/
Text
МАТЕМАТИКИ
Замощения и узоры на плоскости
TCAGOSTINI
Мир математики
Мир математики
Микель Альберти
Бесконечная мозаика
Замощения и узоры на плоскости
Москва - 2014
D^AGOSTINI
УДК 51(0.062)
ББК22.1
М63
М63 Мир математики: в 45 т. Т. 44: Микель Альберти. Бесконечная мозаика. Замощения
и узоры на плоскости. / Пер. с исп. — М.: Де Агостини, 2014. — 176, [8] с. ил.
Она у нас под ногами — дома и на улице, мы видим ее на фасадах и на мебели. Она
изображена на нашей одежде, а иногда мы даже... ее едим: в виде куска пиццы или торта.
Иногда мы проводим свободное время, собирая ее и создавая удивительные узоры. По ее
виду или цветам можно идентифицировать народ, ее придумавший. Что мы имеем в виду?
Конечно же, мозаику. И совсем неудивительно, что этот культурный артефакт стал пред¬
метом изучения математики, ведь она сама является частью культуры.
ISBN 978-5-9774-0682-6 УДК 51(0.062)
ISBN 978-5-9774-0776-2 (т. 44) ББК 22.1
© Miquel Alberti, 2014 (текст)
© RBA Coleccionables S.A., 2014
© ООО «Де Агостини», 2014
Иллюстрации предоставлены:
Archivo RBA; Miquel Alberti; Briefplan/Lispir; Marcus Cyron; Rajesh dangi;
Alberto Durero/Stadel Museum, Alemania; M.C. Escher Company; Fotopedia;
Steve Garvie/Dunfermline, Fife, Escocia; Holly; Merdal; Carles Millan; Jacob Ochtervelt/
Museo de Arte de San Luis, Misuri; Snowmanradio; Jeff Weeks; Wikimedia Foundation.
Все права защищены.
Полное или частичное воспроизведение без разрешения издателя запрещено.
Содержание
Предисловие 7
Глава 1. От мозаики культур до культуры мозаики 9
Природные мозаики 9
Руками человека: мозаика в Античности 12
Исламская мозаика 15
Оптические иллюзии готики и эпохи Возрождения 18
От настоящей мозаики к скрытой 21
Замощения при плетении 27
Фрагментарные замощения 34
Культура мозаики 34
Глава 2. Музыка для глаз 37
Правильные замощения 37
Полуправильные замощения 45
Неправильные замощения 49
Ритм мозаики 53
Узоры в виде фриза (бордюра) 56
Периодическая мозаика в виде обоев 59
Глава 3. Аритмические мозаики: дротики и змеи 61
Непериодические замощения плоскости 61
Дротик и змей Роджера Пенроуза 64
Мозаики наугад 72
Замощение и размерность 74
Бесконечные мозаики в конечных пространствах 76
Теорема о четырех красках 79
Фрактальные мозаики 81
Глава 4. Бесконечные ангелы и демоны на гиперболической плоскости 89
От правильного к неправильному 90
От геометрического к природному 94
Метаморфозы Эшера 99
5
СОДЕРЖАНИЕ
Бесконечное замощение квадрата 102
Бесконечное замощение круга 107
Глава 5. Мозагорова пифаика 117
Загадка теоремы Пифагора 118
Пифагоровы замощения 120
Вокруг квадратной плитки 127
Плетение пифагоровых мозаик 130
Пифагоровы мозаики и магические квадраты 134
Магический квадрат Дюрера 139
Треугольники в квадратной сетке 141
Глава 6. Головоломка с мозаикой 143
Почему в пазлах из 1000 деталей не 1000 деталей 145
Трехмерные пазлы 148
Полимино 2D и 3D 151
Домино и тримино 151
Тетрамино и «Тетрис» 152
Пентамино 153
«Танграм» 155
Эпилог 161
Библиография 163
Алфавитный указатель 165
6
Предисловие
Даже для таких разных представителей мира природы, как змея и лист дерева или
черепаха и ананас, существуют общие схемы. Например, многие рептилии покрыты
кожей или броней, состоящей из чешуи или пластин разной формы, то же самое
можно сказать о коре многих растений, прожилках листьев или паутине, на которых
можно выделить более или менее правильные ограниченные области.
Человек в течение тысячелетий имитировал этот естественный способ органи¬
зации поверхности с помощью ячеек или плит, которые он располагал в простран¬
стве. Паркет, кирпичи, черепица, другие виды напольных и кровельных материалов
представляют собой образец такого замощения. Если в мире природы узор из ма¬
леньких, почти одинаковых частей на живой поверхности играет защитную роль,
то человек трансформирует природные элементы в строительные детали, которыми
он выстилает пол, стены, кровлю или украшает жилище.
Все это вдохновляет на формулировку математических проблем. Как можно по¬
крыть поверхность с помощью одинаковых деталей? Можно ли сделать это с помо¬
щью правильных многоугольников? Как лучше организовать детали для покрытия
плоскости? Все ли покрытия одинаковы? Что общего между двумя разными по¬
крытиями?
На страницах этой книги мы дадим ответы на эти и другие вопросы, опираясь
на труды математиков, художников и строителей, которые, каждый на свой лад, об¬
ращались к теме мозаики. Самым древним мозаикам тысячи лет, и они, как и многое
другое, происходят из Месопотамии. Различные способы замощения плоскости
были распространены также в Древней Греции и Риме, но в исламских культурах
Средневековья мозаика достигла наивысшего расцвета. Сегодня, после того как она
отошла от использования базового элемента (плитки) правильной формы и стала
избегать симметричности композиции, мозаика превратилась в гораздо более сво¬
бодный декоративный элемент.
Голландский художник и график Мауриц Корнелис Эшер, вдохновленный мозаи¬
кой Альгамбры в Гранаде, возвел это искусство на невообразимую до того времени
высоту. Работы Эшера не находятся на полпути между искусством и геометрией —
это искусство и геометрия одновременно; его невероятные графические абстракции
не следуют строгой геометрической перспективе. Эшер вдохнул жизнь в мозаичные
плитки, сделав их живыми, движущимися, и это движение достигает пределов наше¬
го пространства, конечного или бесконечного. В свою очередь, архитектор Антонио
7
ПРЕДИСЛОВИЕ
Гауди, разбив структурную строгость мозаики и ее плиток, создал в начале XX века
тренкадис, декоративную мозаику из плиток неправильной формы, «ломаную» мо¬
заику, которую он использовал во множестве своих проектов.
В контексте математики мы изучим геометрические вопросы, определяющие воз¬
можность или невозможность замощения плоскости правильными многоугольника¬
ми и то, сколько существует способов это сделать. Определяющими в структурной
организации мозаики станут изометрии, то есть перестановки, вращения и отраже¬
ния, которые будут ее классифицировать как периодическую или непериодическую.
В последнем случае мы рассмотрим фигуры, созданные британским физиком
и математиком Роджером Пенроузом, непериодической мозаикой которого можно
замостить всю плоскость. Сложность мозаики в математике тесно связана с размер¬
ностью пространства, которое ею можно покрыть.
Хотя мозаика и замощения — это вопросы, относящиеся к пространству и фор¬
ме, профессор Паулус Жердес, вдохновленный образцами некоторых африканских
культур, связал пифагорову мозаику с латинскими и магическими квадратами, пре¬
вратив при этом геометрическую мозаику в арифметическую.
Место для мозаики нашлось и в мире досуга: еще в XVII веке появилась игра,
способная занять человека независимо от его возраста, — пазл, или головоломка.
Сегодня существуют пазлы разных размеров, состоящие из частей правильной и не¬
правильной формы, двумерные и даже трехмерные. Но и с этой чисто развлекатель¬
ной стороной жизни связан ряд вопросов. Например, что такое трехмерный пазл
и почему в пазлах из 1000 деталей на самом деле не 1000 деталей?
Мир — это настоящая мозаика культур. В каждой из них замощения использу¬
ются на свой лад, но именно математика увидела в этом явлении формальные модели
и общие структуры. Мозаика культур привела к появлению геометрической про¬
блемы замощений — конечных и бесконечных, периодических и непериодических.
И если мир — это мозаика культур, то математика изучает саму культуру мозаики.
8
Глава 1
От мозаики культур
до культуры мозаики
Термин «мозаика» происходит от латинского mosaicum, что значит «[работа], свя¬
занная с музами». Мозаика представляет собой композицию, созданную из более
мелких частей, которые прилегают друг к другу, составляя единое произведение.
Каждая деталь мозаики называется плиткой, она может иметь строгую геометри¬
ческую форму, хотя это необязательно. Обычно плитки мозаики сделаны из глины,
гранита или стекла, они одинаковой формы и размера, хотя встречаются мозаики,
составленные из плиток разных типов.
Всем нам знакома мозаика: она выложена плитками на полу в наших домах,
кирпичами в стенах, она украшает кафель яркими узорами или представляет собой
одинаковые, равномерно расположенные черепицы на крыше дома. Но до появле¬
ния всех этих примеров в мире существовали (и существуют) природные мозаики
и мозаики искусственные, не созданные человеком.
Природные мозаики
Ярче всего природа проявляет свое
богатство в формах, в которые отли¬
вает окружающий мир. Если мы вни¬
мательно рассмотрим минералы или
кожу рептилий и рыб, в голову обя¬
зательно придет мысль о мозаике, так
точно подогнаны друг к другу струк¬
турные элементы неживой природы,
чешуйки или части панциря некоторых Кожа рыб, крокодилов и змей, а также панцирь
черепахи — примеры двумерного замощения.
9
ОТ МОЗАИКИ КУЛЬТУР ДО КУЛЬТУРЫ МОЗАИКИ
животных. Кожа рыб, черепах, крокодилов
и змей представляет собой примеры двумер¬
ного замощения регулярными элементами.
Подобное можно наблюдать и в трехмер¬
ности — если обратить внимание на стро¬
ение стволов пальм, осколков слюды, оса¬
дочных пластов... Например, ветви пальм,
отходя от ствола, распределяются вдоль спи¬
ральных линий рядами, которые соотносятся
с членами последовательности Фибоначчи:
1, 2, 3, 3, 5, 8,13, 21, 34, 55... Это можно
видеть на изображении справа. К сожале¬
нию, на фотографии невозможно показать
целиком, как на этой пальме идет 8 спиралей
в одном направлении и 13 — в другом. .. . ^
r ^J Мозаика Фибоначчи на стволе пальмы.
В отличие от рептилий и рыб, кожа дру¬
гих животных, например млекопитающих,
не имеет вид чешуи или костяного панциря.
Но у многих из них шкура разделена на бо¬
лее или менее правильные ячейки с помощью
пигментации: это происходит с полосками
и пятнами на шкуре тигров, зебр, леопардов,
жирафов и прочих животных.
Некоторые виды, особенно насекомые
и птицы, способны создавать простран¬
ственные мозаики. Самые яркие их приме¬
ры — паутина и пчелиные соты, но вполне
возможно существование и гораздо более
изощренных образцов.
Если паутина некоторых пауков пред¬
ставляет собой ячейки разного размера,
то пример пчелиного творчества потрясает.
Пятна на шкуре жирафа образуют сетку,
которая покрывает практически все
его тело.
10
ОТ МОЗАИКИ КУЛЬТУР ДО КУЛЬТУРЫ МОЗАИКИ
Эти насекомые строят соты в виде шестиугольных ячеек, которые прилегают друг
к другу настолько точно, что сложно представить, что речь идет не о творении чело¬
века с его разумом и сложными инструментами.
Мы не знаем, о чем думают пчелы, но можем догадаться, что при строительстве
сот они не следуют заранее обдуманной стратегии, а выполняют инстинктивные ав¬
томатические действия, усвоенные в ходе эволюции. Но если мы рассмотрим соты
с геометрической точки зрения, то, возможно, сможем понять, почему они именно
такой формы.
Ячейки, образованные сотами.
Каждая ячейка должна соответствовать пространству, в котором может поме¬
ститься пчела, тело которой имеет хотя и неправильную, но более или менее цилин¬
дрическую форму. Пчела не всегда может вползти в ячейку одинаково и из одной
и той же точки. Также логично, что, оказавшись внутри, она должна иметь возмож¬
ность двигаться хотя бы с минимальным уровнем свободы, например она должна
иметь возможность полностью обернуться вокруг себя. Учитывая все это, а также
то, что соты строятся из мягкого воска, мы можем решить, что на самом деле их
ячейки изначально имеют круглую форму.
Однако каждая круглая ячейка должна соединиться с соседними, такими же кру¬
глыми. Во время строительства сот пчелы толкают их стенки до соприкосновения
со стенками соседних ячеек. Таким образом, маленькие цилиндры, которыми были
изначально индивидуальные ячейки, деформируются, превращаясь в шестиугольные
11
ОТ МОЗАИКИ КУЛЬТУР ДО КУЛЬТУРЫ МОЗАИКИ
призмы, определенные оптимальной структурой, которой можно заполнить про¬
странство. На следующем рисунке показан этот процесс.
Следовательно, ячейки, образующие пчелиные соты, это шестиугольники, опи¬
санные вокруг окружности тел насекомых. Мы имеем дело с геометрической за¬
дачей: как соотносятся между собой окружность тела пчелы и сторона ячейки сот?
То есть если D — диаметр окружности, то какова сторона L шестиугольника, опи¬
сывающего ее?
Как показано на рисунке, сторону L описанного шестиугольника определяет
простое тригонометрическое отношение.
L
L/2
D/2
L = D- tg(30°) = ^L.
Руками человека: мозаика в Античности
Первые примеры мозаики, изготовленной руками человека, восходят к архитекту¬
ре и украшениям древних культур Месопотамии, Греции и Рима. В число самых
12
ОТ МОЗАИКИ КУЛЬТУР ДО КУЛЬТУРЫ МОЗАИКИ
древних известных мозаик, датированных около 5000 лет назад, входят мозаики,
образованные крошечными глиняными конусами, найденные в регионе Урук на тер¬
ритории современного Ирака. Эта мозаика составлена из маленьких глиняных па¬
лочек-конусов, прилегающих друг к другу. Узор образован торцами этих палочек,
раскрашенными в красный, черный и белый цвет. В изображении используются гео¬
метрические мотивы — треугольники, ромбы, зигзагообразные линии.
Конусная мозаика из региона Урук, современный Ирак.
Сегодня находится в Пергамском музее в Берлине.
Палочки-конусы плотно укладывались на глиняный раствор раскрашенными
торцами вверх, полностью покрывая декорируемую поверхность. Перед нами —
чисто геометрическая мозаика, составленная из конических плиток.
На юге Европы найдена более поздняя мозаика, датированная III или IV веком
до н. э. В то время в Древней Греции были изготовлены первые живописные мозаи¬
ки, сюжеты которых были связаны в основном с мифологией и охотой. Эти мозаики
вставлялись в геометрический контур, который, словно бордюр, огибал периметр
пространства.
Римляне широко использовали мозаику как архитектурное украшение и наполь¬
ное покрытие в своих роскошных поместьях, храмах, театрах. В римской мозаике
плитки не конические, а кубические, поэтому зазоры между ними уменьшаются.
13
ОТ МОЗАИКИ КУЛЬТУР ДО КУЛЬТУРЫ МОЗАИКИ
Ребра этих плиток имеют длину несколько миллиметров, что позволяет очень
точно определить представленные фигуры независимо от того, являются ли они
геометрическими.
Элементы римской мозаики можно считать предвестниками цифровых плиток,
то есть пикселей современных видео- и фотокамер. Эту идею хорошо иллюстрирует
следующий пример мозаики I века до н. э.
Деталь напольного покрытия в римском театре в Мериде, Испания.
Если внимательно рассмотреть эту работу, мы заметим ее точность и мастерство
художника. Радиус дуги окружности собран из 20 плиток, в то время как сама ду¬
га, то есть четвертая часть соответствующей окружности, насчитывает 31 плитку.
Поскольку периметр окружности равен 2яг, а г = 20 плиток, число плиток указан¬
ной четверти дуги должно быть равно:
L _ 2кг _ лг _ л • 20
~4 4~ ” ~2~ ” 2
Римские кубические плитки, при всем своем несовершенстве, в сравнении с кру¬
глыми элементами оставляют меньше зазоров и позволяют добиться при проведении
линий большей точности. С математической точки зрения римская мозаика прибли¬
жает нас к проблеме замощения одинаковыми плитками всей плоскости целиком,
без промежутков.
14
ОТ МОЗАИКИ КУЛЬТУР ДО КУЛЬТУРЫ МОЗАИКИ
Исламская мозаика
Если посмотреть на римскую мозаику издалека, то заметно, что ее рисунок хо¬
рошо различим даже на расстоянии. В этом типе мозаики плитки образуют еди¬
ное целое, и это очень отличается от исламской мозаики, которая в конце раннего
Средневековья (V—XI века) была усложнена и необычайно усовершенствована.
По исламской мозаике не ступают ногами, она покидает пол и перемещается на сте¬
ны и потолок, превращаясь в украшение, достойное восхищения.
Исламская мозаика состоит по крайней мере из двух уровней. Первый постро¬
ен как вариация обычной римской плитки, однако плитка в исламской мозаике не¬
обязательно имеет квадратную форму, а может представлять собой самые разные
многоугольники. Второй уровень мозаики — скрытый, это структурированная гео¬
метрическая мозаика, которая определяет форму и положение изразца. Оба уровня
создают не просто изображение, а целое визуальное поле, пределы которого не огра¬
ничиваются бордюром. Мозаика основывается на геометрическом лейтмотиве, по¬
вторяющемся в длину и ширину двумерной плоскости, при этом основной мотив
может сдвигаться, вращаться и отражаться. С учетом того что в исламской культуре
наложен запрет на изображение людей и живых существ, мастера взяли в союзницы
своему вдохновению геометрию и исключительно с ее помощью создавали удиви¬
тельные творения.
На следующей мозаике Альгамбры в Гранаде (XI век) мы видим, как сочетают¬
ся два типа плиток (лепесток и шестиконечный цветок), их форма основана на гео¬
метрии круга. Рисунок сформирован на основе невидимой круглой сетки, которая
Деталь мозаики Альгамбры в Гоанаде.
15
ОТ МОЗАИКИ КУЛЬТУР ДО КУЛЬТУРЫ МОЗАИКИ
определяет развитие узора на плоскости. Прямые линии темных шестиконечных
звезд и белых шестиугольников словно показывают путь, по которому проходит
взгляд зрителя, и определяют ритм восприятия узора.
В подобных случаях мы имеем дело с комбинацией двух мозаик. На визуальном
уровне существует мозаика сама по себе, состоящая из керамических плиток раз¬
личной формы. Но на втором, структурном уровне можно увидеть изобразительный
мотив, который порождает и формирует рисунок. С помощью геометрического ана¬
лиза этот мотив можно сделать явным и объяснить структуру узора. Как показано
на рисунке, шестиугольники и шестиконечные звезды лежат в вершинах двух на¬
ложенных друг на друга сеток равносторонних треугольников.
ГЕОМЕТРИЯ И СЛОВА ДЛЯ ЗАПОЛНЕНИЯ ПУСТОТЫ
Исламские мозаики не ограничиваются плоскостью - они приобретают трехмерность на сводах.
Примером этому обычно является михраб в мечетях - ниша на стене, обращенной в сторону Каабы
(Мекки), куда правоверные должны направлять свои молитвы. Обычно купола покрываются не плит¬
ками, а маленькими полыми формами, составляющими трехмерную мозаику, которая заполняет
пространство под куполом. В «Михрабе», одном из рассказов из сборника эссе «Коллекция песка»,
писатель Итало Кальвино описывает михрабы двух мечетей. О первом михрабе, в соборной мечети
в Исфагане (Иран, XIV век), он говорит:
«Рельефное обрамление, увенчанное архитравом с фризом в виде рамки; внутри - утопленный
фриз, обрамляющий дверные косяки с барельефными арабесками, на которых по горизонтали
сверху выделяется линия мимолетной надписи, как будто брошенной на середине. Все одного
цвета - светлой штукатурки. Ниже выступает тимпан в остроконечной рамке, инкрустированный
в рельефный архивольт, поддерживаемый тонкими колоннами и покрытый лепными символа¬
ми. По бокам каждый фрагмент поверхности покрыт орнаментами, оттенен пустотами и запол¬
ненными местами, пористый, словно губка. Колонны и стрельчатый свод с внешней стороны
тимпана обрамляют, как вырезанный и тщательно слепленный фон, свод внутри остроконечной
арки, увенчанный сверху архитравом, также побеленным; и здесь можно снова использовать
все предыдущие слова для описания аналогичных деталей в меньшем масштабе с различными
эффектами обрамления и расточительности».
16
ОТ МОЗАИКИ КУЛЬТУР ДО КУЛЬТУРЫ МОЗАИКИ
Затем, описывая михраб мечети шейха Лотфоллы XVII века, автор добавляет:
«[...] на стене, полностью покрытой майоликой цвета индиго и бирюзы, под стрельчатым сво¬
дом с фальшивым окном из светлых плиток, вокруг которых с геометрической точностью идут
спиральные линии, находится полость - также стрельчатая - открывающаяся в глубине стены,
сверкающая голубой и золотой майоликой, украшенная по всей поверхности рисунками арок -
шестиугольных, - и со сводом, составленным из многих открытых у основания ячеек, как у пчел,
которые накладываются друг на друга слоями. Как будто михраб разделяет собственное ограни¬
ченное пространство на множество михрабов, все меньше и меньше, и открывает единственно
возможный путь к достижению бесконечного».
Этими словами Кальвино подчеркивает геометрическую композицию, строящуюся итеративно,
по аналогии с фракталами, и это один из способов трактовать геометрическое замощение вогнутой
поверхности, каковой является купол. И хотя Кальвино это делает, не используя геометрические
схемы и формулы, он не может избежать геометрических терминов. Однако вывод писателя не со¬
впадает с выводом математика: Кальвино в итоге говорит, что главное в михрабе - не геометрия,
а то, что предназначено для обозначения с ее помощью, и именно здесь он объявляет:
«[...] все восходит к одному-единственному значению, провозглашает один-единственный прин¬
цип и основание, предполагает только один последний объект. И это объект, которого нет. Его
единственное свойство в том, что его нет. Ему даже нельзя дать название».
17
ОТ МОЗАИКИ КУЛЬТУР ДО КУЛЬТУРЫ МОЗАИКИ
В незанятых центрах располагаются промежуточные точки шести окружностей,
на месте которых окажутся шесть круглых лепестков.
Наконец, по очереди берутся три из шести лепестков, чтобы создать трилист¬
ник, в центре которого находятся правильные шестиугольники или шестиконечные
звезды.
Замощение организовано таким образом, что каждый трилистник повторяется
в шести возможных вращениях: 0°, 60°, 120°, 180°, 240° и 300°. Эта мозаика дока¬
зывает, что плоскость можно замостить очень разнообразными способами, хотя все
они связаны между собой геометрически и образуют систему, в данном случае —
систему треугольной равносторонней сетки.
Оптические иллюзии готики и эпохи Возрождения
В то время как исламский мир развивал геометрический подход к украшению сво¬
их храмов, в Европе начинался готический период (XII—XV века), когда мозаика
отошла на второй план и разместилась в основном на полах соборов. В качестве
элементов мозаики использовались не отполированные узорчатые плитки, а обыч¬
ные четырехугольные, которые покрывали пол без зазоров, создавая гладкую го¬
ризонтальную поверхность. Иногда узор проявлялся благодаря сочетанию рисунка
18
ОТ МОЗАИКИ КУЛЬТУР ДО КУЛЬТУРЫ МОЗАИКИ
каждой плиты с соседними, причем при использовании плиток трех разных цветов
у наблюдателя создавалась полная иллюзия трехмерности.
Этого же эффекта можно добиться, если наложить одну на другую две одинако¬
вые сетки правильных шестиугольников и переместить одну поверх другой, чтобы
три вершины шестиугольников первой сетки оказались в центре трех шестиугольни¬
ков второй сетки, как показано на фотографии.
Иллюзия трехмерности создается благодаря сдвигу
одной шестиугольной ячейки поверх другой.
Также для ощущения объема может быть использована геометрическая пропор¬
циональность. Пример этому — пол флорентийского собора, который кажется без¬
донным колодцем с бесконечными стенами, сложенными из неисчислимого количе¬
ства плиток (см. рисунок на стр. 21).
19
ОТ МОЗАИКИ КУЛЬТУР ДО КУЛЬТУРЫ МОЗАИКИ
ПЕРСПЕКТИВА
Отдаленные от нас предметы мы видим в уменьшенном размере, который зависит от степени
отдаленности. Поэкспериментируем с этим ощущением: если смотреть на серию изображений,
которые находятся от нас на одном и том же расстоянии, но размер которых уменьшается, то мы
будем воспринимать самые маленькие изображения как самые удаленные.
Почему предметы на расстоянии кажутся меньше? Это происходит потому, что мы смотрим
на них с угловой амплитудой, свойственной нашему зрению. Если взять в качестве прямой ли¬
нии луч света, проходящий от объекта до глаза, то угол А, на который воспринимается близкий
объект, больше, чем угол В, на который виден объект, находящийся вдали.
Но это не означает, что размер уменьшается наполовину, если находится на вдвое большем
расстоянии, поскольку если у объекта длина L и он находится на расстоянии х, то угол А(х),
на который он воспринимается, будет равен:
Поскольку арктангенс суммы не равен сумме арктангенсов, увеличение расстояния вдвое
не сокращает угол вполовину. На расстоянии 1 м и 2 м амплитуда объекта длиной L - 2 м равна:
А
20
ОТ МОЗАИКИ КУЛЬТУР до КУЛЬТУРЫ МОЗАИКИ
Иллюзия пропасти на полу флорентийского собора, Италия (XV век).
От настоящей мозаики к скрытой
Больше всего нас интересует в мозаике не геометрическое мастерство, а то, как по¬
крывается поверхность, которую она занимает, и какие формы плиток делают это
возможным.
Плитками какой формы можно замостить плоскость без промежутков? Ответив
на этот вопрос, мы концептуализируем мозаику, рассмотрев ее с чисто геометриче¬
ской точки зрения: плитка — это многоугольник, а сама мозаика — это замощение,
то есть покрытие плоскости без промежутков. Каждый из нас знаком с такими объ¬
ектами, как мощеный тротуар или наборный пол, так что легко догадаться, что легче
всего замостить плоскость с помощью прямоугольников, как показано на следую¬
щем рисунке. Но это не единственное решение.
Кирпичный пол в Севильском Алькасаре, Испания.
21
ОТ МОЗАИКИ КУЛЬТУР ДО КУЛЬТУРЫ МОЗАИКИ
С другой стороны, геометрический характер плиток мозаики не определяет изо¬
бразительного результата. Даже с помощью плиток круглой формы (например,
гальки) можно создать любой геометрический рисунок, расположив элементы в со¬
ответствии с достаточно строгой структурой, как показано на фотографии.
Пол, покрытый галькой, в Севильском Алькасаре, Испания.
С течением времени искусство мозаики развилось от открытых форм к менее яв¬
ным. Мозаики античных культур, таких как вавилонская, греческая или римская,
состоят из трехмерных плиток, из которых составляется изображение в виде жи¬
вописного сюжета или геометрического орнамента, расположенного вдоль бордюра
или на какой-то поверхности. В этих случаях из одних и тех же плиток создается
разная мозаика. Исламская мозаика настолько точно определяется геометрически,
что форма и положение каждой плитки строго заданы. Кроме того, благодаря четкой
геометрической структуре плитки заполняют абсолютно всю поверхность, которую
должны заполнить. Результат может отклоняться от желаемого только из-за прак¬
тических ограничений, наложенных на идеальную геометрическую модель. Мы мо¬
жем выделить разные уровни исламской мозаики.
1. Собственно мозаика, осязаемая и видимая, образованная плитками и другими
элементами.
22
ОТ МОЗАИКИ КУЛЬТУР ДО КУЛЬТУРЫ МОЗАИКИ
2. Базовая структурная мозаика, носящая чисто геометрический характер.
3. Нижний слой мозаики, который, словно эскиз, определяет форму, место и ор¬
ганизацию плиток. Это платоновский идеал настоящей мозаики, неизменный
во времени, его невозможно разрушить, но можно воспроизвести.
4. Мозаика, ассоциативно связанная с узором, который составляют группы пли¬
ток. Этот уровень находится на более высокой ступени абстракции и требует
определенной наблюдательности.
