/
Author: Грасиан Э.
Tags: математика серия мир математики точные науки
ISBN: 978-5-9774-0713-7
Year: 2014
Text
Мир
МАТЕМАТИКИ
18
Открытие без границ
Бесконечность в математике
TCAGOSTINI
Мир математики
Мир математики
Энрике Грасиан
Открытие без границ
Бесконечность в математике
Москва - 2014
D^AGOSTINI
УДК 51(0.062)
ББК22.1
М63
М63 Мир математики: в 40 т. Т. 18: Энрике Грасиан. Открытие без границ. Бесконечность
в математике./ Пер. с исп. — М.: Де Агостини, 2014. — 144 с.
Большинство из нас испытывает головокружение, думая о бесконечности: ее невоз-
можно себе представить! Быть может, именно поэтому она является неисчерпаемым источ-
ником вдохновения. В погоне за бесконечностью ученым пришлось петлять между догмами
и парадоксами, вступать на территорию греческой философии, разбираться в хитросплете-
ниях религиозных измышлений и секретов тайных обществ. Но сегодня в математике бес-
конечность перестала быть чем-то неясным и превратилась в полноценный математический
объект, подобный числам и геометрическим фигурам.
ISBN 978-5-9774-0682-6
ISBN 978-5-9774-0713-7 (т. 18)
УДК 51(0.062)
ББК22.1
© Enrique Grecian, 2010 (текст)
© RBA Coleccionables S.A., 2011
© ООО «Де Агостини», 2014
Иллюстрации предоставлены: iStockphoto.
Все права защищены.
Полное или частичное воспроизведение без разрешения издателя запрещено.
Содержание
Предисловие........................................................ 7
Глава 1. Что такое бесконечность................................... 9
Бесконечность в повседневной жизни................................. 9
Определение из словаря ............................................ И
Очень большое и очень малое....................................... 14
Апейрон .......................................................... 15
Потенциальная и актуальная бесконечность.......................... 17
Изучение бесконечности в школе.................................... 21
Глава 2. Дискретное и непрерывное................................. 25
Плотность......................................................... 25
Дискретное и непрерывное.......................................... 26
Как обмануть время................................................ 28
Парадоксы Зенона.................................................. 31
Дихотомия...................................................... 33
Ахиллес и черепаха............................................. 34
Стрела......................................................... 34
Стадион........................................................ 35
Квадратура круга.................................................. 39
Иррациональные числа.............................................. 43
Квантовый скачок.................................................. 47
Глава 3. Встречи на бесконечности................................. 51
Трехмерное изображение............................................ 51
От перспективы к проекции......................................... 53
Непрерывные преобразования........................................ 54
Квадратуры ....................................................... 58
Евдокс ........................................................... 60
Кеплер............................................................ 64
Галилей........................................................... 66
Кавальери......................................................... 68
Декарт ............................................................70
5
СОДЕРЖАНИЕ
Глава 4. Математический анализ................................... 73
Анализ бесконечно малых.......................................... 73
Ньютон........................................................... 76
Лейбниц.......................................................... 78
Эпсилон.......................................................... 85
Глава 5. Рай Кантора ............................................. 91
Ряды Фурье....................................................... 91
Фундаментальные последовательности............................... 93
Вещественная прямая.............................................. 95
Кардинальные числа............................................... 96
Счетные множества................................................100
Больше чем бесконечность.........................................103
Трансцендентные числа............................................106
Трансфинитные числа..............................................110
Континуум-гипотеза................................................ 112
Глава 6. Ад Кантора ..............................................117
Детство..........................................................117
Научные журналы..................................................121
Противоречивость бесконечности ..................................124
Дедекинд.........................................................124
Миттаг-Леффлер ..................................................126
Эксцентричность Кантора..........................................127
Безумие..........................................................128
Бесконечность в XXI веке.........................................130
Приложение.......................................................133
Библиография..................................................... 137
Алфавитный указатель .............................................139
6
Предисловие
Французский писатель Альфонс Алле (1854—1905) говорил: «Бесконечность вели-
ка, особенно ближе к концу», тем самым не без доли юмора показав, что мы не мо-
жем воспринимать бесконечность как таковую и всегда представляем ее в сравнении
с чем-либо. Иными словами, человек может рассматривать бесконечность только
в привязке к чему-то конечному, так как сам имеет конечную природу. Когда мы
смотрим вдаль, мы теряемся и погружаемся в философские размышления, домыслы
и гипотезы и, в лучшем случае, формируем к бесконечности какое-то отношение,
не всегда рационально обоснованное. Поэтому неудивительно, что бесконечность
была, есть и будет темой философских, научных и религиозных споров, ведь фило-
софия, наука и религия — три огромные области человеческой мысли, границы
между которыми не всегда четко определены.
Когда большинство людей думают о бесконечности, они испытывают голово-
кружение, ведь она неизменно ускользает от нас, как бы мы ни старались. И это
в самом деле так. Возможно, бесконечность именно потому вызывает такой ин-
терес, что представляет собой неисчерпаемый источник вдохновения. История
ее изучения в математике настолько любопытна, что можно говорить о «матема-
тике бесконечности» и смело утверждать, что в математике бесконечность пере-
стала быть чем-то неясным и превратилась в полноценный математический
объект, подобный числам и геометрическим фигурам.
Но любой математический объект должен быть четко определен. В этом смысле
математик подобен охотнику: он исследует незнакомую местность, выслеживает до-
бычу, выжидает, берет ее на мушку и, тщательно прицелившись, стреляет.
Это же произошло и с бесконечностью, причем она была непростой добычей —
потребовалось больше трех тысяч лет, чтобы поймать ее. В погоне за бесконечно-
стью ученым пришлось петлять между догмами и парадоксами, вступать на терри-
торию греческой философии, разбираться в хитросплетениях религиозных измыш-
лений и секретов тайных обществ. Однако бесконечность можно было встретить
и в геометрии, и в лабиринте чисел, более привычных охотникам-математикам.
Мы проследим, как размышляли о бесконечности величайшие мудрецы всех вре-
мен и народов, будь то философы, богословы, физики или математики. В погоне
за бесконечностью некоторые из них утратили рассудок, другие поплатились
жизнью, взойдя на костер по приговору инквизиции, и все это — из-за идеи. Одна-
ко мы знаем, что одна идея способна радикально изменить наше восприятие мира
и пошатнуть основы верований.
7
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта тема интересует не только математиков, но и философов, при этом и мате-
матическая, и философская точка зрения на бесконечность должны быть согласова-
ны между собой. Ведь, как сказал французский математик Жан-Шарль де Борда
(1733-1799), «без математики нельзя глубоко проникнуть в суть философии, без
философии нельзя глубоко проникнуть в суть математики, а без них обеих нельзя
понять суть чего бы то ни было».
8
Глава 1
Что такое бесконечность
Понятие бесконечности — это неотъемлемая часть человеческой мысли. Весьма ве-
роятно, что мы имеем некое врожденное неясное представление о бесконечности,
которое постоянно сопоставляем с противоположным ему четким представлением
о конечности, являющейся частью нашей природы. В философии и богословии раз-
мышления о бесконечности могут быть необязательными и ситуативными, но в ма-
тематике ее исследование всегда было и остается насущной необходимостью.
Бесконечность в повседневной жизни
Известен анекдот о некоем преподавателе математики, которому нужно было в пер-
вый раз объяснить студентам, что такое бесконечность. Он взял коробку с мелками,
достал один и начал рисовать прямую на доске. Дойдя до края доски, он продолжил
вести линию по стене, затем по полу и, не останавливаясь, вышел из аудитории и ис-
чез из вида в конце коридора, продолжая вести линию. Удивленные студенты жда-
ли, что будет дальше. Спустя некоторое время прозвенел звонок к концу лекции.
Преподаватель исчез. Последним, кто его видел, был вахтер. Преподаватель шел
по улице и, не отрывая мела от асфальта, по-прежнему чертил линию. Прошло три
дня, и руководство университета решило найти преподавателю замену. Через
несколько месяцев, к удивлению студентов, преподаватель вернулся. Он оброс бо-
родой, за спиной у него был рюкзак, в руке он держал кусочек мела. Он вошел
в класс, по-прежнему чертя на полу линию, дошел до доски и, наконец, остановился.
Усталый преподаватель повернулся к студентам и сказал: «Эта линия невероятно
велика, но она — ничто в сравнении с бесконечностью».
Неизвестно, какое решение приняло руководство университета — возможно,
преподавателя поместили в лечебницу. Также неизвестно, поняли ли студенты, что
такое бесконечность. Однако преподавателю удалось выразить одно: бесконечность
неизбежно связана с чем-то исключительным и даже шокирующим.
Существует множество удивительных историй, цель которых — дать нам пред-
ставление о бесконечности. В религиозном контексте бесконечность обычно связана
9
ЧТО ТАКОЕ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
с вечностью и вечными муками. Пытка может быть долгой, но рано или поздно она
прекратится, адские муки, напротив, длятся целую вечность. Чтобы описать веч-
ность, обычно приводилась аналогия с неким титаническим трудом — например,
сбором песка на огромном пляже по одной песчинке каждые сто лет. Один из наи-
более любопытных образов бесконечности таков: представьте, что Земля — это
стальной шар, и один раз в миллион лет голубь слегка гладит его крылом. Когда шар
сотрется и превратится в бесконечно малую точку, пройдет вечность. Все эти исто-
рии обычно рассказывают детям, чтобы дать им представление (увы, неизбежно
пугающее) о том, сколь велика бесконечность.
Я впервые осознал, что такое бесконечность, ребенком, когда оказался между
двумя параллельными зеркалами в кабине лифта. «Что это?» — спросил я. Отец
Иллюстрация Гостава Доре к «Аду» —
первой части «Божественной комедии» Данте Алигьери.
Дантовский ад был синонимом бесконечных страданий и вечных мук.
10
ЧТО ТАКОЕ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
взял меня за руку и ответил: «Это бесконечность». С тех пор бесконечность для
меня подобна далекой, удивительной и пугающей стране, по которой лучше всего
путешествовать, если кто-то держит тебя за руку.
Для всех нас бесконечность находится где-то далеко, в совершенно недостижимом
месте, и в лучшем случае вызывает страх, в худшем — безмерный ужас. Одна-
ко альтернатива бесконечности также не слишком обнадеживает. Если Вселенная
конечна, что находится за ее пределами? Ответ: Ничто, с большой буквы. И это
«Ничто» еще невероятнее, чем бесконечность.
Определение из словаря
По определению из словаря, «бесконечность» обозначает нечто чрезмерно великое,
необычайно большое или продолжительное. Однако мы часто используем это слово,
говоря «бесконечное пространство», «бесконечно много раз», «бесконечное время»,
«бесконечное терпение». Все мы понимаем смысл этих выражений, но если мы по-
пробуем разобраться, что же имеется в виду на самом деле, то увидим, что наши
способности размышлять о бесконечности ограничены, и мы быстро переходим
к банальностям и клише, которые никак не помогают нам приблизиться к понима-
нию сути бесконечности. Это понятие имеет философскую природу: размышлять
о бесконечности означает философствовать, а для таких размышлений нужно иметь
какую-то отправную точку. Проще всего будет обратиться к словарю.
В толковом словаре русского языка слово «бесконечность» имеет четыре значения.
1. Отсутствие конца, предела наличию каких-либо однородных объектов в про-
странстве или последнего момента осуществления каких-либо процессов.
2. Пространство, не имеющее видимых границ, пределов.
3. Условная величина, которая больше любого наперед заданного значения (обо-
значается знаком 00).
4. Техн. Знак, метка, показатель условной величины, обозначающей предельную
дальность действия прибора (используется в оптике, механике).
И
ЧТО ТАКОЕ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
Проанализируем эту статью не с лингвистической, а с математической точки зре-
ния и постараемся как можно ближе подойти к истинному значению этого слова.
Первое определение гласит, что бесконечность — это нечто, не имеющее конца,
пределов. Сделаем несколько замечаний. Во-первых, обратим внимание на тонкое
различие: когда мы говорим, что бесконечность не имеет конца, то мы утверждаем,
что она существует и у нее отсутствует конец. Когда мы говорим, что бесконечность
не может иметь конца, то утверждаем, что если она существует, то ее предел недо-
стижим. Вам может показаться, что это различие несколько натянуто, однако в нем
проявляется разница между потенциальной и актуальной бесконечностью — двумя
понятиями, о которых мы подробнее поговорим чуть позже.
Во втором определении речь идет скорее о чувствах и ощущениях. Третье опре-
деление ближе всего к строгому математическому определению бесконечности. Об-
ратите внимание на знак бесконечности, об истории возникновения которого мы по-
говорим далее.
Когда мы говорим «вечная любовь», то имеем в виду временной аспект бесконеч-
ности. Если же мы скажем, что Вселенная бесконечна, то речь идет о ее простран-
ственном аспекте. Это определение по-прежнему расплывчато и по ощущениям на-
поминает вид звездного неба в безлунную ночь: его чернота кажется нам беспредель-
ной. Поэтому очевидно, что если мы хотим говорить о бесконечности, то первое, что
мы должны сделать, — это выбрать в качестве отправной точки некий конкретный
объект, и, хотя это может показаться парадоксальным, поскольку математика носит
абстрактный характер, лучшей отправной точкой станет ряд натуральных чисел.
Как известно, нет ничего более «натурального», чем натуральное число, и в лю-
бой развитой культуре известен ряд чисел 1, 2, 3, ... Когда заканчивается этот
ряд? Разумеется, никогда. Но почему? Потому что мы всегда можем прибавить
к последнему числу единицу и получить следующее число. Как вы увидите чуть
позже, за этим ответом скрывается достаточно точное определение понятия «беско-
нечность». Как бы то ни было, ответ «никогда» имеет в том числе временной аспект.
Точно так же можно сказать, что мы «всегда» сможем добавить к этому ряду еще
одно число. Если мы будем приписывать к натуральному ряду числа, держа в руке
часы, то увидим, что не только этот ряд, но и время, затраченное на его написание,
будут бесконечно большими, что часто становилось причиной серьезных неудобств
при изучении бесконечности.
12
ЧТО ТАКОЕ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
ЗНАК БЕСКОНЕЧНОСТИ
Круг, изображаемый на иконах над головами
святых, символизирует вечность. Латинское сло-
во caelum означает и «небосвод», и «круг». Эта
бесконечная кривая, которую можно обойти бес-
конечное число раз за бесконечное время, сим-
волизирует вечность. Аналогично в некоторых
языческих верованиях в качестве символа свя-
тости вместо круга использовался знак бесконеч-
ности. В большинстве версий карт Таро на первой
карте над головой Мага изображен знак беско-
нечности. Этот символ, который многие ошибоч-
но называют «перевернутой восьмеркой», пред-
ставляет собой так называемую «лемнискату
Бернулли». Он был введен британским матема-
тиком Джоном Валлисом (1616-1703). Согласно
другой версии, этот знак происходит от буквы М
(обозначавшей тысячу), написанной курсивом,
и Валлис, который также был филологом, начал
использовать этот знак для обозначения очень
, На карте Таро над головой Мага
больших чисел.
изображен знак бесконечности.
13
ЧТО ТАКОЕ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
Очень большое и очень малое
Проведем небольшой мысленный эксперимент. Предположим, что у нас есть мяч,
который обладает следующими свойствами: всякий раз, когда он падает на пол, он
отскакивает на высоту, в два раза меньшую, чем высота, с которой он упал. Если,
например, мяч упал с высоты двух метров, он отскочит от пола на метр, затем
на 50 см и т. д. Допустим, что нам нужно решить следующую задачу. Мы бросаем
мяч с высоты 10 м. Какое расстояние пройдет мяч к тому моменту, когда он остано-
вится? Нельзя сказать, что эту задачу невозможно решить, ведь мы понимаем, что
в определенный момент мяч перестанет подпрыгивать — он не может подскакивать
вечно. С другой стороны, можно предположить, что пройденный им путь будет бес-
конечно большим, так как делить пополам можно бесконечно, и всякий раз резуль-
татом деления будет все меньшая и меньшая величина. Это типичный парадокс, свя-
занный с бесконечностью (далее мы рассмотрим его подробнее), в котором фигури-
рует новое для нас понятие бесконечно малой величины.
Остановится мяч или же он будет бесконечно долго подпрыгивать
на бесконечно малую высоту?
14
ЧТО ТАКОЕ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
Следовательно, мы можем представить себе бесконечность не только как нечто
необъятное, но и как нечто бесконечно малое. Представьте себе отрезок, разделен-
ный на две части. Каждую из них, в свою очередь, можно разделить еще на две
части и т. д. По крайней мере теоретически мы можем делить отрезок бесконечное
число раз и всякий раз будем получать все более и более мелкие отрезки. Есть ли
этому предел? Нет, ведь подобно тому, как мы всегда можем добавить еще одно
число к натуральному ряду, так и в этом примере мы всегда можем разделить полу-
ченный отрезок еще раз. Таким образом, «бесконечность» может относиться как
к чему-то бесконечно большому, так и к бесконечно малому.
Апейрон
Первые рассуждения или размышления о бесконечности, как и о других важнейших
понятиях философии, берут начало в древнегреческой культуре. Как известно, од-
ной из многих заслуг греческих философов было создание собственного философ-
ского языка. Они обозначали идеи конкретными словами, сформировав философ-
скую терминологию, такую же точную, как научная терминология (или даже более
точную), так как в конечном итоге последняя произошла от первой. В нашем случае
ключевым понятием является «апейрон» — слово, происходящее от греческого
perata, что означает «предел». Следовательно, нечто, не имеющее perata, называется
апейрон (dpeiron) — «бесконечное, беспредельное».
В греческой философии это «беспредельное» приобрело особое значение: под
ним понималось не столько нечто неограниченное, как в наши дни, а источник всего
сущего. За этим понятием скрывалась следующая идея: все сущее определяют пре-
жде всего его пределы. Эта идея распространялась как на живые, так и на неживые
объекты. Если мы представим себе произвольный объект, например стол, то первое,
на что мы обратим внимание, — это не его назначение, а границы, которые от-
деляют его от всего остального. Живая клетка существует потому, что у нее есть
мембрана, отделяющая ее от окружающей среды. Таким образом, можно утверж-
дать: все на свете существует в своих пределах и благодаря им. Апейрон подобен
некой неопределенной субстанции, в которой зародилось все сущее, когда в этой
субстанции возникли границы, или пределы. Как следствие, причина существования
апейрона — скорее присутствие чего-то неопределенного, нежели безграничного.
Поэтому неудивительно, что апейрон считался не только источником живитель-
ной силы — ему также приписывалась способность наделять вещи определенными
15
ЧТО ТАКОЕ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
свойствами. Так апейрон и, как следствие, представление о бесконечности в различ-
ных религиозных учениях стали связывать с Богом.
Возникла некоторая неоднозначность и даже противоречие: апейрон как основа
всего сущего связан с первородным хаосом, то есть с чем-то плохим, нежелатель-
ным, чем-то, что не является частью нашего существования. Отсюда и неоднознач-
ность понятия «бесконечность»: его можно связывать как с чем-то божественным
и недостижимым, так и с чем-то беспорядочным, хаотичным — чистым злом.
Об этой негативной трактовке бесконечности, сохранившейся в нашей культуре,
Хорхе Луис Борхес писал: «Существует понятие, искажающее и обесценивающее
другие понятия. Речь идет не о Зле, чьи владения ограничены этикой; речь идет
о бесконечности».
Другая трактовка понятия «апейрон», которая ближе к примитивной трактовке
бесконечности, связана с евклидовым пространством, то есть с безграничным гео-
метрическим пространством. Следуя логике Платона, Аристотель не верил в суще-
ствование бесконечного пространства. Он считал, что пространство — это место,
которое может быть занято предметом, вне зависимости от того, находится в нем
сейчас какой-либо предмет или нет. Следовательно, бесконечное пространство мо-
жет быть занято бесконечно большим предметом, что невозможно.
В рамках этой логики считалось, что звезды и планеты движутся по идеаль-
ным окружностям, так как их движение непрерывно, и если бы их траектории были
прямолинейными, то они были бы бесконечно протяженными. Это представление
о мире впоследствии перенял Коперник и даже сам Кеплер, которые разделяли эту
точку зрения на пространство и бесконечность.
В Элейской школе, к которой принадлежали Парменид (530—460 гг. до н. э.)
и Зенон (490—430 гг. до н. э.), реальность, Вселенная не могли иметь начала, а сле-
довательно, и конца. Об этом Парменид писал: «...Все едино, недвижимо и беско-
нечно, так как по другую сторону его предела находилась бы пустота». Это заводит
нас в тупик, поскольку пугающая бесконечность в этом случае сменяется столь же
пугающей пустотой.
Некоторые понятия недоступны нашему пониманию, но тем не менее они су-
ществуют. Между страхом абсолютного ничто и страхом бесконечности нет особой
разницы. По сути, это две стороны одной и той же монеты, хотя бесконечность
обычно представляется более пугающей, поскольку она в некотором смысле ближе
к нам. Мы не можем представить, что пространство, в котором мы живем, являет-
ся конечным. Когда кто-то пытается представить, что наше пространство конечно,
сразу возникает вопрос: «А что находится за его пределами?» Ответом не может
16
ЧТО ТАКОЕ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
Согласно Аристотелю, бесконечного пространства не существует.
Он считал, что бесконечное пространство может быть занято только бесконечно большим
предметом, которого не существует. Этот мраморный бюст Аристотеля является римской
копией с греческого оригинала, выполненного в бронзе Лисиппом в 330 г. до н. э.
быть: «Ничто». Там должно находиться другое пространство, пусть и пустое. Ответ
на этот вопрос прост. Мы не знаем, что такое «ничто», а бесконечность, порой во-
ображаемая, нас окружает постоянно, переставая быть просто понятием или концеп-
цией. Присутствие бесконечности и сопутствующих ей вопросов во всех культурах
ясно говорит о том, что, нравится нам это или нет, она является частью нашей при-
роды, как жизнь, смерть или время.
Потенциальная и актуальная бесконечность
Предположим, что мы проводим на полу прямую линию так, что если мы сделаем
шаг вперед, то перешагнем ее. Это потенциально возможное действие. Совершив
его и оказавшись по другую сторону линии, мы сделали этот потенциал актуальным.
Существует четкая разница между потенциально возможным действием и действи-
ем совершенным. Например, может случиться так, что я захочу перешагнуть линию,
но произойдет землетрясение и в полу образуется огромный разлом, который не по-
зволит мне сделать этот шаг.
17
ЧТО ТАКОЕ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
Мы говорим, что последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, 4, ... является
бесконечной. Изначально это никто не подвергает сомнению, поскольку для любого
числа и мы всегда можем получить следующее число п+1, сколь бы велико ни было
п. Однако одно дело — иметь возможность выполнить подобное действие, и совсем
другое — совершить его в реальности и получить результат. Это очень тонкое раз-
личие. Возможность совершить действие определяет потенциальную бесконечность,
а результат такого действия — актуальную бесконечность. Слова, обозначающие
два различных типа бесконечности, не совсем удачны или, по меньшей мере,
не до конца понятны. Возможно, более уместно (но также не совсем удобно)
было бы называть потенциальную бесконечность теоретической, а актуальную —
истинной бесконечностью.
Никто не может записать все целые числа — это неоспоримый факт. Так же
верно, что никто никогда не видел две параллельные прямые, поскольку прямые бес-
конечны и мы можем видеть лишь их отрезки. Значит ли это, что параллельных пря-
мых не существует? Они существуют настолько же, насколько существуют прямые
вообще, но есть ли на самом деле бесконечная прямая? Евклид в своей известной
книге «Начала» пытался рассматривать эту тему, поскольку, упоминая о прямых, он
говорил об отрезках, чья длина может быть произвольно большой. Это весьма явная
параллель с потенциальной бесконечностью.
Принятие актуальной бесконечности — не просто вопрос выбора, вкуса или
предпочтений. Это нетривиальная философская задача. Следует учитывать, что
в математике (ив науке вообще) до конца XIX века признавалось существование
только потенциальной бесконечности. В философской школе Аристотеля был
негласный запрет на использование актуальной бесконечности. «Невозможно чтобы
бесконечность существовала в действительности как нечто сущее либо как субстан-
ция и первоначало, — писал он и добавлял: — А что много невозможного получает-
ся, если вообще отрицать существование бесконечного,— [это тоже] очевидно»,
поскольку бесконечность «существует потенциально [...] благодаря прибавлению
или делению».
Так, по Аристотелю, отрезок нельзя рассматривать как бесконечное множество
точек, выстроенных в линию, однако допускается деление отрезка пополам неогра-
ниченное число раз.
Мы задали перечисленные ниже вопросы о бесконечности обычному человеку,
не имеющему специального математического или философского образования. От-
вечать требовалось быстро, не раздумывая, в соответствии со «здравым смыслом»,
который является отражением наших культурных представлений.
18
ЧТО ТАКОЕ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
БЕСКОНЕЧНОСТЬ И ОТЦЫ ЦЕРКВИ
В Средневековье споры об актуальной бесконечности не могли вестись в математической пло-
скости, поскольку бесконечность считалась свойством исключительно божественного и, следо-
вательно, о ней могли рассуждать лишь богословы. Как говорил Аврелий Августин, «бесконечен
лишь Бог и его мысли». Удивительно, но несмотря на это церковные сановники отрицали, что
Бог способен создать актуальную бесконечность. Фома Аквинский в своем труде «Сумма Тео-
логии» показал: хотя Бог всемогущ и бесконечен, он не может создать нечто абсолютно без-
граничное. Этот вывод можно оправдать, только если признать, что актуальная бесконечность
в богословии равносильна абсолютному злу.
Вопрос: Что такое бесконечность?
Ответ: Что-то, что никогда не заканчивается.
Вопрос: И что это означает?
Ответ:11то ее части можно пересчитывать бесконечно долго.
Вопрос: Почему счет никогда не закончится?
Ответ: Потому что последнего числа не существует.
Вопрос: Откуда вы знаете?
Ответ: Я не могу это доказать. Я в это верю.
Вопрос: Иными словами, речь идет о вере.
Ответ: Не совсем. Я знаю, что каким бы большим ни было число, я всегда могу
прибавить к нему другое число.
Вопрос: Я не согласен с этим. Даже если всю жизнь вы будете заниматься ис-
ключительно подсчетами, ваша жизнь конечна, и вы не сможете скла-
дывать числа неограниченное время.
Ответ: Это не важно — подсчетами могут заниматься несколько поколений лю-
дей.
Вопрос: Но жизнь на Земле также не вечна. Даже время существования самой
Солнечной системы четко отмерено.
Ответ: Все равно. Не нужно, чтобы кто-то выполнял эти подсчеты в действи-
тельности. Достаточно знать, что это можно сделать. Даже если бы
на Земле не было людей, это можно было бы сделать. Если никто не мо-
жет сделать что-то, это не означает, что это «что-то» не существует.
19
ЧТО ТАКОЕ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
Вопрос: Таким образом, бесконечность — это нечто, существующее независимо
от нас.
Ответ: Разумеется.
В этих вопросах и ответах скрыты основные различия между актуальной и по-
тенциальной бесконечностью. Тот, кому мы задали эти вопросы, очевидно склоняет-
ся к точке зрения Аристотеля.
НА КОСТЕР РАДИ БЕСКОНЕЧНОСТИ
В 1600 году Джордано Бруно (1548-1600) совершил «грех», представив, что мы живем в беско-
нечном пространстве, содержащем бесконечное множество миров. Затем он сделал ошибку, вы-
сказав эти мысли публично, за что был сожжен на костре. До этого он семь лет провел в заклю-
чении и перенес всевозможные пытки. Это доказывает, что, во-первых, Бруно был абсолютно
уверен в своей гипотезе о бесконечности и в своем праве на свободу мысли и, во «торых, идти
против большинства в ту эпоху было опасно. Печальный парадокс заключается в том, что в на-
стоящее время научное сообщество достигло определенного консенсуса и склоняется к мысли
о том, что наша Вселенная может быть конечной. Вывод: идея - это всего лишь идея, ради нее
можно поставить под удар авторитет, но не жизнь. Идея того не стоит.
Бронзовый барельеф итальянского скульптора Этторе Феррари (1848-1929), на котором
изображен суд римской инквизиции над Джордано Бруно. Кампо деи Фиори, Рим.
