НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ СССРСТРОИТЕЛЬНАЯМЕХАНИКАРАСЧЕТСООРУЖЕНИЙСканы - Геннадий1147;
Обработка - Armin;Плоды темы:Журнал "Строительная механика
и расчет сооружений"DWG.ru, 2013 годМОСКВА41963
СО Д ЕРЖА Н И ЕСтр.B.	И. Безпалый (К'иев). Приближенный метод расчета цилиндриче¬
ских оболочек ...	1Н.	А. Киль (Москва). О расчете оболочек на сосредоточенные воз¬
действия .	,6
Я. Д. Лившиц (Киев). Расчет прямоугольных плит, эксцентрично
защемленных в упругом контуре . 8
Д. И. Згорский (Киев). Исследование деформативности плит, экс¬
центрично защемленных в упругом контуре 11А.	А. Васильев (Москва). Предварительное напряжение сггальных
балок в упругой и упруго-пластической (стадиях работы 13C.	В. Поляков (Москва). Ползучесть кладки при внецентренном сжа¬
тии коротких столбов	.	20И. С. Синяговский (Ульяновск), Г. С. Трофимов (Уфа). О расчете
тонкостенных гнутых профилей на стесненное кручение	21A.	А. Афендульев (Горький). К расчету балок на упругом основа¬
нии при односторонней связи с основанием	27С. И. Усанов (Москва). О прогибе балочных стропильных ферм с
параллельными поясам .	.	30О.	В. Лужин (Москва). Использование простейших электрических
моделей для построения линий влияния изгибающих моментов в
статически неопределимых рамах .	.	32П. П. Толченников (Иркутск). Графическое решение задачи Ляме—Гадолина .	.	37Е. С. Гребень (Ленинград). Определение неизвестных при модифика¬
ции системы лииейных уравнений	.	39
С. Я. Землянухин (Саратов). Уточнение способа определения часто¬
ты колебаний и решения задач устойчивости 42ИнформацияB.	П. Коротков. К введению международной системы единиц в СССР 46
Новые книгиРедакционная коллегия: В. Н. Насонов (главный редактор)В.	А. Балдин, Д. Д. Баркан, В. А. Гастев, К. С. Завриев, Б. Г. Коренев,П. А. Красильников, Н. П. Мельников, А. П. Морозов, Н. В. Никитин, О. Д. Ониашвили,
И. М. Рабинович, А. Р. Ржаницын, С. А. Рогицкий, А. Ф. Смирнов,О.	И. Томсон (зам. главного редактора), М. Т. УразбаевЖурнал выходит раз в два месяца
Адрес редакции: Москва, Пушкинская ул., д. № 24, комн. 3(12. Тел. Б 9-02-35Сдано в набор 8/VI 1963 г. Подписано к печати 25/VII 1963 г. Т-10421. Цена '60 коп.
Бумага 70x108/16 — 4,1 уел.-п. л. 5 уч.-изд. л. Тираж 6430 экз. Зак. 648.
Технический редактор В. И. Корниенко.	Корректор Г. А. ЛебедеваТипография № 3 Госстройиздата, Москва, Куйбышевский пр., д. 6/2
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛАКАДЕМИИ СТРОИТЕЛЬСТВА И АРХИТЕКТУРЫ СССРСТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
и РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙГод издания V	№ 4, 1963 г.„Пленум считает необходимым повысить роль
науки в формировании коммунистического миро¬
воззрения, в идейно-научном воспитании народа.
Советская наука должна занять передовые позиции
в мировой науке во всех областях знания, наука
должна приобщать трудящихся к научно-техничес¬
кому творчеству. Почетный долг советских ученых—
нести знания в массы".(Из постановления Пленума ЦК КПСС „Об очередных задачах
идеологической работы партии,)Приближенный метод расчета
цилиндрических оболочекВ. И. Безпалый (Киев)Расчету оболочек посвящено много работ; особенно важны исследованияВ.	3. Власрва [1] и В. В. Новожилова [2]. В настоящей статье дано развитие метода
Новожилова, позволяющее избежать громоздких вычислений. Пользуемся обозначе¬
ниями, принятыми в работе [2].Рассмотрим круговую цилиндрическую оболочку радиуса г0 (рис. 1). Следуя
В В. Новожилову, считаем, что оболочка по торцам свободно опирается на абсо¬
лютно жесткие опоры; условия на прямолинейных краях выбираем в соответствии с
конкретной задачейНапряженное состояние оболочки полностью характеризуется усилиями Т\, Т2,
Т12, Т2ь N2 и моментами Mi, М2, М\2 и М21. Положительные направления этих
усилий и моментов изображены на рис. 2.Примем обозначеният ^21 т _ с М12+М21112	— У21—— Н.Г0 LКак известно, при расчете оболочки величины М\2, М2\, Т\2 и Т2\ не определяются
в отдельности; находятся только комбинации Я и 5.Компоненты внешней силы, приходящейся на единицу площади, вдоль, направ¬
лений х, s и нормали п обозначим через q\, q2 и qn (рис. 3). Обычно нагрузки, учи¬
тываемые в расчете (собственный вес, ветер, снег), можно считать не изменяю¬
щимися вдоль прямолинейных образующих оболочек, причем <71 = 0.Равномерное распределение -нагрузки, по образующей заменяем синусоидальным,
как изображено на рис. 4.Таким образом, заданные нагрузки* тс	*q'j =?= —'QjO) (j — 2*n) заменяем qj = ^y(cp) sin где X = nrJL.Пусть Kp (<p, £) обозначает часть какого-либо усилия или прогиба К оболочки,
соответствующую моментной теории. Для нахождения этой функции достаточно опре:1
делить значения К^(<р. £) и ее первых трех производных по <р на краю оболочки.
Такое задание функции	$) удобно для выяснения краевого эффекта при ис¬пользовании приближенной формулы Тейлора:6)« ^(?о.5) + ^(?о. €)(? — ?•) +S)	^ОРв* 6)+ 			 (<Р — То) + 			(Т — <Р«)3*Поскольку значения производных	£) находятся аналогично значениям(<р, £), .рассмотрим определение величины (ср0» £)•Предположим, что нагрузка является симметричной. Величину (<р0, 6) находим
с помощью системы четырех линейных уравнений, определяющих усилия и прогибы.
Эту систему решаем на основании формул Крамера. ПолучаемV*o.	д ARrn ^KBCD^ (?.)+ ^AKCDB (То) + ^ABKdC fao) + Д ABC К £>ММ6>.AHL.Uгде Л, В, С, D — четыре величины усилий или прогибов, для которых заданы краевые
условия; v(Q равняется sinX£ или cosX£ в зависимости от физического смысла вели-
чины К. Каждая из величин ДABCD, Дkbcd• ЛAKCD> *ABKD’ аавск представляет
собой определитель 4-го порядка. Раскрывая определители, выражаем их алгебраиче¬
ски через гиперболические и тригонометрические функции, зависящие от коэффициен¬
товCl = /у(1+/)2 +1 + 1 +7; «I = |/ Y w<4- ff+1-Hf;= ^//(i+TF+T-W </s = v/" у V /(i -Л5 +H-I-7;X2 — 0,5
f ~ b\Изложенный способ определения функции а следовательно, значений усилий
и прогибов оболочки, является очень громоздким. Переходим к приближенному ме¬
тоду расчета Введем мовые переменные:Ci~Hc2	С1~Ь *С2 ^2+/йГо)ср0 _ ^4	’4При переходе к новым переменным отбросим в коэффициентах малые величины±^/,)«р0 ^ 2{c.j-^id q)<Po2Рис* 1Рис. 3Рис 4Рис. 2
В результате этого величины А и А' определяются * из линейных уравнений, не
содержащих экспоненциальных функций.Аналогичные преобразования производим для асимметричной нагрузки.
Подставляя найденные значения А и А' в выражения усилий и прогибов, найдем
значениеРассмотрим, например, случай оболочки со свободными прямолинейными краями.
Величина К^ выражается формулойх/*	[j/^ у ~-vc(Яп+Я?)(-%)f3K[j/ y(».+<p)jJv(0,	(i)где b = 1,3 -fr\jb ; f)<(u)=A\Kec''f cos (dtf +	cos/*(«)=	COS (rf.cp +	cos (rf2?+ e^); «=1^" -y <p;Z7*—коэффициенты, определяемые формой и материалом оболочки; е^=±1;1 1 Ч Ч 1 1 ч чА\к, е^, е2К* е^, в2К— величины, которые зависят только от f, g ==2/ЬХ и коэффициента Пуассона	и /^(и) представляют собой функции и,зависящие от величин / и g, как oi параметров. Проведенные оценки показывают,
что с целью получения первых п-риближенных значений прогибов и усилий можно
полагать f=g=0. При этом А\1< и будут постоянными (зависящими только от
fx; /%(и) и	могут быть раз навсегда определены Результаты вычислений сво¬дятся в таблицу.Таким образом, каждое усилие и прогиб можно определить по формуле (1), при¬
чем значения входящих функций берутся из таблицы.Для получения полного значения величины какого-либо усилия или прогиба сле¬
дует добавить к значениям, получаемым по формуле (1|), величины, соответствующие
безмоментной теории. Окончательно получим следующие формулы для определения
усилий:ЛОР. £) = — ^Ег,(?) + —^ Яг) j sinX£; Тг (<р, £) = гл[дп — Kn(<p)] sin X?;5(<р,	Es(<p) — у/ -L (qn + дг) cos X?;*.(*. 0 = -J-/?iv,EAr>Ws,nXb	| (2)м> (?. s> = 4"	м2 Op.«) = ^	(<f) s<n Xg;Н-(<Р, £) = “^“	(?) cos *5; Л,1(<р. 5) = />tEAr, (<p)cos Xg,где через Е^(ср) обозначено выражение, стоящее в фигурных скобках в формуле (1).
причем К обозначает одну из величин Т\, Т2, S, М\, М2, Н, Ni и N2.Выражение (2) упрощается в зависимости от заданной конкретной нагрузки.
Аналогичные результаты получаем для других случаев опирамия оболочки чо
прямолинейным краям.Для достаточной точности расчета рассматриваемым методом требуется, чтобы
величины /, g, e~~2c&° и e~2c*fo были малы в сравнении с единицей. Исходя из это¬
го, можно цилиндрические оболочки .подразделить на следующие два типа:/Ж	/’ST—	<Р0> 1.5; тип 2: ий = т/ — <р0 < 1,5tДля оболочек типа 1 предлагаемый приближенный метод достаточно точен, а
для оболочки типа 2 он дает большую погрешность и неприменим. Однако из по¬3
следнего неравенства вытекает, что оболочки типа 2 являются либо .весьма длин¬
ными, либо весьма пологими, либо имеют форму арки. Поэтому оболочки типа 2
можно с достаточной точностью рассчитывать другими методами, как балки, арки
или пологие оболочки.В покрытиях встречаются только следующие виды нагрузок: собственный вес,
ветер и снег (снеговые пазухи). Для этих нагрузок величины q\, -q% и Яп выражаются
следующими формулами.1.	Для собственного веса01 = 0; ?„ = —9cos?; ?3 = ?sin?.2.	Для ветра= ?2 = 0; ?„ = ?slnT.3.	Для онеговой пазухи?i = 0;	— cos(<p + <p„)]»in<p; qn = — — cos(T-f <pJJcos?,где <7=с о list.Подставляя значения нагрузок в выражение (2), получим величины усилий и про¬
гибов для*каждой из рассматриваемых нагрузок.Рассчитывая оболочки на прочность, следует определять только усилия Т\, М.?
и И; как показали проведенные оценки, остальные усилия при рассматриваемых на¬
грузках могут не учитываться для оболочки, закрепленной на опорах и имеющей
конструктивное армирование. Из формулы (2) видим, что в случае оболочки, свобод¬
ной по прямолинейным краям, нужно вычислить 7\ при = <р0 (на прямолинейных
кромках), М2 при 9 = <р0—1,5 1^2/^ и//при ср=0 (в центре).1.	Для нагрузки от собственного веса получаемТ, = Lr^b~'^q0{2,6 cos 9(t — 0,2615^ cos <f#+l ,7Z>5,/V(^‘sin <f0);^* = i(4)’^.(0.23cos9o + 0,07Z.^BV^sin<p0);	. (3)73- = /:,/=(6rc)34(0.24/>6,/.r-3/<sin <?„+0,78 cos <p0).I P*2.	Для ветровой нагрузкиTx =	—2,6 sin 0,84Z,1^bV^3/4 cos l^Lb'^r^^sin <p0);M2 = L (brS1^0,23 sin <Р,- 0,035cos ?„);	. (4)		= L'}* (brS1, q, (0, l2L'l>b'l<r-*l‘ cos 9,—0,78sin ?0).1 fX3.	Для снеговой пазухиTl=Lr(l2b'~1^q0 [2,6 sin <p0 sin 2<p0-|- 0,84	sin <p0(l — 3cos 2cp0) -f--f0,135/.b''Vo 3^2 (3cos 3<p0 — 2cos <pe)];Afa = Z.(8r0),/’<70[0,23sin 2<p0+0,035Z.’/aS'/<r-*/'(l —3cos2(f0)]sin<(.0;	(5>yy—— = L'1’ (or„)3/^0 [0,78 sin 2<p,+ 0,12Z.’^B'/Vo 3/<(l — 3cos 2<p0)] sin <p0.Таким образом, расчет оболочек сводится к вычислению по формулам (3)—(5)
величин Т\, М2 и //, что значительно упрощает и ускоряет проектирование данного
вида конструкций.Пример. Пусть требуется рассчитать многоволновую цилиндрическую круговую обо¬
лочку следующих размеров: длина волны d=10 м, пролет L=20 м, толщина &=6 см,
угол <ро=90°. На оболочку действуют нагрузки: собственный вес д® =150 кг/м2, снег
<7с=100 кг/м2 и снег в пазухах ^=140 кг/м2.1.	Определяем значение и0. Получаем/Ж_<р„ s 3,4 > 1,5.Следовательно, оболочка относится к оболочкам типа 1 и возникающие в ней усилия
вычисляются по предлагаемому приближенному методу.2.	Находим величины усилий, возникающих в оболочке. Для случаев действия
веса и симметричной снеговой нагрузки расчет производится для ряда значений <р,
изменяющихся от 0 до ?01 а для загружения пйзух снегом — от — <р0 доу0. Проделан
вычисления, находим значения всех искомых величин в ряде точек оболочки.(3)4
Рис. 5. Эпюры усилий (от нагрузок: собственны
вес и снег)Максимальные значения всех усилий, полученные в результате произведенных
вычислений, приведены в таблице..УсилияТип нагрузкиГ, вmj мТ9 вт\мМх в
кгм1мМ* в
кгм!мАг, в
т\мвт(м5 в
т!мН1-{Хв кгм1мСобственный вес и симметричная
снеговая нагрузка50-1,42201250,030,005573Снеговая пазуха28-0,6411,2700,0180,0282,840Как видно из таблицы величины Nu ЛГ2, Т2, S и являются малыми и не оказы¬
вают большого влияния на напряженное состояние оболочки. Существенную роль
играют обобщенные усилия Т\, М2 и Я.На эпюрах (рис. 5 и 6) приведены максимальные значения этих величин: значе¬
ния Ti и Мг по середине пролета и Я у опоры.Поступила 6/11 1962ЛИТЕРАТУРА1.	В. 3. Власов. Общая теория оболочек. Гостехгеоретиздат, 1949.2.	В. В. Новожилов. Теория тонких оболочек. Судпромиздат, 1951.Рис. 6. Эпюры усилий (от нагрузки сне¬
говая пазуха)
О	расчете оболочек
на сосредоточенные воздействия//. А. Киль (Москва)Рассматривается задача об особенностях напряженного состояния при действии
сосредоточенной силы на тонкостенную оболочку вращения положительной гауссовой
кривизны при произвольном очертании меридиана. Установлено, что функция прогиба
обладает особенностью типа £21п£, где £—приведенный полярный радиус, завися¬
щий от направления полярного луча.В связи с расширяющимся применением в строительстве, машиностроении и дру¬
гих областях техники тонкостенных оболочек вращения и 'развитием сборных кон¬
струкций оболочек возникает воор-ос о расчете оболочек на разнообразные местные
воздействия.В настоящей статье рассматриваются ошбенности напряженного состояния тонко¬
стенной оболочки вращения ib окрестности сосредоточенного воздействия.Качественная картина напряженнопо состояния оболочки под действием сосредо¬
точенных сил рассматривается в работе [2]; действие сосредоточенной силы на сфе¬
рическую оболочку рассмотрено в работе j[3]; цилиндрическая оболочка под дей¬
ствием сосредоточенной силы —в работах В. М. Даревского.1.	Предлагается приближенное решение задачи об особенностях напряженного
состояния, вызываемых действием сосредоточенной силы на оболочку вращения при
произвольном очертании меридиана. В качестве исходных дифференциальных урав¬
нений равновесия приняты уравнения работы [1].Известно [ 1 ], что сосредоточенное воздействие вызывает в тонкостенной оболочке
напряженное состояние с 'большой изменяемостью в окрестности его приложения.
Эта характерная особенность дает возможность с известной степенью точности пре¬
небречь младшими производными от компонентов напряженного состояния и состав¬
ляющих вектора перемещений по сравнению со старшими. В рассматриваемой зоне
напряженного состояния можно также считать постоянными главные радиусы кри¬
визны оболочки.Уравнение напряженного состояния с большой изменяемостью, полученноеА.	Л. Гольденвейзером (1], в случае оболочки вращения положительной гауссовой
кривизны имеет вид/ д2 *о № \/W *о <?2v\[ + а\ sin’ <р0 *>» j { <V + 4 sin2 <f0 > ) +/~12(1-у2) ,*у	Ьо	(1)1 у	Ь2 а0 \ ду2 а0 sin2 ср0 дО2 /Принята географическая система координат: 0, ср — углы долготы и широты, от¬
считываемые от точки приложения силы; <р0 — угол широты, отсчитываемый от вер¬
тикали и соответствующий точке приложения силы; а0, &о — главные радиусы кривизны
в точке приложения силы;V=i/ 	EbW+iC = mW+iC;У 12(1— V2)5 — толщина оболочки; W — прогиб по нормали к пбверхностй оболочки; С — функ¬
ция напряжений.Перейдем к условно полярной системе координат1 с центром в точке приложения
силы и введем дополнительно некоторые обозначения:\ f 120--) = »;V S2 a0	b0arctg —.Уравнение (1) примет вид LLV + i№LxV — 0,	(2)где 4^+т ^]: L'=b* [H *+ f0 sin2 *) h ++ sin 2Ф (i _ ^ _L JL + (sin2, + ± cos3 ф) T1] •6
Разложим искомую функцию V (а следовательно, W и С) в ряд Фурье по угловой
координате ф:ооК = 2^/1 cos/гф.
