Text
                    Ж. Ф А В А Р
КУРС
локальной
дифференциальной
геометрии


и * л Издательство иностранной литературы *
CAHIERS SCIENT1FIQUES Publies sous la direction de M. Gaston Julia FASCICULE XXIV COURS DE GEOMETRIE DIFFERENTIELLE LOCALE par J. FAVARD Professeur a la Faculte des Sciences de Paris et a l'Ecole Polytechnique PARIS Gauthier-Villars 1957
Ж. ФАВАР КУРС ЛОКАЛЬНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ПЕРЕВОД С ФРАНЦУЗСКОГО Ю. А. РОЖАНСКОИ и С. П. ФИНИКОВА, ПРЕДИСЛОВИЕ С. П. ФИНИКОВА И ЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Москва, 1960
АННОТАЦИЯ Предлагаемая книга написана на основе курса лекций по основным вопросам дифференциальной геометрии, читанных автором в Сорбонне. Материал в ней излагается в нестандартной форме: автор стремился изложить классические результаты в свете идей современной математики (главным образом теоретико-множественных и теоретико-групповых) и, с другой стороны, максимально приблизить читателя к вопросам, разрабатываемым в настоящее время. Книга будет интересна в первую очередь математикам, особенно геометрам, — студентам старших курсов университетов и педагогических институтов, аспирантам, преподавателям и научным работникам. Редакция литературы по математическим наукам
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ Книга Фавара представляет собой курс лекций, посвященный основным вопросам дифференциальной геометрии. От большинства сочинений этого рода она отличается тем, что автор поставил себе задачу включить классическую локальную дифференциальную геометрию в круг идей, сыгравших значительную роль в развитии математики за последнее полустолетие. Мы имеем в виду в первую очередь идеи, связанные с теоретико-множественной и групповой точками зрения на вопросы математики. В дифференциальную геометрию эти идеи вошли, как известно, прежде всего через теорию римановых пространств и принцип относительности, затем через теорию непрерывных групп и метод Картана. Все это и отражено в-настоящей книге, представляющей собой вместе с тем и учебник, в котором систематически излагаются вопросы локальной дифференциальной геометрии. Замысел книги оригинален, и его можно приветствовать. Следует отметить интересное и ясное изложение вводной части, особенно теории групп, как абстрактных, так и непрерывных. Однако не всегда автору удается сделать убедительной необходимость введения тех или иных понятий. Так, например, некоторые понятия топологии — размерность, канторово и обычное многообразие — в сущности остаются почти без приложений. Не вполне удались автору и некоторые главы, например глава о преобразованиях касания и глава о параметризации. Тяжеловато изложение методом Картана начал теории кривых и поверхностей как в эвклидовом, так и в аффинном случае, но зато сам метод на этом простом материале становится очень ясным и выпуклым. Оригинально написана глава об огибающих. Несмотря на указанные недостатки, книга написана очень интересно не только по замыслу, но и по выполнению. По ней можно научиться методу Картана и другим методам современной дифференциальной геометрии, она побуждает читателя к размышлениям об основах этой науки. Главы I и II введения, часть I, главы I и II первого раздела и главы I и II второго раздела части II, а также часть III перевела К). А. Рожанская; остальные главы перевел С. П. Фиников. С. Я. Фиников
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА «Дифференциальная геометрия готова утонуть в океане выкладок», — сказал мне один из моих товарищей. «Когда открываешь книгу по математическому анализу,—сказал другой,—видишь много рисунков, и не так уж много выкладок, когда же открываешь книгу по геометрии, наоборот, рисунков почти не находишь, бросаются в глаза выкладки, поселяющие ужас среди наиболее усердных учащихся и приводящие в уныние профессиональных метематиков с не слишком акцентированными научными интересами. Не находится ли дифференциальная геометрия в состоянии упадка и не обязано ли нерасположение, которое некоторые к ней проявляют, тому, что она состарилась и что ее можно приукрасить лишь с помощью средств, столь же банальных, как румяна и драгоценности кокетки?» Лично я этого не думаю; скорее я вижу в геометрии кризис роста, вызванный слишком быстрым ее развитием после успехов теории относительности. Теперь, когда усиленное производство работ приостановилось, можно выбрать время, чтобы подумать об основаниях и довести до совершенства методы, перед тем как отправиться дальше по новым путям. Не говоря о глобальной дифференциальной геометрии, которая в части, соприкасающейся с алгебраической геометрией, сейчас находится в полном расцвете, в локальной дифференциальной геометрии в ее современном состоянии также имеется немало важных проблем, требующих решения; в ней имеются и курьезные пробелы — например, обычная кинематическая геометрия с числом параметров более двух до сих пор не получила своего развития, хотя, казалось бы, уже давно надо было заполнить этот пробел. Что же касается оснований дифференциальной геометрии, то о них едва- едва начали думать; я делаю здесь свой вклад в разработку этого вопроса, но он далеко еще недостаточный (например, с моей точки зрения, основания теории огибающих все еще неудовлетворительны). Как, скажут мне, в книге, претендующей на модернизацию преподавания, вы считаете нужным еще говорить о теории касания, об огибающих, о преобразованиях касания — словом, о таких старых вопросах? Да! Я излагаю здесь эти теории и имею слабость находить их важными даже сегодня; что касается первой из них, то я считаю ее даже основной, ибо что такое локальная дифференциальная гео-
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА 7 метрия, как не учение об элементах касания? Я не откажусь от моей точки зрения, пока мне не покажут, как можно преподавать анализ, не излагая или не предполагая известной „старую* теорию действительных чисел. Хотя во многих вопросах я решительно порвал с традициями, я все же старался сохранить переходный характер изложения, чтобы облегчить понимание многочисленных книг и работ, написанных в другом стиле. К сожалению, сейчас в дифференциальной геометрии нет единого, всеми принятого метода, необходимо выбирать один из многих; и я остановился на методе Эли Картана, который мне кажется наилучшим; я думаю, что этот метод позволит без большого труда объединить в более обширном трактате наиболее трудоемкие результаты дифференциальной геометрии, получаемые теперь ценою изнурительных выкладок, причем эти выкладки в большинстве случаев значительно сократятся. Мои намерения здесь более скромны — на пороге мирового кризиса, который готов охватить преподавание основ математики, я хотел бы внести свой вклад в дело сближения преподавания и научных исследований, и я полагаю, что прежде всего можно попытаться это сделать в дифференциальной геометрии, где отставание преподавания, пожалуй, менее велико, чем в анализе. Всегда опасно писать книги для преподавания, ибо критика таких книг особенно легка: обучать — значит выбирать, направлять, а это трудные искусства. Как сказано выше, я решил написать книгу переходного характера, которая, я надеюсь, может принести пользу. Кое-кто мне поставит в упрек, что я придаю слишком много значения классической геометрии; я мог бы перенести всю ее в упражнения после общей теории вложенных многообразий, которой заканчивается введение, но я решил, что это было бы преждевременно и даже чрезмерно. Другие, напротив, будут сожалеть о прекрасных страницах, которые некогда посвящались теории асимптотических линий и линий кривизны; я рассудил, что это — уже прошлое, но некоторые результаты в этом направлении включил в упражнения. Книга содержит введение, где первая глава (ее можно пропустить при первом чтении) посвящена основаниям; мне казалось, что требовательность в отношении аксиоматики, характерная для современных курсов анализа, должна в какой-то мере найти отзвук и в дифференциальной геометрии. Первая часть содержит, наряду с изложением классических вопросов прямой геометрии, существенные указания по проблемам параметризации. Во второй части, посвященной изложению эвклидовой, аффинной унимодулярной и проективной геометрий, я должен был, естественно, ограничивать себя, и, быть может, кое-кто найдет, что я отвел слишком много места метрической эвклидовой геометрии.
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА В третьей части я излагаю теорию параллельного переноса в пространствах аффинной связности и римановых пространствах. Желая сделать книгу, для пользы учащихся, не очень объемистой, я должен был отказаться от мысли поместить в ней изложение теории гексагональной конфигурации (которая представляет интерес хотя бы для демонстрации того, что прямая геометрия не окаменела, как слишком часто думают), аффинной и проективной линейчатой геометрии, а также теории пространств Финслера и Кавагучи. Наоборот, повторения казались мне необходимыми, поэтому понятия параллельного переноса и ковариантной производной излагаются сначала при изучении линейного элемента ds2 поверхности, а потом повторяются с общей точки зрения в третьей части. Моя цель будет достигнута, если мне удастся зародить у читателя чувство неудовлетворенности, создать впечатление незаконченности, одновременно возбуждая интерес и любопытство, Я благодарю Декомба, ныне читающего университетский курс в Лилле, за помощь при редактировании старого литографированного издания этого курса, благодарю Деама и Хаддада, воспитанников Высшей Нормальной Школы, которые просмотрели рукопись курса, аббата Мирге и Гальвани, профессора университета в Гренобле, которые пожелали прочесть корректуры. Г. Жюлиа включил эту книгу в серию „Cahiers Scientifiques", которой он руководит, — я приношу ему здесь свою благодарность. Я признателен также издательству Готье-Вийар, которое осуществило издание и проявило обычное внимание к набору книги. Ж. Ф.
ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ Книга содержит введение и три части; вторая часть делится на три раздела. Ссылки даются следующим образом: введение обозначается знаком 0, части — римскими цифрами I, II и III; разделы цторой части обозначаются индексами наверху: II1, II2, II3; номера глав обозначаются после этого римскими цифрами, номера параграфов— арабскими цифрами; наконец, вторая арабская цифра указывает номер соотношения в данном параграфе, к которому относится ссылка. Например, (О, III, 9.7) — ссылка на формулу (9.7), которая находится в параграфе 9 главы III введения. Когда идет речь о ссылке на ту же часть, номер этой части в ссылке не обозначается; например, (III, 9.7) означает, что надо искать формулу (9.7) в главе III той же части. Если речь идет о ссылке на ту же главу, то и номер главы опускается. Чтобы облегчить розыски, номер параграфа всегда повторяется перед номером формулы.
ВВЕДЕНИЕ Глава I ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ 1. Предупреждение. Прежде чем пытаться говорить, что такое геометрия и какими объектами она занимается, и, более узко, прежде чем говорить, что такое дифференциальная геометрия, мы начнем с того, что дадим несколько точных определений, ибо расплывчатая общая идея, высказанная вначале на нескольких строчках, была бы только попыткой скрыть пренебрежение к основам и создавала бы впечатление теории, которая строится при помощи фантазии. Между тем дифференциальная геометрия уже не стоит на этой ступени развития; об этом можно сожалеть, ибо это признак ее зрелости. Речь в этой книге будет идти только о геометриях, имеющих базой бесконечное множество элементов (таким образом, мы опускаем, например, геометрии, вытекающие из рассмотрения полей Галуа), связанных соотношениями, из которых наиболее важно соотношение близости (Мы почти целиком оставляем в стороне геометрии, опирающиеся только на отношения и операции алгебры.) 2. Топологические пространства. Пусть Е, F, ...—множества элементов, (е, е\ ...),(/,/',...),...; мы' напомним следующие обозначения из теории множеств: Запись е £ Е (читается: е принадлежит Е) означает, что элемент е входит в множество Е. Запись EczF (читается: Е содержится в F) и запись F"Z)E (читается: F содержит Е) означают, что всякий элемент из Е является также элементом из F; говорят также, что Е есть подмножество множества F. Через E\JF обозначается множество элементов, принадлежащих Е или F, т. е. объединение множеств Е и F. Через E[\F обозначается множество элементов, принадлежащих как Е, так и F, т. е. пересечение множеств Е и F. Ничто как объект мысли, или пустое множество, будет обозначаться знаком 0. Через Е—F обозначается множество тех элементов из Е, которые не принадлежат F; если FczE, то множество Е—F называется дополнением множества F в Е (или просто дополнением к F, если нет оснований опасаться недоразумений) и обозначается через CF. Пусть теперь Е—непустое множество и 6 — некоторое множество его подмножеств; говорят, что Q определяет топологическую структуру, или топологию, на Е, если 6 обладает следующими свойствами: Аксиома I. Объединение множеств, каждое из которых принадлежит б, также принадлежит 6; пустое множество также входит в Q.
12 ВВЕДЕНИЕ Аксиома II. Пересечение конечного числа множеств, принадлежащих б, также принадлежит б; само множество Е принадлежит Q. Множества из б называются открытыми множествами топологии, определенной на множестве Е\ при этом Е получает название топологического пространства, а элементы из Е называются точками. Произвольное непустое множество Е всегда можно снабдить топологической структурой, например такой, что б образовано из всего множества Е и пустого множества (топология наиболее слабая), или такой, которая получается, если б составить из всех множеств в Е, содержащих только одну точку (топология наиболее сильная, или дискретная). Пусть И—подмножество в Е; всякое подмножество в Et содержащее открытое множество О, заключающее //, называется окрестностью множества И. Если Н состоит только из одной точки р, то всякая его окрестность называется окрестностью точки р. Если множество открытое, то. оно является окрестностью каждой своей точки, и наоборот. Точка р называется внутренней точкой множества //, если Н есть ее окрестность. Множество внутренних точек множества //, или внутренность множества //, может быть пустым множеством. Точка р называется внешней по отношению к //, если она является внутренней точкой его дополнения СН=Е—Н. Два топологических пространства Е и Е' называются гомеоморфными* если существует взаимно однозначное отображение Е на Е' р' = Пр\ р = ГЧр')> которое переводит открытые множества пространства Е в открытые множества пространства Е', и наоборот; такое отображение называется гомеоморфизмом. Дополнение открытого множества называется замкнутым множеством. Опираясь на определение дополнения, из аксиом I и II получаем: 1° Пересечение любого числа замкнутых множеств есть множество замкнутое', все пространство Е замкнуто. 2° Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто*, пустое множество замкнуто. Точка /?, всякая окрестность которой содержит точку данного множества И (с £), называется точкой прикосновения множества Н. Множества точек прикосновения множества Я называется также его замыканием и обо. значается через Н\ говорят также, что для всякой точки из Н существуют точки из //, сколь угодно близкие к ней, так как всякая точка, не принадлежащая к //, будет внешней по отношению к Н. Замыкание множества есть замкнутое множество; если множество замкнутое, то его замыкание совпадает с ним самим, и наоборот. Операция замыкания — монотонная неубывающая операция, т. е. из На J следует HaJ; она дистрибутивна по отношению к объединению, т. е. 77ц7 = //и7. Точка, принадлежащая к Н и к С//, называется граничной точкой множества Н; множество граничных точек образует границу; граница, следовательно, есть множество Н[\СН. Множество Н называется плотным в замкнутом множестве /, если / = Н. Оно называется всюду плотным, если оно плотно в Е.
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ 13 Из операций, относящихся к топологическим пространствам, мы отметим прямое, или топологическое, произведение. Напомним, что произведением Ei X Е2 двух множеств Е1 и Е2 называется множество пар (рь p9)t где Pi £ Е{. Если Е± и Е2 — топологические пространства, то топологию в Е± X Е% определяют, принимая за открытые множества объединения множеств вида 0\ X #2 (гДе 0< — открытые множества в Е{). Легко проверить, что аксиомы I и II при этом удовлетворяются. Множество Et X £?, снабженное этой топологией, называется топологическим произведением-пространств Е1 и £2. 3. Подпространства. Пусть И — подмножество топологического пространства Е; множество следов открытых множеств пространства Е в //, т. е. множеств вида Н(]0 (О — открытое множество в Е), удовлетворяет аксиомам I и II, как это непосредственно видно; оно определяет, следовательно, на Н топологическую структуру, называемую топологией, индуцированной пространством Е на Н> или относительной топологией. Множество //, снабженное этой топологией, называется подпространством пространства Е. Переходя к дополнениям, мы видим, что всякое множество, замкнутое в //, является пересечением Н и некоторого замкнутого множества в Е. Пусть /—подмножество в подпространстве //пространства Е; топология на /, индуцированная пространством //, совпадает с топологией, индуцированной на / непосредственно пространством Е. 4. Непрерывные функции. Пусть р' = f(p) — функция, определенная в топологическом пространстве Е(р£Е), значения которой принадлежат топологическому пространству £'(/?'££') (£' может, впрочем, совпадать с Е). Функция называется непрерывной в точке /?, если каждой окрестности V (/?') точки /?'=/(/?) можно поставить в соответствие окрестность V(p), такую, что q'=f(q)£V' для q£ V, откуда следует, что f(V)d V [или Кс/"1 (V)]. Иначе говоря, какова бы ни была окрестность V точки /?', множество/^(V) будет окрестностью точки р. __ Если р£Н (с Е) и /—функция, непрерывная в точке р, то /(/?)€/(//). Действительно, в противном случае существовала бы окрестность V точки/?', не содержащая точек из /(Я); но тогда множество /-1(V), будучи окрестностью точки /?, не содержало бы ни одной точки иЗ //, что противоречит условию. Функция /(/?)> не являющаяся непрерывной в точке /?, называется разрывной. Функция называется непрерывной на множестве На Е, если она непрерывна в каждой точке множества Н. Если отображение рг = /(/?) пространства Е в Е' непрерывно в точке/? и отображение //' = g(p') пространства Ег в Ё" непрерывно в точке /?', то результат композиции этих двух отображений р" = h (/?) = g [/(/>)] непрерывен в точке р. Действительно, пусть W — окрестность точки рР = h (p) = = g(Pr)\ тогда V = g"1 (V") будет окрестностью точки р' и V = /~1(V) = = /~1£""1(К//) = Л""1(У//) будет окрестностью точки /?. Если отображение /?'=/(/?) непрерывно в Е (/?' £ £'), то полный прообраз всякого открытого множества пространства Е' будет открытым множеством пространства Е, так как всякое открытое множество, будучи окрестностью каждой из своих точек, имеет прообразом множество, обладающее тем же свойством, т. е. открытое множество. Обратно, если отображение/(р) таково, что всякое открытое множество пространства Е' имеет полным прообразом открытое множество в Е, то/ — не-
14 ВВЕДЕНИЕ прерывная функция в Е\ действительно, если V—окрестность точки р' = f(p), то V содержит открытое множество О' и мы имеем Р£Г1 {О') с ГНУ). Но множество /-1 (О') открыто и содержит р\ следовательно, /-1(V/) есть окрестность точки р. Переходя к дополнениям, можно сказать также, что необходимое и до- статочное условие для того, чтобы функция /?'=/(/?) была непрерывна в Е, состоит в том, что полный прообраз всякого замкнутого множества в Ег должен быть замкнутым множеством в Е. Пусть Н—подмножество пространства Е\ говорят, что функция f(p) непрерывна в точке р на Н, если эта функция, рассматриваемая только на подпространстве Н, негрерывна в р. Все предыдущие понятия и результаты можно переформулировать в терминах относительной топологии. В качестве приложения опишем одну операцию над топологическими пространствами, которой будем часто пользоваться в дальнейшем. Рассмотрим топологическое пространство Е и допустим, что его точки „уу, ^ухл распределены по классам так, что каж- \%Л\Ул К^%х^ ды** класс содержит не менее одной Х/УУ/УУЛ УУУ/уО'уА точки и каждая точка принадлежит только одному классу. Каждому классу у, содержащему точки (р, q, ...), поставим в соответствие одну, и только одну, Рис. 1. точку с =/(р) = /(<7) = . •. нового пространства С (причем двум различным классам сопоставим две различные точки). Топология в этом пространстве определяется следующим образом: открытым множеством является всякое множество Г, прообраз которого /-1(Г) открыт в Е. Аксиомы I и II, как это сразу видно, удовлетворяются, и функция с — f(p) непрерывна. В частности, всякая окрестность VG(e) будет содержать открытое множество Г, содержащее точку с, полный прообраз которого есть открытое множество, содержащее точки р, q, ... из у. Отсюда следует, что всякая окрестность точки с содержит сбраз объединения некоторых окрестностей VE(p)> VE(q) Говорят, что пространство С получается из пространства Е отождествлением точек внутри каждого класса т (на рис. 1 каждый класс содержит одну или две точки из Е). 5. Гомеоморфизм. Взаимно однозначное отображение р' = /(/?) пространства Е на Е' называется взаимно непрерывным, если оно само и обратное к нему отображение р = f~l (/?') = g (pr) непрерывны. Чтобы взаимно однозначное отображение Е на Е' было гомеоморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы оно было взаимно непрерывным. Действительно, для того чтобы / было гомеоморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы образ открытого множества и прообраз открытого множества были открытыми множествами, т. е. чтобы / и f~l были непрерывны. Понятие гомеоморфизма легко приспособить к относительной топологии: если отображение р' = /(/?) пространства Е на Е' ставит во взаимно однозначное соответствие точки подпространства НаЕ и точки пространства Н'аЕ'
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ 15 и если функции / и f~l непрерывны в подпространствах Я и Я' соответственно, то Я гомеоморфно Я'. Гомеоморфизм транзитивен: если Е гомеоморфно £', а Е' гомеоморфно Е", то Е гомеоморфно Е". Это очевидно, если заметить, что результат композиции двух взаимно однозначных отображений будет взаимно однозначным отображением, которое, кроме того, непрерывно, если оба исходных отображения непрерывны. Следовательно, гомеоморфизм есть- отношение эквивалентности) это основное отношение эквивалентности в топологии. В топологии два гомеоморфных пространства рассматривают как пространства, отличающиеся только названием их элементов, и объект топологии — изучение свойств топологических пространств с точностью до гомеоморфизма, т. е. она занимается определениями, свойствами, операциями, уравнениями, числами и т. д., инвариантными относительно гомеоморфизма. Приведем несколько простых примеров, приняв для этого несколько хорошо известных определений. На обычной эвклидовой плоскости внутренности треугольника, круга и эллипса гомеоморфны. Поверхности куба и сферы гомеоморфны в обычном трехмерном пространстве. Можно доказать, что на плоскости внутренность круга и внутренность кругового кольца не гомеоморфны и что в пространстве поверхность и внутренность сферы не гомеоморфны соответственно поверхности и внутренности тора. Непрерывное отображение р' = /(/?) пространства Е в пространство Ef называется локальным гомеоморфизмом в точке р, если существует окрестность V(p), такая, что отображение окрестности V на ее образ V' = /(V) есть гомеоморфизм. Гомеоморфизм является локальным гомеоморфизмом во всякой точке, но отображение pr = /(/?) может быть локальным гомеоморфизмом в каждой точке и не быть при этом гомеоморфизмом. Так, если любой точке прямой поставить в соответствие точку окружности, на которой выбраны начало и направление обхода, приняв за ее криволинейную абсциссу абсциссу точки на прямой, мы получим соответствие, которое хотя и будет локальным гомеоморфизмом, но не будет просто гомеоморфизмом. Позднее мы встретимся с другими примерами. Если начать с топологии — наиболее общей геометрии близости, — то остальные геометрии получаются из нее при частных предположениях одновременно относительно рассматриваемых топологических пространств и относительно рассматриваемых в них непрерывных отображений (или преобразований) 1); последние всегда будут локальными гомеоморфизмами всюду, за исключением некоторых множеств точек. Эти точки либо оставляют в стороне — потому, что они не представляют интереса, или потому, что принятые гипотезы слишком широки, чтобы позволить их изучение, — и тогда получается локальная геометрия (например, прямая инфинитезимальная геометрия, см. часть I); либо же эти точки изучают отдельно как наиболее важные элементы: например, точки ветвления в теории римановых поверхностей 2) или особые точки кремоновых преобразований в алгебраической геометрии 3)ф х) Это, очевидно, приведет к потере в общности, но к выигрышу в богатстве свойств. *) См. S t о i 1 о w, Lecons sur les principes topologiques de la theorie des toncUons analytiques, Gauthier-Villars, Paris, 1938. л/л! ' 4м* Q о d e a u x L., Les transformations birationelles du plan, Gauthier- Vdlars, Paris, 1927.
16 ВВЕДЕНИЕ При этом на пространства, которые мы будем рассматривать, будет наложено и другого рода ограничение: кроме определенной топологической структуры, они будут снабжены некоторой другой структурой, алгебраической или аналитической, и преобразования, которые нам предстоит рассматривать, должны будут сохранять эту структуру, по крайней мере локально. Разбору всех этих условий будет посвящена остальная часть этой главы, однако уже сейчас мы отметим в качестве примера, что элементарная метрическая геометрия обычной эвклидовой плоскости определяет на ней структуру, инвариантную относительно перемещений и симметрии. Эта структура алгебраическая, и если к ней присоединить обычную топологическую структуру (см. § 9), то перемещения и симметрии окажутся гомеоморфизмами. Изучение свойств линий, инвариантных относительно этих преобразований, составляет часть элементарной дифференциальной геометрии плоскости. Расстояние между двумя точками, угол между двумя направлениями, площадь треугольника являются понятиями элементарной геометрии на плоскости. Касательная к кривой, длина дуги окружности или кривой — понятия элементарной дифференциальной геометрии. В обычном пространстве определение объема многогранника базируется на принципе Кавальери, в основе которого лежит, по существу, топологический принцип. Впрочем, всякий раз, когда в элементарной- геометрии обращаются к аксиоме непрерывности, тем самым постулируют топологическую структуру плоскости или пространства. 6» Метрические пространства. Множество Е называется метрическим пространством, если всякой паре его различных или совпадающих элементов р и q, называемых точками, поставлено в соответствие число | pq |, называемое расстоянием между ними и обладающее следующими свойствами: 1° Из | pq | = 0 следует, что р и q совпадают, и наоборот. 2° Неравенство треугольника: \pq\*C\pr\-\-\qr\, каковы бы ни были точки р, q n г множества Е. Для р = q это неравенство дает 2 | рг | !> 0; иначе говоря, расстояние между двумя точками положительно или равно нулю. В силу свойства 1° расстояние между различными точками положительно. Полагая в неравенстве треугольника г = р, мы получим, что \pq\^.\qp\ для любых точек р и q; но справедливо и обратное неравенство | pq | !> | qp |, откуда | pq \ = | qp \. Таким образом, расстояние есть неотрицательная и симметричная 1) функция пары точек. Шаром с центром р и радиусом р > 0 называют множество таких точек q из Е, что | pq | < р. Это понятие позволяет ввести в множество Е топологическую структуру: подмножество О из Е будет называться открытым, если для любой точки р £ 0 существует шар с центром р (сферическая окрестность точки /?), все точки которого принадлежат О. Неравенство треугольника показывает прежде всего, что шар — открытое множество, и ясно, что аксиома I § 2 удовлетворена. Что касается аксиомы II, то пусть 0{(1=1, 2,..., п)— открытые множества. Всякая точка р их пересечения О, рассматриваемая как точка, принадлежащая к О*, будет центром шара радиуса р*, лежащего в О*. Шар с центром р и радиусом, равным наименьшему из р^, содержится в множестве О, которое, следовательно, будет открытым. Таким образом,, аксиома II удовлетворена. Множество Е становится, 1) Обычное определение Фреше метрического пространства содержит три аксиомы: аксиому (1°), аксиому симметрии и аксиому треугольника, записываемую в иной, несимметричной, форме: | pq | < | рг \ + | rq |. — Прим. перев.
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ 17 таким образом, топологическим пространством, определенным его метрикой, т. е. заданием расстояния между его точками, которое называется метрическим пространством. Всякое подпространство метрического пространства есть метрическое пространство. Одна и та же топология может быть индуцирована на множестве Е введением двух разных метрик. Чтобы две метрики индуцировали одну и ту же топологию, необходимо и достаточно, чтобы всякий шар, определяемый первой метрикой, содержал шар с тем же центром, определенный второй метрикой, и наоборот. Так как сферические окрестности в первой топологии являются открытыми множествами этой топологии, то непосредственно видно, что они будут открытыми множествами и второй топологии, и наоборот. Этого достаточно, чтобы установить указанный результат, ибо как в той, так и в другой топологии всякое открытое множество есть объединение шаров. Диаметром множества А в метрическом пространстве Е называется верхняя грань расстояния между двумя точками р и q этого множества, если она существует (если же эта грань не существует, то говорят, что множество имеет, бесконечный диаметр). Рассмотрим несколько свойств метрических пространств. 1° Возьмем две разные точки р и q, и пусть \pq\ = d. Шары с центрами в точках р и q радиуса dj2 не имеют бощих точек, и они будут окрестностями точек р и q. Следовательно, у любых двух различных точек р и q метрического пространства имеются непересекающиеся окрестности. Топологическое пространство, удовлетворяющее этому условию, называют отделимым или хауедорфовым. Следствием отделимости является тот факт, что множество, состоящее из одной точки, замкнуто. Говорят, что последовательность точек \рп) (л=1, 2, ...) сходится к точке р или имеет р пределом, если каждой окрестности V точки р соответствует такой индекс N, что для п> N имеем рп 6 V. Последовательность {рп} называется тогда сходящейся. В отделимом пространстве сходящаяся последовательность имеет единственный предел. Пишут: Нтп рп=Р, или рп-+р. П-> ОО Следствие. Всякая подпоследовательность, выделенная из последовательности, сходящейся к точке р, сама сходится к р. 2° Пусть р' = /(/?)— непрерывная функция, определенная в метрическом пространстве Е, со значениями р' тоже в метрическом пространстве Ег. Непрерывность функции в точке р выражается словами: всякому е > 0 можно поставить в соответствие такое число 5 > 0, что из \pq\ < 5 следует \p'q'\<* (р'=/(Р), q'=f{q)). Понятие сходимости последовательности функций, понятие равномерной сходимости, тот факт, что равномерно сходящаяся'последовательность {fn(P)} функций, непрерывных в Е -со значениями в Е\ сходится к непрерывной функции /(р), — все это легко переносится на метрические пространства. 3° Замыкание шара | pq | < р с центром р содержится в множестве I РЯ К р, так как если г такая точка, что | рг \ > р, то шар с центром г и телИусом 'pr I — V не содержит ни одной точки шара | pq \ < р, следовательно, г не принадлежит к замыканию этого шара. лтл/ГТСЮДа сл»едУет» что всякая окрестность точки в метрическом пространстве содержит замкнутую окрестность.
18 ВВЕДЕНИЕ Топологическое пространство, обладающее этим свойством, называется регулярным. 4° В дальнейшем мы будем иметь дело с метрическими пространствами, в которых существует счетное всюду плотное множество D. Такие пространства называются сепарабельными. Рассмотрим шары S(rt а) с рациональными радиусами о и с центрами в различных точках г из D; множество этих шаров тоже будет счетным множеством, поскольку множества положительных рациональных чисел счетно. Всякое открытое множество О есть объединение таких шаров. В самом деле, точка р множества О является центром шара радиуса р, содержащегося в О, а в шаре радиуса р/3 с центром р существует точка г из D, поскольку D плотно. Шар с центром г такого рационального радиуса а, что» Р 2р ■5* < а < -£» содержит точку р и сам содержится в О. Множество О есть„ таким образом, объединение шаров S (г, а). Всякое подпространство И сепарабельного метрического пространства Е сепарабельно. Действительно, достаточно выбрать по точке из Н в каждом шаре S (г, а), пересечение которого с Н непусто; мы получим тогда счетное множество, плотное в Н. Пространства, которые мы будем в дальнейшем рассматривать, всегда будут предполагаться сепарабельными. 5° Сепарабельное метрическое пространство обладает следующим свойством: для двух замкнутых множеств без общих точек можно всегда найти два содержащих их открытых множества без общих точек- Топологические пространства, которые обладают этим свойством, называются нормальными. * 7. Полные пространства. Компактные пространства и множества» Пусть {рп} — последовательность точек метрического сепарабельного пространства Е. Если она сходится к точке р, то для всякого е, как мы видели, можно найти такое число N, что \PnPK-j при n>N, следовательно, в силу неравенства треугольника, \РтРп\<* при mtn>N. Говорят, что последовательность {рп} удовлетворяет условию Кошиг если для произвольного положительного е можно найти такое натуральное N, что имеет место предыдущее неравенство. Всякая сходящаяся последовательность удовлетворяет условию Коши, но обратное не всегда имеет место. Если же, напротив, всякая последовательность, удовлетворяющая условию Коши, сходится в Е, то говорят, что Е—полное пространство- Это понятие, впрочем, не является топологическим. Если пространства Е таково, что всякая бесконечная последовательность его точек содержит сходящуюся подпоследовательность, то это свойство в противоположность полноте, очевидно, сохраняется при гомеоморфизмах; тогда говорят, чта пространство компактно. Это можно выразить также словами: всякая бесконечная последовательность различных точек пространства Е имеет по крайней мере одну предельную точку, или точку накопления, т. е. точку, всякая окрестность которой содержит бесчисленное множество точек последовательности» Компактное пространство полно. Говорят, что множество С, содержащееся в пространстве Е, компактно, если подпространство С компактно.
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ 19 К компактным множествам причисляют и те множества, которые содержат только конечное число точек, и пустое множество. Пространство называется локально компактным в точке р, если существует компактная окрестность точки р. Пространство называется локально компактным, если оно локально компактно в каждой своей точке. Приведем некоторые свойства компактных множеств: 1° Всякое компактное множество замкнуто. 2° Объединение конечного числа компактных множеств есть ком- пактное множество. 3° В компактном множестве всякое замкнутое подмножество компактно. 4° Всякое компактное множество имеет конечный диаметр. 5° Лемма Бореля — Лебега. Пусть Ф — семейство открытых множеств, образуюи их покрытие компактного множества С (т. е. всякая точка из С принадлежит какому-нибудь открытому множеству из Ф). Тогда можно выделить из Ф конечную систему множеств, образующих покрытие С. Последнее свойство характеризует компактные пространства. Отсюда следует, что всякий непрерывный образ компакта есть компакт. 6° Равномерная непрерывность. Пусть /?'=/(/?)—непрерывное отображение компактного метрического пространства С на компактное метрическое пространство С. Всякому числу е > О можно поставить в соответствие число Ъ, такое, что из \pq\<b следует |p'q' | = |/(р), f{q) \ < е. В этом и состоит свойство равномерной непрерывности непрерывных функций на компактных множествах. 8. Связные пространства и множества. Пространство называется- связным, если оно не является объединением двух непересекающихся открытых непустых множеств. Когда пространство несвязно, два открытых множества, объединением которых оно является, будут также замкнутыми, так что можно сказать, что пространство связно, если оно не является объединением двух непересекающихся замкнутых непустых множеств. Пространство, состоящее из одной точки, связно; пространство, состоящее из конечного числа точек, большего 1, несвязно. Множество С, содержащееся в пространстве Е, называется связным, если подпространство С связно. Компонентой связности, или связной компонентой, точки р из С называют наибольшую связную часть множества С, содержащую р. Легко» показать, что: объединение двух связных множеств, имеющих общую точку, есть связное множество; непрерывный образ связного пространства есть связное пространство. Связное компактное пространство (или множество) называется конти- нУУмом. Непрерывный образ континуума есть континуум. Открытое связное множество называется областью. Пусть А — подмножество пространства Е\ если С А несвязно, то мы говорим, что А разбивает Е или что А есть купюра Е. 9. Эвклидово аморфное пространство. Обозначив через п натуральное число, будем называть точкой всякую совокупность п действительных
20 ВВЕДЕНИЕ чисел, взятых в определенном порядке: р = {х\ х* хпу Число xh будет называться &-й координатой точки р. Интервалом (п измерений) называется можество точек /?, выделяемое неравенствами (9.1) ah<xh<b\ h = 1,2 п (где числа ah и bh таковы, что ah < bh). На множестве всех точек р следующим образом определяется топология: открытыми множествами будут интервалы, их объединения и пустое множество. Легко проверить, что этим действительно определяется топологическое пространство. Оно называется аморфным эвклидовым n-мерным пространством и обозначается через Rn (Rl называется прямой, R* — плоскостью). Различные пространства Rn являются основными пространствами дифференциальной геометрии. Замыкание интервала (9.1) есть множество таких точек р, что ah^.xh^b\ и называется (л-мерным) сегментом. Пусть р и q — две точки: Р = {а\ а»), Я = {Ы bn); мы видим, что каждая из величин (9.2) \РЯ\= max |a* — Ь*\, Л-1, ..., п (9.3) \pq\i = jt\ah-bh\> \P9\*= 1/ !>»-**)» 1 У 1 определяет расстояние, индуцирующее только что описанную топологию. Начиная с этого момента мы будем рассматривать пространство Rn как метрическое пространств), метрика в котором определена с помощью одного из этих расстояний. Отображение р' = /(/?), ставящее в соответствие точке р = (xh) подпространства Е пространства /?* точку р' — (yJ) пространства Rmt записы- вается с помощью т числовых функций от п переменных yj = fj(xit ..., хп) y = i m)t (jfi x»)£E. Непрерывность этого отображения в точке р определяется следующим образом: всякому е > 0 можно поставить в соответствие число 5 так, что (9.4) \fj (*i х») -fj(xn х'п) | < £ U = 1 т) при \хЬ — х'н\<Ъ (Л=1 /г), (x'h)£E, или число 5' так, что неравенства (9.4) выполняются при l
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ 21 или же число Ъ" так, что (9.4) выполняются при 1 Отображения пространства Rn на себя x'h = x*+a* (h = l л), где ah — произвольные числа, являются гомеоморфизмами Rn на себя, при помощи которых можно перевести заданную точку в любзю другую точку; по этой причине пространство называется однородным. В каждом интервале можно найти точку г = (г* гл), для которой: rh—рациональные числа; отсюда следует, что множество точек с рациональными координатами плотно в пространстве Rnt которое вследствие этого является сепарабельным, как и все его подпространства. Будучи метрическим, пространство Rn, как и все его подпространства, будет отделимым, регулярным и нормальным. Кроме того, оно полно. Множество EdRn ограничено, если существует число М, такое, что | xh | < М для всякой точки (xh) € Е, Всякое компактное множество, поскольку оно имеет конечный диаметр, непременно ограничено. Обратно, всякое множество, ограниченное и замкнутое, будет компактным, как это вытекает из следующего результата: Лемма Больцано — Вейерштрасса. В пространстве Rn всякое бесконечное ограниченное множество точек имеет по крайней мере одну предельную точку. Мы не приводим доказательства этой леммы, которое можно найти в любом курсе анализа. Из нее следует, что пространство Rn локально компактно. Назовем линейным многообразием I измерений (/•</*—1), или 1-мерным линейным многообразием, множество точек с координатами I *Ьв 2^ + в'* (Л = 1 л), где с£, сь — постоянные, a t —действительные переменные и где матрица |4| (А=1 л;Ы /) имеет ранг / (имеется минор порядка /, не равный нулю, и все миноры порядка / + 1 равны нулю). Линейное многообразие / измерений гомеоморфно R1. При 1 = п—1 это многообразие называется также гиперплоскостью (или просто плоскостью). При / = 1 мы имеем прямую xh = ^cH+cfh (2lc*l>0 Гиперплоскости xh = 0 называются координатными гиперплоскостями'* совокупность их образует так называемый координатный п-эдр. Прямая jci = ... = *ь-1 = *ь+1 = ... = хп = О называется h-й осью координат', точка xh = 0 (h=\ п) —началом координат.
22 ВВЕДЕНИЕ 10. Симплексы. Комплексы. Точки рк пространства Rn (k = 1 / +1) называются линейно независимыми, если они не содержатся ни в каком линейном многообразии размерности < /. Они определяют в этом случае лгинейное многообразие / измерений. Множество Т1 точек р, определяемых уравнениями V0.1) ** = !>*-*£ Ык>0> Ц^1 называется симплексом I измерений, или 1-мерным симплексом, определенным этими / -\- 1 линейно независимыми точками (это понятие является обобщением понятия тетраэдра, треугольника, сегмента прямой). Гранью размерности тп си*мплекса Т1 называется всякий симплекс определенный m-f-1 точками из тех / -|~ 1 точек, которые определяют Т1. Грани размерности 1 называются также ребрами; грани размерности нуль (иначе говоря, точки рд, определяющие 7**) называются также вершинами симплекса. Два симплекса одной и той же размерности гомеоморфны. Вообде, топологическим симплексом (или просто симплексом) j* называется гомеоморфный образ симплекса Тп в топологическом пространстве. Рассмотрим в пространстве g два симплекса J*n и J"n, полученные из симплексов Тп и Т'п пространства Rn гомеоморфными преобразованиями q = f(p) и ^'=/'(/?'). Точке q€j*n f| <J"n соответствуют две точки из Rn:p=f~\q) и p'=f~l(q). Говорят, что симплексы J*n и J"n равны, если выполнены одновременно два следуюдих условия: 1° J"* и J"n, рассматриваемые как множества точек g, совладают. 2° Соответствие между р и рг есть линейное преобразование, т. е. координаты точки р' получаются из координат точки р по формулам *'» = £<***+«2+1- 1 Условившись об этом, мы назовем комплексом Кп размерности п топологическое пространство, которое может быть разбито следуюдчм образом: 1° fC1 есть объединение конечного или счетного множества топологических образов симплексов различных размерностей от нуля до /г, причем существует по крайней мере один симплекс размерности п. 2° Всякая точка принадлежит по крайней мере одному симллексу и не принадлежит более чем конечному числу симплексов. 3° Для любых двух симплексов верно следующее: или они не имеют общих точек, или один из них есть грань другого, и тогда симплексы называются инцидентными, или же они имеют обдую грань, причем два симплекса, составляющих эту обдую грань, равны. 4° Открытое множество Кп содержит вместе с точкой р объединение окрестностей точки р во всех симплексах, которым р принадлежит. Такое разбиение комплекса Кп называется симплициальным.
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ 23 п Сегмент аь^х^Ьп, сфера п — 1 измерений ^ (xhy* = 1, шар откры- 1 п тый (или замкнутый) ^ (хпУ* < 1 (или < 1) являются комплексами (рис 2). 1 Само пространство Rn как объединение бесчисленного множества кубов есть комплекс. Комплекс всегда локально компактен. Конечный комплекс (объединение конечного числа симплексов) есть компактное пространство; бесконечный комплекс не компактен, так как множество центров тяжести всех его симплексов не имеет предельной точки [центр тяжести V симплекса, определенного в (10.1), есть точка, определяемая равенствами р.& = ■ . В комплексе Кп рассмотрим симплекс Т0 и множество всех симплексов Т, которые могут быть соединены с Го конечной цепью симплексов (10.2) Г0, Тх Тк = Т, такой, что два последовательных симплекса этой цепи инцидентны. Объединение этих симплексов вместе с Т0 образует открытое множество в /Сп, так Рис. 2. как, очевидно, оно содержит вместе с каждой точкой и ее окрестность: дополнение к этому множеству также открыто по аналогичной причине; итак, рассматриваемое множество одновременно открыто и замкнуто. Отсюда вытекает, что в связном комплексе два любых симплекса можно соединить цепью вида (10.2). Комплекс К™ называется чистым (размерностно-однородным), если всякий его симплекс размерности k < п является гранью по крайней мере одного симплекса размерности п\ это понятие топологически инвариантно. Наконец, комплекс Кп однороден, если любая его точка имеет окрестность, п гомеоморфную шару У^(хп)* < 1, или внутренности симплекса Tnt что одно 1 и то же, как легко видеть. Однородный связный комплекс К?г мы назовем многообразием*). П. Размерность. Кривые и поверхности. Канторовы многообразия* Основным топологическим инвариантом сепарабельных метрических пространств является размерность. х) Другое определение многообразия см. в книге А 1 ex a n drof f P.,. °pf H., Topologie I, Springer, 1935. — Прим. перев.
24 ВВЕДЕНИЕ Пусть Е—метрическое сепарабельное пространство; всякой его точке р мы ставим в соответствие целое число (или бесконечность), называемое размерностью Е в точке р (&\трЕ). Далее самому пространству Е ставим в соответствие целое число (или бесконечность), называемое его размерностью (dim £), следующим образом: 1° Пустое пространство, и только оно, имеет размерность — 1. 2° а) (ЫгПрЕ^п (/г>0), если всякая окрестность точки р содержит открытую окрестность, граница которой имеет размерность <! п—1. b) dim £•< л, если д\трЕ4^п в каждой точке. 3° a) dinip£ = /z, если dimpE^n и если, кроме того, не выполняется неравенство dlmpE-^n — 1. b) dim Е=п, если dim E^n и не выполняется неравенства dim £</г— 1. 4° dim E = оо, если ни при каком п не выполняется неравенство dim E-^n. Эти определения показывают с очевидностью инвариантность понятия размерности относительно гомеоморфизмов. Определения рекуррентны (индуктивны): сначала определяются пространства размерности нуль, что позволяет придать смысл выражению „пространство Е имеет размерность 1 в точке р*. Далее придается смысл выражению: „пространство Е имеет размерность Iй и т. д. Нас будут интересовать только пространства конечной размерности. Пространство /?п. было названо л-мерным потому, что его точки можно задавать с помощью п чисел (координат); это определение не имеет топологически инвариантной формы, и a priori нельзя утверждать, что окрестность точки р пространства Rn не является гомеоморфнои окрестности точки рг пространства Rn', где п Ф п'\ тем не менее это верно, ибо справедлив следующий результат1): размерность пространства Rn равна п в каждой его точке. Число п имеет, таким образом, топологический смысл. Можно доказать также, что всякое множество размерности п sRn содержит открытое множество и что всякое пространство размерности п может быть погружено в пространство Rin+1 (т. е. в R2n+1 можно реализовать^ пространство, гомеоморфное рассматриваемому пространству). Можно также доказать, что всякая купюра пространства Rn имеет размерность ;>л — 1. Канторовым многообразием п измерений (п !> 1) называется компактное пространство размерности /г, которое нельзя разбить (на несвязные части) никаким подмножеством размерности ^/г — 2; отсюда следует, что- такое множество имеет размерность п в каждой своей точке. Следует рассматривать это понятие как естественное обобщение понятий кривой и поверхности, которые мы определим как канторовы многообразия размерностей 1 и 2 соответственно. Кривая еще может быть определена как континуум размерности 1. С интуитивной точки зрения недостаточно сказать, что поверхность есть- континуум размерности 2 в каждой своей точке; так, на рис. 3 пять заштрихованных треугольников образуют множество, разбиваемое любой парой вер- 1) Относительно этого результата, а также и дальнейших см., например, F a v a r d J., Espace et Dimension, Albin Michel, Paris.
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ 25 шин пятиугольника abode (т. е. множеством размерности нуль). Это множество обычно не рассматривается как поверхность. Канторовым многообразием является всякое компактное многообразие *); обратное неверно. Так, например (рис. 4). в R* множество, определяемое- условиями х* = sin — для 0 < л:1< я, — 1<лг2<1 для лг1 = 0, есть канторово многообразие размерности 1 (кривая), относительно которой: можно доказать, что это не комплекс, в частности не многообразие. \ 0 tl > l\l JU (\ \ / *'* Рис. 3. Рис. 4. 12. Дифференцируемые многообразия. Основные пространства, с которыми мы будем иметь дело, всегда будут многообразиями Vw, удовлетворяющими следующим условиям: 1° Существует покрытие Q многообразия Vn с помощью конечного или счетного множества открытых множеств Oft, гомеоморфных внутренности шара ;£(**)» <i. 1 причем точки множеств Ои отнесены к локальным системам координат х\ (Л=1 п; k = \t 2,...). 2° Для всякой пары пересекающихся множеств Ojc и 0% преобразование координат в ОкПОь позволяющее переходить от координат в Ojc к координатам в 0%, имеет вид (Ш) *?=<РЛ(4 •*") (Л = 1,2 п). *) В оригинале автор утверждает, что всякий чистый конечный комплекс является канторовым многообразием. Это неверно: противореча ций пример дает тот же рис. 3. — Прим. перев.
26 ВВЕДЕНИЕ где функиии срЬ имеют непрерывные частные производные, примем якобиан D(xk) отличен от нуля. В силу известных свойств дифференцируемых функций и функциональных определителей, переход от 0% к Ок производится с помощью функций (12. Г) **-♦*(*! хг)< имеющих также непрерывные производные с якобианом Р№ ._ 1 /0 £><*,) "ГД(т>)] ^и* LD(xk)} Определение, таким образом, симметрично относительно Oft и О;. Непосредственно очевидно, что если произвести, например, в Ои взаимно однозначное преобразование координат (12.2) уЬ = 6*(4,'..., *£)> где функции 0Л имеют непрерывные частные производные с якобианом Я(6Л) D(xk) фО, то переход от (у^) к (xf) будет осуществляться с помощью преобразования вида (12.1) с функциями, удовлетворяющими тем же условиям, что и система <(Л Многообразие Vй, для которого можно найти покрытие Q и в каждом Ок из Q систему локальных координат (•*£)> такую, что выполнены предыдущие условия, называется дифференцируемым многообразием класса 1 (или многообразием класса &). Если существует покрытие Q и системы локальных координат (.*£), такие, что функции <рЛ, кроме того, допускают непрерывные частные производные до порядка т, то говорят, что многообразие Vn является дифференцируемым класса т (или многообразием класса Ст)\ если возможно добиться того, чтобы <рЛ были аналитическими функциями, то многообразие называется аналитическим (говорят также многообразие класса С°°» оставляя в стороне случай, когда <рЛ имеют частные производные всех порядков и не являются аналитическими). Преобразования вида (12.2), допускаемые в каждом классе, легко определить. Не известно, будет ли всякое многообразие дифференцируемым; но эта задача выходит за пределы дифференциальной геометрии, многообразия, с которыми в ней имеют дело, всегда предполагаются дифференцируемыми надлежащего класса. Чаще же всего они будут предполагаться аналитическими. 13. Общие свойства групп. Группой называется непустое множество элементов G = (at Ь х, у, г, ...), обладающее следующими свойствами. Аксиома I. Имеется закон композиции элементов группы G, ^называемый умножением, который каждой паре элементов (х, у\
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ 27 заданных в этом порядке, различных или совпадающих ставит в соответствие третий элемент z, называемый произведением х на у справа, или у на х слева: z = ху. Аксиома II. Умножение ассоциативно, т. е. каковы бы ни были х, у, z, х (yz) = (xy) z. Аксиома III. В группе G существует по крайней мере один элемент е, нейтральный относительно умножения на него справа, т. е. такой, что хе = х. Он называется правым нейтральным элементом, или правым единичным элементом, или правой единицей. Аксиома IV. Всякий элемент х из G имеет по крайней мере один правый обратный элемент х', определяемый равенством хх' = е. Следствиями этих аксиом являются следующие предложен ия: 1° Правый обратный к х элемент х' будет также левым обратным, т. е. х'х = е. Действительно, пусть х" — правый обратный к х'\ мы имеем сначала х' = х'е = х' (хх') = (х'х) х', откуда, умножая справа на х" крайние члены этих равенств, получим е = (х'х) (х'х") = (х'х) е = х'х. 2° Нейтральный элемент е будет двусторонним и единственным нейтральным элементом (или единицей). Действительно, мы имеем ех = (хх') х = х (х'х) = хе = х, т. е. е — двусторонняя единица. Пусть е' — другой нейтральный элемент, например, правый; по определению ег имеем ее9 = е и# далее, ее' = е', так как е — левая единица, откуда е = е'. Заметим также, что элемент, обратный к е, есть е. Отсюда следует, что е = е'* = е*= ..., где мы положили е* = ее\ еъ = еее Вообще, положим х* = хх, х* = ххх 3° Справедливо правило сокращения справа (или слева) из ха = у а (или ах = ау) следует х = у.
28 ВВЕДЕНИЕ Чтобы доказать первое правило, умножим обе части на элемент а\ обратный справа к а\ получим хааг = х (ааг) = хе = х = уааг = у (аа') = уе = у. Второе правило проверяется таким же образом. 4° Имеется только один элемент, обратный к х; это позволяет нам говорить просто об элементе, обратном к xt и обозначить его через х~\ причем хх-1 = лг-1* = е. Группа, в которой умножение коммутативно, ху = ух, называется абелевой группой. Подмножество Н группы (7, которое само является группой, называется подгруппой группы G; всякая группа имеет подгруппу, образованную из одного элемента — единицы е. Обозначив через а фиксированный элемент, мы назовем преобразование, переводящее х в ах, левым сдвигам х посредством а (аналогично определяется правый сдвиг); множество всех ах будет обозначаться aG. Если заданы два подмножества А и В из (7, то множество элементов ху (х £ А, у £В) будет обозначаться А • В; обозначения А • В • С, хАу понятны без дальнейших пояснений. Прямым произведением двух групп G = (x, у, ...), <?' = (*', у', ...) называется и обозначается через GXG' множество пар Х=\х, У) с правилом композиции Х.К = (лг, лг')(у, У') = (ху, х'у'). Легко видеть, что мы получаем таким образом группу, единицей которой является Е=(е, е'\ Две группы G = (x, у, ...) и G' — (х', у', ...) называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение G на G' x' = f(x)t х = Г\х'), такое, что образ произведения двух элементов из G является произведением образов сомножителей: (13.1) f(x)f(y) = f{*y)> что влечет за собой равенства /<*)/<*-!) = /(«) = «', f(x-l) = [/(ЛГ)Г1. То же соотношение справедливо для обратной функции, так как Г1 (*') Г1 (У) = ab = Г1 [f(ab)} =f-i{a'b')> т. е. группа G' изоморфна группе G. Нейтральному элементу группы G соответствует нейтральный элемент группы G'.
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТАЯ. ОСНОВАНИЯ 29 Если G изоморфна G' и G' изоморфна G", то, очевидно, G изоморфна G". Итак, изоморфизм есть отношение эквивалентности; это основное отношение эквивалентности в теории групп. Две изоморфные группы отличаются только названиями своих элементов. Изоморфное отображение группы G на себя называется автоморфизмом. Можно проверить, что отображения аха~1 = f(x), где а есть фиксированный, но произвольный элемент группы G, будут автоморфизмами; они называются внутренними автоморфизмами группы G; в абелевой группе они сводятся к тождественному отображению. Пусть снова G и G' — две группы; допустим, что существует отображение х' = f(x) группы G на Gr (не обязательно взаимно, однозначное), удовлетворяющее соотношению (13.1); оно называется гомоморфизмом группы G в группу G'. Рассмотрим в этом случае множество //с G, такое, что f(h) = e' для h£H, где е' — единица группы G'. Легко проверить, что Н есть подгруппа группы G и что xhx-i £ Н для всякого х, если & 6 //, так как f(xhx-t) = f(x)f(h)f(x-i)=f(x) e'f(x-i) = /(*)/(«*-!) = /<*> = *'• Таким образом, имеем хНх-^ = Н (или хН = Нх), каково бы ни было х. Мы говорим в этом случае, что Н—нормальный делитель, или инвариантная подгруппа в G. . Пусть х' — элемент из <3', а х — элемент из (7, такие, что х' = /(*). Для всякого h £ Н имеем f(xh) = f(x)f(h) = х'е' = х' [и точно так же f(hx) = x']\ с другой стороны, если /(у) = х', имеем f{yx-i) = f(y)f(x-i) =х'х'~1 = е'; значит, yx-i = h£H, следовательно, у = xh (можно доказать также, что существует такое h', что у = h'x). Обозначим через X множество (или класс) хН: это множество элементов из G, имеющих образом х'. Пусть Y—yH — другой класс, имеющий образом у'\ в силу (13.1) и полученного выше результата множество хуН есть класс, имеющий образом х'у', мы назовем его классом Х- Y, вводя таким образом закон композиции классов. Легко проверить, что с этим правилом множество классов становится группой, называемой фактор-группой группы G по Н (и обозначаемой через О/Я), изоморфной группе G'. 14. Преобразования. Группы преобразований. Пусть £=(<*, р, ...) — некоторое множество. Говоря о преобразовании, мы будем иметь в виду взаимно однозначное отображение множества Е на себя (14.1) а'=х(а). Положим a = ;t-i(a'). Тождественное преобразование е отображает каждый элемент а на себя: а = е (а). Пусть у — другое преобразование; положим и условимся говорить, что а" получается из а преобразованием ух.
30 ВВЕДЕНИЕ Пусть теперь G—множество взаимно однозначных преобразований, содержащее е, содержащее х-i вместе с х и ху вместе с х и у; непосредственно очевидно, что выполняется закон ассоциативности. Тогда G образует группу преобразований множества Е. Элементы множества Е называются объектами, на которых действует группа. Группа G называется транзитивной, если для любых двух объектов в Е существует преобразование из G, переводящее один объект в другой; если это преобразование единственно для всякой пары объектов из Д то группа G называется просто транзитивной. В частности, рассмотрим- в качестве множителя Е саму группу G и положим х (у) = ху; эта группа преобразований просто транзитивна. Вообще, пусть транзитивная группа G действует на множестве Е; выберем в Е элемент а. Множество преобразований из G, оставляющих а инвариантным, образует, очевидно, подгруппу Н; пусть теперь р— другой элемент из Д и х — преобразование группы G, такое, что х (а) = Р; множество преобразований, переводящих а в р, есть хН; оно не зависит от л: и зависит только от р, если а задано: можно сказать, что это множество составляет репер элемента р. Группа, не являющаяся транзитивной, называется интранзитивной. Пусть а — элемент множества Д а Е^ — множество образов элемента а при преобразованиях группы G; Е\ может быть определено, начиная с любого из своих элементов, так же, как оно было определено, начиная с элемента а, и G действует транзитивно на множестве Еь которое называется классом транзитивности множества Е. Предполагается, что Et не исчерпывает Е; существует, следовательно, элемент р, не принадлежащий Еь он определяет класс £2» на котором G действует транзитивно. Классы Е± и Е2 не имеют общих элементов. Таким образом, можно продолжать расслоение Е на классы транзитивности. Реперирование элемента множества Е происходит так: указывается, к какому классу он принадлежит, и указывается его положение внутри своего класса. Рассмотрим, наконец, две группы преобразований Gt = (хъ ...) и <j2=(jc2, ...), действующих соответственно на множествах EL=(ab ...) и Е2 = (а2, ...); предположим, что существует взаимно однозначное соответствие между Е1 и Е2 a2=/(ai) [ai=/"1(a2)] и взаимно однозначное соответствие между Gt и (72 *2 = £(*i) [*i = ЗГ-1 С*2)], такие, что *2(«?) = /[*l(al)]- Мы скажем тогда, что две группы G1 и (72, необходимо являющиеся изоморфными, действуют подобно над объектами множеств Et и Е?, соответственно или что две группы преобразований G± и G2 подобны. Как группы преобразований, G± и (72 отличаются только названиями их элементов и названиями элементов, на которых они действуют; это становится еще более ясным, если мы условимся рассматривать / и /-1 как два преобразования (Е± на Е2 и £2 на Е1 соответственно) и писать *2 = Ai/"1. Понятие подобия, очевидно рефлексивное и симметричное, является также транзитивным; следовательно, это — отношение эквивалентности, и оно является основным отношением эквивалентности в теории групп преобразований.
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ 31 15. Топологические группы. Мы называем топологической группой множество G, снабженное одновременно структурой группы и топологией, совместной с этой структурой; это значит, что топология группы должна удовлетворять двум следующим аксиомам: Аксиома I. Пусть GxG — топологическое произведение G на себя, (х, у) — элемент этого пространства;, тогда отображение G X G на G (х, у)-+ху, ставящее в соответствие элементу (х, у) произведение ху, непрерывно*. Аксиома И. Симметрия х-*-х-}9 ставящая в соответствие элементу х обратный ему элемент, есть непрерывное отобраэюение G на себя. Значение аксиомы II очевидно; что касается аксиомы I, то необходимость» ее требует пояснений. Пусть Vxy— окрестность элемента ху; в силу, аксиомы I это непрерывный образ окрестности W элемента (х, у) из G X G; но мы видели, что эта последняя окрестность содержит окрестность- вида Vx X Vyt где Vx — окрестность элемента х, a Vy — окрестность элемента у. Следовательно, из аксиомы I вытекает, что всякая окрестность VXy содержит окрестность вида Vx- Vy; это одна из причин, по кЪторым принята эта аксиома. Если а — заданный элемент, отображение х ->■ (а, х) непрерывно, к так как отображение (а, х) ->• ах также непрерывно в силу аксиомы I, то» отсюда следует, что отображение х-**ах непрерывно. Аналогично показывается, что отображение х -> ха непрерывно, и оба. этих отображения будут гомеоморфизмами G на себя. То же самое справедливо относительно отображения х -*- л:-* и отображения х -> ахЬ, где Ь также задано. Пусть О — открытое множество (или замкнутое) и а — любая точка из G; тогда множества аО, Оа, О"1 открыты (или замкнуты). Если А и В произвольны, а О открыто, то АО, ОА, АОВ также открыты, как объединения открытых множеств. Пусть V—окрестность нейтрального элемента е; тогда VA и А V являются окрестностями множества А. Мы будем тогда и только тогда говорить, что топологические группы G и G' изоморфны, когда существует гомеоморфизм G на G', который является одновременно изоморфизмом группы G на группу G'. Ограничение* наложенное здесь на понятие изоморфизма, не следует терять из виду. Изоморфизм группы G на себя называется автоморфизмом; отображения х-+аха-\ где а — произвольная заданная точка, называются внутренними автоморфизмами. Две группы G = (x, у, ...) и G' = (х', у', ...) называются локально изоморфными, если существует локальный гомеоморфизм x' = f(x), x = rl(x') = g(x') окрестности V нейтрального элемента е группы G на окрестность V нейтрального элемента е' группы Gr, такой, что для всякой пары точек х* У € V, для которых произведение ху £ V, мы имеем /(*)/(У) = /<*У> и для х\ у' £ V'9 x'y' £ V имеем также Две локально изоморфные топологические группы могут не быть изоморфными.
32 ВВЕДЕНИЕ Пусть Н—подгруппа группы G; легко видеть, что пространство G индуцирует в Н топологию, совместную со структурой группы: всегда имеется в виду именно эта топология, когда говорят о подгруппе топологической группы. Понятия, введенные для топологических пространств, распространяются на топологические группы; если, в частности, топология в G определена с помощью расстояния, то группа Q отделима и регулярна; можно говорить о сходимости последовательности точек в группе, о полной группе, о компактной или локально компактной группе, о связной группе. Мы не будем останавливаться на следствиях из этих различных гипотез. Сделаем, однако, несколько замечаний. Если Н—подгруппа группы (7, то ее замыкание Н—также подгруппа. Действительно, если х и у— две точки из //, то всякая окрестность Vxy произведения ху содержит окрестность вида Vx • Vyt т. е. всякая окрестность точки ху содержит точки, являющиеся произведениями точек, принадлежащих каждому из этих множеств, т. е. принадлежит //. С помощью сдвигов убеждаемся, что если подгруппа Н содержит одну внутреннюю точку, то и все ее точки внутренние, т. е. подгруппа будет открытым множеством. Всякая открытая подгруппа является одновременно замкнутой; действительно, пусть Н—эта группа, ее дополнение СИ может быть записано в виде СН-Н; значит, это открытое множество, т. е. //также замкнуто. Пусть V= V~x — симметричная окрестность единицы; рассмотрим множество произведений конечных последовательностей элементов, принадлежащих V: х±х2 ... хп, где xh £ V (h = 1, 2 /г). Это множество образует группу, которая является открытой, так как она содержит V; значит, это открытая (и замкнутая) подгруппа //, содержащая, следовательно, единицу. Если G связно, то Н совпадает с (3. Компонента связности Н единицы е есть нормальная замкнутая подгруппа группы G. Действительно,"всякая точка прикосновения компоненты связности принадлежит этой компоненте, а, с другой стороны, компонента связности точки х есть класс хН (или Нх\ так что хН= Нх. 16. Группы Ли. Определение непрерывной группы отличается от того определения, которое напрашивается, а именно, что эта связная и компактная группа; обычно говорят, что непрерывная группа —это локально компактная и связная группа. Мы будем также изучать группы, у которых компонента связности нейтрального элемента есть континуум. Мы не будем рассматривать следствий, которые вытекают из гипотезы, что группа непрерывна, и перейдем к топологическим группам, называемым группами Ли, или непрерывными конечными группами. Это такие группы, окрестность единицы которых (а следовательно, и окрестность любой точки) гомеоморфна r-мерному шару, тогда как сама группа гомеоморфна г-мер- ному аналитическому многообразию 1^*, называемому пространством параметров (г называется порядком группы). Пусть а = (а\ а? аг) и b=(b\ б2 br) — два элемента группы, принадлежащие одному и тому же шару и отнесенные к одной и той же системе координат. Положим с = ab, где с = (с\ с9, ..., сг) и принадлежит тому же шару, что и элементы а и Ь. Группа определяется посредством соотношений вида (16.1) с* = №(а\ ..., лг|&1 ЪП (/i = l, 2 г),
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ 33 которые мы будем писать сокращенно в форме (16.1') сЬ = 0Л(я|б), где 0Л — аналитические функции своих аргументов, удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям, на которых мы не будем останавливаться. Можно условиться, что единичный элемент соответствует нулевым значениям параметров. Эти группы будут употребляться как группы преобразований, действующие на некоторой области Q}, лежащей внутри шара на некотором многообразии Vnl), точки х которого заданы с помощью координат х1 хп. Преобразование а группы переводит точку х в точку х\ определяемую уравнениями (16.2) х'к = ср* (*1 хп | а\ ..., a?) (k = 1, 2 л), где <рл будут аналитическими функциями от п-\-г переменных х* и аК [Пишут кратко х' = ср (х \ а), или еще х' = Та (х) ]. Из условия взаимной однозначности вытекает, что якобиан 0(?)/О(х)ф0. Следовательно, мы можем разрешить уравнения (16.2) относительно хк и получить формулы обратных преобразований х = Т-1(х'\ Произведение двух преобразований ТьТа(х)=Тъ[Та{х)] = Тс(х) задается формулами (16.2), где параметры ah должны быть заменены параметрами с\ заданными формулами (16.1). В уравнениях (16.2) всякая точка х из @ имеет координатами п чисел х\ ..., хп. Вообще, репером в & называют всякое взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение области Qf в числовое пространство Rr. Пусть Т—аналитическое преобразование области <& на себя, допускающее обратное преобразование Г-1. Мы назовем образом репера #0 при преобразовании Т репер & = ТЯ0, в котором точка Т(х) имеет те же координаты, что точка х в #0. Множество образов репера при преобразованиях из группы G называется подвижным репером группы преобразований. Пусть Т — преобразование, действующее на области Qft определенное, скажем, уравнениями лг'Л= фЛ(л:1 хп). Будем искать уравнения, определяющие его в репере U%0t где U обозначает преобразование, имеющее обратное. Относительные координаты точки Т (х) в репере £/#0 будут координатами точки U~lT(x) — = (U~1TU)U~1(x) в репере #0. Но координаты U~l(x) в точности те же, что координаты точки х в репере U%0. Итак, в репере Uft0 преобразование Т выражается уравнениями преобразования U~lTU, называемого преобразованием Т посредством U. Если преобразование U определено уравнениями дг'Л = хЛ(л:1 **), 1) Следует заметить, что, если группа G задана, многообразие Vn не может быть взято произвольно, и наоборот.
34 ВВЕДЕНИЕ то искомые уравнения получатся разрешением относительно х,п уравнений ХМ*'1 х'п) = фЛ [Х1 (ЛГ1 xn)t ...tJn(Xi xn)i Если £/ фиксировано и Т описывает все преобразования группы Gr то U~XTU также описывает группу, называемую преобразованием группы G посредством U. Действительно, в силу закона ассоциативности, имеем (p-^aU) Ш^пи) = и-1татъи\ Ш"1тиТх = и~хт-1и. В силу интерпретации, которую мы только что рассматривали, эта группа подобна группе G. Если U — преобразование из (7, то э^а группа есть сама группа G. Отсюда следует, что группа, отнесенная к реперу #0 и выражаемая уравнениями (16.2), выражается теми же уравнениями по отношению к реперу Яи. Действительно, это будет множеством преобразований Т~хТаТи, тех преобразований, которые можно отождествить с произвольными преобразованиями Тъ группы (достаточно взять Та — ТиТъТ~гу Это можно сформулировать следующим образом: уравнения группы не меняются при переходе от абсолютных координат к относительным координатам. 17. Геометрические объекты. Транзитивность и интранзитивность. Ориентация. Пусть G — группа преобразований, действующая на области & многообразия Vй. Геометрическим объектом а> называется семейство функций, определенных на группе G и принимающих числовые значения: т>*(Г), T£G. Первый пример: точка. Пусть Р — точка из Q}, Т(Р) — ее образ при преобразовании Т £ G. Координаты (jCy) точки Т (Р) в фиксированном репере #0 составляют геометрический объект. Эти координаты (xty являются также координатами точки Р в репере Т"1{2И0). Условимся присоединять к каждому преобразованию Т £ G репер Т"1 %0* Геометрический объект, который мы определили, отождествляется с точкой Р. Пусть о) — геометрический объект; значение его для преобразования Т [т. е. совокупность чисел тц(Т)] будем обозначать через 7V Образом о> при преобразовании 7^ £ G называется геометрический объект, значение которого для Т £ G есть ТТ^ [пример: образ точки Р в преобразовании Тг есть Т^Р)]. Второй пример: скаляр и функция точки. Геометрический объект, равный всем своим образам, называется инвариантом. Семейство* функций, которые его определяют, будет семейством постоянных: ^(Г) = ^. В частности, инвариантный объект, определяемый одной постоянной, называется скаляром. Инвариантный объект, определяемый системой констант, связанных с различными точками Р области В, например функция /(Р), называется скалярным полем, или функцией точки. Размерность п есть геометрический объект группы гомеоморфизмов. Классом называется геометрический объект, который вместе с объектом оо0 содержит все его образы при преобразованиях из группы G. Возьмем теперь в качестве G группу Ли. Мы будем рассматривать почти исключительно группы, действующие транзитивно над точками многообразия V7\ и чаще всего классы Q геометрических объектов <о, определяемых конечным числом N чисел (у1, у2,..., yN)> которые могут принимать по крайней мере все значения из области Л числового пространства R .
