/
Author: Фукс Л.
Tags: математика алгебра монография естественные науки абелевы группы теория групп
Year: 1977
Text
Л. Фукс
БЕСКОНЕЧНЫЕ
АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
т. 2
Перевод с английского
А. А. МАНОВЦЕВА и А. П. МИШИНОЙ
Под редакцией
Л. Я. КУЛИКОВА
Издательство «Мир»
Москва 1977
INFINITE ABELIAN GROUPS
Laszlo Fuchs
Tulane University
New Orleans, Louisiana
VOLUME
Academic Press
New York and London
1973
Л. Фукс
БЕСКОНЕЧНЫЕ
АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
т. 2
Перевод с английского
А. А. МАНОВЦЕВА и А. П. МИШИНОЙ
Под редакцией
Л. Я. КУЛИКОВА
Издательство «Мир»
Москва 1977
УДК 519.443
Второй том известной монографии Л. Фукса (т. 1 вышел
в издательстве «Мир» в 1974 г.) содержит многочисленные
результаты структурной теории абелевых групп, полученные в самые
последние годы. В книге охвачен широкий круг вопросов, причем,
как и в первом томе, изложение сопровождается значительным
количеством упражнений.
Оба тома в совокупности представляют собой своего рода
энциклопедию по абелевым группам — в основном тексте и в
упражнениях можно найти почти все важные результаты этой теории.
Интересен и приведенный автором список нерешенных проблем.
Книга полезна каждому математику, работающему в области
теории групп, теории модулей и колец, топологии.
Редакция литературы по математическим наукам
ИБ № 964
Л. Фукс
БЕСКОНЕЧНЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
Том 2
Редактор Г. М. Цукерман, Художник В. С. Акопов
Художественный редактор В. И. Шаповалов. Технический редактор Т. А. Максимова
Корректор Л. Д. Панова
Сдано в набор 22/ХП 19 76 г Подписано к печати 13/V 19 77 г.
Бумага кн-журн. 60x901/16=1 3 бум. л. 26 печ. л.
Уч.-изд. л. 28,73. Изд. № 1/8197. Цена 2 р. 70 к. Зак. № 017
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени Московская типография № 7 «Искра революции»
Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва, К-1, Трехпрудный пер., 9.
20203-010
04Н0П 77 10~77 © Перевод на русский язык, «Мир», 1977
Предисловие1)
Теория абелевых групп — это ветвь алгебры, в которой
рассматриваются коммутативные группы. Любопытно, что она до некоторой
степени не зависит от общей теории групп: ее основные идеи и методы
имеют лишь незначительное сходство с некоммутативным случаем,
и есть основания полагать, что не существует другого условия, которое
имело бы большее значение для групповой структуры, чем
коммутативность.
Настоящая книга посвящена теории абелевых групп. Изучение
теории абелевых групп целесообразно по двум основным причинам:
во-первых, из-за красоты результатов — среди них находятся
некоторые из лучших примеров того, что называется алгебраической
структурной теорией; во-вторых, потому, что это один из основных
побудителей новых исследований по теории модулей (например, для всякой
теоремы об абелевых группах можно поставить вопрос: для модулей
над какими кольцами верен этот результат?); имеются и другие
области математики, в которых широкое применение теории абелевых
групп может быть очень плодотворным (строение групп гомологии
и т. д.).
Первоначальным намерением автора было подготовить второе
издание его книги «Абелевы группы» (Будапешт, 1958). Однако скоро стало
очевидным, что в последнее десятилетие теория абелевых групп
развивалась слишком быстро, чтобы можно было ограничиться простым
пересмотром издания, и поэтому была написана совсем новая книга,
отражающая новый аспект теории. Некоторые темы (структура под»
групп, разложение в прямую сумму подсистем и т. д.), которые рас*
сматривались в книге «Абелевы группы», здесь не будут затрагиваться.
Две параллельные задачи этой книги — ознакомить
подготовленных студентов с теорией абелевых групп и дать молодому алгебраисту
обзор материала (в разумном объеме), который может послужить осно-
в°й для исследований по абелевым группам. Изложение никоим
образом не претендует на исчерпывающий характер или даже на то, чтобы
Дать полное представление о современном состоянии теории — это
было бы сизифовым трудом, так как теория абелевых групп стала край-
не обширной и продолжает расти практически изо дня в день. Но то,
Что автор рассматривает как основную часть сегодняшней теории
абелевых групп, он пытался изложить по возможности полно, чтобы
) Это предисловие, как и в английском оригинале, совпадает с предисло»
Ием к тому 1.— Прим. перев.
Предисловие
читатель мог получить достаточно сведений о центральных идеях,
основных результатах и главнейших методах теории. Чтобы помочь
в этом читателю, текст сопровождается многочисленными
упражнениями; некоторые из них являются просто упражнениями, другие
дают дополнительные сведения по теории, содержат различные
добавления. Упражнения используются лишь в других упражнениях,
но читателю рекомендуется попробовать выполнить некоторые из них,
чтобы лучше осмыслить теорию. От читателя не требуется никаких
предварительных знаний, кроме элементов абстрактной алгебры,
теории множеств и топологии, но требуется определенная
математическая зрелость.
Выбор материала неизбежно несколько субъективен. Главный упор
Делается на структурные проблемы; должное место отводится
гомологическим вопросам и некоторым топологическим рассмотрениям. Была
сделана серьезная попытка унифицировать методы, упростить
изложение и сделать его по возможности независимым. Автор пытался
избежать излишней абстрактности или технической сложности
изложения. Из-за этого в книгу не вошли некоторые важные результаты,
а изложение (в тех местах, где это неизбежно вызвало бы потерю
ясности или множество технических осложнений) велось не в
максимально возможной общности.
В томе 1 излагаются основы теории абелевых групп, а также ее
Гомологический аспект, в то время как том 2 посвящен структурной
теории и приложениям. В каждом томе имеется библиография,
содержащая те работы по абелевым группам, на которые имеются ссылки
в тексте. Автор старался везде указывать, кому принадлежит тот или
иной результат. В некоторых случаях, однако (особенно в
упражнениях), было почти невозможно приписать идеи их первооткрывателям.
В конце каждой главы приводятся комментарии, указываются
дальнейшие пути, по которым шло исследование, упоминаются некоторые
дополнительные результаты и обобщения, в частности, на модули,
которые могут заинтересовать читателя. Приведены также нерешенные
проблемы, которые автор считал интересными.
Система ссылок внутри книги достаточно ясна. Конец
доказательства отмечается символом. а Задачи, которые по той или иной причине
казались автору трудными, часто отмечены звездочкой, как, впрочем,
и некоторые разделы, которые начинающий читатель может счесть
разумным пропустить.
Автор многим обязан специалистам по теории групп за сделанные
ими замечания; всех их автор искренне благодарит. Особенно он
благодарен Шарлю за многочисленные полезные советы. Автор хотел бы
выразить свою признательность математическим отделениям
университетов в Майами (Корэл Гейбл, Флорида) и в Тулейне (Новый Орлеан,
Луизиана) за их помощь в подготовке рукописи, а также издательству
«Academic Press» за публикацию этой книги в своей замечательной
серии «Pure and Applied Mathematics».
Л. Фукс
Глава XI
СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ р-ГРУППЫ
Мы начнем рассмотрение основных классов абелевых групп с теории
периодических групп. Напомним, что периодическая группа единственным образом
разлагается в прямую сумму р-групп для различных простых чисел р, поэтому
структурная теория для случая периодических групп сразу же сводится к случаю
р-групп. Далее она легко сводится к случаю редуцированных р-групп. Эта и
следующая главы посвящены теории редуцированных р-групп.
В настоящей главе мы прежде всего займемся р-группами без элементов
бесконечной высоты — для краткости мы будем называть их сепарабельными
р-группами,— а общий случай рассмотрим в следующей главе. Сепарабельные
р-группы играют фундаментальную роль в общей теории р-групп (например,
ульмовские факторы р-групп всегда сепарабельны). Всякая сепарабельная
р-группа является сервантной подгруппой, лежащей между базисной подгруппой
В этой р-группы и «наибольшей» сепарабельной р-группой В с той же базисной
подгруппой В. Эти (так называемые периодически полные) р-группы В обладают
многими замечательными свойствами, которые мы рассмотрим в § 68—71; в
частности, эти группы допускают достаточно полные системы инвариантов. По
существу ни для какого важного класса сепарабельных р-групп, кроме класса
прямых сумм циклических групп и класса периодически полных групп, достаточно
хорошей структурной теории пока не получено.
§ 65. Леммы о /^-группах
Изучение р-групп мы начнем с изучения р-групп А без элементов
бесконечной высоты. Отсутствие элементов бесконечной высоты
означает, иными словами, что первая ульмовская подгруппа группы А
равна нулю, т. е. А1 = 0. Этот параграф посвящен изложению
некоторых предварительных результатов, касающихся в основном таких
р-групп.
Прежде всего введем некоторые термины. Произвольную группу А
назовем сепарабельной, если любую ее конечную подсистему {а1у. . ., ап}
можно вложить в прямое слагаемое 5 группы Л, являющееся прямой
суммой групп ранга 1. Очевидно, тогда в качестве S можно взять
прямую сумму конечного числа групп ранга 1; в случае р-групп это
означает, что S — конечно копорожденная группа (см. теорему 25.1).
В силу своего строения все делимые группы сепарабельны, и легко
видеть, что группа сепарабельна в точности тогда, когда ее
редуцированная часть сепарабельна.
Предложение 65.1. Редуцированная р-группа сепарабельна тогда
и только тогда, когда она не содержит отличных от нуля элементов
бесконечной высоты.
8
Гл. XL Сепарабельные р-группы
Если Л — сепарабельная редуцированная р-группа, то каждый
ее элемент содержится в ее конечном прямом слагаемом. Поэтому
группа Л не имеет элементов бесконечной высоты. Обратно, если
группа А не содержит элементов бесконечной высоты и {alf . . ., ап} —
конечное подмножество элементов группы Л, то <%, . . ., ап > —
конечная подгруппа, высоты элементов которой ограничены в
совокупности. По следствию 27.8 эту подгруппу можно вложить в
ограниченное г) прямое слагаемое 5 группы А. Тот факт, что 5 — прямая сумма
групп ранга 1, следует из теоремы 17.2. в
В силу предложения 65.1 можно для краткости называть р-группы
без элементов бесконечной высоты сепарабельными р-группами. [О се-
парабельных группах без кручения см. § 87.1
Очевидно, что р-группа хаусдорфова в своей р-адической топологии
тогда и только тогда, когда она сепарабельна. Хотя нам придется
рассматривать также и другие топологии, но если не оговорено противное,
р-группы будут считаться снабженными р-адической топологией.
В соответствии с этим, если X — подмножество в р-группе Л,
то через Х~ мы будем обозначать его топологическое замыкание
в р-адической топологии. Очевидно, что если X — подгруппа, то и
Х~ — подгруппа группы А. В самом деле, Х~/Х — это именно первая
ульмовская подгруппа группы А/Х.
Заметим, что в сепарабельной р-группе А все подгруппы А [рп],
п = 0, 1, . . ., являются замкнутыми. Если G — замкнутая подгруппа
группы Л, то G [рп] =[G П Л [рп] — также замкнутая подгруппа (как
пересечение двух замкнутых подгрупп). Для сервантных подгрупп
верно и обратное утверждение:
Лемма 65.2. Сервантная подгруппа G сепарабельной р-группы А
является замкнутой тогда и только тогда, когда подгруппа G \рп]
замкнута в А [рп] при некотором п ^ 1.
Пусть подгруппа G[pn] замкнута в А[рп] при некотором п. Тогда
подгруппа G[p] замкнута в А[р]. Предположим теперь, что
подгруппа G не замкнута, т. е. что (А/<ЗУФ0. Тогда в A/G существует
смежный класс a-\-G порядка р и бесконечной высоты. По теореме 28.1
в качестве а можно выбрать элемент порядка р. Для любого k
существуют такие элементы х?А и g?G, что phx — a-\-g, откуда
pk+ix = pg?G, и для некоторого h ? G выполняется равенство pk+ih =
=pg. Отсюдаpft(х — h) = a+(g — pkh), где g — pkh?G[p],T. е. а лежит
в замыкании подгруппы G [р], т. е. a?G[p]^G. Противоречие. в
Пусть Л — редуцированная р-группа и а ? Л ¦— ее элемент
порядка рп. Свяжем с а возрастающую последовательность
Я (а) = (/I* (а), /г* (ра), . . ., /i* (рпа) = оо) A)
:) Ограниченными называются группы, в которых порядки элементов
ограничены в совокупности.— Прим. перев.
§ 65. Леммы о р-группах
9
порядковых чисел и символов оо; здесь h* обозначает обобщенную
высоту относительно простого числа р [см. определение в § 37], т. е.
h* (а) = а, если а ? р°А \ ра+1А, и h* @) = оо. Мы будем называть
Н (а) индикатором или ульмовской последовательностью элемента а.
Часто бывает удобно бесконечно продолжить эту последовательность,
добавив к ней символы оо:
Н (а) =:(А* (а), h* (ра), . . ., Л* (рпа), Л* (рп+1а), . . .). B>
Из текста всегда будет видно, какую из форм этой последовательности,
A) или B), следует использовать.
Очевидно, что для любшчэ элемента а справедливо неравенство
h* (pla) <С h* (pi+ia), когда р{афО. Если
Л*(^а)+1<А*(р*+*а),
то говорят, что индикатор элемента а имеет скачок между h* (рга}
и h*(p1+ia). Если о(а)=рп, то между h* {pn~ia) и Л* (рпа)= оо всегда
имеется скачок.
Следующая лемма точно описывает, как выглядит индикатор.
Напомним, что сг-й инвариант Ульма — Капланского fo(A) для
р-группы А определялся как ранг группы р°А [р] / р0+1А [р] [мы
здесь пишем просто р°А [р] вместо (р°А) [р], так как это не может
вызвать недоразумений].
Лемма 65.3 (Капланский [3]). Пусть А — редуцированная р-группа
и а0, а1э . . ., ап_х — строго возрастающая последовательность
порядковых чисел. Тогда последовательность (сг0, ах, . . ., оп_ъ ап = оо)
является индикатором некоторого элемента а ? А в том и только
в том случае, когда выполнено следующее условие:
(*) Если между оь и ai+1 имеется скачок, то агй инвариант Ульма—
Капланского группы А отличен от нуля.
Предположим сначала, что в последовательности A),
построенной для некоторого а? Л, имеется скачок между h* (рга) и h*(pi+ia).
Это означает, что существует такой элемент b?A, что pl+ia = pb и
h* (b)>h*(pia)=oi. Элемент с=рга — Ь имеет порядок р и высоту
min (h* {рга), h* (b)) = а*, поэтому.
ра*А[р]/ра*+1А[р]фО,
и ранг /а. (А) этой группы отличен от нуля.
Обратно, пусть последовательность о0, о1э . . ., an._!, сгп = оо
удовлетворяет условию (*). Тогда можно выбрать элемент an_2 ?
б Л [р] высоты ап_! =т^ оо. Если между ап_2 и оп_г скачка нет,
возьмем такой элемент an_2 ? Л высоты сгп_2, что ряп_2 = ап_!. Если
скачок между ап_2 и ап_х есть, то по условию (*) найдется элемент Ь ?
€ Л [р] высоты ап_2. Существует элемент с 6 Л, высота которого
больше ап_2 и для которого рс = ап_х. Теперь элемент ап_2 = Ь -\- с имеет
10
Гл. XI. Сепарабельные р-группы
высоту ап_2 и рап_2 = an-i- Продолжая далее таким же образом, мы
последовательно получим элементы an_lt ап_2, . . ., а0 группы Л, для
которых раь = ai+1 и /i* (а,) = а? (i = 0, . . ., л, — 1). Очевидно,
элемент а = а0 имеет индикатор (а0, о1у . . ., ап_1э оо). в
Лемма 65.4 (Бэр [5]). Пусть А есть р-группа и (r0, rl9 . . ., rn_lf
гп = оо) — индикатор элемента афО группы Л, причем rt (i < п) —
целые числа. Положим r0 = kly и пусть
Гп{ — nt + k2i ..., rni_i = я*-1 -\-ktl Гщ = rn = OO
— me г*, перед которыми имеются скачки. Тогда
0 <%<...< /it, 0 < ^ < . . . < kt
и существуют такие элементы с1У . . ., ct 6 Л, «шго
1) элементы съ . . ., ct независимы и о (ct) = pni+ki (i = 1, . . ., ?);
2) С = (q > ф . . . ф (ct) — прямое слагаемое группы А;
3) a = phiCt+...+phtct.
Доказательство проведем индукцией по экспоненте е (а) элемента а.
Если е (а) = 1, то индикатор элемента а имеет вид (kl9 оо), и
утверждение вытекает из следствия 27.2. Пусть е (а) = т + 1, и пусть лемма
65.4 верна для элементов экспоненты <лг. Неравенства, касающиеся
чисел nt и kt, очевидны. Рассмотрим элемент /Z1'-1 а, имеющий высоту
щ^ + kt- Пусть ct 6 Л выбрано так, что
pnt-i+ktCt = pnt-ia.
Тогда ict) — сервантная подгруппа группы Л порядка /?п'+\
Элемент а' = а — pktct имеет экспоненту ^.nt-i ^ т, и, как легко
проверить, его индикатором является (г0, г1У . . ^/Vi^-i» оо). По
предположению индукции для а' существуют элементы с1? . . ., см ^ Л с
нужными свойствами. Пересечение подгруппы (ct) с подгруппой (сх) ф ...
- . . Ф (?fHL> = С равно нулю, так как элемент рпг+кг*- ct имеет
порядок р и высоту л* ^ kt — 1, а в С таких элементов нет. Подгруппа
С = С ф (ct) сервантна в Л, так как высота любого элемента цоколя
подгруппы С в точности равна минимуму высот его С- и {ct )-коорди-
нат, т. е. элементы цоколя подгруппы С имеют одинаковую высоту
в С и в Л. Применение теоремы 27.5 завершает доказательство. в
На множестве индикаторов можно следующим образом ввести
частичный порядок:
# (а)< Я (Ь), если h* (р1а) < /г* (р*Ь) при i = 0, 1, 2, . . .,
Лемма. 65.5. Пусть А — такая р-группа, что Л1 = 0, и пусть
a, b ? А. Эндоморфизм группы Л, отображающий а на by существует
тогда и только тогда, когда Н (а) ^ Н ф).
§ 65. Леммы о р-группах
11
Так как при эндоморфизме высота не может уменьшиться,
необходимость очевидна. Поэтому предположим, что Н (а) ^ Н (Ь). По
предыдущей лемме элементы а и b можно вложить в прямые слагаемые
С = (с1) © . . . © (ct> и D = (d1> © . . . ф (d8) группы А
соответственно. Достаточно построить гомоморфизм r\: C-*~D, переводящий
а в Ь. Запишем элемент а в виде a = pic1+...-\-ptct [см. п. 3)
леммы 65.4] и, аналогично, запишем
где в (dj) = mj + lj, 0 < m4 < ... < ms, 0^:li < ... < /8. Заметим, что
oo=h*(pnta)^h*(pntb),
откуда pntb = 0, т. e. nt^ms. Поэтому можно сделать так, чтобы х\
переводил ct в
plrhtd3+...+pl*-htda,
где у —наименьший индекс, для которого tit^trij и kt^.lj [тогда
образ элемента ct будет иметь экспоненту ^e(ct) = nt-{-kt].
Рассмотрим теперь вместо а и b элементы
а' = а — pktct и b' = b — plJdj — ... — pl*ds.
Тогда Н (а') ^ Н (&') и по предположению индукции существует
гомоморфизм группы (сг) © . . . © (ct_x) в (di> ф . . . © Ц/-1>,
переводящий а' в Ь'. Этот гомоморфизм можно продолжить до
гомоморфизма г): C-^D [где т) действует на с*, как указано выше], при
котором а переходит в Ь. ш
Следуя Капланскому [3], назовем редуцированную р-группу вполне
транзитивной, если для любых двух ее элементов а, Ь, для которых
Н (а) ^ Я (&), существует эндоморфизм этой группы, переводящий а
в Ь. Лемма 65.5 утверждает, что сепарабельные р-группы вполне
транзитивны.
Кроме сепарабельных групп, класс вполне транзитивных р-групп включает
в себя также другие важные классы групп, например класс тотально
проективных р-групп.
Упражнения
1. Показать, что произвольная группа сепарабельна тогда и только
тогда, когда ее редуцированная часть сепарабельна.
2. Сервантная подгруппа плотна в группе А тогда и только тогда,
когда ее цоколь плотен в А [р]. [О плотности см. также § 66.]
3 (Шарль [4]). Пусть Л есть р-группа и а ? А, причем (а) П А1 = 0.
Тогда элемент а можно вложить в минимальную сервантную подгруппу
группы А и любые две минимальные сервантные подгруппы,
содержащие а, изоморфны над (а >.
12
Гл. XI. Сепарабельные р-группы
4. Показать, что индикаторы элементов сепарабельной р-группы
образуют дистрибутивную структуру относительно определенного
выше частичного порядка.
5. Описать все возможные индикаторы элементов конечной группы
типа (р\ . . ., ркт), где kt < . . . < km.
6. (а) Доказать лемму 65.5 для автоморфизмов, заменив
неравенство на равенство.
(б) Усилить лемму 65.5, заменив условие сепарабельности группы А
условием (а) П Л1 = 0.
7* (Капланский [3]). Используя структурную теорию для счетных
р-групп, показать, что счетные р-группы вполне транзитивны.
§ 66. Подцоколи
В предыдущих главах нам в некоторых случаях приходилось
рассматривать цоколи р-групп; на самом деле некоторые из
доказательств существенно опирались на свойства цоколя. Цоколь и его
подгруппы играют достаточно важную роль в теории р-групп.
Подгруппа S цоколя А [р] р-группы А называется подцоколем
группы А. Говорят, что подцоколь S служит носителем подгруппы С
группы Л, если С [р] = S. Естественно, мы говорим, что подцоколь S
замкнут, если 5~ = S, и плотен, если 5~ = А [р], где замыкание
берется в р-адической топологии. Наконец, мы говорим, что подцоколь
S дискретен, если S П рпА = 0 при некотором п, т. е. высоты
элементов из S ограничены в совокупности.
Мы начнем с двух лемм, касающихся цоколей прямых слагаемых.
Лемма 66.1 (Энокс [1]). Пусть А = В © С есть р-группа и G —
такая ее сервантная подгруппа, что G [р] = В [р]. Тогда А = G ф С.
Очевидно, G [] С = 0 я G + C содержит цоколь группы А.
Запишем элемент а 6 А [р] в виде а = Ь + с (Ь 6 В [р] = G [р], с ? С [/?]);
тогда высота элемента а в G -]~ С больше или равна min (h (b), h (с)),
а последнее число равно высоте элемента а в группе Л. Следовательно,
подгруппа G + C сервантна в Л и, таким образом, G + C = А. ш
Заметим, что из леммы 66.1 следует, что если цоколь некоторого
прямого слагаемого служит носителем сервантной подгруппы, то эта
подгруппа является прямым слагаемым, изоморфным исходному.
Лемма 66.2 (Кроули [4]). Пусть
а = и ® v е w = в ее
— такая р-группа, что
U[p]^B [р] ? U [р] © V [р].
§ 66. Подцоколи
13
Тогда существует такая подгруппа В* группы В, что В* [р] =
= V [р] П В [р], В* изоморфна подгруппе группы V и
а = и ® в* е с.
Проекция группы Л на В изоморфно отображает подгруппу U
на такую подгруппу В' группы В, что В' [/?] = U [р]. Очевидно,
подгруппа В' сервантна в В, а значит, и в Л, поэтому лемма 66Л дает
Л = В' © У © W. Следовательно, В = В' ф В*, где В* = (К 0 Г)П
П В. В силу предположений относительно В [р] справедливо
равенство В* [р] - V [р] П В [р]. Теперь из В* П Г = 0 следует, что
подгруппа В* изоморфна подгруппе группы 1Л Наконец, применение
леммы 66Л дает Л = В' ф В* ф С = ?/ © В* ф С. .
Один из основных вопросов, касающихся подцоколей,—
определить, какие из них служат носителями сервантных подгрупп. Если
подцоколь дискретен, то очевидно, что он —¦ носитель сервантной
подгруппы, но для произвольных подцоколей это не так [см. упр. 9].
Однако, для плотных подцоколей верен следующий результат.
Теорема 66.3 (Хилл и Меджиббен [3]). Пусть S — плотный
подцоколь р-группы Л. Тогда существует подгруппа С группы Л,
максимальная относительно свойства С [р] = S; она сервантна и плотна в А.
Существование подгруппы С с нужным свойством сразу следует
из леммы Цорна. Докажем по индукции, что С П рпЛ ^ рпС. Пусть
п = 1, и пусть ра = с 6 С, где а ? Л. Если а $ С, то в силу
максимальности подгруппы С существует элемент b ? (С, а) порядка р, не
лежащий в 5. Пусть b = —с' -f ka для некоторого с' ? С и некоторого
целого числа k A ^ k ^ р — 1), которое без ограничения общности
можно предположить равным 1. Тогда рс' = р (а — Ь) — ра = с.
Предположим теперь, что С [\ рпА <= рпС при некотором п ^ 1,
и пусть для а ? А имеет место включение рп+1а 6 С. По доказанному
pUJrla = рс при некотором с 6 С. Из плотности 5 в Л [р] и включения
рпа — с ? Л [р] вытекает существование такого d 6 S, что рпа — с —
— d 6 рпЛ. По предположению индукции для некоторого с1^С имеем
рпс1 = с + d. Следовательно, рп+1с± = рс = рп+1я, и сервантность
подгруппы С доказана.
Из теоремы 28.1 мы знаем, что в смежных классах, являющихся
элементами порядка р группы А/С, могут быть выбраны в качестве
представителей элементы порядка р группы Л. Из плотности 5
следует, что элементы порядка р группы Л 1С имеют бесконечную высоту
в А/С. Следовательно, Л 1С — делимая группа [см. § 20, п. В)] и
подгруппа С плотна в Л. и
Сервантные подгруппы, имеющие один и тот же цоколь, не обязаны
быть изоморфными. Более того, имеет место
Теорема 66.4 (Хилл и Меджиббен [3]). Пусть А — редуцированная
р-группа мощности континуума с со счетной базисной подгруппой.
14
Гл. XI. Сепарабельные р-группы
Если S — такой собственный плотный подцоколь группы А, что \ S | =¦
= с, то S — носитель 2е попарно неизоморфных сервантных
подгрупп группы А.
Из предположений следует, что группа А неограниченная. В силу
теоремы 66.3 существует сервантная подгруппа С, максимальная среди
тех, для которых 5 служит носителем. Подгруппа С также имеет
счетную базисную подгруппу [так как эта последняя расширяется до
базисной подгруппы группы Л], откуда сразу же следует, что рС f\ S имеет
мощность континуума с. Поэтому можно выбрать такую независимую
систему L = {ct}i?i элементов ct (?С) порядка /?2, что | / | = с.
По предположению существует элемент Ъ 6 А [р] \ S. Построим 2е
систем V = {c'i}i?i, полагая с\ = ct или с\ = ct -f b для каждого
i 6 /• Так как цоколь подгруппы (Z/ > содержится в 5, то существует
подгруппа С группы Л, содержащая L' и максимальная относительна
свойства С [р] = 5. По теореме 66.3 подгруппа С сервантна. Таким
способом для каждой системы V мы можем найти сервантную
подгруппу С", содержащую V и имеющую цоколь 5.
Если V и L" — различные системы указанного выше вида, та
соответствующие сервантные подгруппы С и С" различны, так как
ни при каком i элементы ct и ct -f Ъ не могут одновременно
принадлежать подгруппе с цоколем S. Поэтому А содержит [не менее] 2е
различных сервантных подгрупп С с цоколем S.
В силу счетности базисной подгруппы В' группы С группа
Нот (В\ А) =Ц\\А [рп] имеет мощность cNo = с. Мощность кон-
71
тинуума является верхней гранью для мощностей групп Нот (С, А)>
как легко следует из рассмотрения точной последовательности
О = Нот (С'/В\ А) -> Нот (С, А) -> Нот (В', А).
Это показывает, что среди наших групп С имеется не больше с
изоморфных между собой. Следовательно, множество не изоморфных
между собой групп С имеет мощность 2е. ш
Легко проверить, что предыдущее доказательство (принадлежащее Катлеру
и Уинтропу [1]) переносится на любую редуцированную р-группу А мощности
| А | = 2П, где п — мощность базисной подгруппы В группы А. Конечно, с
в теореме 66.4 тогда должно быть заменено на | А |, а в заключительной части
доказательства нужно использовать обобщенную гипотезу континуума, чтобы
можно было утверждать, что 2' ' < 2* '.
Непосредственным следствием теоремы 66.4 является результат
Лептина [1]: существует 2е попарно неизоморфных р-групп без
элементов бесконечной высоты, мощность которых равна с; более того, при
этом можно предполагать, что все эти группы имеют базисную под-
оо
группу © Z (рп).
п=1
§ 66. Подцоколи
15
Упражнения
1 (Хилл и Меджиббен [1]). Если плотный подцоколь служит
носителем слабо сервантной подгруппы, то эта подгруппа сервантна.
2. Если всякий замкнутый подцоколь — носитель сервантной
подгруппы, то это же верно для любого подцоколя.
3. Пусть А — прямая сумма циклических и квазициклических
р-групп. Тогда всякий подцоколь группы А — носитель сервантной
подгруппы.
4. Провести в деталях доказательство утверждения, приведенного
после доказательства теоремы 66.4.
5* (Хилл и Меджиббен [1]). Доказать, что существует 2е
неизоморфных сепарабельных р-групп А сводной и той же базисной_под-
группой 5, таких, что | А | = с и В/А ^ Z (р°°). [О группе В см.
§68.]
6*. Пусть ш — такое кардинальное число, что п < ш ^ п*° для
некоторого кардинального числа п. Тогда существует 2т
неизоморфных сепарабельных /7-групп мощности ш. [Указание: использовать
теорему 66.4- и следствие 68.2.]
7. (а) Если цоколи двух сервантных подгрупп некоторой р-группы
совпадают, то эти группы имеют изоморфные базисные подгруппы.
(б) В прямой сумме циклических р-групп любые две сервантные
подгруппы с одинаковыми цоколями изоморфны.
8* (Хилл [2]). Привести пример сепарабельной р-группы,
содержащей неизоморфные сервантные подгруппы с одинаковыми цоколями.
[Указание: пусть
B'=e<fl2n-i>t ?"=е<Я2п>
п п
где о (ak) = p2k, и пусть [С= © (a2n-i +Ра2п); тогда в периодически
71
полной группе В' © В" [см. § 68] подгруппы G= В' © В" и Н = С+ В"
имеют одинаковые цоколи; предположив, что существует изоморфизм
G~>H, получить в группе G элемент, переходящий в элемент, не
лежащий в #.]
9 (Меджиббен [1]). Показать, что подцоколь сепарабельной р-груп-
пы может не быть носителем сервантной подгруппы. [Указание: В" [р]
в группе Н из упр. 8.]
10 (Ирвин и Сванек [1]). (а) Если G — сервантная подгруппа
Р-группы А и A [p]/G [р] — носитель сервантной подгруппы группы
A/G [р], то G служит для А прямым слагаемым. [Указание: если
KIG [р] — сервантная подгруппа с цоколем A [p]/G [р], то К =
= G [р] ф Н для некоторого Н и А = G © Я.]
(б) Пусть 0->-G-^C->yl->0 — сервантно проективная
резольвента р-группы А, причем А не является прямой суммой циклических
гРупп. Тогда С \p\IG [р] не служит носителем сервантной подгруппы
группы CIG [р].
16
Гл. XI. Сепарабельные р-группы
11 (Дьёдонне [2]). Пусть С=Ц <<Ъ), где o(ck) = p, и пусть Сп =
оо
= П (ch). Для каждого элемента д:6^п + Сп, х=?0, возьмем обра-
k>n
зующий ani и положим pnani = x. Обозначим через А группу,
порожденную группой С и всеми элементами ani (я=172, ...).
Показать, что
(а) ani имеет в группе А порядок рп+1\
(б) С — такая подгруппа группы Л, что А 1С — прямая сумма
циклических групп;
(в) всякий ненулевой элемент* в сп -f Сп имеет высоту п и группа А
не содержит элементов бесконечной высоты;
(г) если S — любая подгруппа, высоты элементов которой
ограничены в совокупности, то 5 П С — конечная группа;
(д) группа А не является прямой суммой циклических групп.
[Указание: использовать теорему 17.1 и получить противоречие
с п. (г).]
§ 67. Вполне характеристические и широкие подгруппы
Напомним, что подгруппа G группы А называется вполне
характеристической [характеристической]у если всякий эндоморфизм
[автоморфизм] группы А переводит подгруппу G в себя. Очевидно, вполне
характеристические подгруппы являются характеристическими, но
обратное неверно, как показывают примеры соответствующих 2-групп
1и групп без кручения].
Пример (Капланский [3]). Пусть А = (аг) ф (а2) 0 <а3), где о (at) =
= 2\ Рассмотрим подгруппу G, порожденную всеми такими элементами g ? At
что
о (g) = 4, h(g) = 0 и h Bg) = 2.
Все такие элементы g легко перечислить: это а± + 2а2 + 2а3 и а1 + 2а3. Всякий
автоморфизм группы А переводит образующий группы G в образующий.
Следовательно, G — характеристическая подгруппа. Но она не вполне
характеристическая, так как аг 4 О, а проекция А ->- {аг) отображает G на {аг).
Полного описания вполне характеристических подгрупп р-трупп
до сих пор нет, но в ряде частных случаев такое описание возможно
(см. Бэр [3], Шиффман [1] и Капланский [3]). Эти частные случаи
охватывают наиболее важные классы р-групп, как, например,
сепарабельные /?-группы и тотально проективные /^-группы.
Чтобы описать вполне характеристические подгруппы в некоторых
/7-группах, введем в рассмотрение возрастающие последовательности
порядковых чисел и символов оо
и = (а0, ог, . . ., оПУ . . .).
С последовательностью и связана подгруппа
А (и) = А (G0, • . ., стп, . . .) - {а в А \ Н (а) > и} A)
§ 67. Вполне характеристические и широкие подгруппы 17
группы А\ очевидно, это вполне характеристическая подгруппа.
Заметим, что
A) Л(и)= n p-n(pGnA);
п
Б) если А=®АЬ то A(u)=0i4f(u);
B) при любом гомоморфизме А -*¦ С подгруппа Л (и) отображается
в С (и);
Г) А (и П v) = А (и) + ^ (v)> где и П v строится путем взятия
покомпонентного минимума.
Скажем, что последовательность и удовлетворяет условию на скачки,
если между оп и оп+1 скачок может встретиться только тогда, когда
в группе А имеется элемент порядка р и высоты оп, т. е., иными
словами, когда fan (А)Ф0.
Теорема 67.1 (Капланский [3]). Пусть А —вполне транзитивная
р-группа. Подгруппа G группы А является вполне характеристической
тогда и только тогда, когда она имеет вид A), где последовательность и
удовлетворяет условию на скачки. Всякая вполне характеристическая
подгруппа G представляется в указанном виде единственным образом.
Очевидно, всякая подгруппа G вида A) является вполне
характеристической.
Предположим, обратно, что G — вполне характеристическая
подгруппа, и определим ап как минимум высот ft* (png), где g пробегает всю
группу G. Последовательность or0, alf . . ., an, . . ., очевидно, является
возрастающей. Чтобы проверить, что выполнено условие на скачки,
предположим, что ot -\- 1 << ai+1 для некоторого i. Существует элемент
g 6 G, для которого ft* (plg) = <т*, и по определению ft* (p%+1g)^
^ Gi+V По лемме 65.3 группа А содержит элемент порядка р и
высоты (Tj.
Включение G s A (a0, ах, . . ., ал, . . .) очевидно. Для каждого я
установим существование такого элемента g ? G, что ft* (/?г?) = а^
при t = 0, 1, . . ., п — 1. Если в последовательности а0, а1? . . ., ап_х
скачков нет и g ? G — такой элемент, что ft* (pn~1g) = сгп-ъ то должно
быть ft* (рг?) = ot при i = 0; 1, . . ., п — 1. Если последовательность
а0, оъ . . ., ап_! содержит скачки и если первый скачок встречается
между а7-_г и О/, то существует такой элемент gj ? G, что ft* (/rgj) = cr*
при i == 0, 1, . . ., / — 1. Если следующий скачок лежит между ак^
и aft (/ < &), то существует g' 6 G, для которого ft* (/?V) = сг* при
i = /,..., & — 1. По лемме 65.3 существует такой элемент gfe ? Л,
что ft*t(pV0 > max (ft* (/?У), af + 1) при ? = 0, 1, . . ., /-1
и ft* (/? gfe) = ft* (/?V) при i ^ /. Так как группа А вполне транзитив-
на> то gk 6 G. Продолжая таким же образом, мы для всех скачков
в последовательности (т0, а19 . . ., ап_х построим такие элементы
?л gk, • • ., ^г 6 G, что для элемента g = gy -f gfe + • • • + Si будет
выполняться равенство ft* (р g) = at при i = 0, 1, . . ., п — 1.
Следовательно, Н (g) ^ Н (а) для любого элемента а ? А (а0, а1э . . ., а„,...),
18
Гл. XI. Сепарабельные р-группы
порядок которого не больше п. Так как группа Л вполне транзитивна,
а (= G, т. е. G имеет вид A).
Если (о0, аь . ..,ап, ...) и (о^, а;, ...,а;, ...) — различные
последовательности, удовлетворяющие условию на скачки, то пусть
п —первый индекс, для которого опфо'п, скажем оп<^п-
Существует такой элемент а?А(о0,ои . . ., сгп, ...), что h*{pia) = oi при
i = О, 1, ..., п. Этот элемент а принадлежит А (а0, а1т ..., ап, .. .)г
но не А (о'0, о[, ..., а?'г, . •.)> что доказывает единственность. ¦
Существует один тип вполне характеристических подгрупп
р-трупи, представляющий особый интерес.
Следуя Пирсу [1], назовем вполне характеристическую подгруппу
G произвольной /7-группы А широкой, если
G -\- В = А для любой базисной подгруппы В группы А.
Очевидно, справедливы следующие утверждения:
а) 0 является широкой подгруппой тогда и только тогда, когда
группа А ограниченная.
б) Всякая вполне характеристическая подгруппа ограниченной
группы является широкой.
в) рпА при любом п — широкая подгруппа группы А.
г) Если G — широкая подгруппа группы Ау то pnG при любом
п — также широкая подгруппа. [Чтобы это показать, нам нужно
только проверить, что pnG ~\- В = Л, а это следует из равенств А =
= рпА + В - рп (G + В) + В.]
Верен также следующий менее тривиальный результат:
д) А1 содержится во всякой широкой подгруппе группы А.
Если а 6 А1 и G — широкая подгруппа группы Л, то пусть а =
= Ь + g\ где b ? В, g ? G. Вложим Ъ в конечное прямое слагаемое В'
группы В и запишем А = В' © Л'. Если я: Л -> А' — проекция,
связанная с последним разложением, то nb = 0 дает па = ng ? G,
так как G — вполне характеристическая подгруппа. Но A — я) а = О
как элемент бесконечной высоты в В'. Следовательно, а = Jig ? G,
что и требовалось.
Наша главная задача — выделить широкие подгруппы среди
вполне характеристических подгрупп. Следующее условие на подгруппу G,
называемое условием Пирса, является основным:
(*) Для любого неотрицательного целого числа k существует такое
целое число п > 0, что если а ? А, е (а) < k и h (я) > п, то а 6 G;
иными словами,
рпА [pk] <= G.
Используя это условие, докажем следующее утверждение:
Теорема 67.2 (Пирс [1]). Для вполне характеристической подгруппы
G редуцированной р-группы А эквивалентны такие условия:
§ 67. Вполне характеристические и широкие подгруппы 19
1) G — широкая подгруппа группы А;
2) G = А (г0, гх, . . ., гПУ . . .), где гп — неотрицательные целые
числа или символы оо, причем оо не встречается, если группа А не
является ограниченной;
3) для подгруппы G выполнено условие Пирса.
Предположим, что подгруппа G удовлетворяет условию 1). В силу
п. б) и теоремы 67.1 для проверки справедливости условия 2) достаточно
рассмотреть случай, когда группа А неограниченная. В этом случае
группа А обладает базисной подгруппой В Ф А, а так как в силу
п. г) при любом п имеет место равенство pnG + В = Л, то pnG Ф О
при каждом п. Следовательно, если группа А сепарабельна, то гп =
= min h (png) < со для любого п. Если группа А не сепарабельна,
то аналогичным образом получаем, что pnG zd А1, откуда снова гп < ш
при любом п. Следовательно, G s A (r0, rl9 . . ., гп, . . .). Чтобы
установить равенство [даже если группа А не вполне транзитивна],
выберем, если это возможно, элемента ? А (г0, гх, . . ., г71, . . ч), не лежащий
в G. Прибавив, если нужно, к элементу а элемент из Л1, мы получим
Н (а) = (s0, slf . . ., sn_i, sn = оо), где s0, . • . , sn_x < со. Так как
г0, г1э . . ., гп_! — конечные порядковые числа, можно, как в
доказательстве теоремы 67.1, построить элементу ? G, для которого Н (g) =
= (г0, г19 . . ., гп_1э оо). Так как sf > ^ (i = 0, . . ., п — 1), то из
очевидного обобщения леммы 65.5 и того факта, что G — вполне
характеристическая подгруппа, следует, что а ? G. Таким образом, условие 1)
влечет за собой 2).
Пусть теперь группа G удовлетворяет условию 2). Чтобы
проверить справедливость условия 3), мы можем снова рассматривать лишь
неограниченные группы Л. Для данного k положим п = rh_x — k -\- I.
Тогда ни одно из чисел rfe_2 — k + 2, r^_3 — k + 3, . . ., r0 не будет
превосходить п. Поэтому если для элемента а ? А выполнено е (а) ^ k,
h (а) > я, то А* (р1а) > п +/ > гг при i = 0, 1, . . .,& — 1 и/i* (pla) =
= оо при ? ^ &. Следовательно, Я (а) ^ (г0, г1? . . ., гп, . . .) и a ? G.
Наконец, пусть выполнено условие 3). Нам нужно доказать, что
G -f- ? = Л для базисной подгруппы 5 группы Л. Пусть а ? Л и
е (а) = k. Выберем число я, соответствующее этому /г в условии Пирса.
Из делимости группы А!В следует, что а = Ь -f рпс для некоторых
6 6 В, с ? Л. Можно предположить, что здесь b удовлетворяет условию
е Ф) < k, так как 0 = pka = /?ftb -f /?n+ftc влечет за собой pfefo =
= pn+kb' для некоторого b' ? В, и равенство а = (Ь — /?ПЬ') +
4 рп (Ьг -\- с) показывает, что элемент Ь можно заменить элементом
b — pnb' экспоненты ^k. Но тогда также е (рпс) ^ k, откуда рпс ? G
по условию 3). Это доказывает равенство G + В = А. ¦
Заметим, что условие 2) эквивалентно условию
G=[\p-n{pmA). B)
п
Чтобы выяснить значение условия Пирса, докажем
20 Гл. XI. Сепарабельные р-группы
Предложение 67.3 (Пирс [1]). Подгруппа редуцированной р-группы
А удовлетворяет условию Пирса тогда и только тогда, когда она
содержит широкую подгруппу группы А.
Опять представляет интерес только случай, когда группа А
неограниченная. В одну сторону утверждение очевидно, так что нам нужно
только доказать, что если подгруппа G удовлетворяет условию Пирса,
то она содержит широкую подгруппу группы А. По предположению
существует такая последовательность пг ^ п2 ^ . . . ^ nk ^ . . .
натуральных чисел, что из е (а) ^ k, h (а) ^ nk следует а 6 G. Так как
А — неограниченная группа, существует возрастающая
последовательность неотрицательных целых чисел r0y rl9 . . ., rk, . . .,
удовлетворяющая условию на скачки из леммы 65.3 и, кроме того, такая,
что rt ^ ni+1 -f i при i = 0, 1, . . .. Докажем индукцией по экспоненте
k элемента а 6 А (г0, гх, . . ., гп, . . .)> что А (г0у г1у . . ., гп, . . .) s G.
Если k = 0, то а = 0 6 G. Пусть k ^ 1. Так как h (рк~га) ^ rfe_x,
то для некоторого Ь ? А выполнено prk-\b = рк~га. Теперь с =
= prk-\-k+1b 6 G, так как е (с) = k и А (с) > rfe_! — fe + 1 ^ ^л-
Из того, что pk~l (а — с) = 0и
h (р1 (а — с)) > min (ги rftHL — k + I + i) = rt {i = 0, . . ., k — 2)
следует, что элемент а — с имеет экспоненту < & и содержится в
А (г0, г1У .. ., гп, . . .), так что а — с 6 G по предположению
индукции. Поэтому а ? G, что и требовалось. ш
Заслуживает упоминания следующий интересный факт,
касающийся широких подгрупп.
Предложение 67.4. Если G — широкая подгруппа р-группы Л,
то AIG — прямая сумма циклических групп.
Так как G + В = А для любой базисной подгруппы В группы Л,
то A/G 2* B/(G f)B). Пусть] В = © (bt). Заметим, что^ при ПроеКТИ-
ровании группы Л на ее прямое слагаемое (bt > подгруппа G
отображается на G П (bt >, откуда G []В = © (G П <Ь* >) [ср. лемму 9.3]. Отсюда
следует, что группа B/(G f] В) изоморфна прямой сумме групп
<&,>/(бП<М. i€/- ¦
Упражнения
1. (а) Вполне характеристические [характеристические] подгруппы
периодических групп являются прямыми суммами вполне
характеристических [характеристических] р-подгрупп.
(б) Найти вполне характеристические [характеристические]
подгруппы периодической делимой группы.
2. (а) В р-группе Л единственными сервантными вполне
характеристическими подгруппами являются 0, Л и максимальная делимая
подгруппа.
§ 67. Вполне характеристические и широкие подгруппы 21
(б) Если G — сервантная, а Л (и) — широкая подгруппа группы Л,
то
G(u) = Gn А (и).
3. Пусть Л — сепарабельная /7-группа и а ? А. Представить
минимальную вполне характеристическую подгруппу группы Л,
содержащую элемент я, в виде A).
4 (Капланский [3]). Пусть G — вполне характеристическая
подгруппа вполне транзитивной р-группы Л. Тогда справедливы
следующие утверждения:
(а) существует такое счетное подмножество X, что G —
минимальная вполне характеристическая подгруппа, содержащая Х\
(б) если существует конечное подмножество X с указанным выше
свойством, то существует и подмножество с тем же свойством,
состоящее из одного элемента.
5. (а) Привести пример, где Л (и) = Л (v), но и Ф v.
(б) Показать, что если Л (u) = A (v) и в и выполнено условие
на скачки, то u ^ v.
(в) Представить в виде A) следующие вполне характеристические
подгруппы группы Л: 0, Ла, рМст, Л [/?*], р°А [pk]y р~т (р°А [pk]),
где а — порядковое число.
6* (Меджиббен [5]). Доказать, что следующая группа не вполне
транзитивна: Л = G © Я, где G1 ^ Н1 = Z (/?), GIG1 —
периодически полная группа, а Н/Н1 — прямая сумма циклических групп.
[Указание: показать, что G1 — вполне характеристическая подгруппа
группы Л, используя для этого тот факт, что всякий гомоморфизм
GIG1-*- Н/Н1 является малым (см. § 69, упр. 6).]
7. (а) Определить число вполне характеристических подгрупп
и длину максимальной цепочки вполне характеристических подгрупп
ограниченной р-группы.
(б) Сделать то же самое для неограниченной сепарабельной
р-групиы.
8. Пусть Л — вполне транзитивная р-группа.
(а) Найти представление в виде A) объединения и пересечения
семейства вполне характеристических подгрупп Gt (i 6 /) группы Л,
представленных в виде A). [Указание: действовать покомпонентно
и постараться получить возрастающую последовательность.]
(б) Показать, что вполне характеристические подгруппы образуют
полную дистрибутивную подструктуру в структуре всех подгрупп
группы Л.
9. В неограниченной сепарабельной /7-группе вполне
характеристическая подгруппа является широкой тогда и только тогда, когда
она неограниченная.
10. Широкие подгруппы образуют подструктуру [но не всегда
полную подструктуру] структуры всех вполне характеристических
подгрупп.
22
Гл. XI. Сепарабельные р-группы
11. Показать, что широкая подгруппа G = A (r0, rl9 . . ., rn, . . .)
группы А может быть представлена в виде
g=2 рг»-м [pn+i] = 2 ргп-м [ргл+1].
п п
12 (Пирс [1]). Пусть 5 — базисная подгруппа р-группы Л,
отличная от А. Если G — вполне характеристическая подгруппа группы А
vl G -\- В = А, то G — широкая подгруппа группы А.
13 (Пирс [1]). Если а: А ->¦ С — гомоморфизм и G — широкая
подгруппа группы С, то а~Ю содержит широкую подгруппу группы А.
14 (Пирс [1]). Если G — широкая подгруппа сепарабельной
р-группы А> а В —базисная подгруппа группы Л, то G f| В— базисная
подгруппа группы G. [Указание: для доказательства сервантности
показать, что справедливо равенство В П pG = р (В fl G), и
использовать п. (г).]
15 (Пирс [1]). Широкая подгруппа широкой подгруппы группы Л
сама является широкой подгруппой группы А.
16. Гомоморфизм ф: А ->• С является малым (см. § 46) тогда и
только тогда, когда ker ер содержит широкую подгруппу группы А.
§ 68. Периодически полные группы
Если не считать прямые суммы циклических р-групп, наиболее
важным классом сепарабельных р-групп является класс так
называемых периодически полных групп. Впервые эти группы стал изучать
Куликов [2] [он называл их замкнутыми р-группами]. Эти группы
Можно легко описать с помощью инвариантов, являющихся
кардинальными числами, и они играют фундаментальную роль при изучении
р-групп, поскольку всякая сепарабельная р-группа является сервант-
ной и плотной подгруппой некоторой периодически полной р-группы.
В этом параграфе мы будем придерживаться следующих
обозначений: через Вп будем обозначать прямую сумму циклических групп
порядка рп, скажем, Вп = © Z (рп), а через В обозначим прямую
оо
сумму © Вп.
п=1
Периодически полной р-'группой называется периодическая часть
Т (В) р-адического пополнения В прямой суммы В циклических
р-групп. Группа Т (В) однозначно определяется группой 5, поэтому
ее можно обозначить через Б. Этим обозначением мы все время будем
пользоваться:
В = Т(В).
Группа, полная в своей р-адической топологии, является р-адиче-
ским пополнением любой своей базисной подгруппы, так что
периодически полная р-группа имеет вид В для любой из своих базисных
подгрупп В.
§ 68. Периодически полные группы
23
Так как В — подгруппа группы Д ВПУ то и В является подгруппой
п
этой группы. Следовательно, элементы g 6 В однозначно
записываются в виде
g = (Ь19 Ь2, . . ., Ьп, . . .)» гДе ЬЛ 6 Вп. A)
Естественно, элемент Ьп можно отождествить с бесконечным вектором
(О, . . ., О, Ьп, 0, . . .)• Порядок рт элемента g равен н. о. к. порядков
элементов Ь1У . . ., Ьп, . . .; значит, последовательность координат
элемента g 6 В является ограниченной. В силу строения групп Вп
для любой ограниченной последовательности {Ьп} [скажем, такой, что
ртЬп = 0 для всех п] мы имеем h (bn) ^ п — т. Следовательно, для
элемента g вида A) верно неравенство] h {g — b1 — . . . — 6n-i) >
^ п — m, откуда g? В. Таким образом, A) задает элемент g из В
тогда и только тогда, когда последовательность bl9 b2, • • ., bn,\ . .
ограниченная. Группу В удобно рассматривать как множество всех
ограниченных последовательностей вида A).
Все ограниченные р-группы являются примерами периодически полных
р-групп. Простейший пример неограниченной периодически полной р-группы
оо
получится, если мы возьмем В = 0 (ап), где (ап) — циклическая группа
порядка рп. Тогда элементы группы В будут иметь вид Ъ — (k^, . . ., knan> . . .),
где kn 6 Z/(pn) и существует такое число т >• 0, что pmkna^ = 0 для всех п.
Из определения можно легко вывести такие утверждения:
а) В — базисная подгруппа группы В. В самом деле, в силу
следствия 39.6 подгруппа В является базисной в В, а значит, и в Т (В),
так как Т (В) — сервантная подгруппа группы В.
б) Две периодически полные р-группы В и В' изоморфны тогда
и только тогда, когда их базисные подгруппы В и Вг изоморфны.
Необходимость этого тривиальным образом следует из а) и единственности
(с точностью до изоморфизма) базисных подгрупп.
в) В = В тогда и только тогда, когда группа В ограниченная.
Если В — ограниченная группа, то В = В и, следовательно, В = В,
а если В — неограниченная группа, то группа В содержит элементы
конечного порядка, не лежащие в В.
г) В 0 В' = В © В'. Это легко следует из определения.
Основным следствием п. (б) является то, что последовательность
mi> • • ., шд> . . . кардинальных инвариантов группы В является
в то же время полной (и независимой) системой инвариантов группы В.
Это сразу выясняет строение периодически полных /7-групп.
Выясним связь между произвольными р-группами А и
периодически полными р-группами. Пусть В = © Вп [см. введенное выше обо-
24
Гл. XI. Сепарабельные р-группы
значение] — базисная подгруппа группы Л. Следуя теореме 32.4,
напишем В* = Вп+1 © ?п+2 0 ... и положим А п = В*-{рпА. Тогда
Ап+1 s Ап для любого я, и мы получаем последовательность прямых
разложений
Л = В4е ... ®Вп®Ап (п=1,2, ...), B)
где каждое разложение получается из предыдущего путем расщепления
последнего слагаемого. Поэтому для всякого а 6 А существует такая
последовательность элементов bl9 . . ., ЬП9 ... (Ьп 6 Вп), что а =
= Ьх + • • • + Ьп + ап при некотором ап 6 ^п Для любого п. Это
порождает соответствие
ц: а*-+(Ь19 . . ., Ьп, . . .) (ЬпеВп)9 C)
оо
очевидно, являющееся гомоморфизмом группы Л в [J 5П. Ясно, что
71=1
порядок элемента а служит верхней границей для порядков элементов
Ь1У . . ., Ьп, . . .. Это означает, что т] можно рассматривать как
гомоморфизм группы А в В. Отображение т), по существу, оставляет
элементы из В на месте, так как r\bn = @, . . ., О, йп, 0, . . .). Из
сепарабельности группы В следует, что А1 ^ Кег т|. С другой стороны, если
г\а = О, то а = an 6 Лп при любом /г, откуда h (а) = h (ап) ^ п -\- \ —
— е (а) для всякого п, т. е. h(a) = ooy и а ? Л1. Следовательно,
Kerr] = Л1.
Теорема 68.1. Пусть В — базисная подгруппа р-группы Л. Тогда
отображение т), определенное с помощью формулы C), является
гомоморфным отображением группы А на сервантную подгруппу группы 5,
содержащую В) ядро отображения ц совпадает с А1.
Нужно проверить только сервантность г\А в В. Согласно п. Е) § 34,
подгруппа ч)В является базисной подгруппой группы г|Л, так что
г)А/цВ — делимая группа. Следовательно, подгруппа цА сервант-
на в В. в
Следствие 68.2 (Куликов [2]). Сепарабельная р-группа А с базисной
подгруппой В изоморфна сервантной [и плотной] подгруппе группы В,
содержащей В. ш
В силу этого результата сепарабельные р-группы могут и во многих
случаях будут отождествляться с сервантными и плотными
подгруппами периодически полных р-групп.
Прервем ненадолго изложение и докажем следующее полезное
обобщение теоремы 17.3.
Предложение 68.3. Пусть А — сепарабельная р-группа, а В —
ее базисная подгруппа. Если А/В — счетная группа, то А — прямая
сумма циклических групп.
§ 68. Периодически полные группы
25
Группу А можно считать сервантнойг подгруппой группы В. В А
существует счетное множество элементов а1у . . ., ату . . ., которое
вместе с В порождает группу А. Как и в A), мы можем написать ат =
= фтъ • • •> Ьтп, . . .), где bmn е Вп. Каждая группа Вп является
прямой суммой циклических групп порядка рп, поэтому существует
такое прямое разложение Вп = В'п ® Вп, что Ьтп ? Вп при любом
т и Вп — счетная группа. Полагая В' = © Впу получаем В =
= В'0В"иЛ=Л'е В\ где А' = (?', alf . . ., ату . . .->. Группа А'
здесь счетна и по теореме 17.3 является прямой суммой циклических
групп. |
В следующей теореме даются различные алгебраические характе-
ризации периодически полных групп.
Теорема 68.4. Для редуцированной р-группы А эквивалентны
следующие условия:
1) А — периодически полная группа]
2) А — периодическая часть алгебраически компактной группы,
3) группа А сервантно инъективна в классе р-групп, т. е. группа А
инъективна относительно всех сервантно точных
последовательностей р-групп;
4) группа А служит прямым слагаемым для всякой р-группы, в
которой она содержится в качестве сервантной подгруппы.
Доказательство будем вести по циклу. 1) влечет за собой 2), так как.
В — алгебраически компактная группа.
Пусть теперь А — периодическая часть алгебраически
компактной группы С. Тогда группа С сервантно инъективна, откуда для
любой сервантно точной строки р- групп
и любого гомоморфизма ц: G ->- С существует гомоморфизм %: Н -> С,
превращающий диаграмму в коммутативную. Так как группы G, Н
являются р-группами, гомоморфизмы т), х можно рассматривать и как
отображения в группу Л, т. е. 3) выполнено.
Если для группы А выполнено условие 3) и А — сервантная
подгруппа р-группы G, то тождественное отображение А -> А можно
представить в виде А -> G -> А, откуда следует, что А — прямое
слагаемое группы G.
Наконец, пусть группа А удовлетворяет условию 4). Если бы
выполнялось соотношение АХФ О, то группа А была бы сервантной
подгруппой, но не прямым слагаемым периодической части G своей
сервантно инъективной оболочки [по лемме 41.8 группа G/A делима,
а всякая ненулевая делимая подгруппа группы G имеет с А1
ненулевое пересечение]. Следовательно, А1 = 0, и по следствию 68.2 группа
26
Гл. XL Сепарабельные р-группы
А — сервантная подгруппа группы В, где В — базисная подгруппа
группы А. По предположению В ^ А © В/А. Второе слагаемое
должно быть нулевым, так как В — редуцированная группа, а В/А —
делимая. Следовательно, выполнено условие 1). в
Наши рассуждения о периодически полных группах существенно опирались
на теорию алгебраически компактных групп. Следует заметить, что легко дать
и независимое изложение рассматриваемых вопросов.
Можно начать с определения группы В как периодической части группы
IT Вп [заметим, что и здесь должна быть проверена независимость группы В
•от разложения В = ф Вп]. Для доказательства эквивалентности условий 1),
3) и 4) теоремы 68.4 можно провести следующее рассуждение.
Чтобы проверить, что для группы А = В выполнено условие 3),
предположим, что G — сервантная подгруппа р-группы Я и r\: G -> В — гомоморфизм.
Если еп — координатная проекция В -+• Вп, то ядро гомоморфизма епт]: G -*- Вп
содержит pnG и, таким образом, он индуцирует гомоморфизм GlpnG ->¦ Вп. По
теореме 27.10 группа GlpnG служит прямым слагаемым для HlpnG, поэтому
последний гомоморфизм можно продолжить до гомоморфизма HlpnG -> Вп. Если
предварительно применить еще каноническое отображение Я -*¦ HlpnGt то получится
продолжение %п: Я -*- Вп гомоморфизма гпг\ при любом п. Очевидно, отображение
%'• h >-* (хЛ • • •> ХтЛ . . .)
является продолжением гомоморфизма г) до гомоморфизма группы Я в В.
Доказательство импликации 3) =^> 4) проводится так же, как и выше.
Наконец, для доказательства того, что из 4) следует 1), заметим, что если
0 Ф а 6 А1 [р], то Л — сервантная подгруппа р-группы С = (А, xlt . . ., хп, . . .),
где рхг = а, рхп = Хл^ при любом п >¦ 2. Но это невозможно, так как по
предположению С = А 0 G для некоторой подгруппы G и компоненты элементов а,
xi> • • •» хп> • • • в Л должны порождать квазициклическую подгруппу группы А.
Следовательно, группа А сепарабельна, т. е. является сервантной подгруппой
периодически полной р-группы В. По предположению А выделяется в В прямым
слагаемым. Дополнительное прямое слагаемое должно равняться нулю, так как
В — редуцированная, а В/А — делимая группы. Таким образом, А = В, что
и требовалось доказать.
Очевидно, условие 4) эквивалентно такому условию:
Pext (X, А) = 0 для любой /?-группы X.
В частности, мы имеем Pext (Z (р°°), А) = 0. Для любой /7-группы X
существует сервантно точная последовательность 0 —>• С —>* X ->
—>• © Z (р°°) -> 0, где С — прямая сумма циклических групп, поэтому
по теореме 53.7 получаем точную последовательность
Pext (© Z (р°°), А) ^ П Pext (z (Р°°)> -4) -* Pexte(X, Л) -^ Pext (С, Л) == 0.
Этим доказано
Следствие 68.5. Редуцированная р-группа А является периодически
полной тогда и только тогда, когда
Pext (Z (/?~), Л) - 0. в
Из следствия 38.3 и теоремы 68.4 непосредственно получается
§ 68. Периодически полные группы
27
Следствие 68.6. Периодическая часть А прямого произведения
1\ A i р-групп A t является периодически полной группой тогда и только
тогда, когда все группы Аг периодически полные. в
Частичным аналогом следствия 39.2 служит такой результат:
Следствие 68.7 (Ирвин и О'Нейл [1]). Если G— подгруппа
периодически полной р-группы А и если AIG — редуцированная группа, то
подгруппа G сама является периодически полной.
Из точности последовательности 0 ->• G ->• А ->• AIG ->• 0 вытекает
точность последовательности
Нот (Z (р°°), AIG) -+ Ext (Z (р~), G) ->¦ Ext (Z (/?°°), А).
Если AIG — редуцированная группа, то первый член этой
последовательности — нулевая группа, и Ext (Z (/?°°), G) можно
рассматривать как подгруппу группы Ext (Z (р°°), А). Если первая ульмовская
подгруппа этой последней группы является нулевой, то то же верно
для исходной группы, т. е. из Pext (Z (р°°), А) = О вытекает
Pext (Z (р°°), G) = 0. ш
Замечание. Читателю, возможно, интересно будет узнать, что
периодически полные р-группы можно также охарактеризовать как р-группы Л,
удовлетворяющие условию
Pext (В, Л) = 0
для любой периодически полной р-группы В [см. Гриффит [9]]. Достаточно
проверить, что если группа Л удовлетворяет этому условию, то обязательно
Pext (Z(p°°), Л) = 0.
Предположим, напротив, что Pext (Z (р°°), А) Ф 0. Выберем такое
кардинальное число п, что | Л|<п и nNo = 2n( = m); такое п существует: например, можно
взягь п = | Л | + 2,А' + 22'А' + .... Пусть В — периодически полная р-группа
оо
с базисной подгруппой В = ф ф Z(p*). Из сервантно точной последовательности
_ _ п 1=гЛ
0 ->- В -+ В ->- В/В ->- 0 получаем точную последовательность
Нот (В, А) -*¦ Pext (В/В, А) -> Pext (В, Л) =0.
Здесь
оо
|Нот(?, Л)| = [] J] |Л[р*]|<|Л|п = 2п,
п *=1
в то время как В/В = ф Z (р°°) дает
m
| Pext (В/В, Л) | = [J | pext (Z (р~), Л) | > 2m.
m
Из последней точной последовательности имеем 2П > 2 , а это противоречит тому,
что m = 2n<2m.
Наконец, докажем следующий результат.
28
Гл. XI. Сепарабельные р-группы
Предложение 68.8. Если G — сервантная подгруппа периодически
полной р-группы Л, то AIG — прямая сумма делимой группы и
периодически полной группы.
Из теоремы 53.7 следует, поскольку 0-> G-> Л ->• AIG ->• 0 —
сервантно точная последовательность, что Pext (Z (р°°), Л)-^
-> Pext (Z (р°°), AIG) — эпиморфизм. По следствию 68.5 первая из
этих групп нулевая, и утверждение доказано. в
Отсюда, в частности, следует, что замыкание G~ сервантной
подгруппы G периодически полной р-группы А удовлетворяет
следующему условию: G~IG — делимая группа, следовательно, подгруппа G"
также сервантна [ср. квазиполные группы, § 74]. Очевидно, группа
AIG" периодически полная, поэтому по следствию 68.7 подгруппа G^
также периодически полная. В силу ее сервантности получаем
Следствие 68.9. В периодически полной р-группе замыкание
сервантной подгруппы выделяется прямым слагаемым. а
Упражнения
1. Пусть В— прямая сумма циклических /?-групп. Доказать, что
тогда группа В/В [р] изоморфна периодически полной группе с
базисной подгруппой BIB [р].
2 (Фукс [3]). (а) Пусть А — сепарабельная /7-группа, а В —
некоторая ее верхняя базисная подгруппа. Если В Ф Л, то | Л IB | >
^ кх и существует разложение Л = А' ф Л", где А' — прямая сумма
циклических групп и | А" | = | А/В |. [Указание: провести
рассуждение, как при доказательстве предложения 68.3.]
(б) Всякую сепарабельную /?-группу Л можно представить в виде
Л = Л' © Л", где А' — прямая сумма циклических групп, а в группе
А" всякая базисная подгруппа одновременно является и верхней,
и нижней.
3. Используя обозначения из основного текста, показать, что
{] BJB — алгебраически компактная группа без кручения, не
являющаяся делимой, если она отлична от 0.
4. Элемент g = (&lf . . ., bn, . . .) 6 В экспоненты е (g) = п
порождает прямое слагаемое группы В в точности тогда, когда е (Ьп) = п.
5 (Лептин [1]). Пусть Л — сепарабельная /^-группа и а —
= (&!, . . ., Ъп> . . .) 6 Л, где ЬпеВп, © Вп = В — базисная
подгруппа группы Л. Тогда максимальное число п, для которого h (bn) =
= h (а), не зависит от выбора базисной подгруппы В; это число —
инвариант элемента а в группе Л.
6 (Лептин [1]). (а) Пусть М U М' = N U N' — разбиения
множества натуральных чисел [на непересекающиеся подмножества]. Для
подмножества X множества целых чисел пусть Вх = © Z (рп).
Доказать, что группы
Ам = вм®Вм> и AN = BN ® BN>
§ 68. Периодически полные группы
29
изоморфны тогда и только тогда, когда М и N отличаются друг от
друга лишь на конечные подмножества. [Указание: если это не так,
записать Л = BL ф С ^ BL ф С для бесконечного множества L
и показать, что ограничение проекции Л -> ?ь на ?ь является
мономорфизмом.]
(б) Используя п. (а), построить континуум неизоморфных групп
оо
с базисной подгруппой ф Z (рп), каждая из которых является прямой
суммой циклических групп и периодически полной группы.
7. Доказать, что для Неограниченной группы В справедливо
равенство
]в\ = \в\*°.
[Указание: нетривиальную часть теоретико-множественных
рассуждений см. в примере 2 из § 75.]
8. (а) Широкие подгруппы периодически полных /7-групп
являются периодически полными. [Указание: см. предложение 67.4 и
следствие 68.7.]
(б) Если С — периодически полная подгруппа р-группы А и А/С —
ограниченная группа, то Л — периодически полная группа.
9. Назовем периодическую группу А периодически полной, если
все ее /7-компоненты — периодически полные группы.
(а) Доказать теорему 68.4 для редуцированных" периодических
групп Л, заменив в условиях 3) и 4) слова «р-группы»словами
«периодические группы».
(б) Отбросить условие редуцированности и доказать то же
утверждение, что и в п. (а), заменив условие 1) таким условием: Г) группа Л
является прямой суммой делимой группы и периодически полной
группы.
10. Доказать, что периодическая группа Л является прямой
суммой делимой группы и периодически полной группы тогда и только
тогда, когда Pext (Q/Z, А) = 0.
11. (а) Ядра эндоморфизмов периодически полных групп сами
являются периодически полными группами.
(б) Привести пример, показывающий, что эндоморфный образ
периодически полной р-группы может не быть периодически полной
группой. [Указание: теорема 36.1.]
12. Периодическая часть обратного предела периодически полных
/?-групп также является периодически полной группой. [Указание:
теорема 68.4, теорема 12.3 и предложение 39.4.]
13. В обозначениях, использовавшихся в тексте, справедливо
равенство
В = Ext (Q/Z, В).
[Указание; § 54, п. 3).]
30
Гл. XI. Сепарабельные р-группы
14. Пусть Т — сепарабельная /^-группа с базисной подгруппой Вг
и пусть факторгруппа BIT имеет конечный ранг г. Показать, что
Pext(Z(p°°),T)=®Jp.
г
[Указание: предложение 56.5.]
15. Если Т — группа из упр. 14 и 5 — сепарабельная /7-группа,
содержащая Т в качестве такой сервантной и плотной подгруппы, что
г (S/T) = г, то S ?ё В. [Указание: использовать следствие 68.5 и тот
факт, что группа Pext (Z (/?°°), S) или нулевая, или бесконечная.]
§ 69. Дальнейшая характеризация периодически
полных /?-групп
В предыдущем параграфе периодически полные /^-группы были
разными способами охарактеризованы с помощью алгебраических
свойств, касающихся также других групп. Здесь нашей основной
целью будет получить для них внутреннюю алгебраическую харак-
теризацию.
Нашей отправной точкой служит такой результат.
Теорема 69.1 (Лептин [1]). Две сервантные и плотные подгруппы А,
А' периодически полной р-группы В изоморфны тогда и только тогда,
когда существует автоморфизм группы В, отображающий одну из этих
подгрупп на другую. Более того, всякий изоморфизм между А и А'
единственным образом продолжается до автоморфизма группы В.
Достаточно доказать, что если а — изоморфизм^ между А и А',
то существует единственный автоморфизм а группы В, индуцирующий
а. Если рассматривать а как гомоморфизм группы Л в В, то из
наличия сервантно точной последовательности 0 -> А ->¦ В ->• В/А ->• 0
будет в силу теоремы 68.4, п. 3), следовать, что существует такой
гомоморфизм а: В~>В, что а | А = а. Аналогично, существует такой
гомоморфизм р: В->5, что Р \ А' = а. Теперь отображения ра
иа| — эндоморфизмы группы В, причем первый из них является
тождественным на Л, а второй — тождественным на Л'. Следовательно,
оба эти эндоморфизма являются тождественными на базисных
подгруппах групп Л и Л' соответственно. Из наших предположений следует, что
эти базисные подгруппы служат в то же время базисными подгруппами
группы В. Поэтому по предложению 34.1 имеем ра = 1в = а|3,
т. е. а — автоморфизм группы В. Единственность автоморфизма а
также является следствием предложения 34.1, так как любые два
продолжения изоморфизма а индуцируют одно и то же отображение
на базисной подгруппе группы В. в
§ 69. Дальнейшая характеризация периодически полных р-групп 31
Этот результат имеет важное следствие: вопрос об изоморфизме
сепарабельных р-групп эквивалентен проблеме существования
определенных автоморфизмов периодически полных р-групп. К сожалению,
эта последняя проблема, видимо, так же трудно решается, как и первая»
Другим следствием теоремы 69.1 является то, что изоморфизм между
двумя базисными подгруппами группы В может быть единственным
образом продолжен до автоморфизма группы В. В частности^, это также
показывает, что периодически полная группа имеет вид В для любой
своей базисной подгруппы В.
Выделенное курсивом замечание позволяет дать новую характе-
ризацию периодически полных групп.
Теорема 69.2 (Лептин [1], Энокс [2]). Редуцированная р-группа А
является периодически полной тогда и только тогда, когда всякий
изоморфизм между ее базисными подгруппами продолжается до
автоморфизма самой группы А.
Чтобы доказать достаточность, предположим, что группа А
обладает указанным свойством. Если она ограниченная, то имеет только
одну базисную подгруппу [ср. следствие 35.4], и доказывать нечего.
Предположим, что группа А неограниченна, и пусть В — ее базисная
подгруппа. Тогда ВфВ. Пусть х15. . ., хп 6 В \ В. В силу делимости
группы В/В существует такая сервантная подгруппа В' группы В,
содержащая В и х1у . . ., хПУ что В'IB — конечная прямая сумма групп
Z (р°°). По предложению 68.3 подгруппа В'- тоже является прямой
суммой циклических групп и, таким образом, также служит базисной
подгруппой для группы В. В силу теоремы 69.1 существует
автоморфизма группы В, отображающий В' на В. Очевидно, аВ — тоже
базисная подгруппа группы В и аВ ^ В. Следовательно, аВ также является
базисной подгруппой группы А. По предположению существует
автоморфизм р группы Л, для которого р | В = а \ В.
Определим теперь следующим образом отображение ср: В-+А.
Пусть ф переводит каждый элемент Ъ ? В в себя. Если х ? В, то пусть
он равняется элементу xt некоторого конечного множества х19 . . ., хп
(см. предыдущий абзац). Положим тогда щ = щг = Р-*1^. Это
определение корректно: если В" — базисная подгруппа группы В,
содержащая В', и а' — автоморфизм группы В, отображающий В"
на В, а р' — автоморфизм группы Л, для которого Р' | В = а' | В,
то ос'а^В = а'В' s= а'В" = В, а р'р совпадает с a'cx на аВ = рВ,
а значит, и на В. Отсюда Р'р (ахь) = а'хи т. е. Р^ = jj'j^a'jt^
Таким образом, ср — корректно определенный гомоморфизм В-+А.
Если х 6 Кег ф, то Р^а* = 0, ах = 0 и х = 0. Следовательно, ф —
мономорфизм.
Мы получили, что фВ — подгруппа группы А и фВ = В. Это
означает, что подгруппа фВ сервантна в Л, и из теоремы 68.4, п. 4), следует,
32
Гл. XL Сепарабельные р-группы
что Ц)В — прямое слагаемое группы А. Но А — редуцированная
группа, а группа Л/фВ делимая, поэтому фВ = А. Этим доказано,
что ф — изоморфизм, и группа А периодически полная. в
Если мы ограничимся рассмотрением сепарабельных р-групп,
то последнюю теорему можно усилить.
Теорема 69.3 (Лептин [3]). Пусть А — сепарабельная р-группа
и В — такая ее базисная подгруппа, что каждый автоморфизм группы
В продолжается до автоморфизма группы А. Тогда или А = В, или
А=В.
Группу А можно считать вложенной в В в качестве сервантной
подгруппы, содержащей В. Если А Ф В, то В — неограниченная
группа. Пусть В=@В'п, где В'пФО — прямая сумма некоторого мно-
п
жества групп Z(pin), /t< ... <in < ... . В каждой группе В'п
выберем прямое слагаемое (Ьп) и положим
дгл = @, ...,0,р**-1&п, p^-^n+i, ...)€5\Я.
Элемент хп имеет порядок р и высоту in — 1. Если элемент у?В\В
имеет порядок р, то он имеет высоту in— 1 при некотором л и, таким
образом, имеет вид
у=@, ...,0, р^-1^, p^i-1^, ...),
где ст?В'т и бесконечное число координат отлично от нуля. Пусть
ненулевые координаты элемента у —это
р^-^п, р^-1^, р*пз~Ч3, ....
Заметим, что (сп.) является прямым слагаемым группы В'П:, а значит
и группы В'п.® ... © Вп. -1. В этой последней элемент
с;.=ц+рЬ+1~Ч-ц+1 +... +рЧ-+1-1-Ч-ц+1_1
также порождает прямое слагаемое того же порядка. Поэтому
существует автоморфизм а группы В, переводящий элемент сп. в с'п. при
любом /. В силу теоремы 69.2 автоморфизм а можно продолжить до
автоморфизма а группы В. Из представления элементов в виде
векторов сразу получается, что ау = хп.
Если группа А обладает свойством, указанным в формулировке
теоремы, то существует такой автоморфизм ф этой группы, что ф | В ==
= а. Автоморфизм ср можно продолжить до автоморфизма группы В.
Из единственности этого продолжения следует, что а \ А = ф, т. е.
что группа А переводится автоморфизмом а в себя. Автоморфизм,
обратный автоморфизму а, также отображает группу А_ъ себя, поэтому
получается, что для любых двух элементов у и у' из В \ В, имеющих
§ 69. Дальнейшая характеризация периодически полных р-групп 33
порядок р и одинаковую высоту, существует такой автоморфизм р
группы В, что РЛ = Л и р# = у'.
Пусть теперь элемент а 6 А \ В имеет порядок р. Легко видеть,
что при любом п смежный класс а + В содержит элемент ап порядка р
и высоты in — 1. Если дан элемент у ?В\В порядка /?, то его высота
равна in — 1 при некотором п. Следовательно, как показано в
предыдущем абзаце, существует такой автоморфизм Р группы В, что РЛ = А
и $ап = у. Отсюда у 6 А и, таким образом, группа А содержит цоколь
группы В. В силу сервантности подгруппы А вВ получаем А = В. ш
Упражнения
1. Показать, что всякий автоморфизм цоколя группы В,
сохраняющий высоты элементов, можно продолжить до автоморфизма группы В.
2 (Энокс [3]). Если А — такая редуцированная /^-группа, что
всякий автоморфизм подгруппы А1 продолжается до автоморфизма группы
Л, то Л1 = 0.
3 (Лептин [3]). Редуцированная р-группа Л является периодически
полной, если всякий изоморфизм между некоторой фиксированной
базисной подгруппой В группы Л и любой базисной подгруппой группы
В индуцируется автоморфизмом группы Л.
4 (Мадер [6]). (а) Пусть В — прямая сумма циклических р-трупп
и В — ее р-адическое пополнение. Две сервантные вполне
характеристические подгруппы группы 5, содержащие подгруппу 5, изоморфны
тогда и только тогда, когда они совпадают.'
(б) Пусть Л — произвольная группа, в которой /?M =0 и все
/^-базисные подгруппы В являются ^-группами [р — фиксированное
простое число]. Группа Л тогда и только тогда обладает тем свойством,
что всякий изоморфизм между ее р-базисными подгруппами
индуцируется некоторым автоморфизмом самой группы Л, когда Л изоморфна
некоторой р-сервантной вполне характеристической подгруппе,
лежащей между В к В.
5. Пусть В — периодически полная /?-группа с базисной подгруппой
В = © Вп (каноническая форма). Пусть {сг}^1 — базис группы В,
и пусть i\Ci = (bilf . . ., bin, • • •)» гДе b^ 6 Вп, при некотором
гомоморфизме т): В -> В, Для элемента b = (bl9 . . .9 bn, . . .) ? В опреде-
лим формально r\b = 2 Л^п» гДе элементы bn заменены соответствую-
п=1
щими линейными комбинациями элементов ct. Показать, что
бесконечная сумма имеет смысл, и определить продолжение гомоморфизма г\
до эндоморфизма группы В. [Указание: k-e координаты почти всех
элементов цЬп для каждого k равны нулю.]
6 (Меджиббен [5]). Пусть Л — неограниченная периодически
полная р-группа, а С — произвольная сепарабельная р-группа.
Гомоморфизм группы Л в группу С, не являющийся малым, существует
34
Гл. XI. Сепарабельные р-группы
тогда и только тогда, когда группа С содержит неограниченную
периодически полную р-подгруппу. [Указание: выделить в образе
гомоморфизма, не являющегося малым, неограниченную периодически полную
группу.]
7 (Ричмен [1]). р-группа Т называется тонкой, если всякий
гомоморфизм периодически полной р-группы в группу Т является малым
[ср. определение узкой группы в § 94]. Показать, что
(а) класс тонких групп замкнут относительно подгрупп, прямых
сумм и расширений;
(б) все счетные редуцированные р-группы являются тонкими;
(в) всякий гомоморфизм В—>5 является малым.
§ 70. Топологическая полнота периодически полных
групп
8 сепарабельной р-группе А можно ввести различные топологии,
которые получаются из стандартной р-адической топологии группы А
и особенно интересны с точки зрения теории периодически полных
р-групп.
Отправной точкой для нас будет служить р-адическая топология
сепарабельной р-группы Л, которую мы обозначим через тА [или
просто т]. Для каждого k подгруппа A [pk] обладает топологией,
индуцированной топологией тА, где
рпА П A [pk] = рпА [pk] (п = 0, 1, 2, . . .)
— подбазис окрестностей нуля. Это индуцирует топологию х(а на
группе Ау которая, таким образом, тоже является линейной топологией
с подгруппами рпА \pk] (п = 0, 1, 2, . . .) в качестве подбазиса.
Наконец, введем топологию
k
т. е. такую топологию, что тА-открытые множества — это в точности
те множества, которые являются тА}-открытыми при любом k.
Заметим, что
тА<тА< . .. <т<*>< . .. <тО). A)
Легко доказать, что тА — также линейная топология.
Топологическая группа (Л, тА) является индуктивным [т. е. прямым] пределом
топологических групп A [ph], снабженных топологиями,
индуцированными топологией тА. Поэтому тА можно назвать индуктивной
р-адической топологией группы А. В предложении 70.1 эта топология
описывается более подробно.
Нам окажутся полезными следующие замечания:
а) Если А — ограниченная группа, то все топологии в
последовательности A) дискретны и потому совпадают. Но если группа А неогра-
§ 70. Топологическая полнота периодически полных групп 35
ничейная, то все топологии т % %а (k= 1,2 . . .) различны. [Из
дальнейших рассуждений будет следовать, что та и т% также различны.]
б) Широкие подгруппы группы А замкнуты в каждой из топологий
последовательности A). Это сразу следует из формулы B) § 67, где
подгруппы р~п (рГпА) [содержащие открытые подгруппы ргпА]
являются открытыми.
в) Если С — сервантная подгруппа группы Л, то, как известно,
р-адическая топология %с на ней совпадает с топологией,
индуцированной тА. Очевидно, то же верно для тс° и %{а при любом k, поэтому
для сервантной подгруппы С группы А топология %с совпадает с
топологией, индуцированной топологией х\.
Опишем теперь подгруппы, открытые в топологии %\.
Предложение 70.1 (Шарль). Подгруппа G группы А является
открытой в индуктивной р-адической топологии группы А тогда и только
тогда, когда она содержит широкую подгруппу группы А, т. е.
удовлетворяет условию Пирса.
Если подгруппа G удовлетворяет условию Пирса, то для данного k
выберем соответствующее ему п. Тогда рпА [pk] ^ G, и G — открытая
подгруппа в топологии Та}. Это верно для любого k, поэтому подгруппа
G является открытой в топологии %% Обратно, если G — подгруппа,
открытая в топологии та, то она является открытой в каждой из
топологий %а\ и для любого k существует такое п, что рпА [pk] ^ G.
Но это условие Пирса. в
Следовательно, индуктивная р-адическая топология является
D-топологией [см. § 7], где дуальный идеал D представляет собой множество
всех подгрупп группы А, удовлетворяющих условию Пирса. В
неограниченной группе А имеется континуум широких подгрупп, и нетрудно
показать, что топология х*А может не удовлетворять второй аксиоме
счетности. Однако, верно следующее утверждение:
Лемма 70.2 (Катлер и Стринголл [11). Для всякой сети Коши
{cti}j?i в индуктивной р-адической топологии группы А существует
такое т, что сеть {/Лз^}^/ сходится к нулю.
Можно предполагать, что множество индексов / частично
упорядочено так, что i ^ у в множестве /, если Gt ^ Gjy где Gb G;- —
широкие подгруппы группы А. Учитывая рассмотрения § 13, мы можем
ограничиться чистыми сетями Коши, т. е. такими сетями Коши, что
а} — aj 6 Gt при любых / ^ i.
Во-первых, заметим, что при / ^ i смежные классы at -f Gt и
aj -\- Gt совпадают.
Предположим, что наше утверждение не выполнено, т. е. что
существует строго возрастающая последовательность целых чисел пх <
36
Гл. XI. Сепарабельныв р-группы
< п2 < . . . и последовательность ix < i2 < . . . индексов из /, для
которых экспонента элемента a,-|-Gife равна % при любом j^iu
{k=\,2, . ..)• Без ограничения общности можно предполагать, что
числа пк удовлетворяют неравенствам nk+i>nk + k. Очевидно, что
смежные классы p"h~{aj + Gik при всех j^ik совпадают, а так как
группа A/Gik не содержит элементов бесконечной высоты [см.
предложение 67.4], то существует конечная верхняя граница hk высот
п -1
Л(р k а^, j^ik- Возьмем теперь широкую подгруппу G = A(r0, ги ...
-..,/*, ...) группы Л, где rh>hk+i при любом k. Эта подгруппа G
снабжена некоторым индексом из /, скажем G = Gio. Существует
такое целое число /г, что pnaj?Gio при всех j^i0. Выберем такое k,
что nk~^>n. Возьмем /?/, для которого выполнены неравенства 7>/0
u j^ik+i. По определению подгруппы Gio из включения pnhaj^Gi0
следует, что высота элемента
рпк+1-1ц = рп1+1-пк-*(рпкаА
больше или равна rnk+i-nk-i^:rk >hh+u что противоречит
определению числа hh+i. Это доказывает, что {pmai}i^I есть 0-сеть при
некотором т. а
Из этой леммы следует, что можно рассматривать только
ограниченные сети Коши {cLi}i?i в топологии та, т. е. сети Коши> для
которых pmat = 0 при некотором т и всех i. В самом деле, если {а^щ —
произвольная чистая сеть Коши в топологии х\ группы Л, то по
лемме 70.2 для некоторого т при любом i имеет место включение
pmai^Gi. Если Gt — широкая подгруппа, то pmGt также является
широкой. Пусть pmGi = Gi(rn), i (т) > i. Теперь at — ai(m) 6 Gb
откуда ртаь — pmaHm) g Gi(m) и, таким образом, pmat ? GHm) = pmGiy
т. е. pmat = pmgi для некоторого gidGt. Сеть {at—gi}t?i снова
является чистой сетью Коши в топологии тА, причем эта сеть
ограничена числом рт и отличается от данной сети {at} на 0-сеть {gt}i?i.
Поэтому мы можем и будем теперь рассматривать лишь ограниченные
сети Коши в топологии %% Более того, возможно еще следующее
упрощение. Ограниченной сети Коши {at-}^/ в топологии тА можно
следующим образом поставить в соответствие ограниченную сеть Коши
в топологии тА. Выберем среди групп Gt группы вида рпА\ пусть,
например, рпА = Gt (п = 0, 1, . . .). Затем введем соответствие
•ф: {я Jiei *-* {«гп}п=о, 1, ... •
Другими словами, мы оставим в точности те at, которые соответствуют
подгруппам рпА. Если дана произвольная ограниченная сеть Коши
{а^} в топологии тА, например, такая, что ршап = 0 при всех /г, то
существует сеть Коши {аг}, отображающаяся при г|> на нее: для i 6 /
выбираем наименьшее целое число rit при котором pr'iA [рт]^ Giy
и полагаем at = а'г.. Легко видеть, что {at}—действительно сеть
§ 70. Топологическая полнота периодически полных групп 37
Коши. С другой стороны, если {at } есть 0-последовательность, т. е.
at 6 рпА ПРИ любом /г, то для каждого заданного индекса i ? / и
целого числа п существует такой индекс у 6 Л что у > i и у > tn, а из того,
что заданная сеть есть сеть Коши, следует, что а7- ? рпА и at — a, g G;.
Значит, элемент af -f Gi имеет в группе Л/G* высоту ^ я, а так как
группа A/Gt сепарабельна, то аь 6 Giy т. е. {a,}, е 7 есть 0-сеть. Таким
образом, я|) отображает на О-последовательности только 0-сети. Мы
получаем
Предложение 70.3. Если А — сепарабельная р-группау то
существует естественный изоморфизм [индуцированный отображением г|)
между факторгруппой группы всех ограниченных сетей Коши по
подгруппе ограниченных 0-сетей в топологии х\ и факторгруппой группы
всех ограниченных последовательностей Коши по подгруппе
ограниченных ^-последовательностей в топологии хА. ш
В силу предыдущих рассмотрений ясно, что полноту в топологии
тА можно исследовать с помощью ограниченных последовательностей
Коши в топологии тА.
Непосредственно видно, что ограниченная последовательность Коши
в топологии тА является последовательностью Коши в некоторой
топологии тл™; легко доказать и обратное. Точно так же
последовательность Коши в топологии та1) является последовательностью Коши
в топологии т(а+1)\ но утверждение, обратное этому, уже места не
имеет. Однако справедлива
Лемма 70.4. Пусть т — натуральное число. Сепарабельная р-груп-
па А полна в топологии тлг+1) тогда и только тогда, когда она полна
в топологии тл".
Пусть группа А полна в топологии тАп+1), и пусть {ап} —
последовательность Коши в топологии та". Тогда эта последовательность
является последовательностью Коши и в топологии та1*1*. Поэтому
в топологии ТаПЬ1) она сходится к некоторому элементу а. Для
достаточно большого п при любом k ^ 1 справедливо равенство рт ап =
= pman+k. Если дано целое число s, то при достаточно больших k
имеем а — an+k ? psA lpm+1]. Следовательно, высота элемента рта —
— ртап в группе А бесконечна, откуда следует, что рт (а — an+k) = О
для любого k ^ 0. Это означает, что элемент а — предел
последовательности {ап} также и в топологии та".
Обратно, пусть группа А полна в топологии та", и пусть {ап} —
чистая последовательность Коши в топологии т(а1+1). Тогда {рап} —
чистая последовательность Коши в топологии та", имеющая в этой
топологии предел а. Так как подгруппа рА замкнута в топологии т{а\
то а ? рА, т. е. а = pb для некоторого b 6 А. Следовательно,
существует такой элемент сп ? Ау что рап — рЬ = рп+1сПУ рт+п+1сп = 0.
Последовательность {ап — Ъ — рпсп} является последовательностью
Коши в топологии та"' и даже в топологии та", так как порядок
ее членов не превосходит р ^ рт. Значит, эта последовательность
38
Гл. XI. Сепарабельные р-группы
имеет предел ft' ? Л, т. е. ап — b — b' — рпсп = рпс'п для некоторого
с'п 6 Л, где рп+тСп = 0. Отсюда
ап-Ь-Ь'ерпА[рт+%
и b 4- b' — предел последовательности {ап} в топологии тлг+1). ¦
Рассуждение, сходное с примененным во второй части
предыдущего доказательства, показывает, что справедлива
Лемма 70.5 (Энокс [2]). В сепарабельной р-группе А для любого
натурального числа т подгруппы А [рт] и A [pm+l] являются или не
являются полными в топологиях, индуцированных топологией хА
[топологией х\], одновременно. в
Сравнение полноты в различных рассмотренных до сих пор
топологиях дает следующий результат.
Теорема 70.6. В сепарабельной р-группе А эквивалентны следующие
условия:
1) всякая ограниченная последовательность Коти в р-адической
топологии тА имеет предел в группе Л;
2) группа А полна в индуктивной р-адической топологии хА\
3) группа А полна в топологии х*™' для некоторого [а тогда и для
любого] т\
4) подгруппа А \рт\ полна в топологии хА для некоторого [а тогда
и для любого] т.
Условия 1) и 2) эквивалентны в силу предложения 70.3. Условие
1) имеет место в точности тогда, когда при любом т справедливо
условие 3), а это равносильно тому, что условие 3) выполняется при
некотором т, как показывает лемма 70.4. В силу леммы 70.5 то же
относится к условию 4). в
Покажем, что группы, о которых идет речь в теореме 70.6, нам
давно уже знакомы.
Теорема 70.7 (Куликов [2]). Пусть А — сепарабельная р-группа.
В группе А всякая ограниченная последовательность Коши в
р-адической топологии сходится тогда и только тогда, когда А —
периодически полная группа.
Пусть ?=©В„, где Вп = 0Z (р7% — базисная подгруппа гр\п-
п
пы Л. Тогда группу Л можно считать сервантной подгруппой группы В,
содержащей В, т. е. каждый элемент а?А можно отождествить
с вектором a = (&i, Ьг, . ..,671, . ..)?В, где Ьп?Вп и ртЬп=0 для
любого я, если о(а) = рт.
Предположим теперь, что А = В, и пусть
ак = Фьи • • •> Ькп, . . .), /г= 1, 2, . ..,
§ 70. Топологическая полнота периодически полных грипп 39
— ограниченная последовательность Коши в группе В, где bkn^Bn.
Предполагая, что эта последовательность чиста, получаем
ak+i — ak = (bk+l,i — bki, ...,bk+itn — bhn, ...)^phB для всех k, />1,
откуда bk+i< i = 6fti, . . ., bh+iyh = bkk. Это показывает, что первые k
координат у элементов ah, ak+i, . . . совпадают и, кроме того,
bk+i>n — bkn?phBn для любого п. Пусть а —«диагональный» элемент,
а = (Ьп, ьгг, ..., ьпп, ...);
в силу ограниченности порядков элементов ak он принадлежит В.
Так как элемент a — ah = @, . .., 0, bh+i>k+i — Ь^+i, bk+2,k+2 —
— bh,k+2, ...)' очевидно, принадлежит подгруппе pftfi, то а —предел
заданной последовательности Коши.
Предположим теперь, что всякая ограниченная последовательность
Коши в группе Л сходится, и пусть с = (Ь1? Ь2, . . ., ЬПУ . . .) ? В. Если
/?wc --= 0, то Л (fcn) ^ п — т для любого п ^ т. Следовательно,
a/t = Ьх + . . . -\- bm+h-i (k = 1, 2, . . .) есть [чистая] ограниченная
последовательность Коши в группе Л. Если а? Л —ее предел, то
в группе В и а, и с — пределы этой последовательности, откуда с =
- а е А и А —В. в
Полученные результаты позволяют придать теореме о вложении
68.2 топологический смысл.
Пусть В — прямая сумма циклических р-групп, снабженная
индуктивной топологией х%- Можно взять пополнение группы В в этой
топологии. В силу предложения 70.3 это пополнение состоит из
пределов всех ограниченных последовательностей Коши в топологии тл,
рассматриваемых по модулю О-последовательностей. Следовательно,
как показывает теорема 70.7, пополнением группы В служит и
периодически полная группа В. Кроме того, получается, что тождественное
отображение группы В на себя продолжается до изоморфизма между
этим пополнением и группой В [это топологический изоморфизм, если
группа В снабжена топологией т|]. Следовательно, мы вправе
называть группу В периодическим пополнением группы В.
Естественно, можно начать с произвольной сепарабельной р-группы
А и образовать ее пополнение А в топологии та. Так как всякая
базисная подгруппа В группы А с введенной на ней топологией %% является
плотным тл-подпространством в Л, то ясно, что вложение В —>- А
продолжается до изоморфизма В—^Л. Поэтому справедливо
Предложение 70.8. Если А — сепарабельная р-группа и В — ее
базисная подгруппа, то %\-пополнение А группы А изоморфно В. и
40
Гл. XI. Сепарабельные р-группы
Упражнения
1. Топологии %(а (k = 1, 2, . . .) и та в категории сепарабельных
р-групп являются функторными [т. е. всякий групповой гомоморфизм
в этой категории непрерывен].
2. Подгруппа С группы А замкнута в топологии т! тогда и только
тогда, когда подгруппа С [ph] замкнута в A [рк] в топологии тА для
любого k.
3. (а) Неограниченная сепарабельная р-группа А содержит такие
собственные подгруппы С, открытые в топологии т1, что А 1С —
делимые группы.
(б) Базисные подгруппы группы А плотны в топологии тА-
4 (Шарль). Пусть А и С — сепарабельные р-группы, снабженные
индуктивной р-адической топологией и дискретной топологией
соответственно. Показать, что гомоморфизм ср: А -*• С непрерывен тогда
и только тогда, когда он является малым.
5. Пусть А — сепарабельная р-группа и х'а — топология на
группе Л, более грубая, чем тА. Если всякая ограниченная тл-последова-
тельность Коши имеет т а-предел в группе А, то группа А
периодически полная. [Указание: использовать замечание в § 39.]
6. Замкнутая подгруппа периодически полной р-группы сама
является периодически полной (в своей топологии!). [Указание: см.
упр. 5.]
7. Доказать, что в неограниченной р-группе А топология х\
не удовлетворяет аксиомам счетности. [Указание: использовать идею
доказательства леммы 70.2.]
8. Показать, что в периодически полной р-группе бесконечный
ряд ах -{-•••+ а>п + • • •» гДе рто<п = 0 Для некоторого т и любого
п, сходится тогда и только тогда, когда последовательность {ап}
стремится к 0.
9. Если 0-^G-^ А — сервантно точная последовательность
сепарабельных р-групп, то индуцированная последовательность 0 —>- G ->- А
пополнений в топологии т* точна и расщепляется.
10. Неограниченная сепарабельная р-группа может быть полной
в бесконечном числе различных линейных топологий.
§ 71. Прямые разложения периодически полных групп
Начнем со следующего технического результата.
Лемма 71.1 (Хилл [10]). Пусть А — периодически полная р-группа
а ф — гомоморфизм группы А [р] в прямую сумму С = © Ct
сепарабельных р-групп Ct. Если при гомоморфизме ср высоты элементов
не уменьшаются, то существует такое целое число т и такое конечное
подмножество Cf , . . ., Cik множества групп Ciy что
y(pmA[p])<=Cu®...®Cik.
§ 71. Прямые разложения периодически полных групп 41
Если это не так, то можно найти такую строго возрастающую
последовательность т1 <С т2 <С . . . целых чисел и такую
последовательность элементов аи 6 ртъА [р], что выполняются соотношения
pm*C П (я^, .. ., я?фаЛ_1, i 6 /> = О
и
Ч>ацйСц® .. . © Cv
где nt: С -+СЬ — проекции, а {/4 ..., гг} — минимальное подмножества
множества /, для которого (cpal7 ..., фя&_1> ^ С^ © ... © Сгу Очевидно,
последовательность gb = ai+ ... +а& (?= 1, 2, ...) сходится к
пределу g" 6 А. Однако последовательность ф^ = щх -}-...+ <№ (& =
= 1, 2, ...) не может обладать пределом в группе С. В самом
деле, если с?_ С — ее предел, то из h(yak)^mk следует с — (ф01 + ...
... +yak)?pmk+iC при любом k, откуда легко получается, что
ntc=?0 для бесконечного числа индексов / 6/, а этого не может
быть. в
В случае когда А ^ С, получается более интересное
Предложение 71.2 (Энокс [1]). Если периодически полная р-группа
А содержится в прямой сумме С = © Ct сепарабельных р-групп Ci9
г
то существует такое целое число т и такое конечное подмножество
С^, . . ., Cth множества групп Cif что
РпА1р] = Сч® ... 0Cife. .
Следующая теорема дает достаточно хорошее описание прямых
разложений периодически полных групп.
Теорема 71.3 (Куликов [2]). Если периодически полная р-группа А
является прямой суммой бесконечного числа своих подгрупп Аи то Аь —
периодически полные группы и для достаточно большого целого числа т
pmAt = 0 при почти всех *.
Если В = ф Сt —прямое разложение базисной подгруппы группы В*
г
где pmCi = 0 для некоторого т при почти всех i, то В= ©С^, где
Если А = (BAt — периодически полная группа, то по
следствию 68.7 подгруппы At также являются периодически полными,
и простое применение предложения 71.2 доказывает первое
утверждение.
Пусть В = ©С* — прямое разложение базисной подгруппы Вг
г
где С^, ..., Cik — неограниченные группы, а для всех остальных
слагаемых С,- выполнено равенство pmCt = 0. Пусть В = Ci4® ...
...®Cife®C0, где С0 — прямая сумма этих остальных групп С*
42
Гл XI. Сепарабельные р-группы
и р1ПС0^=0. Так как, очевидно, доказательство можно провести по
индукции, то достаточно доказать, что из В^С^С2 следует
B = Ci © С,;, где Cj^=Cj (/=1, 2). Имеет место прямое разложение
В-0 6П, где Вп = © 2 (рп) и ?п = (В7г ПQ © (Вп П Q при любом я.
Поэтому любой элемент а?В можно представить в виде
а -- (Ьп + й12, . . ., Ьп1 + Ь?г2, . . .) =
где bnj 6 В?г П Q- В последней сумме первый вектор принадлежит С~и
а второй принадлежит CJ. Ясно, что элемента = (Ьъ . . ., Ьп, . . .) 6 В
лежит в С J тогда и только тогда, когда каждый элемент Ьп лежит
в Вп р| Cj. Этим установлено не только равенство С[ П Q = 0, но
и изоморфизм CJ = Cj. ¦
Следствие 71.4 (Куликов [2]). Любые два прямых разложения
периодически полной группы обладают изоморфными продолжениями.
Пусть А — периодически полная р-группа, и пусть А = © At =
i
— © С; — два ее прямых разложения. Обозначим через Вь и В] соот-
3
ветственно базисные подгруппы групп At и Cj. Тогда В = © Bt
г
и В' — © В] — базисные подгруппы группы А , откуда В ^ В''.
з
Из следствия 18.2 вытекает существование таких групп Btj и В'ц, что
вь = © в„, в;=ф в;-,- и я„~в-,-.
В силу теоремы 71.3 существует такое целое число т, что ртА{ —
= pmCj = 0 для почти всех i и /. Так как pmAt = 0 или pmCj^=0
влечет за собой ртВи = 0, мы видим, что существует лишь конечное
число групп Btj, для которых pmBij=^0. Положим Atj ^Bjj, Cjt =
= B'jT. Тогда Aij^Bij^Bj^Cji, и ^ = 0^, Cj=®Cji, как
i г
следует из теоремы 71.3. а
Упражнения
1. Привести пример, показывающий, что для произвольных
редуцированных /?-групп Ct лемма 71.1 неверна.
2. Периодически полная /^-группа содержится в прямой сумме
циклических групп тогда и только тогда, когда она ограниченна.
3. Если А — периодически полная группа и/19 © Q, где Ct —
сепарабельные р-группы, то А [\ Ct — периодически полная
подгруппа группы Ct при любом i.
4 (Ирвин и О'Нейл [1]). Если прямая сумма сепарабельных
р-групп содержит неограниченную периодически полную р-группу,
то хотя бы одно из слагаемых содержит такую подгруппу.
§ 72. Свойство замены
43
5. (а) Показать, что предложение 71.2 останется в силе, если
заменить \р] на [pk\ при любом k ^ 1.
(б) Показать на примере, что предложение 71.2 перестанет быть
справедливым, если опустить [р] в его формулировке.
6. В условиях предложения 71.2 для группы А существует
разложение А = G © Я, где G — ограниченная группа, а Н [р] ^ С^ 0 ...
. . . © Ct для некоторого конечного множества индексов ily . . ., ih.
7. Перенести лемму 71.1, предложение 71.2 и теорему 71.3 на
случай произвольных периодически полных групп.
8. Всякую подгруппу С периодически полной р-группы можно
вложить в прямое слагаемое мощности ^ | С |No. [Указание: вложить
С в сервантную подгруппу и взять замыкание.]
9. Периодически полная р-группа В не содержит собственных
сервантных подгрупп, изоморфных В, тогда и только тогда, когда ее
инварианты Ульма — Капланского конечны.
§ 72. Свойство замены
Наши результаты, касающиеся периодически полных групп,
показывают, что эти группы ^хорошо ведут себя по отношению к прямым
разложениям. Кроули и Йонсон [1] заметили, что периодически полные
группы обладают очень сильным свойством, называемым свойством
замены. Настоящий параграф посвящен рассмотрению этого важного
факта. Мы воздержимся от детального изучения свойства замены
вообще и сосредоточим свое внимание на периодически полных
группах.
Говорят, что группа А обладает свойством замены, если она
удовлетворяет следующему условию: если группа А служит прямым
слагаемым для некоторой группы М, являющейся прямой суммой
подгрупп Ch т. е. если
M = A®N=®Ct, A)
то существуют такие подгруппы Et групп Q, что
М = А®®ЕЬ. B)
Говорят, что группа А обладает конечным свойством замены, если она
удовлетворяет указанному выше условию для конечных систем
индексов /.
Начнем с некоторых простых замечаний.
а) При любом i подгруппа Еь служит для Сь прямым слагаемым,
б) Если Е\ — подгруппы, определенные в п. а), то А ^ 0 Е\.
г? Г
в) Группа А = G 0 Н обладает свойством замены тогда и только
тогда, когда этим свойством обладают G и Н.
44
Гл. XI. Сепарабельные р-группы
Для доказательства этого факта предположим, что группа Л
обладает свойством замены, и пусть М = G ф N = ф С,-. Тогда Н ф М =
= A®N = H®®Ci, откуда Н ® М = А ф /С ф ф ?* для
некоторых подгрупп К ^ Н и Et ^ С*. Здесь обязательно /С = 0, так как
/С ^ А. Следовательно, ЯфМ^Яфбф ® Et. Так как
i
G ф ф Et g= М, то из последнего равенства вытекает, что М =
Обратно, предположим, что группы G и Н обладают свойством
замены. Тогда из A) получаем M = G00?b где Ег<=Сь. Отсюда
M/G=H ф Л/ = ф ?;, где черта означает смежные классы по
подгруппе G. Но это дает M/G= Н ®@ Е\ для некоторых подгрупп ?; ^f*.
Так как подгруппа G служит для М прямым слагаемым, то
существуют такие подгруппы Е\ <=, Еи что G ф Е\ соответствует Е\. Из леммы
9.4 получаем М = G ф Я ф ф Е\ = Л ф ф ?;, что и требовалось.
г) ?с/ш группа А обладает свойством замены для всех таких групп
М из A), «/то группы Ct изоморфны подгруппам группы Л, то группа А
обладает свойством замены.
Предположим, что равенство A) выполнено для произвольных
групп Cif а группа А обладает указанным выше ослабленным
свойством замены. Пусть п: М -> А — проекция с ядром N, и пусть
Kt = Кег (л | Ct). _Тогда К = ® Kt<= N и Ml К = Л ф N/K =
= Ф (Ct/Ki)y где Л = (Л + К)/К = Л, а С^/ТС* — группы,
отождествленные с (С* -j /С)//С с помощью канонического отображения.
Группы CilKt изоморфны подгруппам группы Л, поэтому существуют
такие группы EjKt ^ CjKu что Ml К = Л ф © {EjKi)- Легко
проверить, что М = А ф ф ?V Это завершает доказательство.
Теперь легко получить такое свойство:
д) Периодическая группа обладает свойством замены тогда и
только тогда, когда им обладает каждая из ее /7-компонент.
В следующих двух теоремах устанавливается, что некоторые классы
групп обладают свойством замены.
Теорема 72.1 (Кроули и Йонсон [1]). Если редуцированная часть
группы А является периодической группой с ограниченными р-компонен-
тами, то группа А обладает свойством замены.
В силу п. в) и д) достаточно доказать, что свойством замены
обладают делимые группы и группы, являющиеся прямыми суммами
изоморфных между собой групп Z (рп).
Пусть Л —делимая группа, и пусть имеет место равенство A).
Возьмем подгруппу Е группы УИ, максимальную по отношению к свой-
§ 72. Свойство замены
45
ствам Е = © Eh где Et ^ С,, и Е {] А = 0. Докажем, что для под-
г
групп ?^ выполнено B). Если ср: М ->- МАЕ — естественный
гомоморфизм, то ф (А) ^ Л — подгруппа группы М/Е = © (CtlEt), где
i
группы С*//^ отождествлены с (С, + ?)/?. Так как Е —
максимальная подгруппа с указанными выше свойствами, то ср (А) [\ {CJEi) —
существенная подгруппа группы CilEt. Следовательно,
© [Ф (А) П (Ct/Et)],
i
а тогда и ф (А), — существенная подгруппа группы М/Е. Так как
для группы ф (А) не существует собственных существенных
расширений, то ф (А) = М/Е, откуда М = А © Е.
Пусть теперь А = ф Z (/?п), где рп фиксировано. Предположим,
что справедливо равенство A), где группы Ct удовлетворяют условию
рпС( = 0. Тогда можно провести те же рассуждения, что и в
предыдущем елучае, кроме последней фразы. Вместо этого можно заметить,
что из рп (М/Е) = 0 в силу строения группы А следует, что М/Е
не может быть собственным существенным расширением группы ф (А )^
^ А. Таким образом, снова ф (А) = М/Е и М = А © Е. в
Обратимся теперь к другим классам групп. Прежде всего ясно, что
группа обладает свойством замены тогда и только тогда, когда этим
свойством обладает ее редуцированная часть. Поэтому достаточно
рассматривать только редуцированные группы. До сих пор для
редуцированных групп со свойством замены никакого удовлетворительного
описания не получено.
Можно доказать, что свойством замены обладают также
алгебраически компактные группы [достаточно исследовать полные группы].
Свойство замены для полных и периодически полных групп получается
аналогичным образом. Для удобства мы ограничимся периодически
полными группами, а рассмотрение полных групп вынесем в
упражнения.
Теперь мы можем доказать основной результат этого параграфа.
Теорема 72.2 (Кроули и Йонсон [1]). Периодически полные группы
обладают свойством замены..
Пусть А — периодически полная р-группа, и пусть выполнено
равенство A), где группы Ct изоморфны подгруппам группы А. Тогда
Ct — сепарабельные р-группы, и по предложению 71.2 существует
такое целое число т, что
ртА[р]^С,@ ... 0Ck = C
Iконечная прямая сумма]. Из теоремы 27.7 следует, что группа А
обладает прямым разложением А = Лх © Л2, где ртА2 = 0, причем
Аг [р] ^ С". В силу п. в) и теоремы 72.1 группу А2 можно не
рассматривать. Группа А1у очевидно, является периодически полной.
46
Гл. XI. Сепарабельные р-группы
Поэтому группа лАх ^ Аъ где я — проекция группы М на С, также
периодически полная. Так как Ах — сервантная подгруппа группы 7W,
легко проверить, что лАг — сервантная подгруппа группы С". Поэтому
С = пАг © N' для некоторой подгруппы N' ^ С. Так как А1 и пАх —
сервантные подгруппы группы М, имеющие одинаковые цоколи, то из
леммы 66.1 вытекает, что в прямой сумме 0 Ct слагаемое Сх © . . .
. . . © Ck можно заменить на Аг © N'. Следовательно, нам нужно
только проверить, что периодически полные /^-группы обладают
конечным свойством замены.
Начав снова с периодически полной /?-группы А и группы М =
= А ф N = С1 © . . . © Ск, где С1э . . ., Ch — сепарабельные
р-группы, образуем прежде всего периодическое пополнение группы М
M = A®N=Ci® ...0Cft.
Пусть В = © Вп [где 5П — прямая сумма циклических групп поряд-
п
ка рп] — базисная подгруппа группы Л. Как было показано в
теореме 72.1, каждая из групп Вп обладает свойством замены, поэтому мы
можем последовательно для каждого п получить разложение
М = В,@ ... фВпбС^е ... ®сГ\
где всегда С|п) — прямое слагаемое группы С{п~1\ Очевидно, что
слагаемое, дополнительное к СТ} в группе Cf-1), должно быть
прямой суммой циклических групп порядка рп. Отсюда следует, что
группа М имеет базисную подгруппу вида В © Dx © . . . ®Dk, где при
любом i группа Dt — прямое слагаемое базисной подгруппы группы Ct.
По теореме 71.3 имеем М -=- А © Ех ©...©?/,, где Ег = D? ^ Dh
Отсюда
М = А®[(Е±® ... @Ек)()М],
где второе слагаемое является пересечением подгруппы Ег © . . .
...©?/, с Сг © ... © Си в группе Сх © . . . © Ck и поэтому равно
(Ег П CJ ф . . . © (?ft П с0- Это завершает доказательство. в
Следующий пример показывает, что неограниченные прямые суммы
циклических р-групп в общем случае свойством замены не обладают.
оо оо
Пример (Кроули и Йонсон [1]). Пусть 5^ © (Ьп), С = © (сл), где о (Ьп) =
п=\ л=1
= о(сп) = рп при любом п. Прямая сумма М = В®С может бьпь разложена
также следующим образом:
оо оо
М = ЛфБ = С®?, где А= Ф <cn + pfrn+i), # = © <&n + P*n+i>.
п=1 ™=1
Предположим, что существуют такие подгруппы С ^ С, D' ^ D, что М =
= А ф С'ф/)'. Тогда Л ф С ? А + С д= Л + рВ, откуда следует, что
§ 72. Свойство замены
47
каждый элемент Ьп может быть записан в виде Ьп = а + pb-\-d, где а 6 А,
Ь 6 В, а + pb ? А (В С, d 6 D'. Из рпЬп = 0 получается p^d = 0. Так как
М = А © В, то элемент pfe F„ — а) = pk+1 b + pfed имеет высоту k, k = 0, 1, . . .
. . , л — 1, откуда h (phd) = /г. Отсюда сразу получаем, что (d) — сервантная
подгруппа, т. е. прямое слагаемое группы D'. Следовательно, для любого п
группа D' имеет прямое слагаемое порядка рп. Сравнение базисных подгрупп
теперь дает С = 0. Но А + D не содержит ни blt ни сг. Это показывает, что»
группа А свойством замены не обладает.
Упражнения
1. (а) Для бесконечных сумм утверждение в) места не имеет.
(б) Пусть А = © Aj — такая группа, что для любой ее подгруппы
X справедливо разложение
X = Ф (Aj П X).
Доказать, что если каждая из групп Aj обладает свойством замены,
то и группа А обладает свойством замены.
2. Показать, что никакая неограниченная /?-группа, являющаяся
прямой суммой циклических групп, не обладает свойством замены.
3. Бесконечная прямая сумма неограниченных периодически
полных /?-групп не обладает свойством замены [р фиксировано].
4 (Кроули и Йонсон [1]). Доказать, что если группа А обладает
свойством замены для некоторого множества индексов / мощности 2,
то она обладает конечным свойством замены.
5 (Кроули и Йонсон [1]). Если группа А обладает свойством
замены для всех таких множеств индексов /, что | / | ^ | А |, то группа А
обладает свойством замены.
6 (Кроули и Йонсон [1]). Для неразложимой группы конечное
свойство замены влечет за собой свойство замены.
7. Группа Qj, обладает свойством замены. [Указание: если Qp ф N =
- С © D, то, используя проекции, получаем, что или Qp-+- С —* Q1)y
или Qp ->¦ D -> Qp — автоморфизм группы Qp; если автоморфизмом
оказывается первое отображение, то группу С можно заменить группой
Qp ф Кег а.]
8* (Уорфилд [21). Неразложимая группа обладает свойством
замены тогда и только тогда, когда ее кольцо эндоморфизмов является
локальным кольцом. [Указание: для доказательства достаточности
провести рассуждения как в упр. 7; если Н — ц = 1А, где
эндоморфизмы ?, т] не являются автоморфизмами, то
М = Л ф A=\m(l® ti)va © 1тДА
и ни первое, ни второе слагаемое не порождает вместе с третьим
слагаемым всю группу МЛ
9 (Уорфилд [3]). Полная группа обладает свойством замены.
[Указание: используя теорему 39.9, свести вопрос к конечному
свойству замены и /7-адическим модулям; вести рассуждения как в
доказательстве теоремы 72.2; некоторых дополнительных усилий требует
только вопрос о существовании базисной подгруппы нужного вида.]
48
Гл. XL Сепарабельные р-группы
10. (а) Используя упр. 9, показать, что всякая сервантная вполне
характеристическая подгруппа полной группы обладает конечным
свойством замены. [Указание: как в доказательстве теоремы 72.2,
перейти к пополнениям, применить упр. 9 и лемму 9.3.]
(б) Вывести из п. (а) теорему 72.2.
11. Пусть А—сепарабельная /?-группа, обладающая свойством
замены, и пусть эта группа служит прямым слагаемым для 0 Ciy
где Ct — сепарабельные р-группы. Тогда существует такое целое число
т, что ртА [р] содержится в конечной прямой сумме групп Ct.
[Указание: использовать пример и п. (в)].
§ 73. Прямые суммы периодически полных групп
Как мы уже отмечали, до сих пор прямые суммы циклических
/7-групп и периодически полные /7-группы — это, по существу,
единственные классы сепарабельных р-групп, для которых существует
удовлетворительная структурная теория. Естественно ожидать, что
существует класс групп, содержащий оба указанных класса, для
которого некоторые из полученных результатов остаются
справедливыми.
Колеттис [2] выдвинул идею исследования р-групп вида В © С,
где В — прямая сумма циклических групп, а С — периодически
полная группа. Более естественным обобщением рассматриваемых
классов групп является класс прямых сумм периодически полных групп.
В последнее время эти группы привлекали большое внимание, и их
теория оказалась хорошо развитой. Изучение класса этих групп
составляет тему настоящего параграфа. Излишне говорить, что, не теряя
общности, можно ограничиться рассмотрением /7-групп.
Мы начнем с некоторых предварительных рассуждений, которые
представляют и самостоятельный интерес. Будем называть р-груииу А
сервантно полной, если всякий ее подцоколь служит носителем сер-
вантной подгруппы группы А. В силу теоремы 66.3 достаточно знать,
что все замкнутые подцоколи группы А служат носителями сервант-
ных подгрупп.
Легко видеть, что прямые слагаемые G сервантно полных групп А
сами являются сервантно полными. В самом деле, если я: А -*- G —
проекция на слагаемое G и С — сервантная подгруппа группы Л,
носителем которой служит подцоколь 5 группы G, то пС —
сервантная подгруппа группы G, носитель которой — подцоколь S.
оо
Лемма 73.1 (Хилл и Меджиббен [3]). Если А = © АП1 где все
71=1
Ап — периодически полные группы, то А — сервантно полная группа.
Если А — сервантно полная группа и С — прямая сумма
циклических р-групп, то А © С — также сервантно полная группа.
Прежде всего покажем, что периодически полная /^-группа А
обязательно является сервантно полной. Докажем даже несколько большее:
§ 73. Прямые суммы периодически полных групп 49
если S — подцоколь группы Л, G — ее сервантная подгруппа
и G lp] s S, то в А существует сервантная подгруппа Я, содержащая
подгруппу G, носителем которой служит S. Пусть I! является /7-бази-
сом группы G, и пусть L есть /^-независимое множество в Л,
максимальное по отношению к свойствам U ^ L, (L) [р] s S. Тогда В' = (L>
служит прямым слагаемым для базисной подгруппы В группы Л,
скажем В = В' 0 В", и Л = В' © В". Здесь SgB' [р], так как
подгруппа (L) [/?] плотна в S. Простая ссылка на теорему 66.3
показывает, что подгруппа Н с нужными свойствами существует.
оо
Предположим теперь, что Л = © АПУ где Ап — периодически
полные р-группы, и пусть S — подцоколь группы Л. Тогда Sn =
= ^ П (Ах © • • • Ф ^п) — подцоколь периодически полной группы
Ах © . . . ф Лп. Следовательно, Sn — носитель сервантной
подгруппы Gn группы Ах © . . . © Лп. По предыдущему абзацу
подгруппы Gn можно выбрать так, чтобы выполнялись включения
Gx ^ . . . ^ Gn ^ . . . . Очевидно, G = U G^ — сервантная подгруп-
п
па, носителем которой служит S.
Прямую сумму С циклических р-групп можно рассматривать как
объединение возрастающей последовательности Сг ^ . . . ^ Сп ^ . . .
ограниченных сервантных подгрупп. Если группа Л сервантно полна
и S — подцоколь группы Л ф С, то пусть Sn = (Л ф Сп) П S.
Предположим, что выбрана такая монотонная последовательность Gx ^ . . .
. . . ^ Gn сервантных подгрупп Gj ^ Л © С/, что Gj [/?] = S;- (/ =
= 1, . . ., п). Тогда (Gn + Sn+1)/Gn — дискретный подцоколь
группы (Л + Cn+1)/Gn, т. е. носитель сервантной подгруппы Gn+1IGn.
Непосредственно видно, что Gn+1 [р] = 5п+1 и что Gn+1 — сервантная
подгруппа группы Л ф С. Объединение G = \J Gn обладает нужными
п
свойствами, и Л © С — снова сервантно полная группа. а
Если С — прямое слагаемое группы Л, то существует проекция я:
А -+ С. Ограничение отображения я на цоколь порождает проекцию
Л Vp] -*- С [р], при которой высоты элементов не уменьшаются.
Следовательно, необходимым условием для того, чтобы подцоколь 5
некоторой р-группы Л служил носителем какого-либо ее прямого
слагаемого, является существование проекции группы Л [р] на S, при
которой высоты элементов не уменьшаются. Интересно, что для сервантно
полных групп легко установить обратное:
Лемма 73.2 (Хилл [10]). Пусть я— проекция цоколя сервантно
полной р-группы Л, при которой высоты элементов не уменьшаются.
Тогда Im я служит носителем прямого слагаемого группы Л.
Пусть G и Н — сервантные подгруппы группы Л с носителями
Im я и Im A — я) соответственно. Тогда Л [р] — цоколь подгруппы
G ф Я. Чтобы проверить, что G ф Н = Л, достаточно показать, что
высота любого элемента а ? А [р] в группе Л меньше или равна его
50
Гл. XI. Сепарабельные р-группы
высоте в G ф Н. Но это действительно так, потому что высота
элемента а в G © Н равна min {h (па), h (A — п) а)} [высота элементов
из G и Н в этих подгруппах равна их высоте в группе Л], а обе высоты
h (па) и h (A — п) а) больше или равны высоте элемента а в группе Л
в силу свойств отображения п. ш
Обратимся к основной теме этого параграфа. Наша первая
задача — найти критерии, при которых сепарабельная р-группа
принадлежит классу прямых сумм периодически полных групп. В общем
случае удовлетворительного критерия здесь не найдено, но для счетных
прямых сумм /?-групп имеется довольно простой результат [где под
полнотой следует понимать полноту в индуктивной /7-адической
топологии]:
Предложение 73.3. Сепарабельная р-группа А является прямой
суммой счетного числа периодически полных групп тогда и только
тогда, когда она удовлетворяет условиям
1) А [р] есть объединение возрастающей последовательности
полных под цоколей Sn (п = 1, 2, . . .);
2) всякий полный подцоколь группы А служит носителем сервант-
ной подгруппы.
оо
Если А = © Лп, где каждая группа Ап периодически полная, то
71=1
подцоколи Sn = Ах [р] © . . . © Ап [р] удовлетворяют условию 1),
а условие 2) вытекает из леммы 73.1.
Обратно, если группа А удовлетворяет условиям 1) и 2), то пусть
Gn — сервантная подгруппа группы Л, носителем которой служит Sn.
По теореме 70.6 группа Gn является периодически полной. Она
содержит прямое слагаемое Gn^, носителем которого служит Sn_x, Gn =
= Gn-i © Ап, где, очевидно, группа Ап также периодически полная
[можно положить Gx = Аг]. Подгруппы Ап (п = 1, 2, . . .)
порождают в А подгруппу, являющуюся их прямой суммой и содержащую
цоколь группы А. Так как Аг © . . . © Ап служит прямым слагаемым
оо
для группы Л, то © Ап — сервантная подгруппа группы Л. Следо-
71=1
оо
вательно, © Ап = Л. а
71=1
Важно отметить такое непосредственное следствие полученного
результата:
Следствие 73.4 (Ирвин, Ричмен, Уокер [1]). Всякое прямое
слагаемое G счетной прямой суммы А периодически полных групп само
является прямой суммой счетного числа периодически полных групп.
Если Sn означает то же, что и в предложении 73.3, п. 1), то
подцоколь Тп — G П Sn замкнут в Sn и, следовательно, является
полным. Очевидно, G \р\ = U Тп. Далее, группа G как прямое слагаемое
§ 73. Прямые суммы периодически полных групп
51
сервантно полной группы есть сервантно полная группа. Простая
ссылка на предложение 73.3 завершает доказательство. а
В прямых суммах периодически полных групп цоколи играют
основную роль. Убедительным доказательством этого служит
следующая теорема:
Теорема 73.5 (Хилл [5]). Пусть А = ® А{ и G = © G;- — сер-
вантные подгруппы некоторой р-группы Н, причем А [р] = G [/?],
а каждая из групп Аи Gj периодически полная. Тогда А ^ G.
Из леммы 71.1 непосредственно следует, что для любого i
существуют такое разложение At = Bt ф Ct и такое конечное
подмножество J (i) множества индексов «/, что Bt — ограниченная группа
и Ct [р] ^ © Gj. По лемме 73.1 последняя группа содержит сер-
3 6 J (г)
вантную подгруппу С\ с носителем Ct [/?], служащую прямым
слагаемым по теореме 70.6. Кроме того, группа G обладает прямым слагаемым
В\ с цоколем Вь [р]. Из леммы 66.1 следует, что имеют место
изоморфизмы С[ ~ Ct и В[ о* Bt. Подгруппы В[, С[ (i 6 /) порождают в
группе G подгруппу Е, являющуюся их прямой суммой, и требуемый
изоморфизм будет установлен, если мы покажем, что Е = G.
Так как известно, что Е [р] = G [р] и Е ^ G, нам нужно только
проверить, что ни у одного элемента х цоколя высота в Е не может
быть меньше, чем высота в G. Если х имеет в А высоту ky то все
координаты элемента х в В[ и С[ имеют высоту ^&, и их сумма имеет высоту
^k в Е. я
Последняя теорема имеет важное следствие, касающееся
изоморфизма прямых сумм периодически полных групп.
Пусть А — прямая сумма периодически полных р-групп. Так как
А — сепарабельная группа, то в силу теоремы 7.2 она является
[хаусдорфовым] метрическим пространством в метрике б (а, Ь) =
= || а — b || = ехр (—h (а — Ь))> где а, Ь 6 А. Цоколь А [р]
является метрическим векторным пространством над простым полем
характеристики р, а всякий изоморфизм между группой А и некоторой
группой G индуцирует изометрию между А [р] и G [р\.
Теорема 73.6 (Хилл [5]). Пусть A u G — прямые суммы
периодически полных р-групп. Группы А и G изоморфны тогда и только тогда^
когда между их цоколями А [р] и G [р] существует изометрия.
Наше утверждение окажется простым следствием теоремы 73.5,
если мы сможем показать, что группы А и G можно вложить в качестве
сервантных подгрупп с одним и тем же цоколем в некоторую /7-группу.
Пусть ф — изометрическое отображение пространства А [р] на G [/?],
т. е. изоморфцое отображение группы А [р] на G [р], сохраняющее
высоты элементов. Если В — базисная подгруппа группы Л, то
Ф (В [р]) — носитель базисной подгруппы С группы G и существует
52
Гл. XI. Сепарабельные р-группы
изоморфизм ф*: В -*• С, продолжающий ср. Кроме того, изоморфизм ф*
можно продолжить по теореме 68.4 до изоморфизма ф: В ->¦ С.
Отображение ф индуцирует вложение группы Л в С, причем в С
получается сервантная подгруппа, цоколь которой совпадает с цоколем
группы G. в
Продолжим изучение слагаемых прямых сумм периодически
полных групп. Из следствия 73.4 мы знаем, что они сами являются
прямыми суммами периодически полных групп, если прямые суммы имеют
счетное число компонент. Следующая теорема показывает, что условие
счетности может быть отброшено.
Теорема 73.7 (Ирвин, Ричмен, Уокер [1], Хилл [10]). Прямое
слагаемое прямой суммы периодически полных групп само является прямой
суммой периодически полных групп.
Пусть А = © Ла. где А0—периодически полные /?-группы [р фик-
сировано]. Чтобы можно было провести трансфинитную индукцию,
выберем в качестве множества индексов / множество всех порядковых
чисел, меньших первого порядкового числа сох некоторой мощности хх.
Положив А — G © Н и взяв проекцию я: А ->- G, покажем, что
G — прямая сумма периодически полных групп.
Во-первых, для каждой группы Аа напишем разложение А0 =
= В0 © Са, где В0 — ограниченная группа, а пС0 [р] содержится
в прямой сумме конечного числа групп Лр; возможность такого
разложения обеспечивается леммой 71.1. Теперь В = © В0 — прямая
а
сумма циклических групп, и мы имеем A=B®®CG = G®H.
о
Во-вторых, установим существование цепочки
0 = /oS/i?...?/ff?... (<*От)
подмножеств множества / со свойствами (i) а?/ст+1; (ii) /0= U /р>
р<а
если а —предельное порядковое число; (Hi) |/a|^>*o|ff|; и, наконец,
(iv) я (© Ср[р])с= Ф АР = А*.
Все, что нам нужно сделать,— это указать, как получить множество
/а+1 из /а, если /а Ф I. Возьмем первое порядковое число а', не
лежащее в /а [оно больше или равно а], и выберем конечное подмножество
/ (а') множества /, для которого лС0> [р] е © Лр. Повторим этот
Р 6 Дет')
процесс для каждого р 6 / (<*') \ /а» затем поступим аналогично
снова и т. д. со раз и возьмем в качестве 1а+1 объединение множества 19
с / (а') и всеми другими получившимися по ходу дела конечными
подмножествами. Очевидно, что 1а+1 будет тогда обладать
свойствами (i), (Hi), (iv).
§ 73. Прямые суммы периодически полных групп
53
Вернемся теперь к группе В и представим ее в виде объединения
возрастающей последовательности прямых слагаемых
0 = В'0<=В[<= ... с=я;с= ... (a<(ot),
где
в'0 s е в0 и пв0 [р] ^ л;.
Это можно сделать, так как каждое циклическое прямое слагаемое
группы В и его образ при я должны принадлежать А * при некотором а.
Легко проверить, что существуют такие сервантные подгруппы В*
групп Л*, что В* [р] = Во [р]. Подгруппы В* тоже являются
прямыми суммами циклических групп, такими, что при любом a
*-> О == ™0 м7 Ш ^р
ре'а
— такое прямое слагаемое группы А*, что jtCS [р] ^ Л*. Ясно, что
11С*=Л, как так UCJ —сервантная подгруппа группы А с цоколем
о о
А [р]. Следовательно, U яС* [р] = G [р].
G
Первый шаг индукции основывается на том, что по лемме 73.1
группа Л* является сервантно полной. Следовательно, из леммы 73.2
вытекает, что существует прямое слагаемое Кг группы Л*, носителем
которого служит JtCf [р], А* = Ki © Lx. В силу следствия 73.4
группы /Ci и Lx — счетные прямые суммы периодически полных
р-групп.
Теперь можно проводить доказательство с помощью
трансфинитной индукции. Пусть для любого порядкового числа т' < т мы
установили, что A) образ всякой проекции цоколя прямой суммы кх>
периодически полных групп, не уменьшающей высоты элементов, служит
носителем прямого слагаемого группы и B) всякое прямое слагаемое
прямой суммы nv периодически полных групп может быть
представлено в виде прямой суммы не более чем хх> периодически полных
групп. Это означает, что для любого о < (от мы имеем А о = Ко Ф ^а>
где Ко [р] = ЯС* [р]> а La — прямая сумма меньше чем кт
периодически полных групп. Очевидно,
Ао+1 = Ка® (La® Ф Лр).
P?Ja+lNJa
Пусть ф — проекция группы Л?+1 на второе слагаемое. Тогда
Ko+i [р] = Ко tp] © Иj где по предположению индукции подгруппа
И = cpttCS+i [р] служит носителем прямого слагаемого Ga группы Л,
являющегося прямой суммой меньше чем нх периодически полных
групп. Легко проверить, что подгруппы Ga (a < сох) порождают в Л
подгруппу, являющуюся их прямой суммой, и что © Ga = G' —
сервантная подгруппа группы Л. Заметим теперь, что G' [р]
содержится в пА = G и содержит все подгруппы Ко [р!> откуда, очевидно, еле-
54
Г л XI. Сепарабельные р-группы
дует, что G' \р\ = G [/?]. Наконец, из леммы 66.1 получаем G ^ G' =
= © Ga, и это завершает доказательство. в
a
В заключение приведем теорему о продолжении разложений.
Теорема 73.8 (Кроули и Йонсон [1], Энокс [1], Хилл [10]). Если
А — прямая сумма периодически полных групп, то любые два прямых
разложения группы А обладают изоморфными продолжениями.
В силу теоремы 73.7 достаточно рассматривать прямые разложения
-Л=©Лг=©Л), где все группы Аи А] периодически полные. Мы
можем предположить, что А является р-группой.
Допустим сначала, что / и J — счетные множества, и для
простоты положим / = J = {1, 2, . .., л, ...}. Подцоколи Sn = (At © ...
... ф Ап) [р] П (А[ © . .. ф An) [р] (п = 1, 2, . ..) образуют
возрастающую цепочку, объединение которой совпадает с А[р]. Каждый под-
цоколь Sn является полным, поэтому SnH = Sn (& S* для некоторого
полного подцоколя S*. Легко проверить, что если Сп и ^ —
[периодически полные] прямые слагаемые групп Ai ф ... ф Ап и А\ ф ...
... ф Ап соответственно, носителем которых служит S*, то А'=
оо оо
= Ф Сп= ф Сп. По лемме 66.1 имеем Сп ^ С'п, и из следствия 71.4
п= 1 п=1
получается, что любые два продолжения последних двух
разложений группы А обладают изоморфными продолжениями. Таким
образом, достаточно найти изоморфные продолжения разложений
оо оо
А = © Ап = © Сп, где при любом п подгруппа Сх © . . . © Сп
П—1 71=1
служит прямым слагаемым для Аг © . . . © Ап. Мы построим
последовательно группы Сп = Atj (i ^ /), такие, что
Cj^-Cji® ... ®Cjj и Аг = Ац 0 4жФ • ..
при всех /, /. Положив С{ = Сц = Ait, Ai = Aii®A[l, предположим,
что для i^.j^n группы СН^А{^ уже выбраны так, что Cj =
= Сп © ... ©С,,, Ai=--Aii ф ... © Ain ф А\п при любых /, *<л
и С4 ф ... ф Сп © А[п ©.. . ф АпП = Ai © ... ф Ап. Прибавляя к обеим
частям An+i и используя свойство замены для группы С4 ф ...
... ®Сп+1, получаем такие разложения A'in=^Ai>n+i ф Л-, n+i (i^n)
и An+i = An+itn+i®An+i,n+u что
^n+l — ^1, п+1 ® • • • Ф Ап Ц, n+i
и
Ci © .. . © Cn © Cn+1 ф /Ц, n+i Ф • .. © K+\% n+i =
= A© ... еЛФЛ+i.
§ 73. Прямые суммы периодически полных групп 55
Так как © Atj — сервантная подгруппа группы Аь цоколь которой
з
не может быть меньше цоколя Аи то © Ац = At. Это завершает дока-
/
зательство в случае, когда системы индексов счетны.
Обратимся к общему случаю. В силу леммы 71.1 существует
разложение At =Bt © Ct, где Bt —ограниченная группа, a Ct [р] ^
Я ф А) для некоторого конечного подмножества J (i) множества J.
JGJ(i)
Это дает новое разложение А = В ф© Ct, где В = ©В^—прямая
сумма циклических групп. Если нужно, изменив В, мы можем
предположить, что Ct — неограниченная периодически полная группа при
любом i ? /. Таким же образом получается, что существует
разложение A'j = B'j (&C'j, где Si —ограниченная группа и С] [р] ^ ф Сь
i?HJ)
для соответствующего конечного подмножества / (у) множества /. Можно
написать А = В' ф © С], где В' —прямая сумма циклических групп,
а С} —неограниченные периодически полные группы. Покажем, что
разложения
а=ъ®®с% = е ®@с\ A)
имеют изоморфные продолжения. Как легко убедиться, это все, что
нужно доказать.
Начнем с построения двух трансфинитных последовательностей
множеств
0 = /o?/i?...?/ff?... И 0 = J 0 ^ Ji Я . . . != J а ^ • • • ,
где (I) \JI0 = I и \JJ0=J; (II) |/0+1\/0|<
а а
(III) 1а = U /р и Уд== U /р, если а —предельное порядковое число, и
Р< о р<а
(IV) ф С] [р] ^ © dlp[ я В' © ф С) [/7] для любого а.
Нам нужно только уметь построить /а+1 и JG+i по /0 и Уа. Заметим,
что 10 = 1 в точности тогда, когда JG = J. Если существует индекс
г6/\/ст, то положим /Со ={*'}, L0=J(i), Кп= U /(/), Ln =
- U J(i) и
геяп
оо оо
/а+1 = /а и U Кп, J<J+1 = J<5 U U ??!•
п=1 п=1
Ясно, что условия (II) и (IV) [где в последнем а заменено на ог+П
здесь выполнены. Положив /; = /\/0, J* = J\JG1 получим
л = в © © с, © © сг = в' © © с- © © с;-.
56
Гл. XI. Сепарабельные р-группы
Из условия (IV) и леммы 66.2 следует, что существует такая
подгруппа Еа группы Л, изоморфная подгруппе группу В\ с носителем
0 CiflB'lPb что
л = в©!е с}е?ае е ct. B)
&Jo iei*
Сравнивая это разложение с аналогичным разложением, полученным
для а+1, и заметив, что Еа [р] ^ ?а41 [р], снова в силу леммы 66.2
заключаем, что для некоторой подгруппы Fa группы Ea+i
справедливо разложение
А = В® ф Cj©?G®Fa® © Ct.
Отсюда получаем
© t^ j © •* a == © ^ i • WJ
Положив F0=0, с помощью трансфинитной индукции можно
показать, что Еа1р]= Ф fp[p] и ф Fp — сервантная подгруппа группы А
р«т р«т
при любом а. Если /t= /, Jx= J для некоторого порядкового числа т,
то F= ф Fp -— сервантная подгруппа группы А и F[p] = Ex [р]. Таким
р<т
образом, лемма 66.1 дает
Л-Вф ©Cj ф/7.
Следовательно,
5 ф ф Fp ~ В'. D)
р<х
Так как в обоих разложениях в формуле C) содержится лишь счетное
число слагаемых, являющихся периодически полными группами, эти
разложения обладают изоморфными продолжениями. В силу D) сразу
получается, что разложения из формулы A) также имеют изоморфные
продолжения. а
Упражнения
1 (Хилл и Меджиббен [3]). Если А — сервантно полная р-группа,
а С — периодически полная р-группа с конечными инвариантами
Ульма — Капланского, то Л ©С — сервантно полная группа.
2* (Хилл и Меджиббен [3]). Прямая сумма двух сервантно полных
/7-групп не обязана быть сервантно полной. [Указание: используя
теорему 66.4, построить две неизоморфные сервантные подгруппы G и Н
группы Л, имеющие один и тот же цоколь, причем так, чтобы G была
квазиполной группой в смысле § 74; вывести из предложения 74.3,
что Н также является квазиполной группой; по следствию 74.2
группы G и Н сервантно полны, но в прямой сумме А © А подцоколь
§ 74. Квазиполные группы
57
5 = {(*, х) | х 6 G [р] = Н [р]} не служит носителем ни для какой
сервантной подгруппы.]