я=оЗаменим переменную Х= е** Выполнив соответствующие преобразовалия, получим
для дифференциальных операторов и /,1/г следующие выражения:/.2 #2Ь0	/ ср \	bQ	г /	а	\ а*1/1 C0S \dF~n) :	--л* (sin* ф + cos**) + cos 2*	l)^] -- ^ Я sin Л* [sin 2+	l) ± + 3in 2ф (l —*■)].	(4)Далее ограничимся рассмотрением /г=0; индекс «О» при v опустим для сокраще¬
ния загсиси.В соответствии с вышесказанным, пренебрегаем внутри квадратных скобок и вы¬
ражении (4) младшими производными по t по сравнению со старшими. В результате
разрешающее уравнение -принимает следующий в>ид:1	d2 Г 1 d2ul ikr I щ , а0 9 , \ 1 d2v—	—		 I -f- — I cos2 Ф + — sin2 6 I —:	= 0.	(5)ё* dtз [в-* dt2 J Ь%\ bo ) <? dt2Введем обозначение-I2 = —- (cos2 ф -f "7" Sin2 ф) •Заметим, что l является функцией угла ф и зависит, следовательно, от направле
ни я полярного луча.Для решения уравнения (5) используем безразмерную координату g = X/ = 1е(.
Получаем/ d* ■ 1 d \ I d2v 1 dv , \Уравнение распадается на два. Решение первого «из них может быть представ¬
лено в видеV\ = С\~\~ ^2 £•Решением второго являются бесселевы функции комплексного аргумента. Запи¬
шем:V	= С, -f Cj In £ + с,/, (г v^i) +с4Н^ (5 V~i)-Как видно, разрешающее уравнение задачи о действии сосредоточенной силы на
произвольную оболочку в приближенной постановке аналогично задаче о действии
силы на пластинку на упругом основании [4]. Однако свойства этого упругого осно¬
вания различны по разным .направлениям и зависят от главных радиусов кривизны
срединной поверхности оболочки.Так как функция v — комплексная, то произвольные постоянные cj также ком¬
плексные. Разделяя действительную и мнимую части, получим выражения для про¬
гиба w и функции напряжений с (далее использованы обозначения, принятые
Б. Г. Кореневым [4]):cj = aj + ibf v = mw + ic; mw = ax + a2 In g -f a3u0 — b3v0 + aj0 + b4g0;
с = bx + b2 In g + b3u9 + a3v0 + Vo — По¬
следуя [1], с переходом к принятым обозначениям и к полярной системе отсчета,
можно через ш, с и -их производные лолучить выражения для всех компонентов
напряженного состояния и составляющих вектора перемещений вблизи действия со¬
средоточенной силы.% Рассмотрим задачу о действии в точке с радиусами кривизн а0 и Ь0 сосредото¬
ченной силы Р, направленной по нормали к оболочке. Края оболочки будем считать
достаточно удаленными от точки приложения силы, так что краевые условия не
влияют на напряженное состояние оболочки в окрестности приложения силы. По¬
скольку прогиб w в точке приложения силы должен быть ограничен и убывать по мере
удаления от нее (т. е. с возрастанием g), то в силу свойств функций7
In?, И„ ft, Vt и g„ имеем a, = л2 = a, = 6, = = 0; л4 =£ 0; ® — —/„ (£).mДля определения произвольной постоянной cla вырежем элемент, ограниченный
£ =const, и приравняем сумму перерезывающих сил по краю элемента силе Р, ис*
ходя из условий равновесия. Нетрудно 'показать, что выражение для перерезывающей
силы имеет вид^3 ^ fd*w » I dw \= 12(1—V») rfgVrfF+T~ «£/'Из условий равновесия=	(^Г + {|)Л=8,- При малом £[4]	.*5-02к—- J (cos2 41 + "Т2" sin8 ф)dty = Р.™о о \	К	)Ра» „	Ра»У 12(1 —v2)Отсюда а4= ———-	-—. Следовательно, w=	/«(£)•2(l+ao/60)	2(1+ й0/60) £В2 Уо WВ частном случае сферической оболочки выражение для прогиба имеет видPR /12(1—v2) ,Ш —	4£$2	/о(0*что совпадает с результатом, приведенным, например, в работе [5].Функция /0(£) при £-*0 обладает особенностью вида £9 In £.Следовательно, функция прогиба в окрестности приложения сосредоточенной си¬
лы обладает особенностью такого же вида.При этом следует отметить, что приведенный полярный радиус € зависит от на¬
правления полярного луча, поскольку связан с линейным радиусом X следующей
зависимостью:. k X*	CLq£ = а. 1 / cos2 + — sin2 <]> •bo V	b0Поступила 3/XI 1962ЛИТЕРАТУРА1.	A. Jl. Гольденвейзер. Теория тонких оболочек. Гостехтеоретиздат, 1953.2.	А. Л. Гольденвейзер. К ©опросу о расчете оболочек на сосредоточенные
силы. ПММ, т. 18, № 2, 1954.3.	А. Л. Гольденвейзер. Исследование напряженного состояния сферической
оболочки. ПММ, т. 8, № 6, 1944.4.	Б. Г. Коренев. Некоторые задачи теории упругости я теплопроводности, ре¬
шаемые в бесселевых функциях. Физматгиз, 19.60.5.	М. Н. Ручимский. К расчету конических и пологих сферических оболочек
гтри осесимметричном загружении. Гостоптехиздат, 1958.Расчет прямоугольных плит,
эксцентрично защемленных в упругом контуреЯ. Д. Лившиц (Киев)Рассматривается расчет тонких прямоугольных плит, защемленных в упругом рам¬
ном опертом на четыре точки контуре. Плита примыкает к ребрам с эксцентриците¬
том относительно нейтральных осей. Уравнения равновесия, совместности деформаций
и контурные уравнения записаны в дифференциальной форме и в конечных разно¬
стях.Расчет тонких плит, защемленных по контуру в упруго поворачивающихся и упру¬
го прогибающихся блаках, сводится к определению функции w(x, у), удовлетворяю¬
щей дифференциальному уравнению изогнутой поверхности плитыd4w	d4w d*w р	 +2	4-	=* —	(1)дх4 дх2ду2 ду* D	'8
и условиям на контуре Л d3w	/ d2w d2w \c^r = D(^+^)'	<2>d4w Г d3w	d3w 1B'lZ-Dbf^*T*b\	(3)Здесь С и B\—соответственно крутильная и изгибная (в вертикальной плоско¬
сти) жесткости балок, окаймляющих плиту; D — цилиндрическая жесткость плиты;{х—коэффициент Пуассона [1].Такой расчет действителен для случая сопряжения плиты с балками на уровне
нейтральных осей балок.В инженерной практике значительно больше распространены конструкции, в кото¬
рых плиты примыкают к окаймляющим балкам на уровне их верхних или нижних
поясов. В таких конструкциях плита вовлекается в работу пояса балки и по всей
толщине плиты появляются нормальные напряжения одного знака. Такие напряже¬
ния действуют, следовательно, и в срединной поверхности плиты.Практические методы расчета конструкций такого типа сводятся к введению в
сечения * балок некоторых, эмпирически определяемых, ширин плиты. Ниже приводится
более точный расчет конструкций типа, изображенного на рис. 1. Числовые резуль¬
таты таких расчетов дадут, как нам кажется, возможность более обоснованно под¬
ходить к назначению шириа плиты, включающихся в работу балок.Полагаем, что прогибы малы, но в то же время плита достаточно тонкая,
т. е. толщина плиты мала по сравнению с высотой балки, что дает возможность
принять равномерность распределения по толщине плиты нормальных напряжений,
возникающих от совместности работы плиты и балок.В таком случае сохраняет силу уравнение (1), и кроме него записывается урав¬
нение	04 р	04/7	+ 2	+ 	= 0. (4)дх* дх2дуа ду*	к }Кроме неизвестной w(x, у) появилась неизвестная функция напряжений F(x, у).Неизвестные функции w и F должны помимо уравнений (1) и (4) удовлетворять
уравнениям на контуре:_ d3w	(d*w d2w \ №F h — 5c'^=iD(d^+,i^J+‘^6^-: (5)d*w	Г d3w	d3w 1B-^-DbF+{2-r)^V	(6)d*F d*F	d!w h — Ь	d3F	d3F	Ebdy*~* dx*~E dx* 2 1 (7) ~W+(2 + il)d*fy=-T3F- (8)Знаки перед последним членом правой части уравнения (5) и перед правой частью
уравнения (7) соответствуют примыканию плиты к верхним поясам балок; при при¬
мыкании к нижним поясам эти знаки меняются на обратные.Все контурные условия записаны для кромки, параллельной оси х. Соответственно
запишутся условия для кромки, параллельной оси у. Здесь 5 — толщина плиты; h —
высота ребра окаймляющей балки и В2 — изгибная жесткость окаймляющей балки
в горизонтальной плоскости.Рис. 1Рис. 292-648
Последний член в оравой части уравнения (5) представляет собой момент, за¬
кручивающий ребро и возникающий от усилий, действующих в срединной поверх¬
ности плиты. Уравнение (7) выражает равенство относительных деформаций в плите
и в балках по линиям их сопряжений на уровне срединной поверхности плиты.
Уравнение (8) является преобразованным дифференциальным уравнением изгиба
ребра в горизонтальной плоскости:d2vЬ-м-м.	6»где v — перемещения точек в направлении, перпендикулярном ребру. Действительно
по [2] и [3]:d2v d*F	d*F~Едх1 ~ ду8 +(2 + ^ дл?ду'В то же время, на основании рамной аналогии П. М. Варвака [4], функция на¬
пряжения на контуре равна изгибающему моменту, возникающему в образуемой
контуром плиты раме от нагрузки, действующей на контур и отнесенной к единице
толщины плиты.Практическое (решение поставленной задачи предлагается осуществлять в конеч¬
ных разностях, методом сеток. Использование вычислительных машин позволяет при¬
нять сетку достаточно большой густоты и получить высокую точность решения._Вводя для удобства вычислений безразмерные коэффициенты w = w • 104D/pa4
и F=F • lOAD/EpaAb, записываем уравнения (1), (4) — (8) в конечных разностях. По¬
лагаем, что сетка квадратная, т. е. Д*/Ду=1 и а=(Дл:/Ду)2=1; коэффициент густо¬
ты сетки л=а/Дл\Основные уравнения (1) и (4) для произвольной точки внутри контура (рис. 2|)
получают вид: ______ _____ _	_ _20wk—S(wa+ wb+wc+ wd)+ 2 (we+w/+ wg-t-wA)-h wi+wi+ wm +wn^= 104/л4; (10)20Fk-8(Fa + Fb + Fc + Fd)±2{Fe +Ff+Fg + Fh) + Ft+ Fj + Fm+Fn=0. (11)Контурные уравнения (5)—(8) для произвольной точки k на кромке, параллельной
оси х (рис. 3), записываются так:(Сп	C/i — — — — / Сп \ -\D^ + 1)Wa~W^ {We +wf~wg—wh)h—Ъ— 2(|J-+1) Wk+Kwb+Md) = 6(1 — H-2) — (2Fk — Fb — FdY,	(12)12 ^Da	*6 ~ ^a—wc)—S (m)ft-t wd) +В n-f 2 (wn+ wt) — (2 — fx) (we+wf—wh—wg)— wi+wm =0;	(13)_(- 2wk+wb+wd)(h-b)l2b=2Fk(v—l) +?a+^-fx(n+?d);	(14)
2(3 + (<■)(Fa—Fc) — (2 -f- ,a)(F»+ Ff—Fg—F^) tFt-Fm -2Eba»FklB2n* = 0. (15)Основные уравнения (10) и (11) и контурные уравнения (12), (13) и (15) для
угловых точек записывать не рекомендуется, так как при их записи включаются не¬
известные w и F в дополнительных внеконтурных точках.Вместо этого записывается уравнение, выражающее равенство нулю суммарной
площади эпюры F на контуре, как площади эпюры моментов для замкнутой рамы.
Кроме того, записываются уравнения равновесия каждого вырезанного ребра. На
каждое ребро (рис. 4) действуют моменты, передаваемые плитой,10Рис. 3Рис. 4
(d2w d2w \ d2 h—Ь\ dy2 ^ dx2 / dx2 2и реактивные моменты в сопряжениях взаимно-перпендикулярных ребер (плита пред¬
полагается защемленной в рамном контуре)d2wСумма моментов, действующих на каждое отсеченное ребро равняется нулю.Поступила 1/И 1961ЛИТЕРАТУРА1.	С. П. Тимошенко. Пластинки и оболочки. Гостехиздат, 1948.2.	Я. Д. Л i в ш и ц ъ. Згин гнучких пластин, обпертих на жорсткий контур.
«Прикладна мехашка» т. 2, вип. 1, 1956.3.	А. С. К ал манок. Строительная механика пластинок. Машстройиздат, 1950.4.	П. М. В а р в а к. Развитие и приложение метода сеток к расчету пластинок,ч.	1, изд. АН УССР, 1949.Исследование деформативности плит,
эксцентрично защемленных в упругом контуреД. И. 3горский (Киев)Решается задача изгиба тонкой прямоугольной плиты, эксцентрично защемленной
в упругом контуре, методом сеток. Приводится сравнение результатов расчета с дан¬
ными эксперимента, показывающее их хорошее совпадение при принятой сравнитель¬
но редкой сетке.Способ расчета плит, эксцентрично защемленных в упругом контуре предложен
Я. Д. Лившицем [1]. Основные уравнения (10) и (И), а также контурные уравне¬
ния (12) и (14) этой работы используем без изменений.Уравнения (13|) и (15) работы [1] содержат неизвестные w и F во второй вне-
контурной точке i. Исключаем неизвестные. Для этого разлагаем в ряд Тейлора w
wCy удерживая пять членов ряда:——■41)+^ (?).- ¥(£).+£(£);¥(£)+Умножив первое уравнение на —16 и сложив его со вторым, после замены произ¬
водных их выражениями в конечных разностях и преобразований получим экстра¬
поляционную формулуwi = 0,5wa-{-4,5wii-T-6,5wc-{-2,5wm.	(1)Аналогично для функции напряжений/7/ = 0,5/^ + 4,5/?*-6,5/>+2,5/^	(2)Используя формулы (1) и (2), записываем уравнения (13) и (15) так:(12 Do” — 4 ’5)	(®n—4^*+ ®г)+(5,5— 2ц)ша++ (2|J-+ 0,5)wc—1,5wm — (2— ц) (we +wf—wh—wg) = 0;	(3)/ 2ЕЬа3 \ -	-(4-5-^rj (2(^+6, 5)Fe-(2H-12,b)Fc--	(2 ■+11) (Fe +Ff-Fh-Fg) +1. Б?*- 0..	(4)Кроме этих уравнений используем также условие равенства нулю площади эпюры F
на контуре, как эпюры моментов для замкнутой рамы,Л+2?П+2>Ш+?1У=0	(5)и уравнение равновесия отсеченного ребра2*11
2w{-\-4cWu — (2 - — 3 — p.] шП1 — wv — 2wlv — 2иуш, —\ L)Ct	,—	(2 + 1 + fij wn, —w,— 2w3—2ws + 6(1 — fi2) (Л11 — ^iv'> = °- (6)Пример. Рассчитаем железобетонную квадратную шатровую панель (рис. 1), кото¬
рая была подвергнута испытанию. Панель свободно оперта в четырех угловых точ¬
ках. Выбираем, сетку, где п=6. Нумерация точек сетки дана на рис. 2.Исходные данные: а=1686 мм; &=43 мм; /г=197 мм; d=*107,5 мм; п=6; (а=0,167;
(Л—&)/&=3,58140; 10Vn4=-7,71600; 2 ЕьЬа3/В2пг =93,56351; £>=21,81 10« кг-см;
Bin/Da = 35,76127; Cn/Da = 11,99009. Составим основные уравнения для точек 1—6,
контурные уравнения для точек /—III и уравнения (5) и (6).Решая полученную систему уравнений, найдем безразмерные коэффициенты w.
Умножив их на ра* • 10“"4/D, получим значения прогибов w, которые приведены в
табл. 1.Таблица 1Рис. 2Рис. 312Результаты расчета сравниваем со средними данными, полученными при испыта¬
ниях трех одинаковых панелей. Плиты панелей армированы сварными сетками из
проволоки ф3 мм из стали, упрочненной вытяжкой (ГОСТ 6727—53). Армирование
панелей показано на рис. 3. Ребра армированы сварными каркасами из горячеката¬
ной стали периодического профиля ф 14 л (ГОСТ 5781—53).Для испытания панелей был изготовлен специальный металлический стенд. За-
гружение плит осуществлялось равномерно распределенной -нагрузкой при помощи
резиновой камеры, прижатой к панели щитом, в кото-рую нагнетался сжатый воздух.