На первом уровне плитки — это реальные объекты; на втором и на третьем —
это нарисованные, намеченные формы, а на четвертом мы имеем дело с воображае¬
мыми образами, созданными разумом наблюдателя. Таким образом, исламская мо¬
заика — это пример мозаики сложной, составной, многослойной.
Для восприятия мозаики крайне важна роль того, кто ею любуется. Остановимся
на геометрическом узоре, основанном на рисунке напольного покрытия Слободского
дворца.
Воспроизведение керамического напольного покрытия дворца.
Плиты этого напольного покрытия квадратные, они формируют первый уровень
квадратной мозаики, покрывающей плоское пространство. Каждая плита, в свою
очередь, разделена на пять частей в соответствии со строгой геометрической мо¬
делью, определяемой двумя диагоналями плиты и вставленным квадратом, разме¬
ры которого пропорциональны размерам плиты. Диагонали и центральный квадрат
формируют четыре равные трапеции, раскрашенные сверху и снизу одним цветом,
слева и справа — другим. Покрытие состоит из 16 плит, прилегающих друг к другу
23
ОТ МОЗАИКИ КУЛЬТУР ДО КУЛЬТУРЫ МОЗАИКИ
и образующих квадрат 4x4. Соседние плиты по отношению друг к другу поверну¬
ты на 90°, благодаря чему появляется новая визуальная модель, которая позволяет
избежать совмещения одинаково окрашенных частей, неизбежного без этого пово¬
рота (показано на рисунке ниже).
В результате при повороте абсолютно одинаковых плиток получается совсем
другая мозаика, созданная трапециями и маленькими квадратами.
В обоих случаях наблюдатель может заметить некоторую перспективу в цен¬
тральном квадрате каждой плитки и воспринимать ее как трехмерный объект, пря¬
мую призму в перспективе, куб в его глубине. Этот эффект восприятия порождает
виртуальную трехмерную мозаику: именно такую картину мы бы увидели, если бы
заменили каждую плитку пустой коробкой.
Получается, что плитки покрытия образуют два замощения на разных уровнях.
С одной стороны, у нас есть реальный уровень плиток, которые без зазоров соеди¬
няются друг с другом, формируя замощение поверхности, и обычная форма таких
плиток — прямоугольная. С другой стороны, есть визуальное замощение плоско¬
сти, образованное рисунком плиток в соответствии с его цветами и углом поворота.
Так, в случае замощения пола квадратными плитами в шахматном порядке мы
получим замощение плоскости квадратами. Но если каждую плитку покрасить бе¬
лым и черным с каждой стороны диагонали, то мы получим два накладывающихся
замощения: замощение квадратными плитками на плоскости пола и замощение пря¬
моугольными равнобедренными треугольниками, образованное окраской плиток.
24
ОТ МОЗАИКИ КУЛЬТУР ДО КУЛЬТУРЫ МОЗАИКИ
Нужно учитывать, что ни одно из этих двух покрытий — ни реальное покрытие
пола, ни производимый им визуальный эффект — не изменится, если мы будем
вращать плиты на 90°, 180°, 270° или 360°: они все так же останутся квадратными
и разделенными на два равнобедренных треугольника. Однако с помощью враще¬
ния на 90° мы можем по-разному перераспределить треугольники.
Белые и черные треугольники слева остаются покрытием плоскости, но мы
встречаемся с тем же эффектом, что и при восприятии исламской мозаики: визуаль¬
ное наблюдение линий сторон треугольников позволяет разуму перераспределять их
в квартеты, октеты или большие элементы, если достаточно расширить построение,
чтобы можно было воспринимать другие элементы, расположенные по диагонали
относительно первых.
25
ОТ МОЗАИКИ КУЛЬТУР ДО КУЛЬТУРЫ МОЗАИКИ
ПЕРЕСТАНОВКИ ДУА
В 1722 году Себастьен Трюше (1657-1729) опубликовал в Париже метод Доминика Дуа (1681-?),
с помощью которого он получал бесконечное число различных рисунков, или мозаик, на основе
простой исходной фигуры. Отправной фигурой был квадрат, разделенный по диагонали на два
прямоугольных равнобедренных треугольника: белый и черный. Четыре последовательных обо¬
рота на 90° дали четыре перестановки.
Если соединить два квадрата и скомбинировать их всеми возможными способами, получается
42 = 16 новых рисунков на основе двух квадратов.
Очевидно, что число возможностей растет экспоненциально. С четырьмя квадратами суще¬
ствует 162 = 2 56 перестановок, и они породили бы 2562 = 65536 новых рисунков. Этот ряд
бесконечен. Перестановки хороши тем, что дают очень много вариантов, в том числе и довольно
красивых.
26
ОТ МОЗАИКИ КУЛЬТУР ДО КУЛЬТУРЫ МОЗАИКИ
С другой стороны, покрытие справа на центральном рисунке на странице 25 явно
образует новое замощение плоскости параллелограммами, потому что наше зрение
объединяет в одну фигуру треугольники одного цвета с общей стороной. Теперь по¬
крытие состоит из белых и черных параллелограммов — результат перераспределе¬
ния плит.
Замощения при плетении
Плетение характерно для всех культур. Существуют его сугубо практичные раз¬
новидности, такие как изготовление бамбуковых перегородок, корзин и мешков,
циновок и ковров, так и более изящные, такие как производство тканей, одежды
и нарядов. Мир плетения предлагает огромное богатство возможных вариантов
замощений.
Мы видели, что рисунки напольного покрытия могут быть многомерными, а пло¬
ские плитки с помощью окрашивания в разные цвета могут создавать самые разные
визуальные эффекты. Какой бы ни была материальная основа замощения, для на¬
блюдателя это всего лишь поверхность, разделенная на ячейки. Если мы рассмотрим
текстиль, то, с одной стороны, увидим его плетение — основу, образующую по¬
верхность и легко различимую, например на циновках. С другой стороны, мы видим
замощение в виде орнамента, нанесенного на ткань, что характерно для парео, сари
и батиков. Также существуют ткани, состоящие из разных текстильных элементов,
или лоскутное плетение — настоящая мозаика. Ее детали могут иметь одинаковую
либо разные формы, они могут образовывать некое изобразительное или геометри¬
ческое целое либо представлять собой смешение форм и цветов без определенной
модели, как в модернистском стиле тренкадис.
Узор многих тканей строится по структурной схеме на основе многоугольников,
покрывающих плоскость, как в случае с японским кимоно. Проанализируем неко¬
торые геометрические покрытия кимоно. Плитки этого замощения являются геоме¬
трическими фигурами с криволинейным контуром.
Узоры саьиико («маленький стежок») на повседневной одежде были довольно
простыми, а на одежде для особых случаев — посложнее. В их основе лежали гео¬
метрические узоры, которые раньше строились на сочетании белого и голубого цве¬
тов, но сегодня используются и другие.
В книге «Японский квилтинг» (2007) Сьюзан Бриско собрала более 125 узо¬
ров, 20 из которых относятся к типу саьиико. Все они геометрические и опираются
27
ОТ МОЗАИКИ КУЛЬТУР ДО КУЛЬТУРЫ МОЗАИКИ
на прямоугольную, квадратную или треугольную сетку, которая порождает различ¬
ные замощения плоскости.
Узоры шиппо («семь сокровищ»), фундо («весы»), сейгайха («волны голубо¬
го океана») и новаки («травы») строятся на основе двух сеток, наложенных одна
поверх другой. Первая сетка квадратная; вторая — круглая, но размеры и распо¬
ложение кругов определены квадратной сеткой. Четыре прямые дуги этих кругов
комбинируются для создания плиток на основе четырех узоров. Круглая сетка стро¬
ится поверх квадратной с помощью кругов радиуса, равного стороне квадрата, при
этом центры окружностей располагаются на вершинах квадрата на расстоянии двух
единиц. Это порождает две круглые фигуры: вогнутую (состоит из двух дуг 90°)
и выпуклую (состоит из четырех дуг 90°), которыми покрывается вся плоскость.
V
5
V
9
о
О
Ь
$
о
О
§
£
Ь
$
6
о
о
о
о
$
о
§
£
$
£
a
a
£
a
Узор шиппо строится на круглой сетке. В остальных трех узорах эти четыре дуги
в 90° комбинируются по-разному, порождая две плитки, которыми покрывается вся
плоскость.
Плитки узора фундо (слева) и узоров сейгайха и новаки (справа).
28
ОТ МОЗАИКИ КУЛЬТУР ДО КУЛЬТУРЫ МОЗАИКИ
Если взять за единицу сторону квадрата квадратной сетки, то круглые фигуры,
полученные с помощью комбинации этих четырех дуг, изопериметричны, и их пери¬
метр равен длине окружности, вписанной в четыре ячейки квадратной сетки, — 2Я.
Об их площадях мы поговорим далее.
Узор новаки в более повседневном контексте,
образованный наложением кругов.
Однако другие узоры саишко, такие как чидори цунаги и амимон, строятся
на другой круглой сетке, хотя они также состоят из плиток, образованных дугами
окружности в 90°. В их основе лежат круглые сетки, круги которых составляют по¬
ловину предыдущих, то есть диаметр которых равен стороне квадрата квадратной
сетки.
29
ОТ МОЗАИКИ КУЛЬТУР ДО КУЛЬТУРЫ МОЗАИКИ
Вот сетка, которая обеспечивает с помощью комбинаций из дуг в 90° два новых
замощения плоскости в узорах чидори и,унаги (слева) и амимон (справа).
Первая из этих фигур состоит из восьми полукруглых дуг радиуса, равного по¬
ловине стороны квадратной решетки, то есть периметр равен двум окружностям:
Р = 8
= 4 л.
То же происходит с контуром второй решетки, составленной из восьми дуг
окружности в 90° с радиусом 1, при этом периметр равен:
Р = 8
2л • 1
4
= 4 я.
Воспользуемся фигурами сашико для того, чтобы рассмотреть замощение пло¬
скости. Мы сразу же сталкиваемся с вопросом: какие формы должны иметь плитки,
чтобы их совмещение было идеальным, без зазоров?
Многоугольник, форма которого в пространстве ограничена отрезками, может
прилегать к другому такому же многоугольнику одной из сторон, поскольку один
отрезок можно расположить рядом с другим, не оставляя зазоров. Если перед нами
не многоугольник, а, например, круг, какому условию должна соответствовать при¬
легающая к нему фигура для обеспечения замощения? Ее контур должен быть та¬
ким же, как и контур круга. То есть между кругом и какой-то частью контура другой
30
ОТ МОЗАИКИ КУЛЬТУР ДО КУЛЬТУРЫ МОЗАИКИ
фигуры должно существовать соответствие, только в этом случае фигуры смогут
быть совмещены без зазоров. Следовательно, другая фигура должна иметь какой-то
круглый фрагмент того же радиуса, что и круг.
Это означает, что две фигуры могут быть совмещены, если их периферии име¬
ют общий фрагмент идентичной формы, или, другими словами, один из фрагментов
кривой их контуров должен быть идентичным. Вогнутость одной фигуры должна
соответствовать выпуклости другой.
Возвращаясь к узорам сашико, разберем, какие из возможных форм подходят
друг другу, а какие — нет. Представим себе, что четыре дуги окружности, образую¬
щие круг, могут комбинироваться, создавая различные фигуры. Форма и вид фигур
зависят от количества использованных вогнутых и выпуклых дуг.
Шесть возможных фигур сашико, состоящих из четырех дуг окружности в 90°,
и их позиционные варианты: круг, луна, лепесток, кость, бабка и звезда.
31
ОТ МОЗАИКИ КУЛЬТУР ДО КУЛЬТУРЫ МОЗАИКИ
Четыре дуги окружности в 90° порождают 24 = 16 фигур, но мы не будем считать
их все разными, поскольку некоторые отличаются друг от друга всего лишь положе¬
нием в пространстве, что в математике известно как изометрия. Четыре фигуры,
состоящие из одной вогнутой дуги и трех выпуклых (во втором столбике на рисун¬
ке на предыдущей странице), представляют собой фигуры вращения одной из них.
То же касается фигур, состоящих из двух вогнутых и двух выпуклых дуг, составля¬
ющих два типа, и с фигурами из трех вогнутых и одной выпуклой. Следовательно,
по-настоящему различные фигуры — это шесть фигур в первом ряду рисунка.
Что касается их площадей, достаточно заметить, что все они получаются, если
отсечь один, два, три, четыре или ни одного сектора от круга площадью Я, вписан¬
ного в четыре ячейки квадратной сетки со стороной 1. Поскольку разность между
площадью квадрата и четвертью круга равна 1 — я/4, площади каждой фигуры
равны значениям, приведенным в следующей таблице (обратите внимание на то, что
площади лепестка и кости одинаковы).
Фигура
Круг
Луна
Лепесток
Кость
Бабка
Звезда
Площадь
я
1+я/2
2
2
З-я/2
4-я
Приблизит, значение
ЗД4
2,57
2
2
1,43
0,86
Какими из этих шести фигур, основанных на узорах саьиико, можно замостить
плоскость? Вспомним сказанное ранее: две фигуры могут быть совмещены, если
у них есть общий фрагмент идентичной формы и вогнутости одной фигуры соот¬
ветствует выпуклость другой. Итак, понятно, что круг при замощении плоскости
не может соединяться сам с собой. То же справедливо и для звезды, все стороны
которой вогнуты. Обе эти фигуры оставляют некоторые зоны непокрытыми.
У нас осталось еще четыре варианта. Мы уже знаем, что с помощью лепестка
и кости действительно можем замостить плоскость. Что происходит с луной и баб¬
кой? Луна состоит из одной вогнутой дуги и трех выпуклых.
Возьмем одну луну. Поскольку у нее три выпуклые стороны, для присоединения
нам понадобится столько же лун, чтобы совместить их вогнутые стороны с выпуклой
стороной исходной луны. Это приведет к наложениям, то есть замощение не уда¬
лось. С бабкой замощение также не удастся, хотя вместо наложений мы получим
нехватку площадей, поскольку у нее три вогнутые стороны и только одна выпуклая.
Но что мы действительно можем сделать, так это совместить каждую из этих фигур
с такой же, соединив их в линию. Обобщим все случаи в таблице.
32
ОТ МОЗАИКИ КУЛЬТУР ДО КУЛЬТУРЫ МОЗАИКИ
Фигура
Дуги
Замощение
Выпуклые
Вогнутые
Линейное
Плоское
Круг
4
О
Нет
Нет
Луна
3
1
Да
Нет
Лепесток
2
2
Да
Да
Кость
2
2
Да
Да
Бабка
1
3
Да
Нет
Звезда
О
4
Нет
Нет
ЛОСКУТНОЕ ШИТЬЕ
Распаханные и засеянные поля при взгляде сверху напоминают сшитые лоскуты, или, по-
английски, patchwork. Именно это английское слово используется для обозначения шитья,
при котором соединяются лоскуты правильной и неправильной формы, чтобы в результате по¬
лучить целое изделие большего размера (часто таким образом шьют покрывала). В результате
получается прямоугольник ткани, составленный из ряда более или менее неправильных много¬
угольников разной формы, цвета и фактуры, как показано на фотографии.
Нередко лоскутное шитье образует элементы правильной формы, особенно геометрической,
например часто встречается восьмиконечная звезда. Чтобы соблюсти геометрическую строгость
этого многоугольника, при работе используются квадратные лекала и миллиметровая бумага
(см. фигуру справа). Нужно быть внимательным, ведь любое отступление нарушит рисунок.
В так называемых crazy patchworks, или «безумных лоскутках», форма не определена за¬
ранее, и они обычно образуются пришиванием элементов к центральному лоскуту. При любом
лоскутном шитье с краю каждой детали для шва нужно оставлять по 5 мм.
33
ОТ МОЗАИКИ КУЛЬТУР ДО КУЛЬТУРЫ МОЗАИКИ
Фрагментарные замощения
Тренкадис — это мозаика модернизма. В ней не целое строится на основе плиток,
а плитки получаются из единого целого с помощью его фрагментации на неправиль¬
ные и неравные части. Тренкадис можно задумать как противоположный способ за¬
мощения, то есть имея в распоряжении большое число плиток неправильной формы
и различного размера, мы в конце концов замостим любую поверхность. Для этого
достаточно разделить каждую деталь на более мелкие куски, которые идеально за¬
полнят зазоры, оставленные после укладки крупных деталей. Эта идея подводит нас
к идее фрактальной мозаики в ее структурном и фрагментированном аспекте. Мы
поговорим об этом в главе 3.
I
Тренкадис на скамье на проспекте Пассеч-де-Грасиа в Барселоне, Испания.
Культура мозаики
Мы видели, как мозаика менялась с течением времени и как различные культуры,
каждая на свой лад, внесли вклад в эти изменения. Замощение плоскости при каж¬
дом типе мозаики может быть как простым (когда его определяет форма плитки),
так и множественным (когда, кроме мозаики, соответствующей физическим грани¬
цам плиток, проявляются новые узоры, благодаря, допустим, разной окраске эле¬
ментов). Согласно этому принципу, можно установить следующую классификацию.
34
ОТ МОЗАИКИ КУЛЬТУР ДО КУЛЬТУРЫ МОЗАИКИ
Мозаика
Плитки
Формы
Композиция
Покрытие
Римская
Одинаковые
Кубические
Изобразительная
Простое
Исламская
Разные
Многоугольные
Геометрическая
Множественное
Готическая / эпохи
Возрождения
Одинаковые
Прямоугольные
Геометрическая
Двойное
Модернистская
Разные
Неправильные
Цветовая
Простое
Математика — это продукт культуры, общий для всех народов. Благодаря моза¬
ике появилась такая математическая проблема, как совмещение плиток друг с дру¬
гом, расширенное другими вопросами. Плитками какой формы и каким образом
можно замостить плоскость? Тренкадис доказывает, что у этой проблемы есть про¬
стое решение, если использовать неправильные многоугольники, но можно ли это
сделать с правильными многоугольниками? Со всеми ли? С какими из них это сде¬
лать можно, а с какими — нет? В следующей главе мы будем отвечать на эти вопро¬
сы и посмотрим, как наши ответы вызовут к жизни новые вопросы, о которых мы
также затем поразмышляем.
35
Глава 2
Музыка для глаз
Немного упростив, можно сказать, что музыка представляет собой сочетание вре¬
мени, звука, тембра и тишины. Продолжая эту мысль, заметим, что подавляющее
большинство музыкальных произведений строится на повторении либо мотива, со¬
стоящего из определенных нот, либо ритма. Повторение основывается на периодич¬
ности, а ритм — это периодичность, которую воспринимает ухо и которая зовет нас
танцевать.
В этой главе мы поговорим о периодичности, повторении и ритмах, ведь периоди¬
ческие мозаики для зрения — то же самое, что музыка для слуха. Форма, цвет, свет
и пространство — это четыре составляющие мозаики, которые разум наблюдателя
воспринимает с помощью зрения. Если повторение звука через равные промежутки
времени рождает ритм, то повторение формы или цвета через равное расстояние
рождает визуальный ритм. Регулярность визуальных промежутков и вариации при
повторении опираются на симметрию. В этом смысле периодические мозаики смело
можно назвать музыкой для глаз.
Правильные замощения
Древнее искусство мозаики состояло в организации маленьких плиток на плоскости
стены или пола. Видимая сторона каждой плитки — круглой в вавилонской мозаи¬
ке или кубической в римской — представляла собой более или менее правильный
круг или квадрат. С помощью одинаковых квадратных плиток можно полностью
замостить плоскость, не оставляя пустых промежутков. Но это невозможно сделать
с помощью круглых элементов, причем независимо от их размера. На первый взгляд
кажется, что это можно сделать, если использовать круги минимального размера,
но мы легко докажем, что это не так. На самом деле промежутки между круглыми
плитками не зависят от их размера. Представим себе, например, что мы пытаемся
замостить квадратную область со стороной 1 соприкасающимися кругами, каждый
раз все меньшего размера, как показано на рисунке на следующей странице, где соз¬
дается последовательность кругов, радиусы которых получаются делением стороны
квадрата на 2, 4, 8 и так далее частей.
37
МУЗЫКА ДЛЯ ГЛАЗ
c=\J=\ c=2\d=\/2
r=42, d=\/22 . ..г=162, d=\/24
На каждом этапе есть 22п кругов, при этом их диаметры равны 1/2п. Следова¬
тельно, оставшаяся незамощенной площадь постоянна и не зависит от размера:
да-д
Уаожим рядом друг с другом три соприкасающихся круга наподобие пчелиных
сот. Результат будет тем же, а промежутки между кругами не будут уменьшаться,
как бы мы ни уменьшали диаметры круглых элементов.
В этой ситуации оставшееся пространство — это разность между площадью
равностороннего треугольника со стороной 2 и трех секторов круга радиуса 1 с угло¬
вым размером 60°, то есть разность между площадью равностороннего треугольни¬
ка со стороной 2 и половиной круга радиусом 1:
Ал - А0 = —-2-V3- —• л • I2 = -\/3- —.
л 0 2 2 2
38
МУЗЫКА ДЛЯ ГЛАЗ
Способ замощения, при котором используются квадратные плитки, называют
правильным плоским замощением, то есть покрытием плоскости без промежутков
с использованием одного вида правильного многоугольника.
Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, все стороны
и внутренние углы которого равны. Равносторонний треугольник, квадрат, правиль¬
ные пятиугольник и шестиугольник — это правильные многоугольники с 3, 4, 5 и 6
сторонами, внутренние углы которых равны 60°, 90°, 108° и 120° соответственно.
Когда говорят, что многоугольник выпуклый, это означает, что каждый из его вну¬
тренних углов не больше 180°. У пятиконечной звезды, например, могут быть равны
все стороны и углы, но она является не выпуклым многоугольником, а вогнутым.
По мере увеличения числа сторон форма правильного многоугольника все больше
приближается к кругу — предельной форме правильного многоугольника.
Четыре правильных многоугольника. Круг можно рассматривать как правильный многоугольник
с бесконечным числом сторон.
Говорят, что замощение плоскости правильное, если в вершинах сходится всег¬
да одно и то же количество правильных многоугольников одного и того же вида.
Очевидно, что это невозможно, если использовать пятиугольники, поскольку с по¬
мощью трех из них замостить пространство не удается, а если взять четыре, то их
части будут накладываться друг на друга.
Однако в предыдущем рисунке кроется ключ к проблеме, то есть указан глав¬
ный вопрос идеальной стыковки. Она будет возможной, если при совмещении
39
МУЗЫКА ДЛЯ ГЛАЗ
определенного числа вершин сумма этого же числа внутренних углов многоуголь¬
ника будет равна 360°. Чтобы узнать, для каких правильных многоугольников эта
операция возможна, нужно решить задачу: каков внутренний угол при вершине пра¬
вильного многоугольника с п сторонами?
Если обозначить через А внутренний угол при вершине правильного много¬
угольника, радиусы многоугольника (отрезки, соединяющие его центр с вершина¬
ми) являются биссектрисами углов при вершине и образуют серию равнобедренных
треугольников. Равные углы указанного равнобедренного треугольника равны по¬
ловине исходного угла А, как показано на рисунке.
Если В — угол между двумя соседними радиусами, и п копий этого угла образу
ют полный оборот в 360° (2Я радиан), получается, что:
п
Поскольку сумма трех углов треугольника должна быть 180° (я радиан), угол А
правильного многоугольника с п сторонами равен:
п • В = 2я => В = —
Зная внутренний угол А, мы легко найдем внешний угол С многоугольника:
Возвращаясь к проблеме замощения плоскости пятиугольниками, теперь мы зна¬
ем, что угол при вершине пятиугольника равен:
40
МУЗЫКА ДЛЯ ГЛАЗ
А =
Но 108 не является делителем 360, то есть полный оборот в 360° нельзя раз¬
делить на угол пятиугольника в 108° без остатка:
Ж = 1^з+1 = з,зз...
108° 12 3
Отсюда мы делаем вывод, что замощение плоскости правильными пятиугольни¬
ками невозможно. Для того чтобы замостить пространство плитками такой формы,
понадобилось бы три вершины и треть угла при вершине пятиугольника: трех плиток
недостаточно, а при использовании четырех получается наложение двух третей угла
при вершине.
Мы видим, что можно замостить площадь правильными многоугольниками
с углом А у если деление 360° /А происходит без остатка, то есть если 360° кратно
А. В этом случае частное будет равно числу многоугольников, необходимых для
стыковки. Мы превратили геометрическую проблему в арифметическую, посколь¬
ку связали решение с проблемой делимости. Вычислив внутренние углы, соответ¬
ствующие каждому из правильных многоугольников, найдем возможные решения
проблемы.
Стороны правильного
многоугольника
Угол при вершине
Число многоугольников
(360°/А)
3
о
О
СО
6
4
о
О
0>
4
5
108°
3,33...
6
120°
3
7
128,57°
2,8
8
135°
2,66...
9
140°
2,57
10
144°
2,5
Частное является целым числом только для многоугольников с 3, 4 и 6 сто¬
ронами. Очевидно, что других возможных решений нет, поскольку следующее
целое значение — 2 — предполагает, что углы при вершинах такого правильного
41
МУЗЫКА ДЛЯ ГЛАЗ
многоугольника были бы равны 180°, а это невозможно. Следовательно, существу¬
ют только три правильных замощения плоскости.
Три правильных замощения плоскости.
К тому же выводу можно прийти, рассуждая иначе. Если с помощью арифмети¬
ки мы превратили геометрическую проблему замощения правильными многоуголь¬
никами в проблему делимости, то с помощью формулы угла при вершине мы превра¬
тим ее в алгебраическую проблему. Действительно, m правильных многоугольников
с п сторонами могут идеально прилегать друг к другу, только когда их угол, взятый
m раз, даст в качестве результата полный оборот в 2К радиан (360°):
m * А = 2к.
Следовательно:
m • п = 2 (т + п)
2т — тп + 2п = 0.
Получается диофантово уравнение, в котором т представляет собой число пра¬
вильных многоугольников с п сторонами, которые сходятся в одной вершине. Это
уравнение обратимое, в том смысле что каждая из двух переменных зависит от дру¬
гой таким же образом, то есть функция, с помощью которой т получается из п,
идентична функции, с помощью которой п получается из т:
2/z 2т
т = , // = .
/7-2 /77-2
Учитывая, что тип должны быть натуральными числами, предыдущие равен¬
ства обязывают к тому, чтобы 2п делилось на п — 2 без остатка (то же справедливо
для т). Но если п — 2 является делителем 2п, оно также является делителем раз¬
ности: 2п — (п — 2) = п + 2. Если применить аналогичное рассуждение, п — 2
также является делителем разности п + 2 — (п — 2) = 4. Поскольку 4 делится на 1,
42
МУЗЫКА ДЛЯ ГЛАЗ
2 и 4, возможны следующие варианты: п — 2 = 1,п — 2 = 2 и п — 2 = 4, что ведет
к решениям: п = 3, п = 4ип = 6.
ТЕОРЕМА О ДЕЛЕНИИ И АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА
Говорят, что число Р является делителем другого числа Q, если существует третье число к такое,
что Q = к • Р. Число к - частное деления. Можно сказать, что Р - делитель Q или что Q крат¬
но Р. Так, 4 является делителем 12, потому что существует число 3, которое является частным
деления: 12 - 3 • 4.
Интересная, полезная и легкодоказуемая теорема о делении звучит так: если число Р явля¬
ется делителем другого числа Q, то Р также является делителем разности Q-Р. Действительно,
если Р является делителем Q, то существует такое число к, что Q = к • Р. Тогда Q-Pmk- Р-Рт
- (к - 1) • Р. Значит, для Q - Р существует число к - 1, которое, если его умножить на Р, дает
Q-Р. Вывод: Р является делителем Q-Р, что и требовалось доказать.
Если к - 1 - 0, то в этом случае Q - Р. Тогда мы бы сказали, что если 5 является делителем 5,
то оно также является делителем 5 - 5 - 0. Это равносильно тому, что любое число является
делителем нуля. Значение соответствующего к было бы самим нулем: к - 0.
В этой теореме представлен метод поиска наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел.
Поскольку на НОД двух чисел делятся оба эти числа, для вычисления НОД (63,210) действуем
следующим образом:
210-63-147
147-63-84
84-63-21
63-21-42
42-21-21
21-21-0
НОД(63, 210)-21.