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ 35 Попустим сначала, что G действует транзитивно в Q. Определив один г- ект * класса Q с помощью репера #0> связанного с этим объектом, расхотим преобразование Т группы G, которое переводит а>0 в другой объект <«> Тогда множество ТН, где Я—подгруппа, оставляющая о>0 фиксированным, переводит <о0 в <*; присоединим к <о множество реперов ТНй^\ гда, чтобы два объекта были тождественными, необходимо и достаточно, ч?обы они имели общий репер. Следует отметить важный случаи, который часто встречается в примерах: ппдгмппа Н может не быть связной. Пусть тогда #' — связная компонента ее единицы; семейство реперов //'#0 составляет геометрический объект <4> преобразование которого посредством группы G образует класс а/; эта операция, выполненная над классом Q, называется ориентацией, и объект <«>о называется ориентированным объектом <*>0; вообще, ТН'%0 определяет объект <о', который является ориентированным объектом а>. Объект <«> называется носителем объекта о>\ Чаще всего объекту <о соответствует конечное число ориентированных объектов <*/ (обычно два), причем образы объекта о/ при преобразованиях группы G содержат все объекты to' с носителем <о. Если G действует интранзитивно в классе й, рассмотрим преобразования объекта <»0. Они образуют класс Хо с: &, в котором G действует транзитивно. По условию существуют объекты, не содержащиеся в Хо> пусть ©j — один из них. Он порождает класс Хь не имеющий с Хо общих элементов. Таким образом, класс Q разбивается на классы транзитивности х> которые в наиболее элементарном случае реперируются системой чисел, называемых инвариантами', класс определяется с помощью его инвариантов, ' а объект в своем классе — так, как это было объяснено выше. Разовьем несколько^ более эти общие замечания. В пространстве RN объектов класса Q преобразования группы G записываются уравнениями вида (7) у'Ь = фЛ(у1 yN\a\ a') (h = 1,2 N). Многообразие, описываемое объектами Г(о)0), получается исключением параметров ак из уравнений У* = +*(У$ УоЛ>Х «Г> (где yj обозначают координаты объекта о>0) или, что то же, из уравнений уЙ = ФЛ(у1 yN\al «0. Таким образом получается многообразие V%~k размерности п — k (предполагается, что k > 0), которое мы будем считать заданным аналитическим представлением в окрестности некоторой точки. Теория неявных функций учит нас, что можно сделать преобразование координат в пространстве RN9 например г" = 6" (у1 у*), так, чтобы объект <о0, если его отнести к координатам z^t описывал многообразие *? = ** (Л = 1,2,..., Л); *£ «**(** z*\al аг) (Л=»* + 1 N). Первые k координат объекта <о0 будут инвариантными относительно преобразований группы. Говорят, что они составляют систему инвариантов
36 ВВЕДЕНИЕ объекта. Следует заметить, что всякая другая система чисел, таких, что и» = чЦг\з» **) (Л=1 k\ -gg^=^o, составляет также систему инвариантов, которая может описывать класс, содержащий объект о>0. В многообразии уп~к объект может быть определен, как это было указано выше. Разбиение некоторого класса Q на классы транзитивности является одной из наиболее важных задач геометрии, индуцированной в многообразии Vn группой G. Аналитическая геометрия изучает такие классы, когда реперирование классов транзитивности можно осуществить с помощью конечного числа инвариантов (в общем так, как мы это сделали выше). Дифференциальная геометрия, определяемая группой G (группой Ли), изучает такие классы, когда классы транзитивности реперируются с помощью функций, с помощью дифференциальных форм, удовлетворяющих некоторым условиям дифферен- цируемости (так, например, в метрической эвклидовой плоскости кривые, равные заданной кривой, характеризуются заданием кривизны в виде функции длины дуги; здесь класс транзитивности характеризуется инвариантной функцией, а не конечной системой чисел). Мы встретим далее (см. часть III) геометрические объекты другого рода: объекты неголономные} которые можно получить, приняв за элементы базиса в Vn не точки, а кривые (множество, которое мы могли бы рассматривать как пространство бесконечного числа измерений). 18. Группы Ли классических геометрий. Среди групп Ли, действующих в пространстве Rn (или в пополненном пространстве в случае проективной группы), три группы привели к важным исследованиям в аналитической геометрии. Это, в порядке возрастающей общности, группа движений и подобий, аффинная группа с важной унимодулярной подгруппой и, наконец, проективная группа. Эти три группы являются линейными в том смысле, что их можно представить уравнениями вида (16.2), линейными относительно координат и параметров. Мы напишем общую форму преобразования, но не будем проверять, что речь идет о группе; читатель может легко восполнить этот пробел. Затем мы напомним в качестве упражнения некоторые, хорошо известные понятия из геометрии этих групп, рассматривая их с нашей общей точки зрения, которая, таким образом, будет пояснена примерами. 19. Группа движений. Это группа <^л, определяемая в пространстве Rn уравнениями (19.1) x'h = J±a$xf+bh (Л= 1, 2 я). где Ji и Ьп — параметры, причем а% таковы, что матрица |л?|| ортогональна и нормирована, т. е. и, кроме того, (19.3) A = det|4| = l. Мы видим, что матрица, обратная матрице ||я*||. скажем матрица ||-А£||, будет транспонированной из нее матрицей: Ah = а\\ это позволяет выпи-
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ 37 сать преобразование, обратное к преобразованию (19.1) в виде: ^ = 2М (*''-**>• Другое следствие из соотношений (19.2) состоит в том, что Л3 = 1. Условие (19.3) сводится к исключению из преобразований (19.1) тех, для которых А = — 1 и которые вместе с движениями образуют новую группу (с двумя связными компонентами), а именно группу движений и движений с преобразованиями симметрии. Число параметров а% и bh равно /г(/г+1); соотношений ^19.2) имеется /г(л+1)/2. Следовательно, группа зависит от п(п+\)/2 параметров. Всякое движение является гомеоморфизмом пространства Rn\ пространство Rn, в котором мы воздержимся от других преобразований, кроме движений, или, как говорят, пространство Rn, снабженное структурой группы движений, называется эвклидовым метрическим пространством ЕР. Группа действует транзитивно на точках, а также на линейных подпространствах одной и той же размерности. Два геометрических объекта, таких, что можно перейти от одного к другому с помощью преобразования этой группы, называются равными. На множестве геометрических объектов, состоящих из rap точек, группа не действует транзитивно; существует, следовательно, по крайней мере один инвариант пары точек (с точностью до функции!); легко показать, что такой инвариант только один и что для пары точек х и х' он является функцией от *(*.*')= j/Jc**-*'*)2 Величина d(xt x') является расстоянием между двумя точками1). Как мы видели, расстояние дает возможность определить топологию в Е*1 (для произвольно фиксированного d > О множество сфер радиуса d образует класс объектов, эквивалентных точкам). Множество движений, оставляющих одну точку неподвижной, образует группу #Л, называемую группой вращений вокруг этой точки; для вращений вокруг начала координат эта группа состоит из преобразований (19.1) с bh = 0; эта группа непрерывна. Определим подгруппу, оставляющую неподвижной прямую. Мы можем выбрать в качестве этой прямой ось хп\ последнее из уравнений (19.1) сводится в этом случае, в силу условий (19.2), к (19.4) х'п= ±хп + Ьп, а п—1 первых уравнений (19.1) определяют ортогональное и нормированное преобразование в пространстве Еп~1(х1 х11"1) с bh = 0. Множество этих преобразований будет в ЕР*~Х группой движений и движений вместе с симметрией; оно не связно. Мы приходим к определению нового геометрического объекта: ориентированной прямой, или оси, причем каждая прямая является носителем двух осей, из которых каждая остается инвариантной относительно группы, изоморфной #Л-1. Семейство реперов, присоединенных к оси, которую мы будем называть положительной (другая будет называться отрицательной), — это семейство, получаемое из основного репера пространства Еп операциями предыдущей группы. Множество реперов, *) Можно доказать, что преобразования (19.1) и (19.2), у которых, следовательно, Д = ±1, — единственные преобразования, сохраняющие d (xt x')
38 ВВЕДЕНИЕ симметричных к предыдущим (получаемых преобразованием х'п =— хп), будет семейством реперов, присоединенных к отрицательной оси. Положительная ось называется осью хп\ она может быть определена также с помощью двух точек хп = О и хп = d с заданным d > О, взятых именно в этом порядке; первая из них называется началом, вторая концом. Множество преобразований рассматриваемой группы преобразует их в новый объект: хп ___ £т^ хп ___ frn _j_ д Qjn произвольно). Мы получаем таким образом новый объект, который назовем скользящим вектором длины d и той же ориентации, что и ось. Рассмотрим теперь две точки, взятые в порядке хп — Ьп и хп = Ьп + d, где d на этот раз отрицательно; мы скажем, что они определяют скользящий вектор на прямой хп длины \d\ и ориентации, противоположной.ориентации оси хп. Преобразования х'п = хп + Ьп, сохраняющие скользящие векторы на прямой хпЛ образуют группу с одним параметром (Ьп) — группу переносов параллельно прямой хп. Рассмотрим теперь множество прямых (19.5) xh = Xq [h = 1, 2 п— 1; jcJ — произвольные постоянные). Движения, сохраняющие это множество, образуют группу, являющуюся произведением группы преобразований (19.4) на Q}n~l. Геометрический объект (19.5) называется направлением прямой (в частности, направлением прямой хп). Прямые (19.5) называются параллельными. Связная группа — произведение группы преобразований х,п = хп + Ьп на Q}n~l — преобразует ось, лежащую на прямой х11 (например, положительную ось), в ось, лежащую на прямой (19.5), причем мы говорим, что эта ось имеет ту же ориентацию, что и ось, выбранная нами на прямой хп. Рассмотрим также скользящий вектор на прямой хп\ предыдущая группа преобразует его в скользящий вектор той же длины и той же ориентации на произвольной прямой (19.5). Геометрическое понятие, определенное таким образом, называется свободным вектором. Он определяется своей ориентацией и своей длиной; аналитически он определяется разностями координат его конца х\ и начала х\\ yh „Л Jh> Ух — Лg Л j, которые называются его компонентами. Совокупность движений, сохраняющих множество всех свободных векторов, есть группа (19.6) х'ь = xh + b\ называемая группой переносов (операция группы называется параллельным переносом). Совокупность двух точек х и х\ взятых в этом порядке, например {хЬ — {\ /у'Л — о хП=0> <■*->{,-_<,; с*-1-2 «-1* сохраняется группой, изоморфной группе ^п"1\ Это геометрическое понятие называется связанным вектором с началом х и концом х''. Связанный вектор определяет свободный вектор. Два связанных вектора, принадлежащих одному и тому же свободному вектору, называются эквивалентными. Движения, оставляющие неподвижной плоскость, например плоскость хп = 0, состоят из движений группы ^Л-1 и движений группы <^л"~\ комбинируемых с симметрией х,п = —х11. Они образуют группу, которая не
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ 39 будет связной. Следовательно, можно рассматривать плоскость как носитель двух ориентированных плоскостей. Множество плоскостей хп=х%, где х%— произвольная постоянная, инвариантно относительно произведения преобразований предыдущей группы на переносы хгп = хп + Ьп. Эти плоскости называются параллельными, а объект, который этим определяется, называется направлением плоскости хп. Мы не будем больше останавливаться на преобразованиях, сохраняющих линейные многообразия. Рассмотрим теперь множество пар пересекающихся прямых. Так как группа Qfn не действует транзитивно на этом множестве, то существует инвариант пары пересекающихся прямых (наиболее обычный — квадрат тангенса их угла, определяемого с точностью до знака и с точностью до я для п > 2). В случае двух пересекающихся осей положение вещей такое же, и существует инвариант двух осей, обычно — косинус угла между ними. Используя понятия параллельных прямых или параллельных осей, можно обобщить предыдущие понятия и говорить об угле между двумя осями (заключенном между нулем и тс)1); при этом порядок, в котором задаются эти оси, не имеет значения. Пусть v — свободный вектор с компонентами xh; свободный вектор с компонентами txh будет обозначаться t\, и эта операция называется умножением на скаляр t Вектор (—l)v = — v называется противоположным к v. Это понятие лишено смысла для t = 0; мы придадим ему смысл, условившись, что две совпадающие точки также определяют свободный вектор, а именно нулевой вектор 0 (или просто 0), и будем писать 0 • v = 0. Нулевой вектор не имеет ориентации. Тем не менее в некоторых случаях приходится приписывать ему некоторую ориентацию, которую можно выбрать произвольно. Если заданы два свободных вектора v (xh) и v' (xfli)t то свободный вектор v" (лг//Л), где хпЬ — xh + x'h> называют их геометрической суммой и пишут у" = v + v'. Эта операция называется сложением векторов. Сложение коммутативно и ассоциативно; умножение на скаляр дистрибутивно относительно сложения. Для вектора w, решения уравнения v + w = v', имеем, как это непосредственно видно, w = v'+ (—v), равенство, которое записывается в виде w = v' — v. Таким образом определяется вычитание— операция, обратная сложению. Если ifc — вектор длины 1, лежащий на оси xh (h = l, 2, ..., /г), то, как легко видеть, v = jc41 + jc42+ ... +xnin. Квадрат длины вектора tv-\-t'v' равен р 2 W+2W 2 x*x'h+г2 2 с*'Л)2 ill для произвольно заданных t и t'; эта величина инвариантна относительно всех преобразований из @п\ так как 2 (*Л)2 и 2 (Х'Ь)2 также инвариантны, то отсюда следует, что величина (19.7) 2 xhx'h 1 !) Для случая п = 2 угол между двумя осями может быть определен с точностью до 2я. Мы оставим в стороне эти детали.
40 ВВЕДЕНИЕ есть инвариант совокупности двух векторов v и v'. Его называют скалярным произведением этих векторов и пишут п (19.7') vv' = 2jAc'\ 1 Это выражение показывает, что скалярное умножение коммутативно* V • V' = V' • V. Поскольку оно билинейно по xh и x'h, оно дистрибутивно относительна сложения: v (v' + v") = v • v' + v • v", и если t означает скаляр, то (19.8) (*v)v' = *(v.v'). Если произведение v • v' равно нулю, векторы v и v' называются ортогональными, или перпендикулярными, друг другу. Из (19.8) следует, что в этом случае два любых вектора, направления которых совпадают с направлениями v и v', также ортогональны. Направления прямой или определяющие их ориентации осей будут тогда также называться ортогональными (или перпендикулярными). Репер #0, составленный из осей xnt образован попарно ортогональными осями; то же самое справедливо относительно реперов Т&0, полученных из #о преобразованием из группы Q}n. Кроме указанных, реперами с попарно ортогональными осями будут только те реперы, которые получаются из реперов Г#0 симметрией. Заметим также, что если обозначить через | v | длину вектора v, то скалярное произведение v • v, которое записывается в виде v3, равно | v |?. Наконец, в силу (19.8), величина V • V' 1 ]/%№]/'% rh\2 (x'h) не меняется, если заменить v и v' на tv и t'\r соответственно, где t > 0> f > 0. Эта величина будет, таким образом, инвариантом совокупности двух направлений осей, определяемых векторами v и v'. Это — косинус угла между ними (19.9) cos(v, v')=[v^,r В заключение рассмотрим пример другого рода. Пусть F {х\ ..., хп) — неприводимый многочлен. Тогда уравнение F(xi х") = 0 определяет, вообще говоря, многообразие, и легко показать, что степень этого многочлена остается неизменной при любом преобразовании группы З?*1. Это первый инвариант, связанный с многообразием. Что касается отыскания других инвариантов, то мы ограничимся случаем, когда степень F равна 2; многообразие называется тогда многообразием второго порядка, или квадрикой. Мы знаем, что в этом случае можно записать F в форме суммы
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ 41 не более п -f-1 квадратов линейно независимых многочленов первого порядка (при этом число также рассматривается как линейный многочлен), из которых Р взято со знаком +, а остальные N со знаком —. Два числа Р и N суть инварианты, которые геометрически интерпретируют как инварианты квадрики (род квадрики). В том частном случае, когда уравнение квадрик» можно привести к виду /С*1 xn) = h где /—форма, имеющая вид суммы п взятых со знаком + квадратов линейно независимых форм, квадрика будет эллипсоидом. В этом случае можно показать, что существует по крайней мере один репер, в котором уравнение эллипсоида имеет вид (а*)* "" ' где ah — положительные константы, образующие систему инвариантов эллипсоида (длины полуосей). Группа подобий. Комбинируя операции группы Q)n с преобразованиями x'h = txh, где t означает параметр, отличный от нуля (t Ф 0)г мы получаем новую группу, называемую группой подобий (для п = 3 это группа элементарной геометрии). Два объекта, такие," что можно перейти от одного к другому преобразованием этой группы, называются подобными. При таком преобразовании две точки, лежащие на расстоянии d друг от друга, переходят в две точки, лежащие на расстоянии \t\d друг от друга, а углы не меняются 1). 20. Аффинная группа. Эта группа, обозначаемая <Ап, определяется уравнениями п (20.1) х'11= ^ а!}х* + Ьь г = Х с единственным условием А = det I с& I > 0. Эта группа, как легко видеть» непрерывна. Комбинируя эти преобразования с преобразованиями хп = — хгп, мы получаем все преобразования (20.1) с А ф 0, но эта группа несвязна. Пространство Rn, снабженное структурой группы <Ап, называется аффинным пространством и обозначается Ап. Преобразование (20.1) называется аффинитетом. Эта группа действует транзитивно на совокупности пар точек, поэтому нет инварианта пары точек. Наоборот, над совокупностью троек точек, расположенных на одной прямой, эта группа не действует транзитивно 3), следовательно, существует инвариант такой совокупности. Пусть а (а1, ..., ап), Ь (61 Ьп), с\с\ ..., с71) — три такие точки. Из формул (20.1) следует, !) Предупреждение. Нам придется в дальнейшем иногда рассматривать точки с комплексными координатами, векторы, компоненты которых комплексные числа, преобразования типа (20.1) с комплексными коэффициентами и т. п. Так как при этом мы ограничимся почти очевидными обобщениями, то нет нужды говорить об этом подробнее. *) Но она действует транзитивно на тройках точек, не лежащих на одной прямой (для п > 1).
42 ВВЕДЕНИЕ что отношение ch — ф ' не зависящее от Л (&= 1,2 л), является инвариантом преобразований (20.1). Этот инвариант называют отношением вектора ab к вектору ас и пишут ab = Лас. Мы обобщим это понятие. Прежде всего понятия оси, направления прямой или оси, параллельных прямых или осей, эквивалентных векторов, свободного вектора могут быть легко определены так же в пространстве Ап. Пусть, далее, ab и а'Ь'— два вектора, лежащие на параллельных прямых, (Xh) и (X'h)— их соответственные компоненты; тогда отношение k = Х'Ь/Х1* не зависит от Л и является инвариантом преобразований группы <Лп. Векторы ab и а'Ь' будут представителями свободных векторов, например векторов v и v'; пишут также v' = kw. Заметим еще, что для поверхностей второго порядка единственными инвариантами будут P-\-N и \Р—N\, так что уравнение эллипсоида f(x\ ...,*») = 1 (где /— сумма квадратов п линейно независимых форм) всегда может быть представлено в форме 2(*Л)2 = 1. 1 Преобразование (20.1) определяет также, как мы видели, замену репера, переводя репер & (х* хп) в репер #', определенный координатными плоскостями x,lh = 0. Точка (х* хп) имеет в новом репере координаты (3ci J"), где (20.2) *ь= 2 i4g (**—**> л* — h ЛП д~» Те* к а£ — алгебраическое дополнение *) элемента я£ в определителе А, так что 2 *№ откуда -а-м-и: ч+л det 141=4-' 1) Мы называем алгебраическим дополнением (в подлиннике — минором. — Прим. перев.) в определителе А коэффициент при а\ в разложении Д. Часто это число называется кофактором для а\.
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ 43 Что касается компонент вектора, который мы будем называть здесь контравариантным вектором, то мы получим их из (20.2) — п (20.3) Хъ = 2 A\Xk. Мы скажем, что система двух параллельных плоскостей Р и Р\ взятых в этом порядке, определяет ковариантный вектор и что два ковариант- ных вектора V и V эквивалентны, если параллельный перенос переводит V в V (или обратно); векторы, эквивалентные одному и тому же вектору V, образуют свободный ковариантный вектор. —>. Свободный ковариантный вектор V может быть представлен ковариант- ным вектором V, первая плоскость которого Р (начало) проходит через начало координат, а вторая Р' имеет уравнение вида 1 Числа uh будем называть компонентами, или координатами, ковариант- ного вектора. Легко проверить, что при преобразовании (20.2) _ п (20.4) uh= ^а\ип. Два закона преобразований (20.3) и (20.4) лежат в основе теории тензоров, которую мы изложим в следующей главе. В метрическом пространстве Е11 всякому свободному контравариантному вектору можно поставить во взаимно однозначное соответствие свободный ковариантный вектор: достаточно рассмотреть две плоскости, перпендикулярные к прямой, определенной связанным вектором, представляющим свободный контравариантный вектор, и проходящие через концы этого вектора. Унимодулярная группа. Это подгруппа группы <Ап, такая, что Д = 1. В то время как общая аффинная группа действует транзитивно над системами из п -f-1 точек, не расположенных в одной плоскости, в унимодулярнои подгруппе существует инвариант такого множества. Вообще, рассмотрим п контравариантных векторов у;J (а = 1, 2 п). Определитель I xj I инвариантен относительно унимодулярнои подгруппы и называется ориентированным объемом параллелепипеда, построенного на этих п векторах. 21. Проективная группа. Рассмотрим систему /г-f-l действительных /П+1 \ чисел (xh) (h = 1,2 п +1), из которых не все равны нулю ( 2 I xh I > 0 )» как аналитическую точку в аморфном л-мерном проективном пространстве Рп. Две аналитические точки (xh) и (x'h) определяют одну и ту же геометрическую точку, когда л* _ х* _ _ хп+*
44 ВВЕДЕНИЕ (если xh равно нулю, то x'h тоже должно быть равно нулю, и наоборот). Аморфное проективное пространство Рп есть множество этих геометрических точек. Так как по условию не все хп равны нулю, то при лгл+i ф 0, например, соответствующую геометрическую точку можно определить, положив хп+\ — 1. Последовательность точек \рк = (-*£)} будет называться сходящейся к точке (•**)» если существует такая последовательность чисел {t }, что при всех h lim tkx% = xl k >oo Если, например, л:?+1 = 1, то начиная с некоторого значения k, tkxk+1 Ф О, значит, xk+1 Ф О, и мы можем тогда взять х%+1 = 1 для определения геометрической точки рк, т. е. tk = 1. Условие сходимости приводится к виду lim х\ -х% (п = 1,2 п\ х%+1 = х?+1 = \, Л->оо а это — условие сходимости в пространстве Rn. Мы скажем теперь, что множество точек (xh), таких, что \xh — х*\<а, хп+1 = \ (где а — заданная произвольная положительная постоянная ббразует (открытую) окрестность точки jcj в Рп. Мы определили тем самым некоторую топологию в Рп, и это определение показывает, что Рп локально гомеоморфно Rn (в частности, Р4 имеет размерность /г). Покажем, что пространство Рп компактно. Заметим прежде всего, что можно нормировать координаты точки так, что (21.1) тах|л:Ь| = 1, тахд:Ь = 1. h h Пусть теперь Iffy = С**)}—последовательность точек, координаты которых нормированы предыдущим способом; существует значение Л, для которого- равенство х\ = 1 имеет место бесчисленное множество раз; пусть для определенности h = п + 1. Из последовательности рк можно выбрать подпоследовательность, в которой х%+1 = * для всех значении & Предположим для упрощения обозначений, что это уже сделано. Тогда, поскольку из (21.1) имеем 41 <i. ^+1=i. то по теореме Больцано — Вейерштрасса мы можем выбрать из [рЛ сходящуюся подпоследовательность. Линейным многообразием т измерений (т <! п — 1) называется множество геометрических точек, определенных уравнениями 7Я+1 а=1
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ 45 где tk — действительные переменные. При этом с\ — константы, такие, что матрица ||с£| имеет ранг (т +1). Линейное многообразие т измерений гомеоморфно пространству Рт. Линейное многообразие п—1 измерений (или гиперплоскость) определяется также уравнением вида П+1 (21.2) 2 uhxh = 0. 1 Линейное многообразие размерности 1, или прямая, определяется уравнениями (21.2') х71 = c^t1 + c%t2. Можно также сказать, что точка прямой может определяться с помощью одного параметра t = fl/P, который может принимать и значение t = oo, соответствующее точке xh = с\ (t2 = 0). В аморфном проективном пространстве Рп вводим группу преобразований П+1 (21.3) х,ь = ^ а\хк ft = i с определителем (21.4) Л = det | а\ \ ф 0. Это будут гомеоморфизмы пространства на себя. Пространство, снабженное этой структурой, называется проективным пространством РЛ, а множество преобразований (21.3) — n-мерной проективной группой <Рп. Эта группа зависит от (п+1)2 — 1 = л(/г + 2) параметров. Если п четное, то при изменении знака всех параметров а\ определитель Л меняет знак, но с геометрической точки зрения преобразование (21.3) не меняется, поскольку все координаты х'ь меняют знак; следовательно, группа преобразований (21.3) связная. Этот факт выражают еще, говоря, что Рп не ориентируемо для четного п. Если п нечетно, А не меняет знака при замене знака у коэффициентов а\, и группа разбивается на две связные компоненты. Та из них, которая содержит тождественное преобразование (единицу), соответствует определителю Л > 0 и образует подгруппу, рассмотрение которой будет для нас достаточно в общем случае; ее преобразования можно нормировать, положив А = 1. Говорят, что Рп ориентируемо для нечетного п. С помощью преобразования проективной группы всякое линейное многообразие преобразуется в линейное многообразие той же размерности. Группа &1 есть группа.дробно-линейных преобразований, действующих но одной переменной: ах + Ь х ~ cx + d » где а, Ь, с, d — постоянные, ad — be Ф 0 *). 1) Множество действительных чисел должно быть пополнено присоединением числа сю, с условием lim хп =* оо, когда | хп \ неограниченно п->-оо ■возрастает; при этом получается компактное множество.
46 ВВЕДЕНИЕ Рассмотрим подгруппу группы (21.3), сохраняющую некоторую гиперплоскость, скажем, гиперплоскость лгл+1 = 0. Можно всегда допустить, что- не принадлежащая ей точка р, координаты которой нормированы равенством лг»+1=:1, преобразуется в точку р' с лг'Л+1=1; мы имеем тогда а%+1 = О, k= 1 п, a£+J = l, и преобразования (21.3) приводятся к виду (21.3') *'*= 2****+ *£+!• fc-i Это аффинные преобразования, действующие в Ап. Таким образом: Аффинное пространство Ап получается из пространства Рп, если удалить из него точки одной гиперплоскости и рассматривать только проективные преобразования, сохраняющие эту гиперплоскость. Говорят также, что можно, наоборот, получить пространство РЛ, отправляясь от пространства Ап и присоединяя к нему точки гиперплоскости, называемой бесконечно удаленной гиперплоскостью, и продолжая группу аффинитетов до группы, преобразующей всякое линейное многообразие в линейное многообразие. Группа <Рп действует транзитивно на множестве троек точек, лежащих, на одной прямой, но не на множестве четверок таких точек. Пусть- рк (k = 1, 2, 3, 4) — четыре точки прямой (21.2'), взятые в этом порядке,. tk—соответствующие значения параметра t\ величина является инвариантом этой четверки точек, взятых в том же порядке,, называемом их двойным, или ангармоническим, отношением. Важное свойство проективного пространства связано с двойственностью- (дуальностью). Рассмотрим плоскость (21.2). Преобразование (21.3) преобразует ее в плоскость 2 uhx'h = 0, где uh будут решениями уравнений n+i (21.5) ик= 2«К- Назовем иЛ координатами гиперплоскости (21.2); они определены с точностью до множителя, и всякой системе чисел {uh} (h = 1 л-)-1), кроме системы {0 0}, соответствует гиперплоскость. Всякой плоскости соответствует, таким образом, взаимно однозначно точка проективного пространства {#/>}. С- другой стороны, преобразования (21.5) образуют проективную группу в этом пространстве. Двойственность как раз и заключается в этом замечании. Действительно, отсюда следует, что всякому проективному свойству, относящемуся к множеству точек, отвечает свойство, относящееся к множеству плоскостей. 22. Группы дифференциальной геометрии. Мы знаем, что преобразование вида (22.1) Xth = срЬ (Х\ х* хп) с срЬ (0, 0 0) = 0,
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ 47 где ч>н—функции, имеющие непрерывные первые частные производные в окрестности начала координат, преобразуют взаимно однозначно некоторую окрестность начала О (<р) в пространстве Rn (х\ jc2 xn) в другую окрестность О' (<р), если якобиан D(vh) л I дч>н I (22.2) 7T7^=det Ti отличен от нуля в начале координат (а следовательно, и в некоторой его окрестности). Комбинируя преобразование (22.1) с преобразованием того же типа (22.1') х"п = фь (лг'1 х'п\ мы получаем снова преобразование того же типа (22.1//) х"п = фЛ [cpi срп] = 6Л (*1 лг«), но, вообще говоря, О (6) с: О (ср) и эти два множества не совпадают. Мы не можем поэтому, собственно говоря, сказать, что преобразования (22.1) образуют группу, поскольку нельзя указать окрестность начала, в которой они все определены. Однако можно утверждать, что множества систем (22.1) образуют группу ®хп (или просто 01),- которая и является основной группой прямой дифференциальной геометрии. То, что было сказано об окрестности начала, можно повторить относительно окрестности любой другой точки пространства Rn. Свойства, которые- устанавливаются в прямой геометрии, имеют место в окрестности некоторой точки Rn или, чаще, точки некоторого многообразия Vn, причем в общем случае мы не можем точнее определить, где именно (наоборот, мы всегда сможем уточнить это в каждом частном случае). В многообразии Vn, наделенном в каждой точке структурой группы д>\ основной локальный объект в точке р (х1 хп) представляет собой систему дифференциалов {dxh}t которые, если их рассматривать как новые переменные, порождают пространство Rn. Замена переменных (22.1) дает п (22.3) dx'k = 2 |§ dxk [h = 1, -2, ..., л). В &*■ величины dyhldxk могут принимать произвольные значения а£, конечно, при условии, что | а\ I ф 0. [С точностью до обозначений преобразования (22.3) будут аффинными преобразованиями вида (20.1) с параметрами' Ьп = 0 и А Ф 0]. Пространство Rn с такой структурой называется центро- аффинным пространством (У1: это пространство, называют линейным пространством, касательным к многообразию V71 в точке р. В качестве другого важного геометрического объекта отметим совокупность первых частных производных инварианта/^1 хп). Действительно, df _ V <У fly* . dxh ~ dx'k dxh Л—1 это закон преобразования совокупности dfjdx\ которая будет, таким образом^ геометрическим объектом (§ 17).* Можно сузить группу (22.1), потребовав дополнительно, чтобы срЬ имели, непрерывные частные производные до порядка т включительно; мы полу-
48 ВВЕДЕНИЕ чаем таким образом группу @т, в которой т основными геометрическими объектами в точке многообразия Vn являются совокупности дифференциалов </>=1 гп) dxh, d2xh,..., dPxb (h = 1, 2,..., n). Такая совокупность называется элементом касания порядка р в рассматриваемой точке. Формулы (22.3), если их продифференцировать достаточное число раз, показывают сразу, что эти совокупности будут геометрическими объектами; но формулы получаются сложные, и интерпретация их не так непосредственно очевидна, как для случая р = 1. Инвариант / дает нам также для р — 1, 2, ..., т объекты df d2f dPf дх^ ' dxhidxh*' " " dxV.. dxhP ' при условии, что эти производные существуют и непрерывны; это следует из формул преобразования переменных*). Важной подгруппой, еще более узкой, является аналитическая подгруппа <А\ она соответствует случаю, когда <рЛ аналитичны в окрестности рассматриваемой точки. Объектами этой группы будут все объекты группы 3}т для любого т. 23. Дополнение о коллинеациях. Мы видели (§ 21), что преобразования проективной группы являются коллинеациями в пространстве Рп, т. е. переводят всякую прямую в прямую. Вообще 3) мы покажем, что всякое непрерывное отображение пространства Рп (л*, ..., хп+х) на другое проективное пространство Рх(х\ -*?+1) непременно будет проективным преобразованием, т. е. будет иметь форму П+1 если только оно переводит систему п +1 линейно независимых точек пространства Рп также в линейно независимую систему точек пространства Р|\ а прямые переводит в прямые. Мы проведем доказательство для п = 3. Проективные преобразования пространства Р3 в пространство Р\ зависят от 15 параметров. Пусть Т — такая коллинеация, что точки а, Ь, с, d из Р3, образующие истинный тетраэдр, имеют образами в Р^ точки alt blt cv dv также образующие истинный тетраэдр. Пусть, далее, m — точка плоскости abct образующая вместе с этой тройкой точек истинный четырехугольник. Я утверждаю, что ее образ т\ составляет вместе с аь Ьх, сх также истинный четырехугольник. Действительно, если бы, например, точка mj лежала на прямой Ь^съ а т, скажем, внутри треугольника abct то прямые bml и cm] (I на ас, a j на ab, см. рас. 5) имели !) Так, с одной стороны, множество первых производных, с другой стороны, множество первых и вторых производных от / будут геометрическими объектами. Множество одних вторых производных не является геометрическим объектом, поскольку формулы преобразований вторых производных содержат и первые и вторые производные. 2) Для п > 1.
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ- ОСНОВАНИЯ 49 бы образом прямую Ь^т^с^ Следовательно, прямая tj имела бы образом также прямую ЬхСъ поэтому точка т\ лежащая на ij и am между а и т, имела бы также образом точку т± Мы можем повторить наши рассуждения, начиная с точки т'\ мы нашли бы тогда точку т" между т и т', также имеющую mi своим образом, и т. д. Но точки т, т\ т" стремятся к точке а, имеющей образом alt и в то же время все точки последовательности имеют своим образом точку т±\ наше преобразование не было бы непрерывным. Пусть, далее, ар и ар' — две различные прямые, проходящие через точку я, причем точки р и р' лежат с точкой Ь на одной прямой, не содержащей сторон треугольника (рис. 6); пусть рх — образ точки р\ тогда фигура а^руС^ будет треугольником, и точка р[, образ р , не лежит, как мы видим, на сторонах этого треугольника. В частности, она не лежит на axPlt т. е. две прямые — образы прямых ар и ар' — различны. Повторяя это рассуждение для точек Ь и с, мы видим, что две разные прямые, проходящие через одну и ту же вершину треугольника abc, имеют различные образы; отсюда тотчас же следует, что две разные точки плоскости abc имеют различные образы в плоскости а-ф^С\. Рассуждения и результаты эти непосредственно распространяются на пространство. Пусть Н— проективное отображение пространства Р\ на пространство Р3, переводящее четверку точек аь Ьь сь mlt составляющих четырехугольник в плоскости аф^с^ соответственно в точки а, 6, с, т пространства Р3. Преобразование НТ будет преобразованием пространства Р3 на себя, переводящим прямые в прямые и имеющим двойными (неподвижными) точки я, Ь, с, т. Прямые, попарно соединяющие эти точки, будут своими собственными образами. В частности, точки е, /, /, /, kt отмеченные на рис. 7, также будут двойными. Соединяя /с точкой /, мы получим новую прямую, являющуюся двойной при преобразовании НТ, причем она пересекает аЬ в новой двойной точке, расположенной на чертеже между а и Ь, тогда как прямые ]с и km дают нам две новые Двойные точки, также расположенные на ab, но вне сегмента аЬ. Можно повторить рассуждение, начиная с произвольной пары Двойных точек на аЬ. Таким образом, на прямой аЬ внутри или вне произвольного сегмента, ограниченного парой двойных точек, существует всегда по крайней мере одна новая двойная точка преобразования НТ. Отоода следует, что множество. двойных точек преобразования НТ плотно на ab. Гак^ как это преобразование непрерывно, то прямая ab сплошь состоит из Двойных точек. То же самое справедливо относительно любой другой прямой,
50 ВВЕДЕНИЕ проведенной на чертеже, например относительно тройки прямых ab, be, са. Так как всякая отличная от них прямая, не проходящая через точки а, Ь, с, образует четырехугольник вместе с предыдущими, мы снова можем повторить наше рассуждение и получить, что эта прямая состоит из двойных точек. Прямая, проходящая через а, из тех, что изображены на чертеже, образует четырехугольник с тройкой прямых be, cm, mb. Итак, это опять прямая, состоящая из двойных точек. Аналогичное рассуждение показывает, что то же самое имеет место для прямых, проходящих через b и с. с е Рис. 6. Рис. 7. Окончательно мы получаем, что преобразование НТ оставляет инвариантными все точки плоскости abc. Так как мы использовали только 3X3 + 2 = 11 параметров (3 для каждой из точек а, Ь, с и только 2 для точки т, которая уже лежит в плоскости abc), мы располагаем еще четырьмя параметрами. Мы употребим три из них, чтобы обеспечить преобразование при помощи Н точки dt в точку dt и последний параметр для того, чтобы перевести точку р{ прямой dxmi в точку р (где pt отлична от dt и от т{)* Тогда Н будет вполне определено. В плоскости adm преобразование НТ имеет четыре двойные точки: a, d, p и пересечение аг прямых am и be. Эти точки образуют истинный четырехугольник (рис. 8). На основании предыдущего все точки этой плоскости будут двойными. В частности, прямая da' состоит из двойных точек. Рассматривая на этой прямой точку, отличную от d и а', мы получим в этой плоскости четыре двойные точки, образующие четырехугольник, т. е. плоскость bed состоит из двойных точек. Тогда произвольная плоскость, проходящая через ad> есть снова плоскость, состоящая из двойных точек, поскольку она содержит две прямые, состоящие из двойных точек, а именно прямые пересечения этой плоскости с плоскостями abc и bed. На этих прямых можно расположить четверку точек, образующих четырехугольник. Беря, в частности, плоскость, проходящую через ad и другую точку пространства, мы видим окончательно, что последняя есть двойная точка преобразования НТ. Итак, все точки пространства Я3 двойные, т. е. преобразование НТ есть тождественное преобразование; отсюда следует, что Т = Я""1 есть проективное преобразование.
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВАНИЯ 51 Упражнения 1. Рассмотрим пространство Г* (гильбертов параллелепипед) — множество точек со счетным множеством координат р = (х\ х* *»,...), где |x»|< —. Показать, что выражение d(p,p')=y |](*«-*'П)2 может быть принято за расстояние. Рассматривая топологию, индуцируемую в Г* этим расстоянием, доказать следующие утверждения: 1° Множество D точек с рациональными координатами, обращающимися в нуль, начиная с некоторого номера счетно и плотно в 7*°. 2° Всякое открытое множество есть объединение открытых шаров с центрами в точках D и с рациональными радиусами. 3° /ш компактно. 4° Рассмотрим пространство Р<*> — множество точек q = (у1, у\ .. * ..., уЛ, ...), где |ул|<!1 и топология введена расстоянием „„.,.,„ 2 ь^1 1 (сначала нужно показать, что это действительно расстояние). Показать, что пространства ГиРш гомеоморфны. 2. Для 0 < х < 1 положим d{xt y) = ^-J + -^sini (t=\x-y\). Показать, что d — расстояние. Пусть хх, х2, хъ> лг4 — четыре точки; положим d}j = d (xit xj). Тогда неравенство (Птолемея) ^i2^34 -^ ^13^24 + ^14^23 не всегда выполняется (Haantjes, Colloque de Geometrie differentielle, Lou- vain, 1951). 3. Определить группы: 1° из р элементов (р — простое число); 2° из четырех элементов. 4. Найти все преобразования пространства Rn в себя, переводящие систему 5 из л+Л линейно независимых точек в аналогичную систему S' и сохраняющие эвклидовы расстояния Решение. Пусть x'h = ср& (*1 хп) — преобразование, удовлетворяющее условиям этой задачи. Можно свести все к случаю, когда <РЛ (0, ..., 0) = 0 и когда начало координат принадлежит системе S. Мы
52 ВВЕДЕНИЕ получаем отсюда 1 1 Беря в качестве х+ те п точек х± хп, которые вместе с началом образуют систему S, мы видим, что <рЛ должны быть линейными и однородными относительно хК Определение срЛ происходит далее без затруднений. 5. Найти различные типы приведенных уравнений квадрик в унимо- дулярном пространстве Ап. 6. Показать, что, отождествляя диаметрально противоположные точки П+1 сферы 2 (xh)2 ■= 1 пространства £w+1, мы получим пространство, гомео- 1 морфное Рп. Вывести отсюда симплициальное разбиение Рп на 2п симплексов. 7. Доказать аналитически теорему о коллинеациях, установленную в параграфе 23. Замечание. Напоминаем, что всякое непрерывное решение функционального уравнения f{x + y) =f(x) +f(y) есть линейная функция.
Глава II ДОПОЛНЕНИЕ К АЛГЕБРЕ. ТЕНЗОРЫ 1. Векторное центро-аффинное пространство С*. Мы видели (1,22), что в точке многообразия Vn основным объектом дифференциальной геометрии является касательное центро-аффинное пространство. В этом пространстве группа ggl индуцирует центро-аффинную структуру С": группу аффинных преобразований, оставляющих неподвижным начало. Можно отождествить это пространство с пространством свободных контравариантных векторов пространства Лп, условившись брать в качестве представителя свободного вектора вектор, который проходит через начало координат. Мы ввели (1,19) понятия суммы двух свободных векторов, нулевого вектора, вектора, противоположного данному вектору, придав тем самым пространству структуру абелевой группы (операция обозначается знаком -f-); затем ввели понятие умножения вектора на число. Совокупность этих двух операций придает пространству С11 структуру, называемую векторным пространством. Мы видели, кроме того (1,20), что законы преобразований координат свободного контравариантного вектора (точки пространства С11) отличны от законов преобразования координат свободного ковариант- ного вектора (плоскости пространства С\ не проходящей через начало). Мы сначала вернемся к этим понятиям, чтобы далее развить их. Векторы, или контравариантные векторы, или точки пространства С", будут обозначаться буквами х, у, ...; р контравариантных векторов (хг хр) называются линейно независимыми, если v из 2 ' Хл = 0 следует th = 0 (А = 1, 2, .. . р). 1 В пространстве С4 лфбые п-\-\ контравариантных векторов всегда линейно зависимы, но существуют системы п линейно независимых контравариантных векторов, называемых базисными. Пусть ел (А= 1, 2, . .., п) — одна из этих систем, х — произвольный кон- травариантный вектор; тогда существуют числа xh (определяемые единственным образом), которые называются координатами вектора х,
54 ВВЕДЕНИЕ такие, что ал) х = 2**еА. Если для задания х мы берем другой базис, то (1.2) < = 1>£еЛ. ™е (Ы|а»|=£0, ИЛИ (1-20 е» = 2л&. Л* ah* det|4| ' где а1* — алгебраическое дополнение элемента а^; 2 aiAh = 2 а/И* = К- i - г Преобразования (1.2) образуют группу Qn, называемую центро- аффанной группой. Полагая (1.2) x = 2jc,Vft, мы получаем (1.3) hk Переходя к ковариантным векторам, мы определим сумму двух векторов и умножение вектора на скаляр. Пусть х и у— два ковариантных непараллельных сначала вектора (рис. 9), определенных плоскостями р и q. Плоскости р' и q'9 параллельные соответственно р и q и проходящие через начало О, пересекают q и р соответственно по многообразиям г n s размерности (п — 2). Многообразия г и s определяют поэтому плоскость и, следовательно, ковариантный вектор z, называемый суммой ковариантных векторов х и у, Рассмотрим теперь два параллельных вектора х и у, опреде- -> —> ленные плоскостями р и q. Прямая, проходящая через начало О, пересекает их в точках а и Ь. Отношение OalOb = t не зависит
ГЛ. II. ТЕНЗОРЫ 55 от выбранной прямой; это по определению есть отношение у к х1): y = tx. Отсюда легко определить произведение ковариантного вектора на скаляр и сумму двух параллельных ко вариантных векторов. Добавим к совокупности ковариантных векторов нулевой кова- риантный вектор о, состоящий из одной произвольной плоскости, проходящей через начало; второй же плоскости он не имеет (или, как иногда говорят, она находится в бесконечности). Введенные операции обладают свойствами операций с тем же названием, определенных для контравариантных векторов. Рис. 9. В Сп любые п-\-\ ковариантных векторов всегда линейно зависимы. Существуют системы п линейно независимых векторов eh9 или базисы, например система векторов eh (рис. 9), где eh — век- -> —> тор, определенный плоскостью, проходящей через конец вектора еЛ и параллельной векторам (ег ^л-i» ел+1 еп)- Этот базис называется дуальным к базису ел. Всякий ковариант- ный вектор и может быть записан (единственным способом) в виде (1.4) и = У\ uheh : Л=1 числа uh называются координатами ковариантного вектора; этот вектор определяется плоскостью (1.5) 2 Hxh= 1- Л=1 1) Это определение в некотором смысле обратно определению отношения двух контравариантных векторов.
56 ВВЕДЕНИЕ Чтобы получить закон преобразования базиса eh в базис e'hy дуаль- напишем ный для е^, мы напишем Л, ft откуда (1.6) "i = 2*Aa* ft и (1.7) И = 24Л или ** = 24е'*. -> Л -> -> ft Ковариантному вектору £л поставим в соответствие контравариантный вектор е& пространства С*л и вектору и — контравариантный вектор и*, определяемый равенством (1.4*) «*=J3v;. затем преобразованию (1.7) поставим в соответствие в С*п замену базиса (1.2*) еГ = 24е*; к полагая и* = 2алед» ^ез тРУда виДим, что u'h определяется преобразованием (1.6). Итак, если пространству С* поставить в соответствие пространство С*Л, условившись, что всякому преобразованию (1.2) первого соответствует преобразование (1.2*) в С*п9 то всякому ковариантному (контравариантному) вектору пространства Сп будет взаимно однозначно соответствовать контравариантный (ковариантный) вектор пространства С*п. Пространство С** называется дуальным к С*. В пространстве С**п, дуальном к С*п, преобразованию (1.2) соответствует преобразование ел —2лап*к* к которое с точностью до обозначений совпадает с заменой базиса (1.2). Всякому контравариантному (ковариантному) вектору Сп взаимно однозначно соответствует контравариантный (ковариантный) вектор пространства С**Л, имеющий те же координаты. Следовательно, мы можем условиться отождествлять пространства С**п и Сп. 2. Тензорные произведения центро-аффинных пространств» Тензоры. Мы определим новые геометрические объекты, исходя
ГЛ. II. ТЕНЗОРЫ 57 из двух центро-аффинных пространств Da и Еь> размерностей а и Ь. Мы сопоставим им пространство Da®E размерности ab, называемое их тензорным произведением, введя в нем группу преобразований, являющуюся подгруппой центро-аффинной группы, изоморфной прямому произведению двух центро-аффинных групп Qa и Qb. Пусть dh и eft (h = 1 a; k=l b) — два базиса кон- травариантных векторов соответственно в Da и Еь. Тогда базисом контравариантных векторов в Da®Eb будет по определению базис, составленный из всех пар (dh, eft), которые мы запишем в виде <*л ® *к = W Каждой паре векторов (2.1) х = 2**<*л из ^ У = 2У^л из Еь мы поставим в соответствие в Da®E вектор (2.2) х ® у = 2 х*уЧт = 2 W». Л, ft Л, к называемый тензорным произведением этих двух векторов. Непосредственно видно, что эта операция обладает следующими свойствами: х®(У1 + у2) = х®у1 + х®у2, (2.3) (х1 + х2)®у = х1®уН-х2®у, (&х) ® у = х® (fcy) = k (x® у) (k — константа). Пусть (в обозначениях пункта 1) а ъ (2.4) d'h = 2 4' <W, ек= 2 *Ге*' Л' = 1 ft' = l — замены базисов в Da и Е ; тогда / ' ^t^ Ь,' к' <1л®е* = 2u ahh dh>®ek>. h' = l a ft'-Ь ...,b Полагая fM = d^®^, мы поставим в соответствие преобразованиям (2.4) замену базиса в Da®Eb, а именно (2.5) fiuk = 2 ah fa h'k' . Мы получаем таким образом группу преобразований, являющуюся подгруппой центро-аффинной группы. Эта группа и определяет структуру в Da®Eb.
58 ВВЕДЕНИЕ Тензором, построенным над пространствами Da и Еь, называется теперь всякий контравариантный вектор пространства Da®Eb. Это, следовательно, элемент вида Л, ft hk где t —произвольные числа, называемые координатами или ком- понентами тензора. Если после допустимой замены базиса вида (2.5) он будет иметь компоненты t'hk, то Л, Л Л, Л Л', ft' откуда t ahok =t Л, ft или еще (2.6) f»= 2**'*'л£в£. fc'ft' To, что мы проделали с двумя пространствами, может быть обобщено на любое конечное число центро-аффинных пространств Da» Еь, F° Например, в случае трех пространств Da, Еь, Fc с базисами соответственно dh, е&, fj мы поставим этим базисам в соответствие в пространстве Da(&Eb®Fc базис и припишем этому пространству структуру с помощью формул *hkl = 2 ah *ft Cl Jh'k'l'* Л', ft', Г если (2.7) dfc = 2afcdu'' e^=2*fteftf» fj = 2cj'r- Л' k' V Тензором, построенным на пространствах Da, Eb, F°t называется всякий объект, определяемый посредством abc чисел thklt называемых компонентами или координатами тензора, таких, что при замене базиса (2.7) они переходят в новые координаты t,hkl, определяемые формулами *'*» = S tb'k'l'AlBkvC\. h\ k', V (A'=l a; k'=l b\ /'=1 c). 3. Аффинные тензоры. По правде говоря, понятие тензора в том виде, как оно было изложено, во всей его общности совсем не употребляется в дифференциальной геометрии. Чаще всего ограничиваются,
ГЛ. И. ТЕНЗОРЫ 59 и это мы в яальнейшем сделаем, случаем, когда каждое из пространств-сомножителей тензорного произведения совпадает с фиксированным пространством Сп или с дуальным к нему пространством С*я, причем каждое из этих пространств предполагается отнесенным к одному и тому же базису для Сп или дуальному базису для С*я. Мы получаем, таким образом, новые геометрические объекты, относящиеся к пространству С", называемые афинными тензорами или попросту тензорами 1). Рассмотрим, например, тензорное произведение (3.1) С*п ® С*п ®Сп®Сп® С*л. Контравариантный вектор этого пространства записывается в форме Т = 2 tn^: 'hs ehl ® e** ®eha ® e*4 ® **■ и определяет в Сп дважды ковариантный, дважды контравариантный и один раз ковариантный тензор валентности 5 = 2 -(- 2 -)-1 (число индексов), имеющий пь компонент. Ковариантные индексы всегда будут записываться внизу, контравариантные — наверху. Что касается закона преобразований компонент тензора Т при преобразовании (1.2) и обратном к нему (1.2'), то, обозначая через £' его компоненты в новой системе координат, имеем I ft,, ..., къ=1 п (3*2) | ,. . Л3Л4 . _ ^у J . к3к< AkiAk*nh*„biл*в \ th, h* . . hs = 2j tk1 ft2 . . k^h^h^a^au^A^. [ ftx, ..., ft5=l n Заметим, что эти формулы зависят только от числа контрава- риантных и ковариантных индексов. Они были бы теми же, например, для тензора t'h, r^ л5^4» и можно непосредственно установить взаимно однозначное соответствие между векторами пространства (3.1) и векторами пространства С*п ®С*п ®С*п ®Сп ®Сп. В вопросах, которыми мы будем заниматься, не будет представлять интереса различие между тензорами, возникающими в этих различных тензорных произведениях, так что тензор будет определяться лишь числом его ковариантных и контравариант- ных индексов, и мы условимся отождествлять два тензора, подобных приведенным выше. Мы будем записывать такой тензор 1) Под именем тензоров мы введем также далее (III часть) величины, связанные с пространством Rn, в котором введена структура некоторой подгруппы группы Qn.
60 ВВЕДЕНИЕ в виде f^Ajiaig» или thl h2 hsh*hx, или в еще более сжатой форме ^fih (^i* *••' ^5—1 п)1)- Такой тензор называется тензором ( « ) (2 раза контравариантным, 3 раза ковариантным). Мы будем называть нулевым тензором и обозначать нулем тензор, все компоненты которого равны нулю. Тензоры f 0 J и I - J будут соответственно контравариантными и ковариантными векторами. Удобно также называть скаляр тензором валентности нуль. Если задан геометрический объект, определенный посредством пь величин t*j^h , бывает интересно узнать, является ли он тензором ( « j в том случае, когда не заданы непосредственно формулы (3.2), выражающие закон преобразования компонент при замене базиса. Пусть Xh, и xh2 — координаты двух произвольных ковариант- ных векторов, a xh*, xh* и xh* — координаты трех контравариант- ных векторов, также произвольных. Тогда величина «1, ", Л5=1 П есть скаляр, или инвариант,, если t^2h —компоненты тензора (о)* {1 не зависит от выбора репера в пространстве Сп> но, очевидно, зависит от выбора векторов х^, .... xh*.) Действительно, при замене базиса (1.2) и (1.2') / переходит в Ihk I) 3 * s l ^ 8 4 * l J 2 2 3 4 5 но в силу соотношений а-, г для правой части равенства имеем 2 №н xi xi J**1**1*1: «НЧ^о?1 = 2 №\ хК хь xh*xh<xh* = /. Обращение этого результата дает критерий тензорности объекта. !) Только для эвклидовых тензоров (см. ниже п°10) места индексов имеют значения, в этом случае мы употребляем первое обозначение.
ГЛ. II. ТЕНЗОРЫ 61 Допустим, что пъ величин t^h* определяющих геометрический объект в пространстве Сп9 таковы, что I будет инвариантом, каковы бы ни были ковариантные векторы xhx и х^ и контравариантяые векторы xh*, xh*, xh&. Тогда этот объект есть тензор L). В самом деле, равенства — У /*»*■ х х хк*хк'хк* ~м *Л*« kl k* дают в силу того, что х^ х** произвольны, /Ма ^ ,/hJli kx пЪ* дЬз Ah< Ahs **вМ. — fiJ lhuhihsa7hah2/±k/ik/lkst а это с точностью до обозначений — формулы второй строки (3.2). Результат установлен. Приведем один более общий результат. Если t^h и s***" — два тензора, то величины ЛаЛ4 являются компонентами тензора (9). Действительно, формулы преобразований дают 8 fuhU т\ 5 х 2 Лз Л4 Л5 т»! Wa Ла = 22 4ti *Г'г' Аг14s 4' 4L' = =2«k^:<«Wv что и доказывает результат. Критерий тензорности, который дает обратная теорема, формулируется следующим образом: Если геометрический объект определен в пространстве Сп системой из пь величин tf?xJ4,, такой, что, каков бы ни был тен- Л3Л4Л8 зор I . 1 $л , величины u^xhl, определенные формулами (3.3),
62 ВВЕДЕНИЕ являются компонентами тензора ( 2 J, то геометрический объект, определенный величинами t^h , есть тензор ( о ) • Детали доказательства предоставляем читателю. Конечно, можно варьировать и обобщать многими способами критерии тензорности, приведенные выше. Сказанного достаточно, чтобы дать об этом полное представление. Наконец, упомянем, что так же, как мы определяли векторное поле в множестве D точек пространства Лп, можно определить поле тензоров, сопоставив к каждой точке множества D тензор. Вообще, в каждой точке подмножества D многообразия Vn определяется поле тензоров, если условиться, что каждой точке множества D соответствует тензор касательного центро-аффинного пространства. 4. Соглашение об обозначениях. Предыдущие формулы длинны и громоздки в силу того, что мы каждый раз указывали точно, по- каким индексам производится суммирование. Они принимают значения от 1 до /г, и мы замечаем, что эти индексы встречаются один раз наверху и один раз внизу в каждом одночлене. Мы упростим запись, условившись опускать знак суммы и считать, что суммирование должно быть произведено каждый раз, когда один и тот оюе индекс, приписанный разным буквам одного и того оюе одночлена, встречается один раз наверху и один раз внизу (обозначения Эйнштейна). Мы запретим употреблять один и тот же индекс более двух раз. Это соглашение всегда будет выполняться в дальнейшем, даже тогда, когда дело идет об объектах, не являющихся тензорами. Индексы суммирования называются немыми индексами. Другие индексы указывают компоненты одного и того же объекта (здесь тензора). Наконец, мы также употребляли третий вид индексов (например, индексы 1 и 2 для ковариантных вектбров xh^ и х^. Эти последние индексы, предназначенные отличать друг от друга различные объекты (часто одной и той же природы), не обязательно- изменяются от 1 до п и иногда называются индексами, определяющими объект. При этом соглашении, которое, как это установлено на опыте, позволяет лучше читать и понимать тензорные формулы, мы напишем, например, вместо основных формул (1.2), (1.3) и (1.6) (4.1) aU? = a?i4i = & (4.2) x'h = AUk; (4.3) *к = *1* •
ГЛ. II. ТЕНЗОРЫ 6& 5. Операции над аффинными тензорами. Предыдущие определения и результаты позволят нам без труда определить следующие, операции над тензорами. Г Сложение. Умножение на скаляр. В пространстве (Сп)р & (С*п) умножение тензора на скаляр с и / р\ пх л сложение двух тензоров ставят в соответствие тензору I J: tk р А» •••» ь q тензор ctk kpt произведение первого на скаляр с, и двум тензо- (п \ Л, h h» ..., h а )•*&!, ...,ft и skti...fk тензоР того же вида, называемый их суммой, с компонентами Л|, • •., hM hi, ..., h„ , Л., ..., h„ и #—/ PJ—S P. к» ...У к ft,, ..., ft kl9 ..., ft * 2° Тензорное умножение. В пространстве (СY+r ® (C*w)"+S = (С*)* ® {C*nf ® (С*)г & (C*n)8 векторы получаются тензорным умножением вектора из (Сп)р (& (С**1)* на вектор (СЛ)Г & (C*W)S. Это дает следующий результат: Пусть заданы тензор lP)- tk ' кр и тензор f J: skp+v Тогда величины hit ..., hp+r hu ...,hp hp^_i hp+r fti, •••, ftqr+8 ftl»»">ftg ftg-^-1, •••» ftg_^S являются компонентами тензора ( T )» называемого произвел дением двух предыдущих. Умножение тензоров, очевидно, есть операция коммутативная и ассоциативная. Умножение тензора на скаляр можно рассматривать как частный случай предыдущей операции, а именно как умножение тензора на тензор валентности нуль. 3° Умножение со свертыванием. Метод, примененный в параграфе 3 для получения результата, сжато выражаемого формулой (3.3), легко обобщается и позволяет утверждать, что если мы зададим тензор у \:t\\\ и тензор I ):u'.'/.t то величины v"\ =t\\'*\\\u\\\h.\\ kq+s
64 ВВЕДЕНИЕ суть компоненты тензора ( Т i ) • ^н получается выделением одного из контравариантных индексов, вполне произвольного, у одного из тензоров и выделением одного ковариантного индекса, также произвольного, у другого тензора, после чего для заданных значений других индексов берется сумма произведений компонент этих двух тензоров, для которых выделенные индексы равны. Этот тензор называется свернутым произведением двух тензоров, полученным свертыванием по двум выделенным индексам. Эта операция может быть обобщена: можно выделять некоторое число ковариант- ных индексов и некоторое число контравариантных индексов в одном тензоре и такие же числа контравариантных индексов и ковариант- ных индексов в другом тензоре. Так, например, в формуле (3.3) мы выделяли один ковариантный индекс и один контравариантный в каждом из тензоров. Ниже мы рассмотрим эту операцию с другой точки зрения. 4° Единичный тензор. Свертывание. Рассмотрим величины ук Г 0 для Нфк, 1 для h = k. Если задана система координат, то эти числа можно рассматривать как компоненты тензора ( - ). Формулы (4.1) показывают тогда, что во всякой другой системе координат мы имеем Этот тензор, называемый единичным тензором второй валентности, или символом Кронекера, имеет компоненты, инвариантные относительно замены базиса. Причина первого наименования непосредственно очевидна: умножение со свертыванием этого тензора на контравариантный вектор хп или на ковариантный вектор xh дает bUh==xk или Ьлхк = хп, т. е. тот же самый вектор. Вообще, мы получаем равенства следующего типа: Умножая единичный тензор второй валентности р раз на себя, получаем единичный тензор валентности 2р klt ..., kp Л, ^kp »i, ..., Up пх hp
гл. ii. тензоры Q5 Рассмотрим теперь тензор у \ (р>1, ?>1) и выделим один ковариантный индекс h и один контравариантный индекс к. Тогда умножение со свертыванием по этим двум индексам этого тензора .ft. t'"k'" на единичный тензор валентности 2 дает ..h...$k ^...h. .к. t-Z~4 = r и мы получаем таким образом тензор (;? i ). Эта операция называется свертыванием тензора t'"k'" по индексам h и &, а полученный тензор называется свернутым тензором. Конечно, эту операцию можно обобщить и свертывать по р ко- вариантным и р контравариантным индексам. Эта операция сводится к умножению со свертыванием по этим системам индексов на единичный тензор валентности 2р. Если взять, в частности, тензоры ** № то величины £*, t™, t1^ будут инвариантами. После того как мы определили умножение тензоров, мы могли бы начать с понятия свертывания (показав при этом прямо, что свертывание порождает новые тензбры) для определения умножения со свертыванием. Примечание. Сказанное позволяет рассматривать тензоры как операторы. Отметим, в частности, формулы **** = /. tlxk = zht где th—ь заданный тензор ( - 1. Они ставят в соответствие контра- вариантному или ковариантному вектору вектор того же вида, причем это соответствие линейное. Точно так же формулы '**** = .Ул. **** = *. где tm — тензор (о) и *Ы — TeH3°P (0 Ь дают закон линейного соответствия между контравариантным вектором и ковариантным или наоборот. 6. Симметричные и антисимметричные тензоры. Допустим, что тензор (ft):^ft имеет в некотором базисе координаты, симметричные по h и к : t7* = tkh. Это свойство сохраняется в любом базисе, так как (6.1) t'lm=thkAlhAk=tkhA%Alh = t'ml.
66 ВВЕДЕНИЕ Следовательно, свойство симметрии есть свойство самого тензора и не зависит от выбора системы координат. Такой тензор t1ik называется симметричным по h и k. Так, например, сумма x®y-f-y®x, где х имеет компоненты xh, а у — компоненты ук, есть тензор с компонентами thk = xhyk -\- xkyh, очевидно, симметричный. Вообще, рассмотрим тензор, имеющий по крайней мере р контра- вариантных индексов hx hp, Л» h2> • • о hp> • • « и предположим, что, какова бы ни была перестановка (alf a2 ар} р первых чисел (индексов), в некоторой системе локальных координат А' й«» .... Лр, ... Ь>ах> Л^ ha , ... Легко показать, что совокупность таких равенств остается справедливой в произвольной системе координат. Тензор называется тогда симметричным, по отношению к р выделенным контравариант- ным индексам. Симметрия по отношению к некоторым ковариантным индексам определяется совершенно таким же образом. Пусть, далее, thk — тензор ( 0 ) • Небольшое видоизменение в формуле (6.1) показывает, что если в некотором базисе для любых ft и к имеем p* = — tkh, то это равенство сохраняется при любом преобразовании базиса; тензор называется тогда антисимметричным. Вообще, задавая тензор t х v " , в котором выделено р первых контравариантных индексов, говорят, что он антисимметричный по отношению к этой совокупности индексов, если 10 ^".Аг.".".йр;;>°' когда по крайней мере два индекса из hxh2 hp равны,
ГЛ. II. ТЕНЗОРЫ 67 когда индексы hv h2, ..., hp попарно различны; здесь е имеет значение 0, если (alt a2 <xv) есть четная перестановка системы (1, 2 р), и значение 1, если эта перестановка нечетная. Можно показать, что это свойство, не зависит от выбора базиса. В силу этого определения тензор, антисимметричный по отношению к р контравариантным индексам, может быть отличен от нуля только при р<*Сп. Для ковариантных индексов имеем аналогичное определение. 7. Антисимметричные контравариантные тензоры. Мультивекторы. Пусть 2й* — антисимметричный тензор. Он определяется значениями своих С« = п(п —1)/2 компонент, у которых /г < ft; эти компоненты называются главными. Найдем закон преобразования этих компонент. Имеем Лк j.rlrnhk 'V *rf™„hk V ^ilh к t =r агат= 2л * aiam— 2j t агат, Km J> m откуда, переставляя индексы l и т во второй сумме, найдем \ahak Km Km I "» "» <*=2/*"(At-tfaW=2<- rim (A < ft). Вообще, антисимметричный контравариантный тензор thl' Лз hp (р^Сп) будет определяться своими С£ компонентами, у которых Ai < h2 < ... < Ар-, они называются главными, и можно проверить, как выше, что закон их преобразования имеет вид (7 Л) ^А ftp= ^ f *i> Ъ кр кг<кй<...<кр акг акх ••• ак* hi Jh hn %ъ cij. ... аьр кР кР кР Важный частный случай таких тензоров — мультивекторы. Рассмотрим два контравариантных вектора х и у. Внешним произведем нием х Д У этих векторов, взятых в этом порядке, или бивектором, определенным векторами х и у, называется антисимметричный тензор хЛУ==х®у —у®х. Если xh n yk — компоненты векторов х и у, то он имеет компонентами fhk — xhyk — xkyh. Внешнее произведение обладает следующими свойствами: 1° хДУ = — УЛХ (антикоммутативность; отсюда х Л * = 0),
68 ВВЕДЕНИЕ 2° xA(y+z) = xAy + xAz, (x + y)Az = xAz + yAz (дистрибутивность относительно сложения). 3° Если с — константа, то (сх) Л у = х Л (су) = с (х Л У). Вообще, если хх хр—контравариантные векторы, то внешним произведением этих р векторов, взятых в этом порядке, называется тензор (7.2) ХхДхгЛ ••• Лхр = 2(—l/xe^x.,® ... ®х« , где сумма распространяется на все перестановки (ах ар) системы р индексов (1, 2 р) и где е = 0, если эта перестановка четная, и е=1, если она нечетная. Свойства антикоммутативности и дистрибутивности аналогичны этим свойствам в случае р = 2. В частности, имеем (7.3) х«, Л х«, Л • • ■ Л хЯр = (— l)e Xi Л х2 Л • • • Л хр [е = 0, если перестановка (ах, <%, ..., оср) четная, и е=1, если она нечетная]. Пусть х*— компоненты вектора ха; тогда компонентами тензора (7.2) будут xi ••• xp XXP ... xpP | Отсюда следует, что для того, чтобы внешнее произведение р векторов было равно нулю, необходимо и достаточно, чтобы эти векторы определяли линейное многообразие размерности <р, т. е. чтобы они были линейно зависимы. Если р векторов линейно независимы, то в аффинном пространстве Ап, из которого получено Сп, их концы определяют линейное многообразие размерности р—1. Обратно, линейное многообразие Lp~l размерности р—1 может быть определено системой р линейно независимых векторов (xt xp), концы которых лежат в Lp~1; всякий другой вектор, конец которого лежит в Lp"1, есть линейная комбинация этих р векторов. Отсюда следует, что если мы определим Lp~l с помощью р других векторов (х^, ..., х^), то их внешнее произведение будет равно схг/\х2/\ • • • AXP, где с—константа. Локальная система координат в Lp~ задается тогда тензором (7.4) с точностью до множителя. Эта система называется системой плюккеровых, или грассмановых. координат многообразия Lp~\ (7.4) thl hP =
ГЛ. II. ТЕНЗОРЫ 69 Заметим, наконец, что, рассматривая внешние произведения векторов базиса, мы можем записать всякий контравариантный антисимметричный тензор в виде ^•*» — *реЛ1Лей.Л hx<Th< ... <&„ л%= = ^rt 1 jhlt 7h» ...f h ^Ле^Л ... A*hp. [В правой части равенства использованы сокращенные обозначения (§ 4).] 8. Антисимметричные ковариантные векторы. Внешние формы. Рассмотрим теперь ковариантный антисимметричный тензор порядка p(^r0:hl,rh,...th • Он также определен своими главными компонентами— теми, для которых Нг < h2 < ... < hpt и соображения, аналогичные предыдущим, доказывают, что закон их преобразования имеет вид (8.1) '*„ • ••» ър — 2и *klk2i ~"кт *,<*.<... <* р 4*1 hi •• 4f „*. р Внешнее произведение р ковариантных векторов х1, х2, .. определяется также формулой (8.2) л^Л^Л ... Л^=2(—О'-^Л^Л ... Л*Х хр и всякий ковариантный антисимметричный тензор записывается, если использовать внешние произведения векторов дуального базиса, в форме (8.3) h,<h,<... <h '»,.*. h/'Aeh'A ... Лел*-. Р-> •*• ->■ Р р-> •> [справа применены сокращенные обозначения (§ 4)]. Если производится замена базиса (8.4) то, как и выше, мы видим, что en = aU'*, или е' А%е\ (8.5) '** пр— 2d tult ...,* fti<ft2< ... <л р «* hx .*. Л «*»
70 ВВЕДЕНИЕ Теперь рассмотрим вместо (8.3) выражение, зависящее от п переменных х1, х2 хп: (8.6) F(x\ х2 хп)= J] thltha hpxh^/\x^/\.. .f\xhP= л,<л2<...<л^ =jr thlt ь,.... hp*hi л^ал...л xhp, которое мы назовем внешней формой степени р относительно этих п переменных, условившись, что внешние произведения, содержащиеся здесь, суть элементы алгебры, которую мы сейчас определим: 1° Допустимы замены переменных, аналогичные (8.4): (8.40 хп = а%х'к (или x'h = A\xk, det\а\\ф 0). 2° Внешние произведения, которые мы ввели, ведут себя как внешние произведения ковариантных векторов в отношении умножения на скаляр, антикоммутативности и дистрибутивности относительно сложения. В частности, внешнее произведение, в котором две переменных тождественны, равно нулю; перестановка двух последовательных переменных меняет знак внешнего произведения. Вообще, мы назовем внешней формой степени р всякое выражение Я** у^л^л-.. л А условившись, что она тождественна форме 2 ^,...,%^л^л ... л***. с коэффициентами, приведенными к виду К,..., hp = jx 2 (— !)Х v где (at ар) — перестановка системы индексов (hx hp) и где е равно нулю или единице в зависимости от того, четна или нечетна эта перестановка. Форма, все члены которой равны нулю, либо потому, что ее приведенные коэффициенты нули, либо потому, что те члены, коэффициенты в которых не равны нулю, соответствуют нулевым внешним произведениям, называется нулевой формой и обозначается нулем. Форма степени 1 есть линейная форма. Степень ненулевой формы не превосходит п, и форма степени п есть одночлен; она может
ГЛ. II. ТЕНЗОРЫ 71 всегда быть представлена в виде cxlf\x2f\ ... /\хп, где с обозначает константу. Внешняя алгебра в пространстве Сп, или алгебра п измерений1), вводится следующими операциями на совокупности внешних форм. Умножение на скаляр: cF = ±cthu...thpxhiA ... Л*Нр U—l)F = — F]. Сложение двух форм одной степени: если P = j[t*. у**Л ...Л*** и G = ±shl hpxh'A ... Л***. то F + 0 = ^{thi,...,hp + shl Нр)х*Л ... Ах\ Далее, полагаем /7 + (—G) = F— G, и две формы F и О называем равными, если F — G будет нулевой формой. Внешнее умножение формы F на форму О не обязательно той же степени: если F = ±thu.,.thjxh> f\ ... лА 0 = jfSklt...tkqxkiA ... Л А то F л ° = ji ji th" •••• Vfc' ****' Л • • • Л ***Л**' Л • • • Л**а. Отсюда следуют свойства FAG = (—1)MGAF, F A (Gx-hG2) = FA Oi-hF А О». (Л + ^) Л G = Fi A G + F2 А О. 9. Внешние квадратичные формы. Теорема Картана. Рассмотрим внешнюю квадратичную форму, отличную от тождественного нуля: Р = Ъ*КкХЛЛ** (*»-И** = 0). 1) Заметим, что можно было бы построить внешнюю алгебру, исходя из контравариантных антисимметричных тензоров: это внешняя алгебра в дуальном пространстве С*7*.
