придется рассмотреть некото-
некоторые вспомогательные свойства и конструкции.
Пусть полугруппа % принадлежит классу П. Обозначим
через W совокупность всех таких элементов X из %, у ко-
которых при XU — U (?/?ЭД) всегда имеет место UXn Ф U
при любом натуральном п. Также обозначим ЭД\?1/ = 9Т'.
Если X содержится в W, то для него, по определению %",
найдется натуральное число и, такое, что при некотором 1/?Ш
XU = U, UX" = U.
Наименьшее из таких чисел будем обозначать через
или просто через 8. Для Х? Ш определим множество $
Если Х(^%', то §jc состоит из всех правых нулей элемента X.

458 РАЗЛОЖЕНИЯ ПОЛУГРУПП [ГЛ. VIII
Если Х?%", то фх есть множество всех таких элементов
и?Ш, для которых
XU = U, UX* = U.
5.8. Лемма. Если 91 ?П, Х?%, причем X имеет ко-
конечный тип (A, d) (III, 3.7), то Х?%" и Ь(Х) есть дели-
делитель d.
Доказательство. Пусть XU = U. Из Xh+d = Xh
следует
Х(иЩ = UX*. (UX*) X* = (UX*).
Следовательно, Х?Ш". Пусть
XV = V,
Совершим деление с остатком
d = qb~\-r, 0<г<5.
Так как
X ¦ (VXh) = VXh,
(vxh) • xr=vxrxh = vxqb ¦ xr. xh =
= vx*. xh=vxh+d=vxh,
то, по определению Ь = Ь(Х), г, которое меньше 3, не может
быть отлично от нуля. Следовательно, d делится на 8.
5.9. Лемма. Если %?П а Х?%, то фх есть полу-
полугруппа, принадлежащая П.
Доказательство. 1) Пусть Х?%'. Если UltUz? $x,
то
т. е. UMtt
Для U?$x в Ш должен найтись правый нуль V. Но тогда'
т. е. V'^ фх и, следовательно, U обладает в ф^ правым нулем.
2) Пусть X?W. Если Uv U2?$x, т. е.
то
т.е.

§ 5] БАЗИСНЫЕ КЛАССЫ 45§
Для f/^фх в ЭД должен найтись правый нуль У. Так как
U(VU) = VU,
X(YU) = X-UV-U = UV -U = VU,
(VU) X* = V ¦ UX* = VU,
то VU есть правый нуль элемента U, принадлежащий фх.
б. 10. Пусть [X] есть моногенная полугруппа и s — неко-
некоторое натуральное число, являющееся делителем d, если [X]
конечна и имеет тип (A, d) (III, 3.7). Отметим, что из Ха =^Ха',
ХЬ = ХЬ' и я == Z> (mods) следует а' = Ъ'(mods).
Для бесконечной полугруппы это тривиально. В случае
конечной [X] из определения типа следует, что a' s я (mod d),
b = b' (mod d) и потому а' s a (mods), ft' s? (mods).
Определим в [Л"] отношение ns, полагая Ха ~Хь (rts),
при a^ft(mods). Очевидно, ns является двусторонне ста-
стабильной эквивалентностью. Если [X] бесконечна, то под ttg
будем понимать тождественное отношение в [X].
Отметим, что при s ф 0 факторполугруппа [X]/ns (VII, 2.4)
является группой.
б.П. Лемма. Пусть Н?$х- Если X?W, то равен-
равенство НХа = НХь возможно лишь при Ха — ^(Пз), т. е.
когда Ха = Хь. ЕслиХ^Ж', то равенство НХа = НХЬ
имеет место тогда и только тогда, когда Ха — A! (tig).
Доказательство. 1) Пусть с —а — ?>0 и
а = НХь. Так как, очевидно, НХЬ?$Х, то из
= НХа =
следует, что Х^%". Совершим деление с остатком с на
c = qb-{-r, 0<r<5
и предположим, что г Ф 0. Мы имеем
Но благодаря г < 8 это невозможно. Следовательно, г = 0
и с делится на 8, т. е. а =э Z> (mod 8) и Ха — Хь(щ).
2) Пусть *а~ЛГь(п8) и а>Ь, т. е. a = qb + b. Так
как НХ* = Н, то
• Хь = НХЬ.

460 Разложения полугрупп [гл. Viii
6.12. Пусть 31 и 3R есть две непересекающиеся полу-
полугруппы и m — некоторая двусторонне стабильная эквивалент-
эквивалентность в WI. В множестве всевозможных пар (N, М) (N?31,
М ? Ж) определяем отношение п", полагая (Nv MJ ~
—(ЛГ2, М2)(п), если Nt = N2 и Мг — М2(т). Очевидно, л
является эквивалентностью. Соответствующий л-класс, содер-
содержащий пару (N, М), будем обозначать через (N, М)т. Обо-
Обозначим через C1 X ЗЯ)т множество, состоящее из всех элемен-
элементов 3R и из всех n-классов. В C1 X ЗИ)„, определяем действие.
Произведением двух элементов из Ш считаем их произведе-
произведение, получаемое в Ш благодаря действию, определенному
в полугруппе 3№. В трех остальных случаях определяем дей-
действие следующим образом:
М- Mi)m-(W2. M^n = (N1Nt. M2)m,
(Nu Л,)и. Mt = (Nlt MtM2)m,
Так как m двусторонне стабильно в ffl, то это действие одно-
однозначно, т. е. результат действия не зависит от того, какая
из пар (N, М) взята в качестве представителя класса (Л/, М)т.
Ассоциативность действия проверяется без труда. Полугруппа
C1 X 2Я)ТО называется правоуничтожающим произведением
полугрупп 31 и 9№.
Если 31 принадлежит классу П, то и C1 X Щт принад-
принадлежит П. Действительно, для М ? 3R правым нулем в C1 X Щт
будет (N', М')т при любых Л/' ? % М' ? 2R. а для (Л/, М)т —
правым нулем будет (Л/', М')т, где N' — некоторый правый,
нуль элемента N в 31.
5.13. Пусть в полугруппе 31 даны: моногенная подполу-
подполугруппа ЗЯ = [Х] — бесконечная или конечная неголоидная
(т. е. имеющая тип (A, d), где d > 1) и некоторая подполу-
подполугруппа 31, все элементы которой являются правыми нулями
для X. При этом предполагаем, что в 31 для всяких Nt,
Nz ? 31, Nt ФЫ2 всегда найдется такой Л/о ? 01, что N1N0=fcN2Ni).
Пусть в St выполнено условие: из NM1 = NM2 (N?3l; Mlt
М2?2>0 всегда следует N'Ml = N'M2 при любом N'?31.
Обозначим через m отношение в 5№, согласно которому
М^ ~ М2 (lit) имеет место тогда и только тогда, когда

§ 51 БАЗИСНЫЕ КЛАЙСЫ 461
Х = ЛШ2. Очевидно, m является двусторонне стабильной
эквивалентностью в 2К.
Рассмотрим отображение ср полугруппы 01 X 2К)Ш в 'й-
ср (Хк) = Хк, ср (N, Х% = NXk {к = 1, 2, ...).
Его однозначность следует из свойства ш. Покажем, что 9
взаимно однозначно. Предположим
Хк = NX1.
Так как XN = N, то отсюда получаем
Хк+1 = XNX1 = NX1 = Хк,
что в неголоидной моногенной полугруппе невозможно. Пред-
Предположим
Ы,ХЬ = NzXk*.
Умножая справа на произвольный элемент N' ? *R, мы полу-
получаем NtN' = N2N'. Но справедливость этого равенства при
любом N' ? 3^, согласно сделанному условию, означает Nt=N2-
В этом случае Хк' ~ Хк> (т), но тогда и (Nv Xk')m=(N2, Xk*)m.
Из того, что элементы ЭД являются правыми нулями для
элементов из Ш, непосредственно следует, что отображение 9
является гомоморфизмом, а потому и изоморфизмом. Таким
образом, оказалось, что множество элементов из Ш, имеющих
вид Хк и NXk (N?9l; ft — 1, 2, ...), является подполугруп-
подполугруппой, изоморфной ф1ХШ)т.
6.14. Обозначим через По класс полугрупп, состоящий из
всех конечных моногенных голоидных полугрупп и из полу-
полугрупп, изоморфных полугруппам B3 X Щт> где: 1) 2К = [X]—
моногенная полугруппа — бесконечная или конечная неголоид-
ная; 2) 23 — единичная полугруппа, или полугруппа U (II, 5.12),
или полугруппа S3 A1,5.13); 3) m — отношение ns(s^>0)
типа 5.10.
Так как конечная моногенная полугруппа обладает нулем,
а 2Э во всех трех возможных случаях содержится в П, то,
согласно сказанному в 5.12, каждая из полугрупп класса По
принадлежит классу П.
6.16. Лемма. Если 21 = B3 X РП)„ принадлежат
классу По и ?10—ее подполугруппа, содержащая X и при-
принадлежащая По, то % изоморфна с %

462 РАЗЛОЖЕНИЯ ПОЛУГРУПП [ГЛ. VII!
Доказательство. ЭДо не может быть голоидной моно-
моногенной полугруппой, так как всякая моногенная подполугруппа
таковой сама голоидна, тогда как Шо содержит неголоидную
моногенную подполугруппу [X]. Следовательно, Шо изоморфна
полугруппе вида
Из определения правоуничтожающего произведения непосред-
непосредственно вытекает, что в ЭД элементы из [X] и только они
не являются правыми нулями ни для каких элементов. В 910,
содержащей [X], таковыми элементами будут элементы из [X].
В §1 таковыми будут элементы из [Х\. Таким образом, [Х\
и [X] изоморфны, причем при изоморфизме ЭД на Шо множе-
множество [X] отображается на [X].
Отношение п8 вполне определено количеством различных
элементов в множестве А • [X] (А?Ж\[Х\), причем это число
одно и то же при любом выборе А. То же имеет место и
в ЭД для IV- Так как Щ изоморфна подполугруппе ЭД0 полу-
полугруппы ЭД, то отсюда заключаем, что отношение ns в [Х\
одинаково с отношением пг в [X], т. е. s = r.
Согласно определению класса По, каждая из полугрупп 33
и 95 является единичной полугруппой, или равна U, или
равна 93.
Если 95 есть единичная полугруппа и только в этом случае
все правые нули подполугруппы [X] являются идемпотен-
тами. То же имеет место ивЦ относительно 23. Поскольку Щ.
изоморфна подполугруппе Щ, отсюда следует, что 23 будет еди-
единичной тогда и только тогда, когда единична 23.
Пусть в 'й элемент Р является правым нулем для [X],
a Q является правым нулем для Р.
Если 95 = U, то Р = «', Х\д и Q = ({/?, X\g, где
Gtj < Oj. Поэтому в ЭД существует такая пара элементов
Р*?Р-[Х] и Q*?Q-[X] (именно, P* = {ul\, Xc\ и
Q* = (Пщ, Xе) ], что Q* будет двусторонним нулем для Р*.
а'
Если 23 = 93, то никакой элемент из Q • [X] не будет
двусторонним нулем ни для какого элемента из Р • [Х\. (Это

§ 5) БАЗИСНЫЕ КЛАССЫ 463
следует из того, что в 93 никакой элемент вообще не имеет
двусторонних нулей — II, 5.13).
Так как Щ изоморфна подполугруппе % полугруппы Ш,
содержащей [X], и в % найдется правый нуль Р для [А']
и правый нуль Q для Р, то из сказанного следует, что при
33 = 11 не может быть 23 = 93, а при 23 = 93 не может быть
33 = U.
Мы показали, что для 9* = B3 X [Х\)и8 и i = B3 X [х])„г
полугруппы [X] и [х] изоморфны, а отношения п8 и пг в них
одинаковы и 23 = 23. Следовательно, ЭД изоморфна с 9L кото-
которая изоморфна с ЭД0.
6.16. Теорема. Класс По E.14) является базисным
классом E.1) для класса П.
Доказательство. 1) Пусть X произвольный элемент
полугруппы ЭД, принадлежащей классу П. Если [X] голоидна,
то [X] есть подполугруппа полугруппы ЭД, содержащая X
'¦ и принадлежащая По.
Пусть [X] не является голоидной.
Так как $х E.7) принадлежит II E.9), то в $х, согласно
11,5.14, найдется такая подполугруппа 23, которая является
единичной полугруппой, или изоморфна с U, или изоморфна
. с 93. Обозначим через %> множество всех элементов, при-
принадлежащих [X] или имеющих вид ВХк (В ? 23; k = 1, 2, ...).
Каждый элемент из 23 является правым нулем для X. Как
следует из строения U и 93, в 23 для любых Bv B2?23,
Вх ф Вг всегда найдется такой Во, что ВхВй Ф В2В0. Если
для некоторого В ? 23
ВХа = ВХь, ХафХь,
то, согласно 5.11, Ха — Хь (п8) (8 = 8(Х)). Но тогда и для
любого В' ?33 мы будем иметь в'Ха = В'Хъ, поскольку
B'X8s=B'. Очевидно и обратное, если ^^f'nasi (mod5),
т. е. Ха~Хь(щ), то ВХа = ВХь при любом В ?23.
Благодаря указанным свойствам мы можем применить к %>
рассуждения 5.13. Если X?W, то m из 5.13 совпадает с Hq
E.10), если же X?91", то m совпадает с п» E.10). Согласно
5,13, Шо оказывается изоморфной полугруппе (93X[^1)

464 РАЗЛОЖЕНИЯ ПОЛУГРУПП [ГЛ. VIII
принадлежащей классу По. Таким образом, для По доказано
выполнение свойства 5.1, (а).
2) Пусть полугруппа ЧЦ представлена в виде объединения
подполугрупп, принадлежащих классу По. Каждый элемент А
из §1 содержится в некоторой подполугруппе %> полугруппы Ш,
принадлежащей По, и потому обладает правым нулем, по-
поскольку Що принадлежит По E.14).
Таким образом, для По имеет место свойство 5.1, (fJ).
3) Пусть полугруппа §10 принадлежит По.
Если ЭД0 есть конечная моногенная полугруппа Щ. — [Х\,
то элемент X не содержится ни в какой ее подполугруппе, от-
отличной от %. Пусть % изоморфна полугруппе ЭД0 = C3 Х[^])« •
Согласно 5.15, элемент X из ЭД0 не содержится ни в какой
подполугруппе полугруппы Що, принадлежащей По и не изо-
изоморфной ЭД0. Следовательно, и в самой §10 найдется элемент
с аналогичным свойством.
Из этого следует, что класс По обладает свойством 5.2,
Су')- Учитывая доказанное в двух первых частях доказатель-
доказательства, согласно 5.2, заключаем, что По является для П ба-
базисным классом.
6.17. Следует отметить, что в классе П имеется не один
базисный класс. Все базисные классы класса П были найдены
и описаны Е. С. Ляпиным [12]. Из них рассмотренный
выше класс По оказался наиболее просто устроенным и удоб-
удобным для изучения. Простое устройство полугрупп класса По
позволяет считать, что выяснено локальное строение E.4)
полугрупп, принадлежащих классу П.
5.18. Конечно, далеко не всякий класс полугрупп обла-
обладает базисным классом. Действительно, класс, обладающий
базисным классом, очевидно, должен обладать следующим
свойством. Он должен содержать всякую полугруппу, являю-
являющуюся объединением полугрупп из этого класса. Однако
многие важные классы полугрупп не удовлетворяют этому
условию. Таков, например, класс коммутативных полугрупп.
Ведь всякая полугруппа является объединением некоторых
своих коммутативных подполугрупп (например, моногенных
подполугрупп), однако не все же полугруппы коммутативны.
5.19. В связи со сказанным в 5.18 целесообразно в не-
некоторых случаях следующее обобщение понятия базисного
класса. Пусть Го, Г и S есть три класса полугрупп, при-

§ 5] БАЗИСНЫЕ КЛАССЫ 465
чем Е охватывает класс Г, а Г охватывает Го. Можно гово-
говорить о том, что класс Го является базисным классом для
класса Г относительно класса Е, если выполнены условия 5.1,
(а), 5.2, ("[') и следующее условие (р').
ф') Каждая полугруппа из ?, которая может быть
представлена в виде объединения подполугрупп, принадле-
принадлежащих классу Го, должна принадлежать Г.
В смысле такого обобщения относительно класса всех
коммутативных полугрупп класс всех моногенных полугрупп
является базисным классом для класса всех коммутативных
полугрупп.
Класс всех циклических групп A1,3.17) относительно
класса всех групп является базисным классом для класса
всех групп.
Класс всех конечных циклических групп относительно
класса всех групп является базисным классом для класса
всех периодических групп.
5.20. Класс всех инверсных полугрупп не имеет базисного
класса в смысле 5.1, так как он, очевидно, не удовлетво-
удовлетворяет условию, указанному в 5.18. Согласно II, 7.4, класс
всех инверсных полугрупп содержится в классе полугрупп,
обладающих свойством перестановочности идемпотентов.
Л. М. Глускин [8] показал, что относительно класса полу-
полугрупп с перестановочными идемпотентами класс всех инверс-
инверсных полугрупп обладает базисным классом.

ГЛАВА IX
СООТНОШЕНИЯ В ПОЛУГРУППАХ
§ 1. Определяющие совокупности соотношений
1.1. Мы уже обращали внимание на то, что задание эле-
элементов полугруппы в виде произведений элементов некото-
некоторого ее порождающего множества, вообще говоря, неодно-
неоднозначно. Произведения, различные по виду, часто могут быть
равны между собой, т. е. представлять один и тот же эле-
элемент полугруппы. Рассмотрение появляющихся отсюда соот-
соотношений представляет очевидный интерес. В частности, су-
существенно выделение таких систем этих соотношений, из ко-
которых все прочие соотношения вытекают как необходимые
следствия. Возможно задание полугрупп с помощью систем
таких соотношений. Особую роль играют тождества, т. е.
такие соотношения, которые справедливы для любых элемен-
элементов полугруппы. С понятием тождества связано понятие полу-
полугруппы свободной в классе. Рассмотрение соответствую-
соответствующих вопросов является целью настоящей главы.
1.2. Пусть 9t есть произвольное непустое множество,
которое, имея в виду дальнейшие построения, назовем алфа-
алфавитом. Всякую конечную последовательность элементов из У1,
записанную в виде произведения
W = ВД .. . Хп (Хи Хг Хп
назовем словом в алфавите 31.
Количество членов в слове (п) будем называть длиной
слова W. Слово длины один: X (Х? Ш) будем отождествлять
с самим элементом ЛГ. Совокупность всех слов в ffi будем
обозначать через 2ВЭТ.
Употребление термина „алфавит" мы заимствуем из тео-
теории ассоциативных исчислений, хотя там рассматриваются

§ 1) ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СОВОКУПНОСТИ СООТНОШЕНИЙ 46?
лишь конечные алфавиты, тогда как у нас множество 31 мо-
может быть и бесконечным.
1.3. Для слов в алфавите 31 естественно определяется
операция приписывания, которую будем называть умноже-
умножением слов
U = XtX2 ... Хп, V = Хп+1Хп+2 ... Хт,
W = Х1Х2 • • • ХпХп+1 . .. Хт,
W = UV.
Так как действие умножения слов, очевидно, ассоциа-
ассоциативно, то множество 2Вя, состоящее из всех слов в 31, отно-
относительно этого действия является полугруппой, которую
будем называть свободной полугруппой над 31. Свободные
полугруппы над различными алфавитами будем также назы-
называть просто свободными полугруппами.
1.4. Пусть 31 есть некоторое подмножество полугруппы $.
Всякому слову в 31
ХгХ2...Хп (Х1,Х1 X
соответствует элемент S?$, являющийся произведением эле-
элементов Xv Х2, . . ., Хп, которое определено согласно дей-
действию умножения в полугруппе ЭД. Этот элемент 5 называется
значением слова ХХХ2 .. . Хп в %
Каждый элемент 5 из [31] может быть представлен в $
в виде произведения
S = XvX2...Xn (Xlt X2
Таким образом, 5 является значением некоторого слова
в 31. Элемент 5 вполне определен этим словом.
1.6. Если в полугруппе Щ элемент 5 принадлежит [31]
C1 с Щ, то обычно для 5 существуют несколько различных
слов из SBj}, значением каждой из которых является S. То, что
в полугруппе 51 значения двух слов из 2В>л
XtXz ...Хп, YJ2 ...Ym {Xlt Х2 Хп, Y, Km?*tt)
равны, означает, что в 31 имеет место равенство произведений ,
ХгХ2 ... Хп = KtK2 ... Ym.
п
Такое равенство называется соотношением в % относи-
относительно ЭД. Если при этом ясно, о каком множестве 31 идет
речь, то слова „относительно 31* обычно опускаются.

468 СООТНОШЕНИЯ Й ПОЛУГРУППАХ (ГЛ. IX
Необходимо иметь в виду, что под соотношением отно-
относительно 91 понимается связь между некоторыми словами
из SBsr. Каждая из двух частей соотношения задается не тем
одним элементом 5 из ЭД, которому равно в ЭД значение соот-
соответствующего слова, но именно самим словом из SBjj,
т. е. последовательностью множителей, составляющих данное
произведение. Таким образом, соотношение в К относительно 31
есть такая пара слов (W, V) из 2Вя, значения которых в %
равны. Учитывая это, было бы удобнее записывать соотно-
соотношение не при помощи знака равенства (ибо оно вовсе не
является равенством слов W и V, его составляющих), а как-
либо иначе, например W<—>V и т. п. Однако большей
частью, имея в виду равенство значений слов в *й, употре-
употребляют при записи соотношения знак равенства. Мы также
будем поступать в согласии с таким обычаем. В связи с этим
для равенств слов в 91 как элементов из ЗВи мы будем
иногда употреблять знак тождества =з (означающий тожде-
тождественное, или, как говорят еще, графическое равенство слов
в отличие от равенства значений этих слов в Щ. Следует
иметь в виду, что в литературе иногда не делают такого
различия в обозначениях, полагая, что из текста всегда ясно,
о каком равенстве идет речь.
1.6. Пусть Ф есть некоторая совокупность соотношений
в полугруппе ЭД относительно некоторого ее порождающего
множества 5L Определим в 2ВЯ отношение п, полагая
W~V(i\),
если в совокупности Ф содержится соотношение относи-
относительно 5t
1.7. Далее будем использовать понятие и свойства произ-
производных отношений (I, 5.20; I, 5.21; I, 5.22; I, 5.23).
Если для некоторых слов W, V ?Ш® имеет место
W~V(n'),
. то, очевидно, значения слов W и V в Щ равны, т. е. в Щ
справедливо соотношение относительно Я
которое в этом случае называется непосредственным след-
следствием аз совокупности соотношений Ф.

§ 1] определяющие совокупности соотношений 469
О слове (или о произведении) W в этом случае говорят,
что оно может быть непосредственно преобразовано в V при
помощи Ф. Очевиден смысл такого выражения. W может
быть получено из V следующим образом. W представлено
в виде произведения нескольких слов из 2Вя A,3). Для того
чтобы получить из него слово V, надо одно из этих слов —
сомножителей, являющееся левой или правой частью неко-
некоторого соотношения из Ф, заменить второй частью этого
соотношения.
1.8. Если для некоторых слов W, V^2B« имеет место
то, очевидно, справедливо соотношение относительно
которое в этом случае называется следствием из совокуп-
совокупности соотношений Ф.
О слове W в этом случае говорят, что оно может быть
преобразовано в V при помощи Ф. Это означает, что слово W
может быть преобразовано в V при помощи последователь-
последовательного конечного числа преобразований, указанных в 1.7.
1.9. Определение. Совокупность Ф соотношений от-
относительно некоторого порождающего множества 5? полу-
полугруппы ЭД называется определяющей совокуп-
совокупностью соотношений, если всякое соотношение
относительно 5? является следствием из Ф.
Соотношения, входящие в определяющую совокупность
соотношений, часто называются определяющими соотноше-
соотношениями.
1.10. Разумеется, во всякой полугруппе относительно
любого ее порождающего множества 51 существует опреде-
определяющая совокупность соотношений. Такой является, напри-
например, совокупность вообще всех соотношений относительно St.
Таблица умножения полугруппы (I, 1.6) является не чем
иным, как совокупностью всевозможных соотношений вида
XY = Z. Нетрудно убедиться, что она является определяю-
определяющей совокупностью соотношений относительно порождающего
множества, состоящего из всех элементов полугруппы.
1.11. Пусть <р есть отображение некоторого множества *ЯЖ
в Щ^. Мы будем говорить, что <р индуцирует отображение

470 соотношения в полугруппах [гл. ix
слов из Ш% в слова из 28%. понимая под этим то, что
слово
W = XtX2...Xn (Хи Х2
отображается на слово в 912
Если Э^! есть подмножество некоторой полугруппы ЭД,
то тем самым можно говорить об отображении.соотношений
в ЭД относительно 3iu индуцируемом отображением ср.
Рассмотрим следующую теорему, являющуюся непосред-
непосредственным обобщением известной теоремы из теории групп,
называемой обычно теормой Дика.
Теорема. Пусть $ есть порождающее множество
и Ф — определяющая совокупность соотношений относи-
относительно $ для полугруппы ЭД. Пусть ср есть такое отобра-
отображение $ в некоторую полугруппу 33, при котором вся-
всякое соотношение из Ф отображается в справедливое в 33
соотношение отосительноЪ. Тогда отображение ф может
быть продолжено до гомоморфизма Щ в 23.
Доказательство. Всякий элемент из ЭД может быть
представлен в виде произведения
А = XtX2 . . . Хп (Xlt Х2, ..., Хп
Определим ty(A) как следующий элемент из 33:
Такое отображение <j) элементов из Щ в 23 однозначно. Дей-
Действительно, если
(хих2, ...,хп, к„ ...утещ,
то
XtX2 ... Хп -— Yt Y2 ... Ym
является соотношением в % относительно й. Это соотноше-
соотношение должно быть следствием из Ф. Согласно определению,
это означает существование слов Uv U2, ..., Uk, где Uv =
= ХгХ2 . . . Хп, Uk— Kj/a ... Ym и соотношение Ui = Ui+l
есть непосредственное следствие из Ф A= 1, 2, ..., п—1).
Из условия теоремы относительно ср сразу следует, что в 2Э

§ 1] ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СОВОКУПНОСТИ СООТНОШЕНИЙ 471
будут справедливы соотношения cp(?/j) = cp(?/i+1). Отсюда
вытекает справедливость соотношения
Таким образом, в ©элемент ф(Л) определяется независимо
от того, значением какого слова был задан элемент А ? %..
Если
А = Х±Х2 . . . ^n, /4 = AjAj . . . лm
Yj, Х2 Хп, Х\, . . ., Xm
то, очевидно,
ф(ЛЛ') =
Это и доказывает, что отображение ф является гомомор-
гомоморфизмом.
1.12. При помощи теоремы 1.11 легко выясняется основ-
основной смысл понятия определяющей совокупности соотношений.
Он заключается в том, что задание определяющей совокуп-
совокупности соотношений определяет полугруппу с точностью до
изоморфизма.
Теорема. Пусть Jt4 есть порождающее множество
и Ф» — определяющая совокупность соотношений относи-
относительно &i для полугруппы Uli (*— 1, 2). Если существует
такое взаимно однозначное отображение ср Stt на &%,
которое индуцирует взаимно однозначное отображение Ф]
на Ф2, то полугруппы Щ и %2 изоморфны.
Доказательство. Согласно 1.11, 9 продолжимо дс
гомоморфизма ф полугруппы 5tt в ^2' Пусть А, В?Шх ^
ф(Л) = ф(В). Представим Л и В в виде произведений эле-
элементов из 5?
А = XtX2 ... Хп, B=YiYi...Y.,
т-
Так как ф есть гомоморфизм, то из ф(Л) = ф(В) полу
чаем в %2 соотношение относительно $г = ф^)
соотношение должно быть следствием из Ф2.

472 СООТНОШЕНИЯ В ПОЛУГРУППАХ [ГЛ. IX
Благодаря тому, что <р индуцирует взаимно однозначное
отображение Фх на Ф2, отсюда следует, что в 5tt соотноше-
соотношение относительно $х
ХХХ2 ... Хп ¦= YiY2 . .. Ym
должно быть следствием из Фу. Таким образом, оказывается
что из ф(Л) = ф(В) обязательно следует Л = В, т. е. гомо-
гомоморфизм ф является взаимно однозначным отображением и,
следовательно, изоморфизмом.
Остается показать, что ф ОЗ-ti) = ЭДг- Произвольный эле-
элемент А2 из Щ2 может быть представлен в виде значения не-
некоторого слова в Й2
ZtZ2 .. . Zk (Zv Z2, .... Zk? 5?г).
Для некоторых Xi?&l(l=].,2 k) имеем 9 (Xt) = Z{.
Так как ф есть продолжение ср, то для Ау = ХХХ2 ... Хк ? 9^
получаем в ?t2
¦ • • • ? (Хк) = Z1Z2 • • • 2ft = Л2.
1.13. Пусть для элементов ЭД относительно порождаю-
порождающего множества & определены некоторым образом канони-
канонические их выражения, являющиеся словами из ЯВ^ (III, 2.8).
Ф есть некоторая совокупность соотношений относительно $t
Если всякое слово из 2Вя можно при помощи соотношений
из Ф преобразовать к каноническому виду, то Ф является
определяющей совокупностью соотношений полугруппы Ш
относительно 5?.
Действительно, пусть W — V есть произвольное соотно-
соотношение относительно $. По предположению, слово W можно
при помощи Ф привести к каноническому виду Uyp, a V —
к каноническому виду Uy. Имеют место соотношения
Так как Uw и Uy — канонические формы слов, то их зна-
значения могут равняться только в том случае, когда они со-
совпадают: Uwz—Uy. Так как W = Uw есть следствие из Ф
и V = Uy есть следствие из Ф, a Uw^Ur> то W' = V
является следствием из Ф.
1.14. В качестве примера рассмотрим полугруппу 5р,
определенную нами 8 Ш, 6.2; III. 6.3. Множество, состоящее

§ 2] ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ 4?3
из элементов U, V, Е, очевидно, будет порождающим для ф
(Е можно было бы исключить и тогда мы получили бы не-
неприводимое порождающее множество. Однако дальнейшие
соотношения будут выглядеть лучше, если этого не делать).
Относительно этого порождающего множества имеют место
соотношения
= U, UE = U, EV = V, VE = V, Et^E.
Легко видеть, что всякое слово в множестве {U, V, Е)
при помощи этих соотношений может быть приведено к виду
?/V (a, b = 0, 1, 2, ...)
(где под [7° и V0 подразумевается Е). Как было показано
в III, 6.3, такое выражение для элементов из Щ является
канонической формой относительно порождающего множе-
множества {U, V, Е). Отсюда, согласно 1.13, следует, что ука-
указанные соотношения образуют определяющую совокупность
соотношений полугруппы ф.
§ 2. Преобразования определяющих совокупностей
соотношений
2.1. Вполне очевидно, что полугруппа, как правило, об-
обладает многими различными определяющими совокупностями
соотношений. Это связано прежде всего с тем, что в полу-
полугруппе обычно имеется несколько различных порождающих
множеств. Но и относительно одного и того же порождаю-
порождающего множества может существовать несколько различных
определяющих совокупностей соотношений. Соответствующий
вопрос в теории групп многократно бывал объектом раз-
различных исследований. В общей теории полугрупп он был
рассмотрен А. Я. Айзенштат [2].
2.2. Пусть 5t есть порождающее множество полугруппы 2J
и Фх — определяющая совокупность соотношений относи-
относительно St; Ф2 — некоторая совокупность соотношений отно-
относительно St. Если всякое соотношение из Ф1 является
следствием из Ф2, то Ф2 также будет определяющей
совокупностью соотношений относительно 55-
Действительно, пусть W а V есть слова в St образую-
образующие соотношение W = V. Так как это соотношение есть

4?4 СООТНОШЕНИЯ В ПОЛУГРУППАХ (гЛ- IX
следствие из Фх, то найдутся такие слова в 5ti
Ut = W, U2, ..., Un_lt Un = V,
что Uir=Ui+1 есть непосредственное следствие из Фх (/=1,
2, . . ., п— 1). Поэтому при некоторых Т, Т'', 5t, 52 из 2В#
(Г и Г' могут быть и пустыми символами) имеет место
Ui = TS1T/, Ui+1 = TS2T',
где Sx = S2 есть соотношение из Ф^ Так как St = S2 есть
следствие из Ф2, то и ?Д = ?/<+1 будет следствием из Ф2.
Отсюда следует, что W = V будет следствием из Ф2.
2.3. В общем виде переход от одной определяющей сово-
совокупности соотношений относительно некоторого порождаю-
порождающего множества к произвольной другой определяющей сово-
совокупности соотношений относительно того же самого поро-
порождающего множества может быть описан нижеследующим
образом.
Пусть 5t есть порождающее множество полугруппы ЭД и
Ф — некоторая определяющая совокупность соотношений от-
относительно 5t Если к Ф присоединить некоторую совокуп-
совокупность чТ соотношений относительно 5? (каждое из них является
следствием из Ф), то полученная совокупность Ф U W, оче-
очевидно, будет определяющей совокупностью соотношений
относительно 51.
Допустимо и обратное преобразование. Пусть совокуп-
совокупность Ф представлена в виде некоторого объединения
ф = Ф' у ф", причем каждое соотношение из Ф" является
следствием из Ф'. Тогда, очевидно, Ф' является для Ш опре-
определяющей системой соотношений относительно $•
Легко видеть, что от произвольной определяющей сово-
совокупности соотношений Ф относительно & можно перейти
к любой другой определяющей совокупности соотношений Фо
относительно X? при помощи указанных преобразований.
Действительно, сперва переходим от Ф к Ф [} Фо присоеди-
присоединением к Ф соотношений из Фо (все они являются следст-
следствиями из Ф). Затем от Ф и Фо переходим к Фо, отбрасывая
соотношения из (Ф U Ф0)\Ф0 (все они являются следствиями
из Фо). В случае конечных Ф и Фо это можно осуществлять
последовательно, присоединяя или отбрасывая лишь по
одному соотношению.