Расширение предыдущей теоремы представлено в алгоритме Евклида для определения НОД
двух чисел, поскольку НОД также является делителем остатка от деления этих чисел. При осу¬
ществлении последовательного деления 210 и 63 подобно тому, как осуществлялось вычитание,
получается:
210 : 63, остаток = 21
63 : 21, остаток = О
НОД(63, 210) = 21.
43
МУЗЫКА ДЛЯ ГЛАЗ
Обратимость отношений между тип ведет к тому, что три единственно возмож¬
ные пары (ш, п) решений равны (3, 6), (4, 4) и (6, 3), что соответствует схожде¬
нию в одной вершине шести равносторонних треугольников, четырех квадратов или
трех правильных шестиугольников.
ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ
Так называются алгебраические уравнения, заданные для натуральных чисел (1,2,3...) или
целых чисел (натуральных положительных и отрицательных), обычно имеющие больше одной
неизвестной. На самом деле уравнение с одной неизвестной имеет единственное решение,
а в уравнении с двумя неизвестными решений может быть больше одного. Например, число
натуральных и положительных решений уравнения хх + х2 * 10 равно...
*1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
X
1
о
н
II
X*
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Целых же решений бесконечное число, потому что для каждого из значений, которые мо¬
гут быть назначены неизвестной х1Р можно найти соответствующее значение неизвестной х2 -
- 10 -хг Например, еслих^ 123, то х2 = -113.
Алгебраическое решение диофантового уравнения с двумя неизвестными aXj + бх2 = с может
быть получено, если упростить выражение до функции с неизвестной х:
с-ах.
Проблема в том, является ли данное решение целым числом. Французский математик Этьенн
Безу (1730-1783) доказал, что если с - наибольший общий делитель а и б, то диофантово
уравнение имеет решение. Обычно диофантово уравнение с п неизвестными имеет целое ре¬
шение, только если независимый член уравнения кратен НОД коэффициентов при неизвестных.
У уравнения 4х + 6у - 10 есть целые решения, поскольку НОД(4,6) - 2 является делителем 10.
Решения: (-8, 7), (-5, 5), (-2,3), (1,1), (4, -1), (7, -3),... (Зк- 2,3 - 2к) V к е Z.
Название «диофантовы» происходит от имени Диофанта Александрийского. Об этом матема¬
тике до нас почти не дошли точные сведения. По-видимому, он жил в IV веке и выпустил книгу
под названием «Арифметика», от которой сохранилась только часть. В этой работе он изучает
уравнения с различными переменными и целыми коэффициентами, которые порождают рацио¬
нальные решения.
44
МУЗЫКА ДЛЯ ГЛАЗ
Полуправильные замощения
Полуправильными называются замощения, которые можно составить, скомбиниро-
вав более одного типа правильных многоугольников так, чтобы их совмещение было
одинаковым во всех вершинах.
Полуправильное покрытие (слева) и покрытие, не являющееся таковым (справа).
Определение возможных полуправильных покрытий предполагает решение про¬
блемы, похожей на предыдущую, только с большим числом переменных. Раньше все
углы, собранные в одной вершине, были равны и принадлежали одному и тому же
правильному многоугольнику. Здесь же углы могут быть разными и принадлежать
разным многоугольникам. Замощение слева является полуправильным, потому что
во всех вершинах сходятся два правильных восьмиугольника и один квадрат; замо¬
щение справа, наоборот, не является полуправильным, потому что в одних его вер¬
шинах соединяются два треугольника и два шестиугольника, а в других — четыре
треугольника и один шестиугольник.
Обратимся к общей проблеме с учетом всех форм плиток, доступных для по¬
строения полуправильной мозаики: равносторонние треугольники, квадраты, пяти¬
угольники, шестиугольники, восьмиугольники, десятиугольники, ..., п-угольники.
Предположим, что в вершине mk собраны многоугольники с lk сторонами. Какому
условию они должны соответствовать, чтобы обеспечить идеальное совмещение?
Как и раньше, сумма всех углов должна быть равна 2я радиан. Но так как мно¬
гоугольники отличаются, их углы также отличаются. Если раньше выполнялось
m * А = 2Я, то теперь угол/4 для каждого многоугольника разный. Если обозначить
через Ak угол при вершине многоугольника с lk сторонами, а через гг — общее число
совмещенных многоугольников, то равенство m • А = 2я теперь превращается в:
45
МУЗЫКА ДЛЯ ГЛАЗ
2»hA = 2л.
Если заменить угол А на его значение, то:
/*- 2N
тк±-Г~
к /
= 2 1 + Е^Г
i-i ^ /
Для двух (п = 2) или трех (п = 3) многоугольников имеем:
_■. т. т,
т.+т, = 2 1 + —L + —=-
(п = 2);
ш, ш,
ш, + ш, + т3 = 211 + —L + —^ ^
h h h
(n = 3).
Некоторые решения этих уравнений приведены в таблице.
т1
т2
тз
'l
'а
/э
Решение
3
2
0
3
4
0
3 равносторонних треугольника и 2 квадрата
2
2
0
3
6
0
2 равносторонних треугольника и 2 шестиугольника
4
1
0
3
6
0
4 равносторонних треугольника и 1 шестиугольник
1
2
0
3
12
0
1 равносторонний треугольник
и 2 двенадцатиугольника
1
2
0
4
8
0
1 квадрат и 2 восьмиугольника
2
1
0
5
10
0
2 пятиугольника и 1 десятиугольник
1
2
1
3
4
6
1 равносторонний треугольник, 2 квадрата
и 1 шестиугольник
1
1
1
4
6
12
1 квадрат, 1 шестиугольник и 1 двенадцатиугольник
1
1
1
3
9
18
1 равносторонний треугольник, 1 девятиугольник
и 1 восемнадцатиугольник
Согласно порядку группировки многоугольников в вершине и следуя по часо¬
вой стрелке, каждую мозаику можно закодировать с помощью обозначения Канди
и Роллета, которое состоит в последовательности чисел, обозначающих стороны
многоугольников, сходящихся в каждой вершине. Например, код 3.3.3.3.3.3 указы¬
вает на схождение в одной вершине шести равносторонних треугольников. Для со¬
кращения длины кодов число повторов обычно пишут в качестве показателя степени.
46
МУЗЫКА ДЛЯ ГЛАЗ
В результате 3.3.3.3.3.3 становится З6. А вот так кодируются девять предыдущих
решений.
Способы комбинирования трех равносторонних треугольников и двух квадратов (З2.4.3.4 и 33.42).
Две комбинации двух равносторонних треугольников и двух шестиугольников (3.6.3.6 и 32.62).
Один равносторонний треугольник, один правильный шестиугольник и два квадрата (3.42.6 и 3.4.6.4).
Схождение четырех равносторонних треугольников с одним шестиугольником (34.6)
и одного квадрата с двумя восьмиугольниками (4.82).
47
МУЗЫКА ДЛЯ ГЛАЗ
Схождение одного равностороннего треугольника с двумя двенадцатиугольниками (3.122)
и одного десятиугольника с двумя пятиугольниками (10.52).
Схождение одного квадрата, одного шестиугольника и одного двенадцатиугольника (4.6.12).
Равносторонний треугольник, восемнадцатиугольник и девятиугольник (3.18.9).
Мы видим, что десять решений, представленных в таблице на стр. 46, порож¬
дают 12 различных схождений. Значит ли это, что каждая из этих возможностей
предполагает разный способ замощения плоскости? Это не так, потому что следу¬
ет учитывать не только совмещение углов в рассматриваемой вершине схождения,
но и углы при других вершинах, образованных многоугольниками при такой под¬
гонке. Не во всех этих случаях возможно замощение плоскости. Например, это не¬
возможно в случае 10.52, когда соединяются десятиугольник и два пятиугольника.
Начать формировать соответствующую мозаику, располагая пятиугольники вокруг
десятиугольника, довольно просто, но затем возникает проблема, потому что только
с помощью этих правильных многоугольников продолжать замощение невозможно.
48
МУЗЫКА ДЛЯ ГЛАЗ
См. на цветном листе 1 все восемь полуправильных мозаик.
Неправильные замощения
Так называются замощения, осуществленные с помощью неправильных многоуголь¬
ников, то есть многоугольников, не все углы и грани которых равны. Наибольшая
степень свободы наблюдается в мозаике тренкадис, которая допускает использова¬
ние многоугольных плиток самой разной формы, вплоть до того, что ни одна из них
не повторится. Но мы рассматриваем покрытия, которые все же сохраняют некото¬
рую регулярность.
Равносторонний треугольник — это правильная плитка с наименьшим числом
сторон, которым можно замостить плоскость. Поставим вопрос: может ли для замо¬
щения использоваться любой треугольник, даже такой, у которого все три стороны
и три угла разные. И простой практический пример приводит нас к положительному
ответу.
Возьмем треугольник Т и применим к нему поворот на 180°, чтобы получить
другой треугольник, Т\ Этот треугольник Т' можно приложить к исходному тремя
разными способами, по одному на каждую сторону, чтобы получить мозаику, кото¬
рая замостит плоскость.
49
МУЗЫКА ДЛЯ ГЛАЗ
Поскольку углы треугольника Т в сумме дают развернутый угол (А + В + С =
= 180°), схождение трех треугольников в каждой из трех вершин треугольника Т
в сумме также дает 180°, то есть контуры получившейся фигуры образуют подобный
треугольник, площадь которого в четыре раза больше исходного треугольника Т.
Учитывая эти контуры, продолжаем укладывать плитки, покрывая всю плоскость.
Следовательно, замостить плоскость можно любым треугольником.
Справедливо ли это же для четырехугольников? Если взять произвольный вы
пуклый четырехугольник, создать его копию с помощью поворота на 180° и прило
жить их сторона к стороне, то можно сказать, что замощение возможно.
На что опирается эта гипотеза? Если снова рассмотреть замощение плоскости
разносторонними треугольниками, можно заметить, что направляющие линии замо¬
щения являются параллельными прямыми. При совмещении сторона к стороне ис¬
ходного треугольника Т и его копии, повернутой на 180°, получается параллелограмм.
50
МУЗЫКА ДЛЯ ГЛАЗ
Учитывая, что диагональ параллелограмма делит его на два одинаковых треугольни¬
ка, повернутых на 180° по отношению друг к другу, мы можем сделать вывод, что
с помощью любого параллелограмма можно замостить плоскость.
Чтобы подтвердить возможность замощения, используя произвольный четы¬
рехугольник, выпуклый или вогнутый, нужно прибегнуть к теореме Вариньона,
согласно которой средние точки сторон любого четырехугольника, вогнутого или
выпуклого, представляют собой вершины параллелограмма. Следовательно, замо¬
щение плоскости с помощью этого параллелограмма определяет замощение, которое
можно составить из четырехугольных плиток в форме этого параллелограмма, при¬
соединяя сторону одной плитки к равной ей стороне другой — либо к идентичной
копии, либо к другим фигурам, полученным вращением на 180° (см. рисунок).
Мы уже знаем, что можно замостить плоскость любыми треугольниками и че¬
тырехугольниками, но справедливо ли это самое для пяти-, шести-, семиугольни¬
ков или любых других неправильных многоугольников, вогнутых или выпуклых?
В 1918 году Рейнхардт доказал, что плоскость можно замостить только тремя типа¬
ми выпуклых шестиугольников. Если a, fc, с, е, / — стороны шестиугольника, а Л%
В, С, D, £, F — его внутренние углы, как показано на рисунке,
51
МУЗЫКА ДЛЯ ГЛАЗ
то мы можем составить следующую таблицу.
Выпуклые шестиугольники для замощения плоскости
Стороны
Углы
a = d
4 + 8 + 0=360°
a=d,с=е
4 + 8 + 0 = 360°
a = b , c = d , e = f
4 = С=£=120°
В 1927 году Рейнхардт также доказал, что плоскость нельзя замостить выпу¬
клым многоугольником с семью и больше сторонами. Что касается пятиугольников,
ученый нашел пять их типов, которыми можно покрыть плоскость, а в 1968 году
Кершнер определил еще три их вида. В 1970-е годы математик-любитель Джеймс
добавил в этот список еще один пятиугольник, а 10 лет спустя Марджори Райс,
также любитель, открыла еще четыре типа. В 1985 году Стейн сделал свой вклад,
предложив 14-й пятиугольник (см. таблицу).
Выпуклые неправильные пятиугольники для замощения плоскости
Стороны
Углы
D + E= 180°
a = d
C+E= 180°
a=b,d=c+e
A = C=D = 120°
a=b,c=d
о
О
G)
II
О
II
a=b,c=d
C=2*A = 120°
a=b=e,c=d
C+E= 180° f a = 2°C
тэ
и
о
и
-Q
II
<0
2-B + C=360°, 2-0+4 = 360°
0)
II
о-
II
о
II
а
2-4 + 8 = 360°. 2-D + C=360°
a=b=c=d
2 • E+В = 360° , 2*D + C=360°
a=e=b+d
E=90° ,A + D = 180° ,2*8-0 = 180° , 2*C+D = 360°
d=e = 2-a + c
A = 90° , C+E=180° , 2*B + C= 360°
2-a = c + e = d
A = 90° , C+E= 180° , 2 • В + C=360°
c = d, 2-c=e
A = C=90°, 2*B = 2*E=360°-D
2e = 2c=a
0 = 90° , 2 *E+A = 360° , C+A = 180° , B + D + E= 360°
Первая строка соответствует неправильному пятиугольнику с двумя смежны¬
ми углами, которые в сумме дают 180°, что означает, что у пятиугольника есть две
параллельные стороны. В этом случае не существует какого-либо ограничения для
52
МУЗЫКА ДЛЯ ГЛАЗ
сторон, потому что таким пятиугольником с помощью вращений на 180° всегда мож¬
но покрыть плоскость, и это объясняет, почему в приведенной таблице эта ячейка
пустая.
Известно около 60 неправильных вогнутых пятиугольников, с помощью кото¬
рых можно замостить плоскость, но, возможно, это далеко не все варианты.
Многоугольники
Стороны
Покрывают плоскость
Правильные
3
Да
4
Да
5
Нет
6
Да
>7
Нет
Неправильные
3
Да
4
Да (вогнутые и выпуклые)
5
Да. 14 типов (выпуклые)
6
Да (3 типа, выпуклые)
>7
Нет
Ритм мозаики
И у правильной, и у полуправильной мозаики есть общее свойство: если взять ее
фрагмент и переместить его в одном или нескольких направлениях, мы найдем та¬
кой же повторяющийся рисунок. В этом случае говорят, что мозаика инвариантна
к перемещению в этом или этих направлениях. То же может происходить, если вме¬
сто перемещения выполнить вращение вокруг вершины мозаики или центра одно¬
го из многоугольников. Мозаика может не изменить свой вид относительно осевой
симметрии, то есть при отражении относительно линии; в этом случае мы говорим,
что мозаика представляет собой зеркальную симметрию, поскольку ее части отра¬
жают друг друга, как в зеркале.
На следующем рисунке белым отмечены точки вершин правильной мозаики ти¬
па 63, которые представляют собой центры вращения на 120°, в то время как центры
шестиугольников (черные точки) — это центры вращения на 60°. Прямые, про¬
ходящие через центры шестиугольников под углом 0°, 30°, 60° и 90°, представляют
собой оси осевой симметрии.
53
МУЗЫКА ДЛЯ ГЛАЗ
Перемещения, вращения и осевые симметрии — это изометрии, то есть транс¬
формации, которые при применении их к фигуре сохраняют ее форму и размер.
Говорят, что фигура, узор или мозаика представляет собой определенный тип сим¬
метрии, если она остается неизменной при применении к ней той или иной транс¬
формации. С одной стороны, изометрии, которые делают мозаику инвариантной,
являются ее структурной и организационной характеристикой; с другой стороны,
они представляют собой основу восприятия фигуры, узора или мозаики, поскольку
ведут наблюдателя к ее пониманию. С помощью изометрий, оставляющих мозаику
инвариантной, она разговаривает с нами, говорит нам: «Посмотри на эту форму, ко¬
торая повторяется на одинаковом расстоянии вдоль этой линии», «Посмотри сверху
вниз, и ты увидишь то же, что и если посмотришь снизу вверх», «Поставь зеркало
на эту ось, и ты увидишь отраженным то же, что спрятано за ним»...
На следующем рисунке показано, как меняется фигура при применении изоме¬
трий. Когда фигура меняет расположение в пространстве, это означает, что к ней
применяется самая элементарная трансформация — перемещение.
54
МУЗЫКА ДЛЯ ГЛАЗ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ КРИСТАЛЛЫ
Кристаллография - это научная дисциплина, объектом изучения которой являются кристалли¬
ческие структуры минералов. Поскольку у подавляющего большинства минералов эти структуры
имеют геометрические формы в виде многогранников, часто правильных, кристаллография
предполагает приближение к наиболее чистой ипостаси геометрии в мире
природы. Кристаллы соли кубические, как и большинство кристаллов
пирита. Кристаллы других веществ представляют собой шестиу¬
гольные призмы (арагонит или графит) или додекаэдры (неко¬
торые кристаллические структуры граната).
Существует семь кристаллических систем: кубическая (куб),
тетрагональная (прямая призма), орторомбическая (прямо¬
угольный параллелепипед), гексагональная (шестиугольная
призма), ромбоэдрическая, или тригональная (вариант гек-
Кубы пирита в мраморе
сагональной), моноклинная (пинакоид) и триклинная (не- из навахуна в Риохе, Испания
прямоугольный параллелепипед).
Следует подчеркнуть важность симметрии при изучении мозаик, поскольку это
позволяет на основе одной фигуры с помощью различных изометрий создать раз¬
нообразные мотивы. В этом смысле также может наблюдаться и нечто противо¬
положное: две мозаики, собранные из разных фигур, окажутся изометрически
идентичными.
Две мозаики из различных фигур, но с идентичной симметрией по вертикальным осям.
Повторение фигуры, ограниченное правилами изометрии, может происхо¬
дить вдоль линии или всей плоскости. В первом случае полученная мозаика на¬
зывается фризом, или бордюром, всего существует семь их различных типов;
во втором случае полученный узор на плоскости известен как мозаика или обои,
55
МУЗЫКА ДЛЯ ГЛАЗ
по-английски — wallpaper. Применение изометрических трансформаций к фигуре
в длину и ширину порождает 17 различных типов мозаик.
Посмотрим, как образуются и классифицируются мозаики, инвариантные к изо¬
метрическим трансформациям (перемещениям, вращениям и осевым отражениям),
известные как периодические мозаики.
Узоры в виде фриза (бордюра)
На основе любой фигуры можно создать бесконечные мозаичные узоры в виде
фриза, или бордюра, расположив их вдоль линии и применив изометрические пре¬
образования (перемещения, вращения и отражения). С точки зрения симметрии
эти узоры будут принадлежать к одной из семи возможных групп. Каждая груп¬
па обозначается кодом из четырех знаков, соответствующим инвариантности узора
к какому-либо типу изометрии. Существуют различные способы обозначений, или
коды, но мы будем использовать те, что происходят от кристаллографических групп
изометрии. Первый символ — р, от слова «период». Это означает, что узор повто¬
ряется вдоль определенного направления, которое, для упрощения нашей задачи, мы
будем считать горизонтальным. Следовательно, все коды начинаются так:
Р
Второй символ — ш, от mirror (англ, «зеркало»), если в паттерне используется
вертикальная симметрия. В противном случае символ — 1:
р т (с вертикальной симметрией).
р 1 (без вертикальной симметрии).
Третий символ — ш, если в мозаике используется горизонтальная симметрия,
1 — если ее нет, и а — если используется скользящая симметрия (комбинация гори¬
зонтальной симметрии и перемещения):
р _ т _ (с горизонтальной симметрией).
р _ 1 _ (без горизонтальной симметрии).
р _ а _ (со скользящей симметрией).
Последний символ — 2, если есть вращение на 180°, поскольку 360°/180° = 2.
В противном случае — символ 1:
р 2 (с вращением на 180°).
р 1 (без вращения на 180°).
56
МУЗЫКА ДЛЯ ГЛАЗ
Коды, соответствующие семи возможным группам, приведены на следующем
рисунке, где показаны оси симметрии (точечными линиями), ось скользящей симме¬
трии (пунктирной линией) и центры вращения (белые круги). Кроме того, на каж¬
дом фризе показана основная область, минимальная фигура, с помощью которой
образуется полный узор,— лейтмотив узора. Базовая плитка — это плитка,
из которой изготавливается фриз, то есть плита узора, повторяющаяся для создания
мозаики.
р\\\
рт 11
plal
р\\2
рта2
р\т\
ртт2
Семь узоров мозаики в виде фриза (бордюра).
См. на цветном листе 2 примеры орнаментов в виде фриза, соответствующих
каждой из семи групп симметрии.
57
МУЗЫКА ДЛЯ ГЛАЗ
КВАДРАТЫ В КВАДРАТАХ
Могут ли квадраты в ряду квадратов совместиться сторонами без щелей, чтобы образовать
другой квадрат? Очевидно, что это возможно, если все квадраты имеют один размер, но задача
становится гораздо интереснее, если некоторые квадраты отличаются от остальных или даже
если все квадраты разные. Числовое
отношение между квадратом суммы
и суммой квадратов представляет со¬
бой первое приближение к проблеме,
хотя в этом решении участвуют повто¬
ряющиеся квадраты (справа).
Другую последовательность, хотя
и с повторениями, представляет собой последователь¬
ность Фибоначчи (1,1,2,3,5,8...), из соответствующих
квадратов которой можно составить квадраты со сторо¬
нами от 1 до 13 (справа).
Поскольку сумма квадратов последовательных нату¬
ральных чисел дает в сумме число, являющееся квадра¬
том другого натурального числа, только при сложении
первых 24 чисел:
I2 + 22 + З2 + ... + 242 = 702
получается, что из квадратов со сторонами 1, 2, 3,...,
24 можно собрать квадрат со стороной 70. Однако Эдвард Рейнгольд и Джеймс Битнер из Ил-
линойсского университета с помощью компьютера доказали, что арифметическая возможность
не превращается в геометрическую. Математик
и инженер Адрианус Йоханнес Вильхельмус Дуйве-
стьин (1927-1998) в 1962 году показал, что любой
квадрат, разбитый на другие квадраты, должен со¬
держать по крайней мере 21 плитку. В 1978 году
он нашел такой квадрат и, кроме того, доказал, что
он единственный: это квадрат со стороной, рав¬
ной 112 единицам, составленный из 21 квадрата
со сторонами 2,4,6, 7,8,9,11,15,16,17,18,19,
24, 25, 27, 29,33, 35, 37, 42 и 50 (справа).
58
МУЗЫКА ДЛЯ ГЛАЗ
Периодическая мозаика в виде обоев
Если узоры в виде фриза можно классифицировать с помощью семи групп изо-
метрии, то на плоскости количество групп возрастает до 17. Так же как и в слу¬
чае с фризами, существует несколько способов кодификации, но мы воспользуемся
терминологией, происходящей от классификации кристаллических групп минералов.
Для этого мы рекомендуем алгоритм Уошберна и Кроу (1988), адаптированный ва¬
риант которого представлен в таблице.
Наименьшее
вращение
Есть ли
отражение?
Группа
360°
Да
Есть ли скользящая симметрия, ось которой
не является осью симметрии?
Да
cm
Нет
рт
Нет
Есть ли скользящая симметрия?
Да
Pg
Нет
Pi
180°
Да
Есть ли
отражения
в двух
направлениях?
Да
Находятся ли все
центры вращения
на осях симметрии?
Да
ртт
Нет
стт
Нет
pmg
Нет
Есть ли скользящая симметрия?
Да
Pgg
Нет
Р2
со
о
о
Да
Есть ли отражения в осях, образующих 45°?
Да
p4m
Нет
p4g
Нет
р4
120°
Да
Находятся ли все центры вращения на осях
симметрии?
Да
p3ml
Нет
p31/D
Нет
РЗ
о
О
(О
Да
рбт
Нет
ре
В Альгамбре в Гранаде (Андалусия, Испания) были обнаружены мозаи¬
ки XIV века, соответствующие 17 группам симметрии на плоскости, с базовой
плиткой, основной областью и изометриями, с помощью которых область получа¬
ется из плитки. Как было сказано в главе 1, реальная и физическая плитка обыч¬
но не совпадает с плиткой изображаемого узора: первая определяет вторую в том
смысле, что она при замощении создает плоскость, на которой и разворачивается
изображение второй.
59
МУЗЫКА ДЛЯ ГЛАЗ
Применим предыдущую таблицу к изучению симметрии мозаики, характерной
для так называемой городской геометрии. На рисунке показаны линии, соответству¬
ющие осям симметрии отражения, и центры вращения. Мозаика включает две оси
симметрии, вертикальную и горизонтальную, которые пересекают различные точки
узора; они представлены с помощью сплошной или пунктирной линии. Также есть
четыре типа центров вращения на 180°, которые обозначены пустыми и закрашен¬
ными кругами и квадратами.
Применим схему, представленную в таблице, и ответим на ее вопросы.
Наименьшее вращение — 180°, есть отражения, и они производятся в двух направ¬
лениях (вертикальном и горизонтальном). Все центры вращения находятся на осях
симметрии. Таким образом, группа симметрии этого узора принадлежит типу ртт.
Деталь фасада здания магазина Loewe
на проспекте Пассеч-де-Грасиа в Барселоне (Испания).
На цветном листе 5 изображены шкатулки с мозаикой в виде обоев, соответству¬
ющие некоторым из 17 групп симметрии на плоскости.
60
Глава 3
Аритмические мозаики:
дротики и змеи
В предыдущей главе мы проанализировали правильные и неправильные мозаики
с точки зрения формы плиток и однородности изобразительного узора. Мозаики
этого типа называются периодическими. Их также можно назвать ритмически¬
ми, потому что основные элементы и характеристики узоров воспроизводятся че¬
рез равные промежутки, определяемые изометрией (перемещениями, вращениями
и отражениями).
Теперь мы изучим мозаики, плитки которых представляют собой неправильные
многоугольники, с помощью которых плоскость покрывается аритмично, то есть
ни один фрагмент мозаики не повторяется через одинаковые промежутки. Это так
называемые непериодические мозаики.
Непериодические замощения плоскости
Замощение является периодическим, если существует его фрагмент, которым мож¬
но замостить плоскость, пользуясь перемещениями. В непериодических замощени¬
ях это невозможно — либо потому, что
указанного фрагмента не существует,
либо потому, что существует некий
фрагмент, который в замощении не по¬
вторяется через равные промежутки.
Показанное замощение — это простое
непериодическое замощение плоскости
из круглых фигур. Вращение на 36°
вокруг центра делает возможным со¬
вмещение дуг окружности, но с помо¬
щью перемещений добиться подобного
эффекта невозможно.
61
АРИТМИЧЕСКИЕ МОЗАИКИ: ДРОТИКИ И ЗМЕИ
Посмотрим, как можно создать непериодическое замощение из правильных
многоугольников на основе такого простого периодического замощения, как изо¬
браженное ниже.
Хотя прямоугольник — это не правильный многоугольник, замощение явля¬
ется периодическим, потому что в нем есть область, которая покрывает всю пло¬
скость в результате перемещений — прямоугольная плитка, выделенная серым.
Модифицированный вариант замощения сегодня чаще всего используется в мире
профессионального строительства. Он получается перемещением четных рядов пря¬
моугольников к средней точке стороны прямоугольников предыдущего ряда. Так
укладываются кирпичи при возведении стен, так мостятся тротуары и кладутся пар¬
кетные полы в огромном количестве зданий.
Модификация при замощении структурно
идентичными элементами.
62
АРИТМИЧЕСКИЕ МОЗАИКИ: ДРОТИКИ И ЗМЕИ
Несмотря на перемещение четных рядов, результат остается периодическим, по¬
тому что если переместить область, выделенную серым, вдоль ряда или столбика,
посредством этих перемещений можно получить замощение целиком.
Ряды 2 и 4с перемещением по 1/2.
И даже если при перемещении четных рядов в качестве отправной точки будет
не средняя точка стороны плиток предыдущего ряда, а ее треть, то для определения
периодического характера замощения потребуется та же область, что и в предыду¬
щем случае.
Ряды 2 и 4с перемещением по 1/3.