72 ВВЕДЕНИЕ например, с tX2 Ф 0. Можно записать F = (x*+^x*+ ... +^»)д(^+ ... +tlnx»)-\-0, и очевидно, что О зависит только от переменных л:3, ..., хп. Положим х +***.& + ... + -£*■*» = Х1, Форма F— X1/\ X'1 зависит самое большее от п — 2 переменных, и если она не обращается тождественно в нуль, то мы можем поступить с ней так же, как с формой F: вычесть из нее произведение вида Х2/\Х'2, получив форму не более чем п — 4 переменных, и т. д. до тех пор, пока не придем к нулевой форме. Заметим, что формы X1 и X'1 линейно независимы и что формы X2 и X'2 (если приходится их рассматривать) не зависят линейно от X1 и X'1. В итоге мы можем высказать следующий результат: Всякая внешняя квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду F! = Xi /\X*i+X* ЛХ'2+ ... +ХГ /\Х*\ где 2г(^я) линейных форм Xh и Xh линейно независимые Покажем, что число 2г, ранг формы, есть инвариант, т. е. если мы имеем равенство вида Л-1 ft-1 где Xh и X/hf с одной стороны, и Yk и к'л, с другой стороны,— ft 'ft линейно независимые формы, то r = s; более того, Y и Y —линейные комбинации форм Xh и Xh. Действительно, допуская, например, что Y1 не зависит от Хп и X'h> мы могли бы выбрать базис, содержащий Xh, Xh, Y1 и, возможно, еще другие формы. Но после упрощения правой части равенства осталось бы непременно внешнее произведение вида Y1 /\ Z с Z Ф 0, так как иначе Yk и Y*k не были бы линейно независимы, и предыдущее равенство было бы невозможно. Итак, Yk и к'*— линейные комбинации форм Xh и Xth. Но обратное также имеет место, так что число этих форм одно и то же, т. е. r = s.
ГЛ. II. ТЕНЗОРЫ 73 и достаточно, чтобы формы X'h были линейными комбина- Рассмотрим, наконец, г линейно независимых форм X (А = 1, 2 г), и пусть Х*н — линейные формы, такие, что (9.1) 2*Лд*,Л=о. Справедлив, следующий результат (теорема Картана): Для того чтобы равенство (9.1) имело место, необходимо достаточно, ч циями форм Xh: (9.2) X'h= 2 c\Xk, причем матрица коэффициентов должна быть симметричной ГЬ rk °k °h- Действительно, присоединим к формам Хп еще п — г других форм Xr+l Xй, чтобы составить базис. Мы получаем тогда равенства вида (9.20 Х'н=% chkXk. Равенство (9.1) переходит в равенство ,Q1,x 2 chkXhAXk = 0, (9.1 ) л-i,..., г Л—1 П коэффициент при члене Xh Д Xй для k > г есть ск, поэтому прежде всего необходимо, чтобы с% = 0 для к > г. Равенства (9.2'), таким образом, имеют вид (9.2), а равенство (9.1') переписывается в форме (9.1") ~2 ^ (с* — Сп)Х /\Х —0, h, ft-1 г откуда с£ = с*, как и указано в формулировке теоремы. 10. Эвклидовы тензоры. Если в пространстве Rn введена структура группы вращений вокруг начала [формулы (I, 19.1) с &Л = 0], то вместо Еп мы получаем пространство Я7*—центро-эвклидово пространство. Это — пространство свободных (контравариантных) векторов пространства Еп: всякой точке пространства Н71 соответствует свободный вектор в пространстве Еп, и обратно. Во многих вопросах интересно заставить действовать на Нп общее преобразование центро-аффинной группы Qn, но тогда, вообще
74 ВВЕДЕНИЕ товоря, оси* составляющие основной /г-эдр, теряют- свойство ортогональности. Пусть в некотором ортогональном репере xh и yh— компоненты двух векторов х и у. После преобразования хь = а\х'к, yh = afy'1 скалярное произведение х • у записывается в виде п 1 Л, ft, I ft, I где gkl — константы (g£I = g£ft); нетрудно видеть, что и что форма g?klx'kx'1 положительно определенная1). Возвращаясь к исходным обозначениям хп (вместо x'h)t мы назовем центро-эвклидовым пространством Я7* пространство Сп в котором задана квадратичная форма п (ЮЛ) 2 gut**** (g?x = gm)> ft, fc«=l у которой (Ю.2) * = det|ft*|^0, представляющая собой инвариант; здесь хп — координаты произвольного вектора х. Ввиду (10.2) эта форма есть сумма квадратов п линейно независимых форм, снабженных знаком -+- или —. Нам следовало бы прибавить, что все квадраты снабжены знаком +, но это требование оказывается излишним для того, о чем мы будем говорить; поэтому мы не будем его накладывать. Значение формы (10.1) для вектора х будет называться скалярным квадратом или просто квадратом вектора х и обозначаться х2. Мы будем называть длиной вектора х и обозначать через | х | величину ix|=vi*q. 1) Это вытекает из того, что уравнение 2 ёых х l = 1 представляет ft, l сферу радиуса 1
ГЛ. II. ТЕНЗОРЫ 75 Пусть xh и у*,— координаты двух векторов х и у; квадрат длины вектора Xx-f-|xy, где X и |х— произвольные константы, равен 2 g» № 4- wft) (***+Wft) = Л, к =*2 2 gi****+2Хр. 2 gKkxhy*+и2 2 «^.y*.. Так как первый и последний члены правой части инвариантны, то отсюда следует, поскольку X и |х произвольны, что билинейная форма (10.3) х.у=2г^* Л, ft также инвариантна. Она называется скалярным произведением двух векторов. Когда оно равно нулю, векторы называются ортогональными. Скалярное произведение вектора самого на себя есть квадрат этого вектора. Из этой инвариантности следует (§ 3), что ghk— компоненты симметричного тензора ( 2 )» называемого основным тензором. Непосредственно видно, что еЛ«еЛ = ^гЛЛ. Базис называется ортогональным, или прямоугольным, если gm = 0 для h Ф k, и ортонормированным, если, кроме того, grfefc= ±1. Если форма (10.1) положительно определенная (истинное центро-эвклидово пространство), то мы имеем х) / ч Х'У 8ккхКУ* COS (X V) — ~~ — —- I х | -1 у I Yg^xhxh Yg^yhyh ' Рассмотрим ковариантный вектор, определенный равенством (Ю.4) gbkx* = ghhx* = xh. Всякому контравариантному вектору х мы ставим таким образом в соответствие ковариантный вектор х с координатами xh, и это соответствие взаимно однозначно, поскольку g Ф 0. Это соответствие, будучи, очевидно, линейным, сохраняет умножение на скаляр и сумму. Так как вектор х, с другой стороны, может быть так же хорошо определен посредством чисел хп, как и посредством чисел хп, то мы условимся отождествлять два объекта лихи говорить, -> что xh — ковариантные координаты вектора х, а хп — его контравариантные координаты. В пространстве Нп, таким образом, не будет ковариантных или контравариантных векторов, а будут только векторы, определенные его ковариантными или контравариантными координатами. *) Начиная с этого места, мы возвращаемся к сокращенным обозначениям (§ 4).
76 ВВЕДЕНИЕ Равенство (10.4) показывает, что xh есть величина ортогональной проекции вектора х на ось хп (рис. 10, я = 2). В нормированных равенствами ghh==\ прямоугольных координатах ковариантные координаты вектора равны контравариантным координатам с соответствующими номерами. Полагая (10.5) g?k = ?f> где g^k — алгебраическое дополнение элемента gbk в определителе \gw\> так чта (10.5') gMg^ = gMg* = glhg><* = gm^ = 8». мы получаем решение системы (10.4) в виде (10.40 &*хк = х\ и ghk будут компонентами тензора (0). Формулы (10.4) и (10.40 позволяют переходить от контравариантных координат вектора к его ковариантным координатам и обратно. При этом соглашении формула (10.3) принимает простой вид (10.30 х • у = xhyh = xbyh (в частности, х2 = xhxh). Наше соглашение сводится к тому, что мы отождествляем элемент eh базиса дуального пространства С*п с элементом ghkek простран- ""*" ства Сп [формула (10.40]. Вообще, условимся отождествлять элемент eh* ® eh* простран- -> ■> ства (С*м)2 с элементом gMig^e^ & е*2, пространства (Ся)2, и аналогично для тензорных произведений с большим числом множителей, так что всякий контравариант- ный вектор пространства (Сп)р® (С*м)« будет отождествляться с контравариантным вектором пространства (Cn)p+q. Это все равно, что р 10 сказать, что всякий тензор у\ пространства Нп будет отождествляться с тензором \ о/" Множество всех тензоров, тождественных одному тензору, называется эвклидовым тензором. Эвклидов тензор не имеет специфического характера ковариант- ного или контравариантного тензора, он может быть охарактеризован его порядком r—p-\-q, суммой порядков контравариантности и ковариантности одного из его представителей. Его различные представления (в числе 2Г с пг координат каждое), напротив, имеют
ГЛ. IL ТЕНЗОРЫ 77 каждое специфический характер контравариантности или ковариантности. Так, например, тензор Т третьего порядка имеет восемь представлений: /та jhkl j kl Ji I Jik j I jh j к > КЧ t , th , t k , t j, thk, t и, thjt tbkb Для аффинных тензоров нам нужно было только точно знать названия и места ковариантных индексов в последовательности этих индексов и названия и места контравариантных индексов в последовательности этих индексов. В случае же эвклидовых тензоров, напротив, нужно заботиться о том, чтобы все индексы сохраняли свои места. Так, например, исходя из представления thkl предыдущего тензора, мы получаем представление!,):^ , опуская индекс Л, я представление t\l, также (-), получаем, опуская индекс &. Переходя от одного представления к другому, мы уточняем & iiameft записи места индексов, которые были опущены или подняты, т. е. которые перешли из состояния контравариантности в состояние ковариантности, или наоборот. Основная задача, с которой мы з^'чь сталкиваемся, — это задача перехода от одного представления к др.) тому, т. е. задача опускания или поднятия индексов. Эта задача разрешена формулами (10.4) и (10.4') и соотношениями между базисами С1 и С*Л, которые мы. дали. Пусть, например, надо опустить второй индекс в тензоре 7\ записанном в контравариантной форме thkl. Имеем Т = №eh ®ek%ez = t™eh ® (gkme™) ® е, = = thklgkm*n ® em 2> ez = t\leh &ек%ег, откуда после замены обозначений (10.6) 'Y = '*w,«r**- Для поднятия индекса можно получить таким же образом формулу (10.60 thM = thJgmk9 Вообще, мы имеем формулы следующего типа: /.. ..fc..Z.. — /..Л' р- crkk' rrlV 1 h —1 к' V ЬЛЛ'Ь S • Эти формулы показывают, в частности, что контравариантное представление основного тензора ghk дается в виде ghk [формула (10.5)1; что касается его смешанных представлений: gk и g£, то в силу (10.50
78 ВВЕДЕНИЕ имеем т. е. тензор g£ (или gkh) будет единичным тензором валентности 2. Заметим также, что'в силу симметрии g^ и ghk, если тензор является симметричным или антисимметричным по отношению к некоторым индексам, записанным на контравариантных местах, то же самое будет справедливо и для его представления, в котором эти индексы стоят на ковариантных местах, и наоборот. Относительно операций над эвклидовыми тензорами можно сделать следующие замечания: 1° Можно складывать два тензора одного порядка: берем два подобных представления этих тензоров, например контравариантные представления, и контравариантное представление суммы получаем, складывая соответственные контравариантные компоненты этих тензоров. 2° Пусть заданы два тензора Т и S для определенности порядка 3 и 2 своими представлениями, скажем thkl и sm ; тогда тензор U k p — T kS p называется произведением тензоров Т и S, взятых в этом порядке; он не зависит от представлений, выбранных для множителей. 3° Пусть задан тензор Т порядка г>1; выбрав произвольна два его индекса, приведем один из них в ковариантное, другой в контравариантное положение и свернем полученный тензор па этим двум индексам. Мы получим новый тензор валентности г—2, называемый тензором, полученным из Т свертыванием по двум выбранным индексам. Пусть, например, нужно свернуть тензор thklm по индексам к и т. Начинаем с того, что образуем представление thklm; тогда свертывание дает нам тензор shl==z fh Ik^ Исходя из другого представления тензора thklm, мы получили бы другое представление тензора $Л*. Эти результаты легко доказать, исходя из соотношений (10.6) и (10.60 и принимая во внимание симметрию основного тензора. В заключение рассмотрим одно приложение. При замене базиса имеем &Кк — апак £h'kr>
ГЛ. II. ТЕНЗОРЫ 79 полагая det| g'hk\ = g', выводим отсюда, что g' = tfg, где A = det|a*|. Допустим, теперь, что g > 0, и ограничимся преобразованиями,, которые сохраняют ориентацию базиса Д > 0. Имеем 1 =д 1 Следовательно, в силу формул (7.1) величины дЛь •••.лЛ = (—\f—-~ (a^i hn = 0t если два индекса равны) У g [е = 0 или 1 в зависимости от четности перестановки (ht hn)} будут контравариантными компонентами антисимметричного тензора валентности п. Проверяется без труда, что его ковариантные компоненты равны «,,„...,* =(-i)Vi- п Рассмотрим теперь антисимметричный тензор Т валентности г ^.п. Пусть thlt '"'hr—одно из его представлений. Тензор 7* валентности п — г, получаемый умножением со свертыванием тензора Т на предыдущий тензор, называется присоединенным к Т. Имеем Л+1 Лп = 1/' VAr+l йя/й h у* * _, j.hly ..., h Ч+i нп =7j **...-.. VW— *n' Тензором, присоединенным к T*t будет Т. Тензор, присоединенный к вектору, есть антисимметричный тензор валентности п — 1, и наоборот. В обычном трехмерном эвклидовом пространстве всякому антисимметричному тензору валентности 2 можно, таким образом, поставить в соответствие вектор. Рассмотрим, в частности, случай бивектора хДУ и предположим, что базис ортонормированный: . Г 0, если h Ф к, ёьк = *hk — \Л . , \ 1, если Л = &. Ненулевые компоненты бивектора выражаются следующими формулами, в которых хп и уь обозначают компоненты векторов х и у: /23 _ /32 _ х2уЗ X3y2f t*1 = _ /13 = х*у1 — *\y3, ti2 = — t2X = хху2 — х2уК
80 ВВЕДЕНИЕ Присоединенный вектор z имеет компоненты zi = x2yz — х*у2, z2 = xzyl — x1y'i, z* = x1y2 — x2yl. Он называется векторным, произведением двух векторов х и у. Путаница в обозначениях, которая теперь приобрела силу привычки, привела к тому, что этот вектор обозначают х/\у. Вектор z таков, что три направления х, у, z образуют правый триэдр. Длина вектора z равна |х|. |у| sin(х, у). Если перейти к случаю антисимметричного тензора валентности п, имеющего только одну главную компоненту /1»2>---»Л> то присоединенный к нему тензор будет скаляром £1>2>--'n. в случае если тензор будет внешним произведением п векторов х1/\х2А ••• Л *п» этот скаляр называется смешанным произведением п векторов и обозначается через (хх, х2 хЛ). Обозначая через х1* координаты вектора xft, мы имеем (Xt, х2 xw) = det|*ft|. Смешанное произведение обладает всеми свойствами линейности и антикоммутативности внешнего произведения. Когда оно равно нулю, п векторов определяют линейное многообразие размерности ^.п— 1. Оно представляет ориентированный объем параллелепипеда, построенного на п векторах. Для /г = 3 также пишут (из-за путаницы в обозначениях) (xlf х2, х3) = (xt Л х2) х3 = х1(х2Лх3)= 11. Элементарный тензорный анализ. Рассмотрим (в С1 или Нп) контравариантный вектор х(и), зависящий от одной действительной переменной и, которая принимает, для определенности, все значения из некоторого сегмента. Обозначим через хп (и) компоненты вектора х(й). Из данных раньше определений следует, что х(и) непрерывен при и = и0, когда функции хп(и) непрерывны в точке и0, и наоборот. Если вектор х (и + Аи) — х (п) Аи имеет при и = и0 предел х'(я0), когда Ля стремится к нулюдо говорят, что х (и) имеет производную при и = и0, равную х' (и0).
ГЛ. II. ТЕНЗОРЫ 81 Принимая во внимание, что координаты предыдущего вектора равны xh(u + \u) — xh(u) Ли мы видим, что необходимое и достаточное условие для того, чтобы х(и) имел производную при и = и0, заключается в том, чтобы его координаты были дифференцируемы при и = и0, и координаты вектора х'(и0) будут равны [xh(u0)]'. Если производная х (и) существует для некоторого множества значений а, то сама эта производная будет функцией от а. Ее обозначают через х'(и) или dxjdu. Компонентами производной будут [xh(u)]', или dx*fdu. Можно таким же образом определить производные более высоких порядков, если они существуют. Они обозначаются через х" (и) или d2x/du2 и т. д. Для вектора, зависящего от нескольких действительных переменных, например для вектора х(а, v), мы определяем аналогично его частные производные, если они существуют: дх дх д*х да9 dv' ди*9 Для тензора, зависящего от одной или нескольких действительных переменных, можно дать аналогичные определения. Пусть, например, задан тензор thjci(u, v)\ его частная производная по и, если она существует в некоторой области плоскости (u,.v), есть предел тензора . . <*ы(и + А«, v)-thkl(u, v) Ли при Ли —► (). Эта частная производная будет также тензором („ \ с компонентами dt\i(u, v)/da. Понятия сходимости последовательности и ряда немедленно обобщаются на последовательности и ряды тензоров. Имеет место формула Тейлора, которую мы напомним только для случая вектора х(и): допустим, что х(и) имеет непрерывные производные до порядка п в интервале, заключающем и0, и что производная х(л+1)(я0) существует; тогда в этом интервале x(a) = x(«0) + («-«o)x,(«o)4- ••• + (»-"<>>V>(h0) + + (а(7+1)Г tx(n+1)("o)+^1. где т) обозначает вектор, стремящийся к нулю вместе с \и — tfol1)» 1) Допуская существование х^п+1)(а) в рассматриваемом интервале, мы не можем, вообще говоря, представить выражение, стоящее в квадратных скобках в последнем члене формулы Тейлора, в виде х*Л+1) [и0 + 0 (и—uQ)]t О < 0 < 1, как это возможно в случае числовых функций. •>
82 ВВЕДЕНИЕ Можно также говорить об аналитических тензорах, зависящих от одного или нескольких параметров. Так, вектор х (и) называется аналитическим в окрестности и0, если существует такое число R > 0> что х(и) = х(и0) + (и-и0)х'(и0) + ... +(в"/»(п)(«(>)+..м где ряд в правой части сходится для \и — и0|</?. Что касается правил дифференцирования, относящихся к операциям над тензорами, то мы прежде всего сделаем следующее общее замечание. Пусть, например, F{T, S) — тензор-функция как от Г, так и от 5, т. е. выполняются соотношения F(cT, S) = cF(T, 5), /*(7\+Г2, S) = F(TV S)-\-F(T2t S) и, аналогичные соотношения по S. Допустим, что Т и S будут, например, функциями действительной4 переменной и в некотором интервале, где Т (и) и S(u) имеют производные. Будем искать производную сложной функции F[T(u), S(u)]. Имеем *-{F[T(u + La). S(a + ba)\ — F\T{a). S(u)]} = = F[T*+^u-T*\ S(u + /iu)] + F[Tiu). *<« + *%-3<«>]; переходя к пределу, получаем отсюда формулу dFlT{UJu S{U)] = FlT'(u)> S(u)] + FlT(a), S'(и)], аналогичную формуле для производной от произведения. Можно ее обобщить на случай линейных функций более двух аргументов и на случай нескольких переменных для частных производных. Рассматривая, например, вектор-функции одной действительной переменной в Яп, можно вывести отсюда такие формулы: (х, + х^)' = х[ + xj, (хх • х2)' = х[ • х2 + хг • х£, (хг Л х2)' = х[ Л х2 + х, Л х£, (Х1» Х2 Хп) = (Х1» Х2 Хп) "I ' ' ' "Ь (Х1» Х2 Хп)* Относительно интегрирования (для определенности в смысле Ри- мана) можно развить аналогичные соображения. Пусть, например, thk(u, v) — функции, интегрируемые в области А плоскости (и, v), являющиеся компонентами тензора для всякой точки (и, v) области А. Выражения 0hk=f thk(ut v)dudv А
ГЛ. II. ТЕНЗОРЫ 83 будут компонентами тензора ( 0 ) • Но если thk, например, есть внешнее произведение вида хДУ» то тензор J х Л ydadv А не обязательно будет внешним произведением. Формулы интегрирования по частям приводят к равенствам вида и, щ f F[T{u)ydS{u)\ = F\T{u\ Sill)]]*— fF[dT, 5], и щ где F линейно по S и 7\ Упражнения 1. Можно рассматривать всякий ковариантный вектор как линейный функционал ^(х) над контравариантными векторами, т. е. как число, обладающее свойствами F(x + y) = F(x) + F(y)t F(tx) = tF(x), откуда Функционал будет определен, если задать F(eh) = uh. Множество этих функционалов получает структуру векторного пространства посредством определений: H=F+G означает Н(х) = F(x) +G(x); K=cF означает /С(х) = cF (х). 2. Для того чтобы внешняя форма F степени р (8.6) была тождественно равна нулю, необходимо и достаточно, чтобы формы FAxhlA ... Л***-Р (/*i /*л_р=1, 2 п) были тождественно равны нулю. 3. Линейные многообразия, на которых внешняя форма обращается в нуль. 1° Рассмотрим линейное многообразие размерности q к = 1 где с\—константы, такие, что матрица |]с£|| имеет ранг q. Заменяя хп в форме F степени р (8.6) выражениями (1) и рассматривая yh как переменные внешней алгебры размерности qt мы преобразуем F во внешнюю форму степени р: a = yiK *p'*t-e*p л...лу* (эта форма равна нулю, если q < р).
84 ВВЕДЕНИЕ Если при #■>/? форма G тождественно обращается в нуль, то говорят, что линейное многообразие (1) удовлетворяет уравнению /7=0. Доказать, что условия того, чтобы это имело место, могут быть при q=p записаны в виде '*, */■ ** = о( " ' р где g образуют систему плюккеровых координат многообразия (1); факт обращения G тождественно в нуль не зависит, таким образом, от представления (1) многообразия* 2° Для того чтобы многообразие (1) было решением уравнения /7=0 при q > p, необходимо и достаточно, чтобы всякое линейное многообразие размерности р, в нем содержащееся, также было решением /7 = 0. Показать, что это можно записать в виде . htt ...» hM, h^,<t •••! h„ л 1» У р 4. Частные производные внешней формы. Ассоциированная система. 1° Частная производная формы F (8.6) по переменной xhl будет, по определению, формой степени р — 1: гГ = /i *h ь. х Л...Л*Р. Отсюда следует, что dxh> где F^1 — форма степени /?, в которую xhl не входит. Эту операцию можно повторить. Показать, что д / dF \ = d*F = _ d*F dxh> \ дхк*) dxhl дх^ dxh* dxh> ' 2° Системой, ассоциированной с F, называется система линейных форм, полученная приравниванием нулю частных производных порядка р — 1 формы F. (Каждая из этих производных, не равная нулю, определена с точностью до знака, но система уравнений вполне определена.) Форма F называется одночленом, если она является внешним произведением р линейных форм. Доказать, что необходимое и достаточное условие для того, чтобы форма была одночленом, состоит в том, чтобы ее ассоциированная система имела рангр (где р — степень формы). 3° Ассоциированная система внешней квадратичной формы имеет четный ранг (§ 9). 5. Рассмотрим h внешних форм F± Fh, не обязательно одной степени. Рассмотрим, далее, совокупность внешних форм H=FXAG1+ ... +FhAGht где G — внешние формы, такие, что одночлены предыдущей суммы имеют все одну и ту же степень, но в остальном произвольные. Всякая форма этой совокупности, очевидно, обращается в нуль на всяком линейном многообразии, являющемся решением системы F± = ... = F^ = 0. Обратное вообще неверно. Доказать, что это будет верно, если формы F линейны.
ГЛ. II. ТЕНЗОРЫ 85 В общем случае, предполагая формы F линейно независимыми, доказать, что условием для того, чтобы форма Н обращалась в нуль на всяком линейном многообразии, являющемся решением системы F± = ... = F^ = 0, служит равенство АЛ ... AFhAH=0. 6. В ортонормированных координатах в обычном эвклидовом пространстве (ghh=\) компоненты тензора не зависят от природы индексов: они одни и те же как для верхних индексов, так и для нижних индексов. 7. 1° Построить теорию метрики в пространстве эвклидовых тензоров фиксированного порядка /?: построить основную форму, скалярное произведение, скалярный квадрат тензора, (для р = 2 выражение thkStfc есть скалярное произведение тензоров № и Sj#). Проверить формулу (называемую формулой Лагранжа) x2.yS = (x.y)* + -i(xAy)*. 2° Построить теорию метрики в пространстве антисимметричных тензоров, у которых рассматриваются лишь главные компоненты [для р = 2 основная квадратичная форма имеет коэффициентами ghkglm — ghmglk (* < т)]. 8. Показать, что в Н? [(xAy)*Az]* = -x(y.z) + y(z..x). Этот вектор неправильно обозначается через (xAy)Az. 9. Гиперкомплексные числа. Рассмотреть тензор ^ и операцию (обозначаемую ф), которая двум векторам х и у из Сп ставит в соответствие третий вектор z = х О у с компонентами 1° Выяснить условия, при которых эта операция ассоциативна: (x<>y)Oz = xO(yOz). (В этом случае мы будем иметь кольцо гиперкомплексных чисел.) 2° Предположив, кроме того, что нет делителей нуля (из х О у = О следует х = О или у = 0), показать, что п необходимо будет четным, что из уравнений афх = Ь,-у<>а = Ь каждое имеет единственное решение, что существует единичный вектор и что каждый вектор имеет обратный. Это кольцо, являющееся группой относительно векторного сложения, будет также группой относительно операции ф. Говорят, что оно образует тело, вообще говоря не коммутативное (так как х ф у Ф у О х). 3° Случай п = 2. Пусть ei — единица. Показать, что можно найти другой вектор, образующий вместе с ej базис, такой, что е2 О е2 = — е1- (Тело коммутативно и изоморфно телу комплексных чисел.) 4° Случай п = 4. Соотношения eiOeh = e^<>ei = eh (Л=1, 2, 3, 4); еЛ<>ей = — et (Л = 2, 3, 4); ©з О е4 = — е4 О е8 = е2; е4 О е2 = —■ е2 О е4 = е3; е2Оез = — е3<>е2 = е4
86 ВВЕДЕНИЕ определяют тело кватернионов. Имеем (xiet + jc?e2 + *3е3 + лг4е4) (хХе± — х?е2 — хЧъ — х4е4) = 10. Построить теорию тензоров в пространстве Сп, предположив дополнительно следующее: Г Сохраняется некоторая линейная форма ghxh (можно всегда допустить, что сохраняется х\ изменив, если нужно, базис). (Проективные тензоры, III, I, 17.) 2° Сохраняются р линейно независимых уравнений: **** = <> (* = 1 р). 3° Сохраняются линейные многообразия (ei, ..., ер) и (ep+i, ..., ew). Следует ввести два сорта индексов; одни обозначить латинскими буквами, другие — греческими (см. III, I, 8). 11. Указать преобразования в СЛ, которые сохраняют две различные квадратичные формы. 12. Найти преобразования в С3, сохраняющие x1x^x^t и преобразования, сохраняющие х1 [(*2)2 + (-*3)2]. [Алгебраические формы, сохраняющиеся при преобразованиях транзитивной подгруппы группы G п% будут определены позднее для п = 2 и 3 (И, аффинная геометрия)]. 13. Показать, что квадрат объема параллелепипеда, построенного в Еп на п векторах х^ хЛ, имеет величину хх xi' х2 • • • xi * хп 2 Х2 ' Х1 Х2 • • • х2 ' Хл I Хп * Х1 Хп " Х2 * * * Хп I Вывести отсюда запись соотношения, связывающего расстояния между парами точек множества из (п + 2) точек в Еп. 14. Рассматриваются преобразования из Qn, которые с точностью до множителя сохраняют форму gWixbxk (det I gjik I Ф 0, gHfc = gkh) (группа гомотетий, или подобных преобразований); ghjc после преобразования с определителем А переходит в g'h1t =■ Д2£лл = ^Shk- Полагают ghkXk = xh, откуда выводится правило преобразования индексов. Оказалось интересным (пространство Вейля, III, I) обобщить понятие тензора, считая тензором геометрический объект, компоненты которого зависят от ковариантных или контравариантных индексов и умножаются на Х^ при гомотетии. Число р называется весом тензора. Координаты вектора xh рассматриваются как тензор, имеющий вес нуль. Тензор g^ имеет вес 1, так же как и ковариантные компоненты вектора х^. Тензор ghk имеет вес — 1. Величины Xjjx^x^ можно рассматривать как ковариантные компоненты вектора веса нуль.
ГЛ. II. ТЕНЗОРЫ 87 15. Косые эвклидовы метрики. Принимая в Сп в качестве основного тензора тензор gf^ с определителем j g^ | ф О, не обязательно симметричный, полагают ghk*k = xh и рассматривают х^ как ковариантные координаты вектора с контравариант- ными координатами хК Определяют gh^ с помощью формул (10.5'), откуда следуют правила преобразований индексов тензора. Полагают х- у = xhy^ {следовательно, вообще, х • у Ф у • х). Подгруппой группы Q п относительно этой метрики будет подгруппа, которая сохраняет билинейную форму х • у. Изучить частный случай, когда х2 = 0 для всякого х. 16. Произведение вращений и произведение кватернионов. Вращение вокруг оси, определенной ее направляющими косинусами а, р, y и углом 2ср, будет представляться кватернионом q = et cos cp + sin cp (ae2 + Ре3 + 7е4). Показать, что произведение двух вращений, представленных соответственно кватернионами q и q', представляется кватернионом q О Ч' (см* упражнение 9). 17. Тензорные емкости и плотности. В пространстве Сп контравариантный антисимметричный тензор порядка п называется скалярной емкостью. Он определяется величиной его главной компоненты t1* 2 Л = с. Тензорной емкостью называется произведение такого тензора на произвольный тензор, например Л 4J'. Эта тензорная емкость определяется величинами cSj . Антисимметричный ковариантный тензор порядка п называется скалярной плотное/пью. Он определяется величиной его главной компоненты tx 2 ^ Л = d. Как и выше, определяются тензорные плотности. Эти понятия представляют интерес в математической физике.
Глава III ДОПОЛНЕНИЯ К АНАЛИЗУ: ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ; ПРИЛОЖЕНИЯ К ГРУППАМ ЛИ И К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ПОГРУЖЕННЫХ МНОГООБРАЗИЙ 1. Внешние дифференциальные формы. В гл. I (§ 22) мы определили касательное линейное пространство в точке (л:1 хп) многообразия Vn как центро-афинное пространство Сп, определяемое переменными dxh; допустимые замены переменных (1.1) y* = fh(x\ ..., х«), где ||g- ¥■0, дают, действительно, <*-%&<*■ К различным точкам окрестности 7° рассматриваемой точки многообразия Vn (или к точкам пространства Rn), если окрестность 7° достаточно мала, что всегда можно предположить, можно присоединить объекты касательного пространства; тогда в окрестности 7* будет задано поле объектов; таким полем будет, например, поле тензоров tlhlc (х1 хп), компоненты которых в общем случае зависят от точки (л:1 хп). Мы хотим изучить здесь поля внешних форм, в которых переменными будут дифференциалы dxh; внешней дифференциальной формой степени р (^п) мы будем называть выражение вида (1.2) (0 = 2^ hp(xx xn)dx^/\dx^/\ ... /\dxhP = = а) (х | dx). Мы видели (II, 8), что всегда можно принять в качестве коэффициентов а%х h компоненты антисимметричного тензора ( \ и можно было бы сказать, что понятия, которые мы будем вводить, относятся к полям тензоров этого рода; но формализм внешних дифференциальных форм для нас предпочтительнее. Удобно говорить, что функция переменных xh (инвариант, или тензор нулевого порядка) будет дифференциальной формой нулевой степени.
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 89 Мы предположим, что коэффициенты ahlt..., л имеют непрерывные частные производные до некоторого порядка т\ допустимые замены переменных (1.1) будут тогда класса Qf™. Порядок т в дальнейшем не уточняется: надо предполагать его достаточным для выполнимости операций, которые мы будем описывать, или для теорем существования, на которые мы будем ссылаться. По определению, мы будем называть внешним дифференциалом формы о форму степени р+1 (1.3) d«> = 2idahl,...thpAdxh>A ••• Л dx% [если речь идет о функции / (дифференциальной форме нулевой степени), то df будет дифференциалом этой функции]. Это определение будет действительно полезным только в случае, если мы докажем, что при преобразовании формы w(x\dx) в форму <t)(y\dy) посредством (1.1) внешний дифференциал du> переходит во внешний дифференциал dm. Это следует из нескольких простых замечаний, которые интересны и сами по себе. Заметим прежде всего, что внешний дифференциал от дифференциала функции равен нулю. Действительно, полагая МЫ ВИДИМ, ЧТО (1.4) Л-^ЗГОГ^Л^'^ Это можно записать также в форме d(df) = 0. Пусть теперь о и б — две внешние дифференциальные формы соответственно степеней р и q\ тогда (1.5) d(o,A9) = rf(oAH(— If<*> Л db. Действительно, полагая o) = 2^... h dxh>A .-• Adxhp; Q = 2lbkl...kqdx**A ... f\dx\ получим со Л 8 = 2 Дь,... п bkl... ft dx^ Л • • • Л dxhP Л dx** Д ... Л dx\
90 ВВЕДЕНИЕ откуда, в силу определения (1.3), <*(» Л в) = 2 bkl... kq dahi... hp Л <***' Л ... Л Ак*« + + S Л*.... л <***,... ftg Л d**1 Л ... Л ^*ff = =(S^ft.... hp Adx^A • • • Л dx*p)A(2bkl...*qdx**A - - • Л<**4+- +(— if (2^...л/^Л ... Adxhp)A&dbkl...kqAdxk>... Л*Л)» ибо, чтобы поместить дифференциал dbkl,,.k на то место, которое он должен занять во втором члене, надо совершить р перестановок и каждая из них будет менять знак. В качестве частного случая получаем из формулы (1.5), обозначив через а функцию, что (1.5') d (шо) = a da)-f- da А <° = #do) + (—1)ро) Л da\ мы видим также, что равенства rfo) = 0 и dQ — О имеют следствием d(a) Дб) = 0. Рассмотрим теперь одночленную форму. (1.6) * = dPAdf*A ... Adf*. где все fh—произвольные функции; тогда do) = 0. Действительно, это верно для р = \ (1.4); допустим, что это верно для р—1, и положим dPA ••• Adfp = e- тогда можно записать w = df1 А в и формула (1.5) даст do) = 0. Возвращаясь к форме (1.2), мы имеем в силу (1.5')» будут ли xh независимыми переменными или нет, du> = %dahl... hp A dxh> A • • • A dx% + -h%ah>...bpd(dxb>A ... Adxnp). Это выражение в силу предыдущего результата приводится к виду (1.3), а это и есть то, что мы хотели доказать. Наконец, из того, что для каждой формы вида (1.6) do) = 0, и из очевидной дистрибутивности внешнего дифференцирования по отношению к сложению следует теорема (Пуанкаре): Для каждой внешней дифференциальной формы о1) d(da)) = 0. *) Справедлива и обратная теорема (см. упражнение 1).
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 91 Напомним еще следующую формулу, обобщающую хорошо известные формулы Грина и Стокса1): (1.7) Jo) = Jrfo), F(D) В где о) — форма степени р, D означает область размерности р+1, F(D) — ее граница; излагать здесь допущения относительно области и ее границы и условий ориентации неуместно. 2. Система Пфаффа. Теорема Фробениуса. Рассмотрим в открытой окрестности 7° некоторой точки многообразия Vn дифференциальную систему, называемую системой Пфаффа, образованную из &(<я) линейных дифференциальных форм п (2.1) о>*=2 аЦх1 xn)dxh = 0 (a=l k), которые мы всегда можем предполагать линейно независимыми, допуская, например, что определитель |а*| (Л=1 k) отличен от нуля в окрестности 7°. Говорят, что г-мерное многообразие (2.2) **> = /* (У уг) будет интегральным многообразием, или интегралом системы (2.1), если после замены хп и dxh их выражениями в виде функций от у1 и dylt получаемых из (2.2), все формы со* относительно dyl обратятся тождественно в нули (а = 1, ..., k). Из этого определения следует, что всякое подмногообразие, содержащееся в интегральном многообразии, само будет интегральным. *) Пусть, например (в классическом случае и в классических обозначениях), <» = Pdx + Qdy + Rdz, где Р, Q, R— функции от х, у, z\ тогда rfco = dP Л dx + dQ Л dy + dR Л dz = -(£-£h^+(#-£b*"+(£-§)*-<* и формула Стокса запишется в виде ( Pdx+Qdy + Rdz= С f dP Adx + dQ Ady + dR /\dz. С s Здесь С — замкнутая кривая с выбранным направлением обхода, S—двусторонняя поверхность, на которой соответствующим образом выбрана одна сторона (по правилу, изложенному в любом курсе анализа).
92 ВВЕДЕНИЕ Не может существовать интегральное многообразие более чем п — к измерений, так как в точке такого многообразия дифференциалы dxh не могли бы удовлетворять к линейно независимым соотношениям. Нас будут интересовать исключительно интегральные многообразия размерности п — k, и мы будем говорить, что система (2.1) вполне интегрируема, если через каждую точку окрестности У* проходит единственное (п — k)-мерное интегральное многообразие. Так как для всякого интегрального многообразия системы (2.1) формы о)а тождественно равны нулю, то внешние дифференциалы этих форм тоже равны нулю. Это сводится к тому, что всякое решение системы линейных уравнений (2.1) относительно дифференциалов dxh будет также решением системы d(ma = 0, так как, поскольку система (2.1) вполне интегрируема в окрестности 7*, такое решение эффективно представляет вектор линейного многообразия, касательного в точке хп и интегральному многообразию, проходящему через эту точку. Присоединив теперь к совокупности (2.1) формы, которые мы- будем обозначать тоже через o)e (a = fc+1, ..., я), такие, что п форм (оа будут линейно независимыми в окрестности 7°, и выразив линейно дифференциалы dxh через оа, мы можем написать du>* = 2 сРт<ор Л <*>т (с^ + с^ = 0). Но формы rfa)a должны обращаться в нуль вместе с формами со" (а=1, ..., k)\ следовательно, коэффициенты с^ равны нулю для Р = £-|-1 п; поэтому мы можем сказать1): Чтобы система (2.1) била вполне интегрируема, необходимо существование линейных форм 6* таких, что к (2.3) Ао«=2юРЛ0р («=1. •••• *)• P-i Эти условия также и достаточны (теорема Фробениуса); прежде чем приступить к доказательству этой теоремы, сделаем несколько замечаний. 1° Всякая замена переменных сохраняет соотношения (2.3). 2° Если придать переменным х1, ..., xV постоянные значения jc1 хР и положить dxx= ... = ^л;2:=0, то система (2.1), !) См. также выше (гл. II, упражнение 5). Условие (2.3) может быть записано в форме <^ Л ... Л <«>* Л d<*>« = 0 (a = .l к). Можно выразить, вообще говоря, условия интегрируемости, записав, что эти формы тождественно равны нулю.
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 93 удовлетворяющая условиям (2.3), перейдет в систему, удовлетворяющую аналогичным условиям, которые получаются заменой в (2.3) переменных х1 хр выбранными значениями, а дифференциалов этих переменных—нулями. 3° Всякая система, алгебраически эквивалентная системе (2.1), удовлетворяет соотношениям вида (2.3), если им удовлетворяет система (2.1). Действительно, такая система имеет вид _ к <2.4) ш»-=2^(*1 • *п)»р *(<1ефр|^0 в Г); . и в силу (1.5) "••;..... dZ* = 2 bldit? — 2 ^ A db\ = 2 b\tf A 9? — S ®* A db* = = 2»7л№—л;Ь получив теперь из (2.4) о>а = 2'£ра)Р» будем иметь р(йй* = 2 «>* л bj [*gtf—л:] = 2 ^5 Л й. м»« - Переходим теперь к доказательству сформулированного выше результата. Мы видим прежде всего, что система (2.1) вполне интегрируема при 6 = л— 1 (п — k= 1), так как, поскольку система (2.1) разрешима относительно п—1 переменных dxht она эквивалентна системе dxh (h t . ''# ~~~ Х*{х\ ..., хп) — ''' W—i /г), т. е. системе обыкновенных дифференциальных уравнений; допуская, как обычно, что параметры а удовлетворяют надлежащим условиям (например, что они имеют непрерывные частные производные), мы получим, что через всякую точку окрестности 7° проходит один, и только один, интеграл системы (2.1), определяемый первыми интегралами yh(x1 хп) = с* (ch — произвольные постоянные; h=\ п—1). Применяя индукцию, предположим, что результат уже доказан для пар п и k, таких, что п — k=p—1 (р>1). Рассмотрим систему (2.1), удовлетворяющую уравнениям (2.3) и такую, что л — k=p; положим в ней хп = х%9 dxn = 0 (x% обозначает константу, такую, что в 7° существуют точки с хп = х%); система (2.1)
94 ВВЕДЕНИЕ становится тогда вполне интегрируемой системой с п — 1 переменными (х1 хп-х), которая допускает ft различных первых интегралов, скажем у* (х1, ..., xn~l) = const (а = 1 ft). Предполагая теперь (этого всегда можно добиться), что det ду« дх* ФО в Т (а, р=1 ft), можно в системе (2.1) заменить переменные ха, выразив их через у* (а=1 ft) и оставив все остальные переменные хк+1, ..., хп без изменения; система (2.1) будет тогда эквивалентна системе dya = 0 при хп = х%, dxn = 0, а это означает, если снова ввести; переменные хп и dxn, что система (2.1) эквивалентна системе (2.10 <De=dy« — z*dxn=0 (а=1, ..., ft), где все z*— функции от (у1, ..., ук, хк+1 хп). Но система (2.1') удовлетворяет условиям (2.3); это дает, если обозначить через тй линейные дифференциальные формы, dua = — dz* Л dxn = =-twdy^dxn-%^dxlAdxn= p=i i=k+i к п к Р=1 1=к+1 р=1 Последнее равенство возможно только при dz« dxi = 0 (а=1, ..., ft; / = ft+l. .... п— 1); следовательно, 2а будут функциями только от уа и л;п; система (2, Г) будет поэтому системой обыкновенных дифференциальных уравнений относительно переменных у* и хп. После интегрирования мы получим, следовательно, что система (2.1) эквивалентна системе вида dua—0 (a=l, . .., ft), что и доказывает теорему. В качестве примера рассмотрим условие, при котором линейная дифференциальная форма о будет полным дифференциалом; для
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 95 этого необходимо, чтобы уравнение dy — о) = 0 было вполне интегрируемо; необходимое условие do) = 0 будет, в силу теоремы Фробениуса, также и достаточным. 3. Группы Ли. Инфинитезимальные преобразования. Относительные и абсолютные компоненты. Рассмотрим г-параметри- ческую группу Ли (г > I)1), действующую в окрестности 7° точки многообразия Vn (или пространства Rn)\ в обозначениях (1,16) эта группа будет определяться уравнениями 3.1) x'h=yb(x1 xtl\a1 ar) (h=l п) с законом композиции (3.2) с* =9* (а1 аГ\Ь1 br) (А=1 г), что мы будем также писать короче: х' = Та(х); ТьТа=Тс. Мы будем изучать группу в окрестности одного из ее преобразований и начнем с окрестности тождественного преобразования, которое, как мы предположим, получается при ах= ... =аг = 0. При преобразовании, близком к тождественному со значениями: параметров dah, точка хп преобразуется в точку г h (3.3) x* + ixh = xh + ^?l-<*Wlda* (A=l п). Эти равенства определяют геометрическое соответствие между векторами аффинного пространства, касательного к многообразию' параметров группы в точке а1= ... =ar = 0t и векторами аффинного пространства, касательного к многообразию Vй в точке xh. Если обозначить через Tda это соответствие, то формулы (3.3) дают правило композиции этих преобразований, называемых бесконечно малыми, или инфинитезимальными, преобразованиями группы; это правило пишется в виде TdbTda=Tda.hdbt так что преобразованием, обратным к преобразованию Т^, будет T_da. *) Мы будем предполагать, что эти г параметров существенны, т. е. что- у группы не меньше г параметров. Случай, когда г = 1, не представляет трудностей; он будет рассмотрен, в упражнении 4.
96 ВВЕДЕНИЕ Можно иначе объяснить формулы преобразований (3.3), вводя скалярное поле /(л:1 хп) и рассматривая инвариант п г (3.30 8/= S^T^= ^Xk(f)idaK где положено (5.4) ^w-id3¥ да а^г-J- Форма (3.3') получается, как мы видим, заменой в функции / переменных xh через x'h [формула (3.1)], нахождением дифференциала этой функции, причем xh предполагаются фиксированными, а в окончательном результате параметры а1 аг полагаются равными нулю; эта формула показывает, что при заданных xh величины Xk(f) будут компонентами ковариантного вектора в пространстве, касательном к многообразию параметров в точке а>= ... =а' = 0. Вообще, инфаяатезимальным преобразованием называется всякий оператор над функциями /(х1 хп), имеющими непрерывные первые частные производные, вида п Х(/) = %ФНх1 *»)^-; это, следовательно, линейный однородный оператор; всякая линейная комбинация инфинитезимальных преобразований будет инфини- тезимальным преобразованием. Формулы (3.4) дают г инфинитезимальных преобразований, линейно независимых (мы в этом убедились), присоединенных к группе (3.1); еще недавно рассмотрение этих преобразований было первой необходимостью в теории групп; но в этой книге мы будем употреблять их не очень часто. Пусть теперь cR — репер, §la = TaSl — подвижный репер группы. Преобразованием, переводящим репер cRa в репер e&a+da* будет Ta+daTai; если его отнести к реперу eRa, то оно будет иметь вид TZ1{Ta+daTaV)Ta = Ta1Ta+da. Это преобразование близко к единичному; обозначим его через Т{й(а\аау где &(a\da) — вектор в линейном пространстве, касательном к многообразию параметров в точке а (а1 аг)\ этому преобразованию соответствует в силу (3.3) бесконечно малое преобразование вида (3.5) bf=^^(a\da)Xk(f)t
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 97 где все (uk(a\da) будут линейными дифференциальными формами (относительно дифференциалов dak), которые называются относительными компонентами репера cRa. Формы (о* линейно независимы в каждой точке многообразия параметров, ибо если записать для данного а что сводится к равенству *a+da== 'a*db> то задание дифференциалов dbk позволяет вычислить дифференциалы dak, поскольку дело касается группы; величины dbk можно, следовательно, выбрать произвольно, что и доказывает наше утверждение. Отсюда следует также, что инфинитезимальные преобразования Xk(f) линейно независимы в том смысле, что никакая их линейная комбинация с постоянными коэффициентами не может быть равна нулю, если не все коэффициенты равны нулю. Действительно, если S^*(/)=o вдоль кривых, таких, что iuk(a\da) = \kdt, где dt означает дифференциал новой переменной, то Та остается фиксированным и группа будет зависеть менее чем от г параметров. Вернемся теперь к преобразованиям Ta+daTa =^(aicia)' п03в°- ляющим перейти от репера cRa к реперу Sla+da, но отнесенными к реперу gR0; мы будем записывать bf в виде и будем называть формы о)л абсолютными компонентами репера группы; доказывается, как выше, что они линейно независимы. Мы сейчас увидим, как можно вычислить абсолютные компоненты репера Sla, исходя из относительных компонент. Полагая Та1 = Т~, имеем (поскольку здесь идет речь о бесконечно малых величинах, удерживаются лишь выражения, линейные относительно дифференциалов) 'a+da'a —' a+da1a * a+da1 a+da-da j a ' a-da*
98 ВВЕДЕНИЕ Это тождество позволяет написать о) (а | da) = — о (а \ da), или, поскольку а и а входят в это равенство симметрично, со (а | da) = — а) (а | da). Эти формулы позволяют переходить от относительных компонент к абсолютным, и наоборот (в дальнейшем мы будем использовать почти исключительно относительные компоненты). Вычисление относительных компонент подвижного репера производится следующим образом: «полагая Х + Ъх=Та1Та+*а(х), имеем Ta(x + lx) = Ta+da(x). Отправляясь от (3.1), можно записать это равенство в виде h=l ft-1 эту систему разрешают относительно дифференциалов bxh и вносят последние в выражение которое должно быть выражением типа (3.5); в частности, мы имеем г (3.7) &*ь = 2(Л^(л;Ь). fc-i Абсолютные компоненты вычисляются аналогично, если ввести координаты точки Т^х(х). Заметим, наконец, что если рассматривать неподвижную точку х^ то ее относительные координаты хп в репере §1а удовлетворяют равенствам x* = vh(x\a)t откуда Л=1 Л=1
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 99 Сравнивая это равенство с соотношениями (3.6) и (3.7), получаем- г (3 8) dxh + 2 <ЛХ* (*h) = 0; v ' fc-i это дифференциальная система, которой удовлетворяют относительные координаты неподвижной точки многообразия Vn. 4. Первая теорема Ли. Существование относительных (или абсолютных) компонент для инфинитезимальных преобразований подвижного репера группы означает, что функции срл удовлетворяют некоторым уравнениям в частных производных (которые нет надобности выписывать); обратно, можно себя спросить, будет ли существование относительных (или абсолютных) компонент для инфинитезимального преобразования Та Ta+da (или Ta+daTal) иметь следствием существование их и для множества преобразований, таких, как (3.1); но предварительно необходимо уточнить постановку проблемы. Мы будем рассматривать теперь в некоторой окрестности на многообразии Vn совокупность преобразований вида (3.1), где параметры ак (& = 1, ..., г) пробегают окрестность TV* точки пространства (а1, ..., аг), например начальной точки ак = 0; затем мы определим в этой точке инфинитезимальные преобразования Xk(f) посредством уравнений (3.3) и (3.3'); мы будем предполагать, что операторы Xk(f) линейно независимы (в смысле, указанном в § 3). Вычислим теперь значения Ъхп при помощи формул (3.6) и внесем их в дифференциал 8/ = 2j л~1Г ^xh* если ПРИ любом а £7^° можно написать V = 2V(*|A0**(/). fc-i где Xk(f) те же, что и выше, то мы скажем, что инфинитезимальные преобразования совокупности допускают относительные компоненты (аналогичные соображения можно высказать для абсолютных компонент). Чтобы увидеть, что вытекает из такой гипотезы, мы будем продвигаться по этапам. 1° Рассмотрим в многообразии Vn семейство реперов eRa, получаемых из репера cR^, присоединенного к преобразованию 70, которое соответствует началу пространства параметров ак, и обратим внимание на два семейства реперов §1и и §tv, содержащихся в семействе eRa (и и v — краткие записи для обозначения совокупности независимых переменных), и предположим, что существует взаимно однозначное соответствие между реперами §1и и §lv, определяемое преобразованием Т (принадлежащим или не принадлежащим семейству Та) таким
100 ВВЕДЕНИЕ образом, что cRM = TSlv или что эквивалентно, (4Л) TU = TTV. Мы имеем, следорательно, также ' u+du=1 * * v+dw откуда (4,2) / и Ти+аи = Тv Tr+(jV. Положим теперь о>* [а (и) | da (и)] = кк (и \ du)t mk [a (v) \ da (v)] = р* (v j dv)\ равенство (4.2) запишется тогда в виде (4f3) Tzk(u\du) = f{v\dv) (k=l, ..., г); это равенство показывает, что взаимно однозначное соответствие, рассматриваемое между и и v, устанавливает равенство относительных компонент реперов этих двух семейств. Обратно, равенства (4.3) влекут за собой равенство (4.2), которое можно записать также в виде *u+du*v+dv == *UTV I это соотношение показывает, что ТиТ„х есть фиксированное преобразование 7\ откуда и следует (4.1); мы получили, таким образом, следующую теорему, основную для дифференциальной геометрии, где изучение семейств реперов играет важную роль: Чтобы фиксированное преобразование Т позволяло перейти от репера одного семейства §1и к реперу другого семейства §lvt необходимо и достаточно, чтобы можно было найти взаимно однозначное соответствие меоюду параметрами и и v, приводящее к равенству относительных> компонент репера §1^ и репера eRv. 2° Если }fi — константы, то система (4.4) a>k(a\da) = \kdt позволяет вычислить dak/dt\ наложим еще на коэффициенты форм ю* условие, обеспечивающее существование и единственность решения системы (4,4), скажем, в окрестности точки ak = 0 (й = 1, ..., г) и £ = 0; для определенности предположим, что коэффициенты всех тк являются аналитическими функциями параметров ак. В силу известных результатов из, теории систем дифференциальных уравнений, в многообразии (я1 аг) существует тогда такая
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 101 окрестность начала ЖхаЖ, что для всякой точки а^Ж1 и для всякой системы параметров \к, нормированных посредством неравенства вида (4.5) 2(^)2<^2. где т — достаточно малое число, система (4.4) допускает одну, и только одну, интегральную кривую, содержащуюся в окрестности 75^°, выходящую из точки а (а1, ..., аг) и определенную Для значений параметра t в сегменте 0<^/<;i; эти кривые образуют окрестность Ж°аЖ начала; мы потребуем, кроме того, чтобы те кривые, которые выходят из начала и образуют, следовательно, окрестность этой точки, покрывали окрестность Ж1. 3° Пусть теперь а (а1 аг) и b{bl br) — две точки окрестности Ж1; существуют две системы констант \к и |Afc, удовлетворяющие неравенству (4.5) и такие, что соответствующие интегралы системы (4.4) ak(t) и bk(t)t определенные в интервале 0<;/<;1> удовлетворяют условиям а*(0) = 0, ак(\) = ак, £*(0) = 0, bk(\) = bk. Если исходить из точки а, то система (4.4), где \к заменены на \ьк, будет допускать решение ск (t) (0 ^ t *С 1) с ск (0) = ак; положим ск(\) = ск\ точка ск принадлежит окрестности Ж0. Возвращаясь к преобразованиям Та и реперам cRa, мы поставим в соответствие реперу §lb(t) репер gRC(# [b(f) и c(t) означают соответственно точки bk(t) и ck(t)]\ относительные компоненты реперов этих двух семейств равны; следовательно, в силу 1°, можно перейти от репера §lb (<) к реперу 31с (<) посредством преобразования, не зависящего от t и совпадающего с тем, которое позволяет перейти от репера gR0 к cRa; пусть, например, Sa = TaTo1\ мы имеем cRa = Sa3l0, Полагая t = 1, мы получим далее cRe = SacR& = SaSb&l0 = 5ccn0 \SC = TCT0 ), что дает {TaTo1) (ТьТо1) = TcTol (a, Ь£Ж\ с£ Ж% Таким образом, произведение двух преобразований Sa и Sb, где а и b принадлежат окрестности Ж1, есть преобразование Sc, где с принадлежит окрестности Ж0. 4° Отправляясь теперь от окрестности Ж1, можно установить таким же образом существование окрестности начала TJ^2, такой
102 ВВЕДЕНИЕ что произведение двух преобразований Sa и Sb, где а и Ъ принадлежат окрестности Ж2, будет преобразованием Sc, где с принадлежит окрестности Ж1, отсюда следует, что произведение из /?(^4) преобразований Sa, где все а принадлежат окрестности Ж2, есть преобразование Sc, где с принадлежит окрестности Ж0. Можно повторять это рассуждение и определить окрестность Ж*1 начала, такую, что произведение из p(^.2q) преобразований Sa, где все а принадлежат окрестности ТУ*1, будет преобразованием Sc, где с принадлежит окрестности Ж0. Такая совокупность преобразований образует ядро группы. Таким образом, совокупность преобразований Та вообще не образует ядра группы, но если Т0 означает какое-нибудь преобразование совокупности, то ToTq1 образуют его; в частности, если совокупность Та содержит тождественное преобразование, то это — ядро группы. Можно, наконец, сформулировать первую основную теорему теории групп, принадлежащую Софусу Ли, в форме, которую ей придал Э. Картан: Теорема. Чтобы непрерывное семейство преобразований, зависящих от конечного числа параметров, обладающее обратными, содержащее тождественное преобразование, было ядром группы, необходимо и достаточно, чтобы инфинитезималъное преобразование его подвижного репера обладало относительными компонентами. Замечания. 1° Мы оперируем в окрестности одного преобразования Т0 совокупности Та и пользуемся только локальными результатами теории дифференциальных уравнений; вот почему в окончательной фоРмУлиРОвке мы говорим только о ядре группы, а не о всей группе. Чтобы можно было говорить о группе, следовало бы обеспечить возможность продолжения положений репера cRa, а также преобразований Та: здесь вступают в силу вопросы глобальной теории, которые мы оставляем в стороне. Заметим, однако, что пространство группы Ли есть многообразие и что всякое преобразование группы получается перемножением конечного числа преобразований, принадлежащих некоторой окрестности тождественного преобразования. 2° Мы исходили из существования относительных компонент для смещений репера cita; тот факт, что преобразования Sa образуют ядро группы, показывает, что бесконечно малое смещение репера cRa обладает также абсолютными компонентами. Мы видим, следовательно, что существование относительных компонент влечет существование абсолютных компонент; обратная теорема тоже верна; следовательно,
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ЮЗ в предыдущей теореме можно заменить относительные компоненты абсолютными. 3° Пусть дано г инфинитезимальных преобразований ^(/) (& = 1 г), относительно которых мы знаем, что они являются инфинитезимальными преобразованиями группы; можно, следовательно, поставить задачу образования ядра группы. Рассмотрим для этого дифференциальную систему где Vе обозначают произвольные константы; рассмотрим окрестность точки Xfc = 0, где эта система допускает единственный интеграл xh = xh (t), определенный в интервале 0 < t ^ 1 и принимающий при t = 0 значения хп = хь (0), содержащиеся в окрестности 7° многообразия V™. Точке xh(0) сопоставим точку xh{\)\ мы имеем, таким образом, совокупность преобразований, зависящую от г параметров и принадлежащую группе; они образуют, следовательно, ядро этой группы, так как содержат тождественное преобразование, получающееся при Х* = 0. б. Группа параметров. Рассмотрим группу параметров (просто транзитивную), присоединенную к группе преобразований (3.1) и изоморфную ей, определяемую уравнениями (3.2), которые мы коротко запишем в виде (5.1) с = Ра(Ь). Если сохранять а фиксированным, то это соотношение показывает, что между b и с существует взаимно однозначное соответствие, переводящее репер cRft в репер gRc; мы имеем вследствие (4.3) (5.2) ^(b\db) = ^(c\dc) (£ = 1 г). Но если b и с заданы, то существует преобразование Ра, для которого имеет место соотношение (5.1), так как группа параметров транзитивна; уравнения (5.2) выражают, следовательно, предложение; Линейные дифференциальные формы u*(a\da) (k = l г) инвариантны относительно преобразований группы параметров. Поскольку эти формы независимы, всякая дифференциальная форма, линейная относительно da1, может быть записана в виде г а) (а | da) = 2 ел (я) <»к (а I da)> к=1
104 ВВЕДЕНИЕ где все бл(а) являются функциями от а1; для того чтобы такая форма была инвариантна относительно группы, необходимо, чтобы для любых а и Ъ имело место г г 2в*(л)ю*(а|йа) = 2вй(*)ю*(*|й*), или, в силу (5.2), г 2[9*(я) — еЛ(*)]ю*(а|А0 = 0, что дает, поскольку формы оЛ линейно независимы, Qjt(a) = dk(b), т. е. что функции вк (а) должны быть постоянными. Таким образом: Всякая дифференциальная форма, инвариантная относительно преобразований группы параметров, является линейной комбинацией с постоянными коэффициентами форм wk(a\da). Отсюда следует, что если рассматривать две группы преобразований, имеющих одну и ту же группу параметров, то относительные компоненты реперов второй группы будут линейными комбинациями с постоянными коэффициентами относительных компонент первой. Выясним, наконец, каковы будут преобразования пространства параметров, которые оставляют г форм а)Л инвариантными. Рассмотрим для этого систему Пфаффа из г уравнений относительно 2г переменных (s>b(b\db) — «>b(c\dc) = 0 (А> = 1 г). Через точку (Ь0, с0) проходит интегральное многообразие Ра(Ь) = с размерности г(=2г — г), где а определяется посредством соотношения Ра(Ь0) = с0. Эта система, следовательно, вполне интегрируема, и мы видим, что в этом случае (§ 3) через точку (Ь0, с0) проходит одно, и только одно, интегральное многообразие г измерений; при этом уравнение Ра(р0) = с0 определяет только одну точку а, так как группа просто транзитивна; следовательно: Всякое преобразование пространства параметров, оставляю- щее инвариантными формы о>Л, есть преобразование группы параметров. Замечание. Если обозначить буквой J преобразование пространства параметров, которое переводит точку а в точку а (Г-=Т~ и, следовательно, У=У-1), то совокупность преобразований Qa = JPaJ образует вторую группу параметров; мы имеем аналогичные результаты, но уже с абсолютными компонентами вместо относительных.
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 105 6. Уравнения структуры Эли Картана. Если линейные дифференциальные формы (Qk(a\da) с г переменными а1 линейно независимы, то все dak могут быть линейно выражены через о)л; отсюда следует, что внешние дифференциалы dmfi могут быть линейно выражены через внешние произведения о)*Да)*, и мы будем писать г dts>k(a\da)=--~ J] tfm(a)rf(P\da)A<*m(a\da)9 где (6Л> tL-HL = 0 (в частности, Тк = 0)- С другой стороны, если группа параметров оставляет инвариантными формы о)л, то она оставляет инвариантными и их внешние дифференциалы (§ 1); мы имеем, следовательно, 2 [т?«(*)—TL(*)]a)'(alrfa)A^w(«l^) = o, lf m что дает tL(«)=tL(*). т. е. все rfm будут постоянными, которые называются постоянными структуры группы1), и мы напишем, наконец, г (6.2) d<o* = l ^ ТЙУЛ»-. эти уравнения называются уравнениями структуры Картана2). Мы имеем, таким образом, условия, необходимые для того, чтобы г линейных форм были относительными компонентами репера группы. Эти условия также локально достаточны; действительно, мы покажем, что если г линейно независимых дифференциальных форм с- г переменными удовлетворяют системе вида (6.2) с постоянными коэффициентами rfm, то преобразования, которые оставляют их инвариантными, образуют в окрестности тождественного преобразования ядро группы. 1) Принимая во внимание (6.1), мы видим, что число постоянных структуры равно г* (г —1)/2. _ 2) Оперируя с абсолютными компонентами ш&, найдем также уравнения структуры:
106 ВВЕДЕНИЕ Действительно, рассмотрим систему Пфаффа (6.3) ic* = »*(ft|d&) — a>k(c\dc) = 0 (fc=l г) с 2г переменными Ь1 и с*; эта система вполне интегрируема, так как из уравнений (6.2) легко получить d*k = i I] Т*« 1^Л«>т(Ь | rfft) — тг^Л<*>'(с | Л)]; таким образом, условие (2.3) удовлетворено. Следовательно, существует интегральное многообразие г измерений, проходящее через произвольно заданную точку некоторой окрестности точки пространства (Ь, с) размерности 2г, где условия регулярности для коэффициентов форм соЛ обеспечивают существование и единственность такого интеграла. Форма уравнений (6.3) показывает, впрочем, что можно взять в качестве этой окрестности произведение окрестности У(Ь0) в пространстве Ъ на такую же окрестность 7°(с0) в пространстве с, если принять Ь0 = с0. Общая интегральная поверхность определяет тогда преобразование вида (5.1), зависящее от г параметров ак (& = 1 г), которое оставляет инвариантными формы о)Л; эта совокупность преобразований содержит тождественное преобразование, определяемое точкой Ь0 = с0. Эта совокупность образует, следовательно, ядро группы; полученный результат составляет вторую теорему Ли, в той форме, которую придал ей Картан: Теорема. Чтобы преобразования, оставляющие инвариант- ными г линейно независимых дифференциальных форм аак с г переменными (а1 аг), образовывали ядро группы, необходимо и достаточно, чтобы эти формы удовлетворяли уравнениям структуры вида (6.2). Рассмотрим, наконец, г линейных дифференциальных форм w* (u\du) с переменными (и1 us) (s*Cr) и предположим, что, подобно формам (ak(a\da), они удовлетворяют уравнениям структуры (6.2); система Пфаффа с г -\-s переменными (о* (a\da) — со* (и \ du) = 0 вполне интегрируема, в чем можно убедиться, как выше; следовательно, по крайней мере в некоторой окрестности пространства переменных айв некоторой окрестности пространства переменных и можно провести через каждую точку (а, и) интегральное многообразие 5 измерений. Это значит, что можно найти такие функции ак{и) (&=1 г), что ак(и0) = ак, где точки а0(=ак) и переменные и выбираются произвольно. Рассмотрим теперь формы &k(a\da) как относительные компоненты инфинитезимальных перемещений репера ядра группы преобразо-
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Ю7 ваний; тогда этот результат будет означать, что существуют семейства реперов с s параметрами, инфинитезималъные перемещения которых имеют компонентами формы a>k(u\du). Эти семейства зависят от координат а0, т. е. могут получаться одно из другого посредством преобразования группы (этот последний результат был уже получен в § 4). Замечание. Кроме соотношений (6.1), постоянные структуры удовлетворяют другим соотношениям, которые можно получить, записывая d(dwk) = 0; это дает 1,т 1,т = 2 T*m d(flZ Л со"» = j 2 Т&Лг*'»1' Л »m/ Л <»w = = ж 2 Г2 №&..+TzVtL-™+тйЛо! шГ л 0,,п' л **• ш, Г, w' L I J поскольку формы о)Л линейно независимы, отсюда следует в силу (6.1), что (6.4) g(TS.7,,v+^TS..,.+ T^7,«,0e=O <*• ''• m> ж'=1 г>' Можно доказать (третья теорема Ли), что соотношения (6.2) и (6.4) необходимы и достаточны для того, чтобы постоянные f*m были постоянными структуры группы. 7. Уравнения структуры классических групп. 1° Проективная группа. Установим несколько элементарных понятий; л-f-l геометрических точек пространства Рл, скажем тг, с координатами х\ (k, 1 = 1 ft-f-1) называются линейно независимыми, если (7.1) det \х* | = [тг тп+1] Ф 0; это означает, что эти точки не принадлежат линейному многообразию размерности п—1. Детерминант (7.1) определен с точностью до множителя (=£0), когда заданы эти п-\-\ геометрических точек, так как их координаты задаются с точностью до множителя. Репер §10 в пространстве Рп образован п-\-\ линейно независимыми точками и еще одной точкой, относительные координаты которых заданы (всегда с точностью до множителя). Таким образом, если рассматривать точки тг с координатами 8*, то эти точки сами по себе не образуют репера; надо еще задать, например, точку
108 ВВЕДЕНИЕ тп+2 с координатами (1 1), которая не принадлежит никакому линейному многообразию размерности п—1, определяемому п точками из тг. Совокупность реперов, имеющих базой точки щ (/=1 п-\-1), зависит от п параметров; можно представить их в виде где можно принять, например, tv t2 ... tn+l — l, что означает отождествление реперов [Щ гпп+1] и [tmv . .., tmn+1l Рассмотрим теперь преобразования п+1 (7.2) х'п = 2 <£**. Д = det | а\ | Ф 0; нас интересует здесь не совокупность этих аналитических преобразований, а совокупность геометрических преобразований, которые им соответствуют; два аналитических преобразования с геометрической точки зрения тождественны, если геометрической точке хп они ставят в соответствие одну и ту же геометрическую точку хгП. Мы видим, что условие, необходимое и достаточное* для того, чтобы это было так, состоит в том, чтобы коэффициенты этих преобразований были пропорциональны: af^ = ta^t откуда Д' = tn+1 Д. Мы получаем, следовательно, связную компоненту единицы в группе геометрических проективных преобразований, полагая х) (7.3) A = det|a*| = l, причем остаются произвольными п(п-\-2) параметров. Отправляясь теперь от фиксированного репера cR0, мы можем задать переменный репер eRa координатами п-\-\ точек, которые его определяют (а не п + 2, как было раньше); репер 31а+аа будет определяться относительными координатами точек, которые его определяют и которые записываются в виде ">*(* 1*0 + 8*. (/*, ft = l д + 1), где о)£—линейные дифференциальные формы. Эти (я+1)2 форм с /г (я+ 2) переменными связаны между собой посредством соот- !) Мы получаем все преобразования проективной группы для п четного (пространство Рп неориентируемо). Для п нечетного (пространство Рп ориентируемо), группа несвязна; кроме связной компоненты тождественного преобразования (Д = 1), существует другая компонента, которую можно нормировать, полагая А =* —1.