Повышение давления производилось ступенями по 0,05 кг/см%. Контроль за давле¬
нием в камере осуществлялся ртутным манометром. Прогибы измерялись индикато¬
рами с ценой деления 0,01 мм, которые были установлены в 16 точках плиты. Пока¬
зания прогибов снимались после каждой ступени загружения.В табл. 2 произведено сравнение средних экспериментальных прогибов (при на¬
грузках, меньших трещинообразующей) с полученными теоретически. Как видно из
таблицы, расхождения между теоретически вычисленными и экспериментальными про¬
гибами невелики. Несколько большие расхождения наблюдаются при нагрузке0,15 кг!см2; это объясняется тем, что нагрузка 0,15 кг/см% соответствует появлению
первых трещин.На рис. 4%а и б приведены графики тео¬
ретических и экспериментальных прогибов в
центре плиты (а) и в середине ребра (б);
сплошной линией показана эксперименталь¬
ная кривая, пунктирной — теоретическая.Выводы. 1. Изложенный способ расчета
плит, эксцентрично защемленных в упругом
контуре, может быть рекомендован для рас¬
чета шатровых панелей в упругой стадии их
работы.Точки123456/Прогибы W0,33159 р| 0,29764 р0,19778 р| 0,50985 р0,45639 р| 0,56701 р |0,16100 рРис. 1
Нагрузка в кг\см?0,050,100,05прогиб
в ммточкиw теорет.w эксперим.«/ теорет.w экспе¬
рим.w теорет.w экспе¬
рим.10,1660,1650,3320,3300,4980,55020,1490,1350,2980,2600,4470,4503- 0,0990,0930,1980,2100,2970,35040,2550,2400,5100,5300,7650,89050,2280,2200,41560,4300,6840,74060,2840,2700,5670,5800,Я 511,030/0,0810,0600,1610,1700,2420,3252.	Уточнение расчета плит из обычного железобетона в упругой стадии имеет
существенное значение для правильного определения трещшюобразующего момента,
величина которого отражается на расчете деформативности в неупругой стадии.3.	Достаточную точность для точек, удаленных от контура, можно получить,
применяя сетку густотой не менее п=6.4.	Разработанный способ применим и к расчету железобетонных предварительно
напряженных плит в эксплуатационной стадии.Поступила 10/Х 1961ЛИТЕРАТУРА1.	Я. Д. Л и в ш и ц. Расчет пря^моугольных плит, эксцентрично защемленных в
упругом контуре. «Строительная механика и расчет сооружений» № 4, 1963.Предварительное напряжение стальных балок
в упругой и упруго-пластической стадиях работыА.	А. Васильев (Москва)Создание предварительного напряжения в стальных балках позволяет увеличить их
лесущую способность, чем достигается существенная экономия стали.Наиболее перспективным типом предварительно напряженных балок, привлекающим
(К себе все большее внимание конструкторов-строителей, является двутавровая балка
с напрягающим элементом из пучка высокопрочных проволок или из троса, располо¬
женным у нижнего пояса (рис. 1).Предварительное напряжение балки позволяет влиять на создание в сечении балки
наиболее благоприятных напряженных состояний и с большей надежностью и много¬
образием использовать пластические свойства стали.В настоящей статье рассматриваются четыре случая работы предварительно на¬
пряженных балок с напрягающим элементом у нижнего пояса с точки зрения их на¬
пряженного состояния и использования пластических свойств стали. Для каждого из
них найдена оптимальная форма балки, воспринимающей данный внешний момент при
минимальной затрате материала балки, и произведено сравнение полученных резуль¬
татов.Рассмотрена только прочность балки; общая устойчивость балки и местная устой¬
чивость ее элементов в данной работе не анализируются.13Рис. 4Таблица 2
Рис. 2а — эпюра нормальных напряжений
от действия силы X; б — то же, от
внешней нагрузки; в — то же, от сов¬
местного действия предварительного
напряжения и внешней нагрузкиРис. 3а — эпюра нормальных напряжений
от действия силы X; б — то же, от
внешней нагрузки; в — то же, от сов¬
местного действия предварительного
напряжения и внешней нагрузкиПриведенные формулы могут быть использованы при практических расчетах.1.	Балка в упругой стадии. Сила предварительного напряжения ограничивается ве¬
личиной a=R в нижнем поясе балки. После наложения напряжений от внешнего
расчетного момента напряжения в верхнем и нижнем поясе балки меняют знак и до¬
стигают величины R.Доказано, что такое напряженное состояние отвечает минимальному расходу ма¬
териала балки [1], [2]. На рис. 2 приведены эпюры напряжений по сечению балки.Обозначения на рис. 2: R — расчетное сопротивление стали; а—коэффициент,«*	v	л х "4“меныиии единицы; л—сила предварительного напряжения; р = 	—	 —коэффи-Xциент самоналряжения; Х\— величина силы самонапряжения.2.	Балка в упруго-пластической стадии при создании предварительного напряжения
и в упругой стадии при совместном действии предварительного напряжения и внеш¬
ней нагрузки. Идея этого случая работы балки предложена А. В. Геммерлингом
(ЦНИИСК АСиА СССР). На рис. 3 приведены эпюры напряжений в различных ста¬
диях работы балки.Как видно из рис. 3, развитие пластических деформаций в нижней зоне балки на
глубину 7h позволяет увеличить силу X предварительного напряжения. После нало¬
жения напряжений от внешней нагрузки суммарная эпюра (рис. 3, в) уже не будет
прямолинейной; отделенный пунктирной линией треугольник эпюры напряжений «abc»
дает дополнительный внутренний момент сил, увеличивающий несущую способность
балки по сравнению с прямолинейной эпюрой (рис. 2, в).3.	Балка в упругой стадии при создании предварительного напряжения и в упруго¬
пластической стадии при совместном действии предварительного напряжения и внеш¬
ней нагрузки. Этот случай работы балки предложен и экспериментально проверенН.	Н. Стрелецким (ЦНИИС Минтрансстроя) [3]. На рис. 4 приведен эксперименталь¬
ный график для прогиба предварительно напряженной балки в функции нагрузки.На графике видны три стадии в работе предварительно напряженной балки.I	стадия, соответствующая прямому участку графика, — упругая. Напряжения в
крайних волокнах достигают величины расчетного сопротивления.II	стадия, соответствующая участку кривой значительной кривизны, — упруго-пла¬
стическая. С распространением пластических деформаций в сечении балки образуется
шарнир пластичности.III	стадия, соответствующая наклонному участку кривой малой кривизны, — пла¬
стическая. Сжатая зона шарнира пластичности начинает увеличиваться и охватывает
все сечение балки.Эпюры напряжений, соответствующие трем стадиям работы балки, приведены на
рис. 5.Вследствие влияния упругого напрягающего элемента прогибы в упруго-пластиче-
ской стадии работы балки вплоть до образования шарнира пластичности невелики и
находятся в пределах эксплуатационных требований.14Рис. 4
15Из изложенного следует, что имеются достаточные основания для принятия шар¬
нира пластичности в сечении за расчетное предельное состояние балки по прочности.На рис. 6 приведены эпюры напряжений в балке при создании предварительного
напряжения и в рабочем состоянии.4.	Многоступенчатое напряжение балки в процессе загружения ее внешней нагруз¬
кой. Напряжение балки осуществляется ступенями. Первая ступень предварительного
напряжения дается такой величины, чтобы в нижнем поясе возникли сжимающие
напряжения а =/?. Прикладывается часть внешней нагрузки, соответствующая на¬
пряжению в крайней фибре, равному также расчетному сопротивлению. После этого
возможно осуществить вторую ступень напряжения балки, вновь добавить часть внеш¬
ней нагрузки и т. д. Таким способом можно все сечение балки заставить работать на
центральное сжатие (рис. 7).В данном случае момент внутренних сил сечения балки получается наибольшим
из всех рассмотренных выше случаев, и благодаря этому сечение обладает наиболь¬
шей несущей способностью при данном количестве материала.Стальные балки с многоступенчатым предварительным напряжением применяют
только под постоянную нагрузку.Переходя к сопоставлению приведенных выше случаев работы предварительно на¬
пряженных балок, найдем для каждого из них оптимальное сечение балки, реализую¬
щее данный внешний момент М при наименьшей затрате материала.Сначала вопрос рассмотрим без учета силы самонапряжения; соответствующее
значение коэффициента самонапряжения Р=1.Величина самонапряжения зависит от напряженного состояния балки, от характера
внешней нагрузки и от физических констант (модули упругости и расчетные сопро¬
тивления) материала балки и напрягающего элемента. С увеличением самонапряжения
эффект предварительного напряжения возрастает, однако это возрастание невелико,
что будет показано ниже.На рис. 8 приведено сечение предварительно напряженной балки. Примем обозна¬
чения: для асимметрии двутавра А = h2jhA = WJW2, гибкости стенки k=h/b и отно¬
шения площади сечения стенки к площади сечения балки m=FCT/F. Отождествляя
высоту стенки с высотой балки, можно выразить геометрические характеристики се¬
чения так:А-Л + Л+1-».	т): '’■-'’(rh-fbF„=mF;	ft. = \F~\ К=Л Х™?-А +1	А + 1„„ ,__6Л — (Л + 1)»/и _ ..___6Л— (Л+1)*т	| (1)6(Л +1)2 ’где FI, F2 и Fст —площади сечений соответственно верхней полки, нижней полки и
стенки; F — площадь всего сечения; W\ и W2— моменты сопротивления для верхней
для сечения в стадии создания предварительного напряжения (см. рис. 2, а и 8).
Учтем также что =hjk. ПолучимРис. 7Рис. 8Рис. 5Рис. 6а — эпюра нормальных напряжений
от действия силы X; б — то же. от
внешней нагрузки; в — то же, от сов¬
местного действия предварительного
напряжения и внешней нагрузки
Выразив величину силы предварительного напряжения X из уравнений равновесия
сил в сечении и внешних сил в стадии создания предварительного напряжения и под¬
ставив ее в уравнения равновесия для рабочего состояния балки, можно выразить
величину расчетного момента М через один параметр, например асимметрию двутавра
А (при заданном значении гибкости стенки k), и найти то значение асимметрии А,
при котором данный расчетный момент М воспринимается с наименьшей затратой ма¬
териала балки.Проделаем это для всех четырех вышеприведенных случаев работы предваритель¬
ного напряжения балок.1-й случай. Составим уравнение проекций внутренних сил на горизонтальную ось
для сечения в стадии создания предварительного напряжения (см. рис. 2, а и 8).
Учтем также что b=hjk. ПолучимRh2aRF, - RFt - ^ (1 - а) + X = 0.	(2)Уравнение моментов внутренних сил в этом же сечении относительно нижней грани
балкиЪ2«Л + ^-(2«-1)=°;	(3)отсюдаЛ*а =	.	(4)6F1k+2h2Подставив значение а в равенство (2) и учтя значения геометрических характери¬
стик, выразим X:^[6Л-(4+!)*/»](Д+1)[6Л-(И+1)я»ГСоставим уравнение проекций внутренних сил для сечения балки в рабочем со¬
стоянии (см. рис. 2, в):4-^=0;	(6)после подстановки сюда значений геометрических характеристик и X найдемЗЛ (2-Л)"—7+1~-	<7)Напишем уравнение моментов внутренних сил этого же сечения относительно ниж¬
ней грани балки:RF1h + Rh*/6k=M.	(В)Учтя формулы (1), (7) и (8), получимМ-ЯУГЧГ	(9)V	м-и)’Для нахождения оптимальной величины асимметрии двутавра, при которой данная
площадь сечения реализиует наибольший момент (при заданном значении гибкости
стенки 6), требуется взять частную производную от момента по асимметрии и при¬
равнять ее нулю.После преобразования получимЗЛ3 + А2 — 14Л + 6 = 0.	(10)Корень этого уравнения Л = 1,71.Теперь, используя соответственно выражения (7), (9), (5) и (4), найдем т=0,55;3	3А1=0,332Л/^»Г(откуда F=2,06/W[Wk)\ Х= 0,54 YM2R/k; а =0,17.Остальные геометрические характеристики сечения могут быть определены по форму-
лам (1).2-й случай. Проекция внутренних сил на горизонтальную ось для сечения в стадии
создания предварительного напряжения (рис. 3, а)Rh2aRF! — RFZ — (1— “ + “? + 7)+^=°-	f11)Момент внутренних сил в этом же сечении относительно нижней грани балки«л + ^из—1 — ?)—(72+f+1) = °;	(12)16
тАт1м RYF^k'rV ***V м«“Vim-0,11,670,5570,3372,060,5900,1970,21,600,5930/3452,030.6230,2550,31,520,6240,3541,990,6550,3160,41,370,7020,3681,940,7050,4600,51,000,8570,3971,850,783i, 000^—64817отсюдаftl (^2 ijа —		.	ПЗ)§Fxk + Л* (2— 7 - f)	v ;Подставляя в уравнение (11) значения а и геометрических характеристик, найдем1 4 Щ - m(lfa+'r+ Щ2^ —1)] j
U + 1 2 12Л —2m(^ + l)(f + 7+l) Г	1 'Уравнения проекЦий внутренних сил на горизонтальную ось и моментов относительно
нижней грани балки для сечения в рабочем состоянии (рис. 3, в) имеют вид:Rh2F^R-F.R- — 7(1+.) + * = 0;	(15)hzR h2R/глл+'бГ + 'бЛ(1~Н)(1+°)=уИ-	(16)Подставив в уравнение (15) значения геометрических характеристик и X, придем к
выражениюЗЛ (2 — А)/”_(Л+1)(72 + Т+1)'	( ?)Из уравнения (16), учтя формулы (1), (13) и (17), получимV	W + W + t + O3На рис. 9 приведены графики величины М/R У F3k в зависимости от асимметрии
сечения А для различных значений глубины проникания пластических деформаций 7
и отмечены оптимальные значения асимметрии. Предельным значением 7 принята ве¬
личина 0,5.Дальнейшее распространение пластических деформаций в глубь сечения (7 >0,5),
очевидно, нецелесообразно; сечение становится неконструктивным, так как в стенку
балки переходят свыше 85% всего материала и, кроме того, обостряется вопрос обес¬
печения устойчивости стенки.Таблица 1В табл. 1 приведены опти¬
мальные значения параметров
для сечений с различной глу¬
биной распространения пласти¬
ческих деформаций.Из таблицы видно, что наи-
выгоднейшим сечением с точ¬
ки зрения минимального .расхо¬
да материала балки из условий
прочности при коэффициенте
самонапряжения Р =1 и 7=
= 0,5 является симметричный
двутавр (Л = 1).3-й случай. Уравнения про¬
екций и моментов внутренних
сил в стадии создания пред¬
варительного напряжения (см.
рис. 6, а) идентичны с ранее
рассмотренными (см. рис. 2, а);
поэтому для а ,и X справедли¬
вы равенства (4) и (5).
Уравнение равновесия внутренних сил в рабочем состоянии	(см. рис. 6, в) имеетлF2R — FlR + Rh2/k( 1 -2f) + X = 0;	(19)RFih + h*RI2k(^ — 2f—\)^M.	(20)Подставив уравнение (19) значения геометрических характеристик и X, придем
к следующему выражению:А — 1	6 Л — (А + I )2 т	— 4-т(2?— 0— 		 =0	(21)Л+Р	' (А + 1)[6Л-(Л-Н)/н]	}Будем рассматривать случай образования шарнира пластичности, центр которого
совпадает с серединой стенки (как у обычных балок). Этому случаю соответствует
значение 7 =0,5.Подставляя 7=0,5 в выражение (21), найдем3А (2— А)тп=—		(22)А + 1	v 'Ил уравнения (20) подучимM=RVPiT, f™-V-AH™=W	(йV	16М + 1)1Оптимальную асимметрию найдем, приравняв нулю частную производную момента
асимметрии;9,43 + 4Л2—.-38/4 +12 = 0, откуда /4 = 1,64. Далее из (22), (23), (5) и (4) получаемз	з0,071; М =0,'M\RVF2k или F= 1,93 \^M2/R2k', X = 0,472 VM2R/k; а==0,22.Остальные геометрические характеристики сечения могут быть найдены по форму¬
лам (1).4-й случай. В соответствии с эпюрой напряжений для сечения в рабочем состоянии
балки (рис. 7) нетрудно заметить, что наибольший момент внутренних сил относи¬
тельно нижней грани балки при фиксированном значении k=h/b будет у тавра.Геометрические характеристики тавра могут быть выражены через один перемен¬
ный параметр А (для заданной площади и гибкости стенки). Значение т в данном
случае может быть выражено через А. Приравнивая выражение F2 нулю, получим"“liv	(24)Составим уравнения проекций внутренних сил на горизонтальную ось и моментов
относительно "нижней грани балки длй сечения в рабочем состоянии (рис. 7):FR — X = 0; (25) RFxh + Rh*/2k = М.	(26)Подставив в уравнение (26) геометрические характеристики тавра с учетом равенства
(24), получимM=R V~F*k У 2А*/(А + I)3-	(27)Уравнение для определения оптимальной асимметрии тавра А—2 = 0, откуда /1 = 2.
Далее из (24), (27) и (25) найдем	^m ==0,667; М := 0,554# /Fzk или F = 1,5 У M2/R*k; X—\,bVM2RlkОстальные геометрические характеристики тавра находятся по формулам (1).
Сопоставим сечения для разобранных выше случаев работы предварительно напря¬
женных стальных балок с оптимальным сечением, обычной балки без предварительного
напряжения, предельный момент и площадь которой определяются известными вы¬
ражениямизМ = 0,236Ry F'*k и F^ 2,61 -/ M2/R2k-
Сравним сечения с одинаковой гибкостью стенки.При сравнении сопоставим несущую способность сечений при одинаковом количе¬
стве материала в сечении и площади сечений, необходимые для восприятия одинако¬
вого расчетного момента. Площадь сечения предварительно напряженной балки га
Г) уд ем считать состоящей из площади балки и площади напрягающего элемента.
Площадь напрягающего элементаFz = X/Rа = Х( RZ;	(28)здесь i=RJR-- отношение расчетных сопротивлений материала напрягающего эле¬
мента и балки.