Если мы хотим достичь модификации в этой основной области, мы должны отой¬
ти от модели перемещения между четными рядами. Переместив ряд 2 на половину
плитки первого ряда, ряд 3 — на четверть плитки второго ряда, а ряд 4 — на 1/8
плитки третьего ряда, мы избежим совпадения вертикальных сторон (вдоль серой
линии пунктиром).
63
АРИТМИЧЕСКИЕ МОЗАИКИ: ДРОТИКИ И ЗМЕИ
В замощении из четырех рядов, как показанное здесь, достаточно переместить
область, закрашенную серым, чтобы увидеть, что узор является периодическим.
Чтобы избежать периодичности, добавим в узор последовательные ряды, сдвиг ко¬
торых будет вполовину больше, чем у предыдущего ряда. Таким образом, сдвиг п-го
ряда равен:
111 1
— Н 1 h ... Н .
2 4 8 2"
Поскольку значение этой суммы меньше 1, что является ее пределом,
111 1 2"-1
— + — + — + + — = >1,
2 4 8 2" Г
вертикальные стороны прямоугольников никогда не образуют одну линию, кроме
как в случае предела, соответствующего бесконечному количеству рядов, которыми
будет покрыта плоскость. Это значит, что область, которая посредством переме¬
щения создает полный узор, бесконечна, то есть перемещение рядов создает не¬
периодическое замощение. Если заменить прямоугольники квадратами, мы получим
непериодическое замощение правильными многоугольниками, основанное на самом
распространенном замощении в строительном мире.
Дротик и змей Роджера Пенроуза
Итак, основываясь на обычном замощении, мы можем создать непериодиче¬
скую мозаику с помощью прямоугольной или квадратной плитки. Существуют ли
64
АРИТМИЧЕСКИЕ МОЗАИКИ: ДРОТИКИ И ЗМЕИ
плитка или плитки, формы которых характерны только для непериодических моза¬
ик? История непериодических замощений плоскости развивалась начиная со второй
половины XX века, когда были открыты несколько видов плиток, пригодных для
непериодического замощения.
В 1961 году Ван Хао (1921—1995), американский математик китайского про¬
исхождения, доказал, что существование решения вопроса, покрывает ли плоскость
некий конечный ряд многоугольников, равносильно доказательству того, что все
множество различных плиток, покрывающее плоскость каким бы то ни было об¬
разом, может образовать периодическое замощение.
В 1966 году Роберт Берджер (р. 1938) доказал отсутствие такого алгоритма
решения относительно замощения плоскости, следовательно, должно существовать
конечное множество плиток, покрывающих плоскость непериодическим образом.
Первую группу, образованную более чем 20 тысячами плиток, нашел сам Берджер,
а позже он свел это количество элементов к сотне.
В 1971 году американский математик Рафаэль Робинсон (1911—1995) открыл
множество всего из шести плиток для непериодического замощения.
Наконец, в 1974 Роджер Пенроуз, физик и математик из Оксфорда, нашел два
неправильных четырехугольника, вогнутый и выпуклый, которые порождали ис¬
ключительно непериодические замощения плоскости и которые британский матема¬
тик Джон Хортон Конвей (р. 1937) назвал дротиком (вогнутый четырехугольник)
и змеем (выпуклый). Неизвестно, существует ли одна плитка, которой можно бы¬
ло бы непериодически замостить плоскость.
65
АРИТМИЧЕСКИЕ МОЗАИКИ: ДРОТИКИ И ЗМЕИ
МАТЕМАТИКА: СОЗДАНИЕ ИЛИ ОТКРЫТИЕ?
Когда объявляется о новых математических результатах, обычно говорят, что кто-то открыл
или нашел доказательство, решение, алгоритм... Можно сказать, что теоремы, геометриче¬
ские формы, числа, отношения и доказательства спрятаны в неких математических джунглях,
а работа профессионалов в этой области заключается в том, чтобы углубиться в них и сделать
открытие, подобно тому как в других областях знания открывают новые виды животных, расте¬
ний, минералов, новые лекарства, новые виды топлива... Ситуация парадоксальна, поскольку
из нее следует, что математики должны обладать необычными творческими способностями.
Мозаики, будь то мозаики античности или исламской культуры, построенные или нарисо¬
ванные, реальные или виртуальные - все это образцы творчества. Все они, а также непери¬
одические замощения Пенроуза, фрактальные кривые, теоремы Фалеса, Пифагора и Ферма,
определения бесконечности, предела и непрерывного отображения - было ли это открыто?
Идея открытия подчиняется Платоновой философии, согласно которой смертный математик
проникает с помощью разума и знания в божественный и идеальный мир геометрии и чисел,
в этот совершенный и неизменный мир, существование которого непреложно и выше челове¬
ческого разумения. Но где же в платоновом мире идей находятся фрактальные кривые, понятие
предела или несчетного бесконечного множества? Их не существовало, потому что конкретные
люди с конкретными именами (Платон, Сократ, Аристотель, Пифагор, Кантор, Коши, Вейер-
штрасс, Мандельброт) создали эти идеи, обычно приписываемые, возможно, высшему существу.
Если бы речь шла только об открытии, было бы достаточно написать специальную компью¬
терную программу, которая развивала бы списки предполагаемых теорем, скрытых среди уже
известного и выводимых с помощью логических высказываний. И хотя само создание этих
логических высказываний принадлежит нам, людям, это плод нашей концепции мира, причем
постоянно меняющейся концепции, как показали Птолемей, Коперник, Ньютон и Эйнштейн.
Как отмечает Роджер Пенроуз, кажется, что в математике есть нечто превосходящее человека
и существующее независимо от человеческой мысли. Это вневременное существование, из-за
которого мы воспринимаем плоды труда одного человека или многих людей как открытие, воз¬
можно, основано на том, что это плод применения ряда всеобщих логических отношений, харак¬
теризующих наш образ мысли. Возможно, мир идей Платона - это не предпосылка, а следствие,
поскольку идеальный мир создан мыслью человека в целом и мыслью математика в частности.
66
АРИТМИЧЕСКИЕ МОЗАИКИ: ДРОТИКИ И ЗМЕИ
Правильные пятиугольники на следующем рисунке не покрывают плоскость,
но они создают промежутки в форме ромба, известного как ромб Пенроуза, кото¬
рый и является основой для дротика и змея.
Оба ромба имеют общие стороны со сторонами правильного пятиугольника, они
различаются только углами.
Ромбы Пенроуза.
Если провести большую диагональ АС большего ромба, с углами 72° и 108°,
и взять на ней точку В, которая делит диагональ по принципу золотого сечения,
получаются два четырехугольника: дротик — вогнутый, змей — выпуклый.
А
С
АС _ 1 + У5
ВС 2
67
АРИТМИЧЕСКИЕ МОЗАИКИ: ДРОТИКИ И ЗМЕИ
Этот процесс равносилен наложению двух предыдущих ромбов.
Большая диагональ ромба делит дротик и змея на два равнобедренных треуголь¬
ника с углами 36° и 108° (дротик) и 72° и 36° (змей).
Ф—1
1
В так называемых мозаиках Пенроуза, когда мы соединяем стороны одинаковой
Дротик с дротиком.
68
АРИТМИЧЕСКИЕ МОЗАИКИ' ДРОТИКИ И ЗМЕИ
СЕМЬЯ ПЕНРОУЗОВ
Среди огромного вклада в науку Роджера Пен-
роуза (р. 1931) стоит выделить открытие двух
неправильных многоугольников, которые обра¬
зуют непериодические замощения на плоско¬
сти, и теорию эонов Вселенной. Пенроуз был
физиком и математиком, он получил образо¬
вание в Оксфорде, в 1994 году был удостоен
титула сэра от королевы Англии Елизаветы II.
В 1988 году Пенроузу вместе со Стивеном Хо¬
кингом была вручена премия Вольфа по физике.
Роджер Пенроуз.
Нет ничего удивительного в том, что Роджер
увлекся физикой и математикой, ведь именно его отец, Лайонел Пенроуз (1898-1972), в своей
статье 1959 года опубликовал «бесконечную лестницу»», которую год спустя популяризировал
голландский художник Мауриц Корнелис Эшер в своих литографиях «Вверх и вниз»» (1960) и «Ка¬
скад»» (1961). Лайонел был психиатром, врачом-генетиком, а также интересовался математикой
и шахматами. Кроме Роджера, у него было трое детей, которые посвятили себя математике,
шахматам и генетике.
«Бесконечная лестница»» - это оптическая иллюзия, в которой наблюдается игра с пред¬
ставлением на плоскости трехмерного объекта и с перспективой, в которой мы воспринимаем
объекты в реальности. Если пробежать взглядом по ее ступеням, вверх или вниз, единственное,
что удается,- это все время поворачивать, как на лестничном пролете. Эффект достигается
благодаря разной длине четырех участков: каждый из них должен был бы содержать шесть
ступеней, но вместо этого есть два участка в шесть ступеней и два - в три ступени.
Бесконечная лестница Лайонела Пенроуза, с бесконечными подъемами и спусками.
69
АРИТМИЧЕСКИЕ МОЗАИКИ: ДРОТИКИ И ЗМЕИ
Дротик со змеем, включая исходную фигуру (сверху слева).
С помощью двух змеев и одного дротика можно составить змея, подобного ис¬
ходному, с такими же углами.
70
АРИТМИЧЕСКИЕ МОЗАИКИ: ДРОТИКИ И ЗМЕИ
Пропорция между сторонами этого нового змея и исходного — это золотое се¬
чение, поскольку ромб, от которого он происходит, сохраняет указанную пропорцию
с исходным ромбом.
Если добавить выступы и ниши к каждой стороне этих четырех многоугольников,
получим две пары плиток: одна состоит из двух разных ромбов, а другая — из дро¬
тика и змея; с их помощью можно построить непериодическое замощение плоскости.
Непериодические дротик и змей Пенроуза.
Непериодические ромбы Пенроуза.
71
АРИТМИЧЕСКИЕ МОЗАИКИ: ДРОТИКИ И ЗМЕИ
Вот первые шаги замощения Пенроуза дротиками и змеями, на котором опуще
ны такие детали, как выступы и ниши на сторонах.
На цветном листе 6 показаны некоторые непериодические замощения Пенроуза
ромбами, дротиками и змеями. Несмотря на непериодический характер, мозаики
Пенроуза обладают экстраординарным балансом симметрии: некоторые из этих
узоров имеют симметрию вращения пятиугольника и десятиугольника. Франсиско
Хесус Сальгеро приписывает им выполнение теоремы о локальном изоморфизме,
согласно которой в замощениях Пенроуза любая конечная область входит в со¬
став другого подобного замощения, так что оказывается возможным различить
только два любых замощения в пределе. Это означает, что любая точка замощения
Пенроуза может быть истолкована как его центр.
Мозаики наугад
Другой способ создания непериодических мозаик — поиграть со случаем. Из ква-
дратных плиток можно составить мозаику, которая образует периодическое замо¬
щение плоскости, но если на каждой плитке нарисовать узор или несимметричную
фигуру, то элементы замощения можно будет отличать друг от друга по вращению
относительно их центра. В качестве отправных точек возьмем, например, средние
72
АРИТМИЧЕСКИЕ МОЗАИКИ: ДРОТИКИ И ЗМЕИ
точки сторон квадрата и соединим отрезком и дугой окружности две пары этих по¬
следовательных средних точек.
Преимущество этой плитки в том, что при совмещении с другой плиткой линии
и дуги всегда будут соединяться, поскольку они находятся на средней точке сто¬
рон, в результате появится непрерывность линий, характерная для мозаики. Четыре
вращения на 0°, 90°, 180° и 270°, применяемые к квадрату и обеспечивающие
столько же положений плитки, кратны 90° с коэффициентом 0, 1, 2 и 3. Этими
цифрами можно закодировать указанные вращения на основе исходной плитки (см.
следующий рисунок). Заметьте, что эти четыре плитки составляют все возможные
изометрии исходной, а с помощью вертикальных и горизонтальных отражений мы
получили бы две плитки, отсутствующие в этом квартете. Однако в реальности
встречаются не симметрии, а именно вращения. Если бы нарисованная здесь плитка
была керамической, пол комнаты можно было бы замостить ее копиями, к кото¬
рым бы применялись упомянутые вращения. Но в реальности пол или паркет не мо¬
жет быть создан с применением последовательных осевых отражений.
Плитки 0,1,2 и 3.
Если позволить, чтобы случай определял вращение, применяемое к каждой
из квадратных плит периодической мозаики, можно составить непериодическую
мозаику, например из 9 столбиков и 6 рядов, то есть прямоугольник, состоящий
из 9 х 6 = 54 элементов.
73
АРИТМИЧЕСКИЕ МОЗАИКИ: ДРОТИКИ И ЗМЕИ
Этот прямоугольник превращается в мозаику из 54 плиток.
Здесь 54 случайных вращения на 0°, 90°, 180° или 270°.
Замощение и размерность
Аргентинский писатель Хорхе Луис Борхес начинает свой рассказ «Книга песка»
следующими словами:
«Линия состоит из множества точек, плоскость — из бесконечного множества
линий; книга — из бесконечного множества плоскостей; сверхкнига — из бес¬
конечного множества книг... »1
В этой цитате содержится интуитивное понимание пространственной размер¬
ности, присутствующее уже у Евклида и в наши дни проверенное фрактальной
1 Перевод В. Кулагиной-Ярцевой.
74
АРИТМИЧЕСКИЕ МОЗАИКИ: ДРОТИКИ И ЗМЕИ
геометрией. Так, существуют фрактальные прямые, размерность которых равна де¬
сятичному числу, заключенному между 1 и 2.
В 1912 году Анри Пуанкаре (1854—1912) счел нужным пересмотреть понятие
размерности. Линия одномерна, потому что на ней можно отделить друг от друга
две любые точки, разрезав прямую по одной-единственной точке с нулевой размер¬
ностью. Это предполагает индуктивное понимание размерности, согласно которому
можно сказать, что пространство является п-мерным, если для того, чтобы отделить
на нем друг от друга пару любых точек, достаточно разрезать указанное простран¬
ство по фрагменту с размерностью п — 1.
Связь сказанного в предыдущем абзаце с мозаиками очевидна, ведь плит¬
ки — это фигуры, определенные замкнутой кривой на плоскости. Пользуясь идеей
Пуанкаре, можно сказать, что плоскость имеет два измерения, и для того, чтобы
отделить друг от друга две точки, достаточно разрезать плитку так, чтобы одна
из ее частей содержала одну из точек. Однако теорема о замощении связывает за¬
мощения плоскости с топологическим понятием размерности более точно и строго.
Размерность точки — ноль; прямой — один; плоскости — два; пространства —
три. Как могут быть связаны мозаики с размерностью?
На этот вопрос отвечает общая теорема о замощении плоскости, приписывае¬
мая Лебегу и Брауэру. Курант и Роббинс (1996) сформулировали ее следующим
образом:
«Если п-мерная фигура разбита на достаточно маленькие фрагменты, то непре¬
менно существуют точки этой фигуры, принадлежащие сразу по меньшей мере
п + 1 фрагментам, а также существуют и такие разбиения, при которых ни одна
точка фигуры не принадлежит сразу более чем п + 1 фрагментам [...] Эта те¬
орема характеризует размерность рассматриваемой фигуры: все фигуры, для
которых теорема верна, являются п-мерными [...] По этой причине указанная
теорема может быть принята за определение размерности».
Чтобы проиллюстрировать эту идею, сначала поговорим об одномерном замо¬
щении, то есть об отрезке. Такое замощение будет сформировано отрезками произ¬
вольной длины, уложенными без промежутков. Какими бы короткими эти отрезки
ни были, мы всегда найдем точки исходного отрезка, принадлежащие по меньшей
мере двум элементам замощения. Эти точки будут концами фрагментов. На самом
деле точки исходного отрезка можно разбить на два типа: один тип — точки, яв¬
ляющиеся внутренними по отношению к элементам покрытия и принадлежащие
75
АРИТМИЧЕСКИЕ МОЗАИКИ: ДРОТИКИ И ЗМЕИ
одному элементу замощения, и второй — точки, принадлежащие двум элементам,
в каждый из которых также входят концы отрезков. Невозможно разделить от¬
резок на элементы, принадлежащие менее чем двум фрагментам. Следовательно,
размерность здесь 2 — 1 = 1.
Чтобы адаптировать эту ситуацию к плоской фигуре, такой как прямоуголь¬
ник, вспомним о замощении пола, показанном на фотографии в начале этой главы
(стр. 62), или о непериодическом замощении плоскости, образованном смещением
плиток на размер, равный степени числа 1/2 (стр. 64). С помощью этой процедуры
создадим покрытие из прямоугольников произвольного размера, в котором никогда
не будет вершин, общих менее чем для трех прямоугольников.
Следовательно, размерность этого покрытия будет 3 — 1 = 2. Эта идея про¬
иллюстрирована на следующем рисунке, где белым отмечена точка, но не вершина,
принадлежащая сразу двум элементам; квадрат — это вершина, в которой сходятся
четыре плитки, а черным отмечена точка, но не вершина, принадлежащая трем плит¬
кам и характеризующая размерность 2 = 3 — 1 прямоугольной фигуры.
Бесконечные мозаики в конечных пространствах
В отличие от плоскости, размеры конечной фигуры имеют некоторый предел.
Конечная фигура — это сама по себе плитка, или многоугольник. Если до этого мы
работали с замощением бесконечной плоскости с помощью конечного числа более
или менее правильных плиток, то теперь нашей задачей стало замощение конечных
фигур бесконечным числом плиток. Другими словами, мы посмотрим, как можно
создать бесконечные мозаики в ограниченном пространстве, таком как пространство
плоской фигуры конечного размера.
Первый пример, с которым мы сталкиваемся в повседневной жизни, — это ли¬
сты бумаги в формате DIN А. Принцип создания этого прямоугольного формата
соответствует двум правилам: первое — при разрезании листа бумаги посередине
76
АРИТМИЧЕСКИЕ МОЗАИКИ: ДРОТИКИ И ЗМЕИ
две получившиеся фигуры подобны исходной; второе — исходная площадь листа
равна 1 м2.
ь
ь
а/2
а
Если а — длина исходного листа, а Ь — его ширина, то эти два условия задают
систему уравнений:
а _ Ь
* b а/2 •
а • b = 1
Решение этой системы выглядит так:
i/2
Но большее значение, чем решение, имеет тот факт, что коэффициент пропорцио¬
нальности между различными размерами является иррациональным числом:
- = 71.
а
Бесконечное количество знаков после запятой в десятичном выражении этого
числа мешает вырезать листы идеально точно, так что реальные размеры бумаги
представляют собой приближения к этому значению.
Но нас сейчас интересует другое наблюдение: площадь листа каждого формата
серии DIN А в два раза меньше площади листа предшествующего формата:
А=2Д,+|=^,«*0.
77
АРИТМИЧЕСКИЕ МОЗАИКИ: ДРОТИКИ И ЗМЕИ
Формат DIN А представляет собой бесконечное замощение прямоугольника
подобными прямоугольниками уменьшающегося размера. Сумма площадей — это
ряд, бесконечная сумма которого ограничена площадью исходного листа, DIN АО.
Конвергенция проявляется по мере добавления половинок:
1 1 1
1--+-+
2 4
1 1 1 1
2 4 8
11 1 1 /1\
1 = —I—- н—- +... н 1- — .
2 2~ 23 2" \2")
В пределе последняя дробь в скобках исчезает и становится нулем:
— + — + — + = lim— = 1.
2 4 8 2"
Можно заметить, что на самом деле этот предел — 1, то есть исходный лист DINA,
если его разрезать посередине и собирать, как будто это пазл. Незамещенный оста¬
ток площади постепенно исчезает — с уменьшением дроби в скобках. Предложим
более формальное доказательство. Пусть Sn будет п-ным членом ряда:
1 1 1
— + — + ...+—
2 4 2"
Тогда:
В реальности мы в конце концов останемся с листом бумаги нулевого размера
(что равнозначно тому, чтобы остаться совсем без бумаги).
78
АРИТМИЧЕСКИЕ МОЗАИКИ: ДРОТИКИ И ЗМЕИ
Теорема о четырех красках
Проблема четырех красок тесно связана с плоскими мозаиками. Она основана
на реальной ситуации, возникающей при раскрашивании карты. Чтобы избежать
путаницы, нельзя окрашивать в один и тот же цвет две соседние страны с общей
границей. Вопрос в том, какого минимального количества красок будет достаточно
для окрашивания любой карты.
Если мы приступим к практическому решению, то скоро поймем, что форма
стран сама по себе нас не интересует: все равно, будут ли они выпуклыми, вогнуты¬
ми, прямоугольными, многоугольными, с криволинейными контурами... Пробле¬
ма является топологической, потому что она касается границ и расположения стран
на плоскости.
Мы можем начать закрашивать первую прямоугольную страну белым цветом.
Поскольку на карте есть и другие страны, худшая из ситуаций заключается в том,
чтобы каждая новая добавленная к карте страна имела общую границу со всеми
остальными странами, что привело бы нас к особой ситуации.
79
АРИТМИЧЕСКИЕ МОЗАИКИ: ДРОТИКИ И ЗМЕИ
Первая страна белая, вторая — светло-серая, третья — серая, четвертая — тем¬
но-серая. У нас уже есть четыре страны, каждая своего цвета. При этом светло¬
серый цвет оказался со всех сторон закрытым остальными цветами. Если сейчас
добавить новую страну на плоскости, то она не сможет иметь общую границу со все¬
ми. Единственный способ сделать это — представить пространство, в котором мы
разрабатываем нашу мозаику, как трехмерное. А в существующей двумерной кон¬
фигурации карты пятую страну можно закрасить светло-серым цветом. Итак, мы
можем удостовериться в том, что четырех красок для раскрашивания любой карты
достаточно.
Однако это не математическое доказательство, а всего лишь интуитивно создан¬
ная мозаика. Формулировка теоремы превращает ее в проблему графов. Задумав¬
шись о связи, которая существовала бы, если бы мы раскрасили две соседние страны
или области одним цветом, мы можем задаться вопросом о возможности погранич¬
ного перехода между ними.
Если заменить каждую область точкой, а общие границы — отрезками, карта
превращается в граф с вершинами и ребрами. Новая ситуация позволяет перефор¬
мулировать вопрос: сколько красок необходимо, чтобы раскрасить вершины графа
таким способом, при котором две вершины, связанные между собой ребром, не бы¬
ли одного цвета?
Графы, вершины которых можно раскрасить тремя красками, А, В и С.
80
АРИТМИЧЕСКИЕ МОЗАИКИ: ДРОТИКИ И ЗМЕИ
Следующий граф — это двойственный граф предыдущего узора, образованного
из четырех пограничных стран. В этом случае, чтобы раскрасить его вершины, нуж¬
ны четыре краски — А, В, С и D.
А
Теорема о четырех цветах была доказана нетрадиционным способом, поскольку
известные доказательства скорее являются изнурительными проверками справед¬
ливости теоремы на чрезвычайно большом количестве вариантов. С точки зрения
традиционной математики это не доказательство. Но с более прогрессивной точки
зрения это «доказательство», возможно, меняет само наше представление об этом
понятии, учитывая, что главное в любой математической проблеме — это найти ре¬
шение. Проблема в этом смысле решена благодаря созданию машины, выполнившей
вычисления, для которых человеку не хватило бы и всей его жизни.
Проблема была впервые поставлена в 1852 году учеником британского матема¬
тика Огастеса де Моргана (1806—1871), которому не удалось найти доказательство
этого предположения. Не получил ответ и Уильям Роуэн Гамильтон (1805—1865),
узнавший о проблеме от де Моргана. Учитывая то, как высоко ценят математики
элегантные доказательства, то есть доказательства, представляющие истинность
или ложность теоремы максимально ясно, доказательство теоремы о четырех кра¬
сках остается открытой философской проблемой. Стоит ли ожидать, что ее можно
решить с помощью карандаша и бумаги?
Фрактальные мозаики
В 1904 году шведский математик Хельге фон Кох (1870—1924) представил непре¬
рывную кривую, для построения которой нужны были только знания элементарной
геометрии, поскольку она была основана на равностороннем треугольнике. Эта кри¬
вая не имела касательных ни в одной из точек: она была везде непрерывна, но нигде
не дифференцируема. Кривая Коха породила ряд неправильных многоугольников,
81
АРИТМИЧЕСКИЕ МОЗАИКИ: ДРОТИКИ И ЗМЕИ
НОЖНИЦЫ И ПРОИЗВОДНАЯ
Простой способ представить себе непрерывную кривую - это нарисовать ее одним штрихом.
Такая кривая нигде не будет прерываться. Обычно говорят, что дифференцируемая кривая -
это гладкая функция, кривая плавной формы, без углов или изломов. Все дифференцируемые
кривые непрерывные, но также они могут быть непрерывными и недифференцируемыми.
Иногда недифференцируемость путают с прерывистостью функции. На практике разграничить
оба понятия сложно. Так, кривые с углами не являются дифференцируемыми, поскольку в углу
функция не является непрерывной - это становится очевидным при попытке вырезать недиффе-
ренцируемую кривую в одном из углов. Можно сказать, что ножницы обводят кривую по контуру
с помощью последовательности касательных к ней. Дойдя до угла, мы должны сделать поворот
ножниц в воздухе, чтобы поменять направление; во время этого поворота кривая не вырезает¬
ся, и становится очевидной прерывистость касательной. Мы перестаем резать - точно так же,
как отрываем карандаш от бумаги, когда проводим прерывистую прямую.
Следовательно, кажется, что существует равенство между прерывистостью и недифференци¬
руемостью в том смысле, что кривая, вдоль которой можно резать непрерывно, без остановок,
является дифференцируемой. Кажется, что прерывистость функции равносильна ее недиффе¬
ренцируемости. Однако американский математик Уолтер Рудин (1921-2010) в работе «Осно¬
вы математического анализа» представил дифференцируемую кривую, производная которой
не была непрерывной в точке х = 0:
F
G
Н
Прерывистая кривая (F), дифференцируемая кривая (G)
и непрерывная недифференцируемая кривая (Н).
Вырезание функции абсолютной величины вокруг точки х = 0.
82
АРИТМИЧЕСКИЕ МОЗАИКИ: ДРОТИКИ И ЗМЕИ
основанных на равностороннем треугольнике, шестиугольнике и квадрате, которые
известны как крест Коха, или снежинка Коха, из-за их сходства, хоть и отдаленно¬
го, с шестиугольными кристалликами льда.
Крест, или снежинка Коха может стать плиткой мозаики, но не обычной плит¬
кой. Следующие рисунки иллюстрируют процесс создания того, что мы назовем мо¬
заикой Коха 2-го уровня, соответствующего квадрату.
Как видно на этих рисунках, отрезок длиной 1 превращается в ломаную кри¬
вую из восьми отрезков, каждый из которых равен четвертой части исходного.
Эта трансформация применяется к каждой стороне квадрата, образуя «островки»
на каждом этапе. Заметьте, что площадь каждого островка остается постоянной,
поскольку выступы, добавленные к квадрату (и к каждому из островков), компен¬
сируются образующимися нишами. Следовательно, плитки мозаики имеют равную
83
АРИТМИЧЕСКИЕ МОЗАИКИ: ДРОТИКИ И ЗМЕИ
площадь. Но что варьируется, причем довольно сильно, так это их периметр, как
показано в таблице.
Этап
Отрезки
Длина
Периметр
Площадь
0
4*1 = 4
1
4*1 = 4
1
1
4*8 = 32
1/4
32*1/4 = 8
1
2
4-82 = 256
1/16
256*1/16 = 16
1
3
4-83 = 2048
1/64
2048*1/64 = 32
1
п
4*8л = 23л+2
1/4"
Qn + 2
1
В то время как длина стороны многоугольника экспоненциально стремится
к нулю, его периметр так же экспоненциально меняется в сторону бесконечности.
Учитывая, что ни один из этапов не является завершенной плиткой Коха, ее по¬
строение оказывается невозможным: для этого нужно вырезать плиту площадью 1,
состоящую из зигзагов все меньшей длины, меняющих направление. Именно здесь
проявился бы недифференцируемый характер контура плитки.
С другой стороны, поскольку исходный отрезок делится на 8 частей, каждая
из которых равна 1/4 отрезка, фрактальная размерность квадратной кривой Коха
равна:
D = log48 = ^^- = l,5.