3 (Катлер [1]). Если рА — прямая сумма периодически полных
р-групп, то А также является прямой суммой периодически
полных групп.
4 (Хилл [10]). Существуют такая счетная прямая сумма А
периодически полных /?-групп и такая сепарабельная р-группа С, что А [р]
и С [р] — изометричные векторные пространства, но группы А и С
не изоморфны. [Указание: упр. 8 из § 66.]
5. Сужением метрического пространства называется отображение
этого пространства в себя, при котором расстояния не увеличиваются.
Показать, что если п — сужение векторного пространства А [/?],
являющееся в то же время проекцией, и Л — сервантно полная
/7-группа, то Im Jt — носитель прямого слагаемого группы А.
6 (Хилл [10]). Подцоколь S прямой суммы А циклических р-трупп
служит носителем прямого слагаемого группы А тогда и только тогда,
когда S является образом проекции группы А [р], при которой высоты
элементов не уменьшаются.
7 (Колеттис [2]). Если А — прямая сумма периодически полных
/7-групп, которые почти все являются ограниченными, то каждое
прямое слагаемое группы А снова имеет тот же вид.
8 (Энокс [1]). В любых двух разложениях данной р-группы в
прямую сумму периодически полных групп число неограниченных
компонент одинаково, если хотя бы одно из этих чисел бесконечно.
9. Пусть G — прямое слагаемое прямой суммы периодически
полных р-групп At (i ? /), где ровно ш из групп Аь являются
неограниченными (ш ^ к0). Тогда всякое прямое разложение группы G
содержит не более ш неограниченных слагаемых.
§ 74. Квазиполные группы
В этом параграфе мы рассмотрим одно важное свойство
периодически полных групп. Первым обратил на него внимание Хед [1].
Оказалось, что этим свойством обладает и несколько более широкий класс
групп.
Назовем редуцированную периодическую группу А квазиполной,
если замыкание G" [естественно, в Z-адической топологии группы А1
всякой сервантной подгруппы G группы А также сервантно в А.
Приведем сначала несколько простых замечаний, поясняющих это
понятие.
а) Редуцированная периодическая группа А является квазиполной
тогда и только тогда, когда для любой сервантной подгруппы G
группы А утверждение «G замкнута» эквивалентно утверждению «A/G —
редуцированная группа». Заметим, что из равенства G~IG = (A/GI
следует, что подгруппа G" сервантна в Л в том и только в том случае,
58
Гл. XI. Сепарабельные р-группы
когда подгруппа (A/GI сервантна в AIG. А это имеет место тогда
и только тогда, когда (A/GI — делимая группа.
б) Квазиполные группы сепарабельны. Это ясно, так как 0~ = А1.
в) Сепарабельная периодическая группа является квазиполной, если
G~ — сервантная подгруппа для любой ее неограниченной сервантной
подгруппы G. В самом деле, ограниченные сервантные подгруппы
выделяются прямыми слагаемыми и, следовательно, в сепарабельных
периодических группах они обязательно замкнуты.
г) Периодическая группа является квазиполной тогда и только
тогда, когда каждая ее р-компонента — квазиполная группа.
д) Периодически полные группы являются квазиполными. Это
очевидно в силу следствия 68.9.
е) В квазиполной группе замыкание сервантной подгруппы также
является квазиполной группой.
Особенно интересна следующая характеризация квазиполноты.
Теорема 74.1 (Ирвин, Ричмен и Уокер [1], Кояма [1]).
Редуцированная р-группа А является квазиполной тогда и только тогда, когда для
любой ее сервантной подгруппы С и любого подцоколя S со свойством
С [р] ^ S существует сервантная подгруппа G группы А с носителем S,
содержащая С.
Пусть А — квазиполная группа и G — ее подгруппа,
максимальная среди тех сервантных подгрупп группы Л, содержащих С,
носители которых являются подгруппами группы S. Чтобы доказать, что
G [р] = S, предположим противное, и пусть л: 6 S \ G. Если смежный
класс х -\- G имеет в группе AIG конечную высоту я, то запишем
х -f- G = рпу -f G, где рп+1у = 0, и заметим, что (у -f- G > — прямое
слагаемое группы AIG. Следовательно, G© {у) — сервантная
подгруппа, носителем которой служит подцоколь G [р\ © (х) ^ S. Если
смежный класс х -\- G имеет бесконечную высоту, то из квазиполноты
следует, что он содержится в некоторой подгруппе HIG = Z (р°°).
Подгруппа Н сервантна в Л и ее носитель равен G [р] © (х) ^ 5.
Полученное противоречие показывает, что G [р] = S.
Обратно, если группа А обладает указанным в формулировке
теоремы свойством, то, взяв сначала S = А1 [/?], мы получим, что А1 —
делимая группа, т. е. 0. Далее, для любой сервантной подгруппы С
возьмем сервантную подгруппу G, содержащую С, цоколь которой
равен С" [р]. Тогда G/C — сервантная подгруппа группы А 1С с
цоколем (А 1СI [р]. По § 20, п. В), группа GIC делима, и G = С~. Таким
образом, группа А квазиполная. ¦
Следствие 74.2 (Хилл и Меджиббен [2]). Всякая квазиполная группа
является сервантно полной. ш
Следующий результат дает для квазиполноты характеризацию
другого типа. Здесь под замыканием мы будем понимать замыкание
§ 74. Квазиполные группы
59
в В, где В — базисная подгруппа группы Л, а группу Л будем считать
подгруппой группы В.
Предложение 74.3 (Хилл и Меджиббен [2]). Сепарабельная р-груп-
па А является квазиполной тогда и только тогда, когда
A[p)+S-==B[p)
для любого недискретного подцоколя S группы А.
Пусть А — квазиполная группа и S — ее недискретный под-
цоколь. Проведя такие же рассуждения, как при доказательстве
теоремы 33.1, можно получить сервантную подгруппу С группы Л,
являющуюся прямой суммой циклических групп и такую, что С [р]
плотно в S. Так как подцоколь 5 недискретен, подгруппа С должна
быть неограниченной, поэтому она в силу леммы 35.1 содержит такую
базисную подгруппу С, что С/С ^ Z (р°°). Пусть элемент с ? С \ С
имеет порядок /?2, и пусть Ъ — элемент порядка р группы В. Легко
построить прямую сумму D циклических групп, являющуюся такой
сервантной подгруппой группы Л, что D [р] = С [р] и Ь ~\- с 6 D~.
В силу квазиполноты группы Л замыкание D~ [} А подгруппы D в Л
сервантно в Л. Отсюда и из рс ? D~ Г) А получаем, что рс = ра для
некоторого a ?D~[\A. Таким образом, Ь— (Ь + с — а) — (с — а) ?
?Dr[p]+A[p]c=S- + A[p], откуда В [р] <= 5~+ Л [р].
Обратно, предположим, что условие, сформулированное в
предложении, выполнено, и пусть G — неограниченная сервантная
подгруппа группы Л. Нам нужно проверить, что замыкание G~ [\ А
подгруппы G в группе Л сервантно в Л. Если ра 6 G" П А при
некотором а ? Л, то пусть элементы g 6 G, h 6 G" таковы, что ph = pa -f g">
такие элементы существуют, так как В — периодически полная группа
и, таким образом, G~/G — делимая группа. Отсюда р (h — а) = g =
= pg' для некоторого g' 6 G. Элемент h — (a -f- gr) 6 В [р] по условию
имеет вид а' -\~ h\ где а' 6 А [/?], h' 6 G" [/?]. Это означает, что элемент
/г — ft' = а + я' + &' 6 G" П ^4 дает решение уравнения рх = pa -f G
в группе Л/G. Следовательно, подгруппа (G" П A)IG слабо сервантна
в Л/G и, значит, делима, а тогда подгруппа G~ [) А сервантна в Л. в
Из предыдущей теоремы легко получается
Следствие 74.4 (Хилл и Меджиббен [2]). Пусть В — базисная
подгруппа квазиполной р-группы А и В <=: А ^ В. Если группа А содержит
базисную подгруппу некоторого неограниченного прямого слагаемого Н
группы В, то А -\- Н = В.
Если группа Л содержит базисную подгруппу группы Я, то
(Л -+- НIА ^ Н/(А П Н) — делимая группа. Поэтому подгруппа
Л -f Н сервантна в В. Из предложения 74.3 вытекает, что В [р] ^
S Л + Н. Отсюда Л + Н = В. я
60
Гл. XI. Сепарабельные р-группы
Следующий результат дает еще одно замечательное
характеристическое свойство квазиполных групп.
Предложение 74.5 (Хилл и Меджиббен [2]). Для квазиполноты сепа-
рабельной р-группы А необходимо и достаточно, чтобы факторгруппа
AIG при любой неограниченной сервантной подгруппе G группы А была
прямой суммой делимой группы и периодически полной р-группы.
Достаточность непосредственно следует из п. а). Для
доказательства необходимости предположим, что А — квазиполная группа,
и пусть Я — замыкание неограниченной сервантной подгруппы G
группы Л, причем замыкание взято в группе В. Тогда Я служит для В
прямым слагаемым [ср. следствие 68.9], а так как группа А содержит
базисную подгруппу [группы G, а значит, и] группы Я, то из
следствия 74.4 вытекает, что А + Я = В. В силу квазиполноты группы А
имеем, что (А П H)IG = (AIGI — делимая группа. Поэтому группа
AIG изоморфна прямой сумме делимой группы и группы А/(А П Я) =
?ё (А -\- НIН = В/Н, которая изоморфна прямому слагаемому
группы В. в
Следствие 74.6. Если А —квазиполная, но не периодически полная
р-группа, то в любом ее прямом разложении одно из слагаемых является
ограниченным.
Пусть А — квазиполная группа, и пусть А = G © Я, где G и Я —
неограниченные группы. В силу предложения 74.5 и G и Я ©
периодически полные группы. н
Докажем теперь другое простое утверждение, вытекающее из
следствия 74.4. Оно нам понадобится в дальнейшем.
Предложение 74.7 (Хилл и Меджиббен [2]). Пусть А — квазиполная
р-группа, и пусть В = В' © В" — разложение базисной подгруппы В
группы А в прямую сумму неограниченных слагаемых. Тогда А — под-
прямая сумма групп В' и В" с сервантными ядрами.
Во-первых, ясно, что (A f] В') © (А (] S")j= Л j= В' ф В\
Ссылка на следствие 74.4 показывает, что A -f В' = В = A -f В".
Следовательно, А — подпрямая сумма групп В' и В", причем ядра А П В'
и А П В" сервантны как замыкания подгрупп В' и В" соответственно
в группе А. |
Два предыдущих результата позволяют показать, что финальный
ранг квазиполной, но не периодически полной р-группы не
превосходит мощности континуума, т. е. что такие группы составляют лишь
небольшую часть класса всех квазиполных групп.
Теорема 74.8. Квазиполная р-группа финального ранга >2No
непременно является периодически полной.
Пусть А — квазиполная /7-группа, финальный ранг которой
больше 2No, и пусть В — ее базисная подгруппа. Предположим, что В' —
§ 74. Квазиполные группы
61
неограниченное счетное прямое слагаемое группы В, причем В =
= В' © В". По предложению 74.7 группа А — подпрямая сумма
групп В' и В" с ядрами А [\ Ъ' и А П В", сервантными в Л. Из
рассуждений § 8 следует, что группа А состоит из всевозможных пар
(Ь\ Ь"), где элементы V и Ь" лежат в В' и В" соответственно и при
естественных отображениях В' -> В'/(А П В'), В" ->- В"/(А f] В")
переходят в элементы, соответствующие друг другу при некотором
изоморфизме В'/(А П В') ^ В(А П 5"). Последние факторгруппы
являются делимыми группами мощности ^ 2*°, так как | В' \ = 2*°.
Поэтому, выбрав представители смежных классов группы В" по
подгруппе А П В" и записав их в виде бесконечных векторов, как в § 68,
мы можем для группы В" написать такое разложение В" = Сх ® С2,
что все координаты этих бесконечных векторов будут лежать в Съ
причем будет выполняться неравенство | Сх | ^ 2Но и, кроме того,
включение С2 ^ A f| В", так что С2 будет прямым слагаемым
группы А. Дополнительное прямое слагаемое имеет базисную подгруппу,
изоморфную В' © Сх, мощность которой ^2^о, поэтому оно само
имеет мощность не больше 2Но по следствию 34.4. Если финальный
ранг группы А больше 2**°, то и финальный ранг С2 должен быть
больше 2No, т. е. С2 не может быть ограниченной группой. Из
следствия 74.6 вытекает, что группа А периодически полная. в
Следующий пример, найденный Хиллом и Меджиббеном [2],
показывает, что существуют квазиполные /7-группы, не являющиеся
периодически полными.
Пример. Пусть В — периодически полная группа с базисной
сю
подгруппой В ^ © Z (рп). Очевидно, | В | = 2*о и В обладает
п=1
2^0 счетными подмножествами. Всякое неограниченное прямое
слагаемое группы В определяется базисной подгруппой, являющейся
счетной группой, поэтому В имеет [не больше, а поэтому ровно] 2*°
неограниченных слагаемых. Эти слагаемые Н0 можно перенумеровать
с помощью порядковых чисел о < оIэ где о)! — первое порядковое
оо
число мощности 2>Ч Пусть С = © (сп) — такой счетный подцоколь
_ п=1
группы В, что В [р] П С = 0. Мы хотим выбрать элементы hpn и
подгруппы Т0 в В [р] так, чтобы при любом а < сох
1) hpn?Hp для всякого р<сг и п=1, 2, ...;
2) Та = ?[р] ф ф ф {hpn-cn);
р<а п=1
3) гапс=о.
Начав с Т0 = В [/?], проведем трансфинитную индукцию. Пусть для
всех р < а и я = 1, 2, ... элементы /ipn уже выбраны так, что выпол-
62
Гл. XI. Сепарабельные р-группы
няются условия 2), 3). Заметим, что
\То + С\^\о\щ + н0<2*°, а | Яа [р] | = 2N0,
следовательно, Н0 [р] содержит такие элементы hon (п = 1, 2, . . .),
что определяемые ими смежные классы по подгруппе 7а + С
независимы. Если определить Т0+1 при помощи формулы 2), используя
эти элементы han, то условие 3) будет выполнено. Очевидно, что
Т[)С = о для т=В[р]® © © фрп-сп).
Р<0I 71=1
Пусть 7* —такой подцоколь в В [/?], что 7^7*, причем 7* —
максимальный подцоколь со свойством 7* П С = 0, т. е. 7* + С =
= В [/?]. Тогда подцоколь 7* плотен в В [р] и по теореме 66.3 служит
носителем сервантной подгруппы А группы В. Ясно, что группа А
не является периодически полной, так как ее цоколь не замкнут
в В [/?], т. е. не полон. Чтобы показать, что группа А — квазиполная,
используем предложение 74.3. Если 5 — недискретный подцоколь
группы Л, то S~ служит носителем неограниченной сервантной
подгруппы Н группы В. По лемме 65.2 подгруппа Н замкнута в группе В,
поэтому по следствию 68.9 подгруппа Н совпадает с одной из
подгрупп На. В силу условий 1) и 2) получаем соотношения
Alp]+S- = A[p)+Holp]=>T* + C = B[p].
Теперь предложение 74.3 показывает, что А — квазиполная группа,
что и требовалось.
Используя изложенную здесь теорию квазиполных групп, можно
получить следующую характеризацию периодически полных /7-групп.
Предложение 74.9 (Кояма [1]). Редуцированная р-группа А
является периодически полной тогда и только тогда, когда для любой
сервантной подгруппы G группы А подгруппа G~ выделяется в группе А прямым
слагаемым.
Необходимость этого условия была доказана в следствии 68.9.
Обратно, если группа А обладает указанным свойством, то из
п. а) следует, что она квазиполна. Достаточно рассмотреть
неограниченные группы А. Если В = В' ® В" — такая группа, как в
предложении 74.7, то, поскольку замыкание А (] В' подгруппы В' в
группе А выделяется прямым слагаемым, А = (А {] В') © Я, где Н —
неограниченная группа [с базисной подгруппой, изоморфной В"]. Теперь
из следствия 74.6 вытекает, что А — периодически полная группа. а
Упражнения
1. В любой редуцированной группе без кручения замыкание
сервантной подгруппы всегда сервантно.
2. (Хед [1]). Квазиполная р-группа является прямой суммой
циклических групп тогда и только тогда, когда она — ограниченная группа.
§ 75. Прямые разложения р-групп
63
3. Прямая сумма квазиполной группы и ограниченной группы
снова является квазиполной группой.
4. Всякий замкнутый подцоколь квазиполной /7-группы служит
носителем квазиполной сервантной подгруппы этой группы.
5* (Хилл и Меджиббен [2]). Пусть В —неограниченная
периодически полная ^-группа мощности 2No и С — произвольный счетный
подцоколь группы В. Существует такая сервантная квазиполная
подгруппа А группы В, что А П С = О и В/А — делимая группа.
6. Предполагая справедливой гипотезу континуума, показать,
что финальный ранг всякой квазиполной р-группы, не являющейся
периодически полной, равен 2*°.
§ 75. Прямые разложения /7-групп
Сепарабельные периодические группы обладают многими
прямыми разложениями; в самом деле, каждый элемент такой группы может
быть вложен в конечное прямое слагаемое этой группы. Однако мы
не выясняли, что можно сказать о прямых слагаемых больших
мощностей или о существовании прямых разложений с большим числом
слагаемых. До сих пор не существует законченной теории, касающейся
этих вопросов, поэтому при рассмотрении прямых разложений
приходится довольствоваться изложением некоторых не связанных между
собой результатов.
А) Начнем с интересного факта, связанного с нашей проблемой 5.
Теорбма 75.1 (Хилл [18], Кроули и Меджиббен [1]). Существует
такая р-группа А мощности н19 не являющаяся прямой суммой
циклических групп, что всякая ее счетная подгруппа содержится в прямом
слагаемом этой группы, являющемся прямой суммой циклических групп.
Для любого порядкового числа а, меньшего первого несчетного
порядкового числа (о1э выберем счетную неограниченную сепарабель-
ную р-группу Са и построим группы
G=HCG и Н=®Са.
о о
Для любого а<со1 положим G{cf)= Ц Ср и G(<y)= jQ Ср, так что
G=G((T)®G(a) при любом о<.щ. Если X — подгруппа группы Gr
то пусть X@) = X{]G@)nX^-=X(]G@\ Элементы g группы G мы
можем считать бесконечными векторами, a-е координаты g(o)
которых лежат в Са.
Для любого предельного порядкового числа К < щ выберем
последовательность Xily . . ., Х\п, . . . ? G со следующими
свойствами:
1) хьп(о) — 0 при всех п и всех а^А,;
2) при любом п и любом а < К для почти всех р < а имеет место
равенство ххп(р) = 0;
64
Гл. XI. Сепарабельные р-группы
3) для подгруппы Хь=(ххи ..., хяп, ...) выполнено условие
(Xk + H{K))/H(X)^Z(p°°).
Такие элементы х^п найти легко [возьмем порядковые числа
<jb . .., ап, ..., стремящиеся к Я, и выберем такой элемент х%п с
носителем {ап,ап+1, .. .}, что рхХп(ат) = хх>п^(от) при m>Ai].
Пусть Л —подгруппа группы G, порожденная подгруппой Я
и подгруппами Х%, где Я<(Oj — предельные порядковые числа. Тогда
А — сепарабельная /?-группа мощности к4 со свойством А== U Л(а).
а<©1
Здесь каждая подгруппа А(ст) счетна [следовательно, является прямой
суммой циклических групп] и всякое счетное подмножество группы А
содержится в некоторой подгруппе Л(а) (а<со1). Так как Л = Л(а)ф
ф А(а) для любого а<©1, то остается лишь показать, что сама
группа А не является прямой суммой циклических групп.
Предположим, что, напротив, А= ф Ки гДе Kt— счетные группы.
Начнем с любой группы Кг0- Существует предельное порядковое число
^1<соь для которого Кг0 — U Л(а). Далее, существуют такое счет-
ное подмножество 1{ а I и такое предельное порядковое число А,2 < щ,
что U Л(,7) ?®/(.Е и Л(,7). Повторяя этот процесс, найдем счет-
o<cki i?li о<Х2
ное подмножество / множества / и предельное порядковое число
Я<со1, для которых ф Kt= U Л(а). Последняя группа является,
таким образом, прямым слагаемым группы Л, а значит, и группы Л(Я,).
Так как А{К) = ХХ + U Л(а) и факторгруппа Аш/ U Л(а)=^0 является
эпиморфным образом группы (Х^ +H(K))/H{k)^ Z (/7°°), то группа Ла)
должна иметь прямое слагаемое Z(p°°). Полученное противоречие
показывает, что группа А не может быть прямой суммой счетных
групп, что и требовалось. а
Б) Назовем группу А квазинеразложимой, если для любого ее
прямого разложения справедливо следующее утверждение: для всякого
кардинального числа р <С | А | в заданном разложении группы А
имеется слагаемое 5 мощности | S |, большей р. Из определения
ясно, что
а) счетная /7-группа квазинеразложима тогда и только тогда, когда
она неограниченна;
б) если \ А | = хст, где а — непредельное порядковое число, то
группа А квазинеразложима в точности тогда, когда в любом ее
прямом разложении одно из слагаемых имеет ту же мощность, что и сама
группа А.
Теорема 75.2 (Куликов [1], [2]). Для любого бесконечного
кардинального числа ш существуют квазинеразложимые сепарабельные р-группы
мощности ш.
§ 75. Прямые разложения р-групп
65
Случай ш = к0 был рассмотрен в п. а). Остается рассмотреть
теперь следующие три взаимно исключающие друг друга случая.
Случай I. Существует такое бесконечное кардинальное число п,
что n< m < п*°.
Положим Вп = © Z (/?п), и пусть 5 — периодически полная группа
с базисной подгруппой В = © Вп. Так как \ В \ = п*°, то суще-
п
ствует такая подгруппа Л группы 5, что ВдЛи Л/5 ^ ®Z (р°°).
m
Очевидно, что | А \ = ш. Из равенства | В | = и следует, что в
каждом прямом разложении группы А содержится не более п ненулевых
слагаемых. Ясно, что, если р < т, то невозможно, чтобы мощность
каждого из этих слагаемых была меньше или равна р. Следовательно,
группа А квазинеразложима.
Случай II. Для любого п <. ш справедливо неравенство пКо << ш
и ш — непредельное кардинальное число.
Пусть m = ха+1 и п = «а, причем пХо = п. Хаусдорф [Haus-
dorff F., Jahresber. DeuL Math. Ver, 13 A904), 569—571] доказал, что
n^ = ^p.xg+1 для любой пары порядковых чисел р, а. При
р = 0 это дает шХо = ш. Пусть теперь А — периодически полная
группа с базисной подгруппой В = © Вп, где Вп = © Z (/?п). Ясно,
n m
что | Л | = ш и fin г (А) = ш. Если Л = © Л г— произвольное
прямое разложение группы Лит — такое целое число, что почти
все группы /?тЛг- равны нулю [см. теорему 71.3], то одна из этих групп
ртАь должна иметь мощность т. Это доказывает
квазинеразложимость группы Л.
Случай III. Для любого п << ш справедливо неравенство nNo <ш
и m — предельное кардинальное число.
Представим ttt в виде суммы таких кардинальных чисел mG (сг <С т),
что [т?° = та и] mG стремятся к ш. Для каждого сг возьмем
периодически полную группу Л (сг) с базисной подгруппой В (а) =
оо
= © Ф Z (рп) и положим А = (В А (а). Так как мощность группы Л
n=l ttla °
равна ш, нужно только проверить, что группа Л квазинеразложима.
Пусть Л = 0 Gj- — прямое разложение группы Л. Если дано а, то
по предложению 71.2 существует такое целое число т, что ртА (а) [р]
содержится в прямой сумме конечного числа групп Gt. Очевидно, что
мощность одной из этих групп должна быть не меньше ша. Так как
кардинальные числа ша стремятся к ш, отсюда следует, что группа Л
квазинеразложима.
Случаями I — III исчерпываются все возможности, и теорема
доказана. в
66 Гл. XI. Сепарабельные р-группы
В) Пусть m — бесконечное кардинальное число. Группа А
называется т-неразложимой, если она не может быть представлена в виде
прямой суммы ш ненулевых групп. Тривиальным образом получается,
что ш-неразложимость влечет за собой it-неразложимость при любом
n > m и что группы мощности < ш всегда ш-неразложимы.
Приведем несколько нетривиальных примеров ш-неразложимых
р-групп.
Пример 1. Пусть для кардинальных чисел т, п выполнены
неравенства n<Ctn^nNo. Возьмем в качестве Л периодически полную
оо
группу с базисной подгруппой В= © Вп, где Вп= © Z(pn).
n=l n
Из nNo^mXo^(nKo)No следует, что | A | = nNo = mNo. Предположим,
что Л = ф Sia Здесь |/(^|fi| = m*0» так чт0 группа А является
ш-неразложимой, если п бесконечно. Если п конечно, то все
ограниченные прямые слагаемые группы А конечны, и из теоремы 71.3
сразу следует, что множество / конечно.
Пример 2. Пусть ш —кардинальное число, для которого n<m
всегда влечет за собой nNo<m, но существует счетное число таких
оо
кардинальных чисел iti^ .. .^nn^ ..., меньших ш, что 2 пп = ш.
Из теории множеств следует [Hausdorff, Mengenlehre, 3rd. ed.,
1935, p. 36], что справедливо неравенство 2^ = ш<[]^д-
Очевидно,
Без ограничения общности можно предполагать, что n?° = iv, тогда
[]ttn = mNo. Возьмем в качестве А периодически полную группу
оо
с базисной подгруппой В= ф Вп, где Вп= ® Z{pn). Ясно, что
Ы| = тКо. Если A=®Gt и т — такое целое число, что почти все
группы pmGi равны нулю, то |/|^nm. Это доказывает
ш-неразложимость группы А.
Докажем теперь, что ш-неразложимые /?-группы при любых ш,
не обладающих указанными в этих примерах свойствами, имеют
мощность <ш.
Теорема 75.3 (Селе [16], Фукс [5]). m-неразложимые
[редуцированные] р-группы мощности ^ш существуют тогда и только тогда,
когда ш удовлетворяет одному из следующих условий:
1) существует такое кардинальное число п, что и < ш ^ пКо;
2) п < ш влечет за собой пКо <ши существует счетное множе-
§ 75. Прямые разложения р-групп
67
ство таких кардинальных чисел щ ^ . . . ^ пп ^ . . ., что пп<ш
00
U 2 Яп = W.
Для завершения доказательства рассмотрим такие кардинальные
числа ш, что для любого кардинального числа n < m справедливо
пНо < ш и для любого счетного множества кардинальных чисел
Пх, . . ., пп, . . ., меньших ш, выполнено неравенство 2пп < ш.
Остается показать, что для любого такого кардинального числа ш
не существует ш-неразложимых р-групп мощности ^ ш.
Допустим, что m — такое кардинальное число и Л — некоторая
оо
m-неразложимая р-группа мощности ^ т. Пусть В = ф ?п, где Вп=
= © Z (рп),— базисная подгруппа группы Л. Так как Вп служит
для группы Л прямым слагаемым, то обязательно пп < ш при любом /г,
откуда в силу предположения относительно ш получаем 2пп < я*-
С другой стороны, из следствия 34.4 вытекает, что ш ^ | А | ^ \ В |Ко =
= Bпп)Хо> откуда снова в силу наших предположений
относительно ш имеем ш ^ 2пп- Полученное противоречие завершает
доказательство. в
Заметим, что в ходе доказательства мы установили, что в ш-нераз-
ложимой р-группе А обязательно пп < ш, т. е. что \ В | ^ т. Это
дает верхнюю границу \ А | ^ \ В |No ^ т*° для мощностей
ш-неразложимых р-групп А. Это и еще одно следствие из доказательства
можно выразить так:
Следствие 75.4. Всякая ш- не разложимая р-группа имеет мощность
^ mNo. Если существует ^-неразложимая р-группа мощности ^ ш,
то существует и сепарабельная т-не разложимая р-группа мощности
m*4 а
Упражнения
1 (Хилл [18]). Для любого несчетного кардинального числа ш
существует такая группа Л, что сама она не является прямой суммой
циклических групп, но всякое ее счетное подмножество содержится
в ее счетном прямом слагаемом, являющемся прямой суммой
циклических групп. [Указание: прямые суммы групп из теоремы 75.1.]
2 (Кроули и Меджиббен [1]). Показать, что если заменить в
доказательстве теоремы 75.1 группы Са неограниченными счетными
редуцированными группами и выбрать Хх так, чтобы вместо Z (р00)
получались подходящие делимые группы, то возникающая при этом
группа Л не является прямой суммой счетных групп, но такова, что всякое
ее счетное подмножество содержится в ее счетном прямом слагаемом.
3. Периодически полная р-группа Л, финальный ранг fin г (Л)
которой равен | Л |, квазинеразложима.
€8
Гл. XI. Сепарабельные р-группы
4. Всякая неограниченная квазиполная /7-группа, имеющая
счетную базисную подгруппу, квазинеразложима. [Указание: см.
следствие 74.6.]
5. Группа А является ш-неразложимой тогда и только тогда,
когда ранг ее делимой части меньше ш, а ее редуцированная часть
ш-неразложима.
6* (Кхаббаз [1]). Редуцированная р-группа А является
ш-неразложимой тогда и только тогда, когда ее первый ульмовский фактор А0
есть ш-неразложимая группа.
7. Пусть ш — такое кардинальное число, что n < m < пКо для
некоторого кардинального числа n ^ щ. Тогда для любого
кардинального числа р, для которого выполняются неравенства ш<р^
< mNo, существует nt-неразложимая /7-группа мощности р.
[Указание: модифицировать упр. 1.]
8. (а) Счетных бесконечных редуцированных х0-неразложимых
р-групп не существует. [Указание: теорема Цыпина 76.2.]
(б)* (Кхаббаз [1]) ш-неразложимых редуцированных р-групп
мощности ш > к0 не существует тогда и только тогда, когда ш — такое
кардинальное число, что п <.т влечет за собой пХо <С ш.
9 (Фукс [5]). Периодическая группа Т является ш-неразложимой
в точности тогда, когда ее р-компоненты Тр ш-неразложимы, а их
базисные подгруппы Вр таковы, что равенство | Вр | = ш
выполняется не более чем для конечного множества простых чисел р
и S I Вд I < ш> гДе суммирование распространяется на остальные
я
простые числа q.
10*. Используя теорему существования 76.1, показать, что
множество неизоморфных ш-неразложимых р-групп мощности ^ ш или
пусто, или имеет мощность 2Р, где р = msX
Замечания
Работы Прюфера [1] — [3] представляют собой, несомненно, первое
систематическое изложение теории бесконечных абелевых р-групп. В работе [2] Прюфер
опубликовал наиболее важную теорему 17.3, а также теорему 17.2 для счетного
случая. Десятилетием позже Бэр заметил, что условие счетности в теореме 17.2
можно отбросить: ограниченные р-группы любой мощности являются прямыми
суммами циклических групп. Уже Прюфер [1] установил, что р-группы без
элементов бесконечной высоты могут не быть прямыми суммами циклических
групп, если их мощность равна мощности континуума. Селе [11] отметил, что то
же имеет место для мощности к1ш Тем самым он прояснил
теоретико-множественную основу теоремы 17.3.
Структурная теория сепарабельных р-групп была вновь оживлена
Куликовым [1], [2]. Это он доказал общий критерий 17.1 разложимости р-группы в
прямую сумму циклических групп, ввел понятие базисной подгруппы и периодичз-
ски полных р-групп [он назвал их замкнутыми р-группами]. Он доказал, кроме
того, что все сепарабельные р-группы являются сервантными подгруппами,
лежащими между своими базисными подгруппами В и соответствующими
группами В. Этот результат до сих пор является одним из наиболее содержательных
результатов о произвольных сепарабельных р-группах. В теорему 68.4 внесли
свой вклад несколько авторов: эквивалентность условий 1) и 4) была доказана
Замечания
69
Куликовым [2] для сепарабельных р-групп и распространена Паппом [1] на
случай произвольных редуцированных р-групп, а свойство инъективности 3) было
отмечено Лептином [1] для одного частного случая. Полнота группы В
относительно ограниченных последовательностей Коши была доказана уже Куликовым
[2]; но важное замечание, что эта полнота должна рассматриваться в топологии,
задаваемой широкими подгруппами, было сделано Шарлем только в 1967 г.
Первый шаг на пути объединения теории прямых сумм циклических р-групп
с теорией периодически полных групп был сделан Колеттисом [2], который
рассматривал прямые суммы циклических р-групп и периодически полной группы.
Более общий и более естественный класс прямых сумм периодически полных
р-групп впервые появился почти одновременно в работе Энокса [1] и в одной из
проблем Фукса [23]. В 60-х годах для этого класса групп были получены один
за другим многочисленные результаты. Важный вклад в рассматриваемый вопрос
сделал Хилл [5] и [10], но до сих пор удовлетворительной характеризации этого
класса групп нет; предложение 73.3 — очень скромная попытка заполнить
пробел.
До сих пор поиски удовлетворительных инвариантов для сепарабельных
р-групп были не особенно успешными. Наиболее интересна теорема Лептина
69.1, но она новых инвариантов не дает. Бьюмонт и Пирс [8] ввели новые
инварианты, но их требуется значительно больше. Рассматривался также вопрос
сб инвариантах относительно квазиизоморфизмов, но в основном без всякой
реальной пользы для общей структурной теории.
Лучше поддается изучению класс квазиполных р-групп, введенный Хедом
[ 1]. Однако это крайне изолированный класс в противоположность классу серван-
тно полных р-групп, который весьма широк. Об этом последнем классе мало что
известно, кроме нескольких примеров и небольшого числа разрозненных
результатов.
Неожиданные примеры сепарабельных р-групп А были даны Корнером [7].
Сн доказал, что для любого натурального числа т существует такая группа Л,
что прямая сумма п групп, изоморфных А, изоморфна прямой сумме k групп,
изоморфных А, в точности тогда, когда п =: k mod m.
Кроули и Йонсон [1] исследовали свойство замены для произвольных
алгебраических систем; они доказали большинство теорем из § 72. Связанный с этим
Еспрос об изоморфных продолжениях для некоторых р-групп рассматривал Кро-
\ли[4]. Было нелегко указать р-группу, в которой теорема о существовании изо-
лтрфных продолжений разлсжений неверна (ср. Корнер и Кровли [1]). И
свойство замены, и вопрос об изоморфных продолжениях для групп и модулей
рассмотрел в серии интересных работ Уорфилд [2], [3] [Warfield R., Pacific J. Math.
31 A969), 263—276] и т. д. В частности, он доказал, что 1) инъективные модули
обладают свойством замены; 2) неразложимый модуль обладает свойством замены
в точности тогда, когда его кольцо эндоморфизмов является локальным кольцом;
3) модуль обладает свойством замены тогда и только тогда, когда его кольцо
эндоморфизмов, рассматриваемое как модуль над собой, обладает этим свойством
4) для прямых сумм модулей со свойством замены справедлива теорема о
существовании изоморфных продолжений разложений.
Проблема 51. Охарактеризовать сепарабельные р-группы
с помощью инвариантов.
Проблема 52. Определить мощность множества
неизоморфных сепарабельных /?-групп мощности ^ш для любого бесконечного
кардинального числа ш.
Проблема 53. Построить достаточно большие системы
/7-групп, в которых все гомоморфизмы одних членов системы в другие
являются малыми.
70
Гл. XI. Сепарабельные р-группы
Проблема 54. Является ли периодически полной сепарабель-
ная р-группа А, которая содержит такую периодически полную
подгруппу G, что A/G — периодически полная группа?
Проблема 55 (Пирс [1]). Существуют ли в основном
неразложимые р-группы сколь угодно большого финального ранга? [р-труп-
па называется в основном неразложимой, если в любом ее прямом
разложении одно из слагаемых ограниченное.]
Проблема 56. Для каких кардинальных чисел ш существует
р-группа, которая не является прямой суммой циклических групп,
но в которой любая подгруппа мощности < m — прямая сумма
циклических групп?
Нунке [6] доказал существование таких р-групп для m = кп, где п =
= 1, 2, .. .*).
Проблема 57. Какие группы обладают свойством замены?
Согласно результату Уорфилда, группа А обладает свойством замены в
точности тогда, когда этим свойством обладает кольцо R = Е (А),
рассматриваемое как R-модуль;
Проблема 58. Говорят, что группа А обладает свойством
подстановки, если М=А@Н = В@К, где А ^ В, влечет за
собой М = С®Н = С®К для некоторой подгруппы С группы М.
Какие группы обладают этим свойством?
Кроули [5] доказал это свойство для р-групп с конечными инвариантами
Ульма — Капланского. Общее рассмотрение этого свойства можно найти в
работе Фукса [Fuchs L., Monatsh. Math., 75 A971), 198—204].
х) О проблеме 56 см. также работу Хилла (Hill P., Pacific J. Math., 42 A972),
№ 1, 63—67); о проблемах 51, 52, 53, 55, 56 — работу Шелаха (Schellach Р.,
Isr. J. Math., 18 A974), № 3, 243—256).— Прим. nepee.
Глава XII
Р-ГРУППЫ С ЭЛЕМЕНТАМИ БЕСКОНЕЧНОЙ
ВЫСОТЫ
В предыдущей главе мы изучали р-группы без ненулевых элементов
бесконечной высоты. В настоящей главе мы глубже проникнем в область р-групп
общего вида.
В отличие от теории сепарабельных р-групп здесь делается упор на ульмов-
ские факторы и инварианты Ульма — Капланского. Изложение сосредоточено
вокруг двух основных вопросов:
1) Выяснить, какие вполне упорядоченные последовательности р-групп
являются последовательностями Ульма.
2) Указать как можно более широкий класс р-групп, в котором все члены
различимы при помощи инвариантов Ульма — Капланского.
Здесь получаются результаты, каких только можно пожелать: на оба вопроса
найден исчерпывающий ответ.
Первый вопрос можно решить, используя свойства ульмовских факторов,
установленные в теореме 37.6. Но доказательство получается длинным и скучным,
поэтому, чтобы избежать повторения растянутых рассуждений, мы выведем
основной результат (теорему 76.1) из более общей теоремы 105.3, касающейся
произвольных групп. Особое внимание будет уделено случаю счетных р-групп.
По второму вопросу имеется очень интересный и глубокий материал. Этот
вопрос можно рассматривать с различных точек зрения, что позволило нам
выбрать наиболее прозрачное изложение. Отправной точкой служит, естественно,
классический результат Ульма о счетных р-группах (теорема 77.3). Этот
результат приводит к наилучшему завершению структурной теории счетных р-групп.
Его дальнейшим развитием является теория прямых сумм счетных р-групп
[в § 78], а кульминацией — доказательство того факта, что ответом на второй
вопрос служит класс тотально проективных р-групп.
Естественно, основная наша задача — исследовать свойства групп этого
класса. Этот замечательный класс будет охарактеризован семью различными
способами, каждый из которых выявляет ту или иную интересную особенность
этих групп [подробнее см. в теоремах 81.9, 82.3, 82.5 и 83.5]. Однако класс
всех р-групп тотально проективными группами не исчерпывается, а о р-группах,
не входящих в этот класс, известно немного.
§ 76. Теоремы существования для р-групп
Пусть Л — редуцированная р-группа. Напомним следующие обо-
оо
значения: Л1 = A РпА — подгруппа, состоящая из всех элементов
группы Л, имеющих в ней бесконечную высоту, Ла+1 = (А0I и А? =
= П Аа, если р — предельное порядковое число. Тогда определена
а < р
вполне упорядоченная последовательность подгрупп
Л-Л°=ЭЛ11Э ...zd^id ...=^ЛТ=0
72 Гл. XII. р-группы с элементами бесконечной высоты
для некоторого порядкового числа т. Подгруппу AG мы называли
о-й ульмовской подгруппой группы Л, а факторгруппу А0 = A°/A°+l
сг-м ульмовским фактором группы А. Вполне упорядоченная
последовательность
Л0, А19 . . ., Ла, . . . (а<т) A)
— это последовательность Ульма группы Л, а т — ульмовский тип
группы А.
Заметим, что, согласно результатам из § 37, ульмовские факторы
группы А должны быть сепарабельными /^-группами, причем все они,
за исключением, быть может, последней группы Ах-Ъ если она вообще
существует, неограниченны. Некоторые другие свойства
последовательности Ульма были установлены в теореме 37.6.
Естественно спросить, каковы необходимые и достаточные
условия, при которых последовательность A) служит последовательностью
Ульма для некоторой р-группы А. Необходимые условия были
перечислены в теореме 37.6 для произвольных групп Л, а в теореме 105.3
мы докажем, что если эти условия выполнены, то всегда существует
группа Л, для которой заданная последовательность служит
последовательностью Ульма. Для р-групп Л эти условия можно немного
упростить и доказать следующую теорему существования [Ва —
базисная подгруппа группы Ла]:
Теорема 76.1 (Куликов [3], Фукс [2]). Пусть даны вполне
упорядоченная последовательность A) р-групп Ла (а < т) и кардинальное
число ш. Редуцированная р-группа А мощности ш и ульмовского типа
т, последовательностью Ульма которой является A), существует
тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:
а) для любого о < т группа А с сепарабельна;
б) 2 |Лб|<ш< П \Ап\;
0:<(т<т 0^n<min (о), т)
в) г (B0+i)<fin г {Аа) при сг+1<т;
г) 2 IAjKMp Г при 0<р<т.
р<а<т
Эту теорему мы получаем как следствие теоремы 105.3. Все, что
нам нужно сделать,— это показать, что для р-групп условие г)
эквивалентно условию 2 I Во I < 1У*р1*°- Заметим, что следствие 34.4
Р<а<т
влечет за собой | Лр|^о = | ?р |*о? и мы получаем
2 \Во\< 2 1А,|< 2 |5„Г<( 2 |Ва1)К0,
р<а<т р<а<т р«т<т р<а<т
где последнее неравенство вытекает из неравенства
2шГ°<BтОКо,
верного для любых кардинальных чисел т* и любого множества
индексов /. Теперь нужная эквивалентность неравенств очевидна. а
§ 76. Теоремы существования для р-групп
73
Можно немного изменить поставленный вопрос и говорить об условиях
на инварианты Ульма — Капланского группы Л, а не на ее ульмовские факторы.
Так как инварианты Ульма — Капланского дают меньшую информацию, чем
ульмовские факторы, условия на инварианты Ульма — Капланского легко-
вывести из более сильной теоремы 76.1. Однако следует заметить, что ульмовский
тип т нужно заменить длиной группы Л, которая определялась в § 37 как
наименьшее порядковое число р, для которого ррЛ = О»
Важным частным случаем является случай счетных /?-групп А,
Тогда все Аа — счетные сепарабельные /?-группы, т. е. прямые суммы
циклических групп по теореме Прюфера 17.3. Ульмовский тип т
группы А, конечно, должен быть счетным порядковым числом, и легка
проверить [см. упр. 2], что условие в) теперь эквивалентно условию,
что AG при а + 1<т — неограниченные группы. Таким образом,,
мы получаем
Следствие 76.2 (Цыпин [1]). Счетная редуцированная р-группа А
ульмовского типа % с последовательностью Ульма Аа @ ^ а < г)
существует тогда и только тогда, когда
1) г — счетное порядковое число;
2) каждая группа А0 — счетная прямая сумма циклических р-групп»
причем при о + 1 < т группа A G неограниченная.
Ввиду большого значения этой теоремы мы дадим для нее
независимое доказательство. Необходимость условий 1) и 2) очевидна
[единственное нетривиальное рассуждение проводится с помощью простой
леммы 37.2], так что нужно только доказать достаточность этих
условий.
Пусть дана последовательность А 0 @ ^ а < т) /?-групп,
удовлетворяющая условиям 1) и 2). Используем трансфинитную индукцию по т.
Если т = 1, то эта последовательность состоит только из одного
члена Л0, и А = А0 — искомая группа. Предположим, что т^2и что
утверждение справедливо для всех порядковых чисел, меньших т.
Рассмотрим несколько случаев.
Случай I. Существует порядковое число т— 2 и Ах^= (а) является
циклической группой, скажем, порядка pk. Предположим, что Лт_2 —
оо оо
= © Фп), где офп) = рК, и положим Л;_2= Ф Фп), где о(сп) =
п—\ п=1
= ph+kn. В силу предположения индукции существует счетная
редуцированная /7-группа С, последовательностью Ульма которой служит
последовательность Д>, Аи ..., Лт-2- Обозначим через А
факторгруппу группы С по подгруппе L, порожденной всеми элементами
pkncn — phmcm (n, т=1,2, ...)• Пусть pkncn = c?A, где черта
означает, что взят смежный класс по подгруппе L. Тогда очевидно, что
факторгруппа А/(с) является счетной ^-группой с последовательностью
Ульма А0, Аи ..., Д;-2- Так как множество {kn} неограниченно1
и каждый элемент сп лежит в Лт~2, то с?АТ~~{. Легко показать
см. хотя Гы пример из § 35], что группа (с) имеет порядок ph
74 Гл. XII. р-группы с элементами бесконечной высоты
и Ах =(с). Следовательно, группа Л имеет тип т и обладает
нужными свойствами.
Случай II. Существует порядковое число т — 2 и Лх-1=ф(а*),
где / — счетное множество. Разложим каждую группу Аа (<г<т—1)
в прямую сумму Аа = © Ла^ так, чтобы ни одна из групп Лст^ не была
ограниченной. В силу случая I для любого i ? / существует такая
счетная редуцированная р-группа Giy что ее последовательностью
Ульма служит Л0ь ..., Лт_2, ^ (а*>. Из леммы 37.5 следует, что
заданная последовательность является последовательностью Ульма
группы А=- ®Gt.
Случай III. т—1—предельное порядковое число и Лт-1 = (а), где
о (#) = /?*. Можно выбрать последовательность ть . .., xh ...
{/<со) порядковых чисел, стремящуюся к т. Разложим каждую груп-
оо
ну Ла (<т<т—1) в прямую сумму Аа= © АаЬ где Лт.? = (&*> — цикли-
ческие группы, Лаг=0 при сг>тг и Д,| — неограниченные группы
при a<tj. Без ограничения общности можно предполагать, что
элементы bt удовлетворяют такому условию: для любого порядкового
числа р<т— 1 и любого целого числа т существует такое i, что
-%х > р и о (bi) = phi > pm. По предположению индукции для любого i
существует счетная редуцированная /7-группа Gt типа т? +1 с
последовательностью Ульма Лог, •••» Ат*» - •-, Лт.* = (с*>, где] o{Ci)=ph+hK
оо
Возьмем в качестве Л факторгруппу группы ф Gt по подгруппе,
г=1
порожденной всеми элементами pkiCi—phiCj (i, / = 1, 2, ...). Так же
как в случае I, получается, что группа Л имеет заданную
последовательность Ульма.
Случай IV. т — 1 — предельное порядковое число и Ax-t= © (at).
Этот случай может быть сведен к предыдущему тем же методом, что
и в случае II.
Случай V. т — предельное порядковое число. Представим каждую
группу Аа (а < т) в виде бесконечной прямой суммы Аа = Лаа ф ...
• • • Ф Лар ф ... (а<р<т), где каждое слагаемое Лар —
неограниченная группа. По предположению индукции для любого а<т
существует счетная редуцированная р-группа G0 с последовательностью
Ульма А0о, Л1а, ..., Лаа. Тогда группа Л= ф G0 имеет заданную
последовательность Ульма. в
Теперь можно определить мощность множества неизоморфных
р-групп мощности ^ п.
§ 76. Теоремы существования для р-групп
75
Теорема 76.3 (Куликов [3]). Для любого простого числа р
множество неизоморфных р-групп мощности, не большей, чем бесконечное
кардинальное число п, имеет мощность 2П.
В § 14 мы отметили, что мощность рассматриваемого множества
групп не может быть больше 2П. Обратно, пусть т — первое
порядковое число мощности п, и пусть
оо оо
Gi= е Csn-i, G2= ф С2п, где Сь=®г(р1).
71=1 П=1 tt
Из теоремы 76.1 следует, что существует редуцированная р-группа А
мощности п типа т, последовательностью Ульма которой служит
последовательность групп А0 (О ^ а < г), где каждая из Аа
изоморфна либо группе Gl9 либо группе G2. Существует 2П различных
способов выбора последовательности Ульма для группы А, а различные
выборы, очевидно, дают неизоморфные группы А. Таким образом,
мощность рассматриваемого множества не меньше 2n. в
Сделаем еще одно заключительное замечание. Последнее
доказательство можно немного изменить, беря каждый раз группу А0
изоморфной группе G± ф G2, а другие группы А0 выбирая равными либо
Gi, либо G2. Тогда получится 2П неизоморфных р-групп А мощности п
с тем дополнительным свойством, что их базисные подгруппы изо-
морфны группе G± ® G2 = ф ф Z (рп) [ср. § 34, п. Е)]. Все эти
п=1 п
группы А имеют финальный ранг п. [Эта усиленная форма
теоремы 76.3 была нужна при доказательстве теоремы 47.6.]
Упражнения
1. Вывести из неравенства г) теоремы 76.1 неравенство
2 Щ< П \Ап\.
0^сг<т 0^n<min (со, т)
2. Доказать, что из условия в) теоремы 76.1 следует
неограниченность всех групп A 0i где а + 1 < т.
3. Привести пример редуцированной /?-группы А типа со и
мощности 2*°, ульмовские факторы которой счетны.
4. Множество неизоморфных счетных редуцированных р-групп
фиксированного счетного типа, не меньшего 1, имеет мощность 2*4
5. (а) Если каждый элемент редуцированной /?-группы А можно
вложить в счетное прямое слагаемое группы Л, то ульмовский тип
группы А не превосходит (йг [где са1 — первое порядковое число
мощности xj.
(б) Доказать существование р-группы А со свойством, указанным
в п. (а), имеющей ульмовский тип, в точности равный <ог. [Указание:
А = ф Ga, где Ga — счетная группа типа а.]
0^a<coi
76 Гл. XII. р-группы с элементами бесконечной высоты
(в) Доказать аналогичные предложения для любого бесконечного
кардинального числа хр вместо х0.
6. Доказать, что всякое порядковое число служит ульмовским
типом [длиной] некоторой редуцированной р-группы.
7. Существует такая [редуцированная] р-группа А мощности 2П,
что всякая [редуцированная] р-группа мощности ^ п изоморфна
прямому слагаемому группы А.
8. Пусть G — сепарабельная р-группа финального ранга п.
Оценить мощность множества таких неизоморфных редуцированных
р-групп Л, что Л о ^ G. [Указание: см. следствие 34.5 и теорему 76.3.]
9*. Для заданной вполне упорядоченной последовательности
кардинальных чисел ша @ ^ а < т) найти необходимые и достаточные
условия, при которых существует такая р-группа А длины т, что при
любом с соответствующий инвариант Ульма — Капланского
группы А равен шс.
§ 77. Теорема Ульма
Одна из основных задач теории р-групп — выяснить, насколько
группы определяются своими последовательностями Ульма. Один
из наиболее известных результатов теории абелевых групп — это
теорема Ульма, утверждающая, что счетные редуцированные р-группы
определяются своими последовательностями Ульма однозначно с
точностью до изоморфизма. Данный параграф посвящен доказательству
этой теоремы и некоторым ее следствиям.
Методы установления изоморфизма между счетными
редуцированными р-группами с одинаковыми последовательностями Ульма
существенно используют технику последовательных продолжений
изоморфизмов между определенными подгруппами. По этой причине мы
сначала изучим продолжения изоморфизмов между подгруппами.
Пусть G — подгруппа р-группы А. Элемент а 6 А \ G называется
собственным относительно G, если для [обобщенной] высоты h* [по
простому числу р] справедливо неравенство
А* (а) ^ Я* (Ь) для всех Ъ 6 а + G,
т. е. если элемент а имеет максимальную высоту в определяемом им
смежном классе по подгруппе G. Таким образом, элемент а 6 А высоты
о является собственным относительно G тогда и только тогда, когда
a?pa+M+G.
Легко видеть, что это условие эквивалентно следующему: h* (а)
совпадает с высотой элемента a + Gb группе A/G. Заметим, что если
элемент а является собственным относительно подгруппы G, то
h*(a + g) = m\n(h*(a), A* (g)) для Есех gffi.
Очевидно, что если G — конечная подгруппа группы А, то есякий
смежный класс группы А по подгруппе G содержит элемент, собствен-
§ 77. Теорема Ульма
77
ный относительное. Это утверждение верно и в случае, когда G = ррА
1ср. лемму 37.1].
Пусть А — редуцированная ^-группа, G — ее подгруппа. Для
любого порядкового числа а положим
G(o) = (p^A + G)(]p°A[p].
Ясно, что это подгруппа группы р°А [р], содержащая ра+1А 1р].
Из сделанного выше замечания видно, что элемент а порядка р и
высоты о лежит в G (о) тогда и только тогда, когда он не является
собственным относительно G.
Кардинальное число
fo(A,G) = r(fl°A[p]lG(o))
однозначно определяется группой Л и ее подгруппой G. Оно
называется о-м инвариантом Ульма — Капланского группы А
относительно подгруппы G (Хилл [24]). Ясно, что fa (Л, G) ^ fa (А) для любой
подгруппы G группы А и любого порядкового числа а. Очевидно,
fa(A,0) = fa(A).
Легко видеть, что если изоморфизм г|э между р-группами А и С
переводит подгруппу G группы А в подгруппу Я группы С, то G (а)
обязательно отображается на Я (о). Следовательно, для любого а
изоморфизм гр индуцирует изоморфизм
4>(а): p°A\p]/G(o)-+p°C[pVH(e).
В частности, мы имеем
/о (A, G) = f0 (С, Я) для любого а
Пусть опять А и С — это р-группы, a G и Я — подгруппы групп А
и С соответственно. Говорят, что изоморфизм ср: G ->- Я сохраняет
высоту, если
A* (<pg) = A* (g) для любого g(zG.
Следует подчеркнуть, что высоты всегда берутся в группах С и А
соответственно.
Ясно, что ограничение всякого изоморфизма между группами А
и С является изоморфизмом, сохраняющим высоту.
Основной этап доказательства теоремы Ульма мы выделим в
следующую лемму, принадлежащую Капланскому и Макки [1]. Для
облегчения дальнейших рассуждений эта лемма сформулирована
в более сильной форме.
Лемма 77.1. Пусть А и С — редуцированные р-группы, а ф —
сохраняющий высоту изоморфизм между подгруппой G группы А и
подгруппой Я группы С. Предположим, что
fa{A, G)^f0(C, Я) для любого а A)
и
а0: p°A[p]/G(o)->p°C[p]/H(e)
— произвольные мономорфизмы для каждого в.
78 Гл. XII. р-группы с элементами бесконечной высоты
Если элемент а?А является собственным относительно подгруппы G
и ра ? G, то изоморфизм ср можно продолжить до сохраняющего высоту
изоморфизма
Ф*: (G, я)->(Я, с),
где с — такой элемент группы С, что при любом о мономорфизм аа
отображает <G, a) (o)/G (о) на (Я, с) (о)/Н (о).
Положив А* (а) = а, мы можем предположить, что элемент а
выбран в определяемом им смежном классе по подгруппе G не только
собственным относительно G, но и таким, что A* (pa) > а + 1, если
только это вообще возможно. Мы будем различать два случая в
соответствии с тем, возможно это или нет.
Случай I. Пусть A* (pa) = а + 1. Возьмем такой элемент с ? С
высоты а, что рс = ср (ра). Если с ? Н, то cpg = с для некоторого
ё 6 б, pg = ср-1 (рс) = ра, поэтому р (а — g) = 0,причем A* (а — g)=
= min (А* (а), Л* (g*)) = а, так как элемент а был собственным
относительно подгруппы G. Следовательно, а! = а — g — тоже элемент,
собственный относительно подгруппы G. Но А* (ра') > а + 1, а это
противоречит выбору элемента а. Таким образом, с $ Я. Если
элемент с не является собственным относительно подгруппы Я, т. е.
А* (с + А) > а для некоторого А ? Я, где обязательно А* (А) = а, то
а < А* (с + А) < А* (рс + ph) = А* (ра + рф_1А). Отсюда для а' =
= а + ф_1А имеем А* (а') = min (А* (а), А* (А)) = а и А* (ра') >
> а + 1, что противоречит выбору элемента а. Следовательно, с (J Я
и с — элемент, собственный относительно подгруппы Я.
Случай II. А* (ра) > а + 1. Пусть pa = pb, где 6 6 рст+М. Тогда
элемент а — Ь 6 А [р] имеет высоту а и является собственным
относительно подгруппы G, так как иначе А* (а — Ь + g)> о для некоторого
g 6 G и А* (а + g) > а — противоречие. По сделанному ранее
замечанию а — Ь (J G (а), поэтому существует такой элемент а 6 раС [р],
что аа: а — b + G (о) у-* и + Н (о). Очевидно, элемент и является
собственным относительно подгруппы Я. Так как изоморфизм ср
сохраняет высоту, можно найти такой элемент d ? ра+1С, что pd ==
= ф (ра) 6 Я. Теперь с = d + и — элемент, собственный
относительно подгруппы Я, и А* (с) = а, рс = ф (ра) 6 Я.
В обоих случаях продолжим изоморфизм <р до изоморфизма ф*:
(G, а)-*- (Я, с), положив ф* (а) = с. Чтобы проверить, что ф* также
сохраняет высоту, заметим, что для любого g ? G
h*(a+g) = mm(h*(a), h* (g)) = min(A* (с), h*{<p(g)))=h*(c + q>(g)).
Чтобы проверить справедливость последнего утверждения леммы,
отметим, что если р < or, то из включения a ? рр+1А следует равенство-
(G, а) (р) = G (р), а если р > а, то то же самое равенство вытекает
из того факта, что элемент а является собственным относительно
подгруппы G. Аналогичное равенство справедливо для подгруппы Я
§ 77. Теорема Ульма
19
и элемента с. Если р = а, то в случае I ни для каких элементов
g 6 G, а' 6 Ра+М не может выполняться р (а — g + а') = 0, поэтому-
снова (G, а) (о) = G (а) и, аналогично, (Я, с)(в) = Н (а). В
случае II имеем (G, а) (а) = {a — b)@G (а) и (Я, с> (а) = <ы> 0 Я (а),
и выбор элемента и гарантирует, что аа индуцирует нужный
изоморфизм. ¦
Естественно, если мономорфизмы аа заранее не заданы, то в
случае II можно взять любой элемент и ? Р°С [р] \ Я (а).
Заметим, что последняя часть предыдущего доказательства
показывает, что все инварианты Ульма — Капланского группы Л
относительно подгрупп G и (G, а), кроме, быть может, а-го, совпадают,
а а-е инварианты могут оказаться связанными следующим образом:
fa (Л, (G, а)) + 1 = /а (Л, G). Отсюда, очевидно, получается
Следствие 77.2. В предположениях леммы 77.1 равенство в
формуле A) приводит к равенству
/0(Л, <G,a>) = fa(C, (Я, с))
для любого a. в
Теперь можно показать, что справедлива основная
ТеорЕМА 77.3 (Ульм [1]). Счетные редуцированные р-группы А и С
изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый ульмов-
ский тип т и для любого порядкового числа о << т их ульмовские факторы
А0 и С0 изоморфны.
Последнее имеет место в том и только в том случае, когда
инварианты Ульма — Капланского групп А и С совпадают.
Так как Л и С — счетные р-группы, то Л G и Са — прямые суммы
циклических р-групп. Заметим, что число циклических прямых
слагаемых порядка рп в разложениях групп Л G и Са совпадает с (соа +
+ п — 1)-м инвариантом Ульма — Капланского групп Л и С
соответственно. Поэтому достаточно показать, что если у групп Л и С
совпадают соответствующие инварианты Ульма — Капланского, то эти
группы должны быть изоморфны.
Элементы групп Л и С можно упорядочить по типу со:
Л = {аъ . . ., ап, . . .}, С = {с19 . . ., сп, . . .}.
Предположим, что 0 = G0 cz Gx cz . . . с: Gn и 0 = Я0 cz Н1 cz . . .
. . . cz Нп — конечные подгруппы групп Л и С соответственно, такие,
что для i = 0, 1, . . ., п существует сохраняющий высоту изоморфизм
ФГ-Gi ->¦ Ht со свойством фп | Gt = cpj. Если п — четное число, возьмем
первый элемент ak, не лежащий в Gn, и продолжим изоморфизм срп
до сохраняющего высоту изоморфизма фп+1 между подгруппой Gn+1 =
= (Gn, ak) и некоторой подгруппой Яп+1 группы С, содержащей Яп.
В силу леммы 77.1 это возможно, так как присоединения элемента ah
к конечной группе Gn можно добиться путем последовательного
добавления элементов а, удовлетворяющих условиям леммы 77.1. Если п —
so
Гл. XII. р-группы с элементами бесконечной высоты
нечетное число, то выберем первый элемент си не лежащий в Яп,
и продолжим фй1 до изоморфизма между подгруппой Яп+1 = (Нпу ct >
и некоторой подгруппой Gn+1 группы А. В силу следствия 77.2 на
каждом шаге будет выполняться условие A). Ясно, что изоморфизмы
<рд (я = 0, 1, . . .) в конце концов определяют изоморфизм между
группами А и С. ш
Из этого доказательства вытекает
Следствие 77.4 (Цыпин [1]). Если А и С — счетные р-группы с
одинаковыми инвариантами Ульма — Капланского, то всякий изоморфизм
между ррА и ррС (для любого порядкового числа р) продолжается до
изоморфизма между группами А и С.
Хотя это утверждение непосредственно следует из более общей теоремы 83.4,
.дадим здесь независимое доказательство.
Нам нужно лишь проверить, что если в лемме 77.1 элемент а лежит
в рМ, то можно взять с = ура ? р^С, где ур: /?р А ->¦ ррС — заданный
изоморфизм. Заметим, что изоморфизм \р сохраняет высоту: если
элемент а имеет высоту а в /?М, то он имеет высоту р + сг в группе А.
Следовательно, нужно только проверить, что элемент -фа является
собственным относительно подгруппы Н. Если бы это было не так,
т. е. если бы было h* (ура + h) i> h* (ура) для некоторого h 6 Н, то из
ура + h ? р9С вытекало бы h* (а + гр-1/г) = h* (ура + /i) > h* (а) —
противоречие. в
Теоремы 17.3, 76.2 и 77.3 Прюфера, Цыпина и Ульма соответственно
дают полную классификацию счетных редуцированных р-групп. Можно
сказать, что эти три теоремы составляют хорошую структурную теорию
для этих групп.
Здесь можно сделать несколько замечаний об инвариантах.
Пусть группа А является р-группой ульмовского типа т. Из ее инвариантов
Ульма — Капланского fa (А) можно составить матрицу
7оИ) fi(A) ... U (Л)..
/(ОЙ /cD+lM) •-. /(В+пИ) •'
\(Л) =
/сор \А) Iсор+1 (А) ... /(ор+п (А) ..
B)
строчки которой можно занумеровать с помощью порядковых чисел a < т,
а столбцы — с помощью неотрицательных целых чисел. Можно коротко сказать,
что это т X со-матрица. Если группа А счетна, то ее тип т счетен и каждое
кардинальное число fa (А) есть или неотрицательное целое число, или х0.
Неограниченность ст-го ульмовского фактора Аа (где сг + 1 < т) эквивалентна тому,
что в a-й строке бесконечно много кардинальных чисел отлично от нуля. Таким
образом с каждой счетной редуцированной р-группой А типа т связывается
т X со-матрица, удовлетворяющая следующим условиям:
1) т — счетное порядковое число;
2) элементы матрицы — неотрицательные целые числа или к0;
3) каждая строка, кроме, быть может, последней, если она существует,
содержит бесконечное число элементов, отличных от нуля.
§ 77. Теорема Ульма
81
Теперь теорему Ульма 77.3 можно интерпретировать как утверждение, что
матрицы вида B) составляют полные системы инвариантов для счетных
редуцированных р-групп [т. е. две такие группы изоморфны тогда и только тогда,
когда соответствующие им матрицы равны]. Так как установить, равны ли две
матрицы, элементы которых — кардинальные числа, легко, то наши матрицы
представляют собой достаточно хорошие системы инвариантов. Теорема Цыпина
76.2 утверждает, что всякая т X со-матрица со свойствами 1) — 3) соответствует
счетной редуцированной р-группе. Поэтому рассматриваемые матрицы являются
независимыми системами инвариантов.
Открытие указанного взаимно однозначного соответствия между счетными
редуцированными р-группами и матрицами со свойствами 1) — 3), несомненно,
является одним из наиболее значительных достижений в теории абелевых групп.
Конечно, мы можем изменить форму записи и расположить инварианты
Ульма — Капланского f0 (А) группы А в виде вполне упорядоченной
последовательности
/о (А), . . ., fn (А), . . ., UA), . . ., fa (А), ... (а < т),
где т на этот раз обозначает длину группы А. Условия 1) и 2) здесь сохранятся,
а условие 3) нужно будет заменить условием
3') если о + со < т, то бесконечно много кардинальных чисел /а (А), . . .
. • •> fo+n И), ... (д < со) отлично от нуля.
В качестве приложения изложенной теории дадим доказательства
следующих двух результатов.
Предложение 77.5. Всякая бесконечная счетная редуцированная
р-группа разлагается в прямую сумму бесконечного числа
нетривиальных групп.
Пусть группа А удовлетворяет заданным условиям, и пусть Аа
@^а<т) —ее последовательность Ульма. В силу теоремы 17.2
достаточно рассмотреть случай, когда группа А неограничена. Используя
теорему Прюфера 17.3, разложим каждую группу Аа (а + 1<т)
со
в бесконечную прямую сумму неограниченных групп Goi, AG= © Gai.
г=1
Если группа Лх-1 существует и является ограниченной, положим
GT_lll = J4x-i и Gt_i, i=0 при t^2. В силу теоремы Цыпина 76.2 для
каждого i существует счетная редуцированная /7-группа Gt,
последовательностью Ульма которой служит последовательность групп Goi
со
@^а<Ст). Теперь © Gt — счетная редуцированная р-группа с той же
г=1
последовательностью Ульма, что и группа А. Из теоремы 77.3 полу-
со
чаем, что Л^ф Gt. ш
ПрЕдложЕние 77.6 (Бэр [1]). Счетная редуцированная р-группа А
обладает тем свойством, что любые два ее прямых разложения имеют
изоморфные продолжения, тогда и только тогда, когда ульмовский тип
группы А равен 1.
Если ульмовский тип группы А равен 1, то нужное свойство
группы А вытекает из следствия 18.2,
82 Гл. XII. р-группы с элементами бесконечной высоты
Если ульмовский тип группы А больше 1, то разложим ее ульмов-
ские факторы А0 = GG (& Н0 (О ^ сх < т) таким образом, чтобы
GG и Н0 были неограниченными группами [если А0 —
неограниченная группа], не имеющими циклических прямых слагаемых общих
порядков. Пусть G и Н — счетные редуцированные /7-группы с
последовательностями Ульма Ga @^а<т) и Н0 @^а<т)
соответственно. Пусть, далее, С ий' — счетные редуцированные р-группы
с последовательностями Ульма G0, Н0 A ^ о < т) и Я0, Ga A ^ а <
< т) соответственно. По теореме Ульма 77.3 имеем Л^бфЯ =
s^ G' © #'. Эти прямые разложения не могут обладать изоморфными
продолжениями, так как никакие два ненулевых циклических прямых
слагаемых групп G и Н' [G' и Н] не могут быть изоморфными, а группы
G и G' не изоморфны. ¦
Приведем теперь примеры, показывающие, что для /7-групп
мощности > нх теорема Ульма в общем случае уже не верн^
Заметим, что две эквивалентные формулировки теоремы Ульма [ульмовские*
факторы или инварианты Ульма — Капланского определяют счетную
редуцированную р-группу с точностью до изоморфизма] уже не эквивалентны в случае
р-групп больших мощностей. Причина, видимо, состоит в том, что в несчетном
случае уже не верна теорема Прюфера. [Напомним, что периодически полная
р-группа В и ее базисная подгруппа В имеют одинаковые инварианты Ульма —
Капланского.] Таким образом, следующие примеры показывают, что справедливо
более сильное утверждение: даже ульмовские факторы в общем случае не опреде^
дяют несчетные р-группы.
Пример 1. Пусть Ап (п < со) — последовательность неограниченных
счетных сепарабельных р-групп. По теореме 76.1 существуют р-группы Л и Л'
мощности к0 и кх соответственно, последовательностью Ульма которых служит
данная последовательность.
Пример 2. Пусть С — прямая сумма циклических р-групп и | С \ = к2.
Если А и Л' — группы из примера 1, то обе группы Л © С и А1 © С имеют
мощность а*! и одинаковые последовательности Ульма. Но эти группы не
изоморфны, так как их первые ульмовские подгруппы имеют мощность к0 и Xj
соответственно.
Пример 3 (Куликов [2]). Пусть Л0 — периодически полная группа с ба-
оо
зисной подгруппой В = ф Z (рп), и пусть А± — прямая сумма 2Ко циклических
групп порядка р. Возьмем две р-группы Л и С с последовательностью Ульма Л0,
Аг. Используем специальную конструкцию, которая будет дана в лемме 105.1,
причем при определении группы Л в формуле E) никогда не будем полагать pvjt =
= 0, а при определении группы С положим pvjx = 0 для множества индексов /
мощности континуума. Обе группы Л и С имеют мощность 2No и одинаковые
последовательности Ульма, но | Л [рУА1 | = к0, а | С [рУС1 \ = 2No, поэтому
группы Л и С не изоморфны.
Упражнения
1. Если G, Н — подгруппы группы А и G ^ Я, то fa (A, G) >
> fa (Л, Н) для любого а.
2. Показать, что для любого р справедливо равенство fa (А, /?М) =
= 0 или f0 (Л, ррЛ) = fa (А) в зависимости от того, р < а или р > а.
§ 77. Теорема Ульма
83
3. Пусть А и С — счетные р-группы. В терминах инвариантов
Ульма — Капланского этих групп найти условия, при которых
группа С изоморфна прямому слагаемому группы А.
4. Если А и С — счетные р-группы, каждая из которых изоморфна
прямому слагаемому другой группы, то А ^ С.
5. (Капланский [3]). Если А — счетная р-группа, а для группы С
имеет место изоморфизм А © А ^ С © С, то А ^ С.
6. Говорят, что группа А обладает свойством сокращения для
счетных р-групп, если для счетных р-групп G, Н изоморфизм А © G =
= А © Н влечет за собой G ^ Н. Показать, что счетная
редуцированная р-группа А обладает этим свойством тогда и только тогда, когда
все ее инварианты Ульма — Капланского конечны.
7. В терминах инвариантов Ульма — Капланского найти
необходимые и достаточные условия, при которых счетная
редуцированная р-группа А обладает свойством А ф А ^ Л.
8. (а) Счетная редуцированная р-группа А имеет прямое
слагаемое, являющееся неограниченной прямой суммой циклических
групп, тогда и только тогда, когда она неограниченная.
(б) Дать полное обозрение прямых слагаемых группы примера
Прюфера из § 35.
9. (а) Счетная редуцированная р-группа А ульмовского типа х
тогда и только тогда имеет прямое слагаемое ульмовского типа а,
когда а ^ т.
(б) Счетная редуцированная р-группа А длины т имеет прямое
слагаемое длины сг тогда и только тогда, когда или а — предельное
порядковое число, причем а ^ т, или fG_1(A)=^= 0.
10. Если А — счетная р-группа ульмовского типа т, то
Л= ф G0f
где GG имеет ульмовский тип о. Если т — предельное порядковое
число, то достаточно суммировать по всем а < т.
11. (а) Для любого счетного порядкового числа т существует
такая счетная р-группа G (т) ульмовского типа т, что всякая счетная
редуцированная р-группа, ульмовский тип которой не превосходит т,
изоморфна прямому слагаемому группы G (т).
(б) Существует такая р-группа мощности нг и ульмовского типа colf
что всякая счетная редуцированная р-группа изоморфна прямому
слагаемому этой группы. [Указание: ф G (т).]
12 (Ирвин и Уокер [2]). Пусть А — некоторая р-группа, а а —
порядковое число. Показать, что для любого порядкового числа
р<а выполняется равенство /р (А) = /р (Я), где Н — произвольная
рМ-высокая подгруппа группы А.
13 (Хилл и Меджиббен [4]). Обобщить следствие 77.4 на случай,
когда предполагаются счетными только группы А/р^А и С/ррС.
84 Гл. XII. р-группы с элементами бесконечной высоты
§ 78. Прямые суммы счетных р-групп
Колеттис [1] заметил, что значительная часть теории счетных
р-групп может быть перенесена на прямые суммы этих групп.
В настоящем параграфе мы рассмотрим этот более широкий класс
р-групп.
Ясно, что прямые суммы циклических р-групп принадлежат классу
прямых сумм счетных р-групп. По теореме Прюфера 17.3 сепарабель-
ная прямая сумма счетных р-групп должна быть прямой суммой
циклических групп. В силу леммы 37.5 справедлива
Лемма 78.1. Ульмовские факторы прямых сумм счетных р-групп
являются прямыми суммами циклических групп. ш
Обратное неверно: существуют редуцировенные р-группы, все ульмовские
факторы которых — прямые суммы циклических групп, но которые не являются
прямыми суммами счетных групп [см. упр. 2].
Легко проверить, что ульмовские подгруппы А0 прямой суммы А
счетных р-групп также являются группами такого вида; таковы же
подгруппы р°А.
Очевидно, что базисная подгруппа счетной редуцированной
р-группы всегда имеет ту же мощность, что и сама группа. Следовательно,
для базисной подгруппы В прямой суммы А счетных редуцированных
р-групп выполняется равенство | В \ = | А |. Заметив, что \ В \ =
= 2 fk (А)у если | В | бесконечно, для любой прямой суммы А СЧеТ-
ных редуцированных р-групп получаем
И1= S fk(A),
ft<CD
если только группа А бесконечна.
Так как ульмовский тип счетной р-группы счетен, а ульмовский
тип прямой суммы равен верхней грани ульмовских типов слагаемых,
то справедлива
Лемма 78.2. Порядковое число % является ульмовским типом
некоторой прямой суммы счетных р-групп в точности тогда, когда
% ^ щ. в
Позднее в теореме 82.4 мы дадим критерий разложимости
редуцированной р-группы в прямую сумму счетных р-групп. Наша
ближайшая задача — получить структурную теорему, показав, что
инварианты Ульма — Капланского составляют полную систему инвариантов
для прямых сумм счетных р-групп.
Приведенное ниже доказательство теоремы 78.4 основывается на
сделанном Ричменом и Уокером [3] замечании, что для
распространения теоремы Ульма со случая счетных р-групп на случай их прямых
сумм теория групп фактически не нужна. В самом деле, следующая
простая теоретико-множественная лемма даст нам все необходимое
для доказательства теоремы 78.4.
§78. Прямые суммы счетных р-групп
85
Лемма 78.3 (Ричмен' и Уокер [3]). Пусть ш — бесконечное
кардинальное число, X — некоторое множество и ft, gt (i 6 /) — функции,
определенные на множестве X и принимающие значения в классе
кардинальных чисел, для которых
а) 2 f t (х) = 2 gi (х) пРи любом х ? X;
б) 2 lA(*)+g*(*)]^m при любом /?/.
Тогда существует такое разбиение I = U //, что
1) IA/I^m для каждого j?J;
2) 2 ft(x)= 2 gi(x) для всякого j?J и любого х?Х.
Нам удобно будет предполагать, что / — множество порядковых
чисел, меньших первого порядкового числа сот мощности | /1. Так как
при 2/iW^m проверять нечего, предположим, что 2 А (*)>***•
г?1 г?1
По условию а) существует такое подмножество /^ множества /,
что М*)^2 gt(x) Для любого х?Х. В силу условия б) подмноже-
ство Li можно выбрать так, чтобы выполнялись условия 0 ? Lb | Li |^ш.
Аналогично, существует такое подмножество L2 множества /, что
Li^L2, |l2|^m и 2 Ы*)> 2 gt(x) Для всех *?^- Существует,
i?L2 i?Li
далее, такое подмножество LS^I, что L2^L3, |L3|^m и 2 fi(x)^
i?L2
оо
<2?i W Для всех *6^ и т. д. Объединение /0 = U in удовлетво-
ряет условиям 1) и 2) при / = 0.
Так как 2 ft (х) ^ ш> а 2 A (*) > т» Т0 условие а) будет
г?1о г?1
по-прежнему выполняться, если заменить / на / \ /0. Начав с первого
индекса в / \ /0, повторим наш процесс трансфинитно и получим /4
и т. д. Через (ох шагов мы получим нужное разбиение множества /. а
Теперь будет доказана
Теорема 78.4 (Коллеттис [1]). Две прямые суммы счетных
редуцированных р-групп изоморфны тогда и только тогда, когда у них
совпадают соответствующие инварианты Ульма — Капланского.
Пусть А и С — группы такого вида, скажем длины т, причем
fa(A) = f0(C) для всех а < т. За исключением конечного случая
всегда | А \ = 2 fk (А) = 2 fh (С) = I С |, откуда ясно, что если
ft<0) fc<©
одна из групп А или С счетна, то другая тоже счетна, и изоморфизм
А ^ С следует из теоремы 77.3.
86 Гл. XII. р-группы с элементами бесконечной высоты
Если данные группы несчетны, то можно написать
А=®АЬ и c=ect,
где Аи Ct — счетные редуцированные р-группы и | Л | = | / | =
= | С |. Используем лемму 78.3 для случая, когда ш = к0, X —
множество порядковых чисел сг < т, ft (а) и gt (а) — инварианты
Ульма — Капланского групп At и Ct соответственно, имеющие
номер а. Очевидно, условия а) и б) выполнены. Взяв разбиение / =
= U //, удовлетворяющее условиям 1) и 2), образуем группы Gj =
= 0 At и Hj = © Ct. Ясно, что Gj и Hj— счетные р-группы
щ teij
с одинаковыми инвариантами Ульма — Капланского. Следовательно,
Gj ^ Hj при любом /. Так как Л = 0 Gj и С = © #у, требуемый
изоморфизм очевиден. в
Прямые слагаемые прямых сумм счетных р-групп сами являются
группами такого вида — это сразу следует из предложения 9.10.
Но, как показывает следующий пример, их подгруппы уже не обязаны
быть прямыми суммами счетных р-групп.
Пример (Нунке [6]). Пусть Л — группа из примера § 35 и В —
периодическое пополнение группы В = © Z (рп). Мы утверждаем, что
П < (О
G = Тог (Л, В) ? © А (где с = 2*°),
с
но G не будет прямой суммой счетных р-групп.
Существует мономорфизм а: В ->- ф Z (р°°), который в силу теоремы 63.1
с
индуцирует мономорфизм
а*: Тог (Л, В) ->- Тог (Л, ф Z (р~)) д* ф Тог (Л, Z (р«)) ^ ф Л.
ее с
Из леммы 64.2 следует, что р^Тог (Л, В) = Тог (р*А, р^И) = 0. Таким
образом, если бы группа G была прямой суммой счетных р-групп, она была бы
прямой суммой циклических групп. Из сервантно точной последовательности
6-»-Bh-B->0Z (р00) ->- 0 получаем точную последовательность 0 -> С =
с
= Тог (Л, В) ->- G -*¦ ф Л -*¦ 0. Здесь | p®(GlC) | = с, тогда как если бы группа
с
G была прямой суммой циклических групп, то ее счетную подгруппу С можно
было бы вложить в счетное прямое слагаемое D группы G и группа p^ifilC) =
= р® (DlC) была бы счетной. Таким образом, получено противоречие.
Обратимся теперь к проблеме существования. Основной вопрос:
какие вполне упорядоченные последовательности
т0, ш4, ..., та, ... (<5<С.х)
кардинальных чисел могут быть инвариантами Ульма —
Капланского прямой суммы счетных р-групп? В силу леммы 78.2 очевидным
необходимым условием является неравенство т ^ <ох. Чтобы получить
§ 78i Прямые суммы счетных р-групп
87
полный ответ на поставленный вопрос, рассмотрим функции g,
принимающие значения, являющиеся кардинальными числами, и
определенные на множестве порядковых чисел, меньших т, где т —
заданное порядковое число [сейчас можно считать, что оно не превосходит
<ох]. Функцию g назовем %-допустимой, если выполнены следующие
условия:
1) T = sup{a+l|?(a)^:0},
2) 2 ?(рК2 ?(^ + п) Аля всех 0» Для которых a + со<т.
Р>сг-4-ю п<со
Функция g, удовлетворяющая условию 1), называется функцией
длины т.
Нам понадобится следующая лемма [доказанная Э. Уокером].
Лемма 78.5. Если х — предельное порядковое число, то %-допустимая
функция является суммой допустимых функций, длины которых
меньше т.
Пусть g есть т-допустимая функция, где т — предельное
порядковое число. Для всех р < т рассмотрим кардинальные числа шр =
== 2 ?И« Среди них имеется наименьшее. Пусть К — индекс перво-
р^сг<т
го наименьшего кардинального числа шр, и пусть / = {v | Я ^
< v< т}.
Для каждого предельного порядкового числа р<т рассмотрим
кардинальное число
np=min 2 g(9+n)-
Очевидно, np ^ | J |. Проверка того, что ограничение /р функции g
на интервале [р, р + о>) можно представить в виде
/р == 2л /pv»
где
S /pv(p-f я)^Ир для всех &<со,
является простым упражнением по арифметике кардинальных чисел.
[Это эквивалентно тому, что прямую сумму циклических /7-групп,
имеющую финальный ранг п, можно представить в виде прямой
суммы п или меньшего числа слагаемых, каждое из которых имеет
финальный ранг п.] Полагая /pv (a) = 0 при сг < р или а ^ р + о,
определяем
Av = 2^pv для любого v?J.
88 Гл. XII. р-группы с элементами бесконечной высоты
Очевидно, g" = 2^v и 2 Av(a + ^)> 2 g(p) Для всякого a
v?J n<@ p>a+a)
и любого v. Наконец, пусть
gv(<T) = <
/zv(a), если a<v,
2 Лц(ог), если a = v,
^ 0, если a>v.
Тогда gv имеет длину v + 1 <т и 2gv = g. В силу неравенств
V
2 ?v(<J + n)= S М° + ")> 2 #(Р)> S «Tv(p),
справедливых для всякого a, для которого a + со< v + 1,
получаем, что gv есть (v + 1)-допустимая функция. в
Теперь теорему существования для прямых сумм счетных р-групп
можно доказать без труда.
Теорема 78.6 (Колеттис [1]). Пусть g — функция, определенная на
множестве порядковых чисел, меньших т, и принимающая значения,
являющиеся кардинальными числами. Прямая сумма А счетных
редуцированных р-групп > имеющая длину х и обладающая свойством
f0A = g (а) для всех or < т,
существует тогда и только тогда, когда х ^ щ и g есть х-допустимая
функция.
Чтобы доказать необходимость, покажем, что /0 (А) является
х-допустимой функцией. Условие 1) очевидно. Чтобы проверить
справедливость условия 2), заметим, что для всякого а и любой прямой
суммы А счетных редуцированных р-групп имеет место равенство
I РаА I = 2 fo+n (А), если группа р°А бесконечна. С другой сторо-
ны, для всякого а и любой р-группы А верно неравенство 2 /р (А) ^
а^р
^ | р°А |. Отсюда сразу следует условие 2).
Обратно, пусть g есть т-допустимая функция, где т ^ (ох. Если
х — предельное порядковое число, то по лемме 78.5 найдутся
^-допустимые функции giy для которых %i < х и 2 ?t = ?- Если At —
прямая сумма счетных редуцированных р-групп, причем ее
инварианты Ульма — Капланского при a < xt равны gt (а), то, очевидно, для
группы А = © At при любом a < х справедливо равенство /ст (А) =
= g (а). Если х = р + п, где р — предельное порядковое число,
а п — натуральное число, то пусть группа С длины р будет такой
прямой суммой счетных р-групп, что fa (С) = g (а) при a < р. Чтобы
§ 78. Прямые суммы счетных р-групп
89*
построить группу Л, для которой
п-1
А/ррА^С и рАе* © © Z(p*+i),
нам остается лишь выделить прямую сумму g (р) + . . . + g (р +
+ п — 1) счетных слагаемых Ct длины р из группы С [в силу
условия 2) это возможно] и заменить эти слагаемые Ct группами Аи для
которых AtlpvAi^Ci и /?M*=Z(pft+1) [в силу следствия 76.2
такие группы Аь существуют], причем
©рМ^ © © Z(pk+i).
г fc=0 g(Q+k)
Прямая сумма А всех групп Л^ и не изменявшихся компонент
группы С будет обладать требуемыми свойствами. в
Упражнения
1. Всякий ульмовский фактор прямой суммы счетных р-групп
длины о)! имеет мощность не меньше хг.
2. Ульмовские факторы группы А' примера 1 из § 77 являются
прямыми суммами циклических групп, но А' — не прямая сумма
счетных р-групп. [Указание: ее базисная подгруппа счетна.]
3. Пусть Л = ф А и где А{ — счетные редуцированные р-группы„
г?1
а множество / несчетно. Показать, что для любого порядкового числа а
число слагаемых A t длины, большей а, является инвариантом группы А „
если оно несчетно.
4. Для любого кардинального числа п > н0 существует прямая
сумма А счетных р-групп, имеющая мощность п и такая, что всякая
прямая сумма счетных р-групп мощности п изоморфна прямому
слагаемому группы Л. Группа Л определена однозначно с точностью да
изоморфизма.
5. Мощность множества неизоморфных прямых сумм счетных
р-групп бесконечной мощности х0 равна (| а | + k0)Ni.
6. Если Л и С — прямые суммы счетных р-групп, каждая из
которых изоморфна прямому слагаемому другой группы, то Л ^ С.
7. Если Л — прямая сумма счетных р-групп иЛ © Л ^ С © Сг
то Л ^ С.
8 (Колеттис [1], Шарль [6]). Пусть Л — такая р-группа, что Л1 —
счетная группа и А/А1 = Л0 — прямая сумма циклических групп.
Показать, что Л — прямая сумма счетных р-групп. [Указание:
существует счетная сервантная подгруппа С группы Л, содержащая Л1;
вложить С в подгруппу С так, чтобы группа С/А1 служила для А^
прямым слагаемым, и показать, что С — прямое слагаемое группы Л Л
9 (Хилл [8]). Провести доказательство теоремы 78.4 следующим
образом. Пусть Л = ® Аи С = © С/ (At и С/ — счетные редуциро-
ванные р-группы), и пусть ер — сохраняющий высоту изоморфизм
<Ю Гл. XII. р-группы с элементами бесконечной высоты
между цоколями А [р] и С [р]. Обозначим через ~ наименьшее
отношение эквивалентности на множестве J, для которого / ~ /', если
Cj и Су пересекаются нетривиальным образом с одной и той же
подгруппой фЛ| [/?]. Показать, что классы эквивалентных между собой
элементов счетны, сгруппировать соответствующим образом слагаемые
«С/, применить ф-1 для получения группировки слагаемых At и
проверить, что прямые суммы в соответствующих группах изоморфны.
§ 79. Хорошие подгруппы
Прежде чем начать изложение общей теории /?-групп, которые
можно охарактеризовать их инвариантами Ульма — Капланского,
мы рассмотрим некоторые важные типы подгрупп. Этот и следующий
параграфы посвящены их более или менее систематическому изучению.
Детальный анализ доказательства Капланского — Макки
теоремы Ульма [см. теорему 77.3] привел Хилла к открытию важного
типа подгрупп, обладающих теми из свойств конечных подгрупп,
которые встречаются в доказательстве. Обилие таких подгрупп в р-груп-
пе (точный смысл этого выражения указан в § 82) будет гарантировать,
что эта группа однозначно определяется своими инвариантами Ульма—
Капланского.
Подгруппа N р-группы А называется хорошей, если всякий
ненулевой смежный класс группы А по подгруппе N содержит элемент,
собственный относительно подгруппы N. Другими словами, для
любого смежного класса а + N (а ? А \ N) существует такой
элемент х 6 N, что
h*A (а + х)= h*AJN (a + N),
где индексы [которые мы можем дальше не писать, Taic как это не
вызовет недоразумений] показывают, о высотах в какой группе идет
речь.
Следующее простое замечание будет полезно при выяснении,
является ли подгруппа хорошей.
Лемма 79.1. Если N — такая подгруппа р-группы А, что любой
смежный класс группы А по этой подгруппе, высота которого является
предельным порядковым числом, содержит элемент, собственный
относительно N, то N — хорошая подгруппа группы А.
Всякий элемент смежного класса высоты 0 имеет высоту 0.
Применим трансфинитную индукцию. Предположим, что смежные классы
высоты, не превосходящей а, содержат элементы, собственные
относительно подгруппы N, и пусть А* (а + N) = а + 1. Тогда рЪ + N =
= а + N для некоторого b 6 А, такого, что A* (b + N) = а, причем
можно предположить, что А* (Ь) = о. Тогда A* (pb) ^ а + 1, а так
как строгое неравенство невозможно-, то элемент рЬ собственный
относительно N. На предельных местах все получается по условию. в
§ 79. Хорошие подгруппы
91
Хорошие подгруппы характеризуются в следующей лемме.
Лемма 79.2 (Хилл [24]). Подгруппа N р-группы А является хорошей
тогда и только тогда, когда
р° (A IN) = (р°А + N)IN для любого порядкового числа а. A)
Заметим, что р° (A IN) — это множество всех элементов из A IN,
высоты которых не меньше а, а (раА + N)/N — образ подгруппы раА
при каноническом отображении А -> A/N. Следовательно, для любой
подгруппы N группы А включение з очевидно. Подгруппа N является
хорошей в группе А тогда и только тогда, когда каждый смежный
класс из р° (A/N) имеет в группе А представителя, высота которого
также не меньше а. Таким образом, обратное включение имеет место
в том и только в том случае, когда N — хорошая подгруппа. в
Другими словами, лемма 79.2 утверждает, что N является хорошей
подгруппой в А тогда и только тогда, когда для точной
последовательности 0 ->- N —> А -^ С-*- 0 [где а — вложение] и любого
порядкового числа а отображение раА ->¦ pGC, индуцированное
отображением р, сюръективно.
Чтобы исследовать это новое понятие, мы отметим приводимые
ниже свойства; их доказательство не представляет труда.
а) Прямые слагаемые являются хорошими подгруппами.
б) Конечные расширения хороших подгрупп являются хорошими
подгруппами.
в) Подгруппы группы Л, замкнутые в ее р-адической топологии,
являются хорошими. [Заметим, что подгруппа N замкнута в /7-адиче-
ской топологии тогда и только тогда, когда все смежные классы (ФЫ)
по подгруппе N имеют конечную высоту.]
г) Пусть Nt — подгруппа группы Аи i ? /. Тогда © Л^ является
хорошей подгруппой группы ф At в том и только в том случае, когда
«6/
каждое слагаемое Nt — хорошая подгруппа группы At.
д) Для любого порядкового числа а подгруппа раА является
хорошей в А [см. лемму 37.1].
е) Хорошая подгруппа N группы А может не быть хорошей в
подгруппе группы Л, содержащей N. [Заметим, что в делимой группе
всякая подгруппа хорошая.]
ж) Свойство быть хорошей подгруппой не транзитивно [см. упр. 9],
но справедливо следующее: подгруппа N группы р°А является
хорошей в р°А тогда и только тогда, когда она хорошая в А. Это сразу
следует из очевидного соотношения h\ (а) = о + /уи (а) для всех
а?р°А. Кроме того, если N — хорошая подгруппа группы Л, то
N [} р°А — хорошая подгруппа группы р°А.
Следующая лемма дает нам часто используемые сведения о хороших
подгруппах.
92 Гл. XII. р-группы с элементами бесконечной высоты
Лемма 79.3. Пусть N и М — подгруппы р-группы А> причем N ^
? М ? А. Тогда
1) если М—хорошая подгруппа группы Л, то M/N — хорошая
подгруппа группы A/N;
2) если N — хорошая подгруппа группы А и M/N — хорошая
подгруппа группы A/N, то М—хорошая подгруппа группы А.
Чтобы проверить справедливость утверждения 1), предположим,
что А* (а + M/N) = а. Проведем индукцию по о. Учитывая лемму 79.1,
предположим, что о — предельное порядковое число и что все
смежные классы по подгруппе M/N высоты меньше о содержат смежные
классы по подгруппе N, собственные относительно M/N. Тогда для
любого порядкового числа р < а существует такой элемент xQ ? М,
что А* (а + х9 + N) > р. Поэтому А* (а + М) > а, а так как
обратное неравенство очевидно, то А* (а + М) = а. Поскольку по
предположению М — хорошая подгруппа группы Л, то А* (а + х) = в
для некоторого х 6 М. Отсюда следует, что высота А* (а + х + N)
равна а, так как больше о она получиться не может.
При предположениях п. 2) из А* (а + М) = о следует, что
существуют у ? М, для которого А* (а + у + N) = а, и х ? N, для
которого А* (а + у + х) = а. в
Из леммы 79.3 получаем
3) Если N — хорошая подгруппа группы Л, то при естественном
соответствии между подгруппами группы Л, содержащими
подгруппу N, и подгруппами группы AIN хорошие подгруппы соответствуют
хорошим.
Упражнения
1. Если М, N — подгруппы группы А и а ? А—элемент,
собственный и относительно М, и относительно N, то а — элемент,
собственный относительно М П АЛ
2. (а) Если N — хорошая подгруппа редуцированной р-группы Аг
то AIN — редуцированная группа.
(б) Базисная подгруппа р-группы А является хорошей в том
и только в том случае, когда она — редуцированная часть группы А.
3. (а) Подгруппа сепарабельной р-группы является хорошей тогда
и только тогда, когда она замкнута в р-адической топологии.
(б) В периодически полной р-группе сервантная подгруппа
является хорошей в том и только в том случае, когда она выделяется в ней
прямым слагаемым.
4. Сервантная подгруппа может не быть хорошей.
5. Все подгруппы р-группы А являются хорошими тогда и только
тогда, когда А — прямая сумма ограниченной группы и делимой
группы.
6. Объединение возрастающей последовательности хороших
подгрупп [прямых слагаемых] может не быть хорошей подгруппой.
[Указание: упр. 2, п. (б).]
§ 80. Изотипные и сбалансированные подгруппы
93
7. (а) Пусть А — группа из примера § 35. Показать, что
подгруппа А [р] не является хорошей. [Указание: рассмотреть смежный
класс ах + А [/?].]
(б) Вполне характеристические подгруппы могут не быть
хорошими.
8. Привести пример, где N с: М с= Л, M/N — хорошая
подгруппа группы A/N, но М не является хорошей подгруппой группы А.
9. Пусть В — неограниченная прямая сумма циклических р-групп
и В — ее периодическое пополнение. Показать, что
(а) В [р] — хорошая подгруппа группы В;
(б) В [р] — хорошая подгруппа группы В [р], но не группы В.
Вывести отсюда, что свойство быть хорошей подгруппой не тран-
зитивно.
10 (Хилл [24]). Пусть а — произвольное порядковое число. Для
того чтобы подгруппа N группы А была хорошей, необходимо и
достаточно, чтобы подгруппа N П Р°А была хорошей в р°А и подгруппа
(N + р°А)/р°А была хорошей в А/р°А.
11. Расширения р-группы А при помощи р-группы С, в которых
А — хорошая подгруппа, образуют подгруппу в Ext (С, А). [Указа-
ние: рассмотреть сумму расширений в смысле Бэра.]
§ 80. Изотипные и сбалансированные подгруппы
Изотипные подгруппы ввел в рассмотрение Куликов [3]. Понятие
изотипности уточняет понятие сервантности в том же самом
направлении, в каком понятие обобщенной высоты улучшает понятие высоты.
Подгруппа С /7-группы А называется изотипной, если
р°С = С [\р°А для любого порядкового числа а.
Очевидно, изотипные подгруппы являются сервантными, а сепара-
бельные подгруппы изотипны тогда и только тогда, когда они сервант-
ны. В частности, базисные подгруппы всегда изотипны. Заметим, что
подгруппа С изотипна в группе А в том и только в том случае, когда
из точности последовательности 0->С-^Л-^Л/С->0 следует
точность индуцированной последовательности
0 -> раС -»- р°А -> р° (А/С)
при любом порядковом числе а.
Начнем с нескольких замечаний, касающихся изотипных
подгрупп.
А) Подгруппа С группы А изотипна тогда и только тогда, когда
обобщенные высоты ее элементов одинаковы в группах С и Л.
Б) Подгруппа С изотипна в группе А тогда и только тогда, когда
р°С — сервантная подгруппа группы р°А при любом о. В частности,
прямые слагаемые изотипны.
94 Гл. XII. р-группы с элементами бесконечной высоты
В) Подгруппа С изотипна в группе Л тогда и только тогда, когда
раС [р] = С П раА [р] при любом а,
т. е. обобщенные высоты элементов цоколя подгруппы С одинаковы
в С и в Л. Чтобы это доказать, можно провести такие же рассуждения,
как в § 26, п. з).
Г) Если С — изотипная подгруппа группы Л, то /а (С) </а (А)
для любого порядкового числа а.
Д) Изотипная подгруппа С группы А изотипна в любой подгруппе
группы Л, содержащей С.
Е) Если С ^ В ^ Л и С — изотипная подгруппа группы В,
а В — изотипная подгруппа группы Л, то подгруппа С изотипна в Л.
Ж) Если С — сервантная подгруппа группы Л и {А 1СI = 0, то
подгруппа С изотипна в Л. [Заметим, что A1 S С.)
3) Если подгруппа С изотипна в Л, то подгруппа С/р°С изотипна
в А/р°С для каждого порядкового числа а. Если считать группу
С/раС естественным образом вложенной в группу Alp5А, то
подгруппа С/р°С будет изотипной в А/раА. В самом деле, это сразу следует
из леммы 37Л.
И) Объединение возрастающей последовательности изотипных
подгрупп также является изотипной подгруппой. Следовательно, изо-
типность — индуктивное свойство.
Следующий результат [обобщающий теорему 27.7] дает простой
способ построения нетривиальных изотипных подгрупп.
Предложение 80.1 (Ирвин и Уокер [2]). р^А-высокая подгруппа
изотипна при любом порядковом числе р.
Пусть С есть рМ-высокая подгруппа группы Л. Пользуясь
трансфинитной индукцией, докажем включение С П PGA s pGC. Для а = 0
это включение очевидно, и оно верно для предельного порядкового
числа а, если верно для всех порядковых чисел, меньших ст. Таким
образом, остается только установить, что если это включение имеет
место для некоторого ст, то оно справедливо и для а + 1. Достаточно
рассмотреть случай, когда а < р. Пусть с ? С П ра+1А, т. е. ра = с
для некоторого а?р°А. Лемма 9.8 показывает, что а 6 С © ррАу
т/е. а = с' + а' для некоторых с' 6 С и а' 6 PQA. Так как рс' + ра' =
= ра 6 С, то ра' = 0, рс' = с. Из а < р теперь следует, что с' =
= а — а' 6 С П Р°А = р°С> откуда с ? р0+1Су что и требовалось. в
Объединим теперь понятия хорошей и изотипной подгруппы.
Назовем подгруппу В, лежащую в р-группе Л, сбалансированной,
если она одновременно является хорошей и изотипной. Ясно, что
такое сбалансированно точная последовательность. Ввиду сделанных
§ 80i Изотипные и сбалансированные подгруппы 95
ранее замечаний почти очевидно, что определение сбалансированной
подгруппы можно переформулировать на языке точных
последовательностей: подгруппа В является сбалансированной подгруппой
группы Л тогда и только тогда, когда из точности последовательности
о-*б->лАс->о A)
вытекает точность индуцированной последовательности
0-+р°В-+р°А-+р°С-+0 B)
для любого порядкового числа от. Таким образом, мы имеем следующую
коммутативную диаграмму, где все столбцы и первые две строки точны:
0 0 0
0-> р°В -> р°А -> р°С ->0
Y Y У
0-^ В ->¦ А ->- С ->0 C)
0 -^ В/р°В -> AlfPA -> С/р°С ->• 0
У у I
0 0 0
В Силу 3 X 3-леммы точна третья строку
0 -> ВЦРВ -> Л/р^Л -* С/раС -> 0. D)
В действительности точность последовательности D) эквивалентна
точности последовательности B).
Из сказанного легко следует, что если В — сбалансированная
подгруппа группы Л, то р°В — сбалансированная подгруппа группы
рМ, а В/р°В — сбалансированная подгруппа группы А1р°А при
любом а.
Чтобы лучше разобраться во введенном понятии, прежде чем начать
рассмотрение сбалансированных подгрупп, отметим, что если попытаться проверить
точность последовательности B) при помощи трансфинитной индукции, то сразу
можно заметить, что
1) для получения точности на месте р°В не нужно делать никаких предпо^
ложений относительно подгруппы В;
2) для получения точности на месте раА тот факт, что В — изотипная
подгруппа, приходится использовать только при переходе от а — 1 к а;
3) для получения точности на месте р°С предположение, что В — хорошая
подгруппа группы Ау нужно только при переходе от меньших порядковых чисел
к предельному порядковому числу а.
Короче говоря, изотипность нужна для получения точности
последовательности при непредельных порядковых числах о, а свойство быть хорошей
подгруппой — при предельных.
Пример 1. Нетривиальным примером сбалансированной подгруппы
служит следующий пример. Пусть В — неограниченная периодически полная
р-группа и 0-+C-+A-+B-+0 — сервантно проективная резольвента груп-
^96 Гл. XII. р-группы с элементами бесконечной высоты
иы В. Тогда группа С замкнута в р-адической топологии группы Л, поэтому она
служит хорошей подгруппой группы А. Кроме того, в силу п. Ж) она и изотипна.
Следовательно, С — сбалансированная подгруппа, но не прямое слагаемое
труппы А.
Пример 2. Пусть С — группа примера 3 из § 77, а X — прямая сумма
континуального множества групп, изоморфных группе А из примера § 35. Для
каждого с ? С [р] возьмем такой гомоморфизм фс группы Лс, изоморфной Л,
iB группу С, что некоторый элемент ас ? Ас высоты h* (с) отображается на с.
Таким способом'мы ^получим эпиморфизм (р: X ->- С, ядро которого —
сбалансированная подгруппа [чтобы в этом убедиться, нужно поступить так же, как при
доказательстве леммы 30.1]. Это ядро — не прямое слагаемое, так как С — не
прямая сумма счетных р-групп.
Из рассуждений § 81 и 82 будет следовать, что всякая не являющаяся
тотально проективной р-группа С может быть вложена в нерасщеп л яющуюся точную
последовательность 0->В->Л-^С-^0, где А — тотально проективная
группа, а В — ее сбалансированная подгруппа. Это оправдывает утверждение о
многочисленности примеров сбалансированных подгрупп.
Перечислим теперь некоторые полезные свойства
сбалансированных подгрупп.
а) Прямые слагаемые всегда являются сбалансированными
подгруппами.
б) Если В — сбалансированная подгруппа группы А и В cz G а Л,
то В — сбалансированная подгруппа группы G.
В силу п. Д) достаточно проверить, что В — хорошая подгруппа
группы G. Пусть g 6 G, hS/в (g + В) = а для некоторого предельного
порядкового числа а и смежные классы группы G по подгруппе В,
высота которых меньше сг, содержат элементы группы G, собственные
относительно В. Тогда для любого р < а существует такое &р 6 В,
что g + bp 6 /?pG. Если для элемента Ь 6 В выполнено g + Ь ? /?РЛ,
то Ь — Ьр 6 В П ррЛ = р^В и, таким образом, g + b = (g + bp) +
+ (b — bp) ? pPG, откуда h*G (g + b) = a.
в) Если В — сбалансированная подгруппа группы А и С а В, то
В/С — сбалансированная подгруппа группы А 1С.
В силу леммы 79.3 нужно только показать, что В/С — изотипная
подгруппа группы А/С. Если Ъ + С 6 Р° {А/С) при некотором b 6 В,
то существуют элементы а ? р°А и с ? С, для которых b + с =
= а 6 В П /?М = /?°В. Следовательно, 6 + С б /?аЯ + С с= р* (В/С),
и подгруппа В/С изотипна в А /С.
г) Если С cz В cz Л, где С — сбалансированная подгруппа
группы А у а В/С — сбалансированная подгруппа группы А/С, то В —
сбалансированная подгруппа группы А.
Чтобы проверить изотипность, возьмем b ? В П /?М. Тогда
Ь + С 6 В/С П Ра (А 1С) = /7е7 (В/С), откуда b — Ьг ? С для
некоторого &х 6 /^В. Поэтому & — Ь1 6 С П РаА = /?аС и b ? р°В.
д) Вела С cz В cz Л, где С — сбалансированная подгруппа
группы Ву а В — сбалансированная подгруппа группы А у то С —
сбалансированная подгруппа группы Л,
§ 80. Изотипные и сбалансированные подгруппы
97
В силу Е) достаточно доказать, что С — хорошая подгруппа
группы Л. Пусть для элемента а ? А выполнено равенство A* (а + С) = а.
Если а 6 В, то из п. в) следует, что элемент а + С имеет в группе В/С
высоту а. Поэтому А* (а + с) = а при некотором с 6 С. Если а $ В,
то й* (а + В) > а и А* (я + Ь) = А* (а + В) при некотором Ь 6 В.
Очевидно, что А* (—а — 6 + а + С)^а, откуда А* (—b + с) ^ а
и А* (а + с) = А* (а + b — Ь + с) ^ а для некоторого с^С.
Следовательно, А* (а + с) = а, и все доказано.
В следующем предложении собраны наиболее часто используемые
характеризации сбалансированных подгрупп.
Предложение 80.2. Для точной последовательности (I) эквивалентны
следующие условия:
1) В—сбалансированная подгруппа группы А\
2) для любого порядкового числа о последовательность B) точна;
3) для любого порядкового числа а последовательность D) точна;
4) а (р°А [/?]) = /?аС [р] для любого о.
Эквивалентность условий 1) — 3) уже была отмечена выше.
Поэтому предположим, что выполнено условие 2), и возьмем элемент с ?
6 Р°С [р]. Существует элемент а ? рМ, для которого аа = с. Здесь
/?а 6 ра+1А П В = р°+1В, поэтому pb = /ш для некоторого Ь 6 PaS.
Ясно, что элемент а — Ь 6 p*Vl [р] при отображении а переходит в с.
Следовательно, р°С [р] s ос (рМ [/?]). Обратное включение очевидно.
Пусть выполнено условие 4). Тогда проверим прежде всего, что
р°С [pk] s а (рМ)] при А = 1, 2, ... . При k = 1 это следует из
условия 4). Поэтому предположим, что нужное включение имеет место
для любого а и для k — 1. Если элемент с ? р°С имеет порядок pk
(k > 1), то существует такой элемент х ? А, что ах = с, и по
предположению индукции для некоторого у ? ра+1А выполнено ау =
= рс 6 ра+1С [р*-1]. Выберем такой элемент Oq 6 Ра^4, что ра0 = у,
и заметим, что а (л; — а0) = с — аа0 6 РаС [р]. Следовательно,-
с — оса0 = а«! для некоторого ах (Е рМ и с = аа, где а = а0 + ах ?
6 рМ. Отсюда вытекает, что [последовательность B) точна в члене р°С.
Для завершения доказательства остается проверить, что В П раЛ =
= р°В. При а = 0 это верно. Предположим, что это верно при
некотором а, и докажем для а + 1. Для этого возьмем элемент Ь 6 В П рд+1Л
и элемент а0 6 РаЛ> Для которых ра0 = Ь. Так как аа0 ? раС [р],
то можно найти такой элемент аг 6 Ра^ [р], что аа1 = аа0. Отсюда
а = а0 — аг 6 В f] раЛ = раВ, откуда b = ра ? р°+1В. Предельный
шаг индукции проводится очевидным образом. в
Следующая лемма — одна из основных ступеней доказательства
важной теоремы 81.9.
Лемма 80.3. Пусть дана коммутативная диаграмма
I* 1ф E)
98 Гл. XII. р-группы с элементами бесконечной высоты
с точными строками у где В — сбалансированная подгруппа группы А%
и пусть яр не уменьшает высоты элементов из N, взятые в G. Если эле-'
мент g 6 G является собственным относительно подгруппы N и pg 6 Nt
то яр можно продолжить до такого отображения
г|)*: (N,g)-+Af
что aty*g = (pg и гр* не уменьшает высоты.
Если A* (g) = а, то для некоторого а 6 Р°А выполнено аа = yg.
Очевидно, ра — -ф (pg) 6 В П ра+М = р°+1В. Следовательно,
существует такой элемент Ь 6 р В, что pb = ра —г|э (pg*). Положим г|э*? =
= а — b 6 Л. Легко видеть, что это порождает гомоморфизм группы
(N, g) в группу Л, для которого aty*g = аа = yg. Неравенство
А* (а — b)^z о = h* (g) очевидно, и чтобы проверить, что -ф* не
уменьшает высоты, достаточно показать, что A* (g + х) ^ А* (а — b +
+ грх) для всех х ? N. Так как элемент g был собственным
относительно N, то A* (g + х) = min (A* (g), A* (*)). С другой стороны,
А* (а — & + грх) > min (А* (а — 6), А* (г|эх)) > min (а, А* (л:)), что
и завершает доказательство. в
Если N — хорошая подгруппа группы G конечного [или
счетного] индекса и E) — диаграмма из леммы 80.3, то повторное
применение этой леммы дает продолжение г|э: G-> А гомоморфизма г|э, для
которого аг|? = ф.
Упражнения
1 (Куликов [3]). Подгруппа С группы А изотипна в А тогда и
только тогда, когда для некоторого порядкового числа р подгруппа ррС
изотипна в /?М и подгруппа С/ррС изотипна в А/р^С.
2. Подгруппа С группы А изотипна в А тогда и только тогда, когда
р<*+1С = р°С П р°+1А для любого порядкового числа о.
3 (Ирвин и Уокер [2]). Любую подгруппу /?-группы Л, высоты
элементов которой не превышают а, можно вложить в изотипную
подгруппу группы Л, высоты элементов которой также не
превышают о.
4. р-группа А длины т обладает изотипной подгруппой длины
а<;т тогда и только тогда, когда или а — предельное порядковое
число, или fo-i (А) Ф 0.
5. Пусть /7-группа А имеет длину не больше ©х. Показать, что
всякую счетную подгруппу группы А можно вложить в счетную
изотипную подгруппу. [Указание: сделать как в предложении 26.2.1
6. Пусть А — группа с образующими а0у а1у . . ., ап, ...
и Ь0, &х, . . .> Ьп, ... и определяющими соотношениями
ра0 = Ь0, pb0 = 0, рпап = а0, /?nbn = &0 для любого /г.
Показать, что подгруппа В = (b0i bl9 . . ., bn, . . . > сервантна, но не
изотипна в А.
§ 8U р-группы с хорошими композиционными рядами 99
7. (Ирвин и Уокер [2]). Пусть А — такая р-группа, что | р®*А | =
= н0. Доказать, что в группе А имеется сервантная, но не изотипная
подгруппа, содержащая /?°М.
8. Если В — сбалансированная подгруппа группы А и
последовательность A) точна, то точна индуцированная последовательность
О ->¦ D в ->¦ DA ->• Dc ->- 0 максимальных делимых подгрупп.
9. Базисная подгруппа р-группы является сбалансированной тогда
и только тогда, когда она выделяется в этой группе прямым слагаемым.
10. Если В — сбалансированная подгруппа группы А и (а + В) —
циклическое прямое слагаемое группы Л/Б, то (В, а) —
сбалансированная подгруппа группы А.
П. (а) Сбалансированная подгруппа группы Л, имеющая счетный
индекс, выделяется прямым слагаемым. [Указание: применить
замечание, сделанное после леммы 80.3, к случаю, когда N = 0, С = G,
Ф = 1с-1
(б) Подгруппа счетной р-группы является сбалансированной в том
и только в том случае, когда она выделяется в этой группе прямым
слагаемым.
12. Пусть N — хорошая подгруппа р-группы G, а г|э — гомоморфизм
группы N в р-группу Л, не уменьшающий высоты, взятые в группе G.
Если N cz М ^ G и M/N — счетная группа, то г|э можно продолжить
до гомоморфизма группы М в Л, также не уменьшающего высоты.
[Указание: последовательное продолжение; если | М : N \ = р,
продолжать, как в лемме 80.3.]
13. Если В — сбалансированная подгруппа группы G, то
Тог (В, X) — сбалансированная подгруппа группы Тог (G, X) для
любой группы X. [Указание: использовать теорему 63.2 и лемму 64.2.]
§ 81. /7-группы с хорошими композиционными рядами
Неоднократно делались попытки распространить теорему Ульма
на случай различных р-групп, не обязательно равных прямым суммам
счетных р-групп. Очевидно, очень естественно возникает такая
проблема: найти наиболее широкий класс р-групп, в котором отдельные
группы различаются с помощью их инвариантов Ульма — Каплан-
ского. В этом направлении в последние годы появилось большое
количество работ. В результате в нашем распоряжении оказывается богатая
теория и, главное, указанная выше проблема полностью решена.
К теории можно подойти с разных сторон, и каждая из них выделяет
некоторый специфический аспект рассматриваемого класса групп. Наша отправная
точка близка к выбранной Хиллом. Затем мы получаем различные
эквивалентные характеризации класса и в конце доказываем обобщенную теорему Ульма.
Если исследовать детали доказательства теоремы Ульма 77.3, то легко
заметить, что основным в нем (хотя и не вполне достаточным для доказательства)
был тот факт, что всякое сохраняющее высоту изоморфное отображение
конечной подгруппы можно продолжить на ступень дальше и в конце концов достичь
всей группы. Как мы знаем из леммы 77.1, этим свойством продолжаемости
100 Гл. XII. р-группы с элементами бесконечной высоты
обладают все хорошие подгруппы. Учитывая это, мы сосредоточим внимание
на группах, которые можно достичь посредством подобного же, но, быть может,
трансфинитного процесса при помощи хороших подгрупп.
Пусть А — некоторая р-группа и
0 = ЛГ0 с= Nt а . . . с Nx cz . . . cz N» = Л A)
— вполне упорядоченная строго возрастающая цепочка подгрупп
группы А у обладающая такими свойствами:
а) ЛГ0 = 0, Л^ = Л;]
б) каждая подгруппа Nk— хорошая подгруппа группы А\
в) | #х+1: #ь 1 = Р для любого K<.\i;
г) Nx= U Nx, если X — предельное порядковое число.
Такая цепочка будет называться хорошим композиционным рядом
группы Л.
Покажем, что счетные р-группы и их прямые суммы принадлежат
классу групп, обладающих хорошими композиционными рядами.
Лемма 81.1. Прямые суммы счетных р-групп обладают хорошими
композиционными рядами.
Если немного подумать, это почти очевидно, но провести
доказательство во всех его деталях не так просто.
Пусть сначала А — счетная р-группа. Тогда группу Л, очевидно,
можно получить как объединение возрастающей последовательности
типа со ее конечных подгрупп. Вставив, если нужно, подгруппы между
соседними членами, получаем возрастающую цепочку подгрупп 0 =
= N0 cz Nx cz . . . с: Nk cz Nk+1 cz . . . cz Л, где U Nk = N^ = Л
ft<0)
и Nk имеет индекс p в Nk+1 при любом k. Так как конечные подгруппы
являются хорошими, это действительно хороший композиционный ряд
группы Л.
Если Л — прямая сумма счетных р-групп, то вполне упорядочим
множество индексов и напишем А = (& А01 где Л а — счетные груп-
сг<т
пы, а т — некоторое порядковое число. Если 0 = NG0 cz Noi cz . . .
... с: NG@ = A G — хороший композиционный ряд группы Ла, то
0 = N00 cz Noi cz ... cz: Л0 cz Л0 © N±i cz ... cz A0 © At с ...
... с: ф Лр © Nok cz ... с © Aa = A
p<a a<x
— хороший композиционный ряд группы Л. в
Будет удобно перечислить следующие утверждения, которые или
проверяются непосредственно, или вытекают из доказательства
леммы 81.1.
А) Если В — сбалансированная подгруппа группы Л и группы В
и Л IB обладают хорошими композиционными рядами, то Л также
§ 81. р-группы с хорошими композиционными рядами 101
обладает хорошим композиционным рядом. То же утверждение верно,
если В = р°А для некоторого порядкового числа а.
Б) Чтобы группа А имела хороший композиционный ряд,
достаточно существования вполне упорядоченной возрастающей цепочки
подгрупп A) со свойствами а), б) и г), в которой вместо свойства в)
выполняется требование, чтобы группы N^+JN^ были счетными. Это
простое следствие из п. б) § 79.
В) Прямые суммы /?-групп, обладающих хорошими
композиционными рядами, также обладают хорошими композиционными рядами.
Тщательный анализ может убедить читателя в том, что определение
хорошего композиционного ряда было сформулировано в несколько более сильной форме,
чем требуется для доказательства следующих теорем. На самом деле свойство б)
можно заменить требованием, чтобы лишь смежные классы а + N^, где а ?
? N^+i\N^f содержали элементы, собственные относительно N^, для каждого А,
[более того, достаточно это предполагать ровно для одного из р — 1 смежных
классов].
Следующая теорема и ее следствия выявляют замечательные
свойства р-групп, обладающих хорошими композиционными рядами.
ТворЕМА 81.2. Пусть А и С — редуцированные р-группы, и пусть
Ф — сохраняющий высоту изоморфизм между хорошей подгруппой G
группы А и подгруппой Н группы С. Предположим, далее, что
а) группа AIG обладает хорошим композиционным рядом;
Р) относительные инварианты Ульма — Капланского
удовлетворяют условию f0 (Л, G) ^ f0 (С, Н) для любого а.
Тогда изоморфизм ср можно продолжить до сохраняющего высоту
изоморфного отображения ср* группы А в С.
Для каждого а выберем произвольный мономорфизм а0:
р°А [p]/G (а) -> р°С [р]/Н (а). Выберем также хороший
композиционный ряд, соединяющий подгруппу G с группой А:
G = N0czNiCZ ... сЛ^сг ... с=Л^ = А
Рассмотрим множество всех таких пар (Л/\, фх,), что
1) Фа, — сохраняющий высоту изоморфизм между Л^ и некоторой
подгруппой Мк группы С;
2) ограничение ф^ на G совпадает с ф;
3) аа индуцирует изоморфизм Nx (o)/G ((т)->Мх (оIН (а) при
любом а.
Это множество очевидным образом частично упорядочено. В силу
леммы Цорна в нем существует максимальная пара (NV9 фг). Из
условия 3) следует, что fG (A, Nv) ^ fa (С, Mv)] для каждого а. В силу
условия 1) мы теперь находимся в обстановке леммы 77.1, и ф^, можно
продолжить до сохраняющего высоту изоморфизма фv+l между
подгруппой Nv+1 и подгруппой Mv+i группы С, для которой условие 3)
по-прежнему выполняется. Но это противоречит максимальности
пары (NVy фv), если не выполнено Nv = А. ш
102 Гл. XII. р-группы с элементами бесконечной высоты
Следствие 81.3. Пусть А —редуцированная р-группа, обладающая
хорошим композиционным рядом. Группа А изоморфна изотипной
подгруппе р-группы С в том и только в том случае, когда
fa (А) ^ fa (С) При ЛЮбОМ О.
Необходимость этого условия вытекает из п. Г) § 80. Чтобы
доказать его достаточность, просто применим теорему 81.2, положив
G = 0 = Н. Тогда получится изоморфное вложение группы Л в С,
сохраняющее обобщенные высоты. а
Следствие 81.4. Пусть А и С — некоторые р-группы, а
г\—гомоморфизм хорошей подгруппы G группы А в С, не уменьшающий высоты.
Если факторгруппа AIG обладает хорошим композиционным рядом,
то г\ можно продолжить до гомоморфизма т]*: А -*¦ С, который также
не уменьшает высоты.
Заметим, что г\ индуцирует сохраняющий высоты автоморфизм ср:
G ф С ->- G ф С, где (gy с) н-> (g, с+ r\g). Так как G ф С — хорошая
подгруппа группы А ф С и группа (А ф C)I(G ф С) обладает
хорошим композиционным рядом, то можно применить теорему 81.2,
и получится сохраняющее высоты изоморфное отображение ср*
группы А ф С в [более того, на] себя. Теперь последовательное
выполнение естественного вложения А ->- А ф С, автоморфизма ф* и
естественной проекции А ф С-> С даст нужное отображение т|*. ¦
Существует более сильная форма условия существования
хороших композиционных рядов. Мы скажем, что /7-группа А обладает
хорошей системой [Хилл [17] называет это условие третьей аксиомой
счетности], если в А существует такая система N хороших подгрупп,
что
a') 0 6N;
б') если {Ni}i?i — произвольное подмножество из N, то S^gN;
в') для любой подгруппы A/?N и счетного подмножества X группы А
существует такая подгруппа M?N, что
(N, Х)^М и |M/N|Oo.
Простое упражнение в трансфинитной арифметике — проверить
существование хороших композиционных рядов в группах,
обладающих хорошими системами. Как ни странно, все группы, обладающие
хорошими композиционными рядами, обладают также хорошими
системами; этот факт непросто доказать, но он будет следовать из
теоремы 81.9.
Если А — счетная р-группа, то {0, А} — хорошая система в
группе А. Если А — прямая сумма счетных /7-групп At (i ? /), то
подгруппы Nj = ф Аи где J пробегает все подмножества множества /,
образуют хорошую систему в Л.
§ 81. р-группы с хорошими композиционными рядами 103
Нам понадобится следующая лемма.
Лемма 81.5 (Хилл [24]). Класс групп, обладающих хорошими
системами, замкнут относительно прямых сумм и прямых слагаемых.
Пусть Nj — система хороших подгрупп в группе At (i 6 /),
обладающая свойствами а') — в'), и пусть N — множество всех подгрупп N
группы А = ® Аь имеющих вид N = © Nu где Nt 6 N{. В силу
п. г) из § 79 каждая подгруппа N хорошая в А. Свойства а') и б')
в N выполняются тривиальным образом. Пусть X — счетное
подмножество группы Л, и пусть N 6 N. Существует такое счетное
подмножество J множества /, что X ^ © At и для каждого i 6 J суще-
ствует такая подгруппа Mt 6 N$, что Nj ^ М*, MjNt — счетная
группа и Mi содержит проекцию множества X в At. Полагая Mt = Л^
при i ? I \ J и беря М = © М*, получим подгруппу, о которой
говорится в свойстве в ).
Далее, пусть А = В ф С, и пусть N — система хороших подгрупп
группы А со свойствами а') — в'). Обозначим через N' множество
всех подгрупп N' ? В, для которых при некотором N ?N справедливо
N = N' ф (N П С). Снова по п. г) из § 79 N' — хорошая подгруппа
в В. Почти очевидно, что множество N' обладает свойствами а') и б').
Пусть X — счетное подмножество группы В и N' ? N'. Предположим,
что для группы JVfN выполнено N = N' ф (N П С). Выберем
Л^ 6 N таким, чтобы было (N, X > s N± и | ЛУМ | < н0.
Существуют такие подгруппы Въ С1э что TV' ^ Вх ^ В и N П С ^ Сх ^ С,
причем | BJN' К к0 и | C^tf П С) |< щ, а Л^ <= Вг ф d.
Можно найти такую группу N2 6 N, что {N, В^д^и | NJN | ^ н0.
Продолжая таким же образом, мы получим, что существуют
последовательности подгрупп Nn g N, Вп ^ В, Сп ^ С (п = 1, 2, . . .) со
следующими свойствами:
Wnc=?n®Cn, {N,Bn)<=Nn+i и |Л/п/ЛЧ<х0.
Очевидно, что если М = U Nn 6 N, то М = (М П В) ф (М Г) С),
П<@
откуда МП В 6 N'. Для завершения доказательства достаточно
заметить, что <ЛГ, Х>дЛЩЙ и | (Л1 П B)/N' | < | M/N |< »0. ш
До сих пор у нас нет примеров /?-групп, обладающих хорошими
системами и отличных от прямых сумм счетных /?-групп; в самом деле,
лемма 81.5 новых примеров не дает. Чтобы убедиться в том, что гораздо
более широкий класс р-групп обладает хорошими системами и что
длины таких групп не ограничены в совокупности никаким
порядковым числом, мы будем строить группы по индукции. Как мы увидим,
эти группы будут играть существенную роль в развиваемой теории.
Начав с группы Н0 = 0, мы для каждого порядкового числа о
построим такую /7-группу На, что
1) Н0 имеет длину а;
104 Гл. XII. р-группы с элементами бесконечной высоты
2) p°H0+i — циклическая группа порядка р и H0+i/p0H0+l ^ Яст;
3) Яа = © Яр, если а — предельное порядковое число;
4) каждый инвариант Ульма — Капланского группы Н0 не
больше | о |.
Так как Я0 = 0, из условия 2) следует, что Нп — циклическая
группа порядка рп при любом целом п > 0. Кроме того, условие 3)
показывает, что Нш = © Яп. Вообще из условия 3) видно, как
П<0)
получить группу Яа для предельного порядкового числа а, если уже
определены все группы Яр при р < а.
Чтобы определить группы Яа для непредельных порядковых
чисел а, нам нужно будет рассмотреть два случая в зависимости от
того, следует о непосредственно за предельным порядковым числом
или нет. Предположим сначала, что группа На+1 известна. Тогда
построить группу Яст+2 легко. Пусть С — циклическая группа
порядка р2 и у — эпиморфное отображение группы С на циклическую
группу С" порядка р. Индуцированное отображение y*: Ext (Яа, С) ->-
->- Ext (Яа, С") является эпиморфизмом, поэтому существует р-группа
Яа+2, делающая диаграмму
1* 1« || B)
0-^С' = р*Яа+1->Яа+1^Яа-+0
коммутативной, а ее первую строку точной. Здесь раЯа = 0 влечет
за собой раЯа+2^С. Но из р°На+2^ рС следовало бы р°Н a+i = 0r
что невозможно. Значит, группа Яа+* удовлетворяет условиям 1) и 2).
Остается определить Ha+i для предельного порядкового числа а.
Заметим, что Я0^ ф (Яр+1/РрЯр-н), где все группы ррЯр-и цикличе-
Р<(Т
ские порядка р. Поэтому, используя кодиагональное отображение
V: ©ррЯр+1->С\ можно определить Яа+1, используя универсальный
р
квадрат, и получить коммутативную диаграмму
0-* © ррЯр+1-^ © Яр-н-^Яа-^0
р«* р«* , /оч
1- 1 || <3>
0 ^С ^Яа+1-^Яа»0
с точными строками. Так как у — эпиморфизм, С s р°Н0+1.
Обратное включение вытекает из равенства р°Н0 = 0. Следовательно,
группа Яа+1 удовлетворяет условиям 1) и 2).
Условие 4) легко получается из определения, если просто
использовать трансфинитную индукцию.
Замечание. Для ориентации читателя отметим сразу, что
определенная выше группа Яа+2 зависит от выбора эпиморфизма у. Но различные выборы
у ведут к изоморфным группам #а+2> так как другой выбор у попросту означает,
что до у был применен автоморфизм группы С, который [так как он является
§ 81. р-группы с хорошими композиционными рядами 105
умножением на целое число, взаимно простое с р], очевидно, продолжается до
изоморфизма между двумя группами #а+2- Те же замечания применимы к
построению группы #g+i в диаграмме C). Следовательно, полученные выше группы На
определены однозначно с точностью до изоморфизма.
Легко заметить, что группа Н^+1 нам давно знакома. В самом деле,
эта группа изоморфна группе А примера Прюфера из § 35 [это
простейший пример несепарабельной редуцированной р-группы]. В силу
этого определенную выше группу На будем в дальнейшем называть
(обобщенной) группой Прюфера длины а. Нунке [7] первым обратил
внимание на важность таких групп.
Теперь мы можем проверить, что такие группы содержат хорошие
системы.
Лемма 81.6. Обобщенные группы Прюфера обладают хорошими
системами.
Докажем это с помощью трансфинитной индукции. В предельном
случае утверждение очевидно в силу леммы 81.5, так как тогда На —
прямая сумма групп Яр, где р < сг. Если HG обладает системой N
хороших подгрупп со свойствами а') — в'), то прообразы подгрупп
из N при эпиморфизме^ Н0+1 -> НОУ ядро p°Ha+i которого — хорошая
подгруппа группы Н0+ъ дают систему подгрупп группы На+1 нужного
типа. а
В следующих двух результатах выявляются важные свойства
групп Прюфера #а.
Лемма 81.7 (Нунке [7]). Если А—некоторая р-группа и а 6
6 р°А [рп], то существует гомоморфизм
ф: На+п-+А, такой, что yh = a,
где h — образующий элемент группы p°HG+n.
Соответствие йн^а определяет гомоморфизм rj: ра#а+71-^<а),
не уменьшающий высоты. Так как р°Н0+п — хорошая подгруппа
группы Но+п, факторгруппа по которой обладает хорошим
композиционным рядом, то по следствию 81.4 гомоморфизм ц продолжается
до требуемого гомоморфизма ср. в
Лемма 81.8. Пусть А — редуцированная р-группа длины т.
Существуют прямая сумма Н обобщенных групп Прюфера длины не больше х
и эпиморфизм ф: Н-+А> ядро которого — сбалансированная
подгруппа группы Н.
Для любого ненулевого элемента а 6 раА [рп] (а + я < т)
выберем обобщенную группу Прюфера На = Н0+п и гомоморфизм фа:
в соответствии с леммой 81.7. Положив Н = 0 На, полу-
чаем эпиморфное отображение ф = у @ фа) группы Н на А.
Очевидно, ф (р°Н [/?]) = р°А [р] при любом а, поэтому из
предложения 80.2 следует, что Кег ф — сбалансированная подгруппа
группы И. ш
106 Гл. XII. р-группы с элементами бесконечной высоты
Теперь легко доказать основной результат этого параграфа.
Теорема 81.9. Следующие условия, накладываемые на
редуцированную р-группу А у эквивалентны:
а) группа А обладает хорошей системой;
Р) группа А обладает хорошим композиционным рядом;
у) группа А проективна относительно всех сбалансированно точных
последовательностей р-групп 0->B->G-^C-^0;
б) группа А — прямое слагаемое прямой суммы обобщенных групп
Лрюфера.
Мы уже отмечали, что импликация а) =4> р) тривиальна.
Предполагая выполненным условие Р), докажем, что имеет место
условие у). Рассмотрим диаграмму
А
/\
/
где В — сбалансированная подгруппа группы G, и выберем в
группе А хороший композиционный ряд A). Отображение гр можно
определить последовательно для групп N^ с помощью трансфинитного
процесса: на предельных местах будем брать объединение, а при переходе
от N^ к Nh+1 будем просто ссылаться на лемму 80.3.
Предположим теперь, что выполнено условие у), и докажем, что
выполнено условие б). Из леммы 81.8 мы знаем, что для всякой /?-груп-
пы А существуют прямая сумма Н обобщенных групп Прюфера и
сбалансированно точная последовательность 0 -+ В -+ Н —> Л -> 0.
Применяя условие у), получаем, что сргр = 1А для соответствующего
гомоморфизма я|): А -> Н. Следовательно, группа А изоморфна
прямому слагаемому группы Я.
Наконец, выведем условие а) из условия б). Теперь утверждение
вытекает из лемм 81.5 и 81.6. а
С помощью трансфинитной индукции можно непосредственно
убедиться в том, что ульмовские факторы обобщенных групп Прюфера
являются прямыми суммами циклических групп. Так как это свойство
наследуется прямыми суммами и прямыми слагаемыми, то сразу
получается
Предложение 81.10. Все ульмовские факторы р-группы Л,
удовлетворяющей одному из условий [а значит, и всем условиям] теоремы 81.9,
являются прямыми суммами циклических групп. в
Что касается структурной теоремы для групп, о которых идет речь
в теореме 81.9, то здесь мы отсылаем читателя к теореме 83.3.
Естественно задать вопрос: какие редуцированные р-группы инъективны
относительно класса сбалансированно точных последовательностей р-групп ?
Неожиданным образом этот вопрос не приводит к новому классу групп: здесь
получается класс периодически полных р-групп [Гриффит [9]].
§ 81. р-группы с хорошими композиционными рядами 107
Чтобы это доказать, заметим, что все сервантно точные последовательности
р-групп 0->-Л->-(/->С->-0, где С1 = 0, должны быть сбалансированно
точными. Поэтому, если группа А инъективна относительно всех сбалансированно
точных последовательностей р-групп, то Pext (С, А) = 0 для всех сепарабельных
р-групп С. Если взять С= В, то получится, что А—периодически полная группа,
как было показано в § 68 [см. замечание].
Упражнения
1*. (а) Используя теорему 82.4, показать, что неограниченная
периодически полная р-группа не может обладать хорошим
композиционным рядом.
(б) Периодическая часть прямого произведения бесконечного числа
неограниченных редуцированных р-групп, обладающих хорошими
композиционными рядами, никогда не обладает таким рядом.
2. Пусть Л — некоторая /7-группа, п — натуральное число.
Доказать, что подгруппа рпА обладает хорошим композиционным рядом
в точности тогда, когда хорошим композиционным рядом обладает
группа Л.
3. Пусть р-группа А обладает хорошей системой. Если В —
конечная подгруппа, а С — подгруппа конечного индекса группы Л, то
группы А/В и С обладают хорошими системами.
4. (а) Для любого бесконечного порядкового числа о обобщенная
группа Прюфера На длины а имеет мощность | о |.
(б) Показать, что /р (Н0) Ф 0 для всех р < а.
5. Доказать, что группы Прюфера Н0 определяются с точностью
до изоморфизма свойствами 2) и 3).
6. Пусть а — изолированное порядковое число. Любое прямое
слагаемое прямой суммы обобщенных групп Прюфера, имеющих
длины не больше соа, является прямой суммой групп, мощности
которых меньше ха. [Указание: использовать предложение 9.10.]
7. (а) Для любого порядкового числа а существует такое
расширение G0 группы Z при помощи группы Яа, что
p°GG^Z и G0/p0+nGa^ Но+п для каждого целого /г>0.
(б) Показать, что G0+n ^ Ga для любого порядкового числа а
и целого числа п.
8 (Нунке [5]). Если GG — группа из упр. 7, то для любой группы Л
Horn (GCT, Л) ^ /ЯЛ.
9. Для любой р-группы Л и любого порядкового числа о ^ со
существует эпиморфизм д: Тог (Нау А) -> Л. [Указание: применить
теорему 63.1 к точной последовательности 0-^Z-^Ga-^ Но-+0
и заметить, что Ga ® Л ->¦ Н0 ® Л — изоморфизм.]
10. Доказать справедливость следствия 81.4, опираясь не на
теорему 81.2, а на лемму 80.3.
11. (а) Показать, что р-группа обладает хорошим композиционным
рядом [хорошей системой] в том и только в том случае, когда им [ею]
обладает ее редуцированная часть.
108 Гл. XII. р-группы с элементами бесконечной высоты
(б) Делимые р-группы проективны относительно всех
сбалансированно точных последовательностей р-групп.
(в) Распространить теорему 81.9 на случай нередуцированных
р-групп.
12 (Уорфилд). Короткая точная последовательность р-групп,
относительно которой проективны все группы, описываемые теоремой 81.9,
является сбалансированно точной.
13. Показать, что если редуцированная р-группа А содержит
подгруппу С, обладающую хорошей системой и такую, что А/С =
= Z (р°°), то группа А также обладает хорошей системой.
§ 82. Тотально проективные /7-группы
Важнейший тип р-групп был выявлен Нунке [5] при
гомологических рассмотрениях. Несколькими годами позже Хилл заметил, что
эти р-группы различаются с помощью своих инвариантов Ульма —
Капланского и составляют наиболее широкий класс групп с этим
свойством.
Пусть о — порядковое число. Тогда р-группа А называется
р°'-проективной, если
р° Ext (Л, С) = 0 для любой группы С.
Редуцированная р-группа А называется тотально проективной, если
ра Ext (Л/рМ, С) = 0 для любого порядкового числа а
и любой группы С.
Другими словами, группа А тотально проективна тогда и только
тогда, когда Alp5А является р°-проективной группой для любого
порядкового числа а.
Для удобства использования выпишем здесь некоторые замечания,
которые непосредственно следуют из определений.
A) Класс р°-проективных [тотально проективных] р-групп замкнут
относительно взятия любых прямых сумм и прямых слагаемых.
Б) Тотально проективная р-группа, длина которой не больше а,
является ра-проективной.
B) р-группа А является рп-проективной, где п —
неотрицательное целое число, тогда и только тогда, когда рпА =0 [ср. п. Г)
из § 52].
Г) Прямые суммы циклических р-групп тотально проективны
и р®-проективны [ср. с теоремой 53.3].
Д) Если группа А тотально проективна, то группа А/р^А также
тотально проективна для любого порядкового числа р.
Наша основная цель — изучить тотально проективные р-группы.
Чтобы ее достичь, нужно иметь больше сведений о ра-проективных
§ 82. Тотально проективные р-группы
109
и тотально проективных р-группах. Многое мы сможем извлечь из
следующих двух лемм.
Лемма 82.1 (Нунке [5], Ирвин, Уокер К. и Уокер Э. [1]). Если
S — такой подцоколь р-группы Л, что A/S есть ра-проективная
группа, то группа А является р0+1-проективной.
В силу п. В) это верно для конечных порядковых чисел а, поэтому
предположим, что а ^ со. По теореме 51.3 для любой группы С
получаем точную последовательность
Нот (S, С) Л Ext (A/S, С) Л Ext (Л, С) ->¦ Ext (S, С) ->¦ 0.
Здесь р Ext (S, С) = 0 влечет за собой р Ext (А, С) s Imгр. Нам
нужно только проверить, что pa+1 Im г|э = 0, так как тогда
pa+1 Ext (Л, С) = 0 [заметим, что 1 + о = а, поскольку а ^ со].
Более общо, мы покажем, что если Т —¦ подцоколь р-группы Еу
для которой р°Е = 0, то pG+1 (Е/Т) = 0. [Мы можем применить это
к случаю, когда Т = Im ср и Е = Ext (Л/S, С).] Очевидно, что
pg (?/Т) s Е [р]/Т, откуда p(J+1 (?/Г) = 0, а это и требовалось. в
С помощью таких же рассуждений можно установить следующий
факт, касающийся тотальной проективности.
Лемма 82.2 (Нунке [5]). Если А —такая р-группа, что р°+1А = 0
и А/р°А тотально проективна, то А тотально проективна. ш
Теперь можно сделать следующее замечание.
Е) Для тотальной проективности р-группы А достаточно, чтобы
для всех предельных порядковых чисел а и всех групп С выполнялось
равенство р° Ext (А/раА, С) = 0. Действительно, из леммы 82.2
можно вывести, что условие pG Ext (A/pGA, С) = 0 для всех групп С
влечет за собой условие pG+l Ext (А/р°+1А, С) = 0 для всех С.