Следуя той же методике, при помощи которой были получены оптимальные пара¬
метры для различных случаев (работы предварительно напряженных балок, но вводя
в выкладки вместо X величину $Х, можно получить оптимальные параметры сечения
гтри заданной величине коэффициента самонапряжения.Влияние коэффициента самонапряжения на оптимальные параметры балки, ее не¬
сущую способность и расход материала видно из табл. 3. Параметры для балки с
многоступенчатым предварительным напряжением не зависят от самонапряжения, по¬
этому они в табл. 3 не приведены.	Таблица 3Вид ра¬
боты
бал к и3АF'V RVi / /И-*3Fa V/WM*-1mrV УчГMСлучаи 11,001,710,552,080,1080,3321,0001,001,251,870,552,020.1210,3470,9831,031,502,020,551,970,1330,3600,9631, (И)Случай 21,001,000,861,850,1570, 3f>71,0001,00U "“0,5)1,251,100,9)1,760,1750,4270,9671,061,501,200,911,690,1930,4540,9421,11Случай 31,001,640,671,930.0940,3711,0001,001,251,880,681,88o,io:>0,3870,9801,041,501,910,681,830,1150,4000,9631,0719Вид работы балкиЭпюра напряженийПлощадь сечения и несущая
способностьот предвари- в рабочем со-
тельного стоянии бал-
напряжения j киAf—const
^ =r. F6Fq = const
MОбычная балка без пре¬
дварительного напря¬
жения-R\1,000 I 0,000“ 1.0001,00Случай 1. Предваритель¬
но напряженная балка
в упругой стадииЯiR0,79)4-0,042 = 0,8321,JUСлучай 2. Балка в упру¬
го-пластической стадии
при создании предвари¬
тельного напряжения и
в упругой стадии при
совместном действии
предварительного на¬
пряжения и внешней
нагрузкиRS 2"VLLdRR0,708-f-0,062=0,7701,55СлучайЗ. Балка в упругой
стадии при создании
предварительного на¬
пряжения и в упруго*
пластической. стадии
при совместном £ дейст¬
вии предварительного
напряжения и внешней
нагрузки0,2ZRиZRR—r-f—2.\R0,7404 0,030г 0,7761,50Случай 4. Многоступен¬
чатое напряжение бал-
к и в процессе загруже-
ния ее внешней * на¬
грузкойR0,575-1-0,115-0,6901,92Сравнение будем производить приняв величину 5=5.Данные расчетов приведены в табл. 2.Таблица 2
Из табл. 3 следует, что самонапряжение увеличивает несущую способность сече¬
ния предварительно -напряженных балок, однако это увеличение не -велико.Как следует из табл. 2, несущая способность стальных предварительно напряжен¬
ных балок по сравнению с обычными балками при одинаковой гибкости стенки и оди¬
наковой затрате стали значительно выше: в упругой стадии до 35%, в упруго-пласти¬
ческой стадии до 55% и при многократном предварительном напряжении до 90%.Поступила 22/1II 1961.ЛИТЕРАТУРАL В. М. В а х у р к и н. К выбору формы стальной балки с предварительным напря¬
жением. «Строительная механика и расчет сооружений» № 2, 1959.2.	А. А. В а с и л ь е в. Оптимальные параметры стальных балок с однократным
предварительным напряжением. «Строительная механика и расчет сооружений» Х<* 1,
1961.3.	Н. Н. Стрелецкий. Прочность стальных предварительно напряженных балок.
«Промышленное строительство» № 2, 1961.Ползучесть кладки при внецентреииом сжатии
коротких столбовС.	В. Поляков (Москва)Экспериментальное исследование деформаций при внецентрснном симметричном
сжатии кратковременными нагрузками кирпичных коротких * столбов прямоугольного
сечения показывает возможность использования гипотезы плоских сечений и принятия
ширины хс сжатой зоны сечения, независимой от величины нагрузки (это особенно
справедливо при нагрузках, не превышающих 60% от разрушающей). Величина хс
для эксцентрицитета нагрузки во>0,166h может быть найдена по эмпирической фор1
муле-кс = 0,5^	е~о,5\	(0где h — высота сечения; Х=2^0/Л; для ео<0,166/г xz—h.* Влиянием продольного изгиба пренебрегаем.Условные обозначения:
сплошные линии — по
формуле (6); штрихо¬
вые линии — по экс¬
периментам; пунктир
— средние деформа¬
ции контрольных об¬
разцов, выдерживае¬
мых без нагрузки;
М — мессуры20
Как следует из (1), высота ядра сечения g=h/3, что соответствует линейному-за¬
кону распределения напряжений по высоте сечения. Сравнение опытных и расчетных
величин хс при различных видах эпюр напряжений показывает лучшие результаты
для треугольной ;(или трапециевидной) эпюры напряжений. При этом величины пре¬
дельных краевых напряжений определяются по формулам:ашах== tR't (2) amin ^ >	(3)где R — предел прочности кладки при осевом сжатии;при е0 > 0,166/г 7 = 1 + 1,5А; (4) Р = |~'зх	®при е0<0,166h Р=0, а 7 по (4).Эпюры деформаций, -построенные с учетом деформаций ползучести, показывают,
что вследствие ползучести происходит не только поворот сечения, но и некоторое
уменьшение длины хс сжатой части сечения. Однако это из-менние хс сравнительно
невелико и мы им будем пренебрегать. Так же как и при кратковременных нагрузках,
с некоторым приближением оказывается допустимым применение гипотезы плоских
сечений. При постоянном модуле упругости (после 30 суток твердения кладки можно
пренебречь его изменением) Еу величину полных деформаций кладки можно опреде¬
лить по формуле4	е = ву + впл = ~-|- 0,65- 10-s(0,l -j- 1,82е-0,3 ) (t —,	(6)у	^]где £y — упругие деформации и еПл — деформации ползучести; tm—возраст кладки
при обжатии; t — текущий возраст.В опытах лри длительном действии продольной силы Л^обж внецентренному сжатию
были подвергнуты образцы размером 38X38X103 см при е0—0,15Л; е0=0,25h; ео=0,351г.
Образцы загружались в возрасте 30 суток и выдерживались 130 суток при постоян¬
ной величине Л^бж = 0>4Л^ЭТ (гДе — разрушающая нагрузка в возрасте 30 су¬
ток). 2: у= 29 000 кг[см2.На рисунке по опытным данным и формуле (6) построены графики полных де¬
формаций. Совладение опытных и расчетных данных можно признать достаточно хо¬
рошим.При больших краевых напряжениях в опытах установлено некоторое нарушение
принятого нами закона плоских сечений, выражающееся в повышении краевых дефор¬
маций. Такое искривление плоскости можно объяснить нарушением линейной зависи¬
мости -напряжения — деформации в этих зонах повышенных напряжений. По имею¬
щимся опытным данным можно было бы ввести для деформаций краевых зон поправ¬
ку, однако учитывая, что учет нелинейности неизбежно приведет к большим усложне¬
ниям вычислений и даст в рассмотренном диапазоне напряжений сравнительно малое
уточнение ]зеличин деформаций,-полагаем возможным при ЛГ0бж^ 0*6 ЛГЭТ допустить
линейную зависимость (6).Таким образом, установлена возможность оценки длительных деформаций при вне-
центренном сжатии по формулам, использованным ранее для случая осевого сжатия.
Отметим также, что принятая эпюра напряжений дает хорошее согласование с опытом
и при оценке величин разрушающих нагрузок.Распространение формул на другие виды кладок (и, по-видимому, на бетон) воз¬
можно путем замены в формуле (4) коэфициента 1,5 и принятия соответствующих
параметров в формуле (6).Поступила 29/Х1 1961.0 расчете тонкостенных гнутых профилен
на стесненное кручениеИ. С. Синяговскай (Ульяновск), Г. С. Трофимов (Уфа)В статье рассматривается расчет тонкостенных гнутых профилей на стесненное
кручение с учетом неравномерного распределения напряжений по толщине стенки;
в качестве примера приводятся расчетные формулы для швеллера, уголка и прямо¬
угольной пластинки.В основу теории тонкостенных стержней открытого профиля В. 3. Власова поло¬
жены две гипотезы: 1) кЬнтур поперечного сечения срединной поверхности не де¬
формируется; 2) деформации сдвига в срединной поверхности равны нулю.21
В общем случае нагрузки'' нор¬
мальные напряжении в поперечном
сечении стержня определяются по
формуле [1]N Мху Мух Вы,° F I I /’1 JX Jy	t*>0где N — продольная сила; Мх и Му—
изгибающие моменты относительно
осей х и у; В— изгибно-крутящий
бимомент; 1Х и 1у — главные цен¬
тральные' осевые моменты 'инерции;
/ш — главный секториальнын момент
инерции; 1\.— площадь .поперечного
сечения; % секториальная коорди¬
ната точки.Первые три слагаемых и формуле
(II) выражают нормальные напряже¬
ния по закону плоскости, а послед¬
нее— отклонение от этого закона-
деплапацию. Из формулы (1) видно,
что нормальные напряжения по тол¬
щине профиля распределяются равно¬
мерно, хотя это из вышеприведенных
гипотез непосредственно, не вытекает.
Возникает необходимость исследова¬
ния характера (распределён и я нор¬
мальных напряжений ‘по ?поперечному
сечеыло с целью установления закономерности их распределения по толщине профиля,
В основу теоретических исследований положим кроме двух гипотез В. 3. Власова
третью гипотезу: прямолинейный элемент, нормальный к срединной поверхности до
деформации, остается прямолинейным и нормальным к этой поверхности после
деформации.Рассмотрим элемент тонкостенной/ стержня (рис. 1), средняя линия которого
описывается уравнениями: х0=х0(s), yo=yo(s). Расстояние, от точки 'Мо(хо, уо)>
лежащей на средней линии, до точки. М(х, у), находящейся на., нормали-к точке Мо,
обозначим через Ьп, Зависимость между координатами этих точек выражается фор¬
мулами:d vn	(fxaх = х-„ ь„ - Г ->’о i , •	V)ds	dsПримем обозначения (рис. 2): v — перемещение точки вдоль касательной; w —
перемещение точки по нормали; а — перемещение точки вдоль образующей. Пере¬
мещения и, v, w являются функциями координат s, Ъп, z."В срединной поверхности ол=0, поэтом.у перемещения Uq, v0 и ш0 точек средин¬
ной поверхности являются функциями только s .и z.Из третьей гипотезы следует, что нормальные напряжения распределяются по
толщине стенки по линейному закону (рис. 3,а). Эти напряжения можно представить
как сумму двух напряжений: растягивающих срединную поверхность и постоянных
по толщине (рис. 3,6) и изгибающих срединную поверхность без растяжения
(рис. 3,я).Перемещения точек срединной поверхности выражаются формулами [1]:и» - 5—-- Vy.—?Ч; (3) v« = g*04-Wfc- к»	<4)®о= — + TiA';i4 <Р"о.	(Г))где5',	—производные по г, а х', у',... по •; £. 'j перемещения точки А(центра изгиба) вдоль осей ох и оу (рис. 1); <р—угол поворота плоскости контура
профиля вокруг оси, проходящей через центр изгиба и параллельной образующей;
/'о расстояние от центра изгиба до касательной к кривой, проведенной в точке Л40,
перемещения которой определяются; п0 — расстояние от центра изгиба до нормали,
проведенной в точке-.Мо (*о, Уо)\ *°<г секториальная координата точки М0.Для определения перемещения v точки М, не лежащей на срединной, поверхности,
достаточно вместо г0 подставить г0—Ьп. Поэтому-t- Wt ?(го—5л)-	(f;Рис. 3Рис. 1Рис. 22'2
Перемещение точки М вдоль нормали совпадает -с перемещением точки Ми. ле¬
жащей на срединной поверхности, т. е.w=w„= —5Уо+ ^0 + •	<7 >Перемещение точки М вдоль образующей является результатом перемещения
вызываемого растяжением срединной поверхности, и перемещения, вызываемого де-
планацией срединной поверхности без растяжения, т. е.dwU = м, — о„ —.	(8)dzДифференцируя (5) по. 2, подставляя полученное выражение и (3) уравнение
(8) и учитывая (2), получимti = z — Z'x — i)'y — (9) w — “o + Vv	0°)daНормальное напряжение a = * соответствующее продольному удлинению, па
ходим, учитывая (9):e = — £"* — -г," у "«>).	(И)Формулу (II) можно переписать следующим образом:N Мл Mvx Вы
а = 	-f- ——- -I-		— 4"		<Г.')F f 1х ‘ 'у /„Полученная формула (12), совпадает с формулой (1); разница заключается лини,
в том, что бимомент В, секториальная координата е и секториальный момент инер
ции /0J должны вычисляться с учетом продольных перемещений точек сечения отно¬
сительно контура средней линии.Секториальный момент инерции вычисляется по формуле/„ = 5 *>dF = J К + V'o)W.	ОF	Fгде о>0—секториальная координата по В. 3. Власову.До сих пор мы исходили из предположения, что секториальные координаты стро¬
ятся из центра изгиба, положение которого считалось известным.Для определения положения центра изгиба предварительно приходится строить
секториальные эпюры при произвольном выборе центра изгиба и начала отсчета
секториальных координат. Выведем формулы для Г/реобразования секториальных
координат.а)	Преобразование полных секториальных координат при перенесении полюса.
Полная секториальная координата точки М (рис. 4) относительно полюса А по фор
муле (10) выражается так:0>АМ = ™АМ0 + ЪппА »	^ 1где <*дм0 — обычная секториальная координата.Полная секториальная координата точки М относительно полюса ВШВМ0	•	( 1Рис. 4Рис. 5
При полюсе в точке А приращение секториальной координатыd«AM0=rAds-	<16>При полюсе в точке В имеемda,BM0=rBds-	<17)Длина гв может быть выражена через гА так (рис. 4):гв = гА — Ab — be = гА — (by — ау) sin а — (bx — ах) cos а.dx0	dy0Учитывая, что sina =— — , cos а = —, и имея ввиду (16) и (17), получимds	ds^ШВМ0 =^a)AAf0 (by ау} ’ ^х аУ*-После интегрирования находим®ВМ0 = 05АМ0 (Ьу — Яу) *0 Фх ах) У о 4“ С •	(18)Здесь С — произвольная постоянная, зависящая от выбора начала отсчета дуги 5.Предположим, что начало отсчета секториальных координат находится в точке
No(xu у\) средней линии профиля. Для определения значения произвольной посто¬
янной С нужно положить <°дм0= ®вм0 ==0 ПРИ *о=*ь Уо=Уь Находим С = (Ьх —
—ах)У1~-(Ьу—йу)Х\- Подставляя это значение С в (18), /получим“ВМ0 ~ <ЛАМ0~^~ №у — ау) (*• xi) (bx ах)(Уо УО-	(^)Расстояние пв через пА можно выразить так:dyn	dxaпВ = пА + (ьу — ау)Умножив обе части равенства на и учитывая формулу (2), имеем«в8Л = nAbn -f (by — ау) (х — х0) — (Ьх — ах) (у — у„).	(Л)Сложим выражения (19) н (20). ПолучимП$п ^BMq = ***АМ0	“Ь Фу — ау) (х х\) Фх Ух) (у Уг)‘Учитывая (14) и (15)» находимШ£М = °*АМ “Ь (Ьу ау) (х — xi) (bx Jах) (У УО*	(^)б)	Изменение начала отсчета секториальных координат. Пусть N0 — исходное на¬
чало отсчета (рис. 5); Ni — новое начало отсчета; m0N0—секториальная координата
точки М0 при исходном начале отсчетов в точке N0;	—секториальная коорди¬
ната новой начальной точки Nu отсчитанная от прежнего начала отсчетов.Из рис. 5 ясно, что при перенесении начала отсчетов из точки No в точку Ni,
секториальная координата произвольной точки Мо получит значение % = ^M0N0 "Ь
-f- <*NqNi* Прибавив к обеим частям равенства ЬппА и учитывая ПО), получим“о = “ЛГО+ “л/yv, ;	^здесь (Одг —полная секториальная координата точки М с началом отсчета в точке No;
о) — полная секториальная координата этой же точки при новом начале отсчета.Формулы (21) и (22) позволяют перейти от исходных, произвольно выбранных,
полюса и начала отсчетов к главным сектооиальным точкам: центру изгиба и глав¬
ной нулевой секториальной точке.в)	Положение центра изгиба. Для определения положения центра изгиба восполь¬
зуемся уравнениями равновесия^ mdF = 0; (23) \u>xdF\ (24) J а>ydF.	(25)F	F	FПодставим значения a)=0)3^lo по (^) в УРавнение (24). Получим^ швм0 xdF = (* о)AMQXdF(by (iy) J* x^dF (bx ax) ^xxydF-\- с ^ xdF 0.F	F	F	F	FПредполагая, что оси Ox и 0y — главные центральные оси сечения, следует по¬
ложить равными нулю центробежный моМбй'т й'Нёрции и статический момент площадисечения: ^ xydF =0; ^ xdF =0. Учитывая, что J x2dF= /v, находимF	F	F24
JWAM0XdFJ	—ву)/,“°: by-ay—— I			-•	(26)r	hАналогичноJ шАМ0УаРbx — ax = 			(27)IXИз равенств (12), .(13) и (27) видно, что формулы для определения нормальных
напряжений и секториальных характеристик при стесненном кручении по внешнему
виду ничем не отличаются от формул В. 3. Власова. Отметим также, что сказанное'
справедливо и для других геометрических характеристик, а также для касательных
напряжений.Ниже приводятся формулы некоторых секториальных характеристик для гнутого
швеллера, уголка и пластины (табл. 1).Таблица 1П р и м е ч а н и е. /т — секториальный момент инерции; хо11 — координата центра
изгиба по В. 3. Власову.Из таблицы видно, что секториальная жесткость профилей, отдельные элементы
которых пересекаются (уголки), и даже сечений, имеющих две оси симметрии (пла¬
стина), не равна нулю. При стесненном кручении у таких профилей возникают нор¬
мальные напряжения, переменные по толщине. По теории В. 3. Власова секториаль¬
ные напряжения для таких профилей равны нулю.Пример 1. Швеллер длиной Z = 500 мм (рис. 6) скручивается моментами М0—
= 100 кг-см. Концевые сечения не депланируют. Определить нормальные напряже¬
ния а,, а2 и а3 в точках 1, 2 и 3 в опасном сечении.Нормальное напряжение определяется по формуле^тах0*	/.Г1.1%со) = 7 •	(2d)соИзгибно-крутятций бимомент В определяется из	дифференциального уравненияВ"— а2 В = т01	(29)где то — интенсивность внешней нагрузки; a =\/'G[kIEI<0 — изгибно-крутильная ха¬
рактеристика.Учитывая, что M0=const и граничные условия х=0, <р'=Ю; х—1\ <р'=0, найдемМ0 /	а/	\В = — f sh az— th ch clz\.	(30)25Геометрические характерис¬
тикиФорма сечениял еруголокпрямоугольникПолная секториальная
координата“i =“г —0 , 560 (60-f хи);=0,5 ha{bt—xa);“» = “2 + 0,55в + -*и)со, = —0,56060;
“г = 0;“з — 0,55 ЛЬ0СО, = — 0,25 b0L]о)2 — 0;о)3 = 0,25&oZ.Полный секториальный
момент инерции. ; ,(W+2(W,<“ Шо-*- 1^4 Т"
Ъ1В+ 24 ^ + 2Xvt), (°<А)3
" 18. (V0*“ 144Координата центра из¬
гибаь\</2 b„bl
'—2
*«=оo' оII и* Ч*
Pa.^u еры .швеллеров в ммГеометрические характеристики по В. 3. Власовуhn*01/у 13 см* !!X в см0И/^о в см1<0тах в
см-at, в см 13042412,81 ,-84-22,04,270,0586030429, Г,1,1328,45,030,0008118446,70,5015,95,450,08ч)И о и ы е г с (> м е г i > 11 ч е с к и е х a р a кт е р и с-т и к иНормальные напря¬
жения у края полки
В KCjCM-Напряже¬
ния но
В. 3. Вла¬
сову и;С.М':--vn
в см.1'а> .В СМГ'се к тор и а л ь п ые коор д ш i a -
ты у края Полки в см-а в
см~1со.со2 jш31 ,8.522,83,004,275,480,0371862013342011,1228,74,815,630,460,06025329734129 70,5016,24,995,455,910,08037140644440626Бимомент достигает максимального значения в концевых сечениях:—	Мп al^inax~ г th .	(-И)a	ZПодстановка численных значений дает следующие величины геометрических ха¬
рактеристик и напряжений:otj = 3,064 см2; о>2 = 4,27 см2', =; 5,48 см2,. ./<0) = 22 см*; /ш —- 22,78 с:м*.-
а = 0,067 см~ aj = 186 кг/см2; а2 = 261 кг/см2; а3 = 334 кг/см-.На рис. 7 приведена эпюра полных секториальных координат для швеллера;'
Эпюра напряжений имеет точно такой же вид.Аналогичные расчетьг проведены для швеллеров .с одинаковым поперечным сече¬
нием, но с различной относительной высотой m = h0/L (где L — длина развертки сече¬
ния). Результаты расчетов сведены в табл. 2. Из этой таблицы видно, что напряже¬
ния по толщине полки швеллера изменяются в значительных пределах, особенно у
низких профилей. Напряжения у поверхности сечения (точки 1 и 2 рис. 6) отли¬
чаются от напряжений по В. 3. Власову почти на 30%..Пример 2. Определить .максимальное нормальное напряжение в прямоугольной
пластине, являющейся заготовкой швеллера предыдущего примера и нагруженной
одинаково, с ним; сравнить полученное напряжение с рассчитываемым обычным спо¬
собом.Решение. Высота сечения пластины равна длинё развертки швеллера, е.