I°g 4
Это означает, что каждая сторона плитки мозаики Коха покрывает более одного
отрезка или одной одномерной кривой, как это делают обычные плитки.
Другой тип фрактальной мозаики — это так называемый треугольник
Серпинского. На плоскости он создается путем вырезания фрагментов равносто¬
роннего треугольника следующим образом.
п= 1
п = 2
п = 3
// = 4
84
ВОСЕМЬ ПОЛУПРАВИЛЬНЫХ МОЗАИК
Мозаики 32.4.3.4, 33Л2 и 4.82.
Мозаики 3.6.3.6 и 34.6.
Мозаики 3.4.6.4 и 3.122.
Мозаика 4.6.12.
ЛИСТ!
ФРИЗЫ ДЛЯ СЕМИ ГРУПП СИММЕТРИИ
Четыре фриза. Севилья, Испания (сверху вниз: pill, pmll, plml и р112).
Резьба по дереву народа тораджи. Сулавеси, Индонезия (plal).
Орнаментный фриз на фасаде. Барселона, Испания (рта2).
Узор на саронге в Макасаре. Сулавеси, Индонезия (ртт2).
ЛИСТ 2
СЕМНАДЦАТЬ ГРУПП СИММЕТРИИ В КОНТЕКСТЕ (I)
Р1 на модернистском фасаде в Барселоне, Испания. Р2 на рисунке платья
без учета цвета.
Pm в оптике.
Pmm на блузке.
Cm на матрасе.
Pmg на резьбе по дереву на Тиморе.
Молуккские острова, Индонезия.
ЛИСТЗ
СЕМНАДЦАТЬ ГРУПП СИММЕТРИИ В КОНТЕКСТЕ (II)
Стт на ткани в Макасаре. Сулавеси, Индонезия. Pgg на резьбе по дереву
народов тораджи. Индонезия.
Р4 (слева) и Р4т на изразцах в Севилье, Испания.
P4g на шкатулке в Такаяме, Япония.
Pg на крышке
майонезной банки.
ЛИСТ 4
СЕМНАДЦАТЬ ГРУПП СИММЕТРИИ В КОНТЕКСТЕ (III)
Р6 в античном искусстве Афин, Гоеция.
Р31т на шкатулке в Каназаве (слева) и Рбт на шкатулке в Окаяме, Япония.
P3ml на мостовой с ошибкой вращения
в левой части рисунка.
РЗ на рисунке без учета цвета.
Альгамбра в Гоанаде, Испания.
ЛИСТ 5
ЗАМОЩЕНИЯ ПЕНРОУЗА
Солнце.
Звезда.
Непериодическая мозаика с симметриями. Ромбическое замощение с симметриями.
ЛИСТ 6
НЕПЕРИОДИЧЕСКАЯ ТРАНСФОРМАЦИЯ ПРАВИЛЬНОЙ МОЗАИКИ
Базовая плитка (форма)
Правильный шестиугольник
Замощение
Правильное шестиугольное 63
Трансформация
Дуга окружности, проведенная через средние точки соседних сторон,
и две дуги окружности, проведенные через средние точки сторон
через одну
Трансформированная
базовая плитка
Вращения
0°, 60°, 120°, 180°, 240°, 300°
Создание
Случайно с помощью EXCEL:
=ОСТАТ(ОКРУГЛ(Ю*СЛЧИС();0);6)
Случайные вращения
8 х 13 = 104 плитки
1213542241344
5133132205130
3221040313223
1335510020222
21 13234413332
3242215403002
1213542241344
5133132205130
Изобразительные
характеристики
Непериодичность, непрерывность и дифференцируемость
образованных кривых при наличии перекрещиваний, но не стыков
ЛИСТ 7
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВРЕМЯПРЕПРОВОЖДЕНИЕ С МОЗАИКОЙ
Игра со счетом и элементарным вычислением с помощью мозаики
(автор — Игнаси дель Бланко).
+
Четные и нечетные числа в сумме
Из чисел от 1 до 9 составьте сумму,
поместив четные числа на желтые плитки,
а нечетные — на голубые плитки.
Магический квадрат
Поместите числа от 1 до 9 так, чтобы
сумма всех рядов, столбцов и диагоналей
равнялась 15.
Сумма рядами
Поместите числа от 1 до 9 так, чтобы в каждом случае число внизу являлось суммой
двух чисел сверху от него. Это также можно сделать с 5 или 7 первыми числами.
ЛИСТ8
АРИТМИЧЕСКИЕ МОЗАИКИ: ДРОТИКИ И ЗМЕИ
ДЛИНА БЕРЕГОВОЙ ЛИНИИ
Длина реальной кривой измеряется в шагах: с по¬
мощью циркуля считаются шаги, которые можно
по ней пройти. Если разворот циркуля определяет
шаг длиной р, то для каждого значения р получа¬
ют длину Цр) кривой. Если кривая - это отрезок,
то его длина определяется умножением числа п
шагов на длину р каждого из них: Цр) = п • р.
Длина отрезка не зависит от выбранного шага,
будь то метры, сантиметры или миллиметры. Если
кривая не прямолинейная, то чем меньше шаг,
тем ближе мы к реальной длине.
Льюис Фрай Ричардсон (1881-1953), англий¬
ский математик и метеоролог, заметил, что длины
различных береговых линий не стремятся к кон¬
кретному значению (которое было бы их длиной)
с уменьшением шага р, но их длина неопреде¬
ленно растет. Другими словами, существуют ре¬
альные кривые, длина которых зависит от шага,
которым их обходят, или измеряют. Кроме того,
если воспроизвести на бумаге фрагмент побережья, невозможно понять, в каком масштабе его
привели. Береговые линии обладают самоподобием, отсутствующим у традиционных математи¬
ческих кривых, которые с укрупнением масштаба наблюдения кажутся все более прямолиней¬
ными. Неправильности и самоподобие в масштабе делают из побережья фрактальную кривую,
но, в отличие от известных фрактальных объектов, в которых самоподобие фрагмента кривой
в целом было точным и идентичным, как в кривой Коха, фрагмент побережья совсем не точная
уменьшенная копия. Чем это вызвано? Факторами среды и геологии или случайностью? Коли¬
чественная оценка неправильности фрактальной кривой ведет к понятию фрактальной размер¬
ности. Ричардсон количественно оценил фрактальные размерности некоторых земных границ
и береговых очертаний. Западное побережье Великобритании, обладающее фрактальной раз¬
мерностью 1,25, неправильнее австралийского побережья (размерность 1,13), а последнее,
в свою очередь, неправильнее, чем побережье Южной Африки (1,02).
Кроме того что Льюис Фрай Ричардсон
является автором одной из первых работ
о фракталах, он применил математику
к изучению метеорологии и причин
военных конфликтов.
85
АРИТМИЧЕСКИЕ МОЗАИКИ: ДРОТИКИ И ЗМЕИ
Построение треугольника напоминает способ, которым мы делили на части бу¬
мажный прямоугольник для получения формата DIN А. В этом случае исходная
плитка треугольная, а последующие плитки также получаются делением предыду¬
щих. С треугольником Серпинского связаны некоторые вопросы.
1. Как плитки на одном этапе получаются из предыдущих и сколько их?
2. Из какого количества плиток состоит каждый п-ный этап?
3. Какую часть треугольника они в итоге покрывают?
4. С помощью каких изометрий треугольник остается инвариантным?
Эта фрактальная мозаика ограничена конечным пространством, однако она бес¬
конечна. Узор можно распространить на всю плоскость, покрывая ее равносторон¬
ними треугольниками, образующими правильную мозаику, как показано на следую¬
щем рисунке, составленном из треугольников Серпинского шестого уровня.
Плоскость, покрытая треугольниками Серпинского 6-го уровня.
Изометрический анализ, необходимый для ответа на четвертый вопрос, пока¬
зывает, что наименьшее вращение этой мозаики — 60° и что в ней существуют оси
симметрии, поэтому ее группа симметрии — рбгп.
Чтобы ответить на другие три вопроса, составим таблицу, показывающую связь
между площадью и количеством плиток.
86
АРИТМИЧЕСКИЕ МОЗАИКИ: ДРОТИКИ И ЗМЕИ
Этап
Плитки
Площадь
0
1
1
1
3
3 1/4 = 3/4
2
9 = 3-3
9-1/16 = 9/16
3
27 = 3-3-3
27/64
п
3Л
с
\
со
Число плиток явно стремится к бесконечности, но при этом связано со степенью
числа 3. Плитки каждый раз уменьшаются в размере на 1/4, поскольку на каж¬
дом этапе предыдущая плитка делится на четыре части. Из этих частей берется
три, а одна — отбрасывается, поэтому площадь уменьшается на (3/4)п и стремится
к нулю. Также заметьте, что сумма площадей последовательных плиток равна трети
площади первой:
Представленные фрактальные мозаики являются непериодическими, хотя име¬
ют явное самоподобие, связанное с идеей периодичности. Дело в том, что к этой
периодичности также нужно добавить изменение масштаба или пропорции. Даже
наблюдая их со все более близкого расстояния, чтобы лучше проанализировать де¬
тали оставшихся пустот, мы видим только то, что видели издалека. Масштаб не ме¬
няет картины. Если периодические мозаики были инвариантными к перемещению,
то этот тип фрактальных мозаик инвариантен к «зуму», то есть изменению масшта¬
ба. Изменение масштаба, или гомотетия — это не изометрия, и поскольку этого
свойства лишены нефрактальные мозаики, оно служит для характеристики фрак¬
тальных. Итак, фрактальные мозаики гомотетичны.
87
Глава 4
Бесконечные ангелы и демоны
на гиперболической плоскости
Мы живем в мозаичном мире. Мозаика устилает полы наших домов и тротуары
на улице. Мозаикой является рисунок на протекторах колес наших машин. Мы оде¬
ваемся в одежду, на которой вытканы или вышиты мозаичные узоры. Мы даже
делаем татуировки в виде мозаики. Порция пиццы или кусочек торта — это также
элемент мозаики в форме круга или прямоугольника. Мы рассмотрели правиль¬
ные, неправильные, периодические и непериодические мозаики, и все они состав¬
лены из многоугольников. До сих пор во главе угла стоял геометрический подход.
Но теперь мы поговорим об особом типе мозаики. Пришло время ослабить жесткие
границы многоугольников, то есть отрезки, и придать им криволинейную форму,
свойственную многим объектам вокруг нас.
Богатство природных форм необычайно. Среди них есть и чисто геометрические
формы, такие как кристаллы минералов или раковины моллюсков, но самые слож¬
ные природные формы не являются многоугольниками или многогранниками. Итак,
можно ли замостить плоскость природными фигурами, то есть негеометрическими
плитками? Этим вопросом мы и займемся.
В предыдущих главах мы изучали периодические и непериодические замощения,
которыми можно покрыть плоскость. Поскольку плоскость бесконечна, то и число
плиток, необходимых для ее замощения, также бесконечно. Многоугольник же, на¬
против, является конечным пространством, которое можно покрыть единственной
плиткой, то есть самим многоугольником. Размышляя об этом, можно прийти к во¬
просу, который мы пока не затрагивали: как покрыть конечное пространство бес¬
конечным количеством конечных плиток? Чтобы рассмотреть эту проблему, углу¬
бимся в работы художника Маурица Корнелиса Эшера и математиков уровня Анри
Пуанкаре и Гарольда Коксетера.
89
БЕСКОНЕЧНЫЕ АНГЕЛЫ И ДЕМОНЫ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
От правильного к неправильному
Тот, кто обращал внимание на полы, по которым мы ходим, видел, что многие из них
выложены плитками или брусчаткой неправильной формы. Часто узор получается
в результате сочетания различных правильных фигур, как это происходило с япон¬
скими узорами сашико, о которых шла речь в главе 1. Также вокруг нас на тротуарах
можно заметить более или менее причудливые неправильные многоугольные фигу¬
ры, такие как изображенная на рисунке ниже.
Мостовая на площади Вальес-де-Сабадель, Барселона, Испания.
На этой мостовой показано замощение плоскости неправильным вогнутым мно¬
гоугольником с одиннадцатью сторонами. Если проанализировать его с точки зре¬
ния геометрии, можно открыть один из возможных способов его создания.
Для начала заметим, что при замощениях в реальном мире, особенно на улице,
нужно учитывать особенности укладки плит, несущественные для чисто геометриче¬
ских покрытий: плиты замощения не стыкуются друг с другом без щелей, напротив,
между ними всегда сохраняется промежуток для кладочного раствора. Это очень
важно для уличных замощений, которые должны противостоять безжалостному
времени, шагам пешеходов и движению машин. Кроме того, улицы наших городов
на самом деле не плоские поверхности, они обладают некоторой выпуклостью или
вогнутостью. Поэтому при укладке плоские плиты адаптируются к геометрическим
несовершенствам поверхности.
Наш анализ начинается с определения существующей параллельности между
сторонами соседних плиток.
90
БЕСКОНЕЧНЫЕ АНГЕЛЫ И ДЕМОНЫ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
Пары параллельных отрезков, проведенных на фотографии, обозначают конту¬
ры смежных плит. Если переместить один из двух параллельных отрезков в гомоло¬
гичную (параллельную) сторону, у плиты появится контур.
Соединение этих параллельных отрезков образует неправильный вогнутый пря¬
моугольник — чисто геометрический вариант плиты, представленной на фотографии.
91
БЕСКОНЕЧНЫЕ АНГЕЛЫ И ДЕМОНЫ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
Из него мы воспроизводим замощение.
Уменьшение или увеличение плиток образует подобные многоугольники с одина¬
ковыми углами, поэтому мы должны получить идеальную подгонку соседних плит
при замощении геометрической плоскости. Однако на рисунке ниже видно, что это
не так, детали не подогнаны друг к другу идеально.
Вызвано это разными причинами. С одной стороны, мы создали геометрическую
модель реального объекта, проведя поверх его контуров линии, которые кажутся
пригнанными к его сторонам и параллельными. С другой стороны, из-за особен¬
ностей объектива камеры, которой была сделана фотография, линии центральной
зоны изображения в большей степени соответствуют форме, которой они в дей¬
ствительности обладают, чем линии внешней зоны. Если мы хотим добиться бо¬
лее точного результата, следует немного изменить геометрическую перспективу
анализа. Для этого в качестве отправной точки возьмем параллелограмм, создан¬
ный двумя парами параллельных прямых, вершины которого определяют стык трех
плиток. Изменим каждую пару противолежащих параллельных прямых данного
92
БЕСКОНЕЧНЫЕ АНГЕЛЫ И ДЕМОНЫ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
параллелограмма одинаковым образом и с помощью аналогичных ломаных линий,
как показано на рисунке.
Этапы создания неправильной вогнутой плитки.
Объединение четырех измененных сторон образует новую плитку, которой будет
замощена плоскость. Это неправильный вогнутый многоугольник, площадь которо¬
го равна площади породившего его параллелограмма, поскольку участки, добавлен¬
ные с одной стороны, были убраны с другой.
Этой плиткой мы покрываем геометрическую плоскость без щелей.
Трансформация правильного и выпуклого параллелограмма в неправильный во¬
гнутый многоугольник для замощения плоскости составляет первый шаг превраще¬
ния геометрической мозаики в природную.
93
БЕСКОНЕЧНЫЕ АНГЕЛЫ И ДЕМОНЫ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
Другие методы, подобные описанному, состоят в том, чтобы трансформировать
стороны исходного многоугольника, каким бы он ни был, в кривые, а не ломаные
линии, состоящие из отрезков. Творческое использование изометрий в этих транс¬
формациях увеличивает возможные варианты форм, но их количество небезгранич¬
но. Пользоваться симметрией при кривых линиях — не самый удобный способ,
если есть желание сохранить площадь, поскольку речь идет о том, чтобы создать
кривые линии, которые добавляли бы одной стороне то, что забирали бы от другой.
Симметрия кривой линии добавила бы обеим частям одинаковый фрагмент, и пло¬
щадь не сохранилась бы. Для этого больше подходят вращения, особенно на 180°.
Рассмотрим это на примере различных стратегий, описанных далее.
От геометрического к природному
Приведем некоторые способы трансформации плитки замощения в плитку более
природной формы, также пригодную для покрытия плоскости. Для этого опять
присмотримся к городскому окружению. На фотографии мы видим пространство,
оставленное для замены нескольких плит городской мостовой, которое является ос¬
новой для первой геометрической мозаики органического характера.
Эта форма может быть связана с самыми разными природными элементами,
в зависимости от фантазии наблюдателя. Мы же предлагаем взять изображение
рыбы. Подчеркнем эту ассоциацию, добавив круг для обозначения глаза в соответ¬
ствующем месте фигуры.
94
БЕСКОНЕЧНЫЕ АНГЕЛЫ И ДЕМОНЫ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
С помощью этой основной плитки мы можем составить две простые мозаики,
в рядах которых для придания большего реализма изменены направление и цвет.
Без учета цвета мозаика слева принадлежит к группе симметрии pi, а мозаика спра¬
ва — pg. В первой мозаике две стаи рыб плывут в одном направлении; во второй они
движутся навстречу друг другу.
Еще один способ превратить геометрическую фигуру в природную — применить
к ней заранее определенные соответствующие трансформации. Мы можем взять
один из самых простых многоугольников, например квадрат, и применить к двум
его параллельным сторонам одинаковую непрерывную трансформацию. Таким обра¬
зом, эти две стороны перестают быть отрезками и становятся кривыми с вогнутыми
и выпуклыми участками, как показано на рисунке ниже. Здесь в игру вступают ху¬
дожественные факторы, помогающие провести кривую, которая напоминает некий
природный объект.
95
БЕСКОНЕЧНЫЕ АНГЕЛЫ И ДЕМОНЫ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
КЕНГУРУ В КВАДРАТЕ
Каждый год во многих странах проводят математический конкурс для школьников, который
называется «Кенгуру». Идея родилась в Австралии несколько десятилетий назад, чтобы повы¬
сить интерес школьников к математическому творчеству. Состязание состоит в решении 30 за¬
даний растущей сложности, и конкурсанту потребуются находчивость и смекалка для ответа
на любопытные вопросы, которые обычно не звучат на школьных уроках. Участие в конкурсе
добровольное, но с конкурсантов предварительно собирается организационный взнос. Все
участники получают маленькие призы, среди которых значок с логотипом конкурса.
Значок - это квадрат со стилизованным изображением кенгуру. Если взять эту фигуру в каче¬
стве базовой плитки, мы можем составить мозаику, которая покроет плоскость, поскольку речь
идет о квадрате - фигуре для одного из трех возможных правильных замощений. Сформируем
первый ряд, последовательно укладывая плитки. Для второго ряда надо изменить направление
укладки, чтобы дополнить фигуру кенгуру, то есть выполнить симметрию с вертикальной осью
отражения. Мы получили ряды скачущих кенгуру, которые движутся навстречу друг другу.
Каждый кенгуру - это плитка покрытия плоскости с группой симметрии pg, поскольку не су¬
ществует вращений, которые бы оставили покрытие инвариантным, но при этом у изображения
есть вертикальные оси скользящей симметрии.
96
БЕСКОНЕЧНЫЕ АНГЕЛЫ И ДЕМОНЫ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
Важно применить точно такую же трансформацию с другой стороны, чтобы га¬
рантировать совмещение плиток. Кроме того, таким образом сохраняется площадь
плитки: то, что добавлено или убавлено с одной стороны, соответственно убавлено
или добавлено с другой.
Осуществив подобную операцию с двух других сторон квадрата, мы трансфор¬
мируем его в фигуру с четырьмя неправильными криволинейными сторонами, в ко¬
торой на противоположных сторонах будут одинаковые кривые. Чтобы не создавать
проблем с наложением, следует избегать стыков между линиями. А если добавить
элементы, способствующие желаемому визуальному восприятию, такие как точка
или круг, обозначающие глаз, можно добиться того, что наблюдатель будет воспри¬
нимать новую форму как природную.
I
В нашем случае мы превратили вертикальные стороны в контуры лица. Если до¬
бавить точку, наблюдатель воспримет ее как глаз. То, что похоже на волосы сверху
от лица, может быть истолковано как борода снизу от него. Все это создает до¬
статочно реалистичное изображение, из которого можно собрать мозаику, просто
повторяя эти плитки. Чередование цветов подчеркивает желаемый эффект.
97
БЕСКОНЕЧНЫЕ АНГЕЛЫ И ДЕМОНЫ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
Мы добились этого результата в основном с помощью двух типов трансформа¬
ций. Первый — применение непрерывной деформации к двум отрезкам исходного
многоугольника для превращения их в кривые. Это не изометрическая трансфор¬
мация, поскольку меняется размер объекта. Вторая трансформация действительно
изометрическая, поскольку она переносит полученные кривые на другие две сто¬
роны многоугольника. Наконец, мозаика создается с помощью замощения новой
плиткой. Если не учитывать цвет, речь идет о мозаике с группой симметрии pi, по¬
скольку у нее нет осей отражения и она не остается инвариантной при вращениях
менее чем на 360°.
Пользуясь вращениями, а не только перемещениями, можно построить еще бо¬
лее богатые мозаики. Например, будем исходить из квадрата, на котором отметим
четыре средние точки каждой стороны (рисунок I). Придадим форму отрезкам,
являющимся половиной каждой из четырех сторон (И). Дополним недостающие
фрагменты копиями проведенных кривых, но с вращением на 180° (III). Вуаля, мы
получили новую плитку (IV)!
I II III IV
Пользуясь перемещениями и вращениями на 180°, покрываем плоскость копия
ми только что созданной плитки.
Группа симметрии этой мозаики — р2, поскольку она не меняет форму при вра¬
щении на 180°. Однако у нее нет осей симметрии.
98
БЕСКОНЕЧНЫЕ АНГЕЛЫ И ДЕМОНЫ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
Вращения на 180° эффективны, они не только связывают фрагменты кривой,
но и сохраняют углы. У кривой с симметрией вращения в 180°, в которую трансфор¬
мировались стороны исходного квадрата, вогнутости и выпуклости компенсируются.
Метаморфозы Эшера
Кто действительно проявил себя как настоящий мастер в искусстве трансформации
многоугольника для создания мозаик на основе природных форм, так это Мауриц
Корнелис Эшер (1898—1972). В середине XX века этот голландский художник
и график был вдохновлен исламским искусством в Альгамбре в Гранаде и возвел мо¬
заичный узор на невообразимый до тех пор уровень. Пользуясь пропорционально¬
стью, гомотетией, изометрическими и гетерометрическими трансформациями, Эшер
сделал возможными на небольшой площади прямоугольника или круга простран¬
ственные конфигурации необычных зооморфических плиток, сделав реальностью
многие математические мечты. Плитки Эшера меняют форму и размер, уменьша¬
ясь до исчезновения по мере приближения к центру узора или к границам контура.
Творения художника можно считать математическим искусством или художествен¬
ной математикой, которой присуща необычайная геометрическая строгость.
Мозаики Эшера не только иллюстрируют понятие бесконечности, предела, про¬
порциональности, соотношение между плоскостью и трехмерностью, но и показы¬
вают, как эти понятия переходят одно в другое. В его искусстве двумерное превра¬
щается в трехмерное, геометрическое — в природное, конечное — в бесконечное,
множество — в его дополнение, логика — в абсурд, парадокс...
Яркий пример — гравюры «Метаморфоза I» (1937), «Метаморфоза II» (1939—
1940) и «Метаморфоза III» (1967—1968). «Метаморфоза I» изображает ряд при¬
соединенных друг к другу квадратов, рисунок которых почти непрерывно и не без
изящества меняется, словно перетекая из квадрата в квадрат. Каждый элемент —
это окно, через которое наблюдатель видит фрагмент бесконечного пространства,
открывающегося перед ним.
«Метаморфоза /». Ксилография (Мауриц Корнелис Эшер, 1937).
99
БЕСКОНЕЧНЫЕ АНГЕЛЫ И ДЕМОНЫ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
Изменение в «Метаморфозе I» развивается слева направо и проходит шесть фаз.
Метаморфоза 1 (Мауриц Корнеяис Эшер, 1937)
1
Деревня у моря.
2
Делается акцент на форме многогранников у домов населенного пункта.
3
Дома превратились в многогранники, а деревня — в серию приплюснутых кубов.
4
Делается акцент на шестиугольной природе этих кубов, трехмерный вид которых был
только кажущимся.
5
Шестиугольники превращаются в неправильные вогнутые многоугольники, контур
которых отсылает к человеческой фигуре.
6
Человеческая фигура становится очевидной и показана отдельно от породившего ее
геометрического замощения.
В «Метаморфозе I» мы видим мастерскую игру между плоскостью и простран¬
ством, между двумерностью и трехмерностью, между реальным и вымышленным.
И в течение всей этой игры геометрия оказывается главным действующим лицом,
потому что Эшер достигает желаемого результата посредством правильного замо¬
щения плоскости шестиугольниками.
Голландский художник создал целую серию работ, соответствующую этим транс¬
формациям, дополнив «Метаморфозу I» «Метаморфозой И» и «Метаморфозой III».
С геометрической точки зрения Эшер на каждой гравюре вводит все больше пере¬
ходов между различными способами замощения плоскости.
«Метаморфоза /» Ромбы — правильные шестиугольники.
«Метаморфоза II» Квадраты — правильные шестиугольники — ромбы —
квадраты.
«Метаморфоза III» Квадраты — ромбы и квадраты — квадраты — пра¬
вильные шестиугольники — равносторонние треуголь¬
ники — ромбы — квадраты.
Если в «Метаморфозе I» для перехода от реальной формы, то есть изображения
деревни у моря, к органической форме, то есть человеку, используется геометрия,
то в «Метаморфозах» II и III, наоборот, именно органическое является связующим
элементом между геометрическими формами, так что органическая метаморфоза
представляет собой стадию между геометрическими.
100
БЕСКОНЕЧНЫЕ АНГЕЛЫ И ДЕМОНЫ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
«Метаморфоза II», гравюра на дереве. Из-за занимаемого пространства работа здесь разделена
на четыре части, хотя оригинал представляет собой единое целое длиной 4 м
(Мауриц Корнелис Эшер, 1939-1940).
Также стоит заметить, что во всех работах этой серии используется эффект ви¬
зуального восприятия, упомянутый в главе 1, эффект трехмерности, которую при¬
обретает композиция из трех одинаковых ромбов (каждый из них образован парой
равносторонних треугольников).
Равносторонний треугольник, ромб и виртуальный куб.
101
БЕСКОНЕЧНЫЕ АНГЕЛЫ И ДЕМОНЫ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
ПОЛИТОПЫ
Политопами называют обобщения в многомерных пространствах двумерных и трехмерных
многоугольников. Мы привыкли представлять и интерпретировать трехмерные объекты, изо¬
браженные на плоских поверхностях, но чрезвычайно сложно и почти невозможно представить
на плоской поверхности тела с количеством измерений от 4 и больше. Чем больше размер¬
ность, тем больше линий накладываются друг на друга, и это мешает различать грани и ребра
многомерных фигур. Если взять за отправную точку изображения многоугольника тот факт, что
ребра и грани всего лишь показывают связь между его вершинами, мы можем воссоздать изо¬
бражение гиперкуба, для которого свойственно четыре или больше измерений, соединив его
вершины кривыми ребрами, позволяющими избежать такого наложения.
Точка, отрезок, прямоугольник и куб (слева) и гиперкуб размерности 5 (справа).
Эшер для трансформации правильных многоугольников в формы органического
мира использовал те же методы, что были описаны в начале этой главы. С одной
стороны, он заменяет одну прямую сторону многоугольника ломаной линией, а ее —
кривой и повторяет те же действия на параллельной стороне исходного прямоуголь¬
ника; с другой стороны, он трансформирует отрезок в кривую, получая ее с помо¬
щью поворотов на 180°.
Бесконечное замощение квадрата
Бесконечное замощение квадрата — это не сложная математическая проблема, по¬
скольку для этого достаточно начертить на нем сетку с уменьшающимися ячейка¬
ми, определяемыми соответствующими срединными перпендикулярами сторон и их
102
БЕСКОНЕЧНЫЕ АНГЕЛЫ И ДЕМОНЫ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
фрагментов. На следующей фигуре показано прямоугольное замощение с помощью
последовательных серединных перпендикуляров на 1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64
и 1/128 стороны, взятой за единицу.
Здесь мы дошли до седьмого уровня. Для получения бесконечного замощения
этот процесс должен быть итеративным и никогда не заканчивающимся.