20
ЧТО ТАКОЕ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
Изучение бесконечности в школе
Мы знакомимся с потенциальной бесконечностью уже в первые годы обучения
в школе. Бесконечность связана с понятием счета и, следовательно, с натуральным
рядом, а также с циклическими процессами, связанными с течением времени:
за днем следует ночь, за ночью — день и т. д. Наши представления о бесконечности
обычно остаются неизменными, и если они вступают в противоречие с интуицией,
то это не ведет к каким-то заметным потрясениям. В действительности же они оста-
ются более или менее неизменными потому, что мы редко используем их при реше-
нии каких-то сложных задач.
С актуальной бесконечностью дело обстоит совершенно иначе: она фигурирует
во многих математических задачах, причем появляется внезапно, не оставляя вре-
мени на подготовку, поэтому неизбежно возникают противоречия, которые порой
очень сложно преодолеть. Этот конфликт проявляется особенно остро, когда мы
начинаем изучать математический анализ. Были проведены и до сих пор ведутся ис-
следования, цель которых — определить, как и когда следует объяснять фундамен-
тальные понятия при изучении математики и, в частности, математического анализа.
Для неспециалистов поясним, что математический анализ обычно начинают пре-
подавать в старших классах, затем он изучается в течение двух-трех лет практически
на всех технических факультетах вузов.
ПРИНЯТИЕ АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ
Большинство опросов, проведенных среди населения, показывают, чго 50 % опрошенных
не признают существования актуальной бесконечности. Интересно, что эта точка зрения не ме-
няется с возрастом. Иногда случается так. что даже преподаватели, объясняющие студентам
материал, для понимания которого актуальная бесконечность играет определяющую роль, лишь
«следуют правилам игры», но в глубине души считают, что актуальная бесконечность как таковая
не должна существовать.
21
ЧТО ТАКОЕ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
Попытка включить теорию множеств в курс средней школы в рамках программы
современной математики, по мнению многих преподавателей, оказалась неудачной.
Возможно, причина в том, что теория множеств представляет для математиков ин-
терес в качестве теоретической базы, но сама по себе недостаточно широко при-
меняется на практике. В результате большинство преподавателей ограничивались
объяснением самых основ, в частности понятия принадлежности к множеству или
включения множеств, которые интуитивно понятны и не требуют какого-то особого
математического языка. Напротив, как вы увидите в следующих главах этой книги,
понятие мощности множества (числа элементов множества) представляет особый
интерес, особенно когда рассматривается мощность бесконечных множеств. В этом
случае речь всегда идет об актуальной бесконечности, и возникает противоречие
со здравым смыслом, так как в теории множеств рассматриваются множества, части
которых равны целому. А ведь эту идею отверг еще Евклид в «Началах», категори-
чески заявив, что «целое больше, чем его часть», и звучит это совершенно логично.
Еще одно противоречие возникает, когда выясняется, что ограниченные множества
могут быть бесконечными, так как в нашем представлении бесконечность не имеет
границ.
Как вы увидите далее, элементарная логика, или то, что порой называют интуи-
цией, может обмануть, когда речь идет об актуальной бесконечности. Причина в том,
что при рассмотрении некоторых понятий мы не до конца понимаем их и многое при-
нимаем на веру. Трудности, возникающие у студентов-математиков при изучении
актуальной бесконечности, сравнимы с трудностями, которые испытывают студен-
ты-физики при изучении квантовой механики. Классический пример из квантовой
механики выглядит так. Допустим, у нас есть ящик с двумя отверстиями, в котором
находится шар. Если мы будем перемещать ящик произвольным образом, можно
ожидать, что шар выпадет из него через одно из двух отверстий. При определенных
перемещениях мы даже сможем вычислить вероятность того, что он выпадет через
конкретное отверстие. Намного сложнее представить, что шар выпадет через оба
отверстия одновременно. Но в квантовой физике такой вариант возможен, хотя он
полностью противоречит интуиции. Речь не идет о том, чтобы понять это явление
само по себе, так как всем известно, что означает: «шар выпадает через два отвер-
стия сразу». Правильнее было бы сказать «я не верю» вместо «я не понимаю».
22
ЧТО ТАКОЕ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
Нечто подобное происходит и с актуальной бесконечностью. Когда мы говорим,
что крошечный отрезок прямой содержит бесконечное множество точек, мы пони-
маем, о чем идет речь. Другое дело, верим мы в это или нет.
«ИСЧИСЛЕНИЕ ПЕСЧИНОК» АРХИМЕДА
Слова для обозначения больших чисел (миллион, миллиард и т. д.) были введены французским
математиком Никола Шюке (ок. 1445-1488) в 1484 году. Суффиксом -иллион он обозначал
число М - 106 (в этой системе обозначений Ml - миллион, М2 - биллион, М3 - триллион
и т.д.). В системах счисления древности очень большие числа обычно не рассматривались.
В древнегреческой системе счисления максимально возможным числом было 100 миллионов.
Архимед создал знаменитый трактат по арифметике под названием «Исчисление песчинок»,
в котором, помимо прочего, привел теоретические подсчеты общего числа песчинок на Земле.
Его истинной целью было показать, что возможно создать систему счисления для подсчета
объектов, которых, как может показаться, бесконечно много, но в действительности это не так.
Система Архимеда была основана на последовательных степенях мириады (Q), равной 10000.
Максимально возможное число в этой системе счисления равнялось 10й1О“- это очень и очень
большое число. Неизвестно, почему Архимед остановился именно на нем, хотя никто не мешал
ему двигаться дальше.
23
Глава 2
Дискретное и непрерывное
Противопоставление дискретного и непрерывного, которому уделяли внимание мно-
гие мыслители, восходит к трудам древнегреческих философов и до сих пор приме-
няется в столь разных науках, как физика, математика, психология и лингвистика.
Плотность
В великих культурах Античности, особенно древнегреческой, числам придавалось
метафизическое значение. Видение мира было неразрывно связано с применявшей-
ся системой счисления. В контексте нашего обсуждения под числами мы обычно
будем понимать натуральный ряд 1,2,3, ..., поскольку дроби в древности считались
не числами в современном смысле слова, а лишь отношениями между величинами
или отношениями подобия между геометрическими фигурами. Здесь необходимо
прояснить один аспект, напрямую связанный с бесконечностью: если все сущее
можно выразить с помощью чисел, их должно быть достаточно много, чтобы ими
можно было обозначить все, что нам уже известно и что еще предстоит узнать.
В этом смысле последовательность натуральных чисел нас полностью устраивает,
так как ее можно продолжать бесконечно. Тем не менее последовательность дроб-
ных чисел обладает свойством, которое отсутствует у целых чисел и к которому
древнегреческие математики относились с долей недоверия, а именно плотностью.
Между двумя последовательными целыми числами не существует никаких дру-
гих целых чисел. Например, между 6 и 7 «не поместится» никакое другое натураль-
ное число, которое должно быть больше 6 и меньше 7. Однако если мы добавим
к множеству натуральных чисел дробные числа, это правило перестанет выполнять-
ся. Так, число
6 + 7 _ 13
2 — 2
будет находиться между 6 и 7.
25
ДИСКРЕТНОЕ И НЕПРЕРЫВНОЕ
Аналогичным образом можно найти число, расположенное между любыми дру-
гими двумя числами. Если даны два числа А и В, то обязательно будет выполняться
соотношение
Однако для этого необходимо, чтобы последовательность чисел, с которой мы
работаем, содержала дробные, или рациональные, числа.
Так как описанные выше действия можно повторять бесконечно, можно утверж-
дать, что между двумя любыми рациональными числами всегда будет располагаться
бесконечно много других рациональных чисел. Именно в этом и заключается свой-
ство плотности, о котором мы говорим. Плотность делает бессмысленным понятие
«следующего» числа. Говоря о множестве натуральных чисел, можно смело утверж-
дать, что за числом 12 следует 13, однако на множестве рациональных чисел гово-
рить о числе, следующем за N, не имеет смысла: если таким числом является М,
то всегда существует число
N + M
2
идущее перед М.
Плотность отражает понятие бесконечности с непривычной стороны. Приве-
дем пример из геометрии. Когда мы представляем себе прямую, мы считаем, что
она продолжается бесконечно с обоих концов. В нашем представлении эта прямая
бесконечно велика. Аналогом дробных чисел из предыдущего примера будут точки
на отрезке прямой: между двумя точками всегда находится третья, и число точек от-
резка также бесконечно велико.
Дискретное и непрерывное
Толковый словарь русского языка дает слову «дискретный» такое определение:
«прерывистый, дробный, состоящий из отдельных частей», что схоже с определени-
ем дискретной величины в математике: «величина, принимающая конечное число
отдельных значений, например число деревьев в лесу, число солдат в армии и пр.».
Как вы увидите чуть позже, упоминание «отдельных частей» отсылает нас к выс-
шим разделам математики, так как нужно очень четко определить значение слова
«отдельный», что сделать не так просто, как может показаться.
26
ДИСКРЕТНОЕ И НЕПРЕРЫВНОЕ
Чтобы лучше разобраться во всех тонкостях бесконечности (как бесконечно
больших, так и бесконечно малых величин), нужно четко понимать значение по-
нятий «непрерывное» и «дискретное». Рассмотрим разницу между ними на простом
примере. Представьте себе два одинаковых сосуда, в одном из которых находится
вода, а в другом — небольшие пластиковые шарики. Перельем содержимое первого
сосуда в кувшин. Мы увидим, как течет жидкость и как постепенно уровень воды
в кувшине поднимается. Если мы будем пересыпать в кувшин шарики, все будет
выглядеть и восприниматься совершенно иначе: мы будем видеть, как шарики по од-
ному падают в кувшин. Разница между первым и вторым случаем будет заметна
не только на глаз, но и на слух: в первом случае звук будет непрерывным, во втором
мы сможем различить звук, издаваемый каждым шариком при падении в кувшин.
В первом случае мы имеем дело с непрерывным процессом, во втором случае —
с дискретным.
Рассмотрим другой пример: с 9 утра до 9 вечера время течет непрерывно.
Но если мы посмотрим на расписание поездов, которые отправляются с 9 утра
до 9 вечера, то увидим дискретное множество значений. Если один поезд отправ-
ляется в 10 утра, а следующий — в 11, то между значениями 10 и 11 нет ника-
ких других, то есть эти значения дискретны. Напротив, течение времени между
10 и 11 часами непрерывно, и время может равняться, например 10 часам 25 минутам
и 0,34628761720041244474 секунды.
Можно подумать, что понятия дискретного и непрерывного достаточно просты
и интуитивно понятны. Тем не менее на протяжении многих лет они были предметом
жарких споров: с одной стороны, они вовсе не просты, а с другой — потому что,
как вы увидите чуть позже, интуиция не всегда хороший советчик, так как один
и тот же предмет может казаться нам дискретным или непрерывным в зависимости
от масштаба наблюдений.
Споры о дискретном и непрерывном вращаются вокруг понятия бесконечности,
поэтому неудивительно, что они протекают скорее в философской плоскости, по-
добно противостоянию между пифагорейской и элейской школами в Древней Гре-
ции, которое ярче всего проявилось в парадоксах Зенона.
Ключевой вопрос состоит в том, является наш мир дискретным или непрерыв-
ным. Ответ на него очень сильно зависит от наших ощущений и, как следствие,
лежит в плоскости теории познания. Не предаваясь философским размышлениям
27
ДИСКРЕТНОЕ И НЕПРЕРЫВНОЕ
и не углубляясь в психологию, в начале XX века физики и математики сделали свой
выбор в пользу концепции дискретного мира: появилась квантовая механика и так
называемая дискретная математика.
Как обмануть время
Говорят, что важнейшее различие между наукой и технологией состоит в том, что
первая меняет наше видение мира, вторая — наш образ жизни в этом мире. Можно
утверждать, что изобретение механических часов стало одним из ключевых момен-
тов в истории человечества и оказало наибольшее влияние на жизнь людей. Кроме
того, благодаря часам, в создании которых математика сыграла определяющую
роль, время перестало быть непрерывным и превратилось в дискретный ряд интер-
валов.
Первые механические часы появились в XIV веке (в Китае — в X веке), и се-
годня они считаются устаревшими. Стрелки этих часов приводились в движение
противовесом, который опускался под действием силы тяжести. Противовес под-
вешивался на веревке, намотанной на цилиндр, при движении противовеса цилиндр
вращался и приводил в действие часовой механизм. У первых часов не было ни ци-
ферблата, ни стрелок, и время отмерялось ударами колокола. Мы говорим, разуме-
ется, о больших городских часах. Во многих языках слово «часы» также означает
«колокол», как, например, английское clock или французское cloche. В колокола бил
звонарь, который следил за ходом времени.
Само собой разумеется, что точность этих часов оставляла желать лучшего,
но не из-за несовершенства часовых механизмов, а из-за действия законов элемен-
тарной физики. Противовес, который приводил в движение механизм, опускался
неравномерно: под воздействием силы тяжести его скорость постепенно возрастала.
Эту проблему удалось решить с помощью остроумного изобретения — часового
спуска.
Он состоял из зубчатого колеса, анкера и маятника. Анкер одним концом це-
плялся за колесо и раскачивался под действием маятника. Так появились знакомые
всем нам звуки «тик-так», обозначающие интервалы времени, которым подчиняется
жизнь большинства людей.
28
ДИСКРЕТНОЕ И НЕПРЕРЫВНОЕ
Изображенный на рисунке спусковой механизм позволял отмерять время намного точнее.
При равномерном вращении колеса палета поочередно наклоняется то в одну, то в другую
сторону. При каждом колебании она сдвигает спусковое колесо на один зуб, задавая ритм
работы всего часового механизма.
Однако требовалось решить другую серьезную задачу: темп времени, отсчиты-
ваемый часами, должен был оставаться неизменным. Проблема заключалась в том,
что первые отмеряемые часы были длиннее последних, то есть по мере того, как ве-
ревка подходила к концу, часы начинали спешить. Причина этого состояла в том,
что маятники при движении описывали дугу окружности. Понять суть этой пробле-
ЛЮБОПЫТНАЯ ИГРА
Представьте, что мы перевернули циклоиду и придали ей вращательное движение. Мы получим
поверхность, образующей которой является циклоида. Это равносильно тому, как если бы мы
попросили гончара изготовить чашку, форму которой определяла бы циклоида. Такие чашки,
сделанные из пластика, продавали в 60-е годы в магазинах любопытных зещиц в США. Чем же
примечательна подобная чашка? Если мы положим внутрь нее шарик и отпустим его, он до-
стигнет дна за одно и то же время вне зависимости от того, с какой высоты будет скатываться.
Интересно понаблюдать, как два шарика, один из которых расположен на самом краю чашки,
а второй - на полпути ко дну, достигают дна одновременно.
29
ДИСКРЕТНОЕ И НЕПРЕРЫВНОЕ
мы очень просто: достаточно бросить шарик внутрь полусферы и понаблюдать за его
траекторией. Вы увидите, как размах колебаний шарика будет постепенно сокра-
щаться, пока он не остановится (как если бы в часах кончилась веревка). Очевидно,
что чем меньше высота, с которой падает шарик, тем меньше времени ему потребу-
ется, чтобы достичь центра полусферы (именно поэтому часы спешат). Часовые
мастера того времени задавались вопросом: существует ли кривая, в которой угол
наклона и расстояние до основания связаны так, что скорость падения и пройденный
путь компенсируют друг друга? Для этой кривой время, за которое шарик достигнет
ее нижней точки, не зависит от того, с какой высоты он падает, поэтому еще до сво-
его открытия эта кривая получила название таутохроны, что означает по-гречески
«равное время».
В 1673 году Христиан Гюйгенс доказал, что циклоида является таутохронной
кривой и определяется как траектория, описываемая точкой окружности при каче-
нии этой окружности вдоль прямой без проскальзывания.
На рисунке показано, как при вращении окружности
образуется циклоида.
Гюйгенс понял, что если маятник будет двигаться по циклоиде, то высота, с ко-
торой он будет опускаться при колебаниях, перестанет иметь значение. Подобно
шарику, скатывающемуся в чашке, маятник всегда будет достигать нижней точки
за одинаковое время.
Но как добиться именно такого движения маятника? Решить эту задачу помогло
одно из наиболее удивительных свойств циклоиды: эволюта циклоиды также явля-
ется циклоидой. Понятие эволюты слишком сложно, чтобы объяснить его здесь,
но понять его геометрический смысл нетрудно. Допустим, что мы разделили цикло-
иду пополам и соединили ее половины в вершине А, как показано на рисунке.
30
ДИСКРЕТНОЕ И НЕПРЕРЫВНОЕ
Если мы возьмем нить заданной длины, закрепим ее конец в точке А и вытянем
ее так, что она всегда будет опираться на одну из ветвей циклоиды, то конец этой
нити опишет кривую, которая также будет циклоидой. Гюйгенс нашел способ из-
готовить маятник с незатухающими колебаниями, которые были ограничены двумя
ветвями циклоиды. Схема этого маятника приведена на рисунке выше.
Хотя время нельзя считать физической величиной, подобно массе или темпера-
туре, его можно измерить, и изобретение Гюйгенса позволило в повседневной жизни
считать время дискретным.
Ритм нашей жизни по-прежнему определяют звуки «тик-так», отмеряющие
дискретные промежутки времени. Однако в научном мире интервал между «тик»
и «так» удивительным образом сокращался. Говоря простым языком, он в бесконеч-
ное число раз меньше секунды. Современные атомные часы отмеряют промежутки
времени в 1/9192631770 секунды. Насколько же дискретны эти часы!
Парадоксы Зенона
Дискретное состоит из элементов, отдельных единиц. А непрерывное? Кажется ло-
гичным считать, что непрерывное не может иметь подобной структуры, так как еди-
ничные элементы можно разделить, а между двумя соприкасающимися элементами
не может находиться ничего — если бы там что-то находилось, его также можно
было бы разделить на части. Если мы поразмыслим над этим хотя бы немного,
то увидим, что понятие бесконечно малой величины вплотную подводит нас к поня-
тию непрерывности. Размышления о природе непрерывного занимали важное место
31
ДИСКРЕТНОЕ И НЕПРЕРЫВНОЕ
в греческой философии, одним из самых заметных представителей которой был Зе-
нон. В своих известных парадоксах он продемонстрировал непрочность любой тео-
рии, в которой использовались бесконечно большие или бесконечно малые величи-
ны.
Главной целью рассуждений Зенона было подтвердить правильность теорий
Парменида (предполагается, что он был учителем Зенона), который утверждал, что
все сущее является неделимым как в пространстве, так и во времени. Кроме того,
Зенон также хотел поспорить с пифагорейцами, считавшими порождением всего су-
щего «непрерывный поток».
Следствием невозможности разделить время на промежутки стала невозмож-
ность движения, которое понималось как последовательность участков простран-
ства, которые занимал объект в течение некоторого периода времени. Идея Зенона
заключалась в следующем: если принять верной гипотезу, противоположную гипо-
тезе Парменида, мы получим противоречие столь абсурдное, что оно будет абсо-
лютно неприемлемо с позиций здравого смысла. Этот логический метод называется
доведением до абсурда, и Зенон был если не создателем, то по меньшей мере одним
из первых, кто широко использовал его.
Суть метода заключается в следующем: предполагается, что определенная гипо-
теза верна, и на ее основе делается ряд логических умозаключений, которые ведут
к очевидно ложному результату, на основании чего делается вывод о ложности ис-
ходной гипотезы. В терминах логики в основе этого метода лежат следующие соот-
ношения:
и=>и
л=>л
л=>и,
где И = ИСТИНА, Л = ЛОЖЬ, => — логическая связка, означающая «если...
то». Иными словами, и=>и означает, что из истинного утверждения следует дру-
гое истинное утверждение, таким образом, истинная предпосылка никогда не может
вести к ложному следствию. Если же вывод ложный, то исходное положение невер-
но. С помощью этих логических умозаключений, лежаших в основе метода доведе-
ния до абсурда, можно было доказать ложность некоторого утверждения, что и де-
лал Зенон в своих парадоксах.
32
ДИСКРЕТНОЕ И НЕПРЕРЫВНОЕ
Пифагорейцы считали, что реальность состоит из точек: точки образуют прямые,
прямые — поверхности, поверхности — трехмерные тела. Зенон не принимал это-
го мнения, указывая, что поскольку точки не имеют размеров, то все составленное
из них также не может иметь размеров, то есть не может существовать. Кроме того,
все составленное из точек можно разделить на части бесконечное число раз, что
ведет к множеству абсурдных ситуаций.
ПАРАДОКСАЛЬНЫЙ ОБРАЗ МЫШЛЕНИЯ
Парадокс - это особая форма аргументации. Его суть заключается в том, что некоторое утверж-
дение принимается в качестве исходного, после чего путем корректных логических рассуждений
из него выводится противоречащий здравому смыслу результат, тем самым правильность исход-
ного утверждения ставится под сомнение. Логические парадоксы, впервые появившиеся в элей-
ской школе, основывались на логических высказываниях, которые могли быть как истинными,
так и ложными. Один из популярнейших парадоксов древности - так называемый «парадокс
лжеца», изложенный Эпименидом Критским. Этот парадокс гласит: «Все критяне - лжецы».
Эпименид не может говорить правду, так как он критянин, но в то же время если он лжет, его
высказывание будет верным, и в результате возникает противоречие.
Парадоксы имеют безупречную логическую структуру. Они являются темой для
размышлений и в наши дни и допускают множество толкований, играя ключевую
роль во всестороннем понимании проблемы бесконечности. Изначально считалось,
что Зенон создал более сорока парадоксов, посвященных этой теме, но из всех до-
шедших до наших дней наиболее известны четыре: дихотомия, парадокс Ахиллеса
и черепахи, парадокс стрелы и парадокс «стадиона», которые мы подробно рассмо-
трим ниже.
Дихотомия
Этот парадокс напрямую связан с понятием движения и показывает его невозмож-
ность: телу, которому нужно пройти расстояние между точками А и В, сначала не-
обходимо переместиться на половину этого расстояния, затем — половину остав-
33
ДИСКРЕТНОЕ И НЕПРЕРЫВНОЕ
шейся половины и т. д. Это бесконечное число расстояний, которое должно преодо-
леть тело, нельзя пройти за конечное время. Следовательно, движение невозможно.
Ахиллес и черепаха
Легконогий Ахиллес считался самым быстрым из людей, в противоположность че-
репахе. В этом парадоксе описывается гонка между ним и черепахой. Если они стар-
туют одновременно, то Ахиллес очевидно придет к финишу первым. Все изменится,
если дать черепахе небольшое преимущество, сколь бы мало оно ни было. В этих
условиях Ахиллесу сначала нужно будет достичь точки, в которой изначально на-
ходилась черепаха. Но когда он достигнет этой точки, черепаха уже отойдет на неко-
торое расстояние. Ахиллесу снова придется пробежать расстояние, отделяющее его
от черепахи. Однако за то время, пока он будет бежать, черепаха отойдет еще даль-
ше, и Ахиллес по-прежнему не сможет догнать ее. Так как этот процесс повторяется
бесконечно, он никогда не догонит черепаху.
Может показаться, что оба парадокса если не аналогичны, то очень похожи,
однако между ними существует небольшая разница: в первом случае пространство
делится на две равные части, а в парадоксе об Ахиллесе и черепахе — на все более
мелкие части.
Стрела
Этот парадокс — самый неоднозначный из четырех. Историки указывают, что ис-
ходный текст дошел до нас не полностью и его пришлось восстанавливать. Суть па-
радокса такова: когда мы выпускаем стрелу, нам кажется, что она удаляется от нас,
но в действительности она не движется, так как стрела, как и всякий другой объект,
занимает пространство, равное самой себе, но для этого она должна находиться
в покое. Если время состоит из неделимых мгновений, стрела не может занимать два
или более места в пространстве одновременно.
Если в двух первых парадоксах речь идет о невозможности бесконечного де-
ления пространства, то этот парадокс посвящен неделимости времени, в частности
существованию того, что мы называем «мгновение», так как если оно неделимо, оно
не имеет длительности, и, следовательно, движение невозможно. Мгновение, по-
нимаемое таким образом, подобно точке в геометрии.
34
ДИСКРЕТНОЕ И НЕПРЕРЫВНОЕ
Стадион
Допустим, что время — дискретная величина, и его основной единицей является
произвольная сколь угодно малая величина /. Это означает, что не существует еди-
ницы времени, меньшей t, которая, следовательно, является неделимой. Можно
представить часы, где каждому звуку «тик» или «так» соответствует эта неделимая
единица времени.
Рассмотрим четыре равных тела А}, /42, А3 и А4, которые находятся в состоянии
покоя (в исходной формулировке парадокса речь идет о шеренге из четырех солдат):
А2 А. А,
и четыре других тела Bv В2, В3 и В4, точно соответствующие предыдущим четырем,
движущиеся вправо:
А2 А3 а4
аГ 00 К) СП СП аГ
Они движутся так, что в каждый момент времени одно из тел В находится напротив
одного из тел А:
«тик»
«так»
А. а2 А3 а4
д2 А. А<
со СО К) 00 W аз’
са CN CQ 00 W аГ
Рассмотрим теперь третий ряд тел Сг С2, С3 и С4, также равных предыдущим,
которые движутся влево так, что в каждый момент времени каждое из них находит-
ся напротив одного из тел А:
35
ДИСКРЕТНОЕ И НЕПРЕРЫВНОЕ
Парадокс возникает, когда мы одновременно рассматриваем оба движения: для
тел В и для тел С. Если исходное положение тел таково, как представлено на ри-
сунке:
А А А3
со СО К) CD <хГ
с, с А
Но это означает, что сместилось на расстояние, равное величине двух тел В. Сле-
довательно, выбранную нами единицу времени можно разделить пополам, что про-
тиворечит исходному утверждению о ее неделимости.
Аристотель обрушился на этот парадокс с критикой, показав, что Зенон считал
одинаковыми тела в состоянии покоя и тела в движении. Если скорость движуще-
гося тела неизменна, то скорость, с которой оно движется относительно другого,
находящегося в состоянии покоя, нельзя считать равной скорости, с которой тело
движется относительно другого движущегося тела. Однако возражение Аристотеля
тривиально, сложно поверить, чтобы Зенон упустил его из вида.
36
ДИСКРЕТНОЕ И НЕПРЕРЫВНОЕ
В других трактовках считается, что этот парадокс, подобно предыдущим, посвя-
щен делению времени и пространства на бесконечное число частей. Таким образом,
чтобы одно тело могло пройти мимо другого, движущегося тела, сначала оно должно
пройти расстояние, равное половине длины этого тела, находящегося в состоянии
покоя, и т. д.
В любом случае кажется достаточно правдоподобным, что Зенон вновь хотел
поспорить с пифагорейцами, указав на противоречие, касающееся неделимости гео-
метрических фигур.
ЗЕНОН. ЗАБЫТЫЙ ГЕНИЙ
Зенон Элейский (ок. 490-425 гг. до н. э.) был древнегреческим философом и принадлежал
к элейской школе, основанной Парменидом. Основным источником знаний о Зеноне является
диалог Платона « Парменид». Можно утверждать, что он принадлежал к философскому течению,
которое называется монизмом. В монизме считается, что все сущее неизменно и никакие из-
менения невозможны. По мнению некоторых философов, Зенон не получил того признания,
которого заслуживал. Бертран Расселл отчасти исправил ситуацию, сказав: «В этом капризном
мире нет ничего более капризного, чем посмертная слава. Одним из тех, кто больше всего
пострадал от несправедливости потомков, был Зенон Элейский. Он сформулировал четыре
неизмеримо тонких и глубоких аргумента, но невежественные философы последующих времен
сочли его лишь искусным престидижитатором, а его аргументы - простыми софизмами. После
двух тысяч лет забвения этим софизмам вновь было уделено внимание, и они стали основой
возрождения математики...» («Начала математики», книга 1,1903)
На этой фреске из Королевской библиотеки монастыря Эскориал
изображен Зенон Элейский, показывающий ученикам
врата Истины (Veritas) и Лжи (Falsitas).
37
ДИСКРЕТНОЕ И НЕПРЕРЫВНОЕ
Критика Аристотеля в отношении первого парадокса позволила заложить осно-
вы очень важного понятия, касающегося бесконечности, и, по мнению многих авто-
ров, является важнейшим вкладом в изучение бесконечности.