§ 2] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ 475
2.4. Теперь перейдем к вопросу об изменении опреде-
определяющей совокупности соотношений при изменении порождаю-
порождающего множества.
Пусть R есть порождающее множество полугруппы ЭД;
$'— произвольное подмножество ЭД; Ф — некоторая совокуп-
совокупность соотношений относительно R. Для каждого элемента
Х'€&' фиксируем некоторое слово из 2Вя, значением кото-
которого он является
X> = YlY2...Yn (Klf K2 Y
Если Ф есть определяющая совокупность соотношений
относительно &, то совокупность Ф', состоящая из соот-
соотношений, входящих в Ф, и из соотношений
X> = Y1Yi...Yn.
будет определяющей совокупностью соотношений отно-
относительно множества 55 U Я'.
Действительно, пусть W = V есть произвольное соотно-
соотношение относительно & U $'. Заменим в W и V всякий эле-
элемент X' из $' соответствующим произведением УгУ2 . . ¦ Уп.
Мы получим слова W и V в Я, причем соотношения W = W'
и V = Vr являются следствиями из Ф'. Соотношение W/ = V/
относительно К должно быть следствием из Ф. Таким обра-
образом, мы получили соотношения в $UR'
W = W, W = V, V' = V,
каждое из которых есть следствие из Ф'.
Отсюда следует, что соотношение W = V является след-
следствием из Ф'.
2.5. Используя обозначения 2.4, можно формулировать
и доказать справедливость обратного по отношению к 2.4
утверждения. При этом, однако, мы должны условиться, что
для каждого X' из $', который содержится в $, в качестве
его выражения в виде произведения элементов из Е мы будем
брать тождественное выражение X' — X'.
Если Ф' есть определяющая совокупность соотношений
относительно St\ikf, то Ф будет определяющей совокуп-
совокупностью соотношений относительно &.
Пусть W = V(W, V? Зад есть произвольное соотношение
относительно 5?. Будучи соотношением и относительно Я U ft',

476 СООТНОШЕНИЯ В ПОЛУГРУППАХ [ГЛ. IX
оно является следствием из Ф'. Это значит, что существуют
такие слова в 5555'
W = UU U2, ..., Ua_lt Ua=iV,
что t/j = Ui+1 есть непосредственное следствие из Ф'. Заме-
Заменив во всех этих словах каждый элемент X' из 5?', не со-
содержащийся в &, соответствующим произведением Y1Y2 • ¦ ¦ Yn,
получим последовательность слов в Я 7\, Г2 Ts_v T8
(крайние слова цепочки при этом, конечно, не изменятся,
т. е. 7\==W и Ts=iV). Слова U\ и Ui+1 можно было
представить в виде
U^PS.Q, Ui+1^PS2Q,
где S1 = S2 есть одно из соотношений из Ф'. После указан-
указанной выше замены мы для слов Tt и Ti+1 получим выражения
Если соотношение St = S2 имело вид X' = Ytfz . .. Yn, то,
заменяя X' на KjK2 . . . Yn, мы получим Г4 э Ti+1. Если же
S1 = S2 принадлежало Ф, то, очевидно, Si^S^ S2ssS2.
В этом случае соотношение Ti = Ti+1 есть следствие из Ф.
Благодаря этому свойству последовательности слов 7\,
Т2, ..., Т8 заключаем, что соотношение W = V есть непо-
непосредственное следствие из Ф.
2.6. Пусть 5?х и 5?2 два произвольных порождающих мно-
множества полугруппы Щ и Ф! — некоторая определяющая сово-
совокупность соотношений относительно 5tx. Покажем, как, исходя
из Фх, можно получить некоторую определяющую совокуп-
совокупность соотношений относительно $2.
Обозначим 5ti = ^г\(^! П ^2) (г = 1. 2)
Для каждого элемента из 5ti фиксируем некоторое слово
в й2, значением которого он является. Тем самым фиксируем
представление каждого элемента из 5tt в виде произведения
элементов из &2- Равенства, дающие эти представления, рас-
рассматриваем как соотношения относительно 5^ U ^. Совокуп-
Совокупность их обозначаем через Ф12.
Аналогично фиксировав выражения элементов из 5?2 через
элементы из 5tlf получаем совокупность соотношений отно-
относительно &! U 5t2, которую обозначим через Ф21.

§ 2] ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ' 477
Если в соотношениях из Фг заменить при помощи Ф12
все участвующие в них элементы из 5^ произведениями эле-
элементов из $?2. то мы получим совокупность соотношений
относительно &%, которую обозначим через Ф2-
Если в соотношениях из Ф21 заменить при помощи Ф12
элементы из S?i произведениями элементов из St^, то мы
получим совокупность соотношений относительно S?2. которую
обозначим через Фа-
Теорема. Совокупность соотношений Ф2 U Фа является
для полугруппы ЭД определяющей совокупностью соот-
соотношений относительно порождающего множества &2.
Доказательство. 1) Благодаря 2.4 совокупность
соотношений Ф1U Ф21 является определяющей совокупностью
соотношений относительно &х U $2- Отсюда благодаря 2.3
следует, что и совокупность
будет определяющей совокупностью соотношений относи-
относительно &х U &2-
2) Относительно Sti U &2 совокупность соотношений
W2 = Ф21 U Ф12 U Фа U Ф«
является определяющей совокупностью соотношений.
Пусть W = V есть одно из соотношений из Ф^ При
помощи Ф^ заменим в W и V элементы из ^ соответствую-
соответствующими словами из 2Вяа. Мы получим слова W и V в Яг-
Соотношения W — W и V = V являются следствиями из Wz,
Соотношение W = V есть одно из соотношений из Фа ¦
Отсюда вытекает, что соотношение W — V есть следствие
из W2.
Так как Wt является определяющей совокупностью соот-
соотношений относительно &i U $2. то из проведенного рассужде-
рассуждения благодаря 2.3 следует, что и W2 будет определяющей
совокупностью соотношений.
3) Относительно S?iU&2 совокупность соотношений
является определяющей совокупностью соотношений.

478 СООТНОШЕНИЯ В ПОЛУГРУППАХ [ГЛ. IX
Пусть W = V есть одно из соотношений из Ф21. При
помощи Ф12 заменим в словах W и V элементы из $i соот-
соответствующими словами из 2Вя3. Мы получим слова W и V
в $2> которые образуют соотношение из Ф2 W = V. Так как
соотношения W = W и V = V являются следствиями из Ф12,
то соотношение W = V будет следствием из ч73.
Так как ч?2 является определяющей совокупностью соот-
соотношений относительно &t U $2, то из проведенных рассужде-
рассуждений благодаря 2.3 следует, что и ?3 будет определяющей
совокупностью соотношений.
4) Из того, что ?3 = Ф12 U Фг U Фг является определяющей
совокупностью соотношений относительно $х U &2- благодаря
2.5 непосредственно вытекает, что Фа U Фа будет опреде-
определяющей совокупностью соотношений относительно $2.
2.7. Отметим, что в том частном случае, когда З^сЗ?!
множество Ф21 оказывается пустым. Благодаря этому и
совокупность Фа пуста, Таким образом, в этом случае Фа
будет определяющей совокупностью соотношений относи-
относительно Я2.
2.8. Применим теорему 2.6 с учетом замечания 2.7 к полу-
полугруппе ^р, рассмотренной в 1.14. Так как {U, V) также есть
порождающее множество ф, то для него, исходя из опреде-
определяющей совокупности соотношений относительно [U, V, Е),
выведенной в 1.4, мы получаем следующую определяющую
совокупность соотношений:
= U, UVU = U,
VUVU = VU.
Последнее из этих соотношений, будучи очевидным след-
следствием предыдущих, может быть отброшено.
2.9. Предшествующие определения и рассуждения, отно-
относящиеся к произвольной полугруппе, сохраняются, в част-
частности, и для группы. Однако обычно в теории групп упо-
употребляются еще следующие дополнительные соглашения.
Порождающее множество для группы берут обычно так,
чтобы оно содержало единицу Е и вместе с каждым элемен-
элементом X содержало бы обратный к нему элемент Х~ . В число

§ 3] ПОЛУГРУППЫ, ЗАДАННЫЕ ОПРЕДЕЛЯЮЩИМИ ОТНОШЕНИЯМИ 4?9
соотношений определяющей системы обязательно включаются
соотношения вида
=ХЕ = Х, ХХ~1=Х~1Х=Е.
Так как эти соотношения во всякой группе обязательно
имеют место, то их обычно не выписывают и даже не упо-
упоминают. Само указание на то, что речь идет о группе, озна-
означает, что надо мысленно дополнить соответствующим образом
указанное порождающее множество и определяющую сово-
совокупность соотношений.
Следует также упомянуть возможность иного подхода
в теории групп к определяющим системам соотношений,
связанного с возможностью представления группы как фак-
факторгруппы свободной группы1. Обладая известными досто-
достоинствами, такой подход в некоторых случаях менее удобен.
Это видно на примере рассуждения 2.4, 2.5, частный случай
которого в теории групп при упомянутом подходе приобре-
приобретает вид довольно сложной теоремы.
§ 3. Полугруппы, заданные определяющими отношениями
3.1. В рассуждениях предыдущих параграфов мы всегда
исходили из некоторой полугруппы, которая предполагалась
заданной, и для нее рассматривали те или иные соотношения
относительно различных порождающих множеств. Сейчас нам
предстоит подойти по существу к тем же вопросам, но
с противоположной точки зрения. Мы будем исходить из
некоторых соотношений и строить по ним полугруппу. Глав-
Главная трудность в рассуждениях при таком подходе состоит
в том, что, не имея еще окончательно определенной полу-
Группы, мы, рассматривая те или иные выражения, которые
мы хотим сделать элементами будущей полугруппы, заранее
часто не можем сказать, когда такие первоначально различ-
различные выражения будут изображать один и тот же элемент
будущей полугруппы. Это вызывает известные осложнения
при конструировании полугруппы.
3.2. Пусть нам задан исходный алфавит 9? A.2). Берем
свободную полугруппу над ним ЗВя A.3). Если в 2В« задано
1953.
1 См., например, А. Г. К у р о ш. Теория групп, Гостехиздат,
!

480 Соотношения в полугруппах (гл. ix
некоторое Отношение п, то для п в SB» определяется второе
производное отношение п" (I, 5.21). Так как п" есть дву-
сторонне стабильное отношение эквивалентности (I, 5.22), то,
согласно VII, 2.4, определена факторполугруппа Щи = 2Вдг/л",
которую будем называть полугруппой над алфавитом 91,
заданной определяющим отношением п.
Элемент полугруппы Шщ, являющийся классом слов в 91,
эквивалентных между собой относительно второго производ-
производного отношения п", будем обозначать обычно при помощи
черты: W, где W есть одно из слов в 91, входящих в этот
класс. Умножение классов в 2Вм производится путем пере-
перемножения в 2В?г A.2) их представителей:
W,. ¦ W* = WtW2.
Множество 91, состоящее из всех классов, содержащих
слова в 91 длины один Х(Х? 91), является порождающим
множеством полугруппы Ш®, так как
ta . .. Хп — A"i • Хг • ... • Хп.
Следует иметь в виду, что вполне возможны такие слу-
случаи, когда два различных элемента из 91 оказываются экви-
эквивалентными относительно п", т. е. имеет место ХфУ, но
А-=К(п"). т. е. X=Y (X, Ке$Я).
3.3. Ответим, что в случае, когда и является частично
тождественным отношением, т. е. из W — V(n) следует № = V
(причем для некоторых W ? SBjj может иметь место Wrj^W (n)),
то 2BSr оказывается просто свободной полугруппой над 91 A.3).
В частности, это имеет место, когда п есть тождественное
отношение (т. е. W~W(n) для всех ТС^ЗВя и W + V(jx),
если W фУ) или когда п есть пустое отношение (т. е.
W + V(n) для любых W, У^Шх-
3.4. Обратимся к рассмотрению полугруппы SB^ при про-
произвольном отношении п в 2Вэт- Каждому элементу X алфа-
алфавита 91 можно сопоставить элемент X из -ИсЯВэт- Благодаря
этому каждому слову W = XtX2 ... Хп в 91 сопоставляется
слово ХгХ2 . .. Хп в 91, которое будем обозначать через W.
Отмечаем, что значение слова W в 2В^, очевидно, равно
8$i. Так как из W~V(n) (W, К^2В«) следует выполне-

§ 3] ПОЛУГРУППЫ, ЗАДАННЫЕ ОПРЕДЕЛЯЮЩИМИ ОТНОШЕНИЯМИ 481
ние в SBjft равенства W=-V, то паре слов W и V из Шщ,
находящихся в отношении и, соответствует в ЗВ^ соотно-
соотношение W = V относительно Э1?. Совокупность всех таких
соотношений в 3BJ обозначим через Ф (п). Ф (п) в ЗВзг
является определяющей совокупностью соотношений от-
относительно порождающего множества 9t.
Действительно, если в Шщ имеет место соотношение
то это означает, что W = V, т. е. W — V(n").
Но из W — V(n") следует, что для соответствующих
слов W и V можно получить соотношение W = V как след-
следствие из Ф(п).
3.5. Пусть теперь в произвольной полугруппе ЭД выделено
некоторое порождающее множество & и дана некоторая
определяющая совокупность Ф соотношений относительно $.
Беря $ в качестве исходного алфавита, строим свободную
полугруппу над ним ЗВ«. В ЗВ« определяем отношение п,
полагая W~V(n) (W, V?3B«) в том и только в том случае,
когда в Щ. W = V является соотношением, принадлежащим Ф.
Согласно определениям 1.8 и 1.9, слова Т и U из ЗВя имеют
равные значения в ЭД тогда и только тогда, когда Т — U (п").
Но и в 3BJ равенство элементов T = U имеет место тогда
и только тогда, когда Т — U(n"). Таким образом, между
элементами из 51 и элементами из ЗВ^ устанавливается оче-
. видным образом взаимно однозначное соответствие. Это соот-
; ветствие обладает свойством гомоморфизма и потому является
• изоморфизмом.
Из проведенных рассуждений следует, что всякая полу-
полугруппа с точностью до изоморфизма может быть задана
как полугруппа над некоторым алфавитом, заданная
при помощи некоторого определяющего отношения.
3.6. Для поставленного в начале параграфа вопроса роль
конструкции полугруппы над алфавитом, заданной при помощи
определяющего отношения, состоит в следующем. Пусть дано
некоторое множество 9t и дана совокупность .ЧГ формальных
равенств относительно 01, т. е. пар слов в 9t, связанных
знаком равенства. Спрашивается, можно ли построить полу-
полугруппу, для которой элементы из $1 являлись бы ее элементами
31 Зак. 455. В. С. Лхпвн

482 СООТНОШЕНИЯ В ПОЛУГРУППАХ [ГЛ. IX
и образовывали в ней порождающее множество, причем
соотношения из W были бы в этой полугруппе справедливы
и составляли бы определяющую совокупность соотношений
относительно 91??
3.7. Для ответа на этот вопрос рассмотрим свободную
полугруппу ЗВэд над алфавитом 9t. Возьмем в ней в качестве
определяющего отношения такое отношение ttgr. что W — V (Пцг)
(W, V ? SBsr) имеет место в том и только в том случае, когда
пара слов W и V, связанная знаком равенства, входит
в заданную совокупность формальных равенств ЧГ. Предпо-
Предположим, что ни для каких двух различных элементов X, Y?9l
не может иметь места X— ^(n^Y Тогда, построив полу-
полугруппу SB**, отождествим каждый ее элемент вида Х(Х?Я1)
с самим элементом X. В этой полугруппе множество ЭТ,
совпадающее благодаря указанному отождествлению с 9t,
является порождающим множеством.
Все формальные равенства из W являются справедливыми
соотношениями. При этом они образуют определяющую сово-
совокупность соотношений относительно 9t, ибо соотношение
W = V (W, V? 2ВШ) в Щу имеет место тогда и только тогда,
когда W — V, т. е. когда W ~V (п?\. Последнее же озна-
означает, что W — V есть следствие из W.
3.8. Пусть теперь для некоторых Хф Y(X, Y?9l) имеет
место Х~ Y(n'y). Если -ft является порождающим множеством
некоторой полугруппы, в которой все формальные равенства
из W являются справедливыми соотношениями, то из них
в качестве следствия вытекает и соотношение Х= Y. Таким
образом, различные элементы из 9t не могут быть различ-
различными элементами такой полугруппы.
3.9. Из рассуждений 3.7 и 3.8 вытекает полный ответ
на вопрос, поставленный в 3.6. Если совокупность формаль-
формальных равенств W такова, что для определенного с помощью
нее отношения п^ C.7) из Хф Y (X, Y?9l) всегда следует
X>j-> Y(n^\ и только при соблюдении этого условия суще-
существует такая полугруппа 2t, для которой 9t является поро-
порождающим множеством, a W является определяющей сово-
совокупностью соотношений относительно У1-
3.10. В связи с полученным выводом делается естествен-
естественным то соглашение, которое всегда принимается в соответ-

§ 3] ПОЛУГРУППЫ, ЗАДАННЫЕ ОПРЕДЕЛЯЮЩИМИ ОТНОШЕНИЯМИ 483
ствующих вопросах. Пусть -ft некоторое множество и W —
совокупность формальных равенств некоторых слов в ЗВэд.
Полугруппу 2B^W, которую можно также обозначить и
через 2&и, называют полугруппой, заданной определяющей
совокупностью соотношений W (или определяющим отно-
отношением nv\. Ее элементами являются классы слов в 9t,
эквивалентных между собой относительно п'^. Класс X, где
Х?% отождествляется с самим X. Если при этом для двух
каких-нибудь различных элементов X, F?9t имеет место
Х= Y (т. е. Х~ УЫф)), то X и Y считают просто различ-
различными обозначениями одного и того же элемента полугруппы
ЗВ^*. Как мы уже показывали C.2) в ЗВ^ множество 5R,
а следовательно, и 5R, если произвести в У1 соответствующие
отождествления, является порождающим множеством, a 47,
совпадающая с Ф(п^ C.4), есть определяющая совокупность
соотношений относительно этого порождающего множества.
3.11. Непосредственно из задания отношения п в Шщ,
или, что то же самое, из вида формальных равенств W, не
видно, когда два слова из 9f имеют одинаковые значения в Шщ,
т. е. изображают один и тот же элемент этой полугруппы.
Выяснение этого вопроса для каждой конкретной полу-
полугруппы 2Вщ является не только практически весьма нужным
для .проведения тех или иных исследований ее свойств, но
и представляет большую принципиальную важность, поскольку,
не имея его решения, мы не имеем ясного представления
об основе данной полугруппы — о множестве ее элементов.
Однако решение этого вопроса связано с принципиальными
глубокими трудностями.
Наиболее точно соответствующая проблема формулируется
для случая, когда алфавит -ft конечен, а определяющее отно-
отношение п в ЗВэд задается конечным числом пар слов в 91?,
находящихся между собой в отношении п (или, что то же
самое, полугруппа задается конечным числом соотношений).
В этом случае можно ставить вопрос о нахождении такого
общего алгорифма, при помощи которого для любой пары
слов W и V из ЭВэд можно выяснить, находятся ли они между
собой в отношении п" (второе производное отношение отно-
относительно п). Последнее же равносильно выясненению вопроса,
31*

484 СООТНОШЕНИЯ В ПОЛУГРУППАХ [ГЛ. IX
представляют ли собой слова W и V один и тот же
элемент данной полугруппы или нет. Задача о построении
такого алгорифма называется обычно проблемой тождества
для слов данной полугруппы. В некоторых случаях решение
этой проблемы, т. е. нахождение такого алгорифма, оказы-
оказывается возможным. Однако, как показал впервые А. А. Мар-
Марков [1], существуют такие полугруппы над конечным алфа-
алфавитом, определенные конечным числом соотношений, в которых
такого общего алгорифма вообще не существует. Такие
полугруппы были построены как самим А. А. Марковым [1],
[6], так впоследствии и некоторыми другими математиками,
например, Постом [1] и Кольмаром [1]. Соответствующие
полугруппы внешне по форме своего задания могут выгля-
выглядеть совсем несложно. Например, полугруппа, найденная
Г. С. Цейтиным [1], построена над алфавитом, состоящим
из пяти элементов {А, В, С, D, Е), и задана совокупностью
следующих семи соотношений:
АС = СА, AD = DA, ВС = СВ, BD = DB,
ЕС А = АЕ, EDB = BE,
ABAC = AB АСЕ.
Доказательство того, что для этой или для какой-либо
другой полугруппы проблема тождества неразрешима, пред-
представляет большую сложность и здесь приведено быть не
может. По своему характеру соответствующие вопросы отно-
относятся к самостоятельной отрасли математики — теории алго-
алгорифмов (см., например, книгу А. А. Маркова [6]).
3.12. Надо отметить, что для полугрупп над конечным
алфавитом, заданных конечным числом соотношений, есте-
естественно ставятся и другие алгорифмические задачи. Например,
очень важен вопрос об алгорифме, выясняющем вопрос о де-
делимости. Именно, требуется построить такой алгорифм, при
помощи которого для любых двух слов W и V над данным
алфавитом можно было бы выяснить, существует ли третье
слово U над этим алфавитом, такое, что имеет место
WU~V(n").
Очевидно, это означает не что иное, как построение
алгорифма, при помощи которого можно было бы выяснить,
когда один из двух элементов полугруппы, заданных словами
в данном алфавите, является левым делителем второго (ана-

§ 4] ТОЖДЕСТВА В ПОЛУГРУППАХ 485
логично для делимости справа). Как показал А. А. Марков
[1],[б], и такой алгорифм для некоторых полугрупп невоз-
невозможен (см. также работу С. И. Адяна [1]).
3.13. Следует подчеркнуть, что невозможность алгорифма
проблемы тождества или проблемы делимости в той или иной
полугруппе означает, что не существует одного единого
общего алгорифма для решения соответствующего вопроса
для любой пары слов в данном алфавите. Однако это вовсе
не означает, что существует хотя бы одна конкретная пара
слов, для которой соответствующий вопрос не мог бы быть
решен в принципе. Из доказательства невозможности для
какой-либо пары конкретных слов W и V доказать то, что
они изображают один и тот же элемент, очевидно, следо-
следовало бы, что для этих слов невозможно найти такую цепочку
слов, которая означает, что W — V(n"). Но это значило бы,
что такой цепочки вообще не существует, т. е. что W ^ V(n")-
Следовательно, это означало бы решение нашего вопроса.
Упомянутые выше результаты означают лишь отсутствие
в некоторых, случаях одного единого общего алгорифма,
решающего соответствующую задачу для всей бесконечной
совокупности пар слов в данном алфавите.
3.14. В заключение надо отметить тесную связь теории
полугрупп, заданных над данным алфавитом при помощи
определяющего отношения, с теорией ассоциативных исчисле-
исчислений (последняя, ограничивается случаем конечности в указан-
указанном выше смысле). Теория ассоциативных исчислений в сущ-
сущности может быть рассматриваема как некоторый конструк-
конструктивный подход к теории таких полугрупп. Укажем, что
соответствующее предельно строгое изложение основ этой
теории и упомянутые выше результаты о невозможности не-
некоторых алгорифмов даны в книге А. А. Маркова [6]. В этой
книге, как и во многих других работах по этому вопросу,
упомянутые выше результаты о невозможности некоторых
алгорифмов оформляются как соответствующие утверждения
относительно тех или иных ассоциативных исчислений,
§ 4. Тождества в полугруппах
4.1. Пусть Т и Т' есть два слова в счетном алфавите
Е = {$!, ?2, ...}. Соотношение, связывающее слова Т и Т.
знаком ^ (употребляют иногда и знак тождества ез, который

486 СООТНОШЕНИЯ В ПОЛУГРУППАХ [ГЛ. IX
у нас уже использован для других целей)
называется тождеством в полугруппе К, если при любом
отображении ср множества Е в 21, значения слов ср(Г)и ср(Г')
в §1 равны. Другими словами, Т = Т' превращается в Щ
в равенство при подстановке в слова Г и Г' вместо элемен-
элементов из Е любых элементов из %.
Очевидно, выбор элементов алфавита S совершенно без-
безразличен для задания тождеств в полугруппе. В частности,
из справедливости в % некоторого тождества Г^Г' сле-
следует, что будет справедливо и тождество TQ gz Т'о, получаемое
из Tg^T' такой заменой элементов из S, в него входящих,
другими элементами из этого же алфавита, при которой раз-
различные элементы из Е заменяются различными же элемен-
элементами. В этом случае можно считать Тд^Т' и Тод±Т' одним
и тем же тождеством.
Можно рассматривать в полугруппе одновременно не-
несколько тождеств. Благодаря сказанному их можно задавать
исходя из одного и того же алфавита. Так как в каждом
из них участвует лишь конечное число элементов этого
алфавита, но числа эти в совокупности (для всех тождеств)
могут быть и неограничены, то для того чтобы обслужить
все эти тождества, приходится брать счетный алфавит Е.
4.2. Во всякой коммутативной полугруппе имеет место
тождество
Наличие этого тождества в полугруппе и есть условие
ее коммутативности.
Полугруппа идемпотентов характеризуется тождеством
Единичная полугруппа, т. е. полугруппа, состоящая из
одного элемента, характеризуется тождеством
Не раз мы привлекали к рассмотрению полугруппу,
в которой произведение двух любых, элементов равно левому
множителю. Такая полугруппа определена с точностью до

§ 4] ТОЖДЕСТВА В ПОЛУГРУППАХ 487
изоморфизма мощностью своих элементов. Класс таких полу-
полугрупп, очевидно, характеризуется выполнением тождества
Аналогично тождество
^2 = 4,
характеризует класс полугрупп, в которых произведение
всегда равно правому множителю.
4.3. Каждое тождество Т^Т' можно характеризовать
суммой длин составляющих его слов Т и V'.
Тождествами, у которых это число равно двум, будут
тождество Б]=?2> которое мы уже рассмотрели, и тождество
$! = ?! — тривиальное и справедливое во всякой полугруппе.
Помимо рассмотренных в 4.2 тождеств, у которых сумма
длин составляющих их слов не более трех, возможны еще
лишь два таких тождества. Тождество
имеет место только в единичной полугруппе, поскольку при
его выполнении для любых элементов полугруппы X и У
получаем
ХХ=Х, XX =К.
Аналогично и тождество
41 = 42
выполняется только в единичной полугруппе.
При возрастании указанной суммы длин появляются новые
нетривиальные тождества.
4.4. Полугруппа %., в которой для некоторого натураль-
натурального п имеют место два тождества:
tn /-^ tn. twt .—- S
41 = ?2. 4142 = 42.
является группой, порядки всех элементов которой являются
делителями п. Действительно, для любого Х?Ш элемент Хп
является левой единицей 91. При этом каждый элемент А ? Щ
имеет двусторонне обратный Л"" относительно этой единицы
А" = Хп. Обратно во всякой группе, элементы которой имеют
порядки, являющиеся делителями п, очевидно, имеют место
оба указанных тождества.

488 СООТНОШЕНИЯ В ПОЛУГРУППАХ [ГЛ. IX
Важным вопросом в теории групп является так назы-
называемая проблема Бернсайда о том, существуют ли бесконеч-
бесконечные группы, имеющие конечное порождающее множество,
у которых порядки всех элементов являются делителями одного
и того же числа п. Для «^4 известно, что таких бесконеч-
бесконечных групп не существует. Для я!>72 П. С. Новиковым1
доказано существование таких бесконечных групп.
Как показано в работе Грина и Риса [1], указанная
проблема теории групп эквивалентна следующей проблеме
теории полугрупп: существуют ли бесконечные полугруппы
с конечным порождающим множеством, в которых имеет
место тождество Й1^^.
В одном направлении связь между обоими проблемами
очевидна. Если для некоторого п всякая полугруппа с ука-
указанным тождеством, обладающая конечным порождающим
множеством, конечна, то отсюда сразу вытекает конечность
всех групп, обладающих конечным порождающим множеством,
порядки элементов которых являются делителями п. Это сле-
следует из того, что при выполнении тождеств ?" = ?а. lj*Sa == ?21
очевидно, имеет место и тождество S"+1^$i.
Обратное далеко не очевидно. Доказательство того, что
из существования бесконечной полугруппы с конечным поро-
порождающим множеством, обладающей тождеством $"+1=$lt
следует существование бесконечной полугруппы с конечным
порождающим множеством, обладающей тождествами $?=?".
??Sa=?i. непросто, и мы не будем его приводить.
4.6. Используя понятие тождества, А. И. Мальцеву [6]
удалось перенести в теорию полугрупп понятие нильпотент-
нильпотентности, широко используемое в теории групп 2.
К понятию нильпотентности в теории групп можно подойти
с различных точек зрения. Например, можно использовать
следующее индуктивное определение.
Коммутативные группы называются 1-ступенно нильпо-
тентными. Группа © называется ге-ступенно нильпотентной
(я =;2, 3, 4, ...), если факторгруппа по ее центру ©/3
является (п—1)-ступенно нильпотентной.
1 О периодических группах. ДАН СССР, 127 A959), 749—752.
2 См., например, А. Г. К у р о ш. Теория групп, § 62, Гостех-
издат, 1953.

§ 4] ТОЖДЕСТВА В ПОЛУГРУППАХ 489
4.6. Для алфавита S = {Ьи ^, ...} определяем по индук-
индукции слова Wn и Vn в S. Полагаем
0v 02
Далее
Wn^Wn-itn+гК-» ^ = ^->5»Лч (п=1. 2, 3. .. .)•
Согласно А. И. Мальцеву, полугруппа Щ называется п-сту-
п-ступенно нильпотентной, если в ней имеет место тождество
4.7. Отметим, что, очевидно, "всякая ге-ступенно нильпо-
тентная полугруппа обязательно будет и ft-ступенно нильпо-
нильпотентной при любом k^n.
Коммутативные полугруппы все 1-ступенно нильпотентны.
Однако в классе 1-ступенно нильпотентных полугрупп содер-
содержатся и некоторые некоммутативные полугруппы.
Действительно, к классу 1-ступенно нильпотентных полу-
полугрупп, очевидно, принадлежат все полугруппы, в которых
имеет место тождество
Примером таких полугрупп является полугруппа, множество
элементов которой состоит из О и из слов длины один и
два в некотором алфавите 91. Действие умножения состоит
в приписывании слов. Если же один из множителей равен О
или в результате приписывания получится слово длины боль-
большей двух, то произведение считается равным О. В такой
полугруппе, очевидно, имеет место указанное тождество, так
как произведение трех множителей всегда равно О. Если
алфавит 9t содержит более одного элемента, то полугруппа
некоммутативна, ибо для всяких X, Y ? 9t (X Ф Y) произ-
произведение X на Y равно слову XY, а произведение К на X—-
слову YX, причем эти слова по определению являются раз-
различными элементами рассматриваемой полугруппы.
4.8. Значение приведенного понятия определяется тем,
что оно является прямым обобщением соответствующего поня-
понятия теории групп.
Теорема. Группа является п-ступенно нильпотентной
группой в смысле определения 4.5 тогда и только тогда,

490 СООТНОШЕНИЯ В ПОЛУГРУППАХ [ГЛ. IX
когда она есть п-ступенно нильпотентная полугруппа
D.6).
Доказательство. 1) Докажем по индукции относи-
относительно п, что группа ©, »-ступенно нильпотентная в смысле 4.5,
является л-ступенно нильпотентной полугруппой.
При п = 1 © коммутативна и потому является 1 -сту-
пенно нильпотентной полугруппой.
Пусть п>1. Обозначим через ср естественный гомомор-
гомоморфизм © на факторгруппу © по ее центру: ©/3-
Берем произвольные элементы XL, Х2 Хп+1, Хп+2
из ©. Обозначим через W'k и V'k слова в @, получающиеся
из слов Wk и Vk в Е D.6) заменой \{ на Xt. Пользуясь
индуктивным предположением, мы можем считать, что
в ср (©) = ©/3 выполнено соотношение
По свойству факторгруппы это означает, что в © мы имеем
Благодаря этому получаем равенства в © для значений слов
в ©
W' = W X V — V 7Х V —
wn n-rSi+2, п-1' %-Глп+2 n-l
— V X V' Z — V X W —V'
vn-i n+2vn-i^ y n-vn+г n-i vn'
Выполнение этого равенства для произвольных Xv X2, . ..
.... Хп+2 из © означает, что в © имеет место тождество
т. е. © есть n-ступенно нильпотентная полугруппа.
2) Теперь докажем по индукции относительно п, что
группа ©, являющаяся п-ступенно нильпотентной полугруп-
полугруппой, будет п-ступенно нильпотентна в смысле 4.5.
Если я=1, то выполнение равенства
получающегося из тождества Wl^Vt заменой klt на Х1
12 на Х2 и |3 на Е®, где Х1 и Х2—произвольные элементы
из ©, означает коммутативность ©.

§ 4] ГбЖДЁСТЙА Ё ПблУГРУППА*
Пусть п > 1. Пользуясь обозначениями первой части,
получаем из тождества Wn ~ Vn, взяв в качестве Хп+2 еди-
единицу Е®, соотношение в ©
W' V =V' W
n-l n-l "n-l п-1'
При произвольном Хп+2 из Wn^Vn следует
W у V — V X W
п-Хп + Г п-Х v п-Хлп+ЧГ n~V
Отсюда благодаря доказанному выше получаем
(К~-\К-х) К±г = *п+г (К-хК'-х) =
n-iwn-Xvn-xvп-х) Лп+Л n-xwn-x
Но это означает, что (У'^^'^Л ? 3 и потому в
мы получаем
Это означает, что в ©/3 имеет место тождество Wn_l~Vn_v
т. е. ©/3 является (я—1)-ступенно нильпотентной группой
в смысле 4.5. Отсюда по 4.5 следует, что (В есть п-ступенно
нильпотентная группа.
4.9. Теория тождеств в полугруппах в сущности является
частью теории соотношений. Если в полугруппе % с порож-
порождающим множеством ft имеет место тождество Т^Т',
то в Ж будут справедливы соотношения относительно ft,
получающиеся заменой элементов алфавита S, входящих
в Г и Г' произвольными словами в ft. Обратно, если в ft
справедливы все указанные соотношения относительно ft,
то это означает, что в 21 имеет место тождество Т^Т'.
Таким образом, тождество Т^Т' в 91 можно рассматривать
просто как краткое обозначение указанной бесконечной
совокупности соотношений относительно произвольного по-
порождающего множества ft. Тем самым различные понятия
и свойства, полученные для соотношений, могут быть отне-
отнесены и к тождествам.