Именно на этой модели основывается работа «Предел-квадрат» (1964) Эшера.
Хотя художник и не был математиком, его эксперименты с изменением размера
органических фигур, которыми он покрывает пространство многих своих картин,
не являются данью экстравагантности, а подчиняются строгим геометрическим за¬
конам. Иначе и быть не может, поскольку задача, которую решает Эшер — это за¬
мощение ограниченной плоской области, такой как квадрат или круг, все меньшими
плитками.
«Предел-квадрат». Ксилография (Мауриц Корнелис Эшер, 1964).
103
БЕСКОНЕЧНЫЕ АНГЕЛЫ И ДЕМОНЫ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
Плитки работы «Предел-квадрат» похожи на летающих рыбок, размер кото¬
рых уменьшается от центра квадрата по мере приближения к его границам. Работа
строится на моделирующей сетке квадратов, образованных из исходного, то есть
рамки гравюры. Эта структура получается последовательным делением по средин¬
ным перпендикулярам. Если сторона исходного квадрата — 1, то последовательные
срединные перпендикуляры расположены на точках, соответствующих половинам
полученных сторон:
111 _1
2’4
Предел этой последовательности, в которой п растет до бесконечности, равен
нулю. Но художник может представить только часть последовательности. На гра¬
вюре мы видим до шести этапов, то есть когда летающие рыбки едва больше точки,
оставленной карандашом.
Распределение фигур также соответствует геометрической сетке, которая делит
прямоугольники, создаваемые ею, на квадраты. На следующем рисунке эта струк¬
тура воспроизводится на четвертой части квадрата.
1/4
1/8
1/16
1/32
1/64
Моделирующая сетка для фигур работы«Предел-квадрат».
Обратим внимание на то, что разложение квадрата на составные части ставит две
геометрические проблемы. Сколько квадратов образуют моделирующую сетку этой
работы Эшера? Сколько квадратов составляют замощение п-го уровня?
104
БЕСКОНЕЧНЫЕ АНГЕЛЫ И ДЕМОНЫ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
Наибольший квадрат окружен пятью квадратами, полученными от его деления
на четыре части. Следующий контур состоит из 13 квадратов, которые, в свою оче¬
редь, являются четвертой частью предыдущих. И так мы продолжали бы до бес¬
конечности. Эшер останавливается, дойдя до шестого этапа. В таблице показано
отношение между квадратами первых шести уровней гравюры.
Этап
Квадраты контура
Всего квадратов
1
1
1
2
5
6
3
13
19
4
29
48
5
61
109
6
125
234
Следовательно, моделирующая структура до шестого уровня состоит из 4 • 234 =
= 936 квадратов. В общем случае для n-го этапа мы должны были бы проанализи¬
ровать числовую последовательность, которая выглядит следующим образом:
1,5,13, 29, 61,125...
Мы начинаем с одного квадрата, так что первый член равен:
а= 1.
По двум сторонам указанного квадрата расположены его четвертые части, что
дает нам 2*2 = 4 квадрата, но нам нужен еще один квадрат в углу:
а2 = 2*2 + 1 = 5.
Следующий шаг состоит в том, чтобы вновь разделить эти пять квадратов
на четверти. По горизонтали и по вертикали нам нужно обвести три стороны.
Следовательно, нам нужно доложить 5 + 1 = 6 сторон двумя четвертями квадрата.
Кроме того, нам нужен угол, чтобы дополнить фигуру:
а= (5 +1) • 2 +1 = 2 • 5 + 3 = 13.
Далее мы окантовываем 13 + 1 = 14 сторон, каждую из них — двумя четвертями
предыдущего квадрата. Добавим одну четверть для угла и получим:
а4=(13 +1) • 2 +1 = 2 • 13 + 3 = 29.
105
БЕСКОНЕЧНЫЕ АНГЕЛЫ И ДЕМОНЫ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
РИМАН: ГЕОМЕТРИЯ ГЕОМЕТРИЙ
Мы живем на круглой планете, на которой невозможно провести прямую линию. Любой марш¬
рут, по которому предполагается все время идти в одном и том же направлении, приведет нас
к исходной точке. Правда, для этого потребуется пройти 40 тысяч км максимальной окружности
Земли. Наш мир - это модель эллиптической геометрии, в которой как углы треугольника, так
и самая короткая линия между двумя точками - это не отрезки, а дуги окружности. Можем ли
мы пойти вначале на юг, затем на восток и, наконец, на север и вернуться в исходную точку?
В евклидовой геометрии это невозможно: хотя мы, сменив два раза направление, набрали
180° и это равно сумме углов треугольника, но шли мы не по треугольнику. А в нашем мире,
как это ни странно, нам бы удалось вернуться в исходный пункт. Любой путь, который начнет¬
ся на Северном полюсе, пройдет вдоль экватора и вернется на Северный полюс, нарисует
на поверхности земли треугольник с двумя прямыми углами. Поверхность шара - это модель
эллиптической геометрии с положительной кривизной. Великий немецкий математик Георг
Фридрих Бернхард Риман (1826-1866) установил основы унификации геометрии, известные
как риманова геометрия, которая включает евклидову геометрию, эллиптическую и гипербо¬
лическую геометрию как частные случаи. Эллиптическая и гиперболическая геометрии - это
геометрии, в которых выполняются только четыре из пяти аксиом Евклида. В них не выполняется
свойство, согласно которому если мы продлим сколь угодно много отрезки г и s фигуры, они
в конце концов пересекутся.
Итак, мы видим, каков закон формирования повторяющейся последовательности:
Мы можем получить более полезное выражение этого ряда, уйдя от рекурсии.
Для этого запишем разности между последовательными членами ряда:
106
БЕСКОНЕЧНЫЕ АНГЕЛЫ И ДЕМОНЫ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
u2_u1 “1 '
а3 - а2 = 2 (а, + 3)
а4 — а3 = 22 (а, + 3)
а — а = 2"-2 (а. + 3).
п п — 1 х 1 7
Применив эту сумму к обеим частям данного равенства, учитывая, что а; = 1,
и взаимно сократив многие члены, получим:
ап- 1 = (1 + 2 + 22+... + 2п-2)4.
Теперь, вспомнив значение этого ряда степеней, получим:
ап = (2n_1 —1)4 + 1 = 2П+1—3.
Как видите, речь идет о последовательности степеней числа 2 со смещением
на 3 единицы. Для того чтобы узнать, сколько квадратов составляют моделирую¬
щую структуру, нужно вычислить сумму:
S„ =1^ = 1 (2*‘+1 " 3) = 2"+2 - 4 - 3//.
Замощение Эшером квадрата дополняется четырьмя копиями структуры шесто¬
го уровня. Общее число модулей равно:
456=4 (26+2—4 — 3*6) = 936.
Бесконечное замощение круга
С подобной проблемой замощения, правда уже касающейся круга, Эшер сталкива¬
ется и в другой своей известной работе, названной «Предел-круг IV» (1960) и бо¬
лее известной как «Рай и ад». Из названия видно, что это четвертая работа серии,
значит, в трех ее предшественницах Эшер также занимался проблемой бесконечного
замощения круга.
Похоже, что для этой серии работ художник взял за основу круглую модель
гиперболической геометрии из книги британского математика Гарольда Коксетера
(1907—2003). Для объяснения этой геометрии сделаем несколько предварительных
замечаний.
107
БЕСКОНЕЧНЫЕ АНГЕЛЫ И ДЕМОНЫ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
«Предел-круг IV». Ксилография (Мауриц Корнелис Эшер, 1960).
Евклидова геометрия основывается на аксиоматической системе, описанной
в «Началах» Евклида. Один из его постулатов — аксиома о параллельности, со¬
гласно которой через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну
и только одну прямую, параллельную данной. Эта аксиома соответствует нашему
интуитивному восприятию параллельных прямых на плоскости, однако невозможно
поставить эксперимент, который проверял бы, действительно ли параллельны две
прямые, не пересекутся ли они через какое-то расстояние.
В результате аксиома о параллельных прямых в корне отличается от других ак¬
сиом евклидовой геометрии, поскольку затрагивает понятие бесконечности. Со вре¬
менем она превратилась в главную характеристику евклидовой геометрии. Другими
словами, евклидова геометрия — это такая геометрия, в которой данная аксиома
справедлива. Если же эту аксиому заменить, сохранив четыре остальных, то на их
основе можно построить другие геометрии. Одной из них стала гиперболическая. Ее
предложили в середине XIX века Бойяи, Лобачевский и Гаусс, и в ней не выполня¬
ется аксиома о параллельных прямых.
Если евклидова геометрия близка нашему восприятию пространства и интуитив¬
ному представлению о нем, то любая неевклидова геометрия, помимо набора аксиом,
нуждается в модели, с помощью которой мы могли бы представить и понять ее.
Наиболее простые модели гиперболической геометрии были предложены немцем
Феликсом Клейном (1849—1925) и французом Анри Пуанкаре (1854—1912).
108
БЕСКОНЕЧНЫЕ АНГЕЛЫ И ДЕМОНЫ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
В модели Клейна вся плоскость — это круг, включающий только его внутренние
точки, которые являются неевклидовыми точками. Неевклидовы прямые на этой не¬
евклидовой плоскости — это хорды круга. То, что было бесконечной прямой на ев¬
клидовой плоскости, сейчас становится хордой, концы которой находятся на границе
круга. Поскольку через точку Р, не лежащую на прямой г, можно провести беско¬
нечное число прямых, параллельных г и не пересекающихся с ней, получается, что
в этой модели постулат о единственной параллельной не выполняется.
Модель гиперболической геометрии Феликса Клейна:
четыре прямые, параллельные прямой г, проходящие через точку Р
Модель Пуанкаре основывается на физической концепции прямой линии, по¬
скольку предполагается, что таким образом движется луч света. Возьмем круг
из модели Клейна, но рассмотрим каждую его точку по-другому. Будем считать,
что скорость света в каждой внутренней точке круга — это расстояние, на котором
указанная точка находится от предельной окружности. Тогда неевклидовы прямые
будут не хордами, как в модели Клейна, а дугами окружностей, перпендикулярных
границе круга.
Модель гиперболической геометрии Пуанкаре с тремя «параллельными прямыми»
по отношению к прямой г, проведенными через точку Р.
109
БЕСКОНЕЧНЫЕ АНГЕЛЫ И ДЕМОНЫ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
Другой способ состоит в том, чтобы представить гиперболическую плоскость
в виде полусферы, в которой гиперболические прямые — это полукруги, получен¬
ные при рассечении полусферы плоскостями, перпендикулярными ее основанию.
Стороны плиток мозаики, созданной Эшером внутри круга, — это фрагменты
дуг окружностей, которые, как и в гиперболической модели Пуанкаре, перпендику¬
лярны предельной окружности основания. Это заметнее в третьей работе серии, где
дуги окружностей, определяющих моделирующую структуру, четко выделены.
«Предел-круг III». Ксилография. Гчперболическая мозаика Маурица Корнелиса Эшера (1959).
Понять бесконечные мозаики означает узнать, что определяет форму плиток
и как провести кривые, образующие их контуры.
Дуги окружностей гиперболической модели Пуанкаре перпендикулярны пре¬
дельной окружности. Следовательно, первая возникающая проблема — как прове¬
сти дугу окружности, концы которой будут перпендикулярны заданной окружности.
Поскольку угол, определяемый двумя кривыми в точке пересечения, образуется ка¬
сательными каждой кривой в этой точке, проблема равносильна тому, чтобы про¬
вести две окружности, в точках пересечения которых обычная прямая и касательная
будут перпендикулярны.
Если дана окружность С, где мы должны поместить другую окружность С, ко¬
торая бы пересекалась с С и образовывала с ней перпендикуляр в точках А и В?
Решение — окружность С, радиусы которой — это касательные к С именно
110
БЕСКОНЕЧНЫЕ АНГЕЛЫ И ДЕМОНЫ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
в точках А и В, то есть окружность С, центром которой является точка Р — точка
пересечения касательных к С, проведенных через точки А и В. Тогда дуга окружно¬
сти радиуса АР = ВР, проведенная через точки А и В, будет пересекаться с С и об¬
разовывать с ней перпендикуляры в точках А и В.
Если дана окружность С, дуга окружности АВ, которая образует окружность С
с центром в любой точке Р, внешней по отношению к С и радиусы которой являются
касательными к С, — концы этой дуги перпендикулярны С. Например, дуги с цен¬
трами в вершинах правильного многоугольника, радиусы которого равны половине
длин сторон, перпендикулярны окружности, вписанной в этот многоугольник.
Так была построена следующая фигура, где дуги окружностей белого цвета вну¬
три серого круга перпендикулярны окружности, поскольку были проведены из че¬
тырех вершин Р описанного вокруг нее квадрата и из шести вершин Q описанного
шестиугольника, с радиусами, определяемыми точками касания (средними точками
сторон). Раскрытие этих дуг — 90° и 120° соответственно.
Ill
БЕСКОНЕЧНЫЕ АНГЕЛЫ И ДЕМОНЫ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
САМАЯ ЛУЧШАЯ ИГРУШКА
Нет игрушки популярнее мяча. Он используется во многих командных видах спорта - футболе,
баскетболе, гандболе, волейболе, водном поло, теннисе, пинг-понге... Можно говорить о мячах
как о моделях сферы - как о полых шарах. Но есть и мячи - плотные сферы, то есть шары, они
используются в гольфе, бильярде, петанке.
Однако нас интересуют мячи, которые изготавливаются путем сшивания их деталей, как это
происходит с футбольными или гандбольными мячами. Наиболее распространенная форма
мяча - это усеченный икосаэдр, наполненный воздухом.
Икосаэдр - это платоново тело, состоящее из 20 треугольных равносторонних граней, в каж¬
дой из 12 вершин которого сходятся 5 граней. Если отсечь плоскостью каждую из 12 вершин,
получается новая пятиугольная грань. Кроме того, каждым сечением создается новое ребро
в каждой из треугольных граней, из-за чего получается 6 сторон вместо 3. Усеченный икоса¬
эдр - полуправильный выпуклый многогранник. Если его надуть, мы получим мяч.
Икосаэдр, усеченный икосаэдр и футбольный мяч.
У усеченного икосаэдра 32 грани (12 правильных пятиугольников и 20 правильных шести¬
угольников), 90 ребер и 60 вершин. Если наполнить его воздухом, ребра и грани искривляются,
и многогранник принимает знакомую всем сферическую форму. Получается, что мяч - это сфе¬
ра, замощенная искривленными плитками. В каждой вершине мяча сходятся два шестиугольни¬
ка и один пятиугольник. Угол при вершинах правильного пятиугольника составляет 108°, а при
вершинах правильного шестиугольника - 120°. На сфере сумма углов двух шестиугольников
и одного пятиугольника равна 360°, что отличается от суммы углов на плоскости (2 • 120° +
+ 108° = 348°), и это означает, что на сфере сумма углов треугольника может превышать 180°.
Радиус этих дуг зависит от количества сторон описанного многоугольника: чем
больше сторон, тем меньше радиус. Процесс можно ускорить, если провести си¬
стему дуг с центрами на срединных перпендикулярах системы касательных, как
112
БЕСКОНЕЧНЫЕ АНГЕЛЫ И ДЕМОНЫ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
показано на следующих рисунках. На фигуре слева точка пересечения двух внешних
касательных, перпендикулярных радиусу окружности, определяет центр дуги.
Если добавить к окружности касательную, перпендикулярную биссектрисе угла,
образованного двумя предыдущими касательными, то мы получим два новых центра
дуг окружностей, концы которых перпендикулярны предельной (справа).
Если продолжить процесс, то, в зависимости от угла двух первых касательных,
мы можем создать систему касательных и дуг окружностей, как на фигуре ниже:
на ней мы видим 24 дуги, перпендикулярные предельной окружности, радиусы ко¬
торых уменьшаются по мере того, как их центры (Ог 02, 03 и 04) приближаются
к окружности.
ИЗ
БЕСКОНЕЧНЫЕ АНГЕЛЫ И ДЕМОНЫ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
Однако это не лучшее решение, поэтому Эшер не использовал его в своих гра¬
вюрах. На предыдущем рисунке можно заметить, что появляющиеся области, или
плитки, не соответствуют идее уменьшения по мере приближения к периферии,
а скорее наоборот. Поэтому хотя мы и получили систему дуг, перпендикулярных
границе круга, это не является желаемым решением.
Коксетер представил лучшее решение, которое Гудман-Стросс назвал в своем
описании процесса построения «мостками». Эти мостки, или сеть дуг окружностей,
перпендикулярных предельной окружности, можно построить с помощью линейки
и циркуля, но их построение опирается на модель круга гиперболической плоскости.
Изучив рисунок Коксетера, Эшер открыл новый способ проведения дуг.
Мостки строятся не на основе круга, как мы делали это раньше, а на основе
правильного многоугольника, внутри которого строится модель круга гиперболиче¬
ской плоскости, но этот круг нельзя считать вписанным в исходный многоугольник.
Гудман-Стросс детально описывает способ построения, основные шаги которого мы
приводим.
Для начала возьмем такой правильный многоугольник, как пятиугольник.
Проведем круг Ct диаметра, равного длине стороны, с центром в средней точке М
одной из сторон. Затем проведем круг С2, диаметр которого равен апофеме пяти¬
угольника, а центр которого располагается на средней точке этой апофемы. Пусть X
и X' — точки пересечения обоих кругов. Тогда если О — центр пятиугольника,
то отрезок ОХ — радиус круга, который будет представлять собой гиперболиче¬
скую плоскость, а дуга XX' — первая из дуг окружностей, перпендикулярных этой
гиперболической плоскости.
114
БЕСКОНЕЧНЫЕ АНГЕЛЫ И ДЕМОНЫ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
Теперь достаточно последовательно воспроизвести дуги, перенося центры на вер¬
шины пятиугольника и середины его сторон. На рисунке ниже £ — круг, представ¬
ляющий собой модель гиперболической плоскости. Криволинейные треугольники
с вершиной в центре О пятиугольника имеют углы 72°, 90° и 45° и составляют пер¬
вый шаг бесконечного замощения круга: в них Эшер поместит ангелов, демонов или
летающих рыбок.
Теперь операцию со средними точками сторон пятиугольника можно повторить
с его вершинами — это следующий шаг в создании модели (рисунок справа).
Вряд ли Эшеру была знакома гиперболическая геометрия, но теперь вы сами
можете видеть, как необычно в творчестве воплощаются математические идеи, при¬
чем сам процесс восхищает своей красотой и привлекает внимание многих людей.
Пожалуй, Эшера можно по праву поставить рядом с такими творцами от математи¬
ки, как Евклид, Гаусс, Бойяи, Лобачевский, Клейн, Пуанкаре и Коксетер.
Модель гиперболической геометрии помогла художнику и графику решить про¬
блему бесконечного замощения конечного пространства. Задача, относительно про¬
стая для квадрата (достаточно было последовательно делить его стороны пополам),
оказалась довольно сложной для круга. Как это обычно происходит со многими
математическими открытиями, неевклидова геометрия пригодилась для гораздо
большего, чем то, ради чего она была задумана,— мы сталкиваемся с применением
математики в мире искусства.
Развитие технологий, характерное для последних десятилетий, упростило сбли¬
жение искусства и математики. Это сближение сегодня приобрело интерактивный
115
БЕСКОНЕЧНЫЕ АНГЕЛЫ И ДЕМОНЫ НА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ
характер, поскольку благодаря специальному программному обеспечению можно
не только создавать образцы графики, невозможные раньше, недоступные каран¬
дашу и бумаге, но и наблюдать в реальном времени переходы между различными
стадиями одного и того же явления.
Это то, что Джефф Уикс, американский математик, защитивший докторскую
степень в Принстоне, называет кинематическим искусством. Уикс разработал раз¬
личные приложения для создания анимированной мозаики на плоскости, сфере
и круглой модели гиперболической плоскости. С помощью его приложений каждый
пользователь может по своему вкусу складывать эти мозаики, работая с различны¬
ми изображениями, цветами и текстурами. На следующем рисунке, например, мы
видим семиугольное замощение на гиперболической плоскости, созданное в прило¬
жении KaleidoTile. На этом замощении линии дуг, перпендикулярных предельной
окружности, обладают такой толщиной, что точки пересечения превращаются в ма¬
ленькие семиугольники.
Фигура, созданная в приложении Kaleido Tile Джеффа Уикса.
То, что для Эшера было ручной работой, созданной с помощью карандаша, бума¬
ги, линейки и циркуля, превратилось в мультимедийное изображение, а варианты его
применения и ресурсы для создания только стимулируют воображение художника
и математика. Сегодня переходы в стиле Эшера, примененные им в работах серии
«Метаморфозы», могут быть легко воспроизведены с помощью подходящего про¬
граммного обеспечения. Так геометрия оживает, и, следовательно, грань, отделяю¬
щая природное от геометрического, становится еще тоньше.
116
Глава 5
Мозагорова пифаика
Аргентинский писатель Хулио Кортасар часто менял местами буквы или слоги в не¬
которых словах, составляя из них, словно из пазлов, новые смыслы. Так было и в его
романе «Астронавты на космотрассе». На первый взгляд это занятие может пока¬
заться капризом, но его цель отнюдь не в том, чтобы создать ряд несуществующих
слов. Дело в том, что хотя новых слов в словаре нет, последовательность их букв
или слоги имеют собственный смысл, так что читатель, увидев перед собой новые
лексические единицы, сам наполняет их значением. Кортасар меняет смысл фразы,
смешав плитки вербальной мозаики.
Что касается названия этой главы, которое должно было звучать как «Пифагорова
мозаика», мы применили к нему тот же прием: отделили друг от друга плитки А-В
и С-D, которыми мы обозначили последовательности «пифа»-«горова» «моза»-
«ика», и перераспределили их как С-6 и А-D. И сделали мы это не просто так,
а потому, что подавляющее большинство доказательств теоремы Пифагора основы¬
вается на неправильном замощении квадрата. Мы имеем в виду одно из следствий
теоремы, в котором утверждается, что гипотенуза прямоугольного треугольника
равна квадратному корню из суммы квадратов катетов. Еще одно следствие, соглас¬
но которому если квадрат числа является суммой двух других квадратов, то можно
построить из них прямоугольный треугольник, недоказуемо, но при этом использу¬
ется в жизни для того, чтобы получить прямой угол между двумя вертикальными
стенами.
На этом связь теоремы с мозаикой не заканчивается, поскольку пифагорова мо¬
заика представляет собой особый случай замощения плоскости, также часто исполь¬
зуемый на практике, например в напольных покрытиях в помещениях и на улице,
а также при изготовлении самых разных предметов. Основываясь на традицион¬
ном ремесле плетения циновок, в результате чего получались пифагоровы мозаики,
Паулус Жердес, профессор математики и директор Исследовательского центра эт-
номатематики, разработал метод создания латинских квадратов и магических ква¬
дратов, но мы вернемся к этому позже.
117
МОЗАГОРОВА ПИФАИКА
Загадка теоремы Пифагора
Доказательство теоремы Пифагора, приведенное Евклидом в «Началах», считается
одним из самых простых. Значение этого доказательства состоит в том, что оно
основывается на пропозициях, аксиомах и понятиях, предшествующих аксиомати¬
ческой системе Евклида. Но сегодня практически во всем мире эта самая известная
теорема математики формулируется и доказывается совершенно иначе.
Сегодня в доказательствах теоремы, которые преподаются в школах и универси¬
тетах, преобладает визуальный аспект, который помогает ученику и студенту лучше
понять результат. Для этого квадрат раскладывают на неправильные многоугольни¬
ки. Чаще всего теорема формулируется следующим образом:
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов
катетов.
Но прежде чем перейти к доказательству, заметим, что словосочетание «квадрат
гипотенузы» следовало бы понимать как словосочетание «квадрат при гипотенузе»,
что меняет смысл этих слов:
В прямоугольном треугольнике квадрат при гипотенузе равен сумме квадра¬
тов при катетах.
И действительно, если предыдущая
формулировка отсылает нас к квадратам
чисел, обозначающих длины сторон пря¬
моугольного треугольника, то предлог
«при» явно отсылает к квадратам, образо¬
ванным при указанных сторонах, а имен¬
но с их помощью теорема формулируется
и доказывается в «Началах» Евклида.
Там также происходит отсылка к площади
квадратов, сторонами которых являются
стороны прямоугольного треугольника.
118
МОЗАГОРОВАПИФАИКА
Итак, пусть аиЬ — катеты прямоугольного треугольника, ас — его гипотенуза.
Теорему можно доказать, если заметить, что разность между квадратом со сторо¬
ной а и четырьмя треугольниками сводится к маленькому квадрату со стороной а —Ь.
с Ь
а
Если записать отношение между площадями пяти фигур этого квадрата, из тео¬
ремы следует, что:
с2 = 4 — ab + (а - Ь)~
2 V '
Г = 2ah + а~ - 2ab + /г
2 2/2
с = а + b .
Если добавить несколько копий исходного прямоугольного треугольника к ри¬
сунку, составленному из него и трех квадратов теоремы, получается базовая плитка,
подобная следующей.
119
М03АГ0Р0ВА ПИФАИКА
С ее помощью можно составить замощение плоскости, основанное на теореме,
как показано на рисунке ниже. Но это не тот тип мозаики, который называется
пифагоровой.
Пифагоровы замощения
Так называются замощения плоскости,
состоящие из двух квадратных плиток
разного размера, каждая из которых
присоединена еще к четырем, — имен¬
но такой рисунок подсказывает одно
из доказательств теоремы Пифагора.
Пифагоровы мозаики часто использо¬
вались на мостовых и каменных полах
в течение многих веков. Мы можем
видеть такой пол на картине голланд¬
ского художника Якоба Охтервелта
«Бродячие музыканты на пороге», да¬
тированной 1665 годом.
120
МОЗАГОРОВА ПИФАИКА
Итак, структурная модель пифагоровой мозаики имеет следующий вид.
Что касается изучения симметрии, этот узор остается инвариантным только при
симметрии вращения на 90°, центры вращения которой находятся в центрах каж¬
дого квадрата — как большего, так и меньшего. Не существует ни осей симметрии
отражения, ни скользящей симметрии. Следовательно, пифагоровы мозаики соот¬
ветствуют узорам с группой симметрии типа р4.
Возвращаясь к картине Охтервелта, можно заметить, что сторона а белого ква¬
драта в два раза больше стороны b темного, то есть соотношение между сторонами
обоих квадратов равно г = b/а = 1/2. Эта пропорция г находится в диапазоне меж¬
ду 0 и 1 (0 < г < 1), поскольку в случае г = 1 мы получили бы правильное замощение
плоскости квадратами.
Если соединить центры больших квадратов пифагорова замощения, получим еще
один квадрат.
Как он соотносится с теми двумя квадратами, которые образуют замощение?
Чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что указанный квадрат состоит из одного
121
М03АГ0Р0ВА ПИФАИКА
маленького квадрата (серого цвета) и еще четырех четырехугольников, перекомпо¬
новка которых соответствует белому квадрату.
Следовательно, площадь квадрата со сторонами, проведенными пунктиром, рав¬
на сумме площадей двух квадратов пифагорова замощения. Поскольку а и b со¬
ответственно — стороны этих квадратов, ас — сторона квадрата, проведенного
пунктиром, мы доказали, что:
с2 = а2 + 62.
Следовательно, пифагорова мозаика представляет собой инструмент для доказа¬
тельства теоремы Пифагора, отсюда и ее название. Если расширить это покрытие
на квадрат, являющийся суммой двух исходных, мы увидим, как создается новая
квадратная сетка, расположенная наклонно относительно исходного узора.
Наклон или угол А, который образует эта сетка относительно вертикали, опре¬
деляется отношением между сторонами а и b квадратов, поскольку с ним связано
122
МОЗАГОРОВАПИФАИКА
и вертикальное смещение, осуществленное по центру обоих квадратов (см. следую¬
щий рисунок). Если г = Ь/а, то:
А = arctg (г).
Здесь представлена облицовка пифагоровой мозаикой, в которой плитами явля
ются именно квадраты с вершинами в центрах большего из двух квадратов, состав
ляющих мозаику (искажение прямых углов вызвано перспективой изображения).
Пол в доме населенного пункта Мири, Саравак, Малайзия.