Во-первых, обратите внимание, что слово «бесконечность» допускает две трак-
товки: как нечто бесконечно протяженное и как нечто бесконечно делимое. В первом
парадоксе смешиваются обе трактовки, так как согласно ему ограниченное простран-
ство, которое делится на бесконечное множество частей, не может быть пройдено
за конечное время. Проводится следующее различие: в непрерывном пространстве,
в котором движется тело, существует бесконечное число половин расстояний, но по-
тенциально, а не в действительности. В этом заключается важность вклада Ари-
стотеля, так как начиная с этого момента возникли две различные трактовки бес-
конечности, в определенном смысле несовместимые: так называемая потенциальная
и актуальная бесконечность, о которых мы говорили в предыдущей главе.
Мы очень часто определяем, что верно, а что нет, руководствуясь здравым смыс-
лом, основанным на чувствах, которые, говоря языком современных технологий,
можно определить как средства фиксации и обработки окружающей нас реальности.
Нечто является разумным в той степени, в которой на это указывают наши ощуще-
ния. Сколь парадоксальным ни казался бы нам полет стрелы, органы чувств ясно
указывают, что стрела отдаляется от нас. Разумеется, Зенону это было прекрасно
известно, но ему также было известно, что чувства не всегда могут служить надеж-
ной опорой разуму.
Он рассуждал так: подобно тому, как у вещи либо есть размеры, либо нет, пред-
мет издает или не издает звук. Корзина, полная зерен пшеницы, издает определен-
ный звук, когда мы тянем ее по земле. Зенон задавался вопросом: издает ли звук
одно-единственное зерно? Если да, то издает ли звук половина зерна? Как можно
предположить, если и далее последовательно делить зерно на части, наступит мо-
мент, когда этот звук будет неразличим. Исходя из этого факта, можно утверждать,
что сумма элементов, равных нулю, всегда будет нулевой, то есть если мы соберем
вместе множество предметов, не издающих звук, то и их совокупность также не бу-
дет издавать звуков.
Целью Зенона было показать, что в определенных рассуждениях мы не можем
доверять нашим органам чувств — они должны уступить место интуиции, что ча-
сто и происходит при математических рассуждениях. Однако, как вы увидите далее
38
ДИСКРЕТНОЕ И НЕПРЕРЫВНОЕ
на примере теорий Кантора, интуиция также может быть обманчивой, и мы не мо-
жем руководствоваться ею тогда, когда бесконечность является реальным объектом,
с которым можно работать так же, как с натуральными числами.
Зенон считал, что нечто может состоять из бесконечного числа элементарных ча-
стей только тогда, когда каждая из этих частей не имеет размера: в противном случае
эти части можно разделить, и они не могут считаться элементарными. Однако если
части объекта не имеют размеров, то не имеет размеров и сам объект, так как сумма
величин, не имеющих размера, также не может иметь размер.
Так греки определили термин «апейрон», который пришел на смену понятию
«бесконечность». Апейрон означал отсутствие четко определенного предела. Это
соответствовало идее, согласно которой предмет бесконечен, поскольку может иметь
сколь угодно большие размеры. Апейрон не относился, например, к бесконечному
числовому ряду, в котором не существует последнего числа. Аналогичным образом
определялись бесконечно малые величины, которые могут иметь сколь угодно малые
размеры. Этому понятию было дано строгое определение в математическом анализе
лишь в XIX веке.
Квадратура круга
Задачам на построение с помощью циркуля и линейки, известным с античных вре-
мен, в Древней Греции уделялось большое внимание. Разнообразие этих задач очень
велико — они могут быть очень простыми, очень сложными, а порой и вовсе не име-
ющими решения. Наиболее известны из них задачи о трисекции угла, удвоении куба
и квадратуре круга — сложность последней вошла в поговорку.
Когда речь идет о построениях с помощью циркуля и линейки, следует при-
держиваться определенных правил, так как в противном случае задачи становятся
тривиальными. Например, найти середину отрезка с помощью линейки, на которую
нанесены миллиметровые деления, очень просто — для этого даже не потребуется
циркуль. Но определим, что мы будем понимать под «линейкой» при решении этих
задач. Линейка — это идеальный предмет с абсолютно ровной границей, который
служит для проведения прямых. На ней отсутствуют какие-либо отметки, позволя-
39
ДИСКРЕТНОЕ И НЕПРЕРЫВНОЕ
ющие измерить расстояние. Циркуль представляет собой обычный циркуль, раствор
которого может быть любым. Логично, что его нельзя использовать для нанесения
меток, с помощью которых можно измерить расстояние.
ЦИРКУЛЬ МАСКЕРОНИ
Задачи на построение с помощью циркуля и линейки все1да занимали почетное место среди
занимательных задач. Одна из наиболее любопытных публикаций на эту тему принадлежит зем-
лемеру Уильяму Лейбурну, который в 1694 году опубликовал книгу Pleasure with Profit («Приятное
с полезным»), где описал всевозможные математические «игры с линейкой и вилами» (под
вилами имелся в виду циркуль с фиксированным раствором). Одно из величайших открытий,
связанных с задачами такого типа, было совершено в 1794 году, когда итальянский геометр
Лоренцо Маскерони в своей работе Geometria del Compasso доказал, что любое построение,
которое можно совершить с помощью циркуля и линейки, также можно выполнить с помощью
только циркуля (разумеется, раствор которого не фиксирован). Так как провести прямую с помо-
щью циркуля невозможно, Маскерони считал, что она определяется двумя точками, заданными
пересечением дуг.
Определив правила игры, можно приступить к решению задач. Рассмотрим, на-
пример, как можно провести перпендикуляр к отрезку в его середине. Допустим,
дан отрезок АВ. Сначала нужно провести окружность с центром в точке А и ради-
усом АВ. Далее нужно построить другую окружность такого же радиуса, но с цен-
тром в точке В. Прямая, соединяющая точки пересечения окружностей, и будет тре-
буемым перпендикуляром.
40
ДИСКРЕТНОЕ И НЕПРЕРЫВНОЕ
Следует предостеречь читателя от бесплодных попыток решить задачу о квадра-
туре круга: в 1882 году немецкий математик Фердинанд Линдеман (1852—1939)
доказал, что число Я является трансцендентным, поэтому эта задача не имеет реше-
ния.
Доказано, что с помощью циркуля и линейки можно построить правильный
многоугольник с произвольным числом сторон, площадь которого будет равна пло-
щади данного квадрата. Хотя существование решения этой задачи доказано теоре-
тически, найти его не всегда просто. Использовав это доказательство, Антифонт
из Афин (ок. 480—411 гг. до н. э.) изложил метод решения задачи о квадратуре
круга, логику которого сложно оспорить. Его суть заключалась в следующем: бу-
дем исходить из того факта, что можно построить квадрат, площадь которого будет
равна площадям ряда правильных многоугольников, которые мы построим. Впишем
в данную окружность шестиугольник.
Нам известно, что задача о квадратуре шестиугольника имеет решение, то есть
мы можем построить с помощью циркуля и линейки такой квадрат, площадь которо-
го будет равна площади заданного шестиугольника. Будем увеличивать число сторон
многоугольника, вписанного в окружность, и для каждого из этих многоугольников
задача о квадратуре по-прежнему будет иметь решение. Разница между площадью
окружности и площадью вписанного многоугольника будет последовательно умень-
шаться. По сути, она может быть сколь угодно малой. Представим себе, напри-
мер, многоугольник, число сторон которого равняется нескольким квадриллионам.
Любая из его сторон будет очень близка к дуге окружности, так что их будет очень
и очень сложно отличить. Антифонт считал, что таким способом можно решить за-
дачу о квадратуре круга.
41
ДИСКРЕТНОЕ И НЕПРЕРЫВНОЕ
Его рассуждения логически безупречны. Единственный их недостаток заключа-
ется в том, что переход, который он считает совершенно естественным, выполняется
на недоступной нам территории, где правят бесконечно малые величины.
Окружность — это реальная фигура, равно как и многоугольник с бесконечным
числом сторон, но когда мы рассматриваем переход от многоугольника с бесконеч-
ным числом сторон к окружности, мы имеем дело с актуальной бесконечностью.
Пока этого не происходит, речь идет о потенциальной бесконечности.
КВАДРАТУРА СТОЛА
Задача о квадратуре обычно представляет сложность даже для очень простых фигур, например
треугольника, пятиугольника или шестиугольника, и некоторые решения названы по именам
их авторов. Например, чтобы решить задачу о квадратуре для равностороннего треугольника,
нужно разделить его (разумеется, с помощью циркуля и линейки) следующим образом.
Из этих частей можно составить квадрат той же площади, что и треугольник.
Мати Грюнберг использовал это решение и создал стол-трансформер, который, в зависимо-
сти от ситуации, может иметь форму квадрата или треугольника.
42
ДИСКРЕТНОЕ И НЕПРЕРЫВНОЕ
Иррациональные числа
Без чисел 1, 2, 3, которые мы обычно используем при счете, во время измерений
не обойтись. Если мы возьмем, например, сравнительно ровный кусок дерева и на-
несем на него метки, соответствующие каждому числу так, что они будут находиться
на равном расстоянии друг от друга, то сможем измерять расстояния. Расстояние
между двумя соседними отметками будет единицей измерения.
Допустим, что наша единица измерения задается отрезком ОА, и мы хотим изме-
рить длину доски В. Наложим единичный отрезок на доску и подсчитаем, сколько
раз он укладывается на ней. Допустим, что отрезок укладывается на доске ровно
пять раз. В этом случае говорят, что длина доски равна 5 единицам. Нам повезло:
результат оказался целым числом.
Но могло случиться и так, что длина составила бы 4 с половиной единицы. Ниче-
го страшного — это означает, что нужно всего лишь разделить нашу единицу изме-
рения пополам. На языке математики это записывается дробью вида 1/2. Именно
так изготавливаются линейки, и чем больше на них делений, тем выше точность
измерений.
Очевидно, что точность измерений в этом случае будет иметь предел по чисто
физическим причинам, связанным с шириной отметок и нашей способностью раз-
личить их. В школьных линейках расстояние между соседними отметками обыч-
но равняется одному миллиметру, то есть единица измерения (сантиметр) делится
на десять частей.
Прежде чем продолжить объяснения, напомним читателю некоторые опреде-
ления элементарной геометрии. Прямоугольный треугольник — это треугольник,
в котором один из углов прямой, то есть составляет 90°. Например, треугольник
АВС, изображенный на следующей странице, прямоугольный, так как угол В равен
90°. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, третья сторона —
гипотенузой. Как следствие, гипотенуза всегда — самая длинная сторона прямоу-
гольного треугольника, и лежит она против прямого угла.
Знаменитая теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма
квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Таким образом, выполняется равен-
ство:
АВ2 +ВС2 = АС.
43
ДИСКРЕТНОЕ И НЕПРЕРЫВНОЕ
С его помощью можно найти длину гипотенузы по известным катетам. Напри-
мер, в треугольнике
выполняется равенство
32+42 =АС\
Таким образом, длина гипотенузы равна 5.
Теперь предположим, что мы выбрали единицу измерения на прямой с началом
отсчета в точке О так, что ОС — 1. Построим отрезок, перпендикулярный этой
прямой, проходящий через точку С, такой что длина CD также будет равна 1. Как
можно видеть на следующем рисунке, мы получили прямоугольный треугольник
OCD с гипотенузой OD.
44
ДИСКРЕТНОЕ И НЕПРЕРЫВНОЕ
Применив теорему Пифагора, получим
ОС2 +CD2 = ОО\
Таким образом, OD~ =1+1=2, откуда OD = \[2.
Если мы с помощью циркуля отложим значение OD на прямой, то не сможем
присвоить отрезку ОС никакого значения. В этом смысле отрезок ОС является
несоизмеримым.
Это означает, что >/2 нельзя представить в виде дроби, что приводит нас к стро-
гому определению рационального числа: говорят, что произвольное число N являет-
ся рациональным, когда его можно представить в виде частного двух целых.
По этому определению, рациональными являются 2/3, 8/5, 2773/12452. Ло-
гично, что целые числа также являются рациональными, так как любое целое можно
представить в виде частного двух других: например 8 можно представить как 16/2.
В некоторых неканонических изданиях «Начал» Евклида можно встретить до-
казательство того, что 5/2 не является рациональным (доказательство, изложенное
на языке современной математики, приведено в приложении).
Числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными, что очень
точно характеризует их природу. Однако более серьезная проблема заключается
в том, что не только диагонали квадратов, но и соотношения между высотой и сторо-
ной равностороннего треугольника или между диагональю и стороной правильного
пятиугольника также выражаются иррациональными числами. Иными словами, мы
открыли не единственное иррациональное число, а множество иррациональных чи-
сел. С помощью целых чисел нельзя с точностью измерить размеры фигур, имевших
наибольшее значение для пифагорейцев. Можно решительно утверждать, что от-
крытие иррациональных чисел привело к беспрецедентному кризису в истории гре-
ческой математики. В школах пифагорейцев, куда не допускались непосвященные,
одним из самых тщательно охраняемых секретов было существование иррациональ-
ных чисел. По легенде, разглашение этого секрета каралось смертью.
Если мы рассмотрим представление рациональных и иррациональных чисел
в виде десятичных дробей, то увидим, что между ними имеется существенная раз-
ница. Например, число 1/2 в виде десятичной дроби записывается как 0,5, а 1/3 =
= 0,333333333 в записи этого числа бесконечно много десятичных знаков,
однако ситуация по-прежнему у нас под контролем, так как все эти знаки равны 3.
45
ДИСКРЕТНОЕ И НЕПРЕРЫВНОЕ
Число вида
325
—— = 3,25
100
имеет всего два десятичных знака.
— = 0,4545...
99
имеет бесконечно много знаков, но цифры 45 повторяются бесконечное число раз
(эта группа цифр называется периодом).
47113
9000
= 5,2347777...
представляет собой еще один вид десятичных дробей, в записи которых период по-
является после непериодической части.
Квадратный корень из 2 записывается в виде бесконечной десятичной дроби,
цифры которой чередуются без всякого порядка, как если бы они выбирались с по-
мощью рулетки. Можем ли мы говорить, что нам действительно известно значение
>/2? Ответ: нам известно лишь его приближенное значение, хотя точность может
быть сколь угодно высокой — не больше и не меньше. При этом слова «точность
может быть сколь угодно высокой» подразумевают, что эта бесконечная десятичная
дробь полностью находится под нашим контролем.
Британский математик Брук Тейлор (1685—1731) вычислил приближенное зна-
чение >/2 при помощи последовательности сумм:
Члены этой последовательности постепенно сходятся к v 2 поочередно слева
и справа, что можно видеть в следующей таблице, где представлены значения пер-
вых девяти членов.
46
ДИСКРЕТНОЕ И НЕПРЕРЫВНОЕ
1
1,5
1,4
1,4166666
1,41379310
1,41422857
1,41420118
1,41421568
1,41421319
Таким образом, начав с 1 — оценки л/2 слева и 1,5 — оценки справа, мы посте-
пенно приближаемся к истинному значению этого числа. Речь идет о бесконечных
последовательностях, которые постепенно приближаются к истинному значению л/Е,
однако утверждать, что >/2 — конкретное число, означает признать существование
актуальной бесконечности.
Если кто-то, подобно древним грекам и многим другим математикам различных
эпох, утверждает, что иррациональных чисел не существует, то можно быть уверен-
ным, что он, пусть и неявно, отрицает существование актуальной бесконечности.
Квантовый скачок
Рассмотрим, как можно увязать между собой нечто бесконечно большое (бесконеч-
ное продолжение прямой) и бесконечно малое (деление на бесконечно много ча-
стей). Допустим, что даны две параллельные прямые г и г'.
Обозначим на первой точку Р, которую будем использовать как начало отсче-
та. Теперь отметим на второй прямой точку Q, расположенную, например, на пер-
пендикуляре, проведенном к г через точку Р. Угол между отрезком PQ и г равен
90° (прямой угол). Переместим точку Q, которая находится на прямой г’, вправо.
47
ДИСКРЕТНОЕ И НЕПРЕРЫВНОЕ
Заметим, что угол 01 изменился, и по мере того, как мы перемещаем точку Q все
дальше вправо, он постепенно уменьшается. Очевидно, что чем дальше точка Q,
тем меньше угол ОС. Бесконечное продолжение прямой, вызванное движением точ-
ки Q, неразрывно связано с непрерывным уменьшением угла до сколь угодно ма-
лых значений. Если говорить простым языком, можно сказать, что одно становится
бесконечно большим, а другое одновременно — бесконечно малым. Здесь важно
отметить следующее: точка Q смещается вправо по прямой г' непрерывно, и угол
уменьшается также непрерывно.
Рассмотрим ситуацию с иной точки зрения. Будем уменьшать угол и наблюдать
за тем, как точка Q удаляется в бесконечность. Расстояние от точки Q до прямой г
сохраняется и равно расстоянию между двумя параллельными прямыми. Ключевой
вопрос звучит так: что произойдет, когда угол, образуемый отрезком PQ и прямой г,
станет равен нулю? Ответ таков: точка Q станет бесконечно удаленной, причем
не произвольной, а такой, в которой обе прямые сойдутся. Пока что все в порядке,
но переход к бесконечности вновь оказался болезненным. Потенциальная беско-
нечность, которую мы себе представляли, стала актуальной бесконечностью, и мы
получили удивительный результат: расстояние от точки Q до прямой г вдруг стало
равным нулю.
Можно ли считать этот эксперимент исключительно мысленным? Мы никогда
не увидим, как точка Q становится частью прямой г, и принимаем как данность,
что после этого прыжка в бесконечность создается принципиально новая ситуация.
Современная физика предлагает модель, в которой этот мысленный эксперимент
совершенно реален. Когда Планк сформулировал основы квантовой механики, он
предложил сценарий, весьма похожий на только что описанный. В модели атома,
принятой в современной физике, электрон, который вращается по орбите с энер-
гетическим уровнем г , может совершить квантовый скачок и перейти на иной
энергетический уровень г. Более того, этот переход совершается не последователь-
но, а скачкообразно. Можно сказать, проведя параллель с нашим примером, что
электрон непрерывно накапливает энергию аналогично тому, как непрерывно умень-
шается величина угла 01. В какой-то конкретный момент электрон (наша точка Q)
переходит с одного энергетического уровня на другой. В этом смысле можно при-
48
ДИСКРЕТНОЕ И НЕПРЕРЫВНОЕ
знать правоту Зенона, пусть это и приведет к противоречию. Не существует дви-
жения в том смысле, как мы его понимаем, которое перемещает электрон с одной
орбиты на другую. Существуют два различных физических состояния, в которых
потенциальная и актуальная бесконечность удивительным и загадочным образом со-
существуют в пространстве и времени.
49
Глава 3
Встречи на бесконечности
Первыми, кто «увидел» бесконечность в пространстве, были не философы и не гео-
метры, а художники Возрождения. Свободные от строгих ограничений церкви, бла-
годаря знакомству с математическими трудами древних греков они открыли новый
путь в математике, где бесконечность перестала быть чем-то запретным, носящим
на себе печать абсолютного зла.
Трехмерное изображение
Когда говорят о Возрождении, мы сразу представляем себе многочисленные произ-
ведения живописи, скульптуры, архитектуры, новые технологии, но практически
ничего, что имело бы отношение к математике. Причина в том, что важнейшей за-
дачей для представителей этого периода было восстановление уже известного.
В Средневековье труды греков и арабов, в которых описывались фундаментальные
основы алгебры и геометрии, были преданы забвению (или задвинуты на дальние
полки библиотек немногочисленных монастырей). Однако именно в геометрии слу-
жители искусства эпохи Возрождения, особенно живописцы, добились выдающих-
ся результатов. Важную роль сыграло геометрическое воплощение бесконечности.
Как правило, представители Возрождения владели различными знаниями, от-
носившимися не только к искусству, но и к науке. Их работы часто оплачивали ме-
ценаты или короли, которые заказывали картины, скульптуры, музыкальные про-
изведения, здания или сокровищницы для хранения королевских ценностей и даже
подробные исследования, посвященные траектории снарядов.
Художники Возрождения унаследовали от прошлой эпохи живопись религи-
озного характера, в которой существовали жестко определенные правила относи-
тельно использования цветов и изображения фигур. Так, святые должны были изо-
бражаться на позолоченном фоне как символ того, что они находятся на небесах.
Большинство цветов, равно как и расположение и размеры персонажей, имели осо-
51
ВСТРЕЧИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
бое значение, связанное с местом персонажей в иерархии. Однако наиболее важ-
ным было то, что все герои изображались в очевидно двумерном пространстве: они
были плоскими, а стиль живописи напоминал древнеегипетский. Безусловно, это
делалось умышленно и имело символическое значение: определенных святых нельзя
было изображать реалистично, так как они противопоставлялись всему земному.
ДУХ ВОЗРОЖДЕНИЯ
Леонардо да Винчи (1452-1519), ярчайший пример гения эпохи Возрождения, в «Трактате
о живописи» размышляет о понятии непрерывности в его философском смысле не только по-
тому, что оно принадлежит исключительно к философии, но и потому, что используется во мно-
жестве других дисциплин: «Если ты скажешь, что немеханическими науками являются науки
умозрительные, то я скажу, что живопись умозрительна и что как музыка и геометрия рассма-
тривают пропорции непрерывных величин и как арифметика - прерывных, так и она в своей
перспективе рассматривает все непрерывные количества и качества отношений геней и светов
и расстояния».
Художники Возрождения не были связаны строгими церковными нормами,
и первые попытки воспользоваться этой свободой происходили в сфере максималь-
но достоверного изображения реальности. Иными словами, художники попытались
создать объемное изображение. Для этого начали вырабатываться новые техники
рисунка и живописи, позволявшие передать ощущение глубины с помощью света,
тени и цвета. Тени, например, указывали на положение объектов, а цвета станови-
лись более тусклыми по мере удаления от переднего плана. Все эти приемы помогали
передать ощущение глубины, но важнее всего было, что сам рисунок создавался
в соответствии с четкими геометрическими правилами. Поэтому неудивительно, что
именно в живописи математические открытия проявились особенно ярко.
В контексте этой книги важнее всего, что художники помещали бесконечность
на плоскость картины, превратив в нечто актуальное то, что до этого в геометрии
52
ВСТРЕЧИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
считалось лишь потенциальным. Напомним, что Аристотель считал прямую суще-
ствующей лишь потенциально, но уже Евклид определял ее как отрезок, который
можно продолжать бесконечно, и использовал это определение во всех построениях
и доказательствах. Этой же формулировке следовали все геометры XVII столетия.
Тем не менее на картинах художников и в чертежах архитекторов XV века появ-
ляется точка, которая называется точкой схода. Так возникла центральная перспек-
тива. Эту точку, в которой сходятся параллельные прямые, можно считать точкой,
расположенной на актуальной бесконечности. Благодаря этой перспективе таким
художникам, как Леон Баттиста Альберти (1404—1472), Филиппо Брунеллески
(1377—1446) и Пьеро делла Франческа (1416—1492), которые основывались
на трудах древнегреческих геометров, удалось создать ощущение трехмерного изо-
бражения.
От перспективы к проекции
Кто-нибудь хоть раз видел две параллельные прямые? Можно с уверенностью ска-
зать: «Нет». На этот вопрос очень просто ответить, особенно если ему предшеству-
ет вопрос, на который также можно ответить категорическим нет: «Кто-нибудь хоть
раз видел прямую?» Ее никто никогда не видел, так как прямая бесконечна. Макси-
мум, что можно представить, — это отрезок прямой, пусть даже очень длинный,
но не бесконечный. Если говорить о параллельных прямых, то максимум, что мы
можем увидеть, — это изображение в перспективе, которое мы видим, когда смо-
трим на очень длинный участок, например, железнодорожных путей. Но мы видим
(или же нам кажется) две прямые, которые сходятся в удаленной точке, располо-
женной на горизонте. Эту точку, в которой, как нам кажется, сходятся прямые,
можно считать оптической иллюзией, так как ее нельзя достичь, сколько бы мы
ни ехали вперед. С этой ситуацией ежедневно сталкивается, например, машинист
скоростного поезда, когда движется в направлении бесконечности со скоростью
триста километров в час. Можно быть уверенным, что преследование точки на бес-
конечности имеет столько же смысла, сколько погоня за собственной тенью.
Что произойдет, если параллельных прямых будет не две, а три, десять, двад-
цать? Мы получим то, что в геометрии называется пучком прямых, и, что более
важно, определим направление. Представим, что в нашей плоскости мы рассматри-
53
ВСТРЕЧИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
ваем точку на бесконечности (одну из точек, в которых сходятся две параллельные
прямые). Каждой из этих точек мы можем присвоить направление на плоскости.
В этом случае все точки на бесконечности будут представлять различные направ-
ления на плоскости. Прямую, образованную этими бесконечно удаленными точка-
ми, можно назвать бесконечно удаленной прямой. Так мы несколько примитивным
способом представили читателю один из интереснейших и красивейших разделов
математики — проективную геометрию.
Ее основная идея заключается в том, что две параллельные прямые или две па-
раллельные плоскости (в аффинной геометрии они объединены общим термином
«многообразие») не имеют общих точек. Единственное, что их объединяет,— об-
щее направление. Это поняли уже геометры Возрождения, так как они работали
с представлениями в трехмерном пространстве.
Идея использовать бесконечно удаленную точку принадлежит Иоганну Кеплеру
(1571—1630), который стремился создать единую теорию конических сечений (он
расположил второй фокус параболы на бесконечности). Более систематически эту
идею изложил Жирар Дезарг (1591—1661), которого можно считать одним из от-
цов-основателей проективной геометрии, получившей полноценное развитие лишь
в XIX веке усилиями французского математика Гаспара Монжа (1746—1818).
Непрерывные преобразования
Понятие бесконечной делимости тесно связано с понятием непрерывности. Этот во-
прос достаточно сложен и необычен. В прошлой главе вы увидели, что означает
непрерывное как противоположность дискретному. Теперь мы попытаемся рассмо-
треть непрерывное с несколько иной точки зрения. Наиболее интуитивно понятное
определение непрерывного звучит так: линия является непрерывной, если мы можем
изобразить ее, не отрывая карандаша от бумаги. Понятие непрерывности также
применимо к преобразованиям. Допустим, что дан параллелограмм, подобный изо-
браженному на рисунке:
54
ВСТРЕЧИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
и мы хотим превратить его в квадрат с помощью непрерывного преобразования:
Нужно представить, что стороны фигуры изготовлены из деформируемого мате-
риала, например резины, и мы можем перейти от одной фигуры к другой, не ломая
ее сторон.
В 1604 году Кеплер опубликовал небольшое сочинение «Оптическая часть
астрономии» как дополнение к трактату по астрономии, где он представил необходи-
мую теорию для изготовления оптических инструментов. Кеплер изучал конические
сечения и возможные непрерывные преобразования одних сечений в другие. Напом-
ним, что конические сечения — это плоские геометрические фигуры, получаемые
сечением конуса плоскостью, как показано на следующей иллюстрации.
Окружность
Парабола Гипербола
Аполлоний в своей книге «Конические сечения» определил эти фигуры как
геометрические места плоскости. Его определение было абсолютно корректным,
но чтобы понять его, требовались особые знания геометрии. Метод Кеплера, напро-
тив, более понятен и обеспечивает более наглядное геометрическое представление.
Его формулировка звучит так: если мы разрежем двухсторонний конус (состоящий
55
ВСТРЕЧИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
из двух бесконечно больших конусов, ориентированных в противоположные сторо-
ны, которые имеют общую ось и вершины которых совпадают) плоскостью, перпен-
дикулярной оси, то получим окружность. Если мы слегка наклоним эту плоскость,
то окружность превратится в эллипс, который будет увеличиваться с ростом угла
наклона плоскости. Если мы продолжим наклонять плоскость, то наступит момент,
когда она станет параллельна образующей конуса. В этом случае сечением будет
парабола. Когда же, наконец, плоскость станет параллельна оси конуса, мы получим
в сечении две ветви гиперболы. Эти кривые (эллипс, парабола и гипербола) полу-
чили название конических сечений (окружность обычно считается частным случаем
эллипса). Существуют и другие способы сечения конуса плоскостью, при которых
получаются так называемые вырожденные конические сечения (две прямые).
Можно представить, что плоскость, рассекающая конус, движется непрерыв-
но, без скачков. Если бы мы могли наглядно изобразить преобразование сечения,
то увидели бы, как эллипс превращается, например, в окружность или гиперболу.