Теперь можно точно установить, что представляют собой тотально
проективные р-группы.
Теорема 82.3 (Хилл [24]). р-группа тотально проективна тогда
и только тогда, когда она удовлетворяет одному из эквивалентных
между собой условий теоремы 81.9.
Наша первая задача — показать, что прямое слагаемое прямой
суммы обобщенных групп Прюфера тотально проективно. В силу п. А)
достаточно установить тотальную проективность обобщенной группы
Прюфера Н0. Проведем индукцию по а. Переход от а к а + 1
тривиален в силу леммы 82.2. Для предельных порядковых чисел а,
когда HG — прямая сумма всех Яр, где р < сг, утверждение также
тривиально в силу п. А).
Обратно, пусть группа А тотально проективна. Мы хотим
проверить, что она обладает одним из эквивалентных свойств,
перечисленных в теореме 81.9. Снова используем индукцию, на этот раз по дли-
110 Гл. XII. р-группы с элементами бесконечной высоты
не а группы Л. Если а — натуральное число я, то рпА = 0, Л —
ограниченная группа и, таким образом, прямая сумма циклических
р-групп, а значит, А принадлежит классу групп, о котором говорится
в теореме 81.9.
Пусть утверждение уже доказано для тотально проективных
р-групп длины не больше а, и пусть А — тотально проективная р-груп-
па длины а + 1. По предположению индукции группа А/р°А имеет
хороший композиционный ряд, и этим же свойством обладает
элементарная р-группа рМ. Следовательно, группа А удовлетворяет
условию Р), а значит, и всем условиям теоремы 81.9.
Наконец, предположим, что а — предельное порядковое число
и что утверждение верно для всех порядковых чисел, меньших а.
Пусть А — тотально проективная р-группа длины а. Нам нужно
только показать, что сбалансированно точная последовательность Е:
0-+B-+G-*A->0 обязательно расщепляется. Как было отмечено
в § 80, для любого р <С о последовательность 0 -*¦ В/р^В ->- G/ppG ->-
-> А/рРА -> 0 точна и диаграмма C) коммутативна. Исходя из ее
верхней и нижней строк и естественных отображений ф и ip, получаем
диаграмму
?:0-> В Л G Л А ->0
*l i* б II
?рг|>: 0-^В/рРЯЛ Я -> А ->0
II 1" !¦
?р: 0 -> Я/ppS Л G/poG Л Л/рМ -> 0
где средняя строка определяется как ?рф, откуда следует, что два
нижних квадрата коммутативны. Так как Я получается с помощью
коуниверсального квадрата, а композиция естественного
отображения v: G-^G/p^G и отображения ? совпадает с отображением грр, то
существует однозначно определенное отображение %: G -> Я, для
которого v = (iX и 6Я = р. Для доказательства коммутативности
диаграммы остается только проверить, что 7Ф = tax. Но равенства
jj/уф = еф = va = jxtax и буф = 0 = Pa = 6tax показывают, что уу
и tax — это отображения группы В в Я, такие, что в композиции с
отображениями |х и б соответственно они дают одно и то же отображение.
Так как Я получалось с помощью коуниверсального квадрата, то
7Ф = tax, что и требовалось.
Из замечания, сделанного в § 80, следует, что В/ррВ —
сбалансированная подгруппа группы G/p^G. Поэтому в силу предположения
индукции последовательность Ер должна расщепляться.
Следовательно, средняя строка тоже расщепляется, и в силу точности
последовательности
Ext (A, ppfi) Д Ext (Л, В) ^> Ext (Л, В/р^В)
§ 82. Тотально проективные р-группы
111
мы получаем, что Е 6 Im х*, где и: р?В -> В — вложение.
Воспользовавшись очевидным аналогом предложения 56.1, приходим к
включению Im х* ^ рр Ext (Л, В), поэтому Е 6 fl PQ Ext (Л, В) =
= р° Ext (Л, В). Последняя группа нулевая, поэтому
последовательность Е расщепляется. в
Используя теорему 82.3, мы можем получить важную информацию
о том, как тотально проективные р-группы связаны с прямыми суммами
счетных р-групп.
Теорема 82.4 (Нунке [7]). Редуцированная р-группа является
прямой суммой счетных р-групп тогда и только тогда, когда она —
тотально проективная р-группа длины не больше со1в
Из леммы 81.1, теоремы 81.9 и теоремы 82.3 ясно, что прямая
сумма счетных р-групп тотально проективна; ее длина не должна
превышать (ог. Обратно, теоремы 82.3 и 81.9 показывают, что тотально
проективная р-группа Л длины не больше <о± выделяется прямым
слагаемым в некоторой прямой сумме обобщенных групп Прюфера
длины меньше о^. Эти обобщенные группы Прюфера счетны, поэтому
в силу предложения 9.10 группа Л — прямая сумма счетных
р-групп. ,
В свете теоремы 82.4 мы действительно можем рассматривать тотально
проективные р-группы как обобщение прямых сумм счетных р-групп. В то время
как длины прямых сумм счетных р-групп ограничены порядковым числом со1г
длины тотально проективных р-групп могут быть сколь угодно большими
порядковыми числами. Взаимосвязь между этими двумя классами групп станет еще
более ясной в следующем параграфе, где будет доказана структурная теорема для
тотально проективных р-групп.
Класс тотально проективных р-групп может быть охарактеризован
следующим замечательным образом. [Здесь всегда подразумевается,
что любой класс групп содержит вместе с группой Л также все группы,
ей изоморфные.]
Теорема 82.5 (Паркер и Уокер [1]). Класс тотально проективных
р-групп является наименьшим классом групп % со следующими
свойствами:
1) ^ содержит циклическую группу порядка р;
2) $ замкнут относительно взятия прямых сумм и прямых
слагаемых',
3) для произвольной группы А и порядкового числа о включение
Л ? $ имеет место тогда и только тогда, когда р°А ? % и А/р°А ? $.
С помощью совсем простой индукции можно получить, что все
группы Прюфера На принадлежат классу %, и из условия 2) следует,
что элементами класса *& являются все тотально проективные
р-группы. Так как класс тотально проективных р-групп обладает
перечисленными свойствами [см. п. д), п. ж) из § 79 и п. А) из §81], утверждение
доказано. в
112 Гл. XII. р-группы с элементами бесконечной высоты
Упражнения
1 (Ирвин, Уокер К- и Уокер Э. [1]). Если Л является
^-проективной группой, то Ext (Л, С) ^ Ext (Л, С/р°С) для любой группы С.
[Указание: аналогично предложению 56Л.]
2 (Нунке [5]). (а) ра-проективная группа Л имеет длину не
больше а. [Указание: чтобы показать, что не может быть pGA Ф О,
рассмотреть коммутативную диаграмму
Нот {А/р°А, С/р°С) -> Нот (Л, С/р°С) А Нот (р<М, С/р°С)
1 lv 1
Ext (А/р°А, ff>C) -+ Ext (Л, р°С) Л Ext (р<М, р*С) -> О
1
p°Ext(A, С) = 0
с точными строками и столбцами; из того, что у — отображение на
и а = 0, получить, что Р = 0; но С можно выбрать так, чтобы
Ext (рМ, р°С)фО.]
(б) Тотально проективная р-группа р<>-проективна тогда и только
тогда, когда ее длина не превосходит а.
(в) Группа HG является рр-проективной в том и только в том
случае, когда а ^ р.
3 (Нунке [7]). (а) р-группа Л тотально проективна тогда и только
тогда, когда р°А и А/р°А — тотально проективные группы (а —
произвольное фиксированное порядковое число).
(б) Пусть о — счетное порядковое число. Группа Л является
прямой суммой счетных р-групп в точности тогда, когда раА и А/раА —
прямые суммы счетных р-групп.
4. Если группа Л тотально проективна и рпА <=, С ^ Л при
некотором я, то С — тотально проективная группа. [Указание:
использовать равенство р">С = ршЛ и упр. 3 (а).]
5. Класс тотально проективных р-групп останется прежним, если
в его определении в качестве С брать только р-группы. [Указание:
проверить доказательства.]
6. Если O-^-B-^G-^Л-^О — сбалансированно точная
последовательность и и = (а0, . . ., сгт, . . .) — произвольная
возрастающая последовательность порядковых чисел и символов оо, то 0->-
-^ В (u) -> G (и) -> Л (и) ->- 0 — снова сбалансированно точная
последовательность. [Указание: для а ? Л (и) выбрать такой элемент х
в тотально проективной р-группе 7\ что Н (х) = Н (а), и продолжить
х н-> а до отображения 71-*- Л, проходящего через G-+A.]
7. Для произвольной редуцированной р-группы Л существуют
тотально проективная р-группа G и эпиморфизм ср: G -*¦ Л с ядром
Кег ф, сбалансированным в G.
8 (Нунке [5]). Показать, что если Л — некоторая ра-проективная
р-группа, то тем же свойством обладает и группа Тог (Л, С) для любой
§ 82. Тотально проективные р-группы
113
группы С. [Указание: если использовать изоморфизм
Ext (Л, Ext (С, G)) ^ Ext (Тог (Л, С), G),
доказательство становится тривиальным.]
9 (Нунке [5], Ирвин, Уокер К- и Уокер Э. [1]). Точная
последовательность Е: O-^G-^Я—>-./->-0 называется р°-сервантно точной
la G называется р°-сервантной подгруппой группы Я], если Е
представляет элемент из р° Ext (</, G). Проверить справедливость
следующих утверждений [мы предполагаем, что С ^ В ^ Л]:
1) если подгруппа С является ра-сервантной в Л, то она ра-сер-
вантна в В;
2) если С есть р°-сервантная подгруппа группы В, г В есть ра-сер-
вантная подгруппа группы Л, то С является ра-сервантной
подгруппой в Л;
3) если В есть ра-сервантная подгруппа группы Л, то В/С есть
р°-сервантная подгруппа группы А/С\
4) если С есть ра-сервантная подгруппа группы Л, а В/С есть
р°-сервантная подгруппа группы А/С, то В является ра-сервантной
подгруппой группы Л.
{Предупреждение', р-сервантность в смысле § 26 — это р^-сервант-
ность в новом смысле.]
10 (Гриффит [10]). Если 0-^В ->- Л —> С-> 0 является р^-сервант-
но точной последовательностью, то
а(рМ [р]) =pf>C[p] для любого р<а.
[Указание: если с ? ррС [р], взять гомоморфизм ср: Нр+1-+С, для
которого ср (рРЯр+1) = (с); так как р + 1 ^ а, то Яр+1 есть
/^-проективная группа и для некоторого г|э: Яр+1 ->¦ Л выполнено агр = ф.
11 (Ирвин, Уокер К- и Уокер Э. [1]). Если С есть ра-сервантная
подгруппа группы Л, то р()С = С f| ррЛ для каждого р^а.[
Указание: используя упр. 10, рассуждать как в предложении 80.2, или
дать непосредственное доказательство: провести индукцию по а;
если С есть ра+1-сервантная подгруппа группы Л, то существует
коммутативная диаграмма с точными строками
0->C-*i4-*G->0
II 1 iv
о -+ сД яЛб-> о
где С есть ра-сервантная подгруппа группы Я, а последнее
вертикальное отображение представляет собой умножение на р\ если с ? С П ра+1Л,
то ра = с для некоторого а ? рМ; так как Л ^ Я © С, то а = (Л, g),
и легко видеть, что p/i = с, pg =- 0, (J/i = 0, h ? С; так как
обязательно /г 6 РаЯ, то /г 6 /?аС и с ? ра+1С]
12* (Нунке [5]). Для любой р-группы Л и порядкового числа
о ^ о ядро Кег E является ра-сервантной подгруппой группы
114 Гл. XII. р-группы с элементами бесконечной высоты
Тог (#а, Л); здесь использованы обозначения упр. 9 из § 81.
[Указание: получить из диаграммы
p°Ext(A, С) -> Hom(Z, Ext (Л, С)) Л Ext(tfa, ЕхЦЛ, С))
II1 д^ II J
Ext (Л, С) Д Ext (Tor (#a, Л), С),
что Кег 3* = р° Ext (Л, С) при любом С; взяв С = Кег д, получаем,
что Кег д должна быть ра-сервантной подгруппой в Тог (Яст, Л).1
13 (Нунке [5]). (а) Существует достаточно много ра-проективных
объектов: для любой р-группы Л и порядкового числа а существует
ра-сервантно точная последовательность 0->/С->Г->Л-^0, где
Т есть ра-проективная группа. [Указание: использовать
отображение д: Тог (Я0, Л) -> Л, упр. 8 и упр. 12.]
(б) Если группа Л является ра-проективной, то она служит прямым
слагаемым для Тог (Яа, Л).
14 (Нунке [5]). Пусть Г — наименьший класс р-групп,
удовлетворяющий следующим условиям:
1) 0 g Г и класс Г замкнут относительно взятия подгрупп;
2) если В — элементарная р-подгруппа группы Л и А/В g Г, та
А 6 Г;
3) класс Г замкнут относительно взятия произвольных прямых
сумм.
Показать, что р-группа Л принадлежит классу Г тогда и только тогда,
когда она является подгруппой р°-проективной группы для
некоторого порядкового числа а. [Указание: для доказательства достаточности
использовать индукцию, учитывая упр. 13.]
§ 83. Просто представленные р-группы
В этом параграфе мы дадим другую характеризацию тотальна
проективных р-групп, основанную на очень специального вида
представлении группы. Это одна из характеризаций, наиболее тесно
связанных со структурной теоремой; она позволит получить относительна
простой метод доказательства основного результата о тотально
проективных р-группах.
Мы скажем, что р-группа Л просто представлена [является Т-груп-
пой в терминологии Кроули и Хэйлса [1]], если она может быть
порождена множеством элементов X = {xjiei, связанных лишь
определяющими соотношениями вида
pmxt = 0 или pnXi = Xj (i Ф /),
где тип — натуральные числа.
Очевидно, соотношение вида ртхь = 0 может быть заменено
множеством соотношений pxt = yiy руг = у2У . . ., pym-i = О, если
добавить к множеству X новые образующие у19 у2, . . ., ут-\- Мы можем
§ 83. Просто представленные р-группы
115
и будем предполагать, что для любого образующего xt группы Аг
имеющего порядок рш, существуют образующие уъ у2, • - ., ут-и
связанные указанными выше соотношениями. То же замечание
применимо к соотношениям pnxt = Xj. Поэтому без ограничения общности
можно предполагать, что все соотношения имеют вид pxt = 0 или
pxt = Xj (i ф j).
Очевидно, может случиться так, что различные элементы
множества X станут равными в группе А или образующий окажется в А
равным нулю. Мы можем исключить эти случаи, опустив обращающиеся
в нуль образующие и все, кроме одного, в каждой совокупности
склеившихся элементов и в то же время соответствующим образом изменив
определяющие соотношения. Так как нет полной уверенности, что
при этом процессе ничто не может вступить в противоречие с
определяющими соотношениями, нужно действовать очень осторожно.
Точнее, мы собираемся проверить, что всякая просто представленная
р-группа А может быть также представлена множеством образующих X
и множеством соотношений 2 так, что будут выполняться условия
1) для любого х 6 X в группе А справедливо х Ф 0;
2) если Xj у — различные элементы множества X, то х Ф у в А;
3) все соотношения имеют вид рх = 0 или рх = у, где х, у ? X.
Такое представление будет называться точным.
Пусть А является просто представленной /?-группой, т. е. А
представима в виде (X'; 2'), где X' — множество
образующих, а 2' —множество определяющих соотношений вида рх' = О
или рх' = у'. Пусть X — такое подмножество множества X', что для
него выполнены условия 1) и 2) и всякий элемент х' 6 X' в группе А
равен некоторому элементу х 6 X. Соотношение рх = 0 [или рх = у]
мы включим в 2 в том и только в том случае, когда х G X и рх = О
в А [х, у ? X и рх = у в А]. Тогда, очевидно, будет существовать
эпиморфное отображение ср группы В = (X; 2 ) на группу А.
Существует другое отображение, а именно г|з: А ->• В, при котором всякий
элемент х' 6 X' переходит в такой элемент х 6 X, что х' = х в
группе А. Так как г|эср = 1 в и ср — эпиморфизм, то ер является
изоморфизмом, что доказывает существование точного представления.
В дальнейшем все представления будут предполагаться точными,
если не оговорено противное.
Точное представление просто представленной группы А = (X; 2 >
порождает естественный частичный порядок на множестве X: для
х, у 6 X полагаем
у < ху если рпх = у при некотором п > О,
т. е. если соотношения рх = хг, рхг = х21 . . ., рхп^ = у при
соответствующих хг, . . ., л:п_! 6 X входят в 2. Ясно, что в множестве X
выполнено условие минимальности.
Приведем простейшие примеры просто представленных р-групп
[с точными представлениями]:
116 Гл. XII. р-группы с элементами бесконечной высоты
Пример 1. Циклические группы порядка рп просто представлены:
Z (рп) = (х1у х2, . . ., хп\ рхг = О, рх2 = хъ . . ., рхп = хп_г).
Пример 2. Квазициклические группы просто представлены:
Z (р°°) = (xl9 . . ., хп, . . .; рхг = О, рх2 = xlt . . ., рхп = xn-lf . . .).
Пример 3. Группа Прюфера Н^+г просто представлена:
^со+1 — \Я0, ^i» a2i a2ii • - • i апч #пь • • •
... ап> п_!, ...; ра0 = 0, /?#! = а0,
pa2 = a2i, pa2i=a0, . .., pan = ani, ..., pan, n_t =--а0, .. .).
Изучение просто представленных р-групп мы начнем с
перечисления элементарных результатов [см. Кроули и Хэйлс [1]].
а) Прямая сумма просто представленных групп также просто
представлена.
Это очевидно, так как теоретико-множественное объединение систем
образующих и теоретико-множественное объединение определяющих
соотношений задает представление прямой суммы.
Из определения обобщенных групп Прюфера На ясно, что если
группа Н0 просто представлена, то просто представлена и группа
//а+1. Очевидная трансфинитная индукция, использующая п. а) на
предельных местах, приводит к следующему результату:
Предложение 83.1. Обобщенные группы Прюфера просто
представлены. ш
б) Всякий ненулевой элемент просто представленной р-группы А
может быть однозначно записан в виде
а = ял + . . . + skxh (k > 1), A)
где хх, . . ., xk — различные элементы множества X и 0 < st <. р
при i = 1, . . ., k.
В силу свойств 1)—3) существование такой записи очевидно.
Предположим, что а = s^ + . . . + skxh= txxx + . . . + tkxk для
отличных друг от друга элементов хх, . . ., xk 6 X и некоторых целых
чисел si9 tt = 0, 1, . . ., р —¦ 1. Пусть хх — максимальный среди
элементов хг, . . ., xk при естественном частичном порядке на
множестве X. Существует гомоморфное отображение ф подгруппы {х1у ...
. . ., xk >, а значит, и группы Л, в группу Z (р°°), переводящее х1 в
элемент порядка р, а х«у . . ., xh в 0. Теперь фа = sx (ф^) — tx (ф^)
дает sx = tl9 и простая индукция по k завершает доказательство.
в) Если A) — однозначно определенная запись ненулевого
элемента а в просто представленной группе Л, то а ? раА тогда и только
тогда, когда xt 6 раА при i = 1, . . ., k.
Необходимость доказывается индукцией по а. При а = 0
утверждение тривиально. Предположим, что а = pb, где b = г^ + . . .
- • • + >"г^! 6 />аЛ при некотором а. Если элементы Ун . - ., yi? X
§ 83. Просто представленные р-группы
117
различны и 0 < г, < р при / = 1, ...,/, то по предположению
индукции z/j- 6 рМ при / = 1, . . ., /. Следовательно, а = гг (рух) +..>
. . . + гг {ру{), что можно записать в виде t±z± + . . . + tmzmy где
2 — различные элементы из X, / — положительные целые числа*
меньшие р, и каждый элемент z имеет вид pntjj (п ^ 1). Отсюда zly ...
. . ., zm 6 ра+1Л. Из п. б) следует, что эти элементы z равны
элементам х, т. е. х19 . . ., хк 6ра+1^4.
Для у 6 X положим
ху = {хех \у^х}.
г) Если А — просто представленная р-группа и М — множества
минимальных элементов из X, то
А=®(ХУ). B)
уем
При различных у, z ? М множества Ху и Хг не пересекаются*
а в силу условия минимальности, выполненного в X, каждый элемент
х ? X принадлежит некоторому множеству Ху. Так как каждое из-
определяющих соотношений содержит элементы только из одного
множества Ху, ясно, что А — прямая сумма групп (Ху).
д) Пусть А — просто представленная редуцированная р-группау
длина которой — предельное порядковое число. Тогда А — прямая
сумма просто представленных р-групп меньших длин.
В представлении B) группы А последняя ненулевая ульмовская
подгруппа группы (Ху > порождается в силу п. в) элементом у. Поэтому
длины групп {Ху > — непредельные порядковые числа; следовательно,
они меньше длины группы Л.
е) Если А — просто представленная р-группа и Y —
подмножество множества X, то N= (Y) — хорошая подгруппа группы А,
Пусть а 6 А \ N, и пусть а = sxxx + . . . + skxk + txyx + . . .
• • • + ti\)h гДе *i и Uj — различные элементы из X \ Y и Y
соответственно, a st, tj — натуральные числа, меньшие р. Мы утверждаем,
что b = s^! + . . . + shxk 6 а + N — элемент, собственный
относительно N. В самом деле, для любого с = ггу[ + . . . + гту'т ? ЛГ
[записанного в виде A)] высота элемента а + с в силу п. в) равна
min {A* (Xi)> h* (y'j)} < min h* (xt) = h* (b).
i, J г
Теперь сразу получается следующее утверждение:
Лемма 83.2 (Кроули и Хэйлс [1], Хилл [17]). Всякая просто
представленная р-группа имеет хорошую систему. ш
ж) Если А — бесконечная редуцированная просто представленная
р-группа, то
О
Проведем индукцию по длине т группы А. Случай предельного
порядкового числа т не представляет затруднений в силу п. г). Пусть
118 Гл XII. р-группы с элементами бесконечной высоты
т — изолированное порядковое число. Случай, когда т конечно,
тривиален, так как тогда А — прямая сумма циклических групп. Если
т =- р + п, где р — предельное порядковое число, большее нуля,
an — натуральное число, то группа А/р^А бесконечна и, очевидно,
| А1р*А \>\р?А | > 2 /0 (А). Так как fG (А/р»А) = f0 (А) при
о < р, получаем требуемое равенство.
Теперь мы уже в состоянии доказать основную структурную
теорему. Она была получена в приведенном ниже виде Кроули и Хэйлсом [1]
и в эквивалентной форме [а именно: для р-групп, обладающих
хорошими системами] Хиллом [24].
Теорема 83.3 (Кроули и Хэйлс [1], Хилл [24]). Две просто
представленные редуцированные р-группы изоморфны тогда и только
тогда, когда равны их соответствующие инварианты Ульма — Кап-
ланского.
Некоторые преимущества дает доказательство этого результата
в следующей усиленной форме, полученной Хиллом [24]. Идея
использовать в доказательстве лемму Цорна, а не трансфинитную индукцию,
принадлежит Э. Уокеру.
Теорема 83.4. Пусть А и С — некоторые р-группы, G и Н —
хорошие подгруппы групп А и С соответственно и группы AIG = (X, 2Х>,
CIH = (F, 2^> просто представлены. Предположим, что
а') существует сохраняющее высоту изоморфное отображение ср
группы G на Н\
б') относительные инварианты Ульма — Капланского совпадают:
f0 (Л, G) = fG (Су Н) для каждого а.
Тогда ф можно продолжить до изоморфизма ф*: А -> С.
Для каждого о выберем произвольный, но фиксированный
изоморфизм
а0: р°А [p]/G (а) -* р°С [рУН (о)
и рассмотрим пары (Gb ф^), удовлетворяющие следующим условиям:
а) GK = (G, Хх) для некоторого подмножества Хх множества X;
Р) Фл, — сохраняющий высоту изоморфизм группы G^ на
некоторую подгруппу Нх = (X, У\>, где Yk — подмножество множества Y\
у) ограничение ф^ на G совпадает с ф;
б) аа индуцирует изоморфизм группы GK (o)IG (а) на группу
Пк (ст)/# (сг) при любом о.
Если множество этих пар очевидным образом частично
упорядочено, то по лемме Цорна получаем максимальную пару (G*, ср*), где
<р* — сохраняющий высоту изоморфизм группы G* == (G, X* ), ска-
§ 83. Просто представленные р-группы
119
жем, на группу Я* = (Я, F* ). Заметим, что условие б) дает fa (Л, G*) =
= fo (СУ Я*). Если некоторый элемент х ? X в группе G* отсутствует,
то можно предположить, что рх 6 G*, и тривиальное применение
леммы 77.1 дает продолжение изоморфизма ф* до сохраняющего высоту
изоморфизма ф* между группой G* = (G*, #> и подгруппой Я* ipyn-
пы С, содержащей Я*, причем условие б) сохраняется. В множестве Y
имеется конечное число образующих у1у . . ., ут, для которых Я* ^
^ Н* = (Я*, ух, . . ., ут). Теперь изменим порядок в нашем
процессе: Я* — конечное расширение подгруппы Я*, так что это хорошая
подгруппа в С, поэтому лемма 77.1 может быть последовательно
применена к подгруппе Н*9 изоморфизму ф* и образующим^, . . ., ут\
в результате получатся конечное расширение G* группы G* и
сохраняющий высоту изоморфизм (pf: G* -»- Я?, для которых ф* | G* = ф*
и аа (G* (o)/G (а)) = Н* (а)/Я (а). Вернемся к группе Л и выберем
такие элементы х1у . . ., хп 6 X, что G* s (G*, хх, . . ., хп) = G*.
Повторяя этот процесс попеременно в С и в Л, мы получим
возрастающую цепочку подгрупп G* с= G* ^ Gf ^ . . . группы Л и
сохраняющие высоту изоморфизмы фп между подгруппами G* и подгруппами Я*
группы С, для которых выполняются требуемые условия и ф* | G*-i =
= Ф*_1. Если положить G** = U G? и Я** = U Я*, то пара
п<© п<со
(G**, ф**), где ф** — отображение G** -*- Я**, индуцированное
отображениями ф*, также будет принадлежать рассматриваемому нами
множеству пар. Следовательно, G* = А и в силу симметрии Н* =С. и
Мы еще не продвинулись достаточно далеко, чтобы можно было
утверждать, что просто представленные редуцированные р-группы —
это в точности тотально проективные р-группы. В силу
предложения 83.1 и леммы 83.2 осталось сделать ровно один шаг: показать, что
прямые слагаемые просто представленных р-групп также являются
просто представленными группами. Вместо того чтобы доказать это
непосредственно, мы вернемся к тотальной проективности и покажем
с помощью трансфинитной индукции по длине а группы Л, что
тотально проективная р-группа Л просто представлена.
Если а — предельное порядковое число, то Л — прямая сумма
тотально проективных р-групп длины меньше айв силу п. а)
доказывать нечего. Поэтому предположим, что Л — тотально проективная
р-группа длины о -\- I. По предположению группа А/р°А просто
представлена. Пусть М — множество минимальных элементов в
системе образующих X группы А/р°Ау и пусть Мр = {х 6 М \ h* (х) ^ р}
при р < а. Тогда | Мр | > г (рМ), причем раА — элементарная
р-группа. Выберем в раА базис {и^}^ и возьмем группу С с
образующими {X, ut (i 6 /)}, связанными соотношениями put = 0 при всех i
и всеми соотношениями, существующими между элементами из X
в группе А/р°А, кроме соотношений рх = О (х ? М), которые
заменяются на рх = ut при некотором i. Мы можем предполагать, что для
всякого i 6 / и любого р < о имеет место соотношение рх = иь при
некотором х 6 Мр. Тогда С — просто представленная группа и р°С ^
120 Гл. XII. р-группы с элементами бесконечной высоты
^рсА, С/р°С ^ А/р°А. Используя теорему 83.4, получаем
изоморфизм С ^ А. Этим доказана
Теорема 83.5 (Кроули и Хэйлс [1]). Редуцированная р-группа
просто представлена тогда и только тогда, когда она тотально
проективна. ш
На этом месте имеет, быть может, смысл прервать изложением кратко
подытожить, какие различные характеризации тотально проективных р-групп были
получены. Наши результаты показывают, что для редуцированной р-группы А
эквивалентны следующие условия:
1. Группа А обладает хорошим композиционным рядом.
2. Группа А обладает хорошей системой.
3. Группа А просто представлена.
4. А — прямое слагаемое прямой суммы обобщенных групп Прюфера.
5. Группа А проективна относительно сбалансированно точных
последовательностей р-групп.
6. Группа А тотально проективна.
7. Группа А принадлежит наименьшему классу групп, содержащему Z (р),
замкнутому относительно взятия прямых сумм и прямых слагаемых и
содержащему группу G в точности тогда, когда он содержит p°G и G/p°G для любого
порядкового числа а.
Получив достаточно много способов, позволяющих проникнуть
в структуру тотально проективных р-групп, установим, какие
последовательности кардинальных чисел могут быть инвариантами Ульма—
Капланского для тотально проективных р-групп.
Теорема 83.6 (Кроули и Хэйлс [1], Хилл [24]). Пусть g — функция,
область определения которой —все порядковые числа о < т [т —
заданное порядковое число], а область значений — кардинальные числа.
Тотально проективная р-группа А длины т, для которой
fG (А) = g (а) при всех а < т,
существует тогда и только тогда, когда g есть х-допустимая функция.
Пусть сначала А — тотально проективная р-группа длины т.
Тогда, очевидно, для fG (А) выполнено условие 1) определения
т-допустимой функции из § 78. Чтобы проверить выполнение условия 2),
можно провести индукцию по длине т. Так как случай, когда т —
конечное или предельное порядковое число, затруднений не
вызывает, положим т = р + п, где р — предельное порядковое число,
большее нуля, an — натуральное число. Тогда группа рМ/рМ
бесконечна для всех о < р и | рМ/рМ | > | ррЛ | > 2 fo (Л).
Р^а<т
Отсюда и из п. ж) следует, что fa (А) — действительно т-допустимая
функция.
Пусть g есть т-допустимая функция, и пусть т = о-\-п, где
а —предельное порядковое число, п — целое число. Если а = 0, то длина
g конечна, и последовательностью инвариантов Ульма — Капланского
§ 83. Просто представленные р-группы
121
п-1
группы Л^ф © Z (рг+1) является последовательность g@), ...
г=0 g(i)
..., g(n — 1). Если о>0ип>0, то существование тотально
проективной р-группы G длины а, р-й инвариант Ульма — Капланского
которой равен g(p) при любом р<а, доказывается по индукции. Если
п-1
при любом л<а выполнено неравенство 2 ?(р)^Е ?(а + 0>-
Л<р<а г=0
то по образцу доказательства теоремы 83.5 можно построить тотально
проективную р-группу А длины а + п, для которой А/р°А ^би раА =
п-1
= Ф © Z (Рг+1)- Но это неравенство — следствие условия 2) из § 78..
г=0 g (а+г)
Если, наконец, т = о — предельное порядковое число, то
рассуждаем следующим образом: х-допустимую функцию g в силу
леммы 78.5 можно записать в виде g = 2 &ь ГАе gt есть тгдопустимая
функция длины %i < т. Если теперь At — тотально проективная
р-группа, для которой gt (а) служит о-и инвариантом Ульма —
Капланского, то группа А = © At соответствует заданной функции g. Л
i?I
Для завершения теории тотально проективных р-групп докажем
следующий результат, который можно интерпретировать как
утверждение, что класс тотально проектив ных р-групп — это наиболее
широкий класс групп, на который рас пространяется теорема Ульма.
Теорема 83.7. Всякий класс редуцированных р-групп, содержащий
все тотально проективные р-группы, замкнутый относительно взятия
прямых сумм и такой, что в нем неизоморфные группы имеют
различные инварианты Ульма — Капланского, совпадает с классом тотально
проективных р-групп.
Пусть А — группа из заданного класса их — ее длина. Положим.
tn = | Л | к0 и рассмотрим прямую сумму
Я=® © На
Ш <^*
обобщенных групп Прюфера. Ясно, что /а (Я) = ш при всех а < т..
Следовательно, группы Л © Я и Я имеют одинаковые инварианты
Ульма—Капланского. По предположению группа Л ©Я также
лежит в заданном классе, и Л ® Н ^ Н. Отсюда А — прямое
слагаемое прямой суммы обобщенных групп Прюфера. в
Доказав теоремы 83.3, 83.6 и 83.7, мы достигли своей основной
цели в теории тотально проективных р-групп. Однако нужно иметь
в виду тот факт, что теория тотально проективных р-групп ни в коей
мере не может считаться полностью разработанной. А если отбросить,
требование тотальной проективности, то о групповой структуре мьь
фактически вообще ничего не можем сказать.
122 Гл. XII. р-группы с элементами бесконечной высоты
Упражнения
1. Сепарабельная /7-группа является просто представленной тогда
и только тогда, когда она — прямая сумма циклических /7-групп.
[Указание: использовать структурную теорему.]
2. Если А = (X; 2 ) — просто представленная /7-группа и Y —
подмножество множества X, то группа AI{Y) просто представленная.
3. Пусть о — порядковое число. Тогда /?-группа А является просто
представленной в том и только в том случае, когда просто представлены
группы р^А и А/р°А.
4 (Кроули и Хэйлс [2]). Если At (i ? I) — семейство таких просто
представленных /7-групп, что pa*At == (at) — циклическая группа
порядка рп при любом i ? 7, то группа © АЬЮ, где G — подгруппа
группы © Аи порожденная всеми элементами вида at — а$ (t, / ? /),
снова просто представлена.
5 (Э. Уокер). Пусть А — редуцированная /7-группа, a G — группа
с образующими ga, где a ? А, и определяющими соотношениями g = О
и P'lga = gb тогда и только тогда, когда рпа = b в группе А. В этом
случае группа G просто представлена, а ядро эпиморфизма G-+-A,
индуцированного отображением ga >—> a,— сбалансированная
подгруппа группы G. [У/шзаяаб: проверить, что выполнено условие 4)
предложения 80.2.]
6 (Хилл [15]). Тотально проективные р-группы вполне транзитив-
ны. [Указание: использовать следствие 81.4.]
7 (Фукс и Э. Уокер). Для всякой тотально проективной /7-группы А
и любой возрастающей последовательности u = (а0, . . ., ад, . . .)
порядковых чисел и символов оо группы А (и) и А/А (и) тотально
проективны. [Указание: свести к группам Прюфера и провести
индукцию по длине, используя тот факт, что (А/р°А) (и) = (А (и) +
+ р°А)/р°А для группы А длины a + 1, упр. 3 из § 81.]
8 (а) (Нунке [7]). Пусть А — некоторая /?-группа с конечным
числом ульмовских факторов, причем каждый из них — прямая
сумма циклических групп. Доказать, что А — прямая сумма счетных
^7-групп.
(б) (Хилл и Меджиббен [4]) Редуцированная р-группа конечного
ульмовского типа, все ульмовские факторы которой, кроме, быть
может, последнего, являются прямыми суммами циклических групп,
однозначно определяется своими ульмовскими факторами.
9 (Хилл и Меджиббен [4]). Пусть А — некоторая р-группа и a —
такое счетное порядковое число, что раА = © С/ и А/р°А — прямая
сумма счетных /7-групп. Показать, что А = Е © ф Eiy где р°Е = 0
и р°Ег = Си а | Et | < max (\Ct |, ч0) при каждом i ? /. [Указание:
свести к случаю, когда раА — прямая сумма циклических групп;
тогда А — прямая сумма счетных /7-групп; использовать следствие 76.2
.для построения требуемого разложения.]
§ 84. Суммируемые р-гриппы
123
10. Доказать теорему 83.6, рассматривая те же случаи, что и в
доказательстве следствия 76.2.
11. Если А и С — тотально проективные р-группы, каждая из
которых изоморфна изотипной подгруппе другой, то А ^ С.
[Указание: использовать п. Г) из § 80 и теорему 83.3.]
12. Если А — тотально проективная р-группа я А © А ^ С © С,
то А ^ С.
§ 84. Суммируемые р-группы
Завершим изучение р-групп рассмотрением интересного класса,
который выявил Хонда [3]. Этот класс включает в себя прямые суммы
счетных р-групп.
Пусть А — редуцированная р-группа, скажем, длины т. Для о < т
определим Sa с помощью равенства
pM[p] = p0+M[p]®Sa. A)
Таким образом, ненулевые элементы из Sa имеют высоту сг. Прямая
сумма © So, очевидно, обладает тем свойством, что если а = а0 + ...
... + а<тЛ> где 0 Ф aG. ? SG. и ot различны, то /г* (а) = min ai#
i
Прямая сумма © Sa, вообще говоря, не совпадает с А [/?]; про-
G<Т
стой пример — неограниченная периодически полная р-группа А,
где ф Sn служит носителем базисной подгруппы группы А. Так как
П<@
даже прямая сумма циклических групп может содержать базисную
подгруппу, отличную от всей группы, то легко получается, что ф 5а
может равняться А [р] при некотором выборе подгрупп Sa в A) и не
равняться А [р] при другом выборе этих подгрупп. Ввиду этого
назовем группу А суммируемой [см. Хилл и Меджиббен [5]], если при
подходящем выборе подгрупп Sa в A) выполнено равенство
А [р] = © Sa. B)
Из этого определения следует, что
А) Прямая сумма циклических р-групп является суммируемой.
Б) Прямая сумма суммируемых групп суммируема.
Подгруппа G группы А называется высотно конечной, если высоты
ее элементов [все высоты берутся в группе А] принимают лишь
конечное число различных значений.
Полезным критерием суммируемости является следующая
Теорема 84.1 (Хонда [3]). Редуцированная р-группа А счетной
длины х суммируема тогда и только тогда, когда существует такая
124 Гл. XII. р-группы с элементами бесконечной высоты
возрастающая цепочка
О ;= d != G2 != ... <= Gn <= . ..
высотно конечных подгрупп группы А [/?], что
U Gn = A[p].
Если группа Л суммируема и т счетно, мы можем выписать все
подгруппы 5а(а<т) из B) в виде последовательности SGi, S<j2t ...
.. .,S<,n, .. • типа со. Очевидно, что Gn = S0i® .. .©S<,n(H = 1, 2, .. .) —
высотно конечные подгруппы, объединение которых совпадает
с А[р].
Обратно, пусть существует возрастающая цепочка высотно
конечных подгрупп Gn группы Л, объединение которой совпадает с А [рЬ
В силу того что р°А П Сх — прямое слагаемое группы Gly мы можем,
начав с максимальной высоты ах ненулевых элементов группы Gly
найти разложение G1 = KGi © ... © Kok> где ох > . . . > ok и
всякий ненулевой элемент из /Са. имеет высоту Oj. По индукции мы можем
таким путем построить для каждого п разложение
где /Сап) = 0 при почти всех а, /^п)<=рМ, К^ П Ра+М- 0 и
Ко7" )^КоП\ Полагая 50 = U^Con), получаем, как легко проверить,
А[р]= ®Sa.m
Так как цоколь счетной редуцированной р-группы является
объединением возрастающей цепочки конечных подцоколей, то из
теоремы 84.1 и п. Б) непосредственно получается
Следствие 84.2. Счетные редуцированные р-группы и их прямые
суммы являются суммируемыми группами. ш
Используя это следствие, можно построить суммируемые группы
любой длины, не превышающей щ. Удивительным и совсем не
тривиальным является тот факт, что суммируемых р-групп длины
больше о)! не существует.
Теорема 84.3 (Хонда [3]). Для суммируемой р-группы А справедливо
равенство рШ1Л = 0.
Предположим, что группа А суммируема, но p°M Ф 0. Тогда
мы можем написать
А[р\= Ф Sa®pmA[p]t
0<O)i
где ненулевые элементы подгруппы SG имеют высоту а. Пусть 0 Ф
Ф а 6 А имеет высоту щ, и пусть элементы bl9 . . ., bni . . . 6 А
§ 84. Суммируемые р-группы
125
таковы, что pbn = а при любом п и ах <...<< ап < . . ., где ап =
= /г FП). В дополнение к этому элементы Ьп можно предполагать
выбранными так, что в указанном выше разложении группы А [р]
элемент Ьп — 6П_! имеет ненулевые координаты только в слагаемых Sa,
где о < оп. Так как все оп счетны, существуют такое счетное
порядковое число ог0, что о0 > оп при всех пу и элемент Ь0 6 Л высоты а0, для
которого pb0 = а. Очевидно, элемент Ь = Ь0 —• Ь1 ? А [р] имеет
высоту av Выбрав, если нужно, другой элемент Ь0, можно получить
включение Ь 6 ф SCT. В силу того что b = (Ь0 — ЬЛ) + (Ьп — Ьг)
a<(oi
и А* (&0 — &п) = ап, и так как Ьп — Ьх имеет в S0n нулевую
координату, ясно, что элемент b имеет ненулевую координату в S0n при
каждом п. Полученное противоречие показывает, что ртА = 0 для
любой суммируемой р-группы А. ш
Подгруппы суммируемых групп не обязаны быть суммируемыми
[см. упр. 7], но некоторые из них оказываются суммируемыми.
Предложение 84.4 (Хилл иМеджиббен [5]). В суммируемых группах
изотипные подгруппы счетной длины суммируемы.
Пусть С — изотипная подгруппа счетной длины р суммируемой
группы А. Тогда существует такая рМ-высокая подгруппа Е
группы Л, что С ^ Е. Доказательство разобьем на два этапа.
Прежде всего покажем, что Е — суммируемая группа. Запишем
А [р] в виде B). Существует такая /?М-высокая подгруппа Е'
группы Л, что Е' [р] = © Sa. Так как по предложению 80.1 подгруппа Е'
<т<р
изотипна в Л, суммируемость этой подгруппы очевидна.
Канонический гомоморфизм А^А/р^А отображает рМ-высокие подгруппы
изоморфно и [по лемме 37.1] с сохранением высот на подгруппы группы
Л//?'°Л. Отсюда легко следует, что при этом отображении цоколи
р^Л-высоких подгрупп имеют один и тот же образ. Суммируемость
подгруппы Е теперь является простым следствием суммируемости
подгруппы ?".
Теперь доказательство сводится к случаю, когда С — изотипная
подгруппа суммируемой группы Е счетной длины р. По теореме 84.1
цоколь Е [р] является объединением возрастающей цепочки высотно
конечных подгрупп Gn. Цоколь С [р] теперь является объединением
возрастающей цепочки подгрупп Gnf] С (п = 0, 1, . . .), которые
высотно конечны, так как С — изотипная подгруппа группы Л. т
Пример суммируемой группы, не являющейся прямой суммой счетных
р-групп, можно найти в работе Хилла [16],
Упражнения
1. Сепарабельная /7-группа является суммируемой тогда и только
тогда, когда она — прямая сумма циклических групп.
2. Подцоколь S редуцированной /^-группы Л называется
суммируемым, если S = © Гст, где все ненулевые элементы в Т0 имеют
126 Гл. XII. р-группы с элементами бесконечной высоты
высоту а. Показать, что все счетные подцоколи группы А
суммируемы.
3. Всякий подцоколь суммируемой р-группы счетной длины
суммируем. [Указание: использовать доказательство предложения 84.4.]
4 (Хилл и Меджиббен [5]). Если А — редуцированная р-группа
и А [р] = S © pwi А [/?], то 5 не является суммируемым подцоко-
лем, кроме случая, когда ртА = 0. [Указание: использовать
доказательство теоремы 84.3.]
5 (Хилл и Меджиббен [5]). Для суммируемой р-группы А
выполняется равенство
pfiIExt(Z(poo)M) = 0.
[Указание: это верно в силу предложения 56.3, если длина группы А
меньше ov, если длина группы А равна oc^ и ?: 0 -> А ->- G ->¦ Z (р°°) ->-
->- 0 — нерасщепляемое расширение, определяющее элемент из
рЮ1 Ext (Z (р00), Л), то G [р] = А [р] ф (g) для некоторого g ? G;
если /i* (g) = Oj, то группа G суммируема, что невозможно; если
h* (ё) < <%> рассмотреть Е\\: О-*- А -»¦ G' -> Z (р°°) ->- 0, где ц —
эндоморфизм группы Z (р°°) с ядром Z (р), и показать, что Ец —
нерасщепляемое расширение, но С — суммируемая группа.]
6 (Хилл и Меджиббен [5]). Суммируемая р-группа служит прямым
слагаемым для всякой группы, в которой она содержится в качестве
р^-высокой подгруппы. [Указание: см. упр. 5.]
7 (Гриффит [10]). Пусть А есть рШ1-высокая подгруппа группы
Прюфера //coi+i- Показать, что
(а) группа А изоморфна изотипной подгруппе группы Нт\
(б) А не является суммируемой группой. [Указание: см. упр. 4.]
Замечания
Знаменитая группа Прюфера #©+1 была первым известным примером
редуцированной р-группы, содержащей ненулевые элементы бесконечной высоты
(см. Прюфер [2]). Десятилетием позже Ульм [1] доказал, используя остроумные
теоретико-матричные методы, что ульмовские факторы [которые в данном случае
являются прямыми суммами циклических групп] счетной редуцированной
р-группы определяют группу с точностью до изоморфизма. Цыпин [1] дал чисто
теоретико-групповое доказательство этого результата и в то же время получил
теорему существования (следствие 76.2). Как ни странно, эта замечательная
теория долгое время не давала никаких плодов и даже приложения ее были очень
немногочисленны.
Первые попытки обобщений были сделаны в начале 50-х годов: теорема
существования 76.1 была доказана для произвольных р-групп с заданными уль-
мовскими факторами независимо и почти одновременно Куликовым [3] и Фуксом
[2]. Труднее было распространить теорему Ульма на более широкие классы
р-групп.
На самом деле путь к различным обобщениям открыло доказательство
теоремы Ульма, данное Капланским и Макки [1]. Первый важный шаг сделал Колет-
тис [1], который перенес теорию Ульма — Цыпина на прямые суммы счетных
р-групп. На этом этапе стало ясно, что должен существовать более широкий класс
р-групп, в котором группы различаются с помощью их инвариантов Ульма —
Капланского. Э Уокер высказал предположение, что такой класс образуют
Замечания
127
тотально проективные р-группы, введенные Нунке [5]. Паркеру и Уокеру [1{
удалось распространить теорему Ульма на тотально проективные р-группы,,
но только длины, не превосходящей щсо. Большое значение имела работа Нунке-
[7], где исследовались свойства тотально проективных р-групп.
Вскоре после этого Хилл дал формулировку теоремы Ульма для тотально*
проективных р-групп [Hill P., Notices Amer. Math. Soc.,' 14 A967), 940]. Era-
работа [24] [еще неопубликованная, но за которой сразу же последовала книга^
Гриффита [10]] основывается на рассмотрении хороших систем и тонком анализе-
продолжении изоморфизмов. Идя в другом направлении, Кроули и Хэйлс [1, 2}'
выявили класс просто представленных р-групп [они называли их Г-группами}'
и показали, что эти группы также можно классифицировать с помощью
инвариантов Ульма — Капланского. Замечание, что для тотальной проективности
достаточно существования одного хорошего композиционного ряда, по-видимому,
является новым.
Мы в этой книге пытались вкратце исследовать различные аспекты теории
тотально проективных р-групп и, чтобы быстрее продвинуться к цели, не
проводили более глубокого изучения сильных технических методов. Но мы должны
отослать читателя к оригинальным работам для ознакомления с дополнительным
материалом.
Недавно Уорфилду [5] удалось распространить основные результаты,
касающиеся тотально проективных р-групп, на смешанные модули над кольцом
дискретного нормирования, просто представленные в смысле § 83. Если отметить тот
простой факт, что просто представленные группы без кручения — это в точности'
вполне разложимые группы [которые тоже описываются с помощью
кардинальных инвариантов], то можно поставить вопрос, какова та более широкая теория,
которая охватывает все эти частные случаи. Для модулей М Уорфилд ввел новые
инварианты, а именно ранги групп р°М/(р°+ М + Та) [где Т0 — периодическая
часть модуля раМ] для предельных порядковых чисел а, и показал, что р-группы»
немного более широкого класса можно классифицировать с помощью их
инвариантов Ульма — Капланского и этих новых инвариантов,-взятых для
предельных порядковых чисел а, не кофинальных с со. Кроме тотально проективных
р-групп, этот класс включает в себя все раЛ-высоки подгруппы тотально
проективных р-групп А для предельных порядковых чисел а.
Существуют различные другие важные аспекты теории р-групп, которые-
нами совсем не затрагивались. Среди них особенно интересен обобщенный
критерий Куликова, полученный Меджиббеном [9], а также его обобщение теории
базисных подгрупп (ср. Меджиббен [12]). Последняя теория недавно была
распространена Кроули на р-группы любой предельной длины X, где % кофинально-
с со. Что касается некоторых топологических аспектов теории, отошлем читателя
к работам П. Дюбуа [1], Майнса [Ц и Уоллера [1]. Обобщение финального ранга>
р-групп ввели Катлер и П. Дюбуа [1]. Свойства периодических групп,
выражаемые в терминах некоторых инфинитарных языков, исследовали Барвайз и Эклоф-
[Barwise J. and Eklof P., Ann. Math. Logic, 2 A970—1971), 25—68].
Проблема 59. Охарактеризовать р-группы, которые
вкладываются в прямые суммы счетных редуцированных р-групп [или, более
общо, в тотально проективные р-группы].
Проблема 60. Пусть G — вполне характеристическая
подгруппа р-группы А. Найти критерии, при которых не уменьшающий
высоту гомоморфизм G ->¦ А индуцируется эндоморфизмом группы А.
Проблема 61. Исследовать р-группы, любые два (конечных)'
прямых разложения которых имеют изоморфные продолжения.
Проблема 62. Какая подгруппа группы Ext (С, А)
соответствует расширениям, в которых А — хорошая подгруппа?
123 Гл. XII. р-грцппы с элементами бесконечной высоты
Проблема 63. По аналогии с определением сервантно полных
р-групи назовем р-группу А изошипно полной, если всякий подцоколь
группы Л, служащий носителем изотипной подгруппы некоторой
^-группы, содержащей Л в качестве изотипной подгруппы, служит
такжэ носителем изотипной подгруппы группы Л. Исследовать изо-
типно полные /?-группы.
Проблема 64. Найти полную систему инвариантов для /7-групп
конечного ульмовского типа, ульмовские факторы которых являются
периодически полными.
Ричмен [3] рассматривал эту проблему в случае, когда первая ульмовская
подгруппа — элементарная р-группа.
Проблема 65. Каковы компактные абелевы группы,
двойственными к которым являются тотально проективные /?-группы?
Глава XIII
ГРУППЫ БЕЗ КРУЧЕНИЯ
Существуют весьма широкие классы периодических групп, поддающихся
довольно хорошему описанию с помощью инвариантов, однако классы групп без
кручения с достаточно разработанной структурной теорией немногочисленны
и относительно невелики. Речь идет о группах без кручения ранга один и о
прямых суммах этих групп — но не больше; даже для групп без кручения конечного
ранга не известно никакой удобной полной системы инвариантов. Можно,
конечно, найти некоторые схемы для построения групп без кручения, которые дают
какую-то информацию об их структуре, но известные к настоящему моменту
схемы не дают приемлемого решения основной проблемы: когда две группы,
полученные по разным схемам, изоморфны.
Наиболее глубокое различие между периодическими группами и группами
без кручения заключено, пожалуй, в том, как ведут себя эти группы при прямых
разложениях. В то время как неразложимая периодическая группа должна быть
группой ранга один, имеется столько же неразложимых групп без кручения
ранга т, сколько вообще существует групп без кручения этого ранга. Это
справедливо для всех кардинальных чисел, меньших первого сильно
недостижимого кардинального числа. Более того, даже в случае групп без" кручения
конечного ранга разложения в прямую сумму неразложимых групп могут быть
удивительно разнообразными.
Мы познакомим читателя с несколькими результатами, касающимися прямых
произведений групп без кручения ранга 1, а также их подгрупп, включая
некоторые интересные факты, полученные лишь недавно. Будет также рассмотрена
красивая теория узких групп.
§ 85. Группы без кручения ранга 1
Для групп без кручения крайне важно понятие, соответствующее
понятию высоты,— с его помощью можно различать элементы группы.
С этого понятия мы и начинаем наши рассмотрения.
В настоящем параграфе р1У /?2, . . ., рп, . . . — последовательность
простых чисел, для определенности упорядоченных по возрастанию.
При данном простом числе р максимальное целое число k, для
которого в группе без кручения А выполняется условие ph \ а, где
а 6 А, называется р-высотой hp(a) элемента а; если такого числа
не существует, мы полагаем hp (а) = оо [см. § 1]. Последовательность
р- высот
Х(а)==(Ар1(а), ...,Арп(а). ••-)
называется характеристикой или высотной последовательностью
элемента а; поскольку характеристика зависит от группы Л, мы будем
иногда писать %А (а), чтобы подчеркнуть роль А. Итак, характеристи-
130
Гл. XIII. Группы без кручения
кой является упорядоченная последовательность неотрицательных
целых чисел и символов оо. Две характеристики (klt . . ., kny . . .)
и (/х, . • ., /n, . . .) равны тогда и только тогда, когда равенство
kn = ln выполнено для всех п.
Следующие замечания очевидным образом следуют из определения:
а) X (—я) = X (я) Для всех а 6 А.
б) Если х (#) = (&i, . . ., &п, • • .)> то элемент а делится на целое
число т = pi . . . р/ тогда и только тогда, когда lt ^ kt для i = 1, . .
. . ., г.
в) Если х (я) = (*i, . . ., ?п, . . .)> т0 X (рпа) = (&i> • • •
. . ., kn-ly kn + 1, &n+1, . . .) [мы полагаем оо + 1 = оо].
г) Всякая последовательность (kl9 . . ., kn, . . .) неотрицательных
целых чисел и символов оо является характеристикой, а именно
характеристика элемента 1 в подгруппе R группы Q, порожденной всеми
элементами вида рп п, где ln ^ kn при всех п, совпадает с этой
последовательностью. Если R — указанная подгруппа группы Q, то при
я 6 А и Ха (я) = (&i, . • ., &п> • • •) мы будем писать Ra = (а)+.
Положим (kl9 . . ., kn, . . .) ^ (/х, . . ., 1п, . . .), если kn ^ /п для
всех п. Тогда множество всех характеристик превратится в [полную
дедекиндову] структуру относительно покомпонентных операций:
(&!, . . ., kny . . .)П (*i. ...,/„,...) =
= (min (kly /0, . . ., min (kn, /n), . . .),
а для операции [j нужно «min» всюду заменить на «max». В эгой
структуре @, . . ., 0, . . .) является наименьшим, а (оо, . . ., оо, ...) —
наибольшим элементом. Для группы без кручения Л, очевидно, имеем
Д) Хс (с) ^ Ха (с) Для всех элементов с подгруппы С группы Л;
равенство для всех с имеет место тогда и только тогда, когда
подгруппа С сервантна в группе Л.
е) X Ф + с) > ЦЬ) П X (с) Для всех Ь, с б А.
ж) Если Л = В 0 С и Ь 6 5, с 6 С, то х (& + с) = х F) П X (<0-
з) Для всякого гомоморфизма а: Л -> Л и для произвольного
а ? А имеет место неравенство Ха (а) ^ Хв (аа)«
и) Если С — сервантная подгруппа группы Л и а* — смежный
класс по подгруппе С, то
%А/с(а*)= UXa(o).
Из определения характеристики возникает понятие, являющееся
для групп без кручения основным,— понятие типа. Две
характеристики (kl9 . . ., kn, . . .) и (ll9 . . ., ln, . . .) будем считать
эквивалентными, если kn ф 1п имеет место лишь для конечного числа номеров п
и только тогда, когда kn и 1п конечны. Другими словами, сумма
2 Un — ln \ должна быть конечной [мы полагаем здесь оо — оо = 0].
п
§ 85. Группы без кручения ранга 1
131
Класс эквивалентности в множестве характеристик называется типом.
Если х (#) принадлежит типу t, мы говорим, что элемент а имеет тип
t и пишем t (а) = t или tA (а) = t, если необходимо указать, что тип
элемента а вычисляется в группе Л.
Тип t мы будем представлять характеристикой, принадлежащей
этому типу. Другими словами, мы будем писать t = (kly . . ., kny . . .),
но помнить при этом, что характеристику (&х, . . ., kni . . .) можно
заменить на эквивалентную. Поскольку отношение эквивалентности
в множестве характеристик согласовано со структурными операциями,
введенными выше, множество типов также является (дистрибутивной)
структурой. Таким образом, для типов t и s по определению имеет
место неравенство t ^ s, если существуют такие характеристики
(&!, . . ., kn, . . .) и (/х, . . ., 1ПУ . . .), принадлежащие типам t и s
соответственно, что (klf . . ., kn, . . .) ^ (/1? . . ., 1п, . . .).
A) Если а и b — зависимые элементы в группе Л [т. е. та = гЬ
для целых т, г Ф 0], то t (а) = t (b).
Б) t (b + с) > t (b) П t (с) для всех 6, с 6 A.
B) Если А = В 0 С и Ь 6 5, с 6 С, то t (b + с) = t (b) П t (с).
Г) Для гомоморфизма а: А ->- Б и элемента a g Л имеет место
неравенство t (а) < t (аа).
Произвольному типу t можно поставить в соответствие две вполне
характеристические подгруппы группы без кручения Л, весьма
полезные для развиваемой теории. В силу Б) множество A (t) всех
элементов а ? А, типы которых удовлетворяют неравенству t (а) ^ t, является
подгруппой группы А у заведомо сервантной, благодаря свойству А).
Далее, элементы а типов t (а) > t порождают подгруппу группы Л,
которую мы обозначим через Л*A). Включение
Л* (t) <= A (t)
очевидно.
Группа без кручения Л, в которой все ненулевые элементы имеют
один и тот же тип t, называется однородной. В этом случае Л (t) = Л
и Л* (t) = 0. Произвольная группа без кручения ранга 1, очевидно,
является однородной.
Изучение групп без кручения до некоторой степени опирается
на наши сведения о группах ранга 1 Оставшаяся часть параграфа
посвящена этим группам.
Из § 24 мы знаем, что любая группа без кручения R ранга 1
изоморфна некоторой подгруппе группы Q. Другими словами, группа без
кручения ранга 1 обязательно является рациональной группой.
Поскольку группа R однородна, мы связываем с ней тип t, общий
тип всех ненулевых элементов из R. Изоморфным группам, очевидно,
соответствуют одинаковые типы. Теперь мы покажем, что если R и S
являются группами без кручения ранга 1 одного и того же типа t,
то они обязательно изоморфны:
132
Гл. XIII. Группы без кручения
Теорема 85.1 (Бэр [6]). Две группы без кручения ранга 1 изоморфны
тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же тип. Каждый
тип является типом некоторой рациональной группы.
Пусть а ? R и b (i S — произвольные ненулевые элементы, и пусть
1 Ф) = (*i. - • м kn, . . .), х Ф) = d, . . ., /п, • • •)• Если эти
характеристики принадлежат одному и тому же типу t, то найдется лишь
конечное число индексов, скажем п1у . . ., пи для которых kn. Ф 1п..
Такие kn. и 1п. суть неотрицательные целые числа, и, поделив элемент
k h 11
а на рпп* . . . /?пп', а элемент b на р^ . . . /?пп', мы получим
элементы с ? R и d (i S, в характеристиках которых на местах с
номерами пъ . . ., nt стоят нули. Очевидно, что % (с) = % (d).
Следовательно, уравнение тх = пс разрешимо в группе R тогда и только
тогда, когда уравнение ту = nd разрешимо в группе 5. Такие
уравнения в группах без кручения имеют не более одного решения.
Следовательно, сопоставление х++у задает взаимно однозначное
соответствие между группами R и S, которое, как сразу видно, сохраняет
операцию сложения.
Второе утверждение теоремы непосредственно следует из п. г). в
Итак, мы установили взаимно однозначное соответствие между
группами без кручения ранга 1 и типами. Поскольку типы описываются
в терминах последовательностей неотрицательных целых чисел и
символов оо и легко можно выяснить, равны ли два типа, теорема 85.1
дает достаточно полное представление о структуре групп без кручения
ранга 1.
Пример 1. Очевидно, t (Z) = @, . . ., О, . . .), t (Q) = (oo, ..., оо). Кроме
того, t (Qp) = (оо, . . ., оо, 0, оо, . . .), t (Q(P)) = @, . . ., 0, оо, 0, . . .), где
С и со соответственно стоят на пг-ы месте, если рт = р.
Пример 2. Группа рациональных чисел со знаменателями, свободными
«т квадратов, имеет тип A, 1, . . ., 1, . . .).
Следствие 85.2. Множество всех неизоморфных групп без кручения
ранга 1 имеет мощность континуума.
Множество всех характеристик имеет мощность 2*°, а множество
типов не может иметь большую мощность. С другой стороны,
мощность множества типов не меньше, чем 2No, так как разные
характеристики, состоящие лишь из нулей и символов оо, принадлежат
разным типам. По теореме 85.1 каждый тип является типом некоторой
группы ранга 1, тем самым следствие доказано. в
Если % = (&!, . . ., kn, . . .) и Xi = (*i» • • • Лп, • • •) —
характеристики, то их произведение определим как характеристику
Hi = (*i + /i, ..., К + /п, . . .),
где, естественно, оо плюс нечто есть оо. Характеристика х идемпо-
тентна [т. е. х2 = %1 в том и только в том случае, когда для
каждого п либо kn = 0, либо kn = оо. Умножение характеристик согла-
§ 85. Группы без кручения ранга 1
133
совано с отношением эквивалентности, введенным выше, и можно
говорить о произведении ttx типов t, tb а также об идемпотентном
типе t = t2.
Частное ул : %2 двух характеристик %г ^ %2 определим как
наибольшую характеристику %, для которой хХг ^ Xi- Легко видеть, что
такая характеристика % существует и удовлетворяет следующему
условию: неравенство х'%2 ^ Xi эквивалентно неравенству %' ^ х-
Частное типов определяется аналогично.
В заключение приведем два элементарных результата.
Предложение 85.3. Если А и С — группы без кручения ранга 1,
то А ® С — группа без кручения ранга 1, причем
t(A ® C) = t(A) -t(C).
С помощью теоремы 60.6 мы получаем, что группа А ® С является
подгруппой группы Q ® Q ^ Q и, следовательно, имеет ранг 1. Пусть
X (а0) = (kly . . ., kn9 . . .) и х (с0) = (/i, . . ., /п, • • •) Для некоторых
ненулевых элементов а0 ? Л, c0fC. Тогда элемент а0 ® с0 из группы
А ® С, очевидно, делится на р™ при m ^ kn + /n» я = U 2, . . ..
Значит, х («о ® с0) > X (ао) X (с0)-
Для таких рациональных чисел г и s, что га0 ? A, sc0 ? С,
рассмотрим отображение га0 ® sc0 »-> rs из группы Л X С в
рациональную группу R, в которой Xr A) = X (ао)'Х (со)- Так как это
отображение билинейно, то по определению тензорного произведения мы
получаем, что строгое неравенство х (^о ® с0) > Xr 0) невозможно. в
Предложение 85.4. Пусть А и С — группы без кручения ранга L
Если неравенство t (А) ^ t (С) не имеет места, то Нот (Л, С) = 0.
Если же t (А) ^ t (С), то Нот (Л, С) является группой без кручения
ранга 1 и имеет тип t (С) : t (Л).
По свойству Г) получаем, что Нот (Л, С) Ф 0 только тогда, когда
t (Л) ^ t (С). В этом случае выберем такие ненулевые элементы а ? А
и с ? С, что х (о) ^ X (<?)• Заметим, что существует и притом
единственный гомоморфизм г): Л ->- С, для которого rja = с. Легко получить,,
что этот гомоморфизм т] имеет характеристику х (с) '• X (а)> а всякий
другой гомоморфизм из Л в С есть рациональное кратное т). а
Упражнения
1. Пусть а 6 Л, где Л — группа без кручения. Множество S (а)
всех натуральных чисел п, которые делят элемент а, удовлетворяет
следующим условиям:
AI6 5 (а);
B) если п ? S (а) и m | я, то т ? S (а);
C) если т, п ? S (а), то [т, п] ? S (а).
Показать, что при a, b 6 Л равенство S (а) = S (Ь) выполняется
тогда и только тогда, когда X (а) = % (Ь).
2. Для каждого типа t Ф (оо, . . ., оо, . . .) найдется счетное число
характеристик, принадлежащих типу t.
134
Гл. XIII. Группы без кручения
3. Если t = (kly . . ., kn, . . .), то подгруппа Л (t) совпадает с сер-
вантной подгруппой группы Л, порожденной пересечением {]р*пА.
п
4. Если подгруппа С сервантна в группе Л, то подгруппа С (t)
сервантна в группе A (t).
5. Привести пример, когда
(а) множество элементов, типы которых строго больше типа t,
не является подгруппой;
(б) подгруппа Л* (t) не является сервантной в группе Л;
(в) группа Л содержит элементы типа t и Л* (t) = Л (t).
6. Если группа Л содержит элементы типа t, то подгруппа Л (t)
порождается всеми такими элементами.
7. Пусть А и В — группы без кручения ранга 1. Группы Л и В
не изоморфны в том и только в том случае, когда существует такое
бесконечное множество Q степеней pk простых чисел, что одна из
подгрупп pi pkA и ft pkB равна нулю, а другая — нет.
ph?Q pk?Q
8. (а) Пусть Л и В — группы без кручения ранга 1. Группа В
изоморфна некоторой подгруппе группы Л в том и только в том
случае, когда t (В) < t (Л).
(б) Попарно неизоморфные подгруппы данной группы без
кручения ранга 1 образуют либо конечное, либо континуальное семейство.
9. Охарактеризовать /?-адические и Z-адические пополнения групп
без кручения ранга 1.
10 (Бэр [6]). Если группа без кручения Л имеет конечный ранг,
то множество типов {t (а) \ а ? Л } удовлетворяет как условию
максимальности, так и условию минимальности. [Указание: рассмотреть
ранги подгрупп Л (t).]
11 (Бэр [6]). Существует такая группа без кручения Л ранга 2,
что множество типов {t (а) | а 6 Л} бесконечно. [Указание: в группе
Qa 0 Qb выбрать такую подгруппу Л, что для каждого простого
числа рп выполняется равенство %А (а + рпЬ) = @, . . ., 0, оо, 0, . . .),
где оо стоит на п-и месте.]
12. Множество неизоморфных групп без кручения конечного ранга
имеет мощность континуума.
13. Описать факторгруппы групп без кручения ранга 1.
§ 86. Вполне разложимые группы
Существует совсем немного классов групп без кручения, изучение
которых не слишком трудно. Одним из них является класс вполне
разложимых групп.
Группа без кручения Л называется вполне разложимой, если она
является прямой суммой групп ранга 1. Свободные и делимые группы
представляют собой тривиальные примеры вполне разложимых групп.
Предложение 86.1 (Бэр [6]). Любые два разложения вполне
разложимой группы в прямую сумму групп ранга 1 изоморфны.
Вполне разложимые группы 135
Пусть А = © Ль где At — рациональные группы. Из леммы 9.3
легко получить, что для любого типа t подгруппы A (t) и Л* (t)
совпадают с прямыми суммами тех групп Ah для которых верны
неравенства t(At)^t и t(,4;)>t соответственно. Таким образом, группа
Аь = A (t)/A* (t)
изоморфна прямой сумме тех групп Аи типы которых в точности
равны t. Мы получаем, что ранг At равен числу слагаемых Л,- типа t.
Поскольку определение группы At не зависит от прямых разложений
группы Л, наше утверждение сразу следует из единственности ранга. в
В частности, мы получили, что для вполне разложимых групп А
ранги г (At), где t пробегает множество всех типов, образуют полную
и независимую систему инвариантов. Таким образом вопрос о структуре
вполне разложимых групп решен полностью.
Пусть С — сервантная подгруппа группы без кручения А.
Элемент а ? А\С назовем собственным относительно С, если
X (о) > X (я + с) Для всех с 6 С.
Это условие равносильно тому, что %а (а) = %А/с {а + С). Сервантная
подгруппа С группы А называется сбалансированной [или регулярной],
если каждый смежный класс группы А по подгруппе С содержит
собственный элемент.
Читатель легко убедится в том, что данное определение сбалансированной
подгруппы согласуется с соответствующим определением для р-групп, данным
в § 80. [Заметим, что в группах без кручения изотипность эквивалентна сервант-
ности.]
Прямое слагаемое всегда является сбалансированным, но
обратное неверно 1см. упр. 2]. Тем не менее, как показывает следствие 86.3,
при некоторых дополнительных условиях сбалансированная
подгруппа должна выделяться прямым слагаемым.
Теорема 86.2. Вполне разложимые группы проективны
относительно всех сбалансированно точных последовательностей групп без
кручения.
Свойство проективности сохраняется при взятии прямой суммы,
так что утверждение теоремы достаточно доказать для групп ранга 1.
Рассмотрим диаграмму
R
/1
/
/
/
0 -> С -* А > G -> 0
в которой все группы являются группами без кручения, подгруппа С
сбалансирована в группе Л, а группа R имеет ранг 1. Возьмем
произвольный ненулевой элемент* ? R. В смежном классе ф (л:) по под-
136
Гл. XII/. Группы без кручения
группе С выберем собственный относительно С элемент а ? А. В силу
соотношения % (х) ^ % (ф (х)) = % (а) соответствие х н-> а можно
продолжить до гомоморфизма ф: R ->- Л, при котором указанная диаграмма
становится коммутативной. в
Утверждение, обратное теореме 86.2, также верно [см. упр. 16].
Теорема 86.2 имеет непосредственное
Следствие 86.3 (Ляпин [5]). Если С — такая сбалансированная
подгруппа группы без кручения А, что факторгруппа А 1С вполне
разложима, то С служит для А прямым слагаемым. и
Следующая лемма носит технический характер.
Лемма 86.4 (Бэр [6]). Пусть С — сервантная подгруппа группы
без кручения А. Если каждый элемент из смежного класса а + С имеет
тот же тип в группе А, что и класс а + С в группе А 1С, то в классе
а + С найдется элемент, собственный относительно С.
В силу соотношений % (а) ^ % (а + С) и t (а) = t (а + С) легко
видеть, что существует конечное число таких элементов ах, . . ., ak 6
6 а + С, для которых % (ах) U • • • U X Ю = X (а + С). Таким
образом, достаточно доказать, что если а — Ъ ? С и характеристики л/ (а)
и % (Ь) эквивалентны, то найдется такой элементу ? а + С, что % (g) ^
> X W U X (&)• Поскольку t (а) = t (b), существуют взаимно
простые целые числа тип, для которых % (та) = % (яЬ). Пусть и и и —
такие целые числа, что mu + nv = 1. Тогда для элемента g —
= тш + nub ^ а + С, очевидно, выполняется % (g) ^ % (та) ^
> X (а) U X F)- .
Теперь мы без труда получим следующий полезный результат.
Предложение 86.5 (Бэр [6]). Пусть С — сервантная подгруппа
группы без кручения А, удовлетворяющая следующим условиям:
а) факторгруппа А 1С является вполне разложимой и однородной
группой типа t;
б) все элементы множества А \ С имеют тип t.
Тогда С служит прямым слагаемым для А.
По лемме 86.4 получаем, что С — сбалансированная подгруппа
в группе А. Остается применить следствие 86.3. в
Следующий результат обобщает известную теорему о том, что
подгруппы свободных групп свободны.
Теорема 86.6 (Бэр [6], Колеттис [3]). Пусть А — вполне
разложимая однородная группа типа t. Если подгруппа С группы А является
однородной группой типа t [в частности, сервантной в А], то С —
вполне разложимая группа.
Мы применяем те же рассуждения, что и в доказательстве
теоремы 14.5. Пусть А = ф G0, где каждое слагаемое Ga — рациональ-
а
§ 86. Вполне разложимые группы
137
ная группа типа t, а а пробегает множество порядковых чисел,
меньших некоторого порядкового числа т.
Положим
А0= © Gp и С0 = А0[]С.
Очевидно, что Са = С0+1П Ат» откуда
С0+1/С0 ~ (С0+1 + Аа)/А0 s Ла+1/Ла ss G0.
Мы утверждаем, что Са — прямое слагаемое в Са+1. Действительно,
в группе Ca+i все элементы имеют тип t, и если Са+1 Ф Са, то тип
группы C0+1/CG также равен t [эта группа изоморфна подгруппе группы
Ga и в то же время является эпиморфным образом группы Са+1].
Благодаря теореме 86.5 отсюда следует, что Са+1 = CG © Ва для
некоторой подгруппы В0^С. Подгруппы Ва (а < т) порождают
прямую сумму ф Ва, которая должна совпадать с группой С. а
Обратимся теперь к основному результату этого параграфа.
Теорема 86.7 (Бэр [6], Куликов [4], Капланский [4]). Прямые
слагаемые вполне разложимых групп без кручения вполне разложимы.
Вначале рассмотрим случай групп конечного ранга. Пусть А =
= #! © . . . © Нп = В © С, где каждая группа Нь вполне
разложима, имеет конечный ранг и является однородной группой типа tt.
Проведем индукцию по п. Если п = 1, то группа А однородна, и из
теоремы 86.6 следует, что группа В вполне разложима. Допустим, что
типы tx, . . ., tn (п > 1) попарно различны и тип tn является среди
них максимальным. Тогда Нп = A (tn) и Нп = В (tn) ф С (tn)
по лемме 9.3, откуда В = В (tn) ® В' и С=С (tn) © С для
некоторых подгрупп В' s В и С ? С. Таким образом, А = В' ф С © Яп
и Ях ф . . . ф Яп_! ^В'фС. По предположению индукции группы
В (tn) и В' являются вполне разложимыми, а значит, и В — вполне
разложимая группа.
Для рассмотрения общего случая нам понадобится теорема 87.5
[в доказательстве которой используется лишь первая часть
настоящего доказательства]. В силу предложения 9.10 всякое прямое
слагаемое С вполне разложимой группы А является прямой суммой,
счетных групп Сст. По теореме 87.5 группы Са сепарабельны и в силу
теоремы 87.1 вполне разложимы. ш
В заключение докажем следующую лемму, которая потребуется
в дальнейшем.
Лемма 86.8. Пусть А—вполне разложимая однородная группа ко-
печного ранга. Тогда всякая сервантная подгруппа группы А служит
для А прямым слагаемым.
Группу А можно представить в виде А = Rax ф . . . ф Raky где
R — подгруппа группы Q. Для такой группы А справедливо следую-
138
Гл. XIII. Группы без кручения
щее утверждение, являющееся непосредственным обобщением леммы
15.3: для взаимно простых целых чисел п1у . . ., nk найдутся такие
элементы Ь1э . . ., bh ? Л, что
Л =/?&!©... © Rbh, где Ьг = пхах + . . . + nhak.
Пусть С — сервантная подгруппа ранга 1 группы А. Тогда ее можно
представить в виде С = Re, где с = пхах + . . . + nkak для некоторых
взаимно простых целых чисел пъ . . ., nk. В силу предыдущего
утверждения подгруппа С служит для А прямым слагаемым. Пусть теперь
•С — произвольная сервантная подгруппа группы А и С —
сервантная подгруппа ранга 1 группы С. По доказанному подгруппа С —
прямое слагаемое в группе Л, т. е. А = С © А' для некоторой
подгруппы А' а Л, и С = С © С", где С" = С [\ А'.По теореме 86.6
группа А' снова является вполне разложимой. Так как подгруппа С"
сервантна в группе Л', то с помощью индукции мы получаем наше
утверждение. ш
Упражнения
1 (Хаймо [1]). Пусть Ву С—такие сервантные подгруппы группы
А у что В ^ С. Доказать следующие утверждения:
(а) Если подгруппа С сбалансирована в Л, то С сбалансирована в В.
(б) Если подгруппа В сбалансирована в Л, то подгруппа В/С
сбалансирована в А/С.
(в) Если подгруппа С сбалансирована в Л, а подгруппа В/С
сбалансирована в А/С, то В — сбалансированная подгруппа группы Л.
2. Пусть F — свободная группа и G — такая подгруппа группы Fy
что FIG — однородная группа типа @, . . ., О, . . .), не являющаяся
свободной. Показать, что подгруппа G сбалансирована в группе Fy
но не выделяется в F прямым слагаемым.
3. (а) Множество {t (а) \ а ? Л} типов элементов вполне
разложимой группы Л замкнуто относительно пересечения.
(б) Найти наименьшую верхнюю грань числа различных типов
элементов из Л, где Л пробегает семейство вполне разложимых групп
фиксированного ранга п.
4 (Бэр [6]). Пусть С—-такая сервантная подгруппа группы Л,
что С* (t) = С П A* (t), и, кроме того, группа Л (t)M* (t) вполне
разложима. Тогда группа С (t) является прямой суммой подгруппы
С* (t) и некоторой вполне разложимой группы.
5*. Сервантная подгруппа вполне разложимой группы конечного
ранга не обязана быть вполне разложимой. (Указание: рассмотреть
некоторую сервантную подгруппу ранга 2 группы (р^^а^ р-00^) ф
© (pi°°a2, рь°°а2) ф (р2°°а3, /?j°°tf3>, где/?!, /?2, р3 — различные
простые числа (обозначения см. в § 88).]
6. Если Л — вполне разложимая группа конечного ранга
и В — существенная подгруппа группы Л, то группа А/В является
конечной в том и только в том случае, когда каждый элемент из В имеет
в В тот же тип, что и в Л.
§ 86. Вполне разложимые группы
139
7 (Фукс, Кертес и Селе [2]). Группа без кручения Л обладает тем
свойством, что всякая сервантная подгруппа служит для нее прямым
слагаемым, тогда и только тогда, когда редуцированная часть группы Л
является однородной вполне разложимой группой конечного ранга.
[Указание: свести рассмотрение к случаю конечного ранга и
воспользоваться леммой 86.8.]
8. Для двух произвольных прямых разложений вполне
разложимой группы существуют изоморфные продолжения.
9 (Гриффит [3]). Произвольная группа без кручения А является
сервантно существенным расширением некоторой своей вполне
разложимой подгруппы С, причем | А | ^ | C|No . [Указание: выбрать
максимальную сервантную вполне разложимую подгруппу.]
10 (Прохазка [10]). Пусть А —такая вполне разложимая группа,
что различные типы ее компонент ранга 1 вполне упорядочены по
убыванию. Тогда сервантные подгруппы группы А также являются вполне
разложимыми.
11* (Прохазка [14]). Редуцированная группа без кручения А
обладает тем свойством, что А = С © А/С для каждой сервантной
подгруппы С группы Л, тогда и только тогда, когда А —вполне
разложимая группа конечного ранга, причем типы слагаемых ранга 1
линейно упорядочены.
12 (Фукс [19]). Для счетнцх групп доказать теорему 86.7
последующей схеме. Подгруппу A (t) представить в виде A (t) =- Л* (tj®i4t,
аналогично представить подгруппы В (t) и С (t). .
(а) Показать, что А = Bti ф Сн © . . . © Btn © Ctn © ( © At)
для произвольного конечного набора типов tx, . . ., tn. [Указание:
применить индукцию, начиная с минимального t,.]
(б) Положив В' = В П [Cti © . .. © Ctn © ( ф A t)] и аналогично
для С, показать, что Л = Аи ф ... ф Ain ф В' ф С.
(в) Доказать, что В = Хи ф ... © Xin ф В', где Xt. ^ Bt. и
Xt. <=ЛЙ® ... ® Л^.
(г) Показать, что, переходя от п к п + 1, можно брать прежние
подгруппы Xt., i = 1, . . ., я.
(д) Группа В — прямая сумма подгрупп Xt..
13 (Бэр [6]). Следующим образом определим классы Г0 групп без
кручения. Пусть Гх — класс всех счетных групп без кручения. Пусть
теперь о > 1 — произвольное порядковое число и для всех порядковых
чисел р < о классы Гр определены. Мы полагаем Л ? Га, если группа Л
содержит такую сервантную подгруппу С конечного ранга, что А/С
является прямой суммой групп, каждая из которых принадлежит
некоторому классу Гр, где р <С ст. Доказать, что однородная группа Л
типа t вполне разложима в том и только в том случае, когда для
каждой сервантной подгруппы С конечного ранга группа Л 1С является
однородной группой типа t и группа Л принадлежит некоторому классу
140
Гл. XIII. Группы без кручения
Т0. [Указание: достаточность условия доказывается индукцией по о.]
14. Показать, что прямое произведение бесконечного множества
циклических групп не принадлежит никакому классу Га. [Указание:
см. доказательство теоремы 19.2.]
15. Для произвольной группы без кручения Л существуют такая
вполне разложимая группа G и такой эпиморфизм ф: G-+A, что
подгруппа Кег ср сбалансирована в группе G. [Указание: взять такие
мономорфизмы фг: Rt -»- Л, что {Im ф;} — множество всех сервантных
подгрупп ранга 1 группы А, и положить G = ®Rt.]
i
16. Группа без кручения проективна относительно всех
сбалансированно точных последовательностей групп без кручения в том и только
в том случае, когда она вполне разложима. [Указание: теорема 86.2,
упр. 15 и теорема 86.7.]
§ 87. Сепарабельные группы
Перейдем к рассмотрению класса групп без кручения, более
широкого, чем класс вполне разложимых групп. Группы из этого класса
можно считать «локально» вполне разложимыми в следующем смысле.
Группа без кручения А называется сепарабельной [см. Бэр [6]],
если каждое конечное подмножество элементов из А содержится
в некотором вполне разложимом прямом слагаемом группы Л.
Очевидно, мы можем считать, что это слагаемое имеет конечный ранг.
Прежде всего приведем следующие элементарные факты:
а) Группа А сепарабельна тогда и только тогда, когда ее
редуцированная часть сепарабельна.
б) Прямые суммы сепарабельных групп снова являются сепара-
бельными.
в) Если группа А сепарабельна, то для каждого типа t подгруппа
Л* (t) сервантна в группе А.
г) Всякая вполне характеристическая подгруппа С сепарабельной
группы А также является сепарабельной.
Действительно, если q, . . ., ch ? С, то по определению существует
такое разложение А = Аг © . . . © Ап © Л', что Аг, . . ., Ап —
группы ранга 1 и с19 . . ., ck ? Аг © . . . ф Ап. В силу леммы 9.3
С = (С П Аг) © . . • ф (С П Ап) ф (С П А'),
где каждая из групп С [\ А19 . . ., Cfl Ап — либо нулевая, либо
группа ранга 1, а в прямой сумме этих групп лежат все элементы
?i! • • •» Ck»
д) Пусть С — вполне характеристическая сервантная подгруппа
сепарабельной группы А. Тогда группа А 1С сепарабельна.
По условию А 1С — группа без кручения. При заданных элементах
ах + С, . . ., ah + С 6 А/С найдется такое разложение Л = Ах ф . . .
. . . ф Ап ф А\ что А19 . . ., Ап — группы ранга 1 и аг, . . ., ah 6
€ Аг Ф . . . ф Ап. Пусть Л1ПС=...=ЛтПС = 0и Лт+1, . . .
§ 87. Сепарабельные группы
141
. . ., Ап s С. Тогда
А/С = (Лх + С)/С е . . . 0 (Ат + С)/С 0 (Л' + С)/С,
причем прямая сумма первых т слагаемых содержит данные смежные
классы аг + С, . . ., ak + С.
е) Пусть А — сепарабельная группа и t — любой тип. Тогда
A (t)/A* (t) — сепарабельная группа.
Это сразу же следует из пп. г), в) и д).
Важные примеры сепарабельных групп без кручения [не
являющихся вполне разложимыми группами] дают некоторые прямые
произведения групп ранга 1. В частности, из доказательства теоремы 19.2
видно, что прямые произведения бесконечных циклических групп всегда
сепарабельны. Следующий результат показывает, однако, что лишь
несчетные сепарабельные группы представляют собой нечто новое.
Теорема 87.1. (Бэр [6]). Счетная сепарабельная группа без
кручения вполне разложима.
Пусть А — такая группа и а19 . . ., ап, . . . — ее система
образующих. Существует вполне разложимое прямое слагаемое Ах группы А,
имеющее конечный ранг и содержащее элемент а±. Пусть п>1 и уже
построена такая возрастающая цепочка Лх s . . . S Лп_х вполне
разложимых прямых слагаемых группы Л, что все они имеют конечный
ранг и элементы а1у . . ., at лежат в подгруппе At (i = 1, . . ., п— 1).
Тогда найдется вполне разложимое прямое слагаемое Ап группы Л,
имеющее конечный ранг и содержащее как подгруппу Лп_х [или,
что то же самое, максимальную независимую систему элементов
подгруппы Лп-х], так и элемент ап. Очевидно, объединение возрастающей
цепочки ^ g . . . g 4 ? • •• е9ть ^- Пусть Вх = Аг и Ап =
(X)
= Лп_! © Вп при п > 1. Мы получаем, что Л = 0 Вп, где группы Вп
п=1
вполне разложимы как прямые слагаемые групп Ап [см. первую
часть доказательства теоремы 86.7]. ш
Ввиду следующих двух результатов однородные сепарабельные
группы представляют особенный интерес.
Предложение 87.2 (Бэр [6]). Однородная группа А сепарабельна
тогда и только тогда, когда каждая ее сервантная подгруппа, имеющая
конечный ранг, служит для А прямым слагаемым.
Если Л — сепарабельная группа, то ее сервантную подгруппу С
конечного ранга можно вложить в прямое слагаемое В группы Л,
где В имеет конечный ранг и вполне разложимо. В силу однородности
группы В из леммы 86.8 следует, что С — прямое слагаемое в В и,
значит, в Л. Обратно, пусть сервантные подгруппы С конечного ранга
служат для Л прямыми слагаемыми. В этом случае всякая сервантная
в С подгруппа служит для С прямым слагаемым, откуда сразу следует,
что С — вполне разложимая группа. а
142
Гл. XIII. Группы без кручения
Следствие 87.3. Сервантные подгруппы однородных сепарабельных
групп сепарабельны.
Пусть С — сервантная подгруппа однородной сепарабельной
группы А. Если clt . . ., ck ? С, то подгруппа (q, . . ., ck)* в силу
предложения 87.2 служит прямым слагаемым для А и, значит, для С.
Отсюда снова в силу предложения 87.2 следует, что С — сепарабель-
ная группа. в
До сих пор не известно никакого удовлетворительного
структурного описания сепарабельных групп без кручения. Следующий
результат дает некоторую информацию для однородного случая.
Предложение 87.4. Однородная группа без кручения типа t
является сепарабельной в том и только в том случае, когда она
изоморфна некоторой сервантной подгруппе группы (\\Ri) (t), где группы
г
Ri имеют ранг 1 и тип t.
Сначала установим сепарабельность группы G = {\\Ri) (t).
Очевидно, G является однородной группой типа t. Группу \\Rt запишем
в виде \\Rt = IJ (R^i), где R — рациональная группа типа t.
Элемент g ? G будет иметь при этом вид g = (. . ., rtah . . .), где rt ? R.
Можно ограничиться рассмотрением таких элементов g ? G, что
(gK = Re- В этом случае знаменатели чисел rt делятся лишь на такие
простые числа /?, что на соответствующем месте в типе t стоит оо.
Мы можем, следовательно, записать rt = Stniy где st — рациональное
число, числитель и знаменатель которого делятся лишь на такие
простые р = ph что на 1-м месте в типе t стоит оо, a nt — целое число,
которое делится только на те р = рь для которых на 1-м месте в типе t
стоит конечное число. Если существует индекс/, при котором | я,- | = 1,
то \\Ri = Rg © Hj, где Hj = \\ (Rat). Если такого индекса не
сущего;
ствует, то аналогично тому, как это делалось в доказательстве
теоремы 19.2, мы найдем конечный набор таких элементов hlt . . ., hk
из группы G, что []Ri = Rh± © . . . © Rhk © #', где g 6 Rhx © . . .
. . . © Rhk, а группа H' является прямым произведением почти всех
групп Rat. Для элементов^, . . ., gn ? G, где (g* >* = Rgty пользуясь
индукцией по я, получим аналогичное разложение группы [J/?*, ПРИ
которому, . . ., gn g Rhx © ... © Rhk. Поскольку группы Rht имеют
тип t [слагаемые типа f < t можно было опустить; в действительности
таких слагаемых нет — см. предложение 96.2], мы получаем G =
= (IlRi) (t) = Rhx © ... © Rhk © H'(t), откуда и следует
сепарабельность группы G. Остается применить следствие 87.3, и
достаточность будет доказана.
Чтобы доказать обратное, возьмем сепарабельную и однородную
группу А типа t. В силу предложения 87.2 для каждого элемента а Ф О
из группы А подгруппа (а >* выделяется в А прямым слагаемым.
Значит, существует эпиморфизм ла: А -> R [где R — рациональная
§ 87. Сепарабельные группы
443
группа типа t], причем паа Ф 0. Отсюда следует, что А является
подпрямой суммой рациональных групп Rt типа t; более того, группа А,
очевидно, содержится в группе (П^0(*)> и ее сервантность в этой
группе следует из того, что элемент паа имеет ту же характеристику, что
и элемент а. в
Следующая теорема представляет собой основной результат о сепа-
рабельных группах.
Теорема 87.5 (Фукс [26]). Прямые слагаемые сепарабельных групп
сепарабельны.
Пусть А = В ® С — прямое разложение сепарабельной группы А.
При заданных элементах Ь1у . . ., Ьк ? В найдется прямое слагаемое
G группы Л, которое имеет конечный ранг, вполне разложимо и
содержит элементы blf . . ., bk. Пусть А = G © Н для некоторого Н ^ А.
Группу G представим в виде G = G± ф . . . © Gn, где каждое
Gt — вполне разложимая однородная группа типа t;. Сейчас мы
проведем наиболее существенную часть доказательства. Мы убедимся
в том, что существует такое прямое разложение А = G' ©Я', что
G ^ G' = G[ © . . . ф G'n, где каждое Gi — вполне разложимая
однородная группа типа tt и Н' = (#' П В) © {Н' П С). Воспользуемся
индукцией по п.
Пусть п = 1. В этом случае G — однородная группа, тип которой
мы обозначим через t. Группы A (t) = G ф Н (t)j и. [A (t)/A* (t) =
= G ф Н (i)lH* (t) сепарабельны [см. п. г) и е)], здесь черта сверху
означает образ подгруппы G в группе А(\IА*($) при естественном
отображении. В силу следствия 87.3 в разложении
A (t)/A* (t) = В (t)/B* (t) ф С (t)/C* (t)
оба слагаемых сепарабельны; следовательно, существуют такие
разложения
В (t)/fi* (t) = Bi ф .. . © Вг ф X
и
C(t)/c*(t) = Ci0 ... ®cs + F,
что Bu Cj — группы ранга 1 и типа t, а группа G содержится
в группе
5' = 54 е ... © вг © с4 © ... © с8.
Ввиду предложения 86.5 существуют такие подгруппы Вь и Cj
групп В и С соответственно, что г (Bt) = г (Cj) = 1, а группы Вь и Cj
являются образами этих подгрупп при естественных отображениях
В-+В/В* (t) и C-+CIC* (t). Группы В1У . . ., Вг, очевидно,
содержатся в прямом слагаемом J группы Л, где J — вполне разложимая
группа конечного ранга. Не нарушая общности, можно считать,
что J(t) = J- Так как Вг ф . . . ф ВГ — прямое слагаемое в группе
144
Гл. XIII. Группы без кручения
A (t)M* (t) и, значит, в группе ///* (t), то Вг © . . . 0 Вг © J* (t) —
прямое слагаемое в группе /. Мы получаем, что Вх © . . . © Вт
служит прямым слагаемым для Л и, значит, для В, т. е.
В = Вх 0 . . . © Вг ф В0 для некоторого В0 s 5.
Аналогичным образом получаем, что
С = Сх ф . . . 0 Cs © С0 для некоторого С0 s С.
Существуют^ такие рациональные группы /Ci, . . ., Ki типа t, что
G' = G ф К\ © . . . Ф /С/. Возьмем такие подгруппы /Ci, . . ., /Сг
ранга 1 группы Л, что при отображении А-+А/А* (t) их образы
совпадают с группами /Сх, . . ., Ki соответственно. Тогда группа
</' = G ф /Ci Ф . . . Ф Ki будет вполне разложимой подгруппой
группы Л, а ее образ в группе А/А* (t) совпадет с группой G'.
Мы хотим показать, что
А = G' ф В0 ф С0.
Прежде всего, С + Л* (t)-^® . . . ф Вг ф d ф . . . ф Cs) +
+ Л* (t). Так как Л* (t) s 50 ф С0, то подгруппы G', В0 и С0 вместе
порождают группу В © С = Л. Далее, пусть g 6 G' П (во Ф Со)-
Тогда g = а + Ь + с [где а 6 Л* (t), b 6 Bi Ф . . . © Вг, с ? Сх ф
© . . . © CJ, следовательно, b + с = g — а 6 В0 ®С0. Отсюда
получаем, что g — а = 0 и g" 6 G' П Л * (t) = 0. Итак, подгруппу G мы
вложили в прямое слагаемое G' группы Л, где G' — вполне разложимая
однородная группа, а дополнительным к ней слагаемым является
Я' = В0 ф С0, причем В0 s В, С0 S С.
Пусть я > 1. Типы ti, . . ., tn можно считать различными. Пусть
tn — максимальный среди них. По предположению индукции
существует прямое разложение Л = /С' © L, которое обладает следующими
свойствами: группа К' содержит подгруппу К = Gx © . . . ф Gn^
и является вполне разложимой группой конечного ранга, причем
се слагаемые ранга 1 могут иметь лишь типы tb . . ., tn-x; кроме
того, L = (L П В) ф (L П С). Так как Л (tn) = /С' (t„) © L (tn) =
= L (tn), то Gn с L и, значит, Gn — прямое слагаемое в группе L.
Из определения сепарабельности легко получить, что прямое слагаемое
L сепарабельной группы Л, обладающее дополнением конечного ранга,
само является сепарабельным. Таким образом, в силу первой части
доказательства существует разложение L = G'n © Я', где Gn — вполне
разложимая однородная группа конечного ранга. При этом Gn s Gn и
н' = (Hf гнпв) е (Я'[\L{\C) = {Hf [\в) © (#'по.
Положив G' = /С' ф Gn, получим Л = G' ф Я' — искомое
разложение группы Л.
Теперь мы без труда закончим доказательство теоремы 87.5.
Заметим, что из разложения
i = G'©(tf'nfi)e(//'no
§ 87. Сепарабельные группы
145
следуют разложения
Я= (#' П В) © В' и С= (#' Л С) © С,
где В' = [С 0 (Н' П Q] П В и С = [G' 0 (Я' fl 5)] П С Следовательно,
Л=(Я' ПА) 0 (//'ПО © В' © С,
причем Ьъ . . ., bk ? В'. Мы получаем, что группа В' вполне
разложима в силу изоморфизма G' ^ В' © С и первой части
доказательства теоремы 86.7. Таким образом, группа В сепарабельна. в
Непосредственным обобщением понятия сепарабельности является понятие
m-сепарабельности, где m — бесконечное кардинальное число. Группа А
называется т-сепарабельной, если каждое ее подмножество мощности < m может
быть вложено во вполне разложимое прямое слагаемое группы А. Никаких
серьезных результатов, касающихся этих групп, пока нет.
Гриффит [5] называет группу А косепарабельной, если при условии, что
А/В — конечно порожденная группа, подгруппа В содержит прямое слагаемое С
группы At имеющее конечно порожденное дополнение. С помощью этого понятия
Гриффит изучал W-группы [см. § 99].
Упражнения
1 (Бэр [6]). Группа без кручения А сепарабельна тогда и только
тогда, когда выполнены следующие условия:
A) каждое конечное подмножество группы А лежит в некотором
прямом слагаемом, являющемся прямой суммой однородных групп;
B) для каждого типа t группа A (t)/A* (t) сепарабельна. [Указание:
прямые слагаемые в условии A) сепарабельны.]
2. Всякая сервантная подгруппа конечного ранга служит для А
прямым слагаемым в том и только в том случае, когда редуцированная
часть группы А является однородной сепарабельной группой.
3* (Нунке). Используя обозначения и результаты § 94, показать,
что для любого простого числа р группа А = рР + S не является
сепарабельной. [Указание: так как Z — узкая группа, то для любого
гомоморфизма ср: А -> Z имеет место ср (/?, . . ., р> . . .) ? pZ.]
4 (Шарль [8]). Однородная группа А типа @, . . ., О, . . .)
сепарабельна тогда и только тогда, когда для каждого простого числа р
имеет место равенство ПФ (Р%) = рА> гДе Ф пробегает множество
всех гомоморфизмов ср: А -> Z. [Указание: при доказательстве
достаточности показать, что каждая сервантная подгруппа ранга 1
выделяется прямым слагаемым.]
5*. Показать, что группа (Ц^г) (t) из предложения 87.4 не
служит прямым слагаемым для группы Д Rt> если только эти группы
не совпадают; предположить, что множество / имеет неизмеримую
мощность. [Указание: § 94, упр. 8.]
6 (Сонсяда). Существуют неизоморфные сепарабельные группы,
каждая из которых изоморфна некоторой сервантной подгруппе
другой. [Указание: J\Z и []Z © (© Z).]
146
Гл. XIII. Группы без кручения
7. Для всякой группы А группа Нот (Л, Z) сепарабельна.
[Указание: предложение 87.4.]
8. Тензорное произведение двух сепарабельных групп без
кручения также сепарабельно.
9 (Бэр [6]). Элемент а 6 А назовем примитивным типа t, если
а 6 A (t)\A* (t) и а — собственный элемент относительно Л* (t).
Множество элементов {#!, . . ., ak} назовем примитивным, если его члены
примитивны и имеют различные типы.[Пусть А — сепарабельная группа»
Тогда
(а) множество {аъ . . ., ak} примитивно тогда и только тогда,
когда элементы at имеют различные типы, а сервантная подгруппа,
порожденная этим множеством, служит для А прямым слагаемым,
причем (аъ ..., ^>„=(%>„ ф ... © (ak)^
(б) пусть имеются два примитивных множества {а1$ . . ., ak}
и {blf . . ., bh}\ автоморфизм ф 6 Aut Л, удовлетворяющий условию
фя* = biy i = 1, . . ., ky существует в том и только в том случае,
когда % (ад = % (bi), i=l,...,*.
§ 88. Неразложимые группы
Группа называется неразложимой, если она обладает лишь три-
виальными прямыми слагаемыми. Среди периодических групп только
коциклические группы неразложимы. Никакая смешанная группа
не является неразложимой [см. следствие 27.4]. Цель настоящего
параграфа — получить информацию о неразложимых группах без
кручения.
Прежде всего, естественно, возникает вопрос, какими
кардинальными числами могут быть ранги неразложимых групп. Основной
результат [см. следующий параграф] покажет, что существуют
неразложимые группы любого ранга т, меньшего первого сильно
недостижимого кардинального числа.
Неразложимые группы ранга nt ^ 2No легче всего строить с
помощью целых р-адических чисел.
Теорема 88.1 (Бэр [6]). р-сервантные подгруппы группы целых
р-адических чисел неразложимы.
Пусть А Ф О — сервантная подгруппа группы /р, и пусть О Ф я ?
6 А. Если я = skph + sk+1ph+1 + • • . (su Ф 0) — канонический вид
числа я, то в силу р-сервантности sk + sk+1p + ... 6 А. Таким
образом, группа А содержит /7-адическую единицу и, следовательно,
Л + pJp = Jр. В силу /?-сервантности рА = A f] pJP, откуда
Alp А = А /(А П pJP) ^ (А + pJP)/pJp = Jp/pJP ^ Z (р).
Пусть А = В © С, где В Ф 0, С Ф 0. Поскольку подгруппы В к С
также /7-сервантны в группе Jpy имеем Alp А ^ В/рВ © С/рС ^
^ Z (р) ф Z (р). Мы пришли к противоречию, следовательно, группа А
неразложима. в
§ 88. Неразложимые группы
147
Поскольку ранг группы Jp равен 2Хо, теорема 88.1 показывает, что
существуют неразложимые группы произвольного ранга т^2Ко.
Следующим этапом наших рассмотрений будет получение
примеров неразложимых групп в более явном виде. В дальнейших
построениях мы будем использовать те или иные обозначения, руководствуясь
соображениями удобства. Например, мы будем писать р-°°а вместо
бесконечного множества р~1ау . . ., р~пау .... Группу Л окажется
удобным строить с помощью векторного пространства V над полем CU
В пространстве V мы будем брать независимые элементы ап и затем
описывать в этом пространстве систему образующих группы А.
Мы также будем строить группу А, беря прямую сумму некоторых
групп и присоединяя к ней элементы ее делимой оболочки. Буквы
апу Ьп, епу . . . будут обозначать независимые элементы некоторого
векторного пространства над полем Q. Во всяком случае наши
обозначения не будут требовать дополнительных разъяснений.
Пример 1. Произвольная группа без кручения ранга 1
неразложима.
Пример 2. Рассмотрим некоторое (конечное или бесконечное)
множество {q, pl9 . . ., рп> . . .} различных простых чисел и для
каждого п положим
Еп = {р;°°еп) и Gn = {p;°°en, q-^}. .
Тогда подгруппа Еп имеет индекс q в группе Gn. Группу А [^ © Gn\
71
определим следующим образом:
A = (®En;q'i(ei + e2I ..., q~* {et + en), .. .)•
n
Покажем, что группа А неразложима. Допустим, что А = В © С.
Заметим, что если п Ф /п, то не существует ненулевых гомоморфизмов
группы Еп в группу Gm, так как элементы группы Еп делятся на любую
степень числа рп, а среди элементов группы Gm таким свойством
обладает лишь нуль. Таким образом, Еп — вполне характеристические
подгруппы группы Л и по лемме 9.3 мы получаем Еп = (Еп (] В) ©
© (Еп П С). В этом разложении одно из слагаемых равно нулю,
поскольку группа Еп неразложима как группа ранга 1. Это означает,
что либо Еп ^ 5, либо Еп ^ С. Предположим, что ^ g В и ?n g С
для некоторого п > 1. Пусть q~l (е1 + еп) = b + с, где b ? В, с ? С.
Тогда qb = е1и qc = еп, что невозможно, так как ни один из элементов
еп не делится на q в группе Л. Следовательно, все подгруппы Еп содер
жатся либо в группе В, либо в группе С. А так как ®Еп — существен-
п
ная подгруппа группы Л, то либо В = 0, либо С = 0.
148
Гл. XIII. Группы без кручения
Нот (G„G,)~{
Пример 3. Предыдущий пример можно модифицировать.
Положим
А = (®Еп, q~°° (et + е2), ..., qn» (et + е„), .. .>.
П
То же доказательство дает неразложимость группы Л.
Пример 4. Легко видеть, что группа
п
также неразложима.
В~дальнейших построениях неразложимых групп основным поня-
тием^будет следующее. Множество {Gt}i^i ненулевых групп без
кручения называется жесткой системой [см. Фукс [18]], если
некоторая подгруппа /?sQ, если i = j,
О, если ьФ\.
Другими словами, для групп из жесткой системы не существует
эндоморфизмов, кроме умножений на рациональные числа, и не
существует нетривиальных гомоморфизмов из одной группы системы в
другую. В частности, среди эндоморфизмов групп из жесткой системы
идемпотентами являются лишь нулевые и тождественные
эндоморфизмы. Следовательно, группы из жесткой системы должны быть
неразложимыми. Группа G называется жесткой, если одноэлементное
семейство {G} образует жесткую систему.
Простейшим примером жесткой системы является семейство групп
ранга 1 с несравнимыми типами. Действительно, это сразу следует
из предложения 85.4. Мощность континуума служит верхней гранью
для мощностей жестких систем групп ранга 1 [см. следствие 85.2].
Более того, имеет место
Лемма 88.2. Существует жесткая система {Ах}щ групп ранга 1,
где | / | = 2К0.
Пусть/7Х, ql9 ра, q29 . . ., pn, qn, . . . — различные простые числа.
Рассмотрим всевозможные множества St = {г1э г2, . . ., гПУ . . .}, где
для каждого п либо гп = рп, либо rn = qn. Очевидно, что i пробегает
множество индексов / мощности 2Ко и никакое множество St не
содержит множества Sj, если i Ф /. Для каждого S% определим группу Ах
как рациональную группу типа tt = (kl9 . . ., kn, . . .), где kn = оо,
если п-е простое число принадлежит множеству Siy и kn = О в
противном случае. Типы t* попарно несравнимы, следовательно, {Аь} —
жесткая система. ¦
Следующая лемма играет существенную роль при доказательстве
неразложимости некоторых групп.
Лемма 88.3 (Фукс [18]). Пусть E0i Et (i ? I) — жесткая система
групп, и пусть pt (i 6 Л — [не обязательно различные] простые числа,
§ 88. Неразложимые группы
149
причем для каждого i ? I найдутся элементы и% 6 ?0и^ 6 Еи которые
не делятся на pt. Тогда группа
^ = (?0ФФ^; РТ1 (Щ + Vt) для всех i61)
г
неразложима. Это утверждение остается справедливым, если pi1
заменить на pi°° или на nl1, где каждое из целых чисел nt > 1 взаимно
просто как с щ> так и с vt.
Из условия следует, что Е0, Et — вполне характеристические
подгруппы группы А. Таким образом, если А = В ф С, то Et = (Et П В) ф
ф (Et П С), где i 6 / или i = 0. Так как E0f Et — неразложимые
группы, то мы получаем, что каждая из них целиком содержится
либо в группе В, либо в группе С. Пусть Е0 s В и Ej s С для
некоторого / 6 /. Тогда pj1 (Uj + Vj) = b + с для некоторых 6 6 5, с ? С
и оба элемента и,-, О/ делятся на pj в группе Л. Отсюда сразу следует,
что элементы ujy Vj делятся на pj в подгруппе Е0 ф ф ?*. Последнее
г
невозможно, следовательно, все подгруппы Е0, Et лежат в одном
и том же слагаемом группы А и, таким образом, А — неразложимая
группа. в
С помощью лемм 88.2 и 88.3 легко строятся неразложимые группы
произвольного ранга ш ^ 2No. Для этого достаточно выбрать жесткую
систему, как это делалось в доказательстве леммы .88.2, потребовав
к тому же, чтобы фиксированное простое число р не встречалось среди
pn, qn. Далее, в качестве групп Е0, Et из леммы 88.3 можно взять
группы A i из доказательства леммы 88.2 и, кроме того, положить
pi = р для всех i 6 /.
Построение однородных неразложимых групп ранга m ^ 2 не может,
очевидно, опираться на лемму 88.3. Следует, однако, заметить, что
с помощью теоремы 88.1 такие группы могут быть построены.
Приведем конкретные примеры.
Пример 5. Пусть G — вполне разложимая однородная группа
конечного ранга г>2и типа @, . . ., 0, оо, 0, . . .), где символ оо
стоит на месте, соответствующем простому числу р. Итак, мы можем
записать
G = Q™ai®...@C?1P)ar.
Выберем г — 1 алгебраически независимых [над полем Q] р-адических
единиц я2, . . ., яг, и положим пх = 1. Для п = 1, 2, . . . полагаем
хп = P~n {at + пйпа2 + ... + пТпаТ) 6 G, A)
где Jtin = si0 + Sup+ ... +sitn-ipn~i есть (п— 1)-я частичная сумма
канонического представления
Щ = si0 + snp + . . . + sinpn + . . . @ < sin < p).
150
Гл. XIII. Группы без кручения
Подгруппу Л группы G определим как
Л = (#!, . . ., CLri Х-±> X2i • * •» %пч • • •/•
Она имеет ранг г. Мы покажем, что Л — жесткая группа. Прежде
всего заметим, что для каждого п имеет место рхп+1 = хп + s2na2 +
+ . • . + sTnaT. Отсюда следует, что элементы из разности А \Л0, где
Л о = («!, . . ., аг)у имеют вид kxn + k2a2 + . . . + kraT, гдей, &2, . . .
. . ., kr — некоторые целые числа, причем р \ k, а п — некоторый
номер. Более того, пусть
Рт (kxn + k2a2 + ... + krar) = l2a2 + ... + lrar (/* 6 Z).
Подставляя в это равенство выражение хп через A), получим, что
коэффициент при ах должен равняться нулю. Следовательно, & = 0 и
подгруппа (а2, . . ., аг) является [/?-сервантной и, значит,] сервантной
в группе Л. Группа А однородна и имеет тип @, . . ., 0, . . .).
Действительно, допустим, что для всех п имеет место р~п (к1уаг + . . .
. . . + kTar) 6 А. Тогда
p-n (k^ + . . . + kTar — ktfnxn) € Л.
Подставляя вместо хп выражение A) и учитывая сервантность
подгруппы (а2, . . ., аТ) в группе Л, получим, что рп \kt —fexjxfn
для всех п. Это означает, что последовательность {kt —k1nin}n есть
О-последовательность, т. е. k% = k^i, где i = 2, . . ., г. Таким
образом, Tct — рациональные числа, что противоречит их алгебраической
независимости.
Докажем, наконец, что Л — жесткая группа. Пусть г| Ф 0 —
эндоморфизм группы А. Не теряя общности, можно считать, что
эндоморфизм т] переводит подгруппу Л0 в себя [иначе заменим ц некоторым
тх\ Ф 0]. Эндоморфизм ц полностью определяется своими значениями
на элементах at. Пусть
г
Ч: at н-* 2 tijuj (tueZ).
5=1
Тогда
Щп = Р'п 2 ninWi = Р"п 2 B ЩпЬЦ aj =
i э i
= knXn + kn^t + • • • + hn^r
для некоторых целых чисел knj 12п, . . , /гп. Мы получаем
г
г=1
И
г г
Р"п 2 [ 2 *Wu — knnjn] а,- ? <а2, ..., аГ>.
;=2 г=1
§ 88. Неразложимые группы
151
При этом коэффициенты в квадратных скобках делятся на рп. При
п-+оо для каждого / = 2, . . ., г имеем равенство
г г
2 ntfи — %Я/ = 0, где 2 я^и = и.
г=1 г=1
В силу алгебраической независимости р-адических чисел nt отсюда
следует, что tjj = tn, в то время как ttj = О при i Ф /. Эндоморфизм х\
действует, таким образом, как умножение на целое число tfn, и Z
является кольцом эндоморфизмов группы А.
Пусть л2, . . ., яг, n'2J . . ., jts — алгебраически независимые
/?-адические единицы. Построим группу Л, как это делалось выше,
и аналогично построим группу _4', используя п[ = 1, п'29 . . ., тс'$.
Произвольный гомоморфизму): А -+ А' должен быть нулевым — в этом
можно убедиться, дословно повторив предыдущие рассуждения.
Заметим, что множество алгебраически независимых /?-адических единиц
имеет мощность континуума. Мы можем, таким образом, построить
жесткую систему однородных групп типа @, . . ., О, . . .), имеющих
конечные ранги г ^ 2, причем мощность этой системы будет 2No.
Этот результат выделим как теорему.
Теорема 88.4. Существует жесткая система {Ai}^i групп At,
имеющих всевозможные конечные ранги г ^ 2 и являющихся однородными
группами типа @, . . ., О, . . .). При этом \ I \ = 2Но. ш
Следующее свойство значительно сильнее неразложимости. Группу
А назовем сервантно неразложимой, если всякая сервантная подгруппа
группы А неразложима. Теорема 88.1 показывает, что сервантные
подгруппы группы целых р-адических чисел сервантно неразложимы.
Следующая теорема дает достаточно полную информацию о сервантно
неразложимых группах.
Теорема 88.5 (Гриффит Ш). Всякая редуцированная сервантно
неразложимая группа без кручения изоморфна некоторой подгруппе
группы J = И J р. В частности, мощность ее не превосходит мощности
р
континуума.
Пусть А — редуцированная сервантно неразложимая группа без
кручения и а Ф 0 — элемент из А. Группа А хаусдорфова в своей
Z-адической топологии. Следовательно, группу А можно
рассматривать как сервантную подгруппу eeZ-адического пополнения А [см. § 39].
В силу предложения 40.1 можно записать ^4=П^р> где каждый
р
сомножитель Ар — модуль над кольцом целых р-адических чисел.
Соответственно а = (..., ар, . . .), где ар 6 Ар. Если ар Ф 0, то
элемент ар содержится в некотором сервантном Q?- подмодуле Ср ^ Jp
модуля Ар. В силу алгебраической компактности подмодуль Ср слу-
152
Гл. XIIL Группы без кручения
жит для Ар прямым слагаемым. Можно, таким образом, считать, что
элемент а содержится в слагаемом С = [\ Ср группы Л [где Ср = О,
р
если ар = 0]. Пусть А = С ф D. Так как подгруппа А [\ С сервантна
в группе С, а подгруппа А (] D — в группе ?>, то подгруппа G =
= (А П С) ф (Л f] D) сервантна в группе А и, значит, в группе Л.
По условию G — неразложимая группа и в силу 0 Ф а ? С П Л
мы получаем, что D П Л = 0. Таким образом, проекция Л ->¦ С
изоморфно отображает группу Л на некоторую подгруппу группы С =
=П?р. А группа С изоморфна некоторому прямому слагаемому
v
группы «Л в
Упражнения.
1 (а) (Боньяр [1]). Показать, что если ри . . ., рп — различные
нечетные простые числа, то группа
(р?»ац ..., Pn°°cin;^-{ai + a2I j{ai + a3), ..., i- (ап^ + а„)^>
неразложима.
(б) Это неверно, если одно из чисел рг, . . ., рп заменить на 2.
2 (де Гроот [2]). Если /?, ръ . . ., рп — различные простые числа,
то группа
{р-°°а^ ..., р-°°ап, р (at+... + ап))
неразложима.
3. Пусть р, q, г — различные простые числа ^ 5. Доказать, что
группа
Л = <р-°°а, p-^q-^b^r-^c, 2~i(b + c), З'^а + с))
неразложима. [Указание: в нетривиальном разложении одним из
слагаемых должна быть подгруппа F, с>#; сравнить координаты
элементов а и З-1 (а + с).]
4. Существует 2Ко попарно неизоморфных неразложимых групп
ранга ш ^ 2Ко. Сколько таких групп имеет конечный [или счетный]
ранг?
5. (а) Группа Л из примера 5 останется неразложимой, если ее тен-
зорно умножить на произвольную группу R ранга 1 со свойством
рЯф^
(б) Доказать, что для любого типа t Ф (оо, . . ., оо, . . .) и любого
конечного г ^ 2 существует неразложимая однородная группа типа t
и ранга г.
6. (а) Если подгруппа группы Л из примера 5 имеет ранг, не
превосходящий г— 1, то она свободна.
(б) Для любой сервантной подгруппы С этой же группы Л из того,
что г (С) = г — 1, следует, что А/С ^ Q(P).
§ 88. Неразложимые группы
153
7. (а) (Фукс и Лунстра [2]). Существует группа без кручения G
ранга 2, обладающая следующими свойствами:
A) всякая подгруппа ранга 1 группы G является циклической^
B) всякая факторгруппа группы G, являющаяся группой без
кручения ранга 1, делима;
C) кольцо эндоморфизмов группы G изоморфно Z.
Показать, что для любого п имеет место G/nG ^ Z (п). [Указание:
видоизменить пример 5.]
(б) * Доказать, что для каждого г ^ 2 существует группа G ранга
2г, удовлетворяющая таким условиям:
(Г) подгруппы группы G, имеющие ранг, не превосходящий г„
свободны.
B') факторгруппа группы G, являющаяся группой без кручения
ранга, не превосходящего г, делима.
C') утверждение C) предыдущего пункта.
8 (Корнер). Для данного целого п ^ 2 существует группа без:
кручения А ранга п со следующими свойствами:
A) все подгруппы группы Л, имеющие ранг п—1, свободны;:
B) все факторгруппы группы Л, имеющие ранг 1, делимы;
C) кольцо эндоморфизмов группы А изоморфно Z ¦•
9 (Прохазка [2]). Найти такую группу без кручения А ранга 2,
что для любой ее циклической подгруппы С группа А 1С является
смешанной и не расщепляется.
10. Пусть редуцированная группа Л = В © С содержит подгруппу
G =^ Jp. Тогда либо G е В, либо G П 5 = 0. [Указание: подгруппа
G П В сервантна в группе G, откуда при G [] В Ф 0 следует, что<
G / (G П В)—делимая группа.]
11. Пусть А —группа без кручения со следующими свойствами:
для каждого простого числа р имеет место | Alp А \ ^ р и группа А
не содержит ни одной подгруппы, которая была бы р-делимой для
бесконечного множества простых чисел р. Доказать, что А сервантно
неразложима. [Указание: используя доказательство теоремы 35.2,
показать, что | GIpG \ ^ р для всякой сервантной подгруппы G.]
12. Привести пример сервантно неразложимой группы, которая
не изоморфна никакой сервантной подгруппе группы J = П^р-
V
13 (де Гроот [2]). (а) Группа без кручения А сервантно
неразложима, если любые два независимых элемента из А имеют несравнимые
типы.
(б) Пусть V — векторное пространство над полем Q с базисом*
{аъ . . ., ап, . . .}. Линейные комбинации вида b = k-^ащ + - . .
. . . + kran , где пг < . . . < пГ, целые числа kt отличны от нуля,
^>0 и (&!, . . ., kr) = 1, упорядочим в последовательность {&,-}.
Припишем члену bj этой последовательности характеристику @, . . ^
. . ., 0, оо, 0, . . .), где символ оо стоит только на/-м месте, и построим
таким образом подгруппу А в V. Доказать, что группа А сервантно»
неразложима.
454
Гл. XIII. Группы без кручения
14. (а) С помощью леммы 88.2 и упражнения 13 (б) получить
группы А вплоть до мощности континуума, в которых любые две
изоморфные сервантные подгруппы совпадают.
(б) Показать, что группа мощности m > 2Ко не может обладать
свойством, указанным в п. (а).
15. (Гриффит [1]). Показать, что существует 22Ко неизоморфных
сервантно неразложимых групп. [Указание: упр. 14 (а)].
16* (Гриффит [1]). Пусть А — такая редуцированная группа без
кручения, что ее р-базисные подгруппы изоморфны либо Z, либо 0.
Тогда группа А сервантно неразложима в том и только в том случае,
когда ненулевые эндоморфизмы сервантных подгрупп группы А
•являются мономорфизмами. [Указание: А — прямое слагаемое
группы Л]
17 (Д. Дюбуа [1]). Группу без кручения А назовем связной, если
для всякой ненулевой сервантной подгруппы G группы А факторгруппа
AIG делима. Доказать:
(а) сервантные подгруппы группы целых /?-адических чисел связны;
(б) редуцированная связная группа сервантно неразложима;
(в) группа А связна в том и только в том случае, когда для любого
простого числа р группа А либо р-делима, либо изоморфна некоторой
р-сервантной подгруппе группы Jp. [Указание: если рА Ф А, то
существует нетривиальный гомоморфизм А ->¦ Jpy который должен быть
мономорфизмом; /7-базисные подгруппы группы А должны быть
циклическими.]
§ 89. Большие неразложимые группы
Проблема построения неразложимых групп больших мощностей —
предмет исследования настоящего параграфа. Построение опирается
на трансфинитную индукцию. Идея построения восходит к работе
Фукса [18]; теоретико-множественное обоснование было проведено
Корнером [8]. Конструкция возможна только для кардинальных чисел,
меньших первого сильно недостижимого кардинального числа.
Кардинальное число ш* > х0 называется сильно недостижимым, если:
а) 2 mi<ш*, как только тг<т* для всех i?l и мощность
множества индексов / меньше, чем т*,
б) 2п<т* для всякого кардинального числа п<т*.
Сильно недостижимые кардинальные числа необычайно велики, их
существование не зависит, по-видимому, от стандартных аксиом теории множеств*
В теоремах, касающихся сильно недостижимых кардинальных чисел, иногда
постулируются дополнительные аксиомы.
Для построения больших неразложимых групп нам понадобится
один результат из теории множеств. Пусть т > 1 — порядковое
число. Регрессивной функцией для т назовем функцию fx на множестве;
W* (т) ненулевых порядковых чисел, меньших т, со значениями в мно-
§ 89. Большие неразложимые группы 155
жестве W (т) всех порядковых чисел, меньших т, обладающую таким
свойством:
fx (<?) < о для любого о ? W* (т).
Докажем следующую лемму о регрессивных функциях.
Лемма 89.1 (Корнер [8]). Пусть х — такое порядковое число, что
нх меньше первого сильно недостижимого кардинального числа. Тогда
для х существует регрессивная функция fXf удовлетворяющая условию
| /г1 (а) |<2К° для всех а? W (т). A)
Доказательство проведем с помощью трансфинитной индукции.
Если г < ©и то | т | ^ к0, и функция fx, где fx (о) = 0 для всех
о ? W* (т), очевидно, удовлетворяет неравенству A). Таким образом,
в дальнейшем мы предполагаем, что т ^ % и для каждого порядкового
числа р <С т существует регрессивная функция/р, удовлетворяющая A).
Случай 1. Число т не является предельным. Пусть т = р + 1 для
некоторого порядкового числа р. Тогда мы можем положить fx (а) =
= /р (а) при 0 < а < р и /т (р) = 0. Полученная функция /т —
регрессивная функция для т требуемого рода.
Для предельных порядковых чисел мы различаем два подслучая
в соответствии с тем, сингулярно ли т [т. е. существует ли
возрастающая последовательность порядковых чисел аа (а < р), где р —
некоторое порядковое число, меньшее т, для которой llm аа = т] или
а<р
регулярно [т. е. не сингулярно].
Случай 2. т — регулярное предельное число. По условию кх
не является сильно недостижимым кардинальным числом. Поскольку
условие а) выполняется для ш* = хх, должно существовать такое
порядковое число р < т, что нх ^ 2V Так какр + 1 < т, то по
предположению индукции существует регрессивная функция /р+1,
удовлетворяющая неравенству A). И чтобы получить регрессивную функцию fx
для т, мы можем положить
f% {о) = /p+i (о) при 0 < а < р
и
fx (а) = р при р < а < т.
Функция /t, очевидно, удовлетворяет A).
Случай 3. т — сингулярное предельное число. Выберем
последовательность аа, как указано выше, и предположим, что 0<сг0<; ...
... < сга <аа+1 < ... - В этом случае множество й? (т) является
теоретико-множественным объединением попарно непересекающихся
множеств W @О), W {а,) \ IF (а0), ..., W (аа+1) \ И7 (аа), .... Каждое
из этих множеств вполне упорядочено и, значит, множество W (аа+1) \
\ W (аа) изоморфно (как упорядоченное множество) множеству
W (ри) для некоторого порядкового числа ра^ога+1. Следовательно,
156
Гл. XIII. Группы без кручения
по функции /Ра мы можем, очевидным образом, построить
регрессивную функцию gQa на множестве W (aa+i) \ W(aa). Используя
функцию gPa, а также функцию /р, положим
gPa (a), если о а < а < aa+1,
¦-{
a/p(a» еСЛИ tf = <*a.
Непосредственно проверяется, что функции g9 , а также функция /р
удовлетворяют неравенству A). Значит, и функция /х удовлетворяет
этому неравенству. а
Теперь мы в состоянии доказать основной результат о
неразложимых группах больших мощностей.
Теорема 89.2. Для любого бесконечного кардинального числа ш,
меньшего первого сильно недостижимого кардинального числа,
существует жесткая система, состоящая из 2т групп, каждая из которых
имеет мощность ш в.
В силу леммы 88.2 наше утверждение верно для случая ш = к0.
Таким образом, можно считать, что ш ^ к1в Пусть Р (ш) обозначает
систему групп {?j};e/, обладающую следующими свойствами:
1) \*Bi | = ш для каждого i 6 /;
2) | / | = 2«;
3) для каждого i 6 / выделены элемент bt 6 flj\2fij и сервантная
подгруппа Bt с= Biy причем подгруппа, порожденная в Bt
подгруппами Вг (t0)[rAet0 = (оо, 0, . . ., О, . . .)], {bt)\iBiy является их
прямой суммой; кроме того, \Bi/2Bt\ =ш;
4) для групп В* = (Ви 2-°°&г, 2-°°Вг) имеет место изоморфизм
{О при 1Ф\,
подгруппа группы Q при *=*=/.
Трансфинитной индукцией по индексу т, где m = xt, мы
установим существование такой системы Р (ш) для каждого кардинального
числа ш (^ кх), меньшего первого сильно недостижимого
кардинального числа. Этого будет достаточно, поскольку Р (ш), очевидно,
является жесткой системой.
1°. Первый шаг состоит в построении системы Р (ш) для ш = хх.
Рассуждая, как в доказательстве леммы 88.2, легко построить такую
жесткую систему групп Ak ранга 1, что 2Ak Ф Ak Ф 3Aki где k
пробегает множество индексов К мощности хг. Образуем подмножества
Ki (i ? /) множества /С, подчиняющиеся следующим условиям:
И I Kt I = к1;
(W I / I = 2Ki;
§ 89. Большие неразложимые группы
157
(у) некоторый фиксированный, но произвольно выбранный индекс
k0 принадлежит всем подмножествам Ки
(б) Ki s Kj влечет за собой i = ].
Это легко можно сделать с помощью стандартных
теоретико-множественных рассуждений. Для каждого k 6 К выберем ah ? ЛА\ЗЛЬ,
а дли каждого i 6 / положим
В* = < © Ah, 3-oo(a/i0 + aft) при всех /гф/г0 из /Q.
Тогда | Bt l2Bt | = кх и, значит, можно выбрать Ъ% и fij так, как
это требуется в условии 3). Покажем теперь, что система {?*}*€/
удовлетворяет также и условию 4). Пусть дан гомоморфизм r\: Bt ->-
-+Bf. Если i Ф /, то найдется индекс kly лежащий в Kiy но не в Kj-
Поскольку группа В* не содержит ненулевых элементов типа t ^
^ t (Aki)y] обязательно имеем r\Ajn = 0. Но в этом случае элемент
т) (a,k0 + #ai) = Wk0 имеет тип t ^ t {Ak0) и в то же время делится
на любые степени числа 3, а значит, он равен нулю: ца^ = 0.
Аналогичным образом теперь легко получить, что цак = 0 для всех k 6 Ki-
Это означает, что гомоморфизм т] принимает нулевые значения на
максимальной независимой системе группы Bt, следовательно, ц = 0.
Пусть теперь i = /. Поскольку Ak — вполне характеристические
подгруппы группы Ви для каждого к 6 Kt мы получаем r)afe = /v^, где
rk — некоторое рациональное число. Так как элемент ц (аи0 + ak) =
= rko(cik0 + Яь) + (/"л — /Ъо) aft делится на любые степени числа 3,
то элемент (rk — r*0) aft 6 В* должен, очевидно, равняться нулю.
Следовательно rk = rk0 — константа, и гомоморфизм т] — не что иное
как умножение на эту константу.
2°. На втором этапе доказательства мы покажем, как получить
систему Р (п) из системы Р (ш), где п — такое кардинальное число,
что m < it ^ 2т. Пусть {Bt}i?j — система Р (ш). Возьмем какой-
нибудь индекс *0 ? / и образуем подмножества Ij множества /, где /
пробегает множество J, которые удовлетворяют условиям, аналогичным
условиям (а ) — (б), где кх нужно заменить на п. С помощью
подмножеств // (/ 6 J) определим
С/ = { © Bt, 2~°° фь + bt) для всех i Ф i0 из Ij).
В соответствии со свойством 3) системы {Bt} выберем cj 6 Bf0 \ 2Bio,
а в качестве С,- возьмем прямую сумму подгрупп Bt (i?lj), пропустив
при этом Bio. Тогда система {Cj}t очевидно, будет обладать
свойствами 1) —3).
Докажем 4). Пусть дан гомоморфизм r\: Cj-+C* = (Cu 2-°°ch
2-°°Ci). Если \ф1 и m?Ij\ Ih то r\Bm sС? s © Bf. Отсюда в силу
свойства 4) системы {Bt} следует, что цВт = 0. Таким образом,
элемент r\ (&jo + bm) = T]&i0 имеет тип t ^ t0. Очевидно, гомоморфизм ц
158
Гл. XIII. Группы без кручения
отображает группу Bio в группу В*0, значит, y\bi0=rbi0 для
некоторого рационального числа г. Но для типа t элемента rbi0 в группе
С* неравенство t ^ t0 возможно только в случае, когда г = 0.
Следовательно, r\Bio = 0. Аналогичным образом получаем, что т]Вг = 0
для всех i?Ij, т.е. т) = 0. Если / = /, то на каждой из групп Bt
гомоморфизм г\ должен действовать как умножение на рациональное
число rt, в частности r\bi = ribi для всех i?Ij. Так как r\(bi0 + bi) =
= ПоЧ^о + ^0 + (/"?-^По)&?» то элемент (ri — ri0)bi имеет тип V > t0,
откуда следует, что rt = Гг0. Таким образом гомоморфизм г\ действует
как умножение tfa число г*0.
3°. Заключительным и наиболее трудным этапом доказательства
является построение системы Р (ш) для предельного кардинального
числа ш. Допустим, что ш = кт и для каждого а < т мы уже
построили систему Р (ха) групп В?, обладающую свойствами 1) — 4).
Более того, мы можем считать, что группы B]+i из системы Р (k<j+i)
построены с помощью групп В и как показано в п. 2° [в частности,
В* cz В/*1 для индексов t, /, выбранных подходящим образом].
Мы также можем считать, что для предельного порядкового числа
а < т каждая группа из системы Р (ха) является объединением
возрастающей цепочки групп
Ak cz B(il) с: В<2) с ... с= В? с ...,
где p<tfi причем Л^ —группа ранга 1, а каждая группа В? лежит
в системе Р(хр).
Группы Вт системы Я(кх) будут построены как объединения
трансфинитных последовательностей
Ak cz В\1} cz ... cz В] cz ... при а < т, B)
где группы В; лежат в системах Р (ка), а < т. Заметим, что
различные последовательности могут давать одну и ту же группу Вт
[например, если две последовательности совпадают, начиная с некоторого
номера]. Одна и та же группа Ak также по-разному может быть
вложена в группу Вт. Если группа Ak рассматривается как подгруппа
объединения Вт цепочки B), то, подчеркивая это, вместо Ak мы можем
писать Akij...i.,..
Прежде всего покажем, как выбирать элемент Ьхт^Вт и
подгруппу ВтаВхт, чтобы выполнялось условие 3). Пусть /т = /
—регрессивная функция для т, удовлетворяющая условию A). Ради удобства
мы примем обобщенную гипотезу континуума, т. е. будем считать,
что 2*р = Кр+1 [однако, как будет отмечено ниже, без этого легко
можно обойтись].
Функция / удовлетворяет неравенству | /_1 (о) | ^ка+1 для каждого
а<т. Следовательно, мы можем определить отображение hG
множества таких предельных порядковых чисел р^т, что /(р) = а, в мно-
§ 89. Большие неразложимые группы
159
жество индексов L мощности ка+1, где На(р)ф1г0(()'), если р=т^р'.
Базис {а?+1} группы B?0+1/25f0+1 [где а?+1 = c%+i+ 2B^[] заиндек-
сируем множеством L, причем будем считать, что элемент с,-, где с/ —
выбранный в п. 2° элемент, лежит в этом базисе, но ему не
приписано никакого индекса. Специально условимся, что для предельных
порядковых чисел р < т элементы Щ 6 ??0+1 выбраны следующим
образом: при эпиморфизме В?4 -> Bf0+1/2B?0+1 элемент Щ переходит в
некоторый элемент а?+1, причем порядковое число р переводится при
отображении ha в индекс L В соответствии с этим правилом выберем»
также элемент Ьт. Наконец, определим подгруппу Вт как
объединение цепочки подгрупп В[Х) а ... cz В] а ... (а<т). отвечающей
цепочке B). При этом мы оговариваем, что 1ф10, ]Ф1о, ---г
и гарантируем тем самым, что подгруппа Вт имеет нулевое
пересечение с подгруппой Bm(t0).
Теперь ясно, что в определении системы {Bt} элементы bt из условия 3) были-
введены для того, чтобы использовать их для получения последующей системы
из предыдущей [см. п. 2°]. Очевидно, подгруппы В? с отмеченными индексами
i = i0 нужны для того, чтобы с их помощью выбирать элементы Ь$ при
предельном порядковом числе р, в то время как остальные подгруппы В® служат для
построения подгруппы В$ при больших р.
Убедимся теперь, что система {Вт}-, построенная указанным
способом, обладает свойствами 1) —4). Поскольку в цепочке B) для
каждого а выполняется \В°\ = х0, легко видеть, что |5^|= 2**а =
= кт. Таким образом, условие 1) выполнено. Из построения
непосредственно следует, что условие 3) также выполняется. Докажем
4). Пусть дан гомоморфизм тр Вт -> Вт • Очевидно, каждую
подгруппу Ahij...i,t. ^ Вт гомоморфизм т) отображает либо в нуль, либо
на подгруппу группы Вт, изоморфную группе Ak. Если на
подгруппе Akij...i... гомоморфизм г] нетривиален, то r\Akij.t.Lmt = Ak'i'j'...i'...
влечет за собой k = k\ i = i', ...,/ = /',... . Действительно, иначе
для первой пары различных индексов 1ф1' мы получили бы
нетривиальный гомоморфизм т|: В]-*Вр. Противоречие. Таким образом,
если г\фО, то т = п и подгруппа Л^..л... отображается при
гомоморфизме Ti в себя. Теперь легко получить, что гомоморфизм rj
действует как умножение на рациональное число.
Чтобы доказать свойство 2), поступим следующим образом.
Сначала разобьем семейство групп Ak (/гфко) на 2S1 попарно
непересекающихся подсемейств, каждое из которых имеет мощность 2N1. Будем
рассматривать только такие группы В?, что их подгруппы Ak (k Ф k0}
лежат в одном и том же подсемействе. Этот процесс повторим для.
отобранных групп В?\ А именно, всякое множество групп ВрЦФ^*
160
Гл. XIII. Группы без кручения
построенных с помощью подгрупп Ah из одного и того же
подсемейства, разобьем на 2К2 попарно непересекающихся подмножеств,
каждое мощности 2*4 для а>-2 построим только такие группы В?,
что их подгруппы #11) (i Ф i0) лежат в одном и том же подмножестве,
и т. д. Пусть группы Вхт и Вп таковы, что при некотором
порядковом числе а<т подгруппа B°+i [cz: ВТт] построена с помощью групп
В], не встречающихся в построении группы Вхп. Ясно, что в этом
случае группы Вхт и Вхп не могут быть изоморфными. Строя
указанным способом группы из Я(кх), мы можем выбирать группы Ак из
2 х» попарно непересекающихся подсемейств, затем группы В^ — из
2*2 попарно непересекающихся подсемейств, и т. д. Отсюда следует,
что существует по крайней мере [j2Ka = 2^K<J = 2N'c неизоморфных
а
трупп Вхт. Поскольку неизомофрных групп мощности ях не может
^быть больше, чем 2К*, свойство 2) доказано. а
Замечание. В последней части доказательства мы приняли
обобщенную гипотезу континуума. Этого легко можно избежать, если
от построения системы Р (п) сразу переходить к построению системы
Р BП). При этом рассуждения п. 3° останутся теми же.
С помощью больших жестких систем для каждого бесконечного
кардинального числа т, меньшего первого сильно недостижимого кардинального
числа, можно построить группу без кручения мощности т, которая имеет 2*И
попарно неизоморфных неразложимых прямых слагаемых мощности m [см. Фукс [28]].
Упражнения
1. Показать, что в формулировке теоремы 89.2 можно
дополнительно потребовать, чтобы кольцо эндоморфизмов каждой из групп Вь
было изоморфно Z.
2. Пользуясь рассуждениями, приведенными перед теоремой 88.4,
получить систему Р (яг) групп Biy которые, помимо свойств 1) —4),
являются однородными группами типа @, . . ., 0, . . .). [Указание:
•строить группы Вь как в п. Г, применяя при этом методику примера 5
из § 88, чтобы избавиться от элементов 3~°° (а^ + ah).]
3*. Доказать, что теорема 89.2 останется верной, даже если
потребовать, чтобы группы Bt были однородными группами типа @, ...
. . ., 0, . . .)•
> 4* (Корнер). Доказать утверждение, аналогичное упр. 3, для
любого типа t Ф (оо, оо, . . ., со,. . .).
5*. Пусть Ai(i?I) — жесткая система узких групп [см. § 94].
При этом 2A t Ф A i, i 6 /. Выберем элементы аь ? A t \2А t, i?I,n
положим А = / Д Аь Y(ai + aj) ПРИ i> / € О • Показать, что группа А
неразложима. [Указание: как прямая сумма групп Аи так и элементы
§ 90. Прямые разложения групп конечного ранга
161
»2 (at + dj) лежат в одном и том же слагаемом; применить упр. 8
из § 94.]
6. Пусть gt (i ? /) — такие элементы неразложимой группы G, что
{gt + 2G}i?i — независимая система элементов группы G/2G. Пусть
Н — такая группа без кручения, что Нот (G, Н) = О, и, кроме того,
hi (i 6 /) — такие элементы группы //, что {ht + 2#}i6j —
независимая система элементов группы HI2H. Если все ненулевые слагаемые
группы /Я, -^h% (i ? /)/ имеют ненулевые пересечения с подгруппой
(hi (i 6 /)), то группа
A=(g®H, ^{gt + hi) при всех i 6 /^
неразложима. Указание: если А = X © У\ то группа G лежит в одном
из слагаемых, например в X; если при этом в группе AIG элемент
(т2п^10~'~^ лежит в Y, то обратить внимание на элемент
7 (Сонсяда [3]). (а) Пусть группа G, а также множество индексов /
из упр. 6 имеют мощность ш. В качестве Н возьмем прямое
произведение m групп, изоморфных подходящей рациональной группе R.
Используя упр. 8 из § 94, показать, что группа А будет неразложимой
группой мощности 2 .
(б)* С помощью п. (а) и трансфинитной индукции получить
неразложимые ГруППЫ ПРОИЗВОЛЬНОЙ МОЩНОСТИ П ^ Х©!-
§ 90. Прямые разложения групп конечного ранга
С точки зрения прямых разложений существование больших
неразложимых групп без кручения является главным отличием групп без
кручения от периодических групп. Но еще удивительней, быть может,
то, что при прямых разложениях абелевых групп без кручения даже
в случае групп конечного ранга возможны разнообразные
неожиданности. Некоторые из них будут рассмотрены в этом параграфе.
Группа без кручения А конечного ранга может, очевидно,
разлагаться в прямую сумму лишь конечного числа неразложимых групп.
Возникает вопрос: нет ли в каком-нибудь смысле изоморфизма или
единственности разложений группы А на неразложимые слагаемые?
В силу доказанных в этом параграфе результатов нашим ответом на
этот вопрос будет определенное «нет».
Первый из приводимых ниже результатов показывает, что в таких
разложениях даже число прямых слагаемых может быть различным.
[В дальнейшем «слагаемое» означает «ненулевое слагаемое».]