123
МОЗАГОРОВА ПИФАИКА
ЗОЛОТАЯ МОЗАИКА ФИБОНАЧЧИ
Элементы последовательности Фибоначчи создаются суммированием двух предыдущих элемен¬
тов. Если начать с 0 и 1, то результат выглядит так:
О, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...
Эта последовательность связана с золотым сечением, поскольку частные двух последователь¬
ных элементов приближаются к золотому числу, (1+75)72=1,618033988..., по мере движения
вперед:
Если последовательно присоединить к квадрату квадраты, стороны которых будут сохранять
золотую пропорцию с исходным, то получится бесконечное замощение золотого прямоугольни¬
ка, в котором соотношение плиток сохраняется. Если провести в каждом из них дугу окружности
амплитудой 90° и радиусом, равным стороне квадрата, получается непрерывная кривая -
золотая спираль.
В итоге получается бесконечное замощение золотого прямоугольника вогнутыми и выпуклы¬
ми секторами круга в 90°.
Если взять за единицу измерения радиус первого из этих секторов, длина соответствующей
дуги, то есть секции спирали, равна 2 • к • 1/4 = к/2. Сумма всех дуг - это длина спирали, и по¬
скольку каждый радиус уменьшается на значение Ф = 0,618..., бесконечная сумма длин равна:
— = 1,6181818...
55
144
— = 1,617977...
124
МОЗАГОРОВА ПИФАИКА
Можно ли проделать то же самое с равносторонними треугольниками или пра¬
вильными шестиугольниками? Попробуем воспроизвести ту же модель с двумя
равносторонними треугольниками, большим и маленьким.
Мы видим, что итоговый угол между многоугольниками равен не 60, а 120°.
Следовательно, мы не можем заполнить его другим равносторонним треугольни¬
ком, как это происходило с квадратом. При совмещении двух квадратов получается
угол в 180° — 90° = 90°, то есть он равен углу при вершине квадрата. Но при со¬
вмещении пары равносторонних треугольников созданный угол соответствует углу
правильного шестиугольника, то есть 120°, а при совмещении двух правильных ше¬
стиугольников мы видим зеркальную ситуацию: в результате получается угол, рав¬
ный 180° — 120° = 60°, соответствующий углу равностороннего треугольника.
Следовательно, с помощью правильных треугольников и шестиугольников мы
можем создать варианты смешанных пифагоровых мозаик. В случае смещения
125
МОЗАГОРОВАПИФАИКА
равносторонних треугольников соединение их центров создает шестиугольную сет¬
ку, наклон которой относительно шестиугольных пространств определяется так же,
как и у квадратов. Группа симметрии узора — рб, поскольку не существует осей
симметрии отражения, а наименьшее вращение, оставляющее его инвариантным,
производится на 60°.
Точно так же в случае с правильными шестиугольниками сетка, образуемая при
перемещении вдоль стороны, треугольная. Поскольку здесь также нет осей отраже¬
ния, а наименьшее вращение равно 120°, группа симметрии этого узора — рЗ.
126
М03АГ0Р0ВА ПИФАИКА
Вокруг квадратной плитки
Мы уже видели, что городские замощения могут быть очень разнообразными и под
талкивать к математическим размышлениям. Следующий пример может быть по
лезным для наглядного представления некоторых теорем о числах.
Мы видим специфическую композицию из кирпичей, сгруппированных вокруг
центральной плитки. Базовая плитка — это квадрат, а прямоугольники увеличи¬
вающейся длины, которые ее окружают, могут составить бесконечное замощение
плоскости, первые фазы которого мы покажем.
Результат — замощение плоскости все большими плитками, образующими квад¬
рат. Число базовых плиток этих квадратов можно вычислить, пересчитав плитки,
которые добавляются к каждому ряду или на каждом этапе:
1 = 12 1 + 4-2 = З2 1 + 4-2 + 44 = 52 1 + 4-2 + 4-4 + 4-6 = 72.
127
МОЗАГОРОВА ПИФАИКА
Получаются квадраты нечетных натуральных чисел. Мозаика делает это отно¬
шение наглядным и помогает осуществить алгебраический анализ:
1 + 4 (2+ 4 + 6 + ...) = 1 + 4-2 (1 + 2 + 3 + ... + ») =
Поскольку 2п + 1 — всегда нечетное число, для п = 0, 1, 2, 3... мы имеем по¬
следовательность квадратов со сторонами 1, 3, 5, 7, ...» площади которых равны 1,
9, 25, 49... соответственно.
Если бы мы начали ряд четырьмя плитками, которые бы образовывали квадрат
со стороной 2, итоговый ряд был бы следующим.
Теперь мы имеем ряд квадратов, число плиток которых равно количеству квадра¬
тов четных чисел:
4 = 21 2 4 + 4-3 = 42 4 + 4-3 + 4 5 = 62 4 + 4-3 + 4-5 + 4-7 = 82.
И вновь алгебра делает очевидной числовую связь, которую визуализирует
2
= (2п +1)2.
мозаика:
4(1 + 3 + 5 +...+ 2п — 1).
Эту сумму нечетных чисел можно вычислить следующим образом:
1 3 5
2//-1
2/7-1 2»-3 2/;-5 ...
+
2 п 2/7 2« ... 2//
128
МОЗАГОРОВАПИФАИКА
С одной стороны, сумма — это 2л, взятое л раз, то есть 2л2. С другой стороны,
мы сложили два раза l + 3 + 5 + 7+...ив результате получили квадраты четных
чисел:
оп2
4(1 + 3 + 5 + ...) = 4^- = 4/Г =(2и)-.
Есть еще один важный результат. Посмотрим на рождественское украшение.
Эта святящаяся мозаика состоит из квадратных контуров, каждый из которых
окружает предшествующий.
Количество базовых плиток этих квадратных контуров представляет собой
разность между последовательными квадратами нечетных сторон: 9 — 1, 25 — 9,
129
МОЗАГОРОВА ПИФАИКА
49 — 25, 81 — 49, 121 — 81... Это числа, кратные 8: 8, 16, 24, 32, 40... Тот же
результат дает нам и алгебра:
(2п + I)2 - (2п - I)2 = 4п2 + 4п + 1 - 4п2 + 4п - 1 = 8п.
Плетение пифагоровых мозаик
Ремесло плетения практикуется в течение нескольких тысячелетий в самых разных
культурах. Как правило, заключается оно в том, чтобы образовывать плоскость,
переплетая полоски сухих стеблей, ротанга, бамбука и так далее. В основном поло¬
ски проводят поверх или внизу друг друга в соответствии с необходимым итоговым
рисунком.
Поскольку обычно полоски имеют равную толщину, конечная решетка состоит
из правильных многоугольников. Это будут квадраты, если полоски пересекают¬
ся перпендикулярно, равносторонние треугольники, если пересечение происходит
под углом 60°, или правильные шестиугольники, если они пересекаются под углом
120°. Убедиться в том, что волокна образуют тот или иной угол, можно с помощью
линейки, циркуля или транспортира. Это сделать еще легче, если узор образуется
с помощью компьютерной программы, как были созданы все мозаики в этой книге.
Но как мастера на практике добиваются равенства углов, чтобы гарантировать же¬
лаемый результат?
Перпендикулярность определяется на глаз: несложно положить одно волокно
на другое, чтобы образовать угол, примерно равный 90°. Благодаря присущему нам
всем чувству равновесия мы легко определяем вертикальность и горизонтальность,
так что читатель без труда поймет, какие из следующих полосок перпендикулярны
друг другу.
"U"
] [
и
и
Более строгий способ — зафиксировать перпендикулярность, обернув одну по¬
лоску другой так, чтобы часть полоски, находящаяся сверху, точно совпала с нижней.
130
МОЗАГОРОВАПИФАИКА
Что касается угла в 60°, Паулус Жердес проанализировал способ, который ис¬
пользовали ремесленники. Он немного напоминает уже описанный. Для получения
угла в 60° также достаточно обернуть одну полоску вокруг другой, но при этом
не накладывать ее верхнюю часть на нижнюю, а сдвинуть их относительно друг
друга, чтобы они соприкасались противоположными ребрами в одной точке. Так по¬
лучаются треугольники.
Если а — ширина полосок, то треугольник будет равносторонним, поскольку его
три высоты одинаковы и равны ширине а полоски.
Осталось доказать, что треугольник, высоты которого равны, является равно¬
сторонним. С тригонометрической точки зрения это просто. Пусть а, Ь и с — сто¬
роны любого треугольника, а А, В и С — их противолежащие углы, как показано
на рисунке на следующей странице.
131
МОЗАГОРОВА ПИФАИКА
С
Ь
а
С
К
□
К
Поскольку высоты равны:
//, =a-sin{m°-C)}
f Л //, = /;
/i3 = /; • sin (180°-С) J - *
а = Ь,
это делает треугольник равнобедренным. Но так как, с другой стороны,
h2= с- sin А
/i, = b • sin А
л /*, = h2 => /; = г,
равнобедренный треугольник оказывается равносторонним: а = b = с.
В дополнение к этому тригонометрическому доказательству заметим, что тре¬
угольник с двумя равными высотами должен быть равнобедренным, а равнобедрен¬
ный треугольник с тремя равными высотами должен быть равносторонним.
А
В
/Г
В'
/«
■"■-..{У
' А'
Если бы у предыдущей фигуры высоты huh' были равны, то треугольники ААС
и ВЕС также были бы равны, поскольку у них были бы одинаковые углы (один
прямой, другой 180° — С, а третий С — 90°) и одна сторона, равная высоте (АА =
= h — К = В В). Следовательно, также выполнялось бы АС = ВС, и треугольник
АВС был бы равнобедренным.
Итак, мы доказали, что треугольник с двумя равными высотами должен быть
равнобедренным. Теперь докажем, что равнобедренный треугольник с тремя
132
МОЗАГОРОВА ПИФАИКА
равными высотами должен быть равносторонним. У равнобедренных треугольников
всегда две равные высоты. Докажем, что если третья высота равна двум другим,
то треугольник равносторонний.
Итак, пусть АВС — равнобедренный треугольник, в котором мы проводим две
заведомо разные высоты, h и /1'. Докажем, что если h = ti, то АВ С — равносторонний.
Л
Действительно, если бы выполнялось h = h\ то треугольники В В'А и ААС
были бы равны (поскольку h = ti, АВ = АС и есть одинаковый прямой угол).
Следовательно, А В' = АС. Аналогично, равны А В А и ВВ'С, следовательно, В А =
= В С. Исходя из этого, АС = ВС, и равнобедренный треугольник также является
равносторонним.
Как видите, ремесленники плетут действительно правильные мозаики.
Полуправильная мозаика, сплетенная из бамбуковых полосок типа 32.62.
133
МОЗАГОРОВА ПИФАИКА
Прямые углы и симметрии, сплетенные из волокон.
Пифагоровы мозаики и магические квадраты
Мы уже сказали в начале этой главы, что Паулус Жердес, этноматематик-иссле¬
дователь из Мозамбика, создавая магические квадраты, основывался на пифагоро¬
вых мозаиках, которые получаются при изготовлении циновок и корзин. Он сделал
это в своей книге под названием «African Pythagoras» («Африканский Пифагор»).
Таким образом он объединил геометрию замощений с арифметикой, мозаики
с числами.
При переплетении белых и черных волокон одинаковой ширины перпендикуляр¬
но и согласно модели 1—1 (одна сверху, другая снизу) в результате получается шах¬
матный узор.
Сплести такой узор не очень сложно, если строго следовать инструкциям.
Столяры, изготавливающие деревянные шахматные доски, сталкиваются с большими
134
МОЗАГОРОВАПИФАИКА
сложностями, поскольку им нужна высокая точность измерений. Но, возможно,
стоит задаться вопросом, как появился вариант, нарисованный на компьютере и на¬
печатанный здесь. Процедура была следующей.
Бращение Смена цвета
на 90
Соединение
по средним точкам
Вращение Соединение
на 180° по средним точкам
Последовательное соединение
в двух направлениях:
вертикальном и горизонтальном
Можно заметить, как была использована основная ячейка, порождающая узор,
а также изометрические трансформации (вращения и перемещения), из которых со¬
ставляется основная область, или плитка, и как с помощью ее перемещений строится
вся мозаика. Если мы сократим промежуточные области до полного их исчезнове¬
ния, то получим типичный шахматный рисунок.
Как видите, изучение симметрии может пригодиться в самых разных построениях.
135
М03АГ0Р0ВАПИФАИКА
Некоторые африканские народы, такие как чокве в Анголе, плетут циновки раз¬
личными способами, в том числе комбинируя три темные вертикальные полоски,
которые проходят поочередно сначала под четырьмя светлыми горизонтальными
полосками, а затем поверх пятой полоски. Результат выглядит следующим образом.
Обратите внимание на его линейный характер. От любого темного квадрата от¬
ходят два ряда, один — в направлении вектора (2,1), а другой — в перпендикуляр¬
ном ему (—1,2).
Эту мозаику легко воспроизвести с помощью светлых и темных плиток. Однако,
в отличие от растительных волокон, плиты не укладываются поверх или внизу дру¬
гих, а присоединяются сторона к стороне. Как же замостить пол таким образом?
Существует несколько вариантов, но любой из них так или иначе включает в себя
укладывание плиток с учетом определенного направления. Инструкции могли бы
быть следующими.
1. Положите темную плитку и четыре светлые справа от нее.
2. Продолжайте таким образом, следуя модели 1—4, до конца ряда.
3. Второй ряд идет точно над первым и следует той же модели; но первую тем¬
ную плитку поместите на две плитки правее первой темной плиты первого
ряда.
4. Третий и последующие ряды образуются аналогично.
Заметим, что узор соответствует пифагорову замощению, поскольку серые ква¬
драты — это маленькие квадраты, присоединенные к каждой из четырех сторон
гомологичного им квадрата большего размера.
136
М03АГ0Р0ВАПИФАИКА
Заметьте, что отношение между квадратами, 2:1, определено отношением между
векторами (2,1).
Но наша цель — связать мозаики с числами. Для этого определим основную об¬
ласть мозаики циновки чокве, то есть ту часть, из которой с помощью перемещений
создается полная мозаика. Несложно заметить, что это квадрат, состоящий из 5 х 5
квадратиков.
Эта фигура имеет особенность: в одном столбике или в одном ряду нет двух се¬
рых ячеек. Это наблюдение побудило Жердеса связать этот тип мозаики с магиче¬
скими и латинскими квадратами, пронумеровав ячейки, например таким способом.
4
2
5
3
1
Латинские квадраты составляются из одних и тех же чисел. Так что сейчас
мы продолжим нумеровать клетки так, чтобы у нас не было повторяющихся цифр
137
МОЗАГОРОВАПИФАИКА
ПОТЕНЦИАЛ QR-КОДОВ
QR-коды - это такие белые и черные квадратики, которые часто сопровождают информацию
любого типа. Как правило, они содержат веб-адреса. С помощью электронного прибора по¬
следнего поколения и подходящего считывающего устройства достаточно провести поверх кода,
чтобы попасть на веб-страницу, содержащуюся в нем. Например, следующий QR-код содержит
в себе словосочетание «Мир математики» (на испанском языке).
По сути QR-код - это мозаика. Квадрат рамки делится на ряд крошечных квадратиков в виде
квадратной сетки. Каждая из этих ячеек белая или черная и напоминает о двоичной системе
счисления, состоящей из единиц и нулей. Хотя речь идет о мозаиках, богатство этого кода
заключено не в его плитках или симметриях, а в количестве сообщений, которые можно за¬
кодировать с помощью двоичной системы.
Каждая плитка может быть белой либо черной. Если каждую сторону квадрата разделить
на две части, можно получить квадратную сетку из 2 • 2 - 4 ячеек. Поскольку каждая из них
может быть белой или черной, всего возможностей 2 • 2 • 2 • 2 = 24 - 16.
Увеличивая число ячеек, мы видим, что возможности растут экспоненциально по основа¬
нию 2. И не только это: показатель степени этого основания - это всегда квадрат, поэтому
количество вариантов - это всегда огромная степень числа 2. Если разделить сторону квадрата
только на пять частей, можно создать 33 с половиной миллиона различных сообщений.
Разделение стороны
2
3
4
5
Ячеек
4
9
16
25
Возможностей Б/Ч
24—16
29=512
216=65 536
225=33 554 432
Мы привыкли видеть коды с 30 ячейками в каждой строке и каждом столбце, при этом число
вариантов увеличивается до 230 30 = 2900. Это поистине огромное число, которое превышает
количество атомов во всей известной Вселенной! Да уж, эта система кодификации, основанная
на простейшей правильной мозаике, еще не скоро исчерпает свой потенциал.
138
МОЗАГОРОВА ПИФАИКА
в одном и том же ряду или столбце. Например, добавим 2, 3, 4 и 5 над 1 в первом
столбике. Поступим так же с другими столбцами и оставшимися цифрами.
5
3
1
4
2
4
2
5
3
1
3
1
4
2
5
2
5
3
1
4
1
4
2
5
3
Мы получили латинский квадрат с цифрами 1, 2, 3, 4 и 5: сумма строк, столбцов
и диагоналей одинакова во всех направлениях: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.
Воспользуемся этим латинским квадратом для создания магического квадрата
по процедуре Жердеса. Мы прибавим последовательно 5, 10, 15, 20 и 0 к числам
на диагоналях, как показано на следующем рисунке. Получившийся числовой ква¬
драт является магическим, сумма цифр в нем по строкам, столбцам и диагоналям
равна 65.
+5 +10+15+20 +0
5
3
1
4
2
4
2
5
3
1
3
1
4
2
5
2
5
3
1
4
1
4
2
5
3
10
13
16
24
2
4
7
15
18
21
23
1
9
12
20
17
25
3
6
14
11
19
22
5
8
Таким образом можно построить огромные магические квадраты, для этого до¬
статочно расширить модель распределения ячеек, например перейдя от предыдуще¬
го смещения на (2,1) к векторному смещению (3,1).
Магический квадрат Дюрера
В своей гравюре «Меланхолия I», датируемой 1514 годом, Альбрехт Дюрер (1471—
1528) изобразил магический квадрат 4x4. Его можно видеть в верхней правой
части гравюры, высеченным в стене дома.
139
МОЗАГОРОВАПИФАИКА
Если суммировать его цифры по горизонтали, вертикали и каждой диагонали,
всегда получается один и тот же результат: 34. Кроме того, если соединить цифры
по возрастанию линией, то полученный рисунок будет обладать симметрией.
У входа в храм
квадрат.
Святого Семейства в
Барселоне также высечен магический
Числа в строках, столбцах и диагоналях дают в сумме 33 (однако в этом квадрате
некоторые цифры повторяются). Это число может быть связано с возрастом распя¬
того Христа, а также с масонством, симпатию к которому приписывали архитектору
140
МОЗАГОРОВА ПИФАИКА
храма Антонио Гауди: в этом ордене также предусмотрены 33 уровня членства —
градуса. Проанализируем связь между этим магическим квадратом и квадратом
Дюрера. Разница между их суммами — одна единица. Вычтем эту единицу в каж¬
дой строке квадрата Дюрера, причем сделаем это в разных столбцах.
Дюрер
Храм Святого Семейства
16
3
2
13
16-1
3
2
13
15
3
2
13
5
10
11
8
5
10
11-1
8
5
10
10
8
9
6
7
12
9
6
7
12-1
9
6
7
11
4
15
14
1
4
15-1
14
1
4
14
14
1
После этого изменим порядок рядов и столбцов: ряды 1, 2, 3, 4 становятся ря¬
дами 4, 3, 2, 1, то же самое происходит со столбиками. Мы получили магический
квадрат храма Святого Семейства.
Треугольники в квадратной сетке
В связи с пифагоровыми мозаиками возникает следующая интересная проблема:
центры маленьких квадратов пифагоровой мозаики, в свою очередь, тоже обра¬
зуют квадраты. Три из этих квадратов определяют равнобедренный треугольник.
Возможно ли, чтобы эти треугольники были не только равнобедренными, но и рав¬
носторонними? Другими словами, три точки на плоскости, координаты которых —
натуральные числа, могут ли быть вершинами равностороннего треугольника?
Чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что ситуацию можно свести к ситуации
с равнобедренным треугольником, вершины которого — это начало координат (О,
0), любая точка (р, q) и вершина, которая образует вместе с предыдущими точками
равнобедренный треугольник, (р, р).
М
(0,0)
141
МОЗАГОРОВА ПИФАИКА
Этот равнобедренный треугольник будет равносторонним, если его стороны ока¬
жутся равными. Мы должны решить уравнение второй степени:
p2+q2 ={q-pf + {p-q)2
р2 -4qp + q2 = О
Поскольку q — натуральное число, а 7з — иррациональное, р также ирра¬
ционально. Следовательно, равносторонний треугольник с вершинами, координаты
которых были бы натуральными числами, построить невозможно.
142
Глава 6
Головоломка с мозаикой
Можно считать, что первые пазлы появились в середине XVII века, когда карто¬
граф Джон Спилсбери разрезал по границам стран карту и прикрепил ее части к де¬
ревянной доске. То, что изначально было связано с изучением географии, в XX веке
породило идею пазла в известном нам сегодня виде. У деталей этих первых пазлов
не было выступов и пазов, которые бы помогали соединить изображение и уберечь
его от случайного разъединения, например из-за порыва ветра.
Эти округлые формы, которые, подобно полуострову и заливу, выступают из де¬
тали и позволяют проникнуть в нее, появились только в конце первого десятиле¬
тия XX века. Добавить выступ к прямоугольной детали относительно просто: ес¬
ли плитка у нас квадратная, к одной из ее сторон добавляется дуга окружности.
Дуга плавно трансформируется, то есть меняется форма ее кривой, но углы при этом
не образуются. Затем эта деталь или подобная ей добавляется к другим сторонам
квадрата — в форме либо выступа (мыса), либо паза (бухты).
Метаморфоза квадрата в деталь пазла.
Так собирание мозаики стало способом проводить досуг. Пазл состоит из набора
плиток более или менее похожей формы, но существует лишь один способ их иде¬
ального совмещения. Смысл игры заключается в том, чтобы найти этот способ и со¬
брать картину в единое целое. Это может быть довольно сложно, в отличие от сбо¬
ра первого пазла — мозаичной карты Спилсбери: эта плоская мозаика из стран
и областей была образована плитками неправильной формы, но их местоположение
не вызывало сомнений.
Наиболее распространены плоские пазлы прямоугольной формы, при этом слож¬
ность головоломки определяет не размер прямоугольника, а число деталей и их цвет.
143
ГОЛОВОЛОМКА С МОЗАИКОЙ
WIKIPEDIA: ПАЗЛ КУЛЬТУР
Wikipedia - это свободная и бесплатная сетевая энцикло¬
педия, которая после первых лет существования постепен¬
но превратилась в мировое собрание человеческих зна¬
ний. Такому росту статуса определенно способствовали
возрастающая строгость и постоянная проверка инфор¬
мации в каждой ее статье. Википедия день за днем растет.
Логотип Википедии - трехмерный пазл со сферическими
плитками. На каждой из них изображена буква или знак,
принадлежащий к различным культурам. Этот логотип не¬
много изменился со времени основания энциклопедии,
но он всегда оставался трехмерным и сферическим, напо¬
миная геометрию нашей планеты, и на нем всегда были изображены символы знания и комму¬
никации. Современный смысл логотипа можно сформулировать так: Википедия представляет
мозаику культур и пазл из языков.
Существуют пазлы для детей, состоящие из нескольких десятков деталей, а так¬
же головоломки из десятков тысяч элементов, подходящие для более упорных взрос¬
лых. Маленький пазл — это просто игрушка,
но пазл, в котором больше 500 деталей, уже
нельзя рассматривать с этой точки зрения.
Еще один фактор, определяющий слож¬
ность пазла, — это цвет его деталей. Конечно,
очень сложно собрать изображение пейза¬
жа, но, без сомнения, сделать это еще слож¬
нее, если собирать головоломку с оборота.
Хроматические изменения цвета помогают
организовать группы деталей, близких по то¬
нам, а с оборотной стороны все элементы име¬
ют один и тот же серый цвет, отличаясь только
формой, но при этом все формы похожи друг
на друга.
Фрагмент пазла.
144
ГОЛОВОЛОМКА С МОЗАИКОЙ
Итак, собирая пазл, мы складываем мозаику, все детали которой идеально
подходят друг к другу при условии, что каждая занимает свое собственное место.
Изготовление пазлов — сложная задача, которая требует геометрической строго¬
сти, и в этом нет ничего удивительного, ведь родилась головоломка из математиче¬
ской задачи о замощении плоскости.
Почему в пазлах из 1000 деталей не 1000 деталей
Как уже было сказано, некоторые пазлы состоят из большого количества деталей.
Но немногие знают, что не у всех пазлов именно столько деталей, сколько указано
на коробке. Ниже вы видите карточку, вложенную в коробку с пазлом, приобретен¬
ным в 2014 году.
Hceft u cen of meerdere puzzelstukjes verloren? Geen probleem wan) Clementom weet /oals alti|d raad.
U hoeft enkel de streepiescode van de po/zel uif ic knippen an m Met daarvoor bestemde vakjo vast to plakken.
de biigevoegde kaart vollodig in te vullen cn in oen gesloien envelop torug te sluren
Wl| doen de resl'iae nmra* alaen geirvm! ah сы unvug doo* *ri3de- .-an ot voucrt-j mg< *iikv t>i:)<ro«9<2a kaa'i vrwrt» -Tgecbe'i En
n* * Лиг gr4g «О.Гы*опае-spgenoenc* U'War)
PER ESIGENZE TECNICHEIL NUMERO Dl
PEZZI DEL PUZZLE POTREBBE DIFFERIRE
LIEVEMENTE DAL NUMERO Dl TESSERE
INDICATO SULLA CONFEZIONE.
AUS TECHNISCHEN GRUNDEN KONNEN
SICH LEICHTE ABWEICHUNGEN VON DEN
AUF DER PACKUNG ANGEGEBENEN
PUZZLETEILEN ERGEBEN.
POUR DES RAISONS TECHNIQUES LE
NOMBRE DE PIECESCOMPOSANT LE
PUZZLE POURRAIT &TRE LEGEREMENT
DIFFERENT DU NOMBRE DE PIECES
INDIQUE SUR L’EMBALLAGE.
POR EXIGENCIAS TECNICAS EJ. NUMERO
DE PIEZAS DEL PUZZl^E PODRIA DIFERIR
LIGERAMENTE DEL NUMERO DE PIEZAS
INDICADO EN EL ENVASE.
FOR TECHNICAL REASONS THE NUMBER
OF PIECES IN THE PUZZLE MAY DIFFER
SLIGHTLY FROM THE NUMBER STATED ON
THE BOX.
OM TECHNISCHE REDENEN KAN НЕТ
AANTAL PUZZELSTUKKEN LICHTELIJK
AFWIJKEN VAN НЕТ AANTAL STUKKEN
DAT OP DE VERPAKKING STAAT
AANGEGEVEN.
Inserlsci di segulto I tuol datl * Please complete the following form
Inscrivez cl-dessous toutes les informations vous concernant
Ihre personlichen Angaben • Completa a contlnuaci6n todos tus datos
Voer hieronder uw gegevens in
Коте о Cog'.jm* • Nair-o and Si.'ivmt • P-enom « w • Vo- ur<1 NeclraTe • Nу As* I»kn Vm-naam н Naan
Ы n/70 • Addess • Acresse • Direcoon • As-и
Crtta. PV • CAP • Team Cciinty. Postoxto • VJe *tCP -Ol jivI PIZ- C jdar у Ccd*jc Pc-a S:ar: sr I’occtide
Nutme • Ccuwy • Pays • lane - P»s • Urd
Te«lono • T*pww • Telephone • TetepNn • Tcelono • TeWoon
e-rnai
145
ГОЛОВОЛОМКА С МОЗАИКОЙ
На ней говорится, что по техническим причинам реальное число деталей паз¬
лов указано в правом столбце. Как видите, количество не совпадает с заявленным.
На другой карточке от пазла, приобретенного в 2000 году, было указано следующее.
Число деталей
Реальное число деталей
500
500
750
—
1000
999
1500
1488
2000
1998
3000
3008
4000
3996
6000
5952
13 200
13 224
Если исключить пазл панорамного типа, мы можем сравнить и объединить обе
таблицы.