492 соотношения в пСлутрУппах [гЛ. IX
4.10. Наравне с этим можно и независимо построить
теорию тождеств, сходную с теорией соотношений. Произ-
Произвольное отображение ср алфавита S в себя преобразует одно
тождество в другое. Если первое тождество было справедливо
в некоторой полугруппе К, то и второе, очевидно, также
будет в Щ. справедливо.
Пусть Ф есть некоторая совокупность тождеств в полу-
полугруппе К. Определим в 2ВЕ отношение п, полагая Т ~Т' (п),
где Т, 7'^SBs. если при некотором отображении ср алфа-
алфавита S в себя для некоторого тождества TQgz.T'o, принадле-
принадлежащего Ф, мы получим ср(Г0) —Г, ер (Т'Л = Т. Тождеством,
являющимся следствием из Ф, можно назвать такое тождество
Т^Т', что Т — Г'(п"), где п" — второе производное отно-
отношение для п (I, 5.21). Легко убедиться, что если все
тождества из Ф справедливы в некоторой полугруппе ЭД,
то и всякое тождество, являющееся следствием из Ф, также
будет справедливо в К.
Пользуясь понятием следствия из совокупности тождеств,
можно в классе всех тождеств, справедливых в данной полу-
полугруппе, выделять такие совокупности, что все прочие то-
тождества являются их следствиями. Можно рассматривать
взаимоотношения различных таких совокупностей. Отметим
только, что для тождеств нет смысла рассматривать вопросы,
аналогичные вопросам из § 2, связанным с изменением
порождающих множеств. Действительно, по самому опреде-
определению тождества выбор алфавита Е, при помощи которого
задаются тождества, совершенно безразличен.
4.11. Пусть для слов в счетном алфавите Е= {^, ?2> • • •}
дана некоторая совокупность Ф формальных равенств слов
в этом алфавите, т. е. пар слов из ЗВв> соединенных знаком
равенства. Для алфавита 3t можно определить полугруппу 2Вэд
как полугруппу над алфавитом 9t, определяемую определяю-
определяющей совокупностью соотношений, получаемых из Ф путем
всевозможных замен элементов Е в формальных равенствах
из Ф словами из 2В«в C.10). Эту полугруппу 2В* можно
назвать полугруппой над 91, заданной совокупностью
тождеств Ф. Очевидно, в ней все формальные равенства
из Ф являются справедливыми тождествами.
4.21. В заключение отметим, что как понятие соотноше-
соотношения, так и тождества можно отнести не только к полугруп-

§ 51 свободные полугруппы 493
пам, но и к любым мультипликативным множествам. При
этом только пришлось бы задавать слова не только одной
последовательностью элементов, но и системой скобок в этой
последовательности, указывающей, в каком порядке должны
совершаться действия для получения значения слова в дан-
данной полугруппе. После соответствующего обоснования этой
теории мы могли бы определить полугруппы как такие
мультипликативные множества, в которых имеет место то-
тождество
§ 5. Свободные полугруппы
5.1. Рассматривая тот или иной класс полугрупп, есте-
естественно обратить внимание на такие совокупности элементов
в полугруппах этого класса, между которыми нет никаких
соотношений помимо тех, которые связывают любые эле-
элементы во всех полугруппах данного класса. Соответствующие
понятия и некоторые свойства были рассмотрены Биркго-
фом [1] и Е. С. Ляпиным [3] для алгебраических теорий
более широких, нежели теория полугрупп.
Определение. Пусть полугруппа % принадлежит
некоторому классу полугрупп Г. Непустое ее подмно-
подмножество $сЭД называется свободным множеством
относительно класса Г, если всякое отображение мно-
множества $ в любую полугруппу W из Г может быть
продолжено до гомоморфизма полугруппы [$] в W-
Если полугруппа % из Г обладает порождающим
множеством, являющимся свободным множеством отно-
относительно Г, то полугруппа % называется свободной
в классе Г.
5.2. Наличие свободных полугрупп в некотором классе
полугрупп оказывается существенным для изучения всего
класса благодаря нижеследующему обстоятельству.
Если в классе полугрупп Г существует свободная в Г
полугруппа g, у которой мощность свободного относительно Г
порождающего множества Я равна т, то всякая полугруппа
из Г, обладающая порождающим множеством, мощность
которого не превосходит т, является гомоморфным образом
этой свободной в Г полугруппы §.

494 соотношения в полугруппах' [гл. tit
ДеЙстЁйтёльно, пусть 1 = [$']? Г и мощность &' не пре-
превосходит т. Возьмем произвольное отображение <$ на $'.
Согласно определению 5.1, оно продолжимо до гомоморфизма,
Так как в образ этого гомоморфизма входит $', то войдет
и [&']. Следовательно, это есть гомоморфизм g на %.
5.3. Так как мощность всякой бесконечной несчетной
полугруппы совпадает с мощностью всякого ее порождаю-
порождающего множества, то для класса полугрупп Г, обладающего
бесконечными несчетными полугруппами, можно формулиро-
формулировать следствие из утверждения 5.2. Если в таком классе
для каждой полугруппы найдется свободная в Г полугруппа
с не меньшей мощностью, то всякая полугруппа из Г является
гомоморфным образом некоторой свободной в Г полугруппы.
Если помимо свойства 5.2 класс Г обладает тем свой-
свойством, что гомоморфный образ всякой полугруппы из Г сам
принадлежит Г (т. е. Г замкнут относительно операции
применения гомоморфизмов), то класс Г является классом
всевозможных гомоморфных образов полугрупп, принадлежа-
принадлежащих классу Го, состоящему из всех свободных в Г полугрупп.
В этом случае класс Го в известном смысле характеризует
весь класс Г. Изучение этого последнего в принципе сво-
сводится к изучению Го. Впрочем, реальную пользу такой
подход может дать лишь в том случае, когда мы в той или
иной степени представляем себе характер гомоморфизмов
свободных полугрупп из Го.
5.4. Легко убедиться, что свободные множества действи-
действительно характеризуются тем свойством, которое было упо-
упомянуто в самом начале параграфа. Между их элементами
имеют место лишь такие соотношения, которые имеют место
относительно любых элементов всякой полугруппы данного
класса.
Теорема. Непустое подмножество Ш полугруппы %
из класса Г будет свободным множеством относительно Г
тогда и только тогда, когда всякое соотношение отно-
относительно $ при любом отображении $ в произвольную
полугруппу W из Г отображается на справедливое в W
соотношение.
Доказательство. 1) Пусть относительно $сК, где ЭД
принадлежит классу Г, имеет место соотношение
• ¦ • Ут (-^i. Х2 Хп, Yx Y
m

§ 5] -СВОБОДНЫЕ ПОЛУГРУППЫ 495
и ср есть произвольное отображение $ в полугруппу W из Г,
Если $ есть свободное множество, то ср продолжимо до го-
гомоморфизма ф. Относительно ф имеем
г... Ym).
Отсюда, пользуясь свойством гомоморфизма, получаем
W равенство
которое может быть записано также в виде
2) Пусть все соотношения относительно $сЭД обладают
рассматриваемым свойством и пусть ср произвольное отобра-
отображение $ в W из Г. Произвольный элемент Z ? [$] пред-
представим в виде произведения
Z^= Х1Х2 . . . Хп (Xt, Х2, . . ., Х
Определяем отображение 6, полагая
Это отображение однозначно, т. е. не зависит от выбора
того слова в &, значением которого является Z. Действи-
Действительно, если
Z = ХХХ2 . ¦ ¦ Хп, Z = KjKj . . . Ym
(Хх, Хг Хп, Yt Ут?&)>
то
XtX2 . . . Хп= КХК2 . . . Ут
есть соотношение относительно $. По условию оно отобра-
отображается на справедливое в W отображение, т. е. в %' имеет
место
То, что отображение ф обладает свойством гомоморфизма,
очевидно.
5.5. Из доказанного следует, что само множество 31
(т. е. множество слов в 31, длина которых равна единице)
из свободной над алфавитом 31 полугруппы ЗВ^ A.3) является
свободным относительно класса всех полугрупп. Действи-
Действительно, относительно этого множества в Ш% нет никаких

496 СООТНОШЕНИЯ В ПОЛУГРУППАХ [ГЛ. IX
нетривиальных соотношений. Таким образом, SBjj есть сво-
свободная полугруппа относительно класса всех полугрупп.
Очевидно, и всякая изоморфная с Шщ полугруппа является
свободной относительно класса всех полугрупп. Других
свободных полугрупп относительно класса всех полугрупп
не существует. Действительно, пусть $.<=.% — свободное мно-
множество относительно класса всех полугрупп и [$] = ЭД.
Возьмем полугруппу Шщ, у которой алфавит 9t равномощен
с $. Пусть ср—взаимно однозначное отображение $ на 91
и ф есть гомоморфизм [&] на SBgj, продолжающий отображе-
отображение ср. Пусть
Z = ХУХ2. . . Хп, Z' = Kt Y2. . . Y
{Xlt X2, ..., Xn, Yt Y
Отсюда следует
Ho <f(Xi) и <f(Yj) принадлежат 31. По определению 2Вщ,
равенство значений двух слов в St возможно лишь в том
случае, когда оба эти слова одинаковы. Таким образом,
обе части полученного равенства должны тождественно
совпадать. Ввиду взаимной однозначности ср это означает,
что слова XtX2 ... Хп и Y1Y2 ... Ym тождественно совпа-
совпадают. Отсюда вытекает Z = Z'. Гомоморфизм ф, будучи
взаимно однозначным отображением, является изоморфизмом.
Б.6. Простое устройство свободных полугрупп A.3)
позволяет без труда вывести различные многочисленные
их свойства. Те из этих свойств, которые носят абстрактный
характер, благодаря 5.5 являются свойствами всех полугрупп,
свободных в классе всех полугрупп. Отметим некоторые
из таких свойств.
Пусть g есть полугруппа, свободная в классе всех полу-
полугрупп. Согласно 5.5, она изоморфна свободной полугруппе ЗВя
над некоторым алфавитом St. Нижеследующие свойства %,
очевидно, сохраняющиеся при изоморфизме полугрупп, можно
доказывать для полугруппы ЗВм-
(а). % не имеет единицы.
ф). g есть полугруппа с двусторонним сокращением.
Справедливость (а) и (fJ) непосредственно вытекает из пра-
правила умножения элементов в 2В

§ 5] СВОБОДНЫЕ ПОЛУГРУППЫ 497
(f). Если в g для элементов Sv S2, S3, 54 имеет место
то или Si = S3, или Sy делится слева на S3, или S3 де-
делится слева на 5t.
Действительно, пусть
E.6%; #??П; /=1, 2, 3, 4).
Согласно определению Я8Ш должно иметь место X[1) =
Х^ = Ха3) и т. д. Если kt — k3, то 5Х = 53; если kt > А3,
то 5t делится слева на 53; если kt < ft3. то S3 делится
слева на St.
(8). Каждый элемент полугруппы § имеет лишь ко-
конечное количество различных левых делителей.
Действительно, пусть
W = X1Xt ... Хп?Шп (Xv X2, ..., Хп?Ш).
Покажем, что, кроме п—1 элементов XtX2 ... Хк
(&= 1, 2, .... п—1), W не имеет других левых делителей.
Пусть
12' i 1 2 ' ' ' kj v 8 С Jl> * • ^/*
Согласно определению 2Вщ. должно иметь место Kj.1' = A"i i
(е). Два элемента в g перестановочны между собой
тогда и только тогда, когда они оба являются степе-
степенями одного и того же элемента из % (т. е. содержатся
в некоторой моногенной подполугруппе §).
Действительно, пусть в Шщ
WV = VW.
Случай W — V тривиален. Пусть W фУ. Благодаря (?)
можно считать, что при некотором U ? SB^ W = VU. Но
тогда
VUV = WU
и благодаря (Р)
UV = VU.
32 Зак. 455. Е. С. Ляпин

498 СООТНОШЕНИЯ В ПОЛУГРУППАХ [ГЛ. IX
Если применить индукцию по сумме длин перестановочных
слов из Шш, то можно считать, что
Но тогда и
(С). § имеет единственное неприводимое порождаю-
порождающее множество.
Действительно, в Шщ, очевидно,
Следовательно, 9t есть множество неразложимых элемен-
элементов 2Bgj. являющееся его порождающим множеством. Со-
Согласно III, 2.7, 2Bsr не имеет иных неприводимых порождающих
множеств.
(т\). В § имеется единственное порождающее мно-
множество, являющееся свободным множеством относи-
относительно класса всех полугрупп.
В 2Вэд указанным множеством является 31. Всякое другое
порождающее множество, согласно (С), приводимо. Это зна-
значит, что некоторый его элемент может быть выражен в виде
произведения некоторых других его элементов. Но, как
легко следует из 5.4, множество с таким свойством не может
быть свободным относительно класса всех полугрупп.
В связи со свойством (tj) отметим, что для некоторых
классов Г полугруппы, свободные в классе Г, могут иметь
и несколько порождающих множеств, являющихся свободными
относительно Г.
Б.7. Из различных свойств полугрупп, принадлежащих
классу полугрупп, свободных в классе всех полугрупп, можно
выделить различные системы свойств, характеризующие этот
класс. Например, как следует из работы Дюбрейль-Жако-
тэн [1], такую систему образуют четыре первых свойства
делимости, приведенные в 5.6.
Теорема. Если полугруппа ЭД обладает свойствами 5.6,
(а), ф), (т), (8), то она свободна в классе всех полугрупп.
Доказательство. Покажем, что ни один элемент
из % не имеет в 91 ни левой, ни правой единицы. Действи-
Действительно, из АХ=А {А, Х?Щ мы для произвольного S?9t
получаем AXS = AS и благодаря ф) XS — S. Но тогда для
произвольного S'?9l S'XS = S'S и опять-таки благодаря ф)

§ 5] бйбБОДНЫЙ ПОЛУГРУПШ
S'X=S'. Таким образом, оказалось, что X является дву-
двусторонней единицей 91, что противоречит (а). Случай левой
единицы аналогичен.
Покажем, что если А есть левый делитель В, то В
не может быть левым делителем А (А,
Действительно, из
А = ВХ, B = AY (X,
мы получили бы A = AYX, что, как мы показали выше,
невозможно.
Обозначим $ = 21\2Ш и докажем, что 51 = [$].
Для произвольного элемента А ?91 возьмем все левые
его делители. Благодаря (S) их—конечное число и благодаря
доказанному выше свойству среди них найдется такой Хх,
который не будет делиться слева ни на какой другой из
этих левых делителей:
А --=
Очевидно, Хг ? $, так как при Хх = Х'хХ"х элемент Х'х был бы
левым делителем А, на который Х1 делится слева. Анало-
Аналогично At имеет левый делитель Хи принадлежащий $
Ах = ХгА2, А = ХхХгАг.
Продолжаем рассуждение. Все элементы Хи
XXXj, . . . должны быть попарно различны, ибо из
{Х^Х2 ... Xt) (Xi+1 ..
следовало бы, что Х^Х2 ¦ ¦ ¦ Xt имеет правую единицу.
Благодаря C) наш процесс построения элементов Xi?R дол-
должен оборваться, т. е. при некотором п ^> 1 мы получим
А = XtX2 ... Хп.
Наконец, покажем, что не существует нетривиальных со-
соотношений относительно порождающего множества 5t Пусть
ВД ... Xn=Y1Yt ...Ym (Xv X2 Хп, Y, Km6 Я).
Если бы Х1 Ф Yv то, согласно (т). или Х1 должен был
бы делиться слева на Klf или Кх— на Xv И то и другое
невозможно, ибо Xlt Yt?&. Но тогда, согласно ф),
Хг ... Хп — Y2 ... Ym.
32»

500 СООТНОШЕНИЙ В ПОЛУГРУППАХ (ГЛ. IX
Повторяя рассуждения, находим Х2 = К2 и т. д. В конце
концов убеждаемся, что исходное соотношение было тож-
тождественным.
То, что относительно $ не существует нетривиальных
соотношений, показывает, что Я есть свободное множество
относительно класса всех полугрупп E.4). Так как [$] = 91,
то полугруппа 91 свободна в классе всех полугрупп.
6.8. Мы будем говорить, что некоторое тождество спра-
справедливо в классе полугрупп, если оно справедливо в каж-
каждой из полугрупп этого класса.
Пусть Г есть некоторый класс полугрупп, замкнутый
относительно изоморфизмов (т. е. Г вместе с каждой полу-
полугруппой содержит и всякую изоморфную ей полугруппу).
Ф некоторая совокупность тождеств в этом классе, такая,
что все прочие тождества этого класса являются следствиями
из Ф D.10). Если полугруппа SB* D.11) над некоторым
алфавитом 91, заданная совокупностью тождеств Ф, принад-
принадлежит классу Г, то она является свободной в этом классе.
Действительно, множество 91 есть порождающее мно-
множество для 2В*. Соотношения относительно 9t, индуцируе-
индуцируемые тождествами из Ф D.9), образуют определяющую сово-
совокупность в ЗВя относительно 9t D.9; 4.11). Так как при
любом отображении 5К в произвольную полугруппу К?Г
эти соотношения отображаются на справедливые соотноше-
соотношения в 91, то, согласно 1.11, это отображение продол-
жимо до гомоморфизма полугруппы [Щ = 2В*: в 91.
Отметим, что при равномощных 9^ и 9t2 для ДВУХ сово-
совокупностей тождеств Ф^ и Ф2 рассмотренного типа полугруппы
ЗК*; и 3B*J изоморфны.
Б.9. Полугруппами 2В*г, указанными в 5.8 , и изоморф-
изоморфными им полугруппами исчерпываются свободные полу-
полугруппы в рассматриваемом классе Г.
Действительно, пусть 91 = [Я] есть свободная в Г полу-
полугруппа и $— свободное множество относительно Г. Со-
Согласно 5.4, относительно й не существует никаких соотношений,
кроме тех, которые индуцируются тождествами, справедли-
справедливыми во всех полугруппах из Г, т. е. тождествами, являющи-
являющимися следствиями из Ф. Рассмотрим полугруппу 2В*. Из
определения этой полугруппы благодаря теореме A.12)

I 5j свободные полугрупп^ 501
непосредственно вытекает наличие изоморфизма между Ш
и ай«.
5.10. Рассуждения 5.8 и 5.9 дают необходимое и доста-
достаточное условие того, чтобы некоторый замкнутый относи-
относительно изоморфизмов класс полугрупп обладал свободными
полугруппами. Как мы уже отмечали роль полугрупп, сво-
свободных в классе, определяется возможностью получать из
них при помощи гомоморфизмов прочие полугруппы этого
класса. Разберем этот вопрос подробнее.
Пусть Ф есть некоторая совокупность тождеств в алфа-
алфавите S и Ш — некоторый непустой класс мощностей, такой,
что, если мощность п меньше мощности т?5Ш, то п сама
обязательно содержится в 5Ш. Обозначим через Г* класс
всех полугрупп, в которых справедливы все тождества
из Ф и которые обладают порождающими множествами,
мощность которых принадлежит Зй. Конечно, всякий такой
класс непуст, ибо он всегда содержит единичную полугруппу.
Указанный класс Г* всегда обладает следующими тремя
свойствами.
(а). Г* замкнут относительно гомоморфизмов, т. е. гомо-
гомоморфный образ всякой полугруппы из Г*; сам всегда при-
принадлежит Гад.
(Р). В Г*( существуют свободные полугруппы,
(f). Каждая полугруппа из Т% является гомоморфным
образом некоторой свободной в Г»*| полугруппы.
Справедливость (а) следует из того, что при гомомор-
: физме полугруппы на полугруппу порождающее множество
\' отображается на порождающее множество, а всякое соотно-
' шение отображается на справедливое соотношение.
- Справедливость (р) вытекает из 5.8.
Пусть % есть некоторая полугруппа из Г*; и $ — ее по-
порождающее множество, мощность которого принадлежит ЗЯ.
Полугруппа 2В* принадлежит классу Г* и является в нем
свободной E.8). Согласно 5.1, тождественное отображе-
отображение $ продолжимо до гомоморфизма 2Вя в Ш. При этом
гомоморфный образ должен совпадать со всей 31.
6.11. Свойства 5.10, (а), ((J), (f) показывают, что класс
Где E.10) состоит из всех полугрупп, получаемых при

502 боотношЁния" в полУгрУппах (гл. ftf
помощи гомоморфизмов из свободных в этом классе полу-
полугрупп. Оказывается, что никакие иные замкнутые относи-
относительно гомоморфизмов классы не обладают этими свойствами.
Если некоторый класс полугрупп 2 обладает свойствами
(a), (fJ), (f), сформулированными в 5.10 для Г*ь то ? яв-
является одним из классов Г*; E.10).
Обозначим через Ш класс таких мощностей ш, что в Е
существуют свободные полугруппы, имеющие свободное от-
относительно ? порождающее множество с мощностью не
меньшей т. Через Ф обозначим совокупность всех тождеств
над некоторым алфавитом S, имеющих место во всех полу-
полугруппах класса Е. Покажем, что ? = Г*(.
Пусть ЭД??. Согласно (f), Ш есть гомоморфный образ
некоторой полугруппы, свободной в ?. Отсюда следует,
что Ш обладает порождающим множеством, мощность кото-
которого принадлежит Ш. Так как к тому же в ?! имеют место
все тождества из Ф, то Ш принадлежит Г*;.
С другой стороны, если 23?Г*;, то в 35, согласно (f),
должно найтись такое порождающее множество $, мощность
которого принадлежит ffl. В ? должна существовать сво-
свободная полугруппа ЭД, обладающая свободным относительно ?
порождающим множеством ^' с мощностью, которая больше или
равна мощности ?. Возьмем какое-либо отображение <р 5Г
на ^. Согласно 5.4, в Щ относительно R' имеют место лишь те
соотношения, которые индуцируются тождествами из Ф. Так
как 23 ? Г*ь то все эти соотношения отображаются на справед-
справедливые в 23 соотношения. Благодаря этому, согласно 1*11,
отображение ср продолжимо до гомоморфизма. Так как
в образе этого гомоморфизма содержится ffc, то гомомор-
гомоморфизм является гомоморфизмом ЭД на 23. Отсюда, согласно (а),
следует, что 23 ? ?.
5.12. В произвольном классе Г^ типа 5.10 свободными
полугруппами, согласно 5.8 и 5.9, являются полугруппы 2В<н
над различными алфавитами 3f, мощность которых принад-
принадлежит Ш, и изоморфные им полугруппы. Таким образом,
свободные в Г*; полугруппы благодаря 5.8 с точностью до
изоморфизма, вполне определяются каждая мощностью сво-
свободного в Г*1 порождающего множества.

§ 5] СВОБОДНЫЕ ПОЛУГРУППЫ 503
5.13. Примером классов типа 5.10 является класс всех
коммутативных полугрупп. Это есть класс, определенный
тождеством ^2 = М1* Свободная полугруппа в этом классе
со свободным порождающим множеством jt может быть опре-
определена как множество классов слов в ^, где в один класс
включены слова, получающиеся друг из друга путем пере-
перестановок элементов.
Класс всех га-ступенно нильпотентных полугрупп D.6)
для всякого «=1,2,... также относится к числу классов
вида Г*[ E.10). Именно, Ф состоит из одного тождества 4.6.
Таким образом, все га-ступенно нильпотентные полугруппы
являются гомоморфными образами свободных я-ступенно
нильпотентных полугрупп, задаваемых указанным тождеством
и мощностью свободного порождающего множества.
Из указанных классов можно выделить новые классы
типа 5.10, если дополнительно наложить условие на мощ-
мощность порождающих множеств полугрупп.
5.14. К числу классов типа 5.10 относится также класс
полугрупп идемпотентов, характеризуемый тождеством ^ = Ei.
Этот класс можно также описать как класс полугрупп, яв-
являющихся связками единичных групп. Мы же не раз обра-
обращались к рассмотрению полугрупп этого класса. Теперь
остановимся на рассмотрении его свободных полугрупп.
В продолжение ближайших рассуждений будем под Ф все
время понимать совокупность, состоящую из одного то-
тождества I? ~ St. Класс полугрупп идемпотентов (т. е. Гж,
где ЗЯ есть класс всех мощностей) будем обозначать через Г.
: Каждая свободная в Г полугруппа изоморфна 2В*. где 9t
произвольный алфавит.
5.15. Для каждого слова W в У1 обозначим через $>(W)
совокупность тех элементов из У1, которые входят в это
слово W. Если в 2В* значение слова W совпадает со значе-
значением слова V, то §(W) — $(V).
Действительно, от W к V можно перейти при помощи
преобразований, заменяющих часть слова вида ХХХ% ... Хк
на Х^Х2 ... Х^{ХХ2 ... Хк(Хи Х2 Хк ? 91), или наоборот.
Очевидно, каждый раз $(W) меняться не будет. Потому
множество $(W) можно считать однозначной характеристи-
характеристикой элемента из 2Б*, являющегося значением слова W.

504 СООТНОШЕНИЯ В ПОЛУГРУППАХ [ГЛ. IX
5.16. Рассмотрим некоторые свойства введенной в 5.15
характеристики, связанные со свойствами регулярной сопря-
сопряженности элементов в SB*, что тем более естественно, что
эта полугруппа, как и все полугруппы из класса Г, оче-
очевидно, является вполне регулярной.
(а). Для любых 5, S'?SB*
Справедливость этого непосредственно следует из опреде-
ния характеристики E.15).
(Р). Если элементы S, S' ? 2В* регулярно сопряжены
между собой, то
Действительно, из
SS'S = S, S'SS' = S',
согласно (а), получаем
Ф E) U ф (S') = ? (S), ? (SO U ф (S) = ф (SO.
(f). Если для 5, S' ? 2B* имеет место
то S и S' регулярно сопряжены.
Действительно, представим S и S' в виде значений неко-
некоторых слов в 9t
S = XtX2 ... Хп,
S'= YJZ ...Ym (Ai, X2 Xn, Y, Y
Ввиду равенства § (S) = § (SO можно при помощи пере-
перестановок соседних множителей в первом из этих слов и за-
заменой X на XX или XX на Х(Х? У1) преобразовать его
во второе слово. Согласно VII, 6.8, (8), при каждом таком
преобразовании мы будем получать элемент, регулярно
сопряженный с элементом, являющимся значением предше-
предшествующего слова. Благодаря VII, 6.9 отсюда следует, что
элементы S и S' регулярно сопряжены.
(S). Если элементы S и S' из 2Вя регулярно сопряжены
и для некоторого Т ? ЗВщ имеет место

§ 5] свободные полугруппы 505
то
STS' = SS'.
Действительно, согласно (а),
и потому, согласно (f), ST и S регулярно сопряжены.
Но ф (S') = ф (S), да потому, согласно (f), регулярно
сопряжены также S' и ST. Таким образом,
SS' = SS'STS' = (SS'S) TS' = STS'.
5.17. Используя приведенные свойства, мы можем дока-
доказать теорему относительно конечности свободных в Г полу-
полугрупп. Эта теорема по существу является частным случаем
одной уже упомянутой нами теоремы, полученной в работе
Грина и Риса [1]. Кроме того, отдельно она была доказана
Мак-Лином [I].
Теорема. Если полугруппа, свободная в классе всех
полугрупп идемпотентов, обладает конечным порождаю-
порождающим свободным множеством, то она конечна.
Доказательство. Доказательство конечности Ш%
E.14) ведем по индукции относительно п — числа элементов
в алфавите fft.
Если п = 1, то 2Bsr есть единичная полугруппа.
Пусть п > 1. Из предположения о том, что конечная
всякая полугруппа 28*', у которой Щ? состоит из п—1 эле-
элементов, следует существование такого натурального от, что
всякий элемент этой полугруппы может быть представлен
как значение некоторого слова в 31', имеющего длину мень-
меньшую т.
Возьмем произвольное слово W в ЭТ, имеющее длину
2т+1
W г XtX2 . . . Х2т+1 (Xit Х2, ....
и рассмотрим построенные исходя из него слова
.. Хт, V^Xm+2Xm+3 ¦ • • Х2т+1-
Если W — § (?/) Ф 91, то U есть слово из 23*' и потому,
согласно предположению, для него найдется слово YXYZ ... Kj

506 СООТНОШЕНИЯ В ПОЛУГРУППАХ [ГЛ. IX
(Ylt Y2, .... Ук?У1'сУ1) с тем же значением, но с меньшей
длиной: k < т. Таким образом, значение слова W оказы-
оказывается совпадающим со значением слова
имеющего длину, меньшую чем 2m-j-l.
К аналогичному выводу приходим в случае ?> (V)Ф %.
Если $ (U) — $ (V) = 91, то значения слов U и V, со-
согласно 5.16, (т), являются регулярно сопряженными элемен-
элементами. Применив 5.16, C) к этим элементам и к Хт+1,
получаем
w=uxm+lv = uv.
Опять-таки значение W равно значению более короткого
слова UV.
Мы убедились, что в полугруппе 2Б* значение всякого
слова в У1, имеющего длину 2т~{-1, равно значению неко-
некоторого слова с меньшей длиной. Отсюда, очевидно, следует,
что всякий элемент из 2Ь* может быть представлен в виде
значения какого-нибудь слова в 9t, имеющего длину, мень-
меньшую чем 2т~\-\. Так как таких слов в виду конечности Щ
существует лишь конечное число, то количество различных
элементов в ЗВя оказывается конечным.
5.18. Следствие. Если полугруппа идемпотентов обла-
обладает конечным порождающим множеством, то она
конечна.
Действительно, для указанной полугруппы ЭД = [$] суще-
существует гомоморфизм полугруппы Ш% на Щ. Ввиду конеч-
конечности 2В* E.17) Щ. также оказывается конечной.
5.19. В связи с рассмотрением полугруппы 2В^, свобод-
свободной в классе всех полугрупп идемпотентов, естественным
образом возникает вопрос о канонической форме ее элемен-
элементов относительно порождающего множества fft. Вполне оче-
очевидно, что любой элемент из 2ВЯ может быть представлен
в виде
.. хп (Xv x2
где ни при каких натуральных pug невозможно равенство
слов

§ 6] ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ ПОДПОЛУГРУППОВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ 507
Однако оказывается, что такая форма задания элемента на
самом деле еще не является канонической. Дело в том, что
хотя сама полугруппа 2Вщ конечна, при количестве элемен-
элементов большем двух множество слов в 31, удовлетворяющих
указанному условию, оказывается бесконечным, ©го обстоя-
обстоятельство было обнаружено С. Е. Аршоном 1. Оно вытекает
также из результатов работы Морзе и Хедлунда [1].
§ 6. Определяемость свободных полугрупп
подполугрупповой характеристикой
6.1. К разобранным в предыдущем параграфе свойствам
полугрупп, свободных в классе всех полугрупп, добавим
еще одно важное их свойство. Именно, покажем, что эти
полугруппы определяются подполугрупповой характеристикой
(III, 7. 6). Соответствующее понятие и связанные с ним
соображения были рассмотрены нами в § 7 третьей главы.
Благодаря 5.5 для получения указанного результата мы
в дальнейшем можем рассматривать свободную полугруппу Ш%
над некоторым алфавитом. Теорема об определяемости
свободных полугрупп полугрупповой характеристикой при-
принадлежит Р. В. Петропавловской [2].
6.2. Для элементов X и Y некоторой полугруппы %
назовем элемент Р?[Х, Y] их специальным произведением
(Р. В. Петропавловская называет элемент Р максимальным
элементом для X и Y), если ни при каком Z, являющемся
пустым символом или элементом из [X, Y] \ [X, Y.P),
в полугруппе Е (Щ) элемент [Р] не является единицей ни для
[X] О [Z] О [У] С [Y4 ни для [К] С [Z] О \Щ С 1*31. т. е..
другими словами, в ЭД
Р?[Х, Z, У2, К3, ...]U[Y, Z, Х*,Х\ ...].
Кстати, отмечаем (и в дальнейшем постоянно будем этим
пользоваться), что для любого элемента 5 всегда имеет
место
[S«] О IS3) = [S«. S3] = {S2, S3, S4, S\ ...}.
l С. Е. Аршон. Доказательство существования л-значных
бесконечных асимметрических последовательностей, Матем. сб.
(нов. сер.), 2 A937), 769—779.

508 СООТНОШЕНИЯ В ПОЛУГРУППАХ [ГЛ. IX
Из определения непосредственно следует, что специаль-
специальное произведение элементов X и У является специаль-
специальным произведением также для У и X. Специальное произве-
произведение Р элементов X и У полугруппы % будет их специ-
специальным произведением и относительно любой надполугруппы Ш
и любой ее подполугруппы, содержащей X и Y.
6.3. Употребление введенного выше термина оправды-
оправдывается нижеследующим свойством.
Лемма. Если Р есть специальное произведение эле-
элементов X, У?Щ, то или P = XY, ила P=YX.
Доказательство. 1) Предположим, что XY = X.
Тогда, очевидно, всякий элемент из [X,Y] имеет вид YnXm
(re, от = 0, 1,2, ...; Х°, Y° означают пустые символы). Пусть
Р = YpXq. Если бы р > 1, то мы получили бы
P=YpXi?[X, К2, Y3, ...],
что противоречит определению специального произведения.
Аналогично убеждаемся в невозможности q > 1.
Так как Р Ф X и Р Ф Y, то из доказанного следует,
что в рассматриваемом случае Р = YX.
2) Аналогично рассуждаем в случаях XY = Y, YX—X,
YX=Y.
3)Так как, очевидно, X'Y^lX.XY, У2, К3] (а, 8=1, 2 ),
то в случае, когда Р имеет вид X^Y^'X4^1 . .. Х"^» или
Xa'Y9>Xa'Y§i ... *"8(а». pi= 1,2, ...), мы имеем
, XY, У2, У, ...].
Учитывая определение специального произведения, отсюда
заключаем, что XY? {X, Y,P), т. е. или P = XY, или
имеет место один из двух уже разобранных случаев: XY — X,
XY=Y.
Аналогично рассуждаем в случае, когда в выражении
для Р в виде произведения X и У первый множитель равен У.
6.4. Следствие. Для двух элементов существует
не более двух их специальных произведений.
6.5. Разумеется, не всегда произведение XY является
специальным произведением X и У. Одним достаточным
условием этого является требование, чтобы XY не мог быть
представлен в виде отличного от XY и YX произведения
нескольких множителей, равных X или У.

§ 6] ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ ПОДПОЛУГРУППОВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ 509
Действительно, при любом Z, принадлежащем [X, Y]\
\ {X, Y, XY) или являющемся пустым символом, всякий
элемент из
[X, Z, Y*. Y3, . . .] U [Y, Z, X2, X3, ...],
очевидно, отличен от XY благодаря указанному условию.
6.6. Для интересующего нас вопроса об изоморфизмах
подполугрупповых характеристик понятие специального про-
произведения оказывается существенным благодаря нижеследую-
нижеследующему.
Теорема. Пусть все элементы полугруппы ^ имеют
бесконечные типы, Xv Yv Р^ЭДр причем Pt есть специ-
специальное произведение Xt и Yt. Для некоторой полугруппы ЭД2
существует изоморфизм <р S^) на Е(ЭД2). Тогда в Щ
существуют единственные элементы Х2, Y2,P2, такие, что
причем Р2 является специальным произведением эле-
элементов Х2 и Y2.
Доказательство. Существование единственных эле-
элементов Х2, Y2, Р2, связанных с Xlt Yu Рх указанным обра-
образом, следует из III, 7.10, (?). Предположим, что в % Р2
не является специальным произведением Х2 и Y2. Тогда при
некотором Z2, являющемся пустым символом или элементом
из [Х2, Y2]\[X2, Y2, Р), должно иметь место
[Р2]с[Х2, Z2, Y\, Y\, . . .)U[Y2, Z2, Xl, Xl, . . .].
Но тогда, применяя изоморфизм ср-1 и учитывая III, 7.10,
(е), (С), мы получаем соотношение, противоречащее тому,
что Рх есть специальное произведение Хх и Ух
[Pi] <=[*!, Zv Y\, Y\, . . .]и[к„ Zv X\, Xl, ...].
Здесь Zx есть пустой символ, если Z2 был пустым символом.
Если же Z2 принадлежал \Х2, Y2\\{X2, Y2, P2}h то Zt есть
такой элемент, что ?[Z1] = [Z2].
Согласно III, 7.10, (е), Zx принадлежит [Хи К,]. Так
как [Z2] ф [Хг], [Z2] ф [К,]. [Z2] ф [Р2], то Zt ф Xv Zx ф Уи
Zl Ф Рх.
6.7. Рассмотрим вопрос о специальных произведениях
элементов свободных полугрупп.