Кеплер определил эти преобразования на плоскости, начав с эллипса.
Напомним, что эллипс — это коническое сечение, которое можно определить
как геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух
данных фиксированных точек, называемых фокусами, постоянна. Допустим, что
фокусами эллипса, который мы хотим преобразовать, являются точки F и F’ — две
точки, расположенные на большой оси эллипса. Если мы будем непрерывно сдви-
гать F вдоль большой оси в сторону F’, эксцентриситет эллипса будет уменьшаться,
пока F и F’ не совпадут, и эллипс не превратится в окружность.
56
ВСТРЕЧИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
Если теперь мы будем сдвигать фокус F в сторону, противоположную F’, эксцен-
триситет эллипса будет расти, а сам эллипс — сплющиваться (эксцентриситет —
это величина, принимающая значения от 0 до 1, которая указывает, насколько эллипс
по форме отличается от окружности). В определенный момент эллипс превратится
в параболу — коническое сечение с единственным фокусом. Аполлоний опреде-
лял параболу как геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной
точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой параболы.
Если длинный путь точки F не закончится на бесконечности и продолжится
дальше, эта точка совершит разворот в пространстве и снова появится слева
от F’ — в этом случае мы получим гиперболу. Иначе говоря, чтобы перейти от эл-
липса к гиперболе, нужно взять эллипс за концы, как за ручки, и согнуть, как по-
казано на рисунке:
Г'1перболу можно получить преобразованием эллипса.
Для этого можно представить, что мы взялись за точки А и В обеими руками,
как за руль автомобиля, и сложили эллипс, направив руки к себе.
Таким образом, точка А перейдет в А’, В — в В’.
Человек, расположенный лицом к нам, увидит у нас в руках две ветви гиперболы.
Единственная проблема заключается в том, что для этого преобразования требуется
выполнить поворот, пройти через бесконечность, вернуться в исходное положение
и взглянуть на эллипс, как будто ничего не произошло. Как могло случиться, что Ке-
плер, который считал, что Вселенная конечна, и был противником всех философских
и математических теорий, в которых рассматривалась актуальная бесконечность,
смог не моргнув глазом описать подобное преобразование? Говоря прямо, Кеплер
переходил от одной теории к другой в соответствии с практическими интересами.
Разумеется, мы говорим об интересах прикладной математики.
57
ВСТРЕЧИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
Понятие непрерывного отображения, которое мы схематично описали, впослед-
ствии стало фундаментальным в проективной геометрии. Основная идея заключает-
ся в следующем: допустим, что мы обнаружили некоторое геометрическое свойство
эллипса. Если мы будем перемещать один из его фокусов так, как мы объяснили
выше, это свойство должно сохраниться. При перемещении фокуса эллипс будет
становиться более или менее вытянутым. Если преобразование является непрерыв-
ным, настанет момент, когда это же свойство будет применимо к окружности, пара-
боле или гиперболе.
Прием непрерывного изменения позднее использовал Блез Паскаль (1623—
1662) в случае правильных многоугольников: он преобразовывал, например, шести-
угольник в пятиугольник, непрерывно сдвигая две вершины по направлению друг
к другу, пока они не совпадут.
Как Кеплер решил проблему, возникающую при использовании этого метода
при переходе к бесконечности? Он рассуждал так: прямая бесконечно продолжается
с обоих концов, пока они не совпадут в одной точке. Для Кеплера Вселенная была
конечной, но очень, очень, очень большой. Достаточно большой, чтобы вместить
в себя все необходимое, и даже больше, но все-таки конечной.
Как бы то ни было, важно не только то, что Вселенная считалась достаточно
большой, чтобы вместить в себя изгибающуюся прямую, концы которой, после того
как охватят все сущее, совпадают (похожей идеи в некотором роде придерживал-
ся и Альберт Эйнштейн при формулировке понятия пространства-времени). Более
важно, что Кеплер аккуратно подошел к понятию непрерывного преобразования.
Квадратуры
Термин «квадратура» означает построение квадрата, равного по площади данной
фигуре. Задача о вычислении площадей всегда была одной из самых популярных
задач прикладной математики. Известны сравнительно простые способы вычисле-
ния площадей плоских фигур, ограниченных отрезками прямых. Теорема Пифагора
и геометрия Евклида позволили вычислять площади треугольников и всевозможных
прямоугольников. Более сложные фигуры можно было разбить на треугольники
и прямоугольники. Для этого требовались немалые знания и умения, однако в боль-
шинстве случаев эта задача имела решение. Задача существенно усложнялась, если
некоторые стороны фигуры были криволинейными — приемы вычисления их пло-
58
ВСТРЕЧИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
щадей не были известны. Греки производили подобные расчеты, однако им не уда-
лось избавиться от неудобств, вызванных присутствием актуальной бесконечности.
Почему как только фигура перестает быть прямолинейной, в расчетах ее площа-
ди начинает фигурировать бесконечность и возникают связанные с этим проблемы?
Причина в том, что кривая линия представляется как бесконечная последователь-
ность отрезков прямой, или, что равносильно, прямая представляется как результат
аппроксимации незамкнутыми кривыми, как показано на рисунке.
По мере спрямления кривых расстояние между ними и прямой уменьшается,
особенно в окрестности точки Р. На бесконечности прямая и кривая совпадают.
Представим себе прямую, произвольную точку Р на этой прямой и ряд кривых,
касающихся прямой в точке Р, кривизна которых постепенно уменьшается, и они
все больше приближаются к прямой. Очевидно, что сколько бы кривых, касающих-
ся прямой в точке Р, мы ни рисовали, ни одна из них не будет совпадать с исходной
прямой. Можно представить, что это все-таки произошло, и бесконечные кривые
в итоге совпали с прямой. Потенциально это возможно, но «актуально» (здесь мы
делаем отсылку к актуальной бесконечности) мы не располагаем каким-либо четким
методом для реализации этого. Вновь возникает вопрос о переходе к бесконечности
как к чему-то конкретному и вызванные им радикальные изменения. Кривые, кото-
рые все больше приближаются к прямой, обладают общим свойством: для всех них
можно определить величину, которая будет числовой характеристикой их кривизны.
В пределе, когда кривые превращаются в прямую, эта величина исчезает (можно
говорить о кривых нулевой кривизны) — в этом и заключается тот самый ради-
59
ВСТРЕЧИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
кальный переход, о котором мы говорим. Именно по этой причине бесконечность
ассоциируется с загадкой творения. В какой-то, недоступный нам, момент времени
в определенной точке пространства происходит преобразование, и одна из кривых
превращается в прямую. Мы говорим «одна из кривых» не в буквальном смысле,
поскольку не существует «последней кривой», так как в этом случае понятие бес-
конечно малого исчезает и непрерывный процесс сменяется дискретным переходом
от последней кривой к прямой. Этот акт творения оказал огромное влияние на на-
учную мысль ввиду сопутствовавших ему философских и религиозных коннотаций
и определил границы запретной темы как в философии, так и в религии. Возможно,
было бы разумнее говорить о мутации, а не о творении, что ближе к восточной фило-
софии, где религиозная мысль теснее связана с философской. В этом смысле более
уместно и, возможно, более точно было бы говорить, что кривая мутирует в прямую.
Евдокс
Евдокс (ок. 408—355 гг. до н. э.) наряду с Архимедом (ок. 287—212 гг. до н. э.),
Пифагором (570—500 гг. до н. э.) и Евклидом (ок. 325—265 гг. до н. э.) был одним
из важнейших представителей греческой математики. В области концептуальной
математики он, вне всяких сомнений, намного превосходил всех остальных.
В те времена греческая математика все еще переживала удар, вызванный откры-
тием иррациональных чисел, несоизмеримых с целыми. Ясного критерия для срав-
нения величин разной природы не существовало. Евдокс первым дал этому четкое
определение (определение 5 книги V «Начал» Евклида): «Говорят, что величины
находятся в том же отношении: первая ко второй и третья к четвертой, если рав-
нократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или
одновременно меньше равнократных второй и четвертой каждая каждой при какой
бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке».
В переводе на более современный язык это означает, что два отношения а/Ь
и с/d равны, если для двух любых натуральных чисел k и /?’ выполняется условие:
60
ВСТРЕЧИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
если ka < k'b, то kc < k'd;
если ka = k'b, то kc — k’d;
если ka > k'b, to kc > k'd.
Определение кажется тривиальным, но это совершенно не так. Нужно учиты-
вать, что в формулировке Евдокса оно применимо к соотношениям корней чисел
и даже к геометрическим фигурам. Например, первые две величины могут обозна-
чать сферы, третья и четвертая — кубы, построенные на диаметрах этих сфер. Бо-
лее того, в этих правилах можно увидеть первые наброски будущего определения
иррационального числа, данного в XIX веке Рихардом Дедекиндом с помощью ме-
тода, который он сам называл методом сечений.
ЕВДОКС И АСТРОЛОГИЯ
Евдокс родился около 408 г. до н. э. в Книде - древ-
негреческом городе в Карии, на территории совре-
менной Турции. Он также известен как астроном
и географ, совершивший важные открытия в этих
науках. Евдокс рассчитал траектории различных
звезд и определил, что солнечный год на 6 часов
длиннее, чем принятый тогда календарный, состо-
явший из 365 дней, и первым разделил небесную
сферу на градусы широты и долготы. Он также соз-
дал карту звездного неба и календари, занимался
исследованиями по метеорологии и определению
смены времен года в долине Нила. Знания астроно-
мии, которые он использовал в своих вычислениях,
стали причиной его разногласий со жрецами. Евдокс, будучи противником астрологии, аргумен-
тировал свои взгляды не постулатами веры, о которых сложно вести спор, а методологическими
положениями: «Когда делают предсказания о жизни человека по его гороскопам, основанным
на дате его рождения, этим предсказаниям не стоит придавать значения, поскольку влияние
звезд столь сложно, что на всей Земле нет такого человека, который смог бы его вычислить».
61
ВСТРЕЧИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
Еще одним важным открытием Евдокса стала так называемая аксиома о непре-
рывности, также известная как лемма Архимеда (сам Архимед писал, что автором
этой леммы является Евдокс), которая гласит: «Для данных двух величин, между
которыми существует соотношение, можно найти одну из них, превосходящую дру-
гую». Важность этой леммы заключается в том, что она позволяет доказать путем
доведения до абсурда одно из самых важных утверждений в истории математики,
благодаря которому Евдокс и многие другие ученые смогли вычислить площади
и объемы криволинейных фигур. Утверждение Евдокса звучит так: «Для двух за-
данных неравных величин, если от большей отнимается больше половины и от остат-
ка больше половины, и это делается постоянно, то останется некоторая величина,
которая будет меньше заданной меньшей величины».
На этом утверждении также основано первое четкое и непротиворечивое опре-
деление предела, данное в XIX веке Карлом Вейерштрассом (1815—1897), которое
стало важной вехой в истории математики.
Метод Евдокса для вычисления площадей и объемов, основанный на этом ут-
верждении, известен как метод исчерпывания. Неудивительно, что многие историки
считают основание школы Платона моментом рождения греческой математики, так
как Евдокс заложил основы нового раздела математики, который много веков спу-
стя стал называться анализом бесконечно малых.
Метод исчерпывания позволял получить верные доказательства, если его пред-
посылки были верны (так было в большинстве случаев), но обладал определенным
недостатком: с его помощью нельзя было получить новые результаты. Напомним,
что в этом методе результат считался истинным и рассматривались возможные спо-
собы, которыми можно было прийти к этому результату. Например, было известно,
что формулы объема конуса и пирамиды, доказанные Евдоксом, были получены
математиками прошлого, в частности Демокритом, без каких-либо выводов или до-
казательств.
В настоящее время нам известен метод интегрирования, позволяющий произ-
вести необходимые вычисления по четко определенному алгоритму. Это означает,
что необходимые расчеты может произвести машина. В основе этого метода лежит
сформулированная древнегреческими математиками идея, тесно связанная с аппрок-
симацией площади фигуры с помощью прямоугольников, о чем мы говорили выше
62
ВСТРЕЧИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
(в некотором роде метод исчерпывания схож с современным методом суммирования
по Риману).
Этот метод заключается в построении ряда прямоугольников, высота которых
не превосходит высоту кривой, иными словами, прямоугольников, нижнее основа-
ние которых располагается на оси, а верхнее — под искомой кривой.
Y
Сумма площадей всех прямоугольников, построенных по этому методу, будет
очевидно меньше, чем площадь искомой фигуры. С увеличением числа прямоуголь-
ников их общая площадь будет все ближе к значению площади фигуры, ограничен-
ной кривой. Это же построение можно повторить так, чтобы верхние основания пря-
моугольников находились над кривой.
63
ВСТРЕЧИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
ИНТЕГРИРОВАНИЕ «ОТ РУКИ»
Существует простое механическое устройство - интегратор, позволяющий автоматически вы-
числять площадь, ограниченную плоской непрерывной кривой. Оно напоминает устройства,
используемые для измерения расстояний на картах, и состоит из небольшого колеса и счетчика
числа оборотов, который указывает расстояние, пройденное колесом при перемещении по кар-
те, например вдоль автомагистрали. Механический интегратор имеет схожий принцип действия.
Если обвести интегратором замкнутую фигуру, ограниченную кривой, по контуру, счетчик укажет
площадь этой фигуры. Это устройство используется при проектировании форм и образцов, так
как позволяет определить, сколько материала потребуется для изготовления изделий.
Так мы гарантируем, что сумма площадей прямоугольников будет больше иско-
мой площади. Теперь мы снова можем увеличить число прямоугольников, и сумма
их площадей вновь будет приближаться к искомой, на этот раз сверху. Мы полу-
чим две последовательности площадей, приближающихся к искомой площади снизу
и сверху соответственно. Так в схематичном и упрощенном виде происходит вычис-
ление площадей. Похожий метод используется и для вычисления объемов.
Результаты сравниваются со значением, которое, как предполагается, долж-
на иметь данная величина (напомним, что метод исчерпывания используется для
проверки уже известного результата). С помощью оценок данной величины сверху
и снизу мы подтверждаем, что если эти оценки превосходят искомую величину, это
приводит к противоречию. Позднее, в XVII веке, этот метод получил название
«апагогия», или «доведение до абсурда».
В любом случае в методе неизбежно рассматривается актуальная бесконечность,
для чего в современном анализе выполняется переход к пределу. Если бы древние
греки применили этот подход при решении этой и других схожих задач, то доби-
лись бы потрясающих результатов.
Кеплер
Кеплер был одним из первых математиков Возрождения, который занялся вычисле-
нием объемов, причем не совсем в обычных обстоятельствах: впервые он обратил
внимание на эту задачу в тот самый день, когда сочетался вторым браком с Сюзан-
ной Рейтингер (его первая жена скончалась годом ранее). Это был брак по расчету,
так как Кеплер искал женщину, которая позаботилась бы о нем и его детях и вела бы
64
ВСТРЕЧИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
домашнее хозяйство. Сюзанна, должно быть, понимала, насколько необычным ха-
рактером отличался ее будущий муж, поскольку она не удивилась, когда он покинул
свадебное торжество, чтобы подробно изучить, как трактирщик измеряет объем
вина в бочках. Бочки не имели строго цилиндрическую форму, и объем измерялся
с помощью мерного стержня, который опускался в них через отверстие в крышке.
Определив таким образом уровень вина в бочке, трактирщик узнавал, сколько его
осталось. Результатом размышлений Кеплера стал вышедший в 1615 году трактат
под названием «Новая стереометрия винных бочек». Для решения задачи Кеплер
использовал метод неделимых, разработанный Архимедом. Можно сказать, что
из задачи об объеме бочки вина впоследствии родился анализ бесконечно малых.
Тем не менее следует отметить, что труды Кеплера в этой области носили скорее
практический, чем теоретический характер, и в этом смысле их можно считать от-
части неполными. Например, для вычисления площади круга он рассматривал сум-
му площадей бесконечного числа треугольников, вершины которых совпадали с цен-
тром круга, а основания располагались на окружности. Аналогично для вычисления
объема сферы он рассчитывал сумму объемов конусов, вершины которых совпадали
БОЧКИ КЕПЛЕРА
Задача о бочках, рассмотренная Кеплером, принадлежит к классическим задачам, решаемым
с помощью интегрального исчисления. Общим случаем этой задачи является вычисление объ-
ема жидкости, заключенной в сосуде определенной формы. Когда цистерна с бензином при-
езжает на автозаправку, оператор обычно опускает в нее длинный металлический стержень для
измерения уровня жидкости в емкости. Очевидно, что отметки на этом стержне должны быть
нанесены в зависимости от формы цистерны.
Как правило, она имеет форму цилиндра, ос-
нования которого являются полусферами или
параболоидами вращения. В некоторых аэро-
портах можно встретить цистерны такой же
формы с керосином.
65
ВСТРЕЧИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
с центром сферы, а основания находились на ее поверхности. С помощью этого ме-
тода Кеплер пришел к выводу, что объем сферы равен одной трети произведения ее
радиуса на площадь поверхности. Корректность всех этих операций Кеплер обосно-
вывал принципом непрерывности, который при использовании его метода вычисле-
ния объемов следовало принять за истину.
Галилей
Галилео Галилей (1564—1642) совершил революцию во многих областях науки. Мы
не будем рассказывать ни о его творчестве, ни о том, какое влияние оно оказало
на науку в целом, — рассмотрим вкратце его размышления о бесконечности.
Во-первых, Галилей рассматривал движение как процесс, происходящий без пауз,
то есть делал выбор в пользу непрерывного, а не дискретного, зная, что занимает
рискованную позицию, так как это автоматически означало принятие перехода
от потенциальной к актуальной бесконечности. Для этого задачи, связанные с дви-
жением, следует рассматривать с геометрической точки зрения. Графическое изо-
бражение движения с переменной скоростью может выглядеть, например, следую-
щим образом.
66
ВСТРЕЧИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
Портрет Галилео Галилея кисти фламандского художника Юстуса Сустерманса (1636)
и график, описывающий свободное падение тел.
На горизонтальной оси откладывается время, на вертикальной — скорость.
Неравномерное движение описывается, например, уравнением v = 2t. Это означает,
что с течением времени скорость возрастает: по прошествии одной секунды она рав-
на 2, по прошествии двух секунд — 4 и т. д. Если в треугольнике АВС сторона АВ
представляет пройденное время, сторона ВС — скорость, то пройденный путь бу-
дет равняться площади треугольника АВС. Галилея интересовало применение этого
метода к более сложным разновидностям движения, например по параболической
траектории, при этом неизбежно требовалось рассматривать кривые линии и площа-
ди фигур, ограниченных ими. В своих расчетах он использовал методы, схожие с ме-
тодами Кеплера. Однако, как вы увидите чуть позже, его ученик Кавальери первым
сформулировал рациональный метод для вычисления площадей подобных фигур.
Как мы уже говорили, Галилей неизбежно должен был столкнуться с парадокса-
ми бесконечности и изучить ее природу. Именно так он пришел к парадоксу, кото-
рый не смог разрешить. С формальной точки зрения эта задача даже не была пара-
67
ВСТРЕЧИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
доксом, но она содержала, как вы убедитесь чуть позже, возможное математическое
определение бесконечности.
Эта задача-парадокс, которая впервые упоминается в диалогах Галилея
в 1638 году, звучит так.
Рассмотрим в качестве исходного множества ряд чисел:
0,1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,...
Далее запишем ряд чисел, которые являются их квадратами:
0,1, 4, 9,16, 25, 36, 49, 64, 81,100,...
Очевидно, что оба этих множества бесконечны в том смысле, что мы можем
неограниченно добавлять к ним все новые и новые числа. Кроме того, Галилей за-
метил, что каждому элементу первого множества соответствует один из элементов
второго, но, с другой стороны, кажется очевидным, что в первом множестве больше
чисел, чем во втором. Вопрос, который поставил Галилей, заключается в том, какая
бесконечность больше, первая или вторая, что ведет к кажущемуся парадоксу. Он
полагал, что либо в чем-то ошибался, либо сравнения, основанные на понятиях
«больше», «меньше» и «равно», неприменимы, когда речь идет о бесконечности.
В этом смысле он был прав, поскольку, как три столетия спустя доказал Георг Кан-
тор, «арифметика бесконечного отлична от арифметики конечного».
Кавальери
Бонавентура Кавальери (1598—1647), иезуит и преподаватель математики в Боло-
нье, был одним из учеников Галилея и больше всего интересовался вычислениями
площадей и объемов. В 1635 году он опубликовал трактат на эту тему, озаглавлен-
ный «Геометрия, развитая новым способом при помощи неделимых непрерывного».
Название говорит само за себя: с одной стороны, Кавальери был сторонником прин-
ципа непрерывности, с другой — он был готов считать, что непрерывные объекты
можно разделить на элементарные части — монады, подобные атомам, которые
далее нельзя разделить на более мелкие части. Он полагал, что прямая состоит
из точек, подобно тому, как ожерелье состоит из бусинок, а объемное тело — из пло-
скостей, точно так же, как книга — из страниц. Иными словами, неделимыми для
прямой являются точки, неделимыми для плоскости — прямые, равноудаленные
между собой, неделимыми для твердого тела — множество параллельных плоско-
68
ВСТРЕЧИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
ТЕОРЕМА КАВАЛЬЕРИ
Метод, использованный Кавальери для вычисления объемов, можно наглядно объяснить так:
представьте, что перед вами - две стопки монет или фишек казино одинаковой высоты. Сдви-
нем монеты во второй стопке так, что она перестанет иметь форму цилиндра. Вычислить объем
полученной фигуры будет достаточно сложно. Тем не менее теорема Кавальери гласит, что
объем обеих стопок одинаков. В этом примере каждая монета представляет собой неделимое.
По теореме Кавальери, объем обеих стопок монет
одинаков, хотя в одном случае они уложены идеально
ровно, в другом — нет.
стой, удаленных друг от друга на равное расстояние. Кавальери понимал, что число
этих неделимых должно было быть бесконечным, но деликатно обходил этот во-
прос. Более того, свой метод он назвал методом бесконечных, но работу озаглавил
«Трактат о неделимых».
Принцип Кавальери в современном виде формулируется так: если два тела име-
ют одинаковую высоту и площади их плоских сечений, взятых на одной высоте,
равны, то объемы этих тел одинаковы.
С помощью этого метода Кавальери доказал, что объем конуса равен 1/3 объ-
ема описанного вокруг него цилиндра. Не стоит и говорить, что его подход вызвал
жестокую критику современников, на которую ученый не мог возразить, поскольку
не мог представить достаточное математическое обоснование своих рассуждений.
В защиту Кавальери следует сказать, что он не стремился создать строгий метод,
а всего лишь хотел разработать алгоритм, применимый на практике. И ему это уда-
69
ВСТРЕЧИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
лось: метод Кавальери с успехом использовали такие математики, как Ферма, Па-
скаль и Роберваль. Особенно значительных результатов достиг последний, вычис-
лив площадь, ограниченную дугой циклоиды.
Декарт
Рене Декарт (1596—1650) является основателем и главным представителем рацио-
нализма. Наиболее важной его работой было «Рассуждение о методе», а ключевой
фразой — «Я мыслю, следовательно, я существую», которая, по его мнению, была
единственно возможной отправной точкой на пути преодоления сомнений. Его ме-
тод, как следует из названия, представляет собой множество правил, которые по-
зволяют строить адекватные рассуждения в любой области человеческой мысли.
Нет сомнений, что Декарт был прежде всего философом, а не математиком, и полу-
ченные им математические результаты можно считать следствием использования
его метода.
В настоящее время науки отделены от философии, но это не означает, что фило-
софия не оказывает на них никакого влияния — мы просто меньше осознаем их
взаимосвязь.
Основные результаты Декарта, полученные им помимо других важных откры-
тий, в частности классификации кривых и работ по коническим сечениям, изложе-
ны в труде «Геометрия». Декарт считал, что решение геометрических задач часто
требует излишних умственных усилий, направленных на то, чтобы мысленно пред-
ставить расположение фигур. Он создал систему, в которой фигуры представлялись
как множество точек, каждой из которых можно было поставить в соответствие
числа. Таким образом, геометрическая задача сводилась к алгебраической, а многие
алгебраические задачи стало возможно решить геометрическими методами. Гово-
рить о том, что в его работах заложены основы аналитической геометрии, было бы
преувеличением, однако можно с абсолютной уверенностью утверждать, что в них
была впервые описана декартова геометрия.
Декарт рассмотрел бесконечность в работе «Первоначала философии», в кото-
рой он говорил не о бесконечном, а о неопределенном. Он признавал существование
бесконечно большого, заявляя, что число звезд на небе не определено, и существо-
вание бесконечно малого, говоря, что материя бесконечно делима. Эта подмена по-
нятий была умышленной, и Декарт оправдывал ее тем, что слово «бесконечность»
должно использоваться только применительно к Богу. Ученый принимал возмож-
ность того, что нечто бесконечное может иметь предел, недостижимый для нас. Та-
70
ВСТРЕЧИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
ОПАСНЫЕ ЧАСТНЫЕ УРОКИ
Фрагмент картины «Диспут королевы
Кристины и Декарта» французского
художника Пьера-Луи Дюмениля.
Версаль.
В 1649 году королева Кристина пригласила Декарта
в Швецию: она хотела учиться у него философии. Де-
карт воспользовался возможностью покинуть среду,
где философские споры с голландскими протестанта-
ми постепенно становились все более и более оже-
сточенными.
По легенде, королева любила прохладу, и аудиен-
ции обычно проходили в залах с открытыми окнами,
из-за чего длились очень недолго. Декарт счел себя
обязанным давать королеве уроки в таких же усло-
виях. Кроме того, по привычке он начинал занятия
очень рано: экипаж забирал его в половине пятого
утра, занятия начинались спустя полчаса. Пять меся-
цев спустя Декарт заболел пневмонией и И февраля
1650 года умер.
ким образом, по мнению Декарта, невозможность существования актуальной беско-
нечности вызвана особенностями человеческой природы со всеми сопутствующими
ограничениями, что не помешало ученому согласиться с существованием потенци-
альной бесконечности, так как, по его мнению, нельзя размышлять о конечном, если
не существует бесконечного. «Невозможно, чтобы моя природа была такой, какая
она есть, то есть конечной и содержащей представления о бесконечности, если бы
бесконечности не существовало. Идея о Боге подобна отпечатку, который мастер
ставит на своей работе, и ни в коей мере не требуется, чтобы этот отпечаток был
чем-то, не принадлежащим работе мастера», — заключает Декарт, считавший наши
представления о бесконечности врожденными.
71
Глава 4
Математический анализ
История математического анализа очень увлекательна, а его постепенному разви-
тию сопутствовали споры, касавшиеся бесконечности, в частности бесконечно ма-
лых величин, поэтому математический анализ также называется анализом бесконеч-
но малых.
Анализ бесконечно малых
Почему он называется анализом и какое отношение к нему имеют бесконечно ма-
лые? Понятие «анализ» указывает, что в математическом анализе решение задачи
рассматривается как рабочая гипотеза, после чего проводится анализ того, каким
образом стало возможным прийти к этому решению. Одним из наиболее выдаю-
щихся ученых, которые использовали этот метод, был Декарт, а истоки метода вос-
ходят ко временам Евклида.
Название «анализ бесконечно малых» объясняется использованием величин,
связанных с геометрическими элементами. Эти величины делятся произвольное
число раз (бесконечное деление), а затем рассматриваются как основные и недели-
мые составляющие всего. Как вы уже поняли, анализ бесконечно малых восходит
к знаменитому методу исчерпывания, придуманному Евдоксом, и был систематиче-
ски описан математиками XVII столетия, в частности Робервалем, Барроу, Ньюто-
ном и Лейбницем.
Отметим еще одно важное совпадение. С одной стороны, математика к тому вре-
мени превратилась в самостоятельную дисциплину в том смысле, что в ней не ис-
пользовались модели природы. Скорее наоборот: это природа должна была адапти-
роваться к математике, что следовало понимать не как гипотезу, а как методологию,
позволяющую создать прочную теорию, которая, разумеется, должна была найти
практическое применение. Пример: с помощью методов анализа стало возможным
определить, что траектория снаряда представляет собой параболу — геометриче-
скую фигуру, четко определенную на языке функций. Наиболее вероятно, что тра-
ектория снаряда не является идеальной параболой, но, перефразируя Торричелли,
«тем хуже для снаряда».