ГЛ. Ш. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Ю9 ношения, выражающего, что А=1, а именно П+1 det {o)ft (a|da)+ ^} = 1+2 a>2 +члены 2"го порядка, 1 что дает п+1 (7.4) 2^ = 0. Точка тк имеет дифференциалом х) п+1 записывая, что d(dmk) = 0, находим п+1 п+1 п+1 / п+1 \ коэффициент при ть следовательно, равен нулю; откуда, меняя обозначения, имеем Л+1 (7.5) <Ч = 2ЧЛ< Вместе с соотношением (7.4) эти уравнения образуют уравнения структуры проективной группы. 2° Аффинная группа. В пространстве Ап% структура которого задается посредством уравнений (I, 20.1) отправляясь от репера cit0, определенного началом (хъ = 0) и осями координат Охь, переменный репер можно образовать заданием начальной точки m и п линейно независимых векторов eft (k=l п), и, как выше, можно записать (7.6) П dm = 2 ю*еЛ, п dek = ^^eh, Л-1 *) Эту краткую запись мы будем постоянно употреблять вместо П+1 dxk = H<4A e=i n+i). 1
по ВВЕДЕНИЕ где о)л и о)|—линейные дифференциальные формы от п (п -j- 1) переменных а% и bh. Условия интегрируемости немедленно дают уравнения структуры [ Л (7.7) ft=i ■ Уравнения структуры пространства Сп получаются, если точку m зафиксировать в начале координат (о)Л = 0); это будут уравнения второй системы (7.7). Для унимодулярной группы, det | а% | = 1, необходимо прибавить к (7.7) соотношение (7.8) 2Х = 0. 3° Группа движений. Эта группа является подгруппой аффинной группы; к уравнениям (7.7) надо присоединить те, которые получаются, если принять во внимание соотношения е*-&Л*-( i (Д = Л)> или что дает (7.9) (0* + ц)£ = 0; таблица форм о)£ кососимметрична [в частности, а)£ = 0, откуда следует (7.8)]. 8. Элементы касания, погруженные в многообразие. Продолжение группы преобразований. Рассмотрим многообразие v измерений V\ погруженное в многообразие Vй (у < п), определяемое, например, уравнениями (8.1) *л = фЛ(я1 «г) (А=1, ..., /г); мы будем предполагать, что функции фЛ имеют непрерывные частные производные до порядка N «Соо) и что матрица £|| <*=! * a=l,...,v) имеет ранг v в некоторой окрестности пространства Rm точек {и1 и*); обобщая то, что мы сказали в (I, 22), будем называть элементом касания размерности n и порядка р «! N) для многообразия V\ по-
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Щ груженного в многообразие Vя, в точке и (и1 и*) совокупность хь% dxh, d2xh dPxh (h=\ n)\ она может быть задана посредством частных производных dqxh ди*1, ...tduq я Выполним над переменными (иа)-замену переменных группы 3 : «•=с(в1 *о [-щ5у=*0]; из равенств dxh J m V4 dxh ^=££>-=£^ a-1 o=l следует, что (8-2) wr_^-sr^' и эти формулы определяют центро-аффинное пространство, касательное к многообразию Vv в точке хп как подпространство центро- аффинного пространства Сп, касательного к Vй. Для производных высшего порядка закон преобразования более сложен; например, для вторых производных имеем 8 3. д V* _ у d2xh да?* ди& . у дхп аУ Pi» Pi P Мы будем называть элементом касания порядка р и размерности vr погруженным в Vn, совокупность чисел вида [ [h = 1 /г; av 0^ ap = 1 v), где матрица ||l£|| имеет ранг v и числа ?£ a (q^Cp) не зависят от порядка индексов (at ap) (иначе говоря, величины Sajt(4f...,a обладают теми же свойствами симметрии, что и частные производные порядка q функции от v переменных). В силу элементарных свойств функций от v переменных, тогда существуют многообразия V\ погруженные в Vm, т. е. функции фл, такие, что при значениях и\ и^ переменных имеем
112 ВВЕДЕНИЕ Рассмотрим теперь другой элемент касания того же порядка и той же размерности: (8.5) (н;) т\ <,..., < ^ Мы будем говорить, что он равен элементу (Sj,) (Sp = Hj,), если существуют такие постоянные 4 <„ < ,р с det|a£|^0 (P. at ap=l v), где а? имеют те же свойства симметрии по отношению к ин- дексам ах ад, что и частные производные порядка q функции v переменных, и такие, что ч* = 2 &Р,«+2^ (8.6) •ajOj, a,^, Это определение, означает, что после замены параметров, принадлежащей к группе 3jn, на многообразии V*, допускающем элемент касания, определяемый числами системы SJ, этот последний будет определяться числами системы By, из этого замечания следует (но это также легко доказать непосредственно), что отношение равенства, которое мы только что определили, есть отношение эквивалентности. Допустим теперь, что многообразие Vn может быть снабжено структурой группы О, определяемой уравнениями (3.1) и (3.2), и присоединим к многообразию Vn эту структуру. Два многообразия Vv и V*, погруженные в многообразие Vя, будут называться равными, если можно перейти от одного к другому преобразованием группы О; основная задача дифференциальной геометрии в многообразии Vn, снабженном такой структурой, состоит в том, чтобы характеризовать классы ийтранзитивности в совокупности многообразий V\ которые допускают в каждой точке элемент касания . достаточно высокого порядка1) — порядка, для которого легко указать верхнюю границу в каждом частном случае (при заданных Vn и G). Доминирующая идея решения этой задачи состоит в присоединении реперов к элементам касания многообразия VH 1) Мы не ставим здесь задачей отыскание наивысшего порядка элементов касания, для которых многообразие Vй является носителем в заданной точке. См. по этому поводу следующую главу (I. I).
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ИЗ в каждой из его точек и продолжении группы точечных преобразований (3.1) в преобразования, оперирующие также а над элементами касания по формулам (8.7) п k,l Иначе говоря, элементу касания (8.4) посредством рассматриваемого преобразования ставится в соответствие элемент касания EpV = Ep(a), определяемый числами системы (8.8) V.~~ Zj djcft, djc*t ' "■ ~*~ ^ ~~dxk ?ot» "■' С законом композиции (3.2) преобразования (8.8) образуют, очевидно, группу, оперирующую над заданными элементами касания размерности v и порядка р. (Можно, впрочем, полагать р = оо.) Важно отметить, что двум равным элементам касания Ер и Нр преобразование (8.8) ставит в соответствие равные элементы касания Ер и Нр; это легко обнаружить простым подсчетом (упражнение 8). Мы приходим к новому понятию: два элемента касания Щ, и Ер будут называться равными в многообразии Vnt снабженном структурой группы G (или просто равными), если существует преобразование группы О, переводящее Щ> в элемент касания, равный элементу Ер в предыдущем смысле (когда многообразие Vn не имеет никакой иной структуры, кроме топологической); это новое понятие также будет эквивалентностью. Снабжение элемента касания репером будет производиться по изложенным ранее принципам (I, 17), которые мы сохраним в силу причин, важных для дальнейшего. Допустим для определенности, что группа О действует транзи- тивно над точками многообразия Vn; мы будем называть репером нулевого порядка элемента касания Ер совокупность реперов, присоединенных к точке lh (если cit0—основной репер, присоединенный к точке х%, то совокупностью реперов нулевого порядка будет 7gR0, где Т означает преобразование группы О, переводяще.е
114 ВВЕДЕНИЕ точку х% в точку $л). Эти реперы преобразуются один в другой посредством преобразований подгруппы G0czG (изоморфной подгруппе, сохраняющей точку х^\\ если подгруппа О0 не связна, то мы начнем с ориентации точек многообразия Vn, чтобы оставить из подгруппы О0 только ее связную часть, содержащую тождественное преобразование. Подгруппа О0 определяется приравниванием нулю /*о = л (^г) линейных однородных комбинаций из форм о)Л; она зависит от г — г0 параметров. Мы ее продолжаем в группу (линейную), действующую над элементами $« по формулам (8.8); если эта группа не действует транзитивно над этими величинами, мы ее разобьем на классы, которые реперируем с помощью инвариантов (порядка 1). Затем будем рассматривать подгруппу Ог подгруппы О0, сохраняющую заданный элемент $*, причем оставим только связную компоненту тождественного преобразования, ориентируя, если это необходимо, элемент касания первого порядка. Подгруппа Ох определяется приравниванием нулю гх — г0 линейных однородных комбинаций форм о)Л, отличных от г0 предыдущих; таким образом, подгруппа Ох будет зависеть от г — гх параметров. Реперы первого порядка получатся, если мы будем действовать на выбранный репер среди реперов нулевого порядка преобразованиями группы Gv Теперь этот метод ясен: мы будем продолжать реперирование элементов касания второго порядка таким же образом и так далее. Мы остановимся на порядке р или на порядке w «^p), таком, что группа Qw сведется к одному только тождественному преобразованию (rw = r) и компоненты порядка выше w будут инвариантами. Существует только один репер порядка w. Важно отметить, что порядок w, вообще говоря, ограничен. Поскольку матрица тгН имеет Ранг v» B Действительности можно взять в качестве переменных, которые будут представлять многообразие V4 в окрестности 7°, v переменных xhf например v первых переменных; тогда будем иметь £« = &£ (а, (5=1 v). Записывая, что заданный соотношениями (8.8) элемент SJ равен элементу Е^, имеем [0] E* = <p*(5|a), Р=1 к = 1 Г21 V Ё?в а$Ф-4- V EW — V *тМ61*) .кф у 0^(6|а)£* Р..Р. р klfk9 к
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 115 Из строчки [0] мы возьмем г0 = п соотношений между величинами а, определяющими группу G0. Из строки [1] мы получим, полагая h = 1 v, „Р — д^ л- V д^ Рк' а*~~дх^^~ 2и дхк' Ка ' откуда следуют условия <м> Е^й+Е^*)- Между тем, поскольку величины Ер имеют произвольные значения, эти условия не будут тождественно удовлетворены в силу уравнений строки [0], ибо это означало бы, как легко видеть, что дсрЛ/дл:Л == 0, что невозможно, так как det | д<ръ1дхк | =£ 0. В совокупности соотношений (8.9) существует, следовательно, по крайней мере одно новое соотношение между величинами а. Из соотношений строки [2] мы получим затем величины а\^ и, как выше, придем к заключению, что вообще между величинами а существует по крайней мере еще одно соотношение сверх тех, которые уже получены. Следовательно, вообще снабжение элементов касания реперами будет закончено раньше, чем мы достигнем порядка г. Обозначим через г±— г0 наибольшее число независимых соотношений между величинами а, заданными посредством уравнений (8.9) и независимых от г0 соотношений, данных уравнениями строки [0J; элемент касания, для которого этот максимум достигается, называется обыкновенным элементом (размерности v) первого порядка. Точно так же, если г2 — гх — наибольшее число новых соотношений, получаемых из соотношений строки [2J, то элементы касания, для которых этот максимум достигается, называются обыкновенными элементами второго порядка; и так далее, вплоть до порядка w «; г), при котором подгруппа Gw сводится к тождеству. Обыкновенный элемент касания размерности n и порядка w называется обыкновенным элементом размерности v. Чтобы число различных соотношений между величинами а, которые можно получить из равенств строчек [1J, [2] не достигало максимумов гг— г0, г2 — гх необходимо, чтобы координаты соответствующих элементов касания удовлетворяли известным соотношениям; такие элементы касания будут называться особыми.
116 ВВЕДЕНИЕ Они могут быть разных типов; тип элемента касания характеризуется последовательностью (sv s2, ...) чисел независимых соотношений между величинами а, получаемых последовательно из строк [1], [2], ...; эти числа, начиная с некоторого ранга, будут все равняться нулю; обозначив этот ранг через w' +1» будем иметь если имеет место равенство, то элемент касания — конечного типа; если имеет место неравенство, то он бесконечного типа; в этом случае группы Qw будут все одни и те же, начиная с некоторого ранга, и не приведутся к тождественному преобразованию. Наконец, необходима еще последняя операция. В совокупности обыкновенных элементов касания размерности v продолженная группа вообще не действует транзитивно, в силу существования инвариантов; отождествим среди них элементы одного и того же класса транзитивности; тогда {и в этом цель рассуждения настоящего параграфа) продолженная группа вплоть до порядка w будет просто транзитивна во множестве обыкновенных элементов ка- сания размерности v. Рассмотрим теперь фиксированный обыкновенный элемент касания \o&w) о£ » o^«i» • • • и присоединим к нему фиксированный репер gR0; пусть Т — преобразование, переводящее (0Е^) в элемент мы присоединим к элементу (Е^,) репер 7gR0 и будем называть его репером Френе1). Для особых элементов конечного типа имеют место аналогичные соображения; для особых элементов бесконечного типа можно надеяться только отождествить элементы касания, у которых группы Ow одни и те же. 9. Общая теория погруженных многообразий. Рассмотрим многообразие Vv (8.1), погруженное в многообразие Vw, имеющее в некоторой точке обыкновенный элемент касания; в окрестности 7° этой точки элементы касания будут также обыкновенными, ибо, как мы видели, чтобы элемент касания был особым, необходимо, чтобы его координаты удовлетворяли некоторым равенствам; к каждой точке окрестности 7° мы присоединим репер Френе со- *) Здесь #0 означает произвольно выбранный репер. Практически #0 выбирается из соображений удобства, соображений, субъективных^ при которых нет места никаким соображениям точной теории.
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Ц7 ответствующего элемента касания, или, что то же, соответствующее преобразование Т группы О. Относительные компоненты о)л (а \ da) инфинитезимального перемещения репера совокупности TeR0 будут дифференциальными формами с v переменными (и1, ..., и*), и, чтобы не усложнять обозначений, мы будем писать шл (а | da) = о)л (и | du). Поскольку формы Mk(a\da) инвариантны относительно преобразований группы О, формы u>k(u\du) будут одними и теми же для двух равных многообразий; верно и обратное, в силу первой теоремы § 4. Таким образом, мы имеем первую теорему равенства: чтобы два многообразия V*(u) и Vl(uJ, допускающие только обыкновенные элементы касания, были равными, необходимо и достаточно, чтобы существовало взаимно однозначное соответствие между (и) и (uj, при котором o)fe = a)^ (&=1 г). Поэтому формы а)л называются инвариантными линейными дифференциальными формами многообразия V\ Среди них v линейно независимых; действительно, их не может быть ни меньше чем v, поскольку и4 являются независимыми переменными, ни больше чем v, поскольку они содержат только v дифференциалов: du1 duv. Допустим для определенности, что w1 wv линейно независимы, а остальные г — v форм являются линейными комбинациями предыдущих, коэффициенты в которых будут или постоянными (не зависящими от многообразий), или инвариантами многообразия. В силу предыдущего результата эти инварианты образуют полную систему инвариантов, достаточных, чтобы характеризовать многообразие, если известны формы о1 о>\ Всякая инвариантная линейная дифференциальная форма на многообразии Vv будет линейной комбинацией форм w1 wv с коэффициентами из инвариантов» Если на многообразии V* задано скалярное поле k(ul ttv), то можно написать, поскольку формы о1 о* независимы, dk = kt id)1 -|- k, 2<°2 + ... + ft, Ж; здесь функции ft, i ft, v называются инвариантными частными производными функции ft; поскольку ft является инвариантом, они тоже будут инвариантами. Так как точки многообразия Vv зависят от v параметров, то существует не более v независимых инвариантов; мы сейчас увидим» как можно определить число независимых инвариантов. Рассмотрим сначала соотношения v (9.1) шь= 2/*(«)«* (k = t-\-l г);
118 ВВЕДЕНИЕ ч:реди инвариантов ft(и) будет некоторое число независимых; если их будет v, то незачем идти дальше. В противоположном случае инвариантные частные производные тех инвариантов, которые были независимыми, могут нам дать новые инварианты и эту операцию надо продолжать до тех пор, пока мы либо получим v независимых инвариантов, либо же обнаружим, что инвариантные частные производные уже полученных независимых инвариантов будут функциями от этих последних. Конечным числом операций мы придем, таким образом, к [х (0^[х^%) независимым инвариантам, которые получаются из координат элементов касания порядка ^Q. Допустим сначала, что [x = v; многообразие Vv может быть параметризовано посредством v независимых инвариантов, и мы предположим, что речь идет в точности о параметрах (и1 ин). Формы (du1 dW) будут инвариантными, и мы будем иметь тогда соотношения вида (9.2) rf«« = 2rt(a)a>* (а=1 [*), (3=1 Р где gl{u) — известные функции: инвариантные частные производные от иа; они вводят инварианты порядка Q+1. Система (9.2) относительно форм о>Р (Р=1 v) допускает одно, и только одно, решение, так как формы' о)Р независимы; знание величин gl позволяет, следовательно, вычислить эти формы; соотношения (9.1) дают затем другие формы оЛ Таким образом: Многообразие V* с v независимыми инвариантами определяется заданием соотношений, которые существуют меэюду инвариантами до порядка Q+1, где Q означает наибольший порядок независимых инвариантов. Число Q допускает минимум, который в общем случае достигается; соответствующие многообразия называются тогда обыкновенными. Чтобы число tQ превосходило этот минимум, должны удовлетворяться некоторые условия в виде равенств между этими инвариантами; многообразия, для которых это имеет место, называются полусингулярными. Перейдем теперь к случаю, когда [а<Ч; мы будем обозначать jx независимых инвариантов через (и1 и*), а через (vl9 .... v*-v) — остальные переменные реперирования многообразия V\ причем если нужно будет подчеркнуть различные роли, которые играют эти переменные, то мы будем писать &k(u, v\du, dv). Формы со* удовлетворяют соотношениям вида (9.1) и (9.2); единственная разница состоит в том, что функции /* и g% зависят
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Ц9 только от (и1 и*) и в соотношениях (9.2) индекс а меняется от нуля до [х < v. Формы со* удовлетворяют уравнению структуры (6.2) группы О; принимая во внимание соотношения (9.1), можно привести эти уравнения к виду (9.3) drf = {S <&.(«)»VW (&' + Ux = 0). Х,Х' = 1 где коэффициенты с£х, являются функциями от а. Если сделать замену форм 2Р== 2а5(й)ю«. где detlftSI^O. <х=1 то непосредственно видно, что формы 2Р удовлетворяют системе того же вида: (9.4) <^=т2 Clv{u)&/\QV. X, Х'-1 В силу (9.2) мы можем, например, положить (9.5) Qa = du« (а=1 ji); Q* = J (Р = Ц+1 *). Рассмотрим теперь второе многообразие V* с |х независимыми инвариантами (и* и^; пусть другими переменными координатами на нем будут (yl fj^)» и пусть на VI, как на многообразии V\ p-i p-i (функции /* и £" те же самые, что и на многообразии Vv). Положим теперь иа = и% и рассмотрим систему Пфаффа (9.6) Q?(a, v\du, dv) — Ql(ut vjdu, dvj = 0 ф = {х + 1 v), где формы Or определяются равенствами (9.5). Из равенств (9.4) получаем d (&-($ = 2 <&<о)А*Л(Ох'-*.') + X<pt<Xf р.<Х<Х'
120 ВВЕДЕНИЕ Система (9.6), следовательно, вполне интегрируема, и ее общий интеграл можно записать в сжатой форме: (9.7) ^ = ср(«, v\ax fl^.v), где параметры ах a^_v являются произвольными постоянными. Но система (9.6) эквивалентна системе о)Р(и, v\du, ck>) —о)^(и, vj\du, dvj = 0 ф = 1 ^)> ua = ul (a=l [x); из уравнений (9.1) следует теперь, что между точками многообразий Vv и V\ существует взаимно однозначное соответствие, приводящее к равенству их инвариантных форм; в силу условия (9.7) это соответствие зависит от p = v— [х параметров. Беря, в частности, многообразие V* тождественным многообразию V*, получаем отсюда, что многообразие V4 сохраняется подгруппой g? группы О с р параметрами. Эти многообразия называются особенными относительно группы g?\ в их совокупности можно еще отличить полусингулярные многообразия. Всякая подгруппа g9 (р < п), не действующая транзитивно на точках многообразия Vй, порождает особенные многообразия; геометрическое место образов точки при преобразованиях подгрупп gp образует многообразие р измерений, поэтому собрание таких многообразий, зависящее от ja параметров, образует многообразие размерности v = р—[-[*, особенное относительно группы g9. Заметим, наконец, что для v=l уравнения структуры (9.3) исчезают. Особые многоооразия дают место аналогичным соображениям. Мы сформулируем полученные выше основные результаты в виде теоремы: Теорема равенства. Для того чтобы в многообразии Vn, снабженном структурой данной группы О, два многообразия v измерений V и V\t параметризованные посредством (и) и (ujt были равными, необходимо и достаточно, чтобы существовало взаимно однозначное соответствие между параметрами (и) и (uj, такое, что: 1° или их инвариантные дифференциальные формы будут равны: а>* (и | du) = w* (и, | duj (k=l г), 2° или их инварианты до порядка, на единицу большего того, при котором появляется наибольшее число независимых инвариантов, будут связаны одной и той же системой соотношений.
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 121 Мы ограничимся случаем неособенных многообразий и перейдем к теоремам существования. Обратимся сначала к условиям существования неособенного многообразия V\ допускающего в качестве инвариантных форм г заданных форм (uk(u\du) с v переменными (и1 ttv). Прежде всего необходимо, чтобы они удовлетворяли уравнениям (6.2); тогда в силу результата, полученного в § 6 (перед замечанием), существует семейство реперов, зависящее от v параметров, относительными компонентами инфинитезимального перемещения которых будут wfc (и | du)\ эти семейства получаются одно из другого преобразованием группы. Указанный результат еще не обеспечивает того, чтобы формы со* были относительными компонентами инфинитезимальных перемещений репера Френе некоторого многообразия Vv; чтобы выразить это требЬ- вание, допустим, как выше, что формы о)1 o)v независимы, и напишем соотношения (9.1); вводя их в уравнения (6.2), мы заметим, что эти последние должны приводиться к системе (9.3), что даст нам первую систему соотношений между функциями /£(#); другая система соотношений получается внешним дифференцированием уравнений (9.3) и пишется в виде1) )=о. Если формы (о* удовлетворяют всем этим условиям, то, рассматривая репер cR0» присоединенный к неподвижной точке х%, и семейство реперов §1и = Ти310, компонентами инфинитезимальных перемещений которых будут о)л, мы найдем, что геометрическое место точек Т(х^\ будет многообразием V , семейство реперов cRtt которого будет семейством реперов Френе; таким образом, справедлива следующая теорема: Теорема существования I. Предположим заданными v линейно независимых дифференциальных форм оа от v переменных иа (а= 1, ..., v) и v(r — v) функций /£(и); рассмотрим г — v форм o)fc, заданных равенствами (9.1), и допустим, что две системы условий интегрируемости, написанные выше, будут удовлетворены. Тогда все формы а)а и wfc будут относительными компонентами инфинитезимальных перемещений репера Френе многообразия V\ определяемого с точностью до преобразований группы О2). 1) Эти две системы можно рассматривать как обобщение классических уравнений Гаусса—Кодацции в эвклидовой теории поверхностей. *) В случае v = 1 нет условий интегрируемости.
122 ВВЕДЕНИЕ Вернемся теперь к инвариантам (и1 tfv) и соотношениям (9.2); они напишутся, если ввести инвариантные производные, в виде (9.9) ti^ = g-(a). Мы видели, что они позволяют вычислить формы o)fc; имеем поэтому следующий результат: Теорема существования II. Чтобы существовало неособенное многообразие Vs', определенное с точностью до преобразований группы О, допускающее переменные иа в качестве независимых инвариантов, инвариантные производные которых по отношению к инвариантным формам со* (а=1 v) даются уравнениями (9.9), необходимо и достаточно, чтобы формы со* и формы (оЛ, которые получаются посредством (9.1), удовлетворяли условиям интегрируемости из теоремы I. Замечания. 1° Полученные результаты — локальные; их вывод предполагает существование и непрерывность частных производных до достаточно высокого порядка, чтобы обеспечить не только смысл проведенных рассуждений, но и возможность применения теоремы Фробениуса. Мы отказываемся решать проблему равенства для многообразий Vv, которые не допускают таких представлений. 2° На заданном многообразии Vv могут существовать точки, образующие подмногообразия меньшей размерности, элементы касания которых сингулярны. Наши результаты не приложимы в окрестности таких точек, и возможность продолжения через эти подмногообразия следует внимательно рассматривать в каждом случае1). 3° Существование особенных многообразий Vv связано с существованием подгрупп g? группы О (р <; v); вполне возможен случай, когда они не будут существовать для р> 1. 4° Глава (I, II) посвящена изучению частных случаев проблемы касания, которые вытекают из соображений предыдущего параграфа и состоят в следующем. Пусть даны два многообразия V*(и) и Vl(uJ; допустим, что их точки и и и^ совпадают. В таком случае говорят, что два многообразия будут иметь в этой точке касание порядка q, если их элементы касания порядка q будут равны, тогда как их элементы касания порядка <7+1 не равны (или не существуют). !) В элементарных учебниках по этому поводу нередко формулируются некорректные результаты.
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 123 5° Мы встретимся также с проблемой наложимости1). Два многообразия Vv(tf) и V\{u^ называются наложимыми порядка р, если существуют: a) взаимно однозначное соответствие между параметрами и и и^\ b) преобразование Т (и), принадлежащее группе О и переводящее не только и в его образ и^ но также элемент касания порядка р многообразия Vv в такой же элемент многообразия V*, причем координаты хп (и) и xh (иф) соответствующих точек отличаются на бесконечно малые не ниже' (р-|-1)-го порядка по отношению к приращениям параметров и (для достаточно большого числа р проблема наложимости сводится к проблеме равенства). 10. Метод подвижного репера Эли Картана. Как мы увидим, основная проблема, которая ставится для погруженного многообразия, это проблема разыскания его инвариантных форм; соображения предыдущего параграфа позволяют нам указать общий метод, в общем случае длинный и тяжелый. Э. Картан наметил в одной из своих работ2) другой метод, который мы воспроизведем с упрощениями и изменениями, чтобы придать ему характер почти полной автоматичности. Реперы нулевого порядка, присоединенные к точке многообразия Vn, зависят от г — г0 параметров; г0 = я, если группа G тран- зитивна, что мы предположим, чтобы сделать более удобным начало нашего изложения (в противном случае имелись бы инварианты нулевого порядка и нужно было бы начинать с соображений, аналогичных тем, которые мы изложим для порядка 1). Если в группе О, после того как сделана замена параметров так, чтобы среди новых параметров было п переменных хп (например, xh = ar_h), мы получим относительные компоненты инфинитезималь- ных смещений репера нулевого порядка после замены dar_h нулями, то будут существовать п линейных комбинаций из форм о>л, содержащих только дифференциалы этих параметров, а именно г (юл) **=2^(а)«* (/==1 »)• таких, что инфинитезимальные перемещения репера нулевого порядка получаются наложением на компоненты a)fc условий вида тгг = 0. Впрочем, в произвольных параметрах это перемещение задается формами о)*, связанными системой соотношений вида тг* = 0. Заметим теперь, что система izl = 0 эквивалентна системе dxh = 0; следовательно, она будет вполне интегрируема, и мы имеем соотно- *) Это старое слово сегодня кажется плохо выбранным. 2) Cartan Е., La theorie des groupes finis et continus et la geometrie differentielle traitee par la methode du герёге mobile, Paris, Gauthier-Villars, 1937.
124 ВВЕДЕНИЕ шения вида (10.2) Жс» = 2 tL»*V\i*-|- 2 TLkW^A»*. X<ti<n ' X<n, fc>n если предположить, что, впрочем, является только вопросом обозначений, что все к1 и o)fe для & > п линейно независимы. Рассматривая теперь многообразие Vv и заменяя хп и dxn их выражениями в виде функций переменных (и1 av) реперлрования, которые мы будем называть главными параметрами, заметим, что к1 содержат только дифференциалы dua (a=l v), формы o)fc вообще зависят от г — п других параметров, называемых вторичными: определить репер Френе — значит освободиться от этих параметров методами, изложенными в предыдущем параграфе, если это возможно, или привести их к наименьшему числу. Мы будем называть главными компонентами нулевого порядка всякие линейные дифференциальные формы, не содержащие дифференциалов вторичных параметров; это, следовательно, будут линейные комбинации форм к1. Всякая форма о)Л разлагается в сумму формы, содержащей только дифференциалы главных ч параметров, и формы ек, содержащей только дифференциалы вторичных параметров; поскольку формы к1 не содержат таких дифференциалов, имеем г (10.3) 2&** = 0 (/=1 п)\ в силу сделанных предположений формы ек независимы для k > п. Мы будем обозначать через 8 часть дифференциалов функций, состоящую только из дифференциалов вторичных параметров. Среди форм ъ1 только v форм будут независимыми, например v первых, и мы имеем соотношения вида v (10.4) «»=2фс« (/ = v+l я); а=1 уравнение (10.2) принимает теперь вид (10.20 Жс*= 2 /L(a\c)^A^+ 2 /[к(а\с)^Л*к. X < У- < v X < v, ft > п где fl —полином второй степени относительно с™ и /*Л—полином первой степени. Внешнее дифференцирование уравнений (10.4) дает теперь 2 ду a^+IM^a»*= =- 2 *V\ dc\+2 4(2 П^л*» -h 2 /^хл «>*),
ГЛ. Ш. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 125 + 2„(/и-2«Л).*]=о. Так как формы т:х независимы, то в силу теоремы Картана (II, 9) квадратные скобки будут линейными комбинациями форм тгх с симметричной матрицей коэффициентов; следовательно, эти скобки не содержат дифференциалов вторичных параметров, и мы имеем (Ю.6) ц+ 2 (/L-2*i/IfeV*=o. Эти уравнения дают дифференциалы величин с\ при изменении вторичных параметров, т. е. они представляют инфинитезимальные преобразования группы О0, оперирующей над этими параметрами. Существует v(n— v) величин с[, их совокупность образует пространство #v(n~v), и в общем случае это пространство не при- надлежит к числу тех, над которыми группа О0 оперирует одинаково над всеми точками. Пусть т — максимум размерности многообразий, описываемых образами некоторой точки при преобразованиях группы О0; совокупность точек, которые описывают многообразие размерности т, вполне возможно, не заполняет пространство; это множество также может не быть связным. Тогда в пространстве существуют точки, которые описывают многообразия размерности меньше т\ в этом множестве можно выделить множество таких точек, преобразования которых группой О0 порождают многообразие наибольшей размерности (< т), разделить их на связные множества и т. д. *) Следуя этим указаниям, мы разобьем пространство #v(w~v) на связные множества, порождающие многообразия одной размерности; в силу результатов предыдущего параграфа число этих множеств конечно. Если группа О0 действует транзитивно на точках такого множества, мы выберем фиксированную точку как представляющую J) Вот два примера, когда эти особенности осуществляются: a) В эвклидовом пространстве (л:1, х*, л:3) рассмотрим группу винтовых движений вокруг оси Охв; все точки пространства будут описывать цилиндры вращения, кроме точек оси Oxs; всякая точка имеьт представителем ^^0, х* = 0, л:» = 0. b) Для группы подобий одного переменного (х' = kx) точки х > 0 и х < 0 порождают многообразия размерности 1; нельзя перейти от одного из этих множеств к другому, не переходя через точку О, которая остается фиксированной (порождает многообразие нулевой размерности); можно принять в качестве представителей классов точки х = 1 для х > 0, х = — 1 для х < 0 и х = 0. или (10.5)
126 ВВЕДЕНИЕ это множество. Если нет, то мы будем представлять каждый класс транзитивности посредством инвариантов: инвариантов порядка 1 этого многообразия. После того как коэффициенты с\ будут, таким образом, фиксированы (это будут константы или функции от инварианта первого порядка), мы должны будем положить в уравнениях (10.6) &с* = 0; они дадут тогда некоторое число независимых соотношений между формами ек, которые показывают, что формы, стоящие в квадратных скобках в уравнениях (10.5) не содержат более вторичных параметров, так что число их уменьшится после этих операций; это будут соотношения (ю.7) 2 (Л*-2<£Я*К=°- к>п\ а ) которые вместе с уравнениями (10.3) образуют гх независимых соотношений между ек. Тогда будет существовать гг— п независимых главных компонент первого порядка (не зависящих также и от компонент нулевого порядка); это будут линейные комбинации форм, стоящих в скобках в уравнениях (10.5): A=d&+ 2 (А*-Ъс\Я*У+ 2 (Л*-2*«Я*И> где нужно заменить дифференциалы dclx на v 24.*". вводя инвариантные производные от с* по отношению к формам те*. С другой стороны, в силу теоремы Картана имеем (ю.8) 4 = 24**' (4«=4х)- а=1 Группа Qx получается теперь приравниванием нулю, кроме форм (10.1), форм я*; эта система Пфаффа вполне интегрируема; мы имеем, следовательно, уравнения вида (10.2), но в функциях / будут встречаться также с\, с\ а, сгХа, и индексы k будут принимать только г — /*! значений (можно предположить теперь, что k > rt). Внешнее дифференцирование даст систему, аналогичную системе (10.5), затем систему, аналогичную системе (10.6), и далее мы будем поступать, как выше, определяя реперы второго порядка. Мы будем продолжать это построение до тех пор, пока или не останется
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 127 вторичных параметров, или же уравнения, аналогичные системе (10.7), станут тождествами. Если это имеет место для порядка р, то группа Ор+1 совпадает с группой 00; уравнения (10.8) дают просто инвариантные производные до порядка р по отношению к формам гса; приведение не может произойти, так как реперы порядка выше р совпадают с реперами порядка р. Если нет более вторичных параметров (Ор = Gw сводится к тождественному преобразованию), то внешнее дифференцирование уравнений (10.8) дает условия интегрируемости; если остаются вторичные параметры, то это показывает, что в каждой точке многообразия Vv элемент касания будет сингулярным бесконечного типа, многообразие будет особым. Замечания. 1° Каждому из множеств особенных точек в f^^n~^ и каждому из множеств точек, которые, возможно, придется выделять в эвклидовых пространствах, вводимых на каждой стадии приведения, соответствуют в принципе категория многообразий V\ отличная от других; однако может случиться, что число этих категорий можно уменьшить соображениями ориентации. 2° На стадии р определение группы Ор часто не бывает необходимым; если рассмотреть уравнения вида (10.6) и положить где Ек — подходящим образом выбранные константы, то возможно отсюда получить указания, позволяющие выбрать некоторые константы е\ или выделить некоторые инварианты. Если это так, то число уравнений вида (10.6) сократится, так же как число независимых форм ек\ так можно действовать шаг за шагом. 3° Метод, который мы изложили, дает соотношения между формами сол и инвариантами общего многообразия этой категории; для многообразия заданной параметризации разыскание инвариантных форм сводится всегда к процедуре, описанной в начале этого изложения: введению переменных xh как параметров в уравнения группы (или некоторых из них, если группа не транзитивна). Можно употреблять с этой целью различные способы; наиболее обычный состоит в вычислении некоторых алгебраических форм от дифференциалов (обычно квадратичных или кубичных), которые образуют, исходя из инвариантных линейных форм. Примеры таких процедур можно найти во второй части этой книги, которая, по сути, не что иное, как ряд приложений этих теорий к частным случаям.
128 ВВЕДЕНИЕ Упражнения 1. Всякая дифференциальная форма со, такая что dco = 0, является внешним дифференциалом некоторой формы 0. Решение. Пусть р — степень формы со, л — число ее переменных; теорема верна для р — 1 (§ 2); положим со = dX1 Л °*Х 4~ ш2> где coj и со2 более не содержат dx1; тогда, в силу равенства dco = О, da2 = dx1 Л d^i- Рассматривая х1 как постоянную, получим dco2 = 0; если допустить, что теорема верна для форм с числом переменных менее п, то при х1 = const, т. е. dx1 = 0, имеем со2 = d%, а при dx1 Ф 0 можно написать со2 = d% + dx1 Л ^з» где 82 и со3 не содержат ^Л Тогда имеем со = d*i Л К + <*>з) + dK если предположить, что теорема верна для всех степеней </?, то coj -|- со3 = dbi + rfJfl Д со4 и, наконец, со = dxi Л <*91 + dh = ^ (-*1 <*0i + в*)- Остается доказать этот результат для формы со = a dx1 Л • • • Л <*■** (этот результат — локальный). 2. Написать относительные компоненты инфинитезимальных перемещений подвижного репера и затем соответствующие инфинитези. мальные преобразования для следующих групп. a) Группа линейных подстановок одного переменного: х' = ах + Ь. b) Группа проективных преобразований одной переменной: , ах + b . , , 1Ч х' = j1—г- (ad — bc=\). cx + d v ' с) Группа движений на плоскости: Хг = X COS a — у sin a + Ь, у' = х sin а -|- У COS a-\- с. Проверить подсчет, выписывая уравнения структуры, которые можно получить из результатов § 7. 3. В пространстве £" всякое инфинитезимальное преобразование является комбинацией преобразований хь=ш- х*ь=хПш-хкшн (Л'*=1 **<*)• 4. Определение групп. 1° Однопараметрические группы. Имеется только одна относительная компонента со; уравнением структуры
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 129 будет d& = 0. Полагая <*> = da, видим, что всякая группа с одним параметром будет локально изоморфна абелевой группе переносов: с = а + Ь. Всякая непрерывная группа, которая не будет глобально изоморфна этой группе, может получиться только отождествлением одного из предыдущих преобразований с тождественным преобразованием, например с = Ь0 + а. Тогда имеем компактную группу: она изоморфна группе вращений около точки на плоскости. 2° Двупараметрические группы. Имеются две относительных компоненты ©1 и со* и ^о)1 = ftw1 Л <«Л do>2 = Y2W1 Л ^2 (Yi> 7г — произвольные константы)* Если 7i = 72 = О» то группа локально изоморфна группе параллельных переносов: ^ С2 = #2 "Г *2' Если fi» 72 не равны нулю одновременно, то линейная подстановка с постоянными коэффициентами над формами col, со2 позволяет ограничиться рассмотрением случая: Yi = 0, 72 = — 1- Положим о>1 = dajau тогда можно показать, что форму <*>* можно привести к виду о a da1 Тогда группой параметров будет + *2 Эта группа локально изоморфна группе линейных подстановок одного переменного. 5. Об инфинитезимальных преобразованиях. 1° При заданных двух инфинитезимальных преобразованиях *(/)-2«»с*' **)&. у(л-2**й показать, что (X, Y) (/) = X (Y (f)) — Y (X (f)) будет также инфинитезималь- ным преобразованием (надо показать, что в этом выражении вторые производные от / исчезают). Показать, что при заданных трех инфинитезимальных преобразованиях имеет место тождество (Якоби) (X, (Y, Z)) + (Yt(Z, X)) + (Z,(X,Y)) = 0 (достаточно развернуть эти скобки). Можно заметить, что закон композиции инфинитезимальных преобразований порождает алгебру, которая не будет ассоциативной. 2° Система (3.8)f которой удовлетворяют относительные компоненты неподвижной точки пространства Vnt снабженного структурой группы G dx*+ 2 **Xk (*») = 0 откуда rf/= — 2 »*** (/) 1 *-i L ft-i J
130 ВВЕДЕНИЕ вполне интегрируема; с помощью уравнений (6.2) отсюда получается, что Km Ik J откуда, так как формы а^Д©*» линейно независимы, квадратные скобки обращаются в нуль; а поскольку xh являются независимыми переменными, то имеем тождества (Ли): к 6. Группы, оперирующие над одной переменной, Пусть ХьГ=Фк(х)^ (*-1 г) — независимые инфинитезимальные преобразования, определяющие группу действующую над х; получаем Используя замену переменных и линейные комбинации, можно предположить, что Ф1 = 1, Фк = хПк+ ..., так что Следовательно, число щ — 1 должно принадлежать к последовательности чисел щ, и этой последовательностью будет 0, 1, 2 г—1. Из равенства (Xr-bXr)f = (x*r-i+...)£1 получаем, что 2г — 4<г — 1, т. е. г<3. Для г = 1 имеем группу переносов. Для г = 2 находим посредством комбинаций, что можно принять и получаем группу линейных подстановок. Для г — 3 заключаем аналогично, что можно принять X9j-Xdx~> Хъ~х 57' и приходим к группе проективных преобразований (§ 7). 7. Пространство группы. Так называют топологическое пространство, гомеоморфное многообразию параметров группы Ли. Мы видели, например (упражнение 4, 1°), что существуют два групповых пространства одного измерения: пространство R1 и окружность РК
ГЛ. III. ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 131 1° Пространствами групп движений в £2 и Еъ (пространствами эвклидовых кинематических геометрий соответственно двух и трех измерений) будут r*xp\ ^хяхя1. Можно еще принять в качестве реализации первого пространства пространство Яъ(х\ Л х% отождествляя точки (х\ х\ л:3) и (х\ х*, лгз -f- 2^тс) (k — целое). 2° В пространстве £3 цилиндр и тор будут групповыми пространствами, сфера не будет таким пространством (последний результат доказывается из топологических соображений, которые выходят за пределы нашей темы) 8. Проверить, что преобразования (8.8) сохраняют равенство элементов касания (случай элементов касания второго порядка, затем общий случай). 9. Многообразие Vn снабжено структурой группы G— прямого произведения двух групп Gx и (72; предполагается, что G действует транзитивно на точках Vnt но что для G± это неверно. Действуем на заданную точку всеми преобразованиями группы G^ показать, что элементы касания, получаемого при этом многообразии, будут бесконечного типа. 10. Многообразие Vй снабжено структурой группы G, которая оперирует транзитивное ее действие продолэюается на многообразие уп ^ ур Путем сопоставления точке (х, у) (х £ Vй % у £ Vp) посредством преобразования T$G точки (Тх, у). Построить теорию многообразий Vv (v < п), погруженных в многообразие Vn X Vp> предполагая построенной теорию проектирования их в многообразие Vn. Пример. Теория пространственных кривых в пространстве R* (х1, х\ л:3), снабженном структурой группы плоских движений в (х\ л:2).
ПЕРВАЯ ЧАСТЬ ПРЯМАЯ ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Глава I ВЛОЖЕННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ 1. Проблема параметризации. Общие соображения. Чтобы использовать дифференциальное исчисление, мы ограничили множество канторовых многообразий многообразиями Vn, каждая точка которых п имеет окрестность, гомеоморфную шару 2 (*л)2 < 1 пространства Rn, 1 и которые являются дифференцируемыми до некоторого порядка т (О, I, 12), называемого классом многообразия (говорят: многообразие класса Ст). На таком многообразии возникает только одна задача параметризации— задача в целом: разыскание максимума числа т или определение, будет ли это многообразие аналитическим или нет. Эта проблема не решена. Предполагая заданным многообразие Vn класса Ст, не имеющее другой структуры, мы можем строить на нем только прямую дифференциальную геометрию, порождаемую локальной группой ®г« (О, I, 22), где q^m. Впрочем, поскольку мы будем заниматься только локальными задачами, мы можем выбрать т произвольно (даже взять группу t/l, так как шар п измерений является аналитическим множеством). Мы можем даже взять пространство Rn вместо Vn. Если многообразие Vn снабжено структурой группы Ли О, то никакой проблемы параметризации в общем случае не возникает. Показать это можно только с помощью допустимой (адекватной) системы координат. Но даже если система координат не является допустимой, то отыскание такой системы не представит серьезных трудностей х). Напротив, если присоединить к Vn структуру, определяемую одной или несколькими инвариантными дифференциальными формами (обыкновенными 2 или внешними), то возникает проблема локальной параметризации: найти систему локальных координат так, чтобы коэффициенты дифференциальных форм структуры имели возможно !) См. упражнение 1. ?) Обыкновенный дифференциал определяется в курсах анализа.
ГЛ. I. ВЛОЖЕННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ 133 более высокий порядок дифференцируемости [или стали аналитическими; мы вернемся позднее к вычислению этих локальных инвариантов (часть III)]. 2. Вложенные многообразия. Основной локальный инвариант. Обыкновенные точки. При изучении многообразий, погруженных в некоторое пространство, немедленно возникает задача параметризации: чтобы быть допустимым в дифференциальной геометрии, многообразие V\ погруженное в V", должно иметь, как мы видели (О, III, 9, примечание 1), элемент касания определенного порядка в каждой точке, кроме, быть может, некоторого множества точек, существование которых не мешает изучению всего многообразия, когда такое изучение предпринято; структура этого (исключительного) множества должна в каждом случае уточняться. Мы говорили, что многообразие Vv имеет в точке т0 с координатами х% элемент касания порядка р, если окрестность 7° (/я) точки т на многообразии l/v допускает параметрическое представление вида (2.1) х* = х*(а1 a") (h=l п), где точка т соответствует значениям (и* trf\ параметров, функции xh имеют непрерывные частные производные до порядка р во всякой окрестности точки и% в пространстве и* и, кроме того, матрица г) (2.2) |(2£) I (A=lf ..., л; а=1 v) II ч диг 'о || имеет ранг \. Точка т из Kv называется тогда обыкновенной порядка р (по крайней мере). Она будет в точности точкой порядка р, если она не будет обыкновенной точкой порядка ^-р+1. В прямой геометрии не может быть другого различия. Как мы уже видели (О, III, 8), это понятие инвариантно при преобразованиях группы др (2.3) J = iP(ui9 ..., a*) (p=l, .... v), 1) Последнее условие должно обеспечить существование линейного многообразия Cv, касающегося V в точке т, в линейном многообразии Сп, касающемся Vй в той же точке. Поскольку *"*-2 (£).*■ а и дифференциалы dua произвольны, эти соотношения определяют линейное многообразие v измерений в силу условия, наложенного на матрицу (2.2).
134 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ det =£0 (р = 1 v). где функции г>* имеют непрерывные частные производные до порядка р и (2.4) С^-1^0. Если точка т многообразия Vv задана, то задачей, которая здесь возникает, будет задача определения порядка тривиальности (гладкости) /?, это — основной локальный инвариант в дифференциальной геометрии. Так как матрица (2.2) имеет ранг \, то по крайней мере один определитель порядка v этой матрицы отличен от нуля, например \ди* Поскольку функции дх$/диа непрерывны, этот определитель будет отличен от нуля в целой окрестности точки (и*\. В силу одной из теорем теории неявных функций существует окрестность этой точки, где соответствие между х$ и иа эзаимно однозначно, и можно тогда выразить и* в виде функции от х$, причем эти функции будут иметь непрерывные частные производные до порядка р, если это имеет место для выражений х$ через и*. Многообразие будет тогда определено уравнениями вида xh = fn(x\ ..., **) (A = v+1 п), где функции fh будут иметь непрерывные частные, производные по крайней мере до порядка р включительно, и максимум этого порядка и будет порядком тривиальности точки. Итак: Порядок тривиальности некоторой точки многообразия V\ погруженного в V*\ может быть обнаружен, если взять за параметры в окрестности этой точки v подходящим образом выбранных координат (х1 jcv); параметризация будет тогда допустимой (адекватной)х) в некоторой окрестности этой точки. В частности, множество точек V\ порядок тривиальности которых ^р, открыто на \Л. Примеры. В плоскости /?2 (jc, у) на кривой х = и\ у = и3 все точки — обыкновенные бесконечного порядка, кроме начала координат. На прямой у = х, параметризованной уравнениями х — и\ у = и3, 1) При заданном свойстве Р Нередко приходится подбирать специальный вид параметризации, чтобы обнаружить это свойство. Такие параметризации будут называться адекватными свойству Р.
ГЛ. I. ВЛОЖЕННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ 135 все точки обыкновенные, хотя при данном представлении может казаться, что это не имеет места для начала координат. На кривой х = и3, у = и* все точки обыкновенные, порядка 1. 3. Контингенция. Паратингенция. Поскольку многообразие прежде всего есть точечное множество, мы должны попытаться дать характеристическое свойство, связанное с точкой т множества, позволяющее узнать, будет ли окрестность точки т в этом множестве гомеоморфной элементу многообразия V\ на котором т будет обыкновенной точкой (по крайней мере порядка 1). Чтобы ответить на этот вопрос, определим сначала, что называется контингенцией и паратингенцией бесконечного множества точек Е в одной из его предельных точек т. Пусть 7°(т)— окрестность этой точки в Rn (или в окрестности многообразия Vn, гомеоморфной шару). Рассмотрим множество направлений mm', получаемых соединением точки т с точками множества Е, содержащимися в У*(т)\ мы будем обозначать через С\Т{т)\ замыкание этого множества направлений, которое будет компактным множеством направлений. Ясно, что если 7°с:7°', то и замыкание С [Т (т)\<=.С [Т'(т)]. Множество общих элементов всех С\Т(т)\ составляет то, что называется контингенцией множества Е в точке т. Это множество непусто, так как, поскольку т есть предельная точка, оно содержит все направления, предельные к последовательности направлений (mmlt тт2, ...), где (mlt т2, ...) обозначает последовательность точек из Е, стремящихся к т. Рассмотрим теперь замыкание Р[Т{т)\ множества прямых, соединяющих попарно точки т' и т" из Е, принадлежащие Т(т). Мы имеем также Р[Т(т)]^Р[Т'(т)], когда УаТ', и Р[Т(т)\ компактно, если Т(т) ограничено. Общая часть всех Р[Т(т)] называется паратингенцией множества Е в точке т. Она состоит из прямых, проходящих через т, тогда как контингенция состоит из полупрямых, выходящих из т. Паратингенция содержит, очевидно, все прямые, являющиеся носителями полупрямых контингенции, но может быть и более обширной. Так, в случае плоской кривой, изображенной на рис. 11, контингенция состоит из двух направлений т£х и т\г, тогда как паратингенция содержит прямые, проходящие в углах \хт\ъ и Хгт\\. Понятие контингенции не играет важной роли в дифференциальной геометрии. Мы его изложили только для того, чтобы избежать смешения с понятием паратингенции. Оба эти понятия принадлежат Г. Булигану *). *) Bouligand G., Introduction a la Geometrie infinitesimale directe (Paris, Vuibert, 1932).
136 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ Вернемся к многообразию (2.1) и рассмотрим две точки т'(и'а) и т"(и"а), близкие к т. Применяя теорему о конечном приращении, мы видим, что прямая, их соединяющая, имеет уравнения r'h. с^-*?)=< 2 [(£),+<] («"*- «*>■ где t — переменное, a tj* стремятся к нулю вместе с 2ltt"a—и'а\. а Она заключена в линейном многообразии *-*-i Ш\+<] '•■ Устремляя т' и т" к т, мы получаем отсюда, что паратингенция содержится в многообразии о.!) *»-*»„= 2(£)/ <х-=1 Рис. 11. Обратно, все прямые многообразия (3.1), проходящие через т, принадлежат паратингенции. Действительно, такая прямая определяется, если положить ta = taa, где а* — заданные числа, не все равные нулю. Чтобы получить желаемый результат, достаточно взять т! и т!\ стремящиеся к т при равных отношениях ai а"1 Итак, в точке т паратингенция V* состоит из всех прямых, проходящих через т и содержащихся в многообразии (3.1). Предположение, сделанное относительно частных производных, показывает, кроме того, что эта паратингенция непрерывно изменяется в окрестности точки т. Обращение этих утверждений составляет локальную геометрическую характеристику многообразий, которые нас интересуют; точнее: Пусть V*—размерностно-однородный1) континуум размерности v. Если во всей окрестности точки т он допускает в каждой точке паратингенцию, представляющую собой линей- *) Доказательство в неявной форме предполагает, что Vv—локально- связный континуум. Именно автор допускает, что размерностно-одноролным континуумом размерности v является не Vv, а окрестность У (т) точки т. — Прим. перев.
ГЛ. I. ВЛОЖЕННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ 137 нов многообразие v измерений, то в этой окрестности существует точка mlt некоторая окрестность которой в V есть элемент многообразия v измерений, все точки которого обыкновенные, порядка >.1. Всегда можно допустить, что точка т совпадает с началом координат (л;о = 0) и что паратингенцией к V в этой точке является многообразие (3.2) х*+1 = ... =хп = Ъ. Далее, можно найти окрестность У*(т) точки т в Vv, такую, что всякое многообразие *• = &" (а=1 v) имеет самое большее одну общую точку с У(т) при условии, что £* достаточно малы по модулю, так как в противном случае паратинген- ция в т содержала бы прямую многообразия ха = 0, что противоречит допущению. У*(т) может тогда быть представлена-уравнениями вида (3.3) xh = fh(x\ .... х") (A = v+1 п\ где функция fh непрерывна на проекции W окрестности 7°</п) на многообразие (3.2), если эта окрестность достаточно мала, так как в противном случае существовали бы точки 7°(/я), в которых пара- тингенция содержала бы прямые многообразия ха = 0. Формулы (3.3) определяют, таким образом, взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие 7Р и 7°(m), т. е. гомеоморфизм. Так как У*(т) имеет размерность v, то же самое имеет место для гомеоморфной ей 7Р°. В силу одного из результатов теории размерности, так как многообразие (3.2) имеет размерность \, отсюда следует, что 7Р* имеет внутренние точки х). Заметим теперь вместе с Г. Булиганом, что паратингенция обладает полунепрерывностью сверху относительно включения, т. е. всякая прямая, предельная для прямых, принадлежащих паратингенции в точках последовательности {тк}> стремящихся к т, принадлежит к паратингенции в т. Предположение о том, что паратингенция в каждой точке некоторой окрестности точки т многообразия Vv представляет собой линейное многообразие v измерений, влечет непрерывность этого многообразия. Мы можем потребовать, чтобы окрестность У{т) была такова, что многообразие паратингенции в точке (xh) было бы вида (3.4) X*—** = 2/>*(*"—*") (A = v+1 л). *■) См., например, F a v а г d J., Espace et dimension, Albin Michel, Paris, 1951. (Или Урысон П. С, Труды по топологии, Гостехиздат, М., 1951, стр. 229. — Прим. перев.)
138 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ где X —текущие координаты на этом многообразии, ръ—непрерывные функции. Установив это, рассмотрим точку (х£\, лежащую внутри 75^. Пусть Ж* — окрестность этой точки в (3.2), являющаяся проекцией окрестности 7*(mJ точки т^ многообразия V*. Пусть (ха) — точка из 7fft^9 она является проекцией точки (xh) из 7°\ Далее, пусть (3.4) — многообразие паратингенции в этой точке. Соединим прямой точку (xh) с точкой (xh-\-kxh) из Т(т^, проекция которой (ха-\-кха) принадлежит 7^°#. Уравнениями этой прямой будут Ха — xa = tkx* (a=l, ..., v), Xh — xh = t[fh{xl + bxl л'+Дх*)—/*(*' *')] = = tbfh (A=n+1 n). Когда Дл:а стремится к нулю, эти прямые должны иметь предельные элементы в многообразии (3.4). Мы утверждаем, что для того, чтобы это имело место, необходимо и достаточно, чтобы V V (3.5) А/Л = 2 рп Ьхл -+-еЛ 2 | Ь*а |. а=1 " а«=1 где eh стремится к нулю вместе с 2 |Д*в|- а=1 Это условие, очевидно являющееся достаточным, так же и необходимо, так как если бы оно не было выполнено, можно было бы найти последовательность приращений {Д*М, таких, что I a I имеет предел, конечный или бесконечный, но положительный по крайней мере для одного значения h > %; отсюда мы немедленно заключили бы, что существует прямая, принадлежащая паратингенции, Xh—xh = tah (A = l я), для которой !—_^ !> о SKI а по крайней мере для одного значения h > v, что противоречит предположению.
ГЛ. I. ВЛОЖЕННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ- 139 Но (3.5) выражает просто, что функции fh дифференцируемы в точке ха и что дха Уа' Мы видели, что ръ являются, кроме того, непрерывными функциями. Целая окрестность точки тш состоит, таким образом, из обыкновенных точек порядка >Л. Более того, представление (3.3) допустимо для обыкновенных точек порядка > 1, поэтому изучение дифференциальных свойств функций fh позволит узнать порядок тривиальности точек в окрестности точки /тг#. Замечания и частные случаи. Г В пространстве R* (х, у, г) дана кривая *) !х = х (в), У = У (и). ( * = *(«), имеющая и обыкновенной точкой. Предположим параметризацию допустимой, что означает т' (и) ф О или | х' | + | у' | + | г' \ > 0; уравнения паратингенции (касательной), обозначив через X, Yt Z текущие координаты, можно записать в форме Х—х _ Y—y ^Z — z х' ~~ yr z' или, если р обозначает текущую точку2), в векторной форме трЛт'(и) = 0. Мы будем также рассматривать кривые, допускающие изолированные точки, не являющиеся обыкновенными порядка 1 (особые точки), причем мы ограничимся случаем, когда окрестность такой точки имеет представление вида m (и) = m (во) + (^~^o) (v + Т) (р — целое), ->- где т0 = т (в0) — особая точка, v — вектор, отличный от нуля, и е — вектор, стремящийся к нулю вместе с и—и0. Контингенция содержит направление вектора v и только его, если /? четно, так как (и — и0)р положительно и ш(«) — т(и0) в этом случае имеет направление V+ е- Точка т0 есть точка возврата на нашей кривой, она не может быть поэтому обыкновенной точкой (рис. 12). Говорят, что кривая имеет в щ полукасательную. *) m обозначает вектор От, где О — фиксированное, однако произвольное начало. 2) Векторные операции, внешнее произведение, смешанное произведение, точку р — все это нужно рассматривать в аффинном пространстве С3, касательном к^в точке т.
140 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ Если р нечетно, контингенция содержит направления v и —v. Можно сказать, что существует касательная в т0, если обобщить данное определение, но нельзя отсюда заключить, что т0 — обыкновенная точка, даже в том случае, когда все точки целой окрестности точки т0, отличные от т0, будут обыкновенными (упражнение 2). Можно легко написать уравнения касательной, или носителя полукасательной, когда m (и) имеет в окрестности точки и0, производные до Порядка/? включительно, не все равные нулю. 2° Рассмотрим поверхность {х = х(и, v), у =у(и, v), z = z(ut v)t имеющую в m (и, v) обыкновенную точку порядка ;> 1; тогда допустимость параметризации выражается в том, что векторы дт/ди и dm/dv не обращаются в нуль и не коллинеарны, что записывается в виде dm .dm или £>(у, z)\.\D(ztx) D(u, v)\'T\D(ut v) +| D(x, y) D(u, v) г уравнение X — х У—у Z — z dx dy dz du du du dx dy dz dv dv dv = 0, >o. или A dm A dm Л Г / dm dm \ 1 т»АжА1й = 0 Ги lmp' si9 ~dv-) = °y В частности, если поверхность представляется уравнением * = /(■*> У)» где / имеет непрерывные частные производные в точке (х, у), то уравнение касательной плоскости имеет вид Z-z = p(X-x) + q(Y-y) (, = */, ? = g). В случае, когда поверхность определена уравнением F(xt у, <г) = 0, точка (х% yf z) будет обыкновенной, если Fx, Fy и Fz непрерывны в окрестности этой точки и не равны нулю одновременно: grad/^0, или |^| + |^| + |^|>0. Дифференцируя уравнение F = 0, мы получаем уравнение касательной плоскости (X-x)F'a) + (Y-y)F'y + (Z-z)F'z = Ot или mp, grad F = 0.
ГЛ. I. ВЛОЖЕННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ 141 3° Пусть V^ — многообразие, погруженное в Vs (2.1), которое в свою очередь погружено в Vn (p. < v < /г), определенное уравнениями и« = и* (v1 vv-) (а = 1 v). Допустим, что точка (v1 v^) из V* является обыкновенной порядка S-P и что совпадающая с ней точка (и1 W*) из V* является обыкновенной по крайней мере до того же порядка, причем параметры допустимы. Тогда рассматриваемая точка на V\ погруженном в Vй, будет также обыкновенной порядка ;>/? и представление (2.1) Xh = xh[ul(v1 v*\ ...] C* = l,..., п) будет допустимым: это непосредственное следствие результатов, относящихся к замене переменных. В частности, паратингенция V^ содержится в паратингенции Vv. Паратингенция в обыкновенной точке многообразия V^, являющегося пересечением многообразий V\l и V^2, на которых эта точка также является обыкновенной, содержится в пересечении паратингенции VJ1 и VJ. Например, в силу теории неявных функций, два уравнения F(xt у, г) = 0, G(x, у, *) = 0 определяют в R* кривую, имеющую обыкновенную точку (х, у, z) (Z7 = О G = 0), если F и G обладают непрерывными первыми частными производными в окрестности этой точки и если, кроме того, grad FAgrad G Ф 0, или D (F, G) \ + \D(F, G) D(y, z)\^\ D(z, x) + |Д<*в>|>о. Тогда точка будет обыкновенной и на каждой из поверхностей F = 0 и G = 0. Касательная к этой кривой имеет уравнения (X—x)F'a + (y-y)F'y + (Z — z)F'z = b или mp.gradF = 0, (X— x)G'x + (Y— y)G'y + (Z — z)G'z = Q, или mp. gradG =0. 4. Аналитические многообразия. Регулярные точки. Пусть V* многообразие, погруженное в аналитическое многообразие Vn, наделенное локальной структурой группы Л аналитических преобразований. Многообразие Vv называется аналитическим в точке т, если окрестность этой точки допускает представление вида <4Л) xh = xh(u1 w) (& = 1 п), где функции хъ аналитичны в окрестности системы значений (ufyy соответствующих точке т. Если, кроме того, такое представление возможно с матрицей (дх*\ >ди° )о\\* id
142 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ имеющей ранг v, то такая обыкновенная точка порядка ^>1 На многообразии Vv называется регулярной. Точка, не являющаяся регулярной, называется особой. Рассматривая матрицу 11 — 11 II ди* II в окрестности точки (и^\ мы видим, что она не может иметь тождественно ранг меньше v, ибо, если бы это было так, мы могли бы выразить xh в виде аналитических функций от числа переменных, меньшего v, и VH не имело бы размерности %. Следовательно, в окрестности всякой аналитической точки т существуют регулярные точки /и#. Тогда в окрестности такой точки мы можем выразить п — v координат xh в виде аналитических функций от v остальных координат (скажем, от v первых) и полу* чить представление вида Xh = fh(x1 лгО (/* = v-}-l /г), где fh — аналитические функции аргументов х* — х%\ через х% обозначены v первых координат точки тт. Регулярность точки может быть обнаружена, если мы возьмем за параметры подходящую систему v координат; из предыдущего представления следует, что множество регулярных точек открыто. От локального понятия, которое мы дали, переходят к понятию аналитического многообразия в целом, начиная с элементов вида (4.1)» с помощью процесса, аналогичного процессу, применяемому для определения аналитической функции, начиная с ее элементов (аналитическое продолжение). Детали можно найти в курсах анализа. Заметим, однако, что в процессе продолжения в действительной области мы можем натолкнуться на аналитическую нерегулярную точку (или критическую алгебраическую точку) или на неаналитическую точку. Дальнейшее продолжение становится невозможным, если оставаться в действительной области, необходимо перейти в комплексную область. Значительно удобнее рассматривать аналитическое многообразие как множество всех его комплексных точек [объемлющее многообразие (пространство) Vй рассматривается как многообразие, имеющее п комплексных измерений или 2/г действительных измерений; многообразие Vv имеет v комплексных измерений, 2v действительных измерений]. Множество действительных точек такого многообразия может содержать более одной полости (ветви для случая кривых, v = 1), или многообразия размерности < v, или изолированные точки, которые только теория аналитического продолжения в комплексной области позволяет рассматривать как принадлежащие одному и тому же аналитическому многообразию.
ГЛ. I. ВЛОЖЕННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ 143 Легко доказать, что уравнения линейного многообразия, касательного к заданному многообразию в некоторой точке, задан 1ые в действительной области, сохраняют силу и для комплексной области. Примеры. Будем рассматривать кривые в комплексной проективной плоскости (х, у), для которых мы будем изучать действительные образы. 1° Прямая у = х, представленная параметрическими уравнениями х = и3, у = Ф, будет аналитической кривой, все точки которой регулярны, даже и начало, хотя этого и не видно из ее параметрического представления. Рис. 13. 2° Все точки аналитической кривой (рис. 13, I) х = Ф, у = и* являются аналитическими. Начало не является ни регулярной точкой, ни обыкновенной точкой. 3° Для аналитической кривой (рис. 13, II) х = и*, у = и\ начало не является регулярной точкой, но это обыкновенная точка порядка 1. 4° Начало — обыкновенная точка бесконечного порядка, но не аналитическая, на аналитической кривой (рис. 13, III) 5° Если 4/?з + 27^< 0, то аналитическая кривая (рис. 13, IV) y? = x*+px + q имеет две различные ветви. 5. Элементы касания в аффинном пространстве. Чтобы закончить эту главу, мы разовьем некоторые соображения, вытекающие не из прямой геометрии, а из проективной геометрии. Это делается с целью дать уже сейчас некоторые определения и результаты, которые перегрузили бы наше изложение, если бы их ввести позднее. В то же время мы получим здесь примеры элементов касания и многообразий, введенных в предыдущей, главе (О, III, 8 и 9).
144 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ Для простоты будем оперировать в аффинном пространстве Ап (**, ..., хч), снабженном * структурой подгруппы «0**; наши рассмотрения легко обобщаются на проективное пространство Рп. Элементы касания можно классифицировать, следуя правилам, которые хотя и менее полны, чем в общем случае, но зато более соответствуют интуиции. Рассмотрим в Ап многообразие Vv (5.1) m(tfi, Ф Ф)\ xh = xh(u\ и4*) (h=l п) и предположим, что все его точки обыкновенные бесконечного порядка (для определенности) и что его параметризация допустима. Мы видим, что для заданных (аА aq) величины £ = д1^. (Л = 1,...,л) q ди1...ди* являются координатами некоторого вектора. Если мы изменим параметризацию, то формулы (О, III, 8. 6) показывают, что эти векторы преобразуются в другие векторы, содержащиеся в линейном многообразии Lq, порожденном векторами £? « (р=1, ...,#), так как эти формулы линейны от- носительно £? й . Hl> •••» Vp Многообразие Lqt таким образом, инвариантно, оно не зависит от параметризации, зависит только от Vv и от точки т. Мы имеем, очевидно, Li a L2 с ... . Многообразие Lx имеет размерность vt = v, и если vg — размерность Lq, то ^<>2<;..., и это все, что можно сказать. В общем случае для многообразий Vv размерность v? многообразия Lq достигает значения л, когда q достаточно велико. Для совокупности многообразий размерности v, значения q, для которых это происходит, допускают минимум q0. Если мы имеем Lq = Ап для q = q0 в точке т многообразия Vv, то элемент касания называется обыкновенным размерности v. Если этого нет, то либо Lq = An для q = qi>qo (и Lq=fcAn для q = qo) — тогда элемент касания называется особым конечного типа, — либо Lq = As, каково бы ни было q^qi (причем v <; 5 < л), и тогда он называется особым бесконечного типа и порядка s1). Мы ставим задачу характеризовать многообразия, на которых все элементы касания особые, порядка не более s (причем для некоторых элементов порядок касания равен s). Такие многообразия будут называться особыми порядка s. а. Случай кривых (v = l). Пусть кривая V1 определена вектором jn (и). Образуем внешние произведения я?тЛЛпЛ...ЛЛп (/= 1, 2, ..., /г), и пусть dmAd2mA...Ads+1m = 0 — первое из этих произведений, тождественно равное нулю на V1. Пусть т — точка, для которой dmAd2mA... Adsm=£Q. i) Повторяем, что сюда входят не все особые элементы (элементы, или многообразия касания). Мы встретимся с другими такими элементами в Л3 и в Р3 (часть II). Некоторые элементы касания, которые здесь классифицируются как обыкновенные, могут не быть таковыми в классификации, данной в (О, III, 8 и 9).
ГЛ. I. ВЛОЖЕННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ 145 Это неравенство имеет место во всей окрестности /я, которую мы и будем рассматривать. В этой окрестности можно допустить, что (5.2) При этом имеем dx1 dsxl .. dxs .. dsxs . dxs dxs+* ds+1xx ...ds+1x8 ds+lxs+t Отсюда выводим равенства вида ФО. = 0 (s + t^n). (5.3) dkxs+t e 2 atdkxi {k=z\ S + X)t l=i где а]—функции от и. Дифференцируя эти равенства, мы получаем последовательно соотношения 8 2 А*! <****=* 0 (* = 1 s). l=i В силу (5.2) эта система не имеет другого решения, кроме da\ = 0. Величины а* являются, таким образом, постоянными, и интегрирование системы (5.3) для k = 1 дает rs+t _ 2Х*Ч*< (t= 1 /г — 5), l=i где bf — новая постоянная. Кривая расположена в линейном многообразии размерности s. Но очевидно, что всякая кривая, проведенная в линейном многообразии размерности 5, будет особой кривой порядка не выше s. Особые кривые порядка 5 — это те кривые, которые лежат в линейном многообразии размерности 5, но не лежат в линейном многообразии размерности 5 — 1. Ь. Общий случай. Заметим прежде всего, что многообразие V (у > 1), все кривые которого являются особыми порядка ^s (или расположены на линейных многообразиях размерности <; s)t само лежит на линейном многообразии размерности <; s. Действительно, если бы это было не так, мы могли бы найти на l/"s + 2 точки, которые не принадлежали бы одному линейному многообразию размерности s, и могли бы провести через них кривую, лежащую на многообразии так, что она не была бы особой порядка <5. Установив это, допустим, что Vv — особое многообразие порядка s. Все кривые, лежащие на нем, — особые, порядка <;$. Из того, что мы видели, следует, что Vv содержится в линейном многообразии размерности ^ s. Если бы оно содержалось в линейном многообразии размерности < s, то векторы £? „ лежали бы все в этом многообразии и Vv было бы особым *» ар порядка < s.
146 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ Мы получили следующую характеристику особых многообразий порядка s: это многообразия, которые могут быть погружены в линейное многообразие размерности s, но не могут быть погружены в линейное многообразие меньшей размерности^). Вернемся к особым элементам касания, определенным условием, что Lq не имеет на многообразии V4 той размерности, которую следовало бы ожидать в общем случае. Точка кривой, в которой мы имеем особый элемент касания для q = 2, называется точкой со стационарной касательной (точка перегиба для случая плоских кривых, п = 2). Она определяется равенствами и для п > 2 в общем случае таких точек нет. Кривая^ все точки которой имеют стационарную касательную, есть прямая. Точка, имеющая особый элемент касания для q = 3, называется точкой со стационарной соприкасающейся плоскостью) для п > 3 в общем случае таких точек нет. Кривая, все точки которой имеют стационарную соприкасающуюся плоскость, есть плоская кривая. Выясним, что собой представляет на поверхности ш (и, v) особая точка для q = 2. В общем случае пять первых и вторых производных векторов от вектора m (и, v) определяют многообразие L2 пяти измерений для п ;> 5 и п измерений для 3-<л<5, т. е. /г = 3 или 4. Особыми точками будут те точки, для которых размерность L2 равна 2, 3 или 4 для п !> 5 (и 2 для п = 3; 2 или 3 для п = 4). Итак, мы имеем один, два или три сорта таких особых точек, в зависимости от того, равно ли п 3, 4 или 5. Различия, которые имеются для q > 2, еще более сложны; такая классификация, в силу ее сложности, почти не представляет интереса. Единственный интересный случай — это случай, когда размерность многообразия £2 равна двум, т. е. когда /е лч dm A dm . d?m Л дт . дт Л д*т л dm A dm A д*т (М> -ди-А-^А-диТ = 0* ^А~Ш-А-дШ = °> -5Гл-а^л-5^- = а В этом случае точка на поверхности называется точкой уплощения. Мы видим, что в общем случае на поверхности нет таких точек. Для п = 3 уравнения (5.4) записываются в виде / dm dm д2т \ _ ft / дт дт д?т \ _ А \ ди ' dv ' ди* ) ~~ ' \ ди * dv ' ~du~dv) ~~ ' (5.4') / дт дт д9т \ 0 \ ди * dv ' da* J ~ a *) Эти многообразия также определяются соотношением dmAd2mf\...Ads+1m = 0. Вывести полученный результат из одного этого соотношения, видимо, трудная задача.