162
Гл. XIII. Группы без кручения
Теорема 90.1. Для любого натурального числа п^2 существует
группа конечного ранга, обладающая прямыми разложениями как
на 2, так и на п неразложимых слагаемых.
Пусть р, q, /?!,.. ., pn-i — различные простые числа и п ^ 3.
Положим
А=(р-°°а1) 0 ... © (р-_?яп.1> © (pf-fti, ..., Pn~bn-u p-'q-1 (h + Ь2),...
..., p-irHh + bn-i)),
где al9 . . ., ап..ъ bly . . ., Ьп_х — независимые элементы. Первые
п— 1 слагаемых группы А имеют ранг 1. Из леммы 88.3 следует
неразложимость последнего слагаемого. Пусть s, t — такие целые числа,
что ps — qt = 1. Возьмем ct = pat + tf^ и d% = да* + sfrj, i = 1, ...
. . ., л — 1. Положим
C = (p-«Cl, ...f р^Сд-i, p-^Ci + Cg), ....P'MCi + Cn-i)),
D = <p-°° dlf ..., pn^dn.u q-* (dt + d2), .. ., g (^ + 4-i)).
Группы С и D являются подгруппами группы А. Очевидно, что они
неразложимы. Все образующие группы А лежат в С © D, это сразу
следует из равенств at = sCj — tdu bt = pdj — g^ и &x + frj =
= P (d>i + d;) — <7 (^l + с*)- Таким образом, A = С © D. ¦
Если требовать, чтобы в прямом разложении число неразложимых
слагаемых было фиксированным, то изоморфизма все равно не
возникает. Это видно из следующего поразительного результата.
Теорема 90.2. (Корнер [1]) Пусть даны натуральные числа п и ky
причем n^k. Существует группа без кручения А ранга п со
следующим свойством. Для любого разбиения числа п на k натуральных
слагаемых Ti^\, п = /*! + . . . + />t, найдется прямое разложение
А = Л© ... ®Ah,
где At —неразложимая группа ранга rt (i = l, ..., k).
Пусть р, рь ..., pn-k, qu -.., Чп-k — различные простые числа.
Для независимых элементов щ> .. ., uk, хи ..., xn-k положим
А = (р-<*>ии ..., р-°°%, р-°°хи ..., p-~ft*n-fe,
q^iui + xi), •••» fln-ft("i + ^n-ft>.
Покажем, что группа А обладает указанным свойством. Пусть п =
= гг + . . . + rh — разбиение числа п, где г* ^ 1. Заметим, что если
Si, . . ., sk — такие целые числа, что sx + . . . + sk — 1, то
определитель системы
5i Vt + S2 V2 + ... +Sk Vk = Uu
— Vi + V2 =M2,
— vt +vk = uk
с неизвестными vl9 . . ., vk равен 1. Отсюда следует, что эта система
имеет решение vl9 . . ., vk 6 А, причем такое, что ivly . . ., vk) =
§ 90. Прямые разложения групп конечного ранга 163
= (и1у . . ., uh). Для полученных vt положим
A^ipr-Vt, Pf4°xj, qj^Vi + Xj) при j = tt + l, ..., ti+i),
где /t = 0 и /? = (n — 1)+ ...+(/-*_!— 1) для t = 2, ..., ft. В силу
равенства
мы заключаем, что числа sly . . ., sk выбраны таким образом, что
qj делит st — 1 при / = ff + 1, . . ., ti+1 и
qj делит Sj при остальных /.
Значит, все группы At (i = 1, . . ., k) лежат в группе А и каждый,
образующий группы А принадлежит сумме Ах + . . . + Ak. Отсюда
сразу следует, что Л=Л1ф...фЛь, причем по построению
г (At) = rt. Неразложимость групп At следует из леммы 88.3-
[Числа st могут быть выбраны, например, следующим образом:
St = mti+iqti+i+ ... +mti+icjti+i, где ^ = <7i ••¦ 9i-i^j+i ... qn-h и
i
Стараясь получить какого-либо рода единственность, мы можем
принять дополнительное ограничение и сравнивать лишь разложения
на неразложимые слагаемые с одним и тем же распределением рангов-,
Однако и этого недостаточно для существования изоморфизма:
Теорема 90.3 (Фукс и Лунстра [1]). Пусть дано произвольное
натуральное число т ^ 2. Существуют две неразложимые группы без
кручения А и С, имеющие ранг 2 и такие, что изоморфизм А © . . . © А ^
= С ф . . . ® С (п слагаемых) возможен тогда и только тогда, когда
т делит п.
Первая часть предыдущего доказательства дает наводящие
соображения для получения искомых групп. Прежде всего возьмем два
непересекающихся бесконечных множества Рг и Р2 простых чисел. При
этом предположим, что р §Рг (J Р2, где простое число/? будет выбрано
впоследствии надлежащим образом. Построим следующие группы
ранга 1:
xt=(p^Xi | pt e Pi), Yt=(Р1хуг i p2 e я2> при i = i, ..., n.
Имеем p \ xt в группе Xt и p \ yt в группе Yt, следовательно,
группы
^i = ft®^ Р'Чхг + УФ ('=1, .... n)
неразложимы. Заметим, что эти группы изоморфны. Возьмем группы
иг ^ Xt и Vi ^ Yt (i = 1, . . ., /г). Пусть щ *-+хи vt ++ уt (ut ?
6 Uи vt 6 Vj) при некоторых фиксированных изоморфизмах. Выбрав
произвольное k = 1, . . ., р — 1, мы можем построить изоморфные
группы
Ci = (Ui ф Vu p-'iUi + kVi)) (/=1, ..., /i),
которые также неразложимы.
164
Гл. XIII. Группы без кручения
Допустим, что существует изоморфизм
я>: л = лАе ... елт->с=с1е ... ®ст.
Указанный выбор групп Xt и Yt гарантирует, что группы X =
= Хг © . . . © Хт и Y = Yx © . . . © Ym отображаются при
изоморфизме ф на группы U = иг © . . . © Um и V = Уг © . . . © Vm
соответственно. Таким образом, имеем
т т
<р: х%>-+ 2 ruuj и уг н-* 2 tyty. A)
i=i i=i
При этом числа rtji stj должны быть такими, чтобы матрицы [rtj]
и [stj] были обратимы, т. е.
detlrtJ] = ±1, det[s,j] = ±1. B)
Элемент, делящийся на р, изоморфизм переводит в элемент с тем же
свойством. Следовательно, из
т т
ф: Xi + Уь *-+ 2 ^и(^ + *^)+ 2 (Sij — krifivj, C)
5=i i=i
а также из независимости элементов Vj получаем
stj =s krtj (mod p) для всех t, /. D)
С другой стороны, соотношения D) вместе с равенствами B)
показывают, что изоморфизм ср: А ->¦ С полностью определяется
соотношениями A) [а именно, если р \ xt + yt в группе А для всех t, то р \ Uj +
+ &i>j в группе С для всех /, и обратно].
Наша цель состоит в таком выборе матриц [г0-], Ьи] и целого
числа k, чтобы изоморфизм Ах © . . . © Ап ^ Сх © . . . © Сп имел
место при п = т и не имел места при т \ п. С помощью соотношений
B) и D) мы получаем, что р делит km + 1 или km — 1. Во избежание
изоморфизма при п<С т выберем k таким образом, чтобы выполнялись
условия
km = —I (mod р), но kn ф ±1 (mod р)
для п = 1, . . ., т — 1. E)
[Мы опускаем случай, когда km see 1 (mod р), так как это возможно
лишь для нечетных т, если учесть второе из условий E).] Подобрав р,
найдем k, удовлетворяющее условиям E). Пусть р — такое простое
число, что 2т | р — 1. Согласно теореме Дирихле о простых числах
в арифметических прогрессиях, простое число с таким свойством
существует. Пусть t — представитель первообразного корня по модулю р.
р-1
Тогда k = t 2т удовлетворяет условиям E). Заметим, что в силу E)
условие &п===±1 (mod р) выполняется тогда и только тогда, когда
т делит п.
§ 90. Прямые разложения групп конечного ранга 165
С помощью полученного k построим матрицы [rtj] и [s^] следующим
образом. Поскольку km = —1 (mod р), определители в соотношениях B)
должны иметь разные знаки. Пусть I — такое целое число, что Ы ==
== 1 (mod р). Определим [rtj] как нижнюю треугольную т X т-мат-
рицу
1пА =
На главной диагонали стоят единицы, за исключением правого нижнего
угла, под диагональю в первом столбце стоят по очереди / и 0, а в
остальных столбцах под диагональю / и 1. Таким образом, det [rtj] = —1.
Чтобы получить матрицу, определитель которой равен 1, мы в
соответствии с условием D) умножаем полученную матрицу [ги] на число k
и все элементы заменяем на сравнимые с ними по модулю р:
1
/ 1
0 / 1
/1/1
0/1/1
1/1
Ill
— 1
[su] =
k
1 k
0 1 k
1 k 1 k
0 1 k 1 k
k'
. k 1 k
. 1 k \—k
Матрицу Istj] мы получили из матрицы [r^-1, заменив везде 1 на k и /
на 1 и поместив k' = (—1)™+1 (km + 1) в правый верхний угол. Итак,
числа rijy stj и k могут быть выбраны таким образом, что выполняются
условия B), D) и E), следовательно, группы А и С обладают
требуемым свойством. в
Последняя попытка получить единственность связана со свойством
сокращения. Будем говорить, что группа В обладает свойством
сокращения, если для любых групп Н и К из изоморфизма В © Н ^ В © К
следует изоморфизм Н ^ К- Данному определению эквивалентно
следующее. Для любых групп Н и К из равенства В © Я = С © К
при условии В ^ С следует изоморфизм Н ^ К- Следующий
результат показывает, что даже группы ранга 1 не обязаны обладать свойством
сокращения.
Теорема 90.4 (Фукс и Лунстра [1]). Пусть т ^ 2 — натуральное
число. Существует группа без кручения А ранга 3, обладающая прямыми
166
Гл. XIII. Группы без кручения
разложениями
A=Bt®Ci (t = 1, . . ., m),
где В1У . . ., Вт — изоморфные группы ранга 1, а С1У • . ., Ст —
попарно неизоморфные неразложимые группы ранга 2.
Так же как в доказательстве теоремы 90.3, начнем с того, что
возьмем непересекающиеся бесконечные множества Рг и Р2 простых чисел
и простое число р, не лежащее ни в одном из этих множеств. Положим
84 = (р;гЬ I Pi 6 Pt>, Х = (рг1* | Л е Л>, У = (Р?У IР2 6 ^2>.
Тогда Сх = (X © У, р-1 (л: + у)) будет неразложимой группой ранга
2. Положим
А = Вг® Сг.
Пусть qiy ru siy tt — такие целые числа, что qtti — rtSi = 1; положим
bt = ЯФ + stx, xt = rtb + ttx (i = 2, . . ., m).
Тогда для сервантных подгрупп Bt = {bt)^ и X* = (я*)*, изоморфных
группе 51э имеет место 5f © Xt = Вх © X. Мы хотим выбрать такие
подгруппы Bi и Xiy чтобы для некоторых целых чисел kt A <С kt < р)
имели место равенства
Л = В, ф С„ С, = (X, © У, р-1 (*Л + у))у F)
где С* — неразложимая группа. В этом случае элемент
kiXt + у = kiTtb + (kitt — 1) х + (х + у)
должен делиться на р, следовательно, выполняются условия
р IV* и р | ^ — 1. G)
При данных kt, где 1 < fe; < р, мы можем взять числа г* = р,
^i = &*, а затем числа sb /*, для которых qtti — rtSi = 1. Тогда имеют
место условия G), а значит, и равенства F).
Теперь мы позаботимся о том, чтобы группы Ct были попарно
неизоморфными. Заметим что изоморфизм ф: Ct ->¦ Су должен
отображать подгруппу Xt на подгруппу Х7-, а подгруппу У — на себя, причем
Xt*-*» ±:Xj и у>~* ±у [единственными автоморфизмами групп Xt и У
являются умножения на ±1]. Следовательно, элемент к,ьхь + у
переходит в элемент ±{k%Xj ± у). Благодаря сохранению делимости
kj = ± kt (mod р). Итак, если взять lk± = 1], k2 = 2, . . ., &m = т
и р > 2m — 1, то kj =?dzkt (mod р), и, значит, никакие две из групп
Ci» • • •, Ст не являются изоморфными. а
Заметим, что теорема 90.4 показывает также следующее. Для любого
ранга г ^ 3 и любого натурального числа т существует группа без
кручения ранга г, имеющая по крайней мере т попарно неизоморфных
разложений на неразложимые слагаемые. Возникает естественный вопрос,
существуют ли группы конечного ранга с бесконечным числом прямых
разложений.
§ 90. Прямые разложения групп конечного ранга
167
Упражнения
1. Пусть т> п^2. Существует группа конечного ранга,
разлагающаяся в прямые суммы как т, так и п неразложимых слагаемых.
2. Пусть г1у . . ., гк-г — натуральные числа иг=г1+.. . + rk^.
Существует такая группа Л ранга 2 г, что Л = Ах © . . . © Ak^ ©
ф Ak = В ©С, где каждое Л* — неразложимая группа ранга
г* (i = 1, . . ., k — 1), в то время как Ak, В, С — неразложимые
группы ранга/\ [Указание: в доказательстве теоремы 90.1 заменить
группы ранга 1 группами из подходящей жесткой системы.]
3 (Корнер Ш). Показать, что при любом прямом разложении
группы Л, определенной в доказательстве теоремы 90.2, на
неразложимые группы число ненулевых компонент в точности равно k.
4. Пусть я, k, г — такие натуральные числа, что&г ^ я. Построить
группу А ранга п со следующим свойством. Для разбиения п =
= гх + . • • + rk9 где rt ^ 1, разложение группы А на неразложимые
слагаемые рангов rt найдется в том и только в том случае, когда
ft ^ г, i = 1, . . ., k. [Указание: в доказательстве теоремы 90.2
группу (р-°°и) заменить подходящей жесткой группой ранга г.]
5. Показать, что не существует группы А ранга 4, которая
разлагалась бы в прямую сумму двух групп ранга 1 и группы ранга 2,
а также в прямую сумму группы ранга 1 и неразложимой группы
ранга 3. [Указание: обратить внимание на типы подгрупп ранга 1.]
6. (Фукс и Лунстра [1]). Для любого т ^ 2 существуют такие
попарно неизоморфные группы В, Clf . . ., Ст ранга 2, что В ф . . .
. . . © В ^ Сг ф . . . ф Ст (т слагаемых), но прямая сумма п (< т)
групп, изоморфных группе В, не изоморфна прямой сумме никаких п
из групп Сх, . . ., Ст. [Указание: провести рассуждения, аналогичные
доказательству теоремы 90.3.]
7. Показать, что теорема 90.3 остается верной, если потребовать,
чтобы группы At и d имели произвольный ранг г > 2. [Указание:
группы Хи Уг заменить на жесткую систему таких групп, что
единственными их автоморфизмами являются умножения на ±1.1
8. Для любого нечетного натурального числа т и любого
натурального числа t существует t таких групп ранга 2, что любые две из них
ведут себя так же, как и группы Л и С в теореме 90.3. [Указание:
вместо простого числа р следует использовать произведение простых
чисел.]
9. Для любого натурального п существует такая неразложимая
группа Л ранга п, что А 0В = Л ф С при некоторых неизоморфных
неразложимых группах В и С конечного ранга. [Указание: см. 90.4.]
10 (Сонсяда [7]). Пусть р = 5 и либо q = 3, г = 2, либо q = 2,
г = 3. Положим
Xi =<Р-°°*ь Г°°Уи Г1 {xt+yt))
для i = 1, . . ., k. Показать, что всякое неразложимое прямое
слагаемое группы А = Хх © . . . ф Xk изоморфно группе Хх. [Указание:
168
Гл. XIII. Группы без кручения
если А = U © V, U Ф 0, то некоторое nxxx + . . . + nkxk = и0 ? V
(или же щуг + . . . + nfe*/fe = и0 6 U), где (п^ . . ., nh) = 1; если
^r~ltii (xt + Ut) = и + v, то r_1w — и0 есть линейная комбинация
элементов yt и подгруппа (и0, и)* служит для U прямым слагаемым.]
11 (Фукс и Лунстра [2]). Пусть А — группа без кручения ранга 1.
Будем говорить, что А обладает свойством поднятия, если для
каждого п > О автоморфизмы группы AlnA индуцируются
автоморфизмами группы А.
Доказать, что группа без кручения А ранга 1, не являющаяся
циклической, обладает свойством поднятия в том и только в том случае,
когда для каждого п выполняется следующее условие. Для любой
группы G и такой подгруппы G0 ^ G, что G/G0 ^ Z (я), все подпря-
мые суммы групп А и G с ядрами пА и G0 изоморфны. [Указание: при
доказательстве необходимости использовать упр. 7(a) из § 88 и
показать, что любой изоморфизм между двумя подпрямыми суммами
переводит подгруппы пА и G0 в себя.]
12* (Фукс и Лунстра [2]). Группа без кручения А ранга 1, не
являющаяся циклической, обладает свойством сокращения, если она
обладает свойством поднятия. [Указание: если А ф Н = С © К при
А ^ Су свести рассмотрение к случаю, когда ни одна из этих групп
не содержит другую. Пусть В — проекция подгруппы С в группе
Н и D = (А ф 5) П К- Тогда В ^ D ^ А. Показать, что группы
Н и К изоморфны подпрямым суммам групп А и Н/(Н П К) =
^ /("/(# П К) с ядрами конечного индекса. Ср. упр. П.]
13 (а) (Корнер). Пусть А — группа без кручения конечного ранга
п и В, С — ее изоморфные сервантные подгруппы ранга п—1.
Доказать, что А/В ^ А 1С. [Указание: рассмотрение свести к случаю
п = 2, В Ф С, двумя способами исследовать структуру
периодической группы А /(В + С) и вывести отсюда, что t (A IB) : t (С) =
= t (А/С) : t (В).}
(б) Сокращение на группу без кручения конечного ранга допустимо,
если дополнительные слагаемые имеют ранг 1.
§ 9Ь Прямые разложения счетных групп
Обратимся к исследованию прямых разложений групп без
кручения счетного ранга. В отличие от групп конечного ранга счетные
группы не обязаны быть прямыми суммами неразложимых групп.
Некоторые парадоксальные примеры таких групп появятся в
теоремах 91.5 и 91.6. Но сначала мы подробно рассмотрим случай групп,
которые ведут себя не так плохо и допускают прямые разложения
на неразложимые группы. Ввиду наших сведений о группах конечного
ранга нет ничего удивительного в том, что в случае групп счетного ранга
возникают почти все осложнения, которые можно себе представить.
Так же, как и раньше, рассмотрим прежде всего вопрос о числе
слагаемых.
§ 91. Прямые разложения счетных групп
169
Теорема 91.1 (Корнер [1]). Существует группа Л, имеющая два
прямых разложения
А^В 0С= 0 Еп,
П=-оо
где В, С — неразложимые группы ранга к0,| а Еп — неразложимые
группы ранга 2.
Пусть {рп}Пу {qn}n и {гп}п — три попарно непересекающихся
бесконечных множества простых чисел, где п = О, ±1, ±2, . . ..
Для независимых Ьп и сп положим
B = (p;°°bn, q'nibn + bn+i) при всех л>,
С = {р-°°сп, rfiCn + Cv+i) при всех п).
Группы В и С имеют ранг х0 и по лемме 88.3 неразложимы.
Возьмем целые числа kn [позднее будет указано, какие] и с помощью
элементов
Un = A + kn) Ьп — knCny vn = knbn + (l—kn)cn
определим
En = (pn-°°un, Pn?Vn+i, (tirffan + Vn+t)), где л=0, ±1, ... .
Группы En имеют ранг 2 и неразложимы. Очевидно, что прямая сумма
подгрупп (Ьп)+ и <сп># совпадает с прямой суммой подгрупп (ип)#
и (ип>*. Из равенства
tin + vn+1 = (bn + 6n+1) + kn (bn — cn) + (kn+1 — 1) Fn+1 — cn+1)
видно, что для выполнения условия qn \ ип + vn+1 целые числа kn
необходимо выбрать так, чтобы qn \ kn и qn \ кп+1 — 1. Аналогично, в силу
равенства
Un + vn+1 = (сп + сп+1) + A + К) (Ьп — сп) + kn+1 фп+1 — сп+1)
получаем, что в случае, когда гп \ ип + vn+1, числа kn должны
удовлетворять условиям гп | кп+1 и гп | kn + 1. Таким образом, если
qn?n-i I kn,
Чп-1 \kn—l,
rn\kn + l,
то Еп — подгруппы группы А = В © С. Но если числа kn выбраны
указанным образом, то из условия qn \ ип + vn+1 будет следовать
условие qn \ Ьп + 6п+1, а из условия rn\un + vn+1 — условие rn \ сп +
+ сп+1 в группе ®Еп. Следовательно, А = © ?п. н
Из теоремы 91.1 мы получаем, в частности, что в отличие от
теоремы 86.7 прямые слагаемые прямых сумм групп конечного ранга не
обязаны снова быть прямыми суммами групп конечного ранга.
С некоторыми изменениями метод доказательства теоремы 90.1
позволяет получить аналогичное утверждение и в случае групп
счетного ранга.
170
Гл. XIII. Группы без кручения
Теорема 91.2. Существует группа G, которую можно представить
в виде G = А ф В, а также G = С ф D, где В, С и D —
неразложимые группы ранга х0, а группа А вполне разложима и имеет ранг х0.
Пусть /?, <7 и /?п (л = 1, 2, . . .) — различные простые числа. Для
независимых элементов апу Ьп определим группы
п=1
и
В = {р-°°Ьп, P^q'Hbn — bn+i) при всех л).
Группа Л вполне разложима. Рассуждая так же, как в доказательстве
леммы 88.3, получим неразложимость группы В. Пусть s, t — такие
целые числа, что ps— qt = 1. Для элементов сп = рап + #?п и dn=
= <7#n + sfen положим
С={Рп°°сп, p-i(cn — cn+i) при всех л),
0={р-Ып, q-i(dn — dn+i) при всех я).
Группы С и D неразложимы. Так же как в доказательстве теоремы 90.1,
получим равенство А ф В = С ф D. ¦
Последнюю конструкцию нетрудно видоизменить таким образом,
чтобы получить пример, в котором группа А вполне разложима и имеет
произвольный конечный ранг г ^ 1. Положим
A^{p-°°ai) ф ... ф (рг-°°аг>,
В = (РГ°°Ьи ..., р-»Ьг, X, У, рг*(Ьп + х), q-'ibn+y)
При 71= 1, . . ., Г).
Здесь р, q, рг, . . ., рг — различные простые числа, аХ, F — такие
неразложимые группы ранга к0, что группы (pf00^), . . ., (p^^br),
X, Y образуют жесткую систему, причем р \ х 6 Х> q \ у 6 У -
Результаты § 88 гарантируют существование таких групп X, Y. Из того
что X, Y — вполне характеристические подгруппы группы В, следует,
что группа В неразложима. Пусть s, t, сп, dn обозначают то же, что
и раньше. Легко видеть, что группы
С=*(р-°°Си ..., р-°°сГ1 X, p-*(qcn — x) при п = 1, ..., г),
D={p-°°di9 ..., p-°°dr, Y, q^ipdn + y) при /i=l, ..., г)
неразложимы и удовлетворяют равенству А ф В = С ф D.
Свой аналог в случае групп счетного ранга имеет и теорема 90.2.
Теорема 91.3 (Корнер [1]). Существует группа А ранга х0 со
следующим свойством. Пусть г1У . . ., гп, . . . — произвольная
последовательность натуральных чисел, в которой бесконечное число членов
§ 91. Прямые разложения счетных групп
171
больше единицы. Тогда найдутся такие подгруппы Ап группы Л, что
оо
Л = ф Лп
71=1
и каждое слагаемое Ап — неразложимая группа ранга гп.
Пусть г[, . . ., г'П9 . . . обозначают те гПУ которые больше 1. Кроме
того, пусть р, pnj qn (п = 1, 2, . . .) — различные простые числа
и ^п> хп (п = 1, 2, . . .) — независимые элементы. Положим
оо
А= 0 Вп, где Bn^ip-^Un, рп°°хп, Я~п(и>п + Хп))*
71=1
Как видно из доказательства теоремы 90.2, прямая сумма т таких
групп Вп разлагается в прямую сумму неразложимой группы ранга
т — 1 [того же вида, что и группы At в доказательстве теоремы 90.2]
и т — 1 групп ранга 1 [вида (p-°°v)]. Разложим указанным способом
группы Сп = Btn+i 0 . . . 0 Btn+i, где tx = 0, tn = (r[ — 1) + . . .
. • • + (/*2n-2 — 1)- Мы получаем разложение группы А на
неразложимые слагаемые, бесконечное число которых имеет ранг 1, а
остальные имеют ранги г[ + г'2 — 1, . . ., /in-i + /in — 1, • • • Все эти
слагаемые являются группами того же вида, что и группы At в
доказательстве теоремы 90.2. Применяя метод доказательства теоремы 90.2,
прямую сумму групп ранга r^n-i + /*2п — 1 и ранга* 1 мы можем
разложить в прямую сумму групп ранга /in-i и ранга г'^п. Очевидно, эти
прямые суммы можно подобрать таким способом, что слагаемых ранга 1
группы А останется столько же, сколько имеется членов
последовательности {гп}, равных 1. ш
Группа А из теоремы 91.3 допускает континуальное множество
прямых разложений на неразложимые слагаемые. Действительно,
множество подмножеств множества натуральных чисел г ^ 2 имеет
мощность континуума. Благодаря теореме 91.3 каждое такое
подмножество дает прямое разложение группы А на неразложимые слагаемые,
ранги которых составляют в точности это подмножество. Следующая
теорема дает пример счетной группы, имеющей континуум
неизоморфных неразложимых прямых слагаемых.
Теорема 91.4. (Фукс [28]). Существует такая группа А ранга х0,
что равенство
A = Bj © Ch где Bj ^ Cj,
имеет место для континуального семейства попарно неизоморфных
неразложимых групп Bj.
Пусть Plt . . ., Ри . . ., Qi, . . ., Qjy . . . — попарно
непересекающиеся бесконечные множества простых чисел и /?, qy г — нечетные
простые числа, не лежащие в объединении этих множеств. Взяв неза-
172
Гл. XIII. Группы без кручения
висимые элементы аи bif си dt (i = 1, 2, . . .), определим группы
В=(Рх1аь Qfbu p-^di + ai+i), q'1 (bi + bi+i), г^{аг + Ь{) при всех О,
C=(Pi1ci, Ql4u p^iCi + c^), q'1 (dt + di+i), r^Ct + dt) при всех/),
где Рга обозначает множество {р1ха при всех pt 6 Pt}. Группы В и С
изоморфны и неразложимы. Положим А = В © С. Для каждого i
выберем целое число kt [позднее будет указано, какое именно] и
положим
Щ = (*и Щ = ktbt + (kl— l)di9
xt = hat + cu yi = bt + kidt.
Наша цель теперь — выбрать числа kt таким образом, чтобы
выполнялось А = U © X, где
U=(Pi1ui, Qfvt, р~1(Щ + им), qr'fa + ^+i)»
г'1 (Ui-\-kiVi) при всех /),
r^ixi + ktyt) при всех 0-
Исследуя делимость на простые числа /?, q и г и пользуясь привычной
техникой доказательства, мы получаем, что равенство А = U © X
имеет место в том и только в том случае, когда числа kt удовлетворяют
условиям
kt == ki+i (mod pq) и Л? =1 (modг) при всех i. A)
Возьмем такое целое число /, что I =г 1 (mod ^) и I = —1 (mod г).
При kt = 1 или kt = I последовательность {kt} удовлетворяет
условиям A), и мы получаем разложение А = U © X, где U, X —
изоморфные неразложимые группы.
Положим kx = 1 и покажем, что если последовательности k2, ...
. . ., kt, . . . и k'21 . . ., k'u • • . различны, то соответствующие
им группы U и U' не изоморфны. Пусть ср: U -+ U' — изоморфизм.
Он может действовать на образующие только следующим образом:
щ i-> ±«5, и* *-*- ±v\. В силу
г | Ui-\-Vi >-+ ± (mJ ± i>l)
мы заключаем, что знаки при элементах wj и ^ должны быть одни
и те же, скажем +1. Так как щ ¦—> и\ и уг- ь-> уг', то г | ^ + &^ н->
н-> i/i + /ф* для каждого/. Не может быть, чтобы одно из чисел ku k\
равнялось 1, а другое /, поскольку / ф 1 mod г. Для завершения
доказательства нам остается лишь заметить, что семейство
последовательностей &2, . . ., kt, ... имеет мощность континуума. в
§ 91. Прямые разложения счетных групп
173
До сих пор нам не встретилось ни одной счетной группы, которая
не была бы прямой суммой неразложимых групп. Следующий
результат дает нам пример такой группы. Более того, оказывается верным
весьма замечательный факт: существуют группы, у которых вовсе нет
неразложимых слагаемых.
Теорема 91.5 (Корнер [3]). Существует счетная группа, не
имеющая ни одного ненулевого неразложимого прямого слагаемого.
Доказательство основывается на теореме 110.1 о существовании
кольца эндоморфизмов. Поэтому сначала мы зададимся кольцом R,
а затем определим А как группу, кольцо эндоморфизмов которой
есть R.
Пусть Л— полугруппа с элементами %г. Индекс г пробегает
множество неотрицательных рациональных чисел, а умножение в
полугруппе Л подчинено закону
ArAs = АтаХ(Г> S).
Пусть R — полугрупповое кольцо полугруппы Л над кольцом Z
целых чисел. В этом случае R — счетное [коммутативное] кольцо
с единицей Х0, причем его аддитивная группа свободно порождается
элементами %г. По теореме 110.1 существует счетная группа без
кручения Л, кольцо эндоморфизмов которой изоморфно R.
Пусть элемент е = nxXr -f . . . + пкКг , где 0 Ф. щ ? Z и гх < . . .
. . . < rkt является идемпотентом кольца R. Имеем
к
е2= 2 Я/Bач+ .-• +2ni-i + nj)Xr..
i=i J
Приравнивая коэффициенты, получаем, что 2пх + . . . + 2/г7-_! +
+ Hj = 1 при / = 1, . . ., k. Отсюда следует, что Uj = (—I)'-1 при
/ = 1, . . ., k и, значит, е = ХГ1 — кГ2 + . . . + (—l)h~l %rk- Если
k > 1, выберем такие рациональные числа s и ty что rx <С s <С t < г2
[если k = 1, то последнее неравенство не имеет смысла], и положим
? = К8— ht. Этот элемент является идемпотентом кольца R, причем
е? = ?е = | Ф 8. Итак, для всякого идемпотента г Ф 0 кольца R
найдется такой ненулевой идемпотент 5 6 R, что ? = е? = ?е Ф е.
Покажем, что группа А не имеет ненулевых неразложимых
слагаемых. Пусть В Ф 0 — прямое слагаемое группы А и е: А ->¦ В —
соответствующая проекция. Тогда С = |Л — ненулевое прямое
слагаемое группы Л, которое в силу е? = ? содержится в подгруппе В.
Мы получаем В = С © (е — I) В, где оба слагаемых ненулевые. а
Следующая теорема свидетельствует об еще одном интересном
явлении.
Теорема 91.6 (Корнер [4]). Пусть т — натуральное число.
Существует счетная группа без кручения А со следующим свойством:
174
Гл. XII'/. Группы без кручения
прямая сумма пг групп, изоморфных А, изоморфна прямой сумме пг
групп, изоморфных А, тогда и только тогда, когда т \ пх — п2.
Заметим сразу же, что в этом случае А ^ А © ... © А для
т 4- 1 слагаемых, но не для меньшего числа 0^2) слагаемых. Обратно,
если группа А обладает этим свойством, то она удовлетворяет условию
теоремы 91.6. Действительно, чтобы это доказать, достаточно
добавить необходимое количество групп, изоморфных Л, по обе стороны
от знака изоморфизма и заменить прямые суммы т + 1 слагаемых
А на одну группу А.
Построение искомой группы А снова опирается на теорему 110.1.
Поэтому вначале мы определим кольцо R, аддитивная группа
которого является счетной свободной группой.
Пусть Л — полугруппа с 1, порожденная символами piy ot (i =
= 0, 1, . . ., m), подчиняющимися следующим соотношениям:
Г 1 при ; = /,
р'а'в10 при 1Фи
Пусть S — полугрупповое кольцо полугруппы Л над кольцом Z,
причем нуль полугруппы Л отождествлен с нулем кольца S.
Аддитивная группа кольца S свободна. Действительно, различные
ненулевые произведения символов р* и at образуют базис. Каждое такое
произведение имеет вид
g^g^ ... crife р^ ... pJ2pJt, B)
где&, / ^ 0, а индексы t, / принимают одно из значений 0, 1, . . ., т.
Главный идеал I кольца S, порожденный элементом т = 1 —
— аоРо — • • • — amPm» аддитивно порождается элементами вида
°r4ori2 # *" GikXPh ''' pj2PV C)
поскольку PfT = 0 = TQj для всех /. Легко видеть, что если базисные
элементы вида B), где k, />Л и /z = /fe = 0, заменить элементами
вида C), то новая система элементов по-прежнему будет аддитивным
базисом для кольца S. Следовательно, аддитивная группа кольца
R = S/I свободна, причем кольцо R, очевидно, счетно.
Следующим шагом является построение группового
гомоморфизма if: S ->- Z (m), который переводит идеал I в нуль и удовлетворяет
условиям
•ф A) = lm и г|э Цг\) = г|) (ц1) для всех Н, ц ? S.
Пусть гр действует на образующие вида B) следующим образом:
* (%% ... aifcp^ ... р,-2р,-4) =
Г 1т, если k = l и it = jt Для всех t,
~~ I 0 в противном случае.
Такой гомоморфизм if>, очевидно, переводит в нуль элементы вида C),
кроме случая k = / и it = jt (t = 1, . . ., k). В последнем случае его
§ 91. Прямые разложения счетных групп
175
значением является 1т — (т + 1) 1т> что также равно нулю в группе
Z (т). Остается проверить, что if> (?т]) = гр (т]?), где Е имеет вид B),
а г] — либо pj, либо at. Эта проверка предоставляется читателю в виде
упражнения.
По теореме 110.1 существует счетная группа без кручения Л,
кольцо эндоморфизмов которой изоморфно определенному выше
кольцу R. Отождествим кольцо R с кольцом эндоморфизмов группы
А. Тогда Gipi = st (i = 0, 1, . . ., т) — попарно ортогональные
идемпотенты, сумма которых равна 1. Следовательно, Л = е0Л ф
ф ехЛ ф . . . ф етЛ. Но из равенств оьрь = гг и р^а* = 1 вытекает,
что 8,-Л ^ А [см. § 106, п. ж)]. Значит, группа А изоморфна прямой
сумме т + 1 групп, изоморфных А. Если же группа А изоморфна
прямой сумме п + 1 групп, изоморфных А @ < п ^ т), то ввиду
п. ж) из § 106 это означает существование таких двух эндоморфизмов
аир группы Л, что ар = 1 и Ра = е0 + . . . + вл. Но равенство
lm = *Ф (<*Р) = 'Ф (Р«) = Ч> (8о + • • • + 8п) = (л + 1) lm невозможна
ни для какого /г при 0 < л < т, что и завершает доказательство. в
Упражнения
1. Показать, что теорема 91.1 остается верной, если потребовать,
чтобы группы Еп имели произвольный конечн или счетный ранг
г > 2. [Указание: заменить группы (рп°°Ьп) подходящей жесткой
системой групп.]
2. Доказать, что теорема 91.2 остается верной, если вместо полной
разложимости группы Л потребовать, чтобы группа Л была прямой
суммой неразложимых групп заданных рангов г1э г2, . . ., гп, . . . .
3 (Корнер [1]). (а) Пусть Л — прямая сумма бесконечного
множества неразложимых групп конечного ранга. Если почти все эти
группы имеют ранг 1, то при любом разложении группы Л на
неразложимые слагаемые почти все компоненты должны быть группами
ранга 1. [Указание: А/В — вполне разложимая группа, где В —
некоторая подгруппа конечного ранга.]
(б) Доказать, что в теореме 91.3 требование, чтобы бесконечно
много чисел гп были больше единицы, может быть опущено.
(в) Показать, что утверждение (а) неверно, если не все компоненты
имеют конечный ранг.
4. Обобщить теорему 91.4 на случай /n ^ 2 изоморфных
компонент, используя идеи доказательства теоремы 90.3.
5. Доказать существование счетной группы Л, обладающей
континуальным семейством разложений Л = Bj ф Cjy где Bh Cj —
неразложимые группы и все Bj изоморфны друг другу. [Указание:
применить метод доказательства теоремы 90.4.]
6. Показать, что любое слагаемое группы Л из доказательства
теоремы 91.5 является вполне характеристической подгруппой.
7 (Корнер [4]). Существуют такие счетные группы без кручения
Ау Ву С, что Л ^ В ф С, В ^ Л ф С, но группы Л и В не
изоморфны. [Указание: в теореме 91.6 принять т = 2.]
176
Гл. XIII. Группы без кручения
8 (Корнер [4]). Пусть т ^ 2 — произвольное натуральное число.
Существуют такие счетные группы без кручения Л и В, что прямая
сумма п групп, изоморфных Л, изоморфна прямой сумме п групп,
изоморфных В, тогда и только тогда, когда т \ п.
9 (Корнер [4]). Существует счетная группа без кручения Л со
следующим свойством: группа А изоморфна прямой сумме произвольного
конечного числа групп, изоморфных Л, но не изоморфна никакой
прямой сумме бесконечного множества групп, изоморфных А. [Указание:
мощность множества эндоморфизмов прямой суммы бесконечного
множества групп, изоморфных Л, не меньше мощности континуума.]
10* (Фукс [28]). Пусть ш — произвольное бесконечное
кардинальное число, меньшее первого сильно недостижимого
кардинального числа. Доказать аналог теоремы 91.4 для группы мощности m
с 2 неизоморфными слагаемыми В7-. [Указание: теорема 89.2.]
11. Для любого бесконечного кардинального числа m существует
группа ранга ш, не имеющая неразложимых прямых слагаемых.
[Указание: рассмотреть прямые суммы групп из доказательства
теоремы 91.5; доказать утверждение для суммы конечного числа групп,
затем — для счетного числа и применить предложение 9.10.]
§ 92*. Квазипрямые разложения
Результаты предыдущего параграфа показывают, что при изучении
прямых разложений групп без кручения на получение какого-либо
рода единственности в традиционном смысле надеяться не приходится.
Йонсон [2] предложил радикально новую идею и показал, что она
приводит к теореме единственности в несколько ослабленном смысле.
Идея состоит в замене понятия изоморфизма более слабым понятием
квазиизоморфизма. Пусть Л, С — группы без кручения конечного
ранга и группа Л содержится в делимой оболочке D группы С [мы
для удобства считаем, что все рассматриваемые группы лежат в данной
делимой группе]. Группу Л в этом случае назовем квазивложенной
в группу С [обозначение: А ^ C]f если для некоторого натурального
числа п имеет место включение пА ^ С. Группа Л квазиравна
группе С, Л ж С, если Л -< С и С < Л. Как сразу видно, квазиравенство
означает просто, что подгруппа A f] С имеет конечный индекс как
в Л, так и в С.
Далее, группы Л и С называются квазиизоморфными [обозначение:
Л ~ С], если они изоморфны квазиравным подгруппам некоторой
делимой группы D.
Понятие квазиизоморфизма для групп без кручения произвольного
ранга будет введено во второй части этого параграфа.
Всякая подгруппа конечного индекса группы Л ранга 1 изоморфна
группе Л. Таким образом, для групп ранга 1 из квазиизоморфизма
следует изоморфизм. В более общем случае имеет место
Предложение 92.1 (Прохазка [12]). Пусть А —такая группа без
кручения конечного ранга, что для каждого простого числа р имеет
§ 92*. Квазипрямые разложения
177
место неравенство \ Alp А | ^ р. Если группа без кручения С квази-
изоморфна группе А, то С = А.
Изоморфизм С = А достаточно доказать для подгруппы С
группы Л, имеющей в А простой индекс р. В этом случае рА Ф А и рА ^
S С. Следовательно, по условию С = рА. Поскольку рА ^ Л,
требуемое утверждение очевидно. в
Пусть Съ . . ., Ck — подгруппы делимой оболочки D группы А.
Группу А назовем квазипрямой суммой этих подгрупп, если имеет
место квазиравенство А « Сг ф . . . © Ck. В этом случае мы будем
говорить также о квазипрямом разложении группы Л, а группы С*
называть квазипрямыми слагаемыми группы Л. Непосредственно
проверяются следующие утверждения:
а)Лфб^ЛфС влечет за собой В ~ С;
б) есла Л^ВфСа В < X < Л, то X ж В ® (X [\ С).
Группа, имеющая лишь тривиальные квазипрямые разложения,
называется сильно неразложимой.
Пример 1. Группа Л из примера 2 в § 88 квазиравна прямой сумме
ф Еп, но это неверно для группы Л из примера 5. Последняя группа сильно
п
неразложима.
Пример 2i Жесткие группы сильно неразложимы.
Пусть Л — группа без кручения конечного ранга' и D — делимая
оболочка группы Л. Эндоморфизм ф группы D называется
квазиэндоморфизмом группы Л, если имеет место квазивложение
фЛ -< Л.
Квазиэндоморфизмы группы Л образуют подкольцо Е (Л) кольца
всех эндоморфизмов группы D. Обратимые элементы кольца Е (Л)
называются квазиавтоморфизмами группы Л. Отметим, что верны
следующие утверждения.
в) Кольцо Е (Л) является Q-алгеброй с единицей и произвольный
левый идеал кольца Е (Л)—векторное пространство над полем Q.
Поскольку ясно, что деление на целое число пфО является
квазиэндоморфизмом, утверждение очевидно.
г) В кольце Е (Л) выполнено условие минимальности для левых
\идля правых] идеалов. Эго следует из п. в) итого, что размерность D
конечна.
д) Для любого идемпотента s ? Е (Л) имеет место квазипрямое
разложение Л ^ s Л ф A — г) А. Обратно, если А ж В ф С, то
найдется такой идемпотент е ? Е (Л), что В ж еЛ и С « A — г) А.
Доказательство этого утверждения можно провести непосредственно,
что и представляется читателю.
178
Гл. XIII. Группы без кручения
Следующая лемма имеет место для любых конечных разложений.
Мы ограничимся рассмотрением случая двух слагаемых.
Лемма 92.2 (Рейд Дж. Д. [1]). Соответствие
Л^еИе чАЪ-* Ё (Л) = Ё (Л) е4 © Ё (А) е2
между квазипрямыми разложениями группы без кручения А конечного
ранга и разложениями кольца Е (А) в прямую сумму левых идеалов
является взаимно однозначным. Здесь ех, е2 = 1 — ех — идемпотент-
ные квазиэндоморфизмы группы А.
Доказательство аналогично доказательству п. д) из § 106. и
Давно известно, что артиново кольцо с единицей не имеет
разложений в прямую сумму ненулевых левых идеалов в том и только в том
случае, когда оно является локальным кольцом [т. е. его
необратимые элементы образуют идеал]. Таким образом, из п. г) и последней
леммы легко получить следующее важное
Предложение 92.3 (Рейд Дж. Д. [2]). Кольцо квазиэндоморфизмов
группы без кручения А конечного ранга локально в том и только в том
случае, когда А — сильно неразложимая группа. ш
Следующая лемма играет центральную роль в нашем исследовании
квазипрямых разложений. В ней говорится о свойстве группы,
очевидно, аналогичном свойству замены в § 72.
Лемма 92.4. Сильно неразложимая группа А конечного ранга
обладает следующим свойством: пусть В, С1? . . ., Ст — группы без
кручения конечного ранга. При условии, что
ЦъЩъЩъСЬ®... ®Ст, A)
найдутся такой индекс i и такая подгруппа С[ ^ Ciy что
Gj« i^ejcje .. .[© Q © .. .[© ст.
Пусть е, п и 6; — идемпотентные квазиэндоморфизмы группы G,
соответствующие квазипрямым разложениям A). Тогда ограничение
квазиэндоморфизма 8 = гвг + . . . + е9т на подгруппу А является
квазиавтоморфизмом группы А. В силу предложения 92.3 отсюда
следует, что один из квазиэндоморфизмов е0ь скажем 80!, является
квазиавтоморфизмом группы А [мы для удобства пишем 0^ вместо
0^ \ А]. Таким образом, группа 0ХЛ квазиизоморфна группе А.
Поскольку квазиэндоморфизм 8 отображает группу 0ХЛ на группу,
квазиравную группе Л, мы получаем G « 0ХЛ ф В. Следовательно,
Сх « 0ХЛ © С[у где С\ = Сг П В. Но квазиэндоморфизм 0Х изоморфно
отображает группу А на группу 0ХЛ, значит, G « Л © С[ © С2 © . . .
. . . Ф Ст. ш
Всякая группа без кручения конечного ранга, очевидно, квази-
равна некоторой конечной прямой сумме сильно неразложимых групп.
§ 92*. Квачипрямые разложения
179
В отличие от теоремы 90.3 для квазипрямых разложений такого рода
имеет место единственность, как показывает следующий основной
результат о квазипрямых разложениях.
Теорема 92.5 (Йонсон [2]). Пусть А — группа без кручения
конечного ранга и выполняются квазиравенства
а « Ai ® ... е Ат « ci е ... есп,
где все группы At и Cj сильно неразложимы. Тогда т = п и при
подходящей перенумерации At ~ Ct для всех i.
Поскольку все группы С/ сильно неразложимы, из леммы 92.4
сразу следует, что в квазипрямом разложении группы А одну из
групп Си скажем Съ можно заменить на группу А1У т. е. А « Ах ф
© С2 ф . . . © Сп. Отсюда и из п. а) следует квазиизоморфизм Аг ~
~ Сх. Мы заключаем также, что А2 © . . . © Ат ~ С2 © . . . © СЛ,
или Л2 © . . . © Ат ж С; © . . . © С;, где CI ~ Ct (i = 1, . . ., п).
Пользуясь индукцией, завершаем наше доказательство. в
Пример 3. Все группы, встречающиеся в доказательствах § 90, квази
изоморфны вполне разложимым группам.
Теперь рассмотрим случай групп бесконечного ранга. Пусть
А, С — группы без кручения произвольного ранга. Группу А назовем
квазивложенной в группу С, А < С, если А содержится в делимой
оболочке D группы С, причем для каждого слагаемого Е группы D,
имеющего конечный ранг, выполняется А П Е -< С-П Е в прежнем
смысле. Ясно, как определить понятия квазиравенства,
квазиизоморфизма и т. д. в общем случае. [Такое определение квазиизоморфизма
для групп без кручения бесконечного ранга отличается от определений
этого понятия, используемых разными авторами, например Рей'
дом Дж. Д. [4].]
Пример 4. Группа А из теоремы 91.1 квазиизоморфна некоторой вполне
разложимой группе. Это неверно, однако, для группы
В= (p~°°bn, qyl°°(bn-\- ^n+i) ПРИ всех целых числах п).
При распространении предыдущих результатов на общий случай
неизбежно возникает необходимость наложить определенное
ограничение на прямые суммы. Разложение А ж В ® С будем называть
допустимым квазипрямым разложением группы А [обозначение: А «
~В © С], если для проекций я и р делимой оболочки группы А на
делимые оболочки групп В и С соответственно имеют место вложения
ппА ^ В, пВ <=: А для некоторого п Ф 0 и трА ^ С, тС ^ А для
некоторого т Ф 0. Бесконечная квазипрямая сумма А « ф At
по определению допустима, если аналогичное условие выполняется для
каждой проекции nt. В этом случае мы пишем А « ф At. Читатель
легко может убедиться в том, что все квазипрямые разложения группы
конечного ранга обязательно допустимы.
180
Гл. XIII. Группы без кручения
Следующие утверждения легко следуют из определений.
а') Если Хж Л © В и ХжА®С, то В~ С.
б') Если А ж В © С и В <Х -< Л, где группа X имеет конечный
ранг, то ХжВ © (Xfl С).
в') Если AtttCi для всех i?/, то для прямой суммы Л = ф Аг
выполняется Л « © Cf.
В оставшейся части параграфа мы построим теорию квазипрямых
разложений, аналогичную тем разделам теории прямых разложений,
которые рассмотрены в § 86 и 87. Для достижения разумной общности
Мы будем рассматривать группы произвольного конечного ранга в тех
ситуациях, в которых в § 86 и 87 рассматривались только группы
ранга 1.
В соответствии со сказанным, назовем группу Л вполне
квазиразложимой, если Л « © А и где каждое слагаемое At — группа конеч-
ного ранга. Итак, мы будем рассматривать только допустимые
квазипрямые разложения. Не изменяя смысла данного определения, мы
Можем дополнительно считать, что группы At сильно неразложимы.
В этом случае мы получаем точный аналог предложения 86Л.
Теорема 92.6 (Вильоен [2]). Пусть даны два допустимых
квазипрямых разложения группы А,
Л ^ © At и А « ф С/,
161 №
где At и С, — сильно неразложимые группы конечного ранга. Тогда
найдется такое взаимно однозначное соответствие f между
множествами I и J, что
At ~ Си» для всех i ? /•
Если множество / конечно, то и множество J конечно, и наше
утверждение сводится к теореме 92.5. Пусть теперь множество / счетно,
скажем / = {1, 2, . . ., я, . . .}. Не теряя общности, можно считать,
что J = I. Очевидно, для некоторого т группа Аг содержится в
делимой оболочке группы Сг © . . . © Ст. Отсюда в силу б') следует, что
Ах — квазипрямое слагаемое группы Сг © . . . © Ст. По лемме 92.4
одно из этих Си скажем С1У можно заменить на Лх и получить Л «
~ Аг © © Сп. В силу а') отсюда следует, что Аг ~ Сг. Положим
А' = ф Ап. Заменяя, если понадобится, группы Сп на изоморфные,
получаем А' « © Сп. Для группы С2 проведем те же рассуждения,
что и для группы Al9 и получим квазиизоморфизм, скажем С2 ~ А2.
§ 92*. Квазипрямые разложения
181
Попеременно рассматривая первую из оставшихся групп Ап или Сп
и рассуждая указанным образом, мы найдем требуемое соответствие.
Если множества индексов / и У несчетны, применим метод
доказательства предложения 9.10. Мы получим разбиения / = U h и J =*
h?K
= U Jk на попарно непересекающиеся счетные подмножества Ik
множества / и на такие же подмножества Jk множества J
соответственно. При этом для каждого & ? К группы ф At и © Су квазиизоморф-
ны. Для завершения доказательства остается сослаться на то, что
в счетном случае утверждение теоремы уже доказано. в
Группа без кручения А называется квазисепарабельной, если
каждое конечное подмножество {а19 . . ., ak} группы А содержится в
некотором квазипрямом слагаемом группы Л, имеющем конечный ранг
[или, что эквивалентно, в некотором вполне квазиразложимом
квазипрямом слагаемом группы А]. Здесь также все рассматриваемые
квазипрямые суммы допустимы. В качестве легкого упражнения можно
доказать аналог теоремы Бэра 87.1: счетная квазисепарабельная группа
вполне квазиразложима. Относительно нетрудно установить
следующий результат, аналогичный теореме 87.5.
Теорема 92.7 (Вильоен [2]). Всякое слагаемое в допустимом
квазипрямом разложении квазисепарабельной группы также квазисепара-
бельно.
Пусть А — квазисепарабельная группа, А « В ф С и Ь1э . . .
. . ., bk 6 В. Тогда Ь1у . . ., bk 6 X для некоторого квазипрямого
слагаемого X группы Л, имеющего конечный ранг. Пусть А « X ф У,
Запишем X « Хг ф . . . ф Хт, где Xj — сильно неразложимые
группы. Легко проверить, что лемма 92.4 остается верной, если не
требовать, чтобы группы В и Ct имели конечный ранг. Следовательно, каж*
дая группа Xj обладает свойством, установленным в лемме 92.4,
Отсюда мы сразу получаем, что этим свойством обладает и группа X
[ср. п. в) из § 72]. Таким образом, существуют такие подгруппы В' <=: В
и С ^ С, что А « X © В' © С. Так как В — допустимое
квазипрямое слагаемое в Л, то легко видеть, что В « В' © [В П {X ф С')],
В этой сумме второе квазипрямое слагаемое имеет конечный ранг
и содержит элементы Ь1У . . ., bk. Квазисепарабельность группы В
установлена. а
Последний результат дает нам возможность доказать следующий
аналог теоремы 86.7.
Следствие 92.8. Квазипрямые слагаемые вполне квазиразложимых
групп также вполне квазиразложимы.
Очевидное видоизменение доказательства предложения 9.10
приводит нас к заключению, что квазипрямое слагаемое квазиизоморфно
182
Гл. XIII. Группы без кручения
прямой сумме счетных групп. По теореме 92.7 и замечанию,
предшествовавшему этой теореме, в счетном случае наше утверждение
очевидно. ¦
В работе Уокера [7] было отмечено, что вместо категории групп без
кручения можно рассматривать ее факторкатегорию по модулю конечных групп. В
новой категории теорема 92.5 эквивалентна теореме единственности, с точностью
до изоморфизма, прямых разложений объектов на неразложимые объекты.
Упражнения
1. Если для группы Л выполняются условия предложения 92.1,
то подгруппами вида пА (п > 0) исчерпываются все подгруппы
конечного индекса в группе А.
2. Пусть А — такая неразложимая группа без кручения
конечного ранга, что для каждого простого числа р выполняется | Alp А | ^
^ р. Доказать, что А — сильно неразложимая группа.
3. Пусть А = Ах © . . . ф Ат = d е . . . Ф СП9 где Л*, Cj —
неразложимые группы конечного ранга, удовлетворяющие условию
упр. 2. Тогда указанные два разложения группы А изоморфны.
4. Пусть А — группа без кручения конечного ранга и F, F' —
свободные подгруппы группы Л, имеющие ранг п. В этом случае
факторгруппы AIF и A IF' изоморфны таким подгруппам группы
п
© QIZ, что AIF ф G ^ AIF' © G для некоторых конечных групп
G и G'.
5. Пусть А — группа без кручения конечного ранга. Если ср —
изоморфное отображение группы А в себя, то подгруппа срЛ имеет
конечный индекс в группе А. [Указание: если F — свободная
подгруппа группы А того же ранга, что и Л, то подгруппа F [\ q>F имеет
конечный индекс в группе F. Рассмотреть подгруппу q>AI(F П ф/7) ^
?Л/(?П cpF) и применить упр. 4, заметив, что AIF ^ срЛ/ср/7.]
6 (Вильоен [2]). Пусть Л = (ап (п ^ 1); р~п (а± + ап+1) при всех п),
где р — простое число. Показать, что Л ж ф (ап), но это
разложение не является допустимым.
7. Доказать а') — в').
8. Доказать лемму 92.2 для допустимых конечных разложений
Л « ехЛ ф . . . © гпА групп Л бесконечного ранга.
9 (Рейд Дж. Д. [2]). Пусть кольцо Е (Л) удовлетворяет условию
минимальности для левых идеалов.
(а) Произвольное квазипрямое разложение группы Л имеет лишь
конечное число слагаемых.
(б) Группа Л сильно неразложима в том и только в том случае,
когда кольцо Е (Л) локально.
(в) Для группы Л верна лемма 92.4.
10. (а) Пусть G — группа из теоремы 91.2. Показать, что никакая
подгруппа Н группы G, для которой факторгруппа G/H ограниченная,
не может быть прямой суммой групп конечного ранга.
§ 93*. Счетные группы без кручения
183
(б) Если называть группу А квазиизоморфной группе С при
условии, что С ^ А' ^ А, где AIA' — ограниченная группа, то счетная
квазисепарабельная группа не обязательно будет вполне
квазиразложимой.
11 (Прохазка [12]). Если А и С — квазиизоморфные группы без
кручения конечного ранга, то Ext (Л, G) ^ Ext (С, G) для любой
группы G.
§ 93*, Счетные группы без кручения
Для групп без кручения ранга m > 1 до сих пор не было
получено никакой удовлетворительной структурной теории. Несмотря
на то что известно несколько схем для построения групп без
кручения не более чем счетного ранга, с их помощью не удается
окончательно решить проблему изоморфности. А именно, различные построения
могут приводить к изоморфным группам, а инвариантами служат
классы эквивалентности матриц или других параметров, для которых
вопрос о принадлежности одному и тому же классу эквивалентности
так же труден, как и вопрос об изоморфности групп. Ввиду
теоретической важности метода мы приводим теорию, разработанную для
случая групп конечного ранга Курошем [2], Мальцевым [1] и Дэр-
ри [1].
Основная идея этой теории—локализация, т. е. сведение
структурной проблемы для групп без кручения А к рассмотрению QJ-mo-
дулей Jv ® А. Последние легко поддаются изучению, если имеют
не более чем счетный ранг.
Введем следующие обозначения. Для группы без кручения А
положим
AP = QP®A, Л* = </Р®Л, E=Q®A и Е$ = КР®А,
где К-р обозначает аддитивную группу поля р-адических чисел. При
естественном отождествлении группу Е можно считать делимой
оболочкой группы А. Мы также имеем А ^ Ар ^ Ар ^ Ер. Будем
записывать элементы группы Ар как конечные суммы 2?га*» гДе Qt ? Qp
и at 6 А.
Лемма 93.1. Если группы Ар рассматривать как подгруппы
группы Е, то А = П Ар.
V
Пусть х 6 П Ар- Для некоторого простого числа р запишем х =
V
= 2 Qiaii 4t 6 Q7» сц € А. Существует такое целое число s, взаимно
простое с /?, что sx 6 А. Пусть р1у . . ., рт — все простые делители
числа s. Для простого числа pj выберем такое целое число Sj, взаимно
простое с pj, что SjX 6 A, j = 1, . . ., т. Поскольку целые числа sv
Sj, . . ., sm взаимно просты, нетрудно установить включение х 6 А. щ
Лемма 93.2 (Дэрри [1]). Для каждого простого числа р имеет место
равенство Е[\ Ар = Ар.
184
Гл. XIII. Группы без кручения
п
Элемент х 6 Ар запишем в виде х = 2 ntab где щ ? Q* и аь 6 А.
г=1
Пусть а1э . . ,, аЛ — независимые элементы группы Л, а элементы
ak+1, . . ., ап зависят от первых k элементов. Тогда без ограничения
общности мы можем считать, что nk+ly . . ., лп — рациональные
числа. Пусть х 6 Е. Тогда элемент х зависит от максимальной
независимой системы {аъ . . ., ak, a'k+i, . . .} элементов группы А, скажем
k г
х= 2 miai-\- 2 Ща>\, где mt— рациональные числа.
При отождествлении 1 % а ¦*-> а максимальная независимая система
элементов группы А превращается в максимальную независимую
систему элементов КР-модуля Ер [где КР — поле р-адических чисел].
Следовательно, возможно лишь одно соотношение зависимости
элемента х от указанной системы. Таким образом, я1? . . ., яп —
рациональные числа и х ? Ар. Мы доказали включение Е (] А% ^ Ар. ш
Последний вспомогательный результат носит структурный
характер.
Лемма 93.3 (Прюфер [3]). Редуцированный счетно порожденный
Qp-модуль без кручения свободен.
Qp-модуль без кручения ранга 1 является либо циклическим,
либо инъективным модулем, так как все QJ-модули, заключенные
между Jp и КР и не совпадающие с КР> изоморфны Jp. Поскольку
модуль Jp алгебраически компактен, мы легко получаем, что Qp-мо-
дули без кручения ранга 1 выделяются прямыми слагаемыми везде,
где они сервантны. Таким образом, конечно порожденные 0*-модули
без кручения свободны. Это же верно для редуцированных Qp-мо-
дулей конечного ранга. Оставшаяся часть доказательства проводится
аналогично тому, как доказывалась теорема 19.1. п
С этого места и до конца параграфа мы будем считать, что ранг г
группы А не более чем счетен. Символ {аь} будет обозначать
максимальную независимую систему элементов в группе Е [или в группе А].
Здесь i = 1, . . ., г или i = 1, 2, ... в соответствии с тем, конечен
ранг г или нет.
Q*-модуль А* также имеет ранг г, и в силу леммы 93.3 его
редуцированная часть свободна. Следовательно, существуют такие
элементы vn, wm ? Ару что имеет место разложение
ai= е Kpvn ее а>т, 0)
п [т
где пит пробегают множества индексов мощностей, скажем, kp и 1Р
соответственно и при этом kv + lv = г. [Для упрощения обозначений
мы не указываем на зависимость элементов vn и wm от простого
числа р.] Итак, мы можем записать
Я* = 2 ainVn + 2 Pim^m («in, Pim 6 Kp), B)
n m
§ 93*. Счетные группы без кручения
185
где для фиксированного индекса i почти все коэффициенты ainy $im
равны нулю. [Если аь 6 А, то $ш 6 QpJ Мы получаем таким образом
г X г-матрицу
• а1тг • • • Pll • • • Plm • • •
«11
аа . .. ain .. . ри . .. $iTl
(«in» Pim6Kp), C>
Кг)
и
в которой каждая строка содержит лишь конечное число элементов,
отличных от нуля [такая матрица называется конечно-строчной].
Поскольку система {vn, wm} также является максимальной
независимой над КР системой в модуле Л*, эта матрица обратима над Кр.
Итак, мы получили соответствие
А*-*(№2, М3, ..., Мр, ...), D)
где для каждого простого числа р матрица Мр состоит из р-адических
чисел, обратима и конечно-строчна.
Соответствие D) зависит не только от выбора системы {at}y на
также от выбора системы {vnj wm} для каждого простого числа р.
Мы намерены выяснить теперь, как изменяется матрица C) при
переходе к новой максимальной независимой системе {а\} и новой системе
{vn, w'm}. Из соображений простоты r-мерные вектор-столбцы с
координатами ах и а\ соответственно мы обозначим через а и а'. Мы также
fv "I IV "I
обозначим через и , вектор-столбцы с координатами vn, wm.
I W I I W I
и v'n, w'm соответственно.
Существует обратимая конечно-строчная г X r-матрица В,
состоящая из рациональных чисел, которая переводит а в а', т. е.
а' = Ва.
Аналогично, для некоторой г X r-матрицы Ср, состоящей из /?-ади-
ческих чисел, обратимой и строчно-конечной, имеем
V
W
С,
W
Эта матрица Ср должна иметь обратную матрицу,
удовлетворяющую аналогичному равенству. Следовательно, матрица Ср имеет вид
г v* on
(Г =
р [Wi W2J"
Здесь V, W2 — матрицы над QJ размеров kpxkp и lpxlP
соответственно, обладающие обратными матрицами, элементы которых также
лежат в Qp\ a W4 есть 1Р х &р-матрица над Кр. Каждая из матриц Vy
E)
186
Гл. XIII. Группы без кручения
Wb W2 является конечно-строчной. Матрицы Ср вида E) образуют
группу Tp(kp, lp) относительно умножения матриц,
V
Очевидно, вектор а =
.W
переходит в вектор а
ЪрЬр
W
Соответствие D) принимает вид Л »-> {/
. . ., Мр, . . .}, где Мр = ВМрСр для всех простых р. Ввиду
сказанного две последовательности матриц {М2, . . ., Мр, . . .} и
{Mg, . . ., Мр, . . .} назовем эквивалентными, если существуют такая
обратимая конечно-строчная г X r-матрица В с рациональными
элементами и такие матрицы Ср ? Гр (kp, /р), где р пробегает все простые
числа, что для каждого простого числа р имеет место равенство
м; = вмрСр.
Это понятие эквивалентности дает нам возможность получить
следующий результат.
Теорема 93.4. Ранги kp и 1Р [удовлетворяющие равенству kp + lp =
= г (Л)], где р пробегает все простые числа, а также класс
эквивалентности последовательностей матриц из соответствия D) образуют
полную систему инвариантов для счетных групп без кручения А.
Из предыдущих рассмотрений очевидным образом следует
инвариантность рангов kp и /р, а также класса эквивалентности
последовательностей матриц из соответствия D). Итак, нам остается доказать,
что группы Л и Л' изоморфны, если они для каждого простого числа р
имеют одинаковые ранги kp и /р, а соответствующие
последовательности матриц {М2, . . ., Мр, . . .} и {М;, . . ., Мр, . . .}
эквивалентны. Более того, достаточно рассмотреть случай, когда эти
последовательности совпадают. Для группы А' образуем группы Лр, Лр*,
Е', Ер*. Из определений видно, что группы Е и Е' имеют
максимальные независимые системы {at} и {а\} соответственно, а для групп
Лр*и Ар имеют место разложения вида A). При этом для соответствую-
w
щих векторов выполняются равенства а = м„ | |и а'
Соответствие at »-> а\ (при всех i) можно продолжить
единственным образом до изоморфизма ср: Е-+Е'. Этот изоморфизм в свою
очередь индуцирует единственный Qp-изоморфизм cppi Е* ->- Е'р*.
Г v
Поскольку матрицы перехода от вектора
w
к вектору а и от
вектора
w
к вектору а' одинаковы, изоморфизм фр переводит элемент
vn в элемент v'n, а элемент wm в элемент w'm. Отсюда следует, что фр | Л*
является изоморфизмом между Ар и Лр*. Следовательно, срр, а
значит, и ср, изоморфно отображает группу Ар = Е {] Ар на группу
§ 93*. Счетные группы без кручения
187
Ар = Е' П Ар* 1см. лемму 93.2]. Мы получаем, что ср изоморфно
отображает группу А = f| Ар на группу Л' = f| Лр [см. лемму 93.1]. и
v v
Решая обратную задачу, можно задаться вопросом: каковы
последовательности матриц, соответствующие счетным группам без
кручения. Следующая теорема дает ответ на этот вопрос.
Теорема 93.5 (Курош [2]). Пусть для каждого простого числа р
даны конечные или счетные кардинальные числа kv и /р, причем сумма
kp + 1Р = г не зависит от р. Пусть {М2, . . ., Мр, . . .} —
последовательность матриц вида C). Эта последовательность
соответствует некоторой счетной группе без кручения А в том и только в том
случае, когда она эквивалентна последовательности {Ш'2, . . ., Мр, . . .},
для которой при каждом простом числе р элементы §[т в последних
1Р столбцах матрицы /Шр являются целыми р-адическими числами.
При соответствующем выборе системы {at} в группе Л получаем
необходимость условий теоремы. Докажем достаточность. Пусть даны
числа kv, lv и последовательность {М2, . . ., Мр, . . .}, где Мр —
матрицы вида C), причем pfm ? Qp. Сначала возьмем делимую группу
Е = © Qat ранга г. Для каждого простого числа р образуем группу
Е* = КР ® Е = © Kpdt. Группу Е можно рассматривать как
подгруппу группы Ер. Матрица Мр обратима и конечно-строчна.
Следовательно, существуют kp- и /р-мерные векторы v и w соответственно,
v 1
, где а — вектор-столбец из элементов at.
С помощью координат векторов v и w определим группу Лр в
соответствии с равенством A). Положим Лр = Е П ^*- Покажем, что группа
А — п Ар обладает требуемыми свойствами.
v
Благодаря условию на матрицу Мр имеем at 6 Лр. Отсюда следует,
что at 6 Л, группа Л имеет ранг г и Е — делимая оболочка группы Л.
Таким образом, включение Jp ® Л с: Л* очевидно. В силу Qp ® A S
с?иCР®Лд/р®Л мы получаем также Qp ® Л s Е П Лр =
= Лр. Покажем, что последнее включение на самом деле —¦ равенство.
Элемент b 6 Лр запишем в виде ?> = phn~xa, где (я, р) = 1 и a ? Л.
Если ? ^ 0, то Ь 6 Qp ® Л, так как п~г 6 Qp- Если k < 0, то /?*а 6 Л,
так как pka ? Aq для всех простых чисел q Ф р и /?йа = я& 6 Лр.
Итак, Ь 6 Qp ® Л, следовательно, Qp ® Л = Лр. Для завершения
доказательства теоремы 93.5 нам остается доказать включение Л* ^
т
^ Jp ® Л. Элемент) с ? Л* представим в виде с = 2 9ьаь гДе Р* 6
г=1
6 КР. Пусть Pi = /?~'Sj + аь где s, — целое рациональное число,
a Gt — целое р-адическое число. Тогда с — р~1 2 Sj#i = 2 ага* ?
? Jp ® Л дЛ*. Отсюда следует, что p~f 2 s*a* ? ^* П ? = Лр s
^ /р ® Л, и мы получаем с ? Jp <g) Л. а
для которых а = Мр
188 Гл. XIII. Группы без кручения
Пример. Пусть А — вполне разложимая группа конечного ранга г,
А — Аг Ф • • • Ф АГУ где г (At) = 1. В этом случае группа A J является прямой
суммой kp групп, изоморфных группе Кру и 1р = г — kp групп, изоморфных
группе J . Здесь kp — число тех At, для которых pAt — At. Пусть {аъ . . ., ar}f
где at 6 Af,— максимальная независимая система. В соотношении A) выберем
в качестве каждого vn некоторое at) а каждого wm — некоторое p~eat [где
е = hp (at)]. В этом случае матрица Мр диагональна и ее ненулевыми элементами
являются либо единицы, либо степени числа р. По этим степеням можно
определить типы групп At.
В заключение мы снова хотим подчеркнуть следующее: в том, что
касается структурных вопросов, теория имеет невысокую
практическую ценность. Из этой теории не удается извлечь удобного способа,
с помощью которого можно было бы решить, изоморфны ли две
счетные группы без кручения. В действительности, даже для случая
групп ранга 2 приведенные результаты не удовлетворительны.
Упражнения
1. Пусть А — группа конечного ранга и Вр — ее /^-базисная
подгруппа. Показать, что 1Р = г (Вр) и kp = г (А/Вр).
2. Описать последовательности D) матриц, которые соответствуют
группам из § 88.
3. Пусть С — подгруппа счетной группы без кручения А. Тогда
kp (С) ^ kp (А) для каждого простого числа р. Аналогичное
неравенство справедливо для /р, если подгруппа С сервантна в группе А.
4. Группа А конечного ранга разлагается в нетривиальную прямую
сумму групп в том и только в том случае, когда в соответствующем
ей классе эквивалентности последовательностей матриц найдется
последовательность {М2, . . ., Мр, . . .} со следующим свойством:
все матрицы Мр с помощью одинаковых перестановок строк и
столбцов можно привести к виду
Г Мр О 1
где Мр и Lp — квадратные матрицы порядка т и г — т
соответственно, причем О <С т < г и эти порядки не зависят от р.
5 (Курош [2]). (а) Пусть А — группа конечного ранга г и kp =
= г— 1, 1Р = 1 для некоторого простого числа р. Если группа А
разлагается в прямую сумму групп, то в подходящем базисе матрица
Мр будет иметь вид, указанный в упр. 4. В любой матрице,
эквивалентной матрице Мр, столбец из элементов р содержит не более чем
г — т рационально независимых р-адических чисел.
(б) Вывести из этого существование неразложимых групп без
кручения произвольного конечного ранга.
6. Кардинальные числа kp и 1Р инвариантны относительно
квазиизоморфизмов.
7 (Ротман [4]). Пусть А — группа без кручения конечного ранга п
и 0 = Л0с:Л1с=...с:Л7г = Л — такая последовательность сер-
вантных подгрупп группы Л, что все факторы этой последователь-
§ 94. Узкие группы
189
ности имеют ранг 1. Тогда для каждого простого числа р число /?-дели-
мых факторов — инвариант группы Л.
8 (Чекереш [1]). Подполе поля Кр, полученное присоединением
к полю Q чисел $im из последних /р столбцов матрицы Мр,—
инвариант группы А.
§ 94. Узкие группы
Лось открыл замечательный класс групп без кручения. Это класс
узких групп.
Пусть Р обозначает прямое произведение счетного числа
бесконечных циклических групп,
оо
Р= П (еп), где о(е„) = оо.
оо
Положим S= © (еп). Элементы х группы Р мы будем записывать
либо в виде бесконечномерных векторов х=(^еи ..., knen, ...), где
с»
kn(zZ, "либо как формальные бесконечные суммы я = 2 ^пеп, где
kntZ.
Группа без кручения G называется узкой, если при любом
гомоморфизме х\: P->G для почти всех я выполняется равенство цеп = 0.
Из определения очевидным образом вытекают следующие
утверждения:
а) Подгруппы узких групп узкие.
б) Группа Q рациональных чисел не является узкой.
в) Группа Р не является узкой.
г) Группа Jp целых /?-адических чисел не является узкой.
Действительно, для свободной группы 5 существует такой гомоморфизм
ср: S -> /р, что фе71 Ф 0 при всех п. Поскольку 5 — сервантная
подгруппа группы Р, a Jp — сервантно инъективная группа,
гомоморфизм ф можно продолжить до гомоморфизма ц: P-+Jp.
д) Узкая группа не может содержать никакой подгруппы,
изоморфной Q, Р или Jp. В частности, узкая группа не содержит никакой
ненулевой алгебраически компактной группы [см. следствие 40.41.
В силу последнего замечания справедлив следующий результат —
частный случай теоремы 94.4.
е) Пусть ц — такой гомоморфизм группы Р в узкую группу G,
что г]5 = 0. Тогда г) = 0. Следовательно, любой эпиморфный образ
группы Р в узкой группе G конечно порожден.
Пусть т]5 = 0. Тогда Im ц является эпиморфным образом
алгебраически компактной группы P/S [см. следствие 42.2]. Таким образом,
Im г] в силу предложения 54.1 —копериодическая группа. По
следствию 54.5 копериодическая группа без кручения алгебраически
190
Гл. XIII. Группы без кручения
компактна, и в силу Im r\ ^G справедливо равенство Im ц = 0.
Пользуясь определением узкой группы, второе утверждение получаем
как простое следствие первого.
Полезным следствием из п. е) является
Лемма 94.1. Произвольный гомоморфизм г\ из группы Р в некоторую
узкую группу полностью определяется ограничением r\ \ S. ш
3-аметим, что благодаря лемме 94.1 для каждого гомоморфизма
у\: P-+G, где G— узкая группа, можно записать
оо оо
т]B knen) = 2 kn{r\en).
n=l n=l
В правой части этого равенства почти все слагаемые равны нулю.
С помощью следующего результата можно построить довольно
много узких групп.
Предложение 94.2 (Сонсяда [4]). Счетная группа [точнее, группа,
мощность которой меньше мощности континуума] является узкой
в том и только в том случае, когда она редуцированная.
Необходимость условий очевидна. Докажем достаточность.
Пусть G— редуцированная группа мощности m < 2No и ц: Р->-
-> G — такой гомоморфизм, что для бесконечного числа номеров п
имеет место условие цеп Ф 0. Опуская те циклические группы (еп),
для которых цеп = 0, мы можем считать, что г\еп Ф 0 для всех п.
В силу редуцированности группы G имеем f| mG = 0.
Следовать
тельно, существует такая последовательность целых чисел 1 =
= *!<...< kn < . . ., что г] (knlen) (Е kn+1G при п = 1, 2, ... .
Множество таких элементов (gly . . ., gn, . . .) 6 Р, что при каждом п
либо gn = 0, либо gn=kn\ еп, имеет мощность континуума. Значит,
в этом множестве найдутся два различных элемента из Р, образы
которых при гомоморфизмет] совпадают. Пусть а = (Нъ . . ., /in, . . .)—
разность этих элементов. Тогда при каждом п либо hn = 0, либо
hn = ±kn\en и, очевидно, щ = 0. Это невозможно. Действительно,
пусть т — наименьший индекс, для которого hm Ф 0. Тогда r\hm (?
(? km+ iG и в то же время
r\hm = if]a— tj @, ..., 0, Лт+1, . ..) =
= —П @, ..., 0, /zm+i, ...) ?km+iG. в
Следующий результат позволяет строить узкие группы
произвольно больших мощностей.
Теорема 94.3 (Фукс [16]). Прямые суммы узких групп узки.
Пусть Gj (i 6 /) — узкие группы и G = © Gt. Через nt обозна-
чим t-ю координатную проекцию G-^Gt. Пусть дан гомоморфизм
г): P-+G. Из п. е) следует, что п^Р — конечно порожденные свобод-
§ 94. Узкие группы
191
ные подгруппы группы G. Кроме того, Im ц ^ 0 п^Р. Группа Im г|
г
конечно порожденная, иначе существовал бы эпиморфизм группы Р
на свободную группу счетного ранга, что противоречит
предложению 94.2. Отсюда следует, что л^г] = 0 для почти всех i ? /, и г\
можно рассматривать как гомоморфизм группы Р в прямую сумму
конечного числа групп Gj, скажем Gx ф . . . © Gm. Так как почти все
элементы п-$\еп> • • •> птЦеп (п = 1, 2, . . .) равны нулю, то r]en = О
для почти всех п. Итак, мы доказали, что G — узкая группа. в
Из последней теоремы сразу следует, что подгруппы прямых сумм
счетных редуцированных групп узки.
Для множества индексов / мощности ха обозначим через Р0 к SG
прямое произведение и прямую сумму соответственно групп без
кручения Аи где i 6 /.
Напомним, что кардинальное число m называется измеримым,
если множество X мощности ш допускает счетно аддитивную меру \i>
принимающую лишь два значения 0 и 1 и такую, что
\i (X) = 1, \i (х) = 0 для всех х ? X.
Из определения измеримости следует, что если кардинальное число
неизмеримо, то и все кардинальные числа, меньшие, чем оно, также неизмеримы. Таким
образом, если измеримые кардинальные числа вообще существуют, то среди них
есть наименьшее и все большие его измеримы. Пока не известно, выводимо или
нет существование измеримых кардинальных чисел из обычных аксиом теории
множеств. Допустив существование сильно недостижимых кардинальных чисел,
можно показать, что многие из них неизмеримы. [См. Куратовский К. и Мосто-
вский А., Теория множеств, М., «Мир», 1970.]
Следующая теорема является основным результатом об узких
группах.
Теорема 94.4 (Лось). Пусть дан гомоморфизм г): PG->G, где
G — узкая группа. Справедливы следующие утверждения:
1) Равенство x\At = 0 имеет место для почти всех i.
2) Если к 0 — неизмеримое кардинальное число и r\SG = 0, то
т) - 0.
Докажем перЕое утверждение. Допустим, что для бесконечного
множества индексов /, скажем i = il9 . . ., in, . . ., выполняется
y\Ai Ф 0. Выберем такие элементы еп ? Ain, что ч\еп Ф 0. Тогда огра-
оо
пичение гомоморфизма у\ на подгруппу Р' = [] (еп) окажется таким
п=1
гомоморфизмом группы Р' в G, которого не может быть.
Второе утверждение также доказывается от противного, но гораздо
более изощренным способом. Допустим, что r\SG = 0 и существует
такой элемент а ? Ра, что г\а Ф 0. На подмножествах множества /
следующим образом введем меру v со значениями в группе G. Для
подмножества J множества / положим v (/) = y\aj, где /-е координаты
элемента aj совпадают с /-ми координатами элемента а при / 6 Л
192
Гл. XIII. Группы без кручения
я остальные координаты элемента а3 равны нулю. Для попарно
непересекающихся подмножеств Jly . . ., Jk множества / имеем
v (Jt U ... U Jh) = л'(яли • •. шк) =
= 4(ah+ ...+ajh) = v(Ji)i-...+v(Jk).
Значит, мера v аддитивна. Покажем, что она счетно аддитивна [т. е.
о-аддитивна]. Пусть Jl9 . . ., Jk> ... — счетное семейство попарно
непересекающихся подмножеств множества /, J0 — дополнение к объе-
оо
динению этого семейства в множестве /. Тогда Р0 = Q (aj > —
/1=0 к
подгруппа группы Ра. Мы заключаем, что почти все элементы Wjk =
= v (Jи) равны нулю, и в силу леммы 94.1 должно выполняться равен-
оо
ство к\а = 2 4aJb- Следовательно, мера v счетно аддитивна.
Рассмотрим все такие подмножества / множества /, что v (У) = 0
для всех подмножеств J* множества /. Эти подмножества J образуют
счетно аддитивный идеал I в булевой алгебре В всех подмножеств
множества /. Мера v индуцирует счетно аддитивную меру v на фактор-
алгебре В/1 со значениями в группе G. Пусть Jk — попарно
непересекающиеся элементы из В/1. Выберем подмножества Jk множеств
Jky для которых v (Jfk) Ф 0, затем в множестве / выберем такие
представители J'k множеств J'k, что Jk по-прежнему являются попарно
непересекающимися. Как было показано выше, условие v (Jk) Ф 0
может выполняться лишь для конечного множества индексов k.
Другими словами, В/1 — конечная булева алгебра. Она имеет, таким
образом, лишь конечное число атомов. На этих атомах мера v
принимает ненулевые значения. Из меры v получим двузначную меру |х
на алгебре В/1: отметим некоторый атом в алгебре В/1 и положим
[i (J) равным 1 или 0 в соответствии с тем, содержит или нет
множество / отмеченный атом. Мера \i очевидным образом дает меру \i на
алгебре В, т. е. множество индексов / измеримо. Это противоречит
нашим условиям, следовательно, второе утверждение доказано. в
Замечание. Отметим, что утверждение 2) — наилучший из возможных
результатов в том смысле, что для измеримого кардинального числа к^ из условия
T]Sa = 0 уже не следует к] = 0. Покажем это. Для измеримого множества
индексов / построим эпиморфизм т] группы Р' — Z1 на группу Z, переводящий в нуль
подгруппу S' = 0 Z. Пусть ju, — счетно аддитивная двузначная мера на
множестве /. Для каждого элемента а = (. . ., ще^ . . ) Е Р' положим Хп (а) —
= {I 6 / I щ ~ п). Тогда Хп (а) — попарно непересекающиеся подмножества
множества /, а их объединение совпадает с /. Отсюда следует, что в точности одно
из них, скажем Хт (а), имеет меру 1. Мы полагаем г\а = т. Из свойств меры ju
сразу следует, что отображение г\ сохраняет сложение и v\Sr = 0.
Последняя теорема имеет многочисленные следствия. Мы приведем
здесь некоторые из них.
§ 94. Узкие группы
193
Следствие 94.5. Пусть G —узкая группа и At (i ? I) — группы без
кручения, причем множество I неизмеримо. Существует естественный
изоморфизм
Нот (\\At, G) ~ © Нот (Ль G).
Благодаря теореме 94.4 мы знаем, что любой гомоморфизму: П^*-*"
->• G обязательно является гомоморфизмом Аг © . . . © Ап -> G для
некоторого [зависящего от г\] конечного подмножества {1, . . ., п}
множества /. в
Следствие 94.6 (Зиман [1]). Пусть I — неизмеримое множество.
Тогда существуют естественные изоморфизмы
Hom(®Z, Z)~ [\Z,
Нот(П2, Z)^©Z.
iel i?l
Существование указанных изоморфизмов следует из теорем 43.1
и 94.5 соответственно. в
В заключение приведем результат, отражающий замечательную
двойственность между прямыми произведениями и прямыми суммами
бесконечных циклических групп.
Следствие 94.7. Пусть Gt (i 6 /) — группы без кручения и
множество I неизмеримо. Всякое узкое слагаемое группы [J Gt изоморфно
некоторому слагаемому прямой суммы конечного числа групп Gt.
Пусть Н — узкое слагаемое группы G = Ц Gt = Н © /С. Тогда
по теореме 94.4 проекция я: G ->¦ Н переводит в нуль почти все
компоненты Giy а также прямое произведение этих компонент. Это
произведение содержится, таким образом, в группе К- Если мы профакто-
ризуем по нему группу G, то получим Н © К' = G. ф . . . ф G\
для некоторой подгруппы К' ^ К и некоторого конечного
подмножества {*!, . . ., in} ? /. ¦
Упражнения
1 (Г. Э. Рейд [1]). Группа без кручения G узка в том и только в том
случае, когда для любого гомоморфизма ц: Р-+G группа Im т]
является конечно порожденной. [Указание: конечно порожденные
группы узки.]
2. Показать, что группа G узка, когда сервантная подгруппа Н ^
^ G, а также факторгруппа GIH узки.
3. Используя лишь редуцированные группы, построить классы
групп аналогично построению классов Га в § 86, упр. 13. Показать,
что все группы в этих классах узки.
194 Гл. XIII. Группы без кручения
' ¦ —*
4 (Нунке [2]). Доказать, что группа Jp неузкая. Для этого
показать, что соответствие
оо
{heu ..., knen, ...)»-* 2 Pnkn
является гомоморфизмом группы Р в группу /р.
5 (Йен). Пусть Р' — такая подгруппа группы Р, что P'/S —
максимальная делимая подгруппа группы P/S. Группа G узка в том
и только в том случае, когда для каждого гомоморфизма r\: Р' ->¦ G
для почти всех п выполняется равенство г\еп = 0. [Указание:
соответствие (%, . . ., ап, . . .) ь-> (аъ . . ., п\аПУ . . .) является
мономорфизмом группы Р в группу Р'.]
6. Доказать, что следствие 94.5 [изоморфизм—естественный!] не
имеет места, если группа G не является узкой.
7. Доказать п. е) следующим образом. Выбрать некоторый элемент
х1 = (кувц . . ., knen, . . .) ? Р, для которого г\хг Ф 0. Показать, что
гомоморфизм г] индуцирует запрещенный гомоморфизм из группы
Ц{хп > в группу G, где хп = хг — kxex — ... — kn.xen_x.
8 (Лось).| Пусть Gt (i ? I)— узкие группы, а множество /
неизмеримо. Тогда группа JjG* не имеет истинных слагаемых, содержащих
подгруппу ф Gt. [Указание: рассуждение то же, что и в доказательстве
следствия 94.7.]
9*. Пусть х0 — неизмеримое кардинальное число. Допустим, что
2 G = ка+1. Установить существование ха+1-сервантных подгрупп,
не являющихся ка+2-сервантными. [Указание: пусть © Z cz Zm, где
к
К —идеал всех подмножеств мощности n<m = xff+i; применить упр. 8.]
10 (Корнер [2]). Пусть m, п — бесконечные кардинальные числа,
для которых n ^ m ^ 2П. Показать, что группа Zm обладает
подгруппой ранга п, не содержащейся ни в каком собственном слагаемом.
11. (а) Пусть Р' = Zm, где ш ^ к0 — неизмеримое
кардинальное число. Показать, что каждое слагаемое группы Р' снова является
прямым произведением бесконечных циклических групп.
(б) В произвольном прямом разложении группы Р' имеется лишь
конечное число ненулевых слагаемых, и одно из них должно быть
изоморфно группе Р\ [Указание: следствие 94.6.]
12 (Рейд Г. Э. [1]). Рассмотреть класс групп вида Нот (Л, Z),
где множество элементов группы А неизмеримо. Показать, что
этот класс замкнут относительно взятия прямых сумм и прямых
произведений.
13 (Рейд Г. Э. [1]). Пусть А = ZN7© Z, где К — идеал всех счет-
it
ных подмножеств множества мощности хх. Показать, что группа А
является ^-свободной и удовлетворяет равенству Нот (Л, Z) = 0.
§ 95. Характеризация узких групп с помощью подгрупп 195
14. (а) (Лось [1]) Прямое произведение счетных групп без кручения
разлагается в прямую сумму счетных групп в том и только в том
случае, когда почти все компоненты делимы. [Указание: редуцированная
часть должна быть узкой.]
(б) Прямое произведение бесконечного числа ненулевых групп без
кручения не может быть вложено в прямую сумму счетных
редуцированных групп без кручения.
15 (Сонсяда [7]). Пусть р, q и г — такие же, как в упр. 10 § 90.
Показать, что если Xt = (р~°%, q~°°yi, г~г (xt + yt)) (i = 1, 2, . . .),
oo
то всякое счетное слагаемое группы [J Xt изоморфно некоторой конеч-
п
ной сумме © Xt. [Указание: следствие 94.7 и упр. 10 из § 90.]
16 (Сонсяда [7]). Пусть А ® В = С ® D, где Л, В, С, D —
неразложимые группы рангов 1, 3, 2 и 2 соответственно. Допустим,
что любое неразложимое слагаемое группы С © . . . © С [с
произвольным конечным числом слагаемых] изоморфно группе С, и то же верно
для D. [Такой группой, например, является группа Xt из упр. 10
§ 90.] При Ct ^ С и Dt ^ D положим G = Ц Ct © ® Dt и Н =
г=1 г=1
= G ф Л. Показать, что каждая из групп G и Н изоморфна
некоторому слагаемому другой, но сами они не изоморфны. [Указание:
запишем J] Ct © © Dt = [] С\ ф © D[ © Л. Из того что группа © D[ ф
© Л узкая, вывести, что для некоторого п имеет место равенство
Ф Ct® ф Dt = K® ® Dl® Л,
{=1 i=l i=l
где К — счетное прямое слагаемое группы [] Ct. Применить упр. 15
к группе К и получить, что г (/С) —четное натуральное число и К®
п т
© L © Л = © Ct фф Dj\ здесь ранг г (L) четен, что дает проти-
i=l j=l
воречие.]
§ 95. Характеризация узких групп с помощью подгрупп
Настоящий параграф посвящен интересной характеризация узких
групп. В своей работе [2] Нунке обнаружил, что среди всех групп
без кручения узкие группы и только они не содержат Q, Р или Jp
ни для какого простого числа р. Доказательство этого факта
основано на описании эпиморфных образов прямого произведения Р =
оо
^ П ^п) бесконечных циклических групп (еп).
п=1
196
Гл. XIIL Группы без кручения
Заметим следующее. Пусть хп (п = 1, 2, . . .) — элементы
группы Р. Тогда бесконечная сумма
сю
*= 2 snxn (snez) (i)
71=1
имеет смысл в Р в том и только в том случае, когда для каждого
натурального числа т у почти всех элементов snxn координата с номером т
равна нулю. Если для каждого т у почти всех элементов хп
координата с номером т равна нулю, то сумма A) имеет смысл при любом
выборе коэффициентов sn ? Z. В последнем случае подгруппу X,
оо
состоящую из всех таких сумм, мы можем обозначить через [J (хп >.
г=1
Будем говорить, что X — произведение в группе Р.
Лемма 95.1. Пусть X — произведение в группе Р. Существуют
элементы an(z Р и целые числа kn (п = 1, 2, . . .), для которых
ОО 00
Р= П <«"> и Х=[\ (knan),
Пн1 tls=l
где kn\kn+it если kn Ф 0 при всех п> i ^ 1.
Если X — произведение конечного числа циклических групп,
то в силу теоремы 19.2 и леммы 15.4 утверждение очевидно. Пусть X —
бесконечное произведение. Если у всех элементов из X первая
координата равна нулю, положим ах = ег и kx = 0. Если это не так, пусть
х = Aгеъ . . ., 1пеп, . . .) ^ X — такой элемент, что среди всех
элементов из X он обладает наименьшим наибольшим общим делителем
/> 0 своих координат lt. Тогда при некотором т имеем I = (/х, . . .
. . ., 1т). В силу леммы 15.3 найдутся такие элементы е\, ... , 4^
6 Р, что (е\) ® . . . 0 (е'т) = {ег) © ... © (ет), причем 1е[ =
= 1хех + . . . + 1тет- Таким образом, в представлении х = A\е[, . . .
. . ., 1'пёп, . . .) [где е'п = еп при п> т] первая координата есть /.
Так же как в доказательстве леммы 15.4, мы получаем, что все
координаты (относительно новых элементов еп) элементов из X делятся на
число /. Положив ах = (е[, V^~xe^ . . ., Vnl~xen, . . .) и kx = /,
получим Р = (аг) © Р' и X = (k^) © X', где X' — произведение
ОО
в группе Р' = [J {е'п >. Выберем тем же способом элемент а2 6 Р'
п=2
и число k2 6 Z для групп Р' и X'. Бесконечно продолжая этот
процесс, найдем требуемые элементы ап 6 Р и числа kn 6 Z. ¦
Из доказанного результата теперь легко получить описание эпи-
морфных образов группы Р.
Предложение 95.2 (Нунке [2]). Произвольный эпиморфный образ
группы Р является прямой суммой копер иодической группы и прямого
произведения [не более чем счетного числа] бесконечных циклических
групп.
§ 95. Характеризация узких групп с помощью подгрупп 197
Пусть /С — подгруппа группы Р. Для каждого п выберем такой
элемент
хп = (О, . . ., О, snen, sn+1en+1, . . .) 6 К,
4TOsn делит tn для всех элементов а = @, . . ., О, tnen, tn+iCn+1, • -.) 6
? /С- Если ^п = 0 для всех таких элементов а ? К, то положим л;п = 0.
оо
Теперь мы можем построить X = Ц (хп) — произведение в группе Р,
71=1
содержащее подгруппу /С. Выберем элементы ап 6 Р и числа &п 6 Z,
как указано в лемме 95.1. Пусть Рг — прямое произведение групп
(ап >, где п пробегает все значения, для которых kn Ф 0, а Р2 —
произведение остальных групп (ап). Тогда Р = Рг © Р2, причем X ^ Рх-
Остается доказать, что группа PJK копериодическая. Из леммы 95.1
видно, что Рг/Х = П Z (kn), следовательно, PJX — алгебраически
п
компактная группа. Поскольку © (хп) s /С, факторгруппа Х//С
п
является копериодической как эпиморфный образ алгебраически
компактной группы [см. следствие 42.2 и предложение 54.1]. По п. Г)
из § 54 получаем, что PJK — копериодическая группа. ¦
Отсюда мы получим характеризацию узких групп, обещанную
в начале параграфа.
Теорема 95.3 (Нунке [2]). Группа без кручения узка в том и только
в том случае, когда она не содержит никакой подгруппы, изоморфной
одной из групп Q, Р или Jp, где р — произвольное простое число.
Необходимость условий очевидна. Допустим, что никакая
подгруппа группы G не изоморфна ни одной из групп Q, Р или Jv. Пусть
дан гомоморфизм ц: Р ->- G. В силу предложения 95.2 и следствия 54.5
мы получаем, что Im г) — прямая сумма алгебраически компактной
группы без кручения и прямого произведения бесконечных
циклических групп. Так как подгруппы, изоморфные Q или Ур, отсутствуют,
то первое слагаемое в этой сумме равно нулю [см. следствие 40.4].
А так как нет подгрупп, изоморфных Р, то Im ц — свободная группа
конечного ранга. Такая группа узка по предложению 94.2.
Следовательно, равенство г\еп = 0 имеет место для почти всех п. и
Достойно упоминания и такое следствие из предложения 95.2.
Следствие 95.4. Если группа без кручения А содержит такую узкую
подгруппу G, что A/G — редуцированная периодическая группа, то
она сама является узкой группой.
Пусть дан гомоморфизм г|: Р ->- Л, аср: А ->• A/G — естественный
эпиморфизм. Из предложения 95.2 следует, что Im фт] —
копериодическая группа. Если копериодическая группа является редуцированной
периодической, то она ограничена [см. следствие 54.4]. Отсюда следует,
что найдется такое целое число п, что т\ является гомоморфизмом
гр> ппы Р в группу G. Ввиду того что G — узкая группа, мы сразу
получаем наше утверждение. а
198 Гл. XIII. Группы без кручения
Упражнения
1 (Нунке [4]). Каждая подгруппа группы Р, имеющая бесконечный
ранг, изоморфна некоторой подгруппе, содержащей подгруппу S.
2 (Нунке [4]). Введем в группе Z дискретную топологию, а в
группе Р — соответствующую топологию произведения.
(а) Каждый гомоморфизм Р ->¦ Z непрерывен.
(б) Эндоморфизмы группы Р непрерывны.
(в) Топология в группе Р не зависит от способа представления
группы Р в виде прямого произведения бесконечных циклических
fpynn.
3 (Рейд Г. Э. [1]). Показать, что в условии теоремы 93.5 ни одна из
групп Q, Р, Jp не может быть опущена. [Указание: включение Jp s Р
невозможно, поскольку группа Р является ^-свободной. Следующим
образом доказать, что не существует мономорфизма К: Р ->- Jp: A)
показать, что для каждого п при почти всех k выполняется %eh 6 pnJp\
B) выбрать такие последовательности kx < k2 < . . . и пг<. п2 < . . .,
что А {тгеп^ — /?*' 6 ph§HJp при подходящих т% 6 Z; C) найти целые
числа li9 для которых К B h^i^n) = 0.]
4 (Шпекер [1]). Элемент а = 2 mn^k 6 Р назовем монотонным,
если 0 < тг ^ . . . ^ mk ^ . . . . Будем говорить, что подгруппа
Т ^ Р монотонна, если AJ тьА. 6 71 влечет за собой 2 ^ь 6 7\
где nk = max A, | т1 |, . . ., I mft |) и B) если 2 пьРъ. f и 0<
^ mk ^ nk при всех &, то 2 m^k 6 f«
(а) Показать, что для рационального числа г ^ 0 множество всех
элементов а = 2 Яь^ь» гДе I ^ь I ^ s&r при некоторой константе
s > 0, зависящей от а, является монотонной подгруппой 7V группы Р.
(б) Всякая монотонная подгруппа содержит элемент а = 2 тьеь>
где mk^ 0 и mfe | т^+1 для всех k.
5 (РейдГ. ЭЛИ). Произвольная монотонная собственная подгруппа Т
группы Р является узкой. [Указание: выбрать элемент а = 2 тьеь $ 71
и найти "такой элемент 6 = 2 i^fc^fc 6 Я» где {m'k} —
подпоследовательность последовательности {mk}> что его образ лежит вне Т.
6 (Фукс [27]). (а) Монотонная подгруппа Т группы Я, отличная
от подгруппы Т0 [элементов, координаты которых ограничены в
совокупности], удовлетворяет следующему условию. Если G — узкая
группа мощности ш < 2Ко, то каждый гомоморфизм т|: T-+G
переводит в нуль почти все элементы ek. [Указание: то же рассуждение, что
и в доказательстве предложения 94.2.]
(б)* Всякий такой гомоморфизм г| полностью определяется
ограничением т) | S.
7 (Шпекер [1]). Произвольная монотонная подгруппа Г, отличная
от подгруппы Т0, содержит подгруппу мощности х1э не являющуюся
свободной. [Указание: рассмотреть сервантную подгруппу,
порожденную элементами ek и некоторым элементом 2 mk^k 6 Т, где mk | mft+1.]
§ 96. Векторные группы
199
8. (а) (Фукс [27]). Пусть Т19 Т2 — монотонные подгруппы
группы Р и %: 7\ -> Г2 — такой гомоморфизм, что 5 s Im %. Тогда
Л s Г2.
(б) (Шпекер [1]). Две монотонные подгруппы группы Р изоморфны
в том и только том случае, когда они совпадают.
9* (Шпекер [1]). Семейство неизоморфных монотонных подгрупп
группы Р имеет мощность 2е, где с = 2No. [Указание: найти
множество мощности континуума таких элементов группы Р, что ни один
из них не содержится в монотонной подгруппе, порожденной
остальными элементами из этого множествi.]
10 (Чейз [4]). Пусть С — такая счетная сервантная подгруппа
группы Я, что S ^ С. Пусть, кроме того, X — произвольная счетная
группа без кручения. Существует такая сервантная подгруппа А
группы Р, что С s А и А/С ^ X. [Указание: Р/С — алгебраически
компактная группа без кручения той же структуры, что и группа P/S
Гсм. упр. 7 из § 42], следовательно, группа X может быть вложена
в группу Р как сервантная подгруппа.]
11 (Чейз [4]). Пусть Х0 (а < %) — счетные группы без кручения.
Существует возрастающая цепочка свободных сервантных подгрупп
А0 (о <С сох) группы Р со следующими свойствами:
A) А0 = 5;
B) А а = U А ОУ если а — предельное порядковое число;
C) Ла+1/Ла ^ Ха при всех а << со^
12 (Гриффит [10]). (а) Пусть А — группа мощности к2,
являющаяся прямой суммой счетных групп Ct. Пусть А к тому же является
объединением вполне упорядоченной возрастающей цепочки счетных
групп Аа (а < (Oi), для которой выполняется условие B) из упр. 11.
Тогда для каждого счетного порядкового числа р найдется такое
предельное порядковое число о > р, что Аа служит прямым слагаемым
для А. [Указание: показать, что искомое А0 является прямой суммой
некоторого подмножества групп из множества {Ct}.]
(б) Используя идею упр. 11, построить группу без кручения,
которая не была бы свободной, но была бы объединением возрастающей
цепочки счетных свободных сервантных подгрупп.
§ 96. Векторные группы
Под векторной группой мы будем подразумевать прямое
произведение групп без кручения ранга 1, т. е. группу
где Rt — рациональные группы. Этот параграф посвящен некоторым
вопросам, касающимся векторных групп.
Началом наших рассмотрений послужит следующая лемма.
200
Гл. XIII. Группы без кручения
Лемма 96.1. Если существует нетривиальный гомоморфизм
у\ векторной группы]/ = П/?* в векторную группу W=\[Sjy то
t (/?j) < t (Sj) для некоторых i ? I и j ? J.
Если r\ Ф 0, то для некоторого / 6 «/ композиция гомоморфизмов
V ->- W -*¦ Sj не равна нулю. Следовательно, без потери общности,
мы можем считать, что W = S — рациональная группа. Если S ^ Q,
то доказывать нечего. Пусть S — узкая группа. Выберем такой
элемент v 6 V, что i\v — ненулевой элемент из S. Запишем v = (. . .
. . ., vu . . .), где vt 6 Rt, и соберем в одно слагаемое те Rt, для
которых совпадают характеристики % (vt). Пусть Тх= Д Rt. Мы
хО>р=х
получаем V = Д ^х> где х пробегает все характеристики % ^ % (у).
зс
[Координате 0 мы приписываем характеристику (оо, . . ., оо, . . .).]
Слагаемых Тг в последнем произведении не больше, чем континуум.
Следовательно, по теореме 94.4 существует конечный набор %1У . . .
. . ., Xft» Для которого образы цТ% , . . ., 'П^хь не Равны нулю, но
Л (П'^х) = 0 [штрих означает, что % Ф %1У . . ., %k]. Представим
элемент v в виде v =(..., ух, . . .)> где vx (: Тх. Тогда получим
равенство тр = т]Ух + . . . + r\v% . Так как тр ^= 0, то хотя бы одно
из слагаемых также не равно нулю. Пусть y\vXl Ф 0. Из неравенства
1 (Л%) ^ X (%) = Xi мы заключаем, что тип группы 5 не меньше
типа, соответствующего характеристике %г. Последний является типом
любой группы Rt из произведения TXl. ш
Следующий результат не так очевиден, как кажется на первый
взгляд.
Предложение 96.2 (Мишина [4]). Произвольное прямое слагаемое
ранга 1 векторной группы V = Д Rt изоморфно одной из групп Rt.
Соберем группы Rt одного и того же типа t и обозначим их
произведение через Vt= П Rt- Тогда V = Д Vu и ненулевых групп
t(R.)=t t
Vt в этом произведении не больше, чем континуум. Пусть V = А ©С,
где А — группа ранга 1. Тогда для проекции е: V-+А найдется
не более чем конечное число ненулевых образов гУ% , . . ., &VtkJ
а произведение остальных групп Vt гомоморфизм е переводит в нуль.
Следовательно, это произведение содержится в подгруппе С, и мы
получаем V\ © . . . © Vt = А © С для некоторой подгруппы С е
^ С. В силу леммы 96.1 неравенство t (Л) ^ t; имеет место при всех
/ = 1, . . ., k. Но максимальный тип элементов из группы Vt. равен tj.
Следовательно, тип группы А не может быть строго больше, чем
каждый ИЗ ТИПОВ tx, . . ., tfc. в
§ 96. Векторные группы
20 Г
Теперь мы установи^ единственность представления векторной
группы в виде произведения рациональных групп.
Теорема 96.3 (Сонсяда [5]). Если
t t
где Vt и Wt — прямые произведения групп ранга 1 и типа t, a t
пробегает различные типы, то Vt ^ Wt для каждого типа t.
Пусть Vt = П Ri, где Rt — группы ранга 1 фиксированного
i6J гт
типа t. Если к тому же Vt= [[ Sjy где г (Sj) = 1, то все группы Sr
имеют тип t. Более того, при одном из следующих условий:
1. справедлива обобщенная гипотеза континуума;
2. группа Vt не является делимой, а множество I неизмеримо,
выполняется равенство \ I \ = \ J |.
Пусть jtt: V ->- Vt и pt: V ->- Wt — координатные проекции. В
силу леммы 96.1 всякий гомоморфизм группы Vt в группу Ws, где s
не больше и не равно t, тривиален. Таким образом, Vt S [J ^V
s>t
Элемент vt 6 Vt запишем в виде vt = w% + w'u где w% 6 Wt, wi 6
6 П Ws- Снова по лемме 96.1 для последней группы не существует
s>t
нетривиального гомоморфизма ни в группу Vt, ни в группу Wt-
Следовательно, ntw't = 0 = pt^t- Отсюда получаем vt = ntvt = ntwt
и Wt = Pt^t = pt^t- Таким образом, композиция гомоморфизмов
Vt -> Wt -> Vt
есть тождественное отображение группы Vt- В силу симметрии сразу
получаем изоморфизм Vt = Wt-
По предложению 96.2 каждая группа Sj имеет тип t. Если
множество / конечно, то | / | = г (Vi) = I J \- Допустим, что / —
бесконечное множество. Тогда, если выполняется условие 1, из
равенства 2111 = | Vt I = 21J| следует равенство | / | = | / |. Если
выполняется условие 2, то учитывая, что рациональная группа R типа t
узкая, мы получаем
Нот (Vu R) = 0 Нот (Ru R) ~ 0 Нот (Sj, R)
в силу следствия 94.5. Прямые суммы в этом равенстве имеют ранги
I / | и | J | соответственно. [Заметим, что равенство 217| = 2,J1
влечет за собой неизмеримость множества J при неизмеримом
множестве /.] ¦
Мы переходим к задаче отыскания условий, при которых векторные
группы сепарабельны. Сначала докажем две вспомогательные леммы;
полный ответ будет дан в теореме 96.6.
:202
Гл. XIII. Группы без кручения
Лемма 96.4. Пусть V = l[Ri — векторная группа, в которой все
Ri — рациональные группы одного и того же типа t Следующие
условия эквивалентны:
а) группа V сепарабельна;
б) группа V однородна;
в) тип t идемпотентен.
Если V — сепарабельная группа uO=?v ? V, то элемент v
содержится в некотором вполне разложимом прямом слагаемом группы V.
Рациональные составляющие этого слагаемого должны все иметь
тип t в силу предложения 96.2. Итак, а) влечет за собой б).
Пусть теперь выполняется условие б). Допустим, что для типа
t = (&!, . . ., kny . . .) неравенства 0 < kn < оо имеют место при
^бесконечном числе номеров пг < п2 < . . . . Тогда группа V
содержит элемент v = (..., vi9 . . .) (vt 6 Rt), где pn. j V{. при различных
индексах ily . . ., ih . . . ? /. Мы получаем t (v) < t, что противоречит
условию б).
Пусть, наконец, тип t идемпотентен. Тогда произвольный элемент
v 6 V делится на любые степени тех простых чисел, для которых на
соответствующих им местах в типе t стоит оо. Следовательно, V (t) =
= V, ив силу предложения 87.4 мы сразу получаем условие а). ¦
Лемма 96.5. Пусть V = [J Rtl где Rt — рациональные группы раз-
.личных типов tt. Если группа V сепарабельна, то
1) множество типов {tjiei удовлетворяет условию
минимальности;
2) в множестве типов {и}щ нет ни одного бесконечного
подмножества несравнимых типов.
Обратно, если выполняются условия 1) и 2), а типы tt идемпо-
тентны, то группа V сепарабельна.
Пусть дана убывающая цепочка tj > . . . ^ tn ^ . . . и W =
оо
= П Rn> где t (Rn) = tn. Выберем некоторый элемент w =
= (..., wn, . . .) 6 W, где wn 6 Rn и хюпФ О при всех п. Если группа V
•сепарабельна, то и группа W сепарабельна [см. теорему 87.5]. Таким
образом, элемент w принадлежит некоторому вполне разложимому
прямому слагаемому группы W, имеющему конечный ранг. В силу
предложения 96.2 типы рациональных составляющих этого слагаемого
должны находиться среди типов tn. Следовательно, t (ш) = tm при
некотором т. Так как, кроме того, t (w) < tn для всех п, то условие 1)
выполняется.
Пусть tlf . . ., tn, . . . — несравнимые типы и элемент w ? W =
оо
= П Rn> где t (Rn) = tn, имеет ненулевую координату в каждом
из Rn. Тогда w 6 W, где W = W © W" ylW — прямая сумма рацио-
§ 96. Векторные группы
203
нальных групп, имеющих типы, скажем, \ъ . . ., tm. Так как Rn —
вполне характеристические подгруппы группы W, то W — вполне
характеристическая подгруппа группы W и Rn ^ W" при п> т.
Мы получаем противоречие с тем, что /г-я проекция W ->- Rn переводит
элемент w 6 W в ненулевую я-ю координату этого элемента.
Пусть типы t^ идемпотентны и выполняются условия 1) и 2). Чтобы
доказать сепарабельность группы V, достаточно убедиться в том, что
для каждого ненулевого элемента v 6 V существует вполне
разложимое прямое слагаемое группы V, которое имеет конечный ранг, содержит
элемент v и обладает дополнением, являющимся прямым
произведением почти всех групп Rt. Запишем v =(..., vt, . . .), где vt ? Rt-
В силу леммы 96.4 прямое произведение изоморфных групп ранга 1
идемпотентного типа сепарабельно. Следовательно, ради простоты
рассмотрений, мы можем считать, что типы координат vt Ф 0
различны. Заметим, что среди типов t (i^), где v% Ф 0, существуют
минимальные типы, причем их конечное число, скажем, t2, . . ., tn. Мы
получаем, таким образом, разложение V = V± © . . . © Vn, в котором
каждое Vk есть прямое произведение некоторого подсемейства групп Rt
и v = v' + . . . + iKn>, где каждое tKft> ? Vk обладает ровно одним
минимальным типом среди типов своих координат. Мы можем,
очевидно, свести задачу к аналогичной задаче для элемента и(А).
Другими словами, мы можем без потери общности считать, что для
элемента v ? V имеется ровно один минимальный тип среди типов t (vt);
пусть это будет t (v0). Запишем vt = пьаь, где nt 6*Z и для каждого
простого числа р либо hp (at) = 0, либо hp (at) = оо. Если | п0 | = 1,
то подгруппу (Vq)* в прямом разложении группы \[Rt можно
заменить на подгруппу {v)+. Если \ п0 | > 1, то с помощью рассуждений,
аналогичных началу доказательства теоремы 19.2, мы получим
требуемое утверждение, и сепарабельность группы V будет доказана. в
Теперь мы в состоянии описать сепарабельные векторные группы.
Теорема 96.6 (Мишина [5], Круль [1]). Векторная группа V =
= [\Ri {где Rt — рациональные группы типов tt] сепарабельна в том
и только в том случае, когда выполняются условия 1) и 2) из леммы 96.5
и, кроме того, условие
3) семейство групп Rt, где tt — неидемпотентный тип, конечно.
Допустим, что группа V сепарабельна, но условие 3) не
выполняется. Прежде всего покажем, что не существует бесконечной
цепочки tx <...< tn <.. ., где типы tn = t (Rn) неидемпотентны.
Действительно, в противном случае существуют последовательность
0 < тх <С . . . < mk < . . . целых чисел и элементы vn ? Rn> Для
которых Pmn\vn, а при k>n элемент vn делится на число pmh,
но не на все его степени. Тогда для элемента v = (v±J . . ., vny . . .) 6
сю
6 П Rn выполняется неравенство t (v) < tv Очевидно, ни при каком п
п=1
204
Гл. XIII. Группы без кручения
элемент v не может лежать в прямой сумме рациональных групп типов
оо
tx, . . ., tn. Следовательно, группа \\ Rn не является 'сепарабельной,
71=1
и мы пришли к противоречию. Итак, неидемпотентные типы t* должны
удовлетворять условию максимальности. Частично упорядоченное
множество, удовлетворяющее как условию минимальности, так и
условию максимальности, а также не содержащее бесконечного множества
несравнимых элементов, должно быть конечным. Таким образом,
условие 3) выполняется.
Докажем достаточность. Допустим, что выполняются условия
1) — 3), и запишем V = Rx © . . . ф Rn® [\ Rt, где множество /'
содержит только те индексы i, для которых тип t (Rt) идемпотентен.
В силу леммы 96.5 группа Д Rt сепарабельна, следовательно, груп-
па V также сепарабельна. в
Упражнения
1. С помощью следствия 94.5 доказать лемму 96.1 для
неизмеримого множества индексов.
2. Показать, что для неизмеримого множества индексов /
предложение 96.2 сразу вытекает из следствия 94.7.
3 (Мишина [1], Лось [1]). Векторная группа вполне разложима
тогда и только тогда, когда почти все ее компоненты изоморфны группе Q.
4 (Мишина [4]). Пусть V= Ц Rt — векторная группа, где
множество индексов / неизмеримо. Показать, что любое узкое слагаемое
группы V изоморфно прямой сумме конечного числа некоторых групп
Rt. [Указание: следствие 94.7 и теорема 86.7.]
5. Для рациональной группы R $ Q и неизмеримого множества
индексов / группа R1 © ф R не может быть векторной группой, если
i
только множество / не конечно.
6. Пусть R — неделимая рациональная группа идемпотентного
типа и ш — неизмеримое кардинальное число. Существуют такие
группы А ранга 2т, что
Нот (Л, R) д*А.
7. Никакая редуцированная векторная группа не содержит копе-
риодических подгрупп, отличных от нуля. [Указание: эпиморфные
образы группы Jp, являющиеся группами без кручения и имеющие
ранг 1, делимы.]
8. Пусть t — идемпотентный тип и V = [\ Rt, где Rt —
рациональные группы типа t. Следующим образом доказать
сепарабельность группы V: на группах Rt ввести структуру кольца R с единицей
и затем провести рассуждения для R-модулей, аналогичные
доказательству теоремы 19.2. [Заметим, что кольцо R будет кольцом главных
идеалов: см. теорему 121.1.]
§ 97. Конечнозначныв функции со значениями в группе 205
9 (Бьюмонт [5]). Пусть Rt (i ? /) — рациональные группы одного
и того же типа t и t° — максимальный идемпотентный тип, для
которого выполняется t° ^ t [т. е. t° = t : t]. Показать, что если
множество / бесконечно, то группа \\ Rt содержит элементы любого типа s,
удовлетворяющего неравенствам t° ^ s ^ t.
10 (Бальцежик, Бялиницкий-Бируля и Лось [1]). Пусть Rt (i g /) —
семейство редуцированных групп ранга 1, где множество /
неизмеримо. Допустим, что для любых i, j ? I либо Rt ^ Rjy либо для типа
t = t (Rj) : t (Rt) неравенство t ^ t (Rj) не имеет места. Доказать, что
(а) Нот(П#|,ПЯ,)^е/??, гДе t(/??) = *(#«) :№);
(б) нот(е/??,Г1^) = П^;
(в) каждое слагаемое группы [] Rt изоморфно прямому произве-
i
дению некоторого подсемейства групп Rt.
§ 97. Конечнозначные функции со значениями в группе
Среди векторных групп представляют особый интерес прямые
произведения изоморфных рациональных групп. Настоящий
параграф посвящен рассмотрению некоторых подгрупп таких векторных
групп. На самом деле приводимые результаты можно сформулировать
в более общем виде — для прямых произведений групп, изоморфных
произвольной группе Л. Наиболее важен случай Л* = Z, к которому
общий случай сводится без труда.
Пусть А — произвольная группа и / — произвольное бесконечное
множество индексов. Множество всех таких функций /: I-+A, что
/ принимает лишь конечное число различных значений в Л, очевидно,
является абелевой группой Л, а именно некоторой подгруппой
декартовой степени А1 группы А. Легко видеть, что каждая функция / ? А
может быть единственным образом представлена в каноническом виде
f= aihXl+... +akhxk (А>0), A)
где ах, . . ., ak — ненулевые элементы группы Л, подмножества
Хъ . . ., Xk множества / попарно не пересекаются, а функции hx
являются характеристическими функциями подмножеств X ^ /:
Г 1, если i 6 X;
M0 = l0, если i$X.
Подгруппа S группы Л называется группой Шпекера {над Л),
если f (= S влечет за собой Ahxv • . ., Ahxk ^ 5, т. е. аЛх{, . . .
. . ., ahxk 6 5 для всех а ? Л. Здесь функция / представлена в виде A).
Очевидно, всякая группа Шпекера порождается своими подгруппами
вида Ahx для некоторых X ^ /.
206
Гл. XIII. Группы без кручения
Основная наша задача — описать структуру групп Шпекера.
Будем говорить, что подгруппа F группы А обладает характеристичен
ским А-базисом, если
F= @Ahj,
где hj — некоторые характеристические функции. Основной
результат заключается в том, что группа Шпекера над группой А обладает
характеристическим Л-базисом.
Прежде всего мы это докажем для случая А = Z. Следующая лемма
дает некоторые полезные свойства групп Шпекера над Z. Заметим, что
Z, а значит, и Z имеют структуру кольца.
Лемма 97.1. Для подгруппы S группы Z = Z1 следующие условия
эквивалентны:
1M — группа Шпекера;
2) / 6 S влечет за собой hx 6 5, где X — носитель функции /;
3) подгруппа S сервантна в группе Z и является подкольцом коль*
ца Z.
Так как hx = hXi + . . . + hxk, то условие 1), очевидно, влечет
за собой условие 2). Докажем обратное с помощью индукции по k.
При k = 1 доказывать нечего. Пусть k >1 и выполняется условие 2).
Тогда
/ — nhhx = (пг — nk) hXi+ . . . + (ftft-i — nk) hxh^.
По предложению индукции hxt, - • •, Ajrfc-1 6 S, откуда nkhxk?S,
значит, hx, 6 S. Таким образом, условие 1) выполняется.
Пусть выполняется условие 1). Сервантность подгруппы S
очевидна. Условие 3) будет выполнено, если мы покажем, что hx, hY 6 5
влечет за собой hxhY 6 «S. Последнее легко получить из того, что
hxhY = hxf)Y, & элемент hx + hY 6 S представим в каноническом
виде hw + 2/izny, где W = (X\Y) [} (Y\X). Обратно, пусть
выполняется условие 3). Функцию / 6 S представим в виде A). Если
k = 1, то hXi 6 S благодаря сервантности подгруппы 5. Пусть k > 1.
Функция
/* — лл/ = (nf — /ifc/ii) hXi+...+ {п{_ t — rife/I*.!) hxhmmi
имеет канонический .вид длины l^Lk—1, следовательно, hx =
= hxx\]„.\]x 6 5 по предположению индукции. Аналогично, h2 =
= hx2{j...[jxk 6 5. Итак, hx^hx + h2 — hxh2 6 S, и условие 2)
выполняется. в
Как видно из доказанной леммы, подгруппы Шпекера группы Z
являются кольцами, порожденными идемпотентами hx. Перед тем,
как сформулировать основную теорему 97.3, докажем в общем виде
вспомогательный результат о коммутативных кольцах, порожденных
§ 97. Конечнозначные функции со значениями в группе 207'
идемпотентами. Пусть R — коммутативное и ассоциативное кольцо-
с 1. Допустим, что R порождается как кольцо некоторым
множеством Е идемпотентов, а аддитивная группа R+ кольца R — группа
без кручения. Пусть ?* — множество всех конечных произведений
элементов из Е. Тогда элементы из ?* снова являются идемпотентами
[пустое произведение равно 1] и каждый элемент а ? R, очевидно,
представим в виде а = 2 пгги гДе я« ? Z, гь ? ?*. Более того, эле-
менты ех, . . ., гт из этого представления можно выбрать таким
образом, чтобы они образовывали множество ортогональных идемпотентов.
Действительно, для данного множества г^, . . ., r\h идемпотентов
кольца R всевозможные элементы ^ .* = т)^ . . . щк , где it = 0
или it= 1, являются попарно ортогональными идемпотентами. Здесь
TjJ°> = 1 — X\j И T|J1} = Tfo. ПОСКОЛЬКУ Т|; = 2 ^ч..л^н^..лк для
каждого /, элемент а является линейной комбинацией таких et. Далее,,
если rti = tij, заменим элемент пьгг + tijEj на элемент пье, где е =
= 8* + &j — идемпотент, ортогональный ко всем гг при 1ф t, /.
т
В итоге получим представление а = 2 nist с попарно ортогональными-
г=1
идемпотентами et ? ?* и различными п$ 6 Z. Такое представление
элемента а, очевидно, единственно. Ввиду отсутствия кручения
условие а g nR имеет место в точности тогда, когда м | мг при всех i.
Лемма 97.2 (Бергман). Пусть R — коммутативное кольцо с
единицей I и его аддитивная группа R+ — группа без кручения. Если
R порождается как кольцо множеством Е идемпотентов, то R*
является свободной абелевой группой, базис которой состоит из
конечных произведений элементов из Е.
Каким-либо образом вполне упорядочим множество Е, скажем
е0, . . ., ес, . . . (а < т). Множество Е* всех конечных произведений
еа1 . . . 8afe (т > ах > . . . > ok) элементов из Е упорядочим
лексикографически, читая слева направо. Пустое произведение равно 1
и является минимальным элементом при таком упорядочении. Мы
утверждаем, что элементы из ?*, не являющиеся линейными
комбинациями меньших в этом порядке элементов из ?*, образуют свободный
базис группы R+.
Если т = 0, то множество Е пусто, и, значит, R ^ Z или R = 0.
Проведем индукцию. Пусть т > 0, и пусть указанное правило дает
базис для каждого кольца, множество идемпотентов которого вполне
упорядочено и подобно множеству порядковых чисел, меньших а,,
где а < т.
Пусть т — предельное порядковое число. Кольцо R в этом
случае можно представить в виде объединения возрастающей цепочки
подколец Ra (a < т) кольца R, где каждое Ra порождается
элементами 8Р ? Е по всем р < о. Тогда правило выбора базиса, сфор-
208
Гл. XIII. Группы без кручения
мулированное выше, очевидно, приведет к получению базиса для
группы R+.
Пусть т = р + 1 и R0 — подкольцо кольца R, порожденное всеми
элементами еа ? ?, где а < р. Предположение индукции, безусловно,
применимо к подкольцу R0. Мы хотим показать, что базис группы R"J
можно расширить указанным образом до базиса группы R+. Запишем
ер = е. Идеал eR0 = eR, очевидно, можно рассматривать как кольцо
с единицей е. При этом ее0, . . ., ееа, . . . (сг < р) — множество
идемпотентных образующих кольца eR0. С помощью представления
элементов afR, о котором шла речь выше, легко получить, что как
R0, так и eR0 — сервантные подгруппы в R+. Отсюда следует,
что R0 П eRo — сервантный идеал кольца eR0. Таким образом,
аддитивная группа кольца R = 8R0/(R0 f| eR0) — группа без кручения,
значит, к кольцу R применимо предположение индукции.
Следовательно, те произведения смежных классов, содержащих eea (a < р),
которые не являются линейными комбинациями меньших относительно
лексикографического порядка произведений в кольце R, образуют
базис группы (R)+. Возвращаясь к рассмотрению кольца &R0, мы
замечаем, что произведения соответствующих представителей еед
являются в точности теми элементами множества Е*, для которых
г = ер и которые не могут быть линейными комбинациями меньших
относительно лексикографического порядка произведений. Очевидно,
базис группы Rq вместе с этими элементами из ?* образует базис
группы R+. а
Теперь мы можем доказать основную теорему о группах Шпекера
над Z. Весьма частный случай этой теоремы был доказан Шпекером
в его работе [1].
Теорема 97.3 (Нёбелинг [1]). Пусть S и Т — группы Шпекера над Z,
причем S а Т. Тогда существует свободная подгруппа F группы Т,
обладающая характеристическим базисом и такая, что Т = S ф F.
Не теряя общности, можно считать, что hi ? 5. Действительно,
допустим, что в случае hr ? S теорема доказана. Если функция hT
не лежит в группе 5, но hi 6 Т, то применим теорему к группам
Шпекера S ф {hi) и Г и отсюда сразу же получим требуемый результат
для групп S и Т. Если hi $ 7, то, применяя теорему к группам S ф
© (hi > и Т © (hi), получим Т © (hi) = S © (hr) ф F для некоторой
свободной группы F = © (hj). Легко видеть, что для каждого hj
либо hj 6 7\ либо hr — hj 6 Т. Таким образом, Т = S ф F\ где F'
свободно порождается элементами Щ, а каждый h] совпадает либо
с hj, либо с hi — hj в зависимости от того, который из них
принадлежит группе Т.
В силу леммы 97.1 группы S и Т можно рассматривать как кольца,
порожденные идемпотентами, причем аддитивные группы этих колец —
группы без кручения. Как мы только что показали, можно также
считать, что это кольца с единицей. Итак, применима лемма 97.2.
§ 97. Конечнозначные функции со значениями в группе
209
На кольце Т введем полное упорядочение, при котором идемпотентные
образующие из S предшествуют идемпотентным образующим из 7\S.
Теперь наше утверждение легко следует из предложения 97.2. в
Следствие 97.4. Группа Шпекера над бесконечной циклической
группой свободна и обладает характеристическим базисом.
Теперь мы без труда получим следующее обобщение теоремы 97.3.
Следствие 97.5 (Кауп и Кин [1]). Пусть S и Т — группы Шпекера
над произвольной группой А, причем S а Т. Тогда группа Т содержит
подгруппу F, обладающую характеристическим А-базисом и такую,
что Т = S 0 F.
Если А — циклическая группа порядка 2, то все подгруппы
группы А1 являются как группами Шпекера, так и векторными
пространствами над простым полем характеристики 2. В этом случае
утверждение тривиально.
Итак, считаем, что \ А | > 2. Пусть Ahx, AhY ^ 5 для некоторых
подмножеств X, Y ^ /. Выберем два различных ненулевых элемента
а, Ъ 6 А. Имеем
ahx + bhY = ahX\Y + {а + Ь) hxriY + bhY\x,
отсюда непосредственно следуют включения Ahx\Y, AhxnY,
Ahy^x ^ 5. Ввиду леммы 97.1 подгруппа S' группы Z1, порожденная
теми функциями hx, для которых Ahx ^ S, является группой
Шпекера над Z. Учитывая, что группы Шпекера над Z свободны, мы
получаем S = А ® S' с помощью стандартных рассуждений. Аналогично,
Т = А <8> 7", где V — группа Шпекера над Z. Пусть F' — такая
свободная группа с характеристическим базисом, что V = S' © F''.
Тогда для группы F = А ® F' имеет место равенство Т = 5 ф F. в
Следствие 97.6. Группы Шпекера над произвольной группой А
обладают характеристическим А-базисом и, в частности, являются
прямыми суммами групп, изоморфных А. в
Следующий частный случай имеет большое значение. Пусть / —
топологическое пространство и группа S состоит из всех непрерывных
конечнозначных функций /: / ->¦ А [на группе А может быть задана
произвольная хаусдорфова топология]. Представляя функцию f в
каноническом виде A), получаем, что все множества Xt как открыты,
так и замкнуты. Следовательно, вместе с функцией / в группе S
содержатся группы Ahx.. Другими словами, S — группа Шпекера. Итак,
имеет место
Следствие 97.7. Группа всех непрерывных конечнозначных функций
из топологического пространства I в произвольную группу А является
прямой суммой групп, изоморфных А, и обладает характеристическим
А-базисом {fix.}, еде Xj — открыто-замкнутые подпространства
пространства I. ¦
210
Гл. XIII. Группы без кручения
Если пространство / компактно, а на группе А задана дискретная
топология, то все непрерывные функции /: / -*¦ А конечнозначны.
Следовательно, в этом случае группа всех непрерывных функций из /
в А изоморфна прямой сумме групп, изоморфных А.
Упражнения
1. Показать, что любая группа ограниченных [возможно,
трансфинитных] последовательностей целых чисел свободна.
2. Для любого множества индексов / прямая сумма © А служит
- *е1
прямым слагаемым группы А (^Л1).
3. (а) Пересечение групп Шпекера является группой Шпекера.
Вывести отсюда, что существует наименьшая группа Шпекера Sp (Я),
содержащая подмножество Н группы А.
(б) Минимальная группа Шпекера, содержащая конечное
подмножество группы Z, является конечно порожденной свободной группой.
4. Пусть S — группа Шпекера и hx — характеристическая
функция. Тогда
sx=shx={fhx\fes}
также является группой Шпекера.
5 (Нёбелинг [1]). Пусть X = 1\Х. Для любой группы Шпекера S
прямая сумма S © S является группой Шпекера, а 5 является
подпрямой суммой групп Sx и Sx.
6 (Нёбелинг [1]). Пусть 5 — группа Шпекера над группой А
мощности m > 2. Пусть, кроме того, AhT е S. Тогда минимальная
группа Шпекера Sp (S, hx)> содержащая S и характеристическую
функцию hXy совпадает с группой Sx © Sx.
7 (Нёбелинг [1]). Пользуясь трансфинитной индукцией, показать,
что теорему 97.3 достаточно доказывать лишь для групп Т =
= Sp (S, hx), где hx — некоторая характеристическая функция.
8 (Нёбелинг [1]). Пусть S — такая группа Шпекера над Л, что
Ahj ^ 5, и пусть hx и hY — две произвольные характеристические
функции. Тогда
Sp (S, hx, hY) = [Sp (S, hx) + Sp (S, hY)] © F,
где F — некоторая группа, обладающая характеристическим
Л-базисом. [Указание: положив Т = Sp (S, hY)> показать, что U = Sx +
+ (ТХ П Т) — группа Шпекера, откуда Т = U ф F\ убедиться, что
доказываемое равенство выполняется для полученной группы F.]
§ 98*. Однородные и однородно разложимые группы
Однородную группу мы определили как группу без кручения, все
ненулевые элементы которой имеют один и тот же тип t. Мы привели
примеры однородных групп, являющихся вполне разложимыми или
§ 98*. Однородные и однородно разложимые группы 211
сепарабельными, или даже неразложимыми группами. В настоящем
параграфе мы получим дополнительные результаты, касающиеся
однородных групп, а также их прямых сумм.
Первый из результатов отвечает на вопрос, в каком случае
однородная группа конечного ранга является вполне разложимой.
Предложение 98.1 (Бэр [6]). Однородная группа А конечного ранга п
вполне разложима тогда и только тогда, когда группа А/С конечна для
любой [или некоторой] подгруппы С, являющейся прямой суммой п
сервантных подгрупп ранга 1.
Пусть А = Аг ф . . . © АП9 где At — группы ранга 1, и пусть
подгруппа С удовлетворяет условиям предложения. Тогда все
элементы из С имеют тот же тип в подгруппе С, что и в группе Л,
следовательно, A if] С—подгруппа конечного индекса в группе At.
Поскольку © (At П С) ^ С, группа А 1С, очевидно, конечна.
г
Обратно, допустим, что С = Rcx © ... © Rcny где Rct — сер-
вантные подгруппы группы Л, a R — подгруппа группы Q того же
типа, что и А. Достаточно рассмотреть случай, когда | А : С | —
простое число р. Для элемента а 6 А \С мы можем записать ра =
= т~1 (тхсх + • . . + тпсп), где т~хть 6 R. Мы можем считать, что
в этом равенстве (mlt . . ., тп) = d = 1. Действительно, если
(d, т) = 1, то d~xpa ? С и элемент а можно заменить на элемент d~xa.
Обобщив очевидным образом лемму 15.3 на наш случай, получим
разложение С = Rbx ф . . . ф Rbn, где Ъх = тхсх + ..'.+ tnncn. Тогда
А = Rma ф Rb2 ф . . . ф Rbn. ш
Для счетных групп имеет место следующий аналог теоремы 19.1:
Теорема 98.2. Счетная однородная группа без кручения А вполне
разложима в том и только в том случае, когда каждая подгруппа
С ^ Л, имеющая конечный ранг и являющаяся прямой суммой
сервантных подгрупп ранга 1, имеет конечный индекс в своей сервантной
оболочке (О*.
Если группа А вполне разложима, то в силу теоремы 86.6 группа
(О* также вполне разложима. Таким образом, из предложения 98.1
следует необходимость условий теоремы.
Обратно, пусть группа А удовлетворяет указанному условию.
Если ранг группы А конечен, то ввиду предложения 98.1 доказывать
нечего. Пусть а1у . . ., аП1 . . . — максимальная независимая система
элементов группы А. Положим Сп = {ах >* © . . . ф {ап >* и Вп =
= (Сп)*. В силу предложения 98.1 группа Вп вполне разложима,
а в силу леммы 86.8 подгруппа Вп служит прямым слагаемым для
Вп+1, скажем Вп+1 = Вп © Ап+1 (п = 1, 2, . . .). Подгруппа,
порожденная подгруппами Аг = Bl9 Л2, . . ., Лп, . . ., очевидно, является
их прямой суммой и должна совпадать с группой Л. в
Перейдем к однородно разложимым группам. Так называются
группы, являющиеся прямыми суммами однородных групп, т. е.
212 Гл. XIII. Группы без кручения
группы вида А = ф G;, где Gj — однородные группы. Мы можем
собрать вместе компоненты Gj одного и того же типа, взять их прямую
сумму и получить тем самым наименьшее однородное разложение
А=®Ни A)
где #t — однородные группы различных типов t. Легко видеть, что
наименьшие однородные разложения единственны с точностью до
изоморфизма. Действительно, Н% ^ A (t)IA* (t).
Теорема 98.3^(Бэр [6], Эрдеш [1]). Пусть А —такая группа без
кручения, что типы ее элементов удовлетворяют условию
максимальности. Группа А вполне разложима в том и только в том случае, когда
для каждого типа t выполняются следующие два условия:
а) Л* (t) служит прямым слагаемым для A (t);
б) A* (t) = A (t) fl A** (t), где Л** (t) — подгруппа, порожденная
всеми элементами а 6 А, типы t (а) которых не меньше и не равны t.
Условие а), очевидно, необходимо. Докажем необходимость
условия б). Группу А представим в виде A), где Н\ — однородные группы
различных типов t. Имеем [символ || означает несравнимость]
лA)пл**A)=ея8пея8=
= (еяве#0П(е tfee e#e) =
s>t s>t s || t
= е#8=л*A).
s>t
Убедимся в достаточности наших условий. Для каждого типа
t определим группу #t как дополнительное прямое слагаемое: А * (t) ©
ф Hi = A (t). Если #t ф 0, то Hi — однородная группа типа t.
Подгруппа группы А, порожденная подгруппами Ht, является их
прямой суммой. Действительно, пусть hx + . . . + hn = 0, где ht 6 #t.,
и типы U различны. Если tx — минимальный среди типов tlf ...
. . ., tn, то
h2+...+hn=-hieA**(ti)()A(ti) = A*(U),
значит, йх 6 Л* (tx) П #t4 = 0. Покажем, что подгруппа ® Ht = Н
совпадает с группой Л. Пусть элемент а ? А имеет тип t. Поскольку
типы элементов из Л удовлетворяют условию минимальности, мы
можем считать, что каждый элемент b 6 Л типа t (b) > t лежит в Я,
т. е. Л* (t) <=: Н. Но в этом случае а 6 Л (t) = Л* (t) 9 Wt g Я,
что и доказывает достаточность. и
Упражнения
1. Показать, что в предложении 98.1 условие однородности не
может быть отброшено.
2 (Колеттис [3]). Пусть Л — группа без кручения, обладающая:
следующими двумя свойствами: A) для каждого типа t обе подгруппь!
§ 99. Проблема Уайтхеда
213
A (t) и Л* (t) служат для А прямыми слагаемыми; B) каждый элемент
из А лежит в прямом слагаемом группы Л, являющемся (конечной)
прямой суммой однородных групп. Показать, что свойства A) и B)
наследуются прямыми слагаемыми группы А. [Указание: провести
рассуждения, аналогичные доказательству теоремы 87.5.]
3 (Колеттис [3]). (а) Счетная группа без кручения однородно
разложима тогда и только тогда, когда она обладает свойствами 1) и 2)
из упр. 2.
(б) Доказать (а) для прямых сумм счетных групп.
4. Если группа А является прямой суммой счетных групп и, кроме
того, однородно разложима, то прямые слагаемые группы А обладают
тем же свойством.
5. Доказать, что в теореме 98.2 условие счетности группы А
является существенным.
6. Показать, что теорема 98.3 может не иметь места, если типы
элементов группы А не удовлетворяют условию максимальности.
[Указание: рассмотреть произведение рациональных групп с идемпотент-
ными типами tx < t2 < . . . .]
§ 99. Проблема Уайтхеда
Довольно трудная проблема, предложенная Дж. Г. К. Уайтхедом,
состоит в том, чтобы охарактеризовать группы G, для которых
Ext (G, Z) = 0. Несмотря на то что о таких группах G имеется
обширная информация, полное решение этой проблемы известно только
в счетном случае. За исключением свободных групп, никакие группы,
обладающие указанным свойством, до сих пор не найдены.
Следуя Ротману [3], назовем группу G группой Уайтхеда или
просто W-группой, если для нее выполняется равенство
Ext (G, Z) = 0.
Приведем некоторые элементарные свойства 1^-групп.
а) Свободные группы являются W-группами.
б) Подгруппы W-групп снова являются W-группами. Действительно,
в силу теоремы 51.3 мономорфизм Н ->• G дает эпиморфизм Ext (G, Z)->
-> Ext (Я, Z).
в) Прямые суммы W-групп снова являются W-группами. Это сразу
следует из теоремы 52.2.
г) W-группы являются группами без кручения. Ввиду п. б)
достаточно показать, что ни для какого простого числа р группа Z (р)
не является W-группой. Последнее, однако, очевидно, так как
Ext (Z (/?), Z)^Z (р) [см. § 52, п. Г)].
д) W-группа G конечного ранга свободна. Действительно, в
противном случае она не является конечно порожденной. Тогда для
некоторой существенной свободной подгруппы F группы G группа
GIF бесконечная периодическая. Точная последовательность О-*- F-*
214
Гл. XIII. Группы без кручения
-* G -+¦ GIF ->- 0 индуцирует точную последовательность
Нот (F, Z) ->¦ Ext (GIF, Z) -> Ext (G, Z) = 0.
Мы приходим к противоречию, поскольку Нот (F, Z) — счетная
группа, и в то же время легко видеть [упр. 1], что группа Ext (GIF, Z)
имеет мощность континуума.
Теперь мы можем без труда получить первый из дальнейших
результатов о И^-группах.
Теорема 99.1 (Штейн [1], Ротман [3]). Все W-группы ^-свободны
и сепарабельны.
Докажем, что ^-группы ^-свободны. По критерию Понтрягина
(теорема 19.1) достаточно показать, что подгруппа F, сервантная
в ^-группе G и имеющая конечный ранг, свободна. Это сразу следует
из п. б) и п. д).