73
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Другой важный момент — появление в теоретической физике двух новых по-
нятий: тело и материальная точка. Первое ввел Декарт, а второе — Ньютон. Ябло-
ко, которое якобы упало на голову Ньютону, было не спелым фруктом, приятным
на вкус, а телом конкретных размеров, которое методами анализа можно свести
к материальной точке.
Также следует учитывать, что в то время физика носила ярко выраженный при-
кладной характер: ее задачи имели исключительно практическую направленность.
Например, известный оптический закон о том, что угол падения луча равен углу его
отражения, очень важен при конструировании оптических приборов, однако эти
углы отсчитываются от нормали, проведенной к отражающей поверхности в задан-
ной точке. Если эта поверхность является прямой, к ней достаточно провести пер-
пендикуляр в заданной точке, но если речь идет о криволинейной поверхности, как
в большинстве оптических инструментов, то возникает интересная геометрическая
задача. Как показано на рисунке, нормаль к криволинейной поверхности в точке —
это прямая, перпендикулярная касательной к кривой в заданной точке, но алгоритм
построения касательной к произвольной кривой в то время был неизвестен.
Касательная «прикасается» к кривой в единственной точке. Перпендикуляр к касательной
в этой точке, по определению, является нормалью к кривой.
Еще один пример связан с нахождением максимумов и минимумов. Вернемся
к примеру со снарядом. Очевидна необходимость вычисления максимальной даль-
ности полета снаряда (а в некоторых случаях — максимальной высоты) в зависи-
мости от угла наклона орудия.
74
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Следующие четыре нерешенные задачи предопределили зарождение математи-
ческого анализа, или анализа бесконечно малых:
— построение касательной к кривой в точке;
— расчет максимумов и минимумов функции;
— расчет квадратур, то есть вычисление площади, ограниченной одной или
несколькими кривыми;
— спрямление кривых, то есть вычисление длины кривой между двумя ее точ-
ками.
Во всех этих задачах присутствуют бесконечно малые величины.
Ньютон и Лейбниц считаются родоначальниками математического анализа,
в котором они систематизировали знания, накопленные их предшественниками. Они
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ЭЙЛЕРА
INSHTVTIONVM
IcMjCVU INTFGRALIS
VOUVMEN PHIMVM
• 4* МГГЖПт 'гНС»**!! * ними гми-
Обложка первого тома
«Интегрального исчисления»
Эйлера.
С помощью интегралов можно рассчитывать не только
площади плоских фигур, но также длины кривых, объемы
тел, ограниченных произвольными поверхностями, и тел
вращения. В общем случае интегралы позволяют найти
любое значение, выраженное в виде бесконечной суммы
бесконечно малых величин, то есть почти все что угод-
но. Сфера практического применения интегралов столь
широка, что они образуют отдельный раздел прикладной
математики. Вне зависимости от того, где выполняется
вычисление интегралов, на маленьких калькуляторах или
в мощных компьютерных программах, сложно представить
инженера, которому не требовалось бы интегральное ис-
числение. В 1770 году швейцарский математик Леонард
Эйлер (1707-1783) создал трехтомный труд по интеграль-
ному исчислению. В некотором смысле все современные книги по математическому анализу
являются всего лишь измененными и обновленными изданиями этого труда, в котором даже
спустя 150 лет после публикации никто не смог найти ни единого недочета. По этой причине
«Интегральное исчисление» Эйлера считается важнейшей работой по математическому анализу
из когда-либо написанных.
75
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
следовали разными путями, и им обоим пришлось столкнуться с загадками беско-
нечности, которые они решили каждый по-своему.
Ньютон
Исаак Ньютон (1643—1727), который считается скорее физиком, чем математи-
ком, внес чрезвычайно важный вклад в создание математического анализа. Он раз-
работал оригинальную систему решения задач о квадратурах и о спрямлении кри-
вых. Для этого он использовал бесконечные ряды — выражения, которые опреде-
ляются уравнением, первый член которого содержит изучаемую функцию, а вто-
рой — бесконечную сумму функций, имеющих схожее поведение. Например, пер-
вым членом следующего уравнения является логарифмическая функция, вторым —
сумма бесконечного числа степенных функций, поведение которых известно:
2 3 4
1п(1 + х) = х- — + -——+...
2 3 4
ТАИНСТВЕННАЯ НАУКА
«Математические начала натуральной философии» Ньютона всегда считались непростыми для
понимания - это неудивительно, если учесть, что Ньютон умышленно усложнил свою работу.
Как-то раз он признался другу, что поступил так, чтобы «избежать атак со стороны шарлатанов
от математики»: предыдущие работы Ньютона, посвященные природе света, уже подвергались
ожесточенной и не всегда оправданной критике. Некоторые из полученных результатов Ньютон
и вовсе записал шифром. Следующая последовательность букв и цифр
6а сс d ае 13eff7i 319n4o4q rr 4s 9t 12vx
отнюдь не сложный ключ или числа из компьютерной программы. Это так называемый лого-
гриф - способ шифрования, который Ньютон использовал для описания своего метода анализа
флюксий, чтобы Лейбниц не смог прочитать его записи и приписать их авторство себе. Говорят,
что последнему понадобилось бы потратить на расшифровку так много сил, что быстрее было
бы самостоятельно прийти к аналогичным результатам.
76
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Исаак Ньютон на портрете Гэтфрида Кнеллера.
Суть метода Ньютона заключается в том, что с увеличением числа слагаемых
второго члена уравнения мы все больше и больше приближаемся к истинному зна-
чению функции. Если мы хотим всего лишь произвести вычисления, достаточно
знать желаемую величину ошибки, но если необходимо проанализировать логариф-
мическую функцию и изучить ее поведение, нужно, пусть и неявно, признать суще-
ствование актуальной бесконечности как суммы ряда. Единственный комментарий
Ньютона на эту тему содержится в его работе «Анализ с помощью уравнений с бес-
конечным числом членов»: «...Действительно, рассуждения в нем не менее досто-
верны и уравнения не менее точны, хотя мы, люди конечного ума, и не в состоянии
ни обозначить, ни воспринять все члены этих уравнений так, чтобы точно узнать
из них искомые величины». Здесь мы снова видим прагматичный подход Ньютона:
ученый говорит, что наши способности воспринять актуальную бесконечность огра-
ничены, но он признает ее существование как результат рассматриваемых уравнений
с бесконечным числом членов.
Во втором издании своей работы «Метод флюксий и бесконечных рядов с при-
ложением его к геометрии кривых», вышедшем в 1736 году (сама работа датирова-
на 1672 годом), Ньютон использует так называемый метод флюксий. Этот метод
77
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
L А
METHODE
FLUXIONS.
ЕТ DES SUITES INF1NIES-
Fur M. Ic Chevalier NbVlOH
fiar Ifttfftwi -
DE BURE ЕкЫ, Xibnwe, dn Aegttffiw, i
M DCC XL
Метод флюксий изложен
во французском издании книги
Ньютона, вышедшем в 1740 году.
предполагал интересный переход: Ньютон пере-
стал рассматривать бесконечно малые как нечто
статическое и наделил их способностью двигать-
ся. Он рассматривал переменную как непрерыв-
но движущуюся точку (этим же свойством он
наделил прямые и плоскости) и назвал флюен-
тами переменные, обладающие этими свойства-
ми, а флюксией — результат такого движения,
то есть сравнение двух различных состояний
такой точки. Мы не будем подробно описывать
метод флюксий Ньютона и лишь повторим, что
Ньютон не считал необходимым использовать
в своих вычислениях бесконечно малые вели-
чины, так как это могло привести к различным
противоречиям.
Он рассматривает эти величины «...не как
состоящие из небольших частей, но как описыва-
ющие непрерывное движение. Линии описыва-
ются и, следовательно, создаются не наложением точек, а непрерывным движением
точек».
С помощью метода флюксий Ньютону удалось найти касательные к кривым,
площади подграфиков, длины кривых, а также максимумы и минимумы функций
и точки перегиба для различных кривых. Ему удалось сделать это, избежав про-
блем, связанных с использованием бесконечно малых величин, однако за это ему
пришлось заплатить свою цену. Анализ, построенный на этих предпосылках, имел
важные ограничения и открыл путь к другим разделам математики, где властвовали
дифференциалы — странные бесконечно малые математические объекты, нераз-
рывно связанные с актуальной бесконечностью.
Лейбниц
Первые математические труды Готфрида Лейбница (1646—1716) были посвящены
комбинаторике. В них уже проявилась гениальность ученого, однако они были уста-
ревшими и имели определенные черты, характерные для средневековой науки, кото-
рой в немецких университетах той эпохи уделялось большое внимание. В 1672 году
Лейбниц отправился в Париж с важной дипломатической миссией. Именно тогда
78
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
основным родом его занятий стала математика — отчасти это произошло под влия-
нием Христиана Гюйгенса, который познакомил Лейбница с последними математи-
ческими открытиями.
В этот период Лейбниц пишет первые работы, посвященные суммам бесконеч-
ных рядов. Одним из наиболее примечательных результатов стал полученный им
и названный в его честь ряд, в котором устанавливается неожиданная связь между
числом П и нечетными числами:
7Г
4
1-
11111
- +-+-+ ...
3 5 7 9 И
Несомненно, важнейшими работами Лейбница стали его труды по анализу бес-
конечно малых, положившие начало важнейшему разделу математики — математи-
ческому анализу. Неоценимую роль сыграли верно выбранные обозначения. Так, с
помощью знаков d и J, введенных им для обозначения дифференциала и интеграла,
стало возможным объединить множество разрозненных и неоднозначных математи-
ческих понятий. Лейбниц не всегда действовал внимательно и аккуратно, из-за чего
многие его результаты были ошибочными, сравнивал себя с тигром, который «по-
зволяет уйти добыче, которую не смог схватить в первый, второй и третий прыжок».
Прыжком Лейбница был переход от дискретного к непрерывному. Комбинато-
рика, которой он владел в совершенстве, — это дискретный мир, но мир функций
и кривых является не дискретным, а непрерывным, и именно при переходе от одного
к другому проявился математический гений и смелость Лейбница, так как он смог
преобразовать неделимые Кавальери в новую математическую сущность — бес-
СПОСОБНОСТИ К ЯЗЫКАМ
Лейбниц был сыном известно! о юриста и в шесть лет остался сиротой. Учился он самостоя-
тельно и все силы отдал изучению латыни, так как именно на ней было написано большинство
книг в библиотеке, оставшейся от отца. В десять лет Лейбниц уже читал классические труды
на латыни и греческом, а в 13 - писал гекзаметром на латыни. Подобными выдающимися
способностями к языкам отличается большинство известных математиков.
79
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
конечно малые, для чего создал особые алгоритмы. Рассмотрим ключевой элемент
созданного Лейбницем анализа бесконечно малых, изложенный в упрощенном виде
на языке современной математики.
Нам известно, что прямая определяется двумя точками, но она также может
определяться одной точкой и углом наклона. Например, прямые q и г2, проходя-
щие через начало координат, определяются углами наклона ОС и (3 соответственно.
Мы говорим об угле наклона не только применительно к математическому анализу,
но и в повседневной жизни, например когда речь идет об угле наклона на участке
автомагистрали.
С помощью транспортира можно узнать конкретную величину угла, например
24°. Другой способ измерить угол состоит в определении его тангенса. В прямоу-
ОСНОВЫ МЕЖДУНАРОДНОГО ПРАВА
В 15 лет Лейбниц начал изучать право в Лейпцигском университете. Несмотря на то что боль-
шую часть времени он уделял изучению философии, через пять лет Лейбниц получил право
на степень доктора юриспруденции, которую ему отказались присвоить ввиду юного возраста
студента. После этого он перевелся в Альдорфский университет в Нюрнберге, где защитил позд-
нее ставшую знаменитой диссертацию об историческом характере законодательства, в которой
заложил основы международного права.
80
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
гольном треугольнике АВС тангенсом угла называется отношение длины противо-
лежащего катета к прилежащему.
™ . противолежащий катет
Тангенс (&)=—--------------------
прилежащии катет
Будем обозначать тангенс буквами tg: tg((T) = АВ/СВ.
Теперь предположим, что дана непрерывная кривая (то есть ее можно нарисо-
вать, не отрывая карандаша от бумаги) у =f(x) и мы хотим найти касательную к этой
кривой в ее произвольной точке, которую обозначим Р. Как мы уже говорили, пря-
мая определяется точкой и углом наклона. Точка Р уже известна, и единственное,
что осталось найти, — угол наклона искомой прямой. Лейбниц в качестве основы
всех своих вычислений использовал построение треугольника, который он называл
характеристическим треугольником. По сути, это треугольник стал краеугольным
элементом анализа бесконечно малых.
81
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Обозначим координаты точки Р через х и у. Теперь выберем точку Q кривой
и обозначим ее координаты х + Ах, у + Ау. Нетрудно показать, что угол наклона
прямой, проходящей через точки Р и Q, определяется как fg(ot) = Ау/Ах. Если
теперь мы приблизим точку Q к точке Р, ничего особенно не изменится — про-
сто уменьшатся Ах и Ау. Это приближение можно осуществлять непрерывно, так
что упомянутые нами изменения х и у будут сколь угодно малыми. В определенный
момент они станут достаточно малыми, чтобы ими можно было пренебречь, то есть
они не будут влиять на результат. Эти бесконечно малые величины Лейбниц назвал
дифференциалами, dx и dy соответственно.
При непрерывном приближении точки Q к точке Р прямая, соединяющая эти
точки, приближается к касательной кривой в точке Р так, что искомый угол наклона
ОС можно будет получить из формулы
tg(«) =
ЛУ
Дх
Когда расстояние между Р и Q станет бесконечно малым, будет выполняться
условие
/ ч dy
tg(«) = -r-
ах
82
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ПИСЬМА ПРИНЦЕССАМ
Во мни. их областях Лейбниц известен прежде всего как философ, а не как математик. В воз-
расте 20 лет он уже опубликовал свои знаменитые «Рассуждения о комбинаторном искусстве».
Несмотря на то что многие из его фундаментальных результатов изложены в таких работах,
как «Новые опыты о человеческом разуме» (1703) или «Монадология» (1714), важная часть
философских размышлений Лейбница содержится в переписке с принцессами Софией, Софи-
ей Шарлоттой и Каролиной - с ними он был связан не только интеллектуальной перепиской,
но и теплыми дружескими узами.
Принцессы действительно достаточно хорошо разбирались в философии и в некотором роде
были единственными, кто мог способствовать созданию научных сообществ вне университетов
для свободного общения интеллектуалов, не ограниченного рамками религиозных догм.
Потрет Гэтфрида Лейбница в возрасте
приблизительно пятидесяти четырех лет.
Этот прямоугольный треугольник, ка-
тетами которого являются dx и dy, являет-
ся тем характеристическим треугольником,
о котором мы говорили выше. По сути, его
катеты бесконечно малой длины совпадают
со сторонами многоугольника с бесконеч-
ным числом сторон, в виде которого можно
представить исходную кривую. Основная
разница между этими величинами заклю-
чается в том, что Лейбниц работает с ними
как с числами (с некоторыми ограничени-
ями) и использует их для получения кон-
кретных результатов. С их помощью ему
даже удалось решить задачу о квадратуре,
то есть вычислить площадь, ограниченную
кривой. Говоря проще, если площадь неко-
торой фигуры состоит из дифференциалов,
достаточно сложить их, чтобы узнать ис-
комую площадь (в этом смысле дифференцирование и интегрирование являются об-
ратными операциями).
83
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ЛЕЙБНИЦ И ОРДЕН РОЗЕНКРЕЙЦЕРОВ
В возрасте 20 лет Лейбниц вступил в ряды таинственного ордена розенкрейцеров, членами
которого также были Ньют jh и Декарт. Не следует удивляться - в то время ученым сложно было
получать необходимую для исследований информацию из официальных источников, и членство
в подобных обществах было одним из факторов их научного прогресса.
Условием вступления в орден было проведе-
ние алхимических опытов, и Лейбниц, который
в итоге занял пост секретаря братства, занял-
ся выполнением экспериментов, описанных
на латыни в объемном труде алхимика Василия
Валентина. Через братство он познакомился
с первооткрывателем фосфора Хеннигом Бран-
дом и помог ему выделить фосфор из мочи
целого полка солдат для последующего коммер-
ческого использования. Лейбниц также активно
сотрудничал с Фридрихом Гофманом, возглав-
лявшим кафедру медицины в Университете Гал-
ле. Одним из результатов их совместной работы
стали знаменитые гофманские капли, которые
до сих пор можно встретить в некоторых немец-
Храм братства Розы и Креста, рисунок
из книги Теофилуса Швейгхардта
Константиенса, 1618 год.
ких аптеках.
Бесконечно малые величины не были с восторгом приняты математиками той
эпохи. Характеристический треугольник использовался в рассуждениях, но так
и не получил строгого определения. Он лишь представлял нечто происходящее в за-
гадочном и непонятном мире бесконечно малых, и его использование предполагало
принятие актуальной бесконечности, как бы ученые ни стремились этого избежать.
Кроме того, следовало каким-то образом уйти от архимедовского принципа сравне-
ния величин, и Паскаль, Лопиталь, Бернулли и сам Лейбниц в итоге стали рассма-
тривать бесконечно малые как особые величины, которые в определенных условиях
равняются нулю. Лейбниц неспроста дал своей работе название «О скрытой геоме-
трии и анализе неделимых и бесконечных величин».
84
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Эпсилон
Когда говорят об эпсилонах или о языке эпсилон-дельта, речь идет вовсе не о се-
кретных кодах Министерства обороны, а о сложном математическом аппарате, ко-
торый напрямую связан с понятием предела. Первое определение понятию предела
сформулировал Бернард Больцано (1781—1848), не получивший, к сожалению, при
жизни должного признания. Первым, кто использовал это понятие на практике, был
Огюстен Луи Коши (1789—1857), однако окончательное строгое определение пре-
дела дал Карл Вейерштрасс. Определение предела на языке эпсилон-дельта являет-
ся чрезвычайно точным в той части, которая касается делимости на бесконечное
множество частей. Хотя это определение очень сложно понять тому, кто не владеет
некоторыми математическими знаниями, оно тем не менее долгое время использова-
лось в учебниках для средней школы. Мы не хотим сказать, что старшеклассники
недостаточно умны, чтобы понять его, но не стоит ожидать, что все поймут его
Карл Вейерштрасс на литографии 1895 года. Этот немецкий
математик был первым, кто использовал на практике язык
эпсилон-дельта.
85
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
СПОРЫ ГЕНИЕВ
Переписка, несомненно, является древнейшей формой общения между учеными. С ее помощью
формулируется и решается множество задач. По сравнению с другими формами общения пись-
ма обладают преимуществом - конфиденциальностью: они адресуются конкретному человеку
или группе людей. В виде переписки проходили многие научные дискуссии.
Одной из самых известных стало жаркое противостояние между Ньютоном и Лейбницем об ав-
торстве математического анализа. Абсолютно независимо друг от друга они получили анало-
гичные результаты, однако Ньютон опубликовал свои работы первым, что дало ему основания
обвинить Лейбница в плагиате. Это привело к ожесточенному и абсурдному спору, не имевшему
аналогов в истории науки.
с одинаковой легкостью. Во многих учебниках оно приводится мелким шрифтом,
и преподаватели обходят его молчанием.
Попробуем сделать понятие предела более ясным, несколько упростив его.
По сути оно имеет много общего с понятием накопления. Представим, что перед
входом в помещение образовалась очередь. Можно заметить, что люди постепенно
становятся ближе ко входу и друг к другу. Это совершенно естественно: изначаль-
но, когда в очереди немного людей, они стараются сохранять комфортное расстоя-
ние между собой, но по мере того как число людей растет, расстояние между ними
уменьшается. Интересно, что мы говорим о двух разных расстояниях, которые, од-
нако, тесно связаны между собой: о расстоянии между началом очереди и входом
и о расстоянии между людьми в очереди, которое по мере того как мы приближаемся
к концу, увеличивается. Это логично, так как те, кто становится в очередь, старают-
ся сохранять комфортное расстояние между собой, но по мере того как очередь дви-
жется вперед, люди чувствуют давление тех, кто находится позади. Можно сказать,
что люди скапливаются у входа.
Можно определить степень скопления людей с помощью параметра, который
будет описывать, например, изменение расстояния между людьми в очереди по мере
приближения к ее началу. Как правило, этот параметр будет постепенно умень-
шаться.
86
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
В очереди, например у входа в кинотеатр,
люди собираются у дверей, где расстояние
между ними будет минимальным. По мере
отдаления от входа расстояние между
людьми увеличивается.
Степень скопления людей можно определить, выбрав в качестве единицы из-
мерения конкретное расстояние, например 50 см. Если в 50 см от входа находятся
люди, это будет соответствовать определенной степени скопления. В зависимости
от величины этой единицы измерения число людей будет изменяться. Аналогично
можно измерить степень скопления людей, оценив расстояние между ними.
Здесь возникает первый интересный вопрос: когда мы видим скопление людей,
логично предположить, что они собрались по какой-то причине, то есть это скопле-
ние возникает вокруг определенного места, где происходит что-то важное. Когда мы
видим на дороге скопление муравьев, то сразу же понимаем, что где-то поблизости
находится еда или вход в муравейник. Еще один пример — скопление машин на ав-
томагистрали, которое служит признаком того, что поблизости находится пункт
оплаты проезда или произошла авария. Эти примеры помогут нам понять одно
87
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
из самых интересных открытий в истории математики. Оно касается существования
определенных чисел, которые в течение веков скрывались в мире бесконечно малых.
В предыдущих примерах речь шла о дискретных множествах. Рассмотрим
непрерывные величины, так как они допускают возможность бесконечного деления.
Оставим скопления людей и автомашин и рассмотрим возможные множества точек
на прямой. Допустим, что дана последовательность точек а2, ау .... ау .... кото-
рые обладают одним свойством: соседние члены последовательности располагаются
все ближе и ближе друг к другу. Очевидно, что они скапливаются вокруг некоторой
точки — обозначим ее Р. Допустим, что выбранной нами основной мерой длины
является отрезок длиной d. Если мы поместим один конец этого отрезка в точку Р,
то увидим, что некоторые точки последовательности окажутся внутри этого отрезка
длиной d.
d
d'
Более того, мы сможем найти точку ау после которой все точки будут распола-
гаться внутри отрезка d. Если мы уменьшим длину отрезка и сделаем ее равной d‘
< d, то все точки, начиная с более удаленной, а^, будут располагаться внутри этого
нового отрезка. Именно такое значение имеет эпсилон в математическом анализе.
Мы можем гарантировать, что для любой величины d всегда найдется такое п, на-
чиная с которого все элементы последовательности будут находиться внутри отрез-
ка d. В этом случае говорят, что последовательность сходится в точке Р. Это оз-
начает следующее: во-первых, эта последовательность бесконечна, во-вторых, рас-
стояние между точкой Р и произвольным членом последовательности может быть
сколь угодно малым.
Когда мы работаем с дискретными множествами, все изложенное выше прак-
тически неприменимо. Рассмотрим последовательность чисел 100, 50, 25, 12, 6,
3, 1 (можно представить эту последовательность как очередь из семи чисел у вхо-
да, которым, например, является ноль). Очевидно, что разница между произ-
вольным членом последовательности и нулем постепенно уменьшается, равно как
и разница между двумя соседними членами последовательности. Например, между
88
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
100 И 50 находится 49 чисел, между 6 и 3 — всего два. Тем не менее нельзя сказать,
что члены последовательности скапливаются в окрестности точки 0. Очевидно, что
если мы возьмем отрезок длиной 1/2 и поместим один из его концов в точку 0,
на этом отрезке не будет находиться ни один член последовательности. А если мы
рассмотрим последовательность
1,1,1,-1,....
2 4 16
то вблизи нуля всегда будет находиться какой-либо ее член, сколь бы малым ни было
расстояние до нуля.
На языке математики эти расстояния называются окрестностями. Окрестность
подобна скобкам, в которые заключена точка Р. Основная идея заключается в том,
что сколь малыми ни были бы эти скобки (то есть радиус окрестности), в них всегда
будут находиться элементы последовательности. В языке эпсилон-дельта основную
роль играет соотношение между двумя числами: шириной скобок (радиусом окрест-
ности, который обычно обозначают Е — эпсилон) и числом п, определяющим эле-
мент ап, начиная с которого все элементы последовательности будут располагаться
внутри заданной окрестности. На языке математики это звучит так: «Для любого
эпсилон существует п, такое что...»
Именно так определяется понятие бесконечного деления, очень близкое к по-
нятию предела. Когда в одном из парадоксов Зенона интервал делится пополам
бесконечное число раз, мы формируем последовательность, подобную описанной
в предыдущем примере. Теперь мы можем воспользоваться строгим определением
перехода к пределу и подтвердить, что последним членом последовательности бу-
дет 0. Это не помогает разрешить парадокс, так как ситуация, по сути, не измени-
лась: точки образуют бесконечную последовательность и скапливаются вблизи нуля,
и мы считаем, что существует последняя точка последовательности, 0, но в действи-
тельности 0 не является членом этой последовательности. Это утверждение не явля-
ется оправданным, но четко определено на языке математики. Как говорил Бертран
Рассел, «математика может быть определена как доктрина, в которой мы никогда
не знаем ни о чем говорим, ни того, верно ли то, что мы говорим».
В действительности Коши в своем определении предела использовал не точки,
которые скапливаются вокруг некоторой данной точки, а точки, которые скаплива-
ются рядом друг с другом. Иными словами, скопление точек, которое рассматривал
Коши, подобно скоплениям автомобилей на разных участках дороги, вызванным
89
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
множеством аварий в разных местах. Ситуация значительно осложняется тем, что
если мы рассматриваем исключительно рациональные числа, то прямая, на которой
они располагаются, не будет заполнена — на ней останутся промежутки. Напри-
мер: дана последовательность точек (теперь мы связываем точки на прямой с раци-
ональными числами), которые скапливаются все плотнее и плотнее. Эту ситуацию
можно четко определить на языке математики, что сделал Коши. Однако проблема
заключается в том, что эти точки могут скапливаться вокруг пустого места на пря-
мой, точнее вокруг точки, которой не соответствует никакое рациональное число.
Так происходит, например, в случае с последовательностью
1
1Д + -,1 +
2
2 +
1
1
2+----!---
2 + —
2 + —
2
о которой мы говорили в главе 2 и которая сходится к числу л/2, а оно не является
рациональным. Разумеется, мы можем построить прямоугольный треугольник, ги-
потенуза которого будет равна л/2, но так мы определим это число геометрически,
а во времена Коши математики пытались дать определение числам чисто арифмети-
ческими или аналитическими методами. Рациональные числа, по сути, вообще
не были определены как числа, пока Дедекинд и, позднее, Кантор не сформулиро-
вали для них точной дефиниции. Последний сделал не только это, но и устранил
промежутки на числовой прямой, которых в действительности существует бесконеч-
ное множество, так как иррациональных чисел, равно как и рациональных, беско-
нечно много.
Однако Кантор заслуживает отдельной главы, ведь он не только заполнил чис-
ловую прямую, устранив эти промежутки, но и первый встретился с бесконечностью
лицом к лицу.
90
Глава 5
Рай Кантора
Возможно, было бы небольшим преувеличением заявить, что открытия Кантора
стали поворотным моментом в истории всей математики, хотя есть и те, кто придер-
живается именно этой точки зрения. Однако, без сомнений, его достижения ознаме-
новали поворотный момент в изучении бесконечности.
Ряды Фурье
Жан-Батист Жозеф Фурье (1768—1830) был математиком-провидцем, он вошел
в число пионеров нового раздела математики — математического анализа, и создал
одну из наиболее широко используемых теорий в истории прикладной математики.
Среди его работ особенно выделяется «Аналитическая теория тепла» (возможно,
важнейшая из опубликованных им работ), в которой основное внимание уделялось
теплопроводности. Этот труд не только имеет исключительную научную ценность,
но и стал первым в истории трудом по математической физике.
Разложение функции в ряд заключается в представлении произвольной функции
в виде бесконечной суммы других функций. Преимущество этого приема в том, что
с функциями, составляющими бесконечную сумму, работать проще, чем с исходной
функцией. Ряды Фурье не были первым примером разложения функции в ряд —
в то время уже достаточно часто использовалось разложение в степенной ряд Тей-
лора. Основное требование при разложении в ряд Тейлора звучало так: поведение
рассматриваемой функции должно быть полностью определено на небольшом ин-
тервале.