ГЛ. I. ВЛОЖЕННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ 147 6. Соприкасающаяся плоскость и соприкасающаяся полуплоскость кривой в пространстве /Г3. Вогнутость. На кривой пространства & (х, у, г)*) ( х = х (и), (6.1) т(и)1 у= у (и), \ z= z(u) точка mo = П1 (и0) будет называться обыкновенной второго порядка, если она является такой с точки зрения прямой геометрии и, кроме того, не имеет стационарной касательной, что записывается в допустимой параметризации так: т'(и0)Ат"(и0)фО. Рассмотрим три точки m(tti), т(и2), т(и3), близкие к такой точке ш0. Плоскость, проходящая через эти три точки, определяется решением однородной системы (6.2) ( Ах (и{) + By (uL) + Cz (их) + D = О, I Ax (и2) + By (и2) + Cz (и2) + D = О, { Ах(иг) + Ву(иг) + Сг(иг)+И = 0. Допустим, что и\ < и2 < иъ. Вычтем в этой системе первое уравнение из второго, второе из третьего и применим оба раза теорему о конечном приращении. Мы получим два уравнения, которые могут заменить два последних уравнения системы (6.2): Ах' iVi) + By'(vl) + Cz'(vl) = 0 (их < vA < u2)t Ах' (v2) + By' (v2) + Cz' (v2) = 0 (u2 < v2 < u3). Вычитая второе из этих уравнений из первого, мы получаем тем же путем уравнение Ах" (wO + By" (wL) + Cz" (wx) = 0 (vx<wt< t/g,), которое может заменить второе из предыдущих уравнений. Окончательно уравнение плоскости может быть записано в виде Х-х(их) У-У (и,) Z—zim) х' (fi) / (*i> *' <«i> x" (wx) y" (wL) z" (wt) = 0. В силу непрерывности левая часть этого уравнения не обращается в нуль тождественно, если m(ui), т(и2), т(и3) достаточно близки к т0. Когда эти три точки стремятся к щ, мы видим, что плоскость имеет предел, называемый соприкасающейся плоскостью кривой в точке т0. Уравнение ее имеет вид Х-х(и0) Y-y(u0) Z-z(Uo) х' (и0) у' (и0) z' (и0) x"(ih) /Ч«о) *"("<>) = 0. *) Мы рассматриваем пространство Е? только для того, чтобы иметь возможность использовать интуитивно более очевидные понятия и обозначения. В пространствах Л3 и Р3 можно провести аналогичные рассмотрения.
148 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ Мы напишем это уравнение в следующей форме, где значение параметра не уточнено: \Х — х Y—y Z — z\ (6.3) х' у' z' X" /' У = 0. Обозначив текущую точку через р(Х, Y, Z), можно записать это уравнение в векторной форме: (6.3') (рт, т', т") = 0. В случае плоской кривой соприкасающаяся плоскость в любой из ее точек будет плоскостью кривой. Процессом, аналогичным проведенному здесь, можно показать, что соприкасающуюся плоскость в точке щ можно определить *и как предел плоскости, проходящей через касательную в щ и через близкую точку, а также как предел плоскости, параллельной касательной в близкой точке, или как предел плоскости, проходящей через щ и касательную в близкой точке. Как и в случае касательной, можно при некоторых условиях обобщить понятие соприкасающейся плоскости на некоторые случаи точек, не являющихся обыкновенными точками; мы не будем останавливаться на этих обобщениях. Сделаем теперь замену параметра: v » v (и). Мы получим /кич _dm_J^±_ d*m _d*m 1 1 dm ( 1 V М^гЛ 1 } dv ~ du v' > dv* -~ du* v'* "*" 2 du \v'*J \v' / Последнее уравнение показывает нам, в силу наличия положительного множителя I/?/2 перед d*mldv\ что полуплоскость, называемая соприкасающейся полуплоскостью в рассматриваемой точке: . dm . а"*т (X и fA — действительные параметры, X произвольно, {а]>0), не зависит от параметризации. Посмотрим, в чем заключается геометрический смысл этого явления. Дадим и приращение Ди;~ точка m перейдет в m + Am, и мы будем иметь . dm . , 1 (d*m . ->\ Л , где ч\ обозначает вектор, стремящийся к нулю вместе с Ди. Рассмотрим теперь произвольную плоскость, проходящую через касательную и отличную от соприкасающейся плоскости, определенную вектором dmjdu и вектором А. Ее уравнение имеет вид (тр'-ж-'А)=0- Заменяя тр на Лт, имеем Л dm Л 1 . 0/<**т . + dm Л Это смешанное произведение имеет тот же знак, что и (d^m dm \ \du* ' du ' А)'
ГЛ. I. ВЛОЖЕННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ 149 или тот же знак, что и /\ dm . d*m dm A\ для fA > 0, если Ди достаточно мало. Другими словами, точки кривой, достаточно близкие к т, находятся в том же полупространстве, что и соприкасающаяся полуплоскость по отношению к заданной плоскости. Это значит, что если мы рассмотрим две полуплоскости, проходящие через касательную и образующие как угодно малый двугранный угол, содержащий внутри соприкасающуюся полуплоскость, то все точки кривой, достаточно близкие к т, лежат внутри этого двугранного угла. Поэтому говорят; что вогнутость кривой в точке т направлена внутрь соприкасающейся полуплоскости. Пусть кривая имеет в т обыкновенную точку порядка 3 в смысле прямой геометрии, причем ее параметризация является допустимой; мы скажем, что эта точка является обыкновенной порядка 3 в эвклидовой геометрии, если соприкасающаяся плоскость в этой точке не стационарна, т. е. / dm d*m d?m\ \ du ' du> > du* у ' В эвклидовой геометрии точка называется обыкновенной порядка п > 3, если она обыкновенная порядка п в смысле прямой геометрии и обыкновенная порядка 3 в эвклидовом смысле. В этой геометрии всякое дальнейшее различение становится излишним. УПРАЖНЕНИЯ 1. Плоскость R?(x\ х*) снабжена структурой-группы, изоморфной группе плоских движений. Как нужно определить функции X = X (х\ JC2), У — У (х\ ЛГ2), чтобы группа определялась обычными уравнениями X* = X COS а — у Sin а 4~ bt у' = X Sin а -f- у COS а -f- С? 2. Определить контингенцию и паратингенцию в точке (0, 0) кривой; заданной уравнениями у = л:2 sin— для хфО и у = 0 для х = 0. 3. Контрариантная точка. Рассмотрим в Е% дугу кривой х = р cos 0, р = 0 + 6* | '(1+^) (0<1<f)' у = р sin 0, р = 0 для 0 = 0. Отразим ее (симметрично) относительно оси Оу. Мы получим таким образом дугу, имеющую касательную в начале координат (в широком смысле; контингенция состоит из двух противоположно направленных полупрямых). Показать, что нельзя найти параметрическое представление 0 = 0 (и), и = О в начале координат, так чтобы I х' (0) 1 + | у' (0) I > 0 (V а 1 i г о п О., Nouv. Ann. Math., t. 84, 1927).
150 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ Точка кривой, для которой существует касательная в широком смысле, но не в допустимом параметрическом представлении, называется контра- риантной (Раис С, These, Paris, 1941). Шоке (Choquet G., These, Paris, 1948) показал, что если кривая не имеет контрариантных точек, то для нее можно найти допустимое параметрическое представление. 4. Выпуклые фигуры, выпуклые кривые в А\ Замкнутое множество К с Л2 называется выпуклой фигурой, если вместе с любыми двумя точками оно содержит отрезок прямой, их соединяющей. Отсюда следует, что вместе с тройкой точек оно содержит замкнутый треугольник, имеющий эти точки вершинами. Пересечение конечного или бесконечного множества полуплоскостей есть выпуклая фигура (или одна точка, или пустое множество). Обратное вытекает из дальнейшего. 1° Доказать, что всякое выпуклое множество (в пространстве А*) без внутренних точек есть сегмент, полупрямая или прямая. В дальнейшем мы будем рассматривать только выпуклые множества /С, имеющие внутренние точки и не содержащие всю плоскость. 2° Если К содержит прямую, то это полоса или полуплоскость. 3° Мы называем выпуклым углом выпуклое множество, образованное полупрямыми, исходящими из одной точки т. Показать, что существует по крайней мере одна прямая (опорная прямая), проходящая через т, любая точка которой не является внутренней точкой множества К- (Если /С—полуплоскость, имеется лишь одна опорная прямая; в противном случае опорных прямых бесчисленное множество.) 4° Выпуклой замкнутой кривой С (замкнутой кривой называется топологический образ окружности) называется множество точек ограниченного (выпуклого) множества /(, которые не являются внутренними. Доказать, что С — континуум, что это граница множества К и что С пересекается со всякой прямой плоскости в 0, 1 или 2 точках или же "имеет с ней общий сегмент. Показать, что контингенция кривой С в точке т £ С состоит из двух полупрямых, образующих границу выпуклого угла, содержащего К (или С); опорные прямые этого угла называются опорными прямыми кривой С (или фигуры К)- Если две полупрямые контингенции лежат на одной прямой, то эта последняя есть паратингенция в т. 5° Выпуклой дугой называется простая дуга (топологический образ сег«. мента прямой), которая в каждой точке имеет опорную прямую (по крайней мере одну). Доказать, что такая выпуклая дуга вместе с хордой, стягивающей ее концы, образует выпуклую замкнутую кривую. Дуга кривой локально выпукла в т, если она является выпуклой в окрестности точки т. 6° Изучить случай выпуклых не ограниченных фигур (отличных от углов и полос). 5. Выпуклые тела, выпуклые поверхности в Л3. То же определение, что и в А\ Всякое выпуклое множество без внутренних точек есть плоскость. Пересечение конечного или бесконечного множества полупространств есть выпуклое множество (или сводится к точке, или пусто), и обратно. Всякий выпуклый конус (выпуклое множество, составленное из полупрямых, исходящих из одной точки, и не содержащее всего пространства) имеет по крайней мере одну опорную плоскость. Пересекая его (конус) плоскостью, параллельной опорной плоскости, мы получаем следующую
ГЛ. I. ВЛОЖЕННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ 151 классификацию: конус есть полупространство (одна опорная плоскость), или двугранный угол (бесчисленное множество опорных плоскостей, проходящих через ребро этого двугранного угла), или настоящий конус (можно провести плоскость, пересекающую конус по выпуклой ограниченной плоской фигуре). Замкнутой выпуклой поверхностью называется граница ограниченного выпуклого тела. Исходя из предыдущих замечаний, классифицировать точки замкнутой выпуклой поверхности: обыкновенные точки (единственная опорная плоскость, паратингенция), точки заострения (контингенция содержит две полуплоскости) и конические точки. Поверхность называется локально выпуклой в точке т, если существует окрестность точки т, имеющая опорную плоскость в каждой точке. 6. Сферические выпуклые кривые в £з. На сфере пространства Е? пересечение конечного или бесконечного множества полусфер называется выпуклым множеством, если оно содержит более одной точки: это пересечение сферы с выпуклым конусом, имеющим вершину в центре сферы. Граница такого множества (не сводящаяся в дуге большого круга) есть сферическая выпуклая кривая. Через каждую точку такой кривой проходит по крайней мере одна опорная окружность большого круга. Понятие локально выпуклой сферической дуги определяется без труда. 7. В пространстве Ап доказать, что если поверхность (v = 2) содержит линию, состоящую из точек уплощения, то эта последняя есть плоская линия. Решение. Пусть на кривой введен параметр и. Тогда два первых соотношения (5.4) выражают тот факт, что д^т/ди? и д9т/ди dv лежат в касательной плоскости. Записывая их в этом виде и дифференцируя первое по «, мы показываем, что dm А д?т А д*т _ п 8. Показать, что если на дуге кривой b.Z? / dm dm jta\ Q \ dut * du2 * dtiz г для различных значения щ, и2, щ, то (т', т", т"') не меняет Знака. Указание. Проводим прямые через некоторую фиксированную точку параллельно ориентированным касательным. Мы получаем конус, называемый конусом касательных. Далее применяются рассуждения упражнения 6.
Глава II ТЕОРИЯ КАСАНИЯ 1. Предупреждение. Мы разовьем теорию касания только в пространствах двух и трех измерений. Этого достаточно, чтобы выявить ее идеи и в пространствах большего числа измерений. Для определенности мы будем пользоваться терминологией пространств Е2 и Е3. Но не следует терять из виду, что теория касания вытекает из прямой геометрии; впрочем, мы это будем напоминать в дальнейшем изложении. 2. Касание двух кривых, а. Определение. Вычисление. Рассмотрим в £3 две кривые (^) и (8), имеющие общую обыкновенную точку т0, и предположим, что существует допустимая параметризация этих двух кривых т(и) и п(и) [т (и0) = п(и0) — т0], такая, что производные порядка п существуют и непрерывны и что, кроме того, №.-№). "<'<* Исходя из формул (6.4) предыдущей главы и из аналогичных формул, нетрудно убедиться, что адекватная замена переменной v = f(u), где / имеет производные до достаточно высокого порядка, сохраняет равенства (2.1). Следовательно, эти формулы представляют геометрическое свойство относительного положения двух кривых. Это свойство, называемое порядком касания двух кривых, мы и будем изучать. В рассмотренном выше случае говорят, что две кривые имеют в точке mQ касание по крайней мере (или не ниже) порядка п. Если нельзя найти параметризацию (?) и (8), такую, что равенство производных в точке т0 имеет место до порядка п-\-\> то говорят, что (т) и (8) имеют в т0 касание порядка п. Касание порядка не ниже 1 означает, что две кривые имеют одну и ту же касательную. Если две кривые имеют общую точку т0 и не касаются друг друга в этой точке, говорят, что они имеют касание порядка нуль. Мы будем предполагать, что все производные, которые нам понадобятся, существуют и непрерывны, подразумевая при этом, что операции, которые будут описаны, следует прекратить, когда вхо-
ГЛ. II. ТЕОРИЯ КАСАНИЯ 153 дящие в рассуждение производные перестают удовлетворять этому условию. Если мы имеем равенства (2.1), прежде всего нужно выяснить, нельзя ли заменой параметра на одной из кривых добиться положения, когда равенство производных будет иметь место до порядка, большего п. Взяв некоторую функцию v от и, мы получаем последовательно dpm dpm 'p , .dm (p\ duP dvp dv причем ненаписанные члены являются линейной комбинацией векторов dqm/dvq (1<<7<р), обращающихся в нуль вместе с г/', v'" гтр . Если мы хотим сохранить в точке т0 равенство векторов dpm/dap и dpmjdvp до порядка /г, то мы шаг за шагом убеждаемся в том, что следует взять ^=1, г£ = 0 4Л) = 0- Чтобы упростить запись, мы положим здесь и0 = 0. Запишем «0 = u-\-Un+1 ■ ^+1) "о (л + 1)! ' •••• тогда отсюда следует, что (£^т\ _ ( dn+1m \ _fdm_\ r*+i) \ dtP+4o~\du»+40 UJo ' Итак, касание не может быть порядка не ниже я-f-l, если вектор (dn+1m \ I dn+1n \ W«w+1 /о W«w+1/o не коллинеарен вектору (dm \ (dn\ Наоборот, если / dn+1n \ ( dn+lm \ /dm\ , W*w+1/o V ^w+1/o \da)0 ' то, делая замену параметров Хил+1 v = u-)r (/г+1)! на (Т), v=a на (8), мы видим, что тогда по крайней мере до порядка /г —|— 1 имеют место равенства
154 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ т. е. две кривые будут иметь в т0 касание порядка, по крайней мере равного п-\-\. Пусть пх — максимальный порядок* до которого имеют место равенства (2.2). Если при этом вектор не коллинеарен (-^—) , то пх есть порядок касания (?) и (8); в противном случае мы продолжаем то же рассуждение. Может случиться, что порядок касания бесконечен и что тем не менее (Y) и (5) не совпадают. Это, например, имеет место для кривых у = е~1/а* и у = О в начале координат. Но в случае, когда m (и) и п (и) имеют производные всех порядков, мы сделаем дополнительное предположение, что эти кривые аналитические и что точка касания регулярна на каждой из них. Тогда бесконечный порядок касания означает, что кривые совпадают. Если кривые (т) и (8) различны, достаточно конечного числа операций предыдущего типа, чтобы определить их порядок касания. В декартовых координатах из равенств (2.1) следует равенство производных dpx/dupt dpy/dupt dpz/dupt взятых по каждой из кривых в точке т0(х0, у0, zQ)< для l^Cp^n, и обратно. Из этого замечания и из определения следует, что порядок касания инвариантен относительно преобразований вида ( Х=Х(х, у, г), (2.3) Y = Y(x,y,z), [ Z = Z(x, у, z), где функции X, К, Z имеют непрерывные частные производные до достаточно высокого порядка в окрестности точки т0 (xQ, y0, z0)» D (X Y Z\ причем якобиан _Л '—'—М отличен от нуля в этой точке. Действительно, пусть п — порядок касания кривых (?) и (8) в т0. Обозначим через (Г) и (Д) образы (?) и (8) в пространстве (X, Y, Z). Из наших допущений следует, что dpXldup, dpYjdupt dpZ\dup одинаковы на (Г) и (Д) в образе точки т0. (Г) и (Д) имеют в этой точке порядок касания N^n. Преобразование, обратное к преобразованию (2.3), показывает по тем же причинам, что (?) и (8) имеют в т0 порядок касания n^N\ итак, N = n. Пусть кривые (?) и. (8) имеют в точке т0 порядок касания, равный п, и пусть и—допустимый параметр. Сделаем замену переменных u = f(v) на (?), u = g(v) на (8).
ГЛ. II. ТЕОРИЯ КАСАНИЯ 155 Кривые (т) и Ф) получат представления m\f(v)], ti[g(v)]. Из приведенных выше формул следует, что для того, чтобы параметр v был допустимым в точке касания, необходимо и достаточно, чтобы существовало значение v0, такое, что /(*<>) = g(vQ) = и0 = О, f (v0) = g' (v0) Ф О, /(р)(^о) = ^Ы (Кр<я). Заключение будет то же самое, если мы заменим v = (f(u) на (т) и v = ty(u) на (8). Отсюда следует, что имеет место транзитивность: если кривые (?) и (8), с одной стороны, (7) и (е), с другой стороны, имеют в точке т0 порядок касания по крайней мере /г, то и кривые (8) и (е) имеют в точке т0 порядок касания по крайней мере п. Тот же параметр и на (т) может служить для определения касания (т) с (8) и (у) с (е). Выразив кривую (е) в виде р(и), мы запишем наши предположения в форме т(и0) = п(и0) = р(и0), №.-(£).- (SH2). <■<"<»>• Отсюда следует, что (SH5). <'<><*>- Это доказывает наше утверждение. й. Другое определение порядка касания. Пусть кривые (?) и (8) представлены параметрически в виде т(и) и п(и) и имеют в обыкновенной точке m0 = m (uQ) = n (и0) касание порядка п. Пусть, далее, параметризация допустима. Рассмотрим точки тх = т (я,, 4- Д#о)» пх = п (и0 + Д^). Имеем m0mx = mU«o+ ... +(тГ1>+^^^. ПоП^пи^Ч- ... +U,+1)+t)^^. где С и 7] — векторы, стремящиеся к нулю вместе с Ди0. Следовательно, m1n1 = Ln0 ; — т0 +^ —^J-^ртуТ'
156 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ Так как mo = no=£0, то мы видим, что (2.4) \т0т1\ = (\т'0\-+-е1)\{±и0\, тп0 \ по где et и е2 стремятся к нулю вместе с Ди0. Отсюда мы выводим» что | m^i | имеет порядок п ■+-1 относительно Imotnil, когда тг стремится к т0 (ила относительно [iionj, когда пх стремится к По)1). Верно и обратное, т. е. если касание имеет порядок п, то, ставя в соответствие точке mv близкой к то на (?), точку пи стремящуюся к т0 вместе с тх на (8), мы получаем, что порядок (ш^! не может превзойти п-\-\. В самом деле, возьмем, чтобы упростить обозначения, и0 = 0 и напишем на время v вместо и в п(и). Пусть точка т1 = т(я) задана на (-j). Найдем точку p1 = n(tf) на (8) на минимальном расстоянии от mv Эта точка существует, так как множество точек дуги (8), содержащее внутри себя т0, замкнуто, и если тх достаточно близка к т0, то эта точка не совпадает с концом дуги. Имеем m(tt) = m0 + m0a-f-mo-2-+ .... n(t;)=:m0 + no<i; + noJ^-+ .... Рис. 14. откуда mn = Ho<0 — motf + no-Tj mo-g-H- ... [mo = no, tno- Экстремумы величины mn2 определяются уравнением dn Л шж=0- По, ИЛИ По-у —m0tt + n0-2 ню ~2—Ь ... Hno + n0tf-+- .. J = 0, или f(u, i>) = m0 (v — u)-\- ... =0. !) Напомним, что через | mn | обозначается расстояние между точками тип.
ГЛ. II. ТЕОРИЯ КАСАНИЯ 157 В силу теоремы о неявных функциях, уравнение f(ut v) = 0 определяет в окрестности начала координат плоскости (и, v) единственную функцию v от я1)» непрерывную, такую, что v = 0 для и = 0, и имеющую в окрестности и = 0 непрерывные производные до порядка п. Величина mn2 имеет только один экстремум, если т достаточно близко к mQ, и мы видели, что это минимум. Отсюда следует, что v как функция и, которую мы только что определили, приводит к единственной точке pv ближайшей к т1 из точек кривой (8), при условии, что тх достаточно близка к mQ. Итак, мы можем параметризовать (8), вводя параметр а с помощью функции v. Положим п(г>) = р(и). Если бы расстояние |m1p11 было порядка выше п-\-\, это бы означало, что mfe)(tt) = p(«)(tf) для 1<дг<я + 1, т. е. что (?) и (8) имели бы в т0 касание порядка выше я, вопреки предположению. Таким образом: Для того чтобы две кривые (f) и (8), имеющие общую точку т0, имели в этой точке касание порядка п, необходимо и достаточно, чтобы кратчайшее расстояние от близкой к т0 точки тг кривой (т) до кривой (8) имело порядок малости я-f-l относительно linom^. Если можно найти на кривой (8) такую точку п1% что | m^x | имеет порядок п-\-\ относительно ImomJ, то ее порядок касания с кривой (т) будет не меньше п. В треугольнике тфхпх (рис. 14) имеем ia&L = "toogig) > sin (wo. | mini | sin (miptni) так как sin (тхрхпх) ^ 1. Отношение этих двух длин, с другой стороны, меньше 1, в силу определения рг; поэтому Отсюда следует, что | т^ | и | tnxpi | — величины одного и того же порядка малости, если угол (тхпхрх) не стремится к нулю, когда тх стремится к т0. Так как сторона рхпх стремится к положению касательной к кривой, это будет, в частности, иметь место, когда !) Так как
158 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ прямая тхпх будет иметь предел, отличный от касательной в т0. Этот результат дает геометрическую интерпретацию возможных соотношений между точкой на (т) и точкой на (8), которые позволяют вычислить порядок касания. Выше мы уже уточнили эти возможности. с. Частные допустимые параметризации. Соотношения (2.4) показывают, в частности, что можно взять в качестве параметра и одну из декартовых координат, дающих допустимое представление окрестности обыкновенной точки т0. Это видно также из того, что было сказано выше, так как прямая тхпх имеет свои предельные направления в плоскости, параллельной плоскостям с выбранными координатами, и касательная в точке т0 к двум кривым не лежит в этой плоскости, так как координата дает допустимое представление. Пусть, например, мы имеем представления (Т) У = 9Л*)> * = Ы*)' (8) у = у2(х), г = ф2(*). В точке с абсциссой х0 порядок касания не ниже п, если 91 (*о) = ?2 (*о). «W (*о) = +2 (*о). W (*о) = Ч*° (*о> Ф?° (*о) = <№* (*о) О < Р < ») • при условии, что К(*о)| = КЫ|>°; касание будет в точности порядка п, если, кроме того, I ?Г1} М - ?Г1} (*о) I+1 <Кп+1) Ы - йп+1) Ы I > °- Чтобы проверить это, мы убеждаемся прежде всего в том, что m(»+i)(x0)— п(л+1)(л;0) не коллинеарен т'(*0), так как компоненты по х этих двух векторов соответственно равны 0 и 1; соответствующими мы считаем здесь точки с одной и той же абсциссой на (f) и (8), тхпх параллелен плоскости yOz. Полагая теперь x = f(t), причем x0 = f(t0), f'(t0) ф О, мы можем сопоставить точки, для которых параметр t принимает одно и то же значение. Тогда порядок касания двух кривых (X = f(t), (X = f(t), (Т) \y = giV)- (8) \y = g2<?)' [ z = h1(t), [ z = h2(t) в точке tQ есть наименьшее из чисел п, таких, что |Mn+1)('o)-^+1)(MI + lA("+1)(M-A3n+1)(QI > °-
ГЛ. II. ТЕОРИЯ КАСАНИЯ 159 Порядок касания п двух пространственных кривых требует выполнения 2я + 2 условий (в плоскости число условий равно /г+1). Параметр, который постоянно употребляется в метрической геометрии, — криволинейная абсцисса — также является допустимым параметром. Этот параметр определяется равенствами s'2 =(ж)*на М- s=5° + / V{inrf da- Отсюда следует, что s'Q Ф О, и так как, с другой стороны, например, на (?) с/е" — dm d*m то мы видим, что значения s'Q, s^ sfr) совпадают на кривых (у) и (8), когда эти кривые имеют в точке т0 касание порядка п. Этого достаточно, чтобы утверждать, что 5 — допустимый параметр. Определим кривые (у) и (8) уравнениями (Т) F С*. У г г) = 0, Q(x,y,z) = 09 (8) x = l(t), y = i\(t), z = Z(t). Допустим, что они имеют общую точку (х0, у0, z0), соответствующую £ = 0 на (8), причем (2.5) И'(0)| + |У(0)Ц-|С(0)|>0, и что, например, Предположим, кроме того, что (у) и (8) касаются друг друга в этой точке, так что касание некоторого порядка действительно имеется. Обозначая индексом нуль величины, относящиеся к точке касания* мы имеем Fafco -f~ Fyi]o + Fz^o = 0, о£Й+о^+ой=о. Если бы мы имели Со = 0, то мы имели бы также, в силу условия (2.6), So = 0, ijo = 0, что противоречит условию (2.5); следовательно* м> Ф 0. Мы будем теперь искать параметризацию кривой (?) с по-
160 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ мощью трех функций X = X(t), y = y(t). 2T = C(Q. чтобы можно было свести задачу к предыдущему случаю. Для определения x(t) и y(t) имеем уравнения F(t-{-x — t, -ц+у — ц. С) = (2 =FQ.>T\>V + {x-%)F'x + {y-Ti)Fy+ ... =0; = о(?, 7],с)+(л:—6)o;+cv—т|)о;+ ••• =0; они позволяют, в силу (2.6), вычислить л; — % и у — т) в окрестности точки касания. Отсюда выводится, кроме того, порядок малости х — 5 и у — т] по отношению к t. Действительно, если мы положим #~(t) = F$, т], С), #(0 = 0(5, т], С) и если в окрестности £ = 0 <£Г(0 = о**+1+ ..., #(0 = М»+1+ .... |а| + |&|>0. то мы получим х —6 = 0**+*+ .... j; —т| = р<*+1+ •-.. |а| + |Р1>0' так как соотношения (2.7) показывают, что если аир оба обращаются в нуль, то это было бы справедливо и для а и Ь\ в точке / = 0 будет, таким образом, касание порядка п. Итак, порядок касания есть минимум порядков функций ST (f) и o?(t), уменьшенный на единицу. d. Соприкасающиеся кривые. Рассмотрим фиксированную пространственную кривую (у), определенную уравнениями (Т) [ш(01: * = 5(*). у =-4(f). * = С(*). и семейство (Г) кривых, зависящих от 2п-\-2 параметров: F (х, у, г\ а19 а2 а2п+2) = О, G(x,y,z; av a2 ^2п+2) = 0- Пусть m0 = m(t0)— точка на (у). Поскольку мы располагаем 2^ + 2 параметрами, мы можем, вообще говоря, распорядиться ими так, чтобы определить в семействе (Г) кривую (Г0), проходящую через т0 и имеющую в этой точке касание по крайней мере порядка п с кривой (у).
ГЛ. II. ТЕОРИЯ КАСАНИЯ 161 Говорят, что кривая (Г0) есть кривая семейства (Г), соприкасающаяся с (?) в точке т0. Если семейство (Г) есть семейство прямых, то я=1 и прямая, соприкасающаяся с (у) в некоторой точке, будет ее касательной. Если семейство (Г) есть семейство окружностей, то п = 2 и мы определяем в каждой обыкновенной точке порядка 2 соприкасающуюся окружность; мы найдем позднее ее элементы. Для того чтобы кривая семейства (Г) имела с (f) касание порядка я_|_1, требуются два дополнительных условия, а мы располагаем только одним параметром — параметром точки на кривой (у); поэтому в общем случае на кривой нет точек, в которых это имело бы место (точек сверхсоприкосновения)х). Покажем, что кривая, соприкасающаяся с (^) в т0, есть предел кривой семейства (Г), проходящей через /г-J-l точек, близких к т0. Действительно, пусть t0 = 0, и пусть ti (i=\ ^+1) — точки, через которые мы хотим провести кривую из (Г). Положив F[x(t), У (0* z(t)\ alt a2 a2n+2] = <^~ (*; <h. я2 Л2п+2). G [х (t), y(t), z(t)\ alt a2 a2n+2]= & (t; av a2 a2n+2)t мы должны иметь qF(U\ alt a2, ..., a2n+2) = 0, & (h; av a^ a2n+2) = 0 (/ = 1. 2 я + 1). В частности, мы видим, что имеют место равенства 3^ (t\ ах а2п+2) = ® при t = ti. Применяя несколько раз теорему о конечном приращении, можно заменить эту систему равенств системой еГй; «1 Д2п+2) = 0. *Г'Фи л1§-..., а2л+2) = 0, ..., <^{П)Фп> *1 Я2п+2) = 0, где 0i—числа, заключенные в наименьшем сегменте, содержащем значения t\. Если мы теперь устремим все ^ к нулю, то и 6$ будут стремиться к нулю, и, в силу непрерывности производных, в пределе мы будем иметь систему оГ(0; а, а2л+2) = 0, еГ'Ф\ ах ^+2) = 0 <&~{п)(0; а, а2п+2) = 0. 1) На плоскости, так как там координат на одну меньше, п + 1 условий обеспечивают касание порядка /г, и мы определяем кривые, соприкасающиеся с .заданной кривой, исходя из семейства кривых, зависящих от п +1 параметров. Для прямых и окружностей мы получаем те же результаты, что и выше. Наоборот, касание порядка /г + 1 требует только одного дополнительного условия, т. е. в общем случае на плоской кривой имеются изолированные точки сверхсоприкосновения.
162 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ Произведя те же операции с системой, относящейся к <£?, мы получим также в пределе <^(0; ах а2п+2) = 0, #'(0; ах а2п+2) = 0, ..., <^(п)(0; аг а2л+2) = 0. Таким образом, в пределе получаются две системы, в точности определяющие кривую, соприкасающуюся с (т) в точке т0, что мы и хотели показать. 3. Касание кривой и поверхности. Определение. Вычисление. Пусть (S) — поверхность, (*[)— кривая, заданные параметрически: (5) m (a, v), (Т) п(*). Допустим, что (т) и (5) имеют общую точку т0 = т (а0. Щ) = п (*<>). обыкновенную некоторого достаточно большого порядка на (у) к на (5), причем наши параметрические представления допустимы. Мы скажем, что (?) и (5) имеют в точке т0 касание в точности порядка п, если возможно определить на (5) кривую (8), имеющую с (f) касание порядка п в т0, и если нельзя определить кривой, имеющей с (?) касание порядка п-\-1. Касание порядка нуль означает только, что т0 — общая точка (5) и (y). Касание порядка 1 означает, что кривая (т) касается поверхности (5). Касание бесконечного порядка означает, что (^) лежит на (5) [когда (у) и (S) аналитические и точка mQ регулярна на обоих]. Чтобы определить порядок касания (^) и (5), нужно определить кривую (8) на (5), т. е. выразить и и v в виде функций от £„ p(f) = m [«(*)» ^(OL таким образом, чтобы первые производные от п(0 и р(/) совпадали в /0. Мы будем иметь уравнения n(t0) = m(u0, v0)9 тмШ"ЫШ<'+
ГЛ. II. ТЕОРИЯ КАСАНИЯ 163 Первое из них выполняется по условию. Второе даст u'Q и v'Qt если действительно имеется касание, причем решение будет единственным, так как параметрическое представление на (5) является допустимым и мы имеем Подставляя эти величины в уравнение со вторыми производными, мы определяем и'^ и и*, если это возможно, и т. д. Допустим, что мы дойдем так до уравнения с производными порядка /z —|— 1, которое уже не сможем разрешить, и пусть a(t) и v{t) — две функции, принимающие в t0 вместе с их производными, до порядка п найденные значения. Тогда кривая (8) на (5), определенная уравнением p(/) = m[tf(/), я(ОЬ имеет с (?) порядок касания п. Мы видим, от какого произвола зависят кривые типа (8). Если определено только несколько первых производных от и и v, то они все имеют в точке т0 порядок касания по крайней мере п. Впрочем, из транзитивности следует, что если две кривые (8) и (е) на (S) имеют в т0 касание по крайней мере порядка п и если (8) имеет с (?) касание порядка /г, то (е) имеет с (^) касание порядка па крайней мере п. Порядок соприкосновения (*[) и (5) есть уменьшенный на единицу порядок дифференцирования, встречающийся в первом члене первого из неразрешимых уравнений (3.1). Из системы (3.1) или непосредственно из определения получаем также следующий результат: если две кривые (ух) и (у2) имеют в /% касание порядка п и если (^t) имеет с (S) касание порядка /г, то (?2) имеет с (S) касание порядка пр крайней мере п. Наконец, как и в случае двух кривых, порядок касания (*[) и (5) есть инвариант при точечных преобразованиях вида (2.3). Как и для кривых, порядок касания кривой (у) и поверхности (5) может быть определен и другим способом. Пусть q — точка на (5), наиболее близкая к точке п на (у). Доказывается, как и в случае кривых, что точка q единственна, если п достаточно близка к mQt и что ее координаты (и, v) определяются, если записать, что первые частные производные от mn2 по и и v равны нулю; это дает [(4Н+-]Ш«-«*+(£)1<~•>+- •••-(£)„«-'»>- ■■■]'"■ [&).+ •••][(£).<»-«•>+(£).<»-<*>+•••
164 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ ИЛИ (3.2) --(£Шг1«-<°>--=°- ° <«■»•<>={ШШ<°- *>+(£)> -««>+•• • (дт [dv причем F(u0, v0, /0) = 0, O(u0l v0, t0) = 0; но для значений и0, v0, t0 якобиан г) L D (и, v) Jo L\ da k A \ dv hi отличен от нуля, так как представление (5) допустимо; мы можем поэтому определить из уравнений (3.2) выражения для и— и0 и v — v0 как функций параметра t в окрестности t0, и эти функции будут иметь непрерывные производные до порядка точки т0. Полагая Й1=а&)„+*(ж)„' "} (Ie| + l*|>0). имеем |я| + |#|>0, так как (dnldt)Q есть ненулевой вектор касательной плоскости. Получаем a — a0 = a(t — t0)-\- v — v0 = b(t — tQ)-\- Функции, определенные уравнениями (3.2), задают на поверхности (5) кривую (е), касательную к (*[) в точке т0 и имеющую в т0 обыкновенную точку. Порядок касания (е) с (т) в т0 не ниже п, так как для всякой другой кривой ф): p{t) на (5) имеем |np|>.|nq|f и если (8) имеет в т0 касание порядка п с кривой (у), то | np | имеет порядок п-\-\ по отношению к |m0n|; следовательно, |nq| имеет порядок по крайней мере /z-J-1. Порядок не может быть больше этого числа, так как тогда (^) и (е) имели бы в т0 касание порядка не ниже л—J— 1» т. е. (*[) имела бы с (5) порядок касания выше п. Итак: Порядок касания кривой (^) с поверхностью (5) в точке т0 есть уменьшенный на единицу порядок малости расстояния от точки п кривой (т) до (S), относительно бесконечно малого расстояния |m0n|, когда п стремится к /я0(|т0п| имеет порядок |* — /0|). !) В самом деле, имеет место тождество (АЛВ)2 = А*.В2 — (А-В)*.
ГЛ. II. ТЕОРИЯ КАСАНИЯ 165 Как и в случае кривых, мы видим, что |пр| — величина того же порядка, что и |nq|, относительно |m0n|, если прямые пр не допускают никакой предельной прямой в касательной плоскости к (5) в точке т0. В частности, если касательная плоскость не параллельна Oz, можно взять прямую пр параллельной Oz. Представим (S) и (у), например, в форме (5) /"(*. У> *) = <>, (Т) * = 5(0. У = -чУ). * = С(0 и предположим, что точка (х0, у0, z0), в которой нужно определить касание, соответствует значению *0 = 0 параметра t. Если касательная плоскость к поверхности (5) не параллельна оси Oz, мы допустим, кроме того, что J",(*o..v*o)*o; получим |5'(0)| + 1ч'(0)|>0. Приняв во внимание полученные нами результаты, ставим рис ^ задачу определения порядка касания кривой (у) с кривой (В) поверхности (5), заданной уравнениями * = $(*). У = Ш z = z(t), () F№. т) (0, *(01 = 0. Положим &~® = F[l{t). т](О, С(ОЬ Получим />(?, т], *) = /Ч?. т], с + (2г —С)]=^(0 + (2г —C)F;+ ... =0. Пусть я-f-l—порядок &* if) относительно t: ^(/) = fl^l+1+ ... (я¥=0). Мы находим из предыдущего уравнения z — C=s=a^+1+ ... (a=£0), т. е. (y) имеет с (8) и, следовательно, с (S) касание порядка п. Порядок касания поверхности (S) и кривой (у) есть уменьшенный на единицу порядок малости &~ if) относительно t. Так как координата z не играет особой роли, то наше заключение верно и для общего случая, когда KJ+inj+KI><>. ISI+KI+iq>o-
166 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ Поверхности, соприкасающиеся с к р и в о й. Касание порядка п кривой и поверхности налагает п -f-1 условий на поверхность. Рассмотрим фиксированную кривую (?), (Т) * = *(*). У = -Ч«). г = Ш и семейство (Е) поверхностей, зависящих от п-\-\ параметров: (2) F(x, у, z\ av a2 аЛ+1) = 0. В общем случае можно найти для всякой точки t0 на (?) поверхность семейства (Е), проходящую через эту точку и имеющую касание порядка п с (-j). Полагая <аГ(*; <Ч, а2 an+1) = F[b(t), tj(0. С(0; Лр я2 дЛ+1], определяют значения параметров из системы уравнений сУ(*о"» ai» a2 an+i) — О» dT' (*0; av а2 ап+1) = О, <^(n)(V> «1. <*2 *n+i) = 0. Рассмотрения, аналогичные проведенным в случае кривых, показывают, что эта поверхность, называемая поверхностью семейства (Е), сопракасающейся с кривой (?) в точке tQt есть предел поверхностей из (Е), проходящих через л+ 1 точек кривой (т), близких к точке t0> когда эти точки стремятся к точке t0. Если семейство (Е) есть семейство плоскостей (три параметра), то можно реализовать касание порядка 2, и мы найдем соприкасающуюся плоскость в точке кривой. Если семейство (Е) есть семейство сфер (четыре параметра), то можно реализовать касание порядка 3, и мы получим соприкасающуюся сферу в точке кривой; элементы этой сферы будут определены далее. Одно дополнительное условие обеспечивает касание порядка п-\-1. Таким образом, в общем случае мы будем иметь изолированные точки на (f), где это условие будет реализовано. Говорят, что в этих точках имеет место сверхсоприкосновение. Кривые, соприкасающиеся с поверхностью. Пусть (5) — заданная поверхность: (5) Г(х, у, s) = 0;
ГЛ. II. ТЕОРИЯ КАСАНИЯ 167 rti0(Xo> Уо> zq) — обыкновенная точка на ней. Рассмотрим семейство (Г) кривых, зависящих от п -|-2 параметров: f х = х (t; av а2 ап+2)> (Г) i y = y(t\ av а2 ап+2), ( z = z (t\ av a2 an+2). Записав, что кривые этого семейства проходят через точку (jc0, у0, z0)t мы получим три соотношения, из которых два позволят, вообще говоря, выразить два из этих параметров (скажем, ап+1 # аЛ+2) через остальные, а третье даст значение t0(av a2 ап) параметра t, соответствующее положению (л:0, у0, z0) точки на кривой, также в виде функции этих параметров av a2 аЛ. Полагая t = t0(av а2 #п)~г-т» мы получаем таким образом семейство кривых от п параметров: (Г) #==£ (т; а19 а2 ап), У = 'Ч (т- <*v а2 ап)> г = С(т; av a2,..., ал), причем значение нового параметра, соответствующее точке (xQt у0, z0)9 есть т = 0. Записав сГ(т; av а2 an) = F [t(t0-\-x\ av a2 ап), т), £], имеем <^~(0; av a2 ап) = 0 и можем распорядиться параметрами таким образом, чтобы реализовать условия &*%(0; <ъ ап) = 0 (1 <р < п), которые означают, что имеет место касание порядка п кривой (f) из семейства (Г) с поверхностью (5) в точке (л:0, у0, z0). Эта кривая называется кривой семейства (Г), соприкасающейся с (S) в точке (х0, у0, z0). Касание более высокого порядка требует еще одного дополнительного условия, лрэтому в общем случае будут существовать только отдельные точки сверхсоприкосновения. Если семейство (Г) есть семейство прямых (четыре параметра), то можно реализовать в общем случае касание порядка не ниже 2. Мы получаем, что в общем случае можно найти в касательной плоскости к поверхности в некоторой ее точке два направления, имеющих с поверхностью касание порядка не ниже 2. Они нам еще встретятся далее под названием асимптотических направлений. Если семейство (Г) есть семейство окружностей (шесть параметров), то можно в общем случае реализовать касание порядка 4 *см. упражнение 4).
168 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ 4. Касание двух поверхностей. Рассмотрим две поверхности (S) m (я, v). (S) п(я, v), имеющие общую точку m0 = m (u0, v0) = n (u0, v0), обыкновенную и достаточно высокого порядка на (S) и (I). Пусть параметрические представления таковы, что га 1ч / di+Jm \ ( di+Jn \ 1 ^- . • / Эти равенства выражают геометрическое свойство, которое называется касанием порядка не ниже п поверхностей (S) и (I) в точке т0. Если при этом нельзя найти таких представлений, что написанные выше равенства имеют место также для l-\-j = n-\-l, то говорят, что поверхности имеют в т0 касание порядка п. Определение точного порядка касания производится по уже изложенным принципам. Предположим, что наши представления позволяют констатировать касание порядка по крайней мере п на (Е). Обозначим временно через их и vx переменные и и v соответственно и посмотрим» нельзя ли найти функции а1 = а1(а, v)t v1 — v1(u, v) таким образом, чтобы можно было убедиться в касании порядка выше п. Мы имеем (4 2) д*+*п = дп di+Jui I дп di+JVl I ди* dvf дих ди*дуЗ dvx диг dvJ du[dv{\du ) \dv ) ~*~ где ненаписанные члены содержат частные производные вектора п порядка выше 1, коэффициенты при которых — произведения частных производных функций их и vx — также порядка выше 1, или dujdv, или dvjdu. Следовательно, если мы желаем сохранить равенства (4.1), нужно положить в точке (uQ, vQ) «i(«o. ^o) = tto» ^iK» vq) = vq> (4H-- (Si-*- ш„=о. m0=>' (l^L\ =o, (J^%) =0 <2</+7<я).
ГЛ. II. ТЕОРИЯ КАСАНИЯ 169 Равенства (4.2) показывают тогда, что касание порядка /г —j— 1 может иметь место только в том случае, если \ да* dv3 /о \ дигdv* /0 гЧ да )0 ^ гЧ dv J0 (/+«/ = *+!). где dij и Ь^ являются скалярами, и эти условия также являются достаточными. Действительно, пусть для простоты и0 = 0, г>0 = 0; замена переменных вида п+1 a1 = a-\-^iliuivn+1-\ г=0 п+1 г=0 выявит касание порядка по крайней мере /г+1. В результате конечного числа таких операций порядок касания будет определен, если, конечно, (5) и (Е) различны. Предположим, что поверхности (5) и (Е) имеют касание порядка я, причем параметризация и, v допустима, и рассмотрим две кривые р (0 = т [«*(*), *(*)], q(t) = n[u(t), v(t)l проходящие через т0, первая на (5), вторая на (Е), предполагая, что u(t) и v(f) обладают непрерывными производными до достаточно высокого порядка в окрестности значения t0, соответствующего точке касания, и k'('o)H-K(W>0- Формулы для вычисления производных сложных функций показывают, что эти две кривые имеют в т0 касание по крайней мере порядка п, иначе говоря, всякая кривая, проходящая на (Е) через mQ и имеющая т0 обыкновенной точкой достаточно высокого порядка* имеет с (5) касание по крайней мере порядка п. Положим теперь a = u0-\-\(t — tQ), v = v0-\-\i(t — tQ)t где X и [х обозначают константы и t = t0-\-kt. Мы видим, что pq V Г di+im di+in У \^ д^п+i ^ \ди1дуЗ dtfdv* t+j=n+l u xv+ и если касание не имеет порядка п-\-1, то по крайней мере один из коэффициентов при XV есть вектор, не лежащий в касательной плоскости к (5) и (Е) в т0. Можно найти значения X и ц, такие,
170 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ что прямая pq имеет единственное предельное направление, не расположенное в этой плоскости, когда р и q стремятся к т0. Соответствующая кривая q(f) имеет с (5) касание в точности порядка п. Итак: Порядок касания двух поверхностей есть наименьший порядок касания кривой, лежащей на одной поверхности (и проходящей через точку касания), с другой поверхностью при условии, что эта кривая имеет в точке касания обыкновенную точку достаточно высокого порядка. Можно также определить касание с помощью кратчайшего расстояния от точки п поверхности (£) до (5). Как и раньше, проверяется, что существует только одна точка на (5), находящаяся на минимальном расстоянии от п, если п достаточно близко к т0. Предыдущие рассуждения показывают, что это кратчайшее расстояние имеет порядок малости не ниже п -\- 1 относительно | п0п | и что на (Е) существуют кривые, вдоль которых оно в точности порядка п-\-\. Итак: Порядок касания поверхностей (S) и (L) есть уменьшен- Рис. 16. ный на единицу наименьший порядок малости кратчайшего расстояния от точки п на (Е) до (5) относительно |п0п|, когда п стремится к п0 вдоль произвольной кривой поверхности (Е), имеющей в п0 обыкновенную точку достаточно высокого порядка. Этот порядок можно вычислить, ставя в соответствие точке п точку m на (5), такую, что прямые mn не допускают никакой предельной прямой в касательной плоскости в точке т0. В частности, если касательная плоскость в т0 не параллельна Oz, можно в окрестности точки т0 (с координатами xQt y0, z0) представить (S) и (Е) в виде (5) z = f(x,y) = = *o + pi[(* — *оИ.У — Л)1+ ••• +Рп1* — *о)'(У — Уо)}+---* (Е) г = ср(лг, у) = = *<)+% К*—*о).Су— Уо)\+ ••• +*»[(* — *<>)> (у—Уо)]+ •••.
ГЛ. II. ТЕОРИЯ КАСАНИЯ 171 где Р„ ^i представляют однородные многочлены по х— х0 и у— у0, степени которых указаны индексами. Если тождественно ^1 — ^1 Рп — ^п, то в точке ш0 мы будем иметь касание по крайней мере порядка п. Если, кроме того, Pn+i— Sn-i —не тождественный нуль, то мы будем иметь касание в точности порядка /г. Полученные результаты позволяют непосредственно высказать следующие теоремы транзитивности: 1° Если кривая (т) имеет с поверхностью (S) касание порядка по крайней мере п в некоторой точке т0 и если (5) имеет с поверхностью (Е) касание по крайней мере порядка п в т0, то (?) имеет с (Е) касание по крайней мере порядка п в т0. 2° Если поверхность (S) имеет с двумя поверхностями (£х) и (£2) касание порядка по крайней мере п в одной и той же точке т0, то (£х) имеет с (£2) касание порядка по крайней мере п в т0. Наконец, порядок касания двух поверхностей сохраняется при точечных преобразованиях типа (2.3). Задав поверхность (S) и семейство поверхностей, зависящих от достаточного числа параметров, можно определить в точке на (5) соприкасающуюся поверхность заданного семейства. Если это семейство есть семейство плоскостей, то можно получить касание порядка 1: мы получаем снова касательную плоскость. Если это семейство есть семейство квадрик, то можно получить в общем случае касание порядка 2, оно реализуется для семейства квадрик, зависящих от трех параметров (см. часть II, Аффинная геометрия). Упражнения 1. Две пространственные кривые имеют в точке ш0 касание первого порядка (но не второго!). Показать, что геометрическое место точек, из которых эти кривые проектируются на произвольную плоскость (не проходящую через центр проекции) так, что две кривые-проекции имеют в образе точки т0 касание по крайней мере порядка 2, есть плоскость (плоскость Альфана). Эта плоскость касательна в т0 ко всякой поверхности, проходящей через (y) и (5) и имеющей в ш0 обыкновенную точку (см. § 2, я). 2. Обобщение. Рассмотрим в пространстве Rn k кривых mj (t) [/=1,... ..., k «; /г)], проходящих через одну и ту же точку т^ (0) = т0 и имеющих попарно в этой точке касание порядка 1, но не порядка 2, причем параметризация допустима, так что dm^ = ... = dmi — dm в m0. 1° Показать, что эти кривые определяют в общем случае в точке ш0 элемент касания первого, порядка размерности k (это центро-аффинное пространство, определяемое векторами dm, d^m^ — d^mj (2 <;/<;&).
172 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ 2° В этом пространстве Ак выберем базис ег и для k векторов Vj с координатами х* положим (vlf v2 vft) = det | x\ | (Л, / = 1 Л). Выберем, кроме того, в Ак k векторов щ. Показать, что выражение (d*mt — (Рт9 dbn1 — (Ртк, dm) (qlt ..., ик)к~ г к IX («1 «1-1. dm, щ+1 иЛ) инвариантно относительно <^2. 3° Частный случай: л = 2, Л = 2. Если плоскость имеет структуру Е? то выражение этого инварианта имеет вид — (ctg at — ctg од) (rfet — d82), где aj и a2 обозначают углы, образуемые двумя векторами щ и и2 с общей касательной, а ^ и rf02— дифференциалы углов, на которые поворачиваются касательные к каждой из кривых. (Bompiani E., Colloque de Geometrie differentielle, Louvain, 1951.) 3. В <Р* в репере (m0, mls m2) рассмотрим кривую m = m0 + xmx + ym2, У~" 2 20 +280*7+ ••• e Определить кривые третьего порядка, имеющие с данной кривой касание порядка 7. Эти кривые третьего порядка образуют пучок. Не считая начала, они будут иметь еще одну общую точку, которую следует найти. Среди этих кривых есть одна, имеющая в т0 двойную точку, и одна из ее ветвей имеет касание порядка б с кривой. Какова касательная в точке перегиба этой кубической кривой? [Речь идет об определении проективной нормали в точке кривой и об интерпретации проективной кривизны k (см. часть II, Проективная дифференциальная геометрия).] 4. Пусть в £з задана поверхность z = ах* + 2Ъху + су* + ал* + Зрлг*у + Зулгу2 + &у3 + гх* -f ... . Существует, вообще говоря, окружность, касательная к Ох в точке О и имеющая в этой точке соприкосновение с поверхностью порядка >• 3 (ее радиус г и угол ф ее плоскости с плоскостью хОу заданы условиями 2ar = sin ф, Ь cos ф + «г = 0). Показать, что эта окружность имеет касание порядка >4 с поверхностью, когда
ГЛ. II. ТЕОРИЯ КАСАНИЯ 173 Вывести отсюда, что в точке поверхности, обыкновенной порядка 4 и не являющейся точкой округления (см. II1, II, 2), существует в общем случае Ю окружностей, имеющих с поверхностью касание порядка !> 4 (достаточно заметить, что, заменяя х и у через х cos ср — у sin <р и х sin ср -|- у cos ср соответственно, мы получим, что новые коэффициенты при членах второго, третьего и четвертого порядков суть однородные многочлены по cos ср и sin ср порядка 2, 3, 4). 5. Рассмотрим в Л3 поверхность, касающуюся плоскости вдоль некоторой кривой. Показать, что касательная к кривой имеет в каждой точке касание с поверхностью порядка ;>3.
Глава III ОГИБАЮЩИЕ 1. Основные теоремы1). Результаты, которые мы получим вначале, описывают те множества точек, которые обязательно содержат огибающую — понятие, которое мы определим. Эти результаты установлены здесь не со всей желательной общностью2). Теорема 1. Плоский континуум, паратингенция в каждой точке которого состоит из единственной прямой, параллельной фиксированному направлению, есть сегмент прямой. Пусть Ох и Оу — две оси координат в плоскости. Допустим, что континуум С, о котором идет речь, проходит через О и что Ох— направление паратингенции в каждой из его точек. Прямые, параллельные Оу, достаточно близкие к О, пересекают С не более чем в одной точке, так как в противном случае прямая Оу принадлежала бы паратингенции в точке О. Достаточно малая окрестность точки О (на континууме) может быть представлена соотношением вида У =/(*)- где f(x)— непрерывная функция3). Так как контингенция в каждой точке этого континуума по допущению параллельна Ох, то отсюда следует, что f'(x) существует и равна нулю, т. е. f(x) — тождественный нуль, поскольку континуум проходит через О. Итак, некоторая окрестность точки О представляет собой сегмент прямой, лежащий на оси Ох. Предыдущее рассуждение можно повторить, начиная с одной из концевых точек этого сегмента; отсюда нетрудно заключить, что весь континуум действительно является сегментом прямой. Этот результат немедленно переносится на случай пространства. Мы его используем в следующей форме: !) В этой главе мы будем употреблять в общем случае терминологию пространств Е? и Е*. 9) Доказательства, справедливые в наиболее общих случаях, можно разработать, отправляясь от результатов Шоке (G. С h о q u e t, These, 1946). Мирге (J. Mirguet) сообщил мне доказательство более общего предложения, чем теорема 1. 3) Как и в гл. I части I, здесь фактически предполагается, что континуум С локально связный. См. примечание на стр. 136. — Прим. перев.
ГЛ. III. ОГИБАЮЩИЕ 175 Не существует кривой, касательной ко всем прямым, параллельным одному направлению. Теорема 2. Элемент жордановой поверхности, все внутренние точки которого обыкновенные и касательная плоскость в каждой точке которого параллельна фиксированной плоскости, есть плоский элемент. Действительно, пусть хОу — фиксированное направление касательной плоскости и т(и, v) — поверхность: Ix = x(u, v), у = у{и, v), z — z(u, v), причем представление будет допустимым. В окрестности обыкновенной точки эта гипотеза эквивалентна тому, что du dv Отсюда следует, что функция z постоянна во всей этой окрестности и, следовательно, поверхность содержит плоскую область. Повторяя это рассуждение шаг за шагом, можно заключить, что весь элемент плоский. Мы используем этот результат в следующей форме: Не существует поверхности, касательной к плоскостям, параллельным одному направлению. Доказательство указывает на то, что мы под этим подразумеваем. Теорема 3. Элемент жордановой поверхности, на кото - ром все внутренние точки являются обыкновенными и касательная плоскость в каждой точке параллельна заданному направлению, есть элемент цилиндра с образующей, параллельной этому направлению. Действительно, пусть Oz — фиксированное направление, m {и, v)— элемент поверхности с допустимой параметризацией. По условию» в окрестности каждой точки имеем D(u, v) и дх/ди, dxjdv, ду[ди9 dyjdv — не тождественные нули, так как иначе х и у были бы константами и мы имели бы дело с прямой, а не с поверхностью. Из написанного выше равенства можно поэтому выразить, например, у в виде непрерывной функции от х в окрест-
176 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ ности точки (и, v): Поверхность содержит поэтому элемент цилиндра. Теорема доказывается далее последовательным его продолжением. Мы используем эту теорему в следующей форме: Не существует поверхности, касательной ко всем прямым, близким к заданной прямой и того же направления, что эта прямая. 2. Огибающие плоских кривых. Пусть в плоскости хОу задано семейство кривых Сх, (2.1) (СО f{x. у. Х) = 0, непрерывно зависящее от параметра X. Мы называем огибающей Е кривых семейства совокупность кривых (£'), касающихся всех кривых (Сх) в некоторой окрестности значений X (т. е. для Xq^X^X^ где Xq и Хх — константы). При этом точка касания, называемая характеристической точкой Сх, изменяется вместе с X (так же как и сама кривая Сх). а. Общие результаты. Допустим, что f(x, у, X) имеет непрерывные частные производные по х, у и X в области, где мы оперируем. Координаты (х, у) точки, лежащей на кривой из (Е') (составляющей часть огибающей) и на Сх, должны удовлетворять уравнению (2.1). Мы утверждаем, что они, кроме того, удовлетворяют уравнению (2.2) f'x(x, у, Х) = 0, если (х, у) — обыкновенная точка на Сх и если I /^|-f-| f'y\ > 0. Пусть, в самом деле, (2.2) не имеет места в точке (х9 у), которая является обыкновенной точкой на Сх и в которой |/^|-r~|/«| > 0- Тогда уравнение (2.1) можно разрешить относительно X, и мы находим в некоторой окрестности этой точки Х = <р(л;, у), где ср имеет непрерывные частные производные и l^ll^O, если К1>°- Сделаем теперь замену переменных Х=х, Y = <f(x.y). Имеем D(X,Y) D(x,y) Ф0
ГЛ. III. ОГИБАЮЩИЕ 177 в рассматриваемой окрестности. Преобразование взаимно однозначно и сохраняет касание, как мы показали. Но, в силу теоремы 1, в плоскости (Xt Y) не существует кривой, касательной к прямым семействам К;=Х. Рассматриваемая точка не может, следовательно, принадлежать огибающей. Огибающая может располагаться только в множестве точек, где {&) /=о. /;=о, /;=о. или в множестве Ф) / = 0. f[ = 0 [или в множестве (3J), которое мы оставили в стороне, где / не имеет непрерывных производных], Множество (£Р) есть в общем случае геометрическое место особых точек кривых (Сх) и в обычных случаях не составляет часть огибающей (но оно может содержать обыкновенные точки, и мы увидим случаи, когда оно составляет часть огибающей). Множество ($) включает в себя и неподвижные точки, если они имеются, через которые проходят все кривые Сх, так как если (х0, у0)— такая точка, то равенство f(x0, y0, Х) = 0 влечет за собой равенство /((*о. Л. Х) = 0. В зависимости от точки зрения, которая принимается, эти точки можно рассматривать либо как принадлежащие к огибающей, либо нет (в аналитической геометрии их рассматривают как составляющие часть огибающей). Рассмотрим точку (х, у), принадлежащую ($), но не принадлежащую (^), и допустим, что в окрестности этой точки функция /х имеет непрерывные частные производные, причем Г2Л £МЦо (2,<J) D(x,y) ф0- Система $ определяет тогда в окрестности точки (х, у) некоторую кривую (Е'у. m (X): х = х (X), у = у (к). Производные функций х(к) и yQC) существуют и, в силу (2.3), определяются системой (2.4) У и у' не обращаются одновременно в нуль, если /£ Ф 0. Точка (х, у) тогда будет обыкновенной на (£'); первое из уравнений (2.4) выражает тот факт, что Сх и (Е') касаются друг друга; следовательно,
178 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ (£?') составляет часть огибающей. Замечая, что из условия (2.3) следует, что точка (х, у) будет обыкновенная на Сх, мы можем сказать: Если в точке множества ($) выполнены условия то в некоторой окрестности этой точки система ($) определяет кривую (£'), составляющую часть огибающей кривых семейства Сх. Более общо, если (Е') имеет в (лг, у) обыкновенную точку, в окрестности которой, например, у можно выразить в виде функции от х9 то, дифференцируя, мы получаем из равенства / = 0 соотношение которое выражает факт касания. Этот результат имеет место, если /'/£ Ф 0, но он может быть верен и в других случаях. Если, например, /*=0 и уравнения (S) тем не менее позволяют выразить у и X в виде функций от х, причем X имеет первые и вторые непрерывные производные, то мы находим В' на (£') fa^fyin? — ^ ^+/^"57 = 0, [/£ + 2/^ "57 + /^ уа?) J +f'y-d& = °- Два первых соотношения показывают, что якобиан Я (*. У) равен нулю; первое и третье из них будут одинаковы для кривых (Я') и Сх; в рассматриваемой точке значения dy/dx и d2y/dx2 соответственно совпадают; (£') и Сх имеют в этой точке каса- Рис. 17. кие по крайней мере второго порядка. (Если эти условия выполняются для всех точек на (Е')> то эту кривую можно рассматривать как кратную кривую огибающей.) Допустим теперь, что множество (£Р) содержит кривую, имеющую обыкновенные точки, в окрестности которых можно выразить у и X через х. Дифференцируя первое из соотношений (^), мы получаем J\dx u*
ГЛ. III. ОГИБАЮЩИЕ 179 Это значит, что либо эта кривая составляет часть ($), либо, при постоянном X, кривая Сх составляет часть (£?)1). Кривые Сх, называемые стационарными, на которых f тождественно обращается в нуль, образуют в общем случае часть ($), но не часть огибающей. Итак: Исключение X из двух уравнений (Л) дает множество кривых #(jt, y) = 0f заключающее в общем случае (£?) и стационарные кривые. Следовательно, в общем случае огибающую нужно искать в множестве R(x, y) = 0 и в множестве (®), где / перестает иметь непрерывные производные. Для произвольного значения X в характеристических точках удовлетворяются уравнения ($). Если кривые Сх—алгебраические степени п, то мы имеем в общем случае п2 (действительных или мнимых) характеристических точек, но из этого числа надо вычесть число неподвижных точек, если они есть, так же как и число особых точек. Огибающая будет иметь, вообще, п2 ветвей, которые составят части одной и той же аналитической кривой в аналитическом случае. Для п=1, т. е» в случае семейства прямых, на каждой прямой имеется лишь одна характеристическая точка. Геометрическое место этих точек составляет огибающую семейства прямых. В случае конических сечений имеем, вообще говоря, четыре характеристические точки. Если конические сечения — окружности, то имеем лишь две характеристические точки (действительные или мнимые), так как окружности проходят через циклические точки плоскости. Впрочем, в общем случае (2.4) характеристическая точка (х, у) может быть определена и другим способом. Рассмотрим, действительно, две близкие кривые С\ и Сх+дх« Их общие точки определяются уравнениями (2.6) /(*. у, Х) = 0, g(x, у, X, ДХ) = = ^[/(*. У. Х + ДХ)—/(*. у, X)] =0. Когда АХ стремится к нулю, g(x, yt X, ДХ) стремится к /£ и якобиан ^(/» g)/D(x> У) стремится к якобиану D(/, fr)jD{xt у), т. е. *) Это будет случай, когда D(x,y) -u* так как тогда существует соотношение вида F(f, Д, А) = 0, интегрирование которого показывает, что / есть функция от X и некоторой функции р (л:, у). Система (g) дает тогда р (лг, у). Огибающая может быть расположена только в множестве (0), где р (jc, у) перестает иметь непрерывные производные, или на некоторых кривых С\ (стационарных кривых).
lap ПЕРВАЯ ЧАСТЬ к ненулевому значению. Существует, следовательно, единственное решение системы (2.6): д;(ДХ), у(&к), стремящихся к х и у, когда ДХ стремится к нулю. Итак: В случае, когда выполняются предположения (2.5), точка касания Сх с огибающей (Е') есть предел единственной общей точки кривых Сх и Сх+дх» когда ДХ стремится к нулю. (Допущение /£ Ф О нужно здесь только для того, чтобы обеспечить касание.) Напротив, если мы имеем между С\ и огибающей (£') касание второго порядка, то точка касания в общем случае либо будет пределом двух общих точек кривых Сх и Сх+дх. либо не будет пределом ни одной общей точки; аналитическая точка зрения и только она одна вносит ясность в этот вопрос, так как в общем случае, если С\ и Сх+дх аналитические и точка касания регулярна, она будет пределом общих точек (действительных или мнимых) Сх и Сх+дх- Замечания. 1° Пусть нужно найти Х+ДХ огибающую семейства кривых, зависящих от двух параметров /(*, У, X, fl) = 0, Рис. 18. связанных соотношением g(K tO = o. Находя, например, fi из второго уравнения и подставляя его в первое,, имеем > d\ ** dk откуда £>(Л,ц) — и- Это уравнение нужно присоединить к уравнениям /=0 и g- = 0f чтобы получить множество точек, содержащее огибающую. 2° Если кривые заданы в параметрической форме: с<*> m г х = х (tf X),
ГЛ. III. ОГИБАЮЩИЕ 181 то нужно искать t(X) таким образом, чтобы вектор m^/'+m£ был коллинеарен вектору m'v что дает %'Лш; = 0, или Щ$ = 0. 3° В виде исключения семейство кривых, зависящих от нескольких параметров, может также иметь огибающую. Это, например, случай окружностей, касающихся заданной кривой (два. параметра). Ъ. Примеры. 1° Огибающие прямых. Рассмотрим семейство касательных к кривой у = <р (х) ?'(Х)(*--Х) + <р(Х)-у = 0. Дифференцируя это уравнение по X, получаем 4"(k)(x-l) = 0. Кроме решения х — X, дающего характеристическую точку, мы находим стационарные прямые <р" (X) = 0; они соответствуют точкам перегиба заданной кривой и не входят в огибающую. Если рассмотреть семейство прямых, заданное в виде х cos в + у sin 0 = р (в), где 0 — параметр, то для них эта аномалия уже не имеет места; это происходит потому, что в точке перегиба переменное 0 имеет, вообще говоря, экстремум и не может служить параметром для представления окрестности такой точки. 2° Рассмотрим параболы у = Х*(* — X)*. Уравнение, которое нужно присоединить, чтобы получить огибающую, запишется так: Х(лг — Х)(лг —2Х) = 0. Огибающая состоит из кривой у = ( —J и из оси Ох, получаемой при X = 0 или при х = X. Здесь стационарная кривая составляет часть огибающей. 3° Кривые у8 = (х — X)5 имеют огибающей ось Ох, которая явля зтся геометрическим местом их особых точек. Для кривых огибающая состоит из оси Ох, геометрического места их особых точек с исключенным началом и прямой у = х также с исключенным началом. Кривая семейства, проходящая через начало, сводится к пять раз взятой оси Оу. 4° Огибающие окружностей. Рассмотрим семейство окружностей С*, центры которых описывают кривую S (X) и радиусы R которых зависят от X. Обозначая через Р текущую точку на окружности, имеем (Q) SP2 = R\
182 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ (Дх) Чтобы получить огибающую, нужно присоединить уравнение dS SP^T = RdR изображающее некоторую прямую D\, перпендикулярную касательной в точке S к кривой S(X). Мы различаем три случая: a. D\ пересекает окружность в двух действительных точках М± и Мъ которые при этом будут симметричны по отношению к касательной в точке S к S(X). Огибающая содержит две ветви, которые в аналитическом случае являются двумя ветвями одной и той же аналитической кривой. Если R постоянно, мы получаем точки М\ и iW2, откладывая на нормали в точке S к кривой S(X) с той и с другой стороны длину R. Кривые Et и Рис. 19. Рис. 20. #2 6УДУТ параллельны кривой S (X) и будут проходить на расстоянии R от нее. p. D\ пересекает окружность в двух мнимых точках. С действительной точки зрения огибающей нет; это выражение имеет смысл лишь в комплексной области. Y- D\ все время касается окружности С\. Тогда огибаюдая содержит только одну ветвь (которую можно рассматривать как двойную). Выберем в качестве параметра на S (К) криволинейную абсциссу s вместо X. Имеем (£)'=•■ и условие касания записывается в виде R^=±Rt т.е. #=±(s — so). Мы выберем s таким образом, чтобы s0 было равно нулю, и выберем направление обхода так, что R = s. Записывая тогда в прямоугольной системе (х, у); S(s) \у = "П (5), где е'»+1'* = 1>
ГЛ. III. ОГИБАЮЩИЕ 183 и обозначая через (х, у) координаты текущей точки на окружности, имеем f(x9y,S) = (x — S)2 + (y--/))2 — 52 = 0, что дает для координат точки касания (Е) х — £ = — sS', у — r\ = — sr\\ С другой стороны, уравнения (2.4) записываются здесь в форме (х — 5)*' + (у — т,)у' = 0, б'х' + тг)'/= 0. Они совместны, но не определяют полностью значения хг и у', которые можно вычислить непосредственно с помощью предыдущих формул. Мы имеем тождественно вдоль огибающей (£). Окружности имеют касание по крайней мере порядка 2 с (Е) и пересекают в общем случае эту кривую. Данное семейство есть, таким образом, семейство соприкасающихся окружностей к одной из эвольвент кривой S(s). Рассмотрим, наконец, две точки St и S2, соответствующие значениям % и 52 параметра, причем 0 < Sx < s2. Так как длина дуги больше длины ее хорды, имеем lSiS2\<s2—sl. Отсюда следует, что окружность семейства с центром в Si лежит внутри окружности с центром S2, а это показывает, что характеристическая точка окружности семейства есть предел мнимых сопряженных точек, общих для данной окружности и близкой к ней, с. Предупреждение. Сравнительно подробные рассмотрения, которые мы провели для случая огибающих плоских кривых, не будут повторяться в следующих параграфах. Мы ограничимся изучением общих случаев и простых примеров, однако не следует забывать, что могут возникнуть те же трудности и всякий пример должен рассматриваться со вниманием, 3. Огибающие поверхностей, зависящих от одного параметра. Рассмотрим семейство поверхностей (Sx) (3.1) (SO /(*, у, г. Х) = 0. зависящее от одного параметра X. Чтобы некоторая поверхность касалась каждой поверхности Sx в некоторой окрестности значений X, очевидно, необходимо, чтобы касание имело место вдоль некоторой кривой. Мы назовем огибающей (Е) семейства Sx совокупность поверхностей (£'), касающихся каждой поверхности Sx для некоторой окрестности значения X вдоль кривой Сх, называемой
184 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ характеристической кривой (или характеристикой) на Sx, которая, как и Sx, непрерывно изменяется вместе с X. а. Общие результаты. Мы предположим, что f(x, у, z, X) имеет непрерывные частные производные по х, у, z и X. Координаты точки (£) на Sx должны удовлетворять уравнению (3.1) и уравнению (3.2) /'(*, у. г% Х) = 0, если {х% у, z) — обыкновенная точка на 5Х (|/ж| + 1Л/1Ч--|/г| > °)* Действительно, если (3.2) не имеет места, то уравнение (3.1) можно разрешить относительно X и в некоторой окрестности этой точки написать Х = ср(*» У* *)• где <р им-еет непрерывные частные производные, причем, например, у'гФ О (если Уг Ф 0). Сделаем замену переменных Х=х, Рис. 21. Z = <p(*. у, z). Мы D (X Y Z) имеем л; '——.^ Ф0 в окрестности рассматриваемой точки. Преобразование будет взаимно однозначным и сохраняет касание в этой окрестности. Семейство 6\ преобразуется в семейство плоскостей Z=X, и вторая основная теорема показывает, что это семейство не имеет огибающей. Огибающая может быть расположена только в множестве точек, где / не имеет непрерывных производных, или в множестве («?) /=о, /;=о, /;=о. гг=о, или в множестве (§) /=о, £=о. Множество (£?) есть в общем случае геометрическое место особых (не обыкновенных) точек поверхностей 5Х и в обычных случаях не является частью огибающей. Множество (§) содержит множество точек или кривых, общих всем поверхностям Sx. В зависимости от принятой точки зрения
ГЛ. III. ОГИБАЮЩИЕ 185 можно их рассматривать как составляющие часть огибающей или нет. Рассмотрим точку (х, у, z) из (§), не принадлежащую (£Р), "и допустим, что в окрестности этой точки f'x допускает непрерывные частные производные и что D(f-K)\ , \D(f>ti) D(x,y) + + D(z,x) ФО D{y,z) [откуда вытекает, в частности, неравенство | f'x I +1/' I -f-1 f'g 1 > О, т. е. точка (х, у, z) — обыкновенная на Sx]. Система ($) определяет в окрестности точки (х, у, z) поверхность (Е'), которая, если, например, предположить, что D(x.y) ^U' может быть параметризована с помощью z и X, скажем, в виде х = х (z, X), у = у (z, X). Исходя из уравнений ($), с помощью дифференцирования получаен Так как D (z, х) _ дх D (г, X) — дХ • D (z, X) D(zt у)_ду д\9 мы видим, что при условии /»ф0 и дх д\ + ду ах имеет место неравенство |Р(*, у) D(z,l) + >0. Р(у, дг)| ■ \D(zt х) D(ztl) \'1r\D(zt X) >0. т. е. точка (х, у, z} является обыкновенной на (£')» и Два уравнения первой строчки из (3.3) показывают, что два вектора К- У'г' 1 И К- Ух- °« определяющие касательную плоскость к (£'), касаются Sx. Итак, мы действительно имеем касание в этой точке, и поверхность (£?') составляет часть огибающей поверхностей (Sx). Она касается Sx вдоль кривой Сх, определенной уравнениями (§) и имеющей в (х, у, z)
186 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ обыкновенную точку. Итак: В окрестности всякой точка множества ($), для которой (3.4) DM\ , 1^(/>/01 , 1 Д(Л^) #(*>У) Я(У>*) D (^ л) >0 и /£*0, система ($) определяет поверхность (£')» огибающую поверхностей семейства (Sx). Касание имеет место вдоль характеристической кривой Сх, и точка на ней, обыкновенная на Sx, также является обыкновенной на (£')» и ## Сх. Как и для огибающих плоских кривых, можно показать, что характеристическая кривая Сх является в этом случае (в окрестности точки х, yt z) пределом одной единственной кривой, общей для 5Х и 5Х+ДХ, когда ДХ стремится к нулю. Допущение, что /£ = 0, приводит также в некоторых случаях к касанию порядка 2. Мы видим также, что поверхности, определенные уравнением R(x, у, z) = 0, полученным исключением X в системе ($), заключают огибающую, геометрическое место особых точек и стационарные поверхности. Замечания. Чтобы отыскать огибающую однопараметрического семейства поверхностей, определенного уравнениями /(*, у, z, X, [х) = 0, £(Х, [х) = 0, нужно, как легко видеть, присоединить к этой системе уравнение Da,?)—u- Наконец, если семейство задано параметрически с помощью вектор-функции m(tf, v, X), кривая Сх будет дана соотношением v = v(ut X) и огибающая (Е) будет определена параметрами и и X. Чтобы отыскать положение огибающей, нужно записать, что касательные плоскости к поверхностям 5Х и (Е) совпадают. Но касательная плоскость к (Е) определена векторами дт . dm dv_ dm , dm dv Ju~T~~dvdu$ dl*Wd\' Первый из них лежит в касательной плоскости к 5Х, определенной векторами -ч— и -г—. Для того чтобы второй также лежал в ней, нужно, следовательно, чтобы /дт дт дт\ ^ \ШГ' dv • Ж)~ Ь. Примеры. 1. Огибающие плоскостей. Пусть дано семейство плоскостей, зависящих от параметра t: их + vy + wz + h — 0 [и = и (t), v — v (t\ w = w (t)t h = h (t)].