L = 2b0+h0 = 2-4,2 + 3,6= 12 см.Вычисления по формулам, приведенным в табл. 1, приводят к следующим дан¬
ным:frtmax = ih 1 Л см2; /ш = 0,766 см*; а = 4,38/£ = 0,365 см~1; BurdX — 274 кг-см'1;5,..max = 430 Кг/смКТ a б л и ц a 2Рис. 6Рис, 7
Эквивалентное нормальное напряжение свободного кручения
а = 1,73тск =; 1,7Ш0Ъ0//к = 270 кг/см*•Таким образом, рассчитывая пластину, как стержень с нулевой секториальной
жесткостью, мы делаем большую ошибку.Выводы. 1. При расчетах на стесненное кручение тонкостенных гнутых профилен
следует учитывать неравномерность распределения нормальных напряжений по тол¬
щине профиля. Это относится и к сечениям, центр изгиба которых находится в
точке пересечения полок (уголок и др.), и к пластинкам.2.	Полученные расчетные формулы по внешнему виду не отличаются от формулВ.	3. Власова. Геометрические характеристики, рассчитанные по формулам В. 3. Вла¬
сова, и те же характериртики, рассчитанные с учетом неравномерности распределе¬
ния напряжении, для швеллерных сечений отличаются незначительно (табл. 2). По¬
этому расчет нормальных напряжений при стесненном кручений гнутых профилей с
точностью, приемлемой для практических целей, следует производить по формуламВ.	3. Власова, за исключением величин секториальных координатПоступила 15/V 1962ЛИТЕРАТУРА1.	В. 3. Власов. Тонкостенные упругие стержни. Стройиздат, 1940; Физматгиг?
1959.К расчету балок на упругом основании
при односторонней связи с основаниемА. А. Афендульев (Горький)Рассматриваются вопросы расчета балок на упругом основании при односторон¬
ней связи с ним. Предполагая упругое основание винклеровским и используя Метод
начальных параметров, устанавливается длина контакта балки с основанием для част¬
ных, случаев ее изгиба. Это дает возможность вести дальнейший расчет обычным -пу¬
тем.-Известно, что расчет систем с односторонними связями весьма затруднителен, так
как для них обычно неизвестным# являются не только внутренние усилия, но и сама
расчетная схема. Так, для Оалки, лежащей на упругом основании или связанной с
основанием односторонними связями, воспринимающими только сжимающие усилия,
не известны участки, на которых балка соприкасается с упругим основанием. Для
решения задач такого рода приходится задаваться наиболее вероятной расчетной схе¬
мой и результаты расчета сопоставлять с исходными предположениями.Пусть дана балка, лежащая на упругом основании, у которой вертикальные со¬
ставляющие нагрузки, расположенной на одной части балки, значительно превышают
такие же составляющие нагрузки, расположенной на другой части балки. Балка бу¬
дет погружаться в упругое основание той частью, где вертикальные составляющие на¬
грузки наибольшие (рис. 1). Для определения границы, отделяющей ту часть балки,
которая погружается в упругое основание, от части, которая отделяется от него, т. е.
для определения точки, где прогиб равен нулю, рассмотрим эти части отдельно
(рие. 2).	‘4Полагая основание винклеровским введем параметр m = yrcjAEI, где с — коэффи¬
циент постели. Переходя к безразмерным абсциссам L = ml, £= ml для левой части
будем иметьAfe = sAf — — (syx^-Э; Qn = — 'Y,	С)mгде — сумма статических моментов всех внешних сил, действующих па часть бал¬
ки, отделяющуюся от упругого основания, относительно ее левого конца; - У -сумма
проекций тех же сил на ось у.Будем считать моменты положительными, если они направлены по часовой
стрелке.Удовлетворяя граничным условием правого конца балки Д4 = 0 и Q = 0 и подстав¬
ляя начальные параметры (1), получим два уравнения с двумя неизвестными <р0 и £,9tn, = \тШ - (/- -4)2У\Аг ! - BAY — //;27-
-Т 9 А = ЦтШ - (L - г) 2У] D% + АЛУ - W,7ПН=я£Ш1Ар - 2Я,В- - ~ Sfi(Cj - С5|);IT = - 4m2A?iDp —SP/Л- — — 2^(В- - В-);t т	4 1А,	В, £, D — балочные функции Крылова.Исключая <рв, получаем следующее трансцендентное уравнение для определения £:Dt [- тШ + (L — 9 SK] Аг + 1УВ, — Нq* “ 4 [/п2Л1 - (L — £)2У] D% + SK/Ц - W	^Решение такого уравнения можно найти графическим путем, определяя абсциссу
точки пересечения двух кривых:D?	[— тШ + (Z. — 6) IV] Аг + ^YBz — Н' = ’ = 4 [mY,M — (L — £) 2У] -f- 2УЛ* — №Первому уравнению соответствует одна кривая. Второму уравнению соответствует
ряд кривых, каждая из которых отвечает определенной нагрузке.В случае, если часть балки, отделяющаяся от упругого основания, не загружена
(^М=0; ЕУ=0), уравнение (2) имеет вид D^/C^=H/w и решение его может быть
сведено к табличной форме [1].Найдя 6, определяем длину участка балки, погруженного в упругое основание
£=$/т и начальный параметр <р0:ТП?	1?.= — {4[/пШ-(1-£)2У]С. +Щ. —W}r~.после чего обычным путем могут быть определены усилия и деформация балки. Та¬
кое решение будет справедливым лишь в случае, если полученные результаты будут
подтверждать исходную предпосылку, а именно: при 0<\*<£ у>0 и при—(/—£)■<.*< О
у<0.Аналогичное решение можно получить для балки, лежащей на упругом основании
с симметричной нагрузкой, у которой вертикальные составляющие в середине балки
значительно превышают такие же составляющие на краях (рис. 3).В этом случае для определения £ получим трансцендентное уравнениеАг 4[msZM-(L-^Y\B^ -4>]УСе — Н'ёГ = 4[mSM— (L— £)Sr]D- + 2У/Ц —W' ’	(J)гдеН' = -	-Н^С-+ — '-^(Zb - DO;‘ I	1171	HiW = -4«'JMiD»— ZPiA--— Й\{B-- BK).1 t	i m	iНайдя £, вычисляем начальный параметр<р.= — {4[/nSAl — (L— £) SУ] Dc +1YA: — W'} J-.СПри симметричной нагрузке обратного характера (рис. 4) рассматриваем правую
половину балки. Удовлетворяя граничным условиям сечения на оси симметрии '-Ро^О;
Q = О, получимQ0 - - sp, - Iqi (di - а) = - SK;	(4)(/—с )2	а1 А “с/£/<Ро = М0 (I - С) - Qo Чр - SAfЛ - у - ^			Разделив последнее равенство на £/=с/4т4 и переходя к безразмерным абсциссам
£=тдг, будем иметь(5)С	с28
где^ 4m3 „ я, n , 2m2 „ ^ 9 2т о ^Г = — m#i + 	 SP,af + — Tqi (а* —$;С	с	ОСai = aim; = Ььт\ 7/ = cim\ = dim-Удовлетворяя граничным условиям на правом конце балки М = О й Q=*0 и учиты¬
вая значения начальных параметров (4) и (5), получим два уравнения с двум?! не¬
известными Affl и S.Исключая из этих уравнений М0, получаем4(£ — 6) А + Л- [2 (Z, — £)2 2 F — X] £>, — -[-Я"4(£ —5)С? — 4£>. = [2(Z. —угЕУ —Х]С- —ЗКЛ- +И7"	(6)гдеХ = Г = 4«*Af<Prf 2S/>,?4- 2^(8?//" = /и У = miAMj - 2Р/В-- SqAC^- Q;);1Г'= -4m2Af,De-- vpiyi-	Вт).г*	I ТП	4	1Из уравнения (6) определяем | и затем начальные параметры[2 (L — £)21-У — X] С. —2 YA. + WМ„ —	г	:	т [4 (L— $)£- — 4D;J4от3 2m2 m2
■U= — (L-f:)Mt	[(i_e)2<?0_ — X.С	с	сРис. 5Рис. 2Рис. 3Рис. 129Рис. 4
В качестве иллюстрации рассмотрим пример расчета балки с симметричной на-4грузкой, и характеристикой жесткости т = YcJ4EI=0,42 (рис. 5).При заданной нагрузке балка погружается в .упругое 'основание своей средней
частью. Для определения £ используем уравнение (3). Построим кривую yJ—A^JC^
при изменении £ в пределах длины левой половины балки, т. е. Огде L =
= ml = 0,42- 6 = 2,52, и вторую кривую у/'по формуле (3).Получаем при 0<С£<СО,84tM= 10-4 + 5 = 45- тм; 'EY = 10 т; Нг = 0; W7 = 0;4[0,42-45—10(2,52—£)]£г —4.10Cg 4(—6,3+10 — 40С?Л| “ 4 [Q,42-45 — .10(2,52 —ejJDj: + 10уЦ “ 4(-6,3+ ЩО, +10ЛЕ
при 0,84' £ 2,52\М =5 тм\ = 0; Нх = 4-10-С0>81 = 4-10-0,351 = 14,04; W' = — 10-А1)М ==_ 10*0,917 =; — 9,17;4(0,42-5)5. — 14,04 8,405, — 14,04
*2== 4 (0,42-5) D(:+9,17 _ 8,40D$-f9,17Получим две кривые (рис. 5), абсцисса точки пересечения которых и будет опре¬
делять длину части балки, погруженной в упругое основание: 6 =1,68-; £ = £/т =
= 1,68/0,42=4,00 м. Далее находим£/<Р» =	!4t°’42'5l:Z)i,68 + 9,17}	== Т^{8’4° 0,76 4-9.17} ^=17,80.Уравнении изогнутой оси балки и эпюры изгибающих моментов .в общем виде
представим так:у =-т|(б)/т£/; Л* = ф{0.При обычном расчете той же балки, когда между основанием и балкой связь пред¬
полагается двусторонней, воспринимающей в равной степени как сжимающие, так и
растягивающие усилия, уравнение изогнутой оси балки и изгибающего момента запи¬
шем В'аналогичной форме:у = т/ (5)/т£/; Л4 =<!/ (£).Для сравнения результатов на эпюрах (рис. 5) сплошными линиями изображены
функции ?.(£) и •!■(£). а пунктирными —функции Y(S) и У (£)■Поступила 8/VII I960.ЛИТЕРАТУРА1.	А. А. Сладкопевцев. Расчет балки, отстающей от упругого основания. Ис-
ледования по теории сооружений. Гостехиздат, 1959.0 прогибе балочных стропильных ферм
с параллельными поясамиС.	И. Усанов (Москва)Применение сплавов алюминия и низколегированной стали в фермах приводиi к
прогибам, большим, чем в фермах из обычной стали. Поэтому расчет по второму
предельному состоянию для этих конструкций становится основнымВ работах [1] и [2] исследуется жесткость мостовых ферм. Цель настоящеп
статьи — исследовать жесткость стропильных ферм, схемы которых показаны на
рис. 1, в зависимости от пролета L, высоты h, чйсла панелей и механических харак¬
теристик металлов при воздействии равномерно распределенной нагрузки.Используется формула Мора для определения прогиба в фермах:v MjPNiili_	(i)
• " BtFi "30
где Nip—усилия в стержнях от внешней нагрузки; Д/"/, --- усилия от единичной силы,
приложенной в середине пролета; Ft, //—площадь брутто стержня и его длина;
Ei — модуль упругости.Приведем формулу (1) к виду/ = + £рТр-	(2)Здесь каждое слагаемое означает составляющую прогиба, определяемую соответ¬
ственно деформацией поясов и решетки:. _ -!£.	(3)£п =“	£р — Ер ^Рггде гг коэффициент, учитывающий во сколько раз составляющая прогиба, опреде¬
ляемая деформацией данного элемента фермы, меньше «рационально» запроектиро¬
ванной (ai= R); а—напряжения, соответствующие нормативной нагрузке.Для фермы I типа (рис. 1,а):= 2УЛГЛ= ^ (4)	(5)Для фермы И типа (рис. 1,6):(4,) = (У)где / — знак усилия от внешней нагрузки; т — число панелей в нижнем поясе
фермы.На рис. 2 представлены графики прогибов (2), в зависимости от высоты фермы,
для ферм пролетом 60 м из уголковой стали Ст. .3 при ^п=0,74, ^=0,53 и a=i(),8/?;
кривые; 1 — для т= 10, 2 — для т = 20, 3 — по формуле Н. С. Стрелецкого.Высота фермы из условия минимума прогиба, L / *п ,,L f тгn-|- 2sp
h — — "1 / —m + 1; hu = — I/ 		-1-	(°)2m у Ep	2. У m(m~— l)epdf ЛИз условия -— = 0 определим оптимальное число панелей в нижнем поясе для
отфермы .1 типа:m = ’L/2h.	(7)Приравняв выражение (2) допускаемому прогибу [//£]; определим отношен
Llh для фермы I типа:/ М1 = 4 \f/L] ± /16 [//ХР - 4msp (г„" + 1Р7т)	(8)\ А /1.2		 гп + £р/«Из условия равенства подкоренного выражения (8) нулю получаем в" нижнем
поясе наибольшее количество панелей, при котором будет выдержан заданный прогиб, 4Г//^12-£рт\ =	:				(•')£п£рИз (8) значению т\ будет соответствовать одна высота фермы( L \ I 4[//Z,]V-e|:—в,.	.(10)\ А ) \f/L]znРие* 1о IРис» 2
Выводы. 1. Формулы (2), (4) и (5) подтверждают выводы Н. С. Стрелецкого
и В. К. Качурина о виде формулы для определения прогиба фермы. Она имеет
L3вид /=д	где а, Ь — постоянные числа. Графики на рис. 2 сходны с гра-hфиками В. К. Качурина [2].При /л<10 и L/h>9 составляющая прогиба, определяемая деформацией поясов,
значительно больше составляющей, определяемой деформацией раскосов (она со¬
ставляет 80% всего прогиба фермы).Для комбинированной фермы из разных материалов соотношение между состав¬
ляющими зависит от жесткости металлов. При использовании более мягкого ме¬
талла в раскосах величины составляющих прогиба поясов и раскосов выравнива¬
ются при m>'10L/h<9.2.	Составляющая прогиба, определяемая деформацией поясов, не меняется при
изменении количества панелей в нижнем поясе. Составляющая от раскосов суще¬
ственно зависит от т.С увеличением т уменьшается оптимальная высота по прогибу.3.	Если металл раскосов и стоек мягче металла поясов (ер > епЬ то наимень-
шля высота фермы будет меньше, чем для фермы из одного материала.4.	Наивыгоднейший угол наклона раскосов к горизонту из условия наибольшей
жесткости ферм будет для ферм I типа — 45°, для ферм II типа — 35°. Необходимо
отметить, что эти углы являются также самыми выгодными по конструктивным
и весовым характеристикам ферм [3].5.	Выбор высоты фермы существенно зависит от заданной нормы прогиба. Чем
меньше норма, тем меньше интервал высот фермы, при которых прогиб фермы
будет меньше заданного.Возможны такие случаи, когда допустимая норма прогиба не может быть вы¬
держана при постоянных механических свойствах металлов и постоянных коэффи¬
циентах прогиба. В этом случае необходимо уменьшить число панелей в нижнем
поясе до либо увеличить высоту фермы.Величины т\ {Ljti^ указывают на возможность конструирования фермы для
заданной нормы прогиба. Например:а)	для фермы из Ст. 3 2,1 т/см2; Е—2,1 • 106 кг/см2; \f/L\ =1/500; а =0y8R;
и =0,74; *»]р=0,53; по формулам (9) и (10) mj=15, (LUvf =6,7;б)	для. фермы из алюминиевого сплава АВ-Т1 #=1700 кг/см2; £=71 000 кг/см-г;
с =0,8/?, 1)п=0,74, 1)р =0,53, [//Z.]=l/500; по формулам (9) и (10) /п\=2, (i/A)1 =0,2;в)	для фермы тоже из АВ-Т1 при [//I] =1/250; от] ==10; \L/hf=5,2.Из приведенных примеров видно, что проектирование фермы для случая «б»
нереально.Поступила 26/1X 1962ЛИТЕРАТУРА1.	Н. С. Стрелецкий. Курс мостов, часть II, вып. 1. Гостехиздат, 1930.2.	В. К. Качурин. О прогибе мостовых ферм, вып. 79, 16 сб. отдела инже¬
нерных исследований. Транспечать, 1928.3.	Н. С. Стрелецкий, А. Н. Гениев, Е. И. Б е л е и я, В. А. Б а л д и н,
Е. Н. Лесс и г. Металлические конструкции. Госстройиздаг, 1962.Использование простейших электрических моделей
для построения линий влияния изгибающих