Докажем сепарабельность. Пусть F — сервантная подгруппа
группы G, имеющая конечный ранг. Так же как в доказательстве п. д),
получаем эпиморфизм Horn (F, Z) ->- Ext (GIF, Z). Группа Нот (F, Z)
изоморфна группе F и, значит, является конечно порожденной. В то же
время группа Ext (GIF, Z) делима [см. § 52, п. И)] и, следовательно,
равна нулю. Таким образом, Ext (GIF, F) = 0; другими словами,
подгруппа F должна быть прямым слагаемым группы G. В силу
предложения 87.2 мы сразу получаем теперь сепарабельность группы G. в
Мы заключаем, что счетные W-группы свободны и что все W-группы
являются подгруппами прямых произведений бесконечных
циклических групп. Но сами они не могут быть прямыми произведениями.
Предложение 99.2 (Ротман [1], Нунке [2]). Все W-группы узки.
По теореме 96.3 ^-свободная группа узка в том и только в том
случае, когда она не содержит прямого произведения Р бесконечного
семейства циклических групп {еп). Итак, нам нужно лишь доказать,
что Ext (Р, Z) Ф 0. Пусть 5 — прямая сумма групп (еп >. Тогда
по следствию 42.2 группа P/S алгебраически компактна,
следовательно, Horn (PIS, Z) = 0. Таким образом, точная последовательность
0 -> 5 ->¦ Р ->- PIS ->- 0 индуцирует точную последовательность
0 -> Нот (P,Z)-+ Нот (Sf Z) Д Ext (PIS, Z) -> Ext (P, Z) ->- 0.
Здесь Нот (P, Z) ^ S, Horn (S, Z) ^ P, и в силу естественности
этих изоморфизмов Im д ^ PIS. Группа PIS не является делимой,
но Ext (PIS, Z) — делимая группа [см. § 52, п. И)], следовательно,
Сокег д Ф 0. в
Самые разные подгруппы прямых произведений бесконечных
циклических групп как сепарабельны, так и узки. Следовательно,
о ^-группах необходима дополнительная информация.
§ 99. Проблема Уайтхеда
215
Лемма 99.3 (Чейз [2]). Пусть р — произвольное простое число. Для
р-базисной подгруппы В любой W-группы G выполняется равенство
2Г(В) = 2r(G)
Точная последовательность 0 ->• В ->- G ->- GIB ->- О дает точную
последовательность Нот (В, Z) ->- Ext (GIB, Z) ->¦ 0. Если ранг г (В)
конечен, то В = G по теореме 99.1 и доказывать нечего. Если ранг
г (В) бесконечен, то группа Нот (В, Z) ^ Zr(B) имеет мощность 2Г(В).
Далее, группа GAS содержит подгруппу, изоморфную прямой сумме
r0 (GIB) групп, изоморфных Q(p). Таким образом,
| Ext (GIB, Z) |>| Ext (<?(р\ Z) р(с/в)>2г0(С/Б)?
поскольку в точной последовательности
Z ?* Нот (Z, Z) -* Ext (Z (р°°), Z) ^ Jp -> Ext (Q(*>\ Z) -> 0
[см. § 52, п. Н)] последняя группа Ext ненулевая [она имеет
мощность 2Ко]. Следовательно, 2r(B) > 2ro{G/B). Из равенства г (G) -
= г (В) + r0 (G/5) вытекает неравенство 2r(B) ^ 2r(G). Так как
строгое неравенство невозможно, мы получаем наше утверждение. Если
принять обобщенную гипотезу континуума, доказанное равенство
будет эквивалентно равенству г (В) = г (G). в
Предложение 99.4 (Чейз [2]). Для W-группы G бесконечного ранга
имеет место равенство
|Hom(G, Z)| = 2,G|.
Достаточно доказать неравенство | Horn (G, Z) | ^ 21 G1. Для
Ц7-группы G гомоморфизм Нот (G, Z) ->- Нот (G, Z/pZ) является
эпиморфизмом. Очевидно, вторая из этих групп изоморфна группе
Horn (G/pG, ZlpZ) ^ Нот (В/рВ, ZlpZ), где В — это /^-базисная
подгруппа группы G. Мощность последней группы Нот равна 2Г(Б) =
= 21Б', так как ранг г (В) бесконечен. В силу леммы 99.3 2|Bl =
= 21 G \ что и завершает доказательство. а
Упражнения
1. Довести до конца доказательство п. д), показав, что неравенство
|ExtG\ Z)|>2*°
имеет место для любой бесконечной периодической группы Т.
[Указание: если цоколь группы Т конечен, то она содержит группу вида
Z (/?-).]
2 (Нунке [2]). Доказать, что группа Ext (Р, Z) является прямым
произведением континуального семейства групп, изоморфных QIZ.
[Указание: использовать точную последовательность из доказательства
предложения 99.2 и тот факт, что группа PIS является расширением
прямой суммы групп, изоморфных Jpi с помощью делимой группы
без кручения; см. § 51, упр. 7 и § 52, упр. 16.]
216
Гл. XIII. Группы без кручения
3. (Ротман [3]). Если В — такая сервантная подгруппа ^-группы
G, что факторгруппа GIB делима, то
2гсв> = 2«G\
4 (Прохазка [20]). W-группа, принадлежащая некоторому
классу Га [см. § 86, упр. 13], свободна.
5 (Чейз [2]). Если | Ext (G, Z) | < 2No, то группа G является
прямой суммой конечной группы и ^-свободной группы. [Указание:
так же как в доказательстве п. д), показать, что для любой конечно
порожденной свободной подгруппы F группы G периодическая часть
факторгруппы G/F должна быть конечной.]
6* (Гриффит [10]). Пусть F — свободная группа бесконечного
ранга т. Группа G удовлетворяет условию Ext (G, F) = 0 в том
и только в том случае, если A) каждая подгруппа группы G, имеющая
ранг п ^ ш, свободна; B) каждая подгруппа группы G индекса n ^ ш
содержит прямое слагаемое группы G индекса ш. [Указание:
необходимость: если | G | ^ ш, то точная последовательность 0 ->- Н ->
->¦ F -+G-*~0y где F — свободная группа ранга ш, расщепляется;
если Л, В cz G, А + В = G и |5|<ш, то группа В свободна,
и точная последовательность 0->С-^Л ©S-^G->0 (здесь берется
внешняя прямая сумма), где группа С изоморфна некоторой
подгруппе группы В, расщепляется; достаточность: если | G | > ш
и AIF = G, то найдется такая подгруппа Я с: Л, что # fl F = 0,
и образ ее при эпиморфизме А -> G является прямым слагаемым
индекса ш в группе G; показать, что группа А 1(Н © F) свободна.]
Замечания
До 30-х годов фактически ничего не было известно о группах без кручения,
исключая конечно порожденные группы. Первым важным шагом в изучении
групп без кручения явилась работа Понтрягина [1], где были опубликованы
знаменитый критерий свободности счетных групп [теорема 19.1], а также пример
неразложимой группы ранга 2. [Ввиду понтрягинской теории двойственности
с помощью этого примера было доказано существование компактной связной
абелевой группы размерности 2, не разложимой в прямое произведение групп
размерности 1.] Теория групп без кручения конечного ранга получила дальнейшее
развитие в работах Дэрри [1], Куроша [2] и Мальцева [1]. [См. также работу
Калужнина [1].] Эта теория не оправдала ожиданий и не было известно никаких
ее хороших приложений. [Лишь недавно Арнольдом были открыты
некоторые интересные приложения.] В несколько ином виде результаты, касающиеся
групп без кручения конечного ранга, были распространены Чекерешем [1]
на случай групп счетного ранга. О другом подходе к этим вопросам см. работу
Кэмпбелла [1].
Начало общей теории групп без кручения было положено фундаментальной
работой Бэра [6]. Установив неразложимость сервантных подгрупп группы
целых р-адических чисел, Бэр сразу же получил неразложимые группы
произвольных мощностей, не превосходящих мощность континуума. Несколько
основных результатов о вполне разложимых и сепарабельных группах также были
доказаны в этой работе, до сих пор являющейся ценным источником идей.
Родственным проблемам посвящень^ работы Е. С. Ляпина [1—5].
В действительности структурная теория групп без кручения не слишком
продвинулась вперед со времени появления статьи Бэра. Несомненным
препятствием здесь послужило открытие Йонсоном [1], а затем Корнером [1] довольно
странных прямых разложений, что привело теорию групп без кручения конеч-
Замечания
217
ного ранга в состояние хаоса. Какой-то порядок был восстановлен самим Йонсо-
ном [2], но таким неожиданным способом [см. теорему 92.5], что вера в
изоморфизм как исключительный принцип классификации была поколеблена. К
настоящему времени мы знаем, что правильный подход к рассмотрению
квазиизоморфизмов — это представлять их как изоморфизмы в подходящей факторкатегории
[Уокер [7]]. К сожалению, понятие квазиизоморфизма не сыграло существенной
роли в решении* структурной проблемы: исследование групп ранга 2 в работе
Бьюмонта и Пирса [4] убедительно показывает, что классификация групп с
точностью до квазиизоморфизма еще далека до завершения.
Имеется обширная литература о группах без кручения конечного ранга, см.,
например, Ротман [2, 4], Батлер [1], Ричмен [2], несколько работ Прохазки и т. д.
Некоторое время центральной проблемой был вопрос о существовании
больших неразложимых групп. Имелось несколько примеров, полученных в более
или менее явном виде, неразложимых групп мощностей, не больших мощности
континуума, и было высказано предположение [например, в последних работах
Селе], что мощность континуума — верхняя грань. Идеи де Гроота [2] и Лося
[относительно узких групп] помогли перешагнуть через магический континуум,
и в работах Хуляницкого [3], Фукса [И] и Сонсяды [3] были обнаружены
неразложимые группы мощности 22 °. В работе Фукса [18] утверждалось, что
существуют неразложимые группы произвольных мощностей, но этот факт не был
обоснован, поскольку в доказательстве имелся пробел теоретико-множественного
характера. Для кардинальных чисел, меньших первого сильно недостижимого
кардинального числа, пробел устранил Корнер [8]. Доказательство теоремы 89.2
следует методу, разработанному Фуксом [18]. Корнер анонсировал другое
доказательство более сильного утверждения о существовании однородных неразложимых
групп для тех же мощностей.
В связи с неразложимостью возникают интересные вопросы для модулей.
Над кольцом целых р-адических чисел не существует неразложимых модулей без
кручения ранга г> 1. Как отметил Капланский [3], кольцо нормирования
обладает этим же свойством тогда и только тогда, когда оно является
максимальным кольцом нормирования. До сих пор точно не известно, какие
коммутативные области целостности сохраняют указанное свойство, но
благодаря Матлису [Matlis Е., Trans. Л тег Math. Soc, 134 A968), 315—324]
в некоторых важных частных случаях известен полный ответ на этот вопрос.
В связи со сказанным стоит упомянуть удивительный результат Фейса и Э. Уоке-
ра [Faith С, Walker Е. A., J. Algebra, 5 A967), 203—221]: кольцо R обязано
быть нётеровым, если существует такое кардинальное число т, что все R-инъек-
тивные модули являются прямыми суммами модулей мощности n ^ т.
Коммутативные кольца R, все модули над которыми являются прямыми суммами
неразложимых модулей,— это артиновы кольца главных идеалов и только они,
см. работу Уорфилда [Warfield R. В , Math. Z., 125 A972), 187—192].
Модули без кручения ранга 1 над дедекиндовыми областями целостности
поддаются классификации, как показали Рибенбойм [Ribenboim P., Summa
Brasil. Math., 3 A952), 21—36] и Колеттис [3]. Модули без кручения конечного
ранга во многих отношениях ведут себя так же, как и группы без кручения
конечного ранга, см. статью Капланского [Kaplansky I., Trans. Л тег. Math. Soc.y
72 A952), 327—340]. Некоторые теоремы о вполне разложимых и сепарабельных
группах распространяются на модули над дедекиндовыми областями целостности,
см. Колеттис [3]; а модули без кручения ранга 1 со свойством сокращения почти
полностью могут быть описаны, как показали Фукс и Лунстра [2].
Теория узких групп имеет короткую историю: в течение немногих лет эти
группы изучались в основном Лосем, Сонсядой [4] и Нунке [2]. Обобщение на
случай модулей см. в работе Аллука [Allouch D., These, Univ. Montpellier, 1969—
1970].
Прямые произведения групп ранга 1 и модулей ранга 1 также привлекали
к себе внимание. Если Р — прямое произведение счетного числа бесконечных
Циклических групп, наделенное топологией произведения [компоненты
дискретны], то любые две сервантные и плотные подгруппы группы Р, имеющие счетный
218
Гл. XIIfi Группы без кручения
ранг, могут быть отображены одна на другую при некотором автоморфизме
группы Р [Чейз [4]]. Удивительно следующее: в то время как замкнутые
подгруппы группы Р снова являются прямыми произведениями бесконечных
циклических групп, для прямых произведений несчетного числа сомножителей это уже
неверно [Нунке [4]]. Чейз [1] показал, что прямые произведения модулей,
изоморфных кольцу R, в том и только в том случае всегда проективны как левые
R-модули, когда кольцо R совершенно слева, а конечно порожденные правые
идеалы кольца R являются конечно представимыми.
Проблема Уайтхеда представляется одним из наиболее трудных открытых
вопросов в теории групп без кручения. Несчетный случай впервые был
рассмотрен Ротманом [3] и более подробно Чейзом [2, 3]; см. также Вильоен [1]. Хороший
обзор имеющихся результатов дал Г. Э. Рейд [1]. Гриффит [5] получил
дополнительные результаты. Если расширить задачу и решать ее для модулей, то уже
в случае счетно порожденных модулей появляются новые трудности. Для
модулей счетного ранга над кольцом главных идеалов проблема решена Герстне-
ром, Каупом и Вейднером [Gerstner О.,- Каир L., Weidner Н. G., Arch. Math.
20 A969), 503—514].
Для произвольных колец наиболее подходящим обобщением групп без
кручения являются, пожалуй, плоские модули. Они обладают тем свойством,
что в случае конечной представимости являются проективными. Некоторое число
простых фактов переносится на случай плоских модулей, например класс
плоских модулей замкнут относительно взятия прямых сумм. Однако прямые
произведения плоских левых R-модулей не обязаны быть плоскими: это выполняется
в том и только в том случае, когда конечно порожденные правые идеалы кольца
R являются конечно представимыми [см. Чейз [1]].
Колеттис [Kolettis G., Canad. J. Math., 12 A960), 482—486] сделал
интересное наблюдение, касающееся коммутативных областей целостности R, над
которыми сервантные подмодули конечного ранга вполне разложимых
R-модулей без кручения также являются вполне разложимыми. Это выполняется, если
в R имеется не более двух простых элементов, если же число простых элементов
равно трем или больше трех, R не обязано обладать указанным свойством.
Достаточно удивительный факт отметил Гриффит [8]: группа без кручения Л,
являющаяся расширением свободной подгруппы F с помощью тотально
проективной р-группы A/F, обязана быть свободной. Хилл [22] указал на то, что для
произвольных редуцированных р-групп A/F это утверждение уже неверно.
Прохазка [11] и Бицан [2] доказали аналогичный результат для однородных
вполне разложимых групп F при более сильных предположениях.
Проблема 66. Охарактеризовать группы без кручения ранга 2
с помощью инвариантов.
Проблема 67. При данном натуральном числе г ^ 3 найти
все последовательности пг < . . . < ns натуральных чисел, для
каждой из которых существует группа ранга г, обладающая
разложениями на п1у . . ., ns неразложимых слагаемых соответственно.
Проблема 68. Пусть даны такие натуральные числа г1э . . .
. . ., rfc, г[, . . ., г'и что гг+ . . . +rk = r[+ . . . + п. Найти
условия, при которых существует группа без кручения, обладающая
прямыми разложениями на неразложимые слагаемые рангов г1у . . ., rk
и г J,..., г\ соответственно.
Проблема 69 (Корнер [6]). Существуют ли группы конечного
ранга, обладающие бесконечным числом попарно неизоморфных
прямых разложений?
Замечания
219
Леди недавно было показано, что группа без кручения ранга 3 не может
иметь бесконечного числа неизоморфных прямых разложений 1).
Проблема 70. Охарактеризовать группы без кручения
конечного ранга, обладающие свойством сокращения.
В случае групп ранга 1 проблема решена Фуксом и Лунстрой [2].
Проблема 71. Введем отношение эквивалентности между
группами без кручения А и В конечного ранга. Назовем их
эквивалентными, если А © С ^ В © С, где С — некоторая группа без
кручения конечного ранга. Установить связь между этим отношением
эквивалентности и квазиизоморфизмом.
Проблема 72 (Корнер). Существует ли такая группа, что
каждое ее ненулевое слагаемое является прямой суммой бесконечного
числа ненулевых подгрупп?
Проблема 73. Может ли прямая сумма конечного числа групп,
изоморфных группе Л, обладать неразложимым слагаемым, если А
таковых не имеет?
Проблема 74. Какие из слагаемых векторных групп снова
являются векторными группами?
Проблема 75. а) Исследовать хопфовы группы,
б) (Дж. Баумслаг) являются ли неразложимые группы без
кручения хопфовыми?
Являются ли такими группы с конечными группами автоморфизмов?
О хопфовых группах см. Баумслаг [1, 2] и Корнер [5]»
Проблема 76 (Г. Э. Рейд [1]). Все ли следующие классы
групп различны: © Z,f[Zy [J(© Z), ф (\\Z), © (Ц(® Z)) и т. д.?
Здесь допускается произвольное число компонент.
Проблема 77. Исследовать структуру сепарабельных групп
без кручения, в частности, при условии однородности.
Проблема 78. а) Какие из узких групп могут быть вложены
в прямую сумму счетного числа редуцированных групп?
б) Существует ли такое семейство групп, что все узкие группы
могут быть из него получены с помощью операций взятия прямых
сумм, подгрупп и расширений?
Проблема 79 (Дж. X. К. Уайхтед). Охарактеризовать
группы Л, удовлетворяющие условию Ext (A, Z) = 0.
х) В 1974 г. проблема 69 была решена отрицательно для групп любого
конечного ранга [Lady Е. L., /. Algebra, 32 A974), № 1, 51—52].
Глава XIV
СМЕШАННЫЕ ГРУППЫ
Смешанные группы А образуют наиболее общий класс абелевых групп,
и хорошая структурная теория должна, очевидно, давать полную информацию
об их периодических частях Г, а также о соответствующих группах без кручения
А/Т и в то же время описывать, как соединяются эти группы для образования
группы А. Следовательно, такая теория может существовать лишь для тех
классов смешанных групп А, для которых обе группы Т и А/Т могут быть достаточно
полно охарактеризованы. В этом случае проблема сводится к отысканию
способов, с помощью которых можно описать неизоморфные расширения групп Т
с помощью групп А /Т. Высотные матрицы, которые будут рассмотрены в § 103,
представляются в этом смысле подходящим инструментом для некоторых групп,
ранг без кручения которых равен 1.
Была проведена большая работа по решению проблемы расщепления,
а именно следующего вопроса: когда смешанная группа расщепляется в прямую
сумму своей периодической части и некоторой группы без кручения. В § 100
и 101 мы полностью опишем все периодические группы Т и все группы без
кручения G соответственно, для которых расщепляется всякая смешанная группа
с изоморфной Т периодической частью или соответственно с изоморфной G
факторгруппой по периодической части. Общая проблема расщепления,
состоящая в описании всех пар Т, G периодических групп и групп без кручения, для
которых Ext (Г, G) = 0, остается, однако, нерешенной.
Последний параграф настоящей главы посвящен построению групп с
заданной последовательностью Ульма. Довольно сложная процедура приводит к
теореме существования, полезной при доказательствах существования групп с
определенными свойствами.
§ 100. Расщепляющиеся смешанные группы
Изложение теории смешанных групп мы начнем с обсуждения
вопроса, при каких условиях смешанная группа расщепляется,
т. е. является прямой суммой своей периодической части Т и
некоторой группы без кручения G. Совершенно ясно, что эта группа G
единственна только с точностью до изоморфизма.
Сначала мы приведем примеры нерасщепляющихся смешанных
групп.
Пример 1. Пусть Т — редуцированная неограниченная
периодическая группа. Из лемм 55.1 и 55.4 мы заключаем, что А =
= Ext (Q/Z, Т) — копериодическая группа, периодическая часть
которой изоморфна группе Т и которая не имеет ненулевых слагаемых,
являющихся группами без кручения. Следствие 54.4 дает А Ф 7\
и, таким образом, А — нерасщепляющаяся смешанная группа с
периодической частью Т.
§ 100. Расщепляющиеся смешанные группы
221
Пример 2. Пусть plf . . ., piy . . . — различные простые числа.
Положим
оо
7\= Ф (at), где oia^^pL
i=i
оо
Тогда Тг — периодическая часть группы [] (аь >. Рассмотрим элемент
г=1
b0 = (flx, . . ., яь . . .) 6 П (я* )• При i Ф / уравнение pjx = а2 имеет
единственное решение в группе' (я* >. Следовательно, группа [J (я*)
содержит такие однозначно определенные элементы bt (i = 1, 2, . . .),
что /-я координата элемента bt есть 0 и выполняется равенство
Pibt = (ах, . . ., аг-ъ О, ^+1, . . .) = b0 — at.
Мы получаем, что 7\ — периодическая часть группы Аг =
= G^, Ьх, . . ., bj, . . . >. Допустим, что группа Лх расщепляется,
^ = ^ ф G при некотором G с= Аг. Тогда из равенства bt = ht +
+ gi (Ы 6 Tly gt 6 G) следует равенство
Piht + Pigt = Pibt = b0 — at = (/i0 — at) + go-
Приравнивая слагаемые, лежащие в 7\, получаем ргкь = А0 — а, при
i=l,2, ... . Для одного из наших простых чисел, пусть это будет
pj, справедливо равенство pjh = Л0 ПРИ некотором /г 6 7\. Отсюда
следует равенство pj (h —¦ hj) = о,, и мы пришли к противоречию.
Таким образом, группа Ах не расщепляется.
Пример 3. Для некоторого простого числа р положим
оо
Т2= 0 <я«>, где o(at) = p2\
i=i
Для t=lf 2, ... определим элементы
оо
6* = (О, ..., 0, аи pai+i, p2ai+2, ...) 6 П (fit)-
Элементы bj имеют бесконечные порядки и удовлетворяют
равенствам pbi+1 = bt —at (t = 1,2, . . .). Используя эти соотношения,
легко получить, что Т2 — периодическая часть группы А2 =
= (Т2, Ьх, . . ., bj, . . .>. Если бы для некоторого G cz А2 имело
место разложение А2 = Г2 ф G, то в силу /7bj+1 — bt (i Т2 группа G
была бы р-делимой подгруппой группы А2 в противоречие с тем
фактом, что группа [J (а?) не содержит ненулевых р-делимых подгрупп.
Следовательно, группа А2 не расщепляется.
Основная цель настоящего параграфа — охарактеризовать такие
периодические группы 7, что все смешанные группы с периодической
частью Т расщепляются. Это условие равносильно тому, что Т
удовлетворяет равенству Ext (G, Т) = О для всех групп без кручения G;
222 Гл. XIV. Смешанные группы
другими словами, Т — копериодическая группа. Полная характери-
зация периодических копериодических групп нам известна, и
следующее утверждение есть не что иное, как переформулировка
следствия 54.4.
Теорема 100.1 (Бэр [4], Фомин [1]). Периодическая группа Т
обладает тем свойством, что всякая смешанная группа с периодической
частью Т расщепляется, в том и только в том случае, когда Т является
прямой суммой делимой и ограниченной групп.
Следующее доказательство не зависит от теории копериодических
групп.
Для удобства сделаем сначала простое замечание. Пусть Т —
периодическая часть группы Л, и пусть 5, В — такие подгруппы
группы А, что SgTgBg/1. Если А расщепляется, то
расщепляется и группа В/5. Действительно, пусть А = Т ф G. Тогда
В = Т ф (В П G) и В/5 ~ Г/5 ф (В П G).
Данную периодическую группу Т представим в виде Т = D ф Т\
где D — делимая группа, а V — редуцированная группа. Если
группа Т не является ограниченной, то либо она имеет бесконечное
число ненулевых /^-компонент Тр., либо содержит неограниченную
/^-компоненту Т'р. В первом случае существуют эпиморфизмы T'v.-+-
->- Z (pi)y которые дают эпиморфизм V -> Tlf где Тг — группа,
определенная в примере 2. Во втором случае базисная подгруппа
группы Т'р неограниченная, и, значит, существует эпиморфизм,
отображающий ее на группу Т2 из примера 3. В силу теоремы 36.1
существует эпиморфизм T'v->- Т2. Таким образом, если V неограниченна,
то существует эпиморфизм \\, отображающий Т на Тх или Т2. Ядро
эпиморфизма г] обозначим через 5. Благодаря предложению 24.6
найдется такая группа Я, что можно построить коммутативную
диаграмму
0-+5->тЛТь->0
|| j | (&=1 или 2)
0-+S-+H-*Ak-*0
с точными строками. Так как вертикальные отображения являются
мономорфизмами, то периодической частью группы Я, очевидно,
служит Т. Группы Ak не расщепляются, и, учитывая сказанное в
начале доказательства, мы получаем, что Я не расщепляется.
Необходимость, таким образом, доказана.
Допустим теперь, что Т = D ф В, где D — делимая
периодическая группа, а группа В ограниченная, и Т является периодической
частью некоторой группы Л. Тогда А = D ® А' и Т = D ® В', где
В' — некоторая подгруппа группы Л', причем В ^ В'. По
теореме 27.5 группа В' — прямое слагаемое в Л', значит, и Т — прямое
слагаемое в А. в
Достаточные условия теоремы 100.1 можно без труда обобщить.
§ 100. Расщепляющиеся смешанные группы
22а
Предложение 100.2 (Фукс [16]). Если А—такая смешанная
группа, что при некотором натуральном п группа пА расщепляется,
то и А расщепляется.
Доказательство достаточно провести для случая, когда п — р —
простое число. Пусть рА = V ф G', где 7" — периодическая группа,
а С — группа без кручения. Очевидно, что Т = рТ, где Т —
периодическая часть группы А. Определим G как Т-высокую подгруппу
группы Л, содержащую G'. Если а 6 А и ра = Ь + с (Ь 6 Т, с 6 G)r
то Ь 6 Т' = рТу и в силу леммы 9.9 мы получаем А = Т ф G. ш
Общих критериев расщепляемости смешанной группы совсем
немного. Мы приведем один из них, который используется при
изучении групповых алгебр. Сначала докажем простую лемму.
Лемма 100.3. Пусть А — смешанная группа с ограниченной
периодической частью Т, и пусть С = Т ф Н — сервантная подгруппа
группы А. Тогда А = Т ф G для некоторой подгруппы G,
содержащей Н.
Пусть пТ = 0. Факторизуя по подгруппе пС и применяя
теорему 27.10, получаем А/пС = С/пС © К/пС при некотором К ^ пС.
Положим G = Н + /С; тогда, очевидно, Т + G = А. Если элемент
х = и + v (и 6 Я, v ? К) лежит в Г, то л: — и = v 6 С П К = пС =
= пЯ, откуда следует х = 0. Таким образом, Л = 7 © G. ¦
Предложение 100.4 (Мэй [4]). Смешанная группа А расщепляется
в том и только в том случае, когда существует такая возрастающая
цепочка Лх ^ ... ^ Лп ^ . . . подгрупп группы Л, что
1) U Ап = А;
2) для каждого п группа Т (Ап) ограниченна;
3) для каждого п справедливо равенство Т (А/Ап) = (Т (Л) + Ап)!Ап.
Если Л = Т © G, где Г — периодическая группа, a G — группа
без кручения, то группы Ап = Т [п\] © G (д = 1, 2, . . .)
удовлетворяют условиям 1)—3).
Обратно, пусть группа Л удовлетворяет условиям предложения.
По свойству 2) получаем Аг = Т (Лх) © Gly где Gx — группа без
кручения. Допустим, что при всех i ^ п мы уже получили разложения
At = Т (Лj) © Gb для которых Ga ^ ... s Gn. Положим А'п+\ =
= Г (Лп+1) © Gn и заметим, что (Т (Л) + Лп) П Лп+1 - Л;+1. По
теоремам об изоморфизмах и свойству 3) группа
Лп+1/Л;+1 ^ (T(A) + An+i)/(T(A) + An) ^
^[(T(A) + An+i)/An]/T(A/An)
не имеет кручения. Из леммы 100.3 мы заключаем, что Ап+{ =
= T(An+i) ф Gn+i для некоторого Gn+i^Gn. Положив G=UGn,
очевидно, получим А = Т (А) ® G. в
224
Гл. XIV. Смешанные группы
Упражнения
1. Прямые слагаемые расщепляющихся групп расщепляются.
2 (Прохазка [1]). Подгруппа конечного индекса группы А
расщепляется в том и только в том случае, когда А расщепляется.
3. Смешанная группа А с периодической частью Т не обязана
расщепляться, даже если все ее подгруппы, содержащие Т и имеющие
ранг без кручения 1, расщепляются. [Указание: получить нерас-
щепляющееся расширение с помощью группы \[Z.]
4. (а) (Фомин [1]) Группа
(аи ..., ап, ...; pat= ... = рпяп = ...)
не расщепляется.
(б) (Куликов [5]) Группа
(аи ...,а„, . . .; P2(ai — pa2) = ... = р2*(ап — pan+i) = . . . = 0>
не расщепляется.
5 (Оппельт [3]). Пусть Т = 7\ ф ... ©Гп, где каждое
слагаемое Ть является рггруппой, и пусть А — смешанная группа с
периодической частью Т. Группа А расщепляется в том и только в том
случае, когда для каждого/ группа А 1(Тг ® ... ф Тг_г ф Ti+1 ф . ..
. . . ф Тп) расщепляется.
6 (Куликов [4]). Любые два прямых разложения расщепляющейся
смешанной группы А = Т ф G обладают изоморфными
продолжениями в том и только в том случае, когда этому условию удовлетворяют
обе группы Т и G.
7. Показать, что существуют эпиморфизмы Аг -»¦ 7\ (пример 2)
и Л2->Г2 (пример 3). [Указание: at »-* О, Ь0 »-> 0, bi*-+ at и а^ »-> аи
Oii+fc^O (Л = 1,2,3).]
8. Привести пример такой смешанной группы С, что ее
периодическая часть не является эндоморфным образом группы С. [Указание:
использовать пример 1 или взять в группе из примера 2 такую
подгруппу С, что ^cCc[|(a/) и С/Т1 = Q, и, допустив
существование эпиморфизма С->¦ 7\, рассмотреть образ элемента &0 ПРИ этом
отображении.]
9. (а) Пусть А — смешанная группа, причем ее периодическая
часть Т содержит лишь конечное число ненулевых /7-компонент 7V
Подгруппа Т является эндоморфным образом группы А в том и
только в том случае, когда каждая группа Tt является эндоморфным
образом группы А.
(б) Привести контрпример в случае, когда А содержит бесконечное
число ненулевых редуцированных р-компонент.
10. Для произвольной периодической группы Т существует такая
смешанная группа А с периодической частью Т, что всякий
периодический эпиморфный образ А является прямой суммой делимой и огра^
§ 10J. Группы Бэра свободны
225
ничейной групп. [Указание: А = Exp (QIZ> Т) © D, гдеО — делимая
часть группы Т.]
11 (Корнер). Для периодической группы Т следующие условия
эквивалентны:
(а) Т является эндоморфным образом каждой смешанной группы,
содержащей Т в качестве периодической части;
(б) базисная подгруппа группы Т является эндоморфным образом
каждой смешанной группы, содержащей Т в качестве периодической
части;
(в) Т является прямой суммой делимой и ограниченной групп.
[Указание: упр. 10.]
12 (Мишина [2]). Пусть существует автоморфизм смешанной
группы Л, действующий как умножение на —1 на ее периодической части Т
и индуцирующий тождественное отображение группы A IT. Если
А [2] = 0, то Л расщепляется.
§ 101. Группы Бэра свободны
Следующий вопрос, которым мы будем заниматься, был поставлен
Бэром [4]. Этот вопрос двойствен вопросу, решенному в теореме 100.1,
и формулируется так: каковы группы без кручения G, для которых
всякая смешанная группа А с периодической частью Г,
удовлетворяющая условию А/Т ^ Gf расщепляется. Следуя терминологии Рот-
мана [3], назовем произвольную группу G с указанным свойством
группой Бэра (или бэровской группой), т. е. будем говорить, что G —
группа Бэра, если
ExtJ(G, Т) = 0 для любой периодической группы Т.
Тривиальным примером групп Бэра служат свободные группы. Наша
цель — показать, что других групп Бэра не существует.
Теорема 101.1 (Гриффит [7]). Группы Бэра свободны.
Доказательство этого факта основывается на теореме
существования, имеющей и самостоятельный интерес. Эта теорема
формулируется так:
Теорема 101.2 (Гриффит [7]). Для любого кардинального числа ш
существует смешанная группа М, удовлетворяющая условиям
1) М/Т — делимая группа ранга m (Т — периодическая часть
группы М)\
2) любая подгруппа без кручения в группе М свободна.
Сначала мы покажем, как теорема 101.1 получается из теоремы 101.2,
а затем приступим к доказательству более сложной теоремы 101.2.
Итак, предположим, что теорема 101.2 доказана, и пусть G —
группа Бэра. Легко видеть, что подгруппы групп Бэра сами являются
группами Бэра. Отсюда и из п. Г) § 52 мы получаем, что G — группа
без кручения. Положим ш = г (G). Благодаря условию 1) существует
226
Гл. XIV. Смешанные группы
мономорфизм ф: G->MIT. По теореме 51.3 точная последователь-
а
ность 0 -> Т -> М —> М/Г -> 0 дает точную последовательность
Нот (G, М) ^> Нот (G, М/Т) -> Ext (G, Т) = 0.
Следовательно, а* — эпиморфизм, откуда следует, что ср
индуцируется некоторым гомоморфизмом гр: G->¦ М, т. е. аяр = ф. Так как ф —
мономорфизм, то и if) — мономорфизм. Другими словами, группа G
изоморфна подгруппе группы М. Из условия 2) сразу следует теперь,
что G — свободная группа. в
Доказательство теоремы 101.2 разобьем на две леммы.
Лемма 101.3 (Гриффит [7]). Существует такая счетная смешанная
группа N, что
а) N/T ^ Q, где Т — периодическая часть группы N;
б) любая ненулевая подгруппа без кручения в группе N является
бесконечной циклической группой.
Для каждого простого числа р возьмем циклические группы
(арп) ^ё Z (p2n+1) (п = 0, 1, . . .) и образуем группы
оо оо
Тр= 0 (арп) и Up= [] (арп).
п=0 п=0
Тогда элемент
иР=(ар0, papi, ..., рпарп, ...)?UP
имеет бесконечный порядок и р + ир. Положим Т = © Гр, (/ =
р
= U Up и заметим, что Т лежит в периодической части группы U,
v
а элемент
и = (и2, . . ., иру . . .) 6 г/
не делится ни на какое простое число р. Легко видеть, что в группе
U/T имеется подгруппа N/T ^ Q, содержащая и + Т. Покажем, что
для этой подгруппы N выполнено также условие б). Предположим,
что F Ф 0 — подгруппа группы N и F f| Т = 0. Тогда Т7 ^ (Т7 + Т)/7 ^
^ iV/r, откуда Т7 имеет ранг 1. Если а Ф 0 — элемент из F, то
найдутся такие отличные от нуля целые числа т, п, что та = пи. Для почти
всех простых чисел р справедливо (ру п) = 1 и, значит,^ /? + та.
Следовательно, р-высота элемента а в группе Т7 равна нулю для почти
всех /?, а так как ни для какого простого числа q группа N не
содержит элементов бесконечного порядка бесконечной ^-высоты, то F ^
= Z. ш
Лемма 101.4 (Гриффит [7]). Пусть {M*hei — такие группы,
имеющие конечный ранг без кручения, что при каждом i все подгруппы
без кручения в группе Mt свободны. Тогда группа М = © Mt обладает
тем же свойством.
§ 101 Гриппы Бэра свободны
227
Пусть Tt — периодическая часть группы Mt. Тогда Т = ф Тг —
периодическая часть группы УИ, и можно написать М/Т = ф Mt/Tt
Обозначим соответственно через 9^ и 9 канонические отображения
Mi-^Mi/Tt и М-+М/Т.
A) Рассмотрим сначала случай двух слагаемых: М = Мх © М2
[здесь группа Мг не обязана даже иметь конечный ранг без
кручения]. Пусть nt: М -+- Mt (i = 1, 2) — проекции, и пусть F —
подгруппа без кручения в группе М. Положим
Я = {а е F | пха ? 7\} = {а 6 F | 6а 6 Э2М2}.
Очевидно, Я — такая подгруппа без кручения группы М, что Я П
П Кег я2 = Я П Л^1 = 0 [так как Н (] Мг содержится в 7\].
Следовательно, я2 \Н — мономорфизм и, таким образом, я2Я — свободная
группа как подгруппа без кручения в М2. Так как п2Н должна иметь
конечный ранг, то существует такое целое число m > 0, что тН ^ М2.
Положив ф = тп1у легко проверить, что Ff| Кег ф = Я и ф/7 [^ Мх]-~
группа без кручения. Следовательно, ф/7 — свободная группа. Но тогда
и F ^ Я ф ф/7 — свободная группа.
Б) Докажем, что для любого множества / всякая подгруппа без
кручения F группы М = © Mt является несвободной. В силу
теоремы 19.1 достаточно рассмотреть подгруппы К группы Fy
имеющие конечный ранг. Но такая подгруппа /С содержится в прямой
сумме конечного числа групп Miy и, применяя индукцию на
основании п. А), мы без труда получаем, что К — свободная группа.
Следовательно, группа F является ^-свободной.
B) Для данной ненулевой подгруппы без кручения F в группе М
можно построить вполне упорядоченную возрастающую
последовательность подгрупп
О = F0 a F± с: ... с Fg с ... с: Fx = F,
где т — некоторое порядковое число, и последовательность
0 = /0 с /j с ... с U = I
подмножеств множества /, для которых при любом а выполняются
следующие условия:
а) /7а = /7П(Ф Mt);
Р) U fp=Fa и U /p = /ai если а—предельное порядковое число;
р<а р<Га
у) |/а\/a-i I^хо> если число а^1 не является предельным;
б) подгруппа Ha = {a?F\Qa? ф 6?AfJ совпадает с Fa.
Для a = О доказывать нечего. Пусть a ^ 1, и пусть для всех
порядковых чисел р < а подгруппы Fp ^ F и подмножества /р ^ /
^же построены. Если a — предельное порядковое число, то Fa и /<*
228
Гл. XIV. Смешанные группы
строим в соответствии с п. C). Тогда условия а) и 6), очевидно,
выполняются. Если а — 1 существует и Fa_x cz Fy то выбираем
произвольный элемент Ь 6 F\F0_1 и рассматриваем подгруппу Вг = (Fa_lf b)
и подмножество J0 = /а_1в Пусть Jx — такое наименьшее подмнсь
жество множества /, содержащее /0, что В1 е ф Mt. Если под-
группы Вг ^ ... ^ Bfe и подмножества </х ^ ... ^ Jk уже
определены, то возьмем в качестве Jh+1 наименьшее подмножество
множества /, содержащее JkJ для которого
Bk+i = {aeF\Qae Ф Ml,} s ф М* (&>1).
Положим
/a = U Jh и /^ = U Bft
и проверим, что для а выполнены условия а), у), б). Чтобы проверить,
что выполнено условие у), достаточно показать, что |«/fe+i\«/ol^*o
для каждого k. Это очевидно для k=\. Если г\: М->- ф Mt —
проекция, то -Fa-i ^Кегг] П Bft+i. Если при некотором т>0 для
* 6 Яь-н выполняется тх ? Кег г] {] Bh+i, то тт]л;:= О и, значит,
0x6 ф BjAfj. В силу б) имеем x?H0-i = F0-t. Отсюда следует, что
fa_1 — к,ег т] П Bfe+1 и t]Bk+i — группа без кручения. Из неравенства
|/ь\/0|^х0 и определения групп Mt следует неравенство | ti^m-iI^^o
и счетность множества Jk+i\Jo становится очевидной. Докажем, что
выполнено условие а). Возьмем x?F()((B Mt). Существует такое &,
что
*efn( ф м,), т. е. е%е ф ем,
откуда xdBk+i<^ FG. Наконец, справедливость б) доказывается
аналогично: если х?Н0, то Qx? ф ^ьМг для некоторого k и, таким
образом, х ? Bh+i с= F0. Доказательство п. В) завершено.
Г) Сохраняя обозначения п. В), докажем, что
Fa+i = Fa ф А0+и
где A0+i — некоторая свободная группа. Пусть ?: М-> ф Mf —
проекция. Тогда, очевидно,
Fa+1nKer^ = Fa+in@ Mt) = F{](® Mt) = F0.
Если при некотором x?FG+i элемент Ь>х имеет конечный порядок,
то x?Ha = F0 и, таким образом ?Fa+1—подгруппа без кручения
§ 101. Группы Бэра свободны
229
в группе © Mt. Ранг без кручения последней группы не больше х0,
так что l^a+il^aoi и в силу п. Б) группа lFa+i свободна.
Следовательно, Fa служит прямым слагаемым для группы F0+i, т. е. Fa+i=*
= ^©^0+1, где Ду-н s* IFo+i — свободная группа.
Пусть теперь F — произвольная подгруппа без кручения
группы М из леммы 101.4. Тогда F — объединение подгрупп Foy значит,
F порождается подгруппами Л0+1, где а + 1 < т. Но эти подгруппы
порождают в F их прямую сумму, следовательно, F — свободная
группа. ¦
Доказательство теоремы 101.2. Возьмем множе*
ство / заданной мощности ш и для каждого i ? / выберем Mt = N,
где N— группа из леммы 101.3. В силу леммы 101.4 группа М =ч
= ф Мг обладает нужными свойствами. в
Следует заметить, что, как это ни странно, существуют несвободные группы
без кручения G, для которых Ext (<j, Т) = 0, где Т — произвольная р-группа,
а простое число р может быть каким угодно [см. упр. 3]. Более того, для всякого
непустого собственного подмножества П множества всех простых чисел
существует такая несвободная группа без кручения G> что Ext (G, Т) = 0 при любой
периодической группе Т с нулевыми р-компонентами, где р ({ П [Гриффит [7]],
Упражнения
1 (Сонсяда [2]). Пусть Т — периодическая группа, В — ее базисная
подгруппа и G — группа без кручения.
(а) Показать, что Ext (G, Т) = 0 тогда и только тогда, когда
Ext (G, В) = 0.
(б) Вывести отсюда, что при изучении пар групп 7, G, для которых
Ext (G, Т) = 0, можно ограничиться случаем, когда Т — прямая
сумма циклических р-групп.
2. Группа G является группой Бэра в том и только в том случае,
когда Ext (G, Т) = 0, где Т — любая прямая сумма конечных цикли*
ческих групп, для которой | Т \ ^ | G |.
3 (Чейз [4]). Существует несвободная группа без кручения G, для
которой Ext (G, Т) = 0 при любой примарной группе 7\ [Указание:
в § 95, упр. 11, положить все группы XG равными группе
рациональных чисел со знаменателями, свободными от квадратов, и вывести
из § 95, упр. 12, что G — несвободная группа; показать, что Qp ® G —
свободный Qp-модуль, и использовать эпиморфизм Ext (Qp <g) G, T) -*
-> Ext (G, Г).]
4 (Гриффит [7]). Если для группы G справедливо Ext (G, Т) = 0
при любой примарной группе 7, то Ext (G, Т) — группа без кручения
при любой периодической группе Т. [Указание: если группа Т имеет
нулевую /?-компоненту, то умножение на р является автоморфизмом
группы Т и, следовательно, автоморфизмом группы Ext (*, Т).]
5. Пусть А — смешанная группа с периодической частью Т и А/Т —
сепарабельная группа без кручения. Группа А не обязана расщеплять*
230 Гл. XIV. Смешанные группы
ся, даже если расщепляются все ее подгруппы, содержащие Т и
имеющие конечный ранг без кручения.
6 (Бэр [4]). Пусть Т и G — соответственно периодическая группа
й группа без кручения, и пусть Ext (G, Т) = 0. Тогда
(а) если р1У . . ., Pi, ... — бесконечное множество различных
простых чисел, для которых р{Т cz Г, то G не содержит таких сервант-
ных подгрупп 5 конечного ранга, чтобы в группе G/S существовали
отличные от нуля элементы, делящиеся на все р-г\
(б) если для некоторого простого числа р редуцированная часть
р-компоненты группы Т неограниченная, то G не содержит таких
сервантных подгрупп 5 конечного ранга, что в группе G/S имеются
ненулевые элементы, делящиеся на все степени числа р.
7 (Бэр [4]). Если Т — периодическая группа, a G — счетная группа
без кручения, то условия (а), (б) из упр. 6 необходимы и достаточны
для того, чтобы выполнялось равенство Ext (G, Т) = 0. [Указание:
представить группу G в виде объединения возрастающей цепочки
сервантных подгрупп Gn конечного ранга п и воспользоваться
индукцией.]
8 (Журавский [1]). Пусть А — смешанная группа с сепарабельной
периодической частью Т, причем группа А/Т является р-делимой
для всякого простого числа р, для которого Т содержит
нетривиальную />компоненту. Если для каждого элемента а ? А \ Т смежный
класс а + Т содержит такой элемент ft, что hp (b) = hp (а + Т) при
любом простом числе р, то группа А расщепляется. [Указание: такие b
составляют дополнение.]
9 (Журавский [1]). Пусть А — смешанная группа ранга без
кручения 1, такая, что /^-компоненты ее периодической части сепарабель-
ны для всех тех простых чисел р, для которых А/Т есть р-делимая
группа. Если смежный класс а + Т удовлетворяет условию упр. 8,
то А расщепляется. [Указание: начав с элемента ft, построить
дополнение как объединение [в структурном смысле] бесконечных
циклических групп.]
10 (Ляпин [2]). Пусть А — такая смешанная группа, что ее
периодическая часть Т сепарабельна, а группа А/Т вполне разложима.
Если смежные классы а + Т удовлетворяют условию упр. 8, то
группа А расщепляется.
§ 102. Квазирасщепляющиеся смешанные группы
Теперь мы рассмотрим класс групп, в следующем смысле близких
к расщепляющимся. Группу А назовем квазирасщепляющейся, если
она содержит такую расщепляющуюся подгруппу В, что
пА <= В <^ А при некотором целом п > 0.
Если такая подгруппа В расщепляется, т. е. В = S © G, где S —
периодическая группа, a G — группа без кручения, то подгруппа
В + Т = Т © G, где Т — периодическая часть группы Л, также
§ 102. Квазирасщепляющиеся смешанные группы
231
расщепляется. Таким образом, при определении квазирасщепляемости
можно считать, что Т s В.
Сейчас мы приведем пример квазирасщепляющейся смешанной
группы, которая не расщепляется.
оо
Пример. Положим Т = © Z (рп). Пусть G есть р-адическое замыкание
71=1
группы © Jp. Тогда G — алгебраически компактная группа без кручения, причем
ко
G/pG ?? Т/рТ. Следовательно, существует эпиморфизму: G ->- Т!рТу ядро
которого совпадает с pG. Пусть группа Л определяется диаграммой
О ->- рТ -> Т ->- Г/рГ ->- о
I г* I"
II I N I
О -> рТ -> Л > G ->- О
с точными строками и коммутативными квадратами. Группу А в этой диаграмме
можно определить следующим образом:
Л = {(?, A) U 6 G9 h е Т, где i\g = /i + рГ}.
Тогда ясно, что рЛ s pG © рГ s Л, значит, Л — квазирасщепляющаяся
группа. Если бы группа Л расщеплялась, то существовал бы такой гомоморфизм
?: G ->¦ 71, что r)g = ?g -f- рГ при любом g (z G. Но по следствию 54.4 группа ?G
должна быть ограниченной, а тогда образ ?G в Г/рГ был бы конечным, что
невозможно.
Перед тем как приступить к изучению квазирасщепляющихся
групп, мы докажем лемму в более общих предположениях, чем нам
потребуется; с еще более общим случаем связано упр. 5.
Пусть С — группа и п —• натуральное число. Умножение на п
в группе С можно представить как композицию С—>пС-^>С> ?где
jli: с ь-> пс, a i — естественное вложение. Если дана точная
последовательность Е: 0 ->¦ А —> В —> С -> 0, то по сказанному в § 50
существует следующая коммутативная диаграмма с точными строками:
Е: 0->ЛД 5—--* С->0
II t t'
Ei: 0-+А^>пВ + АЛпС^0 0)
II t t»
Ещ: 0-+А-> Bf -—-> С->0.
Лемма 102.1 (К. Уокер [1]). Если последовательность Е1
расщепляется, то последовательность Е — представитель элемента из
Ext (С, А) [п]. Если С [п] = 0, то верно и обратное.
Заметим, что Ei[i = пЕ [см. лемму 52.1]. Если теперь
последовательность Ei расщепляется, то и последовательность пЕ
расщепляется и, таким образом, Е лежит в Ext (С, А) [п]. Обратно, тот факт, что Е
лежит в Ext (С, А) [/г], означает, что Е содержится в ядре эндоморфиз-
232
Гл. XIV. Смешанные группы
ма группы Ext (С, А), индуцированного умножением на п в С. В случае
С [п] = 0 последнее эквивалентно тому, что последовательность Е\,
расщепляется, как видно из утверждения 2) теоремы 53.2. в
Теперь легко можно доказать основной результат, касающийся
характеризации квазирасщепляющихся групп.
Теорема 102.2 (К- Уокер [1]). Смешанная группа А с
периодической частью Т является квазирасщепляющейся группой в том и
только в том случае, когда точная последовательность
0-> T-+A-+A/T-+0 B)
служит представителем элемента конечного порядка в группе
Ext (Л/Г, Т).
Если последовательность B) — представитель элемента конечного
порядка я, то в силу второго утверждения леммы 102.1 точная
последовательность
0 ->. Т -> пА + Т-+(пА+ Т)/Т -> 0 C)
расщепляется. Поскольку пА ^ пА + Т ^ Л, это означает, что А —
квазирасщепляющаяся руппа.
Обратно, пусть А — квазирасщепляющаяся группа, т. е. некоторая
группа В, где Т ^ В и пА ^ В ^ А при некотором я, расщепляется.
Тогда 7 выделяется прямым слагаемым в группе пА + Т и C) —
расщепляющаяся последовательность. Из леммы 102.1 следует, что
последовательность B) — представитель элемента из Ext {А 1ТУ Т) [п]. ш
Мы можем теперь получить результат, который показывает, что
счетные квазирасщепляющиеся группы обязательно расщепляются.
Предложение 102.3 (К. Уокер [1]). Пусть
А—квазирасщепляющаяся смешанная группа, причем факторгруппа А/Т счетная. Тогда
группа А расщепляется.
Положим G = А/Т и рассмотрим точную последовательность
0—>-G—>G-> G/pG-> 0, где р — простое число и \i:g*-*pg при
g 6 G. В индуцированной точной последовательности
Нот (G, Т) Л Ext (G/pG, Т) -> Ext (G, Т) ^> Ext (G, Т) -* 0
гомоморфизм [х* — также умножение на р. Если мы можем показать,
что Кег ц* - 0, то Ext (G, Г) [/?] = 0, т. е. Ext (G, Г) — группа без
кручения, и наше утверждение сразу будет следовать из теоремы 102.2.
Достаточно показать, что S — эпиморфизм. Идея доказательства
восходит к работе Бэра [11].
В силу счетности группа G является объединением возрастающей
цепочки G2 с: ... cz Gn с= ... таких сервантных подгрупп, что
г (Gn) = п при любом п. Пусть Вп есть /^-базисная подгруппа
группы 6п, причем Вг s . . . ^ Вп s . . . . Мы хотим показать, что для
§ 102. Квазирасщепляющиеся смешанные группы
232
данной р-группы S всякий гомоморфизм tj: G—>- S/pS можно поднять
до гомоморфизма ?: G->• S. Поскольку pG s Кег ц и GJpGn о*
^ Вп/рВп> ограничение у\п = т] | Вп можно поднять до гомоморфизма
фЛ: J3rt->S, образ которого конечен, так что фЛ можно рассматривать
как гомоморфизм ln: Gn -> S. Более того, Вп — прямое слагаемое
в Вп+1, следовательно, |п+1 можно выбрать как продолжение Нп.
Таким образом, имеется единственный гомоморфизм ?: G->5, для
которого t | Gn — ln при всех п, и он, очевидно, удовлетворяет нашим
требованиям.
Докажем, наконец, что б — эпиморфизм. Пусть представителем
элемента из Ext (G/pG, Т) служит верхняя точная строка диаграммы
0->T->S->G/pG-+0
14 ?б II
Q^G^G^>GlpG-^Q
Так как 5 — периодическая группа, то в силу доказанного выше-
существует такой гомоморфизм ?, что правый квадрат коммутативен.
Отсюда следует, что существует гомоморфизм г|), превращающий левый
квадрат в коммутативный. Образ этого г); при гомоморфизме б совпадает
с данным элементом из Ext (G/pG, Т). ш
Упражнения
1. Для каждого целого п > О группы А ипА одновременно
являются или не являются квазирасщепляющимися группами.
2. Пусть группы А и А' содержат такие изоморфные подгруппы В
и ?' соответственно, что пА ^ В ^ А и тпА' ^ В' ^ А' при
некоторых положительных m, п 6 Z. Тогда группа Л является квазирас-
щепляющейся в том и только в том случае, когда группа Л' квази-
расщепляющаяся.
3. Показать, что смешанная группа А является квазирасщепляю-
щейся группой тогда и только тогда, когда она входит в коунивер-
сальный квадрат
А *G
i I
I 1
T >B,
где Т — периодическая группа, G — группа без кручения и группа В
ограниченная.
4. Пусть А — такая смешанная группа с периодической частью Г,
что группа А/(рА + Т) конечна при любом простом числе р. Если
группа А квазирасщепляющаяся, то А расщепляется. [Указание:
доказательство предложения 102.3.]
ft. в
5 (К. Уокер [1]). Точная последовательность Е: 0 ~* А —>Б—>
--> С ->- 0 служит представителем элемента конечного порядка из
Ext (С, Л) в том и только в том случае, когда существует целое число>
234
Гл. XIV. Смешанные группы
п > 0, для которого последовательность
О -> А/(А [п]) А (аА + пВ)/(аА [п]) Л пС -> 0 D)
точна и расщепляется. Здесь а: а -\- А [п] *-> аа + аА [п] и р: b +
+ аА [п] >-> РЬ. [У/сазаше: если нижняя строка в диаграмме A)
расщепляется, использовать правый обратный к р, чтобы получить
правый обратный к Р; если последовательчость D) расщепляется,
то Е лежит в Ext (С, Л) [п2].]
6 (К- Уокер [1]). Доказать второе утверждение леммы 102.1, заменив
условие С \п\ = 0 условием А [п] = 0.
7. Показать, что группа А не обязана расщепляться, если она
содержит расщепляющуюся подгруппу В, для которой А/В — счетная
ограниченная группа.
8 (Гриффит [71). Пусть G — такая группа без кручения, что всякое
расширение произвольной периодической группы с помощью
группы G является квазирасщепляющимся. Показать, что группа G должна
быть свободной. [Указание: провести рассуждения, аналогичные
доказательству теоремы 101.1; здесь аг|э = пер при некотором целом
п>0.]
9 (Гриффит [7]). Пусть для группы G условие Ext (G, Т) = 0
выполняется при всех примарных группах Т. Показать, что всякое
квазирасщепляющееся расширение периодической группы с помощью
группы G обязательно является расщепляющимся. [Указание: § 101,
упр. 4.]
§ 103. Высотные матрицы
Рассмотрев расщепляющиеся и квазирасщепляющиеся смешанные
группы, мы переходим к структурной проблеме смешанных групп
в целом. Как отмечалось, на получение структурной теоремы мы можем
надеяться лишь в случае смешанных групп, у которых периодические
части и факторгруппы по ним могут быть достаточно хорошо
охарактеризованы с помощью инвариантов. К настоящему времени известно
очень немногое.
Исключение составляют группы ранга без кручения 1. Этот и
следующий параграфы посвящены таким группам.
Изучая структуру р-групп и групп без кручения, мы видели, что
исключительно важно иметь инварианты, связанные с элементами
и описывающие их поведение по отношению к делимости на целые
числа: индикатор [§ 65] и характеристику [§ 85] соответственно.
Мы объединим сведения, получаемые с помощью этих инвариантов,
в высотной матрице Ц (а), которую определим сейчас для элементов а
произвольной группы Л [см. Ротман [2], Меджиббен [6], Мышкин [5]].
Пусть /?!,..., /?п, ... — последовательность всех простых чисел
в порядке возрастания. Для данного элемента а группы А мы
обозначаем через ftp (а) обобщенную р-высоту элемента а в А, определенную
§ 103. Высотные матрицы
235
в § 37, т. е.
hi (а) —в, если a?paA\p0+iA, где а —порядковое число.
В случае а 6 рхА = рх+1А мы, как обычно, полагаем h% (а) = оо
и считаем, что оо больше всякого заданного порядкового числа. Мы
связываем с элементом а высотную матрицу Н (а), а именно следующую
бесконечную матрицу
Н(а) =
= [а
nkl
элементы которой — порядковые числа. Итак, элемент onk, стоящий
в л-й строке и k-ы столбце матрицы Н (а),— не что иное как
обобщенная /7п-высота элемента р\а при всех п = 1, 2, . . . и k — 0, 1, 2, . . .;
д-ю строку матрицы Н (а) назовем рп-индикатором элемента а.
Читатель сразу увидит, что п-я строка матрицы Н (а) — для рд-группы Л —
это в точности индикатор элемента а, в то время как другие строки состоят из одних
символов оо и, таким образом, не дают никакой дополнительной информации
об элементе а. С другой стороны, для групп без кручения Л всегда имеем hp (pa) =
-= hp (а) + 1, так что в этом случае первый столбец матрицы Л содержит в себе
те же сведения, что и вся матрица Н (а).
Следующие замечания непосредственно вытекают-из определения:
а) Н (а) = Н (—-а) для всех а ? Л;
б) матрица Н (рпа) получается из матрицы Н (а) путем замены
д-й строки опОУ . . ., enk, . . . матрицы Н (а) строкой сгп1, . . .
в) элемент р^ . . . р^а делится на целое число т = /?[* . . . р1пп
тогда и только тогда, когда lt ^ aih. при i = 1, . . ., п\
г) если а — элемент конечного порядка, то почти на всех местах
в матрице Н (а) стоит символ оо;
д) матрица Н (а) состоит из одних символов оо в том и только
в том случае, когда элемент а лежит в делимой части группы Л;
е) элемент а принадлежит сг-й ульмовской подгруппе Л0 группы Л
тогда и только тогда, когда сгл0 ^ сосг для всех п;
ж) если Л = В ф С и а = Ь + с (Ь 6 Я, с 6 С), то П (а) ==
— min (Н (/?), Н (с)), где «mirv> означает поэлементное взятие
минимума.
Пример. Пусть Т — неограниченная сепарабельная р-группа
оо
и В — ее базисная подгруппа. Представим В в виде В = ф Вт.у
г=1 '
где Вт. =7^=0 —прямая сумма циклических групп одного и того же
порядка pmt и ml < mz < ... . Группу Г мы считаем вложенной
1в качестве сервантной подгруппы] в /7-адическое пополнение В труп-
236
Гл. XIV. Смешанные группы
пы В. Пусть (/о, . . ., 4, . . .) — возрастающая последовательность
неотрицательных целых чисел. Группа В содержит элемент а
бесконечного порядка, для которого Щ> (pha) — lk, тогда и только тогда,
когда при lk + 1 < U+i число lk + 1 совпадает с одним из чисел mt.
Необходимость доказывается так же, как в лемме 65.3 [см. также
утверждение 2) ниже. При доказательстве достаточности мы можем,
очевидно, ограничиться рассмотрением случая, когда каждое из
чисел т-г равно некоторому числу lk + 1. Пусть для каждого i выбран
элемент нулевой высоты bt ? Вт.. Сравнивая lk с miy мы можем
написать
/0< ... <41^1<т1=-41^1 + 1<41< .. . </*._! </иг =
= /ft._i + l^/fc? < ...»
где &!<;.. .<.kt <C... и между mt и mUi числа lk возрастают ровно
на 1. Таким образом, /о^41 — &i^ .. .^/&. — kt^ ..., откуда следует,
что элемент
имеет высоту /0. Так как tnj^.lk. — kj + ki при /^/, то первые i
координат элемента р Ш равны, очевидно, нулю, и А*(/Ла) = lk..
Отсюда сразу следует, что h% (pka) = th для любого k.
Пусть Л —произвольная группа. Если а, Ъ — элементы
бесконечного порядка в группе Л и для некоторых целых чисел г, s=^0
выполняется ra = sb, то из свойства б) легко заключить, что п-е строки
матриц U(a) = [onk] и H[6] = [pnfe] могут отличаться друг от друга
только в случае, когда pn\rs, причем для этого рп должны найтись
такие целые числа /, т^О, что выполняется условие
<Уп,к+1 = Рп,и+т при всех k A)
Учитывая сказанное, две (со X со)-матрицы lonk] и [p7lft] назовем
эквивалентными, если n-е строки обеих матриц совпадают для почти
всех п, а для каждого из оставшихся п найдутся такие
неотрицательные целые числа /, т (зависящие от п), что выполняется условие A).
Заметим, что высотные матрицы элементов, лежащих в одном
и том же смежном классе по периодической части группы Л,
эквивалентны.
Если ранг без кручения группы Л равен 1, то любые два элемента
а, Ь?А, имеющие бесконечный порядок, зависимы, и, значит, их
высотные матрицы Н (а) и И (Ь) эквивалентны в указанном смысле.
Следовательно, группе А можно сопоставить однозначно определенный
класс эквивалентности матриц, который мы обозначим через Н (Л).
Наша ближайшая цель — выяснить, какие из матриц могут быть
высотными матрицами элементов бесконечного порядка в смешанных
группах с заданной редуцированной периодической частью Т. Без
§ 103. Высотные матрицы
237
потери общности мы можем ограничиться рассмотрением групп А
ранга без кручения 1. Действительно, пусть G — смешанная группа
с периодической частью Т и а ? G — элемент бесконечного порядка.
Тогда найдется наименьшая сервантная подгруппа А группы G,
содержащая как Т, так и а, а именно A IT = (а + Т)+ в группе GIT.
Высотные матрицы элементов из А одинаковы в группе бив
подгруппе А. Это сразу видно из следующего простого замечания.
Лемма 103.1 (Меджиббен [6]). Если А —такая подгруппа
группы G, что GIA — группа без кручения, то выполняется условие
р°А = А П pGG для всех порядковых чисел о и всех простых чисел р.
B)
Если выполняется условие B), мы говорим, что А — изотипная
подгруппа группы G [см. § 80]. Если же это условие выполняется для
одного простого числа р, подгруппа А называется р-изотипной в
группе G.
Чтобы доказать, что подгруппа А изотипна в G, как только GIA —
без кручения, воспользуемся трансфинитной индукцией по а. Ввиду
определения подгруппы paG для предельных порядковых чисел а,
достаточно показать, что если условие B) выполняется для а, то оно
выполняется и для а + 1. Пусть а 6 А П pa+iG и а = pg для
некоторого g ? P°G. Тогда g 6 А, так как G/A — группа без кручения.
Таким образом, g ? А П paG = раА и, значит, а ? ра±{А. а
Пусть Л — смешанная группа ранга без кручения 1 и а ? А —
элемент бесконечного порядка. Через Тп обозначим рп-компоненту
группы А. Из определения сразу видно, что для высотной матрицы
И (а) = [onk] выполняется условие
1) для каждого п
OViO < ffni < • • •< ®nh < • • •»
причем равенство возможно лишь в случае, если, начиная с
некоторого k, выполняется onk — аПг h+1 = ... = оо.
В соответствии с § 65 мы говорим, что между onk и сгП) ft+1 имеется
скачок, если anfe + 1 <С crn, ft+1. Применяя лемму 65.3, получаем
условие
2) если между ank и crnffe+1 имеется скачок, то onh-u инвариант
Ульма — Капланского группы Тп отличен от нуля.
Из леммы 37.2 сразу следует, что рп-длина группы А не может
превосходить Хп + со, где Хп является /?п-длиной группы Тп. Если
группа рппА является /?п-делимой, то рд-длина не может превосходить
kn. Таким образом, для каждого п выполняется условие
238
Гл. XIV. Смешанные группы
3) если onk Ф оо при всех k, то
оПк<кп + <й для каждого k,
если же опг = оо при некотором I, то onk < Хп для всех onk Ф оо*
Имеется еще одно условие, которому должна удовлетворять
матрица Н (а). Чтобы получить его, докажем сначала простую лемму.
Лемма 103.2. Пусть А — редуцированная нерасщепляющаяся
смешанная группа ранга без кручения \ и Т — ее периодическая часть.
Существует изоморфизм ср из группы А на некоторую подгруппу
группы Ext (Q/Z, Т), причем ограничение ср | Т является каноническим
вложением Т->-Ext(Q/Z, Т).
Сначала рассмотрим естественное вложение Т -+¦ Ext (Q/Z, Т) [см.
лемму 55.1]. В силу теоремы 58.2 это отображение можно расширить
до гомоморфизма ф: А -»¦ Ext (Q/Z, Т). Очевидно, Кег <р — группа
без кручения, откуда следует, что в случае, когда Кег ср Ф 0, группа
Im ср периодическая. Последнее означает, что ср отображает А на 7,
и, значит, Т — прямое слагаемое в А, что противоречит условию.
Таким образом, ср — мономорфизм. а
Пусть о — произвольное порядковое число. Тогда сг-я ульмовская
подгруппа| Ext (Q/Z, Т)° группы Ext (Q/Z, Т) изоморфна прямой
сумме Ext (Q/Z, Т°) © Нот (Q/Z, Н0), где группа Н0 определяется
так же, как в предложении 56.5. Допустим, что рп Тп — 0 при
некотором п; тогда группа р™ Ext (Q/Z, Т°) должна быть рп-делимой.
Пусть о ^ 1. Если о— 1 существует и группа Т^ периодически
полная, то рп-компонента группы Н0 равна нулю, следовательно,
группа Нот (Q/Z, На) должна быть /?п-делимой. Это же верно, если
о — предельное порядковое число и Тп1Т°п — периодическая часть
группы Lno = lim TJT^ (р ->¦ а). Мы получаем следующее
необходимое условие:
4) если при некотором п найдется такое целое число т ^ 0, что
рп Т%, = 0, а Тп'1 — периодически полная группа или Тп/Тп —
периодическая часть группы lim TnITn (р ->• о) [в соответствии с тем,
каким является порядковое число о — непредельным или предельным],
то onk Ф оо влечет за собой
опк<тгхAп> со).
Число со в последнем'неравенстве нужно для того, чтобы не опустить
случай, когда Хп — конечное порядковое число [и Тп — прямое
слагаемое в А].
Теперь мы убедимся в том, что условия 1)—4) дают достаточное
количество сведений о высотных матрицах.
§ 103. Высотные матрицы
239
Теорема 103.3. Пусть Т — редуцированная периодическая группа
и М = [anh] — о X (й-матрица, элементы которой — порядковые
числа или символы оо. Смешанная группа А с периодической частью Тг
имеющая ранг без кручения 1 и содержащая такой элемент а
бесконечного порядка, что
Н (а) = М,
существует в том и только в том случае, когда матрица М
удовлетворяет условиям 1)—4).
Прежде всего локализуем доказательство достаточности, показав,
что наше утверждение верно, если для каждого п существует
смешанная группа Ап со следующими свойствами: ее ранг без кручения
равен 1, ее периодическая часть — это /?п-компонента Тп группы Т;
наконец, она содержит такой элемент ап бесконечного порядка, что
п-я строка матрицы Н (ап) совпадаете /г-й строкой матрицы М, а
остальные элементы матрицы Н (ап) являются символами оо. Допустим,
что такие группы Ап существуют. Тогда мы можем образовать их
прямое произведение G = \\Ап. Периодическая часть группы G в точ-
п
ности совпадает с Т. Для произвольных порядкового числа р и целого
числа п имеем
гфп
Отсюда сразу следует, что М ¦— высотная матрица элемента а =
= (%, . . ., ап, . . .) в группе G. Если в качестве А взять
единственную сервантную подгруппу группы G, которая содержит как 7\ так
и а и имеет ранг без кручения 1, то ввиду леммы 103.1 мы можем
\ тверждать, что высотные матрицы элемента а в группе G и в группе А
совпадают.
Итак, в оставшейся части доказательства мы должны иметь дело
лишь с одним простым числом. Пусть Т — редуцированная р-группа
/;-длины X и (а0, . . ., g/o . . .) — последовательность порядковых
чисел, удовлетворяющая условиям 1)—4). Мы хотим построить
смешанную группу А с периодической частью 7, имеющую ранг без
кручения 1 и содержащую такой элемент а бесконечного порядка,
что последовательность (а0, . . ., okl . . .) является р-индикатором
этого элемента, а для всех простых чисел q Ф р должно выполняться
qA = А. Мы различаем несколько случаев.
а) Существует номер k, для которого Gk = оо, и k — наименьший
среди таких номеров. По свойству 1) имеем
ffo < ai < • • •< tf/i-i < Gk = °° = tffc+i = ... .
Из свойства 2) и леммы 65.3 мы получаем, что существует элемент
х € Т, индикатор которого совпадает с последовательностью
(ао> ои . . ., afe_x, оо). Если положить А = Т ф Q и взять произ-
240 Гл. XIV. Смешанные группы
вольный ненулевой элемент у 6 Q, то элемент а = х + у будет таким,
как требуется.
Начиная с этого места, мы можем считать, что все порядковые
числа ak отличны от оо.
б) Существует номер k, для которого ok ^ X, и k — наименьший
среди таких номеров. В силу свойства 2) мы получаем в этом случае,
что ak+j = ok + / при / = 0, 1,2, ... . Таким образом, если X <С со,
то в группе А = Т © Z найдется элемент с данным индикатором.
Если же X ^ со, рассмотрим группу С = Ext (Z (р00), Г). Ввиду
предложения 56.5 условие 4) гарантирует, что группа С обладает
последней отличной от нуля ульмовской подгруппой, которая
содержит элемент у с индикатором (X, X + 1, . . .). Далее, в силу
условия 3) при / = ky k + 1, ... имеем о,- < X + со, так что, пользуясь
леммой 65.3, нетрудно отыскать элемент а = х + ргу [для
подходящих х 6 Т и г^к], обладающий требуемым свойством.
в) В дальнейшем будем считать, что ok < X. Допустим, что в
последовательности а0, о±, ... имеется лишь конечное число скачков,
и последний скачок находится, скажем, между afe_x и ok. Ввиду
условия 2) и леммы 65.3 существует такой элемент х 6 Т, что его индикатор
совпадает с последовательностью (а0, . . ., oh-ly оо). Найдется такое
порядковое число \i, что со|я ^ Oj < со (\i + 1) при / ^k. Рассмотрев
группу С из п. б), мы видим, что можно найти элемент g ? Сй
[бесконечного порядка! с индикатором (ok, ok + 1, ak + 2, . . .). Выберем
элемент у ? С> для которого /?*# = g- и /ij (г/) + & ^ crft. Тогда элемент
л = х + у обладает данным индикатэ )Ом.
г) Если в последовательности а0, ах, ... имеется бесконечное
число скачков, то пусть они находятся между Ou.-i и ok., где 0 <С
< kx < &2 < ... . Сразу видно, что р = sup ok — предельное
порядковое число. Снова пользуясь леммой 65.3 и условием 2), мы можем
для каждого i найти элемент xt 6 Т, индикатор которого есть
(а0, ах, . . ., Ok.-!, оо); более того, можно считать, что х-ь —xi+1 6
? р hiT. Таким образом, существует элемент Ь из Е = lim Т/р°Т(о-+р),
который переходит в xt при каноническом отображении Е —>- Т1р°1Т
для каждого ?. Отсюда следует, что индикатор элемента Ь не
превосходит (ст0, . . ., aft, . . .). По лемме 37.1 с помощью трансфинитной
индукции мы получаем, что обратное неравенство также верно. Легко
видеть, что существует такая подгруппа Н группы Е, что b б Я,
группа 7* = Т/рРТ является периодической частью группы Я
и Я/Г* ^ Q. Определим группу G с помощью коммутативной
диаграммы с точными строками
Г 1 I!
о->г*->я-^я/г*->о
§ 104. Смешанные группы ранга без кручения 1
241
в которой г|г. Т ->- Т* = Т/р^Т — естественный эпиморфизм. Если
элемент а 6 G переходит в элемент b 6 Я при G -+ Я, то а имеет тот
же индикатор в G, что и 6 в Я.
Доказательство теоремы завершено. в
Упражнения
1. Доказать неравенство треугольника для высотных матриц:
HF + c)>min(H(fc), Н(с)),
2. Исследовать поведение высотных матриц при переходе к
подгруппам, к сервантным или изотипным подгруппам, к эпиморфным
образам.
3. При данной высотной матрице Н (а) найти характеристику
X (а + П
4. Положим А = (а0, ах, . . ., ап, . . . >, где р па0 = рпаЛ при
0^^i^^2^ • • • я kn<i п. Найти высотную матрицу элемента а0.
5. Показать, что произвольная матрица [onh]9 состоящая из
порядковых чисел, является высотной матрицей некоторого элемента
бесконечного порядка в подходящей смешанной группе тогда и только тогда,
когда выполняется условие 1).
6 (Меджиббен [6], Мышкин [5]). Если Т — счетная группа, то
в теореме 103.3 условие 4) может быть опущено.
7. Пусть Т — неограниченная счетная редуцированная /7-группа.
Показать, что существует множество мощности континуума
неизоморфных расширений группы Т с помощью группы Q.
8 (Страттон [1]). Показать, что лемма 103.2 неверна для групп без
кручения А ранга 2, даже если предположить, что А не имеет
слагаемых без кручения, отличных от нуля. [Указание' А = (В 0 С,
q-1 (b + с)), где В — группа без кручения ранга 1, С — смешанная
нерасщепляющаяся группа ранга без кручения 1, периодической
частью группы С является ^-группа Г, причем В и С/Т суть р-делимые
группы, а группа A IT неразложима.]
9. Для данной периодической группы Т описать высотные матрицы
элементов из Ext (Q/Z, Т).
§ 104, Смешанные группы ранга без кручения 1
В этом параграфе мы докажем структурную теорему для
смешанных групп А ранга без кручения 1. Мы покажем, что если
периодическая часть Т такой группы А является счетной группой или, в более
общем случае, прямой суммой счетных групп, то инварианты группы Т
вместе с классом эквивалентности Н (А) образуют полную систему
инвариантов группы А. Способ рассуждений будет аналогичен тому,
который использовался в § 77 и 83.
В соответствии с определением собственного элемента в § 77 и 86
элемент а б А назовем р-собственным относительно подгруппы G
группы А у если он имеет максимальную р-высоту среди элементов
242
Гл. XIV. Смешанные группы
смежного класса а + G. Последнее, очевидно, эквивалентно равенства
высот h* (а) и hp (а + G) [первая берется в Л, вторая — в A/G].
Доказательство основной теоремы опирается на следующие дэд
леммы.
Лемма 104.1 (Ротман [2], Меджиббен [6]). Пусть G— конечщ
порожденная подгруппа редуцированной смешанной группы Л, имекн
щей ранг без кручения 1. Для любого элемента а ? A \G при условии]
что рта 6 G (т > 1), смежный класс a + G содержит элемент, р-соб*
ственный относительно G.
Доказательство достаточно провести для случая G = (g) © Е, гд$
о (g) = оо, а Е — конечная р-группа. Мы можем написать р1а =ч
= prsg при (р, s) = 1 и / ^ т.
Наше утверждение докажем от противного. Допустим, что
существует бесконечная последовательность таких элементов lng + еп
(In € Z, en € Е) из G, что
h*(a)<h^(a + lng + en)<h*(a + ln+ig + en+i) при /г = 1,2, ... .
Можно считать без потери общности, что ег = ... = еп = ... ,
а так как элемент а можно заменить на элемент а + еъ то нам остается
рассмотреть только последовательность вида /ng (я = 1, 2, . . .).
По неравенству треугольника /i* (lng) = /i* (а) для всех я, откуда
следует, что найдется k ^ 0, для которого при всех п выполняется
к = р\, где (sn, р) = 1. Отметим, что AJ (/ng) = AJ (p*g).
Если r=?k + t, то
AJ (а + Pksng) < А* (р'а + pk+tsng) = A* (prsg + pk+tsng) = А* (р^),
где и = min (г, /г + ^). Мы пришли в противоречие с тем фактом, что
в силу равенства
hUVn+i — к) g) =h*(a+ lng)
наибольшая степень p, на которую делится ln+1 — /п, возрастает
с возрастанием п. Если г = k + /, то элемент а можно заменить
на элемент а — pksg и, таким образом, можно считать, что р1а = 0.
Тогда неравенства А* (а + pksng) < h% (ph+tsng) = К (РШё)
приводят к аналогичному противоречию. в
Будем говорить, что изоморфизм ср: G ->- Н между G ^ А иЯ^С
сохраняет высоты, если
Щ>{т)^Щ(ё)
для всех элементов g ? G и всех простых чисел р, где высоты берутся
в С и в Л соответственно.
Лемма 104.2 (Ротман [2]). Пусть А и С — редуцированные группы
с одинаковыми инвариантами Ульма — Капланского для некоторого
простого числа р, и пусть G и Н — конечно порожденные подгруппы
групп А и С соответственно, имеющие ранг без кручения 1.
§ 104. Смешанные группы ранга без кручения 1 243
Если ф: G ->- Н — изоморфизм, сохраняющий высоты, и если
а ? A \G, причем ра 6 G, то ф можно расширить до сохраняющего
высоты изоморфизма <р': (G, #>->- (Я, с>, где элемент с 6 С выбран
подходящим образом.
Благодаря лемме 104.1 без потери общности можно считать, что
элемент а является /^-собственным относительно G. Совершенно так
же, как в доказательстве леммы 77.1, можно найти элемент с 6 С,
удовлетворяющий следующим условиям: с (| Я, рс ? Н, ф (ра) = /?с,
ft* (а) = Лр (с) и элемент с имеет максимальную высоту среди
элементов смежного класса с + Н. Мы утверждаем, что если (k, р) = 1,
то /t*. (&а + g) = Л? (&с + qg) для всех простых чисел q. При </ = р
это сразу следует из того, что оба элемента а и с являются /7-собствен-
ными относительно G и Н соответственно. При q ф р имеем
h\ (ka + g) = h*q (pka -f pg) = h\ (pkc + pyg) = h\ (kc + (pg).
Наконец, изоморфизм ф' определяется тем, что переводит а в с. ш
Теперь нетрудно получить структурную теорему для счетных
смешанных групп ранга без кручения 1.
Теоерма 104.3 (Роман [2], Меджиббен [5], Мышкин [1]). Пусть А
и С — счетные смешанные группы ранга без кручения 1. Группы А
и С изоморфны тогда и только тогда, когда:
1. их периодические части Т (А) и Т (С) изоморфны и
2. высотные матрицы Н (А) и И (С) эквивалентны.
Ввиду наших рассмотрений в § 103 нам нужно убедиться лишь
в том, что условия теоремы достаточны. Допустим, что выполняются
условия 1 и 2 и, кроме того, группы Т (А) и Т (С) редуцированны.
Если группа А не является редуцированной, то А ^ Т (А) ф Q
и из эквивалентности высотных матриц легко получить, что С ^
= Т (С) ф Q. Итак, пусть А и С — редуцированные группы. В силу
эквивалентности высотных матриц существуют элементы g 6 А и h ? С,
имеющие бесконечный порядок и одинаковые высотные матрицы. Это
означает, что соответствие g*-*h индуцирует изоморфизм ф: (g)-+(h),
сохраняющий высоты. Так как А и С — счетные группы с
одинаковыми инвариантами Ульма — Капланского для всех простых чисел,
то, пользуясь леммой 104.2, изоморфизм ф можно продолжить
[присоединяя шаг за шагом элементы из Л и С попеременно] до изоморфизма
между группами А и С [ср. доказательство ульмовской теоремы 77.31. ш
Последний результат легко распространяется на случай, когда
периодические части являются прямыми суммами счетных групп.
Следствие 104.4 (Меджиббен [6]). Смешанные группы ранга без
кручения 1 изоморфны, если их периодические части являются
изоморфными прямыми суммами счетных групп, а их высотные матрицы
эквивалентны.
244
Гл. XIV. Смешанные группы
Пусть А и С — группы с указанными свойствами. Путь G —
счетная сервантная подгруппа группы Л, содержащая элемент
бесконечного порядка [см. предложение 26.2]. Тогда подгруппа G П Т (А)
содержится в счетном прямом слагаемом U' группы Т (Л). Пусть
Т (Л) = W 0 S. Так как Л = (G, Т (Л)>, то Л = U 0 S, где
U = (G, U' > — счетная группа, а 5 — периодическая группа.
Аналогично, С = У © Г, где V — счетная группа, а 7 — периодическая
группа. Ввиду структурной теоремы 78.4 для прямых сумм счетных
р-трупп без потери общности можно считать, что Т (U) ^ Т (V)
и 5 ^ Т. Поскольку высотные матрицы любого элемента бесконечного
порядка одинаковы в группе Лив подгруппе U [в группе Сив
подгруппе V], мы получаем по теореме 104.3, что группы Л и С
изоморфны. в
Уоллес [1] распространил структурную теорему на случай, когда
периодические части являются тотально проективными группами. Меджиббен [6] доказал
этот результат для групп с периодически полными периодическими частями.
В общем случае изоморфность периодических частей и
эквивалентность высотных матриц не дают изоморфноети самих групп. Это
иллюстрируется следующим примером.
Пример (Меджиббен [6]). Пусть В — неограниченная счетная прямая
сумма циклических р-групп и В — соответствующая периодически полная
группа. Существует такая сервантная подгруппа Т группы В, что В cz Т и В/Т ^
?ё Z (р°°). Из предложения 56.5 следует, что Ext (Z (р°°), ТI & Нот (Z (р°°),
Z (р00)) ^ Jp. Таким образом, найдется такая подгруппа Н группы Ext (Z (р°°),
Т)у что Т cz Я, Н/Т ^ Q и Н1 Ф 0. Аналогичным образом получим такую
подгруппу G группы Ext (Z (р°°), В), что В a G, G/B ss Q и G1 Ф 0. Легко видеть,
что существуют такие элементы g ? G, h ? Н бесконечного порядка, что
hp (phg) = со + k = hp" (pkh) при k = 0, 1, . . ., так что высотные матрицы
И (А) и U (С) для групп A — G®TnC=H@B эквивалентны. Кроме того,
Т (А) = В ф Т ?* Т (С). Чтобы показать, что группы Л и С не являются
изоморфными, докажем следующие свойства:
1) H/W^B; 2) G/G^B; 3) ВфГ$1®В.
Свойство 1) следует из того факта, что если Т — сервантная подгруппа сепа-
рабельной р-группы 5, причем S/T ss Z (р°°), то 5 s 5 [см. § 68, упр . 15].
Поскольку G/G1 — счетная сепарабельная р-группа и группа В изоморфна
некоторой сервантной подгруппе группы G/G1, факторгруппа по которой есть Z (р°°),
свойство 2) следует из предложения 68.3. Наконец, по теореме 73.7 в случае
60Гй В 0 В группа Т была бы прямой суммой периодически полных
р-групп, что, очевидно, невозможно.
Упражнения
1. Две счетные смешанные группы ранга без кручения 1
обязательно изоморфны, если каждая из них изоморфна изотипной подгруп'
пе другой.
2. (Меджиббен [6]). Пусть Л, С — смешанные группы ранга без
кручения 1, а ср — изоморфизм между сервантной смешанной
подгруппой G группы А и сервантной подгруппой Н группы С. Если
ограничение ср | Т (G) можно расширить до изоморфизма между Т (А)
§ 105. Группы с заданной последовательностью Ульма 245
и Т (С), то ф можно расширить до изоморфизма между А я С.
[Указание: очевидное отображение.]
3 (Меджиббен [6]). Пусть А и С — такие смешанные группы ранга
без кручения 1, что Т (А) и Т (С) — изоморфные периодически
полные группы, а матрицы Н (А) и Н (С) эквивалентны. Доказать, что
А ^ С [Указание: применить упр. 2, где Т (G) — базисная подгруппа
группы Т (Л).]
4 (Ротман и Йен [1]). Пусть Т — редуцированная периодическая
группа с конечными инвариантами Ульма — Капланского, и пусть
А, С — счетные смешанные группы ранга без кручения 1. Показать,
что А ф Т ^ С © Т влечет за собой А ^ С.
5 (Ротман [2]). Пусть А и С — счетные смешанные группы ранга
без кручения 1, причем А © А ^ С © С. Доказать, что А ^ С.
6 (Меджиббен [6]). Пусть А — счетная смешанная группа ранга
без кручения 1. Группа А расщепляется тогда и только тогда, когда
почти каждая строка высотной матрицы не имеет скачков, никакая
строка не имеет бесконечного числа скачков и строка, содержащая
не только целые числа, обязательно содержит и символ оо.
§ 105. Группы с заданной последовательностью Ульма
Часто можно столкнуться с проблемой построения групп по
определенным составляющим. В этом параграфе мы изучим такое
построение для групп с заданными последовательностями. Ульма. В § 37
мы уже исследовали последовательности Ульма и установили ряд
их свойств. Но некоторые важные вопросы остались нерешенными,
например следующие. Существуют ли группы произвольно большой
ульмовской длины? Являются ли условия, перечисленные в
теореме 37.6, достаточными, чтобы гарантировать существование группы
с данной последовательностью групп в качестве последовательности
Ульма?| Теорема Цыпина [теорема 76.2] дала ответ на эти вопросы для
счетных р-групп. Мы получим полное решение для общего случая
в теореме 105.3.
Итак, проблема состоит в отыскании необходимых и достаточных
условий на вполне упорядоченную последовательность групп
А0,А19 . . ., Лс> . . . (а<т), A)
для того чтобы существовала такая редуцированная группа А
мощности ш, что последовательность A) является ее последовательностью
Ульма. Мы хотим показать, что следующие условия из теоремы 37.6
достаточны:
а) первая ульмовская подгруппа группы А а равна нулю при каждом
° < т;
б) 2 |Л,|<ю< П \Ап\;
0^а<т 0^п<тт(со,т)
в) г (В<7+1, p)^finr (AG> р) для любого а+1<:т и любого
простого числа р;>
246 Гл. XIV. Смешанные группы
г) 2 I во, р 1^1 #р, р П А>.р1 для любого О^Гр < т и любого про-
р<о<т
гтого *шсла /7.
Напомним, что Л а> р и Ва> р обозначают здесь /^-компоненту и р-ба-
зисную подгруппу группы Ла соответственно.
Один из основных этапов построения заключается в следующей
лемме.
Лемма 105.1. Пусть даны произвольные редуцированные группы
G и Н и р-базисная подгруппа Вр группы G. Пусть х — ульмовская
длина группы И. Если т — непредельное порядковое число и выполнено
условие
r(Bp)^i'mr(Hl~i) для любого простого числа р, B)
то существует такая [обязательно редуцированная] группа А, что
AX^G и А/АХ^Н.
Прежде всего выберем для каждого простого числа р квазибазис
в группе Яр-1 относительно некоторой нижней базисной подгруппы.
Это система элементов {at (/?), cjn (/?)}, связанных соотношениями вида
|>e*fli(p)=0,
РСл (р) = 0, pcj, n+i (р) = cjn (р) + stub (/?)+...+ stau (р) (п> 1).
Здесь Si — целые числа, в то время как i и / пробегают некоторое
множества индексов / (р) и J (р) соответственно, причем | / (р) | =
= fin г (Я*).
Затем выберем полную систему представителей {dk}k?K смежных
классов группы Н по подгруппе ® Яр. Тогда каждый элемент
v
h 6 Я может быть записан в виде
A-4+2[™iMP)+ • • • + mrair(p)+qiChni(P)+ • • • + qtcjtnt(p)h D)
v
слагаемые при этом определяются однозначно, если (qy р) = 1 и ни
один из та не равен нулю. Выберем также некоторый базис {бр/Ьевд
группы Вр. Очевидно, что | L (р) | = г (Вр).
Определим А как группу, порожденную группой G и элементами
ut (р)у VM (р) [гДе Р пробегает все простые числа] и wk, взаимно
однозначно сопоставленными с элементами а-ъ (/?), Cjn (р)> dk соответственно
и подчиняющимися тем же определяющим соотношениям, за
исключением того, что соотношение рсп (р) = 0 заменяется на соотношение
{0 или
некоторый bph причем каждый такой элемент E)
bpi{l?L(p)) встречается только один разж
§ 105. Группы с заданной последовательностью Ульма 247
Здесь bpi — элемент из Л, соответствующий элементу bpi 6 G. Заметим,
что соотношение E) имеет смысл ввиду условия 2). Элементы из Л
нам будет удобно записывать в виде g + /i, где g ? G, a h — линейная
комбинация элементов uiy vjn и wk. Операции над элементами из Л,
записанными в таком виде, выполняются так же, как это делается
в группе G и как предписано определяющими соотношениями.
Если приравнять все элементы g нулю, то мы получим эпиморфизм
группы Л на группу Я, ядро G которого — это множество всех
элементов gf где g 6 G. Чтобы убедиться в том, что G ^ G, возьмем
делимую оболочку D группы G. Установив сначала соответствие g>->g,
мы можем последовательно приписать элементам щ (р), vjn (р) и wk
такие образы в группе D, что все определяющие соотношения будут
сохранены. Тот факт, что это может быть сделано, доказывает, что
отображение g >-> g группы G в группу Л является мономорфизмом,
G ^ G и, таким образом, AIG ^ Н.
Очевидно, сп(р)^Н1~{, а в силу соотношения E) имеем bpi?Ax.
Пусть подгруппе Вр соответствует подгруппа Вр в группе G, и пусть
С/2 Вр —делимая часть группы А/^]ВР. Из редуцированности группы
р р_ _
Л/Лт следует, что С^АХ и, значит, G^C, так как группа Gl^Bp
v
делимая. Таким образом, G^AX. Обратное включение сразу вытекает
из того, что (A/G)x ^ Нх = 0. Итак, Ах ^G.m
Ясно, как с помощью леммы 105.1 построить группу конечной
ульмовской длины, если заданы ее ульмовские факторы. Следующая
лемма показывает, что это может быть сделано в случае, когда уль-
мовская длина равна со.
Лемма 105.2. Пусть Л0, Аъ ..., Лт, ... — последовательность
групп, удовлетворяющих условиям а) и в). Если ш — кардинальное
число, удовлетворяющее условию б), то найдется редуцированная
группа G мощности т и длины со, для которой Л0, Л2, . . ., Лт, ... —
ее последовательность Ульма,
Так же как в доказательстве леммы 105.1, выберем для каждого
простого числа р квазибазис {af (/?), cfn (р)} группы Атр
относительно некоторой нижней базисной подгруппы В'тр. Затем мы также
выберем полную систему представителей {df} смежных классов группы Ат
по ее периодической части. Определим теперь С как группу,
порожденную всеми элементами и™ (/?), vfn (р) и wf [при всех р и т]. Эти
элементы взаимно однозначно сопоставлены с элементами af (/?), с% (р)
и d™ соответственно и подчиняются тем же определяющим соотноше-
248
Гл. XIV. Смешанные гриппы
ниям, что и соответствующие элементы а, с и dy за единственным
исключением: соотношение pcfl (р) = 0 заменяется на соотношение
f 0 для множества индексов /
мощности fin г(Атр);
некоторый wTn+1 (р) или
ptij} (р) = { некоторый й|И-1 (р), (б)
причем каждый из элементов
и™+1 (р), и™*1 (р) встречается
только раз.
Здесь wp^(p) — такие элементы из Am+i, что множество {wf+1 (р),
um+i ^pjj соответствует базису р-базисной подгруппы 5m+i, р, для
которой B^_i_ijP — периодическая часть.
Пусть Cim) обозначает подгруппу группы С, порожденную всеми
элементами и* (р), vjn (р) и wsh, где s ^ m (т = О, 1, 2, . . .). Тогда
С@) = С и с помощью индукции мы получаем из леммы 105.1 и
соотношения F), что С@)/СGП), . . ., С(т~и/С(т — ульмовские подгруппы
группы С/СШ) с ульмовскими факторами Л0, А1у . . ., Ат_г.
Следовательно, С@\ СA\ . . ., Сш\ ... — ульмовские подгруппы, а Л0,
Д, . . ., Ат, . . . — ульмовские факторы группы С. Имеем также
| С | = п, где и = 2 | Ат |.
7П<A)
Мы переходим к определению группы D с той же
последовательна
ностью Ульма, что и у группы С, но мощности р = [J | Ат |. Пусть
я™+1: C/Cm+i -> C/Cm — каноническое отображение при каждом га,
и пусть D — обратный предел системы {С/С™, л;^+1}. Так как
отображение с ь-> (с+ С1, . . ., с + Cw+1, . . .) является мономорфизмом
группы С в группу D, то группу С можно отождествить с ее образом
в группе D. Пусть nm\D-+C/Cm— каноническое отображение;
сразу видно, что пт — эпиморфизм при т = 0, 1, ... .С
помощью простой индукции мы можем убедиться в том, что элемент
(хОУ . . ., хт, . . .) (где хт 6 С/С™*1) принадлежит группе Dm тогда
и только тогда, когда х0 = ... = хт-г = 0. Мы заключаем, что
С П Dm = Cw, более того, подгруппа С изотипна в группе D.
Поскольку С + Dm = D при каждом га, мы видим, что D/C —
делимая группа и DID™ ^ С/(С (] D™) = С/Ст. Следовательно, группа D
обладает той же последовательностью Ульма, что и группа С.
Очевидно, что группа D имеет мощность р.
Пусть теперь GIC — такая делимая подгруппа группы D/C, что
| G | = ш. Непосредственно по индукции получаем, что подгруппа G
должна быть изотипной в группе D, таким образом, Gm = Dm f] G
для любого га. Значит, GIGm = (G + Dm)/Dm = D/Dmy так как
G + Dm ^ С + ?>т = С Отсюда сразу следует, что группа G обла-
§ 105. Группы с заданной последовательностью Ульма 249
дает той же последовательностью Ульма, что и группа D, так что
G — искомая группа. в
В связи с последним доказательством необходимо сделать два
замечания.
Замечание 1. ур-цоколь группы С порождается всеми элементами
вида /?е*_1^™ (р) и теми элементами vj[{p), которые удовлетворяют
равенству pvj\(p) = 0 в соотношение F). Если для фиксированного т
последние элементы порождают подгруппу Рт, то, очевидно,
Ст [р] = Pm®Cm+i [р\ и С [р] = 0 Рт.
7П = 0
Более того, из определений легко получить, что
оо
Dm [р] = Pm®Dm+i [р] и D[p)=H Рт.
Замечание 2. Для того чтобы оценить р-ранг группы DICy
оценим размерность группы D [рУС [р] [см. теорему 28.1]. Если
группа Рт определяется как указано выше, то ввиду соотношения F),
очевидно, имеем | Рт \ = \ Ат „ |. Из этого равенства, а также из
представления групп С [р] и D [р] в виде прямой суммы и прямого
произведения соответственно вытекают неравенства
dim D[p]/C[/?]>min Д | Ат, р |>min| Ат> Р^° = хр. п\
t t^m т v '
Следовательно, группу G из доказательства леммы 105.2 всегда
можно выбрать таким образом, чтобы выполнялось rp(G/C)—mm(m> хр)
для каждого простого числа р.
Теперь мы в состоянии доказать основной результат о построении
групп с заданными последовательностями Ульма.
Теорема 105.3. Пусть ш — кардинальное число, т — порядковое
число и A) — последовательность ненулевых групп. Редуцированная
группа А, имеющая мощность ш и ульмовскую длину т и такая, что
A) — ее последовательность Ульма, существует в том и только в том
случае, когда выполнены условия а) — г).
В силу теоремы 37.6 нам нужно доказать лишь то, что если ш, т
и A) удовлетворяют условиям а) — г), то указанная группа А
существует.
А) Прежде всего [единственным образом] представим число г
в виде т = со(я + г, где [л — порядковое число, а г —
неотрицательное целое число. Данную последовательность Ульма можно разбить
на попарно непересекающиеся подпоследовательности
(tt< CD) (8)
типа со, где 0 ^ v < \i, и конечную последовательность Л©^ , . . .
• • ., Лщр+г-!, пустую, если г = 0.
250
Гл. XIV. Смешанные группы
Б) Для каждого порядкового числа v < \х определим группу Gv
ульмовской длины со с последовательностью Ульма (8). Положим
ш0 = ш и
Wv= 2 IAjI При V>0.
Заметим, что для произвольных кардинальных чисел mt (i?l)
выполняется неравенство
2тГ°<Bтг)Хо.
В силу теоремы 34.3 и условия г) отсюда следует, что
2 \Аа\< 2 (S|Ba,P|)N°<
p<a<t p<a<x р
<B 2 1А,,Р|Г<B|адпЛЛ>ГГ<
V p<a<x p
<B|вр.р|)Ко<ИрГ.
Если теперь 1 Лр ] = min | Ла|, где cov^a<co(v +1), то
a
mv= 2 14,1+ 2 |4,|<
©v^a<p p<a<x
< 2 |4>| + 14>Г< П 14,1.
cov^a^p o)v^a<co(v+l)
Ввиду последнего равенства и условия б) из условий а) и в) следует
существование такой группы Gv длины со и мощности mv, что (8) —
ее последовательность Ульма [см. лемму 105.2]. Это верно для всех
•v < |я; если же г > 0, то существует группа G^, для которой Лщц, ...
• • •> ^©ii+r-1 — последовательность Ульма.
В каждой группе Gv для всякого простого числа р выберем
квазибазис {di(p), с]п(р)}. Затем выберем полную систему
представителей {dl} смежных классов группы Gv по ее периодической части.
В) Следующим способом определим теперь искомую группу А.
Для каждого порядкового числа v^jli выберем образующие
ut(P)i vln(p), wvh, взаимно однозначно сопоставленные с
образующими группы Gv. Они подчиняются следующим определяющим
соотношениям:
1. реи%(р) = 0, если e = e(di(p));
2. pvvj[(p) равняется нулю или некоторому и*(р) или некоторому
и*(р) при x>v.
Здесь и* (р)— элементы, соответствующие элементам а* (р), где
{а*(р), а* (р)} — базис группы BXtP.
§ 105. Группы с заданной последовательностью Ульма 251
3. pv]t n+i (р) = Vjn (р) + SiliZi (р) + . . . + SfUi (р) В ТОМ И ТОЛЬКО ТОМ
случае, когда в группе Gv выполняется равенство
Pel n+i {р) = с]п (р) + Wli (р)+...+ sta\ (р);
4. [^ki + Wk2 = Wk + J, где / — линейная комбинация образующих
и1{р), vln(p) с фиксированным v [и меняющимся р]; это
соотношение выполняется в том и только том случае, когда в группе Gv
выполняется равенство dli + dl2 = dl + f, где / — соответствующее
выражение для образующих аУ{ (р), сУп(р).
В дальнейшем будут использованы следующие факты:
а) В силу замечания 2 можно считать, что группа Gv(v<n)
построена таким образом, что р-ранг группы GJCV равен min (mv, тр, где
tj= min |ЛР,Р|*°,
o)v^p<(o(v+l)
а группа Cv соответствует группе С из леммы 105.2.
Р) Для произвольного простого числа р множество {^(р), и? (/?)},
где x>v, имеет мощность 2 fE©x, р)« Последняя не превосходит
мощность 2 lAoxl^tttv. Более того, по условию г) при каждом р,
v<x
заключенном между cov и co(v+l), имеем
2 /•(Bcox.pXmin 2 |5а,р|<тт|Лр,р|>0 = ^.
v<x р р<а р
Следовательно, можно считать, что в соотношении 2 мы полагаем
pv]\ (р) = 0, как только cji (р) 6 Cv, и при каждом фиксированном v
каждый из элементов и% (р), и* (р), где х > v, встречается не более
одного раза.
Г) Докажем, что группа Л, определенная в п. В), удовлетворяет
всем требуемым условиям.
Ясно, что произвольный элемент а ? Л можно записать в виде
суммы а = xVi + . . . + xv , где v± < . . . < vb причем каждый
элемент xv соответствует ненулевому элементу gv ? G вида D).
Мы утверждаем, что а Ф 0, если t^\. Приравняв нулю все
образующие с верхними индексами, большими, чем vl9 мы видим, что
достаточно показать, что xVi Ф 0, если gVi Ф 0. Так же как в
доказательстве леммы 105.1, в этом можно убедиться, продолжив вложение
GVl -> Е группы GV1 в ее делимую оболочку Е до гомоморфизма Л -*- Е.
Из условия в) заключаем, что mv ^ m для любого v, а также
I т | ^ т. Отсюда m = т0 < I Л | = 2 mv ^ я*-т = т, значит,
V
группа А имеет мощность т.
Теперь мы покажем, что все элементы иУ (р), иУп (р) и w*, где
v^l, принадлежат первой ульмовской подгруппе А1 группы Л.
252
Гл. XIV. Смешанные группы
По тем же причинам, что и в доказательстве леммы 105.1, достаточно
лишь доказать, что это верно для некоторого и[ (р) и некоторого
Ui (/?). Последнее, однако, сразу следует из соотношения 2 и п. Р).
Ввиду п. Р) элемент vv из Л, соответствующий элементу cv из
Cv [/?], лежит в А [р]. Таким образом, если pv]n (р) = и* (/?), то
и р (vjn (р) + vv) = и[ (р) для каждого такого vv. При данном целом
числе т элемент vv можно выбрать таким образом, что с]п (р) + cv 6
6 Gv. Следовательно, при v ^ 1 все элементы и{ (р) и и{ (р)
принадлежат группе Л°\ то же верно для всех и[ (/?), v]n (р)у wl при v ^ 1.
Мы сразу получаем, что А/А® ^ G0. Таким образом, первые со уль-
мовских факторов группы А совпадают с ульмовскими факторами
группы G0. Ясно, как провести трансфинитную индукцию, снова
ссылаясь на п. Р). Тем самым будет доказано, что последовательность
Ульма группы А действительно является заданной
последовательностью групп. в
Упражнения
1. Дать подробное доказательство первого из неравенств G).
2. Сформулировать и доказать аналог леммы 105.1 для
предельных порядковых чисел т.
3 Следующим образом доказать лемму 105.1:
A) Используя пример Прюфера из § 35, определить группу Dpy
для которой Dp — Вр, а КР = DvIDp — прямая сумма циклических
р-групп. Обозначим через Е точную последовательность 0 ->- Вр ->-
B) Для мономорфизма хр: /Ср ->¦ Нр 1 определить
последовательность Ехр1: 0-> Вр -> Ер-+ Hi'1 -> 0 и показать, что Вр = Ер.
C) Для естественного вложения v: © Яр -*- Я и гомоморфиз-
v
ма \i: © Bp-+G [определенного очевидным образом] получить после-
v
довательность ^(©fxp^v: O-^G-^Л-^Я-^О и убедиться в том,
V
что А — искомая группа.
4. Заменив мономорфизм хр из упр. 3 подходящим
мономорфизмом %р\ КР —>¦ Нр, провести аналогичное доказательство в случае,
когда т — предельное порядковое число.
5. Пусть ульмовская длина т группы А — предельное порядковое
число, и пусть G = lim A/AG при о -> т, где отображения А/А° ->-
-*¦ А/Ар (р ^ о) — естественные гомоморфизмы. Показать, что уль-
мовские факторы группы G не обязаны быть теми же самыми, что
и у группы А. [Указание: добиться строгого неравенства |G|>
> \В |No, где В — базисная подгруппа группы А.]
6. Улучшить теорему 105.3, наложив условия на кардинальные
числа | А™/А°{*+" |.
Замечания
253
7*. Как выглядит теорема 105.3, если ограничиться случаем,
когда А — копериодическая группа? [Указание: см. теорему 54.3.]
8*. Сформулировать теорему 105.3 для пары групп Л, Г, где Т —
периодическая часть группы А.
9. Привести примеры групп, имеющих разные мощности и
одинаковые последовательности Ульма.
10. Для любого порядкового числа т ^ со существует 2,т|
неизоморфных редуцированных групп ульмовской длины т и мощности,
не превосходящей | т |.
11. Пусть G — такая группа, что G1 = 0. Найти мощность
множества неизоморфных редуцированных групп Ау для которых А0 ^G.
Замечания
Впервые нерасщепляющаяся смешанная группа была построена Леви [1].
Около двадцати лет спустя Фомин [1] и Бэр [4] нашли достаточное условие и
точный критерий [теорема 100.1] соответственно расщепляемости смешанных групп.
Двойственная проблема для групп без кручения оставалась открытой в течение
тридцати лет, пока не была решена Гриффитом [7]; см. теорему 101.1.
Ирвин, Кхаббаз и Райна [1,2] использовали тензорное произведение, чтобы
ввести своего рода меру, указывающую, насколько данная смешанная группа
далека от расщепляемости. Некоторые из их результатов были улучшены Лоуве-
ром и Тубасси [1].
Проблема расщепления для модулей исследовалась многими авторами. Рот-
ман [Rotman Z., Anais Acad. Brasil. Ci., 32 A960), 193—194] доказал, что
коммутативные области целостности, над которыми все смешанные модули
расщепляются,— это в точности поля. Эта же проблема в некоммутативном случае
рассматривалась Тепли [Teply М. L., /. London Math. Soc.y 4 A971), 157—164]. Каплан-
ский [Kaplansky I., Trans. Amer. Math. Soc, 72 A952), 327—340] заметил, что
смешанные модули с ограниченными периодическими частями обязательно
расщепляются над дедекиндовыми областями целостности. Чейз [1] показал, что
среди коммутативных областей целостности лишь дедекиндовы кольца обладают
этим свойством. О расщепляемости модулей над коммутативными областями
целостности см. также работу Капланского [Kaplansky I., Arch. Math., 13 A963),
341—343].
Для модулей М над произвольными кольцами R периодические части могут
определяться различными способами, и для каждого из способов определения
можно искать критерий расщепляемости. Весьма плодотворно следующее
обобщение понятия периодической части. Сингулярным подмодулем Z (М) модуля М
называется множество элементов из М, аннуляторы которых являются левыми
идеалами, существенными в R. О соответствующей проблеме расщепления см.
Катэфорис и Сандомирский [Cateforis V. С, Sandomirski F. L., /. Algebra, 10
A968), 149—165; Pacific J. Math., 31 A969), 289—292]. Имеется обширная
литература по теориям кручения, см. Ламбек [Lambek J., Lecture Notes in
Mathematics, № 177, Springer-Verlag, 1971].
Поскольку проблема расщепления играет центральную роль в теории
смешанных групп, нет ничего удивительного в том, что уделялось много внимания
разнообразным обобщениям этой проблемы. Оппельт [1] рассматривал такие
вполне разложимые группы без кручения G, что все расширения периодических
групп с помощью группы G являются прямыми суммами р-смеиганных групп,
взятыми по различным простым числам р [р-смешанной называется группа,
у которой периодическая часть является р-группой]. Гриффит [6] решил этот
вопрос для произвольных групп без кручения G. Соответствующие сведения
насчет квазирасщепляющихся групп дала К. Уокер [1].
Хорошая классификация смешанных групп оказалась вне нашей
досягаемости и, вероятно, останется таковой на некоторое время. На самом деле смешан-
254
Гл. XIV. Смешанные группы
ных групп так много, что мало надежды в ближайшем будущем найти способ
«склеивания» их периодических частей и факторов без кручения. Счастливым
исключением является случай, когда ранг без кручения равен 1, и интуитивно
ясно, что, исследуя такие смешанные группы, можно многое узнать о смешанных
группах вообще. Исходя из этих соображений, автор посвятил работу [16]
структурной проблеме смешанных групп ранга без кручения 1. К настоящему
времени мы обладаем хорошей структурной теорией смешанных групп с тотально
проективными периодическими частями. Понятие высотной матрицы является
ключевым; его ввел Ротман [2] и широко использовали Меджиббен [6] и Мышкин
[5]. В этих двух работах была доказана теорема 103.3 для счетных групп; общий
случай рассмотрен, видимо, впервые. Структурная теорема 104.3 обязана своим
появлением [Ротману [2] в частном случае] Меджиббену [6] и Мышкину [5].
Уоллесу [1] удалось распространить ее на группы с тотально проективными
периодическими частями.
Смешанные модули над полными кольцами дискретного нормирования
находятся в более благоприятной ситуации. Мы имеем здесь дело лишь с одним
простым элементом, и действительно эти модули образуют класс, лучше
поддающийся изучению. См. Ротман [Rotman J., Pacific J. Math., 10 (I960), 607—623],
Ротман и Йен [1], Банг [Bang С. М., Bull. Amer. Math. Soc-.y 76 A970), 380—383;
J. Algebra 14 A970), 552—560; Proc. Amer. Math. Soc, 28 A971), 381—388].
Последние результаты Уорфилда [5] дают важное обобщение теории тотально
проективных р-групп.
Построение смешанных групп с заданной последовательностью Ульма было
независимо проведено Уорфилдом и автором [не опубликовано]. Рассмотрения
§ 105 сходны с тем, что сделано автором в его работе [2], где исследовался случай
примарных групп. Для смешанных модулей над 0.р и Q* проблема решена
Куликовым [3]; его результат легко распространяется на случай смешанныхГмодулей
над произвольными кольцами дискретного нормирования.
Проблема 80 (Бэр [4]). Найти необходимые и достаточные
условия, при которых пара (Г, G), где Т — периодическая группа,
a G — группа без кручения, удовлетворяет равенству Ext (G, Т) = 0.
Один из частных случаев рассмотрен Оппельтом [2]; Для случая счетных
групп см. § 101, упр. 7.
Проблема 81. Используя теорию тотально проективных
р-групп и высотных матриц, разработать теорию смешанных групп А,
для которых Т (А) — тотально проективная группа, a A IT (А) —
делимая [или, в более общем случае, вполне разложимая] группа.
Проблема 82. Исследовать группы А со следующим
свойством: если А содержится в прямой сумме редуцированных групп At
(i 6 /), то найдется такое целое число п > 0, что некоторая
существенная подгруппа группы пА содержится в прямой сумме конечного числа
групп Аг.
Заметим, что все алгебраически компактные и копериодические группы,
а также все периодически полные р-группы и группа Р = 2Хо обладают этим
свойством. См. Чейз [Chase S. U., Proc. Amer. Math. Soc.t 13 A962), 214—216].
Проблема 83. Комбинируя теории тотально проективных
р-групп и вполне разложимых групп без кручения, построить более
общую теорию для произвольных групп.
Для модулей над кольцами дискретного нормирования это было сделано
Уорфилдом.
Глава XV
КОЛЬЦА ЭНДОМОРФИЗМОВ
С абелевой группой А можно связать кольцо Е (Л) всех ее эндоморфизмов.
Это ассоциативное кольцо с 1, до известной степени отражающее некоторые
свойства группы А. Естественно попытаться найти точные соотношения между
групповыми свойствами группы А и кольцевыми свойствами кольца Е (А).
Существует много примеров неизоморфных групп с изоморфными кольцами
эндоморфизмов. Следовательно, в общем случае кольца эндоморфизмов не
определяют группы. Однако в важном частном случае периодических групп А кольцо
Е (А) полностью характеризует группу А [см. § 108].
Одна из основных проблем, касающихся колец эндоморфизмов,— найти
критерии для того, чтобы кольцо являлось кольцом эндоморфизмов некоторой
абелевой группы. Пока такие критерии известны лишь для некоторых более или
менее узких классов. Например, кольца эндоморфизмов периодических сепара-
бельных групп могут быть охарактеризованы удовлетворительным образом
[см. § 109], а при предположении счетности можно установить довольно общее
достаточное условие в случае групп без кручения [см. § 110]. Отметим, что кольца
эндоморфизмов также проливают свет на основное различие между
периодическими группами и группами без кручения: в то время как кольца эндоморфизмов
периодических групп принадлежат узкому классу колец, все счетные
редуцированные кольца без кручения с 1 оказываются кольцами эндоморфизмов.
Проблема выяснения, когда кольцо является кольцом эндоморфизмов, может
стать проще, если ограничиться определенными классами колец. Полный или
почти полный ответ получается, если Е (А) — простое, артиново, регулярное или
я-регулярное кольцо [см. § 111 и 112].
Мы также вкратце рассмотрим представление колец эндоморфизмов
матрицами и некоторые топологии в кольцах эндоморфизмов.
§ 106. Кольца эндоморфизмов
Хорошо известно, что эндоморфизмы а, р, ... абелевой группы А
образуют кольцо относительно операций сложения и умножения
гомоморфизмов:
(а + Р) а = cm +[,ра и (ар) а = а фа) для всех а 6 А.
Таким путем получается ассоциативное кольцо с единицей,
называемое кольцом эндоморфизмов Е (А) группы А.
Очевидно, аддитивная группа кольца Е (А) — это не что иное,
как группа End Л, введенная в § 43.
Пример 1. Если А = Z, то, согласно примеру 1 из § 43, всякий
эндоморфизм a: Z ->- Z полностью определяется элементом а1. Легко видеть, что
соответствие а н—> а 1 между эндоморфизмами группы 2 и целыми числами
является изоморфизмом не только в теоретико-групповом, но и в теоретико-кольцевом
смысле. Другими словами,
E(Z)^Z.
256
Гл. XV. Кольца эндоморфизмов
Пример 2. Аналогичные рассуждения и ссылка на пример 2 из § 43
дают изоморфизм
E(Z(m))~Z/(m).
Пример 3. Пример 3 из § 43 дает изоморфизм
E(Z(poc))^Q*.
Пример 4. Пусть R — рациональная группа, и пусть 1 ? R- Здесь опять
эндоморфизмы а вполне определяются элементами al, поэтому эндоморфизмы
являются просто умножениями на рациональные числа. Эндоморфизм всегда
-сохраняет делимость элементов на целые числа. Поэтому рациональное число
представляет эндоморфизм группы R тогда и только тогда, когда для всякого
простого делителя р его знаменателя pR = R. Следовательно, кольцо Е (R)
изоморфно подкольцу кольца Q, порожденному 1 и всеми такими числами р-1,
что pR = R. В частности,
Пример 5. Из примера 5 § 43 непосредственно следует, что
E(Jp)^Q*.
Пример 6. Если М — левый R-модуль, то R-эндоморфизмом назовем
эндоморфизм а аддитивной группы модуля М, перестановочный с умножениями
на элементы кольца, т. е. такой эндоморфизм а, что
а (ра) = ра (а) для всех а ? М, р G R*
К-эндоморфизмы образуют подкольцо Е^ (М) кольца Е (М)* Если кольцо R
содержит единицу, то R-эндоморфизмы кольца R как R-модуля образуют
кольцо, антиизоморфное кольцу R. В частности, изоморфизм в приведенном выше
примере 5 продолжает существовать, если заменить Е (Jp) на Eq* (Jp).
Пример 7. Пусть М — модуль над кольцом 2 = ПО? и М1 = 0. Тогда
* р
всякий Z-эндоморфизм г] модуля М является Z-эндоморфизмом. Чтобы это
проверить, покажем, что эндоморфизм я, являющийся умножением на я^2, лежит
в центре Е(М). Если km (m=l, 2, ...)—такие целые числа, что km-+n\ Z-ajifl-
ческой топологии кольца Z, то и ят], и т]я — предел последовательности элементов
kmr\ = r\km в Z-адической топологии кольца Е(М). Так как Е(УИI = 0, то ят]=зт]я.
Мы часто использовали тот факт, что прямые разложения группы
соответствуют идемпотентным эндоморфизмам. При изучении колец
эндоморфизмов эта взаимосвязь между разложениями и
эндоморфизмами будет иметь существенное значение. Мы начнем со следующих
простых замечаний.
а) Групповой изоморфизм ср: А -+• С индуцирует кольцевой
изоморфизм ср#: Е (Л)-> Е (С), определяемый по формуле
Ф#: а н-*- фоир".
б) Если А = В ф С, то любой эндоморфизм группы В можно
рассматривать как эндоморфизм группы Л, аннулирующий С.
Поэтому, если это будет удобно, Е (В) мы будем рассматривать как
подкольцо кольца Е (А). Точнее:
в) Пусть А = В © С, и пусть г: А -*• В — соответствующая
проекция. Тогда можно произвести отождествление
Е (В) = еЕ (А) е.
§ 106. Кольца эндоморфизмов
257
Если а ? Е (Л), то еае — эндоморфизм группы В. С другой
стороны, если 6 — эндоморфизм группы В, то, произведя указанное
отождествление Э с эндоморфизмом группы Л, получаем 0 = 808.
г) Пусть группы А = В © С и А' имеют изоморфные кольца
эндоморфизмов, и пусть я|): Е (А) -> Е (А') — изоморфизм между
ними. Тогда А' =ВГ © С, причем^ индуцириет изоморфизмы Е (В) -*¦
->Е(Я') и Е(С)->Е(С).
Снова обозначив через 8 проекцию Л ->- В с ядром С, предположим,
чтог|): 8 I—> &\ Очевидно, е' снова идемпотент, поэтому А' = В' ф С,
где В' = Im е', С = Кег &'. Из п. в) ясно, что Е (В) = &Е (А) г
переводится с помощью г|) в Е (В') = г'Е (А') е', и ip| Е (В) —
изоморфизм, так как это отображение имеет обратное.
д) Существует взаимйо однозначное соответствие между конечными
прямыми разложениями
А = А^ ф • . . © Ап
группы А и разложениями кольца Е (А) в конечные прямые суммы
левых идеалов
Е(Л)=Ц® ... ©U;
именно у если At = гьА, где 81? . . ., гп — попарно ортогональные
идемпотенты, то L* = Е (Л) гь.
Если Л = 8ХЛ © ... © епЛ, где гь — ортогональные идемпо-
тенты, то хорошо известное разложение Пирса кольца Е (Л) дает
Е (Л) = Е (Л) г1 © ... © Е (Л) еп. Обратно, если Е (Л) = Ц Ф . . .
. . . © Ln, где Li — левые идеалы кольца Е (Л), то известно [и легко
проверяется], что L* = Е (Л) ги где е^ является i'-й компонентой
единицы кольца Е (Л). Эти 8^ — ортогональные идемпотенты, откуда
следует, что Л = ехЛ ф . . . © 8ПЛ. Легко видеть, что соответствие
является взаимно однозначным.
Идемпотент 8 Ф 0 называется примитивным, если его нельзя
представить в виде суммы двух ненулевых ортогональных идемпо-
тентов. Очевидно, мы имеем
е) Если 8=7^=0 — идемпотент кольца Е (Л), то г А является
неразложимым прямым слагаемым группы А тогда и только тогда,
когда г — примитивный идемпотент.
Следующее замечание показывает, как изоморфизм двух слагаемых
может быть определен в терминах эндоморфизмов.
ж) (Корнер [4]). Пусть А=В@С = В'(ВС' — прямые
разложения группы А иг: А -> В, е': А -* В' — соответствующие
проекции. Тогда В ^ В' в том и только в том случае, когда существуют
такие элементы а, р ? Е (Л), что
ар = 8 и Ра = г'. A)
Если а, р ? Е (Л) удовлетворяют этим равенствам, то из РаР =
== ре = е'р и ара = еа = ае' следует, что р* = РаР | В и а* =
= ара | В' — это гомоморфизмы Р*: В -* В' и а*: В' ->- В*. Теперь
258
Гл. XV. Кольца эндоморфизмов
равенства (ара) (Роф) = е и (Роф) (офа) = е' показывают, что р*
и а* — взаимно обратные отображения, откуда В ^ В'. Обратно,
если р*: В -> В' и а*: В' -> В — взаимно обратные изоморфизмы,
то для р = р*е и а = а*е' выполнено A).
Докажем следующий чисто технический результат [Холлет
и Хирш [1]], на который будем ссылаться в дальнейшем.
з) Пусть А — группа без кручения и а, Р 6 Е (Л). Предположим,
что
1) ар = 0;
2) левый идеал кольца Е (Л), порожденный элементами а и Р,
содержит /пЕ (Л) для некоторого натурального числа т\
3) в кольце Е {А) нет ненулевых нильпотвнтных элементов. Тогда
Кег а и Кег р — непересекающиеся вполне характеристические
подгруппы группы А у причем
тА ? Кег а ф Кег р.
В силу условия 1) для любого г] ? Е (Л)] имеем (Рт]аJ = 0, откуда
§х\а = 0 по условию 3). В частности, ра = 0, а значит, и ат]Р = 0.
По условию 2) существуют такие элементы у, б 6 Е (А), что уа +
+ бр = т\А. Поэтому 7«2 = та = ауа и (уа — ау) а = 0. Мы
получаем а (уа — ау) = 0, откуда т (уа, — а?) = (уа + Щ (та — аУ) =
= 0. Так как А — группа без кручения, то va — аУ = 0- Это
доказывает, что а и 7» а также р и б перестановочны.
Следовательно, та = ауа-+ рба 6 Кег р + Кег а для любого а 6 Л. Отсюда
тЛ s Кег a + Кег р. Если элемент х? А удовлетворяет условиям
ах = Р# = 0, то тл: = va* + $Р* = 0 влечет за собой х = 0. Таким
образом, последняя сумма прямая.
Если а ? Кег а и г\ ? Е (Л), то из т|тд = г] (бр) а и а (т]б) р = 0
следует, что тт]а 6 Кег а. Так как Кег a — сервантная подгруппа
группы Л, то i\a 6 Кег а, а это означает, что Кег а — вполне
характеристическая подгруппа. В силу симметрии Кег р — также вполне
характеристическая подгруппа.
и) Пусть А является Z-адшеским пополнением группы Л, причем
Л1 = 0. Для любого п 6 Е (Л) существует ровно один такой элемент
Л 6 Е (Л), что х\ | Л = т|.
В силу предположения, что Л1 = 0, группу Л можно
рассматривать как сервантную подгруппу группы Л. В силу сервантной инъек-
тивности группы Л эндоморфизм ц можно продолжить до
эндоморфизма г): А-+А. Этот последний должен быть единственным, так как
не существует другого эндоморфизма группы Л, совпадающего с ц
на плотной подгруппе. [Пример 7 показывает, что т] является, кроме
того, Z-эндоморфизмом. ]
Ориентируясь на линейную алгебру, естественно рассмотреть
матричные представления колец эндоморфизмов. Они получаются,
если использовать прямые разложения групп. Бесконечные разло-
§ 106. Кольца эндоморфизмов
259
жения дают представления с помощью бесконечных матриц. Чтобы
выбрать типы бесконечных матриц, встречающихся в таких
представлениях, нам понадобится понятие конечной топологии. Оно будет
введено и более подробно исследовано в следующем параграфе.
Матрица [ап] с элементами из кольца Е (Л), называется
сходящейся по столбцам, если для каждого столбца i сумма 2aif существует
о
в конечной топологии кольца Е (Л).
Пусть А = ф At — прямая сумма и et (i ? /) —соответствующие про-
екции, рассматриваемые как идемпотенты кольца Е{А) Каждый
элемент а 6 Л может быть записан в виде а = 2 е^а, где почти все
г
элементы eta равны нулю. Для а?Е(Л) имеем аа=2ае*а =
i
= 2 (8jae0 а* Таким способом с каждым элементом a ?j[E (А) ассо-
г, 3
циируется / х 7-матрицаг
<р: otJb-> [ая];, ieJ, где ап = гре^
Если |56Е(Л) и [pjj], где рл = е7|3е*,—соответствующая матрица, то
матрицы, ассоциированные с а—13 и ар,— это в точности разность
[a/* — p;i] и произведение [2а;ьРьЛ матриц [а^] ?и [Р^] соответст-
k
вен но. Значит, ф—кольцевой гомоморфизм.
Из определения ясно, что нулевая матрица может возникнуть
только при нулевом эндоморфизме. При любом i для всех а в А суше -
ствует asta = 2а7*я, т. е. матрицы [ап] сходятся по столбцам. Обрат-
з
но, если [ajjifj6i — матрица, сходящаяся по столбцам, с
элементами <хп 6 е?Е (A) eiy то она соответствует некоторому a 6 Е (Л),
а именно
i, 3
Если по аналогии с п. б) естественным образом отождествить
Нот (Ah Aj) с подгруппой е;Е (Л) е, из Е (Л), то получится
Теорема 106.1. Пусть А = ф Л^ — прямое разлооюение груп-
пы Л. Тогда кольцо Е (Л) изоморфно кольцу всех сходящихся по столб-
цам Дх /-матриц
1апЪ. ie/» где ая 6 Нот (At, Л>).
В оставшейся части этого параграфа дадим некоторые приложения.
Пример 8. Пусть А = ф (af > — свободная группа* Тогда в матричном
представлении из теоремы 106.1 элементы ait — целые числа, а столбцы матриц
конечны.
260
Гл. XV. Кольца эндоморфизмов
Пример 9. Если А = ф At — делимая группа без кручения, где At ss
s Q, то мы получаем тот же результат, что и в примере 8, только элементы о^
могут быть любыми рациональными числами*
Пример 10. Пусть А = Л0 ф 0 Ар, где Л0 —- группа без кручения,
р
а Ар являются р-группами с различными простыми числами р. Тогда
соответствующее представление эндоморфизмов группы А задается матрицами
рхоо 0 0 ... 0 ...-I
«20 «22 0 ••• 0
а30 0 а33 ... 0 ••• !
ар0 0 0 ... арр ...
где ар0 ? Нот (Л0, Лр), арр ? Е (Лр). Здесь первый столбец должен быть конеч
ным, если А0 — конечно порожденная группа*
Упражнения
1. Подкольцо кольца Е (Л), порожденное единицей, изоморфно
кольцу Z или некоторому его факторкольцу.
2. Показать, что группу Нот (Л, С), где С s Л, можно превратить
в кольцо; в действительности это правый идеал кольца Е (Л).
3. Распространить утверждение п. д) на бесконечные прямые
разложения А = 0 At. [Указание: 2^> где А^ ? Li = Е (Л) гь
существует в конечной топологии.]
4. (а) Если Л = © At и все At — вполне характеристические
подгруппы группы А; то Е (Л) ^ [] Е (Лt).
(б) Применить п. а) к /^-компонентам Ар периодической группы Л.
(в) Вообще, если А = (В Aiy то Е (Л), содержит подкольцо,
изоморфное ПЕ(Л^).
5. Показать, что кольцо эндоморфизмов бесконечной группы
обязательно бесконечно.
6. (а) Используя теорему 106.1, определить порядок кольца
эндоморфизмов конечной /7-группы.
(б) Показать, что если Л — конечная р-группа порядка рп> то
порядок ее кольца эндоморфизмов не больше /?п2.
7 (Длаб [2]). Используя теорему 106.1, представить кольцо
эндоморфизмов делимой р-группы в виде кольца матриц над кольцом целых
/7-адических чисел. Показать, что в каждом столбце почти все
элементы делятся на pk для любого целого числа k ^ 0.
8. Доказать, что кольцо эндоморфизмов группы без кручения
ранга ш может быть представлено ш X ш-матрицами с конечными
столбцами и рациональными элементами.
9. Если координаты элемента а 6 Л = © At записаны в виде
вектор-столбца а, то для эндоморфизма а группы Л вектор оса
совпадает с [ап] а.
§ 107. Топологии колец эндоморфизмов
261
10. Показать, что матрицы из теоремы 106.1 являются сходящимися
по строкам; здесь элементы матриц рассматриваются как
эндоморфизмы группы Л.
11. Если А = ф At и At — счетные группы, то при заданном
прямом разложении группы А в каждом столбце матриц,
представляющих эндоморфизмы группы А, имеется не более счетного числа
ненулевых элементов.
12. Если С — плотная вполне характеристическая подгруппа
редуцированной группы Л, то кольцо Е (А) изоморфно подкольцу кольца
Е(С).
§ 107. Топологии колец эндоморфизмов
Кольца эндоморфизмов допускают различные топологии, которые
определяются большей частью через соответствующие группы. Одна
из этих топологий играет все возрастающую роль в некоторых вопросах
теории колец эндоморфизмов. Поэтому мы дадим обзор ряда
результатов, касающихся этой топологии.
Эта топология — так называемая конечная топология кольца
Е (Л). Для конечного подмножества X группы А под Х-окрестностью
элемента а ? Е (А) будем понимать подмножество
Ux (°0 = {л 6 Е (А) | щ = ах для всех х 6 X}.
При этом определении Ux (а) = П Ux (а) и Ux (а) = а + Ux @).
Значит, конечная топология может быть определена более удобным
образом с помощью такой подбазы окрестностей нуля:
Ux= {ц 6 Е (А) | х\х = 0} для всех х ? А.
Эта топология, очевидно, хаусдорфова. Поскольку Ux — левые
идеалы кольца Е (Л), непрерывность сложения и вычитания в Е (А)
очевидна. Кроме того, справедлива
Теорема 107.1. Кольцо эндоморфизмов Е (А)} абелевой группы А
является полным топологическим кольцом в конечной топологии.
Чтобы доказать непрерывность умножения в кольце, возьмем
а, р ? Е (Л), и пусть аE + Ux — окрестность элемента ар. Так как
Ux — левый идеал и U$x$ ^ Ux, то нужная непрерывность
получается из включений
(а + Щ (Р + Ux) с= ар + ^р + Ux с= ар + Ux.
Следовательно, Е (Л) — топологическое кольцо. Чтобы проверить
его полноту, предположим, что {aj^i — сеть Коши. В
рассматриваемом случае множество индексов / частично упорядочено с
помощью порядка, дуального к порядку на конечных подмножествах
группы Л. Сеть Коши удовлетворяет следующему условию: если дано
х ? Л, то at — a7- ? Ux при всех i, /, больших некоторого i0 6 /.
262
Гл. XV. Кольца эндоморфизмов
Другими словами, при больших индексах atx — это один и тот же
элемент группы А. Поэтому если определить ах как общее значение
всех таких агху то а 6 Е (А) и ос — at ? Ux при всех таких и \
Естественно, если группа является конечно порожденной, то
конечная топология дискретна. Она дискретна также для жестких групп.
Бесконечный ряд 2 aj в Е И) сходится к а, если сеть B ауЬ
где J о пробегает все конечные подмножества множества J,
упорядоченные по включению, имеет предел а. Это означает, что для всякого
а 6 А почти всегда a7-a = 0 и аа = 2 «/Я [ср. Селе [17]].
Следует отметить, что в частном случае, когда А —
редуцированная периодическая группа, конечная топология кольца Е (А) = Е
может быть определена вообще без ссылок на группу А. Если А —
сепарабельная группа, то в силу следствия 27.9 подбаза окрестностей
нуля для конечной топологии может быть задана как совокупность
множеств Ux, где х ? А пробегает только такие элементы, что (х) —
прямое слагаемое группы Л, имеющее порядок, равный степени
простого числа. Здесь Ux = Е A — е) — это левый аннулятор
проекции е: А -> (х) в Е. Если А — какая-то редуцированная
периодическая группа, то для каждого х 6 А мы имеем проекцию е: А ->• (у)
на прямое слагаемое (у) и эндоморфизм г) группы А, для которых
х = цу и Ux — левый аннулятор элемента цг вс Ей Окончательно
получаем
Предложение 107.2. Конечную топологию кольца эндоморфизмов Е
редуцированной периодической группы можно определить, взяв в
качестве подбазы окрестностей нуля- совокупность левых аннуляторов
элементов т]е, где х\?Е. и г — примитивный идемпотент.
Если группа сепарабельна, то достаточно взять лишь левые анну-
ляторы примитивных идемпотентов. ш
Пусть А — некоторая р-группа и Е = Е (А) — ее кольцо
эндоморфизмов. Обозначим через Е0 левый идеал кольца Е, порожденный
его примитивными идемпотентами конечного порядка
Предложение 107.3 (Либерт [4])# Если А —сепарабельная р-группа>
то в конечной топологии Е.^ плотно в Е и Е — пополнение кольца Е0-
Пусть a ? Е и а1У . . ., ап —. конечное подмножество группы А.
Это подмножество мы можем вложить в конечное слагаемое G
группы А. Для установления плотности Е0 в Е достаточно показать, что
множество Е0 П (<* + Ug) непусто. Если я: A-*G — проекция,
то 1 — я ? Uq. Так как UG — левый идеал в Е, то <т A — я) ? Uq
и, таким образом, элемент an = а — а A — я) лежит в пересечении
Е0 со+ Ug. Тот факт, что Е — пополнение кольца] Е0 в конечной
топологии, вытекает из теоремы 107.1. ¦
Если Л — сепарабельная группа без кручения, то, как и в случае
периодических групп, мы можем доказать, что конечную топологию кольца Е (А) можно
§ 107. Топологии колец эндоморфизмов
263
определить с помощью взятия левых аннуляторов примитивных идемпотентов,
и если обозначить через Ео левый идеал, порожденный примитивными идемпо-
тентами кольца Е, то Е будет пополнением кольца Eq.
Так как всегда особый интерес представляет компактность,
посмотрим, когда кольцо Е (Л) компактно в конечной топологии.
Прежде чем сформулировать относящийся сюда результат, введем
следующее понятие. Назовем орбитой элемента х ? Л вполне
характеристическую подгруппу
0« - {Ч* I Л € Е (А)}.
Тогда т) н-> трс будет гомоморфным отображением группы Е (А) на
группу Ох с ядром Ux и, следовательно, будет иметь место групповой
изоморфизм
E(A)/Ux~Ox.
Предложение 107.4, Кольцо эндоморфизмов Е (А) группы А ком-
пактно в конечной топологии тогда и только тогда, когда А —
периодическая группа, р-компоненты которой — конечные прямые суммы
коциклических групп.
В силу полноты кольца Е (А) легко проверить, что для
компактности Е (А)~необходимо и достаточно, чтобы все 0Х имели конечный
индекс в Е (А) или, эквивалентно, чтобы каждый элемент из А имел
конечную орбиту.
Предположим сначала, что кольцо Е (А) компактно. Так как
(х > — подгруппа в Ох, группа А должна быть периодической. По
следствию 27.3 каждая ненулевая /7-компонента Ар группы А имеет коцик-
лическое прямое слагаемое. Пусть Ср — одно из них, имеющее
минимальный порядок. Тогда орбитой его кообразующего является цоколь
группы Ару откуда следует, что Ар — группа с конечным цоколем.
В силу теоремы 25.1 это означает, что Ар — конечная прямая сумма
коциклических групп.
Обратно, если А = © Лр, где /7-компоненты Ар являются конечно
копорожденными группами, то А [п] для любого целого числа п —
конечная группа. Заметим, что Ох ^ А [/г], если пх = 0. Поэтому
все Ux имеют конечный индекс в Е (Л) и кольцо Е (А) компактно
в конечной топологии. в
Напомним, что в теореме 46.1 была установлена полнота групп
Нот (Л, С) в Z-адической топологии для периодических групп Л.
Так как всякое кольцевое умножение тривиальным образом
непрерывно в Z-адической топологии, то справедливо такое утверждение:
Предложение 107.5. Кольцо эндоморфизмов Е (Л) периодической
группы А является полным топологическим кольцом в своей Z-адической
топологии. ш
Остановимся на некоторое время, чтобы сравнить конечную и Z-адическую
топологии периодической группы А. Если дан элемент х ? Л, то существует такое
264
Гл. XV. Кольца эндоморфизмов
целое число п > О, что пх = 0. Поэтому пЕ (Л) ^ Ux и множества 6^,
открытые в конечной топологии, являются открытыми в Z-адической топологии.
Другими словами, Z-адическая топология тоньше конечной топологии [только для
периодических групп!].
Упражнения
1. Каковы те топологии кольца целых /7-адических чисел, которые
получаются с помощью конечных топологий колец эндоморфизмов
групп Z (р°°) и Jp?
2. Конечная топология кольца эндоморфизмов группы без
кручения конечного ранга всегда дискретна.
3. Пусть Л — такая бесконечная группа, что | Е (Л) \> \ А |.
Показать, что кольцо Е (А) не может быть дискретным в конечной
топологии. [Указание: индекс Ux в Е (Л) не больше | А |.]
4. (а) Если группа А полна в Z-адической топологии, то Е (Л) —
полное топологическое кольцо в Z-адической топологии.
(б) То же утверждение справедливо, если Л — периодически
полная группа.
5. Пусть Л — сепарабельная р-группа с базисной подгруппой В.
Показать, что в конечной топологии Е (Л) — замкнутое подкольцо
кольца Е (В).
6. (а) Пусть элементы р19 . . ., рп, . . ., 6 Е = Е (Л) таковы, что
A) Epi з . . . з Ерп S . . . — убывающая цепь;
B) объединение цепи Кег Pi ^ . . . ^ Ker pn ^ ... совпадает
с Л.
Показать, что Е — полная группа в топологии, где в качестве базы
окрестностей нуля взяты Ерд. Если элементы рп лежат в центре
кольца Е, то Е — топологическое кольцо в той же топологии.
[Указание: следовать теореме 46.1.]
(б) Распространить утверждение (а) на случай, когда {EpJ —
система, направленная вниз относительно включения.
(в) Применить (а) и (б) к частным случаям, например, когда рп —
это умножение на /Л р7- — проекция группы © At на прямую сумму
г
почти всех Ai и т. д.
7. Пусть {Ai}i?i — система подгрупп группы Л, направленная
вверх относительно включения и такая, что объединение всех At
совпадает с Л. Возьмем топологию в Е, для которой
L, = (лбЕ \r\At = 0}
служат базой окрестностей нуля. Показать, что Е — полная группа
в этой топологии, причем если At — вполне характеристические
подгруппы группы Л, то Е — топологическое кольцо. [Это обобщает
упр. 6.]
8 (Пирс [3]). Пусть Л — некоторая р-группа, и пусть Ап = А [рп].
Тогда Е — полное топологическое кольцо в топологии упр. 7.
§ 108. Кольца эндоморфизмов периодических групп 265
9 (Либерт [4]). Пусть А"—некоторая /7-группа, а Е и Е0— те же,
что в тексте, причем на них введена конечная топология. Тогда
(а) Е0 плотно в периодической части кольца Е;
(б) Е0 плотно в Е тогда и только тогда, когда А1 = 0.
§ 108. Кольца эндоморфизмов периодических групп
Отличительной чертой периодических групп является то, что
они имеют много эндоморфизмов. Кроме того, они обладают
достаточным запасом идемпотентных эндоморфизмов. Интересно посмотреть,
до какой степени эндоморфизмы определяют группу, или, точнее,
следует ли из изоморфизма колец эндоморфизмов изоморфизм самих
групп. Мы покажем, что это действительно так. Фактически будет
доказано даже несколько больше:
Теорема 108.1. (Бэр [9], Капланский [2]). Если А и С —
периодические группы, кольца эндоморфизмов которых изоморфны, то всякий
изоморфизм г|) между Е (А) и Е (С) индуцируется некоторым
групповым изоморфизмом ф: А -*- С, т. е. if>: г\ н-> фт]ф-1.