ГЛ. III. ОГИБАЮЩИЕ 187 Его огибающую получаем, присоединяя к этому уравнению соотношение u'x + v'y + w'z + h' = 0, представляющее точно так же плоскость. Характеристической кривой будет, таким образом, прямая, огибающей же будет линейчатая поверхность, называемая развертывающейся поверхностью. Мы вернемся далее к этому вопросу (§ 5). 2. Огибающая сфер. Пусть дано семейство сфер, зависящих от одного параметра t, с радиусом R(t) и центрами S, описывающими кривую S(t). Если М обозначает текущую точку сферы, то имеем векторное уравнение SM* = R*. Характеристическая кривая есть пересечение сферы с плоскостью значит, это — окружность, ось которой касательна к геометрическому месту точек S. Эта окружность может быть действительной или мнимой и может сводиться к точке; с действительной точки зрения огибающая имеется только в первом случае, когда эта окружность действительная. Если R постоянно 1-^т-) = 0, характеристической окружностью будет окружность большого круга сферы, расположенного в нормальной плоскости к кривой 5, плоскости, которая нормальна и к огибающей вдоль этой окружности. Огибающая называется каналовой поверхностью. В случае, когда характеристическая окружность сводится все время к точке, возьмем в качестве параметра криволинейную абсциссу s геометрического места центров. Как и в случае плоскости, мы видим, что можно взять #=— s. Обозначая через (£, г\, С) координаты точки S (S'2 + ?)'2 + С'3=1)г мы видим, что приведенные выше уравнения запишутся в виде (*-6)« + (у-Ч)1 + (2г-С)* = Л 6Ч*-6) + Ч'(У-Ч) + С'<2г--С) = --л Единственной действительной точкой М характеристической окружности будет точка х — £ = — st't у — г\ = — sr\'t z —1 = — s¥. Геометрическое место Г этих точек есть эвольвента крив ой S. Мы находим, с другой стороны, из предыдущих уравнений так что прикосновение между Г и сферой семейства, проходящей через М, имеет, вообще говоря, порядок 2. Можно проверить, что вдоль всей кривой Г ни одно из условий (3.4) не выполняется. 4. Огибающие поверхностей, зависящих от двух параметров. Пусть дано семейство поверхностей, существенно зависящих от двух параметров X и (i, (4-1) (V fix, у, z,l, |0 = 0
188 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ (т. е. функцию / нельзя представить в виде f[x, у, z, <р(Х, ji)I). Мы называем огибающей (Е) этого семейства совокупность поверхностей (£')» касающихся всех поверхностей семейства (S^) Для некоторой окрестности значений (X, (i) (т. е., например, для |Х — XqI-^л, It1 — Ро I ^ a* гДе \)» t^o» a — постоянные, из которых последняя положительна) в некоторой точке т^ называемой характеристической точкой на S^ и изменяющейся, так же как S\^t вместе с X и ji» а. Общие результаты. Пусть функция f(x, у, z, К ц) имеет непрерывные частные производные по координатам и пара- метрам. Мы утверждаем, что в точке т^ огибающей (Е), обыкновенной на S\^ и (Е), имеют место соотношения Действительно, допустим, что мы, напротив, имеем /£ Ф 0. Из уравнения /=0 можно тогда найти X: * = ?(*• У> z, (л). Если на (Е) параметризация (и, v) допустима, то X и {i будут функциями от и и v, однако мы временно предположим X функцией трех переменных и, v и р. Условия касания поверхностей (Е) и 5Х^ записываются в виде = 0. дает «+*#+<<= дх о дХ о ди ' dv Итак, X есть функция одного только р, скажем Х = Ф(р). Это соотношение определяет однопараметрическое семейство поверхностей, выделенное из семейства S^, и поверхность (Е) касается только поверхностей этого семейства. Вне множества особых точек и множества, где частные производные перестают быть непрерывными, огибающую (Е) нужно искать в множестве <«) /=о. /1=о. /;=о. которое, очевидно, содержит множества (точки или кривые), общие для всех поверхностей Sx . Пусть т(х, у, z) — точка этого множества, такая, что D(f'K'K) , 0 D(x,y,z) ^u* откуда, в частности, | f'm | -\-1 f'y | -f-1 £ | > 0. т. е. т является обыкновенной точкой поверхности S^, которой она принадлежит. В окрест-
ГЛ. III. ОГИБАЮЩИЕ 189 ности точки т можно тогда разрешить систему (§) относительно (л:, У» z)- Мы определим таким образом поверхность (£'), параметризованную посредством X и [л. Дифференцируя по этим параметрам, получаем Эти условия выражают факт касания в точке (х, у, z), между повархностями (£') и 5Xlfc, при условии, что точка т — обыкновенная на (£') и параметризация (X, fx) допустима, что будет выполняться, когда векторы с компонентами К» у'х> К и К- К- < не равны нулю и не коллинеарны. Но дифференцируя уравнения /х = 0 и /^=0, имеем fi<+ +/;=o. /^<+...+/:,=о. Для того чтобы вектор (х'^ у[, zQ не обращался в нуль, достаточно, чтобы /", и /* не были бы одновременно нулями. Точно так же для того, чтобы вектор (х'9 y't zf\ не был нулем, достаточно, чтобы f'{ и f" не были оба нулями. Более того, эти два вектора не будут коллинеарны, если и это условие влечет за собой два предыдущих. Итак: В окрестности точка множества (&), для которой Г42) D№Q ^ °<&Я ф0 система ($) определяет поверх- Рис. 22. ность (Е'\ огибающую поверхностей семейства (SXll); при этом характеристическая точка будет обыкновенной на S^ и Е'. Можно было бы показать, что на этот раз характеристические точки т^ являются, вообще говоря, пределами точек пересечения трех близких поверхностей: SXf ^, 5х+дх,^, 5Х> ^дц.
190 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ Если исключить X и у, из уравнений ($)> то мы получим уравнение R (х, у, z)=0, которое, вообще говоря, описывает огибающую и геометрическое место особых точек. Скажем, наконец, несколько слов о том случае, когда тождественно Pft/3-O В этом случае векторы (#£, y'v zty и (х', y't z'\ коллинеарны и множество (£') сводится к кривой» так как из равенств г г г 3.—A_iL / — г —— / XV- ^V *> следует, например, что хну являются функциями от z (если К1+К1>°> В обыкновенной точке эта кривая касается поверхностей S^* которые проходят через эту точку и на которых она также является обыкновенной. Замечания. Если семейство определяется уравнениями /(*. У г Z, X, (1, N) = 0, g(\t Ц, V) = 0, то уравнения, которые нужно присоединить, чтобы найти положение огибающей, таковы: D(X,v) — и' D(|ifv)— U' или г — т——г» ©Л &{Х бу Наконец, если семейство задано вектор-функцией m(u, v, X, jx), то нужно найти и и v в виде функций от X и (i так, чтобы векторы Ш d\^ dv дХЧдХ * Ж^^<Ь "ф"1"""^ лежали в плоскости, определенной векторами dm dm ди dv ' что сводится к тому, что векторы dm/dX и dm/d[A должны лежать в этой плоскости. Итак, для определения огибающей к уравнению семейства поверхностей следует присоединить уравнения /dm dm dm\ п (dm dm dm\ n \Ж9 dv' d\)~U' [du* dv * <W •
ГЛ. III. ОГИБАЮЩИЕ 191 ^.Примеры. 1° Огибающие плоскостей. Пусть дано семейство» плоскостей их -f- vy + wz -f- h = О, причем четыре однородных параметра и, v, wt h связаны однородным соотношением F(u, v, wt h) = 0. Езли h тождественно равен нулю, то семейство плоскостей проходит через начало; в аналитической геометрии говорят, что семейство огибает начало. Если h не равен тождественно нулю, то мы можем взять h = const и огибающая определится присоединением к уравнению плоскости уравнений х _ у __ z F' ~~ р'~~ F'' 1 и ' v J to Но согласно формуле Эйлера для однородных функций, обозначая через т показатель однородности функции F, мы имеем uF'u + vF'v + wF'w + hF'h = mF=0. Следовательно, X __ у •_ _2_ __ UX + Vy + Wz __ 1 К Fv Fw —hFh Fh Окончательно, огибающая будет получена исключением ut v, w, h из системы уравнений JL=JL = ^ L F=0 F F F F Ги rv rw rh Мы получили вновь метод перехода от тангенциальных координат к точечным, излагаемый в аналитической геометрии. Исключение может привести к одному, двум или трем соотношениям между х, у и z. В первом случае имеем огибающую поверхность; во втором имеем кривую и плоскости, проходящие через обыкновенную точку кривой, проходят через ее касательную (говорят, что они касаются кривой); в третьем случае плоскости проходят через фиксированную точку. 2° Огибающие сфер. Рассмотрим семейство сфер, зависящих от двух параметров и и v, центры которых S описывают поверхность S (и, v). Пусть М — текущая точка. Имеем SM* = #2 [S = S(tf, v\ R = R(u, v)]. Уравнения, которые нужно просоединить для нахождения огибающей, имеют вид ди ди dv dv Они представляют плоскости, соответственно нормальные к dSjdu и dSJdv, пересечение которых есть, следовательно, прямая, параллельная нормали к поверхности S {и, v) в точке S. Итак, имеем две характеристические точки тг и /я2, симметричные относительно касательной плоскости в S к поверхности S (и, v). Огибающая будет действительной, только если эти точки действительны. Она содержит две полости, которые в аналитическом случае являются, вообще говоря, частями одной аналитической поверхности. Может случиться, что две характеристические точки все время сливаются; тогда, как мы покажем далее, множество центров есть одна из полостей поверхности центров кривизны огибающей.
192 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ Когда R постоянно, две характеристические точки диаметрально противоположны на сфере и расположены на нормали в S к геометрическому месту центров. Мы получаем конфигурацию поверхностей, параллельных S (и, v). Б. Огибающие пространственных кривых, зависящих от одного параметра. Рассмотрим семейство кривых (5.1) (СО /(*, у, z9 Х) = 0, g(x, у, z, Х) = 0, зависящих от параметра X. Мы называем огибающей (Е) этого семейства совокупность кривых (£'). касающихся каждой кривой семейства (Сх) для некоторой окрестности значений X в точке, меняющейся вместе с X, как и Сх. а. Общие результаты. Мы сделаем относительно дифференцируемое™ / и g те же предположения, что и выше. Вне особого множества мы должны иметь на (Е) (5.2) /; = 0, ^ = 0, так как если, например, обыкновенная точка (#, у, z) на Сх принадлежала бы (£) и в ней мы имели бы fx Ф 0, то, разрешая уравнение / = 0 относительно X и внося получаемое выражение в уравнение £ = 0, мы имели бы в окрестности этой точки X = <p(*, у, z), $(х, у, z) = 0. Замена переменных, допустимая при легко уточняемых условиях, аналогичных условиям, уже несколько раз изложенным, £ именно Х=х, К=ср, Z = <|>. преобразует кривые (5Л), близкие к Сх, в семейство прямых Г = Х, Z = 0, которое не имеет огибающей (первая основная теорема). Четыре уравнения (5.1) и (5.2) не имеют в общем случае решений, кроме решений, не зависящих ни от какого параметра. Следовательно, вообще говоря, огибающей нет. Чтобы существовала огибающая, нужно прежде всего, чтобы эти четыре уравнения свелись к трем, например чтобы уравнение grx = 0 было следствием трех других. Допустим это и предположим, что в точке тх(х, у, z), в которой удовлетворяются уравнения (5.3) / = 0, g = 0, /{ = 0. имеем D(x, у, г) ^и*
ГЛ. III. ОГИБАЮЩИЕ 193 что влечет за собой неравенства Dif.g) D(x, у) , D(/, g)[ ■ "f" D(y,z) |"f" Д(/. g) £)(2, дг) >0. т. е. эта точка — обыкновенная на Сх. Система (5.3) позволяет выразить х, у, z через X в окрестности этой точки и определяет кривую (£'), на которой, дифференцируя два первых уравнения (5.3) и принимая во внимание (5.2), имеем Эти соотношения выражают касание кривых (£') и Сх, если только |*/| + |.У'| + |2/| > 0. Но дифференцируя третье уравнение (5.3), мы получаем Точка тх будет, таким образом, регулярной на (£') и параметр X является допустимым, если /£ Ф 0; кривая (£') будет составлять часть огибающей кривых Сх. Заметим еще, что если исключить X из уравнений (5.1), мы получим уравнение (5.5) h(xt .у, z) = 0, не содержащее более X, которое может заменить уравнение g = 0 в системе (5.1). Таким образом, на первый взгляд кажется, что условие совместности всегда удовлетворяется, так как /г£ = 0. Но предположим, что мы находимся в окрестности обыкновенной точки на Сх для некоторой окрестности значений X. Уравнения (5.1) запишутся тогда, если, например, z допустимо следующим образом: x = x(z, X), y = y(z, X), что дает параметрическое представление поверхности (5.5). Но система (5.2) записывается тогда в виде ^(г,Х) = 0, y[(z, Х) = 0. Она выражает, вообще говоря, тот факт, что огибающая (Е), если ока существует, есть особая линия поверхности (5.5). Это значит, что к=*. к-0' <=° вдоль этой линии. Изложенная теория не применима более, если исходить из системы / = 0, /z = 0. Это, например, имеет место
194 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ в случае семейства равных кривых Сх, касающихся оси Oz и получающихся из одной из них винтовым движением с осью Oz. Может, однако, оказаться в частных случаях, что представление поверхности (5.5) через (z, X) недопустимо вдоль (£') и что эта линия не является особой на (5.5). В этом случае две инфинитези- мально близкие кривые семейства (Сх) имеют общую точку, тогда как этого нет в общем случае (предыдущий пример). С другой стороны, исходя непосредственно из уравнений /=0 и А = 0, мы найдем, вообще говоря, огибающую. Это показывает, что кривые Сх вообще не являются полным пересечением двух предыдущих поверхностей. Замечание. Если кривые Сх заданы вектор-функцией т(и, X),. то, чтобы семейство допускало огибающую, необходимо, чтобы можно было определить и как функцию от X так, чтобы векторы -^~ dmdu . дт * « и ~д~Ж ' Ж" были коллинеарны. Если в декартовых координатах т(я, X): х(и, X), у (и, X), z(u, X), то это условие запишется в виде / / / хи У_^_ ^м / / — ~ • хх Ух Ч Ь. Огибающая характеристик. Ребро возврата. Характеристическая кривая или характеристика С\ поверхности S> семейства (3.1) определяется уравнениями (5.6) (Сх) /(*, у, г, X) = 0, f[ (*, у, гш X) = 0. Она расположена на одной из поверхностей, получаемых исключением X иа этих двух уравнений, пусть это будет поверхность R (х, у, z) = 0. Чтобы получить огибающую семейства характеристик (С>), нужно присоединить к системе (5.6) единственное уравнение (5.7) /£=0. Из того, что мы видели, следует, что в окрестности точки, удовлетворяющей уравнениям (5.6) и (5.7), эти три уравнения определяют дугу огибающей (£')> когда D{x,y,z) *°' Ъф°' Из первого условия следует, что две поверхности /=0 и Д = 0не; касаются друг друга в этой точке. Уравнение (5.7) показывает, что порядок касания (Ег) с S\ в обыкновенной точке для В и Sx не ниже 2. Мы покажем, что (£'), вообще говоря, есть особая линия на огибающей поверхностей 5Х> определенной уравнениями /=0и/( = 0. Мы можем допустить, что точка, которую мы рассматриваем, совпадает- с началом координат и что она соответствует значению X = 0. Пересечем:
ГЛ. III. ОГИБАЮЩИЕ 195 огибающую поверхностей (S\) поверхностью g (х, у, г) = 0, проходящей через начало, которое является на ней обыкновенной точкой. Сечение Г определено уравнениями (Г) /=0, /х' = 0, £ = 0, и на нем X можно использовать в качестве параметра в окрестности начала, если поверхность g = 0 не касается ни поверхности /=0, ни поверхности у£ = 0, т. е. если (5-8> В(х. у, г) * °- Для вычисления первых производных от х (X), у (X), z (X) мы имеем />'+/>'+ &+К=о. или fj +/;/+/2v = о, KS+0'+Л>' +/£ = о. «ли /;хх'+/;/+&=о, Sxx +8уУ +Sz2 =0» или Sxx +8уУ +Szz = °> откуда получаем, принимая во внимание (5.8), что х' = 0, у' = 0, z' = 0. Далее, имеем W+fS+fy+tiS + -• +/^+[2]=0, fl*"+ +flL*'+ ■■• +/£ + [2]=0. g**"+ +[2]=0, где через [2] обозначены (различные) выражения, являющиеся квадратичными формами по х', у', z'. Дифференцируя еще один раз, получаем //ч/;/ч^'"+2(/у+^"+/1/)+^+... =о, &а>х +8уУ +8г2 + = °> причем ненаписанные члены содержат в качестве множителей х', у' или z'. Для вычисления вторых и третьих производных в начале координат имеем, поскольку первые производные равны нулю, fxx +fyy +Jz* = °» ёх* +ёуУ +gzZ =°. />"'+/;/"+//" + 2(/^"+ ...)+/" = <>; /^"Ч ... +2(/^"+ ...)+#-©. g>"' + gvy'"gy' = o.
196 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ Первая система показывает, что | х?г \ + | у" | + I г? | > 0, так какД3 ф 0. Принимая во внимание второе уравнение первой системы, первое уравнение второй системы можно, переписать в виде fxx +fyy +fzz —2Д3=0, который показывает, что мы имеем также | хш | + | у'." \ + | У" | > 0, и, если сравнивать его с первым уравнением первой системы, что векторы А(^, у", г") и В (хт, у'", 2ю) неколлинеарны. Наконец, в окрестности начала получаем для кривой (Г) представление вида ш(Х) = ^А + ~В+ ..., причем |А|>0, |В| >0, |АЛ > и это показывает нам, что кривая (Г) имеет в начале координат точку возврата. По этой причине кривая (£') называется ребром возврата огибающей семейства поверхностей S\. с. Линейчатые поверхности. Развертывающиеся поверхности. Семейство прямых, зависящих от одного параметра t, (5.9) M(0 + pD(*), где р—параметр, фиксирующий точку на прямой, не имеет, вообще говоря, огибающей, когда t изменяется. Эти прямые описывают линейчатую поверхность. Если они имеют огибающую, можно найти р (t) таким образом, чтобы два вектора М' (t) -f- pD' (t) и D (t) были коллинеарны, т. е. чтобы (М', D', D) = 0, и это условие не только необходимо, но и достаточно (кроме того случая, когда D' коллинеарно D, т. е. когда прямые имеют фиксированное направление и описывают цилиндр, но и тогда можно сказать, что их огибающей будет бесконечно удаленная точка в направлении D). Множество прямых (5.9) состоит из касательных к. пространственной кривой. Впрочем, всегда касательные к пространственной кривой Г образуют развертывающуюся поверхность. Действительно, пусть М (и) — пространственная кривая. Ее соприкасающаяся плоскость имеет уравнение (MP, M', М") = 0 (Р обозначает текущую точку). Характеристика получается присоединением К этому уравнению соотношения, получаемого дифференцированием по и, а именно (MP, М', М'") = 0, которое представляет плоскость, и очевидно, что касательная к этой кривой, определенная уравнением MP = pM', принадлежит "этим двум плоскостям. Ребро возврата получаем, дифференцируя еще один раз, что дает (MP, М", М'") + (MP, M', M*V) = о. В обыкновенной точке третьего порядка на кривой эти три уравнения дают MP = 0. Следовательно, кривая Г есть ребро возврата развертывающейся поверхности, описываемой ее касательными. Наконец, всякая развертывающаяся поверхность описана касательными к некоторой пространственной кривой. В самом деле, пусть имеется семей-
ГЛ. Ш. ОГИБАЮЩИЕ 197 ство плоскостей (5.10) их + vy + wz + h = 0, где и, v, wt h — функции от t. Характеристика и, далее, характеристическая точка определяются уравнениями (5.11) и'х + v'y + w'z + h' = 0, (5.12) и"х + я/'у + w"z + h" = 0. Разрешая уравнения (5.10), (5.11) и (5.12) относительно (х, y,z), мы находим ребро возврата в виде х' = х (t), у = у (t), z = z (t). (Если вти функции — константы, то Г сводится к одной точке и поверхность есть конус.) Дифференцируя (5.10) и (5.11) по t и принимая во внимание (5.11) и (5.12), мы получаем (5.13) их' + vy' + wz' = 0, (5.14) и'х' + v'y' + w'z' = 0. Дифференцируя еще раз (5.13) и принимая во внимание (5.14), получаем (5.15) их" + vy" + wz" = 0, и уравнения (5.13) и (5.15) показывают, что плоскость (5.10) является соприкасающейся к ребру возврата. Окончательно мы видим, что линейчатая поверхность не является, вообще говоря, развертывающейся и что развертываю щаяся поверхность описывается касательными к ее ребру возврата. Заметим, наконец, что касательная плоскость к линейчатой поверхности (5.9) в точке (t, р) определяется двумя векторами ЛГ + pD' и D. Она всегда содержит прямолинейную образующую и изменяется вместе с р, кроме случая развертывающихся поверхностей, для которых она одна и та же вдоль всей образующей (цилиндры и конусы* причисляются к развертывающимся поверхностям). Мы получаем характеристическое свойство развертывающейся поверхности: ее касательная плоскость зависит только от одного параметра. 6. Конгруэнции кривых. Конгруэнцией называется семейство кривых, зависящих от двух существенных параметров X и [а (6.1) (С¥) /(*.,у.*Д. ц) = 0. g(x,y,z,l,V>) = 0. Мы сделаем относительно дифференцируемости / и g те же допущения, что и выше. Элемент поверхности, -касающейся всех кривых С^ для некоторой окрестности значений (X, [х), называется элементом фокальной поверхности конгруэнции. Мы ставим себе задачу определить эти элементы. Мы предположим, что D(ft g)/D(\, fi) — нетождественный нуль, так как в противном случае существовало бы соотношение вида F(f, g, x, у, z) = 0, уравнения (6.1) имели бы следствием F(0, 0, х, у, z) = 0; кривые CXlx принадлежали бы одной и той же поверхности и задача не представляла бы интереса.
198 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ а. Общие результаты. Нетрудно показать, что вне особого множества фокальные поверхности расположены в множестве точек, определенном уравнениями (6.1) и уравнением ОСА.!*) Действительно, в противном случае можно разрешить уравнения (6.1) относительно X. и ft (6.2) Х = <р(лг, у, z), D (ь Ф) I Я(У.*> + + Р(Ь Ф) D (х, у) >0. |А = ф (AT, J>, 2). Далее, Р(у, Ф)| I D (-г, х) I так как кривые СХа имеют по предположению обыкновенные точки в целой окрестности (X, [х). Если, например, D(cp, ty)ID(x, у) ф О, то точечное преобразование *=ср, Y=A;t Z = z переводит СХ;Х в прямые, параллельные OZ, следы которых на плоскости XOY покрывают некотбрую область. В силу третьей основной теоремы, не существует никакой поверхности, касающейся всех этих прямых, и поэтому нет фокального элемента в окрестности рассматриваемой точки (х, у, z). Пусть F(x, у, z) — точка, принадлежащая CX|Jt, в которой удовлетворяются уравнения (6.3) /=о. D (К, |х) причем, кроме того (6.4) откуда D{f.g.h) ФО, D (/, g) D{x,y) + D (х, у, D(f,g) D (у, z) *) + -f~ ^» D(f,g) D (z, x) >o. т. e. F— обыкновенная точка на СХг Далее, можно разрешить систему (6.3) в окрестности этой точки и выразить (х, у, z) через X и [х. Для первых частных производных мы получим уравнения (6.5) и аналогичную систему для (х'9 у' 9 г'^. В силу (6Л), система (6.5) определяет (х[, у'х, ty. Кроме того, эти три величины не равны
ГЛ. III. ОГИБАЮЩИЕ 199 нулю в общем случае, так как если бы x'v y'v z[ были нулями, то х, у, z не зависели бы от X; наша точка описывала бы кривую (мы вернемся позднее к этому случаю). Те же заключения справедливы относительно л/, у' z'. Чтобы уточнить это, допустим, что в рассматриваемой точке t*K\ 1Р(/.*)| , <6-6> 1щхг^| + D (X, fx) >0. Отсюда следует, что векторы (#£, у'х, z'A и (х\ у', z'\ не колли- неарны, так как в противном случае из (6.5) и аналогичной системы по |х вытекало бы, что A_£i — hJL U 8* К Уравнения (6.3) определяют, следовательно, в окрестности точки/1* элемент поверхности Ф', для которой F — обыкновенная точка, а параметризация (X, [х) является допустимой. Но если CX[L параметризована допустимым образом, то ее касательная в точке F определяется уравнениями Гхх'+ГуУ+Г/=ъ> Можно определить два чиола а и Ь, таких, что (6.7) х' = ах[-\-Ьх'^ y' = ay'x + by'^ z' = az[ + bz'^ Действительно, обращаясь к (6.5) и к аналогичной системе по (i, мы видим, что числа а и Ъ должны удовлетворять уравнениям Эта система имеет ненулевые решения, в силу условия /z = 0. Из нее определяется отношение а/Ь, и затем одно из уравнений (6.7) позволяет найти и сами числа а и Ь. Уравнения (6.7) показывают, что касательная к кривой С^ лежит в касательной плоскости к поверхности Ф'. При выполнении условий (6.6) поверхность Ф' является фокальной поверхностью конгруэнции. Точка F называется фокусом кривой Сх^. На поверхности Ф' в окрестности точки F определено поле касательных направлений, которые в каждой точке касаются кривых Сха. Существует, таким образом, вообще говоря, бесчисленное множество семейств кривых, зависящих от одного параметра, выбранных из конгруэнции CXlx и имеющих огибающую, расположенную на Ф', Рассматриваемая с этой новой точки зрения проблема ставится следующим образом: выразить (i через X так, чтобы однопараметриче-
200 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ ское семейство, выделяемое таким способом, имело огибающую. Для этого к системе (6.1) нужно добавить систему (К9Л а/,д/ф_0 dg,dgdv._~ Исключение d^jdX из этой системы приводит к равенству /г = 0, иначе говоря, огибающие расположены на фокальных элементах. Исключение (х, у, z) из (6.1) и (6.8) приводит к дифференциальному уравнению (6.9) *(х.р, зЕ) = 0, интегрирование которого определит различные семейства (зависящие еще от одного параметра) кривых CXjx, которые имеют огибающую. Кривая Сх^ принадлежит в общем случае нескольким семействам, и точки, где она касается одной из огибающих, суть ее фокусы. В обычном случае, разобранном выше, число этих семейств равно числу фокусов. Рассмотрим, например (см. рис. 23), кривую С^ одного из семейств (CXjx) [[а = [а(Х)], имеющего огибающую IV Кривая С^ Рис. 23. касается 1\ в фокусе Fv расположенном на фокальной поверхности Ф1# Пусть F2 — другой фокус этой кривой, лежащий на фокальной поверхности Ф2. Когда кривая изменяется, точка Fx изменяется на 1\ и точка F2 описывает кривую А2 на Фг'» эта кривая, вообще говоря, не касается в F2 кривой CXjx, но лежит на поверхности Е, описанной CXjx; таким образом, поверхность Е касается всех фокальных поверхностей, отличных от Фх, и из того, что мы видели в § 5, следует, что кривая Tj является в общем случае особой линией этой поверхности. Если кривые СХа алгебраические, то уравнения (6.3) являются алгебраическими по (л:, у, z). На кривой CXjx мы имеем конечное число фокусов. При этом, так как уравнения (6.8) линейны по d^/dk, то уравнение (6.9) будет многочленом по d^jdX. Мы будем иметь лишь
ГЛ. III. ОГИБАЮЩИЕ 201 конечное число фокальных поверхностей, которые в общем аналитическом случае будут полостями одной и той же аналитической поверхности. Так, когда С^ — прямые, уравнения/=0, # = 0 представляют плоскости, а уравнение /z = 0 представляет поверхность второго 'порядка. На прямой конгруэнции мы будем иметь, вообще говоря, два фокуса. Если С^ — конические сечения, можно взять в качестве /=0 уравнение плоскости и в качестве g = 0 уравнение поверхности второго порядка. Уравнение /z = 0 представляет тогда поверхность третьего порядка, т. е. в общем случае на коническом сечении конгруэнции будет шесть фокусов. В случае окружностей два из них лежат на мнимом круге в бесконечности, который будет двойной полостью фокальной поверхности, выродившейся в кривую, и мы имеем только четыре изменяющихся фокуса. Наконец, кривые 1\ поверхности Фх могут допускать огибающую Ht на Фг, что соответствует случаю, когда уравнение (6.9) имеет по крайней мере один особый интеграл. Кривые CXlx, касающиеся Hv являющиеся особыми кривыми конгруэнции, составляют особое семейство, имеющее огибающую, и описывают особую поверхность S. Она является, вообще говоря, огибающей поверхностей £, определенных, например, равенством {л = [а(Х, с), где с — произвольная постоянная. Предполагая, что эти поверхности могут быть допустимым образом параметризованы с помощью (z, X), мы получаем (6.10) и аналогичные уравнения для g. Огибающая будет тогда получаться (§ 3, а, конец), если запи- сать сх Ух = 0. Это приводит к уравнению (6.2), которое реализуется, как мы видели, на фокальных поверхностях, не содержащих кривых rlf на это может иметь место также для -^=0, что соответствует особому интегралу уравнения (6.9). Тогда имеем х'с = 0, у'с = 0. Касательная плоскость к огибающей поверхности определена, в силу ^-=0, уже двумя первыми уравнениями (6.10), и аналогичными: уравнениями для g, что доказывает результат. Кривые А, соответствующие различным поверхностям £, неимеют в общем случае огибающей на соответствующих полостях Ф^
202 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ Соответствующие точки F описывают, вообще говоря, геометрическое место особых точек кривых Д. Поступая аналогичным образом, мы убеждаемся, что если кривые А2 на Ф2 имеют огибающую, то кривые С^, опирающиеся на эту огибающую, описывают особую поверхность '£ и соответствующие точки Ft описывают кривую, которая, вообще говоря, есть геометрическое место особых точек кривых 1\. Наконец, не претендуя исчерпать список особых случаев, отметим наиболее часто встречающиеся: 1° Среди кривых Сх„ некоторые могут быть особыми, в том смысле, что уравнение п = 0 выполняется в каждой их точке. Фокусы (их конечное число, если CX;JL алгебраические) суть точки, в которых Сх,х касаются фокальных поверхностей. 2° Могут существовать особые семейства, имеющие огибающую в особом множестве, вне всякой фокальной поверхности. В этом случае могут существовать точки, через которые проходит бесчисленное множество кривых СХх, зависящих от одного параметра. Замечания. 1° Если кривые Сх^ заданы в форме М(я, X, [х), то отыскивая функцию [х от X так, чтобы они имели огибающую, мы приходим к условию лСл(м(н-м;^)=о. Уравнение фокусов получаем, исходя из этого уравнения, скалярным умножением на М'. Оно записывается в виде (К К м;)=о. 2° Теория конгруэнции кривых близка к теории систем дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями одной переменной. Кривые Сх^ играют роль общих интегралов, кривые F—роль особых интегралов, зависящих от одного параметра, их огибающие Н—роль особых интегралов, не зависящих ни от какого параметра. Ь. Случай вырождения. Может случиться, что исключение X и [х из (6.3) приводит к двум соотношениям между х, у, z. Это случай, когда из (6.3) следует, что Мы можем допустить, что (jc, у, z), определенные из (6.3), зависят от X, так как если бы они не зависели ни от X, ни от |х, то (х, у, z) были бы константами и система (6.3) давала бы три соот-
ГЛ. III. ОГИБАЮЩИЕ 203 ношения между (х, у, z). Кривые конгруэнции, принадлежащие некоторой окрестности (X, fx), проходили бы тогда все через одну фиксированную точку. Уравнения (6.3) определяют в этом случае фокальную кривую Ф', и уравнения (6.5) определяют (х'у у[, sty, так как, вообще говоря, 1/х|~"Н£х|"Н^х1 ^ °' и ^ бУдет Допустимым параметром в окрестности такой точки. Что касается вектора (хг, у', zf\ то он, в силу {6.11), будет коллинеарен предыдущему вектору или нулем. Координаты (х, у, z) оказываются при этом функциями одной переменной и = и(\, fx), так как / г г х± — у± — гА / '— г г • х* у» ** Через точку а0 кривой Ф' проходит, таким образом, бесчисленное множество кривых семейства и (X, |х) = и0. 'Ж но уравне- Предыдущие отношения тогда равны — = - и ния (6.5) показывают также, что эти отношения равны отношениям (6.11), что дает, в частности, т. е. систему (6.8). Другими словами, и(Х, [х) есть первый интеграл уравнения (6.9), и мы получаем семейство поверхностей Е без интегрирования. На кривой Ф' эти поверхности имеют, вообще говоря, коническую точку. Наконец, в случае, когда исклю- Рис. 24. чение X и [х из (6.3) приводит к трем соотношениям между (х, у, z), кривые проходят через фиксированную точку и все однопараметрическое семейство кривых Сх^. можно рассматривать как допускающее эту точку огибающей. с. Конгруэнции прямых. Рассмотрим конгруэнцию прямых Cuv, определенную с помощью векторов (Cuv) М(я, v)-{-pB(u, v), где а и v — параметры, а р — параметр, определяющий общую точку на прямой. Мы видели, что на прямой конгруэнции имеются в общем случае два фокуса Fx и F2, т. е. что прямые конгруэнции представляют собой
204 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ в общем случае общие касательные к двум поверхностям Фх и Ф2 — геометрическим местам точек Ft и F2 соответственно. Мы видели также, что каждая прямая Cuv содержится в двух семействах прямых, выделенных из конгруэнции, имеющих огибающую. Это значит, что через прямую конгруэнции проходят две развертывающиеся поверхности St и £2, причем первая имеет ребро возврата 1\ на Фх с Ft в качестве характеристической точки, вторая имеет ребро возврата Г2 на Ф2 с F2 в качестве характеристической точки. Касательные плоскости к поверхностям Ех и £2 вдоль прямой Cuv называются фокальными плоскостями, это касательные плоскости к поверхности Ф2 в точке F2 и к поверхности Фг в точке Fx. Рис. 25. Условие, для того чтобы однопараметрическое подсемейство прямых Cuv имело огибающую, записывается, как мы это показали в § 5, с, в виде (<Ш, dD, D) = 0, или (6.12) ^-du^—dv, -du + ^dv, D) = 0, где в левой части стоит квадратичная форма по du и dv. Для значения р в фокусах имеем (rfM + prfD)AD = 0, или кг+'©*+(г+'гнл»-о- ам . dD Умножая скалярно на -з~ + Р з- и предполагая, например, что dv Ф 0- мы получаем уравнение (дМ . dD дМ . dD ~\ n W + P^T' ^ + ?дд> Dj = 0' определяющее фокусы. Фокальные плоскости будут определены векторами D и dD, где du и dv связаны, соотношением (6Л 2).
ГЛ. III. ОГИБАЮЩИЕ 205 В случае, когда одна из фокальных поверхностей Фх сводится к кривой, мы получаем без интегрирования одно семейство развертывающихся поверхностей: это конусы, описанные вокруг поверхности Ф2, вершины которых лежат на Ф^ Если Ф2 сводится также к кривой, то развертывающиеся поверхности представляют собой конусы, вершины которых лежат на Ф! или на Ф2 и которые имеют направляющей соответственно Ф2 или Фх. Они известны без интегрирования. Дуальным преобразованием (например, преобразованием с помощью взаимных поляр) предыдущие случаи переводятся в случай, когда Ф! есть развертывающаяся поверхность, или в случай, когда ФА и Ф2 — две развертывающиеся поверхности. Одно или два семейства развертывающихся поверхностей конгруэнции находятся тогда без интегрирования: это совокупности прямых конгруэнции, лежащие в касательных плоскостях к развертывающейся поверхности (ребром возврата будет тогда плоская кривая; прямые конгруэнции, расположенные в этой плоскости, будут касательными к этой кривой). Еще в одном случае два семейства развертывающихся поверхностей получаются без интегрирования: это случай, когда одна из фокальных поверхностей сводится к прямой, другая же Ф2 является произвольной поверхностью (конгруэнции Кёнигса). Из двух семейств развертывающихся поверхностей одно состоит из плоскостей, проходящих через Фг, причем ребра возврата суть сечения Г2 поверхности Ф2 этими плоскостями. Другое семейство состоит из конусов, описанных вокруг Ф2, вершины которых лежат на Ф^ Упражнения 1. Показать, что ребро возврата имеет в каждой точке касание второго порядка с соответствующей огибаемой поверхностью. 2. Определить особые конгруэнции окружностей (такие конгруэнции, что всякое однопараметрическое семейство, выделенное из конгруэнции, имеет огибающую). Замечание. Можно изучить случаи, когда плоскости окружностей зависят от 0, 1 или 2 параметров. В первом или третьем случае речь идет об окружностях, расположенных на сфере или на плоскости. В случае, когда плоскости окружностей зависят только от одного параметра, сначала показывают, что плоскости должны проходить через фиксированную прямую, затем — что окружности проходят через две фиксированные точки этой прямой. 3. Пусть Ф1 — сфера и Ф2 — окружность, лежащая вне <&lf ось которой проходит через центр сферы Ф^ Окружность Ф2 предполагается настолько далекой от Фь что существуют два круглых конуса С, и С2, описанные около^ Фг и проходящие через Ф2. Конусы d и С2 касаются Ф, вдоль окружностей, которые не являются огибающим ребер возврата развертывающихся поверхностей конгруэнции прямых, касающихся Ф{ и проходящих через Ф9, но являются геометрическим местом их особых точек. Более того, эти окружности представляют собой огибающие окружностей прикосновения ко-
206 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ нусов, описанных вокруг Ф± и имеющих вершинами точки на Ф2. На образующих конусов С^ или С2 соотношение (6.12) обращается в тождество — это> особые прямые конгруэнции. Теорию особых прямых, особых развертывающихся поверхностей и огибающих общих развертывающихся поверхностей, отвечающих особым интегралам уравнения (6.12), можно найти в книге G. Julia, Cours de Geo- metrie infinitestimale, Gauthier-Villars, Paris. 4. Теорема Малюса. Рассмотрим два семейства сфер, зависящих or двух параметров: SM* = #2f SM2=-^f /г2 где центр S сфер описывает поверхность S (и, v), радиус R есть функция iz и v, а п обозначает положительную константу. Пусть М1 и М2 и Мх и М2— характеристические точки сфер с центрами S. Допустим, что Мг и М% лежат с одной и той же стороны от касательной плоскости в S к поверхности S (и, v). Пусть SN — нормаль к этой касательной плоскости, направленная в ту же сторону. Показать, что SMit SMX и SN лежат в одной и той же плоскости и что, если положить / = (SN^SM,), г = (SAT, SM[) (о < /, г < -|), то мы будем иметь sin / = п sin r. В оптике направления M^S образуют конгруэнцию лучей света, падающих нормально геометрическому месту точек М±, ^называемому поверхностью падающей волны. Направления MXS образуют конгруэнцию преломленных лучей, нормальных геометрическому месту точек Мх, называемому поверхностью преломленной волны, возникшей при прохождении волны через- преломляющую поверхность S (и, v); n есть показатель преломления. В случае отражения имеется соответствие между М% и Мг. Можно также сказать, что мы берем п = — 1. Этот результат (теорема Малюса) будет интерпретирован далее, причем мы докажем, что при отражении или преломлении всякая конгруэнция нормалей преобразуется в конгруэнцию нормалей (III, IV).
Глава IV ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КАСАНИЯ 1. Примыкающие элементы касания. Оставляя в стороне общее понятие элемента касания SJ,, погруженного в Rn (или в Vя), данное в (О, III, 8), мы ограничимся случаями р=1 и v = /i—1 и будем называть такой элемент просто элементом касания1). Мы предположим, кроме того, что я = 3, чтобы сократить изложение, но это допущение не закрывает ни один из аспектов рассматриваемого вопроса в применении к пространствам любого числа измерений. Геометрическая интерпретация будет дана в предположении, что пространство есть /?3(л:, у, z) и что оно имеет структуру В3. Элемент касания состоит тогда из точки и плоскости, проходящей через эту точку. Мы его определим пятью координатами: координатами точки (л:, у, z) и координатами (/?, q) плоскости, определенной уравнением 2) Z — z=p(X—x) + q{Y — y). Мы скажем, что множество элементов касания, зависящее от некоторых параметров, составляет множество примыкающих элементов, если имеет место соотношение (1.1) dz—р dx — qdy = 0. Легко видеть, что не существует множеств примыкающих элементов, зависящих более чем от двух параметров. Однопараметри- ческая совокупность примыкающих элементов, или полоса касания, или многообразие Mv состоит либо из кривой и плоскостей, !) Можно было бы попытаться изложить все дальнейшее, исходя из общего понятия элемента касания Е* Это привело бы к длинным рассуждениям, которые нигде еще не были полностью изложены и кажутся в настоящее время мало полезными. 2) Мы отбрасываем элементы касания вида a(X-x) + b(Y-y)=0 (|a| + |*|>0), что не будет нас ограничивать с теоретической точки зрения. В приложениях, однако, нужно принимать во внимание и эти элементы. Из определения следует, что пространство элементов касания пространства #з гомеоморфно /?3 X Р2- В этом пространстве мы рассмотрим подпространство, гомеоморфное №
208 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ касающихся этой кривой, либо из плоскостей, проходящих через фиксированную точку и огибающих конус (dx = dy = dz = 0). Двупараметрическая совокупность примыкающих элементов, или многообразие М2, составлено: 1° либо из поверхности и множества ее касательных плоскостей (случай развертывающихся поверхностей имеем, когда р и q фактически зависят только от одного параметра); 2° либо из кривой и множества ее касательных плоскостей (множества плоскостей, проходящих через касательные к кривой); 3° либо из точки и множества плоскостей, которые через нее проходят *). 2. Преобразования касания. Мы называем преобразованием касания преобразование, ставящее в соответствие одному элементу касания пространства Е другой элемент касания пространства Ег (которое может и совпадать с Е) так, что всякое многообразие примыкающх элементов преобразуется снова в многообразие примыкающих элементов. Преобразование касания, ставящее в соответствие элементу (х, у, z, p, q) элемент (xv yv zv pv q{), определяется пятью соотношениями в силу которых уравнение (1.1) должно иметь следствием (2.2) dzx —рх dxx — q1 dyx = 0. Мы предположим, что это преобразование не вырождается, т. е. что существует обратное преобразование в окрестности точки (х, у, z, р, q), где мы будем оперировать, или что D(x, у, z, р, q) ^ Так как левая часть (2.2) будет после использования формул (2.1) линейной формой относительно дифференциалов пяти координат, 1) Отыскание Мъ содержащихся в множестве элементов касания, зависящих от четырех параметров, сводится к интегрированию одного уравнения с частными производными первого порядка. Мы знаем, что эта задача сводится к определению некоторых Mlt содержащихся в множестве. Отыскание Мъ содержащихся в множестве элементов касания, зависящих от трех параметров, сводится к интегрированию- уравнения в полных дифференциалах. Отыскание Mlt содержащихся в множестве элементов, зависящих от двух параметров, не являющихся примыкающими элементами касания, сводится к интегрированию дифференциального уравнения, когда точка (х, у, z) описывает поверхность.
ГЛ. IV. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КАСАНИЯ 209 нужно, чтобы мы имели тождество вида (2.3) йгг — /?! dxx — qx dy1 = \(dz—pdx — q dy), где X есть функция координат, как это следует из соотношений (2.1). X не равно нулю, так как в противном случае все преобразованные элементы были бы примыкающими и составляли бы самое большее многообразие М2, т. е. преобразование было бы вырожденным. Преобразование касания переводит два многообразия, имеющие общий элемент касания (или бесчисленное множество таких элементов, зависящих от одного или двух параметров), в два многообразия, имеющие общий элемент касания (или бесконечное множество элементов, зависящих от одного или двух параметров). Совокупность преобразования касания образует группу преобразований [точно так же, как преобразования S)n образуют группу (0, 1, 22)]. Исключив функции р и q из трех первых уравнений (2.1), мы получим одно, два или три различных соотношения между (х, у, z, xv yv 2j), называемых направляющими уравнениями преобразования. Мы изучим эти различные случаи. Первый случай. Продолжение точечных преобразований. В случае, когда мы имеем три уравнения, т. е. (xlt yv zx) не зависят в действительности от р и q, эти три уравнения xl = xl(xt у, z), yi=yi(x> У> z)< zl = zl(x, yt z), с D (х, y,z) ^ U определяют точечное преобразование, которое переводит две кривые или две поверхности, касающиеся друг друга, в две кривые или две поверхности, также касающиеся друг друга. Элементу касания точечного пространства (х, у, z) оно ставит в соответствие элемент касания пространства (xv yv zx)t который мы получаем, записывая dxt = %£dx+^dy+?£(pdx+qdy), dyt=$£dx + .... (dzl = )pldxl + qldy1=-g£dx-\- Исключая dxt и dyx из этих уравнений, мы получаем соотношения, дающие рх и qv Это будет просто замена переменных и функции, определенная вышестоящими уравнениями. Всякое точечное преобразование определяет, следовательно, преобразование касания, называемое продолжением точечного преобразования. Второй случай. Преобразования с одним направляющим уравнением (преобразования первого класса). Если мы получаем
210 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ одно направляющее уравнение (2.4Х) F(x, у, z, xv yt z1) = 0, то одной точке (х, у, z) и множеству плоскостей, которые через нее проходят, соответствуют поверхность и множество ее касательных плоскостей. Поверхности и ее касательным плоскостям соответствует двупараметрическое семейство поверхностей, каждая из которых должна иметь элемент касания, общий с преобразованным многообразием М2, так как поверхность имеет по крайней мере одну общую касательную плоскость с многообразием М2, имеющим одну из ее точек в качестве опоры. Образ поверхности и ее касательных плоскостей есть многообразие Ж2, которое получается, если взять огибающую поверхностей указанного семейства. Другими словами, взяв z как функцию х и у, к уравнению (2.4Х) нужно присоединить уравнения Начиная рассуждение с рассмотрения точки (jclf ^1» Zi) и множества плоскостей, которые через нее проходят, мы видим также, что нужно присоединить уравнения Вместе с (2.4Х) уравнения (2.5Х) и (2.5^) должны удовлетворяться при преобразовании и позволяют, вообще говоря, определить его, исходя из (2.4Х). Достаточно разрешить их относительно переменных (xv yv zv pv qx). Итак, исходя из одного направляющего уравнения, можно, вообще говоря, определить преобразование касания. При этом условия такой возможности — это условия, обеспечивающие разрешимость системы (2.4Х), (2.5j) и (2.5J). [Мы видим, в частности, что (2.43) должно непременно содержать все переменные, но этого недостаточно, как показывает пример хх1-\-уу1-{- + zzx = 0.] Уравнения (2.5!) и (2.5Г) могут быть получены и с аналитической точки зрения. Уравнение dF = 0 должно быть следствием (1.1) и (2.2). Но мы можем написать dF = {F'!B+pF'z)dx + {F'y + qF'z)dy + {F'3!i+plF'z)dxl + + {F'Vl + bF*) *Л + К (dz —Pdx — q dy) -t- + F' (dZl — Pl dxt — 4l dyd, (2-5;)
ГЛ. IV. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КАСАНИЯ 211 откуда Так как dp и dq должны исчезнуть в этом равенстве, то мы получаем, что (^+^1)aa?+(n,+^.)t = 0- Если г) ( 1? п\ ^ Ot то отсюда мы получаем соотношения (2.5i), и вышестоящее равенство дает равенства (2.5!). Мы утверждаем теперь, что равенство - * ь Уг' = 0 невозможно. Действительно, иначе существовало бы соотношение между х, у, z, хх и yv которое не было бы отлично от (2.4Х), так как это единственное направляющее соотношение; возьмем его, например, в виде и запишем, что коэффициенты при dp и dq в выражении dzx— —pxdxx— Q1dyl равны нулю; получим др Г) (2 X \ Мы имели бы, таким образом, также * u V = 0 и тем самым г £>(Р> Я) другое соотношение между х, у, z, xv yx, zv отличное от предыдущего, что противоречит нашему допущению. Третий случай. Преобразования с двумя направляющими уравнениями (или второго класса). В- случае, когда имеются два направляющих уравнения (24г) J F(x, у, г\ xv yv zt) = 0, \ G(x, у, z\ xv yv zt) = 0, точке и множеству плоскостей, через нее проходящих, соответствуют кривая и множество ее касательных плоскостей. Поверхности и ее касательным плоскостям соответствует конгруэнция кривых, каждая из которых должна иметь элемент касания, общий с образом М2 поверхности. Это многообразие М2 состоит из фокальной полости полученной конгруэнции. К уравнению (2.42) нужна
212 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ присоединить уравнение (2.52) К+рК Гу + яК = 0. (2.5Q = 0. (2.6) &+РО'. °у + 1<К\ Проведя то же рассуждение, начиная с (xv yv zx)t мьг получаем Кг+Р'К РЪ + ЯК g'^+pK о'У1 + чК\ Это дает пока только четыре уравнения. Чтобы получить последнее уравнение (вместе с двумя предыдущими), мы вернемся к естественной аналитической точке зрения. Преобразуя, как и выше, уравнения dF = 0 и dG = 0, имеем ( (/£ +pF'z) dx + (Fy + qF'z) dy + {F'Xl +PlF'2l) dxx + (0'a,+p0*)dx+ . , . . =0. Если бы две формы в левых частях этих равенств не были бы пропорциональны, мы могли бы найти их линейную комбинацию, содержащую самое большее три дифференциала. Допустим, что мы получили, например, уравнение вида Adx + Bdy-+-Cdx1 = Ot С Ф 0. Заменяя хх его выражением, мы видим, что дх1[др = 0, dx1/dq = 0, так как коэффициенты при dp и dq должны быть нулями; отсюда следует, что хх является функцией одних х, у, z и первое из уравнений (2.42), например, можно заменить уравнением f(x, у, z) — xt = 0. Заменяя хг его значением во втором уравнении и разрешая его, мы можем написать эту систему в виде g(x, у, z, уг)ш (2-0 1*1 = ; допуская при этом, что zt входит существенно1). Переходя к дифференциалам, мы видим, что второе из уравнений (2.6) дает +[(*+«*)-л(^+«*)]^+(^-*)'л-о. 1) Случай, когда zx не входит существенно в (2.42), рассматривается таким же образом и приводит к продолженному точечному преобразованию.
ГЛ. IV. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КАСАНИЯ 213 Приравнивая нулю коэффициенты при dp и dq, имеем (*М~ — а\^— О ( dg а \ dyi — О \дУ1 q4 dp -°- [ду± ЧЧ dq -°- Следовательно, либо dyJdp — 0, dyjdq = 0t тогда j^ будет функцией только (л:, yt z), и мы приходим к случаю продолжения точечного преобразования, который исключили; либо дУ1 ■?i = 0. Если последнее имеет место, то коэффициенты при dx и dy должны быть нулями, что дает f'x+Pf'z К + яК Sx + PSz Sy + QSz Другими словами, линейные формы относительно дифференциалов, получаемые из (2.4а) так же как формы (2:6), получались из (2.42), являются пропорциональными. Но так как система (2.42) не может, вообще говоря, быть приведена к виду (2.42), то отсюда следует, что во всех случаях формы (2.6) должны быть пропорциональны. Итак: Два направляющих уравнения (2.42) порождают, вообще говоря, преобразование касания, получаемое присоединением к этим уравнениям соотношений (27) К + рК = Г'у + яК = Р'ъ+рК = Кг + lK 0'Х+Р0'г G'v + qG'z G'Xi + PlG'Zi G'yi -H^ " Следует добавить, очевидно, предположение, что получаемая таким образом система не является неопределенной. 3. Примеры. 1° Преобразования по принципу двойственности. Мы называем так преобразование первого класса, определенное соотношением, линейным по (х, у, z) и (jq, y^, z{), которое мы запишем в виде (3.1) Xx+Yy + Zz + T = 0, где X, Y, Z, Т — линейные многочлены по (xl9 ylt Zj). Точке пространства Е и плоскостям, проходящим через эту точку, соответствуют плоскость в Е± и точки этой плоскости и.обратно. Образ поверхности, рассматриваемой как геометрическое место точек, в одном из пространств является в другом пространстве огибающей плоскостей. Общий метод дает прежде всего для определения (xl9 ylt z{) уравнения (3.2) fX + pZ-0. \Y+qZ = 0. Определитель системы (3.1) и (3.2) по X, Y, Z отличен от нуля, и мы должны поэтому иметь Т Ф 0, чтобы соотношение (3.1) определило преобразование касания.
214 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ Установив это, находим X_= Y = Z = Т р ~~ q —1 z — px — qy ' Мы получим затем (д^, ylf 2^), разрешая эту систему. Чтобы она была совместна, необходимо, чтобы четыре выражения X, Y, Z, Т были линейно независимы, и проективное преобразование (xtt yv zt) в (XjT, Y/T, ZjT) будет тогда невырожденным. Но преобразование, определенное уравнением Xx+Yy + Zz+1=0, элементов касания пространства (х, у, z) в элементы касания пространства (X, Y, Z) можно интерпретировать как преобразование взаимными полярами по отношению к сфере x* + y* + z*+l=0. Итак, всякое преобразование по принципу двойственности есть произведение преобразования с помощью взаимных поляр на проективное преобразование. 2° Преобразование Ли. Среди преобразований второго класса простейшими являются преобразования, определяемые двумя билинейными соотношениями F = 0 и (7 = 0. Точке одного пространства соответствует прямая в другом пространстве, и когда точка изменяется, прямая-образ описывает комплекс1). Пусть /С—комплекс прямых, образов точек пространства Е± в Е, /d — аналогичный комплекс в Ех. Прямая Dt — образ точки (х, у, z) из Е в Et — получается, если взять пересечения плоскостей, определенных двумя нашими уравнениями. Но эти плоскости находятся в проективном соответствии, так как уравнения F=0 и (? = 0 линейны по (xl9 ylt zt). Пересечения пар этих плоскостей, проходящих через точку из Elt образуют конус второго порядка (действительно прямые, по которым каждая пара пересекает фиксированную плоскость, будут находиться в проективном соответствии, следовательно, геометрическое место точек их пересечения есть коническое сечение). То же рассуждение применимо к комплексу К- Следовательно*, два комплекса /С и К± будут вообще комплексами второго порядка, и конус комплекса, проходящий через точку одного из пространств, будет геометрическим местом прямых-образов точек другого пространства, расположенных на прямой-образе вершины конуса. Может случиться, что один из комплексов К или Кх (или оба) вырождается в линейный комплекс; тогда конус комплекса сводится к плоскости. Когда один из комплексов, например /С, линейный, a /flf кроме того, есть комплекс изотропных прямых, то мы получим преобразование Ли. Будем исходить из некоторой прямой D пространства Е; ей соответствует в Ei линейчатая поверхность S, геометрическое место изотропных прямых. Прямые комплекса /(, проходящие через одну и ту же точку т прямой Д суть образы точек одной и той же изотропной прямой из S. Пусть п — другая точка прямой Д тр и пр — две прямые из /С, расположенные в одной и той же плоскости-, проходящей через Д тогда образ точки р есть изотропная прямая, имеющая общую точку с образами т и л, так как каждая из прямых тр и пр есть образ точки из Е. Когда при фиксированном р точка п пробегает прямую Д прямые рп все время принадлежат /С, поскольку /С линейный комплекс. Значит, изотропная прямая-образ точки р встречает все образующие поверхности S, Поэтому S имеет две системы прямолинейных образующих, причем каждая из систем образующих состоит из изотропных прямых; следовательно, 5 есть сфера. 1) См. (II, V, 1). — Прим. перев.
ГЛ. IV. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КАСАНИЯ 215 Итак, образ прямой пространства Е и ее элементов касания есть сфера и ее элементы касания в Ех. Заметим, что если прямой* D из Е соответствует сфера S в Еь то сфере 5 в Е1 будут соответствовать, вообще, две прямых в Е: прямая D и геометрическое место ранее описанных точек р, которое также является прямой. Говорят, что преобразование Ли переводит прямые в сферы. В этой форме важность этого преобразования очевидна: оно сводит геометрию сфер к геометрии прямых, и наоборот. Оно преобразует линейчатую поверхность в огибающую семейства сфер, две пересекающиеся прямые в две касательные сферы, так как такие прямые имеют общий элемент касания, состоящий из общей точки двух прямых и плоскости, их содержащей. Оно переводит, следовательно, развертывающуюся поверхность Л в огибающую семейства сфер, таких, что каждая из них касается бесконечно близкой сферы. Характеристические окружности будут иметь нулевой радиус, кривая, описанная их центрами, будет эвольвентой геометрического места С центров сфер, следовательно, это будет ортогональная траектория образующих развертывающейся поверхности Г с ребром возврата С1). В качестве направляющих уравнений преобразования Ли можно взять уравнения хх + *У\ + x*i + z = О, ■*(** — tyi) — *1 + У = 0. Применение общего метода приводит к соотношениям x(z — px — qy) — zq q— х * Р + У *х + *У\ = Xl — /ух = q-x' px + qy qx— 1 qx = — l q + x • Образ прямой x = az + а', у = bz + b' есть сфера a (A + yl + 4) + (b — a')xt+i(b + a')yi — (ab'--ba'---\)z1 — b' = 0. 3° Дилатация. Это преобразование определено единственным направляющим уравнением (хх - х)* + (У1 - у Я + (гх - г)* = R\ где R постоянно. Уравнения (2.5j) запишутся здесь в виде *) Понятие эвольвенты кривой рассматривается дальше (II1, 1.9).
216 ПЕРВАЯ ЧАСТЬ Они показывают, что поверхность 5 и ее образ Si имеют в соответствующих точках одну и ту же нормаль. Направляющее уравнение показывает тогда, что Si получается, если отложить на нормалях к S постоянную длину R. Итак; поверхность S преобразуется в две поверхности, и мы получаем вновь конфигурацию параллельных поверхностей (предыдущая глава, § 4) Упражнения 1. Подэра и антиподэра. Из фиксированной точки О опускаем перпендикуляр ОР на касательную плоскость в точке М к поверхности S (Р лежит в этой плоскости). Геометрическое место точек Р есть поверхность 2, называемая подэрой поверхности S относительно О. Рассмотреть построение касательной плоскости к 2 в точке Р и переход от 2 к S (антиподэра поверхности 2). 2. Апсидальное преобразование. Соединяем фиксированную точку О с точкой М поверхности S; пусть MN— нормаль в М к S. В плоскости OMN восстановим в О перпендикуляр к ОМ и отложим на нем ОР = ОРг = ОМ Преобразование М в Р (или в Р') есть преобразование касания, называемое апсид альным. Рассмотреть построение касательной плоскости к геометрическому месту 2 точек Р и обратное преобразование. Найти образ сферы. Показать, что, когда S есть эллипсоид с центром в О, 2 есть волновая поверхность. 3. Всякое преобразование касания, переводящее элементы касания некоторой плоскости в элементы касания точки, есть произведение поляритета Р (преобразования взаимными полярами) на точечное преобразование р. Всякое преобразование касания, переводящее элементы касания плоскости в элементы касания плоскости, имеет форму РрР. 4. В анализе встречаются два следующих преобразования: Преобразование Лежандра. Оно определяется уравнением **i + >7i — 2 — *i = 0 (поляритет относительно поверхности х* + у2— 2z = 0). Преобразование Ампера. Оно определяется уравнениями xi = x. z*i — У — У1 = 0. [Комплексы /С и /Ci (§ 3, 2°) оба являются специальными линейными комплексами.] 5. Показать, что преобразование (х, у, z, p, q) в (xv yit zb рь qt), сохраняющее уравнения Пфаффа dx + р dz = 0, dy -f- q dz = 0, есть точечное преобразование, продолженное с помощью этих двух уравнений (мы здесь имеем дело с преобразованиями, переводящими две касающиеся кривые в две касающиеся кривые). 6. Называя преобразованием касания второго порядка хх = хх (х, у, z, p, q, г, 5, *)» • • •> к = h (• • •) преобразование, сохраняющее систему Пфаффа dz —pdx — qdy = 0, dp — rdx — sdy = 0, dq — s dx — t dy = 0,
ГЛ. IV. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КАСАНИЯ 217 показать, что такое преобразование есть продолженное преобразование касания. 7. В силу замечания во второй сноске на стр. 205, § 1, аналитическое изучение преобразований касания не будет полным, если мы не определим элемент касания шестью координатами (х, у, z, и, v, w), считая три последние однородными, т. е. считая два элемента (х, у, z, и, v, w) и (хг, у', z\ и', t/', wr) равными, если х == х\ у = у', z = z' и —Г = —Г=—Гл Преобразование касания, определенное уравнениями х1 = х1(х, у, z, и, v, w), ..., wi = w1(...)t где xlt Уъ zt однородны и степени (однородности) нуль по и, v, w; uv vt, Wi однородны той же степени, должно сохранять уравнение Пфаффа и dx + v dy + w dz = 0.
ВТОРАЯ ЧАСТЬ КЛАССИЧЕСКИЕ ГЕОМЕТРИИ ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ ЭВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ Глава I ТЕОРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ 1. Введение. Мы будем излагать метрическую дифференциальную геометрию в Е3, применяя метод подвижного репера (здесь подвижного триэдра). Однако мы дадим и содержательные указания относительно классических методов, столько же ради результатов, которые эти методы иногда дают в удобной форме, сколько и для того, чтобы облегчить чтение большой литературы, написанной в этом стиле. В применении к теории пространственных кривых метод подвижного репера не имеет, впрочем, преимуществ по сравнению с классическим методом. Однако мы его применим для упражнения, а также для того, чтобы сохранить единство изложения. Напомним, что в пространстве Ег через elf e2, е3 обозначаются три единичных, попарно ортогональных вектора и через т — переменная точка, причем m есть обозначение вектора От, где О — фиксированное начало. Имеем (1.1) dm = о)^! -f- о)2е2 -f- w3e3, (wn = о)22 = о)33 = О, det= -* +wie2 + wie3 a>i = — a>i, de2 = — a>?e! ■+- * + <*>l*s. 3 3 2 de3 = — coiei — a>aea + ■* щ 1 3 <*>3 = — a>i» = — w2J. Уравнения структуры группы движений (О, III, 7.7) и (О, III, 7.9) запишутся в виде (1.2) (1.3) Г dm1 = — а)2 Д w2 — о)3Л^ dv>2 = а)1 Д a)2 — о)3 Д со| ( dm3 = о)1 Д a>J -\- о2 Д о)** < da* = — о)2 Д ©J, I d<o* = со2 Д <о*.
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ 219 2. Формулы Серре—Френе. Рассмотрим в прямоугольной системе координат кривую Г: т(и): х = х(и), у = у(и), z = z(u), где т(и) имеет непрерывные производные до достаточно высокого порядка (для определенности до порядка 4), в сегменте и0^ и <; uv Выберем направление обхода на кривой, например, направление возрастания значений параметра и. С каждой точкой т(и) мы свяжем триэдры, называемые триэдрами первого порядка, имеющие началом эту точку и первой осью направление единичного вектора t ориентированной полукасательной в точке т (t2=l). Таким образом, мы имеем а)2 = о)3 = 0. Тогда о)1 не зависит более ни от какого вторичного параметра, это инвариантная дифференциальная форма кривой Г. Так как ш1 зависит только от одной переменной, это точный дифференциал: cte = (D1. Два последних уравнения (1.2) дают ( О)1 Д (02 = 0, ИЛИ Ц)2 = аа)1} | (°1Л(01 = 0» или о)3 = £а)1. Остался только один вторичный параметр е\, соответствующий форме о)| (который выражает, что триэдры первого порядка определены с точностью до вращений вокруг касательной); а и Ъ будут функциями и и вторичного параметра. Из (2.1) и (1.3) выводим f (da — £(d|) Д w1 = 0, или da — Ьы\ = а1 о1, (2'2) ( (db + aafyA *1 = 0. или db-\-av\ = Vat% где а' и V — также функции и и вторичного параметра. Что касается вариации а и b по вторичному параметру, то уравнения (2.2) дают Ьа — Ье62 = 0 ЪЬ-\-ае* = 0 , откуда аЪа + ЬЪЬ = ±Ъ(а2-\-Ь2) = 0. Полагая а2-\-Ь2 = р2 (р > 0), мы видим, что р — инвариант порядка 2, называемый кривизной. Полагая теперь а = р cos 6, ft ^= p sin 6, мы получаем вариацию б из уравнения 80 + ^ = 0. Группа, действующая на 0, есть, таким образом, группа переносов. Чтобы фиксировать триэдр, мы можем дать 0 некоторое произвольное значение. Мы возьмем 0 = 0 и получим таким образом единственный триэдр второго порядка: это триэдр Френе.