Установленное число
Реальное число
Реальное число
деталей
деталей. 2000 год
деталей. 2014 год
500
500
—
750
—
748
1000
999
1008
1500
1488
=
2000
1998
=
3000
3008
=
4000
3996
=
6000
5952
=
13 200
13 224
=
Что это за технические причины, на которые ссылается изготовитель? Чтобы от¬
ветить на этот вопрос, подумаем о форме деталей. У них есть выступы, углубления.
Все они округлые и схожего размера. Если убрать выступающие части и заполнить
недостающие, получится более или менее квадратная деталь. Итак, пазл из N де¬
талей — это прямоугольник из р рядов и q столбцов. То есть число деталей — это
N = p-q.
Это означает, что число деталей любого пазла не может быть простым, посколь¬
ку оно представляет собой произведение двух множителей, и это первое ограниче¬
ние. А также форму всего прямоугольника определяет число деталей в каждом ряду
и столбце. Например, пазл из 500 деталей можно свести к ряду из 500 деталей,
146
ГОЛОВОЛОМКА С МОЗАИКОЙ
но так мы получим довольно необычный линейный пазл. Чаще всего сегодня исполь¬
зуется прямоугольный формат DIN А с соотношением сторон 1,41. Может быть,
именно это ограничение определяет, какими должны быть множители р и q числа N.
N = 500 можно представить как произведение двух натуральных чисел: 1 • 500;
2 • 250; 4 • 125; 5 • 100; 10 • 50; 20 • 25. Соотношение каких множителей наиболее
близко к 1,41? Очевидно, это последний случай, 25 и 20. Логично, что 500 деталей
распределятся по 20 рядам по 25 деталей в каждом. Рассмотрим подобным образом
другие пазлы и сведем результаты в таблицу.
Установленное
число деталей
Разложение на
множители
Реальное
число деталей
Разложение на
множители
Оптимальное
соотношение
Пропорция
500
22-53
500
22-53
25-20
1,25
750
2-3-53
748
22-11-17
34-22
1,55
1000
23-53
999
33-37
37-27
1,37
1008
24-32-7
36-28
1,29
1500
23-3-53
1488
24-3-31
48-31
1,55
2000
24-53
1998
2-33-37
54-37
1,46
3000
23-3-53
3008
26.47
64-47
1,36
4000
25-53
3996
22-33-47
74-54
1.37
6000
24-3-53
5952
26-3-31
96-62
1,55
13 200
24-3-52-11
13 224
23-3-19-29
152-87
1,74
Заметьте, что разложение на множители числа 1000 порождает неправильные
соотношения в формате, далеком от предполагаемого DIN А.
Множители
1-1000
2-500
4-250
5-200
8-125
10-100
20-50
25-40
Соотношение
1000
250
125
40
15,625
10
2,5
1.6
Если соотношение 1,6 слишком велико, то какие множители подходят больше
всего и при этом их произведение не очень сильно отличается от 1000?
Разложение
на множители
Оптимальное
соотношение
995
5-199
39,8
996
22-3-83
6,92
997
997
997
998
2-499
249,5
999
33-37
1.37
1000
23-53
1.6
1001
7-11-13
5,92
1002
2-3-167
27,83
1003
17-59
3,47
1004
22-251
62,75
1005
3-5-67
8,38
147
ГОЛОВОЛОМКА С МОЗАИКОЙ
Как можно видеть, лучший вариант — это 999, одно из самых близких чисел
к 1000, которое раскладывается на множители 37 и 27 и образует прямоугольник
с соотношением сторон 1,37, что довольно близко к 1,41 формата DIN А. Но это
решение 2000 года было заменено другим, более отдаленным от формата DIN А,
поскольку если рассмотреть 1008 как произведение 36 на 28, получается соотноше¬
ние 1,29.
То, что детали правильно распределяются вдоль рядов и столбцов, подтверждает
и изготовитель в одной из карточек, вложенных в коробку с пазлом.
Изготовитель рекомендует использовать систему координат для безошибочного
определения потерянной детали, если пазл все не складывается.
А вы теперь не будете удивляться, когда обнаружите, что в пазлах из 1000 дета¬
лей на самом деле не 1000 деталей.
Трехмерные пазлы
Не стоит считать трехмерные пазлы чем-то особенным, в отличие от плоских дву¬
мерных элементов. Дело в том, что ни один пазл на самом деле не плоский: наш
мир имеет три измерения, и даже самые тонкие детали имеют толщину. Но все же
мы будем по-прежнему называть двумерными пазлами те головоломки, цель кото¬
рых — представить плоское изображение.
Существует два типа трехмерных пазлов. Одни действительно являются трех¬
мерными в том смысле, что составленная фигура и ее элементы представляют собой
трехмерные объекты. Эти деревянные пазлы сегодня часто встречаются на полках
магазинов. Среди них стоит выделить куб, собранный из деревянных деталей.
148
ГОЛОВОЛОМКА С МОЗАИКОЙ
Этот куб состоит из З3 = 27 частей и собран из шести тетрамино, то есть деталей
из четырех элементов, и одного тримино, детали из трех элементов. Каждая из семи
деталей получается присоединением кубов к одной из ее граней.
Геометрический Зй-пазл (слева) и семь деталей куба: шесть тетрамино и одно тримино.
Из этих же деталей можно составить другие композиции, в том числе сохраняю¬
щие трехмерную симметрию.
Сверху — «укрепленный фронтон»
из семи деталей куба. Сверху
слева —«лестница»из семи деталей
куба, а внизу — «диван» из шести
деталей куба.
149
ГОЛОВОЛОМКА С МОЗАИКОЙ
Есть и другой тип трехмерных пазлов, которые называются так потому, что они
формируют не плоское изображение, а криволинейную поверхность. Их элементы
практически такие же, как и в двумерных головоломках, но они обладают некоторой
кривизной, то есть трехмерностью. Внизу вы видите пазл, изображение которого
воспроизводится не на плоскости, а на поверхности сферы.
Сферический пазл фирмы Ravensburger.
На фотографии показан ЗО-пазл на этапе сборки. Обратите внимание, что для
облегчения задачи детали пронумерованы. Кривизна трехмерного пазла препятству¬
ет его стабильности во время сборки, в отличие от плоских головоломок, возможно,
именно поэтому в комплект также входит карточка с рекомендациями.
Следовательно, главный смысл этой головоломки не в том, чтобы выяснить рас¬
положение деталей, а в том, чтобы собрать его. Все эти советы превращают сборку
150
ГОЛОВОЛОМКА С МОЗАИКОЙ
пазла в очень простую задачу, гораздо более простую, чем ожидаешь от головолом¬
ки, занимающей промежуточное положение между двумя и тремя измерениями.
Полимино 2D и 3D
Так называются плоские или трехмерные детали, состоящие из более чем одного
квадрата или куба, соединенных одной или несколькими сторонами.
Домино и тримино
Домино состоит из двух квадратов, и игра с костяшками такой формы стала очень
популярной, особенно на юге Европы. Корни игры восходят к Китаю XII века, хотя
наиболее популярная европейская версия, в которой используются фишки с белыми
половинками и нет игрального кубика, в отличие от китайской версии, происходит
из Италии XVIII века.
Если соединить два квадрата по одной стороне, перед нами появится прямо¬
угольная деталь — других вариантов соединения нет. Игра в домино заключается
в том, чтобы составить эти детали в зависимости от количества точек, отмеченных
на каждой из половинок, от 0 до 6. Общее число игровых деталей связано с количе¬
ством возможных пар этих чисел.
Для 0 существует семь вариантов (0—6); для 1 — шесть вариантов (отбрасы¬
ваем уже использованный 0); для 2 — пять возможностей (отбрасываем ранее ис¬
пользованные 0 и 1), и так далее. Получается, что в игре используются:
7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 деталей.
Игроки складывают костяшки друг с другом. При этом совмещаться должны
стороны деталей с одинаковым количеством точек. Таким образом, получается
двойная линейная мозаика — геометрическая и числовая. Игра заканчивается после
использования всех возможностей для совмещения костяшек.
Тримино представляет собой расширение домино до трех квадратов, соединен¬
ных сторонами. Существуют две возможности такого соединения.
151
ГОЛОВОЛОМКА С МОЗАИКОЙ
Тетрамино и «Тетрис»
Из четырех квадратов составляются тетрамино. Не считая изометрии, плоских те¬
трамино всего пять, они обозначаются буквами. ч
Пять тетрамино, обозначающиеся буквами
по их форме: I, L, Т, S, О.
Среди тетрамино появляется квадрат 2x2. Поскольку каждая деталь состоит
из четырех ячеек, в соединении костяшек тетрамино число ячеек всегда будет кратно
четырем. Из тетрамино никогда не получится собрать квадрат с нечетной длиной
стороны. Квадрат 4x4 можно собрать из линейного тетрамино из четырех ячеек,
то же справедливо для квадратов, число ячеек которых кратно: 4 х 4 = 16, 8 х 8,
12 х 12... Но с квадратами со стороной, кратной 6, дело обстоит иначе.
Квадраты 4 х 4 и 6 х 6, собранные из тетрамино.
В 1984 году русский инженер-программист Алексей Пажитнов создал из тетра¬
мино игру под названием «Тетрис», в которую уже три десятилетия во всем мире
играют на приставках, компьютерах, мобильных телефонах и разнообразных типах
устройств. Цель каждой партии — составить в ряды детали, падающие с верхней
152
ГОЛОВОЛОМКА С МОЗАИКОЙ
части экрана. Как только ряд заполнен, он исчезает и таким образом освобождает
пространство, чтобы можно было поместить еще детали и набрать больше очков.
Единственные операции, которые может осуществлять игрок, — это перемещать
фигуры вправо или влево или вращать их на 90° влево и вправо. По мере продви¬
жения в игре детали падают все быстрее. Главный показатель — число заполненных
рядов.
Поскольку симметрии фигур L и S не могут быть получены с помощью вращения
на 90°, игра включает и их. Всего в игре семь деталей — I, L, J, Т, S, Z и О.
Изображение партии
в«Тетрис»(сверху) и семь
деталей игры.
Пентамино
Из пяти квадратных ячеек, соединенных сторонами, можно создать 12 пентамино,
из которых собирается квадрат со стороной 5. Самый простой способ сделать это —
взять пять линейных пентамино из пяти ячеек, но ниже показано более красивое
решение. Оно учитывает симметрию вращения на 90° и использует только два типа
пентамино: крест и Т.
153
ГОЛОВОЛОМКА С МОЗАИКОЙ
Квадрат 5x5, собранный из двух пентамино: креста и четырех Т.
Внизу — двенадцать деталей пентамино.
3D-версия пентамино — это
29 деталей, каждая из которых со¬
стоит из пяти кубиков, соединен¬
ных друг с другом гранями. Всего
5 * 29 = 145 кубиков, из которых
можно собрать куб со стороной 5,
состоящий из 125 единиц и вклю¬
чающий 25 из существующих
29 пентамино.
154
ГОЛОВОЛОМКА С МОЗАИКОЙ
Учитывая, какие детали остались невостребованными, читатель сам может по
пытаться собрать такой куб.
«Танграм»
«Пиньинь», игра из семи элементов, или «Танграм» — это китайская головоломка,
придуманная довольно давно. Как гласит легенда, она была создана в Китае при
попытке собрать мозаику из разбившейся керамической плитки. Однако обнару¬
жилось, что из ее фрагментов можно составить много разных фигур. Головоломка
предполагает творческий подход, поскольку ее цель состоит в том, чтобы собрать
фигуры, имеющие реальное сходство, например, с человеком или животным. Также
игру можно использовать для проверки того, можно ли построить какую-то фигуру
из семи деталей. Набор для игры представляет собой квадрат, разделенный на семь
частей.
155
ГОЛОВОЛОМКА С МОЗАИКОЙ
Немного остановимся на одном фрагменте квадрата, который определяют две
диагонали и одна горизонталь.
Мы имеем равнобедренный треугольник, который будет основой для семи дета¬
лей. Если взять за единицу сторону исходного квадрата, то размеры каждой детали
следующие.
Фигура
Количество
Углы
Наибольшая
сторона
Наименьшая
сторона
Высота
Площадь
Наибольший
треугольник
2
45° и 90°
1
>/2/2
1/2
1/4
Средний
треугольник
1
45° и 90°
>/2/2
1/2
72/4
1/8
Наименьший
треугольник
2
45° и 90°
1/2
>/2/4
1/4
1/16
Квадрат
1
со
о
о
>/2/4
>/2/4
72/4
1/8
Параллелограмм
1
45° и 135°
1/2
72/4
1/4
1/8
Игра предоставляет огромное количество возможностей, зависящих только
от творческого мышления игрока и его способности к синтезу. Но если сосредото¬
читься на геометрическом аспекте, можно сделать элементарное наблюдение: в игре
нельзя собрать равносторонний треугольник или правильный шестиугольник, по¬
тому что для этого требуются углы в 30° или 60°, которые нельзя получить из углов
в 45°, 90° и 135°. Получается, что углы при вершинах любой фигуры, собранной
в «Танграме», будут именно такими.
Головоломка породила так называемые парадоксы «Танграма». Речь идет о фи¬
гурах, которые составлены из всех деталей, но кажется, что какой-то детали в них
не хватает. Первые парадоксы приписывают математикам Генри Дьюдени (1857—
1930) и Сэму Лойду (1841—1911). Следуя нашему геометрическому интересу, оста-
156
ГОЛОВОЛОМКА С МОЗАИКОЙ
новимся на двух парадоксах Лойда, известных как «магическая чашка» и «квадрат».
Они были включены в книгу Лойда, опубликованную в 1903 году и озаглавленную
«Eighth book of Тап». Кажется, что в следующей чашке магическим образом появ¬
ляется и исчезает треугольник.
Но если посмотреть на форму фигур, можно заметить, что их размеры отличаются.
Соответствующие высоты трех чашек не равны:
"'2 4 2
1 5
h..= 1 + — 1,25.
' 4 2
72 1 /72 72 \ 772
hc = + — + 1
2 2 l 2 4
= 1,24.
В этом парадоксе мы видим игру с неточными границами, с которой мы часто
встречаемся в реальности. Когда детали разложены на столе, мы можем сложить их,
образовав промежуток, имеющий, на первый взгляд, квадратную форму.
157
ГОЛОВОЛОМКА С МОЗАИКОЙ
Является ли центральный промежуток квадратом?
Если точно разместить детали, мы увидим, что треугольный угол, отсутствую¬
щий на предыдущей фигуре, совпадает с излишком, который создан средним тре¬
угольником и параллелограммом.
Действительно, сумма длин наибольшей стороны среднего треугольника и наи¬
меньшей стороны параллелограмма не дает ровно 1, то есть длина наибольшей сто¬
роны наибольшего треугольника равна:
V2 + V2
2 + 4
4
Но вернемся к трехмерным пазлам. Какой была бы ЗО-версия плоских пазлов
с их выступающими «полуостровами» и втянутыми в плоскость плитки «залива¬
ми» — этими соединениями, которые помогают удостовериться в том, что элемен¬
ты собраны правильно, и уберегают головоломку от случайного рассоединения?
158
ГОЛОВОЛОМКА С МОЗАИКОЙ
Трехмерной версией этих пазлов были бы кубические детали, похожие на плитки
римской мозаики, но на их гранях мы видели бы выпуклые или вогнутые круглые
формы — трехмерные версии соединений. Больше всего на них похожи швартовные
тумбы, к которым пристают корабли на причал.
159
Эпилог
Когда около пяти тысяч лет назад в Месопотамии появились первые мозаики, весь
известный мир не сильно выходил за границы рек Тигр и Евфрат — по крайней
мере, для авторов этих мозаик. Конечно, все части света уже были заселены, но от¬
сутствие коммуникации между ними делало мир дискретным культурным простран¬
ством, и понятие ойкумены было локальным.
Однако жажда знаний, стремление к торговле и часто просто стечение обсто¬
ятельств позволили установить связи между этими изолированными вселенными,
пока не сформировалась целостная карта мира. Сегодня наша планета разделена
на 247 стран. По площади самая большая из них — Россия (17 125 246 км2), а са¬
мая маленькая — город-государство Ватикан (0,44 км2). Ватикан уместился бы
в России 39 миллионов раз. Такие различия в размерах делают невозможным из¬
готовление карты, в которой представление каждой страны занимало бы участок,
пропорциональный ее реальному размеру.
Мозаика мира с плитками, примерно
пропорциональными площади каждой страны.
Эти 247 стран составляют неправильную и непериодическую мозаику, в которой
есть такие любопытные элементы, как Лесото (страна расположена внутри Южной
Африки, представляющей перфорированную плитку) или несвязные страны —
Филиппины, Индонезия, Япония и многие островные государства Тихого океана.
У этого числа стран, 247, очень мало делителей, поскольку это произведение двух
161
эпилог
простых чисел: 13 • 19. Пазл из 247 деталей, который мог бы представлять мир,
был бы прямоугольником формата 19/13 = 1,46, что довольно близко к 1,41 фор¬
мата DIN А.
Но эта политическая головоломка не является достоверной моделью реально¬
го мира. Пазл нашей планеты представляет собой мозаику, состоящую из сложных
фрактальных плиток, многие из которых имеют нечеткую и даже меняющуюся фор¬
му, что усложняет сборку. Возможно, на данный момент количество плиток уже
изменилось по сравнению с упомянутым в предыдущих абзацах. Так это или нет,
но благодаря математике мы уверены в двух вещах, касающихся мозаики полити¬
ческого мира: первая — что в каждой вершине углы сходящихся стран всегда дают
в сумме 360°, а вторая — что для окрашивания этой карты достаточно четырех
красок.
162
Библиография
BORGES, J.L., El libro de arena, Madrid, Alianza Emece, 1996.
BRISCOE, S., Japanese Quilt Blocks to Mix & Match. Over 125 Patchwork, Applique,
and Sashiko Designs, Tokio, Kodansha International, 2007.
CABRERA, M.A. Y OTROS, 7 paseos por la Alhambra, Granada, Proyecto Sur de Edi-
ciones, 2007.
CALVINO, I., Coleccion de arena, Madrid, Ediciones Siruela, 2001.
ERNST, B., Der Zauberspiegel des Maurits Cornells Escher, Berlin, Taco, 1986.
GARDNER, M., Carnaval matematico, Madrid, Alianza editorial, 1990.
GERDES, P., African Pythagoras. A Study in Culture and Mathematics Education,
Maputo, Instituto Superior Pedagogico, 1994.
GOODMAN-STRAUSS, Compass and Straightedge in the Poincare Disk, The mathema¬
tical Association of America, Monthly, 108: 38-49, 2001.
LUCAS, E., Recreations mathematiques //, Paris, Gauthier-Villars et fils, 1896.
PENROSE, R., La nueva mente del emperador, Barcelona, Debolsillo, 2011.
PlCKOVER, C.A., El libro de las matematicas. De Pitagoras a la 573 dimension. 250
hitos de historia de las matematicas, Murcia, Librero, 2011.
SALGUERO, F.J., «Teselaciones periodicas, aperiodicas у especiales», Suma 14-15,1994.
W.AA., Las matematicas en la vida cotidiana, Garfunkel, S. (director), Steen, L.
(editor), Addison-Wesley/Universidad Autonoma de Madrid, 1999.
163
Алфавитный указатель
patchwork 33
QR-код 138
wallpaper 56
базовая плитка 57, 59, 96, 119, 127,
129
бордюр 13,15, 22, 55—57
Борхес, Хорхе Луис 74
Гаусс, Карл Ф. 108, 115
геометрия
гиперболическая 106—110, 115
эллиптическая 106
гиперболическая плоскость 89—116
группа симметрии 57, 59, 60, 86, 95,
96, 98,121,126
делимость 41, 42
диагональ 23—26, 51, 67, 68,139,140,
156
домино 151
дротик Пенроуза 71, 72
дуга
вогнутая 31—33
выпуклая 31—33
остроконечная 16
окружности 12,14, 29, 30—32, 61,
73,106,109-116,124,143
полукруглая 30
прямая 28, 30
Евклида
алгоритм 43
постулаты 108
замощение 8,17,18, 21, 24, 27—30,
41, 48, 78
бесконечное золотого прямоуголь¬
ника 124
бесконечное квадрата 102—107
бесконечное круга 107—116
и размерность 74—76
линейное 33
непериодическое 61, 62, 64—66,
69, 72, 89
на плоскости ткани 27—33
неправильное 90, 117
Пенроуза 72
периодическое 61—63, 89
пифагорово 120—126, 136
плоское 33, 39
плоскости 24, 27, 41, 92,117,120,
127
правильное 39, 42, 121
фрагментарное 34
змей Пенроуза 71, 72
золотой прямоугольник 124
Кальвино, Итало 16—17
квадрат
латинский 8,117, 137, 139
магический 117,134,137—141
Клейн, Феликс 108, 109, 115
Коксетер, Гарольд 89, 107, 114, 115
Кортасар, Хулио 117
Лобачевский, Николай 108, 115
165
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
мозаика
бесконечная 76
вавилонская 22, 37
готическая и эпохи Возрождения
18-21
исламская 15—18, 22—27, 66
Коха 83, 84
непериодическая 8, 61, 64, 72, 73,
87
Пенроуза 67—69, 72
периодическая 37, 56, 59, 60, 87
пифагорова 8, 117—142
полуправильная 45, 49, 53,133
правильная 53, 73, 86, 89, 133, 138
природная 9—12, 93, 94
римская 13-15, 22, 37,159
фрактальная 34, 81—87
многогранник 55, 100, 102, 112
многоугольник
вогнутый 39, 49, 51, 53, 65, 67, 79,
90, 91, 93,100
выпуклый 39, 49—53, 65, 67, 79,
93
правильный 7, 8, 35, 39—42, 45,
48, 53, 62, 93,102,111,114,130
неправильный 33, 35, 49, 51, 53, 61,
64, 69, 83, 90-93,100,118
обои 55, 59, 60
основная область 57, 59, 63, 135, 137
пазл
2D 8б 78,117,143-159
3D 8,144,148-151,158
параллелограмм 27, 50, 51, 92, 93,156,
158
параллельная прямая 50, 91, 92, 108,
109
Пенроуз, Лайонел 69
Пенроуз, Роджер 8, 64—66, 69
покрытие
непериодическое 61—64
неправильное 49—53
периодическое 8, 37—60
полуправильное 45—49
правильное 37—44, 96, 100
полимино 151—158
последовательность 37, 39, 46, 58, 82,
104-107
Фибоначчи 10, 58, 124
предел 8, 61, 66, 72, 78, 99,103,104,
107-110
Пуанкаре, Анри 75, 89, 108—110, 115
радиус 14, 28, 30, 31, 37, 38, 40,
111-114,124
Риман, Бернхард 106
ромб Пенроуза 67, 71, 72
теорема
Вариньона 51
о делении 43
о замощении и размерности 75
о локальном изоморфизме 72
о четырех красках 79—81
общая о замощении плоскости 75
Пифагора 66,117—120, 122
Фалеса 66
Ферма 66
тетрамино 149, 152, 153
тетрис 152, 153
тренкадис 8, 27, 34, 35, 49
166
треугольник
прямоугольный 117—119
равнобедренный 24—26, 40, 68,
132.133.141.142.156
равносторонний 38, 39, 42, 44—49,
81, 83, 84, 86-100,101,125,
130.131.133.141.142.156
разносторонний 49, 50
Серпинского 84, 86
угол
внешний 40
внутренний 39—41, 51
прямой 45,106,117,123,132—134
развернутый 50
узор
амимон 29, 30
новаки 28, 29
сашико 27, 29—32, 90
сейгайха 28
фундо 28
чидори цунаги 29, 30
шиппо 28
фрактал 17, 34, 66, 74, 81—87,162
фриз 16, 55-57, 59
Эшер, Мауриц Корнелис 7, 69, 89,
99-110,114-116
167
Научно-популярное издание
Выходит в свет отдельными томами с 2014 года
Мир математики
Том 44
Микель Альберти
Бесконечная мозаика.
Замощения и узоры на плоскости
РОССИЯ
Издатель, учредитель, редакция:
ООО «Де Агостини», Россия
Юридический адрес: Россия, 105066,
г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д. 3, стр. 1
Письма читателей по данному адресу не при¬
нимаются.
Генеральный директор: Николаос Скилакис
Главный редактор: Анастасия Жаркова
Выпускающий редактор: Людмила Виноградова
Финансовый директор: Полина Быстрова
Коммерческий директор: Александр Якутов
Менеджер по маркетингу: Михаил Ткачук
Менеджер по продукту: Яна Чухиль
Для заказа пропущенных книг и по всем вопро¬
сам, касающимся информации о коллекции, за¬
ходите иа сайт www.deagostini.ru, по остальным
вопросам обращайтесь по телефону бесплатной
горячей линии в России:
® 8-800-200-02-01
Телефон горячей линии
для читателей Москвы:
® 8-495-660-02-02
Адрес для писем читателей:
Россия, 600001, г. Владимир, а/я 30,
«Де Агостини», «Мир математики»
Пожалуйста, указывайте в письмах свои кон¬
тактные данные для обратной связи (телефон
или e-mail).
Распространение:
ООО «Бурда Дистрибьюшен Сервисиз»1 .
УКРАИНА
Издатель и учредитель:
ООО «Де Агостини Паблишинг» Украина
Юридический адрес: 01032, Украина,
г. Киев, ул. Саксаганского, 119
Генеральный директор: Екатерина Клименко
Для заказа пропущенных книг и по всем вопро¬
сам, касающимся информации о коллекции, за¬
ходите на сайт www.deagostini.ua, по остальным
вопросам обращайтесь по телефону бесплатной
горячей линии в Украине:
® 0-800-500-8-40
Адрес для писем читателей:
Украина, 01033, г. Киев, a/я «Де Агостини»,
«Мир математики»
Украша, 01033, м. Кит, а/с «Де Агоспш»
БЕЛАРУСЬ
Импортер и дистрибьютор в РБ:
ООО «Росчерк», 220037, г. Минск,
ул. Авангардная, 48а, литер 8/к,
тел./факс: (+375 17) 331-94-41
Телефон «горячей линии» в РБ:
® + 375 17 279-87-87 (пн-пт, 9.00-21.00)
Адрес для писем читателей:
Республика Беларусь, 220040, г. Минск,
а/я 224, ООО «Росчерк», «Де Агостини»,
«Мир математики»
КАЗАХСТАН
Распространение:
ТОО «КГП «Бурда-Алатау Пресс»
Издатель оставляет за собой право увеличить реко¬
мендуемую розничную цену книг. Издатель остав¬
ляет за собой право изменять последовательность
заявленных тем томов издания и их содержание.
Отпечатано в соответствии с предоставленными
материалами в типографии:
Grafica Veneta S.p.A Via Malcanton 2
35010 Trebaseleghe (PD) Italy
Подписано в печать: 01.10.2014
Дата поступления в продажу на территории
России: 18.11.2014
Формат 70 х 100 / 16. Гарнитура «Academy».
Печать офсетная. Бумага офсетная. Печ. л. 5,5.
Уел. печ. л. 7,128.
Тираж: 28 600 экз.
© Eduardo Arroyo Perez, 2014 (текст)
© RBA Collecionables S.A., 2014
© ООО «Де Агостини», 2014
ISBN 978-5-9774-0682-6
ISBN 978-5-9774-0776-2 (т. 44)
Данный знак информационной про¬
дукции размещен в соответствии с требования¬
ми Федерального закона от 29 декабря 2010 г.
№ 436-ФЗ «О защите детей от информации, при¬
чиняющей вред их здоровью и развитию».
Издание для взрослых, не подлежит обязатель¬
ному подтверждению соответствия единым требо¬
ваниям, установленным Техническим регламентом
Таможенного союза «О безопасности продукции,
предназначенной для детей и подростков» ТР ТС
007/2011 от 23 сентября 2011 г. № 797.
Замощения и узоры на плоскости
Она у нас под ногами - дома и на улице, мы видим ее
на фасадах и на мебели. Она изображена на нашей одежде,
а иногда мы даже... ее едим: в виде куска пиццы или торта.
Иногда мы проводим свободное время, собирая ее и получая
удивительные узоры. По ее виду или цветам можно
идентифицировать народ, ее придумавший. Что мы имеем
в виду? Конечно же, мозаику. И совсем неудивительно, что этот
культурный артефакт стал предметом изучения математики,
которая сама является частью культуры.
ISBN 978-597740682-6
9 785977 406826
00044