Доказательство сразу сводится к случаю /?-групп. Действительно,
Е (А) = IJE (Av)* Е (С) = ДБ (Ср), где Ар и Ср являются р-ком-
понентами групп А я С соответственно, и всякий кольцевой изоморфизм
между Е (А) и Е (С) должен переводить f| -мЕ (А) = Е (Ар)
(п, р)=1
в Е (Ср). Поэтому можно предполагать, что А и С являются р-груп-
пами. Для г] ? Е (А) будем просто писать яр (г\) = т)*.
Перед тем как начать доказательство, заметим, что если группа А
коциклическая, то из § 106, п. е), сразу следует, что группа С также
является неразложимой, а значит, коциклической. Примеры 2 и 3
из § 106 показывают, что тогда обязательно С ^ А.
Доказательство разобьем на три случая.
1. Если группа А ограниченная, то она содержит элемент g
максимального порядка pk. Из леммы 15.1 мы знаем, что (g) служит
для А прямым слагаемым. Если е: А ->- (g) — проекция, то е*
отображает группу С на прямое слагаемое, которое снова должно быть
циклической группой (h) порядка pk [ср. § 106, п. г), и предыдущее
замечание]. Для произвольного элемента а ? А выберем
эндоморфизм т] группы А, при котором а = r\g, и определим ф: А -> С так,
что ф: а •—** r]*/i. Это определение не зависит от выбора
эндоморфизма г], так как если а = v\xg, то (ц — r^) g = 0 и (г\ — г^) 8 = 0,
откуда (г]* — г\*) б* = 0 и (г]* — ц*) h = 0. Легко видеть, что
отображение ф взаимнооднозначно, сохраняет операцию сложения и является
отображением на все С, т. е. ф — изоморфизм. Если теперь ? ? Е (Л),
то, представив элемент с = фа в виде с = r]*/i для некоторого ц ? Е(Л)Г
получим ?*с = %*r\*h = ф (^y\g) = ф?а = ф?ф_1с, т. е. ?* = ф|ф-1,
откуда следует, что ф индуцирует яр.
266
Гл. XV. Кольца эндоморфизмов
2. Если А = В ф D, где В — ограниченная, г D — ненулевая
делимая группы, то пусть (g) — циклическое прямое слагаемое
максимального порядка рк в группе В, aD'= (dly . . ., dn> . . .>,
где pdx = О, pdn+1 = dn при п ^ 1,— квазициклическое прямое
слагаемое группы D. Пусть s: А-+ (g) и я:Л->-?'— проекции,
и пусть е*: С-> (ft) = Z (pk), я*: С-*- ?' = (ei9 . . ., еп, . . . >, где
р^ = 0, /?еп+1 = еп. Элемент а ? А запишем в виде а = ах+ а2
(ах 6 В, а2 6 D) и возьмем такой эндоморфизм г\ группы Л, что rig =
= aly r\dn = а2 при некотором п. Затем положим фа = т|* (ft + еп).
Чтобы доказать, что фа не зависит от г\ и п, возьмем такое т^ 6 Е (Л),
что 4}Lg = ах, r^d™ = а2 и т^п. Тогда (л — ^i) 8 = О и
(/7w-nri — Т1Х) dm = 0, откуда ? = (рт~пц — %) я аннулирует D' [рте].
Но для квазициклической группы D' это означает, что гомоморфизм ?
делится на рт. Тогда ?* также делится на рт. Следовательно, ?*ет =
= 0. Мы получаем, что T]*ft = T)?ft и т)*еп = рт~пц*ет = т]??т,
откуда г]* (ft + en) = r\* (ft 4- ?m)- Непосредственно можно проверить,
что ф биективно и сохраняет операцию сложения. Следовательно,
Ф — это изоморфизм А ->- С. Тот факт, что ф индуцирует г|),
проверяется так же, как в п. 1.
3. Осталось еще рассмотреть случай, когда группа А имеет
неограниченную базисную подгруппу. Тогда существуют такие разложения
А = (а1>0 ... ®(ak) 0 4 (? = 1, 2, ...),
что 4 = Ы0Л+1 и о(ак)=рпъ, где 1<ац<. .. </ift< ... .
Пусть efe — проекция A->-(afe> и gjfe (/ =^= &) — эндоморфизм группы А,
отображающий afe в а7- или в рп*~пьа] в зависимости от того, /<&
или j>k, и переводящий прямое слагаемое, дополнительное к (ак)
[в указанном выше разложении группы А], в 0. В этом случае
1) eft — попарно ортогональные идемпотенты,
2) U8fe = ^ = ^fe при всех \фк\
3) ^jfe = plni~nfel?fe при всех ]Фк\
4) ifjf/fe = lffe, если i<j<k или i>j>k.
Эндоморфизмы г% и ?& группы С также удовлетворяют условиям 1)—
4). В силу § 106, п. г), подгруппы е|С — циклические прямые
слагаемые группы С тех же порядков, что и гкА. В силу свойства 2) |Jf k+i
отображает e*+iC в г%С. Положим е|С = ick) и покажем, что
образующие cfe можно выбрать так, чтобы l*,k+iCk+i = cfe для всех fe.
В самом деле, если с1э . . ., cft уже выбраны и ci+i порождает e?+iC,
то ?gf k+iCk+i = 'cft для некоторого ? 6 Z. Следовательно, из условия 3)
имеем l*+i, ktck = pn/l+1~nfe^+i и сравнение порядков элементов
показывает, что (р, /) = 1. Это означает, что элемент ck+1 = sc^+i, где
s? = 1 mod /A+t, удовлетворяет условию ?*, u+iCk+i = <Ъ- Теперь
по свойству 4) имеем ^*^с^ = Cj для всех / < к.
Для завершения доказательства в случае 3 возьмем произвольный
элемент а ? А и выберем такое г\ ? Е (Л), что т^ = а при
некотором &. Пусть ф: a*-*r\*ch. Отображение ф определено корректно,
§ 108. Кольца эндоморфизмов периодических групп 267
так как если г^а,- = а и / ^ k, то (v\lhj — лО 8j = 0» откуда
(ц*1нз — Л*) 8* = 0> т- е. r]*cft = r\*Cj. В заключение опять
непосредственно проверяется, что ср — изоморфизм, индуцирующий г|). в
Капланский [3] заметил, что последняя теорема может быть распространена
на примарные модули над полными кольцами дискретного нормирования. Однако
если не предполагать модули примарными, то эта теорема уже перестает быть
верной [см. упр. 1]. Можно ожидать, что получится некоторое обобщение этой
теоремы, если снабдить кольца эндоморфизмов конечной топологией
Из теоремы 108.1 непосредственно вытекает замечательный факт:
Следствие 108.2 (Бэр [9]). Всякий автоморфизм кольца
эндоморфизмов периодической группы является внутренним.
В самом деле, если а: Е (А) ->- Е (А) — автоморфизм, то по
теореме 108.1 он должен иметь вид а: г\ *-> срт^ф, где ср — некоторый
автоморфизм группы А [т. е. обратимый элемент кольца Е (А)]. ¦
Теперь найдем центр кольца эндоморфизмов периодической группы.
Общий случай сразу сводится к случаю р-групп, для которых
формулировка результата выглядит красивее.
Теорема 108.3 (Шарль [1], Капланский [3]). Центр кольца
эндоморфизмов Е (А) любой р-группы А состоит из умножений на целые
р-адические числа или на вычеты по модулю pk в зависимости от тогоу
является ли группа А неограниченной или pk служит наименьшей
верхней гранью порядков ее элементов.
Ясно, что умножения на целые р-адические числа лежат в центре
кольца Е (А).
Пусть эндоморфизм у принадлежит центру кольца Е (Л). Если
В — прямое слагаемое группы А и г: А ->- В — проекция, то уВ =
— угВ = гуВ ^ В, т. е. у и отображает всякое прямое слагаемое
группы А в себя. В частности, у действует как умножение на целое
/7-адическое число р и как умножение на целое число т,
рассматриваемое по модулю pk, на Z(p°°) и на прямом слагаемом (g) порядка pk
группы А соответственно. Дальнейшее доказательство разделим
на такие же части, как в теореме 108.1, и будем использовать те же
обозначения, что и там.
1. Пусть элемент g ? А имеет максимальный порядок pk и yg =
= mg. Если а = r\gy то уа = yr\g = v\yg = x\mg = ma.
Следовательно, у действительно представляет собой умножение на число т,
рассматриваемое по модулю ph.
2. Пусть эндоморфизм у действует как умножение на целое р-ади-
ческое число р на D' и как умножение на целое число т на В. Для
любого элемента d ? D существует такое г\ ? Е (Л), что d = v\dn при
некотором п. Следовательно, yd = yv\dn = v\ydn = r]pd7l = pd. Это
означает, что у действует как умножение на р на всей группе D.
Некоторый эндоморфизм ? ? Е (А) отображает элементу ? В в dk 6 D>
откуда ydk = ylg = lyg = mdk ирз/п mod pk. Следовательно,
эндоморфизм у представляет собой умножение на р на всей группе А.
268
Гл. XV. Кольца эндоморфизмов
3. Мы знаем, что yak = mkak для некоторых mk ? Z и всех &.
При j>k из mfeafe = yak = ylkjaj = lhjyaj = m7afe следует, что
mft = rrij mod о (aft). Значит, числа mk сходятся к целому р-адиче-
скому числу р, причем yak = pak при всех к. Если a = v\akl то ^я =
= УЩи = pri^fe = Р#> и теорема доказана. а
Упражнения
1. Показать, что теорему 108.1 нельзя распространить на /?-ади-
ческие модули. [Указание: сравнить Jp и Z (р°°).]
2. (а) Эндоморфизмы а периодической группы Л, для которых
Im a — конечно копорожденная группа, образуют в кольце Е (Л)
идеал F (А).
(б) Идеал F (А) может быть охарактеризован внутри Е (А) как
идеал, порожденный примитивными идемпотентами кольца Е (А).
3. (а) Проанализировав доказательство теоремы 108.1, проверить,
что две периодические группы А и С непременно изоморфны, если
F (А) - F (С).
(б) (Э. Погань). Распространить утверждение (а) на другие идеалы
колец эндоморфизмов [например, состоящие из эндоморфизмов со
счетными образами].
4. (а) Если А — периодическая группа и Ар — ее р-компоненты,
то центр кольца Е (А) равен произведению центров колец Е (Ар).
(б) Распространить утверждение (а) на случай, когда А = ф Аи
где At — вполне характеристические подгруппы группы Л.
5 (Леви [2]). Описать эндоморфизмы, отображающие каждую
подгруппу в себя.
6 (Селе и Сендрей [1]). Кольцо эндоморфизмов периодической
группы А коммутативно тогда и только тогда, когда А — подгруппа
группы Q/Z.
7. Пусть А — урегулированная копериодическая группа и 7 —
ее периодическая часть. Показать, что кольца Е (А) и Е (Т) можно
естественным образом отождествить. [Указание: всякий эндоморфизм
т) 6 Е (Т) однозначно продолжается до эндоморфизма ri 6 Е (Л).]
8. Используя упр. 7, доказать теорему 108.1 для урегулированных
копериодических групп А и С.
9. (а) Периодическая группа А является конечно порожденным
Е (Л)-модулем тогда и только тогда, когда она ограниченная. В
противном случае она — счетно порожденный Е (Л)-модуль.
(б) Если А — некоторая р-группа, то она является локально
циклическим левым Е (Л)-модулем в том смысле, что для любых а,
b 6 А существует такой элемент с 6 Л, что a, b 6 Е (Л) с.
10. (а) Доказать, что если для некоторой группы Л кольцо
эндоморфизмов Е (Л) порождается как кольцо автоморфизмами, то всякая
характеристическая подгруппа группы Л является вполне
характеристической.
(б) Показать, что кольцо эндоморфизмов группы из примера
в § 67 не порождается группой автоморфизмов.
§ 109. Кольца эндоморфизмов сепарабельных р-групп 269
§ 109. Кольца эндоморфизмов сепарабельных /7-групп
Исследуя кольца эндоморфизмов, обычно стараются найти условия
на абстрактное кольцо, при которых оно является кольцом
эндоморфизмов некоторой абелевой группы. Видимо, найти необходимые
и достаточные условия для этого в общем случае — проблема
достаточно трудная, но в отдельных частных случаях известен вполне
удовлетворительный ответ на поставленный вопрос. В настоящем
параграфе мы рассмотрим указанную проблему для случая
сепарабельных р-групп, тогда как следующий параграф будет посвящен случаю
групп без кручения.
Наша задача состоит, естественно, в том, чтобы найти достаточное
количество свойств колец эндоморфизмов Е (Л) сепарабельных р-групп
А, чтобы всеми этими свойствами одновременно могли обладать только
кольца эндоморфизмов. Излишне говорить, что получающиеся
условия должны носить теоретико-кольцевой характер: хотя они являются
следствиями некоторых свойств лежащей в основе группы Л, их
нужно уметь восстановить, зная только кольцевую структуру кольца
Е (А)А Не удивительно, что основным средством для наших
исследований оказываются проекции на циклические прямые слагаемые:
их можно охарактеризовать как примитивные идемпотенты кольца
Е(Л).
Пусть А — сепарабельная р-группа, Е = Е (А) — ее кольцо
эндоморфизмов. Обозначим через Е0 левый идеал кольца Е,
порожденный его примитивными идемпотентами. Так как примитивные
идемпотенты соответствуют неразложимым прямым слагаемым, эти
идемпотенты в рассматриваемом случае имеют конечный порядок.
1) Правый аннулятор кольца Е0 б Е равен нулю.
Если т] — правый аннулятор кольца Е0, то Im т] имеет
тривиальную проекцию на любое циклическое прямое слагаемое группы А.
Следовательно, Im ц ^ А1 = 0.
2) Если] я, р 6 Е — примитивные идемпотенты, то я Е р —
циклическая группа порядка pk для некоторого k [простое число р
фиксировано].
Как в § 106, п. б), непосредственно видно, что группу яЕр можно
рассматривать как Нот (рЛ, яЛ). Здесь рЛ и кА—циклические
группы, порядки которых — степени простого числа, поэтому] и] яЕр—
такая же группа.
3) Если я, р — примитивные идемпопзнты кольца Е и о (я) ^
^ о (р), то левый аннулятор кольца Ер содержится в левом аннуля-
торе кольца Ея и ЕяЕр = Ер [о (я)].
Положим я Л = {а >, рЛ = (Ь > и выберем такое ц ? Е, что цЬ = а.
Если для I ? Е выполнено ?Ер = 0, то (?Е) 6 = 0, откуда %Еа =
= IE (r\b) = 0, т. е. I аннулирует также Ея. Включение ЕяЕр ^
270
Гл. XV. Кольца эндоморфизмов
^ Ер [о (я)] очевидно. Пусть % ? Ер [о (я)]. Тогда yb ? А [о (я)]
и Ха = %& для некоторого X ? Ея. Теперь х^ = Xr\b влечет за собой
X = Хч) ? ЕяЕр.
4) ?ош E0=K©L, где К, L — правые идеалы и К =5^=0, то
xL = 0 для некоторого примитивного идемпотента т ? Е0-
Очевидно, A=E0A=KA+LA (где КЛ— множество всех
конечных сумм вида 2x^i Х;6К, агбЛ). Пусть хбКЛПЫ, и пусть
*=2xiai = 2Mj (^6L, 6j€Л). Если Л = (сHС, где о(с)>
>max{o(af), о (&/)}> и если Для |lt т];6Е выполняются равенства
fl« = 5A &j = ,n^» ^С = т]7-С = 0, то 2^с = ^ = 2Мя откуда
2 к& = 2 Mj 6 К П L = 0. Следовательно, х = 0 и Л = КЛ © L4.
Здесь КЛ ^0, и в качестве т можно взять проекцию на циклическое
слагаемое группы КЛ.
5) Е служит пополнением для Е0 в топологии, в которой в качестве
подбазы окрестностей нуля в Е0 взяты левые аннуляторы
примитивных идемпотентов из Е0.
В силу предложений 107.2 и 107.3 доказывать нечего. [Напомним,
что наше определение полноты включало требование хаусдорфовости,
см. § 13.]
Мы хотим показать, что свойства 1) — 5), взятые вместе,
характеризуют кольца эндоморфизмов сепарабельных р-групп. Следующий
результат был получен в немного другой форме Либертом [41.
Теорема 109.1. Ассоциативное кольцо Е с единицей изоморфно
кольцу эндоморфизмов Д (Л) некоторой сепарабельной р-группы А
тогда и только тогда, когда оно обладает свойствами 1) — 5).
а) Пусть кольцо Е ф 0 обладает свойствами 1) —5). Тогда Е0 Ф 0
и Е содержит примитивные идемпотенты. Если я ? Е — один из них,
то свойство 2) и включение я ? яЕя дают о (я) = pk при некотором k.
Таким образом, примитивные идемпотенты кольца Е имеют конечный
порядок.
6) Пусть я, р — примитивные идемпотенты кольца Е и о (я) =
= ph ^ о (р). В силу свойства 2) мы можем написать яЕр = <? >
для некоторого ? 6 Е. Используя это ?, определим ср: Ея->Ер
как отображение г\>-*г\Ъ (г\ ? Ея). Очевидно, это Е — гомоморфизм
левого идеала Ея в левый идеал Ер. Это даже мономорфизм, так
как если т]| = 0, то т]Ер = 0, откуда по свойству 3) также т)Ея = 0;
в частности, т] = т|Я = 0.
в) Выберем теперь такую последовательность ях, . . ., яп, . . .
примитивных идемпотентов кольца Е, что о (ях) < . . . < о (яп) «<...;
эту последовательность можно выбрать бесконечной, если только
порядки примитивных идемпотентов кольца Е не ограничены в
совокупности. Как в предыдущем пункте, положим япЕяп+1 = Aп>
§ 109. Кольца эндоморфизмов сепарабельных р-групп 277
и для любого л определим мономорфизм
фп: Еяп-> Еяп+1
как отображение т)н-*т]?п. С помощью спектра Е-модулей Епп и
Е-мономорфизмов фп, мы можем определить группу Л как Е-модуль
Л = Пт Епп.
Так как модули Епп аннулируются числом о (яп), то Л есть р-груп-
па; она ограниченная тогда и только тогда, когда последовательность
{яп} конечна. Канонический гомоморфизм группы Епп в
предельную группу является мономорфизмом, который отождествляет Епп
с подмодулем модуля Л, причем А — просто теоретико-множественное
объединение этих подмодулей. Так как отображения фп являются
Е-гомоморфизмами, каждый элемент ? 6 Е порождает эндоморфизм
группы А. Здесь \А = 0 только в случае, когда НЕял = 0 при
любом п. Но тогда по свойству 3) lEp^O для любого примитивного
идемпотента р ? Е, а по свойству хаусдорфовости из 5) имеем \ — 0.
Следовательно, кольцо Е изоморфно подкольцу кольца
эндоморфизмов Е (А) группы Л.
г) Следующий шаг доказательства состоит в проверке того, что
кольца Е и Е (А) имеют одинаковые примитивные идемпотенты.
Если р — примитивный идемпотент кольца Е, то он должен быть
примитивным и в Е (Л), так как группа рЛ = lim рЕпп как предел
прямого спектра циклических р-групп, порядки которых не больше
о (р), сама является циклической группой. С другой стороны, если
а — примитивный идемпотент порядка рт в кольце Е (Л), то Л =
= о А ф В, где В = Кег а. Множества Н (о А) и Н (В) всех
элементов т] 6 Е0, для которых т]Л ^ о А и т)Л ^ В соответственно,
являются такими правыми идеалами кольца Е0> что Е0 = Н (оА) ф Н (В).
По свойству 4) для некоторого примитивного идемпотента т ? Ео
имеем тН (В) = 0. Используя тот факт, что порядки примитивных
идемпотентов кольца Е (Л) не могут быть больше порядков
примитивных идемпотентов кольца Е0, получаем, что хВ = 0. Очевидно,
из Л = тЛ ф Кег т и В ? Кег т следует, что В = Кег т. Из
леммы 9.5 имеем о = т — A — т) фт для некоторого <р ? Е (Л). Но
Е (Л) т = Ет, так как по условию 3) справедливо равенство ЕтЕлп=
= Епп [о (т)], если о (т)< о (пп), а последнюю группу можно
отождествить с Л [о (т)]. Следовательно, фт ? Ет, и а принадлежит Е.
д) Чтобы проверить, что в кольце Е (Л) нет других примитивных
идемпотентов [т. е. что группа Л редуцированная] и что, более того,
группа Л сепарабельна, заметим, что если элемент а ? А1 представлен
элементом г\пп ? ЕпПУ то для всех примитивных идемпотентов р 6
6 Е (Л), имеющих конечный порядок, должно быть ра = рщп = 0.
Так как р ? Е0, то из условия 1) имеем г\пп = 0, т. е. Л1 = 0.
272
Гл. XV. Кольца эндоморфизмов
е) Для завершения доказательства обратимся к условию 5), где
утверждается, что Е — пополнение Е0 в конечной топологии
кольца Е0- В силу сепарабельности группы Л кольцо Е (Л) также
является пополнением кольца Е в этой топологии,} и из Е s Е (А) следует,
что Е (А) = Е. .
Упражнения
1 (Шода [1], Бэр [9]). (а) Для подмножества 5 группы А положим
Л (S) = {ц е Е (Л) | т|5 = 0} и Р (S) = {л в Е (А) | х\А s 5}.
Показать, что это односторонние идеалы, для которых Л (S) Р (S) =
= 0.
(б) Если 2 — подмножество кольца Е (Л), то N B) =
= {а 6 А | 2а = 0} — такая подгруппа группы Л, что Л BЛ) —
левый, а Р (N B)) — правый аннуляторы множества 2 в кольце
Е(Л).
2 (Либерт [1]). Пусть Е — такое конечное кольцо с единицей,
что ркЕ = 0, но рк~1Е ф 0. Тогда кольцо Е изоморфно кольцу
эндоморфизмов конечной группы А в том и только в том случае, когда
выполнены следующие условия:
A) кольцо Е обладает антиавтоморфизмом;
B) для любого примитивного идемпотента р кольца Е
справедливо равенство рЕр = (р>;
C) пересечения ргЕ A А(Е [p*-1]), где i = 0, . . ., k, являются
единственными идеалами кольца Е, содержащимися в его правом
цоколе [равном объединению всех его минимальных правых
идеалов].
3 (Либерт [2]). (а) Если А — прямая сумма циклических групп
одного и того же порядка ph и А = В © С, где г (В) ^ г (С), то
всякий эндоморфизм ф группы Л, для которого фС = 0, содержится
в подкольце Е0 (Л) кольца Е (Л), порожденном идемпотентами
кольца Е (Л).
(б) Если Л = Аг ф ... ф Ап и для любого i справедливо Е0(Л t) =
- Е (At), то Ео (Л) = Е (Л).
(в) Вывести отсюда, что кольцо эндоморфизмов ограниченной
группы порождается своими идемпотентами.
4. Охарактеризовать кольцо эндоморфизмов делимой /7-группы
конечного ранга.
5. Если Л — редуцированная р-группа, то множество всех левых
аннуляторов примитивных идемпотентов совпадает с Р (Л1) [ср.
упр. 1].
6. Пусть Л = С ф D, где С — редуцированная, a D — делимая
р-группы.
(а) Примитивные идемпотенты бесконечного порядка кольца Е (Л)
порождают левый идеал, изоморфный кольцу Е (D).
(б) Факторкольцо кольца Е (Л) по идеалу, порожденному
примитивными идемпотентами бесконечного порядка, изоморфно коль-
ДУ Е (С).
§ 110. Счетные кольца эндоморфизмов без кручения 273
§ 110. Счетные кольца эндоморфизмов без кручения
Перейдем к кольцам эндоморфизмов групп без кручения. Первое,
что можно заметить,— это что неизоморфные группы без кручения
вполне могут иметь изоморфные кольца эндоморфизмов. Примеры
очень многочисленны; в частности, их легко найти среди групп
жестких систем или среди групп различных мощностей, или даже среди
групп ранга 1.
Другое существенное различие в поведении колец эндоморфизмов
периодических групп и групп без кручения состоит в том, что в
периодическом случае эти кольца принадлежат довольно специальному
классу колец, а в случае групп без кручения на них налагается
значительно меньше ограничений. Это высказывание вполне оправдывается
следующей замечательной теоремой.
Теорема 110.1 (Корнер [3]). Всякое счетное редуцированное кольцо
без кручения R с единицей изоморфно кольцу эндоморфизмов Е (А)
некоторой счетной редуцированной группы без кручения А
Настоящий параграф посвящен доказательству этого мощного
результата. Орсатти [6] принадлежит идея локализации в этом
доказательстве, так что метод Корнера понадобится только в более простом
локальном случае.
а) Прежде всего локализуем проблему и, кроме того, предположим,
что кольцо Rp является алгеброй над Qp для некоторого простого
числа р. Это равносильно предположению, что qRp = Rp для всех
простых чисел q ф р. Кольцо Rp снабдим /7-адической топологией;
редуцированность кольца Rp обеспечивает хаусдорфовость этой
топологии. Затем образуем пополнение Rp в /7-адической
топологии; в результате получается Qp-алгебра, содержащая Rp
в качестве (сервантного) подкольца [ср. следствие 119.4]. Так как
кольцо Rp счетно, то в нем существует конечное или бесконечное
счетное множество {?п} элементов, являющееся максимальным
независимым множеством над Q*. Это означает, что для каждого а ? Rp
существует соотношение зависимости
рпа = Я& Н + Ufa {nt 6 QJ).
Элементы щ здесь определены однозначно с точностью до
множителей рт. Поэтому имеет смысл говорить о сервантном подкольце SP
кольца Qp, порожденном подкольцом Qp и элементами я2, взятыми
для всех a?Rp. Ясно, что SP также счетно.
б) Теперь докажем, что если Viai+ • • • + Ymam = 0 Для некоторых
<*i, ..., am 6 Rp» где элементы Yi • • •» Ym € Q? линейно независимы
над Spi то (*!=... =am = 0. В самом деле, /?па7- = 2 Щ&ь гДе
г
nji?SP, если п—достаточно большое число, поэтому 2 Vjnjih = 0-
г, i
274
Гл. XV. Кольца эндоморфизмов
Отсюда в силу независимости элементов ^ имеем ^у^я^О. Сле-
довательно, все а,- равны 0.
в) Для каждого a?Rp выберем такие целые /7-адические числа
Ра и аа, что множество {ра, aa|a6Rp} алгебраически независимо
над Sp. Это возможно, так как Sp счетно, а Qp имеет мощность
континуума, так что степень трансцендентности Qp над Sp также
равна мощности континуума. Для этих pai aa положим
ea=pal+aaa6Rp. A)
Через А обозначим сервантную подгруппу
<RP, RPea для всех a?Rp)*
группы Rp. Очевидно, что А — счетная редуцированная группа без
кручения.
г) В силу определения группы А ясно, что элементы кольца Rp
действуют на А слева согласно определению умножения в Rp.
Различные элементы из Rp действуют по-разному, так как 1 ? А.
Следовательно, Rp можно рассматривать как подкольцо кольца Е (А).
д) Чтобы доказать, что RP=E(A), возьмем элемент г\?Е(А).
Так как Rp сервантно в Л, а А — сервантная подгруппа в Р?р,то/?~ади-
ческое пополнение А группы А совпадает с Rp. Поэтому в силу п. и)
из § 106 эндоморфизм т) продолжается до однозначно определенного
Qp-эндоморфизма т\ группы Rp. Используя этот эндоморфизм г\,
получаем
r]8a = ri(pal +aaa) = pa (rjl) + ora (rja) = pa (т|1) + <га(т|а)-
В силу определения группы А можно записать следующие равенства:
п
P*(nea) = Po+2 P«ea ,
i=i l
n
P*0ll) = Yo+2 Yieaf
i=t l
n
pft(Yla) = 6o + 2 Si6a ,
1=1 l
где a, p, 7, 6?RP, а числа k и n фиксированы. Для простоты
предположим, что a = 0Ci. Подстановка дает
п
Ро+2 Pi(pa|l+Orai«i) =
п п
= РсЛто + 2 Ti(Pafl+<Tafai)l + ffe[fio + 2 <5i(pa l+aaaf)].
§ 110. Счетные кольца эндоморфизмов без кручения 275
В силу выбора /?-адических чисел р« и аа эти числа и их произведения
линейно независимы над SP. Поэтому из п. б) и сравнения
коэффициентов в левой и правой части последнего равенства получаем, что
Pi == Yo> Pia = б0, а все остальные элементы р, у и б равны нулю.
Таким образом, pk (rjl) = у0 и Pk 0la) = Voa- Положив т]1 = у,
получаем равенство ti<x = 7a для любого a ? Rp. Значит, т] действует
на Rp как умножение слева на 7- То же утверждение справедливо
для г\ и для г] = т) \ А. Это завершает доказательство в локальном
случае.
е) Переходя к глобальному случаю, предположим, что R —
кольцо, удовлетворяющее условиям теоремы. Так как R —
редуцированное кольцо без кручения, его Z-адическое пополнение R содержит R
в качестве сервантного подкольца. Предложение 40.1 дает
представление
R = IIRp.
р
где Rp —это р — адическое пополнение редуцированной части Rp
тензорного произведения Qp® R. Заметим, что каноническое
вложение R-^R превращает R в под кольцо кольца Д Rp, и если a?Rf
v
то можно писать a==(...,ap, . ..), где ap?Rp.
ж) Как и в п. в), для каждого a?R выберем ра, аа таким
образом: pa = (...,pap, ...)» <*<* = (.. .,<7ар, ...), где ра?, аар —целые
р-адические числа, алгебраически независимые над Sp [если Rp = 0 при
некотором р, то можно взять ра =аа =0]. Используя
элементы еа из A), определим группу А так:
4 = (R, Rea для всех a6R>*. B)
Это опять счетная редуцированная подгруппа в R. Очевидно, что R
является подкольцом в Е (Л). Если т| ? Е (А), то rj однозначно
продолжается до некоторого эндоморфизма г] ? Е (R), который должен
действовать покоординатно, так как Rp вполне характеристично в R.
Локальный случай д) показывает, что ц действует на Rp как
умножение слева на Rp-компоненту элемента т]1 = у ? R. Поэтому ц
совпадает с умножением слева на у на всем кольце R, а значит, и на
группе Л. Этим доказано, что Е (Л) ^ R.
Окончательно получаем, что группа Л, заданная формулой B),
является счетной редуцированной группой без кручения, а ее кольцо
эндоморфизмов изоморфно кольцу R, о котором говорится в
формулировке теоремы ПОЛ. а
Пользуясь теоремой 110.1, можно легко доказать существование
счетных групп без кручения с теми или иными свойствами, которые
можно выразить с помощью эндоморфизмов [см., например,
теоремы 91.5 и 91.6].
276
Гл. XV. Кольца эндоморфизмов
Следует заметить, что кольца эндоморфизмов некоторых счетных групп без
кручения имеют мощность континуума. Эти кольца тоже можно
охарактеризовать, если снабдить их конечной топологией [ср. Корнер [6]]*
Если кольцо R, о котором говорится в предыдущей теореме,
имеет счетный ранг, то группа А, очевидно, должна быть по меньшей
мере счетного ранга. Однако для колец конечного ранга теорема 110.1
может быть усилена:
Теорема 110.2 (Корнер [3]). Всякое редуцированное кольцо без
кручения R конечного ранга п с единицей изоморфно кольцу
эндоморфизмов редуцированной группы без кручения А ранга не больше 2п.
Пусть 1 = alf . . ., ап — линейно н езависимые элементы кольца R
[надг]. Выберем такие элементы рг- = (..., рг-р, . . .) (i = 1, . . ., п),
что целые р-адические числа р1р, . . ., рпр при любом простом числе р
алгебраически независимы над SP. Возьмем в Z-адическом
пополнении R кольца R элемент
8 = Pl(Xl + . . . + рпап
и положим
i4=(R,Re>,. C)
Тогда, очевидно, А — редуцированная группа без кручения ранга
не больше 2/г, причем R — подкольцо кольца Е (Л). Возьмем снова
эндоморфизм т] 6 Е (А) и продолжим его до эндоморфизма г\ 6 Е (R).
п
Тогда т]е = 2 РгЛ^г» причем для некоторого натурального числа т
г=1
и элементов р*, yt ? R имеем
л* (Л8) = Ро + То8» гп (т)а0 = р2 + yte (I = 1, . . ., /г).
Подстановка дает
Ро +Yo B Р*«|) = 2 Pi (Pi + Yi S Р;аД
г г J
и утверждение, аналогичное п. б), влечет за собой
р0 = 0, y0a>i=$i (i=l,...,n), 0 = v«ai + 7ia* (/,/ = 1, ..., д).
Последнее равенство при i = / = 1 дает Yi = 0, поэтому, полагая
в том же равенстве / = 1, получаем yt = 0 (i = 1, . . ., п).
Следовательно, т (г\г) = 7ое и т (Wt) = Р* = Yoa?- Таким образом, положив
т]1 = у 6 R, получаем r]af = Yai- Это показывает, что эндоморфизм ц
совпадает с умножением слева на у и Е (А) = R, что и требовалось. а
Корнер [3] заметил, что при п > 2 последний результат не может быть
усилен: существует кольцо без кручения ранга п, не изоморфное кольцу
эндоморфизмов никакой группы ранга меньше 2п. Цассенхауз [1] нашел условия, при
которых кольцо ранга п является кольцом эндоморфизмов группы без кручения того
же ранга. Одно обобщение этого результата можно найти в работе Батлера [2].
§ 110. Счетные кольца эндоморфизмов без кручения 271
Упражнения
1 (Корнер [3]). Если Е (А) — счетное редуцированное кольцо
без кручения, то группа А должна быть редуцированной и без
кручения.
2 (Корнер [3]). Показать, что если в теореме 110.1 отбросить любое
из трех условий: 1) счетность, 2) редуцированность, 3) свойство быть
кольцом без кручения,— то кольцо R уже не обязательно будет
кольцом эндоморфизмов. [Указание: Q? © Q?, Q © Q, Z/(p) ©
© Z/(p).l
3. Если S — счетная полугруппа с единицей, то полугрупповое
кольцо ZS полугруппы 5 над кольцом целых чисел всегда может
быть представлено как кольцо эндоморфизмов.
4 (Сонсяда [6], Корнер [3]). Существуют группы без кручения
конечного ранга с изоморфными группами эндоморфизмов, кольца
эндоморфизмов которых не изоморфны. [Указание: взять в качестве
колец эндоморфизмов Z Ф Z и кольцо целых гауссовых чисел.]
5 (Орсатти [6]). Заменив условие счетности требованием, чтобы
редуцированная часть Rp тензорного произведения Qp ® R была
счетной для любого простого числа р, распространить теорему 110.1
на случай | А | = f R |.
6. Всякое кольцо без кручения ранга 1 с единицей является
кольцом эндоморфизмов группы без кручения ранга 1.
7. Показать, что группа, построенная по формуле C), имеет в
точности ранг 2п.
8. Пусть R — кольцо целых алгебраических чисел, лежащих
в расширении степени 2 поля рациональных чисел, такое, что ±1 —
единственные обратимые элементы в R [например, можно взять R =
= Z [V"—?>]]. Пусть А — группа без кручения ранга 4, для которой
Е (А) ^ R. Проверить справедливость следующих утверждений:
(а) все подгруппы группы А являются характеристическими;
(б) все эндоморфизмы группы А — мономорфизмы;
(в) группа А не имеет вполне характеристических подгрупп ранга 1.
Вывести отсюда, что группы без кручения конечного ранга могут
иметь характеристические, но не вполне характеристические
подгруппы.
9. Если ш — кардинальное число, меньшее первого сильно
недостижимого кардинального числа, то существуют группы без
кручения А мощности ш, которые не порождаются как Е (Л)-модули
меньше, чем ш элементами. [Указание: жесткие группы.]
10. Для любого4 кардинального числа ш" из упр. 9 существуют
коммутативные кольца эндоморфизмов мощности 2т. [Указание:
прямая сумма групп жесткой системы.]
11 (Дж. Д. Рейд [5], Орсатти [2]). Кольцо R называется подком-
мутативныМу если для любых элементов а, |3 6 R существует такой
элемент у 6 R» что <ху = 0а.
278
Гл. XV. Кольца эндоморфизмов
(а) Если кольцо Е (А) подкоммутативно, то эндоморфные образы
группы А являются вполне характеристическими подгруппами.
(б) Используя тот факт, что алгебра кватернионов над полем
рациональных чисел содержит подкоммутативное [но не
коммутативное] кольцо с единицей, аддитивная группа которого
редуцированная, показать, что свойство эндоморфных образов быть вполне
характеристическими подгруппами не влечет за собой коммутативности
кольца эндоморфизмов.
12. Центр кольца эндоморфизмов однородной сепарабельной
группы без кручения изоморфен подкольцу поля Q.
13. Однородная сепарабельная группа А без кручения не имеет
вполне характеристических подгрупп, кроме подгрупп пА (п =
= 0,1,2, ...).
§111. Кольца эндоморфизмов со специальными свойствами
До сих пор наше исследование связей между группами и их
кольцами эндоморфизмов касалось в основном вопроса, как структура
группы отражается на ее кольце эндоморфизмов. Теперь мы займемся
вопросом, какое влияние оказывает кольцевая структура колец
эндоморфизмов на соответствующие группы. Естественно, основное
внимание мы будем уделять стандартным теоретико-кольцевым
свойствам.
Сначала сделаем несколько простых замечаний технического
характера,
а) Если а ? Е (Л), то п \ а влечет за собой аА s пА, а па = 0
влечет за собой аА ^ А [п].
Если для Р 6 Е (Л) выполняется равенство п$ = а, то аА =
= п$А ^ пА. Если па = 0, то паА = 0 и аА s A In].
б) Пусть для группы А имеют место разложения
A = At® ... е Ап®Сп, где Сп = Лп+1 ф Сп+1
и Ап Ф 0, при любом п. Тогда в кольце Е = Е (А) условие
минимальности не выполнено ни для правых, ни для левых [главных] идеалов.
Пусть яп: А-* Сп — проекция. Тогда япяп+1 = яп+1, но не
существует такого а ? Е, что яп+1ос = яп, так как Im яп+1а ^ Im зхп4.1 с:
cz 1тяп. Следовательно, имеет место строгое включение япЕ =э
=>яп+1Е (п = 1, 2, . . .). Далее, яп+1яп = яп+1 и не существует
такого Р 6 Е, что Ряп+1 = яп, так как Кег яп cz Кег яп+1 s
е Кег Ряп+1. Это показывает, что Еяп zd Еяп+1.
Из Е = A — яп) Е © япЕ = Е A — яп) © Еяп и п. б)
непосредственно получается следующее утверждение [на самом деле в силу
теоремы 123.3 это более сильное, чем п. б), утверждение]:
в) Если А — такая группа, как в п, б), то кольцо Е (А) обладает
бесконечной строго возрастающей цепью правых [левых] идеалов.
§111. Кольца эндоморфизмов со специальными свойствами 279
Начнем наше изложение со случая [не обязательно
коммутативных] тел. Среди колец эндоморфизмов они встречаются удивительно
редко.
Теорема 111.1 (Селе [5]). Кольцо эндоморфизмов Е (А) группы А
является телом тогда и только тогда, когда группа А изоморфна Q
или Z (р) при некотором р [т. е. группа А является аддитивной
группой некоторого простого поля].
Тело служит кольцом эндоморфизмов абелевой группы в точности
тогда, когда оно — простое поле.
Если Е (А) — тело, то всякий ненулевой элемент а ? Е (А)
является автоморфизмом. Следовательно, для любого простого числа р
или рА = О, или рА = А. Если рА = 0 для некоторого /?, то А —
элементарная /7-группа. Так как в нашем случае проекции на
ненулевые слагаемые должны быть автоморфизмами, то группа А
неразложима и А ^ Z (р). С другой стороны, если рА = А для всех р, то А —
делимая группа и, как и в первом случае, она неразложима.
Умножение на р является эндоморфизмом с ядром 0, поэтому А — группа
без кручения. Таким образом, А ^ Q.
Обратно, кольца эндоморфизмов групп Q и Z (р) являются
простыми полями характеристики 0 и р соответственно. в
Далее, рассмотрим простые кольца, т. е. кольца, не имеющие
нетривиальных идеалов. Все простые кольца эндоморфизмов легко
перечислить:
Теорема 111.2. Кольцо эндоморфизмов Е (А) является простым
кольцом тогда и только тогда, когда А — или конечная прямая сумма
групп, изоморфных полной рациональной группе Q, или конечная
прямая сумма циклических групп фиксированного простого порядка р.
Простое кольцо служит кольцом эндоморфизмов абелевой группы
тогда и только тогда, когда оно — полное кольцо матриц конечного
порядка над простым полем.
Если Е = Е (А) — простое кольцо, то для любого простого
числа р или рЕ = 0, или рЕ = Е. В первом случае из п. а) легко
следует, что A s А [р], т. е. Л — элементарная /7-группа. Если
рЕ = Е для любого простого числа р, то Е — делимая группа
и группа А — тоже [см. п. а)]. Цоколь в Е является идеалом [ср.
§ 117, п. А)], поэтому Е должно быть кольцом без кручения, и
умножение на р — эндоморфизм группы А. Отсюда следует, что А —
также группа без кручения. Таким образом, или А = ©Z (р), или
А = © Q. Эндоморфизмы группы А, отображающие ее на подгруппу
конечного ранга, образуют ненулевой идеал в Е, который должен
совпадать с Е. Следовательно, А — конечная прямая сумма, и
необходимость доказана.
Достаточность очевидна в силу теоремы 106.1. Второе утверждение
теоремы также очевидно. в
280
Гл. XV. Кольца эндоморфизмов
В частности, теорема 111.2 показывает, что простое кольцо
эндоморфизмов должно удовлетворять условию минимальности для левых
и правых идеалов. Вообще, переходя к артиновым кольцам,
получаем:
Теорема 111.3. Кольцо эндоморфизмов Е (А) группы А является
артиновым слева [или справа] тогда и только тогда, когда А = В ® D,
где В — конечная группа, a D — делимая группа без кручения
конечного ранга.
Пусть кольцо Е = Е (А) артиново слева [или справа]. Тогда
существует такое натуральное число т, что тЕ — делимая группа
[см., например, § 122]. В силу п. а) из пт \ т\А вытекает, что тА s
^ птА, т. е. тА —делимая группа. Следовательно, А = В ф D,
где тВ = 0, a D — делимая группа. В силу п. б) слагаемые В и D
имеют конечный ранг; в частности, В — конечная группа. Мы можем
утверждать, что Z (р00) в D не входит, заметив, что т\А должно
делиться на степени числа р. Следовательно, группа А должна иметь вид,
указанный в теореме.
Обратно, если группа А имеет указанный в теореме вид, то Е (А) =
= Е (В) ф Е (D), так как В и D — вполне характеристические
подгруппы группы А. Здесь Е (В) — конечное кольцо, а Е (D) —
полное кольцо матриц конечного порядка над Q. Артиновость слева
и справа кольца Е (А) теперь очевидна. в
Заметим, что если группа Л устроена как в теореме 111.3, то ее кольцо
эндоморфизмов является кольцевой прямой суммой конечного кольца Е (В) и
кольца Е(D), изоморфного полному кольцу матриц конечного порядка над Q.
Пересматривая последнее доказательство, можно заметить, что то же
заключение можно получить при более слабом предположении, что Е (А) удовлетворяет
условию минимальности для левых [или правых] главных идеалов [см. Сас [1]].
В противоположность условию минимальности условие
максимальности, наложенное на кольцо эндоморфизмов, не слишком ограничивает
групповую структуру, как показывает хотя бы пример больших
неразложимых групп, имеющих кольцо эндоморфизмов, изоморфное под-
кольцу поля Q. Однако в периодическом случае условие
максимальности оказывается большим ограничением.
Предложение 111 -4.1 Пусть А — периодическая группа. Кольцо
Е (А) нётерово слева [или справа] тогда и только тогда, когда А —
прямая сумма конечного числа коциклических групп.
Используя п. в), легко проверить, что базисная подгруппа В
группы А конечна [см. теорему 32.4]. Поэтому по теореме 27.5 имеем
А = В © С, где С — делимая группа, обязательно конечного ранга.
Чтобы доказать обратное, предположим, что А = В © D, где В —
конечная группа, a D — делимая группа конечного ранга, и пусть
я: A-+D — проекция. Тогда Е = Ея © Е A — я), где второе
слагаемое конечно, а первое слагаемое Ея = яЕя является в силу
§ 111. Кольца эндоморфизмов со специальными свойствами 281
теоремы 106.1 полным матричным кольцом над Q?, т. е. также нёте-
ровым [слева и справа] кольцом.Следовательно, и Ея, и Е A — я) —
нётеровы левые Е-модули и этим же свойством обладает кольцо Е.
Аналогичные рассуждения применимы при доказательстве нётеро-
вости справа. т
Другие условия на кольца эндоморфизмов будут рассмотрены
в следующем параграфе.
Упражнения
1. (а) Доказать, что кольцо эндоморфизмов Е (А) является
полупростым кольцом с условием минимальности для левых [или, что
эквивалентно, правых] идеалов тогда и только тогда, когда А = В ©
© D, где В — конечная элементарная группа, a D — делимая группа
без кручения конечного ранга.
(б) Какие полупростые кольца с условием минимальности служат
кольцами эндоморфизмов?
2. (Кертес). Если А является /7-группой, то радикал Джекобсона
кольца Е (А) равен нулю тогда и только тогда, когда А — элемен-
оо
тарная группа. [Указание: 2 (—l)npn9n— элемент, квазиобратный
п=1
К рв.)
3. Доказать, что для периодических групп А справедливо
следующее свойство симметрии: кольцо Е (А) удовлетворяет условию
минимальности [максимальности] для левых (или правых) идеалов тогда
и только тогда, когда в группе А выполнено условие
максимальности [минимальности] для подгрупп.
4. Радикал артинова кольца эндоморфизмов конечен.
5. Описать р-группы, кольца эндоморфизмов которых
удовлетворяют условию минимальности [максимальности] для левых или правых
аннуляторов элементов.
6. Если кольцо Е (А) удовлетворяет условию максимальности для
левых [или правых] идеалов, то периодическая часть группы А
конечно копорождена.
7. (а) Если Е (А) — область целостности, то группа А
неразложима.
(б) Показать, что не всякое кольцо эндоморфизмов, являющееся
областью целостности, может быть вложено в тело. [Указание:
использовать теорему ПОЛ.]
8. (Селпал [3]). (а) Кольцо эндоморфизмов Е (А) является
периодическим тогда и только тогда, когда А — ограниченная группа.
(б) Е (А) является кольцом без кручения в том и только в том
случае, когда А = D ф С, где D — делимая периодическая группа,
а С — такая группа без кручения, что рС = С для тех простых чисел р>
для которых D [р] Ф 0.
9. (Орсатти [11). (а) Всякая группа Л, кольцо эндоморфизмов
которой локально, неразложима.
282
Гл. XV. Кольца эндоморфизмов
(б) Кольцо эндоморфизмов группы, не являющейся группой без
кручения, является локальным тогда и только тогда, когда группа
коцикл ическая.
(в) Сервантные подгруппы конечного ранга группы Jp имеют
локальные кольца эндоморфизмов.
10. Перечислить группы, каждый эндоморфизм которых или
является автоморфизмом, или нильпотентен.
11. Кольцо эндоморфизмов сепарабельной группы А без кручения
нётерово слева [справа] тогда и только тогда, когда группа А имеет
конечный ранг.
12 (Селе и Сендрей [1]). (а) Если кольцо Е (А) коммутативно,
то р-компоненты Тр группы А являются коциклическими, a A IT есть
р-делимая группа для любого простого числа р, для которого Тр Ф 0.
(б) Расщепляющаяся группа А имеет коммутативное кольцо
эндоморфизмов тогда и только тогда, когда Е (Т) и Е (A IT) —
коммутативные кольца и группа А удовлетворяет условию п. (а).
§ 112. Регулярные и обобщенные регулярные
кольца эндоморфизмов
Продолжим рассмотрение вопроса о группах, кольца
эндоморфизмов которых принадлежат тем или иным интересным классам колец.
В этом параграфе мы сосредоточим внимание на кольцах
эндоморфизмов, являющихся регулярными или обобщенными регулярными в
соответствующем смысле.
Для начала сформулируем нужные определения.
Элемент а кольца R назовем регулярным, если
ара = а для некоторого р 6 R,
и т-регулярным, где т — натуральное число, если аш — регулярный
элемент. Элемент а назовем регулярным слева [справа], если
а = Ya2 fa — a2Yl Для некоторого у 6 R.
Если am — элемент, регулярный слева [справа], то элемент а будем
называть т-регулярным слева [справа]. Кольцо R назовем регулярным,
т-регулярным и т. д., если соответствующим свойством обладает
каждый его элемент. Кольцо R назовем п-регулярным [слева, справа],
если каждый его элемент m-регулярен [слева, справа] для некоторого
целого числа т, зависящего от элемента.
Дальнейшие результаты существенно опираются на следующую
простую, но важную лемму.
Лемма 112.1 (Рангасвами [8]). Эндоморфизм а группы А является
регулярным элементом кольца Е (А) тогда и только тогда, когда
Im а и Ker a — прямые слагаемые группы Л.
Пусть для a ? Е (А) выполнено ара = а при некотором Р 6 Е (Л).
Так как эндоморфизмы ар и Ра — идемпотенты в кольце Е (А), то они
§ 112. Регулярные и обобщенные регулярные кольца эндоморфизмов 283
являются проекциями группы Л, и поэтому их образы и ядра —
прямые слагаемые этой группы. Очевидно,
Im ара s Im ар ? Im а и Кег а s Кег Ра ? Кег офа.
Отсюда Im а = Im ар и Кег а = Кег Ра — прямые слагаемые
группы А.
Обратно, пусть Im а = G и Кег а = К — прямые слагаемые
группы Л, скажем A = G@H = K®L для некоторых подгрупп Я,
L ? Л. Так как L f| /С = 0, мы можем утверждать, что а | L
отображает L изоморфно в группу G, а значит, на нее. Следовательно,
существует эндоморфизм Р 6 Е (Л), действующий тривиально на Я и
обратный к а | L на G. Записав элемент а ? Л в виде а = ах -f- а2
(ах 6 К, а2 6 L), получаем (ара) а = а [р (аа2)] = аа2 = аа, откуда
ара = а. в
Следующий результат непосредственно вытекает из нашей леммы;
он является просто переформулировкой (связанной с группой)
условия регулярности [я-регулярности] кольца эндоморфизмов.
Предложение 112.2. Кольцо эндоморфизмов группы А регулярно
[к-регулярно] тогда и только тогда, когда образы и ядра [подходящих
степеней] эндоморфизмов группы А служат прямыми слагаемыми для
А. .
Прежде чем приступить к рассмотрению строения групп, кольца
эндоморфизмов которых регулярны или я-регулярны, приведем
несколько примеров и затем докажем один предварительный результат,
который нам понадобится в дальнейшем.
Пример 1. Кольцо эндоморфизмов элементарной группы регулярно.
Действительно, всякая подгруппа такой группы служит в ней прямым
слагаемым, поэтому регулярность кольца эндоморфизмов вытекает из предложения
112.2.
Пример 2. Всякая делимая группа без кручения имеет регулярное
кольцо эндоморфизмов. Это очевидно в силу предложения 112.2.
Пример 3. Группы, о которых говорится в теореме 111.3, имеют /я-регу-
лярные кольца эндоморфизмов. Чтобы это проверить, покажем, что артиново
слева кольцо R с единицей m-регулярно для некоторого т. Из следствия 123.4
непосредственно вытекает, что кольцо R, рассматриваемое как левый R-модуль,
имеет конечный композиционный ряд, скажем, длины /. Для a g R убывающая
цепочка левых идеалов, порожденных элементами а, а2, ... соответственно,
стабилизируется самое большее через / шагов, т. е. а*= Ра2* при некотором
Р 6 R. Отсюда A — а*Р) а21 = 0. По той же причине левые аннуляторы
элементов а, а2, . . . совпадают, начиная, самое большее, с /-го места, поэтому 1 — аф
аннулирует также а*, т. е. A — аф) а1 = 0. Следовательно, кольцо R является
/-регулярным. Как показывает доказательство, оно также /-регулярно слева.
Пример 4. Пусть А = © Z (рт) для некоторого фиксированного т
v
и различных простых чисел р. Так как всякий эндоморфизм группы Z (рт) или
является автоморфизмом, или нильпотентен и имеет индекс нильпотентности
не больше т, то кольцо Е (А) m-регулярно. Здесь кольцо Е (А) коммутативно.]
284
Гл. XV. Кольца эндоморфизмов
Пример 5. Кольцо эндоморфизмов аддитивной группы коммутативного
я-регулярного кольца N из теоремы 125.3 изоморфно N. Оно д-регулярно, но не
m-регулярно ни при каком т, кроме случая, когда числа lt ограничены.
Лемма 112.3. Если группа А имеет регулярное [я-регулярное]
кольцо эндоморфизмов, то этим же свойством обладает кольцо
эндоморфизмов любого прямого слагаемого С группы А.
Пусть е: А -> С — проекция. Любое а ? Е (С) можно
рассматривать как эндоморфизм группы А, переводящий Кег е в 0. Если
этот эндоморфизм /n-регулярен в кольце Е (А) для некоторого т ^ 1,
т. е. awpam = ат при соответствующем р ? Е (Л), то для элемента
Р' = ер8 g Е (С) справедливо равенство amp'am = am.
Наша первая задача — получить основные сведения о влиянии
я-регулярности кольца Е (А) на строение группы А.
Предложение 112.4 (Фукс и Рангасвами [1]). Если кольцо Е (А)
является п-регулярным, то А = С ф D, где
1) С — редуцированная группа, такая, что ее р-компоненты Ср —
или конечные, или элементарные группы, С/Т (С) — делимая группа
и, кроме того,
®СР^С^ЦСР;
v v
2) D — делимая группа без кручения.
Умножение на простое число р является эндоморфизмом группы А,
который можно, не опасаясь недоразумений, обозначать просто через р.
В силу я-регулярности рт = рт$рт для некоторого т>1 и
некоторого Р 6 Е (Л). Таким образом, для всех а 6 А выполнено рта =
= /727ИРа, откуда вытекает, что ртА = р2тА есть р-делимая группа
и рта = 0 для всех элементов а из р-компоненты Ар группы А.
Следовательно, Ар — прямое слагаемое группы А, т. е. А = Ар ® В для
некоторого В s А. Отсюда ртА = ртВ и р В есть р-делимая группа.
Деление на р в группе В определяется однозначно, поэтому ртВ = В.
Таким образом, А = Ар ф ртА, где ртАр = 0. Теперь ясно, что
максимальная делимая подгруппа D группы А удовлетворяет
условию 2). Группа С/Т (С) — эпиморфный образ каждой группы А/Ар ^
^ р А, где последняя группа р-делима. Следовательно, С/Т (С) —
делимая группа.
Остается показать, что если группа Ср = Ар не элементарная,
то она конечна. В силу ограниченности Ср — прямая сумма
циклических групп порядка не больше рт. Если Ср — не конечная группа,
то она имеет прямое слагаемое G = G0 ф Gx ф ... ф Gn ф . . ., где
G0 ^ Z (рт) и Gn 5ё Z (р1), причем i < т фиксировано для всех
/i^l. Существует эндоморфизм а группы А, переводящий в нуль
дополнительное к G прямое слагаемое группы А и такой, что aG0 = 0,
ad = рт~Ю0, aGn = Gn_x при n > 2. Очевидно, рт-Ю0 s Im aft при
всех & ^ 1, и Im ah не может служить прямым слагаемым группы G,
§ 112. Регулярные и обобщенные регулярные кольца эндоморфизмов 285
если т Ф 1. Из предложения 112.2 следует, что Ср обладает нужными
свойствами.
Наконец, из существования разложений С = Ср ® ртС вытекает,
что для всех р существуют эпиморфизмы С ->¦ Ср. Они индуцируют
гомоморфизм C-^[JCp. Чтобы проверить, что С ^\[СР, достаточно
V
показать, что К = П РтС = 0- Если q — простое число, отличное
v
от р, то Cq — прямое слагаемое группы ртС и С = Ср © Cq ©
ф (pwCfl <7ПС). Заметим, что каждый элемент а ? ртС [) qnC
однозначно делится на р в подгруппе /?™С f] <7ПС> так что каждый элемент
а 6 К" = П (PWC П ?ПС) делится на р в /С. Это означает делимость
группы /С, откуда К = 0. ¦
Теперь мы в состоянии рассмотреть вопрос о периодических
группах с я-регулярными кольцами эндоморфизмов.
Теорема 112.5 (Фукс и Рангасвами [1]). Пусть А —периодическая
группа с р-компонентами Ар. Для я-регулярности кольца Е (А)
необходимо и достаточно, чтобы существовало такое целое число
е ^ 0, что при любом р или Ар — элементарная группа, или \ Ар | ^
<Ре-
Пусть кольцо Е (Л) является гс-регулярным и Ар —
неэлементарная группа при некотором р. В силу утверждения- 1) из
предложения 112.4 существует такое наименьшее целое число kp ^ 2, что
pkpAp = 0. Лемма 112.1 показывает, что умножение на р в группе
Ар — это /^-регулярный эндоморфизм, который не ^-регулярен, если
1^&<&р. Поэтому эндоморфизм группы Л, действующий как
умножение на р на группе Ар при каждом /?, может быть т-регулярным
при некотором т только в случае, когда множество {kp}, где р
пробегает все простые числа, для которых рАр Ф 0, ограничено.
Предположим теперь, что группа Ар имеет прямое слагаемое В = Вг ф ...
. . . ф Btp, где все Bj — циклические группы, | Вг | ^ р2 и
| Вг | ^ . . . ^ | Bip |. Существует эндоморфизм Р группы В,
отображающий Bj на Bj+1 (/ = 1, . . ., /р — 1), a Bip — на Вх [р]. В силу
леммы 112.1 эндоморфизм E не /-регулярен, если / <: 1Р. Как и для
чисел kp, мы получаем существование верхней грани чисел 1Р.
Используя верхние грани для kp и 1Р, получаем такое целое число е, что
\А р|^рв для всех неэлементарных р-компонент Ар группы А.
Обратно, пусть группа А обладает указанным в теореме свойством.
Если порядок группы Ар не больше ре, то легко видеть, что Е (Ар)
имеет порядок не больше ре2. Следовательно, Е (Ар) как левый модуль
над собой имеет длину не больше I = е2, и из примера 3 вытекает
/-регулярность кольца Е (Ар). Если Ар — элементарная р-группа,
то пример 1 показывает, что кольцо Е (Ар) регулярно. Теперь ясно,
что Е (А) = W Е (Ар) есть /-регулярное кольцо. в
V
286
Гл. XV. Кольца эндоморфизмов
Полностью охарактеризовать группы с я-регулярными кольцами
эндоморфизмов в общем случае не удается. Самое большее, что можно
сделать,— это свести вопрос к случаю редуцированных групп, причем
даже это далеко не просто.
Предложение 112.6 (Фукс и Рангасвами [1]). Пусть А = С ф Df
где С — редуцированная, a D — делимая группа. Кольцо Е (А)
является я-регулярным тогда и только тогда, когда
а) Е (С) есть п-регулярное кольцо,
б) D — группа без кручения,
в) С — периодическая группа, если ранг группы D бесконечен.
Если кольцо Е (А) является я-регулярным, то утверждения а)
и б) вытекают из леммы 112.3 и предложения 112.4. Чтобы доказать
утверждение в), предположим, что группа D имеет бесконечный ранг,
с»
и запишем D = D0 ф 0 Dn, где Dn ^ Q при и > 1. Если группа С
71=1
не периодическая, то в силу предложения 112.4 существует эпиморф-
ное отображение группы С на Dl9 и группа А обладает таким
эндоморфизмом а, что а | D0 = lp0, aDn = Dn+1 при п ^ 1 и аС = Dx.
Легко видеть, что Кег а = Ker ah при всех k ^ 1 и Г (С) g Кег а с=
с С, откуда следует, что Кег ak не может служить прямым слагаемым
для группы А. Получилось противоречие, и утверждение в) доказано.
Докажем достаточность. Пусть А = С ф D и выполнены
условия а) — в). Если ранг группы D бесконечен, то в силу условия в)
подгруппа С вполне характеристична в А. Поэтому Е (А) = Е (С) ф
ф Е (D). Из условия б) и примера 2 получаем, что кольцо Е (А)
является я-регулярным. Если D имеет конечный ранг, то требуются
более сложные рассуждения.
Для а 6 Е (А) положим Ak = аМ (k > 1) и напишем разложение
Ak = Ck (В Dk, где Ck — редуцированная, a Dh — делимая группа.
Так как Ah+1 е Ak и Dk+1 ^Dk, то конечность ранга группы D
влечет за собой Dn = Dn+1 = . . . при некотором п. Теперь можно
выбрать Cn+i = Сп П An+i при i > 1, т. е. Сп = Сп+1 э . . . . Ясно,
что каждая группа Ck является эпиморфным образом группы С.
Отсюда заключаем, что Ch/T (Ck) — делимая группа. Легко видеть,
что Ck — подпрямая сумма подгруппы С" группы С и подгруппы D'
группы D, причем Т (С) = Т (Ck). Следовательно, Ck/T (Ck) —
подпрямая сумма обязательно делимых групп без кручения С IT (С)
и D'. Ядра этой подпрямой суммы сервантны в подпрямой сумме,
так как компоненты — группы без кручения [см. т. 1, стр. 55], и из
делимости группы Ck/T (Ck) следует, что Ck/T (Ck), а значит, и Ck
пересекается с D' по делимой подгруппе. Но так может быть лишь
в случае, когда Ck П D' = 0, откуда Ck fl D = 0. Без ограничения
общности можно предполагать, что Ck S С при всех k ^ п; иными
словами, если г: А ->¦ С — проекция, то sAk = Ck при всех k ^ п.
Заметим, что для эндоморфизма ганг выполняется равенство гакгС =
= гакС = Ск- Теперь из условия а) вытекает существование такого
§ 112. Регулярные и обобщенные регулярные кольца эндоморфизмов 287
т, что Im (eane)w и Кег (eane)w f| С — прямые слагаемые группы С.
Так как (eane)w = eanme, то Спт, а значит, и Апт — прямые
слагаемые группы А. Для завершения доказательства остается только
проверить, что Кег апт + D = Кег eanme, так как тогда
редуцированные части этих двух ядер одинаковы. Включение s очевидно.
Предположим, что гаптга = О, где а = с + d (с ? С, d ?D). Равенство-
еаптс = 0 означает, что anmc 6 D, откуда anwc 6 Dn. В силу выбора
числа /г имеем anwc = anmg для некоторого g?D. Следовательно,
а = (с — g)+ (d+ g) ? Кег апт + D, что и требовалось. в
Посмотрим, что дают наши теоремы в частном случае регулярных
колец эндоморфизмов.
Предложение 112.7. а) Если А—нередуцированная группа, то
кольцо Е (А) регулярно тогда и только тогда, когда А — прямая
сумма делимой группы без кручения и элементарной группы.
б) Если А — периодическая группа, то кольцо Е (А) регулярна
в том и только в том случае, когда А — элементарная группа.
в) Если А — редуцированная группа и Е (А) — регулярное кольцоу
то Т (А) — элементарная группа, A IT (А) — делимая группа и
® АР^А ^ЦАР.
Р V
Из первой части доказательства предложения 112.4 мы заключаем,
что все /7-компоненты Ар — элементарные группы, если кольцо Е (А)
регулярно. Этот факт и пример 1 доказывают утверждение б). В силу
1) из предложения 112.4 это доказывает также утверждение в).
Наконец, чтобы доказать утверждение а), запишем А = С © D, как в пред-
ложении 112.4, и заметим, что ядро нетривиального гомоморфизма
С -> D не может быть прямым слагаемым. Теперь необходимость
условия а) очевидна. Его достаточность была установлена при
доказательстве предложения 112.6. ¦
С кольцами эндоморфизмов, я-регулярными слева или справа,
можно действовать аналогичным образом. В самом деле, фактически
все, что мы получили для случая я-регулярности, переносится на
случай колец эндоморфизмов, я-регулярных слева или справа, хотя
доказательства должны быть несколько изменены. Заранее во всяком
случае не очевидно, что для колец эндоморфизмов я-регулярность слева
эквивалентна я-регулярности справа [и каждая из них влечет за
собой я-регулярность]. Однако это будет следовать из
предложения 112.9.
Начнем с аналога предложения 112.4.
Предложение 112.8 (Фукс и Рангасвами [1]). Если кольцо Е (А)
является я-регулярным слева или справа, то А = С © D, где
1) С — редуцированная группа, такая, что ее р-компоненты Ср
конечны, С/Т (С) — делимая группа и © Ср s С ^Дср;
v v
2) D — делимая группа без кручения конечного ранга.
288
Гл. XV. Кольца эндоморфизмов
Первая и последняя часть доказательства предложения 112.4
проходят для я-регулярности слева и справа. Поэтому для завершения
доказательства достаточно показать, что группа Л не имеет слагаемых
оо
G = ф Gn, равных прямой сумме бесконечного числа изоморфных
между собой групп G7l. Если бы группа Л имела такое слагаемое G,
то существовали бы эндоморфизмы а, р 6 Е (Л), для которых aGn =
= Gn+1, $G± = 0, PGn+1 = Gn при /i=l,2, ... и которые действуют
тривиально на дополнительном к G слагаемом группы Л. Отсюда
следовало бы, что Im ak Ф Im ah+1 и Кег pfe Ф Кег pfe+1 для всех
?=1,2,.... Но если эндоморфизм а является /п-регулярным
справа, то Im ат = Im aw+1, а если эндоморфизм Р является т-регу-
лярным слева, то Кег рт = Кег pw+1. ш
Теперь мы вплотную подошли к доказательству более сложного
аналога предложения 112.2, который в то же время устанавливает
эквивалентность я-регулярности слева и справа для колец
эндоморфизмов.
Предложение 112.9 (Фукс и Рангасвами [1]). Для кольца
эндоморфизмов Е (А) группы А эквивалентны следующие утверждения:
1) Е (А) — я-регулярное слева кольцо,
2) Е (А) — п-регулярное справа кольцо,
3) для любого а ? Е (Л) существует такое натуральное число т,
что
Л=1татеКегат.
Пусть Л = Im am ф Кег aw. Тогда, очевидно, ат индуцирует
на Im ат = G мономорфизм. Он должен быть автоморфизмом, так
как G = атА = amG. Если эндоморфизм у ?Е (А) обратен к ат
на G и аннулирует Кег aw, то ya2m = ат = a2my, т. е. эндоморфизм a
является m-регулярным слева и справа. Таким образом, условие 3)
влечет за собой 1) и 2).
Чтобы доказать обратные импликации, предположим сначала, что
Л — редуцированная группа.
Из условия 1) следует, что для всякого a g Е (Л) справедливо
<хт = уа2т при некотором 7 6 Е (Л) и некотором натуральном числе т.
Очевидно, ат = у<х2т влечет за собой Im aw f| Кег ат = 0. Поэтому,
чтобы доказать, что выполнено условие 3), остается только показать,
что Л = Im ат + Кег ат. В силу 1) из предложения 112.8 все /7-ком-
поненты Ар группы Л конечны, поэтому при любом р сравнение
порядков групп дает Ар = Im (am | Ар) + Кег (ат \ Лр). Точнее, всякий
элемент а?Ар может быть записан в виде а = amal + а2, где аи
а2 6 Л р и ama2 = 0. Следовательно, a — уЛг = а2 и ama — атуата=
= 0. Таким образом, представляя Л в виде подпрямой суммы групп
Ар как в 1) из предложения 112.8, для любого а?А получаем, что
все координаты элемента (am — a™Yam) а должны равняться нулю.
§ 112. Регулярные и обобщенные регулярные кольца эндоморфизмов 289
Отсюда атуат = ат и А = \туат+ Im A — усе) s Im aw +
+ Ker am.
Предположим, что выполнено условие 2), и пусть ат = а?ту, где
a, Y 6 Е (Л). Так как ат (а — атуа) = 0 для всех я 6 Л, то a =
= ax + a2, где ax = awva 6 Im am и a2 ? Ker am. Другими словами,
Л = Im am + Ker am. Теперь будем рассуждать как в предыдущем
абзаце. Так как р-компоненты Ар конечны, то Im (ат \ Ар) П
П Ker (am | Ар) = О для любого простого числа р. Следовательно,
элементы из Im aw f) Ker am имеют нулевые координаты в каждом
Ар. Отсюда Im am П Ker ат = О, и 3) доказано.
Если группа А нередуцированная, то нужно сослаться на
следующую лемму. в
Лемма 112.10. Если А = С © D, где С — редуцированная, a D —
делимая группы, то кольцо Е (А) является я-регулярным слева [справа]
тогда и только тогда, когда
а) Е (С) есть п-регулярное слева [справа] кольцо,
б) D — делимая группа без кручения конечного ранга.
Необходимость непосредственно следует из предложения 112.8
и очевидного аналога леммы 112.3. Докажем достаточность. Пусть
е: А ->- С — проекция. Используя уже доказанную часть
предложения 112.9, мы можем для некоторого т написать С = Im eame ©
©(Cfl Ker eame). Кроме того, доказательство предложения 112.9
показывает, что такое же разложение имеет место для всех больших
целых чисел. Следовательно, D ^ Ker гаьг влечет за собой А =
= Im eafte © Ker eah& для всех k ^ т. Если выбрать Dn как в
доказательстве предложения 112.6, то будет Im ah = Im eake © Dk
и Ker ak © Dk = Ker eahs для любого k ^ п. Следовательно, A =
= Im ak © Ker ak для некоторого k, и по предложению 112.9
кольцо Е (А) является я-регулярным слева [справа]. в
Более или менее полное описание редуцированных групп,
имеющих регулярные, я-регулярные или я-регулярные слева кольца
эндоморфизмов,— видимо, сложная проблема. Ясно, что трудность
заключается в выделении нужных смешанных групп, лежащих между
прямой суммой и прямым произведением их р-компонент.
Упражнения
1. Показать, что если кольцо Е (А) является /п-регулярным,
то в п. 1) из предложения 112.4 для неэлементарных р-компонент Ср
выполняется неравенство | Ср \ ^ рш2.
2. Доказать теорему 112.5 для групп А = \\АР, где Ар — неко-
v
торые р-группы.
3. Найти неизоморфные группы, имеющие изоморфные
регулярные кольца эндоморфизмов. [Указание: прямая сумма и прямое
произведение групп Z (/?).]
290
Гл. XV. Кольца эндоморфизмов
4. (а) Если в предложении 112.6 кольцо Е (С) является т-регуляр-
ным, а группа D имеет ранг /-, то Е (Л) есть (г + 1) т-регулярное
кольцо.
(б) Кольцо эндоморфизмов группы Q ©HZ (р) является 2-регуляр-
р
ным, но не регулярным.
5. Доказать, что группа ф Z (р) © [J Z (/?) служит аддитивной
р р
группой регулярного кольца и удовлетворяет условию в) из
предложения 112.7, но что кольцо эндоморфизмов этой группы не регулярно.
6 (Кертес и Селе [1]). Показать, что если всякий эндоморфный
образ группы Л служит для нее прямым слагаемым, то каждая /?-ком-
понента группы А—или элементарная, или делимая группа и А/Т(А)—
делимая группа. [Указание: рА.]
7 (Рангасвами [8]). Ядра и образы эндоморфизмов группы А сервант-
ны в А тогда и только тогда, когда Т (А) — элементарная группа
и А/Т (А) — делимая группа.
8. Если Е (А) — коммутативное я-регулярное кольцо, то Л —
или сервантная подгруппа группы [] Z (php)> содержащая ф Z (pkp),
v v
или группа, изоморфная группе Q ф ф Z (php), где р пробегает
р
некоторое множество различных простых чисел, a kp — целые числа.
9. Охарактеризовать алгебраически компактные [копериодические!
группы, имеющие я-регулярные кольца эндоморфизмов. Показать,
что эти кольца являются тогда m-регулярными для некоторого т.
10. Кольцо эндоморфизмов, я-регулярное^ слева или справа,
я-регулярно.
11. Описать строение периодических групп, имеющих
я-регулярные слева кольца эндоморфизмов.
12. Кольцо эндоморфизмов является 1-регулярным слева тогда
и только тогда, когда оно коммутативно и регулярно.
13 (Рангасвами [9]). Кольцо R с единицей называется бэровским,
если левые [или, эквивалентно этому, правые] аннуляторы непустых
подмножеств из R порождаются идемпотентами.
(а) Кольцо эндоморфизмов Е (А) периодической группы Л является
бэровским тогда и только тогда, когда /7-компонента Ар группы А
для любого простого числа р ~ или делимая, или элементарная
группа.
(б) Если А = Ар © рА для любого простого числа р, то Е (А) —
бэровское кольцо тогда и только тогда, когда всякая подгруппа
группы Л, замкнутая в Z-адической топологии группы Л, служит для Л
прямым слагаемым. [Указание: в рассматриваемом случае замкнутость
подгруппы эквивалентна тому7 что эта подгруппа — пересечение
ядер эндоморфизмов.]
14*. (а) (Вольфсон [1]). Если F — свободная группа, то Е (F) —
бэровское кольцо тогда и только тогда, когда пересечения ядер
эндоморфизмов служат для F прямыми слагаемыми.
Замечания
291
(б) (Рангасвами [9]). Группа F обладает свойством, указанным
в п. (а), тогда и только тогда, когда она счетна. [Указание: ср.
теорему 19.2.]
Замечания
Изучение колец эндоморфизмов берет начало в теории линейных
преобразований конечномерного векторного пространства. Давно было известно, что эти
преобразования образуют простое кольцо, изоморфное кольцу матриц. Шода [1]
положил начало теории колец эндоморфизмов конечных абелевых групп.
Матричное представление, данное в теореме 106.1, в конечном случае принадлежит ему.
Бэр [9] первым сосредоточил внимание на кольцах эндоморфизмов как
кольцах со специальными свойствами. Ему удалось полностью охарактеризовать
кольца эндоморфизмов ограниченных групп в терминах теории идеалов. Другой
подход можно найти в работах Либерта [1, 2 и 4], который дал
теоретико-кольцевую характеризацию колец эндоморфизмов Е (А) сепарабельных р-групп А.
Различные виды колец эндоморфизмов р-групп исследовали Пирс [2, 3] и Корнер
[7]. Делимый случай рассматривал Либерт [5].
Тот факт, что кольца эндоморфизмов периодических групп определяют эти
группы с точностью до изоморфизма, был установлен Бэром [9] в случае
ограниченных групп и доказан Капланским [2] в общем случае. Для групп без кручения
аналогичный результат места не имеет, если не ограничиваться рассмотрением
групп с соответствующим запасом эндоморфизмов. Например, как показал
Хауптфлейш (G. Hauptfleisch), верно следующее: если А и С — однородные сепа-
рабельные группы без кручения типов s и t соответственно, то Е (А) ^ Е (С)
влечет за собой А 0 Т ?ё В (g) S, где S и Т — рациональные группы типов s и t
соответственно. Имеются и еще частные случаи, когда изоморфизм групп следует
из изоморфизма колец эндоморфизмов, ср. Вольфсон [Wolfson К., Proc. Ашег.
Math. Soc, 13 A962), 712—714, и 14 A963), 589—594; Michigan Math. J., 9
A962), 69—75].
В случае групп без кручения, несомненно, наиболее значительным
результатом, известным до сих пор, является теорема 110.1. Примыкающие к ней
результаты для случая больших мощностей были получены Корнером [6] путем
рассмотрения кольца Е (А) как топологического кольца, снабженного конечной
топологией. Еще об эндоморфизмах групп без кручения см. в работах Бреннера и Батле-
ра [1], Корнера [8], Кишкиной [1] и Круль [2].
Сравнительно мало внимания до сих пор уделялось кольцам эндоморфизмов
смешанных групп. Интересный частный случай — это когда эндоморфизмы
вполне определяются их действием на периодическую часть, как это имеет место в
урегулированных копериодических группах [см. упр. 7 из § 108].
Интересное обобщение теоремы 108.3 получил Нунке [8].
В работе [23] автор поставил вопрос о группах Л, для которых подкольцо,
порожденное обратимыми элементами кольца Е (А), совпадает с Е (А). Этот
вопрос, видимо, должен легче поддаваться решению в случае периодических
групп Л. В то время как легко найти даже конечную 2-группу, которая не
обладает указанным свойством [см. упр. 10 из § 108, ср. также Пирс [2]), все тотально
проективные р-группы, где р > 2, и все периодически полные р-группы обладают
даже более сильным свойством, а именно всякий их эндоморфизм равен сумме
двух автоморфизмов [ср. Хилл [14] и Кастанья [1], см. также Фридман [2]
и Стринголл [3]].
Всякое кольцо с единицей тривиальным образом является кольцом
эндоморфизмов некоторого модуля. Однако вопрос о кольцах эндоморфизмов становится
очень трудным, если зафиксировать кольцо, модули над которым
рассматриваются, или наложить условия на модули. Здесь один из наиболее полных
результатов касается квазиинъективных модулей М [см. Faith С, Utumi Y., Arch.
Math., 15 A964), 166—174]: радикал Джекобсона J кольца ER (М) состоит в этом
случае из всех эндоморфизмов, ядра которых — существенные подмодули в М,
292
Гл. XV. Кольца эндоморфизмов
a ER (M)/J — регулярное кольцо. О радикалах колец эндоморфизмов см. также
Хаймо [3, 4].
Имеется ряд классов колец, строение которых известно лучше. Можно было
бы исследовать их роль как колец эндоморфизмов, в частности, установить, какие
из них служат кольцами эндоморфизмов. Эту программу предложил Селе [5],
и с тех пор она привлекала большое внимание [ср. § 111 и 112, Рангасвами [9, 10]],
но тем не менее здесь остается много открытых вопросов. Первоначальное
предположение, что указанные исследования дадут возможность глубоко проникнуть
в строение групп, не оправдалось, так как традиционные кольцевые свойства
оказались жесткими ограничениями на кольца эндоморфизмов. В случае модулей
дело обстоит сложнее, и, насколько мы знаем, здесь были получены только
спорадические результаты. Вэр и Зельманович [Ware R., Zelmanowitz J., Amer. Math.
Monthly', 77 A970), 987—989] исследовали модули M над коммутативными
кольцами R, для которых ER (М) — простое кольцо, и модули без кручения М
над коммутативными областями целостности, для которых кольцо ER (М)
регулярно. Дополнительно отметим, что коммутативные кольца эндоморфизмов
изучал Зельманович [Zelmanowitz J., Canad. J. Math., 23 A971), 69—76], а
полунаследственные кольца эндоморфизмов — Ленцинг [Lenzing Н., Math. Z., 118
A970), 219—240].
Проблема 84. Для различных типов колец найти критерии,
при которых эти кольца служат кольцами эндоморфизмов; в
частности, сделать это для
а) областей главных идеалов,
б) локальных и полулокальных колец,
в) нётеровых колец,
г) самоинъективных колец.
Проблема 85. Дать общую характеризацию колец
эндоморфизмов р-групп. Какие из них являются кольцами эндоморфизмов
тотально проективных /7-групп?
Проблема 86. Кольца эндоморфизмов каких /?-групп
допускают компактную кольцевую топологию?
Проблема 87. Обязательно ли две смешанные группы ранга
без кручения 1 будут изоморфными, если их кольца эндоморфизмов
[группы автоморфизмов] изоморфны, а их факторгруппы по
периодической части изоморфны группе Q?
Глава XVI
ГРУППЫ АВТОМОРФИЗМОВ
Всякая группа А определяет группу Aut Л, состоящую из всех ее
автоморфизмов. Последняя коммутативна лишь в исключительных случаях, так что
при изучении групп автоморфизмов неизбежно приходится применять методы
теории некоммутативных групп.
В основном нас будет интересовать вопрос о взаимоотношении группы и ее
группы автоморфизмов. Поскольку Aut Л — не что иное, как группа обратимых
элементов кольца Е (Л), ясно, что группа Aut Л дает, вообще говоря, меньше
сведений о группе Л, чем кольцо Е (Л). С другой стороны, концентрируя
внимание на группе Aut Л, мы получаем возможность использовать мощные теоретико-
групповые методы, т. е. совершенно новый подход, и можно ожидать, что в этом
направлении мы получим новые результаты.
Первый параграф в этой главе имеет вводный характер, назначение его —
ознакомить читателя с простейшими отношениями, существующими между
группой, ее прямыми разложениями и автоморфизмами. Всестороннее изучение групп
автоморфизмов начинается с исследования некоторых нормальных подгрупп
группы Aut Л, тесно связанных с группой Л. Более существенные результаты
будут получены в § 115 и 116, где группа Aut Л подробно исследуется для
периодических групп и для групп без кручения соответственно.
§ 113. Группы автоморфизмов
Автоморфизмы группы А образуют группу относительно
композиции отображений: произведение оф двух автоморфизмов а, E
группы А действует так:
(а|3) (а) = а фа) для всех a d А.
Группа Aut А называется группой автоморфизмов группы А,
Очевидно, группа Aut А в точности совпадает с группой обратимых
элементов кольца Е (Л).
Циклические группы порядков 1 и 2 не имеют иных
автоморфизмов, кроме тождественного. Но всякая группа А порядка больше 2
обладает нетривиальными автоморфизмами. Действительно,
соответствие а->-—а является автоморфизмом, отличным от 1А, кроме
случая, когда А — элементарная 2-группа. Для элементарной 2-группы
А порядка п ^ 4 перестановка элементов базиса дает автоморфизм,
отличный от тождественного.
Группы автоморфизмов некоторых важных групп описать легко.
Пример 1. Очевидно, Z обладает ровно двумя автоморфизмами, и Aut Z^
т Z B).
Пример 2. Автоморфизм группы Z (п) переводит образующий а в другой
образующий Ь; очевидно, Ь должен иметь вид Ь = ka, где (k, п) = 1. Обратно,
всякое такое k дает автоморфизм, переводящий а в ka.
294
Гл. XVI. Группы автоморфизмов
Отсюда сразу следует, что группа автоморфизмов группы Z (п) изоморфна
мультипликативной группе тех классов вычетов по модулю пу которые
определяются числами, взаимно простыми с п. Таким образом, группа Aut Z (п)
коммутативна и ее порядок — значение функции Эйлера ср (п) = п A — р^1) . ; .
. . 4 A — pf1), где р1у . . ., рг — различные простые делители числа п.
Пример 3. Из примера 3 в § 106 следует, что группа автоморфизмов
группы Z (р°°) изоморфна мультипликативной группе р-адических единиц. [Эта группа
будет подробно описана в § 127.]
Пример 4. Аналогично, группа автоморфизмов группы Jp изоморфна
мультипликативной группе р-адических единиц.
Пример 5. Пусть R — рациональная группа типа t = (klt . . ., kn, . . .).
Тогда сопоставление а\—**рпа (где a g R, а рп есть п-е простое число) является
автоморфизмом группы R в том и только в том случае, когда kn = оо. Мы
заключаем отсюда, что группа Aut R изоморфна мультипликативной группе
рациональных чисел, числители и знаменатели которых делятся только на те простые числа
рп, для которых kn — оо. Таким образом, группа Aut R изоморфна дискретному
прямому произведению группы Z B) и стольких бесконечных циклических групп,
сколько имеется kn, равных оо.
Пример 6. Пусть А — элементарная р-группа ранга т. Тогда Л —
векторное пространство над простым полем Fp характеристики р и dim Л = т.
Поскольку всякий автоморфизм группы Л является линейным преобразованием
векторного пространства, мы видим, что Aut Л в этом случае — полная линейная
группа GL (т, р).
Сделаем теперь несколько простых замечаний.
а) Если С — характеристическая подгруппа группы Л и a g
6 Aut Л, то а | С — автоморфизм группы С и а + С »»> аа + С —
автоморфизм группы А 1С.
б) Изоморфизм ср: А ->¦ С индуцирует изоморфизм ср#: Aut А ->-
->¦ Aut С между группами автоморфизмов, а именно:
Ф#: а ь-> сраср.
в) Если А — прямая сумма групп и если эндоморфизмы группы А
представлены матрицами, как указано в теореме 106.1, то
автоморфизмы в точности соответствуют обратимым матрицам [а^].
г) Если А = В © С, то группу Aut В можно рассматривать как
подгруппу группы Aut Л, отождествив Aut В с множеством всех а ?
6 Aut Ау для которых а \ С = 1. [Это отождествление зависит, однако,
от выбора С]
д) Если А = ф А и то, применяя отождествление, указанное
в п. г), каждую группу Aut At можно рассматривать как подгруппу
группы Aut Л. Более того, декартово произведение ЦА^Л; всех
г
групп Aut Лt является подгруппой группы Aut Л: эта подгруппа
состоит из всех автоморфизмов а ? Aut Л, которые каждую группу At
отображают на себя. При матричном представлении автоморфизмов а
группа Ц Aut Л t—это в точности множество всех диагональных
г
матриц.
§ 113. Группы автоморфизмов
295
е) Если А = © Aiy где каждое Аь —вполне характеристическая
подгруппа группы Л, то Aut А = [\ Aut At. Так как Нот (At, Aj) =
г
= О при i Ф /, то в матричном представлении автоморфизмов а ?
? Aut Л вне диагонали стоят нули [см. теорему 106Л]. В частности,
верно следующее утверждение:
ж) Если А = © Ар — периодическая группа и Ар — ее р-компо-
v
ненты, то группа Aut Л есть декартово произведение групп Aut Лр,
где р пробегает все простые числа.
Пусть В — подгруппа группы Л. Стабилизатором цепочки 0 ^
^ В ^ Л называется подгруппа группы Aut Л, состоящая из всех
автоморфизмов а ? Aut Л, для которых ab = b и аа — а ? В при
произвольных b 6 5 и а 6 Л; другими словами, а индуцирует
тождественные отображения как на подгруппе В, так и на факторгруппе Л IB.
Лемма 113Л. Стабилизатор цепочки О <=, В s Л изоморфен
группе Нот (Л/В, В). Оя является нормальной подгруппой группы Aut Л,
если В — характеристическая подгруппа группы Л.
Пусть автоморфизмы а, р ? Aut Л лежат в стабилизаторе 2
цепочки OgBsA. Тогда для элемента а 6 Л при некоторых Ь, с ? В
имеет место аа = а + 6 и ра = а + с. Мы получаем ара = а (а + с)=
= а + & + с. Заметим, что отображения а: а + В н-> (а — 1) а = Ь,
Р: а+Вн->(р — 1) а = с являются такими гомоморфизмами из А/В
в В, что а$: а + В *-> Ь + с. Отсюда следует, что сопоставление а к-> а
является гомоморфизмом 2 -*- Нот (А/В, В), ядро которого
тривиально. Легко видеть, что при данном т] 6 Нот (А/В, В) отображение
а:а »-> а + г] (а + В) принадлежит 2, следовательно, 2 ^ Нот (Л/В, В).
Второе утверждение проверяется непосредственно. в
Напомним, что группа Г является полупрямым произведением
нормальной подгруппы А и подгруппы S группы Г, если A fl 3 = 1
и подгруппы A, S порождают Г.
з) Пусть А = В ф С, где В — вполне характеристическая
подгруппа группы А. Тогда Aut Л — полупрямое произведение
стабилизатора 2 ^ Нот (С, В) цепочки 0^ В ^ А и подгруппы Aut В X Aut С.
В силу п. а) всякий автоморфизм а ? Aut Л индуцирует некоторые
автоморфизмы ав ? Aut В и ас 6 Aut А/В = Aut С. Соответствие
ак>(ав, ас) является гомоморфизмом ср: Aut Л -> Aut В X Aut С,
ядро которого, очевидно, совпадает с 2. Поскольку 2 f| Imcp = 1,
мы получаем, что Aut Л — полупрямое произведение подгрупп 2
и Im ср. Указанный изоморфизм имеет место благодаря лемме 113.1.
Мы предоставляем читателю доказать п. з) для частного случая,
когда В — делимая, а С — редуцированная группы.
Напомним, что прямые разложения группы выразимы в терминах
эндоморфизмов. Существует аналогичный, хоть и не столь
эффективный, аппарат обнаружения прямых разложений с помощью так назы-
296
Гл. XVI. Группы автоморфизмов
ваемых инволюций, т. е. автоморфизмов & группы Л, для которых
е2 = 1. Как будет видно, эти автоморфизмы не обеспечивают нас
информацией в том же объеме, что и проекции; к тому же во
избежание излишних трудностей при использовании этих автоморфизмов
необходимо предположить, что умножение на 2 есть автоморфизм
группы Л. Конечно, в этом нет никакого ограничения общности, если
рассматривать р-группы Л для р ^ 3.
В утверждениях и) — н) мы будем предполагать, что отображение
а н-> 2а есть автоморфизм группы Л. Таким образом, для каждого
элемента а ? А будет однозначно определен элемент -у а 6 А.
и) Прямое разложение
A =d 0 . . . 0 Ск9 где СгфО, A)
дает k коммутирующих инволюций: st определяется как автоморфизм
группы Л, для которого ег- | d = —1 и st | Cj = 1 при i Ф /. Мы
будем говорить, что система {et, . . ., гк} принадлежит разложению A).
к) Для инволюции s группы А положим
At ={а?А\га = а) и Аё = {а€ А |еа= —а}.
Тогда А = At ф А"г\ следовательно, инволюции 8 Ф +1 дают
нетривиальные прямые разложения группы А. Ассоциированные с таким
разложением проекции — это отображения -g- A + е) и -^-(l — е).
л) Две инволюции 8, ? группы А коммутируют в том и только
в том случае, когда выполняется равенство
А = {At П АО 0 (At П АО 0 (Аё п АО © (Аё n Al).
Если е и ? коммутируют, то, очевидно, Л g = (ЛеП ^;) © 04еП А\)
и аналогичное равенство справедливо для Аё. Обратное следует
из простого замечания, что би? коммутируют на всех четырех
слагаемых и, значит, на группе Л.
м) Коммутирующие инволюции ?х, . . ., ?п группы Л
единственным образом определяют такое разложение A) группы Л, что 1I,1 \Ct =
= ±1 при всех t, / и 2) для данных i Ф j найдется такое th что одно
из ограничений ?z | Ct и ?z | С, есть + 1, а другое —1. Действительно,
применив несколько раз п. л), получим требуемое разложение [после
вычеркивания нулевых компонент]. Заметим, что если разложение A)
удовлетворяет условию 1), то Ct ^ Л^ (] . . . {] А?п ПРИ подходящем
выборе знаков ±, ав силу условия 2) для различных Ct и Су
невозможен один и то же набор знаков.
н) Пусть система инволюций {г1У . . ., гк} принадлежит прямому
разложению A). Централизатором системы {ги . . ., гк} назовем
множество автоморфизмов
с{еь ..., ek} = {a ? Aut Л | агь = е ?а при i = l, .... ?}.
§ 113. Группы автоморфизмов
297
Имеет место разложение
с {б!, ..., гк} = Aut Ci х ... X Aut Ck. B)
Очевидно, что при отождествлении, о котором говорилось в п. г),
все группы Aut Ct лежат в этом централизаторе. Обратно, если
автоморфизм а коммутирует с каждым из е1} . . ., ek, то aCt = осЛё. ^
^ As. = Ct для всех i, откуда aCt = Ct я а принадлежит прямому
произведению групп Aut Ct.
Следующие два результата были доказаны для р-групп Лептином
[4] и Фуксом [20] соответственно.
Предложение 113.2. Автоморфизм а группы А удовлетворяет
условиям
1) а индуцирует тождественное отображение на факторгруппе-
А!пАу
2) а оставляет на месте элементы из А [п]
в том и только в том случае, когда а = 1 — пх\ для некоторого
эндоморфизма т] группы А.
Всякий автоморфизм а вида а = 1 — т\ удовлетворяет условиям
1) и 2). Пусть теперь а 6 Aut А удовлетворяет условиям 1) и 2). Как
непосредственно видно, достаточно ограничиться случаем, когда п
есть степень простого числа pk. Положив \ = 1 — а ? Е (А), имеем
НЛ ? pkA и \А [pk] = 0. Пусть В = © (bt) есть /?-базисная
подгруппа группы А. Для каждого bt выберем такой элемент ct ? Л, что
lbt = phcu причем ct = biy если о (Ь*)^ ph [и, значит, lbt = 0].
Соответствие bt *-** q можно расширить до корректно определенного
гомоморфизма х\: В ->¦ Л.
С помощью т] следующим образом определим эндоморфизм г): если
а = b + /?feAr, где b ? В, х ? Л, то положим т]а = т|Ь + ?*. Заметив,
что на подгруппе В выполняется равенство р\ = ?, мы можем
доказать корректность данного определения. Действительно, если а =
= V + pV, где V е В, %' е Л, то в силу pk (х' — х) = Ь — V 6 В
имеем b — b' = pkb" для некоторого b" ? В. Отсюда вытекает, что
pk (?' — х — b") = 0 и txr = lx + lb", следовательно, i\b' + \x' =
= r\ (b — phb") + lx + ?b" = T|fc + E*. Таким образом, г] —
эндоморфизм группы Л, удовлетворяющий равенству р\ = Н, откуда
ос = 1 —ркц, что и требовалось. в
Предложение 113.3. Для любой группы А и для произвольного целого
числа п > 0 всякий автоморфизм группы пА индуцируется некоторым
автоморфизмом группы Л.
Ясно, что без потери общности можно ограничиться
рассмотрением случая, когда п есть простое число р. Пусть а— автоморфизм
группы рА и {ai}i?i — /7-базис группы Л. Каждый элемент а 6 Л
298
Гл. XVI. Группы автоморфизмов
имеет вид
a=AiOii+ • •• +krOir + pb A<^</7 —1, 6 ?4),
где слагаемые кха^, . . ., &rair и pft однозначно определяются
элементом а. Для каждого я, порядка о (at) ^ /?2 выберем такой элемент
•Ci 6 Л, что /7Cj = a (ря*)» и положим ^ = #ь если порядок элемента
#, равен р. Записывая элементы а 6 Л, как указано выше, определим
отображение р.* А-+А следующим образом:
pa = ^Cfj + ... + ктСь + a (pb).
Очевидно, что Р — корректно определенный эндоморфизм группы Л,
для которого р | рА = а. Докажем, что р — автоморфизм. Пусть
Ра = 0 при некотором а 6 Л. Тогда Р (/?а) = 0 и ра = 0,
следовательно, элемент а можно записать в виде а = kxa\ + . . . + kr а* +pb,
где о (ciii) = • • • = о (щ) = р. Мы получаем Pa = k± a{i + ...
. . . + krdir + a (pb) = О, откуда r = 0, т. e. a = pb ? pA. Далее,
aa = pa = 0 влечет за собой a = 0, и p — мономорфизм. Для
произвольного данного х ? Л возьмем такой элемент с ? Л, что a (/?с) =
= /?#. Тогда элемент х — $с имеет порядок р, так что можно записать
х — Рс = /^1ail + . . . + кТа\т + pb, где элементы a* , . . ., a*r имеют
порядок /?. Существует такой элемент d 6 Л, что pd = a (pb), и мы
получаем, что у = с + Л^ + . . . + ?rtfir + pd переходит в х при
отображении р. Мы видим, что р — эпиморфизм и, значит,
автоморфизм. в
Упражнения
1. Доказать, цто всякий автоморфизм группы Л может быть
продолжен до автоморфизма ее делимой оболочки. Продолжение
единственно, если Л — группа без кручения.
2. (а) Пусть Л — такая группа, что Л1 = 0. Всякий автоморфизм
группы Л можно продолжить единственным образом до автоморфизма
Z-адического пополнения Л группы Л.
(б) Всякий автоморфизм редуцированной группы Л можно
продолжить единственным образом до автоморфизма ее копериодической
оболочки Л*.
3. (Бэр [3]). Пусть Г — группа автоморфизмов группы Л.
Показать, что
(а) если С — характеристическая подгруппа группы Л, то А —
= {а ? Г | ас — с при всех с 6 С) — нормальная подгруппа
группы Г;
(б) если А — нормальная подгруппа группы Г, то С={а ? Л | 6a=a
при всех б ? А} — характеристическая подгруппа группы Л.
4. Группа автоморфизмов локально циклической группы
коммутативна.
§ 113. Группы автоморфизмов
299
5. Пусть Л — элементарная /^-группа ранга ш. Тогда
| Aut Л | = (рт —\)(р™ — р) ... (рт — p™-i)
или | Aut А | = 2т
в соответствии с тем, конечно m (= т) или бесконечно. [Указание:
посчитать, сколькими способами можно выбрать образ базиса.]
6. а) Пусть А — прямая сумма т групп, изоморфных Z (ph).
Показать, что порядок группы Aut А делится на pmh-x. [Указание:
индукция по т\ если А = (а > ф В, то в группе Aut А порядок подгруппы,
состоящий из нижних треугольных матриц, делится на /?mft-1.]
б) Если А есть /^-группа порядка рп, то порядок группы Aut А
делится на рп~1.
7. Характеристическая подгруппа группы Л, выделяющаяся в А
прямым слагаемым, должна быть вполне характеристической
подгруппой группы А.
8. Доказать следующее утверждение, обратное к утверждению п. е):
если А = ®At и Aut А = [J Aut Aiy то каждое At — вполне
характеристическая подгруппа группы А.
9. Если группа А полна в своей Z-адической топологии и Ар — ее
р-адические компоненты, то Aut А = IT Aut Ар.
v
10. Пусть е, ?— коммутирующие инволюции, как в п. л). Н айти
четыре проекции, соответствующие прямому разложению, указанному
в этом пункте.
П. Произвольный автоморфизм группы А и произвольный
автоморфизм группы С индуцируют коммутирующие автоморфизмы
на группах Нот (С, Л), Ext (С, Л), С ® А и Тог (С, Л).
12. Пусть (ап) — циклическая группа порядка рПУ и пусть Т =
= ф (ап), Л = Q (ал), где сумма и произведение взяты по беско-
п п
нечному множеству различных простых чисел рп.
(а) Всякий автоморфизм (эндоморфизм) группы Т можно
единственным образом продолжить до автоморфизма (эндоморфизма)
группы Л, так что автоморфизмы группы Л составляют множество
мощности континуума.
(б) Две сервантные подгруппы группы Л, содержащие 7,
изоморфны в том и только в том случае, когда некоторый автоморфизм
группы Л отображает одну из них на другую.
(в) Доказать, что существует 22 неизоморфных сервантных
подгрупп группы Л с периодической частью, равной Т.
(г) Все группы из п. (в) обладают коммутативными группами
автоморфизмов.
13 (Мишина [6]). Группа Л обладает тем свойством, что
произвольный автоморфизм любой ее подгруппы индуцируется некоторым
автоморфизмом группы Л, в том и только в том случае, когда Л является
одной из следующих групп: A) делимая группа; B) прямая сумма
300
Гл. XVI. Группы автоморфизмов
периодической делимой группы и группы без кручения ранга 1; C)
периодическая группа, р-компоненты которой являются прямыми
суммами изоморфных коциклических групп. [Указание: рассмотреть
подгруппы, являющиеся прямыми суммами циклических групп.)
§ 114*. Нормальные подгруппы в группах автоморфизмов
В настоящее время наши сведения о группах автоморфизмов абеле-
вых групп весьма ограничены, даже в очень частных случаях.
Систематическому анализу только положено начало. Какими бы ни
оказались результаты такого исследования, ясно, что даже неполная
классификация нормальных подгрупп поможет лучше уяснить структуру
групп автоморфизмов. Этим оправдывается наша заинтересованность
в получении нормальных подгрупп группы Aut А.
В наших рассмотрениях мы будем исходить из самой группы А —
при таком подходе можно надеяться на получение нормальных
подгрупп группы Aut А, более тесно связанных с группой А.
Сначала мы изучим так называемые стабилизаторы. Пусть {XJ;eJ
цепочка подгрупп в группе Л, т. е. для любых двух Хь и Xj
выполняется либо Xt ^ Xj, либо Xj ^ Xt. Говорят, что между Xt и Xj имеется
скачок, если Xt Ф Xj и если ни одна подгруппа из цепочки, кроме
Xt и Xj, не лежит между этими подгруппами. Стабилизатор цепочки
{Xt} состоит по определению из всех таких автоморфизмов а ? Aut А,
что для каждого скачка Xt zd Xj в этой цепочке а переводит в себя
смежные классы группы Xt по подгруппе Xj\ если х ? Xt, то ах = х +
+ и при некотором и 6 Xj.
Сразу видно, что если группы Xt из цепочки {Xt} являются
характеристическими подгруппами группы А, то стабилизатор этой
цепочки — нормальная подгруппа группы Aut А.
Пусть {Xt} — цепочка характеристических подгрупп группы А
и 21 — стабилизатор этой цепочки. Всякий автоморфизм а 6 Aut А
очевидным образом индуцирует автоморфизм at группы XtlXj, где
Xt zd Xj — скачок в цепочке. А именно,
а*: а+ Xj *-* аа+ Xj (а 6 Xt).
Таким способом мы получаем гомоморфное отображение ср: а »->
»-> (. . ., аи . . .) группы Aut А в декартово произведение [jAutXj/A^
групп автоморфизмов факторов, соответствующих скачкам. Очевидно,
Кег ф = 2. В общем случае о гомоморфизме ср можно сказать
немногое, так что рассмотрим цепочки специального вида.
Пусть А есть р-группа длины т. Мы концентрируем наше внимание
на стабилизаторе вполне упорядоченной цепочки
Р = Р0^Р,^ ... =эРс=) ... ZDPaZD ... dPt, A)
где Ра = р°А [/?]. В этом случае PG/Pa+i — векторное пространство
над простым полем характеристики р, размерность которого есть о-й
инвариант Ульма — Капланского /0 (А) группы А. Отсюда следует, что
§ 114*. Нормальные подгруппы в группах автоморфизмов 301
Aut Pg/Pa+i — линейная группа GL (/а (Л), р) = Ла, и мы
заключаем, что существует гомоморфизм
ф: а^ (а0, . . ., аа, . . .) (а < т) B)
группы Aut А в декартово произведение Л = [J Ла. Очевидно,
Кег ф — стабилизатор А цепочки A).
Интересно узнать, для каких групп А отображение ср сюръективно.
Приведем по этому поводу два результата. Первый из них касается
периодически полных /?-групп.
Предложение 114.1. Для произвольной р-группы А композиция
Aut А -> Л -»• Ап гомоморфизма ср и естественной проекции Л на Ап
является эпиморфизмом при всяком неотрицательном целом п. Если
А — периодически полная р-группа, то ср — эпиморфизм.
Мы можем записать рпА = U ф V, где V [р] = Рп+1 и Рп =
= U ® Рп+1- Всякий элемент ап ? Ап действует как автоморфизм
на группе О, и существует автоморфизм р на группе рпА> который
совпадает с ап на U и индуцирует тождественное отображение на V.
В силу предложения 113.3 этот автоморфизм может быть продолжен
до автоморфизма а группы А. Ясно, что а переводится в ап
указанным отображением.
оо
Пусть А — сепарабельная р-группа и В = ф Вп — базисная
71=1
подгруппа группы Л, где Вп = ф Z (рп). По доказанному Im ср —
подпрямое произведение групп Ап (п = 0, 1, . . .). При данном
элементе (а0, . . ., ап, . . .) ? [J Ап, где <хп 6 Ап, можно рассматривать
ап как автоморфизм группы pnBn+i. Из предложения 113.3 следует,
что ап индуцируется автоморфизмом $п группы Вп+1. Очевидно,
существует единственный автоморфизм р группы В, для которого Р | Вп+1 =
= рп при каждом п 7^ 0. Ввиду теоремы 69.1 можно продолжить Р
до единственного автоморфизма а ? Aut 5. Этот а отображается при
Ф на (а0, . . ., ап, . . .), если Л = В. в
Еще в одном важном частном случае гомоморфизм ф сюръективен.
Теорема 114.2 (Фридман [1], Хилл [23]). Для тотально
проективных р-групп А отображение ф из B) есть отображение «на».
Как и в § 84, запишем р°А [р] = р°+{ А [р] ф Sa для каждого
порядкового числа а, меньшего длины т группы Л. Пусть для каждого
о задан автоморфизм аа группы SCT. Сюръективность отображения ф
означает существование автоморфизма а ? Aut Л, индуцирующего
автоморфизмы аа на Sa. Последнее вытекает из теоремы 83.4 и ее
доказательства, щ
Вернемся к рассмотрению группы А — стабилизатора цепочки A).
Подмножество А* всех элементов конечного порядка из А можно
описать достаточно хорошо.
302
Гл. XVI. Группы автоморфизмов
Приведем замечание чисто технического характера.
Лемма 114.3 (Лептин [4]). Пусть А есть р-группа, где /? ^ 5,
и автоморфизм а ? Aut А оставляет на месте смежные классы
группы Р0 по подгруппе Рг и смежные классы группы Рг по подгруппе Р2.
Если ар — 1 и р2 A — а) = 0, то р A — а) = 0.
Запишем А = Вх ф ?2 © Л2, где Вь — максимальная прямая
сумма циклических групп порядка рг (i = 1, 2) в некоторой базисной
подгруппе группы А. Положив т) = 1 — а, получим г[Р0 ^ Plt у\Рг ^
^ Р2 и т]Я2 = 0, откуда г\3Р0 = 0. Так как рх\А = рцВ2 + Р^Иг ^
S Я2, то prfA = 0. Следовательно, т|М ^ Р0 и т]бЛ = 0. Поскольку
/?^5, имеем г)р = 0. Очевидно, 1 = ар = 1 — /?г|+ I )т]2 + ...
... — т)р влечет за собой рц = — тр = 0. я
Теперь мы можем доказать следующий результат:
Теорема 114.4 (Фридман [1], Лептин [4], Хилл [23], Хаузен [4]).
Пусть А — некоторая р-группа, где р ^ 5. Множество А* элементов
конечного порядка из стабилизатора А цепочки A) является р-группой*
При а ? А* следующие условия эквивалентны:
1) avn = 1;
2) р« A - а) = 0;
3) а индуцирует тождественное отображение на подгруппе рпА.
Если А — тотально проективная р-группа или А — сепарабельная
р-группа, то А* является [структурным] объединением всех
нормальных р-подгрупп группы Aut А.
Пусть а ? А* — элемент конечного порядка k > 1. Допустим, что
найдется элемент а 6 Р, для которого оса = а + Ъ, где Ь =? 0. Если
ab = Ъ + с, то Л* (а) < Л* F) < Л* (с). Имеем а = оЛг = а + ?Ь +
+ $с [при некотором Р 6 Е (Л)], откуда &ft = 0. Таким образом, р | fe
и k — степень числа р. Если а оставляет на месте каждый элемент
из Р, то выберем а 6 А — элемент наименьшего порядка, для которого
аа Ф а. Мы получаем, что аа = а + Ь, где о (Ь) = /?, и ocfta = a + &fr
снова влечет за собой р \ k. Следовательно, порядки элементов из А*
являются степенями числа /?.
Чтобы доказать эквивалентность указанных условий, заметим,
что равенство рп A — а) = 0 выполняется тогда и только тогда,
когда а (рпа) = рпа для всех а ? Л, так что условия 2) и 3), очевидно,
эквивалентны. Покажем теперь, что если ар = 1, то а | рА —
тождественное отображение. Проведем индукцию по длине т группы Л.
Если т = 1, доказывать нечего. Предположим, что длина группы Л
равна т+ 1 и для группы А1рхА утверждение верно. Так как а лежит
в стабилизаторе цепочки A), то по индуктивному предположению
в группе А1лхА автоморфизм а оставляет на месте смежные классы
§ 114*. Нормальные подгруппы в группах автоморфизмов 303
группы рА по подгруппе ртЛ, т. е. A — а) рА ^ рхА. В силу
равенства р (рТА) = 0 имеем р2 A — а) = 0, а из леммы 114.3 следует, что*
р A — а) = 0. Если длина т группы Л является предельным
порядковым числом, то включение A — а) рА ^ р°А выполняется для всех
о < т, откуда снова получаем, что р A — а) = 0. Пусть теперь
ард = 1 при п > 1. Тогда арД | рЛ — тождественное отображение
и, таким образом, можно рассматривать а как автоморфизм группы
рА, причем его р71 -я степень есть тождественное отображение.
Используя очевидным образом индукцию, получаем, что а \ рпА —
тождественное отображение.
Обратно, пусть а ? А* индуцирует тождественное отображение
на группе рА. Тогда для всякого элемента а 6 А можно записать аа =
= а + Ъ, где pb = 0. Так как а ? А*, то аЬ = Ъ + с для такого с ? Л у
что /i* (с) > h* (ft), откуда с 6 /?Л и ас = с. Из равенства akb = Ь -\-
+ kc следует, что
b+ ab+ . . . + ар~гЬ = pb+ с+ 2с+ . . . + (р — 1) с =
= pb+ ( \ ) с = 0,
значит, ара = а + & + аЬ + . . . + оР~1Ь = а и ар = 1. Простая
индукция по п показывает, что если а 6 А* индуцирует
тождественное отображение на группе рпА, то а?71 = 1.
Используя полученные сведения, нетрудно вывести, что А* —
подгруппа группы А. Действительно, если ос, р 6 А*, то на некоторой
подгруппе рпА каждый из этих автоморфизмов есть тождественное
отображение. Следовательно, ар-1 | рпА = 1, откуда ар-1 ? А*. Таким
образом, А* — максимальная периодическая подгруппа группы А
и поэтому — нормальная подгруппа группы Аи1:Л.
Докажем последнее утверждение теоремы. Пусть 0 —
нормальная р-подгруппа группы Aut Л. Очевидно, что гомоморфизм ср из B)
отображает подгруппы 6 на некоторую нормальную подгруппу
группы А, если ф — эпиморфизм. Но полные линейные группы Ла не
содержат нетривиальных нормальных р-подгрупп [см., например,
Фридман [1]], откуда следует, что ф (в) — тривиальная подгруппа группы
Л и, значит, в с: Д. Благодаря теореме 114.2. наше утверждение
доказано для тотально проективных групп Л. Пусть Л — сепарабельная
р-группа. Тогда по предложению 114.1 компоненты подгруппы ф (в)
являются нормальными подгруппами в группах Ап, так что снова
ф @)= 1 и в <= А*. и
В действительности группа А* является р-нильпотентной в
следующем обобщенном смысле. Группа N называется обобщенно
р-нильпотентной, если она обладает вполне упорядоченной убывающей
цепочкой нормальных подгрупп
,V = tf0 >#!>... >tfc[>...>tft=lf C)
304
Гл. XVI. Группы автоморфизмов
причем
1) N0/Na+1 — элементарная абелева р-группа при каждом
порядковом числе о <С т;
2) Na= П^р> если G — предельное порядковое число,
Р<а
Предложение 114.5. (Лептин [4]). Группа А* для р-группы А яв-
ляетея обобщенно р-нильпотентной.
Для каждого порядкового числа а, меньшего длины х группы Л,
положим Аа = {а ? А* | а индуцирует тождественное отображение
на группе Р/Ра}- Тогда Да<| Aut А при каждом а, А0 = А* и Аст =
= р| Ар для предельных порядковых чисел а. Пусть а, р ? А0;
Р<а
тогда для а ? Р имеют место равенства сш = а+ и и $а = а + v
при некоторых и, v 6 Лт- Далее, Ргг = а + а' и av = v + v' при
<*Л f' ? Po+i- Отсюда
а$а = а + и + v + v', $аа = a-\-v-\-u+u'n а$а — рая 6 Ра+1-
Таким образом, Аа/Аст+1 — коммутативная группа. Более того,
поскольку aha — (а + ku) ? Ро+ъ мы получаем, что Да/Д0+1 —
элементарная р-группа. Очевидно, что Ат = {a ? А* | аа = а при всех
*?/>}.
Положим теперь &x+n-i = (а ? Дт | а индуцирует тождественное
отображение на группе (А [рп] + рА)/рА} при п = 1, 2, .... Эти
подгруппы также являются нормальными в группе Aut А. Мы
утверждаем, что ^х+п^г/Ах+п — элементарная абелева /7-группа при
каждом п. Пусть а, р ? Дт+n-i- Если а ? Ат, то для a ? А [рп+1]
должны выполняться равенства аа = а + и, Pa = а + v при некоторых
и у v ? А [рп]. Отсюда следует, что элементы
а$а = а + и + av, а -\- и + v и Paa
лежат в одном и том же смежном классе по подгруппе рЛ, а так как
<xpa — а?/?Л, то мы получаем требуемое утверждение.
оо
Далее, Ат+0)= р AT+n-i — нормальная подгруппа группы Aut Л,
п=1
состоящая из всех автоморфизмов а ? Aut Л, которые оставляют на
месте элементы из Р и индуцируют тождественное отображение на
группе Alp А. В силу предложения 113.2 имеем Ат+й) = {1 — рх\ \ ч] ?
€ Е (А)} [заметим, что для каждого эндоморфизма ц ? Е {А) = Е
оо
эндоморфизм 1— рц обладает обратным —это 2 (РЛ)П€ Е (А)]. Ясно,
п=0
что At+cu+n-i = {1 — рпЦ IЛ 6 Е (Л)} — нормальные подгруппы группы
Aut Л. Так как
A - /л,) A - pni)—A—р»(т1+D) е pn+iE,
то соответствие 1— рпг\ »—> /A)-f/?n+1E является групповым
эпиморфизмом Ax+co+n-i на pnE/pn+iE, ядро которого есть Ат+С0+П. Поскольку
§ 114*. Нормальные подгруппы в группах автоморфизмов 305
рпЕ/рп+1Е — элементарная абелева р-группа, группа Ax+Q+7i-i/A<t+Q)+7l
также является элементарной абелевой р-группой при м=1, 2,... .
Для завершения доказательства предложения 114.5 остается заме-
оо
тить, что pi Дт+ю+п=1» так как /?@Е = 0 в силу теоремы 46.1. а
n=i
Достоин также изучения стабилизатор Q цепочки
Л => рА =) . . . =з р° A zd . . . =) рхА = 0, D)
где Л — редуцированная р-группа. Заметим, что если автоморфизм а
группы А отображает в себя смежные классы группы р°А по
подгруппе ра+1Л, то он также отображает в себя смежные классы группы
р°А [р] = Ра по подгруппе ра+1 А [р] = Ра+1. Другими словами, Q —
подгруппа стабилизатора А цепочки A). Непосредственно проверяется,
что подгруппы обобщенно р-нильпотентных групп снова являются
обобщенно р-нильпотентными, и в силу предложения 114.5 мы
получаем
Следствие 114.6. Группа элементов конечного порядка в
стабилизаторе цепочки D) для р-группы является обобщенно р-нильпотентной. ш
Перейдем к другому интересному стабилизатору, связанному с
р-группами А\ это стабилизатор 2 возрастающей цепочки
0аА[р]а:А [р2] с ... с: Л lpm] с ... с: Л
[эта цепочка является конечной, если Л — ограниченная группа].
Положим
2П = {а 6 2 | аа = а при всех а 6 Л [рп]}.
Тогда 2n < Aut Л, и мы получаем убывающую цепочку
2 = 2Х > . . . > 2П > . . . > 1 E)
оо
нормальных подгрупп, для которой П 2П = 1. Заметим, что
Л [/?п] с: Л [pn+1] влечет за собой 2П с: 2п+1, так как умножение
на 1 + рп лежит в 2П, но не лежит в 2п+1. Очевидно, группа 2п/2п+1
изоморфна некоторой подгруппе стабилизатора цепочки 0 с: Л [рп] cz
с: Л [рп+1]. В силу леммы 113.1 этот стабилизатор является
элементарной абелевой р-группой. Мы доказали, таким образом,
Предложение 114.7. Цепочка E) для р-группы А является строго
убывающей цепочкой нормальных подгрупп группы Aut Л, причем ее
факторы — элементарные р-группы. Цепочка обрывается на 2П = 1
тогда и только тогда, когда рп является максимальным порядком
элементов из Л. а
До сих пор мы имели дело со стабилизаторами цепочек.
Существуют другие способы получения цепочек нормальных подгрупп
группы Aut Л.
306 Гл. XVI. Группы автоморфизмов
Вернемся к рассмотрению цепочки ( ) и положим
Га = {а 6 Aut Л | аа = а при всех а ? раА }.
Мы получаем вполне упорядоченную возрастающую цепочку
нормальных подгрупп группы Г = Aut А:
l=To<=TiC=: ... с=Гдс=Га+1с= ...с=Гх = Г. F)
Следующий результат дает некоторую информацию об этой цепочке.
Предложение 114.8. Пусть А—редуцированная р-группа. Если
п — натуральное число, п < т, то Гп с Гп+1 и Г/Гп ^ Aut рпА.
Если А — тотально проективная р-группа, то Га cz Га+1
и Г/Га ^ Aut р°А для каждого порядкового числа а < т.
Ввиду предложения 113.3 [теоремы 83.4] достаточно установить
только строгое включение Тп а Тп+1 [Та с= Га+1] при п = 0 [а = 0]«
Группа Л обладает циклическим слагаемым (а) порядка, скажем, pkt
А = (а) ф С. Тогда автоморфизм группы Л, являющийся
тожественным на подгруппе С и действующий как умножение на 1 + ph-1
на подгруппе (а), принадлежит Г1э но не принадлежит Г0, если
только k ^ 2. В оставшемся случае А — элементарная ^-группа и 1\ = Г.
Соответствие а ь-> аа = a | /?М является гомоморфизмом Aut Л ->¦
-*¦ Aut р°А с ядром Га. Ввиду предложения 113.3 и теоремы 83.4 [или
только теоремы 83.4] в обоих указанных случаях этот гомоморфизм
сюръективен. ш
Наша основная цель — получить сведения о факторах Гст+1/Га
цепочки F). Для этого мы определим две нормальные подгруппы
группы Г между Гд и Га+1. Положим
ГЗ = {а?Га+1|аа = а при всех а?р°А[р]}
и
Г5*=={абГа+1|аа — а?ра+*А при всех а?раА[р]}.
Это нормальные подгруппы группы Г и, очевидно, Гст s Г* s Г** s
^Гс+1. Используя обозначения /а (Л) для а-х инвариантов Ульма —
Капланского группы Л и положив PG = раА[р], докажем, что верна
Теорема 114.9 (Фукс [20]). Факторгруппы Г*/Га, Г?*/Г? и
Га-м/rS* изоморфны подгруппам следующих групп соответственно:
ЦРС, где x = r(p°+iA/p°+*A); ЦРо+и где г = /а(Л); GL(/0(i4), р).
г г
Если а — натуральное число или А — тотально проективная
группа, то эти факторгруппы изоморфны самим указанным группам.
Запишем paA = Sa®C, где pG+iА — существенная подгруппа
группы С. Каждый автоморфизм а?Г? индуцирует некоторый
автоморфизм на раЛ, а 1 —а индуцирует отображение группы С/ра+*А
в группу Ра, а именно %а: с + р0^1 Ау-* A — а) с. Легко проверить,
§ 114*. Нормальные подгруппы в группах автоморфизмов 307
что соответствие аь*5(а является гомоморфизмом Т%-> Нот (C/p°+iA,
Р0), ядро которого состоит из всех автоморфизмов а, для которых
A— а)С = 0, т.е. равно Га. Поскольку С//?а+М ё* /?a+M/pa+2A,
группа Г*/Гст действительно изоморфна некоторой подгруппе декартова
произведения г (р°+{А/р°+2А) групп, изоморфных Pa-
Каждый автоморфизм а(=Г0* дает отображение г|)а: л;,_*A — а) к
группы Sa в группу Лу+i. Соответствие а н-* гр» является
гомоморфизмом Г^* ->- Нот (Sa, PG+1) с ядром Г* и второе утверждение теоремы
следует из равенства г (Sa)~/0 (А).
Каждый автоморфизм a g Ta+i индуцирует автоморфизм а на S0J
заданный равенствами as = as + x, где 5, <xs?S0l x?Pa+i.
Отображение а н-* а является гомоморфизмом IVh -> GL(/a(i4), /?), ядро
которого совпадает с Га*. Отсюда мы сразу получаем третье
утверждение.
Последнее утверждение теоремы можно легко доказать, применяя
предложение 113.3 и теорему 83.4. Доказательство проводится
непосредственным образом и предоставляется читателю. в
Упражнения
1. Если А — группа без кручения и G — существенная подгруппа
группы Л, то стабилизатором цепочки 0 с G е А является
одноэлементная подгруппа группы Aut А.
2. Для группы без кручения А стабилизатор любой цепочки в А —
группа без кручения.
3. Пусть в — стабилизатор цепочки {Xt} подгрупп группы А.
Выяснить, как он связан со стабилизатором ее подцепочки и со
стабилизатором цепочки {Xt П У}> где Y — характеристическая подгруппа
группы Л.
4. Пользуясь методом доказательства предложения 114.1,
показать, что если А — прямая сумма циклических /?-групп, то <р из B) —
сюръективное отображение.
5. Показать, что для ограниченной р-группы А [скажем, phA = 01
А* — разрешимая р-группа. Найти верхнюю грань для класса
разрешимости через показатели k. [Указание: доказательство
предложения 114.5.]
6. Если автоморфизм a ? Aut А индуцирует тождественное
отображение на группе paA/pc+iA, то он также индуцирует тождественное
отображение на группе ра+М//?а+п+1Л при любом п ^ 1.
7. Показать, что в цепочке F) объединение U Гр не обязано совпа-
дать с Га для предельных чисел ст. [Указание: рассмотреть
неограниченную прямую сумму циклических р-групп.]
8. Известно, что группа GL (tit, р) является разрешимой тогда
и только тогда, когда или A) ш = 1, или B) р = 2, 3 и ш = 2.
Используя этот факт, показать, что для ограниченной р-группы А группа
Aut А разрешима тогда и только тогда, когда А — конечная группа
308
Гл. XVI. Группы автоморфизмов
и ее инварианты не превосходят 2 в случае р = 2, 3 и не превосходят
1 в случае р ^ 5.
9 (Хилл [23]). Пусть Л — прямая сумма циклических /7-групп.
Всякий автоморфизм группы А [рп], который сохраняет высоты
[взятые в Л], может быть продолжен до автоморфизма группы А.
[Указание: продолжить его до автоморфизма группы А [рп+1].]
10*. Привести пример, когда ф из B) не является эпиморфизмом.
11 (Мадер [2]). Пусть А —делимая /7-группа и 2П — нормальная
подгруппа Aut Л, состоящая из всех автоморфизмов группы Л,
которые оставляют на месте элементы из Л [рп]. Показать, что Aut Л/2П ^
a* Aut Л [рп].
§ 115. Группы автоморфизмов периодических групп
Теперь мы можем попытаться ответить на основной вопрос: до
какой степени определяются группы своими группами автоморфизмов?
Аналог теоремы 108Л остается верным во всяком случае для р-групп,
где р ^ 5: эти группы должны быть изоморфными, если их группы
автоморфизмов изоморфны.
Доказательство этого результата носит более изощренный
характер, поскольку мощная техника доказательства теоремы 108Л,
использовавшая проекции, теперь не применима. Вместо этого приходится
использовать инволюции, менее связанные с прямыми разложениями.
Мы удовлетворимся доказательством более слабого результата.
Вначале рассмотрим центр группы автоморфизмов периодической
группы. Центр группы Г будем обозначать через %Г. В силу п. ж)
из § 113 можно без потери общности ограничиться рассмотрением
/?-групп.
Теорема 115.1 (Бэр [5]). Центр группы автоморфизмов р-группы А
состоит из умножений на р-адические единицы, если А —
неограниченная группа, и из умножений на целые числа k, где (k, р) = 1, 1 ^ k <
< рг, если рг — наименьшая верхняя грань порядков элементов из А.
Имеется, однако, одно исключение: если А является 2-группой вида
A = Z{2<»)®Z{2r)®G, где 2Г'Ю = 0, г>1, A)
то j Aut Л — прямое произведение мультипликативной группы диади-
ческих единиц и циклической группы порядка 2. Последняя группа может,
например, порождаться автоморфизмом б группы А, который
действует тривиально на Z B°°) и G, а всякий образующий Ь группы Z BГ)
переводит в Ь + а0, где а0 — единственный элемент из А, имеющий
порядок 2 и бесконечную высоту.
Непосредственно проверяется [и сразу следует из теоремы 108.1],
что умножения на р-адические единицы должны содержаться в j Aut Л.
В указанном исключительном случае элемент а0 остается на месте
при всех автоморфизмах, и отсюда сразу следует, что автоморфизм б,
§ 115. Группы автоморфизмов периодических групп 309
описанный в формулировке теоремы, коммутирует со всеми
автоморфизмами группы Л.
Пусть теперь 7 — центральный элемент из Aut Л, и пусть А =
= В © С, а 8 — такая инволюция, что е | В = 1в и е \ С = —1С.
Для произвольного элемента Ь 6 В мы можем записать yb = Ь0 + с0
(Ь0 6 В, с0 ? С). Тогда &о + со = УгЬ = 87^ = ^о — со влечет за собой
2с0 = 0. Это означает, что у отображает подгруппу 2В в [и, значит, на]
себя. Следовательно, квазициклические подгруппы и, в случае р Ф 2,
все прямые слагаемые группы А отображаются при 7 на себя.
Если г): В -> С — гомоморфизм, то соответствие
а: 6 н-^ & + т]&, с н-> с F б В, с 6 С)
является автоморфизмом группы А. Равенство о&7 = 7а Дает Л^о =
= yi\b, и мы получаем, что 7 переводит Im т] в себя. Если %: С-> В —
гомоморфизм, то соответствие
Р: Ьу-*Ь, с*->с+ %с (ьев,сес)
является автоморфизмом группы А и, поскольку Р7 = ?Р>
справедливо равенство ус0 = 0. Следовательно, элемент с0 лежит в ядре
каждого из гомоморфизмов С-+В.
Сначала рассмотрим случай В = (Ь), где порядок группы В равен,
скажем, рп. Тогда yb = kb + с0 для некоторого целого k> причем
1 ^ k < рп, В силу y\kb = уцЬ получаем, что 7 действует в группе Im г\
как умножение на k. Поскольку т] может быть произвольным
гомоморфизмом из В в С, мы видим, что 7 действует как умножение на k в
группе С [рп]у и, значит, обязательно выполняется (?, р) = 1. Если С
обладает циклическим слагаемым, порядок которого больше или равен рпу
то мы также можем вывести, что^уЬ = kb. Таким образом, 7 действует
как умножение на k в группе А[рп]. Если в А имеется
неограниченная базисная подгруппа, то, как сразу видно, должна существовать
такая р-адическая единица р, что 7 есть умножение на р [в каждой из
подгрупп А [рп] и, значит] в группе А.
Теперь рассмотрим случай В = Z (р°°). Мы знаем, что 7
индуцирует некоторый автоморфизм на группе В/ являющийся ввиду
примера 3 из § 113 умножением на некоторую*'/?-адическую единицу р.
Если группа С нередуцированная, то для * гомоморфизма г\: В-+С
имеем т]р = уц, откуда следует, что 7 также является умножением
на р в группе Im ц. Мы заключаем, что 7 всегда действует как
умножение на р-адическую единицу р в делимой части группы А.
Остался случай А = D © Е, где D — делимая, а Е Ф 0—
ограниченная группы, скажем ргЕ = 0, но рг~1Е Ф 0. Если р ^ 3 или
если Е обладает по крайней мере двумя независимыми элементами
порядка рг, то так же, как и раньше, мы получаем, что 7 переводит
каждую циклическую подгруппу группы А в себя и должно быть
умножением на некоторую р-адическую единицу р или на целое число k,
взаимно простое с /?, 1 ^ k < рг. в соответствии с тем, нулевая группа
D или нет. Предположим, что р = 2 к Е = (&>©?", где о (Ь) = 2Г
310
Гл. XVI. Группы автоморфизмов
и 2Г_1?" = 0. По доказанному мы можем быть уверены, что 7 есть
умножение на диадическую единицу р на группе D и умножение на
целое число, сравнимое с р по модулю 2Г-1, на группе BЬ) © Е'.
Запишем yb = kb + #о> где а0 6 D © ?", 2а0 = 0. Если элемент а0 имеет
бесконечную высоту, то существует гомоморфизм %: D ф Е' -*¦ F >,
для которого %а0 =? 0, в противоречие с доказанным выше. Если 0 Ф
Ф а0 б^о = 2 B°°) и D = D0 © Dlt где Dx =7^= 0, то применим то же
рассуждение к разложению А = ((b) © Dx) ф (Е' © D0): в силу
существования мономорфизма %: D0 -^ Dx из а0Ф 0 следует, что D ^
= Z B°°) и я0 — единственный элемент из Л [2], имеющий
бесконечную высоту. Значит, А — группа вида A) и у — либо умножение
на диадическую единицу, либо композиция умножения на
диадическую единицу и автоморфизма б. Доказательство завершено. в
С помощью примеров 1 и 2 из § 128 мы получаем, что для р-группы
А при р Ф 2
j Aut А ^ Z (р — 1) X Jp или
3 Aut А ~ Z (р — 1) X Z (р*-1). B)
Поскольку группа коммутативна тогда и только тогда, когда она
совпадает со своим центром, из предыдущей теоремы легко вывести
Следствие 115.2 (Шатле [1], Бэр [5]). Группа автоморфизмов
р-группы А коммутативна тогда и только тогда, когда А либо является
коциклической группой, либо изоморфна группе ZB°°)+Z B). в
Перед тем как взяться за решение поставленного вопроса об
изоморфных группах автоморфизмов, сделаем несколько замечаний.
Через А мы будем обозначать р-группу, где р ^ 3.
а) Из теоремы 115.1 следует, что группа А является ограниченной
и рп является наибольшим из порядков ее элементов тогда и только
тогда, когда j Aut А ^ Z (/?п-1 (р — 1)).
б) Пусть 8 — инволюция группы А, 8 Ф ± 1. Тогда для
разложения А = At ф Лё легко выяснить, имеет ли место ограниченность
одного из слагаемых или обоих, и если да, то каковы точные верхние
грани порядков элементов. Действительно, в силу равенства $с {е} =
= I Aut Ле X i Aut As и теоремы 115.1 группа jc {е} не содержит
подгрупп, изоморфных /р, или содержит такую подгруппу или
прямое произведение двух групп, изоморфных Jp, в соответствии с тем,
являются ли обе группы At и Al неограниченными или ограниченной
будет одна из них или обе. С помощью п. а) легко определяются
границы порядков элементов для ограниченных компонент.
в) Если Л = Ах ф . . . © Ak, где AtФ 0, и {е^ . . ., sk}—система
инволюций, принадлежащая этому разложению, то группа gc {el7 ..., &h}
содержит ровно 2 h инволюций. Это следует из п.н) § 113 и того
факта, что группа %AutAk не содержит инволюций, отличных
от ± 1.
§ 115. Группы автоморфизмов периодических групп 311
Инволюция г называется экстремальной, если одна из групп А\
и А в отлична от нуля и неразложима. Если ?—-произвольная
инволюция, коммутирующая с экстремальной инволюцией е, то разложение
группы Л, указанное в п. л) из§ 113, может содержать не более трех
ненулевых слагаемых. С другой стороны, если инволюция 8 не
является экстремальной, то легко найти инволюцию ?, которая коммутирует
с е и в разложении п. л) из § 113 дает четыре ненулевых слагаемых.
Таким образом, справедливо утверждение
г) Инволюция 8 экстремальна тогда и только тогда, когда в группе
jc {в, ?} содержится не более 8 инволюций при любом ? 6 с {г}.
Мы получаем, что экстремальные инволюции переходят в
экстремальные инволюции при любом изоморфизме между группами
автоморфизмов.
Лептин [2] доказал, что если р ^ 5 и Л, С — некоторые р-группы
с изоморфными группами автоморфизмов, то группы А и С изоморфны.
Мы приводим более слабый результат, доказательство которого проще.
Теорема 115.3 (Лептин [2]). Пусть Л, С — это р-группы, где
/7^3. Если Aut Л ?* Aut С, то группы А и С обладают изоморфными
базисными подгруппами и изоморфными делимыми частями.
Пусть <р: Aut Л -> Aut С—изоморфизм. Пусть В= ®Вп, где
Вп = ©Z (рп) — базисная подгруппа группы Л. Запишем
Л - Вг ф . . . 0 Вп © Л*, где А* = РпА + вп+1 + вп+2 + ...
[см. теорему 32.4]. Предположим, что В — неограниченная группа.
Представив В1 © . . . © Вп в виде © (at >, где о (at) < рп, рас-
смотрим инволюции гь е, принадлежащие разложению
Л- ф(аг->®Л*. C)
Вначале мы установим некоторые свойства системы {еь &}, которые
позволяют доказать, что эта система принадлежит разложению, в
котором © (at) — максимальное /^-ограниченное слагаемое группы
Л. Очевидно, {ег-, г} — коммутативная система инволюций, где
каждая е^ — экстремальная инволюция. Если т) — экстремальная
инволюция из с {еь е}, отличная от всех еь и если, скажем, Л^ —
неразложимая группа, то в силу п. л) из § 113 мы получаем, что Ац —
подгруппа каждой из групп ®<а/>©Л*. Следовательно, А^ ^ А%
иЛ^— неразложимое слагаемое в Л?, | Л^ | > pn+1. Если инволюция
8 не является экстремальной, то система {гь, 8, т\} дает такое
продолжение разложения C), что группа
ЗС{е*, 8, г)}/8С{еь &} D)
изоморфна либо циклической группе порядка pk (р — 1), где k ^ п,
либо группе Z (р — 1) х Jр. Очевидно, что если бы группа Л*
обладала циклическим слагаемым порядка не больше рп, то мы могли бы
312
Гл. XVI. Группы автоморфизмов
подобрать такое т), для которого группа D) была бы циклической
порядка ph (р — 1), где k < п — 1.
Теперь мы переходим к рассмотрению группы Aut С как образа
изоморфизма ф. Очевидно, ф (е,) — экстремальная инволюция при
каждом i 6 /¦ Таким образом, <р (гг) дает прямое разложение С =
= Сф(8.) ф Q(e.), где одно из слагаемых, скажем, Ct —
неразложимая группа, другое слагаемое обозначим через С\. Благодаря п. б) мы
знаем границы порядков элементов для слагаемых; поскольку мы
предположили, что В — неограниченная группа, сразу получаем Ct ^
= (at>. Далее по п. м) из § 113 для всякого конечного набора
индексов ilt . . ., ik имеет место разложение С = Си ф ... ф С\к ©
Ф (Си П • • • П C'ik)- Таким образом, С = 2 Ct = ф Ct — сервант-
г г
ная подгруппа группы С. Она является ограниченной и, значит,
служит для С прямым слагаемым. Имеем также С = С^е) Ф С$(е)> где,
скажем, первое слагаемое является /^-ограниченным. Так как ф (ее)
коммутирует с ф (е), то в силу п. л) из § 113 каждое из слагаемых С*
содержится в одном из слагаемых последнего разложения. Включение
Ct ^ Сф(е) невозможно, иначе мы пришли бы к существованию такой
инволюции т)' ? с {ф (е)}, что группа gc {ф (е), х\'} не изоморфна
никакой из групп gc {е, г]} при всех г| 6 с {е}. Отсюда следует, что
С ? Сф(8), и С' — слагаемое в группе Сф(8>. Если бы С было
собственным слагаемым, то нашлась бы такая инволюция т]' ? cj {ф (е^),
Ф (8)W, чт0 факторгруппа, соответствующая группе D), была бы
изоморфна группе Z (рк (р — 1)), где k ^ п — 1, а это невозможно.
Таким образом, С = ©С* © CJ(8), где рпСг- = 0 при всех i. Из
i
сказанного в предыдущем абзаце о системе {гь е} получаем, что
группа Сф(8) не содержит ни одного циклического слагаемого,
порядок которого не превосходит рп. Следовательно, ©Cj — максимальное
/^-ограниченное слагаемое группы С.
Заметим, что инволюции гг и ф (гь) определяют изоморфные
неразложимые слагаемые групп А я С соответственно. Отсюда вытекает,
что при каждом п максимальные /^-ограниченные слагаемые групп А
и С изоморфны. Пользуясь теоремой 33.2, сразу получаем изоморфизм
базисных подгрупп групп Л и С.
Если заменить разложение C) разложением А = ©D, ф G, где
з
Dj ^ё Z (/?°°), a G — редуцированная группа, то можно провести
аналогичные рассуждения. Легко понять, как в терминах инволюций
формулируется отсутствие в группе G квазициклических слагаемых.
Тем самым доказательство теоремы 115.3 завершено для групп А с
неограниченными базисными подгруппами.
Если группа А обладает ограниченной базисной подгруппой Ву
скажем ртВ = 0, то можно записать А = ф (аь > ф ф Dh где Dj ^
1 j - г
^ Z (р°°), и рассмотреть соответствующую систему инволюции {?ь
r\j}. Тогда {ф (ef), ф (r\j)} будет максимальной коммутативной систе-
§ 115. Группы автоморфизмов периодических групп 313
мой экстремальных инволюций, для которой соответствующие
неразложимые компоненты являются группами Z (р°°) или циклическими
группами порядка не выше рт. Мы заключаем, как и выше, что эти
неразложимые компоненты порождают сервантную подгруппу С\
которая должна быть прямым слагаемым в группе С; следовательно,
С = С и С — прямая сумма коциклических /?-групп. Тогда группа
с {ф (е^), ф (т]7-)} является декартовым произведением групп
автоморфизмов этих коциклических групп, и изоморфность групп А и С
очевидна, если А — конечная прямая сумма коциклических групп. Если
группа А не такая, сначала надо установить, что инволюции ф (г\^
соответствуют квазициклическим слагаемым, а затем использовать
разложения C) при л = 1, . . ., т — 1. а
Доказательство изоморфности групп Л и С, предложенное Лепти-
ном, основывается на тонком исследовании стабилизаторов прямых
разложений. Основная трудность этого доказательства связана со
следующим фактом. Если е и ф (е) — инволюции, принадлежащие
разложениям Л=Л1©Л2иС = С1©С2 соответственно, то
стабилизатор цепочки 0 с: Аг а А отображается при ф либо в стабилизатор*
цепочки 0 с Сх с= С, либо в стабилизатор цепочки 0 cz С2 с С.
Возникает неоднозначность, устранить которую не всегда удается, даже*
если известно, что А1у Сг — ограниченные группы, а Л2, С2 —
неограниченные. Хотелось бы получить более короткое доказательство
важной теоремы Лептина, и еще лучше, если бы оно включало случаи]
р = 2 и р = 3.
Упражнения
1 (Бэр [5]). (а) Множество элементов, переходящих в себя при всех,
автоморизмах р-группы Л, состоит не из одного нуля тогда и только
тогда, когда А является 2-группой, обладающей единственным
элементом g Ф О максимальной высоты.
(б) В указанном случае это множество совпадает с (g).