Разложение в ряд Тейлора возможно для множества функций, но имеет один
недостаток: оно может применяться исключительно локально, то есть позволяет уз-
нать поведение функции в небольшой окрестности, но никак не определить ее пове-
дение в целом. Для решения этой задачи Фурье рассмотрел разложение функции
на простые составляющие, как правило, синусоидальные функции. Волны, на кото-
рые раскладывались функции при преобразованиях Фурье, получили название гар-
монических колебаний, а изучавший их новый раздел математики был назван гармо-
ническим анализом.
91
РАЙ КАНТОРА
Возможность представления функции в виде суммы тригонометрических функ-
ций синуса и косинуса обладает огромным преимуществом с точки зрения математи-
ки, так как для синуса и косинуса легко построить график, вычислить производную
и интеграл. Фурье доказал, что любую периодическую функцию /(х) при соблюде-
нии некоторых ограничений можно представить в виде бесконечной суммы функций
синуса и косинуса. Тем не менее разложение в ряд Фурье ставит два важных вопро-
са, на которые непросто дать ответ, так как они затрагивают самые основы матема-
тического анализа и касаются теорем о существовании и единственности. Звучат
эти вопросы так: во-первых, при каких условиях существует ряд, который действи-
тельно сходится к данной функции, и, во-вторых, если такой ряд действительно су-
ществует, является ли он единственно возможным?
В 1870 году Кантор сформулировал теорему, содержащую критерий сходимости
ряда Фурье, в следующем году — вторую теорему, которая дополняла первую и ка-
салась единственности ряда Фурье для данной функции. При этом Кантор стол-
кнулся с проблемой: эта теорема не имела общего характера, и существовали точки,
в которых она не выполнялась, причем таких точек было бесконечно много, и их
множества перемежались с множествами точек, в которых теорема была верна. Так
Кантор столкнулся с иррациональными числами. Встал вопрос, выходивший далеко
Жан-Батист Жозеф Фурье.
92
РАЙ КАНТОРА
за рамки разложения функции в ряд и за рамки понятия бесконечности. Кантор на-
чал серьезно рассматривать взаимоотношения между непрерывным и дискретным
на множестве вещественных чисел. С одной стороны, имелась прямая, на которой
из чисто геометрических соображений точки распределялись непрерывно, с другой
стороны, с арифметической точки зрения распределение этих точек было дискрет-
ным. Проблема заключалась в самом определении вещественного числа, точнее
в определении иррационального числа (см. приложение «Множества чисел»).
Фундаментальные последовательности
Кантор разрабатывал свою теорию вещественных чисел в два этапа. В 1872 году
в работе «О расширении теоремы, относящейся к теории тригонометрических ря-
дов» он сформулировал задачу о существовании иррациональных чисел, но ему
не удалось разработать полную и согласованную теорию. Четкое математическое
определение вещественным числам ученый дал значительно позже, в своих «Осно-
ваниях общей теории множеств». По словам самого Кантора, он пришел к этому
определению после глубоких философских размышлений о бесконечности и непре-
рывности. Математику были знакомы работы Коши и Вейерштрасса, и он знал, что
на множестве рациональных чисел Q существовали последовательности, не сходив-
шиеся ни к какому рациональному числу. Речь шла о последовательностях, опреде-
ленных Коши, элементы которых группировались друг вокруг друга, но не в окрест-
ности какого-либо рационального числа. В главе 2 мы уже приводили пример бес-
конечного ряда, сходящегося к числу, которое не является рациональным — >/2.
Мы также говорили, что элементы этих последовательностей могут располагаться
сколь угодно близко друг к другу. Кантор назвал такие последовательности фунда-
ментальными (в настоящее время они также называются последовательностями
Коши).
Кантор чувствовал, что фундаментальные последовательности должны сходить-
ся к иррациональному числу, и взял это за основу определения иррационального
числа. Если продолжать аналогию, которую мы использовали в предыдущих главах,
Кантор заметил скопления машин на автомагистрали и предположил, что причиной
этому являются пункты оплаты — иными словами, существуют точки, в которых
скапливаются определенные числовые последовательности и отсутствуют рацио-
нальные числа (это те самые промежутки на числовой прямой, о которых мы говори-
ли выше). В таких точках должны находиться иррациональные числа, например у[2,
93
РАЙ КАНТОРА
у/з, или даже 71. Проблема заключалась в том, что иррациональным числам нуж-
но было дать строгое определение на языке математики.
Существуют определенные свойства, которыми должны обладать множества
чисел, чтобы образовывать согласованную систему, или, иными словами, чтобы их
действительно можно было использовать и определить на них элементарные опера-
ции. Первое из этих свойств состоит в том, что эти множества должны быть замкну-
тыми относительно операций сложения, вычитания, умножения и деления. Иными
словами, при сложении двух целых чисел мы ожидаем, что результат также будет
целым числом. Второе свойство — упорядоченность: для двух любых данных чисел
можно однозначно указать, что они равны или что одно из них больше другого. Тре-
тье свойство — плотность, оно более сложное, и им обладают не все множества чи-
сел. Свойство плотности означает, что между двумя произвольными числами всег-
да находится третье, но этот принцип, как вы уже видели, не выполняется ни для
натуральных, ни для целых чисел. Например, между 5 и 6 нет никакого другого
целого числа. Как известно, плотность характерна для рациональных чисел, но Кан-
тор знал, что новое множество иррациональных чисел, которое он хотел определить
с помощью фундаментальных последовательностей, тоже должно обладать этим
свойством. Он понимал, что числа, которым он пытался дать определение, были
расширением рациональных чисел, и, что вполне логично, предполагал, что свойства
рациональных чисел естественным образом будут распространяться и на иррацио-
нальные. Однако доказать свою догадку ему не удалось. Кроме того, возникла еще
одна проблема — различные фундаментальные последовательности могли сходить-
ся к одному и тому же иррациональному числу. Эти и другие препятствия были
преодолены с введением понятий отношения эквивалентности и фактор-множества,
с помощью которых множества чисел определяются сейчас.
Заострим внимание на том, что Кантор свободно использовал понятие актуаль-
ной бесконечности в определении столь конкретного явления, как число, которое,
по сути, является не чем иным, как пределом бесконечной числовой последователь-
ности. В своих первых работах он также не использовал понятие предела. Более
того, он говорил не о числах, а о числовых величинах. Кантор осознавал, что ступает
на зыбкую почву, поскольку при рассмотрении понятий бесконечности и непрерыв-
ности следует вооружиться логическими и математическими инструментами, а их
у него не было, и Кантору ничего не оставалось, кроме как создать эти инструменты
самому.
Расширив множество рациональных чисел Q, Кантор перешел к новому множе-
ству R, которое назвал множеством вещественных чисел. Некоторые считают, что
94
РАЙ КАНТОРА
выбор этого названия был продиктован существованием мнимых чисел, о которых
в то время было уже известно, однако есть основания полагать, что Кантором двига-
ли иные причины. В «Основаниях общей теории множеств» он использует понятие
предела и отказывается от понятий числовой величины, называя введенное им мно-
жество множеством вещественных чисел. Это очень важная деталь: она указывает,
что Кантор был готов принять актуальную бесконечность не как спекуляцию, а как
реальный математический объект — столь же реальный, как целые или дробные
числа.
Вещественная прямая
Прямая — это бесконечное множество точек, расположенных на линии. Кантор,
работая над определением вещественной прямой, следовал путем, который мы уже
описали в предыдущих главах: он обозначил начало отсчета и выбрал единицу из-
мерения. В начальную точку он поместил число 0, справа от него — целые положи-
тельные числа, слева — отрицательные. Добавим к ним рациональные числа, то есть
дроби: положительные расположим справа, отрицательные — слева. Напомним,
что с добавлением рациональных чисел эта прямая приобрела свойство плотности,
согласно которому между двумя любыми рациональными числами всегда находится
другое рациональное число.
Вы уже знаете, какой масштабный кризис вызвало открытие числа у[2 в древне-
греческой математике. Суть проблемы заключалась в том, что это число можно было
совершенно четко представить с помощью прямоугольного треугольника с катетами
единичной длины, но длина гипотенузы этого треугольника, выражаемая иррацио-
нальным числом, не входила во множество точек прямой, на которой мы определи-
ли единицу измерения катетов. Таким образом, длина гипотенузы имела смысл как
величина, но не существовала как число. В этом смысле можно было утверждать,
что вещественная прямая содержала бесконечное множество промежутков, пустых
точек, которым не соответствовали никакие числа, следовательно, вещественная
прямая не была непрерывной.
С введением иррациональных чисел всем точкам этой прямой оказались при-
своены числа, рациональные или иррациональные, и промежутки на ней исчезли.
Теперь прямая по праву могла называться вещественной.
С другой стороны, утверждение, согласно которому прямая как геометрическая
сущность полностью, без промежутков, заполнена числами, оставалось не до конца
обоснованным. Размышления на эту тему привели к тому, что Кантор стал больше
95
РАЙ КАНТОРА
интересоваться непрерывностью, чем бесконечностью, и определил важнейшее по-
нятие счетности, которое стало первой альтернативой понятию бесконечности.
Кардинальные числа
Кантор столкнулся с проблемой подсчета бесконечности. Ранее потенциальная бес-
конечность определялась через возможность беспредельно добавлять к ряду или по-
следовательности все новые и новые элементы, но Кантор предложил ввести поня-
тие актуальной бесконечности, иными словами, начать использовать бесконечность
как еще одну математическую сущность. Для этого следовало пересмотреть и пол-
ностью формализовать такое элементарное арифметическое действие, как простой
подсчет совокупности объектов, что требовало решения двух задач: нужно было,
во-первых, четко определить, что понимается под совокупностью объектов,
и, во-вторых, дать математическое определение подсчету объектов совокупности.
Первая задача была решена с помощью теории множеств, которую на тот момент
уже разработал Больцано. Кантор расширил и дополнил ее, что дало возможность
вести речь об элементах множества как о совершенно абстрактных сущностях.
Многие историки науки считают теорию множеств Кантора одним из самых вы-
дающихся творений человеческой мысли. Мы не будем вдаваться в детали этой те-
ории, так как в нашем контексте будет достаточно нескольких интуитивно понятных
определений, однако отметим, что понятие множества является одним из фундамен-
тальных понятий математики, так как на него опираются все теоретические основы
науки. Анри Пуанкаре (1854—1912) как-то сказал, что математик — это человек,
дающий разным вещам одно наименование. Эта короткая и немного ироничная фра-
за отражает важную истину: конечная цель, к которой стремятся математики, —
обобщение.
Замечание Пуанкаре в высшей степени применимо к теории множеств, по-
скольку слово «множество» может означать любое существующее понятие (а также
многие несуществующие). Именно это обобщение позволило Кантору дать четкое
определение актуальной бесконечности.
Первая трудность теории множеств состоит в самой дефиниции понятия «мно-
жество», так как его очень сложно определить, не используя само понятие «множе-
ство» или один из его синонимов — объединение, группа и т. д.
Одно из наиболее удачных определений, в котором не используются синонимы
слова «множество» (по крайней мере, явным образом), принадлежит Бертрану Рас-
селу: «Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое
96
РАЙ КАНТОРА
СЧЕТ С ПОМОЩЬЮ КАМНЕЙ
овцами и камнями. (От латинского слова calculus -
менное слово «калькулятор».)
Интересно отметить, что человек на-
учился считать раньше, чем появились
системы счисления, поэтому, вопреки
распространенной точке зрения, мож-
но утверждать, что понятие биективного
отображения появилось одновременно
с понятием числа или даже раньше. На-
пример, пастуху, который хотел сосчитать
число овец в стаде, требовалась сумка
с камнями. Когда очередная овца выхо-
дила из загона, пастух вынимал из сумки
один камень. Вечером, пригнав овец об-
ратно в загон, пастух устанавливал вза-
имно однозначное соответствие между
«камень» происходит, например, совре-
целое». Это интересная точка зрения, так как в ней понятие множества определяется
как результат мыслительной деятельности, и это означает, что речь идет о фунда-
ментальном понятии.
Как мы уже говорили, фундаментальным также является понятие подсчета эле-
ментов множества. При счете мы в действительности сравниваем элементы двух
множеств. Например, если мы хотим узнать, сколько человек находится в поме-
щении (то есть сколько элементов содержит множество людей, находящихся в по-
мещении), мы берем за основу известное множество, образованное натуральны-
ми числами 1, 2, 3, ..., и присваиваем каждому человеку в помещении порядковый
номер без повторений. Закончив подсчет, мы смотрим, какое число мы присвоили
последним. Если это число равно, например, 23, мы говорим, что в помещении на-
ходится 23 человека. В действительности мы сравнили два множества — множество
людей и множество чисел {1, 2, 3, ..., 22, 23}, установив так называемое взаимно
однозначное соответствие. Взаимно однозначное соответствие можно установить
97
РАЙ КАНТОРА
между множествами разной природы, важно лишь, чтобы при этом соблюдались
определенные правила. Например, если даны множество заглавных букв {A, F, Н,
Р, V} и множество строчных букв {a, b, с, d, е}, то между ними можно установить
следующее отношение:
А а
• ►
F b
• ►
Н с
• ►
Р d
•-----------
V е
•-----------
Каждому элементу первого множества должен соответствовать один и только
один элемент второго множества, и наоборот. Это единственное правило, которо-
му должны подчиняться биективные, то есть взаимно однозначные отображения.
На рисунке ниже мы также видим соответствия:
Однако они не удовлетворяют этому правилу.
Таким образом, Кантор определил простейшее понятие подсчета, а также ввел
понятие кардинальности множества.
Если мы рассмотрим множества, между которыми можно установить биектив-
ное отображение, то увидим, что число элементов в этих множествах одинаково.
Но если одно множество состоит из четырех элементов, а другое — из трех, между
ними нельзя установить биективное отображение: какой-либо элемент остается без
пары или какому-либо элементу будет сопоставлено сразу несколько элементов.
98
РАЙ КАНТОРА
Кантор определил эквивалентность множеств следующим образом: «Карди-
нальность двух множеств одинакова, если между ними можно установить биектив-
ное (взаимно однозначное) отображение». О множествах с одинаковой кардиналь-
ностью говорят, что они являются равномощными, то есть имеют одинаковое число
элементов.
Таким образом, если дано произвольное множество, например коробка цветных
карандашей, которое мы обозначим А, и можно установить взаимно однозначное
соответствие между множеством?! и множеством N — {1, 2, 3, 4, 5, 6}, то говорят,
что кардинальность А и N одинакова:
И1 = |w| = 6.
Может показаться, что мы усложняем очевидное, но это впечатление обманчиво:
новый логический аппарат позволил дать четкое определение бесконечному множе-
ству.
Для этого сначала определим, что такое конечное множество. Непустое мно-
жество А (иными словами, содержащее как минимум один элемент) является ко-
нечным, если для некоторого числа п множество А имеет ту же кардинальность,
что и множество {1, 2, 3, ..., п}. Следовательно, п будет числом элементов множе-
ства?!. В противном случае говорят, что множество?! бесконечное.
Аналогично: множество ?! бесконечно, если существует собственное подмноже-
ство В множества А, имеющее ту же кардинальность, что и само А. В противном
случае множество ?! является конечным.
На последнем определении стоит остановиться подробнее ввиду его чрезвычай-
ной важности. Во-первых, следует пояснить, что понимается под собственным под-
множеством. Это очень просто: если дано произвольное множество А, например
{а, Ь, с, d}, его собственным подмножеством будет любое подмножество, которое
можно составить из элементов А, при этом нельзя использовать их все. Примерами
собственных подмножеств ?! будут:
{а} {а, Ь} {а, Ь, с} {а, с, d} {d} {b, с, d}.
В соответствии с вышесказанным кажется логичным, что между множеством
и его собственным подмножеством нельзя установить взаимно однозначное соот-
ветствие: собственное подмножество всегда будет содержать меньше элементов, чем
само множество.
Но существуют примеры, когда это не так. Рассмотрим N — множество всех
натуральных чисел и его собственное подмножество Р, образованное всеми четными
99
РАЙ КАНТОРА
числами. Очевидно, что между обоими множествами можно установить взаимно
однозначное соответствие: для этого каждому натуральному числу п нужно поста-
вить в соответствие это же число, умноженное на 2.
п —> 2п
В соответствии с этим
1 —> 2
2—>4
3->6
Иными словами, каждому натуральному числу соответствует четное число и, на-
против, каждому четному числу соответствует натуральное число. Это означает, что
кардинальность этих множеств одинакова, и утверждение «существует столько же
натуральных чисел, сколько четных» вовсе не парадокс, хотя оно явно противоре-
чит интуиции. Таким образом, альтернативное определение бесконечного множе-
ства звучит так: множество является бесконечным, если между этим множеством
и какой-либо из его частей (каким-либо его собственным подмножеством) можно
установить взаимно однозначное соответствие.
В этом случае парадокс, сформулированный Галилеем (см. главу 3), — это уже
не парадокс, а констатация факта: множество натуральных чисел является беско-
нечным.
Путем аналогичных рассуждений можно доказать, что множество натуральных
чисел N и множество целых чисел Z имеют одинаковую кардинальность. Чтобы
подтвердить это, достаточно установить взаимно однозначное соответствие между
ними, сопоставив всем положительным числам четные, а всем отрицательным —
нечетные. Таким образом, существует столько же целых чисел, сколько натураль-
ных.
Счетные множества
Кантор также сформулировал очень важное понятие счетного множества. По опре-
делению, множество А называется счетным, если можно установить взаимно одно-
значное соответствие между А и подмножеством N. В основе этого определения
лежит очень простая идея, которую мы часто используем в повседневной жизни.
100
РАЙ КАНТОРА
Когда мы заявляем, что места в зале кинотеатра пронумерованы, мы говорим о вза-
имно однозначном соответствии между подмножеством натуральных чисел и мно-
жеством кресел и сопоставляем каждому креслу число.
Мы уже показали, что множество целых чисел является счетным. Далее Кантор
получил поистине удивительный результат: множество рациональных чисел Q так-
же является счетным. Он доказал, что существует столько же рациональных чисел,
сколько и натуральных. Чтобы установить соответствие между натуральными и ра-
циональными числами, Кантор использовал настолько простую схему, что остается
только удивляться, почему никто не сделал этого раньше. Возможно, причина в том,
что никто не считал это возможным, так как это противоречит элементарной инту-
иции.
Схема, придуманная Кантором, такова. Нужно построить таблицу рациональ-
ных чисел (напомним, что речь идет о дробях) следующим образом: в первой строке
записываются дроби, числитель которых равен 1, во второй — дроби, числитель
которых равен 2, в третьей — 3 и т. д. Вычеркнем из каждой строки повторяющи-
еся дроби. Например, Т/Т — это то же самое, что 1/1 или 3/3, 2/4 — то же, что
и и т.д. Построив таблицу, обойдем все числа в порядке, указанном стрелками,
начиная с 1/1. Мы обойдем все рациональные числа ровно один раз. Таким образом,
взаимно однозначное соответствие между натуральными и рациональными числами
устанавливается следующим образом:
101
РАЙ КАНТОРА
1 1/1
2 1/2
3 2/1
4 3/1
5-» 1/3
Самое удивительное в том, что мы установили взаимно однозначное соответ-
ствие между двумя множествами, одно из которых является дискретным (множе-
ство натуральных чисел), а другое — плотным (множество рациональных чисел).
Здесь бесконечность начинает понемногу приподнимать завесу тайны над своими
удивительными загадками. Интуиция подсказывает, что счетными могут быть толь-
ко дискретные множества, и тот факт, что плотное множество Q также является
счетным, был поистине удивительным. Мы подсознательно ассоциируем счетность
МЫСЛИТЬ - ЭТО БОЛЬШЕ, ЧЕМ ГОВОРИТЬ
Согласно теории множеств Кантора, множество всех возможных слов, как произнесенных, так
и записанных на бумаге, является счетным. Если учитывать, что множество знаков (букв, сим-
волов и т.д.) в языке конечно, то очевидно, что на его основе можно сформировать счетное
множество. Другое дело - множество вещей, о которых мы можем подумать. Оно, очевидно,
не является счетным. Мы можем представить, например, множество окружностей на плоско-
сти, имеющее мощность континуум. Таким образом, все, что мы можем сказать, поддается
упорядочению, а все, о чем мы можем подумать, не поддается или поддается лишь частично.
Следовательно, можно упорядочить лишь часть наших мыслей, а большинство из них принад-
лежит к миру хаоса.
abcdefghijklm
nopqrstuvwxyz
Буквы алфавита образуют ограниченное
и, следовательно, счетное множество.
102
РАЙ КАНТОРА
с возможностью найти следующий элемент для данного, что невозможно в плотном
множестве. Если мы рассмотрим предыдущую таблицу, то увидим, что 1/1 является
первым числом, а следующим будет 1/2. Однако множество дробных чисел являет-
ся плотным, поэтому между 1/1 и 1/2 находится бесконечное множество чисел. Так,
нам известно, что 1/4 находится между 1 и 1/2, а в нашем перечне это число зани-
мает шестое место.
По этой причине с открытым Кантором понятием счетности оказалось тесно свя-
зано понятие непрерывности. Неизбежно возник вопрос: если расширить множество
рациональных чисел иррациональными, будет ли полученное множество счетным?
Иными словами, можно ли говорить, что М — счетное множество?
Нет, это не так, и Кантор это доказал с помощью метода, схожего с тем, который
он использовал при доказательстве счетности множества Q, но намного более слож-
ного. Также, используя метод доведения до абсурда, он показал, что множество
(0,1) всех вещественных чисел, заключенных между 0 и 1, не является счетным,
следовательно, М также не может быть счетным. Таким образом Кантор создал
серьезный прецедент, сыгравший определяющую роль в математике XX века. До-
статочно сказать, что этот прецедент стал частью доказательства знаменитой теоре-
мы Гёделя о неполноте.
Больше чем бесконечность
Ты всем известен, но никем не охвачен, ибо умеренное кажется
большим, большое — бесконечным и еще раз бесконечным.
«Герой». Бальтазар Грасиан (1601—1658)
Кантор знал, что ни вещественная прямая, ни какой-либо из ее отрезков не являют-
ся счетными. Далее он совершил гигантский шаг и встретился с бесконечностью ли-
цом к лицу.
Напомним, что для того чтобы получить множество вещественных чисел, необхо-
димо добавить к множеству рациональных чисел множество иррациональных чисел,
которые нельзя представить в виде частного двух целых. Множество вещественных
чисел также является бесконечным и плотным. Однако оно не является счетным,
в отличие от двух предыдущих, то есть этому множеству никоим образом нельзя
поставить в соответствие ряд натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, ...
Поэтому Кантор сформулировал следующую задачу: имеются бесконечные мно-
жества, в каждом из которых число элементов одинаково, например множества на-
103
РАЙ КАНТОРА
туральных, четных или рациональных чисел. Однако в этом случае появляется новое
множество вещественных чисел, которое также является бесконечным, но в нем
больше элементов, чем в этих трех множествах. Здесь Кантор вводит одну из самых
революционных идей за всю историю математики: возможно, не все бесконечности
одинаковы, а некоторые из них больше, чем другие? В качестве отправной точки он
использовал бесконечное множество натуральных чисел. Затем он доказал, что
множество вещественных чисел R не является счетным и содержит больше элемен-
тов, чем N, то есть больше, чем множества натуральных и рациональных чисел.
Кардинальное число множества R он обозначил как алеф-один — Так родился
раздел математики, посвященный трансфинитным числам.
ПРОВИДЕЦ ИЗ IX ВЕКА
Сабит ибн Курра (ок. 836-901) был авторитетным араб-
ским ученым, жившим в IX веке. Известно, что он родился
в Харране, в Междуречье. Помимо большого числа тек-
стов по богословию и философии, он создал любопытный
математический трактат, посвященный, главным обра-
зом, арифметике. В нем ибн Курра, продемонстрировав
невиданную для своего времени смелость, рассматривает
возможность существования различных видов бесконеч-
ности в том смысле, что некоторые ее виды могут быть
больше других. Таким образом, ибн Курру можно считать
подлинным предшественником Кантора.
Кантор знал, что К1 — число точек, содержащихся на любом отрезке прямой.
Это означает, что вне зависимости от размера двух отрезков прямой число точек
на них будет одинаковым. Может показаться удивительным, но очень простое до-
казательство этого утверждения было известно еще древним грекам.
Даны два отрезка, а и Ь. Чтобы установить взаимно однозначное соответствие
между их точками, достаточно выполнить следующее построение. Соединим концы
отрезков прямыми с и d, которые пересекутся в точке Е.
104
РАЙ КАНТОРА
Выберем произвольную точку F отрезка а и соединим отрезком эту точку с точ-
кой Е — точкой пересечения прямых с и d. Точка G, в которой эта прямая пересечет
отрезок Ь, и будет искомым отображением точки F. Очевидно, что таким образом
можно сопоставить каждой точке отрезка а точку отрезка b и наоборот. Это дока-
зывает, что число точек на обоих отрезках одинаково.
Затем Кантор выполнил смертельный номер: взяв за основу один из этих отрез-
ков, он построил квадрат
и смог доказать, что кардинальное число множества всех точек квадрата равно Kt,
то есть число точек квадрата равно числу точек на любой его стороне. Затем он сде-
лал еще один шаг и, использовав этот квадрат в качестве основания, построил куб:
105
РАЙ КАНТОРА
И вновь доказал, что число точек, содержащихся в кубе, также равно
«Я вижу это, но я в это не верю», — писал Кантор Дедекинду в 1877 году, пы-
таясь объяснить эти взаимно однозначные соответствия между фигурами, имеющи-
ми разное число измерений. Кантор доказал положение, противоречащее любым
интуитивным и математическим представлениям о размерности: все одномерные,
двумерные и трехмерные объекты, с которыми он работал, содержали одно и то же
число точек, равное
Это было невероятно, и этот результат означал, что на любом, сколь угодно ма-
лом, отрезке содержится столько же точек, сколько во всей известной Вселенной.
Внутри бесконечно малого оказалось заключено нечто бесконечно большое.
В действительности дело этим не ограничивается: Х1 также равно числу точек
в произвольном гиперпространстве. Иными словами, если бы мы могли проникать
в пространства высших измерений (четырех-, пятимерные пространства и т. д.),
Kt означало бы число точек, содержащихся в этих пространствах.
Трансцендентные числа
Вы увидели, что множества N (натуральных чисел), Z (целых чисел) и Q (рацио-
нальных чисел) содержат одинаковое число элементов (то есть являются равномощ-
ными) — бесконечное число, обозначенное Кантором как S'{). Множество веще-
ственных чисел получается, если расширить множество рациональных чисел ирра-
циональными. Возникает вопрос: существует ли столько иррациональных чисел,
чтобы общее количество вещественных чисел равнялось Kt? Ответ на этот вопрос
достаточно любопытен и не лишен таинственности. Однако чтобы понять его, сна-
чала следует узнать о так называемых трансцендентных числах.
106
РАЙ КАНТОРА
Уравнение одной переменной х степени п с рациональными коэффициентами —
это равенство вида
С хп + С . л"1 + ... + С. х + С„ — 0.
п п-1 1 U
Тому, кто не знаком с подобными выражениями, оно может показаться слож-
ным, но это не так. В этом контексте уравнение — не более чем равенство, в ле-
вой части которого записаны слагаемые с неизвестным х, возведенным в некоторую
степень и умноженным на некие числа (коэффициенты), а в правой части записан
ноль. Решить уравнение означает найти такое значение х, при котором уравнение
обращается в верное равенство. Например, в уравнении
х —2 = 0
коэффициенты равны 1 и —2, а решением является х = 2.
Иррациональное число, например х/ПГ, является результатом решения уравнения
вида
х2 - 2 = 0.
По определению, число х является алгебраическим, если оно выступает кор-
нем (решением) алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Проясним
некоторые понятия, чтобы сделать это определение более понятным. Алгебраиче-
ское уравнение представляет собой многочлен, приравненный к нулю, например
Зх2 + 5х - 1 = 0,
где 3, 5 и —1 — коэффициенты. Выражение
л/Зх5 — 5х2 = О
также является уравнением, но его первый коэффициент не является целым числом,
следовательно, это уравнение нельзя назвать алгебраическим.