моментов в статически неопредилимых рамахО.	В. Лужин (Москва)Статья посвящена вопросу построения линий влияния в рамах с помощью электри¬
ческих моделей, собранных на Т-образных, П-образных или мостовых схемах замеще¬
ния. Некоторые предварительные результаты были изложены в работе [7].Практика эксплуатации во многих проектных организациях простейших электри¬
ческих моделей стержневых систем типа ЭМСС-7 и ее модификаций показывает, что
они могут применяться для решения широкого круга задач строительной механики
плоских и -пространственных стержневых систем.При Т-образной схеме замещения упругого стержня {2, 3] можно установить сле¬
дующее соответствие между параметрами упругого стержня (рис. 1 ,а) и электрической
цепи (рис. 1,6):= lmrj§El\ J = Mmi\ е = A$mufEI\ er — B^mJEI; е = фmu\ U — vrnu. (1)32
Здесь / — пролет стержня; EI — его жесткость; ф—Угол перекоса элемента; М —
опорный момент; ср — угол поворота опорного сечения; ЛФ и £Ф — фиктивные опорные
реакции; R— омическое сопротивление; е, е\ е — электродвижущие силы; J — ток;
U — падение напряжения; mr, тти—масштабные коэффициенты, два из которых
выбираются произвольно с учетом возможностей электрической схемы замещения,
а третий устанавливается соотношением mrmi=mu.В случае П-образной схемы замещения (рис. \,в) существуют следующие соотно¬
шения между параметрами упругого стержня и схемы замещения:U = <p/nM; U' — — <p'/wa; J = Mmt; У — — Mrmi\ J = Мт^; У =М'т-Л ^
U= фти; U' = — tymu\ R = lmrj2EI,	Jгде все обозначения имеют тот же смысл, что и в формулах (1), а М и М' обозначают
опорные моменты в стержне с защемленными концами от внешней нагрузки; эти мо¬
менты могут быть определены с помощью известных формул метода перемещений.Наконец, при использовании мостовой схемы замещения (рис. 1,г) можно записать
следующие соотношения*	_J = Mmi\ U = ути\ J = — Mmi; е = ф/тгп; R = lmr/6EI.	(3)С помощью приведенных схем замещения, соби¬
рая соответствующим образом электрические це¬
пи, можно моделировать как плоские, так и про¬
странственные (в последнем случае с добавле¬
нием схемы-аналога закручиваемого стержня)
рамные системы.Способ решения задачи о построении линий
влияния может основываться на моделировании
статического приема, причем в этом случае еди¬
ничная сила прикладывается последовательно в
различных точках рамы. Моделирование стати¬
ческого метода построения линий влияния позво¬
ляет построить непосредственно только линии
влияния опорных моментов, а для получения ли¬
ний влияния моментов и поперечных сил в про¬
лете приходится проделывать известные громозд¬
кие расчеты. Хотя этот способ прост по идее, он
сложен по существу его применения.Эффективный способ электрического модели¬
рования линий влияния, причем не только опор¬
ных моментов, но и непосредственно пролетных
моментов, опорных реакций и поперечных сил,
основан на использовании идеи кинематического
метода. Следует отметить, что электрическое
моделирование линий влияния овязано с выясне¬
нием деформированного состояния системы. Ис¬
пользование схем, заложенных в ЭМСС, позво¬
ляет найти углы поворотов и смещения опорных
сечений, в связи с чем для нахождения ординат
упругой линии приходится воспользоваться эпю¬
рами перемещений, обусловленных единичными
угловыми и линейными перемещениями простых
балок. Следует также отметить, что задача об
определении прогибов в пролете может быть
также решена методами электрического модели¬
рования, о чем будет сказано ниже.При построении линии влияния момента кине¬
матическим методом' в данном сечении ставится шарнир; прикладываются слева и
справа от шарнира равные, но противоположно направленные моменты и создается
перелом в упругой линии, угол которого равен единице.Решение этой задачи на электрических моделях проводится в два этапа. В соот¬
ветствии с известными правилами собирается электрическая схема рассматриваемой
задачи, причем тот пролет, в сечении которого строится линия влияния пролетного
момента, моделируется двумя четырехполюсниками, как это показано на рис. 2.Если в рассматриваемой системе в данное сечение вставить шарнир и в первом
случае при этом шарнире приложить единичную силу, а во втором — два единичных
противоположно направленных момента, то угол излома в первом случае будет равен
смещению шарнира во втором, что непосредственно следует из принципа взаимности
перемещений.На первом этапе моделирования предположим, что шарнир К связан с основанием
опорным стержнем, который получает единичное смещение по вертикали, как это
показано на рис. 2,6. Искомыми величинами лри этом являются опорная реакция
в стержне Р и угол излома упругой линии Д<р.Рис. 133
Рис. 2В случае Т-образной схемы замещения для определения этих величин введем
в электрическую цепь электродвижущие силы~ek= — ти/ап,; ~еп = ти/Ьп,	(4)где ти — масштабный коэффициент, определяемый конструктивными возможностями
модели.В случае П-образной схемы замещения для этой цепи (Необходимо создать напря¬
женияU k= 3/тгд/лЛ; U £=3mu/(in', Un=3mu/bn; U п= 3/я0/#л.	(5)В мостовую схему следует ввести электродвижущие силы2k = — ek=—mulan> ~еп = —~еп = rnu/bn.	(6)Искомый угол излома упругой линии во всех случаях равен:Д? = 1a'" + w■' .	(I)тиа сила Р может быть найдена после замера токов У* и /п по формулер=[— + -г)—-	(8)\ап bn / miПроведенные на первом этапе вычисления позволяют найти тот угол излома упругой
линииД£= Дф/Р,	(9)который имеет место при Р = 1.После этого переходим ко второму этапу моделирования. Для этого используем
ранее собранную электрическую схему. В соответствии с рис. 2,в в шарнире при¬34
ложим два_противо1положно направленных момента М = 1. Отклонение шарнира по
вертикали у в этом случае уже известно, так как оно равно найденному на первом
этапе моделирования углу излома Дер упругой линии при Р = 1.В Т-образную схему замещения (рис. 2,г) следует ввести следующие электродви¬
жущие силы:ek= Ути1ап> ^п—Ути!Ьт &k ==a'nmafiEI* в/1=<1лГПи/ЗЕ1] 1
еп~ Ьпти)ЪЕ1\ en=bnmu/6EI.	JВ П-образной схеме замещения (рис. 2,д) следует создать такие токи и напряжения:
j’k = т1‘ Jn = mi’ йь=—3,ута/ап; V'k=3ymu/an-, Un=SymJbn; D'n^=—3yma/bn. (11)
В мостовой схеме (рис. 2,е) следует получитьek=-~~e'k=—ymu/a„-, еп = —~e'n=~ymu/bn-, /к==тц ^=Щ-	(12)Здесь необходимо отметить, что масштабные коэффициенты, принятые «а первом
этапе моделирования, могут и не совпадать с теми, которые учтены на последнем
этапе.Далее замеряем падения напряжений Ui и находим углы наклона упругой линии
(линии влияния) над опорами по формуле,131Ордината линии влияния под шарниром К определяется какyk = \u'k\ + \Vn\ma'	(14)При определении ординат линии влияния во всех пролетах, кроме того, в котором
задано сечение, учитываются только углы поворотов опорных сечений. Что же ка¬
сается пролета, в котором задано сечение, то при вычислении ординат линии влияния
необходимо учесть взаимное смещение концов элементов.Как отмечалось выше, можно обойтись без вычислений и на этом последнем этапе.
Для решения последней задачи следует воспользоваться моделью балки (рис. 3),
предложенной К. К. Керопяном [4], которая состоит из двух цепочек сопротивлений AR
и А г, могущих быть постоянными при балках постоянного сечения. Падение напря¬
жений в верхней цепочке моделирует изгибающие моменты, а падение напряжений в
нижней — прогибы. Таким образом, для получения ординат упругой линии (линии
влияния) надо замерить токи, моделирующие опорные моменты, и найти по формулеj'nmuЛ1 =	"			(15)mA\Uk\ + \Un\)те опорные моменты, которые соответствуют единичному излому упругой линии в шар¬
нире. После этого следует обратиться к модели, представленной на рис. 3,6. Напря¬
женияU = Mma; U' = M'mu,	(16)а .напряжения, моделирующие перемещение опоры,U = Rl2ymuln2brEI.	(17)Рис. 335
Далее вольтметром замеряются потенциалы в узлах нижней цепочки, что позволяет
найти прогибы отдельных точек по формулеy=Rl2Uln*brEIma,причем R и А г — константы модели, а п — число сопротивлений в одной цепочке.Как известно, ординаты линии влияния в статически неопределимых конструкциях
по мере удаления от рассматриваемого сечения постепенно уменьшаются, что вызы¬
вает уменьшение напряжений в моделирующей цепи при удалении от источников пи¬
тания. С целью исключения возможных неточностей можно воспользоваться приемом,
который заключается в измерении напряжения Un, обрыве цели в этом сечении и при¬
ложении к отсеченной части внешней электродвижущей силы, существенно большей
ранее замеренному падению напряжения. Все остальные величины этим самым будут
пропорционально увеличены.Пример. С целью детального раэбора предлагаемого приема рассмотрим построе¬
ние линии влияния 'Пролетного момента в статически неопределимой раме. Для по¬
строения линии влияния момента в сечении, расположенном во втором пролете на
расстоянии 3 м от левой опоры, соберем электрическую схему с помощью Т-образных
схем замещения, представленную на рис. 4,6. Для установки нужных сопротивлений
определим по формулам (1) параметры электрической схемы замещения, причем вы¬
берем следующие масштабы:тг=Е1мом/м; ти = 90 мв.Масштаб тока будет равен:-	90
mi — —£ = =— м2в/мом.
mr EIОпределим значения параметров переменных сопротивлений:Rl =R4 = 9E1/6E-3I= 0,5 мом; R2 = 3£//6£-2/ =0,25 mom; R'2 = 3£//6£-2/ =
= 0,25 mom; R3 = 6EI / 6E-2I = 0,5 mom; Rb = /?7 = 3£//6£«2/ = 0,25 мом;
R6 = 3£//6£/ = 0,5 mom.Величины электродвижущих сил на первом этапе находятся по формулам (4)-	90 л	90£k— о — 30 в; еп—	—30 в.Рис. 4
Графическое решение задачи Ляме—ГадолинаЯ. /7. Толченников (Иркутск)1.	Нахождение главных напряжений. Главные напряжения ср и с* в стенке толсто¬
стенного цилиндра находятся из неполной системы дифференциальных уравнений [1]<*4 , 3 da?	daf	/0ЧW'l'T *Р=°’ (1) at = at + ?di	( )с краевыми условиями o9(a)=q и a^(b)=p.37После установки найденных сопротивлений и введения электродвижущих сил
определим падения напряжений Uk=—396 и Un=3Sb. С учетом масштаба угол из¬
лома упругой линии Аср =(39 + 38)/90 = 0,855.Замеряя падение напряжений на сопротивлениях R2 и #2» а также учитывая их
величины, найдем усилие в дополнительном опорном стержне:Р = — (——-f 8 ) =0,252 El.
90 \3-0,25^3-0,25/При Р= 1 угол излома упругой линииД у = 0,855/0,252EI = 3,4/EI.На этом заканчивается первый эгап моделирования.На втором этапе моделирования используем ранее собранную схему, только вве¬
дем новые электродвижущие силы, найденные по формулам (10) и показанные
на рис. 4 в скобках:20EI 3,4 _ „	20EI 3,4 _ „	3*20EIек~~ 3 Е1~~22,7в' е*~ 3 EI ’ ’	6£.2/ -5,0в:
3-20£/	3-20 EI л , 3-20 EIеь = 	= Ю«; е„ =	= 10в: е„ = 	= 5,0в.к ZE-2I	п 3 Е-ll	п 6E-2IПримем на втором этапе масштабный коэффициент пги=20Е1. После введения но¬
вых электродвижущих сил определим величины падения напряжений:^ = 3,6*; и2=— 7,2в; U'k = 38e; 1/*=—37,5в;Uz = 8,5в; £/4 = —l,3e; t/5 = 0,65в.Далее по формуле (13) находим углы наклона линии влияния на опорах:<р1== 3,6/75,5 = 0,0476; ?2 = — 7,2/75,5 = 0,0954; ср3 — 8,5/75,5 = 0,113;
ср4 = — 1,3/75,5 = — 0,0172; <р5 = 0,65/75,5 = 0,086.Теперь определяем значения ординат "линии влияния в серединах соответствующих
пролетов:(y0 5)j = —0,187-9*0,954 = —0,16 м\ (у0 5)2 = 3,4-20£// (37,5 + 38)£/= 0,90 м\(у05)3 = — 0,125*6(0,113 + 0,072) = — 0,098 м\ (у0>5)4 = 0,187*9*0,0172 = 0,029 м.Характер линии влияния представлен на рис. 4,в; в скобках приведены значе¬
ния, полученные по формулам [5]. Как показывает сравнение, точность метода
электрического моделирования линий влияния весьма велика.Поступила 9/11 1962..ЛИТЕРАТУРА1.	О. В. Лужин. Построение линий влияния в статически неопределимых рамах
методами электрического моделирования. Труды второй межвузовской научно-тех¬
нической конференции по электрическому моделированию. Новочеркасск, 1962.2.	Г. Е. Пухов. Об электрической схеме-аналоге изгибаемого стержня. Сб. Элек¬
трическое моделирование стержневых систем. Госстройиздат, 1958.3.	К. Кг К е р о п я н. О моделировании рам со смещающимися узлами. Труды
РИСИ, вып. 23, Новочеркасск, 1961.4.	К. К. К е р о п я н. Электрические модели некоторых плоских стержневых систем.
Сб. Электрическое моделирование стержневых систем. Госстройизда!, 1.4V\5.	А. Кляйнлогель. Формулы для расчета сложных 1рам. Гостехиздат, 1927.
Эта краевая задача может быть решена графически в совмещенных координатах,
если в (1) и (2) ввести вспомогательную функцию* = р~2.	(3)Получаем‘h	£!Zl	B5^!p	(4)dt “ 2 tfp ’	"" 4 rfp2 “ 4 * dp *Подставляя o'd и с в уравнение (1), находимd2a0ж=°-	<5>Откуда(6,Графиком частного решения (5) является прямая зр=/(0> удовлетворяющая краевым
условиям ^(а"“2)=д' и ар(6“2)=/?.Пусть а=10 см и 6=20 сл*, внутреннее давление q=—2100 кг/см2 (рис. 1).На координатном поле (а ^), где по оси абсцисс t нанесена функциональная шкала
функции (3), наносим точки А (10~2, —2100) и В (20~2 , 0). Через точки А и В про¬
водим прямую АВ, которая дает график частного решения уравнения (5)*9=f(t) = a0-Kt.	(7)Вспомогательная функция (3) с учетом (7) приводит уравнение (2) к виду«< = <Р W= а„ + Kt,	(8)т. е. графиком напряжения с* является прямая CD.Если нужно получить графики ар=/(р) и о^=<р(р), то ординаты прямых (7) и (8)
переносятся в системы (ар, р) и (а*, р). Полученные при этом графики ®p=/(p) и
С*=ср(р) будут графиками частного решения системы уравнений (1) и (2).Аналогично может быть решена задача Ляме и при других краевых условиях.