510 СООТНОШЕНИЯ В ПОЛУГРУППАХ [ГЛ. IX
Напомним (в ближайшее время нам это обстоятельство
неоднократно понадобится), что в свободной полугруппе два
элемента перестановочны тогда и только тогда, когда они оба
содержатся в некоторой моногенной полугруппе, т. е.
являются степенями некоторого третьего элемента E.6, (е)).
Лемма. Если элементы V и W свободной полугруп-
полугруппы ЗВк неперестановочны, то и VW и WV оба являются
специальными произведениями элементов V и W.
Доказательство. Так как 23>л, очевидно, есть полу-
полугруппа с двусторонним сокращением, у которой ни один эле-
элемент не имеет ни левой, ни правой единицы, то из равенства
вида VW = Vn следовало бы га>1 и W = Vn-\ т. е. V
и W оказались бы перестановочными. Также невозможно
и VW — Wn. Пусть VW представлен в виде некоторого
произведения множителей, равных V и W. Согласно сказан-
сказанному, в этом произведении обязательно должны участвовать
и V и W. Предположим, что число множителей в этом
произведении больше двух. V п W являются словами в 9t.
Благодаря этому слово VW, имеющее длину, равную сумме
слов V и W, оказывается равным слову, длина которого
больше суммы длин V и. W. Но это невозможно по опре-
определению свободной полугруппы над алфавитом ЭД. Из ска-
сказанного следует, что VW не может быть представлен в виде
произведения указанного вида, отличного от самого VW
и от WV.
Но тогда, согласно 6.5, VW является специальным про-
произведением элементов V и W. Рассуждения для WV анало-
аналогичны.
6.8. Теперь мы можем перейти непосредственно к рас-
рассмотрению изоморфизмов подполугрупповых характеристик
свободных полугрупп. Пусть Шщ — свободная полугруппа
над -Dt и \Х такая полугруппа, для которой существует
изоморфизм ср полугруппы 2BВзг) на Е (U). Для любого
элемента V^ Шщ моногенная полугруппа [V] бесконечна.
Согласно 111,7.10, (f), ср [V] должна быть бесконечной моно-
моногенной подполугруппой U
Элемент 5, порождающий бесконечную моногенную по-
полугруппу [S], определен самой этой полугруппой одно-
однозначно. Обозначим S = V. Из того, что все элементы 2Вя

§ б] определяемоСть пОдполугрупповой характеристикой 511
имеют бесконечный тип, следует, что и в U типы всех эле-
элементов бесконечны (III, 7.9).
Для всякого T?U при изоморфизме ср подполугруппа [Т]
должна являться образом некоторой однозначно определен-
определенной для нее моногенной подполугруппы [Q]c:2BiK, т. е. 7=^Q.
Таким образом, изоморфизм ср полугруппы ?B3дг) на E(U)
определяет взаимно однозначное отображение ф множества
всех элементов SBjj на множество всех элементов U
Отметим, что, согласно III, 7.10, (С), из
?B;k) при любом натуральном п следует ср(уи) = [V*].
Это означает, что
уП _ уП
6.9. Определим в свободной полугруппе ЯВя отношение п,
полагая
V~W{n) (V,
если в U имеет место
(Таким образом, отношение п зависит от U и от ср).
Аналогично определяем в 2Вк отношение т, полагая
V~W(m) (V.WgaB»),
если имеет место
VW=WV.
Очевидно, взаимно однозначное отображение ф полу-
полугруппы ЗВаг на 11F.8), сопоставляющее каждому V?2Bsr
элемент ф (V) = V ? U, будет изоморфизмом 2В>я ла U тогда
и только тогда, когда всякие два элемента из 2Bgj находятся
между собой в отношении п. Отображение ф будет анти-
антиизоморфизмом (I, 1.17) 28Э2 на U тогда и только тогда, когда
всякие два элемента 2Вя находятся между собой в отноше-
отношении т.
В дальнейшем мы без особых напоминаний будем упот-
употреблять обозначения и выводы, приведенные здесь и в 6.8.
Также постоянно будем использовать единственность

512 СООТНОШЕНИЯ В ПОЛУГРУППАХ [ГЛ. IX
выражений для элементов 2&R в виде произведений элементов
из 31.
6.10. Отметим несколько свойств отношений пит.
(а). Если элементы V и W полугруппы 2ВЭТ перестано-
перестановочны, то
V~W(yi), V~W(m).
Действительно, V и W оба должны содержаться в не-
некоторой моногенной полугруппе (IX, 5.6, (е))
V, W?[U\, V=UP, W=Uq,
Согласно 6.8,
= WV = Up+q = Vp+q,
v=17p=~up, w=i?=lj
откуда следует
ф). Отношения пит рефлексивны.
Это непосредственно вытекает из (а), поскольку каждый
элемент перестановочен сам с собой.
(¦у). Всякие два элемента из Ш% находятся между собой
в отношении п или в отношении т.
Если элементы V и W перестановочны, то справедливость
нашего утверждения следует из (а). Если V и W непере-
неперестановочны, то VW, согласно 6.7, является специальным
произведением элементов V и W. Отсюда, благодаря 6.6,
следует, что VW в U должно быть специальным произведе-
произведением элементов V и W, т. е. должно иметь место VW = VW
или VW = WV. В первом случае мы. имеем V~W(n), во
втором V^Wim).
(8). Отношения пит симметричны.
В случае, когда V и W(V, W?2Bsn) перестановочны, это
непосредственно следует из (а). Пусть V и W неперестано-
неперестановочны. Согласно 6.7 VW является специальным произведе-
произведением элементов V и W. Благодаря 6.6, WV должен рав-
равняться специальному произведению элементов W и V,
т. е. в U должно иметь место или WV = WV, или WV =
= VW.

§ 6] ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ ПОДПОЛУГРУППОВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ 513
Если V~W (п), то VW = VW и потому WV Ф VW, ибо
У№ф№У. Следовательно, WV==WV, т. е. W~V(vi).
Если V ~ W (m^ to VW = WV и потому W =? W. Сле-
Следовательно, WV = VW, т. е. W~V(m).
(е). Если V п W неперестановочны, то V — W(n) и V~
~W(m) не могут иметь место одновременно.
Действительно, если V~- W(xi), то, согласно (8), W~V(n).
Поэтому WVj= WV. Так как V^W Ф WV, то V7^ не может
равняться WV, т. е. V~W(in) невозможно.
6.11. Лемма. Если X, У?'Я(ХфУ) и Х~У(п), то
при любом натуральном п
Xn~Y(n).
Доказательство. Если п > 1 и Хп~х — XY(n), то
Предположим, что при некотором п > 1 имеет место
X*<i>Y(!H), Xn-1^XY(kn).
Тогда, согласно 6.10, (f).
Xn~Y(m), Xn-1~XY(m),
и мы получаем
XY • Хп~1 = Хп~1 .'XY = Xn~1 • X ¦ ~Y=.~XnY,
что противоречит тому, что XYXn~i Ф УХ11.
6.12. Лемма. Если X, У^У1(ХфУ) и X^Y(n), то
при любом W ? 2ВЙ
XY~ W{n).
Доказательство. Если XY и W перестановочны,
то наше утверждение следует из 6.10, (а).
Пусть ХУ и W неперестановочны. Предположим, что
XY + Wiri), т. е., согласно 6.10, (-у), XY~W(m). Нам при-
придется рассмотреть шесть отдельных случаев, в каждом из
33 Зак, 455. Е. С. Ляпин

514 СООТНОШЕНИЯ В ПОЛУГРУППАХ [ГЛ. IX
которых наше предположение приведет нас к противоречию.
В наших рассуждениях мы постоянно. будем использовать
свойства 6.10.
1) K~1F(n), X~YW(n).
В этом случае получаем
Х- YW =
что противоречит тому, что WXY Ф XYW.
2) Y~W{vi), X
= XY -W^XYW,
YW -X=X- YW=XYW,
что противоречит тому, что WXY Ф YWX.
3) Y~W(m), X~YW(n), YX~W(n).
YW • X = YW • X= WYX,
W • YX=W • YX=WYX~,
откуда следует YWX = WYX, а потому и YW = WY, так
как SBjj есть полугруппа с двусторонним сокращением. Но
благодаря YW = WY мы получаем K~W(n), т. е. мы при-
приходим к одному из первых двух случаев.
4) Y~W(m), X~YW(n), YX~W(m).
YX-W = WYX = WYX,
YW ¦ X= YW • X= WYX,
откуда следует YXW= YWX и потому XW = WX. Так как
X? Sft не содержится ни в какой моногенной подполу-
подполугруппе ЯВц.кроме [X], то W?[X], т. е. W^Xk.
Пользуясь 6.11, получаем
X*+1Y = Xk+1Y = Xk+1Y = ХКХ Y = WXY =
что противоречит тому, что X +1Y Ф XYX .

§ 61 ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ ПОДПОЛУГРУППОВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ 515
5) Y~W(m), X~YW(m), X~WY(n).
W • XY = XYW = A' YW,
X • WY = XWY = XYW,
откуда следует WXY = XWY, т. е. WX = XW. Повторяя
рассуждения предыдущего случая, приходим к противоречию.
6) Y~W{m), X~YW(m), X~WY(m).
W ¦XY =
WY -X=XWY =
что противоречит тому, что WXY Ф WYX.
6.13. Пользуясь полученными свойствами введенных выше
отношений в свободных полугруппах, мы можем, наконец,
показать, что свободная полугруппа определяется подполу-
подполугрупповой характеристикой.
Теорема. Пусть U есть такая полугруппа, у ко-
которой подполугрупповая характеристика Е (U) изоморфна
подполугрупповой характеристике ? (ЗВя) свободной полу-
полугруппы 2Вя. Тогда U и 2ВК изоморфны.
Доказательство. 1) Если алфавит 91 состоит из
одного элемента, то SBsr есть бесконечная моногенная полу-
полугруппа, и справедливость утверждения теоремы в этом слу-
случае непосредственно следует из III, 7.9. Поэтому в даль-
дальнейшем будем считать, что 91 содержит по крайней мере
два различных элемента X, Y ? *К; X Ф Y.
Пусть <р есть изоморфизм SBB^)Ha S(U). Как было по-
показано в 6.8, <р индуцирует взаимно однозначное отобра-
отображение <|> полугруппы 2Вя на U
с помощью которого в 2Бзг определяются два отношения п
и т F.9).
2) Сперва рассмотрим случай, когда для X и Y имеет
место Х~ К(п). Пусть V и W два произвольных элемента
полугруппы SB». Предположим, что V — W(m). Применяя 6.12,
получаем
XY-VW=XY- VW=~XYWV.
33*

516 СООТНОШЕНИЯ В ПОЛУГРУППАХ [ГЛ. IX
Если XYW ~V(n), то, опять-таки используя 6.12, полу-
получаем
XYW • V = XYWV = XYWV = XYWV.
Из XYVW = XYWV следует XYVW = XYWV, и так
как SSijj есть полугруппа с двусторонним сокращением, то
VW — WV. Отсюда на основании 6.10, (а) заключаем, что
V~W(n).
Совершенно аналогично и в случае XYV ~ W (п) полу-
получаем V — W(n).
Если не имеет места ни XYW~V(n), ни XYV~W (n), то,
согласно 6.10, (f), XYW~V(m) и XYV~W(m). В этом
случае, используя 6.12, получаем
V ¦ XYW =
Оказалось, что VXYW = XYVW, откуда следует KXK^=
^s^KVU^, а так как 23Я есть полугруппа с двусторонним
сокращением, то VXY = XYV. Так как V и XY оказались
перестановочными, то они должны содержаться в некоторой
моногенной подполугруппе Шщ. Но единственной моногенной
подполугруппой Зин, содержащей XY, является [XY]. По-
Поэтому V = (XY)P. Совершенно аналогично убеждаемся, что
в нашем случае W~(XY)q. Отсюда следует, что V п W
перестановочны, а потому, согласно 6.10, (а), имеет место
Согласно 6.10, G). V к W обязаны находиться в отно-
отношении п или т. Как мы показали, в нашем случае второе
влечет за собой первое. Таким образом, для любых V и W
обязательно выполняется V — W(ri). Согласно 6.9, отсюда
следует, что отображение ф является изоморфизмом 2Вл на U.
3) Согласно 6.10, (f), нам осталось рассмотреть лишь
такой случай, когда X— Y(m).
Рассмотрим взаимно однозначное отображение $ полу-
полугруппы 23з! на себя
(Х1г Хг Хп? 31)
и т) — взаимно однозначное отображение EBBjO на

§ 6] ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ ПОДПОЛУГРУППОВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ 517
Очевидно, \ является антиавтоморфизмом SBsr (I, 1.17); а •») —
автоморфизмом 2 C3sr)-
Отображение ср* = сртг) есть изоморфизм 2B8я) на S(U).
Для этого изоморфизма определяем методом 6.8 отобра-
отображение ф* полугруппы 2S.ji на U и отношения п* и та* F.9).
Обозначая ty*(W)=-W, мы, очевидно, имеем
Так как Х~' К(т), то
XY = \ (XY) = YX=XY,
¦ - ~ - =XY.
Таким образом, для отображения ср* мы имеем X~Y(n*).
Согласно рассуждениям, проведенным в предыдущей части
доказательства, отсюда следует, что отображение ф* будет
изоморфизмом 2Bjj на U.

ГЛАВА X
ПОГРУЖЕНИЕ ПОЛУГРУПП
§ 1. Некоторые случаи погружения
1.1. Одним из методов изучения полугруппы является
погружение ее в некоторую надполугруппу, которая обла-
обладает теми или иными дополнительными свойствами, способствую-
способствующими более успешному ее изучению. Такое погружение
может быть выполнено многими различными способами.
Какой из них применить в каждом отдельном случае и в ка-
какой мере это будет полезно, определяется тем, какие именно
свойства исходной полугруппы нас интересуют и какие
свойства в охватывающей надполугруппе способствуют изу-
изучению данных свойств. ,
Вопрос о погружаемости полугрупп некоторого класса
в полугруппы другого класса, помимо того, что он часто
служит полезным приемом для изучения некоторых свойств
полугрупп, представляет и самостоятельный интерес, выясняя
взаимоотношения полугрупп различных классов.
1.2. При рассмотрении указанного вопроса следует иметь
в виду, что для доказательства возможности погрузить по-
полугруппу Щ в полугруппу, обладающую некоторым свой-
свойством, часто достаточно бывает получить изоморфное ото-
отображение К в некоторую полугруппу W с данным свойством.
Действительно, методом, описанным в III, 1.8, мы можем
затем в W заменить элементами из St те элементы из W,
на которые элементы из Щ. отображаются при данном изо-
изоморфизме. В результате этого мы превратим W в новую
полугруппу W, уже являющуюся надполугруппой 2L Разу-
Разумеется, это достигает своей цели лишь в том случае, когда
интересующее нас свойство носит „абстрактный характер"
и не нарушается в результате указанной замены.

§ 1] НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ ПОГРУЖЕНИЯ 519
1.3. Мы неоднократно обращались к важному свойству
регулярности A1,6.1). Как мы знаем A1,6.1), полугруппа©2
всех преобразований множества 2 регулярна. В 1,3.9 было
показано, что всякая полугруппа может быть изоморфно
отображена в полугруппу <Sg для некоторого 2. Благодаря
замечанию 1.2 отсюда следует, что всякая полугруппа может
быть погружена в регулярную полугруппу.
Надо отметить, что при погружении полугруппы часто
бывает желательно добавлять к ней возможно меньше но-
новых элементов для получения ее искомой надполугруппы.
В этом отношении погружение Ш в полугруппу всех пре-
преобразований так как, оно было осуществлено в 1,3.9, может
оказаться весьма неэкономным. В рассматриваемом нами
случае погружения в регулярную надполугруппу положение
может быть несколько улучшено следующим способом. По-
Погрузив Щ. в регулярную надполугруппу W, м'ы фиксируем
в W для каждого А ? 31 регулярно сопряженный с ним эле-
элемент А (II, 6.6; II, 6.7) и затем рассматриваем подполу-
подполугруппу $!, порожденную всеми элементами Л из 31 и всеми
фиксированными регулярно сопряженными с ними элемент
тами А. Мы получаем надполугруппу %t полугруппы Щ, в ко-
которой все элементы из $ будут регулярны (конечно, 5t1
сама может оказаться и нерегулярной). Затем для 2tt
таким же способом строим надполугруппу 212,..)в которой
все элементы из tti будут регулярны, и продолжаем .так
далее.
Как было отмечено в III, 1.12, множество
»--= и ft» ' •
.является полугруппой. Каждый ее элемент будет регулярен,
ибо он принадлежит некоторой ЭДП и потому регулярен в 9ln+i-
Если полугруппа ЭД была счетной, то, очевидно, и $x
будет счетной, также и % будет счетной и т. д. В резуль-
результате 23 оказывается счетной. В то же время полугруппа
всех преобразований ®2 при счетном Q {приемом 1,3.9
мы погружаем Щ' именно в такую полугруппу) имеет конти-
континуальную мощность и потому с *очки зр.ения высказанного
выше принципа менее подходит для погружения в нее Щ
чем построенная нами 2J. ,,
Щ,

520 ПОГРУЖЕНИЕ ПОЛУГРУПП [ГЛ. X
Разумеется, подобный прием применим и во многих
других задачах о погружении.
1.4. В некоторых вопросах интерес представляет нали-
наличие в полугруппе возможно меньшего по мощности поро-
порождающего множества. Если мощность tn полугруппы St выше
счетной, то всякое ее порождающее множество имеет мощ-
мощность m и мощность порождающего множества всякой ее
надполугруппы не меньше т. Таким образом, в этом слу-
случае методом погружения добиться уменьшения мощности
порождающего множества невозможно. Однако если полу-
полугруппа % счетна или конечна, то, как показал Эванс [2],
она всегда может быть погружена в полугруппу с двумя'
порождающими. Докажем это, используя конструкцию, не-
несколько отличную от конструкции Эванса.
Теорема. Каждая конечная или счетная полугруппа
содержится в некоторой надполугруппе, обладающей
порождающим множеством, состоящим из двух эле-
элементов.
Доказательство. Пусть Alt Л2, А3, ... — суть все
элементы полугруппы Ш. (мы рассматриваем случай счетной
полугруппы; случай конечной полугруппы аналогичен; кроме
того, конечную полугруппу можно всегда погрузить в счет-
счетную и тем самым свести рассуждения к рассматриваемому
случаю). Определим функцию <f(t,J) (I, /=1, 2, 3, ...).
полагая
Очевидно, {Av Аг, А3, ...} есть порождающее множество SI,
а указанные равенства представляют собой определяющую
совокупность относительно этого порождающего множества.
Рассмотрим полугруппу 23, заданную при помощи поро-
порождающего множества yt=[Xv Х2 Y, Z) и определяю-
определяющей совокупности соотношений (IX, ЗЛО), состоящей из соот-
соотношений трех типов:
(() (i,j=l, 2, 3, ...).
Так как Xi=:YZtY, a Y* = Y, то из наших соотношений
вытекают следствия
A!jK = Aj, YX} = Aj.

§ 1] НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ ПОГРУЖЕНИЯ 521
Рассмотрим три следующих частных типа слов
A) XaiX4 ... Хат; B) Yp; C) Z«.
Каждое слово в 5R может быть представлено в виде произ-
произведения слов (IX, 1.2) этих трех типов
причем никакие два соседних из f/j не принадлежат к одному
и тому же типу. Обозначим через Ж совокупность всех
таких не принадлежащих ко второму типу слов в 91,
у которых в рассмотренной форме первый и последний мно-
множители принадлежат к первому или второму типу. Отметим,
что в результате любых преобразований слов при помощи
соотношений нашей определяющей совокупности мы, исходя
из слова, принадлежащего SW, всегда получаем слово, опять-
таки принадлежащее SK.
Рассмотрим оператор о, применимый к каждому слову W
из 2R, заданному в указанном виде. Мы полагаем
где о (?/|) = Uiy если ?/$ принадлежит к первому частному
типу слов; a(Ui) есть пустой символ, если ?/» принадлежит
ко второму типу; о (?/{) = Х^, если (Д — Z4 принадлежит
третьему типу. Значения слов W и o(W) в 23 одинаковы.
Действительно, если (/j = Ze, то при помощи соотношений,
входящих в определяющую систему, и при помощи указанных
выше следствий из них можно в W, не меняя его значения,
заменить (/{_х на Иг^У и Vi+1 на YUi+1. После этого обра-
образовавшееся в слове произведение YZ^Y можно заменить на Х„.
В результате всего этого в слове W = UXU2 .. . t/j ... Un
произойдет замена (/{ — Z3 на a{U^ = Xq. Так поступаем
со всеми Uit принадлежащими к третьему типу. После этого
оставшиеся Y все можно просто выбросить (т. е. заменить
пустыми символами) благодаря указанным следствиям из оп-
определяющей совокупности соотношений.
Как мы знаем (IX. 3.10), из самой формы задания 23 непо-
непосредственно не видно, не могут ли некоторые Xt и Xj быть
равными как элементы полугруппы S3. Предположим, что

522 ПОГРУЖЕНИЕ ПОЛУГРУПП [ГЛ. X
для некоторых Хг и Xj это имеет место. Это означает, что
найдется такая последовательность слов в 9t
¦ x^vi, v2,.... v._lt va^Xj,
что Vk = Vh+1 (k=l, 2 s—1) есть непосредственное
следствие из определяющей совокупности соотношений. По-
Поскольку первое слово принадлежит к 2R, то все прочие слова
этой последовательности принадлежат 5Ш. Рассмотрим после-
последовательность слов
о (V,) = о (АУ = Xi, о {V2), . . ., а (V, _J, о (Va) = о (*,) = Xj.
Рассмотрим два любых соседних из этих слов, представляя
их в указанной выше форме произведения слов трех частных
типов:
(;)
• • ¦ • • «та-
Vk+i получается из Vk путем однократной замены какой-либо
части слова Vk, являющейся одной из частей соотношения,
входящего в определяющую совокупность, другой частью
этого соотношения. Если указанное соотношение принадле-
принадлежит ко второму или третьему типу соотношений, то, оче-
очевидно, а(Ук) будет вполне совпадать с o(Vfc+1). Если же это
соотношение принадлежит к первому типу, то o(Vk+1) полу-
получается из o(Vfc) при помощи преобразования соотношением
типа (а).
Таким образом, последовательность о^), a(V2), . . -,в(У8)
представляет собой последовательность слов в [Xv X2,...},
в которой каждый член равен предыдущему или получается
из него при помощи преобразования каким-либо соотноше-
соотношением вида XiXj = Xv (j> j) Заменив в словах этой последова-
последовательности каждый Хк на Ак, мы получим последовательность
слов в {Аи А2, ...}, в которой каждые два соседние слова
имеют в полугруппе Щ равные значения. Следовательно, Ац
и Aj также должны иметь в Щ равные значения. Так как
при i ф j элементы Ai и Aj в % различны, то приходим
к выводу, что i=j. Возвращаясь к полугруппе 35, отсюда
заключаем, что Л^ может равняться Xj в 33 только при 1=j.
Рассмотрим взаимно однозначное отображение ф полу-
полугруппы % в 35
= Хг (i=\, 2, ...).

§ 1J НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ ПОГРУЖЕНИЯ 523
Если AtAj = А$ (j, j), то и XjXj — Xv ^t j). Следовательно,
ф есть изоморфизм $ в полугруппу 93, обладающую порождаю-
порождающим множеством {Y, Z). Заменяя в 23 все Xt на Ait полу-
получаем надполугруппу полугруппы 91, обладающую порождаю-
порождающим множеством, состоящим из двух элементов.
1.6. Задача о погружении полугруппы в надполугруппу,
обладающую какими-нибудь заданными свойствами, часто
осложняется дополнительным условием, чтобы при таком
погружении не были потеряны какие-либо другие важные
свойства исходной полугруппы. Если рассмотреть, например,
конструкцию, при помощи которой была доказана теорема 1.4,
то мы замечаем, что построенная надполугруппа 93 может
не обладать некоторыми существенными свойствами, кото-
которыми могла обладать Ш. Например, ЭД могла быть коммута-
коммутативной, тогда как 93 некоммутативна (всякое из соотноше-
соотношений определяющей совокупности 33 преобразует слово Y*Z
в слово Yn±1Z и потому никакие последовательные преоб-
преобразования не преобразуют YZ в ZY). Ш могла удовлетво-
удовлетворять условию сокращения слева (аналогично справа), тогда
как в 93
Y * ZY = -^l» '^l ^~ ^i»
но ZY + XV
Задача о выяснении существования надполугрупп, при-
принадлежащих к некоторому классу, к которому принадлежит
и исходная полугруппа, может представить более значитель-
значительные трудности. Упомянем в связи с этим, что Эванс [3] рас-
рассматривал вопрос о погружении полугруппы в надполугруппы,
обладающие порождающим множеством с заданным числом
элементов, также и при дополнительном условии, что как
исходная полугруппа, так и ее искомая надполугруппа удов-
удовлетворяют условиям сокращения.
1.6. В духе намеченного выше направления о погруже-
погружении полугрупп имеется целый ряд исследований. Упомянем
работы Кона [1], [2] и Э. Г. Шутова [1], [2], [3], [4]. На
привлекавшем особое внимание вопросе о погружении полу-
полугрупп в группы мы остановимся в следующем параграфе.
Сейчас мы рассмотрим один пример несколько отличной
постановки задачи о погружении.
Значение отношений левой делимости и правой делимости
выявлялось выше неоднократно.

524 погружение полугрупп [гл. х
Пусть А и В есть два произвольных элемента полу-
полугруппы Щ. Спрашивается, когда существует такая надполу-
группа W полугруппы ЭД, в которой А делился бы на В
справа? Сразу видно следующее необходимое условие для
этого. Если такая полугруппа W существует, то в 21 для X
и Y, являющихся элементами из Щ или пустыми символами,
из BX=BY всегда должно следовать AX=AY. Действи-
Действительно, по предположению, в %' существует такой Z?W,
что А = ZB. Поэтому в W из ВХ= BY вытекает ZBX= ZBY,
т. е. AX=AY. Но-это равенство, будучи справедливо в W,
тем самым справедливо и в ЭД.
Оказывается, найденное необходимое условие является
и достаточным. Действительно, пусть оно выполнено для А
и В. Рассмотрим полугруппу левых сдвигов Z%, соответст-
соответствующих элементам из Ш. (I, 3.9). Так как в Щ из BX=BY
всегда следует AX=AY, то в %% для соответствующих
левых сдвигов из TBX=TBY всегда следует TAX=TAY
(здесь X и Y могут равняться также и отделяющему эле-
элементу /, поскольку в предшествующих равенствах в ЭД X
и Y могли быть не только элементами из ЭД, но и пустыми
символами).
Z% есть подполугруппа полугруппы <ВК% всех преобразо-
преобразований множества Ая. Согласно II, 3.1, в ®Ля Тл делится
справа на Тв. Если в <5ля методом III, 1.8 заменить левые
сдвиги из Ж% соответствующими элементами из ЭД, то мы
получим полугруппу, в которой А будет делиться справа на В.
1.7. Вполне аналогично 1.6 убеждаемся в том, что для
существования надполугруппы Щ" полугруппы % в которой А
делился бы на В слева, необходимо, чтобы в Щ из ХВ = YB
всегда следовало бы ХА — YA. Однако для доказательства
достаточности этого условия нам не поможет представление ЭД
левыми сдвигами. Зато мы можем воспользоваться представ-
представлением 2J правыми сдвигами (I, 3.12). Пусть в Щ из XB = YB
всегда следует ХА = YA. Тогда для соответствующих пра-
правых сдвигов из %°% из 7^^= T°BY всегда следует Т°АХ= T°AY.
%°% есть подполугруппа полугруппы <&°А . Эта полугруппа
антиизоморфна ®дг Поэтому из II, 3.1 легко получается,
что выполнение указанных условий для преобразований Т°А
и Т°в означает, что в <?>°А первое из них делится на

§ 21 погружений в группы 525
второе слева. Заменяя в <В°А правые сдвиги соответствую-
соответствующими элементами из 51, мы получаем надполугруппу полу-
полугруппы ЭД, в которой А будет делиться справа на В. Отме-
Отметим, что несколько другой подход к этому же вопросу упо-
употребляет Кон [1], [2].
1.8. В связи с проведенными рассуждениями интересно
отметить, что полугруппа всех преобразований некоторого
множества ®2 (так же как и антиизоморфная ей полу-
полугруппа <5°) обладает следующим свойством. Если А не де-
делится справа на В в ®е (А, В ? ®а). то А не будет делиться
справа на В и ни в какой надполугруппе ©' полугруппы <52-
Аналогично и для делимости слева.
Действительно, из того, что в C2 А не делится справа
на В, согласно II, 3.1, следует, что при некоторых а, C?2
имеет место Аа. Ф Аф и Во. = В{3. Рассмотрим преобразо-
преобразования ?УХ(Х?2) такие, что ?/^ = Х для любого ??2. Мы
имеем
Следовательно, согласно 1.6, А не делится справа на В ни
в какой надполугруппе ©' полугруппы <52.
Если А не делится слева на В в <52, то, согласно II, 3.2,
найдется такой Х?2, что ;х = ЛХ?В2. Возьмем тождест-
тождественное преобразование Е и преобразование /, которое каж-
каждый ??2 преобразует опять в ?, за исключением \ = у-, для
КОТОРОГО 1K. ф ]Х.
Так как
IAK = /ц Ф ji = ЛХ,
то
Но для любого ?? В2 мы имеем /! —$, поэтому 1В = ЕВ.
Согласно 1.7, Л не может делиться на В слева ни в какой
надполугруппе 91' полугруппы <52.
§ 2. Погружение в группы
2.1. Среди различных задач о погружении наибольшее
внимание привлекла к себе задача о погружении полугрупп
в группы. Это вполне естественно. Теория групп развита

526 погружений пй/tyfpyflrt (гл. rt
значительно сильнее общей теории полугрупп. Поэтому воз-
возможность вложить некоторую полугруппу в группу, позво-
позволяющая при некоторых видах исследований проводить их
уже не для самой исходной полугруппы, но для охваты-
охватывающей ее группы, открывает широкие возможности для
применения результатов и методов теории групп. С другой
стороны, полугруппы, вложимые в группы, представляют
очевидный интерес для теории групп. Каждая из них есть
замкнутое относительно умножения подмножество некоторой
группы, т. е. объект, рассмотрение которого с различных
точек зрения существенно для изучения свойств этой группы.
Упомянем также, что класс полугрупп, вложимых в группы,
может быть определен как максимальный класс, для которого
класс всех групп является универсальным классом (III, 1.9;
III, 1.10),
2.2. Необходимо, впрочем, отметить, что не всегда изу-
изучение полугруппы, вложимой в группу, целесообразно сво-
сводить к изучению этой группы. Дело в том, что часто полу-
полугруппа 31 может интересовать нас как подполугруппа неко-
некоторой надполугруппы %'. При этом возможен такой случай,
когда % сама является полугруппой, вложимой в группу, но
не существует такой надполугруппы %" полугруппы W,
в которой имелась бы подгруппа, содержащая %. В этом
случае невозможно, не отказываясь от рассмотрения ЭД как
подполугруппы W, свести ее изучение к изучению какой-либо
группы.
Приведем пример указанной возможности, построенный
Э. Г. Шутовым.
Пусть 33 есть мультипликативная полугруппа натураль-
натуральных чисел. Рассмотрим надполугруппу ЭД полугруппы 33,
содержащую помимо 33 два элемента U и V. Умножение
в %, помимо правила умножения 33, определяется условиями:
1) UN —U, VN = U, если N четно;
2) UN—U, VN = V, если N нечетно;
3) UV = V, VU = U, U* = U, V* = V;
4) NU = U, NV = V, (N?33).
Без труда убеждаемся в ассоциативности этого действия.
Полугруппа 93 вложима в группу. В то же время никакая
надполугруппа Ш не обладает подгруппой, содержащей 35.
Действительно, в случае существования такой подгруппы она

§ 2] погружение в группы 527
содержала бы элемент X, такой, что 2-Л"=1, и мы полу-
получили бы в %
V = V • 1 = V ¦ 2 • Х= UX= U • 2 • Х= U-l=U.
2.3. Так как всякая группа является полугруппой с дву-
двусторонним сокращением, то и всякая полугруппа, вложимая
в группу, должна быть полугруппой с двусторонним сокра-
сокращением. В свое время решение вопроса о том, не является
ли условие двустороннего сокращения не только необходи-
необходимым, но и достаточным для вложения полугруппы в группу,
представило известные трудности. Отрицательное решение
было получено впервые в 1937 г. А. И. Мальцевым [1],
который построил полугруппу с двусторонним сокращением,
не вложимую в группу. Подобный пример будет рассмотрен
нами ниже.
2.4. Пусть в полугруппе 91 задано некоторое порождаю-
порождающее множество R и определяющая совокупность соотноше-
соотношений Ф(й) относительно этого множества. Рассмотрим два
новых множества $' и &", каждое из которых состоит из
элементов, поставленных во взаимно однозначное соответ-
соответствие с элементами из & (элемент из $?, соответствующий
элементу /(?&, будем обозначать через К', а соответствую-
соответствующий элемент из $"— через К")- Определим полугруппу ©я
как полугруппу с порождающим множеством St'US^UC
где элемент Е не входит ни в $?, ни в $", и с опре-
определяющей совокупностью соотношений (IX, 3.10), состо-
состоящей из соотношений Ф(&') (т. е. соотношений, получаю-
получающихся из соотношений, принадлежащих Ф(&), заменой эле-
элементов из R соответствующими элементами из &') и соот-
соотношений вида
©я является группой, поскольку для ее произвольного
элемента ХгХ2 ... Хп (Xv Х2 Хп ? Я' U 5t" U Е) Е яв-
является двусторонней единицей, а ^К»-!... Y^Y^ (где Yi = K',
если *4 = К$Г, Yi = KT. если A'i = K/€ft', и К* = Е,
если Ki = E) — обратным элементом относительно Е.