220 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ Сделав это, имеем £ = 0, или wj = 0, далее, а = р. Уравнения (2.2) сводятся к одному, которое мы запишем в виде п1 ltd)1 где х — инвариант третьего порядка, называемый кручением. Обозначая через п и b единичные векторы, лежащие соответственно на второй и третьей осях триэдра Френе, мы получаем формулы Серре — Френе: (2.3) dm ds dt^ ds dn ds db ds = t, = pn, = ^pt-hTb, -ТП. Наши рассуждения не применимы, когда a2-f-£2 = 0. В этом случае, если а и Ъ — не нули, речь идет, как мы это увидим в упражнении 1, о кривых, расположенных в изотропной плоскости. Если а = Ь = 0, то редукция не может быть продолжена: триэдры порядка 1 будут триэдрами Френе. Значит, мы имеем дело с особыми кривыми. Между тем мы имеем dt/ds = 0, t есть постоянный вектор, т. е. речь идет о прямых. Наконец, в дальнейшем, мы рассмотрим теорию кривых, у которых dm/du есть вектор нулевой длины (минимальные кривые); к ним предыдущие рассуждения также не применимы (§ 10). 3. Триэдр Френе. Формулы (2.3) показывают прежде всего, что ds2 = (о)1)2 = (dm)2 = dx2 + dy2 + dz2, т. е. о)1 — дифференциал дуги кривой F. Выбрав точку т0 = т(а0) в качестве начала на Г, мы можем определить положение любой другой точки т(и) ее криволинейной абсциссой т и и т0 **0 «о Длина дуги т'т" имеет величину и" J Vidm)2
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ 221 откуда мы легко выводим, что .. m7^" 1 Может оказаться удобным ввести несколько более общие криволинейные абсциссы, сопоставив точке т0 произвольную криволинейную абсциссу s0\ тогда абсциссой точки т будет s0 + 5 и на Г не обязательно будет существовать точка с криволинейной абсциссой нуль. 5 является натуральным параметром в теории пространственных кривых эвклидовой геометрии, и этот параметр, является допустимым по отношению к определению порядка точки. Мы имеем, действительно, представление F в виде m(s): x = x(s), y = y(s), z = z(s), причем *'2+У2-М'2 = 1. Единичный вектор dm/ds = t, отложенный на ориентированной полукасательной в направлении возрастания $, имеет направляющие косинусы dx й dy dz ai — ~di> Pl — Is9 Tl — ~df Как мы видели (1,1.6), вектор d*m dX -d&=!I = Pn определяет вместе с касательной соприкасающуюся полуплоскость к кривой Г в точке т, т. е. он направлен в сторону вогнутости кривой. Так как он, с другой стороны, перпендикулярен касательной, то мы его называем нормальным к кривой, и прямая, на которой он расположен, называется главной нормалью к V в точке т. Так как р положительно, вектор п также ориентирован в направлении вогнутости кривой; мы обозначим его направляющие косинусы через а2, р2, у2. Что касается вектора b = t Л п» то он тоже нормален к F; прямая, на которой он расположен, называется бинормалью к Г в точке т *). Его направляющие косинусы суть <*з = Р1Т2 — fcTi- Рз = ТЛ — T2<*i. Тз = ai?2 — ofePi. !) Название это имеет следующее происхождение. Направление бинормали есть предел направления, ортогонального к касательной в точке т и касательной в точке т + Am, стремящейся к т* Действительно, направление касательной в т (s + As) есть t + As == t -f- Aspn + .... Ортогональное
222 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ Рис. 26. Плоскость (т, t, n) называется соприкасающейся плоскостью, плоскость (т, п, Ь) — нормальной плоскостью, плоскость (т, b, t) — спрямляющей плоскостью. Когда мы меняем направление обхода на Г, векторы t и b переходят в противоположные векторы, но направление вектора п триэдра Френе инвариантно. Классическая теория состоит в том, что триэдр Френе определяется a priori указанными выше свойствами, а затем устанавливаются формулы (2.3). 4. Кривизна и кручение. Формулы Серре — Френе показывают, что р и z имеют размерность, обратную к длине. Полагают обычно /? = 1 /р, Г=1/х и называют R и Т соответственно радиусами кривизны и кручения кривой в точке т. Кривизна допускает определение, аналогичное тому, которое дано для плоских кривых. Из начала О проводим вектор 0[x = t. Когда т изменяется на Г, [х описывает на сфере радиуса 1 с центром О кривую у, называемую сферической индикатрисой касательных для кривой Г. Направление обхода на индикатрисе индуцировано тем направлением обхода, которое выбрано на Г. Положительная полукасательная к кривой f в точке [х имеет направление вектора п. Отображение кривой на ее индикатрису показывает прежде всего геометрически, что направление вектора п инвариантно. Действительно, пусть тг■= т(s + As) (As>0)— точка, соседняя с m(s)> щ— ее сферическое изображение. Направление вектора п есть предел направления вектора jx^. Если мы меняем направление обхода» мы получаем в качестве сферической индикатрисы кривую у', симметричную у относительно О. Пусть jj/ и ^ — сферические образы точек т и mv Так как тх теперь предшествует т, то направление dt/ds есть предел направления вектора \ь'\ь[, имеющего то же направление, что и [х^. Пусть теперь о — криволинейная абсцисса на сферической индикатрисе, [л (а) — образ вектора т. Мы имеем dz2 = dp = dt2, направление к t и к t + At есть tA(t + At) = pAstAn+ ... =PAsb+ ..., где ненаписанные члены имеют порядок по крайней мере 2 относительно As. Это направление стремится к Ь, когда As стремится к нулю.
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ 223 откуда, в силу (2.3), f da V* _ ,ds) —{ или, принимая во внимание, направление, выбранное на у, do Пусть т1 = т (s ■+- As) (As > 0) — точка, близкая к т, и пусть [11! = = |i (a-f-Аа) — ее сферический образ. Имеем hm -т— д8->о л* As->0 |W*1 I A* Д8-»0 A* так как Ао/| ji^l, отношение длины дуги у к ее хорде, стремится к 1. Рассматривая теперь наименьшую дугу большого круга сферы, проходящую через [х и \*.v обозначим через А0 ее длину. Это в то же Рис. 27. время есть угол между касательными к Г в точках т и mv причем отношение А0/| ^х\ точно так же стремится к 1. Отсюда следует, что р = lim As->0 1 WHi As = lim As->0 1МЧ1 A6 A0 As = lim As>0 A6_ As Кривизна, таким образом, есть предел отношения угла смежности к длине дуги, когда точка т1 стремится к точке т (углом смежности называется угол между касательными в т1 и т). Что касается радиуса кривизны, то можно показать, что это есть радиус соприкасающейся окружности к кривой в точке т или круга кривизны. Действительно, окружность, проходящую через т, можно определить как пересечение сферы, на которой эта окружность является окружностью большого круга, и плоскости, прохо-
224 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ дящей через т и центр сферы с\ мы имеем уравнения сш2 = /<?, cm • А = 0, где К обозначает радиус круга и А — некоторый вектор. С помощью двух дифференцирований выводим отсюда cm • t = 0, 1 -4- рп • cm = О, t-A = 0, n-A = 0. Мы видим прежде всего, что вектор А должен быть коллинеарен вектору Ь, т. е. что точка с должна находиться в соприкасающейся плоскости. Уравнение cm • t = 0 показывает тогда, что с лежит на главной нормали, и соотношение 1+рп-сщ = 0 означает, что mc=/?n. Мы имеем, следовательно, K = R. Радиус круга кривизны равен, таким образом, /?, а его центр, называемый центром кривизны, лежит на главной нормали. Можно было бы также ввести понятие индикатрисы главных нормалей и индикатрисы бинормалей. Первая не представляет никакого интереса, последняя же выводится из индикатрисы касательных конструкцией, называемой конструкцией с помощью дополнительных конусов, и позволяет дать интерпретацию абсолютной величины кручения как предела отношения угла между двумя близкими, соприкасающимися плоскостями к дуге. Перейдем к вычислению р их. Взяв за параметр криволинейную абсциссу, мы имеем прежде всего из формул (2.3) <4Л> р2=Ы) =Ы) +Ы) +Ы-) • Для кручения, умножая dn/ds скалярно на Ь, имеем или, заменяя b на tAn> Но откуда dn ds Заменяя dn/ds этим значением в предыдущем смешанном произведении и вспоминая, что смешанное произведение, в которое входят (*-'п'-зг)=т- 1 d\ = 1 d4 dt /l \ р ds* "•"" ds \ р /
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ 225 два коллинеарных вектора, равно нулю, мы получаем JL(t ^L d4\ — р« Y' ds ' ds*)~%1 откуда находим окончательно, заменяя р2 его значением, (4.2) Т = dm d*m d*m\ ds ' ds* ' ds* ) I d*m \* \ ds* ) При произвольной параметризации кривой m (и), обозначая штрихами производные по и, имеем / . , dm , ds* ds ds* В последнем равенстве ненаписанные члены являются линейной комбинацией dm/ds и d2m/ds2. Отсюда получаем прежде всего ^/2 ,2 m'Am" = ps'3b, 2 (m'Am")? _ (dmAd*m)* 9 (m'2)3 (dm*)* ' откуда (4.3) В прямоугольных координатах это запишется так: (x'2 + y'2 + z'2)* (ААЛ 2 _ {y'z" - г'у")* + (*'*" - х'*)* + (х'Г -У'х>')* К ' V /„,2 , „/2 |_ ^2\3 Имеем, далее, (т, т , шО^, -^, "^г)*6- Отсюда и из (4.2) получаем (4.5) _ (m't m", m'") _ (m't m", m'") __ (dm, d*m, d*m) s'V (т'Лт")4* или, в координатной форме, (dmAd*m)* (4.6) х у xr xrrr yW zm *" y" z" (y'z? — z'y")* + (z'x" — x?z")* + (x'y" — у 'x")*
226 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ Знак кручения совпадает со знаком смешанного произведения (in', m", m'"). Кривизна и кручение будут функциями p(s) и x(s) точки на кривой F; если Г — аналитическая кривая, то p(s) и z(s)— аналитические функции. Замечания. 1° В точке действительной кривой Г, в которой кривизна равна нулю, пГДт" = 0 (что записывается также в форме dt/ds = 6). Следовательно, пГ и т" колинеарны, касательная стационарна, точка не является обыкновенной точкой второго порядка. Мы видели (I, I, 5), что кривая, касательная к которой стационарна во всякой точке, есть прямая. Прямые являются единственными действительными кривыми с нулевой кривизной — результат, который был получен в § 2 из других соображений. 2° Точка, в которой кручение равно нулю, не является обыкновенной точкой третьего порядка в силу (4.5) и соприкасающаяся плоскость в ней стационарна. Мы видели (I, I, 5), что кривая, соприкасающаяся плоскость которой стационарна в каждой точке, будет плоской. Итак, единственные кривые, на которых кручение тождественно равно нулю, суть плоские кривые. 5. Положение кривой в окрестности точки по отношению к триэдру Серре — Френе. Знак кручения. В окрестности точки /я0, криволинейную абсциссу которой мы предположим равной нулю, мы имеем, при условии существования и непрерывности производных до достаточно высокого порядка, где индекс 0 указывает, что производные берутся в точке т0. Дифференцируя второе из уравнений (2.3), имеем, с другой стороны, -g^-pt + P'n + pxb. Выбрав в качестве осей координат т0 (х, у, z) те оси, которые определены триэдром Серре — Френе в точке /ио, мы получаем из приведенного выше разложения x = s + * — P0-5-+ ••• > и это позволяет нам выяснить поведение проекций кривой на три плоскости триэдра Серре — Френе в окрестности точки т0 при допущении, что р их отличны от нуля в рассматриваемой точке (т. е. что точка обыкновенная по крайней мере третьего порядка). На соприкасающейся плоскости проекция касается в точке т0 оси т0х и обращена вогнутостью в сторону вектора п. На нормальной плоскости проекция имеет в т0 точку возврата первого рода с полукасательной пцу и эта полукасательная расположена с той же стороны, что и п, относительно оси Oz. Все это совпадает с интуитивной интерпретацией свойств соприкасающейся полуплоскости, о которой мы уже упоминали в (I, 1,6), а именно,
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ 227 что репер, имеющий ребром касательную и содержащий соприкасающуюся полуплоскость, содержит целую окрестность точки гщ. На спрямляющей плоскости в зависимости от знака «и мы имеем две различные картины, что позволяет дать интерпретацию знака этой величины. При обычной ориентации пространства наблюдатель, стоящий на соприкасающейся плоскости в точке главной нормали, близкой к щ, видит, что точка, описывающая кривую и поднимающаяся по отношению к наблюдателю в окрестности точки т& вращается справа налево, когда т > 0, и слева направо, когда т < 0. Обычный винт, который завинчивают слева направо, имеет положительное кручение. То>0 со<0 Рис. 28. 6. Определение кривой ее натуральными уравнениями. Мы покажем, что пространственная кривая определяется с точностью до перемещения заданием ее кривизны p(s) и ее кручения z(s) как функции дуги, или, как говорят, ее натуральными уравнениями. По правде говоря, этот результат будет частным случаем общей теоремы, полученной нами* относительно вложенных многообразий (0, 111,9). Однако небесполезно изучить в этом частном случае, как ставится задача интегрирования. Вернемся к формулам (1.1) и рассмотрим перемещение триортогональ- ного триэдра, зависящее от одного параметра и. Полагая о)1 = a1 du, со2 = a2 du, о>з = дз du, o>j = г du, (of = — q du мы запишем эти формулы в виде dm 4- р du, (6.1) \ du det du de2 a^i -f- a*e2 + я3е3, :re2 — qez, ™t + pes, du dea или, обозначая через v (и) вектор с координатами (а1, а2, а8), называемый скоростью точки т, и через со (и) вектор с координатами (р, q, r),
228 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ называемый мгновенной угловой скоростью триэдра1), в виде dm (6.2) f dm_ I du = v, ^®l "^ a ^e2 *>Ле2, -^f-== °>Ле3. Задача, которую мы хотим решить, есть задача определения движения триэдра по начальным условиям и заданным v (и) и со (а). Пусть в фиксированной системе координат (О, X, Y, Z) координаты вектора е< (/=1,2,3) суть (о<, (5$, Yi). Система (6.1) дает (5а) da-i du = га2 —?а3, du daz du = pa9 — ralt (5P) =*ЯЧ—Раь ф-А-ПЬ (5t) _^Рз = ?Pi — /fe ill du diz <*7s du = ОГ2—4ПГ8. Hi. С точностью до обозначений эти три системы одинаковы и могут быть записаны в виде = гУ — qZ, (S) du dY _ v -т— = pZ — rX, du r В анализе доказывается, что если р, q, r — непрерывные функции от и, то система S имеет единственное решение. Ее общий интеграл линейно зависит от трех параметров. Легко проверить, что если (X, Y, Z\ (Xlt Yb Z%) — две системы решений, то мы имеем интегрируемые комбинации du ' du du X dXt du ■Y%L+Z& du ' du •X, dX du 1 du ' 1 du Отсюда следует, что X* + К* + Z« = const, XXt + YYt + ZZ± = const. Мы можем, следовательно, определить ei„ e2, e3 таким образом, чтобы для начального значения и = Uq оТни были единичными и образовывали три- ортогональный триэдр. !) Эти выражения взяты из кинематики, где и обозначает время.
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ 229 Тогда все время будем иметь «1 + «2 + «з =• *< «А + «2?2 + «зРз = 0; Й + Ре + Р* = 1. Э1Т1 + Р2Т2 + РзТз = 0; 7? + т| + Тз = 1. Ti«i + ?2*2 + Тз«з = 0, а это и значит, что векторы elf e2, е3 остаются единичными и все время образуют триортогональный триэдр. Присоединяя к системе (So) первый интеграл (6.3) «1 + 4 + 4 = 1> можно свести интегрирование этой системы к интегрированию уравнения Риккати. Действительно, выберем на сфере (6.3) в качестве координатных линий прямолинейные образующие, полагая (6.4) ^+^ = _1±«^ = х> ^±±l=±Z3_=_lLi 1 — ад аj — ia.t± 1 -[- ад а^ — ia^ что дает ,а сч 1 — Xfi , 1 + Хр. X + К- Тогда (Sa) дает ^ (al + ^a2) rftf rl(a1 + ta2) — (q—pt)afi, d(a±-ia2) =r/(gl_/g2)_(<y + ^)g3. Из первой группы соотношений (6.4) имеем <*(<*!+ **2) ^d[\(\ — a3)] ==/1__a ч <** tfoc3 rfa rftt v з; du du * d(a1 — ia2) = ^[т(1+а8)] _^ l + ga rfX 1 rfgg rftt rftt X2 du ~* \ du ' Подставляя эти выражения в предыдущие уравнения, умножая второе на X2 и складывая с первым, имеем Если а3 не равен тождественно нулю, то X удовлетворяет уравнению Риккати (б.б) ^l±PL»-ir,+ <l=£L, и нетрудно убедиться, что это верно и тогда, когда <х3 тождественно равен нулю [показав, что одновременно d\/dt=: — /гХ и (q + pl)^ + (g — pl) = 0]. Аналогичный подсчет показывает, что {д. удовлетворяет тому же уравнению.
230 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ Замечая, что для действительного триэдра число — 1/ц комплексно сопряжено с X, мы видим, что в действительном случае дело сводится к отысканию двух решений X и ц уравнения (6.6), таких, что X и —1/(* комплексно сопряжены. Формулы (6.5) дают тогда аь а2, и а3. Определив (а<, р$, ?<) и обозначая через (X, Y, Z) координаты точки т, мы получаем из первого уравнения (6.1) ЛХ , , * , * аУ ю i dZ 1 . — «о^ + л.+а» -^ = ^1+ .... -^ = ^1+-..; JT, У, Z определяются квадратурами, которые вводят три произвольные постоянные переноса. Окончательно мы видим, что движение триэдра определяется на- чальными условиями и заданными векторами у (и) и со (и). Возвращаясь к задаче определения кривой ее натуральными уравнениями, мы видим, что формулы (2.3) являются частным случаем формул (6.1) с векторами t, n, b вместо ец, е2, е3 и и = s — % причем точка т описывает тогда кривую Г, двигаясь равномерно со скоростью, равной 1. Тогда мы имеем /? = х, 0 = 0, г = р, причем вектор со находится в спрямляющей плоскости. Результат, который мы получили, выражается следующей теоремой: Кривая определяется с точностью до перемещения своими нату~ ральными уравнениями. Эта теорема заканчивает метрическую теорию пространственных кривых. Из нее следует, что точечные инварианты кривой суть функции от р и х и их производных по криволинейной абсциссе. 7. Винтовые линии. Мы называем винтовой линией кривую, касательная к которой образует постоянный угол с фиксированным направлением, называемым осью винтовой линии. Пусть к — единичный вектор, лежащий на этом направлении; тогда (7.1) t • k = cos V, где V—постоянный угол, значение которого заключено между нулем и те. Но при изменении направления обхода на кривой вектор t меняется на —t и cos V меняет знак. Поэтому на время можно предположить V заключенным между нулем и те/2. Сферическая индикатриса винтовой линии будет окружностью на сфере радиуса 1. В предельном случае эта окружность вырождается в точку, t имеет фиксированное направление и кривая сводится к прямой; в другом предельном случае эта окружность превращается в окружность большого круга; тогда b = ± к будет фиксированным вектором, и последнее уравнение (2.3) показывает, что х = 0, т. е. что кривая плоская. Исключив эти случаи, предположим, что (О, х, у, z)— триортогональ- ный триэдр, такой, что к — единичный вектор, лежащий на Oz. Тогда для винтовой линии будем иметь (Я) М(5): x = x(s), y = y(s), z = z(s\ а-определяющее ее соотношение записывается в форме (7.2) Ж = С08^
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ 231 откуда z = (s — s0) cos V. Пусть т — ортогональная проекция вектора М на плоскость хОу. Имеем М = m + zk, что дает *Ш = dm + k dz, откуда, если обозначить через а криволинейную абсциссу на проекции (К) кривой (//) на плоскость хОу, ds* = d& + dz\ Отсюда, применяя (7.2), получаем, что da2 = ds* sin2 V, и, выбрав на (h) направление обхода, индуцированное направлением, выбранным на (//), получим, что (7.3) da = ds sin V. Итак, можно положить a = s sin Vt выбрав соответствующие друг другу начальные точки на двух кривых. Из (7.2) и (7.3) находим, что откуда (7.4) -z = (a-a0)ctgK Обратно, если, начиная с плоской кривой (&), мы построим кривую (//), откладывая на перпендикуляре Oz к плоскости кривой (h) длину, пропорциональную ее дуге, то (Н) будет винтовой линией с осью Oz, так как из соотношения вида (7.4) мы выводим, что ds* = da* + dz*=dzH\ + tg*V) = 1^t откуда следует соотношение (7.2), причем направление обхода на (//) индуцируется направлением обхода на (Л). Итак, соотношение (7.4) характерно для винтовых линий и дает способ их построения. Вернемся к соотношению (7.1). Дифференцирование его дает pn»k = 0, откуда, исключая случай прямых (р = 0), имеем (7.5) п • к = 0. Вектор п остается, таким образом, параллельным фиксированной плоскости и это свойство также является характерным для винтовых линий, поскольку соотношение (7.5) можно записать также в форме рп • к = 0 (исключая всегда прямые), откуда интегрированием получается t • k = const, т. е. соотношение, совпадающее с определением (7.1). Уравнение (7.5) выражает, что соприкасающаяся плоскость винтовой линии (//), определяемая векторами t и п, нормальна касательной плоскости цилиндра, проектирующего (Я) на плоскость хОу, поскольку нормаль к этому цилиндру будет параллельна вектору п. Говорят, что (//) является геодезической линией цилиндра. Обратно, всякая геодезическая линия цилиндра, т. е всякая кривая, соприкасающаяся плоскость которой в каждой точке нормальна к цилиндру,
232 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ удовлетворяет уравнению (7.5). Следовательно, это винтовая, линия, которая, однако, может сводиться к образующей или к ортогональному сечению. Рассмотрим произведение b • к. Его производная — тп • к равна нулю. Таким образом, это произведение есть константа, и обратно, всякая пространственная кривая, у которой b • к постоянно, будет винтовой линией, поскольку отсюда следует, что п • к = 0, так что кривая будет винтовой линией, когда т Ф О, т. е. когда она неплоская. Рассмотрение триэдра Серре — Френе в точке на кривой (//) дает немедленно значение этой константы. Действительно, из (7.5) мы получаем, что бинормаль к ней лежит в касательной плоскости к цилиндру, проектирующему (//) на плоскость хОу. Так как она перпендикулярна t, то она образует с вектором к этой плоскости угол (-=-— V) , или (-0-+ V). Следовательно, b • к = ± sin V и это соотношение, как мы видели, характеризует винтовые линии. Когда мы меняем направление обхода на (//), правая часть равенства (7.1), а также правая часть последнего оавенства меняют знак. Мы выберем теперь определенный порядок обхода на (Я) таким образом, чтобы (7.6) b • k = sin V, причем угол V теперь будет заключен между нулем и ъ и в формуле (7.1) cos V будет положителен или отрицателен. Дифференцируем, наконец, соотношение (7.5). Получим ( — pt + Tb)k = 0, или, принимая во внимание (7.1) и (7.6), (7.7) — pcos K+xsin V=0, или tgV=—; это соотношение также является характерным для винтовых линий, т. е. кривая, для которой отношение кривизны к кручению постоянно, есть винтовая линия. Действительно, можно написать это соотношение в форме (7.7), где V обозначает угол, заключенный" между нулем и те. После умножения на вектор п будем иметь — рп cos V+ тп sin V = О, или по формулам Серре — Френе dX т. , db . тг л -т— cos V + —т— sin V = О, ds ' ds откуда интегрированием получается равенство tcos K + bsin K=k, где к обозначает постоянный единичный вектор. Умножая скалярно это соотношение на t, получаем t • k = cos Kt2 = cos К, т. е. мы снова приходим к определению винтовых линий. Вернемся к соотношению М = m + zk между текущей точкой на (//) и ее проекцией (h) на ортогональную к оси Oz плоскость. Дифференцируя, мы получаем сначала t = tt 1^+k-l^tiSin K+kcosK.
ГЛ. L ТЕОРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ 233- Второе дифференцирование дает рп = piiii sin2 V, где ti и щ обозначают единичные векторы касательной и главной нормали: к кривой (Л), a pi —ее кривизну. Мы получаем сначала равенство векторов п и щ, т. е. уравнение (7.5), и мы имеем, кроме того, (7.8) р = Р! sin* V. Это соотношение дает нам кривизну кривой (//) как функцию от кривизны кривой (h) в соответствующей точке*). Этот результат позволяет определить кривые постоянной кривизны и постоянного кручения. Так как отношение этих величин для такой кривой постоянно, то она представляет собой винтовую линию (//), проекция которой (h) на плоскость, перпендикулярную к ее оси, имеет постоянную кривизну, получаемую из формулы (7.8). Итак, (п) будет окружностью и (Я) — винтовая линия круглого цилиндра. Обратно, в силу (7.8), винтовая линия круглого цилиндра всегда имеет постоянную кривизну и постоянное кручение. 8. Конгруэнция нормалей к пространственной кривой. Множество нормалей к пространственной кривой F зависит от двух параметров, а именно от основания нормали на кривой и от ее ориентации в нормальной плоскости. Эти нормали образуют, следовательно, конгруэнцию, которую мы изучим. а. Полярная поверхность. Одна из фокальных поверхностей конгруэнции нормалей сводится к самой кривой Г, и одно из семейств развертывающихся поверхностей конгруэнции, очевидно, состоит из нормальных плоскостей. Поэтому второй фокальной поверхностью будет огибающая нормальных плоскостей. Если р — текущая точка нормальной плоскости кривой Г в ее точке т, то уравнение этой плоскости может быть записано в виде (8.1) Ыпр = 0. Дифференцируя по s, мы получаем рп • mp —12 = 0, или (8.2) п.тр = #. Это уравнение плоскости, параллельной спрямляющей плоскости и пересекающей нормальную плоскость вдоль ее характеристической прямой. Но плоскость (8.2) пересекает главную нормаль как раз в точке С с абсциссой R на п, т. е. С есть не что иное, как центр, кривизны. Характеристической прямой нормальной плоскости будет, таким образом, прямая, параллельная бинормали, проходящая через центр кривизны. Эта прямая называется полярной прямой кривой Г в ее точке т. *) Это соотношение является частным случаем формулы Эйлера, которую мы встретим далее при изучении поверхностей.
234 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ Когда точка т описывает кривую Г, полярная прямая описывает развертывающуюся поверхность, которая является второй фокальной поверхностью конгруэнции нормалей к F и называется полярной поверхностью кривой Г. Будем искать точку 5, в которой полярная прямая касается огибающей. Геометрическое место точек 5 будет ребром возврата полярной поверхности. Эти точки определены уравнениями (8.1), (8.2) и уравнением, полученным из (8.2) дифференцированием по s, а именно (— pt + xb)mp — n.t = -^-f откуда (8.3) Ъ-тр = Т-^-. Отрезок, отсекаемый точкой 5 на полярной прямой, считая от С в направлении Ь, равен T(dRfds). Вот еще одно интересное геометрическое свойство точки 5. Будем искать сферу, соприкасающуюся к кривой Г в точке т. Мы видели (I, II, 36), что эта сфера имеет с Г касание порядка по крайней мере 3. Пусть £— ее центр, р — текущая точка. Ее уравнение запишется в виде ^2=Д2. Уравнения, которые получаются, если записать, что производные этого уравнения по 5 обращаются в нуль до третьего порядка, определяют точку Е. Мы находим t./nS = 0, n.^S = #, Ъ-т% = Т-^-. С точностью до обозначений эти уравнения совпадают с (8.1), (8.2) и (8.3). Поэтому точка Е совпадает с точкой 5, которая является, таким образом, центром сферы, соприкасающейся к кривой Г в точке т. Ъ. Эволюты кривой. Будем теперь искать второе семейство развертывающихся поверхностей конгруэнции нормалей к Г. Эти поверхности опираются на Г и имеют ребро возврата на полярной поверхности. Пусть ->- v = n cos 6 -f- b sin 9 — единичный вектор нормали в точке т, образующий ориентированный угол б с п. Текущая точка р Этой нормали определена формулой p = m-f-/v, где / — скаляр. Чтобы найти развертывающуюся поверхность, проходящую через эту нормаль, мы попытаемся определить 0 и / как функции от 5 так, чтобы вектор dp/ds был коллинеарен вектору v.
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ 235 Но -g- = t+-§t + /[(-pt+xb)cos6-xnsine] + + -j- (— n sin 6 -f- b cos 6). Вектор vx = — n sin 0 •+- b cos 6 есть единичный вектор нормальной плоскости, образующий с v угол —f—ir/2. Векторы t, v, vt образуют поэтому триортогональный триэдр, и написанное выше равенство запишется в виде dp IF =(i-/pcos6)t+^+/(,+|); Для того чтобы вектор dp/ds был коллинеарен вектору v, необходимо и достаточно, чтобы 1— Zp cos 0 = 0, /(x4-|j) = 0. Так как из первого условия следует, что / Ф 0, можно написать /cos0 = #, т + -^ = 0. 1 as Условие / cos b = R указывает, что точка р должна находиться на полярной поверхности, как мы это уже знали. Второе условие дает закон, по которому должны быть объединены нормали к Г, чтобы образовать развертывающуюся поверхность. Интегрированием получаем 0 = 0О — ft(s)ds. Семейство развертывающихся поверхностей зависит от параметра 0С# Если мы знаем одну из этих поверхностей, мы получим из нее все остальные, заставляя образующие ее нормали поворачиваться на произвольный фиксированный угол, каждую в той нормальной плоскости к кривой Г, к которой она принадлежит. Каждая из этих поверхностей имеет ребро возврата, являющееся огибающей нормалей к F. Эти огибающие суть эволюты кривой Г, которая имеет, таким образом, бесчисленное множество эволют, зависящее от параметра 0О. Когда кривая F плоская, т = 0 и, следовательно, 0 постоянно для всякой развертывающейся поверхности. Эволюта, рассматриваемая в геометрии на плоскости и расположенная в плоскости кривой, соответствует значению 0=0. Полярная поверхность в этом
236 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ случае есть цилиндр, имеющий ортогональным сечением плоскую эволюту кривой F. Пространственные эволюты Г расположены на этом цилиндре; в силу постоянства угла 0 для каждой из них они будут винтовыми линиями на цилиндре. 9. Замечания. 1° Задача, обратная предыдущей, — это задача отыскания эвольвент, т. е. кривых А, эволютой которых будет заданная кривая Г, решается немедленно, если мы заметим, что точка р на А, соответствующая точке т на Г, лежит на касательной к Г в точке т; пусть p = m + /tt нужно определить / таким образом, чтобы t (dp/ds) = 0. Но Умножение на t дает откуда / = — (s — s0). Итак, эвольвенты зависят от одного параметра % это ортогональные траектории образующих развертывающейся поверхности, описанной касательными к кривой Г. 2° Огибающая соприкасающихся плоскостей и огибающая нормальных плоскостей к Г нами изучены, рассмотрим, наконец, огибающую спрямляющих плоскостей; это третья плоскость триэдра Серре — Френе, ее уравнение имеет вид п • тр = 0, поэтому ее характеристика получается присоединением к этому уравнению уравнения, полученного дифференцированием, а именно (— pt + тЬ) тр = 0. Это уравнение плоскости, проходящей через главную нормаль и пересекающей спрямляющую плоскость вдоль мгновенной оси вращения триэдра Серре — Френе. В самом деле, линия пересечения этих плоскостей содержит вектор с координатами (х, 0, р). Данная кривая Г обладает тем свойством, что в каждой ее точке соприкасающаяся плоскость нормальна к огибающей спрямляющих плоскостей. Говорят, что она будет геодезической для этой огибающей. 10. Изотропные кривые (или минимальные линии). Нам остается развить теорию изотропных кривых (или минимальных линий), касательные к которым суть изотропные прямые [(dm/du)* = 0]. а. Если такая кривая не сводится к изотропной прямой, то ее индикатриса касательных будет бесконечно удаленной мнимой окружностью. Отсюда следует, что ее соприкасающаяся плоскость будет изотропной плоскостью, ибо она касается бесконечно удаленной мнимой окружности. Кривая оказывается, таким образом, ребром возврата изотропной развертывающейся поверхности (огибающей однопараметрического семейства изотропных плоскостей). В прямоугольных координатах (х, у, z) такое семейство может быть представлено в виде (1 — и*) х + I (1 + и*) у — 2иг = 2//(и).
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ 237 Дифференцируя это соотношение 2 раза по и и разрешая полученные уравнения относительно координат, находим (ЮЛ) т(и){ -<[/-«/'-^4 у =/_«/' + 2 14- Ф /", * = -/(/*-«/"). Это не содержащие квадратур выражения, в которые входит произвольная функция. Ь. Циклические триэдры. Прямые, проходящие через некоторую точку и ортогональные изотропной прямой, проходящей через эту точку, образуют плоскость, содержащую саму эту прямую и касающуюся изотропного конуса с вершиной в этой точке. Поэтому невозможно образовать триортогональный триэдр, имеющий изотропное ребро. Пусть теперь ej — изотропный вектор с началом /я; выберем в качестве ез Другой изотропный вектор с тем же началом, который мы нормируем с помощью условия ех • е3 = 1. Две касательные плоскости к изотропному конусу с вершиной т пересекаются по некоторой прямой, на которой мы выберем вектор е2, нормированный условием е2 = 1. В силу нашего построения мы будем иметь также et • е2 = е2 • е3 = 0. Полученный таким образом триэдр называется циклическим; такой триэдр мы и свяжем с каждой точкой изотропной кривой, и его движения мы и будем изучать. Равенство (е-L, е2, е3)' 2 = е2е е3-е 3 3 = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 • ея = позволяет ориентировать вектор е2. Мы положим (10.2) (ех, е2, е3) = / и скажем, что получили прямой циклический триэдр [обратные циклические триэдры получаются приравниванием смешанного произведения (10.2) к —/]. Выводим отсюда (10.3) ejAe2 = /et, е2Ле3 = /е3, е3Ле! = /е2. Напишем также снова определяющие соотношения: е* = 1, е| = 0, е3.е!=1, е1-е2 = 0. (Ю.4) е? = 0, е2. е3 = 0, Циклические триэдры зависят от шести параметров: три параметра для определения вершины, один для фиксирования направления elf другой—чтобы фиксировать сам вектор, и один — чтобы фиксировать вектор е3. С помощью движения можно перевести заданный прямой циклический триэдр в произвольный прямой циклический триэдр.
238 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ Рассмотрим формулы, дающие бесконечно малое перемещение циклического триэдра (т, elt e2, е3). Их можно записать так: dm = ole! + с°2е2 + <*>3е3, з . rfe*=2HeJ (л = 1'2, 3). Принимая во внимание постоянство скалярных произведений (ел*/е^ + + е^- deh = 0) и их значения (10.4), находим «? = | „г _, 0, со* = 0, со* = 0, (10.5) о>1 -f- со* = 0, C0j -|- cog = 0, (02 -f" «з = Итак, можно написать [ dm = ^ех -}- со2е2 + соЗе3> rfe2 = и2сГ des = — со*е2 - • Ф» ■»ie. lc3* Внешним дифференцированием находим условия интегрируемости Г flftO = СО Д <йг -f- СО Д 0)2, flfcOj = СО^Л С02, (10.6) | rfco2 = со1 Л со2— со3Ло)^, </со2 = со|Лсо*? I d<a = — со Лсох — аг/\<й19 dсо2 = со2 Д coj. с. Пусть теперып (и) — представление изотропной кривой Г. С каждой ее точкой свяжем циклические триэдры, у которых вершины совпадают с этой точкой, а ее вектор et—с касательным вектором к кривой Г (триэдры первого порядка). Эти триэдры зависят от двух параметров: один фиксирует координаты elf а другой фиксирует е3. Мы получим тогда dm = coie^, откуда со2 = о>з = 0, и col содержит только дифференциал du главного параметра и не содержит дифференциалов вторичных параметров. Условия интегрируемости дают (10.7) со1Ло2 = 0, или ©J = а©1. Имеем две вторичные компоненты е\ и е\, как и следовало ожидать. С помощью внешнего дифференцирования соотношения (10.7) получим (10.8) (da — 2асо})д^1 = 0, или da — 2<oJ = — 2*to1, и последняя форма показывает, что, варьируя вторичные параметры, мы получаем 5а — 2а*| = 0. Это значит, что а умножается на произвольный множитель. Поэтому либо a = 0, либо можно выбрать вторичный параметр таким образом, что
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ 239> Избавимся сразу от случая #=-0. В этом случае редукция не может быть продолжена. Мы имеем det = w}elf касательная остается параллельной некоторому фиксированному направлению, и кривая будет изотропной прямой. Если исключить этот случай, то при замене триэдра (elf е2, ез) на (—е*, —ез, —е3) а> меняется на —д. Таким образом, можно всегда свести дело к случаю" а = 1. Тогда (10.7) переходит в (10.7') 0)2 = со1. Полученные таким образом триэдры зависят еще от одного параметра, это триэдры порядка 2; осталась лишь одна вторичная компонента е\. Второе уравнение (10.8) превращается в (10.8') со} = ^со1, и (10.6) показывает, что duX = 0 или rfcoi = da. Таким образом, мы получаем инвариантную дифференциальную форму кривой Г [она зависит от второй производной т(и)]; а есть дуга, введенная Вессио. Внешнее дифференцирование соотношения (10.8') дает (10.9) db — ©£ = — k«>\ откуда для вариации Ь по вторичному параметру имеем ЪЬ — е\ = 0. Группа, действующая на Ь, есть группа переносов; b может принимать, любое значение. Среди триэдров второго порядка мы выделим триэдр Френе (порядка 3), выбирая вторичный параметр таким образом, что b = 0. Формула (10.9) дает- со1 == Ajco1, где k — инвариант, называемый кривизной. Формулы Френе запишутся так: dm = rfaej, de± = dae2, de% = da (ke± — ез), rfe3 = — dakez. Задание k в виде функции от а (натуральное уравнение) определяет- изотропную кривую с точностью до перемещения. d. Что касается вычисления da и кривизны k, мы имеем сначала из (10.10)* d*m d& (10.10) / d*m \2 , d*m \_ (d^rn у da ' da* ' da* ) ~~ /; \ da* ) dm d*m d*m \ _ / d*m у = g Ho dm _ dm 1 da ШГ a' ' d*m d*m 1,1 dm ( 1 \' + "7u~\a>4 ' da* du* a'- 2 d*m d*m 1,3 d*m da* du* a'3 ^ 2 drf WV a' +2 rfaU'V a'*
240 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ откуда (10.11) (-2^= а'4, или ^ = (Лп)«, и / dm <Pm rf3m\ ,6 *\ du dii* du*)~Q ■ что дает (dm, tf?m, d*m) rfc« = /- (rf»m)* равенство, определяющее rfa с точностью до знака. Для кривизны мы имеем далее 3 rf?m rf3m / 1 у ^m_ rf3m / 1 \" du* di& \ c'2 / rftf rftf3 \ a'2 / Дифференцируя 2 раза соотношение (dm/du)* = 0 и один раз (10.11), мы легко проверяем, что откуда rfa»>/ + rfrt» rf«* J a'2 + rfa« da3 U'2 У + \ A* J V a'2 J ' что дает /flf?m flfBm\2 __9* /e_0/^3m\2 ^?m ^m 15 \ du* du*) I da* J Выбрав представление изотропной кривой в виде (10.1), находим da* = — lf»'(u)du*> h __ 15 (f^f - 4/"'/F ^_ - 2/ [(/")'/<]" 8(/'")3 (/'"/л Упражнения 1. Кривые, лежащие в изотропной плоскости. Вернемся к уравнениям (2.1) и (2.2) и предположим, что а?-]-Ь* = 0 (Ь = ±at, афО); отсюда следует, что Ьа + aie2 = 0. Итак, а определено с точностью до множителя. Можно, следовательно, определить триэдр второго порядка, взяв а = +1, так как мы здесь оперируем в комплексной области. Записав тогда (2.2) в форме + l<*\ = ^с°1 и положив далее со* = ds, находим dm de< , # . _ d\
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ 241 Вектор I имеет фиксированное направление; это изотропный вектор. Кривая будет плоской, она лежит в изотропной плоскости, содержащей I, k—инвариант. В плоскости у = 1х имеем dz* dz* В се кривые х = а£ (z) + bz -f- с (а, Ь, с — произвольные константы) равны между собой. 2. Теория кривых в пространстве ЕР (только общий случай). Формулы Френе могут быть написаны так: dm fltei deh , If = e" 4f = не» ''" "5Г e - рл-1ел-1 + рлел+1 den -^- = -Рп-1еЛ-1. Величины рЛ суть кривизны, рЛ5>0 для h < п—1. Только pw_i может быть либо положительной, либо отрицательной. Находим: / л-1 л-2 \2 (dmAd2mA ... лЛп)2 [fi P2 • • • 9h-i) = dsh(h+i) ' Это выражение характеризует действительные кривые, такие, что р. = О (А<п —1). 3. Найти необходимое и достаточное условие для того, чтобы семейство окружностей (сфер), зависящих от одного параметра, было семейством соприкасающихся окружностей (соприкасающихся сфер) к некоторой кривой. 4. Найти кривые, в каждой точке которых соприкасающаяся сфера имеет с кривой касание по крайней мере четвертого порядка (сферические кривые); тот же вопрос для соприкасающихся окружностей, имеющих с кривой касание третьего порядка (окружности). 5. Найти кривые, допускающие в каждой точке соприкасающуюся обыкновенную винтовую линию, имеющую с кривой касание третьего порядка (р постоянно) или четвертого порядка (винтовые линии круглого цилиндра). 6. Найти кривые, для которых радиус соприкасающейся сферы постоянен (р постоянно, сферические кривые). 7. Винтовые линии с осью Oz, лежащие на параболоиде вращения х* + У* = 2л£, имеют в качестве проекций на плоскость хОу эвольвенты окружностей. 8. Кривые, главная нормаль которых образует постоянный угол с фиксированным направлением, являются кривыми, для которых индикатрисами касательных служат сферические винтовые линии. 9. Найти кривые, главные нормали которых являются бинормалями другой кривой I [^ „•= const ). Обратно, найти кривые, бинормали которых суть главные нормали другой кривой (-^ — « const, где а обозначает дугу сферической индикатрисы J. 10. Найти прямые, .инвариантно связанные с триэдром Серре — Френе и допускающие огибающую.
242 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. . ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ Замечание. В общем случае такими свойствами обладают только прямые, параллельные касательной, проведенные через фиксированную точку бинормали. Отыскивая условие того, что прямые О) p = m + .*t + >'n + /(at + pn + Tb), где х, у, а, р, 7 — константы, допускают огибающую, находим (ар — Тт) 7 — Р2т + (ах + ТР) [рР* — (аР — ГО У] = 0. Показать, что обратно, если между р и х существует соотношение вида (2) Ад + В% + Ср2 + 2Dpx + £*2 = 0, где Л,..., Е—константы, то существуют прямые (1), допускающие огибающую. (Таким же образом поступают с прямыми, параллельными соприкасающейся плоскости.) Исследовать случай винтовых линий круглого цилиндра, общих винтовых линий, кривых, обладающих тем свойством, что ap + bz -j- с = 0 (где а, Ь, с — константы), или кривых Бертрана (см. ниже), и определить в каждом случае множества прямых, допускающих огибающую (в случае кривых Бертрана имеем бесчисленное множество конических сечений (2), распадающихся на пару прямых, одна из которых фиксированная). 11. Найти кривые, соприкасающаяся плоскость которых касается некоторой сферы. Показать, что их эвольвенты—сферические кривые, что спрямляющие плоскости проходят через фиксированную точку (центр сферы) и что х/р = as + b. Доказать обратные утверждения. 12. Со всякой точкой т пространства связываем вектор v (m) = v (О) + + со Л От, где О фиксировано и где т(О) и со — заданные векторы. Рассматриваем кривые, такие, что v dm = 0 (кривые, касательные к которым принадлежат некоторому линейному комплексу; плоскость комплекса, проходящая через т, ортогональна v). Показать, что соприкасающаяся плоскость такой кривой есть плоскость комплекса и что ее кручение имеет величину х = (со. v)/v2 (оно одно и то же для всех кривых, проходящих через одну и ту же точку). Решение. Имеем d\ *= со Л dm, откуда d\ • dm = 0. Дифференцируя соотношение v dm = 0, получаем v . а"*т = 0. Отсюда v = Xb. Далее, (d\/ds)b — Xxn = coAt, откуда, умножая скалярно на п, находим +> •> — Хх = (со, t, П) = со • Ь. Умножая, наконец, слева и справа на X, мы получаем нужную формулу. 13. Найти ортогональные траектории соприкасающихся плоскостей к некоторой кривой. Решение. Полагая р = m + xt + уъ* мы находим, записав что dp коллинеарно п и обозначая через а дугу сферической индикатрисы; 1 + р£-ру = 0; p(*+g) = o. откуда •S-+y = pTo (для р*0)-
ГЛ. I. ТЕОРИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ 243 Обозначая через /(а) частное решение уравнения относительно у, получаем X = — /' (а) + A Sin (а— о0), у = /(а) + A COS (а — а0) (а0 и Л — произвольные постоянные). 14. Кривые Бертрана. Рассмотрим кривую С, точку М этой кривой и точку Мх главной нормали в М ММ! = П/(5). Определить кривую С и функцию /($) так, чтобы геометрическое место точек Mi допускало MMi как главную нормаль в М^ Ответ. Мы найдем, что /(5)= const и кривая С удовлетворяет уравнению яр + Ь\ + с = 0.
Глава II ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ; ТРИЭДР ФРЕНЕ 1. Триэдр Френе. Рассмотрим в пространстве Еъ в прямоугольных координатах элемент поверхности S, \x = x(ut v\ (Ы) т(и, v)\y = y(u, v), [z=z(u, v). В качестве триортогональных триэдров порядка 1, связанных с точкой т, мы выберем триэдры с началом в т, для которых плоскость (elf e2) касательна к поверхности1). Имеем о>3 = 0. Возвращаясь к уравнениям (1.1), (1.2) и (1.3) предыдущей главы, мы находим из них (о1 Д о)^ -|- о)2 Д o)j* = О, откуда, в силу теоремы Картана (О, II, 9), (1.2) о)^ = аа)1-г-йа)2, u)j* = boa1 -\- со)2. Остаются только один вторичный параметр и одна вторичная компонента е\. С помощью внешнего дифференцирования получаем f о)1 Д [2*0)2 _ da^ ^.о)2 Д [(с — а)о)2 — db] = О, (L3) j o)i Д [(с — а)о>2 — ^]-|-а)2Д[— 2£а)2 — dc] = 0. Формы в скобках являются линейными комбинациями о)1 и о)2. Поэтому, если главные параметры зафиксированы, а изменяются только вторичные параметры, то эти формы обращаются в нуль, что дает (1.4) Ъа = 2е\Ь, ЪЬ = е\(с — а), 5с = — 2e\b9 откуда 8 (а + с) = О, Ь (ас — Ь2) = 0. I) Это невозможно для поверхностей, касательная плоскость которых изотропна. Мы их изучим в упражнениях.
ГЛ. II. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ТРИЭДР ФРЕНЕ 245 Итак, имеем два инварианта второго порядка а-\-с = 2рт, ас — Ь2 = К, рт называется средней кривизной, К—полной кривизной. Полагая с — а = 2r cos 26, Ъ = г sin 20, находим Ьв = е\. Итак, при вариации вторичного параметра величина 0 подвергается переносу. Мы определим триэдр порядка 2 (триэдр Френе), полагая b = 0, a = plf c = p2, так что (1.5) (1)? = Р1(1)\ (i)a = p2(i)2, (Pi + P2 = 2pm. Pip2 = AT). рх и р2 — инварианты второго порядка — называются главными кривизнами поверхности в точке т. Направления о)1 = 0 и а)2 = 0 называются главными направлениями (или направлениями кривизны), формы о)1 и о)2 — инвариантные линейные формы. Полагая далее 0)2 = TjO)1 -|- Г2(1)2 и вводя инвариантные частные производные некоторого инварианта / по отношению к о1 и о)2, т. е. записывая <*/ = У>1 + /,2«>2. находим (1.6) гх = - -, г2 = Pi Р2 Pi — Р2 Уравнения структуры дают условия интегрируемости doa1 = /^о)1 Л ю2» da2 = ''г001 Л (°2» (1,7) ' /-!,, +Г,, 1 + (Г,)« + (Г^ = — р1р1 Два первых соотношения известны под названием формул Ко- дацци, третье — под названием уравнения Гаусса1). Формулы, дающие перемещения триэдра Френе, имеют вид (1.8) ^m = o)1t1+(i)2t2, dk = (^i0*1 + г2®2) Ъ + Pi«>ln. dt2 = — (rjd)1 + r2d)2) tx + p2o)2n, 1 dll = pxO)1^ p2W2t2, i) В форме, которой мы обязаны Лиувиллю.
246 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ где через tlt 12ип обозначены векторы elf е2 и е3 (tx и t2 — векторы главных направлений и вектор п нормален к поверхности). 2. Особые случаи. Предыдущая редукция невозможна, когда о = с = р и Ь = 0; триэдры Френе будут в этом случае триэдрами порядка 1. Точки на поверхности, в которых имеют место эти равенства (при р Ф 0), называются точками округления, или омби- личехкама точками. Это, вообще говоря, изолированные точки, так как должны удовлетворяться два равенства (а = с, Ь = 0). Точки, где одновременно а = Ь = с = 0, называются точками уплощения. Таких точек, вообще говоря, на поверхности нет, так как должны удовлетворяться три равенства. Если в каждой точке поверхности а = с = р, Ъ = 0, то мы имеем дело с особой поверхностью, инвариантной относительно группы с тремя параметрами, которая преобразует триэдры Френе в триэдры Френе. Уравнения структуры дают dm1 = — а)2 Д w*, d(n*== d (ро)1) = о)]До)^= ро)^ Д а)2 = рda)1, откуда dp До)1 = 0, или р)2 = 0. Мы находим также р>1 = 0. Итак, dp = 0 и р постоянно. Если р = 0, то мы имеем и)^=а)<* = 0, откуда rfn = 0; n — постоянный вектор, и так как по определению ndm = 0, мы выводим отсюда, что величина От'П = /г, где О обозначает фиксированную точку, постоянна: поверхность представляет собой плоскость, ортогональную к п и находящуюся на расстоянии h от О. Когда р Ф 0, имеем d(m + fj = o)itl + «Л, —\ (рш^ + рш»Ы = 0. Таким образом, вектор ш-| = с—постоянный, точка с — фиксированная и мы имеем ст2=1/р2. Поверхность есть сфера радиуса 1/| р|. 3. Поверхности, инвариантные Относительно группы движений. Будем искать теперь поверхности, инвариантные относительно группы с двумя параметрами. Движения, составляющие эту группу, должны переводить триэдр Френе некоторой фиксированной точки в триэдр Френе произвольной точки, следовательно, инварианты рх и р2 должны быть постоянными, т. е. P*,fc = 0 (А. Л=1, 2), причем на этот раз рх Ф р2. Соотношения (1.6) дают прежде всего г1 = г2 = 0, и последнее из соотношений (1.7) дает р1р2 = 0. Пусть,
ГЛ. II. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ТРИЭДР ФРЕНЕ 247 например, р2 = 0. Уравнения (1.8) переходят в следующие: dm = (йЧх + o)2t2, dtx = p1(o1nf dt2 = 0, dn =— Pi^ti, вектор t2 имеет фиксированное направление, и вдоль кривых о1 = 0 мы имеем dt1 = dt2 = dn = 0. Триэдр Френе подвергается переносу; траекториями его точек будут прямые направления t2. Кривые о)2 = 0 ортогональны этим прямым; приведенные выше уравнения показывают, что они плоские и имеют кривизну pt (действительно, п есть их главная нормаль, если рх > О, и последнее из написанных выше уравнений показывает, что эти кривые имеют нулевое кручение); это будут окружности равных радиусов; итак, искомые поверхности представляют собой цилиндры вращения. Что касается поверхностей, инвариантных относительно одно- параметрической группы, то мы знаем, что такая группа представляет собой группу переносов фиксированного направления или группу вращений вокруг некоторой оси или группу винтовых перемещений вокруг некоторой оси. В первом случае траектория точки есть прямая и поверхности суть цилиндры. Во втором случае траектория точки есть окружность с центром на оси вращения, поверхности суть поверхности вращения вокруг этой оси. В третьем случае траектория точки есть винтовая линия с заданными осью и шагом. Поверхности получаются при винтовом перемещении некоторой заданной кривой (с заданными осью и шагом). Они называются геликоидами. 4. Теоремы равенства и существования. Вернемся к общему случаю. Мы сформулируем теоремы равенства и существования (О, III, 9) и дадим их прямые доказательства. Пусть дани две линейно независимые дифференциальные формы двух переменных о)1 и о>2; пусть рх и р2 — две функции этих переменных. Если уравнения (1.7) удовлетворяются, то существует поверхность, определенная с точностью до произвольного перемещения, для которой о1 и о>2 — инвариантные формы, а Pi u ?2 — главные кривизны. Уравнения (1.7) суть не что иное, как условия интегрируемости системы (1.8), которая определяет положение триэдра (т, tv t2, n) по его начальному положению (/я0, t10, t20, n0). Интегрирование-
248 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ производится методами, изложенными в (1,6), и позволяет сделать приведенные там замечания. Далее, кроме некоторых поверхностей (называемых поверхностями Вейнгартена, или поверхностями W), pt и р2 не связаны никакими соотношениями и являются двумя независимыми функциями (которые можно выбрать в качестве переменных). Четыре инвариантные производные Ph,k = fhk(Pl> Р2) представляют собой функции рх и р2, и система ^Pi = Pi,iwl-f"Pi,2w2. ^P2=p2,l(°1-hp2>2(i)2 позволяет вычислить о)1 и о)2, так как ее определитель отличен от нуля. Мы можем тогда применить предыдущую теорему, и в результате получаем: Поверхность, отличная от поверхности W, определяется заданием четырех функций рь & = /&&(pi, Рг)» представляющих собой инвариантные производные функций рг и р2. Рассмотрим теперь случай поверхности W: p2 = f(pl). Предположим сначала, что инвариантные производные pt t и plf 2 не являются одновременно функциями только от plf т. е. что', например, рг и рг t могут быть взяты в качестве независимых переменных. Тогда мы запишем dp1 и dpx г и будем рассуждать, как и выше. Поверхность определяется заданием plf v plt 2> рх 1Г> рх 12 в виде функций от pt и Pi, 1х). Остается изучить случай, когда plti = gn(pi)> pi, 2 = guipi)- Две поверхности 5 и 5# могут быть равны только в том случае, если три функции /, glv g12 будут одинаковы для обеих поверхностей. Предположим, что это имеет место и что, например, gn Ф О, Система (4.1) Pi = pi2. <о2 = «>2 интегрируема, так как мы имеем J dpx — dpu = gn (to1 — o)J) + g12 (о2 — о2), <4'2) ( diii2 _ di»2 = Г2 Г col д ^2 _ ^ + ^1 _ ^ Д tt*j. Из первого соотношения можно получить выражение для (о1 — o)JV Подставляя его во второе соотношение, мы видим, чта условие Фробениуса удовлетворяется. !) Число Q (О, III, 9) в этом случае равно трем, а во всех других случаях оно равно двум.
ГЛ. II. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ТРИЭДР ФРЕНЕ 249 Система (4.1) имеет интеграл, зависящий от одного параметра. Последнее соотношение (4.2) показывает тогда, что w1 = wj. Следовательно, можно переходить от одной поверхности к другой с помощью бесчисленного множества перемещений. Они равны, но, кроме того, каждая из них инвариантна относительно однопарамет- рической группы движений, следовательно, это цилиндры, поверхности вращения или геликоиды. 5. Вычисление инвариантных линейных форм и кривизн» Исходя из представления (1.1) поверхности 5, требуется найти элементы редукции, введенные выше. Возвращаясь к уравнениям (1.8), заметим, что Г rfm2=((01)2 +((D2)2 = I, (5Л) 1 —rfmrfn = p1(a)i)2 + p2(a)2)2==II. Это две квадратичные формы относительно дифференциалов, введенные Гауссом в теорию поверхностей и называемые с тех пор основными квадратичными формами; их мы и вычислим в первую очередь. Кривая на поверхности 5 определяется заданием и и v в виде функций одного и того же переменного. Если эти функции имеют непрерывные первые производные, то кривая спрямляема и дифференциал ее дуги ds задается формулой ds2 = dm2. Исходя из уравнений (1.1), имеем , дт , . дт , dm=^du+-§udv, откуда ^ = $)% * + *%%"* + &)**> = ** + **+**• Мы положим (5.2) dm2 = ds2 = E da* -\-2F dudv-\-G dv2, где (5.3) F dm dm dx dx i дуду . dz dz ~du dv du dv ' du dv ' du dv * 1°-ffl-$)'+W+ffl- Часто употребляемая величина Н определяется равенством (5.4) Н=УЁО=^ = \д£Ад£\' причем для действительных поверхностей берется положительное значение корня. В анализе доказывают, что площадь области D поверхности 5 — образа квадрируемой области А плоскости (и, v) —
250 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ дается интегралом //я*.*-./Л«=лй|*.*.-//* Д A D Легко доказать, что дифференциальный элемент (5.5) da = H dudv, или элемент площади, является инвариантом. Действительно, замена параметров (и, v) параметрами (uv vt) дает дт din дих . dm dvx dm да dut ди * dvx ~ди * dv откуда dm ди и, наконец, л dm /dm A дт\ Р(%, У\) Л dv ~ [diii Л dvL ) ' D (и, v) ' dm л dm W Л dt> , , dm A dm D (alf 1/1) . , da dv = U— Л т-\\ г, / У dtf cto = I dm A dm | . . Вектор -g— Л -л- нормален к поверхности 5. Условившись выбирать направление вектора п совпадающим с направлением этого векторного произведения, чтб является соглашением об ориентации поверхности 5, имеем ,- ~ч 1 dm А dm <а-6> п=таА¥. Что касается второй основной квадратичной формы, то заметим прежде всего, что из соотношения ndtn = 0 получаем дифференцированием n d2m + dm dn = 0, откуда II = n d2m = — dmdn. Дифференцируя соотношения dm Л dm Л п-т-:=0 и п-^—= 0, du dv находим d*m Записав (5.7) dn dm d2m dn dm Ъй~Ш% dudv dulfu d2m dn dm n dv* ~ dv dv9 II = L da2 + 2Mdtidv-\-Ndv>, dn dm dv ~du
ГЛ. И. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ТРИЭДР ФРЕНЕ 251 находим, исходя из (5.6), (5.8) д*т dudv dv* 1 (dm ' Н\ди9 1 (dm ' Н\ди* }_(дт = Н\ди* дт dv9 dm dv1 dm d?m\ du*)9 д*т dudv djm\ dv*)9 )• или, используя представление (1.1), (5.8')L=1 / Уи Уии м н »=ъ Получив две основные формы, мы определим далее формы о)1 и о)2, заметив, что (5.9) р11-И = (р1-р2)(0,1)2. р21 - II =(p2-Pl) (О)*)*; Pi и р2 являются, таким образом, такими значениями параметра р, что форма pi — II имеет дискриминант, равный нулю, что дает (5.10) (РЕ — L) (pO — N) — (pF — М? = 0, откуда прежде всего /к их о i EN — 2FM+GL „ (5.11) 2рш = Р1 + р2= EG — F* • К = №2~- LN—M? EG — F* Соотношения (5.9) позволяют далее определить о)1 и о)2 с точностью до знака. Пусть tx и t2— касательные соответственно к кривым о)1 = 0 и (d2 = 0. Выберем направления векторов tx и t2 таким образом, что бы триэдр (т, tlf t2, n) был правым триэдром. Тогда знаки о)1 и о)2 будут определены. Если мы заменим п на —п (и, например, tx на — tlf чтобы триэдр остался правым), то форма II меняет знак, рх и р2 также меняют знак. Рассмотрим теперь две поверхности 5 и 5# и предположим, что можно установить между ними точечное соответствие таким образом, что их основные формы будут равны. Тогда можно найти кривизны рх и р2, а далее с точностью до знака определить о)1 и о)2. Отсюда следует, что формулы (1.8) будут одинаковы для этих двух поверхностей, при условии замены векторов tx или t2, или их обеих на —tlf или —t2, причем одна такая замена эквивалентна симметрии. Итак: Две поверхности, допускающие одни и те же основные квадратичные формы, равны или симметричны.
252 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ Замечание, сделанное относительно знака формы II, позволяет нам также сказать: Для того чтобы две поверхности S и S# были равны или симметричны, необходимо и достаточно, чтобы между ними можно было установить взаимно однозначное точечное соответствие, которое отождествляло бы I с 1^ и II с Н# или с —И#. Теорема существования формулируется следующим образом: Пусть заданы две дифференциальные квадратичные формы I и II; вычислим Pi и р2 с помощью (5.10), затем о)1 и о)2 с помощью (5.9); если условия интегрируемости (1.7) выполняются, то существует поверхность, определенная с точностью до перемещения и симметрии, допускающая эти формы в качестве основных квадратичных форм, 6. Геодезические свойства. Внешние свойства. Среди свойств или геометрических элементов, связанных с точкой, множеством точек, кривой и т. д. заданной поверхности S, некоторые зависят только от линейного элемента поверхности ds2, т. е. могут быть определены, как только известны функции Е, F, G, говорят, что это геодезические свойства или элементы поверхности (свойства и элементы ее внутренней геометрии). Такими являются» например, длина дуги кривой, проведенной на S, площадь области поверхности 5. Другие свойства или элементы требуют для своего определения полного знания поверхности; мы их называем „внешними": ато% например, угол между нормалями в двух различных точках. В следующей главе мы займемся только геодезическими элементами, или свойствами. Эта глава будет служить введением в теорию римановых пространств, которую мы разовьем в третьей части (гл. II), так как здесь, мы имеем дело с частным случаем римановых пространств двух измерений. „Внешние" свойства поверхности будут изучены в гл. IV. Упражнения 1. Изотропные развертывающиеся поверхности. Изотропные плоскости зависят от двух параметров и касаются мнимого круга в бесконечности. Поэтому поверхность, касательные плоскости к которой, являются изотропными, может быть только огибающей однопараметрического- семейства. Это будет, следовательно, изотропная развертывающаяся поверхность, составленная из касательных к минимальной, кривой. Изучение такой поверхности сводится, таким образом, к изучению (уже ранее проведенному) ее ребра возврата (I, 10). Тем не менее можно провести исследование и непосредственно.
ГЛ. II. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ТРИЭДР ФРЕНЕ 253 С каждой точкой поверхности свяжем циклический касательный триэдр. Возвращаясь к уравнениям (I, 10.5) и (I, 10.6), положим о>з = о, тогда внешнее дифференцирование дает <о\ = аа"; далее, —da-\-au>\ — a?<ui=bo>*, откуда Ьа — ае\ = 0. Мы видим, что можно определить триэдры порядка 2, взяв либо а = 0, либо а = 1. 1°. а = 0 дает &\ = 0, редукция не может быть продолжена, триэдры Френе суть триэдры порядка 2. Находим </о)3 = 0, rfo)J = 0. Полагая о)2 = = dv, toj = rfX/X, находим \(х>1 = du, Xo)i = v du + dw, ex = ХА, е2=Аи + В (А2 = 0, А-В = 0, В*=1). Отсюда следует, что dm = A d (w + uv) + В dv, поверхность будет изотропной плоскостью. 2° д = 1 (<Oj = g)2). Внешнее дифференцирование равенства coj— а)1=£а>з дает db + 2^o)i = 2co)2, т. е. 6 — инвариант. Мы получаем далее db = ao)i + рсоЗ, ^2о)1 — ^o)g — СО)* — flfC = |3а)1 -(- Т032» Следует различать два случая: Если ЬфО, мы имеем Ьс — be\ = 0t можно взять с = 0, редукция закончена. Если b = 0, то триэдры Френе имеют порядок 2. Имеем dm = det, и можно выбрать начало О так, что От = elf плоскости проходят через О, поверхность будет изотропным конусом. 2. В каждой точке поверхности задаем триортогональный триэдр порядка 1 (m, et, е2> е3) (при этом е3 — нормаль к поверхности, т. е. соЗ = 0). Тогда имеем 0)3 = до)1 -f- Ьи>\ <oj* = tW + С0)2. Полагаем далее и>\ = atoi -|- (ЗоА Условия интегрируемости имеют вид д?о)1 = awl д (o?f flfo)2 = p<ol Д о)°, *.l — «.2 + (« — C)a + 2^=0, c,i — ^,2 + 2foz — (а — с) р = О, — «>2+Р.1 + а2 + Р2 = — (ас — **) = — /С. Последнее равенство имеет ту же форму, что и последнее равенство (1.7) (Лиувилль). 3. Можно всегда записать инвариантные линейные формы поверхности в виде o)i =г а,\ du1, o)2 = а2 du\
254 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ Тогда имеем 7,1 ~ ^ да*' 7,2~ a2dun*f и условия (1.7) записываются следующим образом: dlnai 1 dpi д In a0j _ 1 dp2 . ди- ~" Pi — p2 дй* ' dtf1 ~~ Pi—p2 d#*' i д /1 д in да i a /i a in gt \ i / a in at \« . a2 da* U2 № )+ ax di£ Ui dtfi j"1" oJ\ <?и2 J + . 1 / д In aa \a 4. Триэдр Френе многообразий размерности (л—1) в Еп. Вернемся к уравнениям (О, III, 7.6, 7.7 и 7.9). Определим триэдры Френе порядка 1, взяв <оп = 0; это дает п-1 2 1 '* - 2 «««* ( «I = «&> (* < «- !)• Внешним дифференцированием находим, что вариации по вторичным параметрам задаются формулами Ш—1 Можно проверить, что они соответствуют вариациям коэффициентов квадратичной формы Поворотом вокруг начала координат можно привести эту форму к виду 1 Таким образом, триэдр Френе представляет собой, вообще говоря, триэдр второго порядка, причем со£= 9^* Рл — главные кривизны. Пола- n-i гаем далее w^= 2 гЫ^л Условия интегрируемости дают выражения для Z-i коэффициентов. Вычисление pfc производится так же, как и при л = 3. Образуем I = dm\ II = еп (Рт = — den dm и ищем такие значения р, чтобы форма pi — II имела дискриминант, равный нулю.
ГЛ. II. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ТРИЭДР ФРЕНЕ 255 5. Многообразия двух измерений в Е*. Возьмем триэдры порядка 1, касательные к поверхности u>3 = <d4 = 0, откуда 3 1 1 # 2 4 /lit/2 (О* = ДСО1 -J" &<* i ®1 = а ® + О <°, а>|* = Ьы1 + С<о2, о>2 = Ь со1 -f- с'«Л Внешним дифференцированием находим вариации по вторичным параметрам — Ьа + 2Ье\ + ае\ = О, — Ъа + 2Ъ* е\ — ае\ = 0; — ЬЬ + (с — а) ^ + &'*| = 0, — Л7 + (с' — а) е\ — £*£ = °5 — 5с — 2te? + с'4 = 0, — 5с' — 2b'e\ — с^ = 0. Отсюда Ъ[(а + с)* + (а' + с')2] = 0, Ъ[ (ас — Ь*) + (а'с' — Ь"*) ] = 0. В общем случае можно нормировать репер, взяв а 4- с = 0, & — 0.
Глава III ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ; ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 1. Элементарные соображения. Вернемся к поверхности 5 (1.1) предыдущей главы и ее первой основной квадратичной форме ds2 = Edu2-\-2Fdudv + Gdv2 = l и рассмотрим две ориентированные кривые С и F, проведенные на поверхности 5 и проходящие через точку т. Пусть , дт , , дт , * дт * . dm * — направления положительных полукасательных в точке т к линиям С и Г соответственно; угол б (0 < б < тс) между этими двумя кривыми определяется формулой л Еdubu + F(dubv + dvЬи)-f Gdvbv n ^ ~~ YEdtfl + 2Fdudv + G dv* VЕЪи* + 2Fbubv + G bv* _ Edubu + F(duby + dvЬи) -f- Gdvbv dm 5m dsbs ds bs * где ds и &s означают элементы дуги соответственно линий С и Г. Числитель формулы (1.1) — билинейная форма относительно (du, dv) и (Ъи, bv), полярная для квадратичной формы ds2\ чтобы эти две кривые были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы эта форма равнялась нулю. Если рассмотреть на поверхности 5 однопараметрическое семейство линий (Г), определяемое, например, уравнением <р(и, г/) = С, где ср — заданная функция и С — произвольная постоянная, и если задаться функцией б (и, v) точки т, то соотношение (1.1) будет дифференциальным уравнением относительно и, v и du/dv, которое определяет семейство линий (С), пересекающих семейство (Г) под углом б (я, v). Например, ортогональные траектории семейства (Г) задаются уравнением Edu + Fdv Fdu + Gdv ду дер ди dv
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 257 В частности, ортогональные траектории линий v = C определяются уравнением Edu+Fdv = 0; для того чтобы эти траектории были линиями и = С, необходимо и достаточно, чтобы F тождественно равнялось нулю (это очевидно a priori, так как F=-jr--^-). Следовательно, для того чтобы координатные линии были ортогональны на поверхности S, необходимо и достаточно, чтобы средний член квадратичной формы ds* был равен нулю: ds2 = Edu2 + Gdv2. Вообще, присоединяя к каждой точке поверхности 5 триэдр первого порядка, так что dm = w^i + w2e2, откуда ds2 = (а)1)2 -(- (о)2)2, и рассматривая две линии, такие что dm = (o^i + (о2е2, Sm = о)^ + и>2е2, непосредственно находим, что 0)10)1 Л_ й)90)2 COS 6 = ' - Y(0)1)2 + (а)2)2 у (о)1)2 + (о)2)2 Примеры. 1° Пусть поверхность представлена в прямоугольных координатах уравнением *=/(■*. у); тогда I = ds* = (1 + />2) dx* + 2pq dx dy + (1 + ?2) ^2. Непосредственно находим H=Yl+p* + q* и элемент площади будет do = У"Г+7М~^2 dx dy. 2° Поверхности вращения. Пусть поверхность вращения задается уравнениями X = Г COS ср, у = Г Sin ср, Z = / (Г). Находим <fc* = (1 + /'2) dr* + г* rfcp2, что можно записать как ds* = г* Г 1 "*/'* rfr* + dvA , У\ _1_ /'2 или, полагая - —— dr = du, ср = t/ и Н(и) = г\ — как ^ = //(и)(</и* + ^).
258 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ Обратно, всякий линейный элемент ds* этого вида принадлежит некоторой поверхности вращения; достаточно положить ///=/•, tf = cp, 1+/'2 = 4/Л Н'2 » и эти уравнения определяют функцию /(г) с точностью до аддитивной константы, т. е. определяют поверхность вращения с точностью до переноса параллельно оси Oz. Для сферы с радиусом R и центром в начале координат мы можем положить Г = R sin 0, z = R cos 0 и принять 0 за параметр; находим ds* = R? И* + sin* 0 rfcp2). Это можно написать так: ds* = difl + sin* 4"dv* (^ = #0> * = ¥)• Рассмотрим еще поверхность, которая называется псевдосферой (рис. 29) и описывается линией на плоскости (z, r) г = Я sin 0, z = R Tin tg -o-+ cos ol, называемой трактрисой, или кривой равных касательных; имеем ds* = ^(^nT2Trf02 + Sin20^2)' откуда, полагая sin 0 = eulTt (R ctg 0 db = da), /? rfcp= = dv, получаем ds* = du* + e2u/Rdv*. 2. Минимальные линии (линии нулевой длины). На всякой аналитической *) поверхности имеется, вообще говоря, два семей- Рис. 29. ства изотропных линий (или линий нулевой длины); они даются уравнением ds2 = 0, это дифференциальное уравнение распадается на два других: Gdv + (F + iH)du = 0, Odv + (F — iH)du = 0, каждое из которых показывает, что касательная к соответствующей линии будет изотропной прямой касательной плоскости. В общем случае эти два семейства различны и через каждую точку т проходит !) Теоремы существования для дифференциальных уравнений, употребляемые здесь, в действительности имеют место только в аналитическом случае.
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 259 одна минимальная линия каждого семейства. Пусть (J(u, v) = const, V(u, v) = const — уравнения этих семейств; принимая линии нулевой длины за координатные линии, мы получим линейный элемент в виде ds2 = 2F1(U. V)dUdV. Для действительной поверхности можно выбрать в качестве U и V две комплексно сопряженные функции. Полагая, например, U = U1-\-iU2> можно написать уравнение первого семейства, как показывает простой подсчет, в виде если же заменить в этом соотношении / на —i, то мы увидим» что Ux — iU2 удовлетворяет второму уравнению минимальных линий, которое получается из первого заменой F — 1Н на F-^-iH; это и доказывает предложение. Итак, U и V будут комплексно сопряженными функциями и всякая действительная точка поверхности будет иметь комплексно сопряженные минимальные координаты. Все сказанное выше имеет место только для поверхностей, у которых два семейства минимальных линий различны. Случай, когда они совпадают, соответствует равенству Н=09 т. е. /dm dm\2 \ди А dv) и' касательные плоскости к поверхности изотропны, и линейный элемент ds2 может быть приведен к виду ds2 = E du2. Мы уже видели (II, упражнение 1), что такая поверхность будет изотропной развертывающейся поверхностью. Сдвоенное семейство минимальных линий представляет собой семейство касательных к ребру возврата (которое будет особой минимальной линией на поверхности); в дальнейшем мы исключим из рассмотрения изотропные развертывающиеся поверхности. Тогда, меняя обозначения, мы заметим, что всегда можно привести линейный элемент ds2 поверхности к виду (2.1) ds2 = 2F(u, v)dudv. 3. Конформное отображение одной поверхности на другую» Изотермические координаты. Рассмотрим две поверхности 5 [т (и, v)] и «SxUiix^, ^i)]; мы поставим задачу: существует ли такое точечное отображение поверхности 5 на поверхность Sl9 при котором минимальные линии соответствуют друг другу.