На рис. 2 даны графики ср и о* для цилиндра с внешним давлением р=750 кг!см2.2.	Расчет трубы на прочность. Пусть требуется спроектировать цилиндр, подвер¬
женный внутреннему давлению q=—2100 кг! см2 (см. рис. 1). Из конструктивных со¬
ображений принимаем а=10 см. На функциональной шкале t отмечаем точку К
10~2, 0). На линии 55 откладываем отрезки АК——2100 kzJcm2 и AD—[^]. Отрезок
AD точкой F делим на два равных отрезка AF и FD. Через точку F проводим пря¬
мую FT. Соединение точек Т, D и А дает одновременно внешний диаметр b и графи¬
ки напряжений ар и <st. Величину b находили по третьей теории прочности: KD +
+KA*CAD. Аналогично находим величину b и по другим теориям прочности.3.	Задача Гадолина. На рис. 3 изображены графики ар и ot для составного ци¬
линдра, в случае, когда на соприкасающихся цилиндрических поверхностях после мон¬
тажа возникает давление <7.1=300 кг! см2. Графики напряжений строятся отдельно для
внешнего и внутреннего цилиндров.38Рис. 1Рис. 2Рис. 3
На рис. 4 путем сложения соответствующих ординат графиков, изображенных на
рис. 1, 2 и 3, построены графики главных напряжений составного цилиндра с внут¬
ренним давлением q——2100 кг]см2.4.	Главные деформации. На рис. 5 даны графики ер и е^, для построения которыхиспользованы графики ор и а? (см. рис. 1) и зависимости е = -^-(ар—p.<^); =
1Эти же графики можно построить иначе. Дифференциальное уравнение радиаль¬
ного перемещения произвольно взятой точки стенки цилиндра имеет вид [3]d2u , 1 da а	+	— = 0.	(9)dtf* р dp р2Учитывая соотношения ер=и' и zt=ujp9 из (9) получим
d^t 3 dzt	d2&0 3 dt£=о(Ю), p+_^=o.	(ii)dp2 p dp dp2 p dpУравнения (10) и (И) по структуре одинаковы с (1). Поэтому все графические
построения, выполняемые при нахождении ср и а/, остаются справедливыми и принахождении ер и е^. В составных цилиндрах, зная qn, кроме ер и £/ можно найтивеличину натяга или, зная натяг, величину qn.Поступила 18/Х 1961ЛИТЕРАТУРА1.	Н. М. Беляев. Сопротивление материалов. ГИТТЛ, 1953.2.	С. Д. Пономарев. Расчет толстостенных труб на прочность графическим ме¬
тодом. Инж. сб., т. IX, АН СССР, 1953.3.	В. И. Феодосьев. Сопротивление материалов. Физматгиз, I960.Определение неизвестных при модификации
системы линейных уравненийЕ. С. Гребень (Ленинград)Приводится прием отыскания неизвестных при изменении элементов матриц исход¬
ной системы линейных уравнений. Прием позволяет найти новые неизвестные путем
использования решения первоначальной системы уравнений; он может быть использо¬
ван для расчет.а конструкций после изменения размеров некоторых элементов, а также
расчета конструкций с нарушенной регулярностью и решения весьма больших систем
линейных уравнений.39Рис. 4Рис. 5
40Расчет многократно статически неопределимых систем сводится, как известно, к
решению систем линейных (канонических) уравненийЛХ0 = А0,	(1)где А — матрица коэффициентов; Л0 — матрица свободных членов; Х0 — матрица не¬
известных.После первоначального расчета конструкции часто приходится изменять размеры
некоторых элементов. Это приводит к необходимости решения новой системы урав¬
нений	_АХ0 = А0,	(2)которая соответствует конструкции с измененными размерами элементов. Отыскание
неизвестных Х0 из системы уравнений (2) часто требует трудоемких вычислений. За¬
дача может быть значительно упрощена, если для отыскания неизвестных Х0 восполь¬
зоваться решением первоначальной системы уравнений (1). Один из таких приемов
указан в работе [1]. Подобный прием применительно к расчету самолетных конструк¬
ций приводится в работе [2] и применительно к расчету судовых перекрытий — в [3].
В настоящей статье рассматривается более общий и простой прием отыскания неиз¬
вестных ~Х0 на основе решения первоначальной системы уравнений (1).Исходим из предположения, что матрицы в уравнениях (1) и (2) представлены
в блочной форме.В развернутом виде уравнение (1) представится так:| АцА\29 • • АХл Хщ А10
А21А22. • • А%п Х%0 __ А<}0 '^/Zl^/72* • •Ann Хпо	А поДиагональные блоки матрицы А представляют собой квадратные матрицы, а по¬
бочные блоки той же матрицы и блоки матриц Л0 и Х0 — прямоугольные. Аналогич¬
ным образом записывается в блочной форме и уравнение (2).Представим матрицы А и Л0 в видеЛ=Л-{-Лд; Л0=Л0+ЛОД,	(4)где матрицы Лд и Лэд— поправки к исходным матрицам, вызванные изменением
размеров элементов конструкции. В развернутой блочной форме они записываются
так:^ИД^12Д* * *^1яД	^10ДЛ= А21иАш...А2пи ' Лод= Л20д _	(5)Ап\ьАпъь. • • • Апп Д	^лОДВ матрицах (5) отличными от нуля являются лишь те блоки, которые связаны с
изменением размеров элементов конструкции.Подставив (4) в уравнение (2) получим(Л+Лд)Хо~Ло+Л0 д.	(6)Умножим уравнение (6) на матрицу Л-1, обратную матрице Л, тогдаA-'{A+Al)X о =л-чл0+лод).После преобразований будем иметь(£+Л-Мд) Х0 = Х0 + Л-Мод,	(7)где Е — единичная матрица.	__Из уравнения (7) находим неизвестные Х0. Для этого необходимо предварительно
отыскать матрицы А^А^ и Л“М0Д, которые обозначим соответственно через
*д и А’од. При отыскании матриц ХА и .Y0A полностью используется не зависящая от
свободных членов часть решения первоначальной системы уравнений (1). После оты¬
скания ^д и ЛТ0Д могут быть найдены неизвестные Х0. При этом придется решать
систему уравнений с матрицей, порядок которой равен числу отличных от нуля стол¬
бцов матрицы Лд. При одном или небольшом числе таких столбцов достигается зна¬
чительное уменьшение трудоемкости.Иллюстрируем рассмотренный прием на частных случаях.1.	Предположим, что в матрице Л изменился лишь элемент Лц, а в матрице Л0 —
все элементы. В этом случае в матрице Лд отличным от нуля будет лишь элемент
Л11д. После отыскания XL и Ход будем иметь следующее уравнение:(	*пд 0...0 \ х10	ХшЕЪ	_j_ *21Д • 0 j Х,0 =	+ *204	(8)V	Епп хп\к °---° 1/ Хп„	Хт	*„одИз первой строки уравнения (8) находим(£ц +^гпд)^1о=я^Г1оЧ“^юа»	(9)откуда определяем Х10. Остальные неизвестные определим <по формуле*/о = */о + ^ОА *лд*ю 0 = 2,...,л).	(10)Формулы (8)-— (10) справедливы и тогда, когда в исходной матрице Л изменяется
не только первый элемент первого столбца, но и любой другой или все элементы пер¬
вого столбца. Если в исходной матрице А изменились элементы какого-либо другого
столбца (например k-ro), то получимXko = ад-**од;	о оХь = ^/0+	(*=1. 2	k—1, &+1	я).	(12)2.	Предположим, что в исходной системе уравнений (1) изменились элементы ка-
ких-либо двух столбцов (например, «первого и последнего) матрицы А и все элементы
матрицы Л0. В этом случае уравнение будет отличаться от (8) лишь тем, что элемен-
ты Xin± последнего столбца матрицы Хд будут отличны от нуля..Из первой и последней строк этого уравнения имеем(£ц+ *Цд) 5Гю "Ь ^In^no — ^10 + ^од; ^лИ^о+^/т+^ллд) ^Г/го=^/2о+^ГЛ0Д • О3)Из (13) находим Х10 и Хпо, а затем определяем остальные неизвестные по фор¬
мулеXtQ~ Xi0 -f- Хт ^лд *l0	(* = 2,, п—1).	(14)Если в исходной мартице А изменились элементы k-ro й r-го столбцов, то вместо
формул (13) и (14) получим№kk~\'X]lkb) ^&о“Ь Xfrr^Xr(i— Х^ XfoQ^ Xrfo^Xk0-\-(Err-\- Xrr>) XrQ=XrQ-\- XrQ^\ (15)Хщх— XlklXko—Х1гьХгъ.	(16)Аналогичный вид имеют 'формулы для вычисления Х0> когда в исходной матрице А
изменяется не два, а большее количество столбцов. При трех измененных столбцах
в систему (15) добавится одно уравнение, а в формулу (16)—одно слагаемое и т. д.В общем случае вместо уравнений (15) и формулы (16) получим•	• •+ (£// + ^/уд) ^./о +• • • +^/,уа^о = ^Оо+ */од	гt... ,s); (17)s**-*/,+• *i04 - 2	il+J).	(18)jТаким образом, для отыскания неизвестных Х0 необходимо определить Xд и^од
и решить систему уравнений (17). Порядок матрицы системы (17) равен числу изме¬
ненных столбцов матрицы А. Из этой системы определяются неизвестные, соответ¬
ствующие измененным столбцам матрицы А. После определения этих неизвестных,
остальные неизвестные находятся по формуле (18).Формулы (\7) и (18) могут быть использованы и для отыскания элементов обрат¬
ной матрицы Л-1 В этом случае в уравнениях (1) и (2) матрицы Л0 и Л0 представ¬
ляют собой единичную матрицу Е, а матрицы Х0 и Х0~- обратные матрицы Л"1 и
Л”1 соответственно. Элементы обратной матрицы Л^Л”*1 определяются формулами
(17) и (18). При этом в них элементы XуОД и X$од равны нулю.Приведенные формулы даны применительно к блочным матрицам. Эти формулы
справедливы и тогда, когда на месте блоков расположены действительные числа.Как известно, регулярные конструкции рассчитываются значительно проще, чем
нерегулярные. Изложенный прием позволяет довольно легко свести расчет конструкции
с нарушенной регулярностью к расчету соответствующей регулярной конструкции.41
В этом случае после составления для нерегулярной конструкции матриц А и Л0, целе¬
сообразно выделить из матрицы А модулированную часть А, соответствующую регу¬
лярной системе. После отыскания неизвестных Х0 для этой системы по приведеннымвыше формулам могут быть найдены неизвестные Хо, соответствующие нерегулярной
конструкции.Рассмотренный прием может быть .использован и при решении весьма больших
систем линейных уравнений. В этом случае можно из исходной матрицы выделить
одну или несколько более простых матриц, и применительно к ним решить систему
уравнений. После решения упрощенной системы уравнений по приведенным выше
формулам могут быть найдены неизвестные, соответствующие исходной матрице.Поступила 24/XII I960.ЛИТЕРАТУРА1.	W. J. G о о d е у. Solution of modified linear simultaneous equations. Aircraft
Engng, v. XXXI, No 370, 1959.2.	J. H. A r g у r i s. Energy theorems and structural analysis. Aircraft Engne., 27,
No 312, 313, 314, 315, 1955.3.	А. И. Сегаль. Прочность и устойчивость судовых перекрытий. Изд. «Речной
транспорт», 1955.Уточнение способа определения частоты колебаний
и решения задач устойчивостиС.	Я. Землянухин (Саратов)В статье предлагается приближенный способ определения основной частоты соб¬
ственных колебаний упругих систем с любым конечным числом степеней свободы.
Этот способ можно распространить и на задачи устойчивости, [так \как его основой
является вековое уравнение, для которого приближенно вычисляется максимальный
корень Хшах.1,	Рассмотрим формулу Донкерли/- 1ад* 1=1имеющую большое распространение в инженерных расчетах вследствие своей про¬
стоты.Известно, что сумма диагональных элементов матрицы равна сумме корней веко¬
вого уравнения:п	п2 = S х‘--	(2)i=l 1 = 1/ Г”Так как основная частота колебаний =1/ 	» то из (1) и (2) следует, что\ ^тахпформула Донкерли содержит погрешность на величину 2^*’ т* е’ пРинимаетсяt=2п(3)/=1Таким образом, Хшах всегда больше, а частота колебаний, вычисленная по формуле
Донкерли, всегда меньше своего точного значения.Ввиду того что Х1>Х2>Х3	> 0 основную роль в завышении значения^тах будет играть Х2.пПренебрегая суммой 2 выясним, при каком соотношении \ и Х2 основнаяI—3	^частота колебаний по формуле Донкерли будет занижена на 10%.42
43Точное значение основной частоты (Oj= т / —; по формуле Донкерли для нее	 У кимеем © = “| / —— = л /		(4)У _^шах У ^i+Приняв 1/ — < 1,1 1 / ■	—, получаем Х2 < 0,21Xj.У х, У м-х2Если сравнить -первую и вторую частоты колебаний, то<03= л[JL > -■/" —5— =2,181/— = 2,18 Ш,.
|/ Х2 У 0,21X,	у X,Таким образом.>при а)2<2,18^! ошибка будет больше 10%, и формулу Донкерли
применять нецелесообразно. Отметим, что в случае близости двух первых частот
метод спектральной функции также не дает решения задачи в первом приближении.
В этом случае шереходят к уточненным неравенствам, что связано с увеличением
объема вычислений.Формула Донкерли основана на допущении отсутствия взаимного влияния масс
расчетной системы (1). Если же учесть это влияние, то формулу можно уточнить.Решение векового уравнения второго порядка, записанного в обратной форме
относительно частоты колебаний,Я|8ц — X т2Ъ12 I= 0	(5)/я,521 /И2<>22—X Iимеет видxi,2=	j	± I/ V	2	) +т1тг°12'	<6)здесь учитывается взаимное влияние масс п%\ и т2.Для системы с любым конечным числом степеней свободы получимj " п	п		'—	+	, (7)/=i t=ii--h‘где mfijj—максимальный диагональный элемент.В формуле (7) учтены только взаимные влияния одной массы с другими масса¬
ми, поэтому эта формула приближенная.Многочисленными решениями установлено, что ошибка в определении Атах за¬
ключена в 'Пределах ±6%, обеспечивающих точность расчета основной частоты соб¬
ственных колебаний порядка 3%.Предлагаемый способ можно рассматривать как приближенный способ определе¬
ния наибольшего характеристического числа квадратной матрицы.Аналогично для векового уравнения, записанного в прямой форме,С11 ^2 gl2	С1Пт1	т1 ’	т1с2\	^2Р. ^2	C<Z пт2	т2	т2	=0,	(8)С/ll	СП2	^пп ^2тп	тп	тпгде Сik - коэффициенты- жесткости, можно получить решениеu,«==x_L"t[2~-('z-2)“+Si/ )2+4 —I- <у>Л in in ^ it\mi	mJ it\ У	J т '	mJmii Ф]где cjj!mj — максимальный диагональный элемент векового уравнения. Если для
составления векового уравнения п порядка или для применения метода спектральнойпфункции требуется вычислять “(л+1) коэффициентов влияния Ъ, то для прибли-
женного способа определения Хтах достаточно вычислить только (2п—1) коэффици¬
ентов.Например, для системы с 10 степенями свободы вместо 55 требуется определить
19 коэффициентов.К недостаткам способа следует отнести неопределенность знака ошибки.
Рассмотрим методику расчета на примерах.Пример 1. Определим основую частоту колебаний балки, показанной на рис. 1.
Вычисляем главные коэффициенты25/3	64/3	81 /35ц — \ь — 3888 ш , 822-^44- 3888 Е1 , *33 - 3888 Е/ •Наибольшим произведением будет mbS3t следовательно, из побочных коэффици¬
ентов определяем_ _	. х -X - 69/331 “ 35 “ 3888 EI ’ 32 ~ 34 ~ 3888 EI '243/nZ3По формуле (7) при т=0,1 получаем Хтах« —— ^/~Т~ Г 3888 Е1	„ ГеТ	= 1/ 	:	 = 12»66 1/ — 1/сек.Хщах V 243.0,1/3	\/ 13ГЁГТочное значение coj = 12,7 1 / 	.[/ /3Ошибка приближенного решения равна 0,315%. По формуле Донкерли находим(*■>j = I / 	!	= 12,25 i / — 1/секУ Vmflu	у /зс ошибкой, равной 3,54%.Пример 2. Определим основную частоту собственных колебаний для моста с
параллельными йоясами (рис. 2).Распределяя кагрузку по узлам фермы (рис. 3) и пренебрегая горизонтальными
смещениями узлов, получим расчетную систему с девятью степенями свободы, так
как два узла имеют опоры.Используя результаты вычислений [2], запишем вековое уравнение девятого по¬
рядка:67—X 90 96 96 87 74 58 40 16
144 261—X 289 290 266 226 177 122 64
96 180 254—X 280 238 203 158 110 58
153 290 449 527-Х 457 413 325 226 118
§7 166 238 285 421—X 285 238 116 87 =0,118 226 325 413 457 527—X 449 290 153
58 110 158 203 238 280 254—X 180 96
64 122 177 226 266 290 289 261—X 144
16 40 58 74 87 96 96 90 67—XгдеX = £/«>* = 2,15-10*/«.’.По формуле (7)	Хтах«2013,5;“« = У £/W= /2,15-1072013,5= 32,7 1/сек.Сравним полученное значение частоты с известными решениями.Метод спектральной функции [2] дает32,4 <С < 33,5 1 /сек.44Рис. 1
Рис. 2Способ последовательных приближений [3]: первое приближение <*^ = 54 \/сек>
второе приближение со^= 32,8 l/сек, третье приближение wj" =32,25 1/сек.Разница составляет всего от —0,76% до +1,4%, что вполне удовлетворяет тре¬
бованию инженерных расчетов
По формуле Донкеруш имеемо>1 = / Щт&1= /2,15-1072639=28,6 1/сек.с ошибкой, превышающей 11%.2.	Для распространения приближенного способа на задачи устойчивости запишем
вековое уравнение, элементы которого обозначим через аaw X ctl2	а1п021 а™~1 ■а‘п =о.	(10)°П\	аП2	* аПП 	^Тогда формула (7) перепишется следующим образом:I Г п	п 	'Хщах ~ I 2 —(п—tyaJj 2 V~(ajj — аиУ* + *ajlalj »	0 0L*=1	*=1}Ф1где ajj— наибольшей диагональный элемент характеристической матрицы.Приведем примеры решения задач устойчивости.Уравнение устойчивости для стержня, нагруженного распределенной по длине
сжимающей нагрузкой, как .показано на рис. 4, имеет вид |4]:—0,696 —X 0,507 1,093—	1,609 0,947-Х 2,186 =0.—	2,099 0,744 3,188 -X14,7 EIКритическая нагрузка QKp = 			Хщах *Отметим, что все элементы первого столбца уравнения имеют отрицательный
знак.Рис. 3Рис. 545
По формуле (11) Хгаахж 3,035, QKp = 3"^ 3=4 >85 •Ф. С. Ясинский лолучил аналитическим путем точное значение критической на¬
грузки. QKp=5,12 Eljl2.Ошибка приближенного решения по сравнению с решением Ф. С. Ясинского со¬
ставляет 5,27% и по сравнению с решением А. Ф. Смирнова 4,52%.•Рассмотрим также случай стержня постоянного сечения с одной упругой опорой
и равными пролетами (рис. 5).Уравнение устойчивости имеет вид |[4}0,248 —X 0,011 —0,0080,069 0,128 —X 0,069 =0,—	0,008 0,011	0,248 —Xоткуда Xj=0,256; Х2=0,252; Х3=0,114.Ввиду близости двух первых корней, для получения достаточной точности при
определении Хтах методом спектральной функции А. Ф. Смирнову пришлось вычис¬
лить 64-ю степень матрицы.По формуле (М) получаем Хтах^ 0,262 с ошибкой 2,34%.Из рассмотренных примеров очевидна целесообразность применения данного спо¬
соба в инженерной практике.Поступила 14/1 1961ЛИТЕРАТУРА1.	Я. Г. П а н о в к о. Основы прикладной теории упругих колебаний. Машгиз,
1957.2.	С. А. Бернштейн, К. К. К е р о п я н. Определение частот колебаний стерж¬
невых систем методом спектральной функции. Госстройиздат, 1960.3.	Ф. Блейх. Теория и расчет железных мостов. Гострансиздат, 1931.4.	А Ф. Смирнов. Статическая и динамическая устойчивость сооружений.