2 (Бэр [5]). (а) Пусть А — сепарабельная р-группа, р ^ 3, и С —
подгруппа группы А. Множество всех элементов группы А, которые
остаются на месте при всех автоморфизмах группы А, переводящих
в себя все элементы из С, совпадает с С" — замыканием подгруппы С
в р-адической топологии.
(б) При р = 2 для случая, указанного в упр. 1, к подгруппе С"
должна быть присоединена подгруппа (g) из упр. 1.
3 (Бойер [1], Э. Уокер [4], Кхаббаз [1], Мадер [1], Хилл [4])..
(а) Если группа А не является редуцированной, то | Aut А | = 2lAL
(б) Если А — бесконечная редуцированная группа, то | Aut А \ =
= 2]В\ где В — базисная подгруппа группы А.
4 (Лептин [2]). Пусть 8 — инволюция р-группы Л, где р ^ 3.
Слагаемые At и Al обладают изоморфными ненулевыми слагаемыми тогда
и только тогда, когда существуют такая система {гъ е2, s3, е4}
коммутирующих инволюций из с {г} и такая инволюция к] 6 с {е3, е4}х.
314
Гл. XVI. Группы автоморфизмов
что е = 6384 и Ti82 = 83т]. [Указание: пусть Л? = Ах © Л2, Лё =
= Л3 © Л4; если Л2 ^ Л3, выбрать автоморфизм т), меняющий
местами Л2 с Л 3; для доказательства обратного утверждения
воспользоваться матричным представлением.]
5. С помощью второй части доказательства теоремы 115.3 показать,
что если А — прямая сумма циклических р-групп и Aut А ^ Aut С,
где С — некоторая р-группа, то А ^ С.
6 (Лептин [2]). Пусть А — некоторая /?-группа и С — некоторая
.g-группа, причем для простых чисел р и q выполняются неравенства
3 ^ р < q. Тогда изоморфизм Aut А ^ Aut С имеет место в том и
только в том случае, когда А = Z (/?*), С = Z (q) и /?*-1 (/? — 1) =
= q — 1-
7 (Бэр), р-группа А (р ^ 3) удовлетворяет условию минимальности
тогда и только тогда, когда все периодические подгруппы группы
Aut А являются конечными. [Указание: если число независимых
слагаемых бесконечно, то в централизаторе соответствующей системы
инволюций содержится бесконечная периодическая подгруппа;
доказательство обратного утверждения свести к случаю делимых групп
и рассмотреть матричное представление.]
8 (Хаузен [2]). Группа автоморфизмов группы, удовлетворяющей
условию минимальности, остаточно конечна. [Указание: нормальные
подгруппы, состоящие из всех автоморфизмов, оставляющих на месте
все элементы из А [/?*], имеют конечный индекс, и пересечение их
тривиально.]
9 (Тарватер [3]). Пусть А — прямая сумма коциклических групп
одного и того же порядка. Автоморфизм группы Л, отображающий
подгруппу G ? Л на подгруппу Н s Л, существует тогда и только
тогда, когда
G ^ Н и Л [p]/G [р] ^ А [рУН [р]
10 (Меджиббен [5]). (а) Пусть G = А (г0, . • ., гп, . . .) —широкая
подгруппа /7-группы Л и ф — мономорфизм группы G в некоторую
/7-группу С. Мономорфизм ф может быть продолжен до изоморфизма
-между Л и С в том и только в том случае, когда A) fn (Л) = fn (С) при
п < г0; B) ф сохраняет высоты; C) Im Ф — широкая подгруппа
группы С.
(б) Всякий автоморфизм широкой подгруппы р-группы Л,
который сохраняет высоты в Л, может быть продолжен до автоморфизма
труппы Л.
§ 116. Группы автоморфизмов групп без кручения
В то время как р-группы при р > 5 определяются с точностью до
изоморфизма своими группами автоморфизмов, группы
автоморфизмов групп без кручения дают мало сведений о самих этих группах.
Действительно, существуют большие группы без кручения с той же
группой автоморфизмов, что и у группы Z, и даже группы ранга 1
§ 116. Группы автоморфизмов групп без кручения 315
не могут быть восстановлены по своим группам автоморфизмов [см.
упр. 1]. К тому же в противоположность случаю периодических групп
группа автоморфизмов бесконечной группы А не обязана быть
бесконечной, если А без кручения.
Только в незначительно более широком случае, чем случай
конечных групп, мы имеем подробное представление о группах,
являющихся группами автоморфизмов групп без кручения. Мы приводим здесь
некоторые результаты, полученные Холлетом и Хиршем [1, 2].
В течение этого параграфа А — группа без кручения и
Т= AutA.
а) Если Г — периодическая группау то кольцо Е (А) не содержит
нилыготентных элементов.
Если для эндоморфизма ц 6 Е (А) выполняется т]2 = 0, то
эндоморфизмы 1 + У] и 1 — г] являются взаимно обратными и,
следовательно, лежат в группе Г. Но A + г])п = 1 + пц Ф 1, иначе ц = О,
так как End А — группа без кручения.
б) Если Г — периодическая группа, то всякая инволюция а ? Г
лежит в центре группы Г.
При любом эндоморфизме Р 6 Е (А) эндоморфизмы ф =
= A + а) р A — а) и ар = A — а) р A + а) являются нильпотент-
ными, откуда ф = 0 = if> в силу п. а). Таким образом, 2 (ар — Ра) =
= ф — -ф = 0 и, значит, ар = Ра.
ъ)~Если Г — периодическая группа и элемент а 6 Г имеет
нечетный порядок я > 1, то п = 3.
Очевидно, это утверждение достаточно доказать для случая п = pk,
где р — простое число, не равное двум. Эндоморфизм р = 1 — а +
— а2 Ь . . . + ап~3 является обратным к эндоморфизму
f a2-a4-J ...+an+1, если n=lmod4,
^~~ \ a3 — a5-] ... +an, если n = — 1 mod 4.
Следовательно, p ? Г. Покажем, что элемент Р имеет бесконечный
порядок, если п > 3. Заметим, что эндоморфизм ап — 1 аннулирует
группу Л, и, значит, существует минимальный многочлен g (а) с
целыми коэффициентами, аннулирующий группу А. Очевидно, g (х) делит
хр — 1, но не делит хрк~1— 1. Из неприводимости pk-ro кругового
многочлена Ф71 (х) = (xph— 1I(хрк~1 — 1) следует, что Фи (х) | g (х).
Пусть ? — некоторый первообразный корень я-й степени из единицы.
Мы получаем, что сопоставление а ь-> ? может быть продолжено до
кольцевого гомоморфизма S (а) -^ Q (?), где S (а) — подкольцо
кольца Е (Л), порожденное элементом а, а Q (С) — расширение поля
Q, полученное присоединением ?• Этот гомоморфизм переводит Р
в комплексное число 1 — С + С2 — ... + U1'3 = A + Г) A +
+ t)-1, модуль которого отличен от 1, иначе выполнялось бы
316
Гл. XVI. Группы автоморфизмов
равенство ?п~2 = ? или ?п~2 = ?, откуда вытекало бы, что п = 3.
Следовательно, образ элемента р, а значит, и сам элемент р имеет
бесконечный порядок при п > 3.
г) ?а/ш Г — периодическая группа, то она не содержит элементов
порядка 8.
Действительно, если а^Г — элемент порядка 8, то в кольце
Е (А) эндоморфизмы р = 1 + A — а4)A + а — а3) и 7=1 +
+ A — а4) A — а + а3) являются взаимно обратными. Так же как
и в п. в), мы можем показать, что подкольцо S (а) кольца Е (А)у
порожденное элементом а, обладает гомоморфизмом в поле Q (?),
причем аи- ?, где ? = A + *)/]/^2 — первообразный корень 8-й
степени из единицы. При этом гомоморфизме элемент р отображается
в элемент 3+ 2^2 6 Q (?), а последний имеет бесконечный порядок,
следовательно, р не может быть элементом конечного порядка.
д) Если Г — периодическая группа, то не всякая инволюция из Г
содержится в циклической подгруппе порядка 12.
Мы утверждаем, что ни для какого элемента а 6 Г порядка 12 не
выполняется а6 = —1. В противном случае эндоморфизм р =
= 1 — а + а2 — а3 + а4 является обратным к эндоморфизму у =
= 1—а2 — а3 —а4 —а5, и остается показать, что тогда элемент Р
не имеет конечного порядка. Мы снова исследуем многочлен g (х)
с целыми коэффициентами, минимальный по отношению к свойству
g (а) А = 0. Заметим, что хв + 1 = (х2 + 1) (л:4 — х2 + 1) —
разложение на неприводимые множители и (а2 + 1) А Ф 0, так как а2 =
= —1 невозможно. Отсюда следует, что многочлен Ф12 (х) = х* —
— х2 + 1 делит многочлен g (х). Как и выше, мы получаем
гомоморфизм, переводящий р в 1 — I + Z2 — ?3 + ?4 = A + Ъь) A + ?)"\
где ? — первообразный корень 12-й степени из единицы. Поскольку
| 1 -f ?5 | ф | 1 + ? |, элемент р должен иметь бесконечный порядок.
е) Если Г — по-прежнему периодическая группа, то силовские
3-подгруппы группы Г коммутативны.
В силу п. в) силовские 3-подгруппы 5 являются подгруппами
экспоненты 3. Таким образом, с помощью известного результата о
некоммутативных группах мы получаем, что для любых двух элементов
а, р g S, а также их коммутатора у = а^р^ар = [а, р] выполняются
равенства а3 = р3 = у* = 1 и ау = уа, Pv = ?Р- Теперь мы можем
применить п. з) из § 106 для эндоморфизмов 1 + У + 72> 1 — 7 и Целого
числа т = 3 [заметим, что A + 7 + 72) + B + у) A — у) = 3].
Имеем ЗА <= В ф С, где В = Кег A + 7 + ?2) и С = Кег A — 7) —
вполне характеристические подгруппы группы Л. Аналогичным
образом, получаем ЗВ s (Кег (I + а + а2) (] В] ® [Кег A — a) f) 5].
В последней прямой сумме групп автоморфизм а, а значит, и
автоморфизм у индуцируют тождественное отображение на втором
слагаемом. Следовательно, это слагаемое содержится в группе С, т. е. равно
нулю. Мы заключаем, что A + а + а2) A — у) = 0» т. е. 7 + 7а +
§ 116. Группы автоморфизмов групп без кручения 317
+ уа2 = 1 + а + а2. Двукратное сопряжение с помощью р дает
у + у2а + а2 = 1 + уа + у2а2 и у + а + у2а2 = 1 + у2а + уа2 1МЫ
используем р-1ар = уа и у3 = 11- После сложения и сокращения
получаем Зу = 3. Отсюда у = 1, это и устанавливает коммутативность
группы 5.
ж) Пусть а ? Г — инволюция. Группа А обладает такой
характеристической подгруппой В, wno для гомоморфизма ср: T->AutB,
ставящего в соответствие элементам из Г ш; ограничения на В, ср: 7^
н-> у I ^> выполняется ф (а) = —1 и | ф (Г) | делит 24.
Поскольку а2 = 1, мы можем применить п. з) из § 106 для
эндоморфизмов 1 + а, 1 — а и целого числа т = 2. Имеем 2Л ^ 5Х © Сх,
причем а есть —1 на группе Вг Ф 0 и тождественное отображение
на группе Сг. Пусть фх: Г-> Aut Вх — гомоморфизм, ставящий в
соответствие ограничения. Очевидно, к группе фх (Г) применимы п. в), г)
и е). Покажем, что каждый элемент Р 6 <Pi (Г) порядка 2 лежит в
центре группы Aut Вг. Предположим противное, т. е. что для некоторого
элемента у 6 Aut В1 выполняется [р, у] Ф 1. Так как ф = A +
+ Р) у A — Р) и of) = A — Р) у A -f Р) — нильпотентные эндоморфизмы
группы В19 то с помощью рассуждений п. б) и неравенства [р, у] Ф
Ф 1 мы получаем, что либо ф Ф 0, либо г|) Ф 0, т. е. кольцо Е (В^
содержит ненулевые нильпотентные элементы. То же верно для кольца
Е(Л) в противоречие с п. а).
Далее, пусть фх (Г) содержит кроме фх (а) еще один элемент р
порядка 2. Аналогичным образом получаем, что 2ВХ ^ В2 © С2, где
Р | В2 = —1, р | С2 = 1 и В2, С2 — характеристические подгруппы
[группы Вг и, значит] группы А. Этот процесс приведет нас в конце
концов к такой характеристической подгруппе В0 группы Л, что
Фо (а) = —1 — единственный элемент порядка 2 в группе ф0 (Г).
Поскольку конечная 2-группа с единственным элементом порядка 2
является либо циклической, либо обобщенной группой кватернионов,
мы заключаем из п. г.), что силовские 2-подгруппы группы ф0 (Г)
являются циклическими группами порядка 2 или 4 или группами
кватернионов.
Следовательно, | ф0 (Г) | = 2*3*, где k ^ 3. Если I > 1, мы
продолжаем действовать, как раньше, и выбираем элемент б ? ф0 (Г)
порядка 3. Применяя п. з) из § 106 для эндоморфизмов 1 + б + б2,
1 — б и целого числа т = 3, получаем ЗВ0 <=,В' ©С, где В', С —
такие характеристические подгруппы группы Л, что 1 + б + б2 | В' =
= 0 и б | С = 1. Если ограничение ф0 (Г) на группу В' содержит еще
один элемент г порядка 3, для которого A + 8 + е2) В' Ф 0, то мы
продолжим этот процесс до тех пор, пока не получим такую
характеристическую подгруппу В, что 1 + P+P2=1 + Y+Y2 = 0 на В
при любых двух элементах Р, 7 Ф 1 некоторой силовской 3-подгруппы
группы ф (Г). Если уФ Р, то на подгруппе В также выполняется
равенство 1 + Py + (PyJ = 0. Таким образом,
-PV = 1 4- РУ = 1 + A + Р) A + у) = 2 + р + у + Р7,
318
Гл. XVI. Группы автоморфизмов
а так как
(Р - YJ = Р2 - 2Р7 + 72 = Р2 + B + Р + у) + у2 =
= A + р + р2) + A + 7 + 72) = О,
то мы получаем Р = 7 в силу п. а). Следовательно, силовская
3-подгруппа группы ф (Г) имеет порядок 3 и | ф (Г) | делит 24. Тем самым
доказательство п. ж) завершено.
Теперь мы в состоянии доказать следующую теорему:
Теорема 116.1 (Холлет и Хирш [1]). Если конечная группа Г
является группой автоморфизмов группы без кручения Л, то группа Г
изоморфна некоторой подгруппе конечного прямого произведения групп
следующих типов:
1) циклические группы порядков 2, 4 или 6;
2) группа кватернионов Q8 = (а, р | а2 = р2 = (офJ) порядка 8;
3) дициклическая группа DC12 = (а, р | а3 = Р2 = (офJ)
порядка 12;
4) бинарная группа тетраэдра ВТ24= (а, р | а3 = р3 = (аРJ>
порядка 24.
Повторное применение процедуры п. ж) дает при некотором целом
т включение
тА s d © ... © Cft,
где С1у . . ., Ck — такие характеристические подгруппы группы Л,
что для гомоморфизмов ф*: Г-^AutCj, ставящих в соответствие
ограничения, | ф^ (Г) | делит 24 при каждом и Соответствие а »->
»-> (фх (а), . . ., фь (а)) является гомоморфизмомг|): Г->- фх (Г) X ...
... X <pk (Г), для которого ар (а) = 1 только в случае, когда фг (ос) =
= 1 при i = 1, . . ., &, т. е. когда а является тождественным
отображением на группе Сх © . . . © Ck и, значит, на группе Л. Таким
образом, я|) — мономорфизм.
Группы, порядки которых делят 24 и которые удовлетворяют
условиям п. б) и г), легко поддаются перечислению: это группы типов 1) —
4), а также группы Z A2) и DC24 = (а, Р | а6 = р2 = (арJ).] Две
последние группы не могут быть группами автоморфизмов, так как
они не удовлетворяют условию п. д). Сейчас мы покажем, как
исключить эти группы из наших рассмотрений.
Пусть а?Г— элемент порядка 12. Тогда эндоморфизм а12—1
аннулирует группу Л, и, так же, как в п. в), мы заключаем, что
существует минимальный многочлен g (а) с целыми коэффициентами,
аннулирующий группу Л. 12-й круговой многочлен Ф12 (х) = х1 — х2 + 1
не может делить многочлен g (х) по следующей причине. Допустим
противное и рассмотрим гомоморфизм S (а) -*¦ Q (?) [где а н-> ?] под-
кольца кольца Е (Л), порожденного элементом а, в расширение поля
Q, полученное присоединением С — первообразного корня 12-й
степени из единицы. При этом гомоморфизме обратимый элемент 1 +
§ 116. Группы автоморфизмов групп без кручения ЗГ9
+ a g Е (А) [обратным к нему является а2 — а3] переходит в
комплексное число, по модулю не равное 1. Пришли к противоречию. Ясно, что
элемент а может иметь порядок 12 только в том случае, когда
подгруппы, аннулируемые эндоморфизмами а6 — 1 и а4 — 1, порождают
группу А у т. е. (а6 — 1) (а2 + 1) = 0. Заметим, что — (х6 — 1) -Ь
+ (л:4 — х2 + 1) (х2 + 1) = 2. В силу п. з.) из § 106 получаем, что
2А s В © С, где а6* — 1 аннулирует группу В и а2 + 1 аннулирует
группу С. Если образ группы Г в группе Aut В или в группе Aut С
все еще содержит элементы порядка 12, то продолжим этот процесс
до тех пор, пока все элементы порядка 12 не будут устранены из
группы ф (Г). ,
Перейдем теперь к обратной задаче и покажем, что все шесть группг
перечисленных в теореме 116.1, действительно являются группами-
автоморфизмов для подходящих групп без кручения. Поскольку для-
группы Z B) утверждение тривиально, рассмотрим остальные пять
групп.
Пример 1. Группа Z D) как группа автоморфизмов. Пусть
/?!, . . ., ph ... —бесконечное множество простых чисел, причем
pt = 1 mod 4. Тогда —1 является квадратичным вычетом по модулю
pt. Пусть kt — целые числа, для которых k\ = — 1 mod pt. Положим
А = (a, b, р~\ (a + ktb) при всех i).
Сопоставления ан->—b,'b у-* а индуцируют автоморфизм р группы Л,
порядок которого равен 4. Покажем, что не существует других
автоморфизмов группы Л, кроме степеней автоморфизма р. Действительно,
всякий автоморфизм а ? Aut А должен действовать следующим
образом:
аа = га + sb, ab = ta + ub, A)
где г, s, /, и — целые числа, удовлетворяющие условию ги — st =
= ±1. Далее, элемент а (а + ktb) = (г + kit) а+ (s + ktu) b
должен делиться на pt\ следовательно, он является линейной
комбинацией элементов а + ktb, pta и рф. Ввиду линейной независимости
элементов а и b получаем соотношение s + ktu s= kt (г + ktt) mod piy
откуда s + t s== kt (r — u) mod pt и, после возведения в квадрат,
(s + tJ = — (г — иJ mod pt. При достаточно большом простом числе
Pi последнее сравнение можно заменить равенством, из которого
следует, что г = и и t = —s. Если к тому же учесть условие ги — st = 1,
то останется лишь четыре возможности: г = ±1, s = 0 иг = 0, s =
= ±1. Таким образом, Aut А ^ Z D).
Пример 2. Группа Z F) как группа автоморфизмов. Пусть
Яи • • ., Яг* • • • — бесконечное множество простых чисел, причем
qt = 1 mod 6. Существуют такие целые числа liy что l\ + lt =
= —1 mod qt. Рассмотрим группу
А = (ау b, qlx (а + 1ф) при всех i).
320
Гл. XVI. Группы автоморфизмов
Соответствия a>-+b, b ь-> —а + b индуцируют автоморфизм группы Л,
имеющий порядок 6. Пусть а — произвольный автоморфизм,
действующий, как указано в соотношениях A), при целых числах г, s, t,
и, удовлетворяющих тому же условию. Тогда qt \ а (а + ltb) =
= (r + Ы) а+ (s + ltu) b влечет за собой lt (r+ /*0 — s + lt и mod qt.
Заметив, что 1 =—lt — /f, и сокращая на 1и получаем г + ltt =
s= — (I + lt) s + и, т. е. г + s — и == — h (s+ t) mod qt.
Освободившись от lu получаем (r+ s — иJ — (г + s — и) (s + t) + (s + 02=
2=5 0 mod qt. Снова при достаточно больших простых числах qt
последнее сравнение можно заменить равенством. Уравнение х2 — ху + у2 =
= 0 имеет единственное решение в действительных числах, а именно
х = у = 0, следовательно, ? = —s и гг = г + s. Пользуясь условием
ги — st = ±1, приходим к уравнению г2 + rs + s2 = ±1 с
решениями г = ±1, s = 0, г = 1, s = —1 и еще двумя решениями, где г и s
поменялись ролями. Таким образом, группа Л обладает не более чем
шестью автоморфизмами.
Пример 3. Группа Q8 как группа автоморфизмов. Мы будем
пользоваться примером 1. Возьмем два непересекающихся
бесконечных множества {pt} и {qt} простых чисел, для которых найдутся такие
целые числа kt и 1и что k\ ==== —1 mod р% и l\ === —1 mod qt. Искомой
труппой в данном случае является группа
А = (я, 6, с, d, р? (а + ktb)y pi1 (d + ktc),
qT1 (ft + he), qT1 (b + ltd) при всех i >.
Для автоморфизма a ? Aut А имеют место соотношения
fpi | a (a+kib), qt \а(а+1[С) и pt | a (d-\-ktc). Аналогично тому, как
это делалось в примере 1, мы получаем из этих соотношений, что a
действует следующим образом:
аа = га + sb + tc + ud, ab = —sa + rb + uc — td,
ac = —ta — ub + re + sd, ad = —ua + tb — sc + rd.
Здесь /*, s, t, и — целые числа, для которых определитель полученной
системы, очевидно, равный (г2 + s2 + t2 + и2J, является обратимым
элементом кольца Z и, значит, равен 1. Уравнение г2 + s2 + I2 +
+ и2 = 1 имеет ровно восемь решений. Рассмотрим отображения
а: а *-> 6, & «—> — а, с *-+d9 dy-* — c,
р: а н-> с, & ь-> — d, с н-> — a, di->b,
отвечающие решениям s = 1, г — t = и = 0 и /= 1, г = s = и = 0
соответственно. Легко видеть, что отображения а и |5 индуцируют такие
автоморфизмы группы Л, что Aut Л ^ Q8.
Пример 4. Группа DC12 /с<ж группа автоморфизмов. Возьмем
два бесконечных непересекающихся множества {pt} и {qt} простых
чисел, для которых pt ==s 1 mod 4*и qt == 1 mod 6. Выберем целые числа
§ 116. Группы автоморфизмов групп без кручения 321
ki и It, удовлетворяющие условиям k\ =—1 mod pt и l\+ lt =
===== —1 mod qt. На этот раз мы рассматриваем группу
А = (а, Ь, с, d, pfia + ktb), p^ic + fyd), qfia+Uc),
q^id + lib) при всех i).
Легко видеть, что соответствия
а: а ь-> с, b >-+d, с *-* — а-\-с, d \-+ — b-\-d,
Р: а н-> d, Ьу-+ — с, сн>6, dh-> — а
индуцируют такие автоморфизмы группы Л, что а3 = р2 = (офJ =
= —1.
Действуя так же, как и раньше, приходим к следующей системе
уравнений:
аа = га + sb + tc + wd, ab = —sa + rb — uc + /d,
ac = —to + (u + s) b + ad = —(u + s) a — tb +
+ (r + t)c — sd, + sc + (r + t) d.
Определитель матрицы автоморфизма a равен (г2 + rt + t2 + s2 +
+ sh -f ^2J = 1 [как обратимый элемент кольца ZL Последнее
уравнение имеет двенадцать решений: г = dzU s = t =- и = 0; г = — / =
= 1, 5 = и = 0 и решения, получаемые очевидными перестановками
переменных.
Пример 5. Группа ВТ24 как группа автоморфизмов. Пусть
числа piy qty kt и lt —те же, что и в примере 4. Положим
А-={а, Ъ, с, d, pl1{a-{-kib), pi1 (a — c+ktd),
ql1 (a-\-ltd), q^-{c-\-lib) при всех i).
Непосредственно проверяется, что отображения
а: а >-> d, 6н>-а + с, сн> — а — b-\-c-\-d, d *-*-—a-\-d,
р: at-* — с, b*-*b — d, c*-*c-^d, d »—* b
индуцируют автоморфизмы группы Л, для которых а3 = Р3 = (офJ =
= —1. Таким образом, ВТ24 — подгруппа группы Aut А. Мы
предлагаем читателю доказать в виде упражнения, что | Aut А | = 24.
Рассмотренные примеры позволяют нам доказать следующий
результат.
Теорема 116.2 (Холлет и Хирш [2]). Пусть Г — конечное прямое
произведение групп, каждая из которых изоморфна одной из групп,
перечисленных в теореме 116.1. Тогда найдется такая группа без
кручения Л, что Aut А ^ Г.
Прежде всего заметим, что примеры 1—5 можно легко
видоизменить, рассматривая вместо группы Л группу Л ® Ry где R —
рациональная группа типа (kly . . ., kn, . . .), причем каждое kn конечно
и kn = 0, если n-е простое число встречается среди простых чисел,
322
Гл. XV/. Группы автоморфизмов
используемых в примере. Интерес представляет лишь случай, когда
kn Ф 0 для бесконечного множества чисел kn.
Далее, пусть Г = 1\ х ... X Ts, где каждый из сомножителей
Г/ — группа одного из типов, указанных в теореме 116.1. Для каждой
группы Г/ выберем такую группу без кручения Ajy что Aut Aj ^ Г,.
Ясно, что простые числа, не сравнимые с 1 по модулю 4 или 6,
составляют бесконечное множество. Таким образом, мы можем выбрать
жесткую систему Rly . . ., Rs рациональных групп, имеющих
указанные выше типы, для которых kn > О только в случае, когда п-е
простое число не сравнимо с 1 по модулю 4 или 6. Сразу видно, что
группы Bj = Aj ® Rj (/ = 1, . . ., s) снова образуют жесткую
систему. Имеем
Aut (?х е • • • Ф В8) = Aut В1 X ... X Aut Вь ^ 1\ X ... х rs,
что и требовалось. в
Более тонким представляется вопрос о выделении тех подгрупп
прямых произведений групп из теоремы 116.1, которые действительно
могут служить группами автоморфизмов.
Упражнения
1. (а) Пусть А — группа без кручения ранга 1, тип которой равен
(kl9 . . ., kn, . . .), где все kn конечны. Показать, что Aut А ^ Z B).
(б) Существует жесткая система мощности континуума, состоящая
из групп ранга 1 с группами автоморфизмов порядка 2.
2. (а) Доказать, что для каждого кардинального числа ш,
меньшего первого сильно недостижимого кардинального числа, существуют
группы ранга ш, обладающие лишь двумя автоморфизмами.
(б) Распространить этот результат на жесткие системы.
3. Всякая элементарная 2-группа, мощность которой равна 2 , где
кардинальное число ш меньше первого сильно недостижимого
кардинального числа, является группой автоморфизмов некоторой группы
без кручения.
4. Доказать, что Z (/?), где р — простое нечетное число, не
изоморфна группе автоморфизмов никакой абелевой группы.
5 (де Врие и де Миранда [1]). Показать, что группа
автоморфизмов группы
А = (р-°°аи р-">Ьи р;°°а2, р;~>Ь2, qfiai + aj,
<7fOD(&i+&2), q;°°(ai + bi), q;°° (bt-a2+b2)\
где р1У р2, qu q2 — различные простые числа, изоморфна группе Z F).
[Указание: автоморфизм а: а1^-^Ь1, Ьх »->—ах + Ь1У а2*-+Ь2, Ъ2+->
»->—а2 + Ь2 является образующим.]
6. Доказать, что группа без кручения А с группой автоморфизмов,
изоморфной одной из шести групп, перечисленных в теореме 116.1,
обязательно является неразложимой. [Указание: обратить внимание
на центр группы Aut Л.]
Замечания
323
7. Пользуясь техникой примеров 1—4, показать, что в примере 5
| Aut А | = 24.
8 (Холлет и Хирш [2]). Пусть А — группа без кручения, для
которой Aut А ^ Q8 = (а, р | а2 = р2 = (арJ).
а) Для всякого ненулевого элемента а ? А элементы а, аа, Ра
и аРа линейно независимы.
б) Если ранг г (А) конечен, то он кратен четырем.
9 (Холлет и Хирш [2]). Пусть А — группа без кручения конечного
ранга. Если Aut А ?ё DC12, то ранг г (А) — четное число, а если
Aut А ^ ВТ24, то ранг г (А) делится на 4.
10. Показать, что группы в примерах 1—5 можно выбрать таким
образом, чтобы их ранг был бесконечен.
11 (Холлет и Хирш [21). Конечная абелева группа Г изоморфна
группе Aut А для некоторой группы без кручения А в том и только
в том случае, когда
A) | Г f — четное число;
B) а12 = 1 для всех а 6 Г;
C) не всякий элемент а ? Г порядка 2 содержится в циклической
группе порядка 12.
Замечания
Группы автоморфизмов конечных групп были предметом многочисленных
исследований, но хорошего описания до сих пор не было получено. Случай
абелевых групп не является исключением: к настоящему времени наши сведения
о группах автоморфизмов абелевых групп весьма ограничены. Известно
несколько примеров групп, которые никогда не могут быть группами автоморфизмов,
и трудно, по-видимому, найти условие, при котором группа служит группой
автоморфизмов. [Эта ситуация носит довольно таинственный характер, особенно'
в сравнении с некоторыми другими алгебраическими структурами: например, для
коммутативных колец всякая группа может быть группой автоморфизмов, как
было показано Шиклером.]
Ввиду того что в примарных группах автоморфизмов очень много, можно
надеяться в этом случае на получение более подробных сведений. Для
бесконечных р-групп А структура нормальных подгрупп группы Aut А впервые была
изучена Бэром [3]. Бэр исследовал соответствие между характеристическими
подгруппами группы А и нормальными подгруппами группы Aut А. Не удивительно,
что в его результатах число 2 заняло особое место среди простых чисел. За
последние десять лет или около того изучение структуры нормальных подгрупп группы
Aut А значительно продвинулось вперед [см. Фридман [1], Фукс [20], Лептин
[4], Мадер [1, 2], Хилл [23]]. Но, несмотря на все усилия, о группе Aut А известно»
на самом деле очень немногое. Мы даже не знаем, как по группе Aut А определить
длину группы Л, не говоря уж об ее инвариантах Ульма — Капланского.
Интуитивно кажется ясным, что свойства группы Aut А тесно связаны со свойствами
р-группы А; и действительно, это было подтверждено Лептином [2]: р-группы при
р >- 5 определяются своими группами автоморфизмов, и, следовательно, все
свойства группы А должны восстанавливаться по группе Aut А. Существо
проблемы заключается, видимо, в том, что связь между группами А и Aut А
исследовалась до сих пор практически односторонним образом.
Для более подробного ознакомления с результатами, касающимися групп
автоморфизмов примарных групп, см. также Хаузен [2, 3] и Фолтингс [1].
Группы автоморфизмов групп без кручения А ведут себя иначе: с одной
стороны, группа Aut А уже не определяет группы Л, а с другой стороны,
должны, очевидно, существовать более строгие ограничения на саму группу Aut А>
324
Гл. XVI. Группы автоморфизмов
как показывают результаты Холлетта и Хирша [1, 2]. Проблема описания
счетных групп Aut Л для счетных редуцированных групп без кручения Л ввиду
теоремы 110.1 эквивалентна проблеме описания групп обратимых элементов
счетных редуцированных колец без кручения. Даже в случае групп ранга 2
возникают большие трудности, см. Круль [2]. Об автоморфизмах неразложимых
групп см. де Гроот и де Врие [1].
Группы автоморфизмов бесконечно порожденных смешанных групп до сих
пор не исследовались.
Проблема 88. Охарактеризовать группы Aut А для [сепара-
бельных1 /7-групп А.
Проблема 89. Дать простое доказательство теоремы Лептина:
р-группы (р ^ 5) изоморфны, если их группы автоморфизмов
изоморфны. Выяснить ситуацию для случаев р = 2 и р = 3. Все ли
изоморфизмы между группами автоморфизмов индуцируются изоморфизмами
самих групп?
Проблема 90. Исследовать группы автоморфизмов групп без
кручения конечного ранга.
Проблема 91. Подгруппы В и С группы А назовем
эквивалентными, если существуют автоморфизм а ? Aut Л, отображающий В
на С. Исследовать классы эквивалентности подгрупп в указанном
смысле.
О базисных подгруппах счетных р-групп см. Хилл [20]. См; также Хилл [28]
и Тарвотер и Уокер [1].
Проблема 92. Много ли можно узнать о /7-группе А из
структуры нормальных подгрупп группы Aut Л? Определяются ли этой
структурой инварианты Ульма — Капланского группы Л?
Глава XVII
АДДИТИВНЫЕ ГРУППЫ КОЛЕЦ
Мы собираемся исследовать взаимоотношения структуры кольца со
структурой его аддитивной группы. Основные проблемы этого исследования
формулируются без труда:
1. Для данной группы А найти все кольца R, аддитивные группы которых
изоморфны группе А.
2. Для данного класса колец найти необходимые и достаточные условия
на группу А, при которых существует такое кольцо R из этого класса, что его
аддитивная группа изоморфна группе А.
На первый из поставленных вопросов до сих пор не было дано никакого
удовлетворительного ответа. Кольца на группе А [не обязательно ассоциативные)
ассоциированы с билинейными функциями \х: А X А ->- Л, которые образуют
аддитивную группу Mult А. Изучение этой группы дает определенные сведения
о кольцах на группе А, но один из основных вопросов — когда два кольца
на группе А изоморфны? — за исключением очень немногих частных случаев,
остается нерешенным.
Отличительной чертой периодических групп является то, что кольцевые
структуры на них полностью определяются умножениями элементов некоторого
р-базиса. Ввиду этого факта случай периодических групп лучше всего поддается
исследованию, в частности, можно получить полное описание групп,
допускающих лишь конечное число неизоморфных кольцевых структур.
Что касается второй сформулированной проблемы, то в основном мы будем
иметь дело с классами колец, аддитивные группы которых не слишком
разнообразны,— это артиновы и (обобщенно) регулярные кольца. Можно полностью
охарактеризовать группы, являющиеся аддитивными группами артиновых колец.
§ 117. Подгруппы, всегда являющиеся идеалами
Этот параграф содержит начальные сведения об отношениях,
существующих между кольцом и его аддитивной группой. Мы исследуем
некоторые элементарные свойства кольцевой структуры и опишем
подгруппы группы Л, обязательно являющиеся идеалами в каждом
кольце, для которого А служит аддитивной группой.
Прежде всего сделаем замечание терминологического характера.
Под кольцом будет подразумеваться не обязательно ассоциативное
или коммутативное кольцо [но умножение всегда будет считаться
дистрибутивным с двух сторон относительно сложения]. Если это
не вызывает недоразумений, мы будем приписывать кольцу свойства
его аддитивной группы. Таким образом, термины: р-кольцо,
периодическое кольцо или кольцо без кручения, делимое или редуцированное
кольцо, сервантный идеал и т. п.— будут иметь вполне определенный
смысл, без дальнейших пояснений.
326
Гл. XVII. Аддитивные группы колец
Если потребуется, мы будем различать кольцо R и его аддитивную
группу R+; здесь бывает необходима осторожность — особенно при
рассмотрении прямых разложений. Кольцо R, аддитивная группа
которого есть Л [или изоморфна группе Л], называется кольцом
на группе А.
Нам часто представится возможность использовать простые факты,
собранные в следующей лемме.
Лемма 117.1. Для произвольных элементов а, с ? R имеют место
следующие утверждения:
а) т | а и п \ с влечет за собой тп \ ас;
б) если та=^0 и пс = 0, то (т, п) ас = 0;
в) если т \ а и тс = 0, то ас = 0.
Доказательство элементарно и проводится аналогично
доказательству леммы 59.2. в
Стоит отметить несколько следствий, вытекающих из этой леммы;
доказательство каждого из них заключается в непосредственном
применении леммы 117.1.
A) В каждом кольце R имеются следующие идеалы: nR и R [п]
для всякого пу периодическая часть Т (R) и ее р-компоненты, цоколь,
максимальная делимая подгруппа, ульмовские подгруппы Ra и
подгруппы p°R для всякого порядкового числа с. Более общо, для
произвольного левого [правого] идеала L кольца R подгруппы nL, L [п]
и т. д. являются левыми [правыми] идеалами кольца R.
Б) Если R — периодическое кольцо, то для каждого простого
числа р имеют место неравенства
hp (ас) ^ hp (а) + hp (с) для всех а, с ? R.
Далее, ас = 0, если hp (а) ^ k и pkc = 0. Таким образом R1 — анну-
лятор кольца R, а/^-компонента Rp аннулирует ^-компоненту Rq при
различных простых числах р и q. Следовательно, для периодического
кольца R разложение
К == ф Кр
v
является прямым разложением также и в теоретико-кольцевом смысле.
B) Для кольца без кручения R имеют место неравенства
X (ас) > х (а) 1 (с) ПРИ всех а> ^ 6 R-
Таким образом, для всякого левого идеала L кольца R и для
всякого типа t как L (t), так и L* (t) — левые идеалы.
При любом данном кольце R левые и правые умножения
х >-> ах и х ь-** ха (х 6 R),
где а — произвольный фиксированный элемент, являются
эндоморфизмами группы R+. Отсюда сразу следует, что вполне
характеристические подгруппы группы R+ обязательно являются идеалами в кольце
§ 117. Подгруппы, всегда являющиеся идеалами 327
R независимо от того, каким образом в R определено умножение.
В связи с этим возникает проблема описания таких подгрупп группы Л,
которые являются идеалами в каждом кольце R на группе Л.
При решении этой проблемы нам пригодится некоторый идеал
кольца эндоморфизмов Е (Л) группы Л. Положим
\(А) = (фЛ I ф 6 Нот (Л, Е(Л))>.
Иначе говоря, I (Л) — подгруппа группы Е (Л), порожденная
всеми гомоморфными образами группы Л в группе Е (Л). Покажем,
что I (Л) — идеал. Заметим, что для каждого г) 6 Е (Л) отображения
а н-> т] (фа) и а ь-> (фа) т] являются гомоморфизмами Л -> Е (Л). Это
сразу видно из равенств г] (ф (а + Ь)) = т] (фа + фЬ) = т] (фа) +
+ т] (фЬ) и им аналогичных. Таким образом, среди образующих
группы I (Л) имеются г\ (фа) и (фа) ri при всех а ? А, т. е. I (Л) — идеал
кольца Е (Л).
Теорема 117.2 (Фрид [1]). Подгруппа С группы А служит идеалом
в каждом кольце на группе А тогда и только тогда, когда С является
| (А)-допустимой подгруппой, т. е. I (Л) С ^ С.
Пусть R — кольцо на группе Л. Мы связываем с элементом а ? А
левое умножение Ха: х ь-> ах. Соответствие ф: а н-> Ха является
гомоморфизмом группы Л в группу Е (Л) и, значит, в группу I (Л).
Подгруппа С является левым идеалом в R в том и только в том случае,
когда каждый гомоморфизм Ха переводит С в себя; то же рассуждение
применимо к правому умножению. Мы заключаем, что если I (Л) С S
^ С, то С — идеал в каждом кольце R на группе Л.
Обратно, всякий гомоморфизм ф ? Нот (Л, Е(Л)) дает некоторое
кольцевое умножение, если произведение элементов а, с ? А положить
равным ас = (фа) с. Таким образом, если С — идеал в каждом кольце
на Л, то (фа) с ? С при с 6 С, т. е. I (Л) С ^ С. в
Для редуцированных периодических групп Л нетрудно
охарактеризовать подгруппу I (Л) s Е(Л).
Предложение 117.3. ?с/ш Л —редуцированная] периодическая
группа, то | (Л) — периодическая часть группы Е(Л).
Либо редуцированная р-группа Л обладает циклическими
слагаемыми порядка д > ph для сколь угодно больших &, либо в Л найдется
циклическое слагаемое максимального порядка и Л — ограниченная
группа. В обоих случаях образы ее циклических слагаемых в группе
Е (Л) порождают периодическую часть группы Е(Л), значит,
последняя должна совпадать с I (Л). ш
Упражнения
1. В кольце без кручения R с единицей 1 для всех а ? R
выполняется неравенство % A) ^ % (а).
2. Доказать неравенство из п. В) для высотных матриц в
смешанных группах.
328
Гл. XVII. Аддитивные группы колец
3. В каждом кольце на группе Л две непересекающиеся вполне
характеристические подгруппы группы Л аннулируют друг друга.
4. (Штейнфильд). Если двусторонний аннулятор каждого
ненулевого элемента из R равен нулю, то либо pR = О при некотором
простом числе /?, либо R — кольцо без кручения, причем типы его
ненулевых элементов образуют множество, направленное вверх.
5. Пусть М — некоторый R-модуль [под модулем, как и раньше,
мы подразумеваем унитарный левый модуль над ассоциативным
кольцом с единицей].
(а) Доказать аналог леммы 117.1 для а 6 R, с 6 М.
(б) Доказать, что пМ, М [п] и т. д. [как в п. А)] — подмодули
модуля М.
(в) R1 аннулирует периодическую часть группы М.
6. Если С ^ А — левый идеал в каждом кольце на группе Л, то
С является двусторонним идеалом.
7 (Фрид [1]). Для С <=z А положим
С0 = {а 6 А | г|?а 6 С при всех г|э ? I (Л) >
и
Со =<i|)C I при всех \\) 6 I (А) >.
Доказать, что
(а) С° и С0 — вполне характеристические подгруппы группы А;
(б) (С°)о s= С s (С0)°;
(в) В <= С влечет 5° <= С0 и В0 s С0.
8 (Фрид [1]). 0° является пересечением аннуляторов всех колец
на группе А.
9 (Фрид [1]). В обозначениях упр. 7 доказать эквивалентность
следующих условий на С ^ А:
A) С — идеал в каждом кольце на А\
B) С0 ?= С;
C) G ? С ^ G0 для некоторой вполне характеристической
подгруппы G группы Л;
D) Н0 ^ С ^ Н для некоторой вполне характеристической
подгруппы Н ^ Л;
E) С ? С0.
10 (Фрид [1]). Группа Л обладает тем свойством, что только вполне
характеристические ее подгруппы являются идеалами в каждом
кольце на Л, в том и только в том случае, когда для всякого элемента а ?
6 Л группа Е (Л) порождается единицей и подгруппами I (Л) и
(т]еЕ(Л) | т]а = 0}.
11. При данном кольце R универсальным R-модулем на группе Л
называется такой R-модуль U вместе с групповым гомоморфизмом
ф: Л -»- Uу что для всякого группового гомоморфизма а: Л ->¦ М, где
М — некоторый R-модуль, должен существовать единственный
R-гомоморфизм'ф: U ->- УИ, удовлетворяющий равенству г|хр = ос.
Показать, что на произвольной группе Л существует и единствен с точ-
§ 118. Умножения на группе
329
ностью до изоморфизма универсальный R-модуль [Указание: U =
= R ®z А и ф: а и> 1 0 а.]
12. При данных кольце R и группе Л группа Л допускает
единственную R-модульную структуру тогда и только тогда, когда 1А
пропускается через гомоморфизм ф из упр. 11.
§ 118. Умножения на группе
Всякая группа А может быть тривиальным образом снабжена
кольцевой структурой, если все произведения положить равными 0.
Такое кольцо называется нуль-кольцом. Однако в общем случае это
не единственное кольцо на группе Л, и мы хотим, таким образом,
получить общий метод нахождения всех кольцевых структур на
группе А.
Следующее понятие весьма существенно для решения
рассматриваемой проблемы. Функцию \л: А X А -> А назовем умножением
на группе Л, если для всех элементов а, fe, с 6 А выполняются
равенства
\i (а, Ь + с) = A (а, ft) + |х (а, с),
[I (ft + с, а) = \i (ft, а) + \i (с, а).
Очевидно, всякое кольцо R на группе А задает некоторое умножение
ji, а именно \i (a, ft) = ab, и это соответствие между кольцевыми
структурами и умножениями на группе Л биективно. Таким образом, кольцо
R мы можем представлять себе как пару (Л, (я).
Заметим, что \i (па, ft) = n\i (a, ft) = \i (a, nb) при всех a, ft 6 А
и п 6 Z —^это сразу следует из определения.
Если \i и v — умножения на группе Л, то их сумма \i + v
определяется по следующему правилу:
((я + v) (a, ft) = A (а, ft) + v (a, ft) для всех а, ft 6 Л,
это снова умножение на Л. Относительно введенной операции
сложения умножения на группе Л образуют абелеву группу, так
называемую группу умножений на Л, Mult Л. Нуль группы Mult Л —это
умножение, соответствующее нуль-кольцу на группе Л.
Именно из-за группы Mult Л приходится включать в наше исследование
неассоциативные кольца. В действительности, если б мы хотели совершенно
исключить из рассмотрения неассоциативные кольца, мы не смогли бы даже ввести эту
группу Mult Л, поскольку ассоциативные умножения образуют группу лишь
в немногих исключительных случаях [см. Харди [1]].
Чтобы получить как можно больше сведений о кольцах на группе
Л, исследуем группу Mult Л.
Теорема 118.1.| (Фукс [16]). Имеют место следующие изоморфизмы:
Mult Л ~ Нот (Л ® Л, Л), A)
Mult Л ?* Нот (Л, End Л). B)
330
Гл. XVII. Аддитивные группы колец
Так как \i — билинейная функция Л X Л -*- Л, то в силу
теоремы 59.1 существует единственный гомоморфизм <р: А ® А-+А, для
которого ф (а ® b) = \i (а, Ь). Мы получаем, таким образом,
отображение [х ь->ср, являющееся, очевидно, гомоморфизмом группы Mult А
в группу Нот (А ® Л, Л). Более того, нетрудно вывести, что это
изоморфизм. Второй изоморфизм следует из первого, если сослаться
на п. К) из § 59. а
Как будет видно в дальнейшем, полезно зафиксировать в качестве
изоморфизмов A) и B) естественные изоморфизмы:
|х н-> ф, если ф (а ® Ь) = \л (а, Ь)
и
jjt i—^ яр, если (яра) b = \i (а, b).
Полученная теорема имеет многочисленные применения. Приведем
некоторые следствия из нее.
A) Если А —циклическая группа, то Mult Л ^ Л. Это следует
из существования естественных изоморфизмов А (%> А ^ А ^ End Л,
очевидных для циклической группы Л.
Б) тА = 0 влечет за собой т Mult Л = 0.
B) Если рА = Л, то группа Mult Л не содержит элементов
порядка р. Это следует из п. А) § 59 и п. Д) § 43. В частности, Mult Л —
группа без кручения, если Л — делимая группа.
Г) Если группа Л не содержит элементов порядка р> то их не
содержит и группа Mult Л. Применяя п. Б) из § 43, сразу получаем
требуемое утверждение. Таким образом, для групп без кручения Л
группа Mult Л — группа без кручения.
Д) Если Л — делимая группа без кручения, то такой же является
и группа Mult Л. Это вытекает из п. Г) § 43.
Е) Если Л = ф Аи где все At — вполне характеристические
.подгруппы группы Л, то
Mult Л = Д Mult Л*.
В силу теорем 59.1 и 43.1 группа Mult Л является произведением
всех групп Нот (At <g) Aj, А) при /, / 6 /. Для гомоморфизма ф ?
6 Нот (At ® А], А) и фиксированного элемента а7- 6 Л у
сопоставление aj ь^ф (а^ (g) а^ является гомоморфизмом группы At в группу Л.
Образ его содержится в группе Ль так как At — вполне
характеристическая подгруппа группы Л. Из соображений симметрии этот образ
содержится также в Л у, следовательно, группа Horn (At ® Л у, Л)
равна нулю при i Ф] и совпадает с группой Horn (At ® Ль Лг),?если
t = /.
Ж) Если Л — периодическая группа и Лр — ее /^-компоненты, то
.Mult Л - II Mult Ар. '
V
3) Mult Jp = /р. Это следует из примера 5 § 43 и изоморфизма B).
§ 118. Умножения на группе
331
Естественно рассматривать два кольца на группе А как
одинаковые кольца, если они изоморфны. Легко видеть, что умножения \i и v
определяют изоморфные кольца на группе А тогда и только тогда,
когда существует автоморфизм а группы Л, сохраняющий
произведения, т. е.
\i (a, b) = a~lv (аа, ab) при всех а, Ь 6 А.
Совсем не легкая проблема — решить, определяют ли данные два
умножения изоморфные кольца.
Умножения v, являющиеся коммутативными в том очевидном смысле, что
v (а, Ь) — v (by а) при всех a, b ? Л, образуют подгруппу Multc Л группы Mult Л.
При изоморфизме A) гомоморфизм ф ? Нот (Л (g) Л, А) соответствует
коммутативному умножению в точности тогда, когда ср (а 0 Ь) = ф (Ь ® а) при всех
a, b 6 А. Другими словами, это означает, что ф аннулирует «коммутаторную
подгруппу» С = {а ® b — b ® а\ для всех a, b ? А) группы A (g) А. Сразу видно,
что
Multc А с* Нот (A <g) А/С, А).
Гораздо труднее выделить в группе Mult А ассоциативные умножения. При
несколько ином подходе к вопросу ясно, что умножение \i: А X А ->- А
ассоциативно тогда и только тогда, когда соответствующий гомоморфизм ф: А ® А ->-
->- А индуцирует коммутативную диаграмму
A (g) Л (g) Л > Л (g) Л
ф
д^ д > Л.
Немногое известно о том, как расположены в группе Mult А
ассоциативные умножения. Изоморфизм B) может дать нам некоторую
информацию. Этот изоморфизм связывает с умножением \i ? Mult А
гомоморфизм гр: а^^Ка 6 Нот (Л, End Л), для которого \i (а, Ь) =
= ХаЬ при всех а,Ь^А. Таким образом, ассоциативность \i (a, |i (ft, с)) =
-= |i (|л (а, Ь), с) эквивалентна равенству какъс — 'к[Х(а> ь}с или просто
ХаХъ = ^\i(a, Ъ)- Следовательно, умножение \i ассоциативно тогда
и только тогда, когда соответствующий ему групповой гомоморфизм
ф: А -+• End А является кольцевым гомоморфизмом кольца (А, \х)
в кольцо Е (А).
Проиллюстрируем теперь, как можно использовать группу Mult А,
Заметим, что умножение \i 6 Mult А полностью определяется своими
значениями [i (а, Ь) для элементов а и Ь из системы образующих
группы Л.
Пример 1. Пусть Л = (g) — циклическая группа. Из п. А) мы знаем,
что Mult Л ^ё Л, и тривиально проверяется, что Mult Л = (А,), где X (gt g) = g.
Значит, все умножения на Л имеют вид \х = kk, где k = 0, 1, . . ., т — 1, если
0 (g) = т < °°> и k = 0, +1, +2, ... в противном случае. Все эти умножения
ассоциативны и коммутативны. [Об их изоморфизме см. упр. 5 и 6.]
Пример 2; Пусть А — (g) (gt) — прямая сумма неразложимых цикли-
i е I
ческих групп. Тогда Л (g) Л = © ({gt) (g) (g/)), где в скобках стоит циклическая
U
332
Гл. XVI/. Аддитивные группы колец
группа порядка (о (gi), о (gj)), порожденная элементом^ ® gj [положим (т, оо) =
= т и (сю, оо) = сю]. Умножение ju на группе А полностью определяется
элементами ф (gt 0 gj) ? Л, которые могут быть выбраны произвольно при
единственном условии, чтобы порядок элемента ф (gt (g) gj) был делителем порядка
элемента gt ® gj. [Более подробное описание, в котором особое внимание уделено
ассоциативному случаю, см. в работах Бьюмонта [2] и Тоски [1].]
Пример 3. Пусть А — группа без кручения, не изоморфная группе Z,
причем Е (А) ^ Z. Нетрудно вывести, что группа А 0 А не может иметь
бесконечного циклического прямого слагаемого. Отсюда в силу B) имеем Mult А =
= 0.
Упражнения
1. Дать прямое доказательство существования изоморфизма B).
2. Показать, что для всякой группы А группа Mult А
естественным образом является Е (Л)-модулем.
3. Привести пример, показывающий, что ассоциативные
умножения не обязаны образовывать подгруппу в группе Mult А [Указание:
Zip) 0 Z (п).]
4. Если 0Ь 02, 03 —эндоморфизмы группы Л, то @Х, 02, 03): ji(a, b)^->
ь->0х[г @2а, Q3b) — эндоморфизм группы Mult А. Доказать, что
эндоморфизмы @Х, 1, 1), A, 02, 1) и A, 1, 03) попарно перестановочны.
5. а) Два умножения |i, v на группе Z определяют изоморфные
кольца тогда и только тогда, когда \i = +v.
б) Существует бесконечно много неизоморфных колец на группе Z,
и каждое из них изоморфно либо nZ (я > 0), либо нуль-кольцу на Z.
6. а) Два умножения \х, v определяют изоморфные кольца на
группе Z (т) тогда и только тогда, когда \i = kv при некотором ky для
которого (&, т) = 1.
б) Каждое кольцо на группе Z (рп) изоморфно одному из колец
pkZ/pn+kZ (k = 0, 1, . . ., п).
7. Всякое кольцо на группе Jp изоморфно одному из колец phQp
(k = 0, 1,2,...) или нуль-кольцу на группе Jp.
8. Пусть а: А ->- В — гомоморфизм абелевых групп. Тогда а
осуществляет соответствие между кольцевыми структурами,
отвечающими ф: А ®Л->Л и гр: ? ® 5 —>- ?, в том и только в том случае,
когда коммутативна следующая диаграмма:
А ® ЛЛЛ
в ® вХв
9 (Бьюмонт [2]). Пусть А = © iat >, где о (at) = nt —
натуральное число или символ оо. Показать, что \х {аь aj) = 2 Ujhflkj причем
h
целые числа tijk определяют ассоциативное кольцо на группе А тогда
и только тогда, когда
§ 119. Продолжения частичных умножений
333
A) для каждой пары фиксированных индексов i, j почти все tijk
равны нулю;
B) tijk = О mod nk (nt, щ, /2fe)_1 при всех i, /, k;
C) ^tijhtklm=^]tikmtjlk при всех i, /, /, т.
k k
§ 119. Продолжения частичных умножений
Теперь мы рассмотрим проблему, являющуюся непосредственным
обобщением вопроса, поднятого в предыдущем параграфе. Пусть С —
подгруппа группы Л, и пусть задано частичное умножение, т. е.
билинейная функция v: С X С->¦ А. Проблема заключается в
продолжении функции v до билинейной функции \х: А X А -*- А. С подобной
ситуацией можно столкнуться, если, например, какую-нибудь
кольцевую структуру на подгруппе пытаться распространить на всю
группу.
Прежде всего естественно задаться вопросом, можно ли
продолжить кольцевую структуру на группе А до соответствующей
структуры делимой оболочки!) группы А. Из теоремы 118.1 сразу следует, что
на делимой периодической группе не существует иного умножения,
кроме тривиального [см. также теорему 120.3], таким образом,
действительно интересным представляется случай групп без кручения.
Теорема 119.1. Всякое кольцо без кручения R может быть
вложено как подкольцо в минимальное делимое кольцо без кручения D,
единственное с точностью до изоморфизма.
Кольцо D будет определено на делимой оболочке D группы R+.
Нетрудно убедиться в том, что существует лишь один способ
продолжения умножения v на R на группу D. А именно, если х, у ? D,
а т, п — такие отличные от нуля целые числа, что тх, пу 6 R, то
продолжение должно иметь вид
№ (х> У) = {tnn)~\ (тх, пу).
Это определение не зависит от выбора чисел m, п и превращает группу
D в кольцо D, которое ассоциативно [коммутативно] тогда и только
тогда, когда кольцо R ассоциативно [коммутативно]. С помощью
обычных рассуждений читатель может убедиться в том, что всякое делимое
кольцо без кручения, котррое содержит подкольцо, изоморфное
кольцу R, содержит также подкольцо, изоморфное кольцу D. ¦
Имеется еще два очень важных расширения групп, а именно
алгебраически компактные и копериодические расширения. Перед тем как
заняться исследованием, при каких условиях и сколькими способами
может быть продолжена кольцевая структура в этих случаях,
докажем простую лемму. [Напомним, что плотность подгруппы С в группе А
означает делимость группы А/С А
334
Гл. XVII. Аддитивные группы колец
Лемма 119.2. Пусть С — сервантная и плотная подгруппа
редуцированной группы Л. Тогда частичное умножение v: С X С -> Л
может быть продолжено до умножения \i: А х А ->- А не более чем
одним способом.
Из сервантно точной последовательности 0->С-^Л->Л/С-^0
с помощью двукратного применения теоремы 60.4 получим точные
последовательности
0->С ® С-*А ® С->(Л/С) ® С->0
и
0-> Л ® С-* Л ® Л->Л ® (Л/С)->0.
Ввиду п. А) из § 59 как {А 1С) ® С, так и Л ® (Л 1С) — делимые
группы, что дает нам точную последовательность
0->С ®С-*А ® А-+[(А/С) ® С] @[А ® (Л/С)]->0.
В силу теоремы 44.4 и редуцированности группы Л
последовательность О-*- Нот (Л ® Л, Л)->- Нот (С ® С, Л), очевидно, точна. Эта
означает, что любое v: С X С ->- Л может иметь не более одного
продолжения |х: Л X Л->-Л, в
Другими словами, лемма утверждает, что всякое умножение
на редуцированной группе полностью определяется своим
ограничением на любой сервантной и плотной подгруппе.
Теперь мы в состоянии исследовать вложения в алгебраически
компактные и копериодические группы [см. § 41 и 58]. Наша
основная задача — показать, что кольцевые структуры на группах всегда
могут быть продолжены до кольцевых структур на сервантно инъек-
тивных и копериодических оболочках этих групп, а в некоторых
случаях такие продолжения единственны.
Теорема 119.3. Пусть G — сервантно инъективная оболочка
группы А. Всякое частичное умножение v: Л х Л ->- G может быть
продолжено до умножения \х: G X G-+G. Если G — редуцированная группа*
то это продолжение единственно.
Тем же способом, что и в доказательстве леммы 119.2, получим
из сервантно точной последовательности 0 -*• Л -> G -> GIA ->¦ 0
сервантно точную последовательность 0 -> Л ® А -> G (& G. Так как
G — сервантно инъективная группа, то всякий гомоморфизм А ® А -*-
->¦ G может быть продолжен до некоторого гомоморфизма G ® G -> G.
Второе утверждение теоремы следует из леммы 119.2. я
Из доказанной теоремы видно, что рассматриваемая ситуация
представляет особенный интерес, если сервантно инъективная оболочка
редуцированна. Более того, в этом случае мы можем слегка улучшить
полученный результат и доказать
Следствие 119.4. Пусть R — такое кольцо, что R1 = 0.
Тогда существует одна и только одна кольцевая структура на Z-adu-
§ 119. Продолжения частичных умножений
33&
песком пополнении R кольца R, продолжающая кольцевую структуру
на R, при этом сохраняются полиномиальные тождества [в частности*
ассоциативность, коммутативность], верные в R. Кроме того, кольцо
R превращается в Z-алгебру.
Если первая ульмовская подгруппа R1 кольца R равна нулю, та
можно считать группу R+ канонически вложенной в группу R =
= lim nR/nR, как описано в теореме 39.5. Так как R — кольца
и nR — идеал в- R, то естественное отображение R -> R/nR
обеспечивает группу R/nR кольцевой структурой. Теперь ясно, что
отображения R/nmR -> R/nR в рассматриваемой обратной системе
являются кольцевыми гомоморфизмами, так что обратный предел снова будет
кольцом R, содержащим R в качестве сервантного и плотного подколь-
ца. Единственность полученной кольцевой структуры на R как
продолжения кольцевой структуры на R следует из леммы 119.2.
Сохранение же полиномиальных тождеств очевидно, поскольку они
сохраняются при гомоморфизмах и при взятии обратных пределов.
Последнее утверждение следствия сразу вытекает из примера 7 § 106. а
В случае копериодических расширений имеем точный аналог
теоремы 119.3.
Теорема 119.5. Всякое частичное умножение v: А X А ->¦ G, где
G — копер иод ическая оболочка группы А, может быть продолжено да
умножения \х: G X G-> G. Это \i единственно, если G—
редуцированная группа.
Заметим, что GIA — делимая группа без кручения в силу
теоремы 58.1. Такими же будут и группы (G/A) ® А и G ® (G/A), и мы
получаем точную последовательность
0->A®A-+G®G-> [(G/A) <g> А] 0 [G ® (G/A)] -> 0.
Существование требуемого продолжения следует из теоремы 58.2. т
Упражнения
1. Найти делимую оболочку кольца целых чисел в конечном
алгебраическом расширении поля Q.
2. Пусть R и D — те же, что и в теореме 119.1.
(а) Установить взаимно однозначное соответствие между сервант-
ными левыми идеалами в R и сервантными левыми идеалами в D-
(б) Показать, что при этом соответствии простые идеалы переходят
в простые.
(в) Кольцо D может обладать единицей, даже если кольцо R
единицей не обладает.
(г) Если D — кольцо с единицей, то всякий левый идеал в D сер-
вантен.
336
Гл. XVII. Аддитивные группы колец
3. Пусть опять R и D — те же, что в теореме 119.1. Кольцо D
содержит ненулевой нильпотентный левый идеал тогда и только тогда,
когда этим свойством обладает кольцо R.
4. Кольцо без кручения R является идеалом в своей делимой
оболочке D тогда и только тогда, когда квадрат R2 кольца R содержится
в максимальном делимом идеале кольца R.
5. Применить лемму 119.2 к редуцированной периодической группе
А и ее базисной подгруппе С.
6. Если А — периодическая группа и А1 = О, то существует
естественный изоморфизм Mult А ^ё Mult А.
7 (Фукс [23]). Если А — редуцированная периодическая группа
и А' — ее копериодическая оболочка, то существует естественный
изоморфизм Mult А -^ Mult А.
§ 120. Периодические кольца
Теория периодических колец без труда сводится к теории р-колец.
Действительно, в силу п. Б) из § 117 примарные компоненты Rp
периодического кольца R являются идеалами, а кольцо R — их
прямой суммой: R = © Rp.
v
8 исследовании периодических колец поразительным результатом
является следующая теорема. Она выявляет тесную связь между
кольцевыми структурами и базисными подгруппами и дает удобный метод
построения р-колец.
Теорема 120.1. Умножение \i на р-группе А полностью определяется
своими значениями \i (аь, а,), где каждый из элементов аъ, а7- пробегает
р-базис группы А.
Более того, для любого выбора значений \i (aiy а,) ? А, где элементы
aiy a,j берутся из некоторого р-базиса группы Л, при единственном
условии, чтобы всегда выполнялось неравенство о (\i (ati а,)) ^
^ min (о (аг), о (а/))» существует умножение на группе А, являющееся
продолжением сопоставления (aiy а,-) «-> \i (aiy а,-).
Имеется несколько доказательств этого факта; мы предлагаем
наиболее прямое и элементарное из них. Если значения \i (aif a,j)
известны для всех элементов atj a,j из некоторого р-базиса группы Л,
то в силу дистрибутивности элементы \i (ft, с) однозначно определяются
этими значениями для всех элементов ft, с из базисной подгруппы В,
порожденной данным /?-базисом {at}. Для данных элементов g, h ? А,
где о (h) = pk, запишем g = ft + pkx при некоторых ft 6 В и х 6 А
и получим
У (g. h) = \i (ft, h) + \i (pkx, h) =
= ц (b, h) + \x (x, pkh) = [i (ft, h).
Аналогично, ji (ft, ti) = \i (ft, с) для некоторого с ? В. Тем самым
первая часть теоремы доказана.
§ 120. Периодические кольца
337
Докажем вторую часть теоремы. Заметим, что всякий элемент
b 6 В единственным образом представим в виде линейной комбинации
данных элементов at и для умножения |х (Ь, с) (Ь, с ? В) без труда
проверяются аксиомы кольца. Если продолжить \i на всю группу Л
[указанным выше способом], то для завершения доказательства
останется лишь непосредственно проверить, что аксиомы кольца
выполняются и в этом случае. ¦
Перед тем как продолжить исследование /?-колец, сделаем
несколько замечаний о полученной теореме и ее доказательстве.
Равенство |х (g, К) = (х (Ь, с), встречающееся в этом
доказательстве, показывает, что умножение \i ассоциативно [коммутативно] в том
и только в том случае, когда оно ассоциативно [коммутативно] на
некотором р-базисе группы А. Мы видим также, что подгруппа L
некоторого р-кольца R является левым идеалом в R тогда и только тогдау
когда atL ^ L для всех элементов at из некоторого р-базиса группы R+.
В частности, подкольцо В, порожденное некоторой базисной
подгруппой группы R+, всегда является идеалом в R, причем R2 s В.
Пример 1. Пусть А — некоторая р-группа иВ= 0 {at) — базисная
подгруппа группы А. В соответствии с теоремой 120.1 умножение jx на группе А
будет однозначно определено, если положить
.ГО, если 1фи
{at, если i = /.
Получающееся кольцо (А, \х) ассоциативно и коммутативно, его квадрат —
это прямая сумма колец Zl(o(at)) на группах {at).
Пример 2. Можно получать и другие ассоциативные и коммутативные
кольца, если изменить вторую часть определения в примере 1 и полагать
\i (aiy at) = at или |ы (ai} at) = 0 по произвольному выбору;
Из теоремы 61.1 мы заключаем, что существует естественный
изоморфизм В ® В =1 А (g) Л, где В — некоторая р-базисная подгруппа
группы А. В соединении с теоремой 118.1 отсюда следует
Предложение 120.2 (Фукс [16]). Для р-группы А и ее базисной под-
группы В существует изоморфизм Mult А ;= Нот (В ® В, А). я
Таким образом, если А — периодическая группа, то группа Mult А
всегда является алгебраически компактной [см. теорему 46.1].
Инварианты группы Mult Л легко определяются с помощью теоремы 61.3
и следствия 43.3.
Сразу обращает на себя внимание частный случай, когда 5 = 0.
В этом случае группа Л допускает лишь тривиальное умножение.
Произвольную группу Л назовем нильгруппой, если на группе Л
не существует никакого кольца, отличного от нуль-кольца, т. е. если
Mult Л = 0. Если же группа Л допускает лишь конечное число
неизоморфных колец, то мы назовем ее квазинильгруппой. В случае
периодических групп как нильгруппы, так и квазинильгруппы легко могут
338
Гл. XVII. Аддитивные группы колец
быть описаны. Более того, немногим труднее решается проблема
описания смешанных нильгрупп [в то время как для ознакомления
с нильгруппами без кручения мы отсылаем читателя к теореме 121.2
и к работе Фукса [9]].
Теорема 120.3 (Селе [3]). Периодическая группа является
нильгруппой в том и только в том случае, когда она делима. Смешанных
нильгрупп не существует.
Прямое слагаемое в нильгруппе также является нильгруппой,
а так как группы Z (ph) (k = 1, 2, . . .) не являются нильгруппами,
то периодическая часть нильгруппы обязана быть делимой. С другой
стороны, для делимой группы А имеем А ® А = 0 и, значит, А —
нильгруппа.
Если А — смешанная группа с ненулевой делимой периодической
частью Т, то существует нетривиальный гомоморфизм группы А ® А Ф
^0 в группу 7, и, таким образом, группа Mult А не может
равняться нулю. в
Теорема 120.4 (Фукс [9]). Периодическая группа А является
квазинильгруппой тогда и только тогда, когда А = В ф D, где В —
конечная группа, a D — делимая группа.
Базисная подгруппа В квазинильгруппы А должна быть конечной.
Иначе на группе А можно определить бесконечное число таких колец
R, что кольца R2 конечны и имеют различные порядки [см.
пример 2 выше]. Таким образом, группа А имеет указанный вид.
Чтобы доказать обратное, достаточно рассмотреть р-группы А =
= В ф D с конечными базисными подгруппами В. Пусть рпВ = 0
и г = г (В). Тогда группа В ® В имеет ранг г2 и для нее выполняется
равенство рп (В ® В) = 0. Мы можем считать, что всякий
автоморфизм ф 6 Нот (В ® В, В ф D) отображает группу В ® В в группу
Вфйф \рп], где ?)ф — некоторая делимая подгруппа группы D,
имеющая ранг s ^ г2. Несмотря на то что группа ?>ф зависит от ф, ее
можно выбрать однозначно с точностью до автоморфизмов группы D.
Таким образом, если искать неизоморфные кольца на группе Л, то
следует рассматривать лишь одну группу ?>ф, а именно имеющую ранг
min (г2, г (D)). Далее, группа В ® В обладает лишь конечным числом
гомоморфизмов в группу В ф ?ф [рп], и, значит, А —
квазинильгруппа. в
Цель следующих рассмотрений — указать на некоторые
интересные связи, существующие между периодическими кольцами и их
аддитивными группами. Мы не упустим из виду ассоциативные кольца,
но этот случай будет разобран в конце параграфа.
Аннулятором кольца R называется множество всех элементов
a?R, для которых aR = Ra=^0. Если R — периодическое кольцо,
то из п. Б) § 117 следует, что первая ульмовская подгруппа R1 кольца
R должна содержаться в его аннуляторе. Однако от больших
подгрупп этого требовать уже нельзя.
§ J20. Периодические кольца
339
Теорема 120.5. (Фукс [6]). Аннулятор всякого кольца на
периодической группе А содержит Л1. Существует ассоциативное и
коммутативное кольцо на группе А, аннулятор которого в точности равен Л1.
Для построения кольца (Л, |i), аннулятор которого совпадает с Л1,
мы отсылаем читателя к примеру 1. Пусть а — элемент конечной
высоты и порядка pk. Если В = ®Вп — стандартное разложение
базисной подгруппы В s= 0 {at) группы Л, то в соответствии с теоремой
п
32.4 существует разложение
а = вг е • •. е вп е лп, где лп = свв41 е ..., рпл >.
Число п выберем здесь таким образом, чтобы п ^ k + /, где / является
индексом первой ненулевой координаты элемента а в данном
разложении группы Л. Мы получаем а = bt+ . . . + bn + gn (bt Ф 0),
обозначения здесь очевидны. Если Ь% = /ад4+ • • • + л*а*в, где
каждое слагаемое ненулевое, то jx (a, tfjt) ^= 0, так как \i (bh ajt) =
=/ВД4 Ф 0, в то время как fx F,+1, а,-,) = . . . = \i (bny а^) = ц (gn, aif) =
= 0, где последнее равенство справедливо в силу того, что Л (gn)^n —
— k^l и о (ajt) ^ р1. Мы видим, что никакой элемент конечной высоты
не лежит в аннуляторе кольца (Л, \х) из примера 1. ¦
Некоторые элементы /?-группы Л порождают нильпотентные идеалы
в каждом кольце на Л. В самом деле, для данного элемента а ? А
порядка ph всякий элемент из идеала (ра), порожденного элементом pat
делится на р в группе Л и имеет порядок, не превосходящий р*'1.
Мы получаем отсюда, что произведение произвольных k элементов
из идеала (ра) равно нулю, т. е. k-я степень идеала (ра) равна нулю.
[Это верно даже для неассоциативных умножений, так как
произведение k элементов из (ра) всегда равно нулю независимо от
расстановки скобок.] Точным результатом о нильпотентных элементах
является следующая
Теорема 120.6] (Фукс [6]). Пусть А — периодическая группа и F =
= р| рА — подгруппе^ Фраттини группы А. Всякий элемент из F
v
порождает нильпотентный идеал в каждом кольце на Л. Существует
такое ассоциативное и коммутативное кольцо на группе А?что любой
его] нильпотентный элемент содержится в F.
При доказательстве второго утверждения мы можем ограничиться
случаем р-групп Л. Рассмотрим снова кольцо (Л, \i) из примера 1.
Поскольку всякий элемент из рА является нильпотентным, достаточно
доказать, что соответствующее факторкольцо на группе Alp А ^ В/рВ
не содержит ненулевых нильпотентных элементов. Однако это кольцо
является прямой суммой колец (at)l{раг) ^ Z/(p) в
теоретико-кольцевом смысле, а в прямой сумме полей не существует ненулевых
нильпотентных элементов. в
340
Гл. XVI7. Аддитивные группы колец
Ограничив рассмотрение случаем ассоциативных колец, мы можем
задаться вопросом: какова наибольшая подгруппа данной
периодической группы Л, обязательно содержащаяся в радикале Джекобсона
данного кольца на группе Л? Предыдущая теорема и ее доказательство
сразу же дают решение этой проблемы. Так как нильпотентные идеалы
должны содержаться в радикале Джекобсона и так как прямая сумма
полей имеет нулевой радикал, то справедливо
Следствие 120.7. Подгруппа Фраттини F периодической группы А
содержится в радикале Джекобсона всякого ассоциативного кольца
на группе Л. Существует ассоциативное и коммутативное кольцо
на группе А, радикал которого совпадает с F. ш
Заключительный результат этого параграфа — не более чем
простое замечание. Он показывает, что существование единичного
элемента в периодических кольцах является удивительно сильным
ограничением.
Предложение^20.8. На периодической группе А существует кольцо
с [левым] единичным элементом тогда и только тогда, когда А —
ограниченная группа.
Если п — порядок левой единицы е, то па = пеа = 0 при всех
,<а ? А и, значит, А — ограниченная группа. Обратно, пусть п —
наименьшее натуральное число, для которого пА = 0. Тогда группа А
обладает циклическим слагаемым (е) порядка п> скажем А = (е) ©
<ф С. Можно построить кольцо с элементом е в качестве единицы,
положив умножение на С тривиальным и определив действие элемента
? как умножение на 1. ¦
Упражнения
1. Построить такое /7-кольцо, которое не является нильпотентным,
яо каждый из его элементов порождает нильпотентный идеал.
2. Для р-группы А определить инварианты алгебраически
компактной группы Mult Л.
3. Для /7-группыЛ группа Mult А является конечной и отлична от
нуля тогда и только тогда, когда Л—конечно копорожденная группа.
4. Показать, что на счетной элементарной р-группе существует
семейство мощности континуума неизоморфных ассоциативных колец.
1Указание: прямые суммы конечных полей.]
5 (Фукс [9]). Если на периодической группе Л не существует более,
чем счетного, семейства неизоморфных колец, то Л обязательно
является квазинильгруппой. [Указание: базисная подгруппа ограниченна
и имеет конечный ранг.]
6. Всякий простой идеал и всякий максимальный идеал р-кольца R
содержат pR.
7. а) На периодической группе Л существует полупростое кольцо
1т. е. кольцо с нулевым радикалом Джекобсона] в том и только в том
случае, когда Л — элементарная группа.
§ 121. Кольца без кручения
34Г
б) На периодической группе существует кольцо с нулевым аннуля-
тором тогда и только тогда, когда А1 = 0.
8. Пусть R — некоторое р-кольцо. Если каждый элемент из
некоторой базисной подгруппы В группы R+ является нильпотентным, то
и каждый элемент из R нильпотентен. [Указание: для элемента а ? R*
в смежном классе а + В по подгруппе В взять элемент о (а)-а' и
показать, что а'2 = Ь2 для некоторого b 6 В.]
9. Радикал Джекобсона произвольного кольца на смешанной груп-
пе обязательно содержит подгруппу Фраттини ее периодической
части,
§ 121. Кольца без кручения
В этом параграфе мы рассматриваем вопросы, касающиеся колец,
аддитивные группы которых — группы без кручения. К сожалению,
ограниченность наших сведений о структуре групп без кручения не
дает нам возможности построить удовлетворительную теорию колец
без кручения.
Класс делимых колец без кручения описывается без труда.
Приступим к построению колец на делимой группе без кручения ?>. Пусть
{я*}г?1 — максимальная независимая система элементов из D.
Положим
|х(а„ aj)=z%tiJhah (/, /, ??/),
k
где tijk — произвольные рациональные числа [для каждой пары
фиксированных индексов iy / почти все tijk равны нулю]. Значения \л (aif а,)
дают некоторое умножение \i на группе D, и (D, ц) становится кольцом
на D. Всякое кольцо на D можно получить указанным способом.
Нетрудно сформулировать условие, необходимое и достаточное для
ассоциативности умножения (я: при всяком наборе фиксированных
индексов i, /, /, т должно выполняться следующее равенство:
Zj tljhthlm ~ 2j tibmtillv
k k
Как мы видим, делимые кольца без кручения образуют весьма
большой класс, и не удивительно, что в общем случае о них немногое
можно сказать.
Ситуация сразу меняется, если опустить условие делимости.
Тогда мы не можем уже выбирать числа ttjk произвольно: они должны
быть выбраны таким образом, чтобы произведения \i (х, у) при любых
элементах х, у из данной группы снова лежали в этой группе. Эта
можно сделать, если мы обладаем соответствующими сведениями
о данной группе.
В очень частном случае, когда ранг группы без кручения равен 1,
возможно дать полный обзор колец на этой группе. Опуская случай
нуль-кольца, будем считать, что R — кольцо без кручения ранга 1,
в котором аЬ Ф 0 для некоторых элементов а, Ь 6 R. Здесь Ь — рацио-
342
Гл. XVIL Аддитивные группы колец
нальное кратное элемента а, следовательно, и а2 Ф 0. Для ненулевых
элементов с, d 6 R найдутся такие отличные от нуля рациональные
числа г, s, что с = га, d = sa, откуда cd = (rs) а2. Мы заключаем, что
элемент а2 полностью определяет умножение в R, и R обязательно
является коммутативным и ассоциативным кольцом, не имеющим
делителей нуля.
Выясним, когда на группе без кручения Л ранга 1 существует
кольцо, отличное от нуль-кольца. Записав t = t (Л), из предложений
85.3 и 85.4 получаем, что группа Mult Л ^ Нот (А ® Л, А) отлична,
от нуля в том и только в том случае, когда t2 ^ t, или, что то же самое,
t — идемпотентный тип. Таким образом, группа А является
нильгруппой тогда и только тогда, когда тип t не идемпотентен.
Перечислим теперь все кольца на группе А в предположении, что
тип t идемпотентен. Выберем в А такой элемент а Ф 0, что
характеристика % (а) состоит лишь из нулей и символов оо. Если R — кольцо
на группе Л, не являющееся нуль-кольцом, то а2 = та для некоторого
рационального числа т Ф 0. Без потери общности можно считать, что
т — положительное целое число, не делящееся ни на какое простое
число q, для которого на соответствующем месте в х (я) стоит оо;
иначе элемент а можно было бы заменить на некоторое его
рациональное кратное с той же характеристикой и нужным свойством. Пусть
{Qj}feJ — множество таких простых чисел, что на соответствующих
им местах в характеристике % (а) стоит оо [т. е. qjA = Л], и пусть
Z (<J7\ j 6 J) — подкольцо поля Q, порожденное всеми числами qj1.
Тогда существует кольцевой изоморфизм R ^ rtiL (gj1, / 6 J)-
Действительно, сразу видно, что отображение га ь-> /тгг, где г 6 Z (<77\ / 6 J),
биективно и сохраняет как сложение, так и умножение. Тем самым
мы доказали следующую теорему:
Теорема 121.1 (Редей и Селе [1], Бьюмонт и Цукерман [1]). Кольцо
без кручения ранга 1 либо является нуль-кольцом, либо изоморфно
некоторому подкольцу поля рациональных чисел, имеющему вид
mZ (qj1, /6J), где (m, ft)=l. A)
Группа без кручения ранга 1 не является нильгруппой тогда и
только тогда, когда ее тип идемпотентен. в
Проблема изоморфизма для колец на группах без кручения Л
ранга 1 легко может быть решена. Действительно, два кольца вида A)
изоморфны тогда и только тогда, когда множество {qj}fej простых
чисел и целое число т > 0 — одни и те же для обоих колец. Чтобы
доказать это, достаточно заметить, что числа qj определяются одной
лишь группой Л [а именно, условием q^A = А], в то время как
число т можно определить как натуральное число, взаимно простое со
всеми числами qjy для которого R2 = mR.
Если в классе периодических групп нильгруппы могут быть
охарактеризованы явным образом, то в классе групп без кручения описание
нильгрупп — весьма трудная проблема. Предыдущая теорема рас-
§ 121. Кольца без кручения
343
пространяется на случай вполне разложимых групп [см. упр. 6],
но снова недостаточность наших сведений о структуре групп без
кручения в общем случае делает, по-видимому, невозможной
удовлетворительную классификацию нильгрупп.
Все жесткие группы ранга г ^ 2 являются нильгруппами. Кольца
эндоморфизмов этих групп являются подкольцами поля Q, так что
наше утверждение сразу вытекает из следующего предложения:
Предложение 121.2. Пусть А —такая группа без кручения, что
все ее ненулевые эндоморфизмы являются мономорфизмами и А как
Е (А)-мод у ль содержит хотя бы два независимых элемента. Тогда
А — нильгруппа.
Пусть элементы а, Ь ? А независимы над кольцом Е (Л), т. е.
равенство оса = Р& при а, E ? Е (А) всегда влечет за собой а = 0 = р.
В произвольном кольце на группе А левое умножение Ка на элемент а
и правое умножение рь на элемент Ь являются такими эндоморфизмами
группы Л, что ръа = ХаЬу откуда по условию Ха =* 0 = р&. Мы
заключаем, что 0 = Хас = ас = рса для всех элементов с ? А; таким образом,
рс не является мономорфизмом и, значит, рс = 0 при всех с ? А.
Другими словами, А — нильгруппа. в
Обращаясь к вопросам, касающимся идеалов, приведем два
простых примера.
Предложение 121.3. Для произвольного максимального [левого]
идеала М кольца без кручения R либо (R/M)+ — делимая группа без кручения,
либо при некотором простом числе р идеал М содержит pR.
Пусть М — такой максимальный [левый] идеал кольца R, что
ни для какого простого числа р не выполняется включение pR s М.
Тогда при всяком простом числе р справедливо равенство pR + М =
= R, т. е. (R/M)+ — делимая группа. Группа (R/M)+ обязана быть
группой без кручения, так как иначе для некоторого простого числа р
имеет место строгое включение М с /7-1М. ¦
Предложение 121.4. Объединение N всех нильпотентных левых
идеалов [или левых нильидеалэв] кольца без кручения R является сер-
вантным в R.
Если L — нильпотентный левый идеал в R, то сервантная
подгруппа Ц, порожденная L, снова является нильпотентным идеалом в R.
Поскольку всякий элемент а 6 N порождает нильпотентный левый
идеал, первое утверждение справедливо. Для левых нильидеалов
доказатеиство еще проще. в
Можно получить более содержательные результаты, если
рассматривать кольца конечного ранга. Оставшаяся часть параграфа
посвящена случаю колец конечного ранга. Кроме того, мы будем
везде предполагать ассоциативность.
Из теоремы 119.1 непосредственно вытекает, что кольцо без
кручения R конечного ранга является подкольцом некоторой однозначно
344
Гл. XVII. Аддитивные группы колец
определенной конечномерной Q-алгебры А того же ранга, что и R.
О подкольцах же самого кольца R можно доказать
Предложение 121.5 (Бьюмонт и Пирс [3]). Кольцо без кручения R
конечного ранга содержит подкольцо В, аддитивная группа которого
свободна и имеет тот же ранг, что и R. Если R обладает единицей е,
то подкольцо В можно выбрать таким образом, чтобы оно содержало е.
Пусть аг, . . ., ат — максимальная независимая система
элементов в R, и пусть ataj = 2 tijkak, где tijk 6 Q. Если п — такое нату-
k
ральное число, что ntijk — целые числа при всех i, j, k, то легко
видеть, что подгруппа {Ьг, . . ., Ьт), где bt = nat, замкнута
относительно умножения и является, таким образом, аддитивной группой
некоторого подкольца В. Если е ? R, то элементы подкольца В0,
порожденного подкольцом В и единицей е, имеют вид ke + Ъ при
k 6 Z и b 6 В. Мы получаем, что В+, Во — конечно порожденные
группы. ¦
Пусть R —кольцо без кручения конечного ранга. Из теоремы 119.1
мы заключаем, что R+ — существенная подгруппа в некоторой
конечномерной Q-алгебре D. В силу хорошо известной основной теоремы
Веддербёрна о сепарабельных конечномерных алгебрах существует
разложение D = S Ф N векторного пространства D в прямую сумму
векторных пространств. Здесь S — полу простая подалгебра [и не
обязательно идеал] в алгебре D, а N — радикал алгебры D, обязательно
нильпотентный. Ввиду структурной теоремы Веддербёрна
подалгебру S можно разложить в прямую сумму конечного числа простых
алгебр, каждая из которых является полным кольцом матриц над
некоторым [в общем случае некоммутативным] телом. Мы ограничимся
рассмотрением случая, когда N = 0, т. е. D — полупростая алгебра.
Для ознакомления с общим случаем [требующим более изощренных
рассуждений] см. работу Бьюмонта и Пирса [3].
Следуя Бьюмонту и Пирсу [3], будем говорить, что кольцо без
кручения R является кольцом типа простой [полупростой] алгебры,
если его делимая оболочка D — простая [полупростая] Q-алгебра.
Аналогично, R — кольцо типа тела, если D — [необязательно
коммутативное] тело.
Лемма 121.6. Пусть R — кольцо без кручения типа простой
алгебры. Тогда R+ — однородная группа идемпотентного типа и ненулевые
идеалы кольца R имеют в R конечный индекс.
Для всякого элемента а Ф О из R элементы идеала А,
порожденного элементом а, имеют типы, большие или равные типу t (а). В силу
того, что D — простая алгебра, существует целое число т > 0, для
которого те ? А, где е — единица алгебры D. Таким образом, t (те) ^
^ t (а), а так как обратное неравенство очевидно, мы получаем, что
R+ — однородная группа без кручения. Ее тип идемпотентен,
поскольку элементы (теJ и те имеют один и тот же тип в R. Из нашего рас-
§ 121. Кольца без кручения
345
суждения следует, что mR ^ А, а раз факторкольцо R/mR конечна
при всех т Ф О, то всякий [главный] идеал имеет конечный индекс
в R. а
Теперь мы докажем основной результат этого параграфа.
Теорема 121.7 (Бьюмонт и Пирс [31). Пусть R — кольцо без
кручения конечного ранга типа полупростой алгебры. Тогда оно содержит
такое подкольцо S конечного индекса, что
S = Si © . . . Ф Sn {прямая сумма в
теоретико-кольцевом смысле),
где каждое из Si— полное кольцо матриц над некоторым кольцом F*
типа тела.
Можно считать без потери общности, что единица е
соответствующей лолу простой алгебры D принадлежит кольцу R, так как R имеет
конечный индекс в подкольце алгебры D, порожденном кольцом R
и единицей е. Запишем D = Di ф . . . © Dn> где Di —простые
алгебры. Пусть е = ег + • . . + еп, где et ? Di — ортогональные идем-
потенты. Если целое число т > О выбрано таким образом, что met 6 R
при всех i, и если а = ах + . . . + ап (at 6 Di), то mat = теьаг =
= (met) а ? R. Отсюда следует, что подкольцо Rx © . . . © Rn, где
Ri = Di П R» имеет конечный индекс в R. Тем самым мы свели
доказательство к случаю п = 1.
Итак, пусть R — кольцо типа простой алгебры, т. е. D — полное
кольцо матриц над некоторым телом К [содержащим Qe]. Пусть
ejh (/, &=1, ..., 5) —матричные единицы в D. Тогда К = ецОец —
алгебра, изоморфная телу К, и R П К — подкольцо кольца R, причем
К —его делимая оболочка. Пусть т> 0 — такое целое число, что
mejk?R при всех i, k\ положим Kjk = (meij) R (?neki)— это подкольца
алгебры К, и определим F= П К#. Для всякого элемента a^KHR
j,h
из того, что т4а = (те^) (теп) a (meih) {mekl) ? К#, следует, что F
имеет конечный индекс в KflR> значит, F — кольцо типа тела. Для
данной матрицы [xjk] порядка s над кольцом F мы можем записать
Xjh = {tneij)ajk(m>ehi) при некоторых ajk?R и, значит, eSixiheih —
= {mejj) ajk (mehk) ? R. Соответствие [xjk] >-> 2 ejixjkeik является изо-
морфизмом между полным кольцом F (s) матриц порядка s над
кольцом F и подкольцом S кольца R. Для произвольного элемента agR
получаем т6а = т6 2 епаеш = 2 еп \mk (теа)а (тем)] eik 6 S, таким
образом, S имеет конечный индекс в R. а
Упражнения
1. Пусть F — свободная группа и G — подгруппа группы F.
Существует такое кольцо R на группе F, что аддитивная группа
кольца R2 совпадает с G.
346
Гл. XVII. Аддитивные группы колец
2. а) Свободная группа конечного ранга допускает счетное число
попарно неизоморфных [ассоциативных] колец.
б) На свободной группе бесконечного ранга п] существует 2П
неизоморфных колец. [Указание: упр. 1.]
3. В кольцах без кручения левые аннуляторы элементов являются
левыми идеалами.
4. Привести пример кольца без кручения конечного ранга, в
котором радикал Джекобсона не является сервантным. Может ли радикал
Джекобсона иметь в кольце без кручения конечный индекс?
5. Описать строение колец на вполне разложимых однородных
группах идемпотентных типов.
6 (Ри и Уиснер [1]). (а) Пусть R, S, Т — рациональные группы,
содержащие целые числа. Положим (/?, 5, Т) — {q ? Q | qRS s Т).
Показать, что (/?, 5, Т) — подгруппа группы Q.
(б) Пусть А = ф Riy причем Rt — такие рациональные группы,
что (/?,-, Rj, Rh) = 0 при любом выборе индексов i, /, & ? /. Тогда
А — нильгруппа.
7. Существуют нильгруппы без кручения произвольного ранга.
8. Если Л, С — нильгруппы, то группа А ф С не обязана быть
нильгруппой.
9 (Селе [3]). Если группа А обладает эндоморфным образом, не
являющимся нильгруппой, то и сама группа А не является
нильгруппой.
10 (Корнер), (а) Показать, что группа из упр. 8 § 88 является
нильгруппой.
(б) Существуют однородные нильгруппы без кручения типа
@, . . ., 0, . . .)•
11 (Селе [7]). (а) Для заданного натурального числа п построить
группу А со следующим свойством: на группе А существует
ассоциативное кольцо R, такое, что НпФ 0, но никакое кольцо R, для которого
Rn+1 ф 0, не может быть на ней определено. [Указание: А = Rx ф . . .
• • • Ф Rn> гДе Rt — рациональная группа типа (iy . . ., if ...).]
(б) Если п> 1, то периодических групп с указанным свойством
не существует.
(в) Если п = 1, то группа А не может быть смешанной.
§ 122. Аддитивные группы артиновых колец
Мы переходим к изучению аддитивных структур колец
некоторых важных типов. Наше исследование начинается с рассмотрения
иллюстративного класса [левых] артиновых колец, т. е.
ассоциативных колец, в которых левые идеалы удовлетворяют условию
минимальности. [В действительности нам нигде не потребуется
ассоциативность, кроме как при доказательстве теоремы 122.7.] Основной
результат — необходимые и достаточные условия для того, чтобы
данная группа была аддитивной группой некоторого артинова кольца.
§ 122. Аддитивные группы артиновых колец
347
Для начала рассмотрим нилыютентные артиновы кольца R,
т. е. такие, что Rk = 0 при некотором целом k > 0. Аддитивная
структура этих колец легко может быть охарактеризована.
Предложение 122.1 (Селе [15]). Группа А является аддитивной
группой некоторого нильпотентного артинова кольца тогда и только
тогда, когда в ней выполняется условие минимальности для подгрупп.
Пусть R — нильпотентное артиново кольцо и Rk = 0. Всякая
подгруппа группы R+, содержащая R1+1 и содержащаяся в R1 (i =
= 1, 2, . . ., k — 1), является идеалом в R. Таким образом, условие
минимальности для подгрупп выполнено в группах R7Rl+1 (i =
= 1, . . ., k—1) и, значит, в группе R+, так как это условие
сохраняется при расширениях.
Обратно, если группа А удовлетворяет условию минимальности
для подгрупп, то нуль-кольцо на группе А нильпотентно и артиново. и
Отказавшись от условия нильпотентности, перейдем к изучению
артиновых колец в общем случае. Сначала докажем две
предварительные леммы.
Лемма 122.2. Произвольная\ненулевая делимая группа без кручения
является аддитивной группой некоторого' поля.
Аддитивная группа поля алгебраических расширений степени п
рационального поля Q — это делимая группа без кручения ранга п.
Если п — бесконечное кардинальное число, то с помощью «полевого»
присоединения п переменных к полю Q получим поле, аддитивная
группа которого без кручения, делима и имеет ранг п. в
Лемма 122.3. Пусть ш — бесконечное кардинальное число и А —
прямая сумма ш групп, изоморфных Z (pk). Тогда на группе А
существует ассоциативное и коммутативное кольцо R с единицей,
единственные идеалы которого — это R, /?R, . . ., pkR = 0.
Допустим, что уже существует кольцо R с указанными свойствами,
и покажем, как построить большее кольцо S с теми же свойствами.
Пусть S — кольцо R [[х]] всех формальных рядов Лорана с
переменной х и коэффициентами из R. Другими словами, кольцо S состоит из
элементов, имеющих вид
[/ (х) = а-тх~т + . . . +\ат1х'1 + а0 + агх + . . . + апхп + . . .
(ап е R).
Таким образом, аддитивная группа кольца S — это группа
s+= е r+ е П r+.
In=-1 п=0
Значит, снова S+ — прямая сумма групп, изоморфных Z (pk).
Покажем, что всякий главный идеал L = (/ (х)) кольца S равен одному из
348
Гл. XVII. Аддитивные группы колец
идеалов S, /?S, . . ., pkS = 0; тогда то же самое будет верно и для
произвольного идеала.
Сгруппировав члены ряда, коэффициенты которых делятся на
одну и ту же степень простого числа р, запишем образующий идеала
L^O в виде
/W = ^-ViW+...+p7sW @<s<*-1, Гш(х)ф0); A)
здесь ft(x) — ряд Лорана, коэффициенты которого не делятся на р.
Тогда L содержит pk~s-if(x) = pk-ifs(x)^0. Непосредственное
вычисление j [или ссылка на то, что S/pS— поле формальных рядов
Лорана над полем R/pR] дает такие элементы gs(x), hs(x)(iS, что
fs (х) gs (х) = 1 + phs (х). Отсюда рк'^8 (х) gs (х) = рк~* лежит в L, т. е.
A4SsL. Если sz^k-2, то />fc-7.+i(*)+P^M*) = P^/(*)eL
и в силу уже доказанного ph~2fs (х) 6 L, откуда pk~2S s L. Продолжая
этот процесс, получаем, что psS ^ L Так как f(x)?psS, то
справедливо требуемое равенство L = /?SS.
Чтобы доказать лемму 122.3, рассмотрим ^сначала общий случай
m^2No. Пусть {xjiei —множество коммутирующих переменных,
причем |/| = т. Положим R0 = Z!(pk) и определим R как объединение
[или прямой предел] колец формальных рядов Лорана R0 \[Х{^ ..., х\ ]],
взятое по всем конечным подмножествам {iu •.., in} множества /.
Тогда R+= ®Z{ph) и в силу полученного в первой части доказа-
m
тельства всякий ряд f{x\, ..., х\) порождает один из идеалов
R, /?R, ..., /R-0.
Восполним пробел и докажем наше утверждение для случая
>*о^Я1 < 2Ко. В кольце R0 [[х]] = S выберем подкольцо So, содержащее
единицу и имеющее мощность ш. Пусть Si —подкольцо кольца S,
порожденное элементами fk-i(x), ..., /SW, встречающимися в
разложении A), а также соответствующими элементами gs(x), hs(x) для
всех /(xNSo- Повторяя этот процесс с заменой So на Si, получаем
оо
кольцо S2» содержащее Si, и т. д. Положим R = U S*. Это кольцо
п=1
имеет мощность ш и сервантно в кольце S [если pg(x)?Sn, то
g"(*)€Sn+iL так что оно обладает требуемой аддитивной структурой.
Кольцо R, как показано выше, не имеет идеалов, кроме R, pR, ...
..., p*R = 0. в>
Теперь мы можем доказать результат, о котором говорили в начале
этого параграфа,— точную структурную теорему для аддитивных
групп артиновых колец.
Теорема 122.4 (Селе и Фукс [1]). Для того чтобы группа А была
аддитивной группой некоторого артинова кольца, необходимо и доста-
§ 122. Аддитивные группы ар типовых колец
349
точно, чтобы она имела вид
А= © Q ф © Z{pf) © ф Z(/?-j), где рр\т, т
щ конечное П * '
число
причем ш, п — произвольные кардинальные числа, am —
фиксированное целое число.
Пусть R — артиново кольцо. Ввиду условия минимальности
семейство идеалов nR (п = 1, 2, . . .) содержит минимальный идеал,
скажем, mR = L Для этого идеала при всех простых числах р
выполняется равенство pL = L, т. е. L — делимый идеал. Будучи таковым,
L — прямое слагаемое в R в групповом смысле, R+ = L+ © 7\ где
Т — некоторая подгруппа в R. Из равенств L+ = mR+ = mL+ ф mT
заключаем, что mT = 0, и, значит, R+ — прямая сумма делимой
группы L+ и ограниченной группы Г. Для завершения доказательства
необходимости нам осталось лишь показать, что периодическая часть
группы L+ имеет конечный ранг. Доказательство последнего
утверждения основывается на простом факте, достаточно интересном, чтобы
выделить его в отдельную лемму.
Лемма 122.5. Квазициклические подгруппы артинова кольца лежат
в аннуляторе кольца.
В произвольном кольце элементы конечного порядка, безусловно,
аннулируются элементами из максимальной делимой подгруппы.
Если R — артиново кольцо, то в силу полученного* в доказательстве
теоремы 122.4 мы видим, что периодическая часть группы L+
аннулируется как подгруппой L+, так и подгруппой Т. ш
Вернемся к доказательству теоремы 122.4. Из леммы 122.5 следует,
что подгруппы периодической части группы L+ — идеалы в R. Таким
образом, для них выполняется условие минимальности и, значит,
периодическая часть группы L+ должна иметь конечный ранг. Итак,
группа R+ имеет вид B).
Докажем достаточность. Пусть А — группа вида B). Соберем
вместе изоморфные слагаемые и запишем A=D®C®A1®...
. . . ф Ak, где D — делимая группа без кручения, С —
периодическая делимая группа, а каждое из Аь — прямая сумма циклических
групп одного и того же порядка, равного степени простого числа.
Если D Ф О, то, как показано в лемме 122.2, существует поле D на
группе D. Нуль-кольцо С над С является артиновым и по лемме 122.3
каждая группа A t допускает кольцевую структуру At с лишь конечным
числом левых идеалов. Прямая сумма R = D©C®Ai©...
. . . ф Aft полученных колец является артиновым кольцом, что и
требовалось. [Более того, мы видим, что на группе А вида B) существует
даже коммутативное артиново кольцо.] в
Первая часть приведенного доказательства останется верной, если
кольцо R заменить на какой-либо его левый идеал. Чтобы подчеркнуть
этот факт и в дальнейшем на него ссылаться, запишем его как
350
Гл. XVII. Аддитивные группы колец
Следствие 122.6. Аддитивная группа произвольного левого идеала
артинова кольца имеет вид B). а
Оставшаяся часть параграфа посвящена доказательству
некоторого теоретико-кольцевого результата. Не только его доказательство,
но и сама формулировка связаны с аддитивными группами.
Напомним просто формулируемый результат, сыгравший большую роль
в развитии теории артиновых колец и по-разному доказывавшийся многими
авторами. Лртиново кольцо R обладает левым единичным элементом. Приведем
вкратце доказательство этого факта. В силу предложения 122.1 кольцо R не
является нильпотентным; следовательно, в кольце R существует такой идемпо-
тент е Ф 0, что е + N — единичный элемент полупростого артинова кольца
R/N, где N — объединение всех нильпотентных левых идеалов кольца R. Для
произвольного элемента a ? R левый идеал, порожденный элементом а' =
= а — еа, делим, так что -ТH-'— паг + Ьа! при некоторых п ? Z, Ь ? R*
Отсюда Bм — 1) а' — —Ьа' и а' = са!', где с = —-Bд — I) Ь 6 Ri Так как
а' = са*у то еса! = еа! = 0, и, значит, а! = (с — ее) а' = . . . = (с — ес)та' при
всяком т > 1. Поскольку с — ее ? N, получаем а — еа = а' = 0.
Теорема 122.7 (Селе и Фукс [1], Сас [2]). Всякое артиново кольцо R
является теоретико-кольцевой прямой суммой некоторого артинова
кольца без кручения S и конечного числа артиновых р-колец Тр ,
соответствующих различным простым числам рг\
R = Sj0 TPl 0 ...\®JPh.
Периодическая часть Т кольца R является идеалом в R. Она
разлагается в прямую сумму своих р-компонент Тр, и ввиду теоремы 122.4
лишь конечное число этих компонент отлично от нуля. Снова по
теореме 122.4 мы можем записать R+ = D © Т+, где D — некоторая
делимая подгруппа без кручения группы R+. Факторкольцо R/T
является артиновым кольцом без кручения. Пусть е + Т — левая
единица в R/T, можно считать при этом, что е ? Ь. Положим S =eR.
Заметим, что так как е+Т — левая единица в R/T, то произвольный
элемент а 6 R имеет вид а = еа+ (а — еа), где еа 6 S, а — шбТ.
Далее, еа 6 Т возможно лишь в случае а 6 Т, а тогда еа = 0,
поскольку всякий элемент из делимой группы D аннулирует периодическую
часть Т. Следовательно, R = 8 ф Т, и остается лишь показать, что
S — левый идеал. Но последнее сразу вытекает из равенств TS =
= TeR = 0. ¦
Из теоремы 122.7 видно, что структурная теория артиновых колец
может быть сведена?к случаям артиновых колец без кручения и
артиновых /?-колец. Квазициклические подгруппы слабо влияют на
структуру артиновых колец; таким образом, среди артиновых р-колец
только ограниченные кольца представляют действительный интерес.
§ 123. Артиновы кольца без квазициклических подгрупп 351
Упражнения
1 (Селе [15]). Описать строение всех нильпотентных артиновых
колец.
2. Квазициклические подгруппы не обязаны лежать в аннуляторе
кольца, если кольцо не является артиновым.
3. Показать, что утверждения 122.4—122.6 дословно переносятся
на случай колец с условием минимальности для двусторонних
идеалов.
4. Пусть М — [не обязательно унитарный] левый модуль над
кольцом R, причем подмодули модуля М удовлетворяют условию
минимальности. Тогда М как абелева группа является прямой суммой
групп, изоморфных Q, Z (р°°) и Z (ph), где pk — делитель
фиксированного числа т.
5 (Сас [2]). (а) Группа А является аддитивной группой некоторого
кольца с условием минимальности для главных [левых] идеалов
тогда и только тогда, когда А — прямая сумма делимой группы и
периодической группы.
(б) Лемма 122.5 останется верной, если потребовать от кольца
условия минимальности для главных [левых] идеалов.
6. Для артиновых колец, не содержащих квазициклических
подгрупп, доказать теорему 122.7, убедившись, что R как кольцо является
прямой суммой своей периодической части и максимального" делимого
идеала кольца R.
7. Доказать следующее обобщение теоремы 122.7. Пусть R —
такое кольцо, что факторкольцо R/T, где Т — периодическая часть
кольца R, является делимым кольцом с односторонним единичным
элементом, и пусть Т как подгруппа выделяется в R прямым
слагаемым. Тогда R = S © Т для некоторого идеала S кольца R.
§ 123. Артиновы кольца без квазициклических подгрупп
В этом параграфе мы предполагаем рассмотреть два теоретико-
кольцевых вопроса, касающихся артиновых колец: когда артиново
кольцо R может быть вложено в некоторое артиново кольцо с единицей?
И второй: когда левые идеалы кольца R удовлетворяют также и условию
максимальности? Естественно, мы далеки от того, чтобы браться в этой,
книге за анализ теоретико-кольцевых проблем. Но рассмотрение
сформулированных вопросов оправдано тем фактом, что полные их
решения опираются на свойства аддитивной структуры кольца R.
Как известно, всякое кольцо может быть вложено в качестве
идеала в некоторое кольцо с единицей. Стандартная процедура
[присоединение целых чисел], примененная к артинову кольцу, не
приводит снова к артинову кольцу. На самом деле не всякое кольцо R
можно вложить в некоторое артиново кольцо с единицей.
Необходимое условие без труда извлекается из леммы 122.5. Артиновы кольца
с единицей не имеют ненулевых аннуляторов, значит, не содержат
352
Гл. XVII. Аддитивные группы колец
квазициклических подгрупп, что доказывает необходимость условий
следующей теоремы.
Теорема 123.1 (Селе и Фукс [1]). Артиново кольцо R может быть
вложено [в качестве идеала] в некоторое артиново кольцо с единицей
тогда и только тогда, когда R не содержит квазициклических
подгрупп.
Докажем достаточность. Пусть R — артиново кольцо, не
содержащее квазициклических подгрупп. Из теоремы 122.7 следует, что
R как кольцо является прямой суммой артинова кольца без
кручения S и конечного числа артиновых р-колец Тр. Таким образом,
достаточно доказать, что каждое из колец S и Тр может быть вложено как
идеал в некоторое артиново кольцо с единицей.
Чтобы избежать повторения рассуждений, мы выделяем часть
доказательства в виде леммы, на которую впоследствии будем не раз
ссылаться.
Лемма 123.2. Пусть А — ассоциативное и коммутативное кольцо
с единицей е и R — ассоциативное кольцо, являющееся в то же время
унитарной А-алгеброй. Множество пар (а, а) (а ? А, а 6 R) образует
ассоциативное кольцо [?д с единицей (е, 0) относительно операций:
(а, а) + (Р, Ъ) = (а + р, а + Ь)%
(а, а) (Р, Ь) = (ар, ab + Ра + ab)
при произвольных а, Р 6 А, а, й 6 R. С помощью вложения *-+ а @,а)
кольцо R можно отождествить с идеалом в Ra- Фактор кольцо
кольца RA по этому идеалу изоморфно А.
Доказательство состоит в непосредственной проверке аксиом
кольца и похоже на обычное присоединение единицы в случае А = Z. ¦
Перед тем как продолжить доказательство теоремы, заметим, что RA может
быть артиновым кольцом, только если А артиново, поскольку свойство артино-
вости сохраняется при эпиморфизмах. Мы будем руководствоваться этим
замечанием при выборе подходящего А в доказательстве теоремы 123.1;
Артиново кольцо без кручения S делимо в силу теоремы 122.4,
таким образом, его можно рассматривать как алгебру над полем Q.
Благодаря лемме 123.2достается показать, что кольцо Sq, получаемое
с помощью этой леммы, также является артиновым. Но это
действительно так, поскольку идеал S кольца Sq и факторкольцо Sq/S =
^ Q — артиновы кольца.
По теореме 122.4 из того, что в кольце R отсутствуют подгруппы,
изоморфные Z (р°°), вытекает, что /7-компоненты Тр ограниченны,
скажем, pkTp=0. Тогда Тр —алгебра над кольцом A = Z 1{рк) и,
значит, применима лемма 123.2. Получаемое кольцо является артиновым
как расширение артинова кольца с помощью конечного кольца. в
Перейдем ко второму вопросу, поставленному в начале параграфа.
Следующая теорема дает на него ответ.
§ 123. Артиновы кольца без квазициклических подгрупп 353
Теорема 123.3 (Селе и Фукс [1], Фукс 113]). Левые идеалы артинова
кольца удовлетворяют условию максимальности в том и только в том
случае, когда это кольцо не содержит квазициклических подгрупп.
Всякая квазициклическая подгруппа артинова кольца R
содержится^ аннуляторе N кольца R, а всякая подгруппа аннулятора является
идеалом. Квазициклические подгруппы нарушают условие
максимальности для подгрупп; следовательно, кольцо R не может содержать
квазициклических подгрупп, если его левые идеалы удовлетворяют
условию максимальности.
Обратно, пусть R — артиново кольцо, которое не содержит
подгрупп, изоморфных Z (/?°°). Прежде всего заметим, что никакое фактор-
кольцо R/L, где L — идеал в R, не может содержать ни одной группы
типа р°°. Действительно, рассмотрим разложение кольца R, указанное
в теореме 122.7. Идеал L является прямой суммой своих пересечений
со слагаемыми из этого разложения, и следствие 122.6 убеждает нас
в том, что кольцо R/L не имеет подгрупп типа р°°.
Левые идеалы произвольного кольца R удовлетворяют как
условию минимальности, так и условию максимальности тогда и только
тогда, когда R как левый [не обязательно унитарный] R-модуль имеет
конечную длину,— это элементарный результат. Итак, мы будем
стремиться к тому, чтобы найти конечный композиционный ряд левых
идеалов кольца R.
Из условия минимальности в кольце R вытекает, что при
некотором k выполняется равенство Nft = 0, где N — радикал [Джекобсона]
кольца R. Мы можем считать, что Nft_1 ф 0. Если N = R, то в силу
предложения 122.1 и отсутствия подгрупп типа р°° кольцо R
обязательно является конечным. Мы получаем, таким образом, право
перейти к рассмотрению случая, когда
R = N°=)NidN2^...=) N* zd Hk = 0
— строго убывающая цепочка идеалов. Факторы Mt = Nl"VN* (i =
= 1, . . ., k) аннулируются радикалом N, их можно рассматривать
как левые модули над полупростым артиновым кольцом R/N = R0-
Давно известно, что [не обязательно унитарный] модуль над
полупростым артиновым кольцом R0 разлагается в прямую сумму простых
[унитарных] Ro-модулей и подмодуля, аннулируемого кольцом R0.
В настоящем случае эта прямая сумма конечна, Mt = Stl ф . . .
. . . ф Su. ф Ut. Здесь Stj — простые Ro-модули и R0Ui = 0 при
всех i. В силу условия минимальности для подмодулей модуля Mt
то же условие выполняется для подгрупп в Ut. Как отмечалось выше,
модуль Ui ^ R/N1 не содержит квазициклических подгрупп,
следовательно, он должен быть конечным. В результате модуль Mt
обладает конечным композиционным рядом. Эти ряды можно соединить
и получить композиционный ряд для R. в
Как ни странно, отсутствие подгрупп типа р°° эквивалентно
простому условию чисто кольцевой природы: артиново кольцо не содержит
354
Гл. XVII. Аддитивные группы колец
квазициклических подгрупп тогда и только тогда, когда его аннулятор
конечен. Это сразу видно из леммы 122.5 и условия минимальности для
подгрупп в аннуляторе.
Воспользуемся отмеченным фактом и переформулируем
теорему 123.3 в терминах теории колец.
Следствие 123.4. В ассоциативном кольце условие минимальности
для левых идеалов влечет за собой условие максимальности для левых
идеалов тогда и только тогда, когда аннулятор этого кольца конечен. ш
Следующий, часто используемый результат Хопкинса тривиально
вытекает из предыдущих рассмотрений: артиново кольцо с односторонней единицей
нётерово [Hopkins С, Ann. of Math., 40 A939), 712—736]. Несмотря на то что
в следствии 123.4 не указывается явным образом связь с аддитивными
структурами, никакого чисто теоретико-кольцевого доказательства этого факта до сих пор
найдено не было.
Упражнения
1. Нильпотентное артиново кольцо R может быть вложено в
некоторое артиново кольцо с единицей тогда и только тогда, когда
кольцо R конечно.
2. (а) Для того чтобы артиново кольцо R было унитарной алгеброй
над некоторым коммутативным артиновым кольцом А, необходимо
и достаточно, чтобы кольцо R не содержало ни одной подгруппы
типа р°°.
(б) То же верно для произвольного кольца R, аддитивная группа
которого имеет вид B) из § 122.
3. Пусть Р — такое кольцевое свойство, что если идеал кольца L
обладает этим свойством, то кольца R и R/L одновременно либо
обладают, либо не обладают свойством Р. Доказать, что если R — кольцо
со свойством Р и в то же время — унитарная алгебра над некоторым
коммутативным кольцом А с единицей, которое также обладает
свойством Р, то R может быть вложено в качестве идеала в некоторое
кольцо с единицей с сохранением свойства Р.
4. В формулировке следствия 123.4 «аннулятор» можно заменить
на «правый аннулятор».
5. Пусть М — [не обязательно унитарный] модуль над некоторым
полупростым артиновым кольцом и подмодули модуля М
удовлетворяют условию минимальности. В модуле М выполнено условие
максимальности для подмодулей тогда и только тогда, когда он не содержит
квазициклических подгрупп.
§ 124. Аддитивные группы регулярных
и я-регулярных колец
Цель настоящего параграфа — изучить аддитивные структуры
регулярных и обобщенно регулярных колец. До сих пор не известно
никакой полной характеризации групп, которые служат аддитивными
группами регулярных колец, однако значительное количество сведе-
§ J 24. Аддитивные группы регулярных и л-регулярных колец 355
нин по этому поводу может быть получено. [В этом параграфе мы не
используем ассоциативность. ]
Пусть R — регулярное кольцо [в смысле фон Неймана,
определение см. в § 112]. Объединение всех квазициклических подгрупп
кольца R является идеалом в R, умножение в нем тривиально.
Следовательно, для элемента а из этого идеала элемент х ? R, при котором
аха = а, существует лишь в случае а = 0. Таким образом, R не
содержит квазициклических подгрупп. Далее, если pk \ я, то p2h \ аха = ау
откуда видно, что элемент а 6 R либо не делится на простое число ру
либо делится на все степени числа р. Мы получаем, что регулярные
кольца без кручения делимы, а /^-компоненты ТР произвольного
регулярного кольца R являются элементарными р-группами. Будучи
элементарной, /^-компонента выделяется в R прямым слагаемым,
R«TP0Rp. A)
Более того, A) — это разложение R как кольца, так как Rp является
р-делимым: для произвольного элемента Ъ 6 Rp элемент рЪ делится
на р2у а раз Rp не содержит элементов порядка р, то и сам элемент Ь
должен делиться на р.
Заметим, что если q — простое число, отличное от /?, то
компонента Tq содержится в Rp, и повторное применение разложения A) дает
прямую сумму колец
R == TPl 0 ... 0 TPk © R0. B)
Здесь /?!,..., pk — различные простые числа, и умножения на них
являются автоморфизмами кольца R0.
Рассмотрим теперь D = f|Rp' очевидно, что это идеал без круче-
р
ния. Тем же способом, что и в доказательстве предложения 112.4,.
можно получить делимость идеала D. Запишем R+ = D+©C, где
С —редуцированная группа, содержащая Т=0ТР. Для любого*
v
простого числа р разложение A) дает проекцию гр: R -»- Тр, причем
Л Кеггр= n Rp = D. В результате мы получаем, что R/D как кольца
р v
изоморфно прямой сумме колец Imep=Tp. Наконец, R/T —делимое
кольцо как регулярное кольцо без кручения, и, значит, его сервант-
ная подгруппа С/Т+ также делима. Таким образом, доказана
Теорема 124.1 (Фукс [6]). Аддитивная группа регулярного кольца
является прямой суммой некоторой делимой группы без кручения
и такой редуцированной группы С, что
т=©тР^с^ПтР,
V V
где Тр — элементарные р-группы, а С/Т — делимая группа без
кручения, в
Неизвестно, какие из групп с указанной аддитивной структурой допускают
структуру регулярного кольца. Для групп С = 0 Тр или С = П Тр ответ
v v
366
Гл. XVII. Аддитивные группы колец
положительный: надо взять поля на каждой из групп Тр и на делимой части
[являющейся группой без кручения]*
Резко отличаясь от аддитивных групп регулярных колец,
аддитивные группы m-регулярных (т ^ 2) или я-регулярных [слева или
справа] колец могут быть произвольными, поскольку нуль-кольца
обладают нужными свойствами. Ситуация, однако, существенно
изменится, если предположить в m-регулярных и т. п. кольцах
существование единичного элемента или даже существование левых идеалов
с единицей.
Теорема 124.2 (Фукс и Рангасвами [1]). Пусть S — [левый] идеал
в п-регулярном кольце R с единицей 1. Тогда
1) для любого простого числа р примарная компонента Sp
кольца S ограниченна и S как кольцо разлагается в прямую сумму
S = SP © pmS при некотором т > 0;
2) если J — периодическая часть кольца S, то кольцо SIT делимо.
В силу я-регулярности кольца R имеем (р• 1 )тх(/? • 1 )т = (/? • 1)т,
т. е. р2тх = рт-1 при некоторых x?R и целом числе га>0.
Следовательно, для любого элемента agS выполняется р2тха = рта и,
значит, элемент рта делится на р2т в левом идеале, порожденном
элементом а. Мы заключаем, что pm+iS = pmS, таким образом,
кольцо pmS р-делимо. В частности, если элемент a?SP имеет порядок
pk, то при некотором #6R выполняется pma = pk(ya) = у(pka)~0,
откуда pmSP =* 0. Получаем S+ = Sp ф С, где С — некоторая
подгруппа кольца S. Заметим, что группа pmS+ = ртС является /?-дели-
мой и деление на р в группе С однозначно. Таким образом, С = ртС
и S = Sp Ф pmS — прямая сумма в теоретико-кольцевом смысле.
Условие 1) доказано. Для доказательства условия 2) надо лишь заметить,
что кольцо S/T является эпиморфным образом любого из р-делимых
колец pmS. ¦
В следующем параграфе мы докажем теорему, из которой будет видно, что
утверждение, обратное к теореме 124.2, также верно.
Теорема 124.2 останется верной, если вместо я-регулярности рассмотреть
какой-либо другой вид обобщенной регулярности. [См. упр. 4.]
Необходимость условий следующего результата доказывается с
помощью рассуждений, весьма похожих на доказательство теоремы 124.1,
надо также использовать здесь теорему 124.2. Достаточность условий
можно получить из теоремы 125.4.
Следствие 124.3. Группа А служит аддитивной группой некоторого
jt-регулярного кольца, являющегося {левым] идеалом в некотором
п-регулярном кольце с единицей, тогда и только тогда, когда А — прямая
сумма некоторой делимой группы без кручения и некоторой
редуцированной группы С, для которой Г = ф Тр с С с [J Гр, где Тр —
р v
ограниченные группы, а С/Т — делимая группа без кручения.
Предвосхищая теорему 125.4, заметим, что указанную группу
достаточно снабдить тривиальным умножением. в
§ 125. Вложения в регулярные и тс-регулярные кольца с единицей 357
Упражнения
1. Группа А служит аддитивной группой некоторого булева кольца
[т. е. кольца, каждый элемент которого идемпотентен] тогда и только
тогда, когда А является элементарной 2-группой.
2. (а) Группа А изоморфна аддитивной группе некоторого нётеро-
ва слева регулярного кольца тогда и только тогда, когда она является
прямой суммой конечного числа элементарных р-групп и некоторой
делимой группы без кручения.
(б) Получить аналогичный результат для нётеровых слева я-регу-
лярных колец.
3. Если группа А служит аддитивной группой некоторого
регулярного кольца, то на группе А существует регулярное кольцо,
разлагающееся как кольцо в прямую сумму некоторого делимого
кольца и некоторого редуцированного регулярного кольца.
4. (а) Показать, что теорема 124.2 дословно переносится на случай
левого или правого я-регулярного кольца R с единицей.
(б) Если R есть /л-регулярное [слева, справа] кольцо из
теоремы 124.2, то условие 1) выполняется как раз для этого т.
5. Доказать, что условия теоремы 124.2 выполняются в я-регу-
лярном кольце R для левого идеала S, порожденного элементом а,
как только существует такой идемпотент е ? R, что еа = а.
6. Аддитивная группа идеала некоторого m-регулярного кольца
с единицей не обязана быть аддитивной группой произвольного я-регу-
лярного кольца с единицей.
7. Как выглядит следствие 124.3, сформулированное для /л-регу-
лярных колец?
8. Периодическая часть бэровского кольца [см. § 112, упр. 13]
является элементарной группой.
§ 125. Вложения в регулярные
и я-регулярные кольца с единицей
С помощью полученных сведений об аддитивных структурах
регулярных и обобщенно регулярных колец мы сможем решить проблему
вложения кольца в кольцо с единицей с сохранением регулярности
или л-регулярности. В предлагаемом решении проблемы
существенную роль играет лемма 123.2, при этом мы будем использовать идею,
ясно выраженную в упр. 3 из § 123. В течение этого параграфа кольца
будут считаться ассоциативными.
Сначала исследуем случай регулярных колец. Мы уделяем им
особое внимание частично из-за их исключительной важности,
частично потому, что эти кольца можно будет рассмотреть без
дополнительных предположений. Прежде всего построим коммутативное
регулярное кольцо М с единицей. Поступим следующим образом. Для каждого
простого числа р возьмем простое поле FP характеристики р; пусть
358
Гл. XVII. Аддитивные группы колец
гр — единица поля FP. Образуем F = \\fp — коммутативное регу-
р
лярное кольцо с единицей е = (..., 8Р, ..[.). Факторкольцо F/ 0 Fp
р
является делимым кольцом без кручения. Сервантная подгруппа этого
кольца, порожденная смежным классом, содержащим е,— это
некоторое кольцо M/®FP, изоморфное полю Q. Таким образом, мы полу-
р
чили подкольцо М кольца F, содержащее е, а также содержащее все
Fp. Кольцо М регулярно: оно содержит регулярное кольцо ф FP
р
в качестве идеала, факторкольцо по которому регулярно.
Теорема 125.1 (Фукс и Гальперин [1]). Всякое регулярное кольцо
является унитарной М-алгеброй.
Пусть R — регулярное кольцо. Определим произведение \ia
элементов |х 6 М и а 6 R. Для этого запишем \i = (..., \ipy . . .), где
Ит> ? FP, и заметим, что по построению кольца М существует
рациональное число тп'1 (т, п — целые числа, п Ф 0), для которого п\кр =
= т mod р при почти всех простых числах р. Выберем конечное
множество {/?!, . . ., ph} простых чисел, которое содержит все простые
делители чисел типик тому же простые числа ру для которых п\хр ф
Ф т mod р. Для выбранного множества простых чисел мы получаем
следующее разложение М как кольца в прямую сумму колец:
M = FPle ... е FPfee м0. (i)
Здесь Мо — такой идеал кольца М, что умножение на простое число
pi (i= 1, .. ,,k) является автоморфизмом в кольце Мо- Таким
образом, fx = \iPi -f ... + \iPk + \i0, где \ip. 6 FP., pt0 6 M0. В соответствии
с разложением A) кольцо R имеет разложение B) из § 124 и мы
можем записать а = aPi + ... + aPk + a0l где ар. 6 Тр., Oq 6 Ro»
Теперь можно определить произведение
fxa= \iPiaPi + ... + \iVk<hk + tnn'ia0. B)
Так как Тр. — векторное пространство над полем Fp?, то
произведение \ip.ap. имеет смысл. Поскольку умножение на п является
автоморфизмом в кольце R0, имеет смысл и произведение т/г_1а0. Естественно,
мы должны убедиться в том, что произведение \ia, определенное
формулой B), не изменится, если выбрать большее множество простых
чисел или записать тп~1 в другой форме. Но это сразу же следует из
того, как мы выбираем простые числа — каждое из \ip при р (J {р1у . . .
. . . ypk} должно действовать на Fp как умножение на тгг1. Мы
предоставляем читателю проверить аксиомы алгебры: \ia 6 R, И* {а + Ь) =
= \ia + \ib, (\i + v) a = \ла + va, (\iv) a = \i (va), \i (ab) = (\ia) b =
= a (\ib) и га = а для произвольных \i, vfM и a, fr 6 R- ¦
Теперь легко доказать следующую теорему»
§ 125. Вложения в регулярные и п-регулярные кольца с единицей 359
Теорема 125.2 (Фукс и Гальперин [1]). Всякое регулярное кольцо
может быть вложено в качестве идеала в некоторое регулярное кольцо
с единицей.
Пусть дано регулярное кольцо R. Из теоремы 125.1 мы знаем,
что это унитарная М-алгебра, где М — коммутативное регулярное
кольцо, определенное выше. Лемма 123.2 дает вложение кольца R
в качестве идеала в кольцо Rm- Поскольку оба кольца R и Rm/R = М
регулярны, кольцо Rm также является регулярным. в
Перейдем к рассмотрению я-регулярных колец. Ключевым
моментом в доказательстве теоремы вложения здесь также является
доказательство существования коммутативного я-регулярного кольца с
единицей, такого, что данное кольцо является унитарной алгеброй над
ним. В общем случае такое кольцо не обязано существовать. На самом
деле условия 1) и 2) из теоремы 124.2 необходимы и достаточны для
существования такого кольца. С другой стороны, эти условия
позволяют нам доказать аналог теоремы 125.1.
Теорема 125.3 (Фукс и Рангасвами [1]). Пусть R —такое
иррегулярное кольцо, что его р-компоненты Тр ограниченны, а факторкольцо
R/T {где Т= © Тр) делимо. Тогда существует такое коммутативное
v
п-регулярное кольцо N с единицей, что R является унитарной Ы-алге-
брой.
Теперь нам уже не удастся построить универсальное я-регуляр-
ное кольцо N [как кольцо М из теоремы 125.1], кольцо N зависит
от R. Если R имеет лишь конечное число ненулевых /?-компонент
Тр, то в силу их ограниченности мы получаем R = TPl © ...
... ф TVh ф Ro» где R0 — делимое кольцо без кручения. Очевидно,
кольцо N= Z/ (р[1) Ф ... ф Z/ (pkh) Ф Q будет искомым, если выбрать
такие показатели степени li9 чтобы выполнялось /?^ТР. = 0. [Можно
опустить Q, если R0 = 0.]
Если R обладает бесконечным числом ненулевых р-компонент Тр,
то определим кольцо N следующим образом. Выбрав целые числа U
так, чтобы /уТр. = 0, образуем прямое произведение N' колец
7-1{р\1), единицы которых обозначим через ер.. Определим теперь
N как подкольцо кольца N', которое содержит прямую сумму колец
7.1 (р\1) и при факторизации по этой прямой сумме отображается на
сервантное подкольцо, изоморфное кольцу Q и порожденное смежным
классом, содержащим единицу 8 = (.". ., ер., .. .). Из того что N —
коммутативное кольцо, а кольца ф 2.1{р\1) и Q я-регулярны, сразу
следует, что N действительно является я-регулярным кольцом.
Произведение va для элементов v g N и а 6 R может быть определено тем же
способом, что и в формуле B). При этом используется разложение
кольца N, аналогичное разложению A), и соответствующее разложе-
360
Гл. XVII. Аддитивные группы колец
ние кольца R [мы выделяем все те /^-компоненты, которые по тем или
иным причинам являются исключительными]. Следует добавить, что
благодаря нашим условиям мы можем не только записать R = TPl Ф . - •
. . . ® Tpk ф R0 Для всякого конечного множества {pi9 . . ., pk}
простых чисел, но и утверждать, что кольцо R0 является ргделимым при
I = 1, . . ., ft. ¦
Следующая теорема дает полное решение проблемы вложения для
л-регулярных колец.
Теорема 125.4 (Фукс и Рангасвами [1]). к-регулярное кольцо R
может быть вложено в качестве идеала в некоторое п-регулярное
кольцо с единицей в том и только в том случае, когда
1) для каждого простого числа р примарная компонента Тр
кольца R ограниченна;
2) для периодической части Т = ф Тр кольца R факторкольцо
v
R/T делимо.
Необходимость условий 1) и 2) следует из теоремы 124.2. Докажем
достаточность. Пусть R — это зт-регулярное кольцо, удовлетворяющее
условиям 1) и 2). Для начала построим кольцо N, как описано в
доказательстве теоремы 125.3, и образуем кольцо R^ в соответствии с
леммой 123.2. Это кольцо R^ содержит кольцо [изоморфное кольцу] R
в качестве идеала, причем R^/R ^ N. Доказательство теоремы будет
завершено, как только мы установим я-регулярность кольца Rjsj.
Для этого нам потребуются дополнительные рассуждения.
Мы утверждаем, что достаточно доказать, что для любого элемента
и ? Rn существуют целое число т и элемент v 6 Rn> при которых
umv = vum и umvum — ит 6 R- Действительно, в силу я-регулярно-
сти кольца R мы сможем тогда найти целое число п>0 и элемент
х 6 R, Для которых
(umvum - ит)п х {umvum — ит)п = (umvum — ит)п,
откуда получим итп wumn {vum — l)n - итп (vum — 1)п при
некотором w 6 Rn- Умножим последнее равенство справа на элемент
\{риш)п-х + (vum)n-2 + . . . + vum + 1]п. Правая часть станет равной
итп l(vum)n — 1]п. Раскрыв скобки, видим, что теперь в правой части
каждое слагаемое, за исключением последнего, хотя бы дважды
содержит множителем элемент итп. Таким образом, для некоторого у 6 Rn
77) Ti 7Y1TL ТНЛП
мы получаем равенство и уи = и .
Элементы из Rn имеют вид и = (v, а), где v 6 N и а 6 R. В силу
я-регулярности кольца N мы можем найти такое число т>0и такой
элемент \i 6 N, что vm\ivm = vm. Выбрав v = (|х, 0), имеем uv = vu
и umvum — um 6 R. По доказанному выше отсюда следует
я-регулярность кольца Rn- ¦
§ 126. Аддитивные группы нётеровых колец 361
Упражнения
1. Показать, что выбор кольца М из теоремы 125.1 является
наилучшим в следующем смысле. Если М* — какое-нибудь коммутативное
регулярное кольцо с единицей, над которым всякое регулярное
кольцо R является унитарной М*-алгеброй, то существует такой
сохраняющий единицу эпиморфизм ср: М* ->¦ М, что \i*a = ф (ц,*) а при любых
|i* 6 М* и а 6 R.
2. Пусть М* — регулярное кольцо с единицей, обладающее
сохраняющим единицу эпиморфизмом на всякое простое поле, но никакое
собственное регулярное подкольцо кольца М*, содержащее единицу,
этим свойством не обладает. Тогда существует указанный эпиморфизм
кольца М* на кольцо М.
3. Кольцо N из теоремы 125.3 выбрать для данного кольца R
наилучшим образом в смысле упр. 1.
4. (а) Проверить, что условия 1) и 2) из теоремы 125.4 для
регулярных колец R выполняются автоматически.
(б) Показать, что артиново кольцо удовлетворяет условиям 1)
и 2) из теоремы 125.4 в том и только в том случае, когда не содержит
квазициклических подгрупп.
5. Пусть R — некоторое m-регулярное кольцо, причем рпТр = О
для всех простых чисел р, где п не зависит от /?, a R/T — делимое
кольцо.
(а) Кольцо N из теоремы 125.3 может быть выбрано я-регулярным.
(б) Кольцо R может быть вложено в качестве идеала в некоторое
тя-регулярное кольцо с единицей.
(в) Привести пример, показывающий, что не всякое т-регулярное
кольцо R, удовлетворяющее условиям 1) и 2), может быть вложено
в качестве идеала в некоторое m-регулярное кольцо с единицей.
6. Всякое делимое m-регулярное кольцо без кручения является
идеалом в некотором m-регулярном кольце с единицей.
7. Показать, что теоремы 125.3 и 125.4 справедливы для случая
левой [и правой] я-регулярности.
§ 126. Аддитивные группы нётеровых колец и кольца
с ограниченным условием минимальности
Напомним, что кольцо называется нётеровым [слева], если его
левые идеалы удовлетворяют условию максимальности. Мы получим
некоторые сведения об аддитивных группах нётеровых колец; полное
описание будет дано с точностью до случая групп без кручения.
Рассмотрим сначала нильпотентные кольца. Следующий результат
двойствен предложению 122.1.
Предложение 126.1 (Селе [15]). Группа А является аддитивной
группой некоторого нильпотентного нётерова кольца тогда и только
тогда, когда А — конечно порожденная группа.
362
Гл. XVII. Аддитивные группы колец
Пусть R — такое нётерово кольцо, что Rk = О для некоторого
k ^ 1. Подгруппы, лежащие между Ri+1 и R* (i = 1, . . ., k — 1),
являются идеалами в кольце R, таким образом, они удовлетворяют
условию максимальности, или, что то же самое, аддитивные группы
колец RVRt+1 являются конечно порожденными. Следовательно,
и R+ — конечно порожденная группа.
Обратно, нуль-кольцо на конечно порожденной группе является
нётеровым. а
Возвращаясь к общему случаю, сконцентрируем наше внимание
на периодической части Т нётерова кольца R. Мы знаем, что R [п] —
идеалы в R при всех п > 0. Таким образом, среди них найдется
максимальный, скажем, R [т]. Тогда обязательно Т = R im], тТ = 0
и, значит, R+ = Т+ © С, где С — некоторая подгруппа без кручения
группы R+. Группа С изоморфна аддитивной группе нётерова
кольца R/T, таким образом, мы получаем следующий результат:
Предложение 126.2. Группа А является аддитивной группой
некоторого нётерова кольца в том и только в том случае, когда А = Т ф С,
где Т — ограниченная группа, а С — группа без кручения, допускающая
некоторую структуру нётерова кольца.
На ограниченной группе всегда существует нётерово кольцо —это
сразу следует из леммы 122.3. а
Ввиду предложения 126.2 при изучении аддитивных групп нёте-
ровых колец можно ограничиться случаем групп без кручения.
Дальнейшее сведение к случаю редуцированных групп без кручения
тривиально, надо лишь заметить, что на произвольной делимой группе
без кручения существует нётерово кольцо [а именно поле].
К настоящему времени наши сведения о нётеровых кольцах R
на группах без кручения А не выходят за пределы нескольких
элементарных замечаний.
A) Для всякого левого идеала L кольца R имеет место вложение
ftL* S L при некотором п > 0. Здесь Ц — сервантная подгруппа,
порожденная подгруппой L+.
Это сразу следует из того факта, что в L*/L должно выполняться
условие обрыва возрастающих цепей R-подмодулей, значит, (L*/L)+ —
ограниченная группа»!
Б) Типы элементов из А удовлетворяют условию минимальности.
Действительно, убывающей цепочке tx > . . . > tn > . . . типов
элементов из А соответствует возрастающая цепочка A (tt) с . . .
. . . a A (tn) cz . . . идеалов в R.
B) Минимальные типы элементов из А являются идемпотентными.
Пусть а 6 А — элемент минимального типа t. Исключив
тривиальный случай, будем считать, что t Ф @, . . ., 0, . .). В силу
п. А) для левого идеала L, порожденного элементом а, подгруппа
L П (аК имеет конечный индекс в группе (а >„,. Следовательно, L ф
§ 126. Аддитивные группы нётеровых колец
363
Ф (а) и элемент а не лежит в правом аннуляторе кольца R. Таким
образом, для некоторого г 6 R выполняется О Ф га 6 (а)т. Мы
получаем t = t (га) ^ t (г), откуда t (г) = t и t(r a)^t2.
В теории коммутативных идеалов наряду с другими условиями
используется так называемое ограниченное условие минимальности для
характеризации дедекиндовых областей целостности. Кольца с этим
условием будут предметом дальнейших рассмотрений в нашем
исследовании аддитивных групп.
Напомним, что кольцо R удовлетворяет ограниченному условию
минимальности, если обычное условие минимальности выполняется
во всяком факторкольце кольца R по ненулевому идеалу. Мы хотим
получить некоторые сведения об аддитивных группах таких колец.
Если кольпо R содержит элементы конечного порядка, то для
некоторого простого числа р в нем имеется ненулевой идеал R [р]
и, значит, R/R [р] — артиново кольцо. Из теоремы 122.4 видно, что
для некоторого целого числа т кольцо mR делимо. Таким образом,
аддитивная группа кольца R должна быть группой вида B) из § 122.
Тем самым установлена справедливость первой части следующей
теоремы:
Теорема 126.3 (Фукс [16]). Группа А, обладающая элементами
конечного порядка, является аддитивной группой некоторого кольца
с ограниченным условием минимальности тогда и только тогда, когда
она имеет вид B) из § 122.
Аддитивная группа кольца без кручения с ограниченным условием
минимальности является однородной группой идемпотентного типа.
Пусть R —кольцо без кручения с ограниченным условием
минимальности. Если максимальный делимый идеал кольца R отличен
от нуля, то в силу теоремы 122.4 факторкольцо кольца R по этому
идеалу является делимым, следовательно, и само кольцо R делимо.
Пусть R редуцированно. Рассмотрим идеалы вида L = П /^R, где
/?j* пробегает некоторое бесконечное множество степеней простых
чисел. Либо L = 0, либо R/L — артиново кольцо. Тем самым
исключается возможность существования в R элементов с характеристиками
(k±, . . ., kn, . . .), где бесконечное число kn — натуральные числа.
Другими словами, типы всех элементов из R являются идемпотентны-
ми. Более того, если некоторый ненулевой элемент а ? R делится на
все степени простого числа р, то этим же свойством обладают и
остальные элементы из R, так как иначе мы получили бы строго убывающую
цепочку идеалов R zd pR =э . . . zd phR с ненулевым пересечением.
Однородность группы R+ теперь очевидна. в
Остается открытым вопрос, какие из однородных групп без
кручения идемпотентных типов допускают кольца с ограниченным условием
минимальности
364
Гл. XVII. Аддитивные группы колец
Упражнения
1. Привести пример нётерова кольца R, аддитивная группа
которого свободна и имеет ранг х0. [Указание: Z [х]А
2. Пользуясь методом доказательства леммы 122.3, получить
нётерово кольцо мощности континуума, аддитивная группа которого
является группой без кручения, однородна и имеет тип @, . . ., О, . . .).
3. Аддитивная группа аннулятора произвольного нётерова кольца
является конечно порожденной.
4. Пусть R — нётерово кольцо без кручения. Показать, что оно
содержит такой идеал А, что А+ — конечно порожденная группа
и R/A — нётерово кольцо с нулевым аннулятором. [Указание: взять
аннулятор Ai кольца R, затем аннулятор кольца R/Ai и т. д.]
5. Пусть R — нётерово кольцо без кручения.
(а) Если Р — рациональная группа идемпотентного типа и 1 6 Р,
то группа R+ ® Р допускает структуру нётерова кольца S, причем
естественное отображение а *-> а ® 1 превращает R в подкольцо
кольца S.
(б) Q-алгебра на делимой оболочке группы R+, индуцирующая
на R его обычную кольцевую структуру, также является нётеровой.
6. (а) Всякое нётерово кольцо может быть вложено в качестве
идеала в некоторое нётерово кольцо с единицей.
(б) Существует вложение указанного рода, при котором
сохраняется отсутствие элементов конечного порядка и однородность.
7. Группа без кручения ранга 1 является аддитивной группой
некоторого кольца с ограниченным условием минимальности в том и только
в том случае, когда она имеет идемпотентный тип.