528 ПОГРУЖЕНИЕ ПОЛУГРУПП [ГЛ. X
Определяем отображение <р полугруппы ЭД в группу ©я
<Р(К,Кг ...Кп) = К[К'г ...К'п (Ки К2 К
Это отображение однозначно, так как образ Л ?21 не зави-
зависит от выбора произведения элементов из $, при помощи
которого выражен А. Действительно, если произведения
KtK2.. - К„ и K^K^ ... Кат представляют собой один и тот
же элемент А полугруппы 21, то соотношение КгКг • • • Кп ==
= К*,Ка, . ¦ ¦ К* является следствием из Ф ($), но тогда
и К[К'2. .. К'п = К'ЛК'^ . .. К'л есть следствие из Ф ($') и
потому К[К'2 ... К'п и К'аК'^ . .. К'а представляют собой
один и тот же элемент группы ©я. Непосредственно ясно,
что ср является гомоморфизмом ЭД в ©я-
Значение группы ©я для полугруппы ЭД зависит от ха-
характера соотношений в ©^ между элементами из 51'.
Предположим, что в ©я всякое соотношение между
элементами из 51' является следствием из соотношений Ф (^')-
Тогда отображение ср будет взаимно однозначным. Действи-
Действительно, из
благодаря сделанному предположению следует, что последнее
соотношение может быть получено как следствие из Ф ($')•
Но тогда и соотношение KtK2 ... Кп = К^К^ ¦ ¦ ¦ Ка может
быть получено как следствие из Ф($), т. е. К^Кг . . ¦ Кп и
Ка,Кы...К. есть один и тот же элемент полугруппы ft. Будучи
гомоморфизмом, <р оказывается в нашем случае изоморфизмом 51
в группу @g. Таким образом, при сделанном предположении
полугруппа 21 оказывается вложимой в группу.
Теперь предположим, что Щ может быть погружена
в некоторую группу %. Определим отображение ф порож-
порождающего множества $'U $" U ? группы ©я в ^
(К'1 есть элемент из g, обратный к К в группе g). При
этом отображении все соотношения из исходной определяю-

§ 2] погружение в группы 529
щей совокупности соотношений группы ©я отобразятся
на справедливые в g соотношения. Согласно IX, 1.11, ф
может быть продолжено до гомоморфизма % группы ©а в g.
Пусть
КК--к'=КК --К
1 <5 р «1 «а «_
есть произвольное соотношение между элементами из $'
в группе ©ж. Благодаря гомоморфизму ^ в § должно иметь
место соответствующее соотношение
К^К2 ... Кр — КчКл, ¦ • ¦ Ка ¦
Это соотношение, будучи соотношением для 5t в 91, обязано
быть следствием из Ф(&). Но так как в ©я имеют место
соотношения Ф(&')> то в ®,х соотношение
КК...К'=К'К' ...К'
1 & р «1 >i л
будет следствием из соотношений Ф($')-
Проведенные рассуждения показали, что необходимое
и достаточное условие вложимости полугруппы Щ.
в группу состоит в том, чтобы в ©я всякое соотно-
соотношение между элементами из $' могло бы быть полу-
получено как следствие из соотношений Ф ($')•
2.6. Критерий вложимости в группу, полученный в 2.4,
конечно, мало эффективен. Он может быть несколько развит.
Например, в сходном направлении строит свои исследования
Птак [1], [2], [3]. Более глубоко проник в эту область
А. И. Мальцев [2]. Им сформулирован более тонкий критерий.
Однако и этот критерий далеко неэффективен и качественно
носит такой же характер, как и критерий 2.4. Причины
этого в значительной степени были разъяснены А. И. Маль-
Мальцевым [3], который показал, что никакое конечное коли-
количество условий, принадлежащих к некоторому указанному
им классу условий, содержащему, в частности, и условия
сокращения, не может составить необходимое и достаточное
условие для погружения произвольной полугруппы в группу.
В связи с этим обстоятельством большую роль приоб-
приобретают различные достаточные признаки погружения полу-
полугрупп в группы, Получению таких признаков был посвящен
ряд работ различных авторов: Орэ [1], Дюбрейль-Жакотэн [1],
Ламбек [1], Досс [1], Тамари [51, Птак [1], [2], [3].
34 Зак. 455. Е. С. Ляпни

530 ПОГРУЖЕНИЕ ПОЛУГРУПП [ГЛ. X
2.6. Рассмотрим признак Орэ [1]. Рассуждения мы про-
проведем по Рису [41, который заново вывел этот признак,
опираясь на рассмотрение полугрупп частичных преобразо-
преобразований.
Пусть ф есть такая полугруппа взаимно однозначных
частичных преобразований некоторого множества 2, которая
для каждого частичного преобразования Х? ф содержит и
обратное ему частичное преобразование X (I,4.5). Введем
в ф отношение п, полагая Х~ Y (п), если для элемен-
элементов X, К?ф найдется такой Г?§, что Г<Л" и Г<К
(I, 4.3). Это отношение, очевидно, симметрично и рефлек-
рефлексивно. Докажем его транзитивность.
Пусть
Тг < Y. Тг < ^ (X, Y, Z, Тх,
Возьмем элемент
Из определения умножения частичных преобразований
следует,- что
Для каждого a^Ili^ мы имеем
Ua = 7\ [Т2 (Т2а)] = Тха = Ya = Тга
и, следовательно,
откуда следует Х<~.'Z(tt).
Введенное отношение эквивалентности двусторонне ста-
стабильно. Действительно, если
то для всякого Z?<??, очевидно,
TZ-4.XZ. TZ^CYZ, ZT^ZX, ZT^ZY,
т. е. XZ~YZ(n) и ZX~ZY(n).

§ й\ пбгружёниё в tpynau 531
Полугруппа ф/п (VII, 2.4) является группой. Действи-
Действительно, для любых А, В?§/п (где S обозначает класс эле-
элементов из ф, эквивалентных с S относительно it) при Х= АВ
и К = ВЛ мы имеем.
откуда ХВ— А(п), ВК—'Л(и) и, следовательно,
2.7. Пользуясь описанной конструкцией, выведем одно
достаточное условие вложимости полугруппы в группу.
Теорема. Пусть ЭД есть такая полугруппа с двусто-
двусторонним сокращением, в которой для любых А, В?ЭД
всегда найдутся такие U, V?9l, что
AU = BV.
Тогда Ш есть полугруппа, вложимая в группу.
Доказательство. ЯЬЯ есть полугруппа всех частичных
взаимно однозначных преобразований множества всех элемен-
элементов полугруппы ЭД.
Каждому А ? Щ. сопоставим частичное преобразование Sj.
множества % такое, что
[ = % SAX= AX (X? Я).
Sa взаимно однозначно, так как.по условию теоремы равен-
равенство Sa.X= SaY (т. е. АХ= AY) возможно лишь при Х= Y.
П^) и П^) = ЛЙ являются правыми идеалами полу-
полугруппы Щ.
При любых X,
Для обратного взаимно однозначного преобразования
имеем
34*

532 ПОГРУЖЕНИЕ ПбЛУГРУПП (ГЛ. X
и потому П|[84) и H(Sj) также являются правыми идеа-
идеалами Щ. Если X?U[SaK т. е. при некотором Z?l X=AZ,
то при произвольном Y ? %
XY = AZY = SA(ZY),
т. е.
В полугруппе Z% рассмотрим подполугруппу ф, порожден-
порожденную всеми Sa и Sa (А?Ж). Для произвольного элемента
этой подполугруппы
Н = НхНг ...Нт (Hi=SAi или Hi = SAi; /= 1, 2 /к)
докажем по индукции относительно т, что П^ и
являются правыми идеалами ЭД. Случай /и = 1 был уже
разобран выше. Пусть /и>1 и X^Ti^K aY?% Поль-
Пользуясь индуктивным предположением и доказанным выше
свойством частичных преобразований, получаем
X 6 П^) с n(ffaff' ' • • я™>, ЛУ ^ П(ЯаЯз • •' нт)
{Н2Н3 ...Нт)(XY) = [(Н2Н3 ... Нт)Х]. Y;
(Я2Я3 ...Нп).Х? niffl), \{Н2Нг ...HJX\
откуда следует
т. е. XY^U^. Таким образом, П(!Я) оказывается или пра-
правым идеалом, или пустым множеством. Для того чтобы
отмести вторую возможность, выберем элементы
Согласно условию теоремы, в Щ должны найтись такие
элементы U п V, что
Так как П(Я1Й*'" нт) и Il[ffl) являются правыми идеа-
идеалами, то
W ? Щн'н> ¦ ¦ ¦ Hm)t

§ й] погружение б группы 533
Первое из этих включений означает, что при некотором С?ЭД
(HtHl...HJC = W.
Учитывая второе включение, получаем, что-С принадлежит
щн,в,... нт)__ jj(ff)^ KOTOpoe) таким образом, оказывается
непустым. Так как, очевидно,
то Па * также оказывается правым идеалом Щ.
Так как обратное для Я = ЯХЯ2 ...//„,?<?> частичное
преобразование Н=Нт...Н2Н1 также принадлежит ф,
то в § можно методом 2.6 определить двусторонне стабиль-
стабильное отношение и. Факторполугруппа §/ц, согласно 2.6,
является группой. Естественный гомоморфизм ф на §/п обо-
обозначим через х-
Рассмотрим отображение ф полугруппы ЭД в §
Так как для любых А, В,
(.SaSb) *= 5Л EВА-) = 5Л (ААГ) = ЛВА-=
то ф есть гомоморфизм Я в §.
Рассмотрим произведение гомоморфизмов ? = ^ф. Оче-
Очевидно, ? есть гомоморфизм ЭД в группу ф/n. Предположим,
что для некоторых А, В ^ Щ имеет место
Это означает: 5л.'~5в(п), т. е. что существует такое
частичное преобразование Г^Ф, что T^_Sa и Г^5в.
Возьмем некоторый элемент Z6IliT). Для этого элемента
мы имеем
Но
а равенство AZ = ?Z в % невозможно. Полученное проти-
противоречие показывает, что на самом деле отображение %
взаимно однозначно, т. е. является изоморфизмом полу-
полугруппы % в группу §

534 погружений шМугрупп (гл. х
2.8. К числу полугрупп, удовлетворяющих условию рас-
рассмотренной теоремы, очевидно, принадлежат коммутативные
полугруппы. Действительно, в коммутативной полугруппе
для любых элементов Л и Б мы имеем AU — BV при
U = B и V' = А. Благодаря этому, из теоремы вытекает
следствие.
Следствие. Всякая коммутативная палугруппа
с сокращением вложила в. группу.
Конечно, этот важный результат может быть доказан
и непосредственно.
2.9. Укажем еще на один частный случай использования
теоремы, охватывающий 2.8.
Следствие. . Всякая полугруппа с двусторонним
сокращением, удовлетворяющая коммутаторному усло-
условию (IV, 6.7), вложила в группу.
Действительно, для элементов А и В такой полугруппы
"можно взять U = В и V = RAB.
При таком 'выборе мы имеем
AU = BV.
2.10. В связи с рассмотрением полугрупп, вложимых
в группы, укажем на один интересный класс таких полу-
полугрупп. Пусть 2 есть «-мерное евклидово пространство
(можно взять и пространство какого-либо более общего
вида). © — группа движений пространства 2, рассматри-
рассматриваемых как преобразования 2. Г—некоторое подмножество 2.
Обозначим через %v совокупность таких движений X из ©,
для которых -АГГсгГ. Очевидно, Шг является полугруппой.
Она есть полугруппа, вложимая в группу (Щг 6 ®)- Алге-
Алгебраические свойства полугруппы ЭДГ в какой-то степени
характеризуют геометрические свойства множества Г. Вопрос
о том, в каких случаях и в какой степени можно устано-
установить связи между упомянутыми свойствами, пока, по-види-
по-видимому, совершенно не исследовался. Однако представляется
в высшей степени вероятным существование содержательных
связей, изучение которых может дать ценное приложение
теории полугрупп.
§ 3. Линейная упорядоченность в группах
3.1. При исследовании некоторых классов полугрупп и
отдельных конкретных полугрупп иногда приходится сталки-
сталкиваться с тем обстоятельством, что в множестве их элемен-

§ 3] ЛИНЕЙНАЯ УПОРЯДОЧЕННОСТЬ В ГРУППАХ 535
тов каким-либо естественным образом определяется отноше-
отношение частичной упорядоченности. Так, например, в § 7 второй
главы естественно появилась частичная упорядоченность
в инверсных полугруппах. В голоидных полугруппах, рас-
рассмотренных в § 4 восьмой главы, имела место линейная
упорядоченность. С точки зрения общей теории полугрупп
интерес представляют те случаи, когда частичная упорядочен-
упорядоченность в полугруппе согласована с умножением, т. е. является
двусторонне стабильным отношением. В первом из упомянутых
случаев это, как мы показали, действительно имеет место.
Аналогичного утверждения для голоидных полугрупп в общем
случае мы сделать не можем. Однако в некоторых частных
случаях, как будет показано ниже, двусторонняя стабильность
имеет место.
3.2. Определение. Если в множестве элементов полу-
полугруппы % определено двусторонне стабильное отношение
частичной упорядоченности, то относительно этой
частичной упорядоченности Щ называется частично
упорядоченной полугруппой. Если это отно-
отношение является линейным, то полугруппа называется
линейно упорядоченной (в обоих случаях говорят
также — упорядоченная полугруппа).
Изучение частично упорядоченных полугрупп проводилось
до сих пор главным образом для отдельных их классов.
Больше всего уделялось внимания частично упорядоченным
группам, особенно в том случае, когда относительно частич-
частичной упорядоченности группа является структурой (так назы-
называемые /-группы). Некоторые из результатов относительно
частично упорядоченных полугрупп и групп приведены
в тринадцатой и четырнадцатой главах книги Биркгофа [3].
Особого внимания заслуживает вопрос о возможности
введения в группе двусторонне стабильной частичной упо-
упорядоченности и, в частности, линейной упорядоченности.
Мы увидим, что этот вопрос связан с изучением некоторых
подполугрупп группы. Таким образом, он может рассматри-
рассматриваться в плане проблемы о полугруппах, вложенных в группы.
3.3. Имея в виду рассмотреть один случай линейной
упорядоченности голоидной полугруппы (VIII, 4.8.). докажем
предварительно одну лемму.
Лемма. Пусть голоидная полугруппа с двусторонним
сокращением обладает единицей. Тогда эта единица

536 ПОГРУЖЕНИЕ ПОЛУГРУПП [ГЛ. X
присоединена внешним образом. Элемент X, делящийся
на элемент Y слева, делится на него и справа.
Доказательство. Пусть для элементов А и В
указанной полугруппы Щ имеет место
АВ = Еж.
Если в отношении линейной упорядоченности в голоидной
полугруппе В предшествует А, то при некотором Z?9l
имеем BZ = A (если А = В, то Z — пустой символ). Отсюда
получаем
что означает, что В предшествует Е% и одновременно Е%
предшествует В. Это возможно лишь при В = ?я. Но тогда
и А = Ещ. Аналогичен случай, когда А предшествует В.
Пусть Х= YS. Если бы X предшествовал Y в отноше-
отношении линейной упорядоченности голоидной полугруппы, то
Y = XT при некотором Г?ЭД. Отсюда
X=XTS,
т. е. TS = E%, что, согласно доказанному, возможно лишь
при Т = 5 = Язд, т. е. при .АГ= Y. Следовательно, Y пред-
предшествует X и потому X делится на К и слева и справа.
3.4. Теорема. Если голоидная полугруппа % обладает
единицей и является полугруппой с двусторонним сокра-
сокращением, то ее линейная упорядоченность двусторонне
стабильна.
Доказательство. Пусть В отличен от А (А, В?Ш)
и предшествует ему относительно линейной упорядоченности
в ЭД, т. е. при некоторых X, К ?21
А = ВХ, А = YB.
Предположим, что при некотором Z?$ элемент ZA пред-
предшествует ZB. При некотором Г?ЭД должно иметь место
ZB = ZAT.
Благодаря сокращаемости отсюда следует В = AT и потому
Откуда получаем ТХ= Е%. Благодаря лемме 3.3 это
возможно лишь при Т = Х=Е%, что противоречит АфВ.

§ 3] ЛИНЕЙНАЯ УПОРЯДОЧЕННОСТЬ В ГРУППАХ 537
Аналогично доказывается стабильность справа.
3.5. Переходим к частично упорядоченным группам.
Определение. Множество всех таких элементов X
частично упорядоченной группы ©, которые следуют за
единицей ?©, называется положительной частью
упорядоченной группы ® и обозначается через ©+.
Надо отметить, что иногда положительной частью назы-
называют совокупность лишь таких элементов X, для которых
Х>Е®.
Употребление термина „положительная часть" объясняется
тем, что при рассмотрении частично упорядоченных групп
.очень часто для действия употребляют аддитивную запись.
В этом случае единичный элемент обозначается знаком нуль
и условие того, что элемент следует за единицей, записы-
записывается формулой, которая выглядит как обычное условие
положительности.
3.6. Положительная часть ©+ частично упорядоченной
группы является подполугруппой, так как из ^Е
Y^® следует
Задание положительной части ©+ в частично упорядочен-
упорядоченной группе © вполне определяет отношение частичной
упорядоченности.
Для того чтобы имело место X^Y, необходимо и
достаточно, чтобы XY~1^i®+. Действительно, из Х^> Y
следует
В свою очередь, из XY^^-E® следует
Таким образом, задание отношения частичной упорядочен-
упорядоченности в группе равносильно выделению в ней некоторой
подполугруппы. Благодаря этому выяснение вопроса о том,
какие подполугруппы группы могут служить ее положи-
положительными частями при тех или иных двусторонне стабильных
отношениях частичной упорядоченности, оказывается равно-
равносильным определению всех возможных двусторонне стабиль-
стабильных отношений частичной упорядоченности в группе. Таким

538 ПОГРУЖЕНИЕ ПОЛУГРУПП [ГЛ. X
образом, вопрос о превращении группы в частично упорядо-
упорядоченную путем введения в ней того или иного отношения
частичной упорядоченности может быть отнесен к области
изучения подполугрупп группы.
3.7. Теорема. Для того чтобы подполугруппа Щ.
группы % являлась положительной частью частично
упорядоченной группы, получаемой из © путем введения
в ней каким-либо образом двусторонне стабильного
отношения частичной упорядоченности, необходимо и
достаточно, чтобы % являлась полугруппой с внешне
присоединенной единицей и чтобы для любого ®
имело место
Доказательство. 1) Если К является положитель-
положительной частью @ при некоторой частичной упорядоченности,
то %^E(s и ?®, конечно, является в % единицей. Если при
этом для некоторых X, Y ?ЭД
то благодаря Х~^>Е® имеем
а так как К^.?®, то оказывается К=?®. Благодаря этому
также и X = С®.
Для всякого А?Щ из А^.Е® получаем при любом
Откуда следует
Но
Поэтому А"'1ЩАГ=Щ.
2) Если подполугруппа Щ. обладает указанными в фор-
формулировке теоремы свойствами, то ее единицей являетЬя Е®,
так как это единственный идемпотент в ©. Полагаем Х^ Y,
если ХУ^^Ш. Для такого отношения имеем
так как ЯЛТ1 = Е® ? ЗД

§ 3] ЛИНЕЙНАЯ УПОРЯДОЧЕННОСТЬ В ГРУППАХ 539
Если
то
т. е. >
Если X^>Y и К>Л", то XY~\ YX~*?% и так как
а единица Е® является в 31 присоединенной внешним образом,
то должно быть XY~l—YX~x = E&, т. е, Х= Y.
Наконец, для А^-В при любых X, К?@ (которые
могут быть также и пустыми символами) имеем
XAY 11 1I
т. е. XAY^XBY.
3.8. В частично упорядоченной группе © можно также
определить ее отрицательную часть ©~ как множество всех
.элементов X, таких, что Х^.Е®.
Для того чтобы элемент X принадлежал ®~, необходимо
и достаточно, чтобы ЛГ-1^©+.
Действительно, если ЛГ^ Е%, то
= XX -^ Е%Х = X
С другой стороны, если X~x^Eq,, то
Е% = XX ^- А"?@ = X.
Отображение группы на себя, сопоставляющее каждому
элементу его обратный, является антиавтоморфизмом группы.
Этот антиавтоморфизм индуцирует антиизоморфизм между
положительной частью и отрицательной частью частично
упорядоченной группы.
3.9. В частично упорядоченной группе ©, очевидно,
лишь единица принадлежит одновременно и положительной
и отрицательной части группы. Поэтому в линейно упорядо-
упорядоченной группе все ее неединичные элементы должны иметь
бесконечные порядки. Действительно, при Хп~Е& (и > 1)

540 ПОГРУЖЕНИЕ ПОЛУГРУПП (ГЛ. X
имеем Х~1 = Хп, что невозможно, ибо при Х? ®+ , бла-
благодаря 3.6, Х"'1^®*; Л", благодаря 3.8, принадлежат ®~,
а ©+П©"=?©¦ Аналогичны рассуждения и при Х?®~.
3.10. Более подробно остановимся на линейно упорядо-
упорядоченных группах. Как следует из приведенных ниже теорем,
принадлежащих А. М. Кауфману [2], при их рассмотрении
удобно пользоваться понятием голоидной полугруппы (VII, 4.8).
Теорема. Положительная часть ®+ линейно упорядо-
упорядоченной группы ® является голоидной полугруппой, причем
для X, К?@+ (ХфУ) соотношение Л">К в ® имеет место
тогда и только тогда, когда в ®+ X делится на У
и слева и справа.
Доказательство. Пусть X.Y?®+(Xф Y). Должно
иметь место или -АГ>К, или К>Л". Пусть справедливо пер-
первое. Тогда, согласно 3.6, XV1 ? ©+ и, согласно 3.7, К X=
= Y~1(XY~1) К? ®+. Отсюда следует, что X делится на Y
в ®+ и слева и справа:
Х= Y ¦ (К*), Х= {XY'1) • Y.
Что касается Y, то он не может делиться на X ни слева»
ни справа. Действительно, из Y = XS, S^ ©+, следовало бы
Х-1 Y = S ? ®+ и, согласно 3.7, YX~l = A"(JTг К) Х~х ? ®+.
Но это невозможно, ибо YX~X = (XY~1) , и потому, со-
согласно 3.8, YX-1^®-.
Так как линейная упорядоченность в ® индуцирует
и в ©+ линейную упорядоченность, то из доказанного сов-
совпадения частичных упорядоченностей в ©+ следует справед-
справедливость теоремы.
3.11. В связи со сказанным выше естественно формули-
формулируется критерий возможности введения в группе двусторонне
стабильного отношения линейной упорядоченности.
Теорема. Для того чтобы группа © путем опреде-
определения в ней двусторонне стабильного отношения линей-
линейной упорядоченности могла быть превращена в линейно
упорядоченную группу, необходимо и достаточно, чтобы
она являлась объединением двух своих подполугрупп,
являющихся галоидными полугруппами, такими, что их
пересечение равно ?©.

§ 3] ЛИНЕЙНАЯ УПОРЯДОЧЕННОСТЬ В ГРУППАХ 541
Доказательство. 1) Если © есть линейно упорядо-
упорядоченная группа, то
®+ является голоидной полугруппой, согласно ЗЛО. Полу-
Полугруппа ©~, согласно 3.8, антиизоморфна ©+ и потому, оче-
очевидно, также является голоидной.
2) Пусть
где Щ. и W голоидные подполугруппы ®.
Отметим, что из двух элементов X и X'1 один всегда
принадлежит % а другой W.
Действительно, пусть X, Х'1^ (случай X, X~X?W
совершенно аналогичен). Так как
Е® = XX =Х X,
то X предшествует Е®, а Е® предшествует X в §1. Следо-
Следовательно, Х—Е®, а в этом случае Е@?ЭД, ?®1 = ?®^^(/,
Введем в © отношение частичной упорядоченности, по-
полагая X^-Y, если AY^^. Для любых X, К?© один из
двух элементов ЛТ и (ХК) = YX~X принадлежит %.
Поэтому или X^Y, или Y^-X. При этом оба соотноше-
соотношения выполняются одновременно лишь тогда, когда XY~l = ?®,
т. е. Х= Y.
Пусть Х>У и K>Z, т. е. XY~\ YZ~l?%. Тогда
имеем
т. е.
Таким образом, определенное нами отношение является
отношением линейной упорядоченности.
Остается доказать, что это отношение двусторонне ста-
стабильно.
Если Х^> Y, то при любом Z?©
(XZ) (YZ)-1 = XZ • Z~lК = XY~l ? Ш,
т. е. XZ > YZ.

542 ПОГРУЖЕНИЕ ПОЛУГРУПП [ГЛ. X
Для доказательства стабильности слева предварительно
покажем, что условие (а) ХУ~1^Ж равносильно условию
р) ^
Действительно, если X, Y ? % то (а) означает, что X
в 91 делится на Y справа, а ф) означает, что X делится на Y
слева. Согласно 3.3, одно влечет за собой другое.
Если X, К?9Р, то Л, Y'1^ % Условие (а) означает, что
К в Ж делится на X слева, а ф) означает, что К делится
на Х~1 справа. Опять по 3.3 одно влечет за собой другое.
Если Х?% и Y?W. т. е. Y~l ?91, то и (а) и (р) обя-
обязательно выполняются.
Если X?W и К?91, то ни (а), ни (Р) не выполнены, за
исключением случая X=Y = E9.
Пусть теперь X^-Y. По определению ХУ~1?%., а по-
потому, согласно доказанному, У-1Х^Ш. При любом
имеем
\= Y~lZ~1ZX= У'
что ввиду доказанного равносильно
т. е.
3.12. В процессе рассуждений второй части доказатель-
доказательства теоремы мы показали, что в ® можно так ввести ли-
линейную упорядоченность, что 91 будет положительной частью
и W — отрицательной частью получившейся линейно упоря-
упорядоченной группы. Отсюда благодаря 3.8 вытекает следую-
следующее. Если группа © является объединением двух своих под-
подполугрупп, являющихся голоидными полугруппами, пересе-
пересечение которых равно Е&, то эти голоидные полугруппы
обязательно антиизоморфны.
Представление © в виде указанного объединения двух
ее голоидных подполугрупп может быть превращено в раз-
разбиение ©, поскольку единица Е®, согласно 3.3, может быть
выделена в качестве третьей компоненты.
3.13. Как мы видели, положительная часть линейно упо-
упорядоченной группы является голоидной полугруппой с дву-
двусторонним сокращением, обладающей единицей. Оказывается,
что наличие этих свойств у полугруппы также достаточно,

§ 3] ЛИНЕЙНАЯ УПОРЯДОЧЕННОСТЬ В ГРУППАХ 543
чтобы она являлась положительной частью некоторой ли-
линейно упорядоченной группы.
Теорема. Если % есть голоидная полугруппа с дву-
двусторонним сокращением, обладающая единицей, то су-
существует такая линейно упорядоченная группа ©, для
которой % будет ее положительной частью.
Доказательство. Возьмем полугруппу W, антиизо-
антиизоморфную с I и не имеющую с ней других общих элемен-
элементов, кроме общей единицы Е = Е% = ЕЖ/. Очевидно, Ш'
также будет голоидной полугруппой с двусторонним сокра-
сокращением. Элемент из W, соответствующий элементу Х?У{
при некотором фиксированном на все время рассуждения
антиизоморфизме Ш на 91', будем обозначать через X'.
В множестве © = % [} W определим умножение. Если не-
некоторые два элемента из © оба принадлежат Ш или оба
принадлежат W- то их произведение определяется согласно
действию в этих полугруппах.
Пусть Л?ЭД, В'^%'. Если Л предшествует В в голоид-
голоидной полугруппе %, т. е. при некоторых X, K?f[,
В = АХ, B=zYA,
то полагаем АВ' = А • {YA)' = А ¦ (Л'У) = Y',
В'А = {АХ)' • А = {Х'А') -А = Х'.
В связи с этим следует отметить, что Xи /определяются
однозначно, так как Ш есть полугруппа с двусторонним со-
сокращением. Если А = В, то Х= Y = E. В дальнейшем также
следует иметь в виду лемму 3.3, согласно которой, для того,
чтобы А предшествовал В, достаточно, чтобы В делился
на А слева или справа.
Если В предшествует А, т. е. при некоторых U, tj
A = BU, A = VB,
то полагаем А • В' = (УВ) • B' = V, '
Докажем ассоциативность такого умножения.
Пусть О!, О2, О9?($. Обозначим
Если Ov О2, О3 все три принадлежат одновременно %
или W, то Sl=Si благодаря ассоциативности действия в It

544 ПОГРУЖЕНИЕ ПОЛУГРУПП [ГЛ. X
и W. Пусть Gv G2?21; G3 = H'?W, причем G2 в Ш де-
делится справа на Н: G2 = XH (Х?Ш). Тогда
51 = (G^XH) • Н' = G^X,
52 = d \(XH) ¦ H'\ = OtX.
Пусть G^ 21 G2?%, G3 = #'?$', причем Н в % де-
делится справа на G2: H = XG2 (Х?Ж). Если Gt делится справа
на X, т. е. GX = UX, то
St = @,0^) ¦ (XG2Y = (U ¦ XG2) • (XG2Y - U.
S2 = Gt- (G2 • G'2X') = UX-X' = U.
Если X делится справа на Gu т. е. X=VQV то
Si = (О1О2) • (даа)' = O,G2 ¦ (V ¦ ОА)' -
52 = G, [О2 • (ХО2)'] - G, ¦ [О,
= 0^' = О! (G'y) = V.
Случай 01^Ш/, О2?ЭД, О3^31 совершенно аналогичен.
Пусть G^St, G3gl и 02 = Я/^^[/, причем Ох делится
в К справа на Я: 01 = ХН {Х?Щ. Тогда, делится ли
слева 03 на Я или Я на G3, в обоих случаях, как нетрудно
убедиться,
$! = (ХН ¦ Н') G3 = XG3,
Пусть Gtd^f, 03^Щ и 02 = Я/^^(/> причем Я делится
в Я справа на Ог: Н = Х0х(Х?%) и А"= О3К(К^91). Тогда
J] G3 - Л3 = У,
S2 = О, [(Жу • О,] = О, • [(G[X') ¦ О,] = О, • (Ojr) = Г.
Пусть О^Ш, О3691 и О2 = Я'^1', причем Я в Я де-
делится справа на Gx: H = XG1 (Х?Щ н G3 = XY (У?Щ.
Тогда, делится ли слева Y на Ог или Gt на К, в обоих
случаях, как нетрудно убедиться,
'l • (XY) = ^' • (А-У) = К,
S, = Oi' [№)' • (ХЩ = Ot [@[Х>) • (ХЦ = Y.

§ 3] ЛИНЕЙНАЯ УПОРЯДОЧЕННОСТЬ В ГРУППАХ 545
Случаи, когда два из множителей Qt, G2, Os принадле-
принадлежат W, а один ft, можно не рассматривать ввиду того, что
подполугруппы К и К' в мультипликативном множестве ©
играют совершенно равноправную роль.
Мы убедились, что © есть полугруппа. Элемент Е, оче-
очевидно, является единицей ©. Элементы X и X' (где Х?%,
X'?%') являются обратными друг для друга. Отсюда сле-
следует, что © есть группа. Она является объединением двух
своих подполугрупп Ш, и W, являющихся ?голоидными полу-
полугруппами, причем f(n9l/ = E. Согласно 3.11, отсюда сле-
следует, что © может быть превращена в линейно упорядочен-
упорядоченную группу путем введения в © некоторого отношения
частичной упорядоченности. Как было отмечено в 3.12, это
можно сделать так, чтобы голоидная подполугруппа %
являлась положительной частью линейно упорядоченной по-
полугруппы ©.
3.14. Отметим, что результат теоремы 3.13 представляет
интерес также и с точки зрения, лежащей в основе иссле-
исследований предыдущего параграфа. Условие двустороннего со-
сокращения оказывается не только необходимым, но и доста-
достаточным для вложимости в группу еще для одного класса
полугрупп, именно для голоидных полугрупп, обладающих
единицей.
3.15. В заключение отметим, что далеко не все типы
упорядоченности возможны в голоидных полугруппах, являю-
являющихся положительными частями тех или иных линейно упо-
упорядоченных полугрупп. Например, из приведенной ниже
теоремы следует, что единственный возможный нетривиаль-
нетривиальный тип полной упорядоченности это есть тип упорядочения
по величине множества всех натуральных чисел.
Теорема. Если все элементы положительной часта ©+
линейно упорядоченной группы © вполне упорядочены
относительно отношения линейной упорядоченности
в голоадной полугруппе, то % есть единичная группа
ила бесконечная циклическая группа.
Доказательство. Первым элементом в ©+, очевидно,
является Ещ. Если © ф ?®> то, согласно 3.8, и ©+ ФЕ®.
Пусть X есть следующий за Е@ элемент в ©+. Обозначим
©' = [Е@, Х\. Предположим, что ©' ф @+. Обозначим
через Y элемент из ©+ \ ©', предшествующий всем эле-
элементам из (§+ \ ©". Так как Y следует за X, то при не-
35 Зак. 455. В. С. Ляпин

546 ПОГРУЖЕНИЕ ПОЛУГРУПП {ГЛ. X
котором U f @+
Y
U ? ©', так как иначе К? ©'. Поэтому при некотором
U = VY.
Мы получаем Y = XVY, т. е. XV —Е®, но это благо-
благодаря 3.3 означало бы, что в ©+ элемент X предшествует ?@,
что невозможно, ибо Е® есть первый элемент. Противоречие,
к которому мы пришли, означает, что на самом деле
®+ = [Ет,Х\ = {Е®, Х,Х* Xя. ...}.
Согласно 3.8, отсюда следует
©- = {?s, Х~\ Х~г Х~п, ...}
и потому, согласно 3.9, © есть бесконечная циклическая
группа.
§ 4. Потенциальная обратимость элементов
4.1. При рассмотрении свойств обратимости элементов
нередко случается, что элемент А некоторой полугруппы $
не является обратимым слева в Ш (VI, 1.1), но существует
такая надполугруппа W полугруппы 51, что А является
обратимым слева элементом полугруппы W- Таким образом,
погружение полугруппы Ш в W превращает элемент А и»
необратимого слева в обратимый слева. Ввиду значительной
важности свойства обратимости вопрос о том, когда ука-
указанная возможность имеет место, заслуживает внимания.
Определение. Элемент А полугруппы Ш называется
потенциально обратимым слева, если суще-
существует такая надполугруппа W полугруппы % в кото-
которой А является обратимым слева элементом.
Аналогично обстоит дело с обратимостью справа.
4.2. Понятие и термин потенциального выполнения тех
или иных свойств в полугруппах принадлежат Е. С. Ляпину.
Можно говорить о различных потенциальных свойствах от-
отдельных элементов или подмножеств полугрупп, понимая под
этим выполнение этих свойств для данного элемента или
подмножества в некоторой надполугруппе данной полугруппы.
Э. Г. Шутовым [1], 12], 13], [4] был рассмотрен вопрос о потен-
потенциальном выполнении ряда свойств в полугруппах. В ча-

§ 4] ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ОБРАТИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ 547
стности, им был доведен до конца, а затем и обобщен во-
вопрос о потенциальной обратимости, изучение которого было
начато Е. С. Ляпиным. Вопрос этот по постановке имеет
определенное сходство с вопросами о возможности деления;
двух элементов в некоторой надполугруппе, рассмотренным»
в 1.6 и 1.7. Однако метод решения его оказывается более
сложным.
4.3. Отметим следующее свойство обратимости. Пусть $
есть некоторое порождающее множество полугруппы 91
и Д^1. Если для любого /(?$ в 91 найдется такой Zk6$,
что ZrA^K, to элемент А является обратимым слева.
Действительно, произвольный элемент S полугруппы 9t мо-
может быть представлен в виде
¦S = K\Kz • ¦ • Кп (К\, К^ Кп
И мы имеем
(К\К% ... Кп_х Ze^j ' А = КХК2 • • • ^n-i Kn = 5.
4.4. Пусть элемент А полугруппы 91 является потен-
потенциально обратимым слева. В некоторой надполугруппе 9{'
полугруппы 91 он обратим слева. Если при некотором на-
натуральном п для некоторых X и Y, являющихся элементами 91
или пустыми символами, имеет место AnX=AnY, то для
любого S?9l выполняется SX=SY. Действительно, в W
должны найтись такие элементы Zx, Z2, .... Zn_x, Zn, что
Z.±A = о, с-^А = Z^, . . ., ZnA = Zn_i.
Поэтому
ZnAnX= Zn_1An~1X= ...= Z2A*X= ZXAX= SX,
= ZnAnY= SY.
n
4.5. В связи с 4.4. отметим, что если в полугруппе %
для некоторого А ?91 из А2Х= Л2 Y всегда следует SX= S Y
при любом S? 91, то и при любом натуральном п из АпХ— AnY
всегда следует SX = SY для всякого S?9f.
Действительно, если АХ=АУ< то и А*Х= A*Y и потому
SX= SY. Если п > 2. то из АпХ= AnY следует А2 (Ап~*Х) =
= А2 (Ап~2 Y), а потому и А (Ап~2 Х) = А (Ап~2 Y), т. е.
35*