Трансжелдориздат, '1947.ИнформацияВ сентябре 1961 г. Комитет стандартов, мер и измерительных приборов при Со¬
вете Министров СССР утвердил ГОСТ 9867—61 «Международная система единиц»,
согласно которому эта система с 1 января 1963 г. должна применяться как пред¬
почтительная во всех областях науки, техники и народного хозяйства, а также
при преподавании.Редакция, публикуя статью «К введению Международной системы единиц в
СССР», подготовленную заместителем председателя Комитета стандартов, мер и
измерительных приборов при Совете Министров СССР В. Коротковым и одобрен¬
ную Комитетом стандартов, мер и измерительных приборов при Совете Министров
СССР, просит авторов применять эту систему в статьях, подготовленных для жур¬
нала.К ВВЕДЕНИЮ МЕЖДУНАРОДНОЙ СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ В СССРРазвитие науки и техники за последние годы требует единообразия и точности
измерений. Особенно это необходимо в связи с широким внедрением средств авто¬
матики и вычислительно-управляющей техники, где .первостепенное значение имеют
вопросы унификации единиц, как важнейшего элемента информации.Для удовлетворения этих требований нужна рациональная система единиц из*
мерения физических величин.В Советском Союзе государственными стандартами на единицы измерений при»
няты:система МКС для измерения механических и акустических .величин (ГОСТ 7664—61
и ГОСТ 8849—58) с основными единицами метр, килограмм, секунда и 22 произ’
водными единицами (16 для механических и 6 для .акустических измерений);система МКСА для измерения электрических и магнитных величин (ГОСТ 8033—56)
с основными единицами метр, килограмм, секунда, ампер и 17 производными едини¬
цами;46
система МКСГ для измерения тепловых величин (ГОСТ 8550—61) с основными
единицами метр, килограмм, секунда, градус Кельвина * и 12 производными едини¬
цами;система МСС для измерения световых величин (ГОСТ 7932—56) с основными
единицами метр, секунда, свеча и 7 производными единицами.Указанные системы в своей совокупности содержат 6 основных единиц, которые
воспроизводятся с помощью государственных эталонов, и 58 производных единиц
для измерения различных физических величин.Кроме этих систем действующими государственными стандартами на единицы
измерений допускается также применение:системы СГС для измерения механических, акустических, электрических и маг¬
нитных величин (ГОСТ 7664—61, ГОСТ 8849—58 и ГОСТ 8033—56) с основными
единицами сантиметр, грамм, секунда и соответствующими производными едини¬
цами;системы МКГСС для измерения механических величин (ГОСТ 7664—61) с основ¬
ными единицами метр, килограмм-сила, секунда и соответствующими производными
единицами;ряда внесистемных единиц для измерения механических, акустических, тепловых
и электрических величин.Единицы систем СГС, МКГСС и внесистемные допущены к применению в связи
с тем, что они получили широкое использование в практике, хотя (преимущественно
рекомендованы единицы систем МКС, МКСА, МКСГ и МСС.Наличие ряда систем единиц для измерения различных физических величин, а
также большого числа распространенных внесистемных единиц вызывает трудности
и неудобства, связанные с переводом значений измеряемых величин из одной системы
в другую.Остро назрела необходимость в единой универсальной системе единиц для всех
отраслей науки, техники и народного хозяйства, охватывающей измерения меха¬
нических, тепловых, электрических, магнитных, акустических и световых величин.Наиболее рациональной системой единиц для измерения различных физических
величин является система, основанная на 6 основных единицах: метр, килограмм,
секунда, ампер, градус Кельвина, свеча.Совокупность единиц, принятых в СССР для .преимущественного применения
(6 основных и 58 производных), содержит все элементы, необходимые для образо¬
вания единой универсальной системы единиц измерения различных физических ве¬
личин.В результате рассмотрения международными организациями . по метрологии, по
стандартизации (ИСО), по чистой и прикладной физике (МСЧПф) и др. была при-
, нята единая универсальная Международная система единиц, в основу которой по¬
ложены 6 указанных выше единиц.В октябре ;1960 г. XI Генеральная конференция по мерам и весам, состоявшаяся
в Париже, приняла Международную систему единиц (SI), состоящую из 6 основных
единиц (метр, килограмм, секунда, ампер, градус Кельвина, свеча), 2 дополнитель¬
ных единиц (радиан, стерадиан) и 27 важнейших производных единиц, не предопре¬
деляя другие производные единицы, которые могут быть добавлены впоследствии.
Указанные 6 основных, обе дополнительные и 27 важнейших производных единиц
полностью совпадают с соответствующими основными, дополнительными и произ¬
водными единицами, принятыми в СССР государственными стандартами на единицы
измерений для систем МКС, МКСА, МКСГ и МСС.18 сентября 1961 г. в Советском Союзе утвержден ГОСТ 9867—61 «Международ¬
ная система единиц», который введен в действие с 1 января 1963 г. и устанавли¬
вает предпочтительное применение этой системы во всех областях науки, техники
и народного хозяйства, а также при преподавании. Этот стандарт не предусматри¬
вает введения в СССР каких-либо новых единиц измерения, отличных от принятых
в СССР единиц для преимущественного применения.Стандарт устанавливает сокращенное обозначение Международной системы еди¬
ниц русскими буквами СИ (система интернациональная), соответствующее приня¬
тому XI Генеральной конференцией по мерам и весам сокращенному обозначению
системы латинскими буквами (начальные буквы слов Systeme International).Основные достоинства системы СИ заключаются в следующем:1.	Унификация единиц физических величин для различных видов измерения.Система СИ позволяет иметь для каждой физической величины, встречающейся
в различных областях техники,, одну общую для них единицу, например джоуль для
всех видов работы и количества теплоты вместо применяемых в настоящее время
разных единиц для этой величины (килограмм-сила-метр, эрг, калория, ватт-час
И др.).2.	Универсальность системы.*	Предусматривается применение двух температурных шкал: термодинамической темпе¬
ратурной шкалы и Международной практической температурной шкалы. Температуры по каж¬
дой из этих шкал могут быть выражены двояким способам — в градусах Кельвина и в граду¬
сах Цельсия*47
Единицы системы СИ охватывают все отрасли науки, техники и народного хо¬
зяйства, исключают необходимость применения каких-либо других единиц и в целом
представляют собой единую систему, общую для всех областей измерений.3.	Связность (когерентность) системы.Во всех физических уравнениях, определяющих производные единицы измерения,
коэффициент пропорциональности — всегда безразмерная величина, равная единице.Так, например, в формуле мощностиN = k-y,где N — мощность, А — работа и t — время, в системе СИ, в которой единица ра¬
боты — джоуль, а единица времени — секунда, для единицы мощности будет1 джоуль1 ватт ==	,1	секундаa k — коэффициент .пропорциональности, представляющий безразмерную величину,
равную единице.Система СИ позволяет значительно упростить операции по решению уравнений,
проведению расчетов и составлению графиков и номограмм, так как отпадает необ¬
ходимость -применения значительного количества переводных коэффициентов.4.	Принципы построения системы СИ позволяют образовывать по мере надобно¬
сти новые производные единицы.Большинство единиц СИ получило уже в СССР широкое практическое примене¬
ние (за исключением 4—5 единиц из 58 производных единиц, предусматриваемых
системами МКС, МКСА, МКСГ и МСС).Следует остановиться на существующей -в настоящее время путанице в приме¬
нении термина «вес», который в обычной практике и в разговорном языке часто
используют для характеристики .массы (количества вещества), хотя в механике он
имеет смысл силы тяжести. Совершенно очевидно, что должны быть приняты меры
для ликвидации этой путаницы.Как известно, вес Р равен произведению массы т на ускорение свободного па¬
дения g.В связи с тем, что g для различных пунктов Земли имеет разные числовые
значения, вес также’ не является постоянным, в то время как величина массы не
зависит от места ее измерения. Между тем термин «вес» часто неправильно приме¬
няют для характеристики массы.В системе СИ единицей массы является килограмм, а единицей силы (в том
числе и силы тяжести, т. е. веса) —'ньютон.Во всех случаях, когда речь идет о количестве вещества, например о расходе
металла или другого материала на изготовление каких-либо изделий (станка, при¬
бора и т. п.), необходимо говорить о массе, выраженной в килограммах (или грам¬
мах, кратных или дольных единицах грамма).В тех случаях когда необходимо определить подъемную силу или грузоподъ¬
емность крана, или нагрузку на фундамент и т. п., необходимо говорить о силе
тяжести и выражать ее в единицах силы, т. е. ньютонах (в кратных или дольных
единицах ньютона).Внедрение в практику единицы силы ньютон вместо широко применяемой в на¬
стоящее время единицы килограмм-сила будет способствовать ликвидации указанной
путаницы и позволит реализовать преимущества, достигаемые благодаря четкому
разграничению единиц массы (килограмм) и силы (ньютон).Введение с 1 января 1963 г. ГОСТ 9867—61 не означает, что все единицы системы
СГС, МКГСС и внесистемные должны быть немедленно изъяты из употребления или
немедленно заменены единицами СИ.Внедрение в практику единиц системы СИ, еще не получивших широкого прак¬
тического применения, должно осуществляться постепенно, дифференцированно по
каждой единице, с учетом наличия приборов, экономической целесообразности
и других факторов. Единицы СИ должны вводиться без специальных затрат при
условии использования существующего парка измерительных приборов до их из¬
носа.Наибольшую сложность при внедрении в народнохозяйственную практику вызо¬
вут те единицы СИ, которые еще не нашли широкого применения в инженерных
расчетах и для измерения которых в настоящее время отсутствуют измерительные
приборы, градуированные в соответствующих единицах, например для измерения
силы 'в ньютонах, для измерения давления в ньютонах на квадратный метр, для
измерения электрической энергии в джоулях и др. Поэтому особое внимание не¬
обходимо будет уделить вопросу перехода на единицы системы СИ в области изме¬
рения силы (ньютон) и давления (ньютон на квадратный метр), учитывая наличие
в стране огромного парка машин и приборов для измерения этих величин в еди¬
ницах килограмм-сила и килограмм-сила на квадратный сантиметр соответственно,
а также другим единицам, получившим широкое применение (например, килограмм-
сила на квадратный миллиметр и т. д.).48
В ряде случаев встретится необходимость пересчета применяемых единиц в еди¬
ницы системы СИ. Так, например, для пересчета единицы силы килограмм-сила в
единицу ньютон необходимо пользоваться установленным соотношением между еди¬
ницей килограмм-сила и единицей ньютон, равным 1 кгс = 9,80665 н. Однако подав¬
ляющее большинство случаев пересчета может быть значительно упрощено, так как
с точностью около 2% можно принять, что 1 кгс=\0 н и, таким образом, этим
простым соотношением можно пользоваться во всех случаях практики, когда пред¬
ставляется возможным пренебречь указанной выше разницей в 2%.Внедрение всего комплекса единиц системы СИ во всю вновь разрабатываемую
научно-техническую и учебную литературу (монографии, справочники, учебники
и т. д) будет осуществляться в течение ряда ближайших лет начиная с текущего
года, наряду с ранее применявшимися единицами. Внедрение единиц СИ будет ка¬
саться также всей нормативной и другой документации, к которой относятся стан¬
дарты, нормали, различные проекты, технические условия и т. д. Согласно приказам
министра высшего и среднего специального образования СССР и министра просве¬
щения РСФСР в учебных заведениях вводится преподавание системы СИ.По мере внедрения в народнохозяйственную практику единиц системы СИ, еще
не получивших широкого практического применения, а также оснащения народного
хозяйства мерами и измерительными приборами, обеспечивающими возможность
измерения в единицах СИ, будут изыматься из практического применения единицы,
не входящие в СИ. Для практического введения всех единиц системы СИ в народ¬
ное хозяйство будет обеспечен выпуск соответствующих таблиц перевода единиц
измерения, с указанием возможной степени округления. В издаваемых справочниках
и учебной литературе также будут излагаться .методы перевода одних единиц в
другие для различных физических закономерностей и наиболее целесообразные спо¬
собы замены единиц дифференцированно по различным видам измерения.Единицы измерения по всей нормативной документации должны быть увязаны
между собой. Например, если единицы системы СИ вносятся в технические условия
на какой-то объект, на который имеется и другая действующая техническая доку¬
ментация, где указаны только ранее применявшиеся единицы измерения, то в этих
технических условиях параллельно с вновь вводимыми единицами системы СИ не¬
обходимо сохранить также ранее применявшиеся единицы. Таким же образом следует
поступать и во всех тех случаях, когда для вновь вводимых в различную техниче¬
скую документацию единиц системы СИ отсутствуют измерительные средства, позво¬
ляющие производить измерения в этих единицах.Одним из мероприятий явится введение единиц СИ, не получивших до сих пор
практического применения, в государственные стандарты на промышленные изделия,
сырье и материалы, а также в общетехнические и другие стандарты. Это будет
осуществляться начиная с этого года. Единицы СИ будут вводиться в стандарты
параллельно, наряду с применяемыми в настоящее время в народнохозяйственной
практике для соответствующих величин единицами других систем или внесистем¬
ными единицами.Успех перехода на единицы системы СИ будет зависеть от наличия мер и изме¬
рительных приборов в единицах этой системы, что связано с новой градуировкой
шкал.Для практического применения единиц системы СИ, еще не получивших рас
пространения, необходимо расширить и улучшить популяризацию преимуществ этой
системы, обеспечить издание соответствующей учебной литературы и справочников,
провести обучение персонала и осуществить ряд других мероприятий. Одной из
форм изучения системы СИ и вопросов практического внедрения соответствующих
единиц должны являться семинары. К руководству семинарами следует привлекать
наиболее квалифицированных специалистов.Издание научно-технической литературы должно в известной степени опережать
непосредственную народнохозяйственную практику. Комитет стандартов, мер и из¬
мерительных приборов при Совете Министров СССР обращает внимание издательств
научно-технической литературы на необходимость усилить требования к авторам и
редакционно-издательским работникам в части проведения работы по введению единин
системы СИ во вновь выпускаемую в свет учебную и научно-техническую литератур\
с целью обеспечения перехода в этих изданиях на единую систему единиц.В тех случаях когда вводимые единицы системы СИ не получили широкого прак¬
тического применения (ньютон, ньютон на квадратный метр и др.), а также при
отсутствии приборов, позволяющих их измерять, эти единицы должны приводиться
наряду с ранее применявшимися. Однако выпуск разработанной технической лите
ратуры и нормативной документации не должен задерживаться специально для
ввода таких единиц.Внедрение в народнохозяйственную практику всех единиц системы СИ позволит
полностью использовать ее преимущества, а международное распространение системы
облегчит и улучшит условия для научного, технического, торгового и культурного
общения между странами.В.	П. Коротков49
Цена 60 коп.Индекс 71458новые книги,ВЫПУЩЕННЫЕ ГОССТРОЙИЗДАТОМН. А. Николаенко. Дингмика и сейсмостойкость
конструкций, несущих резервуары. ЦНИИСК АСиА
СССР.В книге рассмотрены вероятностные методы расчета упру¬
гих линейных, нелинейных и параметрических систем с
жидким наполнением на действие динамических нагрузок,
использованы стохастические методы, связанные с составле¬
нием уравнений Фоккера — Планка, которые впервые при¬
меняются при решении задач строительной механики.Книга поможет инженерам-расчетчикам >и научным работ¬
никам рассчитывать наземные и подземные резервуары, а
также каркасные сооружения, несущие резервуары.Методика определения нагрузок на здания и соору¬
жения. Сборник статей. Под ред. Н. С. Стрелец-
кого.Сборник посвящен вопросам (изучения и уточнения нагру¬
зок, действующих на сооружения, а также усовершенствова¬
нию методов расчета строительных конструкций.Приводятся новые данные о временных нагрузках на пере¬
крытия гражданских и промышленных зданий, (вносятся пред¬
ложения по уточнению крановых нагрузок при расчетах на
выносливость, рассматриваются вопросы методики изучения
"атмосферных нагрузок (И используемой при этом аппаратуры.Государственное издательство литературыПО СТРОИТЕЛЬСТВУ, АРХИТЕКТУРЕ И СТРОИТЕЛЬНЫМ МАТЕРИАЛАМ