Число 3 является алгебраическим, так как оно выступает решением уравнения
X - 3 = 0.
107
РАЙ КАНТОРА
Очевидно, что любое рациональное число является алгебраическим, так как всег-
да можно записать алгебраическое уравнение, решением которого будет это число.
Как мы уже показали, является решением уравнения х1—2 = 0, и, следователь-
но, это также алгебраическое число.
Если число не является алгебраическим, его называют трансцендентным. Этот
термин, введенный Эйлером, происходит от латинского transcendere — «превос-
ходить» и означает, что вычисление таких чисел в некотором роде выходит за рам-
ки привычных математических операций. Доказать трансцендентность числа порой
очень и очень непросто. Французский математик Жозеф Лиувилль (1809—1882)
доказал существование трансцендентных чисел и открыл метод, позволяющий полу-
чить некоторые из них. Первым числом, которое удостоилось чести быть помещен-
ным в список трансцендентных, стало L (число Лиувилля), определение которого
слишком сложно, чтобы приводить его здесь. Записывается оно следующим об-
разом:
L = 0,1100010000000000000000010000...
В 1873 году французский математик Шарль Эрмит (1822—1901), ученик Лиу-
вилля, доказал, что е (основание натурального логарифма, приближенное значение
которого равно 2,718281828459045235360287471352...) не является алгебраиче-
ским числом. Получить это доказательство было непросто — оно не далось самому
Эйлеру.
Одно из самых известных чисел в истории математики — это число П («пи»),
равное отношению длины окружности к ее диаметру. Доказательство трансцендент-
ности е оказалось столь сложным, что Эрмит не решился взяться за аналогичное
доказательство для числа 71, о чем написал Карлу Вильгельму Борхардту (1817—
1880): «Я не осмелился приступить к доказательству трансцендентности числа П.
Если кто-то другой попытается это сделать, не будет человека счастливее меня,
но поверьте мне, любезный друг, что это доказательство потребует немалых уси-
лий».
Трансцендентность числа И была доказана Линдеманом лишь несколько лет спу-
стя, в 1882 году. Это открытие стало важной вехой в истории математики, так как
означало невозможность решения задачи о квадратуре круга.
Сегодня доказано, что трансцендентными являются числа е, 71, еп, 2^, sin(l), 1п2,
1пЗ/1п2 и некоторые другие, однако до сих пор остается открытым вопрос о транс-
108
РАЙ КАНТОРА
Шарль Эрмит на фотографии 1887 года.
Этот французский математик доказал, что число е не является алгебраическим.
цендентности таких чисел, как ее, 71п и 7ГС. Известно, например, что по меньшей мере
одно из двух чисел (возможно, оба сразу) Я и 7t+e является трансцендентным,
но доказать трансцендентность каждого их них по отдельности до сих пор не уда-
лось. Трансцендентные числа — редкие создания, обнаружить их непросто. Это
наводит на мысль о том, что таких чисел немного, но в действительности это совер-
шенно не так: их много, очень много, бесконечно много и даже больше.
Бесконечное множество вещественных чисел содержит рациональные числа, ко-
торые являются алгебраическими, и иррациональные числа, часть которых является
трансцендентными. Однако трансцендентных чисел больше, чем алгебраических.
Кантор, обнаружив подлинную гениальность (полученные результаты изумили
его самого), сформулировал простое доказательство того, что существует бесконеч-
но много трансцендентных чисел. С одной стороны, известно, что множество веще-
ственных чисел не является счетным. С другой стороны, множество алгебраических
109
РАЙ КАНТОРА
чисел является счетным. Из этих двух утверждений следует, что существуют числа,
которые не являются алгебраическими. Более того, Кантор доказал, что множество
этих чисел не является счетным.
Вывод: множество вещественных чисел так велико именно благодаря трансцен-
дентным числам.
Трансфинитные числа
Арифметика трансфинитных чисел отличается
от арифметики конечных чисел.
Георг Кантор
Как мы показали в предыдущем разделе, если дано множество А = {a, b, с, d},
можно образовать ряд его подмножеств
{а}, {Ь}, {с}, {</}, {а, Ь}, {а, с}, {a, d}, {b, с}, {b, d}, {с, d}, {а, Ь, с}, {а, b, d}, {а, с, d},
{b, с, d},
которые будут так называемыми собственными подмножествами А. Кроме них,
подмножествами А также являются само множество А и пустое множество, обозна-
чаемое символом 0 и не содержащее никаких элементов. Считается, что пустое
множество является подмножеством любого множества, и эти два множества (ис-
ходное и пустое) считаются несобственными подмножествами. Добавив к вышепри-
веденному списку собственных подмножеств эти два множества, мы получим пол-
ный перечень всех подмножеств А:
{0}, {а}, {Ь}, {с}, {</}, {а, Ь}, {а, с}, {а, d}, {b, с}, {b, d}, {с, d}, {а, Ь, с}, {а, b, d},
{а, с, d}, {b, с, d}, {a, b, с, d}, —
итого 16 подмножеств.
Заметим, что 24 = 16, таким образом, число подмножеств А равно 2 в степени,
равной числу элементов А. Нетрудно доказать, что это соотношение справедливо
для всех множеств. Таким образом, для любого множества, содержащего п элемен-
тов, число его подмножеств будет равно 2П.
110
РАЙ КАНТОРА
Множество, образованное всеми подмножествами А, называется множеством-
степенью А и обозначается £?(/!). Кантор доказал, что для любого множества его
множество-степень больше, чем само множество, то есть оно содержит больше эле-
ментов, или, если быть математически корректными, его кардинальное число боль-
ше, чем у исходного множества. Будем обозначать кардинальное число А как |>1|.
Изложенный выше результат можно записать так:
И1<1рИ)1-
Ученому принадлежит доказательство нескольких теорем, но когда речь идет
о теореме Кантора, обычно имеют в виду именно этот результат, который можно
записать в виде
|Л|< 2И
Теорема Кантора позволяет упорядочивать бесконечности. Кантор считал, что
«самая маленькая» бесконечность соответствует кардинальному числу множе-
ства N — множества натуральных чисел. Это кардинальное число он обозначил N().
Таким образом, имеем
Н = Ко.
По теореме Кантора получим:
N<|p(K(,)|< |И£>(к0))1<-
Последовательность кардинальных чисел, фигурирующую в этом неравенстве,
Кантор назвал числами алеф, присвоив каждому из них порядковый номер: алеф-
ноль, алеф-один и т. д. Они записываются буквой еврейского алфавита алеф с ин-
дексом:
^0* ^1» •••
Это так называемые трансфинитные числа.
111
РАЙ КАНТОРА
ПОЧТИ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
За рамки нашей конечной природы выходят не только бесконечные или трансфинитные числа.
Напоимер, число
.„IO10
ШЮ10
10’0,о,°
которое может быть результатом неких математических расчетов, невероятно велико. Процес-
сор компьютера, выполнив необходимые инструкции, может получить это число за разумное
количество шагов. Это возможно потому, что и язык математики, и языки программирования
предоставляют все необходимые для этих вычислений инструменты. Но если бы нам потребо-
валось записать все цифры этого числа на бумаге, мы не смогли бы этого сделать: для такой
записи требуется лист бумаги, число частиц в котором превышает число частиц во всей Вселен-
ной. Кроме того, для записи этого числа потребовалось бы время, значительно превышающее
возраст Вселенной.
В упорядоченной последовательности трансфинитных чисел содержится любое
число, которое может существовать, в том числе такое, которое мы даже не можем
себе представить. Если до Кантора считалось, что ничто не может быть больше
бесконечности, то благодаря его открытиям мы можем с уверенностью утверждать,
что всегда существует другая бесконечность, которая будет больше данной. Кантор
превзошел самого Создателя: сколь большое число ни создал бы Бог, всегда будет
существовать другое, большее число. И этот научный результат противоречил рели-
гиозным взглядам самого Кантора.
Континуум-гипотеза
Пока что мы говорили о кардинальности применительно к множеству. Мы увидели,
что понятие кардинальности обозначает число элементов множества, а также что
каждому элементу конечных множеств можно последовательно присвоить нату-
ральное число. С другой стороны, когда речь идет о множествах с бесконечным чис-
лом элементов, пронумеровать их составляющие можно с помощью взаимно одно-
значного соответствия, при котором каждому элементу множества ставится в соот-
ветствие натуральное число. Множества, для которых возможно установить такое
соответствие, называются счетными. Однако мы также увидели, что существуют
множества, которые не являются счетными, и чтобы как-то обозначить количество
112
РАЙ КАНТОРА
их элементов, нам пришлось обратиться к понятию кардинальности. Таким образом,
кардинальность множества — это не совсем число, а скорее понятие, связанное
с числовой величиной. По сути, на этом понятии основан удивительный трюк, по-
зволяющий узнать, насколько велико множество. Заключается он в сравнении мно-
жеств по определенным правилам, которые позволяют однозначно сказать, когда
множества одинаково велики, а когда — нет. При этом не имеет значения, о конеч-
ных или бесконечных множествах идет речь.
СВОБОДА МАТЕМАТИКИ
Можно сказать, что в настоящее время мечта Кантора о свободной математике полностью сбы-
лась. По меньшей мере, никто и ничто (в так называемых цивилизованных странах) не С1авит
палки в колеса авторам математических теорий по философским или религиозным причинам.
Сегодня в математике используются так называемые «большие кардиналы», которые столь вели-
ки, что рядом с ними трансфинитные числа Кантора кажутся карликами. Их определение очень
сложно, хотя они строятся по правилам, схожим с теми, что применяются к алеф-числам: рас-
сматривается последовательность множеств, включенных одно в другое, затем анализируются
соответствующие множества их частей.
Кантор назвал алеф-нулем кардинальное число множества натуральных чисел
|N| = К а кардинальное число множества вещественных чисел R он обозначил тер-
мином «континуум» и символом с. Сделал он так потому, что вещественные числа
полностью заполняют вещественную прямую, а так как эта прямая представляет
собой непрерывную последовательность чисел (в ней отсутствуют промежутки),
ее можно обозначить словом «континуум» (от лат. continuum — «непрерывное»).
В соответствии с этим
|R| = c = 2\
Однако числа алеф образуют возрастающую последовательность
К0<К,<К2<...
Здесь Кантор сформулировал следующий вопрос: существует ли такой карди-
нал, который заключен между кардинальным числом множества натуральных чисел
и континуумом? Каким-то образом ему удалось понять, что выполняется равенство
2К« = Кг
из
РАЙ КАНТОРА
Иными словами, не существует множества, размер которого заключен между
размером множества натуральных и вещественных чисел, — эта гипотеза называ-
ется континуум-гипотезой. Чтобы доказать ее, Кантору потребовалось приложить
невероятные усилия. Не раз он считал, что континуум-гипотеза доказана, но ему так
и не удалось сформулировать доказательство, которое его полностью устраивало бы.
Континуум-гипотезу безуспешно пытались доказать многие современники Кан-
тора, в том числе Гильберт, Рассел и Цермело. Венгерский математик Денеш Кёниг
(1849—1913) на конгрессе в Гейдельберге в 1904 году представил доказательство
ложности континуум-гипотезы. Но Кантор верил своей интуиции и считал, что
доказательство Кёнига не может быть истинным, хотя так и не смог найти в нем
ошибку. Обнаружил ее Цермело, таким образом, вопрос доказательства континуум-
гипотезы оставался открытым, и Гильберт включил его в свой знаменитый список
из 23 наиболее важных нерешенных задач математики.
В 1963 году американский математик Пол Джозеф Коэн (1934—2007), осно-
вываясь на результатах о непротиворечивости аксиом, полученных Гёделем, дока-
зал, что континуум-гипотеза может быть истинной или ложной в зависимости от
доказал, что континуум-гипотеза недоказуема в системе
аксиом теории множеств, решив тем самым одну
из важнейших открытых задач математики.
114
РАЙ КАНТОРА
выбранной системы аксиом, использованной для построения теории множеств. Та-
ким образом, сложилась та же ситуация, что и со знаменитым пятым постулатом Ев-
клида о параллельности прямых («в плоскости через точку, не лежащую на данной
прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной»): в за-
висимости от выбранной геометрии этот постулат либо выполняется (в геометрии
Евклида), либо нет (в геометрии Лобачевского).
Несмотря на это некоторые до сих пор считают, что вопрос о доказательстве
континуум-гипотезы окончательно не решен, так как ситуацию может изменить но-
вая система аксиом, на которой будет выстроена теория множеств. Более того, пока
не появится новая система аксиом, мы не можем гарантировать, что ясно представ-
ляем себе, что такое вещественное число.
115
Глава 6
Ад Кантор
Когда люди открывают новые земли, которые предстоит нанести на карты и описать
в книгах, они платят за это свою цену, ведь ничего не дается даром. Некоторые бла-
годаря своим открытиям обретают славу и известность, а другие умирают в абсо-
лютном забвении, так и не узнав, какую важную роль они сыграли.
Детство
Георг Кантор родился в Санкт-Петербурге 3 марта 1845 года. Его отец, Георг-
Вольдемар Кантор, датчанин по происхождению, переехал в Санкт-Петербург еще
ребенком. Во взрослые годы он основал процветающее предприятие по торговле им-
портными тканями. Несколько лет спустя он оставил дело и стал биржевым макле-
ром. Георг-Вольдемар Кантор, глубоко религиозный человек, заработал значитель-
ное состояние благодаря терпению, знаниям и самоотречению. Эти же качества он
прививал детям, которых воспитывал в духе лютеранской морали. Его женой стала
Марианна Бойм, католичка русского происхождения, дочь дирижера в оркестре
Санкт-Петербургской оперы. Георг-Вольдемар Кантор также происходил из семьи
с крепкими музыкальными традициями, поэтому неудивительно, что они с женой
отводили важное место обучению детей музыке.
Георг Кантор был старшим из четырех детей. В ранние годы он обучался на дому,
а в 1856 году поступил в начальную школу в Санкт-Петербурге. Детство в России
он всегда называл самым счастливым периодом в жизни.
В 1856 году, после перенесенного воспаления легких, отец Кантора был вынуж-
ден оставить Россию с ее суровым климатом и переехать с семьей в Германию.
Ненадолго остановившись в Висбадене, семья в итоге обосновалась во Франкфур-
те. В 1860 году Георг окончил реальное училище в Дармштадте — небольшом го-
117
АД КАНТОРА
Георг Кантор, создатель теории множеств,
считается одним из наиболее выдающихся математиков в истории.
родке близ Франкфурта. В это время он уже проявлял исключительные способности
к математике, особенно к тригонометрии. Однако его отец не представлял, какую
работу в будущем сможет найти математик, поэтому предложил сыну изучить инже-
нерное дело. Кантор, как всегда, последовал совету отца и в 15 лет поступил в учи-
лище в Висбадене.
Отец часто писал Кантору, стремясь воспитать в сыне моральную твердость, ос-
нованную на религиозных принципах. Среди переписки очень выделяется письмо
от 25 мая 1862 года, в котором он, помимо прочего, пишет:
«[...] Часто наиболее многообещающие личности сдаются, столкнувшись
с незначительными трудностями, возникающими при решении практических
вопросов. Они оказываются абсолютно сломленными и в лучшем случае пере-
живают серьезное потрясение... Поверь мне, дорогой сын: твоим самым
близким, верным и опытным другом, который должен жить в тебе и укре-
плять твое сердце, должен быть дух истинной веры... Чтобы предупредить
118
АД КАНТОРА
все возможные проблемы и трудности, которые неизбежно возникнут по при-
чине зависти и злословия тайных и явных недоброжелателей, вызванных
стремлением к успеху в нашем деле или торговле, чтобы успешно справиться
с ними, тебе прежде всего потребуется обрести как можно больше знаний
и умений... Закончу письмо такими словами: твой отец, вернее твои родители
и все остальные члены нашей семьи и в Германии, и в России, и в Дании смо-
трят на тебя как на старшего сына и ожидают, что твоя звезда ярко засияет
на небосводе науки. Да дарует тебе Господь здоровья, сил, твердости харак-
тера и да пребудет с тобой его благословение. Неизменно следуй Его путем.
Аминь!»
В этом письме Георг-Вольдемар Кантор во многом предугадал дальнейший жиз-
ненный путь сына. Вне сомнений, он был достаточно умным человеком и понимал,
что его увлеченный математикой сын отличается беспокойной и творческой натурой.
Отец хотел подготовить юношу к возможным трудностям, с которыми тому пред-
стояло столкнуться. И в том же году он разрешает сыну начать заниматься матема-
тикой. В ответ будущий ученый с благодарностью пишет:
«Дорогой отец, представьте себе, с каким удовольствием я прочел ваше пись-
мо. Оно определило мое будущее... Теперь я счастлив, поскольку вижу, что
вам придется по душе, если я последую своему желанию. Ожидаю, что вы,
дорогой отец, найдете удовольствие в моем поведении, так как моя душа и все
мое существо живет в моем призвании. То, что хочет совершить человек
и к чему его толкает его внутреннее стремление, обязательно исполнится».
Кантор, как и всякий юноша, которому семейство разрешило заниматься люби-
мым делом, чувствовал по отношению к родным глубокую благодарность. Некото-
рые биографы сходятся на том, что безоговорочное подчинение Кантора отцу стало
одной из важнейших причин, по которой ученый всегда очень неуверенно чувство-
вал себя в университетских кругах.
В 1862 году он начал изучать математику, философию и физику в университете
Цюриха, однако его обучение было недолгим: после смерти отца в июне 1863 года
119
АД КАНТОРА
Кантор перевелся в Берлинский университет. Интересно, что после этого он ни разу
не упоминал об отце.
До начала XIX века центром математики была Франция, однако в годы юно-
шества Кантора она уступила место Германии. Учителями Кантора были Кронекер,
Куммер и Вейерштрасс. Кронекер, обучивший его азам теории чисел, впоследствии
стал и самым суровым критиком идей ученого, но наибольшее влияние на Кантора
оказал Вейерштрасс.
Большинство работ Кантора, изданных в тот период, были посвящены арифме-
тике и алгебре. Летом 1866 года ученый вошел в математические круги Гёттинген-
ского университета — одного из престижнейших центров математики в Европе.
По возвращении в Берлин Кантор стал членом группы молодых математиков, кото-
рые каждую неделю собирались в баре, чтобы поговорить о своей работе в нефор-
мальной обстановке. В 1867 году Кантор защитил докторскую диссертацию, в ко-
торой подробно проанализировал е Арифметические исследования» Гаусса.
Во введении к его работе содержится фраза, выражающая неспокойный дух чело-
века, который в будущем стал одним из самых заметных математиков в истории
науки: «В математике искусство ставить задачи намного важнее, чем искусство
решать их».
Защита докторской диссертации позволила Кантору занять должность приват-
доцента в университете Галле. Жалование ученого напрямую зависело от числа сту-
дентов, посещавших его занятия, но Галле был небольшим городом близ Лейпцига,
и университет здесь был гораздо менее престижным, чем Берлинский или Гёттин-
генский. Кантор понимал это, но никогда не пытался покинуть Галле и проработал
там до конца жизни.
В 1873 году ученый впервые предположил возможность существования разных
видов бесконечности. Он чувствовал, что между множеством натуральных чисел
и множеством вещественных чисел могут существовать не только качественные,
но и количественные различия. Качественные различия были ясны: множество на-
туральных чисел является счетным, а множество вещественных чисел — нет. Если
бы кто-то смог доказать, что бесконечное множество вещественных чисел больше,
чем бесконечное множество натуральных, это стало бы настоящим потрясением для
математики в целом. Первое доказательство, сформулированное Кантором, было
опубликовано в 1874 году в журнале Крелле. Следует учитывать, что в то время
о множествах нельзя было говорить так свободно, как мы это делаем сейчас. Первая
120
АД КАНТОРА
Университет Галле, в котором Кантор преподавал начиная с 1872 года.
Ученый прожил в этом маленьком немецком городе до самой смерти.
работа Кантора на эту тему вышла в 1878 году под названием «Вклад в теорию мно-
жеств» и также была опубликована в журнале Крелле. Статья содержала абсолют-
но неожиданные результаты, касавшиеся алгебраических чисел. В ней шли первые
наброски идей о трансфинитных числах, и эта работа ознаменовала начало нового
этапа в математике. Однако прежде чем идеи Кантора получили признание в науч-
ных кругах и он смог занять должность, позволявшую продолжить работу, ему при-
шлось преодолеть тернистый путь: некоторые математики, в том числе его бывший
преподаватель Кронекер, активно выступили против Кантора и препятствовали его
карьере, что было для ученого очень серьезным потрясением.
Научные журналы
В 1826 году Август Леопольд Крелле (1780—1855) основал Journal fur die reine und
angewandte Mathematik («Журнал о чистой и прикладной математике»). Его назва-
121
АД КАНТОРА
ние указывало цель, к которой стремился основатель: восстановить единство мате-
матики, которая, в отличие от Средних веков или эпохи Возрождения, в то время
была четко разделена на два самостоятельных направления — чистую и приклад-
ную. Впрочем, математические журналы — лишь один из видов научных журналов.
Первый научный журнал в истории был основан под эгидой Лондонского коро-
левского общества и ознаменовал неизбежное: распространение научных публика-
ций и их характер отныне определяли научные общества. Если говорить о первых
изданиях, посвященных исключительно математике, в частности об «Анналах ма-
тематики» Жергонна или журнале Крелле, то следует отметить несколько интерес-
ных моментов. Во-первых, объем публиковавшихся в них работ был меньше, чем
в сборниках научных трудов. Во-вторых, в журналах не издавались старые тексты.
Обязательным условием публикации были новизна и оригинальность работы. Еще
одним интересным моментом стало то, что в этих журналах впервые стали выпу-
скаться совместные работы, а не труды, выполненные исключительно силами одного
ученого, как было до сих пор.
СИЦИЛИЙСКАЯ МАТЕМАТИКА
Джованни Баттиста Гуччиа.
Любопытно, что одно из первых математических со-
обществ появилось в городе Палермо, и центром его
стал журнал Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo,
основанный итальянским математиком Джованни
Баттистой Гуччиа (1855-1914). Обосновывая автори-
тетность нового математического общества, Гуччиа
отмечал, что оно появилось в стране с «выдающейся
математической родословной». Гуччиа также учредил
несколько премий, и это привело к тому, что свои ра-
боты в его журнал стали отправлять выдающиеся мате-
матики. За короткое время журнал неожиданно получил
международное признание, заняв одно из первых мест
в списках международных математических сообществ.
122
АД КАНТОРА
Основной целью математических сообществ был максимальный охват террито-
рии, регулярное издание математических журналов и предоставление необходимых
для их распространения средств. Однако время показало, что без поддержки офи-
циальных учреждений решить эти задачи невозможно. Научные сообщества неиз-
бежно попадали под определенное влияние общества и политических элит, так как
они стали частью культурной идентичности государств. С одной стороны, прави-
тельственная поддержка научных сообществ очень важна, с другой — междуна-
родное научное сотрудничество могло оказаться под угрозой по политическим при-
чинам. Кроме того, органы, контролирующие допуск работ в печать, могли быть
не так объективны, как этого хотелось ученым. Время показало, что математические
сообщества препятствуют публикации некоторых новаторских работ, которые нару-
шают установленные каноны, не всегда имеющие отношение непосредственно к на-
уке. Показательно, что две трети всех статей по математике, вышедших в 1900 году,
были опубликованы не в математических журналах.
Среди первых научных сообществ, которые начали появляться уже в сере-
дине XIX века, наиболее важными (в порядке появления) были Московское ма-
тематическое общество (1864), Лондонское математическое общество (1865),
Французское математическое общество (1872), математический кружок Палермо
(1884), Американское математическое общество (1888), Немецкое математиче-
ское общество (1890).
НЕОСМОТРИТЕЛЬНЫЙ МАТЕМАТИК
Научный журнал, созданный Генри Ольденбургом в 1665 году, издается до наших дней. Его
издание прерывалось только дважды: в первый раз - из-за эпидемии чумы в Лондоне, во вто-
рой раз - из-за болезни Ольденбурга, все свое время посвящавшего работе. Его энтузиазм
был так велик, что каждую неделю он писал для журнала пять колонок. Ольденбург считал, что
наука не знает границ, поэтому продолжал публиковать свои статьи даже во время войны.
Но в те времена это было очень неосмотрительно, и Ольденбург на три месяца был заключен
в Лондонский Тауэр.
123
АД КАНТОРА
Противоречивость бесконечности
Кронекер как-то сказал: «Бог создал первые десять чисел, все остальное создал
человек», выразив тем самым, сколь велика заслуга математики. По его мнению, все
в математике должно было строиться из известных, четко определенных элементов
и за конечное число этапов. Иными словами, Кронекер не хотел ничего слышать
об актуальной бесконечности. Как-то раз он заявил, что от бесконечности следует
отказаться как от «...пагубной бессмыслицы, унаследованной от древней филосо-
фии и запутанной теологии. Без нее мы можем достичь всего, чего захотим...»
Кронекер был явным последователем финитизма, а также операционизма, в ко-
тором не признаются никакие рассуждения, не подкрепленные четко определенны-
ми математическими операциями. Он заявил, очевидно, имея в виду труды Кантора,
что математике необходим контроль со стороны признанных ученых, так как «бо-
гатый практический опыт решения полезных и интересных задач даст математике
новый смысл и новый импульс. Однобокие и интроспективные умозрительные за-
ключения не дают плодов».
Следует учитывать, что Кронекер был одним из редакторов журнала Крелле,
поэтому неудивительно, что в 1877 году он отклонил все рукописи, переданные
Кантором для публикации в этом журнале. Расхождение во взглядах переросло
в личную неприязнь, и Кронекер публично назвал Кантора ренегатом, шарлатаном
и совратителем учащейся молодежи.
Не будем забывать, что Кантор был лучшим учеником Кронекера, естественно,
что он очень болезненно переживал подобное отношение учителя и получил глубо-
кую психологическую травму, от которой ему так и це удалось оправиться.
Дедекинд
Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд (1831—1916), который родился в Брауншвей-
ге и был четвертым ребенком в зажиточной семье, большую часть жизни посвятил
математическим исследованиям. Он был алгебраистом и стремился сформировать
фундаментальную основу анализа, для чего в качестве базы выбрал множества
и отображения множеств.
Вейерштрасс, Кантор и Дедекинд независимо друг от друга работали над опре-
делением вещественных чисел. Работы Кантора и Дедекинда стали классическими
124
АД КАНТОРА
На этой памятной марке, выпущенной в честь Дедекинда,
справа изображена формула разложения числа
на простые множители.
и вошли в учебники. Труды Кантора, в основе которых лежала теория множеств,
были наиболее близки Дедекинду, особенно потому, что оба они работали над боль-
шой темой непрерывности пространства, носившей больше философский, нежели
математический характер. И Кантор, и Дедекинд утверждали, что доказать непре-
рывность пространства абсолютно невозможно. Максимум, что можно сделать, —
это принять гипотезу о непрерывности пространства в качестве постулата.
В 1872 году, находясь на отдыхе в Швейцарии, Кантор познакомился с Деде-
киндом — одним из немногих математиков того времени, если не сказать един-
ственным, с которым он поддерживал близкие отношения, основанные на взаимном
доверии и уважении. Рождение теории множеств можно четко проследить, если оз-
накомиться с их перепиской в 1874—1884 годах. Любопытно, что в большинстве
наиболее важных статей Дедекинд почти не использует понятие «множество»: он
считал, что Кантор уже совершил наиболее важные открытия в этой области, по-
этому больше внимания уделял понятию отображения.
В 1881 году на кафедре математики Университета Галле освободилась должность
преподавателя, и Кантор предложил кандидатуру Дедекинда, написав в Министер-
ство образования письмо, в котором подчеркнул положительные качества своего
друга. Однако, несмотря на настойчивые просьбы Кантора, Дедекинд отказался
от этой должности — у него совершенно отсутствовали какие-либо амбиции и жела-
ние занять высокое место в научных кругах. В течение тридцати лет Дедекинд пре-
подавал в Карловском коллегиуме, где работали его отец и дед. К тому же чиновни-
ки министерства отдали должность преподавателю, рекомендованному Кронекером.
125
АД КАНТОРА
В результате отношения между Кантором и Дедекиндом остыли, и переписка между
ними прекратилась на семнадцать лет. Лишь в 1899 году по инициативе Кантора
ученые вновь начали общаться.