260 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ Предположим, что 5 и 5Х отнесены к минимальным линиям, так что ds2 = 2F(ut v)dadv для S, ds\ = 2F1(uv v1)du1dvl для Sv Мы видим, что имеются две группы решений: либо линии а = const и v = const поверхности 5 будут отвечать соответственно линиям аг = const и vx = const поверхности Slf либо они будут отвечать соответственно линиям vt = const и их = const. Первая группа решений будет задана, если взять в качестве их функцию одного переменного и, а в качестве vx — функцию одного переменного v Выбирая новые параметры (и, v), мы поставим в соответствие точке (и, v) поверхности 5 точку (и, v) на поверхности 5lf или, если угодно, мы можем положить a = ul9 v = vt и будем писать для поверхности Sx ds\ = 2Fl(a, v)dudv. Поскольку имеем ds\/ds2 = F1IF, очевидно, что (3.1) dst = X (a, v) ds (х2 = Щ, т. е. отношение линейных элементов является функцией точки, а не направления. Угол в между двумя направлениями (da, dv) и (Ъи, bv) на касательной плоскости поверхности 5 в точке (a, v) определяется формулой [формула (1.1)] 0 _, ч du bv + dv Ъи а угол 0t между двумя соответствующими направлениями на поверхности Sx задается уравнением а „ , ч du bv 4- dv Ъи ,9r:,dubv + dvbu cos9X = />!(«. v) ^ =\*F ldJXbs , откуда cos01 = cos6. Следовательно, рассмотренное преобразование сохраняет углы; говорят, что оно конформно. Обратно, всякое конформное преобразование сохраняет минимальные линии, так как оно преобразует изотропные направления касательной плоскости в точке поверхности 5 в изотропные направления касательной плоскости в соответствующей точке поверхности Sv Впрочем, в этом можно также убедиться, записав выражение
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 261 для cos 6 в виде, не содержащем коэффициента F, COS0: F(dubv + dvbu) _ V2FdudvY2Fhubv 2 Lr dvbu^V dubvj 2^ ^e >' следовательно, откуда 6 ~V dvbu9 fl ± 1 - [da . Ьи\ В другой форме это соотношение известно в аналитической геометрии под названием формулы Лагерра. Рассмотрим вообще соответствие между двумя поверхностями S[m(u, v)] и S1[ml(u, v)], при котором сопоставляются друг другу точки с равными параметрами и ортогональным направлениям одной поверхности сопоставляются ортогональные направления другой. Положим ds2 = dm2 = E da2 + 2F dadv+Q dv2, ds\ = dm2 = Ex da2 + 2F1 da dv + Q1 dv2; сделанное предположение эквивалентно тому, что соотношению (Е d а + F dv) Ьа + (F da + G d v) bv = О для произвольных Ьа и bv соответствует на St соотношение (Ег da + Ft dv) Ьа + (Fx da + Ог dv) bv = Q, иначе говоря, Ex du + FA dv FA du + Gx dv Edu + Fdv Fdu + Gdv при любых da и dv; следовательно, Ei F± £i \2 E~~ F ~ G —Л' или же dst = X ds. Таким образом, соответствие будет конформным. (Это можно было увидеть непосредственно, заметив, что изотропные направления, как ортогональные самим себе, должны соответствовать самим себе.) С более общей точки зрения, рассматривая задачу в действительной области, предположим, что две поверхности S и Sx имеют первые основные квадратичные формы в действительном представ-
262 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ лении (это означает, что координатные линии действительны) ( ds2 = Edu2A-2Fdudv4-Gdv2, <3-2) 2 2 2 I ds\ = E1du\-\-2F1du1dv1-\-G1dv\. Чтобы установить конформное соответствие между 5 и Su необходимо определить две функции и1 = и1(и, v), v1 = v1(u, v), так, чтобы dsx было пропорционально ds (d$1=\dsy, имеем Записывая это соотношение подробно, находим •.(Й*'+Й*)№*-+Й*)+в.(Й*-+?5*)Г Получаются три уразнения относительно av vx и X (вспомогательного неизвестного, которое можно, впрочем, исключить). Эта система, вообще говоря, имеет решения, и мы видели, какой степенью общности они обладают. Но, рассматривая задачу в действительных координатах, заметим прежде всего, что если преобразование T{m) = mv ставящее в соответствие точке т поверхности 5 точку т1 поверхности Sv будет давать конформное отображение, то обратное преобразование Т~1(т1) = т будет также определять конформное отображение поверхности St на поверхность 5. Более того, если Т1(т1) = т2 — конформное отображение поверхности St на другую поверхность S2, то произведение этих двух преобразований Т и 7\, или Т{Г(т) = тъ будет конформным отображением поверхности 5 на поверхность 52. Пусть теперь Р — фиксированная плоскость и 9 — конформное преобразование поверхности 5 на плоскость Р, а вх — конформное преобразование поверхности Sx на плоскость Р\ преобразование Г=0~1Ф будет тогда конформным преобразованием поверхности 5 на поверхность Sx и обратно, если Т — конформное преобразование S на Sv то преобразование 9Г"1 будет конформно отображать Sx на плоскость Р.
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 263 Отыскание конформных преобразований одной поверхности в другую сводится, следовательно, к отысканию конформных преобразований поверхности на плоскость. Пусть теперь 9 и 9' — два конформных отображения поверхности 5 на плоскость Р; преобразование 9'9~1 = # будет конформным отображением плоскости Р на себя, и обратно, если Н—конформное преобразование плоскости на себя, то 9'= #9 будет конформным отображением поверхности 5 на плоскость Р. Следовательно, все конформные отображения поверхности на плоскость можно получить, зная одно из них и комбинируя его с конформным отображением плоскости на себя; отыскание этих последних является классической задачей, решение которой мы сейчас напомним. В прямоугольной системе координат надо искать точечные преобразования Х=Х(х, у), Y=Y(x, у), такие, что d X* + dY* = X* (dx* + dy*). В более подробной записи имеем (дХ \2 / дГ\2 __ /дХ \2 / dYY* Vte) +да -Vbyj +\-by) ■ дХ дХ dY dY =Q дх ду "■" дх ду (дХ dY\ Это означает, что два вектора с компонентами соответственно I -^— , -^—} / дХ dY\ и 1-3—» -з—) имеют одну и ту же длину и взаимно ортогональны. Если второй вектор образует с первым угол + тс/2, то будем иметь д^^дУ^ дХ = dY дх ду * ду дх ' Если он образует угол —тс/2, то будет dX_=_dY^ дХ = dY дх ~~ ду ' ду дх ' Первая группа соотношений представляет собой условия моногенности Коши; она показывает, как известно, что X+tY есть аналитическая функция от х-\-1у; преобразование сохраняет тогда углы и ориентацию. Вторая группа получается из первой заменой К на — К, т. е. X— IY будет аналитической функцией от х + 1у и преобразование второй группы будет получаться из преобразования первой группы выполнением преобразования симметрии относительно оси X в плоскости (X, К); эти преобразования, следовательно, меняют ориентацию. Если координатные линии на поверхности выбраны так, что линейный элемент ds2 представляется в виде ds2 = H(du*-\-dv>),
264 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ то мы получим конформное отображение поверхности на плоскость (и, v)t сопоставив координатным линиям параллели к ортогональным осям координат этой плоскости; семейство координатных линий и = const (или v = const) образует тогда так называемое изотермическое семейство. На поверхности вращения, например, такой, как мы видели в § 1, параллели и меридианы образуют два семейства ортогональных изотермических линий1). Приложение к географическим картам. Картой называют отображение поверхности на плоскость. Географическими картами называют карты, которые отображают всю или часть поверхности Земли; они бывают разного вида. Так, например, карта, приспособленная к потребностям фиска (обложения налогами), должна сохранять, насколько возможно, площади (это случай старой французской карты). С другой стороны, в навигации большой интерес представляют карты, сохраняющие углы. Поскольку поверхность Земли приближенно представляет собой поверхность сжатого эллипсоида вращения, мало отличающегося от сферы, речь идет, следовательно, о конформном отображении части сферы на плоскость (с некоторыми исправлениями, которые в большинстве случаев не имеют значения)'. Несколько классических примеров этого можно найти в упражнениях. 4. Изометрия. Полная кривизна. Две поверхности S[m(u, v)] и S^[т^(и^ vj)] называются изометричными, если можно установить между ними точечное соответствие, сохраняющее длины: ds^ = ds; речь идет, следовательно, о локально взаимно однозначном и взаимно непрерывном соответствии, которое, кроме того, должно быть конформным, ибо оно соответствует случаю Х= 1 [формула (3.1) с точностью до обозначений]2). Сохраним для ds2 и d$% обозначения, аналогичные (3.2). Отыскание изометричного соответствия сводится к разрешению системы, аналогичной системе (3.3) с X2 = 1, — системе, составленной из трех уравнений только с двумя неизвестными; следовательно, эта задача, вообще говоря, неразрешима; таким образом: Две заданные поверхности в общем случае не изометричны. 1) Результаты относительно конформного отображения установлены здесь только для аналитических поверхностей. Более общие результаты были получены сначала Лихтенштейном (L i с h t e n s t e i n L., Abhandl. Preuss. Akad. Wlss. Berlin, 1911) и Корном (Когп A., Math. Abhandl. H. Schwarz ge- widmet, 1914). Современные исследования принадлежат Винтнеру и Гартману. 2) Раньше такие поверхности называли налагающимися поверхностями. В настоящее время предпочитают сохранить термин „налагающиеся* для случая двух поверхностей S и S?;, обладающих тем свойством, что можно найти непрерывную зависящую от одного параметра t последовательность поверхностей 2^, таких, что 20 = S, 2Х = S* и линейный элемент ds* любой 2$ не зависит от t.
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ. ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 265 Мы обращаемся теперь к необходимым условиям изометрии. К каждой точке поверхности 5 присоединим триэдр первого порядка, такой что dm = о)^! + о)2е2, ds2 = (со1)2 + Ю2- На изометричной поверхности S* можно поставить в соответствие этому триэдру триэдр первого порядка, такой, что rfm# = a)Je* + o)2e*, с формами (4.1) o)1 = a)J, o)2 = o)|. Формулы интегрируемости (I, 1.2) напишутся теперь так: (4.2) du1 = — о)2Л^, с?о)2==а)1Л^; если положить (и* = <х(й1-\-фи)2, то эти два соотношения будут определять а и (3; следовательно, из формул (4.1) вытекает, что (4.з) «>;=<. С ломощью внешнего дифференцирования получим (4.4) rfo)2 = — о)^ Д и>1 = — (ас— £2)а)1Л<*>2 = —К®1 Л®2» откуда (4.5) К = К.\ это основной результат, принадлежащий Гауссу: Две изометричные поверхности в соответствующих точках имеют одну и ту же полную кривизну. Предыдущие формулы позволяют вычислить по.лную кривизну линейного элемента ds*, заданного в общей форме, но мы предпочитаем провести это вычисление другими методами; сейчас мы ограничимся исследованием некоторых случаев, когда ds2 задается в специальной форме. 1° Полная кривизна в изотермических координатах. Если линейный элемент ds* задан в виде ds* = И (du* + dv*\ то мы положим 0)1=1^//^, о)2=У//^; уравнения (4.2) дадут 2 1 д In H Л , 1 д In H аи+тг ~^~ <lv, 1 2 dv "" "Т" 2 ди соотношение (4.4) даст затем ив\ г l /д'1пЯ . д*ШН\ (4-6) к=-ш\-ш~ + -дФ-у
266 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ откуда следует 2° Полная кривизна в координатах линий нулевой длани. Если линейный элемент ds* задан в виде ds* = 2Fdudv, то можно принять col = ]/"^- (du + i dv), <о2 = / у *- (da +1 dv)9 2 / (d\nF . d\nF . \ отсюда 1 дМп/7 <47> K==-TJul*- 3° Случай, когда линейный элемент ds* задан в виде*) ds* = du*+G dv*. Можно принять «I = du, a&=Y G dv\ находим 2 dY~G . of = —^ dv, 1 du откуда 1 d**Y G В случае сферы радиуса R мы видели, что G = sin2 (ujR), отсюда К = 1/#2; полная кривизна действительной сферы будет положительной константой, равной обратной величине квадрата ее радиуса. В случае псевдосферы (§ 1) можно принять G = е2и^в, откуда /(=— 1/Я3; полная кривизна псевдосферы равна отрицательной константе. Наконец, плоскость имеет нулевую полную кривизну; это непосредственно получается, если представить ее линейный элемент ds* в одной из рассмотренных форм. 5. Изометричные поверхности. Обратимся теперь к задаче определения, будут ли две заданные поверхности S и S# изометричны2). Следует различать несколько случаев: 1° Кривизна /( переменна. Присоединим к каждой точке поверхностей S и S.k триортогональный триэдр так, чтобы вектор еа (или е2) был касательным к линиям, вдоль которых кривизна К постоянна; имеем3) dK=Ki<*\ dK* = K*i*l !) Как мы увидим далее (§ 10), это случай, когда координатные линии ортогональны и одно семейство состоит из геодезических линий. 2) Следующее изложение принадлежит Э. Картану (С а г t a n E., La theorie des groupes finis et continus et la geometrie differentielle traitees par la methode du repere mobile, Gauthier — Villars, 1937). 3) При заданных двух, формах а>1 и <о2 Мы будем записывать дифференциал функций переменных и и v df = f1»i + fa* без запятой, сохраняя обозначение с запятой для инвариантных производных.
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 267 Если поверхности S и 54 изометричны, то в соответствующих точках мы должны иметь /C=/Q., отсюда Мы будем различать еще несколько случаев: a. Нет соотношений между К и К±, тогда эти величины можно принять в качестве независимых переменных, и мы будем иметь на поверхности S соотношения вида tfii = Л (tf. tfi). K12 = Л (К. Ki)\ на поверхности S* должно быть также Эти условия, необходимые для изометрии, будут также достаточными. Действительно, мы осуществим изометрию посредствэм соответствия К = К& К\= К1» так как из этих соотношений получаем сначала /Си = Кни> К\ъ = К~лъ- затем соотношения rf/C=/C1a>1=/C*1a>J = rf/C*, dKi = Кцы1 + /Ci2<°2 = К*п<»1 + К*12«>1 = dK*i дают со1 = o>i и затем <о2 = ©J. b. К\ является функцией от кривизны /C:/Ci=/(/C); тогда имеем wi = dKlf(K), следовательно, аМ = 0, что дает а = О, откуда «о^ = роз2. Мы подразделим этот случай на два: Ь\. Коэффициент р не является функцией от кривизны К\ можно принять р и К в качестве независимых переменных и положить Pi=/i(*. Р). Р2 = /2(К, Р). Для того чтобы поверхность S# была изометрична поверхности S, необходимо, чтобы **=/(*.). P*i=/i(/t, Р*), Р.2 = Л(К„Р.); эти условия и достаточны. Изометрия реализуется соответствием так как dKlf(K) = dKJf(K*), отсюда ш1 = <oJ, и из следует <о2 = <о2. #2- Коэффициент рявляется функцией от кривизны К:$ = g(/С). Для изометрии необходимо, чтобы /Сд = /(/Q и р* = g(/Q; эти условия и доста-
268 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ точны, так как система К = /£*, о)2 = <о* вполне интегрируема и каждое решение реализует изометрию. Между поверхностями S и S* существует тогда бесконечное множество изометрич- ных соответствий, зависящее от одного параметра. Каждая из этих поверхностей изометрична поверхности вращения. Действительно, положим пю *~ »<ю ' из соотношений У (Л) <р лолучаем d [сро)2] = 0; полагая теперь ср<о* = dv, имеем л..(..,.+м._^+^-^[(1«)'+«]. и, записывая, что ср dKlf = dut \j^ = H, получаем ds* в виде ds* = H(u)[du* + dv*], — это та самая форма, которую мы нашли в § 1 для линейного элемента ds* поверхности вращения. Мы будем называть ds* линейным элементом вращения, если его можно записать в форме, которую мы только что получили [или же если /(j =/(/(), р = #(/()]; изометрии этих линейных элементов ds* самим себе могут быть сведены к виду и^ = и, v^ = v + const, 2° Кривизна К постоянна. Условием, необходимым для изометрии, будет равенство К = /С*; оно также достаточно. Действительно, присоединим к каждой точке поверхностей S и S* триэдр первого порядка и рассмотрим систему (5.1) (o1 = (oi, o)2 = o)|, 0)^ = 0)^; она вполне интегрируема; следовательно, изометрии зависят от трех произвольных параметров. Отсюда непосредственно следует, что поверхность постоянной кривизны допускает трехпараметрическую группу изометричных преобразований, уравнениями структуры которой будут уравнения (5.1). Сравнивая этот результат с полученными ранее, мы можем сформулировать следующее предложение: Непрерывную группу изометричных преобразований допускают только ds* следующего вида: 1° линейные элементы вращения, для которых эта группа зависит от одного параметра) 2° линейные элементы постоянной кривизны, для которых она зависит от трех параметров.
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 269 6. Группа изометрии линейных элементов ds* постоянной кривизны. Для /(==0 линейным элементом ds* будет линейный элемент плоскости (§ 4); группа изометрии будет группой движений. Для К Ф 0 положим о)1 + /©* = 2Qi, (oi — /(oa = 2Q2, откуда ds* = 4QiQ* уравнения структуры напишутся так: rfQ^/QV»;, dQ2 = — &2А<*1 d<*\ = — 2//CQ1A22. Для того чтобы найти выражение для линейного элемента ds* в координатах линий нулевой длины, достаточно найти частное решение F уравнения (4.7) (с постоянным /С); отыскивая его в виде F(u + v), /7 2 1 найдем, что г = —-^ -— д удовлетворяет уравнению; получим, следовательно *), 2__ 4 flfaflfo *5 /C(a-hv)1' Изометрии могут быть двух видов: изометрии, сохраняющие семейства и = const и v = const, и изометрии, переводящие их друг в друга. Последние получаются, если переставить и и v и произвести преобразование первого вида; следовательно, достаточно рассмотреть только этот случай. Если заменить в (5.1) буквы со звездочками прописными буквами, то она перейдет в систему ^тт w dV \ dv 1 .. , dU du (U+V)* X (a + v)* ' 2 tf + V и + ^ * Первое уравнение показывает, что X должно быть функцией переменного и, второе — что выражение X"1 (£/-(- V)2/(u-\-v)2 должно быть функцией переменного v\ следовательно, (U + V)/(a + v) должно быть произведением функции одного переменного и на функцию переменного v. Третье уравнение непосредственно показывает, что V должно быть дробно-линейной функцией переменного v; по соображениям симметрии U должно быть дробно-линейной функцией переменного и. Положим аи-\-1 а'У + У yi + Ъ' V " t'v + Ъ' ' Для того чтобы (U + V)/(# + tf) было произведением функции от и на функцию от v, находим, что необходимо р&' + р'5 = 0, !) Отсюда вытекает, что общий интеграл уравнения (4.7) с постоянной кривизной К будет ЧЦ'У KW+V)*' где U и V обозначают произвольные функции переменной а и переменной v, поскольку всякое ds* постоянной кривизны К может быть представлено в форме, приведенной в тексте. Непосредственное интегрирование будет проведено в упражнении (/г°2).
270 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ Два первых соотношения показывают, что можно положить а' = Ха, 7' = — ХТ. а последнее дает (X_fx)(ab-pY) = 0, но аЬ — Py не может равняться нулю, так как тогда U было бы константой; следовательно, имеем X = р.. Непосредственно проверяется, что эти условия достаточны и совокупность изометричных преобразований линейного элемента ds* в себя, сохраняющих семейства линий нулевой длины, дается формулами аи + Р aV — p u - Ти-и ' — т«> + & * Б качестве примеров имеем: плоскость для /С = 0; сфера для К > 0; псевдосфера для /С < 0. 7. Поверхности, изометричные плоскости. Как мы только что видели, поверхности, изометричные плоскости, будут поверхностями нулевой кривизны; сейчас мы их охарактеризуем*). Вернемся к уравнениям (I, 1.8) и допустим, что Р2 = 0; тогда также г2 = 0, так что вдоль линий a>i = 0 имеем соотношения dm = <D*t2, dtx = dt2 = dn = 0, показывающие, что эти линии — прямые, вдоль которых касательная плоскость остается постоянной; речь идет, следовательно, о развертывающихся1 поверхностях. Обратно, рассмотрим развертывающуюся поверхность, описанную касательными к линии m (s). Если р обозначает текущую точку, мы напишем р = щ -[- vt, где параметрами будут s и v. Обозначая через р кривизну линии m (s), имеем dp = (ds + dv) t + *>p ds n, dt = p ds n, отсюда q)j = p ds и da\ = 0; следовательно, К = 0 в силу (4.4). Легко видеть, что /( = 0 также для конусов и цилиндров; таким образом: Поверхности, изометричные плоскости^ являются развертываю- щимися поверхностями, и обратно. 8. Вопросы анализа на поверхности. Пусть X — вектор касательной плоскости, присоединенной к точке m поверхности S; имеем равенство вида v si dm f Е2 dm 1) Общая задача отыскания поверхностей, изометричных данной поверхности, связана с уравнением в частных производных третьего порядка, которое нам встретится в упражнении (/г°3).
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 271 где S1 и £2 — контравариантные компоненты, или координаты вектора X (О, II, 10). Поскольку линейный элемент поверхности ds2 имеет вид ds2 = Edu2 + 2F du dv-\-Gdv2, числа (8.1) ^=x-g. = /*+op будут ко вариантными компонентами вектора X. Таким образом, вектор dm имеет контравариантные компоненты {du, dv) и ковариантные компоненты (Edu-\-F dv, F du-\-Gdv). Из формул (8.1) выводятся формулы, позволяющие перейти от ковариантных компонент к контравариантным, (8.2) ^ = 7^ (GSi-n>). Для скалярного произведения двух векторов X (S1, £2) и Y (fj1. У2) имеют место формулы (8.3) X • Y = Е&V + F (54f + Рщ1) + OPtf = i%. + ?Ъ = и, в частности, для квадрата длины вектора (8.4) X2 = Е (?i)2 + 2FV? + О (S2)2 = S4X + \Ч2 = = -ЙГ [Оа1)2-2/7У2+£(У2]. При заданном векторе X с контравариантными компонентами (£4 £2) вектор X* с ковариантными компонентами ?х=—т2, %=т ортогонален вектору X и имеет, в силу (8.3), ту же длину, что и X; мы будем говорить, что он получается из вектора X поворотом на угол тг/2 в положительном направлении (или на угол -f-ir/2), причем положительное направление вращения в касательной плоскости выбрано от вектора дт/ди к вектору dm/dv. Обозначая теперь буквой 6 угол между векторами X и Y, имеем сначала Х-Y = |X| |Y|cos0, затем X*.Y = )X*| |Y|sin6;
272 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ отсюда получаются следующие формулы, определяющие угол 6: гп-8 — бЧ + Ец* нпВ— **&*-***) — 1 (6i42-Mt) coso— iXMYI' smo— |X||Y| — Я |X||Y| ' Рассмотрим теперь скалярную функцию точки (или инвариант) f(u, v), определенный на поверхности 5. Это означает, что функция не зависит от выбора параметра; дифференциал этой функции будет, следовательно, инвариантом. Поскольку и дифференциалы da и dv являются контравариантными компонентами вектора dm, то df/da и df/dv будут ковариантнымй компонентами вектора, который называется градиентом функции / (и который будет записывать grad/1)). Контравариантные компоненты градиента получаются по формулам (8.2); имеем Если мы рассмотрим другую функцию точки g(u, v), то скалярное произведение градиентов этих функций вводит новую функцию точки, рассмотренную впервые Бельтрами \ди dv ' dv da ) * да да\ и называемую смешанным дифференциальным параметром функций f и g. В частности, при £=/ имеем первый дифференциальный параметр Бельтрами, который представляет собой квадрат длины градиента функции / Дифференциальный параметр Дх(/) есть квадратичная форма относительно df/du и df/dv, смешанный дифференциальный параметр будет ее полярной формой. В частности, имеем *) Можно также сказать, что ковариантные компоненты вектора преобразуются, как компоненты градиента, и что контравариантные компоненты преобразуются, как дифференциалы du и dv.
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 273 откуда получается следующее выражение для линейного элемента: /Q гч ,/с2 _ At (у) dufi — 2Д (и, у) du dv + At (и) dv* (8.D) as — A^Ai («)-[* («.«>]» Рассмотрим теперь поле векторов X, касательных к поверхности, Y dm м , дт „ где V- и %2 — функции переменных и и v. Пусть С — замкнутая кривая, граница области D на поверхности 5; выберем направление обхода на кривой С таким образом, чтобы вектор пд, получаемый из вектора t поворотом на угол +тг/2, был направлен внутрь области D, и рассмотрим интеграл вдоль линии С в выбранном направлении: •/: X • n^ ds, с который представляет собой поток вектора X через линию С. Поскольку вектор t имеет контравариантными компонентами du/ds и dv\ds> вектор п^ имеет ковариантные компоненты тт dy rr du V ^ = H4F> ^ = — HW Пусть теперь у — образ линии С на плоскости (и, v), а Д — область, имеющая D своим образом и f границей. Направление обхода, выбранное на линии С, индуцирует на кривой у положительное направление1), и мы имеем тогда по формуле Грина !) Это положение доказывается следующим образом: рассмотрим точку ?п(и0, у0) линии С — образ точки jx0 на кривой ?> спроектируем на касательную плоскость в точке тп0 окрестность точки тп0 на поверхности S; из получаем m0m откуда Р(Х, П_н D(u, у) Итак, преобразование плоскости (а, у) на плоскость (X, Y) сохраняет направление отсчета углов на этих ориентированных плоскостях, поскольку кривая 7 описывается в положительном направлении; направление нормали, получаемое из направления касательной поворотом на угол + и/2, идет внутрь области А; следовательно, пд входит внутрь проекции области D на касательной плоскости в точке т0; это и требовалось доказать.
274 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ Возвращаясь к поверхности «S, мы можем написать (8.6, _/X.,V(S=//±[i^>+^],, С D где do означает элемент площади поверхности S. Рассмотрим последовательность кривых Сл, содержащих внутри себя фиксированную точку т(и, v) и стягивающихся к нулю по всем направлениям при неограниченном возрастании п. Обозначая через аЛ площадь (также стремящуюся к нулю), которую кривая Сп высекает на поверхности 5, будем иметь, если только все производные, которые здесь встречаются, непрерывны, n->ooan^ 9 Hi ди ^ dv ] Эта формула показывает, что правая часть является функцией точки, которая называется (как и на плоскости) дивергенцией рассматриваемого векторного поля в точке (и, v): Формула (8.6) означает, что поток вектора X через С {изнутри наружу) равен интегралу дивергенции вектора X. Если ввести компоненты ($*, £*) вектора X*, получаемого из вектора X поворотом на угол -f-TC/2, то можно записать, что Мы видим, следовательно, меняя обозначения, что, исходя из поля векторов X, можно ввести новое скалярное поле 1 / ае, , aet\ Н \ ди "*" dv )' Непосредственно видно, что для тождественного обращения этого поля в нуль, необходимо и достаточно, чтобы поле векторов X было полем градиентов. Отправляясь от функции точки, мы построили некоторое векторное поле— поле градиентов; затем, отправляясь от векторного поля, мы определили функцию точки. Последовательное повторение этой процедуры позволяет нам выводить из функции точки или из поля векторов новые функции точки или новые поля векторов. Таким образом, например, отправляясь от функции точки /, мы получаем новую функцию точки, рассматривая выражение A2/=div(grad/),
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 275 называемое дифференциальным параметром Бельтрами второго порядка и представляющее собой обобщение на случай поверхностей понятия лапласиана на плоскости; имеем А^=17 д ( ° ди F dv I . д | Е dv Fm J ди \ Н '/-*"di;\ H /J Приложения. 1° Моногенные функции на поверхности. Изотермические координаты. Моногенные функции на комплексной плоскости имеют в каждой точке производную, которая не зависит от выбранного направления. Мы обобщим это понятие на поверхности следующим образом. Обозначим через ds элемент дуги в направлении (du, dv) и через ф — угол этого направления с вектором дт/ди. Будем говорить, что комплексная функция U (и, v)-{-lV(u, v) является моногенной функцией, если отношений dU + tdV (dU . ,дУ\И . (dU , ,Э1Л . е1* ds (cos ф + / sin ф) ds имеет значение а -(- /р, не зависящее от угла ф. Но мы имеем . , Edu+Fdv , . . Hdv cos ф ds = т= , sIn Ф ds = —=z= , Ye Ye отсюда (8.7) dU + tdV= (<x + l$)\Y~Edu +^±4^- дЛ что дает сначала dU_ ,tdV_ <W , dK du "* du dv ^ dv E F + IH ' а, затем, если отделить действительные части от мнимых, ди " //да + Я ди ' дК=£д^/_^д^7 да Иди Hdv* Эта система, обобщающая систему Коши на плоскости, показывает, что градиент функции К получается из градиента функции U поворотом на угол + тс/2. Условие интегрируемости напишется так: Д2£/ = 0 (мы найдем то же самое для К: Д2К=0); обратно, если имеется функция U, являющаяся решением уравнения Д3£/ = 0, то предыдущая система даст нам с точностью до аддитивной константы функцию К таким образом, что U + iV будет моногенной функцией на поверхности. Соотношение (8.7) показывает, что семейство минимальных линий поверхности S отображается в семейство изотропных прямых плоскости (£/, V), иначе говори, на поверхности S координаты (£/, V) будут изотермическими, 2° Семейства изотермических кривых* Найдем условие того, что семейство кривых ср (U, V) = С
276 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ являетса изотермическим (С обозначает произвольную постоянную). В счлу того, что мы видели, необходимо и достаточно, чтобы можно было найти функцию /(ср) = U, такую, что Аз/С?) = 0. Но имеем grad/(cp) = /'(cp)gradcp и, используя формулу дивергенции, получаем А2 [/(?)] = div [grad/(cp)] = /' ft) Д, (ср) +/" (?) *i (?)- Приравнивая эту величину нулю, видим, что отношение Д2<р/Д1ср должно быть функцией только ср, например /*(<р); тогда получим /(ср), записывая — уравнение, которое интегрируется непосредственно и дает /' (ср) с точностью до постоянного множителя. Ортогональное семейство, которое дополняет систему изотермических координат, будет задано посредством ф = const, где функция ф определяется уравнениями ди J к*}\ Hdv^Hdu)' dv-J W>\Hdu Hdv)' интегрирование которых совершается в квадратурах. Поскольку grad ф получается из grad/(cp) поворотом на угол + тс/2, имеем Д(ср, ф) = 0, Ai(4') = /'2A1cP. Выбирая на поверхности координаты (ср, ф), имеем, следовательно, в силу (8.5), ds* = —L- W + -}— *Н = Х {[*/(*)]■ + *И. М?) L /"(с?) J Ai(T)/ (T) 3° Линейные элементы вращения. Отсюда следует (см. § 1), что для того, чтобы ds" было линейным элементом вращения, необходимо и достаточно, чтобы можно было найти семейство изотермических кривых ср = const, таких, что дифференциальный параметр Ai(<p) является функцией только ср. Действительно, полагая /(ср) = и, ф = v, мы получим ds* = H(a){du* + dv*), где Н(и) =* * Между тем, чтобы семейство ср = const было изотермическим, при дифференциальном параметре A.j (ср), зависящем только от ср, надо также, чтобы Д2(ср) было функцией от ср, и это условие достаточно; мы можем, следовательно, сказать: Чтобы ds* было линейным элементом вращения, необходимо и достаточно, чтобы можно было найти отличную от постоянной функцию <р(и, v)t для которой Ах (ср) и Д2(ср) являлись бы функциями переменной ср. 4° Инвариантные координаты. Возьмем линейный элемент ds* в виде ds* = (o)i)2 + (о>2)* (dm = cole! + <°*e2),
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 277 полагая, как в § 4, do)1 = ао^Д со2, do)2 = ро^Дю2 (о)2 = ао)1 + Р«2) и записывая для функции точки <*/ = /,! О1+/,2 "2 и для вектора Для единичного вектора t, касательного к линии ?, можно положить dm ds =s t = cos Gej + sin 0в2, откуда ng = — sin бв! + cos 0e2; следовательно, — X • ng ds = (XI sin 0 — X* cos 0) ds = X^^ — Л^оЛ Мы будем иметь тогда Г ^1о)2_ x*o)i = Г CdXiAо)2— dX*A<*i + Xidufl — X*rfo)i = f*1! + X22 + pX1 - aZ2] с^Л со2 ; -яр поскольку 0)1 д0)2 является другой записью для элемента площади da, отсюда следует (8.8) div X = X]! + Х22 + р*1 — «X2. В частности, можно писать (8.9) Д2/=/, и+/, я + р/р 1-a/i 2. 9. Геодезические линии („внешняя" теория). Пусть а и [} —две линии без общих точек, нанесенные на поверхности 5. Можно поставить себе задачу: найти на поверхности 5 линию, реализующую кратчайшее расстояние между а и (3; в достаточно общих условиях доказывается, что существует по крайней мере Рис. 30. одна такая линия. Здесь мы будем рассматривать только элементарный вид этой задачи: отыскание линии со стационарным значением интеграла, выражающего длину этой линии. Пусть С будет такой линией, идущей из точки а линии а в точку Ь линии р. Снабдим сначала поверхность 5 двумя параметрами 5 и X [m(s, X)], причем 5 будет криволинейной абсциссой точки линии С и кривая s = s0 будет пересекать дугу аЪ линии С в точке с криволинейной абсциссой s0; всегда можно предположить, что
278 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ среди линий 5 = const встретятся кривые аир, соответствующие значениям. sa и sb. Линии Х = const образуют другое семейство координатных линий, причем кривая С соответствует значению Х = 0 (но s, вообще говоря, не будет криволинейной абсциссой на линиях этого семейства, кроме линии С). Длина отрезка аЪ представляет собой значение функции L(X) *»- fVffl* для Х = 0. Допуская существование и непрерывность частных производных вектора т, например до третьего порядка включительно, можно дифференцировать под знаком интеграла и поступать так, как это обыкновенно делается в вариационном исчислении. Замечая, что dm ds /(£)' = t(5, X) «-г- единичный вектор касательной в точке m(s, X) к линии Х.= const, проходящей через эту точку, имеем !ь дт д*т «а У \ds) ° «а откуда L ■^НшЬ-(жЬ- f&U^ р обозначает кривизну и v — единичный вектор главной нормали к дуге аЪ\ индексы указывают точки кривой, в которых подсчиты- ваются связанные с ними элементы. Вводя вариацию 8Х параметра X и полагая, как обычно, имеем bL = tbbh — ta8a— J pvbmds.
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 279 Важно отметить, что эта формула справедлива для любого семейства линий Х = const, содержащего кривую С при Х = 0. Будем называть п^ вектор, получаемый из вектора t в некоторой точке кривой поворотом на угол -Ьтс/2 в касательной плоскости; 1 /dm Л дт\ тогда единичный вектор нормали к поверхности п = -тт1^— Л-з—) обладает тем свойством, что три вектора t, п^ и п образуют правый ортогональный триэдр х); если мы обозначим через 0 угол век- тора v с вектором п, то будем иметь (9.1) v = n cos 0 -(- nff sin 0; затем, поскольку 8m.n = 0, имеем pv 8m ds = р sin 0 п^ 8m ds = p^n^ 8m ds, полагая p^ = psin0; эту величину мы будем называть геодезической кривизной линии С в точке т\ окончательно напишем (9.2) Ы = tb 8Ь — ta 8а — f ?gng 8т ds. В этой формуле встречаются только геодезические элементы, за исключением, быть может, скаляра р^; но если, как мы имеем право сделать, мы закрепим точки а и Ъ и примем 8т = 0 всюду вдоль линии С, кроме небольшой дуги т1т2 длины As, содержащей точку т, где мы положим n^ 8m = k (s) 8X, то получим ^ = — / pgb (s) ds = — bspgk, где рд н k означают средние значения, что можно также записать так: As — W' !) Этот триэдр мы будем считать триэдром Френе при изучении линий, проведенных на поверхности; он будет всегда употребляться в гл. IV.
280 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ Положим теперь &(s)=l на дуге т[т'2, лежащей внутри дуги тхт2 и содержащей точку т, и пусть 0 <&($)< 1 на дугах тхтгх и т2т'г причем сумма длин этих дуг бесконечно мала по отношению к As; k стремится тогда к 1, и, предполагая непрерывность кривизны pgi имеем 1- £'(0) llm -£r = — h- As -> 0 as У Из этого равенства получается, что кривизна рд является геодезическим инвариантом, присоединенным к точке кривой, так как при ее определении мы считали известным только линейный элемент d$2. Формула (9.1) и соображения, которые мы привели, показывают теперь, что, если мы хотим, чтобы длина была стационарной, т. е. чтобы lim(BL/8X) = 0, необходимо сначала, чтобы /<^г мы имели рд = 0 во всех точках линии С, дающей экстремум: такая линия должна, следовательно, обладать нулевой геодезической кривизной, ее называют геодезической. Записывая теперь p^=psin0 = O, видим, что это условие может быть реализовано либо если р = 0 и тогда в действительной области линия С будет прямой, либо если sin в = 0, т. ё. Рис. 31. если соприкасающаяся плоскость к кривой все время остается нормальной к поверхности; впрочем, то же можно сказать о прямых, соприкасающаяся плоскость которых неопределенна. Дифференциальное уравнение геодезических линий будет (n, dm, d2m) —0, это уравнение второго порядка х), следовательно, геодезические зависят от двух параметров; вообще говоря, можно, следовательно, найти геодезическую, проходящую через две заданные точки поверхности S. Например, геодезические на плоскости будут прямыми, на сфере они будут окружностями больших кругов, на цилиндре — винтовыми линиями цилиндра (1,7) и их вырождениями: прямолинейными образующими и ортогональными сечениями. На сфере, вообще говоря, 1) Из этого уравнения следует, что если две поверхности касаются вдоль линии, которая является геодезической для одной из них, то эта линия будет геодезической и для другой. В частности, геодезическая поверхности S будет также геодезической на развертывающейся поверхности, огибающей касательные плоскости поверхности вдоль этой кривой (геодезический пояс).
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 281 через всякую пару точек проходит одна, и только одна, геодезическая, кроме случая двух диаметрально противоположных точек, через которые их проходит бесконечное множество. На цилиндре, ортогональное сечение которого является простой замкнутой кривой через всякую пару точек, не лежащих на одном ортогональном сечении, всегда проходит бесконечное множество геодезических. Вернемся к задаче, поставленной вначале; для того чтобы линия С осуществляла экстремум длины, если мы фиксируем точки а и Ъ на линиях а и (3, необходимо прежде всего, чтобы С была геодезической, тогда последний член в уравнении (9.2) исчезнет. Варьируя теперь точку а и фиксируя точку #(8Ь = 0), мы видим, что должно быть ta8a = 0; наоборот, варьируя а и фиксируя Ь, находим также t&8b = 0. Между тем 8а и 8Ь — касательные векторы к линиям а и р соответственно в точках а и Ъ\ окончательно, искомая геодезическая должна пересекать ортогонально линии а и (3 (это условие трансверсальности в рассматриваемой вариационной задаче). 10. Геодезическая кривизна. Вдоль кривой С, определенной на поверхности 5, считая а и v функциями параметра t, мы определили геодезический инвариант p^ = psin6, исходя из криволинейной абсциссы, т. е. при определенном направлении обхода кривой; если изменить это направление, то t и, следовательно, п^ заменятся противоположными векторами, поэтому б перейдет в —б и рд изменит знак. Следовательно, можно определить направление вогнутости в точке кривой, не являющейся геодезической; это будет направление геодезической нормали п^, для которой соответствующее значение рд положительно х). Выбирая теперь положительное направление обхода на линии С, мы подсчитаем рд, предполагая, что а и v — функции параметра, имеющие непрерывные вторые производные. Заметим прежде всего, что в силу (9.1) pgdsz = (n, dm, d2m). Рассматривая теперь триэдр первого порядка (I, 1.1, где а)3 = 0), получаем dm = (о^х + о)2е2 [ds2 = (со1)2 + (со2)2]; отсюда вытекает, что, если dm1 и du>2 означают теперь обыкновенные дифференциалы, то d2m = (do1 — А2) ех -f- (do2 + ©Х) e2 + ( ю1»} + u>3a)|) п, 1) Отсюда следует, что центр геодезической кривизны — внешняя точка,, расположенная на геодезической нормали пд с абсциссой 1/р^, вполне определен.
282 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ откуда рд dS* = О)1 (rfd)2 -+- W1^) — 0)2 ^0)1 _ 0)2^ _ = o)i do)* — о)2 rfo)i + [((о1)2 + (<*>2)2] о2 = ds2 \d arctg 2? 4- ©j] , или, наконец, (10.1) p,<fe = rf arctg д+т»; из этого выражения виден геодезический характер кривизны р^ после того, что было сказано относительно формы ю* (§ 4) х). Уравнение геодезических получается, следовательно, если приравнять нулю правую часть равенства (10.1), Используя уже сделанный в § 4 подсчет, легко получаем выражение (10.1), если линейный элемент ds2 задан- в одной из специальных форм: в изотермических координатах ds2 = H(da2 -\-dv2)t получаем (10.2) 9gds = d(zrctg^ + ^-w-dv--2-5U-du; в минимальных координатах ds2 = 2Fdudv, получаем (10.20 9gd8 = ^d(lndi) + -2(-3Z-dv dTdap если ds2 задан в форме ds2 = du2-\-G dv2, имеем (.0.2") bt.-ifaigq+tjg.^ В качестве введения в теорию римановых пространств (III, II) мы проведем теперь рассуждение, исходя из переменных и и v и линейного элемента ds2 общего вида (который уже не представлен предварительно в виде суммы двух квадратов). Будем искать сначала ковариантные компоненты проекции вектора d2m на касательную плоскость: Положим a = ult v = u2 и обозначим [//; k] = [jt; fe]= ?" *mft (/, у, ft = l или 2); диг duJ daK i) Полагая, как обычно, <о2 = аоз1 4 Р^2! видим, что вдоль кривой o>' = 0t поскольку ds = <u\ имеем ?g=za- Для р имеем аналогичную интерпретацию. В частности, гх и г2 (II, 1.8) — геэцезичэскаэ кривизны лиялй кривизны.
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 283 эти выражения называются скобками, или символами, Кристоффеля первого рода, они симметричны относительно индексов / и j\ Умножая скалярно d2m на векторы дт/ди и dm/dv, мы видим, что ковариантные компоненты проекции дифференциала d2m на касательную плоскость будут соответственно равны Ed*a + Fd*v-\-lU; l]du2 + 2[\2; 1] du dv + [22; l]dv*t FcPa + Gtf^-Hll; 2]du2 + 2[\2; 2]dudv + [22; 2\d<ifi. Необходимо сначала подсчитать скобки Кристоффеля, исходя из коэффициентов линейного элемента ds2, имеем .F (dm d%i . dmdSm^ , (дт дЬп , дт д*т \ А аг~\dududv~t~ dv du*)aa~T~\dv ЫГЬИ^~ ди dv*)av — = ([12; 1Ц-Ц1; 2])d« + ([12; 2] + [22; \\)dv. Id0 = Sda+¥Sd-l12= 21Л+ 122: Vdv. отсюда получается следующая таблица из шести символов пер* вого рода: [II! Ч=|§. [1% 4 = 12.; 4=4 Ж- № Ч-S-Jg. ["•2'=Ж-73|' И2: 21 = 12.; 21=1^. |22; 2) = i Ц. (10.3) Чтобы перейти к контравариантным компонентам проекции дифференциала d2m на касательную плоскость, введем скобка, или символы, Кристоффгля второго рода, определяемые формулами (10.4) Mil=*{i}}+M5}. I w'^=F{tj}+°{tJ}- Если рассматривать [ij; 1] и [//; 2] как ковариантные компоненты вектора, то < .. > и < . i будут для него контравариантными компонентами; как квадратные, так и фигурные скобки симметричны относительно индексов / и /. В силу формул (8.2) и найденных выражений, проекция вектора d2m на касательную плоскость имеет в качестве контравариантяих
284 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ компонент выражения Далее, поскольку вектор t ИхМеет контравариантные компоненты dajds и dv/ds, вектор л^, который получается из нега поворотом на угол -f-rc/2, имеет ковариантные компоненты ОО -up-. н£. v *' ds ds С другой стороны, . л d*m отсюда следует в силу (8.3) (10.5) Р,=»^[л(л,+{121}й«Ч-2{*}лЛ+{4}^)-" или, если обозначить штрихами производные по параметру s, Уравнение геодезических получается, если записать, что р^ = 0; если искать, например, v как функцию от и, то достаточно приравнять к нулю квадратные скобки в формуле (10.5), полагая там d2u = 0. Если принять 5 за параметр, то тождество t2 = (dm/ds)2 = 1 дает сначала (dm/ds) (d2m/ds2) = 0, т. е. показывает, что компонента вектора d^mfds2 в касательной плоскости нормальна к кривой. Поскольку ковариантными компонентами вектора t будут Ей' -\-Fvr и Fu'-\-Gvf, имеем, принимая во внимание формулы, которые дают контравариантные компоненты проекции вектора d2m/ds2 на касательную плоскость, тождество, (£«' + /'tO(^+{111}"'4-2{112}eV + {^}^) + + (F«4-Ot»')(t»"-(-{ 2 } и'2-1-2 { 22}«V + {22}t»'2) = 0. справедливое вдоль произвольной кривой.
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 285 Тот факт, что рд = ® вдоль геодезической, показывает, что вектор п^ ортогонален к проекции вектора d2m[ds2 на касательную плоскость; поскольку эта проекция уже перпендикулярна к вектору t, она равна нулю, и мы имеем уравнения геодезических в виде ,I0-js+{.,.}№r+s{A}(S)e)+{i}(S)'-°- ' )1и,2,}(ёу+ч,22н§)Ш+{да=°- где ^(l)'+^(l)(S)+«(g), = b Приложения: 1°. Геодезические и кратчайшее расстояние на поверхности. Как показывает уравнение (10.1) необходимым и достаточным условием того, чтобы семейство кривых ш2 = 0 было образовано геодезическими, является равенство а^ = ра)2; из соотношения rfw1 = — а)2 Д о)^ получаем dm1 = 0. Следовательно, можно положить w1 = du [см. (ОЛИ. упр. 1)]; представляя теперь о2 в виде получаем (10.7) ds2 = du2-\-Gdv2. Таким образом, как мы обещали (§ 4), можно всегда представить линейный элемент ds2 поверхности в виде (10.7); координатные линии будут образованы однопараметрическим семейством геодезических и их ортогональными траекториями 1). Мы видим теперь, что переменное и представляет собой криволинейную абсциссу на каждой геодезической семейства v = const; две линии и = const высекают, следовательно, на этих геодезических дуги равной длины; говорят, что кривые и = const параллельны на поверхности2). В окрестности обыкновенной точки т поверхности 5, где т(и, v) допускают непрерывные частные производные достаточно высокого порядка, приведенные ниже рассуждения приложимы в достаточно малой области, так как для этого достаточно, чтобы рассматриваемые геодезические не имели в ней ни особой точки, ни огибающей. В этой области для длины L дуги кривой С, определяемой, например, заданием v как функции от и, соединяющей точки т(и0, v) и m(uv v), при их > и0 и постоянном vt 1) Чтобы получить такой вид линейного элемента ds* в ортогональных координатах, можно также отправляться от формул (10.5); мы видим, что необходимое и достаточное условие для того, чтобы линии v = const были геодезическими, выражается равенством < - > = 0; поскольку ^=0, получаем отсюда с помощью (10.4), что [11; 2]=0, или дЕ/ди^О. 2) Это понятие обобщает понятие параллельных кривых на плоскости.
286 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ имеем так как О > 0. Геодезическая, следовательно, реализует кратчайшее расстояние между этими двумя точками, так как знак равенства может иметь место только для dv/du = 09 т. е. для v = const, следовательно, для геодезической. В частности, если рассматриваемые геодезические выходят из одной и той же точки т(и0, v0), тогда^-если только точка т(и, v) будет достаточно близка к точке т0, геодезическая, соединяющая точку т0 с точкой т, реализует кратчайшее расстояние между этими двумя точками. 2° Выражение для дифференциала #. Для этого дифференциала имеем сначала в силу (10.3) 2HdH = EdG-+-OdE — 2FdF = = 2(Е[12; 2] —F[12; 1] + G[11; 1] — F[U, 2\)du + + 2(E[22; 2\ — F[22\ 1] + G[12; 11 — F[12, 2])dv, откуда в силу (10.4) и, наконец, ом» тг=({п}+Ц})«»+(Ш+ШК 3° Формула полной кривизны. Напишем линейный элемент ds2 в виде и положим <»i = YEdu + --jLdv, (u2 = -^Ldv, iu\ = adu + $dv. Имеем d,u2=HTi)daAdv= = (VEdu +y=dv) A (« du +p dv) = (VE p — ^)du A dv^
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 287 откуда .,_i[ft+/B<L(£)]. В силу (10.3) и (10.4) получаем р=г[|{,2,}+{,22}+{111}-К£{1,л+^,2Л)]=?{,22}- Тогда из уравнения da)2 = — Km1 Л <*2 = — KHda Л dv вытекает, что Меняя местами буквы и и v, E и О и индексы 1 и 2, имеем также Образуя полусумму этих выражений, получим симметрическое выражение для полной кривизны 1). 11. Поле векторов. Ковариантные частные производные» Параллельный перенос. Рассмотрим на поверхности 5 поле касательных векторов X, определенное их контравараантныма компонентами V- (a, v) и S2 (и, v); имеем «=*£+<*£+е*(£)+р*(£)- Будем искать ковариантные компоненты проекции DX дифференциала dX на касательную плоскость в точке т(и, v)\ они получаются, если умножить dX соответственно на векторы дт/ди. и dm/dv. Принимая во внимание формулы (10.3), получаем соответственно [E^+FdP-b^ail; I] da+ [12; l]<fo) + ! -И2([12; l]da + [22; 1] dv). (ПЛ) I FdP + QdP + ^ail: 2]da + [12; 2]Лг) + | +S2([12; 2] da+[22; 2] dv). *) Эти формулы не содержат в качестве частного случая уравнения (4.7). Уравнение (4.7) можно получить с помощью (10.3), (10.4) и (10.8). a- VE\ дув dv ди (Л),
288 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ <П.2) J Учитывая же соотношения (10.4) и формулы (8.1), находим контравариантные компоненты проекции вектора dX в виде <*+е({111}*в+{^и+ dV + v({?x}du+{*2}dv) + +V({v}du+{2\}dv) = DP = P\ldu-\-?\2dv. Коэффициенты при da и dv в этих выражениях называются ковараантныма производными поля в контравариантных координатах 1). Если вектор задан своими ковариантными компонентами [формулы (8.1)], то первое из выражений (11.1) запишется так: *! + ?([!!; l]<te-H12; l]dv) — VdE-\-&(ll2; \\du-\- + [22; l]dv)—PdF, или в силу (10.3) #! —Р([И; l]da + [12; 1]Af) — P([ll; 2]d«-|-[12; 2] dv);. формулы (10.4) дают ^ - (£$i + FP) ({j\ }<*«+{/2} *»)-(№ +- О?2) ({ п } du+{£ } dv), где ковариантные компоненты очевидны; проделывая то же самое со вторым уравнением (11.1), имеем окончательно2) — ?2({ £ }du 4-{ j22}dv) = «! = 6t,t А» -Их ,2 dz>, (11.3) !) Это название объясняется тем, что совокупность этих четырех количеств имеет тензорный характер, на котором здесь бесполезно настаивать; мы вернемся к нему в § 13, а затем в общем случае при изучении римано- вых пространств (III, II). 2) Матрица коэффициентов при gt и £2 в формулах (13.3) получается из матрицы коэффициентов при р, S2 в уравнениях (11.2) транспонированием и изменением знака.
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 289 коэффициенты при da и dv в этих формах, линейных относительно da и dv, называются ковараантныма проазводныма поля в ковариантных координатах. Из этих формул непосредственно вытекает, что производная скалярного произведения двух полей Х(£х, ?2) и Х^1, т)2) может быть подсчитана при помощи формул d (XY) = d (P4l + ^ъ) = р Л,х + 7]i Л1 + i2 dib + т]2 rf?2 = (11.4) =$1D7ll + 7]lD^4-E2D7]2 + 7]2DS2. Пусть теперь Дер — угол, который образует вектор X с проекцией на касательную плоскость в точке m вектора поля X-f-ДХ, взятого в точке m-j-Дт. Имеем, обозначая через X* вектор касательной плоскости, получаемый из X поворотом на угол -+-тс/2: . Л _ Х*(Х + ДХ) _ Х*АХ sin Дер — | х* 1 | X + ДХ | — | X* | | X + АХ | ' Отсюда получается следующее выражение для дифференциала этого угла, если заметить, что |Х*| = |Х|: X*DX X*rfX rfcp: |ХР | X |з • т. е., поскольку Ei =— #£2, £а = #£1, (11.5) а(?=_Н<РОР:^ПЪ £(£i)2 + 2/W+G(£2)2 • Рассмотрим теперь поле единичных векторов (|Х|2 = 1) и допустим, что мы перемещаемся вдоль кривой С, соединяющей точку тх с точкой т2. Мы будем говорить, что интеграл Г dep выражает изменение направления вектора X вдоль кривой С. Если rfcp все время равно нулю, то говорят, что вектор X испытывает параллельный перенос вдоль линии С; поскольку мы имеем тогда XdX = 0 и X*dX = 0, а векторы X и X* взаимно перпендикулярны, отсюда следует, что проекция вектора dX на касательную плоскость равна нулю, т. е. что имеют место уравнения D¥ = 0, DE2 = 0 или D?1==0, D£2 = 0. Обратно, эти соотношения имеют следствием два предыдущих, т. е. | X | — постоянная величина, и это замечание приведет нас к понятию, введенному Леви-Чивита, параллельного переноса вектора вдоль линии С, заданной уравнениями u = u(t), v = v(t).
290 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ Отправляясь от точки t0 и рассматривая единичный вектор Xq с компонентами (^)0 и (£2)0, можно записать в силу (11.2) уравнения dt u' dt u следующим образом: ^+ «*+«* = 0. где величины k и / — известные непрерывные функции параметра t. Эти уравнения допускают решение %l(t), £2(0» единственное, если для t = t0 оно принимает значения (£1)0 и (Е2)0. Говорят, что вектор X (t) касательной плоскости к поверхности S в точке m[u(t), v(t)\ с контравариантными компонентами £*(0. £2(0 получается из вектора Xq параллельным переносом вдоль линии С. В плоскости ds2 = du2 -\- dv2 все символы Кристоффеля равны нулю, параллельный перенос будет просто переносом. Полученное выше понятие представляется, следовательно, как обобщение понятия эквивалентности; но важно отметить сейчас же, что отправляясь от вектора, присоединенного в касательной плоскости к точке т0 поверхности, и перемещаясь параллельно вдоль кривой, приводящей в точку т1% мы получаем в результате параллельного переноса вектор, зависящий, вообще говоря, от пути, которым мы следовали из точки т0 в точку тц. Рассмотрим теперь единичный вектор X(t)(V-, £2). который перемещается вдоль кривой, и пусть Y(0(V. rf) — единичный вектор, подвергающийся параллельному переносу вдоль кривой С. Угол О вектора X с вектором Y задается соотношением откуда, поскольку £>7]х = 0, Dt\2 = 0, мы получаем Принимая во внимание значение sin б, имеем Эта функция, дробно-линейная относительно % и tj2, вырождается, так как в силу унитарности вектора X(t) окончательно находим, следовательно, что (11.6) ав = — Н^ = №^-=Н &DP — SjDP).
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 291 такой вид принимает формула (11.4) для единичного вектора; она дает геометрическую интерпретацию дифференциала угла, на который поворачивается вектор при параллельном переносе вдоль кривой. Если вектор X сам испытывает параллельный перенос, то мы видим, что dQ тождественно равно нулю; следовательно, если вдоль кривой параллельно перемещаются два единичных вектора, то угол между ними остается неизменным. Посмотрим, каковы те линии, вдоль которых единичный касательный вектор t переносится параллельно. Так как вектор t имеет контравариантные компоненты du/ds и dv/ds, то должны выполняться следующие соотношения: "(£)_ d*u ds ds* н^т+ч^кшт+^т-»- 4^=^ЧЖ)'+Ч>2}Шж)+Ш(£)'=* это уравнения (10.6) для геодезических линий. Отсюда новое определение параллельного переноса: пусть m — точка поверхности 5 и m + Дт — соседняя точка; построим геодезическую, соединяющую эти две точки; если X — единичный вектор касательной плоскости в точке ш, то единичный вектор Х + АХ касательной плоскости в точке m + Дт, образующий с полукасатель- ной к геодезической в этой точке угол, равный тому, который образует вектор X с полукасательной к геодезической в точке т, называется вектором, полученным из вектора X параллельным переносом; отсюда переходом к пределу получаем тот процесс интегрирования, который был использован выше для параллельного переноса вдоль кривой. Вернемся теперь к формуле (10.5), которая дает геодезическую кривизну линии С; ее можно записать в виде ря=" du \ds ) dv \ds ) ds ds ds ds сравнивая это выражение с равенством (11.6), имеем где ср означает угол, на который поворачивается единичный касательный вектор при параллельном переносе вдоль кривой С; этот угол играет, следовательно, ту же роль, что и угол касательной с фиксированным направлением в теории плоских кривых. Приращение
292 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ угла ср между двумя точками линии С называется тогда углом геодезической смежности двух касательных. Пример. Чтобы иллюстрировать тот факт, что параллельный перенос зависит, вообще говоря, от пути, рассмотрим на сфере сферический триортогональный треугольник ЛВС (рис. 32). Перемещая параллельно вектор t, касательный к линии АВ в точке Л, вдоль линии АВ, а потом вдоль линии ВС, приходим в точку С с направлением, касательным к линии АС, в то А _ t время как перемещая этот вектор вдоль линии ЛС, приходим в точку С с направлением, касательным к линии СВ. 12. Формула Оссиана Бонне. На плоскости, если мы рассматриваем простую замкнутую кривую, являющуюся границей области, и, отправляясь от некоторой точки, описываем ее в положительном направлении, то при возвращении в исходную точку оказывается, что каса- Рис. 32. тельная повернулась на угол 2тг. Что касается поверхности, то, описывая замкнутую кривую в положительном направлении и рассматривая угол поворота полукасательной при параллельном переносе, мы обнаружим, что этот угол, вообще говоря, не равен 2тс после полного обхода, а имеет излишек по сравнению с этой величиной, который как раз и показывает, что поверхность искривлена (т. е. просто что она не изометрична плоскости). Предположим, что линейный элемент ds2 приведен к виду (12.1) ds2 = (G)i)2 + (o>2)2, и рассмотрим область D, ограниченную кривой С, через каждую точку которой проходит одна и только одна линия каждого из семейств а>1 = 0, о2 = 0; с аналитической точки зрения предположим* что можно записать о)1 = hxdu1, ш2 = h2du2, где Ах и h2 — непрерывные функции параметров и1 ни2. Область D есть образ области Д плоскости (и, v), ограниченной кривой у. Как мы видели (§ 8), положительное направление на кривой у индуцирует положительное направление на кривой С; в силу формул (10.1) имеем (12.2) /p^ = /[rf(atctg-S-) + ««] = [arctg^] +/«»;. с+ т+ т+
ГЛ. HI. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 293 Оценим сначала проинтегрированную часть, которая, очевидно, кратна 2тг. Имеем o)i — 1ц<1и> ' и отношение h2\hx не меняет знака. Если оно будет постоянно, то можно, кроме того, предположить, что оно равно единице, заменяя и1 на (hjh^u1; при этих условиях линия у есть образ кривой у' плоскости (и1, и2), описанной в положительном направлении вместе с кривой у и, следовательно, [arctg(o)2/o)1)] + = 2ти. Если отношение к21кх непрерывно, мы допустим, что его значение в точке т0 равно (h^h\\ предположим, что область D окружает точку т0 и достаточно мала, чтобы |["<1г^-К(£Ш1+1<' <°<«<2->- Тогда получим также Н?-5-]т+=2*- Этот результат имеет место и для области, ограниченной достаточно малым криволинейным полигоном. При этом, конечно, нужно принимать во внимание внешние углы; равным образом этот результат справедлив для линии у — прообраза произвольной кривой С, ограничивающей односвязную область D, которую можно разложить на конечное число достаточно малых областей. По формуле Грина (О, III, 1.7) имеем, с другой стороны, т+ Д Д D окончательно формула (12.1) запишется так: (12.3) f9gds=z2n—ffKdo, С+ D эта формула принадлежат Оссаану Бонне; левая часть представляет собой угол, на который поворачивается касательная к линии С+ в параллельном переносе при полном обходе контура. После того, как это предложение доказано для односвязной области D, такой, что существует представление линейного элемента ds2 в виде (12.1) (через всякую точку области D проходит одна и только одна линия из каждого семейства о>1 = 0, а)2 = 0), оно распространяется на односвязную область D, которая может быть разбита на конечное число областей, аналогичных предыдущим (рис. 33).
294 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ Если линия С — криволинейный полигон с вершинами аг аП9 то, вводя внутренние углы а$, имеем п fpgdS +2 (* — *i> = 2* — И™0' с+ i=l так как к сумме интегралов f pgds, взятых вдоль каждой стороны, которую мы будем по-прежнему обозначать через j pgds, нужно с+ добавить сумму углов, на которые поворачивается касательная в каждой вершине, при переходе от одной стороны к другой. Рис. 33. Рис. 34. Если речь идет о геодезическом полигоне (р^ = 0), то имеем п JfKda = ^Oi — (n — 2)ic, D 1 или для геодезического треугольника (а, Ь, с) j § Kdo = a-{-b + c — Tz. Из этой формулы следует, что на поверхности положительной кривизны сумма углов геодезического треугольника всегда больше ти; для поверхности отрицательной кривизны имеет место противоположное утверждение. На сфере радиуса R (K=\IR2) получаем хорошо известную формулу, определяющую площадь а геодезического треугольника o = R*(a-\-b + c — тт). Из формулы (12.3) можно получить также подсчет интеграла полной кривизны по неодносвязной области; например, в кольцеоб-
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 295 разной области D, ограниченной двумя кривыми С и С; разбивая ее, как показано на рис. 34, получаем fpgds + f9gds = -ffKdo. с+ с'+ D Наконец, на замкнутой поверхности (без границ и без сдвоенных точек) интеграл полной кривизны связан с топологическим инвариантом: числом дыр, или родом поверхности; в самом деле, легко показать, что ffKda = 4*(l— р), s где р означает род ( Г Г Kda = 4тг на поверхности, гомеоморфной W сфере; f f/Cda = 0 на поверхности, гомеоморфной тору). 8 Приложение. Параллельный перенос, не зависящий от пути. Чтобы поверхность обладала тем свойством, что параллельный перенос какого-нибудь направления из одной точки в другую не зависит от пути, необходимо и достаточно, чтобы касательная к произвольной замкнутой кривой С — границе односвязной области D — при полном обходе кривой С+ поворачивалась на угол 2ти. В силу формулы Оссиана Бонне, необходимо и достаточно, чтобы поверхность имела нулевую полную кривизну, т. е. была изо- метрична плоскости. 13. Поле тензоров. Ковариантная производная. Изменим обозначения, чтобы подготовиться к общей теории римановых пространств (III, II). Положим, как и ранее, и = и\ v = Ф, затем *11 = Я. *« = ** = Л g<2 = G; g^EG — F* = H\ так что мы будем писать, употребляя условие суммирования (О, II), (13.1) ds* = g{j da* duJ (t,j = 1,2) (здесь индексы суммирования принимают только значения 1 или 2). Поскольку дифференциалы du* являются контравариантными компонентами дифференциала dm, свойство инвариантности формы ds* получает следующее выражение: можно сказать, что gij будут в каждой точке компонентами симметричного тензора, который называется основным тензо - ром; при вариации точки имеем поле тензоров на поверхности. Контравариантные и смешанные компоненты основного тензора определяются формулами (13.2)
296 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ Возвратимся к понятию ковариантной производной поля касательных векторов X; мы положили (§ 11), что для вектора, задаваемого-его ковари- антными компонентами 5$, ковариантная производная равна а для вектора, задаваемого его контравариантными компонентами £*', Покажем, что каждая из величин (13.3) и (13.4) являются компонентами некоторого поля тензоров. Исследуем первый.случай и рассмотрим в некоторой точке произвольный вектор Y, который мы подвергнем параллельному переносу вдоль произвольной кривой. Образуем в рассматриваемой точке дифференциал скалярного произведения X • Y; имеем, обозначая через rf компоненты вектора Y: d(X.\) = dbp{ + drfb В силу (13.4) drf можно заменить на — \ > rp du$\ отсюда d^-^=[b~{hj\bhduj=i^hdai' что показывает, в силу контравариантности дифференциалов du?% что th,j будут ковариантными компонентами тензора валентности 2. Аналогично можно доказать, что 5*|у будут смешанными компонентами тензора. Та же операция прилагается к тензорам более высокой валентности. Например, для поля тензоров Тц, полагая и рассматривая, как и выше, два произвольных вектора X и Y, которые перемещаются параллельно вдоль произвольной кривой, показываем, что Тщ к будут компонентами тензора. Точно так же величины ih пае) ^--Ё^ЧУ^+Ш7"1 представляют собой компоненты тензора. Для тензоров более высокой валентности со смешанными компонентами имеем аналогичные формулы. Предыдущие формулы показывают, что ковариантпное дифференцирование произведения производится по правилам обычного дифференцирования. В частности, имеем ««,.-&-{i}'«-{i}*>-&-,*/1-UM-* находим также таким образом (лемма Риччи):
ГЛ. Ш. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 297 Ко вариантная производная основного тензора равна нулю. Важное следствие этой леммы состоит в том, что различные представления поля тензоров дают при ковариантном дифференцировании различные представления одного и того же поля тензоров; следовательно, можно* говорить о ковариантной производной тензора. Пусть, например, Тц и ТУ — два представления одного и того же поля тензоров; имеем ТУ = gihgflTnb полученное выше правило ковариантного дифференцирования произведения» и лемма Риччи дают TV\k = gibgJlThllk, что и доказывает наш результат. Можно, конечно, рассматривать ковариантные производные порядка выше первого; индексы ковариантного дифференцирования отделяются чертой от индексов первоначального тензора. В качестве приложения найдем выражение дивергенции поля векторов X, заданных их компонентами £*; формула, приведенная в § 8, напишется так: __ ди* у g duh Между тем формулу (10.8) можно записать следующим образом: 1_ *У1 At \ Yg дФ \hl) откуда (13.7) divx45-+U}sft=s*ii Для функции точки/ естественно положить dfjdui = f\i, поскольку эти» величины являются ковариантными компонентами вектора; получаем теперь- /"=*"/„. откуда (13.8) А2/= div (grad /) = gU^ if> Упражнения 1. Конформные географические карты. Рассмотрим сферу х = R sin 0 cos ср, \ у = R sin 6 sin ср, } (0<8<7t; 0<ср<2и); z = R cos 6, J мы видели, что ds* = /р (rf02 + sin* 0 rfcpS). аш Стереографическая проекция. Мы получим конформную плоскую карту, проектируя точки сферы из южного полюса (0 = тс) на плоскость, касающуюся сферы в северном полюсе (0 = 0). Точке (0, ср) сферы соответствует на плоскости точка с полярными координатами (г, ср), г = 2#tg(0/2).
298 ВТОРАЯ ЧАСТЬ. ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ Вводя прямоугольные координаты (£, т\) ft ft 5 = 2^у cos cp, 7] = 2Rtg~2 sinЪ находим Образами меридианов будут прямые, проходящие через начало, образами параллелей — окружности с центром в начале. Эта проекция употребляется для карт полярных областей или при подходящем выборе центра проекции — для карт тех стран, которые, подобно Румынии, грубо говоря, имеют форму сферического сегмента с не слишком большим центральным углом. Ь. Проекция Ламберта. Полагая ге*>ч = 6 + h = £» выполним преобразование г'е*' = I' + ft;' = С' = аХ.\ / = аг\ / = аср, где а и а — положительные константы; получаем , 0 cos*-^- d* = : -ГТ^^Т (^'2 + г* d^' ( 6 Vs a*«x^2/?tg-) Подбираем а таким образом, чтобы отношение линейного элемента ds* к линейному элементу плоскости (г', ср') было наименьшим для 0 = X, где О < X < тс/2; находим a = cos X; определяем а таким образом, чтобы это отношение было равно единице для 0 = X, получаем 0 \4 / 0 \4siQ2(V2) ^ = |^1|1) 1!Ц] (** + *,"). lC0S2-/ \*Т Эта проекция употребляется для карт Франции и различных других стран. с. Проекция Меркатора. Это предельный случай X = тс/2, который можно получить из предыдущего переходом к пределу; но гораздо проще получить его непосредственно; полагаем g' + /V=C' = /?lnC, e' = #ln(2/?tgiV 7]' = % имеем rfs2=sin2 0(rfS'2 + rf7]'2). Параллели и меридианы сферы имеют образами прямые, параллельные осям координат. Преимущество этой карты, используемой уже давно мореплавателями, заключается в том, что локсодромы, или кривые на сфере, пересекающие меридианы под постоянным углом, имеют образами прямые линии. 2. Интегрирование уравнения „ 1 d*\nF ,„ # , .. к=—¥~дШГ (K=const=£0),
ГЛ. III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ, ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 299 Умножая обе части на dFjdu, получаем можно положить подсчитывая d\r\Fjdu исходя из второго соотношения, находим dv\V да )~ dv ' f что дает ~"ЩГ Ф ■д1- = ~- + 6 (и) (0 — произвольная функция). Возводя это соотношение в квадрат, замечаем, что получается уравнение Риккати относительно dty/du; его общее решение, следовательно, имеет вид Ut + UiV У~~ U+V ' Подставляя его в предыдущее уравнение и полагая £/+ V= 0, получаем U^UUi — W, откуда что дает dty _ WW 2KF dv - (U+V)* ' — результат, о котором мы уже говорили (§ 5). 3. Поверхности, изометричные заданной поверхности. Если линейный элемент ds* поверхности задается формулой ds* = Edu* + 2Fdu dv+G dv\ то [М£Л~Ч'-££]Л*ЯМ£У]*'<-«■+«■■» есть линейный элемент ds* нулевой кривизны; выражая эту кривизну через его коэффициенты, получим уравнения в частных производных для опред