8. Привести пример однородной группы без кручения
идемпотентного типа, которая не является аддитивной группой никакого кольца
с ограниченным условием минимальности. [Указание: показать, что
группа из примера 8 в § 88 является нильгруппой.]
9. Пусть R — кольцо с ограниченным условием минимальности,
имеющее элементы конечного порядка. Произвольный левый идеал
кольца R обладает аддитивной группой вида B) из § 122.
Замечания
Проблема определения кольцевых структур на аддитивной группе была
поставлена Бьюмонтом [2], который рассматривал кольца на прямых суммах
циклических групп. Приблизительно в то же время Селе [3] исследовал кольца
с нулевым умножением, Редей и Селе [1], а также Бьюмонт и Цукерман [1]
описали кольца на подгруппах группы рациональных чисел. Более
систематическое изучение построения колец на группе впервые было проведено в работе
Фукса [6], здесь была выявлена фундаментальная роль базисных подгрупп.
Бьюмонт и Пирс [3], [5] получили более удовлетворительные результаты для
групп без кручения конечного ранга. В их работах был установлен интересный
аналог основной теоремы Веддербёрна о конечномерных алгебрах.
Лишь двадцать лет назад стало ясно, что аддитивная группа кольца может
дать некоторую интересную информацию о самом кольце. Программа система-
Замечания
365
тического исследования аддитивных структур колец была сформулирована Селе,
который начал рассмотрение с нильпотентных колец [15]. Преждевременная
смерть помешала ему закончить изучение аддитивных групп артиновых колец,
его работа по этому вопросу была завершена автором; см. Селе и Фукс [1].
Теорема 122.4 дает хорошее описание аддитивных групп артиновых колец [о другом
подходе см. Kertesz A., Vorlesungen uber Artinsche Ringe, Akademiai Kiado,
Budapest, 1968]. Результаты о регулярных и я-регулярных кольцах уже не так
хороши [Фукс [16], Фукс и Рангасвами [1]].
Было бы серьезной ошибкой ожидать слишком многого от изучения аддитив»
ных структур колец постольку, поскольку речь идет о теории колец. Во многих
важных случаях аддитивные структуры слишком тривиальны [например,
делимые группы без кручения или элементарные р-группы], чтобы дать какую-нибудь
содержательную информацию о кольцевой структуре. Это особенно относится
к группам без кручения. В этом случае тесная связь между аддитивной и
мультипликативной структурами может существовать, только если строение
аддитивной группы достаточно сложно. Следует помнить, однако, что, даже если
аддитивная группа легко описывается, возникает ряд весьма интересных вопросов.
Например, не известно никакого несчетного нётерова кольца, аддитивная группа
которого свободна.
Проблема 93. Какие группы допускают кольцевую
структуру, единственные идеалы в которой — это идеалы, описанные в
теореме 117.2?
Проблема 94. Исследовать «абсолютные» аннуляторы,
«абсолютные» радикалы Джекобсона и т. д. для группы А. [Под абсолютным
аннулятором мы подразумеваем множество элементов из Л, лежащих
в аннуляторе всякого кольца на группе А.]
Проблема 95. Дать обзор колец на сильно неразложимых
группах без кручения конечного ранга.
Проблема 96. Охарактеризовать аддитивные группы
регулярных колец, локальных колец, и т. д.
Проблема 97. Существуют ли нётеровы кольца со
свободными аддитивными группами больших мощностей?
Глава XVIII
ГРУППЫ ОБРАТИМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В КОЛЬЦАХ
Важной областью применения абелевых групп является теория
мультипликативных групп полей или, более общо, групп обратимых элементов в
коммутативных и ассоциативных кольцах с единицей. [В этой главе все встречающиеся
кольца мы будем предполагать ассоциативными и коммутативными.]
До последнего времени этой области уделялось довольно мало внимания.
В наших исследованиях мы в основном займемся двумя аспектами теории:
получением информации о мультипликативных группах специальных полей и
группах обратимых элементов в некоторых кольцах и нахождением условий на
группу, при которых она является группой обратимых элементов подходящего
кольца.
Мы собираемся охарактеризовать мультипликативные группы простых
полей и их конечных алгебраических расширений, алгебраически и вещественно
замкнутых полей и полей р-адических чисел. Что касается групп обратимых
элементов, то мы здесь в общем случае можем сделать только некоторые
замечания. Будет сравнительно легко проверить, что для любой группы Л группа
Z B) X Л является группой обратимых элементов некоторого кольца*
§ 127. Мультипликативные группы полей
Изучение мультипликативных групп обратимых элементов мы
начнем с важного частного случая, когда кольцо является полем.
Естественно было бы ожидать, что основную роль в строении
мультипликативной группы поля будет играть характеристика этого поля.
Однако, как мы узнаем, здесь до сих пор были обнаружены лишь
незначительные различия, за исключением случая абсолютных
алгебраических расширений.
С этого момента мы будем рассматривать только поля.
Мультипликативную группу поля К будем обозначать через Кх; как множество
Кх = К \ 0. По понятным причинам в группе Кх мы будем
придерживаться мультипликативной записи. Таким образом, 1 будет
нейтральным элементом этой группы, а символ X будет обозначать
ограниченные прямые произведения х).
Нетрудно описать периодическую часть группы Кх.
Теорема 127.1. Периодическая группа изоморфна периодической
части группы Кх для некоторого поля К характеристики 0 тогда
и только тогда, когда она изоморфна подгруппе группы Q/Z, имеющей
нетривиальную 2-компоненту.
г) Это соответствует прямым суммам при аддитивной записи.— Прим.
перев.
§ 127. Мультипликативные группы полей
367
Пусть и 6 К* — такой элемент, что ир = 1 при некотором
простом числе р. Уравнение хр — 1 = 0 не может иметь больше р
различных корней ни в каком поле. Поэтому порядок цоколя р-компо-
ненты группы Кх не превосходит р. Из теоремы 25.1 следует, что
р-компонента группы Кх — коциклическая группа. Таким образом,
изоморфизм периодической части Т группы Кх с некоторой
подгруппой группы Q/Z очевиден. Так как —1 6 Кх, группа Т содержит
элемент порядка 2.
Пусть Т — подгруппа группы Q/Z, имеющая нетривиальную
2-компоненту. Представим группу Т как мультипликативную группу
комплексных корней из единицы и выберем конечную или
бесконечную возрастающую цепочку циклических групп (?fe> четных
порядков mh, объединение которой совпадает с Т. Возьмем в качестве К
объединение башни Q (?2) ? . . . ? Q (?fe) е . . ., где Q (?fe) —
подполе поля комплексных чисел, порожденное полем Q и элементом Z,k*
По построению периодическая часть группы Кх содержит Т. Так как
периодическая часть группы Кх равна объединению периодических
частей групп Q (?ь)х, то мы получим обратное включение, если сможем
показать, что периодическая часть группы Q (?fe)x совпадает с (?& >.
Но это простое следствие того, что степень поля Q (?fe) над Q задается
функцией Эйлера ф (mk), а при четном mk степень относительно Q
первообразного корня п-й степени из единицы, где mk делит пу не
превосходит ф (mk) только при п = mk. а
Если периодическая часть имеет тривиальную 2-компоненту,
положение сложнее. Прежде всего заметим, что если К — поле
характеристики р, то 1 — единственный корень уравнения Хр — 1 =
= (х— 1)р = 0, т. е. группа Кх имеет единичную р-компоненту.
В результате периодическая группа с тривиальной 2-компонентой
может быть периодической частью мультипликативной группы поля
только в случае поля характеристики 2. Подробнее см. в упр. 4.
Обратимся теперь к наиболее важным классам полей и попытаемся
определить их мультипликативную структуру.
1. Простые поля. Это поля Q и fp = Z/(p) для каждого простого
числа р.
Основная теорема арифметики утверждает, что всякое отличное
от нуля рациональное число может быть однозначно представлено
в виде ± р\i . . . /А? Где р. — различные простые числа, a k% ф 0 —
целые числа. Отсюда получаем
Q* = (-1) х X (р) ss Z B) х XZ,
Р ко
где р пробегает все простые числа [следует помнить, что теперь {р > —
мультипликативная группа, порожденная числом р, т. е. группа»,
состоящая из всех чисел вида pk (k ? Z)l.
368 Гл. XVIII. Группы обратимых элементов в кольцах
Если р — простое число, то из существования первообразных
корней по модулю р следует, что Fp — циклическая группа:
f;~z(p-i).
2. Конечные алгебраические расширения простых полей. Описывая
строение группы К* для конечного алгебраического расширения К
поля Q, мы будем использовать два стандартных результата из теории
алгебраических чисел.
Во-первых, основная теорема теории идеалов утверждает, что если R —
кольцо целых алгебраических чисел из К, то всякий целый и всякий дробный идеал
А Ф О кольца R совпадает с однозначно определенным произведением простых
идеалов Рг-, т. е. А = Pf1 . . . Р?г> где kt Ф О— целые числа. Следовательно,
ненулевые идеалы образуют свободную группу относительно умножения.
Второй результат — это теорема Дирихле об обратимых элементах:
мультипликативная группа обратимых элементов в кольце R является прямым
произведением конечной циклической группы и гг + г2 — 1 бесконечных
циклических групп. Здесь гг — число действительных корней, а г2 — число пар
комплексно сопряженных корней определяющего поле К уравнения над CU
Ясно, что два элемента а, Ь из Кх порождают один и тот же (может
быть, дробный) идеал тогда и только тогда, когда их частное ab'1 —
обратимый элемент в кольце R целых алгебраических чисел из К.
Следовательно, отображение ср: а ь-*» Ra — гомоморфизм
мультипликативной группы Кх в группу идеалов, причем Кег ф — это группа
U обратимых элементов кольца R. Отсюда следует, что группа Kx/U
изоморфна подгруппе мультипликативной группы ненулевых идеалов
кольца R, т. е. является свободной группой. Легко проверить
[например, посмотрев на рациональные числа], что KKIU имеет счетный ранг.
В силу теоремы 14.4 группа Кх изоморфна прямому произведению
группы U и счетного числа групп Z, т. е. Кх = Z (т) X X Z. Здесь
КО
т — четное число, так как —1 ? Кх.
Положение коренным образом меняется в случае, когда
характеристика — простое число. Конечное алгебраическое расширение К
тюля Fp, имеющее степень п, является полем Галуа, состоящим из
рп элементов. Следовательно, Кх — циклическая группа порядка
рп — 1. Этим мы доказали первую часть следующей теоремы:
Теорема 127.2 (Сколем [1]). Мультипликативная группа конечного
алгебраического расширения К простого поля имеет вид
Кх ^ Z (т) X X Z (т — четное число) A)
N0
или
Kx^Z(pn-l) B)
в зависимости от того, равна характеристика поля К нулю или
простому числу р.
Обратно, всякая группа вида A) или B) изоморфна
мультипликативной группе некоторого конечного алгебраического расширения К
простого поля.
§ 127. Мультипликативные группы полей
369
Чтобы доказать вторую часть теоремы, заметим, что в силу
существования поля Галуа любого порядка, равного степени простого
числа, в случае групп вида B) нужное утверждение получается сразу.
Для его доказательства в случае групп вида A) достаточно заметить,
что при доказательстве теоремы 127.1 было показано, что если t —
комплексный первообразный корень т-и степени из 1, где т — четное
число, то периодическая часть группы Q (?)х изоморфна Z (т).ш
3. Алгебраически замкнутые поля. В алгебраически замкнутом
поле А уравнение хр — а = 0 имеет решение при любом а 6 А и любом
простом числе р. Следовательно, Ах —делимая группа, т. е. прямое
произведение групп, изоморфных Q или Z (/?°°). В силу теоремы 127.1
для любого простого числа р слагаемых вида Z (р°°) может быть не
больше одного.
Если поле А имеет нулевую характеристику, то всякий круговой
многочлен распадается над А на линейные множители. Поэтому при
всяком п поле А содержит в точности п корней /г-й степени из
единицы. Это означает, что Ах содержит подгруппу, изоморфную Q/Z.
Если поле А имеет простую характеристику р, то, как было замечено
раньше, /^-компонента группы А* тривиальна, но для остальных
компонент имеет место то же, что выше. Так как алгебраическое
замыкание любого поля бесконечной мощности п имеет также 'мощность п,
то справедлива
Теорема 127.3. Группа изоморфна мультипликативной группе
алгебраически замкнутого поля тогда и только тогда, когда она
имеет вид
Q/Z х XQ или Ж? Z (рТ) X XQ
n Vfhv п
в зависимости от того9 равна характеристика нулю или простому
числу р. Здесь п — любое бесконечное кардинальное число или (но
только во втором случае) п = 0. ш
4. Вещественно замкнутые поля. Вещественно замкнутое поле В
[т. е. поле, которое может быть линейно упорядочено, но никакое
собственное алгебраическое расширение которого не допускает
линейного упорядочивания] имеет характеристику 0. Если ? —
первообразный корень п-и степени из единицы в алгебраическом замыкании А
поля В, то при п Ф 2
i+ ?+...+и*п-» = -p^r=o, p+... + p<»-i>=-i,
и, так как в линейно упорядоченном поле —1 не может быть суммой
квадратов, С (J В. Следовательно, ±1—это все корни из единицы,
лежащие в В. Из теории вещественно замкнутых полей хорошо
известно, что А = В (V*—l) — квадратичное расширение поля В.
Следовательно, все многочлены хр — а (а 6 В), где р — нечетное простое
370 Гл. XVIII. Группы обратимых элементов в кольцах
число, приводимы и должны иметь неприводимые множители первой
степени. Другими словами, для нечетных простых чисел р в поле В
возможно извлечение корня р-й степени. Что касается квадратных
корней, то известно, что В допускает линейный порядок, при котором
положительные элементы являются полными квадратами, т. е. для
любого элемента а 6 В или из а, или из —а можно извлечь квадратный
корень, оставаясь в поле В. Полученные факты собраны в следующей
теореме:
Теорема 127.4 (Фукс [16]). Группа изоморфна мультипликативной
группе вещественно замкнутого поля тогда и только тогда, когда она
имеет вид
Z B) х XQ,
п
где п — бесконечное кардинальное число. и
5. Поля р-адических чисел. Теперь найдем мультипликативные
группы полей р-адических чисел. Так как каждое отличное от нуля
р-адическое число однозначно можно записать в виде /Лт, где k —
целое число, а я — некоторая р-адическая единица, то ясно, что
нужная нам группа — прямое произведение Z X Up, где Up — группа
обратимых элементов в кольце Q?.
Рассмотрим полную приведенную систему ненулевых вычетов
/ь .. .,/p_i6Z по модулю р. В силу сравнения Ферма tf "р =1,
т. е. if =$ modpft для любого k^l. Поэтому последовательность
t? (&=0, 1,...) сходится к р-адической единице е7-. Из е7==
= ij modpft+1 получаем 8f-1 = (^ )p-j= lmodpfe+1. Таким образом,
ef"i = 1 при / = 1, ..., p — 1, и e4, ..., 8P_! — различные корни (p — 1 )-й
степени из единицы. Они образуют подгруппу Ер группы Up,
которая должна быть циклической в силу существования первообразного
корня по модулю р. Очевидно, что каждый элемент n?Up может
быть однозначно представлен в виде я = е/р при некотором Sj(:Ep
и некотором рб^р, где p = lmodp. Элементы из Up, сравнимые
с единицей по модулю р, образуют в Up подгруппу Vp. Из
сказанного выше следует, что Up = EpxVp.
Чтобы определить строение группы Vp, рассмотрим сначала
нечетные простые числа р. В этом случае существует первообразный корень t
по модулю р, являющийся первообразным корнем по модулю ph при
любом целом k ^ 1. Если положить / = ?р~\ то lm а 1 mod pk будет
эквивалентно тому, что р4 делит т. Это показывает, что при всяком
я ? Vp и любом р* (k ^ 1) существует такое однозначно определенное
число sft_lf что 0<sfe_1<pfe_1 и /Ъ-1 = я mod pk. В силу того
что sfe_! = sk mod pft~\ последовательность чисел sk сходится к такому
целому р-адическому числу а, что а = sh mod pk. Формально мы
можем написать я = 1°. Непосредственно проверяется, что равенства
§ 127. Мультипликативные группы полей
371
пх = l0i и я2 = /аа влекут за собой яхя2 = /01+A2. Обратно, если дано
произвольное целое р-адическое число о = г0 + ггр + ^Р2 + • • •
(г; 6 Z), то последовательность f°, /го+г*р, fo+rip+r2p2, . . . сходится
к такому целому р-адическому числу я, что я = 1 mod р и я = /а.
Теперь мы можем утверждать, что группа Vp изоморфна аддитивной
группе Jp, откуда Up ^ Z (р — 1) X /р.
Если /? = 2, то число / = 5 обладает тем свойством, что
сравнение 1т = 1 mod 2h эквивалентно тому, что 2k~2 делит т. Между эле-
ментами подгруппы V2 группы V2» состоящей из всех я ? V2,
сравнимых с 1 по модулю 4, и целыми 2-адическими числами можно
установить такое же «логарифмическое» соответствие, как и выше. Так как
У2 = У2 х <—1)» то окончательно имеем
Теорема 127.5 (Гензель). Мультипликативная группа поля р-ади-
ческих чисел изоморфна прямому произведению
Z X Z(p — 1) X Jp
при р Ф 2 и
Z X Z B) X h
при р = 2. в
Упражнения
1. Показать, что аддитивная группа поля не может быть
изоморфной его мультипликативной группе.
2. Конечная группа изоморфна мультипликативной группе поля
тогда и только тогда, когда она — циклическая группа порядка рп — 1
для некоторого простого числа р и целого числа п ^ 1.
3. Конечная группа служит периодической частью группы К*
для некоторого поля К тогда и только тогда, когда она циклическая,
а ее порядок — или четное число, или число вида 2П— 1, где п —
некоторое натуральное число.
4. (а) Если подгруппа группы Q/Z, имеющая тривиальную 2-комг-
поненту, является периодической частью группы Lx для некоторого
поля L, то она изоморфна группе Кх для некоторого подполя К
поля L
(б) Подгруппа Т группы Q/Z, имеющая тривиальную 2-компонен-
ту, служит мультипликативной группой некоторого поля тогда и
только тогда, когда Т — объединение возрастающей последовательности
циклических групп, порядки которых имеют вид 2П—1.
5 (Чарин [1]). Мультипликативная группа алгебраических чисел
степени не больше п, где п фиксировано, является прямым
произведением циклических групп. [Указание: подгруппы с фиксированным
числом образующих удовлетворяют условию максимальности.]
6* (Шенкман [1]). Пусть М — алгебраическое расширение поля CL
порожденное всеми алгебраическими числами степени не больше пу
где п фиксировано. Тогда Мх — прямое произведение циклических
372 Гл. XVIП. Группы обратимых элементов в кольцах
групп. [Указание: М не содержит корней га-й степени из 1 при т > 4/iI;
использовать теорему 19.1.]
7. Если К — поле, замкнутое относительно извлечения корней,
то его мультипликативная группа Кх изоморфна одной из групп,
о которых говорится в теореме 127.3.
8. (а) Чтобы поле К простой характеристики р было совершенным
[т. е. чтобы неприводимые многочлены над К имели простые корни],
необходимо и достаточно, чтобы группа Кх была р-делимой.
(б) Доказать с помощью этого утверждения, что алгебраические
расширения поля FP совершенны. [Указание: см. теорему 127.2.]
9. Если элемент х трансцендентен над полем К, то
мультипликативная группа поля К (х) является прямым произведением группы Кх
и max (|К |, к0) групп, изоморфных группе Z. [Указание:
использовать однозначную разложимость на множители в К Ы.]
§ 128. Обратимые элементы в коммутативных кольцах
В любом ассоциативном кольце R с единицей 1 элементы, для
которых существуют (двусторонние) обратные по умножению
относительно 1, образуют группу по умножению. Мы будем называть ее
группой обратимых элементов кольца R и обозначать через U (R).
Мы собираемся исследовать группы U (R) в коммутативном случае.
Заметим, что если группа U (R) коммутативна, то подкольцо R'
кольца R, порожденное множеством U (R), также коммутативно,
a U (R') = U (R). По этой причине, изучая коммутативные группы
обратимых элементов, мы ограничимся рассмотрением ассоциативных
и коммутативных колец с единицей. [Но такая редукция невозможна,
если рассматривать только кольца с определенным кольцевым
свойством.]
Пример 1. Обратимыми элементами в кольце R = Z/(ph), где р —
простое, a k — натуральное числа, очевидно, являются смежные классы,
определяемые числами, взаимно простыми с р. Следовательно, U (R) ^ Z (ph — рк~г).
Любой первообразный корень по модулю ph можно взять в качестве
образующего.
Пример 2. Обратимые элементы в кольце Q| целых р-адических чисел
были описаны при доказательстве теоремы 127.5. Мы получили:
?/(a*)^z(p-i)x/p
при р ф 2 и
f/(Q|)^ZB)x^2.
Пример 3. Если R — кольцо целых алгебраических чисел из конечного
алгебраического расширения поля Q, то по теореме Дирихле об обратимых
элементах U (R) является прямым произведением конечной циклической группы
и конечного числа бесконечных циклических групп.
Прежде чем перечислить некоторые полезные факты, касающиеся
групп обратимых элементов, мы еще раз напомним: все встречающиеся
кольца ассоциативны, коммутативны и имеют единицу 1, даже если
это особо не оговорено.
§ 128. Обратимые элементы в коммутативных кольцах 373
A) Если S — такое подкольцо кольца R, что 1 6 S, то U (S) —
подгруппа группы U (R). Всякий кольцевой гомоморфизм ft ->- Т,
сохраняющий единицу, индуцирует гомоморфизм групп U(R)-+-
-> U (Т).
Б) Группа обратимых элементов декартова произведения \[Ri
колец является декартовым произведением групп обратимых
элементов U (Rt). В самом деле, элемент (. . ., щ, . . .) ? П Ri обратим
в том и только в том случае, когда каждый элемент щ обратим в R*.
В частности, для конечных прямых сумм имеем
U(Rt® ... ®Rn) = U(Ri)x ... xU(Rn).
B) Для кольца многочленов R [. . ., хи . . .] над коммутативной
областью целостности R с коммутирующими переменными xt (i 6 /)
выполняется равенство
U(R[...,xu...])&U(R).
В самом деле, в кольце многочленов только константа может быть
обратимым элементом.
Г) В кольце формальных степенных рядов R [[х]] степенные ряды
вида 1 + с-уХ + . . . + спхп + . . . (сп 6 R) являются обратимыми
элементами. Они образуют подгруппу Е группы U (R [[л:]]). Нетрудно
проверить, что элементы из U (R [Ы]), где R — коммутативная
область целостности,— это в точности элементы вида ар, где и ? U (R),
р 6 Е. Следовательно,
U(R[[x]))^U(R)xE.
Д) Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, a S —
мультипликативная подполугруппа в R, состоящая лишь из неделителей
нуля. Пусть G — группа частных полугруппы S. Для кольца Rs
частных кольца R относительно S имеем
U(RB)<*(U(R)xG)IH,
где Н — подгруппа, состоящая из всех элементов (м, а), где и 6
€ U (R) П G.
Е) Пусть А — унитарный R-модуль над коммутативным
кольцом R, и пусть R (А) состоит из всех пар (г, а), где г ? R, а 6 А, причем
заданы следующие правила действий:
(г, а) + (s, Ь) = (г + s, а + Ь)
и
(г, a) (s, Ь) = (rsy rb + sa)
для всех г, s 6 R и a, b ? А. Тогда R (А) — кольцо с единицей A,0),
где условие г 6 U (R) необходимо и достаточно для того, чтобы
элемент (г, а) был обратимым в R (Л). Из (г, а) = (г, 0) A, г^а) следует,
что U(R (А)) ^ t/(R) х Л.
374 Гл. XVIII. Группы обратимых элементов в кольцах
Ж) Особенно интересна роль, которую играет радикал Джекоб-
-сона J кольца R в вопросе о группе обратимых элементов этого кольца.
При любом а 6 J имеем 1 + а ? U (R). Если рассматривать J как
группу относительно операции а о Ъ = а + Ь + ab> то соответствие
|б: а >-> 1 + а ? U (R) (а ? J)
¦будет изоморфизмом между группой (J, <>) и некоторой подгруппой
группы U (R), которую можно обозначить через 1 + J. Кроме того,
-6 индуцирует изоморфизм между группой (К, °) и подгруппой 1 + К
для всякого идеала К кольца R, лежащего в J. Используя это
замечание, мы можем доказать следующее утверждение:
3) Пусть R — ассоциативное и коммутативное кольцо с 1 и К —
идеал кольца R, лежащий в его радикале Джекобсона J. Тогда
а) если смежный класс а + К содержит элемент, обратимый в
кольце R, то каждый элемент из а + К обратим в R;
б) обратимые элементы в кольце R/K — это смежные классы
и + К, где и 6 R — элементы, обратимые в кольце R, причем
U'(R/K)^ f/(R)/(l+ К).
Если и — обратимый элемент в кольце R и х 6 К, то и~1х 6 К
влечет за собой A + и~1х) A + Ь) = 1 для некоторого 6 6 R- Отсюда
(и + х) (и*1 + btr1) = 1, значит, и + х ? и + К — обратимый
элемент в R, и утверждение а) доказано. Докажем утверждение б). Ясно,
что и н-> и+ К — гомоморфное отображение группы U (R) в U (R/K),
ядро которого совпадает с 1 + К. Это отображение — эпиморфизм,
так как если а + К — обратимый элемент в R/K, т. е, (а + К) X
X (Ь + К) = 1 + К при некотором Ъ 6 R, то из включения аЪ 6 1 +
+ К в силу а) следует, что aby а значит, и а — обратимый элемент в R.
В частном случае, когда К2 = 0, операция о в К совпадает со
сложением, и мы видим, что U (R) содержит подгруппу, изоморфную
группе К#.
Упражнения
1. Пусть ф: R -*¦ S —кольцевой гомоморфизм и cpl = 1. Тогда
<рИ U (R): U (R) -*¦ U (S)— групповой гомоморфизм с ядром U (R) П
П A + Кег Ф).
2. Если {Rt (i 6 /); Я|} — прямой спектр колец R*, где
отображения п\ сохраняют единичные элементы, то
t/(limRO = Hm(/(Ri).
3. Группа обратимых элементов факторкольца [J Rj/ф Rt
изоморфна факторгруппе декартова произведения групп обратимых эле-
§ 129. Группы, служащие группами обратимых элементов 375
ментов U (Ri) по (ограниченному) прямому произведению X U (Rt)
i
этих групп.
4. Периодическое кольцо R с единицей имеет лишь конечное число
р-компонент RP1, . . ., Rp и удовлетворяет условию
U (R) = U (RP1) X...XU (RPn).
5. Пусть R — подкольцо поля алгебраических чисел, имеющего
конечную степень над Q. Тогда U (R) — прямое произведение
циклических групп.
6. Распространить утверждение Д) на случай, когда 0 $ S, но
S содержит делители нуля.
7. Для идеала К кольца R утверждение а) из пункта 3)
справедливо тогда и только тогда, когда К содержится в радикале Джекобсо-
на J кольца R.
8. Пусть J — радикал Джекобсона кольца R и К, L — такие
идеалы в R, что J э К 2 L э К2. Тогда аддитивная группа
кольца K/L изоморфна мультипликативной группе A + К)/A + L)
[соответствующее отображение: х + L->- A + *) О + L)].
§ 129. Группы, служащие группами обратимых элементов
Перейдем к проблеме описания (абелевых) групп, которые могут
быть группами обратимых элементов в кольце. Мы дадим обзор
основных результатов, которые здесь были получены. Важно заметить, что
мы не будем налагать никаких ограничений на кольца, кроме
ассоциативности, коммутативности и наличия единицы.
Легко видеть, что всякую группу А [мы продолжаем пользоваться
мультипликативной записью] можно по крайней мере вложить в
группу обратимых элементов некоторого кольца. В самом деле, в групповом
кольце ZA группы А с целыми коэффициентами базисные элементы
a ? А, очевидно, обратимы. Примечательно, что каноническое
вложение к: А ->- U (ZA)y где каждому элементу а ? А соответствует он сам,
обладает свойством «универсальности»: если R — любое кольцо с
единицей и К: А ->- U (R) — произвольный гомоморфизм, то существует
сохраняющий единицу кольцевой гомоморфизм г|э: ZA -> R, для
которого г|)И = К. Приводимая ниже коммутативная диаграмма наглядно
показывает, как здесь обстоит дело:
A^ZA
Для доказательства достаточно заметить, что существует одна и только
одна возможность распространить X на ZA, именно я|эB пьаь) =
= 2 ntX (а{). Однако в общем случае группа U (ZA) больше, чем Л.
Действительно, существуют группы [например, циклическая группа
376 Гл. XVIII. Группы обратимых элементов в кольцах
порядка 5], которые не могут быть группами обратимых элементов
ни в каких кольцах.
Мы докажем, что группы определенных типов обязательно
являются группами обратимых элементов некоторых колец.
Следующая теорема крайне проста, но она почти решает всю
проблему.
Теорема 129.1. Для любой группы А существует кольцо, группа
обратимых элементов которого изоморфна Z B) х А.
Вспомним пункт Е) из § 128 и используем заданную нам группу А
и кольцо R = Z для построения нужного кольца. ш
Довольно тонкая проблема — освободиться от множителя Z B).
Трудность, естественно, заключается в том, что —1 всегда является
элементом порядка 2 в группе U (R), кроме случая, когда —1 = 1,
т. е. 2R = 0.
Для начала нам потребуется следующая лемма, обобщающая один
результат Кона [2].
Лемма 129.2. Пусть U — группа обратимых элементов некоторой
коммутативной области целостности, и пусть А — группа,
содержащая U и такая, что A/U — группа без кручения. Тогда группа А также
является группой обратимых элементов некоторой области
целостности.
Как в § 49, выберем представитель ag ? А в каждом смежном
классе g, h, ... 6 A/U, причем в смежном классе U выберем в качестве
представителя 1. Рассмотрим соответствующую систему факторов
{ug> h} ^ U, заданную соотношениями
аёан = ugthdgh Для всех g> h ? A/U. A)
Пусть R — область целостности и U (R) = U. Обозначим через S
алгебру над R с базисом {ag}g?A/u, где базисные элементы
перемножаются по формулам A), причем элементы ugth теперь считаются
принадлежащими области коэффициентов R. Так как элементы ug) н
взяты из группы А, для них выполнены условия ассоциативности
и коммутативности. Это гарантирует нам, что S действительно является
ассоциативной и коммутативной унитарной R-алгеброй с единицей.
Кроме того, кратные uag базисных элементов ag (где и d U) образуют
подгруппу группы U (S), очевидно, изоморфную группе А
(изоморфизм канонический).
Нам нужно только показать, что S— область целостности и что
U (S) не содержит элементов, отличных от элементов uag. Напомним,
что всякая абелева группа без кручения, в частности наша группа
A/U, допускает линейное упорядочивание, при котором g^h, g'^h'
влечет за собой gg'^hh'. Выберем произвольный, но фиксированный
линейный порядок на A/U и запишем ненулевые элементы о ? S
§ 129. Группы, служащие группами обратимых элементов 377
т
в виде а= 25*%.» гДе st Ф0-"элементы из R, a ag —элементы
i=i l l
из выбранной выше системы представителей, причем gi < ... < gm.
п
Если т= 2(/a/i*6S, где ^ =^0 —элементы из R и Ai<... </zn>
то, очевидно, базисный элемент agihi имеет наименьший, а базисный
элемент а# h —наибольший индекс среди тех, которые встречаются
в произведении ат, причем коэффициентами при этих элементах служат
соответственно элементы SittUgu /ц и smtnug t h . Эти коэффициенты
отличны от нуля, так как R—область целостности. Отсюда видно,
что ат=^=0, если а^Оит^О, и что ат=1 только в случае, когда
giAi = gmhn, т. е. m = l = n и, кроме того, sb ^ — обратимые
элементы в R. в
Теперь мы можем доказать следующий результат, касающийся
групп обратимых элементов.
Теорема 129.3. Всякая группа без кручения является группой
обратимых элементов некоторой области целостности [характеристики 2].
Тривиальная группа A > является группой обратимых элементов
поля F2» и наше утверждение непосредственно следует из леммы 129.2. в
Наши предыдущие замечания показывают, что группы обратимых
элементов, не содержащие элементов порядка 2, являются в некотором
смысле исключительными. Это приводит к такому вопросу: что можно
вывести только из предположения, что 2-компонента группы U (R)
тривиальна? Некоторую информацию можно получить из следующего
результата.
Предложение 129.4. Пусть R — коммутативное и ассоциативное
кольцо с 1. Группа обратимых элементов U (R) имеет тривиальную
2-компоненту тогда и только тогда, когда R — подпрямая сумма
областей целостности характеристики 2.
Если 2-компонента группы U (R) тривиальна, то —1 = 1 и R —
алгебра над полем F2- Если а2 = 0 для некоторого а 6 R, то A + аJ =
= 1 в R, откуда 1 + а = 1 и а = 0. Следовательно, в кольце R нет
нильпотентных элементов. В силу хорошо известного результата
теории колец R — подпрямая сумма областей целостности, которые
в рассматриваемом случае имеют характеристику 2.
Обратно, в любой области целостности характеристики 2, а значит,
и в подпрямой сумме таких областей целостности 1 — единственное
значение корня квадратного из 1. а
Временно ограничимся случаем, когда R — область целостности
(в дополнение к требованию, чтобы U (R) имела тривиальную
2-компоненту). R можно рассматривать как р2-алгебру, а поле F2 — как
подкольцо в R. Элементы из R, алгебраические над F2, образуют
378 Гл. XVIII. Группы обратимых элементов в кольцах
в R подкольцо К. Это подкольцо должно быть полем, так как подкольца
абсолютных алгебраических полей г) простых характеристик сами
являются полями. Группа U (К)=КХ периодическая, а так как
содержащиеся в R корни из единицы должны лежать уже в К, то
получается, что К* совпадает с периодической частью группы U (R).
В действительности именно эта периодическая группа Кх интересует нас
больше всего, так как с помощью леммы 129.2 мы можем представить всякую
смешанную группу с периодической частью Кх как группу U (R) для
некоторого обязательно трансцендентного кольцевого расширения R поля К.
Вернемся к общему случаю, т. е. отбросим предположение, что
R — область целостности. Мы хотим сосредоточить внимание на
периодической части Т группы U (R). Прежде всего покажем, что
Т — группа обратимых элементов некоторого подкольца S кольца R.
Представим R в виде подпрямой суммы областей целостности Rt
характеристики 2. Ясно, что элемент и = (. . ., uif . . .) 6 R
удовлетворяет условию иш = 1 (где т б Z) тогда и только тогда, когда и? = 1
для всех i. В силу сказанного в предыдущем абзаце элемент щ
содержится в конечном подполе S* кольца Rt. Кроме того, при некотором п
можно выбрать | S* 1^ 2П при всех i, так как нечетное число т делит
2<р(т) — ^ где ^ — функция Эйлера, и и2 ~1 = 1 при любом и Ф О
в поле Галуа порядка 2\ Теперь мы можем потребовать, чтобы каждый
элемент х из подкольца, порожденного произвольным элементом
и ? Г, удовлетворял уравнению вида х2 = х при фиксированном k.
Из хорошо известных свойств полей Галуа непосредственно следует,
что это же имеет место для подколец, порожденных конечным числом
элементов из Т. Кроме того,
S = {х б R | x2h^= х при некотором k = k (х)}
—¦ подкольцо в R, причем Гс S. Легко видеть, что S совпадает
с «алгебраическим замыканием» поля F2 в R, т. е. с множеством всех
элементов х б R, удовлетворяющих алгебраическому уравнению над
F2. Так как всякий ооратимый элемент и 6 R со свойством и2 = и
должен лежать в Г, то мы заключаем, что U (S) = Т.
Для введенного выше кольца S можно получить структурную
теорему:
Теорема 129.5. Пусть R — такое коммутативное и ассоциативное
кольцо с 1, что 2-компонента периодической части Т группы U (R)
тривиальна. Тогда «алгебраические элементы» кольца R образуют
подкольцо S, такое, что U (S) — Г и S — под прямая сумма
абсолютных алгебраических полей характеристики 2.
В силу предыдущих рассмотрений все будет доказано, если мы
заметим, что проекция S на R* должна быть абсолютным
алгебраическим полем. а
х) То есть полей, алгебраических над своими простыми подполями.— Прим.
перев.
Замечания
379
Упражнения
1. Доказать, что каноническое вложение хА: А -*¦ 2.А является
функторным, т. е. всякий групповой гомоморфизм а: А ->• В
индуцирует кольцевой гомоморфизм а: \ZA ->- ZB, превращающий диаграмму
Л _±> ZA
«1 «1
в коммутативную.
2. Если R — область целостности и Л — группа без кручения, то
U(RA)^U(R)xA.
3. (а) Если Uly . . ., Un — группы обратимых элементов
некоторых колец, то их прямое произведение иг X . . . X Un — тоже группа
обратимых элементов некоторого кольца.
(б) Прямой сомножитель группы обратимых элементов не обязан
быть группой обратимых элементов.
4. Перечислить все циклические группы простых порядков,
являющиеся группами обратимых элементов. [Указание: 2 и р = 2п— 1.]
5 (Кон [2]). Привести пример поля, мультипликативная группа
которого является нерасщепляющейся смешанной группой.
6. Пусть R — область целостности без кручения, для которой
U (R) — периодическая группа. Тогда Т ^ Z B) или Т 9* Z D).
7. Если А — группа, обладающая автоморфизмом порядка 4, то
Z D) х А — группа обратимых элементов. [Указание: использовать
целые гауссовы числа и п. Е) из § 128.]
8. Пусть R — ассоциативное и коммутативное 2-делимое кольцо
без кручения, в котором имеется по крайней мере два обратимых
элемента порядка 2. Тогда R — прямая сумма двух собственных идеалов.
[Указание: взять -^-(l — в), где 82=я 1, в Ф —1.]
Замечания
Некоторые из результатов этой главы являются классическими: теорема
Дирихле о группах обратимых элементов в полях алгебраических чисел,
описание Гензеля группы обратимых элементов кольца целых р-адических чисел и,
конечно, строение мультипликативных групп полей Галуа. Удивительно, что
теорема Сколема [1] о мультипликативных группах полей алгебраических чисел
получена не более четверти века тому назад. Всего лишь простое упражнение
по абелевым группам — охарактеризовать мультипликативные группы
алгебраически замкнутых и вещественно замкнутых полей [Фукс [16]].
Большой проблемой, естественно, является описание тех групп, которые
могут быть мультипликативными группами полей. Проблема была
переформулирована Диккером [1] [что не дало никакого действительного проникновения
в ее суть] в терминах существования некоторой функции на группе с
присоединенным нулем. Печально, что нельзя дать характеризации с помощью чего-
нибудь такого, что ечел бы подходящим алгебраист, а именно множества выска-
380 Г л-. XVII h Группы обратимых элементов в кольцах
зываний языка теории групп первого порядка. В самом деле, С. Р. Когаловский
[ДАН СССР, 140 A961), 1005—1007] показал, что класс мультипликативных
групп полей не является арифметически замкнутым в смысле А. И. Мальцева
и поэтому не аксиоматизируем; ср. также Саббах [1]. Ввиду этого недавний
результат Мэя [3] звучит наиболее удовлетворительно: пусть А — группа,
периодическая часть которой является подгруппой группы Q/Z и имеет нетривиальную
2-компоненту; тогда существует такое поле К, что
Кх ^ А X F,
где F — свободная абелева группа. Доказательство этого прекрасного
результата выходит за рамки нашей книги, поэтому, к сожалению, оно не могло быть
включено в настоящую главу.
Первым систематическое изучение групп обратимых элементов провел
Хигман [Higman G., Proc. London Math. Soc, 46 A938—39), 231—248]; он
исследовал группы обратимых элементов групповых колец над конечными
алгебраическими расширениями кольца целых чисел. Кольца с циклическими группами
обратимых элементов были описаны Джильмером [Gilmer R. W., Amer. J.
Math.у 85 A963), 247—252] в случае конечных колец и Пирсоном и Шнейдером
[Pearson К. R., Schneider J. Е., J. Algebra, 16 A970), 243—251] в случае
бесконечных колец.
Наблюдается все возрастающий интерес к некоммутативным группам
обратимых элементов. Из многочисленных имеющихся здесь результатов упомянем
простой, но очень содержательный результат Дитора [Ditor S. Z., Amer. Math.
Monthly, 78 A971), 722—723]: если G — не обязательно коммутативная группа
нечетного порядка, являющаяся группой обратимых элементов некоторого
кольца R, то подкольцо кольца R, порожденное группой G, изоморфно конечной
прямой сумме полей Галуа характеристики 2 и, следовательно, G — конечное
прямое произведение циклических групп, порядки которых имеют вид 2h — 1.
Недавно Элдридж распространил некоторые из результатов § 129 на
некоммутативный случай^
Проблема 98. Исследовать, как меняются группы обратимых
элементов при расширении колец [полей].
Проблема 99. Описать строение групп обратимых элементов
в кольцах степенных рядов.
Проблема 100. Указать условия на группу, при которых она
является группой обратимых элементов в кольце того или иного
важного типа [регулярном, нётеровом и т. д.].
Литература
Абиан, Райнхарт (Abian A., Rinehart D.)
[I] Honest subgroups of abelian groups, Rend* Circ. Mat* Palermo, 12 A963),
353—356.
Абхьянкар (Abhyankar S.)
[1] On the finite factor groups of abelian groups of finite rational rank, Amer.
J. Math., 79 A957), 190—192.
Алмейда Коста (Almeida Costa A.)
[1] Об абелевых группах (португ»), Anais Fac. Ci. Porto, 27 A942), 1—40.
Альтман (Altman M»)
[1] Generalisation aux groupes abeliens de la theorie de F. Riesz, С R. Acad* Sci.
Paris, 246 A958), 1135—1138.
Армстронг (Armstrong J* W*)
[1] A note on endomorphism groups, PubL Math. Debrecen, 10 A963), 116—119.
[2] On p-pure subgroups of the p-adic integers, Topics in Abelian Groups, Chicago,
Illinois, 1963, p. 315—321.
[3] On the indecomposability of torsion-free abelian groups, Proc. Amer. Math. Soc,
16 A965), 323—325.
Аршинов M* H.
1 1] О проективной размерности абелевых групп без кручения над кольцом своих
эндоморфизмов, Матем. заметки, 7 A970), 117—124.
Аюб Р., Аюб К. (Ayoub R* G*, Ayoub С.)
[1] On the group ring of a finite abelian group, Bull* Austral* Math* Soc, 1 A969),
245—261.
Бальцежик (Balcerzyk S.)
[1] Remark on a paper of S. Gacsalyi, PubL Math. Debrecen, 4 A956), 357—358.
[2] On algebraically compact groups of I. Kaplansky, Fund. Math., 44 A957),
91—93.
[3] On factor groups of some subgroups of a complete direct sum of infinite cyclic
groups, Bull. Acad. Polon. Sci., 7 A959), 141 — 142.
[4] On classes of abelian groups, Bull. Acad. Polon. Sci., 9 A961), 327—329; Fund.
Math., 51 A962), 149—178; 56 A964), 199—202.
[5] On groups of functions defined on Boolean algebras, Fund. Math., 50 A962),
347—367.
[6] The global dimension of the group rings of abelian groups, Fund. Math., 55
A964), 293—301; 58 A966), 67—73; 67 A970), 24—50.
Бальцежик, Бялиницкий-Бируля, Лось (Balcerzyk S., BiaJynicki-Birula A., Los J.)
[1] On direct decompositions of complete direct sums of groups of rank 1, Bull,
Acad. Polon. Sci. 9 A961), 451—454.
382
Литература
Батлер (Butler М. С. R.)
[I] A class of torsion-free abelian groups of finite rank, Proc. London. Math. Soc*
15 A965), 680—698.
[2] On locally torsion-free rings of finite rank, /. London Math. Soc, 43 A968).
297—300.
Баумслаг (Baumslag G.)
[1] On abelian hopfian groups, I, Math. Z., 78 A962), 53—54.
[2] Hopficity and abelian groups, Topics in Abelian Groups, Chicago, Illinois.
1963, p. 331—335.
Баумслаг, Блэкбурн (Baumslag G*, Blackburn N.)
[1] Direct summands of unrestricted direct sums of abelian groups, Arch. Math., 10е
A959), 403—408.
Бенабдаллах, Ирвин (Benabdallah К., Irwin J. M.)
[1] On quasi-essential subgroups of primary abelian groups, Canad. J. Math., 22
A970), 1176—1184.
Бенабдаллах, Эйзенштадт, Ирвин, Полуянов (Benabdallah К. М., Eisenstadt В. J.,.
Irwin J. M., Poluianov E. W.)
[ 1] The structure of large subgroups of primary abelian groups, Acta Math. Acad.ScL
Hangar., 21 A970), 421—435.
Берман С» Д*
[1] Групповые алгебры счетных абелевых р-групп, ДАН СССР, 175 A967)„
514—516; и РиЫ. Math. Debrecen, 14 A967), 365—405.
Бертхольф (Bertholf D.)
[1] Isomorphism invariants for quotient categories of abelian groups, Math» Z.„
114 A970), 33—48.
Бицан (Bican L.)
[1] On isomorphism of quasi-isomorphic torsion free abelian groups, Comment.
Math. Univ. Carolinae, 9 A968), 109—119.
[2] Some properties of completely decomposable torsion free abelian groups,
Чехослов. матем. ж., 19 A969), 518—533.
[3] On splitting mixed abelian groups, Чехослов. матем. ж., 20 A970), 74—80.
[4] Mixed abelian groups of torsion free rank one, Чехослов. матем. ж., 20 A970),
232—242.
[5] Factor-splitting abelian groups of rank two, Comment. Math. Univ. Carolinae,
11 A970), 1—8.
Блок (Block R4)
[1] On torsion-free abelian groups and Lie algebras, Proc. Amer. Math, Soc, 9
A958), 613—620.
Бойер (Boyer D. L.)
[1] Enumeration theorems in infinite abelian groups. Proc. Amer. Math. Soc, 7
A956), 565—570.
[21 A note on a problem of Fuchs, Pacific J. Math., 10 A960), 1147.
[3] On the theory of p-basic subgroups of abelian groups, Topics in Abelian Groups,
Chicago, Illinois, 1963, p. 323—330.
Бойер, Мадер (Boyer D., Mader A»)
[1] A representation theorem for abelian groups with no elements of infinite
p-height, Pacific J. Math,, 20 A967), 31—33.
Бойер, Уокер Э. (Boyer D* L., Walker E. A.)
[1] Almost locally pure abelian groups, Pacific J. Math., 9 A959), 409—413.
Литература
383
Боньяр (Bognar М.)
[1] Ein einfaches Beispiel direkt unzerlegbarer abelscher Gruppen, Publ. Math*
Debrecen, 4 A956), 509—511.
Брамере (Brameret M* P.)
[1] Sous-groupes completement invariants d'un groupe abelien, C. R. Acad, Sci*
Paris, 255 A962), 1369—1370.
[2] Sur les groupes p-reduits, С R. Acad. ScL Paris, 256 A963), 345—346.
Брандис (Brandis A.)
[1] Ober die multiplikative Struktur von Korpererweiterungen, Math. Z., 87
A965), 71—73.
Бреннер, Батлер (Brenner S., Butler M. С R.)
[1] Endomorphism rings of vector spaces and torsion free abelian groups, /. London
Math. Soc, 40 A965), 183—187.
Бриан (Bryant S.)
[1] Isomorphism order for abelian groups, Pacific /. Math., 8 A958), 679—683*
Бурбаки (Bourbaki N.)
[1] «Algebre», Chap. VII. Modules sur les anneaux principaux, Paris, 1952.
[Русский перевод: Бурбаки H., Алгебра, «Наука», М., 1966.]
Бьюмонт (Beaumont R. А.)
[1] Groups with isomorphic proper subgroups, Bull. Amer. Math. Soc, 51 A945),.
381—387.
[2] Rings with additive group which is the direct sum of cyclic groups, Duke Math^
/.,15 A948), 367—369.
[3] A survey of torsion free rings, Topics in Abelian Groups, Chicago, Illinois,.
1963, p. 41—49.
[4] Abelian groups G which satisfy G ^ G ф К for every direct summand К of G„
Studies on Abelian Groups, Paris, 1968, p. 69—74.
[5] A note on products of homogeneous torsion free abelian groups, Proc. Amer.
Math. Soc, 22 A969), 434—436.
Бьюмонт, Пирс (Beaumont R» A., Pierce R. S.)
[l] Partly transitive modules and modules with proper isomorphic submodules,.
Trans. Amer. Math. Soc, 91 A959), 209—219.
[2] Partly invariant submodules of a torsion module, Trans. Amer. Math. Soc, 91
A959), 220—230.
[3] Torsion-free rings, ///. /. Math., 5 A961), 61—98.
[4] Torsion free groups of rank two, Mem. Amer. Math. Soc, № 38 A961).
[5] Subrings of algebraic number fields, Acta Sci. Math. Szeged, 22 A961), 202—216.
[6] Quasi-isomorphism of p-groups, Proc. Colloq. Abelian Groups, Budapest, 1964,
p. 13—27.
[7] Isomorphic direct summands of abelian groups, Math. Ann., 153 A964), 21—37.
[8] Some invariants of ^-groups, Mich. Math. /.,111 A964), 137—149.
[9] Quasi-isomorphism of direct sums of cyclic groups, Acta Math. Acad. Sci.
Hungar., 16 A965), 33—36*
Бьюмонт, Уиснер (Beaumont R. A., Wisner R. J.)
[1] Rings with additive group which is a torsion-free group of rank two, Acta Sci,
Math. Szeged, 20 A959), 105—116*
Бьюмонт, Цукерман (Beaumont R. A., Zuckerman H. S.)
[1] A characterization of the subgroups of the additive rationals, Pacific J. Math.*.
1 A951), 169—177.
384
Литература
Бэр (Baer R.)
[1] The decomposition of enumerable, primary, abelian groups into direct sum-
mands, Quart. J. Math. Oxford, 6 A935), 217—221.
[2] The decomposition of abelian groups into direct summands, Quart. J. Math.
Oxford, 6 A935), 222—232.
{3] Types of elements and characteristic subgroups of abelian groups, Proc London
Math. Soc, 39 A935), 481—514.
H] The subgroup of the elements of finite order of an abelian group, Ann. Math.t
37 A936), 766—781.
[5] Primary abelian groups and their automorphisms, Amer. J, Math., 59 A937),
99—117.
16] Abelian groups without elements of finite order, Duke Math. J., 3 A937),
68—122.
[7] Dualism in abelian groups, Bull. Amer. Math. Soc, 43 A937), 121 — 124.
[8] Abelian groups that are direct summands of every containing abelian group,
Bull. Amer. Math. Soc, 46 A940), 800—806.
[9] Automorphism rings of primary abelian operator groups, Ann. Math., 44
A943), 192—227.
U0] Extension types of abelian groups, Amer. J. Math., 71 A949), 461—490.
A1] Die Torsionsuntergruppe einer abelschen Gruppe, Math. Ann., 135 A958),
219 234.
{12] Partitionen abelscher Gruppen, Arch. Math., 14 A963), 73—83.
A3] Irreducible groups of automorphisms of abelian groups, Pacific J. Math.,
14 A964), 385—406.
Ванг (Wang J.S.P.)
[1] On completely decomposable groups, Proc* Amer. Math. Soc, 15 A964), 184—
186,
Вильоен (Viljoen G.)
{1] A contribution to the extensions of abelian groups, Ann* Univ. Sci. Budapest,
6 A963), 125—132.
[2] On quasi-decompositions of torsion-free abelian groups of infinite rank (to
appear).
Виноградов A. A.
[1] Квазимногообразия абелевых групп, Алгебра и логика, 4 A965), № 6, 15—19*
Вольфсон (Wolfson К. G.)
[1] Baer rings of endomorphisms, Math. Ann., 143 A961), 19—28.
e Врие, де Миранда (de Vries H., de Miranda A. B.)
[1] Groups with a small number of automorphisms, Math* Z»9 68 A958), 450—464.
Гарднер (Gardner B. J.)
[1] A note on types, Bull. Austral. Math. Soc, 2 A970), 275—276.
[2] Torsion classes and pure subgroups, Pacific J. Math., 33 A970), 109—116.
Гачайи (Gacsalyi S.)
[1] On algebraically closed abelian groups, Publ. Math. Debrecen, 2 A952), 292—
296.
[2] On pure subgroups and direct summands of abelian groups, Publ. Math.
Debrecen, 4 A955), 89—92.
[3] On limit operations in a certain topology for endomorphism rings of abelian
groups, Publ. Math. Debrecen, 7 A960), 353—358.
Голема, Хуляницкий (Golema К., Hulanicki A*)
[ 1] The structure of the factor group of the unrestricted sum by the restricted sum of
abelian groups. II, Fund. Math., 53 A963—1964), 177—185.
Литература
385
Гриффит (Griffith P.)
[1] Purely indecomposable torsion-free groups, Proc Amer. Math. Soc, 18 A967),
738—742.
[2] A counterexample to a theorem of Chase, Proc. Amer. Math. Soc, 19 A968),
923—924.
[3] Decomposition of pure subgroups of torsion free groups, ///. J. Math., 12
A968), 433—438.
[4] Transitive and fully transitive primary abelian groups, Pacific J. Math.,
25 A968), 249—254.
[5] Separability of torsion free groups and a problem of J.H.C. Whitehead, ///.
J. Math., 12 A968), 654—659.
[6] On direct sums of p-mixed groups, Arch. Math., 19 A968), 359—360.
[7] A solution to the splitting mixed group problem of Baer, Trans. Amer. Math.
Soc, 139 A969), 261—269.
[8] Extensions of free groups by torsion groups, Proc. Amer. Math. Soc, 24 A970),
677—679.
[9] On a subfunctor of Ext, Arch. Math., 21 A970), 17—22.
[ 10] Infinite abelian groups, Chicago Lectures in Mathematics, Chicago and London,
1970.
де Гроот (de Groot J.)
[1] An isomorphism criterion for completely decomposable abelian groups, Math.
Ann., 132 A956), 328—332.
[2] Indecomposable abelian groups, Proc. Ned. Akad. Wetensch., 60 A957), 137—
145.
[3] Equivalent abelian groups, Canad. J. Math., 9 A957), 291—297.
де Гроот, де Врие (de Groot J., de Vries H.)
[1] Indecomposable abelian groups with many automorphisms, Nieuw Arch. Wisk.9
6 A958), 55—57.
Гроссе (Grosse P.)
[1] Periodizitat der iterierten Homomorphismengruppen, Arch. Math., 16 A965),
393—406.
[2] Maximale, periodische KJassen abelscher Gruppen, Math. Z., 94 A966), 235—255.
[3] Ht>momorphismen endlicher Ordnung, Ann. Univ. Sci. Budapest, 10 A967),
31—35.
Грэбе (Grabe P. J.)
fl] Der iterierte Ext-Funktor, seine Periodizitat und die dadurch definierten
Klassen abelscher Gruppen, Studies on Abelian Groups, Paris, 1968, p. 131 —141.
Грэбе, Вильоен (Grabe P. J., Viljoen G.)
[1] Maximal classes of Ext-reproduced abelian groups, Bull. Soc. Math. France,
98, A970), 165—192.
Грэтцер, Шмидт (Gratzer G., Schmidt E. T.)
[1] A note on a special type of fully invariant subgroups of abelian groups, Ann.
Univ. Sci. Budapest, 3—4 A961), 85—87.
[2] On a problem of L. Fuchs concerning universal subgroups and universal homo-
morphic images of abelian groups, Proc. Ned, Akad. Wetensch., 64 A961),
253—255.
Диккер (Dicker R. M.)
[1] A set of independent axioms for a field and a condition for a group to be the
multiplicative group of a field, Proc London Math. Soc, 18 A968), 114—124.
Диксон С. (Dickson S. E.)
[1] On torsion classes of abelian groups, /. Math. Soc Japan, 17 A965), 30—35.
386
Литература
Диксон Т. (Dickson Т. J.)
[1] On a covering problem concerning abelian groups, J. London Math. Soc.y
3 A971), 222—232.
Длаб (Dlab V.)
[1] D-ранг абелевой группы (чешек.), Casopis Pest. Mat., 82 A957), 314—334.
[2] Die Endomorphismenringe abelscher Gruppen und die Darstellung von Ringen
durch Matrizenringe, Чехосл. матем. ж., 7 A957), 485—523.
[3] Заметка к теории полных абелевых групп, Чехосл. матем. ж., 8 A958),
54—61.
[4] Некоторые соотношения между системами образующих абелевых групп,
Чехосл. матем. ж., 9 A959), 161 —171.
[5] Заметка о проблеме относительно подгрупп Фраттини (чешек.), Casopis
Pest. Mat., 85 A960), 87—90.
[6] The Frattini subgroups of abelian groups, Чехосл. матем. ж., 10 A960), 1 —16.
[7] On a characterization of primary abelian groups of bounded order, /. London
Math. Soc, 36 A961), 139—144.
[8] On the dependence relation over abelian groups, Publ. Math. Debrecen, 9 A962),
75—80.
Дуглас (Douglas A. J.)
[1] The weak global dimension of the group rings of abelian groups, J. London Math.
Soc, 36 A961), 371—381.
[2] A homological characterization of certain abelian groups, Proc. Cambridge
Philos. Soc, 57 A961), 156—164.
Дуглас, Фарахат (Douglas A. J., Farahat H, K.)
[1] The homological dimension of an abelian group as a module over its ring of
endomorphisms, Monatsh. Math., 69 A965), 294—305.
Дьёдонне (Dieudonne J.)
[1] Sur les p-groupes abeliens infinis, Portugaliae Math., 11 A952), 1—5.
Дэрри (Derry D.)
[1] Cber eine Klasse von abelschen Gruppen, Proc. London Math. Soc, 43 A937),
490—506.
Дюбуа Д. (Dubois D. W.)
[1] Cohesive groups and p-adic integers, Publ. Math. Debrecen, 12 A965), 51—58,
[2] Applications of analytic number theory to the study of type sets of torsion-
free abelian groups, Publ. Math. Debrecen, 12 A965), 59—63; 13 A966), 1—8.
Дюбуа П. (Dubois P. F.)
[1] Generally pa-torsion complete abelian groups, Trans. Amer. Math. Soc, 159
A971), 245—255.
Есьманович (Jesmanowicz L.)
[1] On direct decompositions of torsion-free abelian groups, Bull. Acad. Polon.
Sci., 8 A960), 505—510.
Журавский В. С.
[1] О расщеплении некоторых смешанных абелевых групп, Матем. сб., 48 A959),
499—508.
[2] Обобщение некоторых критериев расщепления смешанных абелевых групп,
Матем. сб., 51 A960), 377—382.
[3] К вопросу о группе абелевых расширений абелевых групп, ДАН СССР, 134
A960), 29—32.
[4] О группе абелевых расширений периодической абелевой группы с помощью
абелевой группы без кручения, УМНУ 16 A961), № 4, 161 —166.
Литература
387
Зиман (Zeeman Е. С.)
[1] On direct sums of free cycles, J. London Math. Soc, 30 A955), 195—212.
Ирвин (Irwin J.)
[1] High subgroups of abelian torsion groups, Pacific J. Math., 11 A961), 1375—
1384.
Ирвин, Бенабдаллах (Irwin J. M., Benabdallah K.)
[1] On N-high subgroups of abelian groups, Bull. Soc. Math. France, 96 A968),
337—346.
Ирвин, Ито (Irwin J. M., Ito T.)
[1] A quasi-decomposable abelian group without proper isomorphic quotient groups
and proper isomorphic subgroups, Pacific J. Math., 29 A969), 151 —160;
J. Fac. Sci. Hokkaido Univ., 20 A969), 194—203.
Ирвин, Кхаббаз (Irwin J. M., Khabbaz S. A.)
[1] On generating subgroups of abelian groups, Proc. Colloq. Abelian Groups,
Budapest, 1964, p. 87—97.
Ирвин, Кхаббаз, Райна (Irwin J. M., Khabbaz S. A., Rayna G.)
[1] The role of the tensor product in the splitting of abelian groups, J. Algebra,
14 A970), 423—442.
[2] On a submodule of Ext, J. Algebra, 19 A971), 486—495.
Ирвин, О'Нейл (Irwin J. M., O'Neill J. D.)
[1] On direct products of abelian groups, Canad. J. Math., 22 A970), 525—544,
Ирвин, Пирси, Уокер Э. (Irwin J., Peercy С., Walker E.)
[1] Splitting properties of high subgroups, Bull. Soc. Math. France, 90 A962),
185—192.
Ирвин, Ричмен (Irwin J. M., Richman F.)
[1] Direct sums of countable groups and related concepts, /. Algebra, 2 A965),
443—450.
Ирвин, Ричмен, Уокер Э. (Irwin J. M., Richman F., Walker E. A.)
[1] Countable direct sums of torsion complete groups, Proc. Amer. Math. Soc.y 17
A966), 763—766.
Ирвин, Сванек (Irwin, J., Swanek J.)
[1] On purifiable subsocles of a primary abelian group, Canad. J. Math., 23 A971),
48—57.
Ирвин, Уокер К., Уокер Э. (Irwin J. М., Walker С, Walker Е. А.)
[1] On pa-pure sequences of abelian groups, Topics in Abelian Groups, Chicago,
Illinois, 1963, p. 69—119.
Ирвин, Уокер Э. (Irwin J. M., Walker E. A.)
[1] On W-high subgroups of abelian groups, Pacific J. Math., 11 A961), 1363—1374,
[2] On isotype subgroups of abelian groups, Bull. Soc. Math. France, 89 A961),
451—460.
Йонсон (Jonsson B.)
[1] On direct decompositions of torsion-free abelian groups, Math. Scand.t 5,
A957), 230—235.
[2] On direct decompositions of torsion free abelian groups, Math. Scand., 7 A959),
361—371.
388
Литература
Калужнин Л. А.
[1] Bemerkung zu einer Arbeit von Herrn A. Kurosch, Abh. Math. Sem. Univ.
Hamburg, 12 A938), 247—255.
[2] Sur les groupes abeliens primaires sans elements de hauteur infinite, C. R. Acad.
Sci. Paris, 225 A947), 713—715.
Капланский (Kaplansky I.)
[1] A note on groups without isomorphic subgroups, Bull. Amer. Math. Soc, 51
A945), 529—530.
[2] Some results on abelian groups, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 38 A952), 538—540.
[3] Infinite abelian groups, University of Michigan Press, Ann Arbor, Michigan,
1954 and 1969.
[4] Projective modules, Ann. of Math., 68 A958), 372—377.
Капланский, Макки (Kaplansky I., Mackey G. W.)
[1] A generalization of Ulm's theorem, Summa Brasil. Math., 2 A951), 195—202.
Каргаполов M. И.
[1] К элементарной теории абелевых групп, Алгебра и логика, 1 A962—1963),
№ 6, 26—36.
Кастанья (Castagna F.)
[1] Sums of automorphisms of a primary abelian group, Pacific J. Math., 27
A968), 463—473.
Катлер (Cutler D. O.)
fl] Quasi-isomorphisms for infinite abelian p-groups, Pacific J. Math., 16 A966),
25—45.
[2] Another summable CQ-group, Proc. Amer. Math. Soc, 26 A970), 43—44.
[3] On the structure of primary abelian groups of countable Ulm type, Trans. Amer.
Math. Soc, 152 A970), 503—518.
Катлер, Дюбуа П. (Cutler D. О., Dubois P. F.)
[1] A generalization of final rank of primary abelian groups, Canad. J. Math., 22
A970), 1118—1122.
Катлер, Стринголл (Cutler D. O., Stringall R. W.)
[1] A topology for primary abelian groups, Studies on Abelian Groups, Paris,
1968, p. 93—100.
Катлер, Уинтроп (Cutler D. O., Winthrop J.)
f 1] A note on a paper of Paul Hill and Charles Megibben, Proc Amer. Math. Soc,
22 A969), 428—429.
Като (Kato K.)
II] On abelian groups every subgroup of which is a neat subgroup, Comment. Math.
Univ. St. Pauli, 15 A967), 117—118.
Кауп, Кин (Каир L., Keane M. S.)
[1] Induktive Limiten endlich erzeugter freier Moduln, Manuscripta Math., 1
A969), 9—21.
Кертес (Kertesz A.)
A] On the decomposability of abelian p-groups into the direct sum of cyclic groups,
Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 3 A952), 122—126.
12] On fully decomposable abelian torsion groups, Acta Math. Acad. Sci. Hungar.,
3 A952), 225—232.
Литература
389
[3] On a theorem of Kulikov and Dieudonne, Acta Sci. Math. Szeged, 15 A953),
61—69.
[4] On subgroups and homomorphic images, Publ. Math. Debrecen, 3 A953), 174—
179.
[5] Zur Frage der Spaltbarkeit von Ringen, Bull. Acad. Polon. Sci., 12 A964),
91—93.
Кертес, Селе (Kertesz A., Szele T.)
[1] On abelian groups every multiple of which is a direct summand, Acta Sci. Math,
Szeged, 14 A952), 157—166.
[2] Abelian groups every finitely generated subgroup of which is an endomorphic
image, Acta Sci. Math. Szeged, 15 A953), 70—76.
[3] On the existence of non-discrete topologies in infinite abelian groups, PubL
Math. Debrecen, 3 A953), 187—189.
[4] Об обобщенных р-группах (венг.), Acta Univ. Debrecen, 2 A955), 1—5.
Кёлер (Koehler J.)
[1] Some torsion-free rank two groups, Acta Sci. Math. Szeged., 25 A964), 186—
190.
[2] The type set of a torsion-free group of finite rank, ///. J. Math., 9 A965),
66—86.
Кильп M. A.
[1] Квазиинъективные абелевы группы, Вести, Моек, ун-та, мат.у мех., 22
A967), № 3, 3—4.
Кишкина 3. М*
[1] Эндоморфизмы ^-примитивных абелевых групп без кручения, Изв. АН СССР,
сер. матем., 9 A945), 201—232.
Клаборн (Claborn L.)
[1] Every abelian group is a class group, Pacific J. Math., 18 A966), 219—-222,
Клей (Clay J. R.)
[1] The group of left distributive multiplications on an abelian group, Acta Math*
Acad. Sci. Hungar., 19 A968), 221—227.
Кляцкая Л* M*
[1] Абелев1 групи, в яких доповиються Bci максимальш шдгрупи ({иксованого
сличенного рангу, Ronoeidi АН УРСР, 1968, 803—806.
[2] Aбeлeвi групи несюнченного рангу з деякою системою доповнюваних шдгруп
нескшченного рангу, Ronoeidi АН УРСР, 1969, 586—588.
Ковач (Kovacs L.)
[1] On' subgroups of the basic subgroup, Publ. Math. Debrecen, 5 A958), 261—264,
[2] On a paper of Ladislav Prochazka, Чехосл. матем. ж., 13 A963), 612—618.
[3] Admissible direct decompositions of direct sums of abelian groups of rank one,
Publ. Math. Debrecen, 10 A963), 254—263.
Колеттис (Kolettis G* Jr.)
[1] Direct sums of countable groups, Duke Math. J., 27 A960), 111 — 125.
[2] Semi-complete primary abelian groups, Proc. Amer. Math. Soc, 11 A960),
200—205.
[3] Homogeneously decomposable modules, Studies on Abelian Groups, Paris,
1968, p. 223—238.
Кон (Cohn P. M.)
[1] The complement of a finitely generated direct summand of an abelian group,
Proc. Amer. Math. Soc, 7 A956), 520—521.
390
Литература
[2] Eine Bemerkung iiber die multiplikative Gruppe eines Korpers, Arch. Math.,
13 A962), 344—348.
Корнелиус (Cornelius E. F., Jr.)
[1] Note on quasi-decompositions of irreducible groups, Proc Amer. Math. Soc,
26 A970), 33—36.
Корнер (Corner A.L.S.)
[1] A note on rank and direct decompositions of torsion-free abelian groups, Proc.
Cambridge Philos. Soc., 57 A961), 230—233; 66 A969), 239—240.
[2] Wildly embedded subgroups of complete direct sums of abelian groups, Proc.
Cambridge Philos. Soc, 59 A963), 249—251.
[3] Every countable reduced torsion-free ring is an endomorphism ring, Proc.
London Math. Soc, 13 A963), 687—710.
[4] On a conjecture of Pierce concerning direct decompositions of abelian groups,
Proc. Colloq. Abelian Groups, Budapest, 1964, p. 43—48.
[5] Three examples on hopficity in torsion-free abelian groups, Acta Math. Acad.
Sci. Hungar., 16 A965), 303—310.
[6] Endomorphism rings of torsion-free abelian groups, Proc. Internat. Conf.
Theory Groups, New York, London, Paris, 1967, p. 59—69.
[7] On endomorphism rings of primary abelian groups, Quart. J. Math. Oxford,
20 A969), 277—296.
[8] Endomorphism algebras of large modules with distinguished submodules,
/. Algebra, 11 A969), 155—185.
Корнер, Кроули (Corner A. L. S., Crawley P.)
[1] An abelian p-group without the isomorphic refinement property, Bull. Amer.
Math. Soc, 74 A968), 743—746.
Коэн (Cohen D. E.)
f 1] On abelian group algebras, Math. Z.t 105 A968), 267—268,
Кояма (Koyama T.)
[1] On quasi-closed groups and torsion complete groups, BulL Soc. Matht France,
95 A967), 89—94.
Кояма, Ирвин (Koyama Т., Irwin J.)
[1] On topological methods in abelian groups, Studies on Abelian Groups, Paris,
1968, p. 207—222.
Кроули (Crawley P.)
[1] An infinite primary abelian group without proper isomorphic subgroups, Bull.
Amer. Math. Soc, 68 A962), 463—467.
[2] Solution of Kaplansky's Test Problems for primary abelian groups, /. Algebra,
2 A965), 413—431.
[3] The cancellation of torsion abelian groups in direct sums. /. Algebra, 2 A965),
432—442.
[4] An isomorphic refinement theorem for certain abelian p-groups, /. Algebra, 6
A967), 376—387.
[5] Abelian p-groups determined by their Ulm sequences, Pacific J. Math., 22
A967), 235—239.
Кроули, Йонсон (Crawley P., Jonsson B.)
[1] Refinements for infinite direct decompositions of algebraic systems, Pacific
J. Math., 14 A964), 797—855.
Кроули, Меджиббен (Crawley P., Megibben C.)
[1] A simple construction of bizarre abelian groups (to appear).
Литература
391
Кроули, Хэйлс (Crawley P., Hales A. W.)
[1] The structure of torsion abelian groups given by presentations, Bull. Amer.
Math. Soc, 74 A968), 954—956.
[2] The structure of abelian p-groups given by certain presentations, Л Algebra,
12 A969), 10—23, and 18 A971), 264—268.
Круддис (Cruddis Т. B.)
[1] On a class of torsion-free abelian groups, Proc. London Math. Soc, 21 A970),
243—276.
Круль (Krol M*)
[1] Separable groups. I, Bull. Acad. Polon. Sci., 9 A961), 337—344.
[2] The automorphism groups and endomorphism rings of torsion-free abelian
groups of rank two, Dissertationes Math., 55 (Warsaw, 1967).
Круль, Сонсяда (Krol M., S^siada E.)
[1] The complete direct sums of torsion-free abelian groups of rank one which are
separable, Bull. Acad. Polon. Sci., 8 A960), 1—2.
Куликов Л* Я.
[1] К теории абелевых групп произвольной мощности, Матем. сб., 9 A941),
165—182.
[2] К теории абелевых групп произвольной мощности, Матем. сб., 16 A945),
129—162.
[3] Обобщенные примарные группы, Труды Моск. матем. об-ва, 1 A952), 247—
326; 2 A953), 85—167.
[4] О прямых разложениях групп, У/с/?, матем. ж., 4 A952), 230—275, 347—372.
[5] О прямых разложениях одной смешанной абелевой группы, РиЫ. Math.
Debrecen, 4 A956), 512—516.
[6] Универсально полные абелевы группы, Труды III Всесоюзн. матем. съезда,
Москва, 1956, стр. 26—28.
Курош А. Г.
[1] Zur Zerlegung unendliche Gruppen, Math. Ann., 106 A932), 107—113.
[2] Primitive torsionsfreie abelsche Gruppen vom endlichen Range, Ann. of Math.9
38 A937), 175—203.
[3] Теория групп, Москва, 1953 и 1967*
Кхаббаз (Khabbaz S» А*)
[1] Abelian torsion groups having a minimal system of generators, Trans. Amer.
Math. Soc, 98 A961), 527—538.
[2] On a theorem of Charles and Erdelyi, Bull. Soc. Math. France, 89 A961), 103—
104.
[3] The subgroups of a divisible group G which can be represented as intersections of
divisible subgroups of G, Pacific J. Math., 11 A961), 267—273.
[4] On the decomposability of abelian groups, /. London. Math. Soc, 38 A963),
137—147.
Кхаббаз, Уокер Э. (Khabbaz S. A., Walker E. A.)
ll] The number of basic subgroups of primary groups, Acta Math. Acad. Sci. Hun-
gar., 15 A964), 153—155.
Кэмпбелл (Campbell M. O'N.)
[l] Countable torsion-free abelian groups, Proc London, Math. Soc, 10 A960),
1—23.
Лай (Ligh S.)
[1] A note on the splitting problem of mixed abelian groups, Nieuw Arch. Wisk.,
16 A968), 15—18.
392
Лутература
Леви (Levi F. W.)
[ 1] Abelsche Gruppen mit abzahlbaren Elementen, Habilitationsschrift,
Leipzig, 1917.
[2] The ring of endomorphisms for which every subgroup of an abelian group is
invariant, /. Indian Math. Soc.y 10 A946), 29—31.
Левис (Lewis P. E.)
[1] Characters of abelian groups, Amer. J. Math., 64 A942), 81 — 105.
Лептин (Leptin H.)
[1] Zur Theorie der uberabzahlbaren abelschen p-Gruppen, Abh. Math. Sem. Univ.
Hamburg, 24 A960), 79—90.
[2] Abelsche p-Gruppen und ihre Automorphismengruppen, Math. Z., 73 A960),
235-253.
[3] Eine Charakterisierung gewisser abelscher p-Gruppen, Arch. Math., 13 A962),
82—85.
[4] Einige Bemerkungen uber die Automorphismen abelscher p-Gruppen, Proc.
Colloq. Abelian Groups, Budapest, 1964, p. 99 —104.
Либерт (Liebert W.)
[1] Charakterisierung der Endomorphismenringe endlicher abelscher Gruppen,
Arch. Math., 18 A967), 128—135.
[2] Charakterisierung der Endomorphismenringe beschrankter abelscher Gruppen,
Math. Ann., 174 A967), 217—232.
[3] Die minimalen Ideale der Endomorphismenringe abelscher p-Gruppen, Math. Z.,
97 A967), 85—104.
[4] Endomorphism rings of abelian p-groups, Studies on Abelian Groups, Paris,
1968, p. 239—258.
[5] Characterization of the endomorphism rings of divisible torsion modules and
reduced complete torsion-free modules over complete discrete valuation rings,
Pacific J. Math., 37 A971), 141 — 170.
ван Лиувен (van Leeuwen L. C. A.)
[1] A note on a maximal periodic class of abelian groups, Arch. Math., 18 A967),
571—576.
[2] On torsion-free cotorsion groups, Indagationes Math., 31 A969), 388—393.
Лоувер, Тубасси (Lawver D. A., Toubassi E. H.)
[1] Tensor products and the splitting of abelian groups, Canad. J. Math., 23
A971), 764—770.
Лось (Los J.)
[1] On the complete direct sum of countable abelian groups, Publ. Math. Debrecen,
3 A954), 269—272.
[2] On torsion-free abelian groups with hereditarily generating sequences, Bull.
Acad. Polon. Sci., 4 A956), 169—171.
[3] Abelian groups that are direct summands of every abelian group which contains
them as pure subgroups, Bull. Acad. Polon. Sci., 4 A956), 73; Fund. Math., 44
A957), 84—90.
[4] Linear equations and pure subgroups, Bull. Acad. Polon. Sci., 7 A959), 13—18.
[5] Generalized limits in algebraically compact groups, Bull. Acad. Polon. Sci., 7
A959), 19—21.
Лось, Сонсяда, Сломинский (Los J., Sqsiada Eif Slominski Z.)
[1] On abelian groups with hereditarily generating systems, Publ. Math. Debrecen, 4
A956), 351—356.
Лунстра (Loonstra F.)
[1] Ordering of extensions, Proc. Internat. Conf. Theory Groups, New York,
London, Paris, 1967, p. 225—231.
Литература
393
Ляпин Е. С.
[1] О разложении абелевых групп без кручения, имеющих конечный ранг, в
прямую сумму групп первого ранга, Матем. сб., 3 A938), 167—177.
[2] О разложении абелевых групп в прямую сумму групп первого ранга, Изв.
АН СССР, сер. матем., 1939, 141 — 148.
[3] Некоторые свойства разложений абелевых групп без кручения в прямые
суммы, ДАН СССР, 24 A939), 8—10.
[4] Разложение исчислимых абелевых групп без кручения в прямые суммы групп
первого ранга, ДАН СССР, 24 A939), 11 — 13.
[5] О разложении абелевых групп в прямые суммы рациональных групп, Матем.
сб., 8 A940), 205—237.
Мадер (Mader А.)
[ 1] On the automorphism group and the endomorphism ring of abelian groups, Ann.
Univ. Sci. Budapest, 8 A965), 3—12.
[2] On the normal structure of the automorphism group and the ideal structure of
the endomorphism ring of abelian p-groups, Publ. Math. Debrecen, 13 A966),
123—137.
[3] A characterization of completions of direct sums of cyclic groups, Bull. Acad.
Polon. Sci., 15 A967), 231—233.
[4] Extensions of abelian groups, Studies on Abelian Groups, Paris, 1968,
p. 259—266.
[5] The group of extensions of a torsion group by a torsion free group, Arch. Math.,
20 A969), 126—131.
[6] The fully invariant subgroups of reduced algebraically compact group, Publ.
Math. Debrecen, 17 A970), 299—306.
Майне (Mines R.)
[1] Torsion and cotorsion completions, Studies on Abelian Groups, Paris, 1968,
p. 301—303.
[2] A family of functors defind on generalized primary groups, Pacific J. Math.,
26 A968), 349—360.
Маклейн (MacLane S.)
[1] Duality for groups, Bull. Amer. Math. Soc, 56 A950), 485—516.
[2] Quelques theoremes et problemes sur le groupe des extensions des groupes
abeliens. Sem. P. Dubreil et С Pisot, 1955—1956, № 23.
[3] Group extensions by primary abelian groups, Trans. Amer. Math. Soc, 95
A960), 1 — 16.
Мальцев А. И.
[1] Абелевы группы конечного ранга без кручения, Матем. сб., 4 A938), 45—68.
Маранда (Maranda J. М.)
[1] On pure subgroups of abelian groups, Arch. Math., 11 A960), 1 —13.
Maypep (Maurer I. G.)
[1] Uber im Endomorphismenringe einer abelschen Gruppe definierte unendliche
Reihen und Produkte, Acta Sci. Math. Szeged, 23 A962), 171 — 175.
Мацуда (Matsuda R.)
[1] On Problem 36 of Fuchs L., Abelian Groups, Comment. Math. Univ. St. Pauli,
17 A969), 83.
Меджиббен (Megibben C.)
[1] A note on a paper of Bernard Charles, Bull. Soc. Math. France, 91 A963),
453—454.
[2] Kernels of purity in abelian groups, Publ. Math. Debrecen, 11 A964), 160—164-
[3] On high subgroups, Pacific J. Math., 14 A964), 1353—1358.
394
Литература
[4] On subgroups of primary abelian groups, Publ. Math. Debrecen, 12 A965),
293—294.
[5] Large subgroups and small homomorphism, Michigan Math. J., 13 A966),
153—160.
[6] On mixed groups of torsion-free rank one, ///. /. Math., 11 A967), 134—144.
[7] Modules over an incomplete discrete valuation ring, Proc. Amer. Math. Soc.t
19 A968), 450—452.
18] On a theorem of Cutler, Canad. Math. Bull., 12 A969), 225—227.
[9] The generalized Kulikov criterion, Canad. J. Math., 21 A969), 1192—1208.
A0] A nontransitive, fully transitive primary group, /. Algebra, 13 A969), 571 —
574.
{11] On certain subsocles of a primary abelian group, Bull. Soc. Math. France, 97
A969), 285—287.
[12] A generalization of the classical theory of primary groups, Tohoku Math. J.t
22 A970), 347—356.
Митчел A. (Mitchell A. R.)
[1] Some properties of upper basic subgroups, Ann. Univ. Sci. Budapest, 10 A96 7),
3—11.
Митчел А., Митчел P. (Mitchell A. R., Mitchell R. W.)
[1] Disjoint basic subgroups, Pacific J. Math., 23 A967), 119—127,
{2] Some structure theorems for infinite abelian p-groups, /. Algebra, 5 A967),
367—372.
Мишина А. П.
[1] О полных прямых суммах абелевых групп без кручения первого ранга, У/с/?.
машем, ж., 2 A950), №4, 64—70.
[3] Некоторые условия расщепления смешанных абелевых групп, Укр. матем.
ж., 3 A951), 218—232.
{3] Об изоморфизме полных прямых сумм абелевых групп без кручения ранга 1,
Матем. сб., 31 A952), 118—127.
[4] О прямых слагаемых полных прямых сумм абелевых групп без кручения
ранга 1, Сиб. матем. ж., 3 A962), 244—249.
{5] Сепарабельность полных прямых сумм абелевых групп без кручения ранга 1,
ДАН СССР, 143 A962), 275—276; Матем. сб., 57 A962), 375—383.
[6] Об автоморфизмах и эндоморфизмах абелевых групп, Вестн. Моск. ун-та,
Матем., мех., 1962, № 4, 39—43.
Монк (Monk G. S.)
A] One-sided ideals in the endomorphism ring of an abelian p-group, Acta Math.
Acad. Sci. Hungar., 19 A968), 171 — 185.
[2] Abelian p-groups without proper isomorphic pure dense subgroups, ///, /. Math.,
14 A970), 164—177.
{3] Essentially indecomposable abelian p-groups, J. London. Math. Soc, 3 A971),
341—345.
Мышкин В. И.
{1] Однородные сепарабельные абелевы группы без кручения, Матем. сб., 64
A964), 3—9.
{2] Про один клас нерозщеплюваних зм1шаних абелевих груп. Ronoeidi АН
УРСР, 1964, 1572—1574.
[3] Про зчисленш абелев1 групи рангу 1, Ronoeidi АН УРСР, 1965, 974—977.
{4] Об одном классе смешанных абелевых групп с примарной периодической
частью, Изв. АН СССР, сер. матем., 30 A966), 789—824.
[5] Счетные абелевы группы ранга 1, Матем. сб., 76 A968), 435—448.
[6] Мероморфные подпрямые разложения смешанных абелевых групп, Сиб.
матем. ж., 12 A971), 812—818.
Литература
395
Мэй (May W.)
[1] Commutative group algebras, Trans. Amer. Math. Soc, 136 A969), 139—149.
[2] Unit groups of infinite abelian extensions, Proc. Amer. Math. Soc, 25 A970),
680—683.
[3] Multiplicative groups of fields, Proc. London Math. Soc, 24 A972), 295—306.
[4] Isomorphism of group algebras (to appear).
Нейман Б., Нейман X. (Neumann В* H«, Neumann Н.)
[1] On a class of abelian groups, Arch* Math.9 4 A953), 79—85.
Нёбелинг (Nobeling G.)
[1] Verallgemeinerung eines Satzes von Herrn E* Specker, Invent. Math., 6 A968),
41—55.
Нунке (Nunke R. J.)
[l] Modules of extensions over Dedekind rings, Illinois J. Math., 3A959), 222—241.
[2] Slender groups, Bull. Amer. Math. Soc, 67 A961), 274—275; Acta Sci. Math.
Szeged., 23 A962), 67—73.
[3] A note on abelian group extensions, Pacific J. Math., 12 A962), 1401 — 1403.
[4] On direct products of in finite cyclic groups, Proc. Amer. Math. Soc, 13 A962),
66—71.
[5] Purity and subfunctors of the identity, Topics in Abelian Groups, Chicago,
Illinois, 1963, p. 121 — 171.
[6] On the structure of Tor, Proc. Colloq. Abelian Groups, 115—124 (Budapest,
1964); Pacific J. Math., 22 A967), 453—464.
[7] Homology and direct sums of countable abelian groups, Math. Z., 101 A967),
182—212.
[8] A note on endomorphism rings of abelian p-groups, Studies on Abelian Groups,
305—308 (Paris, 1968).
Оппельт (Oppelt J. A.)
[1] On p-mixed abelian groups, Proc. Amer. Math. Soc, 18 A967), 344—346.
[2] A decomposition of mixed abelian groups, Trans. Amer. Math. Soc, 127 A967),
341—348.
[3] Mixed abelian groups, Canad. J. Math., 19 A967), 1259—1262.
Орсатти (Orsatti A.)
[1] Alcuni gruppi abeliani il cui anello degli endomorfismi ё locale, Rend. Sem.
Mat. Univ. Padova, 35 A965), 107—115.
[2] Su di un problema di T. Szele e J. Szendrei, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova,
35 A965), 171 — 175.
[3] Un lemma di immersione per i gruppi abeliani senza elementi di altezza
infinite, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 38 A967), 1 — 13.
[4] Una caratterizzazione dei gruppi abeliani compatti о localmente compatti nella
topologia naturale, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 39 A967), 219—225.
[5] Una proprieta caratteristica dei gruppi abeliani torsionalmente completi,
Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 42 A969), 325—328.
[6] A class of rings which are the endomorphism rings of some torsion-free abelian
groups, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, 23 A969), 143—153.
[7] Sui gruppi abeliani ridotti che ammettono una unica topologica compatta,
Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 43 A970), 341—347.
Папп (Papp Z.)
[1] On the closure of the basic subgroup, PubL Math. Debrecen, 5 A958), 256—260.
Паркер, Уокер Э. (Parker L. D», Walker E. A.)
[1] An extension of the Ulm-Kolettis theorems, Studies on Abelian Groups, Paris,
1968, p. 309—325.
396
Литература
Парр (Parr J. Т.)
[1] Endomorphism rings of rank two torsion-free abelian groups, J. London Math.
Soc, 22 A971), 611—632.
Пирс (Pierce R. S.)
[1] Homomorphisms of primary abelian groups, Topics in Abelian Groups, Chicago,
Illinois, 1963, p. 215—310.
[2] Centers of purity in abelian groups, Pacific J. Math., 13 A963), 215—219.
[3] Endomorphism rings of primary abelian groups, Proc. Colloq. Abelian Groups,
Budapest, 1964, p. 125—137.
Понтрягин Л. С.
[I] The theory of topological commutative groups, Ann. of Math., 35 A934),
361—388.
Прохазка (Prochazka L.)
[1] Заметка о расщепляемости смешанных абелевых групп, Чехосл. матем. ж.у
10 A960), 479—492.
[2] К проблеме расщепления некоторых абелевых расширений расщепляемых
абелевых групп, Чехосл. матем. ж., И A961), 365—380; 13 A963), 322—323.
[3] О расщепляемости факторгрупп абелевых групп без кручения конечного
ранга, Чехосл. матем. ж., 11 A961), 521—557.
[4] Заметка о факторно-расщепляемых абелевых группах, Casopis Pest. Mat.>
87 A962), 404—414.
[5] О /7-ранге абелевых групп без кручения конечного ранга, Чехосл. матем. ж.у
12 A962), 3—43.
[6] Заметка о структуре факторгрупп абелевых групп без кручения
конечного ранга, Чехосл. матем. ж., 12 A962), 529—535.
[7] Условия разложимости в прямую сумму некоторых абелевых групп без
кручения ранга два, Mat. Fyz. Casopis Slovak. Akad. Vied, 12 A962), 166—
202.
[8] Note on quasi-isomorphism of torsion free abelian groups of finite rank,
Comment. Math. Univ. Carolinae, 3 A962), 18—19.
[9] Bemerkung iiber den p-Rang torsionsfreier abelscher Gruppen unendlichen
Ranges, Чехосл. матем. ж., 13 A963), 1—23.
[10] A generalization of a theorem of R. Baer, Comment. Math. Univ. Carolinae, 4
A963), 105—108.
[II] Об однородных абелевых группах без кручения, Чехосл. матем. ж., 14
A964), 171—202.
[12] A note on quasi-isomorphism of torsion free abelian groups of finite rank,
Чехосл. матем. ж., 15 A965), 1—8.
[13] Заметка о m-сепарабельных абелевых группах без кручения, Чехосл.
матем. ж., 15 A965), 526—539.
[14] Ober eine Klasse torsionsfreier abelscher Gruppen, Casopis Pest. Mat., 90
A965), 153—159.
[15] A note on quasi-splitting af abelian groups, Comment. Math. Univ. Carolinae,
7 A966), 227—235.
[16] Расширения расщепляемых групп при помощи полных примарных групп,
Comment. Math. Univ. Carolinae, 7 A966), 429—445.
[17] Прямые суммы групп типа Р+, Comment. Math. Univ. Carolinae, 8 A967),
85—114.
[18] Расширения абелевых групп при помощи групп периодических, Чехосл.
матем. ж., 17 A967), 12—27.
[19] Заметка о прямых суммах групп типа Р+, Чехосл. матем. ж., 17 A967),
28—35.
[20] A note on free abelian groups, Comment. Math. Univ. Carolinae, 10 A969),
567—569.
[21] A note on completely decomposable torsion free abelian groups, Comment.
Math. Univ. Carolinae, 10 A969), 141 — 161.
Литература
397
[22] Concerning almost divisible torsion free abelian groups, Comment. Math. Univ.
Carolinae, 12 A971), 23—31.
Прюфер (Prufer H.)
[1] Unendliche abelsche Gruppen von Elementen endlicher Ordnung, Dissertation
(Berlin, 1921).
[2] Untersuchungen uber die Zerlegbarkeit der abzahlbaren primaren abelschen
Gruppen, Math. Z., 17 A923), 35—61.
[3] Theorie der abelschen Gruppen. I.4 Grundeigenschaften, Math. Z., 20 A924),
165—187; II. Ideale Gruppen, ibid., 22 A925), 222—249.
Пьетрковский (Pietrkowski S.)
[1] Theorie der unendlichen abelschen Gruppen, Math. Ann., 104 A931), 535—569.
[2] Untergruppen und Quotientengruppen unendlicher abelscher Gruppen, Math.
Ann., 105 A931), 666—671.
Радо (Rado R.)
[1] A proof of the basis theorem for finitely generated abelian groups, J. London
Math. Soc, 26 A951), 74—75, 160.
Рангасвами (Rangaswamy К. M.)
[1] Neat subgroups of abelian groups, J. Madras Univ., B33 A963), 129—135.
[2] On 2-groups, Bull. Soc. Math. France, 92 A964), 259—262.
[3] Extension theory of abelian groups, Math. Student, 32 A964), 11 —16.
[4] A note on algebraic compact groups, Bull. Acad. Polon. Sci., 12 A964), 369 —
371.
[5] Full subgroups of abelian groups, Indian J. Math., 6 A964), 21—27.
[6] Characterisation of intersections of neat subgroups of abelian groups, /. Indian
Math. Soc, 29 A965), 31—36.
[7] Groups with special properties, Proc. Nat. Inst. Sci. India, Л31 A965), 513—
526.
[8] Abelian groups with endomorphic images of special types, /. Algebra, 6
A967), 271—280.
[9] Representing Baer rings as endomorphism rings, Math. Ann., 190 A970),
167—176.
[10] Regular and Baer rings, Proc. Amer. Math. Soc, 42 A974), № 2, 354—358.
Редей, Селе (Redei L., Szele T.)
[1] Die Ringe «ersten Ranges», Acta Sci. Math. Szeged, 12A A950), 18—29.
Рейд Г. Э. (Reid G. A.)
[1] Almost free abelian groups, Lecture Notes, Tulane University, 1966—1967.
Рейд Дж. Д. (Reid J. D.)
[1] A note on torsion-free abelian groups of infinite rank, Proc. Amer. Math. Soc,
13 A962), 222—225.
[2] On quasi-decompositions of torsion-free abelian groups, Proc Amer. Math. Soc,
13 A962), 550—554.
[3] On subgroups of an abelian group maximal disjoint from a given subgroup,
Pacific J. Math., 13 A963), 657—663.
[4] On the ring of quasi-endomorphisms of a torsion-free group, Topics in Abelian
Groups, Chicago, Illinois, 1963, p. 51—69.
[5] On subcommutative rings, Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 16 A965), 23—26.
Ри, Уиснер (Ree R., Wisner R. J.)
[1] A note on torsion-free nil groups, Proc. Amer, Math. Soc, 7 A956), 6—8.
Ричмен (Richman F.)
[1] Thin abelian groups, Pacific Л Math., 27 A968), 599—606.
398
Литература
[2] A class of rank 2 torsion free groups, Studies on Abelian Groups, Paris, 1968,.
p. 327—333.
[3] Extensions of p-bounded groups, Arch. Math., 21 A970), 449—454.
Ричмен, Уокер К* (Richman F., Walker C. P.)
[1] On a certain purification problem for primary abelian groups, Bull. Soc Math.
France, 94 A966), 207—210.
Ричмен, Уокер К., Уокер Э. (Richman F.f Walker С, Walker E. A.)
[1] Projective classes of abelian groups, Studies on Abelian Groups, Paris, 1968,
p. 335—343.
Ричмен, Уокер Э. (Richman F., Walker E. A.)
[1] Primary abelian groups as modules over their endomorphism rings, Math. Z., 89s
A965), 77—81.
[2] Cotorsion free, an example of relative injectivity, Math. Z., 102A967), 115—117.
[3] Extending Ulm's theorem without group theory, Proc. Amer. Math. Soc, 21
A969), 194—196.
де Робер (de Robert E.)
[1] Generalisation d'un theoreme de T. Szele et d'un prohleme de L. Fuchs,
С R. Acad. Sci. Paris, 263 A966), A237—240.
Ротман (Rotman J.)
[1] A note on completions of modules, Proc. Amer. Math. Soc, 11 A960), 356—360.
[2] Torsion-free and mixed abelian groups, ///. /. Math., 5 A961), 131 — 143.
[3] On a problem of Baer and a problem of Whitehead in abelian groups, Acta Math.
Acad. Sci. Hungar., 12 A961), 245—254.
[4] The Grothendieck group of torsion-free abelian groups of finite rank, Proc.
London Math. Soc, 13 A963), 724—732.
Ротман, Йен (Rotman J., Yen T.)
[1] Modules over a complete discrete valuation ring, Trans. Amer. Math. Soc, 95
A961), 242—254.
Pox (Roch G.)
[1] Konvergenzfreie p-Gruppen, Publ. Math. Debrecen, 8 A961), 315—325.
Рохлина В. С.
[1] Некоторые классы абелевых групп, Матем. сб., 83 A970), 214—221.
Рудык Б. М.
[1] К теории расщепляемости смешанных абелевых групп, Вестн. Моск. ун-та,
матем., механ., 1965, № 3, 20—27.
Саббах (Sabbagh G.)
[1] How not to characterize the multiplicative groups of fields, /. London Math.
Soc, 1 A969), 369—370.
Сандс (Sands A. D.)
[1] The factorisation of abelian groups, Quart. J. Math. Oxford, 10 A959), 81 —
91; 13 A962), 45—54.
Cac (Szasz F. A.)
[1] Die abelschen Gruppen, deren voile Endomorphismenringe die Minimalbedin-
gung fur Hauptrechtsideale erfullen, Monatsh. Math., 65 A961), 150—153.
[2] Uber Artinsche Ringe, Bull. Acad. Polon. Sci., 11 A963), 351—354.
Литература
399
Сегал (Sehgal S. К.)
[I] Units in commutative integral group rings, Math. J. Okayama Univ., 14 A970),
135—138.
Селе (Szele T.)
[1] Die abelschen Gruppen ohne eigentliche Endomorphismen, Acta Sci. Math,
Szeged., 13 A949), 54—56.
[2] Sur la decomposition des groupes abeliens C. R. Acad. Sci. Paris, 229 A949),
1052—1053.
[3] Zur Theorie der Zeroringe, Math. Ann., 121 A949), 242—246.
[4] Uber die abelschen Gruppen mit nullteilerfreiem Endomorphismenring,
Publ. Math. Debrecen, 1 A949), 89—91.
[5] Gruppentheoretische Beziehungen der Primkorper, Mat. Aineiden Aikakauski-
rja, 13 A949), 80—85.
[6] Ein Analogon der Korpertheorie fur abelsche Gruppen, /. Reine Angew. Math.,
188 A950), 167—192.
[7] Gruppentheoretische Beziehungen bei gewissen Ringkonstruktionen, Math. Z.y
54 A951), 168—180.
[8] On direct sums of cyclic groups, Publ. Math. Debrecen, 2 A951), 76—78.
[9] On a theorem of Pontrjagin, Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 2 A951), 121 —
123.
[10] On groups with atomic layers, Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 3 A952),
127—129.
[II] On non-countable abelian p-groups, Publ. Math. Debrecen, 2 A952), 300—30L
[12] On direct sums of cyclic groups with one amalgamated subgroup, Publ. Math,
Debrecen, 2 A952), 302—307.
[13] On direct decompositions of abelian groups, /. London. Math. Soc, 28 A953),
247—250.
[14] On the basic subgroups of abelian p-groups, Acta Math. Acad. Sci. Hungar.y
5 A954), 129—141.
[15] Nilpotent Artinian rings, Publ. Math. Debrecen, 4 A955), 71—78.
[16] On quasi-indecomposable abelian torsion groups, Acta Math. Acad. Sci.
Hungar., 7 A956), 109—114.
[17] On a topology in endomorphism rings of abelian groups, Publ. Math. Debreceny
5 A957), 1—4.
Селе, Селпал (Szele Т., Szelpal I.)
[1] Ober drei wichtige Gruppen, Acta Sci. Math. Szeged, 13 A950), 192—194.
Селе, Сендрей (Szele Т., Szendrei J.)
[1] On abelian groups with commutative endomorphism ring, Acta Math. Acad,
Sci. Hungar., 2 A951), 309—324.
Селе, Фукс (Szele Т., Fuchs L.)
[1] On Artinian rings, Acta Sci. Math. Szeged., 17 A956), 30—40.
Селпал (Szelpal I.)
[1] Die abelschen Gruppen ohne eigentliche Homomorphismen, Acta Sci. Math,
Szeged, 13 A949), 51—53.
[2] Die unendlichen abelschen Gruppen mit lauter endlichen echten Untergruppen,
Publ. Math. Debrecen, 1 A949), 63—64.
[3] The abelian groups with torsion-free endomorphism ring, Publ. Math. Debrecen,
3 A953), 106—108.
Симаути (Simauti K.)
[1] On N-high subgroups of abelian p-groups, Comment. Math. Univ. St. Pauli,
16 A967), 1—3.
[2] On abelian groups in which every neat subgroup is a pure subgroup, Comments
Math. Univ. St. Pauli, 17 A969), 105—110.
400
Литература
•Сколем (Skolem Т.)
11] On the existence of a multiplicative basis, Norske Vid. Selsk. Fork., 2 A947),
4—7.
Скотт (Scott W. R.)
Jl] The number of subgroups of given index in non-denumerable abelian groups,
Proc. Amer. Math. Soc, 5 A954), 19—22.
Смилев (Szmielew W.)
[1] Elementary properties of abelian groups, Fund. Math., 41 A955), 203—271.
Сонсяда (S^siada E.)
II] On abelian groups every countable subgroup of which is an endomorphic image,
Bull. Acad. Polon. ScL, 2 A954), 359—362.
12] An application of Kulikov's basic subgroups in the theory of abelian mixed
groups, Bull. Acad. Polon. ScL, 4 A956), 411—413.
13] Construction of a directly indecomposable abelian group of a power higher than
that of the continuum, Bull. Acad. Polon. ScL, 5 A957), 701—703, and 7 A959),
23—26.
14] Proof that every countable and reduced torsion-free abelian group is slender,
Bull. Acad. Polon. ScL, 7 A959), 143—144.
15] On the isomorphism of decompositions of torsion free abelian groups into
complete direct sums of groups of rank one, Bull. Acad. Polon. Sci, 7 A959), 145—
149.
16] On two problems concerning endomorphism groups, Ann. Univ. ScL, Budapest,
2 A959), 65—66.
17] Negative solution of I. Kaplansky's First Test Problem for abelian groups and
a problem of K. Borsuk concerning homology groups, Bull. Acad. Polon. ScL,
9 A961), 331—334.
Страттон (Stratton A. E.)
II] A note on Ext-completions, /. Algebra, 17 A971), 110—115.
[2] On the splitting of rank one abelian groups, /. Algebra, 19A971), 254—260.
Стринголл (Stringall R. W.)
11] A problem on endomorphisms of primary abelian groups, Proc. Amer. Math.
Soc, 17 A966), 742—743.
|2] Endomorphism rings of primary abelian groups, Pacific J. Math., 20 A967),
535—557.
,[3] Endomorphism rings of abelian groups generated by automorphism groups,
Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 18 A957), 401—404.
[4] Decompositions of abelian p-groups, Proc. Amer. Math. Soc, 28 A971), 409—410.
Султанов P. M.
fl] Разложение абелевых групп без кручения в прямую сумму циклических
групп, АН Аз. ССР, Труды Ин-та физ. мат., 3 A948), 65—72.
12] Разложение примарных групп в прямую сумму циклических групп, АН
Аз. ССР, Труды Ин-та физ., мат., 4—5 A952), 168—173.
Сян В.-ч. (Hsiang W. С.)
Jl] Abelian groups characterized by their independent subsets, Pacific J. Math.,
8 A958), 447—457.
Сян В.-ч., Сян В. (Hsiang W. С, Hsiang W.)
[1] Those abelian groups characterized by their completely decomposable
subgroups of finite rank, Pacific /. Math., 11 A961), 547—558.
Литература
401
Тарватер (Tarwater D.)
[1] Galois theory of abelian groups, Math. Z., 95 A967), 50—59.
[2] Galois cohomology of abelian groups, Pacific J. Math., 24 A968), 177—179.
[3] Homogeneous primary abelian groups, Proc. Amer. Math. Soc, 24 A970),
154—155.
Тарвотер, Уокер Э. (Tarwater D., Walker E.)
[1] Decompositions of direct sums of cyclic p-groups, Rocky Mountain J. Math., 2
A972), 275—282.
Теллман (Tellman S. G.)
[1] Images of induced endomorphism in Ext (H. G), Acta Sci. Math. Szeged, 23
A962), 290—291.
Тиллман (Tillman S. J.)
[1] The multiplicative group of absolutely algebraic fields in characteristic p,
Proc. Amer. Math. Soc, 23 A969), 601—604.
Тоски (Toskey B. R.)
[1] Rings on direct sum of cyclic groups, Publ. Math. Debrecen, 10 A963), 93—95.
Уитни (Whitney H.)
[1] Tensor products of abelian groups, Duke Math. J., 4 A938), 495—520.
[2] Topics in the theory of abelian groups. I., Divisibility of homomorphisms,
Bull. Amer. Math. Soc. 50 A944), 129—134.
Ульм (Ulm H.)
[1] Zur Theorie der abzahlbar-unendlichen abelschen Gruppen Math. Ann., 107
A933), 774—803.
[2] Zur Theorie der nicht-abzahlbaren primaren abelschen Gruppen, Math. Z., 40
A935), 205—207.
[3] Elementarteilertheorieunendlicher Matrizen, Math. Ann., 114 A937), 493—505.
Уокер К. (Walker С. P.)
[1] Properties of Ext and quasi-splitting of abelian groups, Acta Math. Acad. Sci.
Hungar., 15 A964), 157—160.
[2] Relative homological algebra and abelian groups, ///. /. Math., 10 A966), 186—
209.
Уокер Э. (Walker E. A.)
[1] Cancellation in direct sums of groups. Proc. Amer. Math., Soc, 7 A956), 898—
902.
[2] Subdirect sums and infinite abelian groups, Pacific J., Math., 9 A959), 287—
291.
[3] Direct summands of direct products of abelian groups, Arch. Math., 11 A960),
241—243.
[4] On the orders of automorphism groups of infinite torsion abelian groups,
J. London. Math. Soc, 35 A960), 385—388.
[5] Quotient groups of reduced abelian groups, Proc Amer. Math. Soc, 12 A961),
91—92.
[6] Torsion endomorphic images of mixed abelian groups, Pacific J. Math., 11
A961), 375—377.
[7] Quotient categories and quasi-isomorphisms of abelian groups, Proc. Colloq.
Abelian Groups, 147—162 (Budapest, 1964).
[8] On n-extensions of abelian groups, Ann. Univ. Sci. Budapest, 9 A965), 71—74.
[9] Divisible quotient groups of reduced abelian groups, Rocky Mountain J. Math.,
1 A971), 353—355.
402
Литература
Уоллер (Waller J. D.)
[1] Generalized torsion complete groups, Studies on Abelian Groups, Paris, 1968,
p. 345—356.
Уоллес (Wallace K. D.)
[ 1] On mixed groups of torsion-free rank one with totally projective primary
components, J. Algebra, 17 A971), 482—488.
Уорфилд (Warfield R. В., Jr.)
[1] Homomorphisms and duality for torsion-free groups, Math. Z., 107 A968),
189—200.
[2] A Krull-Schmidt theorem for infinite sums of modules, Proc. Amer. Math. Soc.
22 A969), 460—465.
[3] An isomorphic refinement theorem for abelian groups, Pacific J. Math.. 34
A970), 237—255.
[4] Extensions of torsion-free abelian groups of finite rank Arch. Math., 23 A972),
145.
[5] Classification theorems for p-groups and modules over a discrete valuation ring,
Bull. Amer. Math. Soc, 78 A972), 88—92.
Фолтингс (Faltings K.)
[1] Automorphismengruppen endlicher abelscher r-Gruppen, Studies on Abelian
Groups, 101 — 119 (Paris, 1968).
Фомин С. В.
[ 1] Ober periodische Untergruppen der unendlichen abelschen Gruppen, Матем. сб*
2 A937), 1007—1009.
Фрид (Fried E.)
[ 1] On the subgroups of an abelian group that are ideals in every ring, Proc. Colloq.
Abelian Groups, Budapest, 1964, 51—55.
Фридман (Freedman H.)
[1] The automorphisms of countable primary reduced abelian groups, Proc.
London. Math. Soc, 12 A962), 77—99.
[2] On endomorphisms of primary abelian groups, /. London Math. Soc, 43
A968), 305—307, and B) 1 A969), 630—632.
Фукс (Fuchs L.)
[1] The direct sum of cyclic groups, Acta Math. Acad. Sci. Hungar, 3 A952),
177—195.
[2] On the structure of abelian p-groups, Acta Math. Acad. Sci. Hunger., 4 A953),
267—288.
[3] On a special kind of duality in group theory. II, Acta Math. Acad. Sci.
Hungar., 4 A953), 299—314.
[4] On a property of basic subgroups, Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 5 A954),
143—144.
[5] On abelian torsion groups which cannot be represented as the direct sum of
a given cardinal number of components, Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 7
A956), 115—124.
[6] Ringe und ihre additive Gruppe, Publ. Math. Debrecen., 4 A956), 488—508.
[7] On a useful lemma for abelian groups, Acta Sci. Math. Szeged., 17 A956),
134—138.
[8] Ober universale homomorphe Bilder und universable Untergruppen von
abelschen Gruppen, Publ. Math. Debrecen., 5 A957), 185—196.
[9] On quasi nil groups, Acta Sci. Math. Szeged. 18 A957), 33—43.
[10] Ober das Tensorprodukt von Torsionsgruppen, Acta Sci. Math. Szeged., 18
A957), 29—32.
Литература
403
[11] On a directly indecomposable abelian group of power greater than continuum,
Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 8 A957), 453—454.
[12] On generalized pure subgroups of abelian groups, Ann. Univ. Sci. Budapest, 1
A958), 41—47.
[13] Wann folgt die Maximalbedingung aus der Minimalbedingung? Arch. Math.,
8 A957), 317—319.
[14] Ein kombinatorisches Problem bezuglich abelscher Gruppen, Math. Nachr.,
18 A958), 292—297.
[15] On the possibility of extending Hajos'theorem to infinite abelian groups,
Publ. Math. Debrecen, 5 A958), 338—347.
[16] Abelian groups, Publ. House of the Hungar. Acad. Sci., Budapest, 1958.
[ 17] On character groups of discrete abelian groups, Acta. Math. Acad. Sci. Hungar.,
10 A959), 133—140.
[18] The existence of indecomposable abelian groups of arbitrary power, Acta
Math. Acad. Sci. Hungar., 10 A959), 453—457.
[19] Notes on abelian groups, Ann. Univ. Sci. Budapest, 2 A959), 5—23; Acta
Math. Acad. Sci. Hungar., 11 A960), 117—125.
[20] On the automorphism group of abelian ^-groups, Publ. Math. Debrecen, 7
A960), 122—129.
[21] On algebraically compact abelian groups, J. Natur. Sci. and Math., 3 A963),
73—82.
[22] Note on factor groups in complete direct sums, Bull. Acad. Polon. Sci., 11
A963), 39—40.
[23] Recent results and problems on abelian groups, Topics in Abelian Groups,
Chicago, Illinois, 1963, p. 9—40.
[24] Some generalizations of the exact sequences concerning Horn and Ext, Proc.
Colloq. Abelian Groups, Budapest, 1964, p. 57—76.
[25] Note on linearly compact abelian groups, J. Austral Math. Soc, 9 A969), 433—
440.
[26] Summands of separable abelian groups, Bull. London. Math. Soc, 2 A970),
205—208.
[27] Note on certain subgroups of products of infinite cyclic groups, Comment. Math.
Univ. St. Pauli, 19 A970), 51—54.
[28] Note on direct decompositions of torsion-free abelian groups, Comment. Math
Helv., 46 A971), 87—91.
[29] Some aspects of the theory of torsion-free abelian groups, Texas Tech. Univ.
Math. Series, № 9, Lubbock, 1971, p. 32—58.
Фукс, Гальперин (Fuchs L., Halperin I.)
[ 1] On the imbedding of a regular ring in a regular ring with identity, Fund. Math.,
54 A964), 285—290.
Фукс, Кертес, Селе (Fuchs L., Kertesz A., Szele T.)
[1] On a special kind of duality in group theory, I, Acta Math., Acad. Sci. Hungar.,
4 A953), 169—178.
[2] Abelian groups in which every serving subgroup is a direct summand, Publ.
Math. Debrecen, 3 A953), 95—105.
[3] On abelian groups whose subroups are endomorphic images, Acta Sci. Math.
Szeged. 16 A955), 77—88.
[4] On abelian groups in which every homomorphic image can be imbedded, Acta
Math. Acad. Sci. Hungar., 7 A956), 467—475.
404
Литература
Фукс, Лунстра (Fuchs L., Loonstra F.)
[1] On direct decompositions of torsion-free abelian groups of finite rank, Rend,
Sem. Mat. Univ. Padova, 44 A970), 75—83.
[2] On the cancellation of modules in direct sums over Dedekind domains, Indaga-
tiones Math., 33 A971), 163—169.
Фукс, Рангасвами (Fuchs L., Rangaswamy К. M.)
[1] On generalized regular rings, Math. Z., 107 A968), 71—81.
[2] Quasi-projective abelian groups, Bull. Soc. Math. France, 98 A970), 5—8.
Фукс, Селе (Fuchs L., Szele T.)
[1] Абелевы группы с единственной максимальной подгруппой (венг.) Magyar.
Tud. Akad. III. Oszt. Kozl., 5 A955), 387—389.
Хаймо (Haimo F.)
[1] Preservation of divisibility in quotient groups, Duke Math., 15 A948), 347—
356.
[2] Image-sharing endomorphisms and linear equations, Topics in Abelian Groups,
Chicago, Illinois, 1963, p. 337—347.
[3] Endomorphism radicals which characterize some divisible groups, Ann. Univ.
Sci. Budapest., 10 A967), 25—29.
[4] The Jacobson radical of some endomorphism rings, Studies on Abelian Groups,
Paris, 1968, p. 143—146.
Хамстром (Hamstrom M. E.)
[1] Linear independence in abelian groups, Proc. Amer. Math. Soc, 2 A951),
487—489.
Харди (Hardy F. L.)
[1] On groups of ring multiplications, Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 14 A963),
283—294.
Харрисон (Harrison D. K.)
[1] Infinite abelian groups and homological methods, Ann. Math., 69 A959), 366—
391.
[2] Two of the problems of L. Fuchs, Publ. Math. Debrecen, 7 A960), 316—319.
[3] A characterization of torsion abelian groups once basic subgroups have been
chosen, Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 11 A960), 335—339.
[4] On the structure of Ext, Topics in Abelian Groups, Chicago, Illinois, 1963)
195—209.
Харрисон, Ирвин, Пирси, Уокер Э. (Harrison D. К., Irwin J. M., Peercy С. L.,
Walker E. A.)
[1] High extensions of abelian groups, Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 14 A963),
319—330.
Харт (Hart N.)
[1] Ulm's theorem for abelian groups modulo bounded groups, Pacific J. Math.,
33 A970), 635—640.
Хаузен (Hausen J.)
[1] Automorphismengesattigte Klassen abzahlbarer abelscher Gruppen, Studies on
Abelian Groups, Paris, 1968, p. 147—181.
[2] The hyporesiduum of the automorphism group of an abelian p-group, Pacific
J. Math., 35 A970), 127—139.
Литература
405
[3] Automorphisms of abelian torsion groups with finite p-ranks, Arch. Math., 22
A971), 128—135.
[4] Abelian torsion groups with artinian primary components and their
automorphisms, Fund. Math., 71 A971), № 3, 273—283.
Хауптфлейш (Hauptfleisch G. J.)
[1] On the structure of the group of extensions, Nieuw Arch. Wisk., 13 A965),
105—109.
Хед (Head T. J.)
[1] Dense submodules, Proc. Amer. Math. Soc, 13 A962), 197—199.
[2] Remarks on a problem in primary abelian groups, Bull. Soc. Math. France, 91
A963), 109—112.
[3] A direct limit representation for abelian groups with an application to tensor
sequences, Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 18 A967), 231—234.
Хёниг (Honig C.)
[I] Sur les groupes sans torsion, С R. Acad. Sci. Paris., 258 A964), 1679—1682.
Хилл (Hill P.)
[1] On the number of pure subgroups, Pacific J. Math., 12 A962), 203—205.
[2] Certain pure subgroups of primary groups, Topics in Abelian Groups,
Chicago, Illinois, 1963, p. 311—314.
[3J Pure subgroups having prescribed socles, Bull. Amer. Math. Soc, 71 A965),
608—609.
[4] On the automorphism group of an infinite primary abelian group, J. London
Math. Soc, 41 A966), 731—732.
[5] A classification of direct sums of closed groups, Acta Math. Acad. Sci. Hungar.,
17 A966), 263-266.
[6] Concerning the number of basic subgroups, Acta Math. Acad., Sci. Hungar.,
17 A966), 267—269.
[7] Quasi-isomorphism of primary groups, Mich. Math. J., 13 A966), 481—484.
[8] Sums of countable primary groups, Proc. Amer. Math. Soc, 17 A966), 1469—
1470.
[9] On quasi-isomorphic invariants of primary groups, Pacific J. Math., 22 A967),
257—265.
[10] The isomorphic refinement theorem for direct sums of closed, groups Proc
Amer. Math. Soc, 18 A967), 913—919.
[II] Extending automorphisms on primary groups, Bull. Amer. Math. Soc, 74
A968), 1123—1124.
[12] On primary groups with uncountably many elements of infinite height, Arch.
Math., 19 A968), 279—283.
[13] Isotype subgroups of direct sums of countable groups, ///. J. Math., 13 A969),
281—290.
[14] Endomorphism rings generated by units, Trans. Amer. Math. Soc, 141 A969),
99—105.
[15] On transitive and fully transitive primary groups, Proc. Amer. Math. Soc,
22 A969), 414—417.
[16] A summable CQ-group, Proc. Amer. Math. Soc, 23 A969), 428—430.
[17] A countability condition for primary groups presented by relations of length
two, Bull. Amer. Math. Soc, 75 A969), 780—782.
[18] On the decomposition of groups, Canad. J. Math., 21 A969), 762—768.
406
Литература
[19] The purification of subgroups of abelian groups, Duke Math. J., 37 A970),
523—527.
[20] Automorphisms of countable primary abelian groups, Proc. Amer. Math. Soc,
25 A970), 135—140.
[21] On the freeness of abelian groups: a generalization of Pontryagin's theorem,
Bull. Amer. Math. Soc, 76 A970), 1118—1120.
[22] A note on extensions of free groups by torsion groups, Proc. Amer. Math. Soc.
27, A971), 24—28.
123] The automorphisms of primary abelian groups, Proc. London Math. Soc.} 22
A971), 24—38.
[24] On the classification of abelian groups (to appear).
[25] Sufficient conditions for a group to be a direct sum of cyclic groups, Rocky
Mountain J. Math., 1 A971), 345—351.
[26] Classes of abelian groups closed under taking subgroups and direct limits,
Algebra Univ., 1 A971), 63—70.
[27] Two problems of Fuchs concerning Tor and Horn, J. Algebra, 19 A971), 379—
383.
[28] The covering theorem for upper basic subgroups Michigan Math. J., 8 A971),
187—192.
Хилл, Меджиббен (Hill P., Megibben C.)
[1] Minimal pure subgroups in primary groups, Bull. Soc. Math. France, 92 A964),
251—257.
[2] Quasi-closed primary groups, Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 16 A965), 271 —
274.
[3] On primary groups with countable basic subgroups, Trans. Amer. Math. Soc,
124 A966), 49—59.
[4] Extending automorphisms and lifting decompositions in abelian groups, Math.
Ann. 175 A968), 159—168.
[5] On direct sums of countable groups and generalizations, Studies on Abelian
Groups, Paris, 1968, p. 183—206.
Хилтон, Яхья (Hilton P. J., Yahya S. M.)
[1] Unique divisibility in abelian groups, Acta Math. Acad, Sci. Hungar., 14
A963), 229—239.
Хирш, Цассенхауз (Hirsch К. A., Zassenhaus H.)
[1] Finite automorphism groups of torsion-free groups, /. London Math. Soc, 41
A966), 545—549.
Ховард (Howard E. J.)
[1] First and second category abelian groups with the /г-adic topology, Pacific
J. Math., 16 A966), 323—329.
Холлет, Хирш (Hallett J, Т., Hirsch K. A.)
[1] Torsion-free groups having finite automorphism groups, J. Algebra, 2 A965),
287—298.
[2] Die Konstruktion von Gruppen mit vorgeschriebenen Automorphismengruppen,
/. Reine Angew, Math., 241 A970), 32—46.
Хонда (Honda K.)
[1] On primary groups, Comment. Math. Univ. St. Pauli, 2 A954), 71—83.
Литература
407
[2] On a decomposition theorem of primary groups, Comment. Math. Univ. St.
Pauli, 4 A955), 53—66.
[3] Realism in the theory of abelian groups, Comment. Math. Univ. St. Pauli, 5
A956), 37—59; 9 A961), 11—28, and 12 A964), 75—111.
[4] From a theorem of Kulikov to a problem of Kaplansky, Comment. Math. Univ.
St. Pauli, 6 A957), 43—48.
[5] On direct sums of countable, reduced, abelian p-groups, Comment. Math. Univ.
St. Pauli, 16 A968), 157—161.
Хуляницкий (Hulanicki A.)
[1] Algebraic characterization of abelian divisible groups which admit compact
topologies, Fund. Math., 44 A957), 192—197.
[2] Algebraic structure of compact abelian groups, Bull. Acad. Polon. Sci., 6
A958), 71—73.
[3] Note on a paper of de Groot, Proc. Ned. Akad. Wetensch., 61 A958), 114.
[4] On algebraically compact groups, Bull. Acad. Polon. Sci., 10 A962), 71—75.
[5] The structure of the factor group of an unrestricted sum by the restricted sum
of abelian groups, Bull. Acad. Polon. Sci., 10 A962), 77—80.
Цассенхауз (Zassenhaus H.)
[1] Orders as endomorphism rings of modules of the same rank. /. London Math.
Soc. 42 A967), 180—182.
Цыбанев M. B.
[1] Об абелевых вполне M (т)-факторизуемых группах, У/с/?, матем. ж., 23
A971), 699—706.
Цыпин (Zippin L.)
[1] Countable torsion groups, Ann. Math., 36 A935), 86—99.
Чарин В. С.
[1] О группах автоморфизмов нильпотентных групп, Укр. матем. ж., 6A954),
295—304.
Чейз (Chase S. U.)
[1] Direct products of modules, Trans. Amer. Math. Soc, 97 A960), 457—473.
[2] Locally free modules and a problem of Whitehead, ///. /. Math., 6 A962),
682—699.
[3] On group extensions and a problem of J.H.C. Whitehead, Topics in Abelian
Groups, Chicago, Illinois, 1963, p. 173—193.
[4] Function topologies on abelian groups, ///. J. Math., 7 A963), 593—608,
Чекереш (Szekeres G.)
[1] Countable abelian groups without torsion, Duke Math. J.9 15 A948), 293—306»
Чехата (Chehata C. G.)
[1] Embedding theorems for abelian groups, Canad. J. Math., 15 A963), 766—770.
[2] Extension of partial endomorphisms of abelian groups, Proc. Glasgow Math.
Assoc, 6 A963), 45—48.
Чехата, Шавски (Chehata С. G., Shawky A.)
[1] A note on extending partialJautomorphisms of abelian groups, J. Austral* Math*
Soc, 11 A970), 37—41.
Човла (Chawla L* M.)
[1] A remark on abelian groups imbeddable in their automorphism groups,
J. Natur. Sci. and Math., 5 A965), 111 — 113.
408
Литература
Шапиро А. П.
[1] Абсолютный центр абелевой группы, Труды Научн. объед. препод, физ.-
мат. ф-та Дальневосточ. пед. ин-та, 7 A966), 88—89.
Шарль (Charles В.)
[1] Le centre de Гаппеаи des emdomorphismes d'un groupe abelien primaire,
С R. Acad. Sci. Paris., 236 A953), 1122—1123.
[2] Etude des groupes abeliens primaires de type < со, Ann. Univ. Saraviensis, 4
A955), 184—199.
[3] Une caracterisation des intersections de sous-groupes divisibles, С R. Acad.
Sci. Paris., 250 A960), 256—257.
[4] Etude sur les sous-groupes d'un groupe abelien, Bull. Soc. Math. France, 88
A960), 217—227.
[5] Sous-groupe de base des groupes abeliens primaires, Seminaire P. Dubreil et
С Pisot, 13 A961), № 17.
[6] Note sur la structure des groupes abeliens primaires, С R. Acad. Sci. Paris,
252 A961), 1547—1548.
[7] Methodes topologiques en theorie des groupes abeliens, Proc. Colloq. Abelian
Groups, Budapest, 1964, p. 29—42.
[8] Sous-groupes fonctoriels et topologies, Studies on Abelian Groups, Paris, 1968,
p. 75—92.
Шатле (Chatelet A.)
[1] Les groupes abeliens finis et les modules de points entiers, Paris-Lille, 1925.
Шафер (Schafer J. A.)
[1] Abelian groups with a vanishing homology group, Canad. J. Math., 21 A969),
406—409.
Шенкман (Schenkman E.)
[1] On the multiplicative group of a field, Arch. Math., 15 A964), 282—285.
Шиффман (Shiffman M.)
[1] The ring of automorphisms of an abelian group, Duke Math. J., 6 A940), 579—
597.
Шмейдлер (Shmeidler W.)
[1] Bemerkungen zur Theorie der abzahlbaren abelschen Gruppen, Math. Z., 6
A920), 274—280.
Шода (Shoda K.)
[1] Ober die Automorphismen einer endlichen abelschen Gruppe, Math. Ann.,. 100
A928), 674—686.
Шпекер (Specker E.)
[1] Additive Gruppen von Folgen ganzer Zahlen, Portugaliae Math., 9 A950),
131 — 140.
Шперри (Sperry P. L.)
[1] On generating systems for abelian groups, Proc. Amer. Math. Soc, 24 A970),
148—153.
Штейн (Stein K.)
[1] Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veranderlichen zu vorgegebenen
Periodizitatsmoduln und das zweite Cousinsche Problem, Math. Ann., 123
A951), 201—222.
Литература
409*
Шульц (Schultz P.)
[1] Periodic homomorphism sequences of abelian groups, Arch. Math., 21 A970),
132—135.
Эйленберг, Маклейн (Eilenberg S., MacLane S.)
[1] On the homology theory of abelian groups, Canad. J. Math., 7 A955), 43—53*
Энокс (Enochs E.)
[1] Isomorphic refinements of decompositions of a primary group into closed
groups, Bull. Soc. Math. France, 91 A963), 63—75.
[2] Extending isomorphisms between basic subgroups, Arch. Math., 15 A964),
175—178.
[3] On lifting automorphisms in primary abelian groups, Arch. Math., 16 A965),.
342—343.
Энеи (Ensey R. J.)
[1] Isomorphism invariants for abelian groups modulo bounded groups, Pacific
J. Math., 24 A968), 71—91.
[2] Primary abelian groups modulo finite groups, Pacific J. Math., 29 A969).
77—81.
Эрдели (Erdelyi M.)
[1] Прямые слагаемые периодических абелевых групп (венг.), Acta Univ.
Debrecen 2 A955), 145—149.
Эрдеш (Erdos J.)
[ 1] On direct decompositions of torsion free abelian groups, Publ. Math. Debrecen,
3 A954), 281—288.
[2] Torsion-free factor groups of free abelian groups and a classification of torsion-
free abelian groups, Publ. Math. Debrecen, 5 A957), 172—184.
[3] On the splitting problem of mixed abelian groups, Publ. Math. Debrecen, 5
A958), 364—377.
Эренфойхт (Ehrenfeucht A.)
[1] On a certain problem of K. Kuratowski and A. Mostowski in the theory of
groups, Bull. Acad. Polon. Sci., 2 A954), 471—473.
[2] On a problem of J. H. C. Whitehead concerning abelian groups Bull. Acad. Polon.
Sci., 3 A955), 127—128.
Эренфойхт, Лось (Ehrenfeucht A., Los J.)
[1] Sur les produits cartesiens des groupes cycliques infinis, Bull. Acad. Polon.
Sci., 2 A954), 261—263.
Ямабе (Yamabe H.)
[1] A condition for an abelian group to be a free abelian group with a finite basis,
Proc. Japan. Acad., 77 A951), 205—207.
Яхья (Yahya S. M.)
[1] P-pure exact sequences and the group of P-pure extensions, Ann. Univ. Sci~
Budapest, 5 A962), 179—191.
[2] On isomorphism Horn (Tor (А, В), C) 0 Ext (A (g) В, С) ^ Horn (A„
Ext (B, C) 0 Ext (A, Horn (B, C)), J. Natur. Sci. and. Math., 9 A969), 179—200.
Указатель обозначений *)
а, Ь, с, d, ..., х, у, ... элементы групп
/, g, К ... функции
*', /, ... индексы
a, v , w, ... векторы
t, s, ... типы групп без кручения
R, S, К, L, ... кольца, идеалы (К —поле)
В, С, Н, М, ... матрицы
Г, А, 3, 2, ... некоммутативные группы
Теория множеств
юа (со0 = со) наименьшее порядковое число
мощности х0
Отображения
Д, V диагональное и кодиагональное
отображения
Теория групп
Н (а) индикатор (ульмовская
последовательность) элемента а
X {а) характеристика (высотная
последовательность) элемента а
t (a), t (R) тип элемента а (подгруппы R группы Q)
И (а) высотная матрица элемента а
> квазисо держится в
«, ~ квазиравенство, квазиизоморфизм
р°А определенные подгруппы группы Д
полученные путем использования
умножения на р и взятия пересечений
А (и) вполне характеристическая подгруппа,
*) Приведены лишь обозначения, не вошедшие в указатель
обозначений к т. 1.
Указатель обозначений
411
связанная с последовательностью
и = (а0, ..., ап, ... )
A (t), Л* (t) вполне характеристические подгруппы,
связанные с типом t
fa (Л, G) а-й инвариант Ульма — Капланского
__ группы А относительно подгруппы G
А периодическое пополнение группы А
S" топологическое замыкание подгруппы S
R+ аддитивная группа кольца R
К* мультипликативная группа поля К
U (R) группа обратимых элементов кольца R
C{---}>S{---} централизатор, центр ...
Конкретные группы, кольца
Н0 группа Прюфера длины о
Кр поле у9-адических чисел
Е (Л), Е (А) кольцо эндоморфизмов, кольцо
квазиэндоморфизмов группы А
2.А групповое кольцо группы А над Z
Aut группа автоморфизмов
Mult группа умножений
Предметный указатель
Алгебраически замкнутое поле 369
Алгебраическое расширение поля 368
Аннулятор кольца 338
Артиново кольцо 280 , 346
Бэровская группа 225
Бэровское кольцо 290
Векторная группа 199
Вещественно замкнутое поле 369
В основном неразложимая группа 70
Вполне квазиразложимая группа 180
— разложимая группа 134
—транзитивная р-группа 11
— характеристическая подгруппа 16
Высотная матрица 235
— последовательность 129
Высотно конечная подгруппа 123
Группа автоморфизмов 293
— без кручения ранга 1 131
— Бэра 225
— обратимых элементов кольца 372
— Уайтхеда 213
— умножений на группе 329
— Шпекера 205
Дискретный подцоколь 12
Длина группы 73
— функции 87
Допустимое квазипрямое разложение
179
Жесткая группа 148
— система групп 148
Замкнутые р-группы 22
Замкнутый подцоколь 12
Измеримое кардинальное число 191
Изоморфизм , сохраняющий высоту
77 , 242
Изотипная подгруппа 93
Изотипно полная р-группа 128
Инволюция 296
—экстремальная 311
Индикатор элемента 9
Индуктивная р-адическая топология
34
Квазиавтоморфизм 177
Квазивложенная группа 176 , 179
Квазиизоморфизм 179
Квазинеразложимая группа 64
Квазинильгруппа 337
Квазиполная группа 57
Квазипрямая сумма групп 177
Квазиравенство групп 179
Квазирасщепляющаяся смешанная
группа 230
Квазисепарабельная группа 181
Квазиэндоморфизм 177
Классы Га 139
Кольцо 325
— без кручения 326 , 341
— на группе 326
— , порожденное идемпотентами 206
— типа простой (полупростой)
алгебры 344
тела 344
— эндоморфизмов 255
Конечная топология кольца
эндоморфизмов 261
Косепарабельная группа 145
Матрица , сходящаяся по столбцам
259
Модуль 328
Монотонная подгруппа 198
Монотонный элемент группы 198
Идемпотентная характеристика 132
Идемпотентный тип 133
Неразложимая группа 146
Нётерово кольцо 361
Предметный указатель
413
Нильгруппа 337
Носитель подгруппы 12
Нуль-кольцо 329
Обобщенная высота элемента 9
— группа Прюфера длины о 105
Обобщенно р-нильпотентная группа
303
Ограниченная группа 8
— сеть Коши 36
Ограниченное условие минимальности
363
Однородная группа без кручения 131 ,
136 , 210
Однородно разложимая группа 211
Орбита элемента 263
Периодически полная группа 29
р-группа 22
Периодическое кольцо 326 , 336
— пополнение группы 39
Плотный подцоколь 12
Подкоммутативное кольцо 277
Подцоколь 12
Поле р-адических чисел 370
Полная линейная группа 294
Полупрямое произведение 295
Последовательность Ульма группы
72 , 245
Правый цоколь кольца 272
Примитивное множество элементов 146
Примитивный идемпотент 257
— элемент 146
Произведение в группе 196
— типов 133
— характеристик 132
Простое кольцо 279
— поле 367
Просто представленная р-группа 114 ,
120
Расщепляющаяся смешанная группа
220
Регрессивная функция 154
Регулярная подгруппа 135
Регулярное кольцо 282 , 355
Регулярный слева (справа) элемент
282
— элемент кольца 282
Сбалансированная подгруппа 94 , 135
Сбалансированно точная
последовательность 94
Свойство замены 43
конечное 43
— поднятия 168
— подстановки 70
— сокращения 83 , 165
— «универсальности» 375
Связная группа 154
Сепарабельная группа без кручения
140 , 145
— р-группа 7 , 8
Сервантно неразложимая группа 151
— полная группа 48
Сильно недостижимое кардинальное
число 154
— неразложимая группа 177
Сингулярный подмодуль 253
Скачок 9 , 300
Стабилизатор цепочки подгрупп 295 ,
300
Сужение метрического пространства
57
Суммируемая р-группа 123
Суммируемый подцоколь 125
Сходящийся ряд 262
Тип элемента 131
Тонкая р-группа 34
Тотально проективная р-группа 108
Точное представление 115
Третья аксиома счетности 102
Узкая группа 189
Ульмовская последовательность
элемента 9
Ульмовский тип группы 72
Умножение на группе 329
Универсальный R-модуль на группе
328
Условие на скачки 17
— Пирса 18
Характеристика элемента 129
Характеристическая подгруппа 16
Характеристический Л-базис 206
Хорошая подгруппа 90
— система 102
Хороший композиционный ряд 100
Целые р-адические числа 146
Центр группы автоморфизмов 308
— кольца эндоморфизмов 267
Централизатор 296
Частичное умножение на группе 333
Частное типов 133
— характеристик 133
414
Предметный указатель
Широкая подгруппа 18
Эквивалентные последовательности
матриц 186
— аз X (о-матрицы 236
— характеристики 130
Элемент , собственный относительно
подгруппы 76 , 135
— , р-собственный относительно
подгруппы 241
m-регулярное кольцо 282
m-регулярный слева (справа) элемент
282
—* элемент кольца 282
Ш-неразложимая группа 66
m-сепарабельная группа без кручения
145
р-изотипная подгруппа 237
р-индикатор элемента 235
р-смешанная группа 253
ра-проективная группа 108
ра-сервантная подгруппа 113
ра-сервантно точная
последовательность 113
я-регулярное кольцо 282
R-эндоморфизм 256
а-й инвариант Ульма-Капланского 9
относительно подгруппы 77
а-й ульмовский фактор 72
о-я ульмовская подгруппа 72
Т-группа 114
т-допустимая функция 87
Х-окрестность элемента 261
^-группа 213
Оглавление
Предисловие 5
ГЛАВА XI. СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ р-ГРУППЫ 7
§ 65. Леммы о р-группах 7
§ 66. Подцоколи 12
§ 67. Вполне характеристические и широкие подгруппы . . 16
§ 68. Периодически полные группы 22
§ 69. Дальнейшая характеризация периодически полных
р-групп 30
§ 70. Топологическая полнота периодически полных групп . 34
§71. Прямые разложения периодически полных групп . . 40
§ 72. Свойство замены 43
§ 73. Прямые суммы периодически полных групп 48
§ 74. Квазиполные группы 57
§ 75. Прямые разложения /7-групп 63
Замечания 68
ГЛАВА XII. р-ГРУППЫ С ЭЛЕМЕНТАМИ БЕСКОНЕЧНОЙ ВЫСОТЫ 71
§ 76. Теоремы существования для р-групп . . " 71
§ 77. Теорема Ульма 76
§ 78. Прямые суммы счетных /7-групп 84
§ 79. Хорошие подгруппы . . / 90
§ 80. Изотипные и сбалансированные подгруппы 93
§ 81. /7-группы с хорошими композиционными рядами ... 99
§ 82. Тотально проективные р-группы 108
§ 83. Просто представленные р-группы 114
§ 84. Суммируемые р-группы 124
Замечание 126
ГЛАВА XIII. ГРУППЫ БЕЗ КРУЧЕНИЯ 129
§ 85. Группы без кручений ранга 1 129
§ 86. Вполне разложимые группы 134
§ 87. Сепарабельные группы 140
§ 88. Неразложимые группы 146
§ 89. Большие неразложимые группы 154
§ 90. Прямые разложения групп конечного ранга 161
§ 91. Прямые разложения счетных групп 168
§ 92. Квазипрямые разложения 176
§ 93.*Счетные группы без кручения 183
§ 94. Узкие группы 189
§ 95. Характеризация узких групп с помощью подгрупп . . 195
§ 96. Векторные группы 199
§ 97. Конечнозначные функции со значениями в группе . . 205
§ 98.""Однородные и однородно разложимые группы .... 210
§ 99. Проблема Уайтхеда 213
Замечания , . . . . 216
416
Оглавление
ГЛАВА XIV. СМЕШАННЫЕ ГРУППЫ 220
§ 100. Расщепляющиеся смешанные группы 220
§ 101. Группы Бэра свободны 225
§ 102. Квазирасщепляющиеся смешанные группы .... 230
§ 103. Высотные матрицы 234
§ 104. Смешанные группы ранга без кручения 1 241
§ 105. Группы с заданной последовательностью Ульма . . . 245
Замечания 253
ГЛАВА XV. КОЛЬЦА ЭНДОМОРФИЗМОВ 255
§ 106. Кольца эндоморфизмов 255
§ 107. Топологии колец эндоморфизмов 261
§ 108. Кольца эндоморфизмов периодических групп .... 265
§ 109. Кольца эндоморфизмов сепарабельных /?-групп . . . 269
§ 110. Счетные кольца эндоморфизмов без кручения .... 273
§ 111. Кольца эндоморфизмов со специальными свойствами . 278
§ 112. Регулярные и обобщенные регулярные кольца
эндоморфизмов 282
Замечания 291
ГЛАВА XVI. группы автоморфизмов 293
§ 113. Группы автоморфизмов 293
§ 114.*Нормальные подгруппы в группах автоморфизмов . . 300
§ 115. Группы автоморфизмов периодических групп .... 308
§ 116. Группы автоморфизмов групп без кручения 314
Замечания 323
глава XVII. аддитивные группы колец 325
§ 117. Подгруппы , всегда являющиеся идеалами 325
§ 118. Умножения на группе 329
§ 119. Продолжения частичных умножений 333
§ 120. Периодические кольца 336
§ 121. Кольца без кручения 341
§ 122. Аддитивные группы артиновых колец 346
§ 123. Артиновы кольца без квазициклических подгрупп . . 351
§ 124. Аддитивные группы регулярных и я-регулярных
колец 354
§ 125. Вложения в регулярные и я-регулярные кольца с
единицей 357
§ 126. Аддитивные группы нётеровых колец и кольца с
ограниченным условием минимальности 361
Замечания 364
ГЛАВА XVIII. ГРУППЫ ОБРАТИМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В КОЛЬЦАХ 366
§ 127. Мультипликативные группы полей 366
§ 128. Обратимые элементы в коммутативных кольцах . . . 372
§ 129. Группы , служащие группами обратимых элементов 375
Замечания 379
Литература 381
Указатель обозначений 410
Предметный указатель 412