Миттаг-Леффлер
Магнус Гёста Миттаг-Леффлер
на фотографии 1916 года.
В то самое время, когда отношения между
Кантором и Дедекиндом прекратились,
на горизонте появилась новая личность, ко-
торой суждено было получить признание
в научном мире и поддержать Кантора
в один из тяжелейших периодов его жизни.
Этим человеком был Магнус Гёста Миттаг-
Леффлер (1846—1927) — математик
шведского происхождения, известный
не собственными открытиями, а прежде все-
го благодаря распространению трудов дру-
гих великих математиков. Брак с богатой
наследницей позволил ему найти необходи-
мые средства для учреждения в 1882 году
нового научного журнала Acta Mathematica,
который завоевал значительный авторитет
в международном научном сообществе. Кантор и Миттаг-Леффлер быстро нашли
общий язык, и последний перевел большинство статей, переданных ему Кантором.
Переводом трудов Кантора на французский и редактированием занялась группа ма-
тематиков во главе с Шарлем Эрмитом, который, как мы отмечали в главе 5, раз-
работал доказательство трансцендентности числа е, впоследствии улучшенное са-
мим Кантором. Публикации в Acta Mathematica сыграли большую роль в поддерж-
ке новой теории трансфинитных чисел, однако инцидент, связанный с публикацией
«Основ теории отношений порядка», свел все усилия Кантора на нет. Кантор
в то время безуспешно пытался найти доказательство континуум-гипотезы, но ему
не удавалось достичь сколько-нибудь значимых результатов. В упомянутой выше
работе был дан новый толчок теории множеств, что, как считал Кантор, должно
было упростить доказательство. Однако Миттаг-Леффлер отложил публикацию
126
АД КАНТОРА
статьи более чем на год, ссылаясь на то, что в ней не только отсутствовало доказа-
тельство континуум-гипотезы, но и она непременно вызвала бы негативную реак-
цию научного сообщества: в работе использовалось понятие трансфинитных чисел
и новый математический язык, а также содержались далекие от математики фило-
софские рассуждения. Кантор счел этот инцидент, по его словам, «настоящей ката-
строфой» и для математики, и для него лично. Он усмотрел в этом влияние «черной
руки» — так ученый называл группу берлинских математиков (в их числе были
Куммер, Вейерштрасс и Кронекер), отвергавших его теории. Как мы уже отмечали,
с Кронекером Кантор вел крайне ожесточенную полемику.
Эксцентричность Кантора
В марте 1874 года, во время одной из частых поездок в Берлин, Кантор познако-
мился с Валли Гуттман, подругой своей сестры Софи, и в августе того же года же-
нился на ней. Валли была увлекающейся натурой, она любила музыку, и Кантор
всегда относился к ней с величайшей нежностью. Тем не менее, осознавая свои сла-
бости, он еще до свадьбы предупредил невесту, что его «без явных на то причин...
могут сломить жизненные тяготы». Как бы то ни было, этот брак вполне можно
назвать счастливым. У Кантора родилось четыре сына и две дочери. Унаследовав
достаточную сумму, чтобы не беспокоиться о своем финансовом положении, ученый
решил построить дом в Галле. На тот момент он оставил должность в Университете
Галле и отказался от попыток получить работу в Берлинском университете.
К 1885 году Кантор устал от безрезультатных попыток доказать континуум-ги-
потезу. Он был глубоко разочарован тем, что представители математического сооб-
щества избегали его, и отодвинул занятия математикой на второй план. В 1889 году
ученый посвятил себя попыткам доказать, что произведения Шекспира (1564—
1616) в действительности написаны Фрэнсисом Бэконом (1561—1626), противо-
речивым английским философом и политиком, который попытался претворить
в жизнь важную научную реформу. В 1898 году Кантор даже прочел курс лекций
о жизни и творчестве Фрэнсиса Бэкона — ив том же году был исключен из Шек-
спировского общества. Исследователь собрал объемную библиотеку английских ав-
торов XVI-XVII веков, вложив в нее часть своего состояния, а также посвятил
несколько лет философии и написал несколько философских работ. Интересовала
127
АД КАНТОРА
его главным образом метафизика, особенно темы, имеющие отношение к актуальной
бесконечности.
16 декабря 1899 года Кантор вернулся из Лейпцига, где выступал на конферен-
ции с докладом о Фрэнсисе Бэконе, и узнал о смерти своего сына Рудольфа: 13-лет-
ний музыкально одаренный мальчик отличался слабым здоровьем. После смерти
сына Кантор неожиданно заявил, что сожалеет о том, что оставил музыку и занялся
математикой, и в результате эта «вздорная идея» помешала ему посвятить себя ис-
тинному призванию.
Безумие
О душевной болезни Кантора, от которой он страдал в последние годы жизни, на-
писано немало книг и высказано множество предположений. История болезни уче-
ного не сохранилась, поэтому сложно сказать, каким был настоящий диагноз. Все
указывает на то, что Кантор страдал от заболевания, которое сегодня именуют би-
полярным аффективным расстройством — болезнью эндогенного характера, при
которой фазы эйфории сменяются депрессией. Поэтому версия, согласно которой
причиной болезни Кантора стали нападки со стороны его коллег, в особенности
Кронекера, выглядит неубедительно.
В последние двадцать лет жизни исследователь периодически по собственному
желанию лечился в психиатрических клиниках. Это не мешало ему продолжать ра-
боту и в промежутках между лечением публиковать свои исследования. В последний
раз он был помещен в клинику в 1917 году. В то время Германия была близка к пора-
жению в Первой мировой войне, экономика страны пришла в упадок, и без того тя-
желые условия пребывания в психиатрических больницах еще больше ухудшились.
Это единственный раз, когда Кантор был помещен в больницу против своей воли.
В письмах он жаловался на холод, одиночество и скудное питание. Хотя к этому мо-
менту его теории уже получили широкое признание научного сообщества, 6 января
1918 года Кантор умер в ужасных условиях и в полном одиночестве.
128
АД КАНТОРА
ТРАГИЧЕСКАЯ ГИБЕЛЬ
Помимо смерти сына, большим потрясением для ученого стала гибель его младшего брата
Людвига. Братья были очень близки и вместе учились в начальной школе, правда с разными
успехами. Людвиг, не слишком склонный к обучению, решил заняться торговлей, в то время как
Георг поступил в университет. В 1863 году Людвиг эмигрировал в США, и информация об этом
периоде его жизни практически не сохранилась. Достоверно известно лишь то, что в 1870 году
он умер в психиатрической больнице, куда был помещен с жалобами на глубокую депрессию.
Было высказано немало предположений о том, что оба брата страдали от наследственного
психического заболевания.
Теории Кантора о бесконечности входят в число самых революционных теорий
в истории математики за последние 2500 лет, а многие историки науки считают тео-
рию множеств Кантора одним из наиболее выдающихся достижений человеческой
мысли.
Была ли болезнь Кантора наследственной или она возникла под влиянием обсто-
ятельств, не столь важно. Возможно, что свою роль в равной степени сыграли оба
фактора. Как бы то ни было, Кантор, подобно всем гениям, ясно видевшим то, что
для остальных имело лишь бесформенные очертания, страдал от одиночества. В од-
ной из своих философских статей, опубликованной в 1883 году, он написал слова,
которые можно в равной степени расценивать и как песнь свободе, и как крик от-
чаяния в адрес общества, задушенного собственным догматизмом:
«Математика в своем развитии совершенно свободна и связана только одним
условием: ее понятия должны быть непротиворечивы и согласованы с уже
имеющимися понятиями посредством четких определений. Сущность матема-
тики — свобода».
Кантор предпочитал использовать понятие «свободная математика» вместо бо-
лее общего «чистая математика».
Он умер в одиночестве в больнице, но его имя никогда не будет забыто. Лучшая
эпитафия Кантору, несомненно, принадлежит Гильберту, который сказал: «Никто
не может изгнать нас из рая, который Кантор создал для нас».
129
АД КАНТОРА
МНОЖЕСТВА И НАЦИЗМ
Математическое сообщество решило отдать дань уважения труду Кантора, для чего к его 70-лет-
нему юбилею были организованы торжества, однако Первая мировая война помешала реали-
зовать эти планы. Тогда группа немецких математиков собралась в его доме, чтобы вручить уче-
ному в знак признания мраморный бюст, который в настоящее время хранится в Университете
Галле. В период правления Гитлера этот бюст был убран, так как теория множеств считалась
«еврейской математикой».
Бесконечность в XXI веке
До появления современной физики бесконечность упоминалась только в философ-
ских и богословских дискуссиях. В математике она присутствовала, можно сказать,
естественным образом, так как, по словам Кронекера, «нам дана свыше» бесконеч-
ная последовательность натуральных чисел. Различия между актуальной и потенци-
альной бесконечностью затронули и геометрию, в которой использовалось понятие
бесконечной прямой. Однако полноправным элементом математики бесконечность
стала только с появлением математического анализа, анализа бесконечно малых.
Как говорил Гильберт, «математический анализ можно в известном смысле назвать
единой симфонией бесконечного».
Однако частью нашей повседневной реальности бесконечность стала лишь бла-
годаря открытиям в физике и астрономии. До начала XX века астрономы считали,
что Вселенная включает Солнце, планеты и далекие звезды. Спустя некоторое вре-
мя они открыли, что Солнечная система — часть галактики, состоящей из несколь-
ких миллионов солнечных систем. Постепенно пространство стало считаться доста-
точно большим, чтобы вместить несколько миллиардов галактик. Но почему на этом
следовало остановиться? Кто сказал, что в космосе не будут обнаружены новые
структуры большего размера, что позволит считать, что размеры Вселенной намно-
го больше? Бесконечна ли Вселенная? Ответ на этот вопрос до сих пор не найден и,
возможно, не будет найден никогда.
С другой стороны, чем больше ученые изучают субатомные частицы, тем более
важную роль в физике начинают играть бесконечно малые величины. Атом как та-
ковой перестал быть неделимым, каким его считали древние греки, и стал подобен
Солнечной системе в миниатюре. Однако физики не остановились на этом: были
130
АД КАНТОРА
открыты частицы, содержащиеся внутри атомного ядра, и их размеры составляют
менее 1015 метра. Пока что можно вести речь о невообразимо малых, но не бес-
конечно малых величинах. Тем не менее в одной из физических теорий, которую
оказалось труднее всего подтвердить экспериментально, а именно в квантовой элек-
тродинамике, изучаются элементарные частицы, в частности электроны и кварки,
которые с точки зрения математики рассматриваются как точки, следовательно, они
подобны точкам вещественной прямой и ведут себя похожим образом.
Возможно, ученые когда-нибудь докажут, что в природе не существует и никог-
да не существовало различий между потенциальной и актуальной бесконечностью
и что противоречие между ними лишь мнимое.
131
Приложение
Иррациональность л/2
Первое известное доказательство иррациональности квадратного корня из 2 при-
надлежит философу-досократику, представителю пифагорейской школы Гиппасу
из Метапонта (род. ок. 500 г. до н. э.), который, создав это доказательство, не толь-
ко проявил способности к математике, но и затронул тему, табуированную в его сре-
де. Не будем забывать о легенде, согласно которой за всякое упоминание о суще-
ствовании иррациональных чисел пифагорейцы карали смертью.
Как и в большинстве подобных доказательств, включая и приводимое в неко-
торых неканонических изданиях «Начал» Евклида, в доказательстве Гиппаса ис-
пользуется метод доведения до абсурда. На современном языке его доказательство
звучит следующим образом.
Если >/2 — рациональное число, это означает, что его можно представить как
частное двух целых вида
я=р.
9
Отметим, что эта дробь является несократимой, то есть ее числитель и знаменатель
не имеют общих множителей. Возведя обе части равенства в квадрат, получим
2
2 = ^
<г
и, как следствие,
р2 = 2q2.
Это означает, что р2 четно, поэтому р также четно. Таким образом, р можно
представить как число, кратное 2, то есть в виде р — 2п. Имеем
2q2 = р2 = (2п)2 = 4п2.
Упростив равенство, получим
q2 = 2п2.
133
ПРИЛОЖЕНИЕ
Иными словами, q2 четное, поэтому q также четное. Мы пришли к выводу, что
и р, и q — четные числа, таким образом, числитель и знаменатель дроби р] q имеют
общий множитель, что противоречит исходной гипотезе. Это означает, что д/Е нель-
зя представить в виде частного двух целых.
Первые приближенные значения л/Е содержали всего 4—5 знаков после запятой.
Достаточно точное значение, содержащее 65 знаков после запятой, записывается
так:
л/2«
«1,41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799.
С помощью современных компьютеров можно получить приближенное значение
этого числа, содержащее несколько миллионов знаков после запятой.
134
ПРИЛОЖЕНИЕ
Множества чисел
Определение различных множеств чисел сложно для понимания и требует знаний
математики, выходящих за рамки этой книги. Существуют альтернативные опреде-
ления, менее строгие, но более понятные, которые основываются на практическом
применении множеств для решения уравнений. Отправной точкой являются так на-
зываемые натуральные числа. Множество натуральных чисел 1, 2, 3, ... обознача-
ется буквой N. Это множество записывается так:
N = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...}
Некоторые авторы не включают 0 в множество натуральных чисел, что совер-
шенно оправданно: это число появилось в результате длительных и глубоких раз-
мышлений, поэтому его сложно назвать натуральным, то есть естественным.
На множестве натуральных чисел решаются уравнения вида
х —2 = 0.
Однако уравнения вида х + 2 = 0 на этом множестве решить нельзя, так как
отрицательные числа не являются натуральными. Если добавить к множеству на-
туральных чисел отрицательные числа и 0, получим целые числа. Множество целых
чисел обозначается буквой Z.
Аналогичным образом вводятся остальные множества чисел. Например, для ре-
шения уравнений вида
2х + 3 = 0,
корнем которого является х — —3 /2, необходимо ввести множество рациональных
чисел Q. Для уравнений вида
х2 —2 = 0
следует ввести множество иррациональных чисел. Объединение этого множества
и множества рациональных чисел является множеством вещественных чисел R.
Наконец, уравнение
х2 + 2 = 0
не имеет вещественных решений, так как не существует такого вещественного числа,
которое было бы квадратным корнем отрицательного числа. Следующий шаг, по-
135
ПРИЛОЖЕНИЕ
зволяющий решить уравнения такого типа, — введение комплексных чисел,
множество которых обозначается буквой С. Этот шаг также является послед-
ним, потому что было доказано: любое уравнение с комплексными коэффици-
ентами всегда имеет решение (основная теорема алгебры).
Каждое из определенных нами множеств включает предыдущее (является
его алгебраическим расширением):
NcZcQcRcC.
136
Библиография
BOYER С.В. Historia de la matemdtica, Barcelona, Destino, 2009.
CANTOR G. Fundamentos para una teoria general de conjuntos, Madrid, Alianza Uni-
versidad, 1986.
COLLETTE J.P. Historia de la matemdtica, Madrid, Siglo XXI, 1985.
DEDEKIND R. <fQue son у para que sirven los numeros?, Madrid, Alianza, 1998.
GUTHRIE Ch. Historia de la filosofia griega, Madrid, Gredos, 2009.
KLINE M. El pensamiento matemdtico de la Antigiledad a nuestros dias, Madrid, Alian-
za Universidad, 1992.
MANKIEWICZ R. Historia de las matemdticas, Barcelona, Paidos, 2005.
MONNOYEUR F. El infinite de los matemdticos, el infinite de los filosofos, Paris, Edi-
tions Belin, 1995.
MOSTERIN J. Los logicos, Madrid, Espasa Calpe, 2000.
STEWART I. De aquial infinite, Barcelona, Critica (Grijalbo Mondadori), 1998.
ZELLINI P. Breve historia del infinite, Madrid, Siruela, 2003.
137
Алфавитный указатель
«Анналы математики» 122
«Арифметика» 23, 68, 96, 104, 120
«Арифметические исследования» 120
«Исчисление песчинок» 23
«Монадология» 83
«Начала» 18, 22, 45, 60, 133
«Основания общей теории множеств»
93, 95
алгебра 51, 70, 120, 134
алгебраический 107—110, 121
алеф 104, 111, ИЗ
Альберти, Леон Баттиста 53
Анализ
бесконечно малых 73—76, 130
гармонический 91
Антифонт из Афин 41
апагогия 64
апейрон 15—17, 39
Аполлоний 55,57
Аристотель 16—18, 36—38, 53
Архимед 23, 60, 62, 65
астрономия 55, 61, 130
Барроу, Исаак 73
Берлин 120, 127
Бернулли, Якоб 13, 84
бесконечно малые 15, 31, 47, 60, 73,
75, 78, 82, 83,106
бесконечное продолжение прямой 15,
47-78
бесконечность 7—23, 51—71, 103—106,
124,130
актуальная 17-23, 38, 59, 64, 77
биективное 97—98
Бойм, Марианна 117
Больцано, Бернард 85, 96
большие кардиналы ИЗ
Борхардт, Карл Вильгельм 108
Бранд, Хенниг 84
Брунеллески, Филиппо 53
Бруно, Джордано 20
Бэкон, Фрэнсис 127, 128
Валлис, Джон 13
Вейерштрасс, Карл 62, 85, 93, 120,
124,127
вещественная прямая 90, 95—96, 103,
ИЗ
взаимно однозначное соответствие
98-106
Висбаден 117
Возрождение 51—54, 64
волны 91
время 27-31, 34-38, 58, 67
галактики 130
Галилей, Галилео 66—68, 100
Гаусс, Иоганн Карл Фридрих 120
Гёдель, Курт 103, 114
геометрия 43, 51—54, 68, 84, 115, 130
аналитическая 70
декартова 70
проективная 54, 58
Гёттингенский университет 120
Гильберт, Давид 114, 129, 130
гипербола 55—57
Грюнберг, Мати 42
Гуттман, Валли 127
Гуччиа, Джованни Баттиста 122
139
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Гюйгенс, Христиан 30—31, 79
да Винчи, Леонардо 52
Дармштадт 117
Дедекинд, Юлиус Вильгельм Рихард
61,106,124-126
Дезарг, Жирар 54
Декарт, Рене 70—71, 73, 74, 84
деление 15, 43
делла Франческа, Пьеро 53
дискретная математика 28
дискретное 25—49, 54, 66, 79, 93,102
дискретные значения 27
дифференцирование 83
Евдокс 60—64, 73
Евклид 18, 22, 58, 60,115,133
Журнал Крелле 120-122
Зенон 16, 32, 33, 36-39, 49
знак 11-13, 79,102
измерение 43, 65, 95
интегратор 64
интегрирование 83
иррациональное 43—47, 61, 93, 95,
103,106-107,133-134
исчерпывания, метод 62, 73
исчисление 21, 62, 75, 79, 97
бесконечно малых 21, 62, 65, 76,
80, 81
интегральное 65, 75
объемов 64—66, 69
Кавальери Бонавентура 67—70, 79
Кантор, Георг 39, 68, 90—131
Кантора теорема 111
кардинальное число 96—100, ЮЗ-
106, 111, ИЗ
Карловский коллегиум 125
касательная 59, 74—75, 78, 81, 82
катет 43—44, 81, 83, 95
квадрат 41—43, 55, 58,105
квадратное число 68
квадратура 42, 58—60, 75, 76, 83
круга 39—42,108
квантовая механика 22, 28, 48
квантовая электродинамика 131
Кёниг, Денеш 114
Кеплер, Иоганн 54—58, 64—67
конические сечения 54—56, 70
континуум-гипотеза 112—115, 127
конус 55—56, 62, 66, 69
координаты 80, 82
Коперник, Николай 16
Коши, Огюстен Луи 85, 89, 90, 93
Коэн, Пол Джозеф 114
Крелле, Август Леопольд 121
кривые 56, 59-60, 67, 70, 75, 78
Кронекер, Леопольд 120—121, 124,
127,128,130
Куммер, Эрнст 120, 127
Лейбниц, Готфрид Вильгельм 75,
78-84, 86
лемниската 13
Линдеман, Фердинанд 41, 108
логика 22, 32, 33, 41, 94
высказываний 32
Лондонское королевское общество 122
Лопиталь, Гийом Франсуа 84
Маскерони, Лоренцо 40
математическая физика 91
математический анализ 73—90, 97, 130
маятник 28—31
минимумы 74, 75, 78
Миттаг-Леффлер, Магнус Гёста
126-127
140
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
множество 22, 68, 69, 88, 92, 96-106
А, непустое 99
частей 111
чисел 93, 94,134
Монж, Гаспар 54
монизм 37
мутация 60
неделимые 32, 34—36, 65, 68, 69, 79,
84,130
непрерывное 25—49, 54, 68, 112—115
непрерывное преобразование 55, 58
непрерывный поток 32
несоизмеримые 45, 60
Ньютон, Исаак 73—78, 84, 86
образующая 29, 56
Ольденбург, Генри 123
операционизм 124
отношение 60—61
отображение 98, 124
отрезок 15,18, 26, 34, 40, 43—47, 58,
59, 88,104,105
парабола 54—58, 73, 76
парадоксы 7, 32, 33, 67
Зенона 27, 31-39, 89
параллельные прямые 12, 18, 47, 48,
53-54,115
Парменид 16, 32, 37
Паскаль, Блез 58, 70, 84
периодическая функция 92
пирамида 62
Пифагор 43, 45, 58, 60
Планк, Макс 48
плотность 25-26, 94, 95,103
подмножество 99—100, 110—111
несобственное 110
собственное 99, 100, 110
подсчет 21, 23,43, 96—98,101
последовательности
Коши 93
фундаментальные 93—95
последовательность 32, 46-47, 88—
90, 94
бесконечная 46, 47, 89, 93, 94
построение с помощью циркуля и ли-
нейки 39—42
правильный многоугольник 41
предел 15-16, 62, 85, 89, 94-96
приведение к абсурду 32, 62, 103
принцип Архимеда
пропорции 25, 34, 52
пространство 16—17, 32, 34, 38,125
евклидово 16
равнократное 60
равномощное 99, 103, 106
разложение в ряд Фурье 92
Рассел, Бертран 37, 89, 97, 114
рационализм 70
Роберваль, Жиль 70, 73
ряды Фурье 91—93
Сабит ибн Курра 104
Святой Августин 19
сечения 55, 69
снаряд 51, 73, 74
спрямление 75, 76
степенная функция 7 6
счетность 96,100,103
таутохронная кривая 30
Тейлор, Брук 46, 91
теория
множеств 96,114-115,118,121,
125-130
типов 126
141
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
чисел 120
Торричелли, Эванджелиста 73
точка 12, 30, 48, 53—54, 57
материальная 74
схода 53,
точки 18, 26, 33, 40, 54, 56
траектория 30, 51, 61, 67
угол наклона 30, 80—82
Университет Галле 84, 120, 121, 125,
127,130
Ферма, Пьер де 70
флюент 78
флюксия 76, 78
фокусы 56, 58
Фома Аквинский 19
Фурье, Жан-Батист Жозеф 91—93
хаос 16
характеристический треугольник 81, 83,
84
целые 25, 45,100,107,133,134
центральная проекция 53
Цермело, Эрнст 114
циклоида 29—31, 70
циркуль 39—42, 45
Цюрих 119
числа 25-26, 68, 83, 88-90
вещественные 93, 95, 103—114, 120,
131,134
дробные 25—26
иррациональные 45, 61, 93—95, 107
натуральные 12—15, 25, 99—104,
ИЗ, 134
рациональные 26, 45, 90, 93—95,
101,109,134
трансфинитные 110—112, 126, 127
трансцендентные 41,106-110
шестиугольник 41-42, 58
Шюке, Никола 23
эволюта 30-31
Эйнштейн, Альберт 58
эксцентриситет 56—57
Элейская школа 16
элементарные частицы 131
эллипс 55-58
Эпименид 33
эпсилон 85—90
Эрмит, Шарль 108—109, 126
142
Научно-популярное издание
Выходит в свет отдельными томами с 2014 года
Мир математики
Том 18
Энрике Грасиан
Открытие без границ.
Бесконечность в математике
РОССИЯ
Издатель, учредитель, редакция:
ООО «Де Агостини», Россия
Юридический адрес: Россия, 105066,
г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д. 3, стр. 1
Письма читателей по данному адресу не при-
нимаются.
Генеральный директор: Николаос Скилакис
Главный редактор: Анастасия Жаркова
Выпускающий редактор: Людмила Виноградова
Финансовый директор: Наталия Василенко
Коммерческий директор: Александр Якутов
Менеджер по маркетингу: Михаил Ткачук
Менеджер по продукту: Яна Чухиль
Для заказа пропущенных книг и по всем вопро-
сам, касающимся информации о коллекции, за-
ходите на сайт www.deagostini.ru, по остальным
вопросам обращайтесь по телефону бесплатной
горячей линии в России:
® 8-800-200-02-01
Телефон горячей линии
для читателей Москвы:
® 8-495-660-02-02
Адрес для писем читателей:
Россия, 600001, г. Владимир, а/я 30,
«Де Агостини», «Мир математики»
Пожалуйста, указывайте в письмах свои кон-
тактные данные для обратной связи (телефон
или e-mail).
Распространение:
ООО «Бурда Дистрибьюшен Сервисиз»
УКРАИНА
Издатель и учредитель:
ООО «Де Агостини Паблишинг» Украина
Юридический адрес: 01032, Украина,
г. Киев, ул. Саксаганского, 119
Генеральный директор: Екатерина Клименко
Для заказа пропущенных книг и по всем вопро-
сам, касающимся информации о коллекции, за-
ходите на сайт www.deagostini.ua, по остальным
вопросам обращайтесь по телефону бесплатной
горячей линии в Украине:
® 0-800-500-8-40
Адрес для писем читателей:
Украина, 01033, г. Киев, a/я «Де Агостини»,
«Мир математики»
УкраГна, 01033, м. КиТв, а/с «Де Агостпй»
БЕЛАРУСЬ
Импортер и дистрибьютор в РБ:
ООО «Росчерк», 220037, г. Минск,
ул. Авангардная, 48а, литер 8/к,
тел./факс: (+375 17) 331-94-41
Телефон «горячей линии» в РБ:
® + 375 17 279-87-87 (пн-пт, 9.00-21.00)
Адрес для писем читателей:
Республика Беларусь, 220040, г. Минск,
а/я 224, ООО «Росчерк», «Де Агостини»,
«Мир математики»
КАЗАХСТАН
Распространение:
ТОО «КГП «Бурда-Алатау Пресс»
Издатель оставляет за собой право увеличить реко-
мендуемую розничную цену книг. Издатель остав-
ляет за собой право изменять последовательность
заявленных тем томов издания и их содержание.
Отпечатано в соответствии с предоставленными
материалами в типографии:
Grafica Veneta S.p.A Via Malcanton 2
35010 Trebaseleghe (PD) Italy
Подписано в печать: 02.04.2014
Дата поступления в продажу на территории
России: 20.05.2014
Формат 70 х 100 / 16. Гарнитура «Academy».
Печать офсетная. Бумага офсетная. Печ. л. 4,5.
Усл. печ. л. 5,832.
Тираж: ПО 000 экз.
© Enrique Grecian, 2010 (текст)
© RBA Collecionables S.A., 2011
© ООО «Де Агостини», 2014
ISBN 978-5-9774-0682-6
ISBN 978-5-9774-0713-7 (т. 18)
@
Данный знак информационной про-
дукции размещен в соответствии с требования-
ми Федерального закона от 29 декабря 2010 г.
№ 436-ФЗ «О защите детей от информации, при-
чиняющей вред их здоровью и развитию».
Издание для взрослых, не подлежит обязатель-
ному подтверждению соответствия единым требо-
ваниям, установленным Техническим регламентом
Таможенного союза «О безопасности продукции,
предназначенной для детей и подростков» ТР ТС
007/2011 от 23 сентября 2011 г. № 797.
Открытие без границ
Бесконечность в математике
Большинство из нас испытывает головокружение, думая
о бесконечности: ее невозможно себе представить! Быть может,
именно поэтому она является неисчерпаемым источником
вдохновения. В погоне за бесконечностью ученым пришлось
петлять между догмами и парадоксами, вступать на территорию
греческой философии, разбираться в хитросплетениях
религиозных измышлений и секретов тайных обществ.
Но сегодня в математике бесконечность перестала быть чем-то
неясным и превратилась в полноценный математический объект,
подобный числам и геометрическим фигурам.