548 ПОГРУЖЕНИЕ ПОЛУГРУПП [ГЛ. X
Ап~1 Х = Л" Y. Повторяя рассуждение, получаем АгХ= AZY,
откуда, по условию, получаем SX=SY.
4.6. В случае, когда элемент А полугруппы §1 имеет
конечный тип, сразу видно, что указанное необходимое усло-
условие потенциальной обратимости слева для А является и до-
достаточным. Более того, соблюдение этого условия в рас-
рассматриваемом случае просто означает, что А обратим
слева в ЭД.
Действительно, пусть А удовлетворяет условию 4.4. и
Из Ah • Ad = Ah следует, что для любого S ? Щ. имеет
место SAd = S. Таким образом,
т. е. А обратим слева в ЭД.
Отметим также, что в этом случае й=1, т. е. [А]
является группой. Действительно, благодаря VI, 1.8 при
некотором Х?*& XAh = A. Поэтому изЛй+й = Лй, умножая
на X, получаем Al+d = A, откуда следует, что h=\.
4.7. Пусть А есть такой элемент полугруппы ЭД, что
при любом натуральном п и любых X, Y, S? 51 из АпХ= AnY
всегда следует SX=SY. Рассмотрим пары, у которых
первая компонента есть произвольный элемент S полугруппы 51,
а вторая — произвольное целое неотрицательное число k.
Такую пару будем обозначать через S<ft). Совокупность всех
таких пар обозначим через $. Обозначим через 33 множество
всех таких слов в $
у которых никакие два соседних kt и ki+1 не могут одно-
одновременно равняться нулю. В S3 определяем умножение, по-
полагая
W. — S$A S<J«> ... S^ (/=1,2. 3),
где W3 есть обычное произведение слов W1 и Wz, если
&sii =? 0> или *i2 Ф 0- Если же k8ll = k12 = 0, то W3 полу-
получается из такого произведения заменой соседних членов (f

§ 4] ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ОБРАТИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ 549
и S$ элементом (SSll • 512)@) (где SSll ¦ S,2 есть произведе-
произведение в $ элементов S8ll и S12).
Ассоциативность указанного действия в 33 очевидна.
4.8. В 23 определим нижеследующие отношения.
W~W'{nx) (W, V^' ^ 93),
если
W = Sf] s?0), AS2 = Ak+1 R, W = (Sl ¦ R)@) (Su S2, R ? И).
где &>> 0, a R может быть также и пустым символом.
W~W'(n2),
если
W = Sift) S|0), AS2 = A1 R, W = s?-l+1)Ri0\ (ft > Z > 1),
где # опять может быть и пустым символом.
Если имеет место W~№'(tii) или W'~W(nd, или
), или W'~W(n2), или Wr=Wr'I то будем писать
Отметим, что из W — W (щ) при любом S?9l вытекает
4 AI'S® Aц) (/=1.2. 3).
4.9. Для слов из 33 определим оператор о. Пусть
и 5^й«) самый правый из элементов этого слова, таких, что
t < m, kt+1 = 0, и существует такой R, являющийся элемен-
элементом Ш или пустым символом, что ASt+1 = Akt+1 R. Тогда a (W)
получается из W заменой S^S^ на Et/?)@) (если при этом
kt_t = 0, то Sili также присоединяется к этим элементам:
(St_i<V?)@))- Если в W не существует элемента S[kt)
с указанным свойством, то полагаем o(W)=W.
Отметим, что оператор а однозначен. Действительно,
если ASt+1 = Akt+1 R = Ak*+1 R', то, по предположению от-
относительно А, имеет место XR = XR' при любом Х?Ш и,
в частности, StR = StR'.
Очевидно, W — a(W)(xQ, где п^ первое производное
отношение для щ A.5.20). Для Х?% всегда (ХЩ Х(°1

550 ПОГРУЖЕНИЕ ПОЛУГРУПП [ГЛ. X
4.10. Продолжая сохранять введенные обозначения, рас-
рассмотрим несколько свойств отношения п3.
Лемма. Если W~W(xQ, то a(W)
Доказательство. Пусть
W=Tl-U -Т2, W' = T1-U' -Т2,
где U~U' (пг) (/ = 1, 2) (случай W= W тривиален, а слу-
случаи U' — ^(п;) симметричны рассматриваемым). Благодаря
сказанному в конце 4.8, можно считать, что в слове Тг
у первого множителя s№ имеем р Ф 0.
Если а(Т2)фТг, то, очевидно,
o{W) = 7\ • U • а(Т2), а(№') = 7\ • W • о{Тг)
и потому о (W) ~ о (W) (п^).
В дальнейшем будем считать, что о (Г2) = Т2.
Если (У — U' (щ), то, как легко убедиться, о(№) =
= 7t ¦ о ((/) • Г2, т. е. о (№) = W (ибо о ({/) = {/'). А так как
HF' — o(W0-«). то W«)
Пусть ?7~?/'(п2).
Если при некотором Р, являющемся элементом из 91 или
пустым символом, AS2 = Ак+1Р, то о (W) = Тг • {SJ3)^ • Т2.
С другой стороны, из AlR = Ak+lP следует Л^==Л*~г+2Р.
Поэтому
о (№') = 7*! • E!Р)@) ¦ Г2 = о
Если не существует элемента Р с указанным свойством,
то нет и такого Р', чтобы AR = Ак~1+2Р'. Поэтому
c(T1) -U-T2, o(WP0 = eG'i) • W • Тж.
4.11. Л-елсжа. ?слн Х«>)~ K(°)«)(^, К ^91), то А"= К.
Доказательство. По определению второго произ-
производного отношения найдутся слова Vv Vt Va ^ S3,
такие, что
V1, YlV = Va, Vi~Vi+1(rQ (t=l. 2 s~l).

§ 4] ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ОБРАТИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ 551
Доказательство нашего утверждения ведем по индукции
относительно s. При s=l оно тривиально.
Пусть s > 1. Можно считать V2 ф Vv Согласно 4.9 и 4.10.
(*>) = о (Ve).
Так как У2~*@)Ю. т°. очевидно, V^^-
S1S2R = X
и потому c(V2)=:(SlS2R){0) = X{0).
Используя индуктивное предположение для цепочки
X® = а (^2), о (V3), .... о (Ve_t). о (Ув) = ^0) заключаем:
X=Y.
4.12. Теорема. Для того чтобы элемент А полугруппы %
был потенциально обратим слева D.1), необходимо и
достаточно, чтобы при любых X и Y, являющихся эле-
элементами из % или пустыми символами, из A2X=AZY
всегда следовало бы SX—SY, где S любой элемент из ft.
Доказательство. Необходимость указанного условия
была показана в 4.4.
Докажем (принимая во внимание 4.5) достаточность при-
приведенного условия. Строим полугруппу 93 D.7), рассматривая
ее как надполугруппу полугруппы 21 (для чего отожде-
отождествляем S^ с S для каждого S?2l). Рассмотрим фактор-
полугруппу 23=2$/nj. В этой полугруппе, благодаря 4.3.
элемент А (т. е. класс слов из S3, эквивалентных с А относи-
относительно rig) обратим слева, ибо для всякого S(ft) мы имеем
и потому в 33
Рассмотрим естественный гомоморфизм у полугруппы 33 на
<8 = ЯЗ/Пз- Для %, являющейся подполугруппой 33, отображе-
отображение ср осуществляет изоморфизм, ибо, согласно 4.11, при5=^/?
E, R€%) мы имеем SW + №>(у?), т. е. S® Ф Щ. При
этом ср(Л) = Л. Заменив в 33 элементы из (р(ЭД) на соответ-

552 ПОГРУЖЕНИЕ ПОЛУГРУПП [ГЛ. X
ствующие элементы из %, мы получаем надполугруппу полу-
полугруппы $, в которой А будет обратимым слева элементом.
4.13. Наравне со свойствами потенциальной левой обрати-
обратимости и потенциальной правой обратимости элементов
естественно рассматривать и потенциальную двустороннюю
обратимость. Очевидно, элемент, потенциально двусторонне
обратимый, является и потенциально обратимым слева и
потенциально обратимым справа. Однако выполнение этих
необходимых условий, вообще говоря, недостаточно для того,
чтобы элемент был • потенциально двусторонне обратим.
Ниже мы приведем пример одной полугруппы, построенный
Э. Г. Шутовым [1] по образцу конструкции А. И. Маль-
Мальцева [1], в которой, поскольку она является полугруппой
с двусторонним сокращением, каждый элемент является и
Потенциально обратимым слева и потенциально обратимым
справа. В то же время мы укажем в ней элемент, который
не является потенциально двусторонне обратимым. Отсюда,
в частности, будет следовать, что рассмотренная полугруппа
с двусторонним сокращением невложима в группу, поскольку
все элементы всякой полугруппы, вложимой в группу, оче-
очевидно, являются потенциально двусторонне обратимыми.
4.14. Рассмотрим свободную полугруппу 2ВЖ над алфави-
алфавитом St={Xlf Х2, Х3, Х±, Хъ, XQ) (IX, 1.3). Обозначим
*1 = \-™1> Х2, Х3, Л4}, i?2=:{-'VL> "™2' -^5> ^бЬ
Совокупность слов Х^, ХхХе, Х2ХЪ, X3XV Х3Х2, Х
обозначим через 23. Отметим, что если Л^ЛГ,-? 23, то ^i
и Xj? ft2.
4.15. Обозначим через 8 следующее отображение
на себя:
и через т отображение &2 на себя:
Отметим, что Ъ2(Х{) = Х{ и
4.16. Введем в 2ВЖ отношение п, полагая
U~V(n) (U

§ 4] ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ОБРАТИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ 553
если U — V или U = Х^ ? 33 и V = 8 (Z4) . г (Я)) ? 23. Отно-
Отношение п рефлексивно и, согласно указанным свойствам Ь
и т, симметрично.
4.17. Укажем ряд свойств отношения п. Справедливость
некоторых из них непосредственно вытекает из определения п.
(а). Если XiXj, XiXh? 33, то не может иметь место равен-
равенство Xj b
(р). Пусть
и Xtl g K1( тогда Xh = Xit.
(Tf). Пусть
и Xit ? $j, тогда или ^ = Я"<, или Лл =
(8). Если
то ВД, ... Х*а~ХьХь ... Х,з(п').
(е). Если
¦^ft^ii-^ii • • • Xia~XkXjiXj3 ,.. A}g(n").
то Ai,^, ... Xtt~XhXb ... XJa(n").
Действительно, пусть
U^UzW), U2~Us(n') ит-г~ит{
= X}aXll...Xu{Xlr€&\ l=\, 2 m; r=l. 2 s).
Если A'fcA'i, ? S3 или Я]^, g SB, то из определения произ-
производных отношений справедливость доказываемого соотноше-
соотношения следует непосредственно. Поэтому в дальнейшем можно
считать, что оба указанных слова принадлежат 33. Таким
образом, Xk?Rv
Доказательство ведем по индукции относительно т. При
т = 2 мы имеем случай (8).
Пусть т > 2.

554 ПОГРУЖЕНИЕ ПОЛУГРУПП [ГЛ. X
Если у некоторого t/j (l==2, 3 т— 1) имеет место
= Хк, то благодаря индуктивному предположению, при-
примененному к Uv U2, .... Ut и Ut, Ul+1 Um, мы
получаем
-ВД, ... \
ХцХ12 ... Х1а
откуда следует доказываемое соотношение.
В связи с этим в дальнейшем можно считать что ХК Ф Хк
(/ = 2,3 т— 1), т. е. благодаря <j) ATw SX
Отсюда, в частности, следует, что Х20 Ф Х10. Поэтому
Аналогично
Хт-1, 0 = 8 (-^й). -^то-1, 1 —
Из (У2^—^?/от_1(п") по индуктивному предположению следует,
что X21XW ...Х2В~Хт.иЛ.,,, ... Хт_и,(п"). Благо-
Благодаря ф) и (Т) или ХМ_Ь1 = ^21, или Arm_i,i = 8(*2i). Но
^20^21 и Хт_и0Хт_и1 принадлежат 33, поэтому, согласно (а),
второе равенство невозможной потому Xm_ltl = X2V Благо-
Благодаря этому к словамХ^Х^ ... Х28 и Xm_itlXm_U2 ... Хт^иа
можно применить индуктивное предположение, в результате
чего заключаем
XitXi, ... Xia — XfrXj, ... Xjg (n").
Но как было показано
Х}\ = z (Xm_u j), X21 = Xm_u t.
Поэтому, умножая слева полученное соотношение на эле-
элемент Xit, равный XjJt мы получим требуемое соотношение.
(С). Если
XitXit .,. XiaXk~X^Xfr ... XjaXk (n").
то XX X XX A)(")
Доказательство вполне аналогично (е).
"

§ 4] ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ОБРАТИМОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ 555
Это следует из того, что слово Х%Хе только само с собой
находится в отношении и.
4.18. Рассмотрим полугруппу 2В» = 2Вя/п" (IX, 3.2).
Элементы полугруппы 2В?, являющиеся п"-классами,
будем обозначать в виде W (где W есть п"-класс, содержа-
содержащий W, и??ЯВл).
Благодаря 4.17, (е), (С) в SB" из XkU = XkV всегда сле-
следует U = V и из U Хк = V Хк следует U = V. Отсюда выте-
вытекает, что ЭВ? есть полугруппа с двусторонним сокращением.
4.19. Выведем одно необходимое условие того, чтобы
элемент некоторой полугруппы был потенциально двусторонне
обратимым.
Лемма. Если в некоторой подполугруппе % элементы
Zv Z2, Zs, Zk, Zb, Ze удовлетворяют равенствам
и существует надполугруппа W полугруппы %., в кото-
которой элемент Zt является двусторонне обратимым, то
имеет место
Z%Zq = Z4Z2.
Доказательство. В полугруппе W должны найтись
такие элементы U и V, что
Используя соотношения между элементами Zj, получаем
t = VZ,Zt = VZtZz = VZiZlU = VZtZbU =
= Z2ZbU = ZtZxU = ZkZ%.
4.20. В полугруппе с двусторонним _ сокращением
В = 2Вж/п" D.18) элементы Х%, Х2, Х3, ХА, Х6, Х6 удовле-
удовлетворяют равенствам

556 ПОГРУЖЕНИЕ ПОЛУГРУПП [ГЛ. X
В то же время благодаря 4.17, (т)) имеет место неравенство
Отсюда благодаря 4.19 следует, что элемент Xt не является
потенциально двусторонне обратимым элементом.
4.21. В заключение отметим, что, согласно IX, 3.2;
IX, 3.10, полугруппа 2В? = 2Вя/п" может быть определена
как полугруппа с порождающим множеством {Xlt Х2, Х3,
Xt, Хь, Х6], заданная определяющей совокупностью соот-
соотношений
§ 5. Свободные и прямые произведения
5.1. Наравне с задачей о погружении одной заданной
полугруппы в надполугруппу, обладающую теми или иными
свойствами, естественно возникает родственная задача о погру-
погружении целых систем полугрупп. Сразу же необходимо отме-
отметить, что, даже не налагая никаких требований на искомую
надполугруппу, мы иногда получаем отрицательный ответ на
вопрос о возможности такого погружения.
Рассмотрим следующий пример. Возьмем два множества
рациональных чисел:
« = {•••• Т&> ?' Т' Т.' 1.2.4.8, ...},
да — / _L L J_ L 12 4 8 1
91 будем рассматривать относительно действия, являю-
являющегося обычным умножением рациональных чисел. В 23 дей-
действие, обозначаемое значком О. определяем следующим
образом:
| ^ (если ар ^ 35),
Оба действия ассоциативны.
Полугруппы Ш и S3'имеют общую часть {1, 2, 4, 8, ...}.
Действия в 31 и в S3 согласованы, т. е. произведение двух

§ 5] СВОБОДНЫЕ И ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 557
элементов из общей части, определенное согласно умножению
в 91, совпадает с произведением этих же элементов, опре-
определенным согласно умножению в 33. Тем не менее не суще-
существует общей надполугруппы для этих обеих полугрупп. Дей-
Действительно, в такой общей подполугруппе, если бы она
¦существовала, мы получили бы
Очевидно, невозможность погружения обеих рассматри-
рассматриваемых полугрупп в общую надполугруппу зависела в нашем
примере от наличия в 91 и 33 общих элементов. Как мы
покажем в 5.4, при отсутствии общих элементов погружение
в общую надполугруппу всегда возможно.
6.2. Определение. Полугруппа91 называется свобод-
свободным произведением своих попарно непересекающихся
подполугрупп ЗЗв, ЗЗр если 33 = 23а U ЗЗр U ... является
порождающим множеством 51, причем совокупность,
состоящая из всех соотношений между элементами из ЗЗа,
всех соотношений между элементами из ЗЗр, ..., является
определяющей совокупностью соотношений полугруппы 91
относительно 33.
Представление полугруппы в виде свободного произведе-
произведения обычно называется разложением полугруппы в свободное
произведение.
6.3. Полугруппа, разложенная в свободное произведение,
< точностью до изоморфизма определяется заданием с точ-
точностью до изоморфизма компонент этого разложения. Это
непосредственно следует из IX, 1.12.
5.4. Пусть 91 есть свободное произведение подполугрупп
ЗЗа, ЗЗа, ... Произвольное слово W в алфавите 33 =
= ЗЗа U 33^ U ... можно представить в виде
где U^ (/=1, 2, .... п) — слово в 33г{, причем 33$^ и ЗЗе,
всегда различны. Если преобразовать W при помощи какого-
либо из соотношений определяющей совокупности соотноше-

558 ПОГРУЖЕНИЕ ПОЛУГРУПП [ГЛ. X
ний 5.2. то № преобразуется в слово вида
где слова и$к и U, имеют равные значения в 33^ . В резуль-
результате ряда таких преобразований W преобразуется в слово вида
w = u'u' ...и' ...и:
где слова U^ и ?/? оба в 23^ и имеют в 33^ равные значе-
значения (I =1, 2 п).
5.5. Всякий элемент А из 31 может быть задан в виде
произведения
где В%{ A=1, 2 п) есть элемент из 23$4, причем 93$,
и 33$ различны. Эта форма задания элементов из % является
канонической, так как никакие два различных произведения
такого вида не могут быть равны между собой. Это не-
непосредственно следует из 5.4.
Указанное каноническое представление элементов свобод-
свободного произведения Щ. весьма удобно, поскольку элементы,
заданные в этой канонической форме, легко перемножаются.
Пусть
А = В.Л, . .. Bi , А'= В' В' ... В'
Если %п ф т)!, то канонической формой произведения, оче-
очевидно, будет
Если ?„ = % и в д\ имеем 5^=5*^ то> очевидно,
Задание ^ как множества указанных канонических форм
совместно с описанным правилом их перемножения, очевидно,
может служить определением свободного произведения.
6.6. Нетрудно решается задача, обратная по отношению»
к задаче о разложении заданной полугруппы в свободное
произведение.

§ 5] СВОБОДНЫЕ И ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 559
Теорема. Для полугрупп 93а, 33Р не имеющих
попарно общих элементов, существует такая общая
подполугруппа %, которая разлагается в свободное произ-
произведение 23в> ЯЗр
Доказательство. Пусть Щ. есть полугруппа, задан-
заданная порождающим множеством 31 = 23а U 23p U • • • и опре-
определяющей совокупностью ЧГ, состоящей из всех соотношений
полугруппы 23а, из всех соотношений полугруппы ЗЗо, ...
(IX, 3.10). Отношение пф в свободной полугруппе Я8Ш, соот-
соответствующее совокупности соотношений ЧГ (IX, 3.7) таково,
что для Х? ЯЗа условие X— ^(n^) (Y&W) имеет место лишь
при К?23а и Х=У. Действительно, преобразование X при
помощи любого соотношения из ЧГ дает элемент, опять-таки
принадлежащий 23а и равный элементу X. Тот же результат
получится от последовательного применения нескольких
таких преобразований. Согласно IX, 3.7, в 91 все элементы
из 31 различны. Благодаря этому Щ оказывается надполу-
группой для каждой 23а, ЗЗр, ... и, очевидно, является их
свободным произведением.
6.7. Конструкция свободного произведения является не
просто одним из решений задачи о погружении в общую
надполугруппу заданных полугрупп, но играет для этой задачи
особую роль. Пусть полугруппы 23а, ЗЗр, ... попарно не
имеют общих элементов и И есть некоторая общая для них
надполугруппа. Обозначим через W подполугруппу $, порож-
порожденную S3 = ЗЗа U 23p U • • • В W множество S3 является порож-
порождающим и относительно S3 в W справедливы все соотношения
между элементами ЗЗа, все соотношения между элемен-
элементами ЗЗр, ... Благодаря IX, 1.11 существует гомоморфизм
свободного произведения g полугрупп ЗЗа, ЗЗр, ... на Ш\
являющийся продолжением тождественных отображений
ЗЗа, 93р. .... рассматриваемых как подполугруппы §• на
23а, ЗЗр, .... рассматриваемых как подполугруппы W.
Таким образом, всякая надполугруппа полугрупп 23в,
93я, • • • может быть получена из их свободного произведе-
произведения $ путем гомоморфизма §, являющегося продолжением
тождественных отображений полугрупп Я5а, Я5р, ... на себя
и последующего погружения получившейся полугруппы в про-
произвольную надполугруппу.

560 ПОГРУЖЕНИЕ ПОЛУГРУПП [ГЛ. X
Проведенное рассуждение имеет неслучайное сходство
с рассуждениями о свободных полугруппах (§ 5, глава IX).
Дело в том, что, как легко видеть, полугруппами, свобод-
свободными в классе всех полугрупп, являются свободные произве-
произведения бесконечных моногенных полугрупп.
6.8. Пусть полугруппа §1 имеет подполугруппы 33„, ЗЗр ....
каждая из которых 335 задана порождающим множеством $5
и определяющей совокупностью соотношений 4?s относи-
относительно $s(& = a. f), . ..). Если $а, Щ, ... попарно не пере-
пересекаются и 5? = $all $p U.. • • является для 91 порождающим
множеством, а WaUTpU •••—определяющей совокупностью
соотношений относительно St, то 91 есть свободное произве-
произведение S3», ЭЗр, ...
Действительно, поскольку Ж есть порождающее мно-
множество 9L совокупность 33a U Щ U ... тем более будет
порождать 91. Для произвольного слова W в 5ta мы, пре-
преобразуя его при помощи соотношений из ЧГ„ U ЧГр U ...,
всегда будем получать слова в $а. Отсюда следует, что
никакой элемент из [$„] = 33„ не может равняться какому-
нибудь элементу из [SL] = 23^ (аФ Р). Следовательно,
18а, 23я, •.. попарно не имеют общих элементов. Так как
^"a U *p U • • • является определяющей совокупностью 91 отно-
тельно $, то благодаря IX.2.7 совокупность всех соотноше-
соотношений между элементами из ЗЗа, всех соотношений между эле-
элементами из ЯЗр, ... будет определяющей совокупностью
соотношений 91 относительно 33a U S3p U • • •
6.9. Если рассматривать полугруппы лишь с точностью
до изоморфизма, т. е. не делать различия между изоморфными
между собой полугруппами, то конструкция свободного
произведения определяет действие между полугруппами.
Результатом этого действия над полугруппами 91 и S3 является
полугруппа g> разлагающаяся в свободное произведение
своих подполугрупп 91' и 23', изоморфных соответственно полу-
полугруппам Ш и S3. Благодаря 5.6 такая полугруппа всегда
существует и благодаря 5.3 вполне определена с точностью
до изоморфизма.
6.10. Коммутативность действия, указанного в 5.9, непо-
непосредственно следует из определения 5.2. Имеет место и ассо-
ассоциативность. Это следует из 5.8. Действительно, пусть gi2
есть свободное произведение полугрупп Kj и 912> а 3' — сво"
бодное произведение $12 и 913- Благодаря 5.8 5' является

§ 5] СВОБОДНЫЕ И ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 561
свободным произведением трех подполугрупп: Щ^ ЭД2> К3- Со-
Совершенно аналогично и полугруппа g", являющаяся свободным
произведением Щх и g23, где $23 есть свободное произведе-
произведение 512 и 513. оказывается свободным произведением трех
полугрупп: %, %, %.
5.11. Благодаря 5.9, 5.10, исходя из некоторых полу-
полугрупп, рассматриваемых с точностью до изоморфизма, можно
построить коммутативную полугруппу SE, элементами кото-
которой будут служить полугруппы. Действием в X будет построе-
построение свободного произведения двух полугрупп. Исходные полу-
полугруппы будут элементами порождающего множества полу-
полугруппы St.
5.12. Конструкции свободного произведения родственна
конструкция прямого произведения.
Определение. Полугруппа Ш называется прямым
произведением своих попарно непересекающихся под-
подполугрупп 23а, 23р, ..., если ЭЗ = ЭЗа U 23p U • • • является
порождающим множеством % причем для любых В^ ? 93г.
В^Ъ^ S, т) = а, р, ...) имеет место
и совокупность этих соотношений совместно со всеми
соотношениями между элементами из 23а, всеми соотно*
шениями между элементами из 93р, ... является опре-
определяющей совокупностью соотношений полугруппы Щ. отно-
относительно 23.
5.13. Если упорядочить каким-либо способом компоненты
прямого разложения полугруппы ЭД, то, очевидно, всякий
элемент А ? Щ. можно представить в виде
A = BtB^ ... Bin, ^623^=1,2 а)
где В^Въ = В^Вц и 335] < 955, < .'. . < 33^. Способом, сход-
сходным с 5.4, нетрудно показать, что такое представление элемента
является однозначным, т. е. это есть каноническая форма эле-
элементов % относительно порождающего множества 23а U ЗЗр U
Перемножение элементов, заданных в такой канонической
форме, благодаря перестановочности элементов из разных
компонент совершается совсем просто. Пусть

562 ПОГРУЖЕНИЕ ПОЛУГРУПП [ГЛ. X
(некоторые из В% и В\ могут быть пустыми символами,
благодаря чему в разложениях обоих элементов мы можем
формально писать элементы из одних и тех же компонент).
Тогда, очевидно,
Очевидно, % может быть так и задана, как множество
указанных • формальных произведений с описанным законом
перемножения.
Отметим попутно, что иногда под прямым произведением
конечного числа полугрупп S^ 932, • • ¦ ¦ 93„ понимают мно-
множество формальных произведений вида ВхВг . . . Вп (где Bt
всегда есть элемент из 93j, но не пустой символ; 1 = 1, 2, ... п)
относительно того же указанного выше действия. Однако
такая полугруппа в общем случае не обязана быть надполу-
группой для 951, 82, • • ¦ • ^п-
5.14. Путем рассуждения, аналогичного рассуждению 5.6,
или же' исходя из указанного в 5.13 способа описания пря-
прямого произведения, нетрудно убедиться, что для прямого
произведения справедливо утверждение, аналогичное 5.6. Для
полугрупп 23а> Щ не имеющих попарно общих элементов,
существует такая надполугруппа Ш, которая разлагается
в прямое произведение 23а, $8р, ...
5.15. Роль прямого произведения в задаче о погружении
систем полугрупп определяется следующим свойством. Пусть
полугруппы 23а> 23р, ... попарно не имеют общих элементов;
полугруппа $ является надполугруппой для каждой из них,
причем в Ш элементы из различных полугрупп ЗЭ? перестано-
перестановочны между собой. Благодаря IX, 1.11 для прямого произ-
произведения 9? полугрупп 93а, 23р, ... существует гомоморфизм в Ж,
продолжающий тождественные отображения полугрупп 93„,
93а, ... Как и в 5.7 произвольная надполугруппа Ж полу-
полугрупп 93а, 23о, .... обладающая указанным свойством пере-
дтановочности, может быть получена путем некоторого гомо-
гомоморфизма полугруппы 91 и последующего погружения полу-
получившейся полугруппы в произвольную надполугруппу.
5.16. Как и в 5.9, 5.10, легко убедиться, что построение
прямого произведения можно рассматривать как действие
между полугруппами, рассматриваемыми с точностью до изо-
изоморфизмов. Это действие коммутативно и ассоциативно. Отно-

§ 5] СВОБОДНЫЕ И ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 563
сительно него можно рассматривать полугруппы, элементами
которых являются полугруппы.
5.17. Помимо свободных произведений и прямых произ-
произведений существуют и иные аналогичные конструкции, осущест-
осуществляющие погружения совокупностей полугрупп со сходными
свойствами.
Также можно рассматривать аналогичную задачу и строить
различные конструкции для случая, когда исходные полу-
полугруппы могут иметь общие элементы. Рассуждения в этом
случае сразу существенно усложняются. При этом решение,
как мы видели в 5.1, вообще не всегда будет возможно.
5.18. Наиболее простой, но важный случай указанной
возможности дает условие того, чтобы полугруппы 93„, ЗЗо, • • •
все обладали общей единицей, но не имели попарно других
общих элементов. В этом случае можно определить свободное
произведение этих полугрупп с общей единицей как полу-
полугруппу, у которой 93 = 93а U 93p U ... является порождающим
множеством, а совокупность всех соотношений между эле-
элементами из ЗЗа, всех соотношений между элементами из 23р, . ..
является определяющей совокупностью соотношений относи-
относительно 93.
Рассмотрение свойств, аналогичных свойствам, рассмот-
рассмотренным для свободных произведений полугрупп без общих
элементов, делается более сложным. Случай этот интересен
тем, что он охватывает обычную конструкцию свободного
произведения группJ (если 23a, 93?, ... все являются груп-
группами, то их свободное произведение с общей единицей,
очевидно, будет группой). Также и обычное прямое произве-
произведение групп 2 является частным случаем очевидным образом
определяемой конструкции прямого произведения полугрупп
с общей единицей.
Вопрос о существовании иных конструкций с аналогич-
аналогичными свойствами для групп с общей единицей составил про-
проблему, впервые сформулированную А. Г. Курошем 3. Она нашла
свое положительное решение в работах О. Н. Головина *.
1 См., например, А. Г. Курош. Теория групп, гл. IX, Гос-
техиздат, 1953.
в Там же § 17.
8 А. Г. Курош. Теория групп, Гостехиздат, 1944.
* О. Н. Г о л о в и н. Об ассоциативных операциях на множестве
групп, ДАН'СССР, 58 A947), 1957—1960 и последующие статьи
в Матем. сб.
36*

564 ПОГРУЖЕНИЕ ПОЛУГРУПП [ГЛ. X
В последующем и другие авторы рассматривали различные
конструкции с аналогичными свойствами. Упомянем в связи
с этим работы М. А. Фридмана *. Для совокупностей полу-
полугрупп с общей единицей конструкция, отличная от свободного
произведения с общей единицей и от прямого произведения
с общей единицей была дана Е. С. Ляпиным [4].
Свободные произведения полугрупп с общей единицей,
также как и некоторая конструкция, являющаяся некоторым
усложнением свободного произведения, были рассмотрены
в работе Гриффитса [1]. Р. В. Петропавловская [5] изучает
и использует конструкцию, называемую ею прямым произве-
произведением, которая хотя и родственна, но не совпадает с опи-
описанной выше конструкцией прямого произведения.
5.19. Что касается общего случая, когда исходные полу-
полугруппы могут иметь различные совокупности общих элемен-
элементов, то в общей теории полугрупп он еще совсем не был
рассмотрен. Только для случая групп, в теории групп были
проведены исследования свободных произведении групп,
имеющих произвольную систему пересечений.
1 М. А. Ф р и д м а н. О полукоммутативных умножениях, ДАН
СССР, 109 A956), 710—712 н серия статей в Уч. зап. Глазовского
пед. ин-та, в. .3, Ижевск A956).

ЛИТЕРАТУРА ПО ПОЛУГРУППАМ
Ад ян С. И.
[1] О п
A955), 747—750.
[1] О проблеме делимости в полугруппах. ДАН СССР. 103
5), 747—7"
Айзенштат А. Я.
[1] О полугруппе всех взаимно однозначных отображений мно-
множества натуральных чисел в себя. Уч. зап. Выборгского пед. ин-та,
2 A957), 15—24.
[2] Определяющие соотношения конечных симметрических по-
полугрупп. Матем. сб. (нов. сер.), 45 A958), 261—280.
[3] Об определяющих соотношениях симметрических полугрупп.
Уч. зап. Лен. Гос. пед. ин-та им. Герцена, 166 A958), 121—142.
[4] Об одном классе периодических полугрупп. Уч. зап. Лен.
Гос. пед. ин-та им. Герцена, 183 A958), 241—251.
Алимов Н. Т.
[1] Об упорядоченных полугруппах. Изв. АН СССР (матем.
сер.), 14 A950), 569—576.
Андреоли (Andreoly G.).
[1] Sulla teoria delta sostituzioni generalizzate e dei lor о gruppi
generalizzati. Rend. Accad. Sci. Fis. Mat. NapoliD), 10A940), 115—127.
Арнольд И. В.
[1] Ideate in commutativen Halbgruppen. Матем. сб., 36A929),
401—408.
Асан о, Мурата (Asano К., Murata К.).
[1] Arithmetical ideal theory in semi-groups. J. Inst. Polytech.
Osaka City Univ., ser. A. Math., 4 A953), 9—33.
Ауберт (Aubert K.).
[1] On the ideal theory of commutative semi-groups. Math.
Scand., 1 A953), 39—54.
[2] Some characterizations of valuation rings. Duke Math. J., 21
A954), 517—525.
[3] Une theorie generate des ideaux. Semin. P. Dubreil et Ch.
Pisot Fac. Sci. Paris, 9 A955—1956), 1—12.
[4] Un theoreme de representation dans la theorie des ideaux.
С R. Acad. Sci., 242 A956), 320-322.

566 ЛИТЕРАТУРА ПО ПОЛУГРУППАМ
Б а л ь е (Ballieu R.).
[1] Sur les groupes de parties d'un demi-groupe. Ann. Soc. Scl.
Bruxelles, Ser. I, 64 A950), 139—147.
[2] Uns relation d'equivalence dans les groupoides et son ap-
application a une classe de derai-groupes. Ill Congres National des Sciences.
Federation beige des Societes scientifiques, Bruxelles, 2 A950), 46—50.
Бедей, Стейнфельд (Bedei L., Steinfeld O.).
[1] Ober Ringe rait gemeinsamer, multiplikativer Halbgruppe.
Comment. Math. Helv., 26 A952), 146—151.
Б и р к г о ф (Birkhoff Q.).
[1] On the Structure of abstract algebras. Proc. Camb. Phil.
Soc, 31 A935), 433—454.
[2] An ergodic theorem for general semi-groups. Proc. Nat.
Acad. Sci. USA, 25 A939), 625—627.
[3] Теория структур, ИЛ, 1952, 1—407.
Боччони (Boccioni D.).
[1] P-gruppoide dei quozienti di un gruppoide con operatori.
Rend. Sem. mat. Univ. Padova, 25 A956), 176-^195.
J2] A-modulo supplementare di un S-semi-gruppo commutativo.
. Seminar, mat. Univ. Padova, Parte 1, 27 A957).
Брук (Bruck R.).
[1] A survey of binary systems. Berlin—O6ttingen—Heidelberg,
Springer, 1958, 1—185.
Бэр, Л ев и (Baer R., Levi F.).
[1] Vollstandige irreduzibele „ .,
Heidelberg Akad. (Beitr. zur Algebra, 18), 2 A932), 3—12.
[1] Vollstandige irreduzibele Systsme von Oruppenaxiomen. S. B.
Вагнер В. В.
[1] К теории частичных преобразований. ДАН СССР, 84 A952),
653—656.
[2] Обобщенные группы. ДАН СССР, 84 A952), 1119—1122.
[3] Теория обобщенных груд и обобщенных групп. Матем.
сб. (нов. сер.), 32 A953), 545—632.
[4] Обобщенные груды, приводимые к обобщенным группам.
Научн. ежегодник Саратовского уи-та A955), 668—669.
[5] Обобщенные груды, приводимые к обобщенным группам.
Укр. матем. журн., 8 A956), 235—254.
[6] Представления упорядоченных полугрупп. Матем. сб. (нов.
сер.), .38 A956), 203—240.
[7] Полугруппы частичных преобразований с симметричным
отношением транзитивности. Изв. высш. учебн. заведений. Мате-
Математика, 1 A957), 81—88.
Вексель (Vakselj A.).
[11 Eine neue Form der Oruppenpostuiate und eine Erwelterung
des Qruppenbegriffes. Publ, Math, Univ> Belgrade, 3 A934), 195—211.

ЛИТЕРАТУРА ПО ПОЛУГРУППАМ 567
[2] Faktor-halbgruppen. Clasnik mat.-fiz. i astron., 12 A957)
9—16.
Вандивер (Vandiver H.).
[1] On the imbedding of one semi-group in another, with appli-
application to semi-ring. Amer. J. Math., 62 A940), 72—78.
[2] The elements of a theory of abstract discrete semi-groups.
Viertjschr. Naturforsch. Oes., ZOrich, 85 A940), 71—86.
В н в е р (Weaver M.).
[1] Cosets in a semi-group. Math. Mag., 25 A952), 125—136.
[2] On the imbedding of a finite commutative semi-group of
idempotents in a uniquely factorable semi-group. Proc. Nat. Acad. USA,
42 A956), 772—775. .
В и г а н д т (Wiegandt R.).
[1] On complete semi-groups. Acta scient. math., 19A958), 93—97.
Виноградов A. A.
[1] К теории упорядоченных полугрупп. Уч. зап. Ивановского
пед. ин-та, 4 A953), 19—21.
ВойдиславскийМ. Р.
[1] Конкретный случай некоторых типов обобщенных групп.
Зап. Харьковского матем. об-ва D), 17 A940), 127—144.
Воробьев Н. Н.
[1] Нормальные подсистемы конечной симметрической ассоциа-
ассоциативной системы. ДАН СССР, 58 A947), 1877—1879.
[21 Дефектные идеалы ассоциативных систем. Уч. зап. ЛГУ
(матем. сер.), 16 A949), № 111, 47—53.
[3] Об идеалах ассоциативных систем. ДАН СССР, 83 A952),
641—643.
[41 Ассоциативные системы, всякая подсистема которых имеет
единицу. ДАН СССР, 88 A953), 393—396.
[5] О симметрических ассоциативных системах. Уч. зап. Лен.
Гос. пед. ин-та им. Герцена, 89 A953), 161—166.
[6] К теории идеалов ассоциативных систем. Уч. зап. Лен.
Гос. пед. ин-та им. Герцена, 103 A955), 31—74.
[7] О канонических представлениях элементов симметрических
ассоциативных систем. Уч. зап. Лен. Гос. пед. ин-та им Герцена, 103
A955), 75-82.
[8] Об ассоциативных системах, всякий левый идеал которых
имеет единицу. Уч. зап. Лен. Гос. пед. ин-та им. Герцена, 103 A955),
83-90.
Гардашник М. Ф. (ГардашнЫ М. Ф.).
[1] Гдеали в асощативних системах. Наук. зап. Полтавськ.
пед. 1и-т, 8 A955), 57—60.
Гельбаум, Калиш, Ольмстед (Qelbaum В., Kalesch О.,
Olmsted J.).

1N8 ЛИТЕРАТУРА ПО ПОЛУГРУППАМ
[1] On the embedding of (opological semi-groups and integral
domains. Proc. Amer. Math. Soc, 2 A951), 807—821.
ГлускинЛ. М.
[I] Ассоциативная система квадратных матриц. ДАН СССР,
97 A954), 17-20.
[2] Гомоморфизмы односторонне простых полугрупп на группы.
ДАН СССР, 102 A955), 673-676.
[3] Простые полугруппы с нулем. ДАН СССР, 103 A955), 5—8.
[4] Автоморфизмы мультипликативных полугрупп матричных
алгебр. УМН, 11 A956), № 1, 199-206.
[5] Продолжение гомоморфизмов полугрупп. Уч. зап. Харьков-
Харьковского пед. ин-та, 18 A956), 33—39.
[6] Вполне простые полугруппы. Уч. зап. Харьковского пед.
ин-та, 18 A956), 41-55.
[7] Полугруппы матриц с неотрицательными элементами. Зап.
матем. отд. физ.-мат. ф-та Харьковского ун-та и Харьковского
матем. об-ва, 25 A957), 167—173.
[81 Элементарные обобщенные группы. Матем. сб. (нов. сер.),
.1957). 23-36.
[9] Полугруппы неособенных матриц с неотрицательными эле-
элементами. Уч. зап. Харьковского пед. ин-та. 21 A957), 81—98.
[10] Нормальные ряды вполне простых полугрупп. Уч. зап.
Харьковского пед. ин-та, 21 A957), 99—106.
[II] О матричных полугруппах. Изв. АН СССР (матем. сер.),
22 A958), 439-448.
!12] Полугруппы гомеоморфных отображений отрезка. Матем.
нов. сер.), 49 (^59), 13—28.
[13] Идеалы полугрупп преобразований. Матем. сб. (нов. сер.),
47 A959), 111—130.
[14] Полугруппы топологических отображений. ДАН СССР,
125 A959), 699—702.
[15] Полугрупп!
СССР, 127 A959), 1151—1154.
[16] Траиз
A959), 16—18.
Гото, Кимура (Goto M., Kimura N.).
[1] Semi-group of endomorphisms of a locally compact group.
Trans. Amer. Math. Soc, 87 A958), 359—371.
[8
41 A9
[1
сб. (н
[15] Полугруппы и кольца линейных преобразований. ДАН
СР, 127 A959), 1151—1154.
[16] Транзитивные полугруппы преобразований, ДАН СССР, 129
959), 16—Г
1 Н ^VJICCU JtJ,
[1] On the structure of semi-groups. Ann. Math. B), 54 A951),
—172.
Грин (Green J.).
163
Грин, Рис (Green J., Rees D.).
[1] On semi-groups in which xT = x. Proc. Cambridge Philos.
Soc, 48 A952), 35—40.
Гриффите (Griffits H.).
[1] Infinite products of semi-groups and local connectivity.
Proc. Lond. Math. Soc, 6 A956), 455-480.

ЛИТЕРАТУРА ПО ПОЛУГРУППАМ 569
Диксон (Dickson L).
[1] Definitions of a groups and a field by independent postu-
postulates. Trans. Amer. Math. Soc, 6 A905), 198—204.
[2] On semi-groups and general isomorphism between infinite
groups. Trans. Amer. Math. Soc, 6 A905), 205—208.
Досс (Doss R.).
[1] Sur l'immersion d'un semi-groupe dans un groupe. Bull. Sci.
Math., B), 72 A948), 139—150.
Драгунов? Т. Е.
[1] Структура правых идеалов полугруппы с единицей и с левым
сокращением. УМН, 12 A957), № 4, 285—288.
Дынкин Е. Б.
[1] Марковские процессы и полугруппы операторов. Теория
вероятн. н ее примен., 1 A956), 25—37.
Д э й (Day M.).
[1] Means for the bounded functions and ergodicity of the boun-
bounded representations of semi-groups. Trans. Amer. Math. Soc, 69
A950), 276—291.
Дюбрейль (Dubreil P.).
[1] Contribution a la theorie des demi-groupes. Mem. Acad.
Sci. Inst. France, 63 A941), № 3, 1—52.
[2] Sur les problemes d'immersion et la theorie des modules.
С R. Acad. Sci., Paris, 216 A943), 625—627.
[3] AlgSbre. Tom: I. Equivalences, Operations, Oroupes, Anneaux,
Corps. Gauthier-Villars, Paris A946), X + 305.
[4] Contribution a la theorie des demi-groupes, II. Univ. Roma,
1st. Naz. Alta, Mat. Rend. Mat. e Appl., E) 10 A951), 183—200.
[5] Contribution a la theorie des demi-groupes, III, Bull. Soc
Math., France, 81 A953), 289—306.
Дюбрейль, Дюбрейль-Жакотэн (Dubreil P., Dubreil-Jaco-
tin M.-L).
[1] Equivalences et operations. Ann. Univ. Lyon Sect. A C), 3
A940), 7-23.
Д юбрей л ь-Ж акотэн (Dubreil-Jacotin M.-L.).
[1] Sur l'immersion d'un semi-groupe dans un groupe. С R. Acad.
Sci., Paris, 225 A947), 787—788.
[2] Quelques proprietes arithmetiques dans un demi-groupe demi-
reticule entier. С R. Acad. Sci., Paris, 232 A951), 1174-1176.
Дюбрейль-Жакотэн, Круазо (Dubreil-Jacotin M.-L, Croi-
sot R.).
[1] Sur les congruences dans les ensembles ou sont definies
plusieurs operations. С R. Acad. Sci., Paris, 233 A951), 1162—1164.

570 ЛИТЕРАТУРА ПО ПОЛУГРУППАМ
Емеличев В. А.
[1] Коммутативные полугруппы с одним определяющим соот-
соотношением. Уч. зап. Шуйского пед. ин-та, 6 A958), 227—242.
Ж а ф ф а р (Jaffard P.).
[1] Theorie axiomatique des groupes definies par des systemes
de generateurs. Bull. Sci. Math. B>. 75 A951), 114—128.
Зарецкий К. А.
[1] Абстрактная характеристика полугруппы всех бинарных
отношений. Уч. зап. Лен. Гос. пед. ин-та им. Герцена, 183 A958),
251-265.
[2] Абстрактная характеристика полугруппы всех рефлектив-
рефлективных бинарных отношений. Уч. зап. Лен. Гос. пед. ии-та им. Гер-
цеиа, 183 A958), 265—271.
[3] Об идеалах полугруппы. УМН, 14 A959), 173—175.
Иван (Ivan J.).
1] О direktnom su5inepologrup.Mat.-fyz. Casop., 3 A953), 57—66.
2] О rozklade jednoduchych pologrup na direktny su5in. Mat.-
fyz.
casop., 4 A954), 181—202.
31 О reprezentacii jednoduchfch pologrup. Mat.-fyz. Casop., 8
A958), 27-39.
И с е к и (Iseki К.)-
[1] Sur les demi-groupes. С R. Acad. Sci., Paris, 236 A953),
1524-1525.
On compact abelian semi-groups. Michigan Math. J., 2 A953),
59-60.
[3] Sur un theoreme de M. O. Thierrin concernant demi-groupe
limitatif. Proc. Japan. Acad., 31 A955), 54—55.
[41 Contribution to the theory of semi-groups, I. Proc. Japan
Acad., 32 A956), 174-175.
151 Contribution to the theory of semi-groups, II. Proc. Japan
Acad., 32 A956), 225—227.
[61 Contributions to the theory of semi-groups. III. Proc. Japan
Acad., 32 A956), 323—324.
[7] Contributions to the theory of semi-groups, IV. Proc. Japan
Acad., 32 A956), 430-435.
[81 Contributions to the theory of semi-groups, V. Proc. Japan
Acad., 32 A956), 560—561.
[9] Contributions to the theory of semi-groups, VI. Proc. Japan
Acad., 33 A957), 29—30.
[10] A characterisation of regular semi-group. Proc. Japan Acad.,
32 A956), 676—677.
[11] On compact semi-groups. Proc. Japan Acad., 32 A956),
221—224.
[12] Generalisation of a theorem by S. Schwarz on semi-group.
Portug. Math., 15 A956), 71—72.

литература пб noriyfpynffAM
Кавада, Кондо (Kawada Y., Kondo К.).
[1] Idealtheorie in nichtkorarautativen Halbpruppen. Jap. J. Math.,
16 A939), 37-45.
К а т с о ф ф (Kattsoff L.).
[1] The independence of the associative law. Amer. Math. Month-
Monthly, 65 A958), 620—622.
Кауфман А. М.
[1] Последовательно-уничтожающиеся суммы ассоциативных
систем. Уч. зап. Лен. Гос. пед. ин-та им. Герцена, 86 A949), 145—166.
[2] Строение некоторых галондов. Уч. зап. Лен. Гос. пед. ин-та
им. Герцеиа, 86 A949), 167—182.
[3] Ассоциативные системы с идеально разрешимым рядом
длины два. Уч. зап. Лен. Гос. пед. ин-та им. Герцена, 89 A953),
67-93.
К а ц м а н А. Д.
[1] О некоторых свойствах полугруппы, инвариантной в группе.
УМН, 11 A956), № 2, 179-183.
[2] К вопросу об образующих и необразующих элементах полу-
полугруппы, инвариантной в группе. Уч. зап. Уральск, ун-та, в. 19 A956),
Кемперман (Kemperman J.).
[1] On complexes in a semi-group. Proc. konikl. nederl. acad.
wet., A, 59 A956), 247^254.
К и м у р a (Kimura N.).
[1] Maximal subgroups of a semi-group. Kodai Math. Sem. Rep.,
3 A954), 85—88.
[2] On some examples of semi-groups. Kodai Math. Sem. Rep.,
3 A954), 89—92.
[3] Note on idempotent semi-groups. I. Proc. Japan Acad., 33
A957), 642—645.
[41 Note on idempotent semi-groups. HI. Proc. Japan Acad., 34
A958), 113—114.
[5] The structure of idempotent semi-groups. Pacif. J. Math., 8
A958), 257—275.
[6] Note on idempotent semi-groups. IV. Identities of three vari-
variables. Proc. Japan Acad., 34 A958), 121—123.
Кимура, Тамура (Kimura N., Tamura Т.).
[11 Compact mob with a unique left unit. Math. J. Okayama
Univ., 5 A956), 115—119.
[2] Counter examples to Wallace's problem. Proc. Japan Acad.,
31 A955), 499—500.
Клейн-Бармен (Klein-Barmen F.).
Ш Ober gewisse Halbverlande und kommutative Semi-gruppen,
I. Math. Z., 48 A942), 275-288.

572 ЛИТЕРАТУРА ПО ПОЛУГРУППАМ
[2] Ober gewisse Halbwerbande und korarautative Serai-gruppen,
II. Math. Z., 48 A943), 715—734.
[3] Ein Beitrag zur Theorie der linearen HSloide. Math. Z., 5i
A948), 355—366.
[4] Zur Theorie der Operative und Assoziative. Math. Ann., 126
A953), 23—30.
[5] Zur Axiomatik der Semi-grouppen. Sitzungsber. Bayer Akad.
Wiss Math, naturwiss. KL, 1956 A957), 287—294.
[6] Verallgeraeinerung des Verbandsbegriffs durch Abschwachung
des Axioms der Iderapotenz. Math Z., 70 A958), 38—51.
Климеску (Climescu A.).
[1] Sur les quasicycles. Bui. Politehn. Ch. Asachi Iasi, 1 A946),
5—14.
Клиффорд (Clifford A.).
[1] A system arising from a weakened set of group postulates.
Ann. Math., 34 A933), 865—871.
[2] Arithmetic and ideal theory of commutative semi-groups. Ann.
Math., 39 A938), 594—610.
[3] Partially ordered abelian groups. Ann. Math., 41 A940),
465—473.
[4] Semi-groups admitting relative inverses. Ann. Math., B),
42 A941), 1037—1049.
[5] Matrix representations of completely simple semi-groups. Amer.
J. Math., 64 A942), 327-342.
[6] Semi-groups containing minimal ideals. Amer. J. Math., 70
A948), 521—526.
[7] Semi-groups without nilpotent ideals. Amer. J. Math., 71 A949),
834-844.
[8] Extensions of semi-groups. Trans. Amer. Math. Soc, 68 A950),
165-173. .
[9] A class of d-simple semi-groups. Amer. J. Math., 75 A953),
547—556.
[10] Naturally totally ordered commutative semi-groups. Amer.
J. Math., 76 A954), 631—646.
[Ill Bands of semi-groups. Proc. Amer. Math.. Soc, 5 A954),
499—504. .
[12] Ordered commutative semi-groups of the second kind. Proc.
Amer. Math. Soc, 9 A958), 682—687.
[13] Totally ordered commutative semi-groups. Bull. Amer, Math.
Soc, 64 A958), 305—316.
[14] Connected ordered topologlcal semi-groups with idempotent
endpoints. Trans. Amer. Math. Soc, 88 A958), 80—98.
Клиффорд, Миллер (Clifford A., Miller D.).
[1] Semi-groups having zeroid elements. Amer. J. Math., 70 A948),
117-125.
Колибиарова (Kolibiarovi В.).
[1] О pologrupach ktorych kazda tiastotna pologrupa malavu
jednotku. Mat.-fyz. 6asop., 7 A957), 177—182.

Литература пб полугруппам 573
К о л ь м а р (Kolraar L.).
[1] Another proof of the Markov — Post theorem. Acta Math.
Acad. Sci. Hungaricae, 3 A952), 1—25.
К он (Cohn P.).
[1] Erabeddings in serai-groups with onesided division. J. Lond.
Math. Soc, 31 A956), No 122, 169—181.
[2] Erabeddings in sesquilateral division semi-groups. J. Lond.
Math. Soc, 31 A956), No 122, 181—191.
Конторович П. Г.
[1] К теории полугрупп в группе. Уч. зап. Казанского Ун-та, 114
A954), № 8, 35-43.
[2] К теории полугруппы в группе. ДАН СССР, 93 A953),
229—231.
13] Некоторые вопросы теории полугрупп в группах. УМН, 11
A956), № 1, 255.
[41 К теории полугрупп в группе, II. Учен. зап. Уральск, ун-та,
19 A956), 3-20.
Конторович П. Г., Кацман А. Д.
[1] Некоторые типы элементов полугруппы, инвариантной
в группе. УМН, 11 A956), № 3, 145—150.
Котляр, Царантонелло (Cotlar M., Zarantonello E.).
[1] Semiordered groups and Riesz—Birkhoff L-ideals. Fac. Ci Mat.
Univ. Nac. Litoral Publ. Inst., 8 A948), 105—192.
Kox (Koch R.).
[1] Remarks on primitive idempotents in compact semi-groups
with zero. Proc. Amer. Math. Soc, 5 A954), 828—833.
[2] On monothetic serai-groups. Proc. Amer. Math. Soc, 8A957),
397—401.
Кох, Уоллес (Koch R., Wallace A.).
[1] Maximal ideals in compact semi-groups. Duke Math. J., 21
A954), 681-685.
[2] Stability in semi-groups. Duke Math. J., 24 A957), 193—195.
[3] Admissibility of semi-group structures oncontinua. Trans. Amer.
Math. Soc, 88 A958), 277—287.
К р у а з о (Croisot R.).
[1] Holoraorphies d'un semi-groupe. C. R. Acad. Sci., Paris, 227
A948), 1134—1136.
[2] Autre generalisation de l'holomorphie dans un semigroupe.
С R. Acad. Sci., Paris, 227 A948), 1195—1197.
[3] Proprietes des complexes forts et symetriques des demi-groupes.
Bui!. Soc. Math. France, 80 A952), 217—223.
[4] Demi-groupes et axiomatique des groupes. C. R. Acad. Sci.,
Paris, 237 A953), 778—780.

574 Литература ho полугруппам
[5] Demi-groupes inversifs et demi-groupes reunions de deml-
groupes simples. Ann. Sci. Ecole. Norm C), 70 A953), 361—379.
[6] Automorphisraes interieurs d'un semi-groupe. Bull. Soc. Math.
France, 82 A954), 161—194.
[7] Demi-groupes simples inversifs a gauche. С R. Acad. Sci.,
Paris, 239 A954), 845—847.
[8] Sur la classification des demi-groupes. Proc. Intern. Congr.
Math., 2, Amsterdam A954), 13—14.
[9] Applications residuees. Ann. scient Ecole norm, super. 73
A956), 453-474.
[10] Equivalences principales bilateres definies dans un demi-
groupe. J. math, pures et appl., 36 A957), 373—417.
К р у м и н г П. Д.
[1] О делимости в топологических полугруппах. Уч. зап. Лен.
Гос. пед. ин-та им. Герцена, 183 A958), 271—275.
Л а м б е к (Lambek J.).
[1] The immersibility of a semi-group into a group. Canadian
J. Math., 3 A851), 34—43.
[2] Initial segments of positive semi-groups. Trans. Roy. Soc.
Canada, 50 A956), 41—46.
Л е в и (Levi F.)-
[1] A problem on rigid motion. Math. Student, 8 A940), 1—10.
[2] On semi-groups. Bull. Calcutta Math. Soc, 36 A944),
141-146.
[3] On semi-groups. II. Bull. Calcutta. Math. Soc. 38 A946),
123-124.
Лесохин М. M.
[1] Некоторые свойства обобщенных характеров полугрупп.
Уч. зап. Лен. Гос. пед. ин-та им. Герцена, 183 A958), 277—286.
Лесье (Lesieur L.).
A] Theoremes de decomposition dans certains demi-groupes reti-
reticules satisfaisant a la condition de chaine descendante affaiblie.
С R. Acad. Sci., Paris, 234 A952), 2250—2252.
[21 Sur les ideaux irreductibles d'un demi-groupe. Rend. Sem.
Math. Univ. Padova, 24 A955), 29—36.
[31 Sur les demi-groupes reticules satisfaisants a une condition
de chatne. Bull/ Soc. Math. France, 83 A955), 161—193.
[4] Sur les demi-groupes reticules satisfaisant a une condition de
chaine. Bull. Soc. math. France, 83 A955), 161—193.
[5] Sur les ideaux irreducibles d'un demi-groupe. Rend. Seminar
mat. Univ. Padova, Parte I, 24 A955), 29—36.
Л е ф е в р (Lefebvre P.).
[1] Demi-groupes admettant des complexes nets a droite mini-
maux. C. R. Acad. Sci., Paris, 247 A958), 393-396.

ЛИТЕРАТУРА ПО ПОЛУГРУППАМ 575
Л ибер А. Е.
[1] О симметрических обобщенных группах. Матем. сб. (нов.
сер.), 33 A953), 531-544.
[2] К теории обобщенных групп. ДАН СССР, 97 A954), 25—28.
Лось (L6s J.).
[1] О существовании линейного упорядочения в группе. Бюлл.
Польской Акад. наук, отд. 3, 2 A954), № 1, 19—21.
Л я п и н Е. С.
[I] Свободные системы с бесконечным однозначным действием.
ДАН СССР, 51 A946), 491—494.
[2] Ядра гомоморфизмов ассоциативных систем. Матем. сб.
(нов. сер.), 20 A947), 497—515.
[3] Алгебраические системы с несколькими действиями. Уч. зап.
Лен. Гос. пед. ин-та им. Герцена, 64 A948), 53—72.
[4] Полные действия в классах ассоциативных систем и групп.
Уч. зап. Лен. Гос. пед. ин-та им Герцена, 86 A949), 93—106.
[5] Нормальные комплексы ассоциативных систем. Изв. АН
СССР (матем. сер.), 14 A950), 179—192.
[6] Простые коммутативные ассоциативные системы. Изв. АН
СССР (матем. сер.), 14 A950), 275—282.
[7] Полупростые коммутативные ассоциативные системы. Изв.
АН СССР (матем. сер.), 14 A950), 367—380.
[8] Канонический вид элементов одной ассоциативной системы,
заданной определяющими соотношениями. Уч. зап. Лен. Гос. пед.
ин-та им. Герцена, 89 A953), 45—54.
[9] Увеличительные элементы ассоциативных систем. Уч. зап.
Лен. Гос. пед. ин-та им. Герцена, 89 A953), 55—66.
[10] Ассоциативные системы всех частичных преобразований.
ДАН СССР, 88 A953), 13—15.
[II] Полугруппы, во всех представлениях которых операторы
имеют неподвижные точки, I. Матем. сб. (нов. сер), 34 A954),
289—306.
[12] Полугруппы, во всех представлениях которых операторы
имеют неподвижные точки, II. Матем. сб. (нов. сер.), 36 A956),
111—124.
[13] Абстрактная характеристика некоторых полугрупп преоб-
преобразований. Уч. зап. Лен. Гос. пед. ин-та им. Герцена, 103 A955),
5—30.
[14] О существовании и единственности решения уравнения
общего вида в связи с обратимостью в полугруппах преобразований.
ДАН СССР, 116 A957), 552—555.
[15] Обратимость элементов в полугруппах. Уч. зап. Лен. Гос.
пед. ин-та им. Герцена, 166 A958), 65—74.
Мак-Кензи (Mac Kenzie R.).
[1] Commutative serai-groups. Duke Math. J., 21 A954), 471—477.
Мак-Лин (McLean D.).
[1] Idempotent semi-groups. Amer. Math. Monthly, 61 A954),
110-113.

576 ЛИТЕРАТУРА ПО ПОЛУГРУППАМ
Мальцев А. И.
[1] On the immersion of an algebraic ring into a field. Math.
Ann., 113 A937), 686—691.
[2] О включении ассоциативных систем в группы. Матем. сб.
(нов. сер.), 6 A939), 331-336.
[3] О включении ассоциативных систем в группы, II. Матем. сб.
(иов. сер.), 8 A940), 251—264.
[4] Симметрические группоиды. Матем. сб. (нов. сер.), 31 A952),
[5] Мультипликативные сравнения матриц. ДАН СССР, 90 A953),
333—335.
[6] Нильпотентные полугруппы. Уч. зап. Ивановского пед.
ин-та, 4 A953), 107-111.
[7] К общей теории алгебраических систем. Матем. сб. (нов.
сер.), 35 A954), 3-20.
Манн (Munn W.).
[1] On semi-groups algebras. Proc. Cambr. Phil. Soc, 51 A955),
1—15.
[2] Matrix representations of semi-groups. Proc. Cambridge Phi-
los. Soc, 53 A957), 5—12.
[3] The characters of
Cambridge Philos. Soc, 53 A957); 13—18.
[4] Semi-groups satisfy
Assoc, 3 A957), 145—152.
[3] The characters of the symmetric inverse semi-group. Proc.
[bridge Philos. Soc, 53 A957), 13—18.
[4] Semi-groups satisfying minimal conditions. Proc. Glasgow Math.
" , 145—1""
[1] A
51 A955),
Манн, Пенроз (Munn W., Penrose R.).
note on inverse semi-groups. Proc. Cambridge Philos. Soc,
396-39Э.
Мантейффель (Manteuffel K.).
[1] Bemerkung zur Zerlegung und Erzeugung endlicher Oruppoide.
Wiss. z. Hochschule Schwermaschinenbau Magdeburg, 1 A957), 1—2.
Марков A. A.
[1] Невозможность некоторых алгорифмов в теории ассоциа-
ассоциативных систем. ДАН СССР, 55 A947), 587—590.
[2] Невозможность некоторых алгорифмов в теории ассоциа-
ассоциативных систем, II. ДАН СССР, 58 A947), 353—356.
[3] Невозможность некоторых алгорифмов в теории ассоциа-
ассоциативных систем, ДАН СССР, 77 A951), 19—20.
[4] Невозможность алгорифмов, распознающих некоторые свой-
свойства ассоциативных систем. ДАН СССР, 77 A951), 953—956.
[5] Теория алгорифмов. Тр. матем. ин-та им. Стеклова, 38 A951),
176—189.
[6] Теория алгорифмов. Тр. матем. ин-та им. Стеклова, 42 A954),
1-374.
Миллер, Клиффорд (Miller D., Clifford A.).
[1] Regular D-classes in semi-groups. Trans. Amer. Math., 82A956),
270—280.

ЛИТЕРАТУРА ПО ПОЛУГРУППАМ 577
М и я н а г a (Miyanaga J.).
[1] A generalisation of Wallace theorem on semi-groups. Proc.
Japan Acad., 32 A956), 254.
Молинаро (Molinaro I.V
[1] Demi-groupes residutifs. Semin. P. Dubreil et Ch. Risot Fac.
Sci. Paris, 9 A955—1956), 1—16.
Морзе, Хедлунд (Morse M., Hedlund G.).
[1] Unendingchess, symbolic dynamics and a problem in semi-
semigroups. Duke Math. J., 11 A944), 1—7.
Мори (Maury O.).
[1] Une caracterisation des demi-groupes noetheriens integrale-
raent clos. С R. Acad. Sci., Paris, 247 A958), 254—255.
Мостерт, Шилдс (Mostert P., Shields A.).
[1] On continuous multiplications on the two-sphere. Proc. Amer.
Math. Soc, 7 A956), 942—947.
[21 On a class of semi-groups on En. Proc. Amer. Math. Soc, 7
A956), 729—734.
[3] On the structure of semi-groups on a compact manifold with
boundary. Ann. Math., 65 A957), 117—143.
M у р (Moore E.).
[11 A definition of abstract groups. Trans. Amer. Math. Soc, 3
A902).
Мурата (Murata K.).
[1] On the quotient semi-groups of a noncommutative semi-group.
Osaca Math. J., 2 A950), 1—5.
M э н н (Mann H.).
[1] On certain systems which are almost groups. Bull. Amer. Math.
Soc, 50 A944), 879—881.
H ака да (Nakada О.).
[1] Partially ordered abelian semi-groups. I. On the extension of
the strong partial order defined on abelian semi-groups. J. Fac, Sci.
Hokkaido Univ., Ser. I, 11 A951), 181—189.
[2] Partially ordered abelian semi-groups. II. On the strongness
of the linear order defined on abelian semi-groups. J. Fac. Sci. Hok-
Hokkaido Univ., Ser. I, 12 A952), 73—86.
H у м а к у p a (Numakura K.).
[1] On bico ir
A951), 405—412.
[2] On bicompact semi-groups. Math. J. Okayama Univ., 1 A952),
99—108.
[3] A note on the structure of commutative semi-groups. Proc.
Japan Acad., 30 A954), 262-265.
37 Зак. 455. E. С. Ляпин
к у p a (Numakura K.).
[1] On bicompact semi-groups with zero. Bull. Jamagata Univ., 4
1), 405412
2

578 ЛИТЕРАТУРА ПО ПОЛУГРУППАМ
[4] Prime ideals and idempotents in compact semi-groups. Duke
Math. J., 24 A957), 671-680.
[5] Naturally totally ordered compact semi-groups. Duke Math. J.,
25 A958), 639—645.
Оганесян В. А.
[1] Инвариантные и нормальные подсистемы симметрической
системы частичных подстановок. ДАН Арм. ССР, 21 A955),
49—56.
[2] Теорема о строении системы подстановок. Сб. научи, тр.
Арм. Гос. заочн. пед. ин-та, вып. 2, 3 A956), 1—17.
[3] Система частичных подстановок и обобщенная теорема Кэли.
Сб. научн. тр. Арм. Гос. заочн. пед. ин-та, 3 A956), в. 2, 19—31.
О р э (Ore О.).
[1] Linear i
32 A931), 463—477.
Паризек (Parezek В.).
triec
[1] Linear equations in noncomrautative fields. Ann. Math. B),
A931), 463-477.
ризе к (Parezek В.).
[11 Poznamka о structure multiplikativnej pologrupy zvyskovych
:i. Mat.-fyz. 6asop., 7 A957), 183—185.
Паркер (Parker E.).
[1] On multiplicative serai-groups of residue classes. Proc. Araer.
Math. Soc, 5 A954), 612—616.
Перед (Perel W.).
[1] Principal rei
Amer. Math. Soc, 8 A957), 957—960.
[1] Principal representations in commutative semi-groups. Proc.
'. Soc,
Петропавловская Р. В.
[1] О разложимости в прямую сумму структуры подсистем
ассоциативной системы. ДАН СССР, 81 A951), 999—1001.
[2} Структурные изоморфизмы свободных ассоциативных систем.
Матем. сб. (нов. сер.), 28 A951), 589—602.
[3] Об определяемости группы структурой ее подсистем. Ма-
Матем. сб. (нов. сер.), 29 A951), 63—78.,
[4] Ассоциативные системы, структурно изоморфные группе, I.
Вестн. ЛГУ (сер. матем., мех., астр.) 13 A956), в. 3, 5—26.
[5] Ассоциативные системы, структурно изоморфные группе, 11.
Вестн. ЛГУ (сер. матем., мех., астр.) 19 A956), в. 4, 80—99.
[6] Ассоциативные системы, структурио изоморфные группе, III.
Вестн. ЛГУ (сер. матем., мех., астр.) 19, A957) в. 4, 5—19.
Пирс (Pierce R.).
[1] Homomorphisms of semi-groups. Ann. Math. B), 59 A954),
287—291.
Поддерюгин В. Д.
[1] Условия упорядочиваемости групп. Изв. АН СССР (матем.
сер.), 21 A957>, 199—208.

ЙО ПОЛУГРУППАМ 579
уруппы (Demi-groupes).
[1] Semin A. Chitelet et P. Dubreil. Fac. Sci., Paris, 1953—1954
956); 7-е le N 22
Полугруппы (Demi-groupes).
[1] Semin A. Chitelet et P. Dubreil. Fac. Sci.,
A956); 7-е annee complementaire, No. 12—20, 1—84.
Понизовский И. С.
[1] О матричных представлениях ассоциативных систем. Матем.
сб. (нов. сер.), 38 A956), 241—260.
[2] О неприводимых представлениях конечных ассоциативных
систем. Уч. зап. Кемеровского пед. ин-та, 1 A956), 245—250.
[3] О матричных неприводимых представлениях конечных полу-
полугрупп. УМН, 13 A958), 139—144.
Пост (Post E.).
[1] Recursive unsolvability of problem of Thue. J. Sumb. Logic,
12 A947), 1-11.
[21 Rank functions on semig-roups. Proc. Koniki. nederl. acad.
Wetensch., A, 61 A958), 332—334.
Престон (Preston O.).
[1] Inverse semi-groups. J. London Math. Soc, 29 A954), 396—403.
[2] Inverse semi-groups with minimal right ideals. J. London
Math. Soc, 29 A954), 404—411.
[3] Representations of inverse semi-groups. J. London Math. Soc,
29 A954), 411—419.
[4] The structure of normal inverse semi-groups. Proc. Glasgow
Math. Assoc, 3 A956), 1—9.
[5] Matrix representations of semi-groups. Quart. J. Math., 9
A958), 169—176.
[6] A note on representations of inverse semi-groups. Proc. Amer.
Math. Soc, 8 A957), 1144—1147.
П т а к (Ptak V.).
[1] Immersibility of semi-groups. Acta Fac. Nat. Univ. Carol.
Prague, 192 A949).
[2] О включении семи-групп. Чехослов. матем. журн, 2 G7)
A952), 247—271.
[3] Vnofitelnost semi-grup. Casop. pestov. mat., 78 A953), 259—261.
Пул (Poole R.).
[1] Finite ova. Amer. J. Math, 59 A937), 23—32.
Райт (Wright F.).
[11 Semi-groups and submodular functions. Michigan Math. J, 3
A955-1956), 169—172. A, . o
[2] Si P Ame Math Soc 7
A95
956), 169172. A, . o
[2] Semi-groups in compact groups. Proc. Amer. Math. Soc, 7
6), 309—311.
Pay тер (Rauter H.). .
[11 Abstrakte kompositions-systeme oder Ubergtuppen. J. reine
und angew. Math., 159 A928), 229—237.
37*

580 ЛИТЕРАТУРА ПО ПОЛУГРУППАМ
Редей (Redei L.).
[1] Die Verallgeraeinerung der Schreierschen Erweitentngstheorie.
Acta Sci. Math., Szeged., 14 A952), 252—273.
Рис (Rees D.).
[1] On serai-groups. Proc. Cambridge Philos. Soc, 36 A940),
387—400.
[2] Note on serai-groups. Proc. Cambridge Philos. Soc, 37 A941),
434—435.
[3] On the ideal structure oi a semi-group satisfying a cancella-
cancellation law. Quart. J. Math., Oxford. Ser., 19 A948), 101—108.
[4] On the group of a set of partial transformations. J. London.
Math. Soc, 22 A948), 281—284.
P и ч (Rich R.).
Completely simple ideals of a semi-group. Amer. J. Math.,
"" 883-885.
г n i ^*\ » v.
Ш Co
71 A949),
Рыбаков Л. М.
[11 Об одном классе коммутативных полугрупп. Матем. сб.
(нов. сер.), 5 A939), 521—536.
Сайт о, Хори (Saito Т., Hori Sh.).
[1] On semi-groups with minimal left ideals and without minimal
right ideals. J. Math. Soc. Japan, 10 A958), 64—70.
С а с (Szasz O.).
[1] Die Unabhangigkeit der Assoziativitatsbedingungen. Acta Sci.
Math., Szeged, 15 A953), 20—28.
[2] Ober die Unabhangigkeit der Assoziativitatsbedingungen kom-
mutativer mnltiplicativer Strukturen. Acta Sci. Math., Szeged, 15 A954),
130—142.
[3] Die Translationen der Halbverbande. Acta Sci. Math., Szeged,
17 A956), 165—169.
С е п (Szep J.).
[1] Zur Theorie der Halbgruppen. Publ, Math. Debrecen, 4 A956),
344—346.
Сиверцева Н. И.
{1] О простоте ассоциативной системы особенных квадратных
матриц. Матем. сб. (нов. сер.), 24 A949), 101—106.
Сколем (Scolem Th.).
[1] Some remarks on serai-groups. Norske Vid. Selsk. Forh., Trond-
heim, 24 A951), 42—47.
[21 Theorems of divisibility In some semi-groups. Norske Vid.
Selsk. Forh., Trondheim, 24 A951), 48—53.
[31 Theory of divisibility in some commutative semi-groups. Norske
Mat. Tidsskr., 33 A951), 82—88.
D1 A theorem on some semi-groups. Norske Vid. Selsk. Forh.,
Trondheim, 25 A952), 72—77.

литература no йолугрупйам 581
Соннеборн (Sonneborn L.).
[1] On the arithmetic structure of a class of commutative semi-
semigroups. Amer. J. Math., 77 A955), 783—790.
С то л л (Stoll R.).
[1] Representations of finite simple semi-groups. Duke Math. J..
11 A944); 251—265.
ШН
();
ШНототогрЫбтз of a semi-group onto group. Amer. J. Math.,
Я), 475-481.
Сюльт (Stolt В.).
[1] Ober Axiomensysteme die eine abstrakte Gruppe bestimmen.
Uppsala A953), 1—100.
[2] Abschwachung einer klassischen Qruppendefinition. Math.
Scand., 3 A955), 303—305.
[3] Ober eine besondere Halbgruppe. Ark. Mat., 3 A956), 275—286.
[4] Zur Axiomatik des Brandtschen Gruppoids. Math. Z., 70 A958),
156—164.
Сушкевич А. К.
[1] Ober die Darstellung der eindeutig nicht umkehrbaren Grup-
pen mlttels der verallgemeinerten Substitutionen. Мат. сб., 33 A926),
371-374.
[2] Sur quelques cas des groupes finis sans la loi de l'inversion
univoque. Зап. Харьк. матем. т-ва D), 1 A927), 17—24.
[3] Ober die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen
Umkehrbarkeit. Math. Ann., 99 A928), 30—50.
[4] Untersuchungen ilber verallgemeinerte Substitutionen. Atti del
Congr. Intern. Mat. Bologna, 1 A928), 147—157.
[5] Ober die Matrizendarstellung der verallgemeinerten Gruppen.
Зап. Харьк. матем. т-ва, D), 6 A933), 27—38.
[6] Ober Semi-gruppen. Зап. Харьк. матем. т-ва, D), 8 A934),
25—28.
[7] Ober einen merkwurdigen Typus der verallgemeinerten unend-
lichen Gruppen. Зап. Харьк. матем. т-ва, D), 9 A934), 39—46.
[8] Про деяк! властивост! одного типу узагальнених групп.
Уч. зап. Харьк. ун-та, 2 A935), 23—25.
[9] Про поширення швгрупп до u,uoi группи. Зап. Харьк. матем.
т-ва, D), 12 A936), 81—88.
[10] Ober eine Verallgemeinerung der Semi-gruppen. Зап. Харьк.
матем. т-ва, D), 12 A936), 89—98.
[И] Sur quelques proprietes des semi-groupes generalises. Зап.
Харьк. матем. т-ва, D), 13 A936), 29—33.
[121 Теория обобщенных групп. Хрк. —Киев, ГНТИ A937),
1—176.
[13] Про деяю типи особливих матрицы Уч. зап. Харьк. ун-та,
10 A937), 5—16. •
[14] Исследования о бесконечных подстановках. Сб. памяти
акад. Граве, 1940, 245—253.

582 ЛИТЕРАТОРА ПО ПОЛУГРУППАМ
[15] Обобщенные группы особенных матриц. Зап. Харьк. матем.
т-ва, D), 16 A940), 3—11.
[16] Узагальнен! групи деяких тишв нескШченних матриць. Зап.
Харьк. матем. т-ва, D), 16 A940), 115—120.
[17] Об одном типе обобщенных полугрупп. Зап. Харьк. матем.
т-ва, D), 17 A940), 19—28.
[18] Исследования о бесконечных подстановках. Зап. Харьк.
матем. т-ва, D), 18 A940), 27—38.
[19] Прямые произведения некоторых типов обобщенных групп.
Хрк., Научн. зап. Ин-та сов. торговли, A941), 11—14.
Тамари (Tamari D.).
[1] Caracterisation des semi-groupes a un parametre. С. R. Acad.
Sci., Paris, 228 A949), 1092—1094.
[2] Groupoides relies et demi-groupes ordonnes. C. R. Acad. Sci.
Paris, 228 A949), 1184—1186.
[3] Groupoides ordonnes. L'ordre lexicographique pondere.
С R. Acad. Sci., Paris, 228 A949), 1909—1911.
[4] Ordres ponderes. Caracterisation de l'ordre naturel comme
l'ordre du semi-groupe multiplicatif des nombres naturels. С R. Acad.
Sci., Paris, 229 A949), 98—100.
[5] Les images homomorphes des groupoides de Brandt et l'im-
mersion des semi-groupes. C.R. Acad. Sci., Paris, 229 A949), 1291—1293.
[6] Sur l'immersion d'un semi-groupe topologique dans un groupe
topologique. Algebre et Theorie des Nombres Colloques Intern, du
Centre Nat. Rech. Sci., Paris, 24 A950), 217—221.
Тамура (Tamura Т.).
[I] Characterization of groupoids and semilattices by ideals in
a semi-group. J. Gakugei. Tokushima Univ., 1 A950), 37—44.
[2] Some remarks on semi-groups and all types of semi-groups of
order 2, 3. J. Qakugei Tokushima Univ., 3 A953), 1—11.
[3] On compact one-idempotent semi-groups. Kodai. Math. Sem.
Rep., 1 A954), 17—21.
[4] Supplement to the paper „On compact one-idempotent semi-
semigroups". Kodai. Math. Sem. Rep., 3 A954), 96.
[5] On finite one-idempotent semi-groups, I. J. Qakugei, Tokushima
Univ., 4 A954), 11—20.
[6] On a monoid whose submonoids form a chain. J. Gakugei,
Tokushima Univ., 5 A954), 8—16.
[7] Notes on finite semi-groups and determination of semi-groups
of order 4. J. Gakugei Tokushima Univ. Math., 5 A954), 17-^-27.
[8] Note on unipotent inversible semi-groups. Kudai Math. Sem.
Rep.. 3 A954), 93-95.
[9] One-sided bases and translations of a semi-groups. Math.
Japan, 3 A955), 137-141.
[10] Indecomposable completely simple semi-groups except gro-
groups. Osaka Math. J., 8 A956), 35—42.
[II] The theory of construction of finite semi-groups, I. Osaca
Math. J, 8 A956), 243-261.

ЛИТЕРАТУРА ПО ПОЛУГРУППАМ 583
[12] On translations of a semi-group. Kudai Math. Sem. Reo. 7
A957), 67-70.
[13] The theory of construction of finite semi-groups, II. Compo-
Compositions of semi-groups, and finite S-decomposable semi-groups. Osaka
Math., J., 9 A957), 1—42.
[14] Supplement to my paper .The theory of construction of finite
semi-groups, II". Osaka Math. J., 9 A957), 235—237.
Тамура, Кимура (Tamura Т., Kimura N.).
[1] On decompositions of a commutative semi-group. Kodai Math.
Sem. Rep., 4 A954), 109—112.
[2] Existence of greatest decomposition of a semi-group. Kodai
Math. Sem. Rep., 7 A955), 83—84.
T a p с к и й (Tarski A.).
[11 Remarks on direct products of commutative semi-groups. Math,
scand., 5 A957), 218—223.
T e с ь е (Teissier M.).
[1] Sur les equivalences regulieres dans les demi-groupes.
С R. Acad. Sci., Paris, 232 A951), 1987-1989.
[2] Sur la theorie des ideaux dans les demi-groupes. С R. Acad.
Sci., Paris, 234 A952), 386—388.
[3] Sur l'algebre d'un demi-groupe fini simple, II. Cas general.
С R. Acad. Sci., Paris, 234 A952), 2511—2513.
[4] Sur quelques proprietes des ideaux dans les demi-groupes.
C. R. Acad. Sci., Paris, 235 A952), 767—769.
[5] Sur les demi-groupes admettant l'existence du quotient d'un
cote. C. R. Acad. Sci., Paris, 236 A953), 1120—1122.
[6] Sur les demi-groupes ne contenant pas d'element idempotent.
С R. Acad. Sci., Paris, 237 A953), 1375—1377.
Г7] Sur les demi-groupes. С R. Acad. Sci., Paris, 236 A953),
1524-1525.
Тетсуйя, Хасимото, Аказава, Шибата, Инуи, Та-
Тамура (Tetsuya К., Hashimoto Т., Akazawa Т., Shibata R., Inui Т.,
Tamura Т.).
[1] All semi-groups of order at most 5. J. Qakugei Tokushima
Univ. Nat. Sci. Math., 6 A955), 19-39.
Тьеррен (Thierrin O.).
[1] Sur une condition necessaire et suffisante pour qu'un semi-
groupe soit un groupe. С R. Acad. Sci., Paris, 232 A951), 376—378.
[2] Sur les elements inversifs et les elements unitaires d'un demi-
groupe inversif. С R. Acad. Sci., Paris, 234 A952), 33—34.
[3] Sur une classe de demi-groupes inversifs. С R. Acad. Sci.,
Paris, 234 A952), 177—179.
Г4] Sur une classe de transformations dans les demi-groupes
inversifs. С R. Acad. Sci., Paris, 234 A952), 1015—1017.
[5] Sur les demi-groupes inversifs. С R. Acad. Sci., Paris, 234,
A952), 1336—1338.

584 ЛИТЕРАТУРА ПО ПОЛУГРУППАМ
[6] Sur les homo-groupes. С. R. Acad. Sci., Paris, 234 A952),
1519-1521.
[7] Sur quelques classes de demi-groupes. С R. Acad. Sci. Paris,
236 A953), 33—35.
[8] Sur quelques equivalences dans les demi-groupes. C. R. Acad.
Sci., Paris, 236 A953), 565—567.
[9] Quelques.proprietes des equivalences reversibles generalisees
dans un demi-groupe. С R. Acad. Sci., Paris, 236 A953), 1399—1401.
[10] Sur une equivalence en relation avec l'equivalence reversible
generalisee. С R. Acad. Sci, Paris, 236 A953), 1723—1725.
[11] Quelques proprietes des sous-groupoides consistants d'un
demi-groupe abelien D. С R. Acad. Sci., Paris, 236 A953), 1837—
1839.
[12] Sur la caracterisation des equivalences regulieres dans les
demi-groupes. Bull. d. Sci. Acad. Roy. Belgique, 39 A953), 942—947,
[13] Sur quelques classes de demi-groupes possedant certaines
proprietes des semi-groupes. С R. Acad. Sci., Paris, 238 A954), 1765—
1767.
[14] Sur la caracterisation des groupes par leurs equivalences
regulieres. С R. Acad. Sci., Paris, 238 A954), 1954—1956.
[15] Sur la caracterisation des groupes par leurs equivalences
simplifiables. С R. Acad. Sci., Paris, 238 A954), 2046—2048.
[16] Sur quelques proprietes de certaines classes de demi-groupes.
C. R. Acad. Sci., Paris, 239 A954); 1335—1337.
[17] Sur la caracterisation des groupes par certaines proprietes
de leurs relations d'ordre. C, R. Acad. Sci., Paris, 239 A954), 1453—1455.
[18] Demi-groupes inverses et rectangulaires. Acad. Roy. Belg.
Bull. Cl. Sci. (S), 41 A955), 83—92.
[19] Contribution a la theorie des equivalences dans les demi-
groupes. Bull. Soc. Math. France, 83 A955), n° 2, 103—159.
[20] Sur une propriete caracteristique des demi-groupes inverses
et rectangulaires. С R. Acad. Sci., Paris, 241 A955), 1192—1194.
[21] Sur la theorie des demi-groupes. Comment. Math. Helv., 30
A956), 211—223.
[22] Sur les automorphismes interieurs d'un demi-groupe reductif.
Comment. Math. Helv., 31 A956), 145—151.
[23] Demi-groupes reductifs. Semin. P. Dubreil et Ch. Pisot. Fac.
Sci. Paris, 9 A955—1956), 1—9.
[24] Contribution a la theorie des anneaux et des demi-groupes.
Comment, math, helv., 32 A957), 93—112.
Тэрстон (Thurston H.).
[1] Equivalences and mappings. Proc. London Math. Soc, C), 2
A952), 175—182.
[2] Some properties of partly-associative operations. Proc. Amer,
Math. Soc, 5 A954), 487-497.
T ю р и н г (Turing A.).
[11 The word problem in semi-groups with concellation. Ann.
Math., 52 A950), 491—505.

ЛИТЕРАТУРА ПО ПОЛУГРУППАМ 585
У и г м а н (Wiegmann N.).
[1] Some generalizatfons of Burnside's theorem. Canad. J. Math.,
9 A957), 336—346.
Уоллес (Wallace A.).
[I] A note on mobs. Anais. Acad. Brasil. Ci., 24 A952), 329—334.
[2] A note on mobs, II. Anais. Acad. Brasil. Ci., 25 A953), 335—336.
[3] Indecomposable semi-groups. Math. J. Okayma Univ., 3 A953),
1—3.
[4] Cohomology, dimension and mobs. Summa Brasil. Math., 3
A953), 43—55.
[5] Inverses in Euclidean mobs. Math. J. Okayama Univ., 3 A953),
23—28.
[6] Topological invariance of ideals in mobs. Proc. Affler. Math.
Soc, 5 A954), 866—868.
[71 The structure of topological semi-groups. Bull. Amer. Math-.
Soc, 61 A955), 95—112.
[8] The position of C-sets in semi-groups. Proc. Amer. Math. Soc,
No 4, 6 A955), 639-642
[9] The Rees—Suschkevitsch structure theorem for compact simple
semi-groups. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 42 A956), 430—432.
[10] The gebietstreue in semi-groups. Nederl. Akad. Wetensch.
Proc, Ser. A, 59, 18 A956), 271—274.
[II] Ideals in compact connected semi-groups. Proc. konikl. nederl.
acad. wet., A., 59 A956), 535—539.
[12] Retractions in semi-groups. Pacif. J. Math., 7 A957), 1513—
1517.
Ф е л л e p (Feller W.).
[1] Параболические дифференциальные уравнения и соответ-
соответствующие им полугруппы преобразований. Математика, 1 :4 A957),
105—157 (также: Ann. Math., 55 A952), 486—519).
Ф о с е т (Faucett W.).
[1] Compact semi-groups irreducibly connected between two idem-
potents. Proc. Amer. Math. Soc, 6 A955), 741—747.
Фосет, Кох, Намакура (Faucett W., Koch R., Namakura K.).
[1] Complements of maximal ideals in compact semi-groups. Duke
Math. J., 22 A955), 655—661.
Фукс (Fuchs L.).
[11 On semi-groups admitting relative Inverses and having mini-
minimal ideals. Publ. Math, Debrecen, 1 A950), 227—231.
Фуллертон (Fullerton R.).
[1] On a semi-group of subsets of a linear space. Proc. Amer.
Math. Soc, 1 A950), 440—442.
ХалезовЕ. A. •
[1] Автоморфизмы матричных полугрупп. ДАН СССР, 96 A954),
245—248.

586 ЛИТЕРАТУРА ПО ПОЛУГРУППАМ
[2] Изоморфизмы матричных полугрупп. Уч. зап. Ивановского
пед. ин-та, 5 A954), 42—56.
Хантингтон (Huntingdon E.).
[1] Note on the definition of abstract groups and fields by sets
of Independent postulates. Trans. Amer. Matn. Soc, 6 A905), 181—197.
Хасимото (Hashimoto H.).
[1] On a generalization of groups. Proc. Japan Acad., 30 A955),
548—549.
[21 On the kernel of semi-groups. J. Math. Soc. Japan., 7 A955),
[3] On the structure of semi-groups containing minimal left ideals
and minimal right ideals. Proc. Japan Acad., 31 A955), 264—266.
Хилл (Hille Е.).
[11 Lie theory of semi-groups of linear transformations. Bull.
Amer. Math. Soc, 56 A950), 89—114.
[2] Функциональный анализ и полугруппы, ИЛ, М., 1951, 1—635.
Хнлл, Филлипс (Hille E., Phillips R.).
1-8
Wtt "Г П ill ill И XI V, II 1II1V *-*«! ¦ 'I1111L/O 1\, I.
[1] Functional analysis and semi-groups. Amer. Math. Soc, 1957,
110.
Хилл, Цорн (Hille E, Zorn M.).
[1] Open additive semi-groups of complex numbers. Ann. of
Math. B), 44 A943), 554—561.
X и о н Я. В.
[1] Упорядоченные полугруппы. Изв. АН СССР (матем. сер.),
21 A957), 209—222.
Холл (Holl M.).
[1] The won
symbolic Logic, 14 A949), 115—118.
4Ъ V ill <l у
[1] The word problem for semi-groups with two generators.
J. symbc'
X ь ю э т т (Hewitt E.).
[1] Compact monothetic semi-groups. Duke Math. J., 23 A956),
447—458.
[2] Compact monothetic semi-groups. Duke. Math. J., 23 A956),
447—457.
X ь ю э т т, Ц у к е р м а н (Hewitt E., Zuckerman H.).
[1] Finite dimensional convolution algebras. Acta Mathem., 93
A955), 67—119. : ¦ •
[21 Arithmetic and limit theorems for a class random variables.
Duke Math. J., 22 A955), 595—616.
[31 The Li-algebra of a commutative semi-group. Trans. Amer.
Math. Soc, 83 A956), 70—97.
[4] The Irreducible representations of semi-group related to the
symmetric group. Illinois. J. Math., 1 A957), 188-213.

ЛИТЕРАТУРА ПО ПОЛУГРУППАМ 587
Цейтин Г. С.
[1] Ассоциативное исчисление с неразрешимой проблемой экви-
эквивалентности. ДАН СССР, 107 A956), 370—371.
Ч е х а т a (Chehata С).
[1] On an ordered semi-group. J. London Math. Soc, 28 A953),
353—356.
Шв'арц (Schwarz St.).
[I] Te6ria pologrup. Sbornik prac Prirodovedeckej fakulty Slo-
venskej univerzity v Bratislave, 5. 6 A943), 1—64.
[2] О zovseobecneniach pojmu grupy, Casopis Pest. Mat.-fyz.,
74 A950), № 2, 95-113.
[3] Структура простых полугрупп без нуля. Чехослов. матем.
журн., 1 G6) A951), 51—65.
[4] О полугруппах, имеющих ядро. Чехослов. матем. журн.,
1 G6) A951), 259—301.
[5] К теории периодических полугрупп. Чехослов. матем. журн..
3 G8) A953), 7-21.
[6] О максимальных идеалах в теории полугрупп, I. Чехослов.
матем. журн., 3 G8) A953), 139—153.
[7] Максимальные идеалы в теории полугрупп, II. Чехослов.
матем. журн., 3 G8) A953), 365—383.
[8] Maximalne idealy a strukrura pologrup. Mat. - fyz. Casopis
Slov. akad. Vied., 3, A953), 17—39.
[9] Теория характеров коммутативных полугрупп. Чехослов.
матем. журн., 4 G9) A954), 219—247.
[10] Характеры коммутативных полугрупп как функции классов.
Чехослов. матем. журн, 4 G9) A954), 291—295.
[II] О некоторой связи Галуа в теории характеров полугрупп.
Чехослов. матем. журн., 4 G9) A954), 296—313.
[12] К теории хаусдорфовых бикомпактных полугрупп. Чехо-
Чехослов. матем. журн., 5 (80) A955), 1—23.
[13] Характеры бикомпактных полугрупп. Чехослов. матем.
жури., 5 (80) A955), 24—28.
[14] О топологических полугруппах с односторонними едини-
единицами. Чехослов. матем. журн, 5 (80) A955), 153—163.
[15] Poznamka k teorii bikompaktnych pologrup. Mat.-fyz.
casopis, 5 A955), 86—89.
[16] Об увеличительных элементах в теории полугрупп, ДАН
СССР, 102 A955), 697—698.
[17] О pologrupach splftujucich zoslabene pravidla kratenia.
Mat.-fyz. casopis? 6 A956), 149—158.
[18] The theory of characters of commutative Hausdorff bicom-
pact semi-groups. Чехослов. матем. журн, 6 (81) A956), 330—364.
[19] О существовании инвариантных мер на некоторых типах
бикомпактных полугрупп. Чехослов. матем. журн, 7 A957), 165—182.
[20] On the structure of the semi-group of measures on finite
semi-groups. Чехослов. матем. журн, 7 (82) A957), 358—373.
[21] On elementary semi-group theorem and a congruence rela-
relation of Redei. Acta Sci. Math., Szeged, 19 A958). 1—4.

588 ЛИТЕРАТУРА ПО ПОЛУГРУППАМ
Шенкмак (Schenkman Е.).
[1]
262—2'
[2] A certain class of semi-groups. Amer. Math. Monthly, 63
A956), 242—243.
[1] A certain class of semi-groups. Publ. math, Debrecen, 4 A956),
175.
Шилдс (Shields A.).
[1] The n-cube as a product semi-groups. Michigan. Math. J.,
4 A957), 165—166.
Шифердеккер (Schiferdecker E.).
[11 Die fastperiodischen Funktionen einer Oreschen Halbgruppe.
Arch. Math., 6 A955), 428—438.
[2] Zur Einbettung metrischer Halbgruppen in ihre Quotienten-
halbgruppen. Math. Z., 62 A955), 443—468.
[31 EInbettungssatze fiir topologische Halbgruppen. Math. Ann.,
131 A956), 372—384.
[41 Fastperiodische Fortsetzung von Funktionen auf Halbgruppen.
Math. Nachr., 14 A955—1956), 253-261.
Шмидт (Schmidt F.).
[1] Bemerkungen zum Brandschengruppoid. S. B. der Heidelberg
Ak. Wiss., Math. nat. KL, 8-te Abh. „Beitrage zur Algebra", A927)
91—103.
Шрейер (Schreier I.).
[1] Ober Abbildungen einer abstrakten Menge auf ihre Teilmenge.
Fundam. Math., 28 A937), 261—264.
.Штэйнфельд (Steinfeld O.).
ЩОЬег die Quasiideale von Halbgruppen. Publ. Math. Debrecen,
), 262—275.
[2] Ober die Quasiideale von Halbgruppen mit eigentlichem Sus-
chkewitsch — Kern. Acta sclent, math., 18 A957), 235—242.
Шутов Э. Г.
[1] Потенциальная делимость элементов в полугруппах. Уч. зап.
Лен. Гос. пед. ин-та им. Герцена, 166 A958), 75—103.
[2] Потенциальная сопряженность элементов в полугруппах.
Уч. зап. Лен. Гос. пед. ин-та им. Герцена, 166 A958), 105—119.
[3] Потенциальная стационарность элементов полугрупп. Уч. зап.
Удмуртск. пед. ин-та, 12 A958), 16—23.
[4] Потенциальная односторонняя обратимость элементов полу-
полугрупп. Уч. зап. Удмуртск. пед. ин-та, 12 A958), 24—36.
Шютценбергер (Schiitzenberger M.).
[11 Une theorie algebrique du codage. С. R. Acad. Sci., Paris,
242 A956), 862—864.
[21 Sur une representation des demi-groupes. C. R. Acad. Sci.,
Paris, 242 A956), 2907—2908,

ЛИТЕРАТУРА ПО ПОЛУГРУППАМ 589
131 Sur deux representations des demi-groupes finis. С R. Acad.
Sci., Paris, 243 A956), 1385—1387.
[4] D-representation des demi-groupes. C. R. Acad. Sci., Paris,
244 A957), 1994—1996.
[5] Applications des D-representations a 1'etude des homomor-
phismes des demi-groupes. С R. Acad. Sci., Paris, 244A957), 2219—2221.
[6] Sur une propriety combinatoire des demi-groupes libres.
С R. Acad. Sci., Paris, 245 A957), 16—18.
[7] Sur la representation monomiale des demi-groupes. C. R. Acad.
Sci., Paris, 246 A958), 865—867.
[8] Sur les homomorphismes d'un demi-groupe sur un groupe.
С R. Acad. Sci., Paris, 246 A958), 2442—2444.
Э в а н с (Evans Т.).
[11 A note on the associative law. J. Lond. Math. Soc, 25 A950),
196-201.
[2] Embedding theorems for multiplicative systems and projective
geometries. Proc. Amer. Math. Soc, 3 A952), 614—620.
[3] An embedding theorem for semi-groups with cancellation.
Amer. J. Math., 76 A954), 399—413.
Ямада (Yamada M.).
[1] A note on middle unitary semi-groups. K6dai Math. Sem.
Rep., 7 A955), 49—52.
[2] On the greatest semilattice decomposition of a semi-group
KOdai Math. Sem. Rep., 7 A956), 59—62.
[3] Compositions of semi-groups. Kudai Math. Sem. Rep., 8 A956),
107—111.
[4] Regularly totally ordered semi-groups. I. Bull. Shimane Univ.
(Natur. Sci.). A957), No 7, 14—23.
Ямада, Кимура (Yamada M., Kimura N.).
[1] Note on idempotent semi-groups. Proc. Japan. Acad., 34 A958),
110—112.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ*
Абстрактная характеристика I.
1.15 A7)
Автоморфизм I, 1.16 A7)
Алгебраическое действие 1,1.2 (9)
Антиавтоморфизм I, 1.17 A7)
Антиизоморфизм I, 1.17 A7)
Антисимметричность I, 5.6 E5)
Ассоциативность I, 1.18 A8)
Базисный класс VIII, 5.1 D54);
VIII, 5.19 D64)
Булева алгебра II, 4.16 (91)
Внутренний автоморфизм VII,
6.14 D08); VII, 6Л7 D10)
Вполне изолированная подполу-
подполугруппа IV, 6.1 B39)
Вполне простая полугруппа V,
3.9 B66); V, 4.2 B69)
Вполне регулярная полугруппа
II, 6.1 A04); Vni, 2.1 D24)
Вполне регулярный элемент II,
6.1 A04)
Главный идеал IV, 3.6 B12)
Голоидная полугруппа VIII, 4.8
D50)
Гомогруппа V, 1.8 B52)
Гомоморфизм VII, 1.1 C48)
Граница I, 5.12 E7)
Группа I, 3.2 B9); И, 1.3 F5);
II, 2.15 G6)
Группоид I, 1.5 A1)
Дедекиндова структура II, 4.14
(90)
Делимость элементов II, 1.2 F5)
Дистрибутивность II, 4.13 (89)
Единица II, 2.3 G1); II, 2.4 G2);
II, 2.6 G2)
Естественный гомоморфизм VII»
2.5 C62)
Зероидный элемент И, 1.6 F8)
Идеал IV, 1.1 A93)
Идеальная оболочка IV, 3.3 BЦ)
Идеальная эквивалентность IV,
3.3 B11)
Идеальный слой IV, 3.3 B11)
Идеальный фактор IV, 4.5 B21)
Идемпотент И, 2.3 G2)
Изолированная подполугруппа
IV, 6.1 B39)
Изоморфизм 1,1.8 A3); I, 1.10 A4);
I, 1.11 A4); I, 1.13 A5)
Инверсная полугруппа И, 7.2
A14); II, 7.4 A15)
Класс регулярности II, 6.11 A11)
Коммутативная полугруппа идем-
потентов II, 4.1 (83)
Коммутативная связка VIII, 1.12
D22)
Коммутативность I, 1.18 A8);
I, 1.19 A9); I, 3.2 B9)
Коммутаторное условие IV, 6.7
B43)
Конгруэнция I, 5.18 F0)
Левый сдвиг I, 3.9 C4)
1 В скобках указаны номера страниц.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
591
Линейная упорядоченность I,
5.11 E7)
Максимальное множество IV, 2.1
B03)
Максимальный элемент И, 4.17
(92)
Матричная связка VIII, 1.14 D22)
Минимальное множество IV, 2.1
B03)
Минимальный идеал IV, 3.3 B11)
Моногенная полугруппа III, 3.1
A51)
Мономорфизм I, 1.13 A5)
Мультипликативное множество
I, 1.5 A0)
Надполугруппа III, 1.5 A33)
Наименьшее общее правое крат-
кратное гомоморфизмов VII, 1.15
C58).
Наибольший общий правый дели-
делитель гомоморфизмов VII, 1.15
C58).
Ненулевой идеал V, 3.13 B67)
Неподвижная точка II, 5.1 (95)
Неприводимое порождающее
множество III, 2.5 A41)
Нильпотентная полугруппа IX,
4.5 D88); IX, 4.6 D89)
Нормальная подполугруппа VII,
4.9 C78)
Нормальный комплекс VII, 4.1
C75)
Нуль II, 2.3 G1); II, 2.4 G2); И,
2.6 G3)
Обобщенная груда И, 7.10 A20)
Оболочка IV, 2.6 B04)
Обратимое преобразование I,
3.13 C7); I, 3.14 C8); I, 3.16 C9)
Обратимость действий 1,1.18 (i8);
VI, 3.1 C12)
Обратимый элемент VI, 1.1 B99)
Обратный элемент II, 2.1 G1);
II, 2.13 G5) '
Определяющая совокупность
соотношений IX, 1.9 D69); IX,
ЗЛО D83).
Определяющее отношение IX'
3.2 D80)
Отношение I, 5.1 E2)
Периодическая полугруппа III,
4.1 A60)
Плотно вложенная полугруппа
VII, 5.6 C93)
Подполугруппа III, 1.5 A33)
Подполугруппа, правильная от-
относительно обратимости VI,
4.3 C25); VI, 5.5 C29)
Подполугрупповая характеристи-
характеристика III, 7.2 A80)
Полная структура I, 5.13 E8)
Положительная часть упорядо-
упорядоченной группы X, 3.5 E37)
Полугруппа I, 3.1 B8)
Полугруппа матричного типа V,
5.1 B79); V, 6.3 B91)
Полугруппа подполугрупп полу-
полугруппы III, 72 A79)
Полугруппа преобразований I,
Полугруппа с отделяющейся
групповой частью VI, 6.3 C39)
Полуструктура I, 5.13 E7)
Порождающее множество III, 2.1
A40)
Последовательно аннулирующая
связка VIII, 4.2 D46)
Потенциально обратимый эле-
элемент X, 4.1 E46); X, 4.13 E52)
Правоуничтожающее произведе-
произведение VIII, 5.12 D60)
Правый сдвиг I, 3.12 C7)
Представление I, 1.15 A6); I, 3.10
C5); I, 3.12 C7); VII, 1.6 C51)
Преобразование I, 3.5 C0)
Примитивный идемпотент V, 3.10
B66)
Присоединение внешним образом
II, 2.12 G4)
Производные отношения I, 5.20
F2); I. 5.21 F3)
Прямое произведение X, 5.12
E61); X, 5.18 E63)
Разбиение 1,5.8 E5); VIII, 1.2D15)
Регулярная единица II, 6.2 A05)

692
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Регулярная полугруппа II, 6.1
Регулярная сопряженность II, 6.6
A07)
Регулярный элемент II, 6.1 A04)
Рефлексивность I, 5.6 E5)
Свободная полугруппа IX, 1.3
D67); IX, 5.1 D93)
Свободное множество IX, 5.1 D93)
Свободное произведение X, 5.2
E57); X, 5.18 E63)
Связка VIII, 1.6 D18)
Симметричность I, 5.6 E5)
Следствие из соотношений IX,
1.7 D68); IX, 1.8 D69)
Слово в алфавите IX, 1.2 D66);
IX, 1.4 D67)
Слой IV, 2.4 B04)
Сокращаемость I, 1.18 A8); I, 3.2
Соотношения в полугруппе IX,
1.5 D67)
Соседние множества IV, 2.8 B04).
Специальное произведение эле-
элементов IX, 6.2 E07)
Стабильность I, 5.) 7 F0)
Структура I, 5.13 E8)
Структурный изоморфизм III, 7.6
A82)
Таблица умножения I, 1.6 A1)
Тип моногенной полугруппы III,
" 3.7 A55); III, 3.16 A59)
Тождественное преобразование
I, 3.13 C7)
Тождество в полугруппе IX, 4.1
D86)
Увеличительный элемент III, 5.1
A66)
Умножение гомоморфизмов VII,
1.12 C55)
Умножение подмножеств III, 1.1
A30)
Умножение преобразований I,
3.6 C2)
Умножение отношений I, 5.2 E3)
Умножение частичных преобра-
преобразований I, 4.2 D5)
Универсально-максимальное
множество IV, 2.1 B03)
Универсально-минимальное мно-
множество IV, 2.1 B03)
Универсальный класс III, 1.9A35)
Факторполугруппа VII, 2.4 C62);
VII, 4.15 C83)
Характер VII, 6.20 D13)
Цепь IV, 2.10 B06); IV, 4.1 B20)
Циклическая группа III, 3.17 A59)
Частичная упорядоченность I,
5.9 E6)
Частичное преобразование I, 4.1
D5)
Частично упорядоченная полу-
полугруппа X, 3*2 E35)
Эквивалентность I, 5.7 E5)
Эндоморфизм I, 3.18 D0); I, 3.19
D1); I, 3.20 D4)
Эпиморфизм VII, 1.